Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
/7Д Крутько
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цикл лекций
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов мо университетскому ноли- техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ » 2004
УДК 519.71
ББК 32.818
К84
Рецензент
академик РАН А.А. Красовский
Крутько П.Д.
К84 Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Цикл лекций: Учеб, пособие для вузов. - М.: Машиностроение, 2004. - 576 с.: ил.
Изложены новые методы аналитического проектирования алгоритмического обеспечения систем автоматического регулирования и управления. В теоретическом и методическом отношениях эти методы базируются на концепциях обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления линейными и нелинейными, одномерными и многомерными системами. Синтезированные алгоритмы имеют нетрадиционные структуры и придают системам естественные свойства адаптивности - слабой чувствительности к изменению параметров и возмущающим силам. Исследуется динамика проектируемых систем, приведены результаты математического моделирования.
Для студентов и аспирантов, а также для научных работников и специалистов в области автоматизации процессов управления техническими системами.
УДК 519.71
ББК 32.818
ISBN 5-217-03215-4© Крутько П.Д., 2004
© «Издательство «Машиностроение», 2004
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Лекция / Симметрия - философско-методологическая основа формулирования обратных задач динамики и методов их решения 9
Лекция 2 Симметрия и концепции обратных задач динамики управляемых систем 36
Лекция 3 Исследование динамики систем, оптимизируемых по критерию минимума энергии ускорения 56
Лекция 4 Алгоритмы управления движением объекта, передаточная функция которого имеет нуль 79
Лекция 5 Алгоритмы управления автоматических систем высокой динамической точности. Управляемые объекты третьего порядка 102
Лекция 6 Алгоритмы управления автоматических систем высокой динамической точности. Управляемые объекты высокого порядка 121
Лекция 7 Синтез алгоритмов управления путем минимизации локальных функционалов по градиентной схеме второго порядка 138
Лекция 8Параметрически адаптивная электромеханическая
система управления скоростью вращательного движения162
Лекция 9Параметрически адаптивные электромеханические
следящие системы высокой динамической точности187
Лекция 10 Алгоритмы управления упругой электромеханической системой высокой динамической точности и слабой параметрической чувствительности 212
Лекция 11 Метод гашения энергии движения в обратных задачах динамики управляемых систем 227
Лекция 12 Параметрически адаптивные алгоритмы управления электрогидравлических приводов 251
Лекция 13 Исследование динамики параметрически адаптивных электрогидравлических приводов 273
Лекция 14 Исследование влияния малых параметров на динамику управляемых систем 292
Лекция 75 Параметрически адаптивные цифровые и комбинированные алгоритмы управления 322
Лекция 16 Аналоговый и цифровой алгоритмы управления электрогидравлическим приводом с минимальным информационным обеспечением 340
Лекция /7 Терминальное управление одномерными линейными системами 350
Лекция 18 Стабилизация стационарных состояний многомерных систем 369
Лекция 19 Осуществление программных траекторий движения многомерных систем 384
Лекция 20 Терминальное управление многомерными линейными системами 397
Лекция 21 Управление простейшими нелинейными системами 406
Лекция 22 Синтез алгоритмов управления движением динамических систем в скользящих режимах 422
Лекция 23 Гашение автоколебаний в нелинейных системах432
Лекция 24 Синтез субоптимальных по быстродействию алгоритмов управления динамическими системами445
Лекция 25 Управление вращательными движениями Эйлеровых систем 455
Лекция 26 Управление угловой ориентацией Эйлеровых систем 476
Лекция 27 Управление движением Лагранжевых систем487
Лекция 28 Исследование динамики управляемых Лагранжевых систем 497
Лекция 29 Обращение прямого метода Ляпунова в задачах управления динамическими системами 515
Лекция 30 Задачи гашения энергии и алгоритмы управления движением динамических систем 532
Список литературы 560
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге изложены новые методы синтеза алгоритмов управления движением линейных и нелинейных, одномерных и многомерных динамических систем. Теоретическую основу методов составляют концепции обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности назначенных траекторий. В качестве таких функционалов выступают полная и кинетическая энергии, энергия ускорения, а также величины, количественно выражающие обобщенное понятие энергии. Разработанные методы синтеза обладают особенностями, которые делают их эффективными при решении прикладных задач. К таким особенностям относятся следующие.
Минимизация функционалов осуществляется алгоритмически в процессе функционирования системы, их значения удерживаются в малой окрестности экстремумов минимумов. Вследствие этого определение структуры алгоритмов управления не связано с необходимостью решения вариационных задач оптимизации, как это требуется в классической теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов.
Развитая теория исключает необходимость решения неразрешимой в классической теории задачи назначения параметров оптимизируемых интегральных функционалов, обеспечивающих реализацию заданных динамических характеристик системы. Это оказывается возможным благодаря тому, что минимизация локальных функционалов выполняется в окрестности эталонных процессов, генерируемых дифференциальными или разностными моделями, структура и параметры которых отвечают требованиям к динамике проектируемой системы.
Параметры алгоритмов управления, синтезируемых методами развитой теории, однозначно определяются параметрами моделей, генерирующих эталонные процессы. Вследствие этого исключается необходимость решения нелинейных матричных уравнений Риккати или матричных уравнений Ляпунова, или даже уравнений в частных производных, как это непременно требуется в классической теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов.
Алгоритмы управления, синтезируемые методами обратных задач динамики, придают системам замечательные свойства слабой чувствительности к изменению параметров управляемых объектов и координатным возмущениям. Такие свойства достигаются не в результате при-
менения каких-либо специальных схем идентификации и настройки, а естественным путем с помощью управляющих сигналов, формируемых алгоритмами управления нетрадиционной структуры. По сути дела, автоматические системы с такими алгоритмами обладают естественными свойствами адаптивности.
Развитая теория синтеза алгоритмов управления, основанная на концепциях обратных задач динамики, обладает широкими возможностями для решения прикладных задач. Как для линейных, так и нелинейных моделей управляемых процессов уравнения синтезируемых алгоритмов получаются в замкнутой форме. Существенно важно, что при определении структуры алгоритмов не используются детальные уравнения математической модели управляемого движения и, кроме того, нет необходимости иметь полный объем информации об ее параметрах. В силу этого оказывается возможным синтезировать алгоритмы управления непосредственно по классическим нелинейным моделям, которые отражают фундаментальные законы динамики.
В книге изложены методы аналитического проектирования линейных и нелинейных следящих систем высокой динамической точности; решены задачи синтеза алгоритмов, почти оптимальных по быстродействию； исследованы задачи гашения колебаний в системах, структура которых содержит существенно нелинейные элементы; развиты методы синтеза алгоритмов терминального управления, а также структур алгоритмов координированного и децентрализованного управления движением многомерных объектов; развиты методы синтеза алгоритмов управления по нелинейным моделям динамики без выполнения традиционной процедуры линеаризации.
Как известно, все классические методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов в форме обратных связей требуют отыскания функций Ляпунова, отвечающих условиям оптимизационной задачи. В случае нелинейных систем функции Ляпунова определяются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Поэтому поиск оптимальных управлений для систем, имеющих прикладное значение, связан с необходимостью преодоления значительных математических и вычислительных трудностей.
Однако задачу управления правомерно рассматривать в обратной постановке. На содержательном уровне она формулируется следующим образом: для управляемой системы найти такие управляющие силы и моменты в форме обратных связей, при которых замкнутая система обладает заданной функцией Ляпунова, причем на траекториях управляемого
движения эта функция изменяется во времени по назначенному закону. Мы приходим, таким образом, к обращению метода функций Ляпунова в задачах управления движением. Такой подход приводит к наиболее простым алгоритмам в тех случаях, когда в качестве функций Ляпунова используются выражения кинетической или полной энергии. Эти вопросы рассматриваются в книге применительно к математическим моделям в форме уравнений Ньютона, Эйлера и Лагранжа. Полученные в этом направлении результать! дают основания полагать, что на основе обращения прямого метода Ляпунова можно построить принципиально новые и эффективные процедуры синтеза алгоритмов управления движением динамических систем. Существенно, что при этом оказывается возможным синтезировать алгоритмы в замкнутой форме как по линейным, так и нелинейным моделям управляемых процессов.
В прикладном отношении методы обратных задач динамики составляют теоретические и методические основы эффективной технологии проектирования алгоритмического обеспечения систем управления различного назначения. Этими методами решены задачи управления полетом аппаратов различных классов, движением манипуляционных и мобильных роботов, подводных аппаратов и другими техническими системами. Изложение результатов решения перечисленных прикладных задач составит содержание другой книги.
Успешное применение развитых методов для решения задач управления сложными техническими системами приводит к следующему заключению. Прямой задаче отыскания траектории движения по заданной силе соответствует обратная задача отыскания силы, которая осуществляет движение по назначенной траектории. Это фундаментальное положение механики предопределяет фундаментальность методов обратных задач динамики в теории синтеза алгоритмов управления.
Книга написана по оригинальным результатам, которые опубликованы, в основном, в журнальных статьях. Поэтому в научном отношении она имеет монографический характер. Изложение материала выполнено по единой схеме: содержательная и математическая формулировки рассматриваемой задачи; синтез структуры алгоритмов управления; анализ свойств управляемых систем; расчет параметров алгоритмов, при которых достигаются требуемые динамические характеристики. Основные положения теоретического анализа иллюстрируются результатами математического моделирования.
Содержание книги представлено в форме лекций по принципу «от простого к сложному»: в первых лекциях алгоритмы управления синте-
зируются по линейным уравнениям систем с одной степенью свободы, а в заключительных лекциях по нелинейным взаимосвязанным уравнениям, выражающим фундаментальные законы динамики. Теория синтеза алгоритмов управления и применяемые приемы и методы аналитического исследования динамики управляемых систем базируются на математическом аппарате, который используется в курсе «Теория автоматического регулирования и управления».
В книге принята двойная нумерация формул, рисунков и таблиц. Первая цифра обозначает номер лекции, а вторая - номер формулы, рисунка или таблицы.
Методы обратных задач динамики позволяют решать широкий круг задач значительно проще в процедурном отношении по сравнению с традиционными методами. Особенно важно, что синтезируемые структуры алгоритмов придают управляемым системам качественно новые свойства слабой чувствительности к параметрическим и координатным возмущениям. Из этого, однако, не следует, что теория синтеза алгоритмов управления, основу которой составляют концепции обратных задач динамики, дает окончательное решение проблемы разработки ал гор итм ич ес кого обеспечения адаптивных автоматических систем. Об этом можно говорить только по отношению к определенному классу управляемых объектов. Вместе с тем следует ожидать, что развитие этого нового направления в сочетании с другими идеями расширит класс объектов, для которых окажется возможным проектировать автоматические системы с адаптивными свойствами.
Книга предназначена для студентов и аспирантов, а также для научных работников и специалистов в области автоматизации процессов управления техническими системами.
Автор признателен Л.М. Скворцову и Г.А. Чхеидзе за помощь, оказанную при выполнении исследований динамики модельных систем, а также сотрудникам Межотраслевого учебно-научного центра «Технологическое образование» МГТУ им. Н.Э. Баумана, осуществившим компьютерный набор рукописи. Особая признательность директору издательства «Машиностроение» О.Н. Румянцевой и главному редактору И.Н. Жестковой за предоставленную возможность опубликовать книгу, содержание которой открывает новое научное направление в теории автоматического управления.
Лекция 1
СИММЕТРИЯ - ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯОСНОВА ФОРМУЛИРОВАНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧДИНАМИКИ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ
Содержание лекции составляют хорошо известные факты из истории развития науки от эпохи античного (древнего) мира до конца второго тысячелетия новой эры. Однако эти факты рассматриваются с необычных позиций, что приводит к пониманию того, что Природе во всех ее проявлениях присущи фундаментальные свойства, которые могут и должны быть основой методов научного поиска в различных областях знаний.
История развития естествознания дает достаточно оснований предполагать, что закон всеобщей связи материальных явлений Природы оказывается сильным руководящим принципом в методологии научного познания. По-видимому, свойства симметрии выступают как одно из важ- нейших проявлений закона о всеобщей связи явлений материального ми- ра. Известный немецкий физик и математик Г. Вейль (1885 - 1955) в своей монографии «Симметрия» высказался по этому вопросу следующим образом: «Как бы широко или узко мы ни понимали это слово, симметрия есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».
На примерах эволюции естествознания в лекции раскрывается процесс формирования философских основ учения о природе и принципа симметрии как основы методологии познания ее явлений. Познавательная сила принципа симметрии иллюстрируется многочисленными примерами из классической механики и физики, астрономии, химии, физики микромира, биологии и других отраслей науки. Применение этого принципа оказывается плодотворным и в теории автоматического управления. Свойства симметрии естественным образом приводят к обратным зада- чам динамики управляемых систем и качественно новым процедурам формирования алгоритмов управления и расчета их параметров. Эта проблематика рассматривается в следующих лекциях.
АНТИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СИММЕТРИИИ СОВЕРШЕНСТВЕ МИРА
Представление о симметрии складывалось в течение тысяч поколений. Правильность этого представления проверена коллективным опытом и наблюдением, бытием человечества в разнообразных земных условиях. Это свидетельствует о реальном существовании понятия симметрии - одного из удивительнейших свойств нашего мира.
Со времен Пифагора (VI в. до н.э.) мыслители верили в гармонию мира, в математическую простоту его устройства. В основе гармонии и простоты они усматривали проявление законов «божественной симметрии» -соразмерности и согласованности в расположении частей и элементов целого. Философы того времени видели симметрию в геометрических фигурах, строении человеческого тела, а в мироздании - красоту и совершенство. По законам симметрии древние зодчие создавали замечательные по красоте и гармонии храмы и архитектурные сооружения. Образцы удивительных творений созданы мастерами античной скульптуры. Это оказалось возможным благодаря тому, что были тщательно изучены пропорции человеческого тела. Природа сотворила человека так, что его лицо от подбородка до верхней границы лба составляет 1/10 часть всей длины тела. Такую же 1/10 его доли имеет длина ладони. Рука до локтя, как и ширина груди, равна 1/4 длины тела, а длина ступни - 1/6. Найденные «золотые пропорции» мастера далекой от нас эпохи умело воплощали в художественные скульптурные произведения.
Количественные соотношения между частями человеческого тела применяли в ту же эпоху и в архитектуре. Согласно легенде, вид колонны - дорический ордер - определяет отношение
рост мужчины — £длина ступни —'
Эта мера была принята в качестве эталона колонн, украшающих здания: величину диаметра колонны в основании откладывали 6 раз, что и определяло ее высоту.
Сохранившиеся архитектурные сооружения древности свидетельствуют о применении для этих целей другой меры. Например, при постройке в древнем Риме (V - IV в. до н.э.) храма Дианы - покровительницы матерей - была принята пропорция, которой отличаются стройные женщины: диаметр колонны у основания составляет 1/8 часть ее высоты. Благодаря этому колонна казалась выше, чем она была в действительности.
Оба дорических ордера, соответствующие мужской и женской пропорциям между высотой и основанием, остались в архитектуре до наших дней.
Сохранившиеся орнаменты эпохи неолита (ок. 3 тыс. лет до н.э.) характеризуются симметрией, подобием фигур и соразмерными пропорциями элементов. Аналогичные орнаменты отличают изделия исторических времен： арабская и византийская мозаика, персидские и китайские ковры и др. В музеях мира хранятся изделия древних мастеров Востока - медные узкогорлые кувшины, поражающие точностью пропорций и искусством чеканки. Древние мыслители понимали, что основу совершенных по гармонии и красоте творений искусства и зодчества составляют математически безупречные числовые соотношения частей и элементов. Они оставили грядущим поколениям так называемое «золотое сечение» - особое деление отрезка, в результате которого получается золотая пропорция частей. Математики эпохи Возрождения называли ее «божественной».
Существо дела заключается в следующем: точка с на рис. 1.1, а делит отрезок длиной b на две части х и Z? - х по правилу золотого сечения, если % является средним геометрическим чисел b и b-х, т.е.
х = Jb(b-x). (1.1)
Равенство (1.1) не нарушается, если левую и правую часть возвести в квадрат.
Выполнив эти операции, получим уравнение
x2 + bx-b2 = 0,(1.2)
из которого находим длину меньшего отрезка
X* 佰-1)6 = О,6184(1.3)
На основании (1.2) можно записать
6? = f + 6% = х(Ь + х).
Извлечем из обеих частей квадратный корень. Принимая во внимание, что 6 > О, получим
b = J%(6 + %) х 1,618х.(1-4)
Таким образом оказывается, что b есть среднее геометрическое х и 6 + г Следовательно, по определению, отрезок b получен путем золотого сечения отрезка длиной 6 + х, как это показано на рис. 1.1,6.
Замечательная пропорция найдена древними эмпирическим путем. Математические
соотношения (1.1) и (1.4) они не знали. С помощью циркуля и линейки
отрезок х можно найти таким путем, как это показано на рис. 1.2.
Термин «золотое сечение» ввел итальянский живописец, скульптор и ученый Леонардо да Винчи (1452 - 1519). Сочетая талант ученого и живописца, Л. да Винчи установил с помощью математики строгие закономерности композиции, по которым создается прекрасное. Замечатель
ная пропорция широко применяется в архитектуре и изобразительных искусствах. Типичные формы листа бумаги, конверта, книжного пере
плета соответствуют гармоническому «золотому» делению.
Применение математики в процессе познания началось в эпоху Возрождения. Однако уже античные мыслители обратили внимание на то, что верные построения и доказательства обладают эстетическими признаками. Эти наблюдения Платон (427 - 347 гг. до н.э.) характеризовал таким афоризмом: «Красота - сияние истины». Последующее развитие естествознания укрепило этот тезис, что дало основание Г. Галилею (1564 — 1642) записать: «Истина и красота - одно и то же, как одно и то же ложное и безобразное».
Античные философы-мыслители видели начальные, простейшие формы симметрии в окружающем мире, что соответствовало их уровню научных знаний. Они искали и находили эмпирически - на опыте - боже
ственные пропорции, отражающие гармонию прекрасного и совершенного. Зодчие и скульпторы прошлого с удивительным мастерством воплощали законы симметрии и золотых пропорций в художественных формах. Развитие идеи симметрии, ее превращение в инструмент познания станет возможным много позже, когда пытливая мысль человека начнет проникать в сокровенные тайны природы.
ФИЛОСОФИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЯВЛЕНИЙ ПРИРОДЫ
Путь человеческой мысли к истинным представлениям о законах, характеризующих явления природы, был долгим и опасным. Нужно было пройти через толщу веков схоластики, через костры инквизиции к эпохе Возрождения и далее - к новому времени. Среди всех естественнонаучных
проблем на этом пути была проблема правильного философского метода. Должно было наступить время принципиально новой философии мышления. В формировании такой философии ведущая роль принадлежит французскому философу, математику и физику Рене Декарту (1596 - 1650). Он преодолел схоластические учения, восходящие к Аристотелю (384 - 322 гг. до н.э.), утвердил в физике идею материального единства Вселенной и положил начало новому учению о материальной и духовной субстанциях. Р. Декарт был основоположником концепции рациональной интуиции как одного из инструментов познания. Все эти философско- методологические идеи изложены в его сочинениях: «Рассуждение о методе...» (1637) и «Начала философии» (1644).
Философия и методология Р. Декарта оказали огромное влияние на формирование новой методологии научного поиска и на развитие науки.
В 1748 году в письме к Л. Эйлеру (1707 - 1783) гениальный М.В. Ломоносов (1711 - 1765) сформулировал открытый им всеобщий закон природы в замечательно простых терминах: «...все изменения в природе происходят так, что если к чему-либо нечто прибавилось, то это отнимается от чего-то другого. Так, сколько материи прибавляется к какому-либо телу, столько же теряется у другого; сколько часов я затрачиваю на сон, столько же отнимаю от бодрствования и т.д. Так как это всеобщий закон природы, то он распространяется и на правило движения: тело, которое своим толчком возбуждает другое к движению, столько же теряет от своего движения, сколько сообщает другому им двинутому».
Открытие всеобщего закона природы оказалось возможным благодаря новой философии мышления и универсального истолкования физических процессов, характеризующих мировую бесконечность. Об этом у Ломоносова сказано так: «Сколь трудно полагать основания! Ведь при этом мы должны как бы одним взглядом охватить совокупность всех вещей, чтобы нигде не встретилось противопоказаний... Я, однако, отваживаюсь на это, опираясь на положение или изречение, что природа крепко держится своих законов и всюду одинакова».
Формулируя всеобщий закон, Ломоносов не разделяет мир на физический и человеческий; человек 一 часть природы, а «природа всюду одинакова» -в этом содержится утверждение о единстве мира, о единстве его законов. Всеобщий закон содержит также положение о двойственности явлений: сколько от одного убавилось, столько же к другому прибавляется -материи, количества движения или часов бодрствования. Всеобщий закон природы подводил итог развитию физических представлений о неуничтожаемости материи и ее движении за 17-вековой период,
начиная от Лукреция (I в. н.э.) до середины XVIII в. В этот период выдающийся вклад в науку внесли такие корифеи: Г. Галилей (1564 - 1642), X. Гюйгенс (1629 - 1695), Р・ Гук”(163 5 - 1703), И. Ньютон (1643 - 1727), Г. Лейбниц (1646 - 1716), Л. Эйлер и другие.
К концу XVIII века в различных областях естествознания были получены глубокие результаты. Обобщение и философское осмысление рациональных знаний позволило установить характерные закономерности и законы, отражающие общие свойства явлений объективного мира. В своей совокупности они составили философские основы учения о природе.
Для проблематики, которую мы изучаем, представляют интерес следующие положения философии.
Во всех явлениях действуют противоположные силы. Поэтому «...учение о природе предполагает в качестве исходного принципа всеобщую двойственность, а чтобы постичь ее - всеобщее тождество материи. Ни принцип абсолютного различия, ни принцип абсолютного тождества не дают истины; истина заключена в их объединении. Следовательно, всеобщий мировой закон есть закон полярности, который выражает всеобщую двойственность природы, всех существующих в них явлений».
Закону пол яркости-двойственности подчиняется также творческий процесс: «Творчество состоит в том, чтобы увидеть общее в особенном, в единичном факте - закон, за обобщением - частный случай. Средством проникновения в эту тайну служит интеллектуальная интуиция. Так в науке, искусстве и в философии. Знание общедоступно, но творчество - удел немногих».
Эти философские положения изложены в книге: Ф. Шеллинг «Идеи к философии природы», 1797. Они составляют философскую основу современной методологии познания во всех естественно-научных областях.
Закон полярности, т.е. двойственности, отражает существование симметрии противоположных свойств, присущих явлениям живой и неживой материи. Приведем примеры симметрии философских категорий, которые имеют фундаментал ьное значение в естествознании.
Дискретность и непрерывность - философские категории, характеризующие строение материи и процесс ее существования и развития. Например, свет есть одновременно дискретная частица и электромагнитная волна.
Детерминированное и случайное. Математические модели и теории, изучающие детерминированные (неслучайные) явления и процессы,
соответствуют объективным законам природы - законам механики, физики, математики, химии и др. Случайные явления и процессы изучаются методами теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.
Например, основу законов классической механики составляет принцип причинности: все последующие во времени события и состояния макросистем определяются предшествующими событиями и состояниями. Напротив, состояния частиц в микромире определяются вероятностными законами.
Бесконечность бывает двух видов: исчислимая и неисчислимая. Целые числа 1,2,...» п,... образуют исчислимую бесконечность, а точки на прямой - непрерывную неисчислимую.
«Бесконечность времени, как и всего непрерывного, следует понимать в двояком смысле - или в отношении деления, или в отношении границ». Это безупречное по форме и глубокое по содержанию определение принадлежит Аристотелю. Здесь отмечается симметрия - собственность понятий: бесконечно малых, получаемых в результате деления, и бесконечно больших - при неограниченном удалении границ.
Симметрия пространства, т.е. его однородность и изотропность. Это означает, что свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а в каждой точке эти свойства одинаковы во всех направлениях (изотропность). Следовательно, любой физический прибор - часы, телефон, телевизор и др. 一 работает одинаково в различных точках пространства, если не изменяются окружающие физические условия.
И другое явление - например, геометрия Евклида, в силу симметрии пространства, должна оставаться справедливой в любой его точке. Измерения, проведенные в XIX в., показали, что все теоремы этой геометрии выполняются с колоссальной точностью. Одно из таких измерений выполнил «король математики» К.Ф. Гаусс (1777 - 1855). Определи свойства треугольника, образованного вершинами трех гор, он проверял, не отклоняется ли геометрия нашего мира от евклидовой в случае больших размеров. В наше время установлено, что в масштабах Вселенной геометрия нашего мира неточна. Однако имеющиеся различия выходят далеко за пределы точности измерений К. Гаусса.
Симметрия времени, т.е. его однородность. Это означает, что все физические процессы протекают одинаково, когда бы они ни начинались. Например, электроны в атомах далеких звезд движутся в таком же ритме, как и на Земле, - частота колебаний испускаемого ими света такая же, хотя свет был испущен многие миллионы лет назад.
Принцип симметрии в теории познания впервые сформулировал Пьер Кюри (1859 - 1906) следующим образом:
«Когда какие-либо причины порождают некоторые эффекты, элементы симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах.
Когда какие-либо эффекты проявляют некоторую диссиметрию, то эта диссиметрия должна обнаруживаться и в причинах, их породивших.
Положения, обратные этим двум, несправедливы, по крайней мере практически, т.е. эффекты не могут быть более симметричными, чем причины, породившие их».
Принцип, сформулированный П. Кюри, выражает симметрию причины и следствия. Такая симметрия проявляется в двух практических задачах исследования: требуется найти причину, вызывающую тот или иной эффект; напротив, нужно предсказать эффект, вызываемый той или иной причиной. Симметрия эффекта свидетельствует о закономерном (регулярном) характере первопричины явления или структуры системы. Наоборот, асимметрия указывает на отклонение причины от периодичности, т.е. от регулярности.
Приведенные примеры характеризуют симметрию-двойственность философских категорий. Перейдем теперь к рассмотрению примеров проявления свойств симметрии в различных явлениях природы.
СИММЕТРИЯ - ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ПРИРОДЫ
Двойственность-симметрия как фундаментальное свойство природы обнаружена во всех областях науки, изучающей процессы в живой и неживой материи, а также в искусстве (в широком смысле) и во всех видах человеческой деятельности, включая духовную сферу. Рассмотрим примеры.
Математика, классическая механика
Прежде всего, мы замечаем в математике симметрию операций:
а+ 6, а х 6, а : 6, (Vx)m =х.
Для действительных чисел при четном m корень существует только при х > 0.
Свойства симметрии справедливы для иррациональных выражений. Например:
4/^二盯吩,4/^二盯吩,(1-5)(1-5)Выражения (1.5) имеют место в тех случаях, когда корни существуют.
4/^二盯吩,
4/^二盯吩,
(1-5)
(1-5)
Математика оперирует с величинами положительными (с > 0) и отрицательными (y < 0), с обратными величинами (1 : с = с-1) и обратными функциями. Например:
Исходная функция у =ХХ) н обратная ей функция х = @8) - взаимно обратны.
Наряду с действительными (вещественными) числами (а > 0) объектами математических операций являются числа мнимые и комплексные:
ь4~Л = ib, z = а + ib, i = V-T, а = Re z, 6 = Im z.
Каждому комплексному числу z соответствует сопряженное z = a - ib. Пара взаимно сопряженных чисел изображается на комплексной плоскости точками, расположенными симметрично относительно действительной оси (рис. 1.3).
Математические операции более высокого уровня - дифференцирование и интегрирование
■^^ = w(x), “(х)办=/(х) симметричны и взаимно обратны.
В математике известны прямые и обратные теоремы. По определению, условием обратной теоремы является заключение исходной, т.е. прямой теоремы, а заключением 一 ее условие.
Начало развитию классического математического анализа было положено решением прямой и обратной задач о касательной. Прямую задачу построения касательной к плоской кривой, задан-
ной алгебраическим уравнением, впервые решили П. Ферма (1601 - 1665) и Р. Декарт. Метод решения обратной задачи нашел Г. Лейбниц (1646 - 1716).
В специальном разделе математики рассматриваются прямые и обратные задачи вариационного исчисления. Простейшая прямая вариационная задача формулируется следующим образом. Требуется найти такую функцию 兴％), которая доставляет экстремум - минимум или максимум -интегралу
J(y)= Т(У，у', х)б&,了=空旦，(1.6)
Jах
а ее график - кривая соединяет две граничные точки
yg) = M， У(х2) = у2-(1.7)
Искомая функция - экстремаль - является решением дифференциального уравнения
F)，- 丁 F，= °,(1-8)
丿0X /
где Fy,卅’-частные производные функции F соответственно по переменным^ и у. Уравнение (1.8) получил Л. Эйлер в 1744 г., оно называется его именем.
Содержание простейшей обратной вариационной задачи заключается в отыскании функции 尸(у,忆 ％) в интеграле (1.6) по заданному дифференциальному уравнению и граничным условиям вида (1.7).
Античная мифология рассказывает, что Дидона, сестра царя Тира, основала в 825 г. до н.э. город-государство Карфаген в Северной Африке. Для основания города туземцы согласились продать ей участок земли такой площади, какую может охватить бычья шкура. Дидона-царица разрезала шкуру на тонкие ремешки и расположила их так, чтобы ограничить наибольшую площадь. Она решала своеобразную вариационную задачу: определяла вид (форму) замкнутого контура заданного периметра - длины ремешков, - ограничивающего максимальную площадь участка земли. Эту задачу называют «задачей Дидоны». Математически строгое решение задачи Дидоны: площадь участка будет наибольшей в том случае, когда ограничивающий его контур представляет собой окружность.
В настоящее время вариационное исчисление широко применяются для решения прикладных задач в различных областях техники, в том числе в математической теории оптимальных процессов управления.
Взаимно обратные интегральные соотношения
F{p)^°\f(t)e-p,dt,/⑴三 0,/<0;
О
С+/ОО
/(О = — \F{p)eptdp, c=Rep(1.9)
2 图 с
определяют прямое и обратное преобразования Лапласа, если интегралы существуют.
Интегральные соотношения
8ОО
F{i(o) = ^f(t)e~ia,,dt, /(Г) = — j>(而)e'g 血 (1.10)
определяют прямое и обратное преобразования Фурье, если#) абсолютно интегрируема и удовлетворяет условиям Дирихле, которые изучаются в курсе математики.
В алгебраическом разделе математики развита теория симметричных многочленов. Методы этой теории применяются для решения систем уравнений высших степеней. (Болтянский В.Г. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967). В данном случае симметрия выполняет роль способа отыскания решений.
Такую же роль выполняет симметрия при доказательстве различных положений и теорем. А именно, часто применяется метод предположения противоположного утверждения - доказательство от противного. Этот метод соответствует закону логики - исключенного третьего, - который сформулировал Аристотель.
Рассмотренные примеры симметрии относятся к той ветви математики, объектами изучения которой являются неслучайные величины и функции. Законы симметрии проявляются также в математической теории, изучающей случайные события и процессы. Приведем несколько примеров из этой области.
Теория вероятностей изучает законы распределения и числовые характеристики случайных величин. Наиболее часто встречается нормальный закон распределения вероятностей, установленный К. Гауссом. Плотность вероятностей, соответствующая этому закону, определяется формулой
(ft)?
/М=Ц=е 2о? .(1.11) 才2兀
Параметр тх - математическое ожидание случайной величины, т.е. наивероятнейшее ее значение, так как при х = тх плотность вероятности наибольшая. Параметр ох есть среднее квадратическое отклонение случайной величины от
Л1 =Л1 =0x00x0а = тх.а = тх.центра распределения-рассеивания. График функции Xх)изображен на рис 1.4, где
Л1 =
Л1 =
0x0
0x0
а = тх.
а = тх.
Распределение симметрично относительно его центра. При увеличении ох максимальная ординатау(х) уменьшается, кривая распределения расширяется, поскольку площадь под кривойу(х) равна единице:
j/(x)办=1.
Закон Гаусса (1.11) утверждает следующее:
допускаются равновероятные отклонения х ~ тх + ^х случайной величины по обе стороны от центра рассеивания;
вероятность больших отклонений случайной величины от центра рассеивания мала.
Справедливость симметричного нормального распределения вероятностей полностью подтверждается практикой. Об этом с достаточной убедительностью свидетельствуют закономерности распределения ошибок измерения физических параметров в различных областях техники и других явлений материального мира.
Свойства случайных процессов, протекающих во времени, характеризуются корреляционной функцией. По определению корреляционная функция случайного процесса А(0 равна
Kx{t,t') = M\x(t,)X{t^,
X(t)^X(t)-mx, где Л/[…]一 знак операции математического ожидания. Относительно своих аргументов 厶 Г корреляционная функция симметричиа, т.е. не меняется при перемене аргументов местами:
二К"/).(1.12)
Для стационарной случайной функции справедливо равенство Kx(f」) = K(/-f) = Kx(T),
Поэтому в силу (1.12) имеем
KKD = E(T).(1-13)
Следовательно, корреляционная функция есть четная функция, ее график - симметричная кривая относительно оси ординат.
Так как К*(т) - исчезающая во времени функция:
%(т)-> 0 при Т -> ОО, то справедливо прямое и обратное преобразования Фурье:
邑 ®)= )кх(т)е-з 近，(1.14)
1 00
кх(T) = ^-F式3)13‘出.(1.15)
Преобразования (1.14), (1.15) взаимно обратны. Функция S/o) есть спектральная плотность случайной функции. На основании (1.13) имеем 5х(о) = 5х(-о),
т.е. спектральная плотность есть четная функция частоты о. График 5х(о) располагается симметрично относительно оси ординат.
Соотношения (1.1) - (1.16) соответствуют сравнительно «простым» примерам из области математики. Однако приведенный перечень можно
дополнить глубокими теоремами о симметричных свойствах конформных отображений аналитических функций, о симметричных проблемах собственных значений, о симметричных свойствах квадратичных форм, сопряженных дифференциальных уравнений, а также примерами симметрии из функционального анализа, теории групп и других разделов математики.
Здесь уместно привести следующее философское положение: в малом содержится великое, равно как в великом содержится малое. Это положение делает равноправными простые и сложные примеры, иллюстрирующие фундаментальное свойство Природы - симметрию.
В заключение этого раздела приведем несколько примеров из механики. В энциклопедии записано, что законы классической механики - законы сохранения - симметричны, что есть следствие симметрии пространства и времени. В частности, справедлив принцип обращения времени. В простейшем случае: перемена знака времени на обратный « — - г) в модели движения материальной системы приводит к обращению знака скорости V — -匕 Поэтому система будет совершать обратное движение по траектории, которая в точности повторяет траекторию прямого движения.
В общем случае операция замены знака времени в уравнениях движения, описывающих эволюцию физических систем и элементарных частиц при фундаментальных взаимодействиях (за специальным исключением), не меняет вида уравнений.
Законы небесной механики совершенно симметричны относительно будущего и прошедшего. Вследствие этого, например, затмения Солнца так же хорошо определяются в прошлом, как и предсказываются в отдаленном будущем.
Формулировка третьего закона классической механики непосредственно выражает симметрию противоположного: всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следующий пример относится к симметрии взаимно обратных методов решения практических задач. А именно, расчет параметров колебаний механических систем выполняется прямым и обратным методами. Истоки прямого метода восходят к работам Д. Рэлея (1842 - 1919), а обратный метод предложен и опубликован в 1935 г. (Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968).
Наконец, заключительный пример: в разделе механики, который изучает движение материальных систем, есть прямая и обратная задачи динамики. Эти задачи обсуждаются во второй лекции.
Двойствеииость - симметрия явлений ипроцессов в материальном мире
Разнообразные явления и процессы материального мира - механические, физические, электрические, магнитные, химические, экономические и др. - изучаются с помощью математических моделей в виде обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений математической физики - в частных производных. Такая универсальность моделей обусловлена тем, что они основываются на фундаментальных законах природы, связанных с симметрией пространства и времени. Вопросы математического моделирования изучаются в специальных курсах. Не затрагивая математической стороны дела, мы рассмотрим примеры проявления симметрии в области электрических, магнитных, тепловых и химических явлений, известных из общеинженерных курсов физики, электротехники и химии.
В природе существуют положительные и отрицательные электрические заряды - моиополи - источники электромагнитного поля. Два точечных заряда, равные по величине и противоположные по знаку, составляют электрический диполь, окруженный магнитным полем. Силовые линии этого поля образуют симметричную картину, как это показано на рис. 1.5.
Магнетизм - явление сопутствующее и в своем проявлении обратное электричеству. Магнит имеет два противоположных полюса. Аналогично электрическому диполю он создан природой подобно диполю магнитному с двумя магиитиыми моиополями. Силовые линии этого поля также образуют симметричную картину (рис. 1.5). Вопрос о существовании магнитных монополей обсуждается в разд. 1.4.
Парамагиетизм и диамагиетизм 一 противоположные свойства вещества, проявляемые во внешнем магнитном поле. Парамагнетизм - свойство вещества намагничиваться во внешнем поле по его направлению, а диамагнетизм - в противоположном. В первом случае атомные магнитные моменты ориентируются по направлению поля, а во втором - против; вне поля они дезориентированы тепловым движением.
Термоэлектричество - явление возникновения электродвижущей силы в цепи из разнородных металлов, контакты между которыми поддерживаются при различных температурах; открыто в 1821 г. голландским физиком Т. Зеебеком (1170 - 1831). Обратное явление 一 возникновение разности температур в местах спая двух разнородных металлов при пропускании тока по этой цепи - открыл в 1834 г. французский физик Ж. Пельтье (1785- 1845).
Электрический бипольЭлектрический бипольМагнитный монопольМагнитный монопольРис. 1.5Рис. 1.5Пьезоэлектричество - явление возникновения электрических зарядов при деформации кристаллов - прямой пьезоэффект - и возникновение деформации кристалла под действием электрического потенциала - обратный пьезоэффект. Явление пьезоэлектричества открыто П. Кюри (1859 - 1906). Пьезоэффекты широко применяются в приборах для измерения малых количеств электричества и слабых токов, а также в пьезодвигателях.
Электрический биполь
Электрический биполь
Магнитный монополь
Магнитный монополь
Рис. 1.5
Рис. 1.5
Рассматривая явления симметрии, нельзя не привести пример из мира кристаллов - изумительного по совершенству творения природы. Можно разрушить большой кристалл какого-нибудь минерала, он рассыплется на множество меньших кристаллов и кристалликов. Но все эти кристаллики будут иметь совершенно такую же форму, как исходный большой: число граней и углы между ними остаются неизменными. Оказывается, внешняя симметрия кристаллов отражает
атомную структуру минерала - это и есть следствие симметричного
строения атомных решеток.
Кристаллограф - математик Е.С. Федоров (1853 - 1919) теоретически доказал, что в природе могут быть 230 типов симметрии атомных структур кристаллов. Работы Е.С. Федорова положили начало математической теории симметрии в этой области. Методы кристаллографии в сочетании с рентгеноскопией глубоко проникли в различные естественные науки. Исследуя методами математической теории симметрии распределение электронной плотности в молекуле, физики и химики расшифровывают структуру различных соединений, в том числе биологических макрокристаллов - элементов живой материи.
Обратные электромагнитные явления состоят в следующем. Протекающий по проводнику электрический ток образует вокруг него магнитное поле 一 прямое явление. Напротив, перемещение замкнутого проводящего контура в магнитном поле вызывает в контуре электрический ток - обратное явление (электромагнитная индукция). Прямое явление открыл X. Эрстед (1777 - 1851), а второе - М, Фарадей (1791 - 1867).
Электромагнитная индукция составляет основу принципа действия электрической машины, которая преобразует механическую энергию в электрическую (генератор) либо электрическую в механическую (двигатель). Отмеченные явления называют свойством обратимости электрической машины.
Обратимый тепловой процесс в термодинамике представляет собой замкнутый цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Обратный процесс осуществляется путем последовательного повторения в обратном порядке всех промежуточных состояний прямого процесса. Теоретически возможны только равновесные обратимые процессы. Реальные процессы в тепловых машинах почти равновесные. Понятия обратимых процессов и циклов ввел в термодинамику и исследовал их С. Карно (1796 - 1832). Теперь они носят его имя.
В химии известны обратимые реакции. Они осуществляются в реагирующей системе с равными скоростями в прямом и противоположном направлениях:
реагент А агент В.
В этом случае реагирующая система (А; В) находится в состоянии химического равновесия. Если скорость vB протекания обратного процесса пренебрежимо мала по сравнению со скоростью vA прямого процесса (vB « vA), то реакцию считают практически необратимой.
В 1859 г. наш великий соотечественник Д.И. Менделеев (1834 - 1907) в самом начале своей научной деятельности открыл температуру абсолютного кипения, т.е. критическую температуру, при которой жидкость мгновенно превращается в пар. На этом основании он формулирует вывод о том, что любой газ можно превратить в жидкость при его охлаждении ниже критической температуры. Этот вывод составляет основу закона прямого и обратного перехода материи из одного состояния в другое. Здесь опять-таки проявляется симметрия взаимно обратного.
Ограничимся приведенными примерами симметрии явлений и процессов, существование которых установлено различными физико- техническими науками.
В согласии со всеобщим законом природы, открытым М.В. Ломоносовым, различные формы энергии подчиняются закону сохранения, согласно которому она не возникает из ничего и не исчезает; энергия может переходить из одной формы в другую. Например:
Механическая <-> тепловая,электрическая с механическая,тепловая с электрическая,электрическая с магнитная.
Здесь имеет место симметрия явлений: механическая энергия переходит в тепловую и обратно; электрическая энергия переходит в механическую, а механическая - в электрическую и др.
Симметрия в живой материи и в человеческом обществе
Белок - основа жизни. Молекулы белков осуществляют все основные процессы в живом организме, являются строительным материалом живых тканей - от кожи человека до оболочки вируса. Создавая молекулы белков, природа распорядилась весьма экономно: все виды белков - в организме человека их сотни тысяч - построены по едииой симметричной схеме.
Фрагмент такой схемы отражает формула, приведенная на рис. 1.6. Симметричные атомные структуры молекул белков, соответствующие структурным формулам, устанавл и ваются в настоящее время с помощью рентгеновской кристаллографии.
Природа, создавая основные элементы (части) живой материи - мо лекулы белков - по единой и простой симметричной схеме, проявила высшую мудрость и при создании целого: она построила живой организм в виде хорошо организованной иерархической структуры. «Характер* ное свойство жизни - наличие иерархии структур и механизма функцио- нального контроля. Этот принцип иерархичности проявляется на всех
сно КС//NH\ опссно КС//NH\ опсн Nн Nуровнях, начиная с атомного и молекулярного, где расстояния весьма малы, вплоть до взаимоотношений внутри человеческого общества, где расстояния колоссальны, и приводит к образованию высокоорганизован- ных структур». Таким образом, Нпринимается, что биологическая
сно КС/
/NH
\ опс
сно КС/
/NH
\ опс
н N
н N
Nсистема построена на основе
Vдвуединства структурных и
функциональных иерархий, ко- Rjторые обеспечивают ее функ
ционирование. Концептуальные
Р11c.l.6положения теоретической био-
логии можно найти в статье В.А. Энгельгардта «Иерархии и взаимодействия в биологических системах» (Природа, № 12, 1994).
Рассматривая примеры симметрии в мире живой материи, нельзя не вспомнить великую труженицу - медоносную пчелу. С восходом солнца до его заката перелетает пчелка с цветка на цветок и собирает нектар и цветочную пыльц)< Другие труженицы сооружают в улье восковые постройки -соты из шестигранных ячеек для вывода молодых пчел, хранения меда и перги. Удивительна симметрия сотовых построек. Не менее удивительно и другое: жизнедеятельность пчелиной семьи (до 100 тыс. пчел) организована по иерархическому принципу. Такими «способностя
ми» наделила пчел природа.
Специалисты по биологии изучают симметрию внешнего и внутреннего строения растений. Симметрия всего растения особенно заметна, она наделяет каждый вид присущей ему формой, что позволяет различать его среди множества других. Невидимая симметрия внутреннего строения обнаруживается только с помощью специальных приборов. На рис. 1.7 приведена фотография поперечного сечения побега ломоноса. При 200-кратном увеличении различается радиальная симметрия тканей. Фотография на рис. 1.7 заимствована из книги «Узоры симметрии» (пер. с англ. Мир, 1983). В настоящее время не изучены закономерности роста и развития растений, поэтому публикации по симметрии в растительном мире имеют описательный характер.
В одной из самых сокровенных сфер существования живой материи свойства симметрии установлены законами наследственности, которые открыл австрийский монах Г. Мендель (1822 - 1884). Согласно этим законам, генетические признаки периодически воспроизводятся в последующих поколениях. Это уже симметрия во времени.
Рис. 1.7Рис. 1.7Носителями наследственной информации являются гены. Современная биологическая генетика открыла, что в живой материи существуют антигены - вещества, чужеродные организму. Доказано, что если ввести антиген в организм, то
Рис. 1.7
Рис. 1.7
его иммунные клетки начинают синтезировать специфические антитела, которые нейтрализуют действие чужеродного вещества, поэтому антитела-сыворотки применяют в лечебных целях. Здесь также симметрия противоположного на молекулярном уровне: геиы и аитигеиы; тела и антитела.
Самая высокоорганизованная материя 一 мозг человека - создан природой на основе принципа симметрии противоположного. Это проявляется в различном функциональном назначении левого и правого полушарий. Из материалов публикаций в этой области следует вывод, который можно сформулировать (образно) так: левое полушарие 一 это центр оптимизма, а правое - пессимизма. Однако в поисках золотой середины поведения хозяина они трудится согласованно.
В жизнедеятельности организма человека проявляются циклические колебания интенсивности и характера биологических явлений и процессов, так называемые биологические ритмы. Эти явления изучает специальная наука хронобиология.
Заслуживает быть отмеченным и другое свойство симметрии противоположного, которое проявляется в физиологии человека. Как известно, настойка лекарственного растения валерианы применяется как успокаивающее средство. Однако слишком большая доза принятой настойки приводит к обратному эффекту - к возбуждению, неуместной веселости, сопровождаемой неудержным смехом. Это явление наблюдается у студентов во время экзаменов. Известно также, что чай оказывает тонизирующее действие на организм. Однако, слишком крепко заваренный, он угнетает нервную систему, вызывает вялость и сонливость. Опять-таки обратный эффект.
История сохранила свидетельства того, что античные мыслители знали эти явления. Они говорили, что высший дар богов человеку - чувство меры. В древнегреческом городе Дельфы на храме Аполлона, покровителя муз, искусства и гармонии, было начертано изречение: «Ничего сверх меры». По античному преданию это изречение принадлежит Солону (640 一 559 гг. до н.з.), одному из семи греческих мудрецов.
Рассмотрим теперь примеры проявления симметрии в человеческой деятельности и в духовной сфере.
Отметим прежде всего, что деятельность коллективов производственного, научного или иного назначения организуется согласно иерархическому принципу. Например, у руководителя коллектива есть заместители по направлениям деятельности; каждому заместителю подчинены
заведующие соответствующих отделов; в составе отделов имеются лаборатории со своими руководителями.
По аналогичной схеме построена структура войсковых частей и соединений. Например: дивизия, полки, роты и т.д.
Иерархическая структура в управлении была известна в древнейшее время. С IV -III тыс. до н.э. централизованная власть в Египте принадлежала фараону. Территория государства была разделена на провинции, которые управлялись наместниками фараона - номархами; провинции имели свое административное деление на регионы, в которых были свои управляющие.
Принцип иерархии испытан практикой в течение тысячелетий и теперь прочно утвердился в управленческих структурах различного назначения и различного масштаба - от систем управления техническими объектами до структур управления государствами и сообществом государств. Теоретически иерархические структуры обеспечивают возможность достижения наибольшей эффективности управления деятельностью коллективов, организаций и пр. К сожалению, такая возможность реализуется в жизни далеко не всегда. Технические средства управленческих структур - особенно крупномасштабных - имеют, безусловно, большое значение. Однако решающая роль в управлении принадлежит людям, участвующим в этом процессе.
Низкий уровень знаний, амбиции, корыстные интересы вплоть до враждебных - эти неистребимые компоненты духовной сущности субъектов -выступают как антиподы высокого профессионализма и бескорыстия порядочных людей. Многовековой жизненный опыт человечества мы можем принять как доказательство того, что фундаментальное свойство природы - симметрия противоположного - охватывает этическую, морально-нравственную и духовную сферы. Действительно, в области человеческих отношений проявляются: добро и зло, ложь и правда, дух и плоть, симпатии и антипатии и др.
Все духовное - двояко. Эта проблематика обсуждается с античных времен. На портике храма Аполлона, о котором упоминалось, было высечено и другое изречение: «Познай самого себя». В римской мифологии божество Янус изображалось с двумя лицами; одно из них обращено в прошлое, а другое - в будущее. С течением времени произошла трансформация этого божества в нарицательного и мало приятного «двуликого януса».
Принято считать, что мыслитель Сократ (ок. 470 - 399 гг. до н.э.) является основоположником моральной философии, изучающей тему
человека, добродетели и пороков, права и долга, свободы и ответственности, личности и общества. Его ученик и последователь Платон говорил, что «...крайняя степень свободы приводит к хаосу».
«Доказывать очевидное - значит умалять его», - такое правило было у римлян. Справедливость этого правила сохраняется и в наше время.
Не менее справедливо и такое изречение: правду нельзя скрыть целиком, как нельзя и раскрыть ее до конца, (древневост.)
Тема добра и зла 一 всемирная. Примечательно, однако, что у народов всех континентов взаимоотношения добра и зла понимается как взаимно обратное явление. Такое понимание закреплено в многочисленных изречениях и поговорках. Приведем некоторые из них.
Хорошо известны на Руси поговорки: нет худа без добра; не было счастья да несчастье помогло.
«Счастье нередко является началом несчастья, и удача часто ведет к неудаче». (Коран).
«Если счастье не бывает длительным, то и несчастье не вечно. Они постоянно сменяют одно другое», (армянск.)
«Ничего нет вечного, и несчастье так же переменчиво, как счастье, (итальянск., XV в.).
«Большая радость всегда грозит большой бедой», (китайск.)
Подмеченную народами «закономерность» взаимно обратного проявления добра и зла Вольтер (1694 - 1778) сформулировал следующим образом: «Нет такого зла, которое не влекло бы за собой добра».
Для процесса познания большое значение имеет философский тезис: одно и тоже многие люди видят и понимают по-разному. В разделе 1.4 будут приведены яркие факты из истории развития естествознания, относящиеся к тезису о полярности мышления. Здесь же сошлемся на образное и остроумное замечание А.С. Пушкина (1799 - 1837) на эту тему:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей.
Комментарии здесь не требуются, отметим только, что первый мудрец -это греческий философ Зенон, а второй - знаменитый Диоген.
Прежде чем переходить к заключительному разделу лекции, приведем высказывание М.В. Ломоносова о взаимно обратном процессе познания: «Из наблюдений устанавливать теорию, через теорию исправлять наблюдения - есть лучший способ к изысканию правды». Эта лаконичная по форме и глубокая по содержанию формула выражает фундаментальное положение современной теории познания.
1.4. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ В МЕТОДОЛОГИИНАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
История развития естествознания убедительно доказывает, что симметрия не только отражает свойства материи во всех ее проявлениях, но выступает также в роли сильного руководящего принципа в познании Природы. Приведем примеры из различных областей науки.
Как известно, в 1865 г. немецкий химик Ф. Кекуле (1829 — 1896) построил структуру молекулы ароматических соединений. Причем конструкция молекулы построена по «принципу симметрии». Идея о симметрии и открытие Ф. Кекуле «перевернули всю органическую химию». Так оценивают это событие современные химики. Через сто лет после этого события (1965 г.) профессор Гарвардского университета Р. Вудворт, лауреат Нобелевской премии, опубликовал серию статей о сохранении орбитальной симметрии. Эти результаты, полученные на основе соображений, заимствованных из квантовой механики, совершенно по-новому «осветили обширную область органической химии, которую до этого открытия называли областью реакций без механизмов». (Краткий миг торжества: как делаются научные открытия / Сб. статей. М.: Наука, 1988.).
В 1869 г. Д.И. Менделеев открыл удивительную симметрию свойств химических элементов и сформулировал периодический закон, который выражается в повторяемости свойств элементов по вертикали и горизонтали знаменитой Таблицы. Периодический закон Менделеева и периодическая система элементов составляет основу для изучения всего многообразия химических веществ и для синтеза новых элементов.
В настоящее время химики-теоретики широко используют в своих исследованиях математический аппарат теории симметрии и ЭВМ. В этом направлении разработаны эффективные методы, позволяющие качественно и количественно предсказывать тонкую структуру и свойства материи.
Рассмотрим несколько примеров из классической физики. История развития физики сохранила такой многозначительный эпизод. После того как в 1819 г. было обнаружено магнитное поле вокруг проводника, по
которому пропускается электрический ток, М. Фарадей решил получить обратный эффект. Поиски этого эффекта, начиная с 1821 г., он вел в течение десяти лет и обнаружил его, быстро перемещая намагниченный сердечник в катушке из проводника. Этот удачный эксперимент помечен в дневнике М. Фарадея номером 16041. Для обсуждаемой проблематики важно знать философскую основу, на которой базировалась уверенность М. Фарадея в существовании обратного эффекта и которая подвигла его в течение десяти лет провести более шестнадцати тысяч экспериментов. Об этом стало известно из лабораторных дневников, которые были вскрыты н изданы (по завещанию) через сто лет после его кончины. Обнаружилась поразительная проницательность ума М. Фарадея: в 1821 г. он был убежденным сторонником тезиса о единстве природных начал, считая, что если электричество несет магнетизм, то и магнитные силы должны таить в себе электрическую энергию. Это свидетельствует о том, что М. Фарадей признавал существование симметрии физических явлений, а именно, что изменение магнитного поля приводит к появлению электрического тока и наоборот - изменение электрического тока приводит к появлению магнитного поля. Он сознательно руководствовался этим принципом, о чем говорит не только запись в лабораторном дневнике, но и десять лет поисков обратного эффекта.
Свойства электромагнитных явлений отражены в уравнениях электродинамики, которые вывел Д. Максвелл в 1855 г. еще при жизни М. Фарадея. На основе созданной теории Д. Максвелл предсказал существование электромагнитных волн и их распространение в пространстве со скоростью света. Кроме того, он сделал вывод, что свет имеет электромагнитную природу и теоретически вычислил его давление (1873 г.).
Современники Д. Максвелла скептически относились к электромагнитной теории и выводам из нее, так как считали, что он слишком вольно обращается с физикой и грешит против математики. Основанием для такого скептицизма явилось то, что в уравнение для «магнитной» компоненты из соображений симметрии Д. Максвелл ввел так называемый ток смещения, в существовании которого многие сомневались. Это особенно вызывало недоверие к электромагнитной теории.
Уместно отметить, что с таким же недоверием и скептицизмом встретили открытия М. Фарадея. О степени недоверия и скептицизма с предельной прямотой высказался выдающийся американской физик, лауреат Нобелевской премии Р. Милликен (1868 - 1953):
«Когда Фарадей подтвердил свои гениальные идеи гениальнейшими открытиями в области электромагнетизма, он этим не завоевал своим идеям даже минимального признания. Формалисты с тайным, а иногда и
с явным презрением смотрели на грубые материальные силовые линии и трубки, порожденные плебейской фантазией переплетчика и лабораторного сторожа».
Оппоненты М. Фарадея знали, что он, выходец из беднейшей семьи, начинал свою трудовую деятельность разносчиком газет и переплетчиком, а затем был лаборантом и ассистентом известного английского физика-химика Г. Дэви (1778 - 1829).
Признание электромагнитной теории Д. Максвелла, а вместе с ней и открытий М. Фарадея, пришло после того, как экспериментально было доказано существование тока смещения и после того, как Г. Герц (1857 - 1894) экспериментально обнаружил электромагнитные волны, а П.Н. Лебедев (1866 - 1912) измерил давление света.
Комментируя удивительное проникновение мысли Д. Максвелла, известный американский физик Э. Роджерс высказался следующим образом: «Это дополнение «магнитного» уравнения током смещения не было ни результатом удачной догадки, ни итогом таинственного вдохновения. Для Максвелла, который хорошо знал, какова структура развивающегося знания, установление симметрии представлялось обязательным». (Мороз О.П. Красива ли истина. М.: Знание, 1989.). Другой американский физик Н. Кэмпбелл в 1921 г. в своей книге «Что такое наука» писал следующее: «Чувство красоты симметричной формы уравнений неизменно поддерживало у Максвелла веру в их справедливость, несмотря на то, что экспериментального подтверждения своей теории он так и не дождался, а большинство окружающих в лучшем случае находили ее сомнительной».
Таким образом, Д. Максвелл, как и М. Ф^эадей, сознательно руководствовался принципом симметрии, создавая электромагнитную теорию.
Теперь - о физике микромира. В 1897 г. английский физик Дж. Дж. Томпсон (1856 - 1940) экспериментально открыл электрон. За это открытие он был удостоен Нобелевской премии 1906 года. В 1928 г. английский физик-теоретик П. Дирак (1902 - 1984) предложил квантовую теорию движения электрона. Из этой теории следовало, что электрон имеет своего антипода - частицу такой же массы, но заряженную положительно. Физики не признавали эту теорию и ее выводы. Однако через четыре года (1932) американский физик К. Андерсон экспериментально обнаружил в космических лучах этот загадочный «антиэлектрон», который получил название «позитрон», как имеющий положительный заряд. За открытие позитрона К. Андерсон удостоен Нобелевской премии в 1936 г.
Создавая квантовую теорию движения электрона, П. Дирак опирался на принцип симметрии. В 1930 г. он писал, что в теоретической физике появился новый метод, суть которого составляет все более широкое применение симметрии. Основываясь на этом принципе, П. Дирак разработал в 1931 г. симметричную квантовую электродинамику и теоретически предсказал рождение и аннигиляцию электронно-позиционных пар. Вскоре эти фундаментальные положения теории были подтверждены экспериментально. Действительно, оказалось, что при столкновении электрона со своим антиподом - позитроном происходит их аннигиляция (исчезновение частиц) и возникает гамма-излучение. Был открыт и обратный процесс - рождение электронно-позитронной пары из гамма- излучения. В 1933 г. П. Дирак удостоен Нобелевской премии «за разработку новых, перспективных форм атомной теории». Такая формулировка записана в протоколе Нобелевского комитета.
В нобелевской лекции П. Дирак предсказал существование антипротонов. Спустя почти четверть века эта античастица была обнаружена экспериментально. В 1994 г. выполнено прямое измерение массы антипротона. С точностью до одной миллиардной его масса совпадает с массой протона.
В симметричной квантовой электродинамике, которую разработал П. Дирак, не оказалось места для однополюсного магнитного заряда. Это означало, что в природе не должно существовать магнита. Такое заключение следовало из теории. Тогда П. Дирак, самый сильный и смелый теоретик своего времени, ввел в квантовую электродинамику магнитный монополь (см. рис. 1.5).
Иначе говоря, теоретически доказал существование в мире магнитного монополя с определенными свойствами. До настоящего времени магнитный монополь - двойник электрического монополя - в природе не обнаружен. Физики ищут его в космических лучах, в метеоритах, в продуктах ядерных реакций. Пока безуспешно, но строгая теория предсказывает его существование.
В своем выступлении на церемонии вручения Нобелевской премии П. Дирак сформулировал далеко идущий вывод из своей симметричной квантовой теории: «Если симметрия действительно носит фундаментальный характер, то должно оказаться возможным обращать заряд любого сорта частиц». Иначе говоря, для каждой частицы существует симметричная ей античастица.
Как известно, развитие физики подтвердило такое заключение. Современный каталог элементарных частиц и симметричных им антиподов 一 античастиц содержит около 500 наименований. В настоящее время ведутся интенсивные исследования фундаментальных симметрий взаимодействий элементарных частиц-антиядер, антиатомов и антимолекул. Физики приходят к заключению, что все физические процессы в мире античастиц происходят так же, как и в мире частиц. Современные представления по этим вопросам можно найти в статье: Дальмаров О.Д., Воронин А.Ю. Исследование антиматерии - реальность и перспективы. Природа, 1994, № 12.
Большое значение в методологическом отношении имеет положение, которое П. Дирак сформулировал в той же нобелевской лекции: «Фундаментальные законы, возможно, таковы, что допускают, нуждаются, а может быть, даже требуют формальных описаний, обладающих математическим изяществом и симметрией. Не значит ли это, что в определенных условиях, когда прямые пути поиска истины закрыты, его (поиск) можно вести окольно, ориентируясь на свойства симметрии». Это положение было высказано в 1933 г. и опубликовано в монографии П. Дирака «Электроны и вакуум».
В наше время в журналах и монографиях интенсивно обсуждаются:
обратные задачи статистической физики;
обратные задачи термодинамики;
обратные задачи аэродинамики;
обратные задачи теплопроводности;
обратные задачи диффузии в детерминированной и статистической форме;
обратные задачи атомной спектроскопии;
обратные задачи химической кинетики и другие.
Не являются ли эти обратные задачи проявлением окольного пути поиска решений, который основывается на свойствах симметрии и о котором говорил П. Дирак в своей нобелевской лекции?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Симметрия свойств математических моделей и физических явлений определяет методологию исследований в различных областях знаний. Использование свойств симметрии значительно упрощает теоретические исследования, позволяет формулировать гипотезы и выводить существенно новые заключения о закономерностях, присущих изучаемым математическим объектом материального мира. Это в полной мере относится к проблематике теории автоматического управления.
Лекция 2
СИММЕТРИЯ И КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
В лекции рас сматриваются свойства симметрии в автоматических системах, которые проявляются в форме взаимно однозначного соответствия структуры математических моделей управляемых процессов и алгоритмов управления. Использование свойств симметрии естественным образом приводит к обратным задачам динамики управляемых систем и качественно новым методам формирования структуры алгоритмов управления и расчета их параметров. Материал лекции имеет методологический характер; расематриваемые здесь идеи составляют концептуальную основу нового направления в теории аналитического проектирования алгоритмического обеспечения систем автоматического управления.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Динамика - наука о движении материальных систем - изучает методы решения двух основных задач. Рассмотрим их для того случая, когда движение системы подчиняется дифференциальному уравнению
my(t) + f(y,y) = F(t). (2.1)
Здесь w - масса системы; переменные у (г), у (г) характеризуют положение системы и скорость ее движения в каждый момент времени / > 0; действующая на систему сила обозначена F(z).
Первая задача формулируется следующим образом. Известна математическая модель (2.1) движения системы и ее состояние в начальный момент времени:
У(О) = Уо,夕(0) = %・ (2-2)
Задана сила F(r). Требуется найти траекторию движения системы
У«), У (О, го. (2.3)
Решение сформулированной задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (2.1) с начальными условиями (2.2). Эта процедура может быть выполнена аналитически или численно с помо-
щью ЭВМ. В результате будут найдены переменные (2.3), характеризующие движение изображающей точки системы на фазовой плоскости.
Вторая задача, в отличие от первой, формулируется так. Известна математическая модель (2.1) движения системы, задано ее начальное состояние (2.2). Назначена требуемая траектория движения у (г), у*(г), г > 0. Необходимо найти такую силу
户0)=户*0),，2 0,которая осуществляет движение системы по назначенной траектории:
У(0 = /(0, >(0 = /(05 工之0・
Сформулированные задачи противоположны по содержанию, поэтому первую из них называют прямой задачей динамики, а вторую - обратной. В результате решения прямой задачи для заданной силы на основе анализа движения определяются динамические характеристики системы. Напротив, в результате решения обратной задачи отыскивается требуемая сила, которая вызывает движение системы по заданной траектории. Следовательно, если F(r) представляет собой управляющую силу, то в математическом отношении содержание обратной задачи динамики составляет синтез алгоритма управления, при котором управляемая система обладает требуемыми динамическими характеристиками.
На протяжении длительного времени математики и механики изучали движение различных тел под действием приложенных к ним сил и моментов. Поэтому до недавнего времени было принято считать, что приоритетной задачей динамики является прямая, как это записано в энциклопедических изданиях 1980-х гг. Однако с развитием техники управляемого движения приоритетность прямой и обратной задач поменялась. Действительно, решение прямой задачи - интегрирования дифференциальных уравнений при заданных силах - в настоящее время не составляет затруднений: современное математическое обеспечение высокопроизводительных ЭВМ позволяет получать решения весьма сложных уравнений. Иначе обстоит дело с обратными задачами определения сил и моментов, управляющих движением таких систем, как летательные аппараты различных типов (самолеты, вертолеты, космические аппараты), необитаемые подводные аппараты, многомассовые механические системы и другие объекты. Актуальность разработки эффективных методов управления движением таких систем сохраняется, несмотря на значительные достижения в этой области.
ЗАДАЧИ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ НАЗНАЧЕННОЙТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ И СИММЕТРИЯ
В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рассматриваем стационарную одномерную систему, движение которой подчиняется дифференциальному уравнению
N(ZW) =仇“(f),4(D) = D"+£aQ, D^d(2.4)
v=odt
где x - выходная переменная; и - управляющая функция. Параметры системы известны. Будем изучать следующую задачу. В начальный момент времени г = 0 состояние системы характеризуется значениями
х")(0) =%), s = 0, 1,..., w- 1.(2.5)
Требуется найти такую управляющую функцию и = w*, при которой движение системы из состояния (2.5) проходит по назначенной фазовой траектории при г > 0.
Пусть х (Г) соответствует заданной траектории движения и как функция времени дифференцируема необходимое число раз. В таком случае управляющая функция u(t) получается в результате непосредственной подстановки х (f) в уравнение движения (2.4). Выполняя такую подстановку, находим
u{f)= b^A{D)x(t).(2.6)
Рассмотрим структурные схемы модели управляемой динамической системы (УДС) и алгоритма вычисления управляющей функции, т.е. алгоритма управления. Для случая w = 2 структурная схема модели, соответствующая (2.4), изображена на рис. 2.1. Структурная схема алгоритма управления, соответствующая (2.6), изображена на рис. 2.2. Можно заметить, что структурные схемы симметричны: структура модели УДС и структура алгоритма управления представляют собой зеркальное отражение одна другой. Действительно, операции, составляющие содержание алгоритма вычисления управляющей функции, обратны соответствующим операциям в математической модели управляемого процесса: интегрированию в модели соответствуют дифференцирование в алгоритме управления, вычитанию соответствует суммирование, коэффициенту
Рис. 2.1
Рис. 2.2
усиления 60 отвечает обратная величина 毎"L Наконец, входная х и выходная и переменные структурной схемы алгоритма управления представляют собой обращенные переменные х, и модели управляемого процесса. В силу этого каждая из структурных схем может быть получена одна из другой путем обращения операций и соответствующих переменных.
Таким образом, можно сформулировать следующее положение: алгоритм формирования управляющей функции строится по принципу симметрии структуры и обращения операций по отношению к структуре и операциям, соответствующим математической модели управляемой системы. Это положение составляет содержание концепций метода обратных задач динамики управляемых систем.
Из (2.6) следует, что структура и параметры модели УДС однозначно определяют структуру и параметры алгоритма управления. Существенно однако, что формула (2.6) определяет программную управляющую функцию и = w*(Z). В силу этого управление движением системы осуществляется по разомкнутой схеме (рис. 2.3), т.е. без обратной связи - по программе.
Управляющая ^асть IУД С
Рис. 2.3
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯВ ФОРМЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Методику синтеза изложим применительно к задаче управления системой, движение которой описывается уравнением второго порядка
d2x(t)dx(t)厶с
―—2—+ai——+ «ох(О = d〃O(2.7)
dr at
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать алгоритм управления и = 〃(х, Н), при котором система переходит из начального состояния х(0) = хо, ^ (0) = i0 в стационарное состояние х = х° = const, х = 0. Необходимо при этом, чтобы переходный процессх«) -> х° строго следовал за процессом х (г) -> х°, определяемым функцией времени
x\t) = xQ-с^1 -с^21,(2.8)
Л. ] w Л. 2,Re Л. J 2 < 0 •
Постоянные сь с2 должны удовлетворять условиям
/(О)=хо, Н*(0)二 А),(2・9)
которые означают, что фазовая траектория i, х начинается в точке х°, io исходного состояния управляемой системы. Однако для дальнейшего изложения вычислять сь с2 не требуется.
Параметры 九卜 Xq в (2.8) могут быть как отрицательными вещественными, так и комплексными числами с отрицательными действительными частями. Вследствие этого справедливы предельные равенства
lime，国=0, ц = 1,2. /->00 ”
Поэтому х*(г) -> х° при г -> оо, что требуется по условию задачи.
Программная управляющая функция 〃*(/) получается в результате подстановки выражения для х*(г) из (2.8) в уравнение (2.7):
，⑴=4阪。-4(“年巾-4&)с2е^'],(2.10)
где постоянные числа
凰％)=%+a1%+a0，U=l,2.
Чтобы найти алгоритм управления в форме обратных связей, нужно выразить функции времени
С]/", С2/2'(2.11)
через переменные состояния х, £, а затем эти выражения подставить в (2.10). Выполним необходимые преобразования.
По постановке задачи необходимо, чтобы в процессе управления выполнялись равенства
x(f) = f (f), i(r) = x (f), t > 0.(2.12)
Подставляя выражения для x*(f) из (2.8) в (2.12), получим алгебраические уравнения
平"+好心』。-/(2.13)
乂5?”+九2e2/2'=一士，
относительно искомых функций (2.11). Так как X,工九？，то определитель
1 11 1=Л.? — Л.】н 0.=Л.? — Л.】н 0.
1 1
1 1
=Л.? — Л.】н 0.
=Л.? — Л.】н 0.
Поэтому уравнения (2.13) имеют однозначное решение:
%,=入2a0-外+文入，2 — Xj%,=入2a0-外+文入，2 — Xjс2ес2е.2/ _ _ma0 _X)—*.2/ _ _ma0 _X)—*
%,=入2a0-外+文入，2 — Xj
%,=入2a0-外+文入，2 — Xj
с2е
с2е
.2/ _ _ma0 _X)—*
.2/ _ _ma0 _X)—*
Рис. 2.4
Подставляя эти выражения в (2.10), найдем алгоритм управления
U(X, X)=-^-[аох° -(а0 一乂九2)(丿-х)+(〃1 +^1 +А.2)х]. (2.14)
Управляющая функция w = w(x, 土)вычисляется по информации о положении и скорости (х, х). Поэтому управление движением осуществляется по схеме с обратными связями, как это показано на рис. 2.4. Здесь коэффициенты усиления в обратных связях равны
%】—а。一 А.|Л<2, ^2 — % + Л.| + Л<2•(2.15)
Получим уравнение замкнутой системы. Подставив (2.14) в (2.7), будем иметь
X - (Х| + Л，2)-^ + А.1Л，2х = ^А2х°-(2.16)
Характеристическое уравнение
- (Л,】+ Л，2) р + А,|Л，2 二 0,
соответствующее (2.16), имеет корни рх 2 =九覃• Поэтому решение дифференциального уравнения (2.16) с начальными условиями (2.9) будет
x(t)^x°-с^'1 -с^1' =х*(0，Г>0.(2.17)
Следовательно, движение системы с алгоритмом управления (2.14) осуществляется строго по назначенной траектории.
Замечание. Траекторию движения управляемой системы (в частном случае, - кривую переходного процесса) можно назначать с помощью дифференциального уравнения вида (2.16). При этом корни 小 характеристического уравнения могут быть произвольными, в том числе
кратными (Xq =九2)・ Необходимо только, чтобы они были расположены в левой полуплоскости комплексной переменнойр.
Дифференциальное уравнение, с помощью которого назначается требуемая траектория движения, будем называть эталонной моделью.
Особенности алгоритма управления (2.14). Из (2.14) следует, что управляющая функция 〃(х, 土) имеет две составляющие. Одна из них
场=bo'(аох + atx)
компенсирует слагаемые а(>х, 〃]£ в уравнении (2.7) управляемой системы. Вторая составляющая
м2 =Z>o1[A.1X2(x° -х) + (А.] +А.2)х]
управляет «скомпенсированной системой», структура которой представляет собой два последовательно включенных интегратора. На этом основании алгоритмы управления вида (2.14) будем называть компенсационными.
Системы с алгоритмами управления компенсационного типа обладают высокой чувствительностью к изменению параметров управляемых объектов. В силу этого они мало пригодны для практических применений.
Неконструктивность в прикладном отношении структуры алгоритмов компенсационного типа есть следствие того, что такая структура получена из условия абсолютно точного совпадения траекторий движения системы и эталонной модели: x(t) = х (г), г > 0. С философской точки зрения это означает, что законы Природы не допускают крайних (экстремальных) решений. Такие решения оказываются неэффективными.
КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ИМИНИМИЗАЦИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ,ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ЭНЕРГИЮ ДВИЖЕНИЯ
В настоящем разделе изложены идеи эффективных методов синтеза алгоритмов управления движением динамических систем. Эти идеи базируются на концепциях обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Теория синтеза, основанная на таких идеях, приводит к алгоритмам управления нетрадиционной структуры, которые придают системам свойства слабой чувст- вительности к параметрическим и координатным возмущениям. Ал го-
ритмы управления получаются в замкнутой форме как в случае линейных, так и нелинейных систем. Существенно при этом, что для определения структуры алгоритмов нет необходимости решать оптимизационные задачи в традиционном понимании.
Обсуждаемые идеи рассматриваются на примере простейшей задачи стабилизации стационарного состояния системы с одной степенью свободы. В последующих лекциях эти идеи развиваются применительно к задачам управления линейными и нелинейными многомерными системами.
Постановка задачи
Движение управляемого объекта описывается дифференциальным уравнением
х + а}х + 〃оХ = 60w,(2.18)
где обозначения соответствуют ранее принятым. Для упрощения преобразований будем считать, что коэффициенты уравнения - постоянные числа. В начальный момент времени f = 0 состояние управляемого объекта характеризуется значениями
х(0) = х, х(0) = i0.(2.19)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать такой алгоритм управления 〃 = 〃 (х, i), при котором управляемый объект переходит из произвольного начального состояния (2.19) в окрестность стационарного состояния
х(со) = х° = const, х(со) = 0(2.20)
и остается в этой окрестности бесконечно долго. Требуется при этом, чтобы переходный процесс х(/) —> х° в замкнутой системе с заданной степенью приближения следовал за переходным процессом Х0 -> х° в эталонной модели, движение которой описывается дифференциальным уравнением
y + a]j> + aoy = аох°, а。，а〕〉。(2.21)
с начальными условиями
ЯО)=^о, yW = ^
Числовые значения а0, а】 определяют вид переходного процесса ХО —> х°・ Поэтому с помощью этих параметров можно назначать такие динамические характеристики эталонной модели (2.21), которым соответствуют требуемые показатели процесса управления: время достижения заданной окрестности стационарного состояния, величину перерегулирования и др.
Физический смысл сформулированной задачи заключается в стабилизации (позиционировании) объекта относительно заданного положения. При этом алгоритм управления (стабилизации) должен обеспечивать такое движение системы в окрестность стационарного состояния, при котором выполняется условие
|ХО-^(Г)|<£, Г>0, (2.22)
характеризующее степень приближения процесса х(/) —> х° в проектируемой системе к эталонному процессу у(0 -> ^°- Следовательно, динамика проектируемой системы будет идентична динамике эталонной модели, если структура алгоритма управления и его параметры определяются из условия приближения процессов х(г) ->у(0 с учетом неравенства (2.22).
Структура алгоритмов управления
Пусть начальное состояние модели в точности соответствует начальному состоянию объекта, т.е.貝0) = х(0),夕(0) = £(0). Пусть, далее, алгоритм управления обеспечивает в замкнутой системе равенство значений ускорений в каждый момент времени, т.е. *(f) = у(0, f 之 0・ Тогда процесс х(г) -> х° теоретически будет строго следовать за эталонным процессом 歹(Г) —> х°. Однако такая ситуация практически невозможна. Поэтому структуру алгоритма управления и его параметры вполне естественно определять из условия минимума функционала
G(u)=^(t)-x{t, «)]2, Г>0. (2.23)
Если порядок уравнения эталонной модели не равен порядку уравнения объекта или ее начальное состояние отличается от начального состояния объекта, то управляющая функция w(/), доставляющая минимум функционалу (2.23), будет наилучшим образом соответствовать требованиям сформулированной задачи в смысле приближения x(Z) —>у«).
Функционал (2.23) представляет собой энергию ускорения, нормированную по массе (для линейных перемещений) или по моменту инерции (для угловых перемещений) и вычисляемую в окрестности фазовой траектории движения эталонной модели. Поэтому управляющая функция, минимизирующая G®, оптимальна по критерию минимума энергии ускорения.
Абсолютный минимум функционала min G(孤)二 0 достигается при условии
工(厶〃) = /()r>0.(2.24)
Согласно уравнению (2.18) ускорение движения управляемого объекта
x(t, 〃)= 60u - %х - щх.(2.25)
Из (2.24) и (2.25) находим «оптимальную» управляющую функцию
u =丄(/ + %х+ a]*).(2.26)
Для вычисления и по соотношению (2.26) необходимо знать требуемое значение ускорения y{t), которое характеризует движение эталонной модели. Величина /«) может быть найдена из уравнения (2.21) после замены переменных
/") = £«),Я0=х(0,(2.27)
которая соответствует концепциям обратных задач динамики. В результате получим
j)(O = ao(x°-x)-a,i.(2.28)
Таким образом, уравнения алгоритма (2.26), (2.28) определяют в каждый момент времени такое значение управляющей функции и , при которой траектория движения изображающей точки (х; £) управляемого объекта теоретически точно повторяет фазовую траекторию эталонной модели. Действительно, выражение для управляющей функции
и 丄卜о(х° -х)- ajX + а/ + 例土](2.29)
соответствующее (2.26) и (2.28), содержит составляющие аох, а/, которые компенсируют аналогичные составляющие в уравнении (2.18). Вследствие этого подстановка (2.29) в (2.18) вместо и приводит к уравне- нию, которое совпадает с уравнением (2.21) эталонной модели. Это означает, что алгоритм (2.26), (2.28) оказывается компенсационным.
Особенность компенсационного алгоритма состоит в том, что для его практической реализации необходимо иметь полный объем информации о математической модели управляемого объекта. В силу этого динамические характеристики системы с алгоритмом управления компенсационного типа могут существенно отличаться от динамических характеристик эталонной модели, если, например, расчетные значения параметров %, Ьо не соответствуют фактическим.
Необходимость иметь полный объем информации о модели управляемого объекта, а также высокая чувствительность системы к изменению ее параметров, есть следствие того, что компенсационный алгоритм управления построен из условия мгновенного достижения абсолютного минимума функционала (2.23) в каждый момент времени / > 0, т.е. на основе крайнего (экстремального) решения, В силу этого система с таким алгоритмом оказывается мало пригодной для практических применений.
Чтобы синтезировать эффективный алгори™ управления, нужно преднамеренно отказаться от условия достижения абсолютного минимума GQ ) = 0 энергии ускорения и придать системе свойства грубости по отношению к изменению ее параметров. Такие свойства система приобретает в том случае, когда алгоритм управления строится из условия, чтобы в каждый момент времени / > 0 значение функционала (2.23) принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. В таком случае будем говорить, что система практически оптимальна по критерию минимума энергии ускорения.
Управляющую функцию и определим с помощью уравнения
du") _ 4GQ) ..с 亦
—LZ = X———, A. = const,(2.30)
dt du
которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума G(〃). С учетом (2.25) находим градиент функционала
au
Подставляя выражение (2.31) в (2.30), получим дифференциальный закон управления
号2 =出5-£), к = -Х60. (2.32)
Закон управления (2.32), дополненный соотношением (2.28) для вычисления требуемого значения ускорения y(t), составляет основу алгоритма управления.
Рассмотрим структурную интерпретацию полученных уравнений. На рис. 2.5 приведена схема замкнутой системы. Пунктирными линиями выделена модель управляемого объекта. В структуре системы имеется три контура. Внешний контур замыкается по управляемой переменной х. Следующий, внутренний контур, замыкается по производной х. Сумма сигналов, формируемых в этих контурах, представляет собой требуемое значение ускорения у, вычисляемое по формуле (2.28). Это значение является задающим воздействием для третьего контура, замкнутого по ускорению х. Управляющая функция и получается после интегрирования сигнала, пропорционального разности ускорений у - х.
Особенность алгоритма (2.28), (2.32) состоит в том, что для вычисления управляющей функции необходимо иметь информацию об ускорении х. Однако уравнения алгоритма можно преобразовать к такой форме, что для их аппаратной реализации не потребуется информация о второй производной управляемой переменной х. Действительно, дифференциальный закон управления (2.32) допускает понижение порядка. Интегрируя обе части по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
и = к(у-х). (2.33)
Требуемое значение скорости у вычисляется по соотношению
t
у-а0 J(x° -х)曲-а/,(2.34)
о
которое получается в результате интегрирования левой и правой частей (2.28) также при нулевых начальных значениях переменных.
Таким образом, иная (интегральная) форма алгоритма управления основывается на уравнениях (2.33), (2.34). Для аппаратной реализации этих уравнений не требуется информация об ускорении Н . Однако существенно важно, что динамические характеристики системы с таким алгоритмом полностью идентичны динамическим характеристикам системы, управляемой с помощью алгоритма (2.28), (2.32). Это свойство будет доказано при исследовании динамики системы. На рис. 2.6. изображена структурная схема замкнутой системы. Для упрощения чертежа модель управляемого объекта представлена передаточной функцией
/? +a1° + a0 W(/?)
которая соответствует уравнению (2.18). Здесь х(р), w(/?) - изображения по Лапласу выходной переменной объекта х(0 и управляющей функции 〃«).
В заключение этого раздела отметим, что уравнения (2.33), (2.34) получены без учета начальных значений переменных. Такое допущение вполне естественно, так как при описании динамики линейных систем с помощью передаточных функций начальные значения не учитываются (по определению). Вместе с тем для специальных технических систем может оказаться обязательным строго реализовать движения по назначенным траекториям, тогда необходимо учитывать начальное состояние объекта, предусмотрев ввод в вычислитель значений х(0), х(0) и и(0) в момент пуска системы. В таких случаях уравнения алгоритма имеют вид
w = МО) + Н/ - 土) - %(% - ±о ),
^ = a0 j(x° -X)4 一a1(工-工0).(2.36)
о
В полном виде алгоритм управления (2.36) может применяться в так называемых одноактных системах, выполняющих свои функции за один акт (цикл). К ним относятся, например, системы посадки летательных аппаратов; системы, обеспечивающие вывод объекта в назначенное положение строго по предписанной траектории и др.
Таким образом, мы установили, что алгоритм управления по ускорению можно реализовать только на основе информации о координате и скорости ее изменения 土. Однако, как отмечено, динамические характеристики системы остаются такими же, как в случае, когда управляющая функция вычисляется по информации об ускорении. Математическая сторона этой особенности понятна: согласно (2.32) по отклонению у~х вычисляется скорость изменения управляющей функции w, а затем выполняется операция интегрирования; в результате оказывается, что w вычисляется по рассогласованию скоростей у~х, соответствующих модели и управляемого объекта.
Анализ процесса минимизации функционала
Уравнения (2.32), (2.33) определяют приближенное значение управляющей функции иФи у поэтому на траекториях движения замкнутой системы не достигается абсолютный минимум функционала G(uj 二 0. Вследствие этого фазовые траектории проектируемой системы и эталонной модели не совпадают. Покажем, что синтезированный алгоритм обеспечивает возможность достижения сколь угодно высокой точности приближения управляемого процесса х(。—> х° к эталонному Х0 —工°・ С этой целью исследуем динамику процесса минимизации функционала.
Рассмотрим дифференциальный закон управления (2.32). Подставим сюда выражение для Н из (2.25). Тогда получим следующее уравнение
〃 +儿仇"=公，(2.37)
где обозначено
(2.38)(2.38)z - у + 〃］土 4- а^х.
(2.38)
(2.38)
Рис. 2.7Рис. 2.7
Рис. 2.7
Рис. 2.7
= -(у + ^х + «ох).= -(у + ^х + «ох).Уравнение (2.37) описывает процесс в контуре управляющей функции. Запишем его в ином виде. Из (2.28) и (2.29) следует равенство
= -(у + ^х + «ох).
= -(у + ^х + «ох).
и
На этом основании с учетом (2.38) функция z = 瓦 j Поэтому уравнение (2.37) принимает вид
(2.39)(2.39)u + kbQu = kb®*.
(2.39)
(2.39)
Структурная схема контура управляющей функции, соответствующая (2.39), изображена на рис. 2.7. Задающим сигналом является «оптимальная» управляющая функция и , которая реализует абсолютный минимум функционала:
min G(w) = GQ*) = 0. u
Согласно (2.39) передаточная функция
кем念;器，кем念;器，(240)(240)
кем念;器，
кем念;器，
(240)
(240)
где и(р) - изображение по Лапласу функции u(t). Из (2.40) следует, что для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков
(241)(241)sign(^) = sign(60).
(241)
(241)
В этом случае обеспечивается устойчивость контура управляющей функции как необходимое, но недостаточное условие устойчивости процесса минимизации функционала GQ). Далее принимаем 瓦 > 0.
Входным сигналом контура управляющей функции является переменная величина u{t). Поэтому отклонение Aw = w - w будет малым, и, следовательно, значение функционала G(w) будет принадлежать малой
окрестности экстремума-минимума в том случае, когда быстродействие контура существенно выше быстродействия эталонной модели. Путем повышения уровня усиления в контуре его быстродействие может быть достигнуто (теоретически) сколь4 угодно высоким. Так как принято, что bQ > 0, то на основании (2.40) и (2.41) полюс передаточной функции
р(к) = -kbQ —> (-ос) , если % —> 8. (2.42)
Следовательно, при неограниченном увеличении коэффициента усиления контур не теряет устойчивости, а длительность переходного процесса, определяемая временем затухания экспоненты exp (- kb^), неограниченно уменьшается. При этом асимптотическая передаточная функция контура управляющей функции равна
К〃(. 8)= lim К〃(. ％) = 1. (2.43)
Итак, в результате исследования установлено, что если для коэффициента усиления к выполнено правило знаков (2.41), то справедливо следующее:
1°. Устойчивость контура управляющей функции и, как следствие, устойчивость процесса минимизации GQ) сохраняется при неограниченном увеличении % —> 8.
2°. Быстродействие контура зависит от величины произведения kbQ и определяется поэтому не только уровнем усиления, но и эффективностью управления, т.е. величиной 60. Длительность переходных процессов в контуре и может быть получена (теоретически) сколь угодно малой.
Аналогичные заключения можно вывести, рассматривая в структуре системы (см. рис. 2.5) контур ускорения х с передаточной функцией
kb0 _ х(р)P +火瓦歹(p)'
где х(р), у{р) - изображения по Лапласу функций времени х(г), у(г). Сигнал 屮(х, 土)= 〃0気 + 〃1 土 выступает в данном случае в роли возмущения. Функциональное назначение контура ускорения - с высокой точностью отслеживать задающее воздействие y(t) и парировать возмущение 屮(х, х). Величина |у-х| будет тем меньше, чем выше быстродействие контура. Это достигается путем повышения уровня усиления.
В асимптотике (% f оо) полюс передаточной функции К^^、%) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений: р(^)=-必о f (к)， если % f 8. Следовательно, в этом случае справедливо предельное равенство
/也"(2)3外=L
Инерционный контур ускорения х вырождается в безынерционное усилительное звено с коэффициентом усиления, равным единице. Вследствие этого при % f 8 величина 工(F)асимптотически приближается к y(t) и, кроме того, 〃(F) f 〃*")• Таким образом, процесс минимизации функционала GQ) можно исследовать так же, изучая динамику контура ускорения.
Выясним, по какому закону уменьшается значение функционала G(w) во времени в процессе минимизации. Вычислим производную
dG(u) _ dGQ)厶dt du dt
Согласно (2.31) и (2.32) имеем
atat
Следовательно, скорость изменения функционала
響1 =-瓦氏(y-文)2.(2.44)
at
Так как выполняется правило знаков, то b^k > 0 . Поэтому
< 0 , если х .
На основании (2.44) заключаем, что скорость уменьшения величины G(w) тем выше, чем больше произведение bok. Этот вывод согласуется с результатами анализа процессов в контуре управляющей функции.
Сходимость процесса минимизации функционала G(〃), т.е. устойчивость контура управляющей функции, есть необходимое (но недостаточное) условие устойчивости замкнутой системы. Требуется кроме этого, чтобы быстродействие контура было существенно выше быстродействия эталонной модели, что достигается повышением уровня усиления. Эти вопросы рассматриваются в следующей лекции.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ -ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭНЕРГИИ ДВИЖЕНИЯ
В конце XIX в. Сен Жермен ввел понятие энергии ускорения по аналогии с понятием кинетической энергии. Для материальной точки массы w, движение которой создается силой F и описывается уравнением
位«) = F ,(2.45)
кинетическая энергия равна
Т(х)=-тх2.(2.46)
Аналогично (2.46) определяется энергия ускорения
G(£) = g 欣2.(2.47)
В случае, когда пространственное движение материальной точки в системе координат Ох\х? х3 описывается уравнениями
mxk(t) = Fki %= 1,2,3,(2.48)
кинетическая энергия и энергия ускорения равны
33
总，G(£) = g(2.49)
2 I2
X =з +A^ +岩)1/2
Продолжим эту аналогию. Пусть движение системы единичной массы с одной степенью свободы подчиняется дифференциальному уравнению
п-1m
x(”)(f) + X«v^(V)(O = ^b^Xt),(2.50)
v=0m=0
где x - выходная переменная, характеризующая положение системы; w - управляющая функция. Тогда можно записать
G(W))= — , s = 2,3,...,“.(2.51)
dts
Величина G(x")) определяет энергию ускорения G(H), энергию третьей производной G(H) и т.д. до порядка w включительно.
Обобщение понятия энергии движения оказалось плодотворным в аналитической механике. В 1899 г. П. Аппель, используя функцию-определение энергии ускорения, получил уравнения динамики, пригодные как для голономных, так и для неголономных систем, т.е. более общие по форме, чем уравнения Лагранжа. Применение обобщенного понятия энергии оказывается плодотворным и в теории управления движением динамических систем. В силу уравнений управляемого движения вида (2.48), (2.50) энергия G(W) зависит от управляющих сил & и управляющей функции и. Поэтому такие характеристики движения как энергия ускорения и энергия старших производных являются функционалами. С помощью этих функционалов можно оценивать качество управляемых процессов и находить такие управляющие функции и силы, которые наилучшим образом отвечают задачам управления.
Оптимизация управляемых систем по критерию минимума функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, естественным образом приводит к таким алгоритмам управления, которые придают системам свойства параметрической и структурной адаптивности или, иными словами, свойства слабой чувствительности к изменению параметров и структуры математических моделей, по которым выполняется синтез алгоритмов управления.
Лекция 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ,ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПО КРИТЕРИЮМИНИМУМА ЭНЕРГИИ УСКОРЕНИЯ
В лекции изучаются асимптотические и структурные свойства систем стабилизации стационарных состояний управляемых объектов. Исследуется динамика систем стабилизации двух структур, которым соответствуют алгоритмы управления, синтезированные по различным эталонным моделям. В одной из них порядок модели равен порядку дифференциального уравнения движения объектов, а в другой - на единицу выше. Основные выводы теоретического анализа иллюстрируются результатами математического моделирования. Изложены рекомендации по расчету параметров алгоритмов управления.
СВОЙСТВА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМОМ УПРАВЛЕНИЯ,СИНТЕЗИРОВАННЫМ ПО ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассматриваем замкнутую систему, структурная схема которой изображена на рис. 2.5. Процессы в системе описываются уравнениями
х ++ аох = Ь^и^ й = к{у - х), / = а()(х° - х) — а/, (3.1)
которые соответствуют (2.18), (2.28) и (2.32). Исключим из этих уравнений управляющую функцию и. Из второго и третьего уравнений находим
и 二 Л[аох° - (£ + оц土 4- аох)].(3.2)
Дифференцируя по времени обе части первого уравнения (3.1) и подставляя затем в него выражение для й из (3.2), получим уравнение
х 4- %工 4-а^х 4- kbQ(x 4- а】土 4- аох) = kb^,(3.3)
которое описывает процессы в замкнутой системе. Согласно (3.3) ее передаточная функция равна
К(〃 к)=К(〃 к)=能а о能а ох(")х(")рА{р) + kbQa(p) х°(")'рА{р) + kbQa(p) х°(")'(3.4)(3.4)
К(〃 к)=
К(〃 к)=
能а о
能а о
х(")
х(")
рА{р) + kbQa(p) х°(")'
рА{р) + kbQa(p) х°(")'
(3.4)
(3.4)
где х°(р) - изображение по Лапласу задающего воздействия х°; полиномы
4Р)= Р2 +ЩР + а^ а(.) = "2+а]" + а0(3.5)
соответствует дифференциальным операторам уравнения объекта (2.18) и эталонной модели (2.21).
Асимптотические свойства системы
Исследуем поведение системы как динамической структуры при неограниченном увеличении коэффициента усиления (% f 8). Рассматриваем характеристическое уравнение, отвечающее (3.3). С учетом (3.5) имеем
рА(р) + А：仇 а(/?) = "3 + (勿 + kbM + So + а 止gp + 川左仇=0. (3.6)
Согласно критерию Гурвица, система будет устойчива, если при положительных значениях коэффициентов полинома выполняется неравенство
Si + kb^ (а0 + ai^o) > а0Л/>0(3.7)
или в раскрытой форме
ai(^o)2 + 3 + ag)他)+ 死21 > agkbo.(3.8)
По условию эталонная модель асимптотически устойчива, так как а0 > 0, а] > 0. Поэтому на основании (3.8) приходим к заключению, что при любых конечных значениях коэффициентов а。, а】 найдется такое значение % = Л*, при котором замкнутая система будет также асимптотически устойчива. Такой вывод следует из того, что в левой части (3.8) содержится положительное слагаемое а}(кЬ(^, а в правой части - тоже положительное слагаемое, но с первой степенью произведения kb^.
Неравенство (3.8) позволяет вывести более сильное заключение, а именно: при увеличении к f К степень устойчивости системы повышается и при % f 8 она равна степени устойчивости эталонной модели. Действительно, разделим все члены уравнения (3.6) на kb° и вычислим пределы при % f 8. В результате получим предельное уравнение
а(р)=р2 +(1屮 + a。= 0.(3.9)
Это означает, что в асимптотике (欠-> оо) два корня /\2 =夕】,2(欠)характеристического уравнения замкнутой системы стремятся к соответст' вующим корням р ] 2 характеристического уравнения (3.9) эталонной модели, т.е.
“丿里,2(%) = Р；2・(З.Ю)
Третий корень уравнения (3.6) должен стремиться к (-оо), поскольку полюс передаточной функции К"、&) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений согласно (2.42). В этом можно убедиться, исследуя приближенное (усеченное) характеристическое уравнение. При больших значениях |р| вместо (3.6) можно рассматривать уравнение
夕3 + 4 屮2 + &灰屮2 = 0 ИЛИ 戸 + 91 + ^о) = 0.
Отсюда находим
■/) = Т ① + %仇)一> (~°°), если Л -> оо.(3.11)
Понятно, что предельное равенство (3.11) выполняется при любых конечных отрицательных и положительных значениях аь
Асимптотическое распределение корней (ЗЛО), (3.11) характеристического уравнения (3.6) замкнутой системы свидетельствует о том, что при неограниченном увеличении & система остается асимптотически устойчивой. В силу этого правомерна операция предельного перехода в (3.4) при & -> 8. В результате находим
К(р, оо)= lim К(р,= F~—.(3.12)
28p+厶p+网
Следовательно, в асимптотике передаточная функция управляемой системы совпадает с передаточной функцией эталонной модели. Поэтому при % —> 8 управляемая система и эталонная модель имеют одинаковую степень устойчивости.
Проведенный анализ позволяет вывести следующее важное заключение: так как при 欠一> 8 асимптотическая передаточная функция системы и передаточная функция эталонной модели идентичны, то управляемый процесс описывается дифференциальным уравнением
£ + а|Х + аох = аох°.(3.13)
Рис. 3.1
Это означает, что динамические характеристики проектируемой системы при неограниченном повышении уровня усиления в контуре ускорения, или что то же - в контуре управляющей функций, идентичны динамическим характеристикам модели независимо от изменения параметров объекта. В этом проявляется важное свойство системы с алгоритмами рассматриваемой структуры - свойство параметрической адаптивности.
Представляется методически интересным получить найденный результат иным путем. Рассматриваем уравнение замкнутой системы (3.3), записав его в операторной форме
(3.14)(3.14)3^3^(3.15)(3.15)[DA{D) + 泌oa(3)]x(f) = kb^,
(3.14)
(3.14)
3^
3^
(3.15)
(3.15)
где операторные выражения
4(D) = D? + axD + %, a(D) = D2 + щО + w,
соответствуют полиномам (3.5). На рис. 3.1 изображена структурная схема эквивалентной системы, процессы в которой описываются уравнением (3.14). Действительно, имея в виду, что оператор
万三j(…)由，
〃 о
в соответствии с обозначениями рис. 3.1 можно записать следующие равенства
х«)= 曲 3(f), 8(/) = aox0 - v(Z), v(f) = a(3)x(f).(3.16)
DA{D)
Исключая здесь переменные 8(/), v(Z), получим уравнение (3.14).
Рис. 3.2Рис. 3.2Рассматриваемая эквивалентная схема примечательна тем, что по ее структуре можно вывести заключение о динамических свойствах системы, основываясь на известном положении теории автоматического регулирования. А именно: при неограниченном увеличении коэффициента усиления прямой цепи системы ее динамика пол-
Рис. 3.2
Рис. 3.2
ностью определяется передаточной функцией цепи обратной связи. Для структуры рис. 3.2 имеем
К(р,%) =К(р,%) =(3.17)(3.17)(3-18)(3-18)(3.19)(3.19)к%3— х(р)
К(р,%) =
К(р,%) =
(3.17)
(3.17)
(3-18)
(3-18)
(3.19)
(3.19)
1 + %眼5)忆(刀一7^
В асимптотике при & —> 8 из (3.17) получим
lim к(p,储=—?—=胃包忆(？)X (?)
или в дифференциальной форме
忆(3)х«) = х°«).
Следовательно, процесс в системе теоретически не зависит от передаточной функции объекта %(р) и полностью определяется передаточной функцией %сЗ)・ Понятно, что операция предельного перехода в (3.18) допустима только в том случае, когда система не теряет устойчивости при кт 8.
Как было показано, синтезированная система остается устойчивой при к т д. Передаточная функция обратной связи системы (рис. 3.1) равна %(р) = а(р). Поэтому предельное асимптотическое уравнение системы (3.19) принимает вид a(0)r(f) = Oqx0. Это уравнение совпадает с (3.13), т.е. с уравнением эталонной модели.
Таким образом, в результате анализа установлено, что в асимптотике (& —> 8)дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.3) или в операторной форме (3.14), имеющее третий порядок, вырождается в дифференциальное уравнение (3.13) второго порядка. Это означает, что
при неограниченном повышении уровня усиления в контуре ускорения (в контуре управляющей функции) управляемый процесс х(£) -> х° асимптотически приближается к эталонному процессу ХО -> х°. Отсюда следует, что система, почти оптимальная по критерию минимума энергии ускорения, обладает замечательными свойствами: теоретически при бесконечно высоком уровне усиления ее динамические характеристики полностью совпадают с динамическими характеристиками эталонной модели и остаются неизменными при изменении параметров управляемого объекта. Такие свойства могут быть реализованы при достаточных энергетических ресурсах движителя системы, т.е. при неограниченной величине |и|.
Физический смысл не чу вствител ьности проектируемой системы по отношению к изменению ее параметров состоит в следующем. Согласно (2.32) скорость изменения управляющей функции 〃(£) вычисляется по отклонению ускорений /«)-£(£). Теоретически предполагается, что величина х(г) измеряется. Это означает, что в каждый момент времени t > 0 известна правая часть равенства
х(Г) = b0(u) - aQx - ахх - /(х, х, и).
Поэтому любые изменения функции /(...), вызванные изменением параметров управляемого объекта или действием возмущающих сил, непосредственно учитываются при вычислении 6(f). Если движители имеют достаточные энергетические ресурсы, то система управления в пределах возможных ограничений 以(£) парирует отклонения от назначенной траектории движения, обусловленные нестабильностью параметров объекта или иными факторами.
Теоретически точное совпадение траекторий движения проектируемой и эталонной систем имеет место при бесконечно высоком уровне усиления в контуре ускорения. Практически необходимая для технических приложений степень приближения х(£) —> у(£) достигается при конечных значениях коэффициента усиления 左 таких, чтобы длительность процесса х(г) -> /(£) в контуре ускорения была существенно меньше длительности процесса ХО —> У° в эталонной модели. Рекомендации по расчету коэффициентов усиления изложены в п. 3.4.
Структурные свойства системы
Исследуем теперь свойства системы при конечных значениях коэффициента усиления к в контуре ускорения. Найдем установившееся значение выходной переменной системы при постоянном входном воздействии х° = const. По теореме о конечном значении оригинала
х(8)= lim х(Г) = Нт[рК(р, &)х°(р)].(3.20)
IT8"ТО
Изображение по Лапласу ступенчатой функции х°1 (г) равно
2 &。1(,)}=二，
поэтому с учетом выражения (3.4) для передаточной функции К(р, &) замкнутой системы по формуле (3.20) находим
Х(8)= К(0, &)х° = х°.
Следовательно, установившееся значение выходной переменной системы равно задающему воздействию.
Система обладает астатизмом первого порядка. Действительно, по формуле
/р,&) =/р,&) =К(р,&)1-К(р,к)К(р,&)1-К(р,к)
/р,&) =
/р,&) =
К(р,&)1-К(р,к)
К(р,&)1-К(р,к)
находим передаточную функцию разомкнутой системы
(3.21)(3.21)/p,盼=-
(3.21)
(3.21)
р[А(р) + кЬ0(р + а^]
Отсюда следует, что в прямой цепи системы содержится один интегратор, не охваченный обратной связью. Такая структура соответствует системе с первым порядком астатизма.
Заметим, что передаточные функции эталонной модели в замкнутом и разомкнутом состоянии равны
К“(р) =К“(р) =р2 +а|р + а()р2 +а|р + а()匕(p)=匕(p)=а。「(「+ %)а。「(「+ %)(3.22)(3.22)
К“(р) =
К“(р) =
р2 +а|р + а()
р2 +а|р + а()
匕(p)=
匕(p)=
а。
「(「+ %)
а。
「(「+ %)
(3.22)
(3.22)
Сравнивая (3.21) и (3.22), приходим к заключению, что управляемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма. Далее
будет показано, что такое свойство систем рассматриваемой структуры сохраняется и в общем случае. По передаточной функции разомкнутой системы (3.21) находим коэффициент усиления (добротность по скорости):
統=5/Р'%)}°=^Зи・83)
В случае, когда передаточная функция объекта имеет нулевой полюс, из (3.23) получим
% = —, если 4(0) = % = 0.
В противном случае
&ск =—也搭一，если 4(0) = 4q # 0.
а0 +Ло0а!
По передаточной функции (3.22) находим добротность эталонной
модели 偿=—.Таким образом, справедливо следующее:
(3.24)(3.24)если 4(0) = 0,
(3.24)
(3.24)
а0 + 也 oqа0 + 也 oqесли 4(0) # 0.
а0 + 也 oq
а0 + 也 oq
Итак, проектируемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма. Это означает, что в диапазоне низких частот асимптоты логарифмических характеристик
几(3)= 20嘲唯(砌1, £(3,%) = 201gl/而,%)1 (3.25)
имеют одинаковый наклон. Для конкретной рассматриваемой структуры наклон асимптот равен - 20 дБ/дек. Если при этом коэффициенты усиления системы и модели равны (匕к =唸)，то асимптоты характеристик (3.25) выходят из одной точки при ①=0 и в диапазоне низких частот совпадают (рис. 3.3). Характеристики могут заметно отличаться в области средних частот. Однако оказывается, что даже при умеренном усилении в контуре управляющей функции это отличие становится незначительным, что обеспечивает идентичность динамических характеристик проектируемой системы и эталонной модели.
Совсем иная ситуация имеет место в случае, когда проектируемая и эталонная модель имеют не одинаковую добротность (%к # ^). В зависимости от знака и величины а® характеристики (3.25) могут существенно различаться в диапазоне низких и средних частот (рис. 3.4). В таком случае идентичность динамических характеристик проектируемой системы и эталонной модели достигается при сравнительно больших значениях коэффициента усиления в контуре управляющей функции.
Отметим, что развиваемые методы синтеза алгоритмов управления позволяют находить такие структуры алгоритмов, при которых добротность проектируемых систем равна добротности моделей эталонных процессов. Эти вопросы рассматриваются в последующих разделах.
СВОЙСТВА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ,СИНТЕЗИРОВАННЫМИ ПО ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
В п. 3.2. показано, что высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при умеренном усилении в контуре ускорения в том случае, когда коэффициент усиления ^к проектируемой системы в разомкнутом состоянии равен коэффициенту усиления эталонной модели Л^ = — или мало отличается от него. Условие ^к = &* всегда можно реализовать, если алгоритм управления синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка модели управляемого объекта.
По-прежнему рассматриваем объект, движение которого описывается уравнением второго порядка (2.18). Эталонную модель принимаем в виде
亨 + 丫2歹 + Yi) + УоУ = Yox° . (3.26)
Коэффициенты уравнения (3.26) удовлетворяют условию у(у2 >Уо асимптотической устойчивости стационарного состояния равновесия и такие, что динамика эталонной модели соответствует требованиям к динамике проектируемой системы. Алгоритм синтезируем таким образом, чтобы процесс х(/) -> х° в проектируемой системе с заданной степенью точности приближался к эталонному процессу у(0 -> ^°-
Следуем общей схеме построения алгоритма управления по методике п. 2.4.2. Минимизируем функционал (2.23) на решениях уравнений (2.18), (3.26). Применяем градиентный метод поиска экстремума- минимума G(〃). С учетом (2.30) - (2.32) находим уравнения алгоритма
и = к(у-х), у = Yo J(x° -х)Л -У]Х- у2х. (3.27) о
Расчетное соотношение для вычисления требуемого значения ускорения у получено из уравнения (3.26) в результате интегрирования обеих частей и последующей подстановки ^(t) = x(”(f), s = 0,1. Повторное интегрирование левых и правых частей при нулевых начальных значениях переменных приводит к уравнениям
u = k(y-i), у= J(Yo4 -У1Х)Л-У2^> /о = |(х°-х)Л. (3.28) о о
Отметим, что контур управляющей функции и описывается уравнениями (2.37), (2.38). Для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков (2.41). При неограниченном повышении уровня усиления (& —> оо) контур не теряет устойчивости. Его асимптотическая передаточная функция определяется равенством (2.43), как и в предыдущей задаче. Наконец, быстродействие контура управляющей функции зависит от величины произведения kby т.е. определяется не только уровнем усиления, но и эффективностью управления (величиной б。).
