Л-А. Бессонов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Издание девятое переработанное и дополненное

Рекомендовано Государственным комитетом

Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по направлениям: Электротехника, электромеханика, электротехнологии,,| "Электроэнергетика0 и "Прхборостроение"

Москва

« Высшая школа » 1996

BBK 31.21 Б 53

УДК 621.3.013

Федеральная целевая программакнигоиздания России

Рецензент — кафедра "Теоретические основы электротехники" Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета (зав. кафедрой проф. В. Н. Боронин)

В冬丝丝Р000 7)02

°° I( °"П二^ 5"—96

6BN 5-06-002160-2

©几 А. Вессоном, 1996

Предисловие

Теоретические основы электротехники являются базовым курсом, на который опираются профилирующие дисциплины многих вы- CU1HX технических учебных заведений. В соответствии с новыми учебным и планами и спецификой отдельных вузов студенты одних специальностей из у ч а ют курс ТОЭ в течение трех семестров, других — в течение двух семестров. В обоих случаях первые два семестра студенты всех специальностей изучают теорию линейных и нелн- иейных электрических цепей (1 и 11 части курса ТОЭ).

В третьем семестре студенты изучают теорию электромагнитного пол я (I П часть курса ТОЭ). Учебник состоит из двух частей. Первая часть (главы 1 ——12 и 8 приложений) посвящена теории линейных электрических цепей. Вторая (главы 13——18)——теории пел и ней и ых электрических цепей.

Теория цепей и теория поля интенсивно развиваются. Развивается и курс ТОЭ. По сравнению с предыдущим в девятое издание учебника включены следующие новые главы н разделы по теории цепей: основные положения теории электромагнитного поля н их применение к теории элсктрических цепей, дискретные и цифровые сигналы и их обработка, аналитический сигнал, преобразование Гильберта, г-нреобразования цифровых сигналов, цифровые фильтры, имитированные элементы электрических цепей, теорема Тел- ле ген а, переходные процессы в цепях с уира вляемыми нелинейными индуктивными элементами, переходные процессы в нелинейных элек 11)омех a 11 и чес к их системах, переходные процессы в цепях с термисторами, переходные процессы в цепях с управляемыми источниками напряжения и тика с учетом их пел инейных н частотных свойств, основы дпакоп!ики нелинейных цепей, многообразие типов движений в ноли ней н ых цепях и хаотические колебания для Mi iioBciiiibix значении (странные аттракторы). исследование устой* чивости в цепях с неидеа^ьными ча стотно • за в и сн м ы м и управляемыми исгочннками тока и папряжения, передача мощности лнноА- ной нагрузке ст источника с нелинейным пнутренцнм с()||рот||в.пеннем, магниторезисторы и магнитодиоды, фоторглнето- ры и фотодиоды и др. Переработано изложение ряда вопросов теории цепей: в частотные преобразования включено иреобралоолний Брутона, переработано изложение элементной базы цепей снмусо^ идального тока, более полно рассмотрены связи между топа'ШГИЧ^ сними м а гри нами. Ра с с мо г рено дифференцирование и нкмгрмц^

皿冲"…""的，"…丁 """ "冋 юнлопmЛгян-.m ш mЯkфн и，w"，S w~"屮小〃，,小爪 UMh AhfWPHMt ^ ф1Ь1^9^^ « нпрмнроьипмпм ИИЛГ. м я r HH г H J^l ПИМ I рЛ1 llpr/lfVU'WHMMM "”川“屮力川"” /|ру( И1- HOHjrtx |,| ©歸 По frnpIHI tlh/m Я ДГЛ^рК' М1/1ЯПИ<' уч^бннл п "X.〃">，〃，“&(, ШМ4* НОЙМГ pit МГ/IM x・，〃 ir〃"M"M・ "'「X”"I'"L У"""〃，，“Н$」；АУ>Х "Г/М。Л < ИММ« 1рИМНоЛ ""屮 ML М М^Н'НИГ И I ШГЛН, ▼“"《・.] Mg/ < и» Н ыы, МЛ1СИИ1 1СЛЙР1|ЦИП. ЛрП^МЙ "，〃""m”/|, KpyiJIIjq " "*"喉 кГ1»ЛМ1МЛ пбм МОМГ |1Г llliinlhpu ШМ1НПИМГ V и / Пярл М( г . "Рн*6 ЮИ им» НЙИ»1Л< """“〃 ГрЯМГН, М1МГрГИИГ МПМ|1ЛГИ< Нги о "'"Мем

/иннн/инннПЛМП1НИ Ши1Ш1Ж»ЛП. /1Н1ЛГК1рИЧГ( НИГ ПОЛНОЕ» . ”"Р"7冊 ^"Ч"1'^ l^htim, ни NI^* HW«MH ииП.нп гн 八皿3，，"，•川;J 肌恤 <^pui|Hmoj|MM(M ГИ "叩""布川〃但 Г/МН.Л 〃，g”〃Ci J'4PHo| :「，”川，M，c的血〃冷 Пгргрлб1пдим ““3 八個

/иннн

/иннн

1>Ап ИТгЛЬИмА 也 10 f ”"II【"N Hl гм <UVlUMJlblllXЛ^й, “ уЧгбИЫХ ПА* “灯 мморммимггтгн иург ТОЛ хм м»Н1рнн7Нпл|м» курса)на* Г>|>йП 中屮M"/L"hlM lil|UI(|noM(KO)HIY(nM I И ГМ иИНЛЬНЫЙ. и НН1ДИНГ мпш>Л < 1Г11ГНН НГ(|Л<ОДНМЫА < Гу/|Г1ПЙМ |М1ЛНЧНМХ < IH'ilwajIMIOC* I*'ft ti<H мл ггрнй/i HoHprtii nr ином н ihitnD^ii^rii /1Нбн нп( реди 0( 1Н1ННП1П П»||| и1,ЛНГнп1НрМЛ<»ЖгННЯА В UHUh WMIH fll Iи « (н нификн "IN IHiytll. фикуЛЫГ1Н И I 11Г1П1Л/11.Н1Н ти мифгцрл 1()) ПН(I ИЛИ НИО- I" zy 1N >Н1/1ЖНй YKU 1Л )h( ty/l^iny, КИК иг |ы 1ДГ71М，П^НИПЛ ЫПИ () м飢 1"卩H4HR (HI ЛОЛ^ГН и (учи lb

М叫И"”и НМИ»ЛОГНЧН кпг Нй1||И||ин»инг тгорни lirnrh И ( "MR& 黑當： ：；；""""“ /LydWwJ，1“二 HWW'HMB

WC'LW川…小'2“；： ：： T"WW'”"“” I"丽 ФН1НЧ1Ч мук» I У11ИПН n., ""'"I "屮"1Л" .MYMIIIV Y< iWIRAd

W 亂 А П|нм"；м；н ^” „ И|ННИМ^.В и мггплов

|«»м( лучи!*, hni/ui M mwHim： J 州""*»4>пчн1ин'г mi hi.iiic. •h'W “rin V CilMnio HIIMMJIWurimA и mcio/ioii nx "C・

^^^ H4|.( И1»По(НоИ(. M ||，M r“「“ ""巾'屮 MWIMJMH" “川 MillpHUHO-； 吋吧加 KUK. ML""伸LmNMEH г |)m( MiirpHiHeM

У"С"Х ИИПИ1 "М

:;:;":'：*"‘"'""" h ним п，|：：：；：：“ '""'MtWMM “・ lie”" I MlH"1KH :;二：7 卩叩“苗 У кМ 皿 ММ2 人 н киком ме。

у^М2；；黑 WE-，•，，—彳

股2喘也陋U，“NMV，，川"+

*М Н<НН 川小IMMY打二屮'" ""н 1|<У" 1 山丿 1,1 ,,Р<'Л<*ЛГН1П.|Х 1Н» 1Н^Чи

У MN—» ку卩";

лей. ряссчятрир1яеммх м курсе 104, “<，*，“，к，"с〃»・“，вя『ь “р，，гра・ мы "Л" ：、)llM, приисл^Инме яс6ср"нк© мляч, сосгявлеяибг^ клф^д* рой Г( К> М“"7A |23] Н《6仆рнике пннм ир<»граммм нас"*ха kf，p"f'〃 riojiHHovfbn ны( оких с грпрщ'й. ррп|рния си<-гем ;ix巾[「рак"* “jii/ihiK уряннений. состянленнмх в форм? К<»ши. ра|“гми刁 гисгем v|> я вне и ий ( комплекс имчи к(»эффиииен гами. с«к гявл^янмми по мргоду уа〃спмх гкггенииядпй и мекму коитурнмх т〃*св. и лр Вс всех случяях и( г|гми.<ум>г( я сгяи/1яргим₽ подпрограммы из библиотеки научных пргнрлмм на ФОРТРЛНе. В |23| приведен также пакет программ для решения гипопых задач нк прпгрлммиру^ммх мнкрокялькулягорах 6 1 34 и МК-ГИ

Для я иля и ля сложных лин^йнмх и нелинейных чиляч, иык^»дя шик 〃1 рямки KVpCH「30, можно полыолагься MMUI/HHMVK про- гряммими С11А0(,, НА" 2. ЛН11 3. Пальма J27I, [2Я|, |29|. |.Ю|. Они но жоляк)7 (к ушес г пить «1ЭСТОТИЫЙ и временной анализ, привести р；н ч<*1 чуне г ии гг.оыюс I и схем, г>и гимичирс>ия гъ ус Гр<»ЙС1Ж) гю вы брмни<)му к|>и»грим> кячгг гва.

А*тр Н1л))яж；1С7 благодарностьзя ныскяэанмыс пплгчиме 4зме •1ЯИИЯ, cfiornGf гнпнянп1И^ улучн/еник> «миги, официальному р^неи- |рн ту л ру |“《н. “пук. гцюф. кафе л ры f(^ Синкт Не гербу pre кого (пгудя|л* гйгнмого ^лгк гротехничсс кого унияер( итрта В Л. Че пурину " 〃，н“рМ1"ам и<» ряботе ня ка巾епр«' Т《)9 Mf»cK(>R< кого гьсу- /|；1рс гщ'иногп ин( гиту гя ряд йогрхиик и. электроники и аигпмагики (Грмиичг<ко1(1 уиимерс игетя> книл. т('хн наук дппгитам FJ И 11м I лиопу. С. Л Милениной и с г г»ррполян?» гелю С 3 Ргк ои< кой

В((* niMVMHHMH но книге ияпринляп» л иыягелксfbo "Вмешая 1пи*и!ян fi<i я л (><•('у: 1()1430. Мо(*кня. I (^f I 4. Нггл инния у，.，29/14

A atop

Введение

Курс iropciiPiecKiix(м н()н 〃1скг|)(ггех"мкн наряду е курсами(|丿“хн кн и млтемлтн км я ил hcich ()riioB()n<K,i;ii а кипим курсам для нсех ^Il'KTpoieXJIHMCCKJIX, ^llrpieTHUCCKHX, ириборос l рои ГГЛЫНЯХ, ЭЛ г к грониых И МНОГИХ других C"«'U"；IJII，M("'T《‘n »у кж.

К изученнio курс” Т()3(чуд(чп ы ирис г yn;i ют после ociu)eiin$i разделов пЭлсктричсс1 во и мш iici изм" курса фгиики м разделов *7Ь|ффсрснцн;ип»и()г и ин1сгр；1ЛЫ1ое исчисление и матричная “л 门'бра” курсл матгмлтики. Поэтому yjirMrirnj теории элек гриче-

с нихс нихцепей и 1 сор к и поля студентам, приступающим к изучению

с них

с них

кпгя и!£нодигся уровня, соответстиукшич о современной leopiin цепей н ц(м1Я и достаточного для решения з；|дач. с которыми iii/Ki веру придется встретиться в своей практической деятелыик I н.

flpt изучении курса ГОЭ студен г учится правильно c iainii b элс к ||нпгх1111ческук).1адачу. coriaiuiHTh ее расчетную модель hi бусмом днаиазонс частот и амплитуд воздействий, ны6ир;гп. наи- болес рациональный метод решення, интерпретировать получаемые рс <ультаты и, если потребуется, у|очня i ь расчетпук> модель. Ияучение курса ТОЭ способствует развнтшо у студентов инженер НОЙ HHIлинии.

I главу к курсу ТОЭ можно рагсматрннмть как связукицге звено между курсом физики и курсом ТОЭ, гд<* в краткой(|)орме рассмог- рсны свойства ЭЛСКТ|)ОМ；И ИИ I ПЫХ IIOJH4I, UCIIOBIIhK' вгличниы, кого р»>1с их хариктеризукп, инкч ральные и д11(|)(|)(,|)(кпциа./1Ы1ыг <|)()рмы записи основных законен члек I ромагни пкно поля. Исходя из урпв- "(*ний плектром а I и итного ноля, дастся вывод uikoiioh Кирхгоф；!, которым подчинякпч н •)лектрнчсски<, ц(Ч1Н, ржч матршиц*гея )л(* мен1нан 6a:i；i теории испей и показываете я, как н теории цепей ocymcci вляется переход от реальных элск i рогехнических ус г 卩叫 I” к их схемам <<«mviiu'ihbi. В первой части курен рпссмотрсны свойства и методы анализа линейных элек грнчсс к их цеп с* й с < ос редогочеиными и р;и пргдслгн1!1»|мн параметрами при постоя и пых,( niiyi пидальных н проичвольных воз/цчн i bibix. В(> вюрой Ч；1С W".‘‘ 11 |WMuTp”in,i пел инейные ”11ектр||ккме н мигпиг- •»лгк°Д нс,}цне^нь1ми электрическими i^humu понимлют

Wс,»Л<*|)ж;пцис ЭЛГМ1ЧГП,| с нелинейными kojii.t

К1МИ l и',) ;,м,и，р,,,,,ми и Кулон НО.11М11ЫМИ хпрактгрисги *ч»( одер/кцI мни бы одни такой злемгпг и нзобрлжи*

К）|ЦН? точка в процессе работы перемещается по существенно не- линейному участку характеристики этого элемента, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей.

Хот” к нелинейным электрическим и магнитным цепям н примени мы законы Кирхгофа, но такие методы расчета, как методы узло- Bbix потенциалов и контурных токов, а в более общем смысле — мечоды, основа иные на принципе наложения и на постоянстве па- раметров элементов пеней, рассмотренные в первой части курса, к нелинейным ценям неприменимы. Дело в том, что сопротивление и проводимость нелинейного резистора, равно как индуктивность нелинейной индуктивной катушки и емкость нелинейного конденсатора, являются нелинейными функциями мгновенного значения то- ка （напряжения） на этих элементах, т. е. представляют собой переменные величины, а потому для расчета малопригодны.

Вместо них используют вольт-амперные характеристики нелинейных резистивных сопротивлений, вебер-амперные характеристики нелинейных индукгинностей и кулон-вольтные характеристики нслинейшях конденсаторов. Один и тот же нелинейный элемент в зависимости от поставленной при исследовании задачи н выбранного метода анализа должен быть описан различными характер и стиками.

При определенных условиях в некоторых нелинейных цепях мо- гут возникгИ'ь физические явления, принципиально невозможные в ;iинейных. К их числу относятся автоколебания, субгармонические колебяни я, а вто м одул я ция, гр и перн ые явлен ия, зависимость уста- iioBHiiinei'ocH процесса ог начал иных условий, хаотические движения и ряд других.

Приступая к расчету токов н напряжений или к исследованию услоний существования того или hiioi u явления, надлежит правильно поставить саму задачу, принимая во внимание то главное, что оказывает решающее влияние на процессы в цепи, и пренебрегая относительно нторостепеннымн факторами. Если этого не сделать, задач；1 может оказаться трудноразрешимой, а само решение, если оно будет получено,——малообозримым. Однако и после ряда унро- iii,ai（）iiuix допутенпи процессы в нелинейных цепях описываются одним или несколькими нелинейными дифференциальными уравнениями, точное решение которых, как правило, неизвестно. Поэтому воли и каст задача о том, каким образом можно решать нелинейные ди（|）ференцналi>rn»ie уравнения приближенно, применяя для э гой цел и специ（|）ические методы, разработанные для нелинейных цепей, а также приемы, ра с с мотрениые в первой части курса для ./шнейных цепей, используемые при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов.

Часть I

ЛИНЕЙНЫЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Глава первая

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

§ 1.1. Электромагнитное поле как вид материи. Под электромагнитным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупностью взаимосвязанных н взаимообусловл нвающих друг друга зл(、к- трического и магнитного полей. Электромагнитное поле может существовать при отсутствии другого вида материи — вещества, характеризуется непрерывным распределен нем в пространстве (электромагнитная волна в вакууме) и может проявлять дискретную структуру (фотоны). В вакууме поле распространяется со скоростью света, нолю присущи характерные для него электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению.

Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электрические заряды. Силовое воздействие положено в основу определения двух векторных величин, опнсываютих поле: напряженности электрического поля Е(В/м)и индукции магнитного поля

В(В-с/м2). На заряд q(Кл). движущийся со скоростью и в электрическом поле напряженности £ и магнитном поле индукции 8, Действует сила Лоренца F=qE-\-q\vB\.

Электромагнитное поле обладает энергией, массой и кол и мест- вом движения,Т-^-такими же атрибутами, что и вепи'ство. Энергия в единице объема, занятого полем в вакууме, равна сумме знергнН электрической и магнитной компонент поля и равна uziM=—т—Ьй—， здесь рп»—-—^ —электрическая постоя и н ая, Ф/м; ц0=4л«10~7 — магнитная постоянная, Гн/м. Масса электромагнитного поля в единице объема равна частному от деления энергии поля 步州 “а квадрат скорости распространения элсктромагиитной волны в ва- куумс, равной скорости света. Несмотря на малое значение массы

поля по сравнению с массой нетества, наличие массы поля указывает на то, что процессы в поле являются процессами инерционными. Количество движения единицы объема электромагнитного поля определяется произведением массы единицы объема ноля на скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Электр и чес кое и магнитное поля могут быть изменяющимися и неизменными во временн. Неизменным в макроскопическом смысле электрическим полем является электростатическое поле, созданное совокупностью зарядов, неподвижных в пространстве и неизменных во времени. В зтом случае существует электрическое поле, а магнитное отсутствует. При протекании постоянных токов по проводящим телам внутри и вне их существует электрическое и магнитное ноля, не влияющие друг на друга, поэтому их можно рассматривать раздельно. В изменяющемся во времен и ноле Электр ическое и магнитное поля, как упоминалось, взаимосвязаны и обусловливают друг друга, поэтому их нельзя рассматривать раздельно.

§ 12 Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле. Электромагнитные поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными соотношениями. Интегральн ые соотношения относятся к объему (длине. площади) участка поля конечных размеров, а д ri ффереи ни аль и ые — к участку поля физически бесконечно ма- лых размеров. Они выражаются операциями градиента, дивергенции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных системах координат см. в III части курса). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно малому 4)11зическому объему и во времени. Этот объем в отличие от математически бесконечно малого объема может содержать большое число атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопической теории поля не описывают поля внутри атомов, для чего, как известно, служат уравнения квантовой теории поля.

(1.1)(1.1)В электростати чес ком ноле поток вектора напряжен ности электрического поля £ через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду д^пЛ, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на е0Ег(теорема Гаусса):

(1.1)

(1.1)

@£dS=”

JГ卢г

где dS ——элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали к объему; е,——относительн а я диэлектрическая ироннин、 емость диэлек грнка.

В дифференциалыюй форме теорема Гаусса записывается так:

Рис. 1Л

(1.2)(1.2)div£ 亠%力

(1.2)

(1.2)

S — объемная плотность свободного заряда, Кл/м3).

^Переход от (1.1) к (1.2)осуществляют делением обеих частей (LI) на объем И. находящийся внутри поверхности S. и стремлении объема V к нулю.

Физически div£ означает исток вектора в данной точке.

В электростатическом поле и в стационарном электрическом поле на заряд q действует сила F=qE. Отсюда следует, что £ может быть определена как силовая характеристика поля Е = limF/q. Если q под действием сил поля переместится из точки / в точку 2 (рис. 1.2), то силы поля совершат работу Д = ^ Ed/, где d/ — элемент пути из / в 2.1

。12 =屮I — q” = [ £d/；。12 =屮I — q” = [ £d/；(1.3)(1.3)Под разностью потенциалов UV2 между точками / и 2 понимают ю?Х7Хку2УЮ СИ；，аМИ "°"" Г，РИ “еРеносе заряда q = 1 К』

。12 =屮I — q” = [ £d/；

。12 =屮I — q” = [ £d/；

(1.3)

(1.3)

1/[戸代 зависит от того, по какому пути происходило перемещение из точки / в точку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение

io

Е=

—grad 屮.

(1.4)

Градиент 屮(grad 屮)в некоторой точке поля определяет скоро сть изменения 屮 в этой точке, взятую в направлении наиболыиегс» его возрастания. Знак минус означает, что £ и grad q направлены противоположно.

(1.5)(1.5)Электрическое поле называют потенциальным, если для него 《Ed/=0. Электрическое поле поляризованного диэлектрика описывается вектором электрического смешения (индукции)

(1.5)

(1.5)

D = %Е + Р,

где Р — поляризованность диэлектрика, которая равна электрическому моменту единицы объема поляризованного диэлектрика.

В стационарном неизменном во времени электрическом поле в проводящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов одинаково, поэтому для этого поля справедливо определение

~2 ——

разности потенциалов по формуле U[2 = \ £d/.

Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность электрического поля Е^ равна векторной сумме потенциальной

(кулоновой) составляющей Епт и сторонней составляющей Е^:

£pe=£m+Ecwp・

(16)(16)Е^ор разделяет заряды внутри источника, она обусловлена химическими, электрохимическими, тепловыми н другими процессами не электростатического происхождения и направлена встречно Епог. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи. Под электрическим током понимают направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля ха- рактеризуется своей плотностью 6 (А/м2). Известны три вида тока: ток проводимости (плотность его 6“р ), ток смещения (плотностью 6СМ ) и ток переноса (плотностью д11ср ). Ток проводимости протекает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна £

(16)

(16)

6叩=Y£，

г」е у — удельная проводиmckti> проьодяшего тела, Ом • м *.

В металлах т。* проводимости обусловлен упорядоченным движением свобод НЫЛ электронов. В ЖИДКОСТЯХ — 4Н“*С"Н・М ионон.

Плотность тока смешения в диэлектрике равна производной по времени от вектора электрического смешения 〃 = ?。£ + Р.

• d〃 d£ dP d£ 八万=何+方n*万• d〃 d£ dP d£ 八万=何+方n*万(1.7)(1.7)

• d〃 d£ dP d£ 八万=何+方n*万

• d〃 d£ dP d£ 八万=何+方n*万

(1.7)

(1.7)

Оагаемое 分竽 предстзкляе! собо百 составляющую тока смеще-

иия.обуа7овлеин)ю изменением во времен" наиряжешккти поля £ в вакууме. ЬРхгитыями тока смешения н физическом вакууме (в нем нет частим всшес7вз)являкпея виртуальные час7иоы. Они все! да возиика- ил пара ми« как бы из ничего, из при мер. электрон и вози г рои, и/i и и рог он иаитипротоият. л. Каждая пара виртуальных частиц является коротко живущей (время жизнм А". Сктавляюшие ее чзстииы могут перемидаться на глень малое расстояние Лх, а затем зтн час/ ини с прагивоположного знака зарядами аннигилируют. Каждая виртуальная “асмиа ^лздзет ра^брмгом энергии a7s5r^ и разбр。-

и Hи Hсм импульса Ат兀• I" посюяинам Планка 4=6万26 • 10 ” 几水・с. Для кажлой пары визуальных частин выполняется закон сохранения заряда, >fj в рамках ссил жш/сния неопредв.1еии<хтей и а б,ч юл а ют с я местные нарушения закона а>хрйиеиия ^нерп<и и закона сохранения нм- пульса, Gi3iaeM<Mf d"/d, обусловлено изменением иоляри юваниос!и но времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при изменении А ио времени). 8 кзчестью примера тока смещения может 6uibназвал ток чере г конденсз гор. Ток иереиосэ обуслов- 口ем движением электрических зарядив в сво〃о〃ном upociранегве. Примером юиа пюрешка модсег тужить ток и ъ/ickiройной /кмне. Ези положительный заряд объемной пл<пнос】и q . движется со( к。- (XL и，И гЛрИ1Х^1€ЛЬИЫЙ зари』Г?бЫгМНОЙ 1МКЛНОС1И Q со скоро- 5ЫО О ,ТО1ЫГГТЖХЛЫОКЗ "СрРНЗ 4 В УЮМ flOJIt 6)= Q < и , :ююм вид^не зависи! s ианряжеиисх ги £ в данной гичке ноли Если * и^^яорои п，чке поля илиовррмеиио сушес-пювали бы ж е |ри вида 靠：雷常関产-=< ++ Л„. Для больший

и H

и H

а^д^ч ток лрреиемга отсутствует.

°* Э1° скаляР алгебраического характера, | |олный гои и。

Рис. 1 <4Рис. 1 <4

Рис. 1 <4

Рис. 1 <4

рез поверхность S равен

/皿=,“gdS.

Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем» то ток. вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему нз()6ъема,т. е.

4““dS=0, (1.9)

где dS — элемент поверхности объема, он направлен в сторону инешней по отношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравнением выражает принцип непрерывности полного тика; линии полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни конца. Электрические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта снизь определяется интегральной формой закона полного гика

/」з"」。)

циркуляция вектора но замкнутому контуру равна полному току, охваченному yi им контуром;(J/ — элемент длины контура (рис. L3). Таким образом, все виды токов, хотя и им сил различную физическую природу, обладают свойством создавать Mai ни гное поле,

Феррома! нигныс иепкчтва обладают ciiohiанной намагниченностью Характеристикой ее является магнитный момент единицы

〃。从・ма в(*1исства 丿(его называют нама( ничснностью). Д.1Я ферро ми»ниIиых веществ

"=//〃 + 〃 ^ АМ,〃 = %〃•(LIU

i〃・ М, — о? н(д ительная магнитная проницаемость;八“ 一 абсолют и а я м;л ни гиая иронииасмосзь.

(112)(112)11 я II |>м жен КОСТЬ МаГНИНК)! о ПОЛИ

(112)

(112)

// -Мп

ПЧ|111Я |Г|ПЮС||| днух векторных —। "/d"

p.wi.1 ”便心“ > иnrrujuibiioH форм*' Macro .4；iiiiiebiB；iior в

Закон полного тпки н мин i 卩i пи де

(LI3)(LI3)(IE)(IE)4)〃{|/ и Апм h.'ih и дифференциальной форме

(LI3)

(LI3)

(IE)

(IE)

一 d"

г«|// —у/: I 瓦

Знпись (1.Ы) ллкопа шмпюго тпкн получил и и.< (1.13), и одел ин обе члетн его на площлдь AS. охваченную контуром iiinerpiipoiuiiniH, н стремлении AS к нулю Фнтческин ротор (п)1) характеризует поле н динноЙ точке и oTiiouiriiiiH ciioconiiticru к обри.<оваН111<> вихрей.

11лпт||(нть тока iiepen(H ；i в правой части последнего уравнения не учTVHя. тлк как <ш обычн(» (лсутствует в задачах, решаемых с ihim<miu»i<)*того уравпеппч. Млгнитпын поток через некоторую по* iwpxiuHTh S (рис М) определяют как поток пект(»р；1 4 через эту iiniirpxihH'Tb '

(115)(115)中二 "as.

(115)

(115)

Поток Ф это скаляр алгсбранческого характера» измеряется в нсбграх(Во)Гели поверхность S лам к ну та я и охватывает объем V, то поток. вои1едшнй и объем, ранен патоку, вышедшему нз него, т. е.

08ds = 0. (1.16)

Это ур^нненнг выражает прпнинп непрерывности магнитного 〃()- гокл Линин магнитной пндукцнн — эго замкнутые липни. В дпф- ференциалъиой фирме npuiuuin ценрсрыпнистн магнитного потока .мннсыпаотсн так:

d i V 8 = о

В 1831 г М Фарадей <форм\лнрпнал зат)н э^сктромагнигной инЗрлцшг. ЭДС слц^ напсдс1пн1я н некотором одновмгкпвом контуре проинлынаютнм ^тпг ко1П> р. нзменякпцпмея во времени магннт-

Рис. 1.6

в

ным потоком, определяется выражением

еинД =§ Ецн』/ = 一 d①/df,(1.18)

здесь Ehha — индукционная составляющая напряженности электрического поля. Знак минус обусловлен правой системой отсчета: принято, что положительное направление отсчета для ЭДС и направление потока при его возрастании связаны правилом правого винта (рис. 1.5).

Если контур многовитковый (катушка с числом витков з), то

*=一可/认(1.19)

здесь 屮一потокосцепление катушки, равное сумме потоков, пронизывающих отдельные витки катушки,

屮= Q + R + ... + ②.(1.20)

Если все витки w пронизываются одинаковыми потоками Ф, то

甲=3①，

где Чг — результирующее потокосцепление, оно может создаваться не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и собственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему тока. В проводнике длиной d/, пересекающем магнитные с, ловые линии неизменного во времени магнитного поля индукции 8 (рис. 1.6), вследствие силы Лоренца наводится ЭДС

deMMa = 8[d/ и ],(1.21)

15

r* J— скорость переме1ИС1П1Я проводника относительно магнитного поля._ —

В (1.21) 8 скалярно умножается на некторное произведение(I/и и , Если в результат расчета ио( 121 )此心 >0. то dr10U iiaiipaivien<i по d/.

В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц уста повил закон электромагнитной инерции. При всяком изменении магнитного потока, сцепляющимся с каким-либо проводящим контуром, в нем возникает индуктированная ЭД С, стремящаяся вызвать н контуре ток, которым: I) препятствует изменению потокосцепления контура; 2) вызывает механическую силу, препятствующую изменению линейных размеров контура или его повороту.

(1.22)(1.22)Закон элек гром а гн и гной индукции, примененн ын к контуру бесконечно ма»лых размеров, записывается так:

(1.22)

(1.22)

「о1£ = — dB/dt

(в последней формуле индукционную составляющую напряженности поля Еинд принято обозначать £). Обобщая, можно сказать, что электромагнитное поле описывается четырьмя основными уравнениями в интегральной форме:

》〃d /=/пм,е=ф£иилй /=-d@/d748ds=0,庇dS=^.(“" Зтмм уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной форме:

(a)(б)(a)(б)rot 〃 = 丫£ + dD/dt,rot Е = — бВ/Gl,

(a)

(б)

(a)

(б)

div© = 0.

由\七=红

Они сформулированы в 1873 г、Д. Максвеллом. Их называют драв- нениями Максвелла или уравнениями макроскопической электро- динамики.

Уравнение (а)означает, что вихревое магнитное поле создается токами приводимости и токами смешения. Уранненне (6) свидетельствует о 】ом、что изменение магнитного пила во времен и вызы- нает вихревое электрическое поле. Уравнение (в) — магн к твое note

"° _ 、"сточннков и уравнение (г)—что истоком линий £ ；1В〈„ ся сво одные заряды. Частные производные в уравнениях (а) н()учитывают, что уравнения записаны для неподвижных тел н сред в выбранной системе координат.

Подразделение электротехнических задач на цепные и полевые. Задачи, с которыми приходится встречаться на практике» мслут быть подразделены на две большие группы. Первая группа — цепные задачи — могут быть решены, используя уравнения поля, записанные в интегральной форме. В этой группе используют понятие ток, магнитный поток, электрическое и магнитное напряжения, потенциал, ЭДС, МДС (магнитодвижущая сила), резистивное, индуктивное и емкостное сопротивления. Для решения задач второй группы — полевых задач — применяют уравнения поля в дифференциальной и в интегральной формах. Цепные задачи рассматривают в 1 и II частях курса ТОЭ или курса теории цепей, задачи теории поля в 1П части курса ТОЭ. Четкой границы между двумя группами задач нет, так как любая цепная задача с увеличением частоты перерастает в полевую (все более проявляются паразит- ные параметры и резко возрастает излучение энергии в окружающее пространство).

Основными уравнениями теории электрических цепей являются уравнения (законы) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа для элект- рических цепей следует из принципа непрерывности полного тока, а для магнитных цепей — из принципа непрерывности магнитного потока.

• источник сторонней зле咆• источник сторонней зле咆Проводящая средаПроводящая среда外，J外，JииД/ииД/Конденсатор%.5з」зКонденсатор%.5з」зПокажем, что уравнение второго закона Кирхгофа для цепи переменного тока вытекает из основных уравнений электромагнитного поля. С этой целью обратимся к рис. 1.7. Цепь (рис. 1.7) образована источником сторонней ЭДСс (/),являющейся функцией времени (область / с проводимостью у,), проводящей средой (область 1 с проводимостью 右)и конденсатором (область 3, электрическая проницаемость %).

• источник сторонней зле咆

• источник сторонней зле咆

Проводящая среда

Проводящая среда

外，J

外，J

ииД/

ииД/

Конденсатор

%.5з」з

Конденсатор

%.5з」з

Б>де* исходить из непрерывности полного тока / через поперечные сечения трех областей Полагаем, что их^учение энергии в окр)жаюшее пространство отсутствует (частота относительно не-

ьелика). В лсрвой области напряженность электрического поля £, состоит нз трех компонент (сторонней, потенциальной и иидукцион- ной) & = J? + £皿 + f・句.во второй Е2 = £^ + Е.д в

третьей £3 = £曰 + £^ $ 斗 S 一 ллошади поперечного сече-

иия <лбластей; d/ — элемент длинн, совпадающий по направлению с dS;枕——единичный вектор, совлздаюший с направлением d/ и S.

Дл«? первой области

，=力(£cf)+ £切1 + diuiAi,，=力(£cf)+ £切1 + diuiAi,".24)".24)

，=力(£cf)+ £切1 + diuiAi,

，=力(£cf)+ £切1 + diuiAi,

".24)

".24)

住W2 + £“旬，/ = ^^41.住W2 + £“旬，/ = ^^41.(Egf3 + ^йил1)d / = — ■ 4/ ^Л3(Egf3 + ^йил1)d / = — ■ 4/ ^Л3(1.27)(L28)(1.27)(L28)

住W2 + £“旬，/ = ^^41.

住W2 + £“旬，/ = ^^41.

(Egf3 + ^йил1)d / = — ■ 4/ ^Л3

(Egf3 + ^йил1)d / = — ■ 4/ ^Л3

(1.27)

(L28)

(1.27)

(L28)

АЛЯ ВТОРОЙ

-**(1,25)

i =以 Е. + ZN5》

для третьей

，=*( Ja + J詆з = 3 代 м + £“挿 5з 9 = d/d".(1.26)

Умяожим уравнения /124—1.2$) на элемент длины пути d/ = ned/, учтем, что 5 = 〃"S, и перепишем их так:

(1.29)

Проинтегрируем (1.27) по длине I-го участка, уравнение (1.28) по длине 2-го участка и Уравнение (1.29) по инне 3-го и сложим их.

Оконча 1ельно,

d/

3 J

№'+%)+普 + 总М~П

ne R、и R2— резистивные

(1.30)

кость конденсатор.

Второй закон К полного тока.

а.

сопротнвлсния участков / и 2; С — ем

"Рх「°輻工м магнитных цепей следует из закона

гора и индукт^н^Йк^ущ^МеНТ0Вэ^^皿"конденса-

§ 1.4. Конденсатор. Между двумя любыми проводящими телами, разделенными диэлектриком, существует электрическая емкость. 口IV создания определенного значения емкости служат конденсаторы. На рис. 1.8. а изображен плоский конденсатор, на рис. 1.9 — цилиндрический. Если заряд на одной обкладке (электроде) конденсатора + q. на другой —д.то в пространстве между обкладками существует электрическое поле и между обкладками имеется напряжение (А Заряд q !1ропорциона.пен U: q = CU. Коэффициент пропорциональности С называют емкостью

C = q/U (1.31)

Ем кость зависит от геометрических размеров конденсатора и от диэлектрика между обкладками. От величины напряжения U емкость, как правило, не зависит. Исключение составляют конденсаторы. у которых между обкладками находится сегнетодиэлектрнк (у сегнетодиэлектрика ег является функцией Е). Единицей емкости является фарад (Ф) или бплее мелкие единицы микро, нано и пикофарад: 1 мкФ = I0F; 1 нФ = 10一"Ф; 1 пФ = 10 |-'Ф.

Пример I. Вывести форм)лу для емкости п/искоги конденсатора (рнс 1.8. и» П.ющаль ci “ каждой (ызстины (с одной стороны) S. расстояние **施二)iui ас тинами и, относите.ьная диэлектрическая пронииаеыскть диэлектрина гг.

а)力

Рис. 1.8

1 8 б (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области ноле JXlla краях имеется некоторая неодпоридмое. ь, которую здесь учитывать

„ебудем. Енаправлена отзарнпа +”заряду у. Напряжение между электродами U = ( £d「= f £cosO°d/ = £<j. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью (след ее на рис. 1.8, С показан пунктиром) н применим к ней теорему I аусса:

- 一л气卢卢

aaEdS = £S = -1-. Следовательно, £ = и С =—=

a

a

Р叫抬7 U

Пример 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора (рис. 1.9, а). На внутреннем электроде радиусом 〃 находится заряд +«, на наружном электроде

радиусом г? — заряд —q.

Решение. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью радиуса г(г{ < г < г2). След этой поверхности показан пунктиром на рис.

б. Поток вектора Е имеет место через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах dS и Е взаимно периендикулярны:

G EdS = (EcosO^dS = £2冗〃 =——.Отсюда £ =

бок BOBe0«r2nr/V；

Напряжение между электродами

'2 -> —，2

и =〈 £dr = ―2—< 业=—^1.Д

/.2m)叫Г2叫",J

Емкость

с = } =с = } =2叫同2叫同m2m2

с = } =

с = } =

2叫同

2叫同

m2

m2

В конденсаторе емкость*、

пряжением, запасена ^uw^^^ м и которого на-

叫=叫=(1.32)(1.32)

叫=

叫=

(1.32)

(1.32)

^ектрРиИк7течёГ^ Смещения ° вР'менн через конденсатор по диэ

(1.331(1.3315 =喘

(1.331

(1.331

水哨标®::胤券：黑靄:；謎*:产…с —

(1.34)(1.34)Из (1.33) следует, что

(1.34)

(1.34)

w =《、id/.

§ .5. Индуктивность. Явление самоиндукции. Если ио какой-лн- 6о катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и катушка будет пронизываться магнитным потоком. Пото- косцепление катушкн 屮 будет пропорционально току i Чг = Li. Коэффициент пропорциональности 厶 между Чг и / называют индуктивностью

l=屮".(1.35)

Индуктивность L (Гн) зависит от геометрических размеров ка- тушкм，числа ее витков н от магнитных свойств сердечника, на котором она намотана. Если ток / будет изменяться во времени, по закону электромагнитной индукции в катушке наведется ЭДС、. которую называют ЭДС самоиндукции

d 屮，由(1.36)

厶 d/ dl

Положи тельные направлен ня отсчета для i и eL совпадают (еЛ пропорциональна скорости изменения тока，).

Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагннт- ннй, то Чг является нелинейной функцией тока i. В этом случае

dW(i)d屮(i) did£(1.37)

- d/ = - di —=-""中df

(厶川叩 называют дифференциальной индуктивностью, она является ие#мнейной функцией тока /).

В магнитном поле уединенной катушки 11 нду кти вностью 厶，по которой течет ток А запасается магнитная энергия

//厶戸(L38)

旷 м =，'d屮=，L'di =—.

оо~

Из (1.38) следует, что

21 匕，(1.39)

Рис. 1.10Рис. 1.10

Рис. 1.10

Рис. 1.10

ПримерЗ. Вывести формулу для индуктивности L двухпроводнои линии иереда- чн алинон /, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов(1 и радиусе провода r<^Zd. Полагать /》"н нс учитывать магнитным поток поперечных

сторон петли. /

Р ем е н н е. Двухпроводная линия (рис. 1.10, а, б) представляет собой как бы один большой виток. Пропустим по ней ток /. Напряженность поля в произвольной точке между проводами на расстоянии х от левого провода на линии, соединяющей

осн приводив, по закону полного тока равна -—, а результирующая напряженность

поля равна сумме напряженностей от каждого из проводов

Н =+2кх 丁 2n(d — х)Н =+2кх 丁 2n(d — х)("—г〉*》”.("—г〉*》”.

Н =+

2кх 丁 2n(d — х)

Н =+

2кх 丁 2n(d — х)

("—г〉*》”.

("—г〉*》”.

Поток через заштрихоцанную площадку dS = Idx равен

d中=加5 =粤g +占卜Ф = /п宁.

При心Аг厶=При心Аг厶=

При心Аг厶=

При心Аг厶=

= ПЮ0ера^омТХ\7мо?^кату' <Р^ « И, а) с числом витков

равиомеР^° «амоганной на сердечник прямоугольного сечения, внутрен- рапА ：『к°горог。I = 4 см, наружный & = 6см, высота 力=2 см. %се|】”，|ннка

* R dR* R dRРис. 1.11Рис. 1.11

* R dR

* R dR

Рис. 1.11

Рис. 1.11

Решение. Пропустим сердечнике по закону полного ную на рис. 1.11,6,Решение. Пропустим сердечнике по закону полного ную на рис. 1.11,6,/цу н определим напряженность поля в тока Н L п2л/?. поток через полосу hdR, за штрихован-/цу н определим напряженность поля в тока Н L п2л/?. поток через полосу hdR, за штрихован-ПотокосцеплениеПотокосцеплениеde =a姉択 n0以声叫dR 2#Rde =a姉択 n0以声叫dR 2#RR?里=色①=5制①R?里=色①=5制①2 R? wlWr^ln-r-2 R? wlWr^ln-r-(140)(140)

Решение. Пропустим сердечнике по закону полного ную на рис. 1.11,6,

Решение. Пропустим сердечнике по закону полного ную на рис. 1.11,6,

/цу н определим напряженность поля в тока Н L п

2л/?. поток через полосу hdR, за штрихован-

/цу н определим напряженность поля в тока Н L п

2л/?. поток через полосу hdR, за штрихован-

Потокосцепление

Потокосцепление

de =a姉択 n0以声叫dR 2#R

de =a姉択 n0以声叫dR 2#R

R?

里=色①=5制①

R?

里=色①=5制①

2 R? wlWr^ln-r-

2 R? wlWr^ln-r-

(140)

(140)

Подстановка числовых значений дает 厶=Q.I31 Гн.

^^S^^^S^показан вид провода с торца.Решение. Пропустим тока напряженность поля ^показан вид провода с торца.Решение. Пропустим тока напряженность поля ^вдоль провода постоянный ток /. По закону полноговдоль провода постоянный ток /. По закону полногона расстоянии г от осина расстоянии г от осипровода равна току —-лг2 RR?провода равна току —-лг2 RR?охваченному окружностью радиусом гохваченному окружностью радиусом гделенному на длину этой окружности 2лг:деленному на длину этой окружности 2лг:

^^S^

^^S^

показан вид провода с торца.

Решение. Пропустим тока напряженность поля ^

показан вид провода с торца.

Решение. Пропустим тока напряженность поля ^

вдоль провода постоянный ток /. По закону полного

вдоль провода постоянный ток /. По закону полного

на расстоянии г от оси

на расстоянии г от оси

провода равна току —-лг2 RR?

провода равна току —-лг2 RR?

охваченному окружностью радиусом г

охваченному окружностью радиусом г

деленному на длину этой окружности 2лг:

деленному на длину этой окружности 2лг:

§ 1.6. Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции. На рис.

1 • 13, q изображены два контура. По первому течет ток 八 по второму — 厶 Поток, создаваемый первым контуром Фр частично замыкается.

м

пронизывая только первый контур Ф|г минуя второй, частично про- низывая и второй контур Ф12. Чтобы рисунок был более понятным, на нем изображено только по одной силовой линии каждого потока

叫=О% +(%

Аналогично, поток, создаваемый вторым контуром: ф2 = а)22 + 中2r

Если первый контур имеет w{ витков, то потокосцепление первого контура ⑴«А 士 "％)= @[(1)[ 土 吗中21 =屮1 士 屮2i・ Потокосцепление второго контура (число витков 叫)

吗(①2 ± U)I2)=屮2 士 "％•

Знаки «+» соответствуют согласному направлен и ю потока от с всего тока и потока, создаваемого током в соседнем контуре. Знаки « —» соответствуют несогласному (встречному) направлению потоков (для этого один из токов должен изменить направление). Потокосцепление 里21 пропорционально току %, а 甲已——т°ку }

屮21 = йУ|Ф2| = 44%,

里]2 =吗(1)[2 = Mi|.

Коэффициент пропорциональности М (1 н) называют взаимной индуктивностью.…

"=%/2 = '1%儿・(141)

Она зависит от взаимного расположения, числа витков, геометрических размеров контуров (катушек) н от магнитной ироницаемо- сти цй сердечников, на которых они намотаны. Если % = const, то от величины токов М не зависит.

Явлением взаимоиндукции называют наведение ЭДС в одном контуре при изменении тока в другом. Наводимую ЭДС называют 3〃С взаимоиндукции и обозначают ем. Для рис. 1.13 полная ЗДС, наводимая в первом контуре,

'"=_云甲1 土 "「2i)=_》厶山± Mi/ = - 4金±м播=白人土 Jm ) и во втором

=.山2 明一一 "7 ±М市=句•±=.山2 明一一 "7 ±М市=句•±(1.43)(1.43)一 = _.屮2 ±%2)=_靑也 ± MQ 。

=.山2 明

一一 "7 ±М市=句•±

=.山2 明

一一 "7 ±М市=句•±

(1.43)

(1.43)

В формулах (1.42) н (1.43) принято, что Л4 > 0. В то же времн в литературе можно встретиться с тем, что знак мннус у ем н этих формулах относят не к ЭДС взаимоиндукции, а к Л4, т. е. записы-

Под коэффициентом мают отношение М к катушекПод коэффициентом мают отношение М к катушек—修厶 + 与制 и о? = e2L + е2М,—修厶 + 与制 и о? = e2L + е2М,BHQT формулы (1.42) и(1.41)в виде

Под коэффициентом мают отношение М к катушек

Под коэффициентом мают отношение М к катушек

—修厶 + 与制 и о? = e2L + е2М,

—修厶 + 与制 и о? = e2L + е2М,

связи двух магнитосвязанных катушек нони-квадратному корню из произведения L{L2 этих

(144)(144)论з = М/уЩЦ.

(144)

(144)

Всегда ксп ^ 1;自书=1，если весь магнитный поток, создаваемый первой катушкой, пронизывает н вторую, а весь поток, генерируе- мый второй катушкой, пронизывает и первую.

Магнитная энергия двух магнитосвязанных катушек с токами /( и/2 равна

%=竿+岁士m年,%=竿+岁士m年,(1.45)(1.45)Знак « + » относится к согласному, « — » — к встречному направлению потоков.Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков ан = 1000 равномерно намотана и вторая катушка W2 = 500. Определим М между катуи】камн.Р с uj е и н е. Весь поток U* создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизывает и вторую. Поэтому区2屮，此卩产产2川n/-閘=T = = 0.0655 Гн./|2лПример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую и магнитном поле двух катушек примера 6, если по первой катушке течет ток 厶=I А, но нторо口 — ток /2 = 0,5 А. Магнитные потоки направлены согласно.Реше и и е. По формуле (1.40), заменив в ней ш( на 叱,определяем 厶？ = 0.0327 Гн. По формуле (1.45)Знак « + » относится к согласному, « — » — к встречному направлению потоков.Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков ан = 1000 равномерно намотана и вторая катушка W2 = 500. Определим М между катуи】камн.Р с uj е и н е. Весь поток U* создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизывает и вторую. Поэтому区2屮，此卩产产2川n/-閘=T = = 0.0655 Гн./|2лПример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую и магнитном поле двух катушек примера 6, если по первой катушке течет ток 厶=I А, но нторо口 — ток /2 = 0,5 А. Магнитные потоки направлены согласно.Реше и и е. По формуле (1.40), заменив в ней ш( на 叱,определяем 厶？ = 0.0327 Гн. По формуле (1.45)% =% =1-0,131 + 0,52-0,03271-0,131 + 0,52-0,03272222+ 0,0655。1。0,5 = 0,1387 Дж.+ 0,0655。1。0,5 = 0,1387 Дж.Пример 8. По первой катушке примера 7 течет ток /(, изменяющийся во времени н соответствии с рис. 1.13, б. Вторая катушка разомкну га. Построить кривые ЭДС самоиндукции 々厶 н ЭДС нзанмоиндукцин е2^ (время дано в мс).叫Решен и е. График t?u (рис. 1.13, в)строим по формуле е1£ = — L)—, график 叫е2M (рнс. LI3, <?) — по формуле е2M =—"而•§ 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств. В элементах реальных электротехническихустройств(элек- трических цепях) происходят достаточно сложные процессы прото- камня токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения знер， гнн электрического и магнитного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу-Пример 8. По первой катушке примера 7 течет ток /(, изменяющийся во времени н соответствии с рис. 1.13, б. Вторая катушка разомкну га. Построить кривые ЭДС самоиндукции 々厶 н ЭДС нзанмоиндукцин е2^ (время дано в мс).叫Решен и е. График t?u (рис. 1.13, в)строим по формуле е1£ = — L)—, график 叫е2M (рнс. LI3, <?) — по формуле е2M =—"而•§ 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств. В элементах реальных электротехническихустройств(элек- трических цепях) происходят достаточно сложные процессы прото- камня токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения знер， гнн электрического и магнитного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу-

%=竿+岁士m年,

%=竿+岁士m年,

(1.45)

(1.45)

Знак « + » относится к согласному, « — » — к встречному направлению потоков.

Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков ан = 1000 равномерно намотана и вторая катушка W2 = 500. Определим М между катуи】камн.

Р с uj е и н е. Весь поток U* создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизывает и вторую. Поэтому

区2

屮，此卩产产2川n/-

閘=T = = 0.0655 Гн.

/|2л

Пример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую и магнитном поле двух катушек примера 6, если по первой катушке течет ток 厶=I А, но нторо口 — ток /2 = 0,5 А. Магнитные потоки направлены согласно.

Реше и и е. По формуле (1.40), заменив в ней ш( на 叱,определяем 厶？ = 0.0327 Гн. По формуле (1.45)

Знак « + » относится к согласному, « — » — к встречному направлению потоков.

Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков ан = 1000 равномерно намотана и вторая катушка W2 = 500. Определим М между катуи】камн.

Р с uj е и н е. Весь поток U* создаваемый в сердечнике первой катушкой, пронизывает и вторую. Поэтому

区2

屮，此卩产产2川n/-

閘=T = = 0.0655 Гн.

/|2л

Пример 7. Определить магнитную энергию, запасаемую и магнитном поле двух катушек примера 6, если по первой катушке течет ток 厶=I А, но нторо口 — ток /2 = 0,5 А. Магнитные потоки направлены согласно.

Реше и и е. По формуле (1.40), заменив в ней ш( на 叱,определяем 厶？ = 0.0327 Гн. По формуле (1.45)

% =

% =

1-0,131 + 0,52-0,0327

1-0,131 + 0,52-0,0327

2

2

2

2

+ 0,0655。1。0,5 = 0,1387 Дж.

+ 0,0655。1。0,5 = 0,1387 Дж.

Пример 8. По первой катушке примера 7 течет ток /(, изменяющийся во времени н соответствии с рис. 1.13, б. Вторая катушка разомкну га. Построить кривые ЭДС самоиндукции 々厶 н ЭДС нзанмоиндукцин е2^ (время дано в мс).

叫

Решен и е. График t?u (рис. 1.13, в)строим по формуле е1£ = — L)—, график 叫

е2M (рнс. LI3, <?) — по формуле е2M =—"而•

§ 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств. В элементах реальных электротехническихустройств(элек- трических цепях) происходят достаточно сложные процессы прото- камня токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения знер， гнн электрического и магнитного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу-

Пример 8. По первой катушке примера 7 течет ток /(, изменяющийся во времени н соответствии с рис. 1.13, б. Вторая катушка разомкну га. Построить кривые ЭДС самоиндукции 々厶 н ЭДС нзанмоиндукцин е2^ (время дано в мс).

叫

Решен и е. График t?u (рис. 1.13, в)строим по формуле е1£ = — L)—, график 叫

е2M (рнс. LI3, <?) — по формуле е2M =—"而•

§ 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств. В элементах реальных электротехническихустройств(элек- трических цепях) происходят достаточно сложные процессы прото- камня токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения знер， гнн электрического и магнитного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу-

ются расчетными схемами (схемами замещения), вводя в них резистивные, индуктивные и емкостные элементы. С помощью резистивного элемента учитывают выделение теплоты в реальном элементе; с помощью индуктивного элемента ——наведение ЭДС и накопление энергии в магнитном поле; с помощью емкостного элемента ——протекание токов смещения и накопление энергии в электрическом поле.

Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме замещения можно представить той или иной совокупностью идеализированных схемных элементов.

Так, резистор для низких частот можно представить одним резистивным элементом R (рис. 1.14, а). Для высоких частот тот же резистор должен быть представлен уже иной схемой (рнс. 1.14, 6). В ней малая (паразитная) индуктивность Лп учитывает магнитный

поток, сцепленный с резистором, а малая паразитная емкость & учитывает протекание тока смешения между зажимами резист ора. Конденсатор на ннзкнх частотах заметают одним емкостным элементом (рис. 1.14, в), а на высоких частотах конденсатор представляют схемой (рнс. 1.14, г). В этой схеме резистор R】、учитывает потери в неидеальном диэлектрике конденсатора, a L„ паразитная индуктивность подводящих контактов.

Индуктивную катушку в первом приближении можно представить одним индуктивным элементом 厶(рнс. 1.14,3). Более полно она может быть представлена схемой (рис. 1.14, е). В ней R учитывает тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на кото- ром она намотана, а паразитная емкость С(1 учитывает токи смеще- ния между витками катуткн.

Обобщенно можно сказать, что при составлении схемы замете- ння реальных элементов цепи и цепи в целом в нее входят те идеализированные схемные элементы, с помощью которых описывают- ЯЯ ин ними процессь, в реальных элементах цепи, а процессами, d см я г пи р J *"()СИТ VJ，1J И ° в' ° Р ℃ те пенными в этих элементах для

Р он полосы частот и амплитуд воздействий, обычно

пренебрегают. Реальную электрическую цепь, представленную в виде совокупности идеализированных схемных элементов, в дальнейшем будем называть схемой замещения электрической цепи или, короче, схемой электрической цепи.

Если можно считать, что напряжение и ток на всех элементах реальной цепи не зависят от пространственных координат, то такую цепь называют цепью с сосредоточенными параметрами, если зависят ——цепью с распределенными параметрами. Процессы в цепи с сосредоточенными параметрами описывают алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями; процессы в цепях с распределенными параметрами описывают уравнениями в частных производных. Дальнейшее подразделение типов цепей будет дано по ходу изложения. Соответствие расчетной модели реальной электрической цепи проверяют путем сопоставления расчета с экспериментом. Если расчетные данные недостаточно сходятся с

экспериментом, модель уточняют.

В курсе ТОЭ используют общие физические принципы, формирующие диалектическое мышление, такие, как принцип симмет- рнн, принцип минимума энергии, закон сохранения заряда, принцип непрерывности магнитного потока. При выполнении лабораторных работ студент ощущает реальность я вспеним, о которых 山〃а речь в теории. Методы расчета электрических цепей можно излагать по крайней мере двумя способами. Согласно первому ——их излагают одновременно с теорией электрических цепей синусоидального тока. Согласно второму ——методы расчета рассматривают по отношению к резистивным цепям (цепям постоянного тока), а затем эти методы распространяют на цепи синусоидального тока. Второй способ, с нашей точки зрения, методически более целесообразен —— материал, расчлененный на две самостоятельные части.усванвает- ся легче н прочнее. Кроме того, студент приобретает навык в расчете цепей постоянного тока, область применения которых достаточ

но широка.

Вопросы для самопроверки

Данте определение электромагнитному полю. Какими основными величинами его характеризуют и каковы его свойства? 2. Что положено в основу онреде.1ення

напряженности электрического ноля £ и индукции магнитного поля 8? Каковы единицы их измерения? 3. Какой смысл вкладывается в понятие цот^нциальной. вихревой и сторонней составляющих напряженности элек!рического поля? 4. Как связаны векторы Е и D, Н м 8? 5. Данте опрслеленне плотности тока прлнодимостн. смещения, переноса. 6. Запишите уравнение нецрерыпностн полного тока. 7. Какие ироянления магнитноги ноля вам известны? 8. Как определить магннгный поток Ф и потокосцепление Чг? В каких единицах их измеряют? 9. Как занкезгь принцип непрерывности магнитного потока? 10. Прокомментируйте формулу е = — dU*7d人 Чем об ьнс нить наличие знака ммнус в ней? 11. Запишите “ поясните смысл четырех уравнений Максвелла. 12. Покажите, что уравнение первого закона Кмрхгофа сле- пуег из принципа непрерывности полного тока. 13. Исходя из скнпвных уравнений электромагнитного ноля выведите уравнение, записанное по второму закон、Кирх-

—w в ”“у片、：%%*£：；；； "雋當駕黑：々丁③嚣/ 瑞二:二MTU：工:；L^^^"p~"“ <-.

，心EK.m^・ “”WYE L =屮儿丄一就…中 m Как С」УЕ 空二ЖЗ悪* рвЛ^ I». Поясиип... п^ коффиииснт связи Между :為 “ее仙益…《Е“кн %<1 19・В研"：砌。“а》。，。 丄 一 4 , uQJ「口 Af = 0.11 Ги Можно ли ксрить этим данным - 20. Чем физически 院ш. что вяугр<-нияя иидуктийиость иилиндричег кгно проьода нс занн с»г<гтегорйдиуга:>21. Каине фуикпии и““ол”ми 〃“附 кам элементы схем замене #мя И^.1«.имд «демтри^ескмх целей? 22. Прокомментируяте формулу для подсчета ”@и 制步》“cpi"“ w3( нит^коязянныл контуров, 23, Как сея паны “c/T""ii"a/ ‘р и йлгряжеик^т!. £)24, Кн.н? поля ивэмйзюг пггтрнпивльнь/ми и какие вихревыми? 2S. ДзАгг onpewMMr ihiwwtmo «ехмоггь» кпилеясятора От каких факторов она «амж«т* 28. "ром0хне*П14ру4т<« три <пособй определения емкости конденсатора*

,2外

С — qfU. С = 7 . -. С ^ —$- 27. Какие функции пыпалняет амхисть как -«лем^нт емз" сате^ехкк реальной электричкой пени* 2R. Вы недуге формулы ляя емки. L7w i^irx-tuxci я им^мидри>«€ского хоидеисзторон, 29. Выра.чктс 0.1 иФ и иик(я|)лралах. 10. К»и( яя1*ю паюжитмьиое направление /печета иэнряжсиия на киимнеа iope Cr м皿，*ггел1Ж““ и«прам,ияиеи гокз через “ег<Р 31. *Ьм отличаются электриче- ггмг ш»пи г с«7р<дот<леииммя парамеграми or umtA г рагпрсделеннмми плрамет- рw 32. Завкиг ли схема зэмеш^иия реальиой электрической цели ст частоты?

Гл^ва вторая

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ электрических цепей И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Определение линейных и нелинейных электрических цепей.

юшея rio и рос транс IBP физическими ричегких «рпей заменяют некоторым электрической цепью.Электрической цепью называют 」руг ( другом источниковюшея rio и рос транс IBP физическими ричегких «рпей заменяют некоторым электрической цепью.Электрической цепью называют 」руг ( другом источниковЭлектромагнитное успройстно с происходя1пими н нем и в окружа-

юшея rio и рос транс IBP физическими ричегких «рпей заменяют некоторым электрической цепью.

Электрической цепью называют 」руг ( другом источников

юшея rio и рос транс IBP физическими ричегких «рпей заменяют некоторым электрической цепью.

Электрической цепью называют 」руг ( другом источников

процессами в теории элект- расчетным эквивалентом —

которым может протекатькоторым может протекатьпроцессы нпроцессы нсовокупное!ь соединенных электрической энергии и нагрузок, по электрический iок. Электромагнитные элемрической цепи можно описать с помощью понятий ”"К*. "H4lip3*GHH打〃，*3/1С", “cmip()THH/i・MHS (vll поводи мость»), «иилукпииностьл, «емкость».

которым может протекать

которым может протекать

процессы н

процессы н

Е?""?""""* '“""* назыникп гок, неизменный во времени. По> г二/<，К 11 Рг>'н являет собой напрявленное упорядоченное движение чзс1ии. несущих электрические заряды.

I^и ,ики* носителями зарядов ” металлах ^АиХниеш™& ” — ионы. Уиорядочен-

риме< ким полем * *' 1«*ридов в |1|)^лм>лник；1х вьпывагтся эл(1кт- РЕНМ нолем. СО.ЧЛИННММ в них источниками ^ек.ричеекой

Рис. 2.1Рис. 2.1

Рис. 2.1

Рис. 2.1

внутреннего сопротивления^внутреннего сопротивления^энергии. Источники электрической знергнн преобразуют химическую, механическую и другие виды энергии в электрическую. Источник электрической энергии характеризуется значением и на， правлением ЭДС, а также значением внутреннего сопротивления.

внутреннего сопротивления^

внутреннего сопротивления^

никаникаПостоянный ток принято обозначать буквой /, ЭДС источ-

ника

ника

—Е, сопротивление — R, проводимость — g. В Международной системе единиц (СИ) единица тока — ампер (А), единица ЭДС — вольт(В), единица сопротивления — ом (Ом),единица проводимости —сименс (См).

Изображение электрической цепи с помощью условных знаков

и азы на ил электрической схемой (рис. 2.1, а).

Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напря-

жения на этом сопротивлении называют вольт-амперной характеристикой (ВАХ). По оси абсцисс на графике обычно откладывают

напряжение, а по оси ординат — ток.

Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями (рис. 2.1, 6), называют линейными, электрические цепи только с линей н ыми сопротивлениями ——линейными электрическими цепями.

Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями (рис. 2.1, &), т. е. они нелннсйнм, называют нелинейными, а электрические цепи с нсл и ней н ыми сопротивлениями ——нелинейными

электрическими цепями.

Источник ЭДС и источник тока. Источник электрической энергии характеризуется ЭДС £ н внутренним сопротивлением R. Если через него под действием ЭДС £ протекает ток /, то напряжение на его зажимах U = Е — /R^ при увеличении / уменьшается. Зависимость напряжения U на зажимах реального источника от fока / изображена на рис. 2.2, а.

Обозначим через 刃一масштаб по оси U、через mf — масштаб но оси /. Тогда для произвольной точки на характеристике рис. 22 а 〃/〃〃" = /R. 6с〃7/ = /; tgu = ab/bc = Rm/，九. Следовательно. t«a пропорционален Rn. Рассмотрим два крайних случая.

и у некоторого источника внутреннее сопротивление Rn = 0, тс ВАХ его будет прямой линией (рис. 2.2, б). Такой характеристикой обладает идеализированный источник питания» назн-

Рис. 2.2

ваемыи источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно (не зависит от тока /) н равно I ЭДС £, а внутреннее сопротивление равно нулю.2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС £н внутреннее сопротивление /?“，то точка с(рнс. 2.2, а) отодвигается по оси абсннсс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 2.2, а). Такой источник питания называют источником тока.Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток У = /, независящий I от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £п м внутреннее сопротивление /?ит равны бесконечности. Othoujc- J ние двух бесконечно больших величин Е^//?1П равно конечно" вел и - чине — току У источника тока.ваемыи источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно (не зависит от тока /) н равно I ЭДС £, а внутреннее сопротивление равно нулю.2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС £н внутреннее сопротивление /?“，то точка с(рнс. 2.2, а) отодвигается по оси абсннсс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 2.2, а). Такой источник питания называют источником тока.Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток У = /, независящий I от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £п м внутреннее сопротивление /?ит равны бесконечности. Othoujc- J ние двух бесконечно больших величин Е^//?1П равно конечно" вел и - чине — току У источника тока.

ваемыи источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно (не зависит от тока /) н равно I ЭДС £, а внутреннее сопротивление равно нулю.

2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС £н внутреннее сопротивление /?“，то точка с(рнс. 2.2, а) отодвигается по оси абсннсс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 2.2, а). Такой источник питания называют источником тока.

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток У = /, независящий I от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £п м внутреннее сопротивление /?ит равны бесконечности. Othoujc- J ние двух бесконечно больших величин Е^//?1П равно конечно" вел и - чине — току У источника тока.

ваемыи источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянно (не зависит от тока /) н равно I ЭДС £, а внутреннее сопротивление равно нулю.

2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС £н внутреннее сопротивление /?“，то точка с(рнс. 2.2, а) отодвигается по оси абсннсс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 2.2, а). Такой источник питания называют источником тока.

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток У = /, независящий I от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £п м внутреннее сопротивление /?ит равны бесконечности. Othoujc- J ние двух бесконечно больших величин Е^//?1П равно конечно" вел и - чине — току У источника тока.

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением /?„ заменяют расчетным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:

источник ЭДС £ с последовательно включенным сопротивлением Ru, равным внутреннему сопротивлению реального источника (рнс. 2.3, а： стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС);

источник тока стоком / = Е//?ни параллельно с н и м включен- ним сопротивлением R” (рнс. 2.3, б; стрелка в кружке указывает положительное направление тока источпика тока).

Ток в нагрузке (в сопротивлении /?) для схем рис. 2.3, а, б одинаков: / = + RJ. т. е. равен току в схеме рнс. 2.1, а. Для схемы рис. 2.3. а это следует из того, что при последовательном сое ди нении значе^я сопротивлений R и ^складываются. В схеме рис. 2.3, б ток — ' / Rn распределяется обратно пропорционально значениям сопротивлений R и /?вдвух параллельных ветвей. Ток в нагрузке /?

-%+ R广瓦百瓦=百瓦

Рис. 2.3Рис. 2.3Рис. 2.4Рис. 2.4Каким ИЗКаким ИЗдвух расчетных эквивалентон пользоваться, совер- шенно безразлично. В дальнейшем исгюльзустся в основном первый эквивалент.

Рис. 2.3

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.4

Каким ИЗ

Каким ИЗ

Обратим внимание на следующее:

) источник ЭДС и источник тока — идеализированные источники» физически осуществить которые, строго говоря, невозможно;

) схема рис. 2.3, б эквивалента схеме рис. 2.3, а в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R, и не эквивалентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении источника питания /?н;

) идеальный источник ЭДС без последовательно соединенного с ним Rn нельзя заменить идеальным источником тока.

На примере схемы рис. 2.3 осуществим эквивалентный переход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. В схеме рис. 2.3, б источник тока дает ток / = 50 А. Шунтирующее его сопротивление 凡,=2 Ом. Найти ЭДС эквивалентного источника ЭДС в схеме рис. 2.3, а.

ЭДС Е = JR” = 100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис. 2.3, q таковы: £ = 100 В, /?в = 2 Ом.

2.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 2.1, q представлена схема простеЙ1пей нсразнетв- /енной цени. Во всех элементах ее течет один и тот же ток. (Тростей- шая разветвленная цепь изображена на рис. 2.4, а; в ней имеются три ветви и два узла. В каждой ветви течет свой ток. Вегвь можно определить как участок цени, образованный последовательно соединенными элементами (через которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами. В свою очередь, узел — 9To точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена точка (рис. 2.4, 6), то в этом месте есть электрическое соединение двух •■1ИНИЙ, в противном случае (рис. 2.4, 〃)его нет.

Рис. 2.5Рис. 2.5Рис. 2.6Рис. 2.6

Рис. 2.5

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Рис. 2.6

Кпоме термина .узел，нн。. используют термин «устранимый узе^. Под

К”：：* ：黒 м понимают точку, в которой соединены два последовательных ^ротХення (рнс. 2.4. ,，)• Этим понятием пользуются г.рн введении данных в ЭВМ о значенни н характере сопротивлений.

2.4.Напряжение на участке цепи. Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

На рнс. 2.5 изображен участок цепи, крайние точки которого обозначены буквами а и Ь. Пусть ток / течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более ннзкому). Следовательно, потенциал точки 〃((р/ выше потенциала точки 贸中匕)на знамен не, равное произведению тока / на сопротивление /?: фд = q% + //?.

соответствии с определением напряжение между точками а и 6 % = Ф« —仇.

Следовательно, % = //?, т. е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по с о и рот и вл еи и ю, на значение этого сопротивления.

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивле- 塀庶豐w严咏емием на сопротивлении, либо падением 黑霏常空 倉f немцем разность потенциалов на концах сопро- 黑:: ，，ронзведенис /% 6yMM именовать падением на遍•

Положительное направление падения напряжения на каком- либо участке (направление отсчета этого нап ряжен и я), указывае- м°е на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направле- ннем отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.

В сисю очередь, положительное направление отсчега тока / (тик — это скаляр алгебраического характера) совпадает с положительным направлением нормали к поперечному сечению проводника при вычислении тока по формуле /='dS, где ft —

плотност»» кжа; dS — элемент площади поперечного сечения (п(»др(»бнсс см. § 20.1). Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа- тем не только сопротивление, но и ЭДС.На рис. 2.6. q, б показаны участки некоторых ценен, по которым протекает ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж- ” точками а и с для этих участков. По определению,плотност»» кжа; dS — элемент площади поперечного сечения (п(»др(»бнсс см. § 20.1). Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа- тем не только сопротивление, но и ЭДС.На рис. 2.6. q, б показаны участки некоторых ценен, по которым протекает ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж- ” точками а и с для этих участков. По определению,s

плотност»» кжа; dS — элемент площади поперечного сечения (п(»др(»бнсс см. § 20.1). Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа- тем не только сопротивление, но и ЭДС.

На рис. 2.6. q, б показаны участки некоторых ценен, по которым протекает ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж- ” точками а и с для этих участков. По определению,

плотност»» кжа; dS — элемент площади поперечного сечения (п(»др(»бнсс см. § 20.1). Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа- тем не только сопротивление, но и ЭДС.

На рис. 2.6. q, б показаны участки некоторых ценен, по которым протекает ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж- ” точками а и с для этих участков. По определению,

(2.1)(2.1)《с =屮“ —q %.

(2.1)

(2.1)

Внразнм потенциал точки а через потенциал точки с При i心。 мешении от точки с к точке b встречно направ ив；(黑塀：)

ннЖе(м[")■忠器洲ч кн‘，на] ' г • Фь ^ фс — Е. При перемещении от точки с KW^^^J\^

b оказынасися вышс (больше), чем потенциал точки с, на значение 9八С Е： q〃, = * + £•

напряжения на для рис. 2.6, анапряжения на для рис. 2.6, адля рис. 2.6, бдля рис. 2.6, билиилиФа =屮 г — Е + /R,Uас = Q)— R = /R _ £,Фи = @： + £ + /R,S「=必—L = /R + Е,Фа =屮 г — Е + /R,Uас = Q)— R = /R _ £,Фи = @： + £ + /R,S「=必—L = /R + Е,(2.2)(2.2)(2.2а)(2.2а)Так как но участку цепи без источника ЭДС ток течет от более высоко1 о потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.6 по- те I ши а л точки а выше потенциала точки b па значение падения сопротивлении ♦(% = %+ /R. Такнм образом.

напряжения на для рис. 2.6, а

напряжения на для рис. 2.6, а

для рис. 2.6, б

для рис. 2.6, б

или

или

Фа =屮 г — Е + /R,Uас = Q)— R = /R _ £,

Фи = @： + £ + /R,

S「=必—L = /R + Е,

Фа =屮 г — Е + /R,Uас = Q)— R = /R _ £,

Фи = @： + £ + /R,

S「=必—L = /R + Е,

(2.2)

(2.2)

(2.2а)

(2.2а)

11оложнтелык)е направление напряжения U* показывают стрелкой от а к с. Согласно определению, Ua,=屮‘ 一ц)а, поэтому U,“ =——(4〃，г. е. изменение чередования (последовательности) нн・ лексов равносильно изменению знака этого 11 a 11 ря жен и я. С л ед и в а > тельно, напряжение может быть и положительной, н отрицательной величиной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС. Закон (правило) Ома для участка пени, не содержащего источник ЭДС, устанавливает еннзь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис. 2.5

% = /R，

илиилиI ^ иаЬ/ R —(也—屮%)/ "•I ^ иаЬ/ R —(也—屮%)/ "•(2.3)(2.3)

или

или

I ^ иаЬ/ R —(也—屮%)/ "•

I ^ иаЬ/ R —(也—屮%)/ "•

(2.3)

(2.3)

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС, Обобщенный закон Ома. Закон (привило) Ома д/1я участка цепи, Сол('ржа1цсг()источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по Известной разности потенциалов((ри —屮.)н；' концах участка нспи н имеющейся на этом участке ЭДС £. Так, по уравнению (1.2) для

Рис. 2.7

Рис. 2.8

схемы рис. 2.6, а

/ =(R —屮＜ + £) / А =(几,+ Е) / R； по уравнению (2.2а) для схемы рис. 2.6, б

/ = (%-恥一£)/R = (4c-£)/Q

В общем случае

(% - % ± £ 厶 土 £(% - % ± £ 厶 土 £(2.3а)(2.3а)RRRR

(% - % ± £ 厶 土 £

(% - % ± £ 厶 土 £

(2.3а)

(2.3а)

R

R

R

R

Уравнение (2.3а) математически выражает закон Ома для уча- Э стка цепи, содержащего источник ЭДС; знак плюс перед Е соответствует рис. 2.6,q,знак минус — рис. 2.6, б. В частном случае при Е= =0 уравнение (2.3а) переходит в уравнение (2.3).

Пример9. К зажимам q и ссхемы рис. 2.7 подключен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически бесконечно большое сопротинление (следовательно, его под- | ключение или отключение не влияет на режим работы иени).

Ес/н ток / = 10 А течет от точки о к точке с, то показание вольтметра U% = =—18 В; если этот ток течет oi точки с к точке а, то 〃〃雨=一 2() В. Определить сопротивление R и ЭДС Е.

Р е ш е н и е. В первом режиме (/^ = -|8=-£ + /R= — £ + Ю/?,вовто- )= — 20 = — Е — /R = _£ — ]or Совместное решение дает £ = 19 В, Аг «=0.1 Ом.

Законы Кирхгофа. Все электрические цепи подчини юте я первому и второму законам (правилам) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю;

сумма подтекающих к любому узлу токоо равна си мне дтека- ющих от узлилжов.•

Применительно к рис. 2.8, если подiекающие к узлу токи счи- а утекающие — отрицател ьны м и, то согл ас- н。первой формулировке

3434人一（一八一乙=。；

34

34

согласно второй ——

人=-+a+ Л-

Фнзниескн первый закон Кирхгофа означает, что движение за- ряпов в кепи происходит так，что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Ес〃：、,：：：？： рассечь «любую схему пронзвольно〃 плоскостью и все находя щи- еся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой "узел", то а.меб- ранзеская сумма токов, входящих в нот "узел”，будет равна нулю.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

) алгебраическая сумма падений напряжения 8 любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль то^о же кон- тура：

(2.4)

(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

2 Ukl = 0.(2.4а)

Для периферийного контура схемы рис. 2.9

J + 厶 + Ucd + Uda = 0.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных н нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Сделаем два замечания: 1) запись уравнения ио второму закону Кирхгофа в форме (2.4) может быть получена, если обойти какой-либо контур некоторой схемы и записать выражение для потенциала произвольной точки этого контура через потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при обходе) н падения напряжения н ЗДС； 2) при записи уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (2.4а) напряжения t/л/участков цени включают и себя н падения напряжения участков, и имеющиеся на этих участках ЭДС.

2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для на- хожден ия го к о в н ветвях схемы. Обозными м число всех ветвей схем н 亿 число ветвей, содержащих источники тока，——вмт и число узлов у. 13 ка ждой ветви схем ы тс чет свой ток. Так как токи в ветнях с не гоч и и к<1 м и тока известны, то число нс из вести ых токов равняется « — «ит. Перед тем как составить уравнения, необходимо произ* нольно выбрать* я) положительные напрдвлення токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направ；1ения обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

*/，；/MW胃"肥碗7*3 ‘%〃" 1呻■ % 6A/*X/„V*』开ао” ма> 1

倂―百夕"小4#*/0 ”纟叱彳*冴冷公叱"斗%g力叩RGWy■ 購勿吋 *""'4・,5，/，•"》" »、**「„，发M"，〃〃pw ^^，加口]

/%*・**//，:『备 n，"K*#":0"宀"/♦刀4 砲 (W ‘力力，，力*‘丄 /ЯК /KK 6hО I C LW * /▼#***" V 府叫W*倂”力"/，/«紹“『n叁*XX% /^*[0一 I ，，・奪"#刃“，/》#〃*/■*，加刃"亠 / /#4% /"/«，■*«/ « /у <，VWy] ^^м^^^^п^ иf "[，/"**，"〃"。"#例8方芸方；ik才""tf^ й*гм й, не I 用谓"，冲""1 /"#/ /，、人力"府a W丿卄"/ ""穴"，力夕，пнх к 〃 зу у Wiy,] n金〃"",，/ Fz - ，，7 "//穌/，乙，""f彳M# 0/""*w""加，，/"""W f夕3. с I *・***» ‘加к *W/IX r»" ■/「力口"*"％*)J* " "，/3/％I

“"*〃“/，“/工彳”川夕Fh〃“《叩芬，/*寸力碗力夕〃 /〃％*"*•“"％,""《〃〃 ко- 1 V/〃〃 >”#*,"“，〃/ 俨，"“。，扌 #A〃HR*Q欣")*房(fl “■ J [# hM^TO# I 八，.”*•"，ft/，，"如№к""""”，£W,V/ 彳片*М!? У”““4*/1.6」〃 〃『尸 i

夕 J，-""・，〃一

/*，"員"%方，上，併WM升 n0 %"，/，X/ 儈*，小7 Кирхгофи, “nya7QX- 1 w向，w 縦* " 'мм '*♦ "м,为‘ *力〃”》歸 “％“〃『h* г яи，и^ г/нн(ика^я тока, |

7： U：'丁"，>**№№""，叭‘中厶*/ fkz / К Ир^ГГ/фЯ Л 碗 рз，丨 5小也"# """" 0"，"/，"Е>М，"%，"《 伊，，,*/"月川 〃，“ 6, f X〃MQ"H0 ь,小*"，育・“,"m，* “, "， #"〃〃砧 ZMF"

При 4ЛИИГ И /1ИИГЙИ<> "*，“!♦用，ИММ/ ур/ННР ИИЙ н〃 игорому 《аМ打"У '切"I。巾》，I Р^ миг г я. *OqGm " 乂用川川顕"，巾 м" 乂〃 "iyp, ДЛЯ К^/7Ор(ИО ‘‘"IИМ/1ИИ/1 7p4H»h'MH^z П^ОДИДЯ 〃，“ 1。〃。川傷 иои；1^1 гкчнь, И<* BOHI^A- I"#% W""/I〃""""r ИОИ г/рм, о я И1г(Г/рмя У/К#' 1Н11И< ЯНЫ у рЯ ПИОНИИ 00 1Н/ф6М/ QAh川у И М|1Х10ф^ I иииг И6Н1 У|Н4 ус Д(>НИМ« И ИЯ 1МПЯТЬ """〃"〃，〃м〃/*〃

c：, ： ；: ," 7"'3,個m"…。》у5„

и^ормл y^< НОМ(7,И и щ^；^^^^^иу^. им. ие г ВИ

& Л；；Т"Ю「；；С*：『” 2" “ У〃屮〃"/с”. /, f 例乩;

均

У 2Л6

р、；\ 户 w w J. П9A<tmr>KBHC «4i*SAr>^ew ппложvr-е^ъяые :ra^Raiueqw^ 不i*a э ает- ^/ 8 4 /，*о》川「29 日=Л- м「=改夕=2

гга^А^^«м 1>ил, пс пе»зА”у закпму Км”「辿з. *〉*#> сджтзачтъ тльла аанп /"««в?"*-

PlrroyjM yh.iirr“a чт.-» эля атср^г立 учл? еслуи* бы анмь*чусе 片酔2市確 f", siF，，FMy ч^когу Ккрг，，，5ф才-ACTasww 学一 岂丁一t豊一 L = 3 — 6 — I〉一 » = 2 yj$M，N2 [к^^мугт >^i s« м* нз^^ задев яла лбтлда <*шту>^а зХнр 找 и аа «сомЛ СТ/^Л^

Для *“ту;им/£/遥2

/R 一/#2=厶十£上9)

'加劣< “<лг хун {А； кзят лотлму. *гт<гяап^А^еиие т，《а слвпааает с 'una^a-»- «*?* «№*к к<лгту^а； 49a賞 маяус лерел I,?——cso・y. “ю manpaauw叫е /зктде^не

'〃/，》* *，>?r:/*x.

IB，IB，Для к^г^ Е/У/$

IB，

IB，

//? + 4"? + R。= — £?

c^^rr^ knifK ?равие》Ма> — ^вулзет 人=14 A,厶=—15.*_厶=—J A '；/*хлл»ку ггйиТбжигельяы^ «зпра^еяиа ток«» аыСхрают а^смодъял. э зе- ^Aht^r^ par »е7л кжой-лкбс один илияеск^м!SK6 7б*бв ш^ут окааатлс» отряпат*ла- 彳 м“評 В ря/смот^имлм пример「/г > к на тек、秆!уз* ан аза-； *сз тема /2 » /^ что :/ез?®т ”'4<“а》г& та* иапрадления ггжпя £)и /? яе сове才口as е *акра8лея&*вг. рряая-гымл j八彳 ”*« яя рие 2 % за л<>?К/жигельиме. ?. е. * ле^гтв^гтел ькостл току /?議 1^ йрохйаят 3，/r*f>“，“ иэп^аллемии

Лля 自~〃，ра контура г*х/« гХрзлом, ^тг^6ы r каж;》》，з яке з^годидо ле олжЛ Kia”. ”а аходящ/>й аостасьмы? контуры, яегюльзулгт сбва，*е дерева Под jepe*o* "схнза切 гби<>хупнпг ть вет«еА. каса%山川хс л хех умов. 口с не образующих ^мйля«го ♦лчииу f/#f о Кбигуря И1 одной к "，力 же схезн "力жкоУралоеа?〉«есжб-т^ко дере1ье^ "jrti г€г?4ял^мии системы уравнений по аторсиу закону Кирхгофа «ажж. я#тъ ，‘”，厶《/ 八“тис х е RO3M6/KWMX Одно *3 8<>змбжных деревьев схемы рк< 2. i。. 4 仑伞*- "，皿 “а рис 210. б. а ня рис 2 10.，一 четыре яе за висли мм контура, s <axuw< а “""，pMz яхолиг по，，〃“，)「пункт и^»^ показа мной веткн. не аяодящей в остальные f“"jee ппдробип с 7ОППЛОГИИ ^лекгри»»еских схем си 5 2.31 — 2 35 н А З — А」0.

2.9, Заземление одной точки схемы Заземление любой точки гхемм( видек'льгтвует о том. что потен и нал этой точки принят рлвмым нулю При 9тсм токораспределение в схеме не изменяется, f а к хак никаких новмх ветвей, по которым могли бы протекать токи, не(>6pajycT( H Иначе будет, ес#н заземлить две или большее чкою I门"”х схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае через

землю (любую проводящую среду) образуются дополнителип,^ ветви, сама схема станов1пч я омнчнон от исходной н токораепре- деление в ней меняется.

(). Потенциальная диаграмма, бипотенциальной диаграммой iu)m\Mi\im график распределения потенциала н^оль какого-ли« 6。участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откалывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной тчЕкн, по оси ординат — потенциал ы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соотнетствует своя точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим последоватсл ыюсть построен и я потенциал ыюй диаграммы по данным примера 2.

29)Прнм0P II Посциннь иоггнинйльиую дннгримму 心м контури abceu (см. рис.

卩 c ui с и и е. Подсчнтясм суммарноеconporiiiuieiiHv кинтурп: 4 4-3-} 1 = 8Юм・ Выберем млештабы по оси абсцисс (ось к) н но осн орднпа I (ось //).

lIpiiMJiKWibiio примем 11О1снцилл одной нз точек, нииример точки(I, q)j}=(). Эту тму на диаграмме рис. 2.11, и поместим п начало координит.

Попчтнал к)4кн 匕：屮人=q% + /?4 ■=屮。_ 60 =» — 6。В, ее к()о卩八нна i м: к = 4, 心--60 Пвс точки с:也‘=屮力 + Е^>\\\, vv киорднтпы: х в 4, 〃 = 4. 1Mgточки г » = % + /；м=4_Iх 17В; ее к(.(м)д1(|.аты: х = 5; “ *3.

Twbc угля а, наклона прямий %/> к оси абсцщс npoimpmioinuivH току /2. а

току 厶；|Ицтоку 厶；|Ицтвиренс yr;iBtt2 наклона прямой г.

току 厶；|Иц

току 厶；|Иц

»<• WIIM Л и у.»<• WIIM Л и у.'応'”"'"'，“ "%，— масштабы屮"j

»<• WIIM Л и у.

»<• WIIM Л и у.

мн?К при ипргдслениц цП1гцци urt кпк(.П "屮皿"входит падение няиряже- н"« пики м при cocraitjiciiHH ураннсний ,：心"1“"кнс”，мм «ivpr.i iiorviinniui исход- НИИ iiorcimim,t|J| 1!ослсЛу|(Н1ц.й K,.lkll . п,и|，омУ *ако,,У Кн|)хго(|)а. I IpH нычнеле- 3IIHMIM минус, если ПС|Н-МСЩСНИС ih).4Hin，H ；，,,он，,,ниил нредыдутги 1^ Осрут со ТОКОМ, п»| ли к：1к при cocinivic,hlH у|Г1Н111н1и?и1С，，，'，° ^ cimiwg” II" liaiipniUlCHIIIO с 、凿：Y歹к” MB" °叶УТ …MM：挪:「：“ 吋州。му закону Ки|)хки|н! IR пеко- "JUu” v нн11|)п1М|сцИРМ |()ка / ". ］，м' ""'""川小‘，если обход тгого учпеткй

ЗН

2.11. Энергетический баланс в электрических цепях. При про- !ч* к а и и и токов по сои роти влен иям в последних выделяется теплота. I hi оснонании закона сохранения энергии количество теплоты, вы- дел я к)i нее с я в ед и ни цу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доста вл немой за то же время источником питания.

Бел и нанранление тока /, пр()текающс1о через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную Е/, и произведен ие «/ входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Еслн же направление тока / встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (напрнмер. заряжается аккумулятор), и произведение Е/ войдет в уравнение энергетического баланса с отрицателиным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

工 〃r=xe/.

Когда схема питается не только от источн и ков ЭДС, но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источи и ков тока, при составлен ни уравнения энергетического баланса необходимо учесть н энергию, доставляемую нстоиннкамн тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна UahJ. Напряжение，亦 и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов (см. § 2.22). Общий вид уравнения энергетического баланса:

工〃 R=2£/ +^UabJ.

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.

. Метод пропорциональных величин. Согласно методу про- порционалы1 ых величи н, в самой удален ной от источника ЗДС вет- ви схемы (исходной ветви) произвольнозадасмся некоторым током, и a 11 р и м о I)током в I А. Днлсс, продвигиясь к входи ым зажимам, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расиста получим значение н з 11 ря жеи и я и^“ схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как найденное значение напряжения Umn в общем случае нс равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токн,

Pxc, 2,12

умножип их ни кпуффипигт. рлпный отношению ЭД С источника к 1мйдгмиому 1ПгГН*нию "，“р”/КТ1МН н начале схемы.

(Мгн>д |1ропо|шиии;ыьиых величин, если ра<< м;и ри ваг ь ci о обо- гоб；1<*11ио <л пру”。Методов, I屮HMTIHM для расчета непсй, состсн. 1ИИХ ЮЛЬКО И I 11О< ；H*AOB；m*^bllO И П；1р；ии<'ЛЬНО СОСД И НС» И ЫХ СОЦрО- 1инл< ний и при наличии в схеме одного источника.

(Минко VTO1 метод можно и с пользоиять и совместно с друг ими М4・1〃/П1М“(“I乂n)C|);i “)на“н(・ ipeyicjii,ii"K；i в зн<*.зду, метод наложения н 1 н ), которые рассмотрены ;пысс.

Пример 12. HuftfM ЮНН 1« tn* I ИЯД I «СМ 1.1 ри( . 2 11,6 М1П1Д0М Пропори И(Н1；1Л1.НЫХ «СЛИЧИН ( <»1фО1 HfMieifMH ГАГ мм дмнм н омл>.

Р(* ш г н и г Зил иг м< м гоком u iwiwm с епнрптннленисм 4 Ом. равным I А, и rio^fHinuHiit-M г пи и и «1Г1ММ1ЫЯ пггннх (чи<л(ин.|р 1НАЧР||ИЯ ГОКОВ поведены на ри гуи««* кружклмн) HniipuMeiMtv MV/КДу ючклмл 〃7 н 〃]);)""“ I <1 卜；，•：，+ 4,з n 25 Ik lum iJli.l г- 10(1 В, ж«р гокислгду*гг умножи1ьни к<г>ф(|>ици<*Н1 也 а 100/2,5 -= 4.

. Метод контурных токов. При расчг ic методом контурных тонок ИОЛЛ1 яин, «ini и каждом игзнвисимом контуре схемы течет гн“П Knirrypiii.irt i“k Урявигпия составляют опкн иIельно коитур- HNX ПЖОП, после Ml'Hi *1<*рс I ПИХ (Hlpc/UJIHIO'I ТОКИ ВС1 вен.

【"кмм обрлзом, метод контурны л гиков можно оп|)(кд('Л ить как М<* 1ОД р；и *К,| л, I，К(»Т(||ЮМ 精 I ilCkOMI.H1 принимают конгу рныг ГОКИ, hiejin пси iHrr Iпых u >н)м мгтод(» рапно числу уравнений, когорые ：：；]：“""'мс”"""1"" схемы по второму закону Кирх- ">「：?7'"Г“'Т м”⑴I к⑴门 у|"1мх токов Cxuicv жопомен при вы- Мг|||..?/,. ^，，，^，^J^^，'"" Чс^ метод па oviunn* законов Кирхгофа (в нем ныне число уринпгний).

