М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат

Методы теории функций комплексного переменного

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ИСПРЛВЛ1-ННОЕ'

“onyrqcM。Министерством

высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов университетов

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва 1973

517.2 Л 12

УДК 517.5

Методы теории функций комплексного переменного, Лаврентьев М. А.} Шабат Б. В., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.

Книга рассчитана на специалистов по прикладной математике, механике, физике, радио-, электро-, теплотехнике и других. Ее можно использовать также как учебное пособие при изучении анализа в университетах и высших технических учебных заведениях.

Наряду с кратким изложением теории, ориентированным на практические применения, она содержит большое число примеров и задач из разных областей математики и ее приложений.

В четвертом издании исправлены неточности и опечатки, а также по-новому изложены некоторые разделы.

Рис. 231.

Издательство «Наука», 1973 г. с изменениями：

Михаил Алексеевич Лаврентьев

Борис Владимирович Шабат

Методы теории функций комплексного переменного

М_, 1973 г., 736 стр. с илл.

Редактор В, В. Абгарян

Технический редактор В. Я. Кондакова

Корректоры О. 4 Сигал, Я. 5. Румянцева

Сдано в набор 11/XII 1972 г.Подписано к пе

чати 26/IV 1973 г. Бумага 60Х 90Vie, тип. №2, Физ. печ. л. 46. Условн. печ. л. 46. Уч.-изд. л. 44,5. Тираж 39 000 зкз. Т-05754. Цена книги 1 р. 77 к. Заказ № 436

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литерату ры 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени

Ленинградская типография № 2

имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и КНИЖНОЙ ,ТОрГОВЛИ

Г- Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

ЛЛ0223-1759,, 7q

Л

Л

042(02)・73 *内

Оглавление

Из предисловия к первому изданию 6

Из предисловия ко второму изданию 7

Предисловие к четвертому изданию 8

Глава /• Основные понятия .» 9

Комплексные числа 10

Комплексные числа (10). 2~ Геометрическая иллюстрация (12).

Функции комплексного переменного 16

3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного переменного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19).

Элементарные функции 24

6” Функции w = zn и w — Vz (24). 7. Функция Жуковского g = =万(之 + "^) (29)~ 8. Показательная функция и логарифм (32).

Тригонометрические и гиперболические функции (36)~ 10. Общая степенная функция ⑵=j (42).

§ 4, Интегрирование функций комплексного переменного 43

Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Теорема Коши (45). 13. Распространение на многосвязные области (51). 14. Формула Коши и теорема о среднем (54). 15. Принцип максимуйа и лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходимость (58). 17. Высшие производные (63).

Представление аналитических функций рядами— .65

Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема единственности (72). 21. Ряды Лорана (74)* 22. Особые точки (78).

Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно удаленная точка (90). 25~ Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции (93). 26. Римановы поверхности (99)~

Литература к главе I104

Глава IL Конформные отображения105

Общие положения. Примеры 105

Понятие конформного отображения (106). 28. Основная задача (112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (122).

.Простейшие конформные отображения 128

Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135).

33~ Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148).

Принцип -симметрии и отображение многоугольников158

Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176). 39. Примеры (183). 40. Скругление углов (192).

Литература к главе II197

Глава ，，，. Краевые задачи теории функций и их приложения .... 198

Гармонические функции199

Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства гармонических функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле (215).

Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).

Физические представления. Постановка краевых задач235

Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры. Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272).

Краевые задачи теории упругости (279).“

Интеграл типа Коши и краевые задачи 286

Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша — Седова (304), 55. Другие краевые задачи (310).

§ 4. Приложения315

Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи гндро- динамики и газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного заряда (339). 59. Задачи теории упругости (349).

Литература к главе III357

Глава IV. Вариационные принципы конформных отображений .... 358

Основные вариационные принципы358

Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение принципа (365). 62. Граничные производные (370).

Отображения близких областей375

63.* Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной (382). 65. Распространение результатов (385).

Приложения393

Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости (398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движенце грунтовых вод (406).

Литература к главе IV414

Глава V. Приложения теории функций к анализу 415

Разложение в ряды и бесконечные произведения415

Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целых функций в бесконечные произведения (431).

Приложения теории вычетов438

Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов (продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости (454).

Методы асимптотических оценок470

Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477).

7& Метод производящих функций (486).

Литература к главе V491

Глава VI. Операционный метод и его приложения492

Основные понятия и методы494

Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы разложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520).

Приложения541

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541).

Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с ча*

стиыми производными (557). 87. Расчет длинных линий (568).

Другие интегральные преобразования (574).

Литература к главе VI 587

Глава VII. Специальные функции 588

§ 1. Гамма-функция Эйлера 588

Определение и основные свойства (588). 90. Примеры. Дополнения (598).

■§ 2. Ортогональные многочлены604

Ортогональные системы функций (604). 92 Ортогональные многочлены (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции (616). 94. Примеры. Приложения (624).

Цилиндрические функции . *637

Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие цилиндрические функции (648). 97. Асимптотические выражения

4 для цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения (670).

Эллиптические функции 682

Периодические функции (682). 101. Общие свойства эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и функции Якобн (694). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции (703). 104. Примеры. Приложения (715).

Литература к главе VII • * *727

Предметный указатель . . .. 728

Из предисловия к первому изданию

Имеющиеся в нашей литературе полные курсы теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателей, избравших математику своей специальностью, другие же курсы обычно излагают лишь элементы теории. Между тем за последнее время в физике и технике получают все более широкое распространение методы, требующие обстоятельного применения теории функций. Почерпнуть необходимые для этого сведения из математических курсов нематематику Трудно, а сведения излагаемые в элементарных курсах, недостаточны.

Восполнение указанного пробела и является целью настоящей книги. Мы поставили своей задачей изложить в ней основные методы теории функций комплексного переменного для лиц, интересующихся этой теорией ради ее приложений к физическим и техническим задачам. Книга может быть использована в качестве учебного пособня студентами механических отделений» физических и физико-технических факультетов университетов и аспирантами технических вузов с достаточной математической подготовкой. Предполагается, что читатель знаком с основным курсом математического анализа в объеме двух первых томов книги В, И. Смирнова «Курс высшей математики» (Гостехиздат, 1949). Некоторые ссылки сделаны также на книгу Г. М, Фихтенгольца 《Курс дифференциального и интегрального исчисления» (т. I—III, Гостехиздат, 1947—1949).

В первой главе излагаются все основные понятия теории функций, так что книгу можно читать независимо от других курсов по этой дисциплине. Однако по характеру изложения первая глава несколько отличается от остальных ——она написана более конспективно и сжато. При этом мы имели в виду, что по материалу первой главы имеется большое количество доступной литературы.

Остальные главы посвящены отдельным методам теории функций комплексного переменного, имеющим наибольшее значение для приложений. Изложение сопровождается большим числом примеров. Если читатель овладел тем или иным методом, разобрав несколько примеров, то дальнейшие примеры

田а этот метод можно не читать — лучше вернуться к ним по уере ссылок.

:： В книгу включено также большое число примеров приложения теории функций к различным физическим задачам. Не следует думать, что, скажем, электротехнические примеры интересны лишь электрикам, а гидромеханические ——лишь .механикам. На самом деле методы, иллюстрируемые на одной задаче, часто с успехом могут быть применены и к решению аналогичной задачи с другим физическим содержанием. Знакомство с основами приложения теории функций к различным областям физики поможет читателям в дальнейшей работе использовать для своей области методы, излагаемые в литературе по другим областям.

Мы всюду стремились избежать усложняющих доказательства деталей, иногда умышленно допуская нестрогости в угоду наглядности изложения. Для простоты некоторые предложения доказаны в более жестких условиях, чем это необходимо, а некоторые предложения приведены без доказательства.

Москва, 1951 г.附.4 Лаврентьев

Б. В. Шабат

Из предисловия ко второму изданию

В предлагаемом издании книги мы сохранили ее общее содержание, распределение материала и характер изложения с упором на геометрическую наглядность и связи с проблемами теории уравнений математической физики и с приложениями.

В это издание мы внесли ряд изменений и дополнений; отметим наиболее существенные из них. В третьей главе добавлены новые технические и теоретические применения, особенно развившиеся за последние годы: теория кумулятивных зарядов, некоторые задачи газовой динамики, изучение решений уравнений с частными производными методами теории функций. В четвертой главе по-новому изложены выводы основных формул вариационного метода теории конформных отображений, к которому в последнее время усилился интерес как за рубежом, так и у нас в связи с новыми приложениями этого метода в задачах механики. В пятой главе упрощено и дополнено изложение применений теории функций к проблеме устойчивости и по-новому изложены методы асимптотических оценок. В главе шестой добавлен пункт об интегральных „ преобразованиях, отличных от преобразования Лапласа.

АвторыАвторыМосква, май 1957 г.

Авторы

Авторы

Предисловие к четвертому изданию

В четвертом издании исправлены замеченные опечатки и неточности. В этой работе большую помощь нам оказали коллеги из Германской Демократической Республики У. Пнрл, Р. К ю н а у и Л. фон Вольферсдорф, которые очень тщательно подготовили немецкое издание нашей книги, В. А. Зорич, просмотревший текст для ее французского издания, а также многочисленные читатели, сообщившие нам свои замечания. Всем им мы выражаем свою глубокую благодарность.

Кроме того, в ряде мест внесены некоторые изменения и дополнения. Наиболее существенным из них является дополнение в главе шестой, посвященное преобразованию Лапласа обобщенных функций.

Новосибирск —Автора

Москва, июль 1972 г.

Глава /

Основные понятия

В этой главе вводятся все основные понятия теории функций комплексного переменного: понятие функции, ее производной, интеграла и др. Читатель увидит, что обычные, известные из анализа функций действительного переменного определения этих понятий остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Так, отпадает обычная геометрическая иллюстрация функции с помощью кривой на плоскости и на ее место становится понятие о функции как об отображении плоских множеств (п. 4). Условие дифференцируемости функции комплексного переменного оказывается значительно более жестким, чем условие дифференцируемости функции действительного переменного (п. 5). Например, из условия дифференцируемости в комплексной области автоматически вытекает существование производных всех порядков (п. 17) и целый ряд свойств функций, совершенно необычных для действительного анализа (пп. 14, 15 и др.).

Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (1740—1749), даны условия дифференцируемости ) (1755) и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного (1777). Леонард Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам

и положил начало применению их в гидродинамике (1755—— 1757) и картографии (1777).

После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и Карлу Вейерштрассу (1815—1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Риману (1826—1866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения.

Комплексные числа

Для удобства читателя мы изложим здесь основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел,, действиям с ними и их геометрической иллюстрации ).

Комплексные числа. Комплексным числом называется выражение вида 尤 + 力弘 где х и у — действительные числа, a i―• символ, который называется мнимой единицей. Числа хну называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа х + iz/ и обозначаются символами

х = Re(x + iy), у = Im(x + iy). (1)

Если, в частности, у = 0, то х + i0 считается совпадающим с действительным числом х; если х = 0, то О + iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым.

Определим на множестве комплексных чисел понятие равенства и простейшие операции. Будем говорить, что комплексные числа + iyi н 尤2 + 皿 равны,

% + iyi = x2 + 辺2, - (2)

тогда и только тогда, когда 尤1 = х2, У\ = У2-

Отметим еще, что если 尤2 = %ь а у? = —У\, то комплексное число 尤2 + 耽 называется сопряженным с х{ +，У【 и

обозначается символом Xi + iy- Таким образом,

х -\- iy = х — iy.(3)

Перейдем к определению операций над комплексными числами. 1) Сложение. Суммой zi + Z2 комплексных чисел zi = =-^i + iy\ и з2 = Х2 + iyi называется комплексное число

2 =马 + @ =(修 + х2)+ i(У1 + У2)・(4)

Из данного определения непосредственно вытекают следующие законы сложения:

переместительный: 21 + 22 = 22 + 之1,

сочетательный: Zi +(Z2 + 23) = (21 + z2) +'23.

Если Zi и z2 действительные числа (т. е. У1 = У2 = 0), то определение (4) совпадает с определением сложения для действительных чисел.

Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел Zi = Xi + iy\ и 22 = Х2 + iy2 можно найти такое число z, что Z2 + 2 = Zp Это число называется разностью чисел Zi и Z2 и обозначается символом Zi —之2・ Очевидно,

z = z1 — z2 = (xI — х2) + i(yi — z/2).(5)

Умножение. Произведением 之应 комплексных чисел 21 = Xi + iy\ и z2 = х2 + iy2 называется комплексное число

Z = Z1Z2=(X1X2 — У也)+ i (х也2 + 川％2)・(6)

Из определения вытекают следующие законы умножения: а) переместительный'. /22 = 2221； б) сочетательный*. Zi(2223) = (z\z^z^ в) распределительный (относительно сложения):

(Z1 + &) 2з = 212з + 222з.

. Если Zi и Z2 — действительные числа, то определение (6) совпадает с обычным. При zi = z2 = i из определения произведения следует:

入』一L(7)

Легко заметить, что формула (6) получается при перемножении Xi + iyi и %2 + »У2 по обычным правилам алгебры и замене произведения i-i через —1. Отметим еще, что произведение комплексного числа z = к-\- iy на сопряженное с ним всегда неотрицательно. В самом деле, из равенства (6) имеем:

zz = x^ -\- у2 ^ 0.(8)

Умножение также допускает обратную операцию, если только данный множитель не равен нулю. Пусть г2 ^ 0, тогда

можно найти такое число z, что Z2Z = Zi； для этого, согласно (6), надо решить систему уравнений

(9>(9>х?х — %у = X卜

(9>

(9>

У2^ + ^2У = У1，

которая при Z2 =И= 0 всегда однозначно разрешима, так как ее определитель %^ + у^ > 0. Это число 2 называется частным двух чисел 2] и z2 n обозначается символом Zi/z2. Решая систему (9),. получим:

Легко заметить, что (10) может быть получено умножением числителя и знаменателя дроби 2“？2 на 汲

Возведение в целую степень. Произведение п равных чисел 2 называется n-й степенью числа 2 и обозначается символом zn:

2"=2 …2.(11)

п раз

Обратная операция ——извлечение корня ——определяется следующим образом: число w называется корнем n-й степени из числа 2, если wn = г (обозначается* символом 了2, причем для м = 2 пишут просто 了2). Ниже мы увидим, что для всякого 2#=0 корень ]Лг имеет п различных значений.

Равенство (7) мы можем теперь записать в виде 部=—1, и для мнимой единицы i имеем:

』М二Г(12)

(здесь У——1 означает одно из двух его возможных значений).

Геометрическая иллюстрация. Рассмотрим плоскость декартовых координат хОу и условимся изображать комплексное число 2 = %斗，// точкой с координатами (х, у). При этом действительные числа будут изображаться точками оси х (которую в дальнейшем мы будем называть действительной осью), чисто мнимые ——точками оси у (называемой мнимой осью). В частности, изображением числа i будет служить точка (0, 1) мнимой оси.

Легко видеть, что и обратно, каждой точке плоскости хОу с координатами (х, у) будет таким способом поставлено в соответствие вполне определенное комплексное число 2 = % + '“> так что это соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно. Поэтому

в дальнейшем мы не будем различать понятия комплексного числа и точки плоскости и будем говорить, например, «точка 1 + i》，«треугольник с вершинами 2卜 &，？з》и т. п.

Далее, каждой точке (х, у) соответствует вполне определенный вектор ——радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу- вектору, лежащему в плоскости,——вполне определенная точка —— его конец (рис. 1). Поэтому мы будем в дальнейшем представлять комплексные числа также в виде радиусов векторов на плоскости.

Из рис. 1 ясен геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел © и & изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах zt и г2.

В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в этого, как обычно, совмещаем полярную ось с положительной полуосью х, а полюс — с началом координат; тогда если обозначить через г полярный радиус и через ф полярный угол точки 2 (рис. 1), то будем иметь:

z — хiy — г (cos ф + Z sin ф).(1)

|Z|=/F+7>o,|Z|=/F+7>o,(2)(2)Полярный радиус г называется модулем комплексного числа г и обозначается символом |?|, угол ф ——его аргументом и обозначается символом Arg2. В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно:

|Z|=/F+7>o,

|Z|=/F+7>o,

(2)

(2)

аргумент определен лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2冗：

q)= Arg2 =q)= Arg2 =⑶⑶arctg у + 2kn (I и IV квадранты), arctgy+ (2fe + 1)л (II и III »);

q)= Arg2 =

q)= Arg2 =

⑶

⑶

здесь arctg означает главное значение Arctg, т. е. значение, большее ——п/2 и не превосходящее 冗/2, k — произвольное целое число. В дальнейшем наряду с символом Arg, обозначающим

всю совокупность значений аргумента, мы будем употреблять символ arg, обозначая им одно какое-либо из значений Arg, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение берется (ср. п. 6).

Очевидны следующие неравенства (см. рис. 1):

|z1 + z2l<|z1 > + |z2|; IZj — z21 > 11Zj I — I z211 •⑷

Знаки равенства в (4) имеют место тогда и только тогда, когда Arg Zi = Arg & или одно из чисел — нуль.

Из определения (6) предыдущего пункта следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В самом деле, имеем:

屮2 = r/2 {(cos 吶 cos ф2 — sin 吶 sin ф2) + i (sin 的 cos ф2 +

+ Sin ф2 cos 吶)} = г/2 {cos(Ф1 + ф2) + i sin (吶 + 殷)}・ ⑸

Отсюда следует, что при умножении комплексного числа Zi на & вектор 刁 растягивается в |&| раз ) и, кроме того, поворачивается (против часовой стрелки) на угол argN?. В частности, умножение комплексного числа z на i сводится к повороту (без растяжения) вектора z на прямой угол против часовой стрелки.'

На рис, 2 изображено построение произведения z =勺&: чтобы получить z, достаточно на отрезке Oz\ как на основании построить треугольник Ом/ подобный треугольнику 01зг.

Далее, деление комплексного числа м на 通 сводится к умножению Z] на 1/^2, поэтому можно ограничиться выяснением геометрического смысла операции w = 1/z. Пусть сначала |z| < 1 (рис. 3).

Восставим из точки z перпендикуляр к лучу Oz и через точку W пересечения перпендикуляра с окружностью |z| = 1 проведем касательную к этой окружности. Для точки со пересечения построенной касательной с лучом Oz имеем, очевидно,

Arg со = Arg z,

и 0gs имееми 0gs имеема из подобия прямоугольных треугольников 0现

и 0gs имеем

и 0gs имеем

)ш| 丨自]

号=号 откупа

I1

ибо |?|= 1. Таким образом, число со является сопряженным с l/z,①=1/2, и для получения точки w = 1/z остается построить точку, симметричную с со относительно действительной оси.

Переход от точки z к точке

со = 1/2

называется инверсией, или симметрией относительно единичной окружности |z|= 1. Таким образом, операция w = 1/z геомет-

рически сводится к выполнению двух последовательных симметрий — инверсии и симметрии относительно действительной оси.

Если |之|> 1, то описанные построения следует вести в обратном порядке; если \z\ == =1, то точка со = 1/й совпадает с z и построение w = 1/z сводится к симметрии относительно действительной оси.

Геометрический смысл возведения в степень ясен из предыдущего. Для построения

=arg z, и поэтому=arg z, и поэтомукорней п-й степени из z заметим, что из определения корня и формулы (5) для w = yz имеем \w\n = \z\t nargw =

=arg z, и поэтому

=arg z, и поэтому

⑹⑹I 5 | = ]/| z I, argg= '7?.

⑹

⑹

Первое из соотношений (6) показывает, что модули всех корней одинаковы, второе,——что их аргументы отличаются на кратное 2л/п, ибо к значению arg z можно добавлять кратное 2л. Отсюда следует, что корень 几-血 степени из любого комплексного

числа 2 #= 0 имеет п различных значений и что эти значения располагаются в вершинах правильного л-угольника, вписанного в окружность \w\ = У\г \ (см. рис. 4, где и = 6).

§ 2. Функции комплексного переменного

В этом параграфе мы введем наиболее фундаментальные понятия теории функций комплексного переменного: понятие функции комплексного переменного, ее предела, производной и, наконец, понятие аналитической функции. Центральное место занимает здесь теорема п. 5, устанавливающая условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Эти условия обычно называются условиями Коши——Римана, однако задолго до Коши и Римана они весьма существенно использовались в работах Даламбера и Эйлера (см. введение к этой главе).

Геометрические понятия. Областью на комплексной плоскости называют множество D точек, обладающее следующими свойствами: 1) вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости), 2) любые две точки D можно соединить ломаной, состоящей из точек D (свойство связности) .

Простыми примерами областей могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под Е-окрестно- стью точки а понимают открытый круг радиуса е с центром в этой точке, т. е. совокупность точек 2， удовлетворяющих неравенству

I 2 — a I V е.

Рис. 5.Граничной точкой области D назы

вают такую точку, которая сама не принадлежит D, но в любой окрестности которой лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называют границей этой области. Область D с присоединенной к ней границей обозначают символом Л и называют замкнутой областью.

Мы будем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек (мы не даем определения этих понятий; см. рис. 5, где граница области состоит из трех замкнутых линий Го, 「1, Г2, двух разрезов 丫1, 丫2 и одной точки а). Линии и разрезы, входящие в со-

став границы, мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими, т. е. состоящими из конечного числа гладких дуг (дуг с непрерывно изменяющейся касательной). В случае ограниченной области D число связных частей, на которые разбивается ее граница, называется порядком, связности电) этой области (на рис. 5 изображена пятисвязная область; Го и 丫】образуют одну связную часть границы). В частности,”

связна (состоит из одной связной части), то D называется односвязной областью.

У Пусть D ——односвязная область и Г — ее граница. Выберем на Г какую- либо точку и будем, отправляясь из этой точки, обходить Г в положительном направлении. Положительным направлением обхода границы области считается такое, при котором область остается все время слева. При этом некоторые точки Г будут проходиться лишь один раз (например, А на рис. 6), другие ——несколько раз (например, В — два раза, С —— три раза). Точки первого типа мы назовем простыми, а второго типа——кратными точками контура Г, причем число раз, которое проходится точка, назовем ее кратностью (В — двойная точка, С ——тройная). Понятие кратности граничной точки распространяется и на многосвязные области..

Функции комплексного переменного. /Говорят, что на множестве М. точек плоскости z задана функция

W=f(z),(1)

если указан закон, по которому каждой точке z из М ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек ш. В первом случае функция f (z) называется однозначной, во втором—многозначной, Множество М называется множеством определения функции f(z), а совокупность N всех значений ш, которые f(z) принимает на М,——множеством ее изменения. В дальнейшем наиболее важную роль будет играть тот случай, когда множества М н N являются областями (см. теорему на стр. 21).

Если положить z = x + fy и w — и + /у, то задание функции комплексного переменного ⑪= f(zj будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных:

и — и(х,沙)， у = у (х, у).(2)

\^*)' Распространение определения порядка сйязности на неограниченные области см, в п. 24. (Область D называется ограниченной, если она принадлежит некоторому кругу |z| V R.)

Условимся откладывать значения z на одной комплексной плоскости, а значения w — на другой. Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представлять как

некоторое отображение множества М.

плоскости г на множе-

ство N плоскости w. Если функция w = f(z) однозначна на

马

財

Рис.

7.

множестве М. и при этом

двум различным точкам М. всегда соответствуют различные точки М то

такое отображение

называется

отображение только тогда,

w = f⑶

взаимно однозначным или однолистным в М,

Пусть дана функция w = f(z)r осуществляющая отображение множества М на множество ^. Функция 之=屮(侬)，ставящая в соответствие каждой точке w из ^ совокупность всех тех точек %, которые функцией w = f(z) отображаются в точку w, называется обратной к функции w = f(z) (рис. 7). Ясно, что будет взаимно однозначным тогда и

когда обе функции f и 屮 однозначны.

Пусть функция w = f(z) отображает множество М на ^>

а со = g®) — множество N на Р. Функция 3 =九⑵=g [f(Z)],

⑶

отображающая М. на Р, называется сложной функцией, состав-

ленной из f п g, а соответствующее отображение Л — суперпозицией отображений f и g (рис. 7). Если, в частности, отображение w = f(z) взаим-

но однозначно и функция z =屮(侬)一обратная к f, то

屮[f(z)] = z. '

⑷

Пример.

Линейная

определяется во всей соотношением

функция

ПЛОСКОСТИ 2

w ~ az -}- Ь,

⑸

Рис. 8.

представим функцию (5) как слож-

а 争 0 и b ——произвольные комплексные постоянные. Положим А = |а|, а == Arg а, т. е. а =左(cos а + г sin а), и ную функцию, составленную из функций:

а) а】=(cos a + / sin a) z;

6)22 =左右

в) 5 =之2 + b.

Вспоминая геометрический смысл умножения (п. 2), мы видим, что отображения а) и б) сводятся соответственно к повороту плоскости г на угол а м подобному преобразованию плоскости г5 с коэффициентом подобия k. Отображение в) геометрически означает сдвиг всей плоскости г2 на постоянный вектор Ь.

Линейное отображение (5) представляет собой суперпозицию описанных отображений (рис. 8). Отсюда следует, что отображение (5) взаимно однозначно во всей плоскости и что оно преобразует прямые в прямые (причем углы между двумя прямыми сохраняются) и окружности — в окружности.

Дифференцируемость и аналитичность. Пусть функция цг) определена и однозначна в некоторой окрестности точки 2。= =%о + i^o, кроме, быть может, самой точки г0.

Мы будем говорить, что существует предел функции f(z) при z->z0 (обозначение: Нт f(z))： если существуют пределы lim и (х, у) — и0 и lim у (х, у) — v0; при этом мы будем полагать 0今% y->%

lim f ⑵、=u0 + 2о = g.(I)

Так как наше определение сводится к обычному определению предела действительных функций, то основные свойства предельного перехода сохраняются для функций комплексного переменного. В частности, имеем:

⑵⑵lim (f 土 g) = lim f ± g, lim (fg) = lim f • lim g,lim 丄(lim g #= 0).

⑵

⑵

Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности: lim f(z) = w0 тогда и только тогда, если

г -> го

для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что для всех точек из 6-окрестности 2。(кроме, быть может, самой &)) соответствующие точки w лежат в е-окрестности 陋。；иными словами, если из неравенств

0<|z-z0|<6(3)

вытекает

I f ⑵一％)I < Е.⑷

Подчеркнем, что согласно нашему определению функция f(z) стремится к своему пределу независимо от способа приближения точки 2 к 2о. Иными словами, если предел существует, то при 2, стремящемся к z0 по любому закону (например, по любой линии или любой последовательности), f(z) будет приближаться к этому пределу.

Функция f(z) называется непрерывной 8 точке z0, если она определена в некоторой окрестности z0 (включая саму точку и

lim f(z) = f (z0).(5)

Очевидно, что для непрерывности f(?) в точке 20 необходимо и достаточно, чтобы функции 〃(妈 у) и и(х, у) были непрерывными в точке (х(),уо). Функция f(z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Полезно также понятие непрерывности функции на произг вольном множестве. Пусть функция f(z) определена на множестве Л и 20 является предельной точкой этого множества. Предел f(z) при %—>2о по множеству А определяется, как и выше, только в (3) надо добавить условие, что % принадлежит Л (z^A). Функция f(z) называется непрерывной на множестве Л, если в каждой предельной точке z0^A предел по множеству

吁 f (z) = f (%).⑹

Отметим без доказательства, что для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах (в- замкнутых ограниченных областях, на замкнутых линиях или на отрезках линий, содержащих свои концы), остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах. Именно, каждая функция f(z), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Д:

ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М, что для всех z из Д

I〃Z)|《м；

достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т. е. в Д существуют такие точки %' и %", что для всех 2 из Л

lf(z')|》lf(z)|, |f(z〃)|《|f(z)|;

равномерно непрерывна, т. е. для произвольного е > 0 найдется число 6 > 0, зависящ.ее лишь от е, такое, что для любой пары точек 方 и 迎 из 瓦 удовлетворяющих неравенству |%1 — %2丨之，справедливо неравенство

I f(Z]) — f(Z2)|< 6.

Отметим еще также без доказательства *) одно предложение, которым будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

Теорема. Если функция ш = f(г) непрерывна в области D и реализует взаимно однозначное отображение этой области на некоторое множество А 8 плоскости ш, то А также является областью и обратная функция 2 = ф(ш) непрерывна в Д.

Пусть функция f(2) определена в некоторой окрестности точки 2. Будем говорить, что f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел 1

lim『(2 + 红=厂(z).(7)

Этот предел будем называть производной функции f(z) в точке 2.

Условия дифференцируемости функции f(z) в терминах действительных функций и(х, у) и и(%, у) выражает

Теорем а. Пусть функция f (г) = и(х, у) + ^(-^, у) определена 8 некоторой окрестности точки z, причем в этой точке функции 〃(尤,у) и и(%, у) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексного переменного f(z) 8 точке 2 необходимо и достаточно, чтобы 8 этой точке имели место соотношения:

О" __ dv

диdv_

ду — дх

(условия Коши ——Римана) ).

Необходимость. Пусть существует

Воспользуемся замечанием о независимости предела от способа приближения к точке 2. Предположим сначала, что точка z + 九 приближается к 2 по прямой, параллельной действительной оси, т. е. что Л = s —* 0, оставаясь действительным. Тогда получим:

у (z) = lim " (х + s，и) — "(х, и) + i lim и (х + s, и) — и (х，и)=

S今ОSS今ОS

(9) дх 1 дх ' '

Найдем теперь тот же предел в предположении, что точка 之+左 приближается к 2 по прямой, параллельной мнимой оси, т. е.

что h — it и /—>0, оставаясь действительным. Получим:

?⑶= lim u(x，g + t)-uQ，g)+ 3im 2应纟±/二"3 *=

=一‘而+毎•(I。)

Сравнивая выражения (9) и (Ю) для /，(2), будем иметь: ди . . ду — dv . ди 0方十,dx _ ду -,ду 1

откуда и вытекают соотношения (8) (см. определение равенства комплексных чисел, п. 1).

Достаточность. По определению дифференциала функций двух действительных переменных имеют место равенства:

u(x4-s, y-\-t) — u(x, g)三登s +需f + а| 们， 加(U)

u(% + s, g + f) —u(x, y) = -^-s + ~t + ?>\ h\,

где аир стремятся к нулю вместе с /г = s + it. Тогда приращение функции f(z) принимает вид:

f(z + 3-/(z)=黑$ +黑f +《黑s +芻 f) + nl /и,

где ” =仪 + 帀. Используя равенства (8), это приращение можно переписать в виде

f (z + h) - f (Z) = ^+ I ^-)(s + it) + r\\ h\ = Ah + r\\ h\, (12)

где A — -^- + / -^- — вполне определенное число, не зависящее от 儿 а ” стремится к 0 вместе с h. Поделив соотношение (12) на 儿 мы видим, что lim 乂壮/(@ существует и равен А.

Теорема доказана.

С учетом условий Коши — Римана производную функции f ⑶ можно представить в следующих равносильных формах:

ди dv dv . ди ди . ди dv . . dv Z1

Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются и обычные правила

5] § 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 23 дифференцирования, вывод которых основан лишь на упомянутых свойствах:

(f + g)'=f‘ + g‘， (fg)'=f'g + g‘f, ]

1 } (14)

(в последней формуле f н 屮 обозначают взаимно обратные функции, причем предполагается, что они осуществляют однолистные отображения соответственно окрестностей точек г и w).

Функция /(г), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической (иначе, регулярной или голоморфной) в этой области. Подчеркнем, что наше определение аналитической функции предполагает ее однозначность в области D, ибо понятие предела и производной определены выше лишь для однозначных функций.

В п. 25 мы обобщим понятие аналитичности, распространив его и на многозначные функции, но до этого под аналитической мы всегда будем понимать однозначную функцию.

В заключение отметим одно обобщение условий Коши — Римана. Пусть дана дифференцируемая в точке г функция /(г); зададимся произвольными направлениями, характеризуемыми единичными векторами s° и н° (т. е. комплексными числами с модулем 1) и такими, что поворот от s° к н° совершается на прямой угол против часовой стрелки (т. е. м° = А°). Пользуясь тем, что вычисление производной не зависит от направления, получим, беря производные один раз в направлении s°, а другой—в направлении

f'(z)= $(黑 + 嘤)=%(黑 + 標) (⑸ ("^"'窑—пронзводнне от функций двух действительных переменных по соответствующим направлениям); вывод равенства (15) аналогичен выводу формул (9) и (10). Подставляя н° = fs° и сравнивая в соотношении (15) действительные и мнимые части, получим:

ди dv ди dv 八

Эти уравнения и есть обобщенные условия Коши — Римана, которые мы хотели отметить. Полагая в них, в частности, s°= 1, n° = i, получим условия (8).

Укажем еще условия Коши — Римана в полярных координатах (г, ф). Пусть s° — единичный вектор касательной к окружности \z\ — г, направленный против часовой стрелки, и н° ——

вектор внутренней нормали к окружности; тогда — = —

дд

=丽 и условия (16) принимают вид:

диdv ди ди

而=一Г奇，г才=丽，(17

§ 3. Элементарные функции

Этот параграф посвящается элементарным функциям комплексного переменного и их геометрическим иллюстрациям — отображениям, ими осуществляемым. Эти функции являются естественным распространением в комплексную область обычных для анализа элементарных функций. Однако при таком распространении функции приобретают иногда новые свойства, например показательная функция комплексного переменного ег оказывается периодической, функции sin z и cos z перестают быть ограниченными, приобретает смысл логарифм отрицательных чисел (и вообще любых комплексных чисел, отличных от нуля) и т. ГТ.

Особый интерес представляет изучение в комплексной области многозначных функций, ибо только такое изучение позволяет выяснить природу их многозначности. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением отдельных примеров многозначных функций и на этих примерах показываем возможность выделения однозначных ветвей, которые оказываются голоморфными функциями. Лишь в п. 25 мы введем общее понятие многозначной аналитической функции и тогда сможем рассматривать нё только ветви, но и сами эти функции как аналитические.

Теория элементарных функций комплексного переменного была в основном создана Леонардом Эйлером в его работах сороковых годов XVIII в. Следует отметить, что эти работы Эйлера намного опережали эпоху; например» его теория логарифма была признана лишь с большим трудом и далеко не сразу.

В п. 7 мы особо выделяем простую дробно-рациональную функцию w = -^-^z + y) ввиду ее важной роли в практических задачах (см. следующие две главы). Весьма успешное применение этой функции связано с работами Николая Егоровича Ж у- ковского (1847—1921), поэтому мы будем называть ее функцией Жуковского.

Функции w = zn и 加=了2, где п—-любое целое положительное число, уже определены в п. 1 для всех комплексных z. Первая из этих функций

w = zn (Г)

однозначна. Если в плоскостях z и w ввести полярные координаты, положив 2 = r(cos ＜р + i sin 屮)，5 = p(cos 8 + i sin 8), то соотношение (1) можно переписать в виде двух равенств:

р = ги, е =(2)

связывающих действительные величины.

Из (2) видно, что отображение, осуществляемое функцией w = zn, сводится к повороту каждого вектора г #= 0 на угол (п—l)argz и растяжению его в [zp"1 раз. Далее очевидно, что точки Zi н z2 c равными модулями и аргументами, отличающимися на целое кратное 2л/〃， и только такие точки, переходят при отображении (1) в одну точку. Следовательно, для однолистности отображения w = zn ъ некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никаких двух точек 21 и- 22, связанных соотношениями

I Zj ) = 1 z2); argZ! = arg z2 Ч-—— целое). (3)

Этому условию удовлетворяют, например, секторы

a警＜学＜(々+1)辱 (fe = o, 1, 2, ...),(4)

каждый из которых при отображении w = zn преобразуется в плоскость w с исключенной положительной полуосью. При

Рис. 9.

этом все лучи с вершиной в точке 2 = 0 переходят в лучи с вершиной 侬 =0 (лишь повернутые на некоторый угол), а все дуги окружностей с центром z = 0 — в дуги окружностей с центром ну = 0 (только, вообще говоря, другого радиуса). На рис. 9, а изображен прообраз в одном таком секторе плоскости г сетки полярных координат плоскости w.

Из формулы

⑸⑸w = u-\- iv =rn (cos гкр + i sin rtq))f

⑸

⑸

равносильной (1), следует, что прямым 〃 = 〃о н и = и。в плоскости z соответствуют кривые с полярными уравнениями

Они изображены на рис. 9, б (первые — пунктиром, вторые — сплошными линиями); при п = 2 это — обычные гиперболы.

Наконец, отметим, что функция w = zn аналитична во всей .плоскости, ибо для любого z существует

lim= иm 廿一%w 修(二•上=做еt.⑹

go Лл->оА' '

Функция

w = Vz,(7)

обратная к функции z = 5П, п-значна при z 0. Как вытекает из п. 2, значение корня ^z определяется значением аргумента, выбранным для точки г. Обозначим через argzo одно из значений аргумента в точке Zo * 0 и предположим, что точка z описывает, начиная с з0, некоторую непрерывную линию С, не проходящую через начало координат. Через arg2 мы будем обозначать такое значение аргумента, которое изменяется при этом непрерывно, начиная со значения arg20 *). В силу непрерывности argz и \z\ значение w = Yzt которое вполне определяется сделанным выбором аргумента, также будет изменяться непрерывно.

Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку z = 0. Тогда при полном обходе С точкой z точка п _я _

w~ Уzt где Уz — выбранное нами значение корня, описывает некоторую замкнутую кривую Т, возвращаясь к своему первоначальному положению, ибо при этом argz возвращается к начальному значению arg20. Значения корня, определяемые другим выбором начального значения argzo (отличающимся от прежнего на целое кратное 2л) при полном обходе С, очевидно, также описывают замкнутые кривые Г^, отличающиеся от кри-

вой Г лишь поворотом на угол 2々冗/及，/г ^= 1, 2, ...» п—1 (рис. 10, сплошные линии).

Пусть теперь С — замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая точку 2 = 0 внутри себя, и 2。一 некоторая точка кривой С. Тогда при полном обходе С, начиная от^го в положительном направлении, соответствующая точка 5 = К?.

(значение корня определяется так же, как и выше) не возвращается в свое первоначальное положение, а занимает новое положение 叫)，где 叫)=(cos ^ 十 i sin*^)叫一значение j/z。， отличное от g. Это объясняется тем, что arg2 при обходе кривой С получает приращение 2л. К своему начальному положению точка w = Yz возвращается лишь при п-кратном обходе кривой С (см. рис. 10, пунктирная линия; здесь 及=3).

Отсюда следует, что в любой области Ь, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку 2=0, можно выделить п непрерывных и однозначных функций, принимающих каждая одно из значений Nz、Эти 及 функций называются ветвями многозначной функции w = Уz\ их значения в каж* дой фиксированной точке отличаются друг от друга множи* телем coshzsin—Каждая такая ветвь будет, очевидно, осуществлять однолистное отображение области D, поэтому в каждой точке этой области применима теорема о производной обратной функции (п, 5), согласно которой существует вполне

.определенное значение производной

=丄=丄匹

' У 2 丿—(WnY — П Z 3

П _

или, если условиться писать ]/z =z1^,

⑻⑻[2%=上2".

⑻

⑻

Таким образом, любая из построенных ветвей является в области D аналитической функцией.

В области D рассматриваемого типа и бесконечнозначная функция Argz распадается на бесчисленное множество непрерывных и однозначных ветвей. Каждую такую ветвь мы будем обозначать символом argz и всякий раз указывать, как эта ветвь выделяется.

Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую кривую, обходящую точку 2 = 0, то в такой области ветви функции ]Лг нельзя отделить друг от друга. Именно, если в окрестности некоторой точки 2 二 0 из D мы и выделим какую-либо ветвь (для достаточно малой окрестности точки 20 это возможно), то, двигаясь по кривой, обходящей 2 = 0, мы придем к другой ветви. Следовательно, в такой области D мы не можем подобно предыдущему случаю рассматривать функцию Уz как совокупность отдельных (однозначных) аналитических функций. Точка 2 = 0, в любой окрестности которой нельзя отделить и отдельных ветвей функции ]/z [веТвн Yz как бы соединяются в этой точке), называется точкой ветвления этой функции.

В качестве примера области D первого типа можно рассматривать плоскость 2 с вырезанной линией L, идущей от точки 2 = 0 в бесконечность. Если L совпадает с положительной полуосью, то ветви функции w — Уz отображают область D на секторы

k-^-< argw <(k + i)^-.

Эти отображения обратны к рассмотренному выше отображению с помощью функции w = 2n.

Область D заведомо является областью второго типа, если она содержит точку 2 = 0 внутри себя.

(1)(1)Функция Жуковского 电= }(?+；) определена и однозначна для всех z =# 0; она, очевидно, аналитична для тех же 2. Найдем область однолистности отображения

(1)

(1)

Для этого предположим, что 2【и 之2 переходят в одну точку w; тогда имеем 21H=&Н，откуда ⑵—&) 1=0

и, следовательно,

2[=22 ИЛИ 2^2 = 1.2[=22 ИЛИ 2^2 = 1.⑵⑵

2[=22 ИЛИ 2^2 = 1.

2[=22 ИЛИ 2^2 = 1.

⑵

⑵

Таким образом, для однолистности отображения (1) в какой-либо области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никаких двух точек 2【и z2j связанных соотношением 21 @ — L，

Этому условию удовлетворяет, например, внутренность единичного круга |z| 之 1 или его внешность |z|>L Для того чтобы изучить картину отображения (1), положим 2 = =r(cos ф + / sin ф) , w = и -{- tv и отделим действительные и мнимые части. Тогда отображение (1) перепишется в виде

(3)(3)а = 4"(‘+4")c°s$， « =~7)sin(P>

(3)

(3)

и мы видим, что каждая окружность |z| = r。V 1 преобразуется с его помощью в кривую

⑷⑷江=■^卜о + ~-j ^os qp, v = —~ [~尸。)sin 9,

⑷

⑷

т. e. в эллипс с полуосями 。= ~^(厂。+；)， 6 = v(7 厂о)， проходимый в отрицательном направлении ). При г0 —* 1 этот эллипс сжимается в отрезок [——1, 1] оси и, при г0 ->0 уходит в бесконечность. Следовательно, функция (1) отображает внутренность круга 121Vl на внешность отрезка (—1, +1] (рис. 11). Все внутренние точки этого отрезка — двойные (п. 3), и его можно считать как бы состоящим из двух берегов: функция (1) преобразует верхнюю полуокружность |z| == 1 в нижний берег, а нижнюю — в верхний.

Отметим еще, что радиусы arg z =(p0, 0 < г < 1 переходят при отображении (1) в ветви гипербол

cos2(р0 sin2(р0cos2(р0 sin2(р0=1=1(5)(5)

cos2(р0 sin2(р0

cos2(р0 sin2(р0

=1

=1

(5)

(5)

(рис. И). Фокусы этих гипербол, так же как и эллипсов (4), расположены в концах отрезка [—1, +1].

Рис. 11.Рис. 11.

Рис. 11.

Рис. 11.

Из соотношений (3) вытекает также, что окружности ]z| = =го > 1 преобразуются в эллипсы с полуосями <? = у (го + 6=^(尸°——^-^. Эти эллипсы совпадают с теми, в которые преобразуются окружности \z\ = г^< 1, только обходятся они в положительном направлении. Следовательно, функция (1) отображает и внешность круга \z\ > 1 также на внешность отрезка [—1, +1] оси 〃, причем верхняя полуокружность переходит в верхний берег отрезка, а нижняя — в нижний.

Обратная к (1) функция

г = ш + У^ш2 — 1(6)

двузначна — каждой точке w она относит две точки Z\ и 乞2, связанные условием 乞1乞2 = 1 (см. формулу (2)). Эта двузначность обусловлена наличием в формуле (6) квадратного корня. Если положить 乞]=侬十”©2—], то другим значением г, соответствующим w, будет z2 = w — Уw2 — \ и непосредственно ВИДНО, ЧТО 21^2 = 1.

Обозначим через pi, & и, соответственно, р2, 02 модули и аргументы комплексных чисел w — 1 и ⑵十！ (рис. 12). Тогда модуль и аргумент корня в формуле (6) будут соответственно равны УР1Р2И (01 + 02)/2 (см. правило извлечения корня, п. 2). Отсюда следует, что при обходе точкой w замкнутой линии типа / или II (рис. 12), охватывающей лишь одну из точек +1 и —1, значение корня меняется на противоположное по знаку. В самом деле, при таком обходе 01 (или 02) меняется на 2л, а 02 (или 01) не изменяется; следовательно, аргумент корня меняется на л, модуль же корня при обходе любого замкнутого контура возвращается к начальному значению.

Д, в которой нельзя про-Д, в которой нельзя про-Если теперь точка w обходит замкнутую линию типа III (рис. 12), охватывающую обе точки 土 1, то значение корня не изменяется, ибо при этом и & и 02 изменяются на 2л и, следовательно, аргумент корня (01 + 0г)/2 также изменяется на 2n. Значение корня не изменяется и в том случае, когда w обходит замкнутую линию типа /М (рис. 12), не содержащую внутри себя ни одной из точек ±1, ибо при этом ни 01, ни 02 не изме-

Д, в которой нельзя про-

Д, в которой нельзя про-

няются.

Таким образом, в любой области

вести замкнутую линию, обходящую лишь одну из точек +1 или —1, функция (6) допускает выделение двух однозначных ветвей. Эти ветви в каждой фиксированной точке w отличаются знаком корня в формуле (6) и приводят к двум значениям z, связанным условием 之工？ = L Каждая из этих ветвей осуществляет однолистное отображение и по теореме о производной обратной функции аналитична.

Если же в области А можно обойти точку +1 (не обходя при этом —1) или —1 (не обходя +1), например, если А содержит внутри хотя бы одну из этих точек, то в такой области ветви функции (6) нельзя отделить друг от друга. Точки w = = 土1, в которых обе ветви функции (6) как бы соединяются между собой, называются точками ветвления этой функции.

В качестве примера области А первого типа можно рассматривать плоскость w с вырезанной линией Л, соединяющей точки —1 и +L Если Л есть отрезок [—1, 1] действительной оси, то две ветви функции (6) отображают А, соответственно, на внутренность и внешность единичного круга. Эти отображения обратны к рассмотренным выше (рис. 11).

Показательная функция и логарифм. Показательную функцию е? мы определим ) для любого комплексного z = —х + ^ соотношением

w = ez — ex+iy = ех (cos г/ + ^ sin у).(1)

Покажем, что: 1) для действительных z = % наше определение совпадает с обычным; 2) определенная нами функция всюду аналитична; 3) сохраняется обычная формула дифференцирования

(ezY = ег;⑵

сохраняется основное свойство показательной функции (теорема сложения)'.

夕"2 = gZl + A(3)

Первое свойство следует непосредственно из формулы (1), если положить в ней у — 0, второе ——из теоремы п. 5, ибо в любой точке плоскости справедливы условия Коши — Римана

-^(e*cosy) = "^(e*siny);]-^(e*cosy) = "^(e*siny);]

-^(e*cosy) = "^(e*siny);]

-^(e*cosy) = "^(e*siny);]

|Zn| = |l+^+ j|Zn| = |l+^+ j丄 n丄 nи arg гп = n arctg 】g“团; отбрасывая в первом выражении малую высшегои arg гп = n arctg 】g“团; отбрасывая в первом выражении малую высшегопорядка (х2 + у2) /п2 в у!птангенсом-—~, мы1 + %/几порядка (х2 + у2) /п2 в у!птангенсом-—~, мы1 + %/几основании степени и заменяя во втором малый угол еговидим> что существуют Пт ] гп ] = Ит I 1 + — =ехП48n今8\几/основании степени и заменяя во втором малый угол еговидим> что существуют Пт ] гп ] = Ит I 1 + — =ехП48n今8\几/и Нт arg гп = lim у-г-~— = z/. Но из существования этих пределов сле- дует существование предела (*), причем мы получаем, что | 屋丨=е* и arg е" = у; это совпадает с формулой (1).

|Zn| = |l+^+ j

|Zn| = |l+^+ j

丄 n

丄 n

и arg гп = n arctg 】g“团; отбрасывая в первом выражении малую высшего

и arg гп = n arctg 】g“团; отбрасывая в первом выражении малую высшего

порядка (х2 + у2) /п2 в у!п

тангенсом-—~, мы

1 + %/几

порядка (х2 + у2) /п2 в у!п

тангенсом-—~, мы

1 + %/几

основании степени и заменяя во втором малый угол еговидим> что существуют Пт ] гп ] = Ит I 1 + — =ех

П48n今8\几/

основании степени и заменяя во втором малый угол еговидим> что существуют Пт ] гп ] = Ит I 1 + — =ех

П48n今8\几/

Для доказательства свойства 3), используя независимость производной от направления, вычислим е? по направлению оси х. Имеем:

(ezY = -^ е (cos y + isiny) = ех (cos g + i sin у) = ег, что и дает формулу (2).

Наконец, для доказательства свойства 4) положим / = =%1 + %ь ?2 = %2 + %2； тогда

ez^ = е招(cos у】+ i sin у) еХ2 (cos 火 + i sin 城)=

=e修+七"os (/л +//2)+ 'sin% + %)}=加+％

что и требуется (мы использовали, кроме определения (1), правило перемножения комплексных чисел и известные формулы тригонометрии).

Отметим, что показательная функция ни для какого комплексного 2 = % + 刃 не обращается в нуль. В самом деле, |冴| = =с算 > 0.

Полагая, в частности, в соотношении (1) х = 0, у = 中，получим классическую формулу Эйлера *)

级屮=cos ср + / sin tp.(4)

С помощью формулы Эйлера любое комплексное число г с модулем г и аргументом 屮 можно записать в следующей показательной форме:

2 = г (cos ф + / sin ф) = гс»、(5)

Наряду со свойствами 1)—4), которые справедливы и в действительной и в комплексной областях, показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она оказывается периодической с чисто мнимым основным периодом 2ш. В самом деле, для любого целого числа 々 имеем:

/+2冗尼f = 济e2冗尼Ё = ?、(6)

ибо по формуле Эйлера е?兀^ = 1.

С другой стороны, если ег^ = ег\ и 21 =修 + »^卜 乞2 = %2 4- 十％2, то из определения (1) мы имеем ?修=?修，cosу〔 = cosy2f sin y\ = sin y2, откуда следует, что 冷=修，史=勿 + 2々冗，или

г2 ——？i = 2йш,(7)

где 々一целое число.

Ввиду свойства периодичности изучение функции ег на всей плоскости сводится к изучению ее в полосе 0《у < 2л. Из только что проведенного анализа видно, что отображение (1) однолистно в этой полосе: из равенства eZl = ez^ следует соотношение (7), а полоса не содержит ни одной пары точек, связанных этим соотношением.

Введем в плоскости w полярные координаты, положив w = =ре叱 тогда (1) запишется в виде двух равенств

⑻⑻Р = * 8 = У

⑻

⑻

Следовательно, отображение (1) преобразует прямые у=уо в лучи 8 = у。， а отрезки % = %(), 0 & у 之 2冗一в окружности р=е*。. Полоса О V у V 2л преобразуется при этом в плоскость w с разрезом вдоль положительной полуоси, половина этой полосы О V у V 冗一в верхнюю полуплоскость. Вообще полосы О С Im г С Л показательная функция преобразует в углы О V arg5 V 无(рис. 13).

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа г, если ew = г; обозначение:

⑼⑼w = In 2.

⑼

⑼

Из определения вытекает основное свойство логарифмов: если W] = In 21 и W2 = 1пг2, то In 21 + In 22 является логарифмом числа 2 = 2122：

In ?1 + 1пг2 = In (之1马)・ (10)

В самом деле, имеем zx = ew\ z2 = eW2； следовательно.

В частности, полагая в (10) 2】=卜之|,之2 = ^，“「仪气 получим: Inz = ln| z I + /argz. (11)

В формуле (11) символ argz может обозначать любое значение аргумента z; поэтому каждое комплексное число z =# 0 имеет бесчисленное множество логарифмов. Иными словами, логарифм есть бесконечнозначная функция: ее действительная часть определяется однозначно, а мнимая ——с точностью до слагаемого, кратного 2л ). Для четкости мы будем обозначать эту многозначную функцию специальным символом Ln z, так что

Ln z = 1口| z I + % Arg z = In г + z (ф + 2々冗). (12)

Символом In z мы будем обозначать одно из значений Lnz, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение выбирается, так что во всех предыдущих формулах, содержащих символ In, не требуется изменения обозначения.

Рассмотрим подробнее вопрос о выборе значений Lnz Как и для рассмотренных выше многозначных функций, значение Lnz определяется значением аргумента, которое приписано точке z. Предположим, что точка z, начиная от положения 备 #= 0, описывает некоторую кривую С, не проходящую через начало координат. Как и выше, через argz мы обозначим однозначную и непрерывную вдоль С ветвь функции Argz, опре* деляемую каким-либо фиксированным начальным значением argzo* Через In z будем обозначать значение Ln z, определяемое равенством (11) при выбранном значении argz; очевидно, функция In z будет однозначной и непрерывной вдоль С.

Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку 2 = 0. Когда z описывает С, точка w = Inz пробегает некоторую замкнутую кривую Г; другие значения логарифма, определяемые другим начальным значением argz0, опишут кривые Г\, отличающиеся от Г лишь сдвигом на вектор 2Лш,左=土1, 土2, ..., (рис. 14, сплошные линии). Если теперь С — замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая 2 = 0 внутри себя, то при полном обходе ее точкой z в положительном направлении точка w — Inz не вернется к своему первоначальному положению, а займет новое положение ауО) —^оц_2ш (рис. 14, пунктирные линии).

Отсюда следует, что в любой области D, которая не содержит замкнутых кривых, обходящих точку 2 = 0, можно выделить бесчисленное множество непрерывных и однозначных ветвей многозначной функции w = Lnz, значения которых в

каждой фиксированной точке отличаются друг от друга слагаемыми 2月冗厶 Каждая такая ветвь In г будет осуществлять взаимно однозначное отображение области D и, следовательно, по теореме о производной обратной функции будет обладать производной

(Inz)，="^^=击=；. (13)

(Заметим, что производная одна и та же для всех ветвей.) Таким образом, все такие ветви Ln г будут аналитическими функциями.

Рис. 14.

Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую кривую, охватывающую точку г = 0 (например, если она содержит эту точку внутри себя), то в такой области ветви функции Ln г нельзя отделить друг от друга. Точка z = 0, в которой как бы соединяются все ветви Ln г, называется точкой ветвления этой функции.

Тригонометрические и гиперболические функции в комплексной области просто выражаются через показательную функцию. Для действительного переменного 尤 формула Эйлера (4) п. 8 дает:

eix = cos 尤 + t sin x, e~ix = cosx — i sin x, откуда

sin x =2/； COSX =2'

Учитывая это, примем п о определению и для любого комплексного г

Лг _ -izh I -iz

Sin 2 = ^2/— ； COS Z =——•(1)

Так определенные функции: 1) для действительных z = х совпадают соответственно с обычными синусом и косинусом; 2) всюду аналитичны; 3) подчиняются обычным формулам дифференцирования:

(sin 2)，= cos z, (cos 2)' = — sin 2；

периодичны с действительным периодом 2л; 5) sin z — нечетная функция, cos z — четная; 6) подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:"

sin2z + cos2 г = 1, sin 2z = 2 sin z cos г и т. n.

Все эти утверждения вытекают из определения (1); читатель может убедиться в этом, проведя соответствующие вычисления.*

Изучим отображение, осуществляемое первой из этих функций. Полагая

г г = 4， ег' = &, г3 =—，透= Л-,(2)

получим:

w = Yz3+g)=sjnz.(3)

Мы видим, что наше отображение можно рассматривать как суперпозицию уже изученных отображений. Найдем прежде всего условия его однолистности. Пусть область D при отображениях (2) переходит последовательно в Qi, D2 и 力з・ Первое п третье из отображений (2) однолистны всюду; для однолистности второго необходимо й достатаяно, чтобы D\ не содержала ни одной пары точек 2； и zf, для которых

‘— 2, = 2 左U

где 左*0 — целое число (см, условие (7) предыдущего пункта). Для однолистности отображения (3) необходимо и достаточно, чтобы Оз не содержала ни одной пары точек z； и zj, для которых

(см. условие (2) п. 7). Переходя с помощью формул (2) к плоскости 2, получим, что для однолистности отображения ш = =sin 2 в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала ни одной пары точек z', z", для которых, с одной стороны,

2х —= 2左冗 (左 * 0 — целое),(4)

и, с другой, e"N'+z〃)= 一 i, или

2/ + z" = (2 左 + 1)冗(k — целое).(5)

Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса ——冗 V < х < л, у > 0. Последовательные этапы ее отображения изображены на рис. 15. Семейства лучей х — х0 и отрезков у = у。 переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов; вдвое более узкая полоса — ^ V % V 今 у >0 преобразуется в верхнюю полуплоскость.

Мы видим, что sin z в комплексной области неограничен^ например, на лучах х — ± у, у>0 он принимает действительные значения, по модулю большие единицы и, вообще, сколь угодно большие.

Отметим еще, что в (замкнутой) полуполосе ——冗《％《冗， У^О функция sinz принимает значение 0 лишь в точках z=6 н z = 土冗；учитывая нечетность и периодичность этой функции, отсюда можно заключить, что она обращается в 0 лишь на действительной оси в точках

z — kn (й = 0, ±1, ±2,...).

Для полноты мы приводим на рис. 16 поверхность модуля, или《рельеф» функции sin z, т. е. поверхность в пространстве (х, у, и) с уравнением u = | sin z|; это — поверхность периодическая с действительным периодом л. На ней нанесены две системы линий — это линии уровня |sinz| и argsinz. Сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через ось х>

дает график |sinx|). По мере удаления от этой оси поверхность сглаживается, а апликаты ее точек быстро возрастают — по форме поверхность приближается к цилиндру 〃 =万統川.

в силу соотно-в силу соотно-Отображение, реализуемое функцией cos z, шения'

в силу соотно-

в силу соотно-

COS 2 = sin(2 +^

Функции tg Z Н Ctg ZФункции tg Z Н Ctg Zопределяются формуламиопределяются формулами

Функции tg Z Н Ctg Z

Функции tg Z Н Ctg Z

определяются формулами

определяются формулами

丄sin ztgz = ^丄sin ztgz = ^⑹⑹.eiz — e~lz . cos г 产十

丄sin z

tgz = ^

丄sin z

tgz = ^

⑹

⑹

4声+产;dgz亍麻Т = 4产_ e-iz

Функция tgz аналитична всюду, кроме точек, где cos г обращается в 0, т. е., как видно из предыдущего исследования,

всюду, кроме точек zA = у + ^л (々 = 0, ±1, ±2, . . .); при приближении к этим точкам tgz неограниченно возрастает. То же можно сказать о функции ctgz и точках 之女= 々冗(々= 0, 土 1, ±2,…).

Из формул (6) следует, что эти функции периодические с периодом л. В самом деле, например,

J (z+n) _ -i (z+л)_ /2 I p—iz

tg(Z + n) = — , Rf T5 = - 1 _eiz_e-iz =tg 2.

Отображение, осуществляемое функцией 3 = tgz, мы. рассмотрим ниже, в п. 33. Здесь мы приведем лишь рельеф тангенса, т. е. поверхность u = |tgz| (рис. 17); это — поверхность

Рис. 17.

периодическая с действительным периодом 冗/2. Она имеет ярко выраженные пики над точками %=£ +々冗(々 = 0, ±1» ±2,.…)； ее сечение вертикальной плоскостью, проходящей через ось х, дает график |tgx|). По мере удаления от этой оси поверхность становится все более плоской и приближается

к плоскости 〃=1. На поверхности нанесены линии уровня |tgz| и argtgz.

Гиперболические функции в комплексной области определяются равенствами

ииthzthzsh гsh гег — е~"г2-ег — е~"г2-сЬг =сЬг =ег + е~ег + е~⑺⑺sh г — е” 一 e~z ch г е? + e~zsh г — е” 一 e~z ch г е? + e~zAL ch 2cth г =sh 2AL ch 2cth г =sh 2驚+ L驚+ L⑻⑻

и

и

thz

thz

sh г

sh г

ег — е~"г

2-

ег — е~"г

2-

сЬг =

сЬг =

ег + е~

ег + е~

⑺

⑺

sh г — е” 一 e~z ch г е? + e~z

sh г — е” 一 e~z ch г е? + e~z

AL ch 2cth г =

sh 2

AL ch 2cth г =

sh 2

驚+ L

驚+ L

⑻

⑻

Они весьма функцииОни весьма функциипросто выражаются через тригонометрические

Они весьма функции

Они весьма функции

О)О)sh г = — i sin，之, сЬг = cos /г,th г = — Z tg /г, cth г = i ctg /г

О)

О)

отличаются. На рис. 16 и 17отличаются. На рис. 16 и 17и поэтому несущественно от них

отличаются. На рис. 16 и 17

отличаются. На рис. 16 и 17

указаны сечения поверхностей модуля для sin г и tg2, дающие графики гиперболических функций.

Тригонометрические и гиперболические функции выражаются, как мы видели, через показательную функцию, поэтому обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции можно выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = arccos г. По определению имеем:

г = cos w =2

откуда e2iw ——2zeiw -|- 1 = 0, решая квадратное (относительно ejw) уравнение, находим eiw = г + У^г2——1 и

w = arccos г = — Z In (г + У г2 — Г)

(знаки 士 в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию). В силу соотношения (г + у^г2 — 1)(г ~Уz2 ——1) = 1 изменение знака перед корнем сводится к изменению знака перед логарифмом, поэтому знак «——》 в последней формуле можно не писать:

w = arccos г= /1п(г + У~ 1) (10)

(по нашему условию корень все равно имеет два знака).

Аналогичные формулы можно дать и для других функций: arcsinz = у — arccos z = у — г In (z + ]/z2 — 1), arctg 2 = ^ - arcctg 2 =ln-^|-,⑴)

arsh z = In (z + ]/z2 + 1), arch z = ln(z + ]/z2 — 1), arth z = 4-ln * , arcth z =善 In 产 + \ .

21—222 — 1

Все эти функции многозначны, ибо In в правой части формул (10) и (11) может обозначать любое значение логарифма. Способы выделения их однозначных ветвей аналогичны рассмотренным выше; все такие ветви будут аналитическими функциями.

10. Общая степенная функция w = га, где а = а + 刃一 произвольное комплексное число, определяется соотношением

2а = еа Ln (1)

Полагая здесь z = re^Q получим Ln z = In г + f((p + 2 々冗)и, следовательно,

(2)(2)Z<z — get In г—В (ф+2М)е^ [о<屮+2总л}+0 In г]

(2)

(2)

где 々一произвольное целое число. Отсюда видно, что при р=#0 функция 2° рсегда имеет бесконечно много значений, лежащих (при фиксированных гид) на окружностях \w\ = pk с радиусами

в обе стороны про- этих значенийв обе стороны про- этих значенийрА = еа1пг-₽Фе-2йлр (^ = 0, ±1, ±2, . . .), (3)

в обе стороны про- этих значений

в обе стороны про- этих значений

образующими геометрическую бесконечную грессию со знаменателем 产嘅.Аргументы

В总=а(р 十 § In г 十 2^лаВ总=а(р 十 § In г 十 2^ла⑷⑷

В总=а(р 十 § In г 十 2^ла

В总=а(р 十 § In г 十 2^ла

⑷

⑷

образуют также бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию с разностью 2ла.

При р = 0, т. е. при действительных а, значения za располагаются на окружности \w\ = eainr = га, а их аргументы суть

(5)(5)0А = aqp + 2kna.

(5)

(5)

Если а = plq — рациональное число (мы считаем дробь p[q несократимой), то все значения В九 будут отличаться от q из этих значений (например, 0О, &, ..., Bq_i) на целое кратное 2л. Сле-

довательно, в этом случае функция w = za конечнозначна и совпадает с функцией Угр:

ZP【q=VzP.(6)

Если же а — иррациональное действительное число, то среди значений 8左 в формуле (5) нет отличающихся на целое кратное 2л и, следовательно, функция za = eaLnz бесконечнозначна.

Многозначность общей степенной функции, как и тех элементарных функций, которые мы рассматривали выше, обусловлена многозначностью аргумента. Способы выделения ее однозначных ветвей прежние; точкой ветвления служит 2 = 0.

Наряду с общей степенной функцией (1) можно рассматривать общую показательную функцию

qZ ^ qZ Ln а ^ ^z In I а J , ^zr Arg а.(7)

В отличие от функции (1) функция (7) представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функций, отличающихся множителями е2к^г^ где А — целое ЧИСЛО.-—

§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного

Здесь мы рассмотрим понятие интеграла от функций комплексного переменного и важнейшие свойства аналитических функций, связанные с понятием интеграла или опирающиеся на него. В частности, будет, например, установлена равносильность понятий об аналитической функции, как о функции, дифференцируемой в каждой точке области определения, и как о функции, интеграл от которой не зависит от пути (см. теорему 1 п. 12 и теорему 3 п. 17). Это дает новую концепцию в построении теории аналитических функций. Приложения понятия интеграла и теорем, на нем основанных, мы рассмотрим в следующих гуувах.

V11. Интеграл от функции комплексного переменного. Пусть задана некоторая ориентированная кривая С и на ней — функция комплексного переменного f(г). По определению интегралом от f ⑶ вдоль С называют

limlim£ f (嶽)(2左 + 1 — z" = J f (z) dz, 々=0c

lim

lim

где a。= a,之1,…，之冗+1 =匕一последовательные точки, разбивающие С на " участков, через а и 匕 обозначены концы С,白左一 произвольная точка, лежащая на участке [之左，之左+i] кривой С, и предел берется в предположении, что max|zft+i — г^|--*0.

Если С — кусочно-гладкая кривая, a f (%) — кусочно-непрерывная^ ограниченная функция, то интеграл (1) всегда существует. Доказательство сводится к известной из анализа теореме существования криволинейного интеграла от функций действительного переменного). В самом деле, положив

f (z) = u(x, у) +iv(x, у),

2巾=/ + tуh，尤巾十1 一 4 = A/，У k+i 一 У h = a%，⑵

湿=己巾 +，取，〃(自& %)=以，u(^, %) = /,

получим:

1

2 f⑵十1 — %)=

尼=0

n—1〃一1

=X {〃巾 А/ — / Ay&} + i N {uk Ay巾 + % A/}. (3) 女=0尼=0

Суммы в правой части формулы (3) являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов.. В наших условиях эти интегралы существуют и, следовательно,, существует

^ f (z) dz = ^ udx — V dy -\- i J udy -\-v dx. 依) ccc

С помощью формулы (4) вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению действительных интегралов.

Применяя введенные определения, легко видеть, что производная и интеграл от комплексной функции действительного переменного 酬(/)=屮(％) +匕屮«) представляются следующими линейными комбинациями:

”(/) = и«)+ *'«),(5)

ввв

J W (/)成=J ф (/) Л + I J 1|) (/)成.(6)

ааа

Пусть z = %(/) = %(/) + iy(t) дает параметрическое представление кривой С, причем %(а) = @, %(В) = Е; тогда, пользуясь формулой (4), мы сведем вычисление интеграла от f(z) вдоль С к вычислению интеграла от комплексной функции действительного переменного:

jNz)dz=jHz(/)]z'(/)d/.(7)

Са、

Из формулы (4) вытекает также, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов:

f(z)dz=^f (z) dz + j f ⑶ dz,f(z)dz=^f (z) dz + j f ⑶ dz,& +e2Ci& +e2Ci

f(z)dz=^f (z) dz + j f ⑶ dz,

f(z)dz=^f (z) dz + j f ⑶ dz,

& +e2Ci

& +e2Ci

(а и b — комплексные постоянные, через Сх -]- С2 обозначена кривая, состоящая из & и С2; через С- — кривая, совпадающая с С, но проходимая в противоположном направлении).

Докажем еще одно свойство интеграла:

Пусть М = шахЦ(г) | на кривой С и / — длина С, тогда

(И)(И)j f (г) dz ^ ^\f(z)\\dz\^Ml.

(И)

(И)

Доказательство вытекает непосредственно из определения интеграла. В самом деле, имеем:

где 汇 I 八之少 I ——длина ломаной 之。勺...гп, вписанной в кри

вую С, и в пределе при шах| Агй |->0 получаем (11).

Теорема Коши. В общем случае f (г) dz зависит как

от подынтегральной функции ，(之)，так и от кривой С. Однако, если функция f(之)аналитична в некоторой односвязной области, содержащей кривую С, то интеграл полностью определяется положением концов С и не зависит от вида этой линии. Иными словами, имеет место *

Теорема 1 (О. Коши, 1825 г.). Если функция f(z) аналитична 8 односвязной области Q, то для всех кривых С, лежащих 8 этой области и имеющих общие концы, интеграл f (之)dz

имеет одно и то %е значение.

Мы докажем эту теорему в дополнительном предложении) непрерывности производной 『(а) (в определении аналитичности п. 5 требуется лишь существование этой производной).

Пусть, как всегда, f(w) = 〃(％, у) + »и(х, у); в силу соотношения

udx — V dy i J udz/ + v dx (1)

(см. формулу сти интеграламости рт пути(см. формулу сти интеграламости рт пути(4) предыдущего пункта) вопрос о независимсг-

(см. формулу сти интеграла

мости рт пути

(см. формулу сти интеграла

мости рт пути

J f (z) dz от пути сводится к вопросу о независи- с криволинейных интегралов

J udx — V dy, j〃dy + odx.(2)

сс

Но, как известно из анализа ), в односвязной области для независимости от пути криволинейного интеграла J Pd^ + Qdy, где Р и Q — функции, обладающие непрерывными частными производными, необходимо и достаточно, чтобы выражение, стоящее под знаком этого интеграла было полным дифференциалом, т. е. чтобы в каждой точке области D имело место со- дР dQ отношение = ду дх

Для интегралов (2) эти соотношения имеют вид

ди dv . dv 0〃小

непрерывность же частных производных вытекает из предположения о непрерывности /'(а). Уравнения (3) совпадают с условиями Коши ——Римана и удовлетворяются, так как f(г) аналитическая функция. Теорема доказана.

В силу этой теоремы для функций, аналитических в одно-

связных областях, вместосвязных областях, вместоJ f (z) dzJ f (z) dzмы можем писатьмы можем писатьJ f© 党,J f© 党,Сz0где через 20 H 2 обозначены концы кривой С.Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчисления. Прежде всего имеет местоСz0где через 20 H 2 обозначены концы кривой С.Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчисления. Прежде всего имеет место

связных областях, вместо

связных областях, вместо

J f (z) dz

J f (z) dz

мы можем писать

мы можем писать

J f© 党,

J f© 党,

Сz0

где через 20 H 2 обозначены концы кривой С.

Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчисления. Прежде всего имеет место

Сz0

где через 20 H 2 обозначены концы кривой С.

Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчисления. Прежде всего имеет место

Теорема 2. Если функция f(z) аналитична s односвязной области D, то интеграл

^(Qd^F^z),⑷

рассматриваемый s зависимости от своего верхнего предела, также является аналитической s D функцией^ причем

В самом деле, по определению производной и свойствам интеграла (9) и (10) из предыдущего пункта имеем:

/Z+拉2)

?⑶=吧尸3 + 2:"⑶=黑3 J f@臂-]@黑=

=limy f f@ 给⑹

В силу непрерывности ) f(z) в точке z можно написать: f(0 = f(z) + n(9,

где п(С)~*° при ^—>2； подставляя это в (6), получим:

г+Лz+拉

尸⑶=f ⑶對+n(z)*.(7)

拉->0 " J拉->0 " J

Так как f(z) — постоянная величина при интегрировании по & то г+Лz+拉

J f ⑶dg = f(z)J d^ = f(z) - Л,

z+拉

ибо из определения непосредственно следует, что J d^ = h.

Далее, из неравенства (11) предыдущего пункта имеем: z+拉

J П© 典 &тах|п(91・|/И '

(путь интегрирования от точки 2 до 2 4- /г по теореме 1 можно считать прямолинейным, поэтому его длина равна |九|). Таким образом, в (7) первый предел равен f(z), а второй ——нулю, т. е. 尸(2)=f(z), что и требовалось доказать.

Функция, производная которой равна заданной функции f(z). называется первообразной этой функции. Доказанная теорема утверждает, что интеграл от f(z), рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из первообразных функции f(z).

Теорема 3. Любые две первообразные одной 〃 той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянное слагаемое.

Пусть 尸О и 尸2 ⑶一эти первообразные и

①3)=尸1⑵一尸2⑵=" (%，y) +切(居力

Для доказательства теоремы достаточно показать, что функция Ф(2)постоянна.

По формуле для производной (см. (13) п. 5) имеем:

小、 ди . .. ди «

①/⑶=不——卜,I ~0,

v 7 dx ' dx dy dy

ибо по нашему условию ФЛ (z) = Fi (^) — F4 (z) — f (2) — f (z) = 0. cdu dv n dvc

Отсюда следует, что0,苏=罚=0, следовательно,

и (х, у) и V (х, у) постоянны. Теорема доказана.

Следующая теорема позволяет вычислять интегралы с помощью первообразных.

Т е о р ем а 4. Если F(2)——произвольная первообразная аналитической функции f(2), то

Jf(S)dS = F(z) —尸⑵).(8)

В самом деле, по теореме 2 функция 尸](2)= j f (《)d《является одной из первообразных для f(z), функция 尸(а) по условию также первообразная, следовательно, по теореме 3

Jf(S)臂= F(z) + C,

где С ——некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве 2=г0, найдем: F(2o)4- С — 0, откуда С =—— 尸(zQ, что и дает искомую формулу (8).

Отметим еще, что теореме Коши, доказанной в начале этого пункта, можно придать следующую форму:

Теорема. Если функция f(z) аналитична в односвязной области Q, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в D, равен нулю:

(9)

Доказательство основывается на том, что замкнутый контур С можно разложить на два контура, & и。2, с общими началом и концом (рис. 18). По свойствам интегралов

J f(z) dz= jNz)dz+ J f (z)dz-= Jf(z)dz— J f (z) dz;

cicici

ci

ci

следовательно, равенство нулю интеграла вдоль С равносильно равенству между собой интегралов вдоль Ci и С2.

В заключение докажем одно полезное для дальнейшего

Коши (в последКоши (в последРис. 18.Рис. 18.обобщение теоремы Коши. Именно, в теореме

Коши (в послед

Коши (в послед

Рис. 18.

Рис. 18.

ней формулировке) речь идет об интеграле по контуру, целиком лежащему внутри области аналитичности функции, между тем как иногда приходится рассматривать интегралы вдоль кривых, на которых функция, оставаясь непрерывной, перестает быть аналитической. Оказывается, теорема Коши остается в силе и для этого случая:

Теорема 5. Если функция f(z) аналитична & односвязной области D и непрерывна

в замкнутой области D, то интеграл от f(z), взятый вдоль границы С этой области^ равен нулю-.

Мы предположим сначала, что С есть «звездный» контур, т. е. существует точка z0 такая, что любой луч с вершиной в этой точке пересекает С в одной и только одной точке. Без ограннчепия общности можно предполагать, что Zq = 0 (это достигается сдвигом плоскости z), тогда кривую С можно задать уравнением z = r((p)e'Q где г(ф)——однозначная функция. Через С% мы обозначим контур, определяемый уравнением 白=九之=九r((p)e'Q О V 九 V 1 (рис. 19). Так как。九 лежит внутри D, то по теореме Коши

(10)(10)f © 〃 = о・

(10)

(10)

Но когда точка 匕 описывает С福 точка z =女白 описывает С, поэтому равенство (10) можно переписать в виде'

J f (%z) d (%z) = % j f (%z) dz = 0

и, следовательно,и, следовательно,J f ⑵ dz = J {f(2)— f 仇2)} dz.J f ⑵ dz = J {f(2)— f 仇2)} dz.(11)(11)

и, следовательно,

и, следовательно,

J f ⑵ dz = J {f(2)— f 仇2)} dz.

J f ⑵ dz = J {f(2)— f 仇2)} dz.

(11)

(11)

Так как функция f(z) равномерно непрерывна в О (см. п. 5), то для любого & > 0 можно найти 8 > 0 так, что для любой пары точек z,工,удовлетворяющих неравенству |z—J| V 6, будет справедливо неравенство

If ⑵一f(OI V&If ⑵一f(OI V&(12)(12)Пусть ! — длина контура С н R = тах，((р); возьмемПусть ! — длина контура С н R = тах，((р); возьмемдля любой пары точек 2 и 匕=А? 《灾 I z 1《6, следовательно, будетдля любой пары точек 2 и 匕=А? 《灾 I z 1《6, следовательно, будет…一今…一今тогдатогдабудем иметь ]z —白] = (1— %)|z|《 выполняться (12) и из (11) получим:будем иметь ]z —白] = (1— %)|z|《 выполняться (12) и из (11) получим:f⑵dzf⑵dzV /е.V /е.

If ⑵一f(OI V&

If ⑵一f(OI V&

(12)

(12)

Пусть ! — длина контура С н R = тах，((р); возьмем

Пусть ! — длина контура С н R = тах，((р); возьмем

для любой пары точек 2 и 匕=А? 《灾 I z 1《6, следовательно, будет

для любой пары точек 2 и 匕=А? 《灾 I z 1《6, следовательно, будет

…一今

…一今

тогда

тогда

будем иметь ]z —白] = (1— %)|z|《 выполняться (12) и из (11) получим:

будем иметь ]z —白] = (1— %)|z|《 выполняться (12) и из (11) получим:

f⑵dz

f⑵dz

V /е.

V /е.

Так как здесь е сколь угодно мало и интеграл не зависит от е, то этот интеграл равен 0. Для звездных контуров теорема доказана.

Пусть теперь С — произвольная кусочно-гладкая кривая. Если С имеет точки возврата, то мы выбросим из области D круги малого радиуса е с центрами в этих точках, так, чтобы граница полученной области Ре уже не имела таких точек (рис. 20). Проводя внутри Р8 конечное число линий уА (А — .=I, 2, т), эту область можно, очевидно, разбить на части Dh, ограниченные звездными линиями Сл (/г = 1, 2, ..., п) ). По доказанному выше,

интеграл вдоль любой линии。月 равен нулю:

J f (z)dz = 0 (й = 0, 1, ..., /г).(13)

Предположим, что линии С^ проходятся в одном, например положительном, направлении, к сложим все уравнения (13). Так как у нас каждая линия 丫走 проходится дважды и притом в противоположных направлениях, то все интегралы вдоль уА взаимно сокращаются (см. (9) и (10) из п. 11). Остальные ■части границ 以 составляют границу Се области De и, следовательно, интеграл вдоль этой границы равен нулю: J f (z) dz = 0.

Остается показать, что равен нулю интеграл вдоль границы С области D； но это следует немедленно из того, что С и Се отличаются лишь на конечное число малых дуг и так как функция f(z) ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг также мал. Таким образом, интеграл вдоль С сколь угодно мало отличается от интеграла вдоль Се, который равен 0, и, следовательно, сам равен нулю. Теорема доказана полностью.

Распространение на многосвязные области. Для многосвязных областей теорема Коши, вообще говоря, не верна. В самом деле, функция ^(г) = 1/z аналитична всюду в кольце ~ <| z К 2, однако интегралы от —1 до 1 вдоль верхней и нижней половин окружности |г| = 1 отличаются друг от друга. Действительно, вдоль верхней полуокружности Сь где z = e?Q 0 < ф < л, имеем:

а вдоль нижней полуокружности С2, где z =然Q ——л V 屮 V 0:

Для обозначения интеграла от a no b вдоль пути С в многосвязной области мы будем поэтому иногда употреблять символ ъ

J f(z)dz.(1)

Однако если и в многосвязной области кривые Ci и С2 с общими концами расположены так, что они ограничивают одну односвязную область, принадлежащую D, то интегралы вдоль таких кривых, очевидно, равны. Отсюда следует, что значение интеграла от аналитической функции 8 многосвязной области D не изменяется、 если контур интегрирования непрерывно

деформируется так, что его концы остаются неподвижными и он все время остается внутри D.

Пусть в многосвязной области D даны точки а и & и простая ) кривая Со, их соединяющая. Пусть С ——любая другая кривая, соединяющая эти точки (рис. 21, а). Согласно только что сделанному замечанию можно, не изменяя величины интеграла, деформировать кривую С в другую, лежащую в области D кривую С, состоящую из: 1) кривой Со, которая вместе с Со

Рис- 21.Рис- 21.

Рис- 21.

Рис- 21.

ограничивает односвязную область, принадлежащую Q; 2) совокупности простых замкнутых кривых 丫丸(月=1, 2,m), каждая из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D (рис. 21, б). При этом кривые 丫丸 могут проходиться несколько раз и в различных направлениях (на рис. 21,6 кривая у】 проходится трижды по часовой стрелке, а 丫2 ——один раз против часовой стрелки). Для удобства мы условимся обозначать через 丫丸(月=1, 2, /и) кривые, проходимые против часовой стрелки; кроме того, мы введем еще кривые 丫冗(А = = /п+1,п), окружающие связные части границы области £> и не входящие в состав б (как уз на рис. 21,6).

Введем обозначения

⑵⑵口 = j f (z) dz (木=1, 2, ...» n);

⑵

⑵

при непрерывной деформации 丫储 при которой эти кривые остаются внутри D, интегралы (2) не изменяются, следовательно, величины Гй определяются лишь функцией f(z) и областью D. Пусть Nh — целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении проходится 丫丸 в составе кривой б; эти числа могут быть положительными, отрицательными или равными нулю

(например, на рис. 21 М = —3, № =L М = 0)・ По предыдущему и свойствам интегралов (9) и (10) п. 11 имеем:

ььь

J f®dz=J f(z)dz = J f (г) Jг+^1г1 +N2V2+ ... +NnVn. (3)

〃CaCa®

Величины I\ называются периодами интеграла от функции f(z) в многосвязной области D или циклическими постоянными.

Пример. Пусть f (z) = 1/z и D — «кольцо» 0 V |z| V R, где R — сколь угодно большое число. Любой путь С, соединяющий точки 1 и г, можно, как выше, деформировать в путь С, состоящий из несколько раз проходимой

Рис. 22.Рис. 22.единичной окружности |z| = 1 и простои линии Со, соединяющей точки 1 и г (рис. 22). Интеграл вдоль окружности, проходимой против часовой стрелки, когда z = е坤 и ф растет от 0 до 2л, равен

Рис. 22.

Рис. 22.

2n

г= J - = J ~7¥- = 2ш-⑷ Iz )=1 О

По формуле (3)

J專=J牛+2也力 (5) £©

©©1п 2 [員]=In 2,1п 2 [員]=In 2,где 论一целое число, показывающее, сколько раз и в каком направлении проходится окружность [z[ = 1 в составе С (на рис. 22 由=——2). По теореме 4 предыдущего пункта

©

©

1п 2 [員]=In 2,

1п 2 [員]=In 2,

(6)

где In означает то значение логарифма, которое равно 0 в точке г ~ 1 и непрерывно изменяется вдоль Со.

In z 十 2йл/.In z 十 2йл/.Считая, что С—произвольный путь, и обозначая значение интеграла, от 1/z вдоль него через Ln г, мы получим из (5):

In z 十 2йл/.

In z 十 2йл/.

(7)，

Таким образом, мы вновь пришли к многозначной функции Ln г и выяснили ее многозначность с новой точки зрения.

Заметим в заключение, что теореме Коши предыдущего пункта можно придать несколько иной смысл так, чтобы она оставалась справедливой и для многосвязных областей. Пусть

функция / (з) аналитична в многосвязной области Q, ограниченной кривыми Со, Сь ..., Сп (рис. 23), и непрерывна в D. Проведем разрезы yi, ..., уП1 обращающие D в односвязную область О*, и обозначим через С* границу этой области — кривую, состоящую из участков кривых С^ и кривых 丫恥 причем последние проходятся дважды в противоположных направлениях (отмечены стрелками на рис. 23).

[f(z)dz + ^ J f (z) dz = 0[f(z)dz + ^ J f (z) dz = 0Функция f(2) аналитична в односвязной области D* и непрерывна в D*; следовательно, по теореме 5 предыдущего пункта и свойствам интегралов (9) и (10) п. 11.

[f(z)dz + ^ J f (z) dz = 0

[f(z)dz + ^ J f (z) dz = 0

J f (z) dz =

(интегралы вдоль 丫在 взаимно сокращаются, а остальная часть

С* совпадает с S Cfe). При этом мы должны считать, что кри- fe=0

вые Со и Сь С2, ..., Сп проходятся так, чтобы область D оставалась все время с одной стороны (например, на рис. 23 ——слева). Таким образом, для областей любой связности теорема Коши справедлива в следующей форме:

Теорема. Если функция f(2) аналитична s области D 〃 непрерывна g D, то ее интеграл вдоль границы этой области, проходимой так, что область D все время остается с одной стороны, равен нулю.

Формула Коши и теорема о среднем. Пусть функция /(2) аналитична в n-связной области D и непрерывна в D. Покажем, что для любой внутренней точки 2 этой области имеет место так называемая формула Kotuu (1831 г.):

где C ——граница области Q, проходимая так, что область D остается все время слева.

Отметим, что в правую часть формулы Коши входят лишь значения f(2) на границе С области D. Таким образом, в принятых условиях значения функции внутри области вполне определяются ее значениями на границе: формула Коши позволяет вычислить значение функции в любой точке области, коль скоро известны граничные значения этой функции.

f/）这 已一 zf/）这 已一 zf ©党 之一2f ©党 之一2Для вывода формулы Коши мы выбросим из области D кру^ жок радиуса г с центром в точке 2 и заметим, что в полученной (п+1)-связной области О* числитель и знаменатель подынтегральной функции аналитичны относительно переменной 白，при- чем знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, подынтегральная функция аналитична относительно 白 в О*; так как. она непрерывна в D*, то по теореме Коши предыдущего пункта (формула (8));

f/）这 已一 z

f/）这 已一 z

f ©党 之一2

f ©党 之一2

=0,

где окружность 丫丁 проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

/嘗刃普(2)

где уг проходится против часовой стрелки. На окружности уг имеем 白——z = re", поэтому, вынося за знак интеграла постоянный относительно 白 множитель f (а), найдем:

一z一z2л

一z

一z

= f(z).= f(z).(3)(3)2就J "，02就J "，0f ⑶ dC — f ⑶ Г Fie" d(p

= f(z).

= f(z).

(3)

(3)

2就J "，0

2就J "，0

На основании формул (2) и (3) имеем: CYr

оценим эту разность. Согласно неравенству (11) п. 11

嘉u^_f{z)^=

Yrr

= max|f(D —f ⑶ I,.

откуда видно, что наша разность при уменьшении г может быть сделана сколь угодно малой. С другой стороны, как видно из левой части (4), эта разность не зависит от г. Следовательно, рассматриваемая разность равна нулю и формула Коши доказана.

Если, в частности, кривая С представляет собой окружность |白 ——z| = R, то, полагая 匕 ——2 HAe传 мы .получим из формулы Коши

肌

f(z) = /J f(z + Re却)dtp.(5)

О

Последняя формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций:

Теорема. Если функция f(z) непрерывна в замкнутом круге 〃 аналитична внутри этого круга, то ее значение 8 центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма Шварца. Сначала докажем

одну простую лемму.

Лемма. Если в некоторой области D: 1) постоянна действительная часть аналитической функции f (z) или 2) постоянен ее модуль, то и сама эта функция постоянна.

При условии 1) утверждение вытекает непосредственно из

уравнений Коши — Римана: но, в силу этих уравнений и что и, ауравнений Коши — Римана: но, в силу этих уравнений и что и, ау нас -^- = -^- = 0, следователь- Отсюда заключаем, значит и функция f(z), постоянна

уравнений Коши — Римана: но, в силу этих уравнений и что и, а

уравнений Коши — Римана: но, в силу этих уравнений и что и, а

Рис. 24.Рис. 24.в области D

Рис. 24.

Рис. 24.

Перейдем к доказательству леммы при условии 2). Пусть |f(z) | = Mt где M — постоянная; для М = 0 утверждение леммы очевидно. Если же М * 0, то мы рассмотрим функцию Inf (z) = ln|f(z) I + i argf(z), которая в этом случае аналитична. Ее действительная часть постоянна ( = 1пА1); следовательно, по уже доказанному, постоянна сама функция lnf(z), а значит, и f(z). Лемма доказана.

Докажем теперь принцип максимума модуля для аналитических функций.

Теорема. Если функция f(z), не равная тождественно постоянной, аналитична в области D и непрерывна в D, то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области D.

В силу свойств непрерывных функций (см. п. 5) |f(z)| достигает своего максимума М внутри или на границе D (рис. 24). Предположим от противного, что |f (з) | достигает значения М внутри D, и обозначим через 皆 множество всех точек D, для которых |f(2)I =М. Если ^ = D, то всюду в D имеем: |f(2)| =

=М, т. е. |f(z)| постоянен. Отсюда по лемме следует, что и /(z) постоянна в Q, а это противоречит условиям теоремы.

Если 齒 не совпадает с D, то существует граничная ) точка 2о этого множества, которая является внутренней точкой D. В силу непрерывности f(z) имеем |，(备)| =此 ибо в любой окрестности Zo есть точки 齒.Построим окружность С: | z—方| = = г, принадлежащую области Q, так чтобы на ней имелась хотя бы одна точка ©, не принадлежащая множеству 醫(это всегда можно сделать, ибо г0 — граничная точка 齒).Тогда |f(Zi)|V V М, и для любого достаточно малого е > 0, в силу непрерывности f(z), всегда можно указать такую содержащую точку 勺 часть Ci окружности С, на которой

|f(z)|VM-&(1)

Обозначим через С2 оставшуюся часть окружности; на ней, очевидно,

丨/⑶1&М・(2)

По теореме о среднем имеем: 2л

'⑵)=击 J 〃z) dqp =言[J f (г) ds + j f (z) ds I,(3}

0I GQ 丿

где ds = rd(p — элемент длины окружности С.

Переходя в соотношении (3) к абсолютным величинам и учитывая неравенства (1) и (2), получим:

M = \f(Zo\^^7{(M-e)ll + Ml^ = M-^,

где соответственно 厶 и /2 — длины & и С2 (/i 4~ /2 = ^пг). Но последнее неравенство невозможно, чем и доказывается наш принцип.

Замечание. Если функция f(z) не постоянна, аналитична в D и непрерывна в D и, кроме того, не обращается в 0, то и минимум |f(z)| 兄е может достигаться внутри D. Для доказательства этого достаточно применить принцип максимума к функЦии g(z)= l/f(z).

Из принципа максимума модуля вытекает полезная для дальнейших приложений

Лемма (Г. Шварц)). Если функция f(z) аналитична в круге |z| V 1 и непрерывна в замкнутом круге, причем，(0) = =0,汉 если всюду в круге |f (z) \^\, то в том же круге

|f(2)〕《|2|・(4)

При этом если хотя бы s одной внутренней точке круга |f(z) I = ]w|, то последнее равенство имеет место во всем круге и f(2)= e经2,(5)

где а — действительная постоянная.

Для доказательства рассмотрим функцию

., 粤■ при Z 声 О,Ф (г) = Z

У(0) при 2 = 0.

Из условий леммы следует, что (р(г) аналитична в кольце 0 V |z| V 1 и непрерывна в замкнутом круге |г| ^ 1 (непрерывность в точке 2 = 0 следует из того, что/

lim(p(z)=lim 匕二，°)=f'(0)).

В п. 22 будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность Ф(г) в точке 2 = 0; таким образом, к(p(z) применим принцип максимума модуля. Так как на окружности |г| = 1 имеем ；[屮⑵ |= |2^11《1, то по этому принципу и всюду в круге |(р(2)|^1, т. е. |f(2)I ^ |2|. Первая часть леммы доказана.

в этой точке |叭备川=1, но тогдав этой точке |叭备川=1, но тогдаРис. 25.Рис. 25.Если теперь в какой-либо внутренней точке |/(г0) | = |г0|, то °I I- '口° принципу максимума

в этой точке |叭备川=1, но тогда

в этой точке |叭备川=1, но тогда

Рис. 25.

Рис. 25.

I ф(г) I ^ 1 во всех точках круга и по лемме из начала пункта ср (г) постоянна. Так как |(р(г) | м = 1, то эту постоянную можно представить в виде 叫 где а — действительное число, следовательно, f(z) = e^z. Лемма Шварца доказана.

Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область А, лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функции w = f(z), f(0) = 0, образ произвольной точки г лежит ближе к началу координат, чем сама точка г (рис. 25); если же образ хотя бы одной точки г лежит на том же расстоянии, что и сам.а точка, то А совпадает с единичным кругом и отображение сводится к повороту.

16* Равномерная сходимость. Этот пункт имеет вспомогательный характер. Мы рассмотрим в нем важные для дальней-

шего вопросы, связанные с равномерной сходимостью последовательностей и рядов аналитических функций.

Последовательность функций 厶(之),/2(2),….называется равномерно сходящейся к функции /(г) в области D (или на кривой С), если для любого £>0 найдется число «о» зависящее лишь от е, такое, что при п ^ п0 для всех z нз D (или на С) имеет место неравенство

If„(z)-f(z)|<e.(1)

Докажем две теоремы, аналогичные соответствующим теоремам анализа.

Теорема 1. Предел f(z) последовательности непрерывных функций fi(z), %(2),Ai(z), ..., равномерно сходящейся 8 некоторой области D (или на кривой С), также является непрерывной функцией.

Зададимся числом £ > 0 н обозначим через 2о произвольную точку области D (или С). В силу равномерной сходимости найдется номер п такой, что для всех z из D (на С)

lf(z)— 九⑶ |<^・(2)

В силу непрерывности fn(z) в точке z0 найдется такое число 6 > 0, что для всех z из D (на С), удовлетворяющих неравенству |z —2о|< 6,

lf„(z)-fn(z0)|<|.(3)

Для таких z и выбранного выше п из неравенств (2) и (3) имеем:

I f⑵一 f⑵)I 0 f⑶一%⑶I + I fn⑶-fn⑵)I +

+ 1 fn (%) - f 3)区告 + "|_+'^* = £，

а это и означает непрерывность f (z).

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций fi(2),，2(z), fn(z), … на кривой С равномерно сходится к f(z), то справедливо предельное соотношение

lim f fn (z)dz = f Um fn {z)dz,. (4)

Зададимся числом £ > 0. В силу равномерной сходимости найдется такое /г。, что для всех п^ nQ н для всех z на С

|f“(z)_f(z)|《％

где / — длина С. Для таких 〃

^ f(z)dz — ^ fn(z)dz\ = H {f (z) — fn (z)} dz <y Z = e,

а это и означает справедливость соотношения (4).

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций..

С понятием равномерно сходящейся последовательности тесно связано понятие равномерно сходящегося ряда. Функциональный ряд £ fn (z) называется равномерно сходящимся в п=0

области О (или на кривой С), если последовательность его частичных сумм sQ(z) = fQ(z), Si(z) = %(z) +fl (z),…，Sn(z)= =/о(г)+ Л(г) + - - - +fn(z)> • • - сходится в этой области (на этой кривой) равномерно.

Так же, как в анализе, доказывается удобный для применения достаточный признак равномерной сходимости функциональных рядов.

Теорема 3. Если функциональный ряд £ fn (z) 8 области п=0

О мажорируется некоторым сходящимся числовым рядом £ ant г. е. если для любой точки z из D

I fn(2)I < «а (" = 0, 1, 2,…)，(5)

то данный функциональный ряд сходится 8 О равномерно.

В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке z из О. Обозначим его сумму через 5(г). Для любого 〃 остаток rn(z) = 5(z)——$九(2) этого ряда в силу соотношения (5) удовлетворяет неравенству

I %(Z)I&I fn + t (г) I + 1 fn+2(?) 1+ …《&п + 1 + &п+2 + … ⑹

Справа здесь стоит остаток гп сходящегося числового ряда, стремящийся к нулю при 〃 —оо. Следовательно, для любого е>0 можно найти номер 〃о, зависящий лишь от е, начиная с которого будет гп < е, и тогда в силу (6) для любого z из О и п по имеет место неравенство

I s (z) — s„(2)1 < е.

Это и означает равномерную сходимость данного ряда.

Из теорем 1 и 2 следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и

что такой ряд можно почленно интегрировать, т. е. что справедливо предельное соотношение

2 f fn (z) dz= ^^fn (z) dz.⑺

n=0 СC n=0

Вопрос о возможности почленного дифференцирования функциональных рядов будет рассмотрен в п. 19 (теорема Вейер- штрасса).

Рассмотрим теперь семейство функций f (z, а), зависящих от (действительного или комплексного) параметра а. Говорят, что f (г, а) стремится при а -> а0 к функции f (г) равномерно относительно z в области D (или на кривой С), если для любого е > 0 найдется 6 = 6(e) такое, что при |а — а0| < д для всех г из D (или на С) имеет место неравенство

⑻⑻|f(z, а) — f (z) I < e.

⑻

⑻

Точно так же как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является функцией непрерывной и что для такого семейства справедливо предельное соотношение

Нта->ааНта->ааССССНт f (z, а) dz.Нт f (z, а) dz.(9)(9)

Нта->аа

Нта->аа

С

С

С

С

Нт f (z, а) dz.

Нт f (z, а) dz.

(9)

(9)

В дальнейшем нам придется иметь дело с интегралами вдоль неограниченных кривых — несобственными интегралами. При этом мы всегда будем рассматривать лишь такие кривые С, отрезки которых, принадлежащие произвольному кругу, являются кусочно-гладкими. Функции f(z), заданные на С, будем считать кусочно-непрерывными и ограниченными.

Определим теперь интеграл от функции f (а) вдоль неограниченной кривой С. Пусть сначала С не ограничена лишь в одну сторону и а — ее конец. Тогда мы обозначим через С часть С с концом а и длиной / и положим по определению

f f ⑵ dz = lim f f ⑶ dz,f f ⑵ dz = lim f f ⑶ dz,(10)(10)

f f ⑵ dz = lim f f ⑶ dz,

f f ⑵ dz = lim f f ⑶ dz,

(10)

(10)

причем, если этот предел существует, мы будем говорить, что (несобственный) интеграл (10) сходится. Если С не ограничена в обе стороны, то мы определим интеграл как сумму интегралов вдоль двух частей, на которые С делится произвольной точкой а.

Пусть функция f(zj) определена для всех z из области D и для всех ^ на линии С. Будем говорить, что интеграл

尸(z)= Jf(z, D 臂

сходится равномерно в области Q, если для любого е > 0 найдется число /о такое, что для всех z нз Q при любом / > /0

I jf(z, D臂一jf(z,小关 <2(11)

(мы предполагаем, что С не ограничена в одну сторону; распространение на общий случай делается, как и выше).