Исследуем свойства замкнутой системы с алгоритмом (3.28). Уравнения управляемого процесса запишем в операторной форме. Справедливы соотношения
% = ^(X。- X), J/od,=青(X。-х),y = ^X° 一青(Yo+力0+ Y202)X").
Подставляя выражение для у в первое равенство (3.28), найдем
〃“ "^ “° _ "^~ Y(D)x«)，〃“ "^ “° _ "^~ Y(D)x«)，(3.29)(3.29)
〃“ "^ “° _ "^~ Y(D)x«)，
〃“ "^ “° _ "^~ Y(D)x«)，
(3.29)
(3.29)
где операторное выражение
2
(3.30)(3.30)?(0)=炉+е3
(3.30)
(3.30)
s=0
соответствует левой части (3.26). Согласно принятым обозначениям, операторное уравнение объекта имеет вид
я(^Х0 =仇 〃(/)•(3.31)
Исключая м(0 в (3.29) и (3.31), найдем уравнение замкнутой системы
[^(D) + MoY〃)] %(/) =仇 уох°.(3.32)
Порядок уравнения (3.32) равен четырем в отличие от уравнения (3.3), порядок которого равен трем.
Покажем, что при неограниченном увеличении & замкнутая система не теряет устойчивости. С этой целью рассмотрим эквивалентную структурную схему, которая изображена на рис. 3.5. Передаточная функция разомкнутой цепи
»5，%)=也电4 =头-(3.33)
pZ《p) 6(р)
Система будет устойчивой, если годограф частотной характеристики
»(йо, к) = Л%»(йо, к) = Л%У»)(而)2力(而)У»)(而)2力(而)
»(йо, к) = Л%
»(йо, к) = Л%
У»)
(而)2力(而)
У»)
(而)2力(而)
соответствующей (3.33), не охватывает точку с координатами (-1; 0) при изменении частоты(о от 0 до 8. По условию эталонная модель (3.26) устойчива. Поэтому полюсы ее передаточной функции
Рис. 3.5
Км(р)
Y（P）
Yo
2
р3 +Xy.sA'
л=0
(334)
(335)(335)расположены в левой полуплоскости. Следовательно, при изменении частоты со от 0 до оо приращение аргумента вектора у(而)будет равно
(335)
(335)
Aargy(/co) = л—= —я.o<w<oo 22
arg^co2)^(/(o)]=-y.arg^co2)^(/(o)]=-y.Далее, степень полинома числителя (3.33) на единицу меньше степени полинома знаменателя. Поэтому с учетом (3.35) приходим к заключению, что при любом распределении полюсов передаточной функции управляемого объекта, т.е. корней уравнения А(р) = 0, справедливо предельное равенство
arg^co2)^(/(o)]=-y.
arg^co2)^(/(o)]=-y.
(3.36)(3.36)lim arg巾(йо, &)= lim argy(/co)- lim(0—>00(0—>00о—>00
(3.36)
(3.36)
Равенство (3.36) означает, что годограф 印(йо, &) подходит к началу
координат в третьем квадранте под углом -—. Если при изменении час
тоты от 0 до оо годограф не пересекает действительную отрицательную полуось, то в соответствии с критерием Найквиста при любом значении & > 0 замкнутая система будет устойчива. В том случае, когда годограф пересекает действительную полуось, то согласно (3.36) число пересечений будет четным. Проанализируем эту ситуацию. Обозначим через со наибольшее значение частоты, при котором 京(йо,&) пересекает полуось
(-оо; 0). В этом случае годограф проходит непременно из второго квадранта в третий (сверху вниз), как показано пунктирной линией на рис. 3.6. Так как амплитудная характеристика
з*
(3.37)
то положение точки пересечения на полуоси (го; 0) при ①= 6 определяется величиной к Обозначим через %* то значение коэффициента усиления %, при котором годограф проходит через точку (-1; 0). В этом случае система находится на границе устойчивости. Понятно, что при всех % > &： в том числе и при % -> оо, годограф не будет охватывать точку (~1; 0). Следовательно, система остается устойчивой при неограниченном повышении уровня усиления в контуре ускорения, или что то же самое - в контуре управляющей функции.
Отметим, что согласно (3.37) критическое значение коэффициента усиления определяется по соотношению
*1 (Йо*)? 4(i(o*)
(3.38)(3.38)(3.39)(3.39)长=；.
(3.38)
(3.38)
(3.39)
(3.39)
仇 Y(is )Передаточная функция замкнутой системы равна
р2Л(р) + ^0у(р)х°(р)
Аналогично тому, как это сделано в п. 3.1, можно показать, что при % оо корни характеристического уравнения
p2A(p) + kboy(p) = O,соответствующего (3.32), распределяются следующим образом: три кор-ня Р1,2,з(%) стремятся к корням р；2,з уравнения у(р) = 0; один корень p^fJC)
удаляется на бесконечность в левой полуплоскости. Поэтому асимптотическая передаточная функция
К(р,8)= lim К(р,к) = *
Y(p)
равна передаточной функции (3.34) эталонной модели. Следовательно, в асимптотике переходный процесс в системе теоретически точно совпадает с эталонным переходным процессом.
Продолжим анализ системы с алгоритмом, синтезированным по модели третьего порядка. Из (3.39) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
%3%) =^.(3.40)
p(pA(p) + kb0(p +Y2P + Y1))
Передаточная функция эталонной модели в разомкнутом состоянии равна
—•(3.41)
Р(Р +Y2P + Y1)
Сравнивая (3.40) и (3.41), заключаем, что управляемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма, равный единице. Кроме того, их коэффициенты усиления по постоянной составляющей, характеризующие добротность по скорости, равны между собой
лск — лск — ♦
Как уже было отмечено, структурные свойства исследуемых систем имеют практически важное следствие: высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при невысоком уровне усиления в контуре ускорения. Действительно, так как управляемая система и эталонная модель имеют один и тот же порядок астатизма и равные коэффициенты усиления, то их амплитудные частотные характеристики в области низких частот совпадают (рис. 3.3). Чтобы характеристика 201gl 勿(йо, %) I незначительно отличалась от характеристики 201g 1%(砌 I эталонной модели в окрестности частоты среза(о*, величину коэффициента усиления достаточно принять такой, чтобы быстродействие контура ускорения (управляющей функции) было существенно выше быстродействия эталонной модели.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
В заключение этого раздела сформулируем основные результаты и рекомендации, которые установлены теоретически при исследовании динамики систем рассматриваемого класса.
Оптимизация управляемых систем по критерию минимума энергии ускорения, вычисляемой в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, приводит к алгоритмам управления нетрадиционной структуры. Системы с такими алгоритмами обладают замечательными свойствами сохранять стабильными динамические характеристики при изменении параметров управляемых объектов в широких пределах.
Построение алгоритмов управления (синтез структуры алгоритмов) выполняется в такой последовательности:
формируется эталонная модель, динамические характеристики которой соответствуют требованиям технического задания на проектирование автоматической системы (порядок эталонной модели должен быть не ниже порядка модели управляемого объекта);
для заданной структуры модели управляемого объекта и принятой структуры эталонной модели выписываются закон управления, в соответствии с которым вычисляется управляющая функция и расчетные соотношения для вычисления требуемых значений выходной переменной системы или скорости ее изменения.
Указанные две процедуры составляют основу методики синтеза алгоритмов управления для динамических систем произвольного (конечного) порядка.
Применительно к задаче стабилизации стационарного состояния (заданного положения х° = const) для объекта второго порядка, передаточная функция которого имеет нулевой полюс (р = 0), т.е.
匕(Р)= -阴(342)
Р(Р + %) "(Р)
передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии может быть принята в виде
ки (р) = ―^—=記(3.43)
p + alP + a0 d(p)
В таком случае структура алгоритма управления определяется уравнениями
〃二&(夕-土)，y = tXo J(x°-х)由—СХ]Х,(3.44)
о
которые соответствуют закону управления (2.33) и соотношению (2.34).
Замкнутая система (3.42), (3.44) имеет такую же добротность по скорости, как и эталонная модель (3.43), т.е.
В случае, когда передаточная функция управляемого объекта не имеет нулевого полюса (р f 0), т.е.
勿о(Р)二-2" 二 У,，«о 力。，(3.45)
р +%「+ &〃(р)
эталонная модель может быть задана передаточной функцией третьего порядка
V /_、ГоХр)
Км 5)二—2=
Р +Y2P +Y1P + Y0 X (р)
Задача стабилизации стационарного состояния х° = const решается в данном случае с помощью алгоритма, структура которого определяется уравнениями:
u = k(y-i\ у= \^ofo-yxx)dt-y2x, /о = J(x°-x)df. (3.46) оо
Алгоритм управления (3.46) реализует в замкнутой системе (3.45), (3.46) такую же добротность по скорости, как и у эталонной модели, т.е.
%ск =红二偿，
Это обусловлено тем, что алгоритм (3.46) синтезирован по модели, порядок которой на единицу выше по сравнению с моделью (3.43). В том случае, когда для управления положением объекта с передаточной функцией (3.45) применяется алгоритм (3.44), добротность по скорости будет
(3.47)(3.47)他)а0
(3.47)
(3.47)
a0 + %乐5
Уравнения алгоритма управления содержат один расчетный параметр 匕 характеризующий уровень усиления в контуре управляющей функции.
Замкнутые системы с алгоритмами управления (3.44) и (3.46) допускают неограниченное повышение усиления при сохранении устойчивости. В асимптотике (Л -> со) динамические характеристики систем и эталонных моделей идентичны независимо от изменения параметров управляемых объектов в широких пределах. В этом проявляются свойства естественной адаптивности систем, оптимизируемых по критерию минимума энергии ускорения.
При любых конечных значениях коэффициента усиления в контуре управляющей функции проектируемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма.
Необходимая для технических приложений степень приближения динамических характеристик управляемой системы и эталонной модели достигается при конечных значениях коэффициента усиления. При этом требуется умеренный уровень усиления в том случае, когда эталонная модель и проектируемая система имеют одинаковую добротность.
Сформулированные результаты установлены при исследовании систем управления движением объекта второго порядка. Однако они остаются справедливым и в общем случае.
3・4・ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем управляемый объект с передаточной функцией
%（「）=%（「）=Р +О1Р + а0Р +О1Р + а0х(。)〃(。)х(。)〃(。)(3.48)(3.48)
%（「）=
%（「）=
Р +О1Р + а0
Р +О1Р + а0
х(。)
〃(。)
х(。)
〃(。)
(3.48)
(3.48)
〃о = 4, “1=2,仇=5・
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод объекта из произвольного начального состояния х(^), ^(0) в стационарное состояние х(оо) = х° = const, х(со) = 0. Замкнутая система должна иметь астатизм первого порядка, а динамические характеристики - практически идентичные динамическим характеристиками эталонной модели:
(3.49)(3.49)В обозначениях (2.21) коэффициенты модели равныВ обозначениях (2.21) коэффициенты модели равны(3.50)(3.50)
(3.49)
(3.49)
В обозначениях (2.21) коэффициенты модели равны
В обозначениях (2.21) коэффициенты модели равны
(3.50)
(3.50)
Для исследования принимаем конкретные значения: т* =0,2 с,
& = В этом случае по (3.50) находим а0 = 25, ai = 7,07.
В табл. 3.1. приведены числовые значения параметров, характеризующих динамику модели (3.49) в зависимости от значения коэффициента затухания собственных колебаний С*. Здесь г] = ^71^1-^* - показатель колебательности (С* < 1), т* - постоянная времени, а ^ =———отно- сительная длительность переходного процесса, определяемая по уровню 0,95. Для принятых значений С* =-—- = 0,707 и т* = 0,2 с длительность переходного процесса в эталонной модели f： = ^т* = 0,6 с, а перерегулирование о * 4,7 %.
Параметры, характеризующие динамику модели (3.49)
4
п
ст, %
<п=<пЛ
1,0
0
0
5,0
0,707
1,0
4,7
3,0
0,6
1,30
9,5
5,2
0,5
1,73
18
6,0
0,4
2,30
25
7,5
0,3
3,20
37
10,0
0,25
3,87
42
12,0
0,2
4,90
53
14,0
В рассматриваемом случае алгоритм управления строится по уравнениям (2.33), (2.34). Запишем их для конкретных числовых значений коэффициентов:
и = к(у-х), у = 25 j(x° -x)dt-lfilx.(3.51)
о
Структурная схема моделирования системы с алгоритмом (3.51) изображена на рис. 3.7.
Уравнения алгоритма управления имеют один расчетный параметр — коэффициент усиления к. Величина к рассчитывается из условия, чтобы быстродействие контура управляющей функции и было существенно выше быстродействия эталонной модели. Быстродействие будем характеризовать постоянными времени. Обозначим через тй постоянную времени контура управляющей функции. Выражение для ти получим, рассматривая передаточную функцию Ки(р, %) контура и. В соответствии с (2.40) имеем
^5,%) = -^ = —%=(%)「
p + kb0 3 + 1
Принимаем
一 =с » 1.
(饱)7
Отсюда находим расчетное соотношение для коэффициента усиления
Л=—, с»1.(3.52)
Пусть с = 5, тогда, подставляя в (3.52) значения 6° = 5, т* = 0,2 с, получим % = 5. Найденное значение % необходимо уточнить по результатам исследования динамики системы с учетом возможных диапазонов изменения параметров управляемого объекта.
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управления (3.51) равна
.5k х 25、
К(р, %) =57•(3.53)
р(р2 +2р + 4) + 5%(р2 + 7,07р + 25)
Она получается из (3.4) для конкретных значений параметров рассматриваемого объекта. В п. 3.1 показано, что при неограниченном повышении уровня усиления (% ао) два полюса К(р, %) асимптотически приближаются к полюсам передаточной функции эталонной модели, а третий полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. Это положение иллюстрируется числовыми значениями табл. 3.2, которые характеризуют распределение полюсов в зависимости от величины %. Для расчетного значения Л = 5 постоянная времени контура управляющей функции ти = (Мо)" = 0,04 с, а в случае % = 10 величина тн = 0,02 с. При этом полюс рз = -44,6. Составляющая переходного процесса ехр(-44,60 затухает по истечении времени порядка 0,07 с и не оказывает существенного влияния на характер процесса в целом. Другие два полюса pi? мало отличаются от соответствующих полюсов передаточной функции модели.
Распределение полюсов передаточной функциизамкнутой системы
А
Р1,2(®
Рз(%)
1,0
-1,27 士改 5,14
-4,46
1,5
-2,06 士改 5,53
-5,80
2,0
-2,78 土 改5,58
-6,43
3,0
-3,70土 *5,04
-9,60
4,0
-3,87 士 ix4,48
-14,26
5,0
-3,84 士 ix4,20
-19,32
7,0
-3,76 士 改3,94
-29,28
10
-3,69 士 改3,79
-44,6
Модель
-3,54 ± ix3,54
-
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
勿3 %)=勿3 %)=(3.54)(3.54)5%х25
勿3 %)=
勿3 %)=
(3.54)
(3.54)
р(р2 +2р + 4 + 5%(р2 + 7,07 р))
Это выражение соответствует (3.21) для конкретных значений параметров. Исследуемая система обладает астатизмом первого порядка. Коэффициент усиления по постоянной составляющей (добротность по скорости) равен
Из к而(3.55)
В соответствии с (3.49) и (3.50) передаточные функции эталонной модели в замкнутом и разомкнутом состоянии равны:
2525
Км (р) = -з , 綜(р)=——-——
"2+7,07" + 25丿 山 + 7,07)
Отсюда находим коэффициент усиления
25
偿=［也(叫=0 =元y в 3,54.
В случае к = 5 из (3.55) получаем 統 内 3,46,
Отметим, что в рассматриваемом модельном примере решается задача перевода объекта из первоначального состояния в окрестность назначенного стационарного состояния. При этом не ставится задача высокоточного слежения за входным задающим сигналом, изменяющимся во времени. Поэтому эталонная модель и, соответственно, система имеют весьма невысокую добротность по скорости. Синтез алгоритмов управления, реализующих высокую динамическую точность, выполняется по эталонным моделям, которые обладают высокой добротностью по скорости и ускорению.
Таким образом, в рассмотренной задаче коэффициенты усиления системы и эталонной модели практически равны: Лск * %^. Это обусловлено тем, что для принятых значений параметров (3.48) значение
-^- = 0,16«а!.恤
Поэтому из второго равенства (3.24) получим
l _能久о~ ^о_ _ 4M
“СК —L ~— “СК •
& + 恤 оца]
В диапазоне малых частот логарифмические частотные характеристики 厶(со, &) и £“((0), соответствующие W{i^ &) и 外(йо), имеют одинаковый наклон - 20 дБ/дек. Далее, так как для коэффициентов усиления системы и модели выполняется приближенное равенство Лск » А^, то при малых частотах амплитудные характеристики практически совпадают. Это положение иллюстрируется графиками амплитудных логарифмических характеристик на рис. 3.8, которые рассчитаны для % = 1; 5. В точке(о = 1 рад • с-1 для расчетного значения k = 5 имеем:
“1; Л)*=5 =201g3,46 = 10,78 дБ, LM(1) = 201g3,54= 10,98 дБ.
Заметные отклонения характеристик начинают проявляться при частотах, превышающих частоту среза(о* « 2 рад • с-1.
Характеристика £((о, %) системы с коэффициентом усиления % = 5 практически совпадает с 厶乂(①)в диапазоне частот(о = (0 ... 20) рад • с"1. Поэтому в данном случае переходные процессы в системе и модели будут мало отличаться.
Рис. 3.9
На рис. 3.9 изображены графики переходных процессов при различных значениях коэффициента 瓦=1; 2; 5Hz = 10. Можно видеть, что при пятикратном уменьшении величины 历 =(5 ... 1) динамические характеристики системы изменяются незначительно. Это подтверждает теоретический вывод о том, что алгоришы управления, синтезированные по критерию минимума энергии ускорения, придают системам свойства слабой параметрической чувствительности.
Лекция 4
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМОБЪЕКТА, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯКОТОРОГО ИМЕЕТ НУЛЬ
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления объектом, уравнение движения которого содержит производную управляющей функции. В качестве управляющих параметров принимаются непосредственно управляющая функция и скорость ее изменения. Соответственно этому синтезированы два алгоритма управления. Для аппаратной реализации одного из них требуется информация о положении и скорости, а для реализации второго - только о положении. Путем исследования распределения полюсов передаточных функций замкнутых систем изучаются их асимптотические и структурные свойства. Приведены результаты моделирования динамики модельной системы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваем задачу синтеза алгоритмов управления объектами, движение которых описывается уравнением вида
х + ахх + аох = &" + bou(4.1)
или в операторной форме
Я(П>(0=адМ(0,(4.2)
где B(Q) = b\D + bo- Другие обозначения соответствуют ранее введенным. Принимаем, что нуль передаточной функции объекта
%(р)= 2'' + % =嘿(4.3)
pz +а}р + а0 w(p)
расположен в левой полуплоскости комплексной переменной р, т.е. р = -Ь0Ь^ <0 . Полюсы ^(р) могут быть расположены как в левой, так и в правой полуплоскости.
Синтезируем такой алгоритм управления, при котором управляемый объект из произвольного начального состояния х(0), х(0) переходит в окрестность стационарного состояния х° = const, х = 0 и продолжает
оставаться в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы фазовая траектория управляемой системы с требуемой степенью приближения следовала за фазовой траекторией эталонной модели, движение которой описывается уравнением
ji + aIj + ao^ = aox°(4.4)
при соответствующих начальных условиях.
По физическому смыслу сформулированной задачи функциональное назначение искомого алгоритма управления состоит в стабилизации заданного положения х = х° = const управляемого объекта. В том случае, когда в силу каких-либо причин в системе появится рассогласование Ах = х° - х, то алгоритм управления должен обеспечить возвращение объекта в назначенное положение (Ах(г) -> 0). При этом процесс х(/) -> ^° с необходимой степенью приближения должен следовать за процессом Х0 в эталонной модели.
СТРУКТУРЫ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ,СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Степень приближения процессов в системе и модели (фазовых траекторий) характеризуем величиной функционала
GQ,吟= ；，《)-£& “，切2.(4.5)
Из условия абсолютного минимума функционала
х(Г, и, и) = Ж FNO(4.6)
следует алгоритм управления компенсационного типа
6[〃*+%，=z, z = у^ахх + а^х, у = a0(x° -x)-ajX. (4.7)
Соотношение для вычисления у получается из уравнения (4.4) эталонной модели, где выполняется замена у(0 = х«),夕0) = 土0 /之0・ Система с алгоритмом (4.7) теоретически точно повторяет фазовую траекторию эталонной модели. Практически, однако, идеальная управляющая функция и* нереализуема, поскольку параметры управляемого объекта известны, как правило, приближенно. Поэтому алгоритмы типа (4.7) могут находить ограниченное применение.
Структуру алгоритма управления синтезируем из условия, чтобы значение функционала (4.5) в каждый момент времени принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. В этом случае равенство (4.6) выполняется приближенно. Будем рассматривать два варианта решения задачи синтеза алгоритмов управления, предполагая, что в одном случае в системе измеряется только выходная переменная х, а в другом - х и х.
Управляющая функция вычисляется толькопо информации о положении
Принимаем следующий дифференциальный закон управления
成(F)^G(u, u)..“
—= X—к = const.(4.8)
dt
Так как ускорение
х(Г, u, u) = 6]u + bou - aox -axx^(4.9)
то градиент функционала по переменной й равен
=-奴歹-*).(4.10)
После подстановки (4.10) в (4.8) находим
^^- = к(у-х), к = -Щ.(4.11)
Закон управления (4.11) и соотношение для вычисления у из (4.7) составляет содержание алгоритма управления. Структурная схема замкнутой системы с этим алгоритмом изображена на рис. 4.1. Непосредственная реализация дифференциального закона управления (4.11) связана с необходимостью измерения ускорения х выходной переменной управляемой системы. Вследствие этого в структуре системы содержится внутренний (следящий) контур ускорения. Задающим сигналом этого контура является величина у , которая формируется эталонной моделью. Для аппаратной реализации алгоритма управления его уравнения следует представить в иной форме. С этой целью проинтегрируем дважды по времени обе части (4.11) и обе части выражения для у в (4.7). Принимая начальные значения переменных нулевыми, получим
и + к^й + bou) = fa.и + к^й + bou) = fa.
и + к^й + bou) = fa.
и + к^й + bou) = fa.
и = к(у-х), у= |(ао/о-а]х)бйг, ^ = J(x°-x)& (4.12) о о
Для вычисления управляющей функции по уравнениям (4.12) достаточно информации только о выходной переменной х.
Сравнивая алгоритм управления (4.12) с алгоритмом (2.34), приходим к заключению, что наличие нуля у передаточной функции управляемого объекта приводит к уменьшению объема измеряемой информации, необходимой для вычисления управляющей функции. Формально математически это обусловлено тем, что модель объекта с передаточной функцией вида (4.3) обладает дифференцирующим свойством, так как в ее структуре содержится форсирующее звено с передаточной функцией (6 屮 + ^о).
Схема замкнутой системы с алгоритмом управления (4.12) изображена на рис. 42 Исследуем динамику процесса минимизации функционала (4.5) и свойства системы в целом. Закон изменения управляющей функции u(r) определяется уравнениями (4.9), (4.11). Исключая из этих уравнений х, получим
(4.13)
Рис. 4.3Рис. 4.3
Рис. 4.3
Рис. 4.3
На рис. 4.3 изображена структурная схема, соответствующая (4.13). Согласно принятой терминологии, эту структуру называем контуром управляющей функции и. Передаточная функция контура равна
(4」4)(4」4)к<р,——=3
(4」4)
(4」4)
р2 + к(*р + bj z(p)
Для устойчивости процесса минимизации функционала необходимо (но недостаточно), чтобы контур управляющей функции был асимптотически устойчив. По условию нуль передаточной функции (4.3) управляемого объекта р = -^o^f1 <0. Следовательно, для коэффициентов %, & справедливо sign(bo) = sign(6i)・ Полюсы К® %) будут расположены слева от мнимой оси Re р = 0, если kbQ >0. Поэтому чтобы контур и был асимптотически устойчив, должно выполняться правило знаков
(4.15)(4.15)sign(Z) = sign(b0) = sign(E).
(4.15)
(4.15)
Далее принимаем 瓦 > 0,瓦 > 0.
Контур управляющей функции допускает неограниченное повышение уровня усиления без потери устойчивости. Действительно, рассмотрим передаточную функцию
呪3 %)=%吗坐肥，р о(р)
которая соответствует разомкнутому контуру (рис. 4.3). Для аргумента вектора Wu (ico, к) справедливо равенство
arg 必(3 %) = arg(厶汕 + 仇)一 arg(ico)2.
В зависимости от числовых значений 瓦 предельное значение аргумента равно
冗冗limlimarg呪（而，左）={2'arg呪（而，左）={2'一冗,一冗,если 61H 0;если & = 0.если 61H 0;если & = 0.
冗
冗
lim
lim
arg呪（而，左）={2'
arg呪（而，左）={2'
一冗,
一冗,
если 61H 0;
если & = 0.
если 61H 0;
если & = 0.
На этом основании приходим к заключению, что при со -> 8 годограф вектора 必(ко, %) полностью расположен в третьем квадранте и не охватывает точку (-1; 0) ни при каком значении 左 > 0. Следовательно, согласно критерию Гурвица, замкнутый контур устойчив при любом Л > 0, в том числе и в случае к т 8. Поскольку по условию 厶 壬 0, то
годограф подходит к началу координат под углом -—, как это показано на рис. 4.4.
Чтобы установить асимптотическое расположение полюсов передаточной функции (4.14) на комплексной плоскости, разделим на к все члены характеристического уравнения
р2 + 尽6屮 + 历)=0,(4.16)
соответствующего (4.13), и вычислим пределы при % -> 8. В результате получим предельное уравнение 6屮 + 仇=0. Отсюда следует, что один полюс 万］(%)左=8 =-毎圻|. Так как контур сохраняет устойчивость при Л -> оо, то второй полюс 万2 (%) передаточной функции К®, %) в асимптотике удаляется на бесконечность в область отрицательных значений.
Расположение полюса р2(°°) можно установить иным путем, рассматривая приближенное характеристическое уравнение при больших значениях |р| по методике А.А. Воронова - Я.З. Цыпкина. Выполним следующие преобразования уравнения (4.16):
房一+1房一+1%2+（5…） = 0；（仙+仇）小+d%2+（5…） = 0；（仙+仇）小+d=0.(4.17)=0.(4.17)
房一+1
房一+1
%2+（5…） = 0；（仙+仇）小+d
%2+（5…） = 0；（仙+仇）小+d
=0.(4.17)
=0.(4.17)
Во втором уравнении (4.17) сократим множитель (6屮 + 仇). В результате получим
丄一^— + 1 = 0. (4.18) к厶0+仇
Вместо (4.18) будем рассматривать приближенное уравнение, приняв р\Ь、р + bo)-' а — . В таком случае можно записать
——+ 1«0=> p + kbi » 0.(4.19)
к仇
Отсюда находим 万2(丘)=一%厶f(-8)，если 丘一>8.
Итак, показано, что контур управляющей функции остается асимптотически устойчивым при бесконечно высоком уровне усиления. В асимптотике (丘-> оо) полюсы 万12(%) ег0 передаточной функции К“(р, 丘)распределяются следующим образом:
lim 万i(丘)=-ЬдЬ『,lim 戸2 W f (-<»).(4.20)
Заметим, что полюс RQ) совпадает с нулем передаточной функции Яо(р) управляемого объекта (4.3), т.е.瓦(8)= р.
Так как контур управляющей функции асимптотически устойчив при любом 丘 > 0, то в (4.14) допустимо выполнить предельный переход при 丘一> 8. Разделив числитель и знаменатель А) на А и вычислив предел при 丘一> 8, получим
lim Ки{р, ==(4.21)
Представляет интерес анализ контура ускорения Н. Рассмотрим структурную схему рис. 4.5, где выделен контур £. Функция 屮(х, х) = аох + ахх. Передаточная функция контура
К⑵3,6 =3果 (4.22) +А(仿 p+仇) у(р)
Сравнивая (4.14) и (4.22) замечаем, что обе передаточные функции имеют одинаковые знаменатели. Поэтому из (4.22) можно вывести правило знаков (4.15), а также заключение о том, что в асимптотике (% -> оо) распределение полюсов К(^р, Л) в точности соответствует (4.20). Для передаточной функции (4.22) справедаиво предельное равенство &2)(р, Л) = 1, если к т в. Следовательно, в этом случае £(/)=歹«), поэтому теоретически реализуется абсолютный минимум функционала G(〃*) = 0. Это означает, что процессы в системе и эталонной модели совпадают.
На основании выполненного анализа свойств контура ускорения Н можно определить асимггготическую структуру управляемой системы. Действительно, так как при к т 8 один полюс &2)(Р, %) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений, то процессы х(г) -> х°, Х0 ->^° могут быть идентичными только в том случае, когда асимптотическая структура системы и структура эталонной модели идентичны.
Исследуем теперь динамику системы в целом. Выведем уравнение управляемого процесса с алгоритмом управления (4.12). Запишем соотношения (4.12) в операторной форме:
"=的7),У=号/,-午,/)=^(X°-X), (4.23)
где а(0) соответствует левой части уравнения эталонной модели (4.4) и определяется по (3.5). Подстановка и из (4.23) в (4.2) приводит к уравнению замкнутой системы
[C^A^D) + kB^DyaiD^t) = kooB(D)x0. (4.24)
В соответствии с (4.24) передаточная функция
к(p,*)= % 極 В(包——=号包. (4.25) р2/(р)+ %в(р)а(р) х°(р)
Найдем распределение полюсов передаточной функции К(р, %) при неограниченном повышении уровня усиления (к -> 8). Рассматриваем характеристическое уравнение
/Л4(р) + кВ(р)а(р) = 0(4.26)
или в другом виде
丁夕24S) + 3S)aS) = 0(4.27)
Для конечных значений р величина | р1А(р>^< оо, поэтому в случае Л->ооиз (4.27) получаем предельное уравнение
BS)ocS) = 0.(4.28)
Отсюда следует, что в асимптотике два полюса p\^k)k=^ передаточной функции (4.25) равны соответствующим полюсам р^2 передаточной функции эталонной модели, т.е. корням уравнения а(р) = 0. Третий полюс определяется из уравнения 5(р) = 6屮 + 力。=0. Он оказывается равным нулю передаточной функции 卽①)управляемого объекта (4.3), т.е.
Рз(%)з=-%屮.
Чтобы установить расположение четвертого полюса передаточной функции №?, £) при 厶一> 8, вместо (4.26) будем рассматривать приближенное уравнение. Аналогично (4.17) уравнение (4.27) запишем в виде
В(р)а(р)В(р)а(р)1 р2/(р) “ к В(р)а(р)1 р2/(р) “ к В(р)а(р)=0=0
В(р)а(р)
В(р)а(р)
1 р2/(р) “ к В(р)а(р)
1 р2/(р) “ к В(р)а(р)
=0
=0
или после сокращения
1「2/(。) к В(р)а(р)1「2/(。) к В(р)а(р)+ 1 = 0.+ 1 = 0.(4-29)(4-29)
1「2/(。) к В(р)а(р)
1「2/(。) к В(р)а(р)
+ 1 = 0.
+ 1 = 0.
(4-29)
(4-29)
При достаточно больших значениях \р \ можно принять р1 А(р) = р2(р2 +ахр+ай)^ р^,
В(р)а(р)=(许 р+瓦)(/? + % р + а。)в 许 /Л
С учетом этих приближенных равенств вместо (4.29) имеем
(4.30)
Из (4.30) находим четвертый полюс р4(А) = -Аб】-> (-оо), если А->оо.
Таким образом, установлено ас и м птотич ес кое распределение полюсов в передаточной функции (4.30) замкнутой системы:
lim р] 2(%)= Р；2， lim рз (А) = -Ьо^т, %Т8 '女一>8
Пт Ai (斤) = (-8).(4.31)
Следовательно, замкнутая система с алгоритмом управления (4.12) не теряет устойчивости при неограниченном повышении уровня усиления в контуре управляющей функции.
Полюсы рз,4(Л), определяемые по (4.31), равны соответствующим полюсам pi,2(k) передаточной функции Ки(р, А). Эти пары полюсов представляют собой решения одинаковых уравнений (4.19), (4.30) и В(р) = 0, полученных различными путями. Так как р4(А) = р2(^)(~°°)прм%—>8, то передаточная функция К(р, А) должна асимптотически стремиться к передаточной функции эталонной модели Км(р)・ Действительно, поскольку замкнутая система устойчива при бесконечно высоком уровне усиления, то в (4.25) допустимо выполнять предельный переход при 2 — 8. Разделив числитель и знаменатель К(р, А) на А и вычислив пределы при А -> 8, аналогично (3.12) получим
lim К{р, %) = %(р).(4.32)
&—» 8а(Р)
Таким образом, асимптотическая передаточная функция системы равна передаточной функции эталонной модели.
Полученный результат согласуется с тем, что асимптотическая передаточная функция К/р、оо) = К心,%)口 определяется по формуле (4.21). В этом случае с учетом (4.2) имеем
№) = ^—z(f), x(f) = ^^〃(f).
Исключая здесь переменную и(0, находим уравнения последовательного соединения (рис. 4.6):
Л(О)х(0 = z(0-(4.33)Рис. 4.6
Постановка выражения для z(r) из (4.7) в (4.33) приводит к уравнению (3.13), которое совпадает с уравнением эталонной модели (4.4).
Итак, в асимптотике оператор B(D) в уравнениях управляемого объекта и контура управляющей функции сокращается (теоретически). Поэтому при % -> 8 выходная переменная системы асимптотически приближается к выходной переменной модели, т.е. х(0 -> Х0- Практически, при конечных значениях А, асимптотическое распределение полюсов (4.31) недостижимо, и, как следствие, оператор 8(D) не сокращается. Поэтому приближение процессов (динамических характеристик) в системе и модели может быть реализовано с конечной точностью.
В соответствии с (4.25) передаточная функция системы в разомкнутом состоянии определяется выражением
W{p,k) = —,"a,g(P) (4.34)
+ %B(p)(p + %)]
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице. Поэтому система отрабатывает постоянное значение входного воздействия х° = const без статической ошибки. По (4.34) находим
k№={pW{p,k^^ = k^,(3.35)
al
т.е. система и эталонная модель имеют одинаковую добротность по скорости.
В силу отмеченных свойств системы ее логарифмическая амплитудная характеристика Z((o, %) имеет такое очертание, как показано на рис. 3.3. Следовательно, высокая степень приближения процессов в системе и эталонной модели достигается при умеренном усилении в контуре управляющей функции.
Управляющая функция вычисляетсяпо информации о положении и скорости
Алгоритм управления по-прежнему синтезируем из условия, чтобы в каждый момент времени значение функционала (4.5) принадлежало малой окрестности минимума. Эталонную модель принимаем, как и ранее, в виде (4.4). В отличие от (4.8), управляющую функцию определим дифференциальным соотношением
血0) _. 3G(u, и)
—Л., Л. — const.(4.36) dt ди
С учетом (4.9) составляющая градиента функционала по переменной w будет равна
-三上=-仇⑶-外。(4.37)
Подставляя (4.37) в (4.36) находим
u(0 = НУ -х), Л = -%1(4.38)
Интегрируя обе части (4.38) по времени при нулевых начальных значениях переменных и дополняя полученное равенство соотношением для вычисления /(f), найдем уравнения искомого алгоритаа управления
и = k(y-x), у = а0 J(x° -x)dt- а(х,(4.39)
о
которые совпадают с (2.33), (2.34).
Контур управляющей функции описывается уравнением
〃 +后瓦〃=后2,,(4.40)
которое получается в результате подстановки выражения для £ из (4.9) в (4.38). Переменная z определяется, как и в (4.7). Передаточная функция контура и равна
p + kb0 z(p)
Так как по условию коэффициенты Ьо, Ьх имеют одинаковый знак, то при выполнении условия А'6О > 0 полюс передаточной функции (4.41) будет расположен в левой полуплоскости. В таком случае контур управляющей функции асимптотически устойчив, что необходимо для устойчивости процесса минимизации функционала (u -> и ).
Асимптотическую передаточную функцию контура и можно получить, выполняя предельный переход в (4.41) при А -> оо. В соответствии с (4.40) имеем lim 斤'=斤1 Поэтому справедливо предельное соотношение
К〃(р, X) f L 1 L 叩0 f 许丿(4.42)
许P +仇
Следовательно, контур управляющей функции сохраняет асимптотическую устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления (А -> оо). Полюс асимптотической передаточной функции 万(8)= -毎4T равен нулю передаточной функции управляемого объекта (4.3). Таким образом, в асимптотике контур и представляет собой апериодическое звено первого порядка. Его передаточная функция (4.42) совпадает с асимптотической передаточной функцией (4.21), которая соответствует закону управления (4.11).
Рассмотрим кратко свойства замкнутой системы, процессы в которой описываются уравнениями (4.1), (4.39). Исключим из этих уравнений переменные у, и. Запишем (4.40) в операторной форме. Справедливы равенства
戸碧^-幻-呼 у-х = ^ [хох0 - a(D)x].
Поэтому выражение для управляющей функции можно записать в виде
u = --aox° 一^(1(0)х《).(4.43)
Подставляя (4.43) в операторное уравнение (4.2), равносильное (4.1), находим уравнение замкнутой системы
[DA(D) + AB(D)a(D)]^(0 = kooB(D)^.(4.44)
Порядок системы равен трем, т.е. на единицу ниже порядка системы с алгоритмом управления (4.12).
В соответствии с (4.44) передаточная функция системы в замкнутом состоянии равна
(4.45)(4.45)к(Р, %)=_極竺2—=梨рА(р) + кВ(р)а(р) х°(р)
(4.45)
(4.45)
Аналогично тому, как это сделано в предыдущих разделах, можно показать, что при бесконечно высоком уровне усиления (% —> оо) система не теряет устойчивости. При этом полюсы р$(%) передаточной функции (4.45) распределяются следующим образом:
(4.46)(4.46)lim р| 2(")Р；2，lim Pi{k) = -bQb^\ £Т8''£Т8
(4.46)
(4.46)
где р；2 一 полюсы передаточной функции эталонной модели. Следовательно, в асимптотике передаточная функция системы К(р, оо) совпадает с передаточной функцией модели Км(р)・ В этом можно убедиться непосредственно, выполнив предельный переход в (4.45) при Л ~> оо. Такая операция допустима, так как при неограниченном увеличении А система остается устойчивой.
Таким образом, теоретически при бесконечно высоком уровне усиления процессы в системе и эталонной модели совпадают, т.е. x(Z) = ХО, f > 0. Такое свойство сохраняется при произвольном изменении параметров управляемого объекта, если энергетические ресурсы системы не ограничены. Необходимая для технических приложений точность приближения процессов х(0 -> ХО достигается при конечных значениях А. В том случае, когда уровень усиления достаточно высокий, динамические характеристики системы будут оставаться практически неизменными при изменении параметров управляемого объекта в широких пределах.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
%(р,4) =%(р,4) =ка§В(р)рМ(р) + ^(р)(р+«1)]ка§В(р)рМ(р) + ^(р)(р+«1)](4.47)(4.47)
%(р,4) =
%(р,4) =
ка§В(р)
рМ(р) + ^(р)(р+«1)]
ка§В(р)
рМ(р) + ^(р)(р+«1)]
(4.47)
(4.47)
Порядок астатизма системы равен единице, поскольку W{p, %) имеет один нулевой полюс. Из (4.47) находим добротность системы по скорости
*ск =[Р%(Р，*)]р=0 =*ск =[Р%(Р，*)]р=0 =ЛаоВ(О)/(ОНЛаВ。)ЛаоВ(О)/(ОНЛаВ。)
*ск =[Р%(Р，*)]р=0 =
*ск =[Р%(Р，*)]р=0 =
ЛаоВ(О)/(ОНЛаВ。)
ЛаоВ(О)/(ОНЛаВ。)
Отсюда следует
АА也=%м% + toj +仇也=%м% + toj +仇% 二 °；% w 0.% 二 °；% w 0.(4.48)(4.48)
А
А
也=%м
% + toj +仇
也=%м
% + toj +仇
% 二 °；
% w 0.
% 二 °；
% w 0.
(4.48)
(4.48)
Так как система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма, то для случаев 网=0 и а。н 0 логарифмические амплитудные характеристики имеют такое очертание, как показано на рис. 3.3. Свойства систем с такими характеристиками подробно рассматривались в лекции 3.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Синтез алгоритмов управления положением объекта с передаточной функцией (4.3) может выполняться для двух случаев:
управляющая функция вычисляться только по измерениям координаты положения;
управляющая функция вычисляется по измерениям координаты положения и скорости ее изменения.
В обоих случаях оптимизация системы по критерию минимума энергии ускорения приводит к параметрически адаптивным алгоритмам управления.
При этом особенности и различия в свойствах систем с такими алгоритмами заключаются в следующем:
В случае, когда для вычисления управляющей функции используются только измерения координаты положения (х) алгоритм управления (стабилизации стационарного состояния х° = const) можно синтезировать по эталонной модели второго порядка (4.4).
Минимизация функционалаG( и, й) по градиентной схеме
成⑴ _ 5G(u,u).*
—d XX = const
dt ^
приводит к уравнениям алгоритма управления
〃=砲一现 у = ](а%-а/)% Л = J(X° -x)Jf (4.49) оо
Необходимое, но недостаточное, условие устойчивости системы с алгоритмом (4.49) состоит в выполнении правила знаков
(4.50)(4.50)sign(A) = sign(60) = signal).
(4.50)
(4.50)
Замкнутая система с алгоритмом управления (4.49) имеет четвертый порядок, ее передаточная функция равна
К5年一闷就記）。行К5年一闷就記）。行(4-51)(4-51)
К5年一闷就記）。行
К5年一闷就記）。行
(4-51)
(4-51)
Если выполнено правило знаков (4.50), то при любых значениях параметров управляемого объекта существует такое значение А = А* > 0, при котором система асимптотически устойчива. Более того, свойства асимптотической устойчивости сохраняются при неограниченном повышении уровня усиления (А -> оо). В этом случае К(р, А) стремится к передаточной функции эталонной модели, т.е.
К(р, А) -> —г~— при А -> оо.(4.52)
р +aiP + a()
При конечных значениях А добротность системы по скорости равна соответствующей добротности модели: Аск = ^- = А^. Это свойство имеет место как при 的=0, так и при 的 w 0.
В случае, когда для вычисления управляющей функции используются измерения координаты положения (х) и скорости ее изменения (х), алгоритм стабилизации стационарного состояния х° = const можно синтезировать по модели второго порядка (4.4), если передаточная функция управляемого объекта имеет нулевой полюс (的=4(0) = 0). Минимизация функционала G(u, и) по градиентной схеме
■ -=九—九=const(4.53)
dt ди
приводит к уравнениям алгоритма управления
г
и = k(y-х), у-а0|(х° -x)dt-а)х.(4.54)
о
Правило знаков (4.50) по-прежнему является необходимым условием устойчивости замкнутой системы. При выполнении этого условия структура системы с передаточной функцией
(4.55)(4.55)к(р,%)=_ рА(р) + кВ(р)а(р)
(4.55)
(4.55)
в замкнутом состоянии теоретически допускает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении устойчивости. В асимптотике (к -> оо) для этой системы выполняется предельное соотношение (4.52).
В отличие от (4.51), порядок (4.56) на единицу ниже. В случае а。= О добротность системы по скорости 无 == %^. Если а0 * 0, то величи-
на Аск определяется формулой (3.47). При этом Лск < %^ ,
Синтез алгоритма управления по эталонной модели третьего порядка
y(D)X0 = Y(A°，Y(^) = D3 + угЬ1 + 力£> + у0(4.56)
на основе градиентной схемы (4.53) приводит к уравнениям
и = к{у-х), у= J(Y0^-Yi^)^-Y2x，Л)= J(x°-х)& (4.57)
Оо
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управления (4.57) имеет вид
К(р, %) = F~空竺包.(4.58)
р2А(р) + kB(p)y(p)
При а。= 0 и a。w 0 добротность системы по скорости такая же, как и у эталонной модели.
Система с передаточной функцией (4.58) обладает естественными свойствами параметрической адаптивности, так как ее структура допускает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении устойчивости. В асимптотике справедливо предельное равенство
Jim К(р,к) = -^- = Ки(р). jY(P)
Синтезированные структуры можно рассматривать при проектировании автоматической системы как альтернативные варианты алгоритмов управления. Вопрос о том, какой из этих алгоритмов является наиболее предпочтительным, может быть решен по результатам исследования
динамики проектируемой системы с учетом условий ее функционирования. Вместе с тем на основании теоретического анализа можно рекомендовать следующее: если в системе имеется возможность измерять скорость изменения выходной переменной, то наиболее предпочтительным являются алгоритмы управления вида (4.54), (4.57); в системах с такими алгоритмами при прочих равных условиях в большей степени проявляются свойства слабой параметрической чувствительности.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем задачу управления положением объекта с передаточной функцией (4.3). Числовые значения коэффициентов принимаем равными:
用=4, a]=2,仇=10,仇=1.
Синтезируем алгоритм управления, при котором замкнутая система имеет астатизм первого порядка, а ее динамические характеристики практически идентичны динамическим характеристикам эталонной мо-
дели (3.49). Принимаем здесь, как и ранее, & = т* = 0,2 с. Тогда согласно (3.50) имеем: а()= = = 25, а! = 2“ — = 7,07.
В данном случае алгоритм управления строится по уравнениям (4.12). Для конкретных числовых значений параметров Оо, оц они имеют вид
и = к(у-х), у= /(25% -7,07x)df, % =，(%°-%)必 (4.59) о о
В отличие от алгоритма (3.51), для вычисления управляющей функции по уравнениям (4.59) достаточно информации о положении (х).
Структурная схема системы изображена на рис. 4.7. Здесь В(р) и А(р) соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции (4.3). При математическом моделировании удобно использовать схему другой структуры, которая изображена на рис. 4.8.
Получим расчетное соотношение для ориентировочного значения коэффициента усиления контура управляющей функции. Исходим их того, что при неограниченном повышении уровня усиления один полюс передаточной функции К(Хр,无)， определяемой выражением (4.14),
Рис. 4.8 асимптотически приближается к нулю передаточной функции объекта, т.е. R(%) -> (-%许)1 Из этого следует важный вывод: при любом сколь угодно большом значении А контур управляющей функции не вырождается в безынерционное усилительное звено, а остается инерционным. Поэтому величину % необходимо рассчитывать из условия, чтобы при заданных значениях коэффициентов %,力 быстродействие контура и было наибольшим.
Быстродействие будем характеризовать величиной постоянной времени ти. Чтобы найти выражение для ти, рассмотрим передаточную функцию К^, А), записав ее в стандартной форме
爲3 %)—ГТ = -2 2 一(4・60) p2+k(b}p + b0) т„р2 +2^тир + 1
Известно, что динамическое звено второго порядка с передаточной функцией вида (4.60) обладает наибольшим быстродействием, если отно- 4-9516
сительный коэффициент затухания собственных колебаний ^ = -^-. В этом случае длительность переходного процесса, как следует из табл. 3.1, определяется величиной tu = Зти . Из (4.60) имеем
它=上，20=3(4.61)
Исключая в (4.61) постоянную времени ти, найдем
% = 4.2 鬼— ％ =2傳.(4.62)
V2
Вторая формула в (4.62) соответствует значению « =.
Определим длительность переходного процесса tu, т.е. время затухания колебаний в контуре управляющей функции. Из (4.61) находим
•1ТТ
постоянную времени контура ти =. Подставляя сюда выражение
для к из (4.62), получим
(4.63)(4.63)
(4.63)
(4.63)
Расчетная формула (4.63) определяет уровень усиления, при котором логарифмические амплитудные характеристики эталонной модели и системы (в разомкнутом состоянии) практически совпадают в диапазоне малых и средних частот. При этом высокая точность приближения процессов в системе и модели имеет место при меньших значениях к по сравнению с теми значениями, которые вычисляются по (4.62). Это особенно
проявляется в тех случаях, когда отношение — < 0,2. Поэтому найден- 仇
ные значения к по формуле (4.62) необходимо уточнить nph моделировании системы.
Рассчитаем ориентировочное значение к для заданных значений параметров управляемого объекта. При 仇=10 и 仇=1 гю формуле (4.62) находим к = = 20.
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управления (4.59) получается из (4.25) при конкретных значениях параметров объекта и модели:
к(Р包「.(4.64) р2(р2 +2р + 4) + ©р + 10)(р2 +7,07р + 25)
В п. 421 показано, что при неограниченном повышении уровня усиления (к f со) два полюса К(р,左)приближаются к полюсам передаточной функции эталонной модели, третий полюс приближается к нулю передаточной функции объекта, а четвертый полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. В асимптотике справедливо следующее распределение полюсов:
Jim Pi,2(*) = Р：2 = -3,54(1 土 /);
lim Рз(^) = р = —— = -10; lim 尸4/) = (-℃)♦ %Т8 许 Ar->00
При расчетном значении коэффициента усиления 衣=20 все полюсы К(р, %) оказываются комплексно-сопряженными. Первая пгфа из них р12(Л) близка р；2 •
При уменьшении коэффициента 6) динамические характеристики системы существенно изменяются, если уровень усиления остается неизменным (к = const). Это положение иллюстрируется графиками переходных процессов на рис. 4.9, которые соответствуют значениям 仇 =0,3 …1 и % = 20. В случае 仇 < 0,5 динамические характеристики системы нельзя признать удовлетворительными. Достаточно высокая степень приближения процессов в системе и модели при указанных значениях параметров (6о = 10, Ь\ = 0,3 ... 0,5) достигаются при Л® 35.
Свойства параметрической адаптивности системы с алгоритмом управления (4.59) иллюстрируются графиками, приведенными на рис. 4.10. Численный эксперимент выполнен при условии, что в процессе управления значение коэффициент 6。 изменяется по линейному закону 仇(f) = 10(1 - 0,6/). Начальное значение 仇=10; коэффициенты 6)= 1, % = 20 = const. При таких значениях параметров длительность переходного процесса в системе составляет 4 ® 1 с. За этот промежуток времени
величина 姒。уменьшается в 2,5 раза, однако выходная переменная системы х с большой степенью приближения следует за выходной переменной эталонной модели у. На рис. 4.10 приведены также графики изменения управляющей функции и и произведения 6о«)к Приведенные результаты свидетельствуют о том, что алгоритм управления вида (4.59) придает системам свойства слабой параметрической чувствительности, т.е. их динамические характеристики остаются практически неизменными при изменении параметров управляемого объекта. Такое свойство проявляется тем сильнее, чем выше уровень усиления в контуре управляющей функции.
При математическом моделировании исследована динамика процессов управления положением рассматриваемого объекта с помощью алгоритма, структура которого определяется уравнениями (2.33), (2.34), т.е.
и-к(у-х),к=-, с» 1;
у = а01(^°- %)曲-ci] х.оу = а01(^°- %)曲-ci] х.о(4.65)(4.65)
у = а01(^°- %)曲-ci] х.о
у = а01(^°- %)曲-ci] х.о
(4.65)
(4.65)
Установлено, что наличие нуля у передаточной функции управляемого объекта делает более предпочтительным применение алгоритмов управления вида (4.65). Алгоритмы такой структуры реализуют в системе высокие динамические характеристики, при этом в большей степени проявляются свойства естественной параметрической адаптивности.
Отметим, однако, что в случае % N 0 добротность по скорости системы с алгоритмом (4.65) меньше добротности эталонной модели ("ск <^) • Если это обстоятельство не является существенным, то в тех случаях, когда имеется возможность измерять скорость изменения выходной переменной (х), при прочих равных условиях безусловно необходимо применять алгоритм управления вида (4.65).
Лекция 5АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХСИСТЕМ ВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ.УПРАВЛЯЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих лекциях рассмотрены простейшие задачи синтеза алгоритмов управления объектами второго порядка. Эти алгоритмы обеспечивают перевод объекта из произвольного начального состояния в окрестность назначенного стационарного состояния и удерживают его в этой окрестности бесконечно долго. По физическому смыслу синтезированные структуры алгоритмов предназначены для стабилизации заданного положения или постоянной скорости движения объекта. Системы с такими алгоритмами будут иметь динамические ошибки при переменных во времени задающих воздействиях. В настоящей лекции рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления, которые придают системам свойства высокой динамической точности. Автоматические системы, обладающие такими свойствами, относятся к классу следящих систем. Их функциональное назначение - осуществлять стабилизацию программных траекторий движения, т.е. с высокой точностью воспроизводить (отслеживать) переменные во времени задающие сигналы.
По методическим соображениям задача синтеза алгоритмов управления следящих систем рассматривается сначала для того случая, когда динамика неизменяемой части описывается дифференциальным уравнением третьего порядка. Теоретическую основу методики синтеза составляют концепции обратных задач динамики в сочетании с минимизацией мгновенных значений квадратичного функционала, записанного для отклонения третьих производных выходных переменных управляемой системы и эталонной модели. Применительно к системам общего вида методика синтеза развивается в шестой лекции.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
(5.1)(5.1)Пусть неизменяемая часть системы (управляемый объект) описывается уравнением
(5.1)
(5.1)
х + а2х + ахх + аох =瓦立 + bQu,(瓦,仇 > 0),
где х, и - выходная переменная и управляющая функция. Задачу формулируем следующим образом: программа движения проектируемой системы задана достаточно гладкой функцией времени xBX(z); требуется синтезировать такой алгоритм управления, при котором в установившемся режиме выполняется условие
1%(，)7(Г)|S£, ? >?.,(5.2)
где постоянная величина £ определяет заданную динамическую точность; 厶-длительность переходного процесса. Необходимо при этом, чтобы расчетные соотношения для вычисления управляющей функции не содержали операции дифференцирования %«), а замкнутая система обладала заданным порядком астатизма.
В соответствии с (5.2) алгоритм управления должен обеспечивать стабилизацию программной траектории движения с точностью до е. Если хвх(0 = х° = const, то система с таким алгоритмом будет стабилизировать стационарное состояние. Поэтому величина | х° - x(Z) | f 8 при г f 8.
Пусть требованиям задания на проектирование отвечает эталонная модель, движение которой описывается уравнением с постоянными коэффициентами
歹 +。2歹 + а/ + му = ₽|Хвх + рохвх,(а)а2 > а0).(5.3)
Эталонные модели формируют, как правило, таким образом, чтобы они имели заданные значения добротности по скорости 衣工 и ускорению 衣^к • Для модели третьего порядка вида (5.3) с астатизмом первого порядка (ро = а0, pi 工 а〕)добротность по скорости 衣^ =——阮;в случае
(ai _₽1)
астатизма второго порядка (% = 8), Bi = 6)добротность по ускорению 衣^ = —. Эти условия могут быть реализованы, если передаточные функции эталонных моделей имеют соответствующие структуры.
Для модели вида (5.3) с астатизмом первого порядка передаточную функцию в разомкнутом состоянии можно принять в виде
九(p)=務С= —2 仇Р+色•(5.4)
Р(71Р + 1)(7зР + 1) р(р2 +а2р + а! -р0
Из (5.4) следуют формулы
网 二偿(看^尸，a1=(1 + 偿石)54)1
а2 = 7； 1 + 7^ ', Ро = ао> Pi =网&(5.5)
Коэффициент усиления 衣^ - добротность по скорости и постоянные времени рассчитываются по заданной динамической точности и числовым значениям показателей, характеризующих динамику модели (быстродействие, перерегулирование и др.).
Для эталонной модели с астатизмом второго порядка передаточную функцию можно принимать в виде
唯(p) = %厶 20 + "=?P + %(5.6)
У 储⑵р + 1)р2(р + а2)' 丿
В данном случае коэффициенты уравнения (5.3) определяются формулами
"о =母/* ai = ао^1» 。2 = 5 * Ро = ао) В1=°Ч・(5・7)
Добротность модели по ускорению (衣^长)и постоянные времени Т； рассчитываются также по требованиям технического задания на проектирование.
Будем считать, что эталонная модель (5.3) сформирована, причем числовые значения коэффициентов а$,① такие, что в установившемся режиме выполняется неравенство
|/х(，)-у(，)|мВ, t>t„ (8<е).(5.8)
Следовательно, абсолютное значение динамической ошибки меньше допустимой величины, т.е. | xBX (Z) - y{t) | < £, t>u. В таком случае требуемая динамическая точность проектируемой системы будет достигнута, если алгоритм управления синтезируется из условия приближения процессов x(f) -^Я0- При этом степень приближения должна быть такой, чтобы выполнялось неравенство (5.2). Именно из этого условия следует определять структуру алгоритма управления и рассчитывать его 口叩аметры.
Далее нам потребуются уравнения системы и эталонной модели, записанные в операторной форме. Используем принятые обозначения, тогда уравнение (5.1) запишем в виде
A(D)x(t) = B(D)u(t),
2
X(D)=炉 + 2 %0V,80)=仇D + 仇
v=0
и аналогично уравнение (5.3) модели
а(ОШ = РФ)хвх(0,
2а(。)=炉 + у aQ, *)= “ + 仇.v=0
(5.9)(5.9)(5.10)(5.10)Уравнениям (5.9) и (5.10) соответствует передаточные функции
(5.9)
(5.9)
(5.10)
(5.10)
(59)(59)e將能e將能(5.10‘)(5.10‘)%(р)=з=34р) “(р)
(59)
(59)
e將能
e將能
(5.10‘)
(5.10‘)
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ,СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Допустим, что порядок проектируемой системы, замкнутой уравнениями алгоритма управления, равен порядку эталонной модели, т.е. трем. Пусть, далее, начальное состояние модели в точности соответствует начальному состоянию системы, т.е.严(0) = х(л)(0), s = 0, 1, 2. Кроме того, предположим, что алгоритм управления обеспечивает выполнение равенства значений старших производных х(г) = у(/)> г > 0. В случае принятых идеальных условий фазовая траектория движения изображающей точки системы будет совпадать с фазовой траекторией движения изображающей точки эталонной модели в каждый момент времени. Следовательно, теоретически в такой ситуации x(z)=貝7), z > 0. В действительности порядок замкнутой системы будет выше порядка эталонной модели, начальные значения у(Л)(0)力 х($)(0). Поэтому равенство значений старших производных практически нереализуемо. Мы приходим, таким образом, к заключению о том, что алгоритм управления будет наилучшим образом соответствовать требованиям сформулированной задачи в смысле приближения процессов x(Z)f X0s если его структуру синтезировать из условия минимума функционала
G(〃,G) = '>(，)-£(，,〃&)],，±0.(5.11)
Согласно определению (лекция 2, п. 2.5), величина G(%〃)характеризует мгновенное значение энергии третьей производной.
Как и в случае объекта второго порядка, можно показать, что из условия абсолютного минимума функционала minG = 0 получается алгоритм управления компенсационного типа. Динамические характеристики системы с таким алгоритмом чрезмерно чувствительны к изменению параметров управляемого объекта и эталонной модели. Поэтому алгоритм вычисления управляющей функции будем синтезировать из условия, чтобы в каждый момент времени Г > 0 значение функционала (5.11) принадлежало малой окрестности экстремума-минимума.
Управляющая функция вычисляетсяпо информации о положении и скорости
Движение в окрестность экстремума функционала организуем в соответствии с дифференциальным соотношением
疝(f)9G(w, w).
——=入 ——-——-, 入=const.(5,12)
dt
Из (5.1) следует выражение для третьей производной выходной переменной
2
x(Z, и, ii) =6]й + Ьои - £ а/”(5.13)
v=0
С учетом (5.13) находим составляющую градиента по переменной 6 ; она равна
ди
Поэтому дифференциальный закон управления (5.12) принимает вид
il(t) = k(y-x),衣=-61A(5.14)
Требуемое значение 歹(f) третьей производной выходной переменной управляемой системы находим из уравнения (5.3) эталонной модели:
2
>(0 = p(D)xBX(0-a'(D)X0, a'(D) = ^avDv. (5.15) v=0
Значение y{t} необходимо вычислять с учетом состояния управляемого объекта. Поэтому в (5.15) выполняем подстановку ^(f) = /)«), 5 = 0, 1, 2. В результате получим
双 f) = p(D)xBX(0-aW(0.(5.16)
Таким образом, основу алгоритма управления составляют уравнения (5.14), (5.16). Однако непосредственная аппаратная реализация этих уравнений нецелесообразна, так как для вычисления управляющей функции необходимо иметь информацию о производных выходной переменной системы до третьего порядка включительно. Преобразуем уравнения к другой форме. Дважды интегрируя обе части (5.14) и (5.16) при нулевых начальных значениях переменных, находим
и = к(у- х), y = aofl+a1fo-a2x,
/о =卜％ -х)% 工=“df.(5.17)
оо
При выводе (5.17) принято Р7 = а7,丿=0,1, что соответствует второму порядку астатизма эталонной модели.
Для вычисления управляющей функции по (5.17) достаточно информации о положении (х) и скорости (х). Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом управления (5 Л 7) изображена на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Рис. 5.2Рис. 5.2Ки(Р，к) =Ки(Р，к) =к _ м(р) p2+kB(p) z(p)к _ м(р) p2+kB(p) z(p)(5.20)(5.20)
Рис. 5.2
Рис. 5.2
Ки(Р，к) =
Ки(Р，к) =
к _ м(р) p2+kB(p) z(p)
к _ м(р) p2+kB(p) z(p)
(5.20)
(5.20)
Исследуем свойства контура управляющей функции, процессы в котором описываются уравнениями (5.13), (5.14). Исключая здесь переменную х , получим уравнение для управляющей функции
u + ^ii+Z>ou) = Az, (5.18) где входное воздействие контура
2
(5.19)(5.19)z = y + ^avx(v).
(5.19)
(5.19)
v=0
На основании (5.18) записываем передаточную функцию
Структурная схема, соответствующая (5.20), изображена на рис. 5.2.
Контур управляющей функции будет асимптотически устойчив, если выполняется правило знаков
(5.21)(5.21)sign(^) = sign(仇)=sign(bo),
(5.21)
(5.21)
аналогичное (4.15). Причем асимптотическая устойчивость сохраняется при неограниченном повышении уровня усиления (к -» оо). В справедливости такого заключения можно убедиться, рассматривая характеристическое уравнение р2 + %(6屮 + 仇)=0, отвечающее (5.18). Если выполняется правило знаков (5.21) и, кроме того, b0, b[ w 0, то при любых значениях к коэффициенты характеристического уравнения будут положительными. Согласно критерию Гурвица, оба корня этого уравнения расположены в левой полуплоскости. При 七оо справедливы предельные равенства
lim Р](%) = -оо, lim p2W = 一仇斤丄 (5.22)
Поэтому из (5.20) находим асимптотическую передаточную функцию
к“（р,8）=鴻 к“з%）=蒜二器
(5.23)
Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления контур управляющей функции вырождается в апериодическое звено с передаточной функцией (5.23).
Исследуем теперь свойства системы в целом с алгоритмом управления (5.17). Выведем уравнение управляемого процесса. С этой целью найдем выражение для управляющей функции в операторной форме, а затем подставим его в уравнение (5.9). На основании (5.16) можно записать
ЯО = -^^4x(0- a，(D)x(f)],(5.24)
что равносильно двукратному интегрированию по времени. Так как справедливо равенство
青 a，(£>)x(f)-左(f)=表a(D)x(f),то с учетом (5.24) найдем
U = k(y-x) = ^(D)xBX(t)~ a(D)x(f)].(5.25)
Подставляя (5.25) в (5.9), получим уравнение замкнутой системы
[D2A(D) + kB(D)a(D)] х(0 = kB^D^D^t).(5.26)
Ему соответствует передаточная функция
= Т丿迎圆包——= ^^-.(5.27)
р2А(р) + кВ(р)а(р) %(Р)
Найдем асимптотическую структуру системы при ^ -» оо. Характеристическое уравнение
р2A(р) + кВ(р)а(р) = 0(5.28)
запишем в виде
ад + ^1(р) = о,
М(Р)= в(р)а(р), ^2(p)=阳6(5.29)
Степень полинома М(р) на единицу выше степени полинома N、⑦, поэтому при любом распределении полюсов передаточной функции (5.9') управляемого объекта существует такое значение коэффициента усиле-
ния к = Л*, при котором система устойчива. Более того, система сохраняет устойчивость при неограниченном увеличении к Следовательно, асимптотическую передаточную функцию можно найти из (5.27) путем предельного перехода:
К(р, оо) = lim К(р, к)=豆旦.(5.30)
а(р)
Получим этот результат другим путем, исследуя асимптотическое распределение полюсов передаточной функции (5.27) по обычной методике. Разделив обе части характеристического уравнения (5.28) на и вычислив пределы при Л -» оо, получим предельное уравнение
2
(*iP + ^o)(P3 + ^avPV)= °-(5-31)
v=0
Отсюда следует, что при к т 8 четыре корня уравнения (5.28), т.е. четыре полюса передаточной функции системы, распределены следующим образом: *
Рц(к) = Р；,卩=1 …3; р&(к) = -bqb?, если%-» оо. (5.32)
Здесь р* - корни характеристического уравнения эталонной модели
2
а(р) = рЗ +Е%р" =0,
а (-力斤‘)-нуль передаточной функции (5.9') объекта. По условию 仇许 > 0, кроме того, Re р* < 0, т.е. эталонная модель устойчива. Поэтому четыре полюса передаточной функции (5.27) находятся в левой полуплоскости. Пятый полюс при к т 8 удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. Такое заключение следует из того, что в асимптотике замкнутая система сохраняет устойчивость, поскольку разность степеней полиномов 用伪)и Ni(p) равна единице.
Таким образом, при бесконечно высоком уровне усиления передаточная функция системы равна передаточной функции эталонной модели. Поэтому процесс в системе описывается дифференциальным уравнением
Н + а2х + а]Х + aw = р]Хвх + рохвх,(5.33)
которое совпадает с уравнением (5.3). Следовательно, теоретически динамика системы идентична динамике модели, и справедливо равенство HQ = Х0> £ 之 0. Это означает, что при бесконечно высоком уровне усиления проектируемая система будет иметь такую же динамическую точность, как и эталонная модель. Практически, однако, идентичность динамических характеристик недостижима. Поэтому при конечных значениях к динамическая точность проектируемой системы будет ниже динамической точности эталонной модели. Отсюда следует, что величина 5 в (5.8) должна быть такой, чтобы при достаточно больших значениях 七 выполнялось неравенство (5.2). Это означает, что динамическая точность эталонной модели должна быть выше точности, указанной в техническом задании.
Изучим теперь другие свойства системы. Из (5.27) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W{p,k) = ^竺(齊0P(5.34)
P AP)+ %8(P)[a(p) - B(p)]
В том случае, когда эталонная модель имеет первый порядок астатизма (Ро = %,历 н at), из (5.34) получаем
%, А)=坦(Р)?(Р) (5.35)
р(рЛ(р) + 取р)(р +a2p + a] -Р])
Передаточная функция (5.35) имеет один нулевой полюс, следовательно порядок астатизма системы равен единице. При этом добротность по скорости
^=^(^,^=0=-^ = ^-(5.36)
«1 - Pi
Так как система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма и равную добротность, то их амплитудные характеристики будут практически совпадать в диапазоне малых и средних частот. Логарифмические амплитудные характеристики модели %®) и системы £@ к) имеют такое очертание, как показано на рис. 5.3. В этом случае высокая степень приближения процессов x(Z) -» Х0 достигается при умеренных значениях к.
Отметим, что характеристика модели Ам (со) = 20 lg| И^ (zw) | соответствует передаточной функции (5.4).
Пусть эталонная модель имеет второй порядок астатизма (р0 = а0, Pi = а/ Тогда из (5.34) находим
力（Р，%）二力（Р，%）二册(Р)В(Р)А? [/(。)+ 左5(0)(。十a2 А册(Р)В(Р)А? [/(。)+ 左5(0)(。十a2 А(5.37)(5.37)
力（Р，%）二
力（Р，%）二
册(Р)В(Р)
А? [/(。)+ 左5(0)(。十a2 А
册(Р)В(Р)
А? [/(。)+ 左5(0)(。十a2 А
(5.37)
(5.37)
В этом случае передаточная функция имеет два нулевых полюса, следовательно, порядок астатизма системы, как и у эталонной модели, равен двум. Добротность по ускорению
%уск =[р2%(Р，%)]尸=0%уск =[р2%(Р，%)]尸=0%в0Л(0) + Л60а2%в0Л(0) + Л60а2(5.38)(5.38)
%уск =[р2%(Р，%)]尸=0
%уск =[р2%(Р，%)]尸=0
%в0
Л(0) + Л60а2
%в0
Л(0) + Л60а2
(5.38)
(5.38)
ао +也a 2ао +也a 2если 4(0) = % = 0;если & н 0.если 4(0) = % = 0;если & н 0.
ао +也a 2
ао +也a 2
если 4(0) = % = 0;
если & н 0.
если 4(0) = % = 0;
если & н 0.
В зависимости от характера распределения полюсов передаточной функции управляемого объекта из (5.38) имеем
(539)
Логарифмическая амплитудная характеристика Лм(со) эталонной модели с передаточной функцией (5.6) изображена на рис. 5.4. Здесь изображены также амплитудные характеристики системы: £'(◎ %) соответствует первому равенству (5.39), а £*'((», Л) - второму. В первом случае
Рис. 5.4
высокая степень приближения процессов х(/) -» у(0 достигается при умеренных значениях к Во втором случае необходимый уровень усиления для достижения заданной точности зависит от величины а。. Если, например, а。» 瓜必,то требуемый коэффициент усиления может быть чрезмерно большим.
Таким образом, проектируемая система с алгоритмом управления (5.17) имеет такой же порядок астатизма, как и эталонная модель при любом распределении полюсов передаточной функции управляемого объекта. Далее, добротность системы по скорости и ускорению будет равна добротности эталонной модели, если передаточная функция управляемого объекта имеет хотя бы один нулевой полюс (а。= 0). Если передаточная функция объекта не имеет нулевого полюса, то добротность системы по ускорению будет ниже добротности эталонной модели. Чтобы реализовать условие ЛуСК = 无^长，алгоритм управления необходимо синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу был выше порядка управляемого объекта.
Управляющая функция вычисляетсяпо информации о положении, скорости и ускорении
Формулировка задачи остается прежней: для управляемого объекта с передаточной функцией (5.9') необходимо синтезировать алгоритм управления, при котором замкнутая система обладает требуемой динамической точностью, определяемой неравенством (5.2), а ее динамические характеристики почти идентичны динамическим характеристикам эталонной модели с передаточной функцией (5.10*)-
Алгоритм управления синтезируем из условия, чтобы в каждый момент времени значение функционала (5.11) принадлежало малой окрестности минимума. В отличие от (5.12), дифференциальный закон управления принимаем в виде
du(t) _ w) .,у 小
——=X ——丿, 入=const.(5.40)
dt ди
Составляющую градиента функционала по переменной и находим с учетом (5,13):
ди
Подставляя это выражение в (5.40), получим
й = ^у-х\ k = -bg(5.41)
Величина у вычисляется по (5.16). Интегрируя обе части (5.16) и (5.41) по времени при нулевых начальных значениях, найдем уравнения искомого алгоритма управления
й = H歹一于)，
В = а。卜/x -xydt + a^x^ - х) - а2х,(5.42)
о
а j = В j,丿=0,1 •
Для вычисления управляющей функции необходима информация о положении, скорости и ускорении. Выведем уравнение замкнутой системы, исключив из (5.9) и (5.42) переменные 弘 у. Выражение для у в (5.42) запишем в операторной форме
Я0 =审0(。)％ «) - а，У)].(5.43)
Заметим, что (5.43) получается из (5.24) путем дифференцирования обеих частей по времени. После подстановки (5.43) в первое уравнение (5.42) найдем
№) = $0(0)% ⑺-a(ZW)]・(5.44)
Из (5.9) и (5.44) следует искомое уравнение
[DA(D) + kB(D)a(D)]x(t) = kB(D)^(D)x^(5.45)
которому соответствует передаточная функция
做蹄^ •(5.46)
рА(р) + кВ(р)а(р)
Порядок рассматриваемой системы равен четырем, т.е. на единицу ниже порядка системы, процессы в которой описываются уравнением (5.26).
Уравнение контура управляющей функции можно получить, подставив в (5.41) выражение для у из (5.16). Имеем
" + %勿=%2,一-—,(5.47)
где z - определяется по (5.19). Из (5.47) следует, что контур управляющей функции сохраняет устойчивость при ^ -»оо. При этом в асимптотике
К” (р, 8)= lim КЗ к) = ■■—,(5.48)
*Т8t^P^bQ
что согласуется с (5.23).
Степени полиномов рА(р) и В(р)а(р) в (5.46) равны. Поэтому система допускает неограниченное повышение уровня усиления. При 七 f оо полюсы передаточной функции (5.46) распределены, как в (5.32), вследствие чего асимптотическая передаточная функция системы совпадает с передаточной функцией эталонной модели (5.10*). Следовательно, алгоритм управления (5.42) придает системе свойства параметрической адаптивности.
Из (5.46) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W(p,k)^*В(р)3 (5.49)
рА(р) + кВ(р)[а(р)-^
Если эталонная модель имеет первый порядок астатизма (р0 = W)), то из (5.49) следует
%,&) =«"尸 Т(°).(5.50)
р(А(р) + кВ(р)(р2 +a2p + al-^))
Отсюда находим добротность по скорости
В。а =偿，если Л(О) = ао =0;
, а1 -₽t
&ск=,,, R(5.51)
叱2н 偿，если а0 н 0.
В том случае, когда передаточная функция управляемого объекта имеет хотя бы один нулевой полюс (Л(0) = а。= 0), амплитудная характеристика системы £(со,女)практически совпадает с амплитудной характеристикой эталонной модели Ам(со) в диапазоне малых и средних частот (аналогично рис. 5.3). Вследствие этого высокая степень приближения процессов х(0 f ЯО достигается при умеренных значениях к Если передаточная функция объекта не имеет нулевого полюса и Л(0) = oq>> kbQ- (ai - Р0, то характеристика А(со,女)проходит ниже амплитудной характеристики эталонной модели (аналогично А"(со,女)на рис. 5.4), Поэтому достижение высокой динамической точности системы может оказаться возможным только при очень больших значениях 女.В такой ситуации алгоритм управления (5.42) не может быть принят за основу конструкторского решения при проектировании автоматической системы. Алгоритм управления необходимо синтезировать по эталонной модели, порядок которой выше порядка управляемого объекта.
Аналогично изложенному выполняется анализ системы и в том случае, когда алгоритм управления (5.42) синтезирован по модели с астатиз- мом второго порядка. В системе с алгоритмом такой структуры может быть получена такая же добротность, как и в эталонной модели, лишь при условии, что передаточная функция управляемого объекта имеет два нулевых полюса. Только в этом случае целесообразно применять алгоритмы вида (5.42).
53 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Синтез алгоритмов управления автоматических систем высокой динамической точности выполняется по общей схеме минимизации мгновенных значений квадратичных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей.
По построению эталонные модели должны обладать необходимой динамической точностью, требуемым порядком астатизма, заданным быстродействием и другими параметрами, которые характеризуют динамику проектируемой системы. При исследовании свойств рассмотренных систем получены следующие результаты и рекомендации.
Для системы, неизменяемая часть которой (управляемый объект) имеет передаточную функцию третьего порядка вида (59), можно синтезировать алгоритмы управления двух типов, в соответствии с которыми:
управляющая функция вычисляется по информации о положении и скорости (уравнения (5.17);
управляющая функция вычисляется по информации о положении, скорости и ускорении (уравнения (5.42)).
С каждым из этих алгоритмов структура системы допускает неограниченное повышение уровня усиления, а ее порядок астатизма равен порядку астатизма эталонной модели. В асимптотике динамические характеристики системы и эталонной модели идентичны; в этом проявляются свойства параметрической адаптивности.
При проектировании алгоритмического обеспечения автоматических систем алгоритмы вида (5.17) и (5.42) рассматриваются как альтернативные. Решение о целесообразности практического применения одного из этих алгоритмов принимается с учетом структуры и параметров передаточной функции %(р) управляемого объекта (распределения полюсов) и возможностей информационно-измерительной системы. Существенно при этом, что алгоритм (5.17) может рассматриваться как альтернативный в том случае, когда коэффициент Ь] в передаточной функции W^p) по порядку величины сравним с Ьо. Допустимое наименьшее значение отношения — определяется по результатам математического моделирования.
Требуемая динамическая точность системы достигается путем увеличения коэффициента усиления в контуре управляющей функции. При этом справедливо следующее. Если проектируемая система и эталонная модель имеют равную добротность (по скорости или ускорению), то их амплитудные характеристики совпадают в диапазоне малых и средних частот (см. рис. 5.3). Поэтому высокая динамическая точность системы достигается при умеренном уровне усиления. Напротив, если добротность системы значительно меньше добротности эталонной модели, то их амплитудные характеристики не совпадают в рабочем диапазоне частот (см. рис. 5.4). В случае, когда а。» kboa2 в (5.39) или
«о» 斤6o((Xi - Р]) в (5.51), достижение требуемой динамической точности может оказаться возможным при чрезмерно высоком уровне усиления. Применение алгоритма управления, при котором возникает такая ситуация, как правило, нецелесообразно.
Уравнения системы содержат один расчетный параметр - коэффициент усиления А, значение которого определяет степень приближения динамических характеристик проектируемой системы и эталонной модели. Требуемый уровень усиления можно легко найти при математическом моделировании системы на персональной ЭВМ, последовательно изменяя величину 儿 и оценивая точность системы. Ориентировочное значение 匕 при котором система заведомо устойчива, определяется из уравнения
|%о*,%)| = 1,(5.52)
представляющего собой условие равенства логарифмических амплитудных характеристик £((о , А) = £乂(①)на частоте среза(о =(о эталонной модели. Практически, однако, не возникает необходимости решать уравнения вида (5.52).
В том случае, когда синтезированный алгоритм управления не обеспечивает равенства добротности системы и модели по скорости или ускорению, структуру алгоритма необходимо синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка управляемого объекта. Например, если /(0) = «о w 0, то согласно второму равенству (5.39) величина "閣 工 球;к • Чтобы исключить такую ситуацию, алгоритм управления следует синтезировать по эталонной модели четвертого порядка. Пусть такое уравнение имеет вид
у(£>М0 = ₽,(£>Кх(0,
3
?(l>)=04 + 2九a，伙0)=因0+ %.(5.53)
v=0
Минимизируя функционал (5.11) в окрестности фазовой траектории модели (5.53) по градиентной схеме (5.12), найдем уравнения алгоритма управления
и = к{у-х),
У= J(Yo力 +Yi/o -Y2X)力-Y3X,
о
/о = J&BX-х)<*, / = J/)龙，(5.54)
Оо
(Y0=仇，Y1 =₽；)•
Уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления (5.54) имеет вид
[D'A^ + AB(D)y(D)]x(0 = кВШ'(ОЫ').(5.55)
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
犷(〃 А) = —"ЗВ'З.(5.56)
犷题夕)+ кВ(р)[у(р) - Р'(р)]
Отсюда следует, что при любом распределении полюсов передаточной функции управляемого объекта справедливы равенства
%k=而•=偿， есПи %=Y0， Р； ^Y]；
Yi - Pi
луск =-^- = ^к> если 耳=力，J = 0,1.
Таким образом, система с алгоритмом управления (5.54) имеет такую же добротность, как и эталонная модель, даже в том случае, когда передаточная функция %(р) управляемого объекта не содержит нулевого полюса (а。/ 0).
Уравнения синтезированных алгоритмов управления не содержат операции дифференцирования задающего сигнала xBX(Z), как это требуется по постановке задачи. Выполнение такого требования не может быть обеспечено, если степень полинома числителя передаточной функции эталонной модели превышает определенное значение. Например, если управляющая функция определяется соотношением и = к(у - х), как в (5.42), а производная у вычисляется по уравнению эталонной модели вида
歹 + а2> + а J + аоу 二 p2xBX + PiiBX + рохвх,(5.57)
(а, == В,, j = 0,1)j
то алгоритм управления строится на основе уравнений и = к(у-х),
t
J = а。К% -x)<* + aj(% -х) + 02%х -а2^-(5-58)
о
В отличие от (5.42), для вычисления управляющей функции по (5.58) необходимо выполнять операцию дифференцирования входного воздействия хвх.
В том случае, когда управляющая функция определяется соотношением и 二 к(у - х), как в (5.16), а производная у вычисляется по уравнению эталонной модели (5.57), основу алгоритма управления составляют уравнения
и = к{у- х),
>' = а0/ +а]А+₽2хвх -a2x，(5.59)
Л = f(XBX -x)dt,力=po 厶оо
В данном случае при вычислении управляющей функции не выполняются дифференцирование хвх. Это объясняется тем, что расчетные соотношения для у получаются путем двукратного интегрирования обеих частей (5.57). В результате производные хвх, хвх исчезают.
Таким образом, уравнения алгоритма управления следящей системы не будут содержать операции дифференцирования входного воздействия хвх, если степени полиномов числителей и знаменателей передаточных функций эталонной модели и управляемого объекта подчиняются определенному соотношению. Так, если степень полинома знаменателя передаточной функции эталонной модели равна трем, то для закона управления (5.12) степень полинома числителя должна быть не выше второй, а для закона управления (5.40) - не выше первой.
Лекция 6
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХСИСТЕМ ВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ.УПРАВЛЯЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В этой лекции синтезируются алгоритмы управления, которые составляют основу алгоритмического обеспечения автоматических систем высокой динамической точности и слабой параметрической чувствительности. В отличие от предыдущей лекции, здесь задачи синтеза решены для управляемых объектов, движение которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка. Синтезированы различные структуры алгоритмов управления, исследованы свойства управляемых систем, а также предложен алгоритм информационного обеспечения систем управления. Применение таких алгоритмов в контурах управления механическими системами практически решает проблему получения информации о недоступных для физического измерения переменных состояния.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть неизменяемая часть системы имеет порядок л, а ее динамика характеризуется передаточной функцией
(6.1)(6.1)
(6.1)
(6.1)
л-1т
А(р) = рп + XavPV> B(p) = EbjpJ, (s4〃-l),v=Qj=0
где х(р), 〃(р) - изображения по Лапласу выходной переменной x(z) и управляющей функции u(Z). Принимаем, что нули полинома 8(р) расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р. Нули полинома /(р) могут находиться как в левой, так и в правой полуплоскости, а также на мнимой оси Rep = 0.
Передаточной функции (6.1) соответствует дифференциал ьное уравнение
х" + £%х")= ^bjU^(6.2)
v=0/=0
или в операторной форме
4QA(f) = B(Q)№),
A(D) = 4(p)p=D, B(D) = B(p)p=D.(6.3)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать такой алгоритм управления, при котором в установившемся режиме величина отклонения выходной переменной управляемой системы x(f) от назначенной программы движения xBX(Z) не превышает допустимого значения е, т.е. I xBX (z) - x(Z)I < е, t>U, что соответствует условию (5.2). Необходимо при этом, чтобы расчетные соотношения для вычисления управляющей функции не содержали операции дифференцирования xBX(Z), замкнутая система обладала астатизмом заданного порядка, а ее добротность была равна добротности эталонной модели.
По постановке задачи синтезированный алгоритм управления должен обеспечивать высокоточное слежение системой за переменным во времени задающим сигналом xBX(Z). Пусть требованиям к динамической точности, структурным свойствам и другим динамическим характеристикам проектируемой системы отвечает эталонная модель, движение которой описывается уравнением
产)+ Ха/)= ЕЖ),s=0j=0
0</<N, N>n.(6.4)
В зависимости от числовых значений коэффициентов av, Bj эталонная модель может иметь различный порядок астатизма. Так, если только Ро = Оо, то порядок астатизма будет первый; в случае р0 = а0 и Pl =0] - второй и т.д.
Исходим из того, что по построению эталонной модели (6.4) в ее установившемся движении абсолютная величина отклонения | хвх (Г) - y(t) | меньше допустимого значения е, т.е. для нее выполняется неравенство
(5.8). Следовательно, требуемая динамическая точность проектируемой системы будет достигнута, если алгоритм управления обеспечивает такую степень приближения процессов х(/) -> y(t) в системе и модели, при которой выполняется неравенство (5.2). Именно из этого условия будем определять структуру алгоритмов и рассчитывать их параметры.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Управляющая функция “(f) будет наилучшим образом отвечать требованиям сформулированной задачи в смысле приближения процессов 工О —У«), ^сли она определена из условия, чтобы в каждый момент времени значение функционала
G(〃, ",..., 〃("))= ^[y(n\t) - Х(")«, 〃, “,..., 〃5))]2(6.5)
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. К этому заключению можно придти путем таких же логических рассуждений, какие были проведены в лекции 5 для системы третьего порядка.
Минимизировать функционал будем по какой-либо одной переменной: u^m),...,и,и, считая остальные известными параметрами. Этим вари- антам минимизации соответствуют алгоритмы управления различной структуры, аппаратная реализация которых требует различного информационного обеспечения.
Минимизация функционала по W
Движение в окрестность экстремума функционала (6.5) организуем в соответствии с дифференциальным соотношением
—二 p— ' ', p = const.(6.6)
Так как старшая производная
х(")(厶и,«,...) = ^bjU^ - ^avx{v\(6.7)
j=0v=0
то составляющая градиента no M# равна
9G(u, zi,…)9G(u, zi,…)
9G(u, zi,…)
9G(u, zi,…)
Подставляя это выражение в (6.6), получаем дифференциальный закон управления
^т+^ =к\_у{п} -^], к = -pbm.(6.8)
После интегрирования обеих частей (6.8) по времени (ти + 1) раз при нулевых начальных значениях переменных найдем окончательное выражение для управляющей функции
〃=儿，Y)_工⑺],.M — m — L〃=儿，Y)_工⑺],.M — m — L(6.9)(6.9)Закону управления (6.8) соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 6.1. Действительно, после подстановки (6.7) в (6.8) получим дифференциальное уравнениеЗакону управления (6.8) соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 6.1. Действительно, после подстановки (6.7) в (6.8) получим дифференциальное уравнениеи^ +k^bju(j) =kz,六Ои^ +k^bju(j) =kz,六Огде функциягде функцияz = у^ + £«/")v=0z = у^ + £«/")v=0(6.10)(6.П)(6.10)(6.П)На основании (6.10) записываем передаточную функцию контура вНа основании (6.10) записываем передаточную функцию контура взамкнутом состояниизамкнутом состояниирт^+кВ{р) z(p)рт^+кВ{р) z(p)(6.12)(6.12)
〃=儿，Y)_工⑺],.M — m — L
〃=儿，Y)_工⑺],.M — m — L
(6.9)
(6.9)
Закону управления (6.8) соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 6.1. Действительно, после подстановки (6.7) в (6.8) получим дифференциальное уравнение
Закону управления (6.8) соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 6.1. Действительно, после подстановки (6.7) в (6.8) получим дифференциальное уравнение
и^ +k^bju(j) =kz,六О
и^ +k^bju(j) =kz,六О
где функция
где функция
z = у^ + £«/")v=0
z = у^ + £«/")v=0
(6.10)
(6.П)
(6.10)
(6.П)
На основании (6.10) записываем передаточную функцию контура в
На основании (6.10) записываем передаточную функцию контура в
замкнутом состоянии
замкнутом состоянии
рт^+кВ{р) z(p)
рт^+кВ{р) z(p)
(6.12)
(6.12)
Рис. 6.1Рис. 6.1
Рис. 6.1
Рис. 6.1
Такое же выражение следует непосредственно из структурной схемы.
Структура контура управляющей функции допускает (теоретически) неограниченное повышение уровня усиления, т.е.斤一＞ 8. В этом можно убедиться, исследуя асимптотическое распределение корней характеристического уравнения
严睁) = 0.(6.13)
Разделив все члены (6.13) на А и вычислив пределы при 儿 f 8, получим предельное уравнение
Ь^ + 6办 1 рт~' + …+ 61P + 瓦=0.(6.14)
По условию нули полинома 8(р), обозначим их 瓦,расположены в левой полуплоскости. Поэтому т корней рц(А) уравнения (6.13) при неограниченном увеличении 儿 асимптотически приближаются к корням уравнения (6.14), т.е.
lim р (k)^=p 卩二 1,2,3…，九(6.15)
Корень Рм+i(斤)при 儿 f 8 удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. При больших значениях |р| этот факт можно установить по приближенному (усеченному) уравнению
pm+1 + kbmpm « 0 или р + кЬт « 0,(6.16)
которое следует из (6.13). Из (6.16) находим
Pw+i(储=-饵—О0), если к—д.(6.17)
Итак, предельное распределение полюсов (6.15), (6.17) передаточной функции (6.12) свидетельствует о том, что при неограниченном повышении уровня усиления контур управляющей функции не теряет устойчивости. При этом асимптотическая передаточная функция контура равна
K“(p,8)=Jim К“(р,斤)=(6.18) 28В(р)
Найдем теперь асимптотическую структуру замкнутой системы с законом управления (6.8). Выведем уравнения управляемого процесса. С этой целью получим выражение для производной Уп). Запишем уравнение эталонной модели (6.4) в операторной форме
«(Q)火) = B(QXx«),(6-19)
где операторные выражения
а(О)=£>" + 2а#$, 0(。) = 2 瓦》.(6.20)
$=07=0
Из уравнения (6.19) находим
^(0 =做0壮叫⑺-"(0)貝)(6.21)
a，(Q) = a(Q)_№
Значение производной 严 необходимо вычислять с учетом состояния управляемого объекта. Поэтому в (6.21) выполним подстановку Х0 = Ю г > 0, что отвечает концепциям обратных задач динамики управляемых систем. Выполнив указанную подстановку и проинтегрировав затем по времени (N — л) раз обе части полученного таким образом равенства при нулевых начальных значениях переменных, найдем искомое выражение
严《)= 3^[В(°)Хвх(г)-а'(О)№)].(6.22)
В соответствии с (6.18) в случае ктд управляющая функция равна
u^ = ^^z^-S3)
На основании (6.11) выражение для z(f) запишем в следующем виде z(t)=y(n\t) + A\D)x(t),
A\D)^A{D)~l/.(6.24)
Таким образом, в асимптотике процессы в замкнутой системе описываются уравнениями (6.3), (6.22) 一 (6.24). Им соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 6.2. Принимая во внимание операторное выражение /'(Q), определяемое по (6.24), структурную схему преобразуем к иному виду (рис. 6.3). Наконец, с учетом операторного выражения a'(Q) получаем ас им птотическое уравнение замкнутой системы
(^-lА( I、
Q" + ZaQ‘ х(，)= ^jDJ %(f),(6.25)
<л-0丿V=0丿
которое в точности совпадает с уравнением эталонной модели. Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления в контуре управляющей функции динамические характеристики проектируемой систе
мы и эталонной модели идентичны независимо от изменения параметров управляемого объекта. В этом проявляется важное свойство параметрической адаптивности алгоритмов управления рассматриваемой структуры.
Изучим теперь свойства системы при конечных значениях коэффи* циента усиления к* Рассматриваем уравнение замкнутой системы
^(D)x(Z)= B{D)u{t),
(6.26)(6.26)W)=后[y⑺⑺一工⑺⑺],y =制一m — 1,
(6.26)
(6.26)
尹⑺=万目 lx% (О - a'(D)x(/)].
Отметим, что третье уравнение в (6.26) получено в результате интегрирования (т + 1) раз обеих частей (6.22). Исключим в (6.26) управляющую функцию. Из второго и третьего уравнений с учетом (6.20) на- ходим
〃《)= -^[РС^вх (0- a(Q)x(f)]. (6.27)
Подстановка (6.27) в первое уравнение (6.26) приводит к уравнению замкнутой системы
[^А{1У) + kB(D)a(D)] х«) = ^(^p^^G),(6.28)
у = п - /И - 1.
В соответствии с (6.28) передаточная функция системы в замкнутом состоянии
(6.29)(6.29)
(6.29)
(6.29)
и в разомкнутом состоянии
(630)(630)
(630)
(630)
Здесь полином
А(Р)= а(р)-В(Р)= ЕМ -Bv)P\v=0
а%=1, В./=а если j > 7,а%=1, В./=а если j > 7,(6.31)(6.31)
а%=1, В./=а если j > 7,
а%=1, В./=а если j > 7,
(6.31)
(6.31)
где а(р) и 眦)соответствуют операторным выражениям a(D), P(D).
Изучим теперь асимптотические свойства замкнутой системы, процессы в которой описываются уравнением (6.28). Рассматриваем характеристическое уравнение
pF(p)+ kB(p)a(p) = 0.(6.32)
При любом значенииN>n степень уравнения (6.32) равнаN+ т+ 1. Разделив все члены (6.32) на А: и вычислив пределы при А: -> оо, получим предельное уравнение
mNT
5(p)a(p) = (^ bjpj )(pN + ^ад./) = 0.
/=0л=0
На этом основании приходим к заключению, что в асимптотике N + т корней (6.32) распределены следующим образом:
%(%) — 〃：， 以(%) —凤 при Zf 8；
y = 1,2,…”；X = ^ +1,..., N + m,(6.33)
где 队-нули полинома В(р), а /?* - нули полинома а(р).
Таким образом, при неограниченном увеличении коэффициента усиления ^ корней характеристического уравнения замкнутой системы асимптотически приближаются к соответствующим корням р： характеристического уравнения а(р) = 0 эталонной модели, а т корней - к нулям /入 передаточной функции объекта, т.е. к корням уравнения В(р) = 0. Установим теперь, где расположен последний корень уравнения (632) с номером ^ + w + 1. С этой целью рассмотрим эквивалентную схему замкнутой системы, которая изображена на рис. 6.4.
Рис. 6.4
Передаточная функция разомкнутой цепи равна
»(Р)= % 勺)а(Р)=3.(6.34)
В *7(р) 6(р)
Предполагая, что при % -> оо абсолютное значение ^+m+i|->°°» анализ проведем по приближенной передаточной функции. Оставив в числителе и знаменателе (6.34) члены старших степеней р, получим
、"丿 pNT Pп p
В соответствии с этим приближенная передаточная функция замкнутого контура равна
=(6.35)
p +也.
Из (6.35) следует, что
PN+m+l(%)=-铀 f (-00)，если & f оо・(6.36)
Итак, в результате анализа установлено, что замкнутая система (6.28) сохраняет устойчивость при сколь угодно высоком коэффициенте усиления. Поэтому справедливо
lim К(р, &) = lim —~取嘅®= ^i,(6.37)
isis р уА(р) +kB(p)a(p) а(р)
т.е. асимптотическая передаточная функция замкнутой системы равна передаточной функции эталонной модели. Это обозначает, что процесс в системе описывается уравнением (6.25) и, следовательно, x(f) = y(f). В этом проявляются свойства параметрической адаптивности системы с алгоритмами управления рассматриваемой структуры.
5-9516
Результаты исследования замкнутой системы вполне согласуются с результатами анализа контура управляющей функции. В частности, распределению корней (6.15) и (6.17) соответствует распределение (6.33), (6.36); асимптотическая структура замкнутой системы, определяемая уравнением (6.25), соответствует предельному равенству (6.37).
Отметим важную особенность синтезированного алгоритма (6.9), (6.22). Запишем эти уравнения в виде
u =%仅⑺- х⑺]
歹⑺=^7【В(С)%0) - a'(Q)x(f)],(6.38)
^-n — m- 1.
Здесь операторные полиномы
a*(D) = a<)+ aiD + ... +
网0户氏+瓦0+…+仇少，(6.39)
На завершающем этапе синтеза уравнения необходимо записать в форме, которая отвечает техническим требованиям апп^атной реализации.
Особенность синтезированного алгоритма (6.38) состоит в том, что для аппаратной реализации его уравнений требуется минимальный объем измеряемой информации. С учетом (6.39) имеем
Следовательно, расчетные соотношения (6.38) для вычисления управляющей функции содержат производные выходной переменной системы х")«), наибольший порядок которых равен у = л - /и - 1. Если степень т полинома числителя передаточной функции Я^р) объекта на единицу меньше степени л полинома знаменателя, т.е. т = п - 1, то у = 0 и уравнения (6.38) принимают вид
У =击【B(Q)%(f) - a'(Q)x(f)].(6.40)
В таком случае для вычисления и достаточно измерений только выходной переменной х(0-
Минимизация функционалапо переменным “Qs = m-l, ・・・,1,0
Построим теперь другую структуру алгоритма управления. В отличие от (6.6), управляющую функцию определим дифференциальным соотношением
di/"1-%)di/"1-%)(6.41)(6.41)
di/"1-%)
di/"1-%)
(6.41)
(6.41)
Составляющая градиента по переменной 〃("“ равна 韋儔К-%(严 г(")).
Поэтому (6.41) принимает вид
曲 мТ)«)曲 мТ)«)ЛЛ= %3(")-х(")), k = -bm_ip.= %3(")-х(")), k = -bm_ip.(6.42)(6.42)
曲 мТ)«)
曲 мТ)«)
Л
Л
= %3(")-х(")), k = -bm_ip.
= %3(")-х(")), k = -bm_ip.
(6.42)
(6.42)
Выполняя необходимые преобразования, из (6.42) и уравнения эталонной модели (6.4) найдем
и = к(у^ -х(м)),
УМ)=^r[₽(^Bx(0-aW(01,(6.43)
ц = п-т9 т>\.
Если /и = л -1, то ц = 1 и уравнение (6.43) принимает вид и = к(у-х),
У =备[做。)％(，) - a'(Q)x(r)].(6.44)
Сравнивая (6.43) и (6.44) с (6.38) и (6.39), замечаем, что для вычисления управляющей функции по уравнениям, полученным на основе дифференциального закона управления (6.42), необходимо знать производные х(0，порядок которых на единицу выше. Если управляющую функцию определить дифференциальным соотношением
т>Х,т>Х,(6.45)(6.45)加”入）⑺aG（〃,e,...）
т>Х,
т>Х,
(6.45)
(6.45)
p加（〜人），
то уравнения алгоритма управления будут содержать производную х(г), порядок которой на 入 единиц выше по сравнению с (6.38).
На основании выполненного анализа приходим к заключению о том, что алгоритм управления (6.38), синтезированный по дифференциальному закону (6.6), требует для аппаратной реализации наименьшего объема измеряемой информации. Поэтому алгоритмы такой структуры можно называть алгоритмами с минимальным информационным обеспечением.
Отметим также следующее общее положение. При проектировании алгоритмического обеспечения систем управления наиболее благоприятными в информационном отношении являются ситуации, когда мала разность степеней п - т полинома знаменателя А(р) и полинома числителя В{р) передаточной функции %(р) управляемого объекта. Чем выше степень /и, тем меньший объем измеряемой информации необходим для аппаратной реализации уравнений алгоритма. Как показано, в случае т = п-\ уравнения алгоритма управления (6.40) не содержат производной х(г). Для вычисления управляющей функции достаточно измерений только выходной переменной системы.
6・3・ ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕАЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Для вычисления управляющих функций по уравнениям синтезированных алгоритмов необходимо иметь информацию о старших производных выходной переменной проектируемой системы. В случае, когда управляемый объект имеет высокий порядок, может оказаться, что ин- формационно-измерительная система не обеспечивает возможность измерения необходимых производных. В таких ситуациях недоступные для непосредственного измерения производные следует вычислять. В настоящем разделе рассматривается алгоритм вычисления производных по соотношениям, которые выводятся из дифференциального уравнения управляемого объекта.
Методику вывода расчетных соотношений изложим применительно к задаче управления движением объекта третьего порядка, уравнение которого не содержит производных управляющей функции
X + 42f + 片土 + %% = &〃• (6.46)
Такая модель соответствует наиболее неблагоприятной ситуации с точки зрения информационного обеспечения. В этом случае для вычисления управляющей функции требуется информация о переменных х, х, £, если алгоритм управления синтезируется на основе градиентной схемы первого порядка.
Далее примем, что передаточная функция объекта
А(Р)= Р3 + ^avPv(6.47)
не содержит полюсов в правой полуплоскости. Это условие является обязательным для обеспечения устойчивости процесса вычисления производных. Пусть требуется синтезировать алгоритм управления, при котором динамические характеристики проектируемой системы практически идентичны динамическим характеристикам эталонной модели
з
У⑷ + z Y J(” = В£х + Во%,.v=0
Bo=Yo， Pi -Yi-(648)
Эталонная модель (6.48) имеет второй порядок астатизма. Принимая это во внимание, по методике, рассмотренной в лекции 5, находим следующие уравнения алгоритма управления
и = к(у- х),
У = Yo/i + Yi/o - 丫2工-Уз文，(649)
л> = pAx-x)&,八=\mо0
Для вычисления управляющей функции нужна информация о положении х, скорости 文 и ускорении £ . Если все эти переменные измеряются, то алгоритм управления строится непосредственно по уравнениям (6.49). В других ситуациях уравнения (6.49) необходимо дополнить расчетными соотношениями для вычисления неизмеряемых производных. Рассмотрим различные случаи.
Измеряется только переменная х. В этом случае переменные х, £ необходимо вычислять. Из (6.46) имеем
х =毎〃 -aQx - ахх - а2х.(6.50)
Проинтегрируем обе части (6.50) по времени при нулевых начальных значениях переменных, затем неизмеряемые величины х, f обозначим 土в, 土в • В результате получим
元=J(仿"一a/)或一0/一a2*■(6-51)
о
Структурная схема аналоговой модели вычислителя, соответствующая (6.51), изображена на рис. 65 На вход вычислителя поступает известные переменные w, х.
Соотношение (6.51) составляет содержание алгоритма информационного обеспечения системы управления. При этом уравнения (6.49) следует записать в виде
и = к(у-хв),
y = Yo/i +У\Л -У2х-Тз^в.(6-52)
Л = J(^BX ~х)dt,力=\fQdt.оо
Таким образом, алгоритм управления с полным информационным обеспечением строится по уравнениям (6.51), (6.52).
Измеряются переменные х, 土. В данном случае необходимо вычислить только вторую производную х. Расчетное соотношение находим путем интегрирования обеих частей (6.50) без учета начальных значений переменных:
Рис. 6.5
хв = j(Z^w - аох) dt-axx- а2хв.(6.53)
о
Структурная схема аналоговой модели вычислителя хв изображена на рис. 6.6. На вход вычислителя поступают переменные w, х,文.Уравнения (6.49) для вычисления управляющей функции следует записать так
и = Ку~хД
y = Yo/i + Yi/o - Г2х - у3文，(6.54)
/о = J(/x -Х)М， /1 - J/)*ОО
Алгоритм управления с информационным обеспечением строится по уравнениям (6.53), (6.54). Число интеграторов в структуре этого алгоритма на один меньше по сравнению с предыдущим алгоритмом.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Структура алгоритмов управления параметрически адаптивных следящих систем высокой динамической точности определяется по типовой процедуре минимизации квадратичных функционалов, характеризующих энергию движения. Минимизируемые функционалы записываются для разности старших производных выходной переменной проектируемой системы и эталонной модели. Высокая динамическая точность и слабая параметрическая чувствительность систем достигается благодаря тому, что в каждый момент времени значения минимизируемых функционалов удерживаются в малой окрестности экстремума-минимума. Исходными данными для решения задачи синтеза алгоритмов управления являются:
требуемая динамическая точность или добротность системы, быстродействие (длительность переходного процесса), допустимая величина перерегулирования, определяемая по реакции на ступенчатое воздействие, заданный порядок астатизма.
Основные результаты и рекомендации, полученные при исследовании, заключаются в следующем.
Методами развитой теории минимизации квадратичного функционала (6.5), характеризующего энергию движения управляемого объекта с передаточной функцией (6.1) в окрестности фазовой траектории эталонной модели (6.4), можно синтезировать (/и + 1) различных структур алгоритмов управления, которые соответствуют дифференциальным законам изменения управляющей функции
，吧(2 = p 吨(„…)=仪产 一 х(")),df у加(')и
5 = 0,1,...,/и; к = -pbs > 0.(6.55)
Структуры этих алгоритмов определяются уравнениями
и =左(у©)
1 Г /NT ・
产')=£ В/) - £ %х® ,(6.56)
“ L 7=0ц=0
5 = 0,1,...,/И； V = П-5-1.
Автоматическая система с каждым алгоритмом (6.56) допускает неограниченное повышение уровня усиления в контуре управляющей функции. Теоретически, при достаточных энергетических ресурсах исполнительных элементов, в асимптотике (к -> оо) динамические характеристики системы и эталонной модели идентичны независимо от изменения параметров управляемого объекта. Это означает, что алгоритмы управления (6.56) придают системам свойства естественной параметрической адаптивности.
Из всех возможных (т + 1) структур алгоритмов управления (6.56) предпочтительным для практического применения является алгоритм с минимальным информационным обеспечением. Уравнения этого алгоритма получаются при $ = /и и имеют вид (6.38). Для вычисления управляющей функции по этим уравнениям необходимо иметь информа-
цию о производных выходной переменной системы х°)(Г), наибольший порядок которых равен п - т - 1. В случае s = 0 из (6.56) следуют уравнения, аппаратная реализация которых требует измерения производных х(ц,(/) до (л - 1)-го порядка включительно.
Практическое применение алгоритма управления с минимальным информационным обеспечением возможно в том случае, когда коэффициент Ьт в передаточной функции W^p) по порядку величины сравним с Ьт_х. В случае, когда отношение Ьт /"_]« 1, может оказаться, что целесообразно применять алгоритм управления, который получается из (6.56) при 5 = /и- 1. Его уравнения имеют вид (6.43). Решение о наиболее предпочтительной структуре алгоритма управления необходимо принимать по результатам исследования динамики проекпфуемой системы с учетом возможных диапазонов изменения параметров управляемого объекта.
Автоматические системы, в структуре которых содержатся алгоритмы информационного обеспечения, не допускают неограниченного повышения уровня усиления. Однако они обладают меньшей чувствительностью к изменению их параметров по сравнению с системами, структура которых формируется на основе традиционных законов управления.
Лекция 7
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПУТЕММИНИМИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВПО ГРАДИЕНТНОЙ СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления, для аппаратной реализации которых требуется меньший объем измеряемой информации по сравнению с теми алгоритмами, структура которых соответствует граднентноЛ схеме первого порядка. В методическом отношении синтез таких алгоритмов управления и исследование их свойств выполняется аналогично тому, как это делается в задачах, которые рассмотрены в пятой и шестой лекциях. Поэтому изложение проводится без излишних подробностей. Алгоритмы управления синтезируются для объектов с передаточными функциями второго и третьего порядка. Исследование простых систем позволяет изучить свойства и особенности алгоритмов, которые в полной мере присущи также системам сложной структуры.
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВВТОРОГО ПОРЯДКА
Управляемое движение описывается уравнением
х + ахх + аох = %〃(7.1)
или в операторной форме
A(D)x^ = bou(t\(7.Г)
где операторный трехчлен 4(Q) = D2 + a^D + 的.Для рассматриваемого объекта синтезируем две структуры алгоритмов управления, которые соответствуют эталонным моделям третьего и четвертого порядков. Исследуем свойства замкнутых систем, а также изложим методику расчета параметров алгоритмов.