ксчемг7н1сН2，\)^^ ,,h>x урлннгпий приведем п|)нмснптглЫ1О 叶^鹏电二：「：；；；：：；；，黑丁丁心 к“吗 wwii「)к НН *н“ Kiiiuvbn coii'HiiiM"、' Ко,,,УР,п»Ч1 ток /.??. У Lu я каж- ПРИ м^м учп м. чн)Ih>< мгХ.Гзакону Кирхгофа,

сверху ИНН1 юн //11"'"'"('《"HpiMHiiJit'iineM &) т《、м、т

hiKAc ih> Mimnuni c'lprjji^. ^^l^^^iviuiH o6x<uui кон гурон примем

Для первого контура

(% + %)/“ + /?“”_%)= & + Ез(а)

или

(% + ^2 + &)/" +( —&”22= Е】+ Е$(б)

Для второго контура

—-5(/|| — /22) + (%+ -4)/22=—艮一. или

(—♦)/ и +(&+&+ R.)/. = — E《一E>

В уравнении (6) множитель при токе /и, являющийся суммой сгн1ротивленни первого контура, обозначим через R”，множитель при токе 厶2 (сопротивленне смежной ветви, взятое со знаком минус) — через R⑵

Перепишем эти уравнения следующим образом:

/?../.) + ^12^22 =^1Г1(2,6)

Здесь

R" = № + /?2 + &； Bi = & + ?5； R】2 = R21 = — &； R” = R3 ++ R4 + a；q22 = - J - %

где /?н ——полное или собственное сопротивление первого контура; А|2 — сои рот и влен не смежной ветви между первым и вторым контурам и, взятое со знаком минус; £п — контурная ЭДС первого контуре^ равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЗДС, направления которых совпадают с наиранлепием обхода контура); /?22 ——полное или собственное со- противленнс второго контура; &i — сопротивление смежной ветви между первым н вторым контурами, взятое со знаком мннус;% — контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и т- контурами (Rkm) входит н уравнение со знаком минус, если направления контурных гпкпм /人屮 и 1гнт вдоль этой ветви встречиы, н со знаком плюс, если направленна этих

Н>КСП COUIUCHhl.

Ecjih в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнен ни выглядит следующим образом:

飞厶 + R1J22 + &з/дз= £“；(2.4в)

& 丿 II + ^22^22 + ^23^3.3 =当2：

R3I 'll + & >22 + R33/3 = £齡

или в матричной форме

№""=闾；

/%|А|2%з] Pul

向=/旬/?他3卜 1Н=r22 • 1^1= 1^221 •

卜31 %2。33)，&3J 卜,#J

(2Р(2РРекомендуется для единообразия в знаках сопротинленни с оа Яными индексами все контурные токи направлять в одну и тусторону, например по часовой стрелке.'

(2Р

(2Р

В результате решения системы уравнений какой-либо один 1 несколько контурных токов могут оказаться отрицательными 叫■

В ветвях, не являющихся смежными между соседними кон-rvnми ^например, в ветви с сопротивлениями /?„ R, схемы рис 2假■

Вс= --^

JJZ鬻р瑞黑;二Х.тен”ем 凡叩。ТСЩ“访 сверху в2 1 巨cjm в электрической цепи имеется п независимму

ине』。уравнений тоже равно 〃ависимь,х контуров, то

。6叱 решение системы уравнений относительно тока /止

+ + £ W "" A ,+ + £ W "" A ,呼）呼）АА%园2%3.・/" &1&2%…@" R3小心i…R.%园2%3.・/" &1&2%…@" R3小心i…R.(2.6) Ц(2.6) Ц〃 = J± + %¥ + %今从

+ + £ W "" A ,

+ + £ W "" A ,

呼）

呼）

А

А

%园2%3.・/" &1&2%…@" R3小心i…R.

%园2%3.・/" &1&2%…@" R3小心i…R.

(2.6) Ц

(2.6) Ц

此1"〃2心3.£"此1"〃2心3.£"схесхе

此1"〃2心3.£"

此1"〃2心3.£"

схе

схе

一弊隽丁 те』ьсмстемн・

,^^。"p—я 厶

EcK；黑;:器讀 a E 丁 皿 И CW «Умножения полу- /е? правый ннжннМЩ"；： °пре4е"нтелн пронести “

ЫМЫМ勤 свойств。 oupe第3eр«альным отоба /""e""0.r(、Н на 「驚无Сонали. b图"产小5 с』：：：："е? °〃на другой. 3，i:^。叩m嚮制器:幾

ЫМ

ЫМ

10 в, % 0% в 2尸-5 Ом； R：欢仆=?+ 10"О часовой 42” ＜：^^Г^

Записываем систему уравнений:

14/“ 一 5/ *=—10;

—5/]| + 17/22 — 2/33 = 10;

—2^22 + 5 /覧= —8.

Определитель системы

14 -5 0

Д =Д =—5 17 —2 =1009.

Д =

Д =

0 -25

Подсчитаем контурные токи

-10-5 0

10 17 -2

一6401009一6401009=-0634А;=-0634А;,-8 2 5

一640

1009

一640

1009

=-0634А;

=-0634А;

/型=0,224 А"зз = — 1,51 А.

Ток в ветнн cm /tm = 7ц —/22=—0,634—0,224=—(),86 А.

Ток н ветви ат 1ат = /22—/；w = 0,224 + 1,51 = 1,734 А.

Формула (2.5) в ряде параграфов исиользуется в качестве исходной ири рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных проводимостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейное соотношения в электрических цепях.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротшглення- м и, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с нсизвссгными контурными токамн. Если для схемы рис. 2.14, а принять, что контурный ток /ц = / течет согласно направлению часовой стрелкн по первой и второй ветвям, а контурный ток /* =

咼

6

%

S)

Рис. 2.14

危

G

=/§ замыкается также

в)

по второй м третьей

по часовой стрелке

竹

先

a

4〃

ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током 心(& + 自)/：» — R J = Е.

Отсюда %

и ток второй ветви/, = 7^/,,. 他+*3

§2.14. Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в ^-ветви сложной схемы, составим

уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы А-ветвь входила только в один Л-контур (это всегда возможно). Тогда согласно (2.5) ток в ^-ветви будет равен контурному току /“• Каждое слагаемое правой части (2,5)представ-зяет собой ток, вызванный в 餡ветвн соответствующей контурной ЭДС. Например, £ Д#| / Д есть составляющая тока 々-витвн, вызванная контурной ЗЗС £「Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ве^веА £. Е^ £*... £t.…,£., сгруппировать коэффициенты при этих ЗЛС и получить выражение следующего вида:

4 = £g*】+ Е 宙匕 + £ 疋z + ... + Jg “ + 邑以”・(2.7) 联门产"弊прх набраны таким образом, что какая-либо нз ЭДС. входит*^ '，вх*；"т только в один 力-контур, а в другие конту рн не

П?Хли^л?ЫраЖаеТ 860* принцип наложения.

е ^в^а^^следующим образом: гок

аз 32c схемы в иМе 心^“吗0MMe 丁。*°& вызываемых каждой дииейных электрических цепей^07 П₽ИН11ИП спрквидлмв для всех шего назйаиие Z；雳:畧:旣:0c"°” м"°口а расчета, получив-

nру расч^тб

pavjw： О€х>чередн0 рассчит ыая г^тД°М пгхгтУпаю7 следующим об- каждой из ЭДС. мысленно уда 1яя г^И，吟“小冷山伙 от действия в схеме внутренние с^гипн^и^ ЛЬНЫ^ и* схемы, но оставляя п^^еиия источников, и затем находят

м

токи в ветвях путем алгебраического сложения частимных токов. Заметим，что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частимных токг)в, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р = R/?).

Если через некоторое сопротивление R протекают согласно направленные частим и ые токи /, и /2, то выделяемая в нем мощность Р = А(/| + /2户 и не равна сумме мощностей от частичных токов: Р 耍 R/；+ R/Z

Пример 14. Для схемы рис. 2.14, а методом наложения найти токи в вег в их. определи!ь мошн(к:ти, отлаг»аемые в схему источником【ска и источник(1М ЭДС, полагая R【=2 Ом;必=4 Ом; /?з = 6 Ом; У = 5 Л; £ = 20 В

Р е Ui 把 н к е. Положительные напранления токпн в ветвях принимаем в ссмггвет- С7НИИ с рис. 2.14, а С помощью схемы рис. 2.14,6 (источник ЭДС удален, и зажимы cd закорочены) найдем токи в нетнях от действия источника тока.

% 6

% = / = 5А; /% = /^7^ = 'V77 = ЗА; Q = 2A.

Используя схему рис. 2.14, 8, иодсчитыиасм токи в нетнях от действия истгнниха ЭДС (зажимы ab разомкнуты, так как нну треннсе соиргпивление ист очи и ил тока ранн。бесконечности):

/% = 0； /〃2 = /% = £ / ( % + . ■ 2А.

Результирующие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя с(ипветст- яуюшие частичные токи этих лнух режимов:

/| = /[十 /〃[ = 5 + 0 = 5А； /2 = Г2 — /〃2 = 3 — 2 a I А,

/.з = /'з + /' J = 2 十 2 = $А; % = % + //2 + "%；

%= |・1 +5・2= 14 В

Мощность, отдаваемая в схему истпчникпм тока, 〃/ ■ 14 5 = 70 В г. Мощ кость, гидаваемая и схему истгжннком ЭДС. £/)= 20 • 4 = 80 Вт

Ураннгниг баланса мощности /次। + 弓色 + 厶詞3 匸"必丿 + 曰加

§ 2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление, На рис. 2.15,” изображена так называемая скелетная схема пассивной цели. На ней показаны нетви и узлы В каждой

(2.8)

Коэффициенты 足 имеют размерность проводи мости.

Коэффициенту с одннлконымм ии；1сксами (^„ип) Hci3i»niai()T 〃л：?”_ ной проводимостью нетвн (нетии ш). Он числ('ин()равен току в 口门口口 仇 возникшему от действия ЗДС Em = IВ (единнмной Э/[с)， 厶=Igg

Коэффициенты 月 с разп1»1мн пндекслми илзываюг 〃，“〃/川〃何“ проводимостями. Так, g^ сеть взаимная проводимость А» и 〃/一；日； ве汇 Взаимная проводимость &痴 численно равна теку п д».Ветп возникающему от действия единичной ЭДС п ///-ветви1.，

Входные и взаимные проводнмости нетвей “cimuyior 山)“.… воде общих своиствлниейных электрических цепей (см <s 9.9?^

“ ври расчете цепей w методу наложения |ем. формуй 上凹 четным и опытным путями.《4(儿 “м рао]

При их расчетном определении ссстяппа“、т、，.

ДУ контурных токов, следя за гем чгпби ^. yP'Liei 12 мето- проводимости которых предоанляют* ингрп 1^ШМЦ1Ае н ^мые I только в свой контур Дялрр \интерес, входили каждая

(2.9)(2.9)(210)(210)Rm〃，= А砌/ А； Км = А 斬〃/А. *о формуле (2.10)я м

(2.9)

(2.9)

(210)

(210)

瓢駅喘：е』ьноА B^i^либ° ииложн еи,川俏,

■ьн。麻累然„с矶矶猛:?током в „/ ветви,

."PH。"黑黑巧妙?呼„с ироиз- J

6)вк<謂:片 определении ^ Ц ' У^М"“ /“心力.

伙рметр) п佻е：丁；7•篇；；J""""…加mР小，.2.15. 1 определения нх。川〃「汰 4"н ЭДС /； и [ .^'w^^1

一_ W" Wms к二累:m ｝；y.仁.

^*<>лные и佃""卩УЗ "TH щ""'ГН Между IUKUU "l“""〃i"M“m,"""схемы. У '“Н“м 〃 НГ1ПИ и ：)/1(；^*<>лные и佃""卩УЗ "TH щ""'ГН Между IUKUU "l“""〃i"M“m,"""схемы. У '“Н“м 〃 НГ1ПИ и ：)/1(；“"〃〃)"еебходнме mjm0・ 4

^*<>лные и

佃""卩УЗ "TH щ""'ГН Между IUKUU "l“""〃i"M“m,

"""схемы. У '“Н“м 〃 НГ1ПИ и ：)/1(；

^*<>лные и

佃""卩УЗ "TH щ""'ГН Между IUKUU "l“""〃i"M“m,

"""схемы. У '“Н“м 〃 НГ1ПИ и ：)/1(；

рить ток в "7-иетвн, вызваиной ЭДС £ Частное от деления гока ，〃山егм на ЭДС ли-ветви и дает g〃““.

Выделим m-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не содержaiuyio ЭД(.) некоторым прямоугольником (рис. 2.16). Вся схем?, обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам 〃” ооладаст никоторым соиротивленнем. Его называ|от входным сопротивлением. Входное сопротивление ///-нет в и обозначим 尤皿 Тогда

此加=£,“〃,“= I / g〃““ = А / А.，(2-Н)

「нкмм образом, входное сопротивление /п вегви есть нсличина, обратили входной ироводнмости этой не【нн. Eio не следусг смеши на гь с полным сопрогн вленнем zn-к он гура н методе кон гур пых токов.

Пример 16()п редел ить нходную *п м)пи и мн у к> 41」нроноднмситн н схеме рис, 2.13.

i' <• in с it и е. Кои гуры п схеме рис 2.13 иыбрпны гик, <гк)не гни / (ueitih ctim) с источником 3Д(^ /： I пходит только в nepniiiA kohi ур, и нсгш. 2("егнь，‘и) с нсго<ни«ком ЭДС А：2 ип птороЙ.

I Ьглому м ож но нос пол ьз(жнтьс)1 определи гелем ciu 1 смы Л и алгеЛрннческими дополнениями Л| I И А12, COCIHtWieilllhlMli по данным прим грн 13

”12”12251009 总 °，侬。м-251009 总 °，侬。м-=0.026( ：м.=0.026( ：м.А|2А|2_8£7(ЙЙ)_8£7(ЙЙ)坛 О.ОНЮм坛 О.ОНЮм= 0.(ЖК.м= 0.(ЖК.м

”12

”12

25

1009 总 °，侬。м-

25

1009 总 °，侬。м-

=0.026( ：м.

=0.026( ：м.

А|2

А|2

_8£7(ЙЙ)

_8£7(ЙЙ)

坛 О.ОНЮм

坛 О.ОНЮм

= 0.(ЖК.м

= 0.(ЖК.м

Теорема нзанмносгн. Теорема взаимности формулирует см следующим образом: для любой линейной цепи ток “ 〃 пет ни, ны：кшннь1й источником ЭЛС /*, ниходпщимсн “ m Hertiu. 1ft = £,“Xa,“ 〃〃〃“〃 току Im 〃 m 〃G7d〃，вызнанному игтонникам 3〃C /:А(«1ислс1нк)равной 3JIC Hnt), няходятнмгя н 厶 шчии. Im 亠 /“〃裕

Для доказательства теоремы взаимное!и обратимся к рис. 2.16/. Как и при ньпяших н§2.15, выделим две нетии схемы: hcihi. к

F ветвь ^ BK-T»y?FMS ветвь/П источник ЭЛС£Л. в ветвь Л — ампер- Я wrrp.4 лля «херенкятока /十 Пусгька^лая из ветвей 々нт вхолит I ссиугаетст^яиютатьяое^ ят-контуры Поэтому по истоду контур- J аыАтовое/. = £户^ / А. Поменяем местами источник ЭЛС и а ми ер- 1 ■占丫卩.y е. источник ЭДСпереместим из ветаи т в ветвь k и назовем j тесерь Е^а аипериетр — «п ветвя 也 r ветвь m. В 力。“ случае ток j /.=£q./A I

了打 кем £, = £厂 2 厶=4*. в силу симметрии онределите^тя 1 остмш 3 бпяосмте.тмю главной диагонали 〃 ♦ § 2J3), то ток /. в J

《ir.e рис 2 IS 6 равняется току /.в схеме рис. 2 J工班

П” практическом 耻ноль?。秒анзн теоремы » ^ииноет и ?第屮 訊нет% в аилу (оаично соотв^Т'^тяие насфамений токов и ЗД - в схемах рис. 2J3. £/.

Та»г ее1и ЭДС £, источника ЭЛС. нахоляше-гося в А? ветви схемы рк 215. е, напргклема согласно с контурным током /. в схеме рис. 215. б. то п<мож ите-т ь«г< иаправл^иие arc ««era дл я тока /^ всхеме рис. 2.15. йг б/дет сошгадзтъс «ол^литыьймм напра&зеиием контурного “ни м »^т®и т(ЭДС £. всхеме рнс. 2 15劣 манраилема ио /^).

1夕 нелинейных пеней теорема (ггринцип! взаимности ие вы пол- пмма ^а**^я ко^рмх не выполняется принцип кзакмности, на- $n*z*n ие^ратимыии

i/!T7"F "”*Р" 2 " twyewEmzn Pl 修介ан & 屮汗户 находить^я в ЕTНT着胃惠彳限°；м:畳%篇；//；；；；；二

.,-s. sk"…办宾£霖,二：^：：^

А・

▲・『“■

”5? Wf

/&■**・ F'6

823 Ш«7…俨……ips卩j g.

Рис. 2.18

；:言黑t；：f B°B'*h вветви 4〔 по принципу азаинностн протекал 黑喘沁=3 Г 1 ；e上：? %с £尸 2? в. гов am"4Pm一 К賞皿 й-тгчников ЭЛС £ nF” “с、：：： образ。" найдем токи в яетви 4 при включения 产…их иапр^киД ° ""ем алгебраическое сюжение частичных 包砲用 tc

50喘…50喘…

50

喘…

50

喘…

Теорема компенсации. Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспре- деления сопротивление можно заменить: I) источником ЭДС, ЭДС которого иис/енно равна падению напряжения на заменяемом со* противлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока /. ток которого численно равен току в этим сопро- тимеиии и имеет го же направленна, что и ток /.

Для доказате-тьства теоремы компенсации выделим из с.хеми одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток /, а всю ос тальиц г> часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис 2」8,а).

Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и протнво- riGwiOAHO направ^юнных источника ЗПС £ ЭДС которых равна палению напряжения на сопротивлении /? под действием тока / (Е = =伏；рис. 2.18,6), то ток / в пели от этого не изменится. Убедимся, мт о разность потенциалов между точками а м с в схеме рис. 2.18,6 “рн зтом равна нулю. Действительно.

* = @“ 一 IR + Е =匕一/R + /А = J

Ес/и «% = и。， то точки “нс можно объединить в олн\. т, е. окоротить участок ас и получить схему рис. 218." В ней вместо сопротивления R включен источник ЭДС £•

Схема, соотиетствуютая второму варнангу теоремы, изс/>рзже* “а иа рис. 2 18. г Чтобы прийти к ней. заменим гим ледовательно Гг>елиненные А и £ на участке uf (рис. 2.18. б) параллельным соедн- “'•“и“м источника тока / = E/R = / и сопротивления R. Так как

'Мг)ц«*р вегнн <чинлет< тиу^т инлем( у З'С,

P”c.2.19

"=0 то ток через R будет отсутствовать и потому /? мож но удалить иЛхемы. Если ЭДС £ участка Ьс включить в состав источника тоКа, то получим схему рис. 2.18. г, где напряжение "妬=一 /兄

Пример 17. На схеме рис 2.19.。ланы значения 例Ом), ЭДС £i (В) и тойон /(Д^ Заменить 〃з истглииком ЭДС и источником тема.。

Решение На рис. 2.19. б изображена схема с источником ЭДС £ ^ 2В, а на рнс 2 19. е — с источником тома / = 2А

Линейные соотношения в электрических цепах. Если в линейной электрической цели изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то лв^ любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида у = а + Ьх.

Функияю х выполняет ток или напряжение одной ветви, функцию у — ток или напряжение другой ветви.

Доказательство. Согласно методу контурных токов, об- i“ee выражение мя тока в / ветви записывается в виде (2.7). Если в схеме изменяется только одна 3〃С, например ЭДС £帆，то все слагаемые в(2.7), кроме слагаемого Е^^. постоянны и могу? быть

для сокращения записи заменены некоторым слагаемым Ак. С』е・ доватсльно.

,,Г(2•⑵

/* = 4* + e譜痴"

Аналогично, для р・ветвм

/р = 4“ + Eggpm，

Найдем £m из(2.13):

% =(/〃— A“)/g〃m и подставим в(2.12). Получим

/& = % + 瓦/р,

»av % =儿一人感.J瓦=以痴/%"J

Коэффициенты ufc и Ь& могут быть £(). В иастном случае либо Й» либо Ь, можн быгь равно нулю.

1^авенство(2. 14) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС Ет токи 人 и /^связаны линейной зависимостью. Изтсоремы ком пен- саимр известно, что любое сопротив；1ение можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветвн эквивалентно изменению ЭДС £т. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЭДС Ет, но и сопротивления какой-то т-ветви.

Если обе части (2.12) умножить на сопротивление /?-ветви Rk и проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что напряжение /г-ветви линейно связано с током в р-ветви.

Коэффициенты аь н bk из (2.14) н в других подобных выражениях могу г быть найдены расчетным или опытным путем.

11ри опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений)при двух различных режимах работы схемы н затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте /ь = /Л1 и /р = /〃I，а во втором 4 = /々2 н 厶=‘心・ Тогда

^ k\ = 4 + 九/8;

/0=Q3 + b J 心

丁-.7一， 九"=7一

Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивления в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме

(токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением нн〃н I/ ^ и -i- Ьх -{- cz.

/Ьжазательство этого coothoiuchhh проводится аналогично приведенному ранее.

Пример 18. На рнс. 2.2(). о изображена схема, н кслорой выделены три нетнк. В »»<•! ви / нклмлнч1 амперметр Л |, н нети и 2 — HMiivpMerp А2 В uei нн J нмеютем к-1м)ч А' н сопрей инле*нис /?з. Если К разомкнут, то амперметр Л\ показынает I Л, ампер мег р /I2 — 5 А. 11рн замкнул ом клине амперметр .4» никазынает 2 А, а пмиермгтр 力2 - 4 Л. При замкнутом кли»че cihipothiijivhhc R3 изменил к так. что покалянис имнсрмст|)я /12 стало 4,5 Л. К а кони никнаанне амперметра А । в этом режиме〉

.uСоставим уравнение для on ре-闇.uСоставим уравнение для on ре-闇е. Выразим /| через /2. ч 丁 ~е. Выразим /| через /2. ч 丁 ~р е 山 е н н …仙ня ° и Ь:р е 山 е н н …仙ня ° и Ь:1 = а + 56；2 =。+ 4历1 = а + 56；2 =。+ 4历

.uСоставим уравнение для on ре-闇

.uСоставим уравнение для on ре-闇

е. Выразим /| через /2. ч 丁 ~

е. Выразим /| через /2. ч 丁 ~

р е 山 е н н …仙ня ° и Ь:

р е 山 е н н …仙ня ° и Ь:

1 = а + 56；2 =。+ 4历

1 = а + 56；2 =。+ 4历

Отсюда “ = 6】产一：•£?*肃儲虑R изменяется от нуля до беско- 1

Пример 19. В схеме Р叱七%：黑爲〃 ,от напряжения Uab.

„счностн. Вывести зависимость нанрн*ення utli刁

Решение. При разомкнутой ветви。厶《=”"〃[万•抽 коротком I замыкании ветви 沖 ％ =① » 厶=«. Отсюда а =射""| Следовательно, |

4

UCd =可" + 小"

§2.19. Изменения токоа ветвей, вызванные приращением сопротивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 2.21, и выделим ветви / и2стоками /( н /2,заключив остальную часть схемы вместе I с источниками энергии в прямоугольник Л (активный); проводимости g]2 и g” полагаем известными. Пусть сопротивление ветви(^ 1 изменилось на AR (рис. 2.21, б), в результате чего токи стали ' /| + А" и /2 + Л/2. В соответствии с теоремой компенсации заме- I ним AR на ЭДС Д£ = AR(% + Д/2), направленную встречно току /2» I На основании принципа наложения можно сказать, что нрнраи© I ния токов А/1 н Д/2 вызваны ЭДС ДЕ в схеме рис. 2.21, % в которой { час!ь схемы, заключенная в прямоугольник, стала пассивной (бук- I ва Так как схема внутренних соединений и значения сопротив- I /еннн в^хеме прямоугольника остались без изменений, то проводи- J

即 н & в схеме рис. 2.21. н имеют те же значения, что и в схем© | рмс. 2.21, а. Для схемы рис. 2.21, о имеем:'

М = - 皿2 = - g/AR/ + A/J;Я

刈=-A?% = 一七公枢+ А/JH

二黑\期：“c—у— ЭДС "…叩百m

1=盥а桃•._ x必％l+ARg22‘ 1 l+ARg^(2.15)1=盥а桃•._ x必％l+ARg22‘ 1 l+ARg^(2.15)

1=盥а桃•._ x必％

l+ARg22‘ 1 l+ARg^(2.15)

1=盥а桃•._ x必％

l+ARg22‘ 1 l+ARg^(2.15)

Отсюда

Соотношения (2.15) позволяют определить изменение токов в вет вях / и 2, вызванные изменен нем сопротивления в ветви 2.

_Пример 20. В схеме рис. 2.21 g22 = 5/26 См. Я12 = 3/26 См. Токи /| = 7 А. ；；7日 2 ；£"°""Tb т°кн 八 н /2 после того, как сопротивление второй пе гий позросло

Р е in ение. По формулам (2.15), Д/j = - 0,29 А, Д/2 = 一 0,483 Л:

^\ =厶 + А。= 6.71 А,厶‘=厶 + А. = 2,517 А.

Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной. Расчет сложных схем упрощается при замене нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих источники ЭДС, источиики тока и сопротивления, одной эквивалентной ветвью.

Участок цепи рис. 2.22, б эквивалентен участку цепи рис. 2.22, а. еслн при любых значениях тока /, подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а н b (Uah) в обеих схемах одинаково. Для того чтобы выяснить, чему равняются 氏 н £\, составим уравнения для обеих схем.

Для схемы рис. 2.22, а

人 + - + -+ - + /$ = /，

но

♦ = (&--//】 = (用-刃妬;

/2 =(邑一，西2；(216)

Л = (J — Dg“・

tn

С>ел<>влтсль»1°»С>ел<>влтсль»1°»(2.18)(2.18)

С>ел<>влтсль»1°»

С>ел<>влтсль»1°»

(2.18)

(2.18)

(2.16a)(2.16a)/ =Е尸*4 +[4 - %2/.4—1Ahl

(2.16a)

(2.16a)

2.22, б2.22, бгдеn «Hiivio параллельных нетней с источниками ЗДС; q — “〃 пяряллелы/ых негнеП с источниками токи."°

2.22, б

2.22, б

⑵⑺⑵⑺/{ля схемы р“с. -

⑵⑺

⑵⑺

/=«& — а，,，

""肉；二関;;ТОКОП / в схемах рис. 2.22, а, б должно иметь место при любых значениях %, а это возможно только в том случае, когда коэффициент при U0b(2.\7) равен коэффициенту при Uab в (2.16а).

('лсдователыю,

心=y紋

Если слагаемые с 〃仙 в(2.16а) и (2.17) равны ” токи / по условию экнивалеитпосги двух схем также равны, то

£伉& +[4 = E出,，

*■ I А・ I

откуда

(2」9)

*7

Формула (2,18) дает возможность найти проводимость g, и по неА /?,ксхеме рис. 2.22, б. Из этой формулы видно, что проводимость ^. не зависит оттого, есть в ветвях схемы рнс. 2.22, q ЭДС или нет.： “ ,и)дсчетах ,10 формуле (2.19) следует иметь в виду следую,- н никои либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соотпет- зтоШ：：；Ш" в чисдигелс(2.19) выпадает, но проводимости исходном схсмеТм лПСЛе "' ^ ^«остается; 2) если какая-либо ЭДС В рн《.2.22,〃o6PnT,<oe изображенному на

мулы (2.19) со знаком минус00 С、мос в(而 g в числитель фор-

Ветни СХ(*М1>19 99 N △

八。吁"X lioonioiiieiiH；) КО всей 黑嚮索:黑 зько п емзе по* н°й на рисунке но они зально讣 части схемы, не показан- УI У网 °нн м，зкннна小，нгнн В отношении мощности.

Рис. 2.23

выделяющейся в них. Качественно поясним это. В ветвях схемы рис. 2.22, а токи могут протекать даже при / = 0, тогда как в ветви ab рис. 2.22, б при / = 0 ток и потребление энергии отсутствуют.

Пример 21. Заменить параллельные ветви рис. 2.22, в одной эквивалентной.

Дано: Е J = 10 В; £|〃 = 30 В; £2 = 40 В; £з = 60 В; Ri = 2 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 1 Ом; R4 = 5 Ом; J = 6 А.

Решение. Находим:

gi = 0,5 См; g2 = 0,25 См; g3 = I См; g〃 = 0,2 См;

11

з =「= 40,25+1+0,2=°'513См;

4

И工以融一，

匚 (10 - 30)0,5 - 40-0,25 4-60-1-6,。…

18，4 В,

Таким образом, для эквивалентной ветви рис. 2.22, 6 偽=0,513 Ом; £3 = 18,4 В.

. Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис. 2：23 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

Расчетные формулы этого метода получают на основе формул (2.16а) и (2.16); их также можно просто получить из более общего метода — метода узловых потенциалов (см. § 2.22).

В отличие от схемы рис. 2.21, а ток / к узлам ан b схемы рис. 2.23 не подтекает. Поэтому если в формуле (2.16а) принять / = 0, то из нее может быть найдено напряжение между двумя узлами:

ee虑友+ m

人=一^一.(2.20 川J

После определения напряжения Uab находят ток в любой (砌 V ветви по формуле 厶=(£,— 〃汾)爲・

Пример 22. Найти токи в схеме рис. 2.23, и сделать пронер^ баланса мощНпгесли £ = 120 В. £з = 50 В. Q = 2 Ом.心=4 Ом, Аз = I °м,々4 = 10 Ом. Fj

Решение. Определим токи н схеме рнс. 2.23: 120・0,5-50・110

% = 0,5 + 0.25 + I + / - 1.85 - ''■

/|= (Ei - UQ/Ri = (120- 5,4)/2 = 57,3 А;，

厶=(& - %)/♦ =(。一 5*)/4 = — 1,35 А;

В схеме потребляется мощность /阿 + *2 + 徐 3 + /訓4 = 57,32.2 +В схеме потребляется мощность /阿 + *2 + 徐 3 + /訓4 = 57,32.2 +4 = — 55,4 А:厶=—0.54 А.

В схеме потребляется мощность /阿 + *2 + 徐 3 + /訓4 = 57,32.2 +

В схеме потребляется мощность /阿 + *2 + 徐 3 + /訓4 = 57,32.2 +

1,35工4 + 55.42-1 + 0,542.Ю = 9647 Вт.1

Источники ЭДС доставляют мощность £j/| - =9647 Вт.*Источники ЭДС доставляют мощность £j/| - =9647 Вт.*//з 三 120-57,3 + 50 • 55,4 =

Источники ЭДС доставляют мощность £j/| - =9647 Вт.*

Источники ЭДС доставляют мощность £j/| - =9647 Вт.*

. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка иепм, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо〔 знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических це- I пей. в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме п узлов. Так как 川 оба я (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределен и я в ней» 0aнн из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять по- генниал его равным нулю. При этом чис;ю неизвестных уменьшает-'

ся с л дол — 1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнении, которые необходимо составить для схемы по первому

и"а’ В ‘ом случае, когда число узлов без единицы ется более чкпмпмаВИСИМЬ1Х контуров в схеме, данный метод я вл я-: м，мем метод контурных токов.，I

число ветвей (11 ?и ‘“ которая имеет довольно большое Узб 4 還刈嘗黑W6。w узм)н (4). Если определить потен1П|ал11 т "' ' с ,,р,1,,ч,ъ 仇=0$ то необходимо Разия Вобозначениях у；二篇二:點景川:好 %，心如"ёА皿。。?] ^МИ： первый индекс cootbctcibvptV?2 “ писать с двумя индек^ *ет, второй индекс 一РУ уз^а.от которого ток уте*|

Проводимости ветвей так火Узла, к которому ток подтекаетЯ

Необходимо заметить что чти Г С1,а6жаться диумя индексамиЛ Р изоднмости не имеют ничего общего]

Рис. 2.24 с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.

В соответствии с обозначениями токов на рнс. 2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

&‘ 一 //' + 自'" 一几’ + 自" + 6 = 0,

или

U'-（屮I 一 屮4）依41' 一014" -（屮4 -①№"" +[° -（屮I -屮2）]XXg/" - .12‘ 一（92 -年1）山12‘ ++[£21" — （% —屮2）底2" + 区"一® - Фз）1gI3=0.

Перепишем последнее уравнение следующим образом: “屮 Qu + 屮 2G1? +屮 3Glз = J”，（2.21）

i』e

G|| = g/ + g|3 + gi「+ g/' + g/ + g」''；

G|2 = — （g/ + g』''+ g|2〃）； G|3 = — g|3；

/“ = £41— %g3i + Eji'&i" — EiJg/' — Е/g」.

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система из п — 1 ур а вне ний:

（PiG|| +（p.2G12 + …+ % - |G|,〃_ I =二：

R7

q проводимостей ветвей, сходЯЩи^ 1

В обшем случаеветвей, непосредственно

ся в узле 抬 Gi —сумма провод знаК0М минус. Если между

'awuMX V3J1H 力 н 加.взя ^тгГтгтвует. то соответствующая ' какими-либо дЬумя узлами «е^мИ^0Ваиии узлового тока 餡у. Проводимость равна нулкх В Ф^ ^ g®1y y3Jiy, которые содержат 7yqзствук)「£ве：в：ЭДС 以 р-ветвн направлены к S

источники ЭДС и(Н吧^:器一二几 равен £咼，а если эта ЭДс| “”・ т。ее в?*；喘喘 ап составит 一 Eg,. Если к й-узлу ； направлена。"一戸；：，：：丁。阪「)он ДОЛжен быть введен в Jkk Со . подтекает ток от ист( источника тока утекает, то он должен знаком плюс,ес^После решения системы (2.22) отно-

ZZ^^^^^ определяют токи в ветвях по закону Ома для I участка цепи, содержащего ЗДС.

・ В том спучае когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеете! МС а со|Хвление ее равно нулю, перед составлением системы уравне- ::鑑:驟 Зых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в § 2.24.

ной форме записи:ной форме записи:(2.22а)(2.22а)ISW = MaJISW = MaJСистема уравнений (2.22) может быть представлена в матрич

ной форме записи:

ной форме записи:

(2.22а)

(2.22а)

ISW = MaJ

ISW = MaJ

闸= |G「UJ闸= |G「UJ(2.226)(2.226)в электрическихв электрическихЕе решение

闸= |G「UJ

闸= |G「UJ

(2.226)

(2.226)

в электрических

в электрических

иенях нсе^роиХи^* распределение токов

РРI так, "7。10皿8 функция системы

Р

Р

££ l‘N/n ~ (屮N

N=L2,3,m=1,2,3…*神I A/Vs

минимальна. КозффИЦМе1п. ._

:勰龍籍眈篇篇啜К/здвойном еуммиронании

> bQU^^^^^основано на том. что

3У MdiwycwHHH минимума функции Р,

” 1 дР т е. совокупностью условий —2 d<₽.” 1 дР т е. совокупностью условий —2 d<₽.1 д2Р г1 #Р2 而2 3%1 д2Р г1 #Р2 而2 3%n 1 дР с

” 1 дР т е. совокупностью условий —

2 d<₽.

” 1 дР т е. совокупностью условий —

2 d<₽.

1 д2Р г1 #Р

2 而2 3%

1 д2Р г1 #Р

2 而2 3%

О»ттт— = 0ит. д.Так как вторые производные 2о(р2

=°22>° положительны, то это и является доказательством

минимума тепловой функции Р.

Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму закону Кирхгофа. Дано: £" = 10 В; Ем〃 = 6 В; Е" = 20 В; Ezi" = 30 В; Е31 = 14 В; &4= 10В;Е4з = 8В;Е23〃 = 12В；Ез2' = 7В;/?41'= I Om;Ri4〃 = 2Om;Ri2‘= ЮОм; R21'" = 5 Ом; R31 = 2 Ом; R24 = 4 Ом; R34 = 2 Ом; R23'' = 4 Ом; R32' = 2 Ом. Источник тока, включенный между узлами 3 н 2, дает ток /32 = 1,5 А.

Решение. Записываем систему уравнений:

屮 е" + ① 2G12 + 中3Gl3 =厶1；］① 1G2| + 中 2G22 + 中3G23 =/22;9 Е3］ + 屮 2G32 + 屮3G33 =/33.

Gn =白+ 白^ + 白 +六■+/" + / = 2< еm; "И K|4«12К21k21Gn =白+ 白^ + 白 +六■+/" + / = 2< еm; "И K|4«12К21k21G22 =六 + 止7 + 止77 + ； + 白 + TT7 = 1,4 CM； 勺2 N21k21К24k32K23G22 =六 + 止7 + 止77 + ； + 白 + TT7 = 1,4 CM； 勺2 N21k21К24k32K23%2%2G23 = G32 = — (°，25 + 0,5) = — 0,75 См.G23 = G32 = — (°，25 + 0,5) = — 0,75 См.Подсчитываем проводимости:

Gn =白+ 白^ + 白 +六■+/" + / = 2< еm; "И K|4«12К21k21

Gn =白+ 白^ + 白 +六■+/" + / = 2< еm; "И K|4«12К21k21

G22 =六 + 止7 + 止77 + ； + 白 + TT7 = 1,4 CM； 勺2 N21k21К24k32K23

G22 =六 + 止7 + 止77 + ； + 白 + TT7 = 1,4 CM； 勺2 N21k21К24k32K23

%2

%2

G23 = G32 = — (°，25 + 0,5) = — 0,75 См.

G23 = G32 = — (°，25 + 0,5) = — 0,75 См.

При подсчете G22( G33 и G23 учтено, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности).

Узловые токи:

_"_虻+曳一里+磐=15a;LR/-R/ + R31 Rd R21

1.5 A;1.5 A;173a = — 3,5 + 3 - 7 + 4 - 1.5 = - 5 A.173a = — 3,5 + 3 - 7 + 4 - 1.5 = - 5 A.

1.5 A;

1.5 A;

173a = — 3,5 + 3 - 7 + 4 - 1.5 = - 5 A.

173a = — 3,5 + 3 - 7 + 4 - 1.5 = - 5 A.

Система уравнений

2,4ф| — 0,4屮2 一 0,5q)3 = 15；

—0,4中］+ 1.4屮2 - °，75中3 = 一 L5;一 0,5屮| - 0.75屮2 + 1，75屮3 = - 5

имеет решение 屮। = 6 В;屮2 = °，°6 В；屮з = 一 '°’ В・

п подуете токов по закону Ома. Hei

WiW "Ж"‘кН обозначить и выбрать .

„^ожигельные напрявлення.— 0). Л

-仙-一 ^4 А;

储П一时

, ,"一匣二也=-IJ85A;

中3 一屮2 + '芻'

=2,92 А; /必=一；广且力 4,55 А и т. д.

С…проверку решения по второму закону Кирхгофа для периферийного, •К0НХебраическая сумма падений напряжений 4-1 + 1 ・ 185・5 — 2,92・2 — —4,55*2 ~ — 5 В. 7 & — с d

Алгебраическая сумма ЭДС 10 — 7 — — •

Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов получается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел схемы (рис. 2.23), например узел Ь, заземлить, то остается найти только один потенциал % = %. Для получения формулы (2.20) из

(2.22) следует положить ф, = q% = Uab\(p2

..=0.

§ 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид грсхлученой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопро： нвле-丨 ний так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26),— треугольником. В узлах /, 2, <?(потенциалы их (р,(р2 и Фз) треуголь- 1 ник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).1

Обозначим токи» подтекающие к узлам /, 2,5, через /р /2 и /3. i 1 Насто при подсчете электрических цепей оказывается полез- I ннм преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в ； треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить такнм о разом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных 1

греугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи о ди - { внешияя с/ема «незаметит» произведенной замены., / ”/ м ?学山 прсобразованн' С этой целью вы разим токи

% И втРеУтьннке через разности потенциалов точ,к и 1оо1ветствующне проводимости1

Для звезды

но

厶 + 厶 + /з = 0,

(2.23)

(2.24)(2.24)

(2.24)

(2.24)

人=(仙-%新:/2 =(

|(妬,0 = ® 一屮加J

Подставим (2.24) в (2.23) и найдем ф0:

3g + 屮2g2 + 屮 3gз —屮 o(gi + 目2 + g：J = °，

откуда

屮 g + 屮 2g2 + 屮認 з(2.25)

Ф0 =；；♦

gl + g2 + 心

Введем(р0 в выражение (2.24) для тока /『

...|Ф|(Я2 + 且3)—屮 2g2 — Фз^з1Я|(2.26)

厶=(叫_0断=好—逞•

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26 /] = /|2-/31=w|一屮2底2一(屮 3-中1依13=屮1(8|2+8|3)一屮*13—① 2g12・(2.27)

Так как ток /( в схеме рис. 2.25 равен току /| в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов 屮卜 ф2, %, то коэффициент при % в правой части (2.27) равен коэффициенту при(р2 в правой части (2.26), а коэффициент при(р3 в правой части (2.27) — коэффициенту при ч)з в правой части (2.26).

Следовательно,

gi2 = ggz/G + g2 + gJ；(228)

gi3 = g63/(gi + g2 + g：J・(2.29、

Аналогично,

g23 = g2gз/G + g2 + g3)・

Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у прово-

口…влевой части； в знаменателе - сумма проводимостей口…влевой части； в знаменателе - сумма проводимостей呻脸曙堺霭町眠喘 谭需=劇TPS^.]s%+%%+七%呻脸曙堺霭町眠喘 谭需=劇TPS^.]s%+%%+七%звездызвезды/2==]/2==]&R述з&R述згдегде丽丽т=瓦?т=瓦?（2.31）（2.31）m = /?|/?2 + R2R3 + 七凡；七3 =加/R；R〕3 = т/R&.m = /?|/?2 + R2R3 + 七凡；七3 =加/R；R〕3 = т/R&.(2.32)(2.33)(2.34)(2.32)(2.33)(2.34)Подставив(2.31 X (2.33) и (2.34) в (2.32), получимПодставив(2.31 X (2.33) и (2.34) в (2.32), получимт — тт — тR23 Al3R13R12 + R 12^23R23 Al3R13R12 + R 12^23=神智：去+r3=神智：去+r3

口…влевой части； в знаменателе - сумма проводимостей

口…влевой части； в знаменателе - сумма проводимостей

呻脸曙堺霭町眠喘 谭需=劇

TPS^

.]s%+%%+七%

呻脸曙堺霭町眠喘 谭需=劇

TPS^

.]s%+%%+七%

звезды

звезды

/2==]

/2==]

&R述з

&R述з

где

где

丽

丽

т

=瓦?

т

=瓦?

（2.31）

（2.31）

m = /?|/?2 + R2R3 + 七凡；七3 =加/R；R〕3 = т/R&.

m = /?|/?2 + R2R3 + 七凡；七3 =加/R；R〕3 = т/R&.

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Подставив(2.31 X (2.33) и (2.34) в (2.32), получим

Подставив(2.31 X (2.33) и (2.34) в (2.32), получим

т — т

т — т

R23 Al3R13R12 + R 12^23

R23 Al3R13R12 + R 12^23

=神智：去+r3

=神智：去+r3

Оедовательно,

舟I述23*31

%2 + *23 + R31'

Подставив m в (2,33), найдем

#12r用#12r用Аналогично,Аналогично,q2+/?23+/?3/q2+/?23+/?3/(2.35)；(2.35)；/?2 =/?2 =*23用2*23用22%+&/2%+&/(2.36)|(2.36)|

#12r用

#12r用

Аналогично,

Аналогично,

q2+/?23+/?3/

q2+/?23+/?3/

(2.35)；

(2.35)；

/?2 =

/?2 =

*23用2

*23用2

2%+&/

2%+&/

(2.36)|

(2.36)|

/3R23五%+若/3R23五%+若& =& =

/3R23五%+若

/3R23五%+若

& =

& =

муВ；^

黑:吃北咚мер,сх吃誌Н賜 «Звезду можно "。яерае一

62m …“。6总第盘闆^需:

треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений1.

Пример 24. Найти значения сопротивлений Ri, /?2, Аз в схеме рис. 2.27, б, если сопротивления R12, R13, R32 в схеме рис. 2.27, q равны соответственно 2.3,5 Ом.

Р е ш е н и е. По формуле (2.35), /?.=2«3/(2-f-3-|-5)=0,6 Ом; по формуле (2.36), /?2=(5・2)/10=1 Ом; по формуле (2.37), /?3=(3-5)/10=1,5 Ом.

§ 2.24. Перенос источников ЭДС и источников тока. На участке цепи рис. 2.28, а между узлами а н b имеется источник ЭДС Е. Этот источник можно перенести в ветви / и 2, а узел q устранить н в результате получить участок на рис. 2.28, 6. Эквивалентный переход поясняется рис. 2.28, в. Точки с, d, А имеют одинаковый потен пиал и потому могут быть объединены в одну точку Ь.

1В § 3.31 рассмотрен еше один вид преобразований — преобразование uoc/ед任 нательно-параллельного соединения в параллельное.

……а ^^^^

км。巡霁嘉L； от участка рис. 2.28/ тем, что не гочник рис. 2.28, о. отличающн • на два источника, присоединен тока между точкаш Эквивалентность замены следует из ненз- ^^ нз узлов. Ток в узле^неизме. 1“*心.так как в этот узел добавили и вье川। гок J. 11рак i ически источники переносят при преобразованиях схем с целью их упрощу мня и при записи уравнений по методу контурных токов м узловых потенциалов в матрично-топологической форме записи (см. § 2.33)；

§2.25. Активный и пассивный двухполюсники. В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо 0T ее структуры и сложности условно изобразить некоторым прямоугольником (рис. 2.29. а). Такой прием был использован в § 2.17 без специальных объяснений. По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямо* угольником, представляет собой так называемый двухиол юс пик.

Такнм образом, двухполюсник . ниобобщенное название схе» мн, которая двумя выходными зажнмнмн (полюсами) присоединен на к выделенной ветви.

Если в двухполюснике есть источник ЭДС или (и) тока, то такой двухполюсник называют a^7wвWыAl. В этом случае в прямоугольна ке ставят букву Л (рис. 2.29, а - в}.1 J

н』；С：吃肌叱° нет источника ЭДС и (или) тока, то его ставят е\-ЫМ В I'。” слуиае в прям оу гол ьникс либо не ЕВ5И никакой 6уквы,либ0 ставят букву //(рис. 2.29, г). J леЛнжж I：；；：：：黑；：：：：：。「。генератора. По отношению к нератором. ЭЛС котоппт ，К "“水的 заменить эквивалентным Q за木нмах выделенной Рвегни аННа 痴屮”水‘”痴 холостою хг)да 誕 注竄:W叱hн1cJS：:「'c。叩5皿„ pa号 sh・ Мн；；；：：噸:爲：требуется найти ток в одной е< ыИМ В1Ю^му. содержащую ЭЛС： и W胸

门iiijiciihi, в г1рямиуголы|ИК| щ.|делии требуггея найти ток / (卩爪，，2.29 и)Так / не измешпеи, есл|Г'в вн|И门iiijiciihi, в г1рямиуголы|ИК| щ.|делии требуггея найти ток / (卩爪，，2.29 и)Так / не измешпеи, есл|Г'в вн|Ии ли лног вс nn.ног вс nn.db, в koiорпйdb, в koiорпй|||)()ГИВ01ЮЛ()Ж11()I 1<1 OCIIOIUIIIIIH|||)()ГИВ01ЮЛ()Ж11()I 1<1 OCIIOIUIIIIIHiiiinpaiwieiiiibie "八(：储,|р||||цип；| илл()>ке|цц|iiiinpaiwieiiiibie "八(：储,|р||||цип；| илл()>ке|цц|ababииihcukmih гьihcukmih гь/. Jpiic. 2,29. 6)./. Jpiic. 2,29. 6).диг painii.H мдиг painii.H мвиде суммы двух токов 〃 н /〃： / — 〃виде суммы двух токов 〃 н /〃： / — 〃гик можно 11|и'；ц танн i ь игик можно 11|и'；ц танн i ь иlh〃I током /' будем понимать ток, HbUHaiiin.iH hckpiiihkhm П川 /ч и т еми искхпшками ЭДС и 1(IKil ；1Кншнок. лвухи.миш ни»м.. t；lKJHO'ieilllldMH В "叫 M()y「OJ||」|HK. Ток /〃 1山巾仙|「心皿 WL4M ПСТОЧПИ КОМ 'ДС /：.,. В COOIBCTCI НИИ <• -ПИМ ДЛЯ IHIXO/KJIVHHM 1()к()\/ и / используем схемы рис. 2.29, ", j 1\ прямиу!(Mii.iniKc II (рис. 2,29, с?) о| су'|'ству ют вес ист очи и к и, ц()mi и и.'Н* и ы п х нну । рги ние сои рот ивления,г)ДС /：| iHiiipaiMieiifi встречно ияпряя^снию Z/^. I hi змкону Оми ；мя участка цепи, годержянцч()ЭДС,lh〃I током /' будем понимать ток, HbUHaiiin.iH hckpiiihkhm П川 /ч и т еми искхпшками ЭДС и 1(IKil ；1Кншнок. лвухи.миш ни»м.. t；lKJHO'ieilllldMH В "叫 M()y「OJ||」|HK. Ток /〃 1山巾仙|「心皿 WL4M ПСТОЧПИ КОМ 'ДС /：.,. В COOIBCTCI НИИ <• -ПИМ ДЛЯ IHIXO/KJIVHHM 1()к()\/ и / используем схемы рис. 2.29, ", j 1\ прямиу!(Mii.iniKc II (рис. 2,29, с?) о| су'|'ству ют вес ист очи и к и, ц()mi и и.'Н* и ы п х нну । рги ние сои рот ивления,г)ДС /：| iHiiipaiMieiifi встречно ияпряя^снию Z/^. I hi змкону Оми ；мя участка цепи, годержянцч()ЭДС,

门iiijiciihi, в г1рямиуголы|ИК| щ.|делии требуггея найти ток / (卩爪，，2.29 и)

Так / не измешпеи, есл|Г'в вн|И

门iiijiciihi, в г1рямиуголы|ИК| щ.|делии требуггея найти ток / (卩爪，，2.29 и)

Так / не измешпеи, есл|Г'в вн|И

и л

и л

ног вс nn.

ног вс nn.

db, в koiорпй

db, в koiорпй

|||)()ГИВ01ЮЛ()Ж11()

I 1<1 OCIIOIUIIIIIH

|||)()ГИВ01ЮЛ()Ж11()

I 1<1 OCIIOIUIIIIIH

iiiinpaiwieiiiibie "八(：储

,|р||||цип；| илл()>ке|цц|

iiiinpaiwieiiiibie "八(：储

,|р||||цип；| илл()>ке|цц|

ab

ab

и

и

ihcukmih гь

ihcukmih гь

/. Jpiic. 2,29. 6).

/. Jpiic. 2,29. 6).

диг painii.H м

диг painii.H м

виде суммы двух токов 〃 н /〃： / — 〃

виде суммы двух токов 〃 н /〃： / — 〃

гик можно 11|и'；ц танн i ь и

гик можно 11|и'；ц танн i ь и

lh〃I током /' будем понимать ток, HbUHaiiin.iH hckpiiihkhm П川 /ч и т еми искхпшками ЭДС и 1(IKil ；1Кншнок. лвухи.миш ни»м.. t；lKJHO'ieilllldMH В "叫 M()y「OJ||」|HK. Ток /〃 1山巾仙|「心皿 WL4M ПСТОЧПИ КОМ 'ДС /：.,. В COOIBCTCI НИИ <• -ПИМ ДЛЯ IHIXO/KJIVHHM 1()к()\/ и / используем схемы рис. 2.29, ", j 1\ прямиу!(Mii.iniKc II (рис. 2,29, с?) о| су'|'ству ют вес ист очи и к и, ц()mi и и.'Н* и ы п х нну । рги ние сои рот ивления,

г)ДС /：| iHiiipaiMieiifi встречно ияпряя^снию Z/^. I hi змкону Оми ；мя участка цепи, годержянцч()ЭДС,

lh〃I током /' будем понимать ток, HbUHaiiin.iH hckpiiihkhm П川 /ч и т еми искхпшками ЭДС и 1(IKil ；1Кншнок. лвухи.миш ни»м.. t；lKJHO'ieilllldMH В "叫 M()y「OJ||」|HK. Ток /〃 1山巾仙|「心皿 WL4M ПСТОЧПИ КОМ 'ДС /：.,. В COOIBCTCI НИИ <• -ПИМ ДЛЯ IHIXO/KJIVHHM 1()к()\/ и / используем схемы рис. 2.29, ", j 1\ прямиу!(Mii.iniKc II (рис. 2,29, с?) о| су'|'ству ют вес ист очи и к и, ц()mi и и.'Н* и ы п х нну । рги ние сои рот ивления,

г)ДС /：| iHiiipaiMieiifi встречно ияпряя^снию Z/^. I hi змкону Оми ；мя участка цепи, годержянцч()ЭДС,

「= №“「£、）/七

Выберем /:'| I я к, 4i()6i»i так /' был paiuMi iiyjiici. О icy hi ииг i“ku н нетнн ab жнишинчтн) ее размыканик) (х(мнл"п)му xojty). 11；шри жении на члжимах 〃力 при холостом ходе 1ич ни обо нтмим 〃仙，

(JiejioBaTeJimio, если нмб卩a「i> 1^ -优而，门)/'=■=() I ин кзи

“ со<н век* f кин( Н I >*'Мон“ со<н век* f кин( Н I >*'Мон/ = /' + /", а /'=0.「(> / = /〃」т 1“к /" (рис. 2.29, г)определяется как

“ со<н век* f кин( Н I >*'Мон

“ со<н век* f кин( Н I >*'Мон

-=匕/ （A十（,）=4而/ （a I此）仔）

I ：Ц* R,、 входное СО11|ХПИВЛеНИС диухп<ми<кникз НО <>11ННН<*Н1П<> к ^| жимам 〃〃； R — соир<)тивл(*иис ветви ub, У равнении) (6| отнечиг! >квивалс1Г1ная схема рис. 2,30, 〃，где имссто ,1нухиилин никл и m q)；，水ан4 ист(Рп1ик зДе U产* "(•m屮川用，川"仆竹 "，/，卄m j I < ль

MEJLIld — Тсвснсна). 一 „

Спвокупность исгочника ЭДС £；- 〃山"'■屮”"“'“•""，"•， можно риесматриня(ь как "虫川屮面届―蜉戸痴汗*g*中 <z<, янляегся cio внутренним(<н|ро1ивлгииемг я 口八力乂丿

Таким образом, по отношению к ймделгнной шмии(н<м ни ah р.н .

wTbCxeMH можно заменить эквивалентны,. 229,и^^остальнуюч^

33…吋「:関е」енно卤 мн，основан…на зам.

Mm也 расчета：Эквивалентным генератором, принято

зкгнвмоп) двухполюсника ^ генератора (активного двухпол^ зывзгь 叱『遇* ”漿嚷 е。.v&% “ короткого замыкания.

1ЕЕ:^- J

нню к зажимам аЬ при закороченных источниках 一 ДС н разомкну, тых ветвях с источниками тока :

(2.38)(2.38)/ = с、/ 低+火 J/ = с、/ 低+火 Jв) подсчитать ток по формуле

(2.38)

(2.38)

/ = с、/ 低+火 J

/ = с、/ 低+火 J

Если сопротивление ветви йЬ равно нулю (R=0). то для нее имеет место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток есть ток короткого замыкания (/J. Из (2.38) при /?=0

/.=忆// (2.391

или

(2.40)(2.40)% = %*//.

(2.40)

(2.40)

Из формулы (2.40) следует простой метод опытного определе* яю? входного сопротивления активного двухполюсника. Для этого необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви °斉 и ток короткого замыкания /. ветви, а затем намтй как частное от деления на /ж.

ния-3объ^няетсят^ MumxsioJor。хода и короткого замыка! дения U использ\ет-я7п1г^ р.ешении 9THM методом для нахож・

^опроти^ения 询爲器需:亜'。叫 W нмеветвнаб. ' wkkhhkn kw一короткое замыка*^ в*т；(Х黑當贏Э„：；；：Т獨Г£°ка・ ПОЛУЧИМ схему экви- "^^^ 3 Р”с 23, а.

— ^Ветвь^(рис2311б,инаходймнапря^^^

" = Q什供l//" = Q什供l//力力%+。4可+E%+。4可+E匕8」匕8」“sKllS^£?H**g пманм” схемы 底荘 и"・* 丫皿 3ns「：；：尸"схемы по отношен И ю^1??^ ТОКа,то "Ри о"ределенн#1 批“戸内虫^ сопративи/ РамУкнут**吹 Это 皿材。『**"四 ab ветвн с источм«-1 "怏 мсточиикоа тока оаанп 心"°натн&м, если вспомни、 равно бесконечности (см § 2.2L ]“sKllS^£?H**g пманм” схемы 底荘 и"・* 丫皿 3ns「：；：尸"схемы по отношен И ю^1??^ ТОКа,то "Ри о"ределенн#1 批“戸内虫^ сопративи/ РамУкнут**吹 Это 皿材。『**"四 ab ветвн с источм«-1 "怏 мсточиикоа тока оаанп 心"°натн&м, если вспомни、 равно бесконечности (см § 2.2L ]

" = Q什供l//

" = Q什供l//

力

力

%+。4可+E

%+。4可+E

匕8」

匕8」

“sKllS^£?H**g пманм” схемы 底荘 и

"・* 丫皿 3ns「：；：尸"схемы по отношен И ю^1??^ ТОКа,то "Ри о"ределенн#1 批“戸内虫^ сопративи/ РамУкнут**吹 Это 皿材。『**"四 ab ветвн с источм«-1 "怏 мсточиикоа тока оаанп 心"°натн&м, если вспомни、 равно бесконечности (см § 2.2L ]

“sKllS^£?H**g пманм” схемы 底荘 и

"・* 丫皿 3ns「：；：尸"схемы по отношен И ю^1??^ ТОКа,то "Ри о"ределенн#1 批“戸内虫^ сопративи/ РамУкнут**吹 Это 皿材。『**"四 ab ветвн с источм«-1 "怏 мсточиикоа тока оаанп 心"°натн&м, если вспомни、 равно бесконечности (см § 2.2L ]

(R2 R

0g=|Q_% = E|=

4 杖I十iO(*T — M)i67B.

Подсчитываем входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченном источнике ЭДС (рис. 2.31. в).

I Тоикн cud схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому г> ^1^3 欠述4 1・24-1—

L —+R3 + ^^ =甲+帀=1.47 °м.

Определяем ток в ветви по формуле (2.38):

/ = UabJ(^^^ = 4,67 /(2+1,47) = 1,346 А.

l2R-^hRl2R-^hR2.27. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке. Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (см. рнс. 2.29, u к то через нее потечет ток / = &队 / (R + RQ и в ней выделится Moumk'.Tb

l2R-^hR

l2R-^hR

(2.41)(2.41)Р =

(2.41)

(2.41)

Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника /?口， чтобы в сопротивлении нагрузки выделялась максимальная мощность: чему она равна н каков при этом КПД передачи. С этой целью определим первую производную Р no R н приравняем ее нулю:

adP (R+RrJ’一2A(R+RbJ °

痴= (R+Rj -

Отсюда

R =心.(2 42)

Нетрудно найти вторую производную н убедиться в том, что она отрицательна (d2P / d/?2<0). Следовательно, соотношение (2.42)со- ответствует максимуму функции P=f(R). Подставив (2.42) в(2.41 к получим максимальную мощность, которая может быть выделена в нагрузке R:

Рм=*м/4&.・(243)

Полезную мощность, выделяющуюся в нагрузке, определяют по уравнению (2.41). Полная мощность, выделяемая эквивалентным генератором.

Pw“ =U“J= U3 /(/?. + /?)•

А,

Ei б)

5)

Рис. 2.31

Коэффициент полезного действия

『р/ Рз = R /(R+&)

(2.44)

такимтакимНИЗКИМНИЗКИМЕС"е^м^то работа} с

таким

таким

НИЗКИМ

НИЗКИМ

КПД оЛ 5 Недопустимо. Но если мощность Р мала и сое являет SmleioX ми^ив (такой мощностью обладают напри.11 различные датчики устройств автоматики), ю( низким КПД моК не считаться, поскольку достигнута главная цель — в этом режиме датчик отдает нагрузке максимально возможную мощ-ч ность. Выбор сопротивления нагрузки R, равного входному сопротивлению /?11я активного двухгюл юс и и кй , нязыки ю'1 со^лисовинивм / нагрузки.

Пример2#. При каком значении сопротивления /?5(рие.2.31, «)п нем кыделяетСЙ；' макснма』ьннн мощность н чему она рянна?

Р е ш е н и е. Из условия (2.42) находим ^п=^нх= * «^。叫，/

"м = %/(4%) = 4,672/(4〕47) = 3,71 Вт.八 Л

. Передача энергии по линии передач. Схема лини и пере-" дачи электрической энергии изображена на рис. 2.32,「пи U^ —

напряжение генератора в начале линии; U?— напряжение на на4 грузки в конце линии; А” 一 сопротивление проводников линии; & 一 сопротивление нагрузки.

Напряжение % =臨(|)叱 2.32) ппирлилеио противоположно ЗЛА： /:. Обьяс^

направление ^^^^-^ ^ ^^^^

сятЕТм；；北律ГС"" моицюстей (например, нескольких 心 напряжение Ь In j и?н(^ передач КП〃『0,94+0,99,8 камн,由 процент ..овышсни^^ moulum，［" Ясно, что СТеЙ им^*т существенное эконом/. ecSoe^ 乂。由同

(Ш

Характер изменения мощности в начале линии Ри мощности в нагрузке 匕，К11Д и напряжения на нагрузке U2 в функции от тока “о линии при U尸const, R尸const иллюстрируется кривыми рис. 2.33, а. По оси абсцисс на этом рисунке отложен ток /, по оси орд и нат — Рг 匕，/，"•

Максимальное значение тока /тох= U^/RJt имеет место при коротком замыкании нагрузки. Кривые построены но уравнениям

(2.45)(2.45)匕 н UJ； Р‘2= и/-%；

(2.45)

(2.45)

n«P2/Pl«l-_e——;』=%-&/

Ecjih по линии передачи с сопротивлением 七 и сопротивлением па грузки /?2 должна быть передана мощность

Р? = %,

то КПД передачи тем выше, чем выше напряжение U〕в начале л и ни и.

Пример 27. Вывести формулу, покнзывающую, как при заданных Р? и R* КПД 尸ннснт от 11；111|)яжения и начале линии.

Р с in е и и е. Из (а) определим R2=P2〃‘Thk как /=U|/(Rj[ + R?), то

.11.11小D小D4(心+槌4(心+槌КК

.11

.11

小D

小D

4(心+槌

4(心+槌

К

К

Решим урлпнсннс (б) относнтольно RglaHXK минус н формуле (м) перед корнем отброшен, так как он соотпотстиует праной части кривой %=/(/) с меньшим q|:

(и；心=可一心+(и；心=可一心+£4心£4心

(и；

心=可一心+

(и；

心=可一心+

£4心

£4心

Тикнм образом.什2&+R“ —心I心+%R』+R2 苗Тикнм образом.什2&+R“ —心I心+%R』+R2 苗2%『12%『1)-')-'(Г)(Г)

Тикнм образом.

什2&+R“ —心

I心+%R』+R2 苗

Тикнм образом.

什2&+R“ —心

I心+%R』+R2 苗

2%『1

2%『1

)-'

)-'

(Г)

(Г)

M WHMOCTb " = /小 / 火&%)・ построенная J На рис 2羽 6 ^^ 'то ri устает с увеличением 外М

)巾 рисунка видно, ” у

.пмводы по методам расчета электрИЧеск

2.29. Некоторь^ 黑:嚣:являются метод узловых по額 цепей. 1. Наиболее ?吗:累嚣黑厶ков (МКТ). 2. Методика с℃；* циалов(М^ П) и„м^^ методами. рассмотренная в § 2.13 н 2 22 WR：器器陰;н позволяет легко контролировать прав点 篙爲器嘉為嘰器看爲МН уp爲-川МУП иРmКt^ шают об^о с помощью средств, всегда имеющихся под руКой (микрокалькулятора или логарифмическом 〃““邪上)，а уносц. тельно сложные схемы рассчитывают, используя ЭВМ. 4. Уравне. ннн теории цепей могут быть составлены и ма грично-топологиче^ ским методом, использующим некоторые топологические понятия* и соответствующие им матрицы. Рассмотрим, кзк это делается. J-|(J сначала напомним некоторые сведения о матрицах.

30 Основные свойства матриц и простейшне операции с ними. Матрица U этосовЗкуин(кть чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы от, личять матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответст-1 вуст номеру строки, второй — номеру столбца.

Матрицу называют квадратной, если число строк н ней равно числу столбцов '4

MJ =

^^^— -явной диаг0Налн не

蜂"察％北嚮旣:嚣篇切加曲 лиагоналн равны единице, а все оста二

I 0 0I 0 01"= 0 10.0 0 I1"= 0 10.0 0 Iм м 屮‘умма элементов любой стро"$м м 屮‘умма элементов любой стро"$Неопределенной назннают матрицу, у которой и любого столбца ранна нулю.Дие матрицы ранны. если равны соответствующие элементы этих матриц.Неопределенной назннают матрицу, у которой и любого столбца ранна нулю.Дие матрицы ранны. если равны соответствующие элементы этих матриц.Матрииа|Л|^卜】1叫叫"1 %fМатрииа|Л|^卜】1叫叫"1 %fРапна матрицеРапна матрицеу ранных матриц раним i -fl 12021»Ь11^22-612621.1И) из стнн самнх мшриц. Операцииу ранных матриц раним i -fl 12021»Ь11^22-612621.1И) из стнн самнх мшриц. Операции"f "%№f 5%."f "%№f 5%.Э叫‘м gЭ叫‘м g1 определители. В рассматриваемом примере。1也22二； равенства пнух он редел нтелей cine не следует ране"：《 I нал матрицами (их сложение, умножение) посгулиро* ।1 определители. В рассматриваемом примере。1也22二； равенства пнух он редел нтелей cine не следует ране"：《 I нал матрицами (их сложение, умножение) посгулиро* ।

I 0 0

I 0 0

1"= 0 10.0 0 I

1"= 0 10.0 0 I

м м 屮

‘умма элементов любой стро"$

м м 屮

‘умма элементов любой стро"$

Неопределенной назннают матрицу, у которой и любого столбца ранна нулю.

Дие матрицы ранны. если равны соответствующие элементы этих матриц.

Неопределенной назннают матрицу, у которой и любого столбца ранна нулю.

Дие матрицы ранны. если равны соответствующие элементы этих матриц.

Матрииа|Л|^

卜】1叫

叫

"1 %f

Матрииа|Л|^

卜】1叫

叫

"1 %f

Рапна матрице

Рапна матрице

у ранных матриц раним i -fl 12021»Ь11^22-612621.1И) из стнн самнх мшриц. Операции

у ранных матриц раним i -fl 12021»Ь11^22-612621.1И) из стнн самнх мшриц. Операции

"f "%№f 5%.

"f "%№f 5%.

Э

叫

‘м g

Э

叫

‘м g

1 определители. В рассматриваемом примере。1也22二； равенства пнух он редел нтелей cine не следует ране"：《 I нал матрицами (их сложение, умножение) посгулиро* ।

1 определители. В рассматриваемом примере。1也22二； равенства пнух он редел нтелей cine не следует ране"：《 I нал матрицами (их сложение, умножение) посгулиро* ।

^：^^^^ММ 5

HH(C] =HH(C] =При умножении двухПри умножении двух-^-^4-4-С|1 С[2‘21 С22С|1 С[2‘21 С22ап+Сц Q12~H|2 а2|-К21 Q22"22 .ап+Сц Q12~H|2 а2|-К21 Q22"22 .

HH(C] =

HH(C] =

При умножении двух

При умножении двух

-^

-^

4-

4-

С|1 С[2‘21 С22

С|1 С[2‘21 С22

ап+Сц Q12~H|2 а2|-К21 Q22"22 .

ап+Сц Q12~H|2 а2|-К21 Q22"22 .

I 21 Г5 61 _ 3 47 8 =；I 21 Г5 61 _ 3 47 8 =；Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А] [В] * * [8][А], т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А『・ Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменять его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [川.Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А] [В] * * [8][А], т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А『・ Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменять его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [川.Пример 28. Составить [Д]~! для [А]= Решение. Заменив элементы на алПример 28. Составить [Д]~! для [А]= Решение. Заменив элементы на алрицурицу022 — G2I—012 ап022 — G2I—012 апап 012021 А22ебраич^ские дополнения, получим мат-ап 012021 А22ебраич^ские дополнения, получим мат-.После транспоннровання имеем.После транспоннровання имеемQ22 —QI2—021 QI1Q22 —QI2—021 QI1• Следовательно,• Следовательно,

I 21 Г5 61 _ 3 47 8 =；

I 21 Г5 61 _ 3 47 8 =；

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А] [В] * * [8][А], т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А『・ Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменять его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [川.

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А] [В] * * [8][А], т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А『・ Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменять его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [川.

Пример 28. Составить [Д]~! для [А]= Решение. Заменив элементы на ал

Пример 28. Составить [Д]~! для [А]= Решение. Заменив элементы на ал

рицу

рицу

022 — G2I

—012 ап

022 — G2I

—012 ап

ап 012

021 А22

ебраич^ские дополнения, получим мат-

ап 012

021 А22

ебраич^ские дополнения, получим мат-

.После транспоннровання имеем

.После транспоннровання имеем

Q22 —QI2

—021 QI1

Q22 —QI2

—021 QI1

• Следовательно,

• Следовательно,

1-54-2-7 1・6+2・8

3.5+4.7 3・6+4・8 ■

“22 一。12

⑷一]=上% % I

°11°22一0l2a21

Произведение [Я][^]~ =[Ц.

Для решения уравнения [Д][81=[С] относительно матрицы [В] еледуетобе части этого уравнения умножить на [А 1— : [/4]— |41[В]=(Л)~" |С] и учесть, что[Д |~ |Л ]=[1]. В результате получим [8]=[Д |—дС]. В матричном уравнении [Д][Х]=О можно переставлять столбцы в матрице[4]при одновременной перестановке строк в матрнце[Х].

Некоторые топологические понятия н топологические матрицы. Положим, что в схеме имеется у узлов и 8 ветвей и каждая чара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между какими-то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей» то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических матриц ветви схемы (графа) нумеруют н на них ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления для отсчета тока и напряжения на каждой ветви. Перед нумерацией ветвей графа нужно выбрать дерево. Как указывалось в §2.8, дере* во представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют ни одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равно (у—I). Нумерацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, используя номера с 1 по у—1. Номера с у по 8 придают ветвям графа, не вошедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или хордами. В качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на

2；2；

2；

2；

Py. 2"

рис 254. 6 — соответствуют НИ ей граф. Схема имеет ч^^Р^У^а н шг^ть ветвей. Узлы обозначены цифрами / — 4 (рис. 2.34. о). На рнс 2_33. £ показало дерева, которое положено далее в основу фор, ммровзния топо-тоги чес к их катрни. г(,

Ветви дерева обозначив цифрами /, 2, остальные ветви графа (8СТвл связи! — цифрами/, 5,5 Ветви дерева ряс. 2.34. г вычерчены vro.1 шинным и линиями, в^твн связи — тонки м и. На ветвях графа ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, в, г). Уз/о・

дтю матриц |/4]составляют для всех узлов графа, кроме одного. В яой матрице номер / й строки соответствует номеру узла, а номер /-гостатбиэ — номеру ветви Вяче/гки матрины|/1 )ставят числа 1, —1,0. Если узел, хтя мото^го слставлнетс» строка матрицы, охватить иекоторсй поверхностью, след которой показать кружком, то в со- атэетствующую ячейку матрицы |4|ставят L если стрелка /-ветви иапра^еиа из кр)жка» ставят — I. если стрелка направлена в кру- 个”£ * 0, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле <(p»€. 234. бг

В*тмиВ*тмиpHHawZr*410 ИГГРИ1<^ ИI может быть представлена двумя подмагpHHawZr*410 ИГГРИ1<^ ИI может быть представлена двумя подмаг

В*тми

В*тми

pHHawZr*410 ИГГРИ1<^ ИI может быть представлена двумя подмаг

pHHawZr*410 ИГГРИ1<^ ИI может быть представлена двумя подмаг

V*2 Встин

⑷-! f」i У \J

S-lj[儿 4/Ч

5；：£累::；：；含衆謡7二“ Х1я любых сечений графа, а " г’авмнх сечений выбранного

■^^о^ми^^^

Главными сечениями

…” “вакп сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвен связи и только одну ветвь выбраннзо дерева. Главные сечения нумеруй. Номер главно сеч^ния^ 吃%喘与龄警-而L сечением ветви員潞制 「Р：Ю：；сЬ：】七;/ У 記*е chibhhh показаны на рис. 2.34. г и обоз- 唯 И瓚 9 Сечение / Рассекает ветвь / и ветви связи 4 к' с吋ветвь2и ветви связи 4,5,б(ветвь / целиком входит * *а〃 2 ” не рассекается им), сечение 5 — ветвь 3 и ветви связи .5 и 6・ СТР"* матрицы [QrJ соответствуют сечениям, а столбца — вет- вям графа.

В ячейках соответствующей строки матрицы [Q ] ставят 1 для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности это- го сечения (след этого сечения на плоскости — овал), так же как и

стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ставят — I, когда ветвь связи не рассечена — 0.

для главных сеченийдля главных сеченийПрименительно к дереву рнс. 2.34, s

для главных сечений

для главных сечений

(рнс. 2.34, а):

Ветви

СеченияСечения2233661IQ「I = 231IQ「I = 23I ОО 1о оI ОО 1о оОО—IОО—I-1о-1оО I—IО I—I11

Сечения

Сечения

2

2

3

3

6

6

1

IQ「I = 2

3

1

IQ「I = 2

3

I О

О 1

о о

I О

О 1

о о

О

О

—I

О

О

—I

-1о

-1о

О I

—I

О I

—I

1

1

В общем случае матрица [QJ может быть представлена в виде двух матриц:

Сечения Ветви

L..(g—1).д…6

。=I

®—I) Q\ Q?

Каждая строка [QJ нмеет только по одному э-тементу 1 и нах。- ди тс я он на главной диагонали, поэтому jQJ представляет собой единичную матрицу [1| и |QJ=U：QJ.

Главными контурами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контчры теми же FioMepaviH. какие присвоены ветвям связи в них. Главные контуры 4.5.6 дерева рис. 2.34, в изображены на рис. 2.35. Толе тин я и ниям и показаны ветви дерева, тонкими — ветнн < вязн.

Main иней главных контуров |Л\] называют матрицу, составленную из чисел 1. —1,0, строки которой ссютветствуют номеру глав-

Pxc. 2 36

_тви「/анньк、контуры при

UTvoa а столбцы 一стрелки на ветви

ИОП)ИОП)4 5 6 I 0 F 0 I 0 0 0 I4 5 6 I 0 F 0 I 0 0 0 I空:黑;打p"1e间2迎灯爲二так。м обходе контура 徹m承源驚蜜謀—~‘

ИОП)

ИОП)

4 5 6 I 0 F 0 I 0 0 0 I

4 5 6 I 0 F 0 I 0 0 0 I

Ветви

Контуры闻=:6Контуры闻=:6I 2 3

Контуры

闻=:

6

Контуры

闻=:

6

I I o

0 -11

I 1 -1

Bi виде матрн皿M1M w碗叫喘：噥::默подматриц и имеет следующую нумерацию строк и《голбпон.

Контуры I (У—1) У "

IM

Так как номер строки (номер контура) в | KJ он редел we i с я номером его ветвн евнзн и обход контура осуществляется в соопи'тствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы |К?] имеет только один элемент I. расположенный на ее гл а иной 八 наго, напн, т. е. [KJ представляет собой единичную мл I рицу "卜" |KJ=|M：l|.

Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топо* логических матриц Сонокупность уравнений по первому анкону КнрхгсЗ может быть записана следующим образом

⑷ 13 = (),(2・4б) q

?^^Мматрица-строка)!

I 0 0 —I 0

-110 0 I

()и I 1)—1

"I//川 JJ小-n

Сонокуипость ура С» wihc'HX так

внсний ПО второму

закону Кирхгофа м<)жгт

Мив。,

(247)

матрица строМй)

0

IО 1()6

II 01()

|u屮/业//』У"

I -I (Ю|

§233•需喘常Щ落閣喘糠金酒礁 нспольз>и) . .1HV (обобщенной bcibh iJ€K { ямИ Первая со- пей, вводя г Iмя п<Ц)аллельнь1МИнстоиннка

ЧИСЕ втор - из источника тока J ;4j«3Jo o^&制

по <；ж^”а“Р膿;％:邕-и н 卜…обозначим U.

工 /. + Л-Иапр^цепи c 研二

илиили(4 + 人)=如"" + " J(4 + 人)=如"" + " Jt。…。…У 两喘+吁爪+人)

или

или

(4 + 人)=如"" + " J

(4 + 人)=如"" + " J

/СКОВ с цомошью

Вывод уравнении м^

:^^^^

тмпмх в любой「*曙 x：；L в。все главные конуры.

гдегде^V^^^(2⑺

где

где

Ri

R，

PJ

У^Дп^

замкну пноко.ИУР^^ »75

— П Крсмг нно. mhHhiuh < 1ПЛ0ГН|/()| Мг

堺! ;川」м м…е叫У:熏"…|/Л屮仙巾w川，wifm川仪" w"" —卄叩伍』“Iк

|/J - |А』屮"|

（2.51）

Прм ум шминлгм. чшиошурныП мт няждого гляпцпн)Кп|| 卩 рй H/HiruiH.'trN И ('(МП ЙГ1Ч ТМНН СО <'1рГЛН<И1 НН П<*ТПМ СНЯЛИ 1 lopQ i туре koinvplliur KthH /4| 厶 5, Aw r“'MIJ

рнг г 34, г п(1КЛ1нны на

у Jh ,'Ijiw uiM СГММ

V

()

0

n

n

口

о о

II

你

間

（）1l、M"R

"I人4 + &.厶一厶.

IW0

"F 。一 ，加 lhwv^nHn(?5Hn(2 50)t luvivMKM

IA』l&l|AJ，|/“|rK||£,|7AjR,||/j

MinrirHhe|AJ|/CJ| ^J' — |R] — wu мотом мчиурпых TOKOW Thk

(2.52)1

IHMVHin'l

X、* 2

млтринн КО1И У|НП»1Х “)нро・扌 “二上 контуры нумеруем ОТ У ■

клк

IA1-

丁丁g ,凡

"T小&一…一勺,卜

m; •. hwv истин

полное ctuipoiHMVHHe rti-контура; Rm ., сопрогнвле- a tnenu'rt) смежной между ги н л контурпмн, бсрстсм 3 1 знтким тик. гели ьо1п\рныс юки 1巾时 и /4П гекуг через смежную 1 петь согласно, м со знаком минус, если нстргчноd

Для рнс J.3< г. iuvuh am сопртни.пеиич тчисй & — &,. нмеем

* +心+ 1

f 匕+心+心心№，十%)

凹一

&・

A%

心％

^HHllIv

M P<*uiviihv(2 52)

亿 J— |[A

、"也ZE'』W屮. j

勺+心

一（此，+ R|）

A'I + R? 4 A）+ 峭

M"」「IMH』旧。

(2 53) ■

§ 2.35. Ih.ino/i урнпнений метода узлонмх потсициялоя с по- ^<нцьи> |(>11(>логичгскнх ммтриц'. (^oiw^KyiiMocTh 7()^«»1«4^<1 (2.49)для 〃 I у 1.1ПН1 < хгмы ihmoiihm матричным уравнением

MI|/J + MIIAI = M||^)|gj + hii^|(ej

巧 仇4 仆44巧 仇4 仆4411“ 11，］”м)му ：yiK5iy Кирхгофа,IД ||/п| = 0. MaTpnuy-cT(^6f.,n наиря- )кг1111п встигй | (/„I можно записать через траиспомировянную матрицу |/1 丨"М{, 1 рипу ст(1.лбгц, потсициялов незаз^млгнных узлпн|叭 т. г. в виде I fAJ = М Г lU'l- Для рис. 2,34, г, полагая узел 4 заземленным, нм сем

巧 仇

4 仆

4

4

巧 仇

4 仆

4

4

4*1 屮2 屮J4*1 屮2 屮JI -I

4*1 屮2 屮J

4*1 屮2 屮J

0 Iо ()

-I 0

0 I

-I 0

Дгйстнителык).

4= Фл — Фг потенциалов4= Фл — Фг потенциалов"广:屮I一屮?； %=屮?； u3=屮.U4=一叫；Ufi=①2 -电］； Та «им образом, система уравнений метода узловых aniiHiiivrcH так:

4= Фл — Фг потенциалов

4= Фл — Фг потенциалов

mii&ji 川屮 “ =т 川。|&』+М1М1，(2.54)

гдеIЛ ||/!川/11' = |G| — матрица узловых проводимостей метода уз- jimibix 11()г('1пш；1./1()в. При заземленном //-узле

/ 1.Пн рис. 2.33, б

2121G|| G|2 G|；l(；?］(；+?。310用仇2 "*1G|| G|2 G|；l(；?］(；+?。310用仇2 "*1幻 + &4 + *U — &l—*6

21

21

G|| G|2 G|；l

(；?］(；+?。31

0用仇2 "*1

G|| G|2 G|；l

(；?］(；+?。31

0用仇2 "*1

—«I K| + 母! + 丛一4“

-46-Kn Ki + An + 打

§2.36. ('oo I ношения между ronojioi ичсскмми матрицами. Поли тем. что при ' <к'Т{1н.1Ц'||||ц магриц|?11，|Qr|, |А'| I иыполнены уелпнмн. ofonopctiHbie н § 2.31. Тогда

Узлы

Bctuii

(д'ЧСННЯ

Ветви

14-'

1 •・(“ 一1), !

1 .. b

;IQ』=:

1 …，一1 у ь

(// - 1)

("一 1)

% ：' Q?

Ma I рично КН1ШЮ1 нческне методы снегомп г心屮。図皿"|18卜

КсктурнКсктурн3 — 1)3 — 1)

Ксктурн

Ксктурн

3 — 1)

3 — 1)

伊』=

门■токов ветвейI/Jв виде подматрицы токов 晩予

而跪端比端‘小皿口…AJ

" -I

В

M*rp илу-столбец яаипяженяя ветвей также представим в виде подматрицы нап^. 憊曰・》£тэе各 дерева 代旬 н подизтрнцы напряжений ветвен связи J Uc]

4

WJ =，——，"С

По neps? ”s«〉Кирхгофа (4][/BJ= 0 нан

Н JPJ + 伊川/』=。-(2.55);

IQ启雪亡惠忠/巾皿8 #刀皿》„ зраНнанум 3T。吗

卜Q」-)

= I|1I4I+|q2j|/j=o

Повторим— к吁呐jqwj= ° g“o约

К

~J- =ZJWJ+HMUJ = °

^^^^^Я 冲…|01 5

^пяачиш

Тогда

№J=TQ『*hq4 T5凶= I«J = TQJ

1(] = —

—…L，R:"F

7月

"J=T4门仙厶］

(2.56)

(2.5,

У всех ненулевыкУ (2-58) (2・5凯

(2砌 (2吗

(2.62)

Рис. 2.37Рис. 2.37Но из (256) имеем П]1/д] = _[р2]|/с1| поэтому

Рис. 2.37

Рис. 2.37

IQ21 = Hi「1&]・

(2.63)

Дадим обоснование еше одному соотношению

【•勺 IKJ = 0.

(2.64)

В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов /-строки ац на элементы ^-столбца 6粧 Произведение aubkj не будет нулем, если / ветвь подходит к узлу t и входит в контур k (рис. 2.37). Но в контуре А узел i соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями m и /, поэтому всегда будет еше ненулевое произведение aimbkm, отвечающее ветви т, независимо от того, как на- правлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура k. Следовательно, каждая строка (2一64)勿)力好 + atmbkm = 0.

Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав |Q2]=—[用二 определяем [F] и по ней —[KJ

Сопоставление матрично-топологического и традиционного направлений теории цепей. В § 2.29 указывалось, что основными методами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ. Оба эти метода могут быть применены в своей традиционной форме записи: [G][(f] = Ms] для МУП и [/?]|/^] = [Е^] для МКТ либо в матрично-топологической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для задач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений традиционным способом (см. § 2.13; 2.22), осуществляемое непосредственно по схеме, значительно проще, быстрее, удобнее и надежнее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных уравнений. Что касается решения составленных уравнений, то системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в традиционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора или логарифмической линейки. Системы с большим числом уравнений в том и другом случае решают с помощью ЭВМ.

Положительная сторона матрично-топологического направления теории цепей заключается в большой степени упорядоченности составления систем уравнений. Если ввести определенную иерархию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них источников питания, индуктивных и емкостных элементов, индуктивных сечений и емкостных контуров, то могут быть составлен? ал гор ит м ы. позволяющие не только составлять системы уравнений с помощью ЭВМ. но и осуществлять с их помощью так называемое м а шинное проектирование. Под машинным проектированием пони мают числовые расчеты на ЭВМ относительно сложных систем на оптимальный в том или ином смысле режим их работы. Совокупность вопросов, относящихся к машинному проектированию, в наст ояшее время усиленно разрабатывается, олнако многие из ннх

Я ТОЗ И составляют предмсч спеп〃з.“ь

ВЫХОЛЯ1 за рамкн Юpea Iсь что традиционное и маТри *

курсов. В заключение можн^ цепей дополняют друг ^

Утопическое "嘿曬:罂^口富 обоими направлениями. гЩ га и потому студент До^' лнженерных расчетов и решении зада" выполнении повседневных 心避6,询心 пользоваться урай|А ветре，向叱窑:界;lpai„"画巾орме записи, При ма山啼 НИЯМИ теории 1“пен н- J О.топо;1()гическои форме, ном проектировании - матрични

Вопросы для самопроверки

"Э 'юктпичсская цепь-, ••электрическая схем а \ "узе/|Г

L О，，Ре^7" ^вь- -источник ЭДС-и "источник тока . 2. Как выбираю； Х^е^

су^^3工& источника тока, линейного р黎

：黑3 肾帶 p„pvMc закон Ома,ыя участка пени с 3JC, первый и в. орои 削叫 Кирш^а зГпишите в буквенном виде, ско.п.ко уравнении следует сос гаш1ятв 面 искольки по порому закону Кирхгофа Для двух законов Кирхгофа лайте “。第 формулиронки 6. Чем с.心”・т руководствоваться при выборе кшпурон, ДЛя которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхюфа. Почему ни в олип из этих контуров нс ：1<^жен входить истичник токз^ 7. Поясните лапы построения логенииальной дна«раммм. & В чем (пличие напряжения от паления напряжения? 9. Охарактеризуйте исноннме этапы метода контурных токов (МК I ) и метода узловых потенина;юн/МУ1Ь. При каком условии число уринпеиий но МУП меньше ЧИС71Л уранненнй ио МКТ? 10. Сформулируйте принцип и метод наложения. 11, Сформулируйте и докажите теорему кимпенсацин. 12. Запишите и ппяснитс линей* мыс аклношепня в ^лекгрических цепях. 13. Чю и»)ннмаил нпд нходшлми и нзаим< ными лроводимгл-тячн? Как их опрела я ют аналитически “ как опыт иым nyieM? 14. Никз 水 нте, что мет од лиух уз川jhcctl частный случай МУП. 15. Приведите примеры, показыняюшие («олезискть пре^рззоваиия зи*-лды в греутльник и треугольника в iwuy. 16. Сформулируйjc теорему компенсации н георему вариаций. 17. Дайте опрсделгиир активилги двухполюсника, иачер1 иге л»с еп> с хемы замси1еяия. найди- параметры, перечной?с уганы расчета мсголом эквиналелтнпк» к*нсратора. 爲"'Зе макенм^ьной moihiiocth нагрузке. Канон «ри этом ：Е± ?3n已'”у млн”痴"用 нениизмеиякнея сопротивлении в какнх в：

胃:累丁;『2„"展尸枚""小財询wwMm浦的‘…мес н"Па гои △；；*，%£ ：g"° 仙屮м”м прсч^разонаинн "jeyrsn川нкн н “心江 二還黑 ^.и^Г-^"C・ 2L К

八MX неи*ях получили нрирашения А% “ 3； м 〃 /〃丿• С，“з「”— в взаимные пр(жодим<кти ветвей^ 小:"皿「抽，心“心山」мн м)д 皿е、 ，，1.еА 厶 А/ А/ 22 Клим*. L * * РСЛСЛИ,е приращения ТОКОВ Н IlfTtJHX k, ПК 冲~:1〃器：就工爲:f…з山宀wc“"u還 ■ Н0Л W小如"迎二小 黑；黑；"肉”小 маз屮 I "KJ 24.4i(.п()нима' 肥£ IM 26.阿—偉篇認閣:靠鑑?叫2心皿4 w и ма? 絞丿处"严"'УРанмемия mp-io'ih vjjiohuy P ' "WHilua川,i узлов и m；it”uv |A • 费产也》，• УП^^исиол.иуя M#wn/11."小

?屍…7M.eО： I?恤 неммьзуя матрицы |А； ]. |/?, | и|А,|т. 建…妨皿…”小削為峭樂蹤冏鍔贾遠喻関;;

Глава третья

тОКДТРИЧЕСКИЕ МЕП" ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО

§3.1. Синусоидальный ток и основные чины. Синусоидальный ток представляет собой ток В。времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):§3.1. Синусоидальный ток и основные чины. Синусоидальный ток представляет собой ток В。времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):характеризующие его ве/н-характеризующие его ве/н-изменяютийсяизменяютийся= JsE= JsE2л/\~ + 中=^sin(o>/ + 叫.2л/\~ + 中=^sin(o>/ + 叫.(3.1)(3.1)

§3.1. Синусоидальный ток и основные чины. Синусоидальный ток представляет собой ток В。времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):

§3.1. Синусоидальный ток и основные чины. Синусоидальный ток представляет собой ток В。времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):

характеризующие его ве/н-

характеризующие его ве/н-

изменяютийся

изменяютийся

= JsE

= JsE

2л/\

~ + 中=^sin(o>/ + 叫.

2л/\

~ + 中=^sin(o>/ + 叫.