Теорема 4. Если функция f(z, С) аналитична по z и кусочно-непрерывна по 白 для всех z из односвязной области D и для всех 匕 на линии С и интеграл

F(z)= jf(z, ^)^(12)

сходится равномерно в области Q, то он является аналитической в этой области функцией ).

Для доказательства мы воспользуемся теоремой, обратной к теореме Коши, согласно которой функция 户(z) аналитична в односбязной области Q, если она непрерывна в этой области и ее интеграл вдоль любой замкнутой кривой, принадлежащей области, равен нулю (доказательство этой теоремы см. в следующем пункте).

В условиях доказываемой теоремы непрерывность функции F(2)устанавливается обычным образом (как теорема 2 или соотношение (9)). Остается показать, что равен нулю интеграл от 尸(2) вдоль произвольного замкнутого контура Г, принадлежащего области D. Имеем:

\F(z}dz=\y\f{Z,(13)

Гг I сJ

В силу равномерной сходимости интеграла (12) по известной из анализа теореме ) справа можно изменить порядок интегрирования, и мы получим:

[F^)dz="g⑵ 9力)党=0,

так как внутренний интеграл равен нулю по теореме Коши. Теорема 4 доказана. ,

Заметим, что в случае ограниченной кривой С для аналитичности функции F(z) не требуется никаких дополнительных предположений о сходимости интеграла (12),——это вытекает из возможности перемены порядка интегрирования в соотношении (13) без дополнительных предположений, '

Высшие производные. По определению, аналитическая функция ——это функция комплексного переменного, обладающая производной в каждой точке некоторой области D (см. m 5). Покажем, что из аналитичности функции, автоматически вытекает существавание и аналитичность всех ее последовательных производных.

Теорема 1 (О. Коши, 1842 г.).^ Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна s D, то она обладает s каждой точке D производными всех порядков, причем п-я производная представляется формулой

(2)=鲁J於篇Г， ⑴

где С — граница области D

Пусть z ——произвольная внутренняя точка области D. По определению производной и формуле Коши из п. 14, которую мы применяем для точек z и z + Л, имеем:

*(z) = lim 'a + 2一""=

=盡黑 J (S 一 J S器 一 Z)•

Но, очевидно, при Л —► 0 функция 七 _ 力 _ 九 равномерно для всех Z на С стремится к -—-^ и, следовательно, по теореме 2 предыдущего пункта (для случая семейства функций, зависящих от параметра h) предел существует, причем

x⑶二击j醬条⑵

с

Для п = 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для какого-либо п — 1, точно так же можно доказать ее справедливость для 九 и тем самым полностью доказать теорему.

Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему можно еще формулировать следующим образом: если функция (р(^) непрерывна на границе С области D, то функция

f(z)= *Jf(z)= *J屮隽）也工一Z屮隽）也工一Z⑶⑶

f(z)= *J

f(z)= *J

屮隽）也工一Z

屮隽）也工一Z

⑶

⑶

представленная формулой Kotuu, аналитична в этой области.

Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются формальным дифференцированием формулы Коши по 2； доказанная теорема утверждает законность этого дифференцирования. -

Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши,. Обозначим через М максимум модуля функции f(之)в области D, через R — расстояние точки 之 до границы D и через £—длину этой границы. Имеем из (1):

Если, в частности, f (之)аналитична в круге ［之―Zo|VR, то, принимая в качестве D этот круг, получим:

1出北方Н《^1, n = 0, 1, 2,(5)

Это и есть неравенства Коши, которые мы хотели доказать.

Мы воспользуемся полученными результатами для доказательства двух важных теорем теории аналитических функций.

Теорема 2 (Ж. Лиувилль) ). Если функция f(之)аналитична во всей плоскости и ограничена^ то она постоянна.

Пусть всюду |f(之)|《М. Для произвольной точки 2 плоскости и для любого R неравенство (5) при п = 1 дает:

11(2)1《赍.

Так как здесь левая часть не зависит от R, а правая при увеличении R может быть сделана сколь угодно малой, то |『(之，| =0. Таким образом, во всей плоскости ff(z) =0. Отсюда, по теореме 4 п. 12, заключаем, что

f ⑶一f(20) = J Л(2)dz = 0,

т. е. что функция f ⑶ постоянна. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.

Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает не быстрее чем M|z]n, где м—целое число, а М — постоянная, то эта функция является многочленом степени не выше п ).

Доказательство аналогично предыдущему: пусть z0 — произвольная точка плоскости; из неравенства (5) имеем:

I 产+D(2。)■仇+ 1)!

и, замечая, что у нас |z|《|z0| + R, после перехода к пределу при Rfg ■ получаем, что f(n+l)(zp) = 0. Так как 2q — произвольная точка плоскости, то /(n+D(z)曰 0, а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти к нужному результату.

Следующая теорема обратна основной теореме Коши п. 12.

Теорем а 3 (Г. Морера), 1886 г.). Если функция f(z) непрерывна 8 односвязной области D и интеграл J f (z) dz по с

любому замкнутому контуру, лежащему 8 О, равен 0, то f(z) аналитична 8 этой области.

Из условий теоремы следует, что в области D интеграл

J f (z) dz не зависит от пути интегрирования, т. е. при фикси-

Zo

рованном % определяет некоторую функцию z:

尸(Z)= J f (z) dz.

Повторяя дословно доказательство теоремы 2 п. 12, мы увидим, что эта функция имеет производную 尸(z) = f(z), т. е. аналитична (в цитированной теореме мы пользовались лишь непрерывностью f(z) и независимостью интеграла от пути), Но тогда по теореме 1 настоящего пункта f(z) как производная аналитической функции в свою очередь является функцией аналитической. Теорема Мореры доказана.

§ 5. Представление аналитических функций рядами

В настоящем параграфе Mbi рассмотрим вопрос о представлении аналитических функций с помощью степенных рядов и их обобщения ——рядов по положительным и отрицательным степеням z — а. Разложение функций в ряды представляет не только теоретический, но и практический интерес. Укажем,

например, что с помощью рядов можно вычислять приближенно значения функций, во многих задачах прикладного характера (решение дифференциальных уравнений и др.) решение сразу получается в виде ряда и т. д.

Здесь мы ограничимся основными теоретическими положениями, связанными с разложениями функций в ряды; большинство из них будет играть весьма важную роль в дальнейшем изложении теории функций комплексного переменного и ее приложений (см. особенно гл. V и след.). В частности, будет установлена равносильность понятий об аналитической функции (в смысле § 2) как о функции, дифференцируемой в каждой точке области определения и как о функции, представимой в окрестности каждой такой точки в виде суммы степенного ряда (см. теорему Тейлора п. 18 и теорему 3 п. 19); это даст еще одну концепцию в построении теории аналитических функций. В пункте 25 мы обобщим понятие аналитичности, распространив его на многозначные функции.

Ряды Тейлора. Мы начнем с обобщения на функции комплексного переменного известной из анализа формулы Тейлора и на его основе докажем, что всякая, аналитическая в точке функция представляется в окрестности этой точки в виде суммы степенного ряда.

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии -~_q— = l+g + «2+ +g\ переписав ее в виде

1 лП+1

占=1 +宀2++9”+占 (1)

(формула справедлива и для комплексных д). Зафиксируем некоторую точку а из области D аналитичности функции f(z) и, воспользовавшись формулой (1), напишем:

Умножим теперь обе части этого равенства на ~^f (S) и проинтегрируем его по 工 вдоль некоторого замкнутого контура С, лежащего в Q н содержащего точки z и а. Пользуясь формулой Коши п. 14 и формулами для высших производных п. 17,

получим классическую формулу Тейлора )

f (z)=f (а) + ^ (з — а) + …十'孔，(％ — а尸十兄,(2)

где остаточный член имеет вид:

<3)<3)：&一0尸+1 ( f亿)北

<3)

<3)

一 2几£ J (g —z)(g —а)”】

Возникает вопрос о том, при каких условиях 7?п~* 0 при 〃一>8 или, что то же самое, при каких условиях функция f(z) представима своим рядом Тейлора с центром в точке а, т. е.

〃z) = g^^(z — a)“.⑷

n=0

Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема (О. Коши, 1831 г.). Функция f(z) представима своим рядом Тейлора (4) в любом открытом круге с центром в точке а, в котором она аналитична. Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.

Обозначим через R радиус круга аналитичности функции f ⑶ (с центром в точке а) и рассмотрим произвольное число ?, OVR'VR и круг \z — a\^ kR\ где А < 1—произвольное положительное число. Пусть z — любая точка последнего круга и С — окружность |^ — а| = Т?7. Имеем \z — а\^. kR\ |^ — а\ = =Следовательно,

\l-z\>\l-a\-\z-a\^Rf -kRf = (\-k)Rf

и формула (3) дает:

%一2位j (一)…产0

步十以加十1M，2rR _ M宀

、 2n , (1 一论)E石2 一 j 一论

где М — максимум модуля f(z) в круге \z — a\^Rf (функция f(z) аналитична в этом круге, следовательно, ограничена). Так как А < 1, то отсюда видно, что Rn —► 0, при и—* оо, причем оценка Rn не зависит от %; таким образом, в любом круге

|z —a|V^R‘，где 0 < fe < 1, ряд Тейлора сходится равномерно. 、

Произвольную замкнутую область, лежащую в круге аналитичности функции f(z), можно погрузить в некоторый круг |z —a|v/h[ где 0 < fe < 1, О V R V R, следовательно, и в такой области ряд сходится равномерно. Теорема доказана.

Таким образом, всякая аналитическая в круге функция представляется в нем степенным рядом. Возникает вопрос о том, будет ли, обратно, аналитической функцией сумма произвольного сходящегося степенного ряда? Чтобы ответить на него, следует рассмотреть некоторые свойства степенных рядов. Это мы сделаем в следующем пункте, а сейчас приведем тейлоровские разложения некоторых элементарных функций:

е =1+? +万 + 京+ ...;

.г3 . г51№ I г4心

sin z = z—— cos z—\—+ —(5)

sh 2 = 2 + 可+ 亏"+ . . ch2 = l+"^~ + w +

(сходятся для любого z),

In(l+2)= Z1" +V +]

(1 + Z)a = 1 + az + ^f^” + %9二 (a 一2)炉 + …*) J ⑹ (сходятся для 121V 1; написаны для тех однозначных ветвей, которые равны соответственно 0 и 1 при 2 = 0). Способы получения этих разложений такие же, как в обычном анализе, и мы на них не останавливаемся.

Степенные ряды. Начнем с двух общих теорем относительно равномерно сходящихся рядов, составленных из аналитических функций; эти теоремы были впервые доказаны К. Вейерштрассом в 1859 г. Первая из них показывает, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности:

Теорема 1. Если ряд

玄九(Z)，(1)

составленный из функций, аналитических 6 односвязной области D, равномерно сходится 6 этой области, то его сумма также является функцией, аналитической 6 D.

В самом деле, согласно п. 16 сумма s(z) ряда (1) непрерывна в D. Пусть С будет произвольный замкнутый контур, лежащий в D; в силу равномерной сходимости ряда (1) его можно почленно проинтегрировать вдоль С и мы получим, что

j s (z) dz =三 J 九⑵ dz = 0, С м=0 с

ибо по теореме Коши п. 12 интеграл от аналитических функций fn(2) по замкнутому контуру в односвязной области равен нулю. Теперь по теореме Мореры п. 17 мы можем утверждать, что функция s(2)аналитична в области D, и теорема доказана.

Вторая теорема показывает, что для аналитических функций вопрос о возможности почленного дифференцирования рядов решается проще, чем в обычном анализе:

Теорема 2. Произвольный ряд (1), составленный из функций, аналитических в области D и непрерывных в D, равномерно сходящийся 8 Dr можно почленно дифференцировать 夕 D любое число раз.

Пусть С будет произвольная точка границы С области D, а 2 —произвольная внутренняя точка этой области. Так как разность g—之 при фиксированном z ограничена снизу по мо-

В fn (S) j.

.дулю положительным числом, то ряд V ~1~— и2)

произвольное натуральное число, сходится равномерно относительно g на С. Следовательно, его можно почленно интегрировать вдоль С, и значит, сходится ряд

£誥［芝翳=£器3 ⑵ n=0 с е ' g=0

(для каждого члена ряда мы воспользовались формулой Коши для производных из п. 17). Остается доказать, что сумма ряда (2) является fe-й производной суммы s(2) ряда (1). Но в силу равномерной сходимости левую часть формулы (2) можно записать в виде

「2 fn (S) 「

(мы снова воспользовались той же формулой Коши), что и требуется.

Замечание 1. Для того чтобы утверждать равномерную -сходимость ряда из аналитических функций в замкнутой области

D достаточно потребовать его равномерной сходимости на границе этой области. Это непосредственно вытекает из принципа максимума п. 15, согласно которому

吧 Х| 厶+1(2)十 片+2(2)+ ... I = max I fn+1 (0 + fn+2 (?) +

(D)

Замечание 2. Простой пример показывает, что в теореме 2 можно утверждать сходимость ряда из производных лишь в области Q, а не в D.

В самом деле, ряд 二 очевидно, равномерно сходится в замкнутом 几=1

круге I z I & 1, ибо он мажорируется там сходящимся числовым рядом

Однако производный ряд ± —-— (сходящийся по теореме 2 при \z\ V 1)

расходится в точке z = 1 границы круга.

В дальнейшем основную роль будут играть степенные ряды. Характер их сходимости выясняет следующая ..

Теорема 3 (Н. Абель), 1826 г.). Если степенной ряд

£ с^(2 —— а)" сходится в точке 2о, то он сходится u s любой

точке 2, расположенной ближе к центру а, чем 乞必 причем s лю~ бом круге \z — а| W 用2о — а|, где 0 V 在 V 1, сходимость ряда равномерна.

Предположим, что z — произвольная точка последнего круга, и представим 孔-宜 член ряда в виде

В силу сходимости ряда в точке 20 его общий член стремится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т. е. |сп(2о ——а)п\^М для всех п. Кроме того, у нас по условию 产一 Q《后 следовательно, для всех 〃

I cn (z — а)п К Mkn,I cn (z — а)п К Mkn,0 < /г < 1.0 < /г < 1.(3)(3)

I cn (z — а)п К Mkn,

I cn (z — а)п К Mkn,

0 < /г < 1.

0 < /г < 1.

(3)

(3)

Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге |z ——a\^k\zo ——а\. Так как число 在 может быть взято сколько угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда в любой точке круга \z — a\<z\zQ — а\ и доказательство теоремы Абеля закончено.

Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости сте

пенного ряда 2 с% (% ——а)п является открытый круг с цент- п=0

ром в точке а (который может также вырождаться в точку или заполнять всю плоскость) и еще, быть может, некоторые точки на границе круга. Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.

Укажем формулу для определения радиуса сходимости R:

3 =苗 К| с„ I ,Z п->гю

где lim означает верхний предел ). Эта формула была получена О. Коши в 1821 г. и существенно использовалась Ж. А д а м а р ом (уже в нашем веке). Она называется формулой Kouzu——'Адамара.

Для вывода ее нужно показать, что при любом z, для которого |z ——а\ & kR, О V 走 V L степенной ряд сходится, а при любом z, для которого |z ——а\ > R, этот ряд расходится. По определению верхнего предела для любого £ > 0 найдется такое л0, начиная с которого

，1 I <Выберем е так, чтобы было，1 I <Выберем е так, чтобы было% + е.% + е.$ + е < —$ + е < —左+ 1 '左+ 1 '22

，1 I <

Выберем е так, чтобы было

，1 I <

Выберем е так, чтобы было

% + е.

% + е.

$ + е < —

$ + е < —

左+ 1 '

左+ 1 '

2

2

тогда при л ^ л0 и |z ——а|& 笈R будем иметь:

I ”(z — а)〃 I <I ”(z — а)〃 I <不叶厂■不叶厂■

I ”(z — а)〃 I <

I ”(z — а)〃 I <

不叶厂■

不叶厂■

2月

Так как 方，+ 丁 < 1, то по известной теореме сравнения ряд, составленный из членов левой части, сходится.

Далее, из определения верхнего предела имеем, что для любого £ > О nk найдется бесконечная последовательность л =孔储 для которых , ^| cnk | >

1

> № ~ £> т. е.

I c“A (z — а)” I > {(专—e) I z _ a I Г

Но при(т-е)Но при(т-е)|z — а\ > R всегда можно подобрать е так, чтобы было z — a I > 1, тогда для нашей последовательности л = лА, соответ

Но при(т-е)

Но при(т-е)

ствующий этому е член cnk (z — a) k будет неограниченно возрастать и, следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится к нулю).

Теоремы Вейерштрасса и Абеля дают утвердительный ответ на вопрос, поставленный в предыдущем пункте:

Т еор ем а 4. Сумма любого степенного ряда в круге его сходимости является аналитической функцией.

Действительно, пусть | z ——а | V R будет круг сходимости нашего степенного ряда. В любом круге \z ——а| ^ kR, где 0 < V^VL по теореме Абеля сходимость равномерна, а так как члены ряда cn(z— а)п — аналитические функции, то по тео- реме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге. Но так как любая внутренняя точка z круга сходимости может быть погружена в некоторый круг |z — а| < kR, где OV^VL то тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всем круге его сходимости.

Докажем, наконец, что справедлива

Теорема 5. Любой степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

В самом деле, пусть в некотором круге

f (г)= 2 cn(z — a)n.(5}

п=0

Полагая здесь z = а, получим /(а) = с。. Дифференцируя ряд (5) почленно и затем полагая z = а, найдем fz(a) = сь Последовательно дифференцируя ряд (5) и полагая затем z = а, найдем:

产(а) = 2&, /'〃(〃)= 3! q, •…产(а) = и! %.

Таким образом,

и ряд (5) действительно является рядом Тейлора функции f (z).

Теорему 5 называют теоремой единственности разложения в ряд Тейлора, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции f(z) в степенной ряд является тейлоровский разложением этой функции.

Кроме того, из этой теоремы и из теоремы п. 18 можно заключить, что радиус сходимости степенного ряда (5) совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей точки, в которой на* рушается аналитичность суммы f (z) этого ряда. Например, радиус сходимости рядов (6) п. 18 равен 1, ибо при z = —1 их суммы теряют аналитичность (второй ряд мы, конечно, рассматриваем для а ненатурального).

Теорема единственности. В п. 14 мы видели, что аналитическая функция полностью определяется своими значениями на границе области аналитичности. Здесь, в дополнение к это-

му, мы покажем, что аналитическая функция полностью определяется своими значениями на произвольной последовательно- <ти точек, сходящейся к некоторой внутренней точке области аналитичности.

Начнем с одной теоремы относительно нулей аналитической ^функции. Нулем функции ，(？) называют любую точку 2 = а, в которой，(2) принимает значение 0: f(a) = 0. Если аналити' ческа я функция не равна тождественно 0 в окрестности своего нуля а, то в ее тейлоровском ряде с центром в а все коэффициенты не могут равняться нулю (иначе сумма ряда была бы тождественно равна нулю). Номер младшего отличного от нуля ■коэффициента этого разложения называется порядком нуля а. Таким образом, в окрестности нуля порядка и тейлоровское разложение функции имеет вид:

f(z)=Cn(z —a)" + c“+i(z —а)* + ...,(1)

где сп #= 0 и и ^ 1.

Очевидно, порядок нуля а можно определить также как порядок младшей отличной от нуля производной f(n)(a).

Очевидно также, что в окрестности нуля порядка и аналитическая функция f(2)допускает представление вида

f(Z)=(Z — а)пф (г),⑵

где функция

q)(z) = c„ + cra+I(z —а)+(р(а) = сп#=0(3)

также аналитична в окрестности точки а (ибо она представляется сходящимся степенным рядом).

В силу непрерывности (р(?) эта функция отлична от нуля и всюду в некоторой окрестности точки а. Отсюда следует

Теорема 1. Пусть функция f (z) аналитична s окрестности своего нуля а и не равна тождественно 0 ни в какой его окрестности. Тогда существует окрестность точки а, в которой /(г) не имеет других нулей, кроме а.

Из доказанной теоремы и вытекает теорема единственности теории аналитических функций, о которой мы говорили в начале пункта. .

Теорема 2. Если функции 九(？) и %(?) аналитичны s области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек ап, сходящейся к внутренней точке а области Dt то бсюбу s D

fi(z) = f2(z).

Для доказательства мы рассмотрим функцию

f(Z)= "(Z)— f2(Z).

Она аналитична в Q н имеет своими нулями точки ап, а в силу непрерывности и точку а, ибо f(a)= lim / (а„) = 0. Отсюда й->оо

следует, что f (z) тождественно равна 0 в некоторой окрестности а, ибо в противном случае нарушалась бы только что доказанная теорема 1. Таким образом, множество всех нулей функции f(z) имеет хотя бы одну внутреннюю точку.

Обозначим через ё совокупность всех внутренних точек множества нулей функции f(z). Если S совпадает с Q, то наша теорема доказана. Если же 舍 составляет лишь часть области Q, то найдется граничная точка b множества /, являющаяся внутренней точкой D. Существует последовательность точек Ьп множества /, сходящаяся к Ь; точка b в силу непрерывности f(z) является нулем f (z). С другой стороны, f (z) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки Ь, ибо точка b была бы внутренней, а не граничной точкой множества /. По теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки Ь нет ни одного нуля f(z), но это противоречит тому, что Ъ является граничной точкой /. Полученное противоречие и доказывает теорему единственности.

Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая в некоторой области и не равная тождественно нулю функция f(z) не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из D, ни на какой дуге, лежащей в D, ни даже на последовательности точек Q, сходящейся к ее внутренней точке.

Легко, однако, привести пример, когда бесконечная последовательность нулей функции сходится к граничной точке ее области аналитичности: функция f (z) = sin у обращается в нуль на последовательности точек zn = -^ (п — ± 1, 土2,…), сходящейся к точке z = 0.”

Ряды Лорана. Ряды Тейлора — аппарат, удобный для представления функций, аналитических в круговых областях. Весьма важно, однако, иметь аппарат для. представления функций в областях иного вида. Например, при изучении функций» аналитических в некоторой окрестности точки а всюду, кроме самой точки а, приходится рассматривать кольцевые области вида 0<|之一a|VR・ Оказывается, что для функций, аналитических в кольцевых областях 『V |之——а| V R, где г 0, R w W oo, можно построить разложения по положительным и отрицательным степеням (z — а) вида

(1)

являющиеся обобщением тейлоровских разложений. Такие разложения мы и рассмотрим в этом пункте.

Итак, пусть функция f(z) аналитична в некотором кольце К： г <z\z — а\< R, где г 2 6, R W оо. Выберем произвольно числа rz и R' так, что rVr'VK'VR, а также число 尼，О V V 尼 VL и рассмотрим кольцо -^- < | г ——а | < kRf. В произ

вольной внутренней точке г этого кольца мы можем представить f(z) по формуле Коши (п. 14), которая для нашего случая принимает вид:

⑵⑵1 Г И：) ^1 Г f (О dl

⑵

⑵

/ ® — 2欣 J 6 %2欣 J l-z

Сс

где обе окружности С: |白一а\ = Rf и с:]匕一а| = / проходятся против часовой стрелки.

Для первого интеграла имеем | ^ —鼠 | <=尼 V 1, следо

вательно, дробь, в него входящую, можно разложить в сходящуюся на С равномерно относительно g геометрическую прогрессию:

[ I 2 — a II (г 一。尸 I

Умножая это разложение на -^- f (С) и интегрируя его почлен

но по С получим ряд：но по С получим ряд：(что возможно в силу равномерной сходимости), мы разложение первого члена формулы (2) в степенной

но по С получим ряд：

но по С получим ряд：

九⑵=击 J = £ 4 (z -。严，(3)

Czi=0

гдегде1「f(G)dg一 2位J (自一a产+11「f(G)dg一 2位J (自一a产+1(几=0, 1, 2t ...).(几=0, 1, 2t ...).⑷⑷

где

где

1「f(G)dg

一 2位J (自一a产+1

1「f(G)dg

一 2位J (自一a产+1

(几=0, 1, 2t ...).

(几=0, 1, 2t ...).

⑷

⑷

Заметим, что выражение (4) нельзя представить, как в п. 18, в виде ■ 才丄,так как f(z), вообще говоря, не аналитична в точке а.

Для второго интеграла имеем:

следовательно, равномерно на с сходится прогрессия

1 _1]

g — z — z —白一а

z — а

1 —a а一露& 一 a)"т

z — a (z — а)? (z — а)з ' ' ' (z — а)л

Как и выше, получим разложение второго члена формулы： (2) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (z — а):

ь ⑶=-备11^?=£"-『，(5)

-сп—1

где

с-“ = 1^〕'©(3-а)"Т* 仇=1, 2, 3, ...).(6)

Заменим в формулах (5) и (6) индекс — и, пробегающий значения 1, 2, ..., индексом и, пробегающим значения —1, —2, тогда, объединяя оба разложения (3) и (5) в одно, получим:

〃2)= %(2)+丿2(2)= X %(2 - a)".(7)

(6) окружности С и с 丨 2 — 〃 I = Р，№ г' < можно объединить в(6) окружности С и с 丨 2 — 〃 I = Р，№ г' < можно объединить вДалее, согласно п. 13, в формулах (4) и можно заменить любой окружностью у: V р V R'・ Поэтому обе эти формулы

(6) окружности С и с 丨 2 — 〃 I = Р，№ г' < можно объединить в

(6) окружности С и с 丨 2 — 〃 I = Р，№ г' < можно объединить в

одну:

2U,售 — а)计 12U,售 — а)计 1(и = 0, ± 1, ± 2, • •)(и = 0, ± 1, ± 2, • •)(8>(8>

2U,售 — а)计 1

2U,售 — а)计 1

(и = 0, ± 1, ± 2, • •)

(и = 0, ± 1, ± 2, • •)

(8>

(8>

Полученное здесь разложение (7) функции f (г) по положительным и отрицательным степеням (г — а) с коэффициентами, определяемыми по формулам (8), называется лорановским разложением функции f (г) с центром в точке а; ряд (3) называется правильной, ряд (5)—главной частью этого разложения.

Так как г' к R' в нашем рассуждении могут быть взяты сколь, угодно близкими к г н R, а 々 может сколь угодно мало отличаться от 1, то разложение (7) можно считать установленным для всех точек г кольца аналитичности функции /(2).

Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится всюду в круге ]z 亠 a|vR, причем в любом круге |z — a|v < kR (0 之 々Vl) его сходимостьравномерна. Главная часть, представляет степенной ряд относительно переменной Z = =l/(z — а), следовательно, по той же теореме он сходится при： Z|V1〃，т. е. всюду вне круга \z — а\> г. причем при г — аI > г/й, 0 < й < 1, его сходимость также равномерна.

Таким образом, доказана

Теорема 1 (П. Лоран), 1843 г.). В любом кольце К: rV |z —〃|VR, s котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана (7), равномерно сходящимся 8 любой замкнутой области, принадлежащей кольцу К・

Из формул (8) для коэффициентов ряда Лорана точно так же, как в п. 17, получаем следующие неравенства Коши: если функция f(z) ограничена на окружности |а —а| = р, пусть \f(z)\^M,To

I ) < —?г(п = 0, ±1, ± 2, ...).(9)

Заметим, наконец, что областью сходимости произвольного ряда вида

всегда служит некоторое круговое кольцо ) r<|z —— q|<R, где OW『W8, OWRWs.

В этом очень легко убедиться с помощью теоремы Абеля, разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая rVR справедлива

Теорема 2. Если ряд

二%("G"(期

сходится s кольце rV|z — 〃|VR， то его сумма f(z) аналитична 8 этом кольце и разложение (10) является рядом Лорана для функции f(z).

В самом деле, аналитичность f(z) доказывается на основании теорем Абеля и Вейерштрасса так же, как в теореме 4 предыдущего пункта. Далее, на любой окружности у: |z — а| = р, где г V р V R, ряд (10) сходится равномерно и остается таким после умножения на (з — а)~п+х (п = 0, 士 1, ±2, ...). Если проинтегрировать разложение

k= — ОО

легко доказываемыми длялегко доказываемыми дляпо окружности y и воспользоваться любого целого л соотношениями:

легко доказываемыми для

легко доказываемыми для

(zi)“dz={2泣(zi)“dz={2泣九，一Lл =——1九，一Lл =——1(11)(11)

(zi)“dz={2泣

(zi)“dz={2泣

九，一Lл =——1

九，一Lл =——1

(11)

(11)

(ср. вывод формулы (4) из п. 13), то мы получим выражения коэффициентов ряда (10):

= Г f ⑵ da""一2m" J(2一。严一

совпадающие с выражениями (8). Следовательно, ряд (10) является рядом Лорана функции f(z), и теорема 2 доказана.

Теорема 2 является теоремой единственности разложения в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым способом разложение аналитической функции в ряд по положительным и отрицательным степеням (2 ——а) является лорановским разложением этой функции.

22。Особые точки. Развитый в предыдущем пункте аппарат разложений Лорана позволит нам полностью изучить поведение аналитических функций в окрестности простейшего типа точек, в которых нарушается аналитичность этих функций ——так называемых изолированных особых точек. Точка а называется изолированной особой точкой функции f (з), если существует окрестность 0 v|z ——a|V« этой точки (с исключенной точкой а), в которой f(z) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет о точках, в окрестности которых функция однозначна (условие однозначности включается в условие аналитичности функции, см. п. 5). Об особых точках многозначного характера мы будем говорить в п. 25.

Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции fjz) в их окрестности:

Точка а называется устранимой особой точкой, если существует конечный lim f (z),

точка а называется полюсом, если [(2) является бесконечно большой при приближении к а, т. е. если существует lim f (а) = оо (это означает, что |f(z)|—>оо при z —>а) и, на- конец,

точка а называется существенно особой точкой, если lim f (а) не существует. z->a

Изложим основные свойства функций, относящиеся к их особым точкам. Если а является изолированной особой точкой функции f(z), то по теореме 1 предыдущего пункта эту функ-

цию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности О V |z —V R：

f(z)= ■•■ + (^)п + ... + 三+ 3+s(z-a)+

…+ сп (г — а)" + • • • (1)

Это разложение имеет различный вид в зависимости от характера особой точки. Приведем три относящиеся сюда теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы а была устранимой особой точкой функции f(z) необходимо 〃 достаточно, чтобы лорановское разложение /(%) в окрестности точки а не содержало главной части.

Ясно, что если лорановское разложение f(z) не содержит главной части, т. е. f(z) представляется степенным рядом

(z) = с0 + ci (z —。) + • • • +%(之一。广 + • • •>(2)

то существует конечный lim f (z) = с0) и а является устранимой особой ТОЧКОЙ.

Пусть, обратно, а является устранимой особой точкой функции /(%)• Тогда в силу того, что lim f (z) существует и конечен, функция f(z) ограничена в окрестности а; пусть |f(z) | ^ М.

Воспользуемся неравенствами Коши из п. 21

I % 区 MP/

так как в них число р можно выбирать сколь угодно малым, то ясно, что все коэффициенты сп с отрицательными индексами равны нулю и лорановское разложение f(z) не содержит главной части. Теорема доказана.

Замечание. По существу мы доказали более сильное утверждение: если функция /(%) ограничена s окрестности изолированной особой точки а, то а является устранимой особой точкой этой функции.

Название «устранимая особая точка», как теперь стало очевидно, оправдывается тем, что такую особую точку можно «устранить», полагая f(a) = lim f (z) — c0； после этого функция /⑶ будет аналитической и в точке а, ибо во всем круге \z — a\<Z R она будет представляться сходящимся степенным рядом (2) (см. теорему 4 п. 19)..

Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса а следует, что f(z) отлична от нуля в некоторой окрестности этого

полюса: 0 < |z — а| < /?\ где R‘W R. В такой окрестности аналитична функция g(z) = l/f(2), для которой, очевидно, lim g (z) = 0. Следовательно, по предыдущей теореме, а является г->а

устранимой особой точкой g(z) и, положив g(a) = 0, мы получим, что а является нулем функции g(z). Обратно, если g(之) имеет в точке а нуль (и не равна тождественно нулю), то функция f(z)= Ug(z) по теореме 1 п. 20 аналитична в некоторой окрестности 6Vlz— а(之R точки а; очевидно, f(z) имеет в точке а полюс.

Таким образом, нули и полюсы аналитических функций весьма просто связаны друг с другом. Условимся еще называть порядком полюса а функции f(z) порядок нуля а функции g(z)=]/f(z).

V Теорема 2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лора- невского разложения f(z) в окрестности а содержала лиШь конечное число членов:

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Пусть а является полюсом порядка 九 функции f(z). Тогда функция g(a)= 1//(г), g(a) = 0, имеет в точке а нуль порядка 九 и согласно п. 20 в окрестности точки а представляется в виде

^(г) = (з —a)rtcp(z),

где 屮(z) аналитична н 屮(。)声 0. В этой окрестности

f⑵-g⑵一(а一a)".ф (2) *⑷

Но функция 1/屮(z) аналитична в некоторой окрестности |z — a|VR точки а, следовательно, она разлагается там в ряд Тейлора ,

ф ^^. = С— + c_"+i (z — а) + • • • + Q (z — а) + ...,

где Jr =-^^-#= 0. Подставляя это разложение в формулу (4), получим искомое разложение (3), справедливое в окре- стностн 6 V I z —。I V &

Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности 0v|z—a| V VR точки а имеет место разложение (3), причем с»п #= 0.

Тогда функция (p(z) = (z — a)nf(z), (р(а) = с_п, в круге |z —a|VR представляется рядом Тейлора

<р (z) = с_п + с_п+{ (z — a)+{5)

т. е. аналитична. Так как lim(p(2)= с_п #= 0, то .

lim f (?) = lim / 屮 ⑵、万=oo

…(2 一。尸

и точка а является полюсом функции f(z). Функция g(z) = =父习=亠质庁一 имеет, очевидно, в точке а нуль порядка п, следовательно, порядок полюса а равен п. Теорема доказана.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает

ТеоремаЗ. Точка а тогда и только тогда, является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лоранов- ского разложения последней 8 окрестности точки а содержит бесконечно много членов.

Поведение функции в окрестности существенно особой точки

выясняет следующая

Теорема 4 (Ю. В. Сохоцкий), 1868 г.). Если а ——существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа А существует последовательность точек Zk~^a такая, «то lim f ⑵)=4 fe -> ОО

Прежде всего, существует последовательность z在一>а, для которой lim f(zj = oo, ибо в противном случае f(z) была бы fe->oo

ограниченной в окрестности'а и точка а была бы устранимой особой точкой (см. замечание к теореме 1). Пусть теперь задано произвольное комплексное число А. Имеет место один из двух случаев: 1) в любой окрестности точки а найдется точка z, в которой f (?) = 4, тогда теорема Сохоцкого доказана, ибо из таких

точек z можно построить последовательность 2冗—@, так что f(2&)= 4, а значит, и lim /(2々)=4, и 2) в некоторой окрест-

ности точки а функция f(z) не принимает значения А.

аналитична для нее ни случаях су- lim f (z) =аналитична для нее ни случаях су- lim f (z) =z->az->aВо втором случае в упомянутой окрестности функция g (2)=尸⑵!二大・ Точка а не может быть полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих ществовал бы конечный или бесконечный предел

аналитична для нее ни случаях су- lim f (z) =

аналитична для нее ни случаях су- lim f (z) =

z->a

z->a

需)・ Следовательно, а является существенно осо-需)・ Следовательно, а является существенно осо-lim f ⑵)=limA-> oo后Toolim f ⑵)=limA-> oo后Too

需)・ Следовательно, а является существенно осо-

需)・ Следовательно, а является существенно осо-

lim f ⑵)=limA-> oo后Too

lim f ⑵)=limA-> oo后Too

= lim Л + -

бой точкой функции g(w) и по доказанному существует последовательность 胃冗一>а, для которой limg(2^) = 8. Для этой

Jfe-> ОО последовательности, очевидно,

и теорема Сохоцкого доказана.

Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы этого* пункта позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному (конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т. е. стремится (по различным последовательностям) к любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных случаев быть не может.

Приведем ряд примеров элементарных функций с особыми точками различных типов:

Функции

sin z1 — cos г

имеют в начале координат устранимую особую точку. В этом проще всего- убедиться, используя известные тейлоровские разложения (5) из п. 18 и теорему 1 этого пункта. Например, имеем при любом z 柒 О

sin zz2 z4

丁 = 1+可一…

Функция

产+1

£ + 1 имеет в них нули первого порядка£ + 1 имеет в них нули первого порядкаимеет бесчисленное множество полюсов в точках 之=土匕г (2々 + 1) Z,々 = 0, 士1, ±2, ..., в которых знаменатель обращается в нуль (эти точки расположены на двух биссектрисах координатных углов). Все полюсы — первого

£ + 1 имеет в них нули первого порядка

£ + 1 имеет в них нули первого порядка

порядка, так как функция ~у

(ее производная 2之®”’ отлична от нуля в этих точках).

Функции

宀 sinl, cos-i22

имеют в начале координат существенно особую точку. В этом проще всего убедиться, подставляя l/z вместо z в тейлоровские разложения (5) из п. 18 и пользуясь теоремой 3 этого пункта (например, при любом z 哪 0 имеем

=1 + — 2

1 1

+可声

Проверим для примера справедливость теоремы Сохоцкого для первой из этих функций. Для Л = оо последовательностью zk этой теоремы может

служить zk = \/kt 左=1, 2, 3, ..., ибо, очевидно, lim / (之内) lim ek = oo； fe-> oofe -> oo

для Л = 0 можно принять 之々=—1/电 左=1, 2, 3, .... ибо тогда lim / (之々)= ，,^^fe->OO

= lim e~k = 0; наконец, для конечного 4 =/= 0 берем %~

左_>00Й (In A + 2«h0

左=0, I, 2, тогда lim /(%)= Пт е1пЛ+2ЙП1 = A (In означает какое- fe->oo ' в/ fe->oo

нибудь значение логарифма).

Функция

имеет в начале координат неизолированную особую точку, ибо ее полюсы % = + у &左 + jj-：■ накапливаются к началу координат (ср. пример 2).

По характеру особых точек выделяют следующие два простейших класса однозначных аналитических функций:

Целые функции. Функция f(z) называется целой (или голоморфной), если она вовсе не имеет особых *) точек. По теореме п. 18 можно утверждать, что всякая целая функция представляется степенным рядом 2 c^z", сходящимся во 九=0

всей плоскости (и, обратно, всякая функция, представимая всюду сходящимся степенным рядом, является целой функцией). Примерами целых функций являются все многочлены, показательная функция, sin г, cos г и др. Очевидно, сумма, разность и произведение целых функций суть снова целые функции.

Дробные функции. Функция f(z) называется дробной (или мероморфной), если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в любой ограниченной области мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой области было бесконечно много полюсов, то существовала бы их последовательность, сходящаяся к некоторой точке а, которая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом. Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много； Примерами мероморфных функций являются все целые функции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное двух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональная функция R 出,%， •…,fn) от мероморфных функций снова является функцией мероморфной.

Подробнее о целых и мероморфных функциях см. гл. V.

Теорема о вычетах. Принцип аргумента. Здесь мы введем весьма важное для дальнейших приложений понятие вычета ) функции и докажем некоторые связанные с ним теоремы общего характера; примеры вычисления вычетов и различные приложения мы рассмотрим ниже (главным образом в гл. V и VI).

d Вычетом функции f(2)в изолированной особой.точке а (обозначение res f (а)) называется число

击 ff(2)dz‘⑴

V

где /у — достаточно малая окружность \z — а\ = р, проходимая в положительном направлении. Согласно п. 13 величина вычета не зависит от величины р для достаточно малых р.

Из формул (8) п. 21 для коэффициентов ряда Лорана при п = — 1 непосредственно вытекает, что*

resf (а) =贵口 (z)dz = j,(2)

V

т. е. что вычет функции f(2) s особой точке а равен коэффициенту при минус первой степени s лорановском разложении f(2)s окрестности а.

Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции всегда равен нулю. Нахождение вычета В полюсе порядка и облегчает следующая формула:

res f (а) = -4- lim {(г —。严 f ⑵}.(3)

(〃 一1)!另今a dz"

Для ее вывода достаточно умножить лорановское разложение f(z) =十，^-十3十...

на (z — а)п, продифференцировать полученное равенство и—1 раз и затем перейти к пределу при z-^a (непосредственная подстановка г = а в выражение производной невозможна, ибо。一 особая точка /(г))..

Для полюсов первого порядка формула (3) принимает особенно простой вид:

res f (。) = lim {(г — a) f ⑵}.(4)

г->а

Если при этом в окрестности точки а функция f(z) определена как частное двух аналитических в этой точке функций:

f (z) =f (z) =屮⑵ 厘&)'屮⑵ 厘&)'

f (z) =

f (z) =

屮⑵ 厘&)'

屮⑵ 厘&)'

причем q)(a) ^ 0, а 屮(之)имеет в а нуль первого порядка (т. е. 屮(а) = 0, а 屮'(а)#0)，то формулу (4) можно заменить следующей:

res f (а) = Нт ?貝.(2 — а) = Нт / ,⑵ /、= ?然. (5)

2 — а

Прим е р. Мероморфная функция ctg 之？ имеет полюсы первого порядка в точках г = ± У ± Ал (/г = 1, 2, 3, ...), и полюс второго порядка в точке г = 0 (в этом проще всего убедиться, рассматривая нули функции tgz?) Вычет в точке г = 0 ло формуле (3) равенПрим е р. Мероморфная функция ctg 之？ имеет полюсы первого порядка в точках г = ± У ± Ал (/г = 1, 2, 3, ...), и полюс второго порядка в точке г = 0 (в этом проще всего убедиться, рассматривая нули функции tgz?) Вычет в точке г = 0 ло формуле (3) равен既^⑵Ctg吟=吃土疇『既^⑵Ctg吟=吃土疇『limz-»0limz-»0^"炉 + • * *^"炉 + • * *0*)0*)

Прим е р. Мероморфная функция ctg 之？ имеет полюсы первого порядка в точках г = ± У ± Ал (/г = 1, 2, 3, ...), и полюс второго порядка в точке г = 0 (в этом проще всего убедиться, рассматривая нули функции tgz?) Вычет в точке г = 0 ло формуле (3) равен

Прим е р. Мероморфная функция ctg 之？ имеет полюсы первого порядка в точках г = ± У ± Ал (/г = 1, 2, 3, ...), и полюс второго порядка в точке г = 0 (в этом проще всего убедиться, рассматривая нули функции tgz?) Вычет в точке г = 0 ло формуле (3) равен

既^⑵Ctg吟=吃土疇『

既^⑵Ctg吟=吃土疇『

limz-»0

limz-»0

^"炉 + • * *

^"炉 + • * *

0*)

0*)

(это видно также из того, что лорановское разложение ctg а? с центром в точке 2 = 0 может содержать лишь четные степени г). Вычет в точке z = ± М ± /гл по формуле (5), где принято 屮=cos г2,屮=sin г2, равен

cos г2 11

.，= 土-.

2n cos г2 2n 2 M ± /гл

Применение теории вычетов основывается главным образом на следующей важной теореме о вычетах:

Теор ем а 1 (О. Коши, 1825 г.). Пусть функция /(г) непрерывна на границе ) С области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек аь о2,... ...,ап. Тоеда; если С обходится в положительном направлении, то

J f ⑵ dz = 2ni £ res f (啕.⑹

C左=1

Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвязных областей (п. 13). Заключим каждую точку 0在 в кружок 丫在：\z — ak\ = рл столь малый, что все такие кружки лежат в области D и не пересекаются друг с другом (рис. 26). Так как f(z) аналитична в области Q*, ограниченной кривой С и совокупностью окружностей уд, и непрерывна в D*, то по цитированной теореме

jf(z)dz + £ jf(z)dz = O,

где все 丫品 проходятся по часовой стрелке. Меняя направление обхода окружностей 丫在 и пользуясь определением вычета (1), согласно которому

j f ⑶ dz = 2欣 res f (a)

мы получаем нужный результат (6).

Принципиальная важность теоремы о вычетах заключается

в том, что она позволяет свести вычисление величины «в це

Рис. 26.Рис. 26.лом», какой является интеграл по замкнутому контуру конечной величины, к вычислению величин《в малом», дифференциальных величин, какими являются вычеты. Действительно, вычеты вычисляются с помощью интегралов по бесконечно малым контурам или даже с помощью простого предельного перехода (формулы (3), (4) и (5)). Метод сведения вычисления величин «в целом» к

Рис. 26.

Рис. 26.

вычислению дифференциальных величин является обычным в математическом

анализе (сравни вычисление интегралов с помощью первооб

разных, которые определяются на основании известных производных). Применение теории вычетов посвящена специальная глава V.

Остановимся еще на понятии логарифмического вычета. Под логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке а понимают вычет ее логарифмической производной

{lnf(z)}，=鵠.

Ясно, что имеет смысл говорить логарифмических вычетах не только в особых точках, но и в нулях f(z). Если точка а

является нулем /(%) порядка л, то в окрестности этой точки

f (г) = С„ (г — а)п + с„+1 (г — flf+1 + сп^ о, следовательно,

у (z) = nc„ (z — а)1 +(П + 1) C„+I (z — а)"十 …

и логарифмическая производная

尸⑶=].мс以 + 5 + 1) с〃 + 】 (％ — а) + •…

/ (%) — z — а ' сп + сп + 1 (г — а) +*

Здесь второй множитель является функцией, аналитической в точке о, ибо сп，0, следовательно, он разлагается в ряд Тейлора с центром о (свободный член этого ряда равен п) и У^- = 7ТГ7{п + dQ(z — а) + d^z — с)2 + . . .}=

"胃：а + 4)+ 山伍一О)+(7)

Мы получили лорановское разложение логарифмической производной \\nf(z)Y в окрестности точки z = а, из которого видно, что точка о является ее полюсом первого порядка с вычетом, равным п. *

Пусть теперь о является полюсом f(z) порядка п. Так как функция g(z)= 1/f(г) имеет в точке а нуль порядка п и так как {lnf(z)Y = —{1л g(z)Y，то по только что доказанному, для логарифмической производной {In/(%)}，точка а является полюсом первого пфрядка с вычетом, равным ——п. Таким образом, доказана

Т еорем а 2. В нулях и полюсах функции f(z) ее логарифмическая производная f,(z)/f(z) имеет полюсы первого порядку причем 6 нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полосе ——порядку полюса со знаком минус. _

Теорема 2 и теорема о вычетах дают возможность применить логарифмические вычеты для подсчета числа нулей и полюсов аналитических функций в заданных областях.

Пусть функция /(%) аналитична внутри ограниченной области D всюду, кроме конечного числа полюсов 仇，岳，…，bm кратностей, соответственно р\,夕公,..,pm, непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в 0; пусть еще 厂(胃) непрерывна на С. Тогда функция f(z) имеет в D лишь конечное число нулей, ибо в противном случае существовала бы бесконечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней «ли граничной точке области D, но эта последовательность не мо- жет сходиться ни к\ -^пенней точке (по теореме единственности п. 20), ни к граничной точке (потому что /⑵，0 и непрерывна на С), Нули f(z) в области D мы обозначим через

〃i, @2, ..., @2, а их кратности — соответственно через 总卜 иг,・.・ ...,⑷.Применяя к логарифмической производной f (г) теорему о вычетах и теорему 2, мы получим.:

1ST1STссf'(z)f'(z)Нг)Нг)dz~dz~= («1 +«2+ ... +吟一(Pl + 的 + •■• +Pm) = N —Р,= («1 +«2+ ... +吟一(Pl + 的 + •■• +Pm) = N —Р,(8)(8)

1ST

1ST

с

с

f'(z)

f'(z)

Нг)

Нг)

dz~

dz~

= («1 +«2+ ... +吟一(Pl + 的 + •■• +Pm) = N —Р,

= («1 +«2+ ... +吟一(Pl + 的 + •■• +Pm) = N —Р,

(8)

(8)

где ^ и Р обозначают соответственно полное число нулей и полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Выясним геометрический смысл левой части последнего равенства. Имеем:

费 Jdln"z) = *Jdln|f (z)| + ^Jdargf(z), (9) Ссс

где 1п и arg обозначают какие-нибудь ветви этих функций, не-

Рис. 27.Рис. 27.прерывные вдоль С. Так как при обходе замкнутого контура С функция ln|f (г) | возвращается к своему первоначальному значению, то первый интеграл в правой части (9) равен нулю. С другой стороны, если точка к/ = 0 лежит внутри контура, описываемого точкой 5 = f(?), когда г обходит С, то ^конечное значение

Рис. 27.

Рис. 27.

argf(z) может отличаться от начального (рис. 27) и тогда второе слагаемое будет отличным от нуля. Величина

去 Jdargf(z) =去Margf ⑵С

—полное изменение аргумента функции f(?) при обходе С, деленное на 2л,——геометрически представляет собой число обо- ротов вокруг начала @ = 0 вектора /(г) при полном обходе С, или, что то же самое, вектора w при обходе кривой Г, соответствующей С при отображении w = f(z) (на рис. 27 это число равно 1). Соотношения (8) и (9) выражают так называемый принцип аргумента:

Теорема 3. Пусть функция f(г) аналитична внутри области D всюду, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на границе С этой области и не обращается на С в нуль; пусть еще f'(2)непрерывна на С. Тогда разность между полным чис-

лом нулей и полюсов этой функции внутри D разна числу оборотов вектора w при обходе кривой Г, соответствующей С при отображении @ = f(z), или, что то же самое, сумме логарифмических вычетов f(z) в области D:

N-P = *Acargf ⑵ TJ 隔 dz・.(10) С

Дальнейшие результаты, относящиеся к подсчету числа нулей и полюсов функций, и их важные применения мы изложим в п. 75. Здесь мы приведем лишь одно видоизменение формулы (8), учитывающее не только число нулей и полюсов, но и их положение.

Рассмотрим наряду с функцией f(z), удовлетворяющей условиям принципа аргумента, еще функцию qp (z), аналитическую в D и непрерывную в D. Особыми точками функции g(2)= ф(2)^ ^ ■ могут, очевидно, служить лишь нули и по* люсы /(г), причем в окрестности каждой такой точки с она допускает разложение вида

g(Z)三{ф (с) + ...}{ ± -^z-y + •.. } = ± 理? + • • •

(см. теорему 2), где знак《屮》относится к случаю, когда точка с является нулем f(z), а знак《一》к случаю полюса. Отсюда видно, что вычет g(z) в точке с равен 土<р(с)〃 и, заменяя в соотношении (8) функцию f'(2)/f(2)функцией g(z), получим:

-^-^(p(z)^^-dz = nl<[>(ai)+ ... +ni<p(a^ —

С

一仍①(九)一 … 一ZW(bm). Ml)

Полагая, в частности,①⑶三 z, будем иметь>

盡 J Z 抬~dz = £n11ali _£р/1bli•(12)

C削=1hh1

Правая часть здесь представляет разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функции f(z) в области Q, причем каждый нуль или полюс входит в сумму столько раз, какой его порядок.

Рассмотрим теперь вместо функции f(z) функцию g(z) = =/ (г) — а,^где а — фиксированное комплексное число; полюсы g(z) совпадают с полюсами f(z), а нули являются а-точками функции /(2), т. е. точками, в которых f(z) принимает значение а. Если f(z) аналитична в области D всюду, кроме конечного числа полюсов, а на границе С этой области непрерывна и не

принимает значения а； причем 『(？)непрерывна на С, то к функции g(2)= f(2)— а применимы формулы (10) и (12).

Мы получаем тогда

ij т£г=Т dz = i Лс arg {f (г) - a} J； nft _ J； Pki (13) CA=1A=1

z f [z? a dz = £ "恒 _ 工 p®,(14)

CM=1k—\

где a「a; — a-точки функции f(2) в области О поряд

ков ) соответственно пь &,...,也,а 仇,历,&m —ее полюсы порядков соответственно рь р2, • • •, Рт・

Мы воспользуемся этими формулами в гл. VII.

Бесконечно удаленная точка. До сих пор мы рассматривали лишь конечные точки плоскости комплексного переменного, однако для изучения некоторых вопросов полезно ввести и бесконечно удаленную точку. Это нагляднее всего сделать 工…с помощью так называемой

стереографической проекции плоскости г на сферу, ка- 卜 сающуюся плоскости своим …южным полюсом. Такая проекция ставит в соответствие каждой точке г комплексной плоскости точку Z сферы, которая получается при пересечении сферы лучом, соединяющим г с северным полюсом сферы (рис. 28). Стереографическая проекция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между комплексной плоскостью и сферой с выколотым северным полюсом. Точки Z считают сферическими изображениями комплексных чисел г и саму сферу называют числовой,

Чтобы распространить соответствие на всю сферу, на плоскости вводят условную бесконечно удаленную точку (комплексное число г = оо) и считают ее соответствующей северному полюсу сферы. Число г = оо не участвует в арифметических операциях, как обычные комплексные числа. Однако говорят, например, что последовательность {?п} сходится к бесконечно удаленной точке, lim zn = оо, если для любого М > 0 на血* rt->oo

24] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 9r дется номер по, начиная с которого |гп | > А1 (выше мы так и делали в подобных случаях). Эта терминология оправдывается тем, что стереографические проекции Z^ точек zn нашей последовательности в самом деле образуют последовательность, сходящуюся к северному полюсу сферы.

Плоскость комплексного переменного с присоединенной к ней бесконечно удаленной точкой называют полной комплексной плоскостью (плоскость без такой точки называют тогда открытой). Как мы видели, полная комплексная плоскость эквивалентна сфере, и для геометрических представлений понятий, связанных с бесконечно удаленной точкой, очень удобно прибегать к сферическому изображению комплексных чисел.

Под окрестностью бесконечно удаленной точки понимают круг на сфере с центром в ее северном полюсе, или, другими словами, совокупность точек z, удовлетворяющих неравенству |г| > 7? (с присоединением бесконечно удаленной точки). После введения этого понятия мы можем рассматривать области,, содержащие бесконечно удаленную точку внутри или на границе, т. е. неограниченные области. Определение порядка связности, данное в п. 3 для ограниченных областей, без всяких изменений переносится на неограниченные области (например, окрестность точки z = 8 с включением последней оказывается односвязной областью, а та же окрестность с исключением z=8 ——двусвязной).

Также без всяких изменений распространяется на бесконечные z()и 5о определение п. 5 предела функции с помощью окрестностей. При этом функция, стремящаяся к пределу w0 = 8, называется бесконечно большой (см. п. 22, определение полюса).

Пусть функция f (之)аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z=8； понятие аналитичности в этой точке пока еще не определено). На такую функцию без всяких изменений распространяется определение особых точек из п. 22: говорят, что z = 8 является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции /(г) в зависимости от того, конечен, бесконечен, или вовсе не существует lim f(z).

2->ОО

Однако критерии типа особой точки, связанные с разложением Лорана (теоремы 1——3 п. 22), изменятся, что видно из следующего рассуждения. Положим z = 1/白 н

f(z) = f 什)=(р(0，

тогда ①售)будет аналитической в некоторой окрестности точки U = 0. Последняя будет для ф(^) особой точкой того же типа^

что и г = оо для f ⑶，ибо lim f(z) = lim qp (^). Лорановокое разложение f(2) в окрестности г = оо можно, очевидно, получить простой заменой = 1/г в лорановском разложении 屮(£) в окрестности g = 0. Но при такой замене правильная часть заменяется главной, -и обратно.

Таким образом, справедлива

Теорема !. В случае устранимой особенности 8 бесконечно удалённой точке Лорановское разложение функции /(г) 8 окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней 2, 8 случае полюса содержит конечное их число, а 8 случае существенной особенности — бесконечное.

Если f(2)имеет в точке 2= оо устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична 8 бесконечности, и принимают f(oo)= lim /(г). В этом случае функция, очевидно, огра- г->оо

ничена в некоторой окрестности точки г — оо.

Пусть функция f(2) аналитична в полной плоскости. Из аналитичности функции в бесконечности следует ее ограниченность в окрестности этой точки; пусть |f(z)|vM при |2|>R. С другой стороны, из аналитичности (а следовательно, непрерывности) f(2)в замкнутом круге |z|wR следует ее ограниченность в этом круге; пусть в нем |f(2)| &№• Но тогда функция f(2) ограничена во всей плоскости: для всех г имеем Ц(г) I < 7И = тах(7ИьЛ12).

Таким образом, теореме Лиувилля (п. 17) можно придать следующую формУ-

Теорема 2. Если функция /(г) аналитична 8 полной плоскости г, то она постоянна.

В заключение остановимся на понятии вычета в бесконечно удаленной точке. Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности точки 2 = оо (кроме, быть может, самой этой точки) ;под вычетом функции 8 бесконечности понимают:

resf(oo)=2—J f{z)dz,

где y" — достаточно большая окружность |?| = р, проходимая по часовой стрелке (так что окрестность точки 2 = оо остается слева так же, как и в случае конечной точки). Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции 8 бесконечности равен коэффициенту при 2-1 в лорановском ее разложении 8 окрестности точки г = оо, взятому с обратным знаком.

Наконец, легко получается

Теорема 3. Если функция f(2) имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов,- включая и вычет 8 бесконечности^. равна нулю.

f(z) = {f(z) = {fo(z) fl (г)fo(z) fl (г)в Do, в01.в Do, в01.⑴⑴

f(z) = {

f(z) = {

fo(z) fl (г)

fo(z) fl (г)

в Do, в01.

в Do, в01.

⑴

⑴

В самом деле, пусть аь …，ап будут конечные особые точки функции f(2)и у—окружность |г| = р, содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечности имеем:

0=盡卜(2)厶 +詣 Jf(z)dz =

YY~

= resf(ai)+ + resf(an) + resf(°°)>

что и требовалось доказать.

Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции. Здесь мы рассмотрим вопрос об аналитическом продолжении функций и введем понятие многозначной

аналитической функции, обобщающее понятие аналитичности п. 5.

Пусть две области Ро и R без общих точек имеют общий участок границы 丫 (рис. 29) и в этих областях заданы (однозначные) аналитические функции %(2)и 九⑶ соответственно. 'Будем говорить, что функция fi (г) является непосредственным аналитическим продолжением функции fo(2)в область 5,

если существует аналитическая в

в области Z)o + V + ^1 функция f(г), равная fQ(z) во всех точках Do и равная 厶(2)во всех точках。匚

По теореме единственности (п. 20) при заданных областях Do и Di и участке границы у аналитическое продолжение данной функции fo(2) (если оно возможно) определяется однозначно.

Приведем одно простое достаточное условие для аналитического продолжения, так называемый принцип непрерывного продолжения:

Теорема 1. Пусть даны две односвязные области DQ и D] без общих точек, такие, что их границы имеют один общий кусок у, и в этих областях соответственно заданы аналитические функции fo(2)〃 fi(2). Если, кроме того, эти функции непрерывны 8 Dq 4~ Y w ^i + Y u совпадают во всех точках кривой Y，то функция fi(2) является непосредственным аналитическим продолжением функции fo(2)8 область D.

Доказательство основано на теоремах Мореры (п. 17) и

Коши (п. 12). Действительно, в силу наших условий функция

% ⑵ в О。,

(2)(2)/(2)= %(2)=九(2) на Y,

(2)

(2)

А(г) в 5

непрерывна в области Q = Q()+ y + Q］； покажем, что ее интеграл по любому замкнутому контуру С, лежащему в Q, равен нулю. Если С полностью принадлежит одной из областей D》 или Qi, это является непосредственным следствием теоремы Коши. Если же С принадлежит Dg и Qi, то, обозначив через Cq и & части контура & лежащие соответственно в /)0 и Q, через с—часть кривой у, лежащую внутри С (рис. 29), по теореме Коши (в обобщенной форме, см. теорему 5 п. 12) будем иметь:

J f(z) dz = 0, J f(z) dz — Q.Co+c&+「

Складывая эти равенства, мы получим:.

J f (z) dz + J f(z) dz = J f(z) dz = 0.

Co+c& +「C

Отсюда по теореме Мореры заключаем, что функция f(z) аналитична в области Q, а это и означает, что fi(z) является аналитическим продолжением fo(z). Теорема доказана.

Коротко говоря, доказанная теорема означает, что если аналитическая функция является непрерывным продолжением аналитической же функции %(?) через дугу у, то она является и аналитическим продолжением этой функции ).

Основываясь на теореме 1, мы несколько обобщим введенное выше понятие непосредственного аналитического продолжения. Именно, допустим, что области Dq и 5 имеют наряду с общим участком границы у еще общие внутренние точки (рис. 30) и что в этих областях по-прежнему заданы аналитические функции %(2) и fi(г). Мы будем тогда говорить, что 力(z) является непосредственным аналитическим продолжением /о (z) через дугу у, если %(2)и 厶(z) непрерывны в /)0 + Y и Qi+丫 и их значения на у совпадают.

Если Do и Qi не имеют общих внутренних точек, то это определение совпадает со старым. Если же Dq и D} имеют общие

точки (например, общую часть 6’ на рис. 30), то функция f⑶， определяемая по формуле (2), может быть двузначной в точках 6', ибо ниоткуда не следует, что в точке г из 6’ значения fo(z) и fi (г) должны совпадать. Таким образом, второе определение продолжения более общее, чем первое.

Рис. 31.Рис. 31.Еще несколько обобщим наше определение. Пусть дана цепочка односвязных областей Dq,。卜...,Dn, таких, что' каждая пара соседних областей Dft и D^+x имеет общий участок границы

Рис. 31.

Рис. 31.

Рис. 30.

丫在，在+1 (рис. 31), и пусть в каждой области D^ задана однозначная аналитическая функция f^(z). Будем говорить, что fn(^) является аналитическим продолжением ) функции fo(z) в область Dn через данную цепочку областей, если для любого 々=0, 1,…，п — 1 функции 九⑶ и %+i⑶ соответственно непрерывны в Dk + \h, k+i и Z)ft+i + \k, fe+i и их значения на 丫在，在+i совпадают. При п = 1 мы получаем предыдущее определение.

Заметим, что и здесь при фиксированных Dq, Db …，Dn и уоь 丫！2, • •., Yn-i, n аналитическое продолжение функции fo(2) в область Dn (если оно возможно) определяется однозначно. При изменении же промежуточных звеньев цепочки Q在,или даже при замене какой-либо дуги 丫在，在+i другой общей дугой уд( fc+i границ областей Q在 и。在+i, значение аналитического продолжения может измениться.

Поясним сказанное простым примером. Пусть 0。 и Dj представляют собой верхнюю и нижнюю половины кольца I 之 |z| V 2, для которых соответственно Im г >• 0 и Imz V0, и %(2)—ветвь Vг, характеризуемая условием 0 V arg z V 冗. Если принять в качестве yoi отрезок (—2,—1), то аналитическое продолжение f0(^) в Di вполне определится как ветвь Mz, для которой л < arg 2 V 2л (на yov значение аргумента должно меняться непрерывно) .Если теперь, оставив без изменений fo(z) и области 0° и 0卜

заменить отрезок Yoi отрезком 击1： (1, 2), то аналитическое продолжение %(z) в О】 определится как вегвь Mz, для которой —л V argz V п (теперь значения аргумента должны меняться непрерывно нн отрезке Yoi). Эти продолжения fi(z) и fi (z) различны, например,

(они отличаются лишь знаком). Таким образом, значение аналитического продолжения действительно может измениться даже лишь при изменении связывающих цепочку дуг.

Пусть теперь %(z), A, D] и Yoi имеют прежний смысл; возьмем еще одно звено цепочки Р2 = ^о, связанное с Di отрезком 丫设：(1,2); тогда аналитическое продолжение %(z) определится как ветвь И г, для которой 2г V arg z V Зг, и в любой точке z верхнего полукольца значения f“zj и %(z) будут различными (отличаться знаком). Мы видим, что когда области 方о и Dh налегают друг на друга, то в их общих точках значения функции и ее аналитического продолжения могут быть различными.

Введенное понятие аналитического продолжения позволяет ввести понятие полной аналитической функции (вообще говоря, многозначной). Пусть в некоторой области Qo задана однозначная аналитическая функция fo(2)・ Может случиться, что fQ(z) непродолжаема ни через одну дугу границы С области Dq. Например, пусть £>0 —круг 121Vl н

⑶

Функция %(2)имеет особенность в точке 2=1, ибо для действительных 2 =尤,как легко видеть, lirn fo(x)= оо. В самом деле, lim 5 尤* =孔,следовательно, для любого п найдется 6 > О х-> 1 力=1

такое, что при х > 1 — 6 имеем 工尤？' > 孔—1, а значит, и пс- давно, fo (尤)=У 尤？' > 孔—1. Далее имеем;

АЛ%)=%2+£(/У = %2+А)32)，艇=1

откуда видно, что и в точках 2=力 (т. е. 2= ±1) имеются особенности. Аналогично, для любого натурального 孔

f0(z) = z2 + ^+ ... +* + %(*),

следовательно, и в точках 2 = М，которые лежат в вершинах правильного 2п-угольника, вписанного в окружность |г| = 1,

функция /o(z) имеет особенности. Таким образом, множество особых точек функции fo(z) всюду плотно на окружности |г| = 1 и /o(z) действительно непродолжаема ни через какую дугу этой окружности.

В таких случаях мы будем говорить, что контур С является естественной границей функции fo(z), Z>0 будем называть областью существования этой функции, а саму функцию ■—полной аналитической функцией.

Пусть теперь fo(z) продолжаема за пределы £>0. Рассмотрим всевозможные ее аналитические продолжения по всевозможным цепочкам областей. Будем смотреть на значения всех таких продолжений как на значения одной функции f(z). Такую функцию мы будем называть полной аналитической функцией, а однозначные аналитические функции, из которых она составлена (продолжения функции /0(2))——ее ветвями. Область D, получаемую объединением всех областей, составляющих цепочки, по которым совершаются аналитические продолжения, и дуг, вдоль которых смыкаются эти области, мы будем называть областью существования f(z).、

Функцию f(z) можно рассматривать и не во всей области существования, а лишь в ее части; тогда мы будем называть f(z) просто аналитической функцией. Такое определение аналитической функции является обобщением определения п. 5, ибо оно допускает, очевидно, и многозначные функции. В дальнейшем, говоря об аналитической функции, мы будем понимать аналитичность в этом более общем смысле. Если же нужно будет подчеркнуть, что речь идет об аналитичности в смысле п. 5, мы будем говорить о б однозначной аналитической функции.

Мы закончим изложение общего понятия аналитической функции описанием точек, в которых нарушается ее аналитичность—особых точек функции. Не нужно думать, что такие точки представляют собой нечто исключительное, патологическое, и потому мало интересное для приложений. Напротив, особые точки представляют наибольший интерес при изучении аналитической функции, ибо в них, говоря описательно, заложена вся основная информация о функции. Читатель лучше оценит справедливость этого утверждения, когда он ознакомится, например, с главой V и увидит особые точки, так сказать, «в работе». Пока же мы советуем вспомнить, что по теореме Лиувилля (в формулировке п. 24) все аналитические функции, за исключением постоянных, имеют особые точки^ а также вспомнить те уже довольно многочисленные места данной книги, где на основе изучения особых точек делались важные заключения о свойствах функции (теоремы п. 23, замечание в конце п. 19 и т. п.). Перейдем к точным определениям.

Точку а, принадлежащую области существования аналитичен ской функции или ее границе, мы будем называть особой точкой функции f(z), если в ней нарушается аналитичность хотя бы одной ветви функции f (z) ). -

Как и в п. 22, мы ограничимся рассмотрением особых точек простейшего вида — так называемых изолированных. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует такая окрестность Ov|z — a|vR, что f(z) продолжаема вдоль любой цепочки областей, принадлежащих этой окрестности.

Рассмотрим цепочку, составленную из областей О& (й = 0, ±1, ±2, ...), представляющих собой кольца 0 < V|z — a\<Z R, разрезанные вдоль некоторого раднуса, например arg(z — а) — 0. Пусть %(2)—ветвь f⑶，однозначная и аналитическая -в каком-либо кольце Dq с разрезом у# Если значения %(2)на обоих берегах разреза уо совпадают, то мы будем говорить, что а — особая точка однозначного характера для данной ветви (в этом случае по теореме единственности п. 20 аналитические продолжения ветви fo(z) в другие кольца % совпадают с fo(z)j・ Такие особые точки мы рассмотрели в п. 22.

Если же значения %(2)на берегах разреза не совпадают, то а называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления. Здесь возможны два случая:

Существует цепочка О。, £)ь ..., Dn-\ колец, соединенных последовательно, например против часовой стрелки (т. е. ниж* ний берег разреза на Do соединяется с верхним берегом разреза на О】, нижний на D\ — c верхним на 力2 и т. д.), такая, что на оставшихся свободными берегах разрезов Dq и。… (верхний берег на & и нижний на。…)значения %(2)и fn_! (z) совпадают. Тогда по теореме единственности п. 20 fn(z)s fo(2), fn+i(z)s fi(z), ...,(2п-\(г) = fn-\(z), и вообще значения fk(z) при ft, изменяющемся от —оо до оо, периодически повторяют значения fo(z), fi(z)‘, ..., /71-1(2). В этом случае мы будем говорить, что а — точка ветвления конечного порядка л. '

Если в рассматриваемом случае все ветви 居⑶ при z-^a стремятся к одному конечному или бесконечному пределу, то говорят, что а является алгебраической точкой ветвления. Та-

кОвы, например, точки г = 0 и z = оо для функции『(之)=伏2 ИЛИ f(2)= 1/^2. Если же предел 扭⑵ при z—+н не существует, то а называют трансцендентной точкой ветвления. Та- п нова, например, точка z = 0 для функции f (z)=。"丿“ (_г = оо является для нее алгебраической точкой ветвления).

Во всех кольцах Dh цепочки значения функций различны. В этом случае а называют логарифмической точкой ветвления. Таковы, например, точки z = 6 и z = оо для многозначной функции w = Ln z. Логарифмические точки ветвления относят к числу трансцендентных.

В окрестности точки ветвления q конечного порядка п функция f(z) допускает разложение в обобщенный степенной ряд:

'⑵⑷

В самом деле, положим z ——q = ；" тогда цепочке областей Dv (V = 0, 1, ..., п—1) в плоскости g будет соответствовать цепочка смежных секторов Av кольца 0V|g|Vp=UR с центральными углами 2л/п. Рассмотрим сложную функцию (p(g) = =/(&十工几),причем в каждом секторе Av мы выбираем соответствующую ветвь % функции 人 Функция (р(^), очевидно, непрерывно продолжается из Ао в 八卜 А?, Ал, и значения ее на свободных берегах разрезов Ао и Ai совпадают. Поэтому точка ^ = 0 является для этой функции изолированной особой точкой однозначного характера и, следовательно, (р(^) представляется в окрестности 匕=0 рядом Лорана

屮(9 = / c/匕

Подставляя сюда ^ —(z — а^1п. получим искомое разложение (4).

В случае алгебраической точки а разложение (4) содержит конечное число членов с отрицательными 月 (быть может, эти члены л вовсе отсутствуют), а в случае трансцендентной точки —бесконечное.

Римановы поверхности. В заключение этой главы остановимся, на понятии поверхностей Римана для многозначных функций. Эти поверхности делают геометрически наглядным описанный выше процесс аналитического продолжения и само понятие многозначной аналитической функции. Пусть дана (многозначная) аналитическая функция f(z), определенная

в области D плоскости комплексного переменного 2. Условимся рассматривать области Dki из которых в процессе аналитического продолжения строится область О, как отдельные листы.

изготовленные в таком количестве экземпляров, сколько значе

ний имеет функция в данной области D.

Рассмотрим в плоскости z некоторую цепочку областей Do, 。1， •••, Dn с общими участками границ уОь 丫⑵Y^-i,九. Пусть области Do и D\ имеют общие части, причем в одних из этих частей значения fo(z) и fi (z) совпадают, а других — различны. Мы возьмем листы, соответствующие Do и 力厶 и склеим

их по линии, соответствующей уоь Расположим эти листы над

Dq + yoi + D\ так, чтобы каждый лист лежал над соответствукицей областью, и склеим их части, расположенные над теми общими частями О0 и Оь в которых /о(2) и fi (z) совпадают; склеенные части будем рассматривать как один слой. Над теми же общими частями областей Do и £>ь в которых значения fo(z) и fi (之)различаются, мы расположим соответствующие части листов друг над

другом, так что над такими частями бу

дет лежать по два слоя. Мы условимся относить значение fo(z) к точке первого листа, расположенной над z, а значение 九(之)一 к такой же точке второго листа; тогда функция

% ⑵ в Z)o,

f(z)= I fo(z) = fi(z) на Yoi>

fi(z) в Di

будет однозначной на совокупности склеенных нами листов.

Точно такие же операции проделаем над листом, соответствующим области £>2 ), и т. д. При этом может случиться 1?ак, что надлежащая склейка листов невозможна без их пересечения; мы условимся такие пересечения не принимать во внимание (см. рис. 32, где изображена окрестность точки ветвления третьего порядка, склеенная из трех колец 0v|z — а\< R •с разрезами; мы не принимаем во внимание пересечения, возникающие при склейке колец О0 и О2). В результате мы получим кусок, вообще говоря, многолистной поверхности, расположенный над областью Do + Yoi + ^1 + • • • + Yn-i, n + Dn. Если

为］ $ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ Ю1 мы проделаем описанные операции для всевозможных цепочек областей, определяющих аналитическую функцию f(2), то получим, вообще говоря, многолистную поверхность R, расположенную над областью D. Эту поверхность мы и будем называть римановой поверхностью функции f(z).

Существенно отметить, что любую аналитическую функцию ложно рассматривать как однозначную на ее римановой поверхности. Для этого достаточно относить различные значения, принимаемые функцией в какой-либо точке 2, к различным листам римановой поверхности, расположенным над этой точкой.

Например, три значения корня Уz ~ zQ в точке z #= z0 из окрестности z0 мы условимся относить к трем точкам поверхности на рис. 32, лежащим над точкой 2.

Если 而ункцця w = f (z) обратна к однозначной функции z =(p(w) (как во всех примерах, которые мы рассматривали в § 3), то она, очевидно, реализует взаимно однозначное отображение своей римановой поверхности на полную плоскость w или некоторую： ее часть. В общем же случае w = f(z) отображает одну риманову поверхность на другую.

Приведем несколько примеров простейших римановых поверхностей ):

Риманова поверхность корня 通=V^. В качестве областей Du возьмем плоскости с вырезанной положительной полуосью: D& характеризуется неравенствами 2左窮 « arg z V 2(左 + 1) л (k = =0, 士 1, ±2, ...),. В начальной области D。 ■возьмем ветвь fo(z), определяемую условием О V arg z V 2л* и будем продолжать ее в области Qz, .... Dn-i. В соответствии с этим заготовим п экземпляров листйв, имею- ■щих тот же вид, что и D«, и будем склеивать нижний берег разреза области Do с верхним ■берегом разреза области Dlt нижний берег разреза области Di с верхним берегом разреза области 5 и т. д. Значения 加⑶ и fn (г) на положительной полуоси (и во всей области Dn = Do) совпадают. Следовательно, мы должны склеить между собой (не учитывая пересечений, которые при этом возникают) оставшиеся свободными верхний берег разреза

на листе Do с. нижним берегом разреза на Dn-i. Значения К г в (^сталь- ных областях Da лишь повторяют выделенные значения %,九， ^следовательно, построенная нами n-листная поверхность и является римановой поверхностью функции m=Mz. Над точками z = 0 и z = оо она имеет алгебраические точки ветвления порядка п (см. рис. 33, где п = 4).

Риманова поверхность логарифма w = Ln г. Области Dh те же, что и в предыдущем примере. В Do выбирается ветвь tw = Jn|z| -|- i argz, где 0 V arg V 2л, и эта ветвь неограниченно продолжается в области Dft для 々=士1, 士2,…Это соответствует тому, что бесчисленное множество экземпляров листов, имеющих тот же вид, что и Dft, соединяются между собой по следующему закону： нижний берег разреза каждого листа Рй склеивается с верхним берегом разреза листа Dft+1. Полученная риманова поверхность логарифма имеет вид, изображенный на рис. 34. Над z = 0 и z = оо она имеет точки ветвления логарифмического типа.

Риманова поверхность функции w = г + У^г2 — 1, обратной к функции Жуковского. В качестве 〃 возьмем плоскости с выброшенным отрезком [—1, 1], обозначим через f0(z) и 厶⑵ те ветви функции, которые ото6ра~ жают Do и Di соответственно на внутренность и на внешность единичного

круга (см. п. 7). Так как 力⑶ отображает на верхнюю полуокружность нижний берег отреза [—1, 1], а 九(2)—верхний, то мы должны склеить между собой нижний берег разреза на листе Do и верхний берег разреза на листе Dj. То же самое нужно сделать с верхним берегом разреза на 仇 и нижним на Di, которые отображаются на нижнюю полуокружность. Полученная двулист^ ная поверхность и есть риманова поверхность нашей функции; она имеет точки ветвления второго порядка над точками г = ±1 (рис. 35) ♦). Поверхность отличается от поверхности F^ лишь дополнительными дробно- линейными отображениями; действительно, преобразования z = “§ + !- н = =:十; переводят функцию 如= z + Mz2—1 в функцию w = V^t (см. п. 31).

Риманова поверхность арксинуса w = Arcsin г, В п. 9 мы видели, что функция г = sin от отображает полуполосу Im а/ > 0, —^ V Re и/ V 手 на верхнюю полуплоскость ), причем лучи (/) и (4) на нижнем рис. 36 переходят в лучи XV —1 и 彳> 1; из нечетности sin w следует, что полуполоса Im tw <0, — — < Re ay ^ ~^ переходит при этом в нижнюю полуплоскость, причем лучам (2) и (3) соответствуют те же лучи х V —1 и л > 1 (рис. 36). Таким образом, одна из ветвей функции w = Arcsin z (мы обозначим ее

на рис. 36. Так как sin(te» 4- ^) =—sin wt тона рис. 36. Так как sin(te» 4- ^) =—sin wt тоРис. 36.Рис. 36.ния второго порядка над z =ния второго порядка над z =Рис. 37.Рис. 37.

на рис. 36. Так как sin(te» 4- ^) =—sin wt то

на рис. 36. Так как sin(te» 4- ^) =—sin wt то

Рис. 36.

Рис. 36.

ния второго порядка над z =

ния второго порядка над z =

Рис. 37.

Рис. 37.

через /о(z)) отображает плоскость z с разрезами вдоль отрезков (—оо—1) d (1,8) (мы обозначим ее £>0) на полосу До：—寺 V Re и» V ^ с соответ

ствием границ, указанным

полоса Др 歹 V Re и» V — переходит при отображении z == sin о» в ту же область плоскости z; эту область мы обозначим D^ и через /1 (z) обозначим функцию, реализующую обратное отображение. Соответствие границ Д1 и 5 указана на рис. 36.

Оче&идно, ветвь 厶⑶ является аналитическим продолжением %(2)В DiHnpH таком продолжении функция л = sin о» остается непрерывной на прямой Re и» = 匸 л/2. В соответствии с

этим мн должны склеить крест-накрест берега разрезов листов Dq и D^ (4) с (/1) и (3) с (21). Получается двулистная поверхность с точкой ветвле

1 и с разрезом над лучом (—оо, —1), над которым расположено четыре берега разрезо^: (/), (2), (&) и (41). В силу периодичности функции z = sin te» совокупность полос & и Дэ отображается на такую же двулистную поверхность, состоящую из листов £>2 и £>з и имеющую четыре свободных берега разрезов: ("), (2z), (Зз) и (4з)・ Две построенные поверхности мы колжны соединить, склеивая крест-накрест свободные берега разрезов на листах А и £>2： (4/ с (厶)и (3】)с ⑵)一 это -соответствует непрерывному продолжению функции z = sin te» через прямую Re и» = = Зл/2 (рис. 36). При этом над точкой z = =—1 появится точка ветвления, соединяющая листы Di и £>2. Продолжая такое построение неограниченно вправо -и влево от основной полосы До, мы получим бесконечнолистную риманову поверхность арксинуса. Она имеет бесчисленное множество точек ветвления второго порядка над z = 士 1 и логарифмическую точку ветвления ) над z = оо (рис. 37).

Как показывает наше построение, функция z = sin @ осуществляет взаимнооднозначное и непрерывное отображение всей конечной плоскости и» на нашу риманову поверхность. Обратная функция w = Arcsin z однозначна на этой поверхности.

Литература к главе I

И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного перемен* иого, Фнзматгнз, 1960.

А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, т.т. 1,2, «Наука» 1968.”

А. И. Маркушевич, Краткий курс теории аналитических функций, Фиэматгиэ, 1961.

В. В： Ш а б ат, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.

С. С то и л о в, Теория функций комплексного переменного, т. 1, 2, пер^ с румынского, ИЛ, 1962.

А. Г у р в и ц, Р. К у р а н т, Теория функций, «Наука», 1968.

А. В. Б и ца д э е, Основы теории аналитических функций комплексного переменного, «Наука», 1972.

М. А. Е вг р а ф ов, Аналитические функции, «Наука», 1968.

р] А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов, Теория функций комплексной* переменной,《Наука», 1970.

В. И； Смирнов, Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Гостехиэдат,. 1957.

Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, Функции комплексного переменного 膝 некоторые их приложения, «Наука», 1964.

Дж. Спрингер, Введение в теорию римановых поверхностей, ивр. с англ., ИЛ, 1960.

А. И. Маркушевич, Очерки по истории теории аналитических функций, Гостехиэдат, 1951.

Глава //

Конформные отображения

Эта глава посвящена отображениям, осуществляемым аналитическими функциями, так Называемым конформным ото^ра Жжениям.

Понятие конформного отображения относится к числу важнейших понятий математики. Возникшее из физических пред* <тавлений, оно находит многочисленные и существенные приложения к различным областям физики—-метод конформных отображений с успехом решает практические задачи гидро- и аэродинамики, теории упругости, теории электростатического, гмагнитного и теплового полей и др.

Отдельные задачи, связанные с конформными отображениями, решались Д а л а м б е р о м, Эйлером и Гауссом*). Опираясь на их работы, Бернхард Риман в своей диссертации «Основы общей теории функций комплексного переменного» (1851 г.) положил Тгачало геометрической теории функций н, в частности, доказал (хотя и неправильно) основную теорему о возможности конформного отображения произвольных односвязных областей друг на друга. В своих исследованиях Риман, следуя Эйлеру, пользовался физическими представлениями, связанными с конформными отображениями.

Начиная с середины 19 века, конформные отображения широко применяются в качестве математического аппарата при изучении механики сплошной среды. Среди инициаторов такого применения видное место принадлежит Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину (гидро- и аэродинамика), Г. В. Колосову и Н. И. Мусхелишвили (теория упругости).

Общие положения. Примеры

В этом параграфе излагается понятие конформного отображения и общие принципы теории конформных отображений. Не лмея возможности доказать многие из них (доказательство

требует привлечения материала, выходящего за рамки книги), мы ограничиваемся тем, что разъясняем существо этих принципов и иллюстрируем их на ряде примеров.

Понятие конформного отображения. Предположим, что задано непрерывное и взаимно-однозначное отображение области D на некоторую область

侬=f(2)= 〃(X, у) + 2 (х, у)・ (1)

Предположим еще, что функции и(х, у) и v (х, у) дифференцируемы в этой области. Фиксируем произвольную точку г0 из D и в окрестности этой точки заменим приращения функций и и V дифференциалами. По определению дифференциала приращения можно представить в виде

"一"。=需("一X。)+瑞匂一如)+ " аr」

0 -"0 =瑞(* -*0)+瑞⑨一%) + gAr,]

где частное производное берутся в точке го, Аг = =伏(工一死)2 + (у — у。)?，а пь т)2 стремятся к нулю при Дг —*0. Замена приращений дифференциалами сводится к отбрасыванию в соотношениях (2) членов т]]Дг и 巾厶广，которые являются малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих формул (мы предполагаем, что (靄『+ (謂『и (翁了十(器У отличны от нуля).

Геометрически эта замена равносильна замене отображения w = f(z) отображением

〃一〃0 =黑(尤一к0) + 4~(y - у0), I

(3)

которое называется главной линейной частью отображения (1). Отображение (3) можно переписать в виде

u = ax + by + l, I

V = сх + dy + mt J，

где

ди . диdv j dv

,ди диdv du'

"="。一石尤。一石%，"="。一京*。一行% J

не зависят от % н у. Оно представляет собой так называемое линейное преобразование плоскости (х, у).

Отметим основные свойства линейных преобразований. Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено во всей плоскости z; предположим, что определитель

\ = ad — be.

отличен от нуля ); тогда обратное к (4) преобразование

.х = ~- (du — ftu — d/ + bni),

у =си-{- av + 历一am)

также однозначно определено во всей плоскости w. Таким образом, при А =# 0 не только каждому z соответствует одно значение з, но и каждому з — одно значение z, т. е. преобразование (4) осуществляет взаимно-однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость w.

Рассмотрим пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом /s = tgq), т. е. прямых у = %х 十 С. Заменяя здесь 尤 и у по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует пучок также параллельных прямых —си + аи + 1с — am = = k {du — bv — dl + bm) + СД с угловым коэффициентом

g = tge欝.

skb

Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты, на плоскости z в параллелограммы на плоскости w.

Пусть zo = х0 + i“o и Wo = «о + Шо — пара точек, соответствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отображение можно представить в виде

〃 —uQ = а(х — %о) + b (у — Уо),]

v — v0 = c(x — x^ + d(y — %), /()

а обратное отображение в виде

尤一尤о = "^ (〃 一 〃о) —— %)，

са(8)

у —У= — х(〃 一 〃о) + К (и — ?о)

(для вывода формул (7) и (8) достаточно подставить в соотношения (4) и (6) х — Xq, ..., V = vQ и вычесть из (4) и (6)

полученные уравнения). Учитывая формулы (8), мы можем утверждать, что окружности с центром в точке z°:

(X -/产+匂一%)2=产，

при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точке 5°：

(d2 + с2) (и —询)2 — 2 (bd + ас) (и — и0) (и — и°) +

+ (^ + й2) (о — ?о)2 = Д2г2.(9>

Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило окружности снова в окружности? Из (9) следует, что для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений:

bd + ac = Ot 紋+廿二巒+产.(10>

Первое из них дает £ =——^~ =入， откуда а = Ad, b = =——九а Подставляя это во второе уравнение (10), получим 紋=1, или 九=:士 1.

Случай 九=1 приводит к соотношениям

а = d, b = — с(11}

В этом случае /\ = ad — Ьс = а2 + Ь2 > 0. Положим

a = d= }/Xcos а, с = — b = }/Z"sin а,

это можно сделать, ибо у нас (^^) + (^^)2 = 2：^ = 1, Тогда преобразование (4) перепишется в виде:

u = pH (cos а • х — sina-z/)+ Л и = 了厶(sina *х + cos а・у) + т.

Эти соотношения можно записать в комплексной форме так:

〃 + i? = j/A'^os a + £ sin a) (х + iy) + I + im,

и они приводятся к линейной функции комплексного перемен- ного:

w = A^ + В,(12}

где

j=yieR B=l+im,(13}

Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразование (4) сводится к сдвигу плоскости 2 на вектор В = / + ^> повороту на угол a = Arg А и подобному растяжению с коэф- фициентом У\ = \ А \ (см. п. 4).

В случае 入=—1 мы имеем:

a = —d,a = —d,b = cb = c(14>(14>

a = —d,

a = —d,

b = c

b = c

(14>

(14>

§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ Ю9 и А =——а2 — й2 < 0. Повторяя только что проведенные выкладки, увидим, что преобразование (4) можно записать так:

w = ]/— \eiaz + 8. (15)

Следовательно, при условиях (14) к перечисленным выше преобразованиям добавляется еще переход от z к 2 т. е. сйммет- рия относительно действительной оси (см. п. 1).

Из геометрического смысла преобразований (12) и (15) ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют углы между двумя прямыми, преобразуют квадраты на плоскости г в квадраты на плоскости 侬 н т. п. Линейные преобразования, обладающие этим свойством, называются ортогональными, Таким образом, условия (10) есть условия ортогональности *) преобразования (4). Далее ясно, что преобразование (12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (короче, сохраняет ориентацию), а (15)—меняет их на противоположные (меняет ориентацию). Таким образом, условия (11) выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, а условия (14)—ортогональные преобразования, меняющие ее.

Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно-однозначное отображение

w = f(z) = u (х, у) + ги (х, у) (1) области D на область D* называется конформным, если в окрестности любой точки D главная линейная часть этого отображения есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию ). Из этого определения вытекают два основных свойства конформных отображений:

Конформное отображение преобразует бесконечно малые окружности 8 окружности с точностью до малых высших порядков (круговое свойство).

Конформное отображение сохраняет углы между кривыми 8 точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Первое свойство означает, что при малых г окружность С: |z — Zo| = r переходит в кривую С* такую, что расстояние любой ее точки от окружности | 侬一侬о|= р, проведенной через любую точку кривой С* — образа С при рассматриваемом отображении, является малой высшего порядка относительно г.

Второе свойство означает, что угол в точке г0 между любыми кривыми「и Гг равен углу в точке w0 между образами F； н Г； этих кривых ) (рис. 38).

Учитывая формулы (5) и (11), мы можем записать условия конформности отображения (1) в виде

6=可石=一而，(16)

причем должно быть

Д = Ш + Ш = ^/(го)12^О,(17)

ибо при А = 0 главная линейная часть отображения з = f(z) вырождается, что противоречит условию конформности. Таким

образом, условия конформности совпадают с условиями Коши — Римана (п. 5) дифференцируемости (аналитичности) функции f(z) в области D, причем неравенство (17) показывает, что производная f'(2) должна быть всюду отличной от нуля.

Далее, имеем

_=у\ cos а, =——= V A sin а.

дх ду г * дх ду г ，

откуда легко получить геометрическую интерпретацию производной от функции комплексного переменного. Мы имеем:

IF⑵ l=]/& argfyz) = a,(18)

г. е. модуль и аргумент производной 广(:г) означают соответственно коэффициент растяжения и угол поворота главной линейной части отображения w = f(z) в точке z или, иначе говоря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отображения w = f (г) 6 точке z.

Рассуждения, которые мы провели в этом пункте, приводят к следующему заключению:

Для того чтобы функция 侬= /(%) реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была 1) однолистной, 2) аналитической и 3) чтобы всюду 6 D производная /'(乞) была отличной от нуля.

Заметим, что если ^(zo) = 0, то в окрестности точки z0 тейлоровское разложение разности /(乞)一w0 имеет вид

/(2)— w0 = cn(z — &)" + с„ + 1 (z — z0)n+1 + . . ., (19)

где п ^ 2 и сп ¥= 0 (см. п. 20). Отсюда следует, что при малых |а ——z0\ = г отображение, осуществляемое функцией /(2), отличается на малые высшего порядка от отображения

w — w0 = cn(z — Zo)". (20)

Но отображение, обратное к (20), имеет в w0 точку ветвления 孔-ro порядка, т. е. отображение (20) неоднолистно в окрестности точки z0. Следовательно, и отображение 如= /(z) неоднолистно в окрестности z0. Таким образом, условие 3) в только что приведенной формулировке можно отбросить, ибо оно следует из условия 1) (однолистности отображения).

Отметим также, что, обратно, условие ^(zo) #= 0 обеспечивает однолистность отображения в достаточно малой окрестности точки zo — это доказывается так же, как предыдущее утверждение. Однако если условие ^(г) У=0 выполняется в каждой точке области Q, то отсюда еще не следует однолистности отображения во всей этой области даже при условии ее односвязности. Например, в полукольце 1V|21V 2, 0 ■< argz < л отображение w = г4, очевидно, неоднолистно, но в любой точке полукольца = 4z3 #= 0.

В заключение скажем несколько слов об отображениях, осуществляемых функциями однозначными, но неоднолистными в области D. В п. 26 мы видели, что каждая такая функция w = f(z) реализует взаимно-однозначное отображение области D на риманову поверхность R обратной функции 乞=屮(侬). Пусть точка Р поверхности R, лежащая над точкой w0, отлична от точки ветвления, и пусть точке Р соответствует некоторая точка z0 области D. Это означает, что существует ветвь (p0(2) многозначной функции (p(z) такая, что (p(w0) = г0. В точке z0

производная『(*=/= 0, ибо в противном случае, как видно из разложения (19),尸 была бы точкой ветвления поверхности R. Таким образом, функция f(2) реализует взаимно-однозначное отображение достаточно малой окрестности точки г0 на окрестность точки 恤.Это отображение будет, очевидно, конформным.

Итак функция © =，(？), однозначная, но не однолистная в области D, реализует отображение, конформное в достаточно малой окрестности каждой точки z® для которой f'(2c)=/=O. Точки, где f (г) = 0, а также их образы на римановых поверхностях мы будем называть точками ветвления (например, функция Жуковского 5 = ^(? + J) имеет точки ветвления в г = ± 1, w = sin 2 — в точках z = (2k + 1) ^■，月=0, ± 1,…・)・

28. Основная задача. Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать различные конформные отображения, ею осуществляемые. Любая область D, в которой эта функция однолистна, с помощью этой функции конформно отображается на некоторую область D*. Таким образом, мы можем получать различные примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих данную функцию. Этой задачей мы, собственно говоря, уже занимались в § 3 предыдущей главы, где все рассмотренные отображения были однолистными в соответствующих областях и осуществлялись аналитическими функциями, и были, следовательно, конформными.

Однако для практических целей больший интерес представляет значительно более трудная обратная задача, так называемая

Основная задача теории конформных отображений. Заданы области D и D*; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Так как для решения этой задачи не существует достаточно простого алгоритма, то развитие теории конформных отображений идет в следующих направлениях: '

выясняются общие условия существования конформного отображения и его единственности;

определяются различные частные классы областей, отображения которых можно осуществить при помощи комбинации элементарных функций;

с помощью общих свойств аналитических функций изучаются различные свойства конформных отображений в зависимости от вида отображаемых областей;

разрабатываются приближенные методы конформных отображений.

Остановимся на первой из перечисленных проблем. Прежде 8сего ясно, что в том общем виде, в каком сформулирована выше основная задача конформного отображения, эта задача неразрешима. Так, многосвязную область нельзя взаимно-однозначно и непрерывно отобразить на односвязную. Не останавливаясь на полном доказательстве, мы укажем на причины невозможности такого отображения. Предположим, что такое отображение многосвязной области D на односвязную область £)* существует. Возьмем в D замкнутую кривую & содержащую внутри внешние или граничные точки D (такая кривая всегда существует). Рассматриваемое отображение переведет С в замкнутую кривую С*, лежащую в Q*. Если внутри области £)* непрерывным образом стягивать кривую С* в какую-либо точку wo из D*t что в силу непрерывности отображения кривая С должна, оставаясь внутри области Q, стягиваться непрерывным образом в некоторую точку Q, что, очевидно, невозможно, так как внутри контура С лежат точки, не принадлежащие к D.

Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или открытую плоскость 之 на ограниченную область Q* плоскости ш. В самом деле, если бы существовало такое отображение, то функция w == f(z), его реализующая, была бы аналитической во всей открытой плоскости и в то же время ограниченной, ибо все значения этой функции лежали бы в области D*, но тогда по теореме Лиувилля (п. 17) f(z) должна быть постоянной, что невозможно.

Тем не менее, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, оказывается возможным конформно отобразить друг на друга и притом бесчисленным множеством способов, а именно, можно добиться соответствия любых двух фиксированных точек и любых двух направлений в этих точках. Иными словами, имеет место следующая, так называемая основна я теор ем а теории конформных отображений:

Теорема (Б. Риман, 1851 г.). Каковы бы ни были одно- связные области D и D* (с границами, состоящими более чем из одной точки) и как бы ни были заданы точки zQ из D и w$ из D* и действительное число ао, существует одно и только одно конформное отображение

w = f(z) (1)

области D на область Q* такое, что

f(Zo) = 5o，argf'^o) = а0. ⑵

Доказательство существования конформных отображений требует привлечения специального аппарата, выходящего за рамки этой книги, и мы его опускаем (см., например, Шабат

[3], стр. 199——206). Опираясь лишь на существование, докажем единственность конформного отображения при заданных условиях нормировки (2).

Рассмотрим сначала частный случай, когда области D и. Q* — единичные круги |г| < 1, |ш| <J, а г0 = ш0 = ао = 0. В этом случае мы должны показать, что если ш = / (г) осуществляет конформное отображение круга |z| V1 на круг |切| VI, причем /(0) = 0 н『(0) > 0, то

f(Z)= Z.

Доказательство основано на лемме Шварца (п. 15). Так как при |z|Vl имеем |/(г) | < 1, ибо ш = f(z) отображает круг |z| V 1 на круг |ш| <； 1, то по этой лемме

1/(г)|<|г|.

Применяя то же рассуждение к функции, обратной к ，(之)> получим:

Izl&l f ⑶〕•

Следовательно, |/(г) | = |г|, и по той же лемме f ⑶=eS.

Так как по условию 尸(0)>0, то а = 0 и f(z) = z.

Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два конформных отображения D на Q*:

w = fi (z), ay = %(z), удовлетворяющих условиям

力(0)= % (%) = %，arg^(20) = argf^(z0) = a0.

Отобразим конформно круг |工| V 1 на область D с помощью функции

z =屮(9；屮(0) = %,屮‘ (0) > 0,

а область 0* на. круг |s]V 1 с помощью функции

s = ” (ш);屮(ш0) = 0, arg 加(ш0) = — %.

Очевидно, функции

со =尸解)=屮[А (ф (?)], s = & (D =屮历(ф 化))] осуществляют конформные отображения круга |工| V 1 на круг ®| V 1 с нормировкой

尸 1 (0)=尸2 (0) = 0, arg 尸I (0) = arg 尸“0) = 0.

По доказанному выше,尸1(白)=尸2隽)，но тогда и 九(z) = %(%), и единственность отображения доказана.

В заключение отметим обобщение теоремы Лиувилля (п. 17), которое является непосредственным следствием теоремы Римана.

Если функция w = f(z) аналитична 6 открытой плоскости 〃 не принимает значений, лежащих на некоторой дуге у, го она постоянна.

В самом деле, пусть(о =(р(з) будет функция, реализующая конформное отображение внешности кривой у на внутренность единичного круга (она существует по теореме Римана и, конечно, не постоянна). Рассмотрим сложную функцию ® =(p[f(z)] = g(z)； она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно, по теореме Лиувилля (п. 17) эта функция постоянна. Но если g(z) постоянна, то постоянна и функция f(z), что и требуется.

В частности, например, f⑶ постоянна, если она аналитична в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на любой дуге в дополнительной полуплоскости).

Соответствие границ. Рассмотрим основные факты, относящиеся к соответствию границ, которое устанавливается при конформном отображении областей. Для удобства введем на границе С области D действительный параметр s — длину дуги, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки кривой С, так что на С будем иметь 匕=匕($). Если какая-либо функция f(z) непрерывна в замкнутой области D, то мы положим на границе С этой области

f(S) = f {白(s)} = Ф (s)

и будем называть (p(s) граничной функцией для функции f(z).