Синтез алгоритмов управленияпо эталонной модели третьего порядка
Задачу формулируем следующим образом. Требуется синтезировать такой алгоритм управления, при котором динамика замкнутой системы почти идентична динамике эталонной модели
а(ОМ0 = Р(£»>.х(0,
22
а(С) = Ь+ ga/v, b(q)= E&qv(7.2)
v=0v=0
Здесь xBX(r) - заданная программа движения, т.е. задающее входное воздействие. Необходимо при этом, чтобы для вычисления управляющей функции и было достаточно измерений только выходной переменной х.
Минимизируемый функционал назначаем в виде
GW-^[y(t)-x(t,u)f.(7.3)
Движение в окрестность минимума G(〃)организуем по градиентной схеме второго порядка
一 + Л ——=九 ———, ЛД = const.(7.4) dr Л du
С учетом (7.1) из (7.3) находим выражение для градиента, подставим его в (7.4), в результате получим дифференциальный закон управления
и + Ли = к(у - х),左= %%.(7.5)
Требуемое значение ускорения у вычисляется по соотношению
У = ^[Р№вх(0-а，(ВД01,(76)
которое получается после однократного интегрирования обеих частей уравнения (7.2) эталонной модели с последующей заменой: y")(f) = %")«), V = 0, 1,2. В (7.6) обозначено
2
a'(Q) = a(Q) - D3 =汇外加.(7.7)
v=0
Уравнение (7.5) допускает понижение порядка, а именно, после интегрирования обеих частей без учета начальных значений будем иметь
й + Ли = 2(/ - х).(7.8)
Производную у находим из (7.6):
У =青[В(。)％ (f) - a，(Q)x(f)].(7.9)
Наконец, после повторного интегрирования (7.8) и (7.9) найдем следующие уравнения алгоритма управления
I
и = к(у-х)~ Л Judf,о
у = *[В(£>)% (f) - a'(D)x(f)L(7.10)
В правой части второго уравнения в (7.10) выполняется трехкратное интегрирование по времени. Поэтому переменные х, хвх будут только под знаками интегралов. Следовательно, для вычисления управляющей функции по (7.10) не требуется информации о производных выходной переменной. В системе достаточно измерять только х(0*
Запишем (7.10) в раскрытой форме
и = к(у-х)~ h^udt,
о
I
У= f(/i +₽2^вх -а2х>^(7 4)
О
fI
fo = }(хвх -х)Л,力=J(a%+BiX"x-a/)a, (Po =a0).оо
Структурная схема алгоритма управления, соответствующая уравнениям (7.11), изображена на рис. 7.1. В том случае, когда порядок аста- тизма модели равен двум, уравнения алгоритма управления имеют вид
и = к(у-х)~ 力]udt,о
У = f(a0^i + а& + “％ - 012幻成，(7.12)
О
(I
go = к%-x)df, gi = Jgodf, p0 = a0, P] =ap00
Этим уравнениям соответствует структурная схема, которая изображена на рис. 7.2. Звено с передаточной функцией
%(Р)= *= ,”、(713)
P + h у(р)-х(р) соответствует первому уравнению (7.12). Действительно, в операторной форме имеем
u = k(y-x)~ — w=>fT(D) = -^—^,
Отсюда следует (7.13).
Отметим основные свойства управляемой системы с алгоритмами (7.10) - (7Л2). Принимая во внимание (7.7), на основании (7.5) и (7.6) можно записать
(£>2 + hD)u[t) = ^取。)％ (f) - a(D)x(f)].
Поэтому управляющая функция
D2(D + A)D2(D + A)[p(D)xBX(r)-a(D)x(O],(7.14)
D2(D + A)
D2(D + A)
Подставляя это выражение в (7.1), получим уравнение замкнутой системы
{^{D + h)A(D) + kboa(D)] x(f) = Л*ор(£>>и(О(7.15)
и ее передаточную функцию
к(р,厶)=—处3.(7.16)
p2(p + h)A(p) + kboa(p)
Степень л2 полинома ^(р + h)A(p) равна пяти, а степень пх полинома а(р) равна трем. Поскольку разность 九2 -九i = 2, то при определенном соотношении между параметрами системы возможно неограниченное повышение уровня усиления при сохранении устойчивости. Найдем это соотношение по обычней методике. При Z т 8 из характеристического уравнения
р2(р + 力乂 (р) + Л60а(р) = 0(7.17)
следует предельное уравнение а(р) = 0, поэтому три полюса К(р, Z) в асимптотике стремятся к трем полюсам передаточной функции эталонной модели. Установить расположение двух других полюсов на плоскости комплексной переменной р при А —> 8 можно по приближенному характеристическому уравнению. Оно получается следующим образом. Запишем (7.17) в виде
龙£ + 〃)№)+68)
а(р)
При больших значениях |р| в полиномах числителя и знаменателя можно ограничиться членами старших степеней р. Примем
р2(р + 力 М(р) «р5 + (а】+ А)р4,а(р) а // + а炉.
Тогда вместо (7.18) будем иметь приближенное уравнение
р +а2P
или после сокращения
储 + (а】+ 力)/? + kbw + kbQa2 ® 0.(7.19)
Два полюса передаточной функции исследуемой системы будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости, если все корни уравнения (7.19) расположены слева от мнимой оси Rep = 0. Согласно критерию Гурвица, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Л > а2 - аь(7.20)
Таким образом, если параметры системы удовлетворяют условию (7.20), то при % —> 8 она остается устойчивой. Следовательно, при ограниченных входных сигналах 工武。будет ограничена реакция системы х(г). Поэтому разделив обе части (7.15) на kbQ и вычислив пределы при кт в、 найдем асимптотическое уравнение
a(Q)x(f) = IWBx(f)，(7.21)
которое в точности совпадает с уравнением (7.2) эталонной модели. Следовательно, динамика системы строго идентична (теоретически) динамике модели. При конечном и достаточно высоком уровне усиления динамические характеристики системы будут мало отличаться от динамических характеристик эталонной модели при изменении параметров управ-
В соответствии с (7.16) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
(7.22)(7.22)
(7.22)
(7.22)
где полином А(р) = а(р) - Р(р). Пусть порядок астатизма модели равен единице(ро = Оо). Тогда
А(р) =рАЗ =р 厅 + 02 - Рг)Р + ai-Pi]
и передаточная функция (7.22) примет вид
(7.23)(7.23)%（〃 ％）=屮心丿
(7.23)
(7.23)
'Р[Р（Р + 力）4（Р）+ 左瓦 А'（Р）]
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице, а ее добротность по скорости
Во«1 -₽1Во«1 -₽1
Во
«1 -₽1
Во
«1 -₽1
В случае, когда порядок астатизма эталонной модели равен двум (Ро = Оо, Pi = а) полином
а(р)=p%"S)=Fe+«2- ₽2)>
(7-24)(7-24)Управляемая система также имеет второй порядок астатизма, ее передаточная функция
(7-24)
(7-24)
力3 А) = ~з
Р [(Р + 厶М(Р)+ 也А"。)】
Подставляя (7.24) в формулу (5.38), находим добротность системы по ускорению
(7-25)(7-25)*^ =绕。 если Л(0) = 0; «2-₽2
(7-25)
(7-25)
——,если Я(0) * 0. Ла0 + Лйь(а2-р2)
Таким образом, если передаточная функция управляемого объекта %(р) = bJA(p) не имеет нулевого полюса (а0 力 0), то добротность систе-
мы по ускорению меньше добротности эталонной модели. Исследуемый алгоритм управления синтезирован по эталонной модели третьего порядка (7.2). Если синтез провести по модели четвертого порядка, то равенство 厶уск =^к будет выполняться и в том случае, когда 4(0)力 0. Выпишем соответствующие соотношения для этого случая.
Синтез алгоритма управленияпо эталонной модели четвертого порядка
Пусть уравнение эталонной модели имеет вид
3\( 2、
(7.26)(7.26)d4 + ^Yvdv яо= £%〃％«)•
(7.26)
(7.26)
v=0丿(М=Оу
Операторные полиномы, соответствующие левой и правой частям (7.26), обозначим y(D) и P(D). Добротность модели по скорости и ускорению определяется равенствами
ВоY2 -В2ВоY2 -В2Ро
Во
Y2 -В2
Во
Y2 -В2
Yi-Pi
Так как управляемый объект имеет второй порядок, то минимизируемый функционал необходимо принять в виде (7.3). Поэтому управляющая функция по-прежнему определяется уравнением (7.5). Согласно (7.26), значение у вычисляется по соотношению
》=р-[р(О)хвх(Г)-уЧП)х(Г)],(7.27)
где обозначено
3
Y，(D) = Y(D)-D4=^YVDV.
v=0
Подстановка (7.27) в (7.5) приводит к выражению для управляющей функции
D3(D + A)D3(D + A)[P(D)xBX(r)-y(D)x(0],[P(D)xBX(r)-y(D)x(0],(7.28)(7.28)
D3(D + A)
D3(D + A)
[P(D)xBX(r)-y(D)x(0],
[P(D)xBX(r)-y(D)x(0],
(7.28)
(7.28)
Из (7.Г) и (7.28) находим уравнение замкнутой системы
叮(。+ 似(。)+ ^оУФ)ИО =汕 оВОХсО(7.29)
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
К(р, %) = 做做 Р).(7.30)
p4p + h)A(p) + kboy(p)
Степень полинома р3(р + Л)Я(р) на две единицы больше степени полинома у(р). Поэтому система будет сохранять устойчивость при высоком уровне усиления, если ее параметры удовлетворяют определенному условию. По обычной методике, аналогично (7.20), можно показать, что таким условием является неравенство
力 >力一01.(7.31)
Если оно выполняется, то асимптотическая структура системы при Z —> 8 в точности совпадает с эталонной моделью.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна "的“(鳥需，心,А(Р)= У(Р)-₽(Р)-(732)
Из (7.32) следует, что при любом распределении полюсов передаточной функции объекта %(р) справедливы равенства
лск — а — лск，луск — а — луск，
Yl-PlY2-02
которые соответствуют тем случаям, когда эталонная модель имеет первый и второй порядок астатизма.
Итак, основу алгоритма управления, синтезированного по эталонной модели (7.26) четвертого порядка, составляют уравнения
и + Ли = к(у - х),
(7.33)(7.33)
(7.33)
(7.33)
которые соответствуют (7.5) и (7.27). После двукратного интегрирования левых и правых частей (7.33) при нулевых начальных значениях переменных получим уравнения алгоритма, удобные для агш^атно* реализации
и = к(у -x)-h J〃df,о
/о = J(%BX - %)必，力=|л^,Оо
л = f(Yo/i +Y1/0 + В2% Т2Х)成，(7-34)
О
У= Jc/2-УзХ)&, Yo = Ро， Y1 =₽1-
О
Структурная схема алгоритма аналогична схеме, представленной на рис. 7.2.
Расчет параметров алгоритма управления
Изложим рекомендации по расчету ориентировочных значений параметров Л, к. Исходными положениями являются следующие: контур управляющей функции должен обладать наибольшим быстродействием, при этом длительность переходных процессов в контуре должна быть существенно меньше длительности переходных процессов в эталонной модели. Найдем необходимые расчетные соотношения из условия выполнения этих требований.
Подставляя выражение для 工 из (7.1) в (7.5), получим уравнение контура управляющей функции
迈+力应+检以=以，(7.35)
где функция z = у + ахх + а。％. Сравнивая (7.35) с уравнением
и + 2^—и + Дги = кг,(7.36)
записанным в стандартной форме, находим
2；—= Л,斗=紙.(7-37)
Через 工玄 обозначена постоянная времени. Наибольшее быстродействие контура имеет место, если коэффициент затухания 4 = 7^/2. В этом случае длительность переходного процесса tu = Зт〃. Обозначим через т* эквивалентную постоянную времени эталонной модели. Тогда постоянную времени т〃 контура управляющей функции ориентировочно можно назначать равной ти » 0,05 т*.
Величину т» найдем из следующих соображений. Собственная частота d эталонной модели (7.2) третьего порядка представляет собой среднегеометрическое значение трех корней
п0 й丑尸1尸2p3 =国&0.
Если динамика модели характеризуется слабой колебательностью и перерегулированием порядка (15 ... 20) %, то с большой степенью приближения т* = Q^i. Принимая, следовательно, т“ = 0,05 т* = 0,05 Qq1 , для расчета ориентировочных значений параметров из (7.37) получаем следующие соотношения
,V2,10,05А =-> *=7"亍，,V2,10,05А =-> *=7"亍，(7.38)(7.38)
,V2,10,05
А =-> *=7"亍，
,V2,10,05
А =-> *=7"亍，
(7.38)
(7.38)
Для алгоритма управления (7.34), синтезированного по эталонной модели четвертого порядка (7.26), параметры Л, к рассчитываются по аналогичным соотношениям:
,V2 ,10,05
(7.38')(7.38')〃 =—,Л=—у, ти =-=
(7.38')
(7.38')
В данном случае собственная частота эталонной модели представляет собой среднегеометрическое значение четырех корней
Поэтому эквивалентная постоянная времени т* = 1/行7・
Ориентировочные значения параметров Л,匕 вычисленные по (7.38), уточняются по результатам математического моделирования.
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть математическая модель управляемого объекта представлена дифференциальным уравнением
х + a2x+a{x+aQx = bQu(7.39)
или в операторной форме
2
Z(Q)x(f) = bou(t), Z(Q)=小 + 2 &qv(7.40)
v=0
Алгоритмы управления движением объектов, математические модели которых представлены уравнениями вида (7.40), синтезируются по методике п. 7.1. Поэтому кратко изложим схему синтеза двух структур алгоритмов, соответствующих эталонным моделям третьего и четвертого порядков. Отметим основные свойства и особенности управляемых систем с такими алгоритмами.
Синтез алгоритма управленияпо эталонной модели третьего порядка
Синтезируем такой алгоритм управления, при котором структурные свойства и динамические характеристики замкнутой системы соответствуют структурным свойствам и динамическим характеристикам эталонной модели, описываемой уравнением (7.2). Необходимо при этом, чтобы для аппаратной реализации алгоритма было достаточно измерений выходной переменной х и ее производной х .
Степень приближения процессов в системе и эталонной модели характеризуем функционалом
GQ)=；仔◎-双 5)].(7.41)
Управляющую функцию, аналогично (7.4), определяем уравнением
——Л—— = X——, 九九=const.(7.42)
力 2dt du
С учетом (7.39) находим градиент функционала
du
и дифференциальный закон управления
u + hu = Л(у-х), к = -60Х.(7.43)
Выполняя необходимые преобразования (7.43), получаем закон управления в другой форме
и = k{y -x)-h judt.(7.44)
о
Требуемое значение скорости изменения выходной переменной 夕 вычисляется по соотношениям
У= J(«o/o +В1*вх -а|х)б* + р2хю -а2^> о
/о = J(*BX -х)力，₽о = ао>(7-45)
о
которые получаются из уравнения эталонной модели.
Таким образом, алгоритм управления строится на основе уравнений (7.44), (7.45). Для вычисления управляющей функции достаточно измерений переменных х, х, как это требуется по постановке задачи. Структурная схема алгоритма, соответствующая уравнениям (7.45), изображена на рис. 73 Выведем уравнение замкнутой системы. Из (7.2) имеем
y(0 = P(O)xBX(0 - a'(Q)x(f),(7.46)
Рис. 7.3
где операторное выражение a'(Q) определяется по (7.7). Из (7.43) и (7.46), аналогично (7.14), находим управляющую функцию
И(О =厶、[0(Q)/x(f) - a(Q)x(f)].(7.47)
D(D + Л)
Подставляя (7.47) в (7.40), получим уравнение замкнутой системы
[Q(Q + 〃)4(Q) + 做 a(Q)]x(t)=处 0(Q)%«).(7.48)
Ему соответствует передаточная функция
К(p,后)=竺出®.(7.49)
p(p + h)A(p) + kbQa(p)
Степень полинома р(р + 〃М(р) на две единицы выше степени а(р), поэтому система может допускать неограниченное повышение уровня усиления только при определенном соотношении между ее параметрами. Исследуя поведение полюсов передаточной функции (7.49) при 左一> 8, можно показать, что система остается устойчивой в асимптотике, если выполняется условие
(7.50)(7.50)й> а2- %
(7.50)
(7.50)
аналогичное (7.20). В этом случае справедливо предельное равенство
厚к（р年器= “р）.
т.е. асимптотическая передаточная функция системы в точности совпадает с передаточной функцией модели. Следовательно, управляемый процесс описывается уравнением (7.2). Если неравенство (7.50) не выполняется, то прн увеличении к система теряет устойчивость.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
印(P…印(P…也 0(р)p(p + h)A(p) + kb0^(p)也 0(р)p(p + h)A(p) + kb0^(p)(7.51)(7.51)
印(P…
印(P…
也 0(р)
p(p + h)A(p) + kb0^(p)
也 0(р)
p(p + h)A(p) + kb0^(p)
(7.51)
(7.51)
где полином А(р) = а(р) - 0(р). В случае, когда порядок астатизма эталонной модели равен единице (Ро = «о), с учетом выражения
△S) =р[р2 + («2 - ₽2)Р + СХ1-Р1]
находим добротность системы по скорости
恤00恤00力40 + 也91一回）'力40 + 也91一回）'еслиеслиеслиесли4(。) = “0=。；4(0) # 0,4(。) = “0=。；4(0) # 0,(7.52)(7.52)
恤00
恤00
力40 + 也91一回）'
力40 + 也91一回）'
если
если
если
если
4(。) = “0=。；
4(0) # 0,
4(。) = “0=。；
4(0) # 0,
(7.52)
(7.52)
Таким образом, если передаточная функция управляемого объекта не имеет нулевого полюса (Л(0)=的 # 0), то добротность системы по скорости меньше добротности эталонной модели. Такая ситуация может оказаться неприемлемой для проектируемой системы. Поэтому для объекта с такими свойствами алгоритм управления нужно синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка объекта.
Синтез алгоритма управленияпо эталонной модели четвертого порядка
Для объекта, движение которого описывается уравнением (7.39), ал- горитм управления синтезируем по эталонной модели (7.26). Минимизи» руемый функционал по-прежнему должен иметь вид (7.41). В таком случае исходными соотношениями для определения управляющей функции являются:
й + hii- k(y 一 土)，
У= ^取。)％ (f) - Y，(Q)x(f)](7-53)
или в явной форме
"⑴=(0 - Y0)x(切.(7.54)
Отметим, что выражение для у в (7.53) получено из (7.27) путем дифференцирования обеих частей по времени.
Подстановка (7.54) в (7.40) приводит к уравнению замкнутой системы
[q2(q + h)A(D) + kboy(D)]x(t) = ^P(D)xBX(f). (7.55)
Ее передаточная функция равна
К(Р,%) =К(Р,%) =p2(p+h)A(p) + kb0y(p)p2(p+h)A(p) + kb0y(p)(7.56)(7.56)
К(Р,%) =
К(Р,%) =
p2(p+h)A(p) + kb0y(p)
p2(p+h)A(p) + kb0y(p)
(7.56)
(7.56)
По обычной методике можно установить, что система будет сохранять устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления, если ее параметры удовлетворяют неравенству
А > Y3 _。2・(7.57)
В таком случае в асимптотике (左—> 8)процессы в системе описываются уравнением
32
х(4)+ £у/“)工瓦理，(7.58)
v=0ц=0
которое совпадает с уравнением эталонной модели (7.26).
В соответствии с (7.59) передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
力3 行=-处^包，(7.59)
p2(p + h)A(p') + kb0^(p)
где полином А(р) = у(р) - 0(р). Из (7.59) следует, что при любом распределении полюсов передаточной функции управляемого объекта, в том числе и в случае 彳(0) = а0 * 0, добротность системы по скорости равна добротности эталонной модели:
/к ="=偿Yi-₽i
Для системы с астатизмом второго порядка(ро = Yo, Bi = Yi) из (7.59) находим добротность по ускорению:
ускускВо — jLMY2 年2一 У"Во — jLMY2 年2一 У"если 彳(0) = 0；если 彳(0) = 0；(7.60)(7.60)恤 + 也(Y2-B2)'恤 + 也(Y2-B2)'если 4(0) w 0.если 4(0) w 0.
уск
уск
Во — jLM
Y2 年2一 У"
Во — jLM
Y2 年2一 У"
если 彳(0) = 0；
если 彳(0) = 0；
(7.60)
(7.60)
恤 + 也(Y2-B2)'
恤 + 也(Y2-B2)'
если 4(0) w 0.
если 4(0) w 0.
Обычными преобразованиями из (7.53) получим уравнения алго- ритаа управления в окончательном виде
и = к{у - х) - h^udt,о
У = f(Yo/i +У1/0 +02/Х -丫2*)力-丫3*，(7.61)
о
/о = |(^.х-х)л>/1 = /л^-
Оо
Ориентировочные значения параметров h, Л алгоритма управления вычисляются по формулам (7.38')*
Алгоритм управления движением объекта,передаточная функция которого имеет нуль
Пусть движение управляемого объекта описывается уравнением
х + а?工 + «1 土 + &х =々б + 60и(7.62)
или в операторной форме
A(D)x(t) = 5(Q)〃()(7.62，)
Операторные выражения 4(0), B(D) соответствуют левой и правой частям уравнения (7.62). Передаточная функция
3(Р)— Х(р) Z(P) "(Р)'
2
А(р) = р3 + ^avpv, B(p) = blp + bQ(7-63)
v=0
имеет нуль р = -^^-1. Далее принимаем, что нуль расположен в левой полуплоскости, т.е. р < 0. Синтезируем алгоритм управления, при котором замкнутая система и эталонная модель (7.2) обладают идентичными структурными свойствами и динамическими характеристиками.
Для объекта третьего порядка минимизируемый функционал необходимо принимать в виде
GQ, ") = ；，(，)-£«,〃,切 2.(7.64)
Движение в окрестность минимума G(u, и) будем осуществлять по градиентной схеме второго порядка относительно скорости изменения управляющей функции й, а именно:
(7.65)(7.65)d弓⑴，厶威⑴aG(u, u)d» dt Эм
(7.65)
(7.65)
С учетом выражения
х(Л 弘:i) = &近 + 仇以一Z avx(v)v=0
находим составляющую градиента dG(u, й)/дй--by (у - x) по перемен- ной й. Поэтому закон управления (7.65) в дифференциальной форме примет вид
u+hu = k(y-x\ к = -№.u+hu = k(y-x\ к = -№.(7.66)(7.66)
u+hu = k(y-x\ к = -№.
u+hu = k(y-x\ к = -№.
(7.66)
(7.66)
Проинтегрируем дважды по времени обе части (7.66) при нулевых начальных значениях переменных и дополним полученное уравнение соотношением (7.9) для вычисления производной у. В результате най» дем уравнение алгоритма управления
й + Ии = к(у~х\
y = -l-[₽(D)xBX(0-YW(0](7.67)
или в окончательном виде
и = к{у - х) — 〃 J以曲,
о
У= f(/i +02%一a2%)力，(7.68)
о
fi = J(a" +01/х - a/)曲，
О
/i) = J&BX-х)力， a0 =P0.
О
Для вычисления управляющей функции по (7.68) достаточно ин* формации о выходной переменной М0・ Следовательно, наличие нуля у передаточной функции управляемого объекта исключает необходимость измерения скорости изменения выходной переменной системы.
Уравнения (7.68) получены по эталонной модели с астатизмом первого порядка. Если порядок астатизма равен двум(ро = Оо, Pi = аО, то из (7.67) будем иметь следующие уравнения алгоритма
и = к{у -x)-h j以力，(7.69)
о
У= J(a0/i +«i/o +₽2хвх - а?*)力， О
加= J(Xbx-X)力， 力=J/o 力，(ао =Ро) %=01). Оо
Изучим свойства системы с алгоритмом управления (7.67). Найдем сначала необходимое условие сходимости процесса минимизации функционала (7.64). Оно может быть получено как условие устойчивости контура управляющей функции. Подставив выражение для Н в (7.66), найдем уравнение контура
и+Лм + 左4〃 + 饱以=Е,(7.70)
где обозначено
2z=y + ^avx<V)-v=0
Согласно критерию Гурвица, контур управляющей функции будет устойчив, если
h>^.(7.71)
Неравенство (7.71) является необходимым (но недостаточным) условием устойчивости системы в целом.
Выведем уравнение замкнутой системы. Из (7.67) находим выражение для управляющей функции
〃⑴=Т—[0(0% ⑴-a(Q)x(f)]・(7.72)
Q (Q + 力)
Подставляя (7.72) в (7.62), получаем искомое уравнение
[D2(D^h)A(D^kB(D)a(D)]x(t)=左5(。)伙Q)% ⑴，(7.73) которому соответствует передаточная функция
К(р$) = ^竺^)В(Р).(7.74)
Р (Р + А)/(Р)+ 斤В(р)а(р)
Степень полинома р2s + h)4(p) на две единицы выше степени полинома В(р)а(р). Поэтому чрезмерно большое значение коэффициента усиления система допускает только при определенном соотношении между ее параметрами. Это соотношение можно найти, исследуя распределение полюсов передаточной функции (7.74) при неограниченном увеличении 左.Из характеристического уравнения
pL{p + h)A{p) + kB{p)a{p) = Q(7.75)
следует, что в асимптотике (左—> 8)справедливо предельное уравнение 5(р)а(р) = 0. Поэтому в случае 左一> 8 три полюса 区(左)передаточной функции К(р,丘)асимптотически стремятся к полюсам р： передаточной функции эталонной модели, а четвертый полюс р4(Л) - к нулю передаточной функции управляемого объекта, т.е.
lim рх(к) = р*, s = 1,2,3;
左ТОО
lim^p4(k) =-bob^' =Д,
где р* - корни уравнения а(р) = 0, a R - корень уравнения В(р) = 0.
Расположение остальных двух полюсов К(р, Л) можно установить, как и в предыдущих задачах, исследуя приближенное характеристическое уравнение при больших значениях к. Уравнение (7.75) записываем в виде
史厘3 +1.(7.76)
8(р)а(р)
В числителе и знаменателе дроби в (7.76) оставляем двучлены высших степеней 口 принимая
р2 (р + А)(рЗ + «/+...) нрб + («2 + 〃)р5,
3屮+仇Х/?3 +物+…)Q 6屮4 + (历+瓦Ct2)/A
В таком случае из (7.76) получаем приближенное уравнение
尸 + Q + 力)p2 + kbm + *氏 + 602)* 0.(7.77)
Согласно общему положению, при kf 8 два полюса передаточной функции (7.74) будут удаляться на бтеконечность в левой полуплоскости, если все корни уравнения (7.77) расположены слева от мнимой оси Rep = 0. Это условие выполняется в том случае, если
(7.78)(7.78)〃>殳 +a2-a2.
(7.78)
(7.78)
Итак, если параметры системы удовлетворяют неравенству (7.78), то ее устойчивость не нарушается при неограниченном повышении уровня усиления. Поэтому в асимптотике динамические характеристики системы и эталонной модели идентичны. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
%/) =%/) =取 р)В(р).р2(р + 〃)/(「) + Щр)А(р)取 р)В(р).р2(р + 〃)/(「) + Щр)А(р)(7.79)(7.79)
%/) =
%/) =
取 р)В(р).
р2(р + 〃)/(「) + Щр)А(р)
取 р)В(р).
р2(р + 〃)/(「) + Щр)А(р)
(7.79)
(7.79)
где полином А(р) = а(р) - В(р). Анализируя структуру (7.79) с учетом выражений для а(р), В(р), можно показать, что для рассматриваемой системы при любом распределении полюсов передаточной функции 聞(р) управляемого объекта добротность по скорости
% -РРо а0>
а добротность системы по ускорению
团а 二唸,если Л(0) = 0;
,a2-?2
*уск ~ 'I » Q
, если Л(0)*0.
Aflo +^b(«2 -Рг)
(7.80)
(7.81)
ро = ао, Р1 = аь
Соотношения (7.80) и (7.81) соответствуют алгоритму управления, который синтезирован по эталонной модели третьего порядка. Чтобы проектируемая система и модель имели равную добротность по ускорению (Ауск = %^к) в случае а0 *0, алгоритм управления необходимо синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу
выше порядка управляемого объекта. В этом случае по-прежнему минимизируется функционал (7.64). Закон управления
и = к{у - х)- h^udtо
остается без изменений, однако переменная у вычисляется по соотношениям, которые отличаются от (7.68). Эти соотношения мы не выписываем, так как они выводятся из уравнения эталонной модели по обычной методике.
Уравнения алгоритма управления содержат два расчетных параметра Л,七 Числовые значения этих параметров назначаются такими, чтобы быстродействие контура управляющей функции было существенно выше быстродействия эталонной модели. Ориентировочные значения Л, к можно вычислить по формулам
h>3 ^- + а2-а2 , %=7^Т，тц = ^=-(7.82)
ч и丿 ^oTu Ja。
Величина Л, удовлетворяющая неравенству, обеспечивает сохранение устойчивости системы при высоком уровне усиления, как это требуется согласно (7.78). В этом случае выполняется также неравенство (7.71)- условие устойчивости контура управляющей функции. Собственная частота контура управляющей функции, согласно (7.70), равна Qo =批仇=丁丁・ Отсюда следует формула для коэффициента усиления к в (7.82). Здесь по-прежнему принято т„ = 0,05т* =О,О5/&7・
Рассчитанные по (7.82) значения параметров Л, % уточняются по результатам математического моделирования проектируемой системы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Алгоритмы управления, синтезированные путем минимизации функционалов G(u), G(“, й) по градиентным схемам вида
du . dG(“)du 9G(u, u)
—=Л, — = a,
dt du dt du
будем называть для краткости Алгоритмы-1. Аналогично, алгоритмы, синтезированные на основе градиентных схем
J2mj du. dGQ)/"j du. 5GQ&)
dudt dudu 力 3〃
будем называть Алгоритмы-2.
Основные результаты и рекомендации, полученные при исследовании систем с алгоритмами типа Алгоритм-2, заключаются в следующем.
Применение Алгоритмов-1 позволяет уменьшить объем измеряемой информации, необходимой для аппаратной реализации уравнений алгоритмов. Например, если для вычисления управляющей функции по уравнениям Алгоритма-2 требуется информация о положении, скорости и ускорении ( х, х, х), то в случае Алгоритма-2 управляющая функция вычисляется по измерениям положения и скорости (х, х).
Системы с Алгоритмами-2 обладают свойствами параметрической адаптивности только при определенных соотношениях между их параметрами. Эти соотношения имеют вид неравенств: (7.20) и (7.31) - для объектов второго порядка; (7.50), (7.57) и (7.71) - для объектов третьего порядка.
При формировании эталонных моделей, по которым синтезируются алгоритмы управления, их параметры необходимо назначать такими, чтобы указанные неравенства выполнялись во всем диапазоне изменения динамических характеристик управляемых объектов.
Алгоритмы-2, при прочих равных условиях, повышают порядок систем на единицу по сравнению с Алгоритмами-1. Повышение порядка систем есть естественное следствие снижения порядка производных x(s)(z) в уравнениях для управляющих функций.
Системы с алгоритмами управления, синтезированными на основе градиентной схемы третьего порядка, не обладают свойствами параметрической адаптивности. При повышении уровня усиления такие системы становятся неустойчивыми. Действительно, для управляемого объекта третьего порядка (7.39) и эталонной модели (7.2) минимизация функционала (7.49) по градиентной схеме
d3u , du . a dGQ)
-r A - — = A——-力з 山 dt du
приводит к закону управления
(7.83)(7.83)館 4- AjM 4- 〃о〃 = %(歹-X).
(7.83)
(7.83)
После трехкратного интегрирования обеих частей (7.83) без учета начальных значений переменных получаем
и = к(у -х) - Aj JmA_^о J J〃曲2，(7.84)
о о о
Для вычисления управляющей функции по (7.84) достаточно информации о положении (х).
Для рассматриваемых моделей процессы в замкнутой системе описываются уравнением
[DH{D)A{D) + %boa(D)]x(f) = kb^{D)x^t), H(D) = D2 + hiD + 辰
Так как порядок операторного полинома DH(D)A(D) на три единицы выше порядка полинома a(Q), то система не допускает неограниченное повышение уровня усиления. Вследствие этого не удается реализовать высокую степень приближения динамических характеристик системы и эталонной модели.
Отмеченные свойства систем с алгоритмами управления, синтезированными путем минимизации функционалов по градиентным схемам выше первого порядка, установлены применительно к задачам управления простейшими объектами (и = 2, и = 3). Однако эти свойства остаются справедливыми и для систем высокого порядка.
6 — 9516
Лекция 8
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНАЯЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМАУПРАВЛЕНИЯ СКОРОСТЬЮВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Автоматические системы различных технологических машин функционируют в условиях изменяющихся инерционно-массовых нагрузок. К «им относятся обрабатывающие центры, исполнительные механизмы роботов-манипуляторов, станков с ЧПУ и другие. Изменение нагрузок приводит к изменению динамических характеристик управляемых систем, вследствие чего снижаются показатели точности и качества выполнения технологических операций. Для стабилизации динамических характеристик в структуру системы вводят специальные алгоритмы идентификации параметров и настройки регуляторов [1 - 3]. Как показано в предыдущих лекциях, имеется возможность синтезировать алгоритмы управления такой структуры, которые придают системам свойства слабой чувствительности к изменению параметров в широких пределах. При этом нет необходимости осуществлять идентификацию и настройку. Такие алгори™ы обладают свойством естественной адаптивности. Их структура синтезируется методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, с помощью которых назначаются требования к динамике проектируемой системы.
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления скоростью вращательного движения. По линеаризованным уравнениям синтезированы алгоритмы трех различных структур. Для аппаратной реализации алгоритмов первой структуры требуется информация об угловой скорости и ускорении. Алгоритмы управления второй и третьей структуры требуют для своей реализации минимального объема информации; для этого достаточно измерять только угловую скорость.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Предполагаем, что система проектируется на основе электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, а механизм переда- чи движения выполнен на абсолютно жестких элементах.
Расчетная кинематическая схема упрааляемой системы приведена на рис. 8.1. Она состоит из электродвигателя, редуктора с коэффициентом передачи и и нагрузки. Момент инерции якоря обозначен через 4, редук« тора - 4, а нагрузки - JH. Угол поворота вала двигателя обозначен ф, а вала нагрузки - фн. Эти углы связаны соотношением фн = фк，Управ- ляющим сигналом является напряжение 弘 приложенное к якорной цепи. Кроме того обозначено: М 一 электромагнитный момент, развиваемый электродвигателем; К, М：н - моменты сил сопротивления на валу двигателя и нагрузки; Мр - возмущающий момент. Пересчитывая к валу двига- теля моменты инерции и сил сопротивления, получим следующие уравнения, описывающие механические и электрические процессы
jC = M-Mc(a)，
т3М + М =^-u-^!^-Q,(8.1)
R R где обозначено
%д)= мс+(мсн +л/в)"Т,丿=厶 + 人"一2,
% = LX, С = @.(8.2)
Величина тэ характеризует электрическую постоянную времени; L, R - индуктивность и омическое сопротивление якорной цепи;左乂，％с - паспортные параметры двигателя. Момент инерции не учитывается.
При синтезе алгоритмов управления рассматривают линейную модель системы, опуская K(Q). Исключая в таком случае в (8.1) момент М получим следующее дифференциальное уравнение
Q4-a1Q4-a0Q = 6()M. (8.3)Рис 8.1
Постоянные коэффициенты равны
11,1JR八
«о =，%=—，仇=7，тм =т^—•(84)
Т/м%"qT/m"m*Q
Используя оператор дифференцирования D = dldt, уравнение (8.3) запишем в операторной форме
A(D)Q(t) = d〃(f), 4(0) = О? + а】。+ %.(8.5)
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, СТРУКТУРА АЛГОРИТМАУПРАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Синтез алгоритма управления угловой скоростью Q выполняем по модели (8.3). Задачу формулируем следующим образом. Закон изменения угловой скорости задан функцией времени QBX(r). Требуется синтезировать такой алгоритм управления w = w( Q, С ), при котором в установившемся режиме величина рассогласования z\Q = QBX - Q не превышала допустимого значения | ДО | < е. Необходимо при этом, чтобы замкнутая система обладала астатизмом первого порядка.
По постановке задачи искомый алгоритм управления должен обеспечивать слежение за входным сигналом QBX(f) с точностью до е. В частном случае, когда QBX = const, алгоритм стабилизирует постоянное значение угловой скорости.
Рассматриваем некоторую динамическую систему, движение которой описывается уравнением
Q* +a2Q* +a]C* +a0Q* 二仇仆 +P0QBX.(8.6)
Постоянные коэффициенты a v, 0, такие, что
a,,瓦〉0, да? > a0, p0 = a0.(8.7)
В силу этого система (8.6) асимптотически устойчива и обладает астатизмом первого порядка. Пусть, кроме того, при назначенных числовых значениях аА., 0, система (8.6) отвечает требованиям задания на проектирование по точности, быстродействию, длительности переходного процесса и другим показателям. При указанных условиях систему (8.6) будем называть эталонной моделью. Далее нам потребуется операторная форма уравнения (8.6). С учетом принятого обозначения имеем
a(n)Q*(/) = p(n)QBX(Z),
2
a(Q) = n3+£avZ)v, 0(Q) = 0屮 + 仇.(8.8)
v=0
Отметим, что уравнение эталонной модели может быть получено по обычной процедуре. А именно, сначала для заданного порядка астатизма, требуемой полосы пропускания и динамической точности нужно построить асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику желаемой системы (эталонной модели). По этой характеристике следует затем записать передаточные функции модели в разомкнутом и замкнутом состоянии и соответствующее дифференциальное уравнение вида (8.6). В рассматриваемой задаче для определенности принят первый порядок астатизма. При необходимости порядок астатизма можно назначить другим. Это приведет к изменению структуры модели, однако методика синтеза алгоритмов управления останется без изменения.
По построению модели (8.6) в ее установившемся движении с необ- ходимостью выполняется неравенство | Q.X(Z) - Q(Z) | < е, характеризующее динамическую точность. Следовательно, требуемые динамические характеристики проектируемой системы будут достигнуты, если алгоритм упрааления обеспечивает достаточно высокую степень приближения процессов Q(0 -> Q*(f). Из этого условия будем определять структуру алгоритма и рассчитывать его параметры.
Степень приближения процессов в системе и модели будем характеризовать величиной функционала
G(M)= ![□* (0-0*(/, М)]2, f>0,(8.9)
которая пропорцион альна мгновенному значению энергии ускорения управляемой переменной Q. Этот функционал вычисляется в окрестности фазовой траектории эталонной модели (8.6). Управляющую функцию найдем из условия, чтобы значение G(〃) в каждый момент времени принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. Следуя лекции 3, принимаем дифференциальный закон управления
du(t) )dGQ) . _.w
=X, X — const,(8.10) df du
который соответствует схеме градиентного метода поиска экстремума функционала (8.9). Так как справедливы равенства
Q(r, u) = bQu - ajQ- a0Q,"GQ?= 一瓦(C* -Q),(8.11)
то закон управления (8.10) принимает вид
=北@-0), к = -Х60 > 0.(8.12)
Величина С* выступает в роли требуемого значения ускорения, характеризующего изменение управляемой переменной Q. Интегрируя обе части уравнения (8.6) по времени и принимая затем Q* = Q, Q* =Q, найдем
С (f) = a。/(Qbx — Q)力 + 0]Qbx ~~ a【Q — a2c.(8.13)
о
При выводе (8.13) учтено, что 氏=Оо. Кроме того, начальные значения переменных приняты равными нулю, что соответствует математическому описанию динамических систем в форме передаточных функций.
Уравнения (8.12), (8.13) составляют содержание алгоритма управления. Однако для аппаратной реализации алгоритма эти уравнения необходимо преобразовать к другой форме. Так как дифференциальный закон управления (8.12) допускает понижение порядка, то после интегрирования обеих частей (8.12) и (8.13) по времени при нулевых начальных значениях переменных получим окончательные уравнения алгоритма
и =々(С* - Q),
C*(f)= J[a0/i + PjQ^ - ajQ] dt - a2Q,(8.14)
0
/o(O=f(QBX-Q)A.
0
На рис. 8.2 изображена структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (8.14). Модель управляемой системы представлена передаточной функцией 6()/4(р), которая соответствует уравнению (8.5). Полином А(р) получается в результате замены оператора D на комплексную переменную р в операторном выражении Л(Л). В структуре системы предусмотрено измерение углового ускорения С .
Рис. 8・2Рис. 8・2
Рис. 8・2
Рис. 8・2
Исследуем свойства замкнутой системы и покажем, что синтезированный алгоритм управления обеспечивает возможность достижения сколь угодно высокой точности приближения управляемого процесса к эталонному. С этой целью выполним сначала анализ динамики минимизации функционала. Рассматриваем дифференциальный закон управления (8.12). Подставим в него выражение для Q из (8.11). В результате получим следующее уравнение
где функциягде функция(8.15)(8.15)й + 必0"=也"*,
где функция
где функция
(8.15)
(8.15)
и ——(С +а]С + а()С)
соответствует экстремуму минимизируемого функционала min G(u) = G(m*) = 0.
u
Уравнение (8.15) описывает процесс в контуре управляющей функции. Передаточная функция контура
(8.16)(8.16)
(8.16)
(8.16)
где м(р) и и(р) - изображения по Лапласу функций м(г) и u(t). Из (8.16) следует, что для коэффициента усиления % должно выполняться правило знаков
sign(Z) = sign(fe0). (8 17)
В этом случае обеспечивается устойчивость контура и, как следствие, устойчивость процесса минимизации функционала G(〃).
Контур управляющей функции должен отслеживать функцию u(t). Ошибка слежения Дм = м - м определяет значение G(〃). При малых Ли мгновенное значение G(〃) будет принадлежать малой окрестности экстремума-минимума. Это имеет место в том случае, когда быстродействие контура управляющей функции существенно выше быстродействия эталонной модели. При таком условии значение функционала G(〃) изменяется за малый промежуток времени в основном за счет изменения управляющей функции, так как Q * const, Q » 0.
Из (8.16) следует, что путем повышения уровня усиления в контуре может быть достигнуто сколь угодно высокое (теоретически) быстродействие. Так как 瓦 > 0, то в асимптотике полюс передаточной функции (8.16) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений:
р(%)= —泌о-> (-со), если %->8.(8.18)
При этом асимптотическая передаточная функция равна
К“(р,8)=］史 K“(p,%) = L
Таким образом, в результате анализа установлено следующее:
процесс минимизации функционала GQ) устойчив при любом значении коэффициента усиления 2, если для него выполняется правило знаков (8.17);
устойчивость контура управляющей функции и, как следствие, устойчивость процесса минимизации G(〃) сохраняется при неограниченном повышении уровня усиления (Л -> оо).
Найдем теперь асимптотическую структуру замкнутой системы. С этой целью получим уравнение системы при конечных значениях Л. На основании (8.14) запишем выражение для С* в операторной форме
С ")= ^"(°о + °i°)Qbx«)-"^"(网 + а】。+ ot202)C(f).
Подставляя Q* (0 в первое уравнение (8.14), найдем
“(f) A B(D) QBX(0--^-a(£>) C(f).(8.19)
Входящие сюда операторные выражения определяются согласно (8.8). Наконец, исключим управляющую функцию из (8.5) и (8.19). В результате получим уравнение замкнутой системы
[^(£>) + 泌()a(Q)]C(f)=泌00(0)5x0).(8.20)
Ей соответствует передаточная функция
ка(p, k)= 「蜘(包——=-^-.(8.21)
р2А{р) + кЬ^а{р) СЕР)
Характеристическое уравнение имеет вид
// + («1 + 左尻炉 + 3 + М 仇)р2 + 0С[汕оР + ОокЬд = 0.(8.22)
Согласно критерию Гурвица, система будет асимптотически устойчива, если выполняется неравенство
aj^i + %Ьо)а()+ м汕о - а止b(J > Oo(«i + 汕o)L(8.23)
Разделив обе части (8.23) на ц =(汕о? и вычислив затем пределы при ц -> оо, получим предельное соотношение ад > Оо, которое совпадает с условием (8.7) асимптотической устойчивости эталонной модели. На этом основании приходим к следующему заключению: структура синтезированной системы допускает неограниченное повышение уровня усиления без потери устойчивости; в асимптотике (к -> оо) степень устойчивости системы стремится к степени устойчивости эталонной модели.
Рассмотрим передаточную функцию (8.21). Разделим числитель и знаменатель К^р, %) на величину kb0 и вычислим предел при % -> 8. В результате получим
Kq(p，8)= lim Kq(p，%) =喫.(8.24)
isа(р)
Равенство (8.24) есть следствие того, что при неограниченном повышении уровня усиления три полюса р"), $ = 1, 2, 3 передаточной функции (8.21) стремятся к соответствующим полюсам р： передаточной функции эталонной модели, а четвертый полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. Действительно, в предельном случае характеристическое уравнение
р2Л(р) + kb^(p) = 0 1，а(р) = 0.(8.25)
Поэтому справедливы предельные равенства
J 史 р$(%) = р；, $=1,2,3.
При больших значениях |р| поведение полюсов можно исследовать по приближенному уравнению
// + 3 + kb^ = 0 или р + 3 + kbj = 0.
Отсюда находим
Р4(%) = -(«1 + 侬)-> (е), если Л-> оо, что соответствует предельному соотношению (8.18).
Таким образом показано, что асимптотическая структура замкнутой системы идентична структуре эталонной модели. Следовательно, в асимптотике переходный процесс в системе C(f)-> ^駅⑺ теоретически точно совпадает с эталонным процессом C*(f) т QBX (/). Существенно важно, что такое свойство системы сохраняется независимо от изменения ее параметров. В этом проявляется параметрическая адаптивность системы.
Рассмотрим теперь передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии. По известной формуле с учетом (8.21) находим
%(р,%)=%(р,%)=(8.26)(8.26)做 В(р)
%(р,%)=
%(р,%)=
(8.26)
(8.26)
p[pA(p) + kb0(p2+a2p + at -PJ]
Сравнивая (8.25) и (8.26), заключаем, что управляемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма, равный единице, и одинаковую добротность по скорости:
% = [Р%(Р，^)]р=о = @ ：в 二偿，Ро = ао-
Следовательно, амплитудные и фазовые характеристики системы и модели в области низких (рабочих) частот совпадают. Вследствие этого высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при невысоком уровне усиления в контуре управляющей функции.
Ориентировочное значение коэффициента усиления рекомендуется рассчитывать по формуле
(8.27)(8.27)% =(3 …5)；,
(8.27)
(8.27)
где со* - частота среза характеристики 從(而)，соответствующей передаточной функции (8.26) эталонной модели в разомкнутом состоянии.
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНЫМИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Особенность синтезированного алгоритма (8.14) заключается в том, что для его аппщ)атной реализации необходимо измерять угловое ускорение Q. Во многих случаях измерение Q не вызывает технических затруднений. Однако при проектировании автоматических приводов практический интерес представляет возможность применения альтернативного варианта алгоритма управления, алл叩атная реализация которого не требует измерения углового ускорения. Изложим методику синтеза таких алгоритмов.
Принимаем, что в системе измеряется только угловая скорость Q. Синтезируем такой алгоритм и = 〃(С), при котором динамика замкнутой системы будет практически идентична динамике эталонной модели (8.6). Как и в предыдущей задаче, степень приближения процессов в системе и модели хщ)актеризуем функционалом (8.9). Движение к экстремуму- минимуму организуем в соответствии с дифференциальным законом управления второго порядка
黯〃 jdu dGQ), .е
—г +力—=X—-—,Л, X =const >0.(8.28)
疗 dt du
С учетом (8.11) из (8.28) находим
* + 〃^ = &(С*-С), k = -Xbo>O.(8.29)
Понижая порядок в (8.29), будем иметь
^+hu = k0-0(8.30)
Наконец, интегрируя обе части (8.30) по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим окончательно
и = Л(О* — Q) — Л ^udt.(8.31)
о
Требуемое значение угловой скорости Q* вычисляется по соотношениям
Q*(f)= J(/i -a2Q)^о
力⑺=J(a% + 04* -aQ)國 A(O=f(QBX-«)<*>(8-32)
00
которые получаются из второго уравнения (8.14).
Для вычисления управляющей функции и по (8.31), (8.32) не требуется иметь информацию об угловом ускорении. На этом основании алгоритм управления (8,31), (8.32) можно называть алгоритмом с минимальным информационным обеспечением. Выполним анализ системы с этим алгоритмом.
Подставим в дифференциальный закон управления (8.29) выражение для С из (8.11), тогда получим уравнение для контура управляющей функции
w + /jw + 铢〃=饱〃*.(8.33)
В соответствии с (8.33) передаточная функция контура
К"(Р，*) = р +例 + 也 u (p)
Отсюда следует, что для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков (8.17). В этом случае контур управляющей функции асимптотически устойчив, причем устойчивость сохраняется при неограниченном увеличении к. Асимптотическая передаточная функция К“(р, 8)= 1, как и в предыдущей задаче.
На рис. 8.3 приведена структурная схема замкнутой системы. Выведем ее уравнение. Соотношения (8.30) и (8.32) запишем в операторной форме
〃O = "^7[C*(f)-C(f)],(8.34)
D + h
C*(f) = p-[p(Z))QBX (/)- a'(D)Q(z)],
где операторное выражение 8(0) = a(£>) - D3. С учетом второго уравнения (8.34) управляющая функция будет равна
Рис, 8.3Рис, 8.3(8.35)(8.35)
Рис, 8.3
Рис, 8.3
(8.35)
(8.35)
Подстановка “(f) из (8.35) в (8.5) приводит к уравнению замкнутой системы
(8.36)(8-37)(8.36)(8-37)[^(D + 〃M(D) + tooa(£>)]Q(O =汕oB(D)C1K(f).
(8.36)
(8-37)
(8.36)
(8-37)
^п(р, %)=^п(р, %)=做 В(Р)做 В(Р)p2(p + h)A(p) + kboa(p)p2(p + h)A(p) + kboa(p)Ей соответствует передаточная функция
^п(р, %)=
^п(р, %)=
做 В(Р)
做 В(Р)
p2(p + h)A(p) + kboa(p)
p2(p + h)A(p) + kboa(p)
Система имеет пятый порядок. Особенность ее структуры заключается в том, что степень полинома ^(р + %)Л(р) на две единицы больше степени полинома а(р). Вследствие этого сохранение устойчивости системы при неограниченном повышении уровня усиления (% —> оо) теоретически допустимо только при определенных значениях ее параметров. Проведем анализ этой ситуации. Отметим прежде всего, что характеристическое уравнение системы j(p + 〃)/(р) + И>оа(р) = 0 в случае к т 8 вырождается в уравнение а(р) = 0. Это означает, что в асимптотике три полюса передаточной функции (8.37) стремятся к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели. Чтобы установить поведение двух других полюсов, рассмотрим эквивалентную схему системы, представленную на рис. 8.4. Передаточная функция разомкнутой цепи
""/Л:黑九)=器""/Л:黑九)=器(8.38)(8.38)
""/Л:黑九)=器
""/Л:黑九)=器
(8.38)
(8.38)
Рис. 8.4
В числителе и знаменателе (8.38) сохраним по два члена старших степеней:
%b()(p)=出疗 + a炉 + …)，
p2(p + 〃MS) ="5 + 3 + 〃)04 +....
Тогда вместо (8.38) можно записать приближенное равенство
册p,%)=晶 з F(&39)
P (用+ 〃)。
По передаточной функции (8.39) можно установить поведение полюсов исходной передаточной функции (8.37) при больших значениях |р|. Именно, если все полюсы функции
к3盼=_^_处哗山(8.40)
р +(й| +Л)р +Л6ор + а2Л6о
имеют отрицательные действительные части, то два полюса, соответствующие (8.37), удаляются на бесконечность в левой полуплоскости, если 左一＞ 8. Применяя критерий Гурвица к характеристическому полиному передаточной функции (8.40), находим неравенство % + 力〉а2, при выполнении которого система (8.36) допускает неограниченное повышение усиления без потери устойчивости. Из этого следует, что асимптотическая структура системы идентична структуре эталонной модели. Отметим, кроме того, что порядок астатизма и добротность по скорости системы (8.37) и модели равны. Следовательно, высокая точность приближения процессов в системе и модели достигается при умеренных значениях коэффициента усиления & точнее - произведения 的).
Таким образом, показано, что ал гори™ управления (8.31), (8.32) с минимальным информационным обеспечением придает системе такие же свойства, как и алгоритм (8.14), аппаратная реализация которого связана с необходимостью измерения ускорения С .
Уравнения алгоритма (8.31), (8.32) содержат два расчетных параметра: % и 〃. Ориентировочное значение коэффициента усиления к рассчитывается по-прежнему по формуле (8.27), а значение второго параметра рекомендуется рассчитывать по формуле 力=20，欣\ где 0 - коэффициент затухания собственных колебаний в контуре управляющей функции. Быстродействие этого контура должно быть наибольшим, поэтому необходимо принять q = V^/2. В этом случае длительность переходных процессов в контуре определяется величиной Гп = 3 /，瓜.
Многие электродвигатели постоянного тока характеризуются электрическими постоянными времени тэ, существенно меньшими, чем механические тм. В таких случаях представляется возможным применять алгоритмы управления, синтезированные по упрощенным математическим моделям. Синтезируем такой алгоритм управления для рассматриваемой задачи.
В случае тэ « тм пренебрегаем инерционностью процессов в электрической цепи и на основании (8.3), (8.4) получаем уравнение для угловой скорости
С + 41Gl = Ь^и,
%=Т：，瓦=0W)T(8.41)
Пусть требования к динамике проектируемой системы назначаются с помощью эталонной модели
С* + Y]C* + YoC* = “dx + F%.(8.42)
Необходимо синтезировать алгоритм управления, при котором динамика замкнутой системы практически идентична динамике модели (8.42). В данном случае минимизируемый функционал принимаем в виде
G(〃) = jc*(f)-C(f,〃)]2,；＞о(8.43)
По схеме градиентного метода с учетом (8.41) и (8.43) получаем дифференциальный закон управления
dt
или после понижения порядка
〃二左'(С-С), Г >0.(8.44)
Требуемое значение угловой скорости Q* вычисляется по соотношениям
C*(f) = J(Yo/o+^bx-Yi^)^ ЛЮ = j(QBX-Q)^, (8.45) оо
которые получаются из уравнения модели (8.42) в результате двукратного интегрирования обеих частей при нулевых начальных значениях переменных. Таким образом, искомый алгоритм упрощенной структуры строится на основе уравнений (8.44), (8.45).
Отметим свойства замкнутой системы с этим алгоритмом. Принимаем при этом, что управляемый процесс представлен полной моделью, т.е. уравнением (8.3). На основании (8.44) и (8.45) запишем выражение для управляющей функции в операторной форме
М(о = — r(D) QBX (0 -^y(DW),(8.46)
где «О) и у(0) соответствуют левой и правой частям (8.42). После подстановки (8.46) в (8.5) получим уравнение замкнутой системы
[加题。)+ 发b°Y(D)]C(f) = Л'МО) CMf).(8.47)
Степень операторного полинома у(О) на две единицы меньше степени полинома Г^А(Р). Поэтому система может допускать неограниченное повышение уровня усиления (玄 т оо) при определенном соотношении между ее параметрами. Аналогично тому, как это сделано в предыдущей задаче, можно показать, что это соотношение имеет вид неравенства а\ > Yi. Отсюда с учетом (8.4) получаем тэ < у『.Таким образом, если для принятых значений параметров эталонной модели электрическая постоянная времени тэ не превышает обратной величины yf1, то алгоритм управления упрощенной структуры обеспечивает (теоретически) сколь угодно высокую степень приближения динамических характеристик системы и модели при повышении уровня усиления. Расчет величины 发 выполняется по формуле (8.27), где вместо коэффициента б。следует подставить 瓦.При этом частота среза ю определяется для модели (8.42) в разомкнутом состоянии.
Понятно, что в рассмотренной задаче эталонную модель можно принимать иной, например, третьего порядка вида (8.6). Минимизируемый функционал (8.43) сохраняется.
В заключение отметим следующее. При проектировании алгоритмического обеспечения систем управления угловой скоростью имеется три альтернативных варианта адаптивных алгоритмов предлагаемой структуры. Какой из этих алгоритмов является наиболее предпочтите л ьн ы м, можно установить в результате исследования динамики с учетом особенностей системы и условий ее эксплуатации.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
Исследуем динамику системы управления скоростью вращательного движения. Пусть задание на проектирование системы такого назначения содержит следующие исходные данные:
минимальное и максимальное значения момента инерции JH нагрузки;
максимальное значение угловой скорости вращения вала нагрузки Qmax и максимальное значение углового ускорения Qmax ;
допустимое значение ошибки стабилизации скорости вращения в установившемся режиме АОдоп =嗎-貳00)，W 曜 _ заданное значение;
длительность переходного процесса 幻 и допустимая величина перерегулирования адоп, определяемые по реакции системы управления на ступенчатое воздействие С%* (Г) = QBX 1(Г).
Кроме того, при изменении момента инерции нагрузки 人 и при наличии возмущающего момента М моментов сил сопротивления динамические характеристики системы стабилизации не должны выходить за допустимые пределы.
Пусть для конкретных исходных данных, указанных в техническом задании на проектирование, по известным методикам выполнены необходимые расчеты по обоснованию типа исполнительного двигателя и других элементов системы. Для определенности исследований принимаем, что требованиям задания отвечает электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением, имеющий следующие параметры:
Уя = 5 ■ 10-5 кг ■ м2, Лм = 0,0488 Нм- А-1,給=0,073 Вс- рад-1,
L = 12,5 ■ 10~3Гн, & =1,33 Ом. (8-48)
Принимаем далее, что в процессе выполнения технологических операций момент инерции нагрузки изменяется в пределах <4 = (5 ... 25)10~5 кг • м2. Для безредукторной системы (л = 1) в табл. 8.1 приведены числовые значения коэффициентов передаточной функции
——=取・ (&49)
N(p) p +а}р+а0 w(p)
Здесь же указаны значения электромеханической постоянной времени тм . При расчетах не учитывался момент инерцид редуктора. Значение J в первом варианте соответствует Л = 0. Из табл. 8.1 следует, что пятикратному изменению величины приведенного момента инерции соответствует пятикратное увеличение постоянной времени тм = (0,019 ... 0,093) с.
Отметим, что усилители системы управления принимаются безынерционными, а их коэффициенты передачи, как и чувствительных элементов, должны учитываться в схеме аппаратной реализации алгоритмов.
Чтобы выполнить требование о стабильности динамических характеристик при изменении условий функционирования, проектирование системы необходимо вести для наиболее неблагоприятного режима ее работы. Такому режиму соответствуют параметры варианта 5 в табл. 8.1. Проведем расчет параметров для варианта 3, а затем исследуем динамику системы в более широком диапазоне изменения момента инерции нагрузки.
Алгоритм управления угловой скоростью Q синтезируем из условия, чтобы длительность переходного процесса при отработке заданного значения 唸=const составляла величину 0,15 с. Необходимо при этом,
8.1. Параметры передаточной функции
Номер варианта
J- 105, кг • м2
% с
的• IO'3, с-2
4], С"*
仇• 10< рад - с~3 • В *
1
5
0,019
5,6
106,4
7,671
2
10
0,037
2,876
106,4
3,939
3
15
0,056
1,9
106,4
2,603
4
20
0,074
1,438
106,4
1,97
5
25
0,093
1,144
106,4
1,567
чтобы система не имела статической ошибки, а величина перерегулирования не превышала 25 %. Кроме того, добротность системы по скорости должна быть равной 200 с-1, что обеспечивает высокую динамическую точность.
Указанным требованиям к динамике системы управления отвечает эталонная модель, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна
從(Р)=統―77.(8.5。)
p(Zp + i)(4p + D
Л,т = 200 с', 71 = 0,3 с, Т2 = 0,06 с,爲=0,006 с.
Уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид (8.6). Числовые значения коэффициентов уравнения (8.6), имеющих соответствующие размерности, равны
ао = ₽о=^ = 1ЛН-1О5, а,=Ц^ = 7,222 103,
a2=(斤+扇=170,圆=%务= 6,667 1()3.(8.51)
厶/3
Эталонная модель (8.50) имеет первый порядок астатизма, поэтому статическая ошибка по скорости модели равна нулю, как это требуется по постановке задачи. При указанных значениях параметров (8.51) частота среза характеристики 從(沁)равна со*% 42 рад с1, длительность переходного процесса 厶 *0,15 с, а величина перерегулирования ст ® 21 %. Корни характеристического уравнения, соответствующего (8.6), равны Х,2 =-27,002 ±/15,123, р； =-115,997.
Алгоритм управления угловой скоростью строится по уравнениям (8.14). С учетом числовых значений параметров (8.51) уравнения (8.14) записываем так
и =无(С* - Q),
Q，=lO3J[lll,iyo+ 6,667QBX -7,222Q]JZ-17OQ,(8.52)
о
/о = J(Cbx - С)威о
Расчетным параметром в уравнениях алгоритма (8.52) является коэффициент усиления 左.Величина к рассчитывается из условия, чтобы быстродействие контура управляющей функции и было существенно выше быстродействия эталонной модели.
Исследованиями установлено, что достаточно высокая степень приближения динамических характеристик проектируемой системы к динамическим характеристикам эталонной модели достигается в том случае, если величина к рассчитывается по формуле (8.27). Для варианта 3 коэффициент = 2,603 104. Так как частота среза со* в 42 рад • с-1, то по формуле (8.27) находим:
Л = 3—= 0,0048 В-с2 рад-1.历
Рассмотрим теперь результаты исследования динамики системы управления угловой скоростью с алгоритмом (8.52). Прежде всего отметим, что для расчетных значений параметров (вариант 3) частотная характеристика разомкнутой системы с передаточной функцией
WnSM)=),% = 4,8 • 10-3(8.53)
plpA^py + kboip +a2^ + a! -₽!)]
практически совпадает с характеристикой
偌(砌=-——
P(P +a2P + a\~^ p=ia
эталонной модели в разомкнутом состоянии. Различие между характеристиками проявляется только в области частот, существенно превышающих частоту среза, т.е.(о »(о* = 42 рад ■ с-1. Вследствие этого динамика проектируемой системы почти идентична динамике модели.
В табл. 8.2 приведены данные, характеризующие зависимость полюсов передаточной функции замкнутой системы от коэффициента усиления к в случае, когда момент инерции J = 15 • 10-5 кг • м2. В последней строке таблицы указаны числовые значения полюсов передаточной функции модели (8.50). Из анализа следует, что при увеличении к три
Распределение полюсов передаточной функциизамкнутой системы
к
口
比з
〃4
0,002
-48,93 8+ /13,224
-30,2921 ±/36,511
-48,938-/13,224
0,003
-58,952-/48,614
-33,293 ±/19,43
-58,952+ /48,614
0,005
—88594 - /66,978
-29,68±/17,067
-88,594 + /66,978
0,05
-120,468
-27,204 士 /15,277
-1,233 • 103
0,1
—118,055
-27,102±/15,199
-2,537 • 103
0,5
-116,384
-27,022 ±/15,138
-1,295 • 104
модель
-115,997
-27,0021/15,123
-
力"）
полюса передаточной функции системы приближаются к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели. При этом четвертый полюс удаляется от мнимой оси в область бесконечных отрицательных значений и не оказывает заметного влияния на реакцию системы. В этом случае характер управляемого процесса и его параметры практически полностью определяются первыми тремя полюсами р„ 5 = 1,2, 3, которые являются дом ин иру ющим и.
На рис. 8.5 приведены графики, характеризующие чувствительность системы к изменению уровня усиления （丘）.Здесь представлены зависимости интегральных квадратичных оценок
/0(Л)= J[Q*(O-^(O]2^ Т = 5匕
О
отклонений угловой скорости Q в системе от выходной переменной Q* модели при различных значениях момента инерции нагрузки. Из этих зависимостей следует, что квадратичные оценки практически мало отличаются при изменении момента инерции в пределах (5 ... 25) • 10'5 кг • м2, если уровень усиления определяется величиной ^= (3 ... 4) • 10、Заметим при этом, что для варианта 5 коэффициент усиления, рассчитанный по формуле (8.27), равен 8 • 10-3.
Приведенные результаты математического моделирования подтверждают теоретическое заключение о слабой чувствительности системы, управляемой алгоритмами вида (8.52). Такой вывод следует также из графиков переходных процессов, приведенных на рис. 8.6. Они соответствуют случаю, когда уровень усиления определяется величиной 无=5 • 10-3. Кривая с наибольшим перерегуированием характеризует переходный процесс с моментом инерции J = 25 • 10-5 кг • м2. Процесс в эталонной системе характеризуется кривой, помеченной буквой Q*. Таким образом, можно видеть, что пятикратное увеличение момента инерции нагрузки не приводит к значительным изменениям показателей качества переходных процессов: длительность и перерегулирование незначительно отличаются от расчетных значений. Такое заключение подтверждается также графиками переходных процессов, представленных на рис. 8.7.
Рис, 8.6
Рис. 8.7
Высокие динамические свойства системы - следствие того, что ее частотные характеристики практически совпадают с характеристиками модели в области низких и средних частот (рис. 8.8). Динамическая точность автоматических систем оценивается, как правило, величиной ошибки слежения за входными воздействиями, изменяющимися во времени. Чаще всего для этой цели применяют гармонические сигналы вида
^вх(0 = ^р sincopr Круговая частота % принадлежит диапазону рабочих частот проектируемой системы, а величина Ар определяется в результате анализа условий ее работы. Пусть в соответствии с заданием на проектирование система должна с требуемой точностью (е < £доп) осуществлять слежение за гармоническим входным воздействием QBX(г), которое изменяется во времени с максимальными значениями Qmax, °max. Тогда, как известно, расчетные значения амплитуды и частоты для данной системы вычисляются по формулам
qQ2
兰吟 4=也"(8.54)
'々max"шах
Передаточная функция (8.50) эталонной модели формируется таким образом, чтобы при выполнении других требований (порядок астатизма, быстродействие, степени числителя и знаменателя и др.) ошибка слежения за воздействием QBX(/) с параметрами (8.54) не превышала величины едоп. Для этого необходимо, чтобы на рабочей частоте ①卩 выполнялось неравенство
I %；(,・、)标上.(8.55)
£доп
Принимаем, что эталонная модель сформирована в соответствии с (8.54), (8.55), а ее структура в разомкнутом состоянии определяется выражением (8.50). В таком случае, как было показано, частотная характеристика %(Ло,无)，определяемая по формуле (8.53), практически совпадает с частотной характеристикой 從(而)не только в диапазоне рабочих частот, но и за пределами частоты среза(о*. Следовательно, синтезированная система характеризуется такой же динамической точностью, как и эталонная модель. Поэтому нет необходимости исследовать точность системы с помощью моделирования.
Результаты математического моделирования соответствуют тому случаю, когда электрическая постоянная времени тэ « 0,01 с. Для различных вариантов нагрузки отношение тм/тэ = 2 ... 9. Это свидетельствует о том, что величина тэ оказывает незначительное влияние на динамику системы.
Непосредственная аппаратная реализация уравнений (8.52) алгоритма управления не является целесообразной, так как в прямой цепи управляющей части системы необходимо включать усилитель с большим коэффициентом усиления Лу = 103. В то же время, в контуре ускорения уровень усиления определяется величиной порядка 无=(5 ... 10)10~3. Это позволяет выполнить масштабирование уровней сигналов в схеме алгоритма управления с целью уменьшения числовых значений коэффициентов усиления.
Таким образом, система с алгоритаом управления (8.14) обладает высокими динамическими характеристиками и параметрической адаптивностью. Исследованиями установлено, что такими же свойствами обладает автоматическая система с алгоритмом (8.31), (8・32), для аппаратной реализации которого не требуется информация об ускорении Q . Расчет коэффициентов 匕 Л алгоритма выполняется по методике разд. 8.2. При этом параметры системы должны подчиняться неравенству aj + Л > а2, при выполнении которого теоретически допускается неограниченное повышение уровня усиления (к f 8).
С помощью математического моделирования исследована динамика системы с алгоритмом управления (8.44), (8.45), синтезированным по упрощенной модели (8.41), которая не учитывает инерционность электрических процессов в якорной цепи. Показано, что высокие динамические характеристики системы достигаются в том случае, когда тм /тэ > 5.
ЗАМЕЧАНИЯ
Допустимый диапазон изменения параметров управляемого объекта, например момента инерции нагрузки, при сохранении динамических характеристик системы существенно зависит от параметров эталонной модели, по которой синтезируется алгоритм управления. При уменьшении добротности модели и снижении ее быстродействия допустимый диапазон изменения параметров управления увеличивается при незначительном снижении качества процессов управления.
Ориентировочные значения параметров к или 匕 Л алгоритмов управления рассчитываются по формулам, которые выведены из условия приближения процессов в проектируемой системе и эталонной модели. Расчетные значения параметров уточняются при математическом моделировании путем сравнения переходных характеристик системы и модели при скачкообразном входном воздействии. Как правило, оказывается, что значения управляющей функции 〃(£) - управляющего напряжения в
случае электромеханической системы - существенно превышает допустимый уровень. Однако это не означает, что рассматриваемый вариант алгоритма управления следует признать неприемлемым. В технических системах, как известно, применяют специальные схемы (или алгоритмы - в случае цифрового управления), которые сглаживают скачкообразные задающие воздействия. Вследствие этого исключаются недопустимо большие значения токов и напряжений в цепях управления.
Лекция 9
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
В различных областях машиностроения и приборостроения широко применяются следящие системы высокой динамической точности и автоматические системы позиционирования. Следящие системы предназначены для воспроизведения требуемых программных движений рабочего инструмента при выполнении различных технологических операций на автоматизированном оборудовании. Системы позиционирования являются важнейшими элементами сборочного оборудования. К системам обоих типов предъявляются высокие требования по точности и стабильности динамических характеристик в изменяющихся условиях функционирования автоматизированных станков и машин. В настоящей лекции рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления следящих систем и систем позиционирования высокой динамической точности, обладающих свойствами слабой чувствительности к изменению параметров и возмущающим силам. Теоретически исследована динамика синтезированных систем, приведены результаты математического моделирования процессов управления.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Расчетная кинематическая схема управляемой системы и основные уравнения динамики приведены в лекции 8. Выпишем здесь необходимые уравнения движения по углу поворота вала исполнительного двигателя. Передаточная функция для угловой скорости Q(f) по управляющему напряжению (управляющей функции) w(Z) равна
(〃W)T 一 С(р)
Расчетные формулы для электрической и механической постоянных времени тэ, тм также приведены в лекции 8, коэффициент W, характеризующий противо-ЭДС, указывается в паспорте двигателя.
Согласно (9.1) передаточная функция для угла поворота вала двигателя (p(f) будет равна
办(p)=丄%3)=噢.(9.2)
Для операторного описания системы передаточные функции (9.1), (9.2) будем представлять в следующем виде
也-,(9.3)
где обозначено
4(р) =р2 + «1Р + 的，
ао =(тэтм) * %=%* ^о = ао(л^п) L(9.4)
В соответствии с (9.3), (9.4) запишем дифференциальное уравнение
Ф +。］@ + аоф = b^u.(9.5)
Далее нам потребуется упрощенная модель управляемой системы, соответствующая тому случаю, когда можно не учитывать инерционность электрических процессов в якорной цепи (тэ «тм). Принимая тэ = 0, на основании (9.1) и (9,3) запишем
e+0沁=尻"，
а0 = ТМ1» 瓦=40nmW) L(9・6)
По моделям (9.5) и (9.6) будем решать задачи синтеза алгоритмов управления угловым положением и позиционирования, а также алгоритмов управления следящих приводов высокой динамической точности. Алгоритмы управления угловым положением и позиционирования обеспечивают перевод управляемой системы из начального положения в назначенное стационарное состояние. Алгоритмы управления следящих приводов обеспечивают движение исполнительного элемента системы (рабочего инструмента) по назначенному закону. В методическом отношении и те и другие алгоритмы синтезируются по единой схеме, причем задача синтеза алгоритмов управления следящих приводов более общая. Эту задачу мы и будем рассматривать.
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Движение управляемой системы описывается уравнением (9.5). Требуемый закон изменения угловой координаты 屮(f) задан функцией времени фвх (г). Необходимо синтезировать такой алгоритм управления, который обеспечивает выполнение следующих требований к проектируемой системе:
в установившемся режиме после затухания переходных процессов динамическая ошибка един = |(рвх (/)-屮(f) | в диапазоне рабочих частот не должна превышать допустимый уровень е;
длительность переходного процесса и перерегулирование при ступенчатом воздействии не должны быть больше заданных значений;
заданная динамическая точность должна обеспечиваться при возмущающих моментах, величины которых определяются условиями функционирования проектируемой системы;
система должна обладать слабой чувствительностью к изменению параметров управляемого объекта и управляющего алгоритма.
По постановке задачи алгоритм управления должен обеспечивать слежение за программным движением %x(f)с точностью до е. В частном случае, когда фвх =(р° = const, осуществляется перевод системы из некоторого начального состояния <р("(0)=屮而，5=0, 1, 2 в стационарное состояние (р(оо) =(р°, ф(оо) = ф(оо) = 0. В этом случае исполнительный двигатель системы должен установить рабочий инструмент или исполнительный механизм в назначенное положение по угловой переменной и осуществить позиционирование с необходимой точностью.
В соответствии с общей теорией, структуру алгоритма управления определяем путем приближения динамических характеристик проектируемой системы и эталонной модели, динамические характеристики которой отвечают требованиям задания на проектирование. Чтобы не загромождать изложение, далее принимаем, что заданным динамическим характеристикам соответствует эталонная модель, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид
%(「)=«*%(「)=«*р5р+1)(4р + 1)р5р+1)(4р + 1)Т\>Т2>ТУТ\>Т2>ТУ(9-7)(9-7)
%(「)=«*
%(「)=«*
р5р+1)(4р + 1)
р5р+1)(4р + 1)
Т\>Т2>ТУ
Т\>Т2>ТУ
(9-7)
(9-7)
В замкнутом состоянии модель описывается следующим дифференциальным уравнением:
Ф* + 厂2。* + ”0* + “6 = gi6x + ^оФвх-(9・8)
В соответствии с (9.7) коэффициенты уравнения равны
При проектировании следящих систем высокой динамической точности требуемые динамические характеристики назначаются, как правило, с помощью эталонных моделей более сложной структуры. Однако процедура синтеза алгоритмов управления по моделям более высокого порядка остается такой же, как и в случае моделей простой структуры.
По построению эталонной модели (9.8) в ее установившемся движении абсолютная величина отклонения | 屮駅(/) -(р(/) | с необходимостью меньше допустимого значения динамической ошибки б. Следовательно, требуемая динамическая точность, а также идентичность других характеристик проектируемой системы и модели будет достигнута, если алгоритм управления обеспечивает достаточно высокую степень приближения процессов ф(/) —>(p*(f). Из этого условия будем определять структуру алгоритма и рассчитывать его параметры.
Степень приближения процессов в системе и модели оцениваем величиной функционала
G(〃) = ；b*(f)-@(f,〃)]2, />0,(9.9)
который вычисляется в окрестности решения уравнения (9.8). Управляющую функцию и находим таким образом, чтобы при любом / > 0 значение функционала (9.9) принадлежало малой окрестности экстремума- минимума. Движение к экстремуму функционала организуем по схеме градиентного метода, принимая дифференциальный закон управления первого порядка
色3 =入空2,Х = const.(9.10)
du
В соответствии с (9.5) и (9.9) имеем
®«,«) = Ьои - %0 -例®,"?® =-仇(<р* - ф).(9.11)
С учетом (9.11) закон управления (9.10) принимает вид
曾=%心-喲，%=-%>0(9.12)
или после понижения порядка
«(0 = *Ф(Ф*-ф).(9.13)
Требуемое значение ускорения ф* следует вычислять по уравнению эталонной модели с учетом состояния управляемой системы. Чтобы получить расчетное соотношение для ф*, необходимо проинтегрировать по времени левую и правую части уравнения (9.8), а затем выполнить замену переменных ф* = ф, ф* =ф. Принимая начальные значения переменных нулевыми и учитывая, что g0 =小，найдем
0*0) = % J(зBX -中)或 + gi(?Bx - "屮-Г20， (914) 0
Уравнения (9.13), (9.14) составляют основу алгоритма управления угловым движением. Структурная схема замкнутой системы с этим алгоритмом приведена на рис. 9.1. Модель управляемой системы представлена в схеме передаточной функцией %(p). Для вычисления управляющей функции и используется информация о переменных ф, ф и ф. По этой информации эталонная модель формирует требуемое значение ускорения ф*, которое является задающим сигналом для контура управляющей функции. Величина w(z) пропорциональна разности требуемого и фактического значений ускорений ф* (/) - ф(/).
Исследуем свойства системы с алгоритмом управления (9.13), (9.14). Выполним сначала анализ контура управляющей функции. Уравнение этого контура можно получить из (9.12), подставив сюда выражение для Ф из (9.11). Выполняя такую подстановку, найдем
и + к^Ьйи = кчЬйи , (9.15)
Рис. 9.1 где функцияРис. 9.1 где функция
Рис. 9.1 где функция
Рис. 9.1 где функция
W*+a体 + a0@)
соответствует экстремуму минимизируемого функционала
minG(W) = G(«*) = 0.
Из (9.15) получаем передаточную функцию
(9.16)
P + Qq W (а)
(9.17)(9.17)Динамика контура управляющей функции характеризует процесс минимизации функционала (9.9). Так как структура передаточной функции (9.16) идентична структуре соответствующей передаточной функции в алгоритме управления угловой скоростью, то и динамические свойства этих контуров также идентичны. Не выполняя детального анализа, отметим следующее. Устойчивость процесса минимизации функционала имеет место в случае, когда 左屮仇 > 0, т.е. для коэффициента усиления должно выполняться правило знаков sign(勺)=sign(60)- Значение функционала G(以)будет принадлежать малой окрестности экстремума-минимума в том случае, когда быстродействие контура управляющей функции существенно выше быстродействия эталонной модели. Это достигается путем повышения уровня усиления. Теоретически при бесконечно высоком уровне усиления передаточная функция контура управляющей функции соответствует безынерционному усилителю
(9.17)
(9.17)
К“(р，8)= lim К“(р,勺) = 1.
Математически это означает, что полюс передаточной функции Ки(р, ^ф) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений, т.е.
Р(«<р) = -«<А->(-8), если 勺->8.
В методическом отношении представляет интерес анализ процесса минимизации функционала G(〃)путем анализа динамики контура третьей (старшей) производной управляемой переменной ф. С этой целью рассмотрим следующие уравнения
й = ^ф(ф* - ф), ф = 60и-а0ф-а1ф. (9.18)
Этим уравнениям соответствует структурная схема, представленная на рис. 9.2. В структуре системы выделен контур третьей производной ф, задающим сигналом которого является требуемое значение ф*, характеризующее движение эталонной модели. Обратная отрицательная связь контура осуществляется по фактическому значению @. Сигнал 0c =-а0(р-а1ф выступает в роли внешнего возмущения. Обозначим через К⑶(р,仆)передаточную функцию рассматриваемого контура. Индексом «3» отмечено, что передаточная функция характеризует динамику системы по третьей производной. Непосредственно по структурной схеме получаем
Рис. 9.2
7 - 9516
Полюс передаточной функции 尸(儿屮)=一儿屮瓦 равен полюсу Ки(р, ^ф) и при ^ф —> оо удаляется на бесконечность по отрицательной полуоси. В асимптотике справедливо равенство
К⑶(р,8)= lim К(з)(р,% ) = 1.(9.20)
Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления инерционный контур третьей производной с постоянной времени т3 =(^ф60)~| вырождается в безынерционный усилитель с коэффициентом усиления, равным единице. Поэтому в предельном случае Ф(О = Ф*(О, / > 0, т.е. контур мгновенно отрабатывает входное задающее воздействие @*()
С учетом (9.19) для рассматриваемой структуры (рис. 9.2) имеем следующие уравнения
9 =勺瓦(@*-汾，ф = 9 + ф€, о。 =-"00-用0.(9.21)
Исключая в(9.21) переменные ф, ф^, найдем
§ -仆b°S = k^ + a力 + a0(p).(9.22)
По условию задачи эталонная модель (9.8) асимптотически устойчива, поэтому при ограниченном задающем воздействии |фвх (О|<00 будет ограничена третья производная выходной переменной модели, т.е. №*(“<оо. Далее, управляемая система асимптотически устойчива по угловой скорости ф, так как полюсы передаточной функции %(р), определяемой по (9.1), расположены в левой полуплоскости. В силу этого справедливо
I 叫«) + a0(p(0|<oo,|ф* (f) - фс ⑴ J<00.
Отмеченные свойства функций времени делают правомерным предельный переход в уравнении (9.22) при 仆一> оо. Разделив обе части этого уравнения на 仆毎 и вычислив пределы, получим следующее соотношение
&(f) = @* +a^ + aQ^ = bQu .
С помощью аналогичной процедуры это соотношение, естественно, можно вывести из уравнения (9.15), которое описывает процессы в контуре управляющей функции.
Итак, показано, что процесс минимизации функционала можно исследовать, изучая динамику контура управляющей функции или контура третьей (старшей) производной выходной переменной управляемой системы. Однако основной результат выполненного анализа заключается в другом. А именно, было установлено, что синтезированный алгоритм придает системе свойства слабой чувствительности к возмущающим си- лам (моментам). Действительно, теоретически при 勺一> 8 контур управляющей функции, равно как и контур старшей производной, полностью парирует влияние возмущающего сигнала фс, поскольку в этом случае имеет место строгое равенство 卡«) = »«), ^ > 0. Практически при конечных значениях ^ф и достаточно больших значениях А屮仇 влияние возмущений на качество процесса управления может быть ослаблено до необходимого уровня.
Таким образом, в результате исследования динамики контура старшей производной установлено качественно новое свойство алгоритмов управления типа (9.13), (9.14), имеющее существенное прикладное значение. Физическая интерпретация этого свойства состоит в следующем. Согласно (9.12) скорость изменения управляющей функции й = А:ф(ф* - ф) определяется величиной рассогласования между требуемым и фактическим значениями третьих производных выходных переменных модели и управляемой системы. Какие бы причины ни вызывали это рассогласование, оно без запаздывания учитывается при вычислении й. Так как ф = Э + фс, т.е. возмущающий сигнал (рс контура третьей производной входит аддитивной составляющей ср, то его величина непосредственно определяет в каждый момейт времени величину и. В этом состоит физический смысл и объяснение слабой чувствительности системы к возмущающим силам.
Свойство адаптации к возмущениям установлено для контура старшей производной и, как следствие, для контура управляющей функции. При этом возмущение <рс = —аоф —勺@ обусловлено внутренними связями системы и характеризует ее свободное движение. Можно показать, что
это свойство адаптивности сохраняется и для системы в целом по отношению к внешним возмущающим силам и моментам.
Исследуем теперь свойства системы с алгоритмом (9.13), (9Л4). Выведем уравнение управляемого процесса. Запишем выражение (9.14) для ф* в операторной форме
ф* (/) = -^ (g0 + ^£>)(рвх (ty-^^+r^D + ^b1 )ф(Г).
Подстановка этого выражения в (9.13) приводит к следующей форме закона управления
〃(f) = ^-g(D)<pBX(O 一 ^”Q)屮《),(9.23)
где операторные полиномы
2
r(D) = D3 + ^rvDv, g(D) = go+gi。
v=0
соответствуют левой и правой частям дифференциального уравнения модели (9.8). Чтобы найти уравнение замкнутой системы, необходимо исключить управляющую функцию из (9.5) и (9.23). Выполняя необходимые преобразования, с учетом обозначений (9.4) найдем
厅/(。) + к^О)Ш =毋風。)Фвх(0-(9-24)
Порядок уравнения (9.24) равен четырем. Степень полинома Ь^А(1У) на единицу выше степени полинома г(£>). Поэтому по методике, развитой в лекции 8 для рассматриваемой системы, можно доказать справедливость следующих положений. При любых конечных значениях параметров управляемой системы всегда существует такое значение коэффициента усиления ^ф = ^* в контуре управляющей функции, при котором система (9.24) асимптотически устойчива. Более того, система не теряет устойчивости при неограниченном увеличении 仆 н в асимптотике & -> оо) степень ее устойчивости оказывается равной степени устойчивости эталонной модели. Неравенство
"К% + "(Д)(a。+ 厶仁坛)F4(A ] > F (用 + 为仇)2, выражающее условие асимптотической устойчивости системы по критерию Гурвица, в случае % —> 8 переходит в неравенство 乙乃〉珍，которое является условием асимптотической устойчивости модели.
Уравнению (9.24) соответствует передаточная функция замкнутой системы
3 勺)=2 J"?，「乎Г(9・25)
р2 А{р) + к^Ьог{р) ФВХ(Р)
Разделив числитель и знаменатель (9.25) на произведение А屮瓦 и вычислив предел при 仆一> 8, получим асимптотическую передаточную функцию
^Ф(Р» °0) = Нт К (р,勺)=*„ =_У(夕)(9,26)
%Т8 屮 屮 Г(р) (Рвх(Р)
Следовательно, в случае 仆一> оо три полюса передаточной функции (9.25) стремятся к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели, а четвертый полюс удаляется на бесконечность по отрицательной полуоси. Это асимптотическое свойство системы естественным образом связано с вырождением передаточной функции контура старшей производной или контура и в коэффициент усиления безынерционного усилительного звена, т.е.
к*)(р,勺)->1 или 勺(尸,勺)->1, если 勺->8.
На основании предельного равенства (9.26) заключаем, что в асимптотике переходный процесс в управляемой системе 屮(f) —>(pBX (f) теоретически точно совпадает с эталонным переходным процессом ф* (/) —> <рвх (/). В этом проявляется свойство параметрической адаптивности системы стабильно сохранять динамические характеристики независимо от изменения параметров управляемого объекта.
В методическом отношении представляет интерес другая процедура исследования асимптотических свойств системы. Выполняется она в области времени и заключается в следующем. При ограниченных задающих воздействиях |<Рвх«)|<8 асимптотически устойчивой системы при г > О справедливо
|о2Л(О)ф(Г)|<00 и |g(£>)<pBX(O|<®.
На этом основании имеют место предельные равенства
lim -^-[02Л(0)9(Г)] = 0, lim 亠国⑵^⑴}0，0>о)■
『8%^% ТА /А
Разделив обе части уравнения (9.24) на к也 и вычислив пределы при Аф оо, найдем
炉 += (g]D + go)<pBX(O-(9.27)
к '-0 丿
Уравнение (9.27) соответствует предельной передаточной функции (9.26) и в точности совпадает с уравнением эталонной модели.
Отметим, что в случае, когда <рвх =(р° = const, г>0, при вычислении пределов необходимо исключить начальный момент времени f = 0. При дифференцировании ступенчатой функции(р° 1(/) появляется 8-функция Дирака, поэтому | g(D)(^ 1(f) | -» 8 при f т 0, что требует более строгого анализа при выполнении предельных переходов. Практически в следящих системах, как и в других автоматических системах, не бывает задающих сигналов идеальной ступенчатой формы. Это обусловлено тем, что цепи системы содержат неучтенные в математических моделях мало- инерциониые звенья, которые сглаживают сигналы. В силу этого принятое допущение формально-математического характера не противоречит физической стороне дела. Пусть(рвх =ф° = const. Тогда в установившемся движении по известной формуле находим
<р(°°) = j 吧川<рЗ%)<Р°(р) = ф°>
так как по условию е = go , а изображение <р°(р) = —. Следовательно, Р
алгоритм управления обеспечивает точную отработку постоянного задающего воздействия, что требуется в случае управления угловым положением.
В соответствии с (9.25) передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
小%旗(gw + go)
Г{рА{р) + к^Ьй{р +” + "-&)]
Отсюда следует, что управляемая система, как и эталонная модель, имеет первый порядок астатизма. При этом коэффициент усиления системы (добротность по скорости) равен коэффициенту усиления модели
鹏二丄г仇二go)・(9.29)
Вследствие этого высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при умеренных значениях коэффициента усиления в контуре управляющей функции. Такая особенность обусловлена тем, что в диапазоне рабочих частот амплитудные и фазовые характеристики системы и модели совпадают.
Ориентировочное значение 仆 рекомендуется рассчитывать по формуле
仆=(3 …5)±,(9.30)
где со* - частота среза характеристики %(血)эталонной модели в разомкнутом состоянии.
9・3・ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНЫМИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Синтезируем теперь алгоритм управления, для аппаратной реализации которого требуется минимальный объем измеряемой информации. Принимаем, что в системе не измеряется угловое ускорение @. Структуру и параметры алгоритма управления u = w((p, ф) найдем из условия, чтобы динамика системы по выходной переменной(p(f) была практически идентична динамике эталонной модели (9.8). Как и в предыдущей задаче, степень приближения процессов в системе и модели характеризуем величиной функционала (9.9). Принимаем дифференциальный закон управления второго порядка
票 + 综六入^^, А„, X = const >0.(9.31)
Подставляя в (9.31) выражение для градиента функционала из (9.11), находим
+ %^ =%@*一⑪，%=-论>0.(9.32)
Уравнение (9.32) допускает понижение порядка интегрированием левой и правой частей. В результате этих преобразований получим
(9.33)
Повторное интегрирование обеих частей (9.33) приводит к окончательной форме закона управления
« =仆(©*-©)- % J"力.(9.34)
О
Требуемое значение ф* находим из (9.14) путем однократного интегрирования:
Ф*(0 =卜，0口0 + gl<₽Bx - ПФ) df -，2<Р，о
По(О= J(<P,x -ф)Л-(9.35)
о
При выводе уравнений (9.33) - (9.35) начальные значения переменных принимаются равными нулю.
Итак, уравнения (9.34), (9.35) составляют основу алгоритма управления с минимальным информационным обеспечением, так как для вычисления управляющей функции не требуются измерения второй производной выходной переменной управляемой системы. Структурная схема замкнутой системы изображена на рис. 9.3. Выполним анализ свойств этой системы.
На основании (9.32) и (9.5) для прямой цепи системы от входа ф* до выхода ф можно записать следующие уравнения
Рис. 9.3
(9.36)(9.36)U= D{D + h)(^*-^),,=瓦“ + @「
(9.36)
(9.36)
Переменная фс определена ранее при анализе структуры, схема которой изображена на рис. 9.2. Эта переменная выступает в роли возмущения для контура третьей производной. Исключая в (9.36) управляющую функцию и и принимая фс = 0, получим передаточную функцию контура третьей производной
(9.37)(9.37)
(9.37)
(9.37)
В отличие от (9.19), в рассматриваемой системе передаточная функция третьей производной имеет второй порядок. Однако при неограниченном повышении уровня усиления (仆 -> оо) контур не теряет устойчивости. Это следует из того, что годограф частотной характеристики прямой цепи контура
川3）（沁,勺）=川3）（沁,勺）=(9.38)(9.38)
川3）（沁,勺）=
川3）（沁,勺）=
(9.38)
(9.38)
проходит в четвертом и третьем квадрантах и не пересекает действительной отрицательной полуоси. В случае 仆一> 8 оба полюса передаточной функции (9.38) удаляются на бесконечность по прямой Re р = -йф/2. В пределе К⑶(р* оо) = I, что соответствует безынерционному контуру.
Выведем уравнение замкнутой системы от входного воздействия (рвх к выходной переменной ф. Исходные уравнения (9.5) и (9.33) записываем в операторной форме
DA{D)^ =瓦〃 (“〃(f)= 仆 卜*«) - Ф(о]-
Подставляя сюда операторное выражение для (р*, а затем исключая и, найдем искомое уравнение
[D2(D + h^A{D) + %Z))](p(f) = ^bogCD^^t), (9.39) которому соответствует передаточная функция системы в замкнутом состоянии
К(2& ) = 屮 UOW=屮WJ
Ф '① Р2(Р + ^)А(р) + к^г(р) Фвх(р)
Исследуем асимптотические свойства системы. С этой целью изучим поведение полюсов передаточной функции (9.40) в случае % -＞ оо. Рассматриваем характеристическое уравнение
「У。+ %){(「)+ %чА)，5)“(9.41)
Разделив обе части (9.41) на произведение %中% и вычислив предел при 仆一＞ 8, непосредственно получим предельное уравнение
伞)=А’ +尸屮2 +尸屮+飞=0.(9.42)
Как и следовало ожидать, три полюса передаточной функции К屮(р,厶①)в асимптотике равны соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели
g/ + go2рЗ』рЗ№0g/ + go2рЗ』рЗ№0屮 *(р)Фвх(Р)屮 *(р)Фвх(Р)(9.43)(9.43)
g/ + go2рЗ』рЗ№0
g/ + go2рЗ』рЗ№0
屮 *(р)
Фвх(Р)
屮 *(р)
Фвх(Р)
(9.43)
(9.43)
которые являются решениями алгебраического уравнения (9.42).
Поведение двух других полюсов при больших значениях |р| можно установить по приближенному уравнению, которое получается из (9.41), если в полиномах г(^ и ^(р + h^)A(p} сохранить по два члена старших степеней р, т.е. принять
3“з +“ з,
"(Р + %)№)" + (。1 + %)〕
В таком случае вместо (9.41) будем иметь приближенное уравнение
рЗ +(5 + %)р2 + 仆 dp + 仆如2 = о.(9.44)
Если все корни (9.44) расположены в левой полуплоскости, то два полюса передаточной функции (9.40) имеют отрицательные действительные части и удаляются на бесконечность, когда 仆一＞ 8. Согласно критерию Гурвица, для такого расположения корней (Rep^ v 0, 2 = 1, 2, 3) необходимо и достаточно, чтобы
勺％ >0,用 + % >，2 •(9.45)
Первое неравенство в (9.45) соответствует правилу знаков в алгоритмах рассматриваемой структуры. Второе неравенство может быть удовлетворено подходящим выбором параметров 力中,尸
Таким образом, приходим к заключению, что алгоритм управления с минимальным информационным обеспечением допускает теоретически неограниченное повышение уровня усиления. В асимптотике дифференциальное уравнение системы (9.39) пятого порядка вырождается в уравнение третьего порядка
(2А
D^+Y^D1 <p(f) = (g1D + go)<pBx(O>(9.46)
、л-0>
которое в точности совпадает с уравнением эталонной модели. Это означает, что система обладает свойствами параметрической адаптивности. По методике, которая применялась в предыдущей задаче, можно показать, кроме того, что синтезированный алгоритм эффективно парирует возмущающие силы, действующие на систему.
Продолжим анализ системы. По известной формуле с учетом (9.40) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
% ( k ) =仆dg(p)
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице, а коэффициент усиления (добротность по скорости) определяется формулой (9.29), Поэтому динамические характеристики системы и модели будут практически идентичными при умеренном уровне усиления в контуре управляющей функции. Ориентировочное значение 左屮 рекомендуется рассчитывать по-прежнему по формуле (9.30). Второй пгфаметр алгоритма управления 力屮 рассчитывается из условия, чтобы быстродействие контура управляющей функции или контура третьей производной с передаточной функцией (9.37) было существенно выше быстродействия эталонной модели. После расчета Лф ориентировочное значение 〃屮 можно вычислить по соотношениям
% = 2cMЛ，用+%>?2・
(9.47)
Коэффициент затухания собственных колебаний следует принять равным q = 6/2. Неравенство в (9.47) означает, что числовые значения параметров 左4n 力屮 должны отвечать условию сохранения устойчивости системы при неограниченном повышении усиления, как это определено неравенством (9.45).
9・4・ СИНТЕЗ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯПО УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ (9.6)
Формулировка задачи синтеза алгоритма управления по модели (9.6) остается прежней: необходимо синтезировать алгоритм u = w((p, ф), который обеспечивает выполнение всех требований к проектируемой системе, которые сформулированы при постановке первой задачи. В соответствии с развитой процедурой синтеза структуру алгори™а и его параметры определяем из условия, чтобы динамические характеристики замкнутой системы и эталонной модели (9.8) были практически идентичны. Принимаем, что для вычисления управляющей функции используется измеряемая информация о положении и угловой скорости.
В данном случае минимизируемый функционал должен иметь вид
G® = ?®*(f)-@«，叫2,f>0,(9.48)
так как движение управляемого объекта описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Движение к экстремуму функционала (9.48) организуем в соответствии с дифференциальным законом управления первого порядка. Выполняя необходимые преобразования, найдем следующие уравнения алгоритма управления
“=仆(@* - ф), 勺=const > О,
ф'(0 = f(Wo + ^1Фвх - ri<P)df -，2<Р，По(0 = J(<Pbx - ф)力.(9.49) Оо
Структурная схема системы с алгоритмом (9.49) изображена на рис. 9.4. Передаточная функция %(р) определяется согласно (9.3). Опуская преобразования, запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы
[D3AD) + k'^bor(D)]^t)=勺瓦且⑵除《).(9.50)
Рис. 9.4
Заметим, что это уравнение получено для полной модели (9.5) управляемого объекта с учетом электрической постоянной времени (тэ 工 0). Особенность уравнения (9.50) состоит в том, что степень поли- нома lfA(D) на две единицы выше степени полинома r(D). Поэтому сохранение устойчивости системы при высоком уровне усиления (左； -> оо ) теоретически возможно только в том случае, когда 尸2 < 々i・ При выполнении этого условия уравнение (9.50) пятого порядка вырождается в асимптотике в уравнение (9.46) эталонной модели третьего порядка. Следовательно, алгоритм управления, синтезированный по упрощенной модели, придает системе свойства адаптивности по отношению к изменению параметров объекта. Высокая степень стабильности динамических характеристик системы сохраняется, если коэффициент усиления в контуре управляющей функции рассчитывается по формуле
Ч =(3 …5)*,
которая аналогична (9.30).
Таким образом, в статье синтезированы три структуры алгоритмов управления угловыми движениями электромеханических систем. По результатам исследования динамики с учетом особенностей системы и условий ее работы можно обосновать структуру алгоритма управления, которая в наибольшей степени обеспечивает выполнение требований задания на проектирование.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
Пусть следящая система проектируется на основе электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Согласно (9.3) и (9.4) передаточная функция неизменяемой части (управляемого объекта) равна
(9.51)(9.51)鵠
(9.51)
(9.51)
Для определенности принимаем, что конкретным данным технического задания на проектирование следящей системы соответствует элек* тродвигатель, параметры которого указаны в лекции 3. Принимаем также, что момент инерции нагрузки системы может изменяться в пределах 4 工(5 ... 25)10“ кг . м" Для безредукторной системы (л = 1) в табл. 9.1 приведены числовые значения коэффициентов передаточной функции (9.51).
Не нагруженному двигателю 亿=0) в первом варианте соответствует значение момента инерции J = 4 = 5 • 10'5 кг • м2
Задание на проектирование содержит следующие требования к следящей системе: добротность по скорости должна быть равной 履=200 с-1; длительность переходного процесса порядка 0,25 с; перерегулирование не должно превышать 20 %; порядок астатизма системы - первый. Этим требованиям соответствует эталонная модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
"3 = 200"3 = 2000,15р + 1р(р + 1)(0,015р+1)0,15р + 1р(р + 1)(0,015р+1)(9.52)(9.52)
"3 = 200
"3 = 200
0,15р + 1р(р + 1)(0,015р+1)
0,15р + 1р(р + 1)(0,015р+1)
(9.52)
(9.52)
Номер варианта
J 10* кг • м2
а。• Ю'3, с'2
初С"*
仇10: рад • с~2 • В-1
1
5
5,60
106
7,61
2
10
2,88
106
3,94
3
15
1,90
106
2,60
4
20
1,44
106
1,97
5
25
1,14
106
1,57
Дифференциальное уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид (9.8). Числовые значения коэффициентов уравнения (9.8), имеющих соответствующие размерности, равны
g0 =г0 =1,3(3) IO4, g, =0,20 104,
И = 0,2067 104,尸2 = 67,7.(9.53)
При указанных значениях параметров частота среза характеристики 匕(йо) равна со* в 30 рад • с"', длительность переходного процесса t = 0,24 с, а величина перерегулирования п « 20 %. Корни характеристического уравнения, соответствующего (9.8), равны
X = -8,537, р；,з = -29,565 士 /26,226.
Исследуем динамику системы с алгоритмом управления (9.13), (9.14). С учетом (9.53) уравнения алгоритма записываем в виде
“ = %© -ф),
ф，(0 = Ю4 1,3(3) |(фвх - ф) Л + 0,20фвх - 0,2067<р -67,7ф. (9.54)
Ориентировочное значение коэффициента усиления % рассчитываем по формуле (9.30). Для варианта 3 находим:
勺=4—= 4,6 10-3 В с2 рад-1.
Величина Лф на несколько порядков меньше числовых значений коэффициентов усиления в уравнениях (9.54), поэтому гфи аппаратной или программной реализации алгоритма управления можно выполнить масштабирование переменных.
Рассмотрим результаты математического моделирования процессов управления с помощью алгоритма (9.54). В табл. 9.2 приведены данные, которые иллюстрируют зависимость полюсов передаточной функции замкнутой системы от коэффициента усиления 統
В случае к = 0,005 время затухания составляющей
ер^ = exp(-246f)
9.2. Полюсы передаточной функции замкнутой системы
自
Pi
Р2,3
Р4
0,005
-8,913
-22,924 ±/25,642
-246,865
0,01
-8,718
-26,021 ±/26,309
-436,09
0,05
-8,572
-28,835 ±Й6,318
-1,992 ■ 103
модель
-8,537
-29,565 ± /26,226
-
переходного процесса имеет порядок 0,012 с, что почти соответственно в 30 и в 13 раз меньше времени затухания составляющих
е「" = ехр(-8,90/) и е*2a 用 e~21t sjn 25f.
Следовательно, при указанном уровне усиления (左中=0,005) динамика системы определяется первыми тремя (доминирующими) полюсами, числовые значения которых близки к значениям соответствующих полюсов передаточной функции эталонной модели. Поэтому переходные характеристики управляемой системы и эталонной модели отличаются незначительно.
В соответствии с выводами теоретического анализа при повышении уровня усиления три полюса передаточной функции системы стремятся к трем полюсам р： передаточной функции модели, а четвертый полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных значений:
%(勺)f Р：, s = 1,2,3； "4(勺)f(-°°)，если 勺—8.
Вследствие этого имеет место асимптотическое приближение процессов (р(/) — ф (Г), что иллюстрируется графиками переходных характеристик на рис. 9.5.
Свойства параметрической адаптивности системы иллюстрируются графиками интегральных квадратичных оценок /()(&), которые приведены на рис. 9.6. Если уровень усиления в системе определить величиной 勺 « 0,01, то /о(^р) не будет превышать значение 10~3 рад2 • с при изменении момента инерции нагрузки в 5 - 6 раз. Такое заключение подтверждается графиками переходных функций системы (рис. 9.7), из которых следует, что при пятикратном увеличении момента инерции динамические характеристики остаются практически стабильными.
Рис. 9.5
I虱52
Рис. 9.6
Отмеченные естественные свойства параметрической адаптивности системы, управляемой с помощью алгоритма нетрадиционной структуры, проявляются также в частотных характеристиках (рис. 9.8). В случае 勺=0,01 амплитудная характеристика разомкнутой системы совпадает с амплитудной характеристикой эталонной модели до частот порядка (120 ... 130) рад • с-1 при частоте среза со = 30 рад • с-1. Это означает, что при изменении момента инерции в широких пределах амплитудная характеристика системы в рабочем диапазоне частот не претерпевает существенных изменений.
% 二 ％ sin 叫厶 ％ = °，25Мном
в рабочем диапазоне частот. Показано, что ошибка системы не превышает допустимый уровень, который определяется добротностью по скорости kv = 200 с"1. Этот результат справедлив для усиления Лф = 3 • 10-2 при моментах инерции нагрузки 4 = (5 ... 25) • 10'5 кг • м2.
При математическом моделировании исследовано влияние момента сил сухого трения на динамику системы. Как и в случае алгоритмов традиционной структуры, моменты сил трения демпфируют систему, что приводит к увеличению длительности переходных процессов.
Изложенные результаты математического моделирования характеризуют динамику системы с алгоритмом управления, для аппаратной реализации которого требуется информация об ускорении ф. Исследованиями установлено, что аналогичными свойствами обладают системы с алгоритмами, для аппаратной реализации которых достаточно информации о положении ф и скорости ф.
На основании выполненных исследований можно сделать заключение, что алгоритмы управления, синтезированные на основе концепций обратных задач динамики в сочетании с минимизацией функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик автоматических систем при изменении их параметров. При проектировании алгоритмического обеспечения систем управления имеется возможность путем соответствующего выбора характеристик эталонных моделей существенно расширить диапазон допустимых изменений параметров управляемого объекта при незначительном снижении показателей качества процессов управления.
Рис, 9.7
3,“"喏 «
Рис. 9.8
L^(Q})fL^(b)fk^)td6
В разд. 9.2 показано, что алгоритм управления (9ЛЗ), (9.14) придает системе свойства слабой чувствительности не только к изменению параметров, но также и к внешним возмущениям. При исследовании динамики был выполнен численный эксперимент по оценке влияния возмущающего момента А/в на точность системы. При математическом моделировании было принято, что возмущающий момент изменяется по гармоническому закону
Лекция 10
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ УПРУГОЙЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВЫСОКОЙДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ И СЛАБОЙПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
В настоящей лекции рассмотрены методики синтеза алгоритмов управления двухмассовой электромеханической системой с упругим механизмом передачи движения. Упругая электромеханическая система как объект управления обладает слабыми демпфирующими свойствами. Вследствие этого синтез алгоритмов управления такими системами встречает определенные трудности в случае применения традиционных методов. С помощью предложенных нетрадиционных методов применительно к задаче управления скоростью вращательного движения синтезированы три структуры алгоритмов, которые обеспечивают высокую динамическую точность системы и высокую стабильность ее динамических характеристик при изменении параметров в широких пределах. Исследование динамики процессов управления выполнено с помощью математического моделирования.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем двухмассовую электромеханическую систему с упругим механизмом передачи движения. Структурная схема линейной модели такой системы изображена на рис. 10.1, где используются общепринятые обозначения. Система состоит из электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, редуктора - механизма передачи вращательного движения с коэффициентом редукции п и нагрузки. На схеме обозначено: и - управляющее напряжение в якорной цепи; М 一 вращательный момент электродвигателя;(рд, Сд =©д - угол поворота и угловая скорость вращения выходного вала двигателя;(рр - угол поворота вала на выходе редуктора. Наконец, ф, Q =(p - угол поворота и угловая скорость вращения нагрузки. Коэффициент с характеризует упругие свойства редуктора, а х характеризует потери на вязкое трение в его конструкции.
Рис. 10.1Рис. 10.1
Рис. 10.1
Рис. 10.1
Механические уравнения движения системы имеют вид
风“ =м -片 Зр -屮)-©(@р - @)- К： (%)，
1
JHQ = c((pp -<р)--х(фр -ф)-Л/сн(О)-Л/в,(Ю.1)
С = @,С“=〃@р・
Здесь суммарный момент инерции якоря J. и редуктора Jp в пересчете к валу двигателя обозначен через / момент инерции нагрузки обозначен Jw Динамика электрической цепи якоря двигателя описывается уравнениями
L当+RI = n-心 а，M = kJ,(10.2)
at
где L> R - индуктивность и активное сопротивление якорной цепи; Ц и - ток и напряжение; кд 々м — коэффициенты противо-ЭДС и вращательного момента.