(3.1)

(3.1)

назынают амплитудой. Амп-——это время, за которое со-с (единица частоты / — герцназынают амплитудой. Амп-——это время, за которое со-с (единица частоты / — герцМаксимальное значение функции литуду тока обозначают J. Период Г вершается одно полное колебание.

назынают амплитудой. Амп-

——это время, за которое со-

с (единица частоты / — герц

назынают амплитудой. Амп-

——это время, за которое со-

с (единица частоты / — герц

Частота равна числу колебаний в 1 (Гн) или с—)

/=1"・ (3.2)

,У гл ива я частота (единица угловой частоты — рад/с или с-')

⑴= 2п/ = 2п/Г. (3.3)

Аргумент синуса, т. е. (о)/ + 屮)，называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времен и /.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

В странах CHI' н Западной Европе наибольшее распространение пол уч или установки синусоидального тока частотой 50 Гп, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синус。- идал1>ных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до Миллиарлов герц в радиогехнике.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких кнлогерк) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в

Рис. 3.1

6 — в курсе ТОЭ). Источник курсе радиотехникии менее^黑旣需港窓

синусоидальной ЭДС и икак и источники постоянной

на электрических схемах так же;“ 式力

” тока, но обозначают 心 е”〃

значения синусоидально изменяю，

(3.4)(3.4)Среднее^с^^начением синусоидально изменяю， щейся величины. Г1од ^^е среднее значение за полпериода, шейся величины понимают ее 卜 Среднее значение тока 帆

(3.4)

(3.4)

/f / sin w/dZ =~^m •

'ср 一 772)кк

謊壽脸。霏z=。宀巡:容謊壽脸。霏z=。宀巡:容т. е. среднеет. е. среднеео

謊壽脸。霏z=。宀巡:容

謊壽脸。霏z=。宀巡:容

т. е. среднее

т. е. среднее

2/л = 0,638 от

=为什к。применяют понятие действующего значения с^усоЦ, изменяющейся величины (его называют также эффектив- ным ли среднеквадратичным). Действующее значение тока •

(3.5).

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

E=EJ我 н U=UM色I

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

产一嗚.

牡学犒謚袭窓…постоянным током теплота равна

喝5 =r嗚7 или 4g

честно теплоты, что и с11нус()идалЬн^°^ВЫД^ J'd^^ же коли-

идее^а^н^показь,вает 遍туе

§ * * л / А т амплитуды и коэффициент формы. Коэффи- 単 ininpiiro а — этоотношение амплитуды периодически из- мен Функции к ее действующему значению. Для синусом- дзльного тока

幻= 4〃=我.(3.6)

Под коэффициентом, формы 4。понимают отношение действующего значения периодически изменяющейся функции кеесреднему за полпериода значению. Для синусоидального тока

.—丄〔m№ Л 2(3.7)

中一g一'^ =屈=1'".

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения. На рис. 3.2 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного инс/а, а по оси ординат —— мнимую часть. На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений +/ (j =V^i).

Из курса математики известна формула Эйлера

е'а = cos а + / sin а .(3.8)

Комплексное число е/а изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице н составляющим угол а с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против ча-

Рис. 3.2Рис. 3.2Рис. 3.3Рис. 3.3

Рис. 3.2

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.3

'Действующее значение измеряют приборам» электромагнитной, электродинамической и теплонон систем. Принцип действия измерительных приборов различных

сиссистем изучают в курсе электротехнических измерении. , . .. птклп

сис

сис

-Для несинусоидальных перноднческн.х токов kn ^ . ^сР#= 1Л I - то отклонение косненно свидетельствует о том. насколько несннусондальнын ток отличается от синусоидального.

—+一一出畔"1совой стрелки от ос 二 轟 + sin% = L1 оавна cosa, а на ось +/ равна胃…皿戒喧；:，%遅HKM/心。喝5ina. Если вместо фу ^^ostt+//>^儀 加же как и функция е/*屮“ “ в ФоРИ^иЙ^яетГяе：рямо\ф^ a = сц/ + % 工巳 УГ°" ■е / eW + w = SW + 巾)+〃"Sin(3‘ +“(39)]—+一一出畔"1совой стрелки от ос 二 轟 + sin% = L1 оавна cosa, а на ось +/ равна胃…皿戒喧；:，%遅HKM/心。喝5ina. Если вместо фу ^^ostt+//>^儀 加же как и функция е/*屮“ “ в ФоРИ^иЙ^яетГяе：рямо\ф^ a = сц/ + % 工巳 УГ°" ■е / eW + w = SW + 巾)+〃"Sin(3‘ +“(39)]Слагаемое /.е叫 +"*丁"海"" часть (Re) выражения /諸Слагаемое /.е叫 +"*丁"海"" часть (Re) выражения /諸собой действительную jсобой действительную j/mCOS(<«/ + 中)/mCOS(<«/ + 中)Re/产 * 6,Re/产 * 6,(3.10).(3.10).а функция /”(•，+) есть коэффициент при мнимой 4az Um)выражения /諸阿 +电i = /”sin(3l + 叫= ]m/出'"fа функция /”(•，+) есть коэффициент при мнимой 4az Um)выражения /諸阿 +电i = /”sin(3l + 叫= ]m/出'"f(3.10a)6(3.10a)6

—+一一出畔"1

совой стрелки от ос 二 轟 + sin% = L

1 оавна cosa, а на ось +/ равна胃

…皿戒喧；:，%遅HKM/心。喝

5ina. Если вместо фу ^^ostt+//>^

儀 加же как и функция е/*

屮“ “ в ФоРИ^иЙ^яетГяе：рямо\ф^ a = сц/ + % 工巳 УГ°" ■

е / eW + w = SW + 巾)+〃"Sin(3‘ +“(39)]

—+一一出畔"1

совой стрелки от ос 二 轟 + sin% = L

1 оавна cosa, а на ось +/ равна胃

…皿戒喧；:，%遅HKM/心。喝

5ina. Если вместо фу ^^ostt+//>^

儀 加же как и функция е/*

屮“ “ в ФоРИ^иЙ^яетГяе：рямо\ф^ a = сц/ + % 工巳 УГ°" ■

е / eW + w = SW + 巾)+〃"Sin(3‘ +“(39)]

Слагаемое /.е叫 +"*丁"海"" часть (Re) выражения /諸

Слагаемое /.е叫 +"*丁"海"" часть (Re) выражения /諸

собой действительную j

собой действительную j

/mCOS(<«/ + 中)

/mCOS(<«/ + 中)

Re/产 * 6,

Re/产 * 6,

(3.10).

(3.10).

а функция /”(•，+) есть коэффициент при мнимой 4az Um)выражения /諸阿 +电

i = /”sin(3l + 叫= ]m/出'"f

а функция /”(•，+) есть коэффициент при мнимой 4az Um)выражения /諸阿 +电

i = /”sin(3l + 叫= ]m/出'"f

(3.10a)6

(3.10a)6

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток z [ср. (3・1|? I (ЗЛ0а)|можнопредставитькак |т/,пс/(и/4 <)илиг1тотожесамое,как . проекцию вращающегося вектора /諸神 + *)на ось +/ (рис. 3.3).

Исторически сложилосьтак.чтопрадиотехнической литературе за основу обыч-] ко принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому полюукпея формулой (3.10).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изо- д Сражать векторы синусоидально изменяющихся во времени вели- я чин для MuMcina времени <»/ =0. При этом вектор

lm^MI 1 w = lm^ = /и, (3」1)]

me 乙—комплексная величина, модуль которой ранен /,“；屮一 угол, пол которым вектор /,〃 проведен к оси +1 на комплексной Д плоскости, равный начальной фазе.

лекснаялекснаяВ<.1ичииу Iт называют комплексной амплитудой тока i. Комп* ”'岬)，水呼 Т"К i Ha KOMIlJlCKCHOH ПЛОСКОСТИ

лексная

лексная

Hai中нженн；м VT" ：" ="' "ж‘"“се’"'" над током / или 4 синусоидально * М г^4^^ ti(j л а величина во времени изменяется Ч

'~^^^

м

,=8А ^ = 20°. Следовательно, I „ = 8е^г А. Пусть комплек туна тока /т = 25еТ”「А.

V пишем выражение для мгновенного значения этоготока.

За' и пя перехода от комплексной амплитуды к мгновен У 曬:関:/ на ем и возьмем коэффициент при мнимой части

НИ полученного произведения (см. формулу (3.10а)]:。

0Т j = ]Е25е-Ме'“' = 1 m25e<*"" " w = 25sin(o>t — 30 ).

(3.12)(3.12)卢卢収収貞貞Под комплексом действующего значения 曙常黑濫： .комплексным Тсл<ом)/понимают частное от декенна ком ；но貢 амплитуды на V2'-

(3.12)

(3.12)

卢

卢

収

収

貞

貞

ПримерПример29. Записать выражение комплекса 旭耻间叫近。значения тока

Пример

Пример

“叫\：2=5・67产 А

p c in е н иp c in е н ие, Комплекс дейсшующего значения тока 5

p c in е н и

p c in е н и

Сложение и вычита^синусоидальных функЦ^ ^Р^ “皿 決：X喘器需"喘器…3 —ТЫ. сумма их дает некоторый ток тон же частоты.

i = % + 4，

八=(sin® + WJ； iL(3l + 迎；

i =/»п(з! + 屮)・• Сзто；1

Требуется найти амплитуду L и 噹:;黑薫[£= ；)векто- /驚изобразим на嘰爲當窦貝: р。м ( = /Q а*黑思也痴 амплитуду :黑:気:

сумма векторов/|е н 坊> определяется длиной у. Р

tL/,„ =屮 AMWT噥黑 Т ；雅。бразованнмм зтнм век- 「° вектора, а ?『”ьнан фазнапряжений) в「

吋::;湍囚叫喘寓制X•黒渦譚…а в^е 需嚣黑関温、векторе».векторы (,&"『：•：：

冲-p"噌%矯盤爲謎.。ДРУr ДРУга。" нзанмное распо*г,о>ке(векторов »а

лоск 6м без нзмененн：；называют совокугнзменаю-

Векторной d噸需凿总ажакмхё叱倉喘麟叫心С комплексной плоскости, из v _ же частоты и I 、 Ш1ИЧ.Я фуикнии времени окне跳

Рис. 3.5

соблюдением правильной ориентации их относительно друг дру「\「 по фазе. Пример векторной диаграммы 〃ан на рис. ол.

§3,6. Мгновенная мощность. 11р(лекание синусоидальных токов по участкам электрической пени сопровождается потреблением энергии от источников, (.^корпеть поступления знергн” характер* ； зуетсн мошиостьи). Под мгновенным значением мощности, или под ।

JJмгновенной мощностью, ион и м а к л 11 роизведе и и<* mi новен ниго значения напряжения и на yuaciKe пени на мгновенное значение тока i, притекающего по зтому участку：

J

J

〃 = 〃/.〃 = 〃/.I -

〃 = 〃/.

〃 = 〃/.

где р — функция времени.

Перед тем как приступить к и чу «юн ию основ расчета сложных “укн синусоидального тока, рассмотрим соотношения между ту ”""м” в простейших цепях, векторные диаграммы М т；储閣関：м「"吧м“х значений различных величин. Эле- и^11( И СИ1,Ус°н；1альн<)г()тока являются резисту-； далыкло т(1К1 окч <1，н/ПКИ И. КОНЛеисатоРЫ. Протеканию еннусо% (резисторы)резистивные элементу

"9“ н” " НИД<* Теплоты — и реак・； 仲 1нгам)т знер|мн)нм；11нмг；И”""к“ " конденсаторы) — оннтоЦ I%" мтрнм поведение этих -Licmhiп)Г ),,(,JK- 10 ()^а,отеё<|

Религгивный элемент п цепи синусоидального тока* ^ I

гон(中 м 川 к。н § 1.8, резистивный моментл о идсилизир<>ва，■

CXfMHUIH iJICMVin , учи1 ынающин вылслениг тснл()п»1 в ТОМ ИЛИ] ■

•^IVMCinr рСИЛЬНОЙ электрической ЦГИИ. 1.ГО Х」рак Г《、卩H：(yH)W" т八 Я м(нлы<> напряжения “ па нем от протекающего но нему гока / ("。 имнерной хирак»с|)иг1икой) или conpoihiukuhh'M /?"/'• "*' нсЦ

№t№tмах его и м)6ра/кик)|, как и ргзисюр, м нн八е iip>iM《)yi ujimimk" (Р ■ 3.5, а), 11оложигелы1ыс направлении(Псчета u и i сонпадзк)т«

№t

№t

Пусть i = /msino)/. По закону Ома,

и = iR = R/mSinu" = L/^sincof;

(3.14)

『R匕

Векторная диаграмма комплекса тока / и совпадающего с ним по Фазе комплекса напряжения U показана на рис. 3.5, б.

На рнс. 3.5, в Дзны кривые мгновенных значений тока i, напряжения и и мощности р = и"眉皿2皿=字и 一 сз2з/).

Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую -二史 н составляющую —^ mcos2w/, изменяющуюся с частотой 2з. Потребляемая от источника питания за время d/ энергия равна pd/.

§ 3.8. Индуктивный злемент в цепи синусоидального тока. Ин- дуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС, изменяющимся во времени магнитным потоком, и явление накопления энергии в магнитном иоле реальных элементов электрической цени. Его характеризуют зависимостью потокосцепления 中 от тока / (вебер-амперной характеристикой) или индуктивностью 厶=屮". На электрических схемах индуктивный элемент изображают, как показано на рис. 3.6, а. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов.

Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направления тока / через него, ЭДС самоиндукции eL н напряжение И а нем иаЬ указан ы на рис. 3.6, а. Если t = /msin<of, то cL =-厶^" = -(oL/wcos(.»r = ^Llms\n(Mt - 90°). Определим разность no- тенималов между точками а н b. При перемеи1ении отточки b к точке а идем встречно ЭДС 〃， поэтому 屮口 =与—4 н

di

〃仙=(po 一 屮〃 =—eL = L—. В дальнейшем напряжение на индук- тинном элементе будем обозначать 〃/ или, просто, и без индекса

L = А = “

(3.15)

Следовательно,

:“(山戸in(初 + 90。)= U»n((。，+ 90 )；

IU〃i = 3“n・

(3,16)

X=^^'^

X l -(。L.

индуктивным co-

(3.17)

■)

Рис. 3.7

（）тг|

р =.ui ^ l/wcoswt/msinu>/ = ―~—sin2u)f(3.18)

Рис. 3.6

Таким образом, индуктивный --^^^к

с комплексом напряжений U.4 6d.^l

Графики мгновенных значений i, и, р изображены на рнс.・•，j Мгновенная мощность

Падение напряжения на реальной 嘴需郡嚣澀：з‘瑞。 詮吗*謠券獄塊ДT:к' 5Д 口。6Р當m f 90 <ндУктивной катушки. Чем больше Q° тем меньше 5・

■ н jЕмкост-

.Емкостный элемент в М5噴£黑膿澧：寫匹позволя- идеализированныи схемньнакопления

токов смешения и я^^ектриЧеской поле реальных элеме напряжения и зависимость заряда 9 _ / Графиче- 我叫 тная характеристика) или ^^ьже и изображе- 制”嚼禽鳥霹:。r骰齎累…喘1喘栗騎у ние конде }овпа]ают・ Если приложеньюСц на одной

-^ниеинеиз—

鶴膿%蒙牌閣豔瑞鹏『в。врем.，* ^^^^ а

ПО синусоидальному закону б^

Л =С" =CU“FE(oi，прпезарядка конденсатора v у

堂関鶏騎黑膿喘знеу 。：：⑶期 ^^l^wCU^^- i/зС

c ⑼ н (3 19a)видно, что ^ок ^рез^^^н^* Из сопостэв^^ия(3^на конденсаторет вектор на-

опережает по фазе iiaHP7, б) вектор /畔：匕川仃丫贅 напраже-

векторной —Р馭м；儒。^ /м равна амплитуд

чряженняна еМКОстное сопротивленн .

ния ипе деленнон наем।

(3.19)

(3.20)

проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либ^ ) либо 〃. За первую четверть периода, когда “ н i положи тел ьны,^ | также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью <l 1 сцисс за зги время, представляет собой энергии), которая взятз °, i источника питания на создание энергии магиитого ноля в инДУк\ ( тннно« катушке. Во вторую четнерть периода, когда ток в lie"?.

(3.21)

1 т = Uт/X口о частоте.

леНие обратн上嘿;п；кн мгновенных Емкостное 黑駕 сощуо^^^мощное^

Единица емкости *енн на рн《・，八(3•一)

•„面мрМзобра&&皿八

уменынается от максимума д(з нуля, энергия магнитного и<)лЯ . дается обратно источнику пи1ания, при этом мгновенно я мощность 1 огрииатсльни. За трстькз uci вер гь периода у ис точи и ки снова заб* | раем* знср| ня, за четвертую отдается н т. д.( jivaobu гелыкь зНСр^Л I ия периодически ю забирается индук! ивной катушкой от источен-■ ка, тг) отдастся ему обратно.

p n 2

認■儒壊脳’黑湍

黑案膿黑5pF肾

то получимто получим丄С丄Сidtidt(3.24)(3.24)

то получим

то получим

丄С

丄С

idt

idt

(3.24)

(3.24)

поля в нем. Во ^^^i^ ：；鬻;： Тор^ уменьшается от максиму 限丁小頓“吋(мгновенная “。山加畧： :溫2黑К需ЗМ четверть периода энергия снова запаса. еТ(^Х^ обе части равенства

=С不=С不,.加 (3.23)

=С不

=С不

Равенство (3.24) позволяет определить напряжение на конде融 езторе через ток ло конденсатору. Ток через реальный конденсатору пластины которого разделены твердым или жидким диэлектриком^, в котором имеются тепловые потери, обусловленные вязким трени- ем дипольных молекул и другими причинами, в расчете, можно учесть ио схеме (рис. 3.7, г). Результирующий ток /〒 /丨 + 厶.

Ток /( опережает U на 90°, а ток /2 совпадает с U по фазе (рн&$ 3.7. d). Угол б назынают углом потерь; tg6 = 1 /Qc, где Qc ——добро?」 кость конденсатора, tg6 зависит от типа диэлектрика и от частоты

н изменяется от нескольких секунд до нескольких градусов.

§ зло. Умножение вектора на / и -/. Пусть есть некотооый вектор 4 = Лс^« (рИС, 3 8)Умножение его на / дает вектор по SSSZ^ в сторону。鳥需講辿畳 вожение ЛР.я ш к исходному вектору А на 90°. Ум-.- нмя (по часовой п\н^^ %，,а 90° в сторону отставь

убедиться форме:убедиться форме:н ) к*е без изменения его модуля. Чтобын представим векторы / и —/ в показательно%：

убедиться форме:

убедиться форме:

一/ =一/ =ТогдаТогда1 • *)° = e w；1 • е -做=е - /90。1 • *)° = e w；1 • е -做=е - /90。(3.2評(3叫1(3.2評(3叫1

一/ =

一/ =

Тогда

Тогда

1 • *)° = e w；

1 • е -做=е - /90。

1 • *)° = e w；

1 • е -做=е - /90。

(3.2評

(3叫1

(3.2評

(3叫1

Ai ^ A^aQi^ ^ А^п^^^^~ 力=4 ё% -阿。=а ё他一 90»)Ai ^ A^aQi^ ^ А^п^^^^~ 力=4 ё% -阿。=а ё他一 90»)(3.2 力‘(3,28)，(3.2 力‘(3,28)，

Ai ^ A^aQi^ ^ А^п^^^^~ 力=4 ё% -阿。=а ё他一 90»)

Ai ^ A^aQi^ ^ А^п^^^^~ 力=4 ё% -阿。=а ё他一 90»)

(3.2 力‘

(3,28)，

(3.2 力‘

(3,28)，

Мз(3 27)с“е

：；：：；：J 1 ^щц^^равный Д,составляет^

“а 鎬"“I 仇 + 9°°，т.поверн Л

m恤уМ。pi喘乳工:>№нне в》澧：甯呢:”人 ,

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока. Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, состав-тенных для мгновенных значений н являющихся дифференциальными уравнениями [см., например,(2.29)], к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока н ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока / заменяют комплексной амплитудой тока /加；мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением . R, равное Ri,— комплексом R/加，по фазе совпадающим с током /т; мгновенное значе-

“ ,di

ние напряжения на индуктивном катушке 〃厶=厶石一комплексом /f„/(oL, опережающим ток на 90°; мгновен ное знамен не напряжения на конденсаторе 心=鋁由—комплексом /ш|-^г-|, отстающим от тока на 90°; мгновенное значение ЭДС с — комплексом £ш. Справедливость замены uL =厶招 на 乙/⑴厶 следует из § 3.7 и 3.8.

В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на 厶 равна и'роизведению амплитуды тока на X； =(oL. Множитель / свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке опережает вектор тока на 90°.

Аналогично, из § 3.9 следует, что амплитуда напряжен и я на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на Хс = 1 /(оС. Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тбкз на 90° объясняет наличие множителя ——/•

'Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных значе> HHii можно записать так:

"a + "丄 + ие = e，

Запишем его в ком1мекснойформе^ !mR^fmiML^ 14 {йС

Вынесем /„, за скобку:

w+個厶一百=

Следовате/1ык), для схемы рнс. 3.9

R + /<" —

.Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока !т через комплексную амплитуду ЭДС Ет 乂 сопротивления цепи

昭 о厶 и 1/шС.

Метод называют символическим потому, что токи и напр5【*ення

заменяют их комплексными изображениями ил и символами. Так 4人一 9To изображение или символ падения напряжения 灰

)мИт — изображение или енмиол падения напряжения 〃/

-記％ — мзображенне или символ падении напряжения на конден-

саторе "卜"

^^ого^^^3盤н Ома для цепи синусо-

(〃⑴О » Уравнении (3.30) обозначается через/ Fma J Mttl Размерность сопротивления И Р 厶 tro называют комплексным сопротивлением

(3.32)(3.32)"=R + /⑴厶c

(3.32)

(3.32)

Как и всякий комиПРкс 7 一

Форме. Модуль комплексного спп^Н° записать в показательно»

Т°ЧКу надZнес，^вят iioi м?ИМеИИЯ "РН""") обозначать С0ИЛа ^ими к?мплекснимн в ел и ч и i*(} 11Р И Н н То с 1 а н * * ь се то л ько

Vpa黑;義閣凿 времени.' " Котора отображают с叫

：：：：；『”「а『障誅;:Т：： ^ '^ Раздоим обе '"'мпенствующнхзнаие篇;费с”"' ам — нгуп 1т и Л

02

= £/Z.

(3.33)

Уравнение (3.30) представляет собой закон Оми для цепи сину спид ильного тока.〃

В общем случае Z имеет некоторую дейстнигельную часть R и некоторую мннмую часть jX:

Z = R + jX,(3.34)

где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.

Для схемы (см. рис. 3.9) реактивное сопротивление

X = з厶一l/(t)C.

§3・1七 Комплексная проводимость. Под комплексной проводимостью г понимают величину, обратную комплексному сопротивлению/:

Y =\/Z = g- jb = yi.(3.35)

Единица комплексной проводимости — См (Ом *). Действительную часть ее обозначают через g, мнимую — через Ь. Так как

L 一 I R-iX R . X..

Z R + /X _ r2 + ,d — 終 + *2 _ / M + x'2 _ g _ '，

ГО

" = ?q7Fife = ^T^; =(3.36)

Бел и X положительно, то и b положительно. При X отрицательном Л также отрицательно.

При использовании комплексной проводимости закон Ома (3.33) записывают так:

，=ОУ,(3.33а)

〃 или

:i = i)g — ji)b = L + i,,

Г где 乙一активная составляющая тока; /, — реактивная составляющая тока; U — напряжен не на участке цепи, сои роти влей не которого ранно Z.

Треугольник сопротивлений и треугольник проводимо

стей. Из (3.34) следует, что модуль комплексного сопротивления

z = j声工吐(3.37)

Следовательно, г можно представить как гипотенузу прямо- угольного треугольника (рис. 3.10) — треугольника сои роти вленнй, один катет которого ранен R, другой — А. При этом

tgq〉= X/R.(3,38)

Рис. 3.10Рис. 3.10ggРис. 3.11Рис. 3.11комплексное проводимостиАналогичным образом^ Следовательно.//есть гипотенуза ответствен с (3.36[鏡器 А р"。3.11), катета мн которого явля- 黑事S="p3M0E：IBкомплексное проводимостиАналогичным образом^ Следовательно.//есть гипотенуза ответствен с (3.36[鏡器 А р"。3.11), катета мн которого явля- 黑事S="p3M0E：IBigq)= ”/g・igq)= ”/g・(3.39)(3.39)Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связн между модулем полного сопротивления z н активным и реактивным сопротивлениями цепи; треугольник проводимостей — ин-Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связн между модулем полного сопротивления z н активным и реактивным сопротивлениями цепи; треугольник проводимостей — ин-териретацию связи между модулем полной проводимости у и ее ।териретацию связи между модулем полной проводимости у и ее ।активном 11 реактивной составляющими.активном 11 реактивной составляющими.§3.15. Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока приходится иметь делос ком1иекснымн числами: сопротивление участка цепи или цепи н целом ——это комплекс; ироноднмость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока но за кону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопротивления.Нз курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи; алгебраической а + jb, показательной сс川 и тригонометрической ссо§ 屮 + /csinqi.Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь а.'пебраической фирмой записи. При этом отдельно складываются их дейс гвнтельЧ ные н мнимые части:§3.15. Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока приходится иметь делос ком1иекснымн числами: сопротивление участка цепи или цепи н целом ——это комплекс; ироноднмость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока но за кону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопротивления.Нз курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи; алгебраической а + jb, показательной сс川 и тригонометрической ссо§ 屮 + /csinqi.Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь а.'пебраической фирмой записи. При этом отдельно складываются их дейс гвнтельЧ ные н мнимые части:('+"" +(% + /%)+(&-/%) = (/('+"" +(% + /%)+(&-/%) = (/Деление и умножение ясь показательной формойДеление и умножение ясь показательной формойкомплексных чиселкомплексных чиселкомплекс с?。/吃 вкомплекс с?。/吃 взаинсн. Напримерзаинсн. Например+ 勾 + О)+ /(% + % - ％)• целесообразно производить, пользу- Г+ 勾 + О)+ /(% + % - ％)• целесообразно производить, пользу- ГРезуттате деленияРезуттате деления'нужно разделить комплекс с'нужно разделить комплекс сбудет получен комплексбудет получен комплекс|С何 Н8]卩1|С何 Н8]卩1‘' 一奇=力叱3・

Рис. 3.10

Рис. 3.10

g

g

Рис. 3.11

Рис. 3.11

комплексное проводимости

Аналогичным образом^ Следовательно.//есть гипотенуза ответствен с (3.36[鏡器 А р"。3.11), катета мн которого явля- 黑事S="p3M0E：IB

комплексное проводимости

Аналогичным образом^ Следовательно.//есть гипотенуза ответствен с (3.36[鏡器 А р"。3.11), катета мн которого явля- 黑事S="p3M0E：IB

igq)= ”/g・

igq)= ”/g・

(3.39)

(3.39)

Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связн между модулем полного сопротивления z н активным и реактивным сопротивлениями цепи; треугольник проводимостей — ин-

Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связн между модулем полного сопротивления z н активным и реактивным сопротивлениями цепи; треугольник проводимостей — ин-

териретацию связи между модулем полной проводимости у и ее ।

териретацию связи между модулем полной проводимости у и ее ।

активном 11 реактивной составляющими.

активном 11 реактивной составляющими.

§3.15. Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока приходится иметь делос ком1иекснымн числами: сопротивление участка цепи или цепи н целом ——это комплекс; ироноднмость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока но за кону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопротивления.

Нз курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи; алгебраической а + jb, показательной сс川 и тригонометрической ссо§ 屮 + /csinqi.

Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь а.'пебраической фирмой записи. При этом отдельно складываются их дейс гвнтельЧ ные н мнимые части:

§3.15. Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока приходится иметь делос ком1иекснымн числами: сопротивление участка цепи или цепи н целом ——это комплекс; ироноднмость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока но за кону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопротивления.

Нз курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи; алгебраической а + jb, показательной сс川 и тригонометрической ссо§ 屮 + /csinqi.

Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь а.'пебраической фирмой записи. При этом отдельно складываются их дейс гвнтельЧ ные н мнимые части:

('+"" +(% + /%)+(&-/%) = (/

('+"" +(% + /%)+(&-/%) = (/

Деление и умножение ясь показательной формой

Деление и умножение ясь показательной формой

комплексных чисел

комплексных чисел

комплекс с?。/吃 в

комплекс с?。/吃 в

заинсн. Например

заинсн. Например

+ 勾 + О)+ /(% + % - ％)• целесообразно производить, пользу- Г

+ 勾 + О)+ /(% + % - ％)• целесообразно производить, пользу- Г

Резуттате деления

Резуттате деления

'нужно разделить комплекс с

'нужно разделить комплекс с

будет получен комплекс

будет получен комплекс

|С何 Н8]

卩1

|С何 Н8]

卩1

аргуменМ-з=Т^Ф2УЮ к°мп"скса с3 равен частному от деления “ на с?, \

РИ ум,,<,жснии 川|ух комплексов(・，屮1 и с,誌2

2 результирующнй комплекс

■，4『卢呼仆.+切

* 'ри расчетах/

”:…冋…而中聴関踪Х,^х--恥冰■

例U，K，，0Hi,3a'^H.<>H илипаоборот.

0)0)a)a)

0)

0)

a)

a)

Рис. 3.12

Пусть задано комплексное число а + jb = се'，Здесь с = уа2 + 乎,tgq> = b/a, а = ccosq). b = csin屮.

Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, рекомендуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс на комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол ф между осью + 1 и вектором. Углы, откладываемые против часовой стрелки от оси + I, считают положительными, по часовой стрелке ——отрицательными.

Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а)3 + +2/; 6) 2 + 3/; н) 4 - 5/; г) - 6 - 2/; д)- 0.2 + 0.4/； Q 叱丁 /0.8.

Решение пояснено на рис. 3.12, а — е: а) 3 + 2/= 3,6(?'; 6) 2 + 3/= 3,6е〃；

в)4 — 5/ = 6,4е~ /5Е;г)— 6 — 2/ = 6,32 L面您’=6,32 е‘■，!!)一 02 + 0,4/ = =0,448抑6吗 ё) ]о - 0,8,冬]0e-/О'.

3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

》=0.(340)

е，з/]\ __ о Так как е^1 не равно нулю при любом С, то % = °-е，з/]\ __ о Так как е^1 не равно нулю при любом С, то % = °-(3.40a)(3.40a)Подставив вместо/Л в(3.40) /卢“"н вынеся е""за скобку, получим

е，з/]\ __ о Так как е^1 не равно нулю при любом С, то % = °-

е，з/]\ __ о Так как е^1 не равно нулю при любом С, то % = °-

(3.40a)

(3.40a)

Уравнение (3.40a) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

МОЖНОМОЖНОммДля замкнутого контура сколь угодно сложной а刀ектрн” цепи синусоидального тока можно составить уравнение па ”。‘功力 закону Кирхгофа для мгновенных значении токов, напрЯи<О1^°^у ЭДС."

МОЖНО

МОЖНО

м

м

（3.41）（3.41）/+&А小”2"/+&А小”2"Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая ^.Вр общем случае включает в себя источник ЭДС е‘，резистор R н 丁^卜 в тивнын Lk и е.мкостный Ct элементы, по которым протекает “夂丫卜 Тогда по второму закону Кирхгофа,'ок《

（3.41）

（3.41）

/+&А小”2"

/+&А小”2"

（3.4la）（3.4la）Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии § 3.12 можно заменить на /kZk, а каждое слагаемое правой части ° на £*. Поэтому уравнение （3.41） переходит в

（3.4la）

（3.4la）

>/£=［以

*=I a=i

Уравнение （3.41а） представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

. Применение к расчету цепей синусоидального тока методов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока». Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разработан ряд методов и приемов, облегчающих решение по сравнен ию с решением системы уравнений при непосредственном ис- пользовании законов Кирхгофа. Из гл. 2 известно, что к числу таких

методов от носятся методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д. Известно также, что окончатель* ные расчетные формулы этих методов получают в результате выводов, в основу которых положены первый и второй закон ы Кирхгофа.

Поскольку первый и второй законы Кирхгофа сираведливы и для цепей синусоидального тока, можно было бы записать уравнения для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока* перейти от них к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2 для цепей синусоидального тока. Понятно, что ир（）дслыва гь выводы ззноио нет необходимости.

В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи с и ну* ‘（jH/iajibiici о ］（）ка не связаны между собой магнитно, все расчетнь*6 формулы Iл 2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, “иРмулах вместо постоянного тока / подставить комп- у нм（；：""）""丈м（）С1 н g — комплексную проводимость с；。“ — комплексное сопротивление Z и вме・ сю посгояннои ЭДС Е — комплексную ЭДС£ т<жа\н1за|||Г^^"、“н синусоидального

‘ 1. 1рум）м магнитно （это имеет место при нал ичи^ 加

вззнм ; ' адение напряжения на каком-либо участке ие"" кптппими ,°丁 т°ка данной ветви, но и от токов тех ветвЕ， Р, ннан ветвь связана магнитно. Расчет элект- Р"“еск » Ус°идального тока при наличии в них магнитно- связан риобретает ряд особенностей, которые не могут 6bqe ' формулах гл. 2 непосредственно заменить Е на £/?на g R • собенности расчета магнитно-связанных цепей рассмотрены в § 3.36.

Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепен синусоидального тока. Ток и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по 巾азе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении Различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.

Качественный контроль заключается в сравнении направлений различиых векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение (7/ должно опережать ток / на 90。, а напряжение Uc — отставать от тока / на 90°.

Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошибка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных величин.

Пример 31. В схеме (рис. 3.12, a) e=14lsin(of В; Ri = 3 Ом; R2 = 2 °м; 厶=0,00955 Гн. Угловая частота со = 314 рад/с.

Определить ток и напряжение на элементах иепн.“

Реше к и е. Запишем уравнение для мгновенных значении

,dii(Ri + 比)+ 厶.=&

Перейдем от него к уравнению в комплексах: /(R| + %)+ 〃"/ = Е или JZ — Е,

где Z = & +R,)+ jsL = 3 + 2 + /314 • 0,00955 = 5 + 3/ = 5,82/31 .

Комплекс действующего значения ЭДС £ = 141/丫2 = 100 В. Ток / = f/Z= 100/5.8е,31'= ^^"^''А.

"•-1"Рнжени,, па Q 如=a〃=/Rl=5l：6ef в察心旅2=0"=.=34.S田.B;

，u> L Ui =(/ / —17 2e~'" = 51,6“ В.

В Векторная диаграмма Изображена на рнс.3.13,6. Вектор Е напрасен пооси + I. ектор тока / отстает от него на 31°.

VVРис. 3.13Рис. 3.13Л/Л/6)6)а)а)厶Л厶ЛVVjjJ)J)Рис. 3.14Рис. 3.14乙乙VV‘2 I‘2 IS)S)Рис. 3.15Рис. 3.15

V

V

Рис. 3.13

Рис. 3.13

Л/

Л/

6)

6)

а)

а)

厶Л

厶Л

V

V

j

j

J)

J)

Рис. 3.14

Рис. 3.14

乙

乙

V

V

‘2 I

‘2 I

S)

S)

Рис. 3.15

Рис. 3.15

Поимер32 Решить задачу примера 31 методом пропорциональных ветчин.. решение. Зададимся током в цепи в! Ан направим его на векторной 朋妙 рам」』；；： 3.13. в) по оси +|(/=1). Напряжение на 当 совпадает по фазе с ^ н численно равно ЬЗ = ЗВ. Напряжение на /?2 также совпадает с током и равно2В. Напряжение на 丄 равно 3 В и опережает ток на Из прямоугольного треугольника ' следует, что при токе / = I А на входе Е = \‘5 + 3 = 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82= 17.2 раза больше, то все токи н напряжения должны быть умножены на коэффициент 17,2. На рис. !3.3, в все векторы повернуты наЗР । против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.® ： б. Ясно, что взаимное расположение векторив на диаграмме при этом не изменнлось J

Пример 33. В цепи рис. 3.14, a R = 4 Ом; ш = 105 рад/с. Определить емкость， конденсатора С, если £ = 10 мВ, / = 2 мА.

Реш е н н е. Комплексное сопротивление цепи Z = R — 〃зС, его модуль ' 2 =昧2(/叫2：

По закону Ома / = Е/г. отсюда z = у = 10-10~3/2- Ю~3 = 5 Ом.

Следовательно, Хс = 1/а)С =甘—R7H 7^^終=3 Ом- С = =1/(105.3) = 3.33 мкФ.|I

熱阴黑7!Г「Рамма изображена на рнс. 3.14, б.

м& индуктивное 當篇:;::靠『，吧吃口曲 Зн рис. 3.15, а параллельно вкМ 口 ное Л.. Покячаиип，L "L и активное сопротивление R, численнора>

полагая сопротивление ампепметп^ ^ “，Определить показание амперметра Д> 卩 менне амперметров настолько малыми, что их можно не 4Mmн护

98

P c ui e н н e. На рис. 3.15, о качественно построим векторную диаграмму. На- 叩яженне Uab совпадает по фазе с током /2. Ток /, отстает от тока /2 па 90° и равен ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы /3= /, 4- /2. Модуль тока /3 = 5у2 = 7,05 А. Амперметр Д3 покажет 7,05 А. 一

Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы рнс. 3.16, а, если ；! = 1 А, % = ЮО.м^Г, = 10 Ом. 1/шС= 14.1 Ом; wL3 = 20Om. /?2 = 2,5 0м.

Р е iu е н и е. Обозначим токи к примем положительные направления для них в соответствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов т, = 0,5 А/см н для напря- 否енн" "I。= 4 В/см. Ток 厶 направим по оси 4- 1 (рис. 3.16, б). Падение напряжения Uri = 10 В и по фазе совпадает с током /(. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении з厶 также равно 10 В, но опережает ток 厶 на 90°. Геометрическая сумма О. + ()□ по модулю равна 10底=14,1 В. Емкостный ток /9 опережает это напряжение на 90°. Модуль тока /2 = 14,1/14.1 = 1 А.

Т.ок в. неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: 4 = ‘I + /о- Модуль его равен ~ 0,8 А (найден графически). Падение напряжения на сопротивлении R3 равно 2 В и совпадает по фазе с током /3. Падение напряжения на индуктивности £3 опережает ток /3 на 90° н численно равно 0,8• 20 = 16 В. Напря- 出енне на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 В.

Пример 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рис. 3 16, а опытным путем найдены значения токов 厶./2 и Л (п ветви схемы включили амперметры и записали нх показания), /t = 1 А, /2 = 1 А. /3 = 0,8 А и определены трн напряжения: напряжение на входе схемы U =~Е = 18,3 В, напряжение на конденсаторе Uc = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) н напряжение на третьей нетвн (на R：, и 厶3) U3 н 16 В. Напряжения были определены путем подклю- “еннх польтметр а поочередно к зажимам а н % а и с. е н с.

Но опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить векторную диаграмму. •

Р е in е и и е. На рис. 3.16, в отложим вектор Uc, по модулю равный 14,4 В. Для сопоставления с рис. 3.16, б расположим егона диаграмме так же. каком расположен "а рис. 3.16, 6.

Изобразим на диаграмме ток /2. Он на 90° опережает напряжение Uc и по модулю равен 1 А. После этого построим на диаграмме токи /| и /3, воспользовавшись тем, “тотрн тока (/, /2 и /3) образуют замкнутый треугольник (рис. 3.16. б).

по трем

Для哼p需器喘部仙曾"汽黑W" "eК"” Т,Н Qt. ° нЗ強］ НИЯ третьейравны» ток)рапном м>ку %.I

:。叱2 3「y Р抽%)器whm Аy"屮［岬m"叮屮叩С川,"нка, т . }

вершинытрсугольникяНФх ду| 妙皿吁；閣"Ilm* том» как диа|рам^ I …跳鵰飞器:爲£Тме“。изобразить на ней - горы „а(.ряЛ :喘避：；；“ М -иже ^^^讯

м患::明悶;峭端出方器"：「:

дугу радиусом. рнвн«м £幫工二四6曲 лзденис напряжении or тока 1^ ,

Так хак »«апряжснне 劣叩丁 。电 По фазе должно опсрежа 1ь ток 厶.а 肥 11gmM E20C3HHHX%Hd

пггтянать от нею-人(если Лы выбрили г(*чку /. го в этой

W Поэтому нз точек, и/выбираем 誑遍，-(иставало бы от тока /3, а не . случае напряжение (/3-пунктир I

одережало его).чтовтпеуг(м1ьнике токов дуги тоже нересскаклся в двух

Взяключениеотметим.3 広 о не показана.>' I

точках, но вторая (лишняя! точка на рнс.“ I

Изображение разности потенциалов на комплексной пло- скЛи Потека*, цепи переменною тока являются комплексны^ , 3 комплексной плоскости комплексное чи?ю можно g Хб?зжХ либо точкой, координаты которой равны деиствитель.： |

ной и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости. 他

На рис. 3.17 представлены дна нектора, изображающие собой/ комплексные потенциалы: % = — 2 + 5/ и 必=4 + j.

По определению, разность потениналсн 〃浦=。一血 м「 =-6 + 4/; Uab изобразится вектором, напранленным от 6 к dl ГкрвыА индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указы- 需嚙黑得;；Z券理］明Mb етрелку вектора皿"叫 ской cxeMiV н°к?^ИЧ,^СКаЯ ""^грамма. Каждая точка элсктриче- j значение комп.екс^го^^ ^еметгы схемы, имеет свое j -^^^скости, изображающих!

口вумя точками на мс< гности ■70 ,ка карти. Расстояние меЖДУ £

ние между одноименными точка!^ измерив расст。” 寵叫需黑爲幫，,0北黑& и ”а то11.» рВфич^ I 薫2嶽蹤亀崎承⑥:関片謂，:謊温I

^H^ipdMMe от точки 6 к 1仆厶弋"1)。冋儿еннмм на топографу j

Рис. 3.19Рис. 3.19

Рис. 3.19

Рис. 3.19

При построении топографи«1еской диаграммы, как и потенциальной (см. § 2.丨0), гиггенциал любой точки схемы может быть принят равным пулю. На диаграмме эту точку помешают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цени, ЭДС и токами ветвей. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 37. Но данным примера 35 построй гь топографическую диаграмму для схемы рис. 3.16, а.

Р е ui е и и с. Обозначим буквами а, Ь. с, ... точки схемы рис 3.16. а, которые хотим отобрази!ь на гонт ра巾hvcckuu диаграмме, “рнмсм потенциал точки а равным пул ю:屮"=0.

Выразим нигснииал точки 8 через питенциал точки а:

.=屮а + 7|R| = "а + 1°

Знак плюс перед слагаемым /网 пбуслоплел тем, что при переходе от точкн а к точке b перемещение происходит навстречу току /〔 (при згом потенциал ув€и1и<1ивае1ся из

/|/?1). Точка 力 на диаграмме имеет координату по осн абсцисс + 10. Аналогично.

(Рг = Фь + ‘小妙厶1 = 10 + /10；

脸=欣+4A

屮「= “d + 'з/⑴厶з・

Совокупность тоиек и, Ь, с, J. с на комплексной плоскости (рис. 3.18) представ- 〃"。| собой топографическую диаграмму схемы рис. 3.16, а. По ней удобно опрсде* л ять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения относительно любого другою наирижения.

Пример 38. НаАтн т“кн н схеме (рис. 3.19) методом узлоннх потенциа^он Поле- жии'льныс направления ЭДС указаны на схеме стрелками, «〕= 120V2sintu/ В. 勺=M)0V2cas(o〃 一 120°) В: 〃 = 2 Ом; \/мС2 = 10 Ом;⑴厶？ = 5 Ом

Р е hi е и и <•. Запишем ЭДС в комплексной форме: £( = 120, £劣=100е~ 厶町

В ыберем положительные напранлеиия для гиков в нет них к узлу а. Определим чрпипднмоан ног вей; К( = I/Z〕= 1/2 = 0.5 См; Г2 = l/Z2= 1/(- 10/) = 0.1/См; % = I/Z；,= I/(5/) = - 0,2/См.

« 1СИс~ /в* В.« 1СИс~ /в* В.Заземлим точку Ь. Уравнение по методу узловых потенциалов 屮/а” = Аш；

« 1СИс~ /в* В.

« 1СИс~ /в* В.

% =% =120・0,5+ 100с-砂・0,2е~М0.5 + 0,1/ — 0,2/

% =

% =

-九 Igo - IO4t E ^ 8 5 + /7,25 - 11,17,枢广方 д；

一］.勺/ ・1。4 ".A,

/ _ % I恤 5^J21lJ^ .

hm”Y"-川侬。)一IU4“us” zi_Zli!吧=

-~~~"^5/

二 16.2 - 35何 39』у" 7 82/的纷 A

Пример Ж Нябгй гоми ihx^mc ри< 3,20. 〃 меюдом 帆川么卩"1" Токои н построй^ 101Мряфнчссную диягрямму,牡стш & — 100 В, £；2 = 1()0。' Н； *。= 1/sC = 2 О* R — <ri/. •- 5 Ом

Р <* ш «* и и <• Ны&рсм "анраи〃*"хя контурных гоиип / ц и /^ ио часоной стрел. И€ Злнншгу иобгисм 鶴мл。урхип/мн» /шя контурных током|ср г- уравнениями (2.4б)|

“<■ Zu - кЯ5гтвсин<м*(опр(/1ннлекиг urpuoiu контура. Z“ 一〃 厶《= 5 _ 2/j7m-^^n^ гопр/пиплгииг biopoio мои гурд. Z卸。々 +/：：［.5 + 6А〃…办 EMW2 соярщинлениг второго Koniypa. и,мпх> со знаком минус；2.Л|₽бряическия сумм” ЭДС："叩““ и^^^'^ гумм， ЭДС нторспо“<■ Zu - кЯ5гтвсин<м*(опр(/1ннлекиг urpuoiu контура. Z“ 一〃 厶《= 5 _ 2/j7m-^^n^ гопр/пиплгииг biopoio мои гурд. Z卸。々 +/：：［.5 + 6А〃…办 EMW2 соярщинлениг второго Koniypa. и,мпх> со знаком минус；2.Л|₽бряическия сумм” ЭДС："叩““ и^^^'^ гумм， ЭДС нторспо—1(Ю/—1(Ю/00/|? /"/|? /"一—《Й 一 G ■ MX),一—《Й 一 G ■ MX),-Лгдопательно,-Лгдопательно,Q Опред|«/|Q Опред|«/|33А?-.А?-.тт，/，//"俗一.2/) - 5/h - 100,/"俗一.2/) - 5/h - 100,П + ‘2*П + ‘2*”「w системы”「w системыЛ - ♦Л - ♦佈佈爲爲"mw и < х«м「"mw и < х«м「4 肉■ 一 loo/4 肉■ 一 loo/контура, контура,контура, контура,2/)-5(52/)-5(5AiAi2/)2/)"' Л|/Л"' Л|/Л-10 f 15/ 。限网叫电-10 f 15/ 。限网叫电1006I 皿/(S If)1006I 皿/(S If)例)0,例)0,100100/100100/3。06)0/ . 6h2"跃叫3。06)0/ . 6h2"跃叫j GO()/|M(./")“？rj GO()/|M(./")“？r勿 ~ А" А 一 r»H2r /*勿 ~ А" А 一 r»H2r /*■ 27Мг 阿 “mA；■ 27Мг 阿 “mA；Wi—f “Wi—f “/1年,側"、32小"面/感 / 残 у :м)〃/| и/1年,側"、32小"面/感 / 残 у :м)〃/| ии (ибрп/неии ин |>ис. 3.20»и (ибрп/неии ин |>ис. 3.20»/“Z" + //〔а ■々I；

“<■ Zu - кЯ5гтвсин<м*(опр(/1ннлекиг urpuoiu контура. Z“ 一〃 厶《= 5 _ 2/j7m-^^n^ гопр/пиплгииг biopoio мои гурд. Z卸。々 +/：：［.5 + 6А〃…办 EMW2 соярщинлениг второго Koniypa. и,мпх> со знаком минус；2.Л|₽бряическия сумм” ЭДС："叩““ и^^^'^ гумм， ЭДС нторспо

“<■ Zu - кЯ5гтвсин<м*(опр(/1ннлекиг urpuoiu контура. Z“ 一〃 厶《= 5 _ 2/j7m-^^n^ гопр/пиплгииг biopoio мои гурд. Z卸。々 +/：：［.5 + 6А〃…办 EMW2 соярщинлениг второго Koniypa. и,мпх> со знаком минус；2.Л|₽бряическия сумм” ЭДС："叩““ и^^^'^ гумм， ЭДС нторспо

—1(Ю/

—1(Ю/

0

0

/|? /"

/|? /"

一—《Й 一 G ■ MX),

一—《Й 一 G ■ MX),

-Лгдопательно,

-Лгдопательно,

Q Опред|«/|

Q Опред|«/|

3

3

А?-.

А?-.

т

т

，/

，/

/"俗一.2/) - 5/h - 100,

/"俗一.2/) - 5/h - 100,

П + ‘2*

П + ‘2*

”「w системы

”「w системы

Л - ♦

Л - ♦

佈

佈

爲

爲

"mw и < х«м「

"mw и < х«м「

4 肉■ 一 loo/

4 肉■ 一 loo/

контура, контура,

контура, контура,

2/)

-5(5

2/)

-5(5

Ai

Ai

2/)

2/)

"' Л|/Л

"' Л|/Л

-10 f 15/ 。限网叫电

-10 f 15/ 。限网叫电

1006

I 皿/(S If)

1006

I 皿/(S If)

例)0,

例)0,

100

100/

100

100/

3。06)0/ . 6h2"跃叫

3。06)0/ . 6h2"跃叫

j GO()/|M(./")“？r

j GO()/|M(./")“？r

勿 ~ А" А 一 r»H2r /*

勿 ~ А" А 一 r»H2r /*

■ 27Мг 阿 “mA；

■ 27Мг 阿 “mA；

Wi—f “

Wi—f “

/1年,側"、32小"面/感 / 残 у :м)〃/| и

/1年,側"、32小"面/感 / 残 у :м)〃/| и

и (ибрп/неии ин |>ис. 3.20»

и (ибрп/неии ин |>ис. 3.20»

§3.21. Активная, реактивная и полная мощности. Под активной мощностью г понимают среднее значение мгновенной мощности р за период /:

I ； I 7(3.42)

Р ^j^pdt =干\山“

Если ток / = /^sinw/, напряжение на участке цепи u = и^н(0)1 +屮)，仅)

Iи /(3.43)

〃 =7 \ CmJnsfsin(碗 + Sdl = —COS屮=Шсовф.

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени1 в виде теплоты на участке пени в сопротивлении R. Действительно, произведение 〃cosw = IR. Следовательно,

P = Ucos(p/=〃R. (3.44)

Единица активной мощности ——Вт.

11од реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения U на участке цепи на ток / по этому участку и на синус угла % между напряжением U и током Г.

Q = (7/sin(p.(3.45)

Ед и ница реактивной мощности ——вольт-ампер реактивный (ВЛр). Если sinq> >0, то Q >0, если sinq, <0, то Q <0.

Рассмотрим, чго физически представляет собой реактивная мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно соедин€4нпыми R,厶 и С. Пусть по нему протекает ток i =/續sins/. Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий магнитного и электрического полей цепи:

(户 e能 厶 t 2 /丄 "*2

%м,0 ^М + ^ = V + Te~ 1 +^Z?c°s

в ^P(l — сом2ш/) + 2，吟(I + cos2(i>0-

Из полученного выражения видно, что ■_ имеет постоянную состава я к)щую 呼—°, неизменную во времени, и переменную состав- JiHiomyio шМ1, изменяющуюся с двойной угловой частотой:

w MY W м»0 3皿

/ = 77® у J 2, / = — Г/Л/ = 77® у J 2, / = — Г/Л沙一习=3代-*0 =沙一习=3代-*0 =На создание постоянной составляющей 咏》。бьза затрэ J пппчессе становления данного периодического。 能;謠期麻麻。зек。м叩。иезнергия忆/篇 Изменной и. следовательно, от нсточника питания не тр喷 Э"еСредХезначение энергии 二 поступающей от 吁。加心 „нтеДзл времени от-Т-/8 до+Г/8,心】

/ = 77® у J 2, / = — Г/Л

/ = 77® у J 2, / = — Г/Л

沙一习=3代-*0 =

沙一习=3代-*0 =

(3喲(3喲22

(3喲

(3喲

—u/sinq = - Q

ЛШ1®

Такнм образом, реактивная мощность Q пропорциона среднему за четверть периода значению энергии, которая 0丁口；抽 источником литания на создание переменной составляющей 一 】"“ ркческого и магнитного поля индуктивной катушки и конденсат КЬ

За "”н период переменного тока энергия 物“ Дважды отдайся генератором в цепь и дважды он получает ее обратно т Р „ :鸞廿 мощность является энергией, которой обменивают^ ратор н прнемнмх.dcpich ге%

Полная мощность

(3.47}(3.47}s = и/.

(3.47}

(3.47}

Единица полной мощности 一 В・ А

"mi P，QhSсвязаныследующей зависимостью:

户 + Q2 =及.

графически эту связь ч

「° треугольника рис 3 21 — * г^едставить в виде прямоугольно-нм幫СЯ катет, равный Л кате? оа^^л мощности, у которого

На Щитке любого нсточ：：：： Равны” Q, и гипотенуза S. 1 覺蒙非黑Р"т°Р4 тРансф°рм；；：；；*есу энергии переменно- (пдаватк ризу?*щее ту мощность л ^казь1Вается значение 對北黑:严咻％叫У黑監為需"没."。т источник может HHe« noTpe6„TejIb叩叫皿鸵制廳曾产叩“ ^ = 1 (т.е.

сто активное сопротивле*

П忠旣雕為得;X篇：" -мплексной форме…

Под матьПод матьQQ?1-+小.

Под мать

Под мать

Q

Q

комплексом 4 сппп

•"水еннмм с комплексом Л, будем пони-,

〜…"宀小叫

Рассмотрим простой прием определения активной н реактивной мощностей через комплекс напряжения и сопряжений комп* деке тока. Напряжение на некотором участке цепи U = UrE. ток по этому участку / = /а%. Угол между напряжением и током Ф = Ф« —屮，• Умножим комплекс напряжения на сопряженный кои- плекс тока / = /е~ ,гь и обозначим полученный комплекс через S:

S = UJ = £//」(％-%)= U/e 扭=U/cosq + j UI sin^> =戶 + /Q.

(3.49)

Значок q (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряженный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса тока /.

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произ- ведения U1:

P = ReU《 (3.50) Q = Im (?/.

Пример 40. Определнть активную, реактивную и полнчто мощности по данным лримера 3I.P е ш е в и е. Напряжение на входе всей схемы равно ЭДС U=W=100 В. Ток в цепи ]=17.2е~网.А. Сопряженный комплекс тока /=17.2/『Д. Комплекс полной мощности S=U/=100・ 17,2,'=1720cos31°+ 4-/J720sin31°=l475 + /886: Р = 1475; Q = 886.

Следовательно, активная мощность Р = 1475 Вт. реактивная Q = 886 ВАр я полная S = 1720 В• А.

Измерение мощности ваттметром. Измерение мощности производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы, в котором имеются две катушки — неподвижная и подвижная.

Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет практичсски чисто активное сопротивление и называется параллельной обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи、 подобно вольтметру. Жестко скрепленная со стрелкой (указате л ем), она может вращаться в магнитном поле, создаваемом неподвижной катушкой.

Рис. 3.21Рис. 3.21Рнс. 3.22Рнс. 3.22Рнс. 3.23Рнс. 3.23

Рис. 3.21

Рис. 3.21

Рнс. 3.22

Рнс. 3.22

Рнс. 3.23

Рнс. 3.23

с и 〃 вы пол пси ня я из довольно толсто^-

но иХН：че" мХ ак\Нивно сопр.гив.ение и назь.ва^ МК；К〃н。" ^<;г^. Ее включают в — последователь^ "噌靠箒黑喘 Е、ме ваттметр изображают, как “оказан。；

3 22 Одна пара концов (ма рнсунке обычно расположена гоп? 雅тал。)принадлежит после^телыюи обмотке, другая концов (на рисунке расположена вертикально) — параллелЬн^ На копнах одноименных зажимов обмоток (например, у HaqaJ обмоток) принято ставить точки.а

Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и его покач ния пропорциональны действительной части произведения ком：" лексного напряжения Uab на параллельной обмотке ваттметра сопряженный комплекс тока /, втекающего в конец последовател ной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной тодко* Re"j= %/cos(“?)°"，

Напряжение на параллельной обмотке берут равным разног потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка а) м ее к ‘" i иом, не имеющим точки (точка /?). Предполагается, что ток/ 冋讃卜 в конец последовательной обмотки, у которого поставлена ―产

Цена деления ваттметра определяется как частное от 小然； произведения номинального напряжения на номинальном 丁倍:,Я |： зь*тн лицевой стороне прибора) на число aJ^ ШКа^И^^^а 5 А・

'ц ^^рнии ваттметра рапна 120.5/150 = 4 Вт/瓜，』

^^^ -ка. На схеме %ннку ЭДС. Входное сз謊閱盜北迎丁 подк;но.1енный.к.ис- ^^шем случаеДВ}Х!1олк)сника 2“* = £// в

П•» = К,* + 丸=ze 伙

m。京7霏黑肾:牆/讐увнь市харак.

Вх^н^ проводимость У .= чисто актив.

"%：：：；；：；' солР°тивлению: $吧':啰ет собой величину, обрат- ^：^^путем：

В：：：；：：/購*叱鑑桐對叫誥黑

ме

|（）б

因綺,

входе

т, с.

Двухполюсника.

ак1ннную мощное，］』Р = u/cosq

G

Рис. 3.24

Модуль входного сопротивления z = U//. При делении Рнапронз- веде н ие ^7^п олуча ют косинус угла между напряжением и током:

ilo коси нусу угла находят sin(p и затем находят Rnx = zcoscp и Xiw = zsin(p.

Так как косинус есть функция четная, т. е. cos(——中)=coscp, то измерения необходимо дополнить еще одним опытом, который позволил бы путем сопоставлений показаний амперметра в двух опытах выявить знак угла ф. Для определения знака угла 屮 можно воспользоваться специальным прибором ——фазометром либо при его отсутствии, проделав следующий опыт: параллельно исследуемому двухполюснику путем замыкания ключа К подключают не- бол ыпую емкость С (рис. 3.24, q).

Если показания амперметра при замыкании ключа ^ станут меньше, чем они были при разомкнутом ключе, то угол q^ положителен и входное сопротивление Z = ае押 имеет иидуктивный характер (рис. 3.24, 6). Если показания амперметра при замыкании ключа станут больше, то g отрицательно н входное сопротивление имеет емкостный характер (рис. 3.24, 8).

На векторных диаграммах (рис. 3.24, б, в) / — ток через двухпо- л к)сник;/с — ток через ем кость, который опережает напряжение U на входе двухполюсника на 90°. Пунктиром изображен ток через амперметр при замкнутом ключе. Сопоставление пунктиром изображенно- 1о тока с током / и подтверждает приведенное заключение.

Пример 4 2. В схеме рис. 3.24, и U = 120 В; / = 5 А; Р = 4 00 Вт.

Замыкание ключа К нринодит к уменьшению показаний амперметра. Определить входное сопротинление двухполюсника.

Решен н е. Модуль входного сопротивления

2= U//= 24 Ом;

cos屮=Р/U/ = 400/120-5 = 0,666; sin屮=0,745.

Таким образом,

Rhx = 2cos 屮=24 ♦ 0,666 = 16 Ом;

厶=UY? = U(g2厶=UY? = U(g2

厶=UY? = U(g2

厶=UY? = U(g2

.% = zsinif = 24• 0.745 = 17,9 Ом.

KWC входного ео„ритнн.-1ення 冬=(16 + 八 79) Ом.|

§3 25 Резонансный режим работы двухполюсника. ПуСТь

口爲 содержит один или несколько индуктивных элемент^ один или несколько конденсаторов. Под резонансным ,е比〃 :н /Джимами) работы такого двухполюсника понимают ре*нм% 工мы), при котором входное сопротивление двухполюсника 忐 етсн чисто активным .”5

По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонанс» режиме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток ИН°М пряжение на его входе совпадают по фазе. Реактивная мощНоНа* двухполюсника при этом равна нулю.©Ть

Различают две основные разновидности резонансных ре*нм резонанс токов и резонанс напряжений.QB：

Резонанс токов. Явление резонанса в схеме рис 3 2S образованное двумя параллельными ветвями с разнохарактеп * °* ми реактивными сопротивлениями, называют резонансом 加长那"

Пусть первая ветвь содержит активное сопротивление R J дуктивное(оА, а вторая ветвь — активное R2 н см костное 1 /(；С 股

Ток /( в первой ветви отстает от напряжения У = (/Jdhc Q 弥市 и может быть записан как「科司

% ="匕="© 一 询

Ток [ во второ订 ветви опережает напряжение:

—/%)•

Сл едона тел ьно

*瞧承眈鐫就承野图熏•咒неа седуетцрия

2“PfE 丁;=:澀=d

°У；?；：：】НЮ Р^нансного режима ток/ должен совпадать по Фазе с напряжением СЛ Это будет при условии, что сумма реактивных проводимостей ветвей равна нулю: b + Ь, = 0.

В соответствии с (3.36) 1 2

g)L

吊+小/，

.— 1/шС2-- — + 1Д02c2・

Следовательно, условие наступления режима резонанса токов в схеме рис. 3.25, а можно записать так:

s 厶一 —(3.51)

На рис. 3.25, б изображена векторная диаграмма для резонансного режима. Из (3.51) следует, что если R2 = 0, то резонанс наступит при

»•»/. (3.51а)储+ з2— = М

В еще более частном случае, когда /?2 = 0 и R[MsL, резонанс наступит при

^LC^ 1. (3.516)

Резонанса можно достичь путем изменения з, L, С или R| н R?. Числовое значение тока в неразветвленной части схемы может быть меньше токов в ветвях схемы. При R2 = О, R} «О ток / может оказаться ничтожно малым по сравнению с токами /| и /2.

В идеализированном, практически не выполнимом режиме работы, когда /?] = & = О, ток в неразветвленной части схемы рис. 3.25, q равен нулю н входное сопротивление равно бесконечности.

Обратим внимание на следующее. В формулу (3.51) входит пять величин (L, С, &, /?2, ш). Если определять из нее L или С, то может оказаться, что для искомой величины будут получены одно или два действительных значения либо мнимое значение.

Получение двух действительных значений для 厶 н С свидетельствует о том, что при неизменных четырех параметрах вследствие изменения пятого можно получить два резонансных режима. (Пояснения к вози и к новен и ю двух резонансных режимов при измене- н и и одного параметра и неизменных остальных даются в примере 54).

Получение мнимых значений 厶 н С свидетельствует о том, что при данных сочетаниях параметров резонанс невозможен.

Определим си из (3.51): % V — -・где 叫,=\/\LC — резонансная частота в контуре без 口“/ = & = °。."段

Поскольку угловая частота действительна и лоложител,

числитель и знаменатель формулы (а) должны быть с о〃н“；к；"露？Q знаками. Это имеет место при」"&«.

а)£/С＞借;£/С＞偿;6)L/CV"; £/Cv付.

При 氏=а? частота ш = w0. При L/C = R； = Rjw =(ooy0/0t

.(可

т. e. s получается величиной неопределенной. Физически з “зет. что резонанс может возникать при любой частоте「二° °頭3・ ление параллельного контура равно RJ2-\-(^Lf/2R」"Р°тцв.

师耽师耽Пример 43. В схеме (рис 3^ta}R\ = ЗООм；ш/. = 40Ом 雨=仆，"吋閣霁為脇蹤闊『icp.；黑買

师耽

师耽

儿儿L解+価£产紡? + 4ML解+価£产紡? + 4MsC sLsC sL404062,5 Он；62,5 Он；

儿

儿

L解+価£产紡? + 4M

L解+価£产紡? + 4M

sC sL

sC sL

40

40

62,5 Он；

62,5 Он；

НОНО

НО

НО

° =灵= 7^^=16мкФ

郷結а п^ребителеГ^Х^сопротивление 6。丁

蹤产P'S °"麻鎬閣凿:^м на приемнике и ^мпексацияе.p"山小小。叱…й碗.

4JH4JHh^^^потре- I

4JH

4JH

ДУ спряжением и “ конде,^аторы / 一 зможио более высокое । 爪林篇寫Ж"5реб：и ^О： Сдвиг фаз 屮 ме" 3・28. Резонанс । ，咁…:;COS(^ 七 0,'Q胱：“w "“таний 幕；片恤・”皿〃，。喘.％J；；；；黑 н схеме по.-ледонзтел» кивают резонансом напр

При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с ЭДС Е. 尹。 возможно, если входное сопротивление схемы Z — R + j{^L — 1/зС) будет чисто активным. Условие наступления резонанса в схеме (рис. 3.26, а)

з0 厶=1/(90С)， (3.52)

где 恤一резонансная частота.

При этом / = E/R. Напряжение на индуктивном элементе при

резонансе равно напряжению на емкостном:

牛.

ОтношениеОтношение〃о 厶yjL/CR〃о 厶yjL/CR=Q=Q(3.53)(3.53)

Отношение

Отношение

〃о 厶yjL/C

R

〃о 厶yjL/C

R

=Q

=Q

(3.53)

(3.53)

называют добротностью резонансного контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q может доходить до 300 и более. Векторная диаграмма для режима резонанса изображена на рнс. 3.26, 6.

Характеристическим сопротивлением q для схемы (рнс. 3.26, а) называют отношение напряжения_на А и С в режиме резонанса к току в этом режиме: q = qr=7l©

схемы рис. 3.26, а при измен*. ча^^:=2；；喘比储:誤* кa / ” напряжен 4 и U(: В ФункцИисхемы рис. 3.26, а при измен*. ча^^:=2；；喘比储:誤* кa / ” напряжен 4 и U(: В ФункцИиПри изменении з меняется реактивное сопротивление цеЦй & = “_｛： прн 6—0 сопротивление Xf 8 и ток /—0; 11Pll w = 1/\左сопротивление X = 0, ток / = E/R: при о>-^оо сопр》 тнБление .1'—8, ток /—0.При изменении з меняется реактивное сопротивление цеЦй & = “_｛： прн 6—0 сопротивление Xf 8 и ток /—0; 11Pll w = 1/\左сопротивление X = 0, ток / = E/R: при о>-^оо сопр》 тнБление .1'—8, ток /—0.НапряжениеНапряжениеПри <0^0 напряжение i/£ = Q; при напряжение 〃/—£ (рис 3.26. el При Q>"\2 кривая 6Г (и крнвгя (/с) проходит через какенчум. при QvlJ、2 кривая & монотонно стреми гея к £.*

схемы рис. 3.26, а при измен*. ча^^:=

2；；喘比储:誤* кa / ” напряжен 4 и U(: В ФункцИи

схемы рис. 3.26, а при измен*. ча^^:=

2；；喘比储:誤* кa / ” напряжен 4 и U(: В ФункцИи

При изменении з меняется реактивное сопротивление цеЦй & = “_｛： прн 6—0 сопротивление Xf 8 и ток /—0; 11Pll w = 1/\左сопротивление X = 0, ток / = E/R: при о>-^оо сопр》 тнБление .1'—8, ток /—0.

При изменении з меняется реактивное сопротивление цеЦй & = “_｛： прн 6—0 сопротивление Xf 8 и ток /—0; 11Pll w = 1/\左сопротивление X = 0, ток / = E/R: при о>-^оо сопр》 тнБление .1'—8, ток /—0.

Напряжение

Напряжение

^Рк <l 0 〃 = J±f £. при —► 8 “— 0.

Ph рис 326. в 5ядяог что игхенмучы напряжений 〃 н Uc имеют место при частотах, не равных резг^нангной частоте | :就X*2「G° 叩"• f 2 / а макс；…U「.

弋Q八皿人泣//X/W"叱" меньше (а добротях ^^----~^

с^*^ — —с^*^ — —^^ <П*ш*11f..^^ <П*ш*11f.."*" ^8^*^1"汝"м scrpeatrfi"*" ^8^*^1"汝"м scrpeatrfi忍^

с^*^ — —

с^*^ — —

^^ <П*ш*11f..

^^ <П*ш*11f..

"*" ^8^*^1"汝"м scrpeatrfi

"*" ^8^*^1"汝"м scrpeatrfi

Чем мспыпе активн(>е спипг»т..

неизменных остальных п'араХтвч^ ^^^ w”yp;"冋 О^«MtTpdX схемы, т, е. чем больше добрел

ма кривой/Р=血)，"Се(п，^(^^^^фор

Полосой пропускания '

pejoiidHcMoio контура иазымаихг полосу qa("⑴2 ⑴I 一 ％/Q,Ha границах которой отношение состав лист 0,707 (см. риг. 3.27, 〃). 厶"

「Р'~ WH 恤.2■静市 4 4 炉 士)Аргумент входного(^ 卯。｝В〃ен收 схемы рис. 3.26, а Ф = aMgQW/恤一“％/同，

с”? t：：：：f P"；弔2& “ изменять не частоту, а иидук гиьяость 厶，то зависимости /, UL в функции 0rx,=(“厶& = con^t) будут пусть вид кривых рис. 3,26, е.*

Так как Uc = —/. а 1 /(,)С = const, io кривая % = /(侨厶)叱ксг，

в「нн〃 имеет такой же вид, что и кривая / = /(《".)

Пример44. Всхем€г(рис,3.2б.«)/?« ЮОм.Л^ I「“/； _ I «貝牛

Ягрсделить резонанс иум» чаг-гспу мГг ллбр<лиогт^. Q, а также маг吋掰2M 〃,, если на йхо,1 схемм Hajzmi нанр/掰енме 10 мВ при 卩匕以“信州:們承 mntrtt.

Решение Резонансная «и，с产 I加丄С 亠 I/jl。* о 1^ряд/с, 二Ьбропюоь。к 価//" n (1^-1)/10 n 100 九к н иепи / = £"—。力 1/10 -

=1 мА Напряжение на хбкде»1са7ори> U, # Q£ 〜I(Ю-0,01 = J В

§3.30. Частотные характеристики двухполюсников. Вхолжн* со пргливлекие и входная про вод и мост ь дв у х п ол и>( ч f и к а й оби(ем с л у час яв>1як/гся функциями част^ггы <о. Пол часгогными харакуери- стиками (ЧХ) понимают следующие типы характеристик; 1) 」авнснмг>сть модуля входного сопрслив-зения (про^лимости/бг чз стоты о>: 2) ^ааисимость лейстг^ительной или мнимой q 考 стн вход ио/ о с<|Црглив,1ения (проволимгкти)(/т частотыо). ЧХ могут бмтьполуче* ны расчетным (если известна схема, характер элементов и их числовые значения) либо опытным (в vtov случае схему лг5ухги>я|гк ин- mz и характер состзг^чяияцил се элементов можно и не з“?п;,, нутд*

Кри снятии ЧХ опытным ну тем на в^д даухнолюсиикл ползки напряжение, частоту кгяорого изменякл в широких пределах, начинай с нуля, и по результатам иг?мер€!иий полечит мва</т модуль ну одного сопротивления (и рсиюди мост и) или дейс1»ятелм<у^>' мииму м>| часть вхолкого солро^ииления (проьлдимости).

В обшем случае дкухнолюсиики содержат резиггивиы^ и "а%- тианые элементы. В частной случае дву*иолгхни«си иог)? стоять только из резктивиш ^лсмеитов. тогда ия начыьают рмпкхи ^хнолюсниками.Пр^^^^^ 匕"丛“。"二"* иокимзмп ^»и<и мосгн X = HiO) или b =伽)"X 刀"иес.%ожиия двудполгх им^т. содержащих 俾"стивнне и ”оти“нме 初？^〃“・ иногда можно 5№ЗНКС СТРОИТЬ На ОСМОЙЭНИИ 叩Х7“Х ©шхаех* с^л^ ；")о жэрамтере изменения сопротия-^иия атлгльимм ，*。・*“”/

этого двухполюсника в функции чистоты. Если э I о сдел а ть за тру。, нительно, то прибегают к аналитическому расчету либо к снятию

ЧХ опытным путем. хяпаКтеристику z = f(^)^ двухполюс- Качественно построим хзрак Д 0(кЗндеНсатор представляет ника рис.3.2/.а(рис.3^ ,脑詳一 00 сопротивление конденсате- С^^心 8・"ЗУ при

二售；岑；R； Прн ⑴= <о0 имеет место режим резонанса токов

н потому входное сопротивление имеет максимум. В области частот О —恤‘之 имеет индуктивный характер, в области 恤‘ 一оо — емко^

стный.

Если " = R2<^cL/C, то при

, I с ,厶/С 丄/С

Рассмотрим вопрос о построении частотных характеристик реактивных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротивлений.

Входное сопротивление их Z =/X, а входная проводимость Y = i/Z= - q = - /ь ь = i/А. Частотная характеристика таких

двухполюсников ——это зависимость Х((п) или Ь(ш).|

Эти зависимости взаимно обратны.

Для индуктивного элемента X®) = g)L (рис. 3.28, а), а Ь®) =託 (рис. 3.28, б), Для емкостного элемента Ь(з) = — зС(рнс. 3.28, б), а х(м)= — — (рис. 3.28, г). Если учесть, что при последовательном соединении элементов сопротивления элементов складывают, то ясно, что для получения X((d) последовательно соединенных элемен- 翌。сложить ординаты кривых А'®) этих элементов.

££епонательно соединенных / и СДрис. 3.28, д) построена 暇附胃公尸吁曲 3("Р”мах / — otoUX &,акрнвая2 —

тьЬ®)叩 схемы рис. 3.28^ изображена на р。

Ж "”「°‘с 叫)=兀£ кРивая -^(о)) пересекает ось абсциСЧЕ

д) о-^—|f^oд) о-^—|f^oРис. 3.28Рис. 3.28

д) о-^—|f^o

д) о-^—|f^o

Рис. 3.28

Рис. 3.28

а крнвая °®) претерпевает разрыв от —оо до + оо. При этой частоте имеет место резонанс напряжений.

Еслн учесть, что при параллельном соединении элементов проводимости их надо сложить, то ясно, что для получения кривой Ь®) параллельно соединенных элементов надо сложить ординаты кривых 伙о) этих элементов. Зависимость b(s) для схемы рис. 3.28, з нзобра- жена на рис. 3.28, к, а обратная ей зависимость Х((о) — на рис. 3.28, и. При частоте оу = ~)^ ~ кривая Ь®) пересекает ось абсцисс, а Х(з) претерпевает разрыв от +8 до ——8. При этой частоте имеет место резонанс токов в цени (рис. 3.28, з). На рис. 3.28, л последовательно соединены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсника. Так как Л(о)) каждого из этих двухполюсников построена, то результирующее Х(з) схемы рис. 3.28, л получим, суммируя ординаты Х(⑴)этих двухполюсников (т. е. кривых рис. 3.28, & “). Зависимость Х((»)八Л5] схемм рмс.3.28,/ см. рис. 3.28,ле, а 0(ю) — на рис. 3.28, я. При плавном увеличении частоты в схеме (рис. 3.28, ж\ начиная с s = 0, сначала возникает резонанс напряжений при частоте(•),, затем резонанс токов при(Оо. после этого резонанс напряжений при w3. При Дси1ьнейшем увел и чеки и(о резонансов возникать не будет.

，J1，5WM СЛГДуЮ/ЛИС //р^АЯМЫ pf：fQHSlIU ^，J1，5WM СЛГДуЮ/ЛИС //р^АЯМЫ pf：fQHSlIU ^напряжений <i(Jнапряжений <i(J

，J1，5WM СЛГДуЮ/ЛИС //р^АЯМЫ pf：fQHSlIU ^

，J1，5WM СЛГДуЮ/ЛИС //р^АЯМЫ pf：fQHSlIU ^

напряжений <i(J

напряжений <i(J

ЬЫШ/ДЫ.

тин。” И рт"川刁J" к

ТоТоравные Входные ('опротимб^равные Входные ('опротимб^V^JV^J

То

То

равные Входные ('опротимб^

равные Входные ('опротимб^

V^J

V^J

“КАНОНИЧЕСКИХ схем (см, § а о

"WJ"尸削吗;::小H./J山九伏M"M W；* I)

“к，” 器7$дла прохождения “ооиянног。т

з…“ и ск? “：： ：]— кячиная с нуля, первым 叱刀謐 叩网必超"“Мронине напряжении.У 陋

и、и、貶3 ；盡為МН p„w MW в р-WJM двухполюс в С幕沂叱力 <М-ДУ<^ ^г^двух

и、

и、

"W"W泡 но ciHieHHM ® т・ С * = ”®)/М®)，Корин уравнения Н(“" 一 0аюшегс!вуюг частотам, при кото卩ых мозмнкает резонанс яйпря^гний. иории уряннгния M®j = 0 — маститам, при котОрых имт место рГЗОИйНС токои

I 3”. Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники. Пу(гм эхнив^ л житных преобразований отдельных частей сложных 4“ем 〃《次刀伸妙 мо?иио fipMBwjM к 6”“ее простым схемам с мннн， мыльно шлможным числом ", /-, Св них — к каноническим схемам. Так, <* мы риг. 3.2И яилиюн я каноническими. 11рс()6разования «я уж«*< гь；1яюг либо нуг< м переходя от звезды к rpeyi o?iьнику (или и а оборот )м 力“。1 параллельно 11<л/1едов；1те；1ьнок)«оедииения (рис, 329, 〃)夕 ”ара儿м，"“)и“му (рис. 3 29, б), -кбо от параллельного сое- лин<иия(ри< 3 2tA^)M последозатсльно и а р a jpj ел |>но м у (рис. 3.29, /)“ оси .н-лую1/1*то упрощения < хемы Знам・“мя ко>фф»!и иентон не- 何刈姓如"…3凰/6 6 n "(| +a);c-(I + 心/= I + a;для р* ЗН%・・ " = //(] +〃)；, = |/(| +4；,/=〃/(] % U) /6"wn"xhkh ри<. 3.29, а, б, кик и 卩山.3.29, 〃. ？，называют M"4〃U4d"/“加*〃，JKH KWK они имеют ― мн/ “р" ikvx члеплал.

Рис. 3.30Рис. 3.30

Рис. 3.30

Рис. 3.30

Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке. К зажимам активного двухполюсника (рис. 3.30, а) подключена нагрузка Z„ = + /Х„. Требуется выяснить, при соблюдении ка ких условий в нагрузке выделяется максимальная активная мощность.

II。методу эквивалентного генератора (см. § 1.25)ток в нагрузке )="心/(2虫 + Z J

I* Z^ =此* +/*вх — входное сопротивление двухполюсника но отношению к зажимам ub, поэтому

.+ . ++ X J

口。уединию, “J* и Х^х заданы и изменять их нельзя. Изменять можно лишь /?и и Х“. Выберем такое 儿，чтобы юк в цепи был максим алии ым; это возможно, если Хил +Х“ = 0. При этом двухпо- л юс и и к работает в резона неком режиме — ток через нагрузку по 屮мзе совпадает с напряжением иаЬк:丿=U必：(〃“ + 此).

Как и в цени постоянного тока (см. § 1.26), если взять А〃 =心, выделяющаяся в нагрузке мощность максимальна:

〃м =明,/4〃 J

I и ним образом, чтобы ныдел ить в нагрузке, присоединяемой к ак1ивн()му днухиолюсиику с входным сопротивлением R^ + jX“, максимально возможную мощность, необходимо выбрать следую- why conpof ивлеиия “агрузкн: Х“ = — ХНА, R” = R心.

ЧЧ ( nrjiacviouiHft трансформатор. Нагрузкой двухполюсни

.ивление К0.О1ХЛО Z“，「НК же как “ мх。川м)е conpoi и у|гние двухи >• люс нн к и Z , задано и не может бить изменено. В эгом 叮…， W“力 нагрузок с днухио；1юспнком 常嗚;閣呼黑匕 ЛИНЯЯ иигрузку не непосредственно к зажимам днухполкн —К»,

. Ьпиматоп (рис. 33), 〃)•()6оз11а“нм “ через 田山”*〃〃〃/ ГрЙпнич11()й и вюричной обмоток транСф0 ^ 吗 число витков ,l\ J ；；；71，1НдУк ,1.вн(н1И рассеяния 什畠盟、 торя. ^^^не учитываем. Сердечник трнисфор ：

весьма малы “выполнен из высококачественнп,

『屮，^Sпотерями. ..оэтому ток х。〃喘

MW'IIHIHIMO M<"(p“g[ND с током Iio обмотке w . *°

W"嗽霏:當:;рм//) ,10еВ0нм свойствам "1)吗叫漫: нагрузке. J * k<»i(н)1 hi пазы в а м ид с а л ин /»/ м (см. § 3.34) п „ к трансформатору м^^^соо гветствую；

揣靄丁還=0.呢/" = ^./^ Пояснения к^этим фор^ ЕМ см в § 15.67 (обозначения согласуются ик. /& = 〃• /宀 /〃 j = /；). Входное сопротивление изображенной пунктиром части схе- мы по OTiioiucjiHio к зажимам “6

脸 "2

R眉

2

+"“儲

В соответствии с §3.32 это conpoTHiuieiiHe должно быть комп-

лсксно-сопряженным ссопротн нленнем

Z。* = Rg + /九・

двухполюсника：

Отсюда следует, что для согласования но активному сопротивлению Rg = R”(⑪i/mj[ а для согласования по реактивному сопротивлению Лм =—X^w^/w^2. Отношение чисел витков и»)/^2 определим из первого условия 巧/叫=\依认/此・ При выборе числа внткон 叫 н площади noiiepeMHoioсечения сердечника трансформа* тора S должно быть учтено, что в устаповишиемся режиме работы амплитудное значение потока в сердечнике не должно достигать 1к)|ока насыщения этого сердечника, иначе будет нарушено уело” вме Mi —"叫、0. Для выполнения согласоиания но реактивно*

W"H"'° "°с'еП°вате川山。с нагрузкой включают допол- Hot ^противление соответствующего характера.

заме1нспи^^ тРа,«<*Ф<)рматор В качестве элементов схем испш1ьзуют идеаЛ ннйН "'W с 昭厶，& М в литературе

ил ，М,1ЛЬНЬ,И трансформатор (ИТ)

нкопньк.н т；；：；"；；；：：吧,форматор без потерь, у которого и】=KU.,, 1?= & I* А — а,,ряжения связаны соотношениями пин. Идеальный叫 一 К0^ФФицие1!1 трансформа-

нииряжснни й,р Т()К /' ''^ .!Р^нсформнрует напряжение 〃&

сопротивление2/C2Z(см §3^3^ ” СО，，1)от,,,и,е,,ие нагрузки Z —в

пп то

，) Z)

Рис. 3.32

Падение и потеря напряжения в линии передачи энергии. Генератор соединен с приемником энергии линией передачи, которая обладает активным R. и индуктивным X” = й)^л сопротинленнями.

Построим векторную диаграмму для цепи, состоящей из генератора, линии передачи н приемника. Для определенности положим, что нагрузка приемника имеет индуктивный характер. Вектор напряжения в конце линии (на приемнике) направим по оси + 1 (рнс. 3.31); вектор тока / отстает от него в силу индуктивного характера нагрузки. Падение напряжения в активном сопротивлении линии jR^ совпадает по фазе с током, падение напряжения в индуктивном сопротивлении //Хл опережает ток на 90°.

Пол падением напряжения в линии передачи понимают модуль геометрической разности векторов в начале (t)|) и конце (1/2) линии:

w心+(3厶扌.

Потеря напряжения в линии передачи равна разности модулей напряжения в начале и конце линии, т. е. | 0丨 | — | 0?]. Потеря напряжения показывает, на сколько волы напряжение в конце линии меньше, чем напряжение в ее начале.

Как правило, падение напряжения больше потери напряжения.

Расчет электрических цепей при наличии в них магнитно- связанных катушек. В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении уравнений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно пли встреч но направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно сделать, если известно направлен не намотки катушек на сердечнике и выбрано положительное направление токов в них.

На рис. 3.32, а катушки включены согласно, на рис. 3.32, 6 — встречно. Чтобы не загромождать чертеж, сердечники катушек на электрических схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, что одной мен н ые зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками, например точками.

Схема рис. 3.32, а эквивалентна схеме рис. 3.32, а, а схема рис. 3.32, г — схеме рис. 3.32, 6.

Рис. 3.34Рис. 3.34

Рис. 3.34

Рис. 3.34

сГГ1И электрической схеме токи двух мн нитно-связанньц кят^1к(11инакаво ориентированы относительно одноименно обоз. ^=х зХмов например оба направлены к точкам или оба напрзХы от точек, то имеет место согласное включение, в про- 丁嚐靠喘閣就嚣驚несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.

На примере рис. 3.33 рассмотрим методику составления урав. нений для расчета магннтно-связэиных цепей. Произвольно выберем положительные направления токов в ветвях схемы. Направления обхода контуров выберем по часовой стрелке. Составим уравнения для мгновенных значений:乙=% + %•

(а)(а)Для левого контура (первая и вторая ветви)

(а)

(а)

%d厶слагаемым м— поставлен roi же знак, что и перед 匕二 так как токн 厶 и % входят в одноименные зажимы магии i но-связан-%d厶слагаемым м— поставлен roi же знак, что и перед 匕二 так как токн 厶 и % входят в одноименные зажимы магии i но-связан-ПередПеред瓦+

%d厶

слагаемым м— поставлен roi же знак, что и перед 匕二 так как токн 厶 и % входят в одноименные зажимы магии i но-связан-

%d厶

слагаемым м— поставлен roi же знак, что и перед 匕二 так как токн 厶 и % входят в одноименные зажимы магии i но-связан-

Перед

Перед

ных катушек, т е. имеет место согласное включение. Сумма слага- емнх -Ь ^|— представляет собой падение напряжения на пер- вой катушке.

как(；Мс：：М£：Г；в?" части Уравнения (а) нзят ы со знаком ил юс, там токов совп八т ' '"Рвого контура полижительяше направления Д Т с направлением обхода кон<

вн).《ан鳶澀^凿［噥пр*го контура (вторая и третья вет- поэтому сумма иалений Л с f Рецно на и р а вл ен и ю обхода контура, некие со знаком минус "Ря*ен喃 во второй ветви войдет в урзв*

t-卷+時+ ,凡

В комплексной форме записи:

倒

(В)(Г)(В)(Г)

(В)

(Г)

(В)

(Г)

Последовательное соединение двух магнитно-связанных катушек. На рис. 3.34 изображена схема последовательного согласною вк.'1киеннн двух катушек, а на рис. 3.35 — последовательного нс г речного включения тех же катушек.

При согласном включении

I , di，di 市

外+厶团+ M石+仇位+m近+/2 =亿

В комплексной форме записи:

/[ RI + 尺2 + —| + 厶2 + 2")] = ©;

-=A

Z— = — + ♦ + /%)(厶 I + 厶 2 + 2M)・(3.54)

Векторная диаграмма для согласного включения изображена на рис. 3.36, где，一 напряжение на первой катушке; и2 — на второй.

При встречном включении

■ +噹-*+ *-碑+ у

Отсюда^

«де

Z.F = & + & + /з(4 + 厶 _ 2М)(3,55)

Векторная диаграмма для встречного включения при 厶、川冃 L2>M изображена на рис. 3.37.

Определение взаимной индуктивности опытным путем Обсудим два практически важных способа опытного определения взаимной индуктивности М двух магнитно-связанных катушек.

(3.56)(3.56)Первый способ. Проделаем два опыта. В первый из них включим катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки включим последовательно и встречно и также измерим /, U、Р, По 1 результатам измерений найдем:

(3.56)

(3.56)

*8；л = s(厶 I + 厶2 + 2.М);

кур =W(4 + 厶2 - 2例).

Разность "в口 — *е = 4зМ, следовательно, М =(*5, — ^вгтР)/(4^)-

сон/；；窯W雜и П。。吁""“м первую катушку к источнику сину-： катушки 〃dh(・cg；/Р°" ‘”口叩乂已叩(рис. 3.38), а к зажимам второй ^нием. Измерим £/：黑端貶德资^ внутренним сопротив- |

значение напряжениязначение напряжения7,：”°е значение напряжения ；=碌 Е『с действующее I значение Ц^ом^/,. Следовательно. '

значение напряжения

значение напряжения

Прнме 4г〃 = %/("/)•(3.57)

3 哨:芯篇落乂沙。3・38) вольтметр показал 10() В. амперметр 10А；ш-

тор прел”黑齡貌然旣？мое сопротивление. Трансформа- С℃к()。(•『.е. не имеющее подвижных

122

EEчастей)устройство,частей)устройство,□ служащее для преобразования числового зна- Че пгп В0 вре”нн напряжения, а также для электрического р зделения цепей н преобразования числовых значений сопротивлении. Передача энергии из одной цепи в другую произво- 口нт胃 трансформатором благодаря явлению взаимоиндукции.

E

E

частей)устройство,

частей)устройство,

Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем сер- дечнике. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной. Параметры первичной обмотки R〕н 厶卜 вторичной — R， и 厶2・ Взаимная индуктивность между обмотками М (рис. 3.39, а). Сопротивление нагрузки, подключенной к зажимам вторичной обмотки, равно ZH.

Выберем положительные направления токов /( и /2. Обозначим

напряжение на нагрузке U“. Запишем уравнения в комплексной форме:

для первичной цепи

(3.58)(3.58)‘向 + 'i/s厶 1 + jjsM = E;

(3.58)

(3.58)

для вторичной цепи

‘2& + "з 厶 2 + 厶/зМ + и” = 0.(3.59)

На рис. 3.39, б качественно построим векторную диаграмму, полагая, что нагрузка ZH = 2не^»< имеет индуктивный характер. Ток /2 направим по оси +1. Напряжение на нагрузке U“ опережает ток /2 на угол q、Падение напряжения /2/?2 совпадает но фазе с током /2. Вектор /2/(oL2 опережает вектор тока /2 на 90 °.

В соответствии с уравнением (3.59) вектор /"и)М проводим так, чтобы геометрическая сумма падений напряжении во вторично» цепи равнялась нулю.^：

Вектор тока /)отстает от вектора /JsM на 90 . Вектор /陷 сопи а дает с вектором тока /( по фазе, а вектор IJmL] опережает вектор /. на 90°..