Приведем без доказательства теорему о соответствии границ (см. Г о л у з и н [6])

Теорема 1. Пусть функция 5 = f(之) осуществляет конформное отображение областей D и D*. Тогда

если граница О* не имеет бесконечных ветвей, то f(z) непрерывна на границе области D и граничная функция w = = f(C) =(p(s) осуществляет непрерывное 〃 взаимно однозначное соответствие границ областей Ь и О*;

если границы D и D* не содержат бесконечных ветвей и обладают в каждой точке непрерывной (следовательно, и ограниченной) кривизной, то граничная функция 中(s) непрерывно дифференцируема.

При этом всюду предполагается, что кратные точки границы считаются столько раз, какова их кратность; так, на рис. 39 точки двух берегов разреза cd и de считаются различными (и этим берегам соответствуют различные отрезки c*d* и d*e*), точки Ь* и 产一также (им тоже соответствуют различные точки

условие об от-функция ф(5)D, которые со-условие об от-функция ф(5)D, которые со-b и f). Если отбросить в первой части теоремы сутствии. бесконечных ветвей границы D, то останется непрерывной во всех точках границы

условие об от-функция ф(5)D, которые со-

условие об от-функция ф(5)D, которые со-

ответствуют конечным точкам. В точках же, которые соответствуют бесконечно удаленной точке границы D* (их может быть несколько, если эта точка кратная), непрерывна ,функция 1/ф(5).

Приведем еще, также без доказательства, несколько более точных результатов, относящихся к существованию производной конформного отображения на границе области. Первый из них был получен К. К а р а т е од о р и в 1929 г.:

Если функция w = f(z), /(0) = 0 реализует конформное отображение верхней полуплоскости на область D, граница которой С в окрестности точки w — 0 представляет собой непрерывную кривую, причем существуют окружности, проходящие через 9 = 0, одна из которых лежит целиком в Q, а другая — целиком вне Q, то при z—+0 по точкам верхней полуплоскости существует

Hm^^~= limf〈z) = у, 0 <| у |< оо.

Этот результат в 1931 г. был усилен М. А. Лаврентьевым и П. А. Бессоновым:

Если в окрестности точки 切=0 граница С спрямляема *), лежит между кривыми и = ± | и |1+а, 0 < а < 1 и lim = 1, где 〃(s)——абсцисса точки кривой С, расстояние которой вдоль С до точки 9 = 0 равно s, то существует

lim 毘^ = » о < у < oo.

z今оZ

Im 2》0

Для практических целей достаточен результат О. К е л л о- г а. Чтобы его сформулировать, условимся называть некоторую дугу дугой Ляпунова, если она спрямляема, имеет в каждой точке касательную и угол 今 наклона этой касательной с осью х

как функция длины дуги s удовлетворяет условию Гёльдера:|O®)-O(S1)|VK|S2-S1 Е，

где К — некоторая постоянная и OVaW 1. Имеет место Теорема. Если функция w = f (z) реализует конформное^ отображение области Q, граница которой содержит дугу Ляпунова с, на область Q, причем с преобразуется также в дугу Ляпунова с*, то на с производная f'(z) существует, не обращается в 0 и удовлетворяет условию Гёльдера.

Доказательство теоремы Келлога читатель может найти в книге Г. М. Голузина [6], стр. 468.

.Заметим еще, что условия нормировки (2) в основной теореме предыдущего пункта, содержащие три действительных параметра Хо, Уо(%о + iyo = Zo) и ао, можно заменить условием, соответствия трех пар граничных точек областей D и Q*;

f(^ = Wk (Л =1,2,3),，(1>

взятых произвольно, но с соблюдением порядка следования при обходе границ*). Это утверждение мы докажем в п. 35.

Для практики важен следующий в известном смысле обратный теореме 1 принцип соответствия границ:

Т еорем а 2. Пусть даны две односвязные области D u D* с границами С и С*, причем область D* ограничена. Если функ- ция w = f(2)—

аналитична в D, непрерывна в D и

осуществляет взаимно-однозначное отображение С на С* с сохранением направления обхода,

.то она осуществляет и (однолистное) конформное отображение области D на D*.

Для доказательства воспользуемся принципом аргумента из п. 23. Для любого комплексного значения wQi которое f(z) не принимает на границе С области D, число Wo-точек функции. f(z) внутри D равно

% 侬。)=击 Ac arg {/⑶一д},

где Acarg{f(з)— w^ есть полное изменение arg{f(z) — д},.. когда 2 обходит контур С (см. формулу (13) п. 23; число полюсов J (z) в области D равно 0, ибо f(z) непрерывна).

В силу взаимной однозначности и непрерывности соответствия между точками контуров С и С* имеем:

Ac arg {f ⑶—叫} = Ac* arg (ш — ш0).

Но, очевидно, Дс arg (оу — о/0) равно 2л для всех точек wQt лежащих внутри С*. и равно 0 для всех точек, лежащих вне С*. ■Следовательно, для всех точек к/& которые лежат внутри С*, N(wq) = 1, а для всех точек, лежащих вне С*, N(wq) = 0. Таким образом, функция w = f(z) принимает в D один и только один раз любое значение из £>* и не принимает никаких других значений, т. е. осуществляет однолистное отображение £> на D*. Теорема доказана.

В доказательстве нигде не используется ограниченность об- ласти D. Однако если область £>* не ограничена, т. е. содержит внутри себя *) или на границе бесконечно удаленную точку, то принцип нуждается в уточнении. Прежде всего, при его фор- кмулнровке мы должны отказаться от требования непрерывности /(а) в D, ибо f(z) перестает быть непрерывной в той точке, которая соответствует оу = оо. Но тогда без дополнительных огранрщений этот принцип перестает быть справедливым. Например, функция оу = г3 осуществляет непрерывное (кроме точки 2 = оо) и взаимно；однозначное соответствие точек оси 尤 и оси и с сохранением направления обхода и, однако, не является однолистной в верхней полуплоскости. Действительно, при этом отображении верхняя полуплоскость, т. е. угол раствора л, переходит в угол раствора Зл, который дважды перекрывает верхнюю полуплоскость (и еще один раз — нижнюю).

Случай, когда область D* неограниченная, важен для практики; мы сейчас подробно его рассмотрим. Имеют место две теоремы (мы сохраняем принятые выше обозначения и условие 2), наложенное на функцию f⑶).

Теорема 3. Пусть область D* содержит бесконечно удавленную точку внутри, тогда принцип соответствия границ сохраняет силу, если заменить условие 1) условием

Г) /(а) непрерывна в D и аналитична в D всюду, кроме некоторой внутренней точки 2о, в которой она имеет полюс первого порядка.

Для доказательства мы снова воспользуемся принципом аргумента. Согласно этому принципу для всякой точки д, не лежащей на С*, число 11Уо-точек функции f (z) удовлетворяет соотношению

N (д) — 1 =文 A© arg {f ⑵一д}=京 Ac* arg (да — g)

(внутри контура С* имеется в точности один полюс первого ；порядка).

Так как область Q содержит бесконечно удаленную точку, то С* обходится по часовой стрелке, т. е. Дс* arg (ш ——ш0) равно ——2л, если 5。лежит внутри С*, и 0, если ш0 лежит вне С*. Таким образом, N(wq) = 1 для всех внутренних точек области О* и N(Wq) = 0 для всех внешних точек, что и требовалось до

казать.

Следующая теорема относится к случаю областей, содержащих бесконечно удаленную точку на границе. Как показывает приведенный выше пример функции ш = 23, для сохранения принципа соответствия границ в этом случае требуются

D* имеет лишь одну та* простой точкой границы-D* имеет лишь одну та* простой точкой границы-дополнительные ограничения.

D* имеет лишь одну та* простой точкой границы-

D* имеет лишь одну та* простой точкой границы-

Предположим сначала, что область кую точку, т. е. что w = оо является

С*; предположим еще, что ветви С*, идущие в бесконечность, обладают асимптотами *). Через 0л (О W 0 W 2) обозначим угол между этими асимптотами, измеряемый, как показано на рис. 40 (на этом рисунке отдельно изображены случаи 0=0 и В = 2; заштриховано, как всегда, дополнение к области). Пусть точке

ш=оо соответствует точ- .

ка 第 контура С; мы обозначим через ал (0 V а & 2) угол между касательными к контуру С в этой точке. Предположим, далее, что в окрестности £о функция /(z) является бесконечно большой порядка 卩,т. е. существует постоянная 4 耍 0,耍оо такая, что при z, стремящемся к точке “，по точкам области D существует предел

Нт {/⑶⑵一/)"}= 4 (Н > 0).(2)

Z->to

В рассматриваемом случае принцип соответствия границ непосредственно неприложим, ибо f(2) обращается в бесконечность на контуре С. Оказывается, что для сохранения принципа нужно ввести ограничение на порядок 卩 роста отображающей функции. Именно, в принятых выше условиях и обозначениях имеет место

Теорема 4. Принцип соответствия границ сохраняет силу* если заменить условие 1) условием

I") Функция f(N)аналитична в D и непрерывна в Z5 всюду, кроме точки “，а в принадлежащей D части окрестности этой точки является бесконечно большой порядка ц, примем

・ (3)

Для доказательства вырежем из области D круг |г —备| V 广 малого радиуса с центром в точке 击；дугу окружности этого круга, принадлежащую D, мы обозначим через ", а часть контура С, оставшуюся после удаления круга — через Gr; через С обозначим контур & + 丫入 К области 力，ограниченной кривой ◊, принцип соответствия границ уже применим.

Пусть Wq — произвольная точка области D*. Так как 叫)конечно, a f ⑶ f оо при z f 击，то радиус круга г можно выбрать столь малым, чтобы в выброшенной части области О не было ни одной и/о-точки функции f(z). Тогда N(wq) — число ^0-точек функции /(%) в области D — будет равно числу таких точек в области 力 н по принципу аргумента получаем:

N(啕=亏空 arg {f ⑵一30}=亏 дег + 京"，. (4)

.Для подсчета первого слагаемого заметим, что когда точка г пробегает &, соответствующая точка w пробегает в положительном направлении всю кривую С*, за исключением некоторой ее дуги, лежащей в малой окрестности точки з = 8. Поэтому

(5)(5)А% = Ag・ arg (и/ —叫)=(2 — В) л + О (г),

(5)

(5)

где С* — образ дуги СГ( а О (г) обозначает величину, стремящуюся к нулю вместе с г (в дальнейшем, когда потребуется, будем употреблять этот символ, причем он может обозначать как действительные( так и комплексные величины).

Для подсчета второго слагаемого воспользуемся условием (2), представив J(z) в окрестности точки &)в виде

/(г)=1 {д + о(г)}.

(г -匕о)"

Тогда можно утверждать, что

Ду = % arg "-+ О ?―号一弍：zj.肥=Ay arg{4 + O(r)}-uAv, arg(z—Go),

ибо величину 侬“乞一^))11, бесконечно малую при г->■(>, можно включить в символ О (г). Так как Д ¥= 0 и постоянно, то здесь первое слагаемое стремится к 0 при「f 0; далее, из рис. 40 ясно, что % arg (г — g0) =一 an + + О (г), следовательно,

a卄 =叩九 +0(广).(&)

Поаставив выражения (5) н (6) в формулу (4), найдем N(呱)=1 + + _2В^5. + о о откуда при г-> 0 следует:

N®°) = l+>^=^.(7)

Согласно принятому ограничению (3) на рост /(г) имеем ан—р < 2 и нз； формулы (7) получаем 内(叫)< 2; с другой стороны, W ®о)==万(2 — 0 + 4- ац) >■ 0, так как у нас 碎 > 0 н 0 £ 2. Но 協 открытом интервале (Q2)； лежит единственное целое число 1, следовательно, ^(wo) = 1.

Мы доказали, что любое значение 侬о из области D функция f(z) принимает в D один и только один раз. Если точка w0 лежит вне области D*, то наши рассуждения полностью сохраняются, если в формулу (5) вместо (2 — Р)л подставить — рл, и тогда вместо формулы (7) мы получим:

(8>(8>…=若±

(8>

(8>

Поэтому в этом случае —1 < ^(wo) < 1 и, следовательно, ^(u^o) = 0, т. е. функция /(2) в области D не принимает ни одного значения, не принадлежащего D*. Таким образом, функция w = f (z) реализует однолистное отображение D на D*, и теорема доказана.

Заметим, что при условиях доказанной теоремы имеем 卩— =а/p (это видно из формулы (7) или (8)), т. е, в окрестности точки 第

〃z)=g4^{i +。(力 ⑼

Пусть, в частности, а =^ р = 1, т. е. ^0 и ш = ос не являются угловыми точками. Тогда неравенство (3) примет вид ц < 3. Таким образом, функция f(г) должна быть в окрестности точки Со бесконечно большой порядка ниже третьего. Пример с функцией ш = г3, который мы приводили выше, показывает, что в рассматриваемом случае теорема точна, т. е. бесконечность порядка 3 уже не обеспечивает однолистности отображения.

Отметим, наконец, такой факт.

Если ш = оо является кратной точкой контура С*, то для сохранения справедливости принципа соответствия границ достаточно потребовать, чтобы условие (3) выполнялось хотя бы для одной *) точки 第 контура С, соответствующей точке 5 = оо.

Действительно, исключим окрестности всех точек 击,соответствующих точке ш = оо, кружками | z —— 击 | V 人 优=О, 1, ..., п——1, где п — кратность точки w = оо), а оставшуюся область обозначим через 力. Для любого значения 侬仇 не лежащего на С* (и, следовательно, конечного), выбираем「& столь малыми, что число ш0-точек функции f(z) в областях D и 5 одинаково. Устремим теперь г0 к нулю, оставляя г, г% ..,, гп_) фиксированными. Здесь полностью применимо доказательство предыдущей теоремы, следйвательно, N(wq) = 1 для всех точек из D* и N(Wq) = 0 для 侬0, не принадлежащих к D*, а это и требуется доказать.

В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения принципа соответствия границ.

Примеры. 1) Функция

⑴⑴4г

⑴

⑴

7mи

4/中1

на границе единичного круга принимает значения g 7T =.

(l+e呼COS2|

Следовательно, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между единичной окружностью и точками луча « >■ 1, и = 0. Это соответствие непрерывно всюду, кроме точки ^о = —1, в окрестности которой

—4

(宀产・

Здесь применима теорема 4 предыдущего пункта, ибо а = 1, р = 2 и условие (3) выполнено. Следовательно, функция (1) реализует однолистное

конформное отображение круга |z| v 1 на область, полученную из плоско- -сти ш удалением луча х> 1, и = 0. На рис. 41 изображены сетки кривых? соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении; сетка кривых в плоскости w ортогональна, ибо она является конформным образом ортогональной сетки плоскости г (образованной окружностями |г| = const и их радиусами).

Рассмотрим более общий случай — функция

Л 酬=р4Л 酬=р4(Z“+ 产(Z“+ 产(2)(2)

Л 酬=р4

Л 酬=р4

(Z“+ 产

(Z“+ 产

(2)

(2)

е即е即(小 2 + 1)2/П(小 2 + 1)2/П1而.1而.

е即

е即

(小 2 + 1)2/П

(小 2 + 1)2/П

1

而.

1

而.

при п = 1 совпадает с функцией предыдущего примера. На единичной

окружности она принимает значения w = W

Ютметим на единичной окружности вершины правильного п-угольника：

Ak = e n и середины образованных ими дуг: В* = е (k = 1,. 2, ..., л) (рис. 42). Величина(о = сз-^ убывает от 1 до 0 на дуге 4】8手 (условимся считать на этой дуге arg ш = 0); на дуге #】人2 она изменяется： от 0 до —1 (на этой дуге условимся считать arg ш — — л); на дуге Л2В2Ak = e n и середины образованных ими дуг: В* = е (k = 1,. 2, ..., л) (рис. 42). Величина(о = сз-^ убывает от 1 до 0 на дуге 4】8手 (условимся считать на этой дуге arg ш = 0); на дуге #】人2 она изменяется： от 0 до —1 (на этой дуге условимся считать arg ш — — л); на дуге Л2В2от —1 до 0 (по-прежнему считаем arg ш = — л);от —1 до 0 (по-прежнему считаем arg ш = — л);(считаем arg ш = — 2л)(считаем arg ш = — 2л)и т. д. (рис. 42,6). Ви т. д. (рис. 42,6). Вна дуге В2Л3 от 0 до 1соответствии' с этим иа-на дуге В2Л3 от 0 до 1соответствии' с этим иа-“丿“丿✓✓旬旬44也 е=а=а-约也 е=а=а-约&&S)Рис. 42*S)Рис. 42*

Ak = e n и середины образованных ими дуг: В* = е (k = 1,. 2, ..., л) (рис. 42). Величина(о = сз-^ убывает от 1 до 0 на дуге 4】8手 (условимся считать на этой дуге arg ш = 0); на дуге #】人2 она изменяется： от 0 до —1 (на этой дуге условимся считать arg ш — — л); на дуге Л2В2

Ak = e n и середины образованных ими дуг: В* = е (k = 1,. 2, ..., л) (рис. 42). Величина(о = сз-^ убывает от 1 до 0 на дуге 4】8手 (условимся считать на этой дуге arg ш = 0); на дуге #】人2 она изменяется： от 0 до —1 (на этой дуге условимся считать arg ш — — л); на дуге Л2В2

от —1 до 0 (по-прежнему считаем arg ш = — л);

от —1 до 0 (по-прежнему считаем arg ш = — л);

(считаем arg ш = — 2л)

(считаем arg ш = — 2л)

и т. д. (рис. 42,6). В

и т. д. (рис. 42,6). В

на дуге В2Л3 от 0 до 1соответствии' с этим иа-

на дуге В2Л3 от 0 до 1соответствии' с этим иа-

“丿

“丿

✓

✓

旬

旬

4

4

也 е=а=а

-约

也 е=а=а

-约

&

&

S)

Рис. 42*

S)

Рис. 42*

участке Л)В] модуль соответствующей точки w растет от 1 до оо, а аргу- ■ мент равен нулю; на участке В]Л2 модуль w убывает от оо до 1, а аргумент ранен 2л/л; на участке Л2В3 модуль w растет от 1 до оо (по-прежнему arg ш = 2л/л); на #2人3 модуль w убывает от оо до 1, arg w = 2* -^-^ и т. д. Таким образом, точка w пробегает последовательно л лучей:

arg ш = (А; — 1)—, |陋|》1(2= 1, 2, ..., 〃)，(3 卜

причем каждый луч два раза в противоположных направлениях (рис. 42, в). Образ окружности |г| — 1 при нашем отображении нм衽т w = оо своеМ л-кратной точкой, которой соответствуют точки окружности В^ (k = 1, 2,..., л). Так как каждая точка Bk является простым нулем для zn + 1, то в ее окрест- ности w а где Ck — некоторая постоянная. По принципу со-

(n — ®А)/，

ответствия границ (теорема 4, в которой сейчас ал = 1, рл = 2/п) функция (2) реализует однолистное конформное отображение круга \z\ v 1 на： плоскость wen исключенными лучами (3).

Совершая дополнительное преобразование w = 1/叫 плоскости 屮，получим отображение

叫丄上土22竺(4Ь

/1/1n2

/1

/1

■единичного круга на внешность《звезды», состоящей из л лучей

I ty I < 1, arg з =(力 一 1) —^- (^ = 1, 2, ...» n) (5) (рис. 43, вместо Wi мы снова пишем а/). При л = 2 получаем «у =J (% + g), т е. отображение Жуковского (см. п. 7).

Рис. 43.Рис. 43.

Рис. 43.

Рис. 43.

Рассмотрим теперь единичный круг |z| V 1 с выброшенными отрезками длины а:

1 — a<|z|< 1, arg г = (fe — 1) ^~ (k — 1, 2, п) (6)

(рис. 44,а). Тем же методом, что и выше, легко проверить, что функция

1廿+I)2m

z1=f (力=75

/4

предыдущего примера отображает эту область на внешность «звезды» с лучами длины

которая подобна звезде (5) (рис. 44,6). Преобразованием подобия & = j* мы сделаем лучи звезды равными единице, и тогда функция

& = g(%2)n[ W+М或—1]丝(8)

обратная к функции (4), преобразует внешность этой звезды на внутренность единичного круга. Таким образом, функция

"g(T^f(z))(9)

осуществляет конформное отображение единичного круга с выброшенными 孔 отрезками (6) на внутренность единичного круга.

Формула (9) в развернутом виде довольно громоздка, поэтому представляет интерес получение приближенной формулы, удобной для' расчетов. Будем считать величину а малой; тогда из (7), пренебрегая малыми порядка выше а2, находим по формуле Тейлора

ааП (п — 1)2卩/“ /1112、1—па Н2。J (1 + а + ")— 1П (п — 1)2卩/“ /1112、1—па Н2。J (1 + а + ")— 1砌2砌2

а

а

П (п — 1)2卩/“ /1112、1

—па Н2。J (1 + а + ")— 1

П (п — 1)2卩/“ /1112、1

—па Н2。J (1 + а + ")— 1

砌2

砌2

'Аналогично находим, пренебрегая малыми порядка выше а,

и по формуле (8) [/. na\ z" + 1叫(Г)ми по формуле (8) [/. na\ z" + 1叫(Г)м—па)—па)Q“ + 1)21Q“ + 1)214zn4zn2/п/^z〃 +2/п/^z〃 +1 一严1 一严Подставляя найденное выше значениеПодставляя найденное выше значение齿 ” z 1 +齿 ” z 1 +а, получаем окончательно:па2 1 + z" \丁 1 一川，а, получаем окончательно:па2 1 + z" \丁 1 一川，(Ю)(Ю)

и по формуле (8) [/. na\ z" + 1

叫(Г)м

и по формуле (8) [/. na\ z" + 1

叫(Г)м

—па)

—па)

Q“ + 1)21

Q“ + 1)21

4zn

4zn

2/п/

^z〃 +

2/п/

^z〃 +

1 一严

1 一严

Подставляя найденное выше значение

Подставляя найденное выше значение

齿 ” z 1 +

齿 ” z 1 +

а, получаем окончательно:

па2 1 + z" \

丁 1 一川，

а, получаем окончательно:

па2 1 + z" \

丁 1 一川，

(Ю)

(Ю)

точкамточкам(Н)(Н)отображаетотображает(々， 0,耍8)в кривые полярные координаты, w(々， 0,耍8)в кривые полярные координаты, wпараллельные наклонные прямые у — k(x — а】)，у =.^(х —— 如) з = е*・е"(* “J (V = 1, 2). Вводя в плоскости w =ре绢，получим р =0 = k(x — av), илир =,параллельные наклонные прямые у — k(x — а】)，у =.^(х —— 如) з = е*・е"(* “J (V = 1, 2). Вводя в плоскости w =ре绢，получим р =0 = k(x — av), илир =,(13)(13)

точкам

точкам

(Н)

(Н)

отображает

отображает

(々， 0,耍8)в кривые полярные координаты, w

(々， 0,耍8)в кривые полярные координаты, w

параллельные наклонные прямые у — k(x — а】)，у =.^(х —— 如) з = е*・е"(* “J (V = 1, 2). Вводя в плоскости w =ре绢，получим р =0 = k(x — av), или

р =,

параллельные наклонные прямые у — k(x — а】)，у =.^(х —— 如) з = е*・е"(* “J (V = 1, 2). Вводя в плоскости w =ре绢，получим р =0 = k(x — av), или

р =,

(13)

(13)

Эта формула пригодна для точек, не слишком близких

力用=е ". При а = 0 имеем w = z, что и должно быть.

Рассмотрим функцию.■

t^ = г + ег.

Полагая z = х + %; w = и iv, имеем:.

〃=尤 +。工 cos у、

卩=，+В sin и，

откуда следует, что на прямых у = ±л, ограничивающих полосу —л<(/<л, имеют место соотношения и = х — ех, у = 士п, т. е. что эти прямые преобразуются в дважды проходимые лучи ——оо V 〃 V ——1, у = 士冗(функция и — х —。工 достигает максимума н = —1 при х = 0). Принцип соответствия границ неприменим, но непосредственный анализ функции показывает, что она осуществляет конформное отображение полосы —л V 夕 V 冗 на область, получаемую из плоскости w исключением двух лучей ——оо V 〃 V ——1, о = 士п. На рис. 45 изображено соответствие линий при этом отображении (приведены верхние половины областей, отображение нижних половин симметрично).

Показательная функция

(12)(12)w = ez

(12)

(12)

где pv = e°v (v = 1 2).где pv = e°v (v = 1 2).

где pv = e°v (v = 1 2).

где pv = e°v (v = 1 2).

., , , Это — две подобные логарифмические спирали. Если k(a2 — aj < 2л, то длина вертикального отрезка между прямыми в плоскости г меньше 2л и отображение однолистно в полосе между ними (см. п. 8). Меняя а от а】 до а?, убедимся в том, что показательная -функция осуществляет

между логарифмическими спирали совпадают и мы спиралью.между логарифмическими спирали совпадают и мы спиралью.При Л (а2 —砧 > 2л отображение неоднолистно. 7) Функцияда = In При Л (а2 —砧 > 2л отображение неоднолистно. 7) Функцияда = In (14}(14}на границе единичного круга принимает значенияна границе единичного круга принимает значенияW = In ——Ц- = In1 -е2W = In ——Ц- = In1 -е21] f КТ.2s 峙2，1] f КТ.2s 峙2，отображение этой полосы на полосу, заключенную спиралями (рис. 46). Если 力(□& — Qi) — 2л, то обе получаем отображение на плоскость с выброшенной

между логарифмическими спирали совпадают и мы спиралью.

между логарифмическими спирали совпадают и мы спиралью.

При Л (а2 —砧 > 2л отображение неоднолистно. 7) Функция

да = In

При Л (а2 —砧 > 2л отображение неоднолистно. 7) Функция

да = In

(14}

(14}

на границе единичного круга принимает значения

на границе единичного круга принимает значения

W = In ——Ц- = In

1 -е2

W = In ——Ц- = In

1 -е2

1] f КТ.

2s 峙2，

1] f КТ.

2s 峙2，

положив 侬=〃 + 2 и исключив параметр ф, получим уравнение образа единичной окружности:

(15)(15)и = 1п.

(15)

(15)

2 соз и

Это — цепная линия равного сопротивления (рнс, 47). По принципу соответЭто — цепная линия равного сопротивления (рнс, 47). По принципу соответ

Это — цепная линия равного сопротивления (рнс, 47). По принципу соответ

Это — цепная линия равного сопротивления (рнс, 47). По принципу соответ

ствия границ получим, что функция (14) осуществляет конформное отображение единичного круга на внутренность этой кривой.

Функция

W = 22,(16)

или в полярных координатах р = г2, 9 = 2(р, переводит окружность г = cos <р

(17)(17)а кардиоиду

(17)

(17)

Р = СОЗ2 у = у(1 + СОЗ 8)

(рис. 48). По принципу соответствия границ функция (16) осуществляет конформное отображение внутренности этой окружности на внутренность кардиоиды.

(18)(18)Функция — W — Vz^

(18)

(18)

или р к г, 8 =彳,где <р = arg г меняется от^" 〃° -у, переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты р =« 'Kcos 26 (рис. 49). По принципуили р к г, 8 =彳,где <р = arg г меняется от^" 〃° -у, переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты р =« 'Kcos 26 (рис. 49). По принципусоответствия границ функция (18) осуществляет отображение внутренности этой окружности иа внутренность правой ветви лемнискаты.соответствия границ функция (18) осуществляет отображение внутренности этой окружности иа внутренность правой ветви лемнискаты.

или р к г, 8 =彳,где <р = arg г меняется от^" 〃° -у, переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты р =« 'Kcos 26 (рис. 49). По принципу

или р к г, 8 =彳,где <р = arg г меняется от^" 〃° -у, переводит ту же окружность в ветвь лемнискаты р =« 'Kcos 26 (рис. 49). По принципу

соответствия границ функция (18) осуществляет отображение внутренности этой окружности иа внутренность правой ветви лемнискаты.

соответствия границ функция (18) осуществляет отображение внутренности этой окружности иа внутренность правой ветви лемнискаты.

Простейшие конформные отображения

Этот параграф посвящен простейшим методам решения основной задачи теории конформных отображений — задачи отыскания функции, осуществляющей конформное отображение одной заданной области на другую. Здесь будет приведено достаточное число примеров, на которых читатель ознакомится с тем, как можно решать эту задачу, подбирая надлежащие комбинации элементарных функций (если это удается сделать). Такой подбор предполагает свободное владение геометрией элементарных функций, поэтому перед чтением пп. 33 и 34 мы рекомендуем еще раз просмотреть § 3 гл. I, где приводятся отображения, которые могут осуществлять эти функции. В нашем изложении большое место уделяется также методам получения приближенных формул конформных отображений, особенно важным для практики.

При работе с простейшими конформными отображениями весьма часто приходится пользоваться дробно-линейными функциями,—к изучению их геометрических свойств мы сейчас й приступаем. Отметим, что отображения, осуществляемые дробно-линейными функциями, весьма тесно связаны с геометрией Н. И. Лобачевского; однако на выяснении этой связи мы не можем здесь останавливаться ).

⑴⑴Дробно-линейные отображения. Так мы будем называть отображения, осуществляемые дробно-линейными функциями

⑴

⑴

W — Г-Г ,

где。，仇 с и d—комплексные постоянные, причем ad — be 声 #= 0). Функция (1) определена на полной плоскости % (ее значение в точке 之=—d/c считается равным 8, а в точке 2 = оо — равным lim w = а/с).

Так как производная

ds — ad — bee

dz — (cz + d)2('

существует всюду при г =Н=—d/c, то функция (1) аналитична всюду на полной плоскости w кроме точки г =——2/с, в которой опа имеет полюс первого порядка. Уравнение (1) однозначно разрешимо относительно г:

(3)(3)—dw 4- b

(3)

(3)

2 = cw—-a

причем функция (3) также определена на полной плоскости w (ее значение в точке w — а)с считается равным оо, а в точке w — оо — равным —d/c). Поэтому дробно-линейная функция осуществляет однолистное отображение полной плоскости z на полную плоскость w.

Легко видеть, что дробно-линейная функция ——единственная функция, обладающая таким свойством: Именно, справедлива

Теорема 1. Если функция f(z) всюду однолистна w аналитична всюду в полной плоскости %, кроме точки С, то она дробно-линейна.

В самом деле, С не может быть существенно особой точкой функции f(zj, ибо тогда по теореме Сохоцкого (п. 22) f(z) была бы заведомо неоднолистной. По теореме Лиувилля (в форме п. 24) С не может быть устранимой особой точкой. Следовательно, точка С есть полюс, причем первого порядка, ибо в окрестности полюса высшего порядка функция опять-таки неоднолистна. Если С =Н= оо, то главная часть функции f(z) в окрестности точки С имеет вид ^-二石- ；вычитая эту часть из f(г), мы получим функцию 屮(％) = f (之)——z^_q » не имеющую особенностей в полной плоскости (единственной особой точкой для 中(之)могла бы служить точка С, но она является устранимой особой точкой, ибо мы вычли из 屮(之)главную часть). Следовательно, 中(之)三 4 ——постоянна, и функция

имеем ^=},имеем ^=},и функция (1) сводится к по-и функция (1) сводится к по-f^) = A + ^

имеем ^=},

имеем ^=},

и функция (1) сводится к по-

и функция (1) сводится к по-

дробно-линейна. Если С = оо, то главная часть функции f(z) имеет вид Az, и точно таким же образом доказывается, что f (z) = Az -\- В, т. е. является целой линейной функцией. Теорема доказана.

Формула (3) показывает, что функция, обратная к дробнолинейной, снова дробно-линейна. Легко показать, что сложная функция, составленная из дробно-линейных функций, также является дробно-линейной.

Выясним геометрические свойства дробно-линейной функции.

Если с = 0, то функция (1) приводится к целой линейной функции, геометрические свойства которой уже рассмотрены в п. 4. Для изучения геометрических свойств функции (1) при г у= 0 мы представим ее в виде

з = 4+ г Sc，(4)

где Д, В и С — некоторые постоям иные ), и будем рассматривать это отображение как сложное, составленное из отображений:

(а) © = 2 — С; ⑹ @ =喜;(в) 5 = 4 + В&.(5)

Отображение (а) сводится к сдвигу, (в) — к сдвигу и повороту с растяжением. Остается изучить отображение (б), которое, изменив обозначения, мы запишем в виде

5 = ；.(6)

В полярных координатах z = re'w, w = pew отображение (6) перепишется в виде

Р = ；， е = —Ф-⑺

Удобно рассматривать отображение (7) как составленное из двух геометрически более наглядных отображений:

(a) Pi = ；， 4 =平；(₽) Р = Рн 6 = —61-

Отображение (Р) есть преобразование симметрии относительно действительной оси. Отображение (а) — инверсия, преобразование симметрии относительно единичной окружности (см. п. 2).

Будем вообще называть точки гиг* симметричными относительно окружности Со： |z ——Zo| = Ro, если

они лежат на одном луче, проходящем через 20;

I 2 —Zo I • |z* — 2о| =成•

(Способ построения симметричных точек, изложенный в п. 2, остается справедливым и в общем случае.)

Преобразование, переводящее каждую точку z плоскости в

ся симметрией относительно этойся симметрией относительно этойокружности Со, называетокружности Со, называетРис. 50.Рис. 50.точку г, симметричную относительно

ся симметрией относительно этой

ся симметрией относительно этой

окружности Со, называет

окружности Со, называет

Рис. 50.

Рис. 50.

окружности или инверсией.

Докажем основное свойство симметричных точек: точки z и z* тогда и только тогда являются симметричными относительно окружности" С% когда они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных /с окружности Со.

В самом деле, пусть точки z и 2* симметричны относительно Со и Г ——производная окружность, проходящая через z н 2*

(рис. 50). Проведем через точку

2о касательную к окружности Г. По известной теореме квадрат длины этой касательной | z7 — z012 равен произведёнию секущей |z* — 2о| на ее внешнюю часть |z —匐，т. е.

I zz — Z0 р = I Z — Z0 I • I Z* — z01.

Так как z и z* симметричны относительно Со, то это произведение равно 7Й и, следовательно, |z，—— 2o| = Ro Таким' образом, касательная к Г является радиусом окружности Со, т. е. Г ортогональна к &.

Обратно, если z н 2* являются вершинами пучка окружностей {Г}, ортогональных к окружности Со, то они лежат на одном луче, проходящем через z0, ибо этот луч принадлежит пучку *). Далее, касательная 乞協‘ к любой окружности Г является радиусом окружности Со и по той же теореме | z — г0 | • | г* — ——го| = 7?о» т. е. z и z симметричны относительно Со. Свойство доказано полностью.

Из этого свойства, между прочим, вытекает, что в случае, когда окружность Со вырождается в прямую линию, симметрия относительно окружности превращается в обычную симметрию.

Инверсия относительно произвольной окружности Со является конформным отображением второго рода (меняющим ориентацию). В самом деле, пусть z0 и R。一центр и радиус

окружности Со, тогда точку г*} симметричную с точкой г относительно С0} можно записать формулой

2=2。2=2。2 — 202 — 20(8)(8)

2=2。

2=2。

2 — 20

2 — 20

(8)

(8)

ибо отсюда следует, что |г* — г0| |г — г0|= 7?о и arg(z* — 2。)= =arg(2 — No). Следовательно, инверсия отличается от кон- формного отображения

W = zo +W = zo +儲儲

W = zo +

W = zo +

儲

儲

лишь дополнительной симметрией относительно действительной оси плоскости 5, т. е. является конформным отображением вто

рого рода.

Покажем, далее, что инверсия преобразует любую окружность С полной плоскости снова в окружность (круговое свойство).

В самом деле, пусть сначала окружность С проходит через центр 2о окружности Со. относительно которой производится инверсия (PRC. 51). Построим прямую С*, перпендикулярную к линии центров ок- ружностей Со и С, на расстоянии 宣~ от 2о (Ro и R — радиусы & и С). Из подобия треугольников 备匚*之* и гог^ (рис. 51) име* ем：нПн12-2。|.

r2

• I 2* — 20 I = I ? — 20 11— 20 I = 2/? •=

=/?о- Следовательно, точки гиг* симметричны относительно &. Мы дока-

зали, что точка, симметричная к произвольной точке г окружности С, лежит на прямой С*, т. е. что С* является инверсией окружности С. Если, в частности, С есть прямая, проходящая через 2о, то инверсия этой прямой, очевидно, совпадает е ней

самой.

Пусть теперь окружность (или прямая) С не проходит через го. Построим точку 21, симметричную с 2о относительно С, и рассмотрим пучок окружностей {Г} с вершинами в г0 и 即 Так как все окружности Г проходят через го, то по доказанному выше при инверсии относительно Со пучок {Г} перейдет в пучок прямых {Г*}. Вершина этого пучка будет, очевидно, лежать в то^ке г*, симметричной точке 2】относительно Со. По свой' ству симметричных точек все окружности {Г} ортогональны к С,

ЧТО об- От-ЧТО об- От-и так как инверсия сохраняет углы (мы доказали выше, она является конформным отображением второго рода), то

ЧТО об- От-

ЧТО об- От-

раз С* окружности С будет ортогонален пучку прямых {Г*}.

сюда следует, что С* является окружностью. Свойство дока-

зано.

Точно так же доказывается еще одно важное свойство инверсии: инверсия преобразует любую пару точек zf 〃 z2, симметричных относительно произвольной окружности С, в пару точек 2； и 2г, симметричных относительно окружности С* —— образа окружности С (свойство сохранения симметричных точек).

В самом деле, построим пучок окружностей {Г} с вершинами в Z)и z2. При инверсии он перейдет в пучок окружностей {Г*} с вершинами в 2： и 展 Так как окружности Г ортогональны к С то и окружности Г* ортогональны к С*. Отсюда следует, что 2* и 2г симметричны относительно С*. Свойство доказано.

Так как отображение w = 1/z составляется из двух симметрий (симметрии (а) относительно единичной окружности и симметрии (Р) относительно прямой), то оно обладает и круговым свойством и свойством сохранения симметричных точек. Так

..дробно-линейное отображение(1)' сохраняет углы в полной плоскости г...дробно-линейное отображение(1)' сохраняет углы в полной плоскости г.как остальные преобразования, составляющие произвольное дробно-линейное отображение (преобразования (а) и (в) из формулы (5), т. е. сдвиг и поворот с растяжением), очевидно, также обладают этими свойствами, то эти свойства остаются справедливыми и для произвольного дробно-линейного отображения.

..дробно-линейное отображение

(1)' сохраняет углы в полной плоскости г.

..дробно-линейное отображение

(1)' сохраняет углы в полной плоскости г.

Докажем, что произвольное

Это очевидно для всех точек 厶 кроме z — —d/c и 2 — oot ибо для таких точек существует d侬[dz 娱 0 (см. (2)). Чтобы говорить о сохранении углов в точках w= —*/с и 2 = 8, нужно ввести понятие угла в бесконечно удаленной точке, причем можно, очевидно, ограничиться определением угла между двумя прямыми. Под углом в бесконечно удаленной точке между двумя прямыми понимают взятый с противоположным знаком угол во второй (конечной) точке пересечения этих прямых (на рис. 52, а угол в бесконечности между прямыми / и 〃 отрицателен). Ясно, что отображения (а) и (в) сохраняют углы всюду. *

Остается показать, что отображение (б) или, что тоже самое, отображение w = 1/z сохраняет углы в точках z = 0, z = ==оо. Но это непосредственно видно из рис. 52 и принятого нами определения (при отображении w = 1/а прямая arg г = <р переходит в прямую argu = —ф).

Основные свойства дробно-линейного отображения, доказанные в этом пункте, мы формулируем в виде следующей теоремы:

Теорема 2. Произвольная дробно-линейная функция w =гО,

осуществляет однолистное конформное отображение полной г- плоскости на полную w-плоскость. Это отображение ”

преобразует любую окружность полной z-плоскости 8 окружность полной w-плоскости (круговое свойство);

любую пару точек, симметричных относительно окружности С, преобразует в пару точек, симметричных относительно образа окружности С (свойство сохранения симметричных точек) .

В заключение приведем без вывода формулы, по которым можно вычислять образы прямых и окружностей при произвольном дробно-линейном отображении (1):

Прямым Re(九z) — а, не проходящим через точку г = —d/c (a 声—Re (九目)，соответствуют окружности | з — д | = р, где

2aac + adK + ЬсХ2a ] c I2 + 2 Re (cdX)2aac + adK + ЬсХ2a ] c I2 + 2 Re (cdX)p =p =-y — ^o J = J-y — ^o J = J(ad — be) X2a I с I2+ 2 Re (cd^(ad — be) X2a I с I2+ 2 Re (cd^⑼⑼

2aac + adK + ЬсХ2a ] c I2 + 2 Re (cdX)

2aac + adK + ЬсХ2a ] c I2 + 2 Re (cdX)

p =

p =

-y — ^o J = J

-y — ^o J = J

(ad — be) X2a I с I2+ 2 Re (cd^

(ad — be) X2a I с I2+ 2 Re (cd^

⑼

⑼

Прямым Re (九z) = — Re (九-^)，проходящим через точку г = — d/c, — прямые

Re (缺")=Re (*之苧).(10)

Окружностям z — zQ\~rt не проходящим через точку z = —^ (г =0： I г0 + у )，— окружности I з —叫 I = р, где

— (口) + b)(及0+力一而严С 一 г照—儿]门"

叫―~I%+ ”_]£”'P— \[Cz0^d^~\c^r^ • 3"

Окружностям I г — г01 = I z0 + -^ I — прямые

(12)(12)/ ad — be _ ) —一 I ad — &c |2 + 2 Re {c(4塞门 + b) (ad 一 方 ^ I片运o + d) W] =21c (cz° + d)F

(12)

(12)

Эти формулы можно получить непосредственным подсчетом.

Пример. Найдем образ-прямой g = х + 2 при отображении ш = —р； так как прямая не проходит через точку z = 1, то она преобразуется в окружность, центр и радиус которой находятся по формулам (9):

2- /^о = ―2—， Р2- /^о = ―2—， Р33/23/23

2- /

^о = ―2—， Р

2- /

^о = ―2—， Р

3

3

/23

/23

(у нас a = b = c=l, d =——1 и так как уравнение прямой записывается в виде Re{(—，一 1) (% + 用)} = 2, то 入=—£•二 1 и а = 2).

Частные случаи. Выясним сначала вопрос об условиях, определяющих дробно-линейное отображение. Как показывает определение (I) п. 31, такие отображения задаются четырьмя коэффициентами а, Ь, с и J. Так как хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля и его можно считать равным 1, деля на этот коэффициент числитель и знаменатель дроби, то дробно-линейное преобразование фактически зависит от трех комплексных или шести действительных параметров.

Отсюда ясно, что дробно-линейное отображение определяется условиями, приводящими к шести независимым соотношениям между действительными и мнимыми частями коэффициентов. Простейший вид таких условий сводится к заданию в плоскостях z и w произвольных троек точек 之卜 z2, z3 и д, 侬3, соответствующих друг другу при рассматриваемом отображении.

Для построения отображения, удовлетворяющего этому условию, рассмотрим вспомогательную плоскость g и построим дробно-линейные отображения плоскости z и ui на эту плоскость, переводящие заданные тройки точек в 0, 1 и оо. Такие отображения легко указать:

2 - 2122 一232 -2322 一 212 - 2122 一232 -2322 一 21产—Ш - Ш1В — ш — ш3产—Ш - Ш1В — ш — ш3切2 一 ©3Ш2 — Ш1切2 一 ©3Ш2 — Ш1⑴⑴

2 - 2122 一23

2 -2322 一 21

2 - 2122 一23

2 -2322 一 21

产—Ш - Ш1

В — ш — ш3

产—Ш - Ш1

В — ш — ш3

切2 一 ©3

Ш2 — Ш1

切2 一 ©3

Ш2 — Ш1

⑴

⑴

Исключая g из этой системы, мы получим дробно-линейное отображение плоскости а на плоскость переводящее точки 2；,之2 н 之3 в точки 31,侬2 и 5з соответственно; это отображение запишется так:

Ш — Ш] ш — ШзШ — Ш] ш — Шзw? — gш2 一叫w? — gш2 一叫2 - Z「.电一232 一23 "22 -马2 - Z「.电一232 一23 "22 -马⑵⑵

Ш — Ш] ш — Шз

Ш — Ш] ш — Шз

w? — g

ш2 一叫

w? — g

ш2 一叫

2 - Z「.电一23

2 一23 "22 -马

2 - Z「.电一23

2 一23 "22 -马

⑵

⑵

женияженияДокажем, что отображение, определяемое формулой (2), есть единственное дробно-линейное отображение, удовлетворяющее поставленному условию. В самом деле, если существуют два различных таких отображения w = l\(z) и з = 卜⑵,то, применяя еще второе из отображений (1), которое мы обозначим 吕=/(5), получим два различных дробно-линейных отобра

жения

жения

? = / W1(2)]=L 1 (2), g" = / w2 (2)]=丄2 (2),

переводящих точки г^ в 0, 1 и оо. Рассмотрим теперь отображение

где Lf1 -— отображение, обратное к Ль Оно дробно-линейно, следовательно, его можно представить в виде

Отображение (3), очевидно, оставляет на месте точки 0, 1 и оо. Из соответствия бесконечно удаленных точек мы получим, что с = 0 и, следовательно, С" =

Соответствие двух других точек дает условия b/d = О, aid — 1. Таким образом,白"=丄2［丄一’(С］三乙 т. е.丄丁‘ обратно к L2 HLi 三丄2・ Но тогда и /1 =厶,а это и доказывает наше утверждение о единственности отображения (2).

Нетрудно убедиться в том, что формула (2) сохраняет смысл и в том случае, когда одна из точек z& или wk есть бесконечно удаленная, если только в этой формуле заменить единицей числитель и знаменатель отношения, в котором участвует эта точка (в формуле (2) каждая точка участвует один раз в числителе и один раз в знаменателе). В самом деле, пусть, например, 侬з = 8,衣=8, тогда формула (2) принимает вид

3一陋1 1 _ 2 -马 1

1 w2 — Wj — 2 — г3 ］，

или 侬=g + (g — g) ■•：三и непосредственно видно, что полученное отображение решает задачу. Такнм образом, доказана -

Теорема Г. Существует одно 〃 только одно дробно-ли^ нейное отображение полной плоскости г на полную плоскость w, переводящее три произвольные различные точки г^ в три произвольные различные точки 侬乱

Из этой теоремы вытекает

Теорема 2. Любой круг полной плоскости z с помощью дробно-линейной функции можно преобразовать в любой круг полной плоскости w.

В самом деле, возьмем на границе С круга в плоскости г три точки z&, занумерованные в порядке положительного обхода этого круга. Если на границе С* круга в плоскости w взять три произвольные точки wk и по формуле (2) построить дробно-линейное отображение, то это отображение, согласно круговому свойству, будет переводить окружность С в С*. Тогда по принципу соответствия границ она переводит круг К, ограниченный

окружностью С, в один из двух кругов, ограниченных окружностью С*.

Действительно, пусть Л и Л* будут заданные круги соответственно в плоскостях z и w, а С и С* — их границы. Выберем на С три точки.г^, занумерованные в порядке положительного обхода К, и такие же три точки ⑵在 на С*. Если теперь по формуле (2) построить дробно-линейное отображение, то это отображение согласно круговому свойству будет переводить окружность С в С* и согласно принципу соответствия границ круг К ——в один из двух кругов, ограниченных С*. Но так как конформные отображения сохраняют ориентацию (см. п.*27) и точки Wk расположены относительно К* так же, как точки z在 относительно К, то К преобразуется именно в Л*. Теорема доказана.

Рис. 53.

Отметим один предельный случай формулы (2). Поставим своей задачей построение дробно-линейного отображения по двум парам соответствующих точек 之卜 гг и 侬卜 侬2 и по заданной производной а = [4^"]а в точке 之2・ Для решения этой задачи заменим последнее условие условием соответствия точек 方=之2 +无 и 5з =陋2 +。无；тогда отображение найдется по формуле (2)

w — wi—仪右 — г — Zj— h

w ~~ w2 — ah w2 — &У1 — г — г2 — A z2 — ^!

Сокращая обе части на —h и переходя к пределу при 而一＞0, получим искомое отображение

切一叫一w2 —叫 z -、

w — w2 — z2 — Zi ' г — г2 '( J

Рассмотрим теперь несколько важных примеров дробно-линейных отображений.

Отображение верхней полуплоскости н а единичный круг. Зададимся точкой а верхней полуплоскости, переходящей в центр круга w = 0 (рис.53).По свойству

сохранения сопряженных точек'точка 2, симметричная точке а относительно действительной оси, должна перейти в точку w = оо, симметричную точке ^ = 0 относительно единичной окружности. Поэтому искомое отображение должно иметь вид

W = kW = kn — аz — аn — аz — а(5)(5)

W = k

W = k

n — а

z — а

n — а

z — а

(5)

(5)

где k — постоянный множитель. При любом й эта функция отображает верхнюю полуплоскость на некоторый круг с центром в 切=0, ибо точка 切=оо должна быть симметричной точке 切=0 относительно окружности этого круга. Подберем й так, чтобы круг был единичным. Для этого достаточно потребовать, чтобы точка 2 = 0 перешла в точку единичной окружности: j й у I = | й |= 1. Таким образом, можно положить й = ^ia и нашу задачу решает функция

5 = е'а 三*' (6}

где a — любое действительное число (изменение а означает поворот круга относительно центра 切=0). '

По свойствам дробно-линейных отображений пучку радиусов круга Iш| < 1 (т. е. дуг окружностей, проходящих через точки w = 0 и 切=сю) соответствуют (принадлежащие верхней полуплоскости) дуги окружностей, проходящих через точки а и а. Семейству окружностей с центром в точке 切=6 соответствуют окружности, имеющие а и а своими симметричными точками (см. рис. 53). ‘

Отметим еще обратное к (6) отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость. Полагая для упрощения а = ih чисто мнимым, получим из формулы (6)

z = ihz = ihе" + а/е" + а/⑺⑺

z = ih

z = ih

е" + а/

е" + а/

⑺

⑺

Полагая здесь 切=е^ и умножая числитель и знаменатель на е 2 * находим соответствие между точками единичной окружности и оси 尤,которое устанавливает отображение (7):

X =无 ctg Т尹•(8).

Граничная производная

［而尸而=2 mW a” — 1 ~ cos (0 - a)-(9)

непрерывна всюду на окружности, кроме точки 切=叫 которая соответствует точке 之= оо (ср. теорему 1 п. 29)岂

Отображение единичного кр у га н а единичный круг. Зададимся точкой круга |z|Vl, переходящей в центр круга 151V 1. Точка a =^t симметричная с а относительно единичной окружности, должна переходить в точку w = оо； следовательно, искомое отображение должно иметь вид

w = h^^=S

где 尼 и 々1 — некоторые постоянные. Подберем 尼】так, чтобы круг в плоскости w был единичным. Для этого достаточно потребовать, чтобы точка г = 1 перешла в точку единичной окружности: J 6]；三目=1拓| = L Следовательно, можно Принять 61 =级а, и нашу задачу решает функция

W = е»а 告二, (10) где a — любое действительное число. Так как

и |〃|V 1, то а геометрически означает угол поворота отображения (10) в точке а:

a = [arg 需.(И)

Заметим, что растяжение отображения (10) в точке a

[| 碧 La= 1—i a|2,(12)

стремится к бесконечности, если точка а приближается к границе единичного круга.

На рис. 54 указаны линии, соответствующие друг другу при этом отображении. Сетка в плоскости z является частью сетки на рис. 53.

Отметим еще соотношение, связывающее аргументы соответствующих точек единичных окружностей z =统屮 и w = eiQ (мы считаем для упрощения, что a = 0 и полагаем 。=「&'屮°):

cos (6 - Фо) =中。/ )•(13)

\1 _ 2г cos (ф — <ро) 4- г2 丿、/

Переходя к более общему случаю, заметим, что если радиус круга в плоскости г равен R, то функция w = f(z), отображающая этот круг на круг | ⑵ | 之 1 при условиях f{a) = О, arg『(а) = а, имеет вид

(14)(14)；а R (n — а)w = *

(14)

(14)

— az

Эта формула получается из формулы (10) заменой г на z/R и соответственно а на a/R.

Отображение верхней полуплоскости на верхнюю полуплоскость. Найдем общий вид таких отображений. Всякую дробно-линейную функцию ⑵=Z(z), осуществляющую отображение верхней полуплоскости г на верхнюю полуплоскость w, можно получить из формулы (2), задавая две тройки соответствующих точек гй = х^, wk = uk действительных осей х и и. Так как числа гй и wh действительны, то после преобразования формула (2) примет вид

ww_az + 6—cz + d_az + 6—cz + d(15)(15)

w

w

_az + 6

—cz + d

_az + 6

—cz + d

(15)

(15)

где a,瓦 c, d ——действительные числа. Наоборот, любая функция (15) с действительными коэффициентами преобразует ось х в ось и и, следовательно, верхнюю полуплоскость z в одну из полуплоскостей ⑵，верхнюю или нижнюю. Мы получим верхнюю полуплоскость, если потребуем, чтобы производная на действительной оси была положительной:

「也]=ad一"

L dz he 一(c% + d)2 / 5

откуда ad — bc> 0. Таким образом, формула (15) при действительных коэффициентах, удовлетворяющих условию ad——be > 0, дает общий вид линейных отображений верхней полуплоскости на верхнюю полуплоскость.

Примеры. Рассмотрим примеры конформных отображений, которые осуществляются комбинациями элементарных функций.

■ 1) Отображение полосы на единичный круг. Пусть в плоскости z задана полоса Р: — ■—< Re г< которую требуется конформно отобразить на круг |ау[ V 1 с соответствием трех граничных точек: f (士 今)= =± 1, f (Zoo) = / (Zoo обозначает верхнюю бесконечно удаленную точку полосы) .Прежде всего мы повернем на прямой угол и расширим вдвое нашу полосу:

Z)== 2(г,(1)

затем воспользуемся тем, что показательная функция

преобразует полосу — ^<lmzi<^t на которую функция (1) отображает Dt в правую полуплоскость Re г2 > 0 (действительно, & = е"・ е"“* следовательно, |之2丨= с”，меняется от нуля до оо, a argZ2 = pi от —л/2 до л/2). Остается отобразить эту полуплоскость на единичный круг так, чтобы точки 方=i,—1,0, соответствующие точкам z = л/4, —л/4, loo, перешли в точки 酬=1, —1, i. Такая задача решается с помощью формулы (2) предыдущего пункта (мы меняем принятые там обозначения):

илиилиw - 1 w - iw - 1 w - i(1 + 0(1 + 01W =~т1W =~т之2 一 1n2 + 1之2 一 1n2 + 1(3)(3)

или

или

w - 1 w - i

w - 1 w - i

(1 + 0

(1 + 0

1

W =~т

1

W =~т

之2 一 1

n2 + 1

之2 一 1

n2 + 1

(3)

(3)

Подставляя выражения (2) и (1) в (3), получим окончательное решение задачи

1 е2^ - 1.з

(см. п. 9). Выясним еще соответствие линий при этом отображении. Семейство вертикальных прямых Re z = const при отображении (1) переходит в семейство горизонтальных прямых, которое отображение (2) преобразует в семейство лучей arg z2 = const, т. е. в семейство «окружностей», проходящих

через точки z2 = 0 и г2 = оо. Дробно-линейное отображение (3) преобразует эти точки в точки 酬=i и ⑬=—Г, следовательно, рассматриваемые нами лучи оно переводит в семейство окружностей, проходящих через точки 齿=土?. Ортогональное семейство отрезков Im z = const переходит в семейство окружностей, имеющих w = zizi своими симметричными точками (рис. 55)..

Обратная функция

w = arctg z =可 In 丁_ 反

реализует обратное отображение круга на полосу. Заменяя здесь iz на zY и М на -~~ wlt получим отображение круга | г | < 1 на полосу ширины Н:

-%<Im“*. Оно

имеет вид

w

且In

1 — г л

(3)

мы опускаем индексы у

г и ш).

в точки 5 = ± 8 H точку г = Z

dw

Отображение (5) переводит точки г = в точку 5Его производная

2"1

士 1

л 1 — г2

обращается в бесконечность в точках г = ± 1.

2) Отображение полуплоскости с выброшеннымрезком н а полуплоскость. Пусть из полуплоскости Im z > 0 исклю-чён отрезок (а, а -\- ih). Для получения искомого отображения мы восполь-

о т-

зуемся тем, что отображение ш = г2 удваивает углы в начале координат и, следовательно, может «расправить» угол между исключенным отрезком и осью к

В соответствии с этим мы сдвигаем полуплоскость г на отрезок а влево:

Z\ — z — а и, применяя отображение г2 = г^, получаем плоскость с выброшенным лучом —九2 V Re z2 V 8, Im г2 = 0. Затем мы снова сдвигаем пло-

скость г2 на величину А2 вправо: 2з =

ние г4 = Кг3 ,

之2 + 九， Применяя, наконец, отображе-

отображение имеет вид

получаем верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомое

г4 = К(г — а)2 + А2.⑹

Сдвигая еще плоскость 勿 на отрезок а вправо, чтобы точка 2 = о + 访 перешла в точку а, получим окончательно

Ш = Р(2 二Ор 4-九2 + а.

Производйая отображения (7) dwг — а

⑺

dZ 匕（之一a）2 +九2

⑻

обращается в нуль в точках В н D (где z = а) и в бесконечность в точке С

(где 2 = а -\- ih). Прямым v = v0 = const соответствуют порядка

линии четвертого

У =

1+ (*-奈+联

⑼

симметричные относительно прямой х = а, на которой стигают своего максимума. При больших и。кривые (9) от прямых (рис. 56).

их ординаты до- мало отличаются

При 4 = 0 отображение (7) обращается в тождественное преобразование ш = 2. Найдем главную часть отображения (7) при малых 九.Для этого мы преобразуем формулу (7), пренебрегая степенями й выше второй. Применяя известную приближенную формулу для корня, получим:

ш = (г ~ а) 1/ 1 +•

Л2

(2 — *

,,/г2

+ …+ W^p

(10)

Отображение круга с выброшенным отрезком рад и у с а н а единичный круг (рис. 57), Пусть из круга \z\ < 1 исключен прямолинейный отрезок [(1—力)6°,6‘°]. Отображение полученной области на единичный круг с помощью дополнительных дробно-линейных отображений можно свести к предыдущему отображению (7). Однако проще воспользоваться свойствами функции Жуковского (п, 7). Повернув область в

Рис, 57,Рис, 57,

Рис, 57,

Рис, 57,

плоскости г па угол—а и применив функцию Жуковского g = — I—；[),

2 'Г。 z /

мы преобразуем эту область во внешность отрезка [—1, 1 + 2力力，где

++переве-переве-九2J

+

+

переве-

переве-

厶】= 4 (j —力).*). -^налогичное преобразование(о =—

дет круг в плоскости 齿 во внешность отрезка [—1, 1], Легко видеть, что линейное отображение =-：一息〔1 преобразует друг в друга

1十% 1 + %

*) В самом деле, образом точки 2=(1—/г)?'。*) В самом деле, образом точки 2=(1—/г)?'。отображении является точка 葯отображении является точка 葯при1 +при1 +рассматриваемом 必рассматриваемом 必

*) В самом деле, образом точки 2=(1—/г)?'。

*) В самом деле, образом точки 2=(1—/г)?'。

отображении является точка 葯

отображении является точка 葯

при

1 +

при

1 +

рассматриваемом 必

рассматриваемом 必

полученные области в плоскостях Uns; подставляя вместо s н 扌 их выражения, мы получаем искомое отображение:

a+生）借+千丁）=保+幻-2"・（⑴

При 九=0 имеем 〃】=0 и g 三 z. Найдем главную часть отображения (11) для малых h. Для этого подставим в (11)酬=zis н отбросим малые второго порядка относительно 九厶 замечая при этом, что со и hL — одного порядка (так что величинами порядка s? можно пренебречь). Мы получим:

Таким образом, для малых А] и точек z, не слишком близких к точке е'。, наше конформное отображение можно представить следующей приближенной формулой:

3 Q Z + 瓦之 § + Z . (12)

Дифференцируя соотношение (12), получим главную часть производной

dw dzdw dz1+儿1+儿紹。+ z 2/2]Ze" J。—2(/。— z)?.紹。+ z 2/2]Ze" J。—2(/。— z)?.(13)(13)

dw dz

dw dz

1+儿

1+儿

紹。+ z 2/2]Ze" J。—2(/。— z)?.

紹。+ z 2/2]Ze" J。—2(/。— z)?.

(13)

(13)

Отметим еще связь между аргументами точек z =е仰 и ^ = е'° окружностей, соответствующих друг другу при отображении (11). Отделяя в (12) после подстановки z = е" и ш = е'° действительные части и полагая 0 = Ф + А(р, cos В cos (р — Дф-siti (р, получим *):

• л £, п Г г'Ф eia +е，Ф 1 厶•，屮—а_se 屮， a(Р Re (两* j = 一 瓦 sin 屮 ctg 二—,

откуда

О = ф +Дф ~ ф +Ai ctg 屮 2 匕.(14)

Отображение плоскости с выброшенными лучами н а полосу 0V。V" (рис. 58). Для определенности потребуем, чтобы левый луч переходил в нижний берег полосы, а правый—в верхний ).

/z а-

Дробно-линеиным преобразованием zt ———— переводим наши лучи в один

луч (0, оо), а затем в действительную ось, используя отображение

ZL后nJ/三.F 2 — Q

Рассматриваемая область переходит при этом в верхнюю полуплоскость. Для получения нужного соответствия точек подвергнем эту полуплоскость дробнолинейному преобразованию на себя, так чтобы образы бесконечно удаленных

Рис. 58.Рис. 58.

Рис. 58.

Рис. 58.

точек 4 и С первоначальной области на плоскости г (т. е. точки г2 = +1) попали в 0 и оо：

…4^—"+ms^)

{k—произвольная положительная постоянная). Остается применить логарифмическую функцию, w ~ — \п 2з, чтобы получить отображение на полосу с нужным соответствием границ:

w = In (г + К-г2 ~ а2) += arch — + — 1па + Я? + с( (15)

Н , k,

здесь с =——Inпроизвольная действительная постоянная. Двум семеи- ствам прямых u = const и у — const при отображении (15) в плоскости г соответствуют семейства эллипсов и гипербол с фокусами 主Q.

% 2HL勿勿勿归勿

С

ggaD他в

Рис. 59.

Отображение полосы 0<(/<2Я с вырезом — оо ^ х ^ ц ^ = Я н а полосу 0 < у < 2Я (рис. 59). Функция

еяг/2Я

отображает полосу с вырезом на верхнюю полуплоскость с выброшенным отрезком (0, bi) мнимой оси, где а = е。"'2H. Функция (7) примера 2);

= V^V? = Ue^/H + 济田

(в формуле (7) надо положить а = 0, h ~ Ь) отображает эту последнюю область на полуплоскость. Применив логарифм, получим искомое отображение

ш = ^- 1п г2 = — In (enz^ + епа1И\(16)

Отображение полосы OVyVl с вырезом OWyW 瓦 х = а н а полосу 0 < и < 1 (рис. 60). Функция 召=е" ^"^отображает

Рис. 60.Рис. 60.

Рис. 60.

Рис. 60.

полосу с вырезом на верхнюю полуплоскость с вырезанной дугой единичной окружности. Отображение

Z2Z2Z1 _ 1 — th n(z~ а)

Z2

Z2

(0,儿)，где d=y th —^―==tg2), мы получим отображение за-(0,儿)，где d=y th —^―==tg2), мы получим отображение за-刁+i 一2~

(0,儿)，где d=y th —^―==tg

2), мы получим отображение за-

(0,儿)，где d=y th —^―==tg

2), мы получим отображение за-

переводит эту дугу в отрезок мнимой оси

Используя опять функцию (7) примера данной области на верхнюю полуплоскость:

=/^5=/以乃伊厂）.+喈 等.

Точки 力 н Е при этом отображении перейдут в точки 彳 J/ 1 +tg?粤;=

=千厂；дробно-линеиным отображением

1 + Z3 cos -~2~Z4 —у

—胃3 COS

мы переведем их в 0 и oo и затем применим логарифм

Z& =— In г4.

В итоге мы получим отображение на нужную полосу. Однако точке С соответствует, очевидно, точка Z5 = 0; чтобы перевести ее в точку а действитель-

ной оси, нужно еще сдвинуть ,эту полосу на а. Таким образом, искомое ото-

■ Сражение имеет вид:

1 , 1 + 2зcos —2/ nh \

w =——In г—И а = — arth cos • г3 + а,

.1 — г3 cos —

или окончательно

® = I arth (cos^y- j/^th^ Я(г~а) + tg2 ^-} + а. (17)

Для малых Л выражение, стоящее под знаком arth, которое мы обозначим через & преобразуется следующим образом:

_/.л (г — а) Г. . л2Л2 , 2 л (г — а))

3(1—k) th%-…气 l+pcthz —2—卜

th Я(2- 0){1+ 哈(cth?当出-1)}

(мы заменяем cos, tg и V^ их приближенными выражениями и пренебрегаем при умножении малыми порядка выше Л2). Используя элементарные формулы для гиперболических функций, получаем:

,л (г — а) л2Л2

"।h —2— + ~4"・ sh 冗(z-а)

Получим теперь приближенную формулу для конформного отображения (17). Для этого в правой части формулы (17) заменим arth ^ первыми двумя

,—

членами его тейлоровского разложения с центром в точке g。= th-：

arth C 戸 arth 厶■+arth C 戸 arth 厶■+

arth C 戸 arth 厶■+

arth C 戸 arth 厶■+

Подставляя в правую часть значения 二 и 二°, мы найдем окончательно

丄 21л2Л2лА2 ,, л (г—а)

冗［ th。冗(% —。)4 sh л (г — а) 142*(18)

Отображение эксцентрического кругового кольца н а концентрическое. Рассмотрим сначала случай, когда каждая окружность кольца лежит во внешности другой (рис. 61). Построим на общей касательной к этим окружностям, как на диаметре, полуокружность Г; -она пересечет линию центров окружностей кольца в двух точках а н 瓦 кото- ■ рые симметричны одновременно относительно обеих окружностей Ci и С2, ибо через а и & проходят линия центров и линия Г, ортогональные к обеим окружностям. По свойствам дробно-линейных отображений функция

(19)(19)z — аw =-

(19)

(19)

z — Ъ

переводит окружности С〔 н С? в две окружности С； и С；, относительно ко

торых точки 您=0 и 您=8, соответствующие точкам г = а и z= b, являются симметричными. Следовательно, точка ⑫=0 есть общий центр

С； и С；・ Эксцентрическое кольцо между С] и С2 при этом переходит в концентрическое круговое кольцо между Cj и С2. На рис. 61 указано также соответствие линий при этом отображении; сетка в плоскости z является частью сетки рис. 53,

Дополнительное отображение

(20)(20)侬]=1口侬=1п р + 汾,

(20)

(20)

где 0 меняется от —оо до +°°, переводит полученное кольцо на полосу. Этот факт не противоречит сказанному в п. 28 относительно невозможности

отображения двусвязных областей на односвязные, ибо отображающая функция (20) многозначна. Более того, функция (20) осуществляет однолистное отображение на полосу области на своей римановой поверхности, лежащей над кольцом, а эта область, очевидно, односвязна.

Случай, когда одна окружность кольца лежит внутри другой, приводится к рассмотренному с помощью дополнительного линейного преобразования =, где с — произвольная точка, лежащая между окружностями,

Отображения круговых луночек. Круговой луночкой мы будем называть область, ограниченную двумя дугами окружностей полной плоскости (т. е., в частности, и отрезками прямых). Примеры, которые мы здесь рассмотрим, играют важную роль как в приложениях, так и в дальнейшем развитии теории.

Отображение внешности дуги н а внешность круга. (Это ——вырожденный случай, когда две дуги, ограничивающие луночку, совпадают.) Предположим, что концы дуги АВ на плоскости г лежат в точках 士а и что круг в плоскости 5 проходит через те же точки. Кроме того, предположим, что середина дуги лежит в точке г = й/, а центр круга ——в точке 5 =山，так что касательная к дуге в точке z = а составляет с отрицательной осью х угол a = 2arctg^, а касательная к окружности в точке 図=〃——угол 0 = "^ — ^ с положительной

осью " (рис. 62). С помощью дробно-линейной функции

z — аz — а2=_._* z + а2=_._* z + а⑴⑴

z — а

z — а

2=_._

* z + а

2=_._

* z + а

⑴

⑴

луча. Так как [崇~] _д > 0, то нательной оси также равен а.луча. Так как [崇~] _д > 0, то нательной оси также равен а.

луча. Так как [崇~] _д > 0, то нательной оси также равен а.

луча. Так как [崇~] _д > 0, то нательной оси также равен а.

мы отображаем внешность дуги АВ на внешность некоторого

угол наклона этого луча к отри- Далее будем искать отображение

на внешность полученного луча внешности заданного круга в плоскости w. Для этого снова воспользуемся дробно-линейной функцией

Wi =：—

1 з + a

которая переводит круг в полуплоскость, а его окружность в некоторую прямую. Так как [~^^] _а > 0, то угол наклона этой прямой к положительной оси равен 卩.Отображение

%=鸣=(/^)2(2)，

переводит, следовательно, наш круг во внешность луча, образующего с положительной осью угол 2р = л — а. Таким образом, этот луч совпадает с полученным при отображении (1)； исключая 21 из соотношений (1) и (2), мы получаем искомое отображение

/ w — ау — z — а

\ MJ + а / —

Из последнего уравнения находим:

⑶，⑶，2=；(з+^)，3 = Z + 匕2 —心

⑶，

⑶，

При рассматриваемом отображении любая окружность С', касающаяся окружности С в точке з = а, переходит в замкнутую кривую, охватывающую дугу АВ и имеющую в точке B(z = а) точку возврата; эта кривая напоминает профиль крыла самолета (рис. 63).

Рис. 63.Рис. 63.

Рис. 63.

Рис. 63.

Функция (3) осуществляет конформное отображение внешности этой кривой на внешность круга, ограниченного окружностью С.

На этом замечании основывается предложенный Н. Е. Жуковским метод получения классов профилей крыльев самолета, особенно простых для расчетов (про- 串夕фили Жуковского).

Форма профилей Жуковского за- /висит от трех параметров:а,характе-

忆ризующего ширину крыла,力，характер

万洛)/%%伤施~^ризующего его искривление,и d —

расстояния между центрами окружно- Рис. 64.стей С и С\ характеризующего тол

щину крыла (рис. 63).

Отображение полуплоскости с выброшен- ным сегм ентом на полуплоскость. Функция 3] =^tj ■ отображает заданную область (рис. 64) на сектор а < arg^i < V л. Следовательно, функция

电匸伯宀产…』电匸伯宀产…』л/(л—а)л/(л—а)

电匸伯宀产…』

电匸伯宀产…』

л/(л—а)

л/(л—а)

отображает эту область на верхнюю полуплоскость. Зададимся еще нормировкой: &у(оо) = оо, @'(оо)= 1； так как при предыдущем отображении точка г = оо переходит в точку г2 = —1,

то придется совершить дополнительное линейное преобразование

kZ2々

1 +之0=/"b而二aj

где постоянная k находится из второго условия нормировки. Действительно,

откуда, разложив степень внутри фигурной скобки по формуле бинома, для больших | г | найд&м:

г / г2г / г2Следовательно,wz (оо) = k ^ -^--^ и kСледовательно,wz (оо) = k ^ -^--^ и kалл — аалл — аОкончательно имеем:Окончательно имеем:где С ——произвольная действительная постоянная. Для получения главной части отображения (4) прй малых она воспользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем:где С ——произвольная действительная постоянная. Для получения главной части отображения (4) прй малых она воспользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем:1 -у1 -у:/(九一°)_- ― a Л . a дд . a2 _ 02a—0а2一 一元I'十九2nz十n2 6几z2 n2z:/(九一°)_- ― a Л . a дд . a2 _ 02a—0а2一 一元I'十九2nz十n2 6几z2 n2z*)>*)>откуда{1-(1откуда{1-(1a[ 1? / [ а . аа . а2a7； J =G口一元十豆不十丽0十a[ 1? / [ а . аа . а2a7； J =G口一元十豆不十丽0十и, умножая это наn-a а у十九十几2十曲十•丿， получаем:и, умножая это наn-a а у十九十几2十曲十•丿， получаем:w = z[ 1 4w = z[ 1 4аа . а2a , а2aаа . а2a , а2a2nz 丁 2л2? 丁 6лг22nz 丁 2л2? 丁 6лг2+ …)+ С Z + 農+const.+ …)+ С Z + 農+const.(5>(5>

г / г2

г / г2

Следовательно,

wz (оо) = k ^ -^--^ и k

Следовательно,

wz (оо) = k ^ -^--^ и k

алл — а

алл — а

Окончательно имеем:

Окончательно имеем:

где С ——произвольная действительная постоянная. Для получения главной части отображения (4) прй малых она воспользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем:

где С ——произвольная действительная постоянная. Для получения главной части отображения (4) прй малых она воспользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем:

1 -у

1 -у

:/(九一°)_- ― a Л . a дд . a2 _ 02a—0а2

一 一元I'十九2nz十n2 6几z2 n2z

:/(九一°)_- ― a Л . a дд . a2 _ 02a—0а2

一 一元I'十九2nz十n2 6几z2 n2z

*)>

*)>

откуда

{1-(1

откуда

{1-(1

a[ 1? / [ а . аа . а2a

7； J =G口一元十豆不十丽0十

a[ 1? / [ а . аа . а2a

7； J =G口一元十豆不十丽0十

и, умножая это на

n-a а у十九十几2十曲十•丿， получаем:

и, умножая это на

n-a а у十九十几2十曲十•丿， получаем:

w = z[ 1 4

w = z[ 1 4

аа . а2a , а2a

аа . а2a , а2a

2nz 丁 2л2? 丁 6лг2

2nz 丁 2л2? 丁 6лг2

+ …)+ С Z + 農+const.

+ …)+ С Z + 農+const.

(5>

(5>

Подсчитаем площадь о выброшенного сегмента. Имеем: о = ar2 —

—告г cos а, где r = 炉 f 〃радиус круга. Пренебрегая малыми // Sill u"

*) Здесь и далее многоточие означает члены 4-го порядка малости.

а2 / а. \а2aвысшего порядка, получим: о = 丁［仆沁戏ctgal q —^~ образом, формулу (5) окончательно можно записатьа2 / а. \а2aвысшего порядка, получим: о = 丁［仆沁戏ctgal q —^~ образом, формулу (5) окончательно можно записать• Такимв виде• Такимв видез Q 2 + 萤 + c°nst.(6)Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий результат: функцияwz^ ~ —^у + const 仙(оо) = оо, к/ (оо) = 1)(7)з Q 2 + 萤 + c°nst.(6)Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий результат: функцияwz^ ~ —^у + const 仙(оо) = оо, к/ (оо) = 1)(7)осуществляет конформное отображение на полуплоскость и > Оосуществляет конформное отображение на полуплоскость и > О^полуплоскости у > О^полуплоскости у > Ос выброшенной площадкой а, ограниченной отрезком (b,b + a) и дугой круга малой кривизны.3) Отображение круга с выброшенной луночкой н а круг. Пусть угловые точки луночки близки к e'a и площадь выброшенной луночки о мала (рис. 65). Совершим дополнительные дробно-линейные отображенияс выброшенной площадкой а, ограниченной отрезком (b,b + a) и дугой круга малой кривизны.3) Отображение круга с выброшенной луночкой н а круг. Пусть угловые точки луночки близки к e'a и площадь выброшенной луночки о мала (рис. 65). Совершим дополнительные дробно-линейные отображенияU = iU = i1 — ze—a1 +勿一沁1 — ze—a1 +勿一沁1 — we~la1 +3l1 — we~la1 +3lединичных кругов плоскостей 2 н з на верхние полуплоскости 匕и 8.Луночка а перейдет в луночку а* = |-~-12 ^ • а = ^, примыкающую к точке g = 0. По формуле (6) предыдущего примера получим тогда:единичных кругов плоскостей 2 н з на верхние полуплоскости 匕и 8.Луночка а перейдет в луночку а* = |-~-12 ^ • а = ^, примыкающую к точке g = 0. По формуле (6) предыдущего примера получим тогда:или, возвращаясь к переменным 2 H @,или, возвращаясь к переменным 2 H @,W =е‘а _ с + SW =е‘а _ с + SI-成 "必(1 + zefI-成 "必(1 + zef(8)(8)

а2 / а. \а2a

высшего порядка, получим: о = 丁［仆沁戏ctgal q —^~ образом, формулу (5) окончательно можно записать

а2 / а. \а2a

высшего порядка, получим: о = 丁［仆沁戏ctgal q —^~ образом, формулу (5) окончательно можно записать

• Таким

в виде

• Таким

в виде

з Q 2 + 萤 + c°nst.(6)

Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий результат: функция

wz^ ~ —^у + const 仙(оо) = оо, к/ (оо) = 1)(7)

з Q 2 + 萤 + c°nst.(6)

Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий результат: функция

wz^ ~ —^у + const 仙(оо) = оо, к/ (оо) = 1)(7)

осуществляет конформное отображение на полуплоскость и > О

осуществляет конформное отображение на полуплоскость и > О

^полуплоскости у > О

^полуплоскости у > О

с выброшенной площадкой а, ограниченной отрезком (b,b + a) и дугой круга малой кривизны.

3) Отображение круга с выброшенной луночкой н а круг. Пусть угловые точки луночки близки к e'a и площадь выброшенной луночки о мала (рис. 65). Совершим дополнительные дробно-линейные отображения

с выброшенной площадкой а, ограниченной отрезком (b,b + a) и дугой круга малой кривизны.

3) Отображение круга с выброшенной луночкой н а круг. Пусть угловые точки луночки близки к e'a и площадь выброшенной луночки о мала (рис. 65). Совершим дополнительные дробно-линейные отображения

U = i

U = i

1 — ze—a

1 +勿一沁

1 — ze—a

1 +勿一沁

1 — we~la

1 +3l

1 — we~la

1 +3l

единичных кругов плоскостей 2 н з на верхние полуплоскости 匕и 8.

Луночка а перейдет в луночку а* = |-~-12 ^ • а = ^, примыкающую к точке g = 0. По формуле (6) предыдущего примера получим тогда:

единичных кругов плоскостей 2 н з на верхние полуплоскости 匕и 8.

Луночка а перейдет в луночку а* = |-~-12 ^ • а = ^, примыкающую к точке g = 0. По формуле (6) предыдущего примера получим тогда:

или, возвращаясь к переменным 2 H @,

или, возвращаясь к переменным 2 H @,

W =е‘а _ с + S

W =е‘а _ с + S

I-成 "必(1 + zef

I-成 "必(1 + zef

(8)

(8)

(мы всюду пренебрегаем малыми порядка выше а). При этом

■отображении точка 2 = 0 переходит в точку 耽=噹二 совер

шая дополнительное дробно-линейное преобразование и^ =

=1 круга на себя, так чтобы w0 перешла в 0, получаем:

Wj =^— а 5 + -~г (йу2с—2 _ 0沁).

После подстановки вместо w его приближенного значения (8) и простых преобразований (в которых мы опять пренебрегаем малыми порядка выше а) получаем окончательно:

如=:三空曾,f(0) = 0(9>

(вместо Wi мы снова пишем w). Отображение (9) устанавливает следующее соответствие точек окружностей z = с即 и з =。詔：

е，D « 1 + 許ctg 3a , или (если взять мнимые части и пренебречь малыми высшего порядка)

e^中+言也門% °°)

Для модуля производной отображения на границе имеем: m叫《端~一詮/^戸，(⑴

11 для производной в начале координат:

Г (0)« 1+^.(12)

Отображение полосы с выброшенной л у- ночкой н а полосу. Пусть из полосы 0 之 у V 1 выброшен сегмент о, ограниченный отрезком (0, а) действительной оси и дугой круга малой кривизны (рис. 66). Совершая дополнительные отображения 匕=。血，и со = с"^ полос на верхние полуплоскости и применяя формулу (7):

где а = I -—-1 _0 ' а = ^а — площадь образа сегмента *), получаем искомое отображение

=J—

(мы всюду пренебрегаем малыми порядка выше а). Сдвигая еще плоскость w на отрезок о/2, будем иметь окончательно:

3 y 23 y 2U ”2 +1万員2-iU ”2 +1万員2-i2 — cth ■222 — cth ■22(13)(13)

3 y 2

3 y 2

U ”2 +1万員2-i

U ”2 +1万員2-i

2 — cth ■

22

2 — cth ■

22

(13)

(13)

Дополнительным сдвигом плоскости а получим более общий результат: функция

5 а 2 + ^ cth 严包/ ')+ const(14)

(15)(15)осуществляет конформное отображение полосы О V У V 1 с выброшенным круговым сегментом о, опирающимся на отрезок (о, b + а), на полосу О V。V L Она устанавливает следующее соответствие точек прямых у = 0, у = 1 и прямых и = 0, о=1: u = x + y cth "(/4 + const, u = х + у th 九仔鼠 С _[_ const.

(15)

(15)

Формула для растяжения при отображении круговой луночки н а полосу. Пусть луночка D ограничена дугами С\ и С2 окружностей, пересекающихся в точках 土а, и пусть ——i/i] и —ih^ — точки пересечения этих дуг с мни-

Рис. 67.Рис. 67.мой осью (рис. 67). Используя функцию (5) из примера 1) предыдущего пункта, легко построить конформное отображение луночки D на полосу 0 V 0 V 九：

Рис. 67.

Рис. 67.

w = f (z) =

— Лг 。— 2j

где 九在= 2a「ctg普，й = 1, 2 *). Дифференцируя выражение (16),

получаем:получаем:『（2）=『（2）=2аА（％二乂）（炉一炉）2аА（％二乂）（炉一炉）(17)(17)

получаем:

получаем:

『（2）=

『（2）=

2аА

（％二乂）（炉一炉）

2аА

（％二乂）（炉一炉）

(17)

(17)

Из формулы (17) можно получить одну приближенную формулу, важную для приложений. Пусть г0 ——точка С2, п — отрезок нормали к окружности С2 в этой точке, заключенный в луночке О,令——угол между касательными к Ci и С2 в концах отрезка м и 也，局一кривизны Ci и С? (рис. 67). Предположим, что А и вместе с ним 財一局 и м — бесконечно малые первого порядка, а кривизны 也 и А ограничены. Тогда можно утверждать, что

产(2。)1 = ^{1 +竿+ 容+ 雪+ ^} + %

^где т] можно представить в виде однородного многочлена третьей степени относительно м,仇 財一局 с ограниченными ко

эффициентами.

Для вывода формулы (18) из формулы (17) в последней надо выра

зить параметры а,入i,九2, Zo через %,杼, 玩 & и затем разложить |F(z())| по степеням п,仇 应〔——做 до членов вто

рого порядка включительно. Однако фактическая реализация этого пути приводит к чрезвычайно громоздким выкладкам. Поэтому мы получим формулу (18), отправляясь от частного случая, когда окружность С2 совпадает с осью Ох, т. е. когда 局=О (рис. 68). В этом случае формула (17) дает:

2аЛ 1

У出一立，

где % = 2arctg-y—половина центрального угла дуги Сх (рис. 68)-

С другой стороны, имеем % = arcsin akx = ak\ + -™ Mh； +…>

sincos 6 cos 入 1

x = ―т—, n = —r1 следовательно, 以曲色1

1Г(Х)| =

2аЛ

叫 +а%；

sin2 0 十.一一

±1 2 (cos 0 — cos 脑)亠

.Далее, имеем с точностью до малых четвертого порядка:

2几电=2 （cos行 — cos 九［）q 九；一个2 -^"（廿一俨）Q

a?好—标+扌屐"+ %俨（⑼

И

（叫+ 4叫）（叫一曙卜（1+_^a2码（叫一俨+ "4卜 « a2k\ —俨 + / 俨 + ^ 出经--1 a^.

Деля первое из этих разложений на второе, получаем с точностью до малых второго порядка включительно:

…Yh+（*貝峭・^}・

Используя справедливое с той же степенью точности соотношение 2〃&［=2 （cos 今一cos 九］）弋 a?&； — ^2, получаем окончательно: 『⑴g"+（学+屮）聂} = gh+穿+筝一2。） что совпадает с формулой （8） при &? = 0.

Для перехода к общему случаю, когда ^2 #= 0, мы возьмем вспомогательную плоскость ^ и в ней луночку О*, ограниченную

отрезком действительной оси Сг и дугой окружности Ci кривизны fei； через м* обозначим отрезок мнимой оси, заключенный в луночке D*, а через 今——угол, образованный дугой Ci с перпендикуляром к мнимой оси в точке их пересечения （рис. 69）. Отобразим конформно нижнюю полуплоскость С на внешность окружности С2 кривизны 局：

1 i 一 白 dz 2/1

（21）

При этом луночка D* переходит в луночку D, ограниченную дугой С2 и дугой окружности С\ некоторой кривизны 电，мнимая ось переходит в действительную, а отрезок п ——в отрезок п действительной оси, причем

1 1 + n* 1 _2%** 一h孤—笈2"1

右2 1 — rt* 右2 局(1 -%")''2 + 局" 2] +，笈2n '(22)

и окружность Ci образует с перпендикуляром к действительной оси в точке 2] их пересечения угол 計(рис. 69).

Найдем теперь связь между k{ и другими параметрами. Для этого обозначим через ds элемент длины дуги Сн через a (s)— угол касательной к С\ с осью 尤(s отсчитывается от точки /, так что。(0)=計+^) и через ds* — элемент дуги С*, соответствующий ds. Имеем Е =^~• Но бесконечно малое приращение угла а можно представить в виде

da = k\ ds* + d arg 釜，

где второе слагаемое da「g~^|-= Imdln 常' означает приращение a「g-^- на дуге J^ = e^Js* окружности С*, примыкающей к точке 击=——n*i. Согласно формуле (21) это приращение равно ds *2 cos 仔 *

—2 Im = rds и для кривизны имеем:

(1 — п) z 1 — п尸

析析.2 cos ^ \ ds* /. 2 cos ^ \

析

析

+-г^)чг^ + т^)

ибо по той же формуле (21) = £•厂=导(1 — п*)2. Отсюда и из второй формулы (21), по которой •『二一彳=1 + -^-, находим: 局-^T^у-1^^ 费(1+粤)2—2 3a1+等).(23)

Пусть функция w = f (z) реализует конформное отображение луночки, ограниченной дугами & и С2, на полосу ширины h. Согласно формуле (21) в точке г0 = 1/^2, соответствующей точке 甘=0, имеем:

I 厂(%)II 器 к。• 14H冃=I 請 L° • -у-

Величину |^-卜_0 можно вычислить по формуле (20), заменяя

в ней п и ^1 на п* и 左;.Используя найденные значения (22) и (23) для п и 々；,получаем с точностью до малых второго по-

рядка включительно:

dwdw

dw

dw

—п k2—п k222=外备（! +=外备（! +1 + 粤(1 + 号)一陪cos6 +1 + 粤(1 + 号)一陪cos6 +lf'(Zo)|k^(l Тlf'(Zo)|k^(l Т也］"也］"k2n 也然 絞| 丁 + 丁 +丁卜k2n 也然 絞| 丁 + 丁 +丁卜

—п k2

—п k2

2

2

=外备（! +

=外备（! +

1 + 粤(1 + 号)一陪cos6 +

1 + 粤(1 + 号)一陪cos6 +

lf'(Zo)|k^(l Т

lf'(Zo)|k^(l Т

也］"

也］"

k2n 也然 絞| 丁 + 丁 +丁卜

k2n 也然 絞| 丁 + 丁 +丁卜

也1" 也2"也］也2m

+丁 + 丁+^-

Так как по условию разность kx —— 々2 является малой величиной, то с той же степенью точности hyk/ = k^, и мы получаем искомую формулу:

3. Принцип симметрии и отображение многоугольников

Здесь мы рассмотрим методы, играющие важную роль при фактическом построении конформных отображений. Первый из этих методов опирается на так называемый принцип симметрии^ который был сформулирован Б. Риманом и обоснован Г. Шварцем. Этот метод, как мы увидим в п. 36, позволяет в некоторых случаях довольно существенно упростить решение задачи отыскания конформных отображений.

Второй метод особенно важен для приложений, так как он дает возможность выписать (правда, вообще говоря, лишь в виде интеграла) функцию, реализующую отображение верхней полуплоскости на произвольную область, органиченную многоугольником.

. Принцип симметрии дает в одном частном случае простое достаточное условие существования аналитического продолжения функции, реализующей конформное отображение.

Теорема 1 (Б. Риман, Г. Шварц). Пусть граница области О】 содержит дугу окружности С 〃 пусть функция w = =fi (z) реализует конформное отображение этой области на область D\ такое, что дуга С переходит в участок С* границы Q：, также являющийся дугой окружности. В этих условиях функция fi (г) допускает аналитическое продолжение %(之)через дугу С в область 02, симметричную с О】 относительно С, причем функция 硬==%(%) реализует конформное отображение об-

ласти D2 на область D^ симметричную с О относительно С*, а функция

Л (г)8 Dl

w = f(z)= Л (2)=f2(2)на С,

■为⑵ 3 2

реализует конформное отображение *) области ^i + С + ^2 斤。

область D* + С* + D2*

Для доказательства мы совершим дробно-линейные отображения

^ = 1T+T = 1^'8=不后+力=厶侬)，⑴

преобразующие С и С* в отрезки Г и Г* действительных осей плоскостей ^ и со; области Di и О* пусть переходят при этом

Рис. 70.

в области Д] и А；, а функция w = f{ (г)—в функцию со = =/JW" (G)=屮(白)，осуществляющую конформное отображение Д1 и Д* (рис. 70)). Обозначим через А2 область, симметричную с Д] относительно Г. Построим в Д2 функцию

①=耿(9 = 0 (Е)

и покажем, что она является аналитическим продолжением функции epi(^). Прежде всего функция(р2(^) аналитична в области 厶2・ В самом деле, для любых точек g н g + Ag из А2 имеем:

①2售+A白)——①2售)①1 (w + a0 叫(w) _ / 6 (e +A之)——6 (E))

где； и * + 纯一точки из А]. В силу аналитичности q)i (^) в 加 правая часть имеет предел при Д^->0, следовательно, существует и производная

中的=而⑵

в любой точке g области А?, т. е. q)2&) аналитична в Д2- По построению функции q)2(^) ее граничные значения на отрезке Г существуют:

<Р2 (尤)=1而 q)2 ® = lim q)t @⑶

ибо по теореме о соответствии границ при конформном отображении (п. 29) существует lim q)i (£) = q)i (%). Соотношение (3) принимает вид 屮2(尤)=屮i (%), но так как значения q)i (х) действительны (Г*, по условию,——отрезок действительной оси), то на отрезке Г

屮2 (%) = <Р1 (%)•⑷

По принципу непрерывного продолжения (п. 25) можно, следовательно, утверждать, что q)2(^) является аналитическим продолжением q)i (^) через Г.

Из построения функции q)2(^) следует также, что она реализует конформное отображение области Да на область Д5, симметричную с А； относительно Г*. Функция же(р(^), составленная из q)i (^) и ее аналитического продолжения q)2(d*

в Ai,

©©^^s^^s=恥(G) на Г, в Д2,

©

©

^^s

^^s

реализует конформное отображение 加十「+ 厶2 на А! + Г* + AJ*

Возвратимся теперь к старым переменным z и 5 c помощью подстановок, обратных (1). В силу свойств дробно-линейных отображений мы получим в области。2, симметричной с Qi относительно дуги С, функцию 力(乞)，аналитически продолжающую fi(z) через дугу С и реализующую конформное отображение области D2 на область Q；, симметричную с Q； относительно дуги С*. Теорема доказана.

В качестве примера применения принципа симметрии докажем теорему единственности конформного отображения при заданном соответствии трех граничных точек, о которой мы говорили в п. 29.

Теорема 2. Существует одно и только одно конформное отображение w = f(z) области D на область Q", переводящее три граничные точки zA области D в три граничные точки 図丸

области Q*. Точки zh 〃 ⑫互 задаются произвольно, но с соблюдением порядка следования при обходе границ областей.

Рассмотрим сначала случай, когда D и Q* представляют собой единичные круги. По формуле (2) п. 32 можно построить дробно-линейное отображение круга 121Vl на круг | w | < 1 с заданной нормировкой ，(2互)=^团 Докажем единственность этого отображения. Пусть w = g(^), g(£互)= ⑫互 будет другое отображение круга |z|v 1 на круг |®| 之 1. Функция g(z) удовлетворяет условиям принципа симметрии и, следовательно, аналитически продолжается в область, симметричную с кругом 121Vl относительно окружности |z|=l, т. е. во внешность круга |z|> 1. Вместе со своим продолжением w = g(z) реализует однолистное отображение полной плоскости z и по теореме 1 п. 31 является дробно-линейной функцией. Но тогда можно утверждать, что g(z) = f(z), ибо по доказанному в п. 32 дробно-линейное отображение вполне определяется заданием соответствия трех точек.

Общий случай просто сводится к рассмотренному. В самом деле, пусть ^ =(р(г),注=(p(zQ и 3 =2(⑫)，8月=2(3儿)будут какие-либо конформные отображения областей Q н D* на единичные круги | ^| < 1 и |(о | < 1 и (о = F(^),尸(“)=(о 互一 отображение круга |C|V 1 на круг |(о| V 1 (его существование и единственность гарантированы). Отображением области D на область Q* с заданной нормировкой будет, очевидно, служить

W =屮一1 尸屮(2)=f(2), где 屮~1 — отображение, обратное 取 Существование второго отображения 侬=g(w) области Q на 力* с той же нормировкой привело бы к существованию второго отображения

s = WgwT(9 = G(C)

круга |^| < 1 на круг |(о| < 1 с нормировкой G(瀛)=3女，что противоречит установленному выше. Теорема доказана полностью.

Рассмотрим еще применение принципа к вопросу о существовании конформных отображений многосвязных областей. По основной теореме п. 28 любые две односвязные области можно однолистно и конформно отобразить друг на друга. С другой стороны, мы видели, что нельзя так же отобразить односвязную область на многосвязную, Возникает вопрос о возможности отображения друг на друга областей одного порядка связности. Оказывается, и этот вопрос, вообще говоря, решается отрицательно. В самом деле, даже в простейшем случае концентрических колец имеет место

Те о р е м а 3. Для того чтобы существовало конформное отображение w =f(z) кольца 门 V|z|VF2 咒а кольцо pi< |t^| <р2,

(5)(5)необходимо 〃 достаточно подобие этих колец:

(5)

(5)

Pi n

Для доказательства необходимости условия (5) заметим, что функция f(z) удовлетворяет условиям принципа * симметрии и на основании этого принципа аналитически продолжается 22

6Г2

в области — V I n IV 门 н г2VlzI < —, симметричн ые с кольцом

尸[V|n|V「2 соответственно относительно окружностей \z\ = rx 产A2

и I 2 | = г2. Расширенное кольцо у- < 121 < -— функция f(z)

р22

(вместе с ее продолжением) отображает на кольцо — <| ш |<—.

Р2р]

z-> соz-> соZ->0Z->0Поэтому к функции f (z) снова применим принцип симметрии и ее можно продолжить в кольцо 「1(；) < | 21 < г2 ^у-)2 • Производя такое продолжение неограниченно, мы получим, что f (z) реализует однолистное отображение области 0 < | 2 | < оо на область 0<| ш |< оо, причем либо lim f (2) = 0, lim f(2)= 00,

z-> со

z-> со

Z->0

Z->0

Z->8Z->8либо lim f (z) = 00, limf(z) = 0, в зависимости от того, соот-

Z->8

Z->8

Z->0

ветствует окружности | z | = rr окружность | 侬 | = р^ или [侬 | = р?・ Отсюда заключаем, что f (2) является дробно-линейной функцией одного из двух видов:

f（2）= 〃N，' 3）=彖f（2）= 〃N，' 3）=彖⑹⑹

f（2）= 〃N，' 3）=彖

f（2）= 〃N，' 3）=彖

⑹

⑹

где а — комплексная постоянная. В обоих случаях равенство (5), очевидно, выполняется. Достаточность условия (5) следует из того, что при его выполнении кольца подобны и их можно отобразить друг на друга простым растяжением.

В дополнение к доказанной теореме укажем, что любая двусвязная область все же может быть отображена на некоторое кольцо pi < |ш I < р2, причем при заданом радиусе р】радиус р2 определяется для данной области однозначно. Точно так же произвольную n-связную область можно отобразить на некоторую область, получаемую выбрасыванием из плоскости п кругов. Доказательства этих предложений читатель может найти в статье М, В. Ке лдыша [7] или книге Р. Куранта [5],

В заключение приведем обобщение принципа симметрии на случай, когда границы отображаемых областей содержат аналитические дуги. Дуга С называется аналитической, если она может быть задана параметрическими уравнениями

х = х (/), у — У (О» U&/&0,

в которых х(0 и y(t) являются аналитическими функциями действительного переменного / на интервале (а, В), т. е. функциями, разлагающимися в окрестности каждой точки % этого интервала в степенные ряды по степеням t — h* При этом предполагается, что ни в одной точке интервала производные л/(/) и y'(f) не обращаются в нуль одновременно (т. е. на С нет особых точек). Кривая С может быть и замкнутой, если х(а)= = *(В), У(а)= У(Р)•

Имеет место так называемый принцип аналитического продолжения:

Теорема 4 (Г, Шварц). Пусть функция g = f(z) реализует конформное отображение области D, граница которой содержит аналитическую дугу С, на некоторую область D*, причем дуге С соответствует аналитическая дуга С* границы области D*. S этих условиях функцию g = /(z) можно аналитически продолжить через дугу С.

В самом деле, пусть 2。一 произвольная точка дуги С, 2 = z(f) = %(/)+ jy(/)_ уравнение этой кривой н z0 = z(%). Так как С по условию ——аналитическая дуга, то в некоторой окрестности р — /оI < 6 функцию z = z(f) можно разложить в ряд по степеням t ——%; по теореме Абеля последний будет сходиться и для комплексных значений /, которые мы обозначим через 甘 в круге Ц — /о| < 6. Следовательно, в этом круге определена аналитическая функция z = z(W). Так как zf (t^ #： 0, то, уменьшая в случае надобности 6, можно считать отображение z = =2隽)конформным. По построению z = z(^) отображает диаметр круга |g—%|V6 на некоторый отрезок кривой С, содержащий точку 2о； мы будем предполагать, что верхний полукруг при этом преобразуется внутрь области D, а нижний — в ее внешность.