Синтез алгоритмов управления будем выполюггь по линейным моделям, опуская в (10.1) моменты сил сопротивления 混(5) и Л4Н(^)- В таком случае по уравнениям (10.1), (10.2) найдем передаточную функцию системы для угловой координаты
= -^- = -^^,(10.3)
р^(р) 〃(р)
3
А(р) = р^ + ^avpv, В(р) = кр + Ь§.
v=0
Выражения для коэффициентов передаточной функции при решении задачи синтеза алгоритмов управления не потребуются, поэтому здесь их не выписываем. Отметим только, что 瓦 > 0 н 瓦 > 0. В соответствии с (10.3) передаточная функция системы для угловой скорости равна
(Ю.4)(Ю.4)
(Ю.4)
(Ю.4)
Дифференциальное уравнение, соответствующее (10.4), имеет вид
=力应+瓦"，(Ю-5)
5 v=o
или в операторной форме
A(D)Q(t) = B{D)u(t), D = —.(10.6)
dt
Операторные выражения
з
A{D) = D^ +Y,avDv, B(D) = biD + bo (10.7)
v=0
соответствуют левой и правой части уравнения (10.5).
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯУГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
Принимаем гипотезу о том, что передаточная функция 眼(р) допускает аппроксимацию, так что порядок управляемой системы (по угловой скорости) может быть понижен на единицу. Принятое допущение соответствует случаю, когда электрическая постоянная времени тэ существенно меньше механической постоянной 工履,т.е.
L= — « з RL= — « з RJR =^м*JR =^м*
L
= — « з R
L
= — « з R
JR =^м*
JR =^м*
Такое соотношение параметров как правило выполняется. Принимая £ = 0, мы не учитываем инерционность электрических процессов в якорной цепи двигателя, вследствие этого понижаем порядок математической модели (передаточной функции) на единицу.
Пусть аппроксимирующая передаточная функция имеет вид
服(Р)=服(Р)=闿p + % _。(/04'(Р) и(Р)闿p + % _。(/04'(Р) и(Р)22(10.8)(10.8)
服(Р)=
服(Р)=
闿p + % _。(/0
4'(Р) и(Р)
闿p + % _。(/0
4'(Р) и(Р)
2
2
(10.8)
(10.8)
% > о,价 > о.
Числовые значения коэффициентов неизвестны; для синтеза алгоритмов управления знать их нет необходимости. Передаточной функции (10.8) соответствует дифференциальное уравнение
2豆+Z41c® = 6〃+%“.2豆+Z41c® = 6〃+%“.(Ю.9)(Ю.9)
2
豆+Z41c® = 6〃+%“.
2
豆+Z41c® = 6〃+%“.
(Ю.9)
(Ю.9)
с необходимостью величинас необходимостью величинаПоэтому структуру и па-Поэтому структуру и па-
с необходимостью величина
с необходимостью величина
Поэтому структуру и па-
Поэтому структуру и па-
По упрощенной математической модели (10.9) будем синтезировать алгоритм управления угловой скоростью системы с передаточной функцией (10.4).
Пусть требованиям задания на проектирование по быстродействию, динамической точности и другим показателям отвечает эталонная модель, дифференциальное уравнение которой имеет вид
Q* +a2Q* +aД+аоП^рД.+РоП^ (10.10) или в операторной форме
a(D)C*(f) = B(D)5x«)，
2
以0)=。3+z%D\ 0(D) = dD + Bo.(10.11)
В уравнениях (10.10), (10.11) функция QBX есть заданное воздействие, которое должна отрабатывать (воспроизводить) проектируемая система с точностью, определяемой неравенством
(10.12)(10.12)|QBX(z)-Q(z)|<e.
(10.12)
(10.12)
В частном случае, когда QBX = Q° = const, система должна стабили
|q*(z)-q(z)|<e.|q*(z)-q(z)|<e.зировать заданное значение скорости. По построению эталонной модели
|q*(z)-q(z)|<e.
|q*(z)-q(z)|<e.
раметры алгоритма управления необходимо находить из условия приближения процесса Q(f) —> Q* (/) с такой точностью, чтобы выполнялось неравенство (10.12).
Управляющую функцию будем отыскивать, рассматривая задачу минимизации локального функционала
G(“, 〃) = £◎-0(“，叫2,(10 ⑶
который характеризует энергию движения системы в окрестности траектории движения эталонной модели.
В качестве управляющего параметра принимаем скорость изменения напряжения й , а величину и считаем известной. В таком случае структуру алгоритма управления следует определять из условия
GQ, min.(10.14)
Движение к точке экстремума-минимума организуем по градиентной схеме первого порядка. С учетом (10.13) и (10.14) имеем
—=—X —X= const.(10.15)
dt дй
Из уравнения (10.9) следует
2
П(и, й) = ^'й + feo« - S <Q(U)-(10.16)
Поэтому производная
aG(", ")…◎_0)(10.17)
дй
Подстановка (10.17) в (10.15) приводит к дифференциальному закону управления
w = jt(Q*-Q),% =价入>0.(10.18)
Равенство в (10.18) представляет собой закон управления, а неравенство -правило знаков
sign/) = sign(6[)・(10.19)
Закон управления (10.18) допускает понижение порядка. Интегрируя обе части по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
“ = %(С*-С),%>0.(10.20)
Согласно правилу знаков (10.19), здесь принято положительное значение к, поскольку по условию 价 > 0.
Переменная 0* в (10.20) выступает в роли требуемого ускорения в процессе управления. В случае Q = Q* траектория движения системы теоретически строго повторяет траекторию движения эталонной модели. Расчетные соотношения для вычисления Q* можно найти из уравнения эталонной модели (10.10). Дважды интегрируя обе его части по времени при нулевых начальных значениях переменных и принимая Q* = Q, найдем
Q* = J /(ВоС^—(XoC)df+ 0[^!駅-сцС Л - а2О. (10.21) oLo—
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом управления (10.20), (10.21) изображена на рис. 10.2. Здесь принято Ро = а0 , что соответствует первому порядку астатизма.
Отметим основные свойства системы. Управляемые процессы описываются уравнениями (10.6), (10.20), (10.21). Исключая из них управляющую функцию, с учетом (10.7), получим уравнение системы в замкнутом состоянии
[J%。) + kB(D)a(D)]Q(t) = kB^D^D)^^). (10.22)
Из (10.22) следует передаточная функция
К。", ％)=广絶Р)1沙)=刍也 (10.23) р2А(р) + кВ(р)а(р) ^вх(р)
Аналогично тому, как это выполнено в лекции 4, можно показать, что система обладает следующими свойствами.
При неограниченном повышении уровня усиления 伙 -» оо) полюсы передаточной функции (10.23) распределены следующим образом:
丄吧 2«) = р：, s = l, 2, 3;
Jim pA(k) = ~bQb^\(10.24)
где р* - полюсы передаточной функции эталонной модели. Кроме того,
Jim р56(А：) = -оо> если 力例〉毎+Аа?. (10.25)
Распределение полюсов (10.24), (10.25) означает, что система сохраняет устойчивость в случае Л -» оо, а ее асимптотическая передаточная функция
Ка(р, 8)= lim Kg, %) =
а(р)
в точности равна передаточной функции эталонной модели.
В асимптотике динамические характеристики управляемой системы и эталонной модели строго идентичны. Поэтому теоретически процессы в системе и эталонной модели совпадают: C(f) = Q*(r). Это означает, что система с алгоритмом управления (10.20), (10.21) обладает свойствами параметрической адаптивности.
Практически идеальная параметрическая адаптация недостижима. Однако при соответствующем уровне усиления может быть получена достаточная для технических приложений слабая чувствительность системы к изменению ее параметров.
По известной формуле с учетом (10.23) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
%(p,&) =%("p+ 优)@，土闻｝(p0=a0). (10.26)
p[pA(p) + k(byp + b0)(p +ct2P + a[-Bi)
Из (10.26) следует, что управляемая система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма - первый. Кроме того, система и модель имеют одинаковую добротность по скорости, равную
女 ск = — =^- (10.27)
Вследствие этого амплитудные и фазовые частотные характеристики системы и модели совпадают в области низких (рабочих) частот. Поэтому высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при умеренном уровне усиления.
Для аппаратной реализации алгоритма управления (10.20), (10.21) требуется измерять угловое ускорение С . Получим уравнения алгоритма управления, реализация которого не требует измерения С . Поступим следующим образом. Из уравнения (10.5) найдем выражение для Q("), а затем последовательно трижды проинтегрируем обе его части при нулевых начальных значениях переменных. В полученных равенствах вместо производных Q(v), V = 1, 2, 3 подставим их вычисленные значения Q，v). Выполняя указанные преобразования, найдем
QB = bQ ^udt + 瓦〃 —〃зСв - 〃2cB — 〃1Q - 〃o JQ力，о о
6 =回由， (10.28)
0
d 力，0
По уравнениям (10.20), (10.22) и (10.28) управляющая функция вычисляется только по информации об угловой скорости Q. Этот алгоритм требует минимального информационного обеспечения.
Следует заметить, что использование соотношений вида (10.28) допустимо в тех случаях, когда все полюсы передаточной функции управляемой системы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р. Если это условие не выполняется, то процесс вычисления ие- измеряемых производных будет расходящимся.
Рассмотрим другие варианты алгоритмов управления с минимальным информационным обеспечением. Пусть передаточная функция управляемого объекта допускает понижение порядка, тогда для аппроксимирующего дифференциального уравнения (10.9) неизмеряемые производные вычисляются по соотношениям
Св =稣 J 〃力 + 友〃 —〃；Св - 4c - 〃j Jed厶оо
d = Jd&.(10.29)
о
Система, управляемая с помощью алгоритмов с минимальным информационным обеспечением вида (10.28) и (10.29), не допускает неограниченного повышения уровня усиления (女-» оо). При достаточно больших значениях 女 ее устойчивость нарушается. Это обусловлено тем, что в структуру системы включаются дополнительные динамические звенья, процессы в которых описываются уравнениями (10.28) или (10.29). Вследствие этого степень параметрической адаптивности системы снижается. Однако стабильность ее динамических характеристик с такими алгоритмами оказывается существенно выше стабильности характеристик системы с традиционными алгоритмами управления.
Структуру третьего алгоритма управления с минимальным информационным обеспечением получим следующим образом. Аналогично тому, как это изложено в лекции 7, организуем движение к экстремуму функционала (10.13) по градиентной схеме второго порядка:
黯〃 > ^w dG(u, u)
—+ — = X——k,h = const.
С учетом (10.16) находим дифференциальный закон управления
И + hii = ^(Q* - Q), к = -b｛入.
Трижды интегрируя обе части при нулевых начальных значениях переменных и дополняя полученное равенство соотношениями для вычисления Q*, найдем уравнения искомого алгоритма управления
и =女(С* - Q) - /? J〃力，Q* = j(/i - a2Q) dt,
оо
力=J(a%+BAx-aq)df, Л = j(QBX -О)Л,(10.30)
Оо
Ро 二 ao-
Без доказательства отметим, что система с алгоритмом управления (10.30) не допускает неограниченного повышения уровня усиления (女—8 ) н, вследствие этого, обладает такими же свойствами, как и система с алгоритмами управления (10.28), (10.29).
РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
Анализ влияния параметров системы на ее динамические характеристики выполнен с помощью математического моделирования. В процессе исследования варьировались: момент инерции нагрузки, постоянная времени электрической цепи якоря двигателя, величины сих, характеризующие упругие свойства конструкции механизма передачи движения потери на внутреннее вязкое трение. В качестве расчетных значений параметров системы приняты следующие:
А = 5,6 • 10-3 Гн, R = 3,8 Ом,冗=0,023 Н • А-1 • м3
統=0,098 Вс- рад-1,4 = 6,2 • 10"6 кг • м2, Л = 6,2 кг • м2, (10.31)
« = 103, с= 104Н • м • рад"1, х = 200Н • м • с • рад-1.
Этим значениям соответствуют коэффициенты передаточной функции неизменяемой части системы:
。0 = 1.05 ■ 108, ai = 4,28 ■ 106,。2 = 1,12 ■ 105, % = 743,
60 = 1,07 ■ 106,仇= 2,14 • 10t
Электрическая и механическая постоянные времени соответственно равны
тэ =1,1510~3с и тм = 0,02 с.
Требования к динамическим характеристикам проектируемой системы определены следующими показателями: длительность переходного процесса Гпп ^ 0,25 с; перерегулирование не должно превышать величины о = 20 %; порядок астатизма - первый; добротность по скорости &к = 200 с * что обеспечивает высокую динамическую точность систе-
мы. Указанным требованиям отвечает эталонная модель, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна
_200(0Л5р±1)_р(р + 1)(0,013р + 1)
Частота среза характеристики И^(уш) равна(о*р а 29 рад • с"1, а запас устойчивости по фазе составляет 59°.
Согласно (10.31), уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид (10.10), где коэффициенты равны:
ао = Ро= 1,54- 104,а1 = 2,39- 103та2 = 77,9, р! = 2,31 • Ю3.
Длительность переходного процесса в модели равна заданной, а О а 17%.
Передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии
рЗ +Za.,A
s=0
Ее полюсы равны
р[ = —8,6, р2 з = 一34,66 士 /24,23.
Замкнутая система с алгоритмом управления (10.20), (10.21) имеет шестой порядок. Для принятых расчетных значений параметров (10.31) в табл. 10.1 приведены данные, характеризующие асимптотические свойства системы при повышении уровня усиления. Из шести полюсов передаточной функции три асимптотически приближаются к полюсам передаточной функции эталонной модели. Четвертый полюс стремится к нулю двучлена В(р), т.е. р4(Л) -» 一仇斤| =-50. Остальные два полюса при увеличении к удаляются на бесконечность в левой полуплоскости.
Отметим, что достаточно близкое приближение доминирующих полюсов системы к полюсам передаточной функции модели достигается при весьма умеренных значениях Л = 10 ... 20. Об этом свидетельствует также зависимость интегральной квадратичной оценки
о
график которой приведен на рис. 10.3. Например, при Л ® 20 величина /о(2О)»О,2- 10-3.
Распределение полюсов передаточной функциизамкнутой системы
女
Pi
Р2
Рз
Р4
仍
Рб
2
-11,75±/51,18
-24,87 ± /36,58
-235,7
434,2
5
-10,02
-23,04
-32,56 ± /36,08
-322,5 ±/216,2
10
-9,18
-30,75
-36,28 ±/31,96
-315,3 +/387
20
-8,86
-36,88 土 /28,06
-37,66
311,4 ±/601,3
30
-8,77
-36,5 土 /26,58
-41,11
-310,1 ±/758
40
-8,73
-36,15 ±/25,88
-43,12
-309,5 土 /887,7
50
-8,7
-35,9 ±/25,49
-44,41
-309,1 ±/1001
60
-8,68
-35,72 ±/25,24
-45,3
-308,8 ±/1102
70
-8,67
-35,58 ±/25,08
-45,95
-308,7 ±/1195
85
-8,66
-35,43 土 /24,91
-46,65
-308,5 ±/1323
100
-8,65
-35,32 ±/24,79
-47,15
-308,3 土 /1439
модель
-8,6
-34,66 ± /24,23
-
Рис. 10.4
Влияние момента инерции нагрузки на динамику системы характеризуют графики, представленные на рис. 10.4. Кривые, помеченные цифрами, соответствуют моментам инерции 6,2; 12 и 18 кг • м2. При коэффициенте усиления 女=10 трехкратное увеличение момента инерции оказывает несущественное влияние на параметры переходной характеристики, что свидетельствует о слабой параметрической чувствительности системы. В случае 左=20 переходные характеристики системы и эталонной модели практически совпадают.
Для системы с алгоритмом управления (10.20), (10.21) исследовано влияние изменения параметров с, х на динамические характеристики. Не останавливаясь на деталях, отеетим следующее. Уменьшение величины с на порядок по сравнению с расчетным значением практически не оказывает влияния на показатели переходных процессов в системе. Уменьшение коэффициента потерь на вязкое трение на порядок (х ® 20 Н - м • с • рад'1) оказывает существенное влияние на динамические характеристики системы. Это обусловлено тем, что коэффициент
передаточной функции управляемого объекта прямо пропорционально зависит от %. В случае чрезмерно малых значений х величина 瓦，характе-
ризующая эффективность управления по 〃, оказывается недопустимо малой. Поэтому й нельзя принимать в качестве управляющего параметра.
Для современных конструкционных материалов величина х равна сотням единиц. Поэтому отмеченный численный эксперимент (% = 20) имеет иллюстративное значение.
Наконец отметим, что динамические характеристики системы практически остаются стабильными при увеличении электрической постоянной времени до соотношения тм/тэ а 2.
Приведем теперь результаты исследования динамики системы с алгоритмом управления (10.20), (10.21) и (10.28), аппаратная реализация которого требует минимального информационного обеспечения. Из теоретического анализа следует, что система с таким алгоритмом в меньшей степени обладает свойствами параметрической адаптивности. Об этом свидетельствует также результаты математического моделирования. В табл. 10.2 приведены данные, характеризующие изменение показателей качества процессов управления при изменении момента инерции нагрузки. Здесь Атах - максимальное значение отклонения |Q*(r)-Q(r)|. Графики переходных функций представлены на рис. 10.5, где цифрами отмечены кривые Q(r), соответствующие моментам инерции 1, 10 и 20 кг • м2. Влияние параметров тэ, с и х на динамику системы оказывается практически таким же, как и в случае применения алгоритма (10.20), (10.21).
10.2. Показатели качества процессов управления
JH, кг-м2
Атах !»2
ико ■ ю4
о, %
'пп，С
1
6,2
7,2
11,3
0,24
3
4
2,5
13,1
0,25
5
1,4
0,19
15,5
0,25
6,2
1,6
0,12
17,2
0,25
8
6,3
1,9
19,8
0,25
10
И
6,35
22,6
0,25
15
21
27
28,4
0,25
20
29
59
32,8
0,25
30
41
140
38,9
0,28
8 - 9516
Рис, 10.5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании результатов выполненных исследований можно сделать вывод о том, что на основе синтезированных алгоритмов управления оказывается возможным проектировать автоматические системы высокой точности и слабой параметрической чувствительности. Системы с такими алгоритмами управления обладают стабильными динамическими характеристиками в условиях изменения параметров в широких пределах. При этом оказывается возможным проектировать автоматические системы с алгоритмами, для аппаратной реализации которых достаточно измерений только выходной (регулируемой) переменной. Параметрическая чувствительность систем, управляемых с помощью алгоритмов с минимальным информационным обеспечением, может быть снижена. Для этого необходимо такие алгоритмы синтезировать по эталонным моделям с меньшим быстродействием, т.е. с большей длительностью переходных процессов.
Лекция 11
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДВИЖЕНИЯВ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИУПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Задачи стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движения формулируются и решаются как задачи гашения локальных функционалов в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. В качестве таких функционалов принимаются кинетическая энергия, энергия ускорения и величины, характеризующие обобщенное понятие энергии. Синтез алгоритмов управления методом гашения энергии основывается на концепциях обратных задач динамики. Вследствие этого синтезированные таким методом алгоритмы придают системам свойства высокой динамической точности и параметрической адаптивности.
Наряду с рассмотрением теоретических вопросов решена прикладная задача управления движением двухмассовой упругой системы. Приведены результаты математического моделирования процессов управления.
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫУПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изложим теоретические положения, составляющие основу предлагаемого метода синтеза алгоритмов управления. Рассмотрим задачи стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движения простых объектов.
Стабилизация стационарных состояний объектавторого порядка
Управляемое движение описывается уравнением
х + ахх + аох = bQu, (11.1)
где х - выходная переменная; и - управляющая функция. Коэффициенты в (11.1) будем считать постоянными, не зависящими от времени, что упрощает выполнение соответствующих преобразований. При этом %),% могут принимать любые (положительные или отрицательные) конечные значения, а 仇 > 0.
Пусть начальное состояние управляемого объекта характеризуются значениями
К。)』， х(О) = хо.К。)』， х(О) = хо.(П-2)(П-2)
К。)』， х(О) = хо.
К。)』， х(О) = хо.
(П-2)
(П-2)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать алгоритм управления и = м(х, х), который обеспечивает перевод объекта из состояния (11.2) в окрестность стационарного состояния
х(оо)=х°, Х(оо) = ох(оо)=х°, Х(оо) = о(ИЗ)(ИЗ)
х(оо)=х°, Х(оо) = о
х(оо)=х°, Х(оо) = о
(ИЗ)
(ИЗ)
и удерживает его в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы переходный процесс х(『)f х°, i(f)f 0 проходил в малой окрестности процесса x*(Z) f х°, х*(/)-^0, который определяется дифференциальным уравнением эталонной модели
X* + у2х* + У]/ + уох* = уох°(н.4)
⑴.5)⑴.5)при соответствующих начальных условиях. Коэффициенты в (11.4) - положительные числа такие, что
⑴.5)
⑴.5)
У1У2 >Уо・
Неравенство (11.5) означает, что стационарное состояние эталонной модели
х*(оо) = х°, х* (оо) = х*(оо) = О асимптотически устойчиво. Вследствие этого процесс х*(г) т х° при f т ℃, что требуется по постановке задачи синтеза.
Далее нам потребуются передаточные функции эталонной модели в замкнутом и разомкнутом состоянии. Согласно (11.4) имеем
Км(Р)=Км(Р)=————，外(p)=P3 + EYvPVv=0————，外(p)=P3 + EYvPVv=0"(d+YzP + Yi)"(d+YzP + Yi)(H.6)(H.6)
Км(Р)=
Км(Р)=
————，外(p)=
P3 + EYvPV
v=0
————，外(p)=
P3 + EYvPV
v=0
"(d+YzP + Yi)
"(d+YzP + Yi)
(H.6)
(H.6)
Порядок астатизма модели - первый, а добротность по скорости Л^ равна
匕=[pWAp^=^-
Управляющую функцию будем определять, рассматривая задачу гашения локального функционала
Т{х -x) = ^(t)-x(t,u^,(Н.7)
который представляет собой нормированную по массе (или моменту инерции) кинетическую энергию, вычисляемую в окрестности траектории движения эталонной модели. Найдем такую управляющую функцию и = и(х. х), при которой на траекториях управляемого движения выполняются условия
吟-盼二也士一九仇 у(х*-х)->0, /->оо.(11.8)
at
Здесь производная по времени Г(х* -х) вычисляется в силу уравнения движения (Н.1).
Дифференцируя по времени обе части (11.7), получим
-X)= (х - х)(х -х).(11.9)
Согласно (11.4), ускорение
x(r, u)-bQu- OqX - а泣(11.10)
поэтому производная кинетической энергии явно зависит от и. С учетом (11.9) и (11.10) имеем
t(x -х) = (х* -х)(х* + й|Х + аох)-(х* -х)60м.(Н.Н)
Из равенства (Н.П) следует, что условия (11.8) будут выполнены, если
и = к{х - х), bQk = const > 0,(11.12)
и существует такое положительное число 七 при котором при любом г справедливо
I(х* -х)(х* + Л|Х + аох)I<Z^)t(x* -х)2,f NO. (11.13)
Равенство в (11.12) представляет собой закон управления, а неравенство -правило знаков:
sign(后)=sign(6()).(1114)
Для уравнения (ПЛ) принято 尻 > 0, поэтому согласно (11.14) коэффициент усиления 0.
Величина х* в (11.12) выступает в роли требуемого значения скорости х изменения выходной переменной управляемого объекта. Расчетные ссютношения для вычисления х* получим из уравнения (Н.4) эталонной модели. Дважды интефируем по времени обе части равенства
при нулевых начальных значениях переменных, а затем выполняем замену х (/) = х(/). В результате получим
n = J(y%f х)力
о
г
% = J(x°-x)厶(11.15)
о
Соотношения (11.12), (11.15) представляют собой уравнения искомого алгоритма управления. Для аппаратной реализации уравнений алгоритма требуется информация о положении (х) и скорости (х).
Покажем, что для рассматриваемой системы всегда существует такое значение коэффициента усиления 匕 при котором выполняется неравенство (11.13). Выведем уравнение замкнутой системы и исследуем ее динамику. С этой целью найдем операторное выражение для управляющей функции и подставим его в уравнение управляемого объекта
4(W)=历w), №)=加 + 2 + 的，0(11.16) at
Принимая во внимание равенства
fo = f(x° -x)dt=^(x° -х), Yo = f/o^ =需& -x),
h卜力=》，
0〃
на основании (11.15) можно записать
** =方炉一表(Y0+Y屮 + Y2。2)X0).
Поэтому разность
X -х = -^-х°—^-y(D)x(/),
где операторное выражение
2
?(£>) = 炉+Zy/v
v=0
(Н.17)
(11.18)
(1119)
С учетом (11.18) из(Н.12) находим
w(O = -^-[Yox°-Y(^)x(O]-
(11.20)
Подставляя (11.20) в (11.16) и дважды дифференцируя по времени обе части полученного равенства (формально, умножая на D2), найдем уравнение замкнутой системы
[D2A(D) + kboy(D)]x(t) = tooYox°.(11.21)
Уравнению (11.21) соответствует передаточная функция
к（р,%）= 饱У。. 阳⑺+饱Y（p）
(11.22)
Исследуем распределение полюсов К(р, Л) в случае к т д. Обозначим их п(⑥,^ = 1, ...,4. Рассматриваем характеристическое уравнение
р2<(р) + 也 у(р) = 0,(Н.23)
соответствующее (11.21). При конечных значениях | р | справедливоjp24(p)]f °, если Л оо.
Поэтому в случае % f ℃ нз (11.23) следует 2
У(р) = р3 + £у「= 0.(11.24)
v=0
Это означает, что три полюса “,2,3(%) при неограниченном увеличении к стремятся к трем корням р'.з уравнения (11.24), т.е. к полюсам передаточной функции (11.6) эталонной модели.
Чтобы определить расположение четвертого полюса「4(左)на комплексной плоскости, рассмотрим приближенное уравнение, которое получается из (11.23) при больших значениях |р|. Принимая в (11.23)
р2{(р) = р2(р2 + а、р + ао)»р4+«|Р3, Y(P)田 рЗ
и сокращая нар3, найдем
р + (勺 + 肋о) н 0 п「《(А) = -(<2] + 26о).
Так как выполняется правило знаков (11.14), то произведение kb° > 0. Поэтому при любых конечных значениях 西 в случае % т оо четвертый полюс будет удаляться на бесконечность в область отрицательных значений.
Таким образом, при неограниченном повышении уровня усиления справедливо следующее асимптотическое распределение полюсов передаточной функции замкнутой системы:
丿吧Ри(2) = р；,卩=1, 2, 3;
lim р4(Л) = -оо.(11.25)
左一>8
На основании выполненного анализа приходим к заключению, что замкнутая система с алгоритмом управления (11.12) и (11.15) сохраняет свойства устойчивости в случае % т оо. Кроме того, из асимптотического распределения (11.25) полюсов следует, что при к т 8 передаточная функция системы равна передаточной функции эталонной модели:
怨К(Р,盼=凡5)=弱，
Вследствие этого управляемый процесс x(f) т х° теоретически точно совпадает с эталонным процессом х*(/) т х°.
Рассмотрим структурные свойства системы. По формуле
叭в
1-К(р, %)
находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W(p, Л) =.(11.26)
爪 P4(p)+ 肋(Л" + Y2" + X)]
Отсюда следует, что порядок астатизма системы - первый, как и у эталонной модели. Кроме того, ее добротность по скорости % равна
%ск = "%(В *)]р=о = у- =
Поэтому амплитудные характеристики системы и модели
£((о,Л) = 20ig|/ico,Л)J, £м(со) = 201g|^(/со)|
совпадают в диапазоне низких и рабочих частот. В силу этого высокая степень приближения процессов х(0 f x*(f) достигается при умеренных значениях коэффициента усиления к, как это показано в лекции 3.
Ориентировочное значение уровня усиления рекомендуется рассчитывать по формуле
% = 8・.5)J(11.27)
瓦
где со* - частота среза характеристики эталонной модели в разомкнутом состоянии
心(心)= Y0.р(р +Y2P+X)片沁
В заключение этого раздела отметим, что уравнения (11.12), (11.15) алгоритма управления идентичны уравнениям (3.25), полученным в лекции 3 путем минимизации энергии ускорения по градиентной схеме первого порядка. Следовательно, для рассмотренной задачи, при прочих равных условиях, метод гашения кинетической знерган и метод минимизации энергии ускорения приводят к одинаковым структурам алгоритмов управления.
Стабилизация программных траекторийдвижения объекта третьего порядка
Уравнение движения объекта имеет вид
2
х + ^^vx(v) =^1« + ^ом-(11.28)
v=0
Коэффициенты уравнения - постоянные числа, не зависящие от времени. Передаточная функция, соответствующая (11.28), равна
гдегдех(р) “(р)х(р) “(р)2Л(р) = f^ + ^avpv, В(р) =仿 p + 仇. v=02Л(р) = f^ + ^avpv, В(р) =仿 p + 仇. v=0(11.29)(11.30)(11.29)(11.30)
где
где
х(р) “(р)
х(р) “(р)
2
Л(р) = f^ + ^avpv, В(р) =仿 p + 仇. v=0
2
Л(р) = f^ + ^avpv, В(р) =仿 p + 仇. v=0
(11.29)
(11.30)
(11.29)
(11.30)
Далее принимаем, что полюсы %(р), т.е. корни уравнения 4(р) = 0, могут быть как слева, так и справа от мнимой оси Re р = 0 на комплексной плоскости р. Единственный нуль передаточной функции, т.е. корень р = 一毎斤'уравнения 8(р) = 0, расположен в левой полуплоскости. Для определенности будем считать, что 尻 > 0 н 瓦 > 0.
Задачу формулируем следующим образом. Пусть назначена программная траектория движения 屮(f), Г > 0. Требуется найти такую управляющую функцию 弘 при которой траектория управляемого объекта, начиная с некоторого момента времени г = г», с необходимой степенью приближения следует за назначенной траекторией, так что выполняется неравенство
|v|/(/)-x(/)|<8, t>t.. (Н.31)
Требуется, кроме того, чтобы динамические характеристики замкнутой системы были почти идентичны динамическим характеристикам эталонной модели, движение которой описывается уравнением
j4 з
(11.32)(11.32)f+XW=P№+BoW・
(11.32)
(11.32)
必 g=0
Для эталонной модели функция 屮(f) является входным воздействием, которое должно быть воспроизведено (отслежено) с заданной точно-
стью. Требуемая динамическая точность слежения может быть достигнута в том случае, когда модель обладает высокой добротностью по скорости или ускорению. Далее примем, что порядок астатизма модели равен двум, а ее передаточная функция в разомкнутом состоянии равна
W№ (Р)=壊к.
у р2(тхр + ^р + ^
В таком случае для коэффициентов дифференциального уравнения (11.32) справедливы равенства 仇=%, 氏=厶.Величина коэффициента усиления А^к 一 добротности системы по ускорению - назначается из условия обеспечения требуемой динамической точности.
В соответствии с постановкой задачи траектория управляемого движения системы должна проходить в малой £ - окрестности траектории движения эталонной модели, т.е.
|у(О-х(О|^е, />/..(Н.ЗЗ)
Далее будем считать, что по построению модели с необходимостью выполняется неравенство | 屮(f) - y(f) | < 3, t>h. В таком случае, согласно (11.33), если е < 8, то выполняется неравенство (11.31).
Синтез алгоритма управления выполним методом гашения локального функционала, характеризующего знергию движения. В качестве управляющего параметра принимаем управляющую функцию и, а локальный функционал записываем в виде
G(u) = ^[y(t)-x(t, и)]2.(И.34)
По определению, G® представляет собой нормированную по массе (или моменту инерции) энергию ускорения.
Потребуем, чтобы на траекториях управляемого движения выполнялись неравенства
&(“) = ^^<0, G(“)->0, f->8.(11.35)
Производная по времени G(u) вычисляется в силу уравнения (11.28). Дифференцируем обе части (11.34) по времени, а затем в полученное равенство подставляем выражение
2
х(Г, и) = ^ti + Z^w - ^avx(v).(11.36)
v=0
В результате найдем
2
GM=(y~ x)[(J- + £%х")-М)-М-v=0
Отсюда следует, что условия (11.35) будут выполнены, если
^^kQ(y-x\ Ь^к0 >0,(11.37)
и существует такое значение 标 при котором
2
(J -х)[(у + ^avx(v) - ^ti) <%&(»-£)2, fNO. (11.38) v=0
Согласно (11.37), для коэффициента усиления должно выполняться правило знаков, аналогичное (11.14). Так как для уравнения (11.28) принято 瓦 > 0, Z>i > 0, то коэффициент усиления % в законе управления (11.37) должен быть положительным.
Требуемое значение ускорения у в (11.37) вычисляется по соотношениям г
y = r0[r\0dt + r}x\0-r2x,о
no = J(W-x)&, (%=“，仇=“)，(И.39)
О
которые получаются из уравнения (11.32) эталонной модели по обычной методике.
Выведем уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления (11.37), (11.39). Выражение для у в операторной форме имеет вид
И0 =青 KPW + Po)w(f)"(〃)x(f)].(11.40)
Здесь операторный полином
3г'{О)=^г^.
м=о
С учетом (11.40) и (11.37) находим управляющую функцию
“⑴=等[P(D)W ⑴ ~r(D)x(t)],(11-41)
где операторные выражения
r(D) = D4+/(£>),良£>)=仇D + 仇.
Подстановка «(/) из (11.41) в уравнение (11.28), записанное в операторной форме, приводит к искомому уравнению замкнутой системы
[^Лф) + koB^DyrtD^t) = AoBCD)p(D)w(f). (11.42) Согласно (11.42), передаточная функция
КЗ %。) = . 2 %/(№)— = Ж(11.43)
р2 4(р) + к0В{р)г{р) w(p)
При неограниченном повышении уровня усиления ее полюсы Р$(无о) распределяются следующим образом:
Jim &%) =「：， s = l,...,4,
lim p5(^) = -W>(П-44)
左0—8
где p： - полюсы передаточной функции эталонной модели, т.е. корни
уравнения г(р) = 0.
На основании (11.44) приходим к заключению, что система не теряет устойчивости в случае &)f оо, при этом в асимптотике выполняется
предельное равенство
坞/3亦請縉
Следовательно, теоретически при бесконечно высоком уровне усиления процессы в системе и модели совпадают: x(f) = Х0- Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
叭Р，%0)=叭Р，%0)=%оВ(Р)В(Р)
叭Р，%0)=
叭Р，%0)=
р2[4(р) + к0В(рХр2 +г3р + г2)]
(Во = F，Pi = ")•
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен двум, как и у эталонной модели. При этом добротность системы по ускорению
%уск 二[р2%(Р，%0)]戸=0 =%уск 二[р2%(Р，%0)]戸=0 =Я(О) + Ло6орог2Я(О) + Ло6орог240) = 0,Я(0)*0.40) = 0,Я(0)*0.
%уск 二[р2%(Р，%0)]戸=0 =
%уск 二[р2%(Р，%0)]戸=0 =
Я(О) + Ло6орог2
Я(О) + Ло6орог2
40) = 0,
Я(0)*0.
40) = 0,
Я(0)*0.
В случае 4(0) = а。《 0 равенство Ауск =左^长 можно реализовать путем повышения порядка эталонной модели на единицу.
Синтезируем теперь другой алгоритм, обеспечивающий стабилизацию программной траектории “(f), Г > 0 для объекта, движение которого описывается уравнением (11.28). Формулировку задачи оставляем прежней, однако в качестве управляющего параметра принимаем скорость изменения управляющей функции, т.е. й. В соответствии с этим рассматриваем функционал
G(u) = ^[y(t)-x(t, «)]2.(11-45)
Требуем, чтобы на траекториях управляемого движения выполнялись неравенства
©3) = ^^<0, G(w) -> 0, ffg (11.46) dt
Дифференцируем по времени (11.45) в силу уравнения движения (11.28). В результате получим
©3) = 5 -埶5 + Z。屮"))-* - ьои].
v=0
Отсюда следует, что условия (11.46) будут выполнены, если
й = кх(у-х),伪占 >0,(11.47)
и существует такое значение 厶，при котором
(y-W + E^(V)-*o«)<Шу-х),Г>0.(11.48)
v=0
Закон управления (11.47) допускает понижение порядка. Интегрируя по времени обе части (11.47) при нулевых начальных значениях переменных, получим
и = кх(у~ х),许占>0.(11.49)
Требуемое значение скорости вычисляется по соотношениям
У= |(^ЬП1 -r2x)dt + r^\x,
О
% =卜0力，По = J(w-x)力，(Во =Го，Bl =“)，(11-50)
Оо
которые получаются из (11.39) путем однократного ннтегрировання по времени.
Для коэффициента кх должно выполняться правило знаков sign(Aj ) = sign(4).
Таким образом, алгоритм управления в рассматриваемой задаче составляют уравнения (11.49), (11.50). Процессы в системе с этим алгоритмом описываются уравнением
[lfA(P) + ktB(D)r(D)}x(t)=自3(Q)B(Q)w(f).(11.51)
При неограниченном повышении уровня усиления система сохраняет устойчивость. В асимптотике при 自一> оо полюсы ее передаточной функции
К(р,再)=з 43(Р)В(Р)—=皿(11.52)
Р Я(р) + 占3(р)，(р) W(p)
распределяются на плоскости комплексной переменной р следующим образом:
lim pv(*1) = p*,s = l,…,4,
A| ->ao
Hm P5(kJ = -b曲\
lim Рб(%1)=(-°°)，
К] ->8
где р： - полюсы передаточной функции эталонной модели, т.е. корни уравнения О = 0.
Система и модель имеют одинаковый порядок астатизма 一 второй. Добротность по ускорению
к ск = —= А^к, если а0 =0 и а0 *0. 尸2
Отметим, что расчет ориентировочных значений 府 н & следует выполнять по формулам, которые приведены в лекции 4.
В отличие от алгоритма (11.37), (11.39), для аппаратной реализации уравнений (11.49), (11.50) не требуется информация об ускорении 工.Это обусловлено тем, что при синтезе алгоритма управления (11.49), (11.50) в качестве управляющего параметра принята скорость и изменения управляющей функции.
В заключение отметим следующее. Минимизация локального функционала
6(〃,a)=?双0-双，，m, й)]2(11.53)
по градиентной схеме первого порядка по переменной и при й = const приводит к уравнениям (1137), (11.39), а минимизация по переменной 〃 при u = const - к уравнениям (11.49), (11.50). Это означает, что метод гашения энергии ускорения (11.34) или (11.35) и метод минимизации функционала (11.53) при прочих равных условиях в рассмотренных задачах приводят к идентичным структурам алгоритмов управления.
УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМУПРУГОЙ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМОЙ
Динамическую систему «привод - нагрузка» с упругим механизмом передачи движения принято представлять в виде двухмассовой системы, кинематическая схема которой изображена на рис. 11.1.
Уравнения движения и структурная схема математической модели такой системы приведены в лекции 10.
Передаточная функция системы для переменной ср имеет вид
”)=乎;=喂，(1L54)
где полиномы
3
4(p) = p4+Е%р\3(p) = 4p + d. (11.55)
v-0
Переменная <р физически означает угол поворота выходного вала системы; и - управляющее напряжение электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения. Коэффициенты av, bj в (11.55) выражаются через параметры системы известными зависимостями, которые мы не приводим, поскольку они далее не потребуются.
Передаточной функции (11.54) соответствует дифференциальное уравнение
+ 2=1\й + ьои,(11.56)
dt v-o
или в операторной форме
DA(D)^>(t) = 3(。)〃«), D = —.(11.57)
dt
Операторные выражения 4(0), B(D) получаются из полиномов (11.55) путем замены D =р.
Задачу формулируем следующим образом: программа движения проектируемой системы - входное воздействие - задана гладкой функцией (рвх(г); требуется синтезировать такой алгоритм управления, при котором в установившемся движении выполняется условие
|фвх(0-ф(0|^Б, Г>Г.,(11.58)
где постоянная величина е определяет заданную точность, а £* - длительность переходного процесса. Необходимо при этом, чтобы расчетные соотношения для вычисления управляющей функции 孤«) не содержали операции дифференцирования входного воздействия(рвх(0, а замкнутая система обладала заданным астатизмом.
В соответствии с (11.58) алгоритм управления должен обеспечивать стабилизацию программного движения с точностью до е. Если(pBX(Z)=
=(р° = const, то система с таким алгоритмом будет стабилизировать стационарное состояние равновесия. Поэтому величина(р° -(р(0 -> 0 при г->оо.
Принимаем гипотезу о том, что передаточная функция %(р) допускает аппроксимацию, так что порядок управляемой системы по угловому положению может быть понижен на единицу. Запишем аппроксимирующую передаточную функцию в виде
9=儲嚼9=儲嚼2
9=儲嚼
9=儲嚼
彳(p) ="3 + 2犷，(11.59)
r=0
瓦> 0,目> 0.
Числовые значения коэффициентов не известны; для синтеза алгоритмов управления знать их нет необходимости. Передаточной функции (11.59) соответствует дифференциальное уравнение
04(0)中0)=(耳0+ %)次).04(0)中0)=(耳0+ %)次).(11.60)(11.60)
04(0)中0)=(耳0+ %)次).
04(0)中0)=(耳0+ %)次).
(11.60)
(11.60)
Алгоритм управления системой с передаточной функцией (11.54) будем синтезировать по упрощенной модели (11.60).
Пусть требованиям задания на проектирование системы соответствует эталонная модель, процессы в которой описываются дифференциальным уравнением
kg"kg"^Ф*^Ф*27=027=0(11.61)(11.61)
kg"
kg"
^Ф*
^Ф*
2
7=0
2
7=0
(11.61)
(11.61)
или в операторной форме
a(D)(p，(r) = p(D)<pBX(r),
32
(11.62)(11.62)a^^^ + ^a.D1, p(D) = ^pyD<
(11.62)
(11.62)
s=0
Будем считать, что числовые значения а$, Ру в (11.62) такие, что в установившемся движении эталонной модели выполняется неравенство
^вхСО-фЧОрЗ, fz/, 8<6.
(11.63)
Следовательно, абсолютное значение динамической ошибки меньше допустимой величины, т.е. |(рвх (О~Ф*(О|^6> /之广・ При этом степень приближения должна быть такой, чтобы выполнялось неравенство (11.63).
Алгоритм управления будем синтезировать, рассматривая задачу гашения энергии движения, характеризуемой локальным функционалом
G(«, и) = ^- -^и, ")]2,G(«, и) = ^- -^и, ")]2,(11.64)(11.64)
G(«, и) = ^- -^и, ")]2,
G(«, и) = ^- -^и, ")]2,
(11.64)
(11.64)
вычисляемого в окрестности траектории движения эталонной модели (11.61). Потребуем, чтобы в процессе управления выполнялись условия
G(w, й) = И)< О, GQ, G)fO, tfe, (11.65) at
©Q, й) = (ф* -ф)©Q, й) = (ф* -ф)+ a'(Q)(p -目〃 -Ьои+ a'(Q)(p -目〃 -Ьоигде производная по времени вычисляется в силу уравнения (11.60). Согласно (11.64) и (11.60), находим
©Q, й) = (ф* -ф)
©Q, й) = (ф* -ф)
+ a'(Q)(p -目〃 -Ьои
+ a'(Q)(p -目〃 -Ьои
(11.66)
где операторное выражение a'(Q) = a/? +a\D + ^Q. В качестве управляющего параметра принимаем скорость изменения управляющей функции й. Тогда на основании (11.66) приходим к заключению, что условия (11.65) будут выполнены, если
« = Аф(Ф*-ф), 敬,>0, (1167)
и существует такое значение 勺，при котором
+ а'(£))(р-%〃+ а'(£))(р-%〃<目仆市-汾2, fwo. (n.68)<目仆市-汾2, fwo. (n.68)
+ а'(£))(р-%〃
+ а'(£))(р-%〃
<目仆市-汾2, fwo. (n.68)
<目仆市-汾2, fwo. (n.68)
Равенство в (11.67) есть закон управления, а неравенство - правило знаков
sign 偽)=sign (6).(И-69)
Закон управления (11.67) допускает понижение порядка. Интегрируя обе части по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
@"一初，% >0.(11.70)
В (11.70) принято положительное значение % что соответствует правилу знаков (11.69) в случае 々 > 0.
Требуемое значение ускорения @ вычисляется по соотношениям
Ф* = /(«о/о + Р1Фзх -«1Ф)^ + РгФвх -а2Ф-азФ> (И.71) о
А = |(Фвх -ф)^, Во=ао，о
которые получаются из уравнения эталонной модели по обычной методике.
Отметим, что соотношения (11.71) соответствуют модели, обладающей астатизмом первого порядка(ро = сю)- В случае второго порядка астатизма (0, = а〃，= 0, 1) вместо (11.71) будем иметь
@* = %力 +«!/)+Р2Фвх -а2(р-а3ф,(П-72)
/о = {(Фвх -ф)^, f\ = [fodt.оо
Таким образом, алгоритм управления строится по уравнениям (11.70), (11.71) или (11.70), (11.72). На рис. 11.2 представлена структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (11.70), (11.71). Процессы в системе описываются уравнениями (11.57), (11.70) и (11.71). Исключая из них управляющую функцию, получим уравнение управляемых процессов
叮凰。)+ ^a(D)B(D)]<p(0 = k^iD^D^t),(11.73)
которому соответствует передаточная функция
3 勺35)ВЗ)—=皿(11.74)
Р 4(р) + ^а.(р)В(р) %х (戸)
Изучая распределение полюсов передаточной функции (11.74), можно установить следующие свойства замкнутой системы.
Рис. 11.2
При неограниченном повышении уровня усиления & —> оо) полюсы передаточной функции (11.74) распределены следующим образом:
Jim「.№)=「；， s = l,...,4,
lim р5{к^ = -Ъ^\(11.75)
где р： - полюсы передаточной функции эталонной модели. Остальные два полюса удаляются на бесконечность в левой полуплоскости при определенном соотношении между параметрами системы и модели:
lim р67(Лф) = -оо, если 力旳 >%+4(X3.(11.76)
仆->8 ，
Распределение полюсов (11.75), (11.76) означает, что система сохраняет устойчивость (теоретически) в случае Лф —> оо, а ее асимптотическая передаточная функция
&(Р，°°) = Jim К (pyk ) = ^^-
§仆 то,屮 а(р)
в точности равна передаточной функции эталонной модели.
В асимптотике уравнение (11.73) седьмого порядка замкнутой системы вырождается в уравнение четвертого порядка, которое совпадает с уравнением (11.57). Следовательно, в случае 儿屮一> 8 динамические характеристики системы и модели строго идентичны. Это означает, что система с алгоритмом управления (11.70), (11.71) обладает свойствами параметрической адаптивности.
Управляемая система (при конечных значениях 勺)и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма - первый или второй. Кроме того, система и модель имеют одинаковую добротность. В силу этого высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному достигается при умеренных значениях коэффициента усиления 統
Для вычисления управляющей функции по (11.70) требуется информация об ускорении ф. В тех случаях, когда @ не доступна для непосредственного измерения, требуемые переменные можно вычислить по соотношениям, которые получаются из уравнения (11.56) управляемой системы. Путем последовательного интегрирования обеих частей (11.56) при нулевых начальных значениях переменных найдем
Ф^} = b0 J〃4 + 4〃 一 %@в - а2фв - ^ф-Ооф, о
(11.77)
где индексом «в» отмечены вычисляемые величины. Следовательно, в рассмотренном случае управление организуется по уравнениям (11.70), (11.71)и(11.77). При этом в (11.70) необходимо принять ф = фв.
Уравнения (11.77) представляют собой алгоритм информационного обеспечения системы управления.
Изложим результаты математического моделирования синтезированной системы. При исследовании приняты следующие номинальные значения параметров:
Л = 5,6 • 10~3 Гн, К = 3,8Ом, & =0,023 H A-Lm,
к® = 0,098 Вс- рад"1,，= 6,2 • 10-6 кг - м2,4 = 6,2 кг • м2, (11.78) л = 10* с = IO’ . н • м • рад", х = 200 Н • м • с • рад1.
В процессе моделирования варьировались: момент инерции нац)уз- ки 人，постоянная времени тэ = L/R электрической цепи якоря, величины с н X，характеризующие упругие свойства конструкции механизма передачи движения и потери на внутреннее вязкое трение.
Для принятых значений параметров (11.78) коэффициенты передаточной функции %(р) равны: а。= 1,05 10* 勺=4,28 • 106, а2 = 1,12 • 105, а3 = 743,仇=1,07 • 106,仇=2,14 • 104. Электрическая и механическая постоянные времени соответственно равны тэ = 1,5 • 10-3 с и тм = 0,02 с.
Требования к динамическим характеристикам проектируемой системы заданы следующими показателями: длительность переходного процесса не более 0,5 с; перерегулирование порядка о в 20 %; добротность по скорости 2у = 300 с-1; порядок астатизма - первый.
Заданным требованиям соответствует эталонная модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
(11.79)(11.79)300(0,0625P2+0,4р + 1)
(11.79)
(11.79)
Ф р(р2+2р + 1)(0,01р+1)
Числовые значения коэффициентов уравнения (11.61) модели (11.79) в замкнутом состоянии равны: Оо = Ро = 3 • 104, а! = 1,21 • 104, а2 = 2,08 • 103,а3= 102,р! = 1,2- 104, р2= 1,88- Ю3.
Динамика эталонной модели с указанными значениями параметров характеризуется следующими показателями: длительность переходного процесса Е* = 0,45 с, перерегулирование он 17 %, частота среза характеристики 吋(而)равна со* в 18,6 рад • с * запас устойчивости по фазе составляет А” = 66°.
На рис. 11.3 приведены логарифмические частотные характеристики эталонной модели £м (©) = 20 lg| W^ (z©) | и проектируемой системы в разомкнутом состоянии с алгоритмом управления (11.70), (11.71). Цифрами обозначены кривые для различных значений 自=5 …50. В области
Рис. 11.3Рис. 11.3
Рис. 11.3
Рис. 11.3
рабочих (низких и средних) частот характеристики модели и системы совпадают. При Лф = 10 значительное различие между характеристиками наблюдается на частотах, существенно превышающих частоту среза. Вследствие этого высокая степень приближения процессов в системе и модели достигается при умеренных значениях Лф.
В табл. 11.1 приведены данные, которые характеризуют распределение полюсов передаточной функции К^, %) замкнутой системы в зависимости от уровня усиления.
При увеличении % четыре полюса приближаются к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели, а остальные три полюса удаляются от мнимой оси в левой полуплоскости. В случае Лф = 10 ... 15 эти три полюса слабо влияют на характер переходных процессов в системе, поскольку доминирующими являются полюсы р】？ и /?з，
Влияние момента инерции нагрузки на динамику системы характеризуется переходными характер истинам и на рис. 11.4. Выходная переменная эталонной модели обозначена 屮,а цифрами отмечены переходные характеристики системы при различных моментах инерции нагрузки JH = 20 ... 40кг • м2. При пятикратном увеличении по сравнению с расчетным значением JH = 6,2 кг • м2 динамические характеристики системы изменяются незначительно, что свидетельствует о высокой степени параметрической адаптивности.
Такое заключение подтверждается числовыми данными табл. 11.2, где приведены значения максимального отклонения Атах =|ф*(0~Ф(0| , интегрального квадратичного отклонения (ИКО), перерегулирования о и длительности переходных процессов 品・ Эти данные соответствуют уровню усиления % = 20.
При математическом моделировании выполнено исследование динамики системы, в структуру которой включен алгоритм информационного обеспечения (11.77). Система с таким алгоритмом обладает меньшей способностью сохранять динамические характеристики при изменении ее параметров. Показатели качества процессов управления остаются в допустимых пределах при изменении момента инерции нагрузки в 2,5 ... 3 раза по сравнению с расчетным значением.
В заключение отметим, что синтезированные алгоритмы управления обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик системы при изменении параметров тэ, с и %. Степень влияния этих параметров оказывается такой, как и в системе управления угловой скоростью (лекция 10).
11.1. Распределение полюсов передаточной функции
自
Рз
Р4
Р5
Рб
Р7
2
-4,318 ±4,08/
-6,825
-35,23 士 39,84/
-211,2
-446
5
-3,98±3,16ф'
-11,88
-51,19 ±34,48/'
-310,4±201,4/
10
-3,826 ±3,023/
-14,35
-58,37 ±24,3 U
-302,2 士 379,2/
20
-3,756 ±2,966/
-15,83
-61,3 ± 14,62/'
-298,6 士 596,7/
30
-3,734 ±2,949/
-16,38
-62,12 ± 9,09ф
-297,5 士 754,ф*
40
-3,723 ±2,941/
-16,67
-62,5 土 4,093/
-297 士 884,8/
50
-3,717± 2,93 讨
-16,85
-57,93
-67,51
-296,7 士 998,6/
60
-3,712±2,933/
-16,97
-55,83
-69,89
-296,5 ± 1100/
70
-3,709 ± 2,93 V
-17,05
-54,68
-71,23
-296,4 ± 1193/
85
-3,706 士 2,928/
-17,15
-53,65
-72,47
-296,2 ± 132 V
100
-3,704 ±2,926/
-17,21
-53
-73,26
-296,1 士 1437/'
150
-3,700 ±2,923；
-17,34
-51,89
-74,63
-295,9 士 1770/
модель
-3,69 ±2,92/
-17,6
-
-77,02
-
11.2. Параметры переходных процессов
Jh，К「• м2
Дтах- Ю2 ■
ико • ю5
5%
^пп» С
0,2
2,12
5,65
18,1
0,46
0,5
2,12
5,58
18,2
0,46
1
2,07
5,51
18,2
0,46
3
1,98
5,3
18,2
0,46
5
2,16
5,25
18,2
0,46
6,2
2,35
5,32
18,2
0,46
8
2,8
5,56
18,2
0,46
10
3,31
6
18,2
0,46
15
4,67
8,1
18,1
0,45
20
6,03
11,68
18,1
0,45
30
8,43
23,9
18,1
0,45
40
10,57
43,56
17,9
0,45
Лекция 12
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕАЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Электрогидравлические приводы находят широкое применение в различных отраслях машиностроительного производства, в системах автоматизации технологических процессов и в конструкциях автоматизированных машин и механизмов различного назначения. По технологическим условиям автоматические системы работают при значительных изменениях нагрузки. Поэтому являются актуальными исследования по разработке методов синтеза таких алгоритмов управления, которые обеспечивают стабильность динамических характеристик при изменении параметров управляемых объектов. В настоящей лекции изложены методики синтеза алгоритмов управления, которые обеспечивают стабильность динамических характеристик автоматических систем при изменении параметров в широких пределах. Рассматриваются вопросы аппаратной реализации алгоритмов, синтезируются структуры алгоритмов управления с минимальным информационным обеспечением.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИУПРАВЛЯЕМОГО ГИДРОПРИВОДА
(12.1)(12.1)Функциональная схема гидропривода с дроссельным управлением изображена на рис. 12.1. Привод предназначен для управления положением объекта массы А/ по координате х В состав гидропривода входят следующие функциональные элементы: золотниковый гидроусилитель (ЗГУ) с управляемой координатой /; гидроусилитель (ГУ) типа силового цилиндра (ГЦ) с двумя рабочими камерами, имеющими объемы %卜 ％ при х = 0. Эффективная площадь поршня ГЦ обозначена 仆,а давления в его рабочих полостях 一 через 尸匕尸?. Объемный расход рабочей жидкости, поступающей от ЗГУ к ГД, характеризуется величиной 0丁 Переменные 尸0,尸с обозначают давления питания и слива. Выпишем уравнения динамики гидропривода. Линеаризованное уравнение расходно-перепадных характеристик золотникового гидроус илителя имеет вид
(12.1)
(12.1)
03 二 *Q/‘ 一 AgpAP,
3гg 八长3гg 八长
3гg 八长
3гg 八长
где АР =尸| -尸2 - перепад давлений в рабочих полостях;句/ - коэффициент усиления ЗГУ по расходу рабочей жидкости; ^ - коэффициент жесткости расходно-перепадных характеристик золотникового гидроусилителя.
Уравнение баланса расходов рабочей жидкости
& = 0 + 4+4*，(12.2)
где 0д =勺％ - расход, сообщающий скорость перемещения (х) объекта управления; Qx = г АР - расход утечек (перетечек) между полостями управления ГД, г - коэффициент интенсивности утечек. Переменная
a*=我"(12.3)
определяет расход, обусловленный сжатием рабочей жидкости в полостях управления. В уравнении (12.3) обозначено:卩=1/Е* - коэффициент сжимаемости жидкости; Еж 一 модуль упругости; % = %】=%2 - величина равных объемов в полостях управления при начальном положении объекта х=0.
(12.4)(12.4)Уравнения движения объекта управления A& + pi = %AP,
(12.4)
(12.4)
где ц - коэффициент вязкого трения.
叫(р)=叫(р)=&Р + 1&Р + 1/(р) "(р)/(р) "(р)(12.5)(12.5)Величина / связана с управляющим напряжением и на входе элек- трогидравлического усилителя (ЭГУ) передаточной функцией
叫(р)=
叫(р)=
&Р + 1
&Р + 1
/(р) "(р)
/(р) "(р)
(12.5)
(12.5)
Р(容Р2+2蒔Р+ 1)Р(容Р2+2蒔Р+ 1)Х(Р)"(Р)Х(Р)"(Р)(12.6)(12.6)
Р(容Р2+2蒔Р+ 1)
Р(容Р2+2蒔Р+ 1)
Х(Р)
"(Р)
Х(Р)
"(Р)
(12.6)
(12.6)
Здесь /(/?), w(p) - изображения по Лапласу функций времени /(f) и u(t).
Для непосредственного измерения в системе доступны переменные х, х и АР. Величина АР пропорциональна ускорению, поэтому далее будем считать, что измеряется вторая производная х. Заметим, однако, что как линейные, так и угловые ускорения могут измеряться специальными измерителями.
По уравнениям (12.1) 一 (12.4) можно вывести передаточную функцию 匕(р) гидропривода в случае, когда не учитывается инерционность электрогидравлического усилителя (& = 0). В этом случае согласно (12.5) переменная / = "〃. Далее величину " будем учитывать в общем коэффициенте усиления гидропривода, который обозначим ^. Исключая в (12.1)- (12.4) промежуточные переменные, найдем
2队n2队nкЛ/сгТ])2кЛ/сгТ])2
2队n
2队n
кЛ/сгТ])2
кЛ/сгТ])2
где х(р) - изображение по Лапласу функции х(0. Параметры передаточной функции определяются формулами
где обозначено
(12-8)
Коэффициенты сг характеризуют соответственно жесткость «гидравлической пружины» гидроцилиндра и механической характеристики гидропривода.
С учетом инерционности процессов в электрогидравлическом усилителе передаточная функция гидропривода имеет вид
(12.9)(12.9)阪(p) =-^= ^^
(12.9)
(12.9)
齊р + 1)(7詳 2+2&GP + 1)„(р)
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ (12.6)
Рассматриваем задачу управления для того случая, когда модель движения управляемого объекта не учитывает инерционность ЭГУ. Запишем передаточную функцию (12.6) в следующем виде
9焉9焉х(р) "(р)х(р) "(р)(12.10)(12.10)
9焉
9焉
х(р) "(р)
х(р) "(р)
(12.10)
(12.10)
где обозначено
4(p) = p2 +用P + 00,4(p) = p2 +用P + 00,(12.11)(12.11)
4(p) = p2 +用P + 00,
4(p) = p2 +用P + 00,
(12.11)
(12.11)
Передаточной функции (12.12) соответствует дифференциальное уравнение
5D2 + aiD + Оо)х(0 = bou(t), D = —.(12.12)
dt
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени f = 0 объект управления находится в состоянии, которое характеризуется значениями
x(4)(0) = xv0, s=0, 1,2.x(4)(0) = xv0, s=0, 1,2.(12.13)(12.13)
x(4)(0) = xv0, s=0, 1,2.
x(4)(0) = xv0, s=0, 1,2.
(12.13)
(12.13)
Требуется синтезировать такой алгоритм управления в форме обратной связи 〃 = и(х, х, х), при котором объект переходит из начального состояния (12.13) в стационарное состояние
х(оо) = х°, х(оо) = х(оо) = 0.(12.14)
Необходимо при этом, чтобы фазовая траектория движения замкнутой системы с заданной степенью приближения следовала за фазовой траекторией движения эталонной модели, описываемой уравнением
歹+y2y + Ye + ¥疗=仇之取 +рохвх， Хвх =Х° = const (12.15)
при соответствующих начальных условиях.
Коэффициенты уд., ру (12.15) такие, что
Y什2>Y0，p0₽1 > °-(12.16)
Неравенства (12.16) есть условия асимптотической устойчивости модели как динамической системы. Поэтому в том случае, когда % = х° = const, выходная переменная эталонной модели у(0 f 工° при f f 8. Иными ело- вами, из произвольного состояния/>(0), s = 0, 1, 2 эталонная модель переходит в стационарное состояние 貝8)= х°,夕(8)=歹(8)= 0, которое соответствует заданному состоянию (12.14) для управляемой системы.
По построению и функциональному назначению эталонной модели ее динамические характеристики - длительность переходного процесса, перерегулирование и другие 一 удовлетворяют требованиям технического задания на проектирование автоматической системы. Это достигается при соответствующих значениях параметров 必，耳 Кроме того, в зависимости от соотношения между этими параметрами эталонная модель может иметь заданный порядок астатизма. Если Ро = Уо> то порядок астатиз- ма - первый. В случае Р;=力，у = 0,1 порядок астатизма - второй.
Таким образом, будем считать, что динамические характеристики эталонной модели соответствуют заданным требованиям к проектируемой системе. В таком случае алгоритм управления можно синтезировать из условия, чтобы динамика замкнутой системы была практически идентична динамике модели. Если это условие выполняется, то переходный процесс в системе x(Z) -^ х° с достаточно высокой точностью будет следовать за эталонным процессом Х0 —> #2
Точность приближения фазовых траекторий движения модели и системы оцениваем величиной функционала
С(и)=уко-х(л и)р.(12.17)
Фазовая траектория управляемой системы будет проходить в малой окрестности фазовой траектории эталонной модели, если в каждый момент времени Г > 0 значения функционала (12.17) будут принадлежать малой окрестности экстремума 一 минимума.
Минимизация функционала по градиентной схемепервого порядка
Движение к экстремуму GQ) организуем по схеме градиентного метода. Управляющую функцию 〃(f) определим дифференциальным соотношением
成(f) . dG(u) .，,_.
=入， 入=const.(12.18) dt du
Согласно уравнению (12.12), имеем
х(Г, и) = bQu - aQx - а}х.(12.19)
Дифференцируя (12.17) по переменной и с учетом (12.19), находим градиент функционала
= -d&T・).(12.20)
Из (12.18) и (12.20) получаем дифференциальный закон управления
- = к(у-х), к = -Ь^.(12.21)
dt
Переменная у представляет собой требуемое значение третьей производной переменной х системы. Величина у (f) может быть вычислена по уравнению эталонной модели (12.15) с учетом состояния управляемого объекта. Далее будем считать, что порядок астатизма модели равен единице. В этом случае р0 = Уо- Выполняя в уравнении (12.15) замену
y(s)(t) = х(5)(0, s = 0, 1, 2,
будем иметь
7=Yo(xbx -х) + ₽Лвх -71^-72^-(12.22)
Уравнения (12.21) и (12.22) могут составить основу алгоритма управления. Однако при непосредственной аппаратной реализации этих уравнений в структуре системы необходимо организовать контур третьей производной х. Задающим сигналом такого контура будет переменная у. При таком построении управляющей части системы для вычисления управляющей функции и требуется информация о производных x")(f) до
третьего порядка включительно. Кроме того, в таком случае необходимо дифференцировать входной сигнал хвх.
Представим уравнения (12.21) и (12.22) в другой форме. С этой целью проинтегрируем обе части уравнений по времени при нулевых начальных условиях. В результате получим
и = к(у-х),
》(r) = Yo J(Xbx -^dr + d/x -Y0-Y2亢(12.23)
О
Для вычисления управляющей функции и по уравнениям (12.23) не требуется информация о третьей производной х. Структурная схема алгоритма управления (12.23) приведена на рис. 12.2.
Исследуем динамику процесса минимизации функционала G(〃). В уравнение (12.21) подставим выражение дая х из (12.19). В результате будем иметь
й(0 + kb^u^t) = Az(f), z(f) = У + 例£ + аох (12.24)
Обозначим через 6(f) то значение управляющей функции и(Г), при котором в каждый момент времени Г > 0 реализуется абсолютный минимум функционала (12.7), т.е. GQ ) = 0. Из (12.24) следует, что алгоритм управления обеспечивает сходимость процесса минимизации функционала 〃(/) —> 〃*«), если выполняется правило знаков
sign(^) = sign(仇)> 0.
Рис. 12.2
9 — 9516
Уравнение (12.24) описывает процесс в контуре управляющей функции и. Его передаточная функция равна
К“(р,无)=К“(р,无)=P + kb0P + kb0"(Р) z(p)"(Р) z(p)(12.25)(12.25)
К“(р,无)=
К“(р,无)=
P + kb0
P + kb0
"(Р) z(p)
"(Р) z(p)
(12.25)
(12.25)
где z(p) - изображение по Лапласу входного воздействия z(0 контура. Значение функционала G(以)будет принадлежать малой окрестности экстремума-минимума, если быстродействие контура и обеспечивает высокоточное слежение за быстро меняющимся сигналом z(〃 Это достигается увеличением коэффициента усиления 左 В случае неограниченного повышения уровня усиления полюс передаточной функции (12.25) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений, т.е. р(2) = -kb0 f(8), если к т в. Следовательно, справедливо предельное соотношение
(12.26)(12.26)Пт К“(р,后)= 3,女 Т8Oq
(12.26)
(12.26)
которое свидетельствует о том, что инерционный контур управляющей функции вырождается в безынерционный усилитель с коэффициентом усиления 1/6» Вследствие этого теоретически м(0 = 〃*«), а фазовая траектория управляемой системы строго совпадает с фазовой траекторией эталонной модели. Необходимая для технических приложений точность приближения траекторий достигается при конечных значениях 七 при которых быстродействие контура и существенно выше быстродействия модели.
Исследуем теперь свойства системы в целом. Выведем уравнение управляемого процесса. Исключим из (12.12) и (12.23) управляющую функцию и. В соответствии с (12.23) выражение для 夕«) запишем в операторной форме
歹⑺=^ (d Q + Во Xx(0-^(Y2°2 +Yi°+Yo )х()
Подставляя это выражение в первое уравнение (12.23), получим
〃⑺=^B(Q)% ⑴-^У(О)хО),(1227)
где соответственно левой и правой части уравнения (12.15) обозначено
2
Y(0)=炉+eYa*,做。)=%0+ 风.(12.28)
s=0
Подстановка 以(Г) из (12.27) в (12.12) приводит к уравнению замкнутой системы
[О2Я(О) + 恤 Y(C)]x(f) = kb0^D)Xai (0，(12.29)
Операторное выражение A(D) получено заменой р = D з полиноме Я(О). Передаточная функция системы равна
к(р,无) =——= -^-,(12.30)
Р ^(Р)+ 饱У(Р)&х(Р)
где ¥(р), 0(р) соответствуют операторным выражениям (12.28).
Определим асимптотическую структуру системы при неограниченном увеличении коэффициента усиления 左 Для этого найдем распределение полюсов передаточной функции (12.30) при 2 — 8. Рассмотрим характеристическое уравнение
р2Я(р) + kb^(p) = 0.(12.31)
Для конечных значений р справедливо предельное равенство
lim — р2 А(р) = 0.
£->8 2
Поэтому из (12.31) при 左一> 8 получаем предельное уравнение
2
У(Р)= Р3 + Хь/=0-(12.32)
л=0
Корни уравнения (12.32) обозначим через pv, v = 1, 2, 3.
Итак, в асимптотике (2 т 8)три полюса ру(Л) передаточной функции №，2) стремятся к соответствующим полюсам р* передаточной функции эталонной модели
Км(Р)=2
у(р)Хвх(Р)
(12.33)
На основании анализа контура управляющей функции и можно предположить, что четвертый полюс К(р, 2) при неограниченном увеличении к удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. В этом можно убедиться, исследуя характеристическое уравнение системы при больших значениях
Поступим следующим образом. Запишем уравнение (12.31) в такой форме
Y(P)=。■/ Y(P) _
При конечных значениях к множитель у(р) будет конечным, поэтому его можно сократить. В результате будем иметь
+(12.34)
后 Y(P)
Поведение корня при больших значениях k и, следовательно, больших 同，можно выяснить по приближенному уравнению. В числителе и знаменателе дроби в (12.34) оставим только члены старших степеней р, т.е. примем
р1А{р) = р1{р1 +а1р + а0)»р4,
2
Y(P)=P3+XbP' ~Р3-л=0
В этом случае из (12.34) получаем
—р + й0 « 0 => р + kbQ 片 0.
Отсюда находим четвертый полюс р")= —妆 ~> 8, если ктз.
Таким образом, в асимптотике передаточная функция К(р, 2) имеет следующее распределение полюсов:
Pv(Z)f Р：， v = l, 2, 3; P4(Z)f-8・(12.35)
На этом основании приходим к заключению, что при неограниченном повышении уровня усиления система с алгоритмом управления (12.23) не теряет устойчивости, а ее асимптотическая передаточная функция
К(р, оо) = lira К(р,后)=陋(12.36)
左一8Y(P)
совпадает с передаточной функцией (12.33) эталонной модели. Такой вывод согласуется с предельным равенством (12.26).
Так как асимптотическая структура системы в точности соответствует структуре модели, то, следовательно, процессы в системе и в модели совпадают, т.е. х(г) =Х0- Этот результат можно получить, рассматривая дифференциальное уравнение (12.29). Поскольку система не теряет устойчивости при 后 f 8, то в (12.29) можно выполнить предельный переход. В случае конечных значений входных воздействий | хвх (г) | < оо, справедливо
|о2я(о)х(о|<®,|y(D)x(O| <00.
Поэтому, разделив все члены уравнения (12.29) на kb0 и вычислив пределы при ктв, получим уравнение
(2 А
D3 + £ 1SDS х(0 = ₽(^(г) + ₽охвх(0,(12.37)
I .v-0 丿
которое в точности совпадает с уравнением эталонноймодели.Следовательно, теоретически динамика системывасимптотике(后 fоо)строго
идентична динамике модели.
Отмеченное асимптотическое свойство системы сохраняется при изменении ее параметров. На этом основании можно говорить, что алгоритм управления (12.23) придает системе свойства естественной параметрической адаптивности, т.е. слабой чувствительности к изменению параметров. Естественная параметрическая адаптивность имеет вполне определенное физическое объяснение. Оно состоит в следующем. Согласно (12.21), скорость изменения управляющей функции вычисляется по рассогласованию третьих производных (у - х) выходных переменных модели и системы. Поэтому отклонения величины х от у, вызванные изменением параметров, непосредственно учитываются при вычислении й(/). Предполагается при этом, что Н изменяется.
Такая физическая трактовка свойства параметрической адаптивности нуждается в дополнительном замечании. Исследование свойств системы выполнено применительно к уравнениям алгоритма управления (12.23). В соответствии с этими уравнениями управляющая функция 以(Г)
вычисляется по информации о положении х, скорости х и ускорении х. Наряду с этим свойства параметрической адаптивности объясняются тем, что для вычисления 〃«) используется информация о третьей производной х . В этом нет противоречия, так как уравнения (12.23) получены из (12.21) и (12.22) путем понижения порядка. В результате контур третьей производной х преобразуется в контур второй производной х. Поэтому естественно, что для вычисления 以(Г) используется информация об ускорении.
В случае, когда входное воздействие xBX = х° = const, по передаточной функции (12.30) находим установившееся значение выходной переменной системы
х(8)= Шп[рК(р, 2)х°(р)] = ^^х° =х°.
3у(0)
Здесь принято во внимание, что 氏=у0- Следовательно, при конечных значениях 左 алгоритм управления обеспечивает перевод объекта в назначенное стационарное состояние (12.14).
По известной формуле в соответствии с выражением (12.30) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W{p, к) = F后瓦做Р).(12.38)
p2/(p)+ %[у(р) - 3(P)J
В том случае, когда порядок астатизма эталонной модели равен единице (Ро = Yo), из (12.38) получаем
W{p, к)=3).(12.39)
p[pA(p) + kbo(p +У2Р + У1-В1)]
Если порядок астатизма модели равен двум (片=y^j = 0,1), то передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид
W{p,后)=——竺赵包.(12.40)
P [A(p) + kb0(p + y2)]
Таким образом, на основании (12.39) и (12.40) приходим к заключению: порядок астатизма системы равен порядку астатизма эталонной модели. Причем это имеет место при конечных значениях к.
Передаточная функция эталонной модели в разомкнутом состоянии равна
%■(「)= , 2 BW + 氏(1241) р(р +У2Р+У1-В1)
Сравнивая (12.39) и (12.41), замечаем, что система и модель имеют равные значения добротности по скорости - коэффициенты усиления
統=р%(р,后)р=о = Р»；(Р)р=о=^^--(12.42)
Отмеченные свойства системы имеют практически важное следствие. А именно, если эталонная модель и система имеют одинаковый порядок астатизма и равные коэффициенты усиления в разомкнутом состоянии, то их амплитудные частотные характеристики |纥(沏)| и I FF(Ro, 2) I выходят из одной точки при со = 0, имеют одинаковый наклон при со > 0 и практически совпадают в широкой полосе частот. В силу этого высокая степень приближения динамических характеристик системы к модели достигается при умеренных значениях произведения kb^
Эталонная модель, обладающая астатизмом второго порядка (也=力 У = 0,1), имеет следующую передаточную функцию в разомкнутом состоянии
畋(Р)= -^%(12.43)
Р(Р+У2)
Сравнивая (12.40) и (12.43), замечаем, что система и модель имеют различные значения добротности по ускорению:
后уск =р2%(Р，后)р=0后уск =р2%(Р，后)р=0a0 + 必0y2a0 + 必0y2
后уск =р2%(Р，后)р=0
后уск =р2%(Р，后)р=0
a0 + 必0y2
a0 + 必0y2
^к=Л(А » 噜
В данном случае амплитудные характеристики в области рабочих частот имеют одинаковый наклон, но не совпадают, так как при со = 0 они выходят из различных точек (по ординате). Поэтому высокая степень приближения динамических характеристик системы и модели может быть достигнута при больших значениях коэффициента усиления 2, если величина 仇 мала н у2 k «о(饱尸・
Описанную ситуацию можно изменить, если алгоритм управления синтезировать по эталонной модели четвертого порядаа:
( з \
J+EW y(O = (p1D + po)xBX(O, (12.44)
В/=5，; = 0,1.
В таком случае передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет вид
к(р, %)= №(dP+B)。，р Др) + 也R(p)
и соответственно этому
W{p, к) = F曲(В1Р 毋,(12.45)
Р [МР)+ Ц)(Р +r3p + r2)]
где R(p) = R(D)gp соответствует левой части уравнения (12.44). Произведение [р4(р)]р=о = 0- Поэтому из выражения (12.45) находим добротность по ускорению Луск =氏)/々，равную добротности эталонной модели.
Минимизация функционала по градиентной схемевторого порядка
Синтезируем теперь алгоритм управления, для аппаратной реализации которого достаточно измерять переменные х, х. Формулировка задачи остается прежней: синтезируемый алгоритм должен обеспечивать перевод объекта управления из начального состояния (12.13) в стационарное состояние (12.14); при этом фазовая траектория движения управляемой системы с необходимой степенью приближения должна следовать за фазовой траекторией движения эталонной модели (12.15).
Как и в предыдущей задаче, степень приближения траекторий оцениваем величиной функционала (12.17). Однако в отличие от (12.18), управляющую функцию 以(Г) определим дифференциальным соотношением второго порядка
d2u(t) , du(t) в dG«) в .*
X——九,〃 =const(12.46) dr dt du
С учетом выражения (12.20) для градиента функционала из (12.46) получаем дифференциальный закон управления
й + Ий = 2(歹一х), 2 =-瓦兀(12.47)
Переменная у вычисляется по (12.22). Замечаем, что уравнения (12.47) и (12.22) допускают понижение порядка. Выполняя двукратное интегрирование по времени обеих частей этих уравнений при нулевых начальных значениях переменных, получим
и = к{у ~ х) - h^udt,(12.48)
о
Я0= J(Yo加 +ВМвх -УМ)力 一丫2工，о
/о = J(xBX -Х)Л.о
При выводе (12.48) принято 氏=у0-
Структурная схема, соответствующая уравнениям (12.48), изображена на рис. 12.3. Для вычисления управляющей функции в данном случае достаточно измеряемой информации о переменных х, х. Поэтому алгоритм управления такой структуры можно называть алгоритмом управления с минимальным информационным обеспечением.
Рассмотрим теперь кратко свойства системы с алгоритмом управления (12.48). Подставив выражение для х из (12.19) в (12.47), получим уравнение контура управляющей функции
М + 〃 〃 + % 瓦以=Az,(12.49)
ц^г 鵠(1250)ц^г 鵠(1250)где z определяется по (12.24). На основании (12.49) передаточная функция контура
ц^г 鵠(1250)
ц^г 鵠(1250)
К”(р, 2)=—: Р
Отсюда следует, что в случае 斤一> со оба полюса р 1,2(斤)удаляются в область бесконечных значений |р| по прямой, параллельной мнимой оси Re р = 0 и отстоящей от нее на величину - Л/2. Так как Re р12(^) = - 〃/2, то высокочастотные колебания в контуре с частотой (也)"？, соответствующей большим значениям 2, затухают. При 2 — 8 инерционный контур вырождается в безынерционное усилительное звено с коэффициентом усиления 1/Z)o, так что имеет место предельное соотношение (12.26). Этот факт свидетельствует о том, что система с алгоритмом управления (12.48) обладает такими же асимптотическими свойствами, как и система с алгоритмом (12.23).
Выполним исследования динамики замкнутой системы. Запишем соотношения (12.48) в операторной форме:
(1+^}")=后(方一云)，
У(0 = -^2-₽(О)хвх --^-(Уг^2 +YiQ + Yo)x()
Исключая здесь переменную у , получим
м(г) = 2 -Р(也 ％ (0- % • 殴(12.51)
Подстановка выражения (12.51) в (12.12) приводит к уравнению замкнутой системы
厅(。+ h)A{D) + 泌oY(〃)k(r) = ^o₽(£»>«W,(12.52)
которой соответствует передаточная функция
к(p,后也BS)(12.53)
р2(Р+ %)/(/?) +也 Y(p) Zx(p)
Особенность структуры рассматриваемой системы состоит в следующем. Степень полинома ^(р + И)А(р) на две единицы выше степени полинома у(р). В таком случае, как известно, структура системы сохраняет устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления (2 т оо) только при определенном соотношении между параметрами системы и модели. Найдем это соотношение. Рассматриваем характеристическое уравнение
^{р + 〃乂(р) + 絵Y(p) = 0.(12.54)
В случае 2т 8 нз (12.54) следует предельное уравнение (12.32). Поэтому три полюса “(А), V = 1, 2, 3 передаточной функции (12.53) в асимптотике стремятся к трем полюсам р* передаточной функции модели.
Поведение остальных двух полюсов при кт д выясним путем анализа приближенного характеристического уравнения при больших значениях |р|.
Аналогично (12.34) уравнение (12.54) запишем в виде
丄"期 。
后 Y(p)
В числителе и знаменателе дроби сохраним члены старших степеней р, приняв
Р% + 力М(Р)"5+(% + 力)/А
P；Y2P?+…"+Y2P
С учетом этих выражений из (12.55) находим
рЗ +(«[ +〃)р2 +%(Р+У2)к0・(12.56)
Согласно критерию Гурвица, корни уравнения (12.56) будут расположены в левой полуплоскости, если выполняется неравенство
а{ + h> у2-(12.57)
Если параметры рассматриваемой системы отвечают условию (12.57), то два полюса передаточной функции (12.53) при ктв удаляются на бесконечность в левой полуплоскости.
Следовательно, асимптотическая структура системы идентична структуре эталонной модели. Поэтому алгоритм управления (12.48) придает системе естественные свойства параметрической адаптивности.
Можно показать, что в случае 氏=у0 добротность системы по скорости определяется величиной (12.43) и равна добротности эталонной модели. Кроме того, система и модель имеют одинаковый порядок астатизма. Вследствие этого высокая степень приближения процессов в системе и модели достигается при умеренных значениях произведения Л60.
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПО МОДЕЛИ (12.9)
Динамика электрогидравлических усилителей гидравлических приводов характеризуется постоянными времени Ту одного порядка с 几，а иногда - равными им. В таких случаях при проектировании параметрически адаптивных систем, работающих с переменными нагрузками, синтез алгоритмов управления необходимо выполнять по математическим моделям, учитывающим инерционность ЭГУ. Для рассматриваемого типа гидроприводов такая модель представлена передаточной функцией (12.9).
Аналогично (12.10) выражение для 匕(р) запишем в виде
匕(р)=匕(р)=d()— х(р) рс(р) "(Р)d()— х(р) рс(р) "(Р)е(p) = pз + e" + (;庐 + %е(p) = pз + e" + (;庐 + %(12.58)(12.58)
匕(р)=
匕(р)=
d()— х(р) рс(р) "(Р)
d()— х(р) рс(р) "(Р)
е(p) = pз + e" + (;庐 + %
е(p) = pз + e" + (;庐 + %
(12.58)
(12.58)
Коэффициенты с” % однозначно выражаются через параметры передаточной функции (12.9). Дифференциальное уравнение управляемого процесса
2
D(D3 + ^cvDv)x(0 = %№).(12.59)
v=0
Изложим схему построения алгоритма управления для рассматриваемой модели.
Пусть в начальный момент времени Е = 0 состояние системы определяется значениями
х(5)(0) = х,о, s = 0 …3.
Требуется синтезировать алгоритм управления, при котором система переходит в стационарное состояние
х(оо) = х°, х°)(8)= 0,у = 1,2, 3.
Необходимо при этом, чтобы фазовая траектория движения системы проходила в малой окрестности фазовой траектории движения эталонной модели, динамика которой соответствует требованиям задания на проектирование. Дифференциальное уравнение движения системы (12.59) имеет четвертый порядок, поэтому порядок уравнения эталонной модели должен быть не ниже четвертого. Пусть таким уравнением будет (12.44). Примем здесь 氏=rQ,
Точность приближения траекторий х(Г) -> ХО характеризуем величиной функционала
GQ) = gZ)o)-x(4)o,喇2(12.60)
Аналогично (12.46) записываем дифференциальный закон управления второго порядка. Из (12.60) и (12.44) находим градиент dG(u)/du и после необходимых преобразований получим уравнения алгоритма управления
и = k{y + x)-h^udt,о
И0= J(，o/o +В/вх -“X)必 fX-F 尤(12.61)
о
/о(О= {(Хвх -X)必о
Структурная схема алгоритма аналогична схеме на рис 12.3.
Из (12.61) следует выражение для управляющей функции в операторной форме:
и(0 = к Р(2)…х (г) - к х(Г).(12.62)
0(0 + 〃)眈 0(0 + 〃)
Подставляя w(0 из (12.62) в (12.59), получаем уравнение замкнутой системы
[D2。+ h)C(D) + Ыда)]х(0 = ^(DM).(12.63)
Степень полинома /?(р + 力)С(р) на две единицы выше степени &(р). Поэтому система допускает неограниченное повышение уровня усиления
без потери устойчивости при определенном соотношении между параметрами управляемой системы и модели. Аналогично тому, как получено неравенство (12.57), для рассматриваемой системы находим условие сохранения устойчивости при бесконечно высоком усилении
с2 + Л > г3. (12.64)
При выполнении неравенства (12.64) полюсы передаточной функции, соответствующей уравнению (12.63), в случае ктв распределяются следующим образом: четыре полюса Pv(2) асимптотически приближаются к полюсам р* передаточной функции эталонной модели; другие два полюса /?5,б(%) удаляются на бесконечность в левой полуплоскости. В результате асимптотическая структура системы идентична структуре модели. Уравнение (12.63) шестого порядка вырождается в уравнение четвертого порядка вида (12.44). Поэтому в асимптотике процессы в системе и модели совпадают, т.е. х(0 = Х0- Следовательно, алгоритм управления (12.61) придает системе свойства параметрической адаптивности.
Можно показать, что порядок астатизма синтезированной системы, как и эталонной модели, равен единице. Кроме того, система и эталонная модель имеют равную добротность по скорости
%ск =»%(「，*)]р=о =₽0(П -₽1)-1-
Вследствие этого в области низких и рабочих частот амплитудные характеристики системы и модели совпадают.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАСЧЕТУ ПАРАМЕТРОВ
Синтезированные алгоритмы построены либо на основе дифференциальных законов управления первого порядка вида (12.18), либо второго порядка вида (12.46). Соответственно этому уравнения алгоритма управления содержат либо один расчетный параметр (2), либо два (2, Л). Изложим методические рекомендации, по которым можно определить требуемые значения параметров из условия реализации в системах динамических характеристик, практически идентичных динамическим характеристиками эталонных моделей.
Рассмотрим сначала систему с алгоритмом управления вида (12.18). В этом случае расчету подлежит коэффициент усиления к. Было показано, что при неограниченном повышении уровня усиления динамические характеристики системы и модели теоретически строго идентичны. Не-
обходимая для технических приложений степень приближения динамических характеристик и, следовательно, допустимый уровень чувствительности к изменениям параметров, достигается при конечных значениях к. Как известно, динамическая и статическая точность системы определяется ее добротностью и очертанием амплитудной характеристики в области низких частот. Параметры переходного процесса (быстродействие, перерегулирование и др.) определяются очертаниями амплитудной характеристики в диапазоне средних частот se®】； (о2), который содержит частоту среза (рис. 12.4).
Динамика проектируемой системы будет практически идентична динамике эталонной модели, если их амплитудные и фазовые характеристики мало отличаются в области низких и средних частот. Системы с алгоритмами управления предлагаемой структуры и эталонные модели, по которым такие алгоритмы синтезированы, имеют одинаковый порядок астатизма и равную добротность. Поэтому их характеристики проходят так, как показано на рис. 12.4, где обозначено
ZM((o) = 2Olg|^G(o)|, 丄(з,%) = 20lgI%(心，％)|.
В области низких частот характеристики Ам(со) и Ам(со, 2) совпадают; при малых значениях kbQ они расходятся в окрестности частоты среза ш* эталонной модели. Необходимое приближение характеристик £(со, 2)-> —> £м(①)в окрестности со* достигается путем увеличения к.
Таким образом, расчет значения А выполняется из условия
取心,吼=《=1.(12.65)
Уравнение (12.65) относительно к удобно решать графически на персональной ЭВМ с помощью типовых пакетов прикладных программ исследования динамических систем, последовательно увеличивая или уменьшая величину к и сравнивая характеристики £м(①)и £(со, А). Процедуру решения уравнения (12.65) можно контролировать сравнением переходных процессов в проектируемой системе и в модели.
Алгоритмы вида (12.48) имеют два расчетных параметра 匕 А. В данном случае рекомендуется сначала найти требуемое значение к из уравнения (12.65), в котором характеристика 做йо, 2) соответствует системе с алгоритмом вида (12.18). Затем ориентировочное значение Л можно рассчитать по соотношениям
А = 1,4 \^kbQ, %+〃 ＞力・(12.66)
Выполнение неравенства в (12.66) обеспечивает сохранение устойчивости системы при высоком уровне усиления.
Формула для Л получена из условия, чтобы коэффициент затухания собственных колебаний в контуре с передаточной функцией (12.50) был равен &/2.Втаком случае контур управляющей функции и обладает наибольшим быстродействием. Найденные значения 2, Л уточняются по результатам математического моделирования.
Аналогичным путем рассчитываются параметры 匕〃 в алгоритмах вида (12.61).
Практически при расчете параметров, как правило, не возникает необходимости решать уравнения вида (12.65). Требуемое значение к определяется непосредственно сравнением переходных процессов в системе и эталонной модели.
Лекция 13
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫХЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Методами математического моделирования исследуется динамика автоматических приводов с алгоритаами управления нетрадиционной структуры. Показано, что предлагаемые алгоритмы обладают свойствами параметрической адаптивности и обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик приводов при изменении параметров в широких пределах. Исследуются свойства алгоритмов с минимальным информационным обеспечением, для аппаратной реализации которых достаточно измерений координат положения и скорости, либо только положения. Исследования выполнены применительно к приводам с дроссельным управлением.
ПАРАМЕТРЫ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМЫ
В лекции 12 изложены методики синтеза алгоритмов управления электрогидравлических приводов, обладающих малой чувствительностью к изменению параметров. В настоящей лекции рассматриваются результаты математического моделирования динамики автоматических приводов с алгоритмами управления различной структуры. Исследуются алгоритмы, для аппаратной реализации которых требуются измерения выходной переменной системы (х) и ее производных (х,工).Наряду с этим исследуется эффективность алгоритмов с минимальным информационным обеспечением. Для их аппаратной реализации достаточно измерять только выходную переменную системы. Структуры алгоритмов управления синтезированы в лекции 12, поэтому здесь эти вопросы подробно не рассматриваются.
Исходными данными для расчета коэффициентов передаточных функций, характеризующих динамику гидроприводов с дроссельным управлением, являются следующие параметры: эффективная площадь гидроцилиндра (Аф)； величина равных объемов полостей управления в нейтральном положении поршня (% = %】=%2)； коэффициент жесткости расходно-перепадных характеристик золотникового гидроусилителя (%0卩)；коэффициент перетечек между полостями гидродвигателя (г).
Для исследования принимаем следующие числовые значения параметров:
q= 1,5・ 10一3乂2, Fo = 2 • 10-4 м3, ^, = 0,24 м2 • сч,
% =，+ %2户=1°-" м5-Н~1с-1% =，+ %2户=1°-" м5-Н~1с-1(13.1)(13.1)
% =，+ %2户=1°-" м5-Н~1с-1
% =，+ %2户=1°-" м5-Н~1с-1
(13.1)
(13.1)
Кроме того, модуль упругости жидкости принимаем равным £ж = 5 • 108 Н • м~2, а коэффициент вязкого трения ц = 2 • 104 Н • с • м-1 Динамику электрогидравлического усилителя характеризуем передаточ ной функцией апериодического звена с коэффициентом усилена & = 10“ м • В-' и постоянной времени Т? = (0,001 ... 0,01) с. Такая ап проксимация модели усилителя принята*в практике проектирования гид равлических приводов.
Для принятых значений параметров привода (13.1) по формула! (12.8) вычисляем коэффициенты жесткости «гидравлической пружины гидроцилиндра (сг) и механической характеристики гидропривода (В):
"2尸尸2
q = 2 ，坤 * =1()7 h.m，8 =工=2,25・105 h-с м-1.
По формулам (12.7) вычисляем параметры передаточной функции гидропривода с объектом управления без учета инерционности усилителя:
Md2 P2+：С 工 р + 1)=瑞Md2 P2+：С 工 р + 1)=瑞(13.2)(13.2)
Md2 P2+：С 工 р + 1)=瑞
Md2 P2+：С 工 р + 1)=瑞
(13.2)
(13.2)
где х(р) и м(р) - изображения по Лапласу выходной переменной х(。и управляющего воздействия w(r). В табл. 13.1 приведены числовые значения параметров 匕(夕)，вычисленных для различных значений массы управляемого объекта М= (0,2 ... 1,5) • 103 кг.
Далее нам потребуется компактная запись выражения передаточной функции:
р(р2 十々/"о)р4(р)р(р2 十々/"о)р4(р)6。
р(р2 十々/"о)р4(р)
р(р2 十々/"о)р4(р)
коэффициенты которой однозначно определяются через параметры, указанные в (13.2).
13.1. Параметры управляемого объекта
Номер варианта
М- 103, кг
統с-1
% с
&
1
1,5
147
0,012
0,34
2
1,0
147
0,0096
0,31
3
0,5
147
0,0068
0,29
4
0,2
147
0,0043
0,31
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫБЕЗ УЧЕТА ИНЕРЦИОННОСТИ УСИЛИТЕЛЯ
Пренебрегаем постоянной времени электрогидравлического усилителя, принимаем 4 = 0. Этому случаю соответствует передаточная функция (13.3). Синтезируем алгоритм управления, который переводит систему из начального состояния
х(”(0), s = 0, 1,2
в стационарное состояние
х(оо) =х° = const, х(оо) = х(оо) = 0.
Необходимо при этом, чтобы порядок астатизма системы был равен единице, добротность по скорости 統=600 м • В'1 • с~1, длительность переходного процесса Гп ® 0,1 с, величина перерегулирования а = 20 %.
(13.4)(13.4)Указанным требованиям отвечает эталонная модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
(13.4)
(13.4)
鸣(p)=偿,
ск「50 + 1)(40 + 1)，
^ = 600 м ■ В- • с",方=0,7 с,厶=0,08 с,看=0,008 с.
у(р)/х(Р)'у(р)/х(Р)'В обозначениях лекции 12 передаточная функция модели в замкнутом состоянии
у(р)/х(Р)'
у(р)/х(Р)'
Км(Р)Км(Р)В1Р + Во—
Км(Р)
Км(Р)
32一
Р +Y2P +Y1P + Y0
где Хвх(р), Мр) - изображения по Лапласу входной и выходной переменной. Числовые значения коэффициентов, имеющих соответствующие размерности, равны
Yo = Ро=^- = 1,071-Ю5, У,=Ц®- = 8,750 103,屮3屮3
72=(7]-'+77') = 1,264 IO2, Pi =^^- = 8,751-103.(13.6)
Эталонная модель (13.4) имеет первый порядок астатизма. Частота среза характеристики 外(ico) равна со* = 65 рад • с-1, длительность переходного процесса f： & 0,1 с по уровню 0,95, величина перерегулирования ст ® 21 %. Эти значения параметров соответствуют заданным требованиям к проектируемой системе.
Структура алгоритаа управления приводом определяется уравнениями (12.23) из лекции 12:
и = к(у-х),
少0) = Yo J(Xbx - х) df + В/вх -Y^-YjX,(13.7)
о
Хрх = х° = const.
С учетом числовых значений параметров (13.6) уравнения (13.7) принимают вид
и = к(у- х),
у(0 = Ю3 107,1|(хвх -x)rfr + 8,751xBX -8,750x-0,1264i . (13.8) _ о-
Передаточная функция в замкнутом состоянии
=(13.9)
р А(р) + ЛАьт(р) хте(р)
где В(р), у(р) соответствуют числителю и знаменателю (13.5). Передаточная функция в разомкнутом состоянии
W{p,k) =倏段).(13.10)
p[pA{p) + kb^p +Y2P + Y1 - Pi)]
Из выражения (13.10) следует, что система с алгоритмом управления (13.7) имеет первый порядок астатизма. Принимая во внимание (13.6), находим
%=Bod-Bi)T =緒，
т.е. система и эталонная модель имеют одинаковую добротность по скорости, равную заданному значению Лск = 600 м • В，с"1.
Алгорита управления (13.7) имеет один расчетный параметр к. Его величина определяется из условия приближения в диапазоне средних частот амплитудной характеристики £(со, 2) = 201gl FK(ico,左)|, соответствующей (13.10), к амплитудной характеристике эталонной модели Lm(s) = 201g IИ^ (zw) I, соответствующей передаточной функции
к(р,%)=В1Р+В。_(13.11)
P(p +Y2p+力一%)
В лекции 12 показано, что процедура приближения характеристик L®, А) —> Ам(со) может быть выполнена в результате графического решения на персональной ЭВМ уравнения
1%(心，以3.3：=1，(13」2)
Для этого необходимо последовательно назначать в (13.10) различные значения к + А2, вычислять £(со, к + А2) и по очертанию характеристики на экране ЭВМ оценивать степень ее приближения к 厶(①)в окрестности (о*.
Практически требуемое значение коэффициента усиления удобнее находить, сравнивая графики переходных процессов в системе и эталонной модели при различных значениях к. В таком случае отпадает необходимость решения уравнения (13.12).
Для рассматриваемой системы с числовыми значениями параметров варианта 1 находим приближенное значение к = 2 ■ ЮЛ При таком уровне усиления амплитудные характеристики системы и модели практически совпадают в диапазоне низких и средних частот. Заметное отклонение характеристик наблюдается далеко за пределами частоты среза
со； = 65 рад ■ с-1. Потому динамические характеристики системы и модели должны быть практически идентичными. Такое заключение тем более справедливо для системы с параметрами, числовые значения которых соответствуют вариантам 2,3 и 4, так как расчет коэффициента к выполнен для наибольшей нагрузки привода Л/= 1,5 ■ 103 кг.
Замкнутая система при идеальных измерителях имеет четвертый порядок. Теоретически доказано, что при неограниченном повышении уровня усиления (% -> оо) три полюса % (%), v = 1, 2, 3 стремятся к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели. Четвертый полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. Это положение иллюстрируется результатами расчетов, представленными в табл. 13.2. Они выполнены для параметров варианта 1. В последней строке таблицы указаны числовые значения полюсов передаточной функции эталонной модели.
Для расчетного значения Л = 2 ■ Ю"4 величина р") н -93. Поэтому составляющая переходного процесса ехр(-93/) затухает по истечении времени порядка 3 • 10~2 с и не оказывает заметного влияния на реакцию системы. В этом случае характер переходного процесса определяется в основном первыми тремя доминирующими полюсами.
На рис. 13.1 приведены графики зависимостей интегральных квадратичных оценок
т
厶(%)= jEf)r(f)]2 成，T = 5f：
О
Распределение полюсов передаточной функции
Л - ю4
Р2,3(%)
2(%)
1,0
-19,62
-52,13 ± Л 04,8
-62,46
1,5
-17,46
-70,02 土 /102,6
-84,19
2,0
-16,74
-84,55 土 /89,29
-92,95
3,0
-16,13
-74,19 土 /64,64
-268,6
5,0
-15,71
-63,68 ±/62,53
-487,4
7,0
-15,54
-60,73 土 /62,41
-744,3
Модель
-15,17
-55,63 土 ,62,99
—
от коэффициента усиления к. Цифрами 1 и 4 помечены кривые, которые соответствуют первому и четвертому вариантам значений параметров из табл. 13.1. Как следует из графиков, в случае к > 1,5 • 10< интегральные квадратичные оценки равны для всего диапазона изменения параметров. Это означает, что при семикратном изменении массы нагрузки алгоритм управления (13.8) обеспечивает высокую стабильность динамических характеристик системы.
Переходные процессы в системе характеризуются графиками, представленными на рис. 13.2. Они соответствуют наибольшей нагрузке при-
вода Л/ = 1,5 • 103 кг и коэффициенту усиления %= 2 • КГ4. Здесь изображены также графики выходной переменной модели у, управляющей функции и и сигнала / на выходе интегратора в алгоритме управления (13.8). Для принятого масштаба максимальное значение и ® 6 В, установившееся значение w(8)= 0. При меньших нагрузках Л/ = (0,2 ... 1,0) • 103 кг переходные процессы в системе и модели практически совпадают.
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫС УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ УСИЛИТЕЛЯ
Приведенные результаты исследований получены для случая, когда при математическом моделировании не учитывалась инерционность процессов в электрогидравлическом усилителе (7} = 0). Для существующих усилителей такого типа величина Ту = (0,001 ... 0,01) с. Поэтому представляет практический интерес исследование возможностей применения алгоритма (13.7), синтезированного по упрощенной передаточной функции (13.4), для управления приводом, структура модели которого содержит инерционное звено с такой постоянной времени.
Выведем уравнение замкнутой системы с учетом передаточной функции электрогидравлического усилителя. Обозначим через 典(р) передаточную функцию управляемого объекта для этого случая. В соответствии с (13.2) и (13.3) имеем
*)=**)=烏=鵠*)=**)=烏=鵠(13.13)(13.13)
*)=**)=烏=鵠
*)=**)=烏=鵠
(13.13)
(13.13)
где обозначено
4р) =网 рЗ+«；р2 +/р +咄
(13.14)(13.14)4=4，«Z=l + 2CnU，а{ =^-Г—- + 2^п ,
(13.14)
(13.14)
На основании (13.13) записываем дифференциальное уравнение управляемого процесса
(13.15)(13.15)DA\D)x(f) = b'ou(t).
(13.15)
(13.15)
Чтобы получить уравнение замкнутой системы, нужно в (13.7) и (13.15) исключить 〃«). Запишем выражение для управляющей функции в операторной форме. Так как
歹⑴=-P(D)XBX(Z) - ^仇 + yQ + у 2。2 )x(0,
то из первого уравнения (13.7) находим
y(f) = ^B(D)Xbx (f) -^(Yo+Yi^ + Y2^2)x(O,(13.16)
Подстановка выражения (13.16) в (13.15) приводит к искомому уравнению
[D2A'(D) + kb^ y(D)]x(0 =娜B(D)x_„(f).(13.17)
Порядок операторного выражения D^A^D) на две единицы выше порядка y(D). Поэтому система может сохранять устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления только при определенном соотношении между параметрами передаточной функции (13.13) и эталонной модели (13.5). Это соотношение можно найти, исследуя распределение полюсов передаточной функции замкнутой системы при % —> 8.
Рассматриваем характеристическое уравнение
р2&р) + %(р)一咻需+ % =0.р2&р) + %(р)一咻需+ % =0.(13.18)(13.18)
р2&р) + %(р)一咻需+ % =0.
р2&р) + %(р)一咻需+ % =0.
(13.18)
(13.18)
При Л -> оо из (13.18) следует предельное уравнение у(р) = 0. Поэтому три полюса передаточной функции
К(р, к)=^^,
р А'(р) + кЬоу(р)
соответствующей (13.17), асимптотически стремятся к полюсам передаточной функции (13.5) эталонной модели. Остальные два полюса можно найти из приближенного характеристического уравнения при больших |р|.
Для конечных значений к будет конечной величина | Y(p) |, поэтому в (13.18) можно сократить множитель у(р). В результате получим
』二。■』二。■(13.19)(13.19)
』二。■
』二。■
(13.19)
(13.19)
Оставляем в числителе дроби члены старших степеней:
?2彳（叽犷+咖4Y（P） 〃+y2P2?2彳（叽犷+咖4Y（P） 〃+y2P2(13.20)(13.20)
?2彳（叽犷+咖4
Y（P） 〃+y2P2
?2彳（叽犷+咖4
Y（P） 〃+y2P2
(13.20)
(13.20)
В таком случае из (13.19) находим приближенное уравнение
心рЗ +Вр2 + 妣@р+娜丫2 总0・(13.21)
Два полюса передаточной функции К'(р, %) при к т д будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости, если корни ру(Л), V = 1, 2, 3 уравнения (13.21) такие, что &е ру(Л) < 0 . Согласно критерию Гурвица, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство «；«； > «£丫2 聞卩 в другой форме
«1“2«1“21.1.(13.22)(13.22)
«1“2
«1“2
1.
1.
(13.22)
(13.22)
Система находится на границе устойчивости, если с = L
Теоретически, в случае безынерционных измерителей переменных, по которым вычисляется управляющая функция, при любых значениях параметров, отвечающих условию с > 1, система сохраняет устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления. Совсем иная ситуация возникает тогда, когда в структуре появляется еще одно инерционное звено. Пусть это будет апериодическое звено с передаточной функцией 1/(7р +1). Тогда вместо (13.13) будем иметь
睁）=爲，*）=烏,睁）=爲，*）=烏,(12.23)(12.23)
睁）=爲，*）=烏,
睁）=爲，*）=烏,
(12.23)
(12.23)
где полином
4
/5)=(%+ 1)/3) = 2心1
v=0
Процессы в замкнутой системе описываются уравнением [D2A\D) + 城 y(D)]x(f)=城 B(D)%(f),(13.24)
которое по структуре аналогично (13.17).
В асимптотике (% -> оо) три полюса передаточной функции, соответствующей (13.24), стремятся к передаточной функции эталонной модели. Расположение остальных трех полюсов при больших значениях |р| устанавливаем по приближенному характеристическому уравнению. В рассматриваемом случае записываем
丄 Р%(Р)+弟=0(13.25)
% Y(P)
и аналогично (13.20) рациональную дробь заменяем приближенным выражением
"2不(р)二 qd+a炉
Y(P) Р3 +У2Р2 ■
Тогда из (13.25) получаем приближенное уравнение
а^ +Дзр3 +кЬ^р + кЬоу2 戸。・(13.26)
Коэффициент при р2 равен нулю, поэтому для уравнения (13.26) не выполняется необходимое условие устойчивости а* > 0, s = 0 ... 4. Это означает, что по крайней мере один полюс передаточной функции системы с уравнением (13.24) при % -> 8 уходит в бесконечность в правой полуплоскости. Следовательно, при повышении уровня усиления такая система теряет устойчивость.
На основании выполненного анализа можно сделать заключение о том, что допустимый уровень усиления тем выше, чем больше величина с, определяемая соотношением (13.22). Поэтому величина с в определенном смысле характеризует запас устойчивости по коэффициенту усиления к. Рассчитаем значения с для системы с параметрами вариантов 1 и 4. Для эталонной модели (13.4) величина у2 = 1,264 • 102. Подставляя в (13.22) значения параметров варианта 1 из табл. 13.1 к 厶=0,01 с, получим с = 1,24. Запас устойчивости невелик. Для параметров варианта 4 имеем с = 1,9. Исследования показывают, что и в этом случае возможности повышения уровня усиления также невелики. Если постоянная времени Ту = 0,005 с, то для этих вариантов числовых значений параметров
находим с « 2,0 и с « 2,77 соответственно. При таких соотношениях между параметрами система допускает более высокий уровень усиления, чем в предыдущем случае. Однако такие возможности не всегда бывают достаточными.
Приведем результаты исследования динамики системы для того случая, когда переменная х непосредственно не измеряется, а получается путем дифференцирования измеряемой величины х. Передаточная функция дифференцирующей цепи принята равной
wa(P)= -^~.
Постоянная времени т = 10-3 с. В данном случае т выполняет роль постоянной времени Тв (13.23).
По результатам математического моделирования установлено, что алгоритм управления (13.8), параметры которого соответствуют эталонной модели (13.4) с высокой добротностью %^ = 600 м • В-1 • с-1, не позволяет реализовать в системе заданные динамические характеристики для всего диапазона изменения Ту = (0,001 ... 0,01) с. Приближение переходных характеристик системы и эталонной модели требует повышения уровня усиления. Таким путем достаточно высокая точность приближения процессов в системе и модели достигается при постоянных времени Ту < 0,004 с и % = (7 ... 8) • 10^ для системы с параметрами вариантов 2-4. При дальнейшем повышении уровня усиления система приближается к границе устойчивости, ее динамические характеристики оказываются неудовлетворительными.