Вектор ijeM опережает вектор %на 90°. В соответствии сурав- меннем (3 58) геометрическая сумма /吊 +/「е* +/扪川‘ “зет

I QD

切切

切

切

Рис. 3.40

"идсгнннм н(3.59) ^н =』?Z“ = '.К + /，\“)" решнм уравнен^ (3.5^) н(3.59) относнтельно /, :i j

'=(% 十 Ан”)十 /(AI - *；w)

где /?,._ и А；й — вносимые из вторичного контура в первичный актив' нос н реакгннное соирогив.'1ения. При этом

=瓦+r尸+за+%/ (“ + %)(% + a J 十 k"? + xJ ( “ 卜 '”)

Вносимые сопрогивлекия представляют собой такие сошттмп которые следовало бы внести** н первичную цепивключ^ь 匕7皿睜竺。е" м), Чтобы учесть/二途"岬為:黑: 。| пепн 1рансформаторэ на ток в ого перпнчнон цепи (рис. 3.39,в) и “ чостронгь топографическую =3(#" = I 。y二遮理 I蹤 pУ"5。""。・™ m = &；gl Кмр：Ю：乳力二5NM ураннсню? 11(» зяконлм Кнрхюфа, По первому закону «сверишь т；轟 сшюАЗ?ре；：；牛問，ОР°“У "ко“У Кмрхго 巾 а обход к он гурон будем

♦叫 + — + /”. = £；’"""+/》"2-/з=0.

—f У小叫j.

小…—…" +肌+5…'

厶(4 + 2/) + /加 一 4)= 1()()W - 4) + %4 + 3/)= 0

人=17,7「因。 a. %= i4,6eTM。 a.人=17,7「因。 a. %= i4,6eTM。 a.Решение уравнений дает: 厶尸八-厶=I4」2e-N4, А

人=17,7「因。 a. %= i4,6eTM。 a.

人=17,7「因。 a. %= i4,6eTM。 a.

|и^торная днаграм^ 询°皿中ноская Диаграмма и совмещенная с ней

Прн〈ер 47. Построить топографическую диаграмму для схемы (рис. 3.41, а), ?НМ1Хи« п нЛм<^ а. Две ветви'схемы связаны магннпи；. Знамннн ikipjMiipoH： ^L} = 3 Ом; mL2 = 4 Ом;(.)Л1 = ЗОм; /?. = = 2 Ом- Ё = = 100 В. 1 '

Р е hi с н и е . Обозначим токи н ветвях через /1 и /9 н ток н неразветвлеиной настн схемг ■— через /. Составам уравнения по второму закону Кирхгофа для со- uiacHOi'o включения кагушек: '

厶(R| + /(?厶I)+ 1<JmM = E ;

0/⑴m+厶依2 + /(oL.)) = e .

(Совместное решение их дает: /( = 16е~^°°Л; —= 14,27е",н6°30 А.

丨 опографнческая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изображена на рис. 3.41, б.

Рассмотрим вопрос。переносе мощности из одной ^етви 8 dp“- гую вследствие магнитной связи. Если ветвь 4 с током /А. и ветвь q с током /(/ связгшы магнитно и взанмнан индуктивность между ветвями Л1, то магннтныii поток из ветви А в ветвь q переносит комплекс- ную мощность, равную произведению ЭДС взаимоиндукции вд-вет- ви 干/⑴/Vf/厶 на сопряженный комплекс тока q-вствн, т. е.(:

s =(Ti^Mik)iq.

Знак минус соответствует согласному, пл юс — встречному соединению.

Резонинс в магнитноч'вязанных колебательных контурах. В § о.23 — 32 ^Ь|.чн описаны речопансныс ян.'1еиия н наряллелын^м, 1юследоияте.'1ьном к 11oc.iе;иь •KHcjbHo-iiana.-u'iejibHOM резонансных контурах. Рассмотрим резонанс в магннтно- I вязанных коп гурах, например н схеме рис. 3.42, а,"即т%м吧賛i竺只织 в]з/竺、\ ••нке. Дли упрощения вы кладок положим L^ ~ L^ = L^ 5 =《т =《八 “ ="?=乩 что дает нозможпость огиоснтсльно легко ныявнть основные закономерноегн рел нхнеа н зтП схеме.

Составим ураннення по второму закону Кирхгофа:Составим ураннення по второму закону Кирхгофа:/тМЕ/тМЕ22+ ⑴ 2M2+ ⑴ 2M2厶(R + /5£—~)-例0" =E ；厶(R + /5£—~)-例0" =E ；ПУСТЬ ^2/£ = ^iT()/7tПУСТЬ ^2/£ = ^iT()/7t—/|/(oAf + /《R + /mL — —^) = 0 .—/|/(oAf + /《R + /mL — —^) = 0 .2 =2 =" + /&厶-+J +m財" + /&厶-+J +m財Напряжение на конденсаторе второго контура 厶== Ё~/зС С(Напряжение на конденсаторе второго контура 厶== Ё~/зС С(А + j^LL (оСА + j^LL (оС^и =—^и =—®®u)L ——- o)Cu)L ——- o)C+ /2Z?⑴厶一丄+ /2Z?⑴厶一丄+⑴2必+⑴2必Обозначим

Составим ураннення по второму закону Кирхгофа:

Составим ураннення по второму закону Кирхгофа:

/тМЕ

/тМЕ

2

2

+ ⑴ 2M2

+ ⑴ 2M2

厶(R + /5£—~)-例0" =E ；

厶(R + /5£—~)-例0" =E ；

ПУСТЬ ^2/£ = ^iT()/7t

ПУСТЬ ^2/£ = ^iT()/7t

—/|/(oAf + /《R + /mL — —^) = 0 .

—/|/(oAf + /《R + /mL — —^) = 0 .

2 =

2 =

" + /&厶-+J +m財

" + /&厶-+J +m財

Напряжение на конденсаторе второго контура 厶== Ё~

/зС С(

Напряжение на конденсаторе второго контура 厶== Ё~

/зС С(

А + j^LL (оС

А + j^LL (оС

^и =—

^и =—

®

®

u)L ——- o)C

u)L ——- o)C

+ /2Z?⑴厶一丄

+ /2Z?⑴厶一丄

+⑴2必

+⑴2必

сd

::電爲”喧'駆黑黑踪:常流"…肥"…工，。Т P-

">)2Au)•、2)">)2Au)•、2)氷 нми)= %_ о .g〃aPH。川。5gL малых тоопекиях u> Of

">)2Au)

•、

2)

">)2Au)

•、

2)

В свою очередь.В свою очередь.11端端(о2(о22Аз =—29。'2Аз =—29。'При малых отклонениях з от зПри малых отклонениях з от з«厶2 =诚厶2 н использовав«厶2 =诚厶2 н использоваво. вынеся в знаменателео. вынеся в знаменателеуказанные обозначеуказанные обозначевыражения (а)за скобкувыражения (а)за скобкуння, получимння, получим如=■ + t — е? — /2ed如=■ + t — е? — /2ed

В свою очередь.

В свою очередь.

1

1

端

端

(о2

(о2

2Аз =—2

9。'

2Аз =—2

9。'

При малых отклонениях з от з

При малых отклонениях з от з

«厶2 =诚厶2 н использовав

«厶2 =诚厶2 н использовав

о. вынеся в знаменателе

о. вынеся в знаменателе

указанные обозначе

указанные обозначе

выражения (а)за скобку

выражения (а)за скобку

ння, получим

ння, получим

如=

■ + t — е? — /2ed

如=

■ + t — е? — /2ed

МоДУ/ь

伐u1 =伐u1 =kk(6)(6)

伐u1 =

伐u1 =

k

k

(6)

(6)

砂當戮凿鷗：図 можно исследовав |М на ум в функции е

Прн 々>"имеются три экстремума： минимум при е = 0, т. е. „ри со = з°, н два максимума nj” W.2 = ±W —"? ， которым соответствуют частоты 3[,2 = ^OV 1 — £|,2 .

Ресюнансная кривая при этом имеет два "горба" (кривая / на рис. 3.42, б построена I少н 々二 j")・ С увеличением А "горбы" кривой раздвигаются.

с нмеетс? только один экстремум: максимум при е =0(кривая 2 на рис. 3・4一 б). По оси абсцисс на этом рисунке отложено е/4 , по оси ординат &|/&maxl，「Пе lMmaxl = l/(2d) = y^72R.

Ток первичного контура в функции от e/d при /z>0,49d имеет двугорбую форму.

«Развпзыванне» магнитно-связанных цепей. Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения имевшихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует.

Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов.

Составим, например, схему, эквивалентную схеме рнс. 3.33. С этой целью в уравнении (в)заменим /3 на /, — /2 и в уравнении (г)— /, на 厶 + /3 (см. § 3.36). Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токн, которые текут в ветвях рассматриваемого контура.

В результате получим:

(в)(в)"Ri _ * + /3 (%+ 財)1 + % 卜一击 + i^ =小

(в)

(в)

—]+ /з(& + /心厶3 + 1^ = 一 £3-

/ 4/С?

• схема рнс. 3.42, в. Сопостаь н,\11(г)соотвегс . мечаем, что & заменена уравнениям “； ветвь введена отрниа*；：

"Я 噥ь?]на“з + М)關澀，н осуществить полученную (&+М)' 315HoeTbL = _M@ ： нннуктнвность в цепи только нзя индуктивно отрниате/ь2cакнм образом, участок Це. расчетнымие^°^Т , расчетном смысле может бЫть

；|нненнь1ми э. ., к? рИс. 3.4； : ? 3.42, д. Ес.пн катушки бу小 пи. нз。?甯黑ом, показаннь м на р 冋口产 изменить знак перед заменен} частна рнс.二曾 развязывание, не составляя

включены в^^оЖно осуществлять Р^в основу поло-

развязывания. Пусть в схеме рис индуктивность первой ветви,// ——второй,zразвязывания. Пусть в схеме рис индуктивность первой ветви,// ——второй,zЛ1. Покажем, к 的 второму зак)> ^ого контура до и после "°吗Щ制。皿 потокосцепления ^. „осле развязывания жим нензмс】•—третьей.Условнен&

развязывания. Пусть в схеме рис индуктивность первой ветви,// ——второй,z

развязывания. Пусть в схеме рис индуктивность первой ветви,// ——второй,z

,1РпОго контура: Н]+»зМ =

伽普l:片:署:靠ткуа " 3 + м Н广一 М・

Условие неизменности потокосцепления правого контура 強 + /'з厶з = (% + %) М + %厶=%z —'必 откуда у = —М н 2 = м 工厶.Знак минус поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току ] •

Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема Лонже> вена). В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников ЭДС равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников ЭДС ——сумме реактнвннх мощностей приемников энергии.

Пусть схема содержит / узлов, b вет вей и нее ветви или часть их связаны друге другом магнитно. По первому закону Кирхгофа сумма токон н любом узле равна

н)5ю. Напрнмср, д.пя ft-узлэ. в котором сходится п-ветнейн)5ю. Напрнмср, д.пя ft-узлэ. в котором сходится п-ветнейVmho*”m каждое слагаемое этой суммыVmho*”m каждое слагаемое этой суммына потенциал 左-узла (加на потенциал 左-узла (加，工〃" = Он」1н[〃р = 0, 〃=1，工〃" = Он」1н[〃р = 0, 〃=1*"》кр = °-〃=1*"》кр = °-〃=1Просуммируем аналогичные выражения для всех f-узлов схемн： 工⑵= °- k—\ p=lВ диойную сумму любой ток схемы, например ток Imq , входи г дважды* ^叩卩 с разными знаками. Действи 1елыю, прн/е = 〃* р =(/ слагаемое равно q\n 瓜卷伏八№ 卜=q н р = т рун。у jy Так как 小=-1„и/, то эти слагаемые м。來::耻啲 нить и получить /тЛ(Ф,и — wj. Положим, что какая-то ветвь схемы, наир жЛу Aq. магнитно связана с ветныо sr так, что сопротивление изаим<)индукц ннмнХа”," (рнс.3.43).В соответствии с рис. 3.43для ветви qk .....(pq - W = Ekq- l/hq- 1』№虫Просуммируем аналогичные выражения для всех f-узлов схемн： 工⑵= °- k—\ p=lВ диойную сумму любой ток схемы, например ток Imq , входи г дважды* ^叩卩 с разными знаками. Действи 1елыю, прн/е = 〃* р =(/ слагаемое равно q\n 瓜卷伏八№ 卜=q н р = т рун。у jy Так как 小=-1„и/, то эти слагаемые м。來::耻啲 нить и получить /тЛ(Ф,и — wj. Положим, что какая-то ветвь схемы, наир жЛу Aq. магнитно связана с ветныо sr так, что сопротивление изаим<)индукц ннмнХа”," (рнс.3.43).В соответствии с рис. 3.43для ветви qk .....(pq - W = Ekq- l/hq- 1』№虫128128

н)5ю. Напрнмср, д.пя ft-узлэ. в котором сходится п-ветней

н)5ю. Напрнмср, д.пя ft-узлэ. в котором сходится п-ветней

Vmho*”m каждое слагаемое этой суммы

Vmho*”m каждое слагаемое этой суммы

на потенциал 左-узла (加

на потенциал 左-узла (加

，工〃" = Он」1н[〃р = 0, 〃=1

，工〃" = Он」1н[〃р = 0, 〃=1

*

"》кр = °-

〃=1

*

"》кр = °-

〃=1

Просуммируем аналогичные выражения для всех f-узлов схемн： 工⑵= °- k—\ p=l

В диойную сумму любой ток схемы, например ток Imq , входи г дважды* ^叩卩 с разными знаками. Действи 1елыю, прн/е = 〃* р =(/ слагаемое равно q\n 瓜卷伏八№ 卜=q н р = т рун。у jy Так как 小=-1„и/, то эти слагаемые м。來::耻啲 нить и получить /тЛ(Ф,и — wj. Положим, что какая-то ветвь схемы, наир жЛу Aq. магнитно связана с ветныо sr так, что сопротивление изаим<)индукц ннмнХа”," (рнс.3.43).

В соответствии с рис. 3.43

для ветви qk .....

(pq - W = Ekq- l/hq- 1』№虫

Просуммируем аналогичные выражения для всех f-узлов схемн： 工⑵= °- k—\ p=l

В диойную сумму любой ток схемы, например ток Imq , входи г дважды* ^叩卩 с разными знаками. Действи 1елыю, прн/е = 〃* р =(/ слагаемое равно q\n 瓜卷伏八№ 卜=q н р = т рун。у jy Так как 小=-1„и/, то эти слагаемые м。來::耻啲 нить и получить /тЛ(Ф,и — wj. Положим, что какая-то ветвь схемы, наир жЛу Aq. магнитно связана с ветныо sr так, что сопротивление изаим<)индукц ннмнХа”," (рнс.3.43).

В соответствии с рис. 3.43

для ветви qk .....

(pq - W = Ekq- l/hq- 1』№虫

128

128

Рис. 3.43Рис. 3.43

Рис. 3.43

Рис. 3.43

для ветви sr

—%一心一mЧ,，

Если принять ^=/^Ч/5Г = /^ ; и учесть ；L"f … s，= /“c ^sr^° сумма двух слагаемых"°

*♦ *

叫/“ + "/"М* = %&四叫/“X

XM“L" + 。 f F =必‘叫 J"ss* - 屮").

Такнм образом, попарное рассмотрение слагаемых диойной суммы позволяет переписать ее в виде

%〃р = f%4p + /2[/“s/a均/“cos((% - <%),(3.60)

где "〃 — квадрат модуля тока ветви kp\ Za/)= Rkp + jXhp,

Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенство действительных частей комплексов

R 呼/№ = ]%%(361)

(3.62)(3.62)равенство мнимых частей

(3.62)

(3.62)

同e/。/加=74рХАр + 22〃J“XA/q/s，cos(屮儿, -屮 J .

В этом выражении 犬恤〃 принято положительным при согласном направлении потоков взаимоиндукции и самоиндукции ветвей kq и sr и отрица гельным при встречном их напранленин. Формулы (3.61) н (3.62) являются математической записью

в справедливости теоремы ов справедливости теоремы осформулированной теоремы.

в справедливости теоремы о

в справедливости теоремы о

источником ЭДС,источником ЭДС,Пример 48. По данным примера 46 убедиться i балансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, и.

источником ЭДС,

источником ЭДС,

Р е ш е и и е . Активная мощность, доставляемая ：

Rc£； = Re |О0. |7,7е/з° = 1770 cos 63。= 800 Вт.

Активная мощность, потребляемая приемниками,/^.. = 14,122-4 = 800 Вт. Следо- .uihvh, о ра^нство 吹篇…”—川 дс»<ствнтеж.но вьшолнено. Реактивная jf] 63。= 582 ВАр. Реактивная мощность

мощность источника ЭДС 1тл/ —“、，忠託

прием никои энергии с учетом сомасного включения катушек

//厶I + /麺а+ 2/阿。Mcos他一股)=

=|7 72.2 + |4.62-3 4-2-17.7-14.6 cos (63°- 144°)= 1582 BAp.

Таким образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.

'、*к. "8.4

пусть в некоторой схеме имеется л ветвей u• комплексно-сопряженных токов ветвейод5'%на ветннх (включаяпусть в некоторой схеме имеется л ветвей u• комплексно-сопряженных токов ветвейод5'%на ветннх (включая§ 3.43. Теорема Теллегеня магрнца ее/.4 J. Мятрнцу-столбец /% /. а матриц) столбец комплексных напряжений и падение напряжения на них) обозначим \ Ub 厶В соответствин с законом сохранения энергии〃|/| + %厶 + • • + 〃3 = 0.§ 3.43. Теорема Теллегеня магрнца ее/.4 J. Мятрнцу-столбец /% /. а матриц) столбец комплексных напряжений и падение напряжения на них) обозначим \ Ub 厶В соответствин с законом сохранения энергии〃|/| + %厶 + • • + 〃3 = 0.Соотношение (а) можно записать такСоотношение (а) можно записать так句句["也…"/ • *["也…"/ • *=u6「八1 = 0，=u6「八1 = 0，

пусть в некоторой схеме имеется л ветвей u

• комплексно-сопряженных токов ветвейод5'%на ветннх (включая

пусть в некоторой схеме имеется л ветвей u

• комплексно-сопряженных токов ветвейод5'%на ветннх (включая

§ 3.43. Теорема Теллегеня магрнца ее/.4 J. Мятрнцу-столбец /% /. а матриц) столбец комплексных напряжений и падение напряжения на них) обозначим \ Ub 厶

В соответствин с законом сохранения энергии

〃|/| + %厶 + • • + 〃3 = 0.

§ 3.43. Теорема Теллегеня магрнца ее/.4 J. Мятрнцу-столбец /% /. а матриц) столбец комплексных напряжений и падение напряжения на них) обозначим \ Ub 厶

В соответствин с законом сохранения энергии

〃|/| + %厶 + • • + 〃3 = 0.

Соотношение (а) можно записать так

Соотношение (а) можно записать так

句

句

["也…"/ • *

["也…"/ • *

=u6「八1 = 0，

=u6「八1 = 0，

Но в соответствии с § 2.35 [%| = М |т|ф|.где |ф| — матрица-столбец Пот лов незаземленных узлов."

В свою очередь,

Подставим (н) в (б):Подставим (н) в (б):W肝=1肝⑷。W肝=1肝⑷。•仰■•仰■[Фгнц7вно.[Фгнц7вно."I"IВ формуле (г) произведение [<4||/fl| = 0 физически выражает собой систем] уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, состамь- И ную для комплексно-сопряженных токов ветвей.Из (г) следует, что если в одной н той же схеме с неизменной |Л|-матрице! создать два режима, отличающихся сопротивлениями, н ЭДС ветвей нвсепсличш： относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — дву叫к『 自位aU'位].例[Соотношение (д), получившее название теоремы Теллсгсна, справедливо нпо[ л отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы v них были одинакова ] узловые |Я]-мзтрицы.В формуле (г) произведение [<4||/fl| = 0 физически выражает собой систем] уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, состамь- И ную для комплексно-сопряженных токов ветвей.Из (г) следует, что если в одной н той же схеме с неизменной |Л|-матрице! создать два режима, отличающихся сопротивлениями, н ЭДС ветвей нвсепсличш： относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — дву叫к『 自位aU'位].例[Соотношение (д), получившее название теоремы Теллсгсна, справедливо нпо[ л отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы v них были одинакова ] узловые |Я]-мзтрицы.называют дуальными е黑:。“ цепи- 口四 электрические цепи оаной 产 них подобен за кон v^01* изменении контурных ток* “ругой. В качестве и постейта нзменення узловых потенциалу В| Две дуальные цепи.го "Рнмера на рис. 3.44 изображф'Схема рис 3 44 qI 壊肥 в卵端uh ain^om и^°ЧНИКа ЭДС 启 и последоватйь-(R, L, С). Схема рнс. 3^Л^ ктииного и емкостногоэлсме^*параллельных ветвей. Прима с℃т°нт нз источника тока 小伸“c£\g；"оран — емкость С” %：冲 с°Держит активную пров。?' в £L：h：；°：t°M「^казать,；就；：7 一 индуктивность 厶,., методу кпитЦСПях, составив 口冋 Р°Аа соответствие имеет м吧У к°нтурных токов: “ схем* рис. 3.44, а уравнение Реназывают дуальными е黑:。“ цепи- 口四 электрические цепи оаной 产 них подобен за кон v^01* изменении контурных ток* “ругой. В качестве и постейта нзменення узловых потенциалу В| Две дуальные цепи.го "Рнмера на рис. 3.44 изображф'Схема рис 3 44 qI 壊肥 в卵端uh ain^om и^°ЧНИКа ЭДС 启 и последоватйь-(R, L, С). Схема рнс. 3^Л^ ктииного и емкостногоэлсме^*параллельных ветвей. Прима с℃т°нт нз источника тока 小伸“c£\g；"оран — емкость С” %：冲 с°Держит активную пров。?' в £L：h：；°：t°M「^казать,；就；：7 一 индуктивность 厶,., методу кпитЦСПях, составив 口冋 Р°Аа соответствие имеет м吧У к°нтурных токов: “ схем* рис. 3.44, а уравнение Ре130130“" + "" +点=%“" + "" +点=%

Подставим (н) в (б):

Подставим (н) в (б):

W肝=1肝⑷。

W肝=1肝⑷。

•仰

■

•仰

■

[Фгнц7вно.

[Фгнц7вно.

"I

"I

В формуле (г) произведение [<4||/fl| = 0 физически выражает собой систем] уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, состамь- И ную для комплексно-сопряженных токов ветвей.

Из (г) следует, что если в одной н той же схеме с неизменной |Л|-матрице! создать два режима, отличающихся сопротивлениями, н ЭДС ветвей нвсепсличш： относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — дву叫к『 自位aU'位].例[

Соотношение (д), получившее название теоремы Теллсгсна, справедливо нпо[ л отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы v них были одинакова ] узловые |Я]-мзтрицы.

В формуле (г) произведение [<4||/fl| = 0 физически выражает собой систем] уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, состамь- И ную для комплексно-сопряженных токов ветвей.

Из (г) следует, что если в одной н той же схеме с неизменной |Л|-матрице! создать два режима, отличающихся сопротивлениями, н ЭДС ветвей нвсепсличш： относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — дву叫к『 自位aU'位].例[

Соотношение (д), получившее название теоремы Теллсгсна, справедливо нпо[ л отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы v них были одинакова ] узловые |Я]-мзтрицы.

называют дуальными е黑:。“ цепи- 口四 электрические цепи оаной 产 них подобен за кон v^01* изменении контурных ток* “ругой. В качестве и постейта нзменення узловых потенциалу В| Две дуальные цепи.го "Рнмера на рис. 3.44 изображф'

Схема рис 3 44 qI 壊肥 в卵端uh ain^om и^°ЧНИКа ЭДС 启 и последоватйь-

(R, L, С). Схема рнс. 3^Л^ ктииного и емкостногоэлсме^*

параллельных ветвей. Прима с℃т°нт нз источника тока 小伸“

c£\g；"оран — емкость С” %：冲 с°Держит активную пров。?' в £L：h：；°：t°M「^казать,；就；：7 一 индуктивность 厶,., методу кпитЦСПях, составив 口冋 Р°Аа соответствие имеет м吧

У к°нтурных токов: “ схем* рис. 3.44, а уравнение Ре

называют дуальными е黑:。“ цепи- 口四 электрические цепи оаной 产 них подобен за кон v^01* изменении контурных ток* “ругой. В качестве и постейта нзменення узловых потенциалу В| Две дуальные цепи.го "Рнмера на рис. 3.44 изображф'

Схема рис 3 44 qI 壊肥 в卵端uh ain^om и^°ЧНИКа ЭДС 启 и последоватйь-

(R, L, С). Схема рнс. 3^Л^ ктииного и емкостногоэлсме^*

параллельных ветвей. Прима с℃т°нт нз источника тока 小伸“

c£\g；"оран — емкость С” %：冲 с°Держит активную пров。?' в £L：h：；°：t°M「^казать,；就；：7 一 индуктивность 厶,., методу кпитЦСПях, составив 口冋 Р°Аа соответствие имеет м吧

У к°нтурных токов: “ схем* рис. 3.44, а уравнение Ре

130

130

“" + "" +点=%

“" + "" +点=%

Рис. 3.44Рис. 3.44а для схемы рнс. 3.44, 6 пнв потенциал точки а второго узла:а для схемы рнс. 3.44, 6 пнв потенциал точки а второго узла:—по методу узловых потенциалов, обозна-иерез &, положив равным нулю потенциал—по методу узловых потенциалов, обозна-иерез &, положив равным нулю потенциал以心+症+ /叫=J以心+症+ /叫=J(3.64)(3.64)

Рис. 3.44

Рис. 3.44

а для схемы рнс. 3.44, 6 пнв потенциал точки а второго узла:

а для схемы рнс. 3.44, 6 пнв потенциал точки а второго узла:

—по методу узловых потенциалов, обозна-иерез &, положив равным нулю потенциал

—по методу узловых потенциалов, обозна-иерез &, положив равным нулю потенциал

以心+症+ /叫=J

以心+症+ /叫=J

(3.64)

(3.64)

Если параметры схемы рнс. 3.44, 6 晶，厶*, С, согласовать с пара- мгграм” схемы рис. 3.44, о R,厶，С таким образом, что

R0=L/C 尸 LJC = k、R0=L/C 尸 LJC = k、(3.65)(3.65)

R0=L/C 尸 LJC = k、

R0=L/C 尸 LJC = k、

(3.65)

(3.65)

где / ——некоторое произвольное число (масштабный множитель преобразования), Ом~. то

心+位+加匕=^R +志+拘厶）心+位+加匕=^R +志+拘厶）(3.66)(3.66)

心+位+加匕=^R +志+拘厶）

心+位+加匕=^R +志+拘厶）

(3.66)

(3.66)

С учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.64) следующим образом:

屮“(R + /(" + —)=应屮“(R + /(" + —)=应(3.67)(3.67)

屮“(R + /(" + —)=应

屮“(R + /(" + —)=应

(3.67)

(3.67)

Из сопоставления уравнений (3.63) н (3.67) следует, что если ток 人 источника тока в схеме рис. 3.44, 6 изменяется с той же у гл оной 'рстотой, что н ЭДС Е в схеме рнс. 3.44. а, н численно равен Е, а Параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением (3.65), то при 4 = 1 Ом2 закон изменения во времени потенциала (心 в схеме рис. 3.44, 6 совпадает с законом изменения во времени тока j н схеме рнс. 3.44, а.

Если сиойства какой-либо из схем изучены, то они полностью могут быть перенесены на дуальную ей схему.

Между входным сопротивлением ZMl,x исходного двух пол юс ника и входной проводимостью Кцупл дуального ему двухполюсника существует соотношение ZMCX = ^ТЛУЯЛ.

Из (3.66) поручаем соотношение между частотной характеристикой чисто реактивного нс ход 11 о го двухпо л юс 1111 к а，£。＞) и час* тотной характеристикой дуального ему тоже чисто реактивного Дну Xi юл юсника，уа“("))，Денстннтел ыю, так как ZMC4 = /Л исх(ю), а

Уjb _(ю), то 儿貝3)= — A6“a.iW), т. e. частотная хараКте. пи^и7а дуального двухполюсника получается из исходной час. Характеристики путем опрокидь1вания ее относительно оси м деления на масштабный множитель к.

Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДс £ и параметрами R「L, С) отвечает свой элемент эквивалентной дуальной схемы (схемы с источниками тока/э и параметрами g,,g 厶)•

§3.45. Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому независимому контуру исходной схемы, а также области, являющейся внешней по отношению к схеме, соответствует свой узел дуальной схемы.

Если в какой-либо ветви исходной схемы, являющейся смежной между двумя контурами, имеется 〃 последовательно включенных элементов, то этой ветви соответствует 〃 параллельных ветвей, соединяющих узлы дуальной схемы, которые отвечают этим контурам.

индуктивности 厶 преобразованияиндуктивности 厶 преобразования—емкость C[;—емкость C[;емкостемкостТак, источнику ЭДС £ исходной схемы рис. 3.45, а отвечаете пуа』ьнон схеме источник тока 厶 рис. 3.45, 6, а источнику тока 人# нсточник £'; активному^сопротивлению R — провод и мость^； с7и С — и и ду кти вность Lr Для

индуктивности 厶 преобразования

индуктивности 厶 преобразования

—емкость C[;

—емкость C[;

емкост

емкост

шимr "сходно" схемы в дуальную поступают следуй области) ставят ?；丁" каждого независимого контура (и во внешне ^~^-■妬…北sc. уз呻

НИХ ставим точки /%а ^Р« независимых контура, поэтому внуф точка 2_酎篇：；'«智学 / соответствует первому контур контурные токи 1Ш1павлрц|| третьему). Будем считать, что в^е

Во внешней о!=^Х "° ЧаС0В0Й。吟豚巳

полученными четырьмя v」:"”"области ставим точку 4. Меж^ ветви дуальной схемы 今｛ ?““" проводим пунктирные линии-* нойсхемы(/?,Л>С,£)ив Щ^лят через элементы исход- соответствующие эквивалежш(Ж 诈恤‘ Рнс. 3.45, б включаем вн|

")J)

Рис. 3.46

Уз，” / на схеме рис 3.46, q соединен с узлом 4 одной пунктирной лнннен, так как в ветви, являющейся смежной между первым кон- туром и внешней областью, включено лишь одно сопротивление (активное сопротивление /?,). На схеме рис. 3.46, б между узлом / н узлом 4 включена активная проводимость g^ = RJk.'

Узлн / н 2 на схеме рис 3.46, q соединены двумя пунктирными линиями (одна из них проходит через источник ЭДС Е5, другая — через индуктивность 厶5), поскольку в ветвн, являющейся смежной между контурами / и 2, последовательно соединены два элемента схемы (£5 н 厶5). Узлы / и 2 на схеме рис. 3.46, 6 соединены двумя ветвями. В одну из них включен источник тока /^ а в другую —— конденсатор емкостью Сэ5 = L5/fe (элементы дуальные £5 и L5).

Положнтельнне направления токов источников тока в дуальной схеме должны быть согласованы с положительными направлениями ЭДС источников ЭДС в исходной схеме. Если при обходе /г-кон- тура по часовой стрелке направление какой-то ЭДС этого контура совпадает с направлением обхода контура, то ток эквивалентного ей источника тока должен быть направлен к 4-узлу. Если ток по некоторой ветви исходной схемы совпадает по направлению с направлением обхода /г-контура, то в дуальной схеме стрелку на соответствующей ветви н а п ра в л я ют к 4-узлу. Последнее замечание следует иметь в виду при составлении [А | и (^]-матриц взаимно дуальных схем (см. § 2.31). При этом полагаем, что в каждой ветви исходной схемы имеется но одному пассивному элементу.

Исходную и дуальную ей схемы н аз ы в а ют взаимно обратными.

Вопросы для самопроверки

Какими тремя величинами характеризуют синусоидально изменяющуюся Функцию? 2. Каков смысл стрелки, указывающей положительное направление для тока ветви и напряжения на элементе цепи? 3. Почему среднее значение синусом- далькоср тока определяют за иол периода, а не за период? 4. Что понимают иод дсйств у ю щ и м знаненнсм тока ( на пряжения)? 5. Поясните процесс ирохождс имя

&J

①8

a丿

6丿

S)

Рис. 3.47

,UHnvKT„Biiv»o катушку. 6. Поясните процесс проход, синусоидального тока чеРе^У^нденсатор. 7. Изложите основы символического ння синусоидального тока чер« конде 吊乱皿 расчета цепей постоянного тока метода расчета. На каком °^°®^^тока? 8. Данте определение векторной и тцпо， применимы к цепям 嚅:曙喋膿:J моменту времени сосггветствует поло吋帆 графической диаграммам 9 ^а^рноП диаграмме? 10. Как определить напр- векторов токов н напряжений на ^ 喘а巾мской диагра^ие? И. Физически

женне между двумя очками «емь комплексную мощность S через комплексы интерпретируйте Р. Q. S. U. bbipaрезонансного режима двухполюсника,

напряжения и тока. 13. ,： ：、*"3.2& а при изменении Лси неизменных £, |

Постройте резонансные 叫；黑 環'© |И|Луктивной катушки, конденсатора н R丄к 14“опоннм賀:喘嗽累丁；：；М喘зует кажпах из них? 15.ДайтеоП. резонансного контура? 1ти физD忠 нм у’резонанс а напряжении. 16. Какие

5 17. Как по виду частотной характеристики1

ределение режиму резонанса токов и

сзонансного

двухполюсники называют реактивными

Х(ш) реактивного двухполюсника можно определить, какие и н каком количестве., будут возникать и нем резонансные режимы при изменении w? 18. Какой должна ； быть взята нагрузка, присоединяемая к активному двухполюснику, чтобы в ней М выделялась максимальная мощность? 19. Дайте определен не согласующего н иде-卄 ального трансформаторов. 20. Как в расчете учитыиают наличие магнитной свАзк между индуктивными катушками? 21. Какой смысл имеют в трансформаторе? 22. Что понимают под разнязываннем

и”？ С какой целью его осуществляют? 23. Покажите па примере, как практичёЬкй й осуществить развязывание цепей, положив и основу принцип неизменности иотокос-1 цепления каждого контура ди н после р аз вязы иа ни я. 24. Запишите выра^ке-卜

/VIя комплексной мощности, переносимой магнитным путем из одной ветви ??pyiyio, с ней мапиггио-связапную. 25. Сформулируйте теорему о балансе aKtiiB* L 凿Г,庶产"""“"МОЩ,^Т$1Й- 26- Сформулируйте алгоритм преобразования-исЛд- I 『：： пуальную. 27. Даны параметры схемы рис. 3.47, и:周=1 В;々弓飞；卜 3=a+j)B; R|=s"=i Ом;尺2= I/sC2=2 0m; /?з= 1 Ом. Определите 啷"

чсскуюС 嚣罂3 Л в иетвях « "оказание ваттметра. Постройте топогр^и- диа1рамм> (считая заземленной точку О) совместив с векторной ДН8Г-

Z黑喘俨к /.= L08№ a；遣蹴陶眦:：貴：黑諷4 R … В・Показаннс ваттметра0,83・ l.08cos(—97。40')= =-0,155 Вт. Tono- меЛум°К黑“мн ；,6ра”а у рис. 3.47. 6). 28. Выведите соотношений

Z|=2]e闻 Z =z(Jg 7 — 疆У-ентамнкомплексных сопротивлеи*»

Ф：^Т«~

总屮2 =….29. Решите ^^

вносимые сопротивления Щмагнитно-связанных де- L

Глава четвертая

еТ.|рЕХПОЛЮСНИКИ. ЦЕПИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ ^^цНИКАМИ. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ

§4.1. Определение четырехполюсника. Четырехполюсник — это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по отношению к четырем ее зажимам.

Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и

п. можно рассматривать как четырехполюсники.

Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами)тп иpq(рнс.4.1,а).Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии,то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это значит, что четырехполюсник пассивный.

В общем, практически мало распространенном случае, рабочими парами зажимов четырехполюсника могут быть три пары зажимов. Применительно к рис. 4.1, а — это, например, пары m〃, pm и pg. А этом случае режим работы четырехполюсника определялся бы тремя независимыми уравнениями, в которые входили бы три независимых напряжения (что следует из второго закона Кирхго

фа) между упомянутыми парами зажимов и тремя независимыми токами (что следует из первого закона Кирхгофа). На практике четырехполюсник обычно работает в режиме, когда одна пара зажимов, например тп, является входной» а другая пара, например pq,——выходной. Четырехполюсник, у которого рабочими являются две пары зажимов, называют проходным. В данной главе рассматривается теория проходного четырехполюсника. (Термин мпроходнойм далее упоминаться не будет.) .

Входной ток обозначают 厶？ входное напряжение— U^ ток и

напряжение на выходе ——/2 и U2.

Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как прави- /о, присоединяют источник питания, к выходным зажимам pq ——

нагрузку.

неизменными.неизменными.Рис. 4.1Рис. 4.1Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника и сопротивления в ней остаются

неизменными.

неизменными.

Рис. 4.1

Рис. 4.1

УРав：УРав：. Шесть форм записи уравнений четырехполюсни рехполюсник характеризуется двх мя напряжениями О 鼠@： q, мя токами /, “ /о. Любые две величины из четырех мо^н “" лить через остальные. Так как число сочетаний из Чст, 0 0np равно шести, то возможны следующие шесть форм защ「е* По нин пассивного четырехполюсника:'сн

УРав：

УРав：

.4-форма.4-формаL A 02tBi2'L A 02tBi2'

.4-форма

.4-форма

L A 02tBi2'

L A 02tBi2'

У-формаУ-форма/ = у“〃 + 々и?；А = %" + %〃?；/ = у“〃 + 々и?；А = %" + %〃?；Z-формаZ-форма

У-форма

У-форма

/ = у“〃 + 々и?；

А = %" + %〃?；

/ = у“〃 + 々и?；

А = %" + %〃?；

Z-форма

Z-форма

//-форма//-формаG-формаG-форма4 = z“/] + Z]2=〃2 = z"] + Z，2；4 = z“/] + Z]2=〃2 = z"] + Z，2；"1 = 〃|/| + ”12=2； 0 = %/1 + "22办"1 = 〃|/| + ”12=2； 0 = %/1 + "22办(45)(询(45)(询(4.7)(出(4.7)(出

//-форма

//-форма

G-форма

G-форма

4 = z“/] + Z]2=

〃2 = z"] + Z，2；

4 = z“/] + Z]2=

〃2 = z"] + Z，2；

"1 = 〃|/| + ”12=2； 0 = %/1 + "22办

"1 = 〃|/| + ”12=2； 0 = %/1 + "22办

(45)

(询

(45)

(询

(4.7)

(出

(4.7)

(出

ОбратимОбратим(4,9)(4.10) q 件(4屮(4.12)(4,9)(4.10) q 件(4屮(4.12)

Обратим

Обратим

(4,9)

(4.10) q 件

(4屮

(4.12)

(4,9)

(4.10) q 件

(4屮

(4.12)

/| = G[|U| + б/；А=仇口 + g/；

8-форма

&= B|M + в/1；，2= %" + В??厶.

ч>иратим внимание на попарную инверсию У- и Z-форм, 4丿 Морм. /У- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для Д-фор мы (ее будем симтар ,「：вн°" По;,ожительные направления для токов и напряжен^ :学;т РН*4丄°；для У一，Z-, 〃-, G-форм — рнс. 4.1,6, В-фор

— рнс. 4.1,8.Т г г

22.Обратим внимание на то, что ток /2 на рис 4 1 б направлен противоположно току/2 на рис. 4.1. a.d Рис- 0 Н 卩

2

2

ми /| и^на pHcVl、”зменн/н направление по сравнению с тока-

Рассмотрение уравнений начнем с /1-формы.j

136

Рис. 4.2Рис. 4.2

Рис. 4.2

Рис. 4.2

(4.13)(4.13)4.3. Вывод уравнений в A-форме. Комплексные коэффициен- ты А, В, С. D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы н частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчет- ннм или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих vcjiobhio взаимности, коэффициенты связаны соотношением )AD - ВС=\.

(4.13)

(4.13)

Выведем уравнения (4」)и (.4.2). G этой целью к зажимам гпп подключим источник ЭДС £ = Umn = ", а к зажимам pq — нагруз- ку Z・2(pHC. 4.2,а)・ .

Напряжение на нагрузке U2 = /2Z2 = 17 Согласно теореме компенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку z2 источником ЭДС с ЭДС G = 4 н направленной встречно току /2 (рис. 4.2、6). Запишем выражения для токов /, и /2, выразив их через ЭДС Еу, Ё2 и вхоп- ные, и взаимные проводимости ветвей уц, yV2, //2h у^.

Л = ^\У\\ —^21/12* (&)

厶=Е[У2Т — Е 2y 22, (6)

(( Если токи /( и /2 рассматривать как контурные, то ЭДС контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком пл юс, а ЭДС, не совпадающие с направлением соответствующих контуров токов, — со знаком минус. .

I' ЭДС Е} направлена согласно с/(, поэтому она вошла в уравнение (а) и (6) со знаком плюс; ЭДС £2 направлена встречно /2, поэтому она вошла в эти уравнения со знаком минус.

Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных элементов (для взаимных четырехполюсннков), согласно принципу взаимности (см. § 2.16), z/l2 = f/2i- Из (б) найдем

Подставив (в) в (а), получимПодставив (в) в (а), получим• У1—22 — %2V21/[=/-• У1—22 — %2V21/[=/-；!/|l + ‘2—•%；!/|l + ‘2—•%(г)(г)

Подставив (в) в (а), получим

Подставив (в) в (а), получим

• У1—22 — %2V21

/[=/-

• У1—22 — %2V21

/[=/-

；!/|l + ‘2—•

%

；!/|l + ‘2—•

%

(г)

(г)

Обсэла^им

Л = #»/%♦ В = I/免 1, С = ®i% —弘必)/夕露，О = У”/% 1

В уравнениях /в) и (гМамениы £, на “ и £2 на 厶 и, в。：зовавшмсь обозначением СП пл-учим уравнения в Л-ф^рМе 口讐

Y4JY4J"=d& +6//A=c&+。)*"=d& +6//A=c&+。)*Проверим выполнение соотношения рехлаюсника：Проверим выполнение соотношения рехлаюсника：<4」3)дл邪 взаимною че^<4」3)дл邪 взаимною че^/о-м/о-м多口力? g"敢2 一9，孤!多口力? g"敢2 一9，孤!呂呂応応//.蜀…ё E^xnca%丑幻и AD- ве://.蜀…ё E^xnca%丑幻и AD- ве:亿步:鑑/髭霭鶴咼绊"5 3。叱”"" S金二—к зажим^^С^^ источник〉野 н запишем вара氷е-亿步:鑑/髭霭鶴咼绊"5 3。叱”"" S金二—к зажим^^С^^ источник〉野 н запишем вара氷е-月HW Х1Я ТОКОВ Zj и /у月HW Х1Я ТОКОВ Zj и /уИз^)0айлемИз^)0айлем厶= -£/】+£/£ '=空過J+A仁厶= -£/】+£/£ '=空過J+A仁(#(#(Ж)(Ж)

Y4J

Y4J

"=d& +6//

A=c&+。)*

"=d& +6//

A=c&+。)*

Проверим выполнение соотношения рехлаюсника：

Проверим выполнение соотношения рехлаюсника：

<4」3)дл邪 взаимною че^

<4」3)дл邪 взаимною че^

/о-м

/о-м

多口力? g"敢2 一9，孤!

多口力? g"敢2 一9，孤!

呂

呂

応

応

//.蜀…ё E^xnca%丑幻и AD- ве:

//.蜀…ё E^xnca%丑幻и AD- ве:

亿步:鑑/髭霭鶴咼绊"5 3。叱”

"" S金二—к зажим^

^С^^ источник

〉野 н запишем вара氷е-

亿步:鑑/髭霭鶴咼绊"5 3。叱”

"" S金二—к зажим^

^С^^ источник

〉野 н запишем вара氷е-

月HW Х1Я ТОКОВ Zj и /у

月HW Х1Я ТОКОВ Zj и /у

Из^)0айлем

Из^)0айлем

厶= -£/】+£/£ '=空過J+A仁

厶= -£/】+£/£ '=空過J+A仁

(#

(#

(Ж)

(Ж)

Подставим (з)в(ж|：

К处宁也+"丝，

вменив £На d к g }2?

"⑴―&"：案嗚宵。взсь Обозначения.

〃 =0g + Я； 5“У幻山им Образом:

"<4』4)

函函4=也+//

函

函

萨(4.14а%

Таким Аразом, уравнения (4.1)и (4.2) характеризуют рабоп qefbipexn器閣累；??：：：；*"“ со сторона зажимов тл и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения14.14)и(4.14а> — при его питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к займам тп.匕

Четырехполихник называют симметричным, если при перемене мысами нсючника питания в нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяклся. В симметричном четырехполюснике А = D, \ равнения (4」)и (.4二)иногда записывают так:

(4.1a)(4.1a)(4 16)(4 16)U|一工也+4人 Л =4力02+月/2, где Л м = ,4: 口 J? = В: Д2! = С;貞竺=D・

(4.1a)

(4.1a)

(4 16)

(4 16)

. Определение коэффициентов Д-формы записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты А, В. С, D, входящие в уравнения (4.1) н (4一2入 можно определить по формулам (дк если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры известны, либо испатьзуя входные сопротивления 耳етнрех- полмхника. пазученные опытным или расчетным путем.

Комплексные входные сопротивления находят опытным путем с помощью ваттметра, амперметра м ваты метра по схеме, подобной схеме рис. 3.24, о, с тем отличием, что вместо двухполюсника зажимами тл н pg (в зависимости от определяемого входного сопротивления )подключаю! испытуемый четырехполкхзник.

Определим комплексное входное сопротивление четырехполюсника при трех различных режимах его работы.

При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви pq (Л = 0. индекс х).

При питании со стороны зажимов тл и коротком замыкании ветви pq(U? =0, индекс к).

Z^^UJh.=^^QfDg

Прн питании со стороны зажимов pq и коротком замыкании зажимов тп( U? = 0)

Z.^ = z^^B/A.5

Таким образом, для определения четырех неизвестных ко^ффм- инентов А, В. С. О взаимного четырехпалюсника расползгэе = 7&рьмя уравнениями: AD — ВС = 1, Z】* = /，旧—，，亮 =8/儿 Составим разность

Имеем

g£ = F млм g40

4。

Z*,Z. = °/2

(н)

Умножим <м)на (н)：

Отсюда

а

(4岡

(4 15P позволяет через Z^ н Z>二лнть коэф.

酬器£；："〃 этого коэффициент С находят нз (н). В 一 нз . ^■Коэффиииенты Д и О имеют нулевую размерность, коэффИЦя. Бимеет размерность Ом. коэффициент С — См

Заметим, что вместо формулы (41о>коэффициент 4 может быть опредеем по формуле 0.15а *

(4.15а)

Пршчер 49， Опитаым путем Z1« = l—k3 Ом： Za = &33ek5r шетъфолохкей .u

P e и e « м e_ Hl,ex Z“ 一 Z】.= По формуле К 15) посчитаем.

было паклено, во Zj, = 7.8!5е^а, |2^ Оы;Ом. Определить коэффицненты 4. В, С, D

・应-士

I .版**> .

/7£! 5cf "「=0.1汲曲* См；

6 = 42% = U6e^ Ом; D = B/Z】.=0.34.

Пример 50. К зажямаы р^ (см р#с 4.| । четырехпалюеннкэ примера 49 подсл- икп .“р》、з Z2 = 6 -h /6 Ош； к 1ажлмам з - источник ЭДС. Найти 0} и 厶 —&=11

黑Г*：六尸亠了" U^AU^BK^ /^2 + 8)=lp X'鼻+第£ +4^^="限"BJ

%=叫 + 叫="% +0) = LI65e з a

свугт Ewei 心：〃%■；：」界 п：Р：° корнем мят знак плюс Этим) знаку соответ 《оогтеетсг.ует вер у », яа* мхн\с【кре」корнем отброшен, так ка*0* У，О в противоположном направлении.

、4 5. Т・ н П-схемы замещения пассивного четырехполюсника.

ъ ин пассивного взаимного четырехполюсника как передаточ- ^^К^1 чБена между источником питания н нагрузкой может вы пол- н。'。т-схема (схема звезаы рис. 4.4,а) или эквивалентная ей П-схе- е\госьннка (рис. 4.4, б).

“а Предполагается, что частота з фиксирована. Три сопротивле- у_ “пн П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замеше- нн* [онжна обладать теми же коэффициентами А. В, С. D. что н нн：ен；емнК ею четырехполюсник.

а'、зт>зча эта однозначна, так как схема замещения содержит трн Лрнта. и четырехполюсник характеризуется тоже тремя пара- цетрами (одна связь между А.В, С, D задана уравнением Д^^р^им 'напряжение 0】н ток /, Т-схемы (рис. 4.4, а) через напряжение U2 и ток /2:

% = % +，2十 /1Z]="'屮 + I

Z3

(4.17)

(4.16)

Сопоставим (4.16)с (4.1)и(4.17)с(4.2). При сопостав-лении на頁• 弋 =l+(Z"ZJ B=Z,+Z・2+ZZJZ3； С=1% D=1 十ZJZ3・(4.18)

Следовательно.

Z3= 1/С

Z] = (A — 1)/& Z& = (D — D/C-

(4.19)

поэтому Xi а него

юеникаб挣用

уетирехни

У невзйнмного

элементами

“г；吃然ют?■田睛=拝

a qCTZpZ禽

схема замещения

(СЫ.. например, сх—

злмешення

образована не тремя транзистора н§ 15.35

4 С, D. Аналогичные выкладки

A^=i -by-s^Z4Css

для П-схемы (рис. 4.4, б)Да

4 + z*s =

ZR

4

瓦+1；

Ют：

Z$ = В;

Z5 = 8/(。— 1)；

Z6 = В/(А — 1).

Еслн четырехполюсник симметричный, то Л = А) и замещения Z〕= Z2, а в П-схеме Z5 = Z6.

(4.20)(4・2|)

(4.22)

(4.23) в Т・схе喃

84 6 Определение коэффициентов У-, Z-, G- и А7-форм записи уоа!нений четырехполюсника. Комплексные коэффициенту：

V У в уравнениях (4.3) и (4.4) найдем следующим обра.

3穴при 〃尸0； rI2 = /№ при q = 2； % = LJ5при =0. Обозначим %=，||. %2=釣2 Н0 ^I2=—//|2

Коэффициенты Z“，友，Z如 Z^ в уравнениях (4.5) и (4.6) определим так: Z“ = ^/|//|При，2 = 0； Z|2 = 4〃| при /2 = °； ^22 = ^2/^2ПРИ /| =0.

Аналогичным образом определим крэффициенты и других форм записи, например //-формы: Нц = UJ1、при U2 = 0; 〃豈=/2/(/2при (=0; % =/2/А прн 4 = 0. Обратим внимание иа то. что для взаимного четырехполюсника У12 = У21，Z% = 22р но 〃i2 = — 〃2i，б” = — G2h а В” не равно В2( даже по модулю.

Пример 51. Вывести формулы Z параметров для Т-схсмы замещения четырехполюсника рис. 4.4, и.

Решение. Для Т-схемы замещения，

^п = ^|/^1прм/3х*0 = ^2 + Z3; Z12 = Z2| = ^2/^hipM/2 = O = ^з»je

Zj2 =厶/工屮* = 0 = Z2 + Z》7

§ 4〈УпРе'зенне козффнцнентов одной формы уравнений че- рез коэффициенты другой формы. На практике возникает потреб- носп н переход?门 одно" формы записи уравнений к другой. 一 коэффициенты одной формы записи найти через двсодинчконмрВ11)У，ОИ 山ирм” неибходнмо выразить какие-либо направления ^ко^曲甲乂^ н сопоставить нх,уитн

（。）（。）Для Л-фирмы 2/

（。）

（。）

“I = / Д — / 丄

'С %с・

и.и.;О;О(п)(п)

и.

и.

;О

;О

(п)

(п)

для Z-формн

а=j|Zn+，遥⑵(Р)

^2=/|Z2l 4-/2222-(с)

Сопоставляя правые части (о) и (р) и учитывая, что ток /2 в выражении (р) равен току 一 /2 в выражении (о), получим

Z” = А/С, Z]2 = 1/С.

Из(п)и(с)

Z21 = 1/С, Z22 = D/С.

При переходе от коэффициентов Д-формы к коэффициентам других форм найдем:

匕1=0/8, У12 = У21=- 1/В, Y^ = A/B\

〃“ =8/0, % = - 〃2『1/D, % = C/0;

G|i = C/A, G12 = — G2l = — 1/A, G22 = B/4;

Bn = D, B]2 = B, B2j = С, В22 = 4.

Пример 52. Определить /-параметры четырехполюсника через Z-параметры.

Решение. Решим уравнения (4.5) и (4.6) относительно /| и /2. сопоставим

полученные уравнения с уравнениями (4.3) и (4.4). В результате получим

У" = Z22/AZ； %2 = Z"Az； У[2= %l = — Z/Az； % = 2IIZ22 一 Z[2・

Для Т-схемы (рис. 4.4, а)

* = (Z[ + Z3XZ2 + Z3) — Z| = Z|Z2 + 2送3 + 2必3；

Ун =危 + ZJ/Az； 丫22 =(Z| + ZJ/Az； % = - ZJ”

В табл. 4.1 да*:ы соотношения для перехода от одной формы уравнений к любой другой.

Таблица 4.1

От матрицы

К матрице

[Z]

⑺

【刈

IG|

A S' CD

|2|

У 22 ~"У 12

Ду Ау - ‘21 У“

А「А У

”22 ”22

—”21]

"22- 福

1G|2

G11 G"

-21%

G[i G”

? C

丄2 c c

-//%与a M飭"勾勾孤^-^ di£i£___乙即R請若f 丁上% %及丄G—%-』 _____2一%/一』上G『万工立 m 制 同-//%与a M飭"勾勾孤^-^ di£i£___乙即R請若f 丁上% %及丄G—%-』 _____2一%/一』上G『万工立 m 制 同четырех-четырех-2)2)6)Pxc, 4.56)Pxc, 4.5

-//%与a M飭"勾勾孤^-^ di£i£___乙即R請若

f 丁上% %及丄G—%-』 _____2一%/一』上G『万工立 m 制 同

-//%与a M飭"勾勾孤^-^ di£i£___乙即R請若

f 丁上% %及丄G—%-』 _____2一%/一』上G『万工立 m 制 同

четырех-

четырех-

2)

2)

6)

Pxc, 4.5

6)

Pxc, 4.5

§48 Применение различных форм записи уоавнений

пюбражений удобства ^Так в rp( nu ИИ применяк)^ «сходя из Ю.8) используй обычно У иД7К СШ，Те3а 伙“成 '.§ 10.5- зисторов для малых леременних「‘叩”〉'запи^и. Параметры тран- i 〃・,или г-фор^^(см. § 15.35) лают в

лить опытным путем.нх Фермах их }мобнес олред?-

При нахождении связи ,

产ми различным образом(•(“•；? входными н выходными величн- пределении коэффициентов ^а^НЫХ чегыРехполюсников (при

I肥зуют Z-, //., G・.у. и /4-фопМ^аЛеитиого четырехиолюсника) “ ри после донатр ям Ы

閣；甯/4•談瑞閣:;霭,7"^ “W皿田叱хза н。мтя: ：' 讐‘阿一'口⑨-У 如;力!：'"'屮"параллельно нараллель- ；貰唸”一 /Z форму, при п^ ^ п^^^^ )。飙S・ при кгек^^

力

Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобств получения матрицы составного четырехполюсника. Так, Z-матрииа последова- те.1ьно-последо1зате.1ьносоединенныхчетырехполюсников равна cvm- мс 2-матриц этих четырехполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырехполюс ника равно сумме напряже- н”订 на входе (выходе) состав^тяклцих его четырехполюсников, а токи со°тве7c「“енно на входе(выходе)у последовательно-пгкледовательно соединенных четырехполюсников одинаковы. У-матрина параллель- но-пара.1лсльно соединенных четырехполюсников равна сумме их У- матрии, так как ток на входе (выходе) эквиваленшого четырехполюсника равен сум ме токов на входе(выходе)параллельно-паралле^тьно соединенных четырехполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы. Аналогично и в отношении //-матрицы при последовательно -п а р ал л ел ьно м и G-матрицы при и а р а л ле.ч ьно -п(кл едовател ь- ном соединениях четырехполюсников. При каскадном соединении ток

и наиряжение на входе первого четырехполюсника равны входным току и напряжению второю четырехполюсника, поэтому 八-матрица двух каскадно соединенных четырехполюсников 4Hb равна произведению Д-матриц этих четырехполюсников:

儿/Q九儿/Q九4 % =Q4 一4 % =Q4 一八九+ %&Q% + 46八九+ %&Q% + 46儿4 +%5G/ + d4儿4 +%5G/ + d4

儿/

Q九

儿/

Q九

4 % =

Q4 一

4 % =

Q4 一

八九+ %&

Q% + 46

八九+ %&

Q% + 46

儿4 +%5

G/ + d4

儿4 +%5

G/ + d4

При параллельно-параллельном, последователыючихледова- тельном, f)а р з .'I /I ел ь н()-11 oc.i едо ват ел ьл о м и послвдовательно-на • ралле.чьном соединениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения четырехполюсников — через обе первичных зажима каждого четырехполюсника должны течь равные по значению и противоположные по направлению токи; то же и по отношению к вторичным зажимам каждого четырехполюсника.

IIри пегилнпном соединении матрица каждого четырехп^юс- ника л()；жна оставаться такой же, какой она была до。心ннвнна "EFjRcxh。刀юсник"： регулярности при последователь- ^>*послеХа?Еом соединении показан на рис. 4,6, а. Так соеди-

Z吗也吟+8「叫+也=石率T■Совместно решая (4.24) и(4.25), найдемZ吗也吟+8「叫+也=石率T■Совместно решая (4.24) и(4.25), найдем(4.25)(4.25)Учитывая, получимУчитывая, получимZ,】=\^B/CD；Z,】=\^B/CD；что Л/С = z,что Л/С = z,2点=V方瓦貢•2点=V方瓦貢•к，B/D = Z|,, В/А = Zzk，Q/C = Z%к，B/D = Z|,, В/А = Zzk，Q/C = Z%(4.26)(4.26)

Z吗也吟+8

「叫+也=石率T■

Совместно решая (4.24) и(4.25), найдем

Z吗也吟+8

「叫+也=石率T■

Совместно решая (4.24) и(4.25), найдем

(4.25)

(4.25)

Учитывая, получим

Учитывая, получим

Z,】=\^B/CD；

Z,】=\^B/CD；

что Л/С = z,

что Л/С = z,

2点=V方瓦貢•

2点=V方瓦貢•

к，B/D = Z|,, В/А = Zzk，Q/C = Z%

к，B/D = Z|,, В/А = Zzk，Q/C = Z%

(4.26)

(4.26)

нять четырехполюсники / н 2 нельзя, поскольку входные за*нм второго четырехполюсника оказались накоротко соединенным^^' его выходными зажимами.“ с

Регулярное соединение тех же четырехполюсников показано рнс.4.6,6 — перекрещены обе пары концов второго четырехпо 亜 ника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы л：：\ матрицы остаются неизменными).°0%

. Характеристические и повторные сопротивления четыпр полюсников. В случае несимметричного четырехполюсника //寥； рассматривают два характеристических сопротивления Z 审

ZCI - входное сопротивление со сторона зажимов тп кот нагрузка подключена к зажимам pq и равна Zjpuc. 4.7, «)•， Д

(4.24)(4.24), c%+%=名+万；

(4.24)

(4.24)

Если _ 口『=Zg = y.(4.27)

爲点■熱沁丘_s “6w заменив В ней Zcl и Zc2 на |

Z „. получим

(4.24a)(4.24a)7_ 4ZnoB + В

(4.24a)

(4.24a)

ПОН —~..

"нов + О

2 一+夕2 一+夕Решив (4.24а) относительно Zf)0B, найдем

2 一

+夕

2 一

+夕

7— 4 — D

!1OR 2c +

Если четырехполюсник симметричный (А = D\ то Z^ = ^ВТС. т. е. оно совпадает с характеристическим сопротивлением Z,. Сопротивление ZuoR называют повторным потому, что оно повторяет сопротивление нагрузки на выходе четырехполюсника.

4.10. Постоянная передача и единицы измерения затухания. Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на Z(,

0} — A U2 -\~ В! 2 = 02M + V^C)；厶=厶(4 4~ У ВС).

Комплексное число _Д + ^ВС полагают равным е е, где g = а + jb = 1п(Л + 褒。)—постоянная передачи. .

Из формул q = 0.^a^ib\ /, = !^а^ь следует, что модуль U} в е° раз больше модуля U?, а модуль 1} ве° раз больше модуля /2. По фазе ■ опережает U? на угол Ь, ток 人 опережает /2 также на угол Ь.

Величина а характеризует затухание четырехполюсника. Единицами затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы определены на основе натуральных логарифмов, а белы ——на основе десятичных. Затухание в неперах

1，i

""" = 2 不=5 n 亜•

При согласованной нагрузке

22

2

2

Если UJU2 = е, то затухание равно 1 Нп. Затухание в белах& = ln($/SJ = m(q/。2产=21n I 〃/〃2「

а в децибелах алЬ = 201n(仇/")•匸

Если q больше 仇 в 10 раз, т° затухание равно 20 дБ. если 仏/4= 1()0, то。= 40“.I q /q Iтс

Выразим неперы через белы. Ес/н | 1/ 2 I —'

ан.. = 0,51п 10= 1.15; flB=lgl0= 1.Таким образом,1Б== Ы5Нп. а 1Нп = 0,868 Б = 8,68 дБ.

H-".婚::器常啷部尚嚅墨器。制%♦

*坛戲哪我鶴需% -昨c№g - sh2g三隅

(4.28)(4.28)U| = chg〃2 + ZcShg%；

(4.28)

(4.28)

/. = 3^и2 + chg%

Убедимся в справедливости замены/1 H\chg: e^A+^e^ = ^^^^ = ^8 + ^~s)^A. э Форму записи через гиперболические функции используют,暄 пример, в теории фильтров (см. гл. 5).

Для несимметричного четырехполюсника уравнения через гиперболические функции запишем следующим образом:

■ = VZ；171c2ch「％ + Viz。2shl'% ；j]=-^=gwh「劣+遅心/^clc^^ ^2*

где Г — мера передачи; chi' = \加力；sh「= V8c.

Если несимметричный взаимный четырехполк»сник нагружен на Z 0 °2 = ‘2,2； °i = 02vze]/Zc2(ch1 + sill). и 厶uj'VZd/Zc] (ch「+sli「). Имея в виду, "то J=ch「+sh「, получим

U| = “也"北2 e「； /| = % ^JQ е 匚

丝愿上[У，吗 I 亏『±"' 丁 ,п(胃。+ 迎С). Если_ четырехполюсник сим* Haii：x：W「。二'с* 力=/1, Г = А Так как \Ze|/ZC2 = V%/。, то передача по для несимметричного взаимного четырехполюсника, нагруженного не

Zc2, составляетIn -г— = Inд 丄

粧 Ё0十3?0十v80) н передача по току

-I o,—_

"石=m斤+g(w0 +候).

M，、W°e сопротивление со стороны зажимов^

7」＜ + 8I

'^CZ^D-^/^а

8稿t亜Л2：2ё|3:：[：7х"°"℃"" преобразует (конвертирует) К(^ффициентом 'конвептнп ^ ^п^' Коэффициент 刈 называют , ^^Е尸“ и q …о'динаковыег

^'опротивлсиия), если'「° "《(конвертор положительно^

(конвертор отрицательного °' ‘° 3，，аК 九 противоположен знаку 厶 148О сопротивления).

Рис. 4.8Рис. 4.8Если у конвертора А = 1, 丁。々=О・ U случае конвертор называют идеальным' * ванием тока (прЕсли у конвертора А = 1, 丁。々=О・ U случае конвертор называют идеальным' * ванием тока (пр=4；人=电厶.В этом=4；人=电厶.В этоми неизменноми неизменномконвертором с преобразо- напряжении).конвертором с преобразо- напряжении).Еслм у конвертора D=l,To^ = ]“； q = “"「/ = /2.Такой конвертор называют идеальным конвертором с преобразованиемЕслм у конвертора D=l,To^ = ]“； q = “"「/ = /2.Такой конвертор называют идеальным конвертором с преобразованиемнапряжения.напряжения.У конвертора есть Н- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-мат- рицы.Если у невзаимного четырехполюсника А = D = 0, то Zhx = (8/C)/(ZJ и четырехполюсник называют инвертором сопротивления, а В/С = /г?——коэффициентом инвертирования.Еслн 8 н С имеют одинаковые знаки, то ZBX= 1 /ZH (инвертор положительного сопротивления), если знаки у В и С разные, то Zu三一1/Z„ (инвертор отрицательного сопротивления).У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к каким зажимам (pg или гпп) подключена нагрузка.V инвертора есть У- и Z-матрицы, но отсутствуют Н・ и G-матриУ конвертора есть Н- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-мат- рицы.Если у невзаимного четырехполюсника А = D = 0, то Zhx = (8/C)/(ZJ и четырехполюсник называют инвертором сопротивления, а В/С = /г?——коэффициентом инвертирования.Еслн 8 н С имеют одинаковые знаки, то ZBX= 1 /ZH (инвертор положительного сопротивления), если знаки у В и С разные, то Zu三一1/Z„ (инвертор отрицательного сопротивления).У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к каким зажимам (pg или гпп) подключена нагрузка.V инвертора есть У- и Z-матрицы, но отсутствуют Н・ и G-матрицы.цы.

Рис. 4.8

Рис. 4.8

Если у конвертора А = 1, 丁。々=О・ U случае конвертор называют идеальным' * ванием тока (пр

Если у конвертора А = 1, 丁。々=О・ U случае конвертор называют идеальным' * ванием тока (пр

=4；人=电厶.В этом

=4；人=电厶.В этом

и неизменном

и неизменном

конвертором с преобразо- напряжении).

конвертором с преобразо- напряжении).

Еслм у конвертора D=l,To^ = ]“； q = “"「/ = /2.Такой конвертор называют идеальным конвертором с преобразованием

Еслм у конвертора D=l,To^ = ]“； q = “"「/ = /2.Такой конвертор называют идеальным конвертором с преобразованием

напряжения.

напряжения.

У конвертора есть Н- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-мат- рицы.

Если у невзаимного четырехполюсника А = D = 0, то Zhx = (8/C)/(ZJ и четырехполюсник называют инвертором сопротивления, а В/С = /г?——коэффициентом инвертирования.

Еслн 8 н С имеют одинаковые знаки, то ZBX= 1 /ZH (инвертор положительного сопротивления), если знаки у В и С разные, то Zu三一1/Z„ (инвертор отрицательного сопротивления).

У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к каким зажимам (pg или гпп) подключена нагрузка.

V инвертора есть У- и Z-матрицы, но отсутствуют Н・ и G-матри

У конвертора есть Н- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-мат- рицы.

Если у невзаимного четырехполюсника А = D = 0, то Zhx = (8/C)/(ZJ и четырехполюсник называют инвертором сопротивления, а В/С = /г?——коэффициентом инвертирования.

Еслн 8 н С имеют одинаковые знаки, то ZBX= 1 /ZH (инвертор положительного сопротивления), если знаки у В и С разные, то Zu三一1/Z„ (инвертор отрицательного сопротивления).

У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к каким зажимам (pg или гпп) подключена нагрузка.

V инвертора есть У- и Z-матрицы, но отсутствуют Н・ и G-матри

цы.

цы.

. Гиратор.「иратором называют инвертор положительного сопротивления, имеющий следующую /-матрицу:

团=团=0 士 G土 G00 士 G土 G0

团=

团=

0 士 G

土 G0

0 士 G

土 G0

где G ——проводимость гиратора. Для идеального гиратора G —— вещественное число. Для гиратора 厶=GU^ А? = — G，.

Гиратор не поглощает энергию. Он преобразует напряжение в ток. Еслн на выходе гиратора включено сопротивление Z“，то его входное сопротивление Znx = 1/(G2ZH).

Представим гиратор как трехполюсник (зажим 3 на схеме рис. 4.8, q общий для входной и выходной цепей). Его У-матрниа остается неизменной, если, оставив гиратор неподвижным, в направлении стрелки последовательно изменять нумерацию его зажимов. Гиря- ^ор является невзаимным (необратимым)четырехполюсником, гзк как для него Y^ У2r В настоящее время гиратор чаще обозначают в соответствии с рнс. 4.8, 6.

гиоатор можно, например, по схемегиоатор можно, например, по схемеможно перейти отможно перейти от阂=阂=7? °7? °；И1 =；И1 =° GG О° GG О

гиоатор можно, например, по схеме

гиоатор можно, например, по схеме

можно перейти от

можно перейти от

阂=

阂=

7? °

7? °

；И1 =

；И1 =

° G

G О

° G

G О

. Операционный усилитель. Операционный усилитель (О}/)^. это усилитель с очень большим входным сопротивлением, очень малым выходным сопротивлением и очень большим коэффициентом усиления / (теоретически /^-мю, практически Z?«l044-105). ОУ выполняют по интегральной технологии в виде отдельного кристалла, поэтому его можно считать самостоятел ьным активным з/емен・ том схем, подобно транзистору. Коэффициент усиления 也=—Ао/(1+/зт)・ Знак минус обусловлен тем, что вход / является^ инвертирующим. Постоянная времени т учитывает инерционные< свойства ОУ.浄

ОУ имеет обычно восемь выводов: два входных или управляю- шнх, один выходной (3), один заземленный (О), два вывода для питания и два для регулировки. Четыре последних внв。制 не показывают. На электрических схемах ОУ нзобр”； 黑片黑俨1皿照 с тремя выводами /, 2, 3 (рнс. 4.9,哪 венно • • • / Рь,х относительно заземленной точки соответст- ноА схемр :屮з Р”с・• ' “)• “РН включении ОУ ио дифференциаль- 4『i .При 凿，。削側 ОУ равно разност；м：："Т второго 0『屮|・ Выходное напряжений точкой 0: U()」'"“血"°8 между точкой 3 и заземленной "恥-屮2)=((:：；：］/蒜0"。В а раз больше входного, т. &

усиления ^записи Л”：' с°°"'етсгненно. Значение коэффициент® вого значения 叩“ ан；』 рядом с ОУ либо внутри его. Знание число- ит° К велико и стремится^ ?°”(' °У не всегда требуется, ва*на • 一" 2 к бесконечности. Так как Лоо, a &L

凿弊До常鑑皆• ‘° в завненмостн от способов включения 'Таким образом, входные напряжение

вом приближении равными нулю Для пбп?°ЖН° полагать в пеР' содержащихОУ, последние в ряде случаев 6vnpHHH @血力нза схем, четными эквивалентами. Выходную ^епк^ заменять их рас- Вью(рис.4.9, б), присоединенной меж^ вы^^й^ 3^ТТЬ ВеТ' Ленной точкой 0 и содержащей 澀矯、驟置牌廟鑑; С” соответственно, и последовательно с ним вкл^ен^ьм с(^ противлением порядка десятков или сотен ом (точное числовоЛна

а если ипотребуется, то всегд。может быть oгFpeSeнo^lo законам Кирхгофа^Входное сопротивление ОУ в первом приближении полагают стремящимся к бесконечности.

После замены входной и выходной цепей ОУ на расчетные эквиваленты схему рассчитывают по законам Кирхгофа, имея в виду в первом приближении, что входные напряжения и входные токи всех ОУ равны нулю.

Расчет схем с операционными усилителями, когда необходимо учесть конечное (не бесконечное) значение 4 и конечное значение входиых сопротивлений, производят обычно методом узловых потенциалов.

Сделаем еще два замечания относительно ОУ. Зависимость 〃ннх=/(〃нх)Для ОУ линейна только до некоторого максимального значения ^пых«10ч-15 В, после чего наступает насыщение. В дальнейшем будем полагать, что работа схем с ОУ происходит на линейном участке характеристики ОУ (рис. 4.9, е). Заметим еще, что скорость изменения выходного напряжения duBUX/d/ у ОУ ограничена величиной порядка 106 В/с.

Рассмотрим три примера.

Сначала рассмотрим схему рис. 4.9, г, являющуюся схемой источника напряжения, управляемого напряжением. Резисторы % н % могут регулироваться. Через резистор /?2 осуществляется обратная связь. Расчетная схема изображена на рис. *•9, д. Так как второй вход схемы рис. 4.9, г заземлен (ф2 = °)，а напряжение на входе ОУ должно быть равно нулю, то ф|«0.

•，/?2 отсюда(рз = — q)i—-. Ri•，/?2 отсюда(рз = — q)i—-. RiПотенциал на входе схемы 屮|' = — ‘Rl Потенциал на выходе ОУ фз = IR2,

•，/?2 отсюда(рз = — q)i—-. Ri

•，/?2 отсюда(рз = — q)i—-. Ri

может выполнять функции источникаможет выполнять функции источникаТак как R—0, то выходное сопротивление схемы стремится к

может выполнять функции источника

может выполнять функции источника

к нулю), управляемогок нулю), управляемогонулю, т. е. действительно схема рис. 4.9, а

к нулю), управляемого

к нулю), управляемого

напряжения (внутреннее сопротивление которого стрем и гея

напряжением. ^пппптинлений на ОУ, изображенную на

Рассмотрим схему преобраз^ателя с ^ тивлений Zl _ Z5. Покажем, что рнс. 4.10, а. В схеме имеется два и " зажимов А8 для малых переменных входное сопротивление схеу,严?℃1 黑 токи й ветвях в соотвстстини с рис. составляющих Zao = (ZiyZs)/?%：， 、которой выходные цепи ОУ заменены их 4」0, а. На рис. 4.10, 6 изображена схема, Р

расчетными эквииаяенгами. Для схемы рис 4.10, б ирираинясм к нулю входные

напряжения ОУ:；4п/ ；

U.H = % 一也=/送1 + (厶+①/=仇(可

〃陋=% — «• = Ui + /.Zj + 仏 + /〃+ /7)^4 = 0(0

ИзС)ИзС)人+%=-厶2人+%=-厶2(В)(В)

ИзС)

ИзС)

人+%=-厶2

人+%=-厶2

(В)

(В)

Из (б) с учетом (в) получим /| + /& + /7 = /】$ 父 Вхспнсс напряжение cxeMjf

Uab = U*n Uw + Ui + 4+ /7必皆 Ho Ua( + U(e & 0. поэтому

ZR/f,UAH Z]Z.〃6

ИИ〃4H =(厶 + 厶+」7)Zb = /]玄尸;Z“M〃 Nz 二

И

И

ipy ОУ И четыре 畧片爲:黑иллил jpMpyci рис. 4 Н В этой cxew 咿吗"у г山 J釘 与/旣野乎т” Резис торов 此 и %Ф”№

с рис 4.Н Учтем, что напряжение иУ """' ” токи ветвей м гоответШ#

точки, ^нач^нкыс буивъй О и гочЛ г^ '係 ^^ КИЖЛ01 ° ОУ( |рсмится к мул»,- 加靖«е-ё ток /4 = " "*二：：*£"Рах聖收о…"—屮й “m“皿碗」 ，阀кн С 屮「0」％_"/' У」И" WW /%* — /』」一 "ммМ

付付0nl°”а % =《"& 二—U /

付

付

/L九,/&

同同М〃，"ии。точки 人飴工一 //「Вмпмое кзиряжснис 'Au ■ W(r —屮彳""//1

同

同

'"«” н ниду. »пп Х1Я 7 формы записи ураинений четырехполюсиика "倡" им» ть кз!1рдву|еии(；. Про1ииоп<)ложное указиинпму на рис. 4 11 < ус г аноним, что У 「 152

I心н(« )и(л)я»ляипся уравнением гиратора. Недосталком сх<*мы рис.4 II является то, что жпочиик сигнала и нагрузка Z” непосредственно нессм*лиигнм с за，амк”""М точкой.

. Управляемые источники напряжения (тока). Управляемый источник напряжения (тока) представляет собой нензаимный четы рехпол юс ник (трехполюсник), выходное напряжение (ток) ко горого пропорционально входному напряжению (току) этого четырехполюсника, а сам он обладает свойством источника напряжения (ЭДС) (напряжение на его зажимах не зависит от протекающего через него тока) или источника тока (его ток не зависит от я а грузки). Управляемый источник обозначают часто в виде ромба, в кспсрсм указана стрелка (если это источник напряжения), либо двойная стрелка (если это источник тока). Рядом записывают управляющую величину, умноженную на некоторый масштабный множитель1.

Известны четыре тина идеализированных управляемых источников:

1)источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Схема его изображена на рнс. 4.12, а. Входной ток /|.= 0. выходной ток пропорционален входному напряжению: /2 = GUlt входное и выход-

пелкчииями могут 孙-кже “砂心■ “Р~w по времени гп тска или напряжения

………。……р…НТуН %

о О.R О'31о О.R О'31噥喘小皿款;НН нулю. Его 2-матрица имеет ^

о О.

R О'

31

о О.

R О'

31

иправляе^ый напряжением (ИНУЦ|

о о句0 ：о о句0 ：источник ток 人=0. «входное напр咖恤 Схема дана на рис. 4.1 Д в. D. ^^^ входное сопротивление^, пропорционально вх"^ое р2авн0 нулю. Его G-матрица такОйа конечно велико, а выход

о о

句0 ：

о о

句0 ：

^ляемый т。皿-ТУТ). Схема изображу 1 Источник 7噥黑黑%прхженне、= 0, входной ток про呻] на на рнс.4.12,乙昼；_ , входное сопротивление равно нулю,' иионален^ном^ ^-параметров его равна

О о

& 0

Каскадное соединение ИНУТ с НТ) Н обладает свойством ИТУТ, а каскадное соединение ИТУ Н с ННУ Т — свойством И НУН.

Для всех перечисленных управляемых источников выходная величина не влияет на входную, а входная мощность равна нулю, так как входной ток либо входное напряжение равны нулю.

Управляемые источники часто осуществляют на основе операционных усилителей. Так, схема ИНУН на ОУ изображена на рис. 4.9, г, а схема ИТУТ на двух0У- на рис. 4.13.

Убедимся, что схема рис. 4.13 обладает свойствами ИТУТ. Воспользуемся обозначениями на этой схеме.

Чак как входное напряжение первого ОУ равно нулю, а (р| = 0, то н 也融 Входной ток первого ОУ /( = 0. входной ток второго ОУ /2 = 0. Выходной ток схемы '认=—屮з/»，отск)па 屮3 = — /ах/?. Выходной ток первого ОУ обозначим /. ТогдаД»м уз』а 3 по первому закону Кирхгофа % = /вх + /. Так как/2 = 0, то

"=也/(r| + r2). W

а потенциал точки 6 ф6 =(j；3 - /3/?( = ф3 _ (j^ + /)%. Входное напряжение e^F го °У Ранно нулю, поэтому q)5 = qi6. Так как сопротивление между точками равно сопротивлению между точками 4 и 6, тоа потенциал точки 6 ф6 =(j；3 - /3/?( = ф3 _ (j^ + /)%. Входное напряжение e^F го °У Ранно нулю, поэтому q)5 = qi6. Так как сопротивление между точками равно сопротивлению между точками 4 и 6, то,屮4-Приравняв (а) к (б|. определим,屮4-Приравняв (а) к (б|. определим竺=" +，“№ + "“ +，)％竺=" +，“№ + "“ +，)％&&例例

а потенциал точки 6 ф6 =(j；3 - /3/?( = ф3 _ (j^ + /)%. Входное напряжение e^F го °У Ранно нулю, поэтому q)5 = qi6. Так как сопротивление между точками равно сопротивлению между точками 4 и 6, то

а потенциал точки 6 ф6 =(j；3 - /3/?( = ф3 _ (j^ + /)%. Входное напряжение e^F го °У Ранно нулю, поэтому q)5 = qi6. Так как сопротивление между точками равно сопротивлению между точками 4 и 6, то

,屮4-

Приравняв (а) к (б|. определим

,屮4-

Приравняв (а) к (б|. определим

竺=" +，“№ + "“ +，)％

竺=" +，“№ + "“ +，)％

&

&

例

例

(В)(В)

(В)

(В)

'”-/№ + %)(% + &—&(% + &)].

Рис. 4.13Рис. 4.13Подставим (в) в(а)Подставим (в) в(а)(г)(г)

Рис. 4.13

Рис. 4.13

Подставим (в) в(а)

Подставим (в) в(а)

(г)

(г)

В' R[

для узла 6. по первому закону Кирхгофа.

，нх = % + 厶=G +」一% I + 兩-/ = - &瓦

Так как /“&、пропорционально /ах. Uax = 0, а выходной ток /вых не зависит от сопротивления нагрузки ZH. то схема (рис. 4.13) по отношению к выходной цепи обладает свойствами источника тока, управляемого током 心・ На рис. 4.14, а представлена одна нз возможных схем ИНУТ. на рис. 4.14 б — одна из возможных схем И НУТ. а на рис. 4.14, 8 — схема конвертора отрицательного сопротивления.

Как имитировать элементы — R, — С, заземленную и незаземленную L, частотно зависимые сопротивления, высокоомные резисторы — [см. приложение Б].

В § 4.14 — 4.15 было принято, что для ОУ К =〔 + 八。;f 8 за счет того, что &f 8. Практически же Лол Ю4Ч-Ю6. а та I0-24-10~3. Поэтому прн относительно ■ высоких частотах(о при рассмотрении схем с управляемыми источниками следует учитывать зависимость К от ю.

Активный четырехполюсник. Под активным четырехполюсником будем понимать линейный четырехполюсник, содержащий источники энергии, за счет которых на разомкнутых зажимах е「о появляется напряжение. Следует иметь в виду, что в понятие

Рис. 4.15

0KTMHHI川 чстырех(10Л»<мник в литературе вкладывают также u нниЛ смысл, а нменм。-такоАтг 叩 <・х““川。с”м ■'“<"”“「“] 乂。』 н(н ть на пыходе kot(i|)oio иревыиь'нт (может upfin.iiiia i ь) нктмвн： мощность на входе. Эют эффект дгн тш шчея оС^иш за счет того что и состав чстырех11(и1юсника входят ак1инные неизаимные з力; менгы, такие, как операционные усилители, транзисторы,九勤卜 ронные лампы, туннельные диолы и др Чтобы различать эти д^ класса активных четырехполюсником, условимся рассматривав мый чегырехполюсник называп» активные автономным (ц0 заЖ|<' мам /〃〃 н (и./1и) pq\, а четырехполюсник, обл ада юнгий свойством усиливать мощность, — активным неавтономным в направлении усиления мощности.

卩 ассмо〕рнм ураннення, описывающие связ1> между входными и иыходим ми величина ми ам инного антономнено чеч 1Ярсхи(миосника м ет схему замещения.

Положим, что в первой нетцм тп активного чг*| ырехполюсника р“с. 4 J5. а есть источник З/К； /:；, но второй ветви /〃/ н”рузка Z. 'в о(1；1；1ьных нствях (3 — р), находящихся ниу i ри чстырехиолю^ инка, имеются шш мшут иметься источники ЭДС (индекс i знниенн от 3 до р). Тогда, заме'иив по теореме =：：「с”"⑴皿енн"“.皿 источник ЭД(； /；, (рис. 4.15,

запишем ныражския длн токов /( и /?：

人=&%L%■+工启田加A-3人=&%L%■+工启田加A-3(4.29)(4.29)厶е /：'必j - E册2 T厶е /：'必j - E册2 TОсуществим кироткое заммкаммсОсуществим кироткое заммкаммс自一3自一3(4.30)(4.30)11 w Пр»13ToM но11 w Пр»13ToM ноодноврем(*нно на зажимах/йЛодноврем(*нно на зажимах/йЛ』)跳兩 метни протекает T(JK %=£爲例噌』)跳兩 метни протекает T(JK %=£爲例噌

人=&%L%■+工启田加

A-3

人=&%L%■+工启田加

A-3

(4.29)

(4.29)

厶е /：'必j - E册2 T

厶е /：'必j - E册2 T

Осуществим кироткое заммкаммс

Осуществим кироткое заммкаммс

自一3

自一3

(4.30)

(4.30)

11 w Пр»13ToM но

11 w Пр»13ToM но

одноврем(*нно на зажимах/йЛ

одноврем(*нно на зажимах/йЛ

』)跳兩 метни протекает T(JK %=£爲例噌

』)跳兩 метни протекает T(JK %=£爲例噌

в (4,29) вместо Vf 〃 门八”•

подставим 厶—R(4.30)вместо

〃；/■ 一 А，кроме тир заменим £ на 〃 〃 А ，'/ 门

厶，修 на 4 и £2 на /. В результате

получим

(4,31)(4.32)(4,31)(4.32)1К = %|% -4山2；2K =外0\一 h/?.

(4,31)

(4.32)

(4,31)

(4.32)

У|)згп1с||11я(4；П)и(4.32)отличаютсЯотуравнений(а)И(б1тол1 产町^^ь.х частях находятся сМ黑黑歌”片［ /，— /” %：：厶、"厶・ Отсюда следует, что все уравнения, получаю- нм心 из а и (0) в результате их преобразований, справедливы и ^кт^^^^^^ Т()ЛЬКО в них l.cj^^ заменить на。— in* “ 厂~ н” /2 — /2к. Так, Л-форме уравнений пас( ивного четырехполюсника ((；,= AU.+ В/2./, = си，+ 叫 соотвегет- вует Л-форма уравнений активного четырехполюсника:

“ ==А” + 8(% — /.J;

/|к = С “2 +。(，2 — "j・

Коэ(|)(|)и II иенты А, В, С активного автономного нза им hoi о четырехполюсника удовлетворяю! условию ЛО — 8С = I и определяют их так же, как и для пассивного.

На рнс. 4」4, “ и зоб |)а же на одна из возможных Т-схем замещения активного четырехполюсника. Сопрогипления Z|, Z? и Z4 находя г через коэ(|)фиииснты Л, В, С гак же, как для пассивного четырехполюсника, а ЭДС /;;| и 応 вычисляют но значениям токов /1м и /九 и сопротивлениям нз уравнений, составленных для режима од- поврем с иною короткого замыкания входа и выхода (показано пуп* ктиром на рис. 4.15, н):

4、(Z| + 4)— j2kzз =以

—/譚 + 1^2 + Zj = &'

Многополюсник. На рис. 4.16, а изображена пя<<ини»«я( х〃мн, ” м(ш冲亦 нмлелнки// вг гвНН^иар зижимон). Угл.н.имся iwmiwi т#”5‘хсм}з〃"〃с( нико.ч. liy/tcM пшнн агь изисстными нходиые Уц — Итт и взаимные цк1и утП лрош/пн- мости вепм-й Они (шределсиы и соптинегьми с § 2.16 (而止毋 皿叱「亭吸： ^KHii.yp；仙川ww，"K мех конгурных ток<ж при еоегаилении y”w加нА по методу КгИИ У|Н1|,1Х ТПКОВ о/шнакопы)- “ > / /пнг 4

Включим “ 1ИЧШ./ ?)/!<： /：! - q，u н B"W， m “初…"广 4伟叱 4」・) Ьжи “ ЖЧ..ЯХ ? 〃/ ибозипчим // - 4/. 5, н^«и /。叔 W % W皿рн» "^ 価仅—знМз “у 么：zy 丁 3山£ 一力" "询，J。wW3W wm "匕併"」%〃"&心…傾

п

.・.♦;，

т

• • • • •

飢

0

5；

6丿

9

Рис. 4.16

принцкия наложсний запишем выражения для токов нет не Л:

4 h 4弘 I - "w12 - 〃:曲3 —…—"卻"%'П "也I - U,也门一 "刘2я 一…一Uё中2"1 、

тт“痴-4『？ 一 0%L …一^тУтпг“痴-4『？ 一 0%L …一^тУтпг.鼎丁可f犷霏工時編二::凿閣爲霑:需降港у血имели оолпжнгел皿川加wm с】*牆:靄.鼎丁可f犷霏工時編二::凿閣爲霑:需降港у血имели оолпжнгел皿川加wm с】*牆:靄%* 一 ％* н _ %1； У” = Yfp .与,н % (〃 к ,公］).Т0ГЛа ™ W'. M，m WA (а) будет “МЕ, нил1И1^|«=|/|;%* 一 ％* н _ %1； У” = Yfp .与,н % (〃 к ,公］).Т0ГЛа ™ W'. M，m WA (а) будет “МЕ, нил1И1^|«=|/|;1И«1И«0 % % …。m"1 "/m0 % % …。m"1 "/m乙 I 〃 Ymm乙 I 〃 Ymm；М；М"^2I』|Z||/|,"^2I』|Z||/|,(б(ба仿а仿;1，］=;1，］=22切切

т

т

“痴-4『？ 一 0%L …一^тУтпг

“痴-4『？ 一 0%L …一^тУтпг

.鼎丁可f犷霏工時編二::凿閣爲霑:需降

港у血имели оолпжнгел皿川加wm с】*牆:靄

.鼎丁可f犷霏工時編二::凿閣爲霑:需降

港у血имели оолпжнгел皿川加wm с】*牆:靄

%* 一 ％* н _ %1； У” = Yfp .与,н % (〃 к ,公］).

Т0ГЛа ™ W'. M，m WA (а) будет “МЕ, нил1И1^|«=|/|;

%* 一 ％* н _ %1； У” = Yfp .与,н % (〃 к ,公］).

Т0ГЛа ™ W'. M，m WA (а) будет “МЕ, нил1И1^|«=|/|;

1И«

1И«

0 % % …。m

"1 "/m

0 % % …。m

"1 "/m

乙 I 〃 Ymm

乙 I 〃 Ymm

；М

；М

"^

2I』|Z||/|,

"^

2I』|Z||/|,

(б

(б

а

仿

а

仿

;1，］=

;1，］=

2

2

切

切

К|нК|н，"1 "破Z，"1 "破Z

К|н

К|н

，"1 "破Z

，"1 "破Z

=1 У| L

штштИ у Ml">r《)n

шт

шт

егоегоУ 网皿 емн「；Р［；］：Ж"кн > Нс р г^и ^*,' *1 * * •1«•»• -I ня к)I w еп：1а 11МНы м I ； сл и многой'—7中冲М ^舞踪閣:黑黑肥関=：w關

его

его

”"К"МИ m《・t(wmh iiyivM п(^пеней часто проводятrpj；

и л инейных

Рис. 4.17

рамм. Перед тем как приступить к изучению круговых диаграмм, рассмотрим вопрос о построении дуги окружности по хорде и вписанному углу. 卜

§^- ^- Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу. Из курса I сом стр и и нзвестно, что вписанным углом называют угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Так, ЛА ВС = ф (рис. 4.17, а) измеряется дугой 4DC/2, а "ОС — дугой /lfiC/2. Сумма 厶8С + ZHOC =л.