Точно таким же образом, если з = д(т) есть уравнение кривой С*, мы можем построить конформное отображение д = = д(со) некоторого круга |со — то| < 6j с центром на действительной оси на окрестность точки ©о = з(то) = f (z。)，преобразующее диаметр этого круга в отрезок.кривой С*. Мы предположим также, что верхний полукруг при этом преобразуется внутрь области D*, а нижний ——в ее внешность.

Функция g = f(z) порождает конформное отображение

(о = ю {/ [г (?]} = ф (С)

(со = со(д) — функция, обратная g = g(s)) верхнего полукруга |C—fo|V6 на некоторую часть верхнего полукруга |со — то| < V 61, причем диаметр первого полукруга переходит в часть диаметра второго. По доказанному принципу симметрии (теорема 1) функция(р(^) допускает аналитическое продолжение в нижний полукруг и (вместе со своим продолжением) реализует

конформное отображение всего круга 居一％|V0 на некоторую часть круга |s —to|VBi, содержащую отрезок диаметра.

Построенное продолжение со = ф(^) порождает аналитическое продолжение функции f(z) через отрезок кривой С. В самом деле, в части внешности области D, соответствующей нижнему полукругу |二一力| V6 определена аналитическая функция u? = u?{q)[^(z)]} (^(z)—— функция, обратная 2 (^)), граничные значения которой на отрезке дуги С совпадают с граничными значениями f(z). По принципу непрерывного продолжения эта функция является аналитическим продолжением функции f(z). Так как 之。——произвольная точка кривой С, то можно утверждать, что f ⑶ аналитически продолжаема через всю дугу С Теорема доказана.

В частности, если полные границы С и С* данных областей——аналитические кривые, то f(z) будет аналитически про- должимой через всю границу области D (и, следовательно, аналитической в замкнутой области D).

В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения принципа симметрии в практике конформных отображений.

36. Примеры. 1) Отображение внешности креста н а внеш36. Примеры. 1) Отображение внешности креста н а внешность единичногоность единичного(пунктирный) разрез(пунктирный) разрезЕ48Е48круга (рис. 71). Проведем вспомогательныйкруга (рис. 71). Проведем вспомогательныйпопо8(^1==2?^—8(^1==2?^—мнимой оси и в правой половине фигуры рассмотрим отображение 2】=г2; оно преобразует эту половину на плоскость 力 с выброшенным лучом от 4(—оо) до D(a2) по действительной оси. Далее мы применяем отображениемнимой оси и в правой половине фигуры рассмотрим отображение 2】=г2; оно преобразует эту половину на плоскость 力 с выброшенным лучом от 4(—оо) до D(a2) по действительной оси. Далее мы применяем отображениеО)О)преобразующее полученную область на правую полуплоскость. Вспомогательный разрез припреобразующее полученную область на правую полуплоскость. Вспомогательный разрез приэтом переходит в содержащий оо отрезокэтом переходит в содержащий оо отрезокмнимой оси от точки 尸(一fi), гдемнимой оси от точки 尸(一fi), гдеT上川I I qT上川I I qдо точки (рис. 71).до точки (рис. 71).B(g% гдеB(g% гдеФункция г2Функция г2условиям принципа симметрии,условиям принципа симметрии,g = /絞+/g = /絞+/удовлетворяет следовательно,удовлетворяет следовательно,допускает аналитическое продолжение через FA自 в левую полуплоскость и вместе со своим аналитическим продолжением, которое мыдопускает аналитическое продолжение через FA自 в левую полуплоскость и вместе со своим аналитическим продолжением, которое мыобозначаем снова через г2 = Кг? — / осуществляет отображение внешности заданного креста на внешность отрезка BF мнимой оси плоскости г2.Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга.обозначаем снова через г2 = Кг? — / осуществляет отображение внешности заданного креста на внешность отрезка BF мнимой оси плоскости г2.Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга.Для этого применяем линейное отображение ^3=^^Для этого применяем линейное отображение ^3=^^TTP пре-TTP пре-образующее внешность отрезка BF во внешность единичного отрезка, и затем—обратное отображение Жуковского (см. п. 7):образующее внешность отрезка BF во внешность единичного отрезка, и затем—обратное отображение Жуковского (см. п. 7):

36. Примеры. 1) Отображение внешности креста н а внеш

36. Примеры. 1) Отображение внешности креста н а внеш

ность единичного

ность единичного

(пунктирный) разрез

(пунктирный) разрез

Е48

Е48

круга (рис. 71). Проведем вспомогательный

круга (рис. 71). Проведем вспомогательный

по

по

8(^1

==2?^—

8(^1

==2?^—

мнимой оси и в правой половине фигуры рассмотрим отображение 2】=г2; оно преобразует эту половину на плоскость 力 с выброшенным лучом от 4(—оо) до D(a2) по действительной оси. Далее мы применяем отображение

мнимой оси и в правой половине фигуры рассмотрим отображение 2】=г2; оно преобразует эту половину на плоскость 力 с выброшенным лучом от 4(—оо) до D(a2) по действительной оси. Далее мы применяем отображение

О)

О)

преобразующее полученную область на правую полуплоскость. Вспомогательный разрез при

преобразующее полученную область на правую полуплоскость. Вспомогательный разрез при

этом переходит в содержащий оо отрезок

этом переходит в содержащий оо отрезок

мнимой оси от точки 尸(一fi), где

мнимой оси от точки 尸(一fi), где

T上川

I I q

T上川

I I q

до точки (рис. 71).

до точки (рис. 71).

B(g% где

B(g% где

Функция г2

Функция г2

условиям принципа симметрии,

условиям принципа симметрии,

g = /絞+/

g = /絞+/

удовлетворяет следовательно,

удовлетворяет следовательно,

допускает аналитическое продолжение через FA自 в левую полуплоскость и вместе со своим аналитическим продолжением, которое мы

допускает аналитическое продолжение через FA自 в левую полуплоскость и вместе со своим аналитическим продолжением, которое мы

обозначаем снова через г2 = Кг? — / осуществляет отображение внешности заданного креста на внешность отрезка BF мнимой оси плоскости г2.

Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга.

обозначаем снова через г2 = Кг? — / осуществляет отображение внешности заданного креста на внешность отрезка BF мнимой оси плоскости г2.

Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга.

Для этого применяем линейное отображение ^3=^^

Для этого применяем линейное отображение ^3=^^

TTP пре-

TTP пре-

образующее внешность отрезка BF во внешность единичного отрезка, и затем—обратное отображение Жуковского (см. п. 7):

образующее внешность отрезка BF во внешность единичного отрезка, и затем—обратное отображение Жуковского (см. п. 7):

w — — i (г3 +)/^3

22}.⑵}.⑵=急"二с? + 丿公一壮 + fg + (f — g) f Kz2 — а2 +

2

2

}.⑵

}.⑵

В частности, при Ь = с = а получаем w =-(Кz2-a2 + Pzz + a?).

2

•откуда

a Ktw4 + 1小

h 25

Хер. п. 30, пример 3).

Г) Отображение внешности единичного круга с ис- 4слюченными отрезками 1《|z|《1 + ^, argz = 24л/п (在=0, 1,,.. .,.,n—1) на внешность единичного круга (рис. 72). Проведем вспомогательные разрезы от точки & и В2 До бесконечности по продолжениям радиусов круга и построим конформное отображение полученного сектора на такой же сектор, но так, чтобы точки В〔 и В2 попали на место 4〔 и Д2-

：Это можно осуществить следующим приемом: с помощью преобразования 2 = «г"? отображаем сектор на верхнюю полуплоскость с выброшенным полукругом и затем с помощью функции Жуковского &=£(叫 +}) — ,на верхнюю полуплоскость. Точки & и В3 при этом переходят в точки

± (1 + %) = 土^ {(1 + а)" + (1 + а厂“用(4)

Далее мы сжимаем полуплоскость: z3 =

•отображение Жуковского:

z4 = Z3 + V^zl - 1

22

1 +01

и применяем обратное

В итоге получаем снова верх

нюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом, но точки В( и В2 переходят теперь в точки ± 1. Остается применить отображение 陋=之学", чтобы получить нужное отображение сектора на сектор:

①2 + z-“户 +，(2"2-一闻2)2-8%-4叫丝⑸

Функция (5) удовлетворяет условиям принципа симметрии; применяя этот принцип, получим, что эта функция продолжима через луч В2С и вместе со своим продолжением осуществляет отображение совокупности 1 -го и 2-го

секторов плоскости z на совокупность 1-го и 2-го секторов плоскости ш

(рис, 72). Полученное продолжение снова продолжается через луч В3С, и новое продолжение отображает 3-й сектор плоскости z на 3-й сектор плоскости ш (так, что точка Вз попадает на окружность). Повторяя это рассуждение, мы находим, что функция (5) вместе со своими аналитическими продолжениями реализует искомое отображение.

На рис. 72 показаны части прообразов окружностей |ш| — р при рассматриваемом отображении для 孔=8 и а = 0,25; видно, что при р = 1,8 и больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — практически эти прообразы не отличаются от окружностей.

Для а — 0 имеем и aj — 0, следовательно, формула (5) переходит в фор

мулу з 曰 z. Найдем главную часть отображения (5) для малых а. Из соотношения (4) находим: 〃1 а; "2。2/8、 Пренебрегая малыми порядка выше а2, из формулы (5) получаем приближенную формулу для нашего конформного

отображения:отображения:

отображения:

отображения:

(ср. формулу (10) из примера 4 п. 30). Формула (6) пригодна для точек,, не слишком близких к корням "-й степени из 1.

3) Отображение верхней полуплоскости с исключенными отрезками 0 у h, х = ka (左=0, 土 1, ±2, ...) н а верхнюю полуплоскость. Проведем дополнительные разрезы A-iC и Л0С от концов отрезков в бесконечность (штрих-пунктир на рис. 73) и отобразим полученную полуполосу СВ_\В°С на такую же полуполосу, но так, чтобы точки Л-1 и Ло перешли в вершины этой полуполосы. Для этого отобразим

сначала нашу полуполосу на полуплоскость: зi — cos (см. п. 9), сожмем 1

последнюю:之2 =r-2i (так, что точки 24T и Ло перейдут в точки г2 = ±1)

1

и воспользуемся отображением, обратным к первому: ш = — arccos з2. Таким образом, мы получаем искомое отображение полуполосы на полуполосу:

а⑪=—arccosа⑪=—arccos(7)(7)

а

⑪=—arccos

а

⑪=—arccos

(7)

(7)

Применяя к полученной функции неограниченное число раз принцип симметрии, найдем, что она осуществляет искомое отображение «решетки» рис. 73 на полуплоскость.

На рис. 73 показаны прообразы линий и = const н и = const при рассматриваемом отображении для h — 0,5 и а = 2; видно, что при у = 2 и

TZ 'ЗИЛ

больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — рас* сматриваемые прообразы практически не отличаются от прямых.

4) Отображение плоскости с исключенными отрез-

ками — а^х^а, у = hH (k = 0, ±1, ±2,…)на ключенными отрезками действительной области бесконечносвязны).

плоскость с ис- о с и (рис. 74; обе

Проведем дополн-ительный (пунктирный) разрез по мнимой оси и одну из двух образовавшихся областей, например правую, отобразим на верхнюю

4

2友

例

л-

4

полуплоскость. Для этого мы повернем плоскость z на 90° 弘 воспользуемся результатом предыдущей задачи: функция

ch万 广

~Hi

осуществляет конформное отображение правой половины области на верхнюю полуплоскость. При. этом точка До (% = а) переходит в точку w = arccos 1 = 0, точка

□i B° Cq

Рис, 74.

В— (г = 0) — в 1

=arccos

ch方

(г = — iH) — в

—1

=arccos=;

точку

Ь, точка

точку

ходит в —л, В _2 一 в л + & и вообще

=—/гл, а отрезки 土2, ...). Согласно

B^Cr — в

w =

冗一b, Д-i пере-

точки Дд переходят в

точки ⑪=

отрезки [-(女+1)n + b, 一/ги - b] (k = 0, 土 1,

принципу симметрии мы можем продолжить функцию (8)

“Г” сссс二….с—〉отрезков BkCh и получим тогда, что эта функция вместе с ее продолжением осуществляет конформное отображение заданной области

— выброшенными отрезками (/гл — b, /гл + Ь) (/г = 0, 士 1,、

через совокупность

на плоскость w с

土2, ...). Задача решена.

Отображение областей, ограниченных кривыми второго порядка.

а) Парабола. Пусть начало координат помещено в фокусе параболы у2 = 2р 卜 + §) (рис. 75).

(1) С помощью функции w =}^z. внешность этой параболы отображается； на полуплоскость Im w >Кр/2. Действительно, полагая z = х + iy,酬= =〃 + найдем:

=М 一 * у _ 2〃и,

(9),

откуда видно, что прямые и — с переходят в параболы у2 == 4с2 (彳 + 小)；при, с = Мр/2 получаем заданную параболу. Таким образом, функция

⑫=Mz — i Мр/2

(Ю)

\ реализует конформное отображение внешности параболы на верхнюю полуплоскость. Внутри параболы функция (10) имеет точку ветвления.

(2) Чтобы получить отображение внутренности параболы, мы проведем- разрез по лучу BFG (рис. 75) и заметим, что верхняя половина параболы.

отображается с помощью '0< %1 < оо. С помощью

функции zi = VV нафункции г2 = cos {"j/"

полуполосу

7*}

■ 0<У1</Ж

эта полуполоса ото-

бражается на верхнюю полуплоскость, причем разрезу BFG соответствует .луч— 1 V % V 8. Применяя принцип симметрии, а затем еще преобразование @ = j Н + г21 получим искомое отображение внутренности параболы на

.верхнюю полуплоскость：

w V 2 cos ' :

М2"

(Н)

Гипербола. (1) Чтобы найти конформное отображение на верхнюю полуплоскость области, заключенной между ветвями гиперболы

{рис. 76), мы-ФУНКЦИЯ 2[={рис. 76), мы-ФУНКЦИЯ 2[=проведем разрез BD по действительной оси и заметим,проведем разрез BD по действительной оси и заметим,отображает верхнююотображает верхнюючточто；(z + Mz?— с2), где с сектор；(z + Mz?— с2), где с сектор< л —仇 |zi I >< л —仇 |zi I >8 V arg zi8 V arg ziгдегде

{рис. 76), мы

-ФУНКЦИЯ 2[=

{рис. 76), мы

-ФУНКЦИЯ 2[=

проведем разрез BD по действительной оси и заметим,

проведем разрез BD по действительной оси и заметим,

отображает верхнюю

отображает верхнюю

что

что

；(z + Mz?— с2), где с сектор

；(z + Mz?— с2), где с сектор

< л —仇 |zi I >

< л —仇 |zi I >

8 V arg zi

8 V arg zi

где

где

осуще-сектор(12)осуще-сектор(12)|(г^ + гГ^) =|(г^ + гГ^) =

осуще-сектор

(12)

осуще-сектор

(12)

|(г^ + гГ^) =

|(г^ + гГ^) =

^ == arccos — (см. л. 7). По принципу симметрии эта же функция ствляет конформное отображение всей заданной области на весь О V arg 々 V 冗一也 Таким образом, функция

w = (e-i^^ = (z+y 萨后『A2S

осуществляет отображение области, заключенной между ветвями гиперболы, на верхнюю полуплоскость.

Чтобы получить отображение внутренности правой ветви гиперболы

■проведем разрез по лучу DFG и заметим, что функция г1 =丄(z + У# — с2)=

arch —

=е ° осуществляет конформное отображение верхней половины об-

-ласти па сектор О V arg z{ V 也 |方]> L Функция г2 =

■= ch f^ arch ^-j отображает этот сектор на верхнюю полуплоскость, причем

лучу DFG соответствует луч (—1, оо) действительной оси. Применяя принцип симметрии и затем дополнительное отображение ⑫=i М1 + 22j получим искомое отображение внутренности правой ветви гиперболы на верхнюкх полуплоскость:

切=i j/"I + ch 信 arch /) = i 旷2 ch｛爵 arch у 卜 (13)

Эллипс. (1) Конформное отображение внешности эллипса

炉上У _ 1

на внешность единичного круга осуществляет функция

а+Ьа+Ь(14>(14>

а+Ь

а+Ь

(14>

(14>

где с — V(^ ^ Ь2 (см. п. 7). Внутри .эллипса эта функция имеет точки ветвления (рис. 77).

Чтобы получить отображение внутренности эллипса, мы сделаем разрез вдоль большой оси и воспользуемся функцией а】=《■ (^ + М% ——©密).

Тогда получим отображение верхней половины эллипса на верхнюю половину кольца 1 V 丨 21 丨 V "十",Im а】> 0, причем разрез переходит в отрезки 力吕，尸2c действительной оси и единичную полуокружность- Функция 乞2=1口 а】 отображает это полукольцо на прямоугольник О V Re z2 V d, О < Im 22 < л, где d = In --^-—. Принцип симметрии еще неприменим, ибо образом нашего разреза является трехзвенная ломаная AF]FzB\ требуется предварительно

отобразить прямоугольник на верхнюю полуплоскость, чтобы эта ломаная перешла в один отрезок. Отображение пря

моугольника на плоскость нельзя получить с помощью комбинации элементарных функций — его осуществляет так называемая эллиптическая функция (см. п. 39, пример 1), — поэтому и отображение внутренности эллипса на полуплоскость не записывается через элементарные функции.

Отображение многоугольников. Прежде чем приступить к выводу формулы для отображения полуплоскости на многоугольники *), выясним вопрос о поведении конформного отображения в угловых точках областей. Предположим для простоты, что границы области А в окрестности угловой точки g состоит из прямолинейных отрезков; угол между этими отрезками мы обозначим через ал, считая 0 < а ^ 2 (рис. 78). Пусть функция ® = f(z) реализует конформное отображение верхней полуплоскости на область Д, причем угловой точке Wq соответствует точка Zo действительной оси.

Для выяснения характера функции，⑵ в окрестности точки 2о введем вспомогательное переменное з =(侬一g)L°< Сложная функция

3 = {/ 3)—吗)У'“ = 3(2) (1)

реализует конформное отображение части окрестности точки а, принадлежащей верхней полуплоскости z, на часть окрестности точки 3 = 0, принадлежащ^^ю одной из полуплоскостей, причем отрезку действительной оси плоскости z соответствует отрезок

Рис. 78.

прямой (рис. 78). По принципу симметрии функция (o(z) допускает аналитическое продолжение в полную окрестность то% ки &)и представима, следовательно, рядом Тейлора

3 ⑶=С；(Z - %) + @(z - Z0)2 + ...

В этом ряду отсутствует свободный член, ибо со (го) = 0, однако 4 = з'(2о)1о, так как функция осуществляет конформное отображение. Возвращаясь с помощью соотношения (1) к функции /(г), находим, что в окрестности точки г0 функция f(z) представима в виде

f ⑵=% + (Z - Z0)a 脩 + 窈Z - %) + …}a.

Так как выражение в фигурной скобке отлично от нуля при z = 2о, то в некоторой окрестности точки г0 можно выделить однозначную аналитическую ветвь функции (cj + с^ (г — %) + … Разлагая эту ветвь в ряд Тейлора, мы получаем окончательное представление функции f(z) в окрестности точки г0:

f ⑶=% +(2 — 2o)a {q + C] (z — &) + ...}.⑵

Отсюда видно, что при a > 1 производная 片(* = 0, при a < 1 имеем 厂(2о)=оо. Для обратного отображения 之=屮(侬)，наоборот, 屮‘(侬о) = 0 при a < 1 и 屮‘(侬о) = оо при a > L

Из того же соотношения (2) видно, что 2о при a 声 1, 声2 является точкой ветвления функции f(z).

Заметим, .что в более общем случае, когда граница области А в окрестности точки wQ состоит из гладких или даже

аналитических дуг, пересекающихся в ш0 под углом ал, сделанный вывод, вообще говоря, неверен ). В этом случае отображающая функция не обязана иметь вид (2): в главном члене ев разложения могут появиться множители, стремящиеся к нулю и бесконечности медленнее, чем любая степень г — г0.

Рассмотрим, например, в верхнем полукруге 121V г, У ^ О, функцию'

酬=a In；, ш (0) = 0,(3)

где ветвь логарифма характеризуется условием 0 ^ arg2 ^ л. Легко видеть, что при достаточно малом г она преобразует отрезок (0, г) оси х в отрезок(0, г 1пу^ оси п, отрезок (―尸，0)— в дугу у: и = х1пзту , и = — —, а полуокружность |之| =仆

полуокружности (рис. 79). Пополуокружности (рис. 79). По0 ^ ф ^ л — в дугу, близкую к

полуокружности (рис. 79). По

полуокружности (рис. 79). По

принципу соответствия границ функция (3) при малых 尸 однолистно и конформно- 〃广 「5* отображает полукруг на об-

79.ласть D, изображенную на.

(0, г In ；) в точке главный член разло- Аналогичный эффект-(0, г In ；) в точке главный член разло- Аналогичный эффект-рис. 79.

(0, г In ；) в точке главный член разло- Аналогичный эффект-

(0, г In ；) в точке главный член разло- Аналогичный эффект-

Дуга у гладко примыкает к отрезку 侬=0, так что угол а = 1; тем не менее жения (г) «испорчен» множителем 1п —— ・

наблюдается для функции

(4)(4)w = —^7- ,w (0) = 0.

(4)

(4)

In；

Перейдем к отображению многоугольников. Пусть в плоскости з задан замкнутый многоугольник А^А2 ... Ап без точек самопересечения, не содержащий бесконечно удаленной точки (от этого ограничения мы освободимся в следующем пункте).

Согласно основной теореме Римана (п. 28) существует функция 5 = f(2), реализующая конформное отображение верхней полуплоскости 2 на внутренность А этого многоугольника. Для определенности мы зададимся соответствием трех точек действительной оси (например, @卜 做 и 的)и трех точек границы А, (например, вершин 4, А2 и Дз) ； тогда по теореме 2 п. 35 функция f(z) определится однозначно. Мы предположим сначала,.

что эта функция нам известна, в частности известны конечные точки а4г ...» ^п оси %, переходящие в вершины А^ .... Ап многоугольника, и поставим своей задачей отыскание ее аналити

ческого выражения.

Так как на любом участке (aki а^\) действительной оси функция w = f(z) принимает значения, лежащие на прямолинейном отрезке AkAk+i, то, по принципу симметрии, она анали

тически продолжаема через этот отрезок в нижнюю полуплоскость. Аналитическое продолжение этой функции реализует конформное отображение нижней полуплоскости на многоугольник А', симметричный с многоугольником А относительно от-©

резка 44+1. Это аналитиче- ское продолжение можно сно- ‘？"

Рис. 80,Рис. 80,ва продолжить через любой отрезок (а^а斤十卩 в верхнюю полуплоскость z, причем новое аналитическое продолжение будет реализовать конформное отображение верхней полуплоскости г на многоугольник симметричный с многоугольником △' относительно отрезка Л^Л^+ь

Рис. 80,

Рис. 80,

Предположим, что мы выполнили всевозможные аналн-

тические продолжения описанного вида. В результате получится, вообще говоря, бесконечнозначная аналитическая функция w = = F(w), для которой исходная функция f(w) является в верхней полуплоскости одной из однозначных ветвей.

Пусть w =九⑶ и w = f**⑵ будут две произвольные ветви функции F(w) в верхней полуплоскости. Согласно нашему построению эти ветвН осуществляют конформное отображение верхней полуплоскости на два многоугольника Д* и Д**, отличающиеся друг от друга четным числом симметрий относительно сторон. Но так как всякая пара симметрий относительно

двух произвольных прямых сводится к некоторому сдвигу и повороту, то всюду в верхней полуплоскости f^(z) = ^а^(г) + а, где а и а постоянные. То же самое справедливо и для любых ветвей функции F(w) в нижней полуплоскости.

Далее, функция

In г (г)In г (г)

In г (г)

In г (г)

аналитична в верхней полуплоскости, ибо 厂⑵，как производная функции, осуществляющей конформное отображение, нигде

№Ее№Ее门叫门叫не обращается в нуль. Эта функция g(z) остается однозначной при всевозможных аналитических продолжениях f⑶ в силу сделанного выше замечания о ветвях функции 尸⑶ | имеем:

№Ее

№Ее

门叫

门叫

f^ (з) = efafz (г), f^ (г) = eZafv (г), следовательно,

Таким образом, можно утверждать, что g(z) — однозначная

функция, аналитическая всюду в полной плоскости z, кроме то

чек з = а/*, соответствующих вершинам многоугольника. Аналитичность g ⑶ в бесконечности следует из того, что z = 8 пере

ходит в некоторую точку на стороне многоугольника, а не в его

вершину.

Для выяснения характера функции g(z) в точке z = а^ возьмем какую-либо ветвь f(z) и воспользуемся формулой (2). Бу

дем иметь:

f ⑶=4 + (z -a在)" {% + J 3 -0在)+ -.}；

отсюда легко получить лорановское разложение g⑶ в окрестности точки з = а^:

"小 『⑶(% - 1) a~o(2 - a

’()a户0(2一%)包 +

=T— J + cj + c； (w —唱 + …

Из этого разложения видно, что точка z = а^ является для g(z) полюсом первого порядка с вычетом aft— 1.

Таким образом, функция g ⑶ в полной плоскости имеет лишь п особых точек. Вычитая из g(z) сумму главных частей ее разложения в этих точках, получим функцию

G (z) = g (г)G (z) = g (г)СЕ] — 1 СЕг 一 1г — ai г — а2СЕ] — 1 СЕг 一 1г — ai г — а2a"- 1 z 一 a%a"- 1 z 一 a%

G (z) = g (г)

G (z) = g (г)

СЕ] — 1 СЕг 一 1

г — ai г — а2

СЕ] — 1 СЕг 一 1

г — ai г — а2

a"- 1 z 一 a%

a"- 1 z 一 a%

регулярную во всей полной плоскости и, следовательно, постоянную (см. теорему Лиувилля в формулировке п. 24). Так как в точке 2 = 8 функция f(z) правильна, то в окрестности этой точки

f ⑶=^0 + + 二辭，+ • • •

g(z) =

pd-р

「十烹十

Следовательно, g(oo), а значит и G(oo), равно 0. Поэтому

g(2)=方小)=受^+ +卷 ⑸

Интегрируя выражение (5) вдоль любого пути, лежащего в 'верхней полуплоскости, и затем потенцируя, находим:

X(Z)= С(Z — а^~{ (г -。2)%一 …(Z — а^.⑹

Интегрируя еще раз, получаем искомое выражение для『⑶， Тем самым доказана

Теорема 1 (Г. Шварц, Э. Кристоффель*), 1867—— 1869 гг.). Если функция w = f(z) реализует конформное отображение верхней полуплоскости Im 2 > 0 на внутренность огра- ничейного многоугольника Д с углами а左л(0 V 仪互 W 2,左=1, 2,..., п) при вершинах, причем известны точки а^ действительной оси (——оо V 〃i V а2 V •…V а?% V оо), соотбетствующие вершинам этого многоугольника, то f(z) представляется интегралом

f ⑶=с j (z — а^-' (г - а^-х ... (г - а”)％^ dz + &,(7)

где г0, С и Ci ——некоторые постоянные.

Интеграл Шварца ——Кристоффеля получен в предположении, что точки 〃互,соответствующие вершинам многоугольника, известны. Однако в задачах на конформные отображения задаются лишь вершины 4左 многоугольника, а точки ай остаются не* известными. Согласно сказанному в п. 29 три из них (например, 〃ь 〃2 и 〃з) можно задавать произвольно, а остальные точки и также постоянные С и Ci должны определяться из условия задачи ). Это обстоятельство представляет главную трудность при практическом использовании интеграла Шварца ——Кристоффеля.

Способы определения постоянных а〃，С и Ci будут указаны ниже на конкретных примерах. Принципиальная возможность их остыскания по существу вытекает из приведенного доказательства теоремы 1. В самом деле, пусть многоугольник Д задан. По основной теореме мы можем утверждать, что существует единственное конформное отображение w = f(z) полуплоскости 1шг > 0 на многоугольник Д, переводящее три заданные точки а〔， 〃2 и а3 действительной оси в три вершины А, например в Дь Л2 и 4з・ Для этой функции по доказанному выше будет

иметь место формула (7) при надлежащем подборе постоянных а4, ..., an, С и Сь Таким образом, при заданных трех а^ осталь

ные постоянные определяются и притом единственным образом. Заметим еще, что согласно формуле (6) на действительной оси

плоскости z при z = % > а^ имеем arg (% — ^)а*-1 =0 для

всех k и, следовательно, argf^x) = arg С, а так как (содержащий г = оо) отрезок (ап, а\) при отображении ш = f (г) перехо

зок составляет с осью и (на рис. 80 а ^зок составляет с осью и (на рис. 80 а ^дит в отрезок АпАь то arg С равен углу 0, который этот отре- 0 ——л). Постоянная Ci

зок составляет с осью и (на рис. 80 а ^

зок составляет с осью и (на рис. 80 а ^

определяется заданием положения одной из вершин. Для определения постоянных ah и С можно воспользоваться известными

длинами сторон многоугольника

44+i = J lf'(%)|dx 仇=1, 2,…，九一1),⑻

хотя практически этот метод применим далеко не всегда. На практике часто приходится пользоваться приближенными методами определения постоянных ак и С; с ними читатель может ознакомиться по книге П. Ф. Фильчакова [10], работе 「 Н. Положего [12] или статье Н. П. Стенина в сборнике [8].

Дополнительные замечания. Рассмотрим ряд случаев, не разобранных в предыдущем пункте.

Одна из вершин многоугольника — образ бесконечно удаленной точки. Пусть, например, ап = оо. Чтобы привести этот случай к рассмотренному, совершим линейное преобразование 匕=——^ + а/ полуплоскости Im г > 0 на полуплоскость Im^ > 0, переводящее точки а】, а?,…，ап = =оо в конечные *) точки а] а； ..., а；. Применяя формулу (7) предыдущего пункта, получаем:

=u j (必一4一；=u j (必一4一；汕=u J偌一 4)аT (白-畸%7…俗一%)%一臂+ e] =汕=u J偌一 4)аT (白-畸%7…俗一%)%一臂+ e] =

=u j (必一4一；

=u j (必一4一；

汕=u J偌一 4)аT (白-畸%7…俗一%)%一臂+ e] =

汕=u J偌一 4)аT (白-畸%7…俗一%)%一臂+ e] =

Приведем выражение в каждой скобке к общему знаменателю и вынесем из каждой скобки множитель а； — а；伍 =1, ..., п—I);

многоугольника А соот-многоугольника А соот-

многоугольника А соот-

многоугольника А соот-

будем иметь:

侬=С J (z — 5)%т (z — 能)％- ... (z — а”т)%-「х

八 7% +(I2++a几~n+2 丁 ℃

где ak = —т— некоторые действительные постоянные, а

an^ak

С — комплексная постоянная (в ее выражение включены все вынесенные множители). Используя элементарное геометрическое предложение о сумме углов n-угольника, согласно которому

⑴⑴ctj ~|~ а? ~Н ■ • • ~|~ а?г 孔—2,

⑴

⑴

получим окончательно

да = С J (г - 5)%т (z — &)%-... (z — а”т)%тТ dz 十 &.⑵

Таким образом, если одной из вершин ветствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель в формуле Шварца ——Кристоффеля выпадает.

Это обстоятельство используется на практике для упрощения интеграла Шварца — Кристоффеля (см. п. 39 и след.). ■

Одна или несколько вершин многоугольника лежат в бесконечно удаленной точ- к е. Пусть вершина Л^ многоугольника А лежит в бесконечно удаленной точке. Возьмем на лу*гах А^Ак и TAhAk+i произвольно по точке Ла и Ла, соединим их отрезком прямой и рассмотрим полученный (лг 4~ 1)-угольник

А' (рис. 81). Функция, отображающая полуплоскость на многоугольник А', по предыдущему выражается формулой

W = C (х— %)°L ・..(2 —砌"7(2 ~ 缁户 Т ・・・

” dz + Cx, ⑶ где а^ и а^ — измеренные в долях л углы при вершинах /, и Л^, а а^ и 畸一точки оси х, соответствующие этим вершинам.

Пусть отрезок 4%4% удаляется в бесконечность, оставаясь параллельным самому себе; при этом точки а] и а% сливаются в одну точку а走,соответствующую вершине 4走,и в пределе множители формулы (3), содержащие ④ и 唯 переходят в (г — aQ%+" 2. Обозначим через а丸п взятый со знаком минус угол пересечения лучей 4走_[4走 и ЛА+1ЛА в конечной точке 练 Тогда из треугольника 纵缆纵 имеем 喝 + 畸一％ = 1， т. е. а； + а?——2 = аА—1, и формула (3) принимает обычный вид: ® = С / (z - а/т ...(Z - а^ . .. (z - а^ dz + &. (4)

Это же рассуждение можно привести и в случае, когда в бесконечности лежат несколько вершин многоугольника.

Таким образом, формула Шварца ——Кристоффеля остается s силе и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежат s бесконечно удаленной точке, если при этом угол между двумя прямыми с вершиной е бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус (ср. п. 31).

При нашем определении угла в бесконечности остается в силе соотношение (1) для суммы углов многоугольника. Действительно, для (n + 1)-угольника А', с конечными углами, на основании формулы (1) имеем:，/ + 喝 + 磷=孔一1, где X означает сумму всех углов А', кроме угла при вершине Ah = оо (мы придерживаемся принятых выше обозначений). Заменяя а； + «^ = аА + 1, получим соотношение (1) и для многоугольника А.

Отображение внешности многоугольника. Этот случай отличается от разобранного в п. 37 тем, что в некоторой конечной ) точке а верхней полуплоскости, соответствующей бесконечно удаленной точке многоугольника, функция f(z) имеет полюс первого порядка (наличие полюса высшего порядка противоречило бы однолистности). Так же, как и в п. 37, доказывается, что в этой точке g(z) будет иметь полюс первого порядка с вычетом, равным — 2. То же самое будет иметь место и для точки а нижней полуплоскости, ибо d служит полюсом первого порядка для аналитического продолжения функции f(г). Таким образом, для функции g(z) будем

иметь разложение

Отсюда получим следующую формулу для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внеш.- ность многоугольника z

加=С J(Z — %)%т ・..(Z _ а〃)％т &_а)М—)2 + &.(5)

Здесь ай — измеренные в долях л внешние углы многоугольника, а/г — точки действительной осн, соответствующие его вершинам, а — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке многоугольника, г0, С и Ci — некоторые постоянные.

Отображение внутренности (внешности) единичного круга на внутренность (внешность) м но- гоугольника осуществляется функцией

w = C ^ (z — af-1 (г -。2)%一 …(z г- a,f^ dz + &.⑹

Здесь а& — измеренные в долях л внутренние (внешние) углы многоугольника, % |а/=1—точки единичной окружности» соответствующие его вершинам, С и & — некоторые постоянные. При отображении внешности круга на внешность многоугольника, кроме того, предполагается, что бесконечно удаленные точки плоскостей 2 H 5 соответствуют друг другу.

Для отображения внутренности единичного круга на внешность многоугольника имеет место формула

w^c\(z-的卢7 (z -吟％7 ... (z - a〃)％7 餐 + &,⑺

где смысл обозначений тот же, что и в формуле (6), и предполагается, что бесконечно удаленной точке многоугольника соответствует центр круга. *

Формулы (6) и (7) сводятся к предыдущим с помощью дополнительного дробно-линейного преобразования плоскости 2 так, как это делалось в начале этого пункта при выводе формулы (2).

Обратная задача. Пусть теперь заданы произвольные совокупности действительных чисел 口九 и а冗，удовлетворяющие условиям ——оо < а! < а2 < ... < ал < оо, ——2 & а龙& 2»

^dk — n — ^j и произвольные комплексные числа С и С> По- й=1

строим с их помощью интеграл Шварца ——Кристоффеля

@ = С j (z - apL (z - a^~l (г -源)％一 dz + & .(8)

Оказывается, что в этих условиях интеграл Шварца ——Кристоффеля определяет функцию、реализующую конформное отображение верхней полуплоскости на некоторый многоугольник с углами ct/i：n при вершинах.

В самом деле, аргумент производной функции (8)

п

arg4F = argC + £(ae —l)arg(z —伙)(9)

сохраняет постоянное значение на любом отрезке (а&, a^+i),々=1, ,...,п — 1 действительной оси ), а сама производная

внутри такого отрезка не обращается в 0. Следовательно, функция (8) взаимно'однозначно отображает отрезок (ah, aw) на некоторый прямолинейный отрезок AhAh+^ То же самое относится и к содержащему г = оо отрезку (а% а】) действительной оси. В самом деле, во-первых, в силу условия 2!戏々=孔—2 отрезки (ап, сю) и (—oo,ai) поворачиваются при нашем отображении на одинаковый угол, а во-вторых, интеграл (8) сходится в точке г = оо )； следовательно, при士оо функция w

стремится к одному и тому же пределу.

Таким образом, функция (8) осуществляет соответствие действительной оси и некоторой ломаной А[А2 一. Ап. В общем случае эта ломаная может иметь точки самопересечения и не ограничивать никакой плоской области (она будет тогда ограничивать неоднолистную область на римановой поверхности). Исключая такие случаи, будем считать, что ЛИг... Лп является границей некоторого (однолистного) многоугольника.

Заметим, что некоторые из вершин этого многоугольника могут лежать в бесконечности—это будут те вершины Ak, для

которых ай ^ 0 (в самом деле, при приближении к соответствующим точкам ай функция w-^oo. ибо интеграл (8) расходится, так как порядок бесконечности подынтегральной функции 1). Но и в этом случае применим принцип соответствия границ и можно утверждать, что функция (8) реализует конформное отображение верхней полуплоскости z на внутренность многоугольника 4也 …4小 Угол при вершине Ак этого многоугольника равен а&л, ибо, как видно из (9), при переходе через каждую точку в направлении слева направо

изменяется на ——л (а^——1) = л ——а&л, следовательно, соответствующий отрезок Лй-Лй поворачивается на угол л ——а^л против часовой стрелки. Наше предложение полностью доказано.

Предложение остается в силе и в том случае, когда усло

вие 2 аА = ^ — 2 не выполняется. В этом случае лишь появит- А=1

ся дополнительная (л + 1)-я вершина многоугольника, соответствующая точке z = оо. Читатель проверит, что эта вершина будет конечной, если ^ ak < п — 2t и бесконечно удаленной,

если N % 汽—2・

А—1

Отображение внешности «звезды» В заключение, следуя Л. К- Лахтину, мы найдем общую формулу для отображения внешности

оо. Отображающая функция должна иметь видоо. Отображающая функция должна иметь видкруга |г| > 1 на внешность «звезды», образованной п прямолинейными отрезками £д, выходящими из начала координат (рис. 82). Угол между Lk и Lh+i мы обозначим через а^л, точки окружности, соответствующие вершине этого угла и концу 厶一через а* и Ь^ соответственно (А = 1, 2, ..., n; Ln+i =

оо. Отображающая функция должна иметь вид

оо. Отображающая функция должна иметь вид

Рассмотрим сначала отображение верхней полуплоскости g на заданную область. Пусть 〃，и Ь； будут точки действительной оси пло

скости J, соответствующие вершинам углов Lr Lh+ и концам отрезков 厶，и а0 — точка верхней полуплоскости, соответствующая w = w = / 隽)，очевидно, в окрестности точек 白=4

/化）=佔一成尹^隽），ФА «） #= 0,

а в окрестности 白=心

/(»=%+&-“у%(», %*о,以(％*。.

где фл (^) и Wh(g)—правильные в упомянутых окрестностях функции. Наконец, в точках а и а она должна иметь полюсы первого порядка и должна

быть правильной в остальных точках плоскости ^. Отсюда, как и выше, заключаем, что логарифмическая производная отображающей функции должна иметь полюсы первого порядка с вычетами а* в точках 吕=&, полюсы первого порядка с вычетами —1 в точках ^ = а и ^ = а и быть правильной в точках С = М и в остальных точках плоскости J. Таким образом,

f'(0%11

f (?) 台甘——4甘一"

и, следовательно, после интегрирования и потенцирования получаем:

立(一犷

где — некоторая постоянная.

Совершая дополнительное отображение г = \ — а верхне* полуплоскости на внешность единичного круга \z\ > 1, получим искомое.отображение в виде

w = C；JJ(z —%)%,(10)

k=l

где С и Да (|ал| = 1) —некоторые постоянные *).

Наряду с формулой Лахтина (10) удобно использовать обычную формулу для отображения внешности круга на внешность многоугольника, которая, для нашего случая имеет вид

5 = 5 JU(z-%)“t ("%)餐. 0 0

Совместное рассмотрение формул (10) и (11) позволяет избежать утомительного интегрирования.

В качестве примера рассмотрим частный случай п — 2, когда многоугольник представляет собой внешность двух отрезков, пересекающихся в начале координат под углом at = а. Имеем аг = 2 一 а и формулы (10) и (11) принимают соответственно вид:

3 =-a0a(z 一a产"(12)

И

3 = & J(|9^『T (Z-办)(2-屋)罢・(13)

*) Имеем 占= а _ ],吕一％ = % % _ j \ak — постоянные),吕一а а — а _(a — &)zВ с

% _ 1 ,吕一а = —— jи» кроме того, aft = 2.

Приравнивая производные, после простых преобразований будем иметь:

—gj-(2 -61)(2 -62)- ^2 —(U - 1) (02 -01)2 -0102，

откуда для определения постоянных bi и b2 получаем уравнение

22 一 (Ct 一 1) (02 一。1) 2 一01。2 ^ 0.

Можно принять, например, 瓦 = 1; -тогда (a—1)(。2—倚)= 1 —。网 и 匕2 =——。1。2・ Формула (12) содержит четыре действительных параметра (С = Ci + £仃2, 。1 = е*①* 。2 = е°屮2)； подбирая их, можно добиться соответствия точек bi,匕2 и концов отрезков L】и Л2.

В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения формулы Шварца ——Кристоффеля к отображениям многоугольников.

Примеры. 1) Отображение верхней . полуплоскости Гт 2 > 0 н а прямоугольник А1А2А3Аа (рис. 83). Рассмотрим сначала отображение первого квадранта плоскости z на правую половину ОА^В данного прямоугольника с соответствием точек О—>0. 4 —► 1, 8 —► оо Прообраз точки Л2 обозначим 1他，где О V 々 V L Искомое отображение можно рассматривать как продолжение этого отображения по принципу сим-

метр ии через положительную полуось у, следовательно, можно считать, что 人^—И/也 Таким образом, искомое отображение запишется в виде ,，

(постоянная Ci = 0 в силу соответствия точек О •*-> 0). Для определения постоянных С и А воспользуемся соответствием точек 4】> 1:

К = С f 尸,(1)

J V(1 - f2) (1 一 卧产)' '

а также точек Л2 ч—> 1/内：

11/"为

К +，К = С I +с「=к + 北[…

?УJ m(尸 一1)(1 一炉产)

(мы разбили интеграл от 0 до 1/А на два — от 0 до 1 и от 1 до 1/R и воспользовались равенством (1)). Отсюда

= С—.(2)

，У (/2 _ 1) (1 一 々2f2)' 户

Л1ы будем считать постоянную 々(OV^Vl) заданной, а размеры прямоугольника К н К выбранными так, что постоянная С в формулах (1) и (2) равна 1:

1/fe

Тогда отображение полуплоскости на наш прямоугольник будет осуществляться функцией

⑷⑷

⑷

⑷

Интеграл (4) не выражается в элементарных функциях, он принадлежит к числу так называемых эллиптических интегралов, а функция, обращающая его (т. е. реализующая отображение прямоугольника на полуплоскость), — к числу эллиптических функций Якоби. Она имеет специальное обозначение

⑸⑸z = sn ⑫=sn (叱 k)

⑸

⑸

Рис. 84.Рис. 84.(читается «эс эн 您》или «эс эн w,左》) и название эллиптический синус. Подробнее мы ознакомимся с ней в последней главе (см. п 102); там же мы рассмотрим решение задачи об отображении на полуплоскость произвольного прямоугольника (а не с фиксированными размерами, как здесь).

Рис. 84.

Рис. 84.

Здесь мы лишь отметим интересное свойство функции sn г ): она оказывается мероморфной функцией, обладающей двумя периодами, отношение которых чисто мнимое.

Для доказательства этого утверждения мы обозначим наш прямоугольник цифрой (/), а его стороны——цифрами /, //, 〃/, IV, как указано на рис. 84, Функцию w = snz, первоначально определенную в прямоугольнике (/), по принципу симметрии мы продолжаем, например, через сторону / в прямоугольник (2).

Это продолжение реализует отображение (2) на нижнюю полуплоскость. Продолжая далее это отображение через сторону 1Г прямоугольника (2), получим, что 侬 = sn z реализует отображение прямоугольника (5) снова на верхнюю полуплоскость и т. д. (прямоугольники, заштрихованные на рис. 84, отображаются на верхнюю полуплоскость, а незаштрихованные — на нижнюю). Таким образом, мы продолжим функцию w = sn г на всю плоскость г. При этом функция окажется однозначной, ибо если при обходе какого-либо замкнутого контура мы вновь попадем, например, в прямоугольник (/), то новые значения sn z будут совпадать со старыми (они отображают (/) на полуплоскость с той же нормировкой, что и раньше). Далее, эта функция правильна внутри прямоугольников и на их границах всюду, кроме точки iK' и всех точек, соответствующих ей при продолжениях (они отмечены на рис. 83 крестиком), где она имеет полюсы, ибо эти точки при конформном отображении переходят в tw = оо. И та к, snz является мероморфной функцией.

Далее, на рис. 84 черным кружком отмечена произвольная точка z прямоугольника (/) и все точки, которые получаются из нее четным числом продолжений ). Во всех этих точках, имеющих вид z + 4几К + 2п'К£ где 叫 nf = 0, ±1, ±2,…，функция sn принимает одинаковые значения:

sn (z + 4пК + ЗпЖ^) = sn z.(6)

Это свойство и означает, что sn z имеет два периода т = 4К и. т‘= 2К£

Из рассмотрения продолжений sn z следует также, что эта функция является нечетной

sn (— 2)= — sn 2.(7)

Полоса с горизонтальным вырезом (рис 85) представляет собой четырехугольник, три вершины 4, Л2 и Л3 которого находятся в бесконечности и углы ai = а2 ~ а3 = 0. Будем считать сц = 0, а】=1 н 的=8,. а также примем 备=0 (тогда из соответствия точек g и 4 сразу находим Ci=0). Точке Лз, следовательно, соответствует некоторая точка 的=—а отрицательной полуоси. Интеграл Шварца — Кристоффеля принимает вид:

з=Cз=Cz dz — (z — i)— о

з=C

з=C

以《&)少成间宓班詢力勿.通8)以《&)少成间宓班詢力勿.通8)Рис. 85.Рис. 85.= C《ln(l—z)+aln(l + ^)} (8)

以《&)少成间宓班詢力勿.通8)

以《&)少成间宓班詢力勿.通8)

Рис. 85.

Рис. 85.

(множитель, соответствующий точке Л2, исчезает; см. 1) предыдущего пункта).

Для определения постоянных С' н а мы воспользуемся следующим соображением: когда точка z обходит точку Qj = 1 по полуокружности с『достаточно малого радиуса г (т. е. когда вектор 1 — z = ге'° поворачивается, изменяя свой аргумент от 0 до —л), то соответствующая точка w Должна перейти с луча 幺乩 на 幺也 и приращение w должно мало отличаться от —访］:

Аз =—访］+ О (г),

где О (г)—бесконечно малая при г -> 0. Это соображение оправдывается тем, что образ полуокружности сг при малых г мало отличается от отрезка прямой, соединяющего лучи 幺〃 и 力4 и перпендикулярного к ним.

С другой стороны, при таком малом приращении Az приращение второго слагаемого из фигурной скобки формулы (8) также будет малым, ибо это слагаемое непрерывно в точке z = 1. Приращение же первого слагаемого 1п(1 —z) = In г + ^ф равно —in, следовательно,

Аз = — CGn + О (г).

Приравнивая выражения, полученные для А叫 и переходя к пределу при 0, находим:

С' = Л1/л.

Аналогично, когда точка z обходит точку а3 = —а по окружности z + a = re^ (ф меняется от л до 0), приращение Аз = —C^ain + О (г) должно мало отличаться от —访?； отсюда

а =^ ^2/^1*

Окончательно, функция, реализующая конформное отображение полуплоскости Im 2 > 0 на полосу с вырезом (рис. 85), имеет вид

w = 4- In (1 — N)+ —1п (1 + 冬-<г).(9)

Совершая дополнительное отображение нашей полосы с вырезом на верхнюю полуплоскость Im о> > 0 с выброшенным наклонным отрезком длины 1 (рис. 86):

где Н = h + h* и используя формулу (9), мы находим отображение полуплоскости Im г >» 0 на эту область:

~ In 切一论U = ^- In (1 — г) + ■— In (1 + -—- г

(мы обозначим со снова через 切).После простых преобразований получим:

■吁("1卢/，(1+£Г”.

Выброшенный отрезок составляет с положительной осью угол л-^-, который мы обозначим через ал (рис. 86); вводя параметр а, получим окончательно

на верхнюю полуплоскостьна верхнюю полуплоскость(Ю)(Ю)отображение верхней полуплоскости 1гп г > О Im 切 > 0 с выброшенным отрезком (0,产“)：

на верхнюю полуплоскость

на верхнюю полуплоскость

(Ю)

(Ю)

На рис. 86 указаны линии, соответствующие при этом отображении прямым Im <г = const.

При а = 1/2 получаем старый результат (см. п. 33, пример 2).

Многоугольник на рис. 87 представляет собой четырехугольник с двумя вершинами в бесконечнос^т и. Имея в виду применение принципа симметрии, мы ограничимся рассмотрением верхней его половины — треугольника А{А2А3 с углами ai = 0, а2 ^—a, аз=1 + а (2afe=l). Назначим точки оси х, соответствующие вершинам, так:的=0f & = 8,。3 ^ —1; учитывая соответствие точек 的 и 4, имеем:

dz +仇

Для определения постоянной С мы воспользуемся тем, что при обходе точкой г полуокружности cr： z = re*' (ср меняется от л: до 0) функция, определяемая последним интегралом, получает приращение

+ О (г) = 一 Cni + О. (г)+ О (г) = 一 Cni + О. (г)

+ О (г) = 一 Cni + О. (г)

+ О (г) = 一 Cni + О. (г)

(функция (г+1) а на окружности сг мало отличается от 1: (г+1)а= 1+^(г))- С другой стороны, при этом обходе соответствующая гсчка 也 переходит с луча 4力3 на луч A^A2, следовательно, Aw мало отличается от —hi, Таким образом, С = й/л, и функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на верхнюю половину многоугольника рис. 87, имеет вид .

ю=4 J (zV~dz+；Л- (11)

(ег + 1)а dz + in(ег + 1)а dz + inЗаменяя здесь г на ez, получим отображение полосы Q <Z у <Z л на верхнюю половину многоугольника:

(ег + 1)а dz + in

(ег + 1)а dz + in

(12)

Так как согласно нашему выбору соответствующих точек нижнему краю полосы соответствует средняя линия многоугольника, то по принципу симметрии та же функция (12) реализует конформное отображение полосы —л V у V л на весь многоугольник.

При рациональных а интеграл (12) выражается в элементарных функциях (он сводится к интегралу от биномиального дифференциала). При а = 1 получаем уже известное отображение (см. пример 5 п. 30):

w=~^-{ez+ 1}.(13)'

При а = % имеем:

如=^{ре?+1 + 1п (К? + 1 ~ 0 — у |.(14)

Найдем конформное отображение полосы —л с 1m г < л н а п лo- c к о с т ь с двумя выброшенными лучами (рис. 88, 0 < а < 1). Опять применим принцип симметрии ——верхняя половина области в плоскости w представляет собой треугольник с двумя вершинами в бесконечности w углами aj = а——1, аг =——а, а3 = 2. Чтобы воспользоваться формулой Шварца — Кристоффеля, отобразим полосу 0 V у V л; на полуплоскость: g = е{ Учитывая соответствие точек, указанное на рис. 88, мы принимаем 〃1 = 0, аг = —оо, тогда точка аз попадает на отрицательную полуось и мы полагаем 。3 = —а, где а — пока неопределенное положительное число. Формула Шварца — Кристоффеля принимает тогда вид:

山=С j Sa-2 {t + a)dt + C1 = Cl^_ +a； (15)

здесь С—положительная постоянная, ибо луч ЛИг не поворачивается при отображении и, следовательно, arg С — 0 (см. замечание в конце п. 37),

61 —действительно, ибо подстановка в (15) положительных значений 吕 должна привести к действительным о» (см. рис. 88). Чтобы формула (15) приняла

~р1 а ,

наиболее простои вид, положим — = —г, т. е. а =: будем

а а — 1а

иметь:

也=年(伊一II) + G.(16)

■Соответствие точек 吕=—а и 0»=岳'°" дает:

_^ (/" + /a%a-1)+5=历吃

откуда, учитывая, что постоянные С н С】一действительные, получаем значения

G=0 и С = - - ■—= /а1+а(1 — а)1-а. Подставляя в (16)吕=居

(а+ 1)

находим искомое отображение:

w = /аа (1 — а)1-а (еаг — е^а~^г).(17)

На рис. 88 показано также соответствие линий при этом отображении.

Многоугольник на рис. 89(0《ct V 万)представляет собой четырехугольник с двумя вершинами в оо и углами ct[ = ct —2, а2 = 2, а3 — — а, а4 = 2. Положим а^ = 0, а2 = 1, а3 = оо; тогда % попадает на отрицательную ось и мы считаем а4 = — b. Интеграл Шварца — Кристоффеля имеет вид

w = С Г га~3 (г — 1) (z + &) dz

7"+>1-占

夕d-2 丄 а (1 + ft) — 2 1〃)

z + a佃-1)佃一万」(⑻

(сс * 0, а ^= 1). Для определения постоянных С и & воспользуемся: 1) тем, что луч 42^з переходит в положительную полуось, следовательно, arg С = О, т. е. С — положительная постоянная; 2) соответствием точек z =——b н w = at. -Отделяя в (18) после подстановки z = beiat w = ai действительные и мнимые части, получим два уравнения:

№30sl2 — a(l+W)с= ab—a_ а (а二 1) (а _ 2)

8 "2" а(1+ь)，“ sin ла 2Ь —а(1+Ь)，"#

которые и позволяют (хотя бы приближенно) найти неизвестные постоянные.

13 у 3

В частности, при а = — получаем 6 = 3, С = —g^—а, и отображающая функция принимает вид

(2°)

При а = 1 вместо выражения (18) получаем:

w = с｛之 + ^" +(' — 1) 1rlz — 1 —匕｝；(21)

для определениядля определенияпостоянных имеем уравнения

для определения

для определения

(22)(22)Eb = 2!^, e=n@三1)•

(22)

(22)

Многоугольник на ри с. 90 представляет собой пяти- уг о ль ник. Рассмотрим его правую половину — четырехугольник с углами “[三】/2, а2 = а4 = О,(Х3 = 3/2 (£ а月=2). Конформное отображение верхней полуплоскости g на этот четырехугольник, если принять ai = 0, а2 ^ 1, а3 = * % = оо, осуществляет функция

Для подсчета постоянных а и С рассматриваем приращения w при обходе z по полуокружностям Сл и сг с центром g = 1 и, соответственно, бесконечно большого и бесконечно малого радиусов. Первому обходу соответствует переход -с луча А1А4 на луч А3А4, следовательно, Aw = Н + 0(1//?)； с другой стороны, при больших |G| корень под интегралом близок к 1 и,

следовательно,

Аз = СА

о

告 + О (-i-j = - шС + О (L/R);

сравнивая

эти выражения, находим С = ход с луча 4』2 на 』з』2,

Шварца ——Кристоффеля дает этих двух выражений приводит

Hi/л. Второму обходу соответствует пере- следовательно, Дш = £九 十 О(г),

Aty = С 1^1 — а2 (— /л) + О (г);

а

Подстановка —

к равенству а2 = (№ + Л2 )/Я2. приводит наш интеграл к виду

интеграл сравнение

со = 2c

0

+ (a2 - 1)①2 T 1 一 炉

после чего интеграл легко вычисляется. Подставляя найденные

<2 и С и интегрируя, получаем:

значения

со =*=

F + Н arth

a2自一废

Вспомогательному разрезу по мнимой оси в плоскости w соответствует разрез по отрицательной полуоси в плоскости 以 поэтому, по принципу симметрии.

полученная функция реализует

4

отображение плоскости 工 с вырезанной положительной полуосью на весь заданный пятиугольник.

Полагая С = г2, получим окончательное отображение верхней полуплоскости г на весь пятиугольник:

h\

Рис.

hz

"吸万二m

+ H arth …2 •

/г2 - ^

(23)

%

91.

7) Углы мн о г оугольника на рис. 91 суть cci = а3 = as — 0, а2 — —а4 = 3/2. Пусть точки, соответствующие вершинам, будут а{ = —а, а2 = —1, 的=, = —b, 〃4 = 0, “5 = 8, тогда функция, ото-

Сражающая верхнюю полуплоскость на этот многоугольник, имеет

w = C f T后厶.

J Q + a) Q + b) о

вид:

(24)

Интегрируя по бесконечно большой полуокружности с центром координат, найдем С(—/л) =—ih^ откуда С = Л3/л. Интегрируя

в начале по беско-

нечно малым полуокружностям с центрами лучим *)

в точках 2

—а н 2 =—瓦 по-

八 Ka (a— 1)

Ua (a — 1) откуда 。一厂=

(—ш) —— hit и

Л,九(1 — Z>)

力3.

a — b

e上雲咨（一沱）=毎，

力2

力з・

Последние два уравнения

позволяют найти а н 匕；интеграл (24) выражается в элементарных функциях.

*) Нетрудно проследить, что здесь следует брать отрицательное значение корня.

8) В заключение приведем пример отображения круга |z| < 1 на внутренность многоугольника——пятиконечной звезды, изображенной на рис. 92. Эта область представляет собой десятиугольник, пять углов которого равны а = 5/7 и пять Р = 1/5. Мы воспользуемся формулой (6) п. 38; чтобы найти точки окружности, соответствующие вершинам звезды, рассмотрим десятую ее часть — треугольник 4BQ (рис. 92). Этот треугольник можно отобразить на сектор 0 < argz < л/5, |z| V 1 так, чтобы точка 4〕

перешла в 1, а В{ — в е • По принципу симметрии наше отображение про- j警仅-1) должается на всю звезду, причем точки Дл переходят в % =е “

(корни пятой степени из 1), a Bh ——в 匕在=

/ ^(2fe-I)

=е з (корни пятой степени из ——I); ^ — 1, 2, ..., 5. В силу единственности отображения его можно найти по формуле (6) п. 38, которая, следовательно, принимает вид

w — С j о

f П(2%)“

II (z—bk)

2

о

(1 - Z5)%

Е 也 (25) (1+zS)%

(мы воспользовались очевидными тождествами П(з_—«л) = z5 — 1, П (z — bQ = =z5 + 1; П — знак произведения).

Постоянную С мы OBh — R звезды: так a z = 0 — в центр, то

примем действительной, она определяется размером как точка z = —1 переходит в вершину звезды.

0

R=C J里一明々—I

(1 + #5)'/*

d#；

после подстановки^^)2

этот интеграл переходит в интеграл, выра

жающийся через гамма-функцию Эйлера:

^? J?-%。(1-?厂% 成 0

1

^ Ж)

(см. п. 90). Таким образом,

С =

5办Г備

(26)

40. Скругление углов. Во многих практических вопросах приходится учитывать, что фактически углы рассматриваемых многоугольников всегда скруглены. Мы дадим здесь приближенные методы учета влияния таких закруглений.

Скругление угла, меньшего л. Найцем сначала функцию, реализующую отображение верхней полуплоскости z на верхнюю полуплоскость g, из которой выброшена малая пло

щадка, ограниченная отрезком ( —1, 1) и дугой кривой, опирающейся на этот отрезок и касающейся действительной оси в его концах ) (рис. 93). Для этого мы рассмотрим отображение / = 4+|/片一1 верхней полуплоскости 工 на верхнюю полуплоскость 2[ с выброшенным единичным полукругом и в качестве нашей кривой возьмем прообраз половины эллипса с полуосями 1 и 1 + Л, близкого к полуокружности (рис. 93). Теперь остается найти

отображение верхней полуплоскости 引 с выброшенной поло

виной эллипса на верхнюю полуплоскость z. Последняя задача решается элементарно. Преобразов а нием подобия @ = где с =]/(1+Л)2-1 = У% (2 + 团, мы переводим фокусы эллипса в точки ±t, затем применяем отображение z2 = =豆(之3^-)，получая в плоскости 2з вместо эллипса круг

1 十 H 十С2 /T+TU

радиуса г ==у —h—， наконец, преобразова

нием 2 =у (-^- + g) получаем верхнюю полуплоскость. Имеем:

Z3 = r(z+ /z2— 1),马=^ [卜 _ ^) z + (г + ；) ]Zz2 _ 1 , или, учитывая выражения для г и с, Zj = г +. (1 + Л) |/г2——1 .

окончательно:окончательно:Наконец, пренебрегая малыми порядка выше Л, получаем

окончательно:

окончательно:

e = y(zi + 77) =« Z — Й {/(Z2 — 1)3 — z(Z2 — 1)}.(1)

С помощью дополнительных линейных преобразований Е = = ag + R z = az + b мы получим более общий результат: функция )

白 & Z — £ {]/(2 —仇)3(Z —尻)3 —(Z—仇)(Z—尻)(Z—匕)} = gb(Z),⑵

где 61 = 6 ——а, «2=6 + 〃，реализует отображение верхней полуплоскости Im г > 0 на верхнюю полуплоскость Im ^ > 0 с выброшенной малой площадкой, ограниченной отрезком (6 ——а, 6 + а) и дугой, опирающейся на этот отрезок и касающейся его в концах; величина h, пропорциональная максимальной ординате кривой, предполагается малой высшего порядка относительно а (рис. 94)..

Пусть теперь функция 侬=，(二)реализует конформное отображение верхней полуплоскости Img>0 на некоторый многоугольник А, причем точка 6 соответствует вершине В угла многоугольника, меньшего л. Совершая дополнительное отображение g = gb(z) с помощью функции (2), мы найдем конформное отображение

s = f[gb ⑶](3)

верхней полуплоскости г на область Рис. 94.

А, которая получается из А скруг

лением угла В в достаточно малой окрестности вершины этого угла (рис. 94). Повторным применением этого приема можно скруглить все углы А, меньшие

Скругление угла, бол ьш его л. Без ограничения общности можно считать, что вершина А{ многоугольника А, угол при которой мы скругляем, лежит в точке ш = 0, сторона Л1Л2 идет по положительной полуоси и а】=0, а прообразы ——〃2, ——〃з, ..., —ап остальных вершин А отрицательны (этого всегда можно достичь дополнительными дробно-линейными преобразованиями плоскостей). В этих предположениях функцию, реализующую конформное отображение верхней полуплоскости 之 на многоугольник А, можно записать с помощью интеграла Шварца ——Кристоффеля в виде

2

侬=cj2。1①⑶dz, .(4)

о,

где <р ⑶=(2 + &)%-1 …(2 + a/%т и е—положительная постоянная (arg С = 0 в силу нашего выбора отрезка Л]Л2).

Для того чтобы скруглить угол в вершине Ль мы вместо (4) рассматриваем функцию

W = f(2)= c {2吋1 + Y (z + в)吁1}①⑶ 成，(5)

о

где § и у — постоянные, подлежащие определению; мы будем считать § малым положительным числом (во всяком случае, В V "п)・ Согласно разделу 5) п. 38 функция

2

-W = ^Z)= CY J伍+位吁%⑶近

,О

реализует отображение полуплоскости 1тг > 0 на многоугольник со сторонами, параллельными сторонам А, причем точка z = —§ соответствует вершине 8", лежащей на отрицательной полуоси и (угол при ней равен ajn), а остальным вершинам Л?, ..., Лп соответствуют точки —。2，・••, —ап (этот многоугольник обозначен пунктиром на рис, 95).

Рассмотрим, еще функцию

2

5 = f 1⑵=e J 2■1中⑵d2,О

которая реализует отображение полуплоскости Imz > 0 на многоугольник с вершинами Ль A^ Ап (он обозначен на рис. 95 тонкими сплошными линиями). Для каждого фик

сированного z вектор wt определяемый формулой (5), получается сложением векторов Л (z) и ，2(z). Выполняя это сложение, мы убедимся в том, что когда z описывает действительную ось, точка w будет описывать замкнутый путь Л1Л2 ・•• …ДПВЛ1, который весь, кроме участка ВЛЬ состоит из отрезков, параллельных соответствующим сторонам заданного многоугольника (жирные линии на рис, 95).

Для того чтобы получить параметрические уравнения участка ВЛЬ мы введем положительный параметр f = —z (0 < < / < Р). Формула (5) даст тогда

需=券 + ‘ 器=С-1 - 丫 (₽ -炉㈠ Ф (-/),

откуда для тангенса угла наклона касательной к ВЛ1 с осью и будем иметь:

dudutg 6 = —5—=s du~dTtg 6 = —5—=s du~dTsin “л: •产l〔sin “л: •产l〔sin “nsin “ncos am •吋_ Y1严一一 cosw_ Y伐— 1广Tcos am •吋_ Y1严一一 cosw_ Y伐— 1广TИз этого выражения видно, что в случае угла, большего лИз этого выражения видно, что в случае угла, большего л(т. е. при 1 < aj < 2), tg 8 будет равнымответствующей 4, и равным tgam в точке(т. е. при 1 < aj < 2), tg 8 будет равнымответствующей 4, и равным tgam в точкещей В. Таким образом, в случае угла, большего л, дуга В Ах действительно скругляет угол при вершине 乂1 *).Согласно принципу соответствия границ функция (5) реализует конформное отображение полуплоскости Imz > 0 на область А, ограниченную контуром Л1Л2 ... AnBAi. Варьируя постоянные С, р и у, мы можем достичь того, что область А будет сколь угодно мало отличаться от заданной многоугольной области Д.Покажем, как это делается, на одном простом примере. Рассмотрим многоугольник, изображенный на рис.щей В. Таким образом, в случае угла, большего л, дуга В Ах действительно скругляет угол при вершине 乂1 *).Согласно принципу соответствия границ функция (5) реализует конформное отображение полуплоскости Imz > 0 на область А, ограниченную контуром Л1Л2 ... AnBAi. Варьируя постоянные С, р и у, мы можем достичь того, что область А будет сколь угодно мало отличаться от заданной многоугольной области Д.Покажем, как это делается, на одном простом примере. Рассмотрим многоугольник, изображенный на рис.О в точке £ = 0, со- f = В，соответствую-О в точке £ = 0, со- f = В，соответствую-Рис. 96.Рис. 96.96, — это частный96, — это частныйслу-слу-чай треугольника из примера 3) предыдущего пункта. Будем считать, что точкам Ль Л2 и 4 соответствуют точки 0, 1 и оо действительной оси; тогда интеграл Шварца ——Кристоффеля запишется в видечай треугольника из примера 3) предыдущего пункта. Будем считать, что точкам Ль Л2 и 4 соответствуют точки 0, 1 и оо действительной оси; тогда интеграл Шварца ——Кристоффеля запишется в видеW=C -;J 1 — 2 ОW=C -;J 1 — 2 О(6)(6)где С — положительная постоянная (на участке (0, 1) • w должно принимать положительные значения). В соответствии сгде С — положительная постоянная (на участке (0, 1) • w должно принимать положительные значения). В соответствии с*) При Oi< 1 имеем ^^ |= tg修冗,|»0 и дуга AiB не скругляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять функциюш = С I ,1 + Y(2_ В)%Т} ф (z) dz,о*) При Oi< 1 имеем ^^ |= tg修冗,|»0 и дуга AiB не скругляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять функциюш = С I ,1 + Y(2_ В)%Т} ф (z) dz,огде В > 0, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.где В > 0, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.

du

du

tg 6 = —5—=s du

~dT

tg 6 = —5—=s du

~dT

sin “л: •产l〔

sin “л: •产l〔

sin “n

sin “n

cos am •吋_ Y1严一一 cosw_ Y伐— 1广T

cos am •吋_ Y1严一一 cosw_ Y伐— 1广T

Из этого выражения видно, что в случае угла, большего л

Из этого выражения видно, что в случае угла, большего л

(т. е. при 1 < aj < 2), tg 8 будет равнымответствующей 4, и равным tgam в точке

(т. е. при 1 < aj < 2), tg 8 будет равнымответствующей 4, и равным tgam в точке

щей В. Таким образом, в случае угла, большего л, дуга В Ах действительно скругляет угол при вершине 乂1 *).

Согласно принципу соответствия границ функция (5) реализует конформное отображение полуплоскости Imz > 0 на область А, ограниченную контуром Л1Л2 ... AnBAi. Варьируя постоянные С, р и у, мы можем достичь того, что область А будет сколь угодно мало отличаться от заданной многоугольной области Д.

Покажем, как это делается, на одном простом примере. Рассмотрим многоугольник, изображенный на рис.

щей В. Таким образом, в случае угла, большего л, дуга В Ах действительно скругляет угол при вершине 乂1 *).

Согласно принципу соответствия границ функция (5) реализует конформное отображение полуплоскости Imz > 0 на область А, ограниченную контуром Л1Л2 ... AnBAi. Варьируя постоянные С, р и у, мы можем достичь того, что область А будет сколь угодно мало отличаться от заданной многоугольной области Д.

Покажем, как это делается, на одном простом примере. Рассмотрим многоугольник, изображенный на рис.

О в точке £ = 0, со- f = В，соответствую-

О в точке £ = 0, со- f = В，соответствую-

Рис. 96.

Рис. 96.

96, — это частный

96, — это частный

слу-

слу-

чай треугольника из примера 3) предыдущего пункта. Будем считать, что точкам Ль Л2 и 4 соответствуют точки 0, 1 и оо действительной оси; тогда интеграл Шварца ——Кристоффеля запишется в виде

чай треугольника из примера 3) предыдущего пункта. Будем считать, что точкам Ль Л2 и 4 соответствуют точки 0, 1 и оо действительной оси; тогда интеграл Шварца ——Кристоффеля запишется в виде

W=C -;

J 1 — 2 О

W=C -;

J 1 — 2 О

(6)

(6)

где С — положительная постоянная (на участке (0, 1) • w должно принимать положительные значения). В соответствии с

где С — положительная постоянная (на участке (0, 1) • w должно принимать положительные значения). В соответствии с

*) При Oi< 1 имеем ^^ |= tg修冗,|»0 и дуга AiB не скру

гляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять функцию

ш = С I ,1 + Y(2_ В)%Т} ф (z) dz,

о

*) При Oi< 1 имеем ^^ |= tg修冗,|»0 и дуга AiB не скру

гляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять функцию

ш = С I ,1 + Y(2_ В)%Т} ф (z) dz,

о

где В > 0, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.

где В > 0, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.

изложенным выше мы полагаем вместо этого gcj^^^dz.(7)

О

Эта функция переводит отрезок (0, 1) в положительную полуось, и мы потребуем, чтобы при переходе через точку z = 1 она получила приращение /; отсюда, как и в п. 39, получаем:

Сл(1 +у/1 +₽) = Л.(8)

Далее мы потребуем, чтобы точке z= —0 соответствовала точка В = —р — tp так, чтобы при малых 0 дуга ВА\ была близка к дуге окружности радиуса р. После замены 2 = —f это приведет к уравнению

p +(p = C J 干十产——dt.о

Разделяя в ней действительные и мнимые части и интегрируя, придем к следующим двум соотношениям:

р = 2С{/₽-arctg/p},

P = 2CY{rT+Jarth)/ -^-/р).

Полученные три соотношения (8) и (9) позволяют найти р, С и у, как функции параметра р. При малых 0 имеем:

备 Н，С"金 О-%)，Y-1+P.(Ю)

Отображающая функция примет тогда вид (с точностью до малых высшего порядка относительно 0)

ay = "arthU£-V^ + (£-l)U^}.(И)

нении границы отображаемых областей (проблема 3 из п. 28), а также некоторые приближенные формулы.

Мы не будем касаться методов приближенных расчетов конформных отображений (за исключением метода сеток в п. 45, который может быть использован для этой цели). С аналитическими методами таких расчетов читатель может ознакомиться по гл. V книги Л. В. Канторовича и В. М. Крылова [9]. Для многих практических целей предпочтительнее методы расчетов, использующие физические аналогии ——методика таких расчетов с применением несложных специализированных приборов и электропроводной бумаги описана в книге П. Ф. Фильчакова и В. И. П а н ч и ш и н а [11].

С некоторыми практическими методами читатель может ознакомиться по книге Коппенфельса и Штальмана [13].

Литература к главе II

А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, тт. 1, 2, «Наука», 1968.

М. А. Лаврентьев, Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики, Гостехиздат, 1947.

Б. В. Ш а б а т, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.

К- Каратеодори, Конформное отображение, перев. с англ., ОНТИ, 1934.

Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, перев. с англ., ИЛ, 1953.

Г. М. Г о л у з и н, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостехиздат, 1952.

М. В. Келдыш, Конформные отображения многосвязных областей ■ на канонические области, Успехи матем. наук. вып. VI, 1939, стр. 90—119.

Г. М. Г о л у з и н, Л. В. Канторович и др., Конформное 'отображение односвязных и многосвязных областей, ОНТИ, 1937.

Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962.

П. Ф. Фильчаков, Приближенные методы конформных отображений. Справочное руководство, Киев, 1964.

П. Ф. Фильчаков и В. И. Панчишин, Интеграторы. Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге, Изд-во АН УССР, Киев, 1961.

Г. Н. Положим, Эффективное решение задачи о приближенном конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и определение постоянных Кристоффеля — Шварца при помощи электрогидро динамических аналогий, Укр. матем. журн. 7, № 4 (1956), 423—432.

В. Коппенфельс и Ц. Штальман, Практика конформных отображений, перев. с нем., ИЛ, 1963.

Глава III

Краевые задачи теории функции и их приложения

Мы уже говорили, что теория функций комплексного переменного и в особенности ее геометрическая часть ——теория конформных отображений ——возникла и развилась на основании физических представлений. Леонард Эйлер и Жан Д а л а м- б е р пришли к условиям аналитичности функций комплексного переменного из гидродинамических соображений» Бернхард Риман в своих исследованиях постоянно пользовался интерпретациями аналитических функций, связанными с плоскими течениями жидкости и тепловыми потоками.

С другой стороны, обратно, развитие теории функций комплексного переменного позволило создать новые методы решения важнейших практических задач из различных разделов математического естествознания (гидро- и аэродинамика» теория упругости, электростатические, магнитные и тепловые поля и т. д.). Следует отметить, что большие заслуги в приложениях теории функций комплексного переменного принадлежат ученым нашей страны.

Николай Егорович Жуковский и Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869——1942) в начале XX в. пришли ко многим принципиальным результатам в применении теории функций к гидро- и аэродинамике. Методы теории функций комплексного переменного играют весьма существенную роль в их замечательных статьях, а также в книге Н. Е. Жуковского «Теоретические основы воздухоплавания» (1911 г.). И в наши дни важ^. ные и глубокие применения теории функций к гидро- и аэродинамике получены советскими учеными (М. В. Келдышем, С. А. Христиановичем, В. В. Голубевым, Л. И. Седовым и другими).

Г. В. Колосов) в 1909 г. положил начало серьезному применению теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Блестящее решение этой задачи

методами, опирающимися на теорию функций, получил в двадцатых годах Н. И. Мусхелишвили. Эти методы изложены в его книге [10], первое издание которой вышло в 1933 г. Методы теории функций комплексного переменного занимают видное место и в исследованиях по различным отраслям физики (В. А. Фок, Н. Н. Боголюбов, В. С. Владимиров и др.).

В этой главе мы рассмотрим основные физические представления, связанные с теорией функций комплексного переменного, и простейшие приложения этой теории. Изложение мы начнем с теории гармонических функций двух переменных, тесно связанных с потенциалами плоских векторных полей, основных краевых задач теории гармонических и аналитических функций и затем на основе развитой теории изложим основные вопросы приложений.

§ 1. Гармонические функции

Гармонической в области D функцией называется действи-

нению *)нению *)=0=0тельная функция и(х, у) двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному урав-

нению *)

нению *)

=0

=0

(А = ^г + ^г — символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физйки. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация

工 (%, у)

гармонических функций ик(ху у) с действительными постоянными коэффициентами а 丸 снова является гармонйческой функцией.

переменных и(х, у, z),^ 0, которые» однако.переменных и(х, у, z),^ 0, которые» однако.Как мы увидим в последующих параграфах этой главы, потенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся

переменных и(х, у, z),^ 0, которые» однако.

переменных и(х, у, z),^ 0, которые» однако.

в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представлять физически как потенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармонические функции часто называют потенциалами, а теорию гармонических функций — теорией потенциала.

Свойства гармонических функций. Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1. Действительная и мнимая части произвольной функции f(z) = и (х, у) + iv (х, у), однозначной и аналитической в области /), являются s этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши— Римана

(1)(1)@〃 — dv ди —dv

(1)

(1)

дх — ду * ду ~дх '

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения (1) можно дифференцировать по х и у. Дифференцируя первое из них по х, а второе по г/ и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных, находим:

д2и ——

дх2 — дх ду — ду2 ' откуда

а д2и . д2и с

△〃 =曲+可=°・

Для функции V (х, у) доказательство аналогично.

Две гармонические в области D функции и(х, у) и и (%, у), связанные условиями Коши — Римана, называются сопряженными.

Теорема 2. Для всякой функции и(х, у), гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию и(х, у).

В самом деле, рассмотрим интеграл

2

%(%，у) = [ -^dx + ^dy,

а 2 = х -|- iy — переменнаяа 2 = х -|- iy — переменная备（一器閒备（一器閒где 20 = Хо + ^о — фиксированная,

а 2 = х -|- iy — переменная

а 2 = х -|- iy — переменная

备（一器閒

备（一器閒

точка области D. В силу уравнения Лапласа

этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки 2； мы и обозначаем эту функцию

uo(M у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интеuo(M у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов,дУо __1-% (汇 + 九 у) — % а, у)гралов,дУо __1-% (汇 + 九 у) — % а, у)= lim ； fh60 几 у= lim ； fh60 几 удидиdx ==—dx ==—дидудиду

uo(M у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных инте

uo(M у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных инте

гралов,

дУо __1-% (汇 + 九 у) — % а, у)

гралов,

дУо __1-% (汇 + 九 у) — % а, у)

= lim ； f

h60 几 у

= lim ； f

h60 几 у

ди

ди

dx ==—

dx ==—

диду

диду

(мы можем брать интеграл от а до а + 九 по горизонтальному отрезку, на котором dy = O); аналогично, ^~ = -|^. Следовательно, vQ(x, у) и является искомой функцией, сопряженной с функцией и(х} у). Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с и(х, у), дает формула

” (%，9)= J —岩 dx + 黑出 + С,(2)

где С ——произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области D интеграл (2)

"(%, y) = \L-^-dx + ^dy + C

определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L и £, соединяющих точки а。и z, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т. е. если внутри области, ограниченной L и £, имеются точки, не принадлежащие к D). Очевидно, на наш случай полностью переносится соответствующее рассуждение п. 13 и можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции и (%, у), определяемой интегралом (2), имеет вид:

@ (х, у)=( 一芻 dx + 票d什МП+М「2 + - + N4+C,⑶

где Nr ——произвольные целые числа и 1\ ——интегралы вдоль замкнутых контуров у^, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы Q:

(ср. формулы (2) и (3) из п. 13). Постоянные Г\ называются периодами интеграла (2), или циклическими постоянными.

Если в некоторой области D\ лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции о (%, у), определяемой формулой (3), то эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с 〃(匕у). Поэтому функцию о(%, у) считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: 加 ди dv ди工

= ——, —- =это вытекает из формулы (3).

ду ду дх '+尸 j /

Теорему 2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2‘. Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции f(z); эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Мы не исключаем случая многосвязных областей, поэтому аналитическая функция f(z) может оказаться многозначной.

Пример. Подсчет частных производных показывает, что функция

и = 1п (х2 + t/2) = 2 In I г I

является гармонической в кольце О V |z| V 8. Интеграл (2) имеет вид:

v(x, у) = 2 £ -^^ ^+C = 2Argz + C 20

и представляет в кольце О V |z| V 8 бесконечнозначную функцию. Соответствующая аналитическая функция

f (г) = и + /у = 2 In I г I + 2Z Arg г + /С = 2 Ln г + /С также бесконечнозначна.

Теорем а 3. Любая гармоническая функция и(х,у) является аналитической функцией своих аргументов х и yt т. е. в окрестности каждой точки 2。= %。+ iy° области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

оо

И(X, у)^ h Cmn (х — Xo)m (у — %)".(5)

m, п=0

В самом деле, и(х,у) по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции f(z), однозначной и аналитической в некоторой окрестности |z —?о| V R точки 2°. Пусть в этой окрестности

f⑵= £c“(z —%)“，(6)

п=0

где сп = ап + /рп. Действительная часть общего члена ряда (6) ап|(х — хо)п —^^j~^~ (% — Ro)"-?(У — Уо)' + • •・} +

4- 3„| — п (х — х0)п-1 (у — %) +

+ 2(У(—2)(х-х0Г3 匂一％，+ ...},⑺

по абсолютно访 величине не превосходит

丨 I I % — % I 1 у — % I}",

а так как по теореме Абеля п. 19 ряд (6) абсолютно сходится

в любом круге I г — г01 ^ г < 7?, т. е. ряд £|仃仪|「" сходится п»=0

при г V R, то и ряд с общим членом (7) будет абсолютно сходиться при \х — %о| + |у — Po| VR・ Этот ряд и представляет собой ряд для и(х, у). После перегруппировки - его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд (5). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что гармонические функции обладают частными производными всех порядков. Нетрудно показать, что последние также являются гармоническими функциями (см. теорему 1 п.⑺.

Основываясь на теореме 3, можно получить практически удобный способ восстановления аналитической функции /(г) по известной действительной час^ги и(х,у). Элементарно преобразуя выражение (7) общего члена ряда для и(х, у), мы получаем представление этой функции в окрестности точки го：

м(X, 9)= % + ^£ {cn [(X — x^ + i(y — %)]" +

+ ^п [U ~ х^) — Цу — у。)]"}.

Этот ряд, по теореме Абеля, сходится и для комплексных значений % и у, достаточно близких к х0 и уо, поэтому в нем можно положить % —死=占石』&, у— yQ — ^ ~^ ? где ^ —точка, достаточно близкая к No, и мы получим:

м 卜。+ 6片,yQ + 与円=% + -^ £ G (g — No)"=

=% + m If © —矶

Заменяя здесь U через z, после простых преобразований получаем окончательную формулу

"2)= 2"(话亘，气円一历.(8)

Формула (8) получена для точек z, близких к zo, но, по теореме единственности, очевидно, сохраняет силу во всей области определения f(z), ибо в этой области обе части (8) являются аналитическими функциями г.

В частности, если f(z) аналитична в начале координат, то можно положить 备=0, и формула (8) принимает особенно простой вид:

f(г)= 2〃 传，告)—Со- (9)

Приведем несколько примеров применения формул (8) и (9):

1) U = x + 协 f(2)= 2 + у + С = (1 — 0 2 + С (формула (9));

2) u = In (х2 + J/2), f ⑵=2 In { ■佟扌听.—-忆 A，} + c = 21nz + C (формула (8), г0 = 1);

(формула (8), г0 = л/2).

Во всех трех формулах С — чисто мнимая постоянная.

Перейдем к рассмотрению свойств гармонических функций. На основании теорем 1 и 2 эти свойства легко получаются из соответствующих свойств аналитических функций. Для удобства мы будем иногда писать и (г) вместо "(%, у), как пишут 〃(Р) вместо 〃(％% %2， • • •, хп) для функций нескольких переменных, понимая под Р точку с координатами (хь хг, ..., хп).

Теорема 4 (о среднем). Если функция u(z) непрерывна в замкнутом круге радиуса г с центром в точке z 〃 гармонична внутри этого круга, то

2л ,

〃(Z)=击 J "(Z + re^) dtp. (10) о

Доказательство вытекает непосредственно из формулы (5) п. 14 отделением действительных частей.

Теорема 5. Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке обла^ сти определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции 〃(а) является точкой максимума функции ——〃(а), также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция и (г) достигает максимума во внутренней точке 之。области.

В окрестности точки а。построим однозначную аналитическую функцию /(а) такую, что u = Ref (г). Функция е^ аналитична и не постоянна, а ее модуль е〃&), по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области а0・ Это противоречит принципу максимума из п. 15, и теорема доказана.

Можно было бы доказать теорему 5 непосредственно на основании теоремы о среднем в точности так, как доказывается принцип максимума в п. 15.

Теорема 6. Если гармоническая во всей открытой плоскости функция 〃(а) ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна. '

В самом деле, пусть 〃⑶ ограничена сверху: u(z) < М. Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию f(a) такую, что u(z)= Ref(2). По условию теоремы все значения функции w = f(z) лежат в полуплоскости 〃VM следовательно, по замечанию в конце п. 28, функция f(a) постоянна, а значит, постоянна и u(z).

Следующее две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций, т. е. совокупностей точек, для которых 〃⑶=const.

Т еорем а 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция 〃(а) имеет замкнутую линию уровня и (г) = ио, то внутри линии находится хотя бы одна особая точка ) этой функции.

В самом деле, в противном случае функция 〃(а), непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения 〃(之i) и наименьшего значения и(г2). По теореме 5 точки 2\ и 之2 должны лежать на границе области, т. е. на линии уровня; следовательно, 〃(21)= 〃(22), и функция 〃(а) постоянна.

Теорем а 8. Любая достаточно малая окрестность точки а。линии уровня 〃(а)=〃о разбивается этой линией на четное число 2/г(/г》1) секторов, в которых 〃(а) попеременно принимает значения, большие и меньшие 〃о.

Функция 〃(а)—〃о равна нулю в точке а。； подобрав к ней сопряженную функцию и (а) так, чтобы v(z0) = 0, получим аналитическую функцию f(z) = и ⑶一〃о + iu (а), также равную

нулю в точке z0. Обозначим через п порядок этого нуля, тогда в окрестности точки 2о имеем f(z) = с及(z —2о)見 + + Cn+i(z — 2())見+1 + ・・・,cn =# 0 и, следовательно,

И(2)= 〃0 + Re f ⑵= «о + 4尸 Sin (лф + В) + о (尸)，(11)

где положено z ——z()=厂日^屮,Д =# 0 и 8 — некоторые постоянные и о(гп) означает малую порядка выше гп при 2To. Отсюда видно, что для достаточно, малых г при изменении ф от 0 до 2л разность и — u0 обращается в нуль 2л раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Точно так же доказывается, что линия уровня сопряженной с u(z) гармонической функции u(z), проходящая через точку z0, в окрестности этой точки распадается на л ветвей, касающихся в а биссектрис секторов, о которых идет речь в теореме 8..

Из теоремы 8 вытекает, что линия уровня гармонической функции может иметь лишь простые точки (孔=1) или кратные точки ) с различными касательными (л > 1)——случаи изолированных точек, концевых точек или точек возврата исключаются.

Для дальнейшего полезно отметить следующее предложение, обратное теореме о среднем.

Теорема 9. Если функция u(z) непрерывна в области D и в любой точке z для достаточно малых г

2л

"⑵=击『〃.(z + re^) "9,

О

то функция u(z) гармонична в D.

Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения; эта теорема будет доказана в п. 43. Пусть а — произвольная точка D и 瓦一замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку z0 внутри. По цитированной теореме построим гармоническую функцию u0(z), принимающую на границе Со области Do те же значения, что и функция u(z), и обозначим U (z) = u0 (г) —u (z).

По построению и условиям доказываемой теоремы функция U(z) непрерывна в Do и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение U(zj в центре любого круга, принадлежащего Do, равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции 〃(2)и 口о(2): первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

Отсюда вытекает, что функция U (z) не может достигать экстремума во внутренних точках 5; доказательство этого предложения опирается лишь на непрерывность функции и теорему о среднем (см. замечание после теоремы 5). Но так как непрерывная в замкнутой области функция U(z) должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе о0. А так как на границе всюду U(z) = 0, то и максимальное и минимальное значения U (z) равны нулю, а следовательно, U ⑶三 0 всюду в 5о. Это означает, что всюду в 4 функция 〃(2) совпадает с гармонической функцией uQ(z) и, в частности, гармонична в точке z0. Так как z0 ——произвольная точка то теорема доказана.

Приведем теперь теорему, аналогичную теореме Вейер- штрасса п. 19.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций 以o(z), 〃i(2)， . ■., wn(2), ..., гармонических в области D и не

прерывных в D. Если ряд X 〃也(2)равномерно сходится на гра~ ft=0

нице Q, то он равномерно сходится и внутри Q, причем его сумма является гармонической в D функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку сходи 8

мости Коши *) из равномерной сходимости ряда X 〃也(z) на fe=0

границе области D следует, что для любого е > 0 найдется целое число N такое, что для любого л > ^ и любого целого положительного р и всех точек g границы

丨 〃%+Ю + 〃%+2 © + … + 〃衣+р (W)丨 V &

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

丨％+ 1 ⑵ + %十2 ⑶ + • • • + Wrt + p(2)I < 8.

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда X 〃也(з). Остается показать, что сумма этого ряда u(z)— гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого г имеем:

2л2л оооо 2л

J 〃 (z + ге如)dtp = J ^ик(2 + re押)dtp =工 J «л (z + re碑)d(p

00 ft=0论=0 0

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны 2Я^(2), следовательно,

2лоо

J u (z +，?'隼)d(p = 2冗工 uA (z) = 2w (z) 0A==0

и по теореме 9 функция u(z) гармонична в точке z. Теорема доказана, так как г — произвольная точка области D.

В заключение отметим еще две полезные для дальнейшего теоремы. Первая из них выражает, что свойство функции быть гармонической не нарушается при аналитическом преобразовании независимого переменного.

Теорема 11. Если функция 〃(z) гармонична в области D u z = g(C) — аналитическая в некоторой области А функция, значения которой лежат в D, то сложная функция u[g(^)]= =U (工)гармонична в А.

В самом деле, построим (быть может, многозначную) аналитическую функцию f(z), для которой u = Ref(z). Функция f[g(C)]=尸(白)，очевидно, аналитическая в области А и, следовательно, U(£j = Ref[g(D] = Re尸隽)гармонична в этой области..

Вторая теорема выражает свойство интеграла от нормальной производной гармонической функции:

Теорема 12. Если функция 〃(z) гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными 8 力，Tо

『黑 ds = 0‘(12)

С

где С — граница области D и -^ обозначает производную в направлении нормали к С, a ds — дифференциал дуги.

Построим в D сопряженную к и гармоническую функцию и； она однозначна в силу односвязности D. По замечанию в конце п. 5, условия Коши — Римана можно записать в виде

學=票，(13)

дп ds' /

где обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а 扃——производную в направлении нормали к ней (так, что вращение от вектора д° к s° происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных про*

изводных, а следовательно, и их комбинаций "^ и равенство (13) имеет место и на границе С области D, Поэтому вдоль замкнутого контура С

f ds =「生 ds = \ dv — Q

J on JJ

ccc

в силу однозначности функции у (г).

Свойства гармонических функций (продолжение). Здесь мы рассмотрим вопросы об особых точках, теоремах единственности и аналитическом продолжении гармонических функций. Начнем с изучения поведения однозначной гармонической функции и(г) в окрестности ее изолированной особой точки. Пусть функция и(г) однозначна и гармонична в окрестности 0 <|г — а\< R точки а. Обозначим через Г циклическую постоянную гармонической функции у (г), сопряженной с и(г) в этой окрестности. Так как приращение любой ветви функции iv(z) при обходе в положительном направлении замкнутого контура, окружающего точку а, равно /Г, а приращение при том же обходе любой ветви Ьп(г ——а) равно 2冗応 то функция

f (z) = 〃 (г) + iv (г)—击 Ln (z — а)

будет в нашей окрестности распадаться на совокупность однозначных аналитических функций, значения которых в любой фиксированной точке отличаются друг от друга на целое кратное /Т. Поэтому функция

е 1= (г — а) е g (z)

является однозначной аналитической, н мы получаем представление однозначной гармонической функции и в окрестности изолированной особой точки а:

&(z) = *ln| g(z) |.(1)

Представление того же типа справедливо и в случае Г = 0, ибо в этом случае однозначна функция /(г) = и + ^ н, положив е，® = g(z), мы найдем:

〃(z)=ln| g(z)|.(2)

На формулах (1) и (2) основывается классификация изолированных особых точек однозначных гармонических функций. Возможные случаи поведения таких функций в окрестности особых точек исчерпывают следующие три теоремы:

Теорема 1. Если 〃(z) ограничена в окрестности точки а, то существует lim〃(z) = 6; положив и (а) = Ь, мы получаем z-^a

функцию, гармоническую и в точке а (устранимая особая точка}.

В самом деле, в этом случае функция g(z) в выражении (1) или (2) имеет в точке а устранимую особенность, т. е. существует limg(z); этот предел, очевидно, отличен от нуля — от- z->a

сюда и следует утверждение.

Теорема 2. Если и(2) стремится к бесконечности при а, то в окрестности точки а она допускает представление вида

〃⑵=左 In I 2 — а ] + U ⑵，(3)

где & =/= 0 — некоторая постоянная, а U(2)— гармоническая в точке а функция (полюс).

Действительно, в этом случае функция g(z) может иметь в точке а лишь полюс или нуль (если 〃一*—оо), следовательно, ее можно представить в виде

g (z) = (z — а)" Ф(2),

где п — положительное или отрицательное число и (р(2)—аналитическая в точке а функция, причем ф(а) =/= 0, Подставляя это в выражение (1) или (2), получаем искомое представление (3).

Наконец, справедлива

Теорема 3. Если u(z) не стремится при z—>о ни к какому пределу, то она имеет в точке а полную неопределенность： для любого действительного 6 можно найти последовательность точек zn-^a, для которой lim u(z^ = b (существенно Л->оо особ ая точка}.

В самом деле, в этом случае g(z) может иметь в а лишь существенно особую точку, и утверждение является непосредственным следствием теоремы Ю. В. Сохоцкого (п. 22).

Пример: g(z) = J/z, “ =炉；产

~ Все сказанное относится и к бесконечно удаленной точке, только окрестность О V | 之—а | V R надо заменить окрестностью /? < |г[ < оо и представление (3) представлением

"(2)=左 In] 2 ] + U(2).

Гармоничность функции 汨 бесконечности означает, что 2 = оо является устранимой особой точкой этой функции.

Мы не рассматриваем особые точки многозначного характера (примером такой точки является точка z = 0 для функЦии u = Arctg 9, а также неизолированные особые точки.

Перейдем к вопросу о теоремах единственности для гармонических функций. Внутренняя теорема единственности теории аналитических функций (п. 20) не переносится полностью на гармонические функции, ибо гармонические функции, совпадающие на линиях, вовсе не обязаны совпадать в области. Действительно, гармонические функции принимают каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и, следовательно, совпадают с постоянными на линиях, не.будучи постоянными в области. Справедлива, однако, такая

Теорема 4. Если две функции, гармонические в области О, совпадают в какой-либо области Q® лежащей в D, то они совпадают и во всей области D.

Действительно, разность и(г) таких функций гармонична и тождественно равна нулю в области Do. Построим в области D (быть может, многозначную) аналитическую функцию f(z) такую, что 〃 = Ref(z). В области Do сопряженная с и гармоническая функция v(z) должна быть постоянной, ибо в силу условий Коши — Римана в этой области = —~ = 0, 4^" = =-|^工0・ Следовательно, f(z) постоянна в О0, а значит, и во всей области D. Но тогда 〃(z) постоянна в D н равна там, следовательно, нулю (ибо она равна нулю в О。). Теорема доказана.

Граничная теорема единственности теории аналитических функций, выражающая, что функция, аналитическая в области, определяется своими значениями на границе (см. п. 14), переносится на гармонические функции. Для гармонических функций эта теорема является непосредственным следствием принципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта). Чтобы получить ее в достаточно общих для практики предложениях, мы предварительно докажем обобщенный принцип экстре-

мума:

Теорема 5. Если гармоническая и ограниченная в области D функция 〃(z) принимает ) на границе С этой области значения 〃(Е), кусочно-непрерывные с конечным числом точек разрыва первого рода, то значения 〃(z) внутри D заключены между максимальным и минимальным ее граничными значениями (значения u (С) 8 точках разрыва не учитываются).'

Пусть М = sup 〃隽)на С, а &,坛•・•, 3 — точки разрыва 〃隽｝ и 6 — диаметр области £>, т. е. максимум расстояния между двумя точками из D Зафиксируем произвольное положительное число е и рассмотрим функцию

" u⑵小+豆In 7T4寸 ⑷

Функция U(2), очевидно^ гармонична в области D, везде больше М и непрерывна в 方 всюду, кроме точек 色抬 при приближении к которым она стремится к +°° Из каждой точки 蠢, как из центра, опишем круг достаточно малого радиуса г и обозначим через Dr область, получаемую из области D удалением всех таких кругов.

Функция U(z)—〃(％) неотрицательна на общей части границ D и Dri а при достаточно малых г и на окружностях |之一^h\ = г, ибо функция u(z) по условию ограничена, а при /-—►О значения U(z) на окружностях неограниченно возрастают. Отсюда на основании обычного принципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта) заключаем, что в любой точке из Drt а следовательно, и в любой точке из D *), функция U(z) — «(2)не отрицательна. Но так как при фиксированном 2 и е—>0 функция U(2)—► М, то отсюда вытекает, что в любой точке D имеем \u(^)\^ М. Но по теореме 5 предыдущего пункта функция 〃(％) не может принимать внутри D значения, равного ее максимальному значению М, следовательно, всюду в D имеет место строгое неравенство 〃⑶ VM Аналогично доказывается, что всюду в D справедливо неравенство 〃(之)> > m, где m = inf u (g) на С.

Замечание. Для неограниченных функций 〃(％) теорема не имеет места. Например, функция

〃(z)== Re(l-"J) (5)

гармонична в круге 尤？ + у2 V 2%, равна нулю всюду на окружности этого круга, кроме точки 2 = 0, и тем не менее внутри круга отлична от нуля.

Теперь легко доказывается граничная теорема единственности, о которой мы говорили выше:

Теорема 6. Пусть на границе С области D задана функция 〃(g), кусочно-непрерывная с конечным числом точек разрыва первого рода &, ^2,白小 Существует не более одной функции 〃(％), гармонической 〃 ограниченной в области D, ко-

торая в точках 匕=# 白瓦 границы принимает заданные значения

В самом деле, пусть существуют две функции 〃О и и2(г), удовлетворяющие условиям теоремы. Их разность

"⑶=щ(2)一妝⑶

гармонична в области D, ограничена и принимает значения, равные нулю во всех граничных точках 扌啜 ^. По теореме 5 все значения 〃(z) внутри D заключены между максимальным и минимальным ее значением в точках 匕啜之女,т. е. равны нулю. Теорема доказана.

