Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
И.А. Малкин, В.И. Манько
Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем
И.А. Малкин, В.И. Манько
Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем
И.А.Малкин, В.И.Манъко
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ И КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯКВАНТОВЫХ СИСТЕМ
В книге изложено современное состояние теории динамических симметрии и метода когерентных состоянии ——новых направлений в теоретической физике, развившихся за последнее десятилетие в связи с проблемами квантовой оптики, сверхтекучести, теории магнетизма и фундаментальными вопросами квантовой механики. Симметрии и когерентные состояния строятся на основе единого подхода, использующего наличие у произвольной TV-мерной динамической системы 2N интегралов движения, отвечающих начальной точке траектории в фазовом пространстве системы. Динамические симметрии рассмотрены как для релятивистских систем, описываемых с помощью релятивистских уравнений с внутренними переменными, так и для квантовомеханических систем, описываемых уравнениями Шредингера и Дирака. Методами теории представлений динамической симплектической группы и когерентных состояний подробно рассмотрены свойства нестационарных систем, описываемых гамильтонианом, являющимся произвольной квадратичной формой операторов координат и импульсов. Разобраны важные частные случаи таких систем, например, построен спектр квазиэнергий в случае периодической зависимости гамильтониана от времени, а также изучено движение и излучение заряда во внешних нестационарных электрическом и магнитном полях.
Содержание
Предисловие6
Глава I. Динамические симметрии нерелятивистских систем9
Введение9
Динамические системы, функция Грина и матрица плотности13
Симметрия уравнений17
Динамическая симметрия квантового осциллятора19
Динамическая симметрия ротатора20
Симметрия атома водорода22
Динамическая симметрия для нерелятивистской частицы в магнитном 26 поле
Симметрия кулоновского потенциала в га-мерном пространстве31
Когерентные состояния одномерного квантового осциллятора32
Глава II. Когерентные состояния и точные решения для простых37
нестационарных квантовых систем
Когерентные состояния осциллятора с зависящей от времени частотой 37
Амплитуды перехода в нестационарном осцилляторе43
Когерентные состояния заряда в однородном переменном магнитном 46 поле с векторным потенциалом A=\H(t)^ г/2]
Амплитуды переходов между уровнями Ландау53
Когерентные состояния и возбуждение электрическим полем59
заряженной частицы в постоянном магнитном поле
Когерентные состояния и функция Грина осциллятора с переменной 64
частотой в произвольно направленных, переменных, однородных электрическом и магнитном полях соленоида
Глава III. Инварианты и функция Грина динамических систем72
Инварианты (интегралы движения)72
Инварианты и динамическая симметрия уравнения Шредингера75
Когерентные состояния произвольных квантовых систем77
Когерентные состояния систем с квадратичным гамильтонианом83
Инварианты и функция Грина87
Неквадратичная система ——сингулярный нестационарный осциллятор 99
О нормальных координатах в фазовом пространстве квантовых систем 111
Глава IV. Матрица плотности квантовых систем114
Интегралы движения и матрица плотности114
Функции Грина стационарного уравнения Шредингера квадратичных 116 квантовых систем
Соотношение неопределенности энергия ——время для нестационарных 122 квантовых систем
Линейные адиабатические инварианты и когерентные состояния129
Глава V. Спектр квазиэнергий квадратичных систем137
Квазиэнергия и квазиэнергетические состояния квантовых систем с 137 периодически изменяющимися параметрами
Интегралы движения системы с периодическим квадратичным140
гамильтонианом
Линейное каноническое преобразование143
Дискретный спектр квазиэнергий и когерентные состояния146
Непрерывный спектр квазиэнергий150
Смешанный спектр квазиэнергий153
Динамическая симметрия квазиэнергетических состояний157
Заряженная частица в периодическом поле159
Глава VI. Излучение квадратичных систем164
Излучение нестационарной системы164
Излучение заряженной частицы в стационарных скрещенных полях 167
Когерентные состояния заряженной частицы в полях вол-новодного 174 типа
Излучение заряда в полях волноводного типа180
Излучение заряженной частицы, находящейся в периодическом,183
зависящем от времени внешнем поле
Глава VII. Динамическая симметрия вибронных переходов188
многоатомной молекулы
Введение188
Вибронные переходы многоатомной молекулы в гармоническом192
приближении
Динамическая симметрия194
Интегралы перекрытия и рекуррентные соотношения197
Итеративный метод расчета интегралов перекрытия202
Метод парциального анализа вибронного перехода204
Геометрическая конфигурация возбужденного состояния208
Запрещенные электронные переходы209
Вибронный переход в трехатомной молекуле вида ХУ2214
Правила сумм для вибронных переходов221
Вырожденные вибронные переходы226
Электронный переход, вызывающий нарушение симметрии молекулы 234
Глава VIII. Симметрии релятивистских волновых уравнений и238
уравнений с внутренними переменными
Динамическая симметрия релятивистского волчка238
Релятивистские осцилляторные модели243
Уравнение Майорана250
Симметрия уравнений движения свободной релятивистской частицы 255
Динамическая симметрия релятивистской частицы в магнитном поле 257
Глава IX. Когерентные состояния и функции Грина релятивистских 261 квадратичных систем
Движение релятивистской заряженной частицы в однородном261
стационарном электромагнитном поле
Движение релятивистской заряженной частицы в суперпозиции поля 269 плоской волны и стационарного внешнего поля
Глава X Матричные элементы представлений групп динамической 279 симметрии
Матричные элементы преобразования Боголюбова и переходы между 279 уровнями Ландау в нестационарном магнитном поле
Когерентные состояния симметричного волчка281
Квазиклассическая асимптотика б/-функций ——матричных элементов 287 группы вращений 0(3)
Приложение296
Алгебры Ли296
Линейные группы Ли301
Алгебры Ли линейных групп Ли305
Литература309
Предисловие
Предлагаел1ая читателю люнография посвящена проблемам квантовой физики. В послодпее десятилетие выявился новый круг задач и развился новый подход к описанию квантовых систем и их связи с соответствующилш классическими систелхалхи. Центральным пунктом этого подхода является использование полного набора интегралов движения квантовых систем, который применяется для построения, с одной стороны, когерентных состояний квантовой системы, являющихся такими волновыми пакетами, которые максимально адекватны классической картине движения систелш, и, с другой стороны, позволяет построить некоторую алгебраическую конструкцию —— динамическую группу квантовой системы.
Динамическая группа симметрии квантовой системы позволяет единым образов! расслштривать полный набор состояний системы, энергетический спектр (если система стационарна), функцию Грина системы в разных представлениях, матричные элел1енты и вероятности переходов, наприл^ер радиационных, причем знание динамической группы симметрии квантовой системы эквивалентно знанию уравнения, описывающего систему, и решений этого уравнения (уравнение Шредингера, Дирака и др.). Поэтому при некоторых предположениях можно сформулировать поведение физической системы только в терминах теории представлений соответствующей группы, даже не используя уравнение. Эта важная концепция особенно ярко проявляется в теории эле- ментарпых частиц, где нет общепринятого уравнения, описывающего свойства элементарных частиц, и их классификация проводится на основе теории представлений таких полупростых групп Ли, как группы SU(2), SU(3), SU(6). Некоторые аспекты динамики частиц описываются другими группами, например конфорл!- пой группой.
Слова «квантовая система» понимаются достаточно широко, чтобы включить в рассмотрение пе только задачи, связанные с поведением таких физических квантовых систем, как молекула или элементарная частица (в рамках релятивистских уравнений с внутренними степенями свободы), но использовать концепции инвариантов и когерентных состояний в других физических и математических задачах, для описания которых используется формальный аппарат, близкий уравнению Шредингера. Существенно, чтобы в рассл1атриваемых задачах имелся аналог оператора эволюции (фупктцш Грина) квантовой системы.
Большое внимание в монографии уделяется нестационарным квантовым системам, которые изучены существелпо менее стационарных систем, в частности периодическим во времени квантовым системам и их спектрам квазиэпоргий. Мьг покажем на примерах, важных в приложениях, в частности квадратичных квантовых систем, эффективность развиваемых л^етодов, приведя решения тех задач, которые были получены с помощью этих методов лишь в последнее время. К таким задачам относится построение дииал^и- чоских групп симметрии простейших квантовых систем, папри- мер конформной группы 0(4, 2) для атома водорода, нахождение инвариантов, построение временной ф>гнкции Грина и когерентных состояний для систем, описываемых произвольным, неста- ционарпым, квадратичным по операторам рождения и уничтожения г амил ьто пианом, нахождение матрицы плотности и энергетической функции Грина квадратичных систем, построение спектра квазиэнергий произвольных квадратичных систем и описание его с помощью динамической группы сикшетрип. Как приложения развитых методов в монографии подробно рассмотрено движение заряженных нерелятивистских и релятивистских частиц в постоянных и переменных электролтагнитпых полях, в частности в полях волноводов, рассчитаны точно интенсивности в вибронном спектре многоатомной молекулы, приведены новые формулы, относящиеся к свойствам матричных элементов неприводимых представлений симплектической группы и связанных с ними многомерных полиномов Эрмита и их аналогов.
На включение в монографию тех или иных вопросов наложили отпечаток научные интересы авторов, часть материала связана с тематикой лекций, читавшихся авторами па протяжении ряда лет в Московском физико-техническом институте. Материал глав
I—IV и VIII подготовлен к печати В. И. Манько, а глав V—VII, IX, X и приложения — И. А. Малкиным.
Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить академиков В. Л. Гинзбурга и М. А. Маркова за многолетнюю помощь и многочисленные обсуждения результатов, затрагиваемых в настоящей монографии. Авторы благодарят В. В. Додонова, Е. В. Докторова, Е. В. Иванову, Е. В. Курмышева, Д. А. Трифонова, А. П. Шустова за плодотворное сотрудничество в получении результатов, нашедших отражение в предлагаемой читателю монографии.
Авторы
Г л а в a I
Динамические симметрии нерелятивистских систем
Введение
Алгебраический подход к ош1са」шю квантовых систем состоит в изучении соотношений и представлений различных операторов, физических величин, относящихся к этим системам. Преимущество подобного подхода состоит в том, что с его помощью можно сразу получить такие физические величины, как энергетические уровни, вырождение нх, алшлитуды ггереходов (без предварительного нахождения волновых функций). Волновые функции также можно определить с помощью явных представлений имеющихся алгебраических соотпошетшй, ло ото отдельный вопрос. Предметом настоящей главы служит алгебраический подход в квантовой теории, известный сейчас как теория динамических симл1ет- рий.
Из многих операторов, относящихся к изучаелюй физической системе, можно построить различные алгебраические структуры. Например, алгебра Ли операторов силшетрии гамильтопиапа давно и тиироко испо；гъзова^ась, кроме всего прочего, для понимания вырождения уровней энергии до решения уравнения Шредингера. В последнее время для расчета величин, которые зависят в большей степени от диналтики системы, чем от свойств симметрии энергетического уровня рассматриваемой системы, применялись другие алгебры Ли, которые обычно включают в себя гамильтониан, операторы симметрии и некоторые другие операторы, не коммутирующие с гамильтонианом. Эти дополнительные операторы или, по крайней мере, подходящие линейные комбинации часто в результате явного вида их матричных элементов между состояниями с разными энергиями можно интерпретировать как операторы переходов, вызываемых некоторым взаимодействием, или просто как повышающие и понижающие операторы. Действительно, независимые собственные функции гамильтониана служат в качестве базиса представления, часто неприводимого, алгебры Ли, содержащей повышающие и понижающие операторы. Любую такую алгебру можно назвать динамической алгеброй, поскольку в процессе нахождения ее представления определяются также матричные элементы таких динамических величин, как гамильтониан и операторы переходов.
Следуя [16], под динамической группой системы будем понимать конечномерную группу Ли, неприводимое представление которой действует в гильбертовом пространстве состояний системы.
При этом подразумевается, что операторы симметрии, гамильтониан и все операторы переходов соответствуют элементам или группы, или алгебры Ли, или ее обертывающей алгебры. Это последнее условие необходимо для того, чтобы динамическая алгебра отличалась от так называемой геперирующей спектр алгебры, из которой можно найти спектр энергий, по не всю илфор- мацию о динамике переходов.
Остановимся на истории вопроса. Исследования динамических групп стимул ир ов а л ись желанием понять природу классификации и элементарных частиц по мультиплетам унитарной SU(3)- трушш [1, 2]. Это вновь вызвало интерес к подходу, развитому Фоком [3]； по объяснению к л ассификации уровней атома водорода по мультиплетам <9(4)-группы (см. также [4]). Параллельно с исследованиями возможности перехода от унитарных мультиплетов 5С7(3)-группы ко все более широким семействам типа мультиплетов 15?7(6)-группы [5 — 7] проводились нсслсдоватшя квантовой теории, которая связана с рассмотрением физических состояний квантовых систем как членов мультиплетов, описываемых неприводимыми представлениями тех или иных групп.
Почти одновременно появились работы Барута [8], Дотана； Гелл-Манна и Неемапа [9], а также Мукунды, ОТз巾ерти и Сударшана [10], в которых были введспы близкие понятия такой группы (или алгебры Ли), позволяющие объединить все уровни энергии стационарной квантовой системы в один мультиплет некомпактной группы (или алгебры). В работе [8] эта группа (или алгебра) названа динамической, в работе [9]——алгеброй, генерирующей спектр, а в работе [10] —— группой ыеипвариа нт но сти. Эти понятия очень близки, хотя разные авторы до сих пор вкладывают несколько разный смысл в слова «динамическая группа» или «группа неинвариантности». Мы будем рассматривать подобные понятия как тождественные, хотя отдадим предпочтение понятию «динамическая группа» или «динамическая симметрия» квантовой системы,
Здесь следует отметить, что понятие динамической симметрии, дашюе в работах [8 ——10], является частным случаем введенного в работе [И] определения понятия симметрии любого уравнения, описывающего физическую систему, например, квантовую систему. В работе [11] проводился также анализ динамической симметрии атома водорода и было показано, что все уровтти его дискретного спектра образуют мультиплет конформной 0(4, 2)- группы. Этот результат для атома водорода затем был получен Нееманом [12], Намбу [13], Фронсдалом [14], Барутом и Клейнер- том [15] и Тодоровым [16]. Интерес к этой системе был вызван тем, что она реальна и уравнение Шредингера для нее можно решить точно, а следовательно, до конца проанализировать связь состоя-
ний как с решениями уравнения, так и с неприводимым представлением 0(4, 2)-группы； которое в принципе можно ввести и не прибегая к помощи уравнения Шредингера.
Вслед за этими работами стали появляться работы по исследованию динамических симметрий других точно решаемых моделей квантовых систем. Так, квантовая система тг-мерный осциллятор рассматривалась с точки зрения динамической группы Хва и Нутсом [17], а также Мошинским и Квезне [18]. Здесь следует отметить, что первая работа, по существу описывающая осциллятор (одномерный) на языке динамической 0(2, 1)-группы, была сделана Гошеном и Линкиным [19] схцс в 1959 г. и затем их результат был несколько раз повторен. Исследование динамггческих групп простых квантовых систем привело к использованию этих групп для объяснения спектров масс элементарных частиц, различных форм-факторов и ширины распадов, а также к новому подходу к бесконечнокомпонентным уравнениям типа Майорана [13, 20, 21]. Кроме конформной 0(4, 2)-группы, в некоторых работах в качестве динамической группы атома водорода рассматривалась также О (4, 1)-группа дс Ситтера [22—28]. Динамическая группа еще одной простой квантовой системы —— ротатора рассматривалась в работах [29 — 31]*
Подход, основанный на динамических симметриях, тесно связан с изучением групп инвариантности [10] или симметрии квантовых систем, т. е. групп, генераторы которых коммутируют с гамильтонианом стационарной системы. Кроме работы Фока [4], объяснившего «случайное» вырождение уровней атома водорода существованием О(4)-группы инвариантности у этой системы, были проведены исследования групп инвариантности других простых квантовых систем и их связи с вырождением уровней. Так, в работах Я уха [32] и Я уха и Хилла [33] впервые было объяснено вырождение уровней энергии изотропного осциллятора существованием у этой системы группы инвариантности 〃(3) (и U(тг) в n-мерном случае). Этот результат был далее развит в работах [34, 35]. Неизотроппый осциллятор р а осматривался с точки зрения группы инвариантности в работах [36 — 41]. Сформулируем здесь основное отличие группы инвариантности и динамической группы. Если известна вся инфордгация об одном состоянии системы, относящемся к фиксированному уровню энергии, то с помощью преобразований из группы инвариантности (или группы симметрии) можно получить все остальные состояния с той же энергией, т. е. небольшое число состояний в случае конечного вырождения. Преобразования же динамической группы из одного состояния генерируют все другие состояния квантовой системы. Здесь мы расширим обычное понимание динамической группы, подразумевая под словом «состояние» не только состояние с заданной энергией, как это делается обычно, а включая и случай произвольных нестационарных квантовых систем [42 — 44].