Угол N.EDC дополняет до л угол Z.ADC, поэтому 々DC =巾.

Какое бы положение ни заннмала точка D в интервале от Я до С, угол между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой ОС остается не измени ым и равным 屮.

Угол между продолжением хорды АС и касательной (пол у касательной) к окружности в точке С также равняется углу 屮.

Центр окружности О находится на пересечении перпендикуляра к середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.17, б).

Из изложенного следует, что еслн заданы хорда и вписанный угол 屮,то д./|я нахождения центра окружности необходимо: I) вос・ ставить перпендикуляр к середине хорды; 2) поп углом 屮 к продолжению хорды провести прямую, которая будет являться касательной к окружности; 3) восставить перпендикуляр к касательной; Пересечение перпендикуляра к хорде и перпендикуляра к каса- чильной даст центр окружности.

Уравнение дуги окружности в векторной форме записи. ^ Ь)стр()ения. a 11 aj I о г и ч и ые 11 остроен и я м рнс. 4.17, а, могут быть вы- ncjijKHbi н на комплсксной плоскости. В этом случае все хорды, например СЛ. DA, CD, являются лекторами.

На комплексной плоскости рнс. 4.17, в совместим хорду СЛ = /； с оеь|о + |. Если угол 屮 >0, то от продолжения хорды его

I СП

………。*-3v。—“

^：：：X5(.-.^

0 + 〃 = F.

(4.3®

Вектор//опережает вектор

G на угол ^. Пусть модуль вект%

Сбудет в^ раз больше модуля вектора H = kG№

G. Тогда

Ewa = 0.TO.=0NG=F.npH4 = 8〃 = FHG=0.noAE・

вив(4.316)в(4.31 а), получим一

G(1 +辰/)=凡

или

G = F/(1 +&*)•

(4.31в)

УравненнеН.З]в)назнваютурибмен〃ем дуги окружности в ве^ "端離:;;:；器冲巾нинента kот0 до ооменяются оба вектора G н ", нотак, что угол 屮 между ними остается неизменным, а сумма векторов равна вектору F. Конец вектора G скользит по “у「е окру* ности, хордой которой является вектор F. Поэтому можно сказа;; что дуга окружности является геометрическим местом конной тора G. .8

Рабочей частью окружности, или рабочей дугой, являете часть окружности, которая по отношению к хорде』е*нт п\°°Р ную сторону от пол у касательной (рабочая дуга па рнс. 4.17,' черчена сплошной линией, нерабочая — пунктиром).ц

Рабочая дуга меньше половины окружности прн |屮| больше половины окружности при | ^.| >90°.

§4.20 Кру『

нзобра^е^/и^0yMкц：：：；：忠:『3.4 известно, что синусоида^

Электрическ(^цТ4(，рами На к()М||/ек\：：〔" напряженно) могу"% венммм уравм、：,“'??“смнаетс5| \，п ' Dckocth. Если npoi© тора тока (hl""'"'в), го геом丿'"""""、”.по форме то*川

(ai^'^местом концов^.

〔ер в уравненни электрик

Рис. 4.18

с кой иепн те же функции, что и вектор G в уравнении (4.31 в), является окружность.

Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу I окружности, являющуюся геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) при изменении по модулю какого-либо сопротивления электрической цепи и сохранении неизменными осталь- (ных сопротивлений, частоты и ЭДС источников энергии.

С помощью круговых диаграмм производят графический анализ работы электрических цепей.

Круговая диаграмма тока двух последовательно соединенных сопротивлений. Пусть к источнику ЭДС подключены последовательно Z| = ZieW н Z = ze阿(рис. 4.18). Сопротивление Z| неизменно, a Z может меняться лишь по модулю, так что угол 屮 остается постоянным. Ток в цепи

Е£/Z|(4.32а)

/ = - = ■

Z|+Z ! ^_±е/(ф-ф|)

Ue £/Z = / ток в цепи при коротком замыкании сопротивления 乙

Обозначим —=屮・ Тогда

Л(4.326)

Уравнение (4.326) тождественно (43。Роль вектора F вь吧…

161161Нт комплекс /妙 роль коэффициента ^ отношениеz&; р。, G—

161

161

"加 GJM

вектор /.При изменении z вектор будет скользить по дуге 叫㈱

ностиности+1то；：^喘皤

ности

ности

пусть 雅黑к QC В масштабе 二 выражает собой модуль 丁。舟 Отрезок da характеризует модуль тока /, отрезок/ в соответст^ с уравнением (4.326) — модуль произведения / —曰七 Отложим 仙

напряжению /* отрезок ае в произвольном масштабе 团工，выраЖа. юи1ий модуль постоянного сопротивления 2|(2[ = ает^.

Из точки е под углом —ф к линии ае проводим прямую е/, ко^_ рая является (как будет показано далее) линией модуля перемер ного сопротивления z при отсчете от точки е. На ней в масштаб( т： нанесем деления для измерения z.

Из подобия треугольников adc и aef следует

z = efmrz = efmr

z = efmr

z = efmr

Следовательно, отрезок ef в масштабе т определяет модуль переменного сопротивления 2.

m - Е^КичмрпаН3 напРавление £ (отрезок ag) в масштабе % — Lmi смеряет активную мощность:/

P = “gm" = Qg£m/ = Qg£(//ad)=E/cosg,

4 = 〃Q〃；Qg/Q" = COS(p・

в м罂;関:湍能工鬻箱篇£當嚣н? e (。трезок誨

М.22.КРуг0Вая=а^ = аЙ£(^

соединенных сопротивлений Mv напРЯЖеиня двух последователь^ 乙=7 р/1. и учтя Ч1二；ножнв обе части уравнения (通团

получим

%(4•刈

Уравнение (4 4ale1

м^т9м концов вектора^Х^ что геометричес^

пу【а окружности, хор“а

2； d%T：广亭;TP"""& Г°ка активного двухполюеннка. Ток Н拼 ру、 ，“ _ 2/ м активного двухгюлккника (см. рис. 3.30,。)2； d%T：广亭;TP"""& Г°ка активного двухполюеннка. Ток Н拼 ру、 ，“ _ 2/ м активного двухгюлккника (см. рис. 3.30,。)в цени

2； d%T：广亭;TP"""& Г°ка активного двухполюеннка. Ток Н拼 ру、 ，“ _ 2/ м активного двухгюлккника (см. рис. 3.30,。)

2； d%T：广亭;TP"""& Г°ка активного двухполюеннка. Ток Н拼 ру、 ，“ _ 2/ м активного двухгюлккника (см. рис. 3.30,。)

/ 办 UabJZM(4.34)

М 小Z「一匸，

I + E*Wk — *»』

「neZ^t = z”C*"x — комплексное входное сопротивление двухполюсника “° огношснию к зажимам cib выделенной ветви

Из уравнения (4.34) следует, что при изменении модуля сопротивления наI рузки 2H1 ок /н скользит по дуге окружности.

Пример 53. В схеме рис. 4.19 £ = 120 В; Z| = Q = 24 Ом； сопротивление Z — чисто см костное： и модуль его изменяется от Одо оо. Построить крукжые диаграммы тока и напряжения на сопротинлснии Z).

Решение. Ток I k = 120/24 = 5 А. Выберем масипа6ддятоков(т/ = ]«39 А/см) и напряжений (т(у = 26 В/см).

Найдем угол 屮=屮一屮]=—加尸一0。= — go。

На рис. 4.20 построены круговая диаграмма тока на токе，* как на диаметре и круговая диаграмма напряжения на ЭДС 厶,как на диаметре. Масштаб для сопротивлений тг = 13 Ом/см Для любого значения сопротнв7!ения z по диаграмме находим ток / и напряжение (7г|. Так. при z = 9.5Ом / = 4.65 А,。川=Ш.5 В

Пример 54. Построить геометрическое месте) конион вектора тока / неразнетв- ленной части схемы рис. 4.21 и графически исследовать возможное!ь возникнонения резонансных режимов при следующих данных: £ = 30 В; & = 6 Ом; Лс = 8 Ом; А| = 3 Ом: X厶 изменяется от 0 до оо.

Решение. Ток /2 в схеме остается неизменным: /2 = 30/(6 — /8)工 3"* " А. Он на 53°10' опережает ЭДС Ё(рис. 4.22). Вектор тока /( при изменении X, меняется так, что конец его скользит по дуге окружности, диаметром которой является иектор тока: /]а = Е/А] = 10 A. mz = 2.65 А/см. Ток н неразветвленной части схемы / = /| -|- /2. Геометрическим местом его является также дуга окружности 412b. В режимах, соответствующих точкам / и 2, ток / совпадает но фазе с ЭДС £. Оедова- тельно, в этих режимах в схеме имеет место резонанс юков.

Выберем масштаб сопротивлений т. ^ 2 Ом/см I рафичсски найдем 八厶 дл* гомек / и 2. Для точки 2 X, а 0.8 Ом, ..vim гички t XL н Ю.бОм Л 1ри этом ток/= 11.1 и 2.4 А.

3

6.

(* /4 Он

Рис. 4.21

Рис. 4.20

1ЛЗ

446 7 8 9 10 Ом6 7 8 9 10 Ом44Рис. 4.22Рис. 4.22方方/ ^Линия 4/ ^Линия 4% =G"“g+ 4),% =G"“g+ 4),(4.35)(4.35)厶厶!加"I：：：然:叫"W、“rw а /，=』％＜：；"—I!加"I：：：然:叫"W、“rw а /，=』％＜：；"—I164164

4

4

6 7 8 9 10 Ом

6 7 8 9 10 Ом

4

4

Рис. 4.22

Рис. 4.22

方

方

/ ^Линия 4

/ ^Линия 4

% =G"“g+ 4),

% =G"“g+ 4),

(4.35)

(4.35)

厶

厶

!加"I：：：然:叫"W、“rw а /，=』％＜：；"—I

!加"I：：：然:叫"W、“rw а /，=』％＜：；"—I

164

164

/ Геометрическое местоконцов бектора 厶 игеометрическое местоконцов вектора /

. Круговая диаграмма напряжения четырехполюсника | jvC r.

четырех.ииюсника рис. 4.2, и мензмемми но модулю, фазе н частоте а РЯЖСННс Z?=咿川2 на выходе его изменяется только по модулю, так что каракгрпйГ^3 ее >™ достается постоянным. В этом случае лля пжа 厶 напряжения }:凿 могут быть построены круговые диаграммы. Сначала пассмотиим v 2, 丁。"乙 рамму юка/j. с этой целью схему четырехполюсника 朗♦. 4 2 и мск总；:嘗期扑 就関爲………и no MCW汕w:『■篇篇

二紐丁:智Ш需jw p…叩……" 翁署階「X 迎…办 m〃(H ex院湍頁":：；；％— к зажимам Pq при к. :方'-产叫岬吋心 и знаменЮ館:忠 Т"м” 吗? ,,Р"с()слннси источник ЧТ° "“％ = /2и. где 3 — .к ки； ：；%'『”(4.35) на Znx. 22K и учтя. '"8?MKWd“y, WIHM

(4.35а)

г2.

I НМ(%2 -切爾

д'д'М22K

д'

д'

из Уравнения (4 35а)

Х0РЛ^ т“к ；： ” W)P "雨а 厶 ск—М)дуге окружности. 1c壯上離)1 н1с；：［；：：/； ：： ,〃дЕнрсхпсс“нка. Нз 叩加 di"皿См J。=(：Т犷恥 цснмдна то』；窯7"'""" ”"屮<“ ни小，““” м одной мз "срез ток I,-〃■ С"с川川атс川川()门以；"х 〃нух iic i КЯх этой цепи снязяи^

.' I М(>*ет быгь линейно нырнжв1*

:…/(4.36)

к^|Гвн7I咏")мк“уу 厶=о и/|

* “ "屮(” KujaMKiiyia”，то 厶=‘烈"

“ "% + %仆(4.37)

Отсюда

" = "lK 一厶х)〃2к・(4.38)

Подставив (4.37) и (4.38) в (4.36), получим

z(4.39)

/ I — / lx Г.

1 -|e/。-®

22K

Уравнение (4.39) свидетельствует о том, что геометрическим местом концов вектора гока /| также является дуга окружности. Хордой ее является разность /|К — /(V ьектор '[х смещает начало отсчета.

(4.40)(4.40)Аналогичным образом строят круговую диаграмму напряжения. Так, если в какой-ю схеме изменяется по модулю сопротивление Z?=躍‘殁 в одной, например второй ветви, то для напряжения на участке ab этой схемы можно записать выражение, аналогичное (4.39):

(4.40)

(4.40)

) UQb k 一 /方 Xab х Н ~

I + - 4也-电К)z2k

「ne Lx — напряжение на зажим ax a/> при z2 = оо； 〃硏一напряжение назажимах М при 勺=0; Z2K =出^"2K — выходное сопротивление схемы относительно зажи- мов, к киторым присоединено сопротивление Z?..,

Формула (4.40) вы «еден а на основании выраження Uab =內 +。厶 н (4.35).

Пример 55. Построить круговую диаграмму тока 厶 схемы рис. 4.23, а, в которой

*с = 5 0м; R = 5 Ом; £ = 100 В. Нагрузкой четырехполюсника является ннпуктнв， ное сопротинление Л,, которое может изменяться от 0 до оо.

Реме и и е. Найдем ток холостого ходя при разомкнутой выходной ветви:

/1Х = E/(R - /А) = 100/(5 — /5) = 14.15/5° А.

Определим ток короткого замыкания при коротком замыкании нагрузки:

R(- /Q-/‘аe + R 一元R(- /Q-/‘аe + R 一元=12,82館-泞 а.=12,82館-泞 а.

R(- /Q

-/‘аe + R 一元

R(- /Q

-/‘аe + R 一元

=12,82館-泞 а.

=12,82館-泞 а.

Рассчитаем входное сипротнв/енне Z2K со стороны зн*нмов pq прн коротком

замыкания зажимов тп:замыкания зажимов тп:R(— /*С)R(— /*С)=7.8е- "3=7.8е- "3Рис. 4.24Рис. 4.24

замыкания зажимов тп:

замыкания зажимов тп:

R(— /*С)

R(— /*С)

=7.8е- "3

=7.8е- "3

Рис. 4.24

Рис. 4.24

Следовательно,屮界=- 71。20'. y「。人『，2-外戈；：一：1。20?=⑹现

Круговая диаграмма тока /〔 построена на рис. 4.23, 6. Хордой окру*峥 разность 儿一儿・ Ут 巾 > 0. поэтому для определения положения кас,- тельной он отложен от продолжения хорды против часовой стрелки. Диаграмм ；(кнт несколько необычный характер: рабочая часть дуги занимает почти цшь окружность.'■

Для определения положения конца вектора /( из конца вектора /)х через точку на линии X], соответствующую заданному значению Х( , проводят прямую до пере сечения с рабочей частью дуги окружности. При 3丄=5 Ом ток /)опережаетЭД( Ё не 90е.

. Линейные диаграммы. Подлинейным и диаграммами понимают днагра» мы. в которых геометрическим местом кониов вектора тока (напряжения) являете прямая линия. По существу, линейная диаграмма является частным случаем кру говой, поскольку прямая есть дуга окружности с бесконечно большим |)аднусом.(

Пример 56. Построить 1еомстрнческос место концов нектора тока веха рнс. 4.24, и при изменении Хс. Напряжение Uab = const R〕н X厶 неизменны.

него на угол 屮него на угол 屮Решение На рис. 4.24, 6 изображаем нектор U“力.Вектор тока /, отстаетoi arctgXJR].

него на угол 屮

него на угол 屮

1ок /2 опережает Uab на 90°. Геометрическим местом концов вектора NM 1 + /丿⑪门 нрнмая линия рц. Она и является линейной дняграммой токаI.

Вопросы ДЛ« самопроверки

L Запишите шестьп

•黑°К：：；\屮叩авле：：：%：谭"С четырехполюсника, покажите|Л чсгыPtxnujih»cHHKt°J?.Mа заннсн hmcci nneHM^U н Maupwiu* и поясните, в к»^ УстРичнымн> 3. Ka：?"”'”' взаимпымц црп.，ИЧ，1и, ,,е1н*л остальными. 2.血押 'форм заинси> 4 V ),1ЫТн,,|м путем su； симными, симметричными н 両号 CHAHMX четырГХ||0 ^M^Iom Мрми》5 n. * lH,ll,,eu 1 *•! одной формы записи.^ ■ Р皿м" j鑑常:к『,6. КакоеМи, 1 "1>уйге ^м\. замещения

н* определить через к а，Т "°Д ^П и ^гу нсгимм/，( '，，，,И，Х,|，М1КИ，,П,К(Ж мззыва噌% п°мнмак)г под iioKrom ффи,,иени> Л 厶「八屮四小“。*ivi ырехнолюеннкя н>

еуравнё»ия加笠器*心做•皿ка ；需般屮… JmihhW峭M

функции. 11. 4т。понимают под постоянной передачи симметоичного и пот мепой Дрелями несимметричного четырехполюсников? 12. В^ки?™цах измГояю^ пкхание? Как эти единицы связаны междуА еднннир измеряют

з喘огора, инвертора и гиратора. 14 П謐Охарактеризуйте свойства пюкакэлементу электрической цепип^С™Ку операционному усилителюКак” расчетным схемным эквивалентом м(薫“я и тока 17 Покаж\：РактеРнзунте свойства управляемых источни

ков напр Поясните почем v ГуРе, ЧТ0 Сх^,мДрис-4 ^ может выполнять функции 「нрат。購и%”需，器靠篇肥 рнс. 4.13 может выполнять функциГиТУТ, схема рис. 4.14, а рункинн ИНУТ, схема рис. 4.14, б — функции ИТУН, а схема рис. 4.14,[二?^"上 п ：；нвертора отрицательного сопротивления. 19. В схеме рис.

4.IOZ2 ^Z4 = Z5= К- Какими следует взять Z[ = Z3, чтобы входное сопротивление схемы ZAB было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным I/ш2? 20. Каким следует взять сопротивление Z2= Z4 в схеме рис. 4.10 (Z〔 = Z3 = Z5 = R). чтобы входное сопротивление схемы Z^e было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным <о ? 21. Какой четырехполюсник называют активным автоном - ным и какой активным неавтономным? 22. 3апишите систему уравнений многополюсника в У-форме и поясните, как определить его У“ и Yрг параметры. 23. Дайте определения активного автономного и активного неавтономного многополюсника.

. Запишите уравнение дуги окружности в векторной форме и поясните его. 25. Сформулнруйте условия, при которых можно строить круговую диаграмму. В чем преимущества исследований цепей с помощью круговых диаграмм? 26. Поясните последовательность построения круговой диаграммы двухполюсника и четырехполюсника. 27. Как определить рабочую часть дуги окружности? 28. Как определить масштаб на линии переменного сопротивления? 29. При каком условии круговая диаграмма переходит в линейную? 30. Решите задачи 6,4; 6,9; 6,13; 6,23; 6,35; 6,38.

Глава пятая

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

.1. Назначение и типы фильтров. Х\^электрическими фильтрами понимают четырехполюсники, включаемые между источником питания и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том,чтобы беспрепятственно(без затухания)пропускать к приемнику токи одних частот и задерживать или пропускать, но с боль- whm затуханием, токи других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром беззатухания, называют полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с затуханием, ——полосой затухания.

Электрические фильтры собирают обычно из индуктивных катушек и конденсаторов. Исключение составляют RC-фильтры (см. §5.6 — 5.9). Фильтры используют главным образом в радиотехнике и технике связи, где применяют токи довольно высоких частот.

При высоких частотах индуктивные сопротивления wL ннлук- 11 и в и ы х катушек во м ного раз больше их активных сопротивлений. 1 Поэтому будем полагать, что активные сопротивления индуктив- н Ь| х катушек н а ктивная п ровод им ость конденсаторов равны нул ю» г с*, что фильтры составлены только из идеальных реактивных эле- ментов. — 口

Фильтры обычно собирают по симметричной Т- или П-схеме (см. рис. 4.4, а, 6), т. е. при Z? = Z【н Ze = Z&

При изученин фильтров будем 喂吗ватц понятием 心一 ниента затухания и коэффициента фазы (<. м. §4.10).зф%

Условимся сопротивление Z, в схеме рис. 4.4, а и сопроТИй„

Z в схеме рнс. 44 б называть продольными, а сонротивленир Г схеме рис. 4.4.。и сопротивление Z5 в схеме рис. 4.4. б 一 還小 "НМ".

Фильтры, в которых произведение продольного сопротивп на соответствующее поперечное сопротивление представаяJHH，1 бон некоторое постоянное для данного фильтра число (число зависящее от частоты, принято называть k-фильтрами. '*

Сопротивление нагрузки Z“, присоединяемой на выходе 】 ра. до-7жно быть согласовано с характеристическим сопротив 叫 ем фильтра Zc(ZH = 1\ Входное сопротивление 々-巾“爪丁口厂"， этом также равно 2,. В ^-фильтрах Z, существенно изменяет ^ зависимости от частоты ш, находящейся в полосе прозрачност :8 обстоятельство вызывает необходимость изменять сопротивп ° нагрузки в функци!>частоты (особенно при приближении к『力产収 полосы прозрачности), что нежелательно. В /п-фильтрах 口力七賀* деленных значениях коэффициента m сопротивление Z мало “У няется от частоты (в пределах полосы прозрачности) и нагрузка практически может быть одна и та же пп?：、”】：

различных о), находящихся в этих пределахДулю ДЛЯ '

фи，ь^^ее резко выражены 期'

в полосе затуханияболее резко возрастает затухание

никнХ^мХ^Обусловлены воз・

резонансов напряжений. Режимов — резонансов токов или ,

界設Z“ согласована^с^характеои^'3 "'° известно, что если ^.четырехполюсника тпи'P“.ciниескнм сопротивлением с напряжением U. и током 严 W° ^2 и ток в нагрузке /2связаны шимм соотношениями: ' входе четырехполюсника следую-

О = Це~*, / = j f j 覚”+ V* + ". 一 ’ [

множитель e -、，%=/日/-".

нх臨“"師。诙0還p咒:；：]：)；：：JibKu раз модуль напряжения Если « 一 л"“' н а 11Р ^ ж е 11 и я (то к а) и я еГ°

затухании 7 仇“)。“ =е。= | 一

"Екнм образом|；п1о，；1；^ксмюбаннябез

к»пР<)зрачн()с1 и q = 0.

В полосе затухания а > 0. Множительг мчидетельствует о том, что напряжение U 二屮одулю равннн 1, • 靄 ноот " И /.на угол 氏卩"価 ^ « ток/2 отстают соответ-

Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим путем сравнения выражения для коэффициента А че?ырехпоЕн^а с равным ему выражением гиперболического косинуса отаргумента

A =ch(Q + jb).

Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом того, что ch/。= cosb и sh/b = /sinb) можно представить следующим образом:

ch(a +") =cha cosb +jsha sinb.

Для любого фи л ьтра, собранного по Т-схеме (см § 4 5) "l+Z/ZJ.'•》•，，

Для фильтра, собранного по П-схеме (см. § 4.5), А = 1 +(Z』/Zs). Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношения Zt/Z3B Т-схеме и Z4/Z5в П-схеме всегда будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числами——отношение двух мннмых чисел всегда есть число действительное. Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент А. Но если коэффициент /1 действителен, то действительным должно быть и выражение равного ему ch(Q + /匕)：

ch(a + /А) = cliucos6 + /sh q sin/? =.4.

Это выражение действительно, если

shQsinb=0.(51)

При этом

мchacosft = Я.(5.2)

Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ полосы прозрачности н характера изменения угла b в этой полосе, а также характера изменения коэффициента затухания в полосе (полосах) затухания.八、

Равенство (5.1) для полосы прозрачности (а = 0) удовлетворяется, так как shn = shO = 0. В силу того что chO = I, уравнение (5._) Для полосы и р оз р а ч н ос г и переход и т в следующее.

cosb=4・(5.3)

Kpvi'OBOH косинус (cos厶)может изменяться в н^дслдхо +1 л^ -I. Поэтому крайние значения коэффициента Д 1«^1^^ Функцией частоты -Л(«>)| в полосе прозрачности равны 士 I. П。』：- са прозрачности в общем случае лежит в Амазоне частот от. ж % Значения и)(и(о2для фильтров НЧ н ВЧ (подробнее см. § ^.3)

определяют путем решения уравнении

4®)=±1.(5用

Для полосовых и заграждающих фильтров (см. § 5.3) (0 и находят как корни уравнения Т(з) = —I.”

Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачное н полосой затухания, называют частотой среза.т,

Характер изменения угла b в функции от(о для полосы прозпа ностм определяют в соответствии с уравнением (5.3) следуют % образом;， “нм

Ь = arccos Л((о).(551

Определим 〃 н А для полосы затухания. В полосе затухай а >0. Уравнение (5J) удовлетворяется при условии " Ия

(5.6)(5.7)(5.8)(5.9)(5.6)(5.7)(5.8)(5.9)sin。= О,

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

т. е. при

5 = 0

и(или)при

5 = ± л.

cha = —4s).cha = —4s).Согласно уравнению (5.2), при 6 = 0clia = /1(ш),а при 6 = ±п

cha = —4s).

cha = —4s).

Р^^ / как 巾yfd образом, построить крнв訖当/ * *呼"определить а и,такиму Дует, что в 思。се з黑嚮龍偏少 ура器енмй (5.7) и (5.8) с高 [ахопится либо в фа；е (при。二：。"'& "“ выходе фильтра» ^ = ±л)с напряжением J^a входа ф„^ В противофазе (при!

1 ДваРважных положения:： рехполюсника, поэтому изм(чк,tЛИ，*СЯ.К°Э^^ициентb, 3 H Счетьнт тинленне Z< =у8/с д 「и характеристическое сопро^ ваннук) нагрузку (только в Работал на согласо- :紀:фильтров), при нзме：器片U泸две изложенная

丿；\"；|""")Узк”； а(т()тм нужно менять и conpo# ^^ сопротивление!

актнннаяактннная院器：：黑丁 емкостное). ° затуханн” — чисто реактив- характеристическим；^^^ или не согласована с 7。 皿знем фильтра, а также требуется

актннная

актннная

Рис. 5.1

Рис. 5.2

учесть влияние активного сопротивления индуктивных катушек на работу фил ьтра (что существенно для низких частот), то для постро- е!〔нн зависимости %7〃2=/(3)н зависимости сдвига фаз между I и U2 в функции частоты можно воспользоваться, например, ме- тодом пропорциональных величин (см. пример 57). Характеристическое сопротивление фильтра берут равным внутреннему сопротивлению источника сигнала (генератора). При этом и генератор и фнльтр работают в режиме согласования.

§5.3. К>фнльтры НЧ и ВЧ, полосно-пропускающме н полосноза- гРаждающие ^-фильтры. Фильтрами 〃У (ФНЧ) называют фнльт・ рм, пропускающие в нагрузку лишь низкие частоты: с 叫=0 до ш2. Полоса их затухания находится в интервале от 32 Ao оо.

Схемы двух ФНЧ приведены на рис. 5.1, а, б. Характер измене- "ня коэффициента затухания а н коэффициента фазы b качественно иллюстрируют кривые рнс. 5.1, 8.

Нод фильтром ВЧ (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие в

нагрХЕ лишь кысокне чясгогы. с «», Л<)<“ "(川心：抽丁八石 находи ггя в ннгервзле от ° Л""屮

HeHeСхемы — ФВЧ приведены ня рис. 〃. о ларактер — НИЯ к。叩侬“wwroH 〃“ 力 ллн нкхиллюсгрнруюг кр“""，рнс ?№

He

He

441441Рассмотрим вопрос № измсн(*нии м()д)'.пя ^^P^^^'I^HcrnMeck ° сопротивления Z в полосе прозрачное I и дл” I фи л ь i р^ (см. рис. 5」，и) и для Т-фмльгра ВЧ (рис. 5.2, 〃)，а гак*； “ П-фильтров. С эгон целью н выражен не Z - 7 a /( :"(МСТ 就 значении 8 м С в ео(п вегегвин с формула ми (4.18) и ироанали >. "” n(vi\ ченные выражения.' "РУ^М

441

441

Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а) 2“」_ gy「 Z.y =/(«) представлен на рис. 5.1. г.°Ра0нк

При п> = ш, = 0 % = \》£/С. С увеличением частоты 7 v шается. сначала мало отличаясь от значения \/2/ /с и "“'Мень, нии значения ш ^ ш? = ^2/LCZc = 0. V 7 ' НРН Л℃тиже.

口1н П-фильтра НЧ (см. рис 4〃 =/(з) дан на рис. 5.1, д.口1н П-фильтра НЧ (см. рис 4〃 =/(з) дан на рис. 5.1, д.

口1н П-фильтра НЧ (см. рис 4〃 =/(з) дан на рис. 5.1, д.

口1н П-фильтра НЧ (см. рис 4〃 =/(з) дан на рис. 5.1, д.

」•? ^Фильтра ВЧ (см. рис 5 2/、/冗 Г

44小))加"用股52乙, 1 )График

И 恥 f 乙『縦W W сопротивление 若^личи^Хс；

(),5• График(),5• График&нП@н』ьтра ВЧВ с,

(),5

• График

(),5

• График

'「РУЗКН 2 на % 叩н котоплм °тносительно :吃^/етст線呼 е фильтрОвЖ°М /! = 0, то сопрогнв- 4 总出曾乎期Ф ^^аНЧ (см. р„с. 5Л.

всех типов ь 小 * 心丁”刁耳皿 z "• рис 5 о ：(? означением盛笳沁；2m忠■附^

172' ")"Рно“С 二―Bbic4：f"Ma, а именно

—°re(теоретически

Рис. 5.3

Рис. 5.4

：?" 0)~*^)« считая выходные зажимы схем закороченными. Тот же Результат будет получен, если считать их разомкнутыми. В резуль- 1а,е оп редел им, что в зоне затухания Zc имеет индуктивный харак- 『Р」и】я Г-фильтра НЧ (рис. 5.1, а) и П фильтра ВЧ (рис. 5.2, б) и i|h||( х а р а к те р дл я 11 - ф ил ь гра НЧ(см. рис. 5.1,6) и Тфильтра с. 5.2,а)・

mm11()^осно-пропускак)1цие фильтры представляют собой фильт- I м, iip()iiyCK;JIOIIU；e в nai-рузку лишь узкую полосу частот от ш, до ? • С』《、на()| 0)1 н справа отз? находятся mviocbi затухания. Схемн J^<H ^Hiuei'o полосно-пропускающего Л-фильтра изображена на / :、' ^-3, а. Пара метры схемы должны удовлетворять услонню

m

m

/ "Рпкт*р изменения 〃“ Л для полосно-прол ус кдющсго фил ьгрл ：?ггрн[)уют кривые рис. 53 б.вь|вода дадим формулы для определения параметров R5y ""叱 5.3, ппо заданным частотам /, и。н сз1ротнвлимню нагру*/ "Рпкт*р изменения 〃“ Л для полосно-прол ус кдющсго фил ьгрл ：?ггрн[)уют кривые рис. 53 б.вь|вода дадим формулы для определения параметров R5y ""叱 5.3, ппо заданным частотам /, и。н сз1ротнвлимню нагру*I 2 =厶2c2 ■

/ "Рпкт*р изменения 〃“ Л для полосно-прол ус кдющсго фил ьгрл ：?ггрн[)уют кривые рис. 53 б.

вь|вода дадим формулы для определения параметров R5y ""叱 5.3, ппо заданным частотам /, и。н сз1ротнвлимню нагру*

/ "Рпкт*р изменения 〃“ Л для полосно-прол ус кдющсго фил ьгрл ：?ггрн[)уют кривые рис. 53 б.

вь|вода дадим формулы для определения параметров R5y ""叱 5.3, ппо заданным частотам /, и。н сз1ротнвлимню нагру*

• ^n

к" фильтра Z, прн резонансной частоте /р = мр/2л ：

”=":22=為設；

叫=姦;5而旨

5)/ 4仇一/丿

Подполосно-заграждающими фильтрими(рис. 5.4, а)понимают фильтры, в которых полоса прозрачности как бы разрезана на ДВе части полосой затухания (рис. 5.4, б). Слева от ⑴]и сира па от 切 находятся две части полосы прозрачности.2

В схеме простейшего заграждающего фильтра на рИС 54 “

Обозначим зр=1/\ЬС1, к= [./и и запишем формулы для。“

砌2 и 4 фильтров рис. 5.3, а. р“с 5.4, а .Р<*делення

Для рис. 5.3. а

®С =意山+ 2%干I）；®С =意山+ 2%干I）；叫，2 = 0.25gp（四+[6 ±侬）；叫，2 = 0.25gp（四+[6 ±侬）；BoftjiT；*：： T P"' '' ° но6л'сги мастит пт Одо 叫 2, имеет сммичный харнктер, а (П 01 Л0(д) z~ инлук гивный. Для фильтра рис. 5 4. н в области частотполосе npoiivt капни. u=/(G))н 山加二田一册"‘；「”)мкф Определить b=/(s) н рн in = 2 )00 рад/с н и)ке / —()2 д ... ання Н«к троип. искврнун) диаграмму расчгга фильтра рис. 5.5, a‘ "'"“山”山福 нагрузке. Bhiiicr i и формулу产山сине qw2СГ° W,2 режиме.丨=arccuqi 一Upa/l/c В iiojkkc пропускания 伍=.•,)И "‘ ^ 2()()0 卩hji/c 6 = 53° 15； wt = 20.BoftjiT；*：： T P"' '' ° но6л'сги мастит пт Одо 叫 2, имеет сммичный харнктер, а (П 01 Л0(д) z~ инлук гивный. Для фильтра рис. 5 4. н в области частотполосе npoiivt капни. u=/(G))н 山加二田一册"‘；「”)мкф Определить b=/(s) н рн in = 2 )00 рад/с н и)ке / —()2 д ... ання Н«к троип. искврнун) диаграмму расчгга фильтра рис. 5.5, a‘ "'"“山”山福 нагрузке. Bhiiicr i и формулу产山сине qw2СГ° W,2 режиме.丨=arccuqi 一Upa/l/c В iiojkkc пропускания 伍=.•,)И "‘ ^ 2()()0 卩hji/c 6 = 53° 15； wt = 20.NQbaarcs"NQbaarcs"t/t/44，/，/%%。。б)б)

®С =意山+ 2%干I）；

®С =意山+ 2%干I）；

叫，2 = 0.25gp（四+[6 ±侬）；

叫，2 = 0.25gp（四+[6 ±侬）；

BoftjiT；*：： T P"' '' ° но6л'сги мастит пт Одо 叫 2, имеет сммичный харнктер, а (П 01 Л0(д) z~ инлук гивный. Для фильтра рис. 5 4. н в области частот

полосе npoiivt капни. u=/(G))н 山加二田一册"‘；「”)мкф Определить b=/(s) н рн in = 2 )00 рад/с н и)ке / —()2 д ... ання Н«к троип. искврнун) диаграмму расчгга фильтра рис. 5.5, a‘ "'"“山”山福 нагрузке. Bhiiicr i и формулу

产山сине qw2СГ° W,2 режиме.丨

=arccuqi 一Upa/l/c В iiojkkc пропускания 伍=.

•,)И "‘ ^ 2()()0 卩hji/c 6 = 53° 15； wt = 20.

BoftjiT；*：： T P"' '' ° но6л'сги мастит пт Одо 叫 2, имеет сммичный харнктер, а (П 01 Л0(д) z~ инлук гивный. Для фильтра рис. 5 4. н в области частот

полосе npoiivt капни. u=/(G))н 山加二田一册"‘；「”)мкф Определить b=/(s) н рн in = 2 )00 рад/с н и)ке / —()2 д ... ання Н«к троип. искврнун) диаграмму расчгга фильтра рис. 5.5, a‘ "'"“山”山福 нагрузке. Bhiiicr i и формулу

产山сине qw2СГ° W,2 режиме.丨

=arccuqi 一Upa/l/c В iiojkkc пропускания 伍=.

•,)И "‘ ^ 2()()0 卩hji/c 6 = 53° 15； wt = 20.

NQbaarcs"

NQbaarcs"

t/

t/

4

4

，/

，/

%

%

。

。

б)

б)

夕 50Om,Z“=Zc

IМм = 8 В. U| =/е%也=8е応"* о о

.5,6"2, 2Л ，、尸 b В пол℃е затухания при согла-

фильтр0 я ..•• и ухания можно проводить, используя

xhoujchhh U| = Uc+/|W "产/+三/s厶，

/i + /c = 7" +工十厂iu尸吟

/зС h〃dC

m = I +生且+色£(/叫2

EW взять(о = 2 <о2 = 8940 рзд/с (работа в полосе затухания) н Z” = 40 Ом (вместо "7,5 Ом.^исходя из условия согласованности), то 加=12,55/•'「т. е.③二户二：： 6岬 I啥=1п 12,55 = 2,53 Нп (вместо 2,64 при согласованной нагрузке).

Аналогичные формулы для несогласованного режима можно вывести для любого другого фильтра.кГИ для лю

Пример 58. Определить параметры полосового фильтра рис. 5. 3 а исходя из гог。, что он должен пропускать полосу частот от/, = 750 Гц до/2 = 850 Гц н что при резонансной частоте /р сопротивление нагрузки Z“ = Z = 1130 0м.

Решение.

l)/p = WE = V75€b850=798 Гц.

4)《2 =4)《2 ==2,825 мкФ;=2,825 мкФ;5)厶2 =5)厶2 == 0,0141 Гн.= 0,0141 Гн.л • изо • юоИЗО » 1004л • 750 • 850л • изо • юоИЗО » 1004л • 750 • 8502)6=亡离翁面=°'022 Mg3):= 2；1(8翼 750)=16「*

4)《2 =

4)《2 =

=2,825 мкФ;

=2,825 мкФ;

5)厶2 =

5)厶2 =

= 0,0141 Гн.

= 0,0141 Гн.

л • изо • юоИЗО » 100

4л • 750 • 850

л • изо • юоИЗО » 100

4л • 750 • 850

безбез5.4. Качественное определение А-фильтра. По схеме ^-фильтра

без

без

проведения подробного ^^^

лить о том, к какому из нере 卄 основывается на харак р Р ТОТ или ин；)й фильтр. Заключение ОСНОВЫ

дольного сопротинления Фи;,ь ^ ения 館巾нльтра, ка Р g прямо противоположен xdPa^I；p,. сХемы рнс. J」，°，?£口0-

屮)？ можно убеднтьс”，рассм у отнвденне индукт 6 *3003„0 Л^йстпителык), если n М吧喘：；；偽 сопротивление :簿凿工 ^Речное-емкостное. Если 二應％嗡 поперечное^ параллель^ *,()^|сдовательно соединенны ильнОе сопротцЧ.если

Единенными L н С н т•产 Е您黑 вносится к ?吧必窕 ”)』ьк()из индуктивностей, го 4емкостное» то 巾нл Р

''больное сопротивление чнегоемк

Ew"噌凿:歌貰馭爲之:養:靠單嚮雅 器器澀自需2町加3соединенных厶и с т。 фильтр заграждающего типа.

55 Основы теории ш^ильтров. Каскадное включение фильтров. Для увелн- чени! круХ. хаРактерис；ики а=/2 в начале полосы затухания, получения заХ^означениязяп-хания при определенной частоте (частотах) и меньшей зави- снмостн Z. от частоты в паюсе прозрачности применяют полузвенья w-фильтров, каскадно включаемые с ^-фильтрами.

На рис. 5.6 в качестве примера изображены две возможные схемы каскадного включения [полузвена т- и /г-фнльтрив. На практике обычно применяют также схемы, в которых А-фнльтр находится между двумя полузвеньями /п-филыра.

Входное сопротивление фильтра Z“ берут равным сопротивлению источника сигнала (источника питания) Z*. Схемы рнс. 5.6 применяют, когда сопротивление

нагрузки на выходе фильтра Zn не может быть взято равным ZM Схему рнс. 5.8, а и ей подобные используют, когда ZH = Zf, = ZH.

илиилиРассмотрим свойства полузвеньев т фильтров н каскадных соединений нх с «-фильтрами. На рис. 5,6, и *1*полузвено /п-фильгра. состоящее из сопротивлений Z7 и/З.каскално соединено с /7-фильтром типа ^(аэпротнвления Z» Z„ ZJ. На рис. 5.6, duы"типя Vn^^п^ильтРа из сопротивлений Z9 H Z^ каскадно соединено с Г-фильт- сопротнвленнн 界:岁°讐3)' ^РиР01Нвления Z7 H Z^ зависят от Z《и Z& а Г-полузненьев т бичьтпп^ а ^1 Н ^0ЭТ0МУ говорят, что прототипами 1

или

или

喷盤黑忽閣麗噥:Я ^кадно единенные сними А-фильтры. согласованн^ти. Входное сопр2н；；М：； УЗ '叩"°” 虱°'四 соблюдают принцип ленню нагрузки на выходе этого фильтпа 尹噜"а должно быть равно сопротив- тра 1Л ямяется сопротивпепи '卩.zh Д^я левого полузвена w-филь- какнм является полузвено /；：；』：了乎"Несимметричный четырехполюсник, сопроти^еннями Z.忆〉Сси爲澀澀野产[Я 如…характеристическими в ^-фильтре рис. 5.6, а определяется

Рис. 5.8

зм】ное сопротивление схемы рис. 5.7, а. в которой нагрузкой является Z^ ^К ^цпр сопротивление 储фильтра). Сопротивление 2с2 для полузвена т-фильтра представляет собой входное сопротивление схемы рис. 5.7. о, в которой нагрузкой является Л В С D, П-полузвена m-фильтра рнс. 5.6, а вычислим по ф/盥罂喘對上遥，尸野2 = 0,2з = Z& В результате поручим А = =，隘第方謐‘"編з臨封В,上吧吧у"Ы Для Zh и Z成

Zd = V272«0 + 石/Za)；

Z^ =

Z7Z8

1 + Z7/Z8

(5.11)(5⑵

Входное сопротивление второго каскада схемы рнс. 5.6, а

Z4Z5

(5.13)

■2= VtTTT^'

Сопротивление Z8b 1-полузвене m-фильтрате.^6. ^^^в(5.饭)Z；/m

числовой кизффнмненг 〃】нахо八нтся в «HJ^P жения формул (5.12) н (5.13), получим «место ZH и приравнивая подкоренньк. Р

уравнение иля определения Z7：

Z5

互-2 + ZJZ5 Z7 z/ Z5； 1 + my

5k том.чт«.со11ротнвленке Z7образовано

Последнее нырлжение свидетельствует оz 巴 н Z§—^~^<рмс. 5.7, d).

№умн параллельно соединенными сопротивле»*|Н1Ями,которые □»】■•

^ как小бр—нонар W叫:;噺:：:閣碱那制У р8.m WP Тея зависимыми (производными) о it^o. произ вод f^°морое полузвсно т-

вменим н схеме рис. 5-Ь, а РиНуЮ нагрузку ZH (1

Мн，тра, на входе которого включим Е 丿，⑺

/л

п1П. 5 6 и представляло собой Ьп()Лу3н

匸I3Y3B0H。加巾*о нто")е полузвсно /п-фнльтра доЛЖн

fZX^

тра рис. 5,6. а в 险心 3 " м /w-фильтра. Для фильтра НЧ — это значения Лнльтрз. являющегося »Р«Х<Ха ВЧ - в схеме рис. 5.2. 6.

"ь巾 н5ьтра"ь巾 н5ьтраАЙС в схеме рис. 5』.久鬻澀.；：v ,лф^ьтра определяют так же. как н у 厶巾爪 晔图喘彌胃颦凜如仙wpob НЧ и ВЧ. В，…затухания для

"ь巾 н5ьтра

"ь巾 н5ьтра

ch а = 土 4 (<о).

Знак минус относится к полосе частот от шр до ыс знак плюс- к полосе частот от s ％ дЛя фильтров НЧ и к полосе частот от、до 0 для фильтров ВЧ (объясняется это тем. что сопротивление Z7 изменяет знак при резонансной частоте(ор). ГранИцЫ полосы прозрачности по частоте для Л-фильтра ” для каскадно и согласованно с ним соединенного /л-фнльтра совпадают. Резухи'Тирую шее затухание всего фильтра и равно сумме затуханий гп(ат)- и 以％)-фн』ьтров:

。=% + uk-

Характер зависимости а„. = /(ш) для m-фильтров НЧ н ВЧ показан на рнс. 5.8 6. & где % — частота среза (граничная частота полосы прозрачности). На рнс. 5.8 <5о)р — резонансная частпта, при которой противоположного характера сопротивле- m т

”“"万4 н J _ "5 в схеме рнс. 57, в вступают в резонанс, так что Z7 = оо (при

частоте шр) при этом бесконечно велико затухание /п-филы ра. В области частот от о)с до шр затухание ат резко возрастает, что сушественно. так как получается боль- 蜂 затухание в начале полосы затухания, где % мало. Уменьшение а при з > а, 嘗歌霊Z獄黑案 ^Г^ — Ф-тр： опережав? тра.叫—vran сдвига фаз от Л-(Ьи пт 扌 ％'"忆工 Угол сдвига фаз от /л-филь-

% "訛图調牒談貓喘誡當:。?爲聲.

Фильтра ВЧ. Завнсимисть Z 儿 » на рис. 5.8, d - дЛЯ 盼 значениях т. Пр” „ о 5 .靠｝ ^^ ^ "™ ^ рис. 5.9, 6 при 鹏部：…2需б*矯m畧旣明: 黑：：：：：怨蹤;吃襄 6・ Опуск^ГнромеХоч^ состав.

1010丨+z必 сопрОтиВленНе Л-фНл丨+z必 сопрОтиВленНе Л-фНл山1* Z“ и Z点 этого фильтра- ” ВЬ|кладки, запишем окон-

10

10

丨+z必 сопрОтиВленНе Л-фНл

丨+z必 сопрОтиВленНе Л-фНл

ВходноеВходное'^^^^^/^.

Входное

Входное

ЬтРа рнс. 5.6.6

гZ或=\%2з (2 + Z[/Zj皿超黑閻。3：黑:岁рис. 5.9 2"w4 3-/ 10СОcТОИtгZ或=\%2з (2 + Z[/Zj皿超黑閻。3：黑:岁рис. 5.9 2"w4 3-/ 10СОcТОИtи называют Iнз Двух после.и называют Iнз Двух после.послединателпослединател加 ％ янляюШИхся加 ％ янляюШИхсяДовательнДовательньно-производным.ьно-производным.и сосАнненных сопро・и сосАнненных сопро・叩…w“ с。wc z, и /з叩…w“ с。wc z, и /з

гZ或=\%2з (2 + Z[/Zj

皿超黑閻。3：黑:岁рис. 5.9 2"w4 3-/ 10СОcТОИt

гZ或=\%2з (2 + Z[/Zj

皿超黑閻。3：黑:岁рис. 5.9 2"w4 3-/ 10СОcТОИt

и называют Iнз Двух после.

и называют Iнз Двух после.

послединател

послединател

加 ％ янляюШИхся

加 ％ янляюШИхся

Довательн

Довательн

ьно-производным.

ьно-производным.

и сосАнненных сопро・

и сосАнненных сопро・

叩…w“ с。wc z, и /з

叩…w“ с。wc z, и /з

ААРис. 5.9Рис. 5.9

А

А

Рис. 5.9

Рис. 5.9

^-фильтра. Сопротииления Z, и Z? имеют п|хпиноп().|О/К(1ый характер

nnyrue емк<и гныи). поэтому при нек(>н»п<»й и…paKTLp ")пм“ ннпук

гнннми, л| уу f н некигорпц частоте сопр<п инлеиис Z,(J = О

(резонанс напряжении). Для полосы прозрачности зависимость Zfl = /(—) для фильтра Н?от тс/<о л.чя фильтра ВЧ) при трех значениях m показана на pt：", е. При 加〜(°'5 + 06)Zd относительно малп изменяется в полосе прозрачности, что важно для практики. Зависимости 〜=/ ®) и ^ = /((|))д/1Я 团•巾 м/ьтра рис. 5.6. 6

такие же, как и 川 1я соответстнующего ему ги фильтра рис. 5.6.«.Обобщенно можно сказать, что теоретически бесконечно большое затухание н m-филмре на часготг и)р создзется либо за счет тоги, что на этой частоте в и ос л слова тел иной ветви mmy- звена “фнльтра оказывается участок с бесконечно большим сопротивлением (нлз- ннкает резонанс токов), либо за счет того, что параллельная ветвь m-фнльтра <»6ра- зуст короткое замыкание при возникнопснии п пей режима резонанса напряжении. При каскадном соединении нескольких лп-фильтров значения L, С выбирают различными, чтобы создавать большие затухания на нескольких заданных частотах (u)pi，(,2 н т. п.). При этом зависимость а = /®). например, для фильтра НЧ имеет вид гребенки (рис. 5.9,8). Фильтр с такой характернс! икон иногда называют гребен- чатым. На рнс. 5.10, а показана схема пос-аелона1елыи)-произвидниго нилосно про

пускающею фильтра. Параметры ее соответствуют соотношениим, указанным на

叱虫8nbm尊 'ШШ叱虫8nbm尊 'ШШЛ полцздвно А - фильтр 七，％纟?缭IfE-山dcompaOJ I广二Л полцздвно А - фильтр 七，％纟?缭IfE-山dcompaOJ I广二0|—0|—%%

叱虫8nbm尊 'ШШ

叱虫8nbm尊 'ШШ

Л полцздвно А - фильтр 七，％纟?缭If

E-山dcompaOJ

I广二

Л полцздвно А - фильтр 七，％纟?缭If

E-山dcompaOJ

I广二

0|—

0|—

%

%

工EС工EС||:||:

工EС

工EС

||:

||:

^i^ 7T'；да

砂皿 a-.Q = (l-^n. Продольные 吋丿 /「**”)*)?： быть злмсиеН1|1 М4(жм (川+ I )£. а элементы С/т и С — на С/(т -Ь I )• На рн(.10, 6 прсдс гаилена Cxt.Ma последовзтельно произнодшя о полосно-заграждаюнич о филь ! ра (</ имеет тот же смысл). В обоих схемах сопрел инление нагрузки берут ранммм Z”，но для фи</||). тра рнс. 5.10. а при w = ш?. а для фильтра рис. 5.10. о при ⑷—0.

^С-фильтры. Если сопротивление нагрузки, на которую пклюнен фильтр очень пел и ко. т. е. те(»ретиче('ки стремится к бесконечности (например, входное синритнвленне лампоиого усилителя или нхидние еопротн1и|ение “оленого т卩анзн・ стора), то часто используют /?С-фильгры. На рнс. 5.11, и — в изображены схемы ||1| ВЧ ” iKuiucHo-npoiiycKaiomeiu /?С-фильтрон. а на рис 5.11, г — <• — соотвегстную тне им зависимости и = \п U{/U2 = )(м). Аля ПЧ фи.чьтра рмс. 5.11 ； а 闕如 I +/(.)/?С|. для ВЧ-фильтра рис. 5J1. б // = In 11 - //((0 RC} I. Для 1cx /?с-фнльтрпн_ Н Рабочем зоне a =>t 0. Рабочая зона НЧ-фильтра upoci ирастся

7° “о °J = we= «/^(принятоусловно), при которой «= 3дБ Для ВЧРфильтра 器；:［；£：：”""" " ДИаПа3°Не 01 У ""С когда а = 3 лБ. до w = оо з — 0. В п^осно-припускзюшем фильтре мн w“. затухание имеет мес- ю при <0 = ^=1 /АС. прн этом u=ln 13+jgRCLu

：：?：；：： ИНДУК1 HH,n«»x^^c^Tfioн?лук?н^формнруми из конденса-

八“产 H/iimjHHTb мепмами Инге”)； н 'к,“)зк"二 Дементы i ромоздкне и их типизации amink1, и,,д>，Ктивние катушки с высокий ； "Р'Епкаинн и акустике, ичень н“僚工請肥 HHW инкрсскаминиа-

邛…遍:嚅总丁иf3 /.кт；尸煞Ф","‘3m-。"" "I„竹 Реа』нзниннах1"н踪詳*: зпемемты в них не /篇；；""心""0M"“““'(。丸"如 элементами, н когопи> ； »,и；1ЬтР,,и nepB(x-()cHiiH4iii>u. ' ^ J кч “"J 川山 нипранлсния "mximm & н 川-巾 ：：：W" ")Ратнмеснн 1 ；：屮"№«1""““ .力 c лиги ни 1.1м и

I d<,m<jt卩“м (lCH'">mx it миниатюрно.. u 1имснены на им1пнронан-

! й.Рнс.5.12 'изо^^^I

I ьшеI ьшеДляДляthd；W” W *°Не”са［：幫:"*2 ""3|(今皿门；岀二"“ ”"',,6Pa •hi.imh снязями.

I ьше

I ьше

Для

Для

IbOIbO「” мн —Мин W У -力 в с(х；тннг^. W，OVTO, ° *<*л« Обозначим 屮叽侬小…М.w 5 |2・ “ и выведем

IbO

IbO

'М，4IU нходной |<ж ОУ 4, #0,

Рис. 5.12Рис. 5.12

Рис. 5.12

Рис. 5.12

-/[&=--/[&=-поэтому и/ ° 屮1，°・ L)k 厶=他储屮з； потенциал

-/[&=-

-/[&=-

T。k /2:+产)/R#)K『4 /吗H C限言 献爆黑際弟J / i = f WM + g + a + “а』

皿皿¥4 +人e1 = -年3 {- С/%/?因卢)2 + /3к& +仆)Q¥4 +人e1 = -年3 {- С/%/?因卢)2 + /3к& +仆)Q』&G』&G

皿

皿

¥4 +人e1 = -年3 {- С/%/?因卢)2 + /3к& +仆)Q

¥4 +人e1 = -年3 {- С/%/?因卢)2 + /3к& +仆)Q

』&G

』&G

Затухание фильтра в децибелах

= 201* — =20lg= 201* — =20lg| (同一qc?/?]%/ 十| (同一qc?/?]%/ 十

= 201* — =20lg

= 201* — =20lg

| (同一qc?/?]%/ 十

| (同一qc?/?]%/ 十

+ / 3 依| + %)Q ++ / 3 依| + %)Q +此〃2c2] %此〃2c2] %心心R/R/

+ / 3 依| + %)Q +

+ / 3 依| + %)Q +

此〃2c2] %

此〃2c2] %

心

心

R/

R/

Ес/н принят i. RI = У?? = 〃,з = R н обозначить 叫=I/R〈С/；?, r“ за и иск much* о=/(о>) (выраженная в долях т «>)) может быть проиллюстрирована крннымн рис. 5 12, 6 叩 н С/С? = I; 9; *i. От ношение С,/С2 инределяе! нид за i ухания в полосе “астот от 0 по 叫卜 За счет наличия ОУ при некоторых(；/Q затухамне можс! быть orpimaiсльным (вместо затухания нмеет место усиление). На рис. 5 13, а при1н'лена схема высоком а статного а кт и в и oi<j RC- фил м ра, обрл зону иная из схемы рнс. 5」2, и перестанонкой кпндгисаторок н резне!орон. Резне lopw «$ н схеме рис 5.12, и н А* н схеме рис. 5.13, ц. вы пол н я ют фу нкции спиротивлсни й. регул ирукнмн х раба i > ОУ, поэтому при упомянутой замене их не следует принима ! ь ио внимание ^Lih »гчй '"‘мы (“мкл jjikh опускаем ) затухание фильтра н децибелах

KHIKHIid加—EU，疝…WD hll WM巾叫皿~h，7 “ ％id加—EU，疝…WD hll WM巾叫皿~h，7 “ ％(О(О4%广"4%广"и*йИ1шфф^м M^iruMiHh.nHHi IMOI*.，心叫丁叫乂丁川"Wei川巾川ммА巾(Ммш你,мкн пМмним川hwJum 小""3”'"““ L I (н H ,'h，,,'"»>^>h«iiiIii •on ( V I H aggq (Ml •Xi(h.»uLmu<| <HI •Aihmmu.»!, <»n) ими |.мн1л14in|K^ у„|1( HHiiirwH34o(liiin( оуп.шпл w(»llllllVll»• ndii *ihIriirnil» “juiicir卄"〃 и “ hithihHhl'IHIIPVRr И 'oi (Ill W.MIIf UllH.LOlodH 1н1.1ЧИ1Н|| 川| [%； 叫,~ °* ^h>，MJh <»1.\||||(|1|и*йИ1шфф^м M^iruMiHh.nHHi IMOI*.，心叫丁叫乂丁川"Wei川巾川ммА巾(Ммш你,мкн пМмним川hwJum 小""3”'"““ L I (н H ,'h，,,'"»>^>h«iiiIii •on ( V I H aggq (Ml •Xi(h.»uLmu<| <HI •Aihmmu.»!, <»n) ими |.мн1л14in|K^ у„|1( HHiiirwH34o(liiin( оуп.шпл w(»llllllVll»• ndii *ihIriirnil» “juiicir卄"〃 и “ hithihHhl'IHIIPVRr И 'oi (Ill W.MIIf UllH.LOlodH 1н1.1ЧИ1Н|| 川| [%； 叫,~ °* ^h>，MJh <»1.\||||(|1|II ■)"'II ■)"''WUHH'WUHH'ниц'ницh'UHih'UHiWZlMhlflhWZlMhlflh

KHI

KHI

id加—EU，疝…WD hll WM巾叫皿~h，7 “ ％

id加—EU，疝…WD hll WM巾叫皿~h，7 “ ％

(О

(О

4%广"

4%广"

и*йИ1шфф^м M^iruMiHh.nHHi IMOI*.，心叫丁叫乂丁川"Wei川巾川

ммА巾(Ммш你,мкн пМмним川hwJum 小""3”'"““ L I (н H ,'h，,,'"»>^>h«iiiIii •

on ( V I H aggq (Ml •Xi(h.»uLmu<| <HI •Aihmmu.»!, <»n) ими |.мн1л14in|K^ у„|1( HHiiirwH34o(liiin( оуп.шпл w(»llllllVll»• ndii *ihIriirnil» “juiicir卄"〃 и “ hithihH

hl'IHIIPVRr И 'oi (Ill W.MIIf UllH.LOlodH 1н1.1ЧИ1Н|| 川| [%； 叫,~ °* ^h>，MJh <»1.\||||(|1|

и*йИ1шфф^м M^iruMiHh.nHHi IMOI*.，心叫丁叫乂丁川"Wei川巾川

ммА巾(Ммш你,мкн пМмним川hwJum 小""3”'"““ L I (н H ,'h，,,'"»>^>h«iiiIii •

on ( V I H aggq (Ml •Xi(h.»uLmu<| <HI •Aihmmu.»!, <»n) ими |.мн1л14in|K^ у„|1( HHiiirwH34o(liiin( оуп.шпл w(»llllllVll»• ndii *ihIriirnil» “juiicir卄"〃 и “ hithihH

hl'IHIIPVRr И 'oi (Ill W.MIIf UllH.LOlodH 1н1.1ЧИ1Н|| 川| [%； 叫,~ °* ^h>，MJh <»1.\||||(|1|

II ■)"'

II ■)"'

'WUHH

'WUHH

'ниц

'ниц

h'UHi

h'UHi

WZlMhlflh

WZlMhlflh

HKW；…⑺做3 —1—（.1 吧?II 此，）阿冋” wdrtouou.M. U—Am山川E仙小川I皿中“同一 Wg川

m к ни

HHHV.i ХН1Г11ГЛ.1 и.)01110 II) ^'I wiiobUHiiiM»» KHHUM.iXiimlii guiru" u ,H,H M,b •urii4ii'ih|||llqI • <^n)()v '^ui и» иннимj4iio(Iii л.н)1ПН1 и <l'"n^ w.hiiiiixA I ih wi'i wil l зАши/ WHii|t||r()(j,||| )( у *f, I <* ,)h(I (m (>1f ^'*in，m II ,1<ч <»V (I =~ (，1 l<>) KHIIlfXA.I in х п.ннгоп П ",,,l|i iv.hiih^ \||fl， WHIil4lf(*Q Uirilf.Yl И.МШ 10 Л U l,ll/'Hl|» Illi Ч 1111н\|Г1»|1 lt.H .MQUll I О I It ' WIIMHI|fli| I nil 1Ч1Г||ф..'»и (ПОМНИ! Mlf 0 19ПКМГМлА||О(1|1*0ИЛ(МГО11 MHMN"同，IfOHhOJ |IV4(|JII aill|.HiAlr<l|| ()1 у ^

■П1Ш1 IfdQOO.hUf.HI .inirOQliun Wh||||

•«>ЖР<|у<>ПЭ Н1ЧНИ НИИ 典JI (ill IVavdHUriH «И ,(1М,П/Ч»МЛ.»П ЧИЧи I』M〃“N HIIII.HII.iiI UHIIIIIIhIihi MRM ЯП I К1111Л1ГПП1 Л(Н1(и I H hllVOXini 41.114. "M |X<h； '( |Г1?(||п|мн1мИ W И iron I'lilfH ir III.HHI04U 'wnni"iy AMMifOM.i.JH on i'Hh»(<)iH .)tl )(»11*1|^»11 iioiIii h i Нги ч i I'Hj i』\"“w jwj\ t u i“"li/内1〃||川 qiJi』hmm"： ("),V u*>hhniM(|i ijoHii.iiMiroii j (?[ у лн(1 rnv.ix.i <:<li/r>h ии||,>ччч|1чц *(|.)H •HillllMI) t?|l.>HI ИИИМИАф y<lllh<».|inr.»»hll .Hllhl^l!l|l4ll (НПЬЯГЬОИ W.I Hirn UI .HIIKI . 01*1 IMII 世川.

：)ng“t uim/屮口м ：)7/ rnh.iwirdvn n,ihiraV^duo мм吗—一 / ini "// t，' ％，/'% w“ 叫卄

kkiicw” waXflHHdnu.iv U"M$； iunvw»»M оншмпАф hiAiiihh 1П/.ц|.ш<и(н<

»ir.叫I Ul '川“11 Hiiawt пннгч/им Awrj w.HHhiyvfHi jinii.inr.Mi .».» <>ц и ‘% 山 川 Н4К|Г41Л»(|||О nwo.iMiroii 0И»1ГЖРМ Kirv(HIUMM..PH 101КНИП.НМ »ril|.H|| .1 Щ n.lninitl)川

丁:丁冋„，3，心」"皿"加з痴傾血“川3"，"1 " I "小" II浦川

‘璃就凿闊禮M；言黑関禽常丁也鹏”J柏.,」二靄:閣

“ 切叱""Mh，w,“l w

."|"“Ми.мз "].”,.、"(] мгнг|{(|оц *r,,L. I "/ ” ^ни.нппнм» WHir.iK.nhio tniifhiiin 呪""""| "皿小"皿以小亜"]:「賀?ХА如 M皿'IM5" "mii.Muui/ miwmM你加

'ml'mlУ…% '巾"，"m，二叱*Wf "小.""巾hl I中川，川…""询,"M ”'"吧""“屮川9”" " *|・\d 二；：丁 10 nd,，Mfh,l, 1(11 *» KiHHfKAiiH *Н "М 'кциц^ ЭН(П0НЙИ1)1й(иониилИ|,ои«М|1 "吁"JJ ЛИ1М|Г31ГЛ<|МО и riw.»M > (hryritt 'ml

'ml

'ml

"""A巾 IfOHhht н1Гл(|лн 4wii4hAiro|| (ГУ |>

卽"，M…川..ШИ1rШИФ H^..hHH卩皿",团3"也1心叫u 〃屮"/

• 5心心心_℃%"],*；)“E5川叫л„俑“ • b Hilii触川

皿?〃询…Wl9W“…EM…山他叫⑴…,e~М|1

>14 F

(I(IIIIIIIкк-w кльпигип —dM'严』К ：；：“；：£*；，：『"心,吁…g、“fc“ p(|rll<H<b »，вли，,и,,|u,(1 '‘'巾)211门川亜心|"12仙川3小 1口"”'""""""""、"'""""" 阳ll心”，мт”口 l‘(L・(％)N，wK川,|、/)C‘u)HH<h*M 皿I 1111 ^ M""JI( AH '' Ь»П Ini .Mihom iiu、I Ф' II n *l«hll ' uwutl.ni御皿『「叫」仙'门心川=0 血皿，，""" i 产 i ' % -…I 7，" I :，J W)….-w кльпигип —dM'严』К ：；：“；：£*；，：『"心,吁…g、“fc“ p(|rll<H<b »，вли，,и,,|u,(1 '‘'巾)211门川亜心|"12仙川3小 1口"”'""""""""、"'""""" 阳ll心”，мт”口 l‘(L・(％)N，wK川,|、/)C‘u)HH<h*M 皿I 1111 ^ M""JI( AH '' Ь»П Ini .Mihom iiu、I Ф' II n *l«hll ' uwutl.ni御皿『「叫」仙'门心川=0 血皿，，""" i 产 i ' % -…I 7，" I :，J W)….(叫0 w(叫0 wIhlJ"IhlJ"7"，小川，r")w7"，小川，r")w，(%)图 uJ - ("./)'Illv.5，(%)图 uJ - ("./)'Illv.5仙 叫/)w仙 叫/)wr力)叫r力)叫7")目、7")目、，M|，M|

(I

(I

I

I

II

II

к

к

-w кльпигип —dM'严』К ：；：“；：£*；，：『"心,吁…g、“fc“ p(|rll<H<b »，вли，,и,,|u,(1 '‘'巾)211门川亜心|"12仙川3小 1口"”'""""""""、"'""""" 阳ll心”，мт”口 l‘(L・(％)N，wK川,|、/)C‘u)HH<h*M 皿I 1111 ^ M""JI( AH '' Ь»П Ini .Mihom iiu、I Ф' II n *l«hll ' uwutl.ni

御皿『「叫」仙'门心川=

0 血皿，，""" i 产 i ' % -…I 7，" I :，J W)….

-w кльпигип —dM'严』К ：；：“；：£*；，：『"心,吁…g、“fc“ p(|rll<H<b »，вли，,и,,|u,(1 '‘'巾)211门川亜心|"12仙川3小 1口"”'""""""""、"'""""" 阳ll心”，мт”口 l‘(L・(％)N，wK川,|、/)C‘u)HH<h*M 皿I 1111 ^ M""JI( AH '' Ь»П Ini .Mihom iiu、I Ф' II n *l«hll ' uwutl.ni

御皿『「叫」仙'门心川=

0 血皿，，""" i 产 i ' % -…I 7，" I :，J W)….

(叫0 w

(叫0 w

Ihl

J"

Ihl

J"

7"，小川，r")w

7"，小川，r")w

，(%)图 u

J - ("./)'Illv.

5

，(%)图 u

J - ("./)'Illv.

5

仙 叫/)w

仙 叫/)w

r力)叫

r力)叫

7")目、

7")目、

，M|

，M|

„ ,Ы1 ""』"…2河" ""川"的MDMWl "阿一к4,1HM…川小一:：小 .HH【I" " 1HL巾 "5巾亜、"5川"OU.UUMI 031，；川гm WU、E川皿 uK二; 「川心1?|，巾川，”「"山"•，" I"、i，mir “ "tt 11 «I • Uhl iMlisr叫川 I hirv \.| Щ<М|| Ni.iiwn 11 1ОХ1ИПНП1 ni ItHi.Hianlriu ' ‘％，(HAiliivumliiHilHH и II» Mill )1)1, u«"t,i"<)“ .Ц1Ц.1П I ml n 巾“] OVH« HKHHHtniHlHWlloil W "，"h"IE 巾 JN »HIHIMtMV Hint NII Аф ЛН111.<Н0|Г1|Пл|| |^q|

I 'I <hiii.»M<n|rihl| J w И ttiil.ui/'i ml rniiiihHiHiitwu "Ifl。PHIMI IHIH </ ' I <J 'n '% у Hhl ЗИМ、» U mUMN "14 .H'HHIHI MAlfllll Vhnixqi (I'll.ll/h.H t>t； ПН 7 T I ) IbXrh.H tH .III / HohllVHlH I H H|IV»l Illi 0 ' I ^ ?Hll Illi l>«| рцгцф ПН.ЬЛ I| 他 riUMJH N<)I H« ИЗ I .HHf'Uh / t ПЛНЛ1Г1 .1 I ‘U，mW'“ > IMIIHIiMU I II IU»tHJI/< (HHIIUIIIMAViIH WH»#WI yiniM(mi w ； i; jmJ |卄| pil 1'нгнф лн.»s л ll 'vu I uMMihi “i 'i・"i hic i..i iitilniuiMi л»ч<йл ^IIFn I ОП'|||Ц)|,И1 И I 'uairw.tl ni iirnilinM I II IIHIAI ШГ Ъ| IHH.IW.IV* IHflfHlU I MAVHH UhlW.lGl Hlllhll UnllllUM »H HHVH Wi'IHlIilkW.H lh 411'lullir l.»UH»w ill.II Hti' M МЛН1.ИИ HtllMirMMbA 4H —Ul ml| I “l"""t"川"IMW" I八 I、1川|何吋 °〃皿";y U IK • I П Jh.»t> < » riHIIH I 4 MUHI н-HI t. HU，• JIZWI" PH OHPIIHII Mi шн1гнг||ф J// vrUHIHIMV 1НИИИН1^.Н| Л1НЬ»ИН»||Н»»Н Л.н||Н||

“ TI，厂，■川 IMI tHi.iwtiduiH 11 I，M，UE 小 “wmwMwNw，"…欣川口川八 I

*h/『」i 一 V “ 土 I U 斯川 Nw“.\ Miq，〃v"〃，，“〃〃L〃〃"a/а ih，"hvi")小也мм山屮,3』" HHiFutbt нн ш hiui ин. 4Hh""，\(|)"""八 W“M"“、U M НЧ1П1 hi|||fl|lM<llll'l I 3h ||IHI »M<KilllUII ll HIHbiHPfil .illH;ll(hUH( I .%"，““i」I","山 I i“ “小 1.1/内' I I j N|限—〃 N"“'、A，HI JJIMI"研 HW||

吃1小/切叮八一『

"IЙ<пе Hilll

M/n) / I (^ I I )； Ml%

:二;就冋i(；；!；;：;：：7n：.：??d^S

°10|||||| I Ч|> П 1ЛПИИГМ »Лтн1н t*»l ••' н(, III，1Л •>• л г* . _(, HI HtWH <н,,,Ч

•>НН1ГЛМ1 “"”""”"•“ 二:〔I V “山，心…"Н" V

可"6，"…仙"山 "W"CM""""’

• /)"，％/' _.«,„

"/ "4

H| QL ”"

d+J i±2….………屮m0rH"0"w P WJSLp吋吧喘k знание嗽:喘器爲儒^ £黑色

нана卄器%』叩林叫广.…

на

на

…на 灯/吟川咿* н w₽* ,,u шги<ыор*»(юлннома знаменателя ^^рсдаточиой

需黑郡工漂"吋謂爲黑縉:、叱田на W w bsuhhhx каз卜嚅黑凿謂澀2

квадратичных звена ““屮

痴Р Л …叩°"Р" …“мн m и А-фЗ)амн> 2. Дайте определение

I Что понимают под ^^Р1*^；!；" ния Как расчетным путем найти границы полскы прозрачней н "°^ ^ нч и Вч. а также по.юсио пропускающих и полосы прозрачности для Ф«^тро1 ^ цгс графики изменения ZCt а ц b ь пемосно-эагражлаюшнх ^*,ТР R；CTHblx нам типов фильтров. 4. Из чего следует функции частоты з для R “ (»)И |ьтра в полосе затухания? 5. Как по схеме исходить при 6. В чем недостатки 〃巾睛& Аг фильтра определить, к K^J； - р я ^.фильтра с ^ фильтром ■* За счет чего в трон? 7. Кпх согласовына '而^ «пзннкает бесконечно больин>е затухание? 8. В 端關澀*； ^фильтров перед ^филвтрзмн> 9. Что послужило основанием £р：貶/ъ 価”耻工 m-фнльтрив на параллельно-прешзв^ные и на 川心紀吁 телыю-произнодные? Ю. Чем объяснить, что коэффициент m бер)г равным 0,5о~ Об? 11. Чем принципиально отличается /?С фильтр от Л- и /и-фи^1ьгров. 12. Что понимаю! под активными /?С-фияьтрами и каковы их достоинства? 13. Какне вы зияете два основных иаирзвлсния реэлизацни активных /?С-(|)илыров? 14. Камне способы создания имитированной индуктивности вызнаете? 15. Выведите формулы зависим(х!ти затухания а от частоты ш: а)для фи«1ыра на рис. 5.12, и; б) д.п я фильтра на рнс. $.13. б; в)для фильтра на рис. 5.13, н. 16. Решите задачи H.I; 14.4; 14.6; 14.7; 14.18; !4.2i; 14.22.

Глава шестая

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

縉U?：七吃зная снетема ЭДС. Под трехфазной симметричной 0卅；二〃/丿5"”8*°丁 совокупность трех синусоидальных ЭДС 謠<；：鑑黑工Ы иами^7ДЬ1, сдвинутых по фазе на 120°. Гра- пна「рамма — нар；：體;黑：：°8)а*снм на рис. 6.1. векторная ЭДС Ш1Л1остриру?Гпи( ( • п^трехфазной системы

сюянной углоной скопоеп ш В pdBH0MeP,,0M мнентнпм иоле с по- скр；унннхпру「с」1)уго； к；г；?Ш「5 ‘屮“ WUMKOHhix жестки

Плоскости катуикж СМР1ИО, У

“руга на 120°. В каждой 〃 ：然修卩心 ранет吟“)уг отноент吆吧 одинаковой амплитуды П：/ (即廿""Uitch синусоидальна я 34c

Анооги州山мм :黑?沙俨'Nt катушек сдвинуты на 120°. )‘кн。получить двух- И четырехфазну|«

IR4

Рис. 6.2Рис. 6.2ЗДС и более. Наибольшее

Рис. 6.2

Рис. 6.2

с" аз трех巾азная система. ск°е применение по- 吗吗眯艺胃。「需霭:増 обозначают следующим образом- одну из ЭДС —，оустающую от нее на 120° 3口С —Е-ампере：

жаюшую нажаюшую наПоследовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения (например, через нулевое значение) называют последовательностью фаз.

жаюшую на

жаюшую на

. Принцип работы трехфазного машинного генератора. В машинном генераторе (рис. 6-4) обмотки неподвижны (помещены в пазы статора); на рнсунке они обозначены буквами А, В, С. Магнитное поле в генераторе создается вращающимся ротором с намотанной на него катушкой, по которой протекает постоянный ток. Если число пар полюсов ротора равно единице, то угловая частота вращения ротора равна угловой частоте вращающегося магнитного поля. Магнитная цепь в такой конструкции почти замкнута (имеется только небольшой зазор между статором н ротором} что позволяет получить значительный поток при относительно небольшой магнито- движущей силе обмоткн ротора. При конструировании генератора стремятся к тому, чтобы распределение магнитной индукции по окружности статора было практически синусоидально. На рнс. 6.4 пунктиром показаны магнитные силовые линии в некоторый момент пременн.

. Трехфазная цепь. Расширение понятия фазы. Совокупность трехфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки (нагрузок н соединительных проводов называют трехфазной цепью.

А

Рис. 6.3Рис. 6.3185

Рис. 6.3

Рис. 6.3

протекающие по отдельным участкам трехфазных цепей, 1окн, протекам :「а но фазе. Под фазой трехфазной

^^непн, по которому протекает

пень, уходящую всостав многофазной цени. 11（）Л фазой будем также понимать аргумент синусоидально меняющейся величины. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса фаза — это либо участок грехфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.

6.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей, определение линейных и фазовых величин. Существуют различные способы соединения обмоток генератора с нагрузкой, （"амым неэкономичным способом явилось бы сосдиней не каждой обмотки генератора с нагрузкой двумя проводами, на что лотрсбовалось бы i и есть соединительных проводов. В целях экономии обмотки 1 рехфазного ге- нератора соединяют в звезду или треугольник. При этом число

соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается с шести до грех или до четырех.

Ца электрической схеме трехфазный генератор принято изобра- "）ех обмоток, расположенных друг к другу под углом 廿山屮"即нненнн звездой одноименные зажимы （например, K《）T（）r；vM；忠:卩‘X "‘м（）т（）к oGmrhhhiot в одну точку （рис. 6.5）, t。1 Л :二；；：）篇郭丁丁力.之、р8心。吗откНгенера- "心泣“一…的仁:黑之外 с бУЙвы ставят: л -у начала При соединении ” н " — У начала третьей фазы.

коне，1 первой обмен^Г|（е?ц^^⑴心”）

конецнторой — енчцчн,.^.. * °^и ^ндиняют с началом второй, вой.1 ^метрическая cvммTS：器'""1。"третьей — с началом пер- нулю. Поэтому если к 门“：二，只У мкнутпм треугольнике равна то ио обмоткам |《＞не|）ат；）п・]и ” ' ' "Рнсоедниена нагрузка, ,UW пнммлнис. небУЛет протекать ток.

?；；；；；：窗:""7“11爪卡切京：；黑::；、『""' "心川"или треугольника векторов Р '^«^'^«нчй грех.^мотик ^спи;.ыннп（е расположением »

Линейный проводЛинейный проводРис. 6.7Рис. 6.7

Линейный провод

Линейный провод

Рис. 6.7

Рис. 6.7

Пять простейших способов соединения трехфазного генеоатооа гтрехфазной нагрузкой изображены на рис 67-6 10 Р Р

Точку, в которон объединены три конца трехфазной нагрузки при соедине11ин ее звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обозначают О - пулевым проводом называют провод, соединяющий нулев,： точки генератора и нагрузки. Ток нулевого провода назовем /0. 11оложи!ельное направление тока возьмем от точки 0,

к точке О・

Г1ров()да, соединяк)|цие точки Дt В, С генератора с нагрузкой, назнвают линейными.

Схему рис. 6.7 называют звезда — звезда с нулевым проводом; схему рис. 6.8 — звезда — звезда без нулевого провода; схему рИс. 6,9, Q — звезда ——треугольник; схему рис. 6.9. б ——треугольник —треугольник; схему рис. 6.10 — треугольник — звезда.

Текущие по л и ней н ым проводам токи называют линейными; их обозначают 1А ,厶，/с . Условимся за положительное направление токов принимать направление от генератора к нагрузке. Модули линейных токов часто обозначают /Л (не указав никакого дополнн- 1 тельного индекса )♦ особенно тогда, когда все линейные токи по мо

дул ю одинаковы. .

Напряжение между линейными проводами называют линейные и часто снабжают двумя индексами, например иАВ (линейное на пряжение между точками А и S)； модуль линейного напряжения обозначают

а)а)♦)♦)

а)

а)

♦)

♦)

Рис. 6.9

грнеоатОра называют фазой генерато-

Каждую из трех обмоток генера^н 沙田 протекающие по рз; каждую из трех ®黑黑丁 北ератора /ф или соответственно ним токи - фазовыми токами . ；зовыМИ напряжениями (С/ф). нагрузки, а напряжения на них屮

§ 65 Соотношения между линейными 窿凿謂八窯許歌 ми и токами. При соединении г Р 冬 раз'больше фазового 6,9. клиненное напряжение модулю^ V ^ …，11To屮q есть напряжения генератора ： \ 丁 ^ннка с острыми углами по основание равнобедренного тре\гол•

(6.1)(6.1)30°(рис. 6.11)：

(6.1)

(6.1)

4 = UAa = и. cos 30°= уз и®.

В основ\ формирования ряда трехфазных напряжений, когда последчюще^ напряжение больше предыдущего в \ 3 рзз, положен \3 = (.73. Приведем часть этого ряда при относительно низких напряжениях: 127. 220, 380.660 В.

Линейный ток /, при соединении генератора в звезду равен фазовому току генератора; /д = /ф.

(6.2)(6.2)При соединении генератора в треугольник линейное наиряже- ? ние равно фазовому напряжению генератора (см. рис. 6.6, 6.9, б): “

(6.2)

(6.2)

仇=〃•

Прн соединении нагрузки в звезду (см. рис. 67. 6.8, 6.10) линей- “ hhQ ток равен фазовому току нагрузки: / = / .

Прн соединении нагрузки треугольником Положительные на- 吃:齎У т°к°в врбнрают по часовой стрелке. Индексы у jiuhhh；'пе：：：»：Т выбранным для них положите.!ьным направ- в飞一曜：為湍黑设黑篇 от которой ток утекает.,; нейЙ ^TZX(см. рис. 69 а, 6)吗

S3 них по первому закону 區累龍“岬河"н определяются

AB，AB，厶=К-厶

AB，

AB，

Преимущества трехфазных систем in

mm；пехфазных систем объясняется 7；^ИР°^ расиростра- 川心 ；н причинами: Равным образом тремя ^передача энергии на дальние расстоянии 门 .

m

m

синхронныйсинхронный1мнчески более выгодна, чем переменном ^ фЗЗНЫм ^401* 孙он()м； —〔менннм током с иным 狙心 Н'，哈ементм системы — трехфазный chhxdc“2

синхронный

синхронный

разный асинхронный двигатель и

^просты в производстве, экономичны и 厶

Т°Р3) система обедает свойствами неизменности значения'мгно- 咿曲 мощности за nt риоя синусоидального тока, если нагрузка во ；；ех трех фазах трехфазного генератора одинакова. "

Расчет трехфазных цепей. Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и потому расчет и ^следование процессов в них производят теми же методами и при* 〃змн. которые рассматривались в гл. Зи 4. Для цепей трехфазного 【ока применим также символический метод расчета и можно строить векторные, топографические и круговые диаграммы.

нулевым проводом. Еслинулевым проводом. ЕслиАналитический расчет трехфазных цепей рекомендуется сопровождать построением векторных и топографических диаграмм. Векторные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, делают все соотношения более наглядными н помогают находить ошибки при аналитическом расчете, если по следи не возникнут.

нулевым проводом. Если

нулевым проводом. Если

Соединение звезда ——звезда с

нулевой провод в схеме рис. 6.7 обладает весьма малым сопротивлением, то потенциал точки О' практически равен потенциалу *＜， киО;точки 0, и О фактически предстамяют собой одну точку. При 升ом в схеме образуются три обособленных KOiuypa, через которые проходят токи /л = ^д/4л ^ 厶=А/% ；'《=&//'，

По первому закону Кирхгофа ток в нулевом проводе рзвен гео-

(6.3)(6.3)метрической сумме фазовых токов:

(6.3)

(6.3)

/0 = ♦+♦ +‘с・

Если Z产 z“ = гс(такую нагрузку называют P*J^ ")к 4)равен нулю и нулевой провод может быть мз н*нен”н режима ее работы.,слумаенеравен

^'ри неравномерной нагрузке фаз ток /0 г "у/ю.

j "н наличии в нулевом проводе ”'*‘”怨:器窑丁龜‘‘

I сх^мы производят методом узловм* "°щит—.zL

I 127HWcp59.Bcwp!ic 0电。9武・4*^，?寸温悶г£Е«Н i^a1 卜禮W*岁関澀器空滞 ^л^^.，m・，—

P-6.12Pxc.6.13P-6.12Pxc.6.13векторную дмз1рамму рис. 6.12, б. Тпкн всех фазА. Ток 厶 совпадает по фазе с £^. Тпк，冃 на 90。отстает 90。Сумма 乙 + 厶 +，戸ает вектор тока /0. По моду丹:векторную дмз1рамму рис. 6.12, б. Тпкн всех фазА. Ток 厶 совпадает по фазе с £^. Тпк，冃 на 90。отстает 90。Сумма 乙 + 厶 +，戸ает вектор тока /0. По моду丹:

P-6.12Pxc.6.13

P-6.12Pxc.6.13

векторную дмз1рамму рис. 6.12, б. Тпкн всех фаз

А. Ток 厶 совпадает по фазе с £^. Тпк，冃 на 90。отстает 90。Сумма 乙 + 厶 +，戸ает вектор тока /0. По моду丹:

векторную дмз1рамму рис. 6.12, б. Тпкн всех фаз

А. Ток 厶 совпадает по фазе с £^. Тпк，冃 на 90。отстает 90。Сумма 乙 + 厶 +，戸ает вектор тока /0. По моду丹:

Решение Построим модули! равны 127/6,35 = 20 ит£^ Ток /сопережает £^ на им равен 14,6 А

Пример 60. Какое значение лачжно иметь сопротивление в фазе* .4 схемы рис 6.12. а. чтобы ток r нулевом проваде стал ранным нулю?

Решение. Геометрическая сумма токов，& 4- /с по модулю рзнна

2 - 20cos30e = 20\/3 А.

Ток в нулевом проводе равен нулю, если ток 〃，направленный противоположно сумме /д + /с , по модулю равен 20、3 А. При зтом сопротивление фалы A R = =£/20 \3 = 127/20 \3 = 3.66 Ом

Пример 61. Оорежмить ток в ”/свпм проводе схемы рис 6.12. а. если н фазу А включить активн1»е сопротивление 3.66 Ом, а индукпшность н емкость фаз В и С

поменять местами. мК = — = 6.35 Ом

Решение Векторная диаграмма изображена на рнс 6.13. Из нее следует, что / = 34,6 + 34.6 = 69,2 А

§6.9. Соединение нагрузки треугольником. Выберем направление токов в фазах треугольника в соответствии с рис. 6.9, а. Ток 1АВ вызываем я напряжением 〃止 Модуль н фаза его относительно ^пряжения ила определяются сопротивлением нагрузки Ток оппе^р^яи "а,1^ЙЖгннем °叱 Mony/“ и фаза его относительно UBC

и зависит пт°ПР°ТИВЛеНИеМ Z”・ Ток 1СА вызван напряжением рез фазовые 。。"「""'氏也乂月 ZC4. Линейные токи вы числим че- Р 伽т°кн по первому закону Кирхгофа:

乙=* - 1СЛ ；

8 =8 =(6.4)

8 =

8 =

「РУЗКМ."Tb н 6(з，с и меньше фазовых токов 四

Рис. 6.14Рис. 6.14

Рис. 6.14

Рис. 6.14

Пример 62. В схеме рнс. 6.14, о ZAB = _］少.,

каждой фазы генератора 220 В. Определить все 上呪=9,; Z。= 19 Ом. ЭДС paMMV.卜 耻°Токи и “зтронть векторную шаг-

р е 山 е н н е .烁кг吗＜а. диаграмма построена на 66 м

фазах нагрузки н \3 раз больше фазовых ЭДС г^м^пЛа« Н, 0, ^РЯжемия на Ток 厶8 0Tpe*呐 напряжение % на 90。Д；вен 务"F需費^普吋;瓷" ^^ 皿幼° н 1:к*е равен 20 А Ток /С4 по модулю равен 20 А и совпадет по фазе с напряжением ^ Синенные токи IA )B ic найдем графнчесмично^ьз门

соотношения (6.4). По модулю.厶=厶=|Q А： /& = 20 А、

6.10 Оператор а трехфазной системы. Условимся комплексное число М20', по модулю равное единице, обозначать а и называть оператором трехфазной системы. Тогда

снс-снс-/2w=@3f=経

снс-

снс-

Три вектора: /, Q и а2 образуют симметричную трехфазн) ю тему (рнс. 6.15):

I 4- а + а2 = 0.(6Q)

Умножение какого-либо вектор? ：：黑黑；黑：P：:。"中№ менения модуля на угол 120。叩。亜；町喘。黑小而仙叮。传儿 вектора на М поворачивает его на у го. совой грелке на 120° ннн, ”го то же самое, поворачивает его п ^ ^ Е^ и £сснммет-

С помощью оператора и можно Р •

Р”ин曲 трехфазной системы через А 4；(&6)

£…。吗；以=П/・

нулевого провоза. На

(6.7)(6.7)Соединение звезда 一 ：雷'амн (точки。н 嚎常 Рн('・ 6.8 представлена схема с а：间彳ьзовзтьГ мегомом Д У Раеда токон п ней целесообразно _ ^ узлзми ^(С4.§1.21). Напряжение между % .僞…

(6.7)

(6.7)

ио о =R Ус

%%Если нагрузка (6.5)|Если нагрузка (6.5)|равномерна (У.аравномерна (У.ауj то [см. соотношениеуj то [см. соотношение

%

%

Если нагрузка (6.5)|

Если нагрузка (6.5)|

равномерна (У.а

равномерна (У.а

уj то [см. соотношение

уj то [см. соотношение

U*)

к напряжение ЭДС:к напряжение ЭДС:на каждой фазе нагрузки равно соогветствуюгцейна каждой фазе нагрузки равно соогветствуюгцей“о，= 3； “о,=七而 U"'“о，= 3； “о,=七而 U"'Если нагрузка неравномерна：Если нагрузка неравномерна：то и“，〃 ¥= 0 нто и“，〃 ¥= 0 н“(),=3 — "ио； /"' = Er“(),=3 — "ио； /"' = Er一"小 U"），=反：一《）.。・一"小 U"），=反：一《）.。・

к напряжение ЭДС:

к напряжение ЭДС:

на каждой фазе нагрузки равно соогветствуюгцей

на каждой фазе нагрузки равно соогветствуюгцей

“о，= 3； “о,=七而 U"'

“о，= 3； “о,=七而 U"'

Если нагрузка неравномерна：

Если нагрузка неравномерна：

то и“，〃 ¥= 0 н

то и“，〃 ¥= 0 н

“(),=3 — "ио； /"' = Er

“(),=3 — "ио； /"' = Er

一"小 U"），=反：一《）.。・

一"小 U"），=反：一《）.。・

Токи в фазах нагрузки：

/л =必0,/Z. j〃= “/Z〃； .= U“，/Z《：・

(6.8)(6.8)“о = %“о = %88Z" + 2Z；Z" + 2Z；Если в двух фазах нагрузка одинакова, ^пример Zh 2 乙 # ZA то формой (6.7) после преобразовании имеет следу- иицпй вид:

(6.8)

(6.8)

“о = %

“о = %

8

8

Z" + 2Z；

Z" + 2Z；

. Трехфазные цепи при наличии взаимоиндукции. Расчет трехфазпых цепей,содержащих магнитно-связанные катушки,осу- тсствлннп так же. как н расчет магнитно-связанных не пей однофазного синусоидального тока.