Заметим, что в теореме 6 область О может содержать бесконечно удаленную точку внутри или на границе. Для неограниченных функций теорема, конечно, неверна. Например, в случае круга х2 + z/2 < 2х и нулевых (всюду, кроме 2 = 0) граничных значений существуют две гармонические функции, принимающие заданные значения — функция (5) н и = 0.

В заключение выясним вопрос об аналитическом продолжении гармонических функций. Принцип непрерывного продолжения (п. 25) не переносится на гармонические функции. Например, пусть Ui (г) = у в верхнем единичном полукруге, 〃2 ⑶三 О в нижнем; тогда 〃】=也 на отрезке (—1, 1), однако функция 〃(z), равная 〃i в верхнем полукруге н 〃2 в нижнем, не является гармонической, ибо в точках диаметра у = 0 она не имеет производной. Однако принципы симметрии и аналитического продолжения (п. 35) остаются в силе:

Теорема 7. (Принцип симметрии.) Пусть функция 〃i(z) гармонична в области £)ь граница которой содержит отрезок (а, р) действительной, оси, и равна нулю на этом отрезке. Тогда функция

«2 ⑵=—«1(Z)(6)

гармонична в области £)2, симметричной с D、относительно действительной оси, и дает аналитическое продолжение функции 〃i (z) eо2・

Действительно, гармоничность 〃2(之)в области D? очевидна. Она следует из условия (6), записанного в виде «2 (^, у)= =—Ui(х,—у), ибо отсюда

д2и2 (х, у) — • д2их (х, — у)・ ОМ (%, у) —О?/ (%, — у)

Остается показать, что функция

■ 〃1 ⑵ В £)1，

п(2)= 0 на (а, Р),

«2(2) в D2

*214 ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [42 тармонична в области。= 5+(а, 0) +。2・ Функция 〃⑶ непрерывна в D и ее значение в любой точке 2 равно среднему арифметическому значений на окружности достаточно малого радиуса с центром в z. Для точек областей Di и D2 это следует из гармоничности 切⑶ и 圾⑶，а для точек отрезка (а, р), где 〃⑶=0, — из соображений симметрии. Но тогда по теореме 9 предыдущего пункта функция u(z) гармонична в D.

Теорема 8. (Принцип аналитического продолжения.) Если функция 'u(z) гармонична 台 области D, граница которой содержит аналитическую дугу у и значения и (z) на этой дуге образуют действительную аналитическую функцию параметра, то 〃(％) можно аналитически продолжить через дугу у.

Пусть сначала у представляет собой отрезок действительной оси х. Так как действительная функция 〃(尤)по условию аналитична на у, то она может быть аналитически продолжена в комплексную область (см. доказательство принципа аналитического продолжения в п. 35). Обозначим это продолжение через fi(2)— это (комплексная) аналитическая функция в окрестности А отрезка (а, р) и ее действительная часть 〃i(z)——гармоническая в Д функция, равная и(х) на отрезке у. По теореме 7 разность 〃(z) — 〃i(2)можно аналитически продолжить 「за отрезок, именно в область, симметричную с пересечением областей D и А относительно отрезка у. Так как 〃О уже определена в этой области, то такое продолжение даст и аналитическое продолжение функции 〃⑶ в ту же область. Для на- mero частного случая теорема доказана.

Переходя к общему случаю, предположим, что дуга у задана параметрическим уравнением z = z(/), где z(f) — аналитическая на отрезке (а, 0) действительной оси функция и J(f)，O. По условию функция 〃(z(f)) = U(f) также аналитична на этом отрезке. Продолжим функцию z = z(f) в комплексную область значений f, содержащую отрезок (а» Р); комплексные значения f мы обозначим через 匕 а полученное продолжение через 2 = 2(0. Функция 〃{z(C)} = U(C) гармонична с одной стороны отрезка (а, Р) (см. теорему 11 предыдущего пункта) и на самом отрезке, где g =力 принимает аналитические значения [/(/). Следовательно, по доказанному частному случаю, U (С) продолжается через отрезок (а, 0) и, возвращаясь к переменной *) 2, мы получжм аналитическое продолжение функции 〃⑶ через кривую у. Теорема доказана.

♦) Для того чтобы перейти к переменной N, надо в U® подставить 《=二(药，где 二但)一функция, обратная к z(^). Функция 二⑶ однозначна и аналитична в некоторой окрестности у, ибо на (а, Р), по условию# z'(f)喉 0.

В заключение отметим, что при заданных областях Q] и D^ и заданном общем участке у их границы аналитическое продолжение гармонической ) функции 〃i(z) через у в D2 определяется единственным образом. Это следует из теоремы 4, примененной к областям £)0 = ^i н Q =力1 + у + D?.

Задача Дирихле. Совокупность гармонических функций —— это совокупность всех решений уравнения Лапласа

которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Подобно тому как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т. е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области.

Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче, или задаче Дирихле ):

Найти^ гармоническую 6 области Q и непрерывную W 力 функцию 〃(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения 〃(g).

К задаче Дирихле приводится, например, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического1 поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней, как мы увидим ниже, сводятся и краевые задачи других типов.

В приложениях условие непрерывности граничных значений 忆(g) является слишком стеснительным и приходится рассмат* ривать обобщенную задачуДирихле:

На границе С области Q задана функция 〃隽)，непрерывная всюду, кроме конечного числа точек. &, *, ..., g% где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую % ограниченную 6 области Q функцию 〃(z), принимающую значения 〃隽)во всех точках непрерывности этой функции ).

Теорему 6 предыдущего пункта можно теперь формулировать как теорему единственности решения обобщенной задачи Дирихле.

Теорема 1. В данной области при заданной граничной функции 〃(С) существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

осью х и касательными к С в точке 号丸осью х и касательными к С в точке 号丸Решение обобщенной задачи Дирихле с помощью одного приема можно свести к решению обычной задачи; для простоты мы ограничимся случаем односвязных областей. Обозначим через 〃-(厶)и u+(^) предельные значения граничной функции 〃(寸)при 以 стремящейся к точке 寸丸 вдоль С соответственно в положительном и отрицательном направлениях, через hh = u+(^) — /(寸丸) мы обозначим скачок 〃隽)в точке 嘉. Для общности предположим, что 寸丸 является угловой точкой контура С и через 屮底 и (р+ обозначим у^лы между

осью х и касательными к С в точке 号丸

осью х и касательными к С в точке 号丸

(рис. 97); пусть еще а尼=屮力——屮£ (если ^ не является угловой точкой, то ал = —л). Возьмем функцию uk(z) = — arg(z — ^ft), где arg обозначает надлежащим образом выбранную ветвь аргумента. Эта_функция, очевидно, гармонична в области D и непрерывна в D всюду, кроме точки 寸=寸鼠 Если z-> ^А по пути, касательная к которому в точке ^ составляет с осью х угол 0 (значение 0 заключено между (р£ и 屮^), то эта функция стремится к пределу — 0. При переходе по кривой С в положи-

тельном направлении через точку 寸丸 функция 〃丸(С) испытывает,

<ледовательно, скачок — фJ

Пусть теперь 〃⑶ будет решение обобщенной задачи Дирихле при заданных граничных значениях 〃(€)• Рассмотрим функцию

u⑵="⑵一£祭arg (z -厶)；⑵

用=1尼

самомсамомделе, в D.деле, в D.она гармонична в области D и непрерывна в D. В

самом

самом

деле, в D.

деле, в D.

и (z) и все функции uk (z)=警 arg (z —寸尼)гармоничны Далее, предельные значения U(z) при 2—> 二芒寸在 равны

и функция U(g) остается непрерывной при переходе через каждую точку 厶，ибо при построении U(g) мы вычитаем из функции 〃&), имеющей скачок 几 в точке g* функцию 〃丸(g), имеющую тот же скачок, а остальные члены суммы (3) непрерывны в этой точке.

Таким образом, действительно, решение обобщенной задачи Дирихле 〃(z) можно представить как сумму функции U(z), решающей задачу Дирихле с непрерывными граничными зна

чениями 。隽)= 〃(？一 X uk (^), и функции 2 uk (z):

〃(z) = U(z) + E 礬arg(zT)(4)

仁1 k

По теореме 1 найденное решение единственно.

Из формулы (4) вытекает следующая теорема, выясняющая поведение обобщенного решения в окрестности точек 己丸・

Теорема 2. При приближении z к точке разрыва ^ граничной функции 〃(£) вдоль различных путей решение 以(z) обобщенной задачи Дирихле может стремиться к любому пределу^ заключенному межdу 〃-(己耳)u 〃+(己耳).

Действительно, пусть z—*己丸 вдоль пути, касательная к которому в точке 己丸 составляет с осью х угол 0. Из формулы (4) следует, что 〃⑶ при этом стремится к пределу

и^ = й^ + ^,(5)

где й(^й) — предельное значение суммы U(z) и всех функций 〃v(z), кроме 〃丸(z), не зависящее от способа приближения z к точке ^й- В частности, приближаясь к точке 瀛 вдоль кривой С в отрицательном направлении, получим(С月)=〃 (С月)+ 警屮

так что формулу (5) можно переписать в виде

旬⑴="+(歸+^(8-唠)•

Отсюда и следует утверждение теоремы 2 (см. рис. 97).

Перейдем к решению задачи Дирихле для произвольной односвязной области О, причем сначала рассмотрим случай, когда D представляет собой единичный круг |z| V 1. Для этого случая решение основывается на следующей лемме:

Лемм st. .Пусть действительная функция U(z, g), где

z = re即，g = e", 0 ^ r < 1, 0 ^ qi, / < 2n,

непрерывна 〃 неотрицательна.

для любого z

2л

-^J U(z,^dt=\,⑹

О

пРи 之一=或% ^-любая точка окружности) 〃а， функция U (г, С) стремится к нулю, причем равномерно относительно g*)..

Тогда для любой действительной функции 〃隽)，кусочно-не- прерывной с точками разрыва первого рода, s любой точке ее непрерывности go существует предел

2л

lim ~ f u^U{z,^dt = u^.⑺

2今电"y

Для доказательства мы прежде всего воспользуемся условием 2) и представим разность между интегралом в левой части (7) и его предполагаемым пределом в виде

2л

A=^J {u^-u^U{z,Qdt.、 Зададимся числом e > 0 и, пользуясь непрерывностью 〃隽)в точке go, выберем 6 > 0 так, .чтобы при |/ — /о| <26 было |〃，白)一и (Со) I < < е (рис. 98). Имеем:дг Г& 2л J 十 2л J ，|t-tttl <26|f-te|>26берутся по тем дугам единичной окружности, дляA=^J {u^-u^U{z,Qdt.、 Зададимся числом e > 0 и, пользуясь непрерывностью 〃隽)в точке go, выберем 6 > 0 так, .чтобы при |/ — /о| <26 было |〃，白)一и (Со) I < < е (рис. 98). Имеем:дг Г& 2л J 十 2л J ，|t-tttl <26|f-te|>26берутся по тем дугам единичной окружности, дляРис. 98.Рис. 98.丁、上。

A=^J {u^-u^U{z,Qdt.

、 Зададимся числом e > 0 и, пользуясь непрерывностью 〃隽)в точке go, выберем 6 > 0 так, .чтобы при |/ — /о| <26 было |〃，白)一и (Со) I < < е (рис. 98). Имеем:

дг Г

& 2л J 十 2л J ，

|t-tttl <26|f-te|>26

берутся по тем дугам единичной окружности, для

A=^J {u^-u^U{z,Qdt.

、 Зададимся числом e > 0 и, пользуясь непрерывностью 〃隽)в точке go, выберем 6 > 0 так, .чтобы при |/ — /о| <26 было |〃，白)一и (Со) I < < е (рис. 98). Имеем:

дг Г

& 2л J 十 2л J ，

|t-tttl <26|f-te|>26

берутся по тем дугам единичной окружности, для

Рис. 98.

Рис. 98.

где интегралы

■аргументов точек которых выполнены соответстзующие неравенства. Применяя к первому из них известную из анализа теорему о среднем **) и снова пользуясь условиями 1) и 2), мы получим:

，盡 J {u^-u^U(z, Qdt <

I л <26

' <券 J UQ/)山 V*J UQy)G = £. (8) |t-te| <2d0

Теперь предположим, что |屮一％|V6, тогда для всех зна・ чений t из интервала |/ — /01 > 2d будем иметь |ф — /| > б 睞 в силу условия 3) найдется такое число р < 1, что для этих 力 и г > 1 — р выполняется неравенство U(z, 9 V £ (см. сноску на стр. 218). Таким образом, для всех z из области, заштрихо* ванной на рис. 98 (для которых |ф —力|<6, г > 1——р), буде№ иметь:

击 J {и^-и (“)} и (z, g)或〈爵・2М (2л -泌)< 2еМ, (9>

I f ■—f@ I > 26

где M — максимум |u(^) | на окружности. Объединяя полученные неравенства (8) и (9), найдем, что для всех z из заштрихованной области IД| & (1 4- 2Л4)е, и наша лемма доказана.

Перейдем к решению задачи Дирихле для круга. Для этого заметим, что функцию U(z,白) леммы можно получить геомет* рически, как действительную часть конформного отображения круга 121Vl на правую полуплоскость Re w > 0:

u(z, g) = Re 尹上= 1 *~5 1.(10)

、力‘工-2 ［工一Z|21 — 2r COS (/ _ 0)+ г2 、/

2л2л J 工一2о2л2л J 工一2оВ самом деле, справедливость свойств 1) и 3) для нее очевидна, а 2) получается отделением действительных частей равенства

2л

2л J 工一2о

2л

2л J 工一2о

1 Г 1±£ 生—1而 J S-г С —

IС 1=1

которое просто доказывается по теореме о вычетах п. 23 (функция «'j^y 叩"2 =/= 0 имеет в единичном круге два полюса： 工=0 с вычетом —1 и ^ = 2 с вычетом 2； при 2 = 0 равенства тривиально).

Теперь уже нетрудно доказать, что решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дает интеграл (С. П у а с- сон*), 1823 г.)

2л

“(z)=Wr J 2)ic』彳戸dt (2 = re 抑).(11>

В самом деле, функция и(2), определяемая интегралом (11)> является действительной частью функции

2Я

f ⑵=去 J “ (0 泮 dt + iC (匕=e"),(12>

0

*) Симеон Пуассон (1781—1840)—французский физик и математик.

которая аналитична в единичном круге по теореме 4 п. 16; следовательно, 4(%) гармонична в единичном круге. Она ограничена, ибо из (11) следует

2л

[и (z) I &X—' 〃 г г—；—2* dt = M,

' / и J 1 — 2r cos (^ — (p) + r2，

0

где M — максимум | 噁)| на окружности (мы воспользовались свойством 2) функции (10)). Наконец, по предыдущей лемме, при z, стремящемся к любой точке С непрерывности и(^), функция 〃(2) стремится к и(^), что и требуется.

Теперь нетрудно доказать разрешимость обобщенной задачи Дирихле и для произвольной односвязной области.

Теорема 3. Для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции и(^) решение обобщенной задачи Дирихле существует,

В самом деле, по основной теореме п. 28 существует конформное отображение w = w(z} области D на единичный круг |ш| < 1. Заданные на границе D кусочно-непрерывные значения 4 (С) переходят в кусочно-непрерывные на единичной окружности значения u\z(^} = U(®), где z = z(w) — функция, обратная к w — w(z). По этим граничным значениям с помощью интеграла Пуассона (11) можно построить гармоническую в круге |з| 之 1 функцию U(w). Тогда, по теореме 11 п. 41, функция

u(z) = U [ш (z)].(13)

будет гармонической в области D. Она ограничена вместе с 0(з), и при z, стремящемся к точке 白 непрерывности заданной функции u(t), стремится к значению 以(白)=С/[з(白)],ибо при этом точка ш = ш(z) стремится к точке (о = ш(^) непре^ рывности функции U((o). Таким образом, функция (13) дает решение обобщенной задачи Дирихле для области 力,и теорема (3) доказана.

Если граница С области D не имеет бесконечных ветвей и обладает непрерывной кривизной, то решение обобщенной задачи Дирихле можно выразить замкнутой формулой. Для получения этой формулы фиксируем произвольную точку 2о области D и обозначим через

3 = f(2, %); f (z0, z0) = 0(14)

функцию, реализующую отображение D на единичный круг |©| V 1. Переходя, как при доказательстве теоремы 3, к плоскости ш, мы можем представить решение задачи Дирихле с помощью интеграла Пуассона. В частности» пользуясь обо-

значениями, введенными в этом доказательстве, в центре круга о/ = 0 мы получим:

2л

^(0)=^1 U^dx = ^ J U(s)do, (15)

0I co [=1

где(o = 6江 и de = dx — элемент длины окружности |(о | = 1.

В наших условиях, по теореме 1 п. 29, функция (14) обладает непрерывной производной на границе и, следовательно, du=| Г (С； %) @,

где 曲一элемент длины С, соответствующий du. Обозначим через dn элемент внутренней нормали к С и через — dp соответствующий ему элемент радиуса окружности |(о| = 1； тогда будем иметь |产(白,2°) |dn = —dp. Так как р = |f(C> ^о) I ~ I на С, то можно напнсать^р =-^~ = d In р и (厂(白;г0) | =——^~ = =dn=~dn^n "p" где -^- означает производную в направлении внутренней нормали к С. Подставляя это в найденное выше выражение для du, находим:

d^=^m^ds-(⑹

Теперь остается в формуле (15) возвратиться к переменной г. Учитывая нормировку (14), по которой точке 5 = 0 соответствует г0, и соотношение (16), мы получаем:

〃(％=击 1ы^^1пжЬу| ds- (17) с

Функция

g(z；&)=inm53r(⑻

называется функцией Грина для области D, она, очевидно, гармонична всюду в D, кроме точки 西，где имеет полюс. Вводя в (17) эту функцию и заменяя г0 на г, мы получаем искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле: (Дж. Грин*), 1828 г.):

〃⑵ Tj〃(D 骂—S(19)

(-^-— производная в направлении, внутренней нормали).

Формула Грина выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т. е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. Оказывается и обратно, если для некоторой области D известно решение задачи Дирихле, то можно построить конформное отображение этой области на единичный круг.

В самом деле, по основной теореме такое отображение w = = f(z;z()), f(z(), z()) = 0 существует. Предположим сначала, что мы знаем это отображение, и рассмотрим функцию

尸⑵=尝耍，尸(z。) = lim 巻輕=/，& a).

Она, очевидно, аналитична и отлична от нуля всюду в области D (функция f (z, zo) равна 0 лишь при z = г0, a fz(z, z0) =# 0 в силу конформности отображения). Поэтому функция U(z)= =ln|F(z) I - гармонична в области D, Ее значения на границе С этой области

U (? = In I 步 Zo) I = ln •

не зависят от вида функции f(z, z。), ибо |f (?, z0) | = 1 на С.

Предположим теперь, что функция f (z, zo) неизвестна. По заданным граничный значениям гармонической функции U(Q мы можем однозначным образом восстановить значения U(z, внутри D (задача Дирихле). Затем с помощью интегрирования восстанавливаем сопряженную гармоническую функцию V(z); она находится с точностью до постоянного слагаемого а. Таким образом, мы находим функцию lnG(z)= U(z) +№(z)+i* а затем и искомое конформное отображение

f (z, zj = (z — zj eG ⑵=£匕(z — zj eu 3)+w ⑵.(20)

Оно определяется с точностью до поворота, что соответствует принятым условиям нормировки.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны^ они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

Задача отображения области D на полосу 0 < и < 1:

5 = f (z)； / ⑵)=—8； f ⑵)=0, f ⑵)=8,

еще более просто сводится к обобщенной задаче Дирихле. Мы находим гармоническую функцию v(z) по условиям: и(^) = 0 на дуге 2^223 границы С и и(^) = 1 на остальной части С, затем находим сопряженную к ней функцию 〃(z), удовлетворяющую условию 〃(之2)= 0・ Функция f(2)= 〃(之)+iu(z) и есть искомая.

Примеры. Дополнения. 1) И нтегр ал Шварца. Интеграл (12) предыдущего пункта

2л

f⑵=嘉丿 u^^dt + iC (g = e"),(1)

где C — действительная постоянная, решает следующую задачу: найти аналитическую в круге |z| V 1 функцию, действительная часть которой на окружности принимает заданные значения 〃隽) в каждой точке непрерывности функции 〃 (匕) (Г. Шварц, 1869 г.).

Действительно, по теореме единственности решения задачи Дирихле действительная часть и(2) функции /(2) вполне определяется своими граничными значениями, а из уравнений Коши——Римана следует, что тогда мнимая часть и(2)этой функции определена с точностью до постоянного слагаемого. Таким образом, формула (1) при различных С содержит все решения поставленной задачи.

Полагая в этой формуле 2 = 0 и пользуясь теоремой о среднем, получим, что член с интегралом равен и(0); мы можем, следовательно, утверждать, что постоянная С = у(0).

Отделяя в интеграле Шварца мнимые части, мы получим выражение гармонической функции v(z) через граничные значения сопряженной к ней функции:

2л

岁⑶=嘉J " e')"意炸％ dt + С⑵

о.,

Если мы воспользуемся методом п. 41 для восстановления аналитической функции по ее действительной части (формула (9) п. 41), то получим интеграл, решающий ту же задачу, что и интеграл Шварца, но несколько отличающийся от него. В соответствии со сказанным в п. 41 положим 2 = 0; тогда будем иметь:'

产=炉 + 严=冬 -3 х 0,

(как и выше, мы считаем z = re'Q 白=е"). Подставляя это в интеграл Пуассона

2л

и (х, у) =「и -.-л 2―或，

2л J 、 7 1 + г2 — 2r cos (q> — 0.

по формуле (9) п. 41 получим:

f⑵=2〃修，言)一画=! J 〃居)77^-丽，

или окончательно

〃2)==J竿缪•一両(3)

)С 1=1

Задача Дирихле для полуплоскости. Пусть на действительной оси задана функция 〃(/), ограниченная и с конечным числом точек разрыва; пусть еще пределы 〃(/) при /-> ±оо существуют и конечны. Для того чтобы найти значение в точке z гармонической в верхней полуплоскости функции 〃(％), принимающей заданные значения на оси, мы совершим конформное отображение

полуплоскости Im ^ > 0 на круг |(о| < 1. Так как точка 之 переходит при этом в(о == 0, то по теореме о среднем

2Л

(4)(4)^^^ij U®)d*

(4)

(4)

О

точки на окружности:точки на окружности:где 〃也(s)]=U(s), а т —аргумент

точки на окружности:

точки на окружности:

/ — 2/ — 2Дифференцируя последнее равенство,Дифференцируя последнее равенство,丿2y dtоткуда dx= (i_z){t^丿2y dtоткуда dx= (i_z){t^2y dt2y dt2〃находим eixd% = « 二产 %2〃находим eixd% = « 二产 %(/ 一 х)2 +『；перейдя в (4) к старым(/ 一 х)2 +『；перейдя в (4) к старымпеременным г и /, найдем окончательно интеграл Пуассона для верхней полуплоскости:переменным г и /, найдем окончательно интеграл Пуассона для верхней полуплоскости:

/ — 2

/ — 2

Дифференцируя последнее равенство,

Дифференцируя последнее равенство,

丿2y dt

откуда dx= (i_z){t^

丿2y dt

откуда dx= (i_z){t^

2y dt

2y dt

2〃

находим eixd% = « 二产 %

2〃

находим eixd% = « 二产 %

(/ 一 х)2 +『；перейдя в (4) к старым

(/ 一 х)2 +『；перейдя в (4) к старым

переменным г и /, найдем окончательно интеграл Пуассона для верхней полуплоскости:

переменным г и /, найдем окончательно интеграл Пуассона для верхней полуплоскости:

(5)(5)"(2)=打u(力(/一*逹•

(5)

(5)

Так как, очевидно, =ре!

то можно написать и интеграл Шварца для полуплоскости:

⑹

где С — действительная постоянная. Следует, однако, иметь в виду, что в то время как интеграл (5) сходится для ограниченных функций 〃(f), для сходимости интеграла (6) недостаточно ограниченности 〃(/)). Для сходимости этого интеграла достаточно, например, чтобы функция u(t) при |/|-> оо стремилась к нулю не медленнее, чем 1/|/|а, где а>0 — произвольная постоянная.

Приведем несколько примеров. Непосредственно по формуле (5) получаем гармоническую в верхней полуплоскости функцию, равную 1 на отрезке (а, 0) действительной оси и 0 на остальной части этой оси:

〃⑶=! J(―聲疗=т (arctg 号-arctg. a -

Если ввести углы ср® и 屮丛 образованные векторами г — а и г ——р с действительной осью 居 то можно написать:

/、屮厂屮a/、屮厂屮a(О л(О л(7)(7)

/、屮厂屮a

/、屮厂屮a

(О л

(О л

(7)

(7)

Таким образом, функция под которым отрезок а0Таким образом, функция под которым отрезок а0(из рис. 99 видно, что Фр =(ра +(о). и(г) равна деленному на л углу з, виден из точки г. Формула Шварца здесь также применима и она дает

Таким образом, функция под которым отрезок а0

Таким образом, функция под которым отрезок а0

Пусть теперь заданы точки 〃1, 〃2, • • • » ап (—00 < 〃1 < “2 V • • • .…V V 8) действительной оси и требуется найти гармоническую в верхней полуплоскости функцию 〃(之),принимающую на отрезках (—оо, at), (〃1,〃2), •. -, (ап, оо) постоянные значения 〃°, 〃力..•, wn соответственно. Задача решается применением •формулы (7):

или, после перегруппировки членов,

a(N)—〃i) +— 〃2)+ …+ -^(ип-{ — urt) + ип.⑼

Вывод интеграла Шварца — Кристоффеля. В качестве примера применения полученных формул приведем вывод интеграла Шварца — Кристоффеля, значительно более простой, чем в п. 37; мы сохраняем принятые там обозначения. Рассмотрим гармоническую в верхней полуплоскости функцию

и (?) = arg У (2) = Im In『(z).

Из геометрического смысла производной конформного отображения мы заключаем, что на отрезках (——8,3), (〃1,〃2), • • • ...,(ап, оо) эта функция принимает постоянные значения 〃о, 〃卜...,〃冗，ибо эти отрезки переходят в прямолинейные отрезки—стороны многоугольника. На отрезках (—оо,%> и (ап, оо) значение и^ = ип = а —— л = 0, где а — угол отрезка А[Ап с осью 〃. При переходе через точку ak функция u(t) увеличивается на (1——а&)冗,ибо отрезок Л^Лй+1 получается из отрезка Лй-Лй поворотом на этот угол против часовой стрелки (см. рис. 80), следовательно, 〃”i — 〃女=(о^ ——1)л. По формуле (9) находим тогда:

w ⑵=(О1 — 1) Ф1 + («2 — 1)фг+ • • • + (ап — 1) ф“ + е =

.=0 + £ (а* — 1) arg (z — *).

А=1

По известной мнимой части легко восстанавливается и аналитическая функция

In f (z) = In Со + Z0 + 七(融一l)ln(z — аА),2г=1

откуда потенцированием и интегрированием находится искомое конформное отображение

z

f (z) = С^ J(z-生卢7 (z - &)%т • ：. (z _ а“)％т dz + & (10)

(Со — положительная, Ci — комплексная постоянная).

И н т ег р а л Шварца для полосы — й < Im z < А. Интеграл Шварца для круга |д| V 1 имеет вид:

尸®)=E『U(s)^dt + iC,(П)

где (о = е'т (см. формулу (1)). Рассмотрим конформное отображение w = w (z) = th -^~ круга |g|Vl на полосу *-й <；

VlmzV 力，переводящее нижнюю и верхнюю полуокружности соответственно в нижний и верхний берега полосы (см. формулу (5) п. 33) и обозначим 尸[侬(z)] = f(w), U\w(z)} = u(z). Ha нижнем берегу полосы при 已=方——hi имеем:

sh — f.

3 = e" = th^(f — /zi) =力一(―л < т < 0),

Ch

]14ndt Л

откуда т = -г1п и dt =厂.Аналогично на верх- ，ch^泌ch昜

нем берегу(D = eft = th-^-(/ + 力力=^— (0 < т < л), откуда

ch金

d% ="色“厂.Подставляя это в формулу (11), будем иметь:

2% ^ 宣'

*z) =*z) =++s± + t + 5 st + i— f/ts± + t + 5 st + i— f/tdtdt+ &+ &

*z) =

*z) =

+

+

s± + t + 5 st + i— f/t

s± + t + 5 st + i— f/t

dt

dt

+ &

+ &

где u± (/) обозначают значения 〃(？ в точках 白=才±£力，st п ct — гиперболические синус и косинус ~^, tz = th . После простых преобразований получаем окончательно ):

Г 〃+ (/) + 〃一 (/)吊 丄 ch^(/-z)

sh元sh元Ц+ (0 —(0ch包ch亘‘二五2九5 2九Ц+ (0 —(0ch包ch亘‘二五2九5 2九dt + ZC.dt + ZC.(⑵(⑵

sh元

sh元

Ц+ (0 —(0

ch包ch亘‘二五

2九5 2九

Ц+ (0 —(0

ch包ch亘‘二五

2九5 2九

dt + ZC.

dt + ZC.

(⑵

(⑵

Для полосы 0 < г/ < 1 эту формулу можно переписать также в виде

f(Z)=—专 J Ио ⑴ cth 兀《尸L dt +

+ 4 J "I G) th 迎戸■"/ + »&. (13)

5)① ормула Чизотти (1921 г.) дает выражение для конформного отображения w = f(z) круга |г| < 1 на произвольную односвязную область D, ограниченную контуром С, если в каждой точке z = е〃 окружности известен угол наклона5)① ормула Чизотти (1921 г.) дает выражение для конформного отображения w = f(z) круга |г| < 1 на произвольную односвязную область D, ограниченную контуром С, если в каждой точке z = е〃 окружности известен угол наклонаРис. 100.Рис. 100.^ = ^(^) касательной к С в точке ш, соответствующей z. Пусть dz = =ieu dt и dw = \dw\e^ — элементы окружности и кривой С, соответствующие друг другу при нашем конформном отображении, тогда на окружности / 器- = е» 妙一')」^ ' • Так как f(z) реализует конформное^ = ^(^) касательной к С в точке ш, соответствующей z. Пусть dz = =ieu dt и dw = \dw\e^ — элементы окружности и кривой С, соответствующие друг другу при нашем конформном отображении, тогда на окружности / 器- = е» 妙一')」^ ' • Так как f(z) реализует конформноеотображение, то ..Г. dw *] ция 一"叫"отображение, то ..Г. dw *] ция 一"叫"嚼-方 0 и функ-嚼-方 0 и функ-правильна в кругеправильна в кругеее действительная С другой стороны,ее действительная С другой стороны,|Z| VI,|Z| VI,часть на окружностичасть на окружностипричем по предыдущемупричем по предыдущему|z| = 1 равна 今——t.|z| = 1 равна 今——t.ний ясно, что на окружностиний ясно, что на окружностииз элементарных геометрических соображе-из элементарных геометрических соображе-

5)① ормула Чизотти (1921 г.) дает выражение для конформного отображения w = f(z) круга |г| < 1 на произвольную односвязную область D, ограниченную контуром С, если в каждой точке z = е〃 окружности известен угол наклона

5)① ормула Чизотти (1921 г.) дает выражение для конформного отображения w = f(z) круга |г| < 1 на произвольную односвязную область D, ограниченную контуром С, если в каждой точке z = е〃 окружности известен угол наклона

Рис. 100.

Рис. 100.

^ = ^(^) касательной к С в точке ш, соответствующей z. Пусть dz = =ieu dt и dw = \dw\e^ — элементы окружности и кривой С, соответствующие друг другу при нашем конформном отображении, тогда на окружности / 器- = е» 妙一')」^ ' • Так как f(z) реализует конформное

^ = ^(^) касательной к С в точке ш, соответствующей z. Пусть dz = =ieu dt и dw = \dw\e^ — элементы окружности и кривой С, соответствующие друг другу при нашем конформном отображении, тогда на окружности / 器- = е» 妙一')」^ ' • Так как f(z) реализует конформное

отображение, то ..Г. dw *] ция 一"叫"

отображение, то ..Г. dw *] ция 一"叫"

嚼-方 0 и функ-

嚼-方 0 и функ-

правильна в круге

правильна в круге

ее действительная С другой стороны,

ее действительная С другой стороны,

|Z| VI,

|Z| VI,

часть на окружности

часть на окружности

причем по предыдущему

причем по предыдущему

|z| = 1 равна 今——t.

|z| = 1 равна 今——t.

ний ясно, что на окружности

ний ясно, что на окружности

из элементарных геометрических соображе-

из элементарных геометрических соображе-

Re{—iln[—(1 — г)2]} =л + 2arg(l —z)=£

(см. рис. 100, где обозначено arg(l — z)=屮).Поэтому действительная часть правильной в круге |z| 之 1 функции

g(2)= _ i In [—*1 — 2)2警](14)

на окружности \z\= 1 совпадает с 今.Если функция О(£) известна, то функция g(z) восстанавливается с помощью интеграла Шварца

2л

g(z) = } f 6①^^成 + 諸，(15)

где Л——действительная постоянная. Зная g(z), мы из (14) находим и искомое конформное отображение

w = f(z) = i j £：二[? + g.(16)

Вообще говоря, функция 令«) неизвестна, и формула Чи- зотти (16) не дает эффективного решения задачи конформного отображения. Однако эта формула оказывается полезной всякий раз, когда •&(f) можно найти из каких-либо соображений. Например, в задаче отображения круга на многоугольник 今(f) равна известной постоянной на каждой дуге окружности, соответствующей стороне многоугольника, поэтому формула Шварца——Кристоффеля легко получается из формулы Чизотти.

Задача Неймана. Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана ):

Найти гармоническую s области D функцию и (г), зная значения ее нормальной производной на границе С:

需=黑侬a+需sinyg⑵(⑺

и значение 〃(之о) s какой-либо точке 之。области D.

Для определенности мы будем предполагать, что в (17) рассматривается внешняя нормаль, а означает угол, образованный этой нормалью с осью %. Функция g(? может иметь на С конечное число точек разрыва первого рода, функция и и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.

Из теоремы 12 п. 41 следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнение соотношения

Jg©ds = O.(18)

Докажем единственность решения задачи Неймана. Заметим прежде всего, что с помощью вспомогательного конформного отображения z = f(%i) верхней полуплоскости Imzi>0 на область D задача Неймана для D сводится к такой же задаче для верхней полуплоскости. В самом деле, пусть 〃(z) — решение задачи Неймана для области D с заданной граничной функцией g(U). Функция

Ui(Zi) = u[f(Zi)]

гармонична в верхней полуплоскости. Так как при конформном отображении направление внутренней нормали к С переходит в направление положительной оси у、= Imz （всюду, кроме угловых точек контура С, которых по нашему обычному предположению конечное число） и так как отношение элемента длины нормали dn к соответствующему элементу dy{ равно растяжению отображения, т. е. равно |尸（修）|, то на оси x】 = Re厶 имеем:

答=［案［⑺.I f'（/）I = g ［f（/）］• I f'（/）I = gl （x）

Функция gi（%i） непрерывна на оси 修 всюду, кроме конечного числа точек, соответствующих угловым точкам кривой С, и конечного числа точек разрыва функции g［f（修）］;она вполне определяется конформным отображением и заданной граничной функцией. Если теперь, не зная 〃（之），решить задачу Неймана для верхней полуплоскости Imzi > 0 и граничной функции gi（%i）, то очевидно 辽i［屮（之）］,где 2】=屮（之）——отображение, обратное к z = f（zi）, будет являться решением задачи Неймана для области D.

Приведенное рассуждение показывает, что при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область D представляет собой полуплоскость. Предположим, что имеются два решения задачи Неймана 必⑶ и 〃2（2）；тогда их разноеть 〃⑶=%（2）一〃2（2）6удет гармонической в верхней полуплоскости функцией, причем на оси х ее нормальная производная = 0 и в некоторой точке z0 будет 〃（之о）= 0. Функция -|^ гармонична и ограничена в верхней полуплоскости и равна нулю на оси х, т. е. решает для верхней полуплоскости и нулевых граничных значений задачу Дирихле. Так как эту же задачу решает функция тождественно равная нулю, то 黑=0. Но тогда 〃（之）должна быть постоянной ■ и равной нулю в силу условия 〃（之о） = О. Единственность решения задачи Неймана доказана.

В дополнительном предположении непрерывности частных производных в D решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.

Действительно, пусть и ⑶一гармоническая функция, сопряженная с 〃（之），В силу условий Коши — Римана, записанных в точках кривой С для направлений s и 孔（см. конец п. 5）, имеем:

dv dsdv ds0%дп0%дп= g（D・= g（D・

dv ds

dv ds

0%

дп

0%

дп

= g（D・

= g（D・

Зная вдоль С, мы непосредственным интегрированием опре деляем

。©=/黑 ds= Jg 隽)ds.

Теперь разыскание u(w) в области D сводится к задаче Дирихле; зная и (г), мы простым интегрированием найдем и искомую функцию и(г).

Для случая, когда D представляет собой единичный круг, легко получить формулы, дающие решение задачи Неймана. В самом деле, пусть f(z) = и + ш будет решение этой задачи. Полагая z = ге", имеем, очевидно, ff (г) = —^- ^-^- + I -—^-^ или — /U) = — + « — • гдг дг

Отсюда видно, что значения действительной части аналитической функции 胃厂⑵ на единичной окружности совпадают с заданной функцией *^ = g(g). Поэтому zf'(z) можно записать с помощью интеграла Шварца (3):

才(z)=」f生nС J 之一？

"1=1

(мы учитываем, что значение рассматриваемой функции в начале координат равно нулю). Интегрированием получаем:

〃z)= 士 J3 J ^Т-(19)

Меняя порядок интегрирования и вычисляя элементарный интеграл

J 2 (f： %)，= ^ 1П (g -■ 2)+ 器1口2 + COnst,

находим:

f(z)= -* J 辱ln(C —z)W +器 J 平典+ const, "1=1к 1=1

или, учитывая, что согласно (18) J 旦？ 臂=,J g(e〃)df = O, 、f £|=1о

получаем выражение для функции f(z)：

f (z) =^ j g (e“) In (e(z — Z)dt + const. (20)

Отделение действительных частей

дает искомую формулу

2л

W(2)= — -^ J g (е<7) In I е" — z IЛ + const

О

(Дини),

(21>

45. Метод сеток, Мы приведем здесь наиболее употребительный приближенный метод решения задачи Дирихле, так называемый метод сеток. Обоснование метода сеток было дано в 1924 г. Л. А. Люстерником. Этот метод применим также для решения многих задач математической физики. Мы

поясним идею метода, отсылая за подробностями к специальной литературе.

Метод основан на замене производных, входящих в уравнение Лапласа, соответствующими отношениями конечных разностей. Для достаточно малых, значений /? частные производные функции и (%, у) можно приближенно заменить отношениями разностей

〃(％ + 〃，//) — “ (%, у)А

〃(％,//+〃)一 〃 (爲 у)

(1)

Такие же приближенные выражения можно написать и для производных второго порядка, например:

1 f u (х + 2А. у) и (х-\- h, у) и(х + ht у) — и (х, у)]

аjaa/ =

1

=京{〃(％ + 2九 У)— 2〃(％ + 九 у) + 〃 (х, у)}*

Заменяя для большей симметрии х + А через х, получим:

1

Q 尸 8 (% + 瓦 У)— 2〃(％ у) + и (x — h, у)} и аналогично

“"Q % 8 (% У + 〃)一 2〃 (х, у)^-и(х} у — А)}.

(2>

(3>

Таким образом, уравнение Лапласа

дги дги

О приближенно заме

няется следующим разностным уравнением:

и (х + А, //) + и (х 一 h-> у) -\- и (х^ // + А) + и (х, у 一 А) — 4〃 (х, у) — 0. (4>

Уравнение (4) связывает между собой значения искомой функции в пяти точках, которые расположены, как белые кружки на рис. 101.

Для того чтобы решить задачу Дирихле методом сеток, надо покрыть заданную область D квадратной сеткой с шагом h, как указано на рис. 101. Границу сеточной области следует выбирать так, чтобы она лучше всега приближала границу области D, при этом граничные точки сеточной области- могут лежать как вне, так и внутри D. Заданные на кривой С значения функции и переносятся в граничные точки сеточной области с помощьк>

интерполирования и, следовательно, значения и в таких точках можно считать известными.

Неизвестными считаются значения и во внутренних узлах сетки, для определения которых имеется система линейных уравнений (4). Решив эту систему, мы найдем приближенное решение задачи Дирихле, ибо, как доказал Л. А. Лю- стер ник, при й -> 0 решение разностного уравнения (4) стремится к гармони- веской функции и(х,(/). Доказательство этого предложения читатель может найти в книге И. Г. Петровского [1]. ■

Так как число уравнений системы (4) весьма велико, и эта система снм- метрнина, то ее решение удобнее всего находить с помощью метода итераций. Для этого прежде всего перепишем уравнения (4) в обозначениях, смысл которых ясен из рис. 101,

, (5)

значение функции 〃(工,у) 8 каждом узле сетки равно среднему арифметиче- ■с ко му ее значений в четырех соседних узлах,. После этого зададимся произвольно начальной системой значений и во внутренних узлах сетки (0-снстема) и найдем средние арифметические значений этой системы, причем для некоторых узлов придется использовать и известные значения и в граничных узлах. Построенные средние арифметические будут давать первое приближение (/-система). Затем находим средние арифметические значений первой системы, опять используя для некоторых узлов известные граничные значения и, получим второе приближение (2-система) и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока переход от (及一1) -й системы к 〃-百 не дает изменения в пределах нужной точности. , -

Практическое осуществление вычислений по методу итераций зависит от имеющихся в распоряжении вычислительных средств. Наиболее совершенным средством являются быстродействующие вычислительные машины, которые в очень короткий срок дают решение задачи с весьма большой точностью.

Для проведения вычислений вручную или при помощи малых машин (типа арифмометра) удобно заготовить достаточное число шаблонов. Нулевой шаблон состоит из сетки, подобной заданной, но такой, что ее линии проходят посредине между линиями зада иной сетки, а узлы лежат в центре квадратов. Квадраты шаблона, содержащие граничные точки сетки, обводятся н<ирными линиями, и в них вписываются заданные граничные значения. Остальные шаблоны отличаются от нулевого лишь тем, что в них срезаны квадраты, содержащие граничные данные. Эти шаблоны лучше изготовлять из кальки.

Вычисления ведутся следующим образом.

Внутренние клетки нулевого шаблона заполняются значениями 0-сн- ■стемы. Заметим, что чем ближе эти значения к истинным, тем быстрее сходится итерационный процесс, поэтому правильный выбор (7-системы имеет большое значение.

Первый шаблон накладывается на нулевой так, чтобы соответствующие， клетки находились друг над другом, а клетки этого шаблона заполняются > средними арифметическими значениями (7-системы (с учетом граничных значений, которые остаются непокрытыми первым шаблоном). Для ускорения процесса при подсчете средних арифметических можно использовать найденные значения /-системы — шаблон из кальки хорошо приспособлен для этого, ибо после того как написано значения /-системы, находящееся под ним значение на (7-шаблоне почти не видно.

Второй шаблон накладывается на нулевой и первый, и клетки второго шаблона заполняются средними арифметическими значений /-системы (с учетом граничных значений и уже найденных значений 2-системы). То же де- -лается и с третьим, четвертым и т. д. шаблонами до тех пор, пока следующий шаблон не совпадет в пределах заданной точности с предыдущим. Полученная система значений и есть искомая.

Мы уже говорили, что хотя с принципиальной точки зрения итерационный процесс сходится при любой начальной системе значений ), все же скорость его сходимости существенно зависит от -того, насколько начальная система близка к истинной. Если результат не требует большой точности (3 знака), то для определения начальной системы можно использовать графический метод. Он состоит в том, что заданные на кривой С значения изображают с помощью аксонометрической проекции в виде линии Г в пространстве (х, у, zf; через эту линию проводят на глаз поверхность (лучше всего представить ее как мыльную пленку, натянутую из Г) и снимают с чертежа ординаты этой поверхности над узлами сетки.

Значительно эффективнее -выбирать в качестве начальной системы для метода итераций решение той же задачи, полученное каким-либо более простым приближенным методом. 1

'Среди таких методов особое место занимает так называемый метод аналогий, основанный на использовании моделирующих устройств； физические процессы в которых описываются уравнением Лапласа. Одна из наиболее употребительных аналогий — электрическая — основана на том, что этому уравнению удовлетворяет потенциал электрического поля в тонком плоском

слое проводящего вещества.

Для практического осуществления этого метода обычно изготовляют из какого-либо изолирующего материала границу области, для которой надо решить задачу Дирихле, и укрепляют эту границу в ванне так, -чтобы внутренность области можно было залить слоем электролита. Можно, например, укрепить пластилином по контуру границы области стенки из гибких изолирующих полосок высотой в 1—2 см и залить образовавшуюся область слоем слабо подсоленной воды. Теперь остается сообщить точкам границы потен-

циалы в соответствии с заданнымициалы в соответствии с заданнымиграничными условиями — это делают с по-

циалы в соответствии с заданными

циалы в соответствии с заданными

мощью зажимов из проволок или тонких металлических пластинок, закрепляемых на стенке, к которым подводится напряжение. Распределение потенциала внутри области исследуется при помощи игольчатого зонда. При хорошем выполнении модели и при соблюдении особых мер для уменьшения погрешностей этим методом можно получить точность да 1-2%.

Вместо электрической ванны можно использовать проводящую бумагу (например, бумагу, покрытую тонким слоем графита), которая вырезается по форме заданной области и к границе которой подводятся потенциалы в соответствии с заданными значениями. Этот способ

проще, чем способ электролитической ванны, но менее точен — он дает точность около 5%. Более подробное описание метода аналогий читатель может найти в книге П. Ф. Фильчакова и В. И. Панчишина [5].

Если требуется большая точность (4—5 знаков) и сетка содержит большое

число узлов, а вычисления ведутся вручную, то лучше сначала провести итерационный процесс с более грубой сеткой, составленной из квадратов основной сетки, взятых в шахматном порядке (заштрихованы на рис. 102). На этом этапе можно проводить итерации до совпадения 2—3 знаков. Когда это достигнуто, нужно вернуться к основной сетке и вычислить значения в пустых клетках, отмеченных на рис. 102 косым крестом, как средние арифметические

§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 235 четырех соседних по диагоналям значений, а затем в оставшихся пустых клетках как обычные средние арифметические. Полученную таким образом систему значений принимают за начальную и далее вед^т процесс итераций для основной сетки с полным числом знаков.

Для ускорения процесса итераций разработано большое количество разнообразных приемов, выбор которых определяется особенностью задачи, а также применяемыми вычислительными средствами. При вычислениях на малых машинах наиболее эффективны так называемые релаксационные приемы или методы применения поправок по различным формулам. С этими приемами и методами читатель может ознакомиться, например, по книгам В. Э. М и л- н а «Численное решение дифференциальных уравнений», ИЛ, 1955 или Л. Коллатца «Численные методы решения дифференциальных уравнений», ИЛ, 1953..

Физические представления. Постановка краевых задач

В этом параграфе мы рассмотрим основные физические представления, связанные с теорией функций комплексного переменного. Они относятся к плоским векторным полям различной физической природы (пп. 46 и 47), а также к плоскому напряженному состоянию тела, которое имеет характер более сложный, чем векторный (п. 50).

Эти физические представления, естественно, приводят к приложениям теории функций к различным областям физики. Основное внимание в этом параграфе мы уделяем поста новке соответствующих задач (пп. 48 и 50) с тем, чтобы в дальнейшем изложении дать и конкретные примеры таких приложений. Лишь в п. 49 мы приводим ряд конкретных задач, которые решаются методом конформных отображений.

Плоское поле и комплексный потенциал. Мы будем рассматривать здесь стационарные плоско-параллельные вектор- ные поля. Это означает, во-первых, что векторы поля не зависят от времени, и, во-вторых, что векторы поля параллельны некоторой плоскости So, причем во всех точках любой прямой, перпендикулярной к So, векторы поля равны (по величине и направлению). Очевидно, во всех плоскостях, параллельных S。, картина поля одинакова и, следовательно, поле полностью описывается плоским полем векторов, лежащих в плоскости So. При этом, говоря о точке плоского поля, мы будем иметь в виду бесконечную прямую плоскопараллельного поля, перпендикулярную So и проходящую через эту точку, кривая будет означать цилиндрическую поверхность, а область ——цилиндрическое тело.

Введем в плоскости S。систему декартовых координат (%,'); тогда каждый вектор поля А с компонентами {Дх, Ду} будет характеризоваться комплексным числом

причем компоненты являются известными функциями хну：

4 = 4*(%, у), ^-у — ^-у (-^» у),⑵

или, что то же самое, комплексного переменного z = х -{- iy.

Таким образом, плоские стационарные векторные поля описываются с помощью комплексных чисел и функций комплексного переменного. Более того, в условиях, которые выполняются для наиболее важных практически полей, оказывается возможным построить описывающую поле аналитическую функцию, так называемый комплексный потенциал поля. Благодаря применению хорошо разработанной теории аналитических функций задачи, связанные с такими полями, поддаются наиболее глубокому анализу и удобному для расчетов решению.

Остановимся подробнее на построении комплексного потенциала. Для этого напомним основные понятия векторного анализа плоских полей *). Мы будем, как принято, пользоваться гидродинамической терминологией, хотя все, что мы будем говорить, относится к полям самой различной физической природы.

Потоком векторного поля А через кривую С называется интеграл

^= I (А, п°)ds,(3}

где (А, л°) означает (как и дальше) скалярное произведение вектора поля А и единичного вектора нормали л° к кривой С. Если обозначить через dx и dy дифференциалы вдоль С, т. е. положить s^ ds — dx + i dy, то будем иметь m°ds = —iM ds = =dy — idx, (Atn°)ds = Axdy — Aydx, и формула (3) принимает вид

= j" Ах dy — Ау dx.(4)

Поверхностная плотность потока, т. е. предел отношения потока через замкнутую кривую С к площади S, ограниченной этой кривой, взятый в предположении, что область S стягивается к точке 2, называется дивергенцией, или расхождением поля в точке 2：

div А= lim 4- [ (4 叫曲； (5)

как известно,как известно,m4 = 丁m4 = 丁дАудАу(6)(6)

как известно,

как известно,

m4 = 丁

m4 = 丁

дАу

дАу

(6)

(6)

частные производные равны, соответственно,частные производные равны, соответственно,dvdv一儿，一儿，dv ~дуdv ~ду4・4・⑼⑼

частные производные равны, соответственно,

частные производные равны, соответственно,

dv

dv

一儿，

一儿，

dv ~ду

dv ~ду

4・

4・

⑼

⑼

Точка поля, в которой div А #= 0, называется источником (иногда говорят об источниках лишь в случае, когда div4>0; точку, в которой div А < 0, тогда называют стоком). Если в каждой точке некоторой области D

дАх дАи

divA = —^ + ^- = 0,(7)

то говорят, что поле соленоидально в этой области.

В таком поле поток через любую замкнутую линию % внутренность которой d принадлежит полю, равен нулю—это следует из известной теоремы Остроградского:

j (4, n°) 4/S = J J div Л dS.(8)

сd

По той же теореме поток через любое сечение трубки тока (так называют область, ограниченную двумя линиями тока, т. е. кри

выми, в каждой своей точке касающимися соответствующего вектора поля) одинаков (рис. 103).

Условие соленоидальности (7) показывает, что выражение —Aydx + Axdy является дифференциалом некоторой функции и (%, у), которая называется функцией тока. Это название объясняется тем, что линии уровня функции и (%, у)

являются линиями тока. Действительно, вдоль такой линии уров- ня имеем dv = —Ауах + Ахау = 0, следовательно, ， т. е. направление касательной к этой линии совпадает с направлением вектора А.

Из выражения дифференциала функции и вытекает, что ее

Функция и (%, у) восстанавливается (с точностью до постоянного слагаемого) по своему полному дифференциалу dv с помощью интеграла

Z

(10)(10)и (%, у) = J — Ау dx + /% dy + const.

(10)

(10)

В силу условия (7) этот интеграл в односвязной области D не зависит от пути и, следовательно, определяет однозначную функцию, а в многосвязной области обладает циклическими постоянными и определяет многозначную функцию).

В соленоидальном поле поток через линию С согласно формулам (4) и (10) равен приращению функции тока в концах С:

N= с~ Aydx + Axdy= J cdv = v(z^ — v(z^),(11)

при этом, если область D многосвязна, следует брать ветвь и (г), непрерывную на линии С.

Далее, циркуляцией поля вдоль замкнутого контура С называется интеграл вида

г= J (A, s0)ds= ^Axdx +Ay dy.(12)

Сс

Поверхностная плотность циркуляции, т. е. предел отношения циркуляции вдоль кривой С к площади S, ограниченной этой кривой, взятый в предположении, что S стягивается к точке г, называется ротором или вихрем поля **) в точке 2

rot 4= lim W f (A, s°) ds;(13)

как известно, дАи дАх

МТ-亨(14)

Точка поля, в которой rot А =# 0, называется вихревой точкой, или, короче, вихрем поля. Если в каждой точке некоторой области D

дАу дАх

可=。，(15)

то говорят, что поле является в этой области безвихревым, или потенциальным.

В таком поле циркуляция вдоль любой замкнутой линии с, внутренность d которой принадлежит полю, равна нулю — это следует из известной формулы Римана ——Грина

J (A, s°) ds = J J rot A dS.(16)

сd

Условие потенциальности (15) показывает, что выражение Axdx + Aydy является дифференциалом некоторой функции 辽(尤，у), которая называется потенциальной функцией или потенциалом поля. Это название объясняется тем, что из соотношения Axdx + Aydy = du вытекает

4&=瑞，(⑺

или, что то же самое,

4 = grad 辽

(скаляр и по отношению к своему градиенту А и называется потенциалом). Потенциальная функция восстанавливается по своему дифференциалу с помощью интеграла

и (х, у) — J ^ Лх dx + Лу dz/ + const.(18)

В силу условия (15) этот интеграл в односвязной области D не зависит от пути, а в многосвязной области обладает циклическими постоянными.

Если в области D поле одновременно является и соленоидальным и безвихревым, т. е. в ней выполнены условия (7) и (15), то из сравнения формул (9) и (17) мы получаем:

曲=也业=一也(⑼

дх ду *ду дх '' 丿

а это — уравнения Коши — Римана. Таким образом, доказана Теорема 1. 8 плоском поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются сопряженными гармоническими функциями.

Отсюда вытекает, в частности, что в таком поле линии тока и линии равного потенциала образуют ортогональные семейства; совокупность этих семейств иногда называют сеткой поля. Функция комплексного переменного

f(2)= а (%, у) + iv(X, у)(20)

называется комплексным потенциалом поля ——это и есть описывающая поле аналитическая функция, которую мы хотели построить. Из предыдущего вытекает, что если поле занимает многосвязную область (например, .имеет источники, или вихри, которые приходится исключать из области для возможности нашего построения), то комплексный потенциал может оказаться и многозначной функцией.

С помощью комплексного потенциала выражаются все основные величины, характеризующие поле. Например, по формулам

(17), (19) и формуле для производной аналитической функции из п. 5 находим вектор поля

4=黑+，器=黑RD

Отсюда вытекает, между прочим, что производная комплексного потенциала всегда однозначна.

Далее,『⑵ dz = (4工 ——iAy) (d% + t dy), следовательно, формулы (4) и (12) можно переписать в виде

2V=Im J f'{z)dz, Г = Re j fz (z) dz.(22)

cc

Объединяя обе формулы, получаем:

r + /2V= J f'(z)dz.(23)

'Приведем несколько примеров простейших плоских полей.

Источник. Пусть в поле имеется единственный точечный источник, расположенный в начале координат; вихри отсутствуют ). Из соображений симметрии ясно, что вектор поля имеет вид

4 = 9(",(24)

где г = |%| ——расстояние точки от начала координат и г° = =z/|z|—единичный вектор, направленный из начала к точке z. Поток вектора через любую окружность |%| = г с центром в начале равен

N = J (А, г°) ds = ф (г) • 2”.

i г !—г

Этот поток не должен зависеть от радиуса, ибо по формуле Остроградского (8), примененной к кольцу 门 V|r|Vr2, мы получаем:

J (А, г°) ds — J (А, г°) ds = JJ div 4 ds = О,

I 2 1=Г21切==门Г, < I Z I < Г2'

так как в этом кольце отсутствуют источники и, следовательно, div А — 0. Отсюда следует, что величина N постоянна и, значит,

(25)(25)学（"=备

(25)

(25)

Число ^ называют интенсивностью источника. Подставляя это значение в формулу (24), получаем вектор поля в виде

N2лгN2лг^ г^ гN 1N 12冗 I г |2 — 2冗 г2冗 I г |2 — 2冗 г(26)(26)

N

2лг

N

2лг

^ г

^ г

N 1

N 1

2冗 I г |2 — 2冗 г

2冗 I г |2 — 2冗 г

(26)

(26)

циалациалаПо формуле (21) находим производную комплексного потен

циала

циала

f⑵=是

и, следовательно, сам комплексный потенциал имеет вид

f(z)=备 Lnz + c.(27)

Отделяя действительные и мнимые части, получаем потенциальную функцию и функцию тока:

u = -^\n\z\+ clt v= — Argz + c2.(28)

На рис. 104 (и следующих) сплошными линиями указаны линии тока и пунктиром — линии равного потенциала.

2) Вихрь, чим, что вектор2) Вихрь, чим, что векторСовершенно такими же соображениями полуполя точечного вихря, расположенного в началеСовершенно такими же соображениями полуполя точечного вихря, расположенного в началекоординат, равенкоординат, равенГ i2冗zГ i2冗z(29)(29)

2) Вихрь, чим, что вектор

2) Вихрь, чим, что вектор

Совершенно такими же соображениями полуполя точечного вихря, расположенного в начале

Совершенно такими же соображениями полуполя точечного вихря, расположенного в начале

координат, равен

координат, равен

Г i

2冗z

Г i

2冗z

(29)

(29)

где постоянная Г — интенсивность вихря, т. е. циркуляция вектора А по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь (рис. 105). Комплексный потенциал отличается от предыдущего

множителем i, потенциальная функция и функция тока меняются местами:

/⑵=^l"" + g " = "^Arg2i + ci，ин 一击 1川2]+6.(30)

3) Вихреисточник. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности N и вихрь интенсивности Г. Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (26) и (29) и, соответственно (27) и (30):3) Вихреисточник. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности N и вихрь интенсивности Г. Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (26) и (29) и, соответственно (27) и (30):106.106.4 =4 =f（2）=f（2）=" +厅1" +厅12л"一江2л2л"一江2л2，2，(31) Ln z + c.j(31) Ln z + c.jЛинии тока и линии равно- "го потенциала в полярных координатах 2 = ге^ представляются соответственно уравнениями'ГЕ'-"屮I П91ДПпг+Г(р = с2. / I 丿Линии тока и линии равно- "го потенциала в полярных координатах 2 = ге^ представляются соответственно уравнениями'ГЕ'-"屮I П91ДПпг+Г(р = с2. / I 丿4) Диполь, сивностей 士М4) Диполь, сивностей 士МЭто — ортогональные семейства логарифмических спи* ралей (рис. 106).Это — ортогональные семейства логарифмических спи* ралей (рис. 106).Рассмотрим систему источника и стока днтен- расположенных соответственно в точках Z\ =Рассмотрим систему источника и стока днтен- расположенных соответственно в точках Z\ ==—h, 22 = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока=—h, 22 = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока

3) Вихреисточник. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности N и вихрь интенсивности Г. Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (26) и (29) и, соответственно (27) и (30):

3) Вихреисточник. Предположим, что в начале координат сосредоточены источник интенсивности N и вихрь интенсивности Г. Вектор поля и комплексный потенциал получаются сложением выражений (26) и (29) и, соответственно (27) и (30):

106.

106.

4 =

4 =

f（2）=

f（2）=

" +厅1

" +厅1

2л

"一江2л

2л

"一江2л

2，

2，

(31) Ln z + c.j

(31) Ln z + c.j

Линии тока и линии равно- "го потенциала в полярных координатах 2 = ге^ представляются соответственно уравнениями'

ГЕ'-"屮I П91

ДПпг+Г(р = с2. / I 丿

Линии тока и линии равно- "го потенциала в полярных координатах 2 = ге^ представляются соответственно уравнениями'

ГЕ'-"屮I П91

ДПпг+Г(р = с2. / I 丿

4) Диполь, сивностей 士М

4) Диполь, сивностей 士М

Это — ортогональные семейства логарифмических спи* ралей (рис. 106).

Это — ортогональные семейства логарифмических спи* ралей (рис. 106).

Рассмотрим систему источника и стока днтен- расположенных соответственно в точках Z\ =

Рассмотрим систему источника и стока днтен- расположенных соответственно в точках Z\ =

=—h, 22 = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока

=—h, 22 = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой системы найдется сложением потенциалов источника и стока

九⑵= *Ln(z + /i)-*Lnz(33)

(мы воспользовались формулой (27) и ее очевидным обобщением на случай, когда источник расположен не в начале координат; постоянное слагаемое мы не учитываем).

Рассмотрим теперь предельное образование, которое получается из нашей системы, когда h—>0 и одновременно N—*оо так, что Nh —* р,——оно называется точечным диполем с моментом р (рис. 108). Комплексный потенциал поля точечного диполя находится предельным переходом в- формуле (33) при Л—>0:

с /、1-Ln (г + Л) — Ln г р dр /Ол\

/⑵=]蜀亏^A=后方"2 =京.(34)

На рис. 108 изображены линии тока и линии равного потенциала—это прообразы линий Imw = с^ и ^ew = с2 при отображении з = т. е. окружности, касающиеся координатных осей.

Рис. 107.Рис. 107.

Рис. 107.

Рис. 107.

P(G)f 8 так, что плотностью моменP(G)f 8 так, что плотностью момен

P(G)f 8 так, что плотностью момен

P(G)f 8 так, что плотностью момен

Простой сл ой. Предположим, что источники расположены на некоторой линии С с линейной плотностью p(g)). Обозначая 厂=|g一г|, по формуле (28) получим потенциал от элементарного источника p(g)曲，расположенного в точке g, в виде -堂)In 厂 ds. Интегрируя, получим потенциал простого слоя

"(z)=*Jp(?ln'ds.(35)

С

Двойной с л ой. Предположим, что наряду с линией С,

несущей источники .с плотностью p(g), имеется линия С', кото

рая получается из С, если на всех нормалях к ней в определенную сторону отложить малые отрезки постоянной длины ft. Пусть плотность распределения источников на О такова,, что на ее элементе длины d『 расположен источник величины p'ds'= = ——р ds (правая и левая части берутся в соответствующих точках g и 匕 см. рис.

109). Предельное образование, которое получается из нашей системы при 九一＞0 и 九P(E)f М(С)， называется двойным слоем с

тов 卩.

Найдем потенциал двойного слоя. При фиксированном 〃#0 по формуле (35) находим:

С. с

где У = |2 —С[. Для малых Л, пренебрегая малыми высшего, чем 儿 порядка, имеем:

где ^—производная в направлении нормали к С в сторону, противоположную С'・ Отсюда

In rz = In г + 1п ^1 —^嘉)=In г — Л-^- In г.

Учитывая еще, что p'ds' = —pds, получаем:

耿(z)=贵 J M (D易Er ds.

Переходя здесь к пределу при Л—>0, получаем потенциал двойного слоя:

"3)=击 J N (D 言 In г ds，(36)

С

где нормаль берется в сторону кривой, несущей источники с плотностью +р (рис. 109).

В заключение докажем, что любую гармоническую функцию можно трактовать как потенциал некоторого плоского поля. Для простоты ограничимся случаем односвязной области, ограниченной замкнутой кривой С, хотя утверждение верно и в общем случае. Пусть дана функция и (г), гармоническая в такой области О; построим сопряженную с ней функцию и (?) и к функции f(z) = 〃(w) +,и(2)применим интегральную формулу Коши ) п. 14:

'(2)=鳥J 弘

Положим g — z = re叫 тогда дифференцируя no g при постоянном 2, находим:'

'••勺=d In (g — z) = d In г +，d(p・

Подставляя это выражение в формулу Коши и отделяя действительные части, получаем:

и^ = ~^ u (^ ^ + 'ЙГ I v^d 1п г, (37) сс

На линии С имеем d①=~^~ ds; в силу условий Коши — Римана для аналитической на С функции ln(C —— z) можно написать соотношение =, где——дифференцирование

по внутренней нормали к С. Поэтому первый интеграл в формуле (37):

Mz) = -击 J U^^\nrds,с

представляет собой потенциал двойного слоя с плотностью моментов 一卫化).

Пусть и代)имеет непрерывную производную; интегрируя по частям второе слагаемое формулы (37), находим:

砲⑵=一嘉J黑■MrdsС

(внеинтегральный член исчезает в силу замкнутости контура);:таким образом, это слагаемое представляет собой потенциалdv

простого слоя с плотностью ——. Доказана

Теорема 2. Всякая функция 卫(z), гармоническая в односвязной области D, может быть представлена в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя, распределенных по границе D.

Если область D многосвязна, то к этим слагаемым могут добавиться еще потенциалы точечных источников, расположенных в концах граничных дуг (сравни вывод выражения для 卫2(z)) или в изолированных точках границы.

47. Физические представления. Здесь мы рассмотрим различные физические интерпретации плоских векторных полей.

Поле скоростей течения жидкости. Пусть векторы поля V представляют собой скорости частиц в установившемся плоском течении идеальной несжимаемой жидкости. Поток вектора скорости

N= j (V, n°)ds(1).

означает, очевидно, количество жидкости, протекающее за единицу времени через кривую С, циркуляция

г= J (V, s°)ds= J V^s⑵

'сс

—интеграл от касательных составляющих Vs вектора скорости вдоль замкнутой кривой С. Источники и вихревые точки интерпретируются соответственно как точки, в окрестности которых отличны от нуля поток и циркуляция вдоль замкнутой кривой, окружающей точку (точнее, точки, в которых отличны от нуля плотности потока и циркуляции, т. е. div и rot). Если в некоторой области D вихри и источники отсутствуют, то в этой области можно построить аналитическую функцию f (z)= =u(z) + iv(z) — комплексный потенциал поля — такую, что

v=m(з)

Обратно, любую аналитическую в области D функцию можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого плоского безвихревого и без источников течения идеальной несжимаемой жидкости.

Рассмотрим гидродинамическую интерпретацию простейших особых точек аналитической функции f(z)・ Из примера 3) предыдущего пункта видно, что логарифмическую точку ветвления а, в окрестности которой f (z) имеет вид

f(z) = cLn(z —a) + g(z),.

где g(z) — правильная функция, можно интерпретировать как вихреисточник интенсивности N — iF = 2лс. Несколько обобщая пример 4), мы видим, что полюс а первого порядка с вычетом в окрестности которого

f(z)=7^ + g(z),

интерпретируется как диполь, полученный от слияния двух вих- реисточников интенсивности 土(N — iF), расположенных в точках & = а — h,之2 = а; при этом =亠 lim (N ——гГ) h.

Точно таким же образом можно интерпретировать полюсы высших порядков. Рассмотрим два диполя с моментами =й 2л-^-, расположенных в точках 厶=а — h, & = а Предельное образование, получаемое из. этой системы при 场一＞0, называется квадруполем с моментом 2лс_2・ Комплексный потенциал поля квадруполя равен

lim —(1 ] = — j =•

Его 也 I z — a-^h z —a Jz dz z — a (z — a)'

Таким образом, полюс второго порядка, в окрестности которого f (г) = к 二 + 2 —а + g ⑶ интерпретируется как совокупность диполя и квадруполя с моментами, зависящими от коэффициентов С-1 И С—2・

Вообще полюс /г-го порядка функции f(z) можно интерпретировать как совокупность мультиполей порядков 2, 4, ..., 2〃 с моментами, зависящими от коэффициентов главной части разложения f(z) в окрестности этого полюса. При этом под мультиполем порядка 2归 понимается предельное образование, получаемое при Л—*0 из системы мультиполей порядка 2归——2 с мо

ментами 土 一六-,расположенными в точках 2\ — а — ft, z2 — а (мультиполь порядка 2 — диполь).

Кратные точки комплексного потенциала, в которых его производная обращается в нуль, служат точками разветвления ли- ~ ний тока и линий равного потенциала (см. теорему 8 п. 41, в которой в этом случае 孔 > 1). Такие точки называются критическими точками, потока; в этих точках скорость потока равна нулю.

В заключение приведем вывод известной формулы С. А. Чаплыгина для подсчета вектора подъемной силы, действующей на

Рис. 110.Рис. 110.цилиндрическое тело в плоско-параллельном потоке.

Рис. 110.

Рис. 110.

Рассмотрим движение крыла самолета с постоянной скоростью —Voo. При скоростях, не приближающихся к скорости звука, воздух можно считать идеальной несжимаемой жидкостью и пренебречь вихреоб- разованием вокруг крыла. Кроме того, мы представим крыло в виде бесконечно длинного цилиндра с образующими, перпенди-

кулярными вектору скорости. Тогда поле скоростей частиц воздуха будет плоско-параллельным и можно ограничиться изучением плоского поля в любом сечении, перпендикулярном образующим цилиндра. Наконец, для удобства мы представим, что крыло покоится, а на него набегает воздух с постоянной скоростью в бесконечности VTO (рис. ПО). Величина давления в установившемся безвихревом потоке определяется известной формулой Бернулли — Эйлера *):

p = A-^V2,(4)

где Л — некоторая постоянная, р — плотность н V = | V|—величина скорости потока (действием сил тяжести мы пренебрегаем).

Пользуясь этой формулой, мы и вычислим полную силу, действующую на контур С сечения крыла (подъемную силу). Так как давление на С направлено внутрь по нормали, то сила, действующая на элемент dg контура С, равна (векторно):

pi d^ = Ai 虑一号卩id"

а полная сила, действующая на С, равна векторной сумме pi d^, т. е.

(5)(5)P = X + iY= J pi d? = - 4 f 5

(5)

(5)

(интеграл по замкнутому контуру от постоянной 4i исчезает). Так как поток обтекает контур С, то в точках С скорость потока направлена по касательной: .

展X (Die吗

где 屮= argd^. Отсюда величина скорости V = F(2)e-即 и формула (5) принимает вид

Р=— 号• J O)}2e-2Z<₽^ = -4 J {Г醐2而

где ^-2^d^ = е~^ I rf? I = ^5- Переходя к сопряженным величинам, получим вектор, комплексно сопряженный вектору подъемной силы:

⑹

Это и есть классическая формула С. Л. Чаплыгина (1910 г.).

Тепловое поле. Как известно, температура в плоском тепловом поле ) без источников тепла удовлетворяет дифференциальному уравнению

⑺

где / ——время, а а2 ——некоторый постоянный коэффициент. Ограничиваясь рассмотрением установившихся режимов, для которых температура не зависит от времени, мы придем к уравнению Лапласа:

(8)(8)д2и . д2и病十丽

(8)

(8)

т. е. температура оказывается гармонической функцией. Сопряженную к ней гармоническую функцию v(x,y) назовем функцией тока тепла, а аналитическую функцию f(z)=〃(尤，у) + -|- iv (х, у) — комплексным потенциалом. Выясним физический смысл функции v(x, у).

В теории теплопроводности принимается, что количество тепла, протекающее за единицу времени через элемент длины ds, пропорционально ds и нормальной производной температуры ди

, т. е. равно

—ds = (— h grad u, n°) ds = (Q, n°) ds. (9)

Здесь k — коэффициент внутренней теплопроводности, знак минус берется с учетом того, что тепло течет от высоких температур к низким; вектор

Q = — k grad u '(10)

называется вектором потока тепла. Из (9) видно, что поток вектора Q через линию С означает количество тепла, протекающее через С за единицу времени.

По свойству градиента в каждой точке поля вектор потока тепла Q направлен по нормали к линии и(х, у) = const (изотермической линии), проходящей через эту точку. Но это направление, очевидно, является касательным к линии уровня функции V (х, у), следовательно, линии v(xty) = const служат векторными линиями Q (т. е. линиями, по которым «течет тепло»). Далее, из формулы (10) и уравнений Коши — Римана имеем:

Следовательно, поток тепла через произвольную линию с левой ее стороны на правую (по движению вдоль этой линии), так что п° ds = —id^ = dy — i dx, равен

J (Q,n°)ds=^-k ^dy+^dx =

=—々 J dv = k{v ⑵)—v (z2)} (11)

(мы считаем k постоянным; z】и z2 — концы линии С).

Отметим еще выражение вектора Q через комплексный по-, тенциал f(z)— 〃(妈 у) + 2 (х, у):

Таким образом, между полем скоростей течения жидкости и тепловым полем имеется полная аналогия. Разница состоит лишь в том, что в первом случае могут быть многозначными обе компоненты комплексного потенциала, а во втором действительная часть — температура — всегда однозначна (мы не принимаем во внимание несущественного различия в формулах).

В качестве примера рассмотрим систему источника и стока тепла интенсивности ±«, расположенных в точках ±а (рис. 111). Комплексный потенциал поля этой системы равен

貿2)=畫 Ln(z-a)-■券 Ln(z + a)=許 (13)

Изотермические линии | ~^~ | = const — окружности, имеющие 一土。своими симметричными точками (прообразы окружностей

]ш| = const при изображены на]ш| = const при изображены надробно-линейном отображении w = ； ?：), рис. 111 пунктиром. Линии тока тепла

]ш| = const при изображены на

]ш| = const при изображены на

a「g ；工：=const —окружности проходящие через точки 土а (прообразы лучей argш = const при том же отображении), изображены сплошными линиями. Поток тепла через любую замкнутую кривую, окружающую лишь одну точку о, равен +q, через кривую, окружающую только точку —а, равен —0, через кривую, окружающую обе точки, равен 0. В. этом проще всего убедиться с помощью формулы (11), следя за изменением какой- либо ветви функции и ⑶=言 Arg (г — а) — -^- Arg (г + а).

То же самое поле возникает в эксцентрическом кольце между окружностями, нагретыми до постоянных температур и =

=Hi н н =辽2, служащими линиями уровня нашего поля (выделены на рис. 111 жирными линиями). В пространстве ему соответствует тепловое поле в трубе из двух цилиндров с параллельными осями. Возможность замены линии уровня и (или, что то же самое, линии тока в поле скоростей жидкости) твердыми стенками — так называемый принцип отвердения — следует из единственности решения соответствующих краевых задач (п.48).

Электростатическое поле. Под электростатическим полем понимают область, с^каждой точкой которой связан вектор напряженности Е = Е* + iEy, т. е. сила, действующая на единичный заряд, помещенный в этой точке. Мы будем рассматривать плоские электростатические поля, соответствующие плоско-параллельным пространственным полям. Как известно из электростатики, поток вектора напряженности через произвольную замкнутую кривую С равен

^ = J (Е, п°) ds = 4ле,(14)

С

где е — суммарный заряд, расположенный внутри контура С, и п° ——внешняя нормаль. Следовательно, в любой точке 2

дЕх дЕи N

mЕ=k+万=然石=43，(15)

где р — поверхностная плотность заряда в этой точке, a S — площадь, ограниченная кривой С. Интеграл

.4 = J (Е, s。) ds = J Es ds(16)

означает, очевидно, работу сил поля вдоль пути С. Циркуляция вектора Е вдоль любого замкнутого контура равна 0, ибо для поддержания электростатического поля не требуется затраты энергии. В самом деле, если бы вдоль некоторого замкнутого пути С циркуляция была отлична от нуля, то, обходя этот контур в определенном направлении неограниченное число раз, мы получили бы неограниченный источник энергии (вечный двигатель). Отсюда следует, что в любой точке поля

rotErotEдЕудхдЕудхдЕх~WдЕх~W0.0.(17)(17)

rotE

rotE

дЕудх

дЕудх

дЕх~W

дЕх~W

0.

0.

(17)

(17)

Таким образом, электростатическое поле всегда потенциально, т. е. существует однозначная функция ，(尤，у) — потенциал- поля — такая, что

Е =——姦—I = - grad

(18>

Если в области D нет зарядов, то в О всюду divE = 0; отсюда следует, что существует силовая функция

〃(工，9)=j — Еу dx + Ex dy + const(19)

(которая в односвязной области всегда однозначна, а в много

связной может быть и многозначной). Так же, как и выше, легко

убедиться в том, что любая линия уровня функции и(х, у) в каждой точке касается соответствующего вектора поля, т. е, яв

,что функции 〃(％, у)—Римана, т. е. яв,что функции 〃(％, у)—Римана, т. е. является векторной или, иначе, силовой линией поля.

,что функции 〃(％, у)

—Римана, т. е. яв

,что функции 〃(％, у)

—Римана, т. е. яв

ииСравнивая формулы (18) и (19), видим и(х,，) удовлетворяют условиям Коши

и

и

ляются сопряженными гармоническими функциями, а функция

f (z) = 〃 (％, g) + 加(％, g)

——аналитической функцией. Она называется комплексным потенциалом поля ). Через комплексный потенцйал выражается вектор напряженности

Е= —Л Е、 (2。)

а следовательно, и все величины, характеризующие поле. В частности, суммарный заряд, расположенный внутри замкнутого контура С, равен

dz- ⑵)

Мы видим, таким образом, что и электростатическое поле вполне аналогично полю скоростей течения жидкости―• разница между этими полями (не считая несущественного различия в формулах) состоит лишь в том, что в первом случае обе компоненты комплексного потенциала могут быть многозначными, а во втором действительная часть всегда однозначна.

Приведем простой пример. Рассмотрим плоское поле точечного заряда величины е, расположенного в начале координат 2 = 0. Е пространстве ему соответствует поле бесконечной прямой L, перпендикулярной плоскости z в точке 2 = 0 н несущей заряд постоянной линейной плотности е (рис. 112). Подсчитаем напряженность поля Е = Е“ + iEy в точке z = к ~\~ iy, т. е. силу, действующую на единичный заряд, помещенный в этой точке. Для этого введем на L координату h―• длину, отсчитываемую

от точки г = 0, и заметим, что элементарная напряженность, создаваемая зарядом ed/i, расположенным на высоте h, равна

\dE\ = e\dE\ = edh产+胪'dh产+胪'по величине

\dE\ = e

\dE\ = e

dh

产+胪'

dh

产+胪'

где r = | z | = ]Л%2 + у，Так как вектор Е лежит в плоскости г, то его величина равна сумме проекций на эту плоскость всех элементарных напряженностей dE, т. е.

ООл/2

[Е |= Jcos/| | = е J dh = e J dt =—-, — во— л/2

где / — уголгного заряда расстояниюгде / — уголгного заряда расстояниюмежду dE и плоскостью г, h = rig t, dh = ~^ —между dE и плоскостью г, h = rig t, dh = ~^ —(рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- величина напряженности обратно пропорциональна(рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- величина напряженности обратно пропорциональнамежду точками,между точками,а не квадрату расстояния, как в пространственном поле.Учитывая направление вектора Е, получим:а не квадрату расстояния, как в пространственном поле.Учитывая направление вектора Е, получим:Е = — г°Е = — г°2gz2gz(22)(22)Отсюда видно, ле полностью плоским полемОтсюда видно, ле полностью плоским полемчто наше по- совпадает счто наше по- совпадает сРис. 112.Рис. 112.точечного источника интенсивности ^ = 4ле (ср.точечного источника интенсивности ^ = 4ле (ср.пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20):пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20):

где / — уголг

ного заряда расстоянию

где / — уголг

ного заряда расстоянию

между dE и плоскостью г, h = rig t, dh = ~^ —

между dE и плоскостью г, h = rig t, dh = ~^ —

(рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- величина напряженности обратно пропорциональна

(рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч- величина напряженности обратно пропорциональна

между точками,

между точками,

а не квадрату расстояния, как в пространственном поле.

Учитывая направление вектора Е, получим:

а не квадрату расстояния, как в пространственном поле.

Учитывая направление вектора Е, получим:

Е = — г°

Е = — г°

2gz

2gz

(22)

(22)

Отсюда видно, ле полностью плоским полем

Отсюда видно, ле полностью плоским полем

что наше по- совпадает с

что наше по- совпадает с

Рис. 112.

Рис. 112.

точечного источника интенсивности ^ = 4ле (ср.

точечного источника интенсивности ^ = 4ле (ср.

пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20):

пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) можно было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комплексный потенциал поля находим по формуле (20):

(23)(23)f ⑶=—t J E dz + c = 2ef Ln ； + c

(23)

(23)

Магнитное поле токов. Мы ограничимся случаем поля системы линейных токов /» По известному закону электротехники вектор Н напряженности прямолинейного тока / на расстоянии г от него по величине равен 2//г, лежит в плоскости, перпендикулярной току, и направлен по нормали к кратчайшему отрезку, соединяющему точку поля с линией тока, в сторону, определяемую правилом буравчика. Следовательно, в соответствующем плоском поле этот вектор равен

Н =学. (24)

Под комплексным потенциалом такого поля понимается функция

F^ = U + iV = 2I\x\z + c,(25)

где U ——силовая функция поля, V——потенциал и с ——произвольная постоянная.

Для системы токов /^ (k — 1,2,,,., и), пересекающих плоскость z в точках 之互,вектор напряженности и комплексный потенциал получаются сложением выражений (24) и (25) и соот* ветственно равны

尸⑶=£ 2厶 ln(z —zJ + c.(26)

Из сравнения формул (23) и (25) можно заключить, что сетка из силовых линий и линий равного потенциала электрического поля линейных зарядов, пересекающих плоскость z в точках z互，полностью совпадает с такой же сеткой магнитного поля линейных токов, пересекающих плоскость в тех же точках. При этом лишь меняются ролями силовые линии и линии равного потенциала.

В качестве примера приведем магнитное поле системы двух одинаково направленных VI равных по величине линейных токов, пересекающих плоскость z в точках 土 а. Комплексный потенциал поля равен

F(z) = I\n(z2 — a2)t (27) силовые линии определяются уравнением

I z — а Н z + а |= const, (28)

т. е. представляют собой так называемые лемнискаты (лемнискатой называется геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух точек, фокусов, постоянно, рис. 113).

Краевые задачи. В предыдущих пунктах мы видели, что для изучения плоского поля достаточно знать его комплексный потенциал. Прикладные задачи обычно сводятся к определению комплексного потенциала по заданным условиям на границах поля (они диктуются самими физическими условиями данной

§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 255 задачи) или, как говорят, к решению заданной краевой, или граничной задачи. При этом, если задача физически правильно поставлена, то заданные условия должны полностью определять поле, т. е. комплексный потенциал поля должен определяться с точностью до постоянного слагаемого. Мы приведем здесь простейшие постановки краевых задач теории плоского поля, причем для определенности будем пользоваться гидродинамической терминологией. В примерах решения этих задач мы будем рассматривать и другие интерпретации. Начнем с трех задач на обтекание.

Поток в о внеш ности замкнутой кривой. Мы предполагаем, что область поля D содержит внутри бесконечно удаленную точку и ограничена одним контуром С—границей тела, погруженного в жидкость (D — внешность контура С). Пусть тело поступательно движется .с постоянной скоростью —Vg, или, что то же самое, тело покоится и на него набегает поток со скоростью Voo. Тогда производная комплексного потенциала — функция, комплексно сопряженная скорости потока (см. формулу (3) предыдущего пункта), — должна быть правильной в бесконечности, однозначной в области D аналитической функцией. Ее лорановское разложение в окрестности бесконечно удаленной точки имеет, следовательно, вид

需=х(2)=08+(1)

Из формулы (23) п. 46 следует тогда, что c_「2；ni = Г + 1/V, где Г и ^ — циркуляция и поток вдоль любого замкнутого контура, охватывающего С. Но так как поток обтекает Сив области D нет источников, то N = 0 и, интегрируя (1), мы получаем следующее разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки:

5=〃2)=几Z + C +击 klZ-^— …， ⑵

где с — произвольная постоянная. Величина циркуляции Г должна быть задана — в этом состоит первое граничное условие задачи полного обтекания. Физический смысл этого условия мы выясним ниже (см. п, 49, примеры 2) и 3)). Второе граничное условие относится к контуру С; в силу условия обтекания в любой точке контура С скорость потока должна быть направлена по касательной к С. Иными словами, контур С должен быть одной из линий тока, т. е. на контуре С должно выполняться условие

и(х, z/) = const, (3)

Докажем, единственность решения задачи при заданной скорости 8 бесконечности Voo 〃 заданной циркуляции Г. Пусть

力(z) и %(2)—комплексные потенциалы, соответствующие двум решениям задачи, и f(z) = fi(z) — %(z)・ Функция f(z), очевидно, однозначна и аналитична всюду в D, включая бесконечно удаленную точку. Ее мнимая часть z(z) постоянна на С и гармонична всюду в D (включая бесконечно удаленную точку). По теореме единственности решения задачи Дирихле должно быть v(z) =const и, следовательно, f(z) = const Таким образом, наши комплексные потенциалы отличаются лишь постоянным слагаемым, что не влияет на распределение скоростей.

Отметим, что в случае бесциркуляционного обтекания, когда Г = 0, комплексный потенциал w = f(z) реализует взаимно-однозначное отображение области D на внешность некоторого отрезка, параллельного оси и. В самом деле, из разложения f(z) в окрестности бесконечности

W=f(z)= y^z 4- с — .

видно, что главный член разложения имеет вид V^z, следовательно, функция 侬= f(z) реализует взаимно-однозначное отображение окрестностей бесконечно удаленных точек плоскостей z н 侬(это следует также из того, что существует『(оо) = = Voo =# 0). Так как f(z) имеет в области D один полюс первого порядка (в бесконечности), то по принципу аргумента (п. 23) для достаточно больших а имеем:

1 一似а) = " j …―°

' ) J f ⑶а .

С

где м(а) — число а-точек f(z) в области D и кривая С проходится против часовой стрелки. Но м(а)—целочисленная и непрерывная функция точки а, следовательно, она постоянна и 1 — м(а) = 0 для всех значений а, которые не принимаются функцией f(z) на контуре С. Таким образом, f(z) в области D принимает и притом только один раз любое значение, которое она не принимает на контуре С, а этот контур, как видно из граничного условия (3), она переводит в отрезок, параллельный оси и. Утверждение доказано.

Задача распространяется на случай обтекания системы контуров (полипланы). В этом случае, кроме скорости в бесконечности, следует задать значения циркуляций при обходе каждого контура.

Поток в криволинейной полосе. Пусть даны две линии - Со и &, имеющие общими лишь свои концы, расположенные в точке 2=оо, н пусть D — область, заключенная между этими кривыми. В области D требуется построить безвихревой поток, обтекающий Со и Ci и имеющий заданный рас、

ход М т. е. поток скорости V через произвольную кривую у, соединяющую линии Со и

Пусть w = f(z) — комплексный потенциал искомого поля. Условие обтекания Со и Ci сводится к тому, что на этих кривых функция V = Imf(z) должна принимать некоторые постоянные значения, например:

на Со, на С]・на Со, на С]・⑷⑷

на Со, на С]・

на Со, на С]・

⑷

⑷

По формуле (11) п. 46 расход

N = j (匕 n°) ds = s — %,(5)

следовательно, разность s—и。 известна. Так как f(z) определяется лишь с точностью до постоянного слагаемого, то всегда можно принять и。= 0, s = ^.

Без дополнительных ограничений на поведение f(z) в бесконечности задача неопределенна. Действительно, рассмотрим, например, полосу OVy VM где ^ — заданный расход; тогда всем поставленным условиям удовлетворяет функция

院儿⑵=2 +讶旧%

ибо при любом целом п и действительном 九 ее мнимая часть у + Кеппх/^ sin -^^ принимает на границах полосы постоянные значения vQ = 0, s = М Поэтому мы предположим дополнительно, что: 1) кривые Со и С\ обладают гладкой кривизной, 2) при 2—► оо остается ограниченной ширина полосы D, а также кривизны кривых Со и Ci и производные этих кривизн, 3) рассматриваются лишь течения с ограниченной в бесконечности скоростью.

Докажем, что в этих предположениях при заданном расходе ^ существует единственный безвихревой поток в области Q, обтекающий Со и Ci. В самом деле, пусть f(z) — комплексный потенциал любого потока, удовлетворяющего условиям задачи, и z =(p(侬)一функция, реализующая конформное отображение полосы 0 V Im 侬 V N на область 力，причем 屮(±8)= 土8). Очевидно, функция

F^) = f[^(w)] = U +iV (6)

будет служить комплексным потенциалом потока в полосе OV^vM обтекающего прямые и = 0, и = ^ с заданным расходом N. В силу условия ограниченности скорости данного потока в бесконечности и теоремы 1 п. 29 о соответствии границ при конформных отображениях производная F'(w) =ff(z)^f(w) также остается ограниченной В бесконечности. Рассмотрим гар- ионическую в полосе О V и V " функцию 万鼠=Im 尸侬).Она, очевидно, равна 0 на границах полосы и ограничена в замкнутой полосе О W и W Л\ По обобщенному принципу экстремума (теорема 5 п. 42) можно заключить, что всюду в полосе ■三 О,

а значит, Ff (w) = а — действительная постоянная. Отсюда F(w) = aw (мы отбрасываем несущественную постоянную), и так как функция V(w} = av должна быть равна 0 на прямой и = 0 н N на прямой и = ^r то а = 1; окончательно F(w) = w. Из формулы (6) получаем тогда:，[屮(侬)]=切，т. е. f(z) должна быть функцией, обратной к 屮(切).Единственность решения задачи доказана.

Вместе с тем доказано, что искомый комплексный потенциал w = f (z) реализует взаимно-однозначное конформное отображение области D на полосу О V и V % с соответствием бесконечно удаленных точек: f (土оо)= 土оо.

Поток в криволинейной полуплоскости. Пусть дана линия С без точек самопересечения, содержащая бесконечно удаленную точку, и замкнутая на сфере комплексного переменного; D пусть обозначает одну из двух областей, ограниченных линией С. В области D требуется построить поток, обтекающий кривую С и обладающий заданной по величине скоростью в бесконечности | VTO|.

Если дополнительно предположить, что С во всех точках обладает непрерывно дифференцируемой кривизной, включая и бесконечно удаленную точку, и рассматривать лишь потоки с ограниченными скоростями, то единственность решения доказывается точно так же, как в предыдущей задаче (только полосу надо заменить полуплоскостью),

Искомый комплексный потенциал w = f(z) реализует конформное отображение области D на верхнюю полуплоскость при условиях f(oo)= оо, 1^(00)| = | Уто |. '

В качестве примера укажем видоизменения, которые надлежит сделать в задачах 1)—3) при рассмотрении электростатических полей. Всюду термин «обтекаемый контур» заменяется термином «проводник» (точнее, след проводящего цилиндра, перпендикулярного плоскости z), «скорость» заменяется «напряженностью поля», «функция тока» — «потенциалом», «потенциальная функция» ——«силовой функцией», «расход» — «разно-

= ^^- (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) С-1 =——2et и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 24Ln； (ср. (23) п. 47).В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач.4) Ударные задачи. Значительная часть таких задач= ^^- (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) С-1 =——2et и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 24Ln； (ср. (23) п. 47).В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач.4) Ударные задачи. Значительная часть таких задачохватывается следующей схемой' В сосуде Д щаяся или движущаяся жидкость, в которойохватывается следующей схемой' В сосуде Д щаяся или движущаяся жидкость, в которойнаходится покоя-находится покоя-тела Вй (々=1, 2, •••,几)(рис. 114 *)).тела Вй (々=1, 2, •••,几)(рис. 114 *)).ВВплаваютмоментплаваютмоментf = 0 на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Вй получило мгновенно приращение скорости Vk} (удар). Требуется найти поле импульсивных скоростей У#) и распределение импульсивных давлений 户⑴ в жидкости в момент, непосредственно следующий за ударом.Перейдем к математической постановке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до удараf = 0 на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Вй получило мгновенно приращение скорости Vk} (удар). Требуется найти поле импульсивных скоростей У#) и распределение импульсивных давлений 户⑴ в жидкости в момент, непосредственно следующий за ударом.Перейдем к математической постановке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до ударатвердые временитвердые времениВ3В3&&—со—соРис. 114.Рис. 114.жидкость покоится. Какжидкость покоится. Какизвестно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х, у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условиюизвестно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х, у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условиюстью потенциалов» и т. д. В задаче 1) задание циркуляции заменяется заданием суммарного 'заряда е — ^

= ^^- (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) С-1 =——2et и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 24Ln； (ср. (23) п. 47).

В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач.

4) Ударные задачи. Значительная часть таких задач

= ^^- (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) С-1 =——2et и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 24Ln； (ср. (23) п. 47).

В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач.

4) Ударные задачи. Значительная часть таких задач

охватывается следующей схемой' В сосуде Д щаяся или движущаяся жидкость, в которой

охватывается следующей схемой' В сосуде Д щаяся или движущаяся жидкость, в которой

находится покоя-

находится покоя-

тела Вй (々=1, 2, •••,几)(рис. 114 *)).

тела Вй (々=1, 2, •••,几)(рис. 114 *)).

В

В

плаваютмомент

плаваютмомент

f = 0 на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Вй получило мгновенно приращение скорости Vk} (удар). Требуется найти поле импульсивных скоростей У#) и распределение импульсивных давлений 户⑴ в жидкости в момент, непосредственно следующий за ударом.

Перейдем к математической постановке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до удара

f = 0 на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Вй получило мгновенно приращение скорости Vk} (удар). Требуется найти поле импульсивных скоростей У#) и распределение импульсивных давлений 户⑴ в жидкости в момент, непосредственно следующий за ударом.

Перейдем к математической постановке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до удара

твердые времени

твердые времени

В3

В3

&

&

—со

—со

Рис. 114.

Рис. 114.

жидкость покоится. Как

жидкость покоится. Как

известно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х, у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условию

известно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х, у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условию

⑺⑺pg,

⑺

⑺

где р — плотность жидкости и Р⑴一импульсивное давление в ней. Обозначим через О область, занятую жидкостью, через С — ее границу. С состоит из дуги Со — стенки сосуда, дуг & — поверхностей тел Bk и из дуг С?——участков свободной поверхности жидкости между двумя последовательными дугами Ск, Cft+i (рис. 114). Для потенциала скоростей и(х, у) имеем следующие граничные условия:

Вдоль стенки сосуда Со

病=°，(8)

ибо из условия обтекания получаем и (%, у) = const, и тогда из условий Коши ——Римана, записанных для направлений s° и п°, мdv л

будем иметь:=— = 0.

JonOS

Вдоль дуг Ск соприкосновения жидкости с телом

黑=(唄哨，⑼

где л° ——единичный вектор внутренней нормали к С、При этом мы считаем, что не происходит отставания жидкости от стенок (кавитации); (9) следует из известной связи между grad и = =V⑴ и производной по направлению. Импульсивные скорости тел Bh считаются известными, так что в правой части формулы (9) имеем известную функцию.

Вдоль дуг Ck (т, е. вдоль свободной поверхности)

“ (%，У)= 0,(10)

ибо давление на свободной поверхности конечно; следовательно 尸⑴=0 н тогда (10) следует из (7).

Найдем и(х, у) в области Q, мы получим распределение скоростей V = grad〃，а давления определим по формуле (7).

Эта краевая задача является частным случаем сметанной краевой задачи теории гармонических функций, исследование и решение которой мы приведем в п. 55 (см. также пример 9) п. 49).

Обтекание со срывом струй. Так называют обтекание, при котором одна из линий тока идет из бесконечности к некоторой точке В обтекаемого тела, где она разделяется на две ветви, каждая из которых идет вдоль стенок тела до некоторых точек & и С2 и затем отрывается от стенок, снова уходя в бесконечность (рис. 115). При этом предполагается, что свободные струи и С2Л2 отделяют зону дви

жения / от зоны покоя II так, что вдоль этих струй происходит^ разрыв скоростей *). В зоне / движение считается потенциальным; в зоне покоя 〃 скорость везде равна нулю, следовательно,

давление постоянно (см. формулу Бернулли — Эйлера (4) п. 47) и струи СИ1 и С2Л2 можно рассматривать как свободные границы жидкости. Мы приходим к следующей краевой задаче: а) на участке CiBC2 тела (длина которого не известна) имеется обтекание, т. е.

V (х, у) = const;(11)

(12)(12)на свободных струях С\А^ и С2Лг (форма которых не известна) величина скорости постоянна:

(12)

(12)

I у 1 = 1 几 L

это следует на основании формулы Бернулли — Эйлера из постоянства давления в зоне покоя.

Методы решения этой краевой задачи будут приведены в п. 65.

В последующем изложении мы еще не раз будем встречаться с краевыми задачами различных типов.

Примеры. Приложения. 1) Формула Жу ков ско го. В п. 47 мы получили формулу С. А. Чаплыгина для подъемной силы обтекаемого профиля:

P=-X-iY = -^- \ [ff (z)Ydz.(1)

С

Учитывая разложение в бесконечности для производной комплексного потенциала в задаче обтекания замкнутой кривой, полученное в предыдущем пункте:

и применяя к интегралу (1) теорему о вычетах, находим:

Перейдя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую теорему Н. Е. Жуковского (1904 г.):

P = _ZprVTO,(2)

т. е. подъемная сила, действующая на обтекаемый контур, по величине равна произведению из циркуляции, плотности и вели- 411Hbi скорости в бесконечности и направление ее повернуто относительно Vg на прямой угол навстречу циркуляции (при Г > 0 ——по часовой стрелке, при Г < 0 — против).

Обтекание кругов ого цилиндра. Найдем сначала бесциркуляционный поток, обтекающий окружность |z| = u R с заданной скоростью на бесконечности Vg = v^e^. По

комплексный потенциал отображение внешностикомплексный потенциал отображение внешности

комплексный потенциал отображение внешности

комплексный потенциал отображение внешности

доказанному в предыдущем пункте этого потока реализует конформное

круга на внешность отрезка действительной оси. Такое отображение реализует функция Жуковского

где k — действительная постоянная. Однако для этой функции 5‘(oo)=^/R вместо Уоо = %е-2. Поэтому, чтобы получить комплексный потенциал потока с заданной скоростью на бесконечности, мы заменяем в последней формуле г на 之^一汕 и полагаем 々=R%; мы получаем:

(3)(3)s = V^z +

(3)

(3)

Накладывая на полученный бесциркуляционный поток чисто циркуляционный потоккоторый также обтекает

окружность |z| = R, найдем окончательное решение задачи w = f(z) = Vooz+^f-+^-Lnz.(4>

Критические точки потока, т. е. точки, в которых скорость потока равна 0 (см. п. 47), определяются из уравнения

г2 Тг — с?'。/?2 = О,2加%

откуда

гкр = —L- (Гг + U16£t^R2-r2).