На рис. 13.3 приведены графики переходных процессов в системе с параметрами: М = 103 кг, Ту = 0,005 с, А = 8 • 10Е Масштаб для переменных и,/соответствуют принятому на рис. 13.2. В данном случае динамика проектируемой системы заметно отличается от динамики эталонной модели. При повышении уровня усиления процессы в системе становятся существенно колебательными, а затем расходятся.
Из соотношения (13.22) следует, что при заданных параметрах привода и нагрузки запас устойчивости по уровню усиления % можно увеличить путем уменьшения величины у2 • Для этого необходимо снизить требования к динамическим характеристикам проектируемой системы по добротности и быстродействию. Найдем параметры алгоритма управления (13.7) из условия, чтобы замкнутая система имела первый порядок астатизма, добротность по скорости, равную 200 м • В'1 • с"1, а длительность
переходного процесса % 仪 0,25 с и перерегулирование порядка 20 %. Этим требованиям отвечает модель с передаточной функцией (13.4), параметры которой равны:
^ = 200 м • В'1 • с-1, 7| = 1с, Т2 =0,15 с, Т3 =0,015 с.
При таких значениях параметров частота среза характеристики %(而)равна ш* = 28 рад - с'1, а длительность переходного процесса f； & 24 с, перерегулирование ьн 19%.
Передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии определяется выражением (13.5). Ее коэффициенты равны
уо = Ро = 13,3(3) • 103, У1 = 2,06(6) • 103, у2 = 67,6(6), р>=2- 103.
С учетом этих значений уравнения (13.7) алгоритма управления запишем в виде
u^k(y-x),(13.27)
歹(f) = 103[l3,3(3) J(/x-x)dt + 2,0% -2,06(6)x-0,0676(6)计 0
Рассчитаем величину с для системы с параметрами варианта 1. Подставляя в (13.22) постоянную времени электрогидравлического усилителя Ту = 0,01 с и у2 = 67,6, найдем с « 2,3- Аналогично, для варианта 4 находим с & 3,6. Эти значения почти в два раза больше значений с = 1,24 и с = 1,9, соответствующих параметрам (13.6) эталонной модели с добротностью 偿=600 м ■ В-1 ■ с-1.
Таким образом, снижение требований к проектируемой системе по добротности и быстродействию приводит к повышению запаса устойчивости по уровню усиления к. Вследствие этого алгоритм управления (13.27) обеспечивает высокую точность приближения процессов в проектируемой системе и эталонной модели во всем диапазоне изменения нагрузки при наличии значительного инерционного запаздывания. Это положение подтверждается результатами математического моделирования.
На рис. 13.4 приведены графики переходных процессов в системе и эталонной модели. Обозначения и масштабы соответствуют ранее принятым. Уровень усиления определяется величиной % = 3 • 104, а постоянная времени электрогидравлического усилителя Ту = 0,01 с. При наименьшей нагрузке А/ = 0,2 • 102 кг переходная характеристика системы (кривая 4) практически совпадает с переходной характеристикой эталонной модели (у)* В случае наибольшей нагрузки А/ = 1,5 • 103 кг переходные характеристики различаются несущественно.
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Рассмотрим другой вариант алгоритма управления, обеспечивающего слабую параметрическую чувствительность привода при наличии в структуре системы инерционного усилителя с большой постоянной времени Ту. Будем исходить из того, что проектируемая система должна удовлетворять предельно высоким физически реализуемым требованиям по добротности и быстродействию.
В соответствии с формулами (12.9) и (12.58) из лекции 12 передаточную функцию привода записываем в виде
%(p)=含=^^
p(TyP + \)(T^P2 +2QnTnp + \) U(p)
или в компактной форме
*）=鳥=需 л+宫" （13.28）
Выражения для коэффициентов не выписываем, так как они не потребуются.
Спнтез1фуем алгоритм управления, при котором система будет иметь первый порядок астатизма, добротность по скорости 启长=600, длительность переходного процесса /п « 0,15 с и перерегулирование порядка 20 %. В данном случае управляемая система имеет четвертый порядок. Следовательно, порядок эталонной модели должен быть не ниже четвертого.
Указанным требованиям отвечает модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
匕.(")=偿匕.(")=偿р(7；р +1)("р+ 1)2р(7；р +1)("р+ 1)2(13.29)(13.29)
匕.(")=偿
匕.(")=偿
р(7；р +1)("р+ 1)2
р(7；р +1)("р+ 1)2
(13.29)
(13.29)
偿=600 м • В"1 • с「厶=1,2 с,厶=0,09 с,厶=0,004 с.
Передаточная функция в замкнутом состоянии
Км(Р)=Км(Р)=glP + go3glP + go3у(р)/х(Р)у(р)/х(Р)(13.30)(13.30)
Км(Р)=
Км(Р)=
glP + go
3
glP + go
3
у(р)/х(Р)
у(р)/х(Р)
(13.30)
(13.30)
Числовые значения коэффициентов равны
Го = go = 3,125 • 107, Г] = 2,552 • 106, г2 = 6,292 • 104,
г3 =5,0- 102,gi = 2,50 - 106.(13.31)
Частота среза характеристики 园(йо) равна о* = 40 рад • с~‘，быст- родействие эталонной модели характеризуется величиной /* « 0,17 с, перерегулирование о 22 %.
Принимая во внимание четвертый порядок управляемой системы, аналогично (13.7) записываем уравнения алгоритма управления
и = к(у-х),
歹⑺=% J(Xbx - х) & + &хвх - qx -r3x.(13.32)
0
Для вычисления управляющей функции по (13.32) требуется информация о производных выходной переменной системы до третьего порядка включительно. Будем считать, что в системе доступна непосредственному измерению только координата х - положение управляемого объекта. В таком случае уравнения алгоритма управления (13.32) необходимо дополнить уравнениями алгоритма информационного обеспечения, по которым можно вычислить неизмеряемые величины.
С учетом числовых значений (13.31) уравнения (13.32) запишем в виде
и = Ку-х^
(13.33)(13.33)Я0 = Ю4 3,125 -Ю3 J(xBX -х)Л + 0,25 103
(13.33)
(13.33)
一0
-2,552 102х-6,292хв -0,05хв].
Индекс «в» в переменных означает, что их необходимо вычислять.
Расчетные соотношения для вычисления производных получим из уравнения, описывающего процесс изменения скорости х. На основании (13.28) имеем равенство
w^4p)=w^4p)=% _貞 Р)С(р) "(р)'% _貞 Р)С(р) "(р)'(13.34)(13.34)
w^4p)=
w^4p)=
% _貞 Р)
С(р) "(р)'
% _貞 Р)
С(р) "(р)'
(13.34)
(13.34)
где х(р) - изображение по Лапласу функции 土(г). Из (13.34) следует уравнение
2
х(4) +Jcvx(v+1) = Jow.(13.35)
№0
Интегрируем обе части (13.35) по времени при нулевых начальных значениях переменных, а затем заменяем неизмеряемые переменные вычисляемыми. В результате получим искомые расчетные соотношения
兀=% J"& - с2хв - в% - сох,о
元=忆必，% =尼山，(13.36)
оо
которые составляют основу алгоритма информационного обеспечения.
Структурная схема, соответствующая (13.36), изображена на рис. 13.5. Для вычисления производных до третьего порядка включительно достаточно измерений выходной переменной х. Если в системе измеряются х, 土, то в уравнениях (13.36) следует принять хв = х. В таком случае в схеме рис. 13.5 исключается один интегратор.
Коэффициент усиления к в уравнениях алгоритма управления (13.33) рассчитывается путем графического решения на ЭВМ уравнения вида(13.12). Для системы с параметрами варианта 1 и постоянной време- нн 4 = 0,01 с величина к = 0,25 • 10-5 На рис. 13.6 приведены графики переходных процессов в системе и эталонной модели. Переменные и, / изображены в прежних масштабах. Эти графики соответствуют тому случаю, когда в системе измеряется только координата положения х управляемого объекта. Для системы с нагрузкой М < 1,5 • 103 кг переходные характеристики (%,у) практически совпадают.
Таким образом, алгоритм управления (13.32), синтезированный по передаточной функции (13.28) и дополненный алгоритмом информационного обеспечения (13.35), реализует в системе высокие динамические характеристики и придает ей свойства параметрической адаптивности. Это достигается при минимальном объеме измеряемой информации. Такие свойства тем более достижимы в том случае, когда для вычисления управляющих функций используются измерения положения х и скорости х.
МАСШТАБИРОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ
При разработке схемы аппаратной реализации алгоритмов управления их уравнения необходимо масштабировать. На примере уравнений (13.33) проиллюстрируем наиболее простой прием «выравнивания» коэффициентов. В случае непосредственной реализации уравнений (13.33) в прямой цепи схемы должен быть усилитель с общим коэффициентом усиле-
ния 104. Так как в контуре управляющей функции величина k = 0,25 • 10~5, то все коэффициенты в (13.33) можно уменьшить, например в 105 раз. В результате уравнения (13.33) принимают вид
М = 0,25(>-хв),
= 312,5 J(xBX -х)或+ 25/х -25,52x-0,6292iB -0,5 10-3iB. (13.37) о
Далее, величина 双Е) в первом уравнении (13.37) увеличена в 105 раз по сравнению с (13.33). Соответственно этому нужно выполнить масштабирование первого уравнения (13.36).
Аналогичным путем масштабируются уравнения (13.8) и (13.27). При необходимости выравнивание коэффициентов можно выполнять иначе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате исследований показано, что структуры алгоритмов управления, синтезированные в лекции 12, придают системам естествен- ные свойства параметрической адаптивности, т.е. слабой чувствительности динамических характеристик к изменению параметров в широких пределах. При этом при проектировании алгоритмического обеспечения систем управления имеется возможность рассматривать несколько альтернативных вариантов алгоритмов. К их числу относятся алгоритмы управления с минимальным объемом измеряемой информации; алгоритмы, синтезированные по упрощенным моделям управляемых объектов, а также структуры алгоритмов, реализующих в системах предельно высокие требования по добротности и быстродействию. Решение о наиболее предпочтительной структуре управляющей части системы принимается по результатам исследований.
Лекция 14ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВНА ДИНАМИКУ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
ВВЕДЕНИЕ
При аналитическом проектировании алгоритмического обеспечения автоматических систем широко применяются математические модели управляемого движения, которые не учитывают быстропротекающие процессы в контурах управления техническими объектами. К таким процессам относятся, в частности, процессы в электрических цепях исполнительных элементов, в измерителях состояния и др. Идеализация математических моделей выполняется в предположении, что неучитываемые факторы или параметры не изменяют существенно характер движения. Однако в реальных физических системах такое предположение выполняется далеко не всегда. Чаще всего оказывается, что неучитываемые малые параметры являются причиной качественного изменения характера движения и свойств в целом динамических систем. Первые исследования влияния малых параметров на динамику систем выполнил А.А. Андронов. Он ввел понятие и дал математически строгое определение грубых динамических систем, свойства которых сохраняются при малых изменениях параметров; ввел понятия грубых состояний равновесия и грубых предельных циклов; установил необходимые и достаточные условия грубости. Введенные понятия оказались плодотворными и основополагающими в теории чувствительности динамических систем, а также в прикладной теории синтеза робастных систем автоматического управления. Эти идеи были развиты впоследствии применительно к дискретным системам.
В настоящей лекции рассматриваются методические вопросы исследования влияния малых параметров на динамику управляемых систем. Анализ выполнен применительно к структурам, обладающим свойствами параметрической адаптивности. Материал изложен в такой последовательности. Сначала исследуются свойства систем с алгоритмами, синтезированными по идеальным моделям. Причем рассматриваются простые задачи стабилизации стационарных состояний объектов с одной степенью свободы. Затем в синтезированные структуры вводятся элементы инерционного запаздывания с малыми параметрами. Такие структуры в
определенной степени учитывают особенности реальных систем. Путем анализа асимптотического распределения полюсов передаточных функций исследуются особенности структур с малыми параметрами и выводятся условия, при выполнении которых системы сохраняют свойства параметрической адаптивности.
СВОЙСТВА СИСТЕМ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ,СИНТЕЗИРОВАННЫМИ ПО ИДЕАЛЬНЫМ МОДЕЛЯМ
Будем рассматривать задачи стабилизации стационарных состояний объектов с одной степенью свободы, движение которых описывается дифференциальными уравнениями
工 + * + аох = %〃,(14.1а)
X 4-^X4- %Х =许6 + %" ,(14.16)
где х - выходная переменная; и - управляющая функция. Для упрощения преобразований примем, что коэффициенты уравнений - постоянные числа. Синтезируем алгоритмы управления, которые обеспечивают стабилизацию стационарных состояний управляемых объектов и придают системам требуемые динамические характеристики.
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени t = 0 состояние объекта характеризуется значениями
х(0) = х, х(0) = х0 .(14.2)
Необходимо синтезировать такой алгоритм управления, при котором управляемый объект переходит из произвольного начального состояния (14.2) в стационарное состояние
х(оо) = х° = const, х(оо) = 0(14.3)
и остается в этом состоянии бесконечно долго. Требуется при этом, чтобы фазовая траектория (х, 土)f (х°, 0) замкнутой системы с заданной степенью приближения следовала за фазовой траекторией (у, у) f (х°, 0) эталонной модели, движение которой описывается уравнением
jJ ч-а^ + ао^ = аох°, а0, а! >0(14.4)
с начальными условиями 丸0) = х0 , у (0) = х0. Так как Оо, S - положительные числа, то справедливы предельные равенства
lim ХО = х°, lim y(t) = О,
что соответствует (14.3).
Физический смысл сформулированной задачи соответствует задаче стабилизации (позиционирования) объекта относительно заданного положения. При этом алгоритм управления (стабилизации) должен обеспечивать такое движение изображающей точки (х, х) в окрестность стационарного состояния, при котором выполняется условие
|у(Г)-х(Г)Ке, ENO,(14.5)
характеризующее степень приближения процесса x(Z)f х° в проектируемой системе к эталонному процессу 丸г) f х°. Следовательно, динамика проектируемой системы будет идентична динамике эталонной модели, если структура алгоритма управления и его параметры определены из условия приближения процессов х(/) -^ХО с учетом неравенства (14.5).
Синтезируем сначала алгоритм управления для объекта, движение которого описывается уравнением (14.1а). Структуру алгоритма и его параметры будем определять из условия достижения минимума функционала
GQ) =扣0)_£«,“)『, со,(14.6)
который характеризует нормированную по массе или моменту инерции (соответственно для линейных и угловых движений) энергию ускорения. Потребуем, чтобы в каждый момент времени Г> 0 значение функционала (14.6) принадлежало малой окрестности минимума.
Управляющую функцию и определим с помощью уравнения
du(t) . dG(u) ../г 6
■ ■ — X X = const.(14.7)
dt du
Согласно (14.1a), ускорение
х(/, и) = 60м - ajX - аох.( 14.8)
С учетом (14.8) находим градиент функционала
^^- = -Ь0(у-х).(14.9)
du
Подставляя (14.9) в (14.7), получим дифференциальный закон управления
w = к(у - х), к = -Ь证.(14.10)
Для вычисления ” по (14.10) необходимо знать требуемое значение ускорения у, которое характеризует движение эталонной модели. Расчетное соотношение для у найдем из уравнения (14.4). Выполнив здесь замену 貝工)=х(Е), /«)= х(0, получим
^ = а0(х0 -х)-а,х.(14.11)
Таким образом, основу алгоритма управления составляют соотношения (14.10),(14.11).
Особенность алгоритма состоит в том, что для его аппаратной реализации необходимо иметь информацию об ускорении х. Чтобы исключить такую необходимость, поступим следующим образом. Проинтегрируем обе части (14.10) и (14.11) по времени при нулевых начальных значениях переменных. В результате получим
w = k(y - х),(14.12)
j> = а0 J(x° -x)dt- а,х.о
Для вычисления управляющей функции по (14.12) достаточно информации о переменных х, 土. Однако, существенно важно, что динамические характеристики замкнутой системы с алгоритмом (14.12) идентичны динамическим характеристикам системы с алгоритмом (14.10), (14.11). Это обусловлено тем, что уравнения (14.12) получены путем линейного преобразования (14.10), (14.11).
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (14.12) изображена на рис. 14.1. Модель управляемого объекта представлена передаточной функцией
(14.13)(14.13)
(14.13)
(14.13)
которая соответствует уравнению (14.1а). Процессы в системе описываются уравнениями (14.1а), (14.12). Запишем их в операторной форме.
Рис. 14.1
Согласно (14.12) имеем
•V = ^[aox° -(a0 +ai^)x(Z)],(14.14)
где операторы
Подставляя (14.14) в первое уравнение (14.12), находим
м = ^[ао^о-℃(£>хо]-(14.15)
Здесь операторное выражение ct(Q) = D3 + a^ + ao соответствует левой части (14.4). Подставляя (14.15) в (14.1а), получим уравнение замкнутой системы
[D4(D) +恤a(D)k(f) =饱a。？1, a(D) = 4(p)片у,.(14.16)
Согласно критерию Гурвица, корни характеристического уравнения
р4(р) + kbQa(p) = 0,(14.⑺
соответствующего (14.16), будут расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р, если его коэффициенты, будучи положительными, удовлетворяют неравенству
(«1 + 能)(％ +%恤)论
или в раскрытой форме
а1(^о)2 +(a0 +^1aI)^0 > a0能.(14.18)
По условию эталонная модель асимптотически устойчива, так как Оо > 0, aj > 0. Поэтому на основании (14.18) приходим к заключению, что при любых конечных значениях a。，/ найдется такое значение k = X, при котором замкнутая система будет также асимптотически устойчива. Такой вывод следует из того, что в левой части (14.18) содержится положительное слагаемое(^(々方。)* а в правой части - тоже положительное слагаемое, но с первой степенью kb0.
Неравенство (14.18) позволяет вывести более сильное заключение, а именно: при увеличении к> £ степень устойчивости системы повышается и при kf в она равна степени устойчивости эталонной модели. Действительно, разделим все члены уравнения (14.17) на kb0 и вычислим пределы при A; f 8 . В результате получим предельное уравнение а(р) = 0. Это означает, что в асимптотике (к т оо) два корня характеристического уравнения (14.17) стремятся к соответствующим корням характеристического уравнения эталонной модели. Третий корень (14.17) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений.
Передаточная функция замкнутой системы
耽а。一 х(р)
р4(р) + %а(р) х°(р)
В случае к — в справедливо предельное равенство
К(р, 8)= lim К(р,斤)=F~幺.
р +aip + ct0
Следовательно, асимптотическая передаточная функция управляемой системы равна передаточной функции эталонной модели. Это означает, что динамические характеристики системы при неограниченном повышении уровня усиления оказываются идентичными динамическим характеристикам модели независимо от изменения параметров управляемого объекта. В этом проявляются свойства параметрической адаптивности системы.
Отметим свойства управляемой системы при конечном значении коэффициента усиления к. По известной формуле с учетом (14.19) находим передаточную функцию разомкнутой системы
印（Р，%）=
р[4(Р)+ ^(Р + сч)「
(14.20)
Отсюда следует, что система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма - первый. Это свойство остается справедливым и для систем высокого порядка.
Далее, по (14.20) находим добротность системы по скорости
統=[р%(р，%))片0 =統=[р%(р，%))片0 =也a04(0) +紙а】也a04(0) +紙а】(14.21)(14.21)
統=[р%(р，%))片0 =
統=[р%(р，%))片0 =
也a0
4(0) +紙а】
也a0
4(0) +紙а】
(14.21)
(14.21)
Так как добротность эталонной модели 2^ = а0/а! , то на основании (14.21) имеем
(14.22)(14.22)工偿，4(0) = 0,«1
(14.22)
(14.22)
恤％ , 4(0)，0.
的+紙cц
В случае 4(0) = а。= 0, т.е. когда передаточная функция (14.13) управляемого о^екта имеет нулевой полюс, амплитудные характеристики системы и модели совпадают в диапазоне рабочих (низких) частот. Вследствие этого высокая степень приближения процессов х(0 -> АО достигается при умеренных значениях к* В случае 4(0) = a。f 0 амплитудная характеристика системы расположена ниже характеристики модели. Поэтому требуемый уровень усиления может оказаться чрезмерно высоким, если
Равенство Лск = 2^ всегда достигается повышением порядка дифференциального уравнения эталонной модели. Пусть уравнение модели имеет вид
予 + y2y + Ye + Y0y=y0х0. (14.23)
Коэффициенты в (14.23) удовлетворяют условию 力力 > Yo асимптотической устойчивости стационарного состояния равновесия. Задача синтеза алгоритма управления формулируется как и в предыдущем случае. По- прежнему минимизируем функционал (14.6). После выполнения необходимых преобразований получим уравнения алгоритма управления
и = к(у-х),
Г
У= |(УоЛ-Г1х)л-У2х>(14.24)
гЛ = J(x°-x)jz.о
Соотношения для у получены из (14.23) двукратным интегрированием по времени обеих частей с последующей заменой ХО = Н『)・ Начальные значения переменных принимаются равными нулю.
В отличие от (14.19), в данном случае передаточная функция системы с алгоритмом управления (14.24) равна
К(р, %) = 2 •倏"=4^ ■(14.25)
р2А(р) + кЬоу(р) х°(р)
Полином
2
у(р) = р3 + ^YvPv
v=0
соответствует левой части уравнения эталонной модели (14.23). Система с передаточной функцией (14.25) допускает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении устойчивости. Поэтому в асимптотике справедливо предельное равенство
К(р, оо)= lim К(р, %) =.
Следовательно, асимптотическая передаточная функция системы равна передаточной функции эталонной модели. Далее, при конечных значениях к добротность системы
統="=偿(14.26)
Yi
независимо от значения 4(0) = aQ. Отметим также, что система и модель имеют одинаковый порядок астатизма.
Выпишем без вывода уравнения алгоритмов управления объектом, движение которого описывается уравнением (14.16). Как и прежде, рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния х = х° =const, х= 0. Эталонную модель принимаем в виде (14.4), а в качестве управляющего параметра - производную и. Структуру алгоритма определяем путем минимизации функционала
GQ) = ；[Xf)-文(4 й]2
по градиентной схеме первого порядка
疝⑴.dG(ii) .*
=入，= const.
dt du
В данном случае ускорение
х(/, R)=许〃 + b^u - а。％ - цх .
Выполнив необходимые преобразования, получим следующие уравнения алгоритма управления
и = к(у-х\ % 九许，
У= \(aofo-aiX)dt,(14.27)
о
гЛ = ](х° -X)df.о
Особенность этого алгоритма состоит в том, что для вычисления управляющей функции и достаточно информации только о положении (х). Эта особенность есть следствие того, что передаточная функция объекта имеет нуль Р =-%斤l
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (14.27) изображена на рис. 14.2. Без доказательства отметим ее свойства.
Система не теряет устойчивости при неограниченном повышении уровня усиления. В асимптотике ее передаточная функция равна передаточной функции эталонной модели.
При конечных значениях к система имеет такой же порядок астатизма и такую же добротность по скорости, как и эталонная модель.
Рис. 14.2
Примем теперь в качестве управляющего параметра функцию и, а эталонную модель - в виде (14.4). Минимизируя функционал (14.2) по схеме (14.7), получим уравнения алгоритаа управления, которые совпадают с (14.12). Система с таким алгоритмом обладает такими же свойствами, как и система, описываемая уравнением (14.16).
Наконец, выпишем уравнения алгоритма для того случая, когда его структура определяется по эталонной модели (14.23). Минимизация функционала (14.7) по градиентной схеме первого порядка приводит к уравнениям
m = к(у - Г),儿=一九%,
У= J(Yo/o-Yix)^-Y2x>(14.28)
о
Л = ](х。-X)&о
Система с алгоритмом управления (14.28) допускает неограниченное повышение уровня усиления. При конечных значениях к для нее выполняются равенства (14.26).
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ИНЕРЦИОННОГОЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Синтез алгоритмов управления автоматических систем часто выполняют по математическим моделям, не учитывающим динамику тех элементов, процессы в которых протекают существенно быстрее по сравнению с другими. Например, в электромеханических системах можно не учитывать (в первом приближении) динамику электронных усилителей, а
также инерционность процессов в электрических цепях исполнительных электродвигателей. Во многих случаях оказывается возможным синтезировать алгоритмы управления по моделям, которые не отражают инерционные свойства измерителей-датчиков. Однако в практике проектирования принято непреложное правило - исследовать динамику проектируемой системы по наиболее полным математическим моделям, поскольку не учитываемые элементы, обладающие инерционным запаздыванием, могут вызвать нежелательные изменения динамических характеристик.
В настоящем разделе исследуется влияние элементов с инерционным запаздыванием на динамику систем с алгоритмами управления, синтезированными по критерию минимума функционалов, характеризующих энергию движения. Рассматриваются два типа элементов с передаточными функциями первого и второго порядка и две схемы их включения: в прямой цепи и в цепях обратных связей. Исследования выполнены для различных структур алгоритмов управления, синтезированных в п. 14.1.
Элементы инерционного запаздывания включеныв прямую цепь
Рассмотрим структурную схему, которая изображена на рис. 14.3. Модель управляемого объекта представлена передаточной функцией %(р). В прямой цепи включен элемент с передаточной функцией %(/?), характеризующей запаздывание. Принимаем сначала
伙Р)= *, %(Р)= т~^——=央・(14.29) Тр + \ р +axp + aQ л(р)
Пусть для передаточной функции %(р) без учета элемента инерционного запаздывания синтезирован алгоритм управления по эталонной модели второго порядка. Этому алгоритму соответствуют уравнения (14.12) и структурная схема рис. 14.3. Выполним анализ влияния инерционного запаздывания на динамику рассматриваемой системы.
Рис. 14.3
С учетом (14.29) процессы в системе описываются уравнениямиA(D)x(t) = bou(t\ (TD+\)u(t)-k^{t),
w(0 = к(У - ДУ = «о J(x°-x)<fr-aIx. (14.30)
о
Исключая в (14.30) переменные и, и, находим операторное уравнение замкнутой системы
[D(TD +1)4(。) + Л^а(О)]х(Г) = ^аох°, % = &仇 (14.31)
и ее передаточную функцию
К(р, %)=К(р, %)=р(Тр + \)А(р) + кЬ^а(Ь)р(Тр + \)А(р) + кЬ^а(Ь)(14.32)(14.32)
К(р, %)=
К(р, %)=
р(Тр + \)А(р) + кЬ^а(Ь)
р(Тр + \)А(р) + кЬ^а(Ь)
(14.32)
(14.32)
Особенность структуры К(р, %) состоит в том, что степень полинома р(Тр + 1)Я(р) на две единищ>1 выше степени а(р) = р2 4-а^ + ао, Вследствие этого асимптотические свойства системы при % -» оо существенно определяются соотношением между параметрами эталонной модели и управляемого объекта.
Изучим поведение полюсов К(р, %) в случае Л -> оо. Характеристическое уравнение системы
(14.33)(14.33)Р(Тр + 1)4(р) + 城 а(р) = 0
(14.33)
(14.33)
при % -> оо вырождается в предельное уравнение а(р) = 0. Следовательно, два полюса /\式2) передаточной функции системы стремятся к полюсам р；2 передаточной функции эталонной модели, т.е. р1(2(Л) -> р^2> если % -> оо. Чтобы определить поведение двух других полюсов при % -> оо, поступим следующим образом. Запишем характеристическое уравнение (14.33) в виде
aS)'?(力 + 1М(Р)+ 好]=0.(14.34)
L а(р) 」
При больших, но конечных значениях к величина |р| конечна. Поэтому вместо (14.34) можно рассматривать уравнение
旦色+1)，(Р)+耽=о.(14.35)
а(р)
Далее, при больших значениях |р| величина дроби в левой части (14.35) определяется в основном старшими степенями р. В силу этого можно принять
Р(7р + 1)(Р2 +a}p + af))«Tpii +(1 + а]Г)р3; р2 +а]р + а0 » р2 +cqp .
Подставляя эти приближенные выражения в (14.35), после сокращения нар получим приближенное уравнение
万 +(1 + а/)р2 + 硯(p + cci) = O;(14.36)
Справедливо следующее: если все корни уравнения (14.36) расположены слева от мнимой оси Rep = 0, то два корня характеристического уравнения (14.33), т.е. два полюса рз,4(%) передаточной функции К(р, %) при Л -> оо будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости. Согласно критерию Гурвица, корни уравнения (14.36) будут находиться слева от мнимой оси, если выполняется неравенство
1 + а1Г>а1Г(14.37)
Таким образом, если коэффициенты a】，aj передаточных функций управляемого объекта и эталонной модели при конкретном значении постоянной времени Г инерционного звена отвечают неравенству (14.37), то система допускает неограниченное повышение уровня усиления без потери устойчивости. При этом имеет место следующее распределение полюсов передаточной функции (14.32) замкнутой системы:
lim Pi 2(%)= Р；2， lim Рз,4 (%) = -°0 • 攵 Tao2ao
Это означает, что в асимптотике передаточные функции системы и эталонной модели идентичны. При конечных и достаточно больших значениях к полюсы рз,4(%) не оказывают существенного влияния на динамику системы, свойства которой определяются доминирующими полюсами Pin/) % Р；2・ Поэтому динамические характеристики системы будут оставаться практически неизменными при изменении параметров о&ьекта, если не нарушается неравенство (14.37).
Итак, при выполнении условия (14.37) дополнительное апериодическое звено первого порядка в прямой цепи не меняет асимптотических свойств системы с алгоритмами управления, синтезированными без учета динамики звена инерционного запаздывания. В том случае, когда неравенство (14.37) не выполняется, структура системы с дополнительным апериодическим звеном не допускает возможность неограниченного повышения уровня усиления. При увеличении к система становится неустойчивой.
Из (14.37) имеем
у>(а1 -Д0, а1 - ^ >0.(14.38)
Отсюда следует, что эталонная модель должна обладать более сильными демпфирующими свойствами (а > а», чем управляемый объект. Причем необходимо, чтобы это условие выполнялось для всего диапазона изменения коэффициента а^. Отметим, что в случае а】> 0 допустимая величина постоянной времени Г, при которой выполняется неравенство (14.38), больше, чем в случае а^ < 0.
Пусть теперь в структуре системы (см. рис. 14.3) содержится элемент инерционного запаздывания с передаточной функцией второго порядка
力(р)= , , “= 3.(14.39)
Т2P2+20少+ i “(р)
С учетом (14.39) записываем уравнения управляемого процесса
A(D)x(t) = 6ом(О, (T2D2 +2QTD + l)«(z) = k'h(t),
u(z) = k(y - х), j = а0 |(x° -x)dt-axx.(14.40)
о
Исключая в (14.40) переменные у, 〃，и, находим операторное уравнение замкнутой системы
\pA(D)A^D)-\- 4%ot(Q)卜《)=耽а()х°,
A^(D) = T2D2 +2QTD + 1, % =儿瓦(14.41)
и соответствующую ему передаточную функцию
к(р、％ =к(р、％ =pA^(p)A(p) + kboa(p)pA^(p)A(p) + kboa(p)(14.42)(14.42)
к(р、％ =
к(р、％ =
pA^(p)A(p) + kboa(p)
pA^(p)A(p) + kboa(p)
(14.42)
(14.42)
Особенность структуры К(р, А) состоит в том, что степень полинома рА(р)А^(р) на три единицы выше степени а(р). Эта особенность существенно определяет свойства системы при увеличении коэффициента усиления к. Найдем асимптотическое распределение полюсов передаточной функции (14.42) при оо.
Рассматриваем характеристическое уравнение
(14.43)(14.43)рА^(р)А(р) + кЬ^а(р) = 0.
(14.43)
(14.43)
В случае А： -> оо из (14.43) получаем предельное уравнение а(р) = 0. Поэтому два полюса /\2(儿)передаточной функции К(р, Л) асимптотически стремится к полюсам р；? передаточной функции эталонной модели. Чтобы установить поведение остальных трех полюсов, выполним анализ приближенного уравнения, которое получается из (14.43) при больших значения к. Воспользуемся методикой, с помощью которой исследовано распределение полюсов передаточной функции (14.32).
Характеристическое уравнение (14.43) представим в виде
Р"(Р)4(Р),,, с
六—+ 俗=0.(14.44) а(р)
В полиномах числителя и знаменателя дроби сохраняем члены старших степеней р, принимая
р4(р)&(р) = 72P5 +9出2 +2,7)〃，а(р)ар2 +^р
С учетом этих выражений из (14.44) получаем приближенное уравнение
Т2P4 +(巧丁2 + 2,Т)рЗ + 好(p + ai)«0.(14.45)
В уравнении (14.45) отсутствует член, содержащий р2. Поэтому, согласно критерию Гурвица, не выполняется необходимое условие расположения всех корней (14.45) в левой полуплоскости. Следовательно, хотя бы один из трех полюсов передаточной функции (14.42) при к т д удаляется на бесконечность в правой полуплоскости.
Таким образом, наличие в структуре рассматриваемой системы звена инерционного запаздывания второго порядка исключает возможность неограниченного повышения уровня усиления. При любых соотношени-
ях значений параметров передаточных функций управляемого объекта и эталонной модели повышение уровня усиления сверх критического приводит к потере устойчивости системы. При этом критическое значение коэффициента усиления тем меньше, чем больше величина постоянной времени Г в передаточной функции (14.39).
Исследование влияния звеньев инерционного запаздывания на динамику систем выполнено для того случая, когда алгоритм управления синтезирован по эталонной модели второго порядка, а передаточная функция объекта не имеет нуля. По такой же методике можно исследовать системы с алгоритмами управления, которые синтезированы по эталонной модели третьего порядка. Окончательные результаты исследования приведены в табл. 14.1. Буквой п обозначен порядок эталонной модели, по которой синтезирован алгоритм. Эталонная модель второго порядка описывается уравнением a(D)X0 = ctox°, а уравнение модели третьего порядка имеет вид y(D)X0 = УК°・ Операторные выражения a(Z)), y(Q) определяются соответственно по (14.15) и (14.25). В табл. 14.1 приведены условия, при выполнении которых система сохраняет устойчивость, если Л -> оо. В тех случаях, когда структура системы не допускает возможность неограниченного повышения уровня усиления, в таблице отмечено «теряет устойчивость».
Изложим схему исследования системы с управляемым объектом, передаточная функция которого имеет нуль, т.е. %(,)==(许Р + %)
Уравнение замкнутой системы с таким объектом можно непосредственно
14.1. Условия устойчивости замкнутых систем
Номер алгоритма
Условие устойчивости при ктт
(%+1尸
(Г2р2 + 2；7р+ I)'*
2
(14.12)
1
亍 > cq - %
Теряет устойчивость
3
(14.24)
1
у >у2 -«1
Теряет устойчивость
записать по аналогии с (14.31) и (14.41). Заменяя в (14.31) коэффициент 瓦 на 6'(О), будем иметь
\p(TD + 1)4(。) + кВ' (D)a(D)]x(Z)=依。夕⑵)%。,
夕(£>) = &〈瓦 D + 瓦).(14.46)
Если в (14.46) заменить (TD + 1) на трехчлен A^D\ то получим уравнение системы, в прямой цепи которой включен элемент с передаточной функцией (14.39). В том случае, когда алгоритм управления строится по уравнениям (14.27), можно найти
[d2 (TD + l)^(D) + кВ' (D)a(D)卜(f) = ka0B'(D)x°.(14.47)
Аналогично выписываются уравнения системы с алгоритмом управления (14.28), синтезированным по эталонной модели третьего порядка.
Результаты исследования ас им птотичес ких свойств приведены в табл. 14.2. В том случае, когда для вычисления управляющей функции используется информация о положении и скорости (х, х), система безусловно сохраняет устойчивость при % f 8, если в прямой цепи содержится инерционное звено первого порядка. В случае звена второго порядка
14.2. Условия устойчивости замкнутых систем
п
Номер алгоритма
Условие устойчивости при А —> со
（力+1尸
(Г2р2 + 2QTp + If1
2
(14.27)
1
->щ-ах
Теряет устойчивость
(14.12)
Безусловно устойчива
1)瓦 + 49]-哈
т2W
3
(14.28)
Безусловно устойчива
1 : % + 4(% i)
т2W
система не теряет устойчивости в асимптотике при определенных соотношениях между параметрами объекта и эталонной модели. Следовательно, при наличии форсирующего звена В(р) = 6屮 + 仇 в структуре модели управляемого объекта, т.е. нуля в передаточной функции %(р), система остается устойчивой при неограниченном повышении уровня усиления в случае, когда в ее прямой цепи содержатся инерционные элементы первого и второго порядка.
В заключение этого раздела отметим, что наличие звеньев инерционного запаздывания в прямой цепи системы не меняет порядок астатизма. Как и в случае «идеальных» моделей управляемых объектов, порядок астатизма определяется структурой эталонных моделей.
Элементы инерционного запаздывания включеныв обратных связях
Рассматриваем структурную схему, которая изображена на рис. 14.4. В данном случае управляющая функция и вычисляется по информации, поступающей с выхода измерителя, инерционное запаздывание которого характеризуется передаточной функцией W(p). Примем
力 + 1 х(р)р + ахр + а0 А(Р)
Структурная схема соответствует тому случаю, когда для объекта с передаточной функцией %(р) синтезирован алгоритм управления (14.27) по эталонной модели второго порядка. Процессы в системе описываются уравнениями
A(D)x(t)= B(D) и (t), w(Z) = k(y - x),
У = J(a%-a/)或，/)= J(x°-£)或，(14.48)
оо
(7D + l)£(f) = H(f).
Исключим из (14.48) переменные у, w, х, тогда получим операторное уравнение замкнутой системы
[d2(ТО +1) A{D} + kk'BiDyaiD^xit) = ka0(TD +1)B(D)x° . (14.49)
Рис. 14.4
Если передаточная функция измерителя W(p) определяется выражением вида (14.39), то в (14.49) двучлен (TD + 1) следует заменить на 4(。).
Существенно следующее обстоятельство: звено инерционного запаздывания в цепи обратной связи (по положению) делает систему статической, если коэффициент усиления % w L В этом можно убедиться, вычислив установившееся значение выходной переменной х(оо) при входном воздействии х° = const. Принимая Q = 0 в уравнении (14.49), находим
х°
х(оо) = —, что соответствует статической системе.
Рассмотрим теперь систему с алгоритмом управления (14.12). Управляющая функция вычисляется по информации о положении и скорости (х, х). Принимаем, что в цепях измерения включены инерционные
звенья с передаточными функциями
寅p) х(р)寅p) х(р)%5)=备%5)=备土(р) х(р)土(р) х(р)
寅p) х(р)
寅p) х(р)
%5)=备
%5)=备
土(р) х(р)
土(р) х(р)
В таком случае процессы в системе описываются уравнениями
A{D)x(t) = B{D)u(t\ u(t) = k{y-x),
j = a0 |(x° -x)^-a]X,оj = a0 |(x° -x)^-a]X,о(14.50)(14.50)
j = a0 |(x° -x)^-a]X,о
j = a0 |(x° -x)^-a]X,о
(14.50)
(14.50)
(ГО + 1)x(0 = %*(f), (TXD + l)i(z) ="女⑺.
Из (14.50) получаем уравнение замкнутой системы
[DAT (0)4(。) + &8(D)ar (D)]x(f) = ka0 B(D)Ar (D)x°,(14.51)
где операторные полиномы
4(。) = (70 +1)(7；。+ 1),(14 52)
aMD) = k"TD3 +(k" + а^'Тх)О2 +(%%'+ 网％力)。+ %%'.
Характеристическое уравнение, соответствующее (14.51), имеет вид
рАт(р)А(р) + kB(p)aT(p) = 0.(14.53)
Степень полинома [р4T (夕)力(р)] на единицу выше степени полинома [8(夕)01丁(夕)].Поэтому рассматриваемая система будет сохранять устойчивость при к —8, если корни предельного уравнения В(р)аХр) = 0 расположены в левой полуплоскости. По условию нуль передаточной функции объекта 万二-%bj < 0. Следовательно, указанное условие будет выполнено, если корни уравнения а^(р) = 0 имеют отрицательные действительные части. Согласно критерию Гурвица, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(%* + а*7])(а] + а07]) > а0АТ,(14.54)
которое следует из (14.52).
Таким образом, если параметры эталонной модели и инерционных звеньев удовлетворяют условию (14.54), то система, описываемая уравнением (14.51), будет устойчива в асимптотике (左 f оо). При конечных значениях % н %' w 1 система имеет нулевой порядок астатизма. Действи
тельно, из (41.51) с учетом (14.52) находим х(оо)=—.
По изложенной методике можно исследовать свойства системы и в тех случаях, когда в цепях обратных связей содержатся звенья инерционного запаздывания с другими передаточными функциями. Если порядок уравнений таких звеньев повышается, то существенно усложняются условия, при которых система сохраняет устойчивость в случае неограниченного повышения уровня усиления. Например, если динамика измерителей переменных х, х описывается уравнениями
(Г2。2 +2CJD +1) £(f) = k'x(t),
(14-55) (产02 + 24看0+1)貝1)= %wf),
то уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления (14.12) будет [ш*(О)Л(О) + kB(D)a^(D)\x(t) = %а()8(С)4*(С)х°,(14.56)
где приняты обозначения
4*(С) = 4(С)%(С),
а《(。)=々'(а。+ а]D)A^(D) + ^D1 A^{D).
Здесь операторные выражения 4,(0),力口(D) соответствуют левым частям уравнений (14.55).
Рассматриваемая система будет устойчива при к т д、если выполняются два условия. Первое из них состоит в том, чтобы корни уравнения а,(р) = 0 четвертой степени были расположены в левой полуплоскости. Применяя к этому уравнению критерий Гурвица, получим неравенство, аналогичное (14.54). Так как степень операторного полинома ["(С)4(。)] на две единицы выше степени полинома [B(D)a^(D)], то при выполнении первого условия система будет сохранять устойчивость в асимптотике, если ее параметры удовлетворяют второму неравенству, которое получается из приближенного характеристического уравнения, соответствующего (14.56). Мы не выписываем эти неравенства, отметим только, что первое из них определяет соотношение между параметрами эталонной модели и звеньев инерционного запаздывания, а второе - между параметрами всех элементов системы в целом.
Таким образом, в том случае, когда в цепях обратных связей содержатся звенья второго порядка, то для устойчивости системы при к т 8 необходимо, чтобы ее параметры удовлетворяли двум неравенствам.
Основные результаты и рекомендации
При исследовании динамики систем рассматриваемого класса, в структуре которых содержатся элементы инерционного запаздывания, получены следующие результаты:
Элементы инерционного запаздывания, динамика которых не учитывается при синтезе алгоритмов управления, оказывает основное
влияние на статические характеристики и асимптотические свойства систем. Степень и характер этого влияния существенно определяется порядком передаточных функций инерционных звеньев и местом их включения -в прямой цепи или в цепях обратных связей.
Дия исследования асимптотических свойств системы необходимо установить распределение полюсов ее передаточной функции при неограниченном повышении уровня усиления. Кроме того, необходимо найти соотношения между ее параметрами, при выполнении которых система сохраняет устойчивость в асимптотике (左 f оо). Такие соотношения могут быть получены по приближенному уравнению, которое следует из характеристического уравнения системы при больших значениях |р|.
Система управления объектом с передаточной функцией %(р) = ^° , в прямой цепи которой содержится элемент инерционно- 心)
го запаздывания, обладает следующими свойствами:
система остается устойчивой при неограниченном повышении уровня усиления, если инерционный элемент имеет первый порядок, выполняется определенное соотношение между параметрами объекта и эталонной модели (см. табл. 14.1);
если инерционный элемент имеет второй порядок, то система становится безусловно неустойчивой при достаточно больших значениях коэффициента усиления.
Система усиления объектом с передаточной функцией %(夕)二■■色Р+%!, в прямой цепи которой содержится инерционный 心)
элемент, обладает следующими свойствами:
если управляющая функция вычисляется только по информации о положении (х), то система допускает бесконечно высокий уровень усиления в случае, когда передаточная функция инерционного элемента имеет первый порядок, а параметры объекта и эталонной модели удовлетворяют определенному неравенству (см. табл. 14.2)；
в случае, когда передаточная функция инерционного элемента имеет второй порядок, система безусловно теряет устойчивость при высоком уровне усиления;
если управляющая функция вычисляется по информации о положении и скорости (х, х), система безусловно устойчива при неограни-
ченном повышении уровня усиления, когда передаточная функция инерционного элемента имеет первый порядок;
это свойство сохраняется при определенном соотношении между параметрами объекта и эталонной модели в том случае, когда передаточная функция инерционного элемента имеет второй порядок (см. табл. 14.2).
Элемент инерционного запаздывания в прямой цепи системы не меняет ее порядка астатизма, который определяется структурой эталонной модели.
В том случае, когда элементы инерционного запаздывания содержатся в цепях обратных связей, системы с алгоритмами управления вида (14.12) и (14.28) безусловно устойчивы при больших коэффициентах усиления, если инерционные звенья имеют первый порядок.
Для сохранения устойчивости в случае звеньев второго порядка необходимо, чтобы параметры управляемых объектов, эталонных моделей и элементов инерционного запаздывания удовлетворяли дополнительным соотношениям вида (14.54).
Инерционное звено в цепи обратной связи по выходной переменной х делает систему статической. Звено инерционного запаздывания в обратной связи по переменной х не меняет порядка астатизма системы.
Характеристическое уравнение замкнутой системы с алгоритмами управления рассматриваемых структур представимо в виде
N2(p) + kNi(p) = Qi (14.57)
где к - коэффициент усиления контура управляющей функции; N],2(p) 一 полиномы относительно р степеней «1 и «2 соответственно. В зависимости от соотношения степеней пь «2 система обладает следующими свойствами:
если степень полинома У2(р) на единицу выше степени полинома М(р), т.е. «2 - «1 = 1, то система не теряет устойчивости при неограниченном повышении уровня усиления (% -» оо);
если степень полинома №(р) на две единицы выше степени полинома N3, т・е・ «2 - «1 = 2, то система будет устойчива в асимптотике при определенном соотношении между параметрами управляемого объекта и эталонной модели;
в случае, когда п2~ п^> 2, система не допускает возможность неограниченного повышения уровня усиления при любом соотношении между параметрами объекта и модели.
Сформулированные результаты получены при исследовании простейших систем, однако они остаются справедливы и для систем высокого порядка.
Развитая методика анализа влияния элементов инерционного запаздывания на динамику процессов управления полностью применима для исследования асимптотических свойств систем сложной структуры.
14.3. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ
Рассматриваем систему с управляемым объектом первого порядка, математическая модель которого задана уравнением
х + аох = Ь^и .(14.58)
Синтезируем алгоритм управления, при котором объект переходит из начального состояния х(0) = х0 в окрестность стационарного состояния х(оо) =х° = const. При этом процесс x(Z) f х°, должен с необходимой степенью приближения следовать за эталонным процессом ХО — х°, определяемым дифференциальным уравнением
у + аоу = аох°, а0 >0(14.59)
при начальном условии Х0) = х(0).
В качестве меры приближения процессов x(Z) f Х0 принимаем функционал
GQ) = ；W(f)-Mf, 〃『，(14.60)
который характеризует кинетическую энергию движения. Управляющую функцию и определим соотношением
_——, X = const.(14.61)
dt 点
Градиент функционала равен
dGQ),.
Подставляя это выражение в (14.61), получим закон управления
—= к(у — х), к = —*凤.(14.62)
at
Для коэффициента усиления к должно вьшолняться правило знаков sign(%) = sign®). Далее принимаем 瓦 > 0. Требуемое значение скорости изменения выходной переменной системы находим из уравнения эталонной модели (14.59), принимаяХ0 =工«)• Имеем
у = а0(х° -х).(14.63)
Уравнения (14.62), (14.63) составляют основу алгоритма управления. Запишем их в другой форме. Проинтегрируем по времени обе части этих уравнений при нулевых начальных значениях переменных. В результате получим
w = к{у - х), у = а0 |(х° -x)dt.(14.64)
о
Структурная схема замкнутой системы (14.58), (14.63) изображена на рис. 14.5.
Выведем уравнение управляемого процесса. С этой целью запишем (14.58), (14.59) и (14.64) в операторной форме:
(D + ao)x(f)=仇«),u(t) = к(у - х\ у = ^ (х° - х).(14.65)
Исключая здесь переменные у, и, получим искомое уравнение
[D(D + а0) + kb«D + а0)]х(/)=儿仇网工。(14.66)
и соответствующую ему передаточную функцию
К(р, к)=包幺.(14.67)
р(р + а0) + ^0(р + а0)
При любых конечных значениях а0 > 0, а0 < 0 всегда существуют такие значения коэффициента усиления к > 启 при которых полюсы передаточной функции (14.67) будут расположены в левой полуплоскости. При этом структура системы допускает неограниченное повышение уровня
усиления. В случае к т д один полюс К(р, %) стремится к полюсу передаточной функции эталонной модели, а другой - удаляется на бесконечность в область отрицательных значений, т.е.:夕必)f (-а0))A® f (~°°). Поэтому асимптотическая передаточная функция системы будет равна передаточной функции эталонной модели: К(р, оо) = —^—. Следова- (Р + ос0)
тельно, теоретически в асимптотике справедливо равенство x(z) =Х0- Пусть теперь в прямой цепи системы (рис. 14.6) содержится инерци- 犬
онное звено с передаточной функцией W(p)=————.В данном случае передаточная функция неизменяемой части системы будет
%(р)=——?•
p 十 & (少+ 1)(，+ 旬)
С учетом (14.64) записываем уравнения замкнутой системы
(77)+ 1)(0 +%)工«) = %〃«),
м = ^(у-х), У = ^~(工° -х).(14.68)
Исключая в (14.68) переменные у, и, находим
[D(TD + 1)(D + а0) + kb^D + а0)]х(/) = А*оаох°.( 14.69)
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии равна
К(р, %)=К(р, %)=Р(Тр +1) (р + %) + 耽(р + а0)Р(Тр +1) (р + %) + 耽(р + а0)(14.70)(14.70)
К(р, %)=
К(р, %)=
Р(Тр +1) (р + %) + 耽(р + а0)
Р(Тр +1) (р + %) + 耽(р + а0)
(14.70)
(14.70)
Характеристическое уравнение
р⑺ + 1)(р + %) + kb式р + а°) = 0,(14.71)
в обозначениях (14.57) принимает вид
N2(p) + Wl(p) = 0, %1(р) = %(р + ао),
(14.72)
^2(р)= рС^ + ^Ср + ^У ■
Рис. 14.5
Система будет асимптотически устойчивой, если согласно критерию Гурвица ее параметры удовлетворяют условию
(1 + 的7)(的 + 磁)〉к^а0Т .(14.73)
Так как степень N2(p) на две единицы выше степени М(Р), то система будет сохранять устойчивость при % f 8 в том случае, когда между параметрами управляемого объекта, эталонной модели и звена инерционного запаздывания выполняется определенное соотношение. Для рассматриваемой системы это соотношение можно найти из неравенства (14.73) предельного перехода. Запишем (14.73) в виде
的(1 + &Т) + (1 + 固Т)娜 > &瓦а°Т.(14.74)
Разделим обе части (14.74) на %% и вычислим предел при % f 8. В результате получим
(1 + а0Г) > а0Г => у > (а0 - а0).(14.75)
Таким образом, если для системы выполняется неравенство (14.75), то она остается устойчивой при неограниченном повышении уровня усиления.
Обозначим постоянные времени объекта и эталонной модели соот
ветственно через 厶 н 几.На основании (14.58) и (14.59) имеем TQ =—,
固
Ты = — . Поэтому неравенство (14.75) можно записать так:
«о
Рис. 14.6
или Тм> TQ.или Тм> TQ.Из (14.76) следует, что постоянная времени эталонной модели 几 должна быть всегда меньше постоянной времени объекта %* Причем 几 f 厶 при увеличении Т. В том случае, когда модель управляемого объекта представляет собой интегрирующее звено (а。= 0) из (14.75), получаем
или Тм> TQ.
или Тм> TQ.
(14.77)
С учетом (14.70) находим передаточную функцию разомкнутой
системы
%(. %) = -f^^(14.78)
p[(力+ l)(p + &)+ 也]
если & = 0;если % w 0;если & = 0;если % w 0;По (14.78) определяем добротность системы по скорости
если & = 0;
если % w 0;
если & = 0;
если % w 0;
(14.79)
Из второго равенства(14.79) следует: Лск =偿 при ктд.
Пусть теперь в прямой цепи системы (рис. 14.6) содержится звено инерционного запаздывания с передаточной функцией W(p) вида (14.39). По аналогии с (14.69) записываем уравнение замкнутой системы
[N2(D) + %М(D)] Х«) = ^аох° ,
(14.80)
М(р) = ^(£> + а0),%2(р) = D(T2D2 + 2gTD +1)(0 + 的).
В данном случае степень операторного полинома №(Q) на три единицы выше степени M(Q). Поэтому система не допускает возможности неограниченного повышения уровня усиления. При больших значениях к устойчивость системы нарушается. В этом можно убедиться, исследуя характеристическое уравнение
р^p1 +2/ + 1)5 + a)+ 硯(р + ао) = 0, (14.81)
соответствующее (14.80). Согласно критерию Гурвица, все корни уравнения (14.81) будут расположены в левой полуплоскости, если его коэффициенты положительны и выполняется неравенство
…(…)一……等需• 3
Разделив обе части (14.82) на А; и вычислив пределы при 2 — 8, получим физически противоречивое условие (-7) > 0, которое свидетельствует о том, что при любых соотношениях между параметрами система теряет устойчивость при больших значениях %*
Рассмотрим теперь структурную схему, которая изображена на рис. 14.7. В цепи обратной связи включено звено с передаточной функцией %(р), характеризующей динамику измерителя. Принимаем 做"=斤—• В таком случае процессы в системе описываются уравнениями
(D + a0)x(t) = b0(t), ” = %(у-£), (14 83) у =碧(J -£), (77) + l)i(Z) =依⑺.
Рис. 14.7
Отсюда следует уравнение для управляемой переменной
[О(ГО +1)(0 + а0) + ^i(O + а0)]^(0 = kboao(TD + !>° ■ ( 14.84)
Левая часть (14.84) в точности совпадает с левой частью уравнения (14.69). Поэтому рассматриваемая система обладает такими же асимптотическими свойствами, как и система, структурная схема которой изображена на рис. 14.6. А именно, если параметры 饱，а(), Т удовлетворяют неравенству (14.75), то система сохраняет устойчивость при Л-> оо.
При конечных значениях % в установившемся движении система имеет статическую ошибку при постоянном входном воздействии х°.
Принимая Q = 0 в (14.75), находим х(оо)-,
В том случае, когда в цепи обратной связи содержится звено второго порядка с передаточной функцией W(p) вида (14.39), структура системы не допускает возможность неограниченного повышения уровня усиления. При больших значениях к устойчивость системы нарушается. Кроме того, в установившемся движении в случае х° = const система имеет статическую ошибку, если £ w L
Лекция 15
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕАЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
В теории систем с цифровыми вычислителями можно выделить два основных подхода к решению задачи синтеза алгоришов управления. Первый основан на проектировании цифрового алгоритма управления по моделям с дискретным временем. Второй подход основывается на дискретизации аналоговых алгоритмов управления, синтезированных по моделям с непрерывным временем. Синтезированные таким образом алгоритмы обеспечивают требуемое качество управления при постоянных параметрах управляемого объекта. Для объектов с переменными параметрами алгоритмы такой структуры оказываются неэффективными.
В предыдущих лекциях показано, что аналоговые алгоритмы управления, синтезированные на основе концепций обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, придают системам свойства естественной параметрической адаптивности - слабой чувствительности к изменению параметров управления объектов. Поэтому представляет практический интерес исследование свойств цифровых алгоритмов управления, полученных путем дискретизации аналоговых алгоритмов нетрадиционной структуры. Эти вопросы рассматриваются в настоящей лекции.
СТРУКТУРА АНАЛОГОВОГО АЛГОРИТМА
В шестой лекции рассмотрены задачи синтеза алгоритмов управления объектами, динамика которых характеризуется передаточными функциями общего вида:
」в(р) 一 х(р)4(Р)"(Р)
где х(р), (w(p) - изображения по Лапласу выходной переменной х(Г)и управляющей функции 〃«). Полиномы знаменателя и числителя
4»=р"+£//А B(p)=£bjpJ .(15.2)
,v=0/=0
Полюсы передаточной функции (15.1), т.е. корни рь..., р„ уравнения А(р) = 0, могут быть расположены как в левой, так и в правой полуплоскости, а также на мнимой оси Rep = 0. В отличие от распределения полюсов, нули передаточной функции 的(Р), т.е. корни 自，…，方財 уравнения 8(р) = 0, расположены только в левой полуплоскости.
Алгоритмы управления синтезируются в лекции 6 из условия, чтобы в установившемся режиме движение проектируемой системы проходило в малой Е-окрестности заданной программы xBX(Z), Z > 0, т.е. |xBX (Z) - x(z)| < е , r>Z*. Здесь интервал [0;厶]характеризует длительность переходных процессов. При этом требования к динамике системы назначаются с помощью эталонной модели, передаточная функция которой в замкнутом состоянии равна
=В(р) — у(р)а(р) Хвх(р)
где у(р), хвх(р) - изображения по Лапласу выходной переменной Х0 н входного воздействия xBX(Z), Полиномы знаменателя и числителя в (15.3) равны
а(р) =。"+ £aup", В(р) = Е%М・ (15.4) ц=0д=0
Порядок N эталонной модели назначается из условия, чтобы в алгоритме управления не было операции дифференцирования задающего воздействия хвх(/). Указанное требование может быть реализовано, если N удовлетворяет соотношению
+ m + l 之厶(15.5)
При этом степень / полинома 0(р) определяется при формировании эталонной модели.
Для управляемого объекта и эталонной модели с передаточными функциями (15.1), (15.3) общего вида в лекции 6 синтезированы различ-
ные структуры алгоритмов управления путем минимизации локальных функционалов
G(〃⑺)=J [严(，)- Х(%,〃⑺]2,n „
2J(15.6)
j = 0,l,
Алгоритм управления с минимальным информационным обеспечением получается при минимизации (15.6) по переменной
В этом случае для вычисления управляющей функции 〃«) необходимо иметь информацию о производных выходной переменной x(z), наибольший порядок которых равен п - т - 1. Если алгоритм управления синтезируется путем минимизации функционала по переменной w, то для вычисления w(0 нужна информация о производных до (л - 1)-го порядка включительно. Такая ситуация наиболее неблагоприятна с точки зрения информационного обеспечения системы управления.
Исследование динамики процессов управления с помощью цифровых алгоритмов будет выполнено применительно к упругой двухмассовой системе. Поэтому при изложении темы настоящей лекции мы будем рассматривать задачу управления объектом с передаточной функцией (15.1), (15.2), принимая л = 5 и /и = 1. Соответственно этому в полиномах (15.4) передаточной функции эталонной модели назначим п = 6 и / = 2. Для принятых степеней полиномов (15.2), (15.4) выполняется неравенство (15.5). Поэтому в уравнениях алгоритма управления не будет операции дифференцирования входного воздействия xBX(Z).
Таким образом, аналоговый алгоритм управления будем синтезировать для объекта, движение которого описывается уравнением
4
х5 +£仆工“)=biu + bQu .(15.7)
5=0
Согласно (15.3), (15.4), уравнение эталонной модели будет
22
у(б)+£а，а(15.8)
у=0д=0
При соответствующих значениях коэффициентов as, pg модель такой структуры может обладать высокой динамической точностью, требуемым характером переходных процессов, высоким быстродействием и необходимым порядком астатизма - до третьего включительно.
При синтезе алгоритма управления принимаем наиболее неблагоприятный случай, когда функционал (15.6) при л = 5 минимизируется по переменной и. В соответствии с градиентной схемой первого порядка имеем
d〃(f)小d〃(f)小dG(〃)-p, p = const. audG(〃)-p, p = const. au(15.9)(15.9)
d〃(f)小
d〃(f)小
dG(〃)
-p, p = const. au
dG(〃)
-p, p = const. au
(15.9)
(15.9)
Согласно (15.7), переменная
4
%⑴亿u) = 1\й +瓦" - Z0廿).
№0
Поэтому градиент функционала
哼续也（严7»））au
Следовательно, дифференциальный закон управления (15.9) принимает вид
〃=电*)-у*)], к = -Ь0P
или после интегрирования обеих частей при нулевых начальных значениях переменных
(15.10)(15.10)" =4/*)7叫.
(15.10)
(15.10)
Требуемое значение переменной 歹⑷ следует вычислять по соотно- шениям, которые получаются из уравнения эталонной модели. Чтобы найти такие соотношения, нужно дважды проинтегрировать обе части (15.8) по времени при нулевых начальных значениях переменных, а затем выполнить замену
(15.11)(15.11)ya4t) = x(K\t),九= 0...3.
(15.11)
(15.11)
После необходимых преобразований найдем
5
歹⑷=«о/ + а/ + %Хвх - Z а^~2,
"=2(15.12)
л =卜Хвх - X)龙，力=pod"оо
Здесь принято: р0 = а(), pi = аь что соответствует эталонной модели с астатизмом второго порядка.
Таким образом, основу алгоритма управления составляют уравнения (15.10), (15.12). Для вычисления управляющей функции 〃(£) по этим уравнениям требуется информация о производных выходной переменной х(0 до четвертого порядка включительно. Не обсуждая пока вопрос об информационном обеспечении, отметим кратко свойства замкнутой системы с алгоритмом (15.10), (15.12).
Получим уравнение управляемого процесса. С этой целью запишем (15.10), (15.12) в операторной форме, а затем подставим выражение для 〃⑺ в уравнение
A(D)x(t) = B(D)u(t),
4(15.13)
A(D)=炉 + £ asDs , B{D)=仿。+ %.v=0
Из (15.8) непосредственно следует, что с учетом (15.12) выражение для 歹⑷⑺ можно записать в виде
严⑺= 2[р(С)Хвх«)-а5)х«)],
D(15.14)
(Ро = а°, Pi = ct|), где обозначено
a\D) = a(D)~D6, —= J(…)曲.
Подстановка (15.14) в (15.10) приводит к выражению
〃⑺=崇[р(с)% (f) - a(Q)x(f)].(15.15)
Исключив 〃«) из (15.13), (15.15), найдем уравнение замкнутой системы
[E^A^D) + %B(Q)a(Q)] x(Z) = %В(С)0(£>)%«).(15.16)
Следовательно, передаточная функция
К(р, %)=К(р, %)=%в(р)в(р)р2 А(р) + кВ^а^р)%в(р)в(р)р2 А(р) + кВ^а^р)(15.17)(15.17)
К(р, %)=
К(р, %)=
%в(р)в(р)р2 А(р) + кВ^а^р)
%в(р)в(р)р2 А(р) + кВ^а^р)
(15.17)
(15.17)
Полиномы:
Ni(P)= B(p)a(p), N2(P)= p3(P)
имеют равные степени. Поэтому замкнутая система допускает неограниченное повышение усиления (к f оо) без потери устойчивости. Асимптотическая передаточная функция
к(р, оо)= 1加K=鱼也f a(p)
Следовательно, теоретически процессы в управляемой системе и в эталонной модели совпадают: х(/) = y(f), z > 0. Практически высокая точность приближения процессов х(/) f у(力 достигается в том случае, когда быстродействие контура управляющей функции существенно выше быстродействия эталонной модели. Ориентировочные значения коэффициента усиления рекомендуется рассчитывать по формуле
(15.18)(15.18)% 2(3…5件.
(15.18)
(15.18)
Здесь(о* - частота среза характеристики модели в разомкнутом состоянии:
%，(而)=卷工，(15.19)
Р А(Р)
где полином
一52・
А(Р)= d + fa/d)工％?g .
_卩=2g=0一
Величина & найденная по (15.18), уточняется при математическом моделировании.
Согласно (15.19), добротность эталонной модели по ускорению
По известной формуле с учетом (15.17) находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
%3&)= 2 r 切3"5)——z.(15.20)
P [A(p) + kB(p)^(p)]
Отсюда следует, что спроектированная система имеет такой же порядок астатизма, как и эталонная модель 一 второй.
Добротность системы по ускорению
勺 ск =(P)Lo =做致■(15.21)
у 1Л(О) + ^о(а2-р2)
В зависимости от распределения полюсов передаточной функции W(p) управляемого объекта возможны два варианта:
■^■二左А，/(0) = 0;
, а2
"ск= 以(15.22)
-器。「<后証40)工0■ [a0 + ^(a2-p2)
Следовательно, если передаточная функция %(р) управляемого объекта имеет хотя бы один нулевой полюс (р = 0), то добротность системы по ускорению будет равна добротности эталонной модели. Так как при этом система и модель имеют одинаковый порядок астатизма, то их амплитудные характеристики совпадают в рабочем диапазоне частот. В этом случае высокая степень приближения процессов х«) -> у(0 достигается при умеренных значениях 后.Если же передаточная функция W^p) не имеет нулевого полюса, то амплитудная характеристика системы будет расположена ниже характеристики модели. Вследствие этого для достижения высокой степени приближения процессов х(0 ->у(0 возможно потребуется чрезмерно большое значение к. В предыдущих лекциях показано, что в таких ситуациях нужно повысить порядок эталонной модели на единицу.
СТРУКТУРЫ ЦИФРОВЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХАЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Выполним дискретизацию аналогового алгоритма (15.10), (15.12).
Запишем (15.12) в виде системы дифференциальных уравнений:
九《) = %«)-х«),
加) = /о«)，(15.23)
宀1…/⑴+网工⑴+9⑺，
где обозначено
5
9(f) = P2xBX(0-Eaux(g_2)W •(15-24)
Н = 2
Интегрирование первых двух уравнений в (15.23) выполним по простой схеме Эйлера. Шаг интегрирования обозначим через Г Производные 方， 力 заменим приближенными равенствами
и будем рассматривать дискретные моменты времени t = пТ, л = 0,1,.... Выполняя дискретизацию (15.10), (15.23) и (15.24), получим уравнения цифрового алгоритма управления, записанные в относительном времени:
"(") = &")(“)_х(4)(")],
foi.»^ /о(п~^ + т[%5Т)-х(”-1)],
力(") = /i("T) + 5("T)，(1525)
у(4)(")= a / (") + a0力(")+ 双")，
« = 0,1,...,
где, согласно (15.24), переменная
5
9(")=伝% (") - 5>，｝2)(")(15.26)
U=2
В теории цифровых систем величину 丁 называют периодом квантования сигналов по времени. Если управляемый объект не обладает резонансными свойствами на частотах, превышающих частоту среза со： характеристики эталонной модели, то верхняя граница периода квантования определяется соотношением
Т 当，(15.27)
которое соответствует теореме Котельникова.
Если резонансные свойства управляемого объекта проявляются за пределами полосы пропускания эталонной модели, т.е. резонансная частота соо > со*, то допустимая величина Т определяется неравенством (15.27), где вместо о* следует поставить(оо- В том случае, когда управляемый объект не обладает резонансными свойствами, величина Т определяется по (15.27).
Период дискретизации можно увеличить, применяя комбинированный цифро-аналоговы й алгоритм управления. Наиболее быстродействующие контуры, начиная с контура управляющей функции, целесообразно реализовать аппаратно в аналоговой форме, а другие - в цифровой. Рассмотрим два варианта таких алгоритмов.
В том случае, когда в аналоговом исполнении реализуется контур управляющей функции с четвертой производной в обратной связи, в алгоритме управления (15.25) изменится только первое уравнение и управляющая функция будет
"(，) = %4)(т”)-х(4)(“.(15.28)
Другие уравнения в (15.25) останутся без изменений. Согласно (15.28), при вычислении 〃(г) используется ступенчатая функция
，⑷(Т” ) = »*(") = const, О < т„ < Т ,
л = 0,1,....(15.29)
Аппаратно такая аппроксимация выполняется цифро-аналоговым преобразователем.
В разделе 15.3 будет показано, что применение комбинированного алгоритма (15.25), (15,28) практически не снижает требования к величине периода квантования Т, Величину Т можно значительно увеличить, если в аналоговом исполнении реализовать обратные связи по четвертой и третьей производным. Уравнения такого алгоритма имеют вид
"(f) = &[/4)(f)-X(4)(f)],
启")=/) 5 Т) + 7 Ьвх 5 Т) - х(” 1)],
力 5)=力 5-D+灰 5Т),(15.30)
/4)(0 = а/"”)+ а/(т”)+ &f),
л = 0,1,
Согласно (15.26), переменная
4
9(f) = Р2хвх(т„)-Х%х(丁2)(%)-а5х(0 .(15.31)
Н=2
Уравнения (15.30), (15.31) содержат ступенчатые функции, аналогичные (15.29). При вычислении 9(E) используется Н(Е) как непрерывная функция.
Уравнения (15.28) 一 (15.31) комбинированных алгоритмов управления получены для простейшей схемы численного интегрирования - метода прямоугольников. При необходимости аналогичные уравнения можно вывести для схемы интегрирования по формулам трапеций.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙСИСТЕМЫ С ЦИФРОВЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ
УПРАВЛЕНИЕМ
Структурная схема модели двухмассовой упругой системы изображена на рис 15.1. Такая модель типична для систем с упругими механизмами передачи движения. На схеме используются общепринятые обозначения. Динамические свойства двигателя постоянного тока с независимым возбуждением характеризуются параметрами 勾，km, h, индуктивностью L и активным сопротивлением R якорной цепи, а также моментом
Рис. 15.1
инерции 4. Момент инерции нагрузки обозначен через 4, коэффициент передачи редуктора - п. Упругие свойства характеризуются коэффициентом упругости с. Вязкое внутреннее трение конструкции не учитываем. Это означает, что мы рассматриваем самый неблагоприятный случай с точки зрения организации управления.
Движение системы подчиняется дифференциальному уравнению пятого порядка
4
л=0
Здесь ф - угол поворота вала нагрузки. Для исследования принимаем следующие числовые значения параметров объекта управления:
勺=5,4,
кт = 0,043 Н м-А-1
4= ЮО кг • м2,
1 = 0,00138 Гн,
h = 0,073 Вс- рад*1
п= 100,
R = 0,138 Ом,
4 = 2,94・10< кг • м2,
с = 3 • 105 Н • м • рад-1
которым соответствуют:
Оо = о, Л1= 232,6 • 105,。2 = 104,7 • 105,
<13=111,6 104, а4 = ЮО, 60= 172,1 105.(15.32)
Соответствующий этим значениям характеристический многочлен, отвечающий (15.1), можно представить в виде
{(р) = (0,44р +1Х0,0109р + 1)(9,02 • 10-6 + 5,08 • 10'5р + 1)р.
Первый сомножитель характеризует динамику исполнительного двигателя с учетом нагрузки. Его механическая постоянная времени хт = 0,44 с. Второй сомножитель отражает инерционность электрических процессов в якорной цепи. Электрическая постоянная времени тэ = 0,0109 с. Динамические свойства подсистемы, включающей упругую механическую передачу и нагрузку, характеризуются третьим сомножителем. Частота и коэффициент затухания собственных колебаний этой подсистемы равны соо = 330 с-1; ^ = 0,02. Таким образом, управляемый объект представляет собой слабодемпфированную колебательную систему.
Требуемые динамические характеристики реализуются эталонной системой, модель которой соответствует дифференциальному уравнению
52
Y中"(15.33)
U=0д=о
Числовые значения коэффициентов равны:
а0 = ро = 4,87 • 1010, а! = р! = 7,43 • 109, а2= 1,16 - 109,
а3 = 3,74 • 107, а4 =334475, а5= 1001, р2 = 1,12 - 109.(”・34)
Логарифмические характеристики модели в разомкнутом состоянии и модели объекта, т.е.
%®) = 20lg| 九(砌I，"(co) = 20Ig|铀(迪)|,
для принятых значений параметров изображены на рис. 15.2. Частота среза характеристики эталонной модели со* = 330 с"1.
Структура уравнений системы и модели (15.33) идентична структуре (15.7) и (15.8). Поэтому согласно (15.12), уравнения аналогового алгоритма будут
№)=心4)(/)-屮(4)«)),
屮⑷ С) = ao/i(O + oti/o(O + /2(O，
/ё(') = [Звх - $)&, /；(?) = \f^dt,(15.35)
оо
5
/2(О = ₽2Фвх(О-ХаиФ(，*_2)(/)-
Н=2
Управляемая система с алгоритмом управления (15.35) и эталонная модель (15.33) имеют одинаковый порядок астатизма - второй. Кроме того, передаточная функция объекта имеет один нулевой полюс, так как Я(0) = % = (). Поэтому, согласно формулам (15.22), система и модель обладают равной добротностью по ускорению. Вследствие этого высокая степень приближения процессов достигается при умеренных значениях к в алгоритме (15.35).
Ориентировочное значение коэффициента усиления в (15.35) найдено по формуле (15.27). Для принятых исходных данных значение к = 5 - 10~5. С и нтезированны й алгоритм придает системе свойства параметрической адаптивности, что подтверждается данными математического моделирования, приведенными в табл. 15.1. Здесь А(ртах - максимальное отклонение значений переходной характеристики спроектированной системы от значений эталонного процесса.
Так, при изменении момента инерции нагрузки в 10 раз величина |<ртах| остается малой. Кроме того, из табл. 15.1. видно, что повышение коэффициента усиления приводит к уменьшению |屮鹏| •
После необходимых преобразований из (15.35) получаем уравнения цифрового алгоритма
Характеристики переходных процессовпри изменении нагрузки
Jh，КГ • м2
& = 0,00001, В с4-рад"1
^2 = 0,00005, В-с4 рад-1
Аф
пах, РЯД
100
0,04715
0,00856
75
0,03723
0,00651
50
0,02443
0,00434
25
0,01266
0,00227
10
0,00525
0,00096
"(")=uw⑷(")-屮⑷(")],
% (") = /)(" Т) + т [фвх(и-1)-ф(и-1)1，
Ш = f^n-^ + T^in-V),(15.36)
5
V(4)(«) = ₽2Фвх(и)- £аМ"-2)("),ц=2
аналогичные (15.25) и соответствующие схеме численного интегрирования по методу Эйлера.
Исследуем динамику системы с алгоритмом (15.36) при изменении периода квантования Т. Так как управляемая система имеет резонансную частоту со。= 330 с-1, которая превышает частоту среза со*, характеристики эталонной модели, то в соответствии с формулой (15.27) предельно допустимая величина
TW 曳= 0,0015 с.
Данные табл. 15.2 иллюстрируют зависимость Афтах от величины периода квантования Т в алгоритме (15.36): чем больше Т, тем больше отклонение переходного процесса в замкнутой системе от процесса в эталонной модели. При незначительном превышении величиной Т предельного значения, рассчитанного по (15.27), устойчивость системы нарушается.
15.2. Характеристики переходного процесса при измерении периода квантования
15.3. Характеристики переходных процессов в системе с комбинированным алгоритмом управления
Л с
А屮max, РЯД
Л с
&Ртах，РЯД
0,0008
0,00885
0,0008
0,00885
0,0010
0,01066
0,0010
0,01067
0,0012
0,01258
0,0012
0,01314
0,0014
0,01458
0,0014
0,01649
0,0016
0,01743
0,0016
0,02034
0,0018
Система
0,0018
Система
неустойчива
неустойчива
Применение комбинированного алгоритма управления с аналоговым контуром управляющей функции вида (15.25) не приводит к увеличению допустимого значения периода квантования. Об этом свидетельствуют данные табл. 15.3. Система теряет устойчивость при Т- 0,0018 с, как и в случае применения цифрового алгоритма (15.36).
Алгоритм управления с аналоговыми обратными связями строится по уравнениям (15.30) и (15.31). Принимая
/*)0)=w(4)⑴，公4)0)=中(4)0), %") = %")
получим
"a) =电⑷⑴-中⑷")],
/о(") =/о(" -1) + 7[ч>вх(" -1)-屮("-1)]，
/(")=力("-1) + 5("-1),(15.37)
y⑷⑴=网工(％) + a/G) + 9⑴，
制=0, 1,…，
где переменная 4
»(O = MBx(Tn)-Sa>*<₽(U_2)^n)~a5<PW-(15.38)
U=2
Применение комбинированного алгоритма управления (15.37), (15.38) позволяет существенно (на порядок) увеличить период квантования. В результате математического моделирования установлено, что система не теряет устойчивости при Т= 0,009 с. Такое свойство обусловлено тем, что аналоговые обратные связи по старшим производным нейтрализуют резонансные свойства объекта. Поэтому, как отмечено ранее, предельное значение периода квантования определяется частотой среза со； характеристики эталонной модели. Процессы в системе с алгоритмом (15.37), (15.38) практически не отличаются от процессов в эталонной модели.
Таким образом показано, что включение обратных связей по третьей и четвертой производным в аналоговой форме дает возможность увеличить период квантования на порядок по сравнению с цифровым алгоритмом. Существенно при этом, что система сохраняет свойства параметрической адаптивности. При изменении момента инерции в 10 раз переходные характеристики системы остаются такими, как показано на рис. 15.3.
Следует отметить, что в системах с цифровыми и комбинированными алгоритмами имеет место задержка по времени процессов управления на несколько тактов (периодов квантования) по отношению к моменту включения (Е = 0). Это обусловлено необходимостью накопления информации, используемой для вычисления управляющей функции по разностным соотношениям. Такая задержка на два такта имеет место в системе с алгоритмом (15.37), (15.38), что отражено на рис. 15.3.
Рнс. 153
Отметим, что дальнейшее расширение аналоговой части алгоритма в результате замыкания контуров по(р(/) не приведет к дополнительному увеличению периода дискретности, так как его предельно допустимое значение определяется частотой среза со* характеристики эталонной модели.
Сделаем необходимые замечания по информационному обеспечению алгоритмов управления. В рассматриваемой задаче управления для реализации алгоритмов управления необходимо иметь информацию о производных выходной переменной системы до четвертого порядка включительно. Для вычисления старших производных рекомендуется использовать соотношения, которые получаются из уравнения движения объекта (15.7). Обозначим вычисленные значения производных х£)= х, / = 1 ... 4. После интегрирования обеих частей (15.7) получим (а。= 0):
х<)= % |и(0 dt- а4хв -例元-&2尤-%х,
° ,,(15.39)
X» = \x^dt, ...,хв= |хвЛ.
оо
Отсюда следует, что для вычисления производных достаточно информации только об управляющей функции 以«) и управляемой переменной х(г).
Соотношения (15.39) можно называть алгоритмом информационного обеспечения системы управления. Включение таких алгоритмов в структуру системы управления снижает степень параметрической адаптивности, т.е. повышает чувствительность ее динамических характеристик к изменению параметров. Для рассмотренной модельной системы с алгоритмом (15.39) показатели качества процессов управления остаются в допустимых пределах при изменении момента инерции нагрузки в 2,5 ... 3 раза по сравнению с расчетным значением.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Практические рекомендации
Исследование цифровых и комбинированных алгоритмов управления выполнено применительно к модельной задаче. Качество процессов управления оценивалось по переходным функциям - реакции системы на ступенчатое воздействие(рвх == 1 рад. Выполняя математическое модели-
рование рассматриваемой системы, можно обнаружить, что управляющее напряжение и принимает чрезмерно большие значения на коротком интервале времени. Такая ситуация может иметь место при проектировании систем прикладного назначения.
Возникновение пиковых значений управляющего напряжения обусловлено прежде всего видом входного воздействия. В практике проектирования автоматических систем входные воздействия ступенчатого вида предварительно сглаживаются с помощью дополнительных цепей. В качестве таких цепей используются апериодические звенья первого и второго порядка. В первом случае ступенчатое воздействие преобразуется в экспоненциальное, так что в момент пуска системы начальное значение (рвх (0) = 0. Апериодическое звено второго порядка преобразует ступенчатое воздействие в сумму двух экспонент. Вследствие этого начальные значения фвх(0) = фвк (0) = 0.
Отметим, что сглаживающие цепи применяются в автоматических системах различного назначения. Это позволяет исключить «ударные» входные воздействия.
При проектировании автоматических систем необходимо выполнить согласование динамических характеристик эталонных моделей и управляемых объектов. Практически это означает, что динамические характеристики эталонных моделей должны быть физически реализуемы. Если например свойства управляемого объекта не позволяют реализовать чрезмерно высокое быстродействие модели, то синтезированный алгоритм будет создавать режим форсированного управления. Вследствие этого пиковые значения управляющего напряжения будут недопустимо большие. В таком случае алгоритм управления необходимо синтезировать по эталонной модели с меньшим быстродействием.
При неограниченном повышении уровня усиления % —> оо процесс в системе теоретически совпадает с процессом в эталонной модели. Необходимо однако иметь в виду, что увеличение коэффициента усиления приводит к форсированию режима управления. Вследствие этого пиковые значения управляющего напряжения увеличиваются. Следовательно, уровень усиления в системе необходимо назначать с учетом этого обстоятельства.
В рассмотренной модельной системе коэффициент усиления в контуре управляющей функции весьма мал (% = 5 • 10~5). Это дает возможность выполнить «выравнивание» по величине параметров алгоритмов управления. Методика «выравнивания» изложена в предыдущих лекциях.
Лекция 16
АНАЛОГОВЫЙ И ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМЫУПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМПРИВОДОМ С МИНИМАЛЬНЫМИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
ВВЕДЕНИЕ
В современных системах автоматического управления машинами широко применяют электрогидравлические следящие приводы. Это обусловлено большим быстродействием таких приводов, высокими моментными характеристиками, а также возможностью получения малой скорости перемещения без применения редукторов и малым удельным весом на единицу мощности.
Повышение требований к точности управления и регулирования делает актуальной задачу разработки новых методов проектирования алгоритмического обеспечения автоматических систем. Это объясняется тем, что математические модели электрогидравлических приводов содержат существенно нелинейные характеристики, в том числе и разрывные. В силу этого возникают значительные трудности при проектировании алгоритмов управления традиционными методами синтеза. Для вычисления управляющих сигналов следящих приводов требуется большой объем измеряемой информации. Это вызывает необходимость применения многочисленных датчиков, позволяющих измерять параметры, характеризующие состояние управляемого объекта: положение и скорость, перемещение золотника в электрогидравлическом усилителе, перепады давления, а в ряде случаев и скорости изменения перепадов давления. Однако даже такой объем измеряемой информации иногда оказывается недостаточным для обеспечения требуемых динамических характеристик следящих приводов. Этим обусловлено применение большого числа форсирующих (дифференцирующих) звеньев в системах управления с алгоритмами традиционной структуры.
В настоящей лекции синтезируются алгоритаы управления сдвоенным электрогидравлическим рулевым приводом. Аппаратная реализация алгоритмов требует минимального объема информации: для вычисления управляющей функции достаточно знать только координату положения. При этом алгоритмы обеспечивают выполнение специфических жестких
требований: высокую точность отработки микроперемещений; малые допустимые фазовые сдвиги; ограничение диапазонов изменения фазовых координат в пространстве состояний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
В рассматриваемом приводе в качестве исполнительного элемента используется электрогидравлический усилитель （ЭГУ） с двух полостным гидроцилиндром. Динамика ЭГУ описывается следующими уравнениями:
Тз「У*з + %з =月无2〃вх ；
A=与，工2 =0 "pи为>0；
厶=0，/2=-为 при х3 <0;（16.1）
Л1 =Лг =° при Хз =0;
а = 6$\ J园-用 Sign 4 - 4 ） 7m 工2 J|片-凰 Sign （尸1 -Pc）；
02 = crm Л1 #2-^1 sign （P2 -尸c）-j £25/1%-巴I sign （尸0 -尸 2），
где %з, *з 一 координата и скорость перемещения золотника ЭГУ; ивх - управляющее напряжение; тЭгу - электрическая постоянная времени; к{- величина, обратная сопротивлению в электрической цепи; k2 - коэффициент усиления; 0ь 02 - расходы жидкостей; Рь 尸2 — давления в рабочих полостях; PQ,尸с - давление нагнетания и слива; от - конструктивный параметр.
Уравнения расходов рабочей жидкости в нагрузке имеют вид:
01 = -к'^ -片）+ 倏（4-Рс） + sj + 9尚Е,
02 =-倏（吊-尸2）-心（巴-A） + V + %/A，
Лрт = Лрт при 厶2>°，（16.2）
倏=左门приа> 0,倏=0 при 厶=0,
%=%+5m，%=%-5m
Si =瓦 + 0,054-2, % =瓦 + 0,05与2,
где ^,无^ - коэффициенты утечек жидкости в различных полостях гидроцилиндра; Иь 力，％ — объемы полостей гидроцилиндра при смещении нагрузки на величину % от исходного состояния и при х = 0; SH _ площадь поршня; 9】，％ 一 коэффициенты сжимаемости рабочей жидкости в различных полостях, а 9()— при Р = Ратм.
Уравнение динамики нагрузки:
(A -巴)Sh =人£ + 統* + %寸映(*),(16.3)
где 履丁 - коэффициент вязкого трения в нагрузке; F„ - сила сухого трения; тп - масса поршня в гидроцилиндре.
Уравнения (16.1) - (16.3) содержат 16 существенно нелинейных характеристик: модуль, сигнатура, корень квадратный и др. В результате исследований установлено, что традиционными методами синтеза не удается найти структуры линейных корректирующих цепей, обеспечивающих требуемые динамические характеристики привода. Эту задачу удается решить с помощью нелинейных корректирующих устройств. Однако для их аппаратной реализации необходимо иметь большой объем измеряемой информации: положение и скорость штока гидроцилиндра, перемещение золотника в ЭГУ и перепады давления в обеих камерах.
Применение алгоритмов нетрадиционной структуры позволяет спроектировать систему управления приводом, для практической реализации которой требуется минимальный объем измеряемой информации. А именно, для вычисления управляющего сигнала достаточно измерять только выходную (управляемую) переменную х.
Синтез алгоритмов управления проведем для конкретных числовых значений параметров привода:
тэгу = 0,0031 с, % = 600 см3, Ро =210 кг • см",
& = 10 Ом"1, Sh =40 см2, 々(О)=巴(0) = 0,5凡，
)t2 =0,0029см А"1, д0 =13000 см2 кг'1, /^ =2 кг-см'2, (16.4) ат = 873 см3 • кг-0,5 • с", ^вт = 22 кг • с • см-1, wH = 0,008 с2 • кг • см-1,
左仃=0,03 см5 - с*1 • кг-1, FCT = 200 кг, хзтах = 0,08 см.
Динамика разомкнутой системы «привод - нагрузка» приближенно характеризуется передаточной функцией
%（「）=%（「）=х(р)&х(Р)х(р)&х(Р)左0р(тэгуР + \)(Т^р2 +2^ТгпР + \)左0р(тэгуР + \)(Т^р2 +2^ТгпР + \)(16.5)(16.5)
%（「）=
%（「）=
х(р)&х(Р)
х(р)&х(Р)
左0
р(тэгуР + \)(Т^р2 +2^ТгпР + \)
左0
р(тэгуР + \)(Т^р2 +2^ТгпР + \)
(16.5)
(16.5)
Здесь q,，m - постоянная времени и коэффициент демпфирования собственных колебаний;々)—коэффициент усиления по скорости в установившемся режиме. Числовым значениям гт叩аметров привода (16.4) соответствуют следующие значения параметров передаточной функции (16.5):
Ао = 6,24 см • В-1, тэгу = 0,0031 с,
% = 0,004 с, "0,6.(16.6)
Передаточная функция (16.5) с числовыми значениями параметров (16.6) имеет два комплексно сопряженных полюса р12 таких, что J Re руД » Tgry • 3ro обусловлено тем, что тЭгу » тгп. Следовательно, можно рассматривать аппроксимирующую передаточную функцию
左 о — х(р)
Р(Т"уР + 1)/х(р)
По аппроксимирующей передаточной функции (16.7) будем синтезировать алгоритмы управления.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
К динамике проектируемой системы предъявляются следующие требования:
длительность переходного процесса порядка /п « 0,15 с;
допустимая величина перерегулирования а не более 10 %;
коэффициент усиления замкнутой системы должен быть в пределах (0 < ^< 1) дБ в диапазоне частот от 0 до 30 с-1;
допустимая величина фазового запаздывания выходного сигнала не более 5° на частоте 1 Гц и не более 20° на частоте 10 Гц;
запас устойчивости по фазе 一 не меньше 50°, а по амплитуде не ниже 12 дБ.
Кроме того, система должна обладать астатизмом первого порядка.
Указанным требованиям удовлетворяет эталонная модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
(16.8)(16.8)
(16.8)
(16.8)
Параметры передаточной функции
底= 500, Л = 0,055, J =0,5,『2 = 0,105, Q = 1,0.
Передаточной функции (16.8) соответствует дифференциальное уравнение замкнутой эталонной модели
у + а2у + а]^ + аоу = ₽2хвх + р]Хвх +рохвх.(16.9)
Коэффициенты уравнения равны
do = Во = 45О93, ai = 2570, a2 = 155, pi =2580, p2= 136.
Аналоговый алгоритм управления синтезируем по моделям (16.7), (16.9). Принимаем, что для вычисления управляющей функцией ивх(?) используется только информация о положении системы х(0- Минимизируя функционал
^(«вх) = ||>(0-^, %)]2
по градиентной схеме первого порядка, после необходимых преобразований получим закон управления
% 0) = %份0)-文(川，*=const,% 0) = %份0)-文(川，*=const,(16.10)(16.10)
% 0) = %份0)-文(川，*=const,
% 0) = %份0)-文(川，*=const,
(16.10)
(16.10)
где иеизмеряемая производная х(/) заменена вычисляемой величиной
(16.11)(16.11)五5
(16.11)
(16.11)
Требуемое значение скорости вычисляется по соотношениям
У(0 = f/o(O dt + 02&Х - «2х，
о
л(0 = а0 j(xBX (0 - х(0) л - а]Х + Р^^ ,(16.12)
которые получаются из уравнения (16.9) эталонной модели.
Числовое значение коэффициента усиления к рассчитываем по соотношению
左=(3-5)*,%=上，(16.13)
%ТЭГУ
где ш* - частота среза характеристики эталонной модели в разомкнутом состоянии. Модели (16.8) соответствует частота среза(о*= 136 с-1 . Для принятых значений параметров по формуле (16.13) находим
仇=•■“ =6,24 см-В-1, ^ = 0,4 Всем-1.
ТЭГУ
Найденное значение коэффициента усиления обеспечивает совпадение частотных характеристик модели и системы в области рабочих частот.
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом управления (16.10) - (16.12) изображена на рис. 16.1. Привод и управляемый объект представлены блоком УДС-управляемая динамическая система.
Получим теперь уравнения цифрового алгоритма управления путем дискретизации (16.10) - (16.12). Для удобства обозначим хв =Г^ , y-V2. С учетом этого запишем закон управления (16.10) для дискретных моментов времени % = л Г:
% (〃r)= Hz (")-%(")]
или в относительном времени
ивх (л) = ^г (w) - И)(л)], л = 0,1,....(16.14)
Далее, обе части уравнения (16.11)
乃z乃z
乃z
乃z
тзгу *
% =cJ"bx小一С2Х,С]=-^-сТЭГУ% =cJ"bx小一С2Х,С]=-^-сТЭГУ1
% =cJ"bx小一С2Х,С]=-^-
сТЭГУ
% =cJ"bx小一С2Х,С]=-^-
сТЭГУ
s = ТЭГУ
дифференцируем по времени и в полученном равенстве выполняем замену 左=% =匕(Г). В результате будем иметь
%=6%a) 一 3%()(16.15)
Производную %«) в дискретный момент времени заменим приближенным выражением где первая разность
ЛИ)(«Г) = ^ [(« + 1)Г]-Ki \пТ].(16.16)
Тогда на основании (16.15) можно записать в относительном времени
匕5) = с//х57)+(1-с2Т)%5-1)，九=0』•(16.17)
Рассматриваем теперь уравнения (16.12). Дважды дифференцируем по времени первое уравнение и один раз второе. Принимая во внимание, что у = Kj, запишем
И2=7о(О + ₽2хвх(О-а2^)>
7о(О = аокх (0 - л(0] + ₽1Хвх - а]Х(0 .(16.18)
Подставим выражение для 九«) из второго уравнения (16.18) в первое уравнение, а затем заменим первые и вторые производные приближенными выражениями через первые и вторые разности:
Лх[пГ]^ДпТ}
х^\^пТ * ~~， х(Ог=лГ н -^~•
Первые разности вычисляются по (16.16), а вторые - по формуле
Л2х[пГ]= х[(п + 2)丁] - 2х[(п + 1)Т]+ х[мТ ].
Выполнив указанные преобразования, запишем результат в относительном времени
%5) = d/x 5)+ 瓦/х 5 Т) + ^2хвх(«-2)-
~[aox(n) + а)х(п -1) + а2х(п - 2)] + 2Hj (п -1) - Hj(л - 2),(16.19)
п = 0,1,
Постоянные коэффициенты равны
а0 = а2, ^1 =а)Г -2а2, а2 = а0Г2 -а^ + а2;
d=02，厶=017-202， 62=仇产一仇7 + 02.(16.20)
При выводе (16.19) учтено, что р0 = а0 , что соответствует первому порядку астатизма эталонной модели.
Таким образом, цифровое управление организуется по уравнениям (16.14), (16.17) и (16.19). Эти уравнения соответствуют простейшей схеме численного интегрирования по методу прямоугольников.
Согласно теореме Котельникова, период квантования сигналов 丁 необходимо назначить из условия выполнения неравенства
7 <0,5 叫，
где (Огр - граничное значение области существенных частот. Для рассматриваемой системы (Огр == 200 с". Поэтому из (16.21) находим 丁 < 0,0025 с. Далее принимаем Т = 0,002 с.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
При исследовании динамики системы принято, что число разрядов датчика положения равно восьми на диапазон 1 см. Это означает, что цена одного разряда составляет 0,004 см/разряд. Разрядность ЦАП равна 12 на амплитуду 10 В, т.е. цена одного разряда составляет 0,0025 В/разряд. Кроме того, реализация цифрового алгоритма управления осуществлялась на ЦВМ с учетом квантования сигналов по уровню в 16-разрядной сетке.
В табл. 16.1 приведены числовые значения параметров амплитуднофазовой частотной характеристики системы с цифровым алгоритмом управления. Здесь А/ = х1Пах • Л-1, а<р°- сдвиг фазы. Характеристики рассчитаны при различных значениях частоты / и амплитуды А микроперемещения. Из приведенных данных следует, что синтезированный алгоритм обеспечивает выполнение специфических требований к динамическим характеристикам проектируемой системы. В заданном диапазоне частот /= (1 ... 10) Гц амплитудная и фазовые характеристики системы практически не зависят от амплитуды входного гармонического воздействия.
Динамика привода с цифровым управлением характеризуется графиками изменения давлений Рь Р? в обеих полостях гидроциливдра и ошибки слежения е за входным сигналом (рис. 16.2) вида хвх(Г)= =4sin(27^/7). Числовые значения амплитуды и частоты указаны на рисунке. Максимальное значение ошибки е не превышает 5 % от амплитуды входного сигнала.
16.1. Параметры частотных характеристик
/ = 1 мм
А = 0,1 мм
А/, дБ
ф,°
А/, дБ
ф, °
1
0,12
0,80
0,13
0,80
2,5
0,80
-5,9
0,85
6,0
5,0
-0,05
-10,2
-0,06
-10,5
10
-1,10
-16,9
-1,20
-17,0
Динамические характеристики цифровой системы управления практически не отличаются от характеристик системы с аналоговым алгоритмом. Таким образом, предлагаемые алгоритмы в классе линейных структур обеспечивают высокоточное управление сложными существенно нелинейными объектами. Аппаратная реализация таких алгоритмов требует минимального объема измеряемой информации. Для вычисления управляющих функций достаточно измерять только выходную координату, характеризующую положение.
Лекция 17
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Изложена теория синтеза алгоритмов терминального управления для одномерных детерминированных систем. Алгоритмы управления синтезируются на основе концепций обратных задач динамики в результате минимизации локальных функционалов в окрестности назначенных траекторий движения. Показано, что синтезированные алгоритмы придают системам свойства слабой чувствительности к изменению параметров и координатным возмущениям. Приведены результаты математического моделирования процессов управления электромеханическим манипулятором.
ВВЕДЕНИЕ
В технических приложениях имеется важный класс задач, в которых требуется перевести управляемый объект в назначенное состояние за конечный интервал времени. При этом критерием или показателем качества управления служит точность приведения объекта в конечный момент времени. Такие задачи называются терминальными. Алгоритмы управления, обеспечивающие решение терминальных задач, называют алгоритмами терминального управления. Класс задач терминального управления достаточно широк. К ним относятся, например, задачи управления посадкой, приземлением и сближением летательных аппаратов различного назначения, причаливанием надводных судов и подводных аппаратов и др.
Традиционно, за небольшим исключением, задачи терминального управления как детерминированными, так и стохастическими системами формулируются и решаются как вариационные. Методы решения таких задач и обширную библиографию по этим вопросам можно найти в [6]. Эвристические приемы решения задач управления конечным состоянием рассматриваются в [5].
В настоящей лекции алгоритмы терминального управления синтезируются методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функционалов в окрестности назначенных траекторий движения. Правомерность такого подхода обусловлена тем, что в технических приложениях часто требуется, чтобы движение системы в назначенное
состояние проходило по заданной траектории, которая может быть определена или в параметрической форме, или в неявном виде как решение некоторого уравнения. В таком случае требуемые значения параметров движения в конечной точке задаются как граничные условия на правом конце траектории, а начальное состояние управляемого объекта будет характеризовать граничные условия на левом конце траектории. Желаемая траектория движения, соединяющая начальную и конечную точки, может назначаться или отыскиваться в результате решения самостоятельной задачи. Поэтому роль системы автоматического управления сводится к тому, чтобы осуществить движение управляемого объекта по известной программе.
Алгоритмы терминального управления одномерными системами синтезируются для того случая, когда траектории движения заданы в параметрической форме. При этом учитываются ограничения на управляющие функции. В результате исследования динамики показано, что синтезированные алгоритмы придают системам свойства слабой чувствительности к параметрическим и координатным возмущениям. Наряду с изложением методических вопросов в статье приведены результаты математического моделирования процессов терминального управления.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Идею метода синтеза алгоритмов терминального управления рассмотрим для модели с одной управляющей функцией и одной управляемой (выходной) переменной. Применительно к этой задаче изложим методику учета ограничений на управляющую функцию и расчета допустимого интервала терминального управления. Кроме этого рассмотрим также вопросы организации вычислений управляющих функций.
Пусть движение управляемой системы описывается уравнением
2
Н + £〃/⑶二4〃 + 毎以，-и~ <и<и+,(17.1)
л=0
где х, м - выходная переменная и управляющая функция. Коэффициенты уравнения могут принимать значения в ограниченных диапазонах их изменения:
〃；-as - 〃：，许,о -许,о -许：о •(17.2)
При выполнении преобразований будем считать, что %, Ь\^ - постоянные числа. Управляющая функция может принимать наибольшее возможное положительное значение и - и наибольшее возможное отрицательное значение и = 一以二 Уравнение (17.1) будем записывать также в операторной форме
A(D)x(t) = B(D)u(t),(17.3)
где операторные выражения
2d
A^D^D3 +YasDs , B(D) = biD + bo, D = —(17.4)
a=o&
соответствуют левой и правой частям уравнения (17.1).
Относительно модели управляемого движения сделаем еще одно допущение, а именно, что при всех значениях коэффициентов 仇，b\ в диапазоне их возможных изменений (17.2) нуль передаточной функции
畋 5)=取=«(17.5)
расположен в левой полуплоскости комплексной переменной р, т.е. р = -毎6「＜ 0. При этом полюсы Ио(р) могут быть как левыми, так и правыми.
В начальный момент времени f = 0 состояние системы определяется значениями
*)(0)=甯)，5 = 0, 1, 2.(17.6)
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод системы в терминальное состояние, соответствующее моменту времени f = Т:
xG)(7) = x3 s=0, 1, 2.(17.7)
Необходимо при этом, чтобы процесс перехода системы в назначенное состояние %("(「) — ％，", осуществлялся по траектории
у")(Т)т/)(7), ze[o； Т], s = 0, 1, 2.(17.8)
По физическому смыслу задачи начальное состояние системы (17.6) характеризует граничные условия на левом конце заданной траектории, а
терминальное состояние (17.7) определяет граничные условия на правом конце траектории. Таким образом, имеем равенства
严(0) = *),严(7) =承，s = 0,1,2.(17.9)
Для определенности принимаем, что у(0 задана в виде
5
y(r) = ZYvWv«)，(17.10)
v=0
где известные функции 屮丫 линейно независимы и дважды дифференцируемы по времени. Постоянные коэффициенты yv определяются граничными условиями (17.9). При f = 0 из (17.9) и (17.10) имеем
5
')(0) = 2 YvwS)(0) = *), S = 0, 1, 2.(17.11)
v=0
Для правого конца траектории (f = 7) должны выполняться равенства
5
严(7) = ZYvWS)(7) = WZ s=0, 1, 2.(17.12)
v=0
Так как функции линейно независимы, то определитель системы алгебраических уравнений (17.11), (17.12) отличен от нуля. Поэтому уравнения имеют однозначное решение относительно у0> •••» Ys-
В процессе управляемого движения система может сойти с назначенной траектории под влиянием возмущающих сил или вследствие изменения ее параметров. Поэтому дополнительно потребуем, чтобы отклонение 5(/) = Х0 - %") было исчезающей функцией и подчинялось дифференциальному уравнению
2
5 + 2^6")=0.(17.13)
5-0
Коэффициенты hs назначаются такими, чтобы выполнялось неравенство 〃出2 > 力。一условие асимптотической устойчивости тривиального решения 5(/) = 0 и чтобы длительность затухания процесса 5(/) f 0 была существенно меньше интервала Т терминального управления.
12 - 9516
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Синтезируем алгоритм терминального управления, который обеспечивает решение рассматриваемой задачи. Отметим прежде всего, что уравнение (17.13) определяет такое значение производной Н в каждый момент времени / е [0; 7], при котором теоретически точно выполняются равенства
x('V)=/V), S = 0,1,2(17.14)
и, следовательно, движение системы проходит строго по назначенной траектории. Эти значения производной обозначим х* и будем называть их далее требуемыми значениями. Чтобы найти х*, нужно подставить производные 5(и)(/), ц = 0,..., 3, в уравнение (17.13) и разрешить его относительно искомой величины. С учетом принятого обозначения найдем
『=Р+ £儿(严一山)).(17.15)
л=0
Так как х* = х , вместо (17.15) можно записать (без сокращения)
22
于+£").(17.16)
(5=0л=0
Если при f = 0 выполняются равенства у(Л)(0) = х$),5 = 0, 1, 2, то из (17.16) следует справедливость (17.14).
Обозначим полином
2
н{р} = ру + ^hxpx .
л-=0
Тогда для одинаковых начальных значений функций х, у уравнение (17.16) в изображениях примет вид
Н(р)х(р) = Я(р)歹(р) => %(р)=歹(р) •
Это также свидетельствует о том, что равенство %«) = Х0> е [0; 7] выполняется в случае, когда в системе создается требуемое значение х*， определяемое по (17.15).
Найдем теперь такую управляющую функцию и = м*, которой соог ветствует равенство х =х* и которая, следовательно, при каждом е [0; 7] удовлетворяет уравнению
х(и\ и) = х*.(17.17)
Согласно (17.1), имеем
2
х(и, й)=许〃 + 毎以一£4/(17.18) s=0
Поэтому уравнение (17Л7) для искомой управляющей функции примет вид
2
6jW* +bQu* = х* +£а/⑺.(17.19)
s=0
Система с управляющей функцией 以*, определяемой по (17.15), (17.19), переходит в терминальное состояние теоретически точно по назначенной траектории. Чтобы в этом убедиться, подставим выражение из (17.19) в (17.1) вместо 许〃 + 仇以.В результате аналогично (17.16) получим
22
于* + Z/x") = У* +£&№).(17.20)
S==0F=0
Принимая во внимание (17.15), окончательное находим уравнение
一 +2曲)7叫=0,
5 = 0
которое в точности совпадает с (17.13). Этот результат свидетельствует о том, что алгоритм управления, основу которого составляют уравнения (17.15), (17.19), является компенсационным. Действительно, сумма слагаемых £〃$%(" в уравнении движения управляемой системы компенсируется суммой таких же слагаемых в уравнениях алгоритма управления, что отражено в (17.20).
Понятно, что алгоритм (17.15), (17.19) может находить ограниченное практическое применение. Это обусловлено тем, что для вычисления управляющей функции и необходимо иметь достоверную информацию о числовых значениях параметров математической модели движения
управляемой системы. Если параметры изменяются в широком диапазоне значений, то система с таким алгоритмом управления может оказаться неработоспособной.
Отметим следующее важное замечание. Алгоритм управления (17.15), (17.19) получен из условия теоретически точного выполнения равенства х(Е)=歹⑺，что практически неосуществимо. Следствием этого крайнего требования и обусловлена высокая параметрическая чувствительность системы с алгоритмом управления компенсационного типа.
Чтобы найти структуру эффективного алгоритма управления, управляющую функцию будем определять минимизацией функционала
G{u)=^x'(t)-x(t, ti)]2,(17.21)
в котором варьируется переменная 〃 . Из условия мгновенного достижения абсолютного минимума
minG(ii) = G(ii*) = O
следует алгоритм управления компенсационного типа (17.15), (17.19). Поэтому откажемся от такого жесткого требования и движение к экстремуму-минимуму будемд)существлять по градиентной схеме первого порядка. В таком случае скорость изменения варьируемой функции и определяется дифференциальным соотношением
—= 一入——-, 入=const.dtdii
Из (17.18), (17.20) находим выражение для градиента
\、一许(% -х),
с учетом которого получаем дифференциальный закон управления
м = Л(Г-х), к = ЬП(17.22)
Соотношения (17.15), (17.22) являются исходными для получения искомого алгоритма управления. Дважды интегрируя по времени их левые и правые части при нулевых начальных значениях переменных, найдем уравнения алгоритма, удобные для аппаратной реализации:
и = %(£* - х),
X =y + hofi+hifo+h2(y-x),(17.23)
/о = f(y-^)^> f\ = \fodt-Оо
Структурная схема аналоговой модели, соответствующая (17.23), изображена на рис. 17.1.
Исследуем процесс минимизации функционала (17.20). С этой целью найдем уравнение локального контура управляющей функции, подставив выражение (17.18) в (17.22). В результате получим
и 十 k(61a + 仇以)=fe,(17.24)
где
2
z = х* +^0^ .(17.25)
s=0
Из (17.24) следует, что локальный контур управляющей функции будет асимптотически устойчив, если выполняется правило знаков
(17.26)(17.26)sign (%) = sigW = sign(6o).
(17.26)
(17.26)
Далее принимаем 60, Ь\ > 0, поэтому должно быть к> 0.
X
Вычислим производную по времени функционала (17.21). С учетом (17.22) имеем
dG(zi) dGQ) dii * .... 2
丁 = f広="2 Т).
Так как 小 > 0, % > 0, то
dC7(〃) л < 0, если х х ,
Следовательно, значение функционала монотонно уменьшается, приближаясь к экстремальному значению.