Пример 63. Определить ноказпнни ампермсгра и иолы мс гра в схеме рис. 6.1^- IккIроить mii(»rpiH|»H4ccKyio диограмму< сонмесгин cv v нсктирной ;ипн'рамм(" 11 кон. Дпно: Еф = 127 B;(i»L = 1/шС = 4 Ом; еМ = 2 0M.,

" "“ “ е Выберем положительные на пр а пл он и и токов ” c()oi bvtc i внн ^ |>w b IG Цопсрнчму закону Кнрхгиф». G -|-/н +)(・ = °

""мем ЗПС 厶.папраи.ю||ной по осн, [ |. Составим ураппспне по МОР°МУ закину Кн|шофа ддн контура ОАО'ВО-

〃汕 L +—А1 — (%/е 丄 + /〃&А1) = 1厶圧

|1о1стаповки чне^оных значений получим

№"/ \ - 22(肘嗡。 или /1220好吐

2/(〃一/小一22脈 «ли 〃一产^_小…А

/一(//3l+ /#)的=UCti/一(//3l+ /#)的=UCti

/一(//3l+ /#)的=UCti

/一(//3l+ /#)的=UCti

副副—4〃c - 2〃r — 4〃н = 223・

副

副

сеяное решение грех уравнении дает

Е’м" 厶=110； /н = I К”60： %= "О 何еТ* А.

[斗 Активная, реактивная и полная мощности трехфазной § ” Под активной мощностью трехфазной системы понимают М01ЦН0СТей фаз нагрузки и активной мощности в 2потивленни, включенном в нулевой провод:Р = Ра + Рв + Рс + Р»[斗 Активная, реактивная и полная мощности трехфазной § ” Под активной мощностью трехфазной системы понимают М01ЦН0СТей фаз нагрузки и активной мощности в 2потивленни, включенном в нулевой провод:Р = Ра + Рв + Рс + Р»(69(69фццеская анаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изо- Toiioi Р [)нс 6.17. Амперметр показывает НО А, вольтметр — приблизительно 州込,；1：1с\ннП результат получен после подсчета 19 по формуле 眯)В屮0, = 47)+ Е,[ — / 八沁厶—/ 8,зМ •

[斗 Активная, реактивная и полная мощности трехфазной § ” Под активной мощностью трехфазной системы понимают М01ЦН0СТей фаз нагрузки и активной мощности в 2потивленни, включенном в нулевой провод:

Р = Ра + Рв + Рс + Р»

[斗 Активная, реактивная и полная мощности трехфазной § ” Под активной мощностью трехфазной системы понимают М01ЦН0СТей фаз нагрузки и активной мощности в 2потивленни, включенном в нулевой провод:

Р = Ра + Рв + Рс + Р»

(69

(69

S=s^i=^

Q = Q」+ Q® + Qc + Qt

(611)(611)Полная чиицность

(611)

(611)

s=、6 + Q2

Ew нагрузи pimaep：,:% = % 厶 cos①ф;

%Y：£；Qci 仆2

нагру%(6」2)нагру%(6」2)где _ 尸 i・Q - W、‘％ -….Р*к“ “ .к"”，Ф ^^ При равномерной нагрузке 巾аз

нагру%

(6」2)

нагру%

(6」2)

§Р^3иф1ф cos ч'ф：

Q = 3% Q &п %;

s =配力/

ПРН равномерной нагрузке фаз не W。от 巾火。仙 ее ^единения (звездой

Н.ЧН треугольником)и ь ,毎〃,

3% /ф =資 \区 ％ 厶=\3 '、厶.(6.13)

「м 4/д-линейна напряжение на нагрузке; /л- линейный ток нагрузки. Поэтому вмес^форм).! (6.12) часто используют следующие.

Р =何и/』cos “；

Q =的％厶§т %

(6.14)(6.14)5 =巡打厶.

(6.14)

(6.14)

§6.14. Измерение активной мощности в трехфазной системе. 口血 нзмерення активной мощности трехфазной системы в общем случае (неравномерная нагрузка н наличие нулевого провода) необходимо включить три ваттметра (рис. 6.18). Активная мощность системы равна сумме показаний трех ваттметров. Если нулевом провод отсутствует. то измерение мощности производят двумя ваттметрами (рнс. 6.19). Сумма показаний двух ваттметров прн этом определяет активную мощность всей системы независимо от того, звездой иля треугольником соединена нагрузка (треугольник нагрузки всегда может быть 叩еобразован в эквивалентную звезду)

,0}азанне первого ваттметра равно Re “工，второго- "нс'方 но

R屮必+ ?[8 ]=對(*%)；4*3%九1出， + U7+%:c)， таккак/4+/в = __/н>

одн?йРф?зыи7^^Достаточно измерить мощность

Рис. 6.21Рис. 6.21

Рис. 6.21

Рис. 6.21

[5. Круг°вне н линейные диаграммы в трехфазных цепях.

》iH нзмена*тс” модуль сопротивления одной из фаз трехфаз- 1 а аргумент его постоянен, то геометрическим местом н°" 1 векторов напряжения (тока) любой фазы цепи является 酬嘖ность или прямая линия.

г = const и изменяется только мо-г = const и изменяется только мо-примера рассмотрим круговую диаграмму напряжений по ^еме рне. 6.20, если ZB = ZC =

г = const и изменяется только мо-

г = const и изменяется только мо-

сопротивления фазы '(ZJ.,

цСПольз¥ем формулу (4.40), заменив в ней индексы q н b на ° л ппржнме холостого хода ток по фазе Л равен нулю, а напряже- 吧需;X сопротивлениях Zs = Zc=r равны U8C/2. При этом н 0^ находится посередине вектора t/flC(точка / на рис. 6/1,«),

_ 0 5 £】• Прн коротком замыкании сопротивления £Л %- тенинТл точки (V равен потенциалу точки А. Поэтому 呪診

622, а (источники ЭДС закорочены). Два^рот»

ныпараллельно, поэтому Z^ =;сопротнв-

Рассмотрнм три случая, отличающихся характером

а丿

Есаи /^изменяющееся емкостное сопротивление,门 ,L一 ％ = —90 °・ Круговая днагпам

《=_/ /®С・ Фм-т ПОСт^оена на рис. 6.22, б, где линия Лс Про * ма напряжения U。，。построен Д90。. А~с山таб ；

отношению к хорде под 尸小小>

соответствует масштабу, в котором отрезок fd выражает входНо conioXX Z = г/2 Геометрическим местом точки 0,冊/* ся полуокружность /р4 Для опред%енмя модуля и фазы &,。При некотором произвольном значении Хс его следует отложить на Ли. нии 加力 провести луч fm. Точка пересечения ，S°Kpy* ностью fpA обозначена р. Напряжение (%，。，соответствующее взЯ- тому значению 儿，изобразится вектором, проведенным из точки О в точку р.

. Если Z4 — изменяющееся индуктивное сопротивление, toi|)^ =90 0 и геометрическим местом концов вектора 〃)，。является по- луокружность [дА (изображена пунктиром на рис. 6.22, б). Линия переменного параметра в этом случае будет справа от точки d.

. Если Zq ——чисто активное сопротивление, то 屮=q* —

является прямая Л/.является прямая Л/.и геометрическим местом концов вектора U»o

является прямая Л/.

является прямая Л/.

6.16. Указатель последовательности чередования фаз. О и ре де- ление последовательности чередования фаз в трехфазной симметричной системе ЭДС (напряжений) осуществляют с помощью ука- зате/я последовательности q叩едоваинн фаз. В простейшем исполнении он состоит из двух одинаковых ламп накаливания “ конденсатора (рис. 6.23). "

Емкость С берут такой, чтобы емкостное сопротивление оавня лось резистивному сопротивлению каждой лампы.

„и тРи конца указателя подключить к трем концам симмрт- Еы :丁р；牌號靠н：：емн ЭДС, то потенциал нулевой точки схе- торно『д“а餘ме рм；選雰тать "。，。鹏―точки О^ на век- нака刀J：；；丁6；器丁‘麻需二雷片"'"° “нпР"'"’""。“а лампах

Рис. 6.24Рис. 6.24У Ртн〔но. Hd лампе, включенной в фазу 8, оно

Рис. 6.24

Рис. 6.24

196

зетсн вектором UBO.； На ламп。о

。嚼。м爪Т』как R > 〃i髙黑常喝в фазу С,— R嗚 к。，^млампа в фазе С. &皿皿二：貫 6 '『гореть 6，.〃 ЭДС, к которой подкЛюче^^^ Фазу трехфаз- ^ д. то Ф^ К которой окажется по段旣产％ 叩叱】за 加‘器 у 加3Q %° фаза с тускло горящей mu°U^PK0 гоРяи^ая W嗽ннм из важнейших свойств мно場黑七芸产。"一加за С.

二 токов является их способность со3п^ Вчастности.трех- 2ss магнитное поле.задавать круговое враща-

[7. Магнитное поле катушки с син¥гЛипа

поле одной катушки, по которой 口覩£：；产” т°ком. Маг- нИТ поедставляет собой пульсирующее* (не впап^и?НуС0И?альныи т°к，，е На рис. 6.24, а изображена KaTvilikiP г^ 101nееся)ма「ннт- оеполе. fV катУшка, по которой проходит

синусоидальныи ток i — J sin 吁 Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции В. Направление В определяется на- правлением намогки кар шки и направлением тока в ней в данный момент времени. Пусть буква Н означает начало, а К — конец ка- t\iukh・ Если ток входит в зажим Н н выходит из зажима К (это направленне тока будем считать положительным: ему соответству- ет интервал времен и от 0 до л), то вектор магнитной индукции направлен вверх по осевой линии катушки. В следующий полуперн- 0汰 когда ток отрицателен, вектор б направлен вниз (пунктнр на рнс. 6.24, Q). Таким образом, геометрическим местом концов векто

ра В является ось катушки.

§ 6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля. Круговое вращающееся магнитное поле представляет собой магнитное ноле, вектор результирующей магнитной индукции которого имеет постоянное' значение и вращается с постоянной углово ск РОСТЫО (О (рИС. 6.24, 6).…y nPU Лмпи

Расположим три одинаковые катушки так, чт • смещены на 120° относительно друг ^PJ，ra 少、：、丁、乂介 Присоединим катушки к симметричной трехфазной и^нм Пусть токи входят в начале катушек Н и изменяются следующим образом:

j =乙sin遍/2 = /附 sin (з/ - 120°)；i^lmsin(^t + 120°).

~J _,…магннтноА ннпукнкн которого

"h"iiiyjn、《'Hp\giiiHM полем поннма叫W/aryuiKM c током

МНЗ'ТГ (пульсирует) ВДОЛЬ ОСН. создающей с。山

Рис. 6.25

Графики токов изображены на рис. 6.25, б. Каждый из токов создает пульсирующее поле, направленное вдоль оси своей катущ. ки. “ и

Положительное направление оси первой катушки обозначим + 1, второ订一4-2, третьей ——F3, магнитную индукцию первой катушки обозначим 8[, второй — В2. третьей — В3. Тогда

& = Вт sinto/; В2 = Вт sin (со/ — 120°);

8з=% sin (淑+ 120°).

Изобразим векторами в пространстве мгновенные значения В В，±, 83 и результирующую индукцию для моментов времени м/ = 0： к/2. л, Зл/2 (рис. 6.26, q —z). Запишем алгебраическую сумму проекций векторов магнитных индукций &, 52, & на оси хну декартовой системы координат (см. рис. 6.25. 8), совместив ось х с осью / н ось у с осью +/：

瓦=瓦 cos 30° —瓦 cos 30° = 1,5

4 = a — 82cos 60° - A cos 60° =

.<гНовенные значения проекций вектопо^ “

х н УР магнитной индукции

"'° 丛=—ISBeCoss^b =•

94 sin 3f.

результирующая индукция по модулю В =屈R I 5— 班叫叱угол ₽ С…-x: *』в上林U篇 '/Г黑黨肾 n^Z^-^магнз „и-

sino)/ к началу второй катушки с током < sing — 120。) М ；ктор результирующей магнитной индукции вращается в сторону в；；у/кн с отстающим током.~ '

* Еслн ток lm sin(s£ —• 120°) пропустить по третье気 а ток I sin®，+ 120°) — по второй катушке, то направление вращения оЛя изменится на обратное.

Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по амплитуде не бу口ет равен току в какой-либо другой фазе или сдвинут по фазе не на 120 °, то образуется эллиптическое вращающееся поле. При возникновении его конец вектора результирующей магнитной нн- 口укинн будет скользить по эллипсу.

)Для того чтобы усилить вращающееся магнитное поле, внутрь катушек пометают полый или сплошной ферромагнитный ин- лнн【р, а стороны катушек заключают в пазы внешнего ферромагнитного цилиндра (рис. 6.27).

Братающееся магнитное поле используют в электрических ЛВ，，Обратим внимание на то, что пульсирующее поле (см. §鲁? можноРпредставить в виде суммы двух вра器黑鑑器р鎧匿 ложные стороны с угловой скоростью з маг‘

тельно,

ДшГ-90*) + R-ZM-90*)]часовой стрелки,векторДшГ-90*) + R-ZM-90*)]часовой стрелки,векторВт si п(о/ = ^ IJ i) = 0,5Bm【е

ДшГ-90*) + R-ZM-90*)]

часовой стрелки,вектор

ДшГ-90*) + R-ZM-90*)]

часовой стрелки,вектор

Вектор 0,5 Вт e/>r-wr)вращается против 0,5В,”「/(з/-во。)— по часовой.

игателя> Наиболее рас-

. Принцип работы &叱：?：；黑0M ДВИгателя переменного пространенным в промышлеинсдвигатель. В нем имеется

тока является трехфазный аснн, торого помещены три ка・ неподвижная часть — статор. в ц еся магнитное поле, и п°‘ туюкн, создающие круговое «Р^Хого находятся три замкнуты Рижная часть — ротор, в пазах кхл'о^ и(рис. 6.27). Катуш на себя или на внешнее сопротив^» : катушек не показаны, кн на рис. 6.27 даны вразрез/гориовые ча

Рис. 6.27

Рис. 6.28

200200

200

200

окружностокружносткаждая нз катушек занимает лишь небольшую часть okdv* статора (или ротора). В действительности каждая из катуиАк，"7^ мне и обратные провода ее) занимает около 1/3 окружное^ °Ря' точкн статора (млн окружности ротора). Вал ротора двигят^! Рас' длинен с валом рабочей машины.日丁©“》Со.

окружност

окружност

Допустим, что сначала ротор неподвижен. При этом

е(я магнитное поле, созданное обмотками статора иепее^Щ °Ще' 為芻涔弾е~。ротора с угловой ч^тот^

в них ЭДС. ЭДС вызовут токи в катушках ротона Пп 弾:нуводит :寫£黑『™ ма「，"，…"酎^^ ^^ ―^ ZLP0T°Pa с 恥 w.

^=Z==^

」®'т(0,98刊,95) ”. Двиг^ёль наз^ 叩叱加 ротора “> состав

叱но, если учесть, что ।частоте вращающегося nojin^r^ % 依

В курсе ТОЭ orrLw Щего момента 丫 6м ток н ротор них положений xJ^i ИМСя Качес^нным

产『атс р 澀*рнзую山“ принцип п ^М°ТреНнем ℃нов- ма山нн.^нееэти вопросы изучаю ^ асинхронного

§620.Раз』о*е.""' ""КТрниескнХ

曰拶簿載爲案沁融穴『。小… 鰭р 鑑了。-^-"^^

(СМ§〃)^',ц «^тори .419??,0,Н0си1сльн0 др d，乩‘Зх Е'КТ｛屮он/

Mf “w J，，а，20° Используя и：； У 心Wf 12。。，“…;

"冲"Tpl'Xgj"。百 системы

(6.15)(6.15)%L а?/

(6.15)

(6.15)

С] = а 力].С] = а 力].система顕paiн向"。门设的皿況孤皿口"c.Г.；внь.x "。mW M "肥争2ё(心氏6叫6)…И'^.режает вектор 42 на 120 °："皿。叩“叩丫「82 н " 4 2；система顕paiн向"。门设的皿況孤皿口"c.Г.；внь.x "。mW M "肥争2ё(心氏6叫6)…И'^.режает вектор 42 на 120 °："皿。叩“叩丫「82 н " 4 2；DMT ИЗDMT ИЗа на 120а на 120产кторов儿必 * "Рнмем вектор产кторов儿必 * "Рнмем векторe2=(产&.Система “уленс讣 ш)следовательностн (nJ г、州№皿加„，по фазе： .加(р”. 6.28. в) ()бразована4。=%="e2=(产&.Система “уленс讣 ш)следовательностн (nJ г、州№皿加„，по фазе： .加(р”. 6.28. в) ()бразована4。=%="(6.16)(6.16)Выразим заданные следую山нм образом:Выразим заданные следую山нм образом:ТРИ актора 人 в. с черезТРИ актора 人 в. с черезтремя вектора-(6.17)тремя вектора-(6.17),4,4fi =fi =丁 + А + &；%+ 8| + в?；丁 + А + &；%+ 8| + в?；векторы симметричныхвекторы симметричныхсистем(6.18)систем(6.18)° = G)+ О + с2.Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):"=% + А+，42；8 =/+庐4 + 。飼С = .4。+ Q 4] +。2&° = G)+ О + с2.Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):"=% + А+，42；8 =/+庐4 + 。飼С = .4。+ Q 4] +。2&(6.19)(6.20)(6.21)(6.19)(6.20)(6.21)? 4''、『；「("3口е^ення .{)сложим уравнения (6.19) - (6.21) и учтем что I + q +4-а =0. В результате получим丁 十•'о = "(а + В + с)・(622)? 4''、『；「("3口е^ення .{)сложим уравнения (6.19) - (6.21) и учтем что I + q +4-а =0. В результате получим丁 十•'о = "(а + В + с)・(622)1акмм образом, .мн нахождения /40 следует геометрически сложить три задан- ных иекгора и взять одну треть от полученной суммы.Млн нахождения 4 K уравнению(6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное “а ”. и уравнение (6.21), умноженное на J;1акмм образом, .мн нахождения /40 следует геометрически сложить три задан- ных иекгора и взять одну треть от полученной суммы.Млн нахождения 4 K уравнению(6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное “а ”. и уравнение (6.21), умноженное на J;/11 = 3(% + и8 + о3 С)./11 = 3(% + и8 + о3 С).(6.23)(6.23)

С] = а 力].

С] = а 力].

система顕paiн向"。门设的皿況孤皿口"c.Г.；внь.x "。mW M "肥争2ё(心氏6叫6)…И'^.режает вектор 42 на 120 °："皿。叩“叩丫「

82 н " 4 2；

система顕paiн向"。门设的皿況孤皿口"c.Г.；внь.x "。mW M "肥争2ё(心氏6叫6)…И'^.режает вектор 42 на 120 °："皿。叩“叩丫「

82 н " 4 2；

DMT ИЗ

DMT ИЗ

а на 120

а на 120

产кторов儿必 * "Рнмем вектор

产кторов儿必 * "Рнмем вектор

e2=(产&.

Система “уленс讣 ш)следовательностн (nJ г、州№皿加„，по фазе： .加(р”. 6.28. в) ()бразована

4。=%="

e2=(产&.

Система “уленс讣 ш)следовательностн (nJ г、州№皿加„，по фазе： .加(р”. 6.28. в) ()бразована

4。=%="

(6.16)

(6.16)

Выразим заданные следую山нм образом:

Выразим заданные следую山нм образом:

ТРИ актора 人 в. с через

ТРИ актора 人 в. с через

тремя вектора-

(6.17)

тремя вектора-

(6.17)

,4

,4

fi =

fi =

丁 + А + &；%+ 8| + в?；

丁 + А + &；%+ 8| + в?；

векторы симметричных

векторы симметричных

систем

(6.18)

систем

(6.18)

° = G)+ О + с2.

Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):

"=% + А+，42；

8 =/+庐4 + 。飼

С = .4。+ Q 4] +。2&

° = G)+ О + с2.

Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):

"=% + А+，42；

8 =/+庐4 + 。飼

С = .4。+ Q 4] +。2&

(6.19)

(6.20)

(6.21)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

? 4''、『；「("3口е^ення .{)сложим уравнения (6.19) - (6.21) и учтем что I + q +4-а =0. В результате получим丁 十

•'о = "(а + В + с)・(622)

? 4''、『；「("3口е^ення .{)сложим уравнения (6.19) - (6.21) и учтем что I + q +4-а =0. В результате получим丁 十

•'о = "(а + В + с)・(622)

1акмм образом, .мн нахождения /40 следует геометрически сложить три задан- ных иекгора и взять одну треть от полученной суммы.

Млн нахождения 4 K уравнению(6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное “а ”. и уравнение (6.21), умноженное на J;

1акмм образом, .мн нахождения /40 следует геометрически сложить три задан- ных иекгора и взять одну треть от полученной суммы.

Млн нахождения 4 K уравнению(6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное “а ”. и уравнение (6.21), умноженное на J;

/11 = 3(% + и8 + о3 С).

/11 = 3(% + и8 + о3 С).

(6.23)

(6.23)

След()нателы10< Одца треть суммы, состоящей из вектора А плюс некгор 8 记叫У“，|讣 против часонон стрелки на 120 °) “ плюс вектор С (повернутый по часовой е грел ко на 12()0), дает вектор А ।.

Для вычисления Л.> к уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), преднарн- '""“")умноженное на <г. и уранненис (6.11), умноженное на и:

I •. •(6.24)

』•〉= т(>1 + <广8 + ”С)'

. Овснммс положения метода симметричных составляющих. Грехфалные ；J'MN нсредачн электрнческой -ергнн состоят из источников энергии линий МВ"", грансформатипон н элек 1Т()л»игагелсй. В резульгпге какой либо аиярии \\：^^^^и'п< обрыва провода) н.ш. прн нееимметрнчж и

! * •Py^Kv на члемеитах сисгемы (электродпигагелях, трлнеформлторах, <ямой ли-

,,е1Н'д；|.,||)HojHHK.jior несимметричные напряжения.

-。системах производят с помощью схем заме- Расиет токовИЛ1ПГ"м1итысистемы должны быть представлены комплексны- тения, на которых все элементы о 血 фа3у одного и того же элемента не оди- мн сопротивлениями. Но 郊寰工 Поэтому расчет следует вести для каждой наковод・1яразмпос・：**：：：,；теМ искомую величину (ток или напряжение) :鹏;麗竄默С т^в или соответственно напряжений нулевой, прямой и ^B?S2°SXh^различные значения сопротивления

одно^ и roZe элемента для разных последовательностей фаз (при относительно ИИЗКСопро^ние иа фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз обозначим соответственно Z〔 &, Z。.】. Сопротив- ление на фазу линии передачи для прямой последовательности Zu равно сопротивлению на фазу линии для обратной последовательности 2厶，но не равно сопротивле- нню на фазу линии для нулевой последовательности фаз вследствие различных значений индуктивности на фазу трехфазной липни для систем прямой и нулевой последовательностей фаз.

Различные значения индуктивностей на фазу линии для прямой и нулевой по- следовагельностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность на фазу линии для прямой и обратной последова гелыюстей оп редел неге я только геометрическими размерами петель, образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу линии для нулевой последова гел ьности зависит не только от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами и нулевым приводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в петлях провода линии для прямой и обратной последовательностей, представляют собой геометрическую сумму ЭД<', наводи- :СЕ"""”" П° "а* на 120 ° токами в линейных проводах, тогда как ЭДС, пйтаи n(uuuB пе!лях пр°вох)в/нннн для нулевой ппследпвателыюсти, созданы сов- iidadKjuiHMH пофазе токами нулевой последовательности.

嚟2；,：：：：：Р*невсм трансформаторе (магнитная система его изо-

Z2l — елпрптинление на фазу 口願 обпатной 1 ?,1ЛОВс,тсль,,остино Z^ = Z2v где

Объясняется 3Tg) Р ‘°* последовательности.

вательности Ф( всех трех(Ьаз нахилат Тем,.что ма|'нитные потоки нулевой последо- -едним 二痴:索:t " ……могут'замыкаться по ннтные потоки трех фаз прямой(1)“ j умыкаются по виздуху (рис. 6.29). Маг- по фазе сдвинуты иа 120 0 丿 е1ивенно обратной гюследовательностеЙ магнитной системы. Так как ；；：2У"""'"工”口心 по соседним стержням •Гип^и аНГИИТИ0Г0С0,,Р(,тив-'1^1,0 ">，ги к воздухе много

Р ой последовагелыюсгей(])<(ь'1 (та,1и, ]° ПРН °Динаконых токах нулевой

имеют сопротивления прямой 7' ："：°МУ AhVZ 1r Еще большее различие

авмW w?M°"Zgобратной /2д и нулевой Z。、последовательностей 202

[•ел» к выходным зажимам л

временно подвесги на1|рЧЖо.^ФазкоГо а

ол»ол»渦巾“3, т。«годное сопротивление J，P^M0fi- "У”°「。加怖电旧仆 ；。е /M не будет равно叫".：：。：巾郁鶴黑可鹏皿总二：嗚耻亜 濡…ту н Z. р就К：от齡 黑зу к葬鎔уу» ПОД действиемз屮叱誰 弋于叫"還驚改：0TH還丁:嘗心)叱 кру1о»ое вращающееся ма, ни；^^' ^^^町"

ол»

ол»

р。「叩叩呐5ся с угловой，供т。/片、Он。УМека^за™ 2ВИГате^есоздается —ьносгн также создает круговое нраи/ма напряжений^ РОТоР 叫澀計

обра?。нанравлению вращения п黑紫可岂心皿е н(£Г Обратной «^ледова：

Снстема напряжений ну丿心。誥:叩小询 послед；^ а，,рав-^ние врашем^ по" нс создает. Впкру,-Яег°

замнтотсЕ по возду,11Иому； ^6моток ею созЧаюте! Ющегося магиитмот в трехстержневом трехфазном ^1^ доватсльносги. выходя из серда環評黑Маторе(р£,(; 2蹤鬻“,подобно тому ка：

В w°° сопротивление на Мз；1Mbi通.心 По 思農"ln ”曲而 nLe

оисит пс только от активного и реактив ателя П』н пан就^ 叩 и от активного и реактив,«огосопро?^ 叫卩°力峰"崎肾郎吸旧血》за- н трансформаторе входное сопротивле ，，，H Р°Т0Р»^。器霏:；：庶处"моткн. противлением первичной обмотки н；： 0пРеделЯСТСЯ не то^по^бно тому как кой (см.小叩)"1н〃укт woe с：黑：пр°「темн*м,蕊：纜：。二”耻皿&吊 с。- “acme ЭДС прямой иоследоват^м сХе，，Ие фазы Р°тора прямо nZ?，，4，，°A °бмот- чтосоставлястпрнмериоотО 0*> n0o ” “зиаюг в роторе токи 4^?黑?7°"咏口。 ПМяИМе.ТЧас^ДЮр^^Ж

прямой н обра гной поеледона гельностями, различны, то различны н входные сопро- тимсния на флзу Ш1« прямой(Zi4)h обратной (Z2^) 1ккледовательп(ктей.Магнитные потоки нулепои последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой н обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном н том же токе прямой н нулевой последовательностей соответствующие км потоки различиы. Поэтому для асинхронного двигателя ZOl 美 Z[产Z%.Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На осно- ваннн iipHiitiHiia наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения грех симметричных режимов. ,В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составлякицие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся машины и трехфззные трансформаторы представлены на схемах их сопротивленипрямой н обра гной поеледона гельностями, различны, то различны н входные сопро- тимсния на флзу Ш1« прямой(Zi4)h обратной (Z2^) 1ккледовательп(ктей.Магнитные потоки нулепои последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой н обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном н том же токе прямой н нулевой последовательностей соответствующие км потоки различиы. Поэтому для асинхронного двигателя ZOl 美 Z[产Z%.Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На осно- ваннн iipHiitiHiia наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения грех симметричных режимов. ,В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составлякицие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся машины и трехфззные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлениов R РОТ0Ре< сдаваемые

прямой н обра гной поеледона гельностями, различны, то различны н входные сопро- тимсния на флзу Ш1« прямой(Zi4)h обратной (Z2^) 1ккледовательп(ктей.

Магнитные потоки нулепои последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой н обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном н том же токе прямой н нулевой последовательностей соответствующие км потоки различиы. Поэтому для асинхронного двигателя ZOl 美 Z[产Z%.

Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На осно- ваннн iipHiitiHiia наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения грех симметричных режимов. ,

В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составлякицие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся машины и трехфззные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлени

прямой н обра гной поеледона гельностями, различны, то различны н входные сопро- тимсния на флзу Ш1« прямой(Zi4)h обратной (Z2^) 1ккледовательп(ктей.

Магнитные потоки нулепои последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой н обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном н том же токе прямой н нулевой последовательностей соответствующие км потоки различиы. Поэтому для асинхронного двигателя ZOl 美 Z[产Z%.

Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На осно- ваннн iipHiitiHiia наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения грех симметричных режимов. ,

В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составлякицие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся машины и трехфззные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлени

ями для прямой послепонательностн。ЭДС и напряжения содержат секта»-

Во вторим симметричном режиме bi • ^ машины н трансформаторы 13* ляющне только обраiной последоват* а1.ельН0Сти.

стаилены их сопрогнвленнямн ибраи«4дс и напряжения содержат толькс

Втрстьем симметричном режиме D^H/^llllullbl н трансформаторы прз соет а вл я К) щ ие и у л е во Л 11 ос л едовзтел ь* нулеьой писледова1ельни<-ти.

стаилены cootbciствуютнмн conpornuJ t^ схемь1 прнйгн к трем ^^ ^нммст.

Дли гого чюбы от симметрично-^^ месте с冢 ми, г个沪噂® j Система

ехсюм, 1кк-|унак)г следукчцим R)： ； етпнпных напря*сннй，1，в- с _ РИ я. в схему вводит сумму грех неч 、 компенсации заменяет ТР^ стрии этих напряжений (ЭДС) на основании геЧ^^^ аиарин и 卵“昵弋：：《：；；》、• § К.20 новых cuiipoi HBjiciiHH. uбpaзoнi^lilll, ных наирнжепнн в и» 〃 U/адл。 Н。耻川 е；еме. Далее г|)и нссимме)рмчн^

Раскладывают на грн снмме1рич1 •^^ (Ц1|Ь1Ч юка 1^ /н» ^с Pat4

択мг определить. Гочио гак же грн нес. нм)°、н J。)|,‘2门№?“ млйтн-

1Рн симметричные сне гемы токов. ^1*^^ неизнсстны^^"吁::;;累久篇?:""14

В MvuAe симметричных。。门叱普呼力.через которые moi> 屮"冋屮，巾”川“"止"，"加併Гзm。，卜2 ""'Sue mui屮нженнм н токн и ЦС11И,

5 составляют шесть уравнений: па ОДНо неизвестных tucrnHUHbix систем; остальные тп；. Для определения^ кажЛой из 邙嗚工「J создается несиммстрня. В：

вопросы для самолроввР1^метрНчноГ» системы ЭДС. Какими досто-

трехфазной〈“мм：： стсМ u энергетике? 2. Что пони-

，ДиОбъясняется широкое Р8c喏:北 Линейными и фазовыми напряжениями мают под линейным 尿“皿丑,吋。皿叫驚噥嗚；注7, 220. 380. 660 В? 4. Каковы и токами. 3_ ^сЛСтавлсны следующим J7 ^^【仙 нес|1Мметричноймагру： 罪喘肃；тно「。провода в системе звезд -^ С"коА линейный ток ра?нЯ- 巾澀;:какнх способах соединения ■盟н% генератора с нагрузкой линейное екя ф2^вому? 6. При ьзких способах^ ^ . елителыюм щитке выведены три и1ппяженис равняется фазовому^ 」欣 Как определить зажимы фаз Д, & кон^а симметричной тР^х^Хй и полной моЗОЕМН грех吗％飴；;胃н? 9. С? 8. Что понимают п°工 ”：：；расчет можно вести на одну 巾азу. 10. Почему Почему прк симметричной »«^Pf ；；Д мы при наличии нулевого провода нельзя активную мощность трехфаз»и)и 浴 Охарактеризуйте условия получения трех- нзмерхть с помощью c・xeT ?：R；MaEHTHor\ поля. |2. Начертите кривую, по кото- фазного кругового вРашаю^1°,^кто0* результирующей магнитном индукции вра- рой будет перемешаться м^и в1раРа.^>стсР-11рн ()6рывс фазы А трехфазной шаюшегсх-я магнитною по я, к< Р q ：门％麻твеннп прямой, нулевой н обратной симметричной системы рис 6 .5.^ 當謊 несимметричную грехфазную систе- ^^^^ 中 Wmchtob

тХ ?ны"сис^м линии передачи, трехстержненого трансфирмагора, асинхрон- Ходнига^я)«'одинаковоiiH различных последовательностей. 16. Решите задачи 6.4； 6.13; 6.15; 6.21; 6.28.

Глава седьмая

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ

В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

. Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений. Периодическими несинусоидальными токами “ напряжениями называют токи и напряжения, изменя1О1.11.иеся во времени по периодическому несинусондальному закону.

0HH возникают при четырех разлнчных режимах работы электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов):

" когда источник ЭДС(источник тока) дает несинусоидальную ；±!：：сннус°нпа/ьнн"ток),авсезлементь1цснн — резистивные, e：：W；MK℃*盟7 линейны, т. е. от тока не зависят;

ЗПС(сннусонп；；Т：\啓"'"'""“к тока) дает синусоидальную нелинейны； ' т()к), но один ил и несколько элементов цепи ЭДС(н?4ину^^^тока)дает неснпусоидальную

один или I心ко川,ко iieinieih ；Е"°‘тавмектрнческ曲 цепи входят 4)еслн источник ЗА1 гск：См*нт()н；

ную ЭДС(ток), а один н/н 山、<；'"心"истониную или синусондаль- изменяются во времени сколько элементов цепи периодически

в данио^ I 刀2：：e：С：：:：関：22代, методика расчета и особенно-

п；60Tbi лмнс、Зп「и тР/дескнх цепей при воздействии на ннх с'" ?нуеоидаДЬИ ков — первь亩 из перечисленных режи- М喟бот Второй и частичнотретий режимы работы обсуждают- м()вР^ 15, четвертый — в гл. 18. )

72 Изображение несинусоидальных токов к напряжений с

，шью рядов Фурье. Из курса математики известно, что любую п°м° “ескую функцию f(x)c периодом 2л, удовлетворяющую ус- °ерн м Дирихле1, можно разложить в ряд Фурье.

*в黑Ременная величина х связана со временем f соотношением

x = з1 = 2л/ / Т,

Т 一 период функции во времени.

'叫 /м образом, период функции по х равен 2江,а период той же по времени равен Г.

視 Фурье записывают так:

2，)_ 4o_|_^,lsinx+A,2sin2x+^，3sin3x+^，4sin4x+-

—амплитуда синусной—амплитуда синусной. + AJcosx+А〃 2cos2х+А''зС0$Зх+А"4cos4х+…，(7，D

—амплитуда синусной

—амплитуда синусной

л ■— постоянная составляющий, А i . где Л оаТ1Нейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; (含м^ВмМНтупа косинусной составляющей первой гармоники, А 2

ЗдесьЗдесь(7.2)(7.2))*мплитуДа синусной составляющей второй「армоннкн и т.汰

Здесь

Здесь

(7.2)

(7.2)

2л

(7.3)(7.3)人=《V(惆о

(7.3)

(7.3)

4，=lu(x)sinxdx; A J = \'К 块。s'*

(小皿…&…х

*"к4,仙也+、，，3-"四+2

蜂al+*j—d

л п чЛСКтротехнике. члловн

,иОТОрымн имеют *嘰端 Лполненне Утопий

Rev пернодическне ФУ,,^И^ пронзволнть пр°м

*!мДирнхлсудовлетиорнюг. Иоэюму

从"PHXJK ме I 卩сбустсм.

Рис. 7.1

то рЯд Фурье (7.1) можно записать в ДРУГОЙ форме：

/(X)= {°+4sin(x+6)+A2sin( 2汇+中2)=

в(7.4)

=/+》 &s i п(飢+心)，

R= I

гдеЛ* - амплитуда ^-гармоники ряда Фурье.

Гармоники, для которых 左一нечетное число, называют нечет- ными\ для которых 々一четное число, — четными.

§7.3. Некоторые свойства периодических кривых» обладающих симметрией. На рис. 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис. 7.1, q удовлетворяет условию --/(X+九)=/(/).

Кривые, д^я которых выпол нимо это условие, называют симметричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, а сместить по осн х на пол пер иода н зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадает с кривой /(х).

Прн разложении таких кривых в ряд Фурьс отсутствуют посто- янная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффи- инентн 儿=/V? = ^^ = 4^=^^=..^)

Поэтому кривые типа кривой рис. 7.1, а раскладывают в ряд/“)=/sinx+4\cos%+4〃3sE3x+/cus3x+・..

k*益)嶋:誤ер蹴1二界就。…吟 …

в рн"в рн"0”°Ср求ашеС правее оси ординат. При разложении таких кривых в ，關ье отсутствуют синусные (片Ц、= ... = о)Гтав・ Р” up т е. присутствуют лишь косинусные и постоянная состав- '"噥，нм образом, кривыетипа кривой рис.7.1,6 можно разложить

в рн"

в рн"

/( X)= A o+A 〃 [COSX+A " 2cos2x+A'、cos3x+・...

1е типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию КР：_ 〃х), их называют кривыми, симметричными относитель- ^l^^a координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид: "°" дх)= Az lsinx+A \sin2x+A ^з^пЗхЧ-- • • •

оазложении в ряд Фурье кривых геометрически правиль- ^Упзйильной форм. Встречающиеся в электротехнике пврн- «ой и «^правильно 从黑、“。儡岬нть на две группы: 1) кривые 0ДИ пически правильной формы, например трапецеидальной геометрическ £。济。п ; разложение их в ряд Фурье дано

嚟窗嘘вме£ 、 %喘爲，謐黑喘歌责爆 縱漂誤需躋嬲渊:鼻Г…叱 фоаналитически).

ГоаФический (графоаналитический) мет^°^ Фурье^основан на замене 。縉рМ貶爲喝 近端::牆膿.嗓… „ определенного интеграла сумм= и интегралы заме-

функции /з, равный 2n. разбивают па п равннх “аст…- “ "^оп^еник,.постояннаясоставляющая'

『3(x)dx$”2 =吟"叶'

или

5 切*)，

о"1п，、，"и)_зн2енкеОУ"инн

й наченняот1 A»rt'M- *

沪Р - текущий индекс, принимаю^ интервала. Л*) прн fp—0,5)Ax, т・ е. в середнне р

Т«^Л ица?1Т«^Л ица?1,、3%/(<«>/)=—(【•+,、3%/(<«>/)=—(【•+“必叫3 cxhroA сопа^яющен ^гармоники“必叫3 cxhroA сопа^яющен ^гармоникичличлиA^\f^F=lA^\f^F=l

Т«^Л ица?1

Т«^Л ица?1

,、3%

/(<«>/)=—(【•+

,、3%

/(<«>/)=—(【•+

“必叫3 cxhroA сопа^яющен ^гармоники

“必叫3 cxhroA сопа^яющен ^гармоники

чли

чли

A^\f^

F=l

A^\f^

F=l

i^(sinnsin(.)/+^in3nsin3(.>r4-—sinSasinSco/^ }|

/®/)= F(sin“〃-*in3u〃+奈 in5&〃_ 十 Sin7w+.J

小)/) = -^^ (sinu〃+(sin3iW+§sin5a〃+,sin7«〃 +…)

4“e (in , I . Зегх

/(W) =(sin-^-vosw/4-^sin Q cus3(i)/ +

+不巾：；-cos5(t〃 + ...)

/(to/) = -^(-Ч-^соБоГЧ-уту^Зш/—y-rcos4(i)/ +

/М = ~ U'^'bF^^^ ~3T5COs4 w/ +^7y ^'os6u)/—...)

"砌=二-份+?77gs 3u)/~—cos 6(.)/ + ++8 9-.)

(7.6)(7.7)(7.6)(7.7)

(7.6)

(7.7)

(7.6)

(7.7)

3 = 7e//*太е一=

3*iu#ryif мкмм\，“

E.山"^гзрманнкн

2Г*

穂sinp 心"COSp 員—С(хпвстственнозначения функций sinfexи з$Ахнри\=(р_ 、5)А，т・ & в сереан/ р-го интервала.卩 "

一 'При расчетах по (7.5) — (7.7) обычно достаточно разделить период на л=24 или 18ч.1СТсй, а н некоторых случаях и на меньшее число.

Перед тем как производить i рафмческое разложение в ряд, необходимо выяс- не облапает лн расклады наемая функция симметрией относительно осей к(юр> 1ннат (с. § /3)・ Налнине го го или иного вида симметрии позволяет до проведения ра3#1()жения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая fix) симметрична относи ге.1 ыю осн абсцисс, то постоянная составляющая Ло и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя .4 \ и 4'、при нечетных fe,следует учесть, что У7 (x)sin ,Ах за пернын пол у нс ри од равна сумме Yj ^x)s\npkx за второй по-i у период. 乙 Знак углов 牛/ в форму.'1е (7.4) завнент от знаков Д\ и .А'[. Прн построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб поосн абсинсс хля trap монн к и должен быть взят в А раз большим, чем для первой гармоники.

Так. нлпрнмеп, еезн некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоннчи выражает собой угол л / 3. то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой vra;i, в 3 пазл болыпнй, т. е. 13(л/3)=л.、式

Пример 64. Нзити первую и третью гармоники функции 吁黑此:譏：熬 рис 7.3. а. Значения ординат функции /(к) за первый п^уперно.1 при разбивке периода на 〃=24 части следующие:

р I 23456 78 9 10 " 12

〃幻7 II 13,5 15.4 17.4 20,5 25,4 32.5 27,7 19,2 10 5

Решен и е. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, — н Ряд будет состоять только нз нечетных гармоник.

Амплитуда синусной составляющей первой i Р

*1 = ； ”4)sin/= 5 竺(М 产

pH|

±7sin7°30'+ 12n22。31)'+ I3.5si—+

礼瓜W+f嚅悶举吃器對+

АММНТ 网 8KOCHHyCHOii

= i У f^cospX^-^-

составляющей

периой

гармоннкн

n乙

Амплитудасннусн/

12

•4'3 = A”")sM"Q3"

составляющей

третьей

гармоннкн

Амплитуда1косинусной

'12

составляю шей

третьей

гармоники

”'з = ( £ 3)cos〃3g5,1 •

Амплитуда первоЛ гармоники >4|='\/(Л0"4-(^|Г=25,9. Тангенс угла 如.на который начало первой гармоники смещено относительно начала кривой /(х),

［帥I =*'""］ = —5,23 / 25.3 = -0.206;中］=-11。40二

Амплитуда третьей гармоники

.=也丫3)2+(4,，= 6; tg中з = ・4"з/*з= L47; ip3 = 55°50z.

Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то /(М) = 25.9sin((W-l l°40')+6sin(3(W+55°50')・

На рнс. 7.3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с к р и нон на рис. 7.3, а

§ 7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источ-

никах питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представлены рядами Фурье.

Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдель- ных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряже- нн" отдельных гармоник на этом участке. Расчет производят для каждой из I армоник в отдельности с помощью уже известных приемов. начала рассчитывают токи н напряжения, возникающие от те мС~ и)(70Я НН ° ^ с℃танл я ю 山” ЭДС или источника тока, за- иегоТг второй,Тр器梵Т；т Мтв価 первой гармоники, после nocwHMHo^cocTaBjiwвозникающих от действия

Денис напряжения на 厶 im 任，'二皿如乂。иметь в виду, что па- ит。постоянный ток черезконле1н°.иИ，，()гТОКе「'"")”川°' а также v Г1ри расчете следуетС не проходит.

(7.8)(7.8)Xl Растет прямо пропорцион aип 410 инлУктивное сопротивление ■И X心 А раз 6°Ц巡累霁。皿Icy з й-гармо- 二 первой гармоники Х/1： Х，，・ = Аз 厶=АХ/|；

(7.8)

(7.8)

九=3厶.

Рис. 7.4Рис. 7.4

Рис. 7.4

Рис. 7.4

первой гармоникипервой гармоникиПОЭТО-ПОЭТО-(7.9)(7.9)Емкостное сопротивлеьше уменьшается с ростом частоты му для 也-「армоннкн ХСк в k раз меньше, чем для，

первой гармоники

первой гармоники

ПОЭТО-

ПОЭТО-

(7.9)

(7.9)

Хса = 1 Л^«С) =Хс[ /々;

Х(п = "о。

Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напряжения различных частот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угловые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.

Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают от частоты не зависящими.

При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения комплсксных чисел или векторов на комплексной плоскости, т е так же, как это делалось в гл. 3.

7 4 а имеется источник тока

Пример 65 В левой ветви схе^п ^^ эпс ^)= E0+^sinu)/. Катушка /(0= /*mcos2(o/, в средней (второй) — ис ой индуктивностью 厶з・ Взанмнза индуктивностью /，4 магнитно связана с 心，31.©]^ тока g н "“嚟斉■

Индуктпинисть между ннмн М.Опр恥廿Т｝：/с； *3 в： 8=6 B;Ri=3°m.

“мн иьи на зажимах L Дано: 1km = 5 А, з—

Ь=3 м4 Л1 = 1 МГн.для токов выберем в соответствии с

Решен и е.11оложительныена1травлення 刀

Р**с. 7.4, ц. I ]()второму закону Кирхгофа

一厶胆+ Л]— = U, но 厶=0, поэтому ubll

一н нМпем состав.'1июшне тока i3 от как

Воспопьзусмсн прннимпом наложения иКТОЯННой составляю-

Уточника в отдельности.токов от действнисточник токл с

Схема рнс, 7.4, 6 служит для PaC^^J гак как в 画噴;:：зк км индукткв 烈 ЭДС. Левая ветвь схемы 喟黑黑丫；；二皿。…喘澀：；；，、Прн этом ^конечным сопрогивленнем. Пp^нулев^ “ Р

階Th для постоянного тока …丁

"=Ee/Ri = I Л.

flcgya「ар"®"»flcgya「ар"®"»EoCg""EoCg"".*37" схему рис 7 4. о：.*37" схему рис 7 4. о：l,4lel,4le@ = 6/0+3/)@ = 6/0+3/)

flcgya「ар"®"»

flcgya「ар"®"»

EoCg""

EoCg""

.*37" схему рис 7 4. о：

.*37" схему рис 7 4. о：

l,4le

l,4le

@ = 6/0+3/)

@ = 6/0+3/)

、т0кз^ выбелки в соответствии со схемой 匹 7 4,式

b行 3 _ W

壇=5而a

• панноcvm«е мгновенных значений: Mra^^-

Н，!з 户тикет 隈

Н = _V?= 1图(:35-45。)一4.4&。5(2碗+26。40‘) в

Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как 二。3. резонансным режимом раиоты электрической Z ^ержашей один или несколько индуктивных и один или Еольм) емкостных элементов, называют такой режим, прикото- 盆 тпк на входе совпадает по фазе с действующей на входе ЭДС.

Если действующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепн моп-т возникать резонансные режимы (резонансы токов или напряжении) не только на первой, но и на высших гармониках.

Условимся под резонансом на ^-гармонике понимать такой режим работы, при котором ток ^-гармоники на входе цепи по фазе совпадает с ^-гармоникой, действующей на входе ЭДС (нс при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС).

Если учитывать активные сопротивления индуктивных катушек. то условие возникновения резонанса для какой-либо гармони- X* заключается в том, что реактивная составляющая входного сопротивления для 5той гармоники должна быть равна нулю.

Исследование резонансных явлений при несинусоидальных токах часто производят, полагая активные сопротивления индуктив- :катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление пви п^м2НСетоков Равно ^сконечности, а входное сопротивление при резонансе напряжений равно нулю

како^ДибоИнмггп^НИИ Р'зонансноги и близкого к нему режима на мХ； ^уХа^Г Т°КИ И WW напряжен* этой гзр； гармоники на этих уМсК：；*""'"" 16KH и напряжения первой соответствующей высшей гз^оникГэпГ “'"' 《皿吗； бмть в несколько раз менмирРГипна входе схемы может

Пке 66. В схеме _ 7- Итуды "屮二 гармоники ЭДС.

*：：：：/'SP0??"*汝 *】”『*：；；：：；： Издает кнлуктинностью 公 Полагая Г а С：'" “хСЕемхсонр；”*；：：：： ранним нулю, илйти. при каких зна

〜ю. а для мм* 一 央ext黑閣，蘇"zm х»я первой гармоники равня-

29=9зС]..29=9зС]..

29=9зС]..

29=9зС]..

r06wecTHO€- решение дает 1 / шС2 = 8必自；丄=

. Действующие значения несинусоидалького тока и h^mv бального напряжения. По определению (см §3；：*：不 丁 笠晔「。значениятока / выражают через 忠閣需嚷 "оК2/следующим образом:凡」на《енне

〃 =卩d£.

Если ток

i =厶 + / gSin®/ + 屮 J + //iR(2g【+ 年 J + …,

то

产=必 + £ /MsinlAoH + 七)+

НоНо8+уa=0«п а /8+уa=0«п а /Р^ят^Р^1 +屯Кm加‘+、JР^ят^Р^1 +屯Кm加‘+、J

Но

Но

8+уa=0

«п а /

8+уa=0

«п а /

Р^ят^Р^1 +屯Кm加‘+、J

Р^ят^Р^1 +屯Кm加‘+、J

^sin2(^u>/十仁)山=亍

(7.10)

卜 in(p(0f + ф>1П(<7(1>/ +，，山=°-

PT

"=《十/L/2 +点/2 + /"2+...

213

• • • •(7.10a)、无 раз больше дейст-• • • •(7.10a)、无 раз больше дейст-или

• • • •(7.10a)

、无 раз больше дейст-

• • • •(7.10a)

、无 раз больше дейст-

/-гармоннкн тока 1к„ в Таккакамплитуд^^

вуюшего значения тока R 卩

心，金启

(7.11)(7.11)亍 一Y2、2

(7.11)

(7.11)

/ =、7^П?Т^^Я^・

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной состав. ；яюте〃 тока н действующих значений отдельных гармоник. От» углов сдвига фаз ^ действующее значение тока не зависит.

u=、用+苗+%+夕+….u=、用+苗+%+夕+….(7.11a)(7.11a)• Аналогично, действующее значение несинусоидального напряжения t/равно корню квадратному нзсуммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник:

u=、用+苗+%+夕+….

u=、用+苗+%+夕+….

(7.11a)

(7.11a)

Пример 67. На входе двухполюсника я=100+80 sin(sf+30°)+605in(3(of+20°)+ 十 50sin(5a>/ + 45°) В; j 二 33.3+l7,87Xsin(sl-l8°)+5,59sin(5(i)f+120°) A. Haft- th mx денствуюшие значения.

Решение:

u =、'心 + 叫. + 盼/^ + 对/2 = 127.1 В.

/=、/费+17.872/+5.592 /2 =35.6 A.

. Среднее по модулю значение несинусоидальнон функции. Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции за период:

I(7.12)

.)I /(з/)| d3>.

В отличие от действующего значения оно зависит от значений 屯・

Пример 68. Дана функция, не содержащая постоянной составляющей и четных гарминнк и нс изменяющая знака в течение каждого полупернода. Определить ее среднее по модулю значение.『

Решение. Разложим заданную функцию в ряд Фурье:

< = /IЛ51n(Ы + 与)+ 小.(33 十*J + &sin(55 + 场)+ …

После интегрирования пилучни

(7.13/(7.13/'ерпз =丁仁叫1 +%“з+ g 5mgs*5 + ...).

(7.13/

(7.13/

ПОНИ*：：：：：："' к°тоРне Меряют амперметры и вольтметры ния изЗю^п^Х Т°КаХ- Несинусоидальные токи н напр吐 РЯЮТ Приб°Рами Различных систем. Принципы действия

Q 4 С ^ @ y I Q

，丿"')')0)。)闻了

Рис. 7.6

их приборов рассматривают в kvdcp

измерений.измерений.Поэтому здесь упомянем лишь, какие Л^1РИЧеских

измерений.

измерений.

метры и амперметры различных систем НЫ измеРяют волы- Приборы электромагнитной, электпппии

систем реагируют на действующее з"酔^。它 и тепловой ские приборы с выпрямителем — на cd〕：： ' магннтозлектрние- зеличины, магнитоэлектрические 6Pq《广：° по модулю значение

е3 выпрямите" — на постоян

ную составляющую, амплитудные электронные вольтметры - на максимальное значение функции. 屮

Напомним, что на лицевой стороне измерительного прибора всегдаимеется условный значок, свидетельствующий отом к какой системе относится данный прибор. На рис. 7.6 приведены*некото

рые из них: а ——магнитоэлектрическая с подвижной рамкой; б ——

магнитоэлектрическая с подвижным магнитом; 8 ——электромагнитная; г — электродинамическая; d — ферродинамическая; е —

тепловая; ж ——электростатическая; з ——магнитоэлектрическая с выпрямителем.

7.11. Активная и полная мощности несинусондального тока. ^активной мощностью Р несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:

p =亍,山dL

О

Есан представить напряжение “ и ток i рядами Фурье: " =U。+ (/］戸m(3， +恥)+ U2yosin(2sf + 中 J +

+ U 3msin(3(of +中3)+…'

i = /Q + /|mSin(3f + 叭一屮卩 +%ап(2з/ +屮2

_ ф / sin(3o)，+，з —啕 + …

2)м пэоинтегрироваты учтя

^ставить эти ряды под знак интегра

°Отн°шениЯ (7.10), то можно получить....(7.14)

Р — 亠 U / cos屮 I + Ujzco— + "—os% 十

P _ U。/。+Ф1^сиНпСоидальноготока равна

:"м образом, активная м01ЦН?^ных гармоник.

"叱 отавных мощностей отдельных гар

Пол мощность S равна произведению действующего знаЧе. ния несинусоидкпьного напряжения на действующее значение 爪

синусоидального тока:

亿15)亿15)гдегдеS = 〃/,

亿15)

亿15)

где

где

U = VZ^ + — + 捲工 № + …；/'УТРПРПП7#—

Пример 69. Определить Р н S, если

"=25.9sinW-l 1。46)+6S"伽/+53。50') B;

，=3siMW-40°)+0,9V^sin(3M+125°)A.

Решение:

4=25,9/V2 = 18,3 В; %=6/V2=4,26 В; "=2,13 А;/3=(),9 a; 4.1=11°40"-(-400)=28О30,; q)3=7lОI0;

Р= 18,3 • 2,13cos28°20'+4,26• 0.9cos(7l ° 10')=35,5 Вт;

"=倂逃=18,55 b; /=廝中了=2/3 a;

S=U/= 18,55• 2,31 =42,8 BA.

2. Замена несинусоидальных токов и напряжений зквнналмтм-一口 八 идальными. При изучении некоторых ирис гейш их снш'Згн иппии .. тными сннусо- 瀛體踪虐需喘母点漂■。m黒啞

а Действующее значение синкш1д^ьного^янп«，，，，еМ°，Ч)НеСИНусоилал^ тока, 3H%HHIU Несинусондального напряжения 屮冋水已亜—равным действующему таким, чтоб^ активнаГмощность эквн^напряжения и тока берут

активном мощности несннусзц» Jo%?]；； си,,усоидального тока была равна

Пример7о За^^Р/(Ш).(7』6)

” на wg屮.ера 69 эквива.

авучощер значение синусоХмХо^Х?^ напряжения U= 18,55 В;дейН Ч" * •/-2,31 A, cos屮冰=35,5/([8,55 - 2,31)=0,828 >

叱鑑黑;嚼;。Е Работы трехфазных .

«оператора частооказьп^к°Н 巾孤"трсхфазног；：：’"'.卅змваемых гармониками, ни форме ucrajibMiir)"'"” ""У")МАа』|川”м ,% “屮м“")Ра ““и трсх(|)азног。

РазуМа師га稿黑胃。皿可На喘：""心*加3巡(％, J. Juobto- "2「叩mwkb 9圖嚣丁i也:暁旣第；：W 6М：

Г^—"…3*"心)

216''"‘Ki рознсргетмиоскнх н з』ек・

Рис. 7.7

朗С фаз" на Г/3. то hra£；：：* ЭДС фаз В и 鬼編渦體& С опережает，8 =旦m Sin优呻—3 +也1 =

=9"?sin（妬/ - [20* + 心）；

ekc = /"in 住 3/ + 120。/ + 以）；

/ 2л Г 2л 恒"з =咛§ =Лу= 120 V.

ЭДС^зы' T 卜'J，10, то А?-rap моника ЭДС фазы 8 отстает на 120° отЛ-гармоннки ||（х；|сдователкьнп» • -, 4-. 7-, 10-я гармоники образуют систему прямой

）, “ост” фаз （что понимают под прямой последовательностью фаз, см. § Мз』；"；：木奈 5. 8, 11, то 4-гармоннка ЭДС фазы В опережает Л-гармонику ЭДС °браТц0Й * "О • Следовательно, 2-, 5-, 8-я и т. д. гармоники образуют системы 「арм（）"с”сд（）“ате4ьностн・

^biiocrii ""к”，кратные трем （4 = 3,6,9,...）, образуют систему нулевой иослсдона- 醐吗 г，с- третьи гармоники ЭДС всех трех 巾аз соипадают по фазе （3« 120° =

%,i=4m=e3C=JmSin（3"〃 + 中 з）・

Сон”；： ' "PMniiMKH ЭДС также совпадают no фазе и г. д.

^"'«ескн Не，，0 Фа:，е третьих гармоник ЭДС всех трех фаз проиллюстрируем ；?喘北「絆 »АС j,」匕 предегявляют собой трн фазные ЭДС трехфазного I； “'"У Ti； "" имеют ипям（）9гольную форму и сдвинуты относительно друг друга 2 ^ гаАмп； 1]^^ основной частоты. На том же рисунке показаны первая и ""'川川о "нкн каждоЛ ЭДС. Из рисунка видно, что третьи гармоники ЭДС дей- ах°Дятся и фазе.

4

Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызывае- мые гармониками, кратными трем.

I. При соединении обмоток трехфазного генератора (трехфазного трансформатора) треугольником (рнс. 7.8, й) по ним протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки. Алгебраическая сумма третьих гармоник ЭДС раина З£3' Обозначим сопротивление обмотки каждой фазы для третьей гармоники Z,, тогда ток третьей гармоники в треугольнике /3 = ЗЕ3 / 3Z3 = E3/Z3. Аналогично, ток шестой гармоники 《=£б/2б，где £(；—действующее значенне шестов гармоники фазовой ЭДС; Z6 — сопротивление фазы для шестой гармоники.

Действующее значение тока, протекающего но замкнутому треугольнику в схеме на рис. 7.8, о:”

/ = W + % + /9 +

тона結関閣関飞吁‘°叱屮叫)*。「。генератора (трехфазного трансформа- кратныхт°пР"啞川四“н в фазовых ЭДС гармоник,

кратных трем:“ будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник,

"両=3£；Msin(3uj/ + 屮 J + 3E0msin(6u)/ + 屮 6)+ ....

Показание вольтметра в схеме рнс. 7.8,6

Зb”В奸丽二”

соединены обмотки ^HepaRmaViDaS 。「того, зиездой или треугольником У；］, сем” нагрузка равномерна' Рматора), । армоннкн, кратные трем, отсут* 警м獻閣爲4鵜落常蹤既■吸источника ЭДС треуголь- -Фдз - потенциал точки 8 потретм агРУзкп. Обозначив флз потенциал точки Н% = ^з^з；следовательно •」=‘皿沪。皿心，п(м|учим м；дз = ф -/3Z3. 毙；；с罂"“"ннком, каждая'ф^а ®р РИ на；1ИЧИн равномерной нагрузки, соеди- РИСОеДИНеННая ^У^(тра —а“) H^paib

—~-_СНЬ, ^внвалентной петнью, с некою-

Алгебраическая

"«3а^"Ут<)чу тре^'о^^С Н № гармоник ЭДС, не крат-

МУ—нку ток «'РотекХнё буд^ 叩” отсутствии —3剛

СПСн сопротивлением Z、. На полученную ・

卩柳3从| 3J “геннук) схему можно распоостпаммт».

Lon,данный для случая отсутствия внешней нагрузкиР Р Ь

需需儒需離器据需rxwM0…[p噫嚣

』В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная составляющая обычно огсу 1сгвует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения'

■ = МТ1+— + " +

В линейном напряжении схемы (рис. 7.9) отсутствуют гармоники, кратные трем, поэтому

•办=遅V— + % +说.

Отношение U〔 / % V 何.если есть гармоники, кратные трем.

При соединении генератора н равномерной нагрузки звездой н отсутствии нулевого провода токи третьих н других гармоник нулевой поеледовательностн не иогут протекать по л инейным проводам. Поэтому между нулевыми точками прием- ннка О' и генератора О (рис. 7.10 при Z。= оо) действует напряжение

“о。= £з^п(3з/ + 屮 з)+ f6msin(6a)/ + ■ + …，

Действующее значение которого

%，0=返乳/2 + 端/2；7.

Если в схеме звезда — звезда при равномерной нагрузке фаз сопротивление 呵Узки для третьей гармоники обозначить Z^ а сопротивление нулевого провода ^третьей гармоники — Z03(pnc. 7.10).то ионулсвому проводу будет протекать ток 'РетьеА гармоники

•£3

nn^оз+ —

n

n

飞“°МУ из линейных проводов будет протекать ток третьей гэрмоннкн Е / 3・ ДНалогнч||о находят токи н других гармоник, кратных трем.

■ 71. Мгновенное значение напряжения фазы Я трехфазного генератора 勺=l27sin((W + 10。)+ 30sin(3M + 20。)+ 20sin⑴血 + 石

M旣竄片 минное знячснне линейного напря…прн соединении гене

Р.тенне В линейном напряжении третья гармоника отсутствует. Первые «А" Л иВ пи фазе сдвинуты на 120е. Поэтому линейное напряжение % „ервой |арМоннкн в V3 раз больше фазового “апряженнн первой гармоники UA и на 30 ° опережает его по фазе.„

Одиннадцатая гармоника(обратная последовательность фаз)линейного напряжения (Л ..)ает ио фазе от одиннадцатой гармоники напряжения фазы А на 30。и в * раз больше ее:

uAS = J27^3sin(w/ + 40°) + 20\Z3sin(l Iwt — 15。) В.

Пример 72. ЭДС фазы Д в схеме (рис. 7.11 )e#=l70sin3，+80cos3u〃+34cos9g〃 В： R = 9 Ом; з厶=2 Ом.

Определить показания всех приборов. Приборы электродинамической системы.

Решение. Действующие значения ЭДС

Ei = 170/V2= 121 В;£з = 56,5 В; %=24.2 В.

По линейным проводам течет первая гармоника тока

厶=£j / W + (<о厶尸=121 /9,2 = 13.2 А.

丿為ннс вольтметра 匕=俯+碍+爵=136 В; %=/田尸 1329=118,5 В; Уз = V3・ 118.5 = 205 В;匕=厶з厶=26,4 В; % =饱 + 儲=61,4 В.

дальному взакону ^« 豊瓢皆？ генератора (рнс. 7.12) изменяется по траиецеи- <о£ = 0.5 Ом；//й,С=72 Ом Опп = / ' ^'ЗКИ Равномерная； R = 6 Ом； •фпводу. пренебрегая гармониками ?^а^ш?седьмо^ 3，，аЧеННС ТОКа 1,0 нУлсвому

Огибающая

Рнс. 7.12

ре W ере W ен н 巳 с помощью табл. 7.]н н 巳 с помощью табл. 7.]4-2204-220запн山ем раз^ожепиезапн山ем раз^ожепие(sinlOesinw/ 4-19(sinlOesinw/ 4-195g30。而3w+5g30。而3w+трапецеидальной ЭДС；трапецеидальной ЭДС；

ре W е

ре W е

н н 巳 с помощью табл. 7.]

н н 巳 с помощью табл. 7.]

4-220

4-220

запн山ем раз^ожепие

запн山ем раз^ожепие

(sinlOesinw/ 4-1

9

(sinlOesinw/ 4-1

9

5g30。而3w+

5g30。而3w+

трапецеидальной ЭДС；

трапецеидальной ЭДС；

^Ж^

Дедова тел ьно.

еА = 274sin(of + 89,3sin3sf + 4g ， 十49,g3"+ 30,9祈73

^нулевому проводу протекает только третья гармоника тока / = £з

硬日=89.3/成=63.3 8; Z()3=l,5/; Z『=6 —7 o

%)—»A. Mi■矯比优爲鶏

рез股*既黑**為瑞嚟г篇:。罪記網需: ми амплитудами .4 и близкими, но не равными чаХа.^н ?и 7； Д?еТ ：—：анне, которое называют биением. Пусть /(/)=,4sinsM + Hsin(o2/.，

нне%оспользуемся известным тригонометрическим преобразова-

sina + sinp = 2cos—~ ^ sin ^^。,

Следовательно,/(/) можно представить следующим образом:/(/) =24cosQ/sinu)f‘

口eQ =(% —а)2)/ 2Э co =(W| +w2)/2(^ V"]'7 IQ

「рафик результирующего колебания изо^раже^ Оги6аю1цая

Амплитуда колебания изменяется по за ко у

Хлебаний нанесена пунктиром.ко力ебан疝 с равнн-

Возникновенне биений при сложении двухьзуется на практике

"намплнтупамн и близкими (но не равными) ч :aH0BHTbt что складываемые

а Различных целях, в частности для того, что

Хлебания имеют неодинаковые частоты.

』］例佈』］例佈""Роко” М°Ау』нрованнне колебания. При передаче информации 伽eg”м°Ду/1нрованные колебания. Модулированным ““НТУА」；"")='sin(3‘ -|- <Г)называют колебание, в котором ам- '°вр\м；、：； "“стота(о, фаза 中 или и те и другие вместе изменяются uia；；?a“"e，в котором изменяется только амплитуда 月.а угло- 幻"”А「"а ⑴ и фаза 屮 неизменны, называют колебанием, модули-

』］

例佈

』］

例佈

“ "° амплитуде.

"丿岬L L屮q

Рис. 7.14

Km№;iiimc с ii.iMeiiHioim'iioi ym<>iu)iI -ihctokhi 明 н<» нгнзмгнны. мм лмпл1пудо|1 I и ф.иой 屮，шы|||нли)т колебанием, мосИ/лирован- пым fill чисто ГС.

К(и1гП：1Н11С. II котором 11.1М(*ПЯСТСЯ KUII.KO 小;I3；l 屮，а лмплнтуда А и yuioiuHi члстогя in iicii jmciiiin. н；1зы11П1ог ко.1сбанием, модулированным по фазе.

11р(и'ГСЙ11П1М ЛМ11?П1ГуД11О МОДуЛН|ЮВ；1НН1.1М (ЛМ) является ко- лсОаипг. II котором ；1мн.'11пуда модулн|н)ва(1：1 по анкету eimyca:

/(/) [К I I ^sinS2/)slii(u»r I 屮).

ме 〃i мубнпп модуляции (кнк правило, m V I); □— частота модули ЦИН (П у. IV)

I Р**фнк АМ колебли нм покязин на рис. 7.14,(/ (oni6aiom：ni дана иункгнром)

1д ли н(ц пользоиатьсм известным из тригонометрии гождеством 小奴呻=1Vmm - М — g соч(п I 川，

то колебание .Ц I +m3|з)小(政 суммы трех колебанийто колебание .Ц I +m3|з)小(政 суммы трех колебанийI W) можно представить в видеI W) можно представить в виде

то колебание .Ц I +m3|з)小(政 суммы трех колебаний

то колебание .Ц I +m3|з)小(政 суммы трех колебаний

I W) можно представить в виде

I W) можно представить в виде

М一 *2屮7)+用间W 一出，+

гпЛ0

"W 一 亍'"W + U" + w 11П С [ (>T\

6пнопыми Спсктр*дДН^n частоты (<o Q) и (⑺ +□) —

^Ующег зннчеНИс 心冋旧 J'(；弋氏呻).'"на рнс. 7.14.6. Дсйст- РПНМи ]\| I(第3“)'OU1BO|CTKH|| с формулой (7.11)

zw

Прнмгр ", Разложить на СОСТЙ 加 М“ 小 IW"矶 м、функцию /(/)=20(1 +

' Р с III <• " и (，ь^^ частоты “—Qn 99.1 仲，

Сдедонагсльно. /(/) ^ 20smi0, + 6с心)；0%：：七：：叫"=6.

Лм1М«нтуды колебания боковых частот при АМ мубппы модуляции^/, по не зависят 1 А^-колебании зависят

J；：；^и фазе

||(ЖИ1апа на рис. 7.14, н.Р кол^бании качественно

，川м彌注黑「"С~。вменяющейся функции /(/) обозна-

(a)(a)/(/) = 4sir」a(3,

(a)

(a)

W)m("。интерпретировать как угол, на который повернется вра- IIUI Минине я вектор на комплексной плоскости за время / Угловая 呜ктога повор()та этого вектора ⑴=da(/)/d/. В том случае, когда (Il = U)Q = const,

а(0 =卜。0” =⑴о/； /(，)= 4sina)/

Нрн час гот и ой модуляции частота (о изменяется и равна (d()+ Л(о(р(/). При этом

■(/) = 0恤 + Auxp(/)|d/ =(о0/ + А 吨 p(/)dL

При Ф(/) = cosC/

a(f) =(i)0/ + ysinQ/,(6)

「股 Y = Л(о / <,2 ——ппубина модуляции.

Likhm образом.

/(/)/ /1 = sin((o0/ + ysinC/) = sin(o/cos(?sinQ/) ++ cosu)(/sin(ysinQ/).

sin(Ysin&H) = 2р"+ [(y)sin(2〃 + ""fi~0

ccs(YsinC/)=厶)(Y)+ 2”2#(T)c《)5"&厶cl

"S(Y)— Z、c w функция ^порядка от действительного ар-

гумснта у* 1'рафикн трех бесселевых функций при А = О. 1,2 изо； бражгны на рис. 7.15.

Ihx.ie преобразований

/(0川士，Y)s而" +[(一I)*4y)X)

(в)

Xsin(u)0 一 AQ" + E4(Y)sin(5)+ 片。)/・

Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ колебанием, рав・； на бесконечности. Однако сел и учесть, что с ростом 月 значение /Ду) быстро jменьи1эется, и н равенстве (в) отбросить слагаемое рядон, амплитуды которых меньше 0,01, чему соогвегствует А>У，т° Ч5\ колебание практически занн мае г полосу частот

(<°п ~Ь к^1) — (о)о—々J) = 2AQ 弋 2丫!2 =

Y：：：：：：T,；；f "”н ° Ам|；；：：С：б：：дУ」”"и1н Л<«» И не зависит оть J ^ колебания цри弓'”""х масюг зависят от Au) н '

“ M()AyjMi“H Q не зависит.

L…“叱《иу 3，w функций wм…,^ м.

Опусти»' выкладки, определим, что амплитуды боковых частот яг от t|\r а ши ри II а полосы частот 2AQ=2,/2 — от *不 н Q. тр ФМ-колебания при feQ = 5 изображен на рнс.7.14, d.

С"“ ；рнс・ 715 видно, что если х V1, то 〃工）、1, а /,（х） « х/2.

（）（а следует, что в ЧМ-колебании при у Ml, а в ФМ-колебании （）н / W^l можно （ограничиться только основной гармоникой з。и м；”6（）к（）вь1мн（о（）士 £2,т. е. в этом случае имеет место почти такая "?снгуа11ня. что н в АМ-колебании.

"° Различие будет в том, что при ЧМ н ФМ модуляции на комплек- ，H（）ii плоскости два вращающихся вектора боковых частот дают в ：、1М（? вектор, направ^пенный перпендикулярно неподвижному век- тору частоты з（）, тогд.а как при АМ модуляции векторная сумма ух вращающихся векторов боковых частот будет направлена ；/10/ь неподвижного вектора частоты ю0. Это различие вызвано разнммн знаками у временных компонент гармоники частоты （“）一"

§7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных колебаний. Расчет токов и напряжений в линейных электрических цепях при воздействии на них модулированных колебаний производят для мгновенных значений величин либо для мгновенного значения огибак）щей. В первом случае расчет проводят путем разложения модулированных колебаний на составляющие, вычисления токов и напряжений от каждой из них в отдельности и последующего суммирования соответствующих токов и напряжений на основании принципа наложения. При этом ограничиваются теми состав- .^яющими, которое существенны в формировании выходной неличины.

При воздействии АМ - колебания на какую-либо систему точный расчет огибак）|цей выходной величины может быть осуществлен по Формуле ин гег［）ала Дюамеля для огибающей （см. §8.67）.

Алросы для самопроверки

LB каких случаях 一升ё"姑噥：黑：靄黑端篇:电囂沖黑:

КР**В|,|Х выКР**В|,|Х выкГв：：мrв：%а^『咿"…呼…? 3』…

КР**В|,|Х вы

КР**В|,|Х вы

Uz〃Uz〃俏)

Uz

〃

Uz

〃

二% +一+\一人乐С处3

6)

Рис. 7.16

OOQ

<«— 41a〜“六 < S=M** *-^«e^M * e3W^« "靈・f 0K•TWITS? F『 ■ r^^「冲*3 曲} 二^^一宣尤芯-4-KR工aerz叱2曲 n^ EK • kZ^ c・ ” J 丈宅 К

”,£r~ ,5L争百小;吟吃红蜉 er，гю гагМони-

■*•**2Х '瓜 5<Огр:07#а.,7 注削'

^етв* и;拿酬*7^* кг«^г-> * , зейг^ч**и^ звж«-кле «есингтоя•.йг，；^*-

»*» ***^ el :才；guFY • 1*・a>、工”氏 3^"_?*T，8 опрелаит ,JOf^

n*n*TOKU&TOKU&上L№" ■TULkLK / ‘ 乂)8丁。：吋〃片73ЬНЬ3MM 1 ]麻 мм*52 ~ « w;p”c првб-^женно murn =^220™** FWMI6・> 壮 Чеш 7MC Объяснить, 47-0 "、 тчннгутн^ питч*? -пем^вкй* ры*«н з—мн*ха 工г安吓盯^口材何 f 尸 F«awn ufnons нл：гт亦 П^^*н *"" J”0" вознлкают

n*

n*

TOKU&

TOKU&

5 …■usnoi tiu^wv^ >4、耳〃rp«?yE ЬМ4^ тс^^врсФенных капебан.^ • S2W«1 宀Y i ；心Q М»Е 15 Hff 飞 грэфжум м^бакни. 2\j“08謂 з ПЕ Q HSL^rvH 卜 M»r*EL *，^^t 坏 Fit T*«l[ J ，玄 f K3O5qBmu用石 4〃％KUMh 中』一_ - ：*crX>【「■>：/ Ok4 *w^e? ыа палшмпны^х 控。2*、感；

口ЬЛжЙаК- Н*ПЧ?ШЛ№ 5'ПЙ? ГПСЕЧ» С=ВГСХ^口ЬЛжЙаК- Н*ПЧ?ШЛ№ 5'ПЙ? ГПСЕЧ» С=ВГСХ^BtoiWtrrfc Ф^»3«ЙЫ MW ПОС7Г»Я>1Н0йBtoiWtrrfc Ф^»3«ЙЫ MW ПОС7Г»Я>1Н0й

口ЬЛжЙаК- Н*ПЧ?ШЛ№ 5'ПЙ? ГПСЕЧ» С=ВГСХ^

口ЬЛжЙаК- Н*ПЧ?ШЛ№ 5'ПЙ? ГПСЕЧ» С=ВГСХ^

BtoiWtrrfc Ф^»3«ЙЫ MW ПОС7Г»Я>1Н0й

BtoiWtrrfc Ф^»3«ЙЫ MW ПОС7Г»Я>1Н0й

-явс-талмиз*Е4'-явс-талмиз*Е4'[Ответу[Ответуxuduji» 上 ттрчахжнш» реле Флрье

-явс-талмиз*Е4'

-явс-талмиз*Е4'

[Ответу

[Ответу

4二=不.尸^幺 m绿十1йе — >ca^t«SLna)).

■ Р^гч ал»«» Е1?扌 4 § 理 9Н9 Ж 打殳—1; MS

ПЕ>^匸&7 ГРО4К J В линейных электрических целях

gFg—,皿J*w7 п±“У 6 ⑴^5口 Р"НМЗ раб5n -3, —a—I 34芯;i^Z^se'以即，ro” SWH。 Г Зтку4 . ^СГ ^ ^^вусе от предыдуда-

山Ме*^^ 三二「海会巧二斉"W "3'{“ 研翻"cwtg卤.действгю- ^^'--^схемы, а также вследс^т-

""“。汕七：—о，一：干"w

••^『ткь а’〉，*»**. IyV"н ^миуюидальнгяи и постз М* ПИ*Ш^ U 工 Е^У '"& ь ^?ъяг цели

窝书 二.[巾口№ -^^^ —у卢gulmyR в Ц<^пи Ком- F工^二了『片S—丄。…у 2

М"屮№CW

3" 1"—1一口 *MRf 二：*二5.门3>0山屮 UOKM

*^>гутг1Шин、厶心тоянн”их/тьетств—

a)P»^. 8.1a)P»^. 8.16)6)

a)

P»^. 8.1

a)

P»^. 8.1

6)

6)

Рис. 8.2

Переходные процессы обычно явлутв /

ллительность их составляет десяти ^ °&стр。протекающи- ：2k*me Доли секунды; сравн^нп'пр?6- 3 ИН0Гда даже м^' 都盜縱盜*蹤；您。喊冠镰 осияет выявить превышения напряжения н霁龍常関畧 陋 цепи, которые могут оказаться опасными для 壊；靠舒毒:・ 那вкх. увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического про- 2есса (И вызвать недопустимые механические усилия), а также оп- перелить продолжительность переходного процесса.

§ 8.2. Прмвеление задачи о переходном процессе к решению лмнсйного дифференцнального уравнения с постоянными коэффи- имснтамм. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для :хемы рис. 8.2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений ^^ivtvs'V^iJит^ръвиа JMH?

Ul+R〔 = £.

(8.1)(8.1)мили

(8.1)

(8.1)

喘+砲=£•

Кам известно из курса математики, уравнение, содержащее н* лзьестн} ю функцию (в нашем случае /) и ее производные (в нашем Случае £~), называкл дифференциальным уравнением.

Таким образом, определение тика как функции времени, посути toia. есть решение ди ффе рен ци а л ьного уравнения

И.с, чти решение дифференциалБИого уравнения- это Икание функции.удовлетворяющей ему. Подстановка ^оиф>н- 第冊х и № 叩"加以н/ превращает дифференциальное)равнение

Решение линейных дифференциальных урзв=

•x^t ь о( ионном четырьмя методами классичсс .伊

ИродомЛ юкме，1Я И методом HpOCTpaHClHd《(KTSiHM 凡

И1Л«>! pa.Jd дюам<.1я Инеобходимо рассмотреть

“ Перед 7^м как изучать ли методы. …」乂皿血门仆久 атам， “磨(ьойстеа линейных цепей при переходных процессах, а та

7；Х\7^

^^^Л^ всргчислеиным методам расчета 崔 :北工 W〃“w，однако часть утих параграфов (см. § &3, 8.8 览 /следует рассматривать工 же, как введение м „%： чесмому методу речи, переходных процессов.

<8.3. Прииужденнис и свободные составляюшие тиков и нанр*. жсниА Известно, что обший интеграл линейно) о дифференциал^, ногоурзвисиия равси сумме частного решения неоднородного урав・ нения плюс общее решение однородного уравнения. Частно^ решение уравнения /^J)рзвяо £//^ (£ — постоянная ЭДС).

厶К +例о 0.Решением одлородиого уравнения яв<7яется厶К +例о 0.Решением одлородиого уравнения яв<7яется(8.2)(8.2)показательнаяпоказательнаяОдноридиое уравнение получаем из исходного, если в нем визь； ыеы правую масть равной нулю, В нашем случае

厶К +例о 0.

Решением одлородиого уравнения яв<7яется

厶К +例о 0.

Решением одлородиого уравнения яв<7яется

(8.2)

(8.2)

показательная

показательная

фуиЕция вида 力产，

Для всех переходных процессов условимся, что момен? / = О с(кпв4ггс7вует моменту коммутации.

(8.3)(8.3)Постоянные 4 и р не завневт 9T времени. Без ниао〃а дадим их зиачеяия для рассматриваемого примера: Л = — Е]R и р = — R/L Следоваге«1ьио. решение уравнения (8」J запишется гак:

(8.3)

(8.3)

万ё Z

где £/#—пастиле решение иеодиородного урзииеиия (8,1%

—j* 丄一общее решение ол ио род ного уравнения (8.2). Полета^ но»ка，В,3)и，8,1)дзет тождество

川v川v端4十仗尹卜 _一由一方/下 + £ _ 8，.6

川v

川v

' ^#'ЛГ>ЯЭ7 方/ ЬИО, (^/5)f

мн/倒 I)' ^вит^ьиояеляпся решением уравне-

ЧйС1 Н^ р^?Ш&ИИ<*«•'

""宵"川七 назвать принЛ^^ ^^1^^^^ уровне. "К "i ргшеии? о= CW〜毋〃 тока (излряжо м” 〜毎厶Прниг”；；》''""'""抨初件“"，-с побочной сз

Ниуждемизя у т/—/я「吧夕二卩史нмому примеру

ля^яязл —勺 г“ 厶 х £/R а свобод из я состав’

戸 ПОЛНЫЙ 7ОМ i « ；

勿

К〃м" индексов *пр»(Прину

僚 “о и действующая в — пр^^с ”总驚鑑

/"嘿：设累器眈产^^ес 2 X

напряжеиия 匕напряжеиия 匕”^НН" сос?авляющая "心6。四 Т小/乎 частт 5] 旁妙 является соответственно енн；?；/破"血'

напряжеиия 匕

напряжеиия 匕

^и^ напряжением) частоты о) 1Ьнь，м т<>*<оМ (синусов

Определяются принужденные сост^„'

^ьною тока с помощью символичней мЮ，ЯИе 8 цепи、^，，8入 аеме действует источник постоянной 扌詳。尸収卜"「』3j. Если в /•8Z，то принужденный ток есть nw；：；J「：，^пример. в схеме помощью методов, рассмотренных в ，'""〃《 ток и находят его с

Постоянны京 ток через конденсатор не проходит, поэтому при- г}^^^ составляющая тока через него в цепях с источниками посюяииой，1《. равна нулю. Криме того, напомним, что падение ^пряж<;иия на индуктивной катушке от неизменного во времени жз равно нулю.

В линейных электрических цепях свобоинне составляюшие то- 敏в и напряжений затухают во времени по показатечъному закону

/ Та% в рассмотренном примере &=_]е 工 С увеличеииеи 册我叱множmельс7‘Мстр。 уМснане叱偉凿、界; бодяая" объясняется тем, что эта составлякидая р«

快Емемх詞，сы/Сюл^ого от вынуждаюнАси силы(0" Р ' ^^принужденного и :窖器：)“=**

спряжений (полного, принужденного и свобод

，州F имеют полный ток и полное ?喘;％ 且 действительности Полный юк является тем током. к> р ^ процессе Его яР<лекает по той или иной ветви “р”Диалогично, пол-

•例 к。И1мери1ь и заннсать на ос ИИЛ<*т оГЯ*р в де йст вител ьиости 做 изпряжсиие - зто извряжение к ^Р ^й цепи при 吐 ""т( л м<-Жа1у некоторыми точкам • рить * записать иа *3“ вронесс^ Ею также можно измерить

"^■«"рзмме.. u^akiUlMC W>«O0 и ИЗПрЯ*^НИЙ

Принужденные н свободные сое：： ； пиМ0Га(слькую роль, оин А*Р*гмя гнф^хплиого процесса игРаю _ и сумм? которы* дает ?%“г Лми расчетными компонентой, су

л*^тиигсльиыс величинымание на 丁皿 факт, что

j〈c)следует еще Р^3 ^Хившихси процессах соблюдя- ° пм心。工 переходных и уста"

н>т ДИЛн>т ДИЛOCIIDIIIIhl^OCIIDIIIIhl^||(М1<1Ж<'ПНЯ||(М1<1Ж<'ПНЯ|1Л11Р>1ЖГП1Н,|1Л11Р>1ЖГП1Н,НЛ К(1НДС1Н ；П<)Р<，НЛ К(1НДС1Н ；П<)Р<，ТОК чгрг.< нндуктивпук) KaryuiKvНС могут 1ММС11ЯТ1.СЯ СК；Н1КОМ1 У “ТОК чгрг.< нндуктивпук) KaryuiKvНС могут 1ММС11ЯТ1.СЯ СК；Н1КОМ1 У “

н>т ДИЛ

н>т ДИЛ

OCIIDIIIIhl^

OCIIDIIIIhl^

||(М1<1Ж<'ПНЯ

||(М1<1Ж<'ПНЯ

|1Л11Р>1ЖГП1Н,

|1Л11Р>1ЖГП1Н,

НЛ К(1НДС1Н ；П<)Р<，

НЛ К(1НДС1Н ；П<)Р<，

ТОК чгрг.< нндуктивпук) KaryuiKvНС могут 1ММС11ЯТ1.СЯ СК；Н1КОМ1 У “

ТОК чгрг.< нндуктивпук) KaryuiKvНС могут 1ММС11ЯТ1.СЯ СК；Н1КОМ1 У “

Обоснонпннг ..сшммож.юггн скачка тока через индуКт няпрмження мн конденсаторе. Дсжазател! :黑 mm Хок через нндум uiniyio к.чту.и•<) ；»(• может н；.меняТь(； гкпчком/прппгдгм пл примере схемы рш. Я„ Но второму закону Kiipwc 巾;I

-^ I Ri г А,

<1/ '

Тон / н ЭДС /： могут приннмпть конечные (не бесконечно боль ШНГ)Л1ЯЧСНН»1. .

Допустим, что ток / может измениться скачком. (.качок тока П.П1Г1Ч.1СТ, чк» АП бесконечно малый нпт(、рп；1Л пременн А/— о Ток нзмгннтсч нл koik'miioc зилченнс Л/. Прн чтом Ai/А/ -♦ со. Еслн вме- его /：［ п уряпиеннс (8.1) подсгавить оо. то его левая «тсп» не будет ряпнл правой части и не будет ныполнен второй закон Кирхгофа

(*лсд()натслык». допущение о 1имм()жност11 скачкообразного ― менемнм токл через нндуктнвнук» кагушку противоречит второму закону Кнрхгифа. 卜 У

Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на 厶 рашюе 号.склчком измениться может. Это не противоречит второму лякону Кирхгофа.

нзм|=

Ri + "сRi + "с-6-6cW需対；=駕痙遼監:瑞聽尸®

Ri + "с

Ri + "с

-6

-6

величина； 〃(. 一 напряжение на

①f①f『Г『Г幻幻总映戯*泞"总映戯*泞"гакгакТьен пг1к?Т0И0СЦе,|,,1с,,,1С **нДукг»*»н<^ каtt § &7 ' ” плпнмо. бел еьячкон. Дальней*Тьен пг1к?Т0И0СЦе,|,,1с,,,1С **нДукг»*»н<^ каtt § &7 ' ” плпнмо. бел еьячкон. Дальней*

①f

①f

『Г

『Г

幻

幻

总映戯*泞"

总映戯*泞"

гак

гак

Тьен пг1к?Т0И0СЦе,|,,1с,,,1С **нДукг»*»н<^ каtt § &7 ' ” плпнмо. бел еьячкон. Дальней*

Тьен пг1к?Т0И0СЦе,|,,1с,,,1С **нДукг»*»н<^ каtt § &7 ' ” плпнмо. бел еьячкон. Дальней*

Та к кнк ' 9 “(Q т。

,ii,ii(8.4)(8.4)R Си 戶d］十々：=С.

,ii

,ii

(8.4)

(8.4)

叫喘川У™' „W叱 ％ может измениться скачком. “)£=■— левая часть (8.4) не будет равна правой части. ПтсюА" cicnyiT, ч Iо допущение о возможмпгти<

с—1, можетизмепя гься скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа Из указанных двух основных положений следуют два закона(叩пнн/А) ком му? а ни и.с—1, можетизмепя гься скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа Из указанных двух основных положений следуют два закона(叩пнн/А) ком му? а ни и.пзмевемня напряжения на конденсаторе противорХ втор^ кону Кирхгофа. Однако ток через конденсатор, равный '

с—1, может

измепя гься скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа Из указанных двух основных положений следуют два закона

(叩пнн/А) ком му? а ни и.

с—1, может

измепя гься скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа Из указанных двух основных положений следуют два закона

(叩пнн/А) ком му? а ни и.

. Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктивный элсмсгп L непосредственно до коммутации i^(0_) равен току через w)r же индуктивный элемент непосредственно после коммутации "(О J：

(&5)(&5)m0-)="О+)，

(&5)

(&5)

Время / = 0 представляет собой время непосредственно до коммутации, / = 0十 ——после коммутации (рис. 8.3, б). Равенство (8.5) выражает собой первый закон коммутации.

. Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напря-

1 Мнение на конденсаторе непосредствен но до коммутации QO」，а нзиряженпе на нем непосредственно после коммутации 此(°+)・

В cootir'tctbhh с невозможностью скачка напряжения на кон- деисатори

и^.)=ис(^).(&6)

Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации^ Перед тем как приступить к изучению методов「独：；；*：察;f нах процессов, необходимо условиться о некоторых дополните пых определениях.

Начальные значения величин. Под ”"""：黑：：；眾靠：：；) тимаки значений токов и 噥器驚噥篇:器黑4訛 и напря- уже отмечалось, токи через инд)ек0ММуТацИн равны

на конденсаторах непосредстве ^и Остальные вел ими- нГу“енням непосредственно呼呼напряжения на резн- Нннрнжснн” на индуктивных ^：\)резисторы могут

токи через конденсаторы, токи 4eFt. F

гOQ1

„меняться скачком, и поэтому их значения после коммутацНи ^Bcerv оказываются неравными их значениям до ком Mg 獻: Поэтому следует ралличагь доком мхтэцнонные и п(клекомм\ Тацн омные начальные значения.