Развитие теории динамических симметрий привело также
к значительному продвижению в чисто математическом плане. Так, при вычислении матричных элементов различных операторов между состояниями с заданными энергией и полным моментом оказалось удобным использовать динамическую группу радиального уравнения Шредингера, в частности 0(2, 1)-группу [45 — 47]. Вычисление радиальных матричных элементов операторов физических величин этим методом состоит в изучении их трансформационных свойств под действием операций из динамической группы. Затем применяется переход к удобному базису с помощью оператора «буста». В частности, с помощью рассуждений, аналогичных следствиям теоремы Вигнера — Эккерта (для некомпактной динамической группы), легко получить правила отбора для вычисляемых радиальных матричных элементов в полной аналогии с обычным компактным случаем.
Таким образом, динамические группы или алгебры позволяют не только продвинуться в понимании природы спектра состояний, но полезны и в прикладном плане. Разумеется, в тех случаях, когда имеются точно решаемые уравнения, описывающие систему, дюж но полностью обойтись без знания свойств симметрии, в частности динамической, для вычисления физических величин. Однако в случаях, когда уравнения не найдены, например для элементарпых частиц, подход с динамическими симметриями дает самостоятельную альтернативу для описания всей динамики. В этой связи необходимо научиться формулировать всю динамику системы на языке динамической группы в случаях, когда можно проверить все выводы с помощью точно решаемых уравнений, т. е. для простейших систем.
Существование динамической алгебры Ли для квантовой системы, содержащей повышающие и понижающие операторы, нс удивительно. Интересным является тот факт, что эта алгебра — часто конечномерная алгебра Ли. Рассмотрим, например, одномерную задачу о частице массы т, движущейся под действием потенциала V (н) (эта функция считается бесконечно дифференцируемой). Предположим, что наша алгебра содержит, наряду с гамильтонианом 猶 оператор 瑞 пропорциональный оператору дипольного момента (понятное предположение, если мы считаем, что эта алгебра должна содержать операторы, отвечающие за переходы в системе).
Тогда алгебра содержит коммутатор [猬 н] = [р2/2т, х\ = =—ihp/m, где р — оператор импульса, а также коммутаторы
【舞，р] = [V ⑺，р]=访 dV/dx\ [dV/dx, р] — ih d叩/&
Ясно, что за исключением лишь некоторых потенциалов специального вида, в результате получаем бесконечномерную алгебру. В этих моделях, чтобы построить конечномерную алгебру, необходимо иногда рассматривать оператор дипольного перехода как лежащий не в алгебре Ли, а в ее обертывающей алгебре. Проблема существования динамических групп физических систем
в настоящее время полностью не решена в теории динамических симметрий. Если такая группа найдена, она может быть не единственной. До какой степени динамические группы определяются -единственным образом ——еще один не ясный до конца вопрос. К настоящему моменту наиболее интенсивная деятельность в теории динамических симметрий была направлена на выяснение их роли в конкретных моделях, хотя имеется ряд попыток исследовать природу динамических групп в общем плане.
В первой и последующих главах сначала будут приведены главные результаты, которые получены для различных моделей, исследовавшихся с точки зрения динамических групп; будут разобраны более общие аспекты теории; подробно рассмотрены некоторые нерелятивистские квантовые системы, в частности простейшая из них —— квантовый гармонический осциллятор, для того чтобы можно было увидеть, как теория динамических симметрий «работает» для простой модели. Затем будут рассмотрены динамические симметрии релятивистских квантовых систем, описана общая связь интегралов движения с динамическими группами, разобраны результаты работ, в которых были развиты методы нахождения инвариантов, причем будут рассмотрены некоторые примеры пестациопарпых систем. Далее мы коснемся также проблем динамических симметрий в классической механике. В заключение, паряду с общим обсуждением, дадим краткий обзор приложения метода динамических симметрий к конкретный! задачам.
§ 2・ Динамические системы, функция Грина
и матрица плотности
Мы будем в дальнейшем исследовать главным образом конечномерные квантовые системы, описываемые волновой функцией Т (^i, . . ., Нуе, £), зависящей от п координат и времени. Волновая функция 更 удовлетворяет уравнению Шредингера (мы также будем рассматривать и релятивистские системы)
技尊=心子， (2.1)
где гамильтониан 兆 является эрмитовым оператором (иногда мы будем рассматривать и неэрмитовы гамильтонианы),方 ——постоянная Планка. Гамильтониан 况 может явно зависеть от времени. Очень важную роль в дальнейшем играет функция Грина квантовой системы, являющаяся ядром оператора эволюции этой системы и содержащая всю информацию о системе.
Пусть волновая функция n-мерной квантовой системы 4f (х, %),宓 = (勺，...,忆气)，выражена через волновую функцию 4f(况， 办) квантовой системы в предшествующий момент времени %< £ с помощью некоторого оператора эволюции О:
У Q, /) = О (<,幻屮(ж,埔. (2.2)
Тогда можно записать это равенство в «матричном» виде:
干(费力=\ G (居非'",埔子Q',曲山g'.(2.3)
Интегрирование происходит по всем допустимым переменным —■ координатам системы 况'.Если подставить соотношения (2.2) или (2.3) в уравнение Шредингера (2.1), мы получим уравнение для оператора эволюции О и его ядра, а именно, оператор эволюции удовлетворяет уравнению
汤普=(2.4)
а его ядро — функция Грина G — удовлетворяет уравнению 访署= №(©С； t〉h(2.5)
В соотношении (2.5), являющемся матричной формой операторного соотношения (2.4), оператор 伙(х) действует только на переменные х в функции Грина G. Соотношения (2.4) и (2*5) следует дополнить начальными условиями, которые очевидны. Так как при совпадающих временах волновые функции 屮(力)и Т (%) также должны совпадать, то оператор эволюции должен превращаться в единичный оператор, т. е.
〃(力0； %о) = 7*(2.6)
Ядром единичного оператора в координатном представлении является б-функция Дирака, поэтому функция Грина должна удовлетворять условию
G (z, х\ М,幻=6 (纪一况')・(2.7)
Уравнение для ф^шкции Грина (2.6) можно уточнить, введя в рассмотрение времена Z <^ Zo. В уравнении Шредингера обычно полагают функцию Грина при 力 < 归 равной нулю. Отсюда сразу вытекает, что так определенная функция Грина G удовлетворяет уравнению с б-образной правой частью
访第一№g =历6ё一用)6(尤一").(2.8)
Правая часть возникает из-за дифференцирования скачкообразного изменеиия функции Грина во времени.
Другим важным уравнением, которое мы будем рассматривать, является уравнение Блоха для матрицы плотности квантовой системы. Матрица плотности квантовой системы р (х, х\ р), являющаяся ядром оператора р = ехр (—0%), где § — параметр, удовлетворяет уравнению Блоха, аналогичному уравнению (2.8), с очевидной подстановкой tQ = 0,辽/充=р:
[靑+國⑺]p (居疗,p) = 3偉)6 (力一疗).(2.9)
Отметим, что уравнение Шредингера для функции Грина (2.8) и уравнение Блоха для матрицы плотности являются уравнениями типа
dS (х, ^\ х)!дх = Л(х)5(х,券'，t); t〉0； S(0) = 6(宓一宓').(2.10) Здесь т — параметр, оператор Л (х) действует на переменные х функции S. Функция S является либо функцией Грина G уравнения Шредингера, если А (х)二 饺(х) и т = it/h, либо матрицей плотности, если оператор Л ~ ——Н и т = р.
Многие результаты, обсуждаемые в дал ьнейшем для функций Грина или для ^faтpиц плотности, остаются справедливыми для любых задай, описываемых уравнением типа уравнения (2.10). Функция Грина описывает поведение динамической системы. Но мы под словами «динамическая система» будем подразумевать все случаи физических или математических задач, которые описываются уравнением типа уравнения (2.10). Запишем также ва?кпые ограничения, вытекающие из эрмитовости гамильтониана системы 死，как стационарного, так и нестационарного.
Для всех эрмитовых гамильтонианов оператор эволюции U унитарен (сохраняет скалярное произведение (^ф, ^^^(ф, Т)):
U^U = UU： = /.(2.11)
Это с.оотпошешю приводит к условиям для матричных элементов оператора U (функция Грина) в любом базисе. Так, в координатном представлении имеем соотношение
§ G (х,仇 t) G* (х\ у J) dy = 5 (况一况').(2.12)
В любом дискретном базисе выполняется соотпотпение для матричных элементов Окт") (функции Григга) вида
§О™п«)〃乳⑴=6ns.(2ЛЗ)
Если функция Грн л a Unm(t) выражена через какие-то специальные функции, то (2.13) означает наличие определенных правил сумм для этих специальных функций. Соотношение (2.13) означает так?ке наличие ряда перанепсти. Так, из того, что при п ~ s (2.13) переходит и соотношение
210山卩=1,(2лза)
вытекает неравенство
I Unm(t) I < I-「(2.14)
Функция Wnm{^ = I Unm(t)『есть (при фиксироваппом п) распределение вероятностей по состояниям, задаваемым дискретным индексом (набором индексов) ш. Соотношение (2.13) есть нормировка этого распределения. Аналогичная интерпретация имеется
и в не дискретных базисах (см. (2.12)). В других представлениях условие унитарности (2.11) дает определенные связи, причем по части индексов (квантовых чисел) может вестись суммирование, а по части ——интегрирование. Из физических условий (причинности развития динамичес к ой системы во времени) вытекает также очевидное нелинейное соотношение, справедливое как для эрмитовых, так и неэрмитовых гамильтонианов:
" (七，幻力(i 幻=力(为，"0)(力2 > % > ^0), (2-15)
Это нелинейное соотношение определяет, в частности, нормировочную константу функции Грина. Хотя многие результаты, обсуждаемые в 1юс;гедующих главах, легко переносятся на бесконечномерные квантовые системы, описьтваемьте уравнениям!! квантовой теории поля, мьт для определенности будем считать заданную систему обладающей конечным числом степеней свободы, Заметим также, что в обозначениях Дирака функция Грина G (х, х\ t) (%о = 0) совпадает с матричным элементом оператора эволюции системы U(9，взятым между состояниями с заданными координатами 况 и 宓',а именно:
G 优,W") 〈.тJ " (£) I 宓〉 (2.16)
Ясно, что можно строить матричные элементы оператора эволюции, используя и другие базисы. В частности, волновая функция квантовой системы Т*(况，t) есть матричный элемент оператора эволюции 0(力)между состояниями j 屮〉н j 况〉，т. с. ■
Т(х, %)二 <х I O(t) I Т>.
Таким образом, знание полного набора решений уравнения Шредингера эквивалентно знанию функции Грина в координатном представлении, и наоборот. Волновая функция ость функция Грина в «косом» базисе. Можно строить функцию Грина и в дискретных представлениях. Это поетроеппе сводится к нахождению матричного элемента оператора эволюции между состояниями системы, характеризуемыми набором дискретных параметров. Все обсуждаемые функции Грипа эквивалентны, и выбор представления, в котором берется функция Грина, определяется лишь удобством рассмотрения. То, что говорилось выше о квантовой системе, описываемой скалярной волновой функцией, остается справедливым, с очевидными изменениями, для волновых функций, имеющих несколько компонент. При этом функция Грина системы в любом представлении приобретает еще дополнительные дискретные матричные индексы.
Важную информацию о динамических системах дает изучение свойств симметрии этих систем. Чтобы четко понимать, что подразумевается под словами «симметрия динамической системы» или «симметрия квантовой системы», мы сейчас обсудим более широкий вопрос о симметрии уравнений вообще, поскольку именно изуче-
пие свойств симметрии уравнений для волновой фу1гкцви (2.1) пли функции Грина (2.8) позволяет сделать заключение о симметрии физической системы, описываемой этими уравнениями.
Симметрия уравнений
Обсудим здесь вопрос, что будем понимать под симметрией уравнения [11].
Пусть имеется функция q)(xn...,况九).Эта функция может быть конечно- или бесконечномерным столбцом. Рассмотрим соотношение
Л(р = О, (ЗЛ)
где Л для простоты будем считать линейным дифференциальным оператором, хотя для дальнейших рассуж/^ний это несущественно (ол может быть любым: интегральным, интегродифференциаль- ным, нелинейным и т.耳).Обычно под симметрией соотношения (3.1) понимают совокупность таких преобразований координат тг функций, которые образуют группу и ле меняют его вид. (Однако такая симметрия не объясняет вырождения уровней трехмерного осциллятора, волноиые функции которого, как показали Яух и Хилл [33], реализуют представления ^(З)-группы.) В этом случае под симметрией понимают совокупность операторов 否《, образующих алгебру Ли и удовлетворяющих соотношению
[Л, Йа1 = 0. (3.2)
(Индекс а принимает конечное или бесконечное число значений.) Это понятие о симметрии является более широким, так как оно включает в себя предыдущее, потому что если имеются конечные преобразования коордихгат и функции, сохраняющие вид уравнения ,то всегда, переходя к бесконечно малым преобразованиям, найдем алгебру Ли операторов, удовлетворяющих (3.2). Будем понимать симметрию в еще более широком смысле, исходя из следующего соображения. Всегда, когда говорят о симметрии уравнения (3.(), имеют в виду, что если найдено какое-то решение, то с помощью преобразований симметрии можно получить и другие решения; иными словами, пространство решений является базисом представлений той группы или алгебры Ли, которую CMiiTaHJT симметрируй задачи. Эту симметрию можно найти, если определить операторы Ба (дифференциальные, интегральные, нелинейные и т. д.), образующие алгебру Ли (конечномерную или бесконечномерную) и удовлетворяющие соотношению
[Л,方акр 0, (3.3)
т. е. коммутирующие с оператором Л не тождественно, а на множестве решений уравнения (3.1). Очевидно, что операторы Ва переводят одно решение в другое. Подобное определение охватывает
предыдущие, так как операторы, удовлетворяющие соотношению (3.2), образуют подалгебру алгебры операторов, удовлетворяющих (3.3). Удобнее говорить нс о「руине, а об алгебре Ли, так как с〔руины всегда можно перейти к алгебре Ли, а классификация решопий с помощьи) квантовых чисел — это классификация с помощью представлений алгебры Ли. Интересным является такой вопрос: какие неприводимые представления группы симметрии уравнения (3.1) реализуются в качестве решений? Из примеров ясно, что пс нее представления, которые есть у группы, реализуются па реже штях. Так, решения трехмерного осциллятора реализуют л ишь (/，, 0, О)-представления и(3)-груш1ы. Более того, может случиться, что реализуется лишь одно представление груп- ]гы (часто это и есть длтгамическая группа системы). Такое определение симметрии у равнепий дапо в работах [11, 31], подобное же определение дано и Андерсоном, Кумеем н Вульфмапом [48J. За- мстим, что оператор Л может быть любьш оператором, описывающим физическую проб л ем js в частности:
4 =.济一能一уравнение 1npeдингера；
А =— 咏н (7, р)——уравнение Гамильтона ——Якоби；
/1 l ：гуравнение дилера —
&£ 困dq
г) А == Гц———卜 Го — конечно- и бесконечно компонентные卩уравнения теории поля.
Покажем, что в классической механике приводимое и в дальнейшем широко используемое для изучения квантовых систем определение симметрии (3.1), (3.3) позволяет провести анализ преобразований, которые допускает система, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим, следуя К ар тану ([4011, стр. 108), механическую систему, траектории которой удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида
Легко проверить, что первый интеграл 中(片几力)этой системы удовлетворяет уравнению вида Л(р = 0, где оператор 4 H 2天田/@&・ i
В книге Картана [401J исследуется вопрос: когда приведенная система уравнений допускает инфинитезимальное преобразование, задаваемое оператором вида 月=』畳(况)8/8勺？ Это означает, что если <р ——первый интеграл, то и 豆屮 ——первый ии
18
теграл системы, т. е. Л (^<р) ~ 0. Таким образом, {(力<р)— —方(/<р) g 0. В [4] показано, что【/力I(p = Р月屮，где р — некоторый коэффициент. Таким образом, мы видим, что для классической механической системы инфинитезимальное преобразование 方=』蚤(党)@/а勾 является преобразованием симметрии систе- г
мы обыкновенных дифференциальных уравнений в определенном формулами (3.1), (3.3) смысле.
Если пайдепа динамическая труппа уравнения столь широкая, что все решения рассматриваемого уравнения связываются операторами преобразований из этой группы^ то в определенном смысле динамическая группа и ее представление, реализуемое на пространство решений, заменяют само уравнение. Это позволяет сформулировать физические проблемы не на языке уравнений, а па языке групп. Разумеется, верно и обратное. Чисто алгебраический подход к задаче можно эквивалентным образом заменить подходом, основанным на рассмотрении уравнений. Однако в силу простоты и развитости групповых методов проще и удобпее работать в рамках чисто группового подхода. Цель этого подхода — сформулировать все физические величины, относящиеся к рассматриваемой системе (такие, как спектр энергий, масс, квантовые числа, функция Грина или оператор эволюции, амплитуда рассеяния, амплитуда переходов), на языке теории представлений групп ( Ли или других групп).