Отсюда видно, что при | Г | ^ ^nv^R имеем | 2Kp 1=^™-^ 16兀？碌川， и обе критические точки лежат на окружности \ z\ = Rf при I Г I > 4兀％/? имеем | 2Kp | = £ | Г ± VГ2 — 16兀?亡/?"#=/? и так как произведение модулей корней квадратного уравнения равно R2, то одна из точек лежит в круге | 之 | V R, а другая — вне его.

Рассмотрим подробнее первый случай. Полагая на окружности 2 = Ae'Q имеем:

I у(z) I =卜8(е-2 — ee2S)—哉е-绅| = 12%sin(屮一加一矗 |, (5) откуда, принимая пока для простоты 9 = 0, получаем следующие соотношения для критических точек:

q)i = arcsin 411Ko8 ' Ф2 = л —Ф1-(6)

(8)(8)(9)(9)M=g ⑶，g(8)= 8, g‘(8)= 1M=g ⑶，g(8)= 8, g‘(8)= 1(10)(10)

(8)

(8)

(9)

(9)

M=g ⑶，g(8)= 8, g‘(8)= 1

M=g ⑶，g(8)= 8, g‘(8)= 1

(10)

(10)

В точке /?"б линия тока потока, проходящая к ней, разветвляется на две: одна обходит верхнюю, а другая нижнюю дугу окружности. В точке Ае'4^ обе линии снова соединяются (рис. 116, а). Первая из этих точек называется точкой разветвления, а вторая——точкой схода лотока.—

Для бесциркуляционного потока

критические точки совпадают с 士 R.д^^р;\г^

Циркуляция стремится сблизить эти ~^^\ (^^^ / точки — при возрастании Г обе точки丿/

поднимаются и при Г = 4冗％7? слива- °\^^^/

ются в одну точку (рис. 116,6). Даль- ——

нейшее увеличение Г приводит к об-—一

разованию замкнутых линий тока —、力厂—

(рис. 116,s)—мы имеем уже второй ―仁％^\ 厂/— случай. '7 /

Если скорость в бесконечности 万/ W^^^ имеет аргумент О, то вся картина по- ,, —

тока лишь повернется. В частности, *~—*

формула для точки схода (6) примет

Заметим, что в нашей задаче вме- 勿 ^^^^^^^ сто циркуляции Г можно задаваться точкой схода потока Ае叫 ибо ониРис. 116.

связаны между собой простой формулой (7). Через точку схода выражается величина подъемной силы в теореме Жуковского:

[р I = 4”А唸 I sin((p1 — О) I

и скорость потока (ср. формулу (5)):

I V |= 2%I sin (ф — ^) — sin (q)i — О) |.

Обтекание произвольного профиля. Условие Чаплыгина. Пусть дан произвольный профиль, ограниченный замкнутой кривой С, и функция

д = У8g⑶十牆+ W"Lng⑵,д = У8g⑶十牆+ W"Lng⑵,(Н)(Н)

д = У8g⑶十牆+ W"Lng⑵,

д = У8g⑶十牆+ W"Lng⑵,

(Н)

(Н)

реализует конформное отображение внешности С на внешность круга |С|>А. Тогда комплексным потенциалом потока, обтекающего профиль с заданной точкой схода Z\ и заданной скоростью в бесконечности, будет, очевидно, служить функция

где R вполне определено условиями нормировки (10), а Г находится по формуле (7) через образ & = е№ точки схода потока.

Пусть обтекаемый цилиндр обладает острой кромкой, так что его профиль С имеет острие в некоторой точке 之。с углом между касательными ал (0 ^ а <С 1). Тогда, как явствует на поведения конформного отображения в угловых точках (см. п. 37), в окрестности этой точки

白=8⑵“4(2-2。产2-8 + 备(12>

и, следовательно, производная

桔 — Z严(13>

обращается в точке 备 в бесконечность ) (Л и В — некоторые отличные от нуля постоянные,备=g(wo))・

С. А. Чаплыгин предложил считать, что при обтекании профиля с острой точкой 之。в эту точку под влиянием вязкости и вихреобразйвания смещается точка схода потока (условие' Чаплыгина). Тогда, согласно предыдущему примеру, в точке 第=8(备)производная -^- отображения (4) (мы заменили z на D имеет нуль первого порядка, т. е. в окрестности точки 20. имеем:,"

體 Hi = D(z_ z/2F(14)

(мы воспользовались выражением (12); С и D — постоянные).

Объединяя формулы (13) и (14), мы получаем, что в окрестности 2о

唳=瑞•需"BD(z_z2

т. е. что из условия Чаплыгина вытекает ограниченность скорости у острой кромки профиля.、

Для контуров с одной острой кромкой условие Чаплыгина однозначно определяет значение циркуляции (ср. формулу ⑺)_

Обтекание профилей Жуковского. В п. 34 (пример 1) было доказано, что функция

(о = 2 + ]/22 — а2(15)

отображает внешность профиля Жуковского с параметрами h и d на внешность круга С' с центром в точке (оо = th ——de 2 где у = arctgy, и радиуса R。= j/d + 炉 + d (рис. 117 и 63).

Производная функции (15) в бесконечности равна 2, следовательно, функция G = g(z) для профиля Жуковского имеет вид:

W = ^(s — So) = ^"(2 — g + М?2 — 出)，

z радиус окружности, на которую отображается профиль, ра

вен

R = ^』g(M^T^ + d).

Подставляя это в (11), получим комплексный потенциал потока, обтекающего профиль Жуковского..

Из рис. 62 видно, что аргумент образа острой точки про

филя в плоскости g равен ——^(匕]=氏^一沁僧)，так что по усло

вию Чаплыгина и формуле (7) циркуляция

Г = — 2п%(МК"+d)sin(0 + ^),(16)

и тогда по теореме Жуковского величина подъемной силы равна

|P| = 2Jrpt)t(/^TAr + d)|sin(# + -J)|.(17)

Электростатическое поле у краев плоского конденсатора. Если при изучении поля внутри плоского конденсатора это поле практически можно считать равномерным, то вблизи краев равномерность поля существенно нарушается и необходим специальный расчет. Рассматривая поле вблизи одного края конденсатора, мы для простоты пренебрежем влиянием второго края и будем представлять конденсатор в виде двух полуплоскостей, расположенных друг над другом. Расстояние между пластинами обозначим 2瓦 их потенциалы 士 y.

Задача сводится к расчету плоского поля внешности двух параллельных полупрямых (следов пластин конденсатора в плоскости, перпендикулярной краям пластин), т. е. к краевой задаче 2) п. 48. Комплексный потенциал w — f(z) реализует отображение области поля на полосу—PvlmuVP с соответствием точек f(A) = —оо, /⑹=оо. Обратное отображение мы получили в примере 3 п. 39: .

(см. там формулу (13), мы лишь переменили роли z и ш, совершили подобное преобразование полосы и отбросили несущественное постоянное слагаемое).

На рис. 118 представлены линии равного потенциала и силовые линии поля; их параметрические уравнения получаются соответственно при v = const или и = const, из соотношений^ которые дает разделение действительных и мнимых частей формулы (18):

% = ^卜歹"8Seи+2 ")' У = -^(evUsiny-y + V ^) a» (мы полагаем z = х + ^ w = и-\~ lv). Напряженность поля по формуле (20) п. 47 равна

Внутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Л, w к —оо, следовательно, напряженность поля Е~——igВнутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Л, w к —оо, следовательно, напряженность поля Е~——ig(20>

Внутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Л, w к —оо, следовательно, напряженность поля Е~——ig

Внутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Л, w к —оо, следовательно, напряженность поля Е~——ig

близко близка

Рис. 118.Рис. 118.к напряженности равномерного поля. При приближении к краям конденсатора

Рис. 118.

Рис. 118.

± W, следовательно^ напряженность поля неограниченно возрастает.

Проследим изменение величины напряженности поля |Е|=|^| вдоль линий равного потенциала. Так как величина производной аналитической функции не зависит от направления, по которому эта производная вычисляется, то мы можем вычислять ее в направлении

при 〃 = const:при 〃 = const:силовой линии ц = const. Тогда \dw \ = \dv\t |dz| = ds, где ds — дифференциал дуги силовой линии — находится из формулы (19)

при 〃 = const:

при 〃 = const:

ds = y ①尤产 + (dy)2 =

+ 2ev “cos-^-v + I dv

и, следовательно,

|E| =

dv ds

V ]

力 /2Яя一

]/ek+L"cos/+l

(21)

Для нахождения максимума |Е| вдоль линии равного потенциала достаточно найти минимум подкоренного выражения по и при фиксированном и. Необходимое условие экстремума

£丿 + cos y-u = 0 (которое получается приравниванием нулю производной по и) заведомо не выполняется, когда косинус

или I & 丨 V 在• Вдоль такихили I & 丨 V 在• Вдоль такихположителен, т. е. при -р-| и | < у

или I & 丨 V 在• Вдоль таких

или I & 丨 V 在• Вдоль таких

.линий напряженность поля |Е| меняется монотонно, не имея ни максимума, ни минимума. Для и = + — максимум

V e~U+l

достигается при и = —оо, т. е. на левом крае конденсатора. Если построить конденсатор, пластины которого имеют форму линий равного потенциала и = ± —- ) (жирные линии на

рис. 118), то для такого конденсатора напряженность поля убы

вает при подходе к краям, а не возрастает неограниченно, как для плоского конденсатора. Этот конденсатор называется конденсатором Роговского.

мы обозначим ширину паза ротора; таккак 'практически лишь весьма небольшая часть силовых лимы обозначим ширину паза ротора; таккак 'практически лишь весьма небольшая часть силовых лиМагнитное поле в зазоре электрической машины. Рассмотрим магнитное поле в зазоре между ротором и статором машины вблизи паза ротора. Радиусы и ширину статора и ротора мы будем считать столь большими, что это поле мало отличается от плоскопараллельного (на рис. 119, а изображено сечение машины плоскостью, перпендикулярной к оси вращения). Через 2〃

мы обозначим ширину паза ротора; так

как 'практически лишь весьма небольшая часть силовых ли

мы обозначим ширину паза ротора; так

как 'практически лишь весьма небольшая часть силовых ли

ний, проникших в паз, достигает его основания, то глубину этого паза можно считать бесконечно большой. Через h мы обозначим величину межжелезного пространства, т. е. расстояние между статором и ротором; пренебрегая влиянием других

пазов, мы будем предполагать, что это пространство представляет собой бесконечную в обе стороны полосу. После сделанных упрощений область интересующего нас поля принимает вид пятиугольника, изображенного на рис. 119,6. Мы предполагаем, что след границы ротора AiA6A5A4A3 несет потенциал V, а след границы статора 厶也人一потенциал 0. (Предполагается, что магнитная проницаемость железа бесконечно велика.)

Задача принадлежит к типу краевой задачи 2) п. 48 и сводится к конформному отображению w = f(z) области поля на полосу 0 < Im w < Vt f (4) = —°°, f(4) = 8・ В п. 39 мы получили отображение верхней полуплоскости на область поля:

z = z(w) = A^arctg__^_ + //arthy^=), (22>

"2 +部

где а2 =———, причем отрезок (—1, 1) действительной оси плоскости со переходит в прямую Д 1Д2^з, а остальная часть оси — в АзА4А5А6А[ (см. п. 39, формула (23); мы изменили лишь обозначения переменных). Применив дополнительное отображение полуплоскости со на полосу 0 < Im w < V с нужным соответствием границ:

w =— In-：=——arth(23)

Л 1 — СО Л\，

и исключив (о из уравнений (22) и (23), получим функцию, обратную искомому комплексному потенциалу.

Найдем величину вектора магнитной индукции В, который в нашем случае совпадает с Я

dwdwV 1V 1(24)(24)

dw

dw

V 1

V 1

(24)

(24)

(при вычислении производных мы воспользовались выраже* ниями (23) и (22)).

Для характеристики машины важно знать степень пульса* ции магнитного потока, т. е. отношение минимальной индукции на статоре к максимальной. Из физических соображений ясно, что минимальная индукция Bmm достигается против паза ротора, т. е. в точке 厶2, а максимальная индукция Вшах一 против середины выступа, т. е. в точке 4. Так как точка А2 соответ*

ствует (о = 0, а ние равно *)ствует (о = 0, а ние равно *)точке 4 — точка(о = —1, то искомое отноше-точке 4 — точка(о = —1, то искомое отноше-(25)(25)

ствует (о = 0, а ние равно *)

ствует (о = 0, а ние равно *)

точке 4 — точка(о = —1, то искомое отноше-

точке 4 — точка(о = —1, то искомое отноше-

(25)

(25)

Обтекание наклонного прямолинейного отрезка (0, Aeian) бесконечно глубоким плоским потоком с за

данной величиной скорости в бесконечности vx (рис. 120). За

Рис. 120.Рис. 120.дача принадлежит к типу краевой задачи 3) п. 48 и сводится к конформному отображению области потока на верхнюю полуплоскость. Обратное отображение было получено в п. 39

Рис. 120.

Рис. 120.

z = z(w) = h(w—\)a^w+ l)I-a, (26)

где р = -j~； & (см. формулу (10) п. 39; мы переменили роли z и ш и растянули плоскость z, чтобы получить отрезок длины Л). Очевидно, z(oo) = оо, но производная в бесконечности равна

寨 L=aл [(叫耳)+ (舒Т) L=

一也(i 6) = ———

Заменив в формуле (26) w на у侬/%, получим функцию, обратную комплексному потенциалу, ибо ее производная в бесконечности будет равна 1/%, как и требуется. На рис. 120 изображены линии тока. Отметим, что, как видно из выражения для производной -^-, скорость потока | V | = | -^-1 обращается в бесконечность в точке Л3, которой соответствует ш = 0 ), и в нуль в точках Л2 и 4, которым соответствуют W = —1/Р и ш = 1.

Распределение температур в канале, дно которого поддерживается при температуре 俨，а стенки — при

температуре 0°; между стенками и дном имеется теплоизоляция. Сечение канала плоскостью, перпендикулярной к дну, изображено на рис. 121. Задача сводится к обобщенной задаче Дирихле для полуполосы. Отобразим сначала эту полуполосу на верхнюю полуплоскость с помощью функции g = sin —; дно ВС переходит при этом в отрезок (—1, 1), а стенки — в лучи (—оо, —1), (1, оо). Остается воспользоваться формулой (9) п. 44:

а(9 = -^"/+*/= j((p2-(pi) = ^arg|^}

(у нас п = 2, 〃о = 〃2 = О, Щ = Л 屮i,2 = arg (Е 土 1)) и заменить

G = sin-^- = sin-^-cn-^-+ zcos-^-sh-^-. Мы получим:

/ Ч(sin・ ch — D + f cos・sh —丄2 cus・ sh

'丸 g (sin • ch + 1) + / cos，sh — иг ''sin2 • ch2 — 1 + cos2 • sh2

(мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы круговых и гиперболических функций для простоты, письма опускаем). После замены в знаменателе ch2 = 1 + sh2 мы приведем его к виду sh2 — cos2; если обозначить(мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы круговых и гиперболических функций для простоты, письма опускаем). После замены в знаменателе ch2 = 1 + sh2 мы приведем его к виду sh2 — cos2; если обозначитьarctgsh2-arctgsh2-2 cos • sh2 cos • shcos2cos2sh2 + cos2sh2 + cos2то будем иметьто будем иметь- = cosa, следовательно, 丄〜a —「1 — cos a cos 唱万=J 1 + cos a = "ih"，- = cosa, следовательно, 丄〜a —「1 — cos a cos 唱万=J 1 + cos a = "ih"，и формула для температуры принимает окончательный види формула для температуры принимает окончательный вид«(2,) = ^Г'У = —arctg«(2,) = ^Г'У = —arctgcoscos吟吟.(27).(27)

(мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы круговых и гиперболических функций для простоты, письма опускаем). После замены в знаменателе ch2 = 1 + sh2 мы приведем его к виду sh2 — cos2; если обозначить

(мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы круговых и гиперболических функций для простоты, письма опускаем). После замены в знаменателе ch2 = 1 + sh2 мы приведем его к виду sh2 — cos2; если обозначить

arctg

sh2-

arctg

sh2-

2 cos • sh

2 cos • sh

cos2

cos2

sh2 + cos2

sh2 + cos2

то будем иметь

то будем иметь

- = cosa, следовательно, 丄〜a —「1 — cos a cos 唱万=J 1 + cos a = "ih"，

- = cosa, следовательно, 丄〜a —「1 — cos a cos 唱万=J 1 + cos a = "ih"，

и формула для температуры принимает окончательный вид

и формула для температуры принимает окончательный вид

«(2,) = ^Г'У = —arctg

«(2,) = ^Г'У = —arctg

cos

cos

吟

吟

.(27)

.(27)

Пользуясь интегралом Шварца для полуплоскости, можно было бы найти и комплексный потенциал теплового потока.

Удар пластинки о воду. В заключение приведем простейший пример задачи об ударе. Пусть жидкость заполняет нижнее полупространство, а твердое тело представляет собой плоскую пластинку в форме полосы шириной 2a, которая в момент удара / = 0 касается свободной поверхности и мгновенно приобретает 'скорость Уо, направленную вертикально вниз (рис. 122). Пусть (—a, а) будет след пластинки в плоскости, перпендикулярной ее ребрам, и f(z)= u(2)+ iv(z) — комплексный потенциал плоского поля, описывающего скорости жидкости после удара.

Краевые условия задачи формулируются следующим образом: на отрезке (—а, а) имеем:

(28)(28)器=-九，

(28)

(28)

〃 =0.〃 =0.а на оставшейся части оси х, соответствующей свободной поверхности,

〃 =0.

〃 =0.

(29)

По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функ-По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функ-цию и в верхнюю полуплоскость (а, оо) (это возможно на основаниицию и в верхнюю полуплоскость (а, оо) (это возможно на основаниичерез лучи (—оо,—а) ичерез лучи (—оо,—а) иусловия (29), см. п. 42); нем берегу вместо (28)условия (29), см. п. 42); нем берегу вместо (28)тогда условие свелась, таким Неймана п. 44:тогда условие свелась, таким Неймана п. 44:образом,образом,на верх- получаем Задача к задачена верх- получаем Задача к задаче也也ааПоПонайти гармоничес-найти гармоничес-кую во внешности отрезка (—а, а) функцию 〃(之)по граничному условию -^ = VQ (~^производнаякую во внешности отрезка (—а, а) функцию 〃(之)по граничному условию -^ = VQ (~^производнаяРис. 122.Рис. 122.попонормали, направленнойнормали, направленнойв н у т рь области).Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением внешности отрезка (—а, а) на внешность единичного круга плоскости^ = 占 + 川：в н у т рь области).Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением внешности отрезка (—а, а) на внешность единичного круга плоскости^ = 占 + 川：

По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функ-

По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функ-

цию и в верхнюю полуплоскость (а, оо) (это возможно на основании

цию и в верхнюю полуплоскость (а, оо) (это возможно на основании

через лучи (—оо,—а) и

через лучи (—оо,—а) и

условия (29), см. п. 42); нем берегу вместо (28)

условия (29), см. п. 42); нем берегу вместо (28)

тогда условие свелась, таким Неймана п. 44:

тогда условие свелась, таким Неймана п. 44:

образом,

образом,

на верх- получаем Задача к задаче

на верх- получаем Задача к задаче

也

也

а

а

По

По

найти гармоничес-

найти гармоничес-

кую во внешности отрезка (—а, а) функцию 〃(之)по граничному условию -^ = VQ (~^производная

кую во внешности отрезка (—а, а) функцию 〃(之)по граничному условию -^ = VQ (~^производная

Рис. 122.

Рис. 122.

по

по

нормали, направленной

нормали, направленной

в н у т рь области).

Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением внешности отрезка (—а, а) на внешность единичного круга плоскости^ = 占 + 川：

в н у т рь области).

Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением внешности отрезка (—а, а) на внешность единичного круга плоскости^ = 占 + 川：

(30)

Граничное условие при этом преобразуется следующим образом:

@Р@РдпдпI贵卜九长1—ei・q =I贵卜九长1—ei・q =

@Р

@Р

дп

дп

I贵卜九长1—ei・q =

I贵卜九长1—ei・q =

где на粛где на粛координатах (см. п. =需=-^asin ф, Таким образом, мыкоординатах (см. п. =需=-^asin ф, Таким образом, мы也=д(р 一也=д(р 一

где на

粛

где на

粛

координатах (см. п. =需=-^asin ф, Таким образом, мы

координатах (см. п. =需=-^asin ф, Таким образом, мы

也=д(р 一

也=д(р 一

=-^- V(^ — cos 2(p)2 + sin2 2(p = — VQa sin ф, р = |U| и ф = argU (знак минус объясняется тем, что у нас нижней полуокружности, где от V 屮 V 2几，должно быть > 0]. На основании условий Коши — Римана в полярных

) на окружности р = 1 получаем

следовательно, и 三 VQa cos 屮=VQa Re g・ находим комплексный потенциал в плоско-

сти С： w = iVQa^. Подставляя выражение g через z из (30), находим искомый комплексный потенциал в плоскости z:

(31)(31)f (z) = iVo {z — ]/z2 —。2}.

(31)

(31)

По формуле (7) п. 48 находим импульсивное давление в произвольной точке х отрезка (—а, а)

Р") = р Re f (z) = р% /а2 - ? ;(32)

в момент после удара скорости частиц на свободной поверхности (|х|> а) нормальны к этой поверхности и равны по величине

『爲卜九.11-声今『爲卜九.11-声今(33)(33)Формула (32) позволяет решить следующую задачу: тело массы m при свободном падении ударяется о воду вдоль плоской полосы ширины 2а; найти скорость V2 тела после удара, если скорость до удара равна 九 По формуле (32) на тело в момент удара действует импульсивная силаФормула (32) позволяет решить следующую задачу: тело массы m при свободном падении ударяется о воду вдоль плоской полосы ширины 2а; найти скорость V2 тела после удара, если скорость до удара равна 九 По формуле (32) на тело в момент удара действует импульсивная силар = рУ2уа2 — х2 dx = ^-^V^-р = рУ2уа2 — х2 dx = ^-^V^-(34)(34)С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = =m(V\ — %) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим:С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = =m(V\ — %) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим:mV \mV \.лря2 * 仅+f-.лря2 * 仅+f-(35)(35)У2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупругом ударе о тело массы лра2/2. В соответствии с этим лра2/2 называется присоединенной массой пластинки, ударяющейся о жидкость.Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в § 4 этой главы.50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Мусхелишвили [10].Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям,, приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряже- ния лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рис. 123, а); 6) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123,6). В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее.У2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупругом ударе о тело массы лра2/2. В соответствии с этим лра2/2 называется присоединенной массой пластинки, ударяющейся о жидкость.Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в § 4 этой главы.50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Мусхелишвили [10].Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям,, приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряже- ния лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рис. 123, а); 6) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123,6). В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее.

『爲卜九.11-声今

『爲卜九.11-声今

(33)

(33)

Формула (32) позволяет решить следующую задачу: тело массы m при свободном падении ударяется о воду вдоль плоской полосы ширины 2а; найти скорость V2 тела после удара, если скорость до удара равна 九 По формуле (32) на тело в момент удара действует импульсивная сила

Формула (32) позволяет решить следующую задачу: тело массы m при свободном падении ударяется о воду вдоль плоской полосы ширины 2а; найти скорость V2 тела после удара, если скорость до удара равна 九 По формуле (32) на тело в момент удара действует импульсивная сила

р = рУ2уа2 — х2 dx = ^-^V^-

р = рУ2уа2 — х2 dx = ^-^V^-

(34)

(34)

С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = =m(V\ — %) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим:

С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = =m(V\ — %) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим:

mV \

mV \

.лря2 * 仅+f-

.лря2 * 仅+f-

(35)

(35)

У2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупругом ударе о тело массы лра2/2. В соответствии с этим лра2/2 называется присоединенной массой пластинки, ударяющейся о жидкость.

Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в § 4 этой главы.

50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Мусхелишвили [10].

Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям,, приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряже- ния лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рис. 123, а); 6) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123,6). В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее.

У2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупругом ударе о тело массы лра2/2. В соответствии с этим лра2/2 называется присоединенной массой пластинки, ударяющейся о жидкость.

Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в § 4 этой главы.

50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Мусхелишвили [10].

Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям,, приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряже- ния лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рис. 123, а); 6) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123,6). В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее.

В общей задаче теории упругости рассматривают силы двоякого рода — массовые силы, действующие на элементы объема или массы тела (такова, например, сила тяжести), и поверхностные силы, действующие по поверхности элементов, мысленно выделяемых в теле (таково, например, давление). В плоской задаче этим случаям соответствуют массовые силы, дей

ствующие на элементарные площадки, и линейные силы, действующие на границы элементов.

от направления элемента (оно имеет тензорный характер). В чаот направления элемента (оно имеет тензорный характер). В чаМы предположим, что массовые силы отсутствуют. Линейную силу, действующую на элемент 曲，мы обозначим Fds, где 尸一силу, отнесенную к единице длины, — будем называть напряжением. Напряжение 尸 в данной точке зависит

от направления элемента (оно имеет тензорный характер). В ча

от направления элемента (оно имеет тензорный характер). В ча

стности, напряжения, отнесенные к элементам, перпендикулярным осям х и у、мы соответственно обозначим Fx и Fy. Величины Fx и Fy — векторные; для их> компонент примем обозначения

Yx и Ху, 丫力 так что

⑴⑴Fx = Xx + iYx1Fy = Xy + iYy,

⑴

⑴

причем Хх и Уу будем называть нормальными, а Ух и Х& — касательными напряжениями. В плоской задаче компоненты напряжения являются функциями двух действительных переменных хну. Можно показать, что напряжение Fn = Хп~\- iYnf отнесенное к элементу, нормаль которого л образует с осью % угол а, выражается через напряжение (1) формулой

Fn = Fx cos а + & sin а⑵

(ср. [10], стр. 31).

В теории упругости выводятся следующие уравнения равновесия, связывающие компоненты напряжения:

d厶.GXy” dYy d厶.GXy” dYy (3)(3)

d厶.GXy” dYy

d厶.GXy” dYy

(3)

(3)

доказывается также, что

招=%⑷

(см. [10], стр. 20).

Под действием упругих сил тело подвергается деформации. т. е. изменяются расстояния между точками тела. Мы

обозначим

x = fi(x, 9), y'=f2(x, у)

новые (после деформации) координаты точки (尤,у) тела и разности

〃 = £ — %, и = у* — у(5)

назовем компонентами смещения. Компоненты смещения в пл о- ской задаче являются функциями двух действительных переменных х, у. В дальнейшем компоненты смещения, а также их производные по х и у предполагаются столь малыми, что их произведениями и квадратами? можно пренебречь (малые деформации) .

Далее, величины

=exy = ^\dx"^~dy)(6>

называются компонентами деформации] величина

^ = ехх + еуу=~ + ~⑺

представляет собой поверхностное расширение при деформации (см. [10], стр.，47). По основному закону теории упругости (закон Гука) компоненты напряжения являются линейными однородными функциями компонент деформации.

Для изотропного тела *) (мы ограничиваемся лишь такими телами) эта зависимость имеет вид

Xx = M + 2(iexx, Yy = M + 2p.eyy,]

Ху = Ух = 2^еху,J⑹

где 九 и ц ——некоторые постоянные неотрицательные коэффициенты (см. [10], стр. 64). Формулы (3) и (8) представляют собой основные уравнения плоской задачи теории упругости. Это ——система пяти уравнений с частными производными первого порядка относительно пяти неизвестных функций X%, Yyr Ху)и и у двух независимых переменных х и у ).

одинаковы по всем напра-одинаковы по всем напра-тела действует еще компо-тела действует еще компо-Из этой системы легко получить уравнения, содержащие одни лишь компоненты смещения. Для этого достаточно под-

одинаковы по всем напра-

одинаковы по всем напра-

тела действует еще компо-

тела действует еще компо-

ставить выражения (8) для Хх, У& н Х& в уравнения (3); тогда с учетом (6) и (7) получим систему двух уравнений второго порядка относительно двух неизвестных и и и:

仇+ ")翁+"a"=°，仇+")需+ "A" = 0,(9)

где Д ——оператор Лапласа. После решения системы (9) напряжения можно найти простым дифференцированием по формулам (8).

Легко получить и уравнения, содержащие одни лишь компоненты напряжений. Для этого продифференцируем первое уравнение, (9) по х, второе ——по у и сложим полученные уравнения. Учитывая еще выражение (7), будем иметь (Л + ц) Д0 + + 卩 АВ = 0, откуда'

Д6 = 0.

Заметим, что из первых двух уравнений (8) и формулы (7) вытекает соотношение

8 = Ж^Г(Хх + У 就(1°)

подставив это в предыдущее уравнение, найдем:

А& + 〃) = 0.(П)

Уравнение (11) вместе с уравнениями (3) и дает искомую систему уравнений, содержащих лишь компоненты напряжений (три уравнения с тремя неизвестными функциями).

Введем так называемую функцию напряжений, особенно удобную для описания решения плоской задачи. На основании формул (3) выражения

一 Ху dx + Лх dy = dB, Уу dx — Yх dy = dA(12)

являются дифференциалами некоторых функций. Равенство ка- v VдВ дА

сательных напряжении лу и гх приводит к равенству = из которого следует, что выражение

Adx + В dy = dU(13)

является полным дифференциалом некоторой функции U(к, у), которая и называется функцией напряжений. Эта функция была введена, в 1862 г. английским астрономом Эри. Из (12) и (13) получаем следующие выражения компонент напряжений через функцию U(x,y):

器•（14）器•（14）y OB d2U v дА d2U x* = 而=可一乙=后=速，

器•（14）

器•（14）

Через функцию U (х, у) можно выразить и компоненты смещений. Подставив в формулы (8) выражения (14) для Хх, У? и X?, выражения (6) для ехх, еуу и еху, а также выражение Э = =工(九十卩j AU，которое получается подстановкой значений (14) в (10), будем иметь:

с . ди d2U入N卩 ~дх =— 2 (Л + Н)/ 0и 1с . ди d2U入N卩 ~дх =— 2 (Л + Н)/ 0и 1AU, 2卩AU, 2卩о%о%从I 0%十ду从I 0%十дуdv — d2UЛ а”~ду = 一 2 (Л + р) △"'дх ду 'dv — d2UЛ а”~ду = 一 2 (Л + р) △"'дх ду '(15)(15)

с . ди d2U入

N卩 ~дх =— 2 (Л + Н)

/ 0и 1

с . ди d2U入

N卩 ~дх =— 2 (Л + Н)

/ 0и 1

AU, 2卩

AU, 2卩

о%

о%

从I 0%十ду

从I 0%十ду

dv — d2UЛ а”

~ду = 一 2 (Л + р) △"'

дх ду '

dv — d2UЛ а”

~ду = 一 2 (Л + р) △"'

дх ду '

(15)

(15)

Из соотношений (14) следует, что Xx-^Yy = ДУ, где А — оператор Лапласа; из уравнения (11) видно теперь, что функция напряжений U удовлетворяет уравнению

дх4 十 N дх2 ду2 十 ду4 — 5дх4 十 N дх2 ду2 十 ду4 — 5(16)(16)

дх4 十 N дх2 ду2 十 ду4 — 5

дх4 十 N дх2 ду2 十 ду4 — 5

(16)

(16)

т. е., как говорят, является бигармонической функцией.

■ Мы докажем сейчас, что любую бигармоническую функцию можно представить с помощью аналитических функций комплексного переменного. Так как, с другой стороны, через бигармоническую функцию выражаются компоненты напряжения и смещения, то мы приходим, таким образом, к комплексному представлению решений плоской задачи теории упругости. На этом представлении и основываются развитые Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхел и ш в и л и методы приложения функций комплексного переменного к теории упругости.

Пусть U будет произвольная бигармоническая функция. Функция AU тогда, очевидно, гармоническая. Мы обозначим △力 через Р, через Q обозначим сопряженную к AU функцию и положим f(z)=P +，Q. Удобнее, однако, рассматривать функцию

学⑵=} J '⑵ dz = p + iq, так что学⑵=} J '⑵ dz = p + iq, так что(17)(18)(17)(18)

学⑵=} J '⑵ dz = p + iq, так что

学⑵=} J '⑵ dz = p + iq, так что

(17)

(18)

(17)

(18)

Коши — Ри-Коши — Ри-,Простой подсчет показывает, что функция P = U — px — qy является гармонической *).

Коши — Ри-

Коши — Ри-

Обозначим через % (а) аналитическую функцию, имеющую pi своей действительной частью, тогда будем, очевидно, иметь:

и = px + qy + р{ = Re {詢(z) + % ⑵}.

Переписав эту формулу в несколько ином виде, мы получим искомое комплексное представление бигармонической функции：

U = 4"(2<p + z@ + x + Z) .(19)

(Э. Гу р с а, 1898 г.).

Для дальнейшего полезно найти также представления частных производных функций U. Дифференцируя (19) по х и (г и z мы считаем при этом промежуточными переменными и д _ дд _ d一八

пользуемся тем, чтои —р

получаем:

雾=》(<Р + 2<р'+ @ + Z@‘+ %，+ М),

ди i(20)，

须=彳(一<Р + z<p' + @ — Z0，+ %，一父)，

откуда

浆 + '芻=学⑶ + Z<p'⑶ + i^L(21)

где положено 屮(之)=父(之)・ Дифференцируя (20), находим:

厶°=察 +器=2(q/ + U) = 4Re[q/(z)]).(22>

Перейдем к комплексному представлению компонентов смещений и напряжений. Заменим в первых двух формулах (15} nQ д2и д2и п д2и т“

Aи = a 河=p-港，^=尸一正。 так как из (18) г* а др a dq имеем: Р = 4= 4, то

ох оу

2唔=2唔=罢+々事，2=一黑+々争,G%20% г ду ду2 1 ду

2唔=

2唔=

где 々 = 2^^^・ Интегрируя полученные соотношения, имеем:：

2卩〃=—衆 + 々Р + 九(以 2(w =—器 + 刖 + % U). (23).

. Для определения функций ^ (у) и % (%) воспользуемся третьей формулой (15). Из формул (23) находим:

"(瑞+黑)=一黑+^片(切+%(砌；

сравнив это с выражением (15), получим f； (у)+，；(％) = 0, или f\{y) = — ^2(х)- Так как здесь слева стоит функция только от у, а справа — функция только от 尤，то обе части равны одной и той же постоянной. Обозначив эту постоянную через а, будем иметь:

Л {у) = аг/ + р, %(%) = —ах+ y・

Нетрудно видеть, что смещение тела, обусловленное этими членами формул (23), является «жестким смещением», т. е. смещением тела как целого. (Действительно, вектор такого смещения 九 + j% =——aiz+G + iy.) Отбрасывая в формулах (23) эти члены как несущественные, ибо они не влияют на напряженное состояние тела, получим:

"+'° = _ 营 (嚟 + ‘器)+ 击中(*

или, используя соотношение (21), найдем в окончательном виде комплексное представление смещений'.

〃 + 历=击{”Р (z) — zq/ (z)—屮(z)};(24)

；здеськ = « — 1 = ^j|~-• Это представление было получено Г. В. Колосовым в 1909 г.

Перейдем к представленйю напряжений. По формулам (14) находим:

% =Xх + % =囁一島=一击(笠 + ‘瑞)，； 乙=乙+%=_^^ + ?諾=力糸(岩 + ^岩)

и, используя (21), получаем:

尸 х = Хх + % =(р'(2)+ ^-й^-^У，1 一因=乙一％ = q/(z) + q/(z) + z(p〃(z) + »(z). J

Складывая уравнения (26), а также вычитая из второго первое, получим формулы, также принадлежащие Г. В. Колосову и дающие комплексное представление напряжений',

Хх + 厶=2 {ф" (z) + q/ (z)} = 4 Re q/ (z), 1仍7)

Уи~Хх + 2iXy - 2 {z^ (z) + ^ (z)} J

(во второй формуле мы перешли к комплексно сопряженным величинам).

Мы видим, таким образом, что напряжения и смещения в плоской задаче теории упругости выражаются через две аналитические функции комплексного переменного (p(z) и -ф(г), ■ В заключение выясним, насколько определяются зтн функции заданием напряженного состояния и смещений. При заданном напряженном состоянии функция q/(z) определяется из первой формулы (27) с точностью до чисто мнимой постоянной, ибо действительная часть этой функции задана. Отсюда следует, что все функции, которые могут играть роль функции ф, выражаются через одну из них формулой

中⑶+(I泛+儿(28)

где а/ — чисто мнимая и 6 = 0 + iy — комплексная постоянная. Вторая из формул (27) определяет тогда 卡⑶，следовательно, совокупность функций 屮 описывается формулой

屮(z) +仇，(29)

где 仇=Н + 电一комплексная постоянная. .

Очевидно, и обратно, напряженное состояние не изменится, если заменить ф и -ф соответственно через ф + aiz + Ь и 屮 + 匕，

Пусть теперь заданы компоненты смещения. Из формул (6) — (8) видно, что тогда определяются и компоненты напряжения. Поэтому допустимо заменять функции 中 н 屮 только с помощью формул (28) и (29). Но, как показывает формула (24), при такой замене и -\- iv изменяется на величину

6〃 + i6u = -^_ cuz Я两丄， .(30)'

следовательно, мы имеем дело лишь с жестким смещением всего тела, которое условились не учитывать.

Формула (30) показывает, что не изменяют смещений лишь такие замены функций ф и -ф вида (28) и (29), для которых

а = 0, иЬ —瓦=0.(31)

Таким образом, при заданных смещениях постоянная а определена вполне, а из двух постоянных b и by можно1 задавать произвольно лишь одну.

Краевые задачи теории упругости. Формулы Колосова (24) и (27) предыдущего пункта представляют общее р е- ш е н и е основных уравнений (3) и (8) плоской задачи теории

(Р cos а + Q sin а) ds(Р cos а + Q sin а) ds噺"噺"

(Р cos а + Q sin а) ds

(Р cos а + Q sin а) ds

噺"

噺"

упругости ). Однако именно в силу своей общности эти формулы не дают непосредственного решения практически важных задач, которые всегда приводят к некоторым условиям, налагаемым на значения рассматриваемых величин на границе области, т. е. к краевым задачам.

Основные краевые задачи плоской теории упругости формулируются следующим образом:

Первая краевая задача (I). Найти упругое равновесие области D при заданных внешних, напряжениях Xnt Уп, приложенных, к границе С этой области.

Вторая краевая задача (II). Найти упругое равновесие области D при заданных смещениях, и и v точек границы С этой области.

Рассматривают также смешанную краевую задачу, в которой на одних частях границы области задаются напряжения, а на других — смещения.

Докажем единственность решения задач I и II, рассматривая для простоты случай, когда область D односвязна и ограничена. Рассмотрим интеграл

7 = J (Х„и + У„и) ds, (1)

С

распространенный по границе С области D (он означает физически работу упругих сил, действующих на контур С). Заменяя Хп и Уп по формуле (2) предыдущего пункта, мы запишем этот интеграл в виде

7=J {(Ххи + У%и) cos а + (Хуи + Yyv) sin а} ds. с

Но по двумерной формуле Остроградского ) наш интеграл преобразуется в двойной, распространенный по области D:

/ = j j{累(Х*а+ У%?) + 舒(Х/ + Yyv)^dx, dy =

+居票+招(黑+黑)器}dxd〃 ⑵

где а ——угол, образованный нормалью к С с осью х.

В силу формулы (3) п. 50 первые два члена подынтегральной функции в интеграле (2) равны 0; заменяя еще Хх, Ху, Уу по формулам (8), а 石，丽，京по формулам (6) п. 50 и используя обозначение (7) того же пункта, получаем:

/ = 口 州2 + 2M曦 + 2% + %)} dx dy. ⑶

Пусть теперь в области D можно построить два решения Xj •••,?' и XJ, ..., и" одной краевой задачи I. Так как основные уравнения (3) и (8) п. 50 линейны, то разности Х『Х[ — X] …，？ = / — ?〃 также будут давать решение плоской задачи теории упругости, причем, в силу краевых условий, на линии С будет Хп = Yn = 0. Поэтому интеграл (1), а следовательно, и (3), равен 0. Но под знаком интеграла (3) стоит неотрицательная функция, следовательно, этот интеграл может равняться 0 лишь в том случае, когда в области Q тождественно Q = ехх = еху = еуу = 0. Тогда из формул (8) п. 50 мы заключаем, что в области D тождественно Хх = Уу = == 0, т. е. что напряженные состояния X：, У；, X； и XJ, У/, X； совпадают ). Единственность решения краевой задачи I доказана.

Доказательство единственности решения краевой задачи II проводится совершенно аналогично ), с той лишь разницей, что обращение в нуль интеграла (1) мотивируется обращением в нуль смещений и и и на линии С.

Покажем теперь, как решение задач I и 11 сводится к решению краевых задач теории аналитических функций. Так как, по доказанному в предыдущем пункте, напряженное состояние полностью определяется через две аналитические функции(р(г) и 屮(z), то и решение наших задач должно выражаться через эти функции. Пусть по-прежнему область D односвязна и ее граница обозначается через С.

В задаче II граничное условие записывается непосредственно с помощью формулы (24) п. 50

х<р (D — S' (9 — ¥7D = 211g ©, (4)

где х и 卩—постоянные коэффициенты, a g(^)= 〃+iu — заданное на контуре С смещение.

Таким образом, решение задачи II плоской теории упругости для области D сводится к отысканию в этой области двух ана~ литических функций cp(z) и 屮(之),связанных на ее границе С краевым условием (4).

Для задачи I заметим прежде всего, что из формул (2) и (25) предыдущего пункта вытекает формула для вектора напряжений, отнесенного к элементу, нормаль которого образует угол а с действительной осью:

典= _《cosa^ — sina/)(^ + i^) =

一浸(卷+嚼).(5) где一 cos卜 + 专)亲+S也(« + T)^---• символ производ

ной в направлении элемента.

Из этой формулы вытекает, что на контуре С

s

dU dU •「匕」I小

J Fnds + A,(6)

О

тде s — длина дуги С, отсчитываемая в положительном направлении от некоторой фиксированной точки, и А — произвольная постоянная. В задаче I значения Fn на контуре С заданы, поэтому известна функция

i j Fnds^f(Q=fl^ + if2&-⑺

О'

Подставляя это в соотношение (6) и пользуясь формулой (21) предыдущего пункта, найдем краевое условие задачи I в виде 黑+‘瑞=中(9+白^+稲=〃? + 4(8)

где f(g) — известная функция и А — произвольная постоянная. Таким образом, решение задачи / плоской теории упругости сводится к отысканию в области D двух аналитических функций (р(2) 〃 W(w), связанных на ее границе С краевым условием (8).

Выясним вопрос о числе параметров, остающихся свободными в рассма- т'риваемых краевых задачах. Как мы видели в конце предыдущего пункта, при задании напряжений (задача I) ф определяется с точностью до слагаемого вида aiz + b, а 屮一с точностью до постоянного слагаемого 瓦(а дейетви- тельно, 6 и 6t комплексны), а при задании смещений (задача II) (р н 屮 определяются с точностью до постоянных слагаемых b и blt связанных соотношением Кь =瓦.

Отсюда следует, что в задаче II эти функции вполне определяются заданием одной из них в какой-либо точке области, например условием

中(0)=0(9)

(мы предполагаем, что точка 2 = 0 лежит внутри D). В Задаче I при допу- 丄 dU 、 .dUе

стимых изменениях 中 н р функциякак видно из (8), меняется

на b + 51, так что задание постоянной Л накладывает одну связь на Ь и 瓦. Поэтому в задаче I при заданной величине Л остаются свободными один комплексный и один действительный параметры и можно, например, задать условия

2 (0) = Im d (0) = 0.(10)

В заключение опишем изменения, которые вносятся в постановку краевых задач в случае неограниченных или многосвязных областей. Пусть сначала- область D ограничена и ее граница состоит из замкнутого контура Со, содержащего внутри контуры С], С2, ..., Сп. Из физических соображений ясно, что напряжения и смещения остаются в этом случае однозначными, однако функции ф и гр могут оказаться многозначными. Выясним характер их многозначности.

Из формулы Колосова X* + У? = 4Re q/(z) следует, что Req/(z) однозначна, но Im ^(г) при обходе каждой из внутренних кривых Сц против часовой стрелки может получать приращение, которое мы обозначим 2冗口丸 (см. п. 41). Отсюда следует, что функция q/(z) будет при этом получать- приращение 2冗，。儿 н> значит, функция

中‘⑵一5 4Ln(z —%) = ©(z),(Н>

A=l

где гА—точка, лежащая внутри Сл, будет однозначной в D. Интеграл

J ф (z) dz в области D также может оказаться многозначной функцией, причем эта многозначность будет вызвана членами вида 6л Ln (z — zQ. Таким образом, интегрируя соотношение (11), мы получим, что

■ ф (-г) = 2。庐 Ln (z —勺)+ £ bk Ln (z — zQ + Ф* (z).(12>

A=1A=1

где ф* (г)—функция, однозначная в D,。丸一действительные и Ь^—комплексные постоянные.

Как видно из (11) или (12), функция 屮"(z) однозначна в D. Из второй формулы Колосова (27) п. 50 мы заключаем тогда, что гр^г) —однозначная функция, и следовательно,

2 (z) = £ % Ln (z — zj + 2* (z),(13)

A=1■

где 2* (z) однозначна в D и с丸—комплексные постоянные.

'До сих пор мы пользовались только однозначностью напряжений. Из полученных формул (12) и (13) и из формулы (24) п. 50 видно, что при обходе СА функция 2ц(〃 + »и) получает приращение, равное приращению функции иал2 Ln (z — 2丸)+ 况6丸 Ln (z — 2丸)—zah Ln (z — 2在)—Ch Ln (z — zn)\

т. е. равное 2л7 ［(乂 + 1)。电2 + 乂匕也 + ^也］,где z — точка D, в которой начинается и кончается обход. Условие однозначности смещений приводит, следовательно, к условиям

% =a% =一吗 (⑷

и функции 屮 н 巾 принимают вид

п

中® =工匕Ln (2一%) +中* (*

巾(之)=-Y X % Ln (之一啕+巾， (* A=1

где ф* и — однозначные функции, а 6也一комплексные постоянные.

Коэффициенты 6也 имеют простой механический смысл:

F(出

% = - 2к(1 +〃)，(16)

где 尸陋)一главный вектор внешних условий, приложенных к См В самом деле, по формуле (6) этот вектор равен

/)П_］》=匕(岩+嚼)，(⑺

где Дс^ — приращение при обходе Cft (знак — перед интегралом объясняется тем, что мы рассматриваем вектор внешних усилий). По формуле (21) п. 50 мы получаем отсюда•

f阳=込詳{屮⑵+2屮'⑶+巾⑶} = - 2Л(1 + Y)%.

В задаче I коэффициенты 6电 заданы, а в задаче II они остаются неизвестными.

Граничное условие (4), к которому приводится решение задачи II, для -многосвязных областей не изменяется, в то время как условие (8), к которому приводится задача .1, нуждается в некотором уточнении. В самом деле, значения постоянной А на различных граничных контурах могут оказаться различными, так что это условие следует теперь записывать в виде: на Ск

<T 化)+ &W) +项=/隽)+&, (8')

где Ла — постоянные (々 = 0, 1, .... п). Более подробный анализ показал бы, что одну из этих постоянных можно задавать произвольно, а остальные определяются условием однозначности смещений.

Отметим еще, что как явствует из физических соображений, решение задачи I может существовать лишь в том случае, когда главный вектор и главный момент всех внешних усилий, заданных на полной границе С = Со + Cj~ + + °7 области, равны нулю. Условие равенства нулю главного вектора по формуле (7) равносильно равенству нулю полного приращения заданной на границе функции f =力 + i%：

(18)(18)J Fnds = i^c{fl^) + if2 @} = 0

(18)

(18)

(в случае односвязной области оно выполняется автоматически, если заданная функция непрерывна). Условие равенства нулю главного момента

J (*Уп — уХп) ds = 0 с

легко преобразовать, если заметить, что по формуле (7) Xnds = d%, Ynds = =——dfi и, следовательно, после интегрирования по частям это условие принимает вид:

J (xYn —以九)ds = — ％ ｛峭 © + 川2 (切 + j hdx + f2dp = °，

С учетом условия (18) это условие можно переписать в виде

J fi dx + f2 dp = S(19)

с

Если область неограниченная и содержит точку z = оо внутри, то все наши рассуждения останутся в силе, если к рассматриваемым суммам добавить еще член вида b Ln 2, соответствующий обходу бесконечно удаленной точки. Коэффициент b выражается через главный вектор F внешних усилий, приложенных к границе области:

2л (1 + х)

—в отличие от случая ограниченной области он не обязан равняться нулю. Этот вектор считается известным: в задаче II он должен быть задан, а в задаче I определяется по заданным внешним напряжениям.

Если предположить, что напряжения остаются ограниченными в бесконечности, то из формул Колосова (26) п. 50 видно, что главные части лора- новских разложений ср* (z) и 3*(?) в бесконечности могут содержать лишь первые степени z. Таким образом, в рассматриваемом случае выражения для функций ср н 3 принимают вид

ср ⑶=£ bk Ln (z — zft) + 6 Ln z + Гг + 屮。⑶，

2 ⑵=_ 乂 ± 5左 Ln (z - 2也)一比5 Ln 2 +『2 + 2 ⑶,

где bh н b определяются по формулам (16) и (16'), а 屮0 H 心。一функции, однозначные в D и правильные в бесконечности. Постоянные Г и Г", как видно из формул Колосова (27) п. 50, выражаются через напряжения в бесконечности:

Xr + yj = 4Rer, у^-х^ + 2iX^ = 2Г\(21)

В случае задачи II они считаются заданными; в случае задачи I задаются Re Г и Гх (можно доказать, что Im Г на распределение напряжений не влияет).

Случай, когда область D содержит бесконечно удаленную точку на границе, в общем виде мы рассматривать не будем, а ограничимся случаем. Когда D представляет собой нижнюю полуплоскость. Мы принимаем здесь 1ак же, как и в предыдущем случае, что в окрестности tovkh z = оо：

ф(2)= 6 Ln 2 + ф*(2),2(2)= С Ln 2 + 2*(2),

г乖(р и ip* — однозначные функции, a Z? и с — комплексные постоянные. Отсюда, используя формулу (17), находим вектор внешних усилий, приложенных к большому отрезку Cr： —Ri V 力 V R2, оси х

尸出=込Cr仰⑶+绅G) +p⑶) = je出-—y- + ЬЛ/ + c In贯 — dm) + £，

где £->0 при Ri, R?f °0* Потребуем, чтобы это выражение оставалось ограниченным, когда R】，R2f 00 независимо друг от друга. Тогда

+ с = О

и предыдущая формула даст в пределе вектор внешних усилий, приложенных, ко всей оси х:

F = л (ё — b).

Таким образом,

1 一

b = -^F' с =云尸；

предполагая еще, что напряжение и вращение в бесконечности равны О (т. е. что Г = Гу = 0), вместо формул (15) имеём:

①(z)=一 击fLn z +屮0⑶，J

]— f(22>

W Q)=亏尸Ln z +屮0⑶，J

где(ро(г) и 耽(2)—функции, однозначные в Z)и правильные в бесконечности.

3. Интеграл типа Коши и краевые задачи

В этом параграфе излагаются основные свойства интеграла типа Коши и основанные на них эффективные методы решения различных краевых задач теории функций комплексного переменного. В конце параграфа приводятся приложения этих ме

тодов к некоторым задачам гидродинамики и теории упругости.

В основе этих методов лежах формулы для граничных значений интеграла типа Коши, которые получены в 1873 г. Юлианом Васильевичем Сохоцким *), но затем были незаслуженно забыты и получены вновь Племелем в 1908 г. и в более общих предположениях И. И. Приваловым в 1918^г. В настоящее время методы решения краевых задач математической физики, основанные на интегралах типа Коши, наиболее успешно развиваются в работах Н. И. Мусхелишв и-л и, И. Н. В е- к у а, А. В. Б и ц а д з е и др.

. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого. Интеграл Коши

f①典f①典(1)(1)

f①典

f①典

(1)

(1)

представляет функцию, аналитическую внутри замкнутого контура С, через ее значения на границе (см. п. 14). Предположим теперь, что С — произвольная кривая без точек заострения (это существенно для дальнейшего), не обязательно замкнутая, и на ней задана произвольная функция f(g), непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, где она имеет интегрируемый разрыв.

Интеграл

尸(z)=嘉j零？'⑵

С

построенный так же, как и интеграл (1), называется интегралом типа Коши.

Повторяя в точности рассуждение п. 17, мы убедимся в том, что интеграл типа Коши представляет собой функцию, аналитическую в любой точке z, не лежащей на кривой С. При этом если С разбивает плоскость на несколько областей, то в этих областях интеграл типа Коши определяет, вообще говоря, различные аналитические функции. Например,

丄 「 典

2л( J 白一с

1门=1

равен 1 всюду в круге |z| V 1 и 0 — вне круга.

Легко понять, что даже в случае замкнутого контура С интеграл типа Коши в общем случае не является интегралом Коши, т. е. значения функции f(g) не будут предельными для значений 尸(z) при z—*^. В самом деле, как мы видели в п. 43, задание на границе области одной лишь действительной части аналитической функции определяет действительную часть внутри. Тогда из уравнений Коши — Римана внутри области с точностью до постоянного слагаемого определяется мнимая часть функции, а следовательно, и ее предельные значения при z, стремящемся к границе области. Поэтому, когда на границе задаются две ничем не связанные между собой функции — действительная и мнимая части функции j(g),— то в общем случае нельзя и ожидать, что 尸(z) при z—>^ стремится к заданным значениям.

Чтобы изучить вопрос о граничных значениях интеграла типа Коши, мы прежде всего выясним смысл, который можно придать этому интегралу, когда точка z лежит на линии интегрирования С. Если точка z лежит на С, то интеграл (2), вообще говоря, расходится, ибо его подынтегральная функция обращается в бесконечность при g—>z. Однйко в некоторых дополнительных предположениях, наложенных на f(g), этому

интегралу можно придать вполне определенный смысл. Предположим, что в некоторой точке g = * контура С функция f(g) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 卩 V 1:

(方)Существует постоянная М, такая, что для всех точек 扌 на линии С, достаточно близких к ^0, имеет место неравенство

Рис. 124.Рис. 124."(9T&)HM|gToK 0VN&L (3)

Рис. 124.

Рис. 124.

Условие Гёльдера, очевидно, выражает тот факт, что приращение функции является малой порядка не ниже ц относительно приращения аргумента.

Покажем, что в принятом условии интеграл типа Коши существует и при z=go, если его понимать в некотором особом смысле, и найдем его выражение через

обычный интеграл. Предположим сначала, что ^0 не является угловой точкой линии С, и обозначим через ? и g〃 точки пересечения С с окружностью |z — go| = r, через с — отрезок кривой С между ? и 丁，через а и Ь — концы С (рис. 124). Имеем:

C—cС—сС—c

Ho

J 占= ln(W-3E' + ln(W-3& = ln|E^-ln@，

где под In на дугах 或‘ и g"b понимаются две какие-либо ветви логарифма, непрерывно изменяющиеся на этих дугах, причем для определенности принято, что значение 1口(白〃——go) получается непрерывным изменением из 1п (^ — “)，когда точка ^ описывает дугу окружности |z ——go| = r слева от линии С. В силу последнего условия и того, что | ^——go| = =1 丁一“I，нмеем:

lim In * — ? = — (5) r->0 G — go

С другой Гёльдера, ществует

стороны, при достаточно малых г, в силу условия имеем产°)К » 一 j ； следовательно, су-

16 — Со 11 ь — ьо 1

lim [(6) C-rС

причем последний интеграл можно понимать в обычном смысле. Таким образом, формула (4) принимает вид:

J =J '(^ ^0)di + f (Co) In + inf (Co) + О (г),⑺ C—сC

где O(r)—>0 при>0.

Из формулы (7) видно, что существует предел

Нт「冷

rfO^J С — 6。 g G —Go

этот предел называют главным значением интеграла, а сам интеграл, определяемый формулой (7) при таком предельном переходе,—особым интегралом (в смысле Коши). В нашем определении особого интеграла существенно, что дуга с, выбрасываемая из С, стягивается в точку go по вполне определенному закону (так, что ее концы при любом г лежат на окружности \z — ge| = r); если с стягивается в точку по другому закону, то предел (7) может и не существовать. Напомним, что в обычном определении несобственного интеграла требуется, чтобы предел (7) существовал при с—Со по любому закону. Отсюда ясно, что если интеграл существует в обычном смысле, то он существует и как особый, и его главное значение совпадает со значением обычного интеграла *). Обратное, очевидно, не верно.

Поясним определение простым примером. Интеграл

-1-1

-1

-1

взятый по отрезку (—1, 1) действительной оси, как известно, не существует. Однако он существует как особый интеграл в смысле Коши, ибо предел

吧冬+ /勺卜吧｛^+用=。

существует (мы выбрасываем из отрезка (—1, 1) отрезок (—г, г) в соответствии с определением особого интеграла).

Переходя в формуле (7) к пределу при г —>0, получаем следующую теорему:

Теорема 1. Если в точке ^0, которая является правильной точкой контура С и отлична от его концов, функция f(g) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 卩《1, то интеграл

типа Коши существует в этой точке как особый, и его главное значение выражается через обычный интеграл по формуле

尸&7曾二

=壶J^^粤臂+ ^+欝m导.(8)

Если, в частности, кривая С замкнута, то можно принять a—bt тогда член с логарифмом исчезнет и формула (8) примет более простой вид

尸&)= 费/罢普=*/%^臂+ ^(統(9) С с

Пусть теперь “一угловая точка кривой С； обозначим через а угол между касательными к С в этой точке, измеряемый слева от линии С (рис. 124). Вместо формулы (5), учитывая наше условие о связи ветвей логарифма, будем иметь:

lim In 匕一«。= — ia. r->0 } —go

Тогда вместо (8) получим формулу

f紛=击^^^^ +若〃歸+要m鼻.(10) с

Перейдем к изучению предельных значений интеграла типа Коши при г, стремящемся к линии интегрирования С. Докажем предварительно следующую лемму:

Лемма. Пусть функция f(C) удовлетворяет в точке ^0 условию Гёльдера с показателем * W 1 〃 точка z стремится к ^0 так, что отношение Л = |z — Ео| к d — кратчайшему расстоянию z от точек С— остается ограниченным. Тогда

lim2->Соlim2->Соf 隽)一 f (Gf 隽)一 f (Gf⑹一f偽) V — Wof⑹一f偽) V — Wo(11)(11)

lim

2->Со

lim

2->Со

f 隽)一 f (G

f 隽)一 f (G

f⑹一f偽) V — Wo

f⑹一f偽) V — Wo

(11)

(11)

Для доказательства оценим разность А между интегралами в левой и правой части (11):

丿go)

Разобьем интеграл А на два, из которых первый распространен на дугу с кривой С, для точек которой |匚——Co|W6, где 6 — некоторое число, подбор которого мы уточним далее, а второй— на оставшуюся часть .С = С — с,

Для первого интеграла, пользуясь условием Гёльдера (мы считаем, что 6 достаточно мало) и тем, что 愕一z|>d, получим:

1 Jd J 备厂以

Обозначим через f=|白——第| длину хорды, стягивающей дугу Mog кривой С. Так как С не имеет точек заострения, то отношение длины дуги к длине стягивающей ее хорды ограничено. Пусть это отношение не превосходит А, тогда |d^| = 2s & 4 df, и последняя оценка принимает вид

|А]| = 2^ЛЫ J 爲= const・y.О

Отсюда видно, что 6 можно выбрать столь малым, чтобы величина IAi| не превосходила любого заданного числа е/2.

Так как, далее, кривая С' не содержит точку 二о, то при фиксированном 6 интеграл

J f f (С。)或

как функция 2 непрерывен в точке 第,следовательно, для достаточно малых 力=|z ——^о| величина |А" будет также не превосходить е/2. Для таких А имеем |Д|<!| Ai| + |Aaj < е, что и доказывает лемму.

С помощью этой леммы легко получить и формулы для предельных значений интеграла типа Коши.

Теорема 2 (Ю. В. Сохоцкий). Пусть точка ^о является правильной точкой контура С и отлична от. его концов, функ.~ 'ция /(? удовлетворяет в этой точке условиюГёльдера с показателем к《1 〃 2—Мо так, что отношение Kfd остается ограниченным. Тогда интеграл типа Коши обладает предельными значениями 尸十隽 0) 〃 尸一(白0),к которым он стремится при 2-*第 слева и соответственно справа от С, и

尸+&)=尸圖) + 2©,

1(12)

F-偽)=尸圖)一/3，

где 尸(第)一особый интеграл (9)*).

Пусть сначала С ——замкнутая кривая, проходимая в положительном направлении. Имеем:

ссс

причем по доказанной лемме первый интеграл в правой части при 2- go стремится к пределу

С

а второй интеграл равен 2市，или 0, смотря по тому, лежит ли точка г слева или справа от контура С (т. е. внутри или вне С). Учитывая это, мы перейдем к формуле (13) к пределу при 2—>^о (слева или справа от С):

戸(S=£jL*二豈汕dg + f@)；

尸飞。)=1M 吃*•现. с

Подставляя сюда значение интеграла из формулы (9), получим искомые формулы Сохоцкого (12),

Если теперь С ——незамкнутая кривая, то мы дополним ее произвольной линией О до замкнутой кривой С° = С + С' и положим f(g) = 0 на линии С'・ Тогда, очевидно,'

и если * не совпадает с концом кривой С, то по только что доказанному будут справедливы формулы Сохоцкого (12), в которых интеграл 尸(Со) берется вдоль Со* Но так как f(J) = O на кривой С', то последний интеграл можно заменит^ интегралом вдоль С. Теорема доказана *).

Если go является угловой точкой С с углом между касательными, равным а, то, используя вместо (9) формулу (10) (в ней надо положить а = Ь), получим формулу Сохоцкого в несколько

52]

§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

293

более общем виде：

尸+ (£о) =尸僞)+ (1 —許)f (So)»

c(14)

F~(^ = F^-~f(^

Из формул Сохоцкого (12), а для случая угловой точки —— (14) заключаем, что при переходе через линию интегрирования С 8 точке go интеграл типа Коши испытывает скачок:

尸 &)-『&) = /&>)•(15)

Формула (15) содержит решение проблемы, поставленной в начале пункта, о нахождении условий, при которых интеграл типа Коши является интегралом Коши. Мы видим, что если кривая С замкнута и в каждой ее точке F_(g) = 0, то предельное значение F{z) изнутри С, т. е. F+(g), равно /(g), а это и означает, что F(z) является интегралом Коши. С другой стороны, если F(z) является интегралом Коши, то F+(6 = f(g) и, следовательно, F_(^) = 0. Таким образом, условие

尸飞) = 0,(16)

выполняемое в каждой точке С, является необходимым и достаточным для того, чтобы интеграл (2) был интегралом Коши. Это условие, очевидно, одновременно является и условием того, что заданные на С значения f(g) являются граничными значениями функции, аналитической внутри С. Его можно высказать в более удобной форме.

Теорема 3. Если функция f(g) 8 каждой точке замкнутого контура С удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 卩 &1, то для того, чтобы ее значения являлись граничными значениями функции, аналитической внутри С, необходимо и достаточно выполнение следующих равенств'.

]門也)虑=0 (n = 0, I, 2, ...).(17)

С

В самом деле, так как для больших |г| 丄_宁上

C - Z Z V *乙产，

n=0

то для интеграла типа Коши в окрестности бесконечно удален* ной точки имеем разложение

СдоС

Отсюда следует, что если выполнены все условия (17), то в окрестности бесконечно удаленной точки 尸(z)eO. Но так как интеграл типа Коши 尸(％) аналитичен всюду вне контура С, то по теореме единственности п. 20 отсюда вытекает, что 齐⑶三 О всюду вне С. Таким образом, внешние предельные значения 尸一&)曰0, т. е.尸+&) = /&) и значения /(£) являются граничными значениями аналитической внутри С функции.

Обратно, если значения f(g) являются граничными значениями функции, аналитической внутри С, то для любой точки z, лежащей вне С, дробь ・£_^ как функция точки g будет аналитической внутри контура С и непрерывной на нем. Тогда по теореме Коши для всех таких z

f亿）弱f亿）弱оо

f亿）弱

f亿）弱

о

о

и, следовательно, в разложении (18) все коэффициенты равны 0.

Это и есть условия (17); теорема доказана.

Очевидна также следующая

Теорема 4. В условиях предыдущей теоремы необходимым и достаточным условием того, чтобы-значения f(g) были граничными значениями функции, аналитической внутри С, яв

ляется равенство

聲=。聲=。(19>(19>

聲=。

聲=。

(19>

(19>

для всех точек z, лежащих вне С.

Рассмотрим теперь условия того, что заданные на С значе* ния являются граничными значениями функции, аналитической вне С. Прежде всего заметим, что если функция f(z) анали* тична вне С, включая бесконечно удаленную точку, и непрерывна на самом контуре, то имеет место следующая формула Коши для неограниченных областей:

1 f 〃0 弱 -f(z)+f(8)для z вне С,

2冗力 J J — 2 —I f (оо) для z внутри С ' ，

(контур С обходится против часовой стрелки).

В самом деле, если точка z лежит вне С, то мы окружаем О замкнутым контуром С, содержащим внутри эту точку, и к двусвязной области, ограниченной С и С, применяем интеграль* ную формулу Коши п, 14:

f(N)= Rj

]「 f (C)北

2ni J £ — 2

(оба контура проходятся против часовой стрелки). Так как в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение /

f (€) = Q + 告 + ... + 爸 + - • •»

где Q = f(8), то вычет функции 盡^ в бесконечно удаленной точке равен —с0 = —f(оо) и, следовательно (см. п. 24), 朝 J J^r^ = f(8), что и требуется.

Если же z лежит внутри С, то функция ^^ аналитична между С и С", следовательно, то теореме Коши

「f ©弘「f ©弘f化）/f化）/оо

「f ©弘

「f ©弘

f化）/

f化）/

о

о

и учитывая предыдущий результат, мы получаем вторую формулу (20).

На основании полученной формулы легко доказывается

Теорема 5. В условиях теоремы 3 необходимым и достаточным условием того, чтобы значения f&) были граничными значениями функции f(z), аналитической вне С, является равенство

Г = а = const(21)

с

для всех точек z, лежащих внутри С, причем постоянная в правой части равна f(8).

Необходимость условия содержится в формуле (20). Чтобы доказать его достаточность, заметим, что функция

尸⑵=尸⑵=12п/12п/

尸⑵=

尸⑵=

1

2п/

1

2п/

аналитична вне С, причем из условия (21) следует, что ее предельные значения изнутри F+(^) = 0, а значит по формуле Со- хоцкого 尸一(£) = f 隽).Теорема доказана.

В заключение приведем несколько иную формулировку теорем 4 и 5, относящуюся к случаю, когда кривая С представляет собой единичную окружность.

Теорема 6. Для того чтобы значения функции f(£), удовлетворяющей в каждой точке единичной окружности С условию Гёльдера с показателем 卩《1, были граничными значениями функции, аналитической соответственно а) внутри круга

121Vl или б) вне его, необходимо и достаточно выполнение условий'.

для всех z внутри С

击 J 假譽= & = const,(22)

С

где а равна значению упомянутой функции при 2 = 0, или

для всех 2 вне С

_L_JWA = 0.(23)

Для того чтобы свести эту теорему к предыдущим, достаточно заметить, что функция

аналитична вне круга |z| V 1, если F(z) аналитична внутри этого круга, и следовательно, на окружности |w|= 1, где 匕= =1/С, предельные значения функции Fj (z) извне комплексно сопряжены предельным значениям функции F(z) изнутри (и обратно).

Краевая задача Гильберта—Привалова. И. И. Привалов) в 1934 г. поставил и решил следующую краевую задачу:

На замкнутой кривой С заданы две комплексные функции а(^) #= 0 и Ь(С), удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем rWL Требуется найти две функции, из которых одна^ f-(w), аналитична вне С, включая точку z = оо, а другая,产(z), аналитична внутри С; граничные значения f~(^) и f+(g) этих функций на С должны существовать и удовлетворять соотношению

厂也)=a依)广(»+b@(1)

Частный случай этой задачи, когда Ь(С)三 0, т. е. когда гра* ничное соотношение имеет вид:

厂® = a(g)f+(g)，(2)

решил Д. Гильберт) в 1905 г. Краевая задача Гильберта—Привалова находит важные приложения в различных вопросах математической физики (см. п. 55). Следует отметить, что решения Гильберта и Привалова были неполными. Полное

и весьма простое решение дал в 1938 г. Ф. Д. Г а х о в [13]. Это решение мы и приводим здесь.

Начнем с решения задачи Гильберта (2). Назовем индексом функции а (С) целое число, равное деленному на 2л полному изменению ее аргумента при обходе С:

4rAearga/X^Jdlna©(3)

Предположим сначала, что индекс равен 0, т. е. что функция In а (С) однозначна на контуре С. В этом случае решение легко найти. Построим интеграл типа Коши

⑷⑷

⑷

⑷

и обозначим 尸一(2)и 尸+(2)функции, которые этот интеграл определяет, соответственно, вне и' внутри 2, тогда решением будет

广(z) = Ae~F~M,广⑵=+ ⑵， (5)

где А——произвольная постоянная (из формулы (18) предыдущего пункта следует, что р-(оо) = 0, следовательно, А = =广(8)).

Действительно, функции 尸一(2) и 尸+(z) аналитичны соответственно вне и внутри С и обладают предельными значениями ). связанными формулами Сохоцкого

尸飞)= F(Q-^\na © F+ (° =尸也)+ } Е а 也)，

где 尸(匕)—главное значение интеграла (4). Потенцируя последние формулы и используя (5), найдем:

厂 © = А ]/顽 e-F ©,广(9 = -7= e-尸 ©,

откуда рг^у- = а (?), что и требуется.

Докажем единственность построенного решения с точностью до постоянного множителя А, Если существует второе решение f『(2), то в силу того, что функции (5) не обращаются в 0, будут аналитическими (в соответствующих областях) функции

疗（2）产Q）疗（2）产Q）= g±3)・ В силу граничного условия (2) на контуре С

疗（2）产Q）

疗（2）产Q）

g~ (?) г (?) f+(G)1

-工 "一 一 a (l) g+ (G)/，G)厂(@ a (G)

следовательно, по принципу непрерывного продолжения g-(z) и 寸(之)образуют одну аналитическую в полной плоскости г функцию g(z). По теореме Лиувилля g(z) = const, что и доказывает утверждение.

Пусть теперь lna(g) неоднозначная функция и ее индекс —/г отрицателен; для простоты письма предположим еще, что С содержит начало координат внутри себя. Тогда индекс функции

aK) = g%(D

будет равен нулю, ибо

Ac arg a, (?) = Ас arg 广 + Ас arga 也)=2лп — 2лп = О, и краевое условие (2) запишется в виде

厂@ =刍謬■广(»⑹

Будем искать решение задачи в виде произведения двух функций

产(z) = f；⑵若(z)..(7)

Пользуясь произволом в выборе одной пары, подберем функции f： (г) так, чтобы выполнялось соотношение

"© = %售)斤©(8)

Так как индекс функции a】(g) равен нулю, то можно воспользоваться уже полученным результатом, т. е. положить

"⑵= еТ「а), f+{z) = e~^^(9)

где 吊(z)— интеграл типа Коши, построенный по граничным значениям Inai(^) (см, формулы (4) и (5); мы приняли 4=1). Остается выбрать функции f^ (г) так, чтобы на кривой С было

汇售)=守牙©(10)

тогда произведения (7) будут удовлетворять условию (6) (чтобы в зтом убедиться, достаточно перемножить (8) и (10)). Пусть такие функции /^ (г) подобраны, тогда в силу (10) функции

^ (г) и гп/^ (г) совпадают на С и, следовательно, образуют одну аналитическую во всей конечной плоскости функцию. Эта функция имеет в бесконечности полюс не выше л-ro порядка, так как f/(z) правильна в бесконечности и, значит, является многочленом. Таким образом,

f ~ (г) = а0 + -у- +*

f+ (z) = а^ + а^ ++%;

вспоминая формулы (7) и (9), мы можем написать окончательное решение задачи для рассматриваемого случая в виде

广⑵= ® + 3+…+景)⑴) f+(z) = (Ooz" + a]Ze + …+财)0-建气|

где

吊(z)=壶J电聲为恋(⑵

Постоянные а。, а【,.…,。箕 в формуле (11) произвольны, причем одна из них, а% определяется заданием значения /_(оо).

Итак, если индекс функции a(g) равен —п, то задача Гильберта имеет 〃+ 1 линейно независимых решений. Вводя обозначение

G±(z) = e「叶叫

эти решения можно записать в виде

G-(z), 纣(z)，…，％G-(z); I

G+(z), zG+(z)z"G+(z). J

Рассмотрим, наконец, случай, когда индекс п функции a(g) положителен. Оказывается, в этом случае задача не имеет решений, аналитических в соответствующих областях. Действительно, мы вводим имеющую нулевой индекс функцию

Как и в предыдущем случае, ищем решение в виде произведений 产(2)==f：(z)后(%)• Первую пару функций подчиняем ус

ловию

汇© = аК)^@；

f： (z) находятся с точностью до постоянного множителя, ибо индекс функции а\ (^) равен нулю. Для второй пары функций получаем краевое условие в виде

及隽)=广方隽).

Из него видно, что "⑵ и z"疔(z) образуют одну аналитическую функцию, правильную во всей полной плоскости и, следовательно, постоянную. Так как в начале координат она равна нулю (ибо внутри С эта функция совпадает* с z"疔(z)), то она тождественно равна 0, что невозможно *).

Резюмируем полученные результаты.

Теорема 1 (Ф. Д. Га хов). Задача Гильберта

厂© = a(g)f+(9

имеет 几+ 1 линейно независимых решений вида (13), если индекс ——п граничной функции 。隽)неположителен. Если же ин- деке п положителен, то задача не имеет решений, аналитических в соответствующих областях.

Перейдем к решению задачи Привалова:

га)=а(с)Г(о + &(с).(1)

Пусть сначала индекс функции。隽)равен нулю, т. е. соответствующая задача Гильберта, которая получается, если в уело- вии (1) положить 6(^) = 0, имеет единственное решение:

f^z) = e-宀，(И)

где F(z) определяется интегралом (4). Решение задачи Привалова снова ищем в виде произведения 产 ⑶=f； (z)f亡⑵，где функции ff (z) определяются формулой (14). На контуре С должно выполняться соотношение

f7f； = af^ + b = f； + ь

(мы заменили of： по условию (2) на f；). После подстановки сюда fj(g) из (14) мы получаем краевое условие для f2 (z):

疗(9 一汇亿)=-外0 尸©.(15)

*) Если допустить, что искомая функция может иметь полюс в некоторой точке, например точке z=oo, то задача будет разрешимой. Если индекс。隽) равен п, то существует единственное решение, имеющее в бесконечности полюс порядка £ п, см. Г а х о в [13].

Это краевое условие сводится к заданию скачка функции /2(2) на контуре С. Вспоминая формулу Сохоцкого (15) из предыдущего пункта, мы можем утверждать, что функция ，2(z) лишь постоянным слагаемым отличается от интеграла типа Коши

尸2(2)=-嘉 j 牢QB С

т. е.

秸⑵=4+7^⑵，(17)

где А—произвольная постоянная.

Таким образом, если индекс функции а(С) равен 0, то решение задачи Привалова представимо в виде

产⑵= e-F±«){4+匿⑵},(18)

где 尸(z) и 尸2(2) определяются формулами (4) и (16) и А — произвольная постоянная.

'Докажем единственность полученного решения. Очевидно, разность двух решений задачи (1) удовлетворяет условию (2). Отсюда вытекает, что два решения задачи Привалова могут отличаться лишь на решение задачи Гильберта. Учитывая доказанную выше единственность решения задачи Гильберта, мы видим, что любое решение задачи Привалова получается из (18) изменением постоянной А.'

Если индекс функции а&) равен —п, мы вводим функцию 0］隽)=丁《&) с нулевым индексом и ищем 产(z) в виде произведения 汴(z)愤(z), где 广(2)= ?-/ ⑵ и 尸i(z) определяется интегралом (12), а /2(2) удовлетворяет краевому условию

f；(D = ±Q(D + b(g).J

Последнему условию, очевидно, удовлетворяют функции

方(z) =&十告十...+号十 ту⑵,

疔(z) = а£ + а/"4 十...+ a„ + znF^ ⑶,

где a。, di, ..., ап — произвольные постоянные, а 尸2(2) определяется по формуле (16), в которой вместо 尸-(g) подставлена F? (g). Окончательно решение задачи Привалова в случае отрицательного индекса —п представляется в виде

(19)(19)厂⑵={a。+等+十*十月"2)卜F•⑵，

(19)

(19)

f+ (z) = {a°z" + 0z”t 十+a„ + znFt (z)} e-^ ⑵.

Как и выше, легко показать, что формула (19) содержит все решения задачи.

Если, наконец, индекс п функции а(^) положителен, то тот же самый метод приводит для f《z) к условию

汇©=喑•汗(G),

а для /2(2)——к условию

"@ = ЬМ)+ Юе寸叱

где F] (z) означает интеграл типа Коши, построенный по граничным значениям In，•声 ・ Последнему условию удовлетворяют функции

汇⑵=4 +写⑵，方(z) = -"f⑵,

где 尸2(z) определяется формулой (16), в которой вместо 尸一售) подставлена 尸「(厶). Как легко показать, нашему условию удов летворяют только эти функции. Функция 才⑵ будет правильной в точке z = 0, если эта точка является для 从 + 尸纟⑶ ну* лем порядка не ниже п.

Последнее условие можно несколько преобразовать, если разложить 尸^ (г) в ряд Тейлора по степеням z. Для этого подставляем

一-L _ —L !丄 + 三 +_|£^_ _|_

— z…十尹1十…

匕

в формулу (16) (в которой вместо 尸 стоит Fj), получаем:

Отсюда видно, что наше условие разрешимости имеет вид 『矯■ J「©臂=0依=1, 2,・・.，и) (20)

с €

(постоянная А должна быть взята равной свободному члену разложения). Таким образом, в случае положительного индекса п- задача Привалова имеет правильное решение лишь при со6・ людении условий (20).

Резюмируем полученные результаты.

Теорема 2 (Ф. Д. Га хов). Задача Привалова

厂© = a(Df+(9 + b(0

имеет семейство решений (19), зависящее от л + 1 произвольных постоянных, если индекс —п граничной функции a(g) не положителен. Если же индекс п функции a(g) положителен, т。 эта задача разрешима лишь в том случае, когда функция 6(L) удовлетворяет дополнительным условиям (20).

В заключение укажем, что изложенные здесь методы решения задачи Гильберта ——Привалова распространяются на случай незамкнутых контуров С. Чтобы получить такое распространение, достаточно дополнить кривую С до замкнутого контура Со с помощью кривой С', соединяющей концы С(С0 — =С + С'), и положить на С'

a (D 三 1, b (D = 0.

Рассмотрим для простоты случай, когда &(^) = 0 и индекс функции a(g), который определяется как изменение arga(^) при полном обходе точкой g обоих берегов разреза С в противоположных направлениях, равен нулю. Тогда решение f±(2), построенное по формулам (4) и (5) для контура Со, причем в первой из этих формул интеграл берется лишь вдоль С (ибо на Cz по нашему определению 1па(?=0), будет однозначным и аналитическим всюду во внешности кривой С (на С' краевое условие дает f+(g) = f-(g)), а на двух берегах С принимать значения f+(g) и f-(g), связанные условием (2). Отличие от случая замкнутого контура состоит лишь в том, что это решение будет, вообще говторя, неограниченным в концах линии С. Можно, однако, показать, что если a(g) удовлетворяет условию Гёльдера, то это решение при приближении к концам С будет обращаться в бесконечность порядка, меньшего 1.

Если умножить решение f±(2) на произвольную функцию g(2), аналитическую в точках контура С, то произведение 声(2)g(2)будет, очевидно, решать ту же однородную краевую задачу, что и 户(z). Пользуясь тем, что в случае незамкнутого контура С допускаются решения, обращающиеся в концах С в бесконечность порядка, меньшего 1, иногда можно умножать решения 产(？)на функцию, правильную всюду, кроме какого- либо конца С. Этим замечанием мы воспользуемся в приложениях (см. п. 55).

Полное изложение вопросов, связанных с задачей Гильберта—Привалова для незамкнутых контуров, читатель найдет в гл. 4 монографии Н. И. Мусхелишвили [14]. В той же монографии приводится обобщение метода Ф. Д. Гахова на многосвязные области, данное в 1941 г. Б. В. Хведелидзе.

Формула Келдыша — Седова. Большой интерес для приложений представляет следующая смешанная краевая задача ):

На границе С односвязной области D заданы точки аь 仇，а2, 厶2, .. •, ап, bn, расположенные в том порядке, в котором они выписаны. Требуется найти функцию f(z), аналитическую в D, действительная часть которой принимает заданные значения на дугах а®, а мнимая часть——заданные значения на дугах ^k^k+i (尼==:1,2,...,% ^n+i ===。1) ”

М. В. Келдыш и Л. И. Седов в 1937 г. дали полное исследование этой задачи и доказали, что, вообще говоря, она не имеет решений, ограниченных вблизи всех концов дуг а^ и 厶削 Если же отказаться от условия ограниченности f(z) и потребовать лишь ограниченности интеграла от f(z), то задача будет решаться с точностью до (п 4- 1)-го произвольного постоянного. Наконец, они доказали, что задача будет иметь единственное решение, если, кроме того, потребовать, чтобы f(z) была ограниченной вблизи каких-либо п из концов и задать ее значение в некоторой точке границы.

Мы рассмотрим подробно последний случай. Предположим еще, что область D представляет собой верхнюю полуплоскость,—к этому с помощью конформного отображения сводится, очевидно, случай произвольной односвязной области.

Итак, пусть на оси % заданы точки —gVsVbiVa2V V b2 V V On V bn V 8 и две действительные функции 〃(％), и(х), имеющие конечное число точек разрыва первого рода, причем 〃(％) определена на всех отрезках @也)，а и(х)~ на всех отрезках (灰,。计】)(尼=1, 2, ..., и;。计1 =。1)* Предполагается еще, что на отрезках (——oo, aj и (Ьп，8) функция г(х) удовлетворяет условию вида |и(х) |<^const/|хр для некоторого р, > 0. Требуется найти аналитическую в верхней полуплоскости функцию f ⑶ такую, что на отрезках (% bQ

Ref ⑵= 〃(%),

а на отрезках 仇,0计1)

Imf(2)— V(2)..

Как мы говорили выше, имеет место

Теорема (М. В. Келдыш — Л. И. Седов). Сметанная задача для верхней полуплоскости имеет единственное решение /(г), удовлетворяющее следующим условиям:

f(z) ограничена вблизи всех точек。储

вблизи всех точек,厶友 ограничен интеграл j f (г) dz;

f(г) имеет конечный предел f(оо) при г-*оо, который для простоты полагается действительным.

Для доказательства обозначим

gk) =f[/奇,⑴

где рассматривается та ветвь корня, которая положительна на отрезке (匕几,8), И —знак произведения. Пусть г — произвольная точка верхней полуплоскости; окружим ее замкнутым, контуром С, состоящим иэ верхней полуокружности CR: |g| = =R, Im g > 0, и отрезка (——R, R) действительной оси. Предположим, что функция f(z) найдена, тогда по формуле Коши будем иметь:

f⑵g(z)=击J響F•叱⑵

C

Но так как, очевидно, lim g 居)= 1, то существует и

lim受然■e="8).

Следовательно, функция，？_f，имеет в окрестности точки ^ = оо разложение вида

f (C)g(G 〃g) +屮磷气】

где 屮(g)f 0 при g—>оо. Интегрируя (3) по полуокружности CR достаточно большого радиуса, получим:

*/修典=/8)十击/芈典.

Так как(р(С)-*О при g—► оо, то интеграл в правой части стремится к нулю при R-> оо н, следовательно, соотношение (2) в пределе дает:

『⑵8⑵=击[l^出+书3)，(4)

где интеграл берется вдоль действительной оси. Заменив здесь z на 2, аналогично получим:

Перейдем в последней формуле к комплексно сопряженным величинам и сложим ее с предыдущей:

f(z)g(Z)=击「©g(忆严力+ f(8).

Заметим теперь, что на отрезках (。丸,力"произведение T1 J —吨 отрицательно, а на (沙丸,。丸十1) оно положительно, следовательно, функция g(f) принимает на (а% 力丸)чисто мнимые, а на отрезках (力抬。丸十，——действительные значения. Учитывая это, мы переписываем последнюю формулу в виде f (z) g ⑵=

+ f(oo). (5) Правая часть здесь известна, ибо на отрезках (。屉力疝 известна Ref(/) = «(/), а на (feh,а^+О известна Imf(/)= и(/). Таким образом, мы пришли к искомой формуле Келдыша — Седова:

限)=击:S J曾力+，•工 J普力+器.

fc=l a也fe=l bk,

(входящий во вторую сумму несобственный интеграл по отрезку (bn, an+i) сходится в силу наложенного на и(х) дополнительного условия).

Остается показать, что функция, определяемая по этой формуле, действительно решает смешанную задачу. Для этого рассмотрим одно из слагаемых суммы (6)

bk

fMz)= . 'f u ^-8 ^ dt.(7)

/在一 mg (z) J f — 2' /

Произведение fh(^)g(z) представляет собой интеграл типа Коши, построенный по функции 屮(f) = 2〃(f)g(f). Предельное его значение f：(fo)g(fo) при z, стремящемся сверху к точке /0 отрезка (а^ Ьь), определяется по формуле Сохоцкого (12) п. 52: f；0°)g(%)=RQ + “(Qg(%)，(8)

где согласно формуле (8) того же пункта

ф伉)=i / ".⑴g、三力色".(•纺dt + u (幻g (Q +

+ "色)?纯1rl丝二，.(9)1nak 一 ％

Учитывая, что при @/1V fo V Ь^ предельное значение логарифма при подходе к отрезку (% bQ сверху равно

(рассматривается ветвь логарифма, которая действительна на оси / справа от этого отрезка), мы можем переписать формулу (8) после подстановки в нее Ф(/о) из (9) и сокращения на g(%) в виде

广色)=三j吧毂二上或+ "(公+噜е/三會.(10)

Так как при t и fo, лежащих на отрезке (а^ &д), функция

g吁fl/芸

V=1

принимает чисто мнимые значения, то интеграл в последней формуле действителен, действителен также и член Е，匸？. Следовательно, Re f^ (Q = ц (Q. Если теперь г стремится сверху к точке Л, лежащей на каком-либо отрезке (аЛ(, Ь^,左［喚 左，то предельное значение f j (%) находится непосредственной подстановкой f =介 в интеграл (7):

bk

公色)=局/ J "丝，成.

Здесь значение g«i) — чисто мнимое, так же как и g(f). Следовательно, значение /^ (Zt) — чисто мнимое и Re厅(/) = 0. Если, наконец, z стремится сверху к точке 勿，лежащей на

каком-либо отрезке (&v» ov+i), v = 1, 2,…，п, то предельное значение равно

/也 \2丿Mg(fJ J f —%

5

Здесь g«2)— действительно, g(f) — чисто мнимо, следовательно, значение f j &) — действительно и Im f^ 也)=0.

Из наших рассуждений следует, что действительная часть функции

f * ⑶一Л £g—(z)f * ⑶一Л £g—(z)n£n£小l"成小l"成

f * ⑶一Л £g—(z)

f * ⑶一Л £g—(z)

n

£

n

£

小l"成

小l"成

значения 〃(/), равна 0.мнимая частьзначения 〃(/), равна 0.мнимая частьна каждом отрезке ®, bQ принимает заданные а ее мнимая часть на каждом отрезке (6抬〃丸+1) Совершенно аналогично мы докажем, что

значения 〃(/), равна 0.

мнимая часть

значения 〃(/), равна 0.

мнимая часть

функции

儿（力=击£T*•成天=1%

на каждом отрезке (匕丸,a^+i) принимает заданные значения у (/), а ее действительная 、часть на каждом отрезке (〃丸，匕丸) равна 0.

Отсюда следует, что функция (6)

"2)= /.(2)十九(2)+ 瑞

в самом деле решает смешанную краевую задачу (наличие последнего члена ничего не меняет, ибо f(8)—действительное число, a g(z) на отрезках (〃丸,匕丸)принимает мнимые значения, а на отрезках {bh, а^у)——действительные). Из построения функций f*(z) и f**(z) следует, что при Z-* оо они стремятся к нулю; функция g(z) при этом стремится к 1, следовательно, условие на бесконечности также выполняется. Из вывода формулы (6) следует также, что она дает единственное решение смешанной задачи, удовлетворяющее условиям 1)—3). Теорема доказана.

Покажем теперь, что если отказаться от условия ограниченности f(z) в точках ад и требовать в них лишь ограниченности интеграла J f(z)dz (как и в точках 儿)，то при заданном зна-

чении /(оо) решение задачи будет содержать п произвольных

постоянных. В самом деле, при любых действительных постоянных у。, у】,...,Yn-i действительная часть функции

力(z)Н(H>

1/ П (г - ak) (г - bk)

У k=\

равна нулю на всех отрезках ⑷也)，а ее мнимая часть равна нулю на всех отрезках (b^ ak+1). При г—► оо эта функция, очевидно, стремится к нулю. Таким образом, мы можем добавить эту функцию к функции /(г), определяемой формулой (6), и полученная сумма будет давать аналитическую в верхней полуплоскости функцию с ограниченным интегралом в окрестности точек ak и 力储 принимающую в бесконечности заданное действительное значение f(оо) и решающую смешанную краевую задачу.

Вводя обозначение

Q(/) =Q(/) =〃(/) zu(Z)〃(/) zu(Z)на отрезках (akt 6J, на отрезках (力女，0月十0на отрезках (akt 6J, на отрезках (力女，0月十0(12)，(12)，

Q(/) =

Q(/) =

〃(/) zu(Z)

〃(/) zu(Z)

на отрезках (akt 6J, на отрезках (力女，0月十0

на отрезках (akt 6J, на отрезках (力女，0月十0

(12)，

(12)，

伍=1,2,...簿)，мы можем записать формулу Келдыша — Седова в виде

f (г) =+ ⑵(13)

/ —л/^ (z) J t — z 1 I g (z)，、，

где g(z) и ft (г) определяются формулами (1) и (11). Можно доказать, что формула (13) содержит все решения задачи, удовлетворяющие поставленным условиям (см, Мусхелишвили [14]).

(1分(1分В следующем параграфе мы будем применять формулу Келдыша — Седова, преобразованную к случаю, когда вместо верхней полуплоскости рассматривается круг J z—^|vj・ Для выполнения такого преобразования мы воспользуемся дробно-линейным отображением

(1分

(1分

i -马

круга I ZiJ J < у на верхнюю полуплоскость z. Подставляя (14) в формулу (13), где для простоты положено h(z) = f(8)= 0, и заменяя 方 снова через z, a G через g, получаем:

〃2)

g (g)① © 1 — z

(15>

где С — окружность | g —^ | =万‘①(С) — заданная на окружности функция, равная и(0 на (а*, &а) и 必售)на (&A,aA+I), a g(z) определяется по формуле ⑴ (точки ah и Ьь лежат на С).

Совершенно аналогично формула (13) преобразуется и к случаю единичного круга |z| V 1. В этом случае она имеет вид

"呀击『g*©(占一圭m +

+j/ g+G#T + …+ %),(⑹

где сА — комплексные постоянные, удовлетворяющие условию 仃口一也=已在. Вывод формулы (16) читатель может найти в книге Н. И. Мусхели- ш в и л и [14].

55. Другие краевые задачи. Здесь мы рассмотрим еще несколько краевых задач теории аналитических и гармонических функций.

Краевая задача Римана — Гильберта формулируется следующим образом.

Найти аналитическую 8 области D и непрерывную 8 力 функцию f (?) = 〃(？) +2(2), удовлетворяющую на границе С области условию

а©〃© —b(0u(O = c©,(1)

где а,瓦 с ——заданные на С действительные функции.

Мы приведем решение задачи Римана ——Гильберта, данное Н. И. Мусхелишвили. Если D — односвязная область, то с помощью конформного отображения задача сводится к случаю, когда Q есть единичный круг 121V 1. Этот случай мы и рассмотрим, предполагая, кроме того, что функции а, Ь, с удов* летворяют условию Гёльдера, и что а2 + &2 ^= 0 всюду на С. Краевое условие (1) мы перепишем в виде

2 Re 伍 + ⑶ f © = (а + 力)f (白)+ (а — ib)雨=2c(2)

Положим во внешности единичного круга

⑶⑶j⑵=0，

⑶

⑶

н обозначим через 尸⑶一функцию, равную f (z) в круге 121V V 1 и f*(2)вне его. Предельное значение 尸⑶ на С сл е в а f+(g) = f(g), а предельное значение справа 尸-&) =，&) (последнее вытекает из определения (3) и того, что 1/£ = g на С).

Поэтому условие (2) можно переписать в виде

(а + ib) F+ (?) + (а - ib) F~ (?) = 2с,(4)

ИЛИ

F~^ = A^F+^ + B(Q,⑸

где

4(9 —当 8(9 —』(6)

Таким образом, решение задачи Римана ——Гильберта сводится к решению задачи Гильберта ——Привалова п. 53.

Однако не любое решение 尸(z) задачи (5) будет давать решение задачи (2), ибо условие (3), связывающее значения F(z) в симметричных относительно окружности точках, вообще говоря, не выполняется. Тем не менее, имея произвольное решение 尸⑶，легко построить решение, удовлетворяюшее этому условию. Для этого наряду с F(z) рассмотрим функцию

Л(г) = /^|)

и заметим, что на С она также удовлетворяет условию (4)), а следовательно, и (5). Но тогда тому же условию будет удовлетворять и функция

{尸⑶十£(Z)},

которая, очевидно, удовлетворяет и условию (3). Внутри единичного круга эта функция будет, следовательно, решать граничную задачу Римана — Гильберта.

Задача наклонной производной формулируется следующим образом.

Найти гармоническую в области D и непрерывную вместе со своими частными производными первого порядка в D функцию u(z), удовлетворяющую на границе С этой области условию

叫黑+ 2芻=唸)，б

где а, Ь, с ——заданные на С действительные функции.

Название задачи объясняется тем, что условие (7) можно переписать в виде

dl Vd^ + b2，(丿

где -у- обозначает производную в направлении вектора I = =а + ib, наклоненного по отношению к С под некоторым углом.

В предположениях, которые были введены в предыдущей задаче, задача наклонной производной сводится к ней. В самом деле, обозначим через f(z) = 〃 +必 функцию, имеющую 〃 своей действительной частью, и положим У(2)=-^ — ^ -^ = =〃i + Шь Условие (7) переписывается теперь в виде

а^щ (Q-b^v^) = c^

и совпадает с условием (1). Таким образом,『(z) можно найти методом, описанным в 1), a f(z) найдется простым интегрированием.

В некоторых вопросах, например при изучении дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа (об этих уравнениях мы будем говорить в следующем параграфе) ,встречается следующий вариант задачи наклонной производной *):

Пусть область D ограничена отрезком (а, Ь) действительной оси и некоторой линией у с концами в точках а и Ь, и пусть на (а,力)и у заданы действительные непрерывные функции (р(х) и 屮(С). Требуется построить гармоническую в области D функцию "(z) такую, что

—= ср (х) на (а, 6), дх Оу * —\、⑹

"=屮(白)на y.

с^ I д д\ д人工

Очевидно, =——означает дифференцирова-

У 2 \дх ду / д1

ние в направлении Z, составляющем угол —л/4 с осью х. Для решения этой задачи воспользуемся конформным отображением z = f(Z]) области D на сектор О V argZi V §, переводящим дугу у в луч у*: argZi=0, отрезок (а, Ь) — в луч arg^ =-^ и точки анЬ —в 8Ho. При нашем отображении направление, в котором задается производная на у, переходит в направление отрицательной оси х (рис. 125). Поэтому для гармонической функции

и [f(Z1)] = "1 ⑵)，

в которую преобразуется искомая функция 〃⑶，первоев которую преобразуется искомая функция 〃⑶，первоелов呼(8) перепишется в виделов呼(8) перепишется в видеd〃i дх}d〃i дх}диди|"~ = —ут余屮[f(&)]" f'(&) 1・|"~ = —ут余屮[f(&)]" f'(&) 1・из ус-(9)из ус-(9)

в которую преобразуется искомая функция 〃⑶，первое

в которую преобразуется искомая функция 〃⑶，первое

лов呼(8) перепишется в виде

лов呼(8) перепишется в виде

d〃i дх}

d〃i дх}

ди

ди

|"~ = —ут余屮[f(&)]" f'(&) 1・

|"~ = —ут余屮[f(&)]" f'(&) 1・

из ус-

(9)

из ус-

(9)

Второе условие перейдет в соотношение 〃i(%i) = W[f(%i)L которое после дифференцирования по %i принимает вид

器"=4Н 券 1=叫f（喇•"'（修）1，Q0

Так какТак каки (10) — известные функции, то нашаи (10) — известные функции, то нашагде ^" = 1}/ означает производную вдоль контура у.

Так как

Так как

и (10) — известные функции, то наша

и (10) — известные функции, то наша

правые части условий (9) задача сводится к отысканию гармонической функции -^ по ее значениям на границе сектора О < arg Zi V 十,т・ е. к задаче Дирихле.

Аналогичным методом мож-р ⑵

но решить и более общую за-''

дачу. Пусть на части 以 гра

ницы С односвязной области D заданы действительные непрерывные функции 屮(g), a(g) и b(g), причем а2 -^ Ь2 ^ 0, а на остальной части С2 этой границы — такая же функция 屮(gj. Требуется построить гармоническую в области D функцию и (г), удовлетворяющую на границе условию

а (9 務 + & © 諸=中 © на Q, и = ф © на С2.

Первое из краевых условий можно интерпретировать как задание производной по направлению, составляющему известный угол с дугой Ci. Пользуясь формулой Чизотти из п. 44, можно построить конформное отображение 2】=f(z) области D на область 5 так, чтобы дуга С2 перешла в верти

кальную прямую, и направления, в которых известна производная — также в вертикальные направления; форма образа кривой Ci при этом определится. При этом на заданные функции следует наложить такие условия, чтобы образы дуг Ct и Сг ограничивали односвязную область О「

Как и в разобранном выше случае, задача сводится после этого к задаче Дирихле для частной производной -^ .