Доком л i/тиционны-м и начальными значениями называ юу знауе ння токов и напряжений непосредственно до коммутации! при i=。； послекомму тационн ыми начальными значениям и — значен/： гокоб н напряжений непосредственно noc.ie коммутации (ппи 1=0」 ”

§ && Независимые и зависимые (послекоммутационные) н чальные значения. Для любой схемы после коммутации в ней мо Я* но записать уравнения по законам Кирхгофа ” из этих уравнен^'' определить значения токов во всех ветвях и напряжении на люб "" участках схемы в послекоммутационном режиме (при /==0 )"*

С этой цельюзначенмя токов в ветвях, содержащих 出口\大；巾“ элементы, изначения на叩q氷енн" на конденсаторах бе^’т м J"。 мн гем значениям, которые они имели до коммутации пои Л-л а остальные токи и напряжения после коммутации /2^Г， 限閣сМ『W К叩灯офз, поскольку часть слагаем^ ：

М｝飘需工器端旣鄒露曙прн窗：посПеком. ~：^64誌毙馭图:X漂

ки^Ё?^Ев” к начапу

схеме и=СНИЯ На 皿…現煮;:「：；* коммутацией все то "'牆峥二二…"мекест。滥閣;潔； 器4tsp曙 н; конденсато?ахнач!утВ ннд-УКТИВ|1ь1.х элемен- U :；吟這需謊:貌麻тех 3篇常年:。齡器 X^Vh^токов и напряже-

『УРавне.。株1s堺:窗聴:就 *甯丁х и произволь- °Р“мУзак，м 瑞娟篇 м；;с轟

X^ ° " ВЫб0Ра П0Л0—ьных направлений для

[Цз = 0;

d/|•

厶 r^+RiG+GR? = £；

七R2T「3" = 0.

В этихуравнениях %, /2 н。一 полные токи. Каждый из них состо^ »т мз свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой снсте?ы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, 器:嘰口нм» систему от вынуждающих ЭДС (и нашем случае от 七)и вместо /( запишем 九口, вместо 厶——厶頃 н т. д. В результате получим：г .

"кн ~^2сп —‘Зе = °；

厶I 丁~ + &н R|+&n &? = °-

I f c(8.7)

&h & -不)％/ = 0.

Заметим, что для любого контура любой электрической цепи сумма падений н a n d я же н и й от с вободн ых соста вл я ю тих токов р а в - на ну*。.

r «§8・"・ Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.

8.3 говорилось о том, что свободный ток предстанляет собой ^ц^нне однородного дифференциального уравнения (уравнения ез правой иастн). Как известно нз курса математики, решение

заимсывакл ввидец^

3此叱尸二端巾“沖虫片产亠脳к8水加rq 當М畸:廿К*：*/%—，…a

产叱案‘呻iM""

“一 AM) = "J 勺 ％

T < шзбодяого тока можно заме- ^^,1-^^^^^^- w W элемент^

呼l Я8** "з"…川州，" (炉沙),'丄"。")тоК? 也外"川……0』

“L т 卅@=2/"='，•/"‘

»ь равной нулю, так как

怦f …"叱北猾券：：.肘 зависших от времени …碗*WiHW"M"А城丨

emmur— D二。"留伽小―МОЖНО заменить на

，，А〃А〃"Н WW*' Р

“ W^M，из нонднн июре 伊， "(m 叱，…му 2S„x у卄…м〃 叱 пюбодных юков ^ иним /■ i，” 冷 м *0 /С—

0"

儿. 4"； Q「=°i

"川"JL・ I/') — ''

е делите ль системы. В рассмотренном примере

2 < О 产]I _]-1 [

a =[L少+& R? Q

I 0 七-I/(Ср)]

теЛЬ Ai получим нз выражения для опре口елнтел另“ 尸"《' первого столбца правой частью уравнений (8.8): з“мсJ

(8.8)"

hM八，间一。

У"мм№11нм lh Н)м"川 I нм〃н1"1 d 兩 4 и« I см у hjii《・r)|Wi'ie《кнх урннисиий 1“伸" HI"川川，)厶>*」“〃,心 Н Наличие О| ИСХОДНОЙ сIU темы "「〔，""卩小 HI 11||<1И «НОЛИ ык И НН HI |HIJIOil.

I h |н M)/l 01 гв< |емы линейных (11йф<|>г|Н*Н111Н1./1Ы1)йХ V|JilMH<‘IJ"" К

I М…М「Й/1Н niMiHMi < 1'.и> У|Н1 hill НИЙ DHilMI ““")〃〃〃•〃〃</〃'"( "「" /VММ < 1иффг1НЧ1 Ц1Н14ЬПи» /〃〃〃〃е〃〃〃八JIM I BiHxMiHblX I окон М"木"° * MU irflh. ЧН1 * И« I» М11(Н Н) «м И. рг 1У4Н.1 hl И Л I <*6|) ПII ih и и И СИСТЕМ ы 〃叫冲L屮М"М|川川I仙 ypHhin ннй (И 7)

§ N 12 ( лн HttJU'Uhr Nii|HihlVpH< 1ИЧ<Ч KOI О урнннмнм 4W"ГММ 1川 Я1Н1Л|« П|И1ИЧ1 < ПНИ yiHHUK'iniil |Н1В|ЮЧ|Ц лу ней шс< IIII.IX I 山心⑴卜 """仲нм, "I. 〃 и НИЧ НИ) (It J|r(b HHlHMIhlHH lit <HIO U0*<J* ИГ ЮИ1Н* IHI И Пул<| <i|||H'/Hj|Nlh H/liiJiidirhiH.M I и иешнм，仲 mmV(HN) ‘""“”"'川仙Ms &J"*MI

МЫ* H»U«th I

'八4

与

0 % о ] I0A2 一1 / (еp)

g л получим из выражения 山四 А путем замены вто-

0M/»”：： црзвой частью системы (8.8) и т. д.каждом

襲憂*k宜

吗 о'/А； *£d渦ь не равнн нулю в том случае, когда 01^2

А =0.

А злгебрзизированной -.-«

Таким обризом, Р >их уравнением.

ура皿енн(и“в噂鬻设睛 характеристическим

Уравнение А— м. нем является р-уравне*

匕巡W W弋二(阿——"…

Примгр 75 Иси<Ш.зун^ ниг ОИ < Хеми рис " 4・

Р г in С И Н V .•_ ^1X3 = 0

纟此(/‘"&)+F^

ср

или

0.

Га ли np.ihi. рнини нулю, «»

рпнен "У"”

/K/iC'+Р

(R/«+

ее чнслнгель

Lj +心亦2

Следовательно.

n 0

K可心KNAApHTIH心УР世上性吧国£

(8.Ю)

(8・ll)

%" - А|/А」％-А"А. A” —AJA,

£厘咏* U『痛屮痴皿в ”м打"Районе длй СЬо， 丁 屮f 謳出"ЕзккрееРНЕ叱ков ⑺好 黑靠力巾％皿皿日核叱叱卩".том каждого/爲:

{напряж^яиг»坤мне езхт土 工（У.

n~Q& &価，Мф*«ф“гг加““"КЗ* уравнения схемы

,J 〃力 ％JH ** 述.3, Л（МУ2/严*疔"2 Ом,厶=]「丨"° 84q]j

7.ur” I，g 扌1軒中 ?方卢+4=祐.10已n7"'

、，.」"_.：амм H，；iL=LaF/,c=7iau・M，{=2.|jq 4-U|i0|

也 * TTF5 ；歹尸一血 с ； &=—9850 C7.

2rjp^ сто &4 т《—碗（~ . /ьнк^~ст 厂！ ZF处上期，誕 j.e-1妬* 1曲）： a>=-100—100/

•亂危.Sgtiwe характеристического уравнейм» пш^^ ъы^^ д^я входного еопроти^е^^ ‘沙咋何 «с- »м，+，/心打中力门丑:专见 уравнение пЦ^Пи На ПеРе- '> г&£я/гу1?»7ег，述功атн・ гстоЛз» а определения п 就言露MX*當片皿A総:黑/黑图

Jf义一^^叫яР^^^рИ7ельно следует

"/"/修力f*班5r %?z师ьслстХ V о, ев*4"刃некоторой .4/a，F北0片"小農嚣?）皿…н" по метод} "，'jju"二."％5/ « 已北^丿产"BЕ"

"/

"/

* "，心“3/ 厶 Для режима

к”，м. “. 3师』『汝z . Ad

多%好" ："，姓аЯ* ^：1 Плeнных ло ме-

笈мсег те *r корни, "0“

ЛР« составлении Z(»)3皿近

經肢 ионика питания. ' Г*вать внутренне, сопротив- ^Р««тернстическоеуравнениеР

основу超«^^ коннрннх токов, а ;常;腎7叫皿皿*匕出褒 qT(»M случае следует приравнять Щлю от^ОЪЬ1к потенциалов В 諭 проводимостей, полагая Приматрицы гзло-

№/ схемы заземленным.адении матрицы один из уз-

Пример 77. Для схемы рис 8.4 о состав

卩，…и е. Входное сопрот皿.е 叮。渡累严Eq^oe уравнение.

•rt*tажнмов ab при переменном

R2 *

Zab(j^ =沁丄— О |_ /“С

Заменим в нем ;о)на р н приравняем его нулю：

^ut^) = pL］+R J -}^- = q

於"

Отсшз

Т/С&+叫+ &&&+/+&

—1+—— = 0

клм

(8.10а)(8.10а)p^L j С/?2*Ь Р(^ j 4* Л j/?9C)H-(-^ ^ -г ^2)= °・

(8.10а)

(8.10а)

СледуетСледует> равнение (8 JOs ) совпадает с уравнением (8.10k составленным иным путем, м |心夕吋“° они путем использования выражения для входного сопротивления первой ьемм v«wbi рис. 8.4, а относительно зажимов ab. Точно такое же уравяение можно «iwr^tnv. <xuim запхать выражение для входного сопративления любой другой вет-

Следует

Следует

А 询"А«)А 询"А«)иметь в виду, что во избежание потери корня (корней ! нельзя сокращать

А 询"А«)

А 询"А«)

а» общий множитель, если он имеется. Однако на абший множитель р

8t出也&TL 义切 И ДДр). как правило, возможна, но не всегда. Сокращение на д ”"口'стхми Xi я схем, в которых исследуемая величина из физических соображений 近鮪姉始］содержать незатухающую свободную сс»ставлаюш)ю. Если ж€ иссле^е- ［扌鱼 Клячина в рассматриваемой схеме можит нметь незатухающею свободе)» 二%家总•"另2ИО‘>0. td сокращать числитель и знаменатель Z(p) на р (терять корень г，.、” 叫I 厶з 堂.Для илл юстрацин не допусти м остн corp ашения sa р рассмотрим млй 8 j »осл ^ к ом м ут а ци он и ой схеме рис. 8.4. 6 имеется контур из инд^эггнзвьп ；：："""?5. ак? MBHOip сип рот ивл ен не которого равно нулю. В нем 7€ч>ре7ич<*скк может 1-"*47‘ь и^атужаюшая свободная составляют а я тока, которая ае 6)лет y4it：r*i s ‘ "“《乩 «^ди CQxpaiMib чмслм7е.пь и знаменатель Z(p) =^} “а Г ° сw

广 6 4, е, дульной схеме рис 8.4, 6 после коммутации на конденсатора везшхх ：；；"“'4"”6 равных по значению н противопалолво направленны! ке5зпча*>щ«\ ；：)н““х соста^яюших напряжений Свободней заряд 心non ^ленсаторз 終 二尸 citsb через сол рот имение R, тлм как этом) мешает мх，旦队渋口吋 < ^«^^ижно направленной незатухающей св4л*М мх^^й нлл^.же-

Для схемы рнс.

.8.4.8 характеристическое

входную лроволнмость

относнге 刀 ьно зажимов

уравнение получим, приравняй

источника гока:°

。…+ 穿= + =。，

где g= I /А..

В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель н знамтель Z(p) на р, приведем схему рнс. 8.4. г. Для неемена.

#74") = /? + —^R+=#74") = /? + —^R+=RC,(RC〃+2) R(RCp+2)RC,(RC〃+2) R(RCp+2)C"(/?C，+I) RCp+1 ■C"(/?C，+I) RCp+1 ■PCPC

#74") = /? + —^R+=

#74") = /? + —^R+=

RC,(RC〃+2) R(RCp+2)

RC,(RC〃+2) R(RCp+2)

C"(/?C，+I) RCp+1 ■

C"(/?C，+I) RCp+1 ■

PC

PC

неза・неза・8 Я 14 Основные к неосновные зависимые начальные значения., Дл/с；ож.шх схем со многими накопителями энергии число шкимых начальных значений (начальных условии) может оказать-. ся больше, чем порядок характеристического уравнения, и, след。, вательно больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них.-i

неза・

неза・

Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные значения называют неосновными.

В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.5. Она содержит три индуктивных элемента в один емкостный. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия):

I) й(0+ )= 0; 2)讶 0+) = 0; 3)磔0+) = 0; 4) “с (0+) = 0.

.Из них три являются основными н одно — неосновным. Выбор основных значе- мнР здесь произволен. Если за осноннне взять первое, второе н четвертое значения, то неосновным будет третье.

имррт^р^ У6^аимси в том, что для схемы рнс. 8.5 характеристическое уравне- ние 1жеет не четвертую, а третью ступень.)

НХО 川"НоНХО 川"Ное 出 с н к е： Составляем выражение для вхолитл сои роти нления:

НХО 川"Но

НХО 川"Но

ОтсюдаОтсюдаС"сдон；С"сдон；ZS)= %+%+上士扭ZS)= %+%+上士扭=0.=0.

Отсюда

Отсюда

С"сдон；

С"сдон；

ZS)= %+%+上士扭

ZS)= %+%+上士扭

=0.

=0.

§&15・ Определение степени характепигтм»

Степень характеристического уравнрНмаРГ еСК0Г0 Уравнения. Хвать, взглянув на схему,界壮檻 необходим。уметь онесс. Быстрая ориентация в 澀;。讎関^ nep—ы口 определить трудоемкость предстоХх вЕадок и 黑мощность выявлению ошибки, если она возникает при составлении^Ап^^ ристнческого уравнения.Р авлении характе-

Степень характеристического уравнения равна числу основных незавнснмнх начальных значений в послекоммутационно^сх^ме после маь^ им ильного ее упрощения и не зависит от вида ЭДС источников ЭДС в схеме.

Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно сое- днненнне индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным, конденсзторы, включенные последовательно и па- раллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.

Применительно к схеме рис. 8.6, q последовательно включенные ■ и /У、следует заменить на L{=厶 1+//'[土2М, если между ними естыиагнитная связь(,с/н нет магнитной связи, то^1=0), а конден-

С'з，С'、，С] — на конденсатор емкостьюС'з，С'、，С] — на конденсатор емкостьюсаторы емкостьюсаторы емкостьюС5=&+ °："\. Начальное значение напряжения на С5 равно на- чалв^В^и^г="

С'з，С'、，С] — на конденсатор емкостью

С'з，С'、，С] — на конденсатор емкостью

саторы емкостью

саторы емкостью

&НС. 8.7, в которой два индУ^；^аце^ия основные. Следова- Все три независимые начальные зна «ени- степени.

тел郡),характеристическое уравнение УД^теристического

Обратнм внимание на то, чт0 магнитная связь между

Уравнения не зависит от того, имеете отсутствует.

нндуктнвннмн элементами схемы или • КОнтур, в каждой Условимся попе…стх 昭丁嗯黑器關;орь：『・ &7,。), нз ветвей которого имеются либо 丁°*： 口士 а в другие — только либо в одни ветви входят только конд ni)c』e максимального Уточники ЭДС (рис. 87 6). Р0Л0^М'Хт« конденсаторов. Ес У"Р01Пення схемы в емкостный к°『黑 小@ алгебраическая сумма “н учесть, что по второму закону К* т0 только на 〃一I к°н- Спряжений на ветвях контура равна нулю.

G

6（由

力

Рис. 8・7

u”mHN'i“" "" '" " с • viiviih може г иметь; а) три ле(к г висельных

:(NPH"""'J"HMX кормя； б) грн дейсгнигельных огриия- 世屮""х к<“)11>|, н I которых два ранпы друг 叩yiy； в) три дсЛггвн "J”\ ；x p；iiuii"X о» pHuarvJibiibix кирнн; г) одни ;ivlkrBHTvjn*Hi»irt пг- 「""" ：11 |,н"ii корень и два комплексно сопряженных с М""“ г；川，巾川 денствигельной частью.

—могут быть заданы произвольно, пенсаторах контура н“ понимать узел, и котором схо- Условимся ПОД nKd^^орой имеются индуктивное । и (рис. 8.7, дятся ветви. В ,\^^а 川)У「а”(' нстбмнкамн

а),』н6。噴累:常編м*「。н whnktmm"，市 узел《'“)—，"〃■「 тока (рмс.8.7,е)・吗驚需 н Если учесть, что но первому зако・ вен, содержащих нндук!• |iyj|l0 |0 i(mii.ko в /〃一1

НУ КИРТ±произвольно,

индуктивностях TR： ； “то после максимального упроще- 認嗚;*噂характеристического уравнения 當；：竺;黑 педелена путем подсчета величины 〃/.+〃广幻

индуктивных элементов в схеме, «г^ число ковденса iоров;血: число индуктивных элементов, токи в которых нс могуч бы н> заданы произвольно; /гс —число конденсаторов, напряжения па которых не могут быть заданы произвольно.

3 а м е ч а п ня: \. Есл и схема с н<"1очником тока имеет несколько п(»следов^ тельных участком, сиде ржа тих параллслы1о cocAHneunibiv нг'гпи с 〃，厶，« 1 ° ^ каждой группы париллель1П.1Х ног пей будет cuor харпк |ерис1нч<чког у|М1впени<- сноими корнями(енободные тики не могут замыкаться через источник т»»к», поско »• ку его сопротинлениу рапно OecKoiivmiocru).

2. Если и схеме будут нметьсн так на.чыиаемые допил ня ioiumv n»yxiiiwiN)cHHK (см. §8,63), содержащие элимсн1Ы R, /.. С, между koiорыми нм"“川仆“<”(』"“吁：： ленные соотношения, то прн упрошен ни схемы(»)н Д(м1жны 6ыг1* .i;im<,ik,iHiI ••«* валентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки (па л у тем у рекомендуется решить пример 30 из нои росой для гимопроверки).

§8：16. Свойства корней характеристического уравнения. Числ0 корней характеристического уравнения панно степени эт€но УР^П* ：：ння. Если характеристическое уравнение п|)гдсти1М1яет собой 畧;::川 стстнн，「°()н。имеет один корень, если нт(吗:

HiJ'PP" и 1 •Л- Уравнение первой степени имеет всегД 篇);Uchwhhh деисмМнс мнимый и не комплексный)^- нер1：；：£；：：；；：,：?：?'""""" может иметь： а)川历 дсй( гвит^*льны* отрнпат5bHLx к“Рн”； 6)从“а лсй( твительпых 卩&吗 рицательной лейст ви-iU^ "側""

,[7 Отрицательные знаки действительных частей корней

§? ；，н“ескнх урапнений Свободный ирицесс происходиг н не- р11ктс\с),к 川“мм 由 or ис I очника ЭД.С. Оноткынасгся слагаем мм и ””*"；* В Чспи. (нвобождепной от источников ЭПС, с поболи ые

/ ：м(；1 V I м”т'кать сколь угодно длительно, так как в ней отсут "川"" jo'iihikh энергии, которыебылнбыспособны в течение сколь стнукп ： 口 м н⑴()нременн покрывать геи.11(»вые потери от ^вобол- Уг<，Д，1(7мп г е гвободмые токи должны затухать во премени.

"叫叱(：м)Сн；/Н1мс токи (выраженные слагаемыми ср) должны за- иремени. то действительная чисть р должна 1'У X d I h I»•

叫:黑喘：湍：：iu；H …=/W),「м aZ-x. приведены в табл. 8.L

—т

一 *

uhx

chx

"о"1

,()

,() (

）,。

・（）

о,|1

.10(

),905 (

）一。

1,0()"

0.2

.22

)用9

).2()

1,()2

0.3

,35

),741

),3。

1,04

"4

1,4!)

0.()7

0/11

1,08

0.5

1仙

0,8川

(1,52

1,13

皿

1.И2

优Г川）

0,"4

1"

47

2,()1

0,497

0.7b

1,25

■

2.22

0.419

0,89

1阳

0.9

2川i

().407

1俏

1,43

1.0

2,72

(),：M 卅

1,17

1,54

1,1

3,00

(),333

1,34

IJ7

1,2

3,32

0,301

E

IW

L3

3《7

(),272

1,70

1 "4

1.4

4,05

0.247

1伙）

2J£

1.5

4.4Н

0.223

2,13

2必

1,6

”J5

().202

2,；/

*酎

1.7

5,47

(),183

2.66

23：

1,Н

6.05

0.105

204

J J

1"

卜,阳

0,15

3.27

33

4）

!7.39

优1：妨

3附

29 3,0 &2 3,4 ЗА

4,0 九2 〃 4M

4,H 氏。

6”

B,I7 9.02 0田

IL02 12,18 13,46 I4.8H 1,44 1比17 20訓 24,53 ^)^ ：峪6 44/ 皆加 間伸 HIM (W.4B 121,5 1МЛ «冷

(),122 0,111 о.ню 仇的

1).082 0.074

да-

Т к 6 八 w и с В I

加

0価7 仇岡

().0^ 0,06 0.041 иаз 0.027 i)S^ 0,018

0.1) К> П.62 0.01 Cj砂 f“XM 优№

4.02

4,如

4 "I 5,47 “)5

U.7D

7,41

419

。的

10.02

12.25 H.W 18例 22》 27.29 田* 爭 1.72 妙.74 辺,74 742 200

4,14

4.56 卜。4 卜融

6.13 紹7

7.47 H3 9,П 10,07 12,如 1瓦0

1Й.31 也州 巾 33* 祖川 付75 机7日

74川 痴

п ичменення свободных составляющих

Рассмотрим харз黑РАо.ссов в цепях с характеристическим простейших переход 订 степеней

уравнением первой ^рактепистического уравнения больще

Если 4Hc.no К?Р^( ^^ожет бь^как процесс；!1

^^"РОС、процессов.?

§ 8.18. Характер характеристическое§ 8.18. Характер характеристическоесвободного Процесса при одном корне. Когда

§ 8.18. Характер характеристическое

§ 8.18. Характер характеристическое

уравнение имеет один корень, свободный ток

• in==A^=Ae-al.(8.⑵

〃 аавнснт только от параметров цепн, А — от парамет- ров ц^м?ЗДС и момента включения. Характер изменения ] при'1 4 >0 показан на рис. 8.8. 一丄л -at

'за интервал времени /=т = \/а функция Де уменьшится в：' е = 2.72 раза. Действительно, при，=t = 1/q at =ат=а/а =|； е~“'= е~妙=е~ I = I/e = 1/2,/2.

Величину т = 1/а = I /1РI называют постоянной времени цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Для цепи рис. 8.2 т = L/R, ДЛЯ цепи рис. 8.3, a t = R& для цепи рис. 8.17 т=(К|/?зС/(К| +RJ ит. Д.

Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е~ "' численно равна т (см. рис. 8.8).

. Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть /?| = — а, р? = —力(для определенности положим 8 >а). Тогда

Рис. 8.8

х喘淋需黑案為鶴::獻：黑产…。。…

(«s^X翼篇焉■霏麗

/н

2.

пля рнс・ 8.9, a ^i >0,厶2>0； для рис. 8.9, 6

2

§8.20. Характер свободного процесса при двух равных корнях. Известно, что еслн среди корней характеристического уравнения есть два равных корня р〔 = р? = — q, то соответствующие слагае- мне решения должны быть взяты в виде

A g" + 儿拊户=(AI + 4“)е-%

(8.13)

На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возмож- НЬ1Й характер изменения функции (Ai+ADe-af при различных значениях постоянных интегрирования Д, и Д2, а также при равенстве нулю одной из постоянных.

Крнвая / построена при Л! >0 и Л3 >0; кривая 2 — при Д| <0 н儿>0; кривая 3 — при Д|>0иД2<0; кривая 4 - при 儿=0 н Д2>0; кривая 5 — при А{ >0иД2 = 0.

§8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно сопряженными. Так, еслнР[ = —6 +/&о,тор?" — '—川0・ ветствующее им слагаемое решения должно быть взято в внде

」=№■№"，)•"4)

Формула (8.14) описывает затухающее ??：：；昭丁:鐫黑. нн“рнс. 8.11) при угловой частоте % и начальной фазе、•

PiSJI

крнной Ле-д/. Чем больше Л$ тем г шая колебания onwcbiBfi 二卩。…、。；乂 и vопределяются зна忐'

треезатухаетначальными условиями н ЭДС источник： 叱 S：察;£к。от параметров цепи после коммутации；:' 黑:誤馬。"”""価мех皿ебаНН“; 6 - к8中ф加

ентом затухания.

Некоторые особенности переходных процессов. Как изВе. стноиТпрсдыду(Него, полное значение любой величины (тока. На. ：；：МнКзаряда)ранносуммепр“нуиаеннон и свободной состав. х Если среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни 夕以=-6 ±川。н значение уГЛ0. воА частоты свободных колебаний 叫 почти равно угловой частоте ю исгочннка синусоидальной ЭДС(источника питания), а коэффи. циент затухания Л мал (цепь с малыми потерями)» то сложение принужденной и свободной составлияющих даст колебание, для к> торого характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а).

Колебание (рис. 8.12, а) отличается от колебаний, рассмотренных в § 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания

амплитуда медленно уменьшается.

Если угловая частота свободных колебаний о)о точно равна у「- 力ово" частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.12, 6.

Простейшим примером колебаний такого типа является коле- бннне, возникающее на конденсаторе схемы рнс. 8.13 в результате с/о*ння принужденного UCmc^Mt и свободного - 〃「(、一實心血 吗бан嗝:〃 = %]_「* с5

^"^копебання нарастает по экспо-

никать^олш^на^тн^^в("^1、могут воз-

ющие амплитуды тока v「t J"*" токов, в несколько раз превыша- 8.14 咿 нулеХ<Хльмм^ЙИВШеГ0СЙ Р^има. Tai； в схеме рис. 师皿 ^н^в первый момент после замы-

244244Рхс，8.12Рхс，8.12то вто внеразветвленной части hphl/1/011^^ аго1)их Р"вн° нулю и ток в иеин ранен，，丄

244

244

Рхс，8.12

Рхс，8.12

то в

то в

Рис. 8.13Рис. 8.13Рис. 8.14Рис. 8.14

Рис. 8.13

Рис. 8.13

Рис. 8.14

Рис. 8.14

первнн момент после замыкания ключа ток равен 〃 п мыкании ключа в индуктивных цепях вознм*с； Нрн раз- ния напряжения на отдельных Участках (см 鼠豬耻”血 увеличе'

§ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электоиче ОКОЙ искрои (дугой). Если переходный процесс вХае^раТы камнем ключа в -^ектрическон цепи, содержащей н識黑窿黑. тушки, то между его расходящимися контактами при определенных условиях может возникнуть электрическая искра(дуга) Пои этом расчет переходного процесса усложняется и, строго говоря, не может проводиться методами, изучаемыми в данной главе. Объясняется это тем, что сопротивление электрической искры является нелинейной функцией протекающего через нее тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16.

Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возннкновення электрической искры при разминании ключа в схеме рнс. 8.15.

До размыкании ключа в цепи был установившийся режим:

£ 2Е с、 i(°-) Е

礼)=^7^ =東或一)=亍=获

Допустим, что при размыкании ключа нскра не возникает. При этом ток /i почти мгновенно уменьшается до нуля, а /(0+) должен равняться iX^ г)- Но каждый из тиков ■ Hi?)noпервому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между достаточно медленно расходящимися кош актами ключа пр” определенных условиях можно ожидать волникновення электрической искры. Расчет переходного процесса н схеме на рис. 8.15 дан в § 8.28.

§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые Размыканием ветве" в uenxx, содержащих индуктивные катушки, р i ［武-， Ннн мючен в электрических цепях, содержащих катушки с больше ^§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые Размыканием ветве" в uenxx, содержащих индуктивные катушки, р i ［武-， Ннн мючен в электрических цепях, содержащих катушки с больше ^л

§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые Размыканием ветве" в uenxx, содержащих индуктивные катушки, р i ［武-， Ннн мючен в электрических цепях, содержащих катушки с больше ^

§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые Размыканием ветве" в uenxx, содержащих индуктивные катушки, р i ［武-， Ннн мючен в электрических цепях, содержащих катушки с больше ^

мзетках могут возникать напрЯж_ на отдельных? устаповнвшиеся. НацрЯЖен * ннА”弋端；рзз прев叫:然я. называют перенапряжения^ кия. в。電;е уЕНОвнв黑；знаинтельннмн. что при определен： S^^ н …И3 стР°Я …忆 ■温厘薫и.,Т:х--гх七鎧

ПрИМеРЛрмс 8 I6K Стр，" ,：：；емна 血 зажимах вольтметра при г = о： чен 2ьтмстР]? знЭчени€ 亜叱自工《“ мгновенно и нскрм не возннкнет，

Мт\^' ^厶 ПРЕ吋 ток，= " = I А‘[

5禮:累;"P”i北靠二EW энергия 厶产％ Ew допустить.二 、二тетке 田@ 誤吋：盆©皿。■ искры не появилось, н учесть, что т0< 蛇妙宵:工 ключа произошло д w 口。3aMKHjTOMy контур), ссктавленно^у

L Wes上.、・w«3 за cqct запаса ,нер展 ^метром и катушко! за счетть 二 в | А. Прн этом на вольтметре

2：wn в п“вм ^Хв Прох^нне большого импульса тока через ваит- 血穽終спнеп时*£；；黑:Гапшки прнбора и выход е「。из строя.

метр может вызвать перегорание -^ 仆0Poe^ю между его расходящимися кон-

При размнкзннн ^怜丫二：нскра Это приведет к тому, что увеличение на- тактлыя везнмккет электрмчо.^ > 口四 р тМько что рассмотренном идеалнзн- пряжеяня нз вольтметра > -азмЫКялся мгновенно без мскрн.

ранном с・”、"・ к°“а： ：「мотпеннн процесса необходимо еще учесть влияние

Пр№"為:北課纜二Mz § 11.1)‘ Если не учитывать возник- :爲М：А消需we емкости н индуктивности, то приведенный расчет ЯЫ9ЧтХ₽не^сжечь^1^8Меначвла следует отключить вольт-

а мтем разомкнуть м«ч. Перейапряження проявляются тем сильнее, чеш ^,L ии^тивкостъ в цепях. Особенно опасны онн в непяк постоянного тока, cojiepmuiR； индуктнвн^тя порядка единиц n десятков генри. В таких иепях при отк.1юченмях со^иодают спеииалъные мерн предосторожности (к-1юч размыкают после введения юполмнтельиых резисторов в цепь}.

. Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных про-' цессов в л юбой линейной ^лемрнческой цепи состонт нз следующих основных операций:

выбора положительных направленна токов в ветвях цепи;

2)определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации;

3)составления характеристического уравнения и нахождения его корней;丿尸

функцж^времекиЫРаЖе 初，"ском&х токов н напряжений как пропсов яв5ХсТРаНеННЫМИ мето1ами Расчета переходных

2)oiiJp^toJhu^m^toV ЛИТератуРе классическим;1

Ё^ехэти?^ интеграла Дюамеля.)

я^як>тся 06513a产нсннео11ера11нн(зтанн 卩③方：：] ильными. Д^ всех методов первые три onepa^n

.epwaPT одинаково и их нужно рассматпмй

^методов часть расчета. Различие м^?ИВать ^к общую для Четвертом，наиболее трудоемком"“『"改丁。

亜 Чзше используют классический н。"諸：：：*，

расчета с применением интегра J1 ^ Ь，И мV0Jb,'^^ ~ даны сравнительная оценка 二二《己 吊〜丸 В аальнеНтем 丝慕каждого из них (см•體提 н Рекоменауемая область прн- ие\ радиотехнике, вычислительной и импутьсмпй

」二・ автоматике н в технике, связанней ： [ехннке, элект- Р°и е этих трех методов применяют мрТг еориеи информации, 0脑 Н спе駆#*ом мето., основывающемся на ™Ce фурье. см. гл.9.) Для исследования характера переходного пронес- га：описываемого Уравнениями высоких порядков, используют мо- WHpyiogiHe \становкн, а также метод пространства состояний (см・ §8.66).

. Определение к л асе и ческого метода расчета переходных процессов. Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравне- нмя представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение на свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известиым значениям корней характеристического уравнения. а также по известным значениям свободной составляющей тока(напряжения) н ее производных, взятых при / = 0+.

. Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристи- теского ураннения.

При двух действительных неравных корнях 厶=,4門，+ 也1立

при трех действительных неравных корнях й = 4g‘+丸e" + 儿门，

■я любой схемы с помощью уравнений Кирх^Ф^н^^ ；Утацииможно найти: I)亜詳洲：；黑叱 значение первой, а если Рн( = о., обозначим его 乙гипбодного тока, взятых

!>НаДобится, то н высших производны, _ лной ОТ свободного Р^-0+. Числовое значение первой |^<^ ит д OK/PHI = о. обозначим謳髙陋 мнтегрнрова-

Рассмотрнм методику определе弱了

…попзгая известными к0+)，WО+)" 3.呪" ння 儿，%，•…*

(8.15)н его(8.15)н егоуравнение пеРв0И ^ чНЧЧеНию свободного тока U0J: 皿У a D

(8.15)н его

(8.15)н его

пиитроистическое уравнение второй степени

(8.16)(8.16)諭出図適»

(8.16)

(8.16)

(8.16a)(8.16a)Продифференцируем это уравнение по времени: /="4仆一p'严，.

(8.16a)

(8.16a)

Запишем уравнения (8.16)и(8.16а) при ' = 0(ууем, что при/ = =0 eW = e” = 1)・В результате получим

(8.17)(8.17а)「(0+)4'(0+),(8.17)(8.17а)「(0+)4'(0+),(8.176)(8.176)以0+)=力1 +力2；

(8.17)

(8.17а)

「(0+)4'(0+),

(8.17)

(8.17а)

「(0+)4'(0+),

(8.176)

(8.176)

4н(®4)~ Pl^ I + Р，2・

В этой системе уравнений известными являются Pi и р2; неизвестными — 4t и Л2.

Совместное решение (8.17) н (8.17а) дает

I Q'(0+)-P&“(0+)

AI

01 一刃

42 = 4"(0+)- %-

Ест” корни характеристического уравнения я вл я юте я компле/ н -сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только р( и 政 Pin —±/w0), но и ЛI и Д2. Поэтому свободный ток川

^ = Ag~ 6rsin(uj0/ -|-v).(8.18)

Рише；：：；：』；：："''"И коэФФициент затухания 5 известны 明 ^«7Уравнения.d

по значениям i(()奸нх Д и v производят и в этом случае родифференцировав по времени уравнение (8.18), получим

СИСИЗапишемЗапишем= ""isin®/+v)+4%eys®/+v). (8』8а)

СИ

СИ

Запишем

Запишем

УР2вне：не(8.18а)冲н, = 0「

"(°+)=-他小+/叫《№.

ТаК”м образом, для нахожденияТаК”м образом, для нахожденияурзвненнн：урзвненнн：К°+)= Asinv;1^^^-а^^а^зхК°+)= Asinv;1^^^-а^^а^зхнеизвестных А и v имеем дванеизвестных А и v имеем два(8-19)(8-19)Пня цепи, имеющей характеристичргипа.^свободный токРнстнческое уравнение третьей сте-ненн・、^ = а^1+А^+А^Пня цепи, имеющей характеристичргипа.^свободный токРнстнческое уравнение третьей сте-ненн・、^ = а^1+А^+А^(8.20)(8.20)чаДГ^вторую производну. от левой и правойчаДГ^вторую производну. от левой и правой\ = Р 14 ppi「+ р^^ + рз&еР*Г = PMi^+ 値2 + plA^,\ = Р 14 ppi「+ р^^ + рз&еР*Г = PMi^+ 値2 + plA^,(8.21)(8.22)(8.21)(8.22)Запишем (8.20)—(8.22) при / = 0+:G(°+)= 4 I + А2 + 43； 4；(。+)= Р[4 I + p/2 + "Кз；К(о+)= р；4 + р1Д2 + рК・Запишем (8.20)—(8.22) при / = 0+:G(°+)= 4 I + А2 + 43； 4；(。+)= Р[4 I + p/2 + "Кз；К(о+)= р；4 + р1Д2 + рК・(8.23)(8.23)начальных условиях.начальных условиях.喘叫S&麗沿隱逢隱終喘叫S&麗沿隱逢隱終

ТаК”м образом, для нахождения

ТаК”м образом, для нахождения

урзвненнн：

урзвненнн：

К°+)= Asinv;

1^^^-а^^а^зх

К°+)= Asinv;

1^^^-а^^а^зх

неизвестных А и v имеем два

неизвестных А и v имеем два

(8-19)

(8-19)

Пня цепи, имеющей характеристичргипа

.^свободный токРнстнческое уравнение третьей сте-

ненн・、

^ = а^1+А^+А^

Пня цепи, имеющей характеристичргипа

.^свободный токРнстнческое уравнение третьей сте-

ненн・、

^ = а^1+А^+А^

(8.20)

(8.20)

чаДГ^вторую производну. от левой и правой

чаДГ^вторую производну. от левой и правой

\ = Р 14 ppi「+ р^^ + рз&еР*Г = PMi^+ 値2 + plA^,

\ = Р 14 ppi「+ р^^ + рз&еР*Г = PMi^+ 値2 + plA^,

(8.21)

(8.22)

(8.21)

(8.22)

Запишем (8.20)—(8.22) при / = 0+:

G(°+)= 4 I + А2 + 43； 4；(。+)= Р[4 I + p/2 + "Кз；

К(о+)= р；4 + р1Д2 + рК・

Запишем (8.20)—(8.22) при / = 0+:

G(°+)= 4 I + А2 + 43； 4；(。+)= Р[4 I + p/2 + "Кз；

К(о+)= р；4 + р1Д2 + рК・

(8.23)

(8.23)

начальных условиях.

начальных условиях.

喘叫S&麗沿隱逢隱終

喘叫S&麗沿隱逢隱終

Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: &, А2 и ,{. Все остальные входящие в нее величины |Р；，Р2, % М°+)，/；；(°+)，厶「(°+)1 известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины н ее производной (производных) при / = 0+ рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процес- сов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых

"” к‘~3;2)3H

ОмОмЕ叫嗜誤力iPZ"3 川，Д<> к<.ммУ1ицин g. 界*也叫喘囁"『|热…A

Ом

Ом

Р"НН"Р"НН".T'm個*"一黑：р:М…W"""' "'C。生

Р"НН"

Р"НН"

|.(0 )■▽ IM0HAC»^nP

HM”中曙.I ・fiO - f# H3 и 仙冲科*小仙 мс ксммутнинм:

叫需/心丁二/;『向川…"

二С" урмс 皿 ионтурн. обрязонаниого ПоитороМУ^иуКир^

По»п)муПо»п)муE…*ftm；；；.J^

По»п)му

По»п)му

E -叫0—)150 — 509 a

i(0/・一^"^50

Ил уранммн” /《0 J ■ М(\ )自 1""»"* m。/."即田的■1 АЬ

По псрному ли кону Кнрхгофа 厶(()J ■ М()卜)+ %(()] )， Слсдовятельно, 以0})■4(0+)一m0+)・2 - I ・ I a.

Ооболные СОГГЛНЛЯ1ОШНГ тока и нопряжеиия при / = 0 卜 он редел нм кик разно сгн между пзшммн и иринужлсннммн нсднчннимн；

此N)■叫0屮)-叱呻(0+)■ 50 - 75 - - 25 B;

I W(0 卜)一Gp(。J ■ 2 - IS = 0,5 A;

%偏)■槌)J — %(%) в I — 0 ** 1 A;

«4。J ■ H。J —厶м(。J ■丨—1,5 ■ — 0,5 A.

Так как свободный тик через конденсатор

M「e

<h<hC—, T0d«fvll/(l/-icll/C

<h

<h

В рйссмятрнпясмпм примере

m%,/da., тм。//(；■ 1/(100. io-6) - 1()4 в/с.

mН 附：即二；；購幻:島7炉"空ХПр公гернеекоГ у1叫岬

+ 心 + Rj ■ 0 имеет один корень

"一而衣一伽门

р&нии in и 4V нин> с мободнп^(Мц* ? **11И У Ж nv **1,1 ,ft и с*н»б«»дц(1Й состанли к иней 八』♦门"* 5""MWAu”/.()l (рнс.Х 18):

?：1，5 +以—广一你з

Пример K|. ВПример K|. ВA, q・7n — 2be 仲”比

Пример K|. В

Пример K|. В

""”"" KM)妨NWMMM КЛЮЧМ 6wi устн…1川1仙"PC*""'

I — 2 <Jm. «»L ^^ 3()м；

/р“мнг，，Т 乂 式。J; 2Lm иэмн,енни，п，и1 財*)氏 w .

p <• III С “ иг нормой Ч й с "5 н непи “ 0c依Р»Д/с Требуете.

и，,”“叱umm”w“н зпда.,и К,Щпл Н0Мм^ии

'"《”“" ам,,ЛИТудя ТПК4 .

127е ^

Е = Кр^~«25Ле ^д.

,|()пгн11<к' знлченнс тоня до коммутации i •= 25.4sin(<l)r — A И м0Мснг коммутации (при m/ = 0)

i(0一) = 2 5,4/(- 86。50，)- - 25,35 A

||рННуЖДСН1П»1Й||рННуЖДСН1П»1Йток после коммутацииток после коммутации127с 祈 ~2 -1-3/127с 祈 ~2 -1-3/=35.2L /时加‘=35.2L /时加‘А.А.

||рННуЖДСН1П»1Й

||рННуЖДСН1П»1Й

ток после коммутации

ток после коммутации

127с 祈 ~2 -1-3/

127с 祈 ~2 -1-3/

=35.2L /时加‘

=35.2L /时加‘

А.

А.

卜" HiiHeiiHOC знячгнтеденного тока

屮=35,2sin(mf - 106в20*) А,

“(%) = 35,2gin(- 106。20‘) = - 33,8 A.

Г1(* псрпому закону коммутации «О )=电十)=一 25,35 А

HoiR " - inp(O I) +《(П 卜).Следовательно.储(0+)=即十)-八叩(。+) = - 25,35 + + 33,8 = 8.45 А.

Решен и с п 1 о р о и чист и з я д а ч н. Характеристическое уранненме р/. + R., r 0 ммеет корень

Рис. 8.18

непн ло коммутации (кривая / на рнс.8制

По данныМ ис^' Д0О|/ = °)

i = 25.4sin(W

一 86°50')A.

Мммемн 谭 8.20)

значение прмну

жденного тока после

коммутации (криная 2 на рИ€

% = 35.2sWM-

|220')А;%(0+)= 8,45 A.

Оеловате.1ьно. = 35.2sin((W 一 106。20') + 8,45е А.

;=〜+ % -изменения свободной) тока, кривая

КГиВа^и：аРИ^км* 4 при 心 0 равнн сумме

ординат крнвых2и-?1-заряженный до напряжения 〃夕。)，прн

82. Конденсатор 胃端嚼"'р；3.21.吓 Вывести формулы и постро・ за，工儿叫з "弋嚏富优:巡「Да корни характеристического урав- ить 炉0 吗 нзм：署 у бРкомплексно-со11ряженнь1С.

нения: а) действительные. 01 к2 .+ J-= оравны

Решение. Корниурав…，+ "厶：厶；

J^. Они действительны прн (昱)> ^ и комплексн°- 仔］=-L корни равны. Соответствующее это- кригмч^Лл. Прн решении учтем, чго t(0) = 0. inp = О,

<

P|Q= — 2厶士

2L

сопряжен, при й

今n"

му случаю R называют

叱пр = °・

а)Полагаем р|,—

действительные корни. Тогда 〃Ссв = %"‘ + 演咽

kc = c -^ = Pi-C + 0'2"2‘.

Составим два уравнения для определения 4 丨 н %： АI + & =叫 0); pj.41 + р—2 = 0.

Отсюда

叫О也 "m0)p|

Д1.Г=~，，4.

3 Р2 一 Pi -P2~P|

口е”ва®ьн。.口е”ва®ьн。.

口е”ва®ьн。.

口е”ва®ьн。.

4°)

(=左7；近呻一户)；i = Ср/КУР — —/)；ML = LCp/MePf _ p/W).

Графики «CJ.«L 工皿 слунал а) даны на рис 8.21, б. Для случая б) корни

土/加0， 「ne 6 = R/2L; шо = у. Напряжение ^' kMsirW + 立I )

艺3 = АСе~ "[— 6sin((o0t4-v) + w0cos(tt0t-|-v)] =.4Ce~ fl<sin((i)or4-、，+»}• i产dr

.0 =(00/(— 6)，угол В находится во второй четверти. Из начальных условий '"мс(0) = 4sinv и iCB(0) = ACsin(v + р) = 0.

О陳皿®丁

ПостояннаяПостоянная• UdO)(у，"不一次@+何麻• UdO)(у，"不一次@+何麻Графики =-A\；C/Z еГрафики =-A\；C/Z е14c = Ае-& sin®f + v); i = - 八门^Tе-& 疝师=14c = Ае-& sin®f + v); i = - 八门^Tе-& 疝师=-Arsin(i)of и-Arsin(i)of иL (ft2 + 砲4 CLe- %in㈣-)=黑 丁 賜*—)изображены на рис. 8.21, 8； 〃厶(°+)=—必°)・口。卄融。6HlПрнмср 83. В схеме рис. 8•竺,院誥;蒔:::**；：： I) *(0+);(市.4% установившийся режим: е(Г) =£ = Р :=10 0”.厶=2Гн./?3^上即全),(忆网0+； 2)，2(/)，М)…""=。о'2L (ft2 + 砲4 CLe- %in㈣-)=黑 丁 賜*—)изображены на рис. 8.21, 8； 〃厶(°+)=—必°)・口。卄融。6HlПрнмср 83. В схеме рис. 8•竺,院誥;蒔:::**；：： I) *(0+);(市.4% установившийся режим: е(Г) =£ = Р :=10 0”.厶=2Гн./?3^上即全),(忆网0+； 2)，2(/)，М)…""=。о'2= 50Ом, С = 150 мкФ.в я чРешение первой части з30_) = %(0-)= e/(№ + %)"= 50Ом, С = 150 мкФ.в я чРешение первой части з30_) = %(0-)= e/(№ + %)"Н, До замыкания ключа 120/(50 + 10) = 2 А.Н, До замыкания ключа 120/(50 + 10) = 2 А.Принужденный ток послеПринужденный ток послекоммутации <mp = t^коммутации <mp = t^2 а. Постоянный ток через2 а. Постоянный ток черезПнкнситср не проходит, поэтому *зпрПнкнситср не проходит, поэтому *зпр0.0.v + в = 180。； tgv = %/6; Sinv = 了¥=声訴.

Постоянная

Постоянная

• UdO)(у

，"不一次@+何麻

• UdO)(у

，"不一次@+何麻

Графики =-A\；C/Z е

Графики =-A\；C/Z е

14c = Ае-& sin®f + v); i = - 八门^Tе-& 疝师=

14c = Ае-& sin®f + v); i = - 八门^Tе-& 疝师=

-Arsin(i)of и

-Arsin(i)of и

L (ft2 + 砲4 CLe- %in㈣-)=黑 丁 賜*—)

изображены на рис. 8.21, 8； 〃厶(°+)=—必°)・口。卄融。6Hl

Прнмср 83. В схеме рис. 8•竺,院誥;蒔:::**；：： I) *(0+);(市.4% установившийся режим: е(Г) =£ = Р :=10 0”.厶=2Гн./?3^

上即全),(忆网0+； 2)，2(/)，М)…""=。о'2

L (ft2 + 砲4 CLe- %in㈣-)=黑 丁 賜*—)

изображены на рис. 8.21, 8； 〃厶(°+)=—必°)・口。卄融。6Hl

Прнмср 83. В схеме рис. 8•竺,院誥;蒔:::**；：： I) *(0+);(市.4% установившийся режим: е(Г) =£ = Р :=10 0”.厶=2Гн./?3^

上即全),(忆网0+； 2)，2(/)，М)…""=。о'2

= 50Ом, С = 150 мкФ.в я ч

Решение первой части з

30_) = %(0-)= e/(№ + %)"

= 50Ом, С = 150 мкФ.в я ч

Решение первой части з

30_) = %(0-)= e/(№ + %)"

Н, До замыкания ключа 120/(50 + 10) = 2 А.

Н, До замыкания ключа 120/(50 + 10) = 2 А.

Принужденный ток после

Принужденный ток после

коммутации <mp = t^

коммутации <mp = t^

2 а. Постоянный ток через

2 а. Постоянный ток через

Пнкнситср не проходит, поэтому *зпр

Пнкнситср не проходит, поэтому *зпр

0.

0.

• к"“ W”f г"”"f К/.

0TzВ«^ 2心…Пфе рсннс плдгним» нлпр«ЖснИ1|

Fj吗禍方/ ％"у к'：詁

户■"'鼠…/т“°，・2；

5/»+us

илиилиW2 + H%)

или

или

皿“…“ по nwpo-y з^ону Кнр.гофя з気 ^мккутого контура. обр^^л^Аигрстьеапетм-.

"0 JR| + G° "j + 冊(° / = Е

Так 皿七 ％) = ° ■厶办)=2 + ''°♦)' Т° £-2%120-2-50

即J = ET而寸

С(юб<ияая составляющяя

HU о М°/ -<W0^ ■ 0.2 - 0 = 0.2 А.

"тс«бы определять йх ^(О^Х составим уривненнс для свободных составляющих иокавтуру, образованному первой и второй ветвями.

отАуаа

町』+)= - %J0.附I 一」(％)" и - 0.2・50 — 0 = — 10 В.

d%

Но『е = 4 ~J^ ^сдомтелмю,

="l」0 J/A = — lU/2 = — 5 A/c. °+

закону коммута；：：："**”* “а *°ндсисаторс при , = 0+ подсчитаем по второму w+)=f。：*仁吊 3。+七四).

81々牡融.)=_20H

Определим скорость изменен , мме”. = 0 С й "” СА cmlwE напряжения на 融 телмю.“ ис71ьюй0СП0ЛЬЗуем^ ^ тем. что« (： -一—. СлеДО®8'

^ e ui e »i м r•—^ e ui e »i м r•—ГОР" “a…ГОР" “a…% f(o + )/C ■ 0,2/(同.ILU33 B/c

^ e ui e »i м r

•—

^ e ui e »i м r

•—

ГОР" “a…

ГОР" “a…

+ R/ + "C(R#+ R/ + "C(R#$нд а ч и Характеристическое урипнсн"*

+ R/ + "C(R#

+ R/ + "C(R#

3 + R& + k&)+ / 川 4 明 T 心■ о

имсег дна комплексно-сопряженных корня:

Р = — 42」+ 八5.2「р? = _42j 一 "а? L,Поэтому свободная ссктанляющая должна быть мята в ВНде内%E何< + V),

「〔eg 42.1. зо = 15g, 4 и v определяются по значению свободной составляющей н к первой пронзнолнои при / =0-^. По данным первой части задачи. % = 2 А п(0+) = 0： 4(0+) = - 5 А/с; “с 叩=20 В; “св(0+) = _ 20 В: uce'(0；)=1333 В/с.

При /=().『 Л^1П(ю0/ + V)= 4sinv. Производная функция ,4е~ %Е(%~ + v):

—Д6е~ ft,sin((oo/ + v) + .4е~ wa>0cos(WQ/ + 泣

Значение этой производной при / = 0 равно — AAsinv + ^cosv.

Найдем значения ,4 и v для свободной составляющей тока ia. Для этого составим два уряннения:

%сп(°+)= 0 н/м Asinv = 0;

厶；(。+)= — 5 или — 6/lsinv + eykusv = — 5.

Совместное решение их пает А = — 0.328 А н v = 0. Следовательно, i2 = %р + &■ = 2 — 0.328с- 9 "in 152 А.

Кривая / наКривая / наСНОбонноАСНОбонноАрис. 8.23 выражает собой график /2>«ЛО. Найдем ,4 н v длярис. 8.23 выражает собой график /2>«ЛО. Найдем ,4 н v длясоставляющей напряжения ис叫,<$(()+)= — 20 нем <sinv = — ^*составляющей напряжения ис叫,<$(()+)= — 20 нем <sinv = — ^*

Кривая / на

Кривая / на

СНОбонноА

СНОбонноА

рис. 8.23 выражает собой график /2>«ЛО. Найдем ,4 н v для

рис. 8.23 выражает собой график /2>«ЛО. Найдем ,4 н v для

составляющей напряжения ис

叫,<$(()+)= — 20 нем <sinv = — ^*

составляющей напряжения ис

叫,<$(()+)= — 20 нем <sinv = — ^*

々•皿(。+)= 1ХПилн - Msinv + Mcosv =1333.

(М'ю；1н ,4 = 37,9; v = ЗГБЗ*. Таким образом.

“,“,+q20+37,w9'sin(l5Z-3l・57)B.

“,

“,

пр 丁 "Сен

Крммнх 2 на рис 8.23 илобряжает “с = /(О

I，l卜40*) В Параметры схемы

制 Пример — в схеме рнс. 8.22 ♦匕徹熏工％ YCaAcw режим

，"。"и примере 83. До зямыкзн»<я ключа! н 仅小、

оо1 »ч，Луетсн мнАтн:丨)%“(。+X (制:5旨

о

о

')М。，〃(；(/).

u до коммутации

° a q н—

…屮.。2。叱""A:

._0 2025国山-4 4 3

、0 202Sg(一抬切)

；(0 ) = №-)—，на конлсисатор^ 必犬朿《。*"眞

Оплели-прнн>*^

%тН …PeW"""丄) ，^j^i^^^ ]M№ 0M

广— i27c*/W‘8c ' LГ после коммутации

Тогда 2日"丑黑;принужденного токз 叫:

Мгновенное знаие2l3sinM +《9 50)：

.1—鹿Зa.

g工…пзр^ельнососАНненных второй и третьей Е

Комплексное сопрвнвлен 卜 _

^^{^^ ^^ ，Е‘оМ

&+№к+七一蒜

Ком!<лексиое напряжение из

параллельния учапке

u»=А"爲=12供w*胸3。一

itBn^Nf 小.

0TMi"=k"*园 26M/(10+/6兆)=0，1。85L偿据'

%=68 2产用/(50-附1,3)= 1.2 5 3 产 W

Мгномяныезначения принужденных гокон “ и йпосле коммутации.

*2пр=0.1(JU5si п(ш/ — 58е 45'):

%产 1,2534(1(“〃 + 54°20')・

%М°”7)』и8£|п(-3№43')=-0・0928 А;

4р(° H=l.253siri54*20,=x|l()lfi А

Прииужйсншл наприженщ на кондсш aTope

‘％ 产.同=I 伤7 阳中21.3L W=26,7c f" H

.M"i叱 a~ "Н"У 皿 ww „а коиденсазоре после ^ “吋2cL)； “—.If 40g - E57 B・

му закону кочму1ации,

ПёР mО一) = 以°Q=f1415f 网)+/0」

丹P(0 +)=°・°928A； GJ()Q—°」415+0,092^—0.7 A.

1：^ЛН0С напряжение на конденсаторе 匕皿/ ИЙЙДеш 八。1n。叩纱卸^吋 询"^-^^^-u^^;

恥4°十)=“d°」—Ucnp(°+)=U-( -15.7)=1557 В.

Д1Я(>пРсле;,еНИЯ，^в(°^'С0С1аВИМУРавИ^^ ,шк^ПРУЛ1бразоваииому первом и ветвямИ：

Заменим

価弾14M

i ica(。+)R i+&2+)%+"c』。十戸。‘

в нем 八 J°+)иа —O，°487+iH。J], н. у*нл. что 七聚」《15£7 В,

.、 一15,57+2.43 л

1女4。+)= 一50+50一= -01314 Л:

八点。+)= *(0+)+1$。+』一。，18 A.

Чтобы найти uZxJO J=L

1,составим уравнен.*? для контура,образован-

впервой в второй ветвями:

，1"(0+)%+%(0+网+"/°/=也

мПа

"<3(0+)= 9*87 B;

=5加多)儿=9，487/2=4.74 A/c：

=冬史卫=_0,⑶ 4/(I5O・I°S=_876H/c.

0 «

山心爆

♦. я п а ч и . Поденным.полумекиым приР^гое-

Рс ui с и ие вто J) ой части зад

г-первой части..)工_0,0487 А:

=U,lO85sinW-58 心)电4 +)

〃 =26,7sm(s—瞅4” 呵。尸а

7 '荘出”。…吐叱口…时

"fc/74

*%=0,184 A, v = —l5“20'.

•4^дошпелы|(ъ- <М*М1ВЛ—

^^

Найдем ,4 и v для «Сев.Найдем ,4 и v для «Сев.составим лва уравнения:составим лва уравнения:^sinv= 15,57;^sinv= 15,57;_Msinv+o）（y4cosv=—876._Msinv+o）（y4cosv=—876.

Найдем ,4 и v для «Сев.

Найдем ,4 и v для «Сев.

составим лва уравнения:

составим лва уравнения:

^sinv= 15,57;

^sinv= 15,57;

_Msinv+o）（y4cosv=—876.

_Msinv+o）（y4cosv=—876.

п。+黑*力嚟。；。黑:/阳（:謂*50；沪м " рен^^==：=^^^^

продолжительности. Длительность первой стадии в тысячи и ми,- лионы раз короче второй. В течение первой стадии токи в нндуктнв- ных элементах и напряжения на конденсаторах изменяются настолько быстро （почти скачкообразно）, что если считать / = о一 началом, a f = 0+ — окончанием первой стадии, то создается впе* чатление, что при переходе от / = 0_ к / = 0十，т. е. за время, например, в несколько микросекунд, как бы нарушаются за коны коммутации.

Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмотрим переходной процесс в схеме рис. 8.24 с начальными условиями 〃g（0_） = £, 〃С2（°-） = 0.

но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов *пр），прохождение которых прнводнт почти к мгновенному уравнению напряжения на конденсаторах до значения, меньшего £.（Стро- го「°в°Ря，ес/н учесть сопротивление R то для первой стадии 留:翌о「° процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне-А 2 ?Равнен”м второго порядка, один корень которого при ^пр-^О стремится к бесконечности.）После этого начинается вторая стадиясое-~：Е^^ределяется второй стадией Р одного процесса практически оп- В качестве примера нарушениярассмотрим переходнойно все же конечными сопротивлениями соединительных проводов *пр），прохождение которых прнводнт почти к мгновенному уравнению напряжения на конденсаторах до значения, меньшего £.（Стро- го「°в°Ря，ес/н учесть сопротивление R то для первой стадии 留:翌о「° процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне-А 2 ?Равнен”м второго порядка, один корень которого при ^пр-^О стремится к бесконечности.）После этого начинается вторая стадиясое-~：Е^^ределяется второй стадией Р одного процесса практически оп- В качестве примера нарушениярассмотрим переходнойСначала при замыкании ключа через конденсаторы возникают очень большие броски токов （ограничиваемые хотя и очень малыми,

но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов *пр），прохождение которых прнводнт почти к мгновенному уравнению напряжения на конденсаторах до значения, меньшего £.（Стро- го「°в°Ря，ес/н учесть сопротивление R то для первой стадии 留:翌о「° процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне-

А 2 ?Равнен”м второго порядка, один корень которого при ^пр-^О стремится к бесконечности.）

После этого начинается вторая стадиясое-

~：Е^^

ределяется второй стадией Р одного процесса практически оп- В качестве примера нарушения

рассмотрим переходной

но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов *пр），прохождение которых прнводнт почти к мгновенному уравнению напряжения на конденсаторах до значения, меньшего £.（Стро- го「°в°Ря，ес/н учесть сопротивление R то для первой стадии 留:翌о「° процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне-

А 2 ?Равнен”м второго порядка, один корень которого при ^пр-^О стремится к бесконечности.）

После этого начинается вторая стадиясое-

~：Е^^

ределяется второй стадией Р одного процесса практически оп- В качестве примера нарушения

рассмотрим переходной

Рис. 8.24Рис. 8.24Имеются н виду ранееИмеются н виду ранеепервого закона коммутации роцесс в схеме рис. 8.15. Быстрое размы- 謂妾ключа впервой ветви, напримерза ,с, приводит к тому, что сопротивление этой ветвн быстро увеличивается, к, почти скачком уменьшается до ну- остагП°ЧТИ скачком изменяются токи в ветвях.. Таким образом, за 雪 нь ма?（）е время порядка 10 5 с （от/=^ a= 3 ）т（）кн резко изменяются,

Рис. 8.24

Рис. 8.24

Имеются н виду ранее

Имеются н виду ранее

^叱吗е законы коммутации.^叱吗е законы коммутации.d'Q）丸（。）；М（）1*2（（））.

^叱吗е законы коммутации.

^叱吗е законы коммутации.

^О^Г^§85 8.6

^.стропротекающей первой стадии иих а黨"丁"，ЧТ0 проиессн в бь 'атрнваются. Если же первую стяни висимостьот времени не Рвении, то ранее рассмот牆肾:蹤口 нзать при рас см°：У законы коммутации выполни-

к’т’/н ТОГО чтобы можно было рассчитяти

Е 8。второй стадии, как бы перешагнув чере^р^^ во-первых, примириться с тем, что при переходе Мот7= 0 до"- =0 в рассматриваемых задачах законы коммут；：』втБмвид； как они сформулированы в § 8.5, 8.6. не будут выполнены во вторых, принять исходные положения, которые позволяют^еХ значения токов через индуктивности и напряжений на конденсаторах (а если потребуется, то й их производные) при / = 0丄 через значения токов и напряжений при f = 0. Таких положений (правил) два. При решен ни задач рассматриваемого типа они заменяют законы (правила) коммутации, о которых шла речь в §8.5, 8.6, н потому их называют иногда обобщенными законами (правилами) коммутации.

При переходе от / = 0_ до / = 0+ суммарное потокосцепление ［屮 каждого замкнутого контура поелекоммутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений. Это положение следует из второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допустить, что 工屮 некоторого контура изменится скачком, то в уравнении для этого контура, составленном по второму закону Кнрхго巾а, появилось бы слагаемое(А］*/А/)х_от8H второй закон Кирхгофа не был бы выполнен.

Суммарное потокосцепление ［中 представляет собой алгебраическую сумму произведений токов ветвей этого контура на индуктивности их индуктивных элементов (в общем случае с учетом маг нитной связи с другими ветвями). Со знаком плюс в зт、с\м\; вх°Дят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпад< с произвольно выбранным направлением обхода контура.

При переходе от/ = 0_ до / = 0+ суммарный заряд <7 на обкладках конденсаторов, прнсое?нне喈器:;案 У詣：；閣) к1>ммутационной схемы, должен остатыконденсаторы,

наполнить, го суммарный ток, ?：豔к бесконечности), бес-

,1 бесконечно большим(СТР^ ч ..рУП1еветви,присоединен- ］^'\ио большими были бы токи и it］二нарушению второго N К этому узлу. Это также привело бы к наруик закона Кирхгофа.

。"3 w3.、岬——。—…

"1("Hri、т()к н цепи после kommviяннн.

Решение. Послекомм^цнонная схема Р«с. 8.15 имеет всего один контур. По первому з・кон口прав»•.項 коммутации:

Н(0_)+—“WW+M" + А*

"0+)= "/(厶+厶川丄*0-)+厶2g[0-"。

нонившнйся режим.нонившнйся режим.£ 〃 + к 用 J 而L +立-2R е£ 〃 + к 用 J 而L +立-2R е2₽2+ 4?2₽2+ 4?Закон изменения тока при f，0+ , есни считать, что до ком мутации был уст*

нонившнйся режим.

нонившнйся режим.

£ 〃 + к 用 J 而L +立-2R е

£ 〃 + к 用 J 而L +立-2R е

2₽2+ 4?

2₽2+ 4?

На рис. 8.25. а. б показан характер иэменеиия токов для схемы рнс. 8.15 в долях от EJR прн 厶=3厶乂丄2 в правой ветви).

Пример 86. Определить закон изменения напряжений aCJ и и^ прн замыкании ключа в схеме рис. о.24.

Решение В слсме известны “ci(0-) = £； uo(0+) = 0. По второму закону (правилу) коммутации состзвляем олноуравненне(т.с. столько, сколько надо составить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа): 々1(0-)6=呪(0+)=(0 + 3.

отсюда

此（0+广 "口（О+）=%（0+）=总k.

Прмг>0+Прмг>0+5十"

Прмг>0+

Прмг>0+

^^^^^^£_Е Тг-^тг е~ П(e1 + e*,5 *г 5

X>₽mePW~ttclM^^

хоне °：丝Ю°弊弋：ннм：нне на то. что. допустив при пере- R?吧&й элемент 的：壊吧呼 нзмене— токов через ин- кинденсаторах. тем самым innM"'°e изменение напряжений на оичрс^ магнитного поля hh2vSuCM СКачко«бРазнос изменение Р Сумм^рн^ УпемсатороХ ных элементов и энергии элект- 累£：；：閣山есум；；；；鶉：；：зи и магнитного нолей при искру при кем严"Расходуется ня F""叩"'=0 , так как часть 唸叩。《ране蒿а”"儿 '脈ктромащ：黑“:口°"屮"к резисторах- 1итное излучение н окруж»10

260・

Прежде чем перейти к изучению

11ерехолных процессов в линейных^ч^°В ВТ0Р0Г0 метода расчета 丁咿。「。метода, вспомним некото^е изв^СКИХ 巧"」。滥：' вестнне положения.

пп§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно ()；1 нения операции умножения, деления.§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно ()；1 нения операции умножения, деления.что для вы-что для вы-„звлечения внтьсн логарифмами.„звлечения внтьсн логарифмами.корня из многозначныхкорня из многозначныхвозведения в степень ивозведения в степень ичисел целесообразно пользо-чисел целесообразно пользо-Действительно, операция умножения сводится к сложению ло-Действительно, операция умножения сводится к сложению ло-гарифмов, операция деления — к вычитямии. „Таким образом, произвести расчет аегче r г л°гарифмов и т. д. &ьн。сложная операция сводится к более СрЗВНИ' 小 соответствует свой логарифм поэтом^ ^аго?^К ЖД0Му чис* сматривать как изображение числа Так 0 30?0ЧрИфМ 吊乎血 Рас* (логарифм) при основании 10 числа 2.，，° 03 есть изображениегарифмов, операция деления — к вычитямии. „Таким образом, произвести расчет аегче r г л°гарифмов и т. д. &ьн。сложная операция сводится к более СрЗВНИ' 小 соответствует свой логарифм поэтом^ ^аго?^К ЖД0Му чис* сматривать как изображение числа Так 0 30?0ЧрИфМ 吊乎血 Рас* (логарифм) при основании 10 числа 2.，，° 03 есть изображение

п

п

§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно ()；1 нения операции умножения, деления.

§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно ()；1 нения операции умножения, деления.

что для вы-

что для вы-

„звлечения внтьсн логарифмами.

„звлечения внтьсн логарифмами.

корня из многозначных

корня из многозначных

возведения в степень и

возведения в степень и

чисел целесообразно пользо-

чисел целесообразно пользо-

Действительно, операция умножения сводится к сложению ло-

Действительно, операция умножения сводится к сложению ло-

гарифмов, операция деления — к вычитямии. „

Таким образом, произвести расчет аегче r г л°гарифмов и т. д. &ьн。сложная операция сводится к более СрЗВНИ' 小 соответствует свой логарифм поэтом^ ^аго?^К ЖД0Му чис* сматривать как изображение числа Так 0 30?0ЧрИфМ 吊乎血 Рас* (логарифм) при основании 10 числа 2.，，° 03 есть изображение

гарифмов, операция деления — к вычитямии. „

Таким образом, произвести расчет аегче r г л°гарифмов и т. д. &ьн。сложная операция сводится к более СрЗВНИ' 小 соответствует свой логарифм поэтом^ ^аго?^К ЖД0Му чис* сматривать как изображение числа Так 0 30?0ЧрИфМ 吊乎血 Рас* (логарифм) при основании 10 числа 2.，，° 03 есть изображение

Комплексные изображения синусоидальных функций. С понятием изображен и я встречаются также прн изучении символического метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так, /т ——изображение синусоидального тока 〃 sin (о)/ + 屮).Между изображением числа в виде логариф* ма н изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа имеется существенная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об нзо- бражении функцни времени.

Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений снну- соидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям, изученным в гл. 2).

Введение в операторный метод. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций вре- менн. В операторном методе каждой функции времени соответст- вует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наобо- рот— функции переменной р отвечает определенная функция времен н.

Переход от функции времени к функции р осуществляют с по- Mouibio преобразован ня (прямого) Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных пропсов представляег собой метод расчета, основанный на преобра- *)на нм н j и л аса. »

н ^нера горный метод позволяет свести операцию диффере^^ 吁нх К умножению, а операцию ннтегрировання — к делению.. то Легчает интегрирование дифференциальных уравнений.

Ламаса. Условимся под р поним Преобразование комплексное число「= 口 + jb.

(8.24)(8.24)。：h 一 мнимая части комплексного q^g где Действительна / 丁 s}“

(8.24)

(8.24)

(вряле книг вм 叫鸞;Ктвнн с установившейся практикой к。, I ^дальнейшем в соответ“мен называть не коэффИЦИе^

эффнннент 竺产ет* 靠 ；са(“ем он в действительности явля. том при мннмо.н：*：' kwm 叩еменн (ток, напряжение, ЭДС, етсМ. а мннмонч武篇I 高池皿祈 oW〃h“.g・ Ен соответствует заряд) обозначают дпмая изобраЖением. которая определяется функция /・(Р)・ следующим образом.

FS)= y(/)e"d/.

о

(8.25)(8.25)Соответствие между функциями F(p) и ЛО записывают так:

(8.25)

(8.25)

(8.26)(8.26)F(p)亍/(/)•

(8.26)

(8.26)

Знак «=> называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки fiределон получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (8.25), в состав которого ВХОДИТ функция R-M =厂。％-叫 СХОДИТСЯ только в том случае, когда модуль функции /(/), если и увеличивается с ростом /, то% же медленнее, чем модуль функции ер/, равный е‘".

TQ9 鸞二呼К" все 屮ункинн /(/), с которыми имеют дело в курсе 1этому условию удовлетворяют

авим нзображенмн некоторых простейших функций.

проведем интегрирование:проведем интегрирование:F(P)= W【"“ = 4оF(P)= W【"“ = 4оРР,dgw)=—上"。p,dgw)=—上"。pААфуЗннн ₽^^P®MewHeпостоянной. Требуется найти изображение (8.25) вместо/(/)подставим д^тояиная ве/нчнна. С этой целью, в

проведем интегрирование:

проведем интегрирование:

F(P)= W【"“ = 4о

F(P)= W【"“ = 4о

Р

Р

,dgw)=—上"

。p

,dgw)=—上"

。p

А

А

•нноА體;：„, изображение постоянной равно постоянной. Д^

(8.27)(8.27)4 亍'4/р.

(8.27)

(8.27)

С 8.34. Изображение показательной функции 门.Вместо “П в ^подставим е .

В8

尸(р) = р e—P'df =卜-2 -。)山=(_ —*ООР — Q

£「，S-a)d[_fS-a)] = ^^eTS_B； = L_(o _[)= _!__, 八)〃(а0р 一 qр — а

0

Такнм образом, 1(8.28)

'р — а

Прн выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) былоено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е.

Только при этом условии интеграл сходится.

(Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в 冊也 а = / з * по л учим

е*3 1/(р-/з).(8.29)

формула (8.29) дает возможность найти изображение комплек- са синусоидального тока:

强八…士叫

С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число/ .

I(8.3U)

/ /' = / —•Ер — /3

Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряженияI(8.31)

3=4字.

Функции е-м соответствует изображение 1/(Р + а) (8.32)е-м「1/(〃 +。)，

к Нзвестно, что функ*

§8.35. Изображение первой 吗:学:器*р'буется на$тн нзобра- инн/М) соответствует H3oQp]》：、H слИ известно, что значение *енне первой производной / '

（曙广m卅7门"［八小о

Интегрнро!

ванне npa

начиве

一川=" h

d|/Wl

изведем по частям ^dv ='"' 一 卜必(^, dr, получим

а叫叫-У*】

Ноа

е-m/(川= 0 — /(Q)= — /(°)，

о

— ,/(/) de~" = А，")"”— ,/(/) de~" = А，")"”d/ = pF(〃)・d/ = pF(〃)・

— ,/(/) de~" = А，")"”

— ,/(/) de~" = А，")"”

d/ = pF(〃)・

d/ = pF(〃)・

Таким образом.

j 挈 e-/d，= "FS)-/(0). 0j 挈 e-/d，= "FS)-/(0). 0(8.33)(8.33)

j 挈 e-/d，= "FS)-/(0). 0

j 挈 e-/d，= "FS)-/(0). 0

(8.33)

(8.33)

или

"⑴/力。"(p) - / (0).(8.33a)

M京学."зо6ра*ение напряжения на индуктивном элементе ^6раж1ниетока/равни/(р).3а|1ншемизображе11ие напряжения на厶•“ = /.斤口.форму耻(&33a),d〃d/ =• ”(〃)一 神门旧同一 значение тока/при/ = 0^. Следовательно,

di而=丄" (p).di而=丄" (p).(8.34а)(8.34а)фор§м^ ИзобРа«ениефор§м^ ИзобРа«ение^ d/ я Lp,期-团。) (&34) Еслн "0) = 0, то

di

而=丄" (p).

di

而=丄" (p).

(8.34а)

(8.34а)

фор§м^ ИзобРа«ение

фор§м^ ИзобРа«ение

ОР" производно话 Вез вы вода паМ

皿皿d户亍 P%S) - р/(о)_ j"gd户亍 P%S) - р/(о)_ j"g山山(8.35)(8.35)

皿

皿

d户亍 P%S) - р/(о)_ j"g

d户亍 P%S) - р/(о)_ j"g

山

山

(8.35)

(8.35)

鶴:非熙辞露:吟:喘二黑課"""。）быть н I…嚅 加----^

Следовательно, изображение второй производной тока i 竺 2

而『р / (р) — а(о)— г(о).

§М8. Изображение интеграла. Требуется найти изображение функпн” у (。d£ , если известно, что изображение функции /(/)равно ^(Р^/

Подвергнем функцию J/(/)d/ преобразованию Лапласа: о /со /

V")d， 。 "出"一：)，/")由如书.

Примем ^ / (/) d / = u； d(c ~叫=du н возьмем интеграл ночастям:

\/")df d((*f)= —— ^/(/) d/ e~ 叫 +

V(2P'd/

,。F'S)

+=

РР

Первое сл;наемое правой части при подстановке и верхнего и ннжпе1о пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела nyjH> получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию /(/)(см. §8.32) функция /(/), если н растет с увеличением /до все же медленнее» чем растет функция ed\ где а — действнтель- нан часть р. 11рн подстановке нижнего предела нуль тхиучим за счет

Прищеп и я в нуль ^ / (0 df. Следовательно» если /(О ="(〃)，“‘ °,(8.36)

j/(/)(I/ "(Р)/Р

§ &39. И юбраженне напряжения на конденсаторе. Напряжение |,;, конденсаторе wr часто записывают в виде 〃( =[)〃"・「* не /Ен“…Ч)ед^ы интегрирования но времени. Бо^с псиной ямх "”('/《、д\м“п；“1 заинек,

气产&；(0) + 白М‘'

где учтено, что к моменту времени / напряжение на кон力 определяется не только током, протекшим через него в и。"。析。。 времени от 0 до /, но и тем напряжением 々(О), которое на ]°Р°а吸 при / =Q В соответствии с формулой (8.36) нзобп^з . / 0 равно /(")/&, з изображение постоянной 〃*0) есть °* ' деленная нар. Поэтому изображение напряжения на к П°Ст°яНная записывают следующим образом:онДенсаТОре'

(8.37)(8.37)•驶」с(0)5季+ 丁

(8.37)

(8.37)

Приведем простейшие операторные соотношения; часть их ла выведена ранее, другая дается без вывода:

'0, (р+а)(р+> 尸』(ei‘ 一 e-深

~；—• == I — е—.Р(Р + а)・~；—• == I — е—.Р(Р + а)・9）； • IS+a） S+6）户。侦一釘-如-"；9）； • IS+a） S+6）户。侦一釘-如-"；

~；—• == I — е—.

Р(Р + а)・

~；—• == I — е—.

Р(Р + а)・

9）； • I

S+a） S+6）户。侦一釘-如-"；

9）； • I

S+a） S+6）户。侦一釘-如-"；

SSt；,^))может быть И 3：

Рав；,ен«ем 11ослЛп^0) Сии"адае-| .считают Iюложителfa- 266°МмУтацноц|1о : |,РОИЗНо^ьни ны бра иным поло-

ми тика qep- конденсатор.

/L纟 cos at;

回中•

而宀両丁戸L^x

20). ,2 l I

X(《s"-'&s M)；

^号京=欣山

26）近鼻尸丿。（/砌；

2"齐会N

22) I G 6 (/)；

23)?而

e~e/ sin bl ；

27)Ч-=1-ф

24）布户姉；

где Ф — интеграл ошибок Гаусса;

е—а 而 I а2

28)"——.=上「不・

р •师 ’

29)

е"~т«2+2Ьр

江2」田金一%"遮-五».

8.40. Некоторые теоремы н предельные соотношения. 1. Теоре- ма смещения а области оригиналов (теорема запаздывания). Если изображен не функции /(£) равно F(p), то изображение функции /(/—т) равно WF(p).

Теорема доказывается путем подстановки /(/ — т) в формулу преобразования Лапласа н введения новой переменной f ——т =厶, d/ = m，0一"=「性一叫：

\ e—〃 /(/ — t) dr = e—m 卜一叫 f 仏)d。= e—舛尸(p). оо

Пример на применение теоремы см. в § 8.60.

Теорема смещения 6 области изображений. Если изображению функции £(р) соответствует функция /(/), то изображению №Р — 入)一функция е* /(/)-

Доказательство проводят путем подстановки функции е /(/) в формулу преобразования Лапласа:

со8

,е-Р‘ ь/ a)*=k-зT)/ a)由=f(p 一九).

1/P?iподобия). Если функции『(А。一1/P?iподобия). Если функции『(А。一оО

1/P?i

подобия). Если функции『(А。一

1/P?i

подобия). Если функции『(А。一

Пример 87. Найти оригинал 1/(р + А)2, если известно, что Р е тени е: 1/(р + X)2 = e~u / ■

Теорема об изменении масштаба (теорема Функции /(/) соответствует изображение 卜(р), то

сражение - F/^ . а а

Теорем доказывается 亭炉…образом:阑

Ms 釘=^^IM d“)=卜(3W

Нахождение начального значения функции времени /(0. изображению функции F(pY十

//OJ =1 沛"1〃丿•

Это соотношение получают, если в (8.33)р устремим к бескоир ности. При ^ток левая часть(833) равна нулю."“

. Нахождение остановившегося значении функции време

/(о^ по изображению функции F(pY仙

"g =\m pF(р).

Соотиошекие получим, если в(8ЛЗ)р уоремим к нУЛЮ и 叮口 в；Г.=丨.В результате имеемУ ‘см，

*М =/(司-/(0) =Mm 産 W -/(О).

；,i

Их! И

/(" ="m"⑵.

奴>、二・”二：",'""5 "“ 2*<ад・》1/там«5,.з режиме годсрхи! в сьоем ^^ya*D7E(nX]r霖w]“ 廿，ч^^диуо), io понятие и I " у^К*/**з* ”2“рх”+р."妙 имеет (Я1ргде；1емниго

宁к 皿―ту,^япц^^чм^ л. 5 Точно i зк же не

4*В尸皿в^ц^.” W <^^*3""**ЯСМЛ7и* *<rr<MHMKQH, <4/1И 31M UMN с«м««“4 丄-。仙火 ю ： '' ' Ул I &*«прм0одмлючении псхти-диват^лыю . _""mi wm),…®…,痴屮…НИЮ I⑴

M “” i^^^^ Ejg*/

Bm J»" i匈‘心y心"小宀化〃 мп

—“,伍…•兇"的■…e…“…5

一計"伙"

5 Jифферении^ваиие в (власти изображений. LxfH /(Р)‘ 加"““ 一 d,="⑺ Д0К31Э1^Ы1Ы)1

НЗпример, если /⑴-lu，f口-亠“У 如 |

7,痴北度〃…。碗皿—.荘咿 田⑴ м 丁 “"—" Wy@<P)d〃—,

『0

8 y：s)dp=?8 y：s)dp=?Например, если /〃)= 1 —Например, если /〃)= 1 ——u—uf 。）心）=』f 。）心）=』—d〃P^P ^ ^}—d〃P^P ^ ^}P P + aP P + aM = e1L±£2pM = e1L±£2p

8 y：s)dp=?

8 y：s)dp=?

Например, если /〃)= 1 —

Например, если /〃)= 1 —

—u

—u

f 。）心）=』

f 。）心）=』

—d〃

P^P ^ ^}

—d〃

P^P ^ ^}

P P + a

P P + a

M = e1L±£2p

M = e1L±£2p

Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. Нз рис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. .Между узлами а и 6 этой цепи включена ветвь, содержащая 化厶,。и источник ЭДС ef/). Ток по ветви обозначим через L

Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммугаиии ток i = i(0_) и напряжение на конденсаторе 〃《= =ujO ), Выразим потенциал точки а через потенциал точки Ь Х1я пгллекоммутационного режима:

фс =也 +〃с +4 + "а — "(0；

% =屮《 —屮& = / +uL^uc-elt)^

厶更 вместо 〃с соответственноМс(0)+ 1( Вместо «£ запишем 厶“

ТогдаТогда%i+陽+*。)+牛-">%i+陽+*。)+牛-">(&38)(&38)

Тогда

Тогда

%i+陽+*。)+牛-">

%i+陽+*。)+牛-">

(&38)

(&38)

^-^s8a=^^

разованне〃ап4а(а、、ум・

МЬ，КаХ'слагае^(8.38)заменим операторным изо.

бражением: вместо/7? запишем R/(p)； вместо uab - Uab (р)；

.忆(°)

厶 / = Lp/ (")—厶/ (°)； uc(°)尸"~~—:

《口d/=^^ ©(/)；=£(")•0

В результате найдем

4八Р)=/(p)卜+р丄+2) -3(0) +"^" 一 £("). (&39) Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнение (8.39), связывающее изображение тока /(〃)с изображе- 臨)舐窯駕“ображеннем напряжения Uab(p\ Из уравнения

(8.40)(8.40)UaM^U(Q)- — ^E(p)

(8.40)

(8.40)

/(р)=2

Z(p)‘

seZ(p)=r —厶丄 J

ПИ между точками а 需.г 皿屮'"“…〒。〒 We участка * "'екса сопротивления曰。аналогична структуре ком-

если/(й заменить на р(спЦени переменному току,

「Какуказывалосьв Л и / 3)，

史ть записано в виде п-1 “产叫ексное число р = q + jb может ::窯iersa;脸匕(黑二/' = / Q,『дУ%—7—комп・ Zd『**°H uenw нозд睨£肃；吗丁吁.енне,оказы ваемое рас- 爲兇案 EIPOTHBJ®/()2 驚 и ° =U е^. подобно тому как У у pa BIW нЛ Ba/QT СопР°'г^л ением ° М °° 8()：以©証加“0 U е"〃 . Поэго- ной форме &4°)м()*・т бмгьн：""。*""。*'""" частоте.

ненуленмх J1 учае1ка иенн(!()此［；：皿'“)：'ак()н()м Ома в оператор- C』i闾牆脸一…叫Оно записано при

270“ 1н»ляет собой вну грешпоц) ЭДС, обуслов-

Рис. 8.27Рис. 8.27

Рис. 8.27

Рис. 8.27

ленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катзи

ра вследствие наличия напряжения на нем 心0) непосредственно до коммутации.尸

В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.27 изображена операторная схема замещения участка цепи рис. 8.26. Операторные сопротивления ее1/(Ср). Как следует из формулы (8.40),

внутренняя ЗДС 厶Н") направлена согласно с направлением тока /(〃)，внутренняя ЭДС Uc(0)/p — встречно току /(р).

В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e(f) и к моменту коммутации /(0) = Он “《О) = 0, уравнение(8.40)приобретает более простой вид: "

/(P)=4b(P)/Z(P).(841)

Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значении токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла «схемы рис. 8.26

什宀=0・(М2)

Применим преобразование Лапласа к УР^»™еюображе- пользуемся тем, что изображение суммы равн ，Р

ний:'

/|(р) +/(Р)+%(Р)=°，

(8.43)(8.43)воле-воле-В общем случае

(8.43)

(8.43)

воле-

воле-

£/(р) =0.

„ Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа РаюрноП 巾орме.

di。 ％一 A方一m而=0")- Wdi。 ％一 A方一m而=0")- W（8.44）（8.44）

di。 ％

一 A方一m而=0")- W

di。 ％

一 A方一m而=0")- W

（8.44）

（8.44）

. Второй закон Кирхгофа h раторной форме. 11^ ^^ р к（,1пура лобон элект|）цМ1*ской можно гоставиI ь уравнение II（） 11To聽 u1kohv Кирхгофа для м. новенннх > ）||1Й предвари ге.пьн（）нс（）бх（）Днм（） бр.ггь ц（）./1ожнтелы1ые наиравлеИИя пжов в вегвях и направление 迎工丁" контура-龜

Запишем уравнение по вт（）|）0Му kohv Кирхгофа 几口я контура рИс

обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности / . ^Shbi магннтиоЛри выбранных положительных 巧屮痴® 太 К /ков 6 и 厶 между 屮厶 имеет меоо cor.naciu

Падение напряжения на £（ равно —帀+ ‘”工7：""厶？ составляет

厶?那十川，.Прн составлении уравнения учтем, что начальное на- пряжение на конденсаторе равно 〃（*（））. Пусть оно действует согласно с током %. Начальное значение /（ = /ДО）, тока 厶=Л（0）. Имеем

厶I而+ М方+ "（：（①+ Q网山一%& -

^d^^^^^

%RkR/W（8.45）%RkR/W（8.45）

%RkR/W（8.45）

%RkR/W（8.45）

'?=匂4(")一/也(())；«i/i

/尸恤/(") 一叫您"加/"").

110Дставин (8.45) в (8.44),亜卜皿巾冋

)t перенесем н правую “асть%(&%，^[аемые с /г(р), 〃р), 兜С. В результате получим '，)/Р'厶网°川 другне внутренние

“")zy)+ /2Mp)+ /,(p)z《p)=、：

= %Р)-4р)+£“.⑺(846)

"z”) = р(4 - М)； z/p) = р(м j 卜 &； 4(р』/(ср)；

=(厶-№)+ --厶也⑼_—)/p

в более Общем виде уравнение (8.46) можно записать так:

Z"(p)Zr(P)=]以(Р).(8.47)

Уравнение (8.47) представляет собой математическую гшиск ：；^巾。PMR В состав 以р) в

. Составление уравнений для изображений путем использования методов, рассмотренных в третьей главе. Из уравнении, сос г а в.ч с и ных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вы- гекают соответствующие уравнения для изображения.

У равнения 口 л” изображений по форме ана л огичны уравнениям, состав；!енным для гон же цепи с помощью символического метода для комплексов токов и напряжений.

Но есл и каждому уравнению для комплексов отвечает соответствующее ура в пение для изображений, то все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенпна- •п()в, 11；1.1оже1шя и г. п.) можно применить н прн составлении урав- неннкт只 изображений.

Прн cocTJiB/ieiiiiii уравнений пл” изображений ненулевые иа- чяльные \ч\цовпя учитывают путем введения внутренних 3口С. обусловленных нача.чы!ымп токами через индуктивные элемен i ы и HauamhUhiMii iianiiMHveiiibiMii на конденсаторах.

§ ^45. Последовательность расчета операторным методом I ：；■ ?'("7)；」「срн1"м методом состоит из двух основных 31 а 1КЖ :呼口 П2 изображения искомой функции 叩еменн,'瓜pci 2 Сражения к функции времени.первый

На нескольких примерах покажем, как р “

""• НгориП эта и бу дет р зсс м огрен н§%・ /、 vr чопнях ч^ам^кают k.ikw.

(旅「冊讣 n& н схеме рис. 8.29 нрн i吗";；；,瓜遍卜 мешюм кпнпрных (оНпп 1н, «'нераторнью изображения гокоь " 一

решение. Направления контурн

Рис. 8.29Рис. 8.29川川d»u 3用+厶|"57d»u 3用+厶|"57+ 々#11 一餐)=e(f),+ 々#11 一餐)=e(f),н72 Hoказанн ня схеме. Имеем: ' “X 功收

Рис. 8.29

Рис. 8.29

川

川

d»u 3用+厶|"57

d»u 3用+厶|"57

+ 々#11 一餐)=e(f),

+ 々#11 一餐)=e(f),

"卜质山 + r2(‘22一i||) = 0.

Переходим к изображениям: /"(Р)(Р厶I + % + 仆)-餐⑷七=Е(р),

一厶例& + ®Р）（% +訳）=°

vA-mRMeHHHC ДВУМЯ неизвестными дает:

(8.48)(8.49)(8.48)(8.49)cw"f弋W+哈)

(8.48)

(8.49)

(8.48)

(8.49)

'")= р%2кС + Р(А/2c + 厶 I)+ R| + 总2

E(P)R2cp

/" S) = 了/?川 + 期選2e + &)+ % + R2

Изображение контурноготокя/ц(р) равно изображению тока /』р), изображение /(Р)_ изображенню/3(4 В(8.48)и(8.49) Доесть изображение ЭДС е«). ЕвнМк

=Е, то Е(р) = Е/р. если 弟)=£msin(<o/ + ф), то £(р) = %。—冊 и т. д.

Пример 89. Составить операторные изображен и я токов 八 н “ схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.'

Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных индуктивных катушек, то составит ь уравнение можно проще , чем по метода1 контурных токов.

Изображение тока

厶(Р)= Е(р)〃нх(р),мов^Рт(шппН(，СС0Пр0ТИМ^форме относительнозажи

ХкоД ззменжо^^к 叫"吶°"侬阿Р™£ •— переменного юм.

Входное операторное сопротивление

z/p) = % + p4 +，^名С" + p(厶I + /?田2e)+ № 理 /?2 + 已 ~"

Следовательно,

“Р)= Z^i =^( I + "/：〃)

УРзиненне(8Л8а)с^+明工R田道)+小+跋

М5м)тика 肌儿 ^пользуемся аналш ней с 側"“

仆

274274% + 1/仏心).

274

274

Следовательно,

/初)=厶。-^一.