Динамическая симметрия квантового осциллятора
Впервые некомпактная U(l, 1)-группа была использована при рассмотрении задачи о квантовом осцилляторе Гошеном и Лидкиным [19]. Связь осциллятора с этой некомпактной динамической группой более детально изучена Барутом [49]. Следуя этим статьям и используя принятые в пих обозначения, проведем рассмотрение динамической симметрии данной системы. Алгебра Ли U(l, 1)-группы изоморфна алгебре Ли 0(2, 1)-группы Лоренца. Три генератора этой группы, Е^，七13 и £^з，обладают коммутационными соотношениями
【乙内，厶卩兀]——Zg|A|l厶、％； gll — g22 =丄； g33 = ~ i* (4.1) Эта группа обладает унитарным представлением, задаваемым числом s, связанным с собственным значением оператора*) Казимира С:
С = ^12 (厶12 十 1) + 2Л/_М+； М土 =(力厶з 土 "з) / У 2 • (4.2) Собственные значения оператора Казимира С выражаются числом s обычным образом: s(s 十 1) = С; /)+(5)-дредставление ха-
рактерно тем, что собственное значение m оператора Z12 ограничено снизу, причем для случая С = —% или s 二一％ это число равно т г %* Операторы 0(2, 1)-гру1шьт действуют и пространстве, базисом в котором являются функции
(4.3)(4.3)|〃〉=抬1°〉,
(4.3)
(4.3)
построенные с помощью операторов рождения а" = (% —— д/дх)/У 2 из основного состояния I 0〉= лГ%ехр(—炉/2). Операторы М± связаны с операторами рождения и уничтожения я, а следующим образом:
j^+ = — ("' /Н2)(£「2 + %)% ； М— 1■二(а/]/"2)(&г2 —•
(&4) Коммутационные соотношения операторов а, а" и L12 имеют вид
[上丄 2, а】=—а； [А12, of] =(4.5)
Гамильтониан осциллятора выражается через оператор — генератор некомпактной 0(2, 1)-группы:
兆 =方3%2.(4.6)
Оператор Казимира С = Л^ —— Л^ —— Л?э при выборе пррдстав- ления в виде (4.4) тождественно равен числу, а именно С =—工/仁 Матричные элементы операторов М^ L12 в базисе | /г〉имеют вид"
⑺ I AQ /г〉= — 2-％ (" + 1) б,% n+i；(4 7)
51 AM I ")= 2T2"3哈…；5 I 乙121 ")= (" + %) 3的 n.
Можно построить также представление алгебры Ли 0(2, 1)-группы с оператором Казимира С =——1/4, воспользовавшись следующей реализацией генераторов:
〃+ = V а^a J；= а ]/ /а ；Л12 = /а + %• (4.8)
Таким образом, существует динамическая группа (набор генераторов, не коммутирующих с гамильтонианом), связывающая все уровни гармонического осциллятора в одно неприводимое представление.
Динамическая симметрия ротатора
В качестве примера рассмотрим в этом параграфе динамическую симметрию другой простейшей квантовой системы —— волчка. Эта система рассматривалась в работе Мукунды, ОТэферти, Сударшана [10] и в работе Дотана, Гелл-Манна и Неемана [9] (см.
также подробную работу Бома [29]). Система представляет собой точку с закрепленным расстоянием от начала координат. Ее положение задается угловыми координатами точки па сфере. Га- мильтониап системы в случае движения по сфере задается формулой
能一D/2J,(5.1)
где L — оператор момента количества движез^ия, J — момент инерции. Поскольку спектр оператора квадрата момента ко.личе- ства движения хорошо известен, спектр энергий системы имеет вид Е[ = 1(1 -| 1)万2/2/, причем состояние с заданной энергией 右, вырождено по проекции момента Л2 на ось z. Кратность вырождения уровней энергии ротатора 22 + 1 обусловлена симметрией гамильтониана (5.1) отпоегттельтю группы трехмерных вращений. В рамках подхода, основанного на динамических симметриях, можно, как и в случае осциллятора, объединить все уровни знер- гии в бесконечный мультиилет более широкой, некомпактной, группы. Это можно сделать, построив дополнительный генератор ^, причем этот дополнительный генератор является вектором по отношению к группе вращений:
[&,尸J н毘网歹I-(5・2)
Вектор F обладает до по л шгтел ьным: свойством, что при коммутации его компонент друг с другом получаем вектор углового момента L. Базис л пространстве состояний ротатора задается сферическими функциялти У?,爲(也 ф)= 屮^・ Здесь пъ — проекция углового момента. Действие оператора на этом базисе можно задать с помощью формудг [50J
L^~ = " 士 i.厶2；/‘士 =尸1 土/2；
〃 一 H(2T"+1)(2 一质代卄1；乙3¥1 =m屮也；
й+用п 二：1/(7一叫(2一m 一1)*吗力I 一
—к(2 — ^)(2 + 仃Z 十小 / JFт+1 -г
+ Н(2 + 77J + 1乂2 + ?7i + 2) &+1屮署I;
fA = H@二m)(Z + ?n) &卫『一 mA^ 一
一 M(2 +加+人)(2一元+1) a+1子些1； (5.3)
^—^т— ]f (I т)(1 -\- 7П — 1) С"*」1 —
—У (2 +‘询(2 — тп + 1) А^т—! — U(2 — тп + 1)(£ — тп 十 2) X
X Gy屮出「
Оператор Fзадается, таким образом, своими матричными элементами, Числа А [И СI задаются формулами
IU + 1)「 SE (砂二 U
Вместо чисел /с0 и с можно выбрать другую пару констант т и р, связанных с и с формулами
“ =I тп/2 I； с = —/(signт) р/2,(5.5)
Величины т и р задают неприводимое представление SL (2, С)- группы Лоренца. Таким образом, видим, что уровни энергии ротатора можно объединить в одно неприводимое представление группы Лоренца. Причем можно реализовать различные возможности. Так, можно подсовокупности уровней Е】с Z ^ Zo рассматривать как одно неприводимое представление компактной О(4)-труппы [10], а остальную часть спектра рассматривать как представление группы Лоренца, Можно также связать с различными подсовокупностями уровней ротатора представ.тгеттие S L7(3)~rpynnbi. Объединение конечного числа уровней с разными энергиями в один мультиплет компактной группы полностью аналогично объединению уротшей многомерного осциллятора с разными частотами в мультиплет SU(汽)-группы [51]. Объединение уровней ротатора с Z -^ Zo в мультиплет О(4)-гругшьг легко выполняется с помощью переноса соответствующих формул (см. ниже), справедливых для атома водорода, где состояния с заданной энергией вырождены по моменту и момент пробегает ряд значений от нуля до п — 1 (здесь п —— главное квантовое число). Выбором параметра р в (5.5) можно менять представление группы Лоренца, описывающее весь спектр энергий ротатора.
Симметрия атома водорода
Рассмотрим, следуя [11], группу симметрии атома водорода. Как показано в работе [3], уравнение Шредингера в импульспом представлении
尊屮⑵一 金 、需匸*冲少=e¥ 3(6」)
имеет такие интегрируемые с квадратом модуля решения, которые в новых переменных 以，鏡=1 (г = 1, 2, 3, 4):
自- 一 r ?;& — 一迁一^- ；р0 = /一 2£\(6.2)
十犀Ро + Р
четырех-(6.3)четырех-(6.3)являются гармоническими полиномами вектора ^ на мерной сфере, т. е. удовлетворяют уравнению
четырех-
(6.3)
четырех-
(6.3)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что 15 операторов, вид которых подсказан аналогией уравнения (6.3) с уравнением Клейна — Гордона с массой нуль, допускающим конформ-
пую группу симметрии, изоморфную 0(4,2):
коммутируют на решениях уравнения (6,3) с четырехмерньтм лап- ласпапом. Составим из операторов (6,4) линейные кимбтшамш匚
= 一 LkH Z, Ar = 0,1, 2, . .. , 5；厶〃i 二-a%・，k = 1, 2, 3,4；
(6.5)
厶5 ~ 1/2 (八」一2匕)；厶in = 1/2(/%+ "才)；乙5n一一 /，
удовлетворяющие стандартным коммутационным соотношелилм алгебры Ли 0(4,2):
［厶i® Llm］ = i (6j/L^m + д］：тЬц 一 5m&・？ 一 6卜也(6*6)
Эта совокупность операторов и определяет сшгметрию задачи в смысле, обсужденном в §§ 1, 3.
Собственные ф^^нкции атома водорода, отвечающие главному квантовому числу N, образуют базис конечпомерного неприводимого представления компактной 0(4)—тругп1ы (с генераторами %).
Как хорошо известно, каждый вектор этого базиса полностью определяется заданием двух аддитивных квантовых чисел 1Vl и ”2， которые являются собственными числами операторов {М^ +」攸23)/2, (М23—7HlJ/2 и пробегают все (или целые, или по- луцелые) значения в области
—(N - 1)/2 & %《S - 1)/2;
—(N - 1)/2 £ v2 & (N - 1)/2.卜丿
Собственные 巾уикцик атома водорода, отвечающие главному квантовому числу N = 〃 + 1, можно реализовать как неприводимые тензорные степени 口仇&…,,％ вектора &, причем этот тензор полностью симметричеш по любой перестановке индексов и его свертка по любой паре' индексов равна пулю. Такт при N = 1 口。= 1; при N — 2 имеем четыре функции: П『)=—2£, П^ =
2Е2, 口，)= —2&з, П?)= —2£; при /V = 3 тензор Г［毋 имеет вид, пропорциональный 自芝自止 —— 自^5汴/4. Операторы (6.4) содержат дифференцирование по всем четырем переменным 自力 Волновые функции состояний атома водорода получаются из тензора П^?…,％ при условии gj — 1. Однако, чтобы получить О (4,2)-представле- ние алгебры, используем такой прием: будем пока считать эти переменные независимыми. Тогда матричные элементы операторов
(6.4) в базисе 1"??,.…标 имеют вид [И]
0山也i [2儿 4 自,标Ilf?...,加—1，"+1-
MJ W".一i [含3/36？.…『1，%+i…- 一也,几
Здесь символ (/, к) озтгачает суммироватттте по всем сочетаниям из индексов по два.
Теперь будем рассматривать эти формулы для определения того, как действуют операторы 7\,戶加 М^, / на волновые функции атома водорода,——иньтмп словами, будем считать, что в правой и левой частях равенств (6.8) в 1№%...&, принято 剧=L Новые, таким образом пределенные операторы удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям, что и дифференциальные операторы (6.4). В этом можно ;iегко убедиться непосредственной проверкой.
Следовательно, формулы (6.8) при 肾=1 задают представление алгебры операторов (6.4). Операторы I； переводят уровень Л^ в 7V + 1, а операторы /\ — н /V — 1. Это означает, что из .любого состояния последовательно можно получить всю совокупность состояний атома водорода. О(4)-симметр11я позволяет по одной волновой функции узнать все волновые функции, принадлежащие одному уровню. Более широкая О(4,2)-симметрия позволяет восстановить и все функции, принадлежащие любым другим уровням.
Таким образом, в пространство II 二二》@ П*?м,…，％， rjte』㊉一 прямая сумма пространств функций, отвечающих данному N、 построено бесконечномерное представление алгебры операторов (6.4) или их линейных комбинаций (6.5). В силу формул (6.8) базис пространства II можно получить, последовательно действуя на единицу оператором 厶・ Докажем, что представление неприводимо. Действительно, если бы существовало ненулевое инвариантное подпространство Й относительно всех операторов (6.5), то оно было бы инвариантно и относительно компактной подалгебры операторов М^. Как хорошо известно, представление компактной алгебры распадается в прямую сумму неприводимых представлений. Следовательно, и Н содержится хотя бы одна тензор-
ная степень Н〕？&,..”・ Действуя последовательно на Н*?…,％ оператором 戶加 в конечном итоге получим единицу, а как отмечалось выше, пространство Н натянуто на единицу.
Таким образом, пространство й совпадает с Н. Этим полностью доказана неприводимость представления алгебры 0(4,2) в пространстве Н.
Нетрудно проверить, что операторы Казимира для написанного представления принимают следующие значения:
О；О；(6・9)(6・9)“2 — 'ik厶屈屯 ^ 6， °з = ^iklmnp^ih ^Zm-^np«4 = L Vt L К тп L mnLnt =12.
О；
О；
(6・9)
(6・9)
Алгебра 0(4,2) содержит подалгебру де Ситтера 5 之 0(4,1), состоящую из операторов 厶〃 где г, у — 1, . . ., 5. Замечательно, что построенное выше представление остается неприводимым и относительно подалгебры 0(4,1). Вычислим операторы Казимира этой подалгебры:
Q =£订刀*=4 2-因 +1尸-；
W — WaW — 0,卩厶卩p厶8卩。
Следовательно, Qllf?.』=411倉Это указывает па неприводимость представления алгебры 0(4,1). Полное доказательство неприводимости этого представления аналогично вышеизложенному доказательству неприводимости представлепия алгебры (9(4,2).
На первый взгляд может показаться, что в проведенном рассмотрении динамической симметрии 0(4,2) атома водорода имеется противоречие. Действительно, операторы (6.4) переводят решения уравнения (6.3) в новые решения этого же уравнения, но переводят ли они решения уравнеттия (6.1) н решения этого ;ке уравнения?
Этот вопрос разреихается следующим образом. Операторы (6.4) не переводят решения уравнения (6.1) в решения этого же уравнения .Однако новые операторы, имеющие матричные элементы, задаваемые формулами (6.8), уже обладают таким свойством, при этом они удовлетворяют коммутационным соотношениям (6.6) о операторы Казимира для этих операторов имеют значения, даваемые формулами (6.9).
Таким образом, при построении динамической группы симметрии 0(4,2) атома водорода мы поступим следующим образом. Сначала в соответствии с [3] сводим уравнение Шредингера для “ис- кретттых состояний атома водорода в импульсном представлении к четырехмерному уравнению Лапласа, Затем используем известное свойство конформной инвариантности этого уравнения и явный вид генераторов конформной группы для построения в явном виде матричных элементов операторов представления группы
0(4,2), действующих уже на дискретных состояниях атома водорода, т. е. на решениях уравнения (6.1). Таким образом, уравнение (6.3) и генераторы (6.4) используются как вспомогательный прием для нахождения операторов группы 0(4,2) (в матричном виде), действующих в пространстве стационарных состояний атома водорода. Другие реализации этого представления группы 0(4, 2) в пространстве состояний дискретного спектра атома водорода построены в работах [12—16].
§ 7. Динамическая симметрия
для нерелятивистской частицы в магнитном поле
Рассмотрим сначала перелятивистскую частицу со спином 1/2 в однородном магнитном поле, следуя обычному изложению [52,53]. Гамильтониан, описывающий поведение частицы в этом случае, имеет вид
兆=~^Г(# — с")?—卩。我 (с = % = 1),(7,1)
где Л 二[Н X г]/2; ц — магнитный момент частицы; о — матрицы Паули.
Удобно в дальнейшем ввести новые переменные:
5f，
здесь частота ① задается формулой
①=еН/т,(7.3)
а магнитное поле направлено по оси z. Легко видеть, что операторы проекции импульса р%， проекции момента Mz — [г X p]z, а также проекции спина oz и координаты «центра окружности»
% = ^+(РИ — еАу}/тш; уй = У — (рх — еА^/таз (7.4)
коммутируют с гамильтонианом (7.1) и являются интегралами движения. Следуя работе [52], где применялся метод факторизации Шредингера [54, 55], введем два вида операторов — уничтожения и рождения:
а =【Рн —必工—i(j>y — е4川(2wz3)t/2；“
=【Ph — еАх + MP? — еАу)](2т(а)-Ч^
и коммутирующие с гамильтонианом (7,1) операторы
Ъ = (к0 —泌)Y^s/2 ；6' =(窃 + 勿0) Y矶)/2 .(7,6)
В переменных 己 эти операторы имеют простой вид:
а = — (〃/а(Е + а/死*)；5 = (ilV2^ - а/死)；(7 7)
Ъ =(1/М办化* + ai婚;步=(I/Ма化-а/能*).
Легко проверить, что операторы а, а才,6, 6才 удовлетворяют коммутационным соотношениям
[а, а才]—[b, Ъ^] = 1;
р「(7.8)
[а, 6] = [а, 6才J = [а" Ь] = [а^, 6Л = О,
Используя эти операторы, легко переписать гамильтониан в виде 兆=s(a 才 а + %) — ^о2Я + р\12т.(7,9)
Так как операторы %, pz, az коммутативны, собственные функции гамильтониана (7.9) можно представить в виде
屮e"z =①f&产)е冲(必Z)瘠(7,10)
где X；，一 двухкомпонентный спинор, являющийся собственным вектором оператора “： 仇 ％；" = 2sz%；；, а функция ①几】(自，占*) определяется уравнением
3("4 + %)5,唐，自*) = е&П,唐，产).(7.11)
Очевидно, что спектр энергий дается формулой
Е = Et- 2^Hsz 十龙/2办(7/2)
Собственные функции ФП1 (自,自*), удовлетворяющие уравнению (7,11), находятся следующим образом. Рассмотрим состояние ①00信 Е*) = I о, о〉такое, что
а①оо = 6①оо = 0；\ 1 ①оо I2 dxdy = 1,
(7.13)
Используя вид
операторов а и & (7.7), легко находим
Фоо = ]/ 期о/2h exp (- 1 自产).