Смешанная задача для гармонических функций формулируется следующим образом.

На границе С односвязной области D заданы точки аь Ь^ “％ &2, ..., ап, Ьп, расположенные в том порядке, в котором они выписаны, и на дугах 伍勃玩),(6乩〃计1) (^ = 1,2,..., и; ап+1 = = 〃i) заданы соответственно действительные функции (р(^) и W(G). Требуется найти гармоническую и ограниченную в области

0 функцию “(а), удовлетворяющую граничным условиям:

« = <p(S) на (ak, 6ft), -^-=^(Q на (bk, ak+i), (11) ede "^" обозначает производную в направлении внутренней нормали к С.

Докажем разрешимость и единственность решения смешанной задачи. Очевидно, с помощью дополнительного конформного отображения задача сводится к частному случаю, когда область 0 представляет собой верхнюю полуплоскость и граничные условия (11) имеют вид

〃 =(р(х) на (ak,瓦)，岩= W(x) на 仇，aft+I) (12)

(способ сведения такой же, как обычно, см., например, 6) п. 44). Для этого же частного случая решение смешанной задачи дается с помощью формулы Келдыша — Седова.

В самом деле, пусть f(z) = u + Zd будет аналитическая в верхней полуплоскости функция, имеющая “ своей действительной частью, и

Л (г)=л(Z)= и1 (х, у) + 21 (х, у).

.*dv ди

Имеем:力=而=—石，следовательно, граничные

условия (12) для функции Л (г) принимают вид

〃[=</(%) на &,伝)，S =—屮⑴ на 仇，Ogi)， (13)

Решение fi(z) задачи (13) дается формулой Келдыша — Седова (13) предыдущего пункта, причем принятое там условие об ограниченности интеграла / f{ (г) dz вблизи точек а* и bh обеспечивает ограниченность решения u(z) задачи (12), которое определяется через fi(z) по формуле

M(z) = ReJ fi (z) dz.(14)

При сведении задачи (12) к задаче (13) мы дифференцируем функцию <р(%), заданную на совокупности 孔 отрезков (а^, bk)t а затем, применяя формулу (14), интегрируем построенную функцию fi(2). Поэтому наш метод приводит к функции 〃⑶, совпадающей на отрезках (ahi bk) с заданной функцией ф(х), лишь с точностью до постоянных слагаемых (различных для разных отрезков). Однако наличие в формуле Келдыша—Седова л произвольных постоянных позволяет выбрать эти ела-

гаемые так, чтобы значения и на （ад,匕丸）в точности совпадали с qp（x）. Таким образом, разрешимость смешанной задачи для гармонических функций доказана.

Докажем теперь единственность решения этой задачи в классе ограниченных гармонических функций. Пусть будут 〃i（2） и «2（2）— две гармонические в верхней полуплоскости ограниченные функции, удовлетворяющие условию （12）. Разность u（z） = и\（и） — «2（2） тйкже ограничена и гармонична в верхней полуплоскости, причем

0〃0〃додо« = о на （а*,瓦），岩=0 на （瓦，а*+1）.

0〃

0〃

до

до

По принципу симметрии п. 42 гармоническая функция

пускает аналитическое продолжение через совокупность отрезков （&ft, Ой+1）, следовательно, такое продолжение допускает и функция 〃・ Продолженная функция 卫 оказывается ограниченной и гармонической вне совокупности отрезков （。丸，匕丸），а на этих отрезках она принимает значения, равные нулю. Таким образом, функция и решает задачу Дирихле для плоскости с выброшенными отрезками （ад, &д） при нулевых граничных значениях. По теореме единственности решения задачи Дирихле 〃三 0, что и требовалось доказать.

§ 4. Приложения

В этом параграфе мы рассмотрим приложения методов теории функций комплексного переменного к некоторым вопросам теории уравнений с частными производными, а также к задачам механики сплошной среды и другим задачам из числа поставленных выше. Изложение будем вести на конкретных примерах, иллюстрируя ими частью уже изложенные, а частью новые приемы.

Уравнения с частными производными. Выше мы подробно выяснили связь теории функций комплексного переменного с уравнением Лапласа. Это ——классическое направление в теории функций, восходящее к работам Эйлера и особенно Римана. Однако в последнее время усиливается внимание к связям теории функций с другими уравнениями с частными производными. Простейшие из таких связей мы и разберем в этом пункте.

Система Карлемана. В теории уравнений с частными производными за последние годы успешно используются методы, основанные на представлении решений в комплексной форме. Эти методы развиты главным образом в работах И. Н. В еку а, Л. Б ер с а, С. Бергмана и др. В качестве примера мы приведем, следуя И. Н. Векуа, такое представление

для системы уравнений с частными производными первого порядка:

—г+ bv,— = —ч—г си + uVf(1)

дх дуду дх 1

где а, Ь, с и d — непрерывные функции переменных х и у в некоторой области D.

Система (1) представляет собой обобщение условий Коши —— Римана (при a~b = c — d = 0 мы получаем эти условия); к ней приводятся некоторые задачи теории упругих оболочек, газовой динамики и других разделов механики сплошных сред. Эта система была впервые рассмотрена Т. Карлеманом*), который доказал для ее решений теорему, единственности, аналогичную теореме 1 п. 20. Подробное исследование системы (1) и ее приложений провел И. Н. В е ку а [15]. Всюду в дальнейшем мы будем для простоты считать, что функции w и v обладают в области D непрерывными частными производными.

При выводе формул представления удобно пользоваться символами комплексного дифференцирования

糸=^陽+，击卜亲=^戌7击卜 ⑵

Например, первый из них в применении к комплексной функции ⑫=红 + 加 дает:

dw 1 /d (〃 + 2) I • d (〃 + 2)、1 / du du、I I ( dv ] dv\ .

~dT~l\一/—西一"丿=项'[而一两丿十万[行7十石丿

В частности, условия аналитичности Коши — Римана записываются с помощью этого символа в виде = 0.

Приведем сначала формулу представления произвольной функции w(z) = w + ^j обладающей в некоторой области D непрерывными частными производными. Для этого воспользуемся формулой Римана — Грина, которая с помощью символа (2) записывается в виде

J 侬 С)處=J J -^ dg d%(3)

где g = E + fq и С ——граница D, Для аналитических функций

■三 0 и формула (3) выражает, очевидно, теорему Коши.

Поступая далее в точности так же, как и при выводе из теоремы Крши интегральной формулы Коши (п, 14), исключим из области D окрестность d фиксированной точки г, ограниченную

*) Торстен Карлеман (1892— 1949) — шведский математик.

окружностью с малого радиуса, и применим к области D-d и к функции *JJ формулу (3); мы получим:

Устремляя радиус окрестности к нулю, увидим как и в п. 14, что предел интеграла J ?*& равен 2л»5(2) и, следователь- но, получим искомую формулу представления'.

Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, и мы приходим к интегральной формуле Коши.

Применим эту формулу к решениям системы Карлемана (1). С помощью символа дифференцирования (2) эта система записывается в виде одного комплексного уравнения

= Aw + Bwt(5)

где ⑪=〃 + 2, / =}(a + d + ic — tb) н 8 = ；(a— d + ic + ib). Поэтому формула (4) дает следующее комплексное представ- ление решений системы (1):

「、(自)匹-丄н "(а也4土.£^>若巩⑹

CD

Приведем еще одну, более удобную формулу комплексного представления решений системы Карлемана (5). Пусть ш = =5(2) будет произвольное решение этой системы и ^ — совокупность точек D, в которых ш = 0; через М мы обозначим множество D — М Положим

х(^) = -х(^) = -0,0,если 2 принадлежит ^;если 2 принадлежит ^;Д (z) + В (z) ~^> если z принадлежит М,

х(^) = -

х(^) = -

0,

0,

если 2 принадлежит ^;

если 2 принадлежит ^;

функция %(2) непрерывна на М и на ^ в отдельности и, очевидно, ограничена, ибо для любой точки 2 из D мы имеем |%(2)I W I" (z) I + |В(2)|・ Поэтому функция x(z) интегрируема по области D, т. е. имеет смысл интеграл

з⑵=тШ$・ ，⑺

Легко проверить (ср. п. 16), что функция (о(2) аналитична вне замкнутой области D и что(о(оо)= 0. Докажем,' что в любой точке 2 непрерывности функции %(2) существует комплексная производная

(8)

В самом деле, выделим окрестность d точки 2, ограниченную контуром с, и представим(о(2)в виде суммы двух непрерывных во всей плоскости функций o)i(z) и(02(2)：

dd(С)處 W(С)處 W

d

d

(С)處 W

(С)處 W

Функция ®(z) аналитична вне й, а(02(2)—в d, поэтому

击 J s ⑶ dz =击 J Wj (z) dz 十击 J 82 ⑵ dz = f J «1 (2) dz,

где 厶一окружность достаточно большого радиуса, содержащая D (мы воспользовались теоремой Коши, по которой первый интеграл б средней части равенства можно заменить интегралом вдоль £, а второй равен нулю). Заменяя(01 (z) ее выражением и меняя порядок интегрирования, получаем:

可可(0 (2) dz =(0 (2) dz =备]Ъ©^"豈d丄备]Ъ©^"豈d丄—JJ%(G)d& dr],d—JJ%(G)d& dr],d

可

可

(0 (2) dz =

(0 (2) dz =

备]Ъ©^"豈d丄

备]Ъ©^"豈d丄

—JJ%(G)d& dr],

d

—JJ%(G)d& dr],

d

Если разделить обе части этого равенства на площадь s области d и воспользоваться предельным соотношением

d(od(o(о (z) dz.(о (z) dz.

d(o

d(o

(о (z) dz.

(о (z) dz.

которое вытекает из формулы (3) на основании теоремы о среднем, то в пределе при 2 мы получим искомую формулу (8).

Рассмотрим теперь функцию

Ф (z) = ш(2)№ ⑶，(9)

которая, очевидно, непрерывна в D. Если 2 принадлежит множеству М, то, применяя правила комплексного дифференцирования произведения и показательной функции (которые легко проверяются), мы получаем:

哀哀* ⑶("^f" + з ~^)=外⑵(Лш + Bw — шх) = 0;

哀

哀

таким образом, функция (р(2) аналитична на множестве AL Легко видеть, что она аналитична также и на множестве М

Действительно, функция з(2) аналитична в каждой точке, где она равна нулю, ибо в таких точках согласно уравнению (5) ~ = 0; поэтому для любой точки 2о из N отношение

屮Q) 一屮Qo) 屮⑶„д⑵濟⑵2 — Zq2 — Zq 2 — Zo

имеет предел при z—>Zo, равный wr (z0) ewы, т. e. q)(z) дифференцируема в точке No.

Таким образом, функция (p(z) аналитична всюду в области D. Заметим, наконец, что согласно формуле (9) нули 切⑶ совпадают с нулями 屮(z), и по теореме единственности п. 20 множество N этих нулей не может иметь предельных точек внутри D. Это множество, следовательно, не влияет на величину интеграла в формуле (7), и эту формулу можно переписать в виде s(z)=打厂^М甥三^•

Формула (9) дает теперь искомое комплексное представление решений системы Карлемана через аналитические функции(p(z):

")』⑵exp{ - gj鼻踪甥巫Md屮.的

Эта формула была получена И. Н. В е ку а и независимо от него (в более ограниченных предположениях) Л. Берсом. Из нее вытекает, что в отношении нулей и полюсов решения системы Карлемана ведут себя так же, как аналитические функции: на эти решения распространяется теорема п. 20 о нулях (что мы уже отмечали выше), принцип аргумента и теорема Руше п. 23 и другие теоремы. Заметим, однако, что геометрические свойства системы Карлемана существенно отличаются от свойств аналитических функций ).

Линейные эллиптические системы. Рассмотрим так называемое плоско-меридианное электростатическое поле, т. е. пространственное поле, векторы которого расположены в плоскостях, проходящих через некоторую ось (мы примем ее за ось z), и зависят лишь от расстояния г до этой оси и от координаты z вдоль нее. Это поле, очевидно, полностью описывается плоским полем, расположенным в плоскости декартовых координат (г, z), но его уравнения отличаются от уравнений п. 47. В самом деле, пользуясь известными выражениями

для дивергенции и ротора обозначая через Ег и 瓦 тора напряженности £, мы дов и потенциальности полядля дивергенции и ротора обозначая через Ег и 瓦 тора напряженности £, мы дов и потенциальности поляИз этих условий, так же как в пп. 46 или 47, мы заключаем, что существуют две функции u (г, z) и и (г, z), для которыхИз этих условий, так же как в пп. 46 или 47, мы заключаем, что существуют две функции u (г, z) и и (г, z), для которых

для дивергенции и ротора обозначая через Ег и 瓦 тора напряженности £, мы дов и потенциальности поля

для дивергенции и ротора обозначая через Ег и 瓦 тора напряженности £, мы дов и потенциальности поля

Из этих условий, так же как в пп. 46 или 47, мы заключаем, что существуют две функции u (г, z) и и (г, z), для которых

Из этих условий, так же как в пп. 46 или 47, мы заключаем, что существуют две функции u (г, z) и и (г, z), для которых

в цилиндрических координатах и соответствующие компоненты век- запишем условия отсутствия заря- fl виде:

(11)(11)О(г/)上 д (гЕг) —с Р£> — дЕ2一Г дг 一5而一・

(11)

(11)

и которые связаны, следовательно, соотношениями

r dr — dz r r dz ~ dr 9(12)

Эти функции полностью описывают плоско-меридианное поле.

Уравнения (12) представляют собой частный случай системы линейных уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа

(13)(13)vy = аих + buyi

(13)

(13)

—vx = dux + CUg,

где a, b, c, d — известные функции переменных х и у, для которых всюду в рассматриваемой области D выполняется условие эллиптичности:

Л = ас-(-Ц^-)2>0 (14)

/ - ди \

Iдля простоты письма через 〃工,мы обозначим 段，...1. К таким системам приводят также некоторые задачи газовой динамики, теории пластичности, теории изгибания поверхностей и другие. Они рассмотрены в работах И. Н. В еку а, Л. Берса, Г, Н. Положего, Б. Боярского и других авторов, которые установили ряд фактов, роднящих решения этих систем с аналитическими функциями. Теория решений линейных систем входит как простейшая составная часть в общую теорию квазиконформных отображений ). В работах перечисленных авторов доказано, что для систем (13) справедлива теорема существования отображений, обобщающая теорему Римана н. 28, и что решения этих систем обладают целым рядом геометрических

свойств, вполне аналогичных свойствам конформных отображений. Не имея возможности останавливаться в рамках настоящей книги на этих результатах ), мы приведем лишь несколько простейших фактов.

Можно доказать ), что система (13) геометрически выражает условие преобразования бесконечно малых эллипсов плоскости z = х + iy из семейства

Y (X — х)2- 2В (X — х) (У — у) + а(У — у)2 = р^ (15) с точностью до малых высших порядков в эллипсы плоскости 3 = 〃 + 2:

» (U 一 и)2 一 2図(U — 矶 M — и) + % М — 吟=PM (153

(рис. 126), причем коэффициенты уравнений эллипсов определяются через коэффициенты системы (13) по формулам:

ао 方 + dс

(16)(16)= Y=w

(16)

(16)

1 С 方 一 dв

% = k『TFT' w = FT

(у нас p, Pi > 1 ——отношения полуосей, h, h ——малые полуоси эллипсов, ау — р2 = 1, ctiyi —卩：三 1, В = ас — bd^ А > G) и,

Рис. 126.Рис. 126.

Рис. 126.

Рис. 126.

следовательно, являются известными функциями точки 之 Из решения и(х, у) и и(х,у) системы (13) мы составим функцию комплексного переменного f(z) = 〃jiu и отображение, ею осуществляемое, будем называть квазиконформным отображением, связанным с этой системой. В частности, когда эллипсы (15) и

(15‘) представляют собой окружности, т. е. а = у = 1, р — О и ai = Yi = 1, Pi = 0, то, как легко видеть, система (13) переходит (при дополнительном условии сохранения ориентации, ср. п, 27) в систему Коши — Римана, т. е. квазиконформные отображения переходят в конформные *).

Для решений системы (13) можно найти формулы, обобщающие теорему Коши п. 12 и интегральную формулу Коши п. 14 **). Для доказательства перепишем систему (13) в виде

L[u, v] = aux + bUy — vy = 0, 1М[“，и] = dux + cuy-^vx = G J

и воспользуемся известной из анализа формулой Грина, которая для рассматриваемой системы запишется в виде:

J {〃Р — (b〃* + си*) 〃} dx + {(а〃* + du*) “ + и*。} dy = с

=j J {〃Z [и, и] + и*М [〃, и] + 〃工[u*, V*] + vM [и*, и*]} dxdy, (17)

где С обозначает границу области D и

Z [弘 и) = (а〃 + du)* + (bu + с%, M [u, v] = vx — vy

(эта формула имеет место для любой четверки функций 弘 и, “*, V*, обладающих непрерывными частными производными и выводится интегрированием по частям так же, как обычная формула Римана — Грина),

В предположении о непрерывности вторых частных производных из системы (13) можно исключить функцию и так, что она сведется к одному уравнению второго порядка

л [ы] = (а 以 + bujx + (dux + си^у = 0(18)

(мы воспользовались условием равенства смешанных производных vxy и v^x). Рассмотрим также сопряженное к (18) урав- ненне

Л-[Х] = (аХх + dX^x + (ЬХх + сХМ = 0.(19)

Для каждого его решения X(х, у) существует, очевидно, функция У (%,у), связанная с X уравнениями

Z/ [X, Y] = аХх + dXu - Уу = о,]

М* [X, У] = ЬХх + сХу + 厶=0. j)

*) Ср. круговое свойство конформных отображений п, 27.

**) См. Б. В. Шабат, Теорема и формула Кошн для квазиконформных отображений линейных классов, ДАН СССР, 49:3 (1949), 305—308. Для частного случая эти результаты были ранее получены Г. Н. Положим.

Так как эта система отличается от (13) лишь перестановкой b и d, то эллипсы, связанные с ней, в плоскости г совпадают с эллипсами, связанными с системой (13), а в плоскости w получаются из них отражением относительно оси и (перемена знака Pi); при b = d эти эллипсы совпадают.

Воспользуемся теперь формулой Грина (17), приняв в ней в качестве w и и решение системы (13) и положив и* = Хх> и* = Ху, где X и У — решение системы (20); мы получим:

J V dX + udY = 0.⑵)

с

Далее мы решаем систему (13) относительно uv и 〃父：

Li [и, и]=—叩工一dg —旬=0，

Для этой системыДля этой системыздесь ахздесь ахимеет местоимеет местоAfi [и, и] = — bxvx — cxvy 4- их == 0

Для этой системы

Для этой системы

здесь ах

здесь ах

имеет место

имеет место

~В

формула (17), в которой всюду и заменено на и, и на и и коэффициенты а, ..., d на ―勿，..., —历・ Для каждого решения уравнения ..

А； к1] = 一 3尤 + Ь,Х'^х 一 (山尤 + CiX) = 0(19 J

существует функция У1, связанная с ним уравнениями

"[/,川=内爬+瓦北-yj = O,]

Эллипсы, связанные с этой системой, в плоскости z совпадают с эллипсами, связанными с системой (13), а в плоскости w получаются из них отражением относительно биссектрисы первого координатного угла; при В = 1 эти эллипсы совпадают. Вместо формулы (20) мы будем иметь:

J udXl — vdYl =0.⑵ J

Введем, наконец, комплексные переменные Z = X + iF, 2*нХ】 + М тогда формулы (21) и (2h) можно объединить в одной формуле

J udZ, + iv dZ =0,(22)

которая и выражает обобщение теоремы Коши,

Если, в частности, эллипсы в плоскости w являются окружностями (b = d, В = ас — Z>2 = 1), то системы (20) и (20))

совпадают. Следовательно, в этом случае можно принять Z=Z и формула (22) упростится:

J〃z)dZ = O.

Если, кроме того, и эллипсы в плоскости г являются окружностями (система Коши ——Римана), то можно принять Z = %, н мы возвращаемся к классической теореме Коши.

Чтобы получить обобщение формулы Коши, введем связанное с системой (13) «расстояние»

p(N, % = Uco (х 一 Х0)2 -(瓦 + do) (х - Xo)①一%)十 旬匂一%)2,

где а。, .,., do ——значения коэффициентов з точке го, и будем рассматривать вместо X решение уравнения (19), имеющее в фиксированной точке го области D особенность типа 1пр(г, Zo):

Г (г, г0) = yz (г, г0)1пр(г, z0) + y/z(^ %)

(丫‘ и у" — непрерывные функции), а также «сопряженную» с ним функцию

z

я(Z, г0) = J - (Н* + 叫)dx + (叫 + dl\) dy.

В силу (19) этот интеграл не изменяется при непрерывной деформации пути интегрирования, если при этом не задевать точки 2加 При обходе же точки го (один раз против часовой стрелки) Н получает приращение *)

lirn I* — (6ГХ Н~ ^Г0 dx -|~ (^Гх 4~ dJ1 у) dy ==：

'"О Р (Z, Ng九

2л

=А (%) У (%, г0) J % sini f —(瓦 +'%) sin f cos f + % cos? f =

0

= 2лУ(%, ZoWN (%, (23)

которое будет равным 2л, если принять у^ (г0, г0) = \/УА (г0). Таким образом, многозначная функция Н (г, 2°) имеет в точке 2° особенность того же типа, что и Arctg ~ .

Применяя формулу (17), в которой положено и = Гх, и* = Г\, а и и и — решение (13), к области D с выброшенным эллипсом р (г, г0) ^ й, получаем:

J vdr + udH= J vdr + udH. (24) С P(z, z^=h .

Так как из (24) вТак как из (24) вlim 20lim 20и dr = 0 и в силу (23)и dr = 0 и в силу (23)пределе при 力->0 получим:пределе при 力->0 получим:lim 20lim 20J 〃 dH=2nu (г0), то р==АJ 〃 dH=2nu (г0), то р==АU(2)4「(2, 2°) + 〃(2)dzH ⑵ 2о)・U(2)4「(2, 2°) + 〃(2)dzH ⑵ 2о)・(25)(25)

Так как из (24) в

Так как из (24) в

lim 20

lim 20

и dr = 0 и в силу (23)

и dr = 0 и в силу (23)

пределе при 力->0 получим:

пределе при 力->0 получим:

lim 20

lim 20

J 〃 dH=2nu (г0), то р==А

J 〃 dH=2nu (г0), то р==А

U(2)4「(2, 2°) + 〃(2)dzH ⑵ 2о)・

U(2)4「(2, 2°) + 〃(2)dzH ⑵ 2о)・

(25)

(25)

Переходя к системе (201), аналогично построим решение уравнения (191) с особенностью типа логарифма:

F (z, %) = у； (z, %) In р (z, г0) + Yf (z,啕 и многозначную функцию

印(z, % = J —(心耳 + CR) dX + ®r： + b&) dy, приращение которой при обходе 2。будет равным 2л, если принять Y:崗 啕=В (喇mA (啕.

Тогда вместо (25) будем иметь:

? ⑵)I?⑵厶"1(2, w) - и(2)dj4(2,啕. (25i)

Вводя комплексные функции

I(Z, % = Г (г, %) + «Я1 (г0, %), /* (г,廿)=Г1 (г, г0) + IH (z, %, мы объединим 25 и (251) в одной формуле

f(^ =嘉 J 〃 (z) dj* (z, %) + 2 (z) djl (г, %),(26)

которая и обобщает формулу Kouiu,

Если эллипсы в плоскости w являются окружностями, то можно принять / = /, и формула (26) упростится:

f(Z。)= £ J f(Z)厶/ (z, Zo).

Наконец, для системы Коши — Римана можно положить 2 = =1п(г —г0), и мы получим классическую формулу Коши.

В заключение отметим еще один элементарный факт, связанный с системой (13). Если ввести соответствующие системе

«приращения»An = )/Т Ах«приращения»An = )/Т Ах需 Ay + i/^Ay，需 Ay + i/^Ay，

«приращения»

An = )/Т Ах

«приращения»

An = )/Т Ах

需 Ay + i/^Ay，

需 Ay + i/^Ay，

А侬=У в ^иА侬=У в ^и

А侬=У в ^и

А侬=У в ^и

то легко показать, что эта система будет выражать необходимые 〃 достаточные условия существования ^производной^

''⑶=黑翁=方卜瓦l+"呉｝，m где предел не зависит от способа приближения Az к 0. Этот факт обобщает теорему п. 5, по которой система Коши — Римана выражает необходимые и достаточные условия существования обычной производной ——в частном случае, когда а = с= 1, b = d = 0 «производная» (27) совпадает с обычной производной.

Задача Т р и к о м и. Дифференциальными уравнениями смешанного типа называют уравнения с частными производными второго порядка, которые в одной части области своего определения имеют эллиптический тип, а в другой ——гиперболический. Изучение таких уравнений представляет весьма большой интерес для аэродинамики больших скоростей, ибо перемене типа уравнения физически соответствует переход скорости движения через скорость звука. Простейшим уравнением смешанного типа является уравнение

(28)(28)+- 0 (у)券=。,

(28)

(28)

где 9(у)= 1 при у > 0 н 9(у) = — 1 при у V 0 (таким образом, уравнение (28) имеет эллиптический тип в верхней полуплоскости и гиперболический тип в нижней). Задача Трикоми*)

для такого уравнения в области D, ограниченной кривой С, лежащей в верхней полуплоскости и опирающейся на отрезок (О, 1), и отрезками L и 厶 характеристик уравнения, которые параллельна биссектрисам координатных углов (рис. 127), ставится следующим образом.

Найти функцию u(x,y)t удовлетворяющую уравнению (28) при у，0 непрерывную 8 замкнутой области 反 имеющую ча

стные производные, непрерывные 8 D всюду, кроме точек z = 0, z == I. в которых они могут обращаться 8 бесконечность порядка, меньшего 1, и принимающую на кривых С и L заданные значения:

(Ф (0 на ,

“ = '；?)на L 3(0)=屮(0))・(29)

Мы приведем простое и изящное

решение задачи, данное А. В. Б и ц а д-Рнс. 127.

зев 1950 г. С помощью конформного

отображения эллиптической части Di области D задача сводится к частному случаю» когда эта часть представляет собой верхний полукруг J-2 ~ у| Т* ^ ^ ®' Кроме того, можно предполагать, что ф(0)=屮(0) = 0.

В гиперболической части D2 области D, где уравнение (28) имеет вид

решение u(xfy), как известно, можно подставить в виде

и = ф(х + y) + W (x — y)t

где Ф и ^ — произвольные функции (см. И. Г. Петровский, [1]). На L мы имеем 尤 + y = 6, поэтому подставив это выражение для и во второе из условий (29), найдем:

①(0) +中(2%)=屮(元)

и, следовательно, наше выражение примет вид

' 〃(х, д)=①(x + g)-<D(0) + M^^).(30)

Из условия непрерывности функции и(х, у) получаем, что на

-ОСИ X

“(х, 0) = Ф(х)-Ф(0) + Ч>(т).

В эллиптической части D\ функция 〃(х,у) гармоническая; пусть и (к, У)一 гармоническая в D】функция, сопряженная с 〃(％, у) и равная нулю в точке (0,0). Как следует из выражения (30), в 。2 имеем:芻= ©'(% + У) — 4~“'( * 7" } откуда, пользуясь не- ди

прерывностью на оси %, находим:

Интегрируя, находим, что на оси х

и(х, 0) = -(D(x)+(D(0) +屮僚，

и, складывая это с выражением для и(х, 0), получаем:

〃(招 0) + и (х, 0) = 2冲修卜(31>

Полежим теперь

и = щ (х, у) + U2(x, у),

где функции «1 и и2 решают соответственно краевые задачи

(Ф© на С, / 0 на С,"尸f 0 на A;妆=3(х) на A. (32>

Для первой из этих функций, в силу соотношения (31) на отрезке (0, 1) получаем:

Щ (х, 0) + s(x, 0) = 0, но это означает, что аналитическая функция

3 (z) = 〃i (%, У) + iVi (х, у)

преобразует отрезок (0, 1) в отрезок прямой 〃】+ и】=0 н, следовательно, по принципу симметрии продолжается через отрезок (0, 1). При этом в точках нижнего полукруга будем иметь: 后 ⑶=—5 (%, — у) —出1 (х, — у),(33)

ибо симметрия относительно второй биссектрисы сводится к замене 〃i на и】, и】 на щ и перемене знаков обеих координат. Таким ^образом, функция 厶⑶ (вместе со своим продолжением) аналитична в круге 12—^ < -™, причем в силу условий (32) на верхней полуокружности С известна ее действительная часть Re厶(С) =(р(С), а на нижней полуокружности С* в силу соотношения (33) известна ее мнимая часть Imf】(? = —(р(£) . Поэтому функция fi (г) восстанавливается по формуле Келдыш а —

Седова (15), m 54, которая для рассматриваемого случая принимает вид )

f1<Р© 臂 『f-2)ф(£)^ )

｝tv ЙГ^)~^Т-р(34)

Заменим во втором интеграле переменную £ = G, получим:

J J у (0 (1 — (0) (0 — 2С* с

Обозначим arg(о = /; так как на С имеем(o = e"・cosf, то о = =е-2"(о. На с?" = 2cos21 — 1 + 2» sin / cos t = 2(o — 1, следовательно, й =(о/ (2(o——1). Подставляя это в предыдущий интеграл, находим:

_ ；「2(1 — 2) 学(s) dsJ J У s (l — s) s — 2 (2s — 1)

Обозначая переменную интегрирования снова через W и объединяя полученный интеграл с первым интегралом (34), находим окончательно:

九(2)= 士『КЮ｛告-ГГ』｝^)妳(35) С

Рассмотрим теперь аналитическую функцию

%(2)=〃2(Х, y) + iV2(X, у).

По принципу симметрии она продолжается через полуокружность С на всю верхнюю полуплоскость, ибо в силу условия (32) 〃2 = 0 на С. Согласно этому принципу в точках х и х/(2х——1) действительной оси, симметричных относительно С, функция % принимает значения^ симметричные относительно 〃2 = 0, т. е. отличающиеся знаком и2:

%(%) = 一出(费7,0) + 22(五Jr，0).

Теперь учтем, что в точках отрезка (0, 1) известна

Re (1 —，) ％ (х) = 〃2 (х, 0) + и? (х, 0) = 2屮僚，

а в точках лучей (—оо, 0) и (1, оо) известна

Im(1 - М (x)i (占,0)+ % (宀,。)=2 M占).

Поэтому функция (1 — i)%(z) восстанавливается по формуле Келдыша—Седова для полуплоскости (см. (6) п. 54). После простых преобразований найдем:

(1-0 /2 (г) = ^ / /|^ (-— - Г^й} ^ (4) Л- (36) о

Искомая функция в эллиптической части D「очевидно, равна

〃⑶=Re 伉(2)+ % ⑵},(37)

где & (z) и fz(z) определяются формулами (35) и (36). В гиперболической части Z>2, как видно из (30), она равна

« U，«/) = U(X + у，0) — т|5 (^"Т^) + ^ ("^т^) •(38}

Можно доказать, что найденное решение единственно.

Более подробно об этой и других задачах для уравнения смешанного типа (28) см. работу А. В. Б и ц а д з е [19].

Задачи гидродинамики и газовой динамики. 1) Тонкое крыло. В п. 49 мы убедились в том, что задача обтекания произвольного профиля сводится к задаче конформного отображе-

-一ния внешности этого профиля на

孑千^^внешность круга. Однако факти

ческое построение такого кон

-© 力 以=兀切формного отображения часто бы

вает затруднительным и поэтому

Рис 128.приходится довольствоваться

приближенными решениями задачи. В качестве примера такого решения рассмотрим решение Л. И. Седова*) задачи обтекания тонкого крыла.

Предположим, что контур крыла С определяется уравнениями у = F± (х), —a W% W а, н близок к отрезку (—а, а) (рис. 128). Пусть крыло обтекается поступательным потоком, имеющим на бесконечности скорость % и наклоненным к оси х под малым углом атаки а. Комплексный потенциал потока будем в соответствии с этим искать в виде

(1)(1)® =忆еТ* + W,

(1)

(1)

где W = U + iVi ——неизвестная функция. Мы имеем:

1m со = % (у cos а — % sin а) + У (х, у),

и так как С совпадает с линией тока, то на нем Im о должна принимать постоянные значения, пусть равные нулю. Поэтому на С

doo {尸土 (х) cos а — х sin а} + V [х, F± (х)] = 0.

Пользуясь сделанными предположениями о близости С к отрезку (—а, а) и малости угла а, мы заменяем в этом условии cos а на 1, sin а на а и сносим условие на отрезок, заменяя, в частности, V[x,尸士(％)] на V(x, 0); мы получаем условия на двух берегах отрезка:

V (х, 0J = и- {ха —尸士 (х)}.(2)

Так как комплексный потенциал поля может оказаться многозначной функцией, удобнее рассматривать его производную dir ди . . dV ..

%-=京-+ 2 万f = 〃 + 也 которая заведомо однозначна.

Задача, таким, образом, свелась к следующей: найти аналитическую вне отрезка (—а, а) и равную нулю на бесконечности функцию, мнимая часть которой и(х, у) на верхнем и нижнем берегах этого отрезка принимает заданные значения:

dV / % [а — 尸X (%),小

“〔 Ug [а —尸二(x)] = v~ (x).

Эта задача решается методом, аналогичным тому, которым выводится формула Келдыша — Седова п. 54. Положим

•^■=厶(2)+ % Q),

где fi (г) и % (?) —аналитические во внешности отрезка (—а, а) и равные нулю на бесконечности функции, мнимые части которых удовлетворяют соответственно краевым условиям

好=一咛 =(V + = U7 =——2一.⑷

Рассмотрим далее ветвь функции g(z)=y :工^, которая на оси х, при z = х > а принимает положительные значения (эта ветвь, очевидно, однозначна во внешности рассматриваемого отрезка). На берегах разреза эта функция принимает чисто мнимые значения, отличающиеся знаком:

g+(x) = -g-(x) = i/^・(5)

Построим окружность L с центром в начале координат достаточно большого радиуса /?, и к двусвязной области, ограничен-

ной этой окружностью и кривой /, охватывающей отрезок, применим интегральную формулу Коши:

九(Z) g ⑵=詣 J(6)

Так как при 2—* оо функция 厶(之)—► 0, a g(z) —► 1, то интеграл вдоль L стремится к нулю при 7? —* оо. На противоположных берегах разреза произведение vg(z) в силу условий (4) и (5) принимает одинаковые значения, следовательно, интегралы от него вдоль этих берегов сокращаются. Поэтому формула (6)* в пределе, когда R —► оо н / стягивается в отрезок, дает:

Из этой формулы видно, что на действительной оси при |z|> о функция “(z) принимает действительные значения. По принципу симметрии отсюда следует, что имеют место следующие условия симметрии:

«I U. — у) = М (х, у), 5 (%，. — у) = — "1 (х, у).(8)

Применим теперь формулу Коши к тому же контуру А + Z и к функции fi(2)：

R(z)="或；

L+Z

на основании условий (8) и (4) в пределе, когда R —► оо н / стягивается в отрезок (—〃, а), мы получим отсюда:

f 1⑵=* j。壊二;騎.⑼

Совершенно аналогично, применяя формулу Коши к функции ,2(2), мы найдем, что на действительной оси при |г| > g эта функция принимает чисто' мнимые значения и, следовательно, для нее имеют место условия симметрии

〃2“，一 У)=— 〃2“，У), 。2 (%, — У) =。2 (%,办 (10)

Исходя из формулы

/2（е）/2（е）

/2（е）

/2（е）

мы, как и выше, получим на основании условий (10):

%(2)= —f+ l /■^■源.(11)

—a

Складывая (9) и (И), найдем решение задачи в виде

碧=击i曰*言/再聚昵(i2) —a—a

Эта формула дает приближенное распределение скоростей в потоке, обтекающем тонкое крыло. Из нее видно, в частности, что в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение

dlT Г + ^^ 1 .

=一而一工十 * * где

r= J(u+ +。-)/記d&, N = _ J(u+ —u-)d& —a—a

соответственно физически означают циркуляцию и поток, вычисленные для любого контура, окружающего крыло (см. п. 46). Заметим, что, как видно из формул (3), здесь ^ = 0.

Метод обобщается на случай, когда граничные значения заданы на берегах системы отрезков (ад, ”左)，" = =1, 2, ..., п, действительной оси.

Обтекание тел газовыми потоками. При больших скоростях движения самолетов, сравнимых со скоростью распространения звука, существенное влияние начинает оказывать сжимаемость воздуха. Поэтому методы классической гидродинамики, в которой среду считают несжимаемой, становятся неприменимыми и мы вступаем в область газовой динамики.

Основные уравнения гидродинамики для этого случая существенно осложняются. Уравнение неразрывности div рУ = О (р — плотность среды), которое в случае несжимаемой среды сводилось к условию div V = 0 (см. п. 46), теперь записывается в полном виде

_о(рУх)о(р%)

——+ —= °(电

(мы ограничиваемся плоско-параллельными установившимися течениями). Из (13) следует существование функции тока

V = и (尤，у) такой, что

Р 乙=Ро 芻，Р% = —Ро 需，(14)

где р。— некоторая постоянная.

Условие отсутствия вихрей rot V = 0, которое мы дополнительно налагаем, запишется так жегкак в п. 46 и приведет к су・ ществованию потенциальной функции и = и(х, у) такой, что

九=黑：%=芻・(⑸

Сравнивая (14) и (15), мы придем к системе уравнений газовой динамики:

dv _ р dv dvр ди，[箱

石=^■前，禹=一-^冇，(◎

которая в случае несжимаемой среды р == р0 переходит в систему Коши — Римана.

Система (16) неполна, ибо неизвестно, как меняется величина р. К этой системе следует добавить уравнения движения, которые в дополнительных предположениях о том, что плотность р зависит лишь от давления р (условие изэнтропичности) и что внешние силы отсутствуют, имеют вид

grad } Н = __^ grad р,(17)

где а =— скорость распространения звука в среде ).

Уравнение (17) допускает интеграл (так называемый интеграл Бернулли)

屮+「勺=const.

Предположим наконец, что поток адиабатный, т. е. что

Р = М>"，(18)

где k и х = cpfcv (отношение теплоемкостей)——постоянные, характеризующие газ. В этом предположении J ^ = —^—рк-1~ = а2, причем постоянную в правой части интеграла Бернулли можно записать в виде у V^ax, где Vmax— максимально

возможная скорость, соответствующая значению а = 0. Интеграл Бернулли принимает, следовательно, вид

.4•片+ 占d =4■片 аX.(19)

Подставляя @2 =也乂卩乂一* находим из (19) рх-1 = const или'."

p = p。(1-君 Z，(2。)

2+Ш2+Шгде постоянная ро — значение плотности при Р = 0.

2+Ш

2+Ш

Таким образом, р зависит от VТаким образом, р зависит от V,т. е. система (16) нелинейна, этим и объясняется сложность задач газовой динамики.

Таким образом, р зависит от V

Таким образом, р зависит от V

Систему (16) можно свести к одному уравнению второго порядка для функции и. Чтобы сделать это, перепишем уравнение неразрывности в виде

div (pV) = р div V + (V, grad р) = 0. . (13) Заменим теперь V = grad и и подставим grad р из уравнения (17); получим:

A"一备(匕 gr" H)= o,

где Д = div grad — оператор Лапласа. Подставляя Р?=(筈)？ + + ("^")2 и Раскрывая скалярное произведение, мы и получим искомое уравнение

(1 ~-^)ихх—^^-иХу + (1 ~^иУу = 0 (21) (для простоты письма индексами внизу мы обозначаем частные производные). Это уравнение — квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка. Если считать, что скорость звука а = 8, оно переходит в уравнение Лапласа; при дозвуковых скоростях (V < л) оно эллиптического типа, при сверхзвуковых скоростях (廿三 а)—гиперболического типа.

Мы приведем два приближенных метода решения задачи обтекания профилей газовыми потоками.

Метод. Янсена — Рэлея, первый из этих методов, был создан в годы первой мировой войны и относится к случаю, когда скорость течения невелика по сравнению со скоростью звука. Перепишем уравнение (21) в виде

%х + %“ =营(以 Х% + 2%/х% + %У%) (22)

и примем скорость потока, набегающего на профиль, 厶=L Тогда интеграл Бернулли (19) даст один раза^ = —^~ (^тах ~ ——1), а другой:

"1 - ™. 2-1 晚(磋 + 学 一 i)

=Af« + 乂^ 丄 Aft («л + «у — 1) +

где М^ = -—, Если подставить это разложение в уравнение (22), то последнее будет содержать М^ в качестве параметра. Имея это в виду, будем искать решение уравнения (22) в виде ряда

耳=〃° + М^〃 + М 旣'+

где uh = uh(xf у) — неизвестные функции.

Подставим это в (22) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях М*; получим систему уравнений:

吧х +啧=0，

心.+ "力=〃纟(%2 + 2成/£% + "%(%)2,(23)

Первое из них является уравнением Лапласа, а остальные уравнениями Пуассона Дм^ = ^(х, у), правые части которых определяются при решении предыдущих уравнений (их сложность возрастает с увеличением номера). Краевое условие имеет вид

d〃。дпd〃。дпди1дпди1дп..=0 на профиле..=0 на профиле

d〃。дп

d〃。дп

ди1дп

ди1дп

..=0 на профиле

..=0 на профиле

и выражает условие обтекания профиля.

Функция н°(х, у) представляет собой потенциал скоростей при обтекании профиля потоком несжимаемой жидкости, Мы будем считать ее известной и ограничимся тем, что укажем, как найти первый поправочный член ul(xty).

Для этого представим гармоническую функцию 〃° как действительную часть аналитической функции / (г): м° — у (/ + f)t откуда находим 成=区(/，+『),％ =万(产一厂)，…Функцию u1 мы представим в виде и) = F (zt г) и, пользуясь символами

комплексного дифференцирования 石 н 爲(см. п. 56), найдем

1 OF \ dF 1• / 0尸dF \

Подставляя эти выражения во второе уравнение (23)., мы представим это уравнение в комплексной форме:

8隸=产片+5片 (24)

Общее решение уравнения (24) легко написать на том основании, что для аналитической функции f имеем = 0 (см. п. 56), а для сопряженной к аналитической —f = 0; поэтому при интегрировании по z можно считать постоянной f, а при интегрировании по z — функцию £ На этом основании мы интегрируем (24) сначала по 2, а затем по 2, и находим:

8ul = 8F = rg + rg + h + h, (25)

где g = / 尸 dz, g = J fz dz —известные функции, а А и Я — произвольные аналитические функции соответственно аргументов 2 н 2, причем 万(2)=九(2). _

Таким образом, функция А + /г — гармоническая; ее отыскание сводится к решению задачи Неймана (см. п. 44), ибо граничные значения ее нормальной производной определяются из краевого условия = 0.

Метод Янсена — Рэлея в 40-х годах применялся и усовершенствовался многими авторами, которые, широко используя методы теории функций комплексного переменного, решили до конца задачу об обтекании газовыми потоками ряда важных профилей.

МетодС. А. Чаплыгина — второй приближенный метод решения задачи обтекания профилей дозвуковыми газовыми потоками, которой мы хотим описать — основан на идее, сформулированной в классической работе С. А. Чаплыгина «О газовых струях» (1904 г.), и состоит в замене адиабаты р = =々р" (乂 > 1) гиперболой р = а 十^， причем постоянные а и 6 подбираются так, чтобы гипербола касалась адиабаты в какой-либо точке. Этот прием соответствует замене истинного газа фиктивным, для которого х = —1, что позволяет значительно упростить математический аппарат.

Для вывода нужных уравнений введем так называемую плоскость годографа (Vx, Vy), а в ней — полярные координаты

V, 0 (модуль скорости и угол ее наклона к оси %). Тогда будем иметь Vx = V cos 0, Vv = V sin0 и на основании системы (16) получим

du + i^-dv =(yxdx + Vydy) + i (— Vy dx + Vx dy) = Ve~ie dz, где, как всегда dz = dx + idy. Заменяя du = ^dV +器d® и аналогично du, найдем отсюда:

dz б'。(ди ) 7 ро du \ dz — J° / d以 । ・ p0 dv \乔=乔十，丁乔丿'薄="7'［而十］T丽丿.

Приравняем теперь смешанные производные 朋而 и 肃羽； после сокращений получим:

i(需十吟毋)=T(黑+吟器)+i祸用翁•

Отделение действительных и мнимых частей приводит к так называемым уравнениям годографа

己以I \ dv ди _ PoV dv处「、

秆一u而向丿前，同 一誠，q6)

которые линейны относительно V］ и 0 (полярных координат вектора скорости). Уравнения (26) были получены С. А. Чаплыгин ы м, который, пользуясь их линейностью, решил ряд важных задач теории газовых струй *).

Прн х = —1 интеграл Бернулли (20) принимает вид р =

подставляя это в уравнения годографа (26)»

=m"点尸乩 найдем:

Введем функцию от модуля скорости

м(П=『

(27)

*) К сожалению, переход к плоскости годографа, дающий выигрыш в линейности уравнений, дает проигрыш в краевых условиях — эти условия в плоскости годографа имеют, вообще^ говоря, сложный вид. Поэтому метод годографа не является универсальным.

и аналогичнои аналогичноди而ди而да du 1 dv「、V2

и аналогично

и аналогично

ди而

ди而

так как — г = — V 1/ 15~

№ dV 旷 dV У匕 ах

то последние уравнения поднимают вид ди _

前=二"^，前=一而，

т. е. совпадают с уравнениями Коши — Римана.

Таким образом, и + ш в сделанных предположениях является аналитической функцией от W ——/0, и любая такая функция определяет некоторый газовый поток.

Это обстоятельство дает возможность эффективно строить

весьма широкие классы газовых потоков и, в частности, газовые потоки обтекающие некоторые профили.

Однако задача определения газового потока, обтекающего заданный профиль, в терминах переменных годографа W и В представляет собой очень трудную нелинейную краевую задачу (см. предыдущую сноску). Поэтому для практических расчетов в сороковых годах были созданы (С. А. Христиановичем» Т. Карманом и Цянь Сюэ-сэнем) приближенные методы. В их основе лежит следующая идея ——строится поток, обте

к заданному, и даются правилак заданному, и даются правилакающий профиль, «близкий» пересчета потока, обтекающего некоторый профиль, на поток, обтекающий близкий профиль *).

к заданному, и даются правила

к заданному, и даются правила

Теория кумулятивного заряда. За последние годы методы теории функций комплексного переменного нашли новое и неожиданное применение в теории весьма интересного явления—так называемой ку-

муляции.

Проделаем следующийРис. 129.

опыт. Поместим над сталь” ной плитой толщиной в 20 см цилиндрические заряды одинаковой высоты (15 см) и диаметра (4 см). Заряды а) и 6)——сплошные, остальные имеют коническую выемку со стороны, обращенной к плите, причем в зарядах <3) и е) в выемку вставлены стальные конусы с толщиной стали в 1,5мм. Заряды а), в) и d) стоят на плите, а остальные приподняты на высоту Р/г диаметра заряда； инициирование зарядов производится в месте Л (рис. 129).

На рис. 129 изображено действие этих зарядов. Обращает на себя внимание парадоксальное увеличение пробивного действия в случае е), когда коническая выемка покрыта стальной оболочкой и заряд удален от пробиваемого тела.

Эффект увеличения бронебойного действия при наличии выемки (случай в)) был открыт еще во второй половине прошлого века и получил название кумулятивного эффекта. Однако его использование ограничивалось некоторыми техническими задачами в горном деле. Значительное повышение бронебойного действия при наличии металлической облицовки было обнаружено позже, а к 1914 г. относится первый патент применения этого эффекта в бронебойном снаряде. Широкое применение кумулятивный эффект нашел только в войне 1941—1945 гг. К этому же времени относится и создание теории явления кумуляции, которая за последнее десятилетие получила большое развитие во многих странах.

Физические предпосылки теории. Прежде чем сформулировать основные предпосылки теории, отметим несколько простых экспериментальных фактов, относящихся к взрыву и его метательной способности.

В описанных выше опытах имеются в виду заряды из так называемых бризантных (дробящих) взрывчатых веществ (тротил, гексоген, тэн и т. д.), которые характеризуются следующими свойствами. Если в малой зоне вещества создается достаточно высокое давление (инициирование), то от этой зоны начинает распространяться волна взрывчатого превращения этого вещества ——детонационная волна. Перед фронтом такой волны имеется покой, а за фронтом ——продукты. разложения с давлением порядка 100 000——200 000 〃т; скорость распространения волны имеет порядок 5—10 км/сек. В теоретических исследованиях толщиной фронта детонационной волны обычно пренебрегают——опыты показывают, что на практике толщина этого фронта действительно мала по сравнению с другими характерными размерами. Отметим, что полная теория детонации создана также сравнительно недавно и в настоящее время она входит в раздел газовой динамики, посвященный движениям с разрывами (см. [6], ч. II, стр. 258—266).

Приведем теперь краткое изложение основ теории первого приближения кумулятивного заряда типа е) с металлической оболочкой. В качестве предпосылок этой теории принимаем следующие гипотезы:

1°. Детонация происходит мгновенно, а действие взрывчатого вещества на оболочку сводится к импульсу, направленному перпендикулярно к поверхности конуса.

2°. Материя оболочки, а также пробиваемая сталь, считается идеальной жидкостью.

Обе эти гипотезы легко обосновать, хотя на первый взгляд, представление броневой стали в виде идеальной жидкости и кажется совершенно неправомерным. Дело однако в том, что возникающие при кумулятивном взрыве давления имеют порядок 100 000 ат, а при таких давлениях прочностные и пластические силы составляют сотые доли от сил инерционных.

В принятых предпосылках качественную картину явления можно представить следующим образом. В начальный момент все элементы жидкой конической оболочки приобретают скорость (порядка 2 км/ceic) в направ- А лении оси конуса, происходит обжатие конуса /1 с утолщением его стенок? При подходе элемента/1

к оси конуса часть этого элемента выжимается и£1

выплескивается вперед подобно тому, как выплес-Ж鼻

кивается морская волна при затекании в клинооб-/1

разную бухту. В результате этого из конуса вы- жимается струя — «проволока» (рис. 130). Расчет 夕 \ показывает, что скорость такой проволоки тем больше, чем острее конус. Обычно наблюдаемые скорости имеют порядок от 2 до 10 км/сек] в отдельных экспериментах достигнута скорость до 90 км/сек.

Проволока при встрече с броней производит на нее давление порядка 1 000 000 ат, что и объясняет применимость схемы утдеальной жидкости для построения теории пробивания. Качественная кар- Рис. 130. тина пробивания отличается от картины формирования струи лишь направлением изменения времени (заменой t на —/). Характерным в этом процессе является то, что по мере его развития длина струи уменьшается, на каждый пробитый участок расходуется часть струи.

Г идродинамическая схема. Рассмотрим задачу о соударении двух идущих навстречу друг другу струй с общей осью симметрии, причем то, что мы будем говорить сначала, относится как к плоскому случаю, так и к случаю с осевой симметрией. Эта задача сводится к построению установившегося течения идеальной жидкости в среде с постоянным давлением, удовлетворяющего следующим условием. Вдоль оси симметрии, которую мы принимаем за ось %, слева направо течет такой поток жидкости плотностью pi, что при х -*—оо диаметр потока приближается к 2广1, а скорость — к Vi； справа налево вдоль той же、 оси течет поток жидкости плотностью рг, диаметр которого стре^ мится к 2r2 при %—*+оо. Течение имеет свободные поверхности ^1 и Л2 и поверхность у раздела двух жидкостей; эта поверхность симметрична относительно оси %, причем в точке е&

пересечения с осью, которую мы принимаем за точку х — О, скорости обоих потоков равны нулю (рис. 131).

Так как течение установившееся, то для давления р по формуле Бернулли—Эйлера (1) п. 47 имеем соотношение

р = Д — yV2,⑴

где А — постоянная, равная давлению, соответствующему V = 0, т. е. в точке % = 0. Из условия постоянства давления во

внешней среде на основании этого соотношения получаем, что вдоль свободной поверхности L]

V = const = V1B

Вдоль поверхности раздела у скорости R+ и V- потоков жидкостей с плотностями соответственно Р1 И р2 ДОЛЖНЫ быть связаны соотношением

ру.руз ⑵

Удаляясь вдоль у в +оо мы видим, что У+ -> Pi； на основании

(2) мы получаем, что V-(2) мы получаем, что V-V1 при х -* +°° вдоль у. От

(2) мы получаем, что V-

(2) мы получаем, что V-

сюда аналогично предыдущему заключаем, что вдоль свободной поверхности 厶—

V = const = 匕.

тока, идущего вдоль оси х справа налево:тока, идущего вдоль оси х справа налево:⑶⑶Этим самым определяется предел при х -> + °° скорости по

тока, идущего вдоль оси х справа налево:

тока, идущего вдоль оси х справа налево:

⑶

⑶

Плоский случай. Остановимся подробнее на случае плоскопараллельного течения и обозначим соответственно через

5 =厶(力=〃1+也，w = f2 (z) = u2 + iv2 (4)

комплексные потенциалы встречных потоков. Пользуясь симметрией этих потоков относительно оси х, рассмотрим верхнюю их часть, где у > 0; тогда функции (4) будут реализовать конформные отображения областей, занятых потоками, на полосы шириной j】и да, где qi = 1^门 н q? = V2r2 ——расходы в каждом из потоков. Отображения (4) определяются с точностью до постоянных слагаемых и эти постоянные, очевидно, можно выбрать так, чтобы полосами в плоскости ну служили полосы

0 < с < г?/ и — %<и<0

и чтобы точка разветвления потоков 2 = 0 при обоих отображениях переходила в точку оу = 0.

Для решения задачи требуется найти линии Lb L2 и у и соответствующие отображения (4) так, чтобы вдоль линий Li к

Рис. 132.Рис. 132.^%Wi^Wh勿物 勿勿宓＞6^%Wi^Wh勿物 勿勿宓＞6

Рис. 132.

Рис. 132.

^%Wi^Wh勿物 勿勿宓＞6

^%Wi^Wh勿物 勿勿宓＞6

厶2, переходящих в прямые 少=«1 и и =——q^ было соответственно

僞(z)| = % и \Г2(г)\^, = У^У^⑸

а вдоль линии у, переходящей в положительную полуось и,

l%(z)| = ]/lFlMz)|⑹

(рис. 132). Заметим еще, что при рассматриваемых отображениях отрицательная и положительная полуоси х переходят соответственно в верхний и нижний берега отрицательной полуоси,, так что

(7>(7>a「g%(z) = 0 при х < 0,a「g%(z) = —л при х > 0.

(7>

(7>

Для упрощения постановки задачи рассмотрим функции

4 = 14%(2)= 14%[%(叫=几他)(fe = l, 2),(8)

где г = Zk(w) —функции, обратные (4), в зависимости от переменной w. Эти функции должны удовлетворять следующим граничным условиям: соответственно вдоль прямых и = q^ и "=-依

Re f]侬)=In % и Re & 侬)=1口 匕 + ^ In ,(5:)

вдоль положительной полуоси и

Re & (吗)=Re В (g) + In — . Im 尺(叫)=Im 巴(叫)，(6) N p2

где 8左=，左(2), а на верхнем и нижнем берегу отрицательной полуоси и

Im Fj (w) = 0 и Im f2 (w) = — л.(7‘)

Из (6) следует, что w2 = ~^-у-^п и тогда из (6‘) можно заключить, что функция F2 (~ ^) — glog^" является аналитическим продолжением Л (со) через положительную полуось и. Таким образом, задача свелась к отысканию функции F(s)= =Fi((o), аналитической в полосе — Ц^^ ~ < у < ?i с разрезом вдоль отрицательной полуоси 汉，которая на границах полосы удовлетворяет условию

ReF = I口匕，

а на верхнем и нижнем берегах разреза соответственно — условиям

Im F(s) = 0, Im 尸(叨=—л.

Далее, без ограничения общности можно принять Vi = 1, тогда будем иметь «】=п и, в силу (5), Ц^^~^=г^ Так как, кроме того, согласно механическому смыслу задачи величина ReF(s) ограничена сверху, то функция C = F(s) должна реализовать конформное отображение полосы — r2 V и V 厂1 с разрезом вдоль отрицательной полуоси и на полуполосу с соответствием граничных точек, указанным на рис. 132. Эта функция находится элементарным образом, В самом деел, отображение полуплоскости Im(о > 0 на полосу с разрезом с соответствием точек, указанным на рис. 132, мы находим по формуле Шварца —

Кристоффеля в точности так же, как и в примере 2 п. 39 ):

5 = g In (s — 1) + In (о + 1) — С ^ N In (s — а), где а ='彳；• Полуполоса отображается на эту полуплоскость с нужным соответствием точек по формуле со = sin停一化)= =ch ^, следовательно, функция, обратная функции ^ = F(w), имеет вид

g In (ch^ — 1) + -~■ In (ch ^ + 1) — “ " In (ch 白一；+ 彳)•⑼ Зная функцию F (&у), по формуле (8) находим 片(之)=^ = «尸(* откуда

г = J e-F (喻 dw(10)

Р

(мы опускаем индекс 1 в обозначениях функций f и 尸).

Пользуясь этой формулой, можно определить форму струй, а также распределение скоростей в потоке.

Случай осевой симметрии. В этом случае решение задачи о соударении струй в столь законченной форме, как в плоском случае получить не удается. Если рассматривать рис. 131 как осевое сечение потока и через х обозначить координату вдоль оси, а через у — расстояние до оси, то вместо системы Коши — Римана мы получим систему

(ср. уравнения (12) п. 56). Изучение свойств решений этой системы относится к общей теории квазиконформных отображений (см. п. 56), развитой еще недостаточно. Поэтому приходится ограничиваться общими качественными соображениями этой теории и на их основе получать факты, на которых можно построить теорию первого приближения.

Приведем несколько таких соображений и фактов.

1°. При yf 十8 линии Li и 厶 имеют кривизну разных знаков и асимптотически приближаются к некоторой прямой у = =х tg а + &. Таким образом, существует асимптотический конус, к которому приближаются свободные поверхности струйных потоков, ограничивающие так называемую «пелену》(рис. 133).

2°. Ширина б полосы, заключенной между линиями Lt и La» стремится к 0 при у —► +叫 причем

2л^д = nrf + 冗吟 + 斗2л^д = nrf + 冗吟 + 斗(12)(12)

2л^д = nrf + 冗吟 + 斗

2л^д = nrf + 冗吟 + 斗

(12)

(12)

где т]——малая высшего порядка относительно б. Чтобы выяснить физический смысл этого соотношения заметим, что его ле・ вая часть выражает площадь сечения пелены, а лг； н лг^ — пло-

Рис. 133.Рис. 133.щади сечения струй при х 干оо (см. рис. 133)* Вдали от места встречи струй, т. е. при больших jx|

Рис. 133.

Рис. 133.

запишется в виде 几Г^ ^ 2几乡6用,гдезапишется в виде 几Г^ ^ 2几乡6用,гдескорости во всех точках сечений каждой из струй примерно одинаковы (равны 匕 для первой струи и Уг для второй). Поэтому уровне несжимаемости жидкости, которое выражается условием постоянства расхода, для каждой из струй бй — ширина полосы, заклю

запишется в виде 几Г^ ^ 2几乡6用,где

запишется в виде 几Г^ ^ 2几乡6用,где

ченной между Lfe и у (^ == 1» 2; di + б2 == б), складывая эти два соотношения, мы и придем к (12).

3°. Из теоремы о постоянстве количества движения можно получить важную для дальнейшего связь между радиусами струйных потоков, их плотностями и углом а. Рассмотрим два элемента струй вблизи оси х при х а ±оо, представляющие собою цилиндры высотой 1; их суммарное количество движения будет направлено по оси х и равно

/]=叫干! — Ир/%.

После соударения и по прошествии достаточно большего времени эти элементы будут находиться вблизи асимптотического конуса и проекция их суммарного количества движения на ось х будет равна

/2 = (лр/У, + Лру 犷 2)cos а.

По теореме о постоянстве количества движения имеем Ц =厶, откуда, полагая

и используя соотношение (3), найдем:

а — I ~~ A® _ 1 1 - cos аcos а — j + и2 , R ( + cos а •

Приведенных фактов достаточно для построения расчетных формул приближенной теории кумуляции.

Теория пробивания. Рассмотрим уже разобранную схему соударения двух жидких струй в системе координат, относительно которой левая (толстая) струя неподвижна. В этой системе координат скорость правой, подвижной, струи будет равна

也=%+% = (1+九)%.

Скорость места соударения струй Vb которая в теории кумуляции будет являться скоростью проникания (мы обозначим ее через to), равна, следовательно,

(0 =九丿2 =仔7不叽(15)

Таким образом, скорость проникания кумулятивной струи всегда меньше скорости самой струи. В частности, если струя и броня имеют одинаковую плотность (X = 1), то скорость проникания вдвое меньше скорости струн.

Из формулы (15) вытекает также следующий важный факт: если некоторое фиксированное сечение струи передвинется на расстояние Я, то точка проникания струи передвинется на расстояние

а струя при этом укоротится на величину

\3/1+九

Таким образом, отношение длины израсходованной части струи 九2 = // — h к длине пробитого участка й равно

h? н — h 1=-

откуда—

h = Xft2 = ^ — ft2.(16)

В частности, если плотность струи и брони одинакова, то й = 九2, т. е. глубина пробития равна длине, израсходованной на это пробитие струи.

Формула (16) хорошо увязывается с предположением о том, что кумулятивная струя имеет конечную длину. Пусть цилиндрический жидкий стержень, диаметр которого мал в сравнении с его длиной, ударяется соосно в другой цилиндрический жидкий стержень. В период, близкий к моменту начала соударения, мы имеем резко выраженный неустановившийся процесс. Однако,

опираясь на общие принципы, о которых говорилось выше, можно показать, что явления, происходящие в голове струи, заметно влияют лишь на расстоянии 2—3 диаметров струи. Когда реальный процесс приближается к рассмотренному выше установившемуся, на эти явления израсходуется лишь небольшая часть струи (в несколько диаметров), которой можно пренебречь. Поэтому длину части струи h2f израсходованной на пробитие, можно считать просто равной длине струи, и мы получим следующую приближенную формулу для глубины проникания кумулятивной струи-.

h = y -^ а,(17)

где а — длина струи, р2 — ее плотность и pi — плотность брони.

Теория формирования кумулятивной струи. Рассмотренная выше схема соударения двух струй при pi = р2 может быть также положена в основу расчета параметров кумулятивной струи. Для этой цели введем новую, подвижную систему координат, которая движется вдоль оси х справа налево со скоростью V/cos а. В этой системе коническая пелена движется по нормали к своей поверхности со скоростью W = V tg а, скорость кумулятивной струи оказывается равной w = V + cq—-. Подставляя V — W ctga, мы получаем выражение, формулу для скорости кумулятивной струи в зависимости от угла а и «скорости обжатия» конуса W:

@ =取0+wkTctga.(18)

Легко получить также выражение для радиуса струи в зависимости от угла а и толщины оболочки в одном из ее сечений ). Примем толщину оболочки, например, при у = 1 равной 6. Тогда согласно (12) будем иметь приближенно:

26 = г； + /^, а согласно (14)

г^ — / 1 — cos ari — у 1 + cos a *

откуда для радиуса кумулятивной струи получим выражение

G =m(1 — cos a) = 了26 sin - •(19)

Как и в теории пробивания от рассмотрения идеальной схемы перейдем к расчету (в первом приближении) реального кумулятивного заряда. Рассмотрим случай, когда оболочка заряда представляет собой конус переменной толщины, определяемой по формуле (12), и когда заряд таков, что все элементы оболочки мгновенно получают скорость W, постоянную по величине и направленную нормально к асимптотическому конусу.

Если толщина конуса мала в сравнении с его высотой, то начальной неустановившейся фазой процесса можно пренебречь и, следовательно, считать, что формирование струи происходит по схеме, изображенной на рис. 130: обжимающийся конус выдавливает из себя проволоку, радиус которой определяется по формуле (19) и которая движется со скоростью, определяемой по формуле (18).

Согласно сказанному выше в рассматриваемом случае длина струи и глубина пробития равны длине образующей конуса.

В заключение отметим, что все приведенные факты и выводы теории первого приближения полностью подтвердились на опыте в достаточно широких пределах диаметров зарядов, форм и толщин оболочек, для материалов различных плотностей и прочностных свойств. Однако накопилось и достаточное количество фактов, не укладывающихся в изложенную теорию и требующих для своего даже косвенного объяснения существенных дополнений к этой теории. Некоторые такие факты и связанные с ними постановки задач читатель может найти в статье М. А. Лаврентьева [20]; см. также книгу М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [21].

Задачи теории упругости. Мы приведем здесь несколько примеров решения задач, поставленных в п, 51.

Решение основных задач для круга. Пусть область D представляет собой единичный круг, и требуется найти упругое равновесие при заданных на единичной окружности С внешних напряжениях Fn=Xn~\-iYn (задача I) или смещениях g = и~\- iv (задача II),

Согласно результатам п. 51 решение этих задач сводится к отысканию двух аналитических в круге |г| v 1 функций (р(г) и 屮⑶，связанных на окружности для случая задачи I условием

С Ф (?) + 帥'(О + W ⑶=f (D, (1) где f d) = i j Fn ^ — заданная на С'функция (см. формулу (8) п. 51; в соответствии со сказанным там в этой формуле можно положить 4=0), а для случая задачи II условием

«Ф © —師© — 2 硝=2jig (О, ⑵

где х и 卩一постоянные (см. формулу (4) п. 51),

Рассмотрим подробно решение задачи I. Для полной определенности задачи примем условия .

2 (0) = Im(pz (0) = 0 (3)

(ср. формулу (10) п. 51). Воспользуемся теперь тем, что значения W(g) являются предельными значениями функции W(z), аналитической в круге |z| < 1. По формуле (22) п. 52 с учетом условий (1) и (3) мы получаем тогда для всех г, [z| V 1, соотношение

丄「？｛UdQ 1 "隽)党1 Г 屮(4) %1 Г

2лг J С — z = 2加 J J — z2л/ J J — z2л/ J

СССС

Так как функция 屮(z) аналитична в круге |г| VI, то, пользуясь формулой Коши, это соотношение можно переписать в виде

⑷⑷

⑷

⑷

Мы получили уравнение для определения функции 屮(z). Чтобы решить его, подставим тейлоровское разложение 屮(z) == У ср в интеграл в левой А=0

части (4):

十嘉j占*铀沪"СI十嘉j占*铀沪"СI⑸⑸

十嘉j占*铀沪"СI

十嘉j占*铀沪"СI

⑸

⑸

Выделенный член по интегральной формуле Коши равен &а; чтобы преобразовать второй член, заметим, что на окружности £ = 1/g, и следовательно, подынтегральную функцию можно переписать в виде )

причем этот ряд сходится при |^| ^ 1. Интегрируя почленно, найдем, что второй член в правой части (5) равен 2&.

Таким образом, из формулы (4) мы находим следующее выражение для искомой функции 屮(2‘)：

f (С) dg С —2f (С) dg С —2—圆 2，— 2%.—圆 2，— 2%.⑹⑹

f (С) dg С —2

f (С) dg С —2

—圆 2，— 2%.

—圆 2，— 2%.

⑹

⑹

Остается определить постоянные Ci=q/(O) и с? ==—J""^， Для чего достаточно продифференцировать (6) один и два раза по г н затем подставить z = 0; мы получим:

Cl + ^,=i J ^^' 方=詣1 守 〃•(7>

Второе уравнение вполне определяет с2, относительно первого заметим прежде всего, что оно разрешимо лишь при условии

而贵1号"=旧差卜售)成=0сс

(мы воспользовались тем, что £=1/工 на С), которое после подстановки f = % 十办 н d； = dx — idg переписываются в виде

⑻⑻J ft dx-^f2dy=Q С

⑻

⑻

и физически выражает условие равенства нулю главного момента внешних напряжений (ср. формулу (9) п. 51). При этом условии первая формула (7) определяет действительную часть Ci, а ее мнимую часть мы полагаем равной нулю в соответствии с принятым условием (3).

Итак, функция q)(z) определяется формулой (6), в которой постоянные С\ и с? находятся из формул (7). Зная эту функцию, мы находим из условий (1) граничные значения аналитической функции 屮(z) и по этим значениям при помощи формулы Коши восстанавливаем значения 屮(2) внутри круга:

屮（2）屮（2）1 Г2ni J U —21 Г2ni J U —2[Г 狐后火 _ _1_ Г Ед/ (02Я1 J С — 22加 J С — 2сс[Г 狐后火 _ _1_ Г Ед/ (02Я1 J С — 22加 J С — 2сс(9)(9)

屮（2）

屮（2）

1 Г

2ni J U —2

1 Г

2ni J U —2

[Г 狐后火 _ _1_ Г Ед/ (0

2Я1 J С — 22加 J С — 2

сс

[Г 狐后火 _ _1_ Г Ед/ (0

2Я1 J С — 22加 J С — 2

сс

(9)

(9)

Второй интеграл справа по формуле (22) п. 52 равен <р(0); третий интеграл легко вычисляется по теореме Коши о вычетах:

1 f Ь' (G」.1 「U (О dt и (0) , и(2)

Сс

(мы воспользовались тем, что £ = 1/£ на С, а также тем, что подынтегральная функция внутри С имеет два полюса первого порядка: ^ = 0 и J =鍔 вычеты в этих полюсах вычисляются по формуле (5) п. 23). Таким образом, формулу (9) можно переписать в виде

屮9）=击j С屮9）=击j С晒火晒火乎+千一硒.乎+千一硒.(10)(10)

屮9）=击j С

屮9）=击j С

晒火

晒火

乎+千一硒.

乎+千一硒.

(10)

(10)

Согласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (10) можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим решение задачи I в окончательном видеСогласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (10) можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим решение задачи I в окончательном виде*⑵*⑵丄口 @熙一工「咨2加J二一2 4市J s吗， Сс1 Г HD I 1「 f (О 證屮'(2)2 加 J с - z k 4 加 z J cc丄口 @熙一工「咨2加J二一2 4市J s吗， Сс1 Г HD I 1「 f (О 證屮'(2)2 加 J с - z k 4 加 z J cc

Согласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (10) можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим решение задачи I в окончательном виде

Согласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (10) можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим решение задачи I в окончательном виде

*⑵

*⑵

丄口 @熙一工「咨

2加J二一2 4市J s吗， Сс

1 Г HD I 1「 f (О 證屮'(2)

2 加 J с - z k 4 加 z J cc

丄口 @熙一工「咨

2加J二一2 4市J s吗， Сс

1 Г HD I 1「 f (О 證屮'(2)

2 加 J с - z k 4 加 z J cc

Задача II для единичного круга решается вполне аналогично, (11) мы приходим к формуламЗадача II для единичного круга решается вполне аналогично, (11) мы приходим к формулами вместои вместогдегде(12)(12)(13)(13)

Задача II для единичного круга решается вполне аналогично, (11) мы приходим к формулам

Задача II для единичного круга решается вполне аналогично, (11) мы приходим к формулам

и вместо

и вместо

где

где

(12)

(12)

(13)

(13)

Случай плоскости с круговым отверстием. Для этого случая основные задачи теории упругости решаются аналогично. Предположим сначала, что главный вектор внешних напряжений, приложенных к контуру, а также напряжения на бесконечности, обращаются в нуль, т. е. что

Х = У = 0 и F =「= 0.Х = У = 0 и F =「= 0.(М)(М)

Х = У = 0 и F =「= 0.

Х = У = 0 и F =「= 0.

(М)

(М)

Как мы видели в п. 51, из этого предположения следует, что функции (р(г) и 2(z) правильны в бесконечно удаленной точке; мы предположим еще, что 屮(оо) = О,

Так как значения 屮(z) на окружности С, которую мы по-прежнему будем считать единичной, являются предельными значениями функции, аналитической вне круга \z\ > 1, то по формуле (23) п. 52 с учетом краевого условия (1) мы получаем для всех г, |z| > 1, соотношение

f隽）也f隽）也1 「<Р 隽)da 2ni J 白一z1 「<Р 隽)da 2ni J 白一z

f隽）也

f隽）也

1 「<Р 隽)da 2ni J 白一z

1 「<Р 隽)da 2ni J 白一z

или на основании формулы (20) п. 52 и условия <р(со) = 0,

白一 N白一 Nf （白）此f （白）此

白一 N

白一 N

f （白）此

f （白）此

Пользуясь лорановским разложением|г| > 1, мы в точности так же, как в в левой части последней формулы равенПользуясь лорановским разложением|г| > 1, мы в точности так же, как в в левой части последней формулы равенсходящимсясходящимсяприприслучае круга, получим, что интеграл нулю и таким образомслучае круга, получим, что интеграл нулю и таким образом

Пользуясь лорановским разложением

|г| > 1, мы в точности так же, как в в левой части последней формулы равен

Пользуясь лорановским разложением

|г| > 1, мы в точности так же, как в в левой части последней формулы равен

сходящимся

сходящимся

при

при

случае круга, получим, что интеграл нулю и таким образом

случае круга, получим, что интеграл нулю и таким образом

¥⑵一贵J с¥⑵一贵J с(15)(15)

¥⑵一贵J с

¥⑵一贵J с

(15)

(15)

Теперь йожно определить граничные значения 屮(白)，найти по формуле (1) граничные значения 卡④ и по формуле (20) п. 52 построить с их помощью значения 屮(之)при \z\ > 1：

少（n）=—

疗+少（8）.

Подставляя сюда значения p(J) из (1) и пользуясь легко доказываемыми соотношениями

zz1 「価 dg 1 「6(» 党

z

z

1ST J g — z 一，2市 J g(g—z) Сс

получаем окончательно:

zz(16)(16)

z

z

(16)

(16)

(мы отбросили несущественное постоянное слагаемое).

Перейдем к общему случаю, когда условия (14) не выполняются. По формулам (20) п. 51 мы имеем тогда:

(17)(17)wQ)=rz- 2,(農* Lnz + w(z),

(17)

(17)

4(N)= Fz + 况 2冗(]三灰)Ln z + 2o(2),

где(po(2)и 2。(胃)一однозначные аналитические при |г| > 1 функции, причем можно положить фо(°°) — 0 и считать, что вращение на бесконечности отсутствует, т. е. что Г — действительная постоянная. Подставляя эти выражения в краевое условие (1), получим, что граничные значения функции $o(z) и 2o(z) связаны условием точно такого же вида, в котором лишь в правой части вместо функции /(g) стоит

% d (D - 2" Y + 注^ Ln 4 + 儲看？(18)

(мы воспользовались тем, что J= l/二 на С и что Г — действительная постоянная). Заметим еще, что функция %(g) однозначна на С, ибо приращение /(g) при обходе С、равное X + 忆 компенсируется приращением логарифмического члена.

Таким образом, отыскание функций 屮o(z) и 1|)0(г) свелось к уже решенной задаче и, следовательно, эти функции найдутся по формулам (15) и (16), в которых функция f(g) заменена функцией /0(?) из (18). Теперь остается найти по формулам (17) функции 屮(z) и 2(之)，т- е. задача будет решена и в общем случае.

Вторая основная задача решается вполне аналогично. ,

Случай полуплоскости. Пусть область D представляет собой нижнюю полуплоскость. В этом случае для решения основных задач мы продолжим функции(p(z) и i|)(z), определенные в D, в верхнюю полуплоскость. Именно, для z в верхней полуплоскости мы положим по определению

屮 ⑶=-2屮'(习一2 (名)+ const;(]9)

тогда

屮'⑶=一方g)-2^75) - 2'(习.(20)

Обозначив через 屮二(％) и р； (%) предельные значения ф' (г) при г -> х соответственно справа и слева от оси х (т. е. из нижней и из верхней полуплоскости), мы будем иметь:

(21)(21)Ф+ (%)=—屮二(X)— Х<р^ (х) — 41 (х).

(21)

(21)

С другой стороны, из формул (26) п. 50 получаем в нижней полуплоскости

Yy—iXy = ^ (г) + д/⑵ + z^(ij + 旷(办(22)

Мы видим, что на ненагруженных участках оси х, где У/ — iX；= =也⑴+中二(%) +力中二(%)+必⑺=0， соотношение (21) принимает вид

中1(%)=屮二(%).

Таким образом, продолжение (20) функции q/伍)в верхнюю полуплоскость оказывается аналитическим продолжением этой функции через незагруженные участки оси %.

Через функцию </(?), распространенную в верхнюю полуплоскость, выражается и функция 而'(2). Чтобы получить это выражение, заменим в формуле (20) г на г (так что г будет лежать в нижней полуплоскости) и перейдем к комплексно сопряженным величинам; тогда найдем:

时(?) = — ^ (г) — д/修)—2(р"⑵

(z лежит в верхней полуплоскости). Подставляя это выражение в (22), будем иметь выражение напряжений через функцию ср (г)：

Yy - iXy = U ® — qf (2) +(2 - 2) ?^(23)

Аналогично, из формулы (24) п. 50 получим выражение смещений через ту же функцию:

2卩(и + 2) — к(р (?) + 屮(2) —(2 — г)屮‘(?)+ const.(24)

Перейдем к решению краевых задач. В первой краевой задаче на действительной оси задаются внешние напряжения: давление Р (f) = — У^ и касательное напряжение Г (/) = Х~; мы предположим, что они удовлетворяют условию Гёльдера и равны нулю на бесконечности. Из формулы (23), в которой надо перейти к пределу при г-> /, получаем краевое условие для функции 叫2)：

心(0 - Q： (0 = Р ⑴ + 打 «)・(25)

Решение краевой задачи (25) на основании формулы Сохоцкого (15) п. 52 дается непосредственно в виде интеграла типа Коши

При некоторых дополнительных условиях, наложенных на P(f) и T(f), функция <р'(2), определяемая формулой (26), будет удовлетворять нужным условиям на бесконечности, которые (как вытекает из формулы (22) п. 51) имеют вид

中'(力=_^^.；+0(^)，(27)

где о (^) —малая высшего порядка по сравнению с }. При этих условиях, подставив найденное выражение ^(z) в формулу (23), мы найдем напряжения, а из формулы (24) найдем смещения (с точностью до жесткого Смещения).

Во второй краевой задаче на действительной оси задаются значения компонентов смещения: и_ = g【(f), и- = ^2(0； мы предположим, что производные g； (/) и ^2 (0 удовлетворяют условию Гёльдера и равны нулю на бесконечности.

Дифференцируя равенство (24) по х, переходя к пределу при а-> £ из нижней полуплоскости и используя заданные смещения, найдем краевое условие задачи:

2卩(Г ⑴ + 城(О] = к屮二(£) + Ф+ (£)• (28)

Обозначим через %(z) функцию, равную q/(z) в верхней полуплоскости и —xq/(z) в нижней. Тогда условие (28) перепишется в виде

%+(，)- %_(/) = 2|x[g；⑴ + ig；(川，

и функция х(0 найдется в виде интеграла типа Коши

g；(£) + ig；(£)g；(£) + ig；(£)dt.dt.(29)(29)Зная %, найдем и искомую функцию 屮'(之)①'⑵=I 、[一小)Зная %, найдем и искомую функцию 屮'(之)①'⑵=I 、[一小)при Im z > О, при Im z V 0.при Im z > О, при Im z V 0.(30)(30)4) Задача о штампе. Пусть над участком (—/, /) действительной оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жесткий4) Задача о штампе. Пусть над участком (—/, /) действительной оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жесткийштамп с прямолинейным горизонтальным основанием (рис. 134). Мы предполагаем, что точки участка (—/, /) соприкасаются и неизменно сцеплены со штампом и что штамп может перемещаться лишь вертикально. Задача представляет собой сметанную краевую задачу теории упругости: на отрезке (—/, /) заданы смещенияu_ + iv-=gi (£) + ig2 (0 = const, (31)а на остальной части границы, т. е. лучах (—оо,—/) и (/,℃)—напряженияХд = Уд =0.(32)штамп с прямолинейным горизонтальным основанием (рис. 134). Мы предполагаем, что точки участка (—/, /) соприкасаются и неизменно сцеплены со штампом и что штамп может перемещаться лишь вертикально. Задача представляет собой сметанную краевую задачу теории упругости: на отрезке (—/, /) заданы смещенияu_ + iv-=gi (£) + ig2 (0 = const, (31)а на остальной части границы, т. е. лучах (—оо,—/) и (/,℃)—напряженияХд = Уд =0.(32)Рис. 134.Рис. 134.Подставляя условие (32) в формулу (25), мы видим, что в точках лучей (—оо, —))и (/, оо) выполняется соотношение(р+ (/)=屮二(/), аналитически продолжается через эти лучи, в формулу (28), мы получаем связь граничных разреза (— /, /): к(р二(0 + <Р+ (0 = 0, или屮1(‘)= - 其①:(0-Подставляя условие (32) в формулу (25), мы видим, что в точках лучей (—оо, —))и (/, оо) выполняется соотношение(р+ (/)=屮二(/), аналитически продолжается через эти лучи, в формулу (28), мы получаем связь граничных разреза (— /, /): к(р二(0 + <Р+ (0 = 0, или屮1(‘)= - 其①:(0-т. е. что функция q/(z)Подставляя условие (31)значений q/(z) на берегах(33)т. е. что функция q/(z)Подставляя условие (31)значений q/(z) на берегах(33)Таким образом, для определения функции q/(z) мы приходим к краевой задаче Гильберта — Привалова в случае 6 = 0, а — и незамкнутого конТаким образом, для определения функции q/(z) мы приходим к краевой задаче Гильберта — Привалова в случае 6 = 0, а — и незамкнутого контура С (см. конец п. 53). Индекс функции а равен нулю, поэтому задачатура С (см. конец п. 53). Индекс функции а равен нулю, поэтому задача

g；(£) + ig；(£)

g；(£) + ig；(£)

dt.

dt.

(29)

(29)

Зная %, найдем и искомую функцию 屮'(之)

①'⑵=I 、

[一小)

Зная %, найдем и искомую функцию 屮'(之)

①'⑵=I 、

[一小)

при Im z > О, при Im z V 0.

при Im z > О, при Im z V 0.

(30)

(30)

4) Задача о штампе. Пусть над участком (—/, /) действительной оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жесткий

4) Задача о штампе. Пусть над участком (—/, /) действительной оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жесткий

штамп с прямолинейным горизонтальным основанием (рис. 134). Мы предполагаем, что точки участка (—/, /) соприкасаются и неизменно сцеплены со штампом и что штамп может перемещаться лишь вертикально. Задача представляет собой сметанную краевую задачу теории упругости: на отрезке (—/, /) заданы смещения

u_ + iv-=gi (£) + ig2 (0 = const, (31)

а на остальной части границы, т. е. лучах (—оо,—/) и (/,℃)—напряжения

Хд = Уд =0.(32)

штамп с прямолинейным горизонтальным основанием (рис. 134). Мы предполагаем, что точки участка (—/, /) соприкасаются и неизменно сцеплены со штампом и что штамп может перемещаться лишь вертикально. Задача представляет собой сметанную краевую задачу теории упругости: на отрезке (—/, /) заданы смещения

u_ + iv-=gi (£) + ig2 (0 = const, (31)

а на остальной части границы, т. е. лучах (—оо,—/) и (/,℃)—напряжения

Хд = Уд =0.(32)

Рис. 134.

Рис. 134.

Подставляя условие (32) в формулу (25), мы видим, что в точках лучей (—оо, —))и (/, оо) выполняется соотношение(р+ (/)=屮二(/), аналитически продолжается через эти лучи, в формулу (28), мы получаем связь граничных разреза (— /, /): к(р二(0 + <Р+ (0 = 0, или

屮1(‘)= - 其①:(0-

Подставляя условие (32) в формулу (25), мы видим, что в точках лучей (—оо, —))и (/, оо) выполняется соотношение(р+ (/)=屮二(/), аналитически продолжается через эти лучи, в формулу (28), мы получаем связь граничных разреза (— /, /): к(р二(0 + <Р+ (0 = 0, или

屮1(‘)= - 其①:(0-

т. е. что функция q/(z)Подставляя условие (31)значений q/(z) на берегах

(33)

т. е. что функция q/(z)Подставляя условие (31)значений q/(z) на берегах

(33)

Таким образом, для определения функции q/(z) мы приходим к краевой задаче Гильберта — Привалова в случае 6 = 0, а — и незамкнутого кон

Таким образом, для определения функции q/(z) мы приходим к краевой задаче Гильберта — Привалова в случае 6 = 0, а — и незамкнутого кон

тура С (см. конец п. 53). Индекс функции а равен нулю, поэтому задача

тура С (см. конец п. 53). Индекс функции а равен нулю, поэтому задача

решается с помощью формул Гахова (4) и (5) п. 53, которые для нашего случая принимают вид

где 6 = В； • Однако найденная функция 屮二(z) не удовлетворяет условиям

на бесконечности — она принимает там конечное значение А, а искомая функция согласно условию (27) должна иметь там нуль первого порядка. Поэтому, используя замечание в конце п. 53, и ^множив найденную функцию на

получим ):

屮二（z）屮二（z）=4/ Z 一 /4 / z + d 1

屮二（z）

屮二（z）

~ z-l \z + l I — \z~l/ 仙一"

Вычет нашей функции в точке 2=8 равен 4 (при соответствующем выборе ветвей многозначных функций, входящих в полученное выше выражение), X

поэтому, учитывая формулу (27), находим: Л =涼——,т. е. постоянная А

равна равнодействующей сил, приложенных к штампу. В наших условиях л = О, У =——Ро, и мы получаем окончательное выражение функции 屮二(z):

(34)(34)吧(力=學(一Г2л \ z — I J

(34)

(34)

Вычислим давление P(£) и касательное напряжение Г(/)# действующее «а тело под штампом. По формулам (25) и (33) имеем:

p (/) + 附⑴=心(0 - <Р-⑴=-(I + ")<Р二 0).

Подставив сюда выражение (34), найдем:

Р(/)+ /г(п = —А 1

где в правой части следует брать предельное значение функции при г-> / по точкам верхней полуплоскости ). После элементарных преобразований

получим:

р (О

Ро 1 + 乂

Т«)

2Л匕2一彳/x

Ро 1 +х

COS (В 1п

/ + /

2冗 М/2 _ /2 Нё"

sin (р In

/ + /

(35)

гай(4115]га ИИ и^-11]^^ ^.^- { { 二I -=E I -гай(4115]га ИИ и^-11]^^ ^.^- { { 二I -=E I -

гай(4115]га ИИ и^-11]^^ ^.^- { { 二I -=E I -

гай(4115]га ИИ и^-11]^^ ^.^- { { 二I -=E I -

Эти формулы получены В. А. Абрамовым (см. Н. И. Мусхелишвили [10]).

Литература к главе 111

И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961.

Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. III, ч. 1, ГТТИ, 1933.

Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат, 1946.

Д. Ю. Панов, Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1949.

П. Ф. Фильчаков и В. И. П а н ч и ш и н, Интеграторы ЭГДА. Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Изд-во АН УССР, Киев, 1961.

Н. Е. Кочин и И. А. К и б е л ь, Теоретическая гидромеханика, ч. I, ч. II, Гостехиздат, 1948.

В. В. Голубев, Лекция по теории крыла, Гостехиздат, 1950.

Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостех- издат, 1950.

И. М. А с н и н. Расчеты электромагнитных полей, издание ВЭТА, Л., 1939. Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости, Изд-во АН СССР, изд. 4-е, 1954.

Г. В. Колосов, Применение комплексной переменной к теории упругости, ОНТИ, 1935.

X. С. К а р с л о у, Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1947.

Ф. Д. Г а х о в, Краевые задачи, Физматгиз, 1963.

Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, Физматгиз, 1963.

И. Н. В е к у а, Обобщенные аналитические фикции, Физматгиз, 1959.

М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, Изд-во АН СССР, 1962.

Л. И. Волков ы с кий, Квазиконформные отображения, Изд-во Львовского ун-та, 1954.

Ф. Т р и к о м и, О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат, 1947.

А. В. Б и ц а д з е, К проблеме уравнений смешанного типа, Труды ин-та имени В. А. Стеклова, вып. XLI, Изд-во АН СССР, 1953.

М. А. Лаврентьев, Кумулятивный заряд и принципы его работы, Успехи матем. наук, т. XII, вып. 4 (1957), 41——56.

М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их математические модели,《Наука», 1973.

Глава IV

Вариационные принципы конформных отображений

Эта глава посвящена «динамике» конформных отображений. В ней излагаются качественные и количественные предложения, позволяющие судить о том, как изменяются отображения при изменении границ отображаемых областей. Такого рода предложения представляют собой интерес для практики, ибо они дают простые методы пересчета при переходе от данной конструкции к конструкции близкой. Предположим, что при расчете запроектированной конструкции оказалось, что некоторые величины превышают допустимые размеры. Тогда, естественно, возникает вопрос о том, где и насколько надо изменить конструкцию. В некоторых случаях ответ на этот вопрос можно получить на основании излагаемых здесь вариационных принципов.

В конце главы даются примеры применения вариационных принципов к конкретным прикладным задачам.

Основные вариационные принципы

Пусть в плоскости z заданы две односвязные области D и 力，ограниченные кривыми С и С, и пусть w = f(z) и w = = f(2)— функции, реализующие конформные отображения D и 方 на одну из канонических областей (круг, полуплоскость, полосу) и одинаково нормированные. Задача, о которой мы только что говорили, ставится следующим образом: Считая отображение w = f(z) известным, а контур С близким к С, найти главную часть 6f приращения

f ⑵一f(2)=6f+「(f, f)

при переходе от области D к В.

Мы имеем два типа результатов, относящихся к решению этой задачи, — качественные теоремы и методы приближенных подсчетов б/ с оценками для остаточного члена г(Д /). Начнем с качественных принципов.

Основной вариационный принцип. Условимся о некоторых обозначениях. Область, ограниченную кривой С, мы будем

обозначать D(C). Функцию, реализующую конформное отображение D(C) на единичный круг, при котором фиксированная внутренняя точка Zo области переходит в начало координат, мы обозначим:

w = f(z,C)； f(z°,C) = O.(1)

Функций, удовлетворяющих указанным условиям, бесконечно много, но все они отличаются друг от друга множителем вида £‘* где 9 — действительное число. Мы будем понимать под f(z,C) любую из них, но в тех вопросах, где величина 9 существенна, будем определять ее дополнительным условием. Замкнутую линию, переходящую при отображении (1) в окружность |ш| = р < 1, будем обозначать через Ср и называть линией уровня.

Деформацией контура С мы будем называть замену его контуром С. Предположим, что области D (С) и D (С) звездны относительно точки %, т. е. что их границы С и С в системе полярных координат с полюсом в % можно представить уравнениями г = г (ф) и г = г (ф) с помощью однозначных функций гиг. Точку 22 = 2о*г2c 仰 2 контура С, где достигает экстремума отношение г (ф)/г (ф), и соответствующую точку z2 = =胃。+ 产2c仰2 контура С мы будем называть точками наибольшей деформации, а число Л = г2/г2 — наибольшей деформацией контура.

Основной качественный вариационный принцип, так называемый принцип Линделёфа, утверждает, что если ограничиться отображениями на единичный круг областей, содержащих фиксированную точку % (прообраз точки w = 0 при каждом таком отображении), то при вдавливании внутрь границы области: 1) все линии уровня сжимаются; 2) растяжение в точке Zo увеличивается; 3) растяжение в точках границы, оставшихся неподвижными (и, в частности, длина образа не- деформированной части границы), уменьшается; 4) в точках наибольшей деформации растяжение увеличивается более чем в 1儿 раз.

Иными словами, имеет место

Теорема 1. Если область D© содержится в D (С), го:

пр〃 любом р (0 < р < 1) область D (С^ содержится в D (Ср)( причем соприкосновение Ср и Ср возможно лишь пр〃 совпадении С и С\

в точке 2。

©)|》IY(%, С)I,⑵

причем знак равенства возможен лишь пр〃 совпадении С и С;

если контуры С и С имеют общую точку zb то е этой точке

⑵，С) I,(3)

причем знак равенства возможен лишь при совпадении ◊以 С;

если области звездны относительно 之齿 то в точках наибольшей деформации

1尸(各，2)1)；1广(① e)1,(4)

ade X < 1 ——наибольшая деформация контура.

Мы приведем прямое геометрическое доказательство принципа, которое ясно показывает его существо и позволяет получить количественные оценки. Для этого заметим, что теорему достаточно доказать для случая, когда контур ◊ отличается от С только на малом участке (а, Ь), где он представляет собой дугу кривизны, близкой к кривизне С на (а, Ь), так что D(C) получается удалением из £>(С) малой площадки о (рис. 135), В самом деле, любую вариацию С можно получить последовательным применением этой простейшей вариации, и если теорема будет доказана для нее, то она будет доказана и в общем случае.

Введем теперь вспомогательную плоскость g и отобразим конформно область Q(C) на единичный круг |^| < 1:

g = f(爲 С), / (z(), С) = 0.

Пусть при этом С переходит .в кривую Cf и площадь, заключенная между Cf и окружностью |^| — 1, равна d (рис. 135). Отобразим конформнр область D{Cf) на единичный круг плоскости 9：

® = g(G)，g(o)= o.

С точностью до малых высших порядков площадку о' можно считать круговой луночкой *), следовательно, в качестве g можно взять отображение (9) п. 34

s = g(D = W+M 罟驾，⑸

*) Это утверждение может быть обосновано в случае, когда кривизна 尼 контура С как функция длины дуги s этого контура удовлетворяет условию Гёльдера

\k(s + h)-~k(s)\<Alh^ 0<а<1.

Для обоснования приходится пользоваться еще рядом граничных свойств отображений w = /(г). Ниже мы приведем доказательство принципа, не 'использующее граничных свойств f(z).

где а — аргумент какой-либо точки площадки(/. Найдем отображение, обратное g. Для этой цели перепишем формулу (5)

в виде

3 I 2л 1 - ^~ш I

(мы воспользовались тем, что при малых q с малых высшего порядка * 1 — п)・ Так как1"(мы воспользовались тем, что при малых q с малых высшего порядка * 1 — п)・ Так как1"точностью доw отличается

(мы воспользовались тем, что при малых q с малых высшего порядка * 1 — п)・ Так как

1"

(мы воспользовались тем, что при малых q с малых высшего порядка * 1 — п)・ Так как

1"

⑹⑹от С на величину порядка а\ то в членах, содержащих множитель с/, не меняя порядка точности, можно заменить 二 через 侬, так что ,

⑹

⑹

Обозначим через Ср кривую плоскости & соответствующую окружности I 侬 | = р при отображении w = g (^). Чтобы получить параметрические уравнения Ср, мы положим =ге^^

У ] + р"-а) 2л 1 — р*е-а)'У ] + р"-а) 2л 1 — р*е-а)'5 = р幽 прологарифмируем выражение (6):

У ] + р"-а) 2л 1 — р*е-а)'

У ] + р"-а) 2л 1 — р*е-а)'

In— =1п — + z (<р — 8) q

wр

г q р<р * 8г q р<р * 8и разделим затем действительные и мнимые части:

г q р

<р * 8

г q р

<р * 8

⑺⑺2л 1 — 2р cos (0 — а) + р2а'2P sin (6 — ct)2л 1 — 2p cos (0 — а) + p2 *

⑺

⑺

Из этих уравнений можно получить все утверждения доказываемой теоремы. Очевидно, имеем:

5 = f(z, C) = g[f(^ С)];⑻

следовательно, при отображении ^ = f (г, С) область Q©) переходит в D (Ср). Так как Q(Cp) переходит при этом в круг |C|Vp, то для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что D (Ср) содержится в круге | ^| < р. Но так как 1—2р cos(0 — а) +р? W (1 + р)2, то по формуле (7) для всех точек контура Ср имеем:

е=ур(1 一母)⑼

Таким образом, первое утверждение теоремы полностью доказано.

Деля неравенство (9) на р и устремляя р к нулю, получим в пределе

I務L=°《i-許<i・

Но тогда 卜g'(0) I > 1, и согласно формуле (8)

丨产係，㊂)l = |g'(0)川 f'(w，C)|>|f'(z°, c)|.

что и доказывает второе утверждение.

Пусть теперь точка ^=ге^ приближается к точке е即 окружности |^|=1 по радиусу этой окружности, причем 炉屮 расположена вне с/. Тогда в силу конформности отображения соответствующая точка 侬 =р&° приближается к точке 。用 по направлению, также касательному к радиусу окружности I侬 =1, и мы имеем: | Д^| = |^ — е^\= 1—г, | Аш | =, = 酬―е'8|^ 1—р. Но из неравенства (9) следует:

1-Р V 1-Р〜1 —『Р—

1 一 г & II 巾 1 一 р ~ 丄 2几 1 + р '

i-p+WTT7

и, переходя здесь к пределу при r—> 1, получаем:

Отсюда вытекает утверждение 3) теоремы.

Для доказательства последнего утверждения обозначим через б контур, который получается чиз С преобразованием подобия U = 2o +九(2 —— 之0) (рис. 135). Очевидно, функция

® = НС, С*)=/(г0+-Ц^, с)(10)

реализует конформное отображение области Q (©*) на единичный круг. Но D (С*) содержится в D (С) и точка z2 принадлежит как С, так и С*. Поэтому согласно утверждению 3) теоремы 1广伤2, С*)К1Г(г2,С)|.

Но так как из (10) имеем fz (z2, С*) = yf7 (г2, С), то

|/'侮，G)|^；iy(&,C)|,

и теорема доказана полностью.

Простым следствием доказанной теоремы является так называемый принцип Монтеля'.

Теорема 2. Пусть области D(C) и D (С) содержат точку z0 *«W»*W»*W»*WЛ^

u С = ^ + C2, C = Cj +C2, причем & лежит e D (С), C2 — вне D (С), & — вне D (С) 〃 С? — 6 Q (С) (рис. 136). Пусть, кроме того, при отображениях

w = f(zt С), w^f (zt С)

дуги С】〃 Ci переходят соответственно в дуги 也 и % тогда длины этих дуг связаны соотношением *) 否 >仇，(11)

причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С* Для доказательства введем вспомогательную область D (С7), ограниченную кривой C' = Ci +。2, и обозначим через ^ образ Сг при отображении w = f(zt С'). Так как D (С‘) принадлежит D (С) и дуга 爲 принадлежит и С7 и С, то по третьему утверждению

принципа Линделёфа в каждой точке Cj

|г⑵办|)1у⑵С) |.

Следовательно, учитывая геометрический смысл модуля про- изводной, будем иметь:

3>2л —W.(⑵

С другой стороны, D(C') лежит внутри области。⑹ и дуга С2 принадлежит кривым С' и С, поэтому на основании тех же соображений

肘&2л —%(13>

Объединяя неравенства (12) и (13), получим искомое неравенство (11).