■ + 1/(Ср『

Ест в последнее выражение Подс

”ен。Уравнение (8.49).，3 из уравнения (8.48а). то будет

Таким образом, безразлично какимудет

результат будет одинаков.'帥℃。6“ сосТа11лять .браженне токов:

Прнмер 90. Д〃8 схемы рис. 8.29составить

с吋 считать, что начальные уровня黨鹘*енне наиряження назажимах

Решение. Изображение напряжениГн：禦士吋吵 89).'…ах “зображення тока /3(р) на операторное сопр：тХеХ Хенс^：р：-ПР°ИЗВеДению

&М)=函)~ 二 (8.50)

p&Jc + m/RzC+ %)+ % + &•

Изображение функции

Мр)/М(") двух полиномов по степеням р 嵐悬卅尸。山ення

если принять Е(р) = £/〃，тоока /"(Р)в примере

N(p) =£(i +R?Cp);

"(Р) =UR2M+p(RRC + G +R|+Rjp.

Еслн в том же примере принять е(/) = Emsin(^t -|-ф), то

Е(Р)=乙—L~h

Р — 2

N(P)=%(l +R?Cp)；

財(Р) =(р — /叫"2/?24c +p(RlR2C + Ll) +& +&L

Обозначим высшую степень on叩атора р в полиноме N(p) через 几 а вне山ую степень р в полиноме М(р) — через т.

【асть корней уравнения М(р) =0 обусловлена характером из- мененн” во времени возмущающей силы, воздействующей на систему； осгальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее кон- Фигурацне^ и значениями параметров.

Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электриче- :кне цени, то во всех физически осуществимых электрических цепях 'Ри воздействии любых ЭДС всегда п < т. Лишь для физически е()су?ествнмbix электрических целей степень п может оказаться J："。" /z/- Пример цепи, для которой степень 3 ："皿 степени /〃，дан на рис. 8.30. Если

J，', чт。со и роти вление проводов и внут- "ее сопротивление источника нулевые, то

、 Е/р ЕСр«〃)= * = 丁

ч Переход от нзображення к Функции времени. В §

Лилось ^вторым этапом расчета переходных процессов ? 嘰器;篇рзтор/。метода является переход от изображения : 離矯遅』операцию можно осуществить различным： ПуТПервый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и Функциями времени /. 1асть формул Кветствия приведена в § 8.39. В научной литературе имеются специальные исследования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охватывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения М(р) = 0 есть несколько одинаковых (кратные корни).

Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения в § 8.49 выведена, исходя из предложения, что уравнение М(р) =0 не имеет кратных корней (при наличии кратных корней формула разложения записывается иначе — см. §8.50).

Третий путь — непосредственное применение формулы обрат- ного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. §8.50).

而орму』ой разложения широко пользуются на практике и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени.* ? р ада от

Рассмотрим два примера на применение формул соответствия 鼠界噥:謂四皿 вопроса иразж)жении сложной常:

:n：叩皿 к внвоАУ Формулы разложения.

нм:川)= 2.5/ А•版芻嗎紀笈密；暦Г тока линейно нарастает во време- во времени тока /| через резистор R ，С — 2 мкФ. Определить закон изменения Сопротивление 口叩；：需爲::©：；：：遇9%° 2,5/р? (см. соотношение 12 § 8.39).

Z(p)=——

Изображение тока через R RCp 十 |'

厶(")=飽犯=里

RC p2(p + QRC p2(p + Q「耻 a=l/(RC)=i2,5c7,R

RC p2(p + Q

RC p2(p + Q

согласно С1Н»тношени1о 8 § 8.39,

— - ， * I

曲P + ,产，/ -e一叫.

<!(/) = 2,5|/ -о.О8(! - e-^i л

Пример 92. В схеме пне. 8 八

=#• На 打 н/ = /(/)« 4 =而,\ та%.郊W； 丁。=呼一:R = 2 Ом.丄= Р е 1,1 : 2 H ° Согласно соотни„1е,1И1о 2 $ 8 二二'冲"I = I с.

брпженне l/(p + и). <-лсд()вагСлЬНо 」'巾У"кинн с d/ ссмхвотсгиуст клг

^-^

Z(p) = R + р厶

/(〃)= 94 ^2ioo・ I

ZS) (" + 础口厶 + R) - т^ — +」 100

~ = 25 А/с； 0 = R/厶=0,5 = а; /(р) = 25~

(Р + а)?

皿 “мн wm 5 § 8.39 誌产=е * I key «/) = 25/e 一旧

Напряжение пн 厶：

〃厶=厶9 = 1()0е 一0叫 1 - 0.5/).

При / = I c j = 25・ Ie 心=15,15 A; 〃厶=100c 7, _ 0,5)= 30,3 в

§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса мнтс- матнкн известно, что дробь

N(.v)"“г" + %_ м" 1 + …+ “卢 + “()(8.51)

MR Ьтхт + 端 _|/"-“ + ... + —х + —

"Ру у слов ни, uro 〃 V "/ н полмном М(х) = 0 не имеет кратных кор- Heii, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

N(x) I . , II

硒= 4『 + /f+・+'%7^'(8.52)

Или

части \ ранне(8.53)части \ ранне(8.53)

части \ ранне

(8.53)

части \ ранне

(8.53)

к、л;. —- корни уравнения М(х) = 0.

牆…)牆…)* 一内* 一内儿/|力 определения коэффициента А( ум нож нм обе ""” 252) на (а--占).В результате получим

牆…)

牆…)

* 一内

* 一内

闱 53)при l» Правая часть уравн^ Рассмотрнм выражение^ т со6ой неопределенность, Так Р ： 4 а левая предстзвин знаменатель M(q

噴曬1总(…)喘U閣…Уравнения叱)=) “'ктак*еравенн”》°[ I п0 правилу Лопнталя. С этой

"二焉£ неопределенное ^ р^®。На производную отзна. целью производи?^ дроби：

менателя н наиде fN(x) + 卩一丸四'(幻 _ №

“пД素J"一而爪"’

…по х М'(х)— значение М'(х) при х=

■ M"i№W喘案；Г

=х,; ^xj-знамени С) Р ПОЛучаем уравнение

(8.54)(8.54)Следовательно, нз (8.эЗ) при х-

(8.54)

(8.54)

N(Z)/M'(xJ = 4，

m.目「三■"(qI 丽*丽JF；m.目「三■"(qI 丽*丽JF；(8.58)(8.58)

m.目「三■"(qI 丽*丽JF；

m.目「三■"(qI 丽*丽JF；

(8.58)

(8.58)

или

4 = N(xJ/A1" J

(8.55)

Аналогично.

4 = N(xJ/”(xJ

(8.56)

Таким образом, ад MN

1^1

N(J) 1 .

(8.57)

m(I) 一勇川■

—Xj M\t^ x — х^

M'(J)x-Xe

Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби 1 /(/ + 5х + 6).

Корни уравнения М(х) = 0: / = —2, / ”х) = 2х + 5;М(“=-2・2 + 5= + 1；М”2)= - l；^xA=N(x2)= 1. По формуле (8.56),

4 = N(“/M”])=]/(+ 1)= + I；

乙=NGJ/MMJm — 1.

к фу™^рК ча^о п5оизвГеРеХ°Д °Т нзображення N(p)/M(P) производят с помощью формулы

^^^^ Формул^^^^ Формул也=V Ng) m(p)-?| 丽у也=V Ng) m(p)-?| 丽у(8.59)(8.59)

^^^^ Формул

^^^^ Формул

也=V Ng) m(p)-?| 丽у

也=V Ng) m(p)-?| 丽у

(8.59)

(8.59)

.Певан часть формулы является функцией

веТствуютеи ей функцией времен；/ И 〃 пРавая часть — Вывод Формулы можно осущесАитк 门

гксть изображение какой-либо функции L дующим образом.

£；)=МР)/Л”")・• времени, например тока,

Чтя получения тока как (Ьункиии

亜』• МР)/М(Р)в внде су；1Mbi пр嚣署「偉：Р^^тавим сна- 向/М(Р)・ С этой целью в формуле (膝)糸漿？ V滅^ /(川、狙=yз」_(8.60)

(Р)^^^) Р- Pk

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой 曙黑靠；()• Орнгнна』правой части равен сумме оригиналов ее 四汗盜U。МН°ЖИТеЛИ М%)/М'(Р.) у с/агаемых суммы правой иастн (8.60) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме того Мнкиннмн р в правой части являются только множители 1/(р — ％)； им соответствуют функции времени вида е * (см формулу (8.28)]. Поэтому屮》

N(p&)

(8.61)(8.61)吁区造

(8.61)

(8.61)

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции /)с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобра- жение представлено в виде суммы простых дробен 可祈^~—. а

оригиналами их являются показательные функннн :，.

Число слагаемых ——上皿 равно числу корней уравнения "仇)

М(р) =0. Коэффициенты N(p^/Mf(p^ можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравне- ний) цепи в классическом методе расчета. 〃

Если среди корней уравнения А4(р)=0 есть нулевой корень (Р = 0),тоему в правой части уравнения (8.61)соответствует слага- 叱焼屮=嘤 Слагаемое N(0)/M，(0) представляет собой со- став/яютую искомого тока (напряжения), обуслов.1енную посто- ннннмн вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих си^ в схеме нет, то N(0)/”(0) =0. 、

¥.н。сделать некоторые замечания к Ф0^? ； * ^ q ных усло.

Формула разложения применима при лю • напря*。 北 X И прилю^х практически встречающихся формах напряже 肌 Сочника ЭДС или тока, воздействующего на схему.

ТО в состав Мр) нойдугТО в состав Мр) нойдугне нулевые.не нулевые.Ум^ить внутренние ЭДС на /необходимо потому, что только %3 на.1ичие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части о/правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не ну ж но.5. е£н воздействующее на схему напряжение синусоидально,Ум^ить внутренние ЭДС на /необходимо потому, что только %3 на.1ичие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части о/правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не ну ж но.5. е£н воздействующее на схему напряжение синусоидально,в номв ном

ТО в состав Мр) нойдуг

ТО в состав Мр) нойдуг

не нулевые.

не нулевые.

Ум^ить внутренние ЭДС на /необходимо потому, что только %3 на.1ичие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части о/правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не ну ж но.

5. е£н воздействующее на схему напряжение синусоидально,

Ум^ить внутренние ЭДС на /необходимо потому, что только %3 на.1ичие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части о/правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не ну ж но.

5. е£н воздействующее на схему напряжение синусоидально,

в ном

в ном

о Если начальные условия

вю；рениие ЭДе> 。имесtк啾叱5叫咏 飞工皿 уравнение .нм в 巾срмусс (8.61), оказы.

к°РМ то^^н н сумме дают действи-

窿畢普常餐у®…….у ЭДС синусоидальна： £：「：；〔 и изображение ЭДС взято в видегде 皿小

E.sinw 十屮/=£ У то при использовании формулы раз.

лексная амплитуда :小 перехода от комплекса к мгновец. ложения из правой^ ； коэффициент при / (взять мнимую ному значению сл^ЭДС, которые появляют-

■т/В：。：：吃需С。爲亜 ||ри ненулевых начальных 黑凿黑■縹湍北®。。ЭДС должны быть умножены

то принужденная составляющая решения входит в число слагаемых £ :；%叫 и определяется корнем р =/%). Вычисление принужденной составляющей н виде члена этой суммы, cooi ветствую- те「о корню р = /и*, д^я сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с iiomoijiuo символического метода. Поэтому для сложиых схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычисля i ь символическим методом.

(-помощью формулы, “сдобной формуле (8.61), можно опредс- /Я1ь не только токи и напряжения, но и многие другие функции времени, заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и г. и.

имя JX：：：W：「：：？：：：'•"“，0К ']^11 схем(, рис Н 17 с iiomduuiio формулы разложи- Е = 150 В; R 二曲=霜烈曲'W к；;：：си»ким мечодом (см. пример 80), если р ОШ Г и и Г ГпгЛ Г "м/, = 100 мкФ, |/с(0) = 50 В

имен к ннду, Min началыиip "°сЛ，К(，ММУ1 а,1ио|,,,уи» операюрпую схему (рис 8,32)， У", кХ^Ьну. ренням ЭДС 〃,({))% uww?

|чыпмус)нанйппанЛрця册丿‘切 »нрижсн до наиригкения и(.(Щ нж(>м и.

/ обозначим <п(р)н определим .' "*>' 乂〃)Узел 〃( х(・мз зиземлим. 11<п(.чшиял уз"*

"叫)WM ею пи методу 川心心 i.oiernuui^m:

28。28。MWHM ЧДС %：：(：：；；；；：：?""» ИЗ формулы рн:и1(|Жеиим берут пок»му. *П° мннмнм час]I, ком||л(.кса /：“「""(см.「儿：')，

28。

28。

А I мг(0)

3636…万福+才行 q 1(川j丁.

36

36

-+E+®

lU,закону Ома м* участки цеин v ^几匸

После преобразований

诵/Elk譜

ypRHHCHHC Л1(р) = 0 им ее I корни

поэтомупоэтому“I = 0 н р? = - ... = — 400 с~1

поэтому

поэтому

N(P|)= £ = 150;

Мр2)== (15()—50)・50・ 100(-400).10-6+ 150 as _50;

•М'(Р)=沐附3。+ % + &{；м‘(Р|)= м)о； Arg»-100.

Ток к схеме рнс、8.18 .150 . (-50)e*w.

而+ ^10。)=1，5 + °，5е"А,

что совпадает с результатом примера 80.

Пример 95. Пай ги /(/) в схеме рис. 8.19 путем прнмснепия формулы рал；|оження

••сранннц, p^j|j|hTii г с результатом решен и л той же задачи классическим методом

Р с iu е н н е. Изображение синусоидальний ЭДС 127 sin (314/—50*) e(p^ет~~, где %尸127e-阿・ B.

° (Хеме ненулевые начальные условия;

/(p)(&?+"厶)=山用+l(0)i(°-)=-25.35 a,

^какдейстнующая н схеме ЭДС сннусондальна н изображение се взи го в оидс ^^^1\-^Мп^к^^^^^^

п^1，пХ'，ПЖе,,нм ^И'Дует нзяп. к。冲ф"1 世н〔冲"мнимой части (см. п. 4 § 8.49).

:} \ мн()жцМ нцу I репнюк» 3JIC / »(0) мн /• °c,,v ,,e^(Mhiiuix преобрп.юваний найдем

——&+“「= МР)

^^М(р)=(р-/зХ 他+—I

„ 一痴c j н。2=_仙/厶= — 210(1. n()9T0 Урлиненне У (W корни 〃尸屮二…二，§。力叱

M^R^pUp-i^ M 的)=2+3/=3.6le,

"例)761匹。3，6…"'.)=泌叫J

t。К卜27。他-m47,注-西’乳一200:

軍)=g -3.6-俞+3,61。-"236-

=35,2sin(<.)/-l06o209+l3Jsin4 0°l6,c-2,o/A;

13,1 sin40* 16Z=8.45.

Результат совпадает с результатом примеря 81.

§8.50. Дополнения к операторному методу. I. Для перехода от изображения ^(р)к функции времени /(/) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

.(а)

/⑴=£7 Т /(p)Wd〃.

v— /оо

，у：киня /?(Р)аналитична нобласти Rep> v и стремится к нулю при |р|-^ оо. При практическом использовании этой формулы ин* 胃BR"。“конечно# прямой, параллельной оси ординат, замени- F(p) н""“м "HierpaJiOM, охватывающим все полюсы функции

(6)(6)#)嗡 m(""〃.

(6)

(6)

в беек黑黑优耽丁 :У”ення Р，ПРИ которых F(p) обращается —инея 忐:隙盜：1 紀閣父(〃)=М〃)/М(#, .юлюсами ного11еременно1чш)ка п1нЯРтг. ' В тео1)ии функций комплекс， на сумме вычетов! Res I i)"i ”" "Ранах часть формулы (б) рав- сах,т.е. И<ь) подынтегральной функции но всех ее полю-

前 0 —gy Res/：—

8"Qe фJ

этой УМень,,,а^тся^азмлсТ|им^ называют величину, на

Ьункпнм, когда контур ппи !* ，，а ?"/ к°нтурцый интеграл от

■ас. Но вычет функции "(〃)/ °")《 тнгннаннн пересечет этот по- м(р)° в простом полюсе /〃 равен ；瑞е"・

Поэтому

/")= V &1。嗯LМ仇厂

Такнм образом, используя обпаги^

вывели формулу разложения (8б［；‘ 叩“勾町口丹亜価 〃w。

2. Запишем формулу разложен；."噂即

Положим, что уравнение Affnj^n^^P»1 наличии кратных > 历),корень^ кратности ги корень P^S^^ (凸 £二

9 _ j "%)I /7 物)-4"'仇)(I)!茄口

N(P\p—p^^

X

Пример 96. Найти оригинал

Решение. Корню р=—а

N(pX〃一pJ、P/

Pf, (6 一中77X

」"=р$

"回_ I мp广丽^

соответствует оригинал

корню "=о второй кратности — оригинал

m'(*一二=тё.

ddp

/(" +。)

р=0

(I = d〃 р=о

М S + а) — е“(Р + а)?

Следооа гелыю, —~!= ^ 一 * 丄—丄

〃"(〃 + 〃)’ а?十。/

i^jnoC * Переходная проводимость. В § 2.15 указывалось, что ток ilaj )01^ ветви схемы может быть представлен в виде произведения 顺；；［'”“"Uja входе схемы на собственную или взаимную про- 口山："火， ‘ = Ug.

I череходных процессах это соотношение также имеет силу, на “ход какой-либо цепи в момент / = 0 включается постоян- ра«，屮"**|川6 U(ЭДС ?)，丁° т°к "/)в любой ветви этой схемы g(/)・ 11 Р()нвведен и ю постоянного напряжения U на проводимость

«/)=/(/).(862)

恢"1'Рсхо川м)м процессе проводимость является функцией н，поэтому в скобках указывается время f; g(0 называют

н тех жен тех жеОна нзмгрягтсяОна нзмгрягтсяединицахединицах仙加 〃p〃，“"W〃nw・叼累黑X黑體穿湍黑"丿='…（…⑴,T. e. "，：:二2霜薪M"閃A 川而 i C Y?енне равна 1эг<>й пгт ни г.рн 1юдю1и）чении …“ к источнику постоянно- ： * ； 皿 к1 В 九i“c”A⑺#“，叫皿м на т。, какую именно щюволимость имеюгн килу И ли индексы одинаковы, го нмгнтг о ннду соб（ твеииую игргходную Пронодимость кетви, но- кот叩（泊 com неге г пуст цифре, указанной н индексе; ^сли и идеи- гм р^；|иые. го 一 проноднмость между темн не гвями. номера которых укипим л иилсксс Няпримрр, если ИСТО<1НИК постоянного仙加 〃p〃，“"W〃nw・叼累黑X黑體穿湍黑"丿='…（…⑴,T. e. "，：:二2霜薪M"閃A 川而 i C Y?енне равна 1эг<>й пгт ни г.рн 1юдю1и）чении …“ к источнику постоянно- ： * ； 皿 к1 В 九i“c”A⑺#“，叫皿м на т。, какую именно щюволимость имеюгн килу И ли индексы одинаковы, го нмгнтг о ннду соб（ твеииую игргходную Пронодимость кетви, но- кот叩（泊 com неге г пуст цифре, указанной н индексе; ^сли и идеи- гм р^；|иые. го 一 проноднмость между темн не гвями. номера которых укипим л иилсксс Няпримрр, если ИСТО<1НИК постоянного

н тех же

н тех же

Она нзмгрягтся

Она нзмгрягтся

единицах

единицах

仙加 〃p〃，“"W〃nw・

叼累黑X黑體穿湍黑"丿='…（…⑴,T. e. "，：:二2霜薪M"閃A 川而 i C Y?енне равна 1эг<>й пгт ни г.рн 1юдю1и）чении …“ к источнику постоянно- ： * ； 皿 к1 В 九i“c”A⑺#“，叫皿м на т。, какую именно щюволимость имеюгн килу И ли индексы одинаковы, го нмгнтг о ннду соб（ твеииую игргходную Пронодимость кетви, но- кот叩（泊 com неге г пуст цифре, указанной н индексе; ^сли и идеи- гм р^；|иые. го 一 проноднмость между темн не гвями. номера которых укипим л иилсксс Няпримрр, если ИСТО<1НИК постоянного

仙加 〃p〃，“"W〃nw・

叼累黑X黑體穿湍黑"丿='…（…⑴,T. e. "，：:二2霜薪M"閃A 川而 i C Y?енне равна 1эг<>й пгт ни г.рн 1юдю1и）чении …“ к источнику постоянно- ： * ； 皿 к1 В 九i“c”A⑺#“，叫皿м на т。, какую именно щюволимость имеюгн килу И ли индексы одинаковы, го нмгнтг о ннду соб（ твеииую игргходную Пронодимость кетви, но- кот叩（泊 com неге г пуст цифре, указанной н индексе; ^сли и идеи- гм р^；|иые. го 一 проноднмость между темн не гвями. номера которых укипим л иилсксс Няпримрр, если ИСТО<1НИК постоянного

няпряжеиия 〃прм лущеных начальных условиях включякп в нер・ пую ветвь, то ток первой пени» /（ （/） ± 〃《“ （/）• а ток третьей ветви 厶"）- 〃畝"⑺

Исргходнуи» проводим（,гг». М1；жн（> опреле；1ип> рисче i ным либо опмгным путем Г1ри рягчгтг 乂“（/） куп1сси»1сским или оператор* ммм методам гои А ветви и я ход я г при нкл юиеи ии источника посто* wmhou） напряжения н /г-tw i вь. &“（/） т“к % м、тнн вычисли ют при ик；|И1чснин источникя постоя иного напряжении U н 〃1 нс"”,. Далее, н полученных формулах полягслог IJ - I 11 | |ри опы гном определении п^рехпдной п|ки1одим（）（ I и гок /（/）соответ（ 7нуК）щей ветви нахо- путем оецнллографиронании.

w上‘二""“'“ WAW'，""（'&也■修虐* Зтп CtWgF"） вытгкярг из симметрии ，，力Ft。w，，глияной лиАгоиалн

（〃；；：；：：，И：；怨'#*"Т" "° “"W&g”（资 июбражгнне иронолнмостн «- （^ 巾…”當w “ “塁Ж「“■例 двух "м"）一 RmW,* "' раним и гимн игремодные ирония им пег и. т &

ШОНИ

ггр«и»г>г# L中;;:W：：；：；'：〕："' °m% “тона игргхолнме процессы распр0* 牛”与 Аиру・"ц ““с叩""■"" процгссои г горем п нлаим пости

"…痴i當*二吁厂阳（―心и е рие. 833）： R ЛюбоЛ

•ЖЛГН^НИГЫ иг ГОМЦИК4 ЭД（''叩*"）川"刀 “ "p（，l""f /, IWTJIH 〃〃）. ВЫ1ЬП*ЯрМЬ， "WTU 加 二 “"''” "'"E」俸融 M *3. 〃）, "HP" тку iMpexmUior" 恤…舟外叱УС*7砂宀…исгочникя ЭДС，，乂/）н》немь

§я,52. Понятие о переходной функии 口

；；.и^хсмы ^^

叩,мм“ и пронорциональное 亜耻，配君[然？"""з^ функцией uob(i)=Uh(l) Унапряжению U:

«/) переходная функция, Это⑻必)

；енио равняя напряжению между г)：：；熠冊恤 величина, чис- пхоД подать постоянное напряжение в I в-1н° ‘хемн, если на ее моЖмоппределить расчетным либо опыт^；^*；；ак *「как и 区⑴,

ПМ" 97. Sy f м，叩。в Wb J£

p c Hl P и и ? . При замыкании ключ；.

一 Rf')

Пполрглрлению. переходная проводимосгЛ,

〃八』Равна току в цени лрнЕ== | в

Зетн/пеАкне. "(/) =》(1 — е J)

Пример 9R. Найти собственную переходную 皿

娥询卅 н переходную проводимость между тоеткРй7?.СТЬ ПлрВ0Й ветви ^\^ игрехолиук» функции» напряжения на конденсаrope hветвямн g、N)н

рямегры схемы:勺=1。00 Ом； 〃尸 2000 Ом; С 黑 ‘^〃 рнс 8 34. Па- р г tn р и и е . 11(» онрелглению.

厶=«Кц(0；厶=^gM(t)； ис = £喩⑴.

С иом(ицьн> клнсгического мегодя определим

. ЕER?户

'广瓦与®+同了丽也产吊皿

R?〃с = Е^Т^0R?〃с = Е^Т^0R【+ А?R【+ А?

R?

〃с = Е^Т^0

R?

〃с = Е^Т^0

R【+ А?

R【+ А?

Пол a I aw н этих формулах £ = I В. найдем:

Поде?л>Поде?л>。")=.+ . + . (Ri + &)° & 幻/心I(/)= »*； "“("n^T^O-e *

Поде?л>

Поде?л>

иткя чис л оных значений дает:

^п (/) = 0.00033 + 0.00067с *"См;

«.и (0 да 0.001 е ^См;儿с =争 I -(* "‘)•

Ч^м.гИМер "• °«Чи«дглнгь нзяимную "4>еходнук)проволим^гь меж^ '"「мм рис. Н 4. 〃 при н増吗:；7Ho?上二(ОбмкФ р 11 Их HI л «1С И них ЦЯрЛМСТрОН /?| e A2 n “ м, “

四 н М （，）四 н М （，）И Н “ И 1()бр/1ЖРИИС ТОК ЛW

四 н М （，）

四 н М （，）

р1 %L[C + MR】RW +

Рис. 8.34Корниуравнен,<яЛ*(Я)= 0(см.прнмср76):р1 =-100 4-/1^Рис. 8.34Корниуравнен,<яЛ*(Я)= 0(см.прнмср76):р1 =-100 4-/1^

Рис. 8.34

Корниуравнен,<яЛ*(Я)= 0(см.прнмср76):р1 =-100 4-/1^

Рис. 8.34

Корниуравнен,<яЛ*(Я)= 0(см.прнмср76):р1 =-100 4-/1^

_ j 黑以я f=IB.n ссютпетствин с формулой рязлиження найдем

R。Се"”2 Се"

⑺=2rl % %С + (% A2c + 厶丿 * 2& % 丄 I ° + 依 IA2c +。[ J '

Ппак подстановки значений паряметров. корней ^( и р2 и исиользопания фор. МуЛМ М -产)/2/' = sinx получим

心1 (/) = 0,01 e-,00/sinl00/ См.

Томим образам, взаимная переходная проводимость между третьей и первой ветвями схемы рнс 8,4, о при данных значоняях параметрон как функция нремени представляет собой затухающую синусоиду.

Пример 100. В схеме рнс. 8.35//(/) = 1703п(314/+ 30°)В:%= 10 Ом; /?г = 5Ом; /?з= 15Оы; /.J = 30 мГн; /.2 = 50 мГн： М = 25 мГн. Пинги <| (/)с iiomdiui.k) формулы разложения.

Решение. Составим уравнения по методу контурных токов:

厶。)因 + & + р 仏I + % + 2М)] - - (р)依2 + “ (厶2 + 財)1 = u(p)；

-厶 S)网 + P& + M)l + /2(P)I& + 心 + "A】=仇

Совмсггние их решение дает •

仲)=一，L吧~。叫)一出

S -加X0.000875P2 + 2,6p + 275)—攸〃)’

Корни уравнения М ( р)=()：

Р|=314/,р?= —2860нрз= — 114с 7;

М'(Р) = 0.000875/ + 2 6о4

'十 p + 27,)+ (p 一 №)(()o()] 75 〃 + 2,6);

M〃|) = 430li叫 N(p2)=|23"70/g

N(〃”= I4,29・I7(M°・ Л化“ \ 仆a /77-*

A。= IniA。= IniN(P|) w+N(P|) w+=1叫5,13/川-8.仲)+ 3,0М仲 u〃工0=1叫5,13/川-8.仲)+ 3,0М仲 u〃工0^L 〃 / N(〃Jm…z砧严+ 3.03(屮姉"44, e- 2Ши +^L 〃 / N(〃Jm…z砧严+ 3.03(屮姉"44, e- 2Ши +I.I(i(. 2暇》I.I(i(. 2暇》5』3 sin (о»/ _ RR。)— 4 l,97e И4/Л15』3 sin (о»/ _ RR。)— 4 l,97e И4/Л1ToK，仇i®J • M'(P2i30/R ”(〃3)=806c —川叫

A。= Ini

A。= Ini

N(P|) w+

N(P|) w+

=1叫5,13/川-8.仲)

+ 3,0М仲 u〃

工0

=1叫5,13/川-8.仲)

+ 3,0М仲 u〃

工0

^L 〃 / N(〃J

m…z砧严

+ 3.03(屮姉"44, e- 2Ши +

^L 〃 / N(〃J

m…z砧严

+ 3.03(屮姉"44, e- 2Ши +

I.I(i(. 2暇》

I.I(i(. 2暇》

5』3 sin (о»/ _ RR。)— 4 l,97e И4/Л1

5』3 sin (о»/ _ RR。)— 4 l,97e И4/Л1

§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим расчета переходных процессов в линейных электрических расчетом с помощью интеграла Дюамеля.Прн использовании интеграла Дюамеля переменную.§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим расчета переходных процессов в линейных электрических расчетом с помощью интеграла Дюамеля.Прн использовании интеграла Дюамеля переменную.методом цепях ——

§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим расчета переходных процессов в линейных электрических расчетом с помощью интеграла Дюамеля.

Прн использовании интеграла Дюамеля переменную.

§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим расчета переходных процессов в линейных электрических расчетом с помощью интеграла Дюамеля.

Прн использовании интеграла Дюамеля переменную.

, по которой производится интегрирование, обозначим，，а под / по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в пепн. ПусIь к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени / = 0 подключается напряжение и (т)(рис. 8.36).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжен и я 〃(0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение 〃(0) в момент времени / вызовет в цепи ток и (0)х Xg (О, где g (/) — переходная проводимость. В момент времени т + А г (рмс. 8.36) возникает скачок напряжения

Ди«— Ат = uf (т) Ат.

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени /, вызываемую этим скачком напряжения А〃，необходимо 〃彳т) Ат умножить на значение переходной проводимости с учетом времени Действия скачка до момента времени /. Из рис. 8.36 видно, что это время равно / —т - Дт. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет и^т) g (/ —т — Ат) Ат.

11()лный момент времени / получим, если 11росуммируем все частичные токи от отдельных скачков н прибавим их к току 〃( О )g (( )• W) = w(0)p(+ X"，(т) g (/ 一 I — Ат) Ат.

"hcjio членом"суммы равно числу ступенек напряжения. Oqe・ Wiu。，чг()ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную крн； ВУ№，чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный "нтсрвал времени Дт на бесконечно малый di н перейдем от суммы к "нтегралу：

(8.63)(8.63)“0 =u(0)g(/) +\『(t)g(DdT・

(8.63)

(8.63)

т “НГ，'，'。" "'" Дкш.челя.

Формулх (&63)на*；弘амнп можно наПтн не только тОк, Нп

если наесли наС помошью интеграла ве1ИЧИНу. например напряжение J “ .1К，6\К> 巾门2 巾册大WouepCii "P<wocTHg( / 汚法 ；томслучаевформу. евм^ "/), ес.】н на входе цени действ； входить переходная Ф^нкии()п одное сопротивление/? (7 …与誌制閣急…，W.),

если на

если на

^«•^^^

*卞。прежние переходной проводимости ^ ( / ) (переходной 吗靠爆霖窮:瑞ЦзЗ: Це；，ьЮ в中。рмуе о g")£o2匿:嚣需3；)”。「。находят производную от задан- ногонХяжения “( / ) 口。времени / и в полученном вь.ражении заменяют / на т：..'•丄

подстановка найденных на этапах 1, 2. 3 функции в формулу (8.63). интегрирование по переменной т и подстановка пределов.

Прнмер 101. Найти/| = /(Г) и 〃2 = /(0 при замыкании ключа из схеме рис. 8.37,а. Напряжение источника ЭДС 〃(/) = 100 (I — е '")В; а = 0.25 с " R = °,5 Ом; Li = =1 Гн; .М = 0,5 Гн.

Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно включенных R a L, g〃) = /(l—е~ ), где

h = R/%; g(，- t)=》1 — e-ft(,-,'|.

Первое слагаемое в формуле (8.63) выпадает, так как 〃(())= 0. При этом'")=^")°(1 -e7')= Н)0ае~“'： /⑴=Юоu e-ul;

i(/)= ^ u,(T)K(f-T)dT = 122e.c,,

При интегрировании учитываем, что е^<от，не зависнт.

4(0 = 200(1 +е-°-5<_2е-о.25<)А '

На|1ряЖение на зажимах вторичной обмотки

叫

勾(0 = М м = 50 (е— _ е-。叫 в

$ 8.55. Применение интеграла Люамрл。-.

§ ° …「】、,,、“ W У Аюамеля при сложной форме напряжения. П>оь напряжение и(/) изменяется во времени ио сложному закону, например всоответствии с рис. 8.37, б. Начальное напряжение равно “(0). В интервале от/ = Одо/ = Г1 напряжение плавно расчет, и закон его изменения ut (t). В момент t = t^ оно меняется скачком от иа до 勺，а затем снова плавно растет, но уже поПРУ「°МУ закону w2(/) во времени. При / = /2 напряжение скачком уменьшается от ис до нуля.

Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от / = 0 до / =厶(не включая скачка напряжения от % до %)； под вторым ——от /| до 厶，включая скачок от иа до %, но не включая скачок от и： до 0; под третьим — при /»户 включая скачок от ис до 0.

Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под I фиксированный момент времени, в который требуется наити ток. На основании принципа наложения ток в любой момент времени f определится как сумма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента t.

В первый интервал времени

/(/) =〃(0)g⑺+\ 吟(T)g(f т)"

Во второй интервал времени

/(/)=“(())&() +\ 吟(T)g(「T)dT +

一八)обусловлено一八)обусловленоскачком напряжен няскачком напряжен ня心⑴ g（j）&'

一八)обусловлено

一八)обусловлено

скачком напряжен ня

скачком напряжен ня

；""i；u ；K、Moe (uh — w(J) X(/ I "“ н % н момент времени

ioioМ G&1М G&1

io

io

М G&1

М G&1

В третий интервал времени(i

/ (/) = 〃(0)А《)+ I 〃1 ⑴ g 〃 一工)dr +

+ (/ — 〃Jg〃一厶)+[〃‘2(T)g(/ — D dT +

+(o — 〃J g(/ — /J.

рис. 8.37. а в момент времени / = 0 замыка-

Пример 102. В электрнч сияется в соответствии с рис. 8.37. 6; и (0) = 50 В. ется ключ н напряжение “(] 4с наПряжсниеui(/)= 150—100е~" В пер^иннтеруалвремениот^ °т / i = 4 с до/ = /2 梵整⑴工 Г；；_「|00；-«-"). где с = 0.4 с-1. Параметры схемы рис. 8.37, a R = 0,5 Ом;切= =，Найти7ятнХе^ во времени для обоих интервалов времени,； так爷含匿广禺関,％：體 | j4 переходная проводимость * '

風)= J(l_e-”； b = R/L = 0,5cj g(l — т) =/|I — ef‘一力].

В первый интервал времени и”) = 100 ae~"aT. Поэтому

厶⑴=u(0)g«) + “' (т) g " — т) dT =о

=噂(1 -L，)+ 陪\「"1 -ef-)](k =о

= 100(1 — L°叫 + 200(1 + e-叫一2「Q•叫

Прн I = 2c 八=100(1 —©7) + 200(1 + e-1 — 2 e-0,5) = 94,9 A.

Во второй интервал времени (включая скачок / — ua = 36,9 В)

w'■-Сw'■-СНН de rrНН de rrНМНМ2)=啲则)+ у I (Т) g (, 7)/ +(” 一 咽 g V f)+ j 心⑴ g (―)此

w

'■-

С

w

'■-

С

НН de rr

НН de rr

Н

М

Н

М

ИИi“)=l00(| — с-。％200to《в? _ "ценi“)=l00(| — с-。％200to《в? _ "цен一bПР蛆=5 eg 204,32 А.2<М)一bПР蛆=5 eg 204,32 А.2<М)體 1。5-5體 1。5-5+ ~^ e-“ + е-“ е-ьо-/|) I l，+ ~^ e-“ + е-“ е-ьо-/|) I l，『2(т)= - ЮОсе-^ е'

И

И

i“)=l00(| — с-。％200to《в? _ "цен

i“)=l00(| — с-。％200to《в? _ "цен

一b

ПР蛆=5 eg 204,32 А.

2<М)

一b

ПР蛆=5 eg 204,32 А.

2<М)

體 1。5-5

體 1。5-5

+ ~^ e-“ + е-“ е-ьо-/|) I l，

+ ~^ e-“ + е-“ е-ьо-/|) I l，

. Сравнение различных методов

Лов. Классический и оператопмый расчета переходных про- 嘰常примени для ре誌靠工黑：:器р小^丘呼小叱冋 ^пользоваться, во многом зависит е^ сложности- Каким из “ Однако класснчеекий метод более физически п^Janeн чем операторный, в котором решение ур.工嗝麗爲需喘::л：；；

氏％凿 雪盤含霁*。в нсхсшнть из объема вычислитель- нон работы, решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЗДС нлн 閣:;片瞪бРазн。проводить классическим методом, а решение уравнении более высоких порядков — операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения. тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахомпення постоянных интегрирования в классическом методе. Операторныи ме 1 од имеет перед классическим явное преимущество при решении задач, в которых определение принужденной компоненты искомой воличины оказывается затруднительным вследствие сложного характера вынуждающей силы, а также при решении уравнений в частных производных (см. § 12.13— 12.15). Если воздействующее напряжение изменяется во времени, например л и ней но или в виде всплеска одной или нескольких экспонент» рекомендуется применять операторный метод ил и интеграл Дюамеля. Но основной областью применения интеграла Дюамеля являются случаи, когда напряжение изменяется по сложному закону во времени, например при наличнн скачков напряжения (см. §8.55), или когда переходная п роводимость ^ (/) и (ил и) воздействующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интегрирования).

Рассматриваемый в § 8.66 метод расчета переходяых процессов, получивший название метода пространства состояний, используется манным образом, когда расчет осуществляется с применением ЗВМ. Для руч но го счета этот метод, громоздок.

Классический и операторный метод, а также метод пространства состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеет общ»и недостаток: необходимость определения всех корней характеристического уравнения, что для уравнении высоких степенен (например 5 6 7-й ...) требует много времени. В этих случаях может бьпь рекомендовано числовое решение на ЭВМ уравнении, составленных по методу пространства состоянии; может быть применен ЗектральньМ метод в том виде, в каком он Ра с* 里:射；：丁；位+ в г几 9・ Кроме того, в этих случаях используют моделирующие уста новкн.

мтпниескнм путем. Длячетырех-

ие иие и. Дифференцированиеэлек ^ уровнях выходное 啲юсннков рнс. 8.38, 〃• 6 Производной от входного на- нанрхженис 厶(/) пропорционально пр

ие и

ие и

Рис. 8.38Рис. 8.38

Рис. 8.38

Рис. 8.38

пряжения и} (“ т. е. ^(/^dn, (/)/d/. Схему рис. 8.38, а применяют чате схемы рис. 8.38, 6, так как при практическом осуществлении она обладает меньшими габаритами, массой и более удобна при регулировке.

Если(/](/)= % ("), то d〃[ (/) /d/ = pU/p). Отсюда следует, что четырехполюсник осуществляет дифференцирование, если для него %р)三р&(р). Для схемы рис. 8.38, а /(〃)= (/Др)~Ср1 ,. Чтобы 十 I

схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить условие |ЛСр|«1, тогда U/p)、RCp U、(р). Для синусоидального процесса заменим р на /о и тогда схема рис. 8.38, q будет выполнясь свон функции, если ш/?С«1.(卄

Аналогично, доказывается, что для схемы рис. 8.38, б необходит мо выполнить условие (①厶/R) у]. Если 〃") 一 несинусоидальная няипмДИЧе-К8Я Оункинн，ТО эти условия должны выполпяться ДЛЯ наивысшей частоты функции 坊⑴.

сть】?*А：??：?：н""Р°ва“нн ?мпу』ьсных воздействий длительно- виям Ас &/38, "，” должны удовлетворять усл^

щих r予О S'" У5°внн получим из двух предыду-

на вход четырехп(1!|юсникИЖС，＜ИИ будем считать, что поступление вуит воздействию на вхс： ”м”』ьса длительностью。соответст- о)= 2л/ (2/ ) = л// Д °Днои полуволны синусоиды часто10A

люсннков рнс. 8澀**：["ектрнческнм путем. Для четырехпо- пряжение 出〃)三,и (/) cl/ 0,,РеД^ленных условиях выходное на-

Рис. 8.39

Схема рис. 8.38, в предпочтительнее схемы рис. 8.38, г по причинам, упомянутым в § 8.57.

Ес/н "«)亍 % (р), то，/(/) df = % (р) /р. Отсюда следует, что схема выполняет свои функции, если соотношение между ее параметрами обеспечивает выполнение соотношения &(Р)三 U]p\ /р.

Для схемы рис. 8.38, в &(р) = U{ (р) /(RCp + 1), т. е. для нее должно быть I RCf^ >»>1. Заменив р на / (о, найдем условие о)7?С »1, при котором схема рис. 8.37, в будет выполнять функции интегрирующего звена при синусоидальном процессе. Для схемы рис.8.38,г(а)^//?»1).

При интегрировании импульсных воздействий длительностью /и должны быть выполнены следующие условия: RC >»>/н для схемы рис. 8.38, 8 и (L/R) »/н для схемы рнс.8.38, а.

Напряжение с выхода интегрирующего (дифференцирующего) устройства подается для наблюдения (записи) на электронный осциллограф.

§8.59. Передаточная функция четырехполюсника на комплекс- ной частоте. Под передаточной функцией четырехполюсника К(р) на комплексной частоте р понимают отношение выходного напря- **ннн &(Р)ко входному 〃(")(рнс. 8.39,«)

к(р)=“(р)/а(〃)；о

《(Р)заннснт от схемы четырехполюсника, числового значения эле*

⑹⑹Eв <*^^w 〃小# S WSHKZ рис.先網, Q，-」7 M,ypawfM"觴)"。"门'""' 〃加)^ XSWi®

⑹

⑹

VVперсдя^чиой фуиниией，，С""盯""』取""^ 四％( “叮［。脳м :黑黄W。"……М3

V

V

M伸)M伸)〃W〃W

M伸)

M伸)

〃W

〃W

мпут, а &鸵,2仇 « Еслимпут, а &鸵,2仇 « Еслипоучают мз Л7〃)замом。" Д 肢 /т. |К〃7” «0»)-аргумент М/<4 几頑 (”皆〃 рнс 切川.而"倒“".訳詳0 "WiE"K"

мпут, а &鸵,2

仇 « Если

мпут, а &鸵,2

仇 « Если

Зависим^ти |^/<л| и 屮佃)нюбражеиы на рис. 8.3仇

Нисколько чгтырсхлолмкииков, например три.( оединены каскадно (рис 8,39, г) и н'нмгстни передаючные функции каждого че. тыреяполккиика . то пгрсдаточная функция каскада в ссотнетст. вии г формулой f6) pafiira произволению передято«пп»1х 巾умкп啲 Э7ИХ Ч?ГЫр«*ХПОЛ1ГКникои

m")=*")心〃冰 0).(г)

Лркмер 103. На рж Ц39, ^ц^рЛм^цЛ 也“皿炉心 сиспчли (сиг тема < <>бпатной 。”，"，)"“Г，^mY叫伙“皿碗“”丫Г“甘丄旧胸"“".Г “ерт#т“枢启力"、4 。

амА А мжн#> прнюраяонгм1ьного усилении Вылети формулу пеР*«>»^и<^ ф/икняи 痴М гиггрмм */〃).屮屮м”у

f ：：:；二:丁."'""8"2""""碗"F"E MwwM сигнаЛ “JX "，皿EMpF…югххн ОбрюА ГНЯ1И, ПО7ГОИУ

Гро・。гм о,Гро・。гм о,"朋一М回 土"/川同P)⑶

Гро・。гм о,

Гро・。гм о,

и，У KJp)〔Up1

W個W個П«доимп1 (гм(д). Полним

W個

W個

мм入I外 。I 上 KS)K*)

м

м

爲*；D"""研心"'二：工；：黑丁；雷 ЙмП/к1мГбаиия, Й мил и гудя нх будет 限佃，♦…臓叩，，。……мН”„ 個，Мт“/ JJ.；m广

：：：7 “7 Iй “*"”М < "•£；：；：：【?，яочлейгтвии импульсов на册*

，二 H4Q〃)M，，w)Mn.'痴:"川"“а н<ч- импульса напряже-

^^ Л^Си:'

ИаПрИЖРиия и, Ири /> / а。；；'* "・ Как ОТ ДСЙ( 7НИЯ ПОСТОЯННОГО 勿4iy*""«・r “a( йстсму папряжсиис ра$

Рис. 840

и，、,尸冷.Следовательно, система освобождается от вынуждающих ЗДС “ но ней(1ротекают свободные токи, обусловленные запасом энергии в индуктивных и емкостных элементах системы;

3)представляя импульс в виде двух постоянных напряжений. Положительное напряжение U действует начиная с /=0. отрицательное —наинная с /=/г При /</)токи в цепи определяются 。几“мм напряжением U： при />。一 обоими напряжениями с учетом

сдвига второго напряжения на время 厶.

ется н три приемаСия чал а определяем ток в интервале времени от Z=0 до，&厶 от лейстиия напряжения и尸卜I (рис. 8.40, а). Затем для интервала времени /2>/>/, находим ток в цепи от действия двух напряжений (”「8 40,仇 г): от(1родолжающего действовать напряжения u}=ki нот вступающего в действие при /=/( дополнительного напряженияется н три приемаСия чал а определяем ток в интервале времени от Z=0 до，&厶 от лейстиия напряжения и尸卜I (рис. 8.40, а). Затем для интервала времени /2>/>/, находим ток в цепи от действия двух напряжений (”「8 40,仇 г): от(1родолжающего действовать напряжения u}=ki нот вступающего в действие при /=/( дополнительного напряженияРассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток и пени при подключении ее к источнику напряжения, имеющего ф^рму равнобедренного треугольника (рис. 8.40. 6). Задача реша

ется н три приема

Сия чал а определяем ток в интервале времени от Z=0 до，&厶 от лейстиия напряжения и尸卜I (рис. 8.40, а). Затем для интервала времени /2>/>/, находим ток в цепи от действия двух напряжений (”「8 40,仇 г): от(1родолжающего действовать напряжения u}=ki нот вступающего в действие при /=/( дополнительного напряжения

ется н три приема

Сия чал а определяем ток в интервале времени от Z=0 до，&厶 от лейстиия напряжения и尸卜I (рис. 8.40, а). Затем для интервала времени /2>/>/, находим ток в цепи от действия двух напряжений (”「8 40,仇 г): от(1родолжающего действовать напряжения u}=ki нот вступающего в действие при /=/( дополнительного напряжения

“2 = —2砲—/)).

/l/я интервала времени />"ток определяется действием трех напряжений: продолжающих действовать напряжений и, и и7 и "I""", нстуг1аю1цсго н действие при /=/2 напряжения 勺=A" —/J 1прн 心厶 сумма напряжений /,出 н Мрмс. 8.40. d) даст нуль|.

Из трех перечисленных способов наиболее экономным является "Зм“.，

При воздействии серий импульсов переходный процесс paccqu- ,f»<Bajoi <<асто операторным методом.

Пример 3 H-geAWEbH。価丁叱駆以匕黑工農:黑；：；；£：, у,,^ьим< имиульсон напряжриии едииичиой змилитудм, ^ительжхгтъ ишпул^жти

ДЯН^ЬНОСТЬ "叱?.牆累鳳關喘以需皿「…。Н爪加亜)、点i-L+e"一…+.)

Про.Про.Выражение и скобках прмстазяет собой бесконечную геометрическую

Про.

Про.

• Из°бражение• Из°бражениегрессню со знаменателем - е"^. Сумма членов се равна —^ ^

• Из°бражение

• Из°бражение

тока

НН"〃)=.(I+L) (/?+〃)

Н

Н

Применим формулу разложения. Корни знаменателя： п/ п p〃 = -R/上：тра =04•也)T =/w2/+1)(-8V4V8).p=0；

Группируя член 4=0с 4=—I, член 々=1 с членим А=——2 м т. д., получим

*')= **')= *R(l+DR(l+D2 f 5№伴+年-他+/2 f 5№伴+年-他+/*=о*=о%+1%+1喲尸仮严不恤L中.喲尸仮严不恤L中.

*')= *

*')= *

R(l+D

R(l+D

2 f 5№伴+年-他+/

2 f 5№伴+年-他+/

*=о

*=о

%+1

%+1

喲尸仮严不恤L中.

喲尸仮严不恤L中.

§ 8.61. Дельта-функция, единичная функция и их свойстия

:=:s=

амплитудой!/ДТНДлительностью^^凿::

I：；；；；：广 ПЛ°ЩаДЬ еГ° РаВ，，а ew：《Ат = L Размер-

Единичной функцией 1(/)(пис я

нуюединице при />п и 痴…?' ' ")назь1вают функцию, рав-

丿7)俨с.8.41, Нравна нулю при/>о'СИ '<°，七厶四皿叱 функция ")丁 И—/)имеют нулевую м/ ^ ^единице при /<0. Функции

,что,чтоI)из。叩—и；緜瑞:黑m Суетна 6(/)：

,что

,что

2)производная функции 1(0 равна 6-функции： dl«)/d/ = 6(f)；

3)6・фу…я обладает фильтрующим действием： №)6(1)—f)；

изображение по Лапласу 6-фУнкции равно 1： 卜(Id』，а 6—叱

на основании теоремы смещения

Единичные функции 1(/) и 1(-1/)таКже обладают фильтрующим действием Умножение произвольной функции/(/) на 1(/)иб^щает произведение /(/)!(/) в нуль при /<0. Аналогично, '

/(/)[(_/)= I 0 А。；

Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде 6-функцни единичной площади заиисывают так: 6(')・1. Здесь единица имеет размерность В • с ил и А • с соответственно.

В соответствии с рис. 8.41, а импульсное напряжение единичной площади, равное 6(/)« 1 В• с, можно представить как сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения 1 / Ат, вступаю- luei o в действие при /=0, и импульса — (i / Ат), вступающего в действие при / = Ат.

При />Ат и нулевых начальных условиях ток на входе цепи при воздействии на нее напряжения в виде 6-функции m)= I《k(，)-g(/-A叫・

Разложив g(/ — Ат) в ряд Тейлора по степеням Ат н учитывая малость Ат, получим

«/)= i：[g(/)—g〃)+AT/(3= i*x；A^(/) = ^(/)-L

где <(/)= ^Ш—импульсная переходная проводимость. Д.тя моментов времени />Ат она численно равна току в цепи при воздействии на цепь напряжения в виде 6-функции.

Аналогично. hV}^ - импульсная переходная функция. 加 />Дт-，0она численно равна напряжен^) на

^^I юс пика при воздействии на ею вх()д • действия М)・ I В-с. В интервале времени от О ДО 0, (в。время Действия HMiiyjibca)〃W)=//(。・1+力(О J6(/)= "(" ,，⑺ н Мнм

Наряду с понятиями "переходная ПР°

пимость” g《)применяют дуальные 丨 с проеходная проводимои импульсное переходу

п^^переходное сопроти^可皿енне「/，) численно рав.

SJ：iпри воздействии на

ее входее вход〃亜(/) = I ⑷％(')•〃亜(/) = I ⑷％(')•но напряжению на входе единичного тока.

ее вход

ее вход

〃亜(/) = I ⑷％(')•

〃亜(/) = I ⑷％(')•

Импульсное переходное сопротивление 〃亦(/) численно напряжению на входе цепи uab(t\ после того как на ее вход Р^вн。 ствовал импульс тока в виде б-функции единичной плои1ад^°ЗДе^* 〃必(/) = “/) • I (А • с) •，[/).А"・ 川

⑺ могут быть входными и взаимными, однако Величины и П^ ^ б ными величинами; §(/) опр电 £Жэдс а "мр” 峭

НИИПоХкнем'чтовл^е^атуре по переходным процессам взави- симо'ти ^рассматриваемого вопроса под одним и тем женазвани- ем-импульсная переходная функция - понимают либо фуню циютлибот Между этими функциями имеется зависимость

們f)= M0+)6(f)+"(f)；

1(。характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 -6(/)В ・за/?(。一 напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания.

Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями冷

gW = g(0+)6(f)+g，(。[

и между двумя импульсными переходными сопротивлениями

м 桃)=№0+)6(。+/?()川

»о 闺»о 闺碰)= "(т)他《—T)dT.碰)= "(т)他《—T)dT.прн воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С п% мощью /? (/) интеграл Дюамеля запишется так:■«

»о 闺

»о 闺

碰)= "(т)他《—T)dT.

碰)= "(т)他《—T)dT.

丑丑:EA(一)=砸)6")+；

丑

丑

財攸。立…^У^^работах называют

данном случае функций 〃⑴ и

§ 8.62. Определение 九⑺ и 他八 u„оздействии на вход четырех,；0；^ ^PY Как упоминалось при //1(/)^1(/)на11ряженИенаВь1ходеего2п^п^НОГО 皿冊$工 начни изображение 恤)— 常幫，^ НО 亍 ^и обоз- Отсюда ⑺，то "(Р)=К(р)/р.§ 8.62. Определение 九⑺ и 他八 u„оздействии на вход четырех,；0；^ ^PY Как упоминалось при //1(/)^1(/)на11ряженИенаВь1ходеего2п^п^НОГО 皿冊$工 начни изображение 恤)— 常幫，^ НО 亍 ^и обоз- Отсюда ⑺，то "(Р)=К(р)/р.“(Р)= р〃(").

§ 8.62. Определение 九⑺ и 他八 u

„оздействии на вход четырех,；0；^ ^PY Как упоминалось при //1(/)^1(/)на11ряженИенаВь1ходеего2п^п^НОГО 皿冊$工 начни изображение 恤)— 常幫，^ НО 亍 ^и обоз- Отсюда ⑺，то "(Р)=К(р)/р.

§ 8.62. Определение 九⑺ и 他八 u

„оздействии на вход четырех,；0；^ ^PY Как упоминалось при //1(/)^1(/)на11ряженИенаВь1ходеего2п^п^НОГО 皿冊$工 начни изображение 恤)— 常幫，^ НО 亍 ^и обоз- Отсюда ⑺，то "(Р)=К(р)/р.

Определим теперь 力(/) чере3 К(р) Поскок, определено предыдущей строкой, то

(8.65)(8.65)则二垃1

(8.65)

(8.65)

р .

(8.64)КУ л(0= 〃®, а Н(р)(8.64)КУ л(0= 〃®, а Н(р)тряжс^ия /!,(/) = Ь6(0 =Т= м°^импульсом

(8.64)

КУ л(0= 〃®, а Н(р)

(8.64)

КУ л(0= 〃®, а Н(р)

' / •,1Р)，напряжение на выходе его

〃2«)=俅/) = и“)К(р) = 1. кд), таким образом

『«) = К(р)・(8.66)

Пример 105 Запишем /〃)」‘").汽)如 схемы рнс. 8.38, а: М，)= I.L/RC;/⑴=一疝一而

加=KS)=^=学得=I一普4(。+)6")-/%

§ 8.63. Метод, пространства состояний. Метод пространства состоя ний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции време

ни, испол ьзующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка,записанных вфор- ме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим

цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индукгнвные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения зтих полагаем известными к началу процесса, ере：；；：：：： (Ьункмнн обоб|цепном смысле назовем х. Так как это р •

обозначить М，).переменных состояния. Матрицу-столбец пе- в 〃-мерном пространстве состояний обозна-обозначить М，).переменных состояния. Матрицу-столбец пе- в 〃-мерном пространстве состояний обозна-времени, то их можно Пусть в системе 〃 Ременных состояния

обозначить М，).

переменных состояния. Матрицу-столбец пе- в 〃-мерном пространстве состояний обозна-

обозначить М，).

переменных состояния. Матрицу-столбец пе- в 〃-мерном пространстве состояний обозна-

i|HM|x|=-i|HM|x|=-m выходных величин (токи, напряжения) обозначим 姑

i|HM|x|=-

i|HM|x|=-

.зтрииу ^бен выходных величин (.1 =

Источники воздействий (источники

Уе

ЭДС тЬка

)будемг,]

HMrhq

вать2 Матрица-столбец источников воздействий 旧=

几頑 электрических цепей можно составить матриц^ уравне. ния вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена в|23|).

М = [М|[讣МММ |/z| = [P][x|+|Q||z|.

(8.67)

(8.68)

rne|M|.|N|」〃],|Q|— некоторые матрицы, определяемые структу. рой пени и значениями ее параметров.

На основании принципа наложения решение (8.67)

М3 = @”М0)]+, elM№T[N]【z(T)|dT,о

где[х(0)] — матрица начальных значений х.

(8.69)

Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные прб- цгссы нсистеме, пторое — принужденные и свободыые при нулевом 電黑"皿н。几 формулы (8.69)см. в конце параграфа].

из (Н.Ь«)И (8.69) находим卜 *」

|V(/)H|P|e^Hx(O)| + J|PKW(870)

«ZSy«В схеме рие. 8.42

схемы di/d/ = (R/L)i + (E/L)i е。。。丁。迎亜 для этой

冋=5/"；М= — а〃；|м=]〃；|2] = £；」

R 「<

'⑺=Е泰+ «"—)，— !

О(

ее」R一灰…

第冷

(871)(871)…;':黑X谣 Силь^тр! 1\，з1：^0РМ>Ле(&69) вычисляют по фор- 少屮="'阳1+匹同+…+ MAJ.

(871)

(871)

□([m]-入川)

(8.72)(8.72)ква，рат・ква，рат・(8.73)(8.73)廿七T——_,П(% — A/)

(8.72)

(8.72)

ква，рат・

ква，рат・

(8.73)

(8.73)

/= I3 r

入 一 собственные значения (характеристические числа) Ной матрицы [М], т. е. корни уравнения

detQM]—Ml]) = O.

Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно 入 составляют, приравнивая нулю определитель матрицы [MJ. в котором все элементы этой матрицы атт(гп = 1,…,п), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы <imm ——X,

(&74)(&74)Характеристические числа 入—это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутацнонной схемы. За* пись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения detQAI] - Х[1|) = 0будет кратный кореньX, кратности s, то составляющая 旷匕 обусловленная этим корнем, имеет вид

(&74)

(&74)

1(s - l)!d炉二1(s - l)!d炉二d”4d/(Ml|-[Ml)及-%)/= I/#s

1

(s - l)!d炉二

1

(s - l)!d炉二

涉询m" 一州])- пр『臂喘■::嚅бр:/出器 Ml] —[м]. В ней все элементы J ованне Составляющие ре-

肥嚣為眾萧協驟歌 =常蕊澀м в РЯД：

*|, = [1] + 皿 + 守 +…

исследовать переходный 叩呼乎

RRПример 106. Методом叩垃"吗*畧靠迎皿皿酬рС* £ ■ 4 В,丿-丨А； схеме рис. 8.43. а Д。коммутации °ьи ' =2 Ом；厶=I 门i；C= I 6

R

R

Рис. 8.43

не. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. &43, а. До

коммутяцнн

М0-)=表 - № А;瞰)-)=唯 + 表)=3 в.

в качестве переменных состояний выбираем ток % и напряжение на конденса- Т°РеИзвестно несмадьхо способов составлення уравнений состояния. Рассмотрим нзнМлсе целесообразный, основаиний ка сведении гкклскоммутационном схемы к gjHCTHBHoR с ист<якиками ЭДС н тока. С этой пенью инлуктинные элементы в поа1скомм)7ациомной схеме заменяем на источники тока, которые дсктавляют ток в том же направлении, что н н иежодной схеме (в рассматриваемом примере 厶 заменяем на источник токаре нйпряженнем на нем 厶d./d，), а конденсатор С — на нстояинк ЭДС. причем всоответавии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току н ветви с конденсатором, т. е. нстречно напряжению ис на конденсаторе (в рассматринасмом примере конденсатор С с напряжением ча нем ис заменен на источник ЭДС Е〕= и,).

В результате схема («кажется без индуктивных н емкостных элементов (чисто резнсгивной|. нос допазннтсльными источниками тока н ЭДС (рис. 8.43, б).

В нилучениий резистивной схеме один нз уз」он заземлим, ( оставим уравнения “о методу узловых потенииалон и определим потенцнэ；1ы нсзаземленных узлов. В. рассмагринземом примере не заземлен bcvi о один узел и. Поэтому

% + /) + (此/R)

VR

=佝 + J)R + %

4队/d：之;：：：：：：：：：?：'"'“ — рассчигаем иапряження на источниках тока

Отсюда

Н=Н| +，* + %=£_[ & _ 厶电

(I/'

■(1-7+工一T丄

Т“к второй ветнн /、

г绅а или по закону Ома ；《：；；?)；"''""‘ "° 仅1)口。乂у закону Кирх- gc也二红」力・増\%'”™“нком ЭДС:

I + J)A +

/?

;[M1 =;[M1 =44[N] =[N] =ООСоставим уравнениеСоставим уравнениеТаким образом, (8.72),Таким образом, (8.72),00}0:n不}0:n不№)1=„для определения характеристических чисел 七№)1=„для определения характеристических чисел 七det( [М]—屮】)det( [М]—屮】)I— 4 — А —=| iI— 4 — А —=| i=0.=0.[m]一福]】 MJ=F一=[m]一福]】 MJ=F一=+ ] = 0;斯=—°，27；入2 = 「:一产叫:]+ ] = 0;斯=—°，27；入2 = 「:一产叫:]3,463,46[М] — МН —[М] — МН —-3,73 с"*. По формуле-3,73 с"*. По формулеГ- 0,078 一 0.2891=0,2891.077]Г- 0,078 一 0.2891=0,2891.077]1,0770.2891_0,289 - 0,078「1,0770.2891_0,289 - 0,078「По формуле (8.69),『]二卜—о^^ + еТ73'По формуле (8.69),『]二卜—о^^ + еТ73'伊咽伊咽++，、，丨 I 3.73(1-t) [Д ]+ \卜_。"(-)MJ + e о，、，丨 I 3.73(1-t) [Д ]+ \卜_。"(-)MJ + e о旷；]№旷；]№

;[M1 =

;[M1 =

4

4

[N] =

[N] =

О

О

Составим уравнение

Составим уравнение

Таким образом, (8.72),

Таким образом, (8.72),

0

0

}0:n不

}0:n不

№)1=„

для определения характеристических чисел 七

№)1=„

для определения характеристических чисел 七

det( [М]—屮】)

det( [М]—屮】)

I— 4 — А —

=| i

I— 4 — А —

=| i

=0.

=0.

[m]一福]】 MJ=F一=

[m]一福]】 MJ=F一=

+ ] = 0;斯=—°，27；入2 = 「:一产叫:]

+ ] = 0;斯=—°，27；入2 = 「:一产叫:]

3,46

3,46

[М] — МН —

[М] — МН —

-3,73 с"*. По формуле

-3,73 с"*. По формуле

Г- 0,078 一 0.2891

=0,2891.077]

Г- 0,078 一 0.2891

=0,2891.077]

1,0770.2891

_0,289 - 0,078「

1,0770.2891

_0,289 - 0,078「

По формуле (8.69),

『]二卜—о^^ + еТ73'

По формуле (8.69),

『]二卜—о^^ + еТ73'

伊咽

伊咽

+

+

，、，丨 I 3.73(1-t) [Д ]

+ \卜_。"(-)MJ + e о

，、，丨 I 3.73(1-t) [Д ]

+ \卜_。"(-)MJ + e о

旷；]№

旷；]№

「工е^овательно, d〃c/df =(“/С) 4-(J/C). Таким образом, урзв- переменннх состояния для послекоммутационной схемы рис.

2嘿 а таковы：

8.43，"d“ 2R . I 1「 R ,

了=一T厶_工忆+工e一工丿；

H = N* +°・“C + °，E +石人

мнт =【М][х] + МЬ1 где(х] =

Выполнив подсчеты, получиМ —° у^— &73’ а；

QAQ

£皿 “ hhW м—У 〃 啲，仆用 Р—меж” -ками " “ д 可

■"*"巾卜叫

Поясним переход от (8.67) к (8.69).Решение нгоднорол него уряннения (8.67) можно получить в виде суммы решения одноролиого урл имени я н частного решении неоднородного. Полц( одниридного урапненияIx^l/WHr] для / > т,Поясним переход от (8.67) к (8.69).Решение нгоднорол него уряннения (8.67) можно получить в виде суммы решения одноролиого урл имени я н частного решении неоднородного. Полц( одниридного урапненияIx^l/WHr] для / > т,МНСМНСполного м Реше.полного м Реше.(8.75)(8.75)

Поясним переход от (8.67) к (8.69).

Решение нгоднорол него уряннения (8.67) можно получить в виде суммы решения одноролиого урл имени я н частного решении неоднородного. Полц( одниридного урапнения

Ix^l/WHr] для / > т,

Поясним переход от (8.67) к (8.69).

Решение нгоднорол него уряннения (8.67) можно получить в виде суммы решения одноролиого урл имени я н частного решении неоднородного. Полц( одниридного урапнения

Ix^l/WHr] для / > т,

МНС

МНС

полного м Реше.

полного м Реше.

(8.75)

(8.75)

(8.76)(8.76)еде t — постоянная величина, найдем ио янялогин с решением скалярного п 卡 ренцнального уравнения i = шх. м = е绢"一 ”х(т). в виде к〃)| = М№т){/(т)]・

(8.76)

(8.76)

Подстанин (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения идн()р()дного уравнения (8.75). Функцию е,л,,/обозначим |д(机 а 小的"一 "=[ф(/ — т)| уак как」

〃U =山+ 陷/+丹Г+•/巾N0)] = |||.

В соответствии с методом вариации пронзнольнмх постоя иных частное решение' неоднородного уранневия представим в виде |хч(/)| = |<р(/ — т)| |м(/)| |х(т)|.

Обшее решение

IM川=1ч0 -〔川Мт)] + 卜巾-力1 风)1aт)| = 1ч(/ — ОН11 + [〃(/)][х(т)]= =IW — 1)Н&/)|,

rne /?|/) нужно определить. Подставим

(8.77)(8.77)14/)1 = (<р(/ — т)| [/?(/)|

(8.77)

(8.77)

н уравнение (8.67):

(I祁—t)] _|M]|q《一 т)|||/?(0| + [q“ 一 I川府—=|N| |z|.(8.78)

(8.79)：(8.79)：躲装'："："—："есТ1, маг1)ииа.столбцы которой являются решсннем урав・ нения(875)л(>первый член иыражениЯ(8.78)-нужная матрица1лсд(шателы

(8.79)：

(8.79)：

[R(/)l = lWf _T)「l[N|h|. Проннтег|>и|)УеМ(н79)(П1Лп/：

向3-倒叨7屮(入-t)L|N]1zMA向3-倒叨7屮(入-t)L|N]1zMA(8.80)(8.80)Из уравнений (8.77) „(8.Н0) следуй小犷四『闻。)门制+ К一"的師认Из уравнений (8.77) „(8.Н0) следуй小犷四『闻。)门制+ К一"的師认(8.81 )i(8.81 )iи«1^)^|1|.Умиожаяи«1^)^|1|.Умиожая" W" -i川屮伙一 получим" W" -i川屮伙一 получим(н-ВН слева на 卜班一(н-ВН слева на 卜班一т)| * ==(«1^1(/ ~ t)т)| * ==(«1^1(/ ~ t)T)l И учитывая, «ПОT)l И учитывая, «ПО四（一）П-四（，7）=闻/-川,中四（一）П-四（，7）=闻/-川,中

向3-倒叨7屮(入-t)L|N]1zMA

向3-倒叨7屮(入-t)L|N]1zMA

(8.80)

(8.80)

Из уравнений (8.77) „(8.Н0) следуй

小犷四『闻。)门制+ К一"的師认

Из уравнений (8.77) „(8.Н0) следуй

小犷四『闻。)门制+ К一"的師认

(8.81 )i

(8.81 )i

и«1^)^|1|.Умиожая

и«1^)^|1|.Умиожая

" W" -i川屮伙一 получим

" W" -i川屮伙一 получим

(н-ВН слева на 卜班一

(н-ВН слева на 卜班一

т)| * ==(«1^1(/ ~ t)

т)| * ==(«1^1(/ ~ t)

T)l И учитывая, «ПО

T)l И учитывая, «ПО

四（一）П-四（，7）=闻/-川,中

四（一）П-四（，7）=闻/-川,中

(8.82)(8.82)

(8.82)

(8.82)

Е3 = 1 屮(/ ~ t)11A・Е|4Л г /

I"皿一大川2ь伍)1".

Полагая в (8.82) т = 0 и ззменяя потоп

).переменную 入 на т, получим формулу

4. Дополняющие двухполюсники. Два двухполюсника, со- 口ержатне элементы К,厶，С, называют дополняющими, если входное сопротивленне прн их последовательном (параллельном) соединении оказывается чисто активным, не зависящим от комплексно' частоты р. Так, двухполюсник из параллельно соединенных 厶 н R2 и двухполюсник из параллельно соединенных С н R (рис. 8.44, Q)являются дополняющими при их последовательном соединении и выполнении условия R{=R2 = R =^L/C. Двухполюсники /?2, С и /?|, L при их параллельном соединении (рис. 8.44, б) являются догюлняющими при том же условии.

Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуальны. Элементам Lp Ср /?, одного соответствуют такие дуальные элементы С2,厶а R】 пополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно дуальных элементов должно быть равно R-, где R ——

произвольное активное сопротивление.

Последовательное соединение 厶]и С{ в исходном двухполюснике заменяют на параллельное соединение С2 = LJR2 и 厶2 = C[R‘ в дополняющем. Параллельное соединение С( и Л| в исходном двух- пол юс нике заменяют на последовательное соединение L2 = C^R1 и С?=厶 JR? в дополняющем.

5. Системные функции и понятие о видах чувствительности. Системные функции //(р)-это обобщенное название функции, ха- Рактернзующнх четырехполюсник. Ими могут бьнь, например, не Р^Даточная функция напряжения 〃例沁尹嘿霏二霏屮古、 山用 тока 1А)/1Лр) н т. п. Если каком-либо параметр (R,厶 С) (х，“/иамрняется то изменяются модуль и ар-

хеме четырехполюсника изменяйся т ° чувствмтельностн ^мент системной функции и можно「°叮)

(%|；、мной функции £ нзмененн丁：；：：%% понимают отношение от-

Чод классической чувстви」\н(С/Н(р) к относительному ,,(к，чтелы1ого изменения функции“

_x_^HiPl =77(7)此._x_^HiPl =77(7)此.11，Мечсни|о параметра \х/х

_x_^HiPl =77(7)此.

_x_^HiPl =77(7)此.

к „становившемуся синусоидальному ре>Ки П^е^т^МО*-" “ чувствительность аргуУ

：；；；；%/&)•стем с высокой добротностью пользуЮтс Для резонансных <ист ^^ofn/ имея в виду чуветвитель- понятием х^^Хию положения нуля или полюса этой фуНКцИи ность 〃(Р)к изменению п „。^ москостн комплексной частоты' находящегося вО・?；［ ： “ ИСПОльзуют главным образом в задачах Понятие чувств^ цепи стремятся сформировать так. чтобы смнт产•吁閣龍малочувствительны к изменению пара-

онн бы.т»< по 跣普 “СНТ от многих параметров и все они могут метра. Ес•丁 黑);彳 граннцей возможной ошибки считают сум- параметрам. При спредер нии Жической чувствнтельности?южно воспользоваться теоре. мой вариаций (см. § 2.19) и теоремой Теллегена (см. § 3.43).

6 Обобщенные функции и их применение к расчету переход, ных'процессов. Обобщенным и функциями (ОФ) называют функции времени /(/), которые терпят разрыв, например, при / = 0. Значение функции при / ■< 0обозначим /_(/)> пр” t ^> 0 f+(t) (рис. 8.41,а). Имея в виду 巾нльтруютее свойство единичных функций, можно записать

№}=/-(/)1(Т)+/十《)1⑺.

В общем случае /(/) может содержать также 6-функцию и ее производные. Производная от /(/)

2L入印0+几(川①+…)賞?今卢+/+(，)舉=

n/二(川 D + 厶⑴W)+ 6(用 “0)- /_(0)). .1 о кЗ：：*У ОФ» можно решать задачи на переходные процессы* действия В^т^мЛ0СЬ в § &28, а также задачи на импульсные воз- слекомм\；т21птн』У"'е необходимо составить уравнения для по・ водные через Об°：「хемь|，вмр2знтьтокн, напряжения и ихпроиз- 1( — /), 1(/) н 'пп В^СП0ЛЬ30ВаВШНСЬ фильтрующим СВОЙСТВОМ содержащие толькоЦ^п то^ь^Ин Уравнениях коэффициенты, ИХ совместно. А юлько 1(/) и только 6(/), и затем решить

触8您牌嬲"触8您牌嬲"е ш е и и е. Ве ш е и и е. ВоАьзонаннн обобщенных функций решить задачу приме-оАьзонаннн обобщенных функций решить задачу приме-Ураиненнн дляУраиненнн дляR GR Gd"cid"ciчослекоммутационной схемычослекоммутационной схемыподставимподставимF + cF + c+ “G = £+ “G = £(а)(а)

触8您牌嬲"

触8您牌嬲"

е ш е и и е. В

е ш е и и е. В

оАьзонаннн обобщенных функций решить задачу приме-

оАьзонаннн обобщенных функций решить задачу приме-

Ураиненнн для

Ураиненнн для

R G

R G

d"ci

d"ci

чослекоммутационной схемы

чослекоммутационной схемы

подставим

подставим

F + c

F + c

+ “G = £

+ “G = £

(а)

(а)

"口-"川7) + uci4(0U/V u

屮)⑴，％ = %_()(_ ° + u^(tWtyt

。d) J)+E 恤)+%妬(。+)一…。)上5 2"一)+ 小m…,2。-喇。/e = ei(t)+ ei ⑴.

(б)(б)(г)(г)К。'巾巾нмть. при Ц-/М(Пнф)даюттриуравне^ """")+ "%_(3 +%_⑴=氏 R |С 府+(，)+ c^t)] + 心+⑴=£； 匕(。+)(G + 3 = c&№_)+ c2Uc2(o_).

(б)

(б)

(г)

(г)

Из (б) мС|_(Л = f> из (г) ыс.(0,)« С.Е/(С 丄г

Х：：：：=Л：Х-

§8.67. Интеграл Дюамелядляогибающей. Положим.чтона входчетырехполюс- ма. имеющего переходную функцию 恤),воздействует сннусондал^нап^^- ннеединичной амплитуды «2)(0= lsinu)z = Ime^,Тогда, используя формулу ннте「- рала Дюамеля, определим: напряжение на выходе четырехполюсника:

的")=1 m(1Л(0) + \ h^-^ dT| *，= Im{n® /) e叫. о

Здесь

а(и).。= Л(0) + V(〔)L /■& = m(d>,。+ /л(ш, /)=爪叫。衣(》",(6)

о

|'де Q(e J) — огнбаюман выходного напряжения прн воздействии синусоидального ui(f). Воздействуем на вход четырехполюсника а м пл нту дно- модул и рова нн ы м синусоидальным напряжением ui(f)= lnt|(/m(/) е,ыГ| н определим

&(/)=【” {[h(Q)Um(i) + \ А”％" - т) L id" /}

о

Учтем, что 包№ !•)="(【收一 М = Q'(叫 т) н 川0)=仪通 0). Тогда dr

也(/)= Ini卜(3」)/}.

где

&g, f) к *. 0)4(。+ #，叫承-M

формулу (г) называют интегралом• п мелкие детали, ннннмтьформулу (г) называют интегралом• п мелкие детали, ннннмть0

формулу (г) называют интегралом

• п мелкие детали, ннннмть

формулу (г) называют интегралом

• п мелкие детали, ннннмть

fc；^ ш ибающая ныходного напряжения ^ Мат； ?" Л«，п, огибающей, ина позволяет,

ОстРУ*<^Уру переходного процсссл.

П”“еР 1 единенным 小)中一П”“еР 1 единенным 小)中一е м когда на вход 11оследонателк||Л、.епим иг—у10嚣*=品山上вмест。以"冋з卜：rw厶Не联飢3формулой (0)j7).bcmbeE"h ①е м когда на вход 11оследонателк||Л、.епим иг—у10嚣*=品山上вмест。以"冋з卜：rw厶Не联飢3формулой (0)j7).bcmbeE"h ①妙i+，"f0妙i+，"f0—!—[i-ef ； g = z + /s・—!—[i-ef ； g = z + /s・Учтем.чУчтем.ч的m0）= 0.。'（*力=寸的m0）= 0.。'（*力=寸Т* и/ — т)=秋/ - “Т* и/ — т)=秋/ - “Огибп*»и1айОгибп*»и1айтока ииепн по формулетока ииепн по формуле(г)：(г)：kLkL4*，）=刃（一水一砾о4*，）=刃（一水一砾о・、 AL・、 AL22-失。s(W+2<p)- co$2q，-失。s(W+2<p)- co$2q，+ u)/+e"sWW +2 屮)fin2 屮+ u)/+e"sWW +2 屮)fin2 屮0一卩他」）；0一卩他」）；色1画 + j 厶sin(s，+ 2g —sin生色1画 + j 厶sin(s，+ 2g —sin生秋з П = arclg T7二Sс、 сW午 + e Tbs(i以 + 2屮)_ cos2屮秋з П = arclg T7二Sс、 сW午 + e Tbs(i以 + 2屮)_ cos2屮(oL :屮=arctg—.(oL :屮=arctg—.

П”“еР 1 единенным 小)中一

П”“еР 1 единенным 小)中一

е м когда на вход 11оследонателк||Л

、.епим иг—у10嚣*=品山上вмест。以"冋з卜：

rw厶Не联飢3

формулой (0)

j7).bcmbeE"h ①

е м когда на вход 11оследонателк||Л

、.епим иг—у10嚣*=品山上вмест。以"冋з卜：

rw厶Не联飢3

формулой (0)

j7).bcmbeE"h ①

妙i+，"f0

妙i+，"f0

—!—[i-ef ； g = z + /s・

—!—[i-ef ； g = z + /s・

Учтем.ч

Учтем.ч

的m0）= 0.。'（*力=寸

的m0）= 0.。'（*力=寸

Т* и/ — т)=秋/ - “

Т* и/ — т)=秋/ - “

Огибп*»и1ай

Огибп*»и1ай

тока ииепн по формуле

тока ииепн по формуле

(г)：

(г)：

kL

kL

4*，）=刃（一水一砾о

4*，）=刃（一水一砾о

・、 AL

・、 AL

2

2

-失。s(W+2<p)- co$2q，

-失。s(W+2<p)- co$2q，

+ u)/+e"sWW +2 屮)fin2 屮

+ u)/+e"sWW +2 屮)fin2 屮

0一卩他」）；

0一卩他」）；

色1

画 + j 厶sin(s，+ 2g —sin生

色1

画 + j 厶sin(s，+ 2g —sin生

秋з П = arclg T7二Sс、 с

W午 + e Tbs(i以 + 2屮)_ cos2屮

秋з П = arclg T7二Sс、 с

W午 + e Tbs(i以 + 2屮)_ cos2屮

(oL :屮=arctg—.

(oL :屮=arctg—.

Вопросы для самопроверки

I. Дзйзс определение переходному и^

=：：Ж:息喘二%"弋需点以：

5 Каине вы знаете способы состав-зення характернсгичсского уравнения. 6. Об? ните почему нрм «ктавлении характернстического уравнения нулем ,,Р,,Ра^^* ния ну.ш входного сопротивления Z(p) = ”Р)/”Р)« общем случае »« ^ шать числитель н знаменатель дроби на。6山нн множитель. 7. Чем 川屮？？：：：：： число корней характеристического уравнения^ 8. Изложите сущность к』а《 с метода расчета и принцип составления уравнений дли определения иосп'ян ин1С1ри|)о»ання. 9. Переходный процесс в некоторой цепи сопровождается О не ни - мн. О чем это может спндетсльстпопать? 10. Дайте обоснование обобщенным за нам коммутацнн. 11. Запишите известные вам соотношения между/(/) н /，(Р)，а та：ж° теоремы операторного метода н предельные соотношения. 12. 11очему р называют комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методом.

14. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом :р" сниуспндальним источнике н ненулепых нлчальных условиях? 15. Охарактеризуит СП(市СТН8 слиничноЛ функции Ц/) Н свойства дельта функиии 6(/). 16. Определите переходную н импульсную переходную проводимости (сон рот нвлен и я) и функци • >кажнтс, с какой целью они используются. 17. Охарактеризуйте идею расчета с помошью интеграла Дюамеля. 18. Прокомментируйте m ihcc i ные нам формы записн интеграла Дюамеля. 19. Какими способами можно определить отзиук снетемь?

им,,Ульс напряжения или тока? 20. Поясните “рн"吗 噥;":喘Г""' н Дифференцирующих цепей. Запишите условия. Щ)и К嘿

. КМ1НЯКП спои функции. 21. Чем следует рукоиодстнонаться । Р ^Тп^^22.расчета переход-

расчета методом иеоемен1п(1 “。"©"二 Функций. 23. Перечислите основные *

Охаракчсризуйтс chjihiup u и,СК0МмУ1 alinoiiii()H схемы к чисто ренет"»"""., Me переходных ироцесспГ 26，^，>，，<М^ стороны известных ннм м：：：； ? ,0ULCuu> 2b- qio понимак,, ||0Л системными функин^нг

犷犷6)6)

犷

犷

6)

6)

Рис. 8.46»-

uvHCTBH rejibHOc rH системных функций вы знаете? 27. В схеме рис. &45с Какие виды У т . — о одновременно размыкается ключ Л2изамыкает- 賓靄北為然：^ -противление刈и智凿鲁喘 心:^ зависят <)т емкостей С, и С2. Определить величины этих зарядов. (Огвет.

UoUo力。н ———・)28・ В схеме рис. 8.4,8 при размыкании ключа происходит 1+(?/%)1 + (^|/^2) изменения во времени напряжений ис1 н «^ переходный процесс. Определитьз _ 1/и)С= i Ом;ш= КЮрад/с. на конденсаторах. Задано ДО = ^1^ ^7» _ 0953 -。，頂一 200' В; иС2 =

Uo

Uo

[Огне ucl = 0.447sin(w + 蓋 海 Покажите, что в с^мметричиой =。.447约山 + 63。27? + 党腺J既ЗК. Условие L/C =冉屮х… мостовой схеме (рнс. 8.4b,。)，bkqti |

1Ар==д = С= ^-Покажите,что

функция h") = — ： + е J 30. в схеме рнс，846, R

'2(Покажите, чти энергия, запасе

входная переходная проводимость равна НулевыеХ равны тепловым "。£弋 мая в L схемы рис. 8-46. в (началbiibie yau^ У 8.46, г при нулевых 電竺％ R・ 32. Первичная обмотка трансформдпрад 领匸 £, & = % = R； 4 - 厶 ， Уровнях подключаегся к источнику пост 一£/(2R).| 33. On редел ни?广

Определите <,(0^).以)1°2川0+仁二品.标,8‘47.(OrW - пятая )34. Как пень характеристического уравнения一聖，

I .. 2е L )чсгырсхполкк-

«пределнгь К(Р)через W) н через А%)?阻限〃)=芋一 з久邑_

.Д±1^、)36. П。K(j^^+ 八“

""Ka определи ге его K{j^Y {Ответ. 3/? ^ j^L а g Ом С = 5 3•厶=〔 ,,CKotopoio четырехнолюеннка а»1?^»»^^37 На пхМ “етзре、仅 м“н…'

1н・(。丁叱 g) ^ 1,62L °；" — °〃е…

К(Н =К(Н =浦 (9.1a)浦 (9.1a)

К(Н =

К(Н =

浦 (9.1a)

浦 (9.1a)

I +/%♦I +/%♦/to воздействует единичный импульс напряжения в виде 6-функции.

I +/%♦

I +/%♦

спмткте напряжение на выходе четырехполюсника после окончания дейстВИя импульса. (Ответ: 0J5c" ^.)ЗЯ. Решите задачи 11.4; 11.12; 11.15; 11.26, 11.29; Ц.32； "慈 11.40; 11 4 7： 11.50; Н.55; П.5 7.

Глава девятая

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД. СИГНАЛЫ

Ряд Фурье в комплексной форме записи. Как известно из предыдущего (см. § 7.2). в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию /(“ удовлетворяющую условиям Дирихле.

Обозначим период функции Г. а основную частоту — •о = 2，/Г. Ряд Фурье можно записать двояки.

Первая форма записи:

■q

/(0 =儿+[4sin(^3j +七)；(9.1)

вторая форма записи:'

■）=心 + £（儿 sin垢。/+4，，cosA,f）.

M。，/" P^-aH3；S^al^S百吁

4'="。沌4，，=4同匹.'5

产

(9.2)(9.2)/0再/(恤;

(9.2)

(9.2)

~Г/2

* 2 м* =下 \ /(OsMAgJdl；-7/2* = 7 , /⑴ SSkg/df.-〃2* 2 м* =下 \ /(OsMAgJdl；-7/2* = 7 , /⑴ SSkg/df.-〃2(9.3)(9.3)(9.4)(9.4)Из курса математики известно что 丫ватетно,' что Slnx = ©“ 一 ь ")/(2/). Сле口》Из курса математики известно что 丫ватетно,' что Slnx = ©“ 一 ь ")/(2/). Сле口》sin(屍 。, + %)吗[Л + %)-e-宀 + 项sin(屍 。, + %)吗[Л + %)-e-宀 + 项(9.5)(9.5)чиМП°ДСТаВИВ ПРЗВУЮ ЧЗСТЬ 6°РМУ」Н (95) в выражение (9.1), полу-чиМП°ДСТаВИВ ПРЗВУЮ ЧЗСТЬ 6°РМУ」Н (95) в выражение (9.1), полу-I 8№) = 4 +可工勺 M*wo/ +，B_e-№w + %)| 7 * = 1I 8№) = 4 +可工勺 M*wo/ +，B_e-№w + %)| 7 * = 1(9.5a)(9.5a)ОбозначимОбозначим人=4卢一；3_a = _ /4件一内mТогда ряд (9.5а) можно записать так:人=4卢一；3_a = _ /4件一内mТогда ряд (9.5а) можно записать так:(9.6)(9.7)(9.6)(9.7)I = 8 .№) = 4。+5 £ 儿/吋I = 8 .№) = 4。+5 £ 儿/吋(9.8)(9.8)

* 2 м

* =下 \ /(OsMAgJdl；

-7/2

* = 7 , /⑴ SSkg/df.

-〃2

* 2 м

* =下 \ /(OsMAgJdl；

-7/2

* = 7 , /⑴ SSkg/df.

-〃2

(9.3)

(9.3)

(9.4)

(9.4)

Из курса математики известно что 丫

ватетно,' что Slnx = ©“ 一 ь ")/(2/). Сле口》

Из курса математики известно что 丫

ватетно,' что Slnx = ©“ 一 ь ")/(2/). Сле口》

sin(屍 。, + %)吗[Л + %)-e-宀 + 项

sin(屍 。, + %)吗[Л + %)-e-宀 + 项

(9.5)

(9.5)

чиМП°ДСТаВИВ ПРЗВУЮ ЧЗСТЬ 6°РМУ」Н (95) в выражение (9.1), полу-

чиМП°ДСТаВИВ ПРЗВУЮ ЧЗСТЬ 6°РМУ」Н (95) в выражение (9.1), полу-

I 8

№) = 4 +可工勺 M*wo/ +，B_e-№w + %)| 7 * = 1

I 8

№) = 4 +可工勺 M*wo/ +，B_e-№w + %)| 7 * = 1

(9.5a)

(9.5a)

Обозначим

Обозначим

人=4卢一；

3_a = _ /4件一内m

Тогда ряд (9.5а) можно записать так:

人=4卢一；

3_a = _ /4件一内m

Тогда ряд (9.5а) можно записать так:

(9.6)

(9.7)

(9.6)

(9.7)

I = 8 .

№) = 4。+5 £ 儿/吋

I = 8 .

№) = 4。+5 £ 儿/吋

(9.8)

(9.8)

Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые число- выезначения от —— оо до -|- оо, но не может равняться нулю,так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109. Представить функцию /(/>=2-b3sin((i)0/-ЬЗО*) + 2sin(2<i>(/ — 45°) в комплексной форме записи.

комплексной амплитуды Ла. По опре-комплексной амплитуды Ла. По опре-=4' + 戸二 （99）=4' + 戸二 （99）Решение. 40= 2; 4, = Зе/Э0*; Д_|=—災一‘：鼻2= 2е，. .А_尸—2—; 也)=2 + 七[MW + ：6 _ 3e-^ 十 S + 2宀…_2「伊"-『

комплексной амплитуды Ла. По опре-

комплексной амплитуды Ла. По опре-

=4' + 戸二 （99）

=4' + 戸二 （99）

4；=力卢小=儿cos丸+ /&sin%4；=力卢小=儿cos丸+ /&sin%Составим выражение для 耻』енню [см. формулу (9.6)],

4；=力卢小=儿cos丸+ /&sin%

4；=力卢小=儿cos丸+ /&sin%

也儿'определяется формулой (9.3),人"一巾。рмул。访(9.4).

皿i BW 2E формул 停 3J X (9* в "Р”》99kг汴….-—小宀-…"•

5ГЛ

"学, Kk一"住幽

历寺山 праву® "Е ”pi“ <9 10) в Формулу (9.8t；

刖=.+ £ К, I &к~"(9.Н)

♦ Н

$92 Сле*тр .ун・0・・■ интеграл Фурье. Ряд Фурь« — это грц. rw>werrw^ec*^>i 尸工 предсгакляюший собой изображение перяо- i^wxoi @?w£n・ ovttoi смиусоих амплитуды которых конечны, 2 被гу・『4 кратны осковзой частоте ■/

Пса wrrerpajow Фуры： поям・ают тригонометрический рял ире^стдв.;я*>шлм иеперяйдяческ)ю фчнкикю суммой бесконечно болдого “ои caincoMX амшямпды которых бесконечно малы, а «рпи€₽ты сосехнмх син)сойл отличаются на бесконечно малые jsa^esMfi

^Р*?4? »@ интеграла Фур^ получэкгт из формулы для ряда •рм |』з »?■”& <9.11 )| предельным переходом при стремлении ne”g 7 к бе^сонетаосги.

На^pwio/(f)npH представлении ее иитегралом Фурье накаа-