(7-14)
Определим состояния
①…2 = |小〉一金曾」0,0〉,
(7.15)
тогда
j①机①w112dN dy = GnimQn2m2，
(7.16)
В переменных
而严吃6L%)/22 n ]/力a!而严吃6L%)/22 n ]/力a!
而严吃6L%)/2
2 n ]/力a!
而严吃6L%)/2
2 n ]/力a!
Легко проверить, что
s(da + %) I n1: n2> = (% + %)s I nn 〃>(7.18)
Таким образом,
Et = s(% + %)(7.19)
и каждое значение Et бесконечнократно вырождено по числу 孔窘. Отметим, что | п1? п» суть собственные функции операторов М2 и Го = 4 + 就：
Mz I 儿1,九2〉=(儿2 - M I九2〉；
го I 儿1, 7">=4 I 〃i,九2〉■"
В случае электрона (ц = е/2т) появляется дополнителыюе специфическое вырождение уровней энергии Ландау. Два состояния
I % + 1,九2, Sz = —%, Pz〉； I 九1, 〃2, Sz = %, Pz〉 (7.21) обладают одинаковой энергией. За это вырождение отвечает дополнительная спиральная симметрия гамильтониана (7.1), Рассмотрим операторы
义工=(。。十 + а'о_)/2； Хз = о?；
X(7,22)
Х2 к (<ш+ —凉 o_)/2i;о土 = ох +
которые коммутируют с гамильтонианом и операторами 6, 6才， На пространстве состояний с тг^〉0 можно ввести нормированные операторы Х^ образующие алгебру SU(2):
Xi = [ао+ (Ка)-% + ^а)~1^а^в^.]/2]
Х2 = [ао+ (а^ а)^1^ — (“а)-%/о_]/2К(7.23)
Хз = Оз・
Эти операторы удовлетворяют соотношениям
[Хк ХС = 2论网X,; {Х», XQ - 2®,(7.24)
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор.
На состояниях (7.21) реализуется спинорное представление спиральной 5С/(2)-группы. На состоянии с 龍工=0, s% = —1/2 операторы X】,N? аннулируются, и остается один оператор. Построенная алгебра операторов аналогична спиральной алгебре, найденной в работах для моделей релятивистского атома водорода и свободного уравнения Дирака [56].
Рассмотрим [359] пространство состояний D с фиксированным импульсом pz и проекцией спина sz. Базис в этом пространстве 28
образуют функций
囲鍔% = 6m，&E*)exp(nz)%；?.(7.25)
Рассмотрим алгебру операторов
4工=/ (а'а 十 б" + I)'%。； 4зз = — (Ка+ 血 + 1),4工=/ (а'а 十 б" + I)'%。； 4зз = — (Ка+ 血 + 1),4з = %" ("a + b% + 4)%；
4工=/ (а'а 十 б" + I)'%。； 4зз = — (Ка+ 血 + 1),
4工=/ (а'а 十 б" + I)'%。； 4зз = — (Ка+ 血 + 1),
4з = %/ (a'a 十 b% 十 1)1/з； 』32 = £ (a'a + 6“ + 1)*6；
удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[4泳,4m] = 5kt4m — 6fm4k(7.27)
Операторы (7.26) образуют алгебру U(2,l). В пространстве D реализуется одно бесконечномерное унитарное неприводимое представление алгебры U(2,1), Для этого представления операторы Казимира имеют вид
Ci = 4寸=—1；& Ai^A^i = — 1；& = A^A^iAn = — 3,
(7,28)
Подалгебра операторов 力说(勃=2, 3), коммутирующих с гамильтонианом (7.1), образует алгебру U(l,l)・ В силу этого пространство состояний D П1, базисом в котором служат состояния (7,25) с фиксированными числами pz, s2J тг工，является инвариантным подпространством относительно алгебры U(l,l). Таким образом, все пространство D разбивается в прямую сумму подпространств 〃т, базисом в которых являются состояния (7.25) с фиксированным 码：
О = $(7.29)
п1=о
В каждом подпространстве D П1 реализуется одно неприводимое бесконечномерное унитарное представление алгебры U(l,l) (дискретная серия, см. работы [57, 58]). Это легко следует из того, что операторы Казимира
зз
Со = >> 4注
i—2г, k=2
на подпространстве Dni имеют следующий вид:
Со = —п、— 1; G = тг； + 码 + 1.(7.30)
Таким образом, в представление динамической алгебры [7(2,1), описывающее дискретную часть энергетического спектра задачи о заряженной частице в магнитном поле и задаваемое операто-
29
рами Казимира (7.28), однократно входят все представления алгебры симметрии С7(1,1), задаваемые операторами Казимира (7.30). Следует отметить, что поскольку в С7(1,1)-группе существуют две картановские подгруппы — компактная и некомпактная, то возможна классификация состояний с заданной энергией при помощи компактной и некомпактной подгрупп. Собственные функции инфинитезимального оператора из компактной подгруппы дают состояния (7.25), а классификация по некомпактной подгруппе приводит к непрерывному спектру состояний.
Представляет интерес произвести классификацию состояний и по компактной U(2)-подгруппе, образованной операторами 4班(К 勃 = 1, 2), т. е. сузить представление С7(2,1)-группы (7.28) на компактную подгруппу. Представления С7(2)~группы задаются старшим весом (/「/2)т где целые числа /\ и /2 удовлетворяют неравенству %》/2- Пространство состояний D разлагается в прямую сумму подпространств:
0=2 〃启(7.31)
/1/2
В подпространстве 少九力 реализуется конечномерное унитарное неприводимое представление t/QAipyniiH (причем, как легко видеть, со старшим весом /】— /, /2 = 0), Базисом для этого представления служат функции (7.25) с фиксированными pz, sz, причем индексы этих функций удовлетворяют условию f = п、4~ ^2- Задачу о нахождении динамики поведения обсуждаемой модели можно сформулировать, как и задачу о спектре, в рамках U(2,1)-группы, Для этого заметим, что операторы координат / и у можно выразить через операторы рождения и уничтожения по формулам
/ = (2т(д)~1^[Ь + 疗 + t(a — а#)];(7 32)
у = (2т(д)~г^[1(Ь —疗)十 а + а#],
а операторы дипольного момента выражаются через генераторы С7(2,1)-группы:
d+ 二一е&М2 = — е (шсо)~^2 [ — (4зз)~% 4з1 — »4з (— /зз)—"”； (7,33) d~ = — eE*/J2 = е (zzzco)—% [ — X (— /зз)—'" 4з2 — 4з (— 4зз)~"小
Эта связь аналогична связи оператора дипольного перехода с генераторами О(4,2)-группы в атоме водорода [15]. Переход к случаю нерелятивистской частицы со спином 0 прост (卩=0 в (7.1)). Поэтому представление, описывающее состояние частицы с фиксированным % является тем же представлением U(2,l)-группы (см. (7.26) и (7.28)).
Симметрия кулоновского потенциала в n-мерном пространстве
(8.1)(8.1)Рассмотрим уравнение
(8.1)
(8.1)
屮二 0， А.=
Координаты Xi могут быть действительными и мнимыми, т. е. в операторе А п произвольное число знаков плюс и минус. Непосредственной проверкой убеждаемся, что операторы
(8-2)(8-2)Р» = — i ~^7 ； 'i =— 2,修幻f ~^у 4- (2 —")金％；
(8-2)
(8-2)
коммутируют на решениях (8.1) с лапласианом А^. Коммутацион иые соотношения следующих линейных комбинаций:
(8・3)(8・3)£施=厶 Ki,i^k =■ ),2i..・iTi + 2,
(8・3)
(8・3)
厶3n+1 =(厶+ iP亡)/2,乙气+1, n+2 - - /,厶,叶2 = (P +力厶)/2,
совпадают с коммутационными соотношениями операторов О(п,2)-группы. Интересно, что одномерное уравнение Лапласа, имеющее группу симметрии 0(3), реализует в качестве решений лишь представления этой группы, задаваемые полным моментом г/2. Оператор Казимира М2 = 3/4 тождественно. Представление конечномерно (力 = 1, 削 = 右)・ Операторы Казимира тождественно равны числам и в случае двумерного лапласиана. Многомерная кулоновская задача описывается гамильтонианом
п+1
%.(8.4)
2白а建假产、丿
Дискретный спектр этой задачи и волновые функции были найдены в [59]. В работе [36] было показано, что задача обладает 0(п + 1)-группой инвариантности. Точно так же, как и для трехмерного случая, многомерная кеплеровская задача сводится (см. работу [36J) с помощью перехода к импульсному пространству и стереографического проектирования к уравнению (8.1) в пространстве тг + 1 измерения. Однородные полиномы степени к принадлежат вырожденным уровням энергии Е& = —{2[к + (^ — —— 1)/2]2}-1. В пространстве этих полиномов реализуется конечномерное представление 0(п + 1)-группы. Решения этой задачи
можно объединить с помощью (8.3) в одно неприводимое представление О(п + 1, 2)-группы. Это представление неприводимо при сужении на О(п + 1, 1)-подгруппу. Динамическая О(п + 1, 2)~ группа для многомерного атома водорода была найдена в работах [11, 28, 31, 60].
Когерентные состояния
одномерного квантового осциллятора
Рассмотрим в настоящем параграфе важное представление, называемое часто п редста в лением когерентных состояний.
Глаубер [61] ввел термин «когерентные состояния» и рассмотрел эти состояния для одномерного стационарного квантового осциллятора в связи с задачами квантовой оптики. По существу, такие состояния —— волновые пакеты —— строились и изучались еще Шредингером [62] для установления связи между классическими и квантовыми подходами. Когерентные состояния очепь тесно связаны с представлением Фока — Баргмана [63, 64].
Чтобы изучить свойства представления когерентных состояний ,рассмотрим одномерный квантовый осциллятор с гамильтонианом 眾=р2/2т + /710)2/2/2. Введем два оператора:
/(9.1)
出=(2%)f 2(九力—涼Тр),九=]/ jnm.
Эти операторы удовлетворяют коммутационному соотношению
[а, аП - 1.(9.2)
Неэрмитов оператор а обладает комплексными собственными значениями. Основное состояние осциллятора определяется из условия
а I 0> - 0.(9.3)
Волновая функция в ^-представлении пмеет вид
То (：с) = (тд)/л^)，Л охр [— (рmsy х)2/2^].(9.4)
В этом состоянии произведение неопределенностей координат и импульсов минимально: Ар Дх =方/2. Когерентное состояние определяется как собственное состояние оператора уничтожения
а I а〉= а I а〉.(9.5)
Если решить дифференциальное уравнение первого порядка (9.5), то можно найти явный вид нормированного когерентного состояния:
1a〉=(寸)ехp[~\У 7TХ- a} +-T~^\^ (96)
Это состояние может быть получено из основного состояния (9.4) с помощью оператора сдвига 0(a):
■О(а) = ехр(аа才一а*а).(9.7)
Оператор сдвига D(a) унитарен и обладает свойствами
/Х(а) = Д-^а) = О(-а); О(а) = e-W^e-^.(9.8)
Кроме того, этот оператор сдвигает операторы a 0 a才 на комплексные числа:
D^(a)aD(a) = а + а; 0т(а)а 切(а) = “ + а*.(9.9)
Закон умножения операторов сдвига D(a) таков:
D(a)D(p)=。(境 Т 0)ехр【*2(а0* — а*р)].(9.10)
Когерентное состояние | а〉получается из (9.4) следующим образом:
|а〉= О(а)|0〉・(9.11)
Когерентное состояние | а〉можно найти в виде разложения по нормированным стационарным состояниям осциллятора (фоков- ским состояниям) I п\ удовлетворяющим условию а^а | тг〉= =п I п>:
I а> = ехр (— -i^L) ^ I п>.(9.12)
Легко вычислить скалярное произведение двух когерентных состояний (9.6):
〈В |а〉= ^ dx<^i\ /〉а |а〉= ехр (— ^ЦЁ1^- + сф*) . (9.13)
Это означает, что когерентные состояния неортогональны. Модуль скалярного произведения равен
|〈р|а〉|2 = ехр(—|а—В『)・(9.14)
Эта величина мала, если | а —— р |2 登 1, т. е. если комплексные числа аир достаточно далеко лежат друг от друга. Величина d?a связана с элементом фазового объема:
冗~以2a = n~M(Re a) d(Im а) = (2几％尸 dp dx, (9.15)
Фоковские состояния | 孔〉образуют полную систему функций
2〈71 孔〉〈孔 I N〉= 6(/ — N).(9.16)
2 И, А. Малкин, В. И. Манько33
Легко показать, что когерентные состояния также образуют полную систему функций
”т\\〈а|/〈а|%'〉◎(! = 6 (% — /').(9.17)
Любое состояние | /> может поэтому быть разложено по когерентным состояниям:
|/> = G“ |а〉〈а|/〉d2a.|/> = G“ |а〉〈а|/〉d2a.(9.18)(9.18)
|/> = G“ |а〉〈а|/〉d2a.
|/> = G“ |а〉〈а|/〉d2a.
(9.18)
(9.18)
Когерентные состояния не являются линейно независимыми. Так, одно когерентное состояние | а> может быть выражено через другие состояния:
|а> = л-1^|р> ехр @*а —甲一芈)济艮 (9.19)
Таким образом, когерентные состояния образуют переполненную систему функций, и поэтому разложение по ним не является однозначным. Матричные элементы оператора сдвига D(a) относительно состояний I "〉легко вычисляются и выражаются через полиномы Лагерра:
Dmn (а) = <ш|О(а)|п>；
(—р)(|«|2),
Dmn (а) = л/(9.20)
(詳)(-а*)71* 产卩 / '"L(I а |2), т & 加
Имеют место также следующие соотношения:
『，，d2a 2k (а)圆п (а) = 6卜皿5n.(9.21)
Любой оператор А может быть также разложен по когерентным состояниям:
А = n-2jj|a>J (a*, В)КВ I ехр (-乎-丄壯)d2a d? p. (9.22)
Здесь Я(а*,卩)=〈a | / | 卩>・
Можно ввести, кроме обычных когерентных состояний, четные и нечетные когерентные состояния. Для этого рассмотрим не простой осциллятор, обсуждавшийся в § 4, а осциллятор с непроницаемой стенкой в начале координат.
Операторы a 0 a彳 под действием оператора инверсии координат / ведут себя следующим образом:
I al = —а\/а" = - at(9.23)
Из оператора а можно построить два оператора:
А = а2; /彳=(ар,(9.24)
коммутирующие с оператором /.
Когерентное состояние осциллятора | а>, являющееся собственным состоянием оператора а, получается из основного состояния действием вейлевского оператора сдвига D(a). Оператор D(a) не инвариантен относительно замены знака координаты:
»(a)7 = D(-a).(9.25)
Можно построить два оператора, реализующих неприводимые представления группы, состоящей из двух элементов ——единичного и инверсии /: оператор.
ch(aa^ — a 东 a) = ^ID (a) + D(—a)I,(9.26)
реализующий единичное представление, а также оператор
sh(aa* — a*a)=力⑦侬)一D(—a)I,(9.27)
реализующий второе неприводимое представление этой группы. Собственные функции операторов (9.26) и (9.27) являются четными и нечетными соответственно, причем свойства четности этих функций относительно координаты х такие же, как и относительно координаты а. Таким образом, всегда можно ввести четное | &_> и нечетное | а_> когерентные состояния:
I a*〉= %(| а> + I — а»;| а_> = %(| а> — | — а», (9.28)
причем эти состояния всегда ортогональны:
<P_|a+> - $ 4t. (z) Fa+ (N) dx = 0.(9.29)
Проекционные операторы
Р+(а) = |&〉&+|； Р_(В) = |8_〉〈В_|,(9.30)
где I а+> = %+(I a I) I а+>, | pl> = ^_ (| Р |) | Р_> — нормированные СОСТОЯНИЯ
N±( I a I) = {VJ1 士 ехр(-2 | a j 叩尸％ (9.31) обладают свойствами
р[ = р土；Р^ = Р土；Р+Р_ = Р_Р+ = 0.(9.32)
Состояния I а〉образуют полную систему функций
л-1 jrf(Re a) d(Ima) | a>〈a | = E,(9.33)
где единичный оператор Е действует в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом модуля функций. Состояния | а%〉 и I а_〉по отдельности образуют полные системы функций в
2*35
гильбертовых пространствах четных и нечетных функций:
л；т \ d (Re a) d (Im а) | а土〉〈а土 | =后土.(9.34)
Связь (9.33) и (9.34) такая же, как и связь разложений в интеграл Фурье по системе функций exp(Xfcr), а также четных функций по системе функций cos кх и нечетных по системе sin Ад:. Таким образом, единичную матрицу (9.33) можно представить в виде
Е =佇 £) •(9.35)
Заметим, что строить четные и нечетные когерентные состояния I &+〉и I а_〉можно, диагонализуя коммутирующие операторы / и А, поскольку
АI а±> = а21 а土〉；/ | а土〉= 土 | а±〉・(9.36)
Используя известное разложение
I а> = ехрI и>,(9.37)
71 =0
легко написать соответствующие разложения для четных и нечетных когерентных состояний:
心=^(一乎也自12儿〉；
堂.(9.38)
I…хр(—①裔
Следовательно, если известно состояние | а+> или | а_〉，то, умножая его на фактор ехр (| а |2/2) и разлагая в степенной ряд по переменной а2, получим собственные четные (нечетные) функции квадратичного интеграла движения N — а'а.