В заключение заметим, что доказанные вариационные прин- ципы Монтеля и Линделёфа можно получить также на основа- нии леммы Шварца (п. 15). В самом деле, эти принципы выте- кают из утверждения, что область С(С$), в которую преобразует круг I w| < р функция ^ = h{w), обратная к функции w = g-(^), принадлежит кругу |^| < р (мы придерживаемся обозначений, введенных при доказательстве теоремы 1). Но так как функция = h(w),九(0)=0, отображает круг |w| < 1 на область Q(C'), принадлежащую кругу ^| < 1, то по лемме Шварца для любого w, |w| < 1, имеем h(w) | < |w|. Отсюда и вытекает утверждение о том, что при любом р область 0(忌)принадлежит кругу |g|Vp・

Эти принципы можно получить также непосредственно из принципа максимума для гармонических функций (п. 42). Такой метод имеет особое значение при распространении вариа- ционных принципов на отображения более общие, чем конформ- ные и, в частности, на квазиконформные отображения (п. 56)> для которых принцип максимума остается справедливым.

Сущность метода заключается в следующем. Пусть w = = f(2), /⑵)=0 и w = ^(z),『(Zo)=O, соответственно реализуют конформные отображения областей D(C) и D© на единичный круг. Функция

Р(х, y) = \n\f(z) I

гармонична в области 0(C) всюду, кроме точки z = z0, причем р(%,у)一In |z — Zo| правильна в этой области. Так как \f(z) I = 1 на С, то Р(招 у) обращается на С в нуль. Вдоль линии Ср имеем:.

Р (居") = 1口 Р，(14)

так что (14) можно рассматривать как уравнение Ср.

Нам нужно доказать, что при деформации контура С внутрь области 方(С) для любого р, 0 < р < 1, область D(CP) содержится внутри D(CP). Но всюду внутри 力(С) по принципу максимума мы имеем Р(х, у) < 0, а так как на части & не совпадающей с С, Р (х, y) = ]n\](z)\= 0, в то время как на об щей- части С и С обе эти функции равны нулю, то всюду внутри- 0⑹~

Р(х, у) < Р(х, у).

На основании уравнения (14) и аналогичного уравнения дл» линии 2P можно утверждать, что D(CP) содержится в О(СР) при любом р, О V р V L

Распространение принципа. Основной вариационный1 принцип, доказанный в предыдущем пункте, распространяется* и на функции, реализующие конформные отображения на канонические области других типов.

Внешность круга. Обозначим через А (С) область, внешнюю к замкнутому контуру С; пусть функция

⑵=尸(2，e), 尸(8, c) ™ ое(1}

реализует конформное отображение области А (С) на внешность единичного круга \w\> 1. Сохраняя обозначения, принятые в предыдущем пункте, мы можем формулировать следующую теорему:

Теорема 1. Если область А (2) содержится в А (С), то

при любом р > 1 область A/Cp) содеро1сится в области А(Ср); соприкосновение контуров Ср и Ср для какого-нибудь р возможно лишь при совпадении С и С;

в бесконечно удаленной точке

丨尸(8, 6|《| 尸(8,С)|；(2)

в точке 21, общей контурам С и С,

丨尸(Z],@|《|尸⑵，С)|;(3}

если контуры звездны относительно точки z = 0, то в точках наибольшей деформации ?2 и ^

l^fe, C)\^{\Fr(z2, С)|.⑷

Знаки равенства достигаются лишь при совпадении G и С. Доказательство может быть проведено так же, как в предыдущем пункте, если вместо (5) использовать отображение внешности единичного круга с выкинутой из нее луночкой на

внешность круга. Проще всего получить эту теорему, сводя ее к доказанной при помощи замены переменных

1

W = T-

Случай полуплоскости. Пусть линия С проходит через бесконечно удаленную точку и обладает в бесконечности касательной и конечной кривизной ) ； тогда окружность \z\ —R при достаточно большом R будет пересекать С в двух точках с аргументами, разность которых будет сколь угодно близка к л.

Предположим еще, что положительная мнимая полуось в своей достаточно удаленной части не пересекается с С, и обозначим через。⑹ область с границей С, содержащую эту часть. Через

w = f {z. С), f(oo, С) == оо,

1X(8, e) 1=1⑸

условимся обозначать функцию, реализующую конформное отображение области D(C) на верхнюю полуплоскость и > 0. Со

Cv и Си — соответственно линии,Cv и Си — соответственно линии,гласно теореме существования в условиях, наложенных на кривую С, функция f существует и определяется с точностью до действительного постоянного слагаемого. Так как в дальнейшем это слагаемое не играет роли, то под f мы будем понимать любую из таких функций. Пусть, наконец, переходящие при отображе

Cv и Си — соответственно линии,

Cv и Си — соответственно линии,

ниях M = f(z, С), w = f(zt С) в прямую V = const (рис. 137). При этих обозначениях имеет место следующая

Теорема 2. Пусть линия С проходит через точку оо 〃 имеет там общую касательную с С. Если, кроме того, область 。⑹ содержится в области。⑹，то：

при любом у > 0 область D(CV) содержится 8 области D(Cv)t причем соприкосновение С» и С& возможно лишь при совпадении С 〃 С;

если С и С имеют общую правильную точку z】，то в этой точке

行'(司，@1 &"'(/, С) I,(6)

причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С；

если кривые С и С задаются однозначными функциями у = у(х), у = у(х), а &2 北乞2 соответственно ——точки этих кривых, в которых у(х)——у (尤)достигает максимума, то

产&办) 产⑵，0 I,⑺

причем знак равенства достигается лишь в том случае, когда С получается из С сдвигом, параллельным оси у.

В силу соображений, приведенных в предыдущем пункте, достаточно рассмотреть случай, когда С совпадает с осью х, а С отличается от С на бесконечно малом участке (а —е, а+е), на котором б есть дуга окружности малой кривизны. Но в этом случае f (z, С)三 z, н согласно формуле (7) п. 34

f(z，2)(8)

с точностью до малых высшего порядка. Обратная функция находится так же, как в предыдущем пункте, и имеет вид

о 1 л w — а

Полагая здесь 切=〃 + »и и отделяя действительную и мнимую части, при фиксированном и получим параметрические уравнения линии Cv:

Из второго уравнения (9) видно, что Cv лежит в области у > о, т. е. в области D(&), — этим доказано первое утверждение теоремы.

Для доказательства утверждения 2) возьмем любую точку оси х, далекую от а сравнительно с ст, и найдем в этой точке производную функции (8); имеем:

что и требуется.

Для доказательства утверждения 3) обозначим через С* кривую, которая получается из С параллельным сдвигом на вектор 22 — & (вверх). Имеем, очевидно, f (z, 0*) = f(z — & + 斗& С), откуда

f修守) = УЗС)・

368 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [61 С другой стороны, D(C*) принадлежит области D(C) и z2 — общая точка С и С*; следовательно, по уже доказанному утверждению 2)

I产(a,守*)|工1厂(园，e) I，

Сравнивая два последних соотношения, получим искомое неравенство (7). Теорема доказана.

Доказанная теорема допускает простую гидродинамическую интерпретацию. Пусть профиль дна весьма глубокого канала с плоскими вертикальными стенками, по которому движется идеальная несжимаемая жидкость, имеет форму кривой С. Тогда, если 8 каком-либо месте канала приподнять, дно, то все линии тока поднимутся и скорости в точках дна. оставшихся недеформированными, уменьшатся, а в точках наибольшей деформации возрастут (см. рис. 137).

Случай полос. Пусть & и С — две дуги, не имеющие общих точек, кроме своих концов аь а2. При этом мы не исключаем случай, когда одна из точек а или обе точки совпадают с точкой z = оо. Обозначим через D(CQt С) область, ограниченную линиями Со и С, а через

W —f(2, Cg, С)； f (^1，Cg, С) = — 8, f (&2，Cg, С) = 8 (10)

——функцию, реализующую конформное отображение области £>(Со, С) на полосу OVuVL Функция f(z,已о, С) определена с точностью до действительного слагаемого, которое пока нас интересовать не будет. Через Cv мы будем обозначать линию, переходящую при отображении (Ю) в прямую и = const (0 < V < 1).

Предположим еще, что линии Со и С задаются с помощью однозначных функций y=j/o(尤)и у = у(х) таких, что |У【(尤) и I yf (х) I не превосходят положительной постоянной т< Рассмотрим пучок параллельных прямых у = kx -{- Ь, где | ft | < -^, каждая из которых пересекает Со и С не более чем в одной точке. Точку 之2 контура Со, в которой отрезок прямой пучка заключенный между Со и д0, достигает наибольшего значения и соответствующую точку z2, контура 5 мы будем называть точками наибольшей деформации (в направлении 々).

Имеет место

Теорема 3. Если область D(CQi С) содержится в области Q(&, С), то:

при любом V (OvuVl) область D(CVi С) содержится е области D(Cvt С), причем соприкосновение линий Cv u Cv возможно лишь при совпадении С。и Со;

если линии &» и Со имеют общую точку zb то 8 этой точке

1X(21，со, С)|<|Л (zb &, С) I;(11)

8 любой точке 2 линии С

|X(z,d°, C)|》|f，(z, С。，01;(12)

8 точках наибольшей деформации

丨 f'& «, C)|》|f'(Z2, &, С)|.(13)

Знаки равенства 8 (11) — (13) достигаются лишь при совпадении линий Cq и С.

Как и в ранее разобран-С

ных случаях доказательство办

можно провести в предпо- 2 修 /^^一一一 ложении, что D(CQt С) яв-〜

ляется единичной полосой办勿

0<У< 1 (Со — осью х, С—区 //

прямой у=1), а С。совпа-/

дает с Со всюду, кроме ма- ^^^研扁加而^^?^^/"历〃"力儿夕 лого участка (а — е, а + е), где она является дугойРис- 138*

окружности малой кривизны. В этом предположении функция f(z, &», С) на основании формулы (13) п. 34 имеет вид:

w = f (z,do, С» z + *cth "(Zg-a) ,(14)

где о ——площадь выброшенной луночки. Утверждение 1) тео

ремы проверяется так же, как и раньше, и на его проверке мы останавливаться не будем. Для доказательства утверждений 2) и 3) рассмотрим производную функции (14). На оси 尤 имеем:

Л(х,以，0 弋 1Л(х,以，0 弋 1

Л(х,以，0 弋 1

Л(х,以，0 弋 1

(11). На прямой у = 1(11). На прямой у = 1откуда следует неравенство

(11). На прямой у = 1

(11). На прямой у = 1

Г^ + 1，Сй, СЕ"子(工 а) >1, ch2-

откудаоткудаследует (12) (мы воспользовались тем, что sh(^+z) =

откуда

откуда

t=/ch z).〜

Для доказательства утверждения 4) обозначим через Со и С* линии, которые получаются из Со и С поступательным сдвигом

на вектор z2 — z2. Очевидно, функция

5=f(2,跳不)="2+22一透，e。，e) (15)

реализует отображение D (Со, С*) на полосу 0 < о < 1. Так как D(C0, С) содержит область D (Со, С) и CJ имеет общую точку & с Со, то по (11)

\Г^Ъ а С)К1Г(22)со, С) |.(16)

С другой стороны, так как D (Со, С) содержится в D (Со, С、》 то по (12) в любой точке недеформированной границы Со н> в частности, в точке z2

1Г(г2, С5, C-)|^ir(z2> С5, с)1.(17)

Объединяя неравенства (16) и (17), получаем:

I 尸倒，爲，©*)Wlf'& с0) с) I,

но из (15) имеем ff (z^ CJ, C*) = f/(^2i Со, С), и неравенство (13) доказано, а вместе с ним и теорема 3.

Теорема 3 также допускает гидродинамическую интерпретацию. Пусть стенки канала с горизонтальным дном имеют форму цилиндрических поверхностей с вертикальными образую* щими, и в канале движется идеальная несжимаемая жидкость с фиксированным расходом. Тогда (см. рис. 138):

при вдавливании одной стенки все линии тока приближаются к противоположной стенке, скорости в недеформированных частях первой стенки уменьшаются, а скорости в точках наибольшей деформации и во всех точках, второй стенки возрастают.

Граничные производные. Установленные выше вариационные принципы допускают различные количественные уточне* ния. Прежде чем переходить к таким уточнениям, отметим одно простое приложение принципов к оценкам граничной производной. Вернемся к случаю отображений односвязных областей Q(C) на единичный круг |ш| -< 1 при условии, что некоторая фиксированная их точка & переходит в центр круга 侬=0.

Пусть 2]——произвольная правильная точка С; проведем через точку 2] два замкнутых контура Cj и C2t касающихся С в точке 21 и таких, что область Q(&) содержит точку 2。и со* держится в области Q(C), а область О(С2) содержит область 力(С). В силу теоремы 1 п. 60 будем иметь:

1X(21, cjKir^, С)I<|/ч^1, С2)I. (О

Если за Q(&) и Z)(C2) принять области, отображаемые на единичный круг с помощью известных функций, го полученные

неравенства дадут конкретные числовые оценки сверху и снизу для I/Q, с)|.

Применим это общее соображение к оценке |f'(2, С)| для случая, когда кривая С близка к единичной окружности.

Теорема 1. Пусть линия С удовлетворяет следующим условиям:

С принадлежит кольцу 1 — eV|21Vl+е；

углы между касательной к С и касательной к окружности |z| = 1 в точках с одинаковым аргументом не больше 卩；

кривизна 々 линии С отличается от единицы не больше

чем на ер

При этих условиях для граничной производной функции g = f(2, С), f(О, С) = 0, реализующей отображение D(C) на единичный круг, имеем оценки'.

⑵⑵1 一 е 一 2勺一卩2 ^ (г/ / С I / 1 + g + 2勺一卩2 i+ e — / —ееГ &丨/ G, 5 | & ] _ ® 十勺 + eei，

⑵

⑵

или, более грубые,

1 — 2е —片一т] V I f‘(2, С) 1V 1 + 2е + 5 + %(3)

6 которых т] — малая выше первого порядка по отношению к р^ + е?+ 卩2.

Для получения искомых оценок достаточно воспользоваться описанным выше общим приемом.

Пусть zi = ге^ — произвольная точка С; проведем через ?i окружность Ci радиуса 门=]；g J касающуюся линии С, и будем считать для простоты, что точке ?i при рассматриваемом отображении соответствует точка ш = 1. Рассмотрим еще функцию z = g(w) (g(0)=0, g⑴=2i), реализующую конформное отображение круга |ш|<； 1 на круг &. В силу основного вариационного принципа (см. п. 60)

产⑵,С)|>号而•(4)

Подсчет g‘⑴ упрощает следующее замечание. Рассмотрим семейство всех отображений круга |ш | < 1 на круг &, преобразующих Ш1 в фиксированную точку 马 окружности & и имеющих в этой точке фиксированное растяжение. Это семейство, очевидно, зависит от одного действительного параметра. Покажем, что образ любой точки круга |g|V 1 при всех отображениях этого семейства описывает некоторую окружность С,， касающуюся Ci в точке 21. Для доказательства отобразим конформно круги |g|V 1 и С】 на верхние полуплоскости 1m(о > 0 и 1m ^ > 0 так, чтобы точки W\ и 2f переходили в бесконечно удаленные точки. Рассматриваемое семейство перейдет при

этом в семейство отображений верхней полуплоскости на себя, оставляющих неподвижной точку оо и имеющих в ней фиксированное растяжение, т. е. отображений вида g = амо + 0, где ао — фиксированный и В — переменный действительные параметры. При различных отображениях семейства образ фиксированной точки(о описывает, очевидно, прямую, параллельную оси Img = 0, и, возвращаясь к старым переменным з н z, мы получим то, что хотели.

Учитывая это замечание, мы проведем окружность Со, касающуюся С в точке Zi и проходящую через начало координат, и заменим условие g(0) = 0 условием g(0) = Zo, где %о означает точку Со, диаметрально противоположную Zi・ Обозначим через а> центр окружности &, jz0—о/ и си = arg(zi — о/ Имеем (рис. 139): No = о】一力级⑷，zi = =。1 + 门e叫 И фуНКЦИЯ

2 =门标5白+ 0]

осуществляет отображение круга |^| < 1 на круг & так, что

точки ^ = 0, 1 и —Л/п переходят соответственно в точки z =。卜 0 И No. С другой стороны, функция

5—-

отображает круг \w\ < 1 на круг |g| V 1 так, что точки @=0」 переходят в точки =—力/门,1.

Отсюда для искомой функции z = g(s) (g(0)=备，g(1)= = Zi) получаем выражение

ииZ = g 侬)=啰詰 г©% + 5

и

и

(5)(5)并一序 n+力lg/(l)l=.^^....2 Г1=__Г1

(5)

(5)

Обозначим через а угол между векторами z】и 马一％; из прямоугольного треугольника zQOz} получим: г = (гУ + Л) cos а, откуда ^ = 7r^ — 1, и по (5)

1^(1)1 = -2一!~

一cos a

Вспоминая (4)., получим:

I 产⑵，С) I > у cos а —^-.(6>

Согласно условиям теоремы имеем 1 — е < г < 1 + е, | а | < ц,. следовательно, “osct》i j g 卜 ""，)，а так как ； V 1—eIr

то с точностью до малых порядка выше "второго получаем:

\Г(^с)\>\Г(^с)\>1 — 8 — 2£1 — 口21 + £ — 8] — СС]1 — 8 — 2£1 — 口21 + £ — 8] — СС](2一陷(1一£])一(1+8)(1 + е)(1-е,)

\Г(^с)\>

\Г(^с)\>

1 — 8 — 2£1 — 口2

1 + £ — 8] — СС]

1 — 8 — 2£1 — 口2

1 + £ — 8] — СС]

=1 - 2ё - е]一%, где n—малая порядка выше первого.

Заменяя круг & кругом & радиуса r2 = ^ J е » получим аналогичную оценку сверху

\ff^ С) I < |~cos а - ^ a -；t：*：；二^ = 1 + 2е 十 8| + Т]，

и теорема 1 доказана.

Из оценок для модуля граничной производной при дополнительном предположении ^(0, С) > 0 можно получить оценку на границе и для |argf(2, С)——arg2|. Докажем предварительно следующую лемму:

Лемма. Для любого отображения 5 = f(z, С), /(0, С) = 0, 『(0, С) > 0, на кривой С найдется точка 备=小。即。с неподвижным аргументом, т. е. такая, что

f (八#抑\ c) = 2即ё.

Для доказательства обозначим через g 侬)функцию, обратную 厶 и рассмотрим в единичном круге |з|<1 функцию 声？г. °на аналитична в этом круге и всюду отлична от нуля,, ибо lim g ^ = gf (0) > 0> поэтому там гармонична функция оу->0 切

Л 侬)=arg 名禦“ =Im In g^L • Имеем Л (0) = Im In g‘ (0) =0, а на окружности Л (oj) = q)— 0, где <p = arg g (pefe). По теореме о среднем для гармонических функций

2П

0 =力(0)=击J (ф - 6) d6;

следовательно, существует хотя бы одна точка, в которой^ Ф — 0 = 0. Лемма доказана.

Докажем теперь теорему:

Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы и при дополнительном условии 产(0, С)>0 в любой точке 2 = ге抑 границы С имеем:

I arg f (z, С) — arg z I < л (Зе + ^ + п)>(7)

где п——малая второго порядка по отношению к У^ + е( + ц2.

Пусть фо — неподвижный аргумент, 0 == argf(re^t С) и ds — элемент дуги С в точке ге^\ имеем:

е-<Ро= Jf'(re? C)|ds.

Фв

В наших условиях j * dtp V ds V ~\~Т^^ следовательно, учитывая левую часть неравенства (3), получим:

6 — Фо > J 丄一 М~『-11 dtp — (<р — фо) — (Зе + А + 3 (<р — <рс), Фв-

ИЛИ

8 —屮 > —(Зе + 电 + П)(<р — Фо)-(8)

Аналогично, используя правую часть (3), будем иметь:

9 — <р < (Зе + S + п)(屮—Фо)-(9)

Объединяя полученные неравенства и замечая, что можно рассматривать лишь те ср, для которых |(р ——ф0| < л, получим иско

мую оценку (7).

Оценки для |В ——(р| можно получать и без использования неравенств (3) и притом в менее ограничительных предположе

ниях, например без гипотезы малости еь Укажем вкратце путь получения таких оценок.

Как и выше, достаточно оценить длину дуги 今 окружности |叫=1, соответствующей дуге а。？ кривой С с концом в точке z0 с неподвижным аргументом. Для этого соединим точки 20 H 2 дугой окружности &,

Рис. 140. лежащей в О(С) и касающейся zoz, и дугой окружности С2> лежащей вне D(C)

-и касающейся С в точке, вне zoz (рис. 140). По принципу Мон- теля (п. 60) при отображении 5 = f(乙& + Q), которое реализуется элементарными функциями (см. п. 34), дуга 以 перейдет в дугу окружности |иу| = 1 длины, большей 今；отсюда мы получим оценку для 今 сверху. Меняя ролями С] и Сг, получим

оценку снизу. При е < ц < 0,1 такой путь приводит к неравенству

|argf(z, С) —argz|V 1,6ц.(10)

Доказанные две теоремы дают оценки для вариации модуля производной и аргумента отображающей функции в зависимости от вариации границы области. Эти теоремы доказаны для гранитных точек, но в силу принципа максимума они остаются справедливыми и внутри области.

Отображения близких областей

В этом параграфе даются приближенные формулы для конформных отображений областей, мало отличающихся от областей, отображения которых на канонические областй известны. Полученные в предыдущем пункте результаты позволят нам оценить точность таких приближенных формул. Мы начинаем с областей, мало отличающихся от единичного круга.

Области, близкие к кругу. Будем по-прежнему считать замкнутую линию С близкой к единичной окружности |%|=1 по положению и кривизне, т. е. в ее полярном уравнении

г = г (ф) = 1 — 6 (ф)(0 & 中 V 2л)(I)1

будем считать

|д((р) I < е, I dz(4P)I < е, |6〃(<p)|Ve.(2)<

Главную часть f (z, С) мы получим, отправляясь от формулы (9) п. 34 для отображения круга с выброшенной луночкой площади Qt, угловые точки которой близки к с",

吁； +飞『｝ = 2+？"⑵⑶,

(W (0) = 0, t^7 (0)>0)*

Предположим, что из круга |z| V 1 выброшены две луночки, 5 и °小 угловые точки которых близки соответственно ке"】и е"?. По формуле (3) находим отображение круга |z|vl с выброшенной луночкой 0力 на круг |<а| V 1:

3^2 +宕现修).(4)

С принятой степенью точности можно считать, что луночка о^. переходит в луночку той же площади и с угловыми точками, близкими к(о = е“2. Теперь снова воспользуемся формулой (3), согласно которой функция

реализует отображение круга | о? | <; 1 с выброшенной луночкой о■厶 на круг |侬| V 1. Подставляя в (5) выражение ш из (4) и замечая, что благодаря наличию множителя 仃力 под знаком функции п% (①)с принятой степенью точности можно заменить @ на 2, получим отображение круга 121Vl с выброшенными двумя луночками на единичный круг

"Z + 患 ％,⑵+ 蟲加(z)."Z + 患 ％,⑵+ 蟲加(z).⑹⑹

"Z + 患 ％,⑵+ 蟲加(z).

"Z + 患 ％,⑵+ 蟲加(z).

⑹

⑹

Формула (6) остается в силе, если выбрасываемые участки круга по форме отличны от луночек.

Перейдем к общему случаю области Q, ограниченной кривой (1). Заменим эту кривую ломаной, состоящей из дуг окружностей и отрезков радиусов (рис. 141). Площадь выброшенного сектора 源= =(1 — г(^))Д/к = 6(友)厶〃，где A6t = =6t+i — ^, поэтому, применяя обобщенную на случай п выброшенных секторов формулу (6), получим:

f (z, С) « z + ±£ 6 &) П伍(z) \tk .

也=1

2ло2лоf(Z,d 1 +f(Z,d 1 +⑺⑺Заменяя сумму интегралом и подставляя вместо ”(2)ее выражение из (3), найдем окончательную приближенную формулу для конформного отображения на круг области, близ- 术о也 кругу:

2л

о

2л

о

f(Z,d 1 +

f(Z,d 1 +

⑺

⑺

(〃0, С)=0, Г (О, С)>0).

Изложенный вывод формулы (7) геометрически нагляден, однако он не является достаточно строгим и не дает оценки погрешности, допускаемой этой формулой. Поэтому мы приведем еще, следуя Г. В. Сирыку ), аналитический вывод этой формулы, основанный на интеграле Шварца (4) п. 44.

Обозначим через z = g®) функцию, обратную функции w = f(z. С). Тогда g(w)/w будет правильной аналитической в круге 151Vl функцией, отличной от нуля, и поэтому In —^^

можно представить интегралом Шварца. Если считать известным соответствие 屮=屮(8) аргументов точек 如=е‘е единичной окружности и точек z = ге^ кривой С и учесть, что на окружности Re In ё^ = In г [ф (0)], где г = г((р) — полярное уравнение С, то этот интеграл запишется в виде

=叨餐丄d8(8>

5Je - w

(в формуле (4) п. 44 мы полагаем С = 0, ибо в силу принятого условия нормировки у нас g'(0) >0 и, следовательно, левая часть (8) действительна при 如=0).

Для оценки интеграла (8) воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Если непрерывно дифференцируемая действительная функция 〃(/) на отрезке [0,2л] удовлетворяет условиям 〃(0)= 〃(2冗)，

|以⑴ |VE, lu^OKe,(9}

то интеграл Шварца

2л

f⑵=WrJ"⑴佬成(Ю>

о

для всех z, |z| V 1, удовлетворяет неравенству

丨尸(z)| V Me,(11>

где М — некоторая постоянная.

Для доказательства заметим прежде всего, что как следует из свойств интеграла Шварца для всех 2, |z| 之 1,

2л

去j学匕成=1,

поэтому

2л

' Г (re") — U (ф) = -^- J [и (0 — и (<₽)] ]士嬴力.

о

Но по условиям леммы и по теореме о среднем |〃(f)—u((p) | < V 屮一屮I，следовательно, по теореме об оценке интеграла

2Л

I尸(ге")- 〃@) I《柒 J I f 一 叫• :：}f ；：力.

Очевидно, что интеграл в правой части ограничен для всех г, 0《г《1, и для всех <р, 0《屮《2冗,а так как у нас по условию I и(ф) I < е, то

I F (ге^) |<| F (ге^)— 〃 (①)I 1 〃 (①)| V Me,

где М — некоторая постоянная. Лемма доказана.

Вернемся к выводу формулы (7). В силу условия |6((р) | <е мы имеем:

In г [<р (0)] = 1п{1-6[Ф (0)]} = 一 6 ® (0)] + О (е2),

кроме того, как видно из доказательства теоремы 2 предыдущего пункта, в условиях (2) ф^й) = 1 + 0(e), поэтому

{”(Р (叨}'=》怖(叨 U (8) = О ®

{In г 1ф (0)]у = - -^У^у = - {6 [ф (0)]Г + о(е2).

Таким образом, по доказанной лемме замена в интеграле (8) Inr[(р(0)] на —6[(р(0)] -приведет к погрешности порядка 0(е2).

Далее по теореме 2 предыдущего пункта 0 — ф = 0(e), поэтому в наших условиях

д(Ф)= 6 (0) + У (ф*) (0-Ф)=6(0) + О (е2)

{6 [Ф (叨}‘ 一 * ⑻=》(<Р)П + 0(e)] 一 У(0)=

=У (Ф) 一》(8) + О (е2) = 6"(『)3 一 ① + О (喲=。硝

(Ф*, ф** — точки, заключенные между 0 и <р). Таким образом, по лемме в рассматриваемом интеграле с принятой степенью точности можно заменить егЦе 6[(р(0)] на 6(8), и мы получим:

2л .1

e屮=TJ 6(8)"!^》 + 0(喲.(12)

Так как по той же лемме в наших условиях In-^-^- = 0(e), то "，”=е 酬 =1 + In^-~- -\- О (е2) и вместо (12) можно написать

z = g{^ = w 1 -lir J 6(0)^±^del + O(e2). (13)

Из этой формулы легко получить и формулу для обратного отображения w=f{z, С)——для этого достаточно переписать (13) в виде

w =w =+ О(82)=+ О(82)=112л/Jb⑼о2л/Jb⑼о6记+侬— w6记+侬— wd8d8+ 0(弟+ 0(弟

w =

w =

+ О(82)=

+ О(82)=

1

1

2л

/Jb⑼о

2л

/Jb⑼о

6记+侬

— w

6记+侬

— w

d8

d8

+ 0(弟

+ 0(弟

и на основании соотношений 6(0) = 0(e), w — г = 0(e) заметить, что с принятой степенью. точности под знаком интеграла можно заменить w на г. Таким образом доказана

Теорема. Если кривая С с полярным уравнением

г = г (ф) = 1 — 6 (ф)

удовлетворяет условиям

2(明 V8,I》(明 V8, |6"(明 V8,

то функцию w = f(г, С), f(О, С) = 0, f'(0, С) > 0, реализующую конформное отображение области D(C) на единичный круг^ можно представить в виде

如="2, C) = zjl +* J 6(/)"|^|山 +O(82).(14)

Для практических целей полезно отметить еще соотношения между полярными координатами точек г = rei<₽ и w = pei0, со* ответствующих друг другу при рассматриваемом отображении:

(15)(15)I2л

(15)

(15)

F р| ]Г 6 (f)-——z~' %Р 八 丄「5 dtу I 2л J v 7 1 — 2р cos (0 — + р2

2л

2P sin (6 — f)1 — 2P cos (0 — f) + р?2P sin (6 — f)1 — 2P cos (0 — f) + р?屮 ° —設 J 6(/)

2P sin (6 — f)

1 — 2P cos (0 — f) + р?

2P sin (6 — f)

1 — 2P cos (0 — f) + р?

О

Эти соотношения получаются отделением действительных и мнимых частей в формуле (13) (ср. п. 44) и справедливы с точностью до малых порядка е2. При р = const они дают параметрические уравнения прообразов окружностей |з| = р.

Вторая из формул (15) справедлива и при р= 1

2п ф У е-击 J о2п ф У е-击 J о6 (f) sin (8 — f)1 — cos (0 — /)6 (f) sin (8 — f)1 — cos (0 — /)df = 8df = 82л慕4 64)ctg号о2л慕4 64)ctg号о

2п ф У е-击 J о

2п ф У е-击 J о

6 (f) sin (8 — f)

1 — cos (0 — /)

6 (f) sin (8 — f)

1 — cos (0 — /)

df = 8

df = 8

2л

慕4 64)ctg号о

2л

慕4 64)ctg号о

откуда

2л

Д0«Ф — 9«-^-| 6(0ctg与且dt.(16)

О

Интеграл в формуле (16) следует понимать как особый, ибо в точке f = 8 подынтегральная функция обращается в бесконечность первого порядка. Замечая, что по свойству интеграла -от периодической функции пределы интегрирования в (16) можно взять от 9 — л до 8+冗,и пользуясь нечетностью котангенса, получим, что главное значение интеграла равно

上Udf = f ctg£dt = Hm上Udf = f ctg£dt = Hm0.0.

上Udf = f ctg£dt = Hm

上Udf = f ctg£dt = Hm

0.

0.

Поэтому формулу (16) можно переписать в виде

2л

A9=^J {6 (0-6(9)} ctg-Ц^-Л, (⑺ о

где интеграл понимается уже в обычном смысле (ср. п. 52; функция 6(/) удовлетворяет условию Гёльдера, ибо она дважды дифференцируема).

Наиболее важной для практических применений является формула (16). По этой формуле можно вычислять не только значения ф пв 9, но при условиях (2) также и значения граничной производной. В самом деле, представляя разность Д9 = =Ф ——9 по формуле (17) и дифференцируя по параметру 8, находим:

询 1矗21询 1矗21б (0 - d (0)б (0 - d (0)6'⑻ctgF]df =6'⑻ctgF]df ==1 +=1 +2ЛГ 6(f)-6(8)2ЛГ 6(f)-6(8)

询 1

矗21

询 1

矗21

б (0 - d (0)

б (0 - d (0)

6'⑻ctgF]df =

6'⑻ctgF]df =

=1 +

=1 +

2Л

Г 6(f)-6(8)

2Л

Г 6(f)-6(8)

ибо, как мы отмечали выше, интеграл ctg ^ — от 0 до 2л равен нулю.

Но с точностью до малых второго порядка относительно е величина |g，(e'°)| равна отношению длин дуг, соответствующих друг другу при отображении (13), т. е.

|g，©e)|a{l_6@)}券.(18)

Отсюда, окончательно,■

2Л 、

|『®e)|«U—6@) + * j ° ⑴ U 器成,(19)

или, переходя к обратной функции,

2л

I X(Z, С) g 1 + 6 (8) — *『 叱缪成. (20)

Применяя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно оценить погрешность в формуле (19) и, в частности, показать, что эта погрешность есть малая высшего порядка сравнительно с е.

При практических вычислениях функции f(zt С) по вариации 6((р) проще всего задавать 6 с помощью тригонометрической суммы:

6® = е(а0 + @i cos① + Esiriq) + а2cos2q)+ &2sin2q)+•••). (21)

Подставляя это разложение в формулу (14), мы придем к вычислению интегралов вида

2Л2Л

厶=费 J c°s 山■|^| 成，/2 = ^ J Sin nt^-dt.

Чтобы вычислить их, заметим, что на единичной окружности, где 口 = е让,имеем cos nt = Re ^п и sin и/ = Re(—匕n)・ Поэтому, пользуясь интегралом Шварца п. 44, можно утверждать, что для |z| ＜； 1 эти интегралы соответственно равны /1 = гп и 厶=—i2n.

Учитывая эти результаты, мы найдем из (14) приближенное выражение функции, реализующей отображение области D(C) на единичный круг:

f (z, С) = z + ez[а0 + @ —血)2 + (④一血)？? + ・・・]+。(е2). (22)

Приближенное выражение обратной функции находится обычным образом и имеет вид

g (侬)=5 - £5® + (a1 - /瓦)5 + (④ 一切2)52 + ...]+ 0(e2),

382 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ [64 откуда легко находится

『侬)=1 — е [а0 + 2 Q — ib^ g + 3 (& —电)眇 + ・• • ] +。(e2)

|g'(e'°)l = eReing( ) = 1 — g [的 + 2 Q cos 8 + 仇 sin 0) + + 3 (& cos 20 + b2 sin 20)+ …)+ О (e2),|g'(e'°)l = eReing( ) = 1 — g [的 + 2 Q cos 8 + 仇 sin 0) + + 3 (& cos 20 + b2 sin 20)+ …)+ О (e2),и, в частности, растяжение на границе

|g'(e'°)l = eReing( ) = 1 — g [的 + 2 Q cos 8 + 仇 sin 0) + + 3 (& cos 20 + b2 sin 20)+ …)+ О (e2),

|g'(e'°)l = eReing( ) = 1 — g [的 + 2 Q cos 8 + 仇 sin 0) + + 3 (& cos 20 + b2 sin 20)+ …)+ О (e2),

а также соответствие аргументов граничных точекФ = 0 + Im In 纟济=0 — е (a； sin 8 —九 cos 0 ++ По sin 20 — % cos 20 + ...) +а также соответствие аргументов граничных точекФ = 0 + Im In 纟济=0 — е (a； sin 8 —九 cos 0 ++ По sin 20 — % cos 20 + ...) +(23)

а также соответствие аргументов граничных точек

Ф = 0 + Im In 纟济=0 — е (a； sin 8 —九 cos 0 +

+ По sin 20 — % cos 20 + ...) +

а также соответствие аргументов граничных точек

Ф = 0 + Im In 纟济=0 — е (a； sin 8 —九 cos 0 +

+ По sin 20 — % cos 20 + ...) +

(24)

В случае задания 6(ф) в виде тригонометрического многочлена формулы (22)——(24) весьма удобны для расчетов.

Пример. Рассмотрим отображение на единичный круг эллипса с полуосями а = 1 + е и 6=1. Так как уравнением эллипса служит х = (1 + е) cos(р> у = sin <р, то р = К(1 + е)2 cos2 (р + sin2 <р = 1 + е cos2 (р + О (е2), следовательно, 6 (<р) = — £ cos2 (р = —1~ (1 + cos 2(р) и по формуле (22)

f (z. С) = z - ^- z (1 + г2) + О 停).(25)

В заключение отметим, что все формулы этого пункта остаются в силе и для конформных отображений

g =尸(2, С), F(оо, С) = 8

внешн ости близких к кругу областей на внеш н ость единичного круга. При этом 6(ф) следует определять не из уравнения (1), а из полярного уравнения кривой С в виде

г = г (ф) = 1 + д (ф).(26)

Это замечание следует из того, что формула (3), на которой основаны все дальнейшие формулы пункта, справедлива также и для отображения внешности единичного круга плоскости 2 с выброшенной луночкой на внешность единичного круга пло^ скости w. В последнем проще всего убедиться, совершая до- полнительные преобразования z —плоскостей 2

и w.

Области, близкие к данной. В этом пункте дается приближенное решение следующей важной для приложений задачи.

Пусть задана односвязная область D(C) с границей С, удовлетворяющей условию Ляпунова (см. п. 29), и пусть известна функция

s = f(2, С), f(2°, С) = о, Г(20, С)>0, (1)

реализующая отображение D(C) на единичный круг (г0 ^ D —— фиксированная точка). Требуется найти конформное отображение на тот же круг

S = f(2, ©), f (s0, С) =0, fz(20, С) > 0 ⑵

области D(C), близкой к D(C).

Простое решение этой задачи можно дать, пользуясь полу- ченньши в предыдущем пункте формулами. Пусть 2】一точка С, переходящая при отображении (1) в точку о)= 1. Через в мы обозначим длину дуги С между 2[ и произвольной точкой z этого контура; при движении 2 по С от точки 力 в положительном направлении число в меняется от 0 до 厶 где / ——длина контура С.

значить через 0 аргумент <о = f(2, С) на окружности =1, то мы будем иметь = lf'(z,C)| н8(s)= JlX(z, C)|ds.значить через 0 аргумент <о = f(2, С) на окружности =1, то мы будем иметь = lf'(z,C)| н8(s)= JlX(z, C)|ds.OZ/7OZ/7⑶⑶$(S)>ff$(S)>ffРис. 142.Рис. 142.точкиточкиdsdsТак как С удовлетворяет условию Ляпунова, то отображение (1) конформно на границе (см. п. 29), поэтому, если обо-

значить через 0 аргумент <о = f(2, С) на окружности =1, то мы будем иметь = lf'(z,C)| н

8(s)= JlX(z, C)|ds.

значить через 0 аргумент <о = f(2, С) на окружности =1, то мы будем иметь = lf'(z,C)| н

8(s)= JlX(z, C)|ds.

OZ/7

OZ/7

⑶

⑶

$(S)>ff

$(S)>ff

Рис. 142.

Рис. 142.

точки

точки

ds

ds

о

《+》，если этот отре- > в противоположном《+》，если этот отре- > в противоположномДопустим теперь, что контур С близок к С в следующем смысле. Обозначим через 6 (в) длину отрезка нормали к С в точке 2, заключенного между С и Ct взятую со знаком < зок принадлежит D(C) и со знаком《一》 случае (рис. 142); мы предполагаем, что

《+》，если этот отре- > в противоположном

《+》，если этот отре- > в противоположном

|6(s)|<e, |6«s)|<e, |dw(s)|<e,(4)

где e — фиксированное малое число.

В плоскости со = ре‘е построим кривую С*, близкую к единичной окружности, которая определяется полярным уравнением

р=1-|『(2, C)|6(s) = l-6*(s),

где в есть функция 0, определяемая формулами (3). Пусть

w = f^, С-); но, с*)= 0, Г (0, С*)>о,(5)

будет функция, определенная по формуле (7) предыдущего пункта, в которой вместо 6(/) подставлена 6(/); тогда искомое отображение области。⑹ на единичный круг может быть, очевидно, построено по следующей формуле *):

⑫= 〃z, С) ^f[f (г, С),

2 屮十去r*⑺沿•黑山•⑹

Используя формулы (16) и (19) предыдущего пункта, можно найти также вариацию соответствия границ и вариацию производной при переходе от данного отображения к близкому отображению.

Остановимся еще на одном важном частном случае только что разобранной задачи, когда контур С отличается от С только на малой дуге с центром в точке а контура (так называемый случай локальной вариации).

Обозначим через о площадь, заключенную между С и С; о мы будем брать со знаком《+》，если С расположена внутри £>(С), и со знаком《一》в противном случае. Для локальной вариации формула (6) принимает вид:

〃z, Q^f(z, С){1 +若申® С)Р 三辻,；*；卜 (7) где 0о—аргумент точки окружности |з|= 1, соответствующей центру вариации а при отображении ay = f(z, С). Действительно, в этом случае вместо формулы (7) предыдущего пункта можно воспользоваться формулой (3) того же пункта, причем вместо о в нем надо взять о* = |f'(a, С) |2а. Из формулы (7) непосредственно следует, что вариация отображения f пропорциональна площади о и вблизи места вариации контура обратно пропорциональна расстоянию до этого места,

В случае локальной вариации, когда функция 6(屮)отлична от нуля лишь на участке длины т] вблизи точки ei0e окружности |s|= 1, формула (19) п. 63 для растяжения на границе принимает вид:

I也I〜1丄(a) n 〜1肉 而 ~ 1 十 4л . 2 8 一 如 ~ 1 + 4л . 2 0 - 90 ⑻

, 1 sin2—--- sin2——

(мы считаем, что о = е»® лежит на недеформированной части границы, т. е. 6(0) = 0). Далее, по формуле производной сложной функции

I dw I

подставляя сюда (8), найдем окончательно граничную производную

|f'(z, d)g|f'(z, С)|( 1 — *|f'(a, С)Е―^Q-\，⑼

где 0о и 0 — аргументы точек окружности |<о| = 1, соответствующих при отображении <о = f (г, С) точкам а и г контура С.

Из формулы (9) видно, что вариация граничной производной функции f пропорциональна площади ст и вблизи места вариации обратно пропорциональна квадрату расстояния до этого места.

Распространение результатов. Все изложенные выше предложения и формулы могут быть перенесены на случай конформного отображения на другие канонические области. Этот перенос можно осуществить или при помощи вспомогательного конформного отображения круга на такую область, или непосредственно с помощью вариационных принципов п. 60.

Приведем наиболее интересные из относящихся сюда формул.

Случай полуплоскости. Сохраним обозначения» принятые в п. 60, и допустим, что линия С определяется уравнением у = y(x)t причем

11/1 < е, ly'IVe, |y"|Ve, lim ху(х) = 0.(1)

Х->±8

• При этих условиях функция,

■⑪=f(2, с),Г(0О, 0 = 1,

реализующая отображение области О(С) на верхнюю полуплоскость, может быть представлена следующей приближенной формулой:

w = f(z, С)-г + 1(2)

(ср. формулу (7) п. 34). Для функции g(3), обратной к / (г, С), получаем отсюда:

j^4^，(з)

Последняя формула справедлива для всех значений s, 1m 5》 №; в частности, полагая ну = 〃, мы получим соответствие между точками линии С и оси и,

1 Г у (0 di/人 I

а также приближенную формулу для производной ， оо

|g，3)gl+^ р£二君也力(5)

(ср. вывод формулы (19) в предыдущем пункте).

Все приведенные формулы справедливы с точностью до малых высшего порядка сравнительно с е ).

Сл у ч а й полосы. Вполне аналогично, опираясь на вариационные принципы п. 58 и формулу (13) п. 34, легко получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к полосе О V у V 1, на полосу О V и V L Допустим, что нам даны две линии, Cq и С: у = уо(х) н у = y(x)t где Уо(х) и у(х) —однозначные функции, причем

|%|<% 阙 <8，阙 <% I

I z/— 1 |< е, I уг\<г, \у"\<ъ. J

При этих условиях функция

w — f(z, Со, С);/(± оо, Со, С) = ± оо

с точностью до малых второго порядка относительно е может быть определена следующей формулой:

М Со, О»

“z + 扌 J 丸(/)cth а(『“~Ц J {l-y(t)}th^^>di, (7) а функция z = g (侬} обратная к /, —формулой

Z = g(w) w — ~ J z/о(0 cth п (w~^- dt —

-j j{l —9⑴}th^=^或.(8)

Последняя формула справедлива в замкнутой полосе О W и W 《1. В частности, полагая ⑫=〃,мн получим соответствие точек оси и и линии Со：

ОО8

X-4 J%(/)cth^=^d/ —^ J{l—y(/)}thi^^d/.

Ff⑼

Для того чтобы продифференцировать особый интеграл (9), поступим следующим образом. Замечая, что главное значение интеграла

I匸I匸I」〃+а II」〃+а I=—2 lim In=—2 lim InJ 九(〃 一М)sn^J 九(〃 一М)sn^=2",=2",

I匸

I匸

I」〃+а I

I」〃+а I

=—2 lim In

=—2 lim In

J 九(〃 一М)

sn^

J 九(〃 一М)

sn^

=2",

=2",

мы переписываем формулу (9) в виде

J 仇(/)-% (嘲 cth^"/')成一

4" f {1 — У(')}仕 “(%~— dt — % (〃) и.

Теперь, дифференцируя по 〃，найдем:

ig，(〃)gi(“)+扌i陪許鴇力一卜 sn22 -oo ch22■

(Ю)

(член ——у^(и) и сокращается с тем, который получается при дифференцировании первого интеграла) ).

Отметим еще две формулы для случая, когда вариация носит локальный характер. Пусть, у(х) = 1, а уо(尤)=0 во всех точках оси х, кроме малого интервала с центром в точке а, и

пусть ст ——площадь, заключенная между осью х и кривой у = =уо(х) с соответствующим знаком (интеграл от уо(х) по оси х).

При этих условиях вне окрестности точки а будем иметь:

"'1/1142 冗(尤一а)

Из формул (11) мы видим, что в случае полосы влияние локальной вариации затухает, как 。一* г^е / — расстояние до места вариации.

Производя описанную локальную вариацию достаточное число раз, можно доказать, что имеет место более общий

Принцип локализации. Пусть d(z) обозначает диаметр наибольшего круеа, который касается в точке z линии Со и целиком содержится в полосе Р(Со, С), и пусть для всех точек z этой линии

d = 8dcp, 0! ^0 ^02> (12)

где dcp, 0i > 0 и 02 < оо — некоторые постоянные. Тогда для любой вариации полосы D[Cq, С) вне круга \z — Zo|W / вариация растяжения в точке Zo конформного отображения полосы D (Со, С) на полосу О V и V 左 удовлетворяет неравенству

51X(%, С。，С)\<Ме~т(13)

где Мит — постоянные.

Можно подсчитать, что если место вариации расположено от точки а。на расстоянии, большем, чем четырехкратная ширина полосы, то вариация ln|f'(zo, С。, С) | составляет менее 1%\

Из формулы (13) следует также возможность применения формулы (10) при условиях более широких, чем те, при которых она была выведена. Так, если

тах(|%|, \ у~1\, |^|, \у'\, |^[,丨旷|}<叫％-%|"+ 1], (14)

где 卩一■ произвольное положительное число, то в точке г0 = =Хо + 〃о(Хо)

1X(2°, Со, С) | =

=1 _ Г у° ⑴乙f 0 ••+ R, (15) 4 J 2 л (Z — x0)1 4 J 2 л (Z — xo) 丁'

—oo 3U 2—оо СП g

причем остаточный член R оценивается формулой

\R\< fee2,(16)

где k ——постоянная, зависящая только от ц и от max|g(z)—— -%(尤)I .

■ 3) Узкие полосы. Значение производной конформного отображения данной полосы на прямолинейную полосу в какой- нибудь граничной точке зависит от положения этой точки и от всей границы полосы. В случае узких полос или полос с медленно меняющейся кривизной для граничных значений |f«z, Со, С) | можно дать приближенную формулу, в которой участвуют лишь ширина полосы, угол между Со и С и кривизны этих линий, при* чем все эти величины берутся в данной граничной точке N одной линии и в некоторой точке (определяемой точкой г) другой граничной линии. Мы остановимся на случае узких полос.

Пусть дана полоса D(CQt С) и пусть го — произвольная точка линии С. По аналогии с луночками (см. п. 34) обозначим через п =九(2°) отрезок 2族;нормали к С в точке го； ■& = О(2о)— угол между нормалями к Со и С в точках z° и 珞,左(％) и 耳(％ — кривизны С и Со в этих точках.

Пусть еще функция

w = f(z. Со, С, /г); f (土 оо, &, С, А) = ± оо

осуществляет отображение Q(Co, С) на узкую полосу О V и V 无. В этих обозначениях имеет место

Теорема. Если h ——малое положительное число, а линии С§ и С удовлетворяют условиям

aih<n< a2А: 16|<a3力，{1与巫 I， Ml，1篇|}<a4，(17)

{|SM^|}<^ {15И4>|}<^

где av ——постоянные, не зависящие от /г, то

|『(z; С。，С, /г)1 = "1 +誉鳥+ 計+^依 +_^w} + R, (18) причем остаточный член R оценивается формулой

IRIV 力代(19)

где 4 ——постоянна兄,зависящая только от постоянных av・

Проведем через точки г0 и z； окружности С и Со, сопри

касающиеся соответственно с линиями С и Со; через D(Co, С) обозначим луночку, ограниченную этими окружностями

390 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [65

(рис. 143). Так как по ^формуле (18) п. 34 растяжение в точке 备 при отображении D{Cq, б) на полосу шириной Л

,(20),(20)1X(2°, С0,С; Л)|-4

,(20)

,(20)

то для доказательства достаточно показать, что If^Zo, Со, С; h) | отличается от [^(zo, СОт С; Л) | на малые порядка не ниже Л3.

В условиях доказываемой теоремы кривизны линий Со и С конечны, а их разность ——малая порядка Л. Отсюда на основании элементарных вычислений можно заключить, что угловые

точки луночки D(Cq, С) находятся на конечном расстоянии от точки г0 ). Согласно принципу локализации из раздела 2) этого пункта любая деформация области вне круга |z ——z0| ^ / дает "изменение растяжения |/7(го, Со, С) | на малые порядка не ниже 标，если е ①九 ^ Mh3, т. е. /》■^-(31n； —In Л1) ). Поэтому в наших оценках мы можем считать, что вне круга |z —乙)[&/()= =—1п-^- область D(Cq, С) совпадает с луночкой D{Cq, б). Предположим сначала, что в круге \z ——Zo|《/0 линия Со совпадает с Со. Совершим конформное отображение луночки Q(Co, 2) на полосу 0 V n V /z плоскости g =自 + ?п， переводящее б0 в нижний берег полосы Го, С ——в верхний берег Г и точку г0 ——в точку 电=ih. Линия С переходит при этом в некоторую кри-

вую Г, соприкасающуюся с прямой Г в точке 电=ih. Согласно (20) растяжение при нашем отображении будет ограничено сверху и снизу, поэтому достаточно показать, что при | ^| < /0 растяжение в точке 匕口 отображения полосы D (Го, Г) -на полосу 0 V и V 无 отличается от 1 (растяжения при отображении полосы 0(Го, Г) на себя) на малые порядка не ниже h3.'

.В окрестности точки ^ = 0 мы представляем уравнение Г по формуле Тейлора

"=力+崎3 +阳+。低4)

(коэффициенты при guy исчезают, так как Г соприкасается с прймой Г). Для I^I < /о остаточный член формулы представляет собой малую высшего порядка относительно й4 In4 —, т. е. с принятой степенью точности им можно пренебречь.

Попытаемся подобрать постоянные а и 6 так, чтобы функция ^ = ш + аш2 + bw^(21)

реализовала отображение полосы 0 <v <h на полосу плоскости & ограниченную осью Е и (по крайней мере для |自| V /о) кривой п = 无 + а^3. Если а и 6 — действительны, то при действительных w = и значения 匕 также будут действительными, т. е. нижние берега полос соответствуют друг другу. При ш = w + + й имеем:

П =无 + 2ahu + 4bhu (и2 —胪)，

g = " + a (“2 -后2)+ 匕①-6部〃2 + 后4)； следовательно, положив a = 2b% 4bh = a, получим:

П =无 + a* g = “ + -A. (〃4 — 4力2必—厅1)

Из второго уравнения видно, что “ =自 + О (无3[口3^_)； следовательно, с принятой степенью точности в первом уравнении можно принять “ = & н мы получим 刀=无 + af, что и требуется. Подставляя в (21) найденные значения а и bt получим искомое отображение

白=5+号游+最妃(22)

Из формулы (22) видно, что соответствующая * = ih точка w0 = № +。(也3[口3})； следовательно, растяжение отображения (22) в этой точке

[| 務 LTIl + a^ + ^^ki+om1^), что и требуется.

392 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [65

Аналогично можно подобрать постоянные end так, чтобы функция

g =酬 + С@3 + 油5

реализовала отображение полосы О V и V 力 на полосу, ограниченную осью 自 и кривой i\ = h + Р^4. При 5 = 〃 + i/i имеем:

n =力 + 说(3〃2 —九2) + dh^ _ 10力2〃2 + 力4),

^ = u-\- CU(U^ - 3/lU)+ du (u4 - 10力2层 + 5力4);

следовательно, положив Зс = lQdh2t 5dh = pt получим:

^=h+^~~ih\ 『w+oG^k，

откуда с принятой степенью точности п =力 + 0守.

Таким образом, искомое отображение имеет вид:

白=酬 + 1^3 + 备®5(23)

и его растяжение в точке w0 = z/i + о ^h4 In4 у^ равно

[| 器 L=[|i+2p3+E”L=i + o(砂

Ясно, что отображение

g=з+号•济+最.” + ^hw3 + 拿35

с нужной степенью точности совпадает с отображением полосы О V и V 左 на полосу О (Го, Г) и его растяжение в точке д, соответствующей * = ih, равно 1 + 0(左3). Для случая, когда линия Со в круге |之一г0| < /о совпадает с Со, теорема доказана.

Совершенно аналогично рассматривается случай, когда совпадают линии С и С, а общий случай сводится к двум рассмотренным, ибо сначала можно перейти от области D(Cq, Со) к D(Cq, С), а затем от D(C0, С) к D(CGl С). Теорема доказана полностью.

В заключение приведем результат, который получается из формулы (18) элементарными оценками.

Пусть линия Со совпадает с осью %, а линия С: у = у(х)г удовлетворяет следующим условиям'.

а^ <у(х)< a2h, | /1 < а3/г，/2, \yff\< а4/г, | yfff | < а^'2. (24)

При этих условиях в любой точке линии С имеем:

产⑵ С°, С,左)| =击{1 +Bw}+R, \R\<A^, (25) где Л зависит только от постоянных av.

Для доказательства достаточно заметить, что в принятых условиях и с принятой степенью точности в формуле (18) можно заменить

® = arctg 旷 ^旷，n = ^r^y, k =(]工声。y〃, а также пренебречь членами, содержащими п2^2 и 炉.

Приложения

Здесь будут даны приложения вариационных принципов к некоторым задачам механики сплошных сред.

Пересчет подъемной силы. Модель идеальной жидкости является лишь первым приближением при описании движения реальной жидкости или газа. Поэтому, например формулы для величины подъемной силы, полученные в п. 49, оказываются неточными: при учете вязкости, сжимаемости и т. п. наряду с подъемной силой появляются вредные сопротивления, неравномерности потока и другие факторы, причем эти факторы в значительной степени зависят от характера распределения скорости потока вдоль крыла. В соответствии с этим при решении проблемы об улучшении качества крыла большое значение приобретают простые способы пересчета распределения скоростей при переходе от данного профиля С к близкому профилю б.

Мы приходим, таким образом, к следующей задаче: определить вариацию скорости 〃 подъемной ^илы профиля С 6 зависимости от вариации формы этого профиля.

Можно дать простое решение этой задачи, основанное на приближенных формулах конформных отображений близких областей. Пусть дан контур С с одной угловой точкой ан ?_ nfs/

близкий к нему по положению и кривизне контур б. Мы будем предполагать, кроме того, (

что а принадлежит б и что обе касательные к б в точке а яв- 、 ляются также касательными и d к С (рис. 144).

Допустим далее, что изве-РиСф 144,

стен поток, обтекающий С;

тогда мы можем считать известной и скорость потока 匕 как функцию длины дуги s контура С. За начало отсчета s примем точку а, возрастание s пусть соответствует положительному обходу С (0Ws&2). Кроме того, мы считаем известным конформное отображение

(1)(1)W = F(n, С);尸(оо, С) = оо

(1)

(1)

394 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 【66 внешности контура С на внешность единичного круга |g|> 1, в частности, соответствие точек С и точек окружности g = ei0:

8 = 0 (s); s = s (0).⑵

Обозначим через n(s) длину отрезка нормали к С, заключенного между С и С, взятую со знаком《一》или《+》，смотря по тому, расположена эта нормаль внутри или вне С. При отображении (1) кривая ^ перейдет в кривую ?, полярное уравнение которой с точностью до малых высшего порядка относительно max|n(s) I будет иметь вид:

pи1+/ф⑼]需= 1+6⑼⑶

(мы полагаем ^=pei0). Отображение внешности ^ на внешность единичного круга | w| > 1 можно, очевидно, представить в виде

w = F(z, C) = F[F (z, С), 0] 用°0, С] = оо, (4) где w~F^ С^), F(оо, С*) = оо — отображение внешности С* на I w I > 1. Отсюда по формуле дифференцирования сложных функций

I尸(z, 2) 1 = 1 尸(& d*H・W'(z, C)|,(5)

причем в правой части функция |尸'(之，С) | известна, a JF'(g, С*) | определяется приближенным выражением (20) п. 63

I尸信不)g i+6(e)—去 Г Ш-^di ⑹ о sin2-2~

(см. замечание в конце п. 63). Если заметить, что отображение (4) сводит задачу обтекания б к задаче обтекания круглого цилиндра, то величину скорости в точке г контура б можно определить по формуле (9) п. 49:

I 刃=・請8 I sine-Sin0o II尸⑵ C)|, a(8, C)I

где % — скорость потока в бесконечности *), а 0=0 4- Д0 и 0о = 0о + Д0о—аргументы образов точек z и а при отображении (4). Сравним эту формулу с такой же формулой для скорости в точках С

|y|=mSWTlsine — sineoi・a，(z,c)i,

а также воспользуемся формулами (5) и (6); получим:

2л'

必〜 "I I sinё- sinёр I1 Г «(0 -«(0)

|Г(оо,С-)|1 sine-sin% I—ДНЕ •

⑺

Но дифференцируя формулу (7) п. 63 по г и переходя затем к пределу при оо, получим: 2Л

I 尸(8,b)gl—盡J 6(f)弘(8)

о

С другой стороны,

sin 0 — sin Оо 〜sin 0 + cos О ДО — sin Оо — cos Оо ДОо —〔 ■ cos О ДО—cos00A00

sin 0 — sinOosin 8 — sin 备一 "*3in6— sin 0。™，

причем Д0 и Д0о определяются по формулам (16) п. 63

2л2л

A0==iJ SWctg-^-rf/, A0o = ^J b(t)ctg^-dt (9) оо

(мы меняем в этих формулах знак, ибо нас интересуют величины в обозначениях п. 63, имеющие вид 0 — <р и 0о ——屮).Подставляя найденные значения в формулу (7) и пренебрегая малыми высших порядков, получим окончательно

田П1叫1+6(8) +"驟矯型+

2л2л'

+击j 6")就一去j怨三罐威.(10) оо sin2 —-—

Формула (10) связывает скорости точек контуров 0 и С, находящихся на одной нормали к С.

, Заметим, что в соответствии со сказанным в п. 63 практические вычисления по формуле (10) целесообразнее всего вести, аппроксимируя б (/) тригонометрическим многочленом

6 (/) == е (а。+ Qi cos / + 仇 sin t + a2 cos 2/ + %sin 2f + ...).(11)

В этом случае вместо формулы (6) удобнее воспользоваться формулой (23) п. 63 (имея в виду, что 尸％ (5*) =「询),и

мы получим вместо (10):

I R I 1 y l{ 1 + c°s ：器二黑^：A°。+ 8 网 + 2 Q cos e + d sin 9) + + 3 (a2 cos 20 + b2 sin 20) + ・・・]},(12)

где

Д9 = е (% sin 9 —瓦 cos 9 + a2 sin 29 — b2 cos 20 + ...),

Д0о = е (a】 sin 0O —瓦 cos 90 + & sin 2仇一b2 cos 20o + …•)

(ср. формулы (23) и (24) n. 63).

Формулами (12) и (13) можно пользоваться также и для решения обратной задачи:

по заданной вариации скорости на крыле найти соответст^ вующую вариацию профиля крыла.

Рассмотрим частный случай вариации контура С, когда С отличается от С лишь на малой дуге с центром в точке s^ (локала ная вариация). В этом случае мы положим:

2л

0! == 0 (s) j 6 (/) dt = о,о

и вне места вариации с точностью до малых высшего порядка относительно а будем иметь вместо формул (9) и (10)

ае = **2沪，A备=詮ctg%-\ае = **2沪，A备=詮ctg%-\(14)(14)

ае = **2沪，A备=詮ctg%-\

ае = **2沪，A备=詮ctg%-\

(14)

(14)

*1 叫 1+W*1 叫 1+Wcos e ctg.9^" -cos e0 ctg 生亏且sin 0 — sin 0Ocos e ctg.9^" -cos e0 ctg 生亏且sin 0 — sin 0O

*1 叫 1+W

*1 叫 1+W

cos e ctg.9^" -cos e0 ctg 生亏且sin 0 — sin 0O

cos e ctg.9^" -cos e0 ctg 生亏且sin 0 — sin 0O

+ 1 —+ 1 —2 sin22 sin20 ~ 0j2~0 ~ 0j2~

+ 1 —

+ 1 —

2 sin2

2 sin2

0 ~ 0j

2~

0 ~ 0j

2~

Перейдем к вычислению вариации подъемной силы. Для этого проще всего использовать формулу Жуковского (8) п. 49, по которой величина подъемной силы, действующей на контур С, равна

Р = 4Kp 丁戸 盡,С)I sin 备.(15) •

Применяя эту формулу к контурам С и С, найдем:

sin e0 J 尸(8, c) sin e0 I 尸'3, c*)|' '

или, пользуясь формулой (8) и заменяя sin 0О = sin 0О ~h + cos 0сД0о,

2Л

Р = Р 1 + ctg 00 А0О +-^-J 6(0dq.(17>

о

Для случая локальной вариации формула (17) принимает вид

R^P{l+"&[ctgeoCtg%^+l]}.(18)

Из формулы (18) получается следующий качественный результат.

Пусть а0 и а】 будут точки схода и разветвления потока, об- текающего профиль С с положительной подъемной силой Р. При замене С профилем С подъемная сила: 1) увеличивается, если С совпадает с С на нижней дуге аоба^ и лежит над верхней ду- гои flo&^i； 2) уменьшается, если С совпадает с С на верхней дуге и лежит под нижней дугой (рис. 145).

Для доказательства будем рассматривать вариацию контура С как последовательность локальных вариаций. Так как в наших условиях 尸 >0нсг>0*),то согласно (18)，знак вариации 6尸=户一尸 подъемной силы совпадает со знаком выражения

А = 1 + ctg 0О ctg 6°~ -, (19)

причем 0о лежит в IV четверти (для определенности будем счи-причем 0о лежит в IV четверти (для определенности будем счи-татьтать-|<90<0)；-|<90<0)；следовательно, ctg 0О < 0.следовательно, ctg 0О < 0.Рассмотрим сначала случай 1). При отображении (4) центруРассмотрим сначала случай 1). При отображении (4) центрулокальной вариации в окружности, лежащаялокальной вариации в окружности, лежащаяэтом случае соответствует точка 仇 на верхней дуге 0о6о， где 0q — точкаэтом случае соответствует точка 仇 на верхней дуге 0о6о， где 0q — точкаокружности, соответствующая точке разветвления потока а” т.е. 0 < 01 —0О< л + 2|0О| (ср. пример 2) п. 49). Для 0 < 出一0о^локружности, соответствующая точке разветвления потока а” т.е. 0 < 01 —0О< л + 2|0О| (ср. пример 2) п. 49). Для 0 < 出一0о^л

причем 0о лежит в IV четверти (для определенности будем счи-

причем 0о лежит в IV четверти (для определенности будем счи-

тать

тать

-|<90<0)；

-|<90<0)；

следовательно, ctg 0О < 0.

следовательно, ctg 0О < 0.

Рассмотрим сначала случай 1). При отображении (4) центру

Рассмотрим сначала случай 1). При отображении (4) центру

локальной вариации в окружности, лежащая

локальной вариации в окружности, лежащая

этом случае соответствует точка 仇 на верхней дуге 0о6о， где 0q — точка

этом случае соответствует точка 仇 на верхней дуге 0о6о， где 0q — точка

окружности, соответствующая точке разветвления потока а” т.е. 0 < 01 —0О< л + 2|0О| (ср. пример 2) п. 49). Для 0 < 出一0о^л

окружности, соответствующая точке разветвления потока а” т.е. 0 < 01 —0О< л + 2|0О| (ср. пример 2) п. 49). Для 0 < 出一0о^л

*)■ Положительность а- следует из того, что контур С лежит во внешности С (см. принятое выше условие).

имеем ctg 业弓仇《Он, следовательно； А > 1. Для л < 01 — 60 < Vji + 2|8()| положим 6G瓦=皆+ а, где 0 < а < | 0О|; тогда ctg 瓦 q 仇 =tg а, модуль второго слагаемого формулы (19), равный tg I е^ р не превосходит 1 и, следовательно, А > 0. Таким образом, в случае 1) вариация подъемной силы 6Р > 0.

tg aig 10оТtg aig 10оТАналогично, в случае 2) будем иметь 0 < 0О — 0! < л — | 0О|; положим -°-™61 — у = а, тогда I 0ОI < a < у • Модуль второго

tg aig 10оТ

tg aig 10оТ

г больше 1, а знакг больше 1, а знакслагаемого в формуле (19), равный

г больше 1, а знак

г больше 1, а знак

этого слагаемого, очевидно, отрицателен. Следовательно, в слу

чае 2) вариация подъемной силы 6Р < 0. Сформулированное

предложение доказано полностью.

Волны в тяжелой жидкости. Рассмотрим открытый канал бесконечной длины с прямоугольным сечением и горизонтальным дном. Пусть канал заполнен тяжелой жидкостью, движения которой подчинены следующим условиям: 1) движение плоскопараллельное —поле скоростей параллельно вертикальным стенкам и одинаково во всех течениях, параллельных этим стенкам; 2) пусть прямоугольная система координат (х, //) (ось к ^принадлежит дну и параллельна стенкам, ось у направлена вертикально вверх) перемещается с постоянной скоростью и0 в направлении оси х; мы будем предполагать, что в системе координат (х, у) свободная поверхность и поле скоростей жидкости не зависят от времени

Движения жидкости, подчиненные указанным условиям, мы будем называть установившимися волновыми движениями жидкости в канале; число 方 будем называть скоростью распространения волнового движения. Согласно нашему определению, с тоикн зрения наблюдателя, связанного с системой (%,у), это поле дает установившееся движение жидкости в обычном

смысле.

Общая задача теории установившихся волн в канале ставится следующим образом: предполагая жидкость идеальной, определить все возможные ее установившиеся волновые движения.

Поставленная задача сводится к некоторой задаче теории конформных отображений. С этой целью введем несколько дополнительных параметров. Пусть С: у == у(х)9 есть сечение свободной поверхности плоскостью (х, у); назовем средней глубиной канала число

Пусть далее g — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости,

九—VqH •

Приняв это, перейдем к математической постановке задачи. В силу п. 48 из условий, что жидкость идеальна и движение в плоскости (х, у) установившееся, следует, что комплексный потенциал

白=/ (爲С力)，)(土 8, e,用=土 8、⑵

есть функция, реализующая конформное отображение области D(C)t О V у V у(х), на прямолинейную полосу; ширина полосы должна равняться 瓦 ибо расход потока по условию равен vQH = =h. На свободной (волновой) поверхности давление должно оставаться постоянным, равным атмосферному; следовательно, по известной из гидродинамики теореме Бернулли в каждой точке линии С должно иметь место соотношение

p = A — ^p\f'(z, С, /г)р —gpz/ = const,(3)

где р — давление и Л — некоторая постоянная.

Таким образом, наша задача свелась к следующей:

построить все кривые С: у = у(х), такие, что конформные отображения f(z, С, Л) области Q(C)： OVy Vy(x), на полосу О V у V 九 заданной ширины 九 8 каждой точке С удовлетвО' ряют соотношению (3).

Вследствие нелинейности условия (3) решение этой задачи во всей полноте вызывает большие трудности и не получено до настоящего времени. Мы изложим ниже приближенное ее решение, основанное на приближенных формулах теории конформных отображений. В наших частных задачах мы будем искать периодические четные кривые у = у(х), мало отклоняющиеся от прямой у = Н.

Для удобства дальнейших вычислений совершим подобные преобразования плоскостей потока и комплексного потенциала^ положив z = 〃2Ч и ^ =九装・ Соотношение (3) перейдет при этом в соотношение

|-§-|2+2^>=с«(4}

где с — некоторая постоянная и

—безразмерный параметр.

Мы будем рассматривать случай, когда а = v — 1 — малое- положительное число. Введем переменные z2 = azb gz = a?i и

400 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (67 предположим, что в плоскости 之2 образ кривой С удовлетворяет условиям

«1« < % < а2«. ЕI < 即％, I % I < ja，I 疗"| < %叫(6)

где 。比一некоторые постоянные. По формуле (25) п. 65 мы получаем тогда приближенное выражение

или после перехода к переменным 之【и 已匚

I醤1=(1+晶弘")+。(明・

Подставляя это выражение в формулу (4), мы получим с учетом условий (6) приближенное уравнение, справедливое с точностью до малых порядка О (а%) вдоль кривой, соответствующей С В ПЛОСКОСТИ 之1：

3 (1 + g 必勿)+ 2Vgi = с.(7)

Примем еще за новую действительную ось плоскости г пря* мую у = Н, т. е. положим у = 〃(1 +刀)，или, что то же самое, У\ = 1 + т]； тогда уравнение (7) перейдет в уравнение

丸〃 + 2v (1 + Т])2 + ■^ _ С (1 + 叫=0.

Если выбрать постоянную с так, чтобы 刀=0 было решением последнего уравнения (с = 2у + 1) и воспользоваться тождеством

то это уравнение можно будет переписать в виде

^ + 3(v- 1)n + |(2v+l)Ti2-f-T^=0.(8)

Так как мы ищем решения, мало отклоняющиеся от прямой у = 〃，то т] можно считать малой величиной. Мы предположим» что тах|т] | имеет порядок а, тогда с принятой степенью точности в левой части (8) последний член можно отбросить. Вводя вместо v величину а = v——1 и пренебрегая членом ат)2, мы получим окончательно *):

1]" + 3з + ^叩=0.(9)

Дальнейшее изложение мы будем вести в двух различных предположениях.

1°. Линейная теория. Предположим сначала, что число тах|т]I мало в сравнении с а (волны малой амплитуды). Тогда уравнение (9) можно линеаризировать, отбросна в нем нелинейный член

^ + Зат)= 0.(10)

Так как по принятому ранее условию а > 0, то в качестве решений этого уравнения мы получаем линейные волны:

т)=齐 cos U3a хь

где а — произвольная постоянная. В переменных хну уравнение этих волн имеет вид

у = " + @ cos В" х.(I I)

Период волн после подстановки значения у = ос 十 I из формулы (5) записывается в виде

f=WFT

откуда

l+d箪厂(I2)

Таким образом, при данной скорости распространения и。и данном периоде Т существует бесчисленное множество решений задачи，зависящих от одного параметра — амплитуды волны.

При этом средняя глубина канала Я определяется соотношением (12). Из этого соотношения следует также, что скорость распространения линейных волн возрастает вместе с их длиной, но никогда не превышает VgH. Пренебрегая в (12) членом (2^)2, мы получим формулу Лагранжа v0= Jg".

2°, Длинные волны. Займемся теперь случаем, когда тах|т| I имеет тот же порядок, что и а. В этом случае приходится рассматривать уравнение (9) в полном виде, и задача становится нелинейной.

Уравнение (9) допускает, очевидно, первый интеграл

где ,4 ——произвольная постоянная. Приняв, что в вершине волны, т. е. при Xi = 0, имеем “ = т)о > 0， получим для 4 значение

4 = 3%(а +吩

Для существования периодических решений уравнения (9) необходимо, чтобы нашлось еще значение т) =巾 V "о (впадина волны), для которого -^- = 0. В силу (13) это значение нол^* но быть корнем уравнения

rf + arf—喘(а + %) = 0・

Это уравнение имеет корень “ = т)0; деля обе части на “ 一小, найдем:

* + 3 + 加"+ По (а + №)= 0, откуда

胃,2 =—号也 土 4 и(а + По)2 —4no(a + no). (14)

Таким образом, для существования периодических решений необходимо, чтобы было (а + т)0)2 — 4т)о(а + т)о) ^ 0, т. е.

—。《“口《不・ Так как у нас принято, что т)0 > 0, то это условие имеет вид

项《于(15)

При этом условии из соотношения (13), которое можно пере писать в виде'

dndX]dndX]= Н~^ = У А — Зап2 — 3俏= Н~^ = У А — Зап2 — 3俏

dndX]

dndX]

= Н~^ = У А — Зап2 — 3俏

= Н~^ = У А — Зап2 — 3俏

находим полупериод рассматриваемых волн

匕4 —Зах” 3声・匕4 —Зах” 3声・(16)(16)

匕4 —Зах” 3声・

匕4 —Зах” 3声・

(16)

(16)

При tjo V а/3 подкоренное выражение имеет в концах 小 и тц отрезка интегрирования простые корни, следовательно, величина Т конечна. Легко написать и уравнение половины волны (на участке 0<х<4);

х = Н

J У4 — Зат)2 — 3唄'

(17)

Непосредственно видно, что условие т)0 V а/3 является достаточным для существования решений уравнения (9), имеющих волновой характер. В отличие от линейного случая амплитуда волн не может считаться произвольной, а при фиксированной скорости ио она зависит от периода Г.

Отметим еще несколько качественных свойств полученных решений; эти свойства вытекают из приведенных выше формул.

Период Т волны возрастает при увеличении ординаты т)о, а также при увеличении амплитуды т)о —— 刀1 = 2а. Минимальное значение Т =、广一

Рис. 146.Рис. 146.соответствует линейному случаю, когда т)о бесконечно мало. Когда т)о приближается к значе-勿 я аю ~, величина Т не

Рис. 146.

Рис. 146.

ограниченно' растет и при 刀 о = ^ периодическое решение вырождается в линию с единственным 可 максимумом при х = 0 и

"2

с асимптотой т)=——百а

(рис. 146).

В последнем случае решение легко выписать в явном виде, a2

если заметить, что при Ло = у из (14) мы получаем П,2 = —百。 и, следовательно, уравнение (13) принимает вид

舄—/3(ti9 —п) (т)1 —叫・

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными интегрируется в элементарных функциях и его решение, которое при 修=0 принимает значение t)=№ = w，имеет вид n = ag 一 也2替 修)，

или, в переменных хну

y = H + aH (l-th2-^ х).(18)

Построенное апериодическое решение носит название уединенной волны.

Кривизна волны в вершине всегда больше^ чем кривизна волны во впадине.

Скорость распространения волны убывает при возрастании а.

Посмотрим в заключение, в какой мере построенное решение удовлетворяет условиям, при которых принятое приближен ное выражение для |/'| мало отклоняется от истинного (см. п. 65). Для этой цели мы должны оценить функцию т] и ее первые три производные. Имеем:

—а* < т] < -^- а*.

Но тогда в силу (14) и (9)

I n71 < 自a*%, I I V 局£: I 寸〃 I < 色0？

где 々i,月2,々з——числовые постоянные. Таким образом, при замене )/] его приближенным выражением мы допускаем ошибку порядка

Используя построенное приближенное решение и общие вариационные теоремы, можно строго доказать существование всей описанной системы волн и показать, что наши приближенные решения отклоняются от точного на малые высших порядков.

Обтекание со срывом струй. Задача обтекания со срывом струй была поставлена в п. 48. Здесь мы приведем приближенное ее решение и результаты качественного исследования, основанного на развитых выше вариационных принципах (см. М. А. Лаврентьев [1]). Для простоты мы ограничимся случаем потоков с осью симметрии, обтекающих тела, симметричные относительно этой оси. Сначала остановимся на задаче обтекания симметричных дужек. Согласно п. 48 эта задача приводится к следующей задаче теории конформных отображений:

Пусть в верхней полуплоскости г задана дуга 丫】,соединяющая точку “I W 0 оси х с точкой ib оси у. Требуется соединить точку i力 с 2 = оо кривой 丫2, лежащей в верхней полуплоскости и такой, чтобы функция

⑫=f(z, Y)； 〃8, Y)= g, f (оо, у) = 1,(1)

реализующая конформное отображение области D(y), лежащей выше кривой Y= (—оо, X]) + Yi + у2, на верхнюю полуплоскость *), на дуге у2 удовлетворяла условию

丨『(2, Y)丨=С = const(2)

(рис. 147).

Наметим приближенный метод решения задачи. Обозначим через z = g(w) функцию, обратную к искомой функции (1); так как (1) реализует конформное

отображение на верхнюю полуплоскость, то g‘(侬)аналнТиина и не равна нулю в этой полуплоскости и, следовательно, там аналитична функция

1п 旦(侬)=1口 I g，(5)] + i arg g，(侬).(ЗУ

Очевидно, на луче (—оо, А) оси 必 соответствующем лучу (—8, 40 qch 工, имеем arg g'(“)= 0, а иа луче (В, оо), соответствующем 丫2, имеем in|g，(〃)| = с〕, где С} — некоторая постоянная (см. рис. 147). На отрезке (Л,В), соответствующем уь argg，(〃)неизвестен, ибо неизвестно соответствие точек (Л, В) и 丫卜 Однако мы сами задаемся каким-либо соответствием-

0&夕 7少0彳 0 Шд,М^с勿勿以3勿党'"""/"""""""力0&夕 7少0彳 0 Шд,М^с勿勿以3勿党'"""/"""""""力Рис. 147.Рис. 147.g = g(〃)точек (4 В) и Yi и тогда находим:

0&夕 7少0彳 0 Шд,М^с

勿勿以3勿党'"""/"""""""力

0&夕 7少0彳 0 Шд,М^с

勿勿以3勿党'"""/"""""""力

Рис. 147.

Рис. 147.

arg g，(〃)= arg * (〃)=屮⑷.(4)

2 = @(叫2 = @(叫⑹⑹Теперь отыскание функции In g彳侬) сводится к смешанной краевой задаче для верхней полуплоскости, ибо на луче (—оо, А) известна Im In gf(w)t а на луче (Л, оо)—Re }ngf(w). Решая эту задачу, например, с помощью формулы Келдыша —Седова п. 54, находим функцию

2 = @(叫

2 = @(叫

⑹

⑹

реализующую конформное отображение верхней полуплоскости на область. D (у), где у = (—8,6)+%+% (см. рис. 147).

По построению обратная к (5) функция w = f(z, у) решает задачу обтекания со срывом струй дужки %. Если последняя сильно отличается от у【 мы должны изменить задание функции 屮(〃)из (4). Чтобы целесообразнее проводить это изменение, мы должны иметь качественные сведения о том, как меняется функция (1) при деформировании дуги yj. Приведем без доказательства основные из относящихся сюда результатов.

Если yi состоит из конечного числа дуг с ограниченной кривизной 〃 каждая прямая 尤=尤口(尤} V 尤。£ 0) пересекает 丫】либо в точке, либо по отрезку, то решение задачи о струях существует и единственно.

При этом допускается, что кривая 丫2, начиная с некоторой точки- % = 匕 > 0, совпадает с осью 尤；уравнение такой кривой мы обозначим:

У = У(х', g).(6)

В этом случае условие постоянства скорости (2) на луче (5, 8) заменяется условием совпадения скоростей при подходе к лучу сверху и снизу, т. е. условием однозначности комплексного потенциала (1) потока, обтекающега со срывом струй дугу Гь состоящую из yi, и дуги, симметричной с yi относительно оси х. Иными словами, допускается смыкание струй за обтекаемой дугой.

Если при некотором значении л = х2 ордината точки у2 обращается в нуль, то при х > 尤2 дуга у2 совпадает с осью 尤(иными словами, jc2 = ?)-

На участке (0,匕)дуга 丫2 аналитична.

На 丫2 угловой коэффициент касательной не может достигать экстремума.

При Е V 9° кривая у2 не может иметь точек с ординатами большими^ чем максимальная ордината точек кривой 丫卜

Если максимальная ордината точке кривой у】 соответствует 尤=0* то = cot т. е. 丫2 обладает бесконечной ветвью.

больше концы.больше концы.(7)случае(7)случаеПусть при одинаковых абсциссах ординаты точек кривой Q】 ординат или равны ординатам точек 丫【и эти кривые имеют общие Тогда | ^ g ц

больше концы.

больше концы.

(7)

случае

(7)

случае

совпадения 丫] и f【(рис. 148),Все эти результаты получаются методами теории функцийсовпадения 丫] и f【(рис. 148),Все эти результаты получаются методами теории функцийкомплексногокомплексногоy(xf 1)^у (х, Е), причем при 0 V 冗 V Е знак равенства может достигаться лишь 8

совпадения 丫] и f【(рис. 148),

Все эти результаты получаются методами теории функций

совпадения 丫] и f【(рис. 148),

Все эти результаты получаются методами теории функций

комплексного

комплексного

яеремеииого и, в частности, с помощью вариационных принципов п. 61. Их доказательство читатель найдет в статье М. А. Лаврентьева [5].

Из 7) вытекает, что у(х, g) все- тда меньше уъ (х)—ординаты струи,

обтекающей вертикальный отрезок (0, lb)—случай, рассматриваемый Кирхгофом, Из того же предложения 7) следует, что в его условиях равиодей* ствующая сил давления иа дугу Tj = Yt + ур где 丫]— зеркальное отображение yi относительно оси х, P{F[) &P(F〔)，me 亏=号1 + %.

В заключение приведем, также без доказательства, некоторые результаты, относящиеся к симметричному обтеканию выпуклых контуров. Пусть дан замкнутый, выпуклый и симметричный относительно оси г контур С, пересекающий ось х в точках 修 V 6 и х = 0. Пусть yt — часть контура С, рас- лоложеииая иад отрезком (冗卜£) оси х(х! < < < 0). Очевидно, решение

У = % (% Е) . (8) разобраииой выше задачи для дуги у( дает свободную струю потока, обтекающего со срывом струй замкнутый контур С, если кривая (8) лежит неликом вие С.

Имеют место следующие предложения:

Множество точек контура С, 8 которых при симметричном обтекании возможен отрыв струй, есть дуга Со с центром 8 точке 修 и концами, расположенными левее точек нонтура С с экстремальными ординатами (рис. 149).

Свободные струи, соответствующие двум различным обтеканиям С, •ле имеют общих точек, “

При двух различных обтеканиях С со срывом струй давление жид^ кости на С будет большим для того течения, которое соответствует более раннему отрыву струй.

Доказательства эшх предложений имеются в цитированиоп работе М. А. Лаврентьева [5].

Движение грунтовых вод. Как показывает опыт, движение грунтовых вод в однородном грунте достаточно точно следует законам движения идеальной жидкости. Ограничиваясь,

как раньше, плоским случаем, допустим, что через область D, заполненную грунтом, просачивается жидкость, и предположим^ что движение установившееся. Обозначим через p(z) давление в произвольной точке z области D. Имеет место следующий опытный закон (Дарси): скорость частиц жидкости в точке г пропорциональна градиенту давления, и направлена в сторону, противоположную градиенту /?:

у = — х grad р* (1)

Коэффициент пропорциональности 乂 зависит только от характера грунта и называется коэффициентом фильтрации. Добавляя к закону Дарси условие несжимаемости жидкости div 展 0,(2)

мы получим, что поле скоростей движения просачивающейся через область D жидкости обладает потенциалом 〃：

以⑵=一 %р⑵，⑶

который является гармонической функцией, правильной в области D.

При проектировании плотин одним из существенных элемен* тов их расчета является решение следующей задачи.

Дана область D, граница С которой состоит из следующих прямолинейных участков:

прямая у =——Ло (основание),

луч (—8,0) оси х,

отрезок (0, /) (флютбет),

луч (/, оо) оси х,

вертикальные отрезки (шпунты)匕力 выходящие из точек. %i = 0,尤2，хп флютбета и имеющие длины /Д/ = 1,...,几).

Область D заполнена водопроницаемым грунтом с коэффициентом фильтрации х. Над флютбетом (0, /) расположено сооружение Л; слева от Л над осью 尤 расположен слой свободной жидкости толщины ”2, а справа от Л——слой свободной жидкости толщины Н\ ("iV”2)・ Стенки сооружения Л, флютбет,. шпунты и основание считаются водонепроницаемыми (рис. 150).

При перечисленных условиях требуется определить установившееся движение жидкости в области D, причем проектировщиков интересуют в основном следующие три величины: 1) расход жидкости, 2) максимальное и общее давление на флютбет, 3) максимальная «выходная» скорость на луче (/, со).

Найдем граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал скоростей и. В силу водонепроницаемости основания у =—闻 флк5тбета и шпунтов на всех участках С, соответствующих этим элементам, должно иметь место обтекание, т. е. должно выполняться соотношение

Кроме того, на участках (—оо,0) и (/, оо) давление р должно быть постоянным: на левом участке р = рЯ2 + Ро> на правом участке р = р/Л+/?о, где р — плотность жидкости, р0 —давление атмосферы. Следовательно, вдоль (—оо, 0)

〃 =—乂 (р”2 + %) = «2，(5)

а вдоль (/, оо)

〃 =1 + %)= 〃卜(6)

Таким образом, задача движения грунтовых вод под сооружением привелась к частному случаю смешанной краевой задачи для гармонических функций п. 55.

Отметим два приема решения этой задачи, учитывающих специфику граничных условий (4), (5) и (6).

обозначим через v функцию ток*а течения; в силу условия (4) V сохраняет постоянное значение и。вдоль у =―九。и постоянное значение v = v^ вдоль флютбета и шпунтов. Комплексный потенциал 〃 + 必 реализует конформное отображение области D на прямоугольник, ограниченный прямыми и = и2» 〃 =〃ь и = и0, и = s, причем точки —оо, 0,厶 оо переходят в вершины прямоугольника. Имея в виду, что прямоугольник отображается на верхнюю полуплоскость с помощью эллиптического синуса (см. п. 39, пример 1), можно ограничиться отображением

C = f(z)⑺

области D на верхнюю полуплоскость Im ^ > 0. Пусть при этом отображении точки 0,——оо, оо, / переходят в точки。卜。2, 〃з,。4； .применяя дополнительное линейное преобразование, мы можем перевести эти точки в точки —1/財 一1, 1, l/玩 Иными словами, можно заранее считать, что

f(±g)=±l,f(0) —— 2 faT・

Тогда искомый потенциал примет вид

〃 + 2 = Л1^_ sn-1 储左)+ ■^Ц^,(8)

где str4 ——функция, обратная к эллиптическому синусу (см. п. 39).

Стороны прямоугольника равны 〃】——〃2 H 5 ——"о = k (〃i ——〃2)， где

2К = 2 f …-4 , N = j 7,

J 了(1 一 产)(1 一依产)J 了(产 一 1) (1 一 依产)

его высота s — u0= •^乂乂小—Н^ дает расход жидкости под сооружением.

При отображении (7) функции 〃⑵ и u(z) перейдут в функции

u\g(S)\=U^, vlg^^V^(9>

где z = g(g)—функция, обратная (7), причем U правильна всюду вне отрезков (—1/电一1) и (1, 1麻)и принимает на этих отрезках, соответственно, значения и2 и «i, а V правильна вне отрезков (—оо, — 1/力)，(—1, 1) и (1, оо) и принимает на этих отрезках значения и】, и。, иь Поэтому выражение для U(g) + + iV(g) можно получить по формуле Келдыша — Седова п. 54.

Применяя к разбираемой задаче вариационные принципы» легко можно получить ряд заключений относительно характера изменений расхода, выходной скорости и давления при изменениях в размерах элементов сооружения.

Если увеличить длину одного или нескольких шпунтов、 то все линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная скорость уменьшится. Если стремиться уменьшить выходную скорость, то наиболее эффективным является удлинение крайнего правого шпунта.

Если увеличить длину одного шпунта, то давление на флютбет слева от этого шпунта увеличится, а справа — уменьшится; в частности, увеличение длины крайнего правого шпунта увеличит давление на флютбет всюду.

Те же теоремы и соответствующие формулы дают также возможность обосновать и уточнить различные приближённые приемы для численного решения задачи.

Одним из наиболее распространенных приемов для приближенного определения потенциала и является так называемый метод фрагментов, предложенный академиком Н. Н. Павловским в 1922 г. (см. [8]). Мы изложим сущность этого метода.

Проведем через концы шпунтов с§ линии Yj равного потенциала и = 〃办 соединяющие эти концы с основанием так, что q вместе с Yj образуют гладкую линию, ортогональную основанию. Линии yj разрезают область Q на 几十 1 частей — «фрагментов» Qo, 4,…，D^ (рис. 150). Во фрагменте Dq f Uo на (— оо, 0), потенциал и удовлетворяет условиям 〃 = ( 〃 на 丫

410 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [69， на остальных участках границы -^- = 0; во фрагменте Dn

(Un на (4 оо), I % на Yn>

на остальных участках границы-|™ = 0. Для фрагмента Df (/ = 1, 2，…・，〃 一 1) граничные условия имеют вид

I 〃/ на у/, I 〃/+1 нa 力+1， ди Л на остальных участках границы -^- = 0.

Заметим теперь, что если расстояния между соседними шпунтами значительны по сравнению с их длиной, то линии 丫^ мало отклоняются от прямолинейных отрезков ?) перпендикулярных к основанию. Обозначим через Dj прямоугольник, получаемый нз' Dj заменой у； и 丫幵1 отрезками 曾 и 力+i； области Dq и Ьп будут при этом полуполосами (рис. 150).

Перейдем к конструкции приближенного выражения для потенциала и. Прежде всего строим в каждом прямоугольнике Dj гармоническую функцию 近)(之)по следующим граничным данным:

•( 0 на у/ для /= 1, ..., п и на (—8,0) для / = 0,

立/(z) — I 1 на у/+1 для / = 0, ...» п — 1 и на (/, оо) для / = п, -^■ = 0 на остальных участках границы 心 для / = 0, •…п. Построение й；, очевидно, сводится к отображению прямоугольника на полуплоскость и применению формулы Келдыша ——Седова, причем последняя имеет весьма простой вид в силу простоты граничных данных.

За искомое приближенное значение для и в области Dj принимается:

互 * (〃/+i — 〃/"/⑵ + 〃/(/ = 0, 1, ...» n; Uq = U^ un+\ = t/rt).

(11)

Эта функция, очевидно, удовлетворяет граничным условиям в прямоугольнике Dj и тем меньше отличается от своего точного значения, чем меньше 會 и 帝+【отличаются от у, и 力+入

Формулы (11) содержат п неизвестных параметров 〃厶 〃2，・・・ ,..,un, которые можно определить из условия совпадения расходов жидкости в соседних сегментах. Пусть 5(z) будет

функция, сопряженная с 立j(z), и

(12>(12>•「 д% л.

(12>

(12>

—ее приращения на отрезках yz и pj+卜 Тогда функция z(z)> сопряженная с 〃(z), в области 力：будет приближенно равна (в* — 〃j)0j(z) и, следовательно, условие равенства расходов в сегментах 力~ и 力j запишется в виде *)

mt^{ (wz — w/-i) = mi (uf+i —勺) (j= 1, 2, — ・，九)・ (13>

Система (13) есть система и линейных уравнений с и неизвестными Uj. Определяя из нее и； и подставляя их значения в (11), мы получим искомое приближенное выражение для 〃⑶ во всех фрагментах.

Как уже отмечалось выше, точность метода фрагментов зависит от величины отклонений линий 丫)от отрезков R； Укажем путь для числовой оценки погрешности. Возьмем /-й шпунт; пусть Q' есть часть Q, расположенная Слева от этого шпунта с?» a Dff — часть Q, расположенная справа от него. Заменим часть О" областью £>ь симметричной с Q' относительно с)・ Для области D\ = Df -\- D\ линия у,, очевидно, будет совпадать с отрезком у；. Используя вариационные теоремы, мы можем оценить вариацию функции f(z), реализующей конформное отображение области D\ на полуплоскость при переходе от D\ к D и получить тем самым оценку отклонения у； от у；. Наша задача свелась к оценке разности я и /7 в зависимости от отклонения у； от 丫^ или области D$ от прямоугольника но эту оценку можно получить, используя формулы п. 64 для конформных отображений близких областей.

Опираясь на формулы для конформных отображений близких областей, можно также дать существенное уточнение метода фрагментов. Примем за 帀 полуволну синусоиды с амплитудой %•, соединяющую конец Cj с прямой у =——hQ. Считая области 力$ близкими к прямоугольнику, мы сможем эффективно построить отображение области 力$ на полуплоскость и тем самым построить функцию й^ равную единице на 歹升卜 нулю на % и обладающую нулевой нормальной производной на остальных участках границы. Функция 〃『линейно зависит от параметров синусоид 6厶 ％+i. По функции ЙД2), мы, как раньше, строим искомый потенциал

〃〃* (〃/十1 - w/)«/ + 北广* (〃/十1 - w/)«/ + 北广

〃

〃

* (〃/十1 - w/)«/ + 北广

* (〃/十1 - w/)«/ + 北广

В построенном выражении для и имеется 2九 числовых параметров и； и Ь* Система (13) дает л уравнений; еще л уравнений мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вытекающий из £»j_i через верхнюю половину yj, равнялся расходу жидкости, втекающей в 6 через ту же часть %.Применяя формулы п. 65 для отображений близких областей на полуплоскость, можно дать методы пересчета значений и при переходе от данной конструкции к конструкции близкой.В заключение укажем еще метод последовательного отображения шпунтов, наиболее полно проведенной в работе П. Ф. Фильчакова [10].Для простоты рассмотрим случай флютбета длины / с двумя шпунтами, хотя метод аналогично, а в смысле точности даже лучше проводится в случае большого числа шпунтов. Пусть длина флютбета будет 厶 а длины шпунтов:乙=1 и /2 (рис. 151).Совершим конформное отображение21 = /ТТ^(14)В построенном выражении для и имеется 2九 числовых параметров и； и Ь* Система (13) дает л уравнений; еще л уравнений мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вытекающий из £»j_i через верхнюю половину yj, равнялся расходу жидкости, втекающей в 6 через ту же часть %.Применяя формулы п. 65 для отображений близких областей на полуплоскость, можно дать методы пересчета значений и при переходе от данной конструкции к конструкции близкой.В заключение укажем еще метод последовательного отображения шпунтов, наиболее полно проведенной в работе П. Ф. Фильчакова [10].Для простоты рассмотрим случай флютбета длины / с двумя шпунтами, хотя метод аналогично, а в смысле точности даже лучше проводится в случае большого числа шпунтов. Пусть длина флютбета будет 厶 а длины шпунтов:乙=1 и /2 (рис. 151).Совершим конформное отображение21 = /ТТ^(14)а丿а丿ггги优ZJги优ZJ

В построенном выражении для и имеется 2九 числовых параметров и； и Ь* Система (13) дает л уравнений; еще л уравнений мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вытекающий из £»j_i через верхнюю половину yj, равнялся расходу жидкости, втекающей в 6 через ту же часть %.

Применяя формулы п. 65 для отображений близких областей на полуплоскость, можно дать методы пересчета значений и при переходе от данной конструкции к конструкции близкой.

В заключение укажем еще метод последовательного отображения шпунтов, наиболее полно проведенной в работе П. Ф. Фильчакова [10].

Для простоты рассмотрим случай флютбета длины / с двумя шпунтами, хотя метод аналогично, а в смысле точности даже лучше проводится в случае большого числа шпунтов. Пусть длина флютбета будет 厶 а длины шпунтов:乙=1 и /2 (рис. 151).

Совершим конформное отображение

21 = /ТТ^(14)

В построенном выражении для и имеется 2九 числовых параметров и； и Ь* Система (13) дает л уравнений; еще л уравнений мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вытекающий из £»j_i через верхнюю половину yj, равнялся расходу жидкости, втекающей в 6 через ту же часть %.

Применяя формулы п. 65 для отображений близких областей на полуплоскость, можно дать методы пересчета значений и при переходе от данной конструкции к конструкции близкой.

В заключение укажем еще метод последовательного отображения шпунтов, наиболее полно проведенной в работе П. Ф. Фильчакова [10].

Для простоты рассмотрим случай флютбета длины / с двумя шпунтами, хотя метод аналогично, а в смысле точности даже лучше проводится в случае большого числа шпунтов. Пусть длина флютбета будет 厶 а длины шпунтов:乙=1 и /2 (рис. 151).

Совершим конформное отображение

21 = /ТТ^(14)

а丿

а丿

г

г

г

и优ZJ

г

и优ZJ

нижней полуплоскости z с выброшенным шпунтом 乙 на нижнюю полуплоскость 之1・ Шпунт /2 перейдет при этом в криволинейный шпунт 及，выходящий из точки 〃 = 了1十/2 действительной оси 尤1； уравнение /$ будет:

(15)

Так как отсюда / & 修 & 了1 + G, то при больших / кривая /£ будет мало отличаться от прямолинейного отрезка. Обозначим через (7, %) координаты конца криволинейного шпунта /$ (рис. 151). Применяя формулу Тейлора, можно получить приближенное уравнение для абсцисс точек /£

尤[—Г а (/ — /)｛ 1 —(书｝(1 — У%),(16)

где 以0 > у >—勾)一параметр — ордината точки шпунта 坛 и厶 _/2(3/2+20-/1

L 伙+，

—постоянная, малая при больших 厶 ибо 瓦 а % (см. [10]). Формула (16) точна на обоих концах шпунта, т. е. при у = 0 R У =以

Заменим теперь криволинейный шпунт 及 прямолинейным /2, проходящим через точку (%%) )» и отобразим конформно нижнюю полуплоскость г с выброшенным отрезком 7? на нижнюю полуплоскость С：

+(⑺

Полуплоскость с выброшенным криволинейным шпунтом /г переходит при этом в область рис. 151,8, мало отличающуюся от полуплоскости: ее граница отличается от оси 自 лишь на отрезке (—Ео,Ео)), где уравнение, границы приближенно представляется в виде'

『±皿/比"/¥(18)

(знак 《+》относится к отрицательным | и знак 《—》—к положительным). Замечая, что максимум ординаты (18) дости- гается при = ^0/)^ и равен

_ / (Г - ?) / t2

“max 2/2’°'

мы можем представить (18) в виде

「士电^W需干.(19)