Уравнению (17.24) соответствует передаточная функция
К“(р, %)=К“(р, %)=(17.27)(17.27)k—以(p)
К“(р, %)=
К“(р, %)=
(17.27)
(17.27)
р? +к也 p + bj z(p)
Если выполняется правило знаков (17.26), то контур сохраняет устойчи
вость при неограниченном повышении уровня усиления (k f 00). В этом
ление полюсов:ление полюсов:случае Ки(р, %) имеет следующее распреде
ление полюсов:
ление полюсов:
№(&) —(-仇型)，Р2(*)->(-8), &—8.(17.28)
Следовательно, асимптотическая передаточная функция будет равна
储色⑸乙嗯勺98尸而匕，（17.29）
Заметим, что, согласно (17.19) и (17.25), справедливо равенство z =许〃+ 毎以.Поэтому вместо (17.24) можно записать
й + k(i\u + bQu) = %(许公* +d以*).
В случае кте отсюда следует м -> м*, й -> м*.
Правило знаков (17.26), будучи необходимым и достаточным условием устойчивости локального контура управляющей функции, составляет лишь необходимое условие устойчивости замкнутой системы с алгоритмом управления (17.23). Для устойчивости системы в целом требуется также достаточный уровень усиления (%).
Выведем уравнение управляемого процесса и исследуем свойства замкнутой системы. Запишем (17.23) в операторной форме. Так как справедливы равенства
fQ^y-x)dt = -{y-x),力=歹(У一X)，
выражение для х* может быть записано в виде
Г =^H(D)y(t)-^-H'(D)x(t),(17.30)
где операторные полиномы
22
H(D) = d3 +»т НОМЕР.(17.31)
S=05=0
Подстановка (17.30) в первое уравнение (17.23) приводит к следующему выражению для управляющей функции:
u=-^-H(D)\y(t)-x(t)].(17.32)
Исключая переменную и из (17.3), (17.32), поручим искомое уравнение управляемого процесса
\d2A(D) + kB(D)H(D)\x(t) = kB{D)H{D}y(t).(17.33)
Уравнению (17.33) соответствует эквивалентная структурная схема замкнутой системы, которая изображена на рис. 17.2. Действительно, для принятых обозначений можно записать следующие операторные уравнения:
Рис. 17.3Рис. 17.3х(/) = %х(/) = %w(t^H(D)\y^-x(t)].w(t^H(D)\y^-x(t)].
Рис. 17.3
Рис. 17.3
х(/) = %
х(/) = %
w(t^H(D)\y^-x(t)].
w(t^H(D)\y^-x(t)].
Исключая здесь переменную w, получим уравнение (17.33). Передаточная функция замкнутой системы равна
К(р, %)=К(р, %)=кВ(р)Н〈р—/а(р)Пв&)н(р)кВ(р)Н〈р—/а(р)Пв&)н(р)(17.34)(17.34)
К(р, %)=
К(р, %)=
кВ(р)Н〈р
—/а(р)Пв&)н(р)
кВ(р)Н〈р
—/а(р)Пв&)н(р)
(17.34)
(17.34)
Исследуем поведение системы при неограниченном повышении уровня усиления. С этой целью рассмотрим частотную характеристику разомкнутой цепи, передаточная функция которой равна
%, &) = &旦(17.35) Р "(Р)
С учетом (17.4) и (17.31) замечаем, что степень полинома числителя (17.35) на единицу ниже степени полинома знаменателя. На этом основании можно записать предельное равенство
lim arg W(йо, %)=——.
(OTQO2
Это означает, что годограф вектора W{i(^, %) = U® %) + iK(co, %) подходит к началу координат под углом -л/2, как это показано на рис. 17.3. Точка пересечения годографом вещественной отрицательной полуоси удаляется от точки (-1) с увеличением к. Следовательно, согласно критерию Найквиста, приходим к заключению, что замкнутая система сохраняет устойчивость в случае неограниченного повышения уровня усиления.
Найдем теперь асимптотическое распределение полюсов передаточной функции (17.34) при % оо. Обозначим их 夕卩(左),卩=1,…,5. Рассматриваем характеристическое уравнение
尸场)+ kB(p)H(p) = 0.(17.36)
При конечных значениях р справедливо равенство
lim — ^А^р) = 0 .
Поэтому из (17.36) следует предельное уравнение:
(^ + 瓦)卜+%,炉]=0,(17.37)
I 5=0 丿
корни которого обозначим р；2 3，Р： = -боб]'1 .
При этом р；2,з - корни уравнения Н(р) = 0. Таким образом, четыре полюса Pv(%), V = 1, ..., 4, передаточной функции замкнутой системы в случае % —> оо асимптотически стремятся к соответствующим корням предельного уравнения (17.37).
Чтобы установить расположение пятого полюса。5(左),воспользуемся методикой Воронова 一 Цыпкина [7, 8], которая основана на анализе приближенного характеристического уравнения при больших значениях |р|. В таком случае можно принять
р1 А{р) = р^{р +«2P2 +…)k р5 +d2P4,в⑺Н(р) = (b\P + bj(p3 +〃2力 + ...)~Ь]р4 .
Тогда из (17.36) получаем приближенное уравнение р + @ + %仇)* 0- При любых конечных значениях а? из (17.2) следует
Р5(%) = Y«2 + 汕 1) -> (-℃), если %00.
Итак, при неограниченном повышении уровня усиления полюсы передаточной функции замкнутой системы распределяются следующим образом:
风(%)f Р：， V = 1, 2, 3;
Pv(%) — (-ЬоАГ 凸—С00)，% — 00 •(17.38)
Понятно, что распределение (17.38) согласуется с асимптотическим распределением (17.28) полюсов передаточной функции локального контура управляющей функции.
На основании (17.38) и (17.34) приходим к заключению, что асимптотическая передаточная функция замкнутой системы
К(р, 8)= lim K(p,k) = 1.
左foO
Это означает, что система с алгоритмом управления (17.23) теоретически точно следует по назначенной траектории, т.е. x(Z) = ХО,方之 0. Практически необходимая для технических приложений степень приближения траекторий х(/) ->Х0 достигается при конечных значениях к.
РАСЧЕТ ДОПУСТИМОГО ИНТЕРВАЛАТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Синтезированный алгоритм управления будет обеспечивать движение управляемого объекта в терминальное состояние по назначенной траектории в том случае, когда в системе создается требуемое значение х*. Поэтому программу движения необходимо задавать с учетом энергетических ресурсов исполнительных элементов. Это требование выражается в том, чтобы интервал времени Т, назначенный для перевода управляемого объекта из начального состояния (17.6) в конечное состояние (17.7), был найден из условия выполнения неравенств
-и<и <w+, 厂 (17.39) где w* - управляющая функция, которая соответствует х*.
Допустимое значение Т зависит от граничных условий на левом и правом концах траектории. Справедливо и обратное: при заданных начальных и конечных условиях требуемое значение w = w определяется величиной Т、т.е. и = w*(7)- Поэтому допустимое значение интервала терминального управления можно найти, зная зависимость 以(7) для конкретных данных, характеризующих назначенную траекторию. Любое значение Г, при котором выполняются неравенства (17.39), будет соответствовать физически осуществимой траектории.
На рис. 17.4 изображены зависимости w (7) и указаны предельные значения управляющей функции и, и. В случае разгона заданная траектория реализуема, если Г > 7^, а в случае торможения - при любых значениях Т> TR. Найти зависимость w*(7) в аналитической форме не всегда представляется возможным. Поэтому допустимые значения Т определяются, как правило, алгоритмически, т.е. численно.
Терминальное управление осуществляется практически как одноактный эпизод; при этом управление организуется чаще всего по новым значениям граничных условий на концах траектории управляемого движения. Подготовка исходных данных для системы терминального управления выполняется в такой последовательности:
Для заданных граничных значений (17.6), (17.7) и принятого значения Г = Г], решается система уравнений (17.11), (17.12). В результате определяются постоянные у。=入&,..., у§ = yg, при которых кривая xo=XKvv(o соединяет начальную и конечную точки траектории. Величина 八 может быть задана заведомо меньше допустимой.
При найденных значениях у( интегрируется система уравнений (17.1), (17.23) в интервале / е [0; TJ, т.е. до конечной точки траектории (17.7). В процессе интегрирования определяется наибольшее значение управляющей функции | wmax (厶)|.
Цикл вычислений 1 - 2 повторяется при увеличивающихся значениях Т =厶+ АТ, к = 1, 2, ..., до тех пор, пока не будет найдено такое значение Т>ТА или TN Тв» при котором выполняются неравенства (17.39), т.е. назначенная траектория физически осуществима.
Интегрирование системы уравнений (17.1), (17.23) может выполняться в ускоренном темпе, что позволяет оперативно организовать терминальное управление.
ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА - УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЗВЕННЫММАНИПУЛЯТОРОМ
Рассматриваем модель электромеханического однозвенного манипулятора, кинематическая схема которого изображена на рис. 17.5. Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением / через редуктор 2 с передаточным числом п осуществляет поворот звена 3 манипулятора в горизонтальной плоскости. В случае, когда «» 1, а
(17.42)(17.42)
(17.42)
(17.42)
электромеханическая постоянная времени электродвигателя существенно меньше других постоянных времени системы, уравнения движения рассматриваемой модели манипулятора имеют вид [9]
(J +J„n2)<p^nM, R/ + &e0 = “， М =kj, (17.40)
где ф - угол поворота звена; J - момент инерции звена вместе с ведомым зубчатым колесом редуктора; / - момент инерции якоря электродвигателя с ведущим зубчатым колесом редуктора; М - момент электромагнитных сил, создаваемый двигателем;以-управляющее напряжение; / - ток в якорной цепи. Кроме того, R - электрическое сопротивление якоря; %, %м - паспортные параметры, характеризующие электромеханические свойства двигателя. Вместо (17.40) далее будем рассматривать уравнение
(17.41)(17.41)^ + а^ = Ьои,
(17.41)
(17.41)
коэффициенты которого определяются формулами
Для модели (17.41) формулируем следующую задачу: синтезировать алгоритм управления w = w ((р5 ф), который обеспечивает перевод манипулятора за конечное время Т из произвольного начального состояния
Ф(О) = Фо，Ф(0) = Ф0(17.43)
в терминальное состояние
Ф(П = ФТ, Ф(П = 0(17.44)
по назначенной траектории з
У«)=Еу『，八=const(17.45)
v=0
при условии, что на управляющее напряжение и наложено ограничение ^\<U. Потребуем, кроме того, чтобы возможное отклонение 5(/) = у(0 -
-(р(0 было исчезающей функцией и подчинялось уравнению
8 + /1】$ + &6 = О.(17.46)
В общем случае для ненулевых граничных условий
У(0)=屮 о，/(0) = Фо；У(Т)=屮 т，/(С = фт
из алгебраических уравнений вида (17.11), (17.12) находим
у0 =屮0， Yi =Фо)
331
Y2 =戸(屮屮0)- 760 一у(6т-60)，(17.47)
22 .1 ..
Уз~9о)+ у2~Фо +戸(6т _Фо)-
Таким образом, коэффициенты yv в (17.45) вычисляются по формулам (17.47) с учетом заданных граничных условий (17.43), (17.44).
В рассматриваемой задаче управляющую функцию следует отыскивать путем минимизации функционала
GQ) = gb*a)-e(f, “)『，(17.48)
где требуемое значение ускорения определяется соотношением
ф* =y^-h^y-^)^^y-^\(1749)
которое следует из (17.46). С учетом (17.41) из (17.46) по градиентной схеме первого порядка получаем
w = Л(ф* -ф),к = const > 0.(17.50)
Интегрируя обе части (17.49), (17.50) по времени, получаем уравне
ния алгоритма управления в окончательном виде
и = Л((р*-(р),
0* =У + 4(у_<Р)+ & J(y_<p)&•(17.51)
О
При интегрировании приняты нулевыми начальные значения переменных.
Процессы в локальном контуре управляющей функции описываются уравнением
w + kbQu = fc, 2 = @*+%@.(17.52)
Из (17.52) следует правило знаков
sign (%) = sign (%).(17.53)
Если выполняется (17.53), то локальный контур управляющей функции сохраняет устойчивость при неограниченном повышении усиления и в случае % —> оо вырождается в безынерционный усилитель с коэффициентом усиления 1/Со
процессы в замкнутой системе описываются уравнением
[J(D + a}) + kb0H(D^t) = кЬ0Н(О)у(1), 力7.54)
где H{D) = С? + hxD + % Структура системы допускает неограниченное повышение усиления. В асимптотике (к —> оо) полюсы передаточной функции
К(р, &) = ^能”9),(17.55)
распределены следующим образом:
&(%) — ?；， s = l, 2,
р3(Л) -> (-оо), если А: -> оо,(17.56)
где р： — корни уравнения Н(р) = 0. В таком случае из (17.55) следует
К(Р, °0)二 Jm К(р, к) = \.
Асимптотическое распределение (17.56) св идетел ьствует о том, что при достаточно высоком уровне усиления в контуре управляющей функ-
ции система будет обладать слабой чувствительностью к параметрическим возмущениям.
Для исследования динамики управляемой системы принимаем следующие значения параметров [9]:
J= 21,8 кг м2,，= 9,1 • 10< кг • м2, п = 180,
А = 3,680м, км = %е = 0,316Н・м・А~* U=110B.
В этом случае коэффициенты уравнения (17.41) равны а\ = 17,4, 仇=03
Пусть требуется перевести манипулятор из состояния покоя <р(0) = 0, (р(0) = 0 в терминальное состояние <р (7) = 3 рад, ф(Г) = 0. По формулам (17.47) для Г= 3 с находим Уо =力=0, 丫2 = 1, Уз = -0,222. Поэтому заданный процесс (17.45) определяется выражением у(0 = * 一 0222 ?.
Коэффициенты h^ 九 в уравнении (17.46) назначаем такими, чтобы длительность процесса 5(/) -> 0 была в 10 раз меньше интервала Г терминального управления. Такому требованию удовлетворяют значения 偽=102,儿=14.
Рассмотрим результаты математического моделирования. На рис. 17.6 приведены графики переходных процессов в системе, соответствующие тому случаю, когда начальные значения <р(0)=貝0), ф(0) = у(0). В этом случае процессы в системе <р(7) -> 3 рад, ф(Т) -> 0 строго следуют заданному закону. Графики процессов, представленные на рис. 17.7 и 17.8, получены при начальных значениях(р(0) = ±0,5 рад, ф(0) = 0 .
q>(t),<j>(t)
Рис. 17.6
中⑴，0⑴
Рис. 17.8
Несмотря на значительные отклонения(р(0) от расчетного значения(р(0) = О, система устраняет начальные рассогласования и приводит объект в терминальное состояние. Это оказывается возможным благодаря тому, что интервал терминального управления назначен с учетом возможной потери времени на отработку отклонений от заданной траектории. Отметим, что уровень усиления в контуре управляющей функции был принят равным % = 50.
Лекция 18
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙМНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
В настоящей лекции решаются задачи стабилизации стационарных состояний голономных механических систем, движение которых описывается классическими уравнениями механики. Структура алгоритмов управления определяется в результате минимизации мгновенного значения энергии ускорения, которая вычисляется в окрестности траекторий движения эталонных моделей, назначаемых для каждой степени свободы. Минимизация функционалов осуществляется по градиентной схеме первого порядка. В процессе управления значение минимизирующего функционала в каждый момент времени принадлежит малой окрестности экстремума -минимума. В силу этого динамические характеристики системы почти идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей и сохраняются практически неизмененными при изменении параметров в широких пределах.
При исследовании динамики установлено, что синтезированные алгоритмы управления обладают замечательными асимптотическими свойствами осуществлять динамическую декомпозицию системы на независимые подсистемы, число которых равно числу степеней свободы. Этот результат имеет существенное значение для практики проектирования автоматических подсистем, так как являются обоснованием возможности синтеза структуры алгоритмов управления и расчета их параметров по сепаратным моделям.
По методическим соображениям развиваемый метод синтеза алгоритмов управления сначала рассматривается применительно к задаче стабилизации стационарного состояния системы с двумя степенями свободы. Полученные результаты затем обобщаются.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВУПРАВЛЕНИЯ
Движение управляемой системы подчиняется дифференциальным уравнениям
Z(a、・v文V + b.Cv + c/v) = 4，S = 1, 2,…,n, (18.1) V = 1
где хь ..., х„ - выходные переменные - отклонения обобщенных координат от их номинальных стационарных значений; Qs - обобщенные управляющие силы.
Коэффициенты в (18.1) будем считать постоянными. Далее нам потребуются уравнения, разрешенные относительно ускорений. По обычным правилам из (18.1) находим
Н =£asv2v-%(х,力，s= 1,2, ...,".(18.2)
V=1
Коэффициенты а^ являются элементами матрицы /" =[瓦® ], обратной по отношению к Я = [%」. Функции <р$(х,文)представляют собой линейные комбинации сумм
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени / = 0 состояние системы характеризуется значениями х$(0), £$(0). Требуется найти такие управляющие силы QSi которые за конечное время 厶 переводят систему из точки (х50, %) в & - окрестность стационарного состояния равновесия % = 0, х, = 0 и удерживают ее в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы управляемые процессы x、(f) -> 0 по каждой степени свободы с требуемой точностью следовали за решениями дифференциальных уравнений
2
Z + ZayZ，)=0, s= 1,2,…，忆(18.4)
которые выполняют роль эталонных моделей. Числовые значения а^ назначаются такими, чтобы характер процессов z$(f) -> 0 соответствовал динамике проектируемой системы.
Степень приближения процессов в системе и эталонных моделях будем оценивать величиной функционала
G(2* 2>w反(f)-*f，2)｝氏⑺-冗(f，2)]，。= (&。2…2”)，(18.5)
2 .v,v=l
который характеризует мгновенное значение энергии ускорения, вычисляемой в окрестности траекторий движения, определяемых уравнениями (18.4). В таком случае управляющие силы Qs следует определять путем минимизации G(Q).
Обозначим через Q： управляющие силы, при которых мгновенно достигается абсолютный минимум функционала, т.е. G(Q*) = 0. Эти силы удовлетворяют уравнениям
x：(f, 2*) = Zs(f)，f20，S=l,2,...,".(18.6)
С учетом (18.1) из (18.6) находим
б* 二Z(Mv +仇£ +CqA), 5= 1,2,n. (18.7) v=l
При этом ускорения zv вычисляются по соотношениям
2V =-av0 jxvJ/-avlxv -av2xv, v = l, 2,…，n, (18.8) о
которые получаются из уравнений (18.4) эталонных моделей.
Законы управления (18.7) - компенсационного типа, так как их структура идентична структуре левых частей уравнения (18.1). Для вычисления 2* по (18.7) необходимо иметь полную информацию о параметрах модели управляемой системы. Поэтому алгоритм управления, построенный на основе (18.7), мало пригоден для технических приложений.
Отмеченная особенность алгоритма есть следствие того, что силы определены из условия мгновенного достижения абсолютного минимума функционала. Чтобы синтезировать эффективный алгоритм управления, управляющие силы Q： нужно определять из условия, чтобы на траекториях управляемого движения значение функционала (18.5) принадлежало малой окрестности минимума. Кроме того, нужно заведомо отказаться от мгновенного достижения этой окрестности. В настоящей лекции алгоритмы управления синтезируются на основе градиентной схемы первого порядка. Структура таких алгоритмов оказывается проще, при этом оказывается возможным реализовать в системе требуемые динамические характеристики.
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИС ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Для удобства изложения уравнения (18.2) в случае 〃 = 2 запишем в раскрытом виде
T = %01 + 瓦 2。2-9式兀土)，s = L2.(18.9)
Коэффициенты 瓦丫，s, v = 1,2 определяются формулами
a11= 丁， 412 =421= 丁， 422=丁，△2=/1a22 一勺2a2r (18.10)
△2△2△2
Управляющие силы Qi, Q? находим из условия, чтобы значение функционала G(Qi, Q^ определяемого выражением (18.5) при л = 2, принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. С этой целью принимаем следующие законы изменения сил:
W 二-”s 田霑0)，^v = const, s=l,2,(18.11)
或oQ.
которые соответствуют градиентной схеме первого порядка. С учетом (18.9) компоненты градиента функционала равны
学=-(用1乐+a12瓦5)(名-x})-(aua}s+a22a2s)(z2 -各)，$= L2。
(18.12)
Принимая во внимание (18.10), вычисляем
fl, 5 = 1,f0, 5 = 1,
例1%、・+用2a2" 30a12%+a22a2s = J[
[0, 5 = 2,[I, s = 2.
В соответствии с этим выражения (18.12) принимают вид
祭= -—)，s=l,2.(18-13)
Подстановка (18.13) в (18.11) приводит к законам управления в дифференциальной форме
^^ = 一&(五一兀)，s=l,2.(18.14)
at
Соотношения (18.14), дополненные формулами (18.8) при и = 2, составляют основу алгоритма управления. Дия аппаратной реализации алгоритма его уравнения необходимо записать в другой форме. Интегрируя обе части (18.14) по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
4 =&•(…3 s =1,2.(18-15)
Требуемые значения скоростей изменения zs вычисляются по соотношениям
2* =-_[(%()/,0 +%]%)м-a.,2%,/,0 =卜，比，(18.16)
оо
которые получаются в результате интегрирования обеих частей (18.8) при нулевых начальных значениях переменных.
Исследуем свойства системы с алгоритмом (18.15), (18.16). Отметим прежде всего, что если процесс минимизации функционала устойчив @ -> 0；) , то производная по времени dG/dt будет отрицательна, т.е.
乎4恭 ＜。，以乎4恭 ＜。，以(18.17)(18.17)
乎4恭 ＜。，以
乎4恭 ＜。，以
(18.17)
(18.17)
В этом случае G(Qs, gv) -> 0 при/-> оо. С учетом (18.11) из (18.17) следует
(18.18)
Неравенство (18.18) будет выполняться, если параметры алгоритма управления
(18.19)(18.19)ks > 0, 5 = 1, 2.
(18.19)
(18.19)
Условия (18.19) являются необходимыми и достаточными для сходимости процесса минимизации (Q-> Q；) статической функции С7ст(2ь 02), экстремальное значение которой не изменяется во времени. В рассматриваемой задаче значение G@, &) изменяется на траекториях
управляемого движения, поэтому Q： = Q：(f) • Вследствие этого неравенства (18.19) определяют только необходимые условия сходимости процессов gv(0 -> б* • Наряду с этим требуется, чтобы параметры ks имели вполне определенные числовые значения.
Справедливо следующее положение: для системы (18.9) с алгоритмом управления (18.15), (18.16) всегда можно указать такие значения параметров %, при которых стационарное состояние х¥ = 0, £、. = 0 асимптотически устойчиво.
При анализе системы будет показана справедливость сформулированного положения.
Продолжим исследование процесса минимизации функционала. Подставим в уравнения (18.14) выражения для ускорений 兀.из (18.9). После соответствующих преобразований получим
й ^kA\Q\ + 〃而2。2 =%(М 文)，(1820)
02 +&万2202 +&万20 = %(Х，土)，
где
匕(招 х) = &也+ <P.V(X, X)],5 = 1, 2.(18.21)
Уравнения (18.20) представляют собой модели контуров, в которых формируются требуемые значения управляющих сил. На входы этих контуров поступают задающие сигналы 匕(工，х). Из (18.20) находим операторное выражение для первой управляющей силы
= D + k2a22 -显％(18.22)
1 P(D) 1 P(D) 2 и аналогично - для второй
= ^2Ly D + k 小(18.23)
”2 P(D) 2尸(D)1
Операторный трехчлен
Iк к
尸(C) = q2 +丄(占a22+%241)0 + -^-(18.24)
Для рассматриваемой системы а“ 皿 > 0, Аг > 0- Поэтому, если 厶12 > 0, то коэффициенты в (18.24) положительны. Следовательно, контуры управляющих сил асимптотически устойчивы, так как корни характеристического уравнения 尸(р)=0 расположены в левой полуплоскости. Более того, асимптотическая устойчивость контуров не нарушается, если коэффициенты усиления Аь 〃2 одновременно увеличиваются до бесконечности.
Выведем теперь уравнения замкнутой системы и исследуем ее свойства. Исходными являются (18.1), (18.15) и (18.16). Выражения для zs запишем в операторной форме
2«) =-■^у(а$о + а$]£)+ а,.?。)％«), § = 1,2.(18.25)
Подставляя (18.25) в (18.15), получим
■")= -停 аО«), s = l,2.(18.26)
Операторные полиномы
2
а.,(С) = £)з+£а$и£)и, s = l, 2.(18.27)
ц=0
соответствуют левым частям дифференциальных уравнений (18.4) эталонных моделей.
Уравнения замкнутой системы получаются в результате подстановки (18.26) в (18.1), где w = 2. Предварительно запишем эти уравнения в операторной форме:
^(asvD2 +bsvD + csv)xv{t) = Qs, s = l, 2.(18.28)
V=1
Обозначая операторные трехчлены
a^D2 + b^D + с^ = ?15v(D) , 5, v = 1, 2.(18.29)
запишем (18.28) в ином виде
Л(1 (D^ (Г) + Л2(D)x2(г) = а，,s = l, 2.(18.30)
Подстановка выражений (18.26) в (1830) приводит к искомым уравнениям замкнутой системы
[/)24](。)+占5(D)卜()+D24式0A20)= 0,(18 31)
D2 A21(D)X1 (/) + [。2彳22(D) + "2a2(。)卜2(f)二 0 •
Уравнения (18.31) взаимосвязаны, их общий порядок равен восьми. Исследуем сначала свойства сепаратных каналов, процессы в которых описываются уравнениями
回43)+ &a,(Q)k«) = 0, s = 1, 2.(18.32)
С учетом (18.27) и (18.29) замечаем, что степень полинома D^A^D) на единицу выше степени “(D). Поэтому структура каждого сепаратного канала допускает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении асимптотической устойчивости. В случае 〃一＞ оо, s = 1, 2 корни характеристических уравнений
"40 + £&,5) = 0, s = i, 2(18.33)
распределены следующим образом:
Jim &,(&.) =広，lim р4s(&) = -8, s = l,2, “=1,2,3, (18.34) k、T8k、T9
где p*s. - корни характеристических уравнений %(p) = 0, соответствующих эталонным моделям. Следовательно, в асимптотике уравнения (18.32) четвертого порядка вырождаются в уравнения третьего порядка
2
М + Za,») = о, s = 1, 2,(18.35)
v=0
структура которых идентична (18.4).
Исследуем теперь свойства системы в целом, процессы в которой описываются взаимосвязанными уравнениями (18.31). Рассматриваем характеристическое уравнение
=0,(18.36)=0,(18.36)方415) + 自a]5)p242(p)
=0,(18.36)
=0,(18.36)
Р?41(Р)р2/22(Р)+ &а2(р)
соответствующее (18.31).
Пусть в системе приняты такие значения к^ при которых стационарное состояние х = 0 асимптотически устойчиво. Обозначим max ks = к, s 二 1, 2 и вместо 匕 в (18.36) подставим величину 厶.Такая замена приводит к повышению степени устойчивости системы в целом. После указанной замены характеристическое уравнение (18.36) запишем в раскрытой форме
Ri{p) + kR1{p) + k2R(1{p) = Q,(18.37)
где полиномы(
^8(Р)= ^оР8 +№1Р‘ + ■•• + ^88> ^7(Р)=巧о/7' + 巧I。' + …+ 巧7，(18.38)
r6(p)= ho/76 +"炉 ++^66-
Выражения для всех коэффициентов полиномов не выписываем, так как они далее не потребуются. Выпишем только коэффициенты при старших степенях комплексной переменной р:
E=det4 巧。="1 + 〃2 =(々22 + %i)，％о = L (18.39)
В (18.39) приняты обозначения миноров второго порядка:
=
а11 -
•々12
=a22，
Л/2 =
ап '
•々12
= аи.(18.40)
°21，
•々22
•々22
Отметим также, что полином
^6(P)= ai(P)a2(P)-(18.41)
Исследуем поведение корней характеристического уравнения (18.36) при одновременном увеличении коэффициентов усиления в обоих каналах: %• -> оо, 5=1,2 или для принятых условий ks -> оо, 5=1,2 в (18.37). Разделим все члены (18.37) на А2, а затем выполним предельный переход при 〃一> 8. Учитывая (18.41), получим ai(p)«2(p) = 0 или в раскрытой форме:
夕3 2P2 +%1夕 + %0 =0,5 = 1, 2.(18-42)
Следовательно, в случае ks —> оо характеристическое уравнение (18.36) замкнутой системы распадается на два независимых уравнения (18.42) третьей степени. Поэтому в асимптотике шесть корней (18.36) в точности равны корням характеристических уравнений (18.42), которые соответствуют эталонным моделям.
Установим теперь расположение остальных двух корней уравнения (18.37) в предельном случае, когда 〃一> оо. Поступим следующим образом: введем новую переменную q = p/к и разделим все члены (18.37) на 必.С учетом (18.38) будем иметь
电"+号『+ + ^о(?7 +子96 + …+L60成+手寸 + ... = 0. (18.43) ккк
В этом уравнении не выписаны члены, имеющие сомножителями 1/炉，1/炉，…，l/炉. Выполним в (18.43) предельный переход при 〃-> оо. В результате получим уравнение второй степени
%)『+勺旳 + %0 =°，(18.44)
которое с учетом (18.39) принимает вид
det4『 +(%i +々22), +1 二 °・(18.45)
Так как ayv являются элементами определенно положительной матрицы 4 то оба корня уравнения (18.45) вещественные отрицательные числа:
%=-&, с5 >0.(18.46)
По определению р =次 поэтому для исходного характеристического уравнения на основании (18.46) имеем
Ps (厶)=-kcs -> (-оо), если 〃一> оо, s = l,2.(18.47)
Это означает, что два корня исходного уравнения (18.43) замкнутой системы удаляются на бесконечность в область отрицательных значений при неограниченном увеличении к или, что тоже самое, при одновременном неограниченном увеличении 厶匕 А2-
Таким образом, в асимптотике шесть корней характеристического уравнения системы равны соответствующим корням характеристических уравнений эталонных моделей, а два корня уходят на бесконечность по отрицательной вещественной оси. Это распределение идентично асимптотическому распределению (18.34) корней уравнений сепаратных каналов.
Итак, справедливо следующее: при неограниченном повышении уровня усиления в контурах ускорений (AIt2 —> оо) система взаимосвязанных дифференциальных уравнений (18.31) восьмого порядка распадается на два независимых дифференциальных уравнения (18.35) третьего порядка, которые описывают динамику эталонных моделей. Следовательно, теоретически при % —> оо, s = 1, 2 управляемый процесс %«) —> 0 неограниченно приближается к эталонному процессу z$ -> 0. Отсюда следует вывод о том, что синтезированный ал горите управления (18.15), (18.16) * обладает декомпозирующими свойствами: исходная система с двумя степенями свободы в асимптотике разделяется на две независимые подсистемы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. Благодаря этому система обладает замечательными свойствами сохранять неизменными (теоретически) динамические характеристики при изменении ее параметров.
Практически идеальная декомпозиция недостижима. Необходимая для технических приложений степень приближения процессов и слабая параметрическая чувствительность системы достигается при конечных значениях %. Расчет коэффициентов усиления выполняется из условия, чтобы быстродействие контуров ускорений (управляющих сил) было существенно выше быстродействия эталонных моделей.
(18.48)(18.48)Выведем соотношения для расчета ориентировочных значений А1)2. Будем исходить из того, чтобы процессы в контурах управляющих сил автономных каналов затухали значительно быстрее, чем в соответствующих эталонных моделях. Длительность переходных процессов будем оценивать постоянными времени. Дия моделей третьего порядка (18.4) постоянные времени % ориентировочно равны
(18.48)
(18.48)
Хмх = ,/> $ = L 2.
Va.vO
Найдем постоянные времени контуров управляющих сил автономных каналов. Рассмотрим уравнения
^А+М + ^Л=爲 & = &忌-XJ •(18.49)
Подставляя во второе уравнение выражение для найденного из первого уравнения, будем иметь
「◎ + 4 = 4J(x, х), 4 =乎.(18.50)
Значения ks необходимо рассчитывать из условия Т « хМх. Как и в случае одномерных систем, можно принять Тх = 0,1т^. Тогда из (18.48) и (18.50) получим
网=10%、"%0, 5 = 1, 2.(18.51)
Для расчета коэффициентов усиления рекомендуются также следующие соотношения:
ks =(4 5)а,лсо；, 5 = 1, 2,(18.52)
где со* - частота среза характеристики
^0®) =^0®) =Р(Р2 +as2P + ^sl) р=1аР(Р2 +as2P + ^sl) р=1а
^0®) =
^0®) =
Р(Р2 +as2P + ^sl) р=1а
Р(Р2 +as2P + ^sl) р=1а
Вычисленные по (18.51) или (18.52) ориентировочные значения коэффициентов усиления уточняются по результатам математического моделирования.
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИС ^СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В соответствии с постановкой задачи управляемое движение системы описывается уравнениями (18.1). Управляющие силы 0“ 5=1,2, w определяем в результате минимизации функционала (18.5) по цэадиент- ной схеме (18.11). Выполняя необходимые преобразования, получим алгоритмы управления вида (18.15), (18.16), где следует принятье 1,2,..., w.
Из (18.2) и (18.14) находим уравнения контуров управляющих сил:
а + KE&V0V = & 忌 +<Ps), s = 1,2,…,w, (18.53)
V = 1
где функции <pv определяются формулами (18.3).
Так как asv , есть элементы определенно положительной матрицы /Г： то устойчивость контуров обеспечивается в случае 匕 > 0, что соответствует (18.19).
Процессы в замкнутой системе описываются уравнениями
[d24v(D) + A(.a.v(D)]xv(Z) + ^'О2Ли(О)хц(0 = 0, s = l, 2,..., и. (18.54)
Штрих у суммы означает, что при суммировании исключаются слагаемые с одинаковыми индексами ц = 5 .
Исследуем асимптотические свойства системы при неограниченном повышении уровня усиления в каждом канале. Рассматриваем характерное уравнение
P2^n(P)+ ^ai(P)0乜”5)
(18.55)(18.55)Р2^21(Р) Р2Л2(Р)+ Л2а2(Р)…。2厶2”(。)=0
(18.55)
(18.55)
P24i(P)64”(P)+腕a”(p)
замкнутой системы. В случае 七一> оо, s = 1, 2,…，w можно принять 匕=А: и выполнить анализ при 左一> оо. Раскрывая определитель при таком условии, уравнение (18.55) приведем к виду
RM + 価4”т(Р)+ 廿及4”-2(Р)+ •••+ /%”(Р)= 0.(18.56)
Полные выражения для полиномов R4As далее не потребуются, поэтому выпишем только члены старших степеней
RM = r00p4n +rnp4n-X +r02pin-2 +
及1(p) = "。*T +力*-2 +*2?4"-3 + …，(18.57)
^Зп(Р)= ^0РЗП+Гп2р3п~3 +
При этом полином
必⑺=立%⑺.(18.58)
Коэффициенты 尸⑺,v = 0, 1, ...5 n при старших степенях р полиномов (18.57) равны
尸oo= det4々оj(/l), s = l,2,…，九-1,小=1, (18.59)
7=1
где Кт>- диагональные миноры порядка (л - s) матрицы А.
Разделив все члены уравнения (18.56) на kn и вычислив пределы при k ->оо, с учетом (18.58) найдем
№”(Р)= ai(p)a2(p)... a”(p) = 0 .(18.60)
Следовательно, 3九 корней уравнения (18.56) в асимптотике стремятся к соответствующим корням р] характеристических уравнений эталонных моделей. Чтобы установить распределение остальных л корней, поступим как в предыдущей задаче. Введем в (18.56) переменную q= ph затем разделим все члены на А4" и вычислим пределы при А： -> оо. В результате получим уравнение
榆4"+"0夕"1 + 〃04"2 + …+%-1,04 +1 = 0 "(18.61)
Так как матрица Я = [а“] определенно положительна, а коэффициенты 尸vo определяются формулами (18.59), то корни уравнения (18.61) действительные отрицательные числа:
cv > 0, s = l, 2,…，几(18.62)
Поскольку р(Л) = qk, то для исходного уравнения на основании (18.62) имеем следующие предельные равенства
р、・(к) = -kJ f (-8, если А： -> оо, 5 = 1, 2,..., w. (18.63)
Это означает, что w корней уравнения (18.56) при А: -> оо удаляются на бесконечность в область отрицательных значений.
Таким образом, при 匕一> оо характеристическое уравнение (18.56) замкнутой системы распадается на п независимых уравнений q^⑦=0. Взаимосвязанные дифференциальные уравнения (18.54) порядка 4九 вырождаются в систему независимых уравнений вида (18.35), которые идентичны уравнениям эталонных моделей. Следовательно, в асимптотике осуществляется динамическая декомпозиция системы на п независимых подсистем. Поэтому теоретически при неограниченном усилении в каждом канале динамические характеристики эталонных моделей и системы по каждой степени свободы строго идентичны.
Практически необходимая степень приближения характеристик системы и моделей достигается при конечных значениях ks. Как и в случае системы с двумя степенями свободы, ориентировочные значения ks рекомендуется рассчитывать по соотношениям (18.51) или (18.52).
Лекция 19
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙДВИЖЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
В лекции изложена теория синтеза алгоритмов управления движением систем с конечным числом степеней свободы по назначенным траекториям. Структура алгоритмов определяется путем минимизации энергии ускорения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, назначаемых для каждой степени свободы. Синтезированные алгоритмы обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик при изменении параметров в широких пределах. В асимптотике алгоритмы осуществляют динамическую декомпозицию системы: при повышении уровня усиления во всех каналах взаимосвязанные уравнения распадаются по степеням свободы на независимые уравнения, структура которых идентична эталонным моделям.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВУПРАВЛЕНИЯ
Движение системы с л степенями свободы подчиняется дифференциальным уравнениям
^(asvxv + bwxv + с^) = Qx, i = 1,2 (19.1) V=1
где xv - выходные переменные, 0$ - управляющие силы. В процессе движения переменные xv должны изменяться во времени по заданным законам. Следовательно^ по функциональному назначению системы управляющие силы 0$ должны обеспечивать слежение за входными задающими сигналами. Иными словами, назначение 2 - осуществлять движение по заданным программным траекториям.
Задачу синтеза алгоритма управления формулируем следующим образом. Для каждой степени свободы задана программная траектория движения ул(г), Г > 0. Функции y^t) ограничены и дифференцируемы необходимое число раз. Требуется найти такие управляющие силы 0s в форме обратных связей, при которых траектория движения по каждой степени свободы замкнутой системы, начиная с некоторого момента вре-
мени £ = 厶 с необходимой степенью приближения следует за назначенной траекторией, т.е.
卜5a)-4")1w6，, t>G, s = 1,2 …，%(19.2)
где 5,s - постоянные числа, характеризующие заданную точность слежения. Необходимо, чтобы динамические характеристики каждого канала управления соответствовали динамическим характеристикам эталонных моделей, движение которых описывается уравнениями
2
а； +=仇仇 + P.voXv， s = 1,2 …,几 (19.3)
7=0
Параметры а#, 0、卩 определяют характер и продолжительность процесса возвращения изображающей точки х в окрестность 8, если оказывается, что 1yA«) -хлС)| > 8Д.. По построению эталонных моделей с необходимостью уЛ(0 一4«) -> 0 при Г -> оо. Пусть числовые значения параметров моделей такие, что
|л(0 - 2Л(0| < £,, S = 1,2 .... п.(19.4)
Тогда динамические характеристики системы по каждой степени свободы будут практически идентичны динамическим характеристикам моделей, если величины &、< 8Л и такие, что выполняются неравенства (19.2). Далее считаем, что эталонные модели сформированы с учетом (19.2) и (19.4). Отметим, что структура моделей (19.3) принята одинаковой для всех степеней свободы.
По физическому смыслу сформулированная задача соответствует стабилизации траектории y*(f), s = 1,2 …，几 В том случае, когда у&)= =const, управляющие силы осуществляют стабилизацию системы относительно стационарного состояния равновесия хЛ= ух.
Степень приближения динамических характеристик системы и эталонных моделей будем оценивать величиной функционала
G(0 = | £a,v历T,(f, Q)][zv-xv(t, 0],。= @。2 - 4匕(19.5)
который представляет собой энергию ускорения. Управляющие силы 0Л определяем путем минимизации G(0)* Потребуем при этом, чтобы значение энергии ускорения при каждом Z > 0 принадлежало малой окрестности экстремума-минимума.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ.СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Дифференциальные законы управления принимаем в виде
粤Г^const.(19.6)
力 dQs
Выполняя необходимые преобразования, найдем уравнения алгоритма управления
0s — &(2$ — X) 2* — а.# ](Ро" + а$仰з0 — а*?%, $ = 1,2,***, л,о
ф.,0 = f(K -xs)dt, рл.о =aj0, %=а.+(19.7)
О
Соотношения для вычисления требуемых значений скоростей изменения управляемых переменных 2、 получены из уравнений (19.3) эталонных моделей по обычной методике. Принято при этом, что порядок астатизма моделей равен двум (Ру = av, у = 0, 1). Вычисление управляющих сил 2 по (19.7) выполняется по независимым уравнениям и локальной информации: 0 вычисляется по информации о состоянии управляемого процесса по первой степени свободы, 02 — по второй и т.д. Такая особенность характеризует алгоритмы автономного управления.
Исследуем свойства системы с алгоритмом управления (19.7).Чтобы не зацэомождать изложение, рассмотрим сначала систему с двумя степенями свободы, а затем обобщим полученные результаты. Выведем уравнения замкнутой системы. С этой целью исключим из (19.1) и (19.7) переменные 2л，0「Выражения для zs записываем в операторной форме
i^)=青瓜(С)%«) - K(Q)z(3，(19.8)
где 2
a，(Q) = Z 旬》,7=0(19.9)
瓦(Q) = BsiQ + a.rf).
Подставляя (19.8) в первое уравнение (19.7), с учетом (19.9) получим
а (0 = ^s{D)ys (0 - ал (Z))x.v (0].(19.10)
Полиномы а/。)= /У + а； (Q).
Запишем уравнения системы (19.1) в операторной форме
XAv(^k(o&,(i9.li)
v=l
где операторные трехчлены
4v(Q) = 4“С + bnD + s$v・(19.12)
Подставив выражение (19.10) в (19.11), для 九=2 получим неоднородные уравнения замкнутой системы
[。2 4 Q)+ 厶冋(Q)k ^ + D2Al2(D)x2(t) = k^(D)y} (/),
。2&(Q»W) + [炉出(Q) + &а2 0)卜2 (f) = &02(Q) У2 (/)• О'"
Структура левых частей (19.13) и уравнений (18.31) из лекции 18 идентична. В случае 歹匕⑺=0 из (19.13) следуют уравнения (18.31). На этом основании будем опускать доказательства, рассматривая свойства системы (19.13), так как они проводятся аналогично тому, как это выполнено в лекции 18.
Принимая 力12(。)=力2i(Q) = 0, из (19.13) получаем уравнения сепаратных каналов
[q24,(q)+ &a.(Q)]x,C) = 4a(Q)y.,(f), s =1, 2.(19.14)
Структура уравнений (19.14) допускает теоретически неоцэаничен- ное повышение уровня усиления при сохранении асимптотической устойчивости. В этом случае 匕 т оо корни характеристического уравнения
р24ss)+4а,(р)= о
распределяются аналогично (18.34). А именно: три корня равны трем корням уравнения ал.(р) = 0, соответствующего эталонной модели, а четвертый корень удаляется на бесконечность в область отрицательных значений.
При ограниченной функции yv(Z) будет ограниченной реакция устойчивой системы, процессы в которой описываются уравнением (19.14). В таком случае справедливо равенство
吃誣 4®)Х'«)]=о.吃誣 4®)Х'«)]=о.(19.15)(19.15)
吃誣 4®)Х'«)]=о.
吃誣 4®)Х'«)]=о.
(19.15)
(19.15)
Поэтому после деления всех членов (19.14) на %$ и вычисления пределов при 匕一> 8 с учетом (19.15) получим уравнения
2
元二仇М +В,о乂，5 =1, 2,(19.16)
./=0
которые с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (19.3) эталонных моделей. Следовательно, в асимптотике (匕-> оо, 5 = 1, 2) динамические характеристики моделей сепаратных каналов идентичны. Согласно (19.14), передаточные функции сепаратных каналов равны
s=7Z窗黑к喘 Sf2(1917)
d(p)d(p),s=l,2.(19.18),s=l,2.(19.18)匕(р£) =匕(р£) =По известному прав илу находим из (19.17) передаточные функции каналов в разомкнутом состоянии
d(p)
d(p)
,s=l,2.(19.18)
,s=l,2.(19.18)
匕(р£) =
匕(р£) =
P2A.s(P)+ ^[a.s(P)-₽.s(P)]
Определим добротность сепаратных каналов по скорости и ускорению. Пусть эталонные модели имеют первый порядок астатизма Pv0 = av0. Так как их передаточные функции в замкнутом состоянии
рЗ +7=0рЗ +7=0(Up)a.v(P)(Up)a.v(P)(19.19)(19.19)то в разомкнутом состоянии имеемто в разомкнутом состоянии имеем喩（Р）=喩（Р）=Мр)Мр)Ра(Р)Ра(Р)а,(Р)- МР)Р(6 + а,2P + а.「％)а,(Р)- МР)Р(6 + а,2P + а.「％)
рЗ +
7=0
рЗ +
7=0
(Up)
a.v(P)
(Up)
a.v(P)
(19.19)
(19.19)
то в разомкнутом состоянии имеем
то в разомкнутом состоянии имеем
喩（Р）=
喩（Р）=
Мр)
Мр)
Ра(Р)
Ра(Р)
а,(Р)- МР)Р(6 + а,2P + а.「％)
а,(Р)- МР)Р(6 + а,2P + а.「％)
Отсюда находим добротность моделей по скорости
磁"喩(叽.0 = ％，s = L 2.(19.21)
3° «si-Р.1
Рассматриваем теперь передаточные функции (19.18). Обозначим для краткости as.(p)-Ps.(p) = Дл.(р). Согласно (19.20) запишем
А，(р) = р«(р), А；(р) = р2 +a,2P + a,[ -к(19.22)
Следовательно
匕(〃 &) = г(19.23)
р[р4Хр) + К“(р)]
Из (19.23) аналогично (19.21) находим добротность сепаратных каналов по скорости
(19.24)(19.24)
(19.24)
(19.24)
Пусть теперь порядок астатизма эталонных моделей равен двум
(Р.(о = a.rf), P.vi = а.“). В этом случае
“5)=小h。)，H(P)=P + a,2，(19.25)
и передаточные функции (19.20) будут равны
W\4S(P)=W\4S(P)=仇(Р)p2(P + a$2)仇(Р)p2(P + a$2)5 = 1, 2.5 = 1, 2.(19.26)(19.26)
W\4S(P)=
W\4S(P)=
仇(Р)p2(P + a$2)
仇(Р)p2(P + a$2)
5 = 1, 2.
5 = 1, 2.
(19.26)
(19.26)
Отсюда находим добротность эталонныхОтсюда находим добротность эталонныхмоделей по ускорению:моделей по ускорению:
Отсюда находим добротность эталонных
Отсюда находим добротность эталонных
моделей по ускорению:
моделей по ускорению:
(19.27)(19.27)
(19.27)
(19.27)
Добротность по ускорению сепаратных каналов определяем по (19.18) с учетом (19.25). Имеем
匕(Р也)=2 r , S9)—Гp [Ass(p) + ^"(p)]
Аналогично (19.27) находим
(19.29)(19.29)£(п r авб0甲一4,(0)+m%2
(19.29)
(19.29)
Принимая во внимание (19.27), а также равенство
A.s(O)=k>P2 + bssp + c.,J=o =С"., из (19.29) окончательно получим
(19.30)(19.30)
(19.30)
(19.30)
Таким образом показано, что порядок астатизма сепаратных каналов равен порядку астатизма эталонных моделей. Добротность каналов по скорости равна добротности моделей при любых конечных значениях параметров с* трехчленов Лм(р). Однако с добротностью по ускорению дело обстоит иначе: сепаратные каналы и эталонные модели имеют q戸 0, имеет место неравенство gg < 内？.
Исследуем теперь свойства системы в целом, процессы в которой описываются уравнениями (19.13). Как уже отмечалось, уравнения (19.13) и (18,31) из лекции 18 имеют идентичные левые части. Вследствие этого характеристическое уравнение
р241(р)+Мч(р)р2л12(р)р241(р)+Мч(р)р2л12(р)р2&（0）р2&（0）р2^22(Р)+ ^2а2(Р)р2^22(Р)+ ^2а2(Р)=0,(19.31)=0,(19.31)
р241(р)+Мч(р)р2л12(р)
р241(р)+Мч(р)р2л12(р)
р2&（0）
р2&（0）
р2^22(Р)+ ^2а2(Р)
р2^22(Р)+ ^2а2(Р)
=0,(19.31)
=0,(19.31)
соответствующее (19.13), в точности совпадает с уравнением (18.36), которое детально изучено. Поэтому исследуемая система (19.13) допускает неограниченное увеличение коэффициентов усиления 勺，&при сохранении асимптотической устойчивости. В случае 左一> 8, s = 1, 2 справедливо следующее распределение корней: шесть из них оказываются равными корням характеристических уравнений аА(р) = 0 эталонных моделей, а два вещественных корня удаляются на бесконечность в область отрицательных значений. В силу этого осуществляется динамическая декомпо-
зиция управляемой системы на две независимые подсистемы, процессы в которых описываются уравнениями (19.16), идентичными уравнениям эталонных моделей. Существенно, что декомпозиция осуществляется независимо от изменения параметров. В этом проявляются свойства естественной параметрической адаптивности системы с алгоритмами управления нетрадиционной структуры.
Изучим свойства управляемой системы при конечных значениях %. Запишем уравнение (19.13) в изображениях
[加4 1(Р)+ &% (「)] $ (р) +「2 & (р)Х2 (р)=都 1 (р)乃(р),
(19.32) p2A2i(p)Xi (р) + [р2 &2 (р) + %2a2 (р)] х2(р) = к2^2(р) У2 (р).
Разрешая эти уравнения относительно &(р), найдем
х.,(р) = К.,1(р, Л5)л(р) + К,2(р, ±,)乃(р), S = 1, 2.(19.33)
Передаточные функции для переменной X] равны
& i(〃 %.)=& i(〃 %.)=吼 р2/22(Р)+ &а2(р)]01(р)
& i(〃 %.)=
& i(〃 %.)=
А(р)'
К (р, &)=鱼."(19.34)
А(Р)
В сокращенных обозначениях характеристический полином имеет вид
△(p) = /^(/出-42&) + "内出W⑺ +
+&41a2(р)] + %/2al(p)a2(p).(19.35)
Так как левые части (19.32) симметричны, то передаточные функции для переменной х2 получаются из (19.34) заменой индексов: 1 на 2 и наоборот. Таким образом имеем
&[р^п»)+ 占 ai(p)]02(P)
△(Р)'
К21З &) = —
%р2&1（Р）В1（Р）
А（Р）
Передаточные функции К⑵ K?i характеризуют взаимное влияние каналов управления. Их числители имеют сомножителем р" Это означает, что структуры с передаточными функциями К⑵ К2\ обладают дифференцирующими свойствами. При постоянных (ys = const) или линейно изменяющихся во времени (у$(г) = %г) задающих воздействиях установившиеся значения переменных
』2«)= К?。, &)歹2()X21 = ^21(^» ^.ч)У\(0
будут равны нулю. Величины 卜皿«)| будут тем меньше, чем выше уровень усиления в каналах управления. Как было показано, в асимптотике теоретически при полной динамической декомпозиции системы x,v(r) = 0. При конечных значениях 自，左2 степень взаимного влияния можно оценить путем математического моделирования. Ограничимся сделанными замечаниями по этому вопросу и выполним анализ основных структур модели управляемой системы, характеризуемых передаточными функциями, K$s(p,匕)，s = l,2. Рассматриваем передаточную функцию
阳 1(р, %)=阳 1(р, %)=К"(Р，%)1-03 К)К"(Р，%)1-03 К)
阳 1(р, %)=
阳 1(р, %)=
К"(Р，%)1-03 К)
К"(Р，%)1-03 К)
которая соответствует структуре первого канала в разомкнутом состоянии. С учетом (19.34) имеем
阳(p,少%竝43迎迎"(19.37)
Ац(Р)
Полином знаменателя (19.37) равен
An (р) = △(「) - *i[p2^22(P)+ *2а2(Р)] ₽1(Р)・(19.38)
Пусть эталонные модели имеют первый порядок астатизма: Р10 =а10, А нац. В таком случае, принимая во внимание (19.35), для Ац(р) получаем следующее выражение
Ац(р) = А^^р) + ^1Р2^22А1(Р)+ ^^^(^«гСр)]-(19.39)
где А|(р) определяется по (19.22), а полином
4(Р)= 41(Р)%22(Р)- 42(Р)”21(Р)・
На основании (19.37) и (19.39) заключаем, что первый канал имеет первый порядок астатизма, так как И"и(р, %) имеет один нулевой полюс.
При р = 0 справедливы следующие равенства:
$(「浓2(「)|片0=(%| -%)а20，А2(Р)₽1(Р)|/,=0=а20₽10>(19.40)
△п(Р)р=о -^Лг^н _Рп)а20-
Принимая во внимание (19.40), находим добротность по скорости первого канала управления
破=Wu(P，&)ко•(19.41)
Пусть теперь эталонные модели имеют второй порядок астатизма: В% = alv, V = 0, 1. Тогда в соответствии с (19.38) полином знаменателя 勿“3 АЭ будет равен
Дц(р) =
="21У /(р) + 左「2 彳22 А；(Р)+ %2 41(P)a2 (р) + 左1%2 NS)0^ (「)]•(】9.42)
Здесь двучлен А*(р) определяется по (19.25). В данном случае передаточная функция FK“(p, %) имеет двукратный нулевой полюс, поэтому порядок астатизма канала управления, как и эталонной модели, равен двум.
Найдем добротность первого канала по ускорению. При р = 0 справедливы равенства
41(p)立(Р)1片0 =С科20,Al(P)Ot2(P)|p=0 =a12a20>
А11(Р)р=0 н С"%。+ ^i^2a12a20-(19.43)
С учетом (19.40) и (19.43) по (19.37) находим
硯=p2%11（p，人）1"0
也 %=。,
«12
占"2自0
% +々/2(X12’
с】尸0.
Аналогичным образом исследуются свойства второго канала полной (взаимосвязанной) системы по передаточной функции
吃(Р,&) =吃(Р,&) =42[p2415) + %0](p)]02(p)42[p2415) + %0](p)]02(p)&22（Р）&22（Р）(19.45)(19.45)
吃(Р,&) =
吃(Р,&) =
42[p2415) + %0](p)]02(p)
42[p2415) + %0](p)]02(p)
&22（Р）
&22（Р）
(19.45)
(19.45)
В силу симметрии структуры системы выражения для А?2(Р)получаются из (19.39) и (19.42) путем замены индексов: 1 на 2 и наоборот. Выполнив необходимые вычисления, можно убедиться, что порядок астатизма второго канала управления (как и первого) равен порядку астатизма эталонных моделей. Далее, заменяя индексы в (19.41) и (19,44) и выполняя соответствующие вычисления, найдем добротность второго канала по скорости
(19.46)
и по ускорению
(19.47)(19.47),e22 " °， а22
(19.47)
(19.47)
"1%2020
02 +板 2a22
Заметим, что окончательные формулы (19.46) и (19.47) получаются соответственно из (19.41) и (19.44) в результате перемены индексов.
Таким образом, на основании (19.41) и (19.46) можно записать общие формулы для добротности системы по скорости по степеням свободы
理=—=壊，s = 1, 2.(19.48)
asi - Psi
Аналогично на основании (19.44) и (19.47) имеем формулы для добротности по ускорению
В$0 =斤牍 ©"уск，В$0 =斤牍 ©"уск，=0,=0,
В$0 =斤牍 ©
"уск，
В$0 =斤牍 ©
"уск，
=0,
=0,
左22仇0
css +勺々2as2
Найденные значения добротности (19.49) соответствуют системе с алгоритмом управления, который синтезирован по моделям (19.3) третьего порядка. Если алгоритм синтезируется по моделям, порядок которых выше третьего, то равенство 碇！=々黑 будет выполнено также и в случае сл$ н 0, s = 1,2. Доказательство этого положения опускаем.
Ориентировочные значения параметров 左卜 %2 рекомендуется рассчитывать по формулам (18.51) из лекции 18 или по соотношениям
(=(^..5)4風，s= 1,2,(=(^..5)4風，s= 1,2,(19.50)(19.50)
(=(^..5)4風，s= 1,2,
(=(^..5)4風，s= 1,2,
(19.50)
(19.50)
где соЛ. - частота среза характеристик
喩=犷+生。喩=犷+生。р2（「+ а,2）р2（「+ а,2）p=心p=心
喩=犷+生。
喩=犷+生。
р2（「+ а,2）
р2（「+ а,2）
p=心
p=心
эталонных моделей (19.3) в разомкнутом состоянии, где принято
Основные результаты и рекомендации
Сформулируем теперь основные положения, которые обобщают полученные результаты на случай системы с л степенями свободы. Они заключаются в следующем.
Минимизация мгновенного значения энергии ускорения управляемой системы (19.1) по градиентной схеме первого порядка (19.6) приводит к автономным алгоритмам управления для каждой степени свободы. Требуемые значения управляющих сил вычисляются по независимым уравнениям вида (19,7). При этом для вычисления 01 используется информация о состоянии управляемого процесса первого канала (』，土】)， для вычисления Q2 используется информация о состоянии управляемого процесса второго канала (xb xt) и т.д.
Структура замкнутой системы с алгоритмом управления вида (19.7) допускает теоретически неограниченное повышение уровней усиления без потери устойчивости. В асимптотике, при бесконечно больших значениях коэффициентов усиления осуществляется динамическая декомпозиция системы на л независимых подсистем, структура которых идентична структуре эталонных моделей. Практически это означает, что путем повышения уровней усиления в контурах управления можно достиг-
нуть заданной точности приближения динамических характеристик системы по каждой степени свободы к динамическим характеристикам эталонных моделей.
Ориентировочные значения коэффициентов усиления 抬 рекомендуется рассчитывать по формулам (19.50). При достаточно высоком уровне усиления динамические характеристики системы будут оставаться практически неизменными при изменении параметров в широких пределах.
Для каждой степени свободы можно назначать эталонные модели различной структуры с различными динамическими характеристиками (быстродействие, перерегулирование и др.). Согласованное по времени управление достигается в том случае, когда алгоритмы управления по каждой степени свободы синтезируются по эталонным моделям идентичной структуры с идентичными динамическими характеристиками.
Порядок астатизма каждого канала системы равен порядку астатизма соответствующей эталонной модели. Минимальный порядок дифференциальных уравнений моделей определяется требованиями к добротности проектируемой системы. А именно, справедливо следующее.
Добротность каналов управления по скорости будет равна добротности эталонных моделей, если их порядок не ниже третьего. С добротностью по ускорению - сгпуация иная. В случае, когда в уравнениях системы (19.1) коэффициенты с5л = 0, 5 = 1, 2, ..., л, добротность каналов по ускорению будет равна добротности эталонных моделей, если их минимальный порядок равен трем. Если коэффициенты с* н 0, то равенство 厶;2 二厶^； имеет место только в том случае, когда порядок эталонных моделей не ниже четвертого.
Задача синтеза алгоритмов стабилизации стационарных состояний, рассмотренная в лекции 18, есть частный случай задачи синтеза алгоритмов стабилизации программных траекторий движения (алгоритмов управления следящих систем). Поэтому алгоритмы управления вида (19.7) можно применять как в системах стабилизации стационарных состояний, так и в следящих системах.
Лекция 20
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Изложена теория синтеза алгоритмов терминального управления движением многомерных динамических систем. Предполагается, что требуемые траектории движения заданы в параметрической форме. Исследована динамика управляемых систем и показано, что синтезированные алгоритмы придают системам свойства слабой чувствительности к изменению параметров и координатным возмущениям. Приведены результаты математического моделирования процессов управления движением консервативной системы с двумя степенями свободы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть движение системы описывается уравнениями
2(а.”冗+2"v+Cs%) = 0*, s = l, 2,…，％(20.1)
V = 1
где xv - управляемые переменные, 0s - обобщенные управляющие силы, п - число степеней свободы. Коэффициенты уравнений могут принимать значения в ограниченных диапазонах их изменения
a$v “ a5V £ а、” ' b^ К 仇.丫 К 6皿，Qy “ c5V 4 生丫.(20.2)
Как и в случае одномерной системы, при выполнении преобразований будем считать, что эти коэффициенты постоянны. Управляющие силы 0\ подчинены ограничениям
g；<a <Q^$ = 1,2,…，几(20.3)
Далее нам потребуются уравнения системы, разрешенные относительно вторых производных. Обозначим через Л, В и С матрицы, элементами которых являются соответственно а^ 仇“ и с~ Тогда обычными преобразованиями из (20.1) находим
+ S (^v^v + сWXV) = ^ axvQv, s = 1,2,(20.4)
Коэффициенты уравнений (20.4) являются элементами матриц Л-1В, А~1С и Я-1.
Задачу терминального управления формулируем следующим образом. В начальный момент времени г = 0 состояние системы определяется значениями
xs-o =х5°\ %=兴°)， 5 = 1,2,…，以(20.5)
Требуется синтезировать алгоритм управления, который за время Т обеспечивает перевод системы в терминальное состояние
¥ = %牝 卩=1, 2,mx.(20.6)
Необходимо при этом, чтобы процесс перехода системы в назначенное состояние по каждой степени свободы х$(г)-> 鼻丁 осуществлялся по траектории
Л(0 =方加屮“⑺，t е [0, Л.(20.7)
где 屮卄-линейно независимые функции, дифференцируемые по времени необходимое число раз. Потребуем также, чтобы возможные отклонения 5\(Г) = У$(г) - х、(£) были исчезающими функциями и подчинялись на траекториях управляемого движения дифференциальным уравнениям
+%$, + 碇$ =0,紀 ％ > 0.(20,8)
Коэффициенты 儿，力 1 назначаются такими, чтобы длительность затухания процессов 5Х(/) -> 0 была существенно меньше интервала Ттерминального управления.
Постоянные коэффициенты у、, в (20.7) определяются граничными условиями на левом и правом концах заданной траектории
玖(0)=Xз(0),八(0)К(0),臼(7)=理)7,h= 0,1,…，%.(20.9)
Для различных степеней свободы на управляемые координаты можно назначать различное число а граничных условий в (20.6). В том случае, когда для решаемой задачи требуется, например, чтобы только коор-
динаты и скорости были равны заданным значениям, т.е. ys(T) =xsT, ys(T) =хлТ(Г), дополнительные граничные условия /%+1)(丁)= о, т = 1,2, ... будут обеспечивать плавное приближение системы к терминальному состоянию. Чтобы не загромождать изложение, далее примем ms = 1 для всех степеней свободы. В таком случае из (20.5) - 20.7) и (20.9) получим следующие уравнения
з
2Y"w扌)(。)=，2 h = 0, 1, /=0
(20.10) з
Yl^^ = x^^ S = 1,2, ...,〃， /=0
из которых однозначно определяются коэффициенты у5/.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Найдем структуру алгоритмов, которые решают сформулированную задачу. С этой целью из уравнения (20.8) определяем ускорения х*, при которых движение системы теоретически точно следует по заданной траектории. С учетом выражений для производных 8^, J = 0, 1, 2 из (20.8) получаем
/=兔+力1(九一元)+儿(以-%)■(20.11)
Обозначим через 0； управляющие силы, которые создают ускорения 兀=х*. Уравнения для Q* следуют из (20.4) после подстановки в них 兀.Выполняя такую подстановку, получим
3л _
EZvO：=冗 + Е(北Л + 纵■А), s = 1, 2,".(20.12)
V=IV=I
С учетом принятых обозначений в (20.4) из (20.12) находим
О：=纟。皿元+6Jv+CwXv), s= 1,2,...,".(20.13)
V=I
Соотношения (20.11) и (20.13) составляют основу алгоритма управления компенсационного типа. Применение этого алгоритма возможно только в том случае, когда имеется достоверная информация о параметрах модели управляемой системы. Такая структура алгоритма есть следствие того, что она получена из условия выполнения равенств 居(r) = K(f), F 2 0, которые практически не достижимы.
Поступим теперь иначе. Структуру алгоритма управления будем определять путем минимизации функционала
g(0)=汽。~ te - 工、&0))也-元 a0))，
(20.14) 0=回。2…且F
по управляющим силам 0门 Из условия мгновенного достижения абсолютного минимума
噌 G(Q) = G(0*) = O
вновь получим уравнения алгоритма управления компенсационного типа (20. 11), (20.13). Поэтому управляющие силы Qv найдем из условия, чтобы на траекториях управляемого движения значение функционала (20.14) в каждый момент времени принадлежало малой окрестности минимума.
В соответствии с градиентной схемой первого порядка скорости изменения управляющих сил определим дифференциальными соотношениями
^^1 = -к,^^-,爪=const, s = l, 2,(20.15)
dt '殴
С учетом (20.4) дифференцированием (20.14) находим составляющие градиента
^^ = -(£；-£,).(20.16)
Подстановка (20.16) в (20.15) приводит к законам изменения управляющих сил в дифференциальной форме
0S =&(£；-£$)，S= 1,2,0S =&(£；-£$)，S= 1,2,(20.17)(20.17)
0S =&(£；-£$)，S= 1,2,
0S =&(£；-£$)，S= 1,2,
(20.17)
(20.17)
Соотношения (20.11), (20.17) составляют основу алгоритма управления другой структуры в отличие от (20.11), (20.13). Для аппаратной реализации алгоритма эти соотношения необходимо представить в иной форме. Интегрируя по времени обе их части, с учетом (20.9) получим
0s=%s(X：-")， s=l,2,
,(20.18)
弋=八+似У* - %) + & J(乂，- x.,) dt.
о
Особенность синтезированного алгоритма состоит в том, что необходимые значения управляющих сил для каждой степени свободы вычисляются по независимым уравнениям. При этом используется локальная информация: Qi вычисляется по информации хь 文〔о состоянии процесса первой степени свободы, Q2 - по второй и т.д. На этом основании алгоритмы управления, структура которых определяется уравнениями вида (20.18), будем называть алгоритмами автономного или децентрализованного управления.
С учетом (20.15) полная производная по времени минимизируемого функционала равна
аС(0) dtаС(0) dt
аС(0) dt
аС(0) dt
Следовательно, необходимое (но недостаточное) условие сходимости процесса Q^t) f Q： состоит в том, чтобы коэффициенты ks были положительны.
Система (20.1) с алгоритмом управления (20.18) обладает следующими свойствами:
всегда можно указать такие значения параметров ks > 0, при которых движение системы асимптотически устойчиво по отношению к невозмущенному движению xs (/) = к(Е)；
структура замкнутой системы допускает неограниченное повышение уровня усиления в каналах управления при сохранении асимпто-
тической устойчивости. При 总 f оо осуществляется ее декомпозиция на и независимых подсистем, процессы в которых описываются уравнениями
焉 + 加工,+ %z =丸.+ \ys + &义，s = 1, 2,..., Л,
идентичными уравнениям (20.8). Практически это свойство означает, что при достаточно высоком уровне усиления в каналах управления движение системы будет малочувствительно к параметрическим и координатным возмущениям. Значения кх всегда можно назначить такими, чтобы система была работоспособна при изменении ее параметров в ограниченных диапазонах (20.2).
Доказательство сформулированных положений не приводим, оно выполняется в лекции 18 при исследовании задач стабилизации траекторий движения многомерных систем.
РАСЧЕТ ДОПУСТИМОГО ИНТЕРВАЛА ТЕРМИНАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ
Для заданных граничных условий на левом и правом концах траектории величина допустимого интервала Т определяется с учетом ограничений (20.3) на управляющие силы. В методическом отношении эта задача решается по такой же схеме, как и в одномерном случае. Особенность заключается в том, что в случае многомерной системы зависимости 0：(Г) требуемых значений управляющих сил определяются для каждой степени свободы. Это выполняется путем интегрирования дифференциальных уравнений
元+Z(院玄+Xv{)=汽(宕一丸)，
,(20.19)
工:=丸 + %(”•一%) + & J(” 一 % ) dt
при соответствующих начальных условиях. Допустимые интервалы терминального управления Т для каждой степени свободы в общем случае будут различными. Так как по всем управляемым координатам конечное состояние должно достигаться одновременно, допустимый интервал необходимо принять равным Т = шах 厶.
УПРАВЛЕНИЕ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМОЙС ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Движение системы описывается уравнениями
«11*1 +а12^2 +с11л1 +自2工2 =01，
(20.20)
021^1 +a22h2 +с21占 +с22巧=02 •
Числовые значения матриц принимаем равными
Л =Л =2 1,51,5 42 1,51,5 4
Л =
Л =
2 1,5
1,5 4
2 1,5
1,5 4
Управление движением системы (20.20) будем осуществлять с помощью алгоритма (20.18), где функции 弘⑺ определяются по (20.7). Для произвольного начального состояния х、©, хА.о и терминального состояния х、.0, К© коэффициенты ул/ вычисляются по формулам
Ул-о 二 Zo，Y$o = Zo， $ = L 2’
%2 =戸(汽丁 -Zo)~~^sTMo，(20.21)
32 .1 ..
Y*3 =声(工、？ -工$0)-戸'u -戸(工严一工网)•
Пусть требуется перевести систему из состояния
*10 = °，*10 = °，*20 = ° *20 = °(20.22)
в конечное состояние
х17 = 0, х1Г - 0,巧丁 =° &丁 =°・(20.23)
Для граничных условий (20.22), (20.23) при Г = 5 с по формулам (20.21) находим
Yio = Yu = °，%2 = °，24, %з= -0,032,
?20=°，?21=T?22=°，4?23=-°，°4.
Поэтому траектория движения системы в терминальное состояние определяется формулами
%«) = 0,24产-0,032戸，
у2(/) = Т + 0,4产-0;04/3.
Коэффициенты 瓦，力i в (20.8) назначаем равными Ло = 34,6,力i = 8,3. В этом случае длительность процессов затухания 5$ f 0 составляет 0,5 с, что в 10 раз меньше интервала терминального управления.
Графики переходных процессов в системе изображены на рис. 20.1 и 20.2, а фазовые траектории - на рис. 20.3. Усиление в контурах управления соответствуют значениям 自=40 и & = 80. Синтезированный алгоритм управления обеспечивает выполнение заданной программы движения даже в том случае, когда фактическое состояние системы при / = 0 отличается от расчетного значения, т.е. х20 н 0.
Рис. 20.2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Особенность разработанной методики состоит в том, что для синтеза терминальных управлений нет необходимости иметь полный объем информации о параметрах модели управляемого объекта. Для этой цели достаточно знать ее структуру (порядок дифференцированного уравнения, число степеней свободы). Такая особенность обусловлена процедурой синтеза, т.е. технологией построения управлений. В силу этого изложенный подход заслуживает исследования и развития применительно к различным задачам прикладного значения. Представляет также интерес разработка метода синтеза кинематических алгоритмов терминального управления.
Лекция 21УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИСИСТЕМАМИ
Настоящая лекция открывает заключительную часть курса «Обратные задачи динамики в теории автоматического управления», в которой рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления системами, модели движения которых нелинейны. Причем нелинейный характер моделей обусловлен как ограничениями на управляющие функции, так и нелинейными зависимостями в уравнениях управляемых объектов. По методическим соображениям сначала изучаются задачи управления статическими объектами, а затем - системами с одной и несколькими степенями свободы. На основе концепций обратных задач динамики синтезируются алгоритмы стабилизации стационарных состояний и назначенных траекторий движения, а также алгоритмы управления, субоптимальные по быстродействию; кинематические алгоритмы, а также алгоритмы терминального управления. Наряду с этим изучена возможность гашения автоколебаний в существенно нелинейных системах. Основные положения теории иллюстрируртся результатами исследования модельных задач.
УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Управляемый объект называется статическим, если его выходная величина х и входное воздействие и связаны между собой уравнением вида:
х = F(u, а), (21.1) где &…)-в общем случае нелинейная функция; а = (а] ... а„) - вектор параметров. Функция F(u, а) называется характеристической статического объекта. Далее будем считать, что характеристика F(u, а) представляет собой однозначную относительно и функцию, дифференцируемую и монотонно возрастающую.
Выходная величина х характеризует состояние управляемого объекта. Так как уравнение (21.1) не является дифференциальным, то объект мгновенно переходит из одного состояния в другое, соответствующее новому значению входного воздействия и, выступающего в роли управ-
ляющей функции. На этом основании статический объект называют также безынерционным.
Параметры (①.../) = а, входящие в (21.1), могут изменяться во времени, вследствие чего будет изменяться состояние объекта при неизменных прочих условиях его функционирования. Как правило, на объект действуют возмущения, которые также нарушают заданное течение процесса. Вид и характер возмущений определяется физической природой объекта. Таким образом, нежелательные изменения состояния управляемого объекта могут быть вызваны внутренними факторами (изменение параметров) и внешними факторами (возмущения). Чтобы удержать объект в назначенном состоянии, нужно соответствующим образом организовать управление, т.е. целенаправленным изменением управляющей функции парировать влияние внутренних и внешних возмущающих факторов. Формирование необходимых законов изменения управляющих функций составляет содержание задачи синтеза алгоритмов управления.
Задачу синтеза формулируем следующим образом. В начальный момент времени / = 0 состояние объекта характеризуется величиной х(0) = хо. Требуется найти такое значение управляющей функции и = и0, при которой объект переходит в состояние х = х°.
На основании (21.1) можно записать
Л(И°, а) = х°.(21.2)
Так как по условию 尸(弘 а) - однозначная и дифференцируемая функция, то из (21.2) находим непосредственно
/=尸(-)(工。,*(21.3)
где 户')(...)-функция, обратная по отношению к F(...). Особенность полученного решения (21.3) состоит в том, что управление организуется по разомкнутой схеме (рис. 21.1). При этом для вычисления управляющей функции 〃° необходимо иметь полный объем информации о структуре математической модели управляемого объекта и ее параметрах.
0 0Рис. 21.10 0Рис. 21.1В технических системах прикладного назначения модели вида (21.1) получакуг, как правило, путем аппроксимации экспериментальных данных подходящими математическими зависимостями. Полученные таким образом модели приближенно описывают связи между управ-
0 0
Рис. 21.1
0 0
Рис. 21.1
ляющими функциями и выходными переменными объектов. Кроме того, при построении математических моделей не всегда удается с необходимой степенью точности выявить закономерности изменения параметров. Неточность математического описания управляемых объектов приводит к ошибкам управления, поэтому схемы управления без обратных связей (рис. 21.1) находят ограниченное применение.
Необходимость иметь полный объем достоверной информации о математической модели F(u, а) есть следствие того, что управляющая функция м° определяется мгновенно, а управляемый объект также мгновенно переходит в назначенное состояние х = х° Организуем управление статическим объектом иначе. Управляющую функцию будем определять таким образом, чтобы величина
GQ) = В 卜。-尸Q, а)『(21.4)
принадлежала малой окрестности экстремума-минимума, а переход объекта в эту окрестность осуществлялся не мгновенно, а за конечный интервал времени.
Заметим, что в соответствии с (21.1) разность 工° - F(u, а) = х° ~ х представляет собой отклонение фактического значения выходной переменной объекта х от заданного значения х°. Из условия абсолютного минимума G(〃) следует уравнение (21.2) и соответствующая ему управляющая функция и0, вычисляемая по (21.3). Такое решение, как отмечалось, не является конструктивным.
Чтобы построить эффектный алгоритм управления, управляющую функцию определим дифференциальным соотношением
=九const,(21.5) dt ди
которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума G(〃). Дифференцируя (21.4) по 弘 находим выражение для градиента
3GQ)о
--—=—Fu(и, а)(х -х),
где F =空如0. Следовательно, соотношение (21.5) принимает вид
学=做г7), % =-精.(21.6)
at
Рис. 21.2
Таким образом, скорость изменения управляющей функции пропорциональна величине рассогласования. Поэтому управляющая функция 〃 вычисляется с учетом фактического состояния управляемого объекта. Вследствие этого управление осуществляется по схеме с обратной связью (рис. 21.2).
Процесс в замкнутом контуре описывается уравнениями (21.1), (21.6). Исключая в этих уравнениях х, будем иметь
—+ kF (и, а) = Ах°.(21.7)
dt
Пусть характеристика объекта F(u, а) есть монотонно возрастающая 5F
функция, т.е. —— > 0. Тогда выходная переменная объекта будет стре- ди
мится к заданному значению 工(F)f х°, если А： > 0. Чтобы в этом убедиться, достаточно получ ить условие устойчивости стационарного состояния х = х° по уравнению в отклонениях. Обозначим Ли = и - и0, Ах = х - х°. Считая величины А〃, Ах малыми, выполним линеаризацию уравнения (21.7) в окрестности х°, w°. Так как
F(w° +Au,a)«F(u°, а)+ 7^Ли,七工偿^ ,\duju=uo
то по обычной процедуре линеаризации получаем из (21.7):
写@ + W^A“(f) = 0.(21.8)
Отсюда следует, что если выполняется правило знаков
sign (Л) = sign (/^),(21-9)
то справедливо предельное соотношение
Ли(Г) = Aw(0)exp (-kF^t) f 0, Е f ℃.
По условию характеристика объекта F(u, а) такая, что F^> 0. Поэтому согласно правилу знаков коэффициент усиления должен быть положительным (к > 0).
Итак, если выполняется условие (21.9), то нулевое решение Ди = 0 уравнения в отклонениях (21.8) асимптотически устойчиво. Однако в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова об устойчивости движения таким же свойством обладает исходная нелинейная система. Следовательно, стационарное состояние х-х° рассматриваемой системы (см. рис. 21.2), описываемой нелинейным уравнением (21.7), асимптотически устойчиво. Состояние х = х° нелинейной системы остается асимптотически устойчивым при неограниченном повышении уровня усиления (% -> оо). Действительно, разделим обе части (21.7) на Л и вычислим пределы при 无一> оо. Так как справедливо u(/) -> и0 при / -> оо, то после выполнения указанных операций получим равенство F(u°, а) = х°, которое соответствует стационарному состоянию х(оо) = х°.
Процесс изменения выходной переменной х(Г) -> х° существенно определяется видом статической характеристики F(u, а). В этом можно убедиться, записав уравнение для х(/). Пусть параметры не зависят от времени (а = const). Тогда на основании (21.1) будем иметь
х = Fu(u,a)u=>ii =珩'(玄,々)士.(21.10)
Подставляя выражение для 〃 из (21.10) в (21.7), получим уравнение для выходной переменной
女+ %х = kFuW.(21.11)
Из (21.11) следует, что только в случае линейной относительно и характеристики F(u, а) процесс х(/) -> х° проходит по закону экспоненты
х(/) = х° (1 -已一“"'),Fu = const.
В других случаях характер изменения x(f) зависит от вида функции Дм, а).
Синтезируем теперь алгоритм управления, при котором в системе может быть достигнута сколь угодно высокая точность приближения переходного процесса х(/) -> х° к заданному эталонному процессу. Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени Г = 0 состояние статического объекта (21.1) характеризуется велечиной х(0) = х0. Требуется синтезировать алгоритм управления в форме обратной связи, при котором объект переходит в окрестность стационарного состояния
х = х° и продолжает оставаться в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы процесс х(/) -> х° с требуемой точностью следовал за эталонным процессом х*(£) -> х°, определяемым дифференциальным уравнением
4-аох* = аох°, а0 >0(2L12)
при соответствующем начальном условии.
Степень приближения х(Е)-> х*(/) характеризуем величиной
G(u) = ^\t)-F(u,a^.(21.13)
Минимизацию GQ) организуем по схеме градиентного метода аналогично (21.5). Дифференцируя (21.13) по 〃, находим выражение для градиента
3GQ)*
~7 -~^и^ а)(х -х),
подстановка которого в (21.5) приводит к закону управления
—^^ = №(х*-х), k(-rkFu).(21.14)
at
Переменная х* выступает в роли требуемого значения выходной переменной системы в каждый момент времени / > 0. Расчетное соотношение для вычисления х* можно получить из уравнения (21,12) путем интегрирования обеих частей по времени с последующей заменой х*(£) = х(Е), />0. Выполняя указанные операции, получим
х* = а0 |(х° - х) dt.(21.15)
о
Начальное значение х*(0) принято равным нулю.
Уравнения (21.14), (21.15) составляют основу алгоритма управления. Структурная схема системы с этим алгоритмом изображена на рис. 21.3. Исследуем динамику процесса управления. Будем считать, что за время переходного процесса параметры управляемого объекта остаются постоянными (а = const). При таком условии для выходной переменной выведем уравнение в отклонениях путем линеаризации F(u, а) в окрестности х°, u°. С учетом (21.15) запишем (21.14) в виде
Рис. 21.3
(21.16)
Сохраняем принятые ранее обозначения. Тогда на основании (21.1) н (21.16) будем иметь
Ах(/)=灯Au(/),Дй(/) = -Л(а0 ^^xdt + х).(21.17)
о
Дифференцируя по времени обе части первого уравнения и подставляя затем в полученное равенство выражение для Дй(/) из второго, находим
Дх + kF^(а0 Jaxc// + Ах) = 0.(21.18)
о
Так как F^ = const, то в результате почленного дифференцирования (21.18) получим искомое уравнение в отклонениях
Ar + kF^ (Ai + aoAr) = O.(21.19)
Как известно, чтобы состояние равновесия Ах = 0 линейной системы второго порядка было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты были положительны. Для уравнения (21.19) это условие сводится к неравенству kF； > 0. Отсюда следует, что знак 无 в уравнении (21.4) должен совпадать со знаком производной Л/^(и, а), что соответствует (21.9). Далее, особенность уравнения (21.19) состоит в том, что его структура допускает неограниченное увеличение 无 без потери устойчивости. В асимптотике (Л -> оо) уравнение (21.19) второго порядка вырождается в уравнение первого порядка Дх + a0Ar = 0, которое по структуре идентично левой части уравнения (21.12) эталонной модели.
Отмеченные свойства соответствуют линейному уравнению в отклонениях. Однако в силу теоремы А.М. Ляпунова асимптотически устойчиво также стационарное состояние х= х° исходной нелинейной системы (см. рис. 21.3), процессы в которой описываются уравнениями
х = F(u, а), й = к а0|(х°-х)Л-х .(21.20)
_ о_
Дифференцируя второе уравнение (21.20) по времени, а затем исключая переменные х, х, получим
w + k[Fu (u, а) и + а0 F(u, а)] = taox°.(21.21)
При конечных значениях х° конечными будут переменные %(£)и ее про
изводные. Поэтому справедливо предельное равенство lim —и(/) = 0 при к
А: —> со. Следовательно, в асимптотике (无—> оо) из (21.21) находим
Fu ® а)и + а。尸® а) = аох° =>х + аох = аох°.
Таким образом, при неограниченно высоком усилении процесс в системе описывается дифференциальным уравнением, которое в точности совпадает с уравнением эталонной модели (21.12). В таком случае процесс х(0 —> х° теоретически строго совпадает с процессом х (£)—> х°, т.е. х(0 = x*(f), f > 0. Это доказывает, что в системе с алгоритмом управления (21.14), (21.15) можно реализовать (теоретически) динамические характеристики, идентичные динамическим характеристикам эталонной модели. Практически необходимая для технических приложений точность приближения достигается при конечных значениях к.
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯСИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Постановка задачи
Пусть управляемое движение системы подчиняется уравнению
mx(t) = g(x, х, u),(21.22)
где т - масса; g(x, х, и) - дифференцируемая и однозначная функция своих аргументов и такая, что уравнение (21.22) имеет единственное решение, выходящее из точки х(0), х (0) . Принимаем, кроме того, что g(…)
имеет однозначную обратную функцию #)(•••) относительно и. Уравнение движения (21.22) далее будем представлять в следующем виде:
£(f) = w(x, х, u), w = m~]g(x, х, u).(21.22/
Функция М…)-ускорение движения, обладает такими же свойствами, как Hg(x, х, и).
Для рассматриваемой системы синтезируем такой алгоритм управления, при котором изображающая точка переходит в окрестность стационарного состояния х(оо) = х° = const. Необходимо при этом, чтобы управляемый процесс х(£) -> х° с требуемой точностью следовал за эталонным процессом х (/) -> х°, который определяется дифференциальным уравнением
х* +а2х* +«!>：* +ajx* =аох°, а{а2 >«о(21.23)
при соответствующих начальных условиях. Числовые значения коэффициентов a.s назначаются такими, чтобы динамика эталонной модели соответствовала требованиям задания на проектирование автоматической системы по быстродействию, точности и другим показателям качества управляемого процесса.
Степень приближения процессов в эталонной модели и в системе будем оценивать величиной функционала
G(“) = ；仗《)-£&“)『，(21.24)
который характеризует мгновенное значение нормированной по массе т энергии ускорения, вычисляемой в окрестности назначенной траектории движения. Обозначим через и такую управляющую функцию, при которой в системе реализуется (теоретически) идеальный процесс х(£) = х (/), / > 0. Из условия абсолютного минимума (21.24) для и получаем уравнение
w(x, х, w*) = х*(/), / > 0.(21.25)
Уравнение (21.25) будем решать алгоритмически путем минимизации функционала (21.24). Как и в предыдущей задаче, откажемся от мгновенного достижения абсолютного минимума функционала (21.24). Минимизацию G(“) будем осуществлять по градиентным схемам, оцэа- ничиваясь требованием, чтобы значение G(“)в каждый момент времени принадлежало малой окрестности экстремума-минимума.
Минимизация функционала по градиентной схемепервого порядка
Управляющую функцию определим дифференциальным соотношением
皿 q,…。11st.皿 q,…。11st.(21.26)(21.26)
皿 q,…。11st.
皿 q,…。11st.
(21.26)
(21.26)
С учетом (21.22) и (21.24) имеем
dGQ)
Tх - X)——ди
Поэтому из (21.26) находим закон управления в дифференциальной форме
й = к{х - х), к = -^^ •й = к{х - х), к = -^^ •(21.27)(21.27)
й = к{х - х), к = -^^ •
й = к{х - х), к = -^^ •
(21.27)
(21.27)
Значение частной производной —— соответствует точке стационарно- I加丿0
го состояния х° = const. Требуемое значение ускорения х* вычисляется по соотношению
x* =a0 |(х° -幻力-a/-立i, оx* =a0 |(х° -幻力-a/-立i, о(21.28)(21.28)
x* =a0 |(х° -幻力-a/-立i, о
x* =a0 |(х° -幻力-a/-立i, о
(21.28)
(21.28)
которое получается из уравнения (21.23) после однократного интегриро-
вания обеих частей и последующей замены= х^ , $ = 0,1. Началь- dts
ные значения переменных принимаются равными нулю.
Уравнения (21.27), (21.28) запишем в другой форме, проинтегрировав обе их части по времени. В результате получим уравнения алгоритма управления в окончательном виде
(21.29)(21.29)и = Л(х* - х),
(21.29)
(21.29)
х* = |(а()(р - сцх)龙—а2х, <р = J(x° - х) dt.ао
Структурная схема замкнутой системы, соответствующая (21.29), изображена на рис. 21.4.
Рис. 21.4
Управляемый процесс описывается уравнениями
尤= Lg(x, X, w),
(21.30)"=^卜()1-(1(分喲］,
где операторное выражение
2
a(D) = D3 + ^avDv
v=0
соответствует левой части уравнения эталонной модели (21.23). Уравнение для й получено из (21.27) после подстановки в него выражения (21.28), записанного в операторной форме:
胃 M^xO-^Qo+aiD + azgx").
Исключим в (21.30) управляющую функцию u. С этой целью продифференцируем почленно первое уравнение, а затем подставим выражение для й в полученное равенство. После дифференцирования имеем:
х + а2х + а}х -Ьй,(21.31)
где переменные во времени коэффициенты - частные производные
%=一丄卷"2=一丄冬6」專.(21.32)
m dxm ex m ш
В общем случае 〃〔工 и b нелинейно зависят от х, х, и. Подставим теперь выражение для й из (21.30) в (21.31), в результате получим уравнение
32
х⑷ +£4冗3)+ kb(х +，ctyx"))=无必0丿,(21.33)
ц=1v=0
коэффициенты которого равны: а^ =а}, а； = % + а2, а；=吆 где точки обозначают производные во времени. Понятно, что в общем случае а* - нелинейные функции х, х, и.
Исследуем свойства замкнутой системы, рассматривая ее движение в малой окрестности стационарного состояния х = х°. Анализ выполним по уравнению первого приближения. Такое уравнение можно получить из (21.33). Для этого необходимо коэффициенты а12 и b вычислить по (21.32) в стационарной точке. В таком случае эти коэффициенты будут постоянными величинами. Обозначим их а^2 и ^°- Следовательно, а* в (21.33) будут равны
а[ = а^ = 0, а^ 二 а\ + ^2 = 〃；，広-吟 (21.34)
Далее, в окрестности х° принимаем х«) = х° + Ar(f), где Ах(/) - малая величина. Тогда с учетом (21.34) будем иметь
з
х(4)+ £ а*х(и) = Ах") + q；必 + а；© ,
(21.35)
22
v=0v=0
Подставляя (21.35) в (21.33), находим искомое уравнение, которое запишем в операторной форме
[z)2 4 (£>) + Л6°а(£>)]Ах(/) = 0,(21.36)
где операторный трехчлен
Порядок операторного полинома EP'A^JJ) на единицу выше порядка a(D), поэтому уравнение (21.36) обладает следующими свойствами:
если выполняется правило знаков
sign(舟=sign
(21.37)
то при любых конечных коэффициентах полинома 4o(D) всегда существуют такие значения к>к , при которых нулевое решение Ах(/) = 0 асимптотически устойчиво;
структура уравнения (21.36) допускает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении асимптотической устойчивости нулевого решения; в асимптотике (无-> оо) дифференциальное уравнение четвертого порядка
[z)24(£>) + ^°а(£))]дг(/) = ^°а0Дг°(21.38)
вырождается в уравнение третьего порядка a(D)Ax(t) = a0Ax° , которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (21.23) эталонной модели.
Далее принимаем, что g(x, х, и) - неубывающая функция такая, что (^) > ° И ^^^° знаков (21.37) выполняется.
Отмеченные свойства установлены для линейной системы в отклонениях. Однако согласно теореме А.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости нелинейных систем, такими же свойствами обладает исходная нелинейная система, процессы в которой описываются уравнением (21.30). А именно, справедливо следующее:
1°. Для нелинейной системы (21.22) с алгоритмом управления (21.29) всегда можно указать такие значения 无 > 无*, при которых стационарное состояние х = х° асимптотически устойчиво.
2°. При неограниченном повышении уровня усиления асимптотическая устойчивость стационарного состояния х = х° сохраняется. В асимптотике нелинейное дифференциальное уравнение (21.33) вырождается в линейное уравнение третьего порядка a(£>)x(/) = аох°, которое иден
тично уравнению эталонной модели.
Следовательно, в случае 无一> оо процесс х(£) -> х° в управляемой системе асимптотически приближается к эталонному процессу х*(/) -> х°. Это означает, что путем повышения уровня усиления (无)теоретически может быть достигнута любая наперед заданная степень приближения х(/) -> х*(/) при любом / > 0.
21.2.3. Минимизация функционала по градиентной схемевторого порядка
Для вычисления управляющей функции по уравнениям (21.29) необходимо иметь информацию об управляемой переменной (х) и скорости ее изменения (х). Синтезируем алгори™ управления, для аппаратной реализации которого не требуется измерять х. С этой целью минимизацию функционала (21.24) будем осуществлять по градиентной схеме второго порядка. Управляющую функцию определим дифференциальным соотношением
d2u(t) . du(t) dG(u) .ci rc、
——J + h —— = p ―—, p, 〃 = const.(21.39)
dr dt 办
С учетом выражения для градиента функционала дифференциальный закон управления (21.39) принимает вид
ii + hu = k(x -х), % = -《^) .(21.40)
Требуемое значение ускорения х* вычисляется по (21.28). Выполнив интегрирование обеих частей (21.40) и (21.28), уравнения алгоритма управления запишем в виде
4> = Z(x°-x)力04> = Z(x°-x)力0u^hu^k(x -х),(21.41)
4> = Z(x°-x)力
0
4> = Z(x°-x)力
0
х* = J(a0(p - a/) dt - a2x, о
или в окончательной форме - после повторного интегрирования:
и - к(х — х)-力 ^udt,о
X* = J((Pi -a2x)dt9 ф! = J(ao(po -cqx)力， (2L42) оо
Фо = J(x° -х)&.
О
Из (21.42) следует, что для вычисления управляющей функции достаточно информации о переменных х, и. Важно, однако, что при определенных условиях, которые будут установлены при анализе системы, алгоритм (21.42) придает системе такие же свойства, как и алгоритм (21.29).
Исследуем динамику системы в окрестности стационарного состояния х = х°. Управляемый процесс описывается уравнениями
х + «2文 + «1* = Ьй ,
(21.43) й =|аох° -a(Z))x(r)l,
первое из которых соответствует (21.31), а второе получено из (21.40) после подстановки в него выражения
X* -Х = ^"[aoX。-а(£))х«)].
Из (21.43) получим уравнение в отклонениях, имея в виду, что коэффициенты а】2 и b нелинейно зависят от х, х и и. Для этого выполним следующее. В первом уравнении (21.43) коэффициенты 3 и b заменим их постоянными значениями 哈，*, вычисленными в точке стационарного состояния. Так как в этой точке х°, w° = const, то для малой окрестности х°, м° принимаем х(0 = х° + Ах(Г), w(0 = w° + А(Г) и после вычислений, аналогичных (21.33), получим уравнение
(21.44)(21.44)Дл + а® Ах 4- a^Ax = b°Aii.
(21.44)
(21.44)
Наконец, в (21.44) подставим выражение
ag=Q(Q + 〃)ag=Q(Q + 〃)a(Q)Ax«),a(Q)Ax«),
ag=
Q(Q + 〃)
ag=
Q(Q + 〃)
a(Q)Ax«),
a(Q)Ax«),
которое следует из второго уравнения (21.43). В результате найдем искомое уравнение первого приближения
^(D + ^Aq (D) + ^°а(П)]дх(/) = 0, (21.45)
справедливое для малых отклонений управляемой переменной от стационарного состояния. Операторное выражение AQ(D) определяется, как и в (21.36).
Степень полинома a(Q) на две единицы меньше степени D2(D-{■ h) Aq(D). Поэтому при неограниченном повышении уровня усиления 化 f 8)система будет сохранять свойства асимптотической устойчивости только при определенном соотношении между ее параметрами. С помощью обычной методики можно показать, что таким соотношением является неравенство «； + 〃 < а? • Если это неравенство выполняется для всех х из интервала [х0; х°], то нелинейная система с алгоритмом управления (21.42) будет обладать такими же свойствами 1°, 2° как и система с алгоритмом (21.29).
Лекция 22
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМВ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
Синтезируются алгоритмы управления нетрадиционной структуры. Показано, что предлагаемые алгоритмы переводят систему из начального состояния на границу области существования скользящих режимов, а затем реализуют скользящее движение изображающей точки системы по фазовой траектории эталонной модели. Синтез алгоритмов не связан с необходимостью решения сложной математической задачи, а для реализации их уравнений достаточно минимального объема информации - измерений координаты положения управляемого объекта.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, в скользящих режимах системы обладают рядом привлекательных свойств, которые недостижимы при использовании традиционных непрерывных алгоритмов управления. Впервые этот вид движения преднамеренно вводился в систему при построении вибрационных регуляторов, которые нашли широкое применение в практике регулирования напряжения авиационных, автомобильных и тракторных генераторов. В ряде случаев именно во время движения в скользящем режиме реализуется оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу, который характеризует качество управляемого процесса.
Особенности синтеза алгоритмов управления движением в скользящих режимах традиционными методами заключаются в следующем: определение уравнения гиперповерхности переключения сопряжено со значительными математическими трудностями; наряду с этим практическая реализация поверхности переключения сопряжена с большими техническими трудностями, так как требуется иметь информацию о производных высокого порядка. Избежать эти трудности оказывается возможным при использовании идей управления, составляющих основу методов обратных задач динамики в сочетании с алгоритмами информационного обеспечения. Эти возможности исследуются в настоящей лекции.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим управляемый процесс, математическая модель которого представлена дифференциальным уравнением
A(D)x«) = B(D)五⑴,
м-1m
A{D) = Dn+Ya-D^ B(D) = D" +》戶,(22.1)
v=0N=0
(w < n - 1),
где D - оператор дифференцирования по времени /; х - управляемая переменная; величина управляющей функции ограничена | w(/)| = U^ т.е. она может принимать два значения +U и -U. Это означает, что в структуре системы имеется релейный элемент. Принимаем, что нули полиномов В(р) и А(р) расположены слева от мнимой оси комплексной плоскости р.
Пусть динамические характеристики эталонной модели
a(D»(f) = B(D)%«),
a(D) = ZX+£aQ, ^D) = ^tD'(22.2)
/=0>0
соответствуют требованиям задания на проектирование автоматической системы. Здесь Х0 и хвх(/) - выходная переменная эталонной модели и входная функция. Степени операторных полиномов уравнения модели должны удовлетворять неравенству
г >пл-1 -т-\.(22.3)
В таком случае алгори™ вычисления управляющей функции не будет содержать операции дифференцирования входного сигнала.
Алгоритм управления строим на основе соотношений
й= F(“)= Usign®, «(/) = %，"-"%) -x("Ff(f)],
к - const > 0.(22.4)
Требуемое значение производной у("-吁“")вычисляется по уравнению У(〃-К)«)= ±取0)% ⑴-ag)x(f)],
Рис. 22.1
Y = r _ "-m + I, ^(0) = ^0)-0\ ^ 三!(…)力，(22.5)
которое получено из уравнения эталонной модели (22.2). При вычислении интегралов начальные значения переменных принимаем равными нулю.
С учетом (22.5) управляющую функцию можно записать в виде
«(0=-^[₽(^)xBX(/)-a(D)x(/)].(22.6)
Так как, согласно (22.1), выходная переменная
х")=體(22.7)
то эквивалентная схема замкнутой системы будет такой, как показано на рис 22.1. Исследуем условия возникновения автоколебаний в рассматриваемой системе.
УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА
Нелинейный элемент 尸(〃)включен в прямую цепь замкнутого контура. Если в этом контуре отсутствуют автоколебания, то их не будет и в системе. Исследования проведем, используя методику гармонической линеаризации. Это допустимо, так как для непрерывной части системы выполняется условие фильтра. В соответствии с (22.1) - (22.3) и (22.7) в передаточной функции линейной части разомкнутого контура
典(Р)=竺¥(22.8)
степень полинома числителя равна г + w, что на единицу меньше степени полинома знаменателя. Поэтому справедливы следующие соотношения:
lim I典(砌| = 0 , lim arg%(ico) = --.(22.9)
CO—>8C0T82
Для существования автоколебаний с частотой ш0 должно выполняться условие
%(р)| …。%(р)| …。(22.10)(22.10)14〃
%(р)| …。
%(р)| …。
(22.10)
(22.10)
, 唯 9) = —叫(а)ла
где 匕(а) - передаточная функция гармонически линеаризованной характеристики F(w), а - амплитуда предполагаемых автоколебаний. Равенства (22.9) означают, что независимо от передаточной функции ука~ занной структуры годограф разомкнутой системы при со -> 8 подходит к
началу координат под угломначалу координат под углом-л-л,причем -%【(《),причем -%【(《)на действительнойна действительной
началу координат под углом
началу координат под углом
-л
-л
,причем -%【(《)
,причем -%【(《)
на действительной
на действительной
оси выходит из области, охваченной годографом И^(/ш), что показано на рис. 22.2. Это означает, что в системе существуют устойчивые автоколе- бания м(/) с параметрами 的 и ш0 такими, что 的 — 0 н со。f 8. Такая ситуация соответствует возникновению в контуре старшей производной скольжения в режимах, близких к установившимся.
Рассмотрим процесс движения в скользящем режиме и покажем, что линией скольжения является фазовая траектория эталонной модели. На основании того, что амплитуда автоколебаний й(/) стремиться к нулю,
можно записать уравнение линии переключения
№) = -Лмс (/) = 0, (22.11) лежащей на соответствующей гиперповерхности. Согласно структурной схеме, изображенной на рис. 22.1, и уравнению (22.11) имеем
xdf…dt = 0.xdf…dt = 0.(22.12)(22.12)%«) = f..f[₽(D)xBX(/)-a(B)x(/)]x о о
xdf…dt = 0.
xdf…dt = 0.
(22.12)
(22.12)
Пусть /с - момент времени начала скольжения. При / < /с равенство (22.12) может выполняться лишь в отдельные моменты времени 号.Если t^tj.iQ 〃(f) w 0. Управляющая функция в этом случае принимает одно из двух возможных значений 土U Уравнение (22.11), а следовательно, и (22.12), выполняется для всех Г > %• Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю, т.е.
£ а*%) - £ 34Р«) = 0, />/с. (22.13) /=о 六 о
Равенство (22.13) представляет собой дифференциальное уравнение, которое в точности совпадает с дифференциальным уравнением (22.2). Это доказывает, что линией скольжения изображающей точки системы является фазовая траектория эталонной модели.
Проверим выполнимость условий скольжения по этой линии. Для простоты будем рассматривать свободное движение системы, т.е. хвх = 0 при произвольных начальных условиях (х0，…，工尸)).В таком случае уравнение линии скольжения с учетом соотношения (22.12) имеет следующий вид:
%«) = j …ja(B)x(f)力...dt = 0.о Y о
После интегрирования найдем
%«) = Т)+ аг_|Х(л"т"2) + ... + %х + ... +
1/
+ % J…卜⑴山…山+ /)(%,土о,…，Xq~\ /).(22.14)
0 Y о
ЗдесьУо - полином степени у - 1 относительно 厶 коэффициенты которого определяются начальными условиями.
(22.15)(22.15)Как известно [16, 4], для существования скользящего режима должны выполняться следующие условия:
(22.15)
(22.15)
lim wc < 0, lim wc > 0.uc-*+O
Неравенствами (22.15) определяется область скольжения на гиперповерхности переключения. Дифференцируя уравнение (22.14), получим
wc(/) = x(〃f)Т) + +а/+ ... +
+ a0 J …Jx(f)曲…力 + 力(工0，上0,…,xq-1, /).(22.16)
о(у-1)о
Чтобы с момента времени / = /с выполнялось условие скольжения на гиперповерхности переключения, должен изменяться знак йс. Так как разность степеней полиномов 4(D) и В(£>) дифференциального уравнения модели объекта равняется м - т, то единственным сигналом, который изменяет свое значение скачкообразно и в соответствии с уравнением (22,16) может изменить знак йс, является функция 工‘“一柳).Из уравнения управляемого объекта (22.1) получим
Х5f)=6用"+ 6吁/"0)力+…+瓦］…卜⑺力…dt-0 0 о
-盡一…- 4oL.以⑴力…力+力(%，…，球7, /).(22.17)
J(m)」
Здесь/ - полином степени w - 1 относительно /, коэффициенты которого определяются начальными условиями. Подставим выражение (22.17) в уравнение (22.16), в результате найдем
4=M + S, S= £aQF-£a尸f x(f) +
」=o7=0_
+ 力(飞，..., x，"f, f)+/i(Xo,..., *T), f).(22.18)
(22.19)(22.19)Так как в момент переключения сигнал S не изменяется, то для изменения знака 〃с должно выполняться условие
(22.19)
(22.19)
\S\<bmu.
Это неравенство и выделяет область скольжения на поверхности переключения. Его выполнение с необходимостью обеспечивает справед-
ливость неравенств (22.15). Действительно, при любом мс имеют место равенства sign(w) = sign(w) = -sign(wc). Если справедливо (22.19), то из (22.18) следует sign(wc) = sign(w). На этом основании справедливо sign(wc) = -sign(%), что гарантирует выполнение условий (22.15) на линии скольжения.
МОДЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР
Уравнения алгоритма управления (22.4) и (22.6) содержат производные х“)до порядка п - т - \ включительно. Для аппаратной или программной реализации этих уравнений производные 工⑶ необходимо заменить их вычисленными значениями по модели управляемого объекта. Эти вопросы рассмотрены на примере системы третьего порядка с передаточной функцией
%(p)=包，
P(tmP + l)(T,P+l)
= 1 рад ■ В", Tm = 0,5 с, тэ = 0,1 с, (7 = 10 В. (22.20)
Такая передаточная функция соответствует двигателю постоянного тока с независимым возбуждением. Потребуем, чтобы для вычисления управляющей функции было достаточно только измерения х(/).
Уравнение эталонной модели принимаем в виде
T2少 + 石寸+y二%, T = 1 c.(22.21)
В данном случае, согласно (22.3), имеем порядок эталонной модели г = 2. В соответствии с (22.4) управляющая функция вычисляется по уравнению
м(/) = Н(双/) - х(/)], к = const > 0.(22.22)
Требуемое значение старшей производной вычисляем по соотношению
y{t) = \^m-^- — ^(22.23)
которое следует из уравнения (22.21 ) при подстановке у = х, у = х.
Для аппаратной реализации алгоритма управления (22.22) и (22.23) запишем в виде
1
w(O = %W«)-義(川，У = —(Хвх ~x)文в，
тт
(22.24)(22.24)為=仇 ^udt-a]X-a2x3, хв = |хвЛ,
(22.24)
(22.24)
ооо
о
о
% =(%%)「* а? =(%+%)。|, Ьо=коах.
Отметим, что соотношения для вычисления старших производных выведены по дифференциальному уравнению модели объекта. Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (22.24) приведена на рис. 22.3.
Выполним анализ системы (22.12). Г одографы частотных характеристик линейной и нелинейной частей системы, полученные в соответствии (22.8) и (22.10), изображены на рис. 22.4. Годограф %(而)при лю-
Рис. 22.3
0,80,8/,6/,62,"2,"3,2“3,2“
0,8
0,8
/,6
/,6
2,"
2,"
3,2“
3,2“
бых значениях ① расположен в правой полуплоскости. При ①一＞ 8 гра- фик 匕(而)подходит к началу координат под углом —. В данном случае годографы 閃(汕)и -/^(а) не пересекаются при любых конечных значениях(о, что соответствует выполнению условия отсутствия автоколебаний в системе. При ①一＞ 8 и а —＞ 0 годографы соприкасаются таким образом, что прямая -%】(a) выходит из области, заключенной между положительной полуосью абсцисс и кривой 胤(йо). Теоретически это означает, что в системе существуют устойчивые автоколебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды, что соответствует процессу скольжения.
На рис. 22.5 изображены графики переходных процессов x(f), Х0 в системе и в эталонной модели в свободном движении. Процесс входа системы в скользящий режим можно наблюдать по графику управляющей функции й(/). Как видно из рис. 22.5, до начала скольжения происходит лишь несколько переключений. Изображающая точка попадает в область S в момент времени 电 и после первого же переключения при / 工 /с начинается процесс скольжения.