Мы так подробно остановились на простых и очевидных свойствах четных и нечетных когерентных состояний, поскольку данные свойства переносится на любую систему, описываемую в представлении когерентных состояний. Кроме того, проведенное разбиение когерентных состоянии на четные и нечетные легко обобщить в том смысле, что можно применять к точке комплексной плоскости не только операции из небольшой группы инверсии, но и операции из произвольных групп, в частности группы трансляций, а также двумерных кристаллических групп. Действие таких групп на точку а приводит к разбиению всех когерентных состояний по представлениям рассматриваемой группы. Эти представления приводимы. Выделяя неприводимые компоненты, можно использовать хорошо разработанный аппарат теории представлений для доказательства ортогональности и полноты различных подсистем когерентных состояний. Именно эта схема и была применена при введении четных и нечетных когерентных состояний [65, 66].
Глава II
Когерентные состояния и точные решения для простых нестационарных квантовых систем
Когерентные состояния осциллятора с зависящей от времени частотой
С этого параграфа мы начинаем рассмотрение когерентных состояний нестационарных квантовых систем.
В настоящей главе будут подробно изучены простые, но важные в физических приложениях нестационарные квантовые системы, их изучение будет проводиться с помощью метода интегралов движения с существенным использованием представления когерентных состояний. Данный метод был предложен и использован в работах [67—84]. В следующей главе этот метод будет обобщен на произвольные квантовые системы, но цель настоящей главы ——максимально подробно продемонстрировать свойства метода на легко обозримых и физически важных моделях. Сначала будет рассмотрена система с квадратичным гамильтонианом—— нестационарный квантовый осциллятор с зависящими от времени произвольным образом частотами колебаний. Одномерный квантовый осциллятор с переменной частотой рассматривался в работе Хусими [85], который получил точное решение уравнения Шредингера, функцию Грина и матричные элементы оператора эволюции в виде рядов. Осциллятор с постоянной частотой, возбуждаемый нестационарной силой, рассматривался в работах Фейнмана [86] и Швингера [87]. В настоящем параграфе будут найдены все линейные интегралы движения этой системы, построены когерентные состояния и с их помощью определены амплитуды и вероятности переходов между энергетическими уровнями. Иным способом эта задача решается в [92, 186, 204].
Рассмотрим квантовую систему, описываемую гамильтонианом
где Nr ——обычные канонические координаты, р* ——сопряженные им импульсы, частоты （力 ——произвольные непрерывные функции времени и М^ ——соответствующие массы. Для простоты изложения положим М^ = 1; это означает переход к новым координатам М^ Zr, которые обозначаем по-прежнему через z*.
Волновое уравнение имеет вид
卜备一；£所十^(力喇屮=° ("i)■
Будем решать эту задачу методом интегралов движения. Для этого найдем все независимые интегралы движения. В эти операторы время уже входит явно и они не должны коммутировать с гамильтонианом. Операторы ——интегралы движения ——должны удовлетворять только тому условию, что полная производная по времени от них равна нулю. Это приводит к следствию, что квантовомеханическое среднее от таких операторов не зависит от времени. Равенство нулю полной производной по времени от оператора эквивалентно его коммутативности с оператором id/dt —— 况.Можно непосредственно убедиться, что операторы
A^t) = i 2-%匾(Мк —前(力冲】；A： = 1, 2, • . ., N, (1.2)
где функции €卜(力)суть определенные решения уравнений ( dr
% + QW«)% = U； % = |%|exp(i,j^) ,(1.3)
коммутируют с оператором td/dt —— 况瓜 являются, таким образом, интегралами движения. Имеют место следующие коммутационные соотношения:
1Дь 4『]—恥；14，4】=U, Ai] ~ 0,(1・4)
По теореме Стоуна — фон Неймана 2N операторов Акч А^ (А = =1, ...,7V) образуют полный набор. Это утверждение получается как следствие условия, что у операторов координаты и импульса нет инвариантных подпространств. Операторы А^ 瓜/爾 образованы как линейная комбинация операторов координат и импульсов (причем с помощью линейного преобразования, имеющего обратное), поэтому у набора всех операторов А^ и А^ тоже нет инвариантных подпространств.
Уравнения (1.3) эквивалентны нелинейным уравнениям (эти нелинейные уравнения использованы в работах [89, 71])
為"|® I + 僦(力)II —[т^г = °-(L5)
Можно теперь строить когерентные состояния TV-мерного осциллятора с зависящими от времени произвольным образом частотами как нормированные собственные состояния интегралов движения (1.2). Поскольку построение когерентных состоянии базируется только на_ свойствах операторов /*, /[, можно применить
38
всю технику и результаты, описанные в § 9 гл. I. Подчеркнем, однако, что мы отталкиваемся при построении когерентных состояний не от каких-то произвольных операторов с бозонными коммутационными соотношениями, а от операторов ——интегралов движения. Это важнейший пункт подхода, проходящий красной нитью через все последующие главы. Определим унитарный оператор
О(а) = JJ ехр^М —&龜)；а == (аь ... , aN), (1.6)
где c&k — произвольные комплексные числа, и построим нормиро
ванное состояние
I о, о = П п7*暖/' exp i ； A 10, о = 0. (1.7)
Эта волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильтонианом (1.1) и условию нормировки
\ П % {n-恥 I % Г1 ехрJ『1 I\ П % {n-恥 I % Г1 ехрJ『1 I(1.8)(1.8)
\ П % {n-恥 I % Г1 ехр
J『1 I
\ П % {n-恥 I % Г1 ехр
J『1 I
(1.8)
(1.8)
Действуя на вакуумное состояние (1.7) унитарным оператором сдвига (1.6), получим явное выражение для волновой функции когерентного состояния:
NJJ n—i/jg^/zexpNJJ n—i/jg^/zexp(1・9)(1・9)
N
JJ n—i/jg^/zexp
N
JJ n—i/jg^/zexp
(1・9)
(1・9)
Поскольку операторы /* инвариантны, волновая функция автоматически удовлетворяет уравнению Шредингера, что можно проверить и непосредственным дифференцированием.
Имеют место следующие формулы:
4 I %力＞ =弘1a，方＞,4 I %力＞ =弘1a，方＞,(1.10)(1.10)
4 I %力＞ =弘1a，方＞,
4 I %力＞ =弘1a，方＞,
(1.10)
(1.10)
°0 N…、II飙kA I纾尸exp—о© k=i°0 N…、II飙kA I纾尸exp—о© k=i吗丫吗丫先先
°0 N
…、II飙kA I纾尸exp
—о© k=i
°0 N
…、II飙kA I纾尸exp
—о© k=i
吗丫
吗丫
先
先
-y (『 或 + I网 产)- }(吾储'」В"?)] = П exp-y (『 或 + I网 产)- }(吾储'」В"?)] = П exp22[脸 к—}(|aj + | 阻 2)]・(1・11)[脸 к—}(|aj + | 阻 2)]・(1・11)
-y (『 或 + I网 产)- }(吾储'」В"?)] = П exp
-y (『 或 + I网 产)- }(吾储'」В"?)] = П exp
2
2
[脸 к—}(|aj + | 阻 2)]・(1・11)
[脸 к—}(|aj + | 阻 2)]・(1・11)
Кроме того, выполняется соотношение полноты
"、•••、П『'/"班 Г1 ехр [證(з — ~ф^)-
—8 k=iL*
一｝(芒a什芸a?) 一 I期12 一 务 0…_^L)卜也 =
=u6(3一五).(1.12)
Здесь под 办必 понимается произведение дифференциалов(Рак = d(Reak) d(Xmak),
Когерентные состояния | а,力〉являются производящими функциями для собственных состояний самосопряженных операторов 厶 = 4M卜，рассмотренных в [89]:
СО71]??N
|а,О = ехр (- -ЦЛ) £(：：!?*」“〉• d」3)
П「…，71^ = 0
Функции I %,力〉удовлетворяют условиям
厶I九，力〉=及m I%-")'〈?超，力I%，力〉=^nm •(1.14)
N
Здесь I а У = 2 I а* К n = (%, n2,..., nN), a 『绿—целые неотрицательные числа. Собственные состояния I п,力〉строятся с помощью линейных интегралов движения А^ следующим образом:
NN严 R
|п, о = П 1геьО= П-7-Йтг10^>-(色⑸
k=ik=i("J
Явное выражение для собственных функций оператора 1^ можно получить из явного выражения когерентного состояния | а,力〉, если использовать производящую функцию для полиномов Эрмита [223, 88]. Разлагая в ряд по переменным 必 когерентное состояние I а,圾,получаем
I n^> = n (诗)出!%吟» eхр (薪经)H% (希)• (1.16)
Эти формулы являются тривиальным обобщением результатов Ху сими, полученных для одномерного нестационарного квантового осциллятора [85]. Когерентное состояние | а,力〉，а также собственные функции | п,力〉оператора /衣 для jV-мерного нестационарного осциллятора получаются как произведение соот-
ветствующих состояний для одномерного осциллятора. Ясно, что когерентные состояния одномерного осциллятора с зависящей от времени частотой являются решениями гауссовского вида, т. е. экспонентой от квадратичной формы. Гауссовские пакеты для нестационарного одномерного осциллятора впервые были построены в работе [85], где также найдена функция Грина для такой системы. Используя когерентные состояния, легко получить эту функцию Грина для рассматриваемой многомерной системы с помощью соотношения полноты, вычисляя интеграл 乳-n J . . . j d2a I a,宓2，%>〈a,囂工,友 |. В результате вычисления этого интеграла получаем следующее выражение для функции Грина G:
G (敛2,友，非1,厶)=П (2位 sin %. I % (%)% 闻 1)-'" X k=i
X exp [ — i (sin %尸 QhyQk, i + 芽 ctg %.(。統 + Q*,i) ++*Q江*-qm*)]・ as
Здесь %. = \|®|fd力； Qk；i,2 =外|% (力i,2)|t, а вектор ж является JV-мерным вектором: 宓 = (第工,.• •,胃n)・
Чтобы выяснить физический смысл когерентных состояний I а,力〉н интегралов движения /左(力),рассмотрим их предельные выражения при стремлении частот колебаний Q* (t) к постоянным значениям ◎*• Для простоты предположим, что функции С* (力) = —С『при временах 力 < 0и §“(力)匸 Q± при 力 f со, где ◎戶'являются константами. Тогда в пределе 力 f 土 сю существуют полные системы функций начальных когерентных состояний | a, in> и конечных когерентных состояний | р, f>, а также ортонормирован- ные полные системы функций, являющихся собственными состояниями с заданными энергиямц колебаний, начальными состояниями I n, in> и конечными состояниями | ж, f>. Между начальными и конечными состояниями происходят переходы, и можно рассчитать амплцтуды этих переходов. Общее выражение для амплитуды перехода, связывающей начальное состояние | in> и конечное состояние | f>, дается матричным элементом
* =〈屮+8〉，(1-18)
где I t f оо> есть предел при t f g состояния | 力〉，которое имеет в качестве своего предельного состояния при отрицательных временах 力 < 0 начальное состояние | in>. Можно выбрать такие начальные условия для решений уравнений (1.3) или (1.5), чтобы иметь корректные предельные значения при стремлении 力^оо для когерентного состояния | а,力〉и фоковского состо-
яния I п,力〉，т. е.
(1.19)(1.19)%(一g)=(Q?)T2exp (力。");
(1.19)
(1.19)
% (- c0) = i gГ)* exp (4").
Такой выбор начальных условий приводит к следующим предельным выражениям для интегралов движения 4(力)：
&(— ОО)三 4n = 2T"口 * (Qf 产 + 1ркт~11г] е 咻(1.20)
Тогда очевидно, что состояния | а, — со> и п, — оо> будут совпадать с начальными состояниями | % in> и 篦，in>, построенными с помощью операторов (интегралов движения для стационарного осциллятора) 4『 по тем же формулам, по каким строились состояния I % 力〉и I %,力〉с помощью операторов A^t).
Приведем явные выражения для начальных состояний | a, in> и I n, in>, относящихся к предельному случаю начальных частот Q^n:
I % in〉= n (手)exp (_ 4 Q^ 卜 _ (金户a.e 叫]-
-1外产"；(1-21)
I in> = JJ 2"71 J2n-/«("^p) exp[ — ；QM —
-i (臥 + 千)§夕 “ Hn]t E (Q『)*” (1-22)
Эти состояния опять являются произведениями соответствующих состояний для одномерных осцилляторов. Конечные состояния I у, f> и I ж, f> даются теми же формулами^ (1.21) и (1.22) с соответствующей подстановкой ◎}" —> R^. Когерентные состояния для осциллятора с зависящей от времени частотой описывают максимально классическое состояние в том же смысле, что и когерентные состояния стационарного гармонического квантового осциллятора с постоянной частотой.
В предыдущих параграфах обсуждался физический смысл собственных значении а% операторов 4k при заданном к; модуль I а^ I определяет классическую амплитуду колебаний в фазовой плоскости переменных (р^,第杷),а фаза 屮(о^) комплексного числа а/г является классической фазой колебаний рассматриваемого осциллятора. Классическое движение в фазовой плоскости переменных S (2睐п)$,外(QH/2)%) является движением по окружности с радиусом I а* |. Поскольку оператор 4(力)есть интеграл движения, то его собственные значения а* в состоянии | а,力〉связаны с координатами начальной точки фазовой плоскости, откуда
началось классическое движение. Естественно, для переменной частоты Rr (力)это движение более сложно, чем движение по окружности, но если ввести зависящие от времени координаты
4 = %(I % I 2%)т； Р； = 2% (Pr I % I - % d I % I画，
то из соотношения (1.3) очевидно, что в новых переменных мы опять имеем окружность радиуса | а* |. Для TV-мерного осциллятора фазовое пространство является 27^-мерным, и в зависящих от времени координатах 丸 рК к = {,.…N, мы будем иметь классическое движение по 2%-мерно宜 сфере с радиусом | а |. Начальная точка этого движения определяется 2爾 действительными числами, и имеется N комплексных интегралов движения а*," = =1, . . .,7V,— собственных значений несамосопряженных интегралов движения 4虱力.
Амплитуды перехода в нестационарном осцилляторе
Обратимся теперь к расчету амплитуд перехода (1.18). Для такого расчета необходимо выразить операторы 力卜(力)через конечные операторы Л^, относящиеся к постоянным частотам Й^. Имеем
4 M = ША{ + %«)(就巾(2.1)
Здесь зависящие от времени комплексные функции ^ (力)и %(力) следующим образом выражаются через функцию £虱力)и ее производную 前(力：
贏⑴=扌”回⑴倒产一点⑺侬)叫；
1b⑴=4■尸叩回(力(或产+点⑺囱)一"
Коммутационные соотношения (1.4) приводят к ограничению
I 贏 У — I % i2 = 1,(2.3)
которое, как можно убедиться прямой проверкой, удовлетворяется. Общее решение уравнений (1.3) в пределе 力 f оо для постоянных частот С^ может быть записано в виде
或=(或尸/&е味一阀尸/飞卢师.(2.4)
Здесь комплексные числа ^ и “卜 являются константами. Следовательно, амплитуды перехода, которые мы хотим найти, полностью определяются этими константами ^ и 刀卜(поскольку решение волнового уравнения выражено через функции % (£)).
Удобно ввести также компактный (BQ и некомпактный (6Q параметры с помощью следующих формул:
cos 0, = 1 - 2 I 加傲 I2; ch 6卜=I & I 2 + I I 2.(2.5)
В случае одномерного осциллятора и зависящей от времени частотой некомпактный параметр 6* использовался в работе [72]. Решения I а,力〉и I п, £> для "-мерного осциллятора являются п р о из ведениями соответствующих решений для одномерного осциллятора, поэтому амплитуды переходов для /V-мерного нестационарного осциллятора являются произведениями соответствующих амплитуд для одномерных осцилляторов.
Амплитуды переходов между различными энергетическими состояниями для одномерного квантового осциллятора были получены Хусими [85]. Выведем формулы для амплитуд переходов между когерентными состояниями. (Заметим, что, по существу, эти формулы содержатся в работе [85], где строится производящая функция с помощью гауссовских пакетов, но необходимо произвести некоторые дополнительные преобразования, чтобы перейти к нашим формулам.) Приведем результат для Л^-мерного осциллятора:
森=П &)%ехрН + а/ — (т*)2 ^ — I 州 |2 — I % 耳卜
I(2.6)
Амплитуда перехода (2.6) между когерентными состояниями есть не что иное, как функция Грина осциллятора с переменной частотой в представлении когерентных состояний. Получается эта функция Грина интегрированием, соответствующим взятию скалярного произведения〈丫，f|a>. При этом интеграл факторизуется в произведение одномерных интегралов, каждый из которых есть простой гауссовский интеграл типа
\ exp (— № + 版)d/ = M子尹/陋
Имея амплитуду перехода между когерентными состояниями, можно получить все остальные амплитуды простым дифференцированием. В случае осциллятора это дифференцирование особенно просто, если использовать опять производящую функцию для полиномов Эрмита [88]. Для переходов из состояния с заданной энергией в когерентное состояние | n, in> f |『f> получаем следующее выражение для амплитуды:
窓=П^ [ 4^『ехр {- ± [| % |2 + (丫疗附} х
、" 7M (2参%]• (2-7)
Для переходов из когерентного состояния в состояние с заданной энергией | a, in> -^ | ж, f> соответственно имеем
(2.8)
Функция Tgexp [| а |2/2 + | 丫 | 2/2] является производящей функцией для полиномов Лежандра, Действительно (см. формулу (II. 5.1) в [88]),
ехp卜2蛋 + аy*子 一(y*y专]=
co卩
—> p! 2P exp ( ，PTj ^(—若"*(,)(2.9)
(мы для простоты опустили индекс А). Здесь трехмерный вектор 二 имеет координаты 匚 =(—cos 歹 0; sin 玄 0 cos 屮刀； —sin 万 0 sin 屮“) и cos 1/2 8 = 1 / I 自 |. В другой форме (p + q = m, p — q =恥 правая сторона равенства (2.9) имеет вид
У, £-■编一ехр [亍储—га)(pn - -J- (m + n) <pj X
xP^；^(cos；e),(2.10)
где числа тип имеют одинаковую четность.
Таким образом, амплитуда перехода Т^ имеет вид
Тп = <ж, f I %,力f со〉=
=П (謂"У exp [у g -陶恤-IK + 耿)％] X
X P(m：+n：)/2(cos 44- (2/1)
Выражения для Т£, Г„ (2.8), (2.11) являются функциями Грина, отвечающими переходу из состояния | а> в состояние I ж> и из состояния I %> в состояние | ж> соответственно. Таким образом, выражение для 7胃(2.11) есть функция Грина осциллятора с переменной частотой в дискретном базисе. В соответствии с обсуждением подобных величин в § 2 гл. I амплитуду Тп можно рассматривать как функцию распределения; для нее, в силу унитарности оператора эволюции, справедливы условия
I Tf 12 ^ 1 (см. формулу (2.14) гл. I). Матричный элемент (2Л1) является интегралом от полиномов Эрмита и квадратичной экспоненты следующего вида:
Т瞿 со \ Нт (ас) 偉力)dx.
Выражение этого интеграла через полином Лежандра приведено в [88]. В другой форме для одномерного осциллятора эта амплитуда приведена в работе [85] (в виде ряда) и в работе [72].
Для вероятностей переходов между энергетическими состояниями легко получаем
= n I 叱沁% (cos 闻. (2.12)
Это тривиальное обобщение результата для одномерного осциллятора на многомерный случай. Такое выражение вероятности перехода через полином Лежандра в одномерном случае было получено в работе [92].
Когерентные состояния заряда в однородном переменном магнитном поле с векторным потенциалом 4= [H(t)xr/2]
В этом параграфе рассмотрим еще один случай квантовой системы, описываемой нестационарным квадратичным гамильтонианом, чье поведение задается опять функцией е (力),подчиняющейся классическому уравнению колебаний с переменной частотой [72].
Рассмотрим частицу с массой М и зарядом е, движущуюся в классическом электромагнитном поле с потенциалами
4 ⑴=[Н ⑴ X г/2];屮=”")(兴 + 沙2М,(3.1)
где г — вектор, задающий координаты частицы, Н (力)一аксиально-симметричное, однородное, переменное во времени магнитное поле, % (力) 一 произвольная функция 力.Скалярный потенциал Ф соответствует аксиально-симметричному, зависящему от времени, однородному распределению плотности заряда, равной ——е% (^)/(2лМс2). Такой потенциал рассматривался в работе [89]. В случае X (力)=0 имеем переменное магнитное поле Н (Е) и электрическое поле, связанное с изменениями этого магнитного поля. Выберем направление оси z вдоль магнитного поля Н, тогда Ах = 0. Движение вдоль оси z является свободным. Поэтому часть гамильтониана, отвечающую этому движению, опустим. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
% = (2М)т [(/?# — е4)2 + (ру — еАу)2] + е(р 伍=с = 1).
(3.2)
Зависящая от спина часть гамильтониага в этом параграфе не рассматривается. Потенциалы (3.1), удовлетворяющие уравнениям Максвелла, могут создаваться соответствующими распределениями плотности тока и зарядов. Обычно с хорошей точностью эти потенциалы описывают электромагнитное поле в соленоиде с переменным током.
Как и в предыдущем параграфе, найдем сперва линейные интегралы движения. Прямым расчетом можно проверить, что следующие два комплексных оператора являются такими интеграл алш движения:
4 ⑺=24— Iе (t)(p*十忆)-iM； «)(" -汝)]exp 长 \ 3 ⑴甸；0 3) В (力=[е ⑴ &+ ip^ — iMe Q)(工—iy)] exp [—多 \ з (T) &斗 Здесь co (т) = eH(^)IM и функция е (力)есть решение (частное) уравнения
(3.4)(3.4)еЦ- Q^(i)e = 0；Q2«=十寸⑴+ 乐％(》
(3.4)
(3.4)
Операторы (3.3) коммутируют с оператором id/dt —兆；следовательно, dA/dt — dBldt = 0. Чтобы получить не зависящие от времени коммутационные соотношения операторов Л, Л^ и В, 5储 выберем специальное решение уравнения (3.4):
е (力)=I е I ехр «备，I е (т) |~2 砌.(3.5)
Уравнение (3.4) сводится в этом случае к нелинейному уравнению (1.5) [71]:
4^ + Q^(i)|eI- (-1-)2!6!-3 = 0.(3.6)
Имеют место следующие коммутах(ионные соотношения:
[Л, Л^ ] - ® 5^] = е/ I е I；【4 В] = [Л,加]-0. (3.7) Для частиц с противоположными знаками повышающие и понижающие операторы А^ В и Л^, В^ меняются местами. Для простоты считаем е〉0.
В работе [89] был найден один самосопряженный квадратичный интеграл движения, который можно выразить через найденные инварианты (3.3) следующим образом:
К (i) = Л^ «)4 ⑴ + 力.
Вследствие аксиальной симметрии рассматриваемого электромагнитного потенциала, проекция углового момента на направление магнитного поля также является интегралом движения и ее можно
выразить через найденные интегралы движения А и В следующим образом:
4 - В^В 一 4s.
Чтобы выяснить физический смысл интегралов движения Л и 5 в рассматриваемой задаче, исследуем их пределы (при Е f — оо) для построенного магнитного поля. Здесь предполагается, что Н (Е)=五也 и 屮(Е) = 0, если Е V 0, так что Й (Е)= =®п/2・ В пределе Е f — оо выбираем в качестве решения уравнения (3.4) следующее выражение:
£ (一 °°) = ^~g-~) ехр (彳 СО]") ；£ (— ^°) = 2 3山£ (— °°)- (3.8)
Причина такого выбора будет объяснена ниже. При начальных условиях (3.8) предел интегралов движения (3.3) при Е f — оо дается следующими формулами:
4n = М(и^1г [у — Уо — i(X ~ &)] exp (iSinf)；
5п == (%(х0 — Wo),'
где операторы g =工/2 + py/M(i>\a; г/0 = у/2 — pJMsm — хорошо известные [53] координаты центра орбиты частицы, движущейся в постоянном магнитном поле.
Из соотношений (3.9) ясно, что собственные значения инварианта 8m определяют координаты центра орбиты в плоскости ©у, а собственные значения оператора Л|Пехр(1 电工)задают текущие координаты центра волнового пакета. Следовательно, сам интеграл движения Лщ связан с координатами начальной точки движения относительно заданного центра орбиты. Для классического движения существует четыре независимых интеграла движения в соответствии с четырьмя степенями свободы (движение в плоскости 芻 у), и то же самое имеет место и в квантовом случае. ■
Тем же способом, которым были введены когерентные состояния в предыдущих параграфах для Ммерного осциллятора с зависящими от времени частотами, можно ввести когерентные состояния для заряженной частицы, движущейся в зависящем от времени электромагнитном поле, определенном вектор-потенциалом (3.1). В этом случае имеется два понижающих оператора Л (Е) и В(Z) и когерентные состояния задаются двумя числами аир：
|а, К/〉= ехр (—J^ — 1|Л) ^ £)项 ％ » 0」°)
где а и В — постоянные комплексные числа. Здесь состояния
…I 0,0"〉
являются решениями уравнения Шредингера (泪/。£ —咏)4f — О и в то же время являются собственными состояниями интегралов движения К (Е) и £?：
k I 九 1,%； О =仇 + 负 I ①%；。；g
、4 /(3.12)
4I孔1，孔2； 0 =(孔2 -孔I)I孔П%； >
Когерентные состояния (3.10) суть собственные состояния зависящих от времени инвариантов A (t) и В (Е):
4 ")| а,р; £〉= а I а,р; £〉； В ") | а,р; £〉= В | а,р;〉(3.13)
Физический смысл собственных значений аир обсуждался выше. Имеются два унитарных оператора сдвига:
D (а) = ехр (а/才—а*Л), D~r (a)AD (а) = / + а;
D (р) = ехр (р加-р*5),D~^ ^}BD (р) = 5 + р,①-伍)
которые коммутируют друг с другом: [D (а), D (0)] = 0. Явный вид когерентных состояний | а, р, £〉можно найти, действуя на вакуумное состояние
|0,0；/〉=偿广£Техр《粵笈 *) (^ = X + iy) (3.15) операторами (3.14):
|&В；Е〉= 0(а)0(В)|О, 0；《〉=
=(В)" 6-1 ехр 卜嚟厶*) ехр [ - % (| а 产 + | р |2) +
+ е% I е I 庇е』-+ 2аС*е』+) — ia^H(v+ +?-)],(3.16)
где фазы у土 определяются следующими формулами:
Y士⑴= /\[1ё⑴户± 〃(初丸
Собственные состояния | 孔工, 孔纟；О операторов К и Lz ортонор- мированы:
，，dx dy YП1п2(X, у、t) 'Р?П1?П2 (/, 2Л %) = 6rlim〔bn?7nz.
Имеет место следующее соотношение:
ЛJ JЛJ J|е|-2ехр[-4(1«|2 + |Р|2 + |« |2+|^|2 +
ЛJ J
ЛJ J
+ 备■ (Р*С*戶-—ia*0v+ + ia*B*e£Q++v-)+ 吃e』-十
+ 壮已*尸¥+— ia'B'e_"¥++¥-))] dxdy =
=exp [a*a‘ + p隼一%(1aE+1优f+1砰+1 于凯 (3.17)
Таким образом, когерентные состояния (3.16) ортонормированы, но не ортогональны. Можно ввести когерентные состояния по отношению к одному из операторов Л или В.
Рассмотрим собственные состояния инвариантов К и 8:
「К I 仆，Р； D =⑸ + 7г) I 九 и Р； D； В \ ® P；Z> = Р I nv р； > (3.18)
Легко проверить, что функции | 孔曾 0; %〉=夕(В) | nv 0;力〉,явное выражение для которых имеет вид
1пь р；<>=(я/чп1е-1[й^-рНП1х
X eхр «察么* +备限』--加m - } I砰)，(3.19) подчиняются условиям (3.18), а их скалярное произведение имеет вид
51，Р; q 飞，F；垃=6nimi exp [p*F 一弓(I 评 + I p」2)]. (3.20)
Когерентные состояния | cc, n2; £〉 можно построить таким же способом: I а, тг2； £〉= О (а) | 0, п2; £〉. Когерентные состояния (3.19) являются производящей функцией для состояний | 孔工,п2\ ^, для которых можно получить явное выражение, разлагая их в ряд до степеням комплексного числа 0, что дает тот же ответ, что и дифференцирование по переменным ос и р когерентного состояния I а, В； £〉. Имеем в результате следующее выражение:
I孔1,孔2； Е〉=严I孔1,孔2； Е〉=严Г р! еп"1 ]%(叩2、|nf 2|/2L(p + 1几1 十 &1)! J (FF)Г р! еп"1 ]%(叩2、|nf 2|/2L(p + 1几1 十 &1)! J (FF)X exp i 2Г p2 + i (и2 — П1)(P — Ш1У+ — in2y_X exp i 2Г p2 + i (и2 — П1)(P — Ш1У+ — in2y_以尸磊,以尸磊,(3.21)(3.21)
I孔1,孔2； Е〉=严
I孔1,孔2； Е〉=严
Г р! еп"1 ]%(叩2、|nf 2|/2
L(p + 1几1 十 &1)! J (FF)
Г р! еп"1 ]%(叩2、|nf 2|/2
L(p + 1几1 十 &1)! J (FF)
X exp i 2Г p2 + i (и2 — П1)(P — Ш1У+ — in2y_
X exp i 2Г p2 + i (и2 — П1)(P — Ш1У+ — in2y_
以尸磊,
以尸磊,
(3.21)
(3.21)
где целое число р =(孔工 + тг2 ——| 孔i —— 孔2 |)/2； (p и p — полярные координаты частицы, а 弓(х) — полиномы Лагерра.
Когерентные состояния (3.16) образуют полную систему функций. Действительно, можно проверить, что
В , ©2а 邺 g I е |т ехр [ — I a F — IВ『十力嘤乗，仔 *
X 侬0母一 + i^e-^ - 2邓6-2++吟)一 i 装泳^ +存 X
X (P*K产一 一必喝户+ + ia*/J(f)] = 6 (/ 一电)6 伍 一方).
(3.22)
Поэтому ДЛЯ произвольного СОСТОЯНИЯ I /〉с волновой функцией 屮了(％，У)мы имеем следующее разложение:
I/> =厂 \ 西呻 I必仇 f〉/ (а*,炉)ехр.[-手(| а|2 +」砰)]• (3.23)
Здесь коэффициенты разложения / (а*, р*) определяются формулой /(«*，/) = \ W dy 写也 у) (-^)1/2(£*)Т X(B*g*d¥-—йх 竺е许+ + iaЗдесь коэффициенты разложения / (а*, р*) определяются формулой /(«*，/) = \ W dy 写也 у) (-^)1/2(£*)Т X(B*g*d¥-—йх 竺е许+ + iaX ехр — iX ехр — iм2*м2*2ё*2ё*厂厂*丄Ugк +кг厂厂*丄Ugк +кг
Здесь коэффициенты разложения / (а*, р*) определяются формулой /(«*，/) = \ W dy 写也 у) (-^)1/2(£*)Т X
(B*g*d¥-—йх 竺е许+ + ia
Здесь коэффициенты разложения / (а*, р*) определяются формулой /(«*，/) = \ W dy 写也 у) (-^)1/2(£*)Т X
(B*g*d¥-—йх 竺е许+ + ia
X ехр — i
X ехр — i
м2*
м2*
2ё*
2ё*
厂厂*丄Ug
к +кг
厂厂*丄Ug
к +кг
Для состояния I /г】,几2； £〉имеем следующее разложение по когерентным состояниям:
4• 24• 2If〉=厂环呻I а, Р； О喏聲exp (-鼻期
4
• 2
4
• 2
Это разложение является обращением разложения (3.10).
Используя явный вид когерентных состояний | а, 0; £〉, можно найти явное выражение для функции Грина уравнения Шредингера, описывающего движение заряженной частицы в переменном электромагнитном поле. Соответствующая формула такова:
G(g,42, ё2；奶，Ui,幻=
=产二exp网卷(如*D +ki^lsiny I [4e \ 2 躅d号丿
+ } (Ki 一 兄2尸 ctg ? + [冗1 X J?21z]} *(3.25)
Здесь Y =备，I e (t) |t dt； Ri = рщ-(署 + у旷,а фаза двумерного вектора _R^ определяется из соотношения
屮用=arctg (%/%) — 丫_ (幻，i = 1,2.
Эта функция Грина является обобщением функции Грина для уравнения Шредингера, описывающего движение заряда в постоянном магнитном поле, полученной в работе Зондхаймера и Вильсона [90].
Функция Грина в координатном представлении (3.25) получена тем же способом, что и функция Грина осциллятора с переменными частотами. Знание когерентного состояния в явном виде (3.16) позволяет, вычисляя интеграл
"一2 "2al d2%〈工2, у2； f2 I 出，a2> кa? | /,力；匕〉，
получить искомое выражение. Таким образом, задача сводится к взятию известного гауссовского многомерного интеграла, часто используемого в дальнейшем (см. [88]):
8
(...^ ехр (——^- хах + bx)dx= [(2л)~ det 口-丄]% 外厂'饵 (3.26)
N
Здесь хах есть 』£浊屈3； матрица а такова, что интеграл £,м=1
сходится.
Соотношение (3.10) показывает, что в когерентном состоянии I а, р； £〉 распределение по квантовым числам 孔工 и и2 является распределением Пуассона
I〈а, Р；"九1,初 f〉12 =」鳴?門-exp (- I 评一I Р 产).