Эффективность алгоритмов исследована в задаче управления модельной системой, в которой осуществляется квантование сигналов по уровню.
Причем весь диапазон изменения управляющего напряжения разделяется на четыре кванта и оно может принимать значения ±10 и ±5 В.
Рис. 22.5
Несмотря на столь грубую аппроксимацию (квантование) сигнала, в системе с высокой точностью реализуется эталонный процесс. Это показано на рис. 22.6, где используются ранее принятые обозначения.
Таким образом, синтез алгоритмов управления в скользящем режиме заключается в следующем.
По заданным требованиям к динамике проектируемой системы формируется эталонная модель.
По уравнению эталонной модели формируется выражение для вычисления требуемых значений производных выходной переменной модели.
По уравнению управляемого объекта формируется алгоритм информационного обеспечения, по которому вычисляются производные управляемой переменной.
Алгоритмы предлагаемой структуры переводят систему из начального состояния на границу области существования управляемого скольжения и реализуют скользящее движение изображающей точки в окрестности фазовой траектории эталонной модели. Определение структуры алгоритмов не требует решения сложной математической задачи, а для аппаратной реализации уравнений алгоритма достаточно минимального объема информации - измерений координаты положения управляемого объекта. Существенно также, что развитый метод позволяет синтезировать системы, обладающие наперед заданными динамическими свойствами. Это достигается заданием соответствующих динамических характеристик эталонной модели.
Лекция 23
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХСИСТЕМАХ
В настоящей лекции исследуются возможности гашения автоколебаний с помощью алгоритмов управления, которые синтезируются в результате решения задачи минимизации функционалов, характеризующих энергию движения, вычисляемую в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, с помощью которых назначаются динамические характеристики управляемой системы.
Получены необходимые и достаточные условия гашения автоколебаний для систем с типовыми нелинейными элементами. Эффективность алгоритмов гашения автоколебаний исследуется применительно к модельной нелинейной системе, для которой традиционные схемы коррекции не обеспечивают решение задачи стабилизации. Найдены условия возникновения скользящих режимов в системах общего вида с различными нелинейными характеристиками. Показано, что линией переключения в системах с разрывным управлением является фазовая траектория движения эталонной модели.
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯГАШЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Рассматриваем одномерную управляемую систему, движение которой описывается уравнениями
Х(")(г) + £ а»)⑺=£/%),(23.1)
v=0v=0
Й(О =尸 Q),
где х - выходная переменная, и - управляющая сила, нелинейно зависящая от управляющей функции и. Обозначая оператор дифференцирования по времени D = d/dt, дифференциальное уравнение (23.1) запишем в операторной форме
где операторные выражения
«-1т
A(D) = Dn + ^aJDv, B(D)=»p.(23.3)
v=0v=0
Принимаем, что нули полинома 4(р) могут быть расположены на комплексной плоскости р как слева, так и справа от мнимой оси Rep = О, а нули полинома 5(р) расположены только слева.
Управляющую функцию определим соотношением
〃 = %[，⑺一х⑴],к = const, y = w-m-l,(23.4)
где 歹⑺-требуемое значение производной управляемой переменной, при котором фазовая траектория управляемой системы (23.1), (23.4) в случае w = w теоретически точно следует за фазовой траекторией эталонной модели
a(Q»a)= B(Q)%«),
a(D) = DN + ^asD\ 员切二工卩产丿， (23.5)
.v=07=0
Отметим, что назначение порядка ^ >у + 1 операторного полинома а(£>) обеспечивает отсутствие операции дифференцирования входного сигнала хвх(^) при вычислении производной y(Y)(0- Значение производной определяется формулой
/т)(0 =专[P(DRx (0 - a'(D)x(t)],(23.6)
a'(D) = a(D) - DN, r = N-k +加+ l= N-y,
которая получается после интегрирования ^ - у раз по времени обеих частей уравнения эталонной модели (23.5) с последующей подстановкой 严(Е)=工⑴⑺，5 = 0,1, ..., у -1. При этом начальные значения переменных принимаются равными нулю, что соответствует математическому описанию линейных динамических систем в форме передаточных функций. Получим условия, при выполнении которых алгоритм управления
вида (23.4), (23.6) осуществляет гашение автоколебаний в системах с различными типовыми нелинейными характеристиками F(u).
Найдем передаточную функцию линейной части системы с алгоритмом управления (23.4), (23.6). С этой целью подставим выражение для /(О из (23.6) в (23.4). В результате получим
“《)=刍[WO% ⑺-a(D)x(f)].(23.7)
В соответствии с (23.2) имеем
x{t) = B(D)A-\D)u(t).(23.8)
Подстановка (23.8) в (23.7) приводит к уравнению замкнутой линейной системы:
№) = / 0(D)%⑴-a(D)親"⑴.№) = / 0(D)%⑴-a(D)親"⑴.(23.9)(23.9)
№) = / 0(D)%⑴-a(D)親"⑴.
№) = / 0(D)%⑴-a(D)親"⑴.
(23.9)
(23.9)
Принимая здесь xBX = 0, получим выражение для передаточной функции линейной части разомкнутой системы:
Л 订(Р) ргА{р)Л 订(Р) ргА{р)(23.10)(23.10)
Л 订(Р) ргА{р)
Л 订(Р) ргА{р)
(23.10)
(23.10)
где 〃(р) и й(р) - изображения по Лапласу управляющей функции u(t) и управляющей силы й(Г).
На рис. 23.1 изображена эквивалентная структурная схема замкнутой системы. Ее уравнения имеют вид:
A{D)x(t) = 5(Q) й(0,й(0 =尸(〃)，(23.11)
и(0 = -^[₽(£>Кх-а(£>)хЮ].
Рис. 23.1
Исключив х(0 в (23.11) и положив хвх = 0, получим уравнение (23.9) линейной системы, что доказывает эквивалентность рассматриваемых структур.
Нелинейный элемент с характеристикой 尸(〃)включен в прямую цепь замкнутого контура. Если в этом контуре нет автоколебаний, то их не будет и в системе в целом. Найдем условия, при которых автоколебания невозможны. Поступим следующим образом. Допустим, что в замкнутом контуре существуют автоколебания. Из (23.5) и (23.10) с учетом (23.3) следует, что степень полинома числителя передаточной функции %(р) на единицу меньше степени полинома знаменателя и равна N + 加. Это означает, что для передаточной функции линейной части (23.10) выполняется условие фильтра и при исследовании нелинейной системы можно применить методику гармонической линеаризации характеристики F(u). Обозначим через а。и(оо амплитуду и частоту первой гармоники. Пусть функции F(u) соответствует гармонически линеаризованная передаточная функция
к(p) =喂=式a)+迴 Р， (23.12) "(Р) 8
где 夕(4), 0(a) - коэффициенты гармонической линеаризации. Чтобы существовали в системе автоколебания с частотой(оо и амплитудой а。, должно выполняться условие
匕(Р)匕(BgksL-l, (23.13)
которое соответствует пересечению годографом Найквиста действительной оси в точке (-1), т.е. на границе устойчивости. С учетом (23.10) равенство (23.13) запишем в виде
(23.14)(23.14)例 В(р)а(р) 二 1
(23.14)
(23.14)
4(Р)Р‘唯 3。。) ipnso
Будем рассматривать нелинейные характеристики, которые симметричны относительно точки (0, 0) системы координат (и, и). Далее принимаем, что порядок эталонной модели наименьший из допустимых, т.е. ^ = у + /. Как будет ясно из анализа, в таком случае имеет место наиболее неблагоприятная ситуация с точки зрения обеспечения устойчивости
системы. Для принятого значения N соотношения (23.14) запишем в
следующем виде
и. В(/й)0)а(/й)0)4(而0)(而0 уи. В(/й)0)а(/й)0)4(而0)(而0 у= мН（。，的）Р=而0，= мН（。，的）Р=而0，(23.15)(23.15)
и. В(/й)0)а(/й)0)
4(而0)(而0 у
и. В(/й)0)а(/й)0)
4(而0)(而0 у
= мН（。，的）Р=而0，
= мН（。，的）Р=而0，
(23.15)
(23.15)
где характеристика нелинейного элемента
Чтобы система была устойчивой, должно выполняться правило знаков
(23.17)(23.17)kq{a) > 0 => sign(A) = sign(仪а)).
(23.17)
(23.17)
С учетом (23.17) характеристику (23.16) можно записать в следующей равносильной форме
必9)=-必9)=-(23.18)(23.18)-1虱а)+ 讶(砌 sign(左)『(a) + q'2(a)
必9)=-
必9)=-
(23.18)
(23.18)
Из (23.18) следует, что для любых нелинейных характеристик рассматриваемого вида справедливо
Re[A/H(a)] < 0.(23.19)
Для характеристик типовых нелинейных элементов коэффициент гармонической линеаризации 仙)> 0. Тогда по правилу знаков (23.17) коэффициент усиления с необходимостью должен быть положительным, т.е" > 0.
Сгруппируем характеристики известных типовых нелинейных элементов по трем классам: 1 一 однозначные; 2 - характеристики типа люфт и гистерезис с запаздыванием переключения; 3 — гистерезис с упреждением переключения. Типовые характеристики этих классов указаны в табл. 23.1. Соответственно этой классификации обозначим через @(а), 不(a), qg(q) коэффициенты гармонической линеаризации. Из формул для определения ц (а) можно установить, что
《(а)=0,必9)*0,名(〃)之0・(23.20)
Следовательно, с учетом (23.18) можно утверждать, что для нелинейных характеристик первого класса годограф “(а) полностью проходит по действительной оси в области отрицательных значений. Годографы
Характеристики нелинейных элементов
Класс
U=F(U)
U = F(u)
Мн (9
и,
ZJ
JL
4
a
叱
й
Z7
G
計
й
/
V a
7
u
力
2
匕
节
и
0”
ЛГ
吗
匸
匕
и
幺
亨
о1
й
*
у
Л
IE
0 方
—
0
力
^(а) нелинейных характеристик второго класса полностью расположены в третьем квадранте, а характеристик третьего класса - во втором квадранте.
Автоколебания в замкнутом контуре будут отсутствовать, если годографы М„(а) и 匕(心)не пересекаются, т.е. равенство (23.15) не имеет места. Для нелинейных характеристик, обладающих свойствами (23.20), возможность пересечения годографов определяется структурой передаточной функции 匕(р). Рассмотрим различные варианты структур W^p). Пусть А(р) = р^А'(р). При этом /Г(0) w 0. В таком случае согласно (23.14) справедливы равенства
lim arg[%(is)] = Y(r + в),о2
(23.21)(23.21)lim arg[W^(z(o)] = oo, г+ ц ^0. ют。
(23.21)
(23.21)
При вычислении пределов учитываем, что CQ)= 0. Вычислим приращение аргумента 匕(沁)в случаев ① f 8. Так как
arg 叱(而)]=arg 出(而)]-arg[^(/(o)] + arg[a(z(o)] - у/,
то с учетом (23.3) и (23.5) находим
(23.22)(23.22)lim arg [И^ (/(o)] = (m-l)~.
(23.22)
(23.22)
Будем рассматривать наихудший с точки зрения устойчивости случай, когда степень полинома числителя передаточной функции управляемого объекта /и = 0. В этом случае для рассматриваемой структуры W^p) с учетом (23.22) имеем следующие предельные равенства
lim arg[^(/(o)] = --, lim arg|%(而)| = 0.(23.23)
ш—>002ш—>ОО
Возможные очертания годографов %(汕)изображены на рис. 232 Номера годографов 1, 2 и 3 соответствуют значениям г + ц = 1, 2, 3. Отметим, что для приведенных годографов выполняется условие
=arg[a(i①)]-arg[/f (i①)]> О,=arg[a(i①)]-arg[/f (i①)]> О,(23.24)(23.24)
=arg[a(i①)]-arg[/f (i①)]> О,
=arg[a(i①)]-arg[/f (i①)]> О,
(23.24)
(23.24)
которое имеет место в том случае, когда полоса пропускания частотной характеристики объекта шире полосы пропускания частотной характеристики эталонной модели. Это означает, что доминирующие полюсы, определяемые полиномом Л^), расположены левее полюсов, определяемых полиномом а(р). Поэтому годо^заф а(йо) закручивается в направле- нии против часовой стрелки быстрее, чем годограф закручивается
в противоположном направлении. Вследствие этого оказывается справедливым неравенство (23.24).
Годо^зафы М(а) трех классов нелинейных характеристик изображены на рис. 233 Номера 1, 2 и 3 обозначают характеристики соответствующих классов. Анализируя очертания годографов, приходим к выводу о том, что дуги окружностей бесконечного радиуса ①=0 пересекают годографы Мн(а) нелинейных характеристик всех классов, если г + 卩 2 3 и только второго класса, если г + 林=2. В случае, когда г + 林=1, годографы не пересекаются. На этом основании формулируем следующий результат: необходимым условием отсутствия автоколебаний в системах с нелинейными характеристиками первого и третьего классов является выполнение неравенства
гw2一林；(23.25)
необходимым условием отсутствия автоколебаний в системах с нелинейными характеристиками второго класса является выполнение неравенства
(23.26)(23.26)г <1-ц;
(23.26)
(23.26)
Существенно, что условия (23.25) и (23.26) являются и достаточными, так как имеет место неравенство (23.24).
Сформулированный результат получен для систем, частотные характеристики которых отвечают свойствам (23.23). Однако он тем более справедлив для систем с передаточными функциями, степень полиномов числителя которых отлична от нуля. В этом случае при оговоренных условиях относительно структуры эталонных моделей справедливо неравенство
argarga(面)3(而) - —%而)a(面)3(而) - —%而)>0,>0,(26.27)(26.27)
arg
arg
a(面)3(而) - —%而)
a(面)3(而) - —%而)
>0,
>0,
(26.27)
(26.27)
поскольку нули полинома В(р) расположены в левой полуплоскости.
Таким образом, если структура и параметры эталонных моделей отвечают условиям (23.25) - (23.27), то алгоритмы управления вида (23.4), (24.6) будут обладать замечательным свойством гашения автоколебаний даже в тех случаях, когда традиционные методы синтеза не позволяют решить эту задачу. Важно при этом, что методика синтеза алгоритмов остается такой же, как и в случае линейных объектов. Кроме того, наряду с решением задачи гашения автоколебаний, в системе реализуются требуемые динамические характеристики, определяемые эталонными моделями. Это обусловлено тем, что при соответствующем уровне усиления траектория движения управляемой системы практически совпадает с фазовой траекторией эталонной модели.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой изображена на рис. 23.4. Передаточная функция линейной части
%р) =%р) ="о"оХ(р)Х(р)р(7]р + 1)(7]р + 1) й(р)р(7]р + 1)(7]р + 1) й(р)(23.28)(23.28)
%р) =
%р) =
"о
"о
Х(р)
Х(р)
р(7]р + 1)(7]р + 1) й(р)
р(7]р + 1)(7]р + 1) й(р)
(23.28)
(23.28)
У")У")соответствует электродвигателю постоянного тока с независимым возбуждением. Для этой системы синтезируем алгоритм стабилизации выходной переменной х(0, т.е. угло- 彳х_ вой координаты. Принимаем,
У")
У")
)что вычисление управляющей
функции должно выполняться рис 23.4только по измерениям х(Г). По-
требуем, чтобы переходный процесс в системе стабилизации с необходимой точностью приближался к процессу, описываемому дифференциальным уравнением
^у + >12ту + у = хъх. т >тах(7],石).(23.29)
Уравнение алгоритма стабилизации принимаем в виде
и^к(у-х), ">0.(23.30)
Требуемое значение у вычисляем по соотношению
1
У =土в，(23.31)
которое следует из (23.29). Величины хв и jcb определяются по формулам
向口面-工■■伍t+石一%，(23.32)
/2/2 L о 」
00
0
0
В соответствии с принятыми ранее обозначениями для рассматриваемого объекта и эталонной модели ц = 1, / = 0 и, следовательно, выполняется неравенство (23.25). Это означает, что система с алгоритмом (23.30)- (23.32) будет устойчива независимо от типа нелинейной характеристики из указанных в табл. 23.1.
Отметим, что в случае релейной характеристики для этого алгоритма существенное значение имеет только знак 匕 т.е. sign(A:) > 0. Поэтому можно принять к - \.
В рассматриваемом случае
a(£>) = £>2 + 伝一力 + l2.
Следовательно на основании (23.10) и (23.16) имеем
匕(砌=%冰+伝一殳+e
；/>=心；/>=心л以 7；Р + 1)(石 Р+1)
；/>=心
；/>=心
(а)=.
Н 9①)
Принимаем следующие значения параметров:
Ло = 1 рад В-1, 71 = 0,5с, & = 0,1с, т = 1 с, U=5B.
Годографы 勿気而)и Мн(а) изображены на рис. 23.5. Прямая Мн(а) при а = 0 выходит из начала координат и при а -> оо расположена на действительной оси в области отрицательных значений. Годограф 匕(ico) при любых значениях со £ [0; х] расположен в правой полуплоскости. При со -> оо график 忆!(心)подходит к началу координат под углом -л/2, что соответствует (23.23). В данном случае годографы 忆i(ico) и 即(〃)не пересекаются при любых конечных значениях со, что соответствует выполнению необходимого и достаточного условия (23.25) гашения автоколебаний. При со -> оо и а = 0 годографы сходятся в одной точке, в начале координат. Теоретически это означает, что в системе существуют автоколебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды.
Результаты математического моделирования свидетельствуют о том, что алгоритм управления обеспечивает устойчивость системы при любых начальных отклонениях от состоянии равновесия. Кроме того, этот алгоритм реализует в системе динамические характеристики, определяемые эталонной моделью, если выполняется неравенство
|“*|<и, (23.33)
где и* - управляющая функция, при которой траектория движения управляемой системы строго совпадает с траекторией движения эталонной модели, т.е. х(0 = у(0, ^ 0- Движение изображающей точки по фазовой траектории эталонной модели осуществляется в скользящем режиме, который сопровождается переключением управляющей функции. Если начальное состояние такое, что неравенство (23.33) не выполняется, то траектория имеет два участка. На первом из них движение осуществляет-
ся при максимальном значении й(г) = U до того момента времени г = %, пока изображающая точка не попадет на границу области состояний, в которой выполняется условие (23.33). На втором участке траектории при f > % движение системы проходит в скользящем режиме. При этом траектория соответствует динамике эталонной модели.
Исследуем теперь возможность решения задачи стабилизации системы с помощью корректирующих цепей традиционной структуры. По- прежнему считаем, что в системе измеряется только выходная переменная х(0- Найдем сначала передаточную функцию корректирующей цепи. С помощью структурных преобразований параллельно-последовательные корректирующие звенья можно привести к схеме с последовательным включением в прямую цепь некоторого эквивалентного звена с передаточной функцией W^p). Найдем эту передаточную функцию из условия реализации в системе динамических характеристик, соответствующих эталонной модели (23.29). Выражение для 匕①)принимаем в следующем виде
唯(р)=唯(р)=(7]р + 1)(石 р + 1)(7]р + 1)(石 р + 1)Р + 1 |(5Р + 1)РР + 1 |(5Р + 1)Р(23.34)(23.34)
唯(р)=
唯(р)=
(7]р + 1)(石 р + 1)
(7]р + 1)(石 р + 1)
Р + 1 |(5Р + 1)Р
Р + 1 |(5Р + 1)Р
(23.34)
(23.34)
В этом случае полюсы передаточной функции управляемого объекта компенсируются нулями ^„(р), что позволяет приблизить структуру замкнутой системы к эталонной. Апериодическое звено с малой постоянной времени Ti в корректирующей цепи обеспечивает физическую реализуемость %(/?). Характеристику нелинейного элемента аппроксимируем линейной зависимостью с коэффициентом наклона
"。，5|*<"。，5|*<
"。，5|*<
"。，5|*<
где 同max есть максимальное значение напряжения на входе нелинейного элемента в процессе управления.
Исследуем возможность возникновения автоколебаний в системе с корректирующим звеном 忆Хр). Линейная часть системы имеет передаточную функцию
%p).-Ц.
соответствует амплитуда и
частота возможных (устой-Рнс. 23.6
чивых или неустойчивых) автоколебаний. Для рассматриваемой системы автоколебания устойчивы, их параметры определяются из уравнений
«о =«о =Решая эти уравнения, находим
«о =
«о =
(23.35)(23.35)2拒U「拒 1 + — 叫 Т Т Т]
(23.35)
(23.35)
Отметим, что найденная величина 的 представляет собой амплитуду автоколебаний сигнала и(0 на входе релейного элемента. Амплитуда колебаний стабилизируемого сигнала x(f) равна
1/k=a。附(而。)尸. (23.36)
Для принятых значений параметров по (23.35) и (23.36) вычисляем соо = 2,66 с-1 и |хтах| = 1,4 рад. Близкие к этим значения частоты и амплитуды получены при математическом моделировании. При малом отклонении х(0) = 0,001 рад амплитуда автоколебаний увеличивается до величины а0 = 1,55 рад и остается далее постоянной. При отклонении х(0)= =10 рад амплитуда уменьшается до такой же величины. Таким образом, в рассматриваемой системе с традиционной схемой коррекции не удается решить задачу стабилизации вследствие возникновения устойчивых автоколебаний.
Лекция 24
СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ АЛГОРИТМОВУПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Известно, что в практике проектирования автоматических систем структура алгоритмов управления максимального быстродействия определяется, как правило, методом фазовой плоскости. Возможности этого метода ограничены объектами третьего порядка, передаточные функции которых не имеют комплексно-сопряженных полюсов, а также полюсов в правой полуплоскости. Даже в случае устойчивого объекта второго порядка, передаточная функция которого имеет комплексно сопряженные полюсы, не представляется возможным в конструктивной форме записать уравнение линии переключения управляющей функции. Выписать такое уравнение можно только для небольшой области отклонений координат от состояния равновесия управляемой системы. Другая особенность оптимальных алгоритмов управления заключается в сложности их практической реализации для систем высокого порядка.
В настоящей лекции развивается методика синтеза алгоритмов управления, субоптимальных (почти оптимальных) по быстродействию. Процедура синтеза таких алгоритмов при определенных условиях не ограничена порядком управляемого объекта, а их практическая реализация не вызывает затруднений.
МЕТОДИКА СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Процедура определения структуры субоптимальных алгоритмов управления основана на разделении быстрых и медленных движений. При этом решаются три задачи в такой последовательности:
Заданная передаточная функция управляемого объекта %(р) аппроксимируется передаточной функцией пониженного порядка 麓(р), которая характеризует медленное движение.
Для аппроксимирующей модели, соответствующей W^p), синтезируется алгоритм управления, оптимальный по быстродействию. Этот алгоритм и модель с передаточной функцией W/p) образуют подсистему, которая формирует программную траекторию движения, соответствую-
щую минимальному времени достижения окрестности назначенного состояния управляемого объекта.
Для полной модели с передаточной функцией %(р) синтезируется алгоритм управления, который обеспечивает высокоточное слежение за программной траекторией. Этот алгоритм и модель управляемого объекта образуют вторую подсистему.
Структурная схема системы, субоптимальной по быстродействию, показана на рис. 24.1. Алгоритм А~1 формирует функцию иа, которая управляет движением аппроксимирующей модели Wa(p). Схема соответствует тому случаю, когда иа вычисляется по информации ха, ха. Выходная переменная первой подсистемы ха поступает на вход второй подсистемы с ал гор и™ ом управления А-2. Вычисление управляющей функции и осуществляется по измерениям х, х с учетом информации о производной ха , что отражено на схеме. На вход системы поступает величина х(7) = x(f)|,=T, характеризующая заданное конечное состояние управляемого объекта
х(7) = х7- = const, х(7) = ... == 0.(24.1)
Равенства (24.1) означают, что рассматривается задача перевода объекта порядка л в стационарное состояние равновесия. Иначе говоря, алгоритм управления должен обеспечить отработку системой постоянного задающего воздействия х(7) = х『за время Г Время Т не задано, оно определяется динамикой первой подсистемы, оптимальной по быстро действию.
Х5) “(〃)'Х5) “(〃)'(24.2)(24.2)Методику синтеза алгоритма управления изложим для объекта с передаточной функцией:
Х5) “(〃)'
Х5) “(〃)'
(24.2)
(24.2)
/MS) где полином
Я(Р) =р^ + а2р^ + а\р + aQ.
Считаем, что 4(0) = а。工 0. Движение управляемого объекта описывается уравнением
з
工⑷ + £ &乂"“ = %о" •(24.3)
v=0
Управляющая функция и подчинена ограничивающему условию
-U<u<U.(24.4)
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени f = 0 состояние управляемого объекта характеризуется значениями
х(О) = Хо，x«)(O) = Xvo，V= 1,2,3.(24.5)
Требуется синтезировать такой алгоритм управления и = м(х, х), при котором объект переходит в стационарное состояние равновесия - состояние покоя
х(7)= х7-, х®(7) = 0, V = 1, 2, 3.(24.6)
Длительность интервала Т должна быть почти минимальной.
В соответствии с общими положениями предлагаемой процедуры синтеза передаточную функцию %(р) аппроксимируем простым выражением, которое характеризует медленные движения объекта. Находим полюсы 恤①)，т.е. корни уравнения рА(р) = 0. Обозначим их р】=0,力户 ц = 2, 3, 4. Тогда передаточную функцию (24.2) можно записать в виде
%(Р)= 77.
[Р(Р + Р2)(Р + РЗ)(Р + Р4)]
Далее принимаем, что полюсы -^3,4 могут быть вещественными и комплексно-сопряженными и расположены в левой полуплоскости значительно дальше от мнимой оси, чем вещественный полюс -рг- Для принятого распределения полюсов аппроксимирующая передаточная функция, характеризующая медленные движения, будет иметь вид
=-，(24.7)
Р(Р +万о)%(Р)
где
ао = Р1^ 仇="—,(24.8)
p3。4
Определением И^) завершается процедура аппроксимации передаточной функции объекта. Синтезируем теперь оптимальный по быстродействию алгоритм управления иа = иа (ха, х0), при котором объект с передаточной функцией (24.7) из состояния
%(0)=%0，当(0)=%(24.9)
переходит в состояние покоя
区⑺=訂，右(Т) = 0.(24.10)
Длительность интервала Т должна быть минимальной. Начальное (24.9)и конечное (24.10) состояния соответствуют (24.5) и (24.6) при 兑=2. При этом должно выполняться условие (24.4).
По известной методике [3] находим уравнения алгоритма управления
% = Usign [打-% - F(xa)],
_(24.11)
尸(云。)=空 sign(i：a)ln 1-轟文 aSign(jia) +^ХО,
оптимального по быстродействию для объекта с аппроксимирующей передаточной функцией (24.7). Структурная схема подсистемы с алгоритмом (24.11) изображена на рис. 24.2.
Уравнения (24.11) можно упростить, разложив функцию F(xQ) в ряд по степеням ха . С точностью до квадратичных членов находим
2 bQU
(24.12)
1 1 )
Xfl<0.
2 b0U
С учетом знака производной xa из (24.12) следует равенство
尸&) = 帝 sign&).(24.13)
2 bQU
Таким образом, на основании (24.11) и (24.13) получаем уравнения упрощенного алгоритма управления
% = Usign[xr - % -尸&)], F(xa) = i-J-制 sign &).(24.14)
2 b0U
Структурная схема замкнутой подсистемы с алгоритмом (24,14) аналогична рис. 24.2. Аппаратная реализация уравнений (24.14) значительно проще, чем уравнений (24.11). Однако динамические характеристики подсистемы с этим алгоритмом практически такие же, как с алгоритмом (24.11). Алгоритм управления (24.11) или (24.14) и аппроксимирующая модель (24.7) образуют новую подсистему (см. рис 24.1), выходная переменная которой ха выступает в роли задающего воздействия для второй подсистемы с алгоритмом управления А-2, Если этот алгоритм обеспечивает высокую точность слежения за функцией %«), то управляемый объект с передаточной функцией %(〃)будет переведен в окрестность назначенного состояния (24.6) за время Т‘ п Т. Структура таких алгоритмов управления синтезируется методами обратных задач динамики. Выпишем уравнения алгоритма управления А-2 по модели (24.3).
Пусть требованиям высокой динамической точности и быстродействия соответствует эталонная модель, движение которой описывается уравнением
з
yw + avy(v+1) = p!Xfl + Poxa, 0s=a.,, s = 0, 1.(24.15)
v=0
Алгоритм управления синтезируем путем минимизации функционала по w. Для градиентной схемы второго порядка находим закон управления 以=k(y-x)-h^udt, к, h = const о
или в другой форме
以= 4^5 —工)，т=1(24.16)
т。+1力 Л
где D - оператор диффере нцирования по времени. Требуемое ускорение / определяется из уравнения (24.15) и равно
У = а0Ч/1 +а1ц/0-а2х-а3х,
(24.17)
Wo = J& - х)或，w = ^dt.00
Структурная схема замкнутой подсистемы с алгоритмом управления (24.16), (24.17) изображена на рис. 243 Внутренний контур содержит нелинейный элемент - ограничитель управляющей функции и. Уровень ограничения 士 U соответствует характеристике релейного элемента, поскольку по условию должны выполняться неравенства (24.4). Параметры алгоритма управления (Л, Л) назначаются такими, чтобы степень приближения процессов в подсистемах х(0 — ха(0 отвечала требованиям к динамическим характеристикам проектируемой системы.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ,СУБОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
Рассмотрим модель двухмассовой упругой системы, управляемой с помощью электрода игателя постоянного тока с независимым возбуждением. Структура передаточной функции такой системы без учета электрической постоянной времени имеет вид (24.2). Примем конкретные значения параметров, которым соответствует
% =學=^.(24.18)
р(р + 0,8)(储 + бр + 4909) “(р)
В роли управляющей функции и выступает напряжение в якорной цепи электродаигателя. Переменная х имеет размерность угловой величины (рад)-
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод объекта из начального состояния в состояние покоя х(7) = х, х(7) = 0. Длительность Т процесса x(f) т хт должна быть почти минимальной.
Найдем аппроксим ирующую передаточную функцию. С этой целью определяем полюсы %(р). Имеем pi =0, р2 = -0,8, р^ = - 3 士 /70. Полюсы 卩.2 характеризуют медленное движение, на которое накладываются высокочастотные колебания, соответствующие полюсам「3,4 . Поэтому аппроксимирующую передаточную функцию можно принять в виде
皿 / 、196
(р)=
р(р + о,8)4909
или в обозначениях (24.8)
匕(Р)== 瓦= 410-2,万产о》.(24.19)
Р(р + 0,8) иа{р)
Заметим, что выражение для %。)можно получить иначе, представив (24.18) в нормированной форме
°- р(1,25р + 1)(2,03 7-10-4р2 +1,222-10'3р + 1)'
Коэффициенты при р и р2 в трехчлене знаменателя пренебрежимо малы. Поэтому можно принять
%(p)z%(p)z5 • КН |р(1,25р + 1)| ■5 • КН |р(1,25р + 1)| ■Отсюда следует выражение (24.19).
%(p)z
%(p)z
5 • КН |р(1,25р + 1)| ■
5 • КН |р(1,25р + 1)| ■
Таким образом, аппроксимирующая передаточная функция найдена. Выпишем уравнения алгоритма управления объектом с передаточной функцией И^О?). Для принятых числовых значений параметров и U= 100 В имеем
绰= 6,25,单- = 0,2, 丄= 1,25,
поэтому уравнения алгоритма управления (24.11) будут и = lOOsign[хг -ха -F(x)],
(24.20) 尸&) = 6,25sign(xa) ln|l - 0,2xasign(xfl)| + l,25xa.
Подставляя в (24.14 ) значения 瓦,U, получим приближенные уравнения линии переключения
u = lOOsign[хг -ха - F(x)], F(xfl) = 0,125x^sign(xa). (24.21)
На рис. 24.4 приведены графики переходных процессов в первой подсистеме с алгоритмом управления (24.21). Начальное состояние х^О) = 0,当(0)= 3 рад-с-1.
Конечное состояние ха(7) = =0, 土а(Т)匸 0. Длительность оптимального по времени процесса составляет Т = 1,5 с. Указанные характеристики процесса остаются практически без изменений в случае применения алгоритма (24.20).
Синтезируем теперь алгоритм управления 4-2, которы й обеспечивает
Рис. 24.4Рис. 24.4высокоточ ное слеже н ие второй подсистемой за
Рис. 24.4
Рис. 24.4
переменной хо(/). Пусть этому требованию соответствует эталонная модель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
弘,(р)= J60(0,2q+i) =№)_.
р2(5,6.10-3 р + 1)Ха{р)-у{р)
Уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид
у + 180у + 5400у + 2,7 • 104у = 5400ха +2,7 • 104хо.(24.22)
Согласно (24.18), уравнение управляемого объекта будет
х(4) + 6,8х + 4914х + 3 927i = 196м, м =/(м),(24.23)
где /(...) - нелинейная характеристика ограничителя управляющей функции.
Алгоритм управления А-2 строится по уравнениям, которые получаются в результате минимизации функционала
G(a) = g[/4)«) — x(4)(f, М)]2
по градиентной схеме первого порядка. Следуя обычной методике, найдем
w = Л(у-хв), к = const;
> = 2,7-104 (ха-х) + 5,4-103 &-х)-180%,(24.24)
X，)= 196订-3927^-4914元-6,8兀，хв = ^xwdt, хв = ^dt. оо
Расчетное соотношение для у получено из (24.22), а значения производных выходной переменной системы вычисляются по уравнению (24.23). При этом предполагается, что в системе измеряются переменные х, х.
Структурная схема второй подсистемы с алгоритмом управления (24.24) приведена на рис. 24.5. Параметры а0 = 0,5 • 104, а] = 5,4 • 103, а2 = 180. Входными сигналами подсистемы являются переменные х, х, которые поступают из первой подсистемы. В блоке (х£)) вычисляются
Рис. 24.5
Рис. 24.6
неизмеряемые производные. На рис. 24.6 приведены графики переходных процессов ха (/) — х『 н х(/) — хт при отработке постоянного значения ХТ = 1 рад.
Видно, что синтезированный алгоритм управления обеспечивает практически такие же динамические характеристики системы, как и алгоритм, оптимальный по быстродействию, структура которого найдена по упрощенной (аппроксимирующей) модели управляемого объекта.
В заключение отметим, что динамические характеристики систем, почти оптимальных по быстродействию, сохраняются неизменными при изменении параметров в широких пределах. Такое свойство слабой параметрической чувствительности придают системам алгоритмы, синтезированные путем минимизации функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий движения эталонных моделей.
Лекция 25УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Алгоритмы управления синтезируются методом обратных задач динамики в сочетании с оптимизацией системы по локальным функционалам, характеризующим энергию движения. Основные положения развиваемой теории синтеза состоят в следующем: динамические характеристики проектируемой системы назначаются с помощью эталонных моделей для каждой степени свободы; структура алгоритмов и их параметры определяются из условия, чтобы в процессе управления фазовые траектории управляемого объекта с необходимой точностью следовали за фазовыми траекториями эталонных моделей; степень приближения фазовых траекторий, а следовательно и динамических характеристик оценивается с помощью квадратичных функционалов, записанных для отклонений угловых ускорений. При этом процесс движения к экстремуму-минимуму организуется по схеме градиентного метода. С помощью такой процедуры решены задачи управления вращательными движениями и угловой ориентацией. Исследована динамика системы и показано, что синтезированные структуры алгоритмов управления допускают неограниченное повышение уровня усиления в контурах ускорения. В асимптотике осуществляется динамическая декомпозиция нелинейной системы по каждой степени свободы на независимые линейные подсистемы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. Существенно при этом, что при достаточно высоком уровне усиления в контурах ускорений динамические характеристики системы нечувствительны к изменению параметров управляемого объекта. Иначе говоря, алгоритмы управления предлагаемой структуры придают системе свойства параметрической адаптивности. Системы с такими алгоритмами обладают также малой чувствительностью к внешним возмущающим силам. Однако этот вопрос здесь не исследуется.
ГАШЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
Управляемое движение описываем динамическими уравнениями Эйлера
/]* -(/2 一/3)①2①3 =/((0) + 拉1,
/262 一(厶-4)①何3 =用2((D) + m2，(25.1)
Л®3 -4一&)①何2 =%((0) + m3，
где 厶-моменты инерции управляемого объекта относительно главных осей Oxs, s = 1 ... 3; &• - проекции угловой скорости ① на эти оси; /«式со)- моменты диссипативных сил; М - управляющие моменты.
Задачу гашения вращательных движений формулируем следующим образом: при 才=0 состояние управляемого объекта характеризуется значениями угловых скоростей ①式。)= ①心 требуется найти такие управ- ляющие моменты М(①} при которых изображающая точка (①卜 о2,①з) переходит из состояния {шло} в окрестность начала координат ©^ = 0 и остается в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы на траекториях управляемого движения функционал
з
G^M)^1-^W)(25.2)
5 = 1
принимал минимальное значение.
Физический смысл задачи состоит в том, чтобы остановить вращение объекта и удерживать его в состоянии покоя. Угловая ориентация объекта может быть произвольной. Функционал (25.2) характеризует энергию ускорения вращательного движения. Его значение в каждый момент времени f > 0 практически должно принадлежать малой окрестности экстремума-минимума.
Движение к минимуму G(M) организуем в соответствии с дифференциальным законом
=,—const.(25.3) dt 勺 у дМ jSJ
Согласно (25.1), (25.2) компоненты градиента
dG一 96/(f,M)
dMj丿 J dMj J
Подставляя эти выражения в (25.3) и выполняя затем интегрирование обеих частей при нулевых начальных значениях переменных, получим
Ms(co) = -£入产八 s = 1 …3.(25.4)
Если параметры А,* , такие, что матрица А = “*| отвечает условиям Сильвестра об определенной положительности квадратичной формы з‘ А(о > 0, то управляемое движение системы (25.1), (25,4) асимптотически устойчиво, т.е. cos. — 0 при f — 8. Следовательно, управляющие моменты А/、.®), вычисляемые по формулам (25.4), решают поставленную задачу. Действительно, пусть моменты диссипативных сил
/и*.®) =, сх > 0.(25.5)
Вычислим производную кинетической энергии
з
по времени в силу уравнений управляемого движения. С учетом (25,4) и (25.5) найдем
= £ /、3,5 = N с,з； -£ з、£ %з /.
“л=15=1л=1丿=1
Отсюда следует, что производная Т(со) будет всегда отрицательна при о н 0, если Л = Л7 > 0. При таком условии функция 北①)-функция Ляпунова для замкнуто访 системы (25.1), (25.4). В силу этого(оЛ f 0 при / — оо, что соответствует сформулированной задаче.
Можно заметить, что Д(о) будет функцией Ляпунова и в том случае, когда для замкнутой системы управляющие моменты вычисляются по независимым соотношениям
Ms((оЛ.) = -Х,лл.сол, 5=13.(25.6)
Причем ас им птотич ес кая устойчивость сохраняется у систем с объектами, у которых отсутствуют моменты диссипативных сил, т.е. Л/Л,((о) = 0. Обсуждаемый результат не является новым, он известен из научной литературы.
Управляющие моменты (25.4) переводят систему в состояние покоя по произвольной неконтролируемой траектории, так как законы управления (25.4) синтезированы без учета требований к переходному процессу. Сформулируем теперь задачу гашения вращательных движений иначе:
найти такие управляющие моменты М = Ms(со), при которых изображающая точка системы из произвольного состояния ①(0) переходит в окрестность начала координат ①=0 и остается в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы траектория управляемого движения по каждой степени свободы с требуемой точностью следовала за траекторией, определяемой дифференциальным уравнением
s；+匕血+%оЗ； =0,5 = 1 ... 3.(25.7)
Принимается, что у#, 丫仪 > 0. Поэтому со* (/) — 0 0 при tT»
В отличие от первой задачи, в данном случае перевод объекта в состояние покоя необходимо осуществить по предписанному во времени закону, который соответствует фазовым траекториям движения эталонных моделей (25.7). Степень приближения управляемых процессов {①s(f)}f 0 к эталонным {o)：(f)}f 0 будем оценивать функционалом
G(M)=；玄小⑴f М)『，(25.8)
который характеризует энергию ускорения вращательного движения, вычисляемую в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей.
Пусть М； такие управляющие моменты, которые реализуют абсолютный минимум функционала (25.8), т.е. G(M)= 0 при любом /> 0. Понятно, что справедливо равенство
^(ю) = Л®* - тх(а) - Л((о), 5 = 1... 3,(25.9)
где нелинейные функции 力(со) соответствуют тем компонентам уравнений (25.1), которые содержат произведения ОдСо；. Величины со* представляют собой требуемые значения ускорений, при которых выполняется строгое равенство сол.(/)=①;(f), FN0. Расчетные соотношения для со* можно вывести из уравнений (25.7) путем интегрирования обеих частей по времени с последующей подстановкой со* =о\. После необходимых преобразований получим
8；(f) = -Ys0 J3s⑴力-Ysi(»s(f),5 = 1 ...3.(25.10)
О
Соотношения (25.9), (25.10) составляют содержание компенсационного алгоритма управления, поскольку выражения для М； содержат компоненты, которые компенсируют сигналы, пропорциональные ms(a)) и 火①)в уравнениях (25.1). Для практической реализации таких алгоритмов необходимо достоверно знать структуру модели управляемого объекта и его параметры. Поэтому практическая ценность таких алгоритмов невьь сока.
Эффективный алгоритм управления синтезируем из условия, чтобы значение G(A/) в каждый момент времени / > 0 принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. Законы управления по каждой степени свободы получим, применяя схему градиентного метода поиска экстре* мума. В данном случае компоненты градиента
8G(M)dMj8G(M)dMj= -(ю* - Юу)-= -(ю* - Юу)-
8G(M)dMj
8G(M)dMj
= -(ю* - Юу)-
= -(ю* - Юу)-
Поэтому аналогично (25.3) найдем
з
(со) = ry (d)7 - о>7),匚勺=const, 5 = 1 ...3(25.11)
или после интегрирования по времени обеих частей
з
A/$(3)= Z@(o)；s = 1...3.(25.12)
冃
Требуемые значения угловой скорости о* вычисляются по соотношениям
<а* (0 = - f(Yyov7 + Y7i®7) ^，vz(f)= \шtdt, j = l... 3,(25.13)
оо
которые получаются после интегрирования обеих частей (25.10).
Параметры rsj в (25.12) должны быть такими, чтобы матрица R = [rsj] была определенно положительной. В этом случае полная производная по
времени —- всегда отрицательна при всех =(吗-吗)w •
Действительно, вычислим
dt У дМ, 7
Подставляя сюда выражения для компонент градиента, а также выражения для производных A?j(O из (25.11), получим
电?' = -% (叫-°丿)Z 5v(武-°V) = -®* - й)7 к®* -。)・(25.14)
或 7=1v=l
Следовательно, если R = R‘ > 0, то G(Af) < 0 в случае A(i)±0. Поэтому G(M) — 0 при / — со, и в силу этого значения управляющих моментов асимптотически приближаются к таким значениям, которые доставляют абсолютный минимум функционалу, т.е. И(0 — М*. Таким образом установлено, что
6(Л00, со*(/)-«(/)-> 0, если R = RT>0.(25.15)
На основании (25.15) заключаем, что предписанное (невозмущенное) движение системы асимптотически устойчиво, т.е. co*(/)-cos.(/) —> 0 при f — со. Более того, ас им птотическая устойчивость движения сохраняется и в том случае, когда управляющие моменты М$ каждого канала формируются по независимым соотношениям
%g)=加(s； -°\)，S = 1 …3.(25.16)
Этот результат непосредственно следует из (25.14) и согласуется с (25.6).
Из проведенного анализа можно сделать еще один существенно важный вывод: структура замкнутой системы с алгоритмом (25.12), (25.13) сохраняет свойства ас им птотичес кой устойчивости при неограниченном повышении уровня усиления в каждом канале. Исследуем свойства системы в том случае, когда одновременно /.д. —> со, s = 1 ... 3.
При анализе примем, что моменты диссипативных сил 心®) определяются согласно (25.5). Учитываем далее, что нелинейные функции %(з) содержат только произведения переменных ①冷 电.Следовательно, исследование системы можно выполнить по линейным уравнениям первого приближения, считая угловые скорости малыми величинами. Эти уравнения имеют вид
(25.17)(25.17)1х(дх + сл.оv =л/5(о), 5=1... 3.
(25.17)
(25.17)
В соответствии с (25.13) выражение для со* запишем в операторной форме
■'О ^= J(…)龙，s = 1 …3.■'О ^= J(…)龙，s = 1 …3.(25.18)(25.18)
■'О ^= J(…)龙，s = 1 …3.
■'О ^= J(…)龙，s = 1 …3.
(25.18)
(25.18)
С учетом (25.18) управляющие моменты (25.12) принимают вид
Подставляя выражения для Ms из (25.19) в (25.17), а затем дважды дифференцируя по времени полученные равенства, найдем уравнения замкнутой системы
/筋，+ e®,= -2今®, ++ y.^)? s = 1 3
/=1
или в операторной форме
з
&(/))3")+E01；0)吗")= 0, s = 1 ... 3, 7=1
где операторные полиномы
Cs(D) = D\lsD + cs),上(/)) = /)2+〃m + '0(25.21)
Изучим распределение корней характеристического уравнения
q S) + 力亏 О) И2「2 S) 厶 3「3 О)
А(р)=勺「1 (戸)。2(戸)+ 3「2S) 3「з5)= ° (25.22)
祸 S)^32Г1(Р) Сз(Р)+ ^33Г3(Р)
при неограниченном увеличении 尸的,$ = 1 ••• 3. Пусть в системе (25.20) приняты такие значения 匚牯,при которых стационарное состояние з$ = 0 асимптотически устойчиво. Обозначим г = тахт*. Тогда можно положить rss = г„ 5 = 1 ... 3. В таком случае характеристическое уравнение (25.22) преобразуется к виду
%(р) + 也(р) + /%(р) + J”3(p) = 0.(25.23)
Полные выражения входящих в (25.13) полиномов 儿(р) далее не потребуются, поэтому выпишем только члены старших степеней:
%3)=碎储+孑筋+...,
”1(Р)= 4"р8 +居》
”2(Р)= М"р7 +^2)/+...,
Нз(р) = ®"рб +慮％5 +…(25.24)
Коэффициенты при старших степеняхр равны
发з)= 1, йр) н 厶 + & + /з，或)=厶厶 + 厶厶 + 厶/3，М" = АЛЛ (25.25)
Кроме того, полином
"з(Р)=「О) = Г1(Р)Г2(Р)Г3(р),(25.26)
Проведем анализ уравнения (25.23). Разделив все члены этого урав- нения на г и выполнив предельный переход при г —> оо, получим предельное уравнение
"3(а)=「1(刀Г2(刀Г3(p)=0(25.27)
или в раскрытой форме
р2+YsiP + YsO =о，S = 1...3.(25.28)
Таким образом, шесть корней ps^ 5 = 1 ... 3, v = 1, 2 характеристического уравнения (25.22) при неограниченном увеличении коэффициентов усиления rsx во всех каналах асимптотически приближаются к соответствующим корням pl характеристических уравнений (25.28) эталонных моделей. Выясним расположение остальных трех корней, следуя идеям методики [5.36]. С учетом (25.24) запишем уравнение (25.23) в виде
限P9 +戚)筋+..."(理储+碎)储+...) +产(麻)储+丛2)p6 +)+
(25.29)(25.29)+r3(p6 + h^^p5 +...) = 0.
(25.29)
(25.29)
Здесь принято во внимание, что в соответствии с (25.25) коэффициент 成3)= 1 Введем новую переменную ^ = — и выполним в (25.29) под- становку р -qr. Разделив затем все члены полученного равенства на г9, будем иметь
碎%9 + 戚)丄 +...+或%8 +"%7 + +"2%7 +发2%6 +)+
+qe+l^^ —q^ +... = 0.+qe+l^^ —q^ +... = 0.(25.30)(25.30)
+qe+l^^ —q^ +... = 0.
+qe+l^^ —q^ +... = 0.
(25.30)
(25.30)
В этом уравнении не выписаны члены, имеющие сомножителями 尸一* 尸一* ...» 尸°. Предельный переход в (25.30) при г —> оо приведет к уравнению
碎％з + 砂)才 +"2)д” = о(25.31)
Принимая во внимание (25.25), непосредственной проверкой можно убедиться, что корни уравнения (25.31) равны
s = l …3.s = l …3.(25.32)
s = l …3.
s = l …3.
Так как по определению р = qr, то для исходного характеристического уравнения справедливо
Ps=> (-оо), если г ,
что следует из (25.32).
Итак, в результате анализа установлено, что при. неограниченном увеличении числовых значений диагональных элементов матрицы
^1力1丐1
厶23丐2
/3 出丐3 .
шесть корней характеристического уравнения (25.22) замкнутой системы (в линейном приближении) стремятся к соответствующим корням характеристических уравнений эталонных моделей, а три корня удаляются на
бесконечность в область отрицательных значений, т.е. имеет место следующее асимптотическое распределение спектра:
Psv т Р飞、Rs—J00), s=l …3, v = 1,2.(25.33)
Таким образом приходим к заключению о том, что теоретически при бесконечно высоком уровне усиления в каждом канале (z；* -> оо) движение управляемой системы по каждой степени свободы описывается независимыми уравнениями
飢 + Y$i吼 + Y.e% =0，$ = 1 …3,(25.34)
которые в точности совпадают с уравнениями (25.7) эталонных моделей. Следовательно, в асимптотике взаимосвязанные уравнения (25.20), образующие систему девятого порядка, распадаются на три независимых уравнения (25.34). Это означает, что в процессе управления осуществляется декомпозиция системы, при этом динамические характеристики каждого канала идентичны динамическим характеристикам соответствующих эталонных моделей. В этом случае теоретически имеют место равенства СОХ(Г)二 O*(z), />0.
Сделаем два замечания методического характера, относящиеся к процедуре исследования асимптотических свойств системы.
Замечание 1. Уравнение (25.31) получено путем замены переменной в (25.29) и последующего предельного перехода. Это уравнение позволяет определить распределение корней в случае z•—> 8. Однако анализ поведения корней на бесконечности можно выполнить по приближенному уравнению, которое непосредственно получается из (25.29) при достаточно больших значениях |р|. Для этого воспользуемся методикой [5.36]. В полиномах HQ(p),..., "з(Р)оставим только члены старшей степенир:
威炉+加9筋+户夕储+зd =0(25.35)
Сокращая на р6, получим уравнение третьей степени
戚);? #風Dp2 +/居2“ +尸=0
Принимая во внимание равенства (25.25), можно убедится, что корни
уравнения (25.35) равны р$ = --—, если г -> 8. Этот результат соответ
ствует ранее полученному.
Замечание 2. При рассмотрении асимптотического распределения спектра установлено, что в процессе движения осуществляется динамическая декомпозиция линейной системы первого приближения (25.20). Покажем, что к этому результату можно прийти иным путем, исследуя непосредственно дифференциальные уравнения. Исходим из следующих положений.
1°. Для системы (25.20) всегда можно указать такие значения параметров с», при которых стационарное состояние равновесия 3s = 0 асимптотически устойчиво.
2°. Система (25.20) сохраняет свойства устойчивости при неограниченном увеличении 厶》№ 1... 3.
Пусть в уравнениях (25.20) приняты такие значения 门力 что os. — 0 при f — со. Тогда при конечных начальных значениях
|о)*и)(0)|<со, ц= 0, 1,2
будут конечными значения управляемых переменных и их производных, т.е.
|з屮⑺|<8, Z >0, ц= 0, 1,2.
Поэтому справедливо
\CS(D)^M < 8， R(D)®«)| < 8・(25.36)
Разделим теперь левые и правые части уравнений (25.20) на rsx, s = 1 ... 3 и вычислим пределы при 匚讣—со. В силу (25.36) имеют место предельные равенства
lim 丄С$(/))з«) =0, 5 = 1 ... 3, …8 k '_
lim 豆T、(D)3jQ)lim 豆T、(D)3jQ)f o, 丿 w s,卜(D)3s(f), J = s.f o, 丿 w s,卜(D)3s(f), J = s.(25.37)(25.37)
lim 豆T、(D)3jQ)
lim 豆T、(D)3jQ)
f o, 丿 w s,卜(D)3s(f), J = s.
f o, 丿 w s,卜(D)3s(f), J = s.
(25.37)
(25.37)
Следовательно, после выполнения указанных операций в системе (25.20) получим три уравнения второго порядка (25.34). Таким образом, свойство динамической декомпозируемости системы уравнений первого приближения установлено другим путем.
Покажем теперь, что асимптотическое распределение корней характеристических уравнений сепаратных каналов совпадает с асимптотическим распределением (25.33) корней характеристического уравнения взаимосвязанной системы (25.20). Процессы в сепаратных каналах описываются уравнениями третьего порядка
е(/>) + г』(/))]со«) = 0, s = L..3.(25.38)
Им соответствуют характеристические уравнения
С,(р) +厶3(р) = 0 ИЛИ 丄 С,(р) + 1；(р) = 0.(25.39)
В асимптотике при ги. — оо из (25.39) следуют предельные уравнения (25.28), поэтому шесть корней (25.39) стремятся к соответствующим корням характеристических уравнений эталонных моделей: 厶—戸\, s = 1... 3, v = 1, 2. Далее, при достаточно больших значениях р вместо (25.38) рассматриваем приближенные уравнения, сохранив в полиномах G(p) Г(р) члены старших степеней |р|, т.е.
ДР3 + GJ? =0 — 厶戸 + 公二 0.
Отсюда находим
Л(-8)，если rss — оо,
что исчерпывает доказательство отмеченного свойства исследуемой системы первого приближения.
Заметим теперь следующее: идентичность асимптотических характеристик, в частности распределений спектров моделей сепаратных каналов и взаимосвязанной системы линейных уравнений первого приближения, есть следствие декомпозируемости. Однако существенно важно, что в процессе управления движением осуществляется также динамическая декомпозиция нелинейной системы. Это можно показать следующим образом.
Рассмотрим уравнения (25.1), (25.19). Исключая из них управляющие моменты М-, получим нелинейные уравнения замкнутой системы
/.® +牝(з) = m,®)-4rg(号 + ^+ 1卜丿(f),s = 1 …3
или после двукратного дифференцирования по времени
。2[/也 +б((0)-?„,®)] = _亦冉(e)吗(,).(25.40)
7=1
Принимаем во внимание, что для системы (25.40) выполняются свойства 1°, 2°. Пусть значения <» в (25.40) такие, что %⑴-> 0 при / -> оо. Тогда при конечных значениях |з'а)(0)| <со, ц = 0, 1,2 будут справедливы следующие неравенства:
|Ws(5, e,)|<8, %.(3,，S,)|<8, />0,(25.41)
где функции в、, определяются левыми частями (25.40). Разделим все члены каждого уравнения (25.40) на 仃$, 5 = 1 ... 3, и вычислим пределы при г“ —> со . В силу (25.41) будут иметь место предельные равенства:
5 = 1... 3.5 = 1... 3.Нт 丄Wy(3”d)J =0,依f8|_小」
5 = 1... 3.
5 = 1... 3.
Принимая во внимание (25.37), после выполнения указанных операций в системе (25.40) получим линейные уравнения (25.34). Это доказывает справедливость утверждения о том, что синтезированный алгоритм осуществляет динамическую декомпозицию нелинейной системы, разделяя ее на три линейные подсистемы, структура которых идентична структуре эталонных моделей по каждой степени свободы.
Итак, показано, что при неограниченном увеличении коэффициентов усиления rw в каждом канале в системе можно реализовать теоретически сколь угодно высокую точность приближения процессов {со* (/)} -> {»；(/)}. Для технических приложений требуемая точность приближения достигается при достаточно умеренных значениях гм. Ориентировочные значения коэффициентов усиления рекомендуется вычислять по соотношениям
(25.42)(25.42)rvv =с1л тах|р^|, с = 8 — 10,5 = 1... 3, v = 1, 2,
(25.42)
(25.42)
где p*v - корни характеристических уравнений эталонных моделей. При этом алгоритм управления оказывается возможным строить на основе независимых соотношений
此(包)=”S： -Sj，S = 1 …3,
tf
и*(О = -{(Глоу4- + 上“％)力，Vs(f) = Js,df.(25.43)
Оо
Приведем результаты исследования динамики системы, управляемый объект которой обладает динамической симметрией относительно осей Ou и Ох2. Его моменты инерции равны 厶=厶=0,65 кг м2?厶= =0,2 кг м2. Параметры эталонных моделей рассчитываются по формулам
1r历
匕У$1=2^,； = —,(25.44)
ГА2
где тд. н 4$ — постоянные времени и коэффициенты затухания собственных колебаний. Примем ti = т2 = 1 с, т3 = 0,2 с. С учетом (25.44) уравнение алгоритма (25.43) принимают вид
% (S J = “S：-包)，3： 0)=% (S J = “S：-包)，3： 0)=石LЧ(Of dr,石LЧ(Of dr,
% (S J = “S：-包)，3： 0)=
% (S J = “S：-包)，3： 0)=
石L
Ч(Of dr,
石L
Ч(Of dr,
v$(f) = ^sdt.5=1... 3.
0
Для принятых значений параметров моделей характеристические уравнения такие:
р2 + 0^ +1=0, если 5 = 1,2;
.2 + s41p +1=0, если s = 3.
Им соответствуют корни
Р：2 = -0,707(1 ± 0,仄2 = -3,525(1 ± О-
С учетом этих значений по соотношениям (25.42) находим ги = 〃2 = 4,6, 门 з = 7,07.
Исследование динамики путем математического моделирования выполнено по нелинейным уравнениям. Спектральный анализ проведен по уравнениям первого приближения. В табл. 25.1 приведены числовые значения корней характеристического уравнения в зависимости от величины коэффициента усиления первого канала. При увеличении 尸^ корни р、？ приближаются к корням р^2 = -0,707(1 ±z) уравненияр2 + -^ + 1 = 0 эталонной модели. Корень р3 оказывает незначительное влияние на характер переходного процесса, так как составляющая exp(p3z) затухает в 10 раз быстрее составляющей exp(pi>2Z), если коэффициент усиления гп = 5,2.
Чувствительность системы к изменению ее параметров характеризуется данными табл. 25.2, где приведены значения интегральной квадратичной оценки
厶血；0)-310)]2 %，7 = 5 c.о
Здесь же приведены максимальные значения отклонения 向 =|з； -①小
При моделировании принято гн = ^22 = 5,2. Можно видеть, что при изменении момента инерции в 2 раза от расчетного значения 厶=厶= =0,65 кг-м2 динамические характеристики остаются стабильными. Это свидетельствует о слабой параметрической чувствительности системы, «почти оптимальной» по критерию минимума энергии ускорения вращательного движения.
252 Интегральнаяквадратичная оценка252 Интегральнаяквадратичная оценкаКорни характеристического уравнения
252 Интегральнаяквадратичная оценка
252 Интегральнаяквадратичная оценка
门1Р12Рз2,6-0,853 ±1,008/-2,2955,2-0,782 ±0,794/-6,4357,8-0,754±0,758/-10,49210,4-0,741 ±0,743/-14,51813,0—0,734±0,735i-18,532门1Р12Рз2,6-0,853 ±1,008/-2,2955,2-0,782 ±0,794/-6,4357,8-0,754±0,758/-10,49210,4-0,741 ±0,743/-14,51813,0—0,734±0,735i-18,532厶，кг-м2 0,3Jo-Ю47,2玩 рад е-1 0,00660,41,350,00870,52,060,01100,653,560,01500,74,170,01600,85,140,01800,97,290,0210厶，кг-м2 0,3Jo-Ю47,2玩 рад е-1 0,00660,41,350,00870,52,060,01100,653,560,01500,74,170,01600,85,140,01800,97,290,0210
门1
Р12
Рз
2,6
-0,853 ±1,008/
-2,295
5,2
-0,782 ±0,794/
-6,435
7,8
-0,754±0,758/
-10,492
10,4
-0,741 ±0,743/
-14,518
13,0
—0,734±0,735i
-18,532
门1
Р12
Рз
2,6
-0,853 ±1,008/
-2,295
5,2
-0,782 ±0,794/
-6,435
7,8
-0,754±0,758/
-10,492
10,4
-0,741 ±0,743/
-14,518
13,0
—0,734±0,735i
-18,532
厶，кг-м2 0,3
Jo-Ю4
7,2
玩 рад е-1 0,0066
0,4
1,35
0,0087
0,5
2,06
0,0110
0,65
3,56
0,0150
0,7
4,17
0,0160
0,8
5,14
0,0180
0,9
7,29
0,0210
厶，кг-м2 0,3
Jo-Ю4
7,2
玩 рад е-1 0,0066
0,4
1,35
0,0087
0,5
2,06
0,0110
0,65
3,56
0,0150
0,7
4,17
0,0160
0,8
5,14
0,0180
0,9
7,29
0,0210
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМПО ЗАДАННОЙ ПРОГРАММЕ
Для модели (25.1) рассматриваем задачу управления вращательным движением объекта по каждой степени свободы с заданными угловыми скоростями, которые в общем случае могут быть функциями времени. Задачу формулируем следующим образом: в начальный момент времени / = 0 состояние объекта определяется значениями угловых скоростей (о、(О) =(о$0, 5=1... 3. Требуется найти такие управляющие моменты И = A/V(co), которые создают вращательные движения с угловыми скоростями (о®(/). Динамические ошибки при этом не должны превышать допустимых величин
I(о° (0-О) A.(/)|<Ss.,5 = 1 ...3(25.45)
в установившемся режиме.
Физический смысл задачи состоит в том, чтобы искомые управляющие моменты обеспечивали с заданной точностью слежение управляемым объектом в его вращательном движении по каждой степени свободы за угловыми скоростями ш^(/). Если заданные угловые скорости постоянные, т.е. (о^(/) = (о? = const, то управляющие моменты осуществляют стабилизацию назначенных значений со®. В том случае, когда со, = 0, в системе осуществляется гашение вращательного движения ш5(/) с последующей стабилизацией состояния покоя. Синтезируем алгоритм управления, который решает сформулированную задачу.
Пусть требованиям задания на проектирование системы управления по каждой степени свободы соответствуют эталонные модели
Dn' + Xa^V 3；(f)= 2%川з/), S=1 …3.(25.46)
_v=0」L/=0」
Расчетные соотношения для вычисления требуемых значений управляющих моментов не будут содержать операций дифференцирования задающих сигналов со° (/), если порядок N& операторных полиномов в левых частях уравнений (25.46) назначается таким, что
Ns > Zv +1,厶之勺一1,(25.47)
где rx - заданный порядок астатизма. Чтобы не загромождать изложение и не выписывать соотношения общего вида, далее примем для каждого канала М = 3, /、= 1, s = 1 …3. При таких значениях имеется возможность реализовать в системе астатизм второго порядка (八=2), если
P.vo * ало>瓦 1=а.т，s = 1 …3.(25.48)
Таким образом, уравнения эталонных моделей принимаем в виде
К + а,2試• + %曲;+ алОш° = pvI(o° + “з；, s = 1 ... 3 (25.49) или в операторной форме
аЛ.(П)(в；.(/) = рЛ.(£))(В®(/),
2
а*(0) =炉+ Еа、~а,氏⑵寸卩 + 帆. (25.50) v=0
По построению эталонных моделей их динамические характеристики обеспечивают заданную точность слежения, т.е.
|ш*(/)-(оЛ(О|<Sv, $=1 …3.(25.51)
Следовательно, алгоритм управления необходимо синтезировать из условия приближения процессов {%«)} т {(о；(/)}. Причем степень приближения должна быть такой, чтобы при выполнении неравенств (25.51) с необходимостью выполнялись неравенства (25.45). Рассматриваем функционал (25.8), характеризующий энергию ускорения вращательного движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей (25.49). По схеме градиентного метода аналогично (25.12) находим законы управления
з
№®) = Z&®； -叫)，$= 1 …3.(25.52)
Требуемые значения угловых скоростей (о； вычисляются по соотношениям
<о*(О= J(V7i -«/1®;)^，
О
Wji(f)= J[PyoV7o-(P7i-a7i)<o7]^，(25.53)
О
Wjo«)= “吟-з/力，j = 13,
О
которые получаются в результате трехкратного интегрирования обеих частей уравнения (25.49) при нулевых начальных значениях переменных. В (25.53) принято Руо = «/о, что соответствует моделям с астатизмом первого порядка. Аналогично выводятся расчетные соотношения в случае, когда параметры моделей подчиняются условиям (25.48).
Таким образом, структура алгоритма определяется соотношениями (25.52), (25.53). Получим уравнения замкнутой системы с таким алгоритмом. С этой целью исключим из (25.1) и (25.52) управляющие моменты М§ Запишем выражение для (о； в операторной форме. Согласно (25.53), имеем
吟⑺ + 糸辰0)唠⑴一吟(0)吗3，吗(0) =a(0)一03. (25.54)
Подставляя (25.54) в (25.52), получим
м«)= t0占版0)崂(f)f(0)吗(+ s= 1 …3，(25.55)
./=1 D
(25.56)(25.56)Наконец, из (25.1) и (25.55) находим уравнения замкнутой системы + Л ((D) = тх^ + |j 糸辰。对(0- а。)吗(Г)],
(25.56)
(25.56)
5=1 ... 3.
Пусть моменты диссипативных сил м$®) определяются согласно (25.5). Тогда аналогично тому, как это сделано в разд. 25.1, можно показать, что существуют такие значения rSj = rJSJ при которых возмущенное
движение {(о5(/)} системы (25.56) устойчиво по Ляпунову по отношению к невозмущенному {«*(/)}, т.е. |ш*(/)-(ол.(/)| < оо . Структура системы допускает неограниченное увеличение диагональных элементов 尸酬 матрицы [rAV] при сохранении устойчивости. Поэтому в случае гХ¥ -> 8, $ = =1 3 нелинейные уравнения (25.56) разделяются на независимые линейные уравнения
2\
炉 + Za5V# /"尸值小 + %)3*),s=i...3,
v=0丿
которые совпадают с уравнениями эталонных моделей. Следовательно, в асимптотике (尸心 т оо) возмущенное движение системы асимптотически устойчиво по отношению к невозмущеиному, определяемому уравнениями (25.49), т.е.
(0¥(/) — (05(/)—> 0, 5 = 13.
Этот результат можно получить также, анализируя спектр линейной системы первого приближения
@3 (О + с,)+ 玄⑸ a/(D)(о«)]=玄 硝(°) ^(t)
5= 1 ... 3.(25.57)
Характеристическое уравнение
-3-
△(p) = det /?((Р + q+2句旳(/?) =0,
соответствующее (25.57), имеет следующее асимптотическое распределение корней:
Psj ~> Р；， s,J = 1 …3;(25.58)
(-оо), если %$ f оо.
Здесь р； - корни уравнений а$(р)=0.
Распределение (25.58) свидетельствует о том, что в процессе управления осуществляется декомпозиция нелинейной системы на линейные подсистемы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. При достаточно больших значениях коэффициентов усиления гм в каждом канале управления требуемые значения управляющих моментов можно вычислять по независимым соотношениям
m、(%)=小(①:一叫)，S = 1 …3. (25.59)
Величины со* рассчитываются при этом по формулам (25.53). Ориентировочные значения параметров г$$ рекомендуется вычислять по (25.42).
В заключение отметим, что порядок астатизма rs системы по каждой степени свободы с алгоритмом (25.53), (25.59) такой же, как и у эталонных моделей. Если выполняются равенства (25.48), то / = 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Алгоритмы управления, синтезированные на основе концепций обратных задач динамики в сочетании с минимизацией энергии ускорения в окрестности фазовых траекторий движения эталонных моделей, имеют нетрадиционную структуру. Они обладают замечательным свойством осуществлять динамическую декомпозицию управляемой системы. Это свойство заключается в том, что теоретически в асимптотике, при неограниченном повышении уровня усиления в каждом канале, взаимосвязанные нелинейные уравнения замкнутой системы распадаются на независимые по степеням свободы уравнения, которые в точности совпадают с уравнениями эталонных моделей. В этом проявляется естественная параметрическая адаптивность систем с такими алгоритмами. Практически это означает, что при достаточно высоких уровнях усиления в каналах динамические характеристики систем будут оставаться стабильными при изменении параметров в широких пределах.
Алгоритмы синтезированных структур могут найти применение в системах автоматизации процессов управления движением относительно центра масс механических, аэродинамических и гидродинамических объектов, а также в системах стабилизации и управления платформ различного назначения.
Лекция 26
УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
В настоящей лекции рассматривается задача управления угловой ориентацией твердого тела в пространстве неподвижной системы координат. Алгоритм управления ориентацией синтезируется по нелинейным уравнениям. Выполнено исследование динамики управляемой системы. Показано, что из нелинейных алгоритмов как частный случай получаются известные линейные алгоритмы управления, синтезируемые по уравнениям в отклонениях.
УРАВНЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА
Связанную с твердым телом подвижную систему координат обозначим Ох\х2х3. Ее ориентация относительно инерциальной системы определяется углами(рл., которые связаны с угловыми скоростями со$ кинематическими уравнениями Эйлера:
ф] = (02 sin 屮2 + ①3 cos 屮2，
(p2 =① 1 -tgq>]((o2 cosq>2 一①з sin q>2)»(26.1)
@з =(①2 cos屮2 -ш3 sinq>2)(cosq>I)~I.
Следовательно, управляемый процесс описывается двумя системами уравнений: динамическими уравнениями (25.1) и кинематическими (26.1). Запишем их в векторной форме
ш = F((o)(o + w,6=尸(屮)(0,(26.2)
где приняты следующие обозначения:
Со =[① 1，(02，g]'，w = [%，〃2, 〃3f， Ф =m1，屮2,屮3匕(26.3)
us =5 = 1, 2, 3.
Функциональная матрица 尸®) равна
'0 брз °尸（3）=62(0300,(1,2,3)0&(0[ 0'0 брз °尸（3）=62(0300,(1,2,3)0&(0[ 0(26.4)(26.4)
'0 брз °
尸（3）=
62(0300
,(1,2,3)
0&(0[ 0
'0 брз °
尸（3）=
62(0300
,(1,2,3)
0&(0[ 0
(26.4)
(26.4)
Символ (1, 2, 3) означает, что два другие коэффициента 62, & получаются из (26.4) циклической перестановкой индексов. Далее, в соответствии с (26.1) матрица
0sinq>2cosq>2尸（中）=1-tgq)1cosq>2tgq>! sinq)20cosq>2sinq>2coscpjcoscpj0sinq>2cosq>2尸（中）=1-tgq)1cosq>2tgq>! sinq)20cosq>2sinq>2coscpjcoscpj(26.5)(26.5)
0
sinq>2
cosq>2
尸（中）=
1
-tgq)1cosq>2
tgq>! sinq)2
0
cosq>2
sinq>2
coscpj
coscpj
0
sinq>2
cosq>2
尸（中）=
1
-tgq)1cosq>2
tgq>! sinq)2
0
cosq>2
sinq>2
coscpj
coscpj
(26.5)
(26.5)
Заметим, что в динамических уравнениях опущены моменты диссипативных сил а®). Как было показано в лекции 25, наличие этих моментов не вносит каких-либо особенностей в процедуру исследования и не меняет качественных свойств синтезированных систем.
Будем считать, что контуры управления угловыми скоростями(о* построены. Пусть основу алгоритма управления угловыми скоростями составляют уравнения (25.16) , (25.53). Для принятых обозначений эти уравнения запишем в виде
(26.6)(26.6)〃 = К((о* - со), ш* 二^^麻⑺①。-af(£>)(o],
(26.6)
(26.6)
где обозначено
a9) = diag{a；(。)}, 0(0) = diag{瓦(О)}, К = diag{点}. (26.7)
Исключив в (26.6) вектор 6, найдем
w --l-^^f))^0 -а(£))(о].w --l-^^f))^0 -а(£))(о].(26.8)(26.8)
w --l-^^f))^0 -а(£))(о].
w --l-^^f))^0 -а(£))(о].
(26.8)
(26.8)
Здесь операторная матрица a(£>) = diag{a$(£>)}. Подстановка выражения (26.8) в (26.2) приводит к уравнениям управляемого процесса
(26.9)(26.9)(о = F((o)(o + ~y^[p(£>)(o0 -a(£))(o], q)= P(q))(o.
(26.9)
(26.9)
Из этих уравнений следует, что в роли управляющих функций выступают угловые скорости со%. Это соответствует принятому условию о том, что контуры управления угловыми скоростями синтезированы. Величины со： являются для этих контуров задающими сигналами. Определение значе- « оу
нии сол подчинено решению задачи управления угловой ориентации или в общем случае - управлению угловыми движениями.
Таким образом, задача синтеза алгоритмов управления угловой ориентацией решается в два этапа. Сначала синтезируются алгоритмы управления вращательными движениями, а затем строятся внешние контуры, предназначенные для формирования таких сигналов (0л = С05(Ф，Ф) по угловым скоростям, при которых реализуется требуемое движение по угловым координатам. Такой подход основан на естественной декомпозиции задачи и предполагает организацию двух уровней управления: исполнительный 一 внутренние контуры управления вращательными движениями и задающий - внешние контуры формирования задающих сигналов (0%.
СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Синтезируем алгоритм управления угловой ориентацией. Пусть в начальный момент времени 屮$(0)=屮山，(р(0) =(ps0. Требуется перевес ти управляемый объект в окрестность стационарной точки со?= const, w® = 0 и удерживать его в этой окрестности бесконечно долго. При этом траектория движения {ф^,(0} f {①%} должна следовать с заданной точностью за фазовыми траекториями {q)；(f)}f {①", определяемыми дифференциальными уравнениями эталонных моделей
。；+gs血+gs“； =gsO* *(O) = Ro, ®；(O) = e,o, S= 1 ... 3. (26.10)
Положительные числа gso, g$i назначаются такими, чтобы динамические характеристики моделей отвечали требованиям задания на проектирование системы. Далее потребуется векторная форма уравнений (26.10):
9，+G1(p*+G0(p*=G0<p°,<р，(О) = <ро, @*(О) = @о，(26.11)
где Go, G[ - диагональные матрицы Go = diag{gj<)}, G[ = diag{gyI}, а векторы q>*, q>° имеют своими компонентами q>*, q>®.
Поступаем следующим образом. Из второго уравнения (26.9) находим выражение для второй производной по времени вектора угловых переменных
0 = 2((р)со +尸(ч>2，А(ф)= -т-[р(ф)]-(26.12)
at
Считаем, что в каждый момент времени / > 0 известны значения переменных (р(0,(о«). Угловые ускорения
ш°=ш°((р, ф),s=1...3,(26.13)
найдем из условия @(f) = @*(f), f > 0. На основании (26.12) и (26.13) имеем
/) (ф)ш + Р(ф)и = Go(q>° -q>)-G[(j).(26.14)
С учетом принятого обозначения в (26.13) из (26.14) получаем
X ((р,ф) = Р-1 (加(^-^-G^-P,(洞.(26.15)
Соотношение (26.15) определяет в каждый момент времени требуе- „ • о
мые значения угловых ускорении , при которых теоретически точно реализуются назначенные траектории движения в том случае, когда контуры управления угловыми скоростями безынерционны. Интегрируя обе части (26.15) по времени, найдем искомые расчетные соотношения
(0° (ф,(р)=，尸 т (ф)[^о(ф°-ф)-с1ф-^ (屮)①]%(26.16)
о
по которым необходимо вычислять задающие сигналы внутренних контуров.
Структурная схема системы управления изображена на рис. 26.1. Контуры управления угловыми скоростями показаны в общем виде. Требуемые значения угловых ускорений вычисляются по уравнению (26.15), на основе которого организуется внешний контур системы. Для вычисления G° используется информация о рассогласовании 5ф =(р° -q>(0 и скорости изменения управляемых переменных(р(/). Задающее воздейст-
Рис. 26.1
вие (о°(ф,(р) для контура угловой скорости получается в результате интегрирования сигнала d)° по времени.
Процессы в замкнутой системе описываются уравнениями
а =尸(3)(0 + 靑 К |p(D)(o%) - a(D)(o(t)],
®°(0= р-1(Ф)Ьо(Ф° -ф)-О1(р-^((р)ф ,(26.17)
О
(Р =尸(q))(o .
В идеальном случае, когда ©(/) =(o°(q>, ф), / > 0, что соответствует безынерционным контурам угловых скоростей сол., из уравнений (26.17) имеем
®(0 = р"1 (ф^оСф^Ф)-0^-^ (ф)®]л о
или после дифференцирования по времени
й(/) = К ((p)[G0((p0-(p)-G1(p-/} (ф)(о].(26.18)
Умножая обе части (26.18) слева на матрицу P(q>) и принимая во внимание, что согласно (26.12), справедливо равенство
尸(q))d)= @_,(<р)(о,
получим уравнение
Ф + ^ф + Соф = G0(p°,(26.19)
которое совпадает с уравнением (26.11) эталонных моделей.
Для инерционного объекта точная реализация кинематической траектории ф* (/) f (р° невозможна. Если, однако, постоянные времени контуров угловых скоростей существенно меньше постоянных времени соответствующих контуров угловой ориентации, процессы (pv(Z) -> <р® будут мало отличаться от процессов(р*(/) -> <р®. Это положение является основным при расчете параметров &., g“ входящих в закон управления (26.15).
Проведем исследование свойств замкнутой системы. Исходим из того, что параметры 匚“ алгоритмов управления (25.53) угловыми скоростями рассчитаны из условия, чтобы динамика контуров о\ с большой степенью приближения соответствовала динамике эталонных моделей (25.5). Запишем эти уравнения в векторной форме
a(Q)co(f) = B(Q)co° .(26.20)
При указанном условии можно рассматривать следующие уравнения замкнутой системы:
a(D)co(/) = p(D)co° (<р, ф), ф(/)=尸(<р)з«),
®°(Ф，Ч>)= ]К(Ч>)匕оЗ。-4>)-G1q>-A(q>)o)pt(26.21)
о
Получим уравнения первого приближения, выполнив линеаризацию (26.21) в окрестности точки(р°, считая переменные <р,① малыми. Пренебрегая величинами второго прядка малости, найдем дифференциальное уравнение для управляемой переменной <р. Справедливо равенство
(р(4)= pt((р)з + з,(«)(5 + з,((р)й + р((р)й,(26.22)
которое получается в результате двукратного дифференцирования по времени обеих частей (26.12). Здесь Pt, Pt - вторая и третья производные матрицы Р(ф). Для принятых условий в соответствии с (26.5) можно найти
尸（（р）в尸（（р）в-Ф11-Ф11О一中2О一中2^(Ф)-^(Ф)-О屮2ОО屮2Ооооо一中2一中2(26.23)(26.23)Поэтому производные матрицыПоэтому производные матрицы砂）砂）N（（P）*N（（P）*ООООV = 1, 2,V = 1, 2,(26.24)(26.24)
尸（（р）в
尸（（р）в
-Ф1
1
-Ф1
1
О
一中2
О
一中2
^(Ф)-
^(Ф)-
О
屮2
О
О
屮2
О
о
о
о
о
一中2
一中2
(26.23)
(26.23)
Поэтому производные матрицы
Поэтому производные матрицы
砂）
砂）
N（（P）*
N（（P）*
О
О
О
О
V = 1, 2,
V = 1, 2,
(26.24)
(26.24)
-限
Принимая во внимание (26.23) и (26.24), с учетом малости величин получим
尸(中)亦=S],々⑴仰)807)=0, v = 1...3.(26.25)
产2 -
Поэтому на основании (26.22) можно записать следующее равенство:
(26.26)(26.26)屮(4) _ 尸((p)G = [S3 is】 й2]г .
(26.26)
(26.26)
Заметим, что этот результат можно получить непосредственно из кинематических уравнений (26,1) после замены sin <р v в(р$, cos(ps = 1.
Уравнения для управляемых переменных будут найдены, если в (26.26) подставить выражения для третьих производных, определяемых согласно уравнению (26.20). Из этого уравнения имеем
(26.27)(26.27)й = B(Q)co°((p, ф)- af(D)co(Z),
(26.27)
(26.27)
где, как и ранее, a\D) = a(D)- D3. Найдем приближенное выражение для со°((р,ф). Исходим из третьего уравнения (26.21). Принимая малыми значения <р^ -(pv находим
g2I 屮 2g2I 屮 2^2О(Ф2-Ф2)
g2I 屮 2
g2I 屮 2
尸T((P)Go((p°-(p)二 g30(屮；-<Рз)，尸一3)仿(@)= g3]@3 • (26.28)
Lg】i5」Lg】i5」gio((P?-6)
Lg】i5」
Lg】i5」
Наконец, учитывая выражение для производной Е((р), определяемой по (26.24), будем иметь
^((р)со = 0.(26.29)
Подставляя (26.28) и (26.29) в третье уравнение (26.21), после интегрирования по времени получим искомое соотношение
① °(9 8)① °(9 8)1~D1~D^20(Ф2 -Ф2) ^зо(Фз -Фз) ^10(Ф1 -<Pi)^20(Ф2 -Ф2) ^зо(Фз -Фз) ^10(Ф1 -<Pi)g2仰2 g3I@3 国体1g2仰2 g3I@3 国体1(26.30)(26.30)
① °(9 8)
① °(9 8)
1~D
1~D
^20(Ф2 -Ф2) ^зо(Фз -Фз) ^10(Ф1 -<Pi)
^20(Ф2 -Ф2) ^зо(Фз -Фз) ^10(Ф1 -<Pi)
g2仰2 g3I@3 国体1
g2仰2 g3I@3 国体1
(26.30)
(26.30)
Следовательно, выражение для третьей производной (26.27) примет вид
В 导(Q)В 导(Q)^20 (ф° -<₽2)-g2i@2 ^зо(Фз-Фз)-^31Фз gio3； -<Р1)-^пФ1^20 (ф° -<₽2)-g2i@2 ^зо(Фз-Фз)-^31Фз gio3； -<Р1)-^пФ1吗(Q)电_a^(D)q>[吗(Q)电_a^(D)q>[(26.31)(26.31)
В 导(Q)
В 导(Q)
^20 (ф° -<₽2)-g2i@2 ^зо(Фз-Фз)-^31Фз gio3； -<Р1)-^пФ1
^20 (ф° -<₽2)-g2i@2 ^зо(Фз-Фз)-^31Фз gio3； -<Р1)-^пФ1
吗(Q)电_a^(D)q>[
吗(Q)电_a^(D)q>[
(26.31)
(26.31)
При выводе (26.31) учтено, что, согласно третьему уравнению (26.17), для малых величин справедливо равенство
-0
ф =尸(ср)① R 1
0
Поэтому имеем
M(Q)@2
з=(@2@з 仇)。 а，(£))з= а；(£))@з
K(D)%
Искомые уравнения для управляемых переменных(р$ получаются в результате подстановки (26.31) в (26.26). Принимая во внимание приближенное выражение для матрицы 尸(<р) в (26.23), найдем
H(Q)@J-/(О)% 一a®)®.H(Q)@J-/(О)% 一a®)®.
H(Q)@J
-/(О)% 一a®)®.
H(Q)@J
-/(О)% 一a®)®.
屮⑷=p((p)S = ^^
gio(屮;-Ф1)-^11Ф1
^20(Ф2 -Ф2)~^21Ф2 Ло(Фз-фз)-Л1Фз
Дифференцируя обе части по времени, получим окончательно
с т(4) + с т(3) +(2)а32Ф1 十 а31Ф1 十 а30Ф1+ а12Ф24)+а11Ф23)+а10Ф22)аггф^+аг^ + агоф^с т(4) + с т(3) +(2)а32Ф1 十 а31Ф1 十 а30Ф1+ а12Ф24)+а11Ф23)+а10Ф22)аггф^+аг^ + агоф^₽1(£>)(g10(<₽?-<₽1)-^114>1B2(Q)(g20(*-<₽2)-g21@2Рз(£>)(Й0(Фз-Фз)-^з1Фз₽1(£>)(g10(<₽?-<₽1)-^114>1B2(Q)(g20(*-<₽2)-g21@2Рз(£>)(Й0(Фз-Фз)-^з1Фз
с т(4) + с т(3) +(2)
а32Ф1 十 а31Ф1 十 а30Ф1
+ а12Ф24)+а11Ф23)+а10Ф22)
аггф^+аг^ + агоф^
с т(4) + с т(3) +(2)
а32Ф1 十 а31Ф1 十 а30Ф1
+ а12Ф24)+а11Ф23)+а10Ф22)
аггф^+аг^ + агоф^
₽1(£>)(g10(<₽?-<₽1)-^114>1
B2(Q)(g20(*-<₽2)-g21@2
Рз(£>)(Й0(Фз-Фз)-^з1Фз
₽1(£>)(g10(<₽?-<₽1)-^114>1
B2(Q)(g20(*-<₽2)-g21@2
Рз(£>)(Й0(Фз-Фз)-^з1Фз
(26.32)
Из структуры уравнений (26.32) следует, что их левые части описывают внутренние контуры (вращательные движения с угловыми скоростями б,)，а правые части уравнений описывают внешние контуры, которые формируют требуемые значения угловых скоростей со®. Эти уравнения независимы, их можно записать в операторной форме следующим образом:
Qa3(Q)@W) = Bi(力[gn)(<p；-<Pi)-gn<Pi],
Dai(Q)@2(f) = ₽2(d)[^20(<P2-<P2)-g2i@2】，(26.33)
Da2(D)(p3(/) = p3(D)[g30 (ср®-ф3)-й1Фз].
На рис. 26.2 изображена структурная схема первого канала, которая соответствует первому уравнению (26.33). В идеальном случае, когда контуры угловых скоростей безынерционны, справедливы равенства
-^^- = 1, (1,2,3).(26.34)
a3(D)
Рис. 26.3
Поэтому структурная схема упрощается (рис. 26.3) и в точности соответствует модели эталонного процесса (26.11) по углу 屮卜 Это означает, что (р；(/) =(р*(/) . Аналогичное имеет место и по другим степеням свободы.
Практически высокая степень приближения процессов(ps.(r) -> <р* (Г) достигается в том случае, когда быстродействие контуров угловых скоростей в 4 - 5 раз превышает быстродействие контуров углового положения. Если параметры 丫⑴,丫夕 эталонных моделей (25.7) рассчитываются по формулам (25.44), то ориентировочные значения параметров эталонных моделей (26.10) рекомендуется принимать равными
g.e=4-， g,i=2 工， %,=(4-5几， (26.35) 工 ТЧ>Л
где т$ - постоянные времени, характеризующие быстродействие контуров угловых скоростей a)s.. Коэффициенты затухания собственных колебаний 4、. назначаются такими, чтобы степень колебательности (перерегулирование) не превышала допустимого значения.
Итак, из выполненного анализа следует, что в окрестности стационарного состояния равновесия нелинейная система взаимосвязанных уравнений распадается на три линейных независимых уравнения (26.33). Далее, при неограниченном повышении быстродействия контуров угловых скоростей линейные уравнения (26.33) четвертого порядка вырождаются в уравнения
®S + g«e + g,o<Ps = gso* S = 1 ... 3,(26.36)
которые совпадают с уравнениями (26.10) эталонных моделей, определяющих динамику контуров угловой ориентации.
Можно показать, что свойства декомпозируемости нелинейной системы, т.е. разделения взаимосвязанных уравнений на группы независимых линейных уравнений вида (26.33) и перехода их в уравнения (26.36), остаются справедливыми в окрестности любой точки (ре [(р0,(р0], а не только при малых отклонениях (р?-(р* от стационарного состояния (Р? = const.
В силу отмеченных свойств системы приходим к заключению о том, что структуру системы управления угловой ориентации можно строить как двухуровневую на основе сепаратных (независимых) алгоритмов управления, соответствующих каждой степени свободы. При этом управляющие моменты могут вычисляться по формулам
%(3,) = &(8： -8,),
3；О) = j(W,i -а,20,)&,(26.37)
о
51(0= /[P.soVso -(P.vi -a.vi)®.v]^ V,v0(0= f(v> -3，)威оо
Угловые скорости со® - задающие сигналы внутренних контуров - вычисляются также по независимым соотношениям
®?(Ф2)= ^20 f(<₽2 -屮2)力-g21<₽2，о
®2(Фз) = g30 [(明-S)& - g3仰з，(26.38)
о
®3(Ф1) = gio 卜屮；-6 )力-gu<Pl，о
Структура алгоритмов управления (26.37), (26.38) при соответствующих числовых значениях входящих в них параметров обеспечивает реализацию в системе динамических характеристик, определяемых эталонными моделями, а также слабое взаимное влияние между каналами. Параметры г$* в (26.37) рекомендуется рассчитывать по формулам (25.42), в которые следует подставить значения корней р；, s,丿=1 …3 характеристических уравнений
2
а.,(р) = рЗ + Еа.~р"=0, s = 1...3
v=0
эталонных моделей. Коэффициенты gs* g^o в (26.38) можно вычислять по (26.35). Найденные ориентировочные значения параметров рекомендуется уточнить по результатам математического моделирования.
Лекция 27
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХСИСТЕМ
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с середины 80-х годов, интенсивно проводятся исследования в области управления сложными механическими системами. Проблематика этих исследований охватывает теоретические вопросы управления механическими системами общего вида, прикладные задачи управления колебаниями механических систем, движением исполнительных механизмов роботов, летательных аппаратов, управления специальными машинами и системами машин и др. В методическом отношении почти все работы обсуждаемого направления используют традиционные методы, которые базируются на линеаризации уравнений движения. Наряду с этим в работах последнего периода получены существенно важные теоретические результаты, которые позволяют синтезировать алгоритмы управления механическими системами непосредственно по моделям, выражающим фундаментальные законы движения. Конструирование алгоритмов управления по самым общим уравнениям движения без их линеаризации имеет большое значение для практики проектирования автоматических систем, поскольку в таких случаях представляется возможным более полно учитывать свойства и особенности управляемых объектов.
В технических приложениях многочисленные системы различного назначения функционально решают задачи стабилизации стационарных состояний (позиционирование) и стабилизации программных траекторий движения. Часто в обоих случаях автоматическая система должна обладать высокой точностью. Высокоточные системы такого назначения могут быть спроектированы и созданы на основе алгоритмов, исключающих возможность возникновения автоколебаний и обладающих, кроме того, слабой чувствительностью к изменению параметров и возмущающим силам. В настоящей лекции алгоритмы управления с такими свойствами синтезируются методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией функционалов, характеризующих энергию ускорения. Структура алгоритмов определяется непосредственно по моделям в форме уравнений Лагранжа. В методическом отношении процедура синтеза со-
стоит в следующем. Для каждой степени свободы назначаются эталонные модели, динамические характеристики которых соответствуют требованиям к точности и динамике проектируемой системы. Управляющие силы отыскиваются из условия, чтобы в процессе управления мгновенное значение функционала принадлежало малой окрестности экстремума- минимума.
В лекции исследованы свойства управляемой системы и показано, что синтезированные алгоритмы при соответствующих значениях параметров обеспечивают сколь угодно высокую точность приближения динамических характеристик системы и эталонных моделей. В результате исследования обоснована возможность применения алгоритмов автономного (независимого) по степеням свободы управления нелинейными системами. Показано, что в асимптотике при неограниченном повышения уровня усиления в каналах управления алгоритмы осуществляют декомпозицию системы на независимые линейные подсистемы, структура которых в точности идентична структуре эталонных моделей. В этом проявляются свойства естественной адаптивности системы к изменению ее параметров, что важно для технических приложений. Синтезированные алгоритмы образуют двухуровневую структуру. Первый уровень - задающий, здесь вычисляются требуемые значения управляющих сил. Второй уровень - исполнительный, здесь вычисляются управляющие функции, с помощью которых движители системы развивают необходимые усилия. Приведены рекомендации по расчету параметров алгоритмов. Общее число таких параметров равно удвоенному числу степеней свободы управляемой системы.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОГОДВИЖЕНИЯ
a箏,％学1 = 2, s= 1,2,(27.1)8% oqsa箏,％学1 = 2, s= 1,2,(27.1)8% oqsРассматриваем голономную управляемую механическую систему с 〃 степенями свободы, подчиненную голономным связям. Положение системы определяется обобщенными координатами [^)^2 ••• 9』"=9・ Через 向田2 …纟]=6 обозначим скорости изменения обобщенных координат. Движение такой системы описывается уравнениями Лагранжа
a箏,％学1 = 2, s= 1,2,(27.1)
8% oqs
a箏,％学1 = 2, s= 1,2,(27.1)
8% oqs
d\dT{q,q) dt L 为，.
Здесь 2・-обобщенные управляющие силы, с помощью которых создается движение системы. Величина 0$ имеет размерность момента (Н м), если обобщенная координата 夕$ - угол поворота. Если 夕，-линейное перемещение, то Qx имеет размерность силы (Н). Кинетическая энергия системы Т® 6) определяется квадратичной формой
П^^) = У e旬Q)或% =不674(9)窮(27.2)
25,片12
где 4(夕)=[ау (<7)] - симметричная определенно положительная матрица. Ее элементы 4用(夕)-непрерывно дифференцируемые функции q в области определения уравнений (27.1). С учетом (27.2) непосредственными вычислениями можно найти
где обозначеногде обозначеноa旬®)a旬®)为(％ 4) %],为(％ 4) %],(27.3)(27.3)N=1N=11 а%(д).1 а%(д).2 а%2 а%(27.4)(27.4)
где обозначено
где обозначено
a旬®)
a旬®)
为(％ 4) %],
为(％ 4) %],
(27.3)
(27.3)
N=1
N=1
1 а%(д).
1 а%(д).
2 а%
2 а%
(27.4)
(27.4)
Потенциальная энергия V(q) определяется как функция обобщенных координат. Обозначим частные производные dV(q)/dqs = cs(q). Тогда с учетом (27.3) уравнения управляемой системы принимают вид
之旬(9总+ 2%(9力)% +生(9)二以，s= 1,2,…，修(27.5)
六1六1
или в векторной форме
4(夕)夕⑴ + 5(% q)q(t) + C(q) = Q.(27.6)
Векторы C(q), Q имеют своими компонентами соответственно q(q), 0$, а элементы функциональной (м х ^-матрицы В® 0) определяются по (27.4).
Далее нам потребуются уравнения динамики системы, разрешенные относительно ускорений обобщенных координат. Поскольку А(д) - определенно положительная матрица, то существует обратная ей матрица 4“(夕)・ Умножая слева все члены уравнения (27.6) на 力一七夕)，будем иметь
気 £)=7(9)2 +¥①①)，(27.7)
где приняты обозначения
彳(9) = 4%)=[即3],
卩 i(%/
y(q,q) = A-\q)[B(q,q)q + C^]=.(27.8)
，2(4e)一
В координатной форме уравнения динамики имеют вид
况«)= Z%(q)0 +K(d。)， s = 1,2,…，儿 (27.9)
Наконец, запишем (27.9) в такой форме:
^(0 = ^5 +iAq,q), s=i,2, ...,〃，(27.10)
где ускорения 吗 равны
Ws^asjQj.(27.11)
у=1
Для модели (27.10) переменные 吗 выполняют роль управляющих ускорений.
Далее будем считать, что выражение для кинетической энергии Т(5。)，которое подставляется в уравнения Лагранжа, учитывает инерционно-массовые характеристики движителей управляемой системы, т.е. приводов. Считаем также, что обобщенные (управляющие) силы Qs определены с учетом кинематических схем механизмов передачи движения. Следовательно, для полного математического описания динамики системы уравнения (27.5) необходимо дополнить уравнениями динамики движителей. В практике проектирования силовых элементов управляемых механических систем широко используются следующие модели:
т.@.⑺ + aw = РА -АЛд,s = 1,2, ..., м. (27.12)
где us - управляющие функции; р$, hs 一 параметры, характеризующие свойства движителей; q — постоянные времени. В случае электрогидрав-
лических или электрических двигателей постоянного тока с независимым возбуждением величины 弘 представляют собой управляющие напряжения. По моделям (27.6) и (27.12) будем решать задачи стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движения нелинейной Лагранжевой системы.
АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ СИЛ
Содержание задачи синтеза алгоритмов управления состоит в следующем. По заданной математической модели управляемого движения требуется найти такие управляющие функции % = и* в форме обратных связей, при которых движители создают силы 0V, удерживающие систему в малой окрестности состояния равновесия или в малой окрестности заданной траектории. Необходимо при этом, чтобы система обладала назначенными динамическими характеристиками. Мы построим процедуру синтеза алгоритмов, которая решает эту задачу в обратной последовательности: сначала отыскиваются силы 0Л = 0：, а затем по моделям (27.12) определяются требуемые управляющие функции 〃$ = и*, с помощью которых эти силы создаются движителями системы. Такие алгоритмы образуют двухуровневую структуру: первый уровень задающий, а второй исполнительный. Этим уровням соответствуют внешний и внутренний контуры замкнутой системы. Функциональное назначение внешнего контура - формирование Q：, а функциональное назначение внутреннего контура - формирование и*. Управляющие силы Q： можно определять либо непосредственно по модели (27.6), либо по (27.10). Во втором случае по исходным данным задачи сначала отыскиваются управляющие ускорения 吗 = w；, а затем по уравнениям (27.11) вычисляются 0：. Мы рассмотрим оба этих варианта, руководствуясь методическими соображениями. Как будет показано в лекции 28, решение задачи по моделям вида (27.10) непосредственно приводит к алгоритмам автономного управления по каждой степени свободы. Возможность построения таких алгоритмов имеет существенное значение для приложений.
Определение управляющих сил по модели (27.6). Задачу формулируем следующим образом. Для управляемой системы в пространстве обобщенных координат задана программная траектория движения
{屮‘ (г), Г >0}. Относительно функций 屮式工)предполагается, что они ограничены и дифференцируемы необходимое число раз. Требуется найти такие управляющие силы 0： в форме обратных связей, при которых траектория движения замкнутой системы, начиная с некоторого момента времени f =厶,с необходимой степенью приближения следует за назначенной траекторией, т.е.
2,0)=柒0)14 6,, z>5,, s= 1,2, ...,". (27.13)
где 5Л - заданные постоянные. Потребуем, кроме того, чтобы динамические характеристики системы по каждой степени свободы были идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей, движение которых описывается уравнениями
Ns—\ т$屮” (0+ 2 а,押？ (0 =£ 及 М"⑺，
,=0 产° (27.14)
ms vN$, 5=1,2,几
Модели (27.14) определяют требуемую точность осуществления назначенной траектории движения, а также характер и продолжительность процесса возвращения изображающей точки ф =(屮1屮2 … 屮〃)丁 в заданную окрестность траектории, если она окажется за пределами этой окрестности. По построению моделей с необходимостью \pv(z)-ф5(/) —>0при г -> 8. Пусть параметры а5/ и 0川 такие, что |屮$(£)-屮$«)| < е$ • Тогда динамические характеристики проектируемой системы по каждой степени свободы будут практически идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей, если величины % < 5$ такие, что выполняются неравенства (27.13). Далее будем считать это условие выполненным.
По физическому смыслу сформулированная задача соответствует управлению пространственным движением механической системы. В том случае, когда 屮,=const, осуществляется стабилизация системы относительно стационарного состояния. Если на вход системы поступают функции времени 屮$(£), то решается задача стабилизации программной траектории движения, т.е. траекторного управления.
Чтобы исключить операции дифференцирования в алгоритмах вычисления управляющих функций, наименьшее допустимое значение М в (27.14) должно быть
2 +心,
3,
ms > 1, ms = 0.
(27.15)
Далее принимаем одинаковую структуру эталонных моделей для всех степеней свободы, что упрощает изложение и не умаляет общности развиваемой методики синтеза алгоритмов управления. Для определенности положим тх = 1. Тогда, согласно (27.15), имеем М = 3.
Управляющие силы 2 = 0： найдем из условия, чтобы на траекториях управляемого движения значение функционала
G(Q) = l/2[@(f)-/Q)F4(q)[@(t)-/Q)], г>0(27.16)
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. Функционал (27.16) представляет собой мгновенное значение энергии ускорения, вычисляемой в окрестности траектории движения эталонных моделей. Из условия достижения строгого минимума функционала
min G(Q) = 0, г > 0min G(Q) = 0, г > 0(27.17)(27.17)
min G(Q) = 0, г > 0
min G(Q) = 0, г > 0
(27.17)
(27.17)
(27.18)(27.18)с учетом (27.7) и (27.8) находим
(27.18)
(27.18)
2 = 4(9)0") + 8(9e)G + c(q) •
Понятно, что на основе (27.18) можно построить алгоритм управления компенсационного типа. Однако практическая ценность алгоритмов такого типа невелика, так как для их аппаратной реализации необходимо знать характеристики модели управляемой системы. Вследствие этого система с таким алгоритмом оказывается чрезмерно чувствительной к изменению структуры модели, ее параметров и возмущающим силам.
Откажемся от выполнения условия (27.18) и преднамеренно придадим алгоритмам управления и системе в целом свойства грубости. С этой целью определим управляющие силы с помощью дифференциальных соотношений
力 б "吗力 б "吗七沙=const, s = 1, 2,…，小七沙=const, s = 1, 2,…，小(27.19)(27.19)
力 б "吗
力 б "吗
七沙=const, s = 1, 2,…，小
七沙=const, s = 1, 2,…，小
(27.19)
(27.19)
которые соответствуют градиентному методу движения изображающей точки (0102 ... бл) к экстремуму G(Q). Чтобы провести необходимые преобразования, запишем (27.19) в векторной форме
^=^]\ K = hl(27.20)
Найдем градиент функционала. Справедливо равенство
=旦加4(g)@]+丄区方4(9乃]
С учетом (27.7) находим
-^^T A{q)i^=, ~^T A{q)q\= QT A~'(q) + / (q,q).
Следовательно, искомый градиент
争中+0才(幻+Y%面dQ
или после транспонирования обеих частей этого равенства
= -® + {T(q)Q + Y(qe).(27.21)
Подставляя в (27.21) выражение для y(q, q) из (27.8) и принимая во внимание, что
Q ~{B{q,q)q + C(q)) = A{q)q ,
получим окончательно
崎1'=-@-办(27.22)
С учетом (27.22) и (27.20) находим дифференциальный закон управления
^^■ = К© 一办(27.23)
В координатной форме дифференциальные соотношения для управляющих сил имеют вид
吟& =力.持厂或)，s=1,2,...,m.(27.24)
Величины ускорений @, характеризуют движение эталонных моделей и при вычислении 0： по (27.24) выступают в роли требуемых значений ускорений движения управляемой системы по каждой степени свободы. Значения 0,(。 можно вычистить по уравнениям (27.14). С этой целью нужно проинтегрировать обе части этих уравнений по времени при нулевых начальных значениях переменных, а затем в полученных соотношениях выполнить замену 屮)")«) = ^v)(/), v = 0,1. Для принятых значений ms = 1 и %、. = 3 находим после выполнения необходимых преобразований
① №)=冉(J(屮厂幻)4 + 瓦1(屮厂 ％)-"%•j = 1,2,...,M. (27.25)
о
При выводе (27.25) принято 自旷=马s v = 0,1, что соответствует второму порядку астатизма моделей.
Таким образом, алгоритм вычисления требуемых значений управляющих сил 2* организуется на основе уравнений (27.24), (27.25). Однако для аппаратной или программной реализации алгоритма эти уравнения следует представить в другой форме. Интегрируя обе части (27.24) и (27.25) по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
0s (f) —〉:^-ду(ФJ — %)，S — 1,2,…，儿
Фа(0 =吃0 J力(f)dt + %/«) - CX/2幻⑺，(27.26)
0
力=“屮)⑴-幻⑹力.
0
Рис. 27.1
Для вычисления Q： по (27.26) требуется информация о координатах положения %(£), скоростях их изменения %(£), а также о функциях %"), характеризующих назначенную траекторию движения управляемой системы. При вычислении g* не требуется выполнять операцию дифференцирования, что соответствует постановке задачи.
Уравнения (27.26) составляют основу алгоритма вычисления управляющих сил 2*. Структурная схема алгоритма изображена на рис. 27.1. Она соответствует векторной форме уравнений
Q* =К(@-〃)，＜p(z) = а0 |/(0Л + а]/(г) -a2^(z),
О
/(27.27)
/(0= "屮")-虱Г)]力，О
где обозначено
av = diag{asv}, v = 0, 1,2; s = 1,2,…，％
/ =(力/2…力尸，w=(屮№…屮"尸一
Свойства системы с алгоритмом управления (27.27) будут изучены в следующей лекции. При исследовании будут найдены условия, при выполнении которых система отвечает требованиям по точности и динамическим характеристикам.
Лекция 28
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
В лекции исследованы свойства управляемых голономных систем стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движений. Показано, что алгоритмы координированного （взаимосвязанного） управления обеспечивают возможность реализации высокой динамической точности и придают системам естественные свойства адаптивности -слабой чувствительности к изменению параметров и возмущающим силам. Рассмотрены алгоритмы автономного, т.е. независимого по степеням свободы, управления. Исследованиями показано, что эти алгоритмы придают системам такие же свойства, как и алгоритмам координированного управления.
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМАМИКООРДИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
При исследовании динамики нелинейной системы будем существенно использовать теоремы Ляпунова, позволяющие установить свойства движения по уравнениям в отклонениях. Сначала будем считать, что движители системы безынерционны. Исследование динамики с учетом инерционности движителей будет выполнено в параграфе 28.2. Рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния q%= const, s = 1, 2,...,几 Тогда можно считать, что qs - отклонения обобщенных координат от их стационарных значений q?. В таком случае в уравнениях эталонных моделей следует принять 屮§ = 0 , вследствие чего функции（р$«） будут определять отклонения выходных переменных моделей от стационарного состояния равновесия. В окрестности точки 或 возмущенное движение управляемой системы описывается уравнениями первого приближения
£ [蜀% 0 + "%（0 + *幻0]=40，S = 1,2,（28.1）
Выражения для постоянных коэффициентов этих уравнений не выписываем, они получаются в результате выполнения процедуры линеаризации. Отметим только, что * =旬(叫=0・ В соответствии с (27.26) обобщенные силы вычисляются по соотношениям
Q；O(D = Е%3厂 ％)，5 = 1,2,
Ф/0 = - j J力о(т) Л - а“о«) - а〃幻⑺，(28.2)
О
力0")=］幻(e)4 •о
Изучим свойства системы первого приближения (28.1), (28.2). Покажем сначала, что существует такая определенно положительная матрица К = К7 > 0, при которой стационарное состояние qs =夂.=0 асимптотически устойчиво. С этой целью найдем полную производную по времени функционала
<3(Й)= |(ф-7)Ч(ф-7), 4=(“；)(28.3)
на траекториях движения управляемой системы с алгоритмом управления (28.2). На основании (28.1) вектор ускорения
q^^Ai^-B^-C^, В°=(%), &=©). (28.4)
Полная производная по времени G(Q；) с учетом (28.4) равна
组=(衿犷［4@甸一遒］
dt 》 d^ dt I屮勿广，屮勿dt J
Так как, согласно (27.23) для условий рассматриваемой задачи dG(0；) / dt = К(& -^), то последнее равенство принимает вид
= (ф-砂7'[4(® - ^)-(ф-^(ф -拒.(28.5)
at
Производная функционала будет вычислена вполне на траекториях управляемого движения, если в (28.5) подставить выражения для ф, ф, определяемые по (28.2). В операторной форме можно записать
0(。= -丄 Зо + СХ]。+ a2D2)q(t)9 D = J
Ddt
где диагональные (к х п)-матрицы
c^=diag{%J, ц = 0,1,2, s=l,2,...,几
Следовательно
Ф(0 - *) = -la(W0，Ф(о -歹⑺=-сх(0)*),
(28.6) 2
a(D) = diag{a4. (£>)},а/D) =ь£>3 + ^а用小.