Чтобы выяснить физический смысл когерентного состояния I а, В； £〉, рассмотрим, как и для осциллятора, предельный случал при Е —>— оо. В таком пределе, если выбрать е согласно формулам (3.8), это когерентное состояние совпадает с начальным когерентным состоянием | а, 0; in〉для заряженной частицы в постоянном магнитном поле Ящ. Состояние | а, 0; Е f — оо〉= =I а, В； in〉 содержит зависимость от времени и подчиняется уравнению Шредингера i dWIdt =能可. Начальное когерентное состояние, как легко показать, имеет вид
I а, Р； in> = (Mcoin/2rt)1/2 exp [― % 心mf — % M^J^1 — % | а 产一
一 ％ I 砰 + (% M®n产哄 + i^^) 一 i^e-^]. (3.27)
С точностью до постоянного множителя интеграл движения К (—оо) совпадает с начальным гамильтонианом 招п：
能In = 3inK (― 8)= «in (Л1пЛ1п + %),(3.28)
где оператор /т дается формулой (3.9). Таким образом, собственные состояния I /г】, тг2； in〉 совпадают с хорошо известными собственными состояниями операторов энергии и проекции углового момента на магнитное поле £г для заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном магнитном поле. В классическом случае эта частица движется в плоскости %, у по окружности с центром в точке &, у。). Поскольку | а, 0; in〉есть собственное состояние операторов 4[口 и 方in (см. уравнения (3.13)), ясно, что ожидаемые значения операторов координат относительного движения, а именно величин 胃一/ и у — у。，совершают гармоническое колебание с амплитудой | а | (2/71/3也)％. Координаты центра орбиты связаны с числом 0. Эти координаты по осям абсцисс и ординат равны (2Mfcoiu)1^Re р и (― 2/71/3加"2 1mB соответственно. Таким образом, когерентные состояния | а, 0; in〉 являются максимально классическими состояниями для заряженной частицы, движущейся в постоянном однородном магнитном поле Нт・
«Полукогерентные» состояния | п^ 0; in〉 являются наилучшим классическим приближением к стационарному состоянию с фиксированной энергией. В этих состояниях координаты центра орбиты волнового пакета х0 и у0 заданы с самой малой воз-
можной неопределенностью, отвечающей принципу неопределенности Гейзенберга. В то же время координаты относительного движения уже не отвечают в данном состоянии этому условию минимальности. Максимальная классичность в этом смысле квантового состояния имеет место только для состояния | а, 0; in〉, которое когерентно по отношению сразу к двум операторам: Лin и 方т. Точно так же волновые пакеты | а, 8； О описывают в рамках строго квантового подхода максимально классические состояния заряженной частицы в аксиально-симметричном, зависящем произвольным образом от времени электромагнитном поле. Разумеется, в этом случае координаты % и у совершают более сложное движение, уже не являющееся гармоническим.
Амплитуды переходов между уровнями Ландау
Предположим теперь, что электромагнитное поле постоянно в далеком прошлом и становится постоянным в далеком будущем. Предположим, таким образом, следующее:
Я (Е) = Яь；屮(0 .= О； Е V 0；
Я ⑴=Яг； ф (Z) = 0; f f + 8.(4」)
При этих условиях, когда £-> 土оо, существуют начальные и конечные когерентные состояния, а также энергетические уровни Ландау. Можно поставить задачу о нахождении вероятностей переходов между этими состояниями или, что то же самое, о параметрическом возбуждении рассматриваемой системы с помощью переменного однородного магнитного поля. Амплитуда перехода, связывающая начальное | in〉и конечное | f〉состояния, дается матричным элементом (1.18). Выше уже было выбрано решение дополнительных классических уравнений (3.4) при больших отрицательных временах Е —>—оо (см. соотношение (3.8)). Причина такого выбора состоит в том, чтобы удовлетворить условию [К (—оо), ^1П] —0.В таком случае в пределе —оо собственные состояния операторов К и Lz совпали бы с решениями Ландау для постоянного магнитного поля 五也,а когерентные состояния I а, р； Z ~> —оо〉совпали бы с начальными когерентными состояниями I а, В； in〉. В пределе t —> +оо зависимость от времени Q (Е) приводит к более общему решению уравнения (3.4) и, вообще говоря, [К (+оо), 舞J % 0, а состояния I 孔1,孔2； +°°〉 и I а, р； +оо〉 не совпадают с соответствующими конечными состояниями, но, естественно, могут быть по ним разложены в ряды и интегралы соответственно.
Определим конечные операторы At и 5f следующим образом:
4r = (2Mat)~'h exp [i (att + <p0)l ^Px + фу + 1/г ^®f (y — E)];
Bt = (2M2尸/%-池电 + ip* + %M^t(x -iy)].&2)
Здесь фаза 屮。определена равенством
中。=m"3⑴-3/山.0
Это определение конечных операторов А^ и Bt отличается от соответствующего определения начальных операторов 4n и 5n (см. (3.9)) на фазовый множитель exp (+ i(p0). Конечные состояния (относящиеся к постоянному полю Н0 даются следующими формулами. Конечные когерентные состояния | у, 6; f〉：
I у, 6; f〉= (Mat/2n)12 ехр(— li[ia(t + % 加％厶* + | ?卩 + |6|] +
+ (% 〃％产厲揃。+ 呐* exp [ — i (%f + cp0)]] - iy也-加力｝； (4.3)
конечные состояния | 相工,zn2； f〉 с фиксированными энергией и проекцией углового момента на магнитное поле:
Т) _ Г р!冗 V/2
I ^ь ^2； f> = (— 1)P i 1 [(p 十 |加]—"电|)_| exp [i (m? — mi)((p +(p0)—
-% M^-i^ + %)啲(% "%炉产一*/2 次El(% Mfflfp2)j
где p = %(wh + тп2 — I т^! — тп2 I), а угол 屮 и величина р — полярные координаты двумерного вектора на плоскости 伤 у. Интегралы движения / и 瓦могут быть выражены через конечные операторы (4.2) следующим образом:
4 (°°) = Mf + 刀瓦；В (оо) = т]Л^ + 出г,(4.5)
где комплексные величины 三 м 刀 являются пределами при больших временах Ет оо двух функций 三(Е) и 刀(Е):
Поскольку решения волнового уравнения выражаются через функцию е (Z), все амплитуды переходов в этой задаче полностью определены параметрами £ и 小 Можно также использовать компактный (0) и некомпактный (6) параметры:
cos0 = 1-2 I 刀/三 |2; ch 6 = I g |2 + I Л I2. (4.9)
Рассчитаем сначала амплитуды переходов между когерентными состояниями I а, 0; in〉и | у, 6; f〉. Вычисление этих амплитуд сводится к вычислению двукратного интеграла от экспоненты, показателем которой является квадратичная по переменным 胃 и у форма. Ответ может быть представлен в следующем виде: 徹8 = <?, б; f I а, р; Z оо> =
=г1 ехр [— %(I а |2 + I В『+ I Y |2 + I 5『)+
+ &т (сфг|* + М* + ау* —刀丫*5*)]・(4.10) Из определения когерентных состояний следует, что амплитуда перехода 7^ задает производящую функцию для всех остальных амплитуд. Например, разлагая правую часть равенства (4.10) в ряд по степеням у* и 5* и сравнивая это разложение с соотношением
T”exp[—；(|Y|2+|g] £ 噜署絹圖7 (4 ⑪ 7П1, ТП2—0' 12 '
мы найдем амплитуду перехода Т缴^ между начальными когерентными и конечными состояниями с заданной энергией и проекцией углового момента на направление магнитного поля: 蹴=(然"(-紋传)…曙以广券，2网；- 吋=(黯"(Т广闺5喘出г嚅)，W1<^2, (t'12) где Lp (%) — полиномы Лагерра. Вычисление данной амплитуды, по существу, является вьпислением интеграла следующего вида:
^^coJJ dxdy [а (к? + y2)]s/2Lp [а (к? + у2)] ехр [а (逆 + 外)+
+ bx+су].
Разлагая правую часть равенства (4.10) в ряд по степеням а и р, получим аналогичную амплитуду перехода между энергетическими состояниями и конечными когерентными состояниями:
偌广(-旷偿尸制区广(一器)，兀А喝4山
*-(若户(T广管尸瑞丁 (一龄)з
Вычисление этой амплитуды сводится к нахождению интеграла того же типа. В формулах (4.12), (4.13) величины Т^, 7\? даются формулой (4.10), где полагаем сперва у = 5 = 0, а затем а = 0 = =0. Амплитуды переходов между «полукогерентными» состояниями могут быть вычислены тем же способом.
Представляет большой интерес вычисление амплитуд переходов между состояниями с фиксированными энергиями и проекциями углового момента на направление магнитного поля. Их можно получить, разлагая, например, амплитуду перехода Т^^2 в ряд по степеням переменных аир. Для этого можно воспользоваться формулами дифференцирования полиномов Лагерра [88]. В результате получаем для разных случаев следующие выражения:
п2〉n1? mt > nh i = 1, 2;
7Z? =「（一 1门小7Z? =「（一 1门小心！吟 ）%（产）削（刀*）g-%心！吟 ）%（产）削（刀*）g-%p2Xp2X(J 2 昌 J)； &14)(J 2 昌 J)； &14)
7Z? =「（一 1门小
7Z? =「（一 1门小
心！吟 ）%（产）削（刀*）g-%
心！吟 ）%（产）削（刀*）g-%
p2
X
p2
X
(J 2 昌 J)； &14)
(J 2 昌 J)； &14)
m2)孔1，人 V吃，:=1, 2;
7mlm2 _ t-1 /出！，因М2 М7mlm2 _ t-1 /出！，因М2 М（；*严1⑴*严一叫（；*严1⑴*严一叫・(4.15)・(4.15)
7mlm2 _ t-1 /出！，因
М2 М
7mlm2 _ t-1 /出！，因
М2 М
（；*严1⑴*严一叫
（；*严1⑴*严一叫
・(4.15)
・(4.15)
Здесь「竹 °)— полиномы Якоби, а сохранение проекции момента количества движения на направление магнитного поля Lz приводит к условию тг2 — п± — m2 —確工,что учитывается в формулах (4.14) и (4.15). Эти формулы относятся к случаю положительной проекции момента Lz > 0. В случае отрицательной проекции момента можно получить те же самые формулы (4.14) и (4.15), но с заменой индексов 1^2. Для вероятностей переходов соотношение (4.14) дает следующее выражение:
加2： "/ y^?rii—Hi(1Е)簡2-TU+IJMi, n2—?ii) |2加2： "/ y^?rii—Hi(1Е)簡2-TU+IJMi, n2—?ii) |2&16)&16)
加2： "/ y^?rii—Hi(1Е)簡2-TU+IJMi, n2—?ii) |2
加2： "/ y^?rii—Hi(1Е)簡2-TU+IJMi, n2—?ii) |2
&16)
&16)
где R 二 I 硏 I 2 < 1 (через параметры 0 и 6 параметр R выражает
ся так: Rся так: R=sin2 -^-0 — th2 ；5. Случай б) описывается той же фор
ся так: R
ся так: R
мулой (4.16), если в ней сделать замены 修口 権八 Обсудим полученные формулы для вероятностей переходов
(4.16). Мы получили величины 叩歌\ выраженные через вероятность перехода вакуум — вакуум | 0, 0; in〉~> | 0, 0; f〉: W^ = 1 — Е. Полученные соотношения обладают определенными свойствами симметрии: 叩黑£‘=叩^* 丄(что означает
независимость вероятностей перехода от знака Lz), а также Wn^ = Wm^ms- Этот факт отражает независимость параметра R от изменения знака времени, поскольку величина R может трактоваться как коэффициент отражения от одномерного эф-
фективного потенциала, определяемого функцией Q (Е). (Такая трактовка при рассмотрении одномерного осциллятора использовалась в работах [72, 91, 92].) Причем несущественно, что поле Н (Е) и потенциал ср (Е) не удовлетворяют равенствам Н (Е)= =Н (— t) и 屮(Е)=屮(——£)・ Если принять такую трактовку, то, как известно, коэффициент отражения R для волны, падающей на барьер справа, будет равен коэффициенту при падении на барьер слева, даже если барьер несимметричен. Действительно, уравнение ё + Q2 “)£ = 0 аналогично одномерному уравнению Шредингера, если заменить время t координатой 胃 и функцию Q2 (Е) функцией Л2 (л：). Тогда, принимая во внимание уравнения (3.8) и (4.8), найдем, что величина 力刀/己* определяет амплитуду отраженной волны. Соответствующий эффективный потенциал U (%) определяется функцией С(Е):
Q2(z) = Ch + 2М [U (-оо) - U ⑺].
Здесь массу рассеиваемой частицы мы также взяли равной 7И, чтобы избежать новых обозначений. Поскольку величина Q2 (Е) может быть как положительной, так и отрицательной, то для энергии рассеиваемой частицы имеем
Е = Й?П/2М + U(—оо) W U (%), что необходимо принимать во внимание при расчете коэффициента отражения R. Эта простая аналогия позволяет нам использовать для расчета R (или Woo = 1 — Е) методы, хорошо разработанные в квантовой механике.
Можно рассмотреть некоторые примеры и предельные случаи полученных точных формул. В случае Q2〉0 можно взять точно решаемый потенциал Эка рта, для которого коэффициент отражения R имеет вид
R — {ch [nl (coin — со。] + cos (紋—ЗМп^В)1^ X
X {ch [nl (coin + co。] + cos (л2 — ВМ^РВу^У1.
Здесь величины В и l являются параметрами, определяющими потенциал. В случае барьера U (%) = Ujc^ax и Q2 < 0 мы имеем R = cos2 [i-л (1 — SMUja2)1^] {sh2 (ncoin/2a) +
+ cos2 [у л (1 - SMt/o/a2)^]}'1； 8MU0 < a2.
Адиабатическое приближение (叩黑广al) справедливо, если Е W 1 и 孔1孔2/?运1. Можно прийти к этому заключению, если разложить вероятность 叩黑凿？ в ряд по параметру R (в последующих формулах т»》孔力 力= 1, 2, и £z〉0):
W^= 1 - (2孔簿2 + 力 + 电 + 1)R + O(R).(4.17)
57
Можно записать также при 忆一> оо следующее выражение для этой вероятности:
W*71* =
二2Я1Яг—…|.(4.I8)
mJ a! [(mj — nj)!]2 L \1十加1一丄 I/
Для высоковозбужденных состояний (n^n^R & 1) асимптотическое выражение (4.17) несправедливо. Для 孔厶 тг2 —> оо (при фиксированном 厶)можно использовать асимптотику полиномов Якоби [88] и получить
福需Q 黑嘴礬Al小0»|2，(4.19)
где N = % (т2 + wt + 1); sin2 (0/2) = R; Jmi_ni — функция Бесселя. В асимптотических выражениях (4.17) — (4.19) угловой момент фиксирован и мал по сравнению с тг2 и т2. Для больших и положительных £г имеем
叩胱"=(：：)(黑)7r(!- ^)Ч+1[1- ]^ + О (嬴)]•性2。)
Эта формула неверна, если 7? ~> 0. Из теории полиномов Якоби, в частности касающейся нулей этих полиномов, следует, что число нулей в вероятности перехода W^£‘(Е) в интервале 0《7? V £ равно наименьшему из чисел ^, тг2 и тпр т2.
Все описанные результаты можно легко обобщить на случай заряженной частицы с переменной массой. Волновое уравнение для частицы с зависящей от времени массой может быть сведено к уравнению для частицы с постоянной массой следующей заменой переменных;
Здесь t — время, У — новая переменная.
Затем рассматривается заряженная частица массы Мо, заряда е, движущаяся в электромагнитном поле с потенциалами
= /&(?)); (pz = M^t (f))(p (t (f)).
Таким образом, все предыдущие результаты справедливы и относятся к этим новым потенциалам. Случай частицы переменной массы М (%), движущейся в постоянном магнитном поле Н и при Ф = 0, очень прост. Легко проверить, что решение волнового уравнения в этом случае имеет вид
I 孔1，孔2〉— собственные функ
ции гамильтониана 能 и [оператора Lz для частицы с постоянной массой Мо в постоянном магнитном поле Н, Эффект перемен
ной массы сводится в этом случае к фазовому множителю.
§ 5. Когерентные состояния и возбуждение электрическим полем заряженной частицы в постоянном магнитном поле
Методом, развитым в предыдущих параграфах, можно решить практически интересную задачу о переходах между уровнями энергии Ландау под влиянием не переменного магнитного поля, а переменного электрического поля.
Целью данного параграфа является нахождение всех независимых интегралов движения для заряда, движущегося в постоянном во времени и однородном в пространстве магнитном поле и перпендикулярном ему переменном однородном электрическом поле, введение когерентных состояний для этой системы и вычисление в замкнутом виде функции Грина. Для случая переменного электрического поля, равного нулю в далеком прошлом и далеком будущем, в замкнутом виде вычисляются амплитуды переходов между когерентными состояниями, а также амплитуды переходов между уровнями Ландау, выражающиеся через полиномы Лагерра.