ц=0
С учетом этих выражений из (28.5) находим окончательно
^^^ = Т«)4М)Н%)К&() &«)=卜(О)*)%.(28.7)
В силу известной леммы существует такая определенно положительная матрица К = К°, при которой полная производная функционала (28.3) по времени, определяемая по (28.7), будет отрицательна при любых &«) —> 0. Поэтому при К = К。на траекториях управляемого движения G(0j)->O, что свидетельствует об асимптотической устойчивости стационарного состояния д° линейной системы с алгоритмом управления (28.2). На этом основании из теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению заключаем, что алгоритм управления (27.26) стабилизирует до асимптотической устойчивости нелинейную систему (27.5). Существенно при этом, что заключение об асимптотической устойчивости нелинейной системы остается справедливым и в случае стабилизации программной траектории движения.
Покажем теперь, что нелинейная система (27.5) , (27.26) при определенных условиях обладает слабой чувствительностью к изменению структуры ее модели и параметров. Вновь будем рассматривать уравнения первого приближения (28.1), (28.2). Исследуем сначала динамику сепаратных каналов, движение которых описывается уравнениями
а驚、С) + Ь.泣0) + c：q,(t) = v；。，s = 1,2, ...,〃，(28.8)
где управляющие силы обозначены
v：o = % (S -虑)，ks =底.(28.9)
Требуемые значения скоростей @$ вычисляются по (28.2). Законы управления (28.9), дополненные соотношениями для вычисления @$, образуют основные обратные связи (контуры управления) соответствующих сепаратных каналов. Параметры кх = кхх, т.е. диагональные элементы матрицы К, будем называть коэффициентами усиления основных контуров.
Исключим из (28.8) и (28.9) переменные v*0 . Из (28.11) находим
ФХО-虑《)=-青а,(£>)%«).(28.10)
В результате подстановки (28.9) и (28.10) в (29.8) получим
[D24(Z)) + ^a(£>)k(z) = 0, s = l,2, ...,〃，(28.11)
где операторные выражения
Al(D) = al.D2+b^D + cl.
Уравнения (28.11) описывают динамику сепаратных каналов с основными контурами управления. Рассмотрим характеристическое уравнение
р24(р) + Цр3 + £ад.ир^)=0.(28.12)
Степень полинома ал.(р) на единицу меньше степени полинома 夕24^(/?). Кроме того, по свойству эталонных моделей корни уравнений а ,(/?) = 0 расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р. Следовательно, на основании известного результата заключаем,
что структура сепаратных каналов допускает теоретически неограниченное повышение уровня усиления в основных контурах, т.е. ks —> оо , s = 1, 2, ..., и. При этом в асимптотике три корня 〃”(£) каждого уравнения (28,12) стремятся к соответствующим корням 。工 характеристических уравнений а$(р) = 0 эталонных моделей. Кроме того, один корень каждого уравнения (28.12) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений. Таким образом, сепаратные каналы имеют следующее асимптотическое распределение спектра:
lim Av(K) = P：v，Пт 〃“(&) =-叱 s = l,2,..., % v= 1,2,3.(28.13) "、->8"S ->8
Этому распределению соответствует асимптотическая структура дифференциальных уравнений сепаратных каналов
或") + a，2 比0) + %或《) + 3,必0) = 0, s= 1,2,..., m, (28.14)
которые в точности совпадают с однородными уравнениями эталонных моделей.
Изучим теперь асимптотические свойства решений уравнений (28.1), (28.2).
Исключим из этих уравнений 0：。. На основании (28.1) и (28.2) имеем
(28.15)
Подставляя выражения для 0：° из (28.15) в (28.1) вместо 0,。，получим взаимосвязанные уравнения
^"^(ОН 勺％(£>)]%«) = о,s=l,2,...,〃，(28.16)
которые в первом приближении описывают динамику системы стабилизации стационарного состояния 或 = const. Операторные выражения 4^(£>) в (28.16) соответствуют левой части (28.1) для каждой пары значений 邑/ Так как сепаратные каналы сохраняют устойчивость при неограниченном повышении усиления в основных контурах, то по известной методике лекций 18 и 19 можно установить следующие асимптотические свойства дифференциальных уравнений (28.16).
1°. При неограниченном увеличении диагональных элементов kss матрицы К характеристическое уравнение
det]/?瑞(?) + 勺~ (р)] = 0(28.17)
степени 4п распадается на и +1 независимых алгебраических уравнений, из которых:
уравнения третьей степени
%(Р)= 〃 + а，2P2 + a.w + ai0, s = 1, 2,..., и
соответствуют дифференциальным уравнения (27.14) эталонных моделей;
уравнение и-й степени
%Х+г.“т+尸2入"一2 +…+ %т入+ 1 =。，^ = р^~\ А = maxА^ (28.18)
имеет своими коэффициентами суммы диагональных миноров ”"7,j (4) порядка (и 一 s) матрицы Ао = (а；), а именно
F=det4， 々=£1/吁 $j(4), № 1,2,...» и, %=L
Значения коэффициентов kss = %& в (28.18) такие, что при kss > %* , стационарное состояние qs = ^л. = 0 системы (28.16) асимптотически устойчиво.
2°. Алгебраическое уравнение (28.18) является обращенным по отношению к известному в алгебре уравнению
det[4C/]=Z(-l)“F0.
Так как коэффициенты / в (28.18) представляют собой суммы диагональных миноров матрицы инерции системы Ао =(刃)，то они всегда положительны, а нули Хл, s = 1,2,п полинома
R(Q = X +£%L
V=I
будут отрицательными действительными числами.
3°. В силу свойства 2° характеристическое уравнение (28.17) в асимптотике при 匕$ —> оо, 5 = 1, 2, ...» п имеет 3* корней, в точности равных корням соответствующих характеристических уравнений эталонных моделей, при этом остальные п корней удаляются на бесконечность в область отрицательных значений. Следовательно, асимптотическое распределение спектра системы (27.15) с п степенями свободы идентично асимптотическому распределению спектра (28.13) сепаратных каналов.
Таким образом, на основании полученных результатов приходим к заключению, что при неограниченном увеличении диагональных элементов %、матрицы К система взаимосвязанных уравнений (28.16) вырождается в систему независимых дифференциальных уравнений третьего порядка вида (28.14), которые описывают динамику эталонных моделей в свободном движении. Величины ks!i - ks представляют собой коэффициенты усиления основных контуров управления. Поэтому отмеченные свойства дифференциальных уравнений (28.16) интерпретируются в задаче управления движением динамической системы следующим образом: при неограниченном повышения уровня усиления в основных контурах управления в системе с п степенями свободы осуществляется ее декомпозиция, в результате которой структура многосвязной системы расчленяется на независимые подсистемы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. Следовательно, в случае 8, s = 1, 2, и траектория движения управляемой системы к стационарному состоянию %«) —> 0 неограниченно приближается к траектории движения 屮(f) —> О эталонных моделей.
Итак, линейная система первого приближения (28.1) с алгоритмом управления (28.2) сохраняет свойства асимптотической устойчивости при неограниченном повышении уровня усиления в основных контурах. Однако, согласно теории Ляпунова, такими же свойствами обладает и нелинейная система (27.5). Более того, при неограниченном повышении усиления в основных контурах остается также асимптотически устойчивой и нелинейная система с алгоритмом (27.26), который стабилизирует программную траекторию движения {屮$(£), / > 0}. Важно при этом, что алгоритм (27.26) в асимптотике осуществляет также декомпозицию нелинейной системы на п независимых подсистем по каждой степени свободы. Это последнее положение нуждается в доказательстве. Дадим краткое изложение такого доказательства.
Рассматриваем нелинейные уравнения (27.6) и (27.24), причем в (27.6) следует принять Q = 0*. Эти уравнения необходимо дополнить соотношениями для вычисления (р(/). С учетом того, что для принятой
модели В斗=a$N，v = 0,1, на основании (27.25) имеем следующее выражение для вектора ускорений:
Ф(0 = — ₽(£>)v(z)-万(а。+ aQ + а2О2)^(0,
P(O) = diag{P5 (£>)}, ₽,.(£>) = рл10 + рл.0.
Поэтому аналогично (28.6) находим
©0)-虱t) = ^ [0(O)W(t) - a(0)q(t)]
и в соответствии с (28.6) запишем
^^ = ±K[j3(£>)W«)-a(£>)g(r)].(28.19)
at D
Уравнения (27.6), (28.19) вполне определяют динамику нелинейной системы стабилизации программной траектории {屮$(f), Z > 0}. Для удобства анализа системы исключим из этих уравнений вектор управляющих сил 0*. С этой целью вычислим производную по времени от обеих частей (27.6), В результате с учетом (28.19) будем иметь
/f(^(Z) + G{q, q,q) = К J[₽(D)V(Z)- a( Wz)] dt.(28.20)
0
Выражения для элементов Gy функциональной матрицы G(q,0,§) не выписываем, так как они не потребуются. Дифференцируя по времени обе части (28.20), получим уравнение управляемой системы в замкнутой форме
A{q}qw(t) + F{q,q,...) + Ka(D)q(t) = K^D^t).(28.21)
Исследуем асимптотические системы в случае неограниченного повышения уровня усиления в основных контурах, т.е. при % -> оо. Исходными являются следующие положения: 1) для системы (28.1) всегда можно указать такие значения параметров &, при которых невозмущенное движение 夕Л«) = w(f) асимптотически устойчиво; 2) система (28.21) сохраняет свойства асимптотической устойчивости при неограниченном увеличении диагональных элементов kss, s = 1, 2,..., п матрицы К.
Имея в виду указанные положения, принимаем, что в (28.21) установлены такие значения &、. 2/：., при которых i(/A.(z)-^A,(z)-> 0, если f -> оо. Тогда при конечных начальных значениях 10,)(О)| < оо, и ограниченных М«)|<8, fAO будут ограниченными выходные переменные управляемой системы и их производные, т.е. |^и)(0)|<оо, / > 0. Умножим слева все члены уравнения (28.21) на диагональную матрицу
а затем выполним предельный переход при Z* —> 8, s = 1, 2, ..., и. Справедливы следующие равенства:
J吧8 К『‘ ["(9)严 + 尸(％ °，-)] = О,『工 ^'[^a(D)q(t)] = a(£>)g(f),
lim /Со'[^(^VO)] = ₽(£>)V(0-
Следовательно, после умножения (28.21) на К£‘ и вычисления пределов будем иметь
a(D)虱f) = B(D)屮(f)(28.22a)
или в координатной форме
2
笈⑴+2叫#)0) = %%«) +doW.,(f), s= 1,2, ...,n. (28.226)
H=0
Уравнения (28.22) в точности совпадают с уравнениями эталонных моделей для принятых значений 乂 = 3 н m$ = 1.
Таким образом показано, что синтезированный алгоритм (27.26) в асимптотике (%外-> оо) осуществляет динамическую декомпозицию нели-
нейной системы, расчленяя ее на п независимых подсистем, структура которых идентична структуре эталонных моделей по каждой степени свободы. Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления в основных контурах управления в системе можно теоретически реализовать сколь угодно высокую точность приближения управляемых процессов к эталонным, т.е. /(f) ->(p$(f). Отсюда следует вывод, что синтезированные алгоритмы придают нелинейной системе замечательные свойства: теоретически при бесконечно высоком усилении в основных контрах управления динамические характеристики системы остаются неизменными при произвольном изменении параметров управляемого объекта. Иначе говоря, алгоритмы такой структуры придают системе свойства параметрической адаптивности.
АЛГОРИТМЫ АВТОНОМНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Управляющие силы будем определять по уравнениям (27.10). Формулировка задачи остается прежней: найти такие силы Q, при которых на траекториях управляемого движения выполняются неравенства (27.13), а динамические характеристики системы по каждой степени свободы идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей (27.14). Как и ранее, принимаем для определенности 乂 = 3 и 电=1.
В рассматриваемом случае, как отмечалось, сначала необходимо найти ускорения 吗=w*, отвечающие требованиям задачи управления, а затем по уравнениям (27.11) вычислить управляющие силы 0：. Функции Y、(g, G) в (27.10) будем считать возмущениями, тогда эти уравнения можно рассматривать как независимые, описывающие динамику системы по каждой степени свободы. Ускорения w* определяем из условия, чтобы на траекториях управляемого движения значения функционалов
G,(w、) = l/2[*,(f)-呢(小,)]2, ,20 (28.23)
принадлежали малой окрестности экстремумов-минимумов. Аналогично (27.19) для ускорений w； запишем дифференциальные законы управления
= _ ^^2,入"Const > 0, s= 1,2, (28.24)
С учетом (27.10) из (28.23) находим
Подставляя это выражение в (28.24) и выполняя интегрирование обеих частей по времени при нулевых начальных значениях переменных, найдем
双=入式小,一虑），5= 1,2, ...,п.双=入式小,一虑），5= 1,2, ...,п.(28.25)(28.25)
双=入式小,一虑），5= 1,2, ...,п.
双=入式小,一虑），5= 1,2, ...,п.
(28.25)
(28.25)
Требуемые значения скоростей(р5(/) вычисляются по (27.26).
Зная ускорения w*, по соотношениям (27.11) можно найти управляющие силы 0： в форме обратных связей (27.26). Мы, однако, поступим иначе. Исследуем свойства изолированного движения системы по одной степени свободы. Так как, согласно (27.26) справедливо
6 -夂=青底(£>)W«) - аК/^з(川，(28.26)
то изолированное движение определяется уравнением
[。4 + 儿 a,。)] % (f)=儿氏(。)5 (Г) + 汕,G),(28.27)
которое получается из (27.10) и (28.25) с учетом (28.26). Здесь % - вторая производная по времени функции В случае |屮式矶 <8 справедливы предельные равенства
lim ；%(q,G) =0.入 $->8 As.lim ；%(q,G) =0.入 $->8 As.
lim ；%(q,G) =0.
入 $->8 As.
lim ；%(q,G) =0.
入 $->8 As.
Поэтому в асимптотике при неограниченном повышении усиления (入$ f оо) из (28.27) следует уравнение эталонной модели вида (28.22).
Таким образом, управление движением нелинейной системы можно осуществлять с помощью алгоритмов, автономных по каждой степени свободы. Такие алгоритмы стабилизируют нелинейную систему до асимптотической устойчивости и расчленяют ее (декомпозируют) на независимые подсистемы, структура которых идентична структуре соответствующих эталонных моделей. Принимая во внимание доказанные в параграфе 28.1 асимптотические свойства системы с алгоритмами (27.26),
приходим к заключению о том, что управляющие силы при автономном управлении вычисляются по уравнениям
О；二 %® О $ = L 2,…,и;
00) = а,0 J<C)dt + а,/(/)-а.,2弘«),(28.28)
о
%а)= jMc)-%(川或.
о
Для вычисления требуемого значения управляющей силы 0： по (28.28) необходимо иметь информацию о состоянии системы только по одной (изолированной) степени свободы. В этом смысле понимается автономность алгоритмов управления многосвязной системой.
Представляет методический интерес исследование асимптотических свойств системы с алгоритмами автономного управления по классической схеме: сначала исследовать динамику по уравнениям первого приближения, а затем на основе теории устойчивости вывести заключение о свойствах движения нелинейной системы. Рассмотрим кратко эти вопросы.
На основании (28.1) и (28.28) запишем уравнения системы с алгоритмами автономного управления
e4；(D)分0) = 0$， $ = L 2,…,m;
。：=告ЕЗ) 〃С) - а,。)% (3
или в замкнутой форме
之 \p2^(D) + 3“,％(。)]幻⑺=AR,(£>№«),(28.29)
7=1
” 〔О, j s = 1,2,и.
Системе (28.29) соответствует характеристическое уравнение
R(p) = det 厅 /(р) + 3,/,а/)] = 0.(28.30)
Параметры £ имеют один порядок величины, поэтому примем ks =匕 что удобно для исследования при 匕一> 8 , s = 1, 2,…，и. При таком условии полином R0) можно представить в виде
r0)=R4”(p) +%r4〃-1(p)+廿R4"-2 (p) + •••+ %"电(p)• (28.31)
Индексы 4九一s обозначают степени полиномов R4n_s(p), s = 1, 2,..., и. Явные выражения 凡心⑦)не выписываем, так как они не потребуются. Отметим только, что
&〃(「) = fl % 5). (28.32) 5=1
Степени рядом стоящих полиномов в (28.28) отличаются на единицу. В этом случае, как известно, при Z —> 8 корни характеристического уравнения вида (28.30) распределяются следующим образом: Зи корней асимптотически приближаются к Зи корням уравнения R3ft(р) = 0; остальные и корней удаляются на бесконечность в левой полуплоскости. Принимая во внимание (28.32), приходим к заключению, что асимптотическое распределение спектра системы (28.29) идентично (28.13), Следовательно, алгоритмы автономного управления стабилизируют линейную систему до асимптотической устойчивости и в асимптотике при Z —> 8 осуществляют ее динамическую декомпозицию на независимые подсистемы. Такими же свойствами обладает и нелинейная система (27.6) с алгоритмами (28.28), что следует из теории Ляпунова об асимптотической устойчивости по уравнениям первого приближения.
Итак, показано, что алгоритмы автономного управления, как и не автономного, теоретически придают системе идеальные свойства естественной адаптивности: ее динамические характеристики по каждой степени свободы идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей и остаются неизменными при изменении параметров управляемого объекта. Такие свойства системы в полной мере проявляются лишь в асимптотике при бесконечно высоком уровне усиления в контурах управления. Практически требуемая динамическая точность проектируемой системы, назначаемая с помощью неравенств (27.13), достигается при конечных значениях коэффициентов усиления ks. Ориентировочные значения % рекомендуется рассчитывать по соотношениям
% = (4 + 5)а；со；, 5=1,2,и, (28.33)
где а；, максимальные значения диагональных элементов ass(q) матрицы A(q) в области определения уравнения (27.6), т.е. ciss =maxass((/). Кроме того, со* - значения частоты среза частотных характеристик эталонных моделей в разомкнутом состоянии. Расчетные значения 匕，найденные по (28.33), уточняются по результатам моделирования из условия достижения требуемой динамической точности и слабой чувствительности проектируемой системы к изменению ее параметров и возмущающим силам.
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖИТЕЛЯМИ СИСТЕМЫ
Для окончательного решения задачи синтеза необходимо найти управляющие функции м*, с помощью которых движители системы создают требуемые силы Q*, реализующие назначенные траектории движения. Введем в структуру системы контуры управления движителями. Будем считать, что Q； - задающие сигналы этих контуров. Расчетные соотношения для м* найдем из условия, чтобы требуемые силы 0； отрабатывались по законам, которые определяются дифференциальными уравнениями
或«) + ¥&«) = ¥,©：，% > 0, s = 1,2,(28.34)
Через Q：«) обозначены эталонные процессы. Из (27.12) имеем
&«) +—0f «) = —(Р№ -〃$%)•(28.35)
Потребуем, чтобы искомые управляющие функции 〃： обеспечивали выполнение равенств б*(О = 05(О» Е 之 0・ При таком условии из (28.34) и (28.35) находим искомые соотношения для управляющих функций
%=迎(0；-0)+丄(a+〃4)，s = L 2,(28.36)
PsPs
Рис. 28.1
Расчетными соотношениями в (28.36) являются ух. Числовые значения 7、. должны быть такими, чтобы быстродействие контуров управления движителями, характеризуемое постоянными времени Ts = yjl, было существенно выше быстродействия эталонных моделей и физически реализуемым. Отметим, что для вычисления управляющих функций w* требуется информация о фактических значениях усилий 0$, развиваемых движителями. Получение такой информации современными техническими средствами не представляет затруднений.
На рис. 28.1 изображена схема замкнутой системы для изолированной степени свободы с алгоритмом управления двухуровневой структуры, которая соответствует уравнениям (28.28) и (28.36). Функциональные блоки, в которых вычисляются требуемые значения управляющих сил и управляющих функций, отмечены номерами этих уравнений. Движители и управляемая динамическая система обозначены соответственно Дв и УДС.
Инерционность движителей может быть причиной качественного изменения динамических свойств системы. Это в первую очередь связано с возможностью нарушения асимптотических свойств параметрической и структурной адаптивности системы с алгоритмами предлагаемой структуры. Найдем условия, при выполнении которых система не теряет этих свойств.
Рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния 夕：=const для системы первого приближения (28.1). Как было показано, в случае идеальных (безынерционных) движителей эта система стабилизируется до асимптотической устойчивости алгоритмом (28.28). Принимаем теперь, что движители описываются уравнениями (28.34). Тогда фактические значения управляющей силы 0$(Е) определяются следующим образом:
Qs(0 =0sO(f) , S = 1,2, ...,И ；
(28.37)(28.37)0：。0)=0：。0)=£)2(0 +厶)£)2(0 +厶)D + ys
(28.37)
(28.37)
0：。0)=
0：。0)=
£)2(0 +厶)
£)2(0 +厶)
Выражения для g*o(O = Q* (О следуют из (28.2). Исключим теперь из (28.1) и (28.37) переменные 0s. В результате получим уравнения замкнутой системы
X [о2(D + y7 )4 {D^qj (Z) + ksysas (D) qs(Z) = 0, s = 1,2,...〃(28.38)
Как и ранее, примем к = max 匕.В таком случае характеристическое уравнение, соответствующее системе (28.38), можно записать в виде
№〃5) + 现"_2 (Р) + 廿火5"-4 (Р) +…+ М%(Р)= 0.(28.39)
Используемые здесь обозначения аналогичны (28.31). Полином R3fl(р) определяется, как в (28.32). Особенность уравнения (28.39) состоит в том, что степени рядом стоящих полиномов (5и - 2у) при каждом 5=1,2,..., и отличаются на две единицы. Как известно, асимптотическое распределение корней уравнений такой структуры может быть двояким. При к —>оо предельное уравнение имеет вид &з〃(р) = 0 . Поэтому в асимптотике Зп корней совпадают с корнями уравнений а5(р) = 0, 5=1,2,..., и, которые соответствуют эталонным моделям. Остальные 2и корней при определенных соотношениях между параметрами моделей и управляемой системы будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости. Если такие соотношения нарушаются, то некоторые корни из этой группы при к —>оо будут удаляться на бесконечность в правой полуплоскости. В первом случае система допускает теоретически неограниченное повышение уровня усиления и сохраняет асимптотические свойства естественной адаптивности, а во втором случае система теряет устойчивость при достаточно больших значениях к. Отмеченные особенности обусловлены инерционностью движителей системы.
Найдем условия, при выполнении которых сепаратные каналы допускают неограниченное повышение уровня усиления. Рассматриваем дифференциальные уравнения
[О2(О + ь)4(О) + ^ал.(О)]^(0 = 0, s= 1,2,...,",
и соответствующие им характеристические уравнения
J-p2(P + EJ d(p) + ks^Ap} = ^ 5=1,2,..., и. (28.40)
Понятно, что при % —> 8 из (28.40) следуют предельные уравнения ал.(р) = 0 . Поэтому три корня psv(A) каждого уравнения (28.40) асимптотически стремятся к трем корням р\ характеристического уравнения эталонной модели, т.е. p&JQ -> р\, v = 1, 2, 3, если ks -> оо. Путем анализа приближенного уравнения при больших значениях |р| можно установить, в какой полуплоскости расположены остальные корни. Такое уравнение для каждого s получается из (28.40), если в полиномах av(p) и р2(р+八)4：(Р)оставить по два члена старших степеней переменной р. С учетом выражения для <\(р) и после сокращения на р? находим
о仆о、
+ р2 +/(「+ %)(28.41)
丿
Согласно критерию Гурвица, корни уравнения (28.41) будут расположены в левой полуплоскости, если
а,2<" + %.(28-42)
Здесь вместо а& и 6&. подставлены а；, и 6~ - соответственно максимальное значение axs(q) и минимальное значение bss(q) диагональных элементов матриц 4(g) и B(q) в области определения уравнения (27.6).
Если неравенства (28.42) выполняются для каждого сепаратного канала (s = 1, 2, ...,), то система с инерционными движителями допускает достаточно высокий уровень усиления в основных контурах и сохраняет свойства естественной адаптивности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Развитый метод синтеза алгоритмов управления движением механических систем основывается на концепциях обратных задач динамики в сочетании с оптимизацией функционалов, характеризующих энергию ускорения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Синтезированные алгоритмы имеют унифицированную структуру. Уравнения алгоритмов управления выписываются непосредственно по фундаментальным уравнениям Лагранжа и уравнениям эталонных моделей. Системы с такими алгоритмами обладают слабой чувствительностью к изменению параметров и возмущающим силам. Эти свойства систем достигаются без применения в их структуре специальных схем и алгоритмов идентификации, адаптации и самонастройки. Поэтому можно говорить, что алгоритмы управления предлагаемой структуры придают системам свойства естественной адаптивности. Кроме того, алгоритмы обеспечивают возможность реализации в системах высокой динамической точности. В связи с этим представляют интерес исследования по применению предлагаемого подхода для решения прикладных задач управления техническими системами.
Лекция 29
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВАВ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИСИСТЕМАМИ
На основе обращения задачи Ляпунова об устойчивости к задаче синтеза устойчивых (или асимптотически устойчивых) систем изложены процедуры определения структуры алгоритмов управления из условия, чтобы синтезируемая система имела наперед заданную функцию Ляпунова, которая на траекториях управляемого движения изменяется по назначенному закону. В качестве функций Ляпунова принимается потенциальная, кинетическая или полная энергия. Синтезированные таким методом системы обладают асимптотической устойчивостью в целом по отношению к состоянию равновесия или невозмущенным траекториям движения. Эти вопросы рассмотрены применительно к системам, модели движения которых представлены в форме уравнений Лагранжа, Эйлера и Ньютона.
ВВЕДЕНИЕ
Два века назад при исследовании динамических систем начали применяться функции, характеризующие энергию движения. В 1788 году Ж. Лагранж установил, что если потенциальная энергия произвольной консервативной системы имеет в положении изолированного равновесия минимум, то это равновесие устойчиво. В конце XIX века А.М. Ляпунов, опираясь на понятие полной энергии системы, ввел специальную функцию, именуемую теперь его именем, и рассмотрел общую задачу устойчивости [23]. Основу созданной им теории составляет так называемый прямой метод, который существенно использует функции Ляпунова и также носит его имя.
Прямой метод Ляпунова нашел широкое применение в задачах исследования устойчивости, а затем и в задачах аналитического конструирования.
Известные приемы и способы решения задач аналитического конструирования основаны на непосредственном применении идей прямого
метода Ляпунова. Именно поэтому они имеют общую особенность: синтез алгоритмов управления неизбежно связан с необходимостью отыскания в той или иной форме функций Ляпунова.
Имеется, однако, возможность принципиально по-иному построить процедуру аналитического конструирования. Она основана на обращении задачи Ляпунова об устойчивости к задаче синтеза устойчивых (или асимптотически устойчивых) систем. Понятие «обращение» заключается в следующем: для решения вопроса об устойчивости (задача анализа) достаточно каким-либо способом установить существование (или отсутствие) функции Ляпунова, обладающей необходимыми свойствами; напротив, задача синтеза состоит в отыскании алгоритма управления из условия, чтобы замкнутая система имела наперед заданную функцию Ляпунова, которая на траекториях управляемого движения изменялась бы во времени по назначенному закону. При такой постановке задачи аналитического конструирования функция Ляпунова не отыскивается, ее структура и параметры задаются. Источником идеи о возможности обращения прямого метода Ляпунова явилась работа Зубова [11], где изучены задачи оптимального демпфирования переходных процессов.
Дяя решения прикладных задач на основе обсуждаемого подхода важным является вопрос о том, какого вида функции Ляпунова следует назначать при проектировании систем. Понятно, что сформулировать универсальные рекомендации по этому вопросу не представляется возможным. Дяя определенного класса задач управления движущимися объектами в качестве функций Ляпунова целесообразно принимать функции, характеризующие энергию.
Применение функций, характеризующих энергию в задачах управления, столь же естественно, как и в задачах исследования устойчивости. Это позволяет на основе обращения прямого метода Ляпунова задачи управления движением систем формулировать и решать как задачи управления их энергией. При этом структуру алгоришов управления оказывается возможным определять из условия, чтобы проектируемые системы имели наперед заданные функции Ляпунова в виде кинетической или полной энергии, причем управляемая энергия должна изменяться в процессе движения по назначенному закону. Синтезированные таким образом системы обладают свойствами асимптотической устойчивости в целом по отношеншо к состояниям равновесия или невозмущенным траекториям движения. Эти вопросы рассматриваются в лекции для систем, модели движения которых представлены в форме уравнений Лагранжа, Эйлера и Ньютона.
МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕУРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Будем рассматривать голономную управляемую механическую систему с п степенями свободы, подчиненную стационарным связям. Обозначим через %, 伙 …，Qn обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы в момент времени 厶 а через R, @2,…，Яп - скорости изменения обобщенных координат. В потенциальном поле движение такой системы описывается уравнениями Лагранжа
d 打(%")山 dqkd 打(%")山 dqk(29.1)(29.1)4(g)= -4(g)= -ан(д)ан(д)Л = 1, 2,..., н,Л = 1, 2,..., н,
d 打(%")
山 dqk
d 打(%")
山 dqk
(29.1)
(29.1)
4(g)= -
4(g)= -
ан(д)
ан(д)
Л = 1, 2,..., н,
Л = 1, 2,..., н,
где Qk - потенциальные, a wA - обобщенные управляющие силы. Кинетическая энергия
7(9，0) = }火%。*(9)欧=}0丁力(9)〃(29.2)
представляет собой определенно положительную квадратичную форму относительно скоростей(6，仇…痂)'=0，а потенциальная энергия Kq) зависит только от координат (gb 伙 …％) = <7- Далее принимаем, что движение системы (29.1) осуществляется в таких потенциальных полях, для которых «О) = 0. Будем считать также, что уравнения описывают возмущенное движение относительно точки qk =0, % = 1, 2,..., н.
Сформулируем следующую задачу: пусть в начальный момент времени / = 0 состояние управляемого процесса характеризуется значениями
*(О) = %о，欧(0) =欧о，& = 1,2,(29.3)
(29.4)(29.4)Требуется найти такие управляющие силы
(29.4)
(29.4)
ик =uk(q, ^), Л = 1,2, ...» н,
(29.5)(29.5)под действием которых система (29.1) переходит в окрестность начала координат
(29.5)
(29.5)
以(00) =或=0,旅(8)=或=0, %二L2,...,几
и продолжает оставаться в ней бесконечно долго. Таким образом, задача заключается в том, чтобы перевести систему из произвольного начального состояния в окрестность точки д°, которая должна быть устойчивым положением равновесия. Движение системы из начального состояния (29.3) в назначенное будем обозначать qK0 -» 或 или q(f) f g°.
Начальному состоянию системы (29.3) соответствуют значения кинетической Т® 心 и потенциальной 义仇)= % энергии. Для состояния (29.5) имеем соответственно 7(0, 0) = 0 и (О) = 0. По физическому смыслу задачи для замкнутой системы должны выполняться условия: *) -» 0, "(f) -> 0 при / -» со. В силу этого на траекториях управляемого движения Д<7，G) f 0, V(q) -> 0 при / -» со. Потребуем, чтобы в процессе управления полная энергия системы
E{q,q)^ A(q)q+V(ci)(29.6)
как функция времени изменялась в соответствии с решением дифференциального уравнения
+ уЕ(<?е)= 0,Ео = Е(<70,仇)，у = const > 0,(29.7)
а управляющие силы 〃左 обращали в минимум квадратичный функционал
G(〃)= ^jpjkuk =итРи, pjk =夕勾，P = [Pjk] > 0 •(29.8)
Силы wA0 = uk0(q,q), реализующие min G(w) = G(w0), будем называть оптимальными. Они могут быть найдены в результате отыскания безусловного минимума нового функционала
G(«) = итРи + 1[Ё (д, 0) + уЕ(д,“)],(29.9)
где К - неопределенный множитель Лагранжа. Чтобы вывести уравнения для оптимальных управляющих сил, необходимо подставить в (29.9) выражение полной производной по времени от энергии Ё(д,^), а затем записать условия экстремума @® по и. Выполним соответствующие вычисления.
На траекториях управляемого движения системы (29.1) справедливы соотношения
警@ =『0(幻+『〃，马^ =-或2(幻，(29.10)
atat
где вектор 以令)имеет своими компонентами потенциальные силы &(<?). С учетом (29.6) и (29.10) находим
^^ =力©外+户((?) = "%(29.11)
at
Подставив (29.11) в (29.9) и выполнив дифференцирование по и, получим векторное уравнение для искомых управляющих сил
^^■ = 2Puq + M = Q・(29.12)
Из (29.12) находим
"。=一^尸点(29.13)
Найдем неопределенный множитель I Для этой цели воспользуемся дифференциальным законом изменения энергии (29.7). Подставляя сюда выражение (29.11) и принимая во внимание (29.13), получим
= Y 平 рт“.(29.14)
2 ^P^q
Подстановка (29.14) в (29.13) дает выражение для вектора оптимальных управляющих сил
”式 q，G = T簪^р%・(29.15)
Соотношение (29.15) представляет собой искомый алгоритм управления, реализующий движение 虱Г) -> 0.
Обратимся к анализу замкнутой системы (29.1), (29.15). Покажем, что она обладает теми свойствами, которые отвечают постановке задачи. Установим вначале, что полная энергия системы на траекториях управляемого движения как функция времени является решением дифференциального уравнения (29.7). Поступим следующим образом. Умножим
обе части уравнений (29.1) на qk и просуммируем по %. Принимая ик = ukQ(q9q) и выполняя указанные действия, будем иметь
戸=£%函)+以。3处(2"6)
jt=lka* °Чк °Чк J к 7
Левая часть равенства (29.16) есть полная производная по времени кинетической энергии, поэтому можно записать
=Х ?Ла (я) + «ло (<?，?)]•(29.17)
dt 仁
Для принятой модели управляемого движения справедливы следующие соотношения:
。式g) м-—, % qkQKq)=—。式g) м-—, % qkQKq)=—(29.18)(29.18)
。式g) м-—, % qkQKq)=—
。式g) м-—, % qkQKq)=—
(29.18)
(29.18)
С учетом (29.18) равенство (29.17) примет вид
(29.19)(29.19)dT®q)丄 dV\q)公 -г z •、_^_ + b = E(q,q) = q “°(q,q).
(29.19)
(29.19)
Принимая во внимание (29.15), будем иметь
/«o(<7>?) = -/y/«o(<7>?) = -/y耦宀;…耦宀;…(29.20)(29.20)
/«o(<7>?) = -/y
/«o(<7>?) = -/y
耦宀;…
耦宀;…
(29.20)
(29.20)
Подставляя (29.20) в (29.10), получаем
^^ = -уЕ(де)<0,^^ = -уЕ(де)<0,(29.21)(29.21)
^^ = -уЕ(де)<0,
^^ = -уЕ(де)<0,
(29.21)
(29.21)
что соответствует (29.17).
Таким образом, полная энергия замкнутой системы, рассматриваемая как функция времени, подчиняется предписанному закону изменения. При этом E(q, q) выступает в роли функции Ляпунова. В силу (29.21) назначенное состояние равновесия (0, 0) асимптотически устойчиво в целом.
По способу определения управляющие силы и^ реализуют минимум функционала (29.8). Значение G(w0) легко вычисляется. Действительно, справедливо равенство
若@ …簪(29.22)
При w = wo из (29.8) с учетом (29.22) находим
Q«o)= Y2Q«o)= Y27?V7?V(29.23)(29.23)
Q«o)= Y2
Q«o)= Y2
7?V
7?V
(29.23)
(29.23)
Таким образом, справедлив следующий результат: решение задачи управления положением механической системы на основе концепций управления ее энергией приводит к алгоритму, который придает системе свойства асимптотической устойчивости в целом по отношению к назначенной точке состояния равновесия. В методическом отношении процедура конструирования алгоритмов выполняется по фундаментальным уравнениям движения (29.1) без их представления в раскрытом виде. Такая возможность является следствием того, что для вывода расчетных соотношений, по которым вычисляются требуемые значения управляющих сил, достаточно знать выражения кинетической T(dG) и потенциальной Хе) энергий.
По уравнению (29.7) можно оценить длительность переходного процесса (7(0 f 0. Определим окрестность £* = (<у° -<?(/* ))г(^0 —夕(厶))точки (7° Обозначим через 瓦=瓦(％后)энергию, которая соответствует значениям g(f*) = %, G(f*) = G*. Так как задача управления состоит в достижении е»-окрестности, то из (29.7) находим
秋齿幻=&^十,秋齿幻=&^十,
秋齿幻=&^十,
秋齿幻=&^十,
Величина 厶 характеризует время достижения е»-окрестности. Числовое значение у определяет быстроту изменения энергии системы и, следовательно, максимальные значения управляющих сил.
Отметим некоторые особенности алгоритма управления (29.15). Управляющие силы 〃加(g, G) нелинейно зависят от обобщенных коорди-
нат qk и скоростей их изменения qk. Так как матрица К определенно положительна, то q7 P~xq w 0 , если q # 0 . Это означает, что на траекториях управляемого движения нет точек, в которых qTP~xq = Q, и управляющие силы Ию -> °о. В малой окрестности положения равновесия вели- чина q г q т 0, что может вызвать затруднения при практической реализации алгоритма. В таких случаях управление можно организовать следующим, образом:
〃о(д，4)， если qTP~'q>yi,
工Е(д«)尸если 0丁尸一胃4以 Q*24)
В ец-окрестности, где qTP~xq < 卩,полная энергия системы подчиняется дифференциальному уравнению
絵@ + 2E(q,q)= Q, y(0 = ^/P-i<7>0, (29.25) at n
которое получается из (29.1) с учетом (29.24). Из (29.25) следует, что Е(9, О) —。при t -> 0. Следовательно, конструкция (29.24) обеспечивает реализацию требований задачи. Отметим только, что в еи-окрестности энергия E(q, @) изменяется менее интенсивно, чем за ее пределами, т.к. 2)<у.
Согласно (29.15), управление по различным каналам взаимосвязано, так как требуемое значение каждой управляющей силы вычисляется по информации о состоянии управляемого процесса по всем координатам. Каналы управления будут взаимосвязаны даже в том случае, когда уравнения движения независимы одно от другого.
Рассмотрим теперь задачу гашения кинетической энергии системы (29.1). Формулируем ее следующим образом: в начальный момент времени ^ = О состоянию системы соответствует кинетическая энергия Т® G)=几；требуется найти такие управляющие силы % при которых на траекториях управляемого движения реализуются условия
^^ + BT(gg) = 0,₽ = const>0,
at
G(w) = ^Ujrjkuk = uTRu -» min, 以=%,R = [rjk} > 0. (29.26)
Этой оптимизационной задаче соответствует алгоритм управления
«о(%。)=-『吗+R@°)R%(29.27)
q R q
Подставив (29.27) в (29.1), можно убедиться, что для замкнутой системы выполняются требования (29.26). Поскольку T(q,q) = -РПд^) < 0, то состояние равновесия, отвечающее нулевому значению кинетической энергии T(q,q)-0, асимптотически устойчиво в целом. В данном случае кинетическая энергия является для замкнутой системы функцией Ляпунова. При необходимости реализация алгоритма (29.27) может быть осуществлена аналогично (29.24).
В заключение этого раздела построим алгоритм управления полной энергией системы. Пусть произвольному начальному состоянию (29.3) соответствует полная энергия К。= T(d")+Р(%). Требуется найти управляющие силы, которые переводят систему в окрестность состояния равновесия ^ = 0, ^0 = 0 и удерживают ее в этой окрестности при / -» со. Необходимо при этом, чтобы в процессе движения выполнялись условия
(29.28)(29.28)Е * = wrw = с2 = const. 2=1
(29.28)
(29.28)
Таким образом, по физическому смыслу задачи полная энергия системы должна уменьшаться с наибольшей скоростью. По терминологии [11] эти условия соответствуют оптимальному демпфированию переходного процесса по отношению к полной энергии.
С учетом (29.21) оптимизационную задачу (29.28) записываем в ввде
(29.29)(29.29)J(〃)= qTu + 九“〃 -с2) -» min .
(29.29)
(29.29)
После необходимых вычислений из (29.29) находим алгоритм управ
ления
以о(") = —T=Qk^ % = 1,2,…，几(29.30)
Умножая обе части (29.1) на qk и выполняя суммирование всех полученных таким образом равенств, будем иметь
4 仁匆I力
Подставляя сюда (29.30), найдем
dT®GdT®G-cJqTq < о.-cJqTq < о.(29.31)(29.31)
dT®G
dT®G
-cJqTq < о.
-cJqTq < о.
(29.31)
(29.31)
Таким образом, заключаем, что в данной задаче полная энергия E(q, q) является функцией Ляпунова. Следовательно, алгоритм (29.30) придает системе свойство асимптотической устойчивости в целом по отношению к состоянию равновесия q° = Q, 0° = 0.
Отметим, что задачу управления полной энергией можно формулировать таким образом, чтобы система перешла из произвольного начального состояния в окрестность стационарной орбиты (траектории) заданного энергетического уровня Л = const и продолжала оставаться в этой окрестности при своем дальнейшем движении. В таком случае Д£((7,q)-h-E(q,q) будет функцией Ляпунова для управляемой системы, и следовательно, невозмущенное движение по замкнутым траекториям, для которых AE(q, ") = 0, будет асимптотически устойчиво в целом.
Рассмотренные задачи можно формулировать также применительно к системам, на которые действуют не только потенциальные, но и непотенциальные силы. В таких случаях управляющие силы wA0 будут содержать дополнительные составляющие, компенсирующие движение, вызванное непотенциальными силами. На этих вопросах мы не останавливаемся ввиду их методической ясности.
МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯВ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА
Будем рассматривать вращательные движения твердого тела, описываемые в подвижной системе координат динамическими уравнениями Эйлера
/1©l -(/2 -厶)①2①3 = g(①)+ m],
/2©2 一(/3 -/1)① 1①3 =加2®)+ "2，(29.32)
/3电 一(/1 -/2)① 1c°2 = W3((O)+ M3,
где 厶-моменты инерции относительно главных центральных осей инерции; ①左-проекции вектора угловой скорости на эти оси; Mk - управляющие моменты;掰从①)-моменты диссипативных сил. Кинетическая энергия вращательного движения системы (29.32) равна
]з
7®) = зЕ4с<(29.33)
Пусть в начальный момент времени f = 0 угловые скорости со^(0) =(оАо . Им соответствует кинетическая энергия TQ = Т(①°).
Задачу управления сформулируем следующим образом: найти такие моменты М&0 = МАО((оо), под действием которых система переходит из произвольного начального состояния(о(О)=①。в окрестность состояния равновесия ①° = Q и остается в ней при f f 8. Потребуем при этом, чтобы на траекториях управляемого движения кинетическая энергия как функция времени подчинялась однородному дифференциальному уравнению
■^^ + ВТ(о)) = О, 7(0)0)=几，В = const〉0,(29.34)
а квадратичный функционал
з
G(M) = £ MjrjkMk = MTRM, R =[以]> 0(29.35)
принимал минимальное значение. По физическому содержанию сформулированная задача заключается в гашении кинетической энергии. При этом Дш) должна изменяться во времени в соответствии с назначенным законом. Искомые моменты определяются в результате минимизации функционала
G{M) = MTRM++.(29.36)
Так как производная по времени кинетической энергии (29.33), вычисленная в силу уравнений движения (29.32), равна
"^^" = z厶峻"=川(〃 +w),(29.37)
то в результате минимизации (29.36) находим
(29.38)
В окрестности точки со0 = 0 величина ①欠力 т 0 при f -> оо. Поэтому в случае необходимости практическая реализация алгоритма (29.38) может быть выполнена по схеме (29.24).
Можно показать, что на траекториях управляемого движения выполняются требования задачи. Действительно, умножая к-е уравнение (29.23) на д, а затем складывая полученные равенства, будем иметь с учетом (29.37)
2=1次2=1次=(£^ М +(i7m(d).=(£^ М +(i7m(d).
2=1次
2=1次
=(£^ М +(i7m(d).
=(£^ М +(i7m(d).
Подставляя сюда выражение (29.38), получим
订(со)г BT((o) + o/m((o) d-i т /、 ст/、
—-—=-ш 匕色~~со + со /и(ш) = -рГ(со), dtсо со
что соответствует уравнению (29.34). Следовательно, управляющие моменты, вычисляемые по (29.38), реализуют такое движение, которому соответствует заданный закон изменения кинетической энергии. Минимальное значение функционала (29.35) оказывается равным
ч_[₽Пй>) + согот(й))]2
1T G(M) = G(M>)冷^一
Дия замкнутой системы (29.31), (29.38) кинетическая энергия Део) выступает в роли функции Ляпунова. Поэтому состояние равновесия асимптотически устойчиво в целом.
Аналогично изложенному можно найти управляющие моменты из условия, чтобы в системе установилось вращательное движение с назначенными угловыми скоростями ©2 = const 中 0. Пусть такому движению соответствует кинетическая энергия 7ю = Дсо°) = const. В этом случае уравнение (29.34) необходимо записать для отклонения АДсо) = 7° - Део). Последующая процедура определения управляющих моментов остается без изменений.
Рассмотрим теперь другую задачу: найти такие управляющие моменты, при которых система (29.32) из произвольного начального состояния переходит в окрестность начала координат и остается в ней бесконечно долго; при этом иа траектории управляемого движения должны выполняться условия:
"3)т min, Z"& =с2 = const.(29.39)
В данном случае движение системы должно быть таким, чтобы кинетическая энергия убывала с наибольшей скоростью.
Решение оптимизационной задачи (29.39) приводит к следующему алгоритму управления:
■^20(s) = —r=co^,* = 1, 2, 3.(29.40)
Yeo%
Подставляя (29.40) в (29.37), получаем
"(?)= -cVc0rсо + о)Т/и(со).(29.41)
dt
Заметим, что (29.40) и (29.41) аналогичны соотношениям (29.30) и (29.31).
Пусть теперь управляющие моменты ограничены по модулю. Задачу формулируем следующим образом: иайти моменты Мк0 =Мк0((а), осуществляющие такое движение сол (/) -> 0, для которого выполняются условия
Поскольку производная по времени кинетической энергии
马^ = Z 映 ® ))，
то из (29.42) находим
^о(ю) = -М衣signs%左=1, 2, 3.(29.43)
МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯВ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ НЬЮТОНА
Рассмотрим движение тяжелой точки постоянной массы /и, описываемое в инерциальных координатах хь х2» 看 Уравнениями Ньютона
“[? =_8*х)+/(х, 以,к =1,2,3,(29.44)
dr дхк
где fk - непотенциапьные, и* — управляющие силы; У(х) 一 потенциальная энергия. Пусть в начальный момент времени / = 0 состояние управляемого процесса характеризуется значениями
4(°) = %，冗(°) = %，& = 1, 2, 3.(29.45)
Рассмотрим вначале задачу перевода точки в стационарное состояние равновесия. Формулируем ее следующим образом: найти управляющие силы и* = 〃м)(х,£), под действием которых управляемая точка перемещается из произвольного начального состояния (29.45) в окрестность начала координат х° = 0 и продолжает оставаться в ней при / -> оо. Необходимо при этом, чтобы на траекториях управляемого движения выполнялись условия
曲 °'*)+ %£(х, х) = 0, % = cons/ > 0,dt
3
J(w)= Z ujrjkuk - 〃‘R以一> min,(29.46)
где полная энергия
(29.47)(29.47)
(29.47)
(29.47)
Искомые силы определяются в результате минимизации нового функционала
J(u) = u7 Ru + kJ(u) = u7 Ru + k^(х,х)
J(u) = u7 Ru + k
J(u) = u7 Ru + k
(29.48)(29.48)-号一+拉(工,工).
(29.48)
(29.48)
dt
На основании (29.34) и (29.47) имеем
班^")=耳 х^тхк + а《［=х7 /(х,х) + хи.(29.49)
Компонентами вектора / являются %. Подставляя (29.49) в (29.48) и выполняя процедуру минимизации функционала, найдем оптимальные в смысле (29.46) управляющие силы
險о(х,£) = — %Е(х,：|/?(х,£)笈q(29.50)
Здесь & - строка с номером к матрицы /Г1.
Можно показать, что на траекториях движения х*(0 замкнутой системы (29.44), (29.50) производная по времени полной энергии 2(х,С) = ~хД^,х). Поэтому Л(х,х) является для этой системы функцией Ляпунова, в силу чего состояние равновесия (х°, 0) асимптотически устойчиво в целом.
Движение управляемой точки осуществляется в непотенциальном поле, поэтому управляющие силы содержат составляющие
%(*/)=-:谓即方,
которые компенсируют влияние непотенциапьных сил 力(x,i) • Понятно, что приу*= 0 из (29.50) следуют расчетные соотношения для управляющих сил, которые соответствуют условиям рассматриваемой задачи в том случае, когда движение точки происходит в потенциальном поле.
Пусть теперь требуется осуществить такое движение из состояния (29.45), которое отвечает условиям
”}*)+уТ(х) = уТ。，Т° = Цх0) = const, i° w 0, у = const > 0 ;
at
</(〃)= итРи т min, R > 0.(29.51)
Минимизация функционала
J(w) = iJ Ри+ Х ^^- - ^T(i) ,^Т(х) = Т°-Т(х)
с учетом того, что полная производная по времени кинетической энергии равна
幻+ Q(x) + “],(29.52)
at
приводит к алгоритау управления
На траекториях управляемого движения Г(х) ->7° = const. Поэтому по физическому смыслу алгоритм (29.53) осуществляет управление скоростью движения: из произвольного начального состояния (29.45) управляющие силы создают такое движение, при котком скорости x^(/)->xf = const. При этом координата x&f) не контролируются, так как система не замкнута по положению. Если в (29.51) принять「° = 0, то из (29.53) получаем алгоритм
%(х,£)=-世丁好)±*?(х『)+ У°(х)R-q,(29.54)
X R X
соответствующий задаче торможения, поскольку в этом случае Т(х) -> 0, следовательно, & (/) -> 0 .
Мы ограничимся двумя рассмотренными задачами управления полной и кинетической энергией применительно к модели движения в форме уравнений Ньютона. Применяя аналогичные приемы, можно построить алгоритмы управления из условия перевода системы из произвольного начального состояния в произвольную точку стационарного равновесия (х° н О, £° = 0); из условия вывода ее на стационарную орбиту заданного энергетического уровня и др.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для различных математических моделей управляемых систем задачи управления движением сформулированы и рассмотрены как задачи управления их энергией: кинетической или полной. Представляется существенным, что предлагаемый подход приводит к таким структурам математических моделей проектируемых систем, для которых управляемая энергия выступает в роли функции Ляпунова. Эти модели по необходимости, в силу применяемого метода конструирования алгоритмов, обладают свойствами асимптотической устойчивости в целом по отношению к назначаемым состояниям равновесия или невозмущенным траекториям движения. Более того, алгоритмы конструируются таким образом, что управляемая энергия, будучи функцией Ляпунова, изменяется во времени в процессе управления по предписанному закону.
Рассмотренные задачи управления энергией динамических систем имеют вполне понятную интерпретацию применительно к задачам управления техническими системами. Например, управление потенциальной энергией при условиях Г(х) -> «х°), Г(х) -> 0 соответствует выводу управляемого объекта в назначенную точку х° пространства с «зависанием». Управление кинетической энергией Дх) -> Дх°) соответствует задаче разгона или торможения объекта и т.д. В силу отаеченного, рассматриваемые задачи управления энергией имеют не только теоретический интерес, но и прикладное значение. В связи с этим представляются важными исследования по изучению возможностей новых алгоритмов управления применительно к различным типовым моделям с целью определений класса управляемых объектов, для которых целесообразно задачи управления движением формулировать и решать как задачи управления энергией, подчиняя ее различным дифференциальным и недифференциальным законам изменения. При этом возможны разнообраз* ные постановки задач с учетом ограничений на ресурсы управления.
Лекция 30
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫУПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ
В настоящей лекции рассматриваются задачи стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движения голономных механических систем, формулируемые как задачи гашения кинетической энергии и энергии ускорения в окрестностях фазовых траекторий эталонных моделей. Алгоритмы координированного и независимого по степеням свободы управления синтезируются по нелинейным механическим и электромеханическим уравнениям. Исследуются динамические свойства систем, в том числе и при ограничениях на управления.
ЗОЛ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИУПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассматриваем голономную механическую систему с п степенями свободы. Ее движение описывается уравнениями Лагранжа
（30.1）（30.1）d ат（д,0）_ ат（д,0）十 an（g）
（30.1）
（30.1）
成 dqs a?., dqs
где обобщенные координаты qs и скорости их изменения qs являются элементами векторов q, q. Выражение кинетической энергии системы:
т（д,0） = 纟&v（g）CSv，&v = %,（30.2）
2 .v,v=l
представляет собой определенно положительную квадратичную форму. Потенциальная энергия системы есть функция только координат П（＜71...（7Л） = П（＜7）. Далее, Qs - обобщенные силы, развиваемые движителями системы по соответствующим степеням свободы. Величина 0s имеет размерность момента （Н м）, если координата qs есть угловая переменная. Если координата q$ - линейное перемещение, то Qs имеет размер-
ность силы (Н). Обозначим частные производные 瓶(夕)=q(<y). Тогда с
учетом (30.1) и (30.2) уравнения Лагранжа принимают вид:
可山⑷^ +左鼠(<7e)或f((7)= 2，(30.3)
5 = 1,2, ...»л.
Далее нам потребуется векторная форма уравнений движения. Введем обозначения матриц и векторов:
4(4)= [&v (<?)]， B(q,@) =[鼠(q,；)],
C(q) = [ci(g)…％(g)f,б = [й ... &f.
В таком случае на основании (30.3) можно записать
4g) М) + В® 心 q(t) + С(<7)=。•(30.4)
Для рассматриваемых механических систем матрица А(д) характеризует инерционные свойства; B(q, q) - центробежные и кориолисовы силы, которые обусловливают взаимное динамическое влияние между степенями свободы. Для некоторых систем (в частности, исполшггельные механизмы манипуляционных роботов специальных кинематических схем) матрица инерции бывает диагональной, причем ее элементы зависят только от одной обобщенной координаты:
А<75) = diagQssSss)], s = 1, 2,…，”.
В таких случаях выражение кинетической энергии имеет вид
7(m4) = 72。*式z)胃，s = L 2,..., n-
2 5=1
Поэтому движение систем описывается следующими уравнениями:
%® )痂«) + 猿(柒)眾 +с$(% ...%) = 0s，S = 1, 2,..., ".(30.5)
Из (30.5) следует, что взаимное влияние движений по степеням свободы определяется компонентами с$(<?) потенциальных сил.
Наряду с уравнениями (30.3), (30.4) будем рассматривать уравнения движителей управляемой системы, по которым вычисляются обобщенные (управляющие) силы Qs. Принимаем, что основу движителей составляют электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением. Для вращательного движения уравнения динамики электродвигателей записываем в виде (без учета сил сопротивления):
= Afv ~ — QS9 s = 1, 2,…,л;(30.6)
Здесь cov - угловая скорость вращения вала двигателя; us - управляющее напряжение; М* - электромагнитный момент, развиваемый двигателем; 力『0、. - обобщенная сила (момент), действующий на исполнительный двигатель со стороны механической системы; ns - коэффициент передачи механизма преобразования движения (редуктора); 4 - момент инерции. Постоянная времени т$ характеризует быстроту затухания электрических процессов в якорной цепи двигателя. Параметры г^, г^ вычисляются по известным формулам. Далее предполагаем, что обобщенные силы 0$ в (30.6) определены с учетом видов движений по степеням свободы: вращательных или поступательных.
Запишем уравнения (30.3) - (30.5) управляемой системы с учетом динамики двигателей. С этой целью исключим из них обобщенные силы g. Пусть(рдч. есть угол поворота вала исполнительного двигателя. Тогда для рассматриваемой системы будут справедливы кинематические соотношения:
1
%
Поэтому уравнения (30.6) в обобщенных координатах примут вид:
门§J启§ - %М§ - 0s， ^s^s +^5 -厶$"$ I k#2s0s‘(30.7)
s = 1, 2,…，n.
Подставляя в (30.3) выражения для 0$, найденные из первой группы уравнений (30.7), получим
£ kw (о)痂 + bz (g, 0) Gv ] + n]Jsqss + q (g) = nsMs,(30.8)
V=1
s = 1,2,k
или в векторной форме:
《9)/) + 5(40)m)+C(9)=。或《9)/) + 5(40)m)+C(9)=。或(30.9)(30.9)
《9)/) + 5(40)m)+C(9)=。或
《9)/) + 5(40)m)+C(9)=。或
(30.9)
(30.9)
где вектор управляющих моментов:Матрица инерции НДгде вектор управляющих моментов:Матрица инерции НД(30.10)(30.10)»(<?)= К(<7)1*»(<?)= К(<7)1*
где вектор управляющих моментов:
Матрица инерции НД
где вектор управляющих моментов:
Матрица инерции НД
(30.10)
(30.10)
»(<?)= К(<7)1*
»(<?)= К(<7)1*
(30.11)(30.11)
(30.11)
(30.11)
《(g) =№(" + 〃•/，V=$，kss (办 vxs.
Для полного математического описания управляемой системы уравнения (30.8), (30.9) необходимо дополнить уравнениями моментов из (30.7). Умножая на % обе части этих уравнений, с учетом принятых обозначений (30.10) получим
%% + ./ = nsrXsus -冠柒，(30.12)
s = 1,2,..., « или в векторной форме
= Ru ~R2q,(30.13)
где диагональные матрицы
x = diag[Tv],鸟=diag 国」，
“ i 小2s，/ = 2,
a 〃一 есть вектор управляющих напряжений us.
Уравнения (30.8) называют механическими, поскольку они описывают динамику только механической системы. Следуя этой терминологии, мы будем называть уравнения (30.8), (30.12) электромеханическими, так как они учитывают динамику процессов в электрических цепях двигателей.
30.2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯПО МЕХАНИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ
Задачу формулируем следующим образом. Движение управляемой системы подчиняется уравнениям (30.9). В начальный момент времени / = 0 состояние системы характеризуются значениями
%(0) = Ям, 厶⑼=九0 , S = 1,2,..., 〃.(30.14)
Для каждой степени свободы назначена программная траектория движения ф.ХО, / > 0. Функции времени(р,(/) дифференцируемы необходимое число раз. Требуется найти такие управляющие моменты . Л；=・*；(9，@) в форме обратных связей, при которых система из состояния (30.14) переходит в малую окрестность назначенной траектории, так что начиная с некоторого момента времени f =厶 выполняются неравенства:
|%(')-%(')|4 А.” />/., s = l,2,...,".(30.15)
Требуется, кроме того, чтобы динамические характеристики системы по каждой степени свободы были почти идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей, движение которых описывается уравнениями:
号：о)+2 %. 4=瓦 i©*(о+隔屮* о),(зол 6)
a vla v2 > a v0, s = 1, 2,n.
Неравенство в (30.16) означает, что движение эталонных моделей асимптотически устойчиво по отношению к невозмущенному движению, заданному функциями ф/z). Структура эталонных моделей (30.16) одинакова для всех степеней свободы.
В соответствии с постановкой задачи искомые управляющие моменты .#* должны быть такими, чтобы траектория движения управляемой системы проходила в малой егокрестности траектории движения эталонных моделей:
I《《)-%(* А»(зо.⑺
5=1,2, ..., л.
Динамические характеристики проектируемой системы по каждой степени свободы будут практически идентичны динамическим характеристикам моделей, если в (30.17) величины q < Av и такие, что выполняются неравенства (30.15). Далее будем считать, что по построению моделей справедливы неравенства | qs(t) - 9：0)| $ %, / >/«, поэтому указанные требования с необходимостью выполняются.
Управляющие моменты “#；, отвечающие сформулированной задаче, должны осуществлять стабилизацию назначенной траектории <p$(f), />0. В частном случае 屮式£)=屮? = const моменты ^* стабилизируют стационарное состояние системы qs(t) = g： = const.
Управляющие моменты ・〃；(g，G) будем отыскивать, рассматривая задачу гашения кинетической энергии
T(qg)=4 2 $4(q)$v = 振， (30.18)
$ = g*-g, вычисляемой в окрестности траектории движения эталонных моделей (30.16). Найдем такие моменты “£, при которых на траекториях управляемого движения выполняются условия
7(g后)=吗’°)<0, 7(%外-0, ，-8,(30. J 9)
at
где производная t® 论 вычисляется в силу уравнений (30.9). Дифференцируя по времени (30.18), получим
吗幻=$т #(g) S + n(9.0) •(30.20)
at
Скалярная функция:
n(q,0) = ^ 2 6a之。h(4)m(30.21)
2 .v,v=l p=]
где частные производные
祝
Согласно (30.9), вектор ускорений
七)["-B(q, q)q - C(g)]・(30.22)
Поэтому производная кинетической энергии зависит от управляющих моментов “ Подставляя выражение (30.22) в (30.20), будем иметь:
夕(％ 否=g* - а)т 府(q, q) + n(g，q)-⑷-q)T] 4(30.23)
где вектор-функция
面® С) = "(q)亨 + B(d 亨)С + C(q)(30.24)
имеет размерность момента (Н м). Из (30.23) следует, что условия (30.19) будут выполнены, если
^ = K{q -q), К = КТ >0,(30.25)
и существует такая определенно положительная матрица К, что
1(…)7/+ 11(4倒<(0*-"К(0*-0),/>0.(30.26)
В координатной форме уравнения закона управления (30.25) имеют вид
=Z 統(弋-?v )，无W = hs，(30.27)
V=1
5 = 1,2,..., Л.
Отметим следующее: если q* -qs, то 胃=旅，и, согласно (30.21), (30.24), справедливы равенства
而9由=",m/0) = 0.(30.28)
В силу этого скорость изменения кинетической энергии Т(д,0) = 0. Такая ситуация возможна лишь теоретически, так как в этом случае управляющие моменты .# ； = 0. Система оказывается неуправляемой, в то время как функции <рд.(/), характеризующие назначенную траекторию
движения по каждой степени свободы, изменяются. Отсюда следует, что в общем случае, когда <р$ w const, траектория движения управляемой системы проходит непременно в окрестности траектории движения эталонных моделей. Только в частном случае <р$ = const при f f 8 выполняются равенства (30.28) и t(q,q) = 0, что соответствует стабилизации стационарного состояния системы.
В уравнениях законов управления (30.28) переменные ^* представляют собой требуемые значения скоростей изменения обобщенных координат управляемой системы. Скорости ^*(г) формируются эталонными моделями, поэтому расчетные соотношения для их вычисления следует выводить из уравнений (30.16) с учетом текущего состояния системы по степеням свободы. Чтобы найти такие соотношения, поступим следующим образом. Дважды интегрируем по времени обе части каждого уравнения в (30.16) при нулевых начальных значениях переменных. В полученных равенствах принимаем 又«)=厶«), что соответствует концепциям обратных задач динамики осуществления назначенных траекторий движения. Выполнив указанные преобразования, найдем
Ov = ^v0 JyvCO " + ^vl^v 一aV2%，
0
,(30.29)
•/v =卜屮V-%)或，V = 1,2, ...,〃.
о
При выводе соотношений (30.28) принято: 0叩 =avg,卩=0,1, что соответствует второму порядку астатизма эталонных моделей.
Итак, алгоритм вычисления требуемых значений управляющих моментов .#* организуется на основе уравнений (30.27), (30.29). Существенно, что для вычисления момента какой-либо одной степени свободы используется информация о состоянии управляемой системы по всем степеням свободы. Кроме этого используется также информация о всех программных траекториях 屮&), v = 1, 2, ..., л. В силу этого управление системой оказывается взаимосвязанным по всем степеням свободы. На этом основании уравнения (30.27), (30.29) будем называть алгоритмом координированного управления. В векторной форме эти уравнения имеют вид
，*(д,а)= к(а*-0),
q' =ao^fdt+aj-a2q,(30.30)
о
t/= J(tp—q)或，О
где обозначено
а, = diag[ajy], s = l,2,...,〃，J = 0,1,2;
/ = [/i/2-Af > Ф = [Ф1Ф2- <P„f •
Другие обозначения соответствуют ранее принятым. Структурная схема алгоритаа (30.30) изображена на рис. 30.1.
Управление двигателями системы
По уравнениям (30.27), (30.29) вычисляются требуемые значения управляющих моментов 〃#：(g,q), при которых траектории движения управляемой системы по каждой степени свободы проходят в малой окрестности траекторий движения эталонных моделей. Для полного решения задачи синтеза необходимо найти расчетные соотношения для вычисления управляющих напряжений, с помощью которых двигатели создают моменты Л/； . Рассмотрим эти вопросы.
Согласно (30.10), электромагнитные моменты, развиваемые двигателями, равны М* = г?；】 а"；. Обозначим через w* управляющие напряжения, соответствующие М^. В таком случае на основании (30.12) можно записать
工5必S + ^5 =々$〃S - %乃$0$，(30.31)
s
При аналитическом проектировании алгоритмического обеспечения систем управления возможны ситуации, когда постоянные времени, характеризующие скорость протекания процессов в двигателях, пренебрежительно малы. В таких случаях управляющие напряжения w* определяются по формулам
y：=丄［m；+w25柒］，s = 1,2,(30.32)
大
которые следуют из (30.31) при % = 0. С учетом (30.10), (30.27) из (30.32) окончательно получаем
Ч* =— —^k^ql-q^ + n^q ,(30.33)
КМ」
5 = 1,2,
Следовательно, в рассмотренном частном случае (тл. = 0) основу алгоритма управления движением механической системы составляют соотношения (30.29), (30.33).
В общем случае, когда постоянные времени т5 w 0, поступим следующим образом. Введем в структуру системы контуры управления двигателями. Будем считать, что моменты М^ являются задающими сигналами для этих контуров. Необходимые соотношения для w* найдем из условия, чтобы Л/；，как функции времени отрабатывались по законам, которые определяются дифференциальными уравнениями
T,M°(t) + M°(t) = M*(t), s=l,2,...,〃(30.34)
Здесь М：0) -эталонные процессы. Потребуем, чтобы искомые управляющие напряжения и*, обеспечивали выполнение равенств
М«) = м*),Ms(t)= M^t),/>о.
При таком условии из уравнений (30.31) и (30.34) находим
公=^-(历；-%)+—(М； + ”24)，(30.35)
Отметим, что из (30.35) при М = М： следуют формулы (30.32). Такая ситуация соответствует теоретически точной отработке задающих воздействий М： контурами управления двигателями.
Итак, в общем случае (т( w 0) основу алгоритма управления составляют соотношения (30.29), (30.35). Этот алгоритм имеет двухуровневую структуру. Для изолированной степени свободы схема замкнутого контура управления изображена на рис. 30.2. Функциональные блоки, в которых вычисляются требуемые значения моментов и управляющих напряжений обозначены соответственно ("；), (и*). Двигатели и управляемая система обозначены Дв и УС. Для вычисления управляющих напряжений и* требуется информация о фактических значениях электромагнитных моментов Мразвиваемых двигателями. Получение такой информации современными техническими средствами не представляет затруднений.
Заметим, что расчетными параметрами в (30.35) являются постоянные времени Тх. Числовые значения Ts должны быть такими, чтобы быстродействие контуров управления двигателями было существенно выше быстродействия эталонных моделей и физически реализуемым.
Рис. 30.2
Исследование динамики процессов управления
При исследовании динамики нелинейных систем будем существенно использовать теоремы А.М. Ляпунова, позволяющие установить свойства движения по уравнениям первого приближения. Рассмотрим сначала задачу стабилизации стационарного состояния % = q? = const для случая, когда двигатели системы безынерционны. При таком условии свойства системы можно изучить по механическим уравнениям.
Поместим начало координатной системы в стационарную точку ,2 Тогда величины qs будут отклонениями обобщенных координат от их стационарных значений. В таком случае в уравнениях эталонных моделей (30.16) следует принять <р$ = 0, вследствие чего функции 夕式f) будут определять отклонения выходных переменных моделей от состояния равновесия qs = 0.
Согласно (30.9), (30.11), в окрестности точки 眾 возмущенное движение системы описывается уравнениями первого приближения
£ 卜爲V + b^qv + 為弘卜 А/,(30.36)
V=I
5=1,2, ..., И.
где А” 一 малые приращения управляющих моментов. Выражения для постоянных коэффициентов этих уравнений не выписываем, так как они получаются в результате выполнения обычной процедуры линеаризации нелинейных уравнений (30.8). Отметим только, что 成 =4n/д°) . В соответствии с (30.27) и (30.29) для принятых условий величины А"： вычисляются по формулам
A."； =2%w(號-柒)，
V=I
t
?v =0tv0 fA(O^ + «vlA -«v2?v，(30.37)
0
A =一j£a)力，s = L 2,…，%
о
Выведем уравнения первого приближения для замкнутой системы. С этой целью операторное выражение А/：, соответствующее (30.37), подставим в (30.36) вместо AZ Так как справедливо равенство
%0)，%0)，(30.38)(30.38)
%0)，
%0)，
(30.38)
(30.38)
то выражение для А，名 можно записать в следующем виде
А.，：=-*£%w%(0)%0).(30.39)
Здесь операторные полиномы
av = D3 +^avjDJ(30.40)
V=I
соответствуют левым частям дифференциальных уравнений (30.16) эталонных моделей. Подставляя А.#* из (30.39) в (30.36), найдем уравнения замкнутой системы
纟[02 4(°)+ 統%(0)]%0) = 0,(30.41)
V=I
5 = 1,2, ..., Л,
где операторные трехчлены
^D)=或。2 + 成。+ с* ,(30.42)
V = 1,2,…，л.
Характеристический полином системы (30.41) имеет вид ^(р) = detQA《v(p) + 々за/)].
Полиномы Mv(p)(Xv(p), соответствуют (30.42) и (30.40). Применяя методику, развитую в лекции 18, можно доказать справедливость следующих положений.
1 °. Всегда существует такая определенно положительная матрица К, при которой стационарное состояние равновесия q^ = 0 системы (30.41) асимптотически устойчиво. Более того, свойства асимптотической устойчивости системы сохраняются при неограниченном увеличении диагональных элементов kss матрицы К.
2°. В асимптотике (kss f 8, $ = 1, 2, ..., л) характеристическое уравнение А(р)= 0 степени 4и имеет следующее распределение корней:
J吧8P叩&J = Р：炉 s = 1, 2,…，л;卩=1, 2, 3;
"(30.43)
lim р$4(К$) = -8，kssfg
где 處-корни уравнений & (р) = 0.
3°. В случае 斤棄-> оо система взаимосвязанных уравнений (30.41) вырождается в систему независимых уравнений третьего порядка
欧+%2夂+%1或+5,0% =0， s= 1,2,…,％(30.44)
которые описывают динамику эталонных моделей в свободном движении в окрестности стационарных состояний равновесия.
Свойство 3° непосредственно следует из асимптотического распределения (30.43).
По физическому смыслу диагональные элементы kxs матрицы К представляют собой коэффициенты усиления основных цепей обратных связей контуров управления. Поэтому отмеченные свойства дифференциальных уравнений (30.41) интерпретируются в задаче управления движением следующим образом: при неограниченном повышении усиления в основных цепях обратных связей осуществляется динамическая декомпозиция системы (30.36), (30.37), в результате которой ее структура распадается на независимые подсистемы (30.44), динамика которых идентична динамике эталонных моделей.
Таким образом, для линейной системы (30.36) первого приближения с алгоритмом управления (30.37) всегда существует такая числовая матрица [А』коэффициентов обратных связей, при которой стационарное состояние % = 0, s = 1, 2,…，л асимптотически устойчиво.
Однако согласно теории А. М. Ляпунова, такими же свойствами обладает и нелинейная система (30.9) с алгоритмом управления (30.30), который стабилизирует программную траекторию движения фд(0» £20 до асимптотической устойчивости. При неограниченном повышении усиления в основных цепях обратных связей алгоритм (30.30) осуществляет динамическую декомпозицию нелинейной системы на независимые линейные подсистемы по каждой степени свободы. Это последнее положение нуждается в доказательстве, которое выполним следующим образом.
Рассматриваем уравнения (30.9), (30.30) которые описывают процессы в замкнутой нелинейной системе. С учетом того, что для принятых эталонных моделей Psv = а», v = 0, 1, вектор требуемых ускорений q в (30.30) запишем в операторной форме
0*«)=表[В(。)屮(f) - (% + aQ + a? J) *)],
где диагональные матрицы
p(D) = diag[瓦(D)],瓦(。)=%Q + p.l0.
Подставляя выражение для q(t) в первое уравнение (30.30), получим
^' =*K[B(D)<p(f)-a(D)g(f)].(30.45)
Здесь операторная (л х л)-матрица
a(D) = diag[a v(D)], s = 1,2,л,
где полином av(D) определяется по (30.40).
Уравнение замкнутой системы можно найти, подставляя выражение для .彳* из (30.45) в (30.9) вместо ・〃и дважды дифференцируя по времени обе части полученного равенства. Выполнив указанные преобразования, будем иметь
a(g)*)(f) + F(q,q, ...)+ Ka(D)g(f) = KB(D)q)(f) .(30.46)
Выражения для элементов вектор-функции F(...) не выписываем, так как они не потребуются. Исследуем асимптотические свойства нелинейной системы в случае неогранич ен но го повышения усиления в основных цепях обратных связей, т.е. при Л -> оо, s = 1, 2,..., л. Исходными являются следующие положения.
Для системы (30.46) всегда можно указать такие числовые значения 匕V, при которых возмущенное движение 弘(f)=屮式工)устойчиво.
Свойства устойчивости сохраняются при неограниченном увеличении диагональных элементов &д матрицы К.
Имея в виду указанные положения, будем считать, что в (30.46) приняты такие значения 底.，при которых фл.(Z) - qs(0 -> 0 , если Z -> оо. Тогда при конечных начальных значениях |#)(0)| и ограниченных функциях Iфд.(г)|<оо, z >0 будут ограниченными выходные переменные системы и их производные, т.е. |^.g)|<оо, / >0. Умножим слева все члены уравнения (30.46) на диагональную матрицу
-紀1 0...0 '
1 _ 0^22 …°
А,
О 0к~\
а затем выполним предельный переход при %,、->℃, s = 1, 2,…，л. Принимаем во внимание следующие равенства:
lim ^0'[^(<7)^(0+ 尸(g,<j,..・)] = O,
% ->ОО
lim KjtKMDmOkW。)*),
% TOO
lim /Co1[/Cp(D)p(0]=P(0)<p(0.
Выполняя указанные операции, получим
a(D)也) = B(D)(p(f)(30.47)
или в координатной форме
2
或(f)+ 2<х 叩#)(f) = р5,Ф.,(О + Р.,оФл(О，(30.48)
ц=0
s = 1, 2,л.
Уравнения (30.47), (30.48) с точностью до обозначений совпадают с уравнениями эталонных моделей.
Таким образом, синтезированный алгоритм (30.30) в асимптотике (Л„ -> оо) осуществляет динамическую декомпозицию нелинейной системы, расчленяя ее на л независимых линейных подсистем, структура которых идентична структуре эталонных моделей по каждой степени свободы. Следовательно, при неограниченном повышении усиления в основных цепях обратных связей контуров управления в системе можно реализовать теоретически сколь угодно высокую точность приближения управляемых процессов к эталонным, т.е. qx (Z) -> q；(f) • На этом основании приходим к заключению, что алгоритмы управления, структура которых определяется уравнениями (30.30),придают нелинейной системе замечательные свойства: при достаточно высоком уровне усиления динамические характеристики системы сохраняются практически неизменными при произвольном изменении в конечных пределах параметров управляемого объекта. Иначе говоря, алгоритмы такой структуры придают системам свойства параметрической адаптивности.
Алгоритм автономного - независимого по степенямсвободы — управления
Из уравнений (30.30) координированного управления следуют уравнения алгоритма автономного управления. Принимая здесь 七=kss и kxv = 0 при V f $, будем иметь
"，：(柒,0,)=h(其一厶)，
旅=a.v0 f Л^ + %/ - %2安，(30.49)
о
fa = J(屮S — q§)dt, S = t,2,n.0
Управляющие напряжения и*, с помощью которых двигатели создают моменты М* = л71 - ^ *, в случае тх = 0 вычисляются по формулам
= — к(0； - 0) +，2.q］，(30.50)
5=1,2,..., л,
которые соответствуют (30.32). Если постоянные времени т$ не являются пренебрежимо малыми, то и* вычисляются по формулам (30.35).
Вычисление требуемых значений управляющих напряжений и* для каждой степени свободы выполняется по независимым уравнениям (30.49), (30.50) и локальной информации, характеризующей состояние сепаратных каналов. В этом смысле понимается автономность управле- ния многосвязной системой.
Применяя методику, развитую в п. 30.2.2, можно показать, что алгоритм автономного управления стабилизирует до асимптотической устойчивости невозмущенное движение нелинейной системы. Однако в таком доказательстве нет необходимости. Заключение об этом непосредственно следует из того, что алгоритм координированного управления (30.30) осуществляет динамическую декомпозицию управляемой системы в случае = кхоо, s=l, 2,п.
Итак, показано, что алгоритм автономного управления, как и координированного, теоретически придает системе идеальные свойства естественной адаптивности: ее динамические характеристики по каждой степени свободы идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей и остаются неизменными при изменении параметров управляемого объекта. Такие свойства системы в полной мере проявляются лишь в асимптотике при бесконечно высоком уровне усиления в контурах управления. Практически требуемая динамическая точность проектируемой системы, назначаемая с помощью неравенств (30.15), достигается при конечных значениях коэффициентов усиления. Ориентировочные значения 冗 рекомендуется рассчитывать по соотношениям
кх = (4 ... 5)《со；, s=l,2，…，〃，(30.51)
где /： 一 максимальные значения диагональных элементов 4$(q) матрицы .^(q) в области определения уравнения (30.9), т.е. /： =max/”(q).
Кроме того,①；-значения частоты среза частотных характеристик эталонных моделей в разомкнутом состоянии. Расчетные значения 匕,найденные по (30.51), уточняются по результатам моделирования из условия достижения требуемой динамической точности и слабой чувствительности проектируемой системы к изменению ее параметров и возмущающим силам.
Исследование влияния инерционности двигателейна динамику системы
Инерционность двигателей может быть причиной качественного изменения динамических свойств системы. Это в первую очередь связано с возможностью нарушения ее устойчивости при повышении усиления в каналах управления. Найдем условия, при выполнении которых система сохраняет ас им птотич ес к ие свойства параметрической адаптивности.
Рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния <7% = const для системы первого приближения (30.36). В случае идеальных (безынерционных) двигателей эта система стабилизируется до асимптотической устойчивости алгоритмом (30.49). Принимаем теперь, что динамика двигателей описывается уравнениями (30.34). Тогда фактические значения управляющих моментов (в приращениях) будут равны
△"名=т^ + 1:，(30.52)
где согласно (30.49), величины
а.#； = %(q；-q$), $ =1,2,…，几(30.53)
Переменные q* определяются формулами (30.38), с учетом которых из (30.53) находим
Подставляя (30.54) в (30.52), получим окончательные выражения для фактических управляющих моментов
灰力而 ％（D）%（f）△，
(30.55)
s =1, 2,л.
Наконец, из (30-36) и (30.55) находим уравнения замкнутой системы
£"(7；。+ l)«(D)]%(f) + &a.3)%(f) = о , I(30.56)
s =1, 2,..., л,
где операторные полиномы >^(D) определяются по (30.42).
Исследуем асимптотические свойства системы в случае kx -> оо. Примем к = max кх. Тогда характеристическое уравнение, соответст-
вующее (30.56), будет
(30.57)(30.57)(30.58)(30.58)必(Р) + %%-2(Р)+ У&51(Р)+ …+ %"&зХР)= 0 •
(30.57)
(30.57)
(30.58)
(30.58)
Выражения для полиномов имеют вид
^5n(P)=r 00P5n +rQ\P5n 1 + …,
&5〃-2(Р)=，К)/7" 2 + гиР5П 3 + •
^3„(P)=rn0p3n +rnip3"-' +
При этом
&(P)= «1 (P)a2(p)...a„(p).(30.59)
Особенность уравнения (30.57) состоит в том, что степени 5л - 2$ рядом стоящих полиномов при каждом s = 1, 2, ..., л отличаются на две единицы. Вследствие этого система (30.56) может сохранять устойчивость в случае 履-> оо только при выполнении определенных соотношений между ее параметрами. Рассмотрим кратко эти вопросы.
Разделим все члены (30.57) на К и выполним предельный переход при &、-> оо. В результате получим предельное уравнение &з尸(р) = 0. Отсюда следует, с учетом (30.59), что в асимптотике Зл корней (30.57) рав-
ны корням 夕：卩 уравнений ад(р) = 0, s = 1, 2, ..., л, ц = 1, 2, 3, которые соответствуют эталонным моделям. Остальные 2п корней либо могут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости, либо некоторые корни из этой группы при 冗-> оо могут удаляться на бесконечность в правой полуплоскости. В первом случае система допускает теоретически неограниченное повышение уровня усиления, а во втором случае такой возможности нет.
Необходимые и достаточные условия расположения всех корней (30.57) в левой полуплоскости можно найти, исследуя дополнительное уравнение
"ор2"“ + “IP* + …+ /оР + 5 = 0,(30.60)
которое получается по правилу: сумму двух членов старших степеней р всех полиномов (30.58) нужно приравнять к нулю, а затем сократить на 。3公! Условия, при выполнении которых все корни (30.60) расположены в левой полуплоскости, будут необходимыми и достаточными для того, чтобы все корни исходного уравнения (30.57) были также расположены в левой полуплоскости.
Без доказательства приведем соотношения, которые определяют необходимые, но не достаточные условия сохранения устойчивости системы при бесконечно высоком уровне усиления. Они имеют вид:
4? <~~^~ч, s = 1, 2,..., л.(30.61)
Здесь Д* и 6二 -соответственно максимальные и минимальные значения диагональных элементов /：(9)н 6二(5 j) матриц .^(q) и B(q, g) в области определения уравнения (30.9). Неравенства (30.61) должны выполняться для каждого сепаратного канала. В таком случае система с инерционными двигателями будет сохранять устойчивость при сравнительно больших значениях коэффициентов усиления &.
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯПО ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
Алгоритм управления голономной механической системой синтезируем по уравнениям (30.8), (30.12). Исключим из них управляющие моменты .自.Из (30.12) имеем
⑴-脅7 奴)(30.62)
q£)+ ltsD +1
Подставляя (30.62) в правую часть (30.8) вместо пМ =・右,после необходимых преобразований с учетом (30.11) получим
Ё (д)號⑴+9(% ОН) = 4,(30.63)
V = I
Us =, s = 1, 2,л.
Функции Ss(.・・)в явном виде не выписываем, так как они не потребуются при изложении. В векторной форме уравнения (30.63) имеют вид
A{qyq{t)^^q,q) = U,(30.64)
где вектор-функции U н S имеют своими компонентами Us и %
Рассматриваем следующую задачу. Для каждой степени свободы управляемой системы назначена программная траектория(p$(f), Z > 0, 5 = 1, 2, ...» л. Требуется найти такие управляющие функции Us = U； в форме обратных связей, при которых траектория движения управляемой системы (30.63), начиная с некоторого момента времени f =厶，будет следовать за назначенной траекторией, так что выполняются неравенства (30.15). Необходимо при этом, чтобы динамические характеристики замкнутой системы по каждой степени свободы были почти идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей (30.16).
Управляющие функции U； будем отыскивать, рассматривая задачу гашения энергии ускорения
G(gH) = ；算4(9)8, ?> = q-q,(30.65)
вычисляемой в окрестности траекторий движения эталонных моделей. Найдем такие функции U；, при которых выполняются условия
G{q,q)<^ G(q,q)-^0, ff、(30.66)
где производная по времени d(g,q)вычисляется в силу уравнений (30.63).
Дифференцируем (30.65) и в полученное равенство подставляем выражение для q(t), найденное из (30.64). В результате установим, что условия (30.66) будут выполнены, если
и* = K(g* ~q), к = кг>о,(30.67)
и существует такая определенно положительная матрица К, что
!(?•- а)' “е,“)+hee 倒 <(寸-"縞*-亨)，(зо.бв)
z>0.
Вектор-функция
0 (% 0,亍)=4(g)亨* + 双% 處亨)，
а скалярная функция R(...) определяется по (30.21), где вместо $ нужно подставить S.
В координатной форме уравнения закона управления (30.67) имеют вид
u； = £ £.w (真-痂)，*w =点，
v=i(30.69)
5 = 1,2, ..., л
Переменные q* представляют собой требуемые значения ускорений, они формируются эталонными моделями и вычисляются по соотношениям
^С = av0 f(<Pv - <7v ) ^ + «VI (<Pv - «'v ) - av2^v •
°(30.70)
aVg = ₽vg> N=°，v=l,2，…,“，
которые получаются из уравнений (30.16) по обычной методике.
Таким образом, при координированном управлении управляющие функции вычисляются по (30.69), (30.70). При неограниченном увеличении коэффициентов усиления основных цепей обратных связей (£、-> оо) движение нелинейной системы с алгоритмом управления (30.69), (30.70) асимптотически устойчиво по отношению к невозмущен-
ному движению, которое определено функциями(p$(f), f > 0. При этом в асимптотике осуществляется ее декомпозиция на независимые линейные подсистемы, структура которых идентична структуре эталонных моделей. Отмеченные свойства системы доказываются так же, как это выполнено в п. 30.2.2.
В случае ksv = 0, v ^ 5 из (30.69), (30.70) следуют уравнения алгорит- ма автономного управления:
и； = к@；-@),匕=几，
宕=«.«о {(Ф.« - % )力 + а.н ® - %) - а/,,(30.71)
о
5-1,2, ..., л.
Структурная схема замкнутого контура управления сепаратного канала изображена на рис. 30.3. Управляемой системе соответствуют уравнения (30.63), что отражено на схеме.
Алгоритм автономного управления (30.71) придает системе такие же асимптотические свойства, как и алгоритм координированного управления. При конечных и достаточно больших значениях коэффициентов усиления £& система обладает слабой чувствительностью к изменению параметров и возмущающим силам. Ориентировочные значения £$ можно рассчитать по формулам (30.51). Найденные по (30.51) значения обеспечивают выполнение неравенства (30.68). Значения коэффициентов
Рис. 30.3
усиления %v в обратных связях можно найти в результате параметрической оптимизации системы. В таком случае величины ккх или £$, вычисленные по (30.51), принимаются в качестве начальных приближений.
Особенность алгоритмов управления (30.69), (30.70)и (3 0.71) состоит в том, что для вычисления управляющих функций требуется информация об ускорениях 4(f). При необходимости по модели (30.63) можно синтезировать алгоритм управления, аппаратная реализация которого не требует измерения вторых производных обобщенных координат. Такой алгоритм строится на основе законов управления, минимизирующих локальный функционал
G(U) = ^(q* - q)T A(q)(q* - q)
по градиентной схеме второго порядка.
УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХУПРАВЛЯЮЩИХ МОМЕНТОВ
Рассматриваем механические уравнения (30.8), (30.9) управляемой системы. Управляющие моменты •名 подчинены ограничениям
-.#.«<.#«<.彳s, ./, > 0 .(30.72)
Синтезируем такой алгоритм управления в форме обратных связей, который обеспечивает перевод системы из состояния (30.14) в стационарное состояние qx = 0,= 0 • Потребуем при этом, чтобы кинетиче
ская энергия (30.18) системы в окрестности траекторий движения эталонных моделей
^(/) + Уа9.-^^ = 0, s= 1,2,(30.73)
а$№2>а.е，ал7 >0
уменьшалась с наибольшей скоростью. Как и ранее, управляющие моменты, отвечающие условиям сформулированной задачи, обозначим
Скорость изменения кинетической энергии определяется выражением (30.23). На траекториях управляемого движения должны выполняться условия (30.19), поэтому с учетом (30.72) приходим к следующему заключению: если справедливо неравенство
1(g*-9)7应(%幻 + 1](9倒＜e/ :岡， (30.74)
№1
то наибольшая скорость убывания кинетической энергии достигается в том случае, когда управляющие моменты определяются следующим образом:
• 〃:=・* $ sign (j：-厶)，s == 1,2,…，n,
G： = a.vo \fA + a.,/ - a,.2%, (30.75) 0
fs n - J% 力•0
Вектор-функция M{q,q) в (30.75) определена в (30.24), а соотношения для вычисления д* получены из (30.73) по обычной методике. Они также следуют из (30.29) при(рл- = 0.
Управляющие напряжения и* вычисляются по формулам (30.32) или (30.35), если необходимо учитывать инерционность электрических процессов (т$ 工 0). В этих формулах, согласно (30. 10), нужно принять М； = 居.
Уравнения (30.75) составляют основу алгоритма релейного управления системой. При этом неравенство (30.74) определяет область Р, из любой точки (/ q) которой управляющие моменты переводят систему в стационарное состояние. Для каждой степени свободы существует некоторая область 尸$ е Р, где возможен скользящий режим. За пределами области Рд., т.е. при значительных отклонениях |行；-蜀，происходит конечное число переключений управляющей функции. В результате изображающая точка (% 厶)приближается к границе Р$. После попадания
(夕，6$) в область существования скользящего режима процесс изменения обобщенной координаты %(г) определяется уравнением эталонной модели. Следовательно, в скользящих режимах теоретически осуществляется декомпозиция нелинейной системы на независимые линейные подсистемы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей (30.73).
Пусть теперь движение системы подчиняется уравнениям (30.63), которые учитывают инерционность процессов в электрических цепях двигателей. На управляющие функции Ц наложены ограничения
—U# 4 U$ 4 Uч, s = 1,2,л.
В таком случае рассмотренная задача перевода системы в начало координат д’ = 0 из произвольной точки области, определяемой неравенством
悔. 一犷灰g,祠)+ h(q,G倒＜Z瓦*麻-蜀，
5=1
осуществляется управлениями
U； н U$sign(/ -芬)，s = l, 2,…,n,
(30.76) 當=-a.,。Jg,力一а “％ - a$2as.
о
Характер движения системы с алгоритмом управления (30.76) такой же, как с алгоритмом (30.75).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные задачи управления движением динамических систем, формулируемые как задачи гашения энергии, являются по сути дела оптимизационными. Причем оптимизация осуществляется по локальным функционалам, в роли которых выступает кинетическая энергия или энергия ускорения. Такое утверждение не представляется очевидным, так как процедура оптимизации выполняется не по традиционной схеме.
Решение вариационной задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов по интегральным функционалам прямо или косвенно связано с отысканием экстремалей. В противоположность этому
при оптимизации систем по локальным функционалам экстремали не отыскиваются, они назначаются в виде решений дифференциальных уравнений эталонных моделей. При этом структура и параметры алгоритмов управления определяются из условия, чтобы процессы в проектируемой системе с необходимой точностью приближались к эталонным процессам. Следовательно, предлагаемый метод синтеза основывается на минимизации локальных функционалов в сочетании с концепциями обратных задач динамики.
С помощью предложенного «энергетического» метода оказывается возможным синтезировать алгоритмы координированного и автономного управления в замкнутой форме для одномерных и многомерных нелинейных систем, в том числе и при ограничениях управляющих функций. Синтезированные алгоритмы имеют нетрадиционную структуру, обеспечивают возможность реализации высокой динамической точности и слабой чувствительности системы к изменениям параметров и возмущающим силам. Кроме того, алгоритмы управления такой структуры осуществляют динамическую декомпозицию взаимосвязанных уравнений движения на независимые по степеням свободы модели. В силу этого синтез алгоритмов управления можно выполнять по моделям сепаратных каналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
КНИГИ ПО ТРАДИЦИОННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГОРЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. М.: Наука. 1972.
Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука. 1979.
Иванов В.А,, Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука. 1981.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкии С-Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959.
Батей ко А.П. Системы терминального управления. М.: Радио и связь. 1984.
Математические основы автоматического регулирования. 2-е изд. / Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа. 1977.
Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука. 1987.
Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука. 1977.
Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука. 1988.
Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные работы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука. 1989.
Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.
В области теории автоматического управления и ее приложений опубликовано большое число монографий, учебных руководств и журнальных статей. Обширная библиография по этим вопросам содержится в справочнике по теории автоматического управления [6], а также в Энциклопедии: Машиностроение. Автоматическое управление. Теория. Том 1 -4/ Под общей редакцией Е.А. Федосова. М.: 2000.
В приведенном списке указаны только те публикации, которые использованы в настоящей книге при исследовании устойчивости движения управляемых систем и сходимости процессов минимизации; при определении условий существования автоколебаний и скользящих режимов и др. Основные публикации оригинальных исследований, которые составляют содержание лекций, указаны в отдельном списке.
КНИГИ ПО ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИУПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987.
Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.
Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь. 1988.
Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука, 1991.
ПУБЛИКАЦИИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ УГЛУБЛЕННОГОИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ПРИМЕНЕНИЯ НОВЫХИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ АНАЛИТИЧЕСКОГОПРОЕКТИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П.
Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики 〃 ДАН СССР, 1979, т. 247, № 5.
К теории построения алгоритмов управления движением // ДАН СССР, 1979, т. 247, № 3.
Нелинейные алгоритмы управления вращательными движениями динамических объектов 〃 ДАН СССР, 1980, т. 252, № 5.
Крутько П・Д” Попов Е.П.
Симметрия в автоматических системах и алгоритмы управления 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 1.
Построение алгоритмов управления движением линейных систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 2.
Построение алгоритмов управления дискретных систем // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 3.
Кинематические алгоритмы управления движением манипуляционных роботов // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика. 1979, № 4.
Алгоритмы дискретного управления движением манипуляционных роботов 〃 Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика, 1979, № 5.
Алгоритмы осуществления заданных траекторий движения манипуляционных роботов 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 6.
Управление движением манипуляционных роботов на основе кинематических алгоритмов второго порядка 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1981, № 6.
Синтез управлений скоростью полета летательных аппаратов на основе решения обратной задачи динамики 〃 ДАН СССР, 1981, т. 260, № 4.
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов и обратные задачи динамики управляемых систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1982, № 3.
Обратные задачи динамики управляемых систем и оптимальные процессы 〃 ДАН СССР, 1982, т. 269, № 5.
Петров Б.Н., Крутько П.Д.
Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 4.
Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 5.
Обратные задачи динамики управляемого полета. Продольное движение 〃 ДАН СССР, 1980, т. 255, № 1.
Обратные задачи динамики управляемого полета. Боковое движение// ДАН СССР, 1981, т. 256, № 5.
Конструирование алгоритмов управления полетом на основе решения обратной задачи динамики. Продольное движение // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1981, № 2.
Конструирование алгоритмов управления полетом на основе решения обратной задачи динамики. Боковое движение 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1981, № 3.
Крутько П.Д., Письменный Г.В.
Алгоритмы управления силой сжатия охвата манипулятора 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 6.
Крутько П.Д.
Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых систем. Одномерные модели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1983, №4.
Синтез дискретных управлений по функциям Ляпунова 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1984, № 2.
Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых систем. Многомерные модели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1984, №4.
Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1986, № 1.
Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепций обратных задач динамики. Системы с одной степенью свободы И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1986, № 4.
Конструирование алгоритмов управления нелинейными объектами на основе концепций обратных задач динамики. Управление движением относительно центра масс // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1986, №6.
Алгоритмы управления силовыми операциями манипуляционных роботов 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1987, № 2.
Принцип управления по ускорению в задачах проектирования автоматических систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1987, № 6.
Алгоритмы адаптивного управления исполнительными системами манипуляторов // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1988, № 4.
Алгоритмы управления упругими электромеханическими системами 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1988, № 4.
Обращение прямого метода Ляпунова в задачах управления динамическими системами 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1989, № 3.
Алгоритмы управления по ускорению движением механических систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1989, № 4.
Синтез алгоритмов управления исполнительными системами машин с учетом упругости передач 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 1989, № 5.
Новые структуры адаптивных алгоритмов управления автоматических систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1990, № 1.
Адаптивные алгоритмы управления исполнительными системами 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 1990,№ 2.
Управление движением упругих многомассовых систем 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 1991, № 4.
Управление движением сложных механических систем. Синтез алгоритмов по моделям в форме уравнений Лагранжа 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 1991, № 6.
Адаптивные алгоритмы стабилизации стационарных состояний и программных траекторий движения многомерных систем 〃 ДАН СССР, 1991, т. 312, №2.
Оптимизация управляемых систем по функционалам, характеризующим энергию движения 〃 ДАН СССР, 1991, т. 320, № 3.
Оптимизация управляемых систем по критерию минимума энергии ускорения 〃 ДАН СССР, 1991, т. 317, № 6.
Алгоритмы информационного обеспечения систем автоматического управления 〃 ДАН СССР, 1991, т. 317, № 6.
Адаптивные алгоритмы управления вращательными движениями и пространственной ориентацией твердого тела 〃 ДАН СССР, 1992, т. 324, №2.
Алгоритмы управления движением систем с минимальным информационным обеспечением 〃 ДАН, 1992, т. 325, № 2.
Асимптотические свойства управляемых систем, оптимальных по квадратичным функционалам // ДАН, 1992, т. 326, № 2.
Адаптивные алгоритмы управления вращательными движениями летательных аппаратов // ДАН, 1993, т. 326, № 2.
Алгоритмы стабилизации программных траекторий движения в инерциальной системе координат // ДАН, 1994, т. 334» № 5.
Асимптотические свойства многомерных динамических систем, оптимальных по критерию минимума энергии ускорения // ДАН, 1994, т. 339, № 4.
Задача гашения кинетической энергии динамической системы и алгоритмы управления // ДАН, 1996, т. 347, № 4.
Оптимизация многомерных динамических систем по критерию минимума энергии ускорения // Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1994, № 1.
Новые структуры алгоритмов демпфирования короткопериодических колебаний самолета // Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1994, № 4.
Управление движением Эйлеровых систем. Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики 〃 Изв. РАН. Теория и систгемы управления, 1995, № 1.
Аналитическое решение задачи Вознесенского для стационарных и нестационарных линейных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995, № 1.
Управление движением Лагранжевых систем. Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995, № 6.
Симметрия и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, № 6.
Управление продольным движением летательных аппаратов. Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1997, № 6.
Управление движением сложных механических систем. Синтез алгоритмов по моделям в форме уравнений Эйлера // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1992, № 6.
Синтез адаптивных алгоритмов управления приводами сложных механических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1994, №2.
Новый метод синтеза алгоритмов управления автоматических систем. Одномерные модели // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1994, № 5.
Новый метод синтеза алгоритмов управления автоматических систем. Многомерные модели // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1994, № 6.
Синтез алгоритмов управления движением методом гашения кинетической энфгии // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 3.
Управление цепными механическими системами // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 4.
Управление движением упругих двухмассовых систем // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 6.
Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука, 1991.
Алгоритмы терминального управления линейными динамическими системами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 6.
Задачи гашения энергии и алгоритмы управления движением динамических систем. Линейные модели // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № 4.
Задачи гашения энергии и алгоритмы управления движением динамических систем. Нелинейные модели 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № 6.
Управление боковым движением летательных аппаратов. Синтез алгоритмов управления методом обратных задач динамики 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 4.
Исследование влияния малых параметров на динамику управляемых систем 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 6.
Координированное и автономное управление движением Лагранжевых систем. Синтез алгоритмов по сепаратным моделям // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 2.
Терминальное управление движением Лагранжевых систем 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 6.
Управление колебаниями. Синтез алгоритмов на основе обращения прямого метода Ляпунова // Изв. РАН. Теория и системы управления, № 2,2003.
Алгоритмы интенсивного гашения энергии в задачах управления колебаниями // Изв. РАН. Теория и системы управления, № 6, 2003.
Крутько И.Д” Черноусько Ф.Л.
Декомпозирующие алгоритмы управления движением нелинейных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. №4.
Крутько П.Д., Чхендзе Г.А.
Синтез алгоритмов управления следящих систем высокой динамической точности 〃 Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1992, № 2.
Алгоритмы управления электрогидравлическими приводами с минимальным информационным обеспечением // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993, № 4.
Субоптимальные по быстродействию алгоритмы y*WXIU манипулятором с упругим механизмом передачи движепим // I ||м>Пл*мЫ машиностроения и надежности машин, 1993, № 6.
Исследование динамики манипулятора, управляемо! u iki 炉 рениям 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, IQ94. № 4
Робастно устойчивые структуры автоматических ciu ipm 〃 丿 1АН( 1995, т. 342, №5.
Необходимые и достаточные условия гашения aiiTOKcuiefliNlrtl В нелинейных системах 〃 ДАН, 1996, т. 347, № 3.
Алгоритмы гашения автоколебаний в существенно мдпииоНимх системах 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, № 2
Крутько П.Д., Осипов П.А.
Кинематические алгоритмы управления движением фаиснорт- ных систем мобильных роботов // Изв. РАН. Теория и системы ynpiuui#» ния, 1996, № 2.
Терминальное управление движением транспортных систем мобильных роботов 〃 Проблемы машиностроения и надежнос1и машин. 2000, № 4.
Крутько П.Д., Нечаев Л.Д., Большакова И.К.
Аналоговые и цифровые алгоритмы управления электрогидра!1- лических приводов 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 2000, № 6.
Крутько П.Д., Голованов М.А., Большакова И.К.
Параметрически адаптивные алгоритмы управления упругими электромеханическими системами 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 2000, № 3.
Скворцов Л.М.
И. 1. К задаче построения управления по функциям Ляпунова 〃 Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4.
Крутько П.Д., Малахов А. А., Чернышев В.Г.
Адаптивные алгоритмы демпфирования короткопериодических колебаний самолета. Продольное движение 〃 Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992, № 3.
Адаптивные алгоритмы демпфирования короткопериодических колебаний самолета. Боковое движение 〃 Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993, № 2.
Динамика адаптивных контуров демпфирования вращательных движений самолета 〃 Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993, № 2.
Динамические характеристики традиционных и адаптивных контуров демпфирования И Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998, № 1.
Гришин С.А., Крутько П.Д., Попов Е.П.
Конструирование нелинейных законов управления по функциям Ляпунова 〃 ДАН СССР, 1985, т. 278, № 4.
Колесников К.С., Жевнин А.А., Крищенко А.П., Толокнов В.И.
Синтез алгоритмов терминального управления на основе обратных задач динамики 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1985, № 4.
Ермошина О.В.9 Крищенко А.П.
Синтез программных управлений ориентацией космического аппарата методом обратных задач динамики 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления, 2000, № 2.
Чхеидзе Г.А.
Синтез алгоритмов управления движением упругих механических систем 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1991, № 1.
Цифровые алгоритмы управления автоматических систем слабой параметрической чувствительности 〃 Изв. РАН СССР. Техн, кибернетика, 1994, №4.
Синтез алгоритмов управления движением динамических систем при ограничении фазовых координат и управляющей функции 〃 Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 2.
Синтез алгоритмов управления движением динамических систем в скользящих режимах 〃 Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995, №2.
Харьков В.П.
Синтез алгоритмов систем автоматического управления скоростью полета летательных аппаратов / В. сб.: Математическое обеспечение БЦВМ в задачах управления, оценивания и идентификации. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1990.
Адаптивный алгоритм оптимального управления на основе обратных задач динамики / В. сб.: Математическое обеспечение задач управления полетом: М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1990.
Структурно-параметрический синтез управления динамическими системами 〃 Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1991, № 2.
Адаптивное управление динамическими системами на основе обратных задач динамики // Изв. РАН СССР. Техн, кибернетика, 1991, №2.
Васюков В.И.
Синтез адаптивного закона управления программным движением летательного аппарата на основе решения обратной задачи динамики / В. сб.: Оптимальное управление летательными аппаратами. М.: Изд- во МАМ, 1984.
Васюков В.И., Горбатенко С.А.
Метод обратных задач динамики в теории управления летательными аппаратами. М.: Изд-во МАИ, 1988.
Лысенко Л.Н.
Обратные задачи баллистики / В кн.: Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991.
Тараненко В-Т.
Динамика самолетов с вертикальным взлетом и посадкой. М.: Машиностроение. 1993.
Садовой А.В., Сухинин Е.В., Сохииа Ю.В.
Системы оптимального управления прецизионными электроприводами. К.: Исимо. 1996.
Кочетков Ю.А.
Метод обратных задач динамики / В кн.: Основы автоматики авиационного оборудования. М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1995.
Первая работа, в которой сформулированы идеи применения концепций обратных задач в теории управления движением, была опубликована в 1979 году в журнале «Доклады АН СССР» [1.1]. За два последующих десятилетия в этом направлении выполнены обширные исследования теоретического и прикладного характера. Результаты этих исследований опубликованы в монографиях [1 - 4] и в многочисленных журнальных статьях. В приведенный список работ включены в основном те публикации, которые в наибольшей степени отражают курс лекций. Наряду с этим в списке указаны работы других авторов. В них синтезируются алгоритмы управления техническими системами методами обратных задач динамики.
Содержательный смысл упомянутых работ ясен из их названия. Отметим только две из них. В монографии В.Т. Тараненко [21.1] рассмотрены задачи управления угловыми движениями самолета с вертикальным взлетом и посадкой. В книге Ю.А. Кочеткова [23.1] синтезированы кинематические алгоритмы управления пространственным движением самолета, который должен занять определенное положение относительно ведущего или относительно конуса самолета, несущего топливо (при дозаправке в воздухе).
Отметим также, что приведенный в списке литературы перечень прикладных исследований составляет лишь незначительную часть опубликованных работ, в которых концепции обратных задач динамики применяются для аналитического проектирования алгоритмического обеспечения систем управления техническими объектами различного назначения.
Учебное издание
Крутько Петр Дмитриевич
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИВ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ
Цикл лекций
Лицензия ИД № 05672 от 22.08.2001
Редакторы С.М. Макеева, А.А. КуликоваХудожественный редактор Т.Н. ГалицынаКорректор MJL БарскаяИнженеры по компьютерному макетированию: Е.В. Кораблева, И.В. Евсеева
Сдано в набор 21.10.03. Подписано в печать 29.01.04. Формат 60x88/1/16.Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 35,28. Уч. -изд. л. 38,7.
Тираж 1000 экз. Заказ 9516
Ордена Трудового Красного Знамени«Издательство «Машиностроение»,107076, Москва, Стромынский пер., 4
Оригинал-макет изготовлен в издательско-полиграфическом центреТамбовского государственного технического уннверситета
Отпечатано в ГУП ППП «Типография «Наука»,121099, Москва, Шубинский пер., 6