Рассмотрим квантовую заряженную частицу, движущуюся в постоянном магнитном поле Н, направленном по оси z, и электрическом поле с компонентами Ех = Е，(%), Еу = Е2 (%), Ez = О, причем будем для простоты считать массу и заряд частицы равными единице. Движение такой частицы в плоскости ж, у будет описываться волновой функцией Т (%, у,力)， удовлетворяющей уравнению Шредингера (方=с = 1)
+ 夢("黑—""^")—(总 豆叫)(5.1)
£十国£十国icoticotg*g*expexpi(Oti(Ot22(5-2)(5-2)где калибровка выбрана так, что 4 = [Н X г /2], а частота со = =Н. Введем новые переменные, что эквивалентно переходу к движущейся системе координат:
£十国
£十国
icot
icot
g*
g*
exp
exp
i(Ot
i(Ot
2
2
(5-2)
(5-2)
Уравнение (5.1) перепишется в виде
一譏+ ^К呼+(歹L +"啕屮，(5.3)
где величина 尸=2-力(£\ + i£a) ехр (心〃2). Легко непосредственной проверкой показать, что линейные неэрмитовы опера
торы
a =方ё加'"[/等(g+*)+ У"?(£+ 曲)]；
B =-舍i2 []/^ (g*+哥)+ /5 (备十党)]
являются интегралами движения (коммутируют с оператором id/dt —能)и удовлетворяют коммутационным соотношениям бозонных операторов рождения и уничтожения [А, /勺=[В, В^]= =1; [А, В] = [Л, В^] = 0. Комплексная величина 备 удовлетворяет классическому уравнению движения
to 十 32go/4 = F.(5.5)
В случае равного нулю электрического поля (Е = 0) операторы (5.4) переходят в операторы, построенные в [69, 72].
Проверкой нетрудно убедиться, что унитарный оператор
О = ехр i \ (}з2 ® F — I to |2) dt —力傀"％)J exp 仅肛寻尉
-о
(5.6) связывает решение 呼 задачи для заряда, движущегося в постоянном магнитном поле без электрического поля, с решением уравнений (5.1) и (5.3), так что Т = 01%. Поэтому легко перенести все результаты, полученные для заряда в постоянном магнитном поле, на рассматриваемый случай. Построим когерентное состояние, являющееся решением уравнений (5.1), (5.3):
I % В〉=
=J/^券ехр {—学(К Г + I * |2) — «to + 号 gJ g —他о + 耨，g* —一堂一粤一粤一 iaReT叫a(g* + 寻)-ф(? + *)] +
十 4 偿心12一同2)叫，(5.7) 0
где а, р — постоянные комплексные числа, причем выполняются соотношения / | а, 0〉= а | а, 0〉； jB | а, 0〉= 0 | а, 0〉. Когерентные состояния (5.7) образуют полную систему функций в том смысле, что
L j d% ©犖〈2, у|а, р>(а, ₽|/, у'〉= 6 设一吟§(у — у'). (5.8)
Волновая функция (5.7), как и в случае магнитного поля, описывает пакет, движущийся по классической траектории. По- 60
скольку когерентные состояния являются производящей функцией для решений в представлении, в котором диагональны квадратичные интегралы движения А^А и ЖВ, легко получить явный вид этих решений:
I 孔 1，孔2〉= /"券"exp [ 于(I g 12 + I go |2)-(闾 + 导电 g 一
—(迂o+ "^ go) g* — X (孔1 + 孔2)粤一磐 + j \ (2® I2 —岡2)@т] X о
X {毎rJw厂(一y …寸(к + 白。I2 3)15 也 X
X"一码/2//f,](31 g+电产)，(5.9)
где р — 1/2 (孔1 + 孔2 — I 孔1 — n2 I); £^ (工)—полином Лагерра, а 孔1， п2 являются положительными целыми числами. Функции (5.9) удовлетворяют условиям А^А | п1?孔2〉= 孔11 孔и 孔2〉； В^В I 孔1，孔2〉= n2 I 孔1， 孔2〉 и условиям ортогональности {т^ тп21 ni, n2> = 674ml 6т12m2 и являются обобщением на рассматриваемый случай решений для постоянного магнитного поля, отвечающих состояниям с заданными энергией и моментом количества движения.
Поскольку функции (5.7) образуют полную систему, функция Грина уравнения (5.1) может быть легко вычислена из соотношения G (2, 1)=冗一2 J d2a 炉0 I a, 0; 2〉〈a, 0; 1 |. Эту функцию также легко получить из функции Грина для заряда в постоянном магнитном поле [90], используя унитарный оператор (5.6).
Введем обозначения
3 = — 2-'"[@ +电闯)е「沁'"2 +偿+窗仇))产吗
И
Уа = i 2一/，(电+*⑸))J*/2 -像+遂(切)产吗
и аналогично 勺，у「Величины g2 и 倉 определяются из соотношения (5.2).
Функция Грина для уравнения (5.1) имеет, как легко показать, следующий вид:
G(w2,浓，力；?/i,右)=
=3(4就 sin03 “2丁幻)т exp , \ 俘 I go |2 - 16>F)dt +
+ i & (右)g： + to 的)Cl — Co (%2)甘2 — to &) К) +
+ 詈 Ctg。(质]幻[(g —勺)2 + @2 — ?/l)2 + 3 Qi* —£2沙1)]}・(5.10)
61
Множитель, отвечающий свободному движению вдоль магнитного поля,—— обычного вида. Функция Грина (5.10) имеет, в соответствии с [86], вид exp (i,Sci)F 局厶).Следует отметить, что когерентное состояние I а, 0〉может быть получено действием унитарного оператора вейлевского сдвига D (а, 0) = ехр (а/才 —— —а*А + 沔才一0*jB) на вакуум: | ос"〉= О (а, 0) | 0, 0〉.
Рассмотрим теперь частный случай движения заряда, когда электрическое поле постоянно, равно Е и направлено по оси у・ Для рассмотрения этого случая достаточно в предыдущих формулах положить С。 = Ь/з2. Отметим, что в таком случае существует движущаяся со скоростью и — ЕЩ вдоль оси х система координат, в которой электрическое поле отсутствует, а величина магнитного поля равна величине магнитного поля в неподвижной системе координат. Такое соотношение полей согласуется с преобразованиями Лоренца, в которых учтены только линейные члены по скорости. Однако решения уравнений (5.1), (5.3) с взаимно перпендикулярными полями имеют вид (5.7), (5.9) и в том случае, когда ЕЩ〉1, т. е. когда скорость движущейся системы координат больше скорости света. Естественно, что никакого внутреннего противоречия здесь нет, поскольку уравнение (5.1) является нерелятивистским.
Соответствующие классические нерелятивистские уравнения движения для заряда во взаимно перпендикулярных постоянных электрическом и магнитном полях также имеют решения, описывающие движения со скоростью, большей скорости света [70]. Переходу в движущуюся систему координат соответствует оператор (5.6). Этот оператор задает нагруженное бесконечномерное неприводимое унитарное представление группы Галилея. Оператор (5.6) можно рассматривать как оператор сдвига Вейля, рождающий из вакуума когерентное состояние, отвечающее постоянному магнитному полю. Параметры этого когерентного, состояния а, В меняются со временем: а = 卩=2-'/必(1 + %) (частота з положена равной единице).
Следует отметить, что связь волновых функций для различных систем координат для заряда в электромагнитных полях (оператор (5.6)) не такая, как для движения частицы в заданном потенциальном поле (см. [53]). Вычисление средних координат и скоростей по состояниям j 孔°孔2〉 Для постоянного электрического поля дает 2 = и力纟=0, vx = q 万廿=0. Для электрического поля, равного нулю, получается обычный ответ для средних по стационарным состояниям от операторов координат и скоростей. Среднее от гамильтониана в этом случае по состоянию | п1?孔纟〉также имеет естественный вид: % = х/2 р2 + (п】+」/2)з. Легко подсчитать среднее от координат и импульсов по когерентным состояниям. Эти средние движутся по классическим траекториям в фазовом пространстве.
Интегралы движения Л, В имеют следующий физический
смысл: в движущейся системе координат оператор В (величина 0) задает центр окружности, по которой происходит классическое движение, а оператор Л (величина а) задает начальные координаты движения вокруг этого цейтра. Квадратичные интегралы А^А и В"В — А^А задают энергию и угловой момент в движущейся системе координат. Смысл этих операторов для случая переменного электрического поля аналогичен, с той разницей, что движение системы координат происходит не с постоянной скоростью.
Пусть до нулевого момента времени существовало только постоянное магнитное поле. В нулевой момент включается переменное электрическое поле, и при очень больших временах это поле выключается. В начальный момент существуют когерентные состояния I a”； in〉. При очень больших временах существуют когерентные состояния, являющиеся собственными для операторов Л, В, в которых С。положено равным нулю. Легко сосчитать амплитуду перехода между этими когерентными состояниями:
〈ц, V； f I а, В； in〉= <0, 0; f I 0, 0; in> X
X exp [― %(I а Г + I 0 Г + I " Г + I v I2) + ац* + ₽v* +
+ р*а —呻一рм* + o*v*];
<0, 0; f|0, 0; in> = exp[_ 4~ (I о |2 + I p 卩)+ 石(％ + 鹏。)饲; о
(5.11)
go«) = _|_\b(T)sin*qdt; о = - m\b«)e-t3T/2dt； 0
p ^=〈 F (r) e必D2
Здесь комплексные константы р, о являются величинами, задающими асимптотику функции 电 «) при больших временах оо)： Со = 3一％ [о ехр (心力2) — ip exp (―必%/2)]. Поскольку задано когерентное состояние
б"(中2, n2； in>б"(中2, n2； in>66|а, ₽; in> = ехр[—1(|а|2 + |₽|2)] £
б"
(中2, n2； in>
б"
(中2, n2； in>
6
6
711, 712=0
и когерентное состояние
|н，V； f> = exp[-l(|H|2 + |v|2)] £ £2 “，"2； f〉, пи, ”2=0
легко сосчитать амплитуды перехода между состояниями с задан-
ными энергией и моментом:
51, тп?； f I 孔工，n2； in> = <0, 0; f I 0, 0; in〉(znjglnj&j)% X
X (^ll^a!)"1 (— p/p*)mif“ p |l mi-ni 1/2 (o*/o)mf21 g p mEz 1/2 乂
x存A (02"忆气1叶)，(5.12) где
Pi = % (孔1 + ^i — I 々一^i I)；,2 = % (孔2 + m2\n2 — m2 I);
% = % 5i + R + I 孔1 — R I)；02 = % (孔2 + тп2 + [ n2 — ?n2 I).
§ 6. Когерентные состояния и функция Грина осциллятора с переменной частотой в произвольно направленных, переменных, однородных электрическом и магнитном полях соленоида
В настоящем параграфе будет рассмотрена более общая система, чем в предыдущем, причем рассмотрение будет вестись по той же схеме.
Цель настоящего параграфа состоит в нахождении всех независимых линейных интегралов движения для нерелятивистской заряженной частицы, движущейся в произвольно зависящих от времени электрическом и магнитном полях, удовлетворяющих условию квазистационарности, а также в получении точного решения уравнения Шредингера этой задачи, являющегося обобщением на случай переменных полей решения Ландау для заряда в постоянном однородном магнитном поле. В этом параграфе вводятся когерентные состояния для рассматриваемой задачи и вычисляется с их помощью функция Грина в явном виде. Для случая электрического и магнитного полей таких, что в далеком прошлом и далеком будущем магнитное поле постоянно, а электрическое поле равно нулю, вычисляются точно (не по теории возмущений) амплитуды переходов между уровнями с заданными энергией и моментом, которые выражаются через полиномы Эрмита от четырех переменных. Вычисляются амплитуды переходов между когерентными состояниями. Решается полностью задача о заряженном осцилляторе, находящемся в переменных однородных электрическом и магнитном полях.
Для простоты сначала рассмотрим не осциллятор, а свободный заряд в электромагнитном поле.
Уравнение Шредингера для задачи о заряженной частице, движущейся в переменном электромагнитном поле, имеет вид такой же, как и (5.1):
噹一；題+箒Н無")h
+ ^ (支察一 y鎧一(2口 +晶y)R (6/)
Выбрана система единиц, в которой h = с = i, а заряд и масса для простоты положены равными единице. Внешнее электромагнитное поле задается потенциалами
4 = % [Н хг]；中=—Е«)%
где Н «) = (0, 0, з «)); Е «) = (£\ (%), Е2 (^), 0). Для простоты рассматривается случай ЕН = 0.
Для постоянных потенциалов уравнение (6.1) описывает движение частицы в скрещенных постоянных полях. Задача о частице со спином, движущейся в рассматриваемых полях, сводится к решению уравнения (6.1) заменой компонент волновой функции
г £-
%% =屮& exp 力卩о% \ з ⑺ @t ,
L о」
отвечающих состояниям с заданными проекциями спина % на магнитное поле. В уравнении (6.1) учтена часть волновой функции, зависящая от переменных ◎, у, поскольку движение вдоль магнитного поля является свободным. Выбранные потенциалы полей удовлетворяют уравнениям Максвелла в приближении квазиста- ционарных полей.
Введем переменные g(£), отвечающие переходу в движущуюся систему координат [69]:
С (£) = — 2 " (n + iy) exp -^" \ з (t) dx .(6.2)
Уравнение (6.1) принимает в этих переменных вид (5.3), где введена комплексная сила
F = 2"，/4 (Ег + i£2) exp 1~4- $ w (r)dr •L 0-
Как отмечалось, можно найти интегралы движения способом, использованным выше. Непосредственной проверкой легко убедиться, что операторы
/ 2*2他+注6用炉+品-无)；(6 3)
•В = 2 (teg* — £ d/dg + ie^* —^et*)
являются интегралами движения (коммутируют с оператором 能一id/dt). Здесь зависящие от времени функции е «), 第(力一 решения уравнений
ё + 載£/4 = 0； 裔 + 32go/4 = f,(6冏
причем £ = I I exp (»j I £ h2 @工)•
65653 И. А. Малкин, В. И. Манько
65
65
Операторы А, В удовлетворяют коммутационным соотношениям бозёвских бператоров рождения и уничтожения:
М, 4勺=IB, *] = 1; [A, B}^\A, 5Л = 0. ■:
Э^и операторы в случае равного нулю электрического поля (Со 二 0) переходят в интегралы движения, построенные выше. Если положить при этом функцию £ равной
ес = 2屮 з”* ехр (汝〃2), (6.5)
где 伍 — постоянная частота, инварианты (6.3) переходят в операторы, построенные выше для случая заряда, движущегося в постоянном однородном магнитном Поле.
Физический смысл интегралов движения (6.3), являющихся линейными функциями операторов координат и импульсов, заключается д щом, что их действительные и мнимые части задают начальную точку на классической траектории. По теореме Эрен- феста для квадратичных систем средние от операторов координат и импульсов, движутся ло классическим траекториям. Физический смысл операторов (6.3) Л и В можно пояснить еще и тем, что их комплексные собственные числа задают как раз начальные средние значения координат и импульсов. Любые другие интегралы движения, в частности квадратичные, могут быть построены из линейных инвариантов (6.3). , .
Сформулированное утверждение переносится на другие квантовые системы (см. ниже, §§ 1, 3 гл. III), однако для неквадратичны> гамильтонианов явно построить линейные интегралы движения, собственные комплексные числа которых задают начальные средние от операторов координат и импульсов, сложнее. Фактически это — задача о пос^цюении когерентных состояний и о вычислении фейнмановского интеграла по путям для неквадратичных гамильтонианов. Сведем, как и в § 5, задачу к случаю 豆=0 и построим когерентные состояния... -
Рассмотрим вопрос о связи решений уравнений (6.1) с решениями уравнения Шредингера, когда электрическое поле отсутствует. Легко непосредственно проверить, что унитарный оператор вида (5・6)
D = eкp[- t (Й* +(%)] ехр第康+倉摄+ /J偿|*f一 |匕。e)林
- (6.6)
задает о дно-однозначное соответствие решений 干 уравнений (6.1), (6.3) и решении То для заряда в переменном магнитном поле при равном нулю электрическом поле, т. е. Y = 刀屮().Поэтому легко перенести все результаты, полученные для заряда в магнитном поле, на рассматриваемый общий случай. 匚
Построим когерентные<состояния. | а, р；-./Х!!я®^°е ®.ырая?ени^； для которых имеет вид (ср. с (5.7))弋.
|a,生*〉=之1a7/gp{*(1中十]森fA一一
彳(I a I"+ IВ e)- ^4* - i4"需)£「(标，一l餘)七*士
-%一堂山口(Г +窗)一弟也+第)]-•
一缽^+" 停 |第12 —|Е。1强》(6.7)
Легко убедиться, что нормированная, волновая функция I а, 0; £〉является решением уравнения (6.1) и удовлетворяет условиям А\ а, 0; £〉= а I а, 0; £〉； 3 | а, 0; £〉= R | а, 0; £〉・ Величины а, р — постоянные комплексные числа.
Легко вычислить явный вид функций | пп п2； £〉：
"1, "2； £〉= | Q, 0； /> ["171f 二2|)kT"‘ (- 1产卄卅"i D/2 X ..
X (:十以『2-%)/2( E*户+毎)/2 ["(电 + 0 J nf 2 П '
x屮一叫闵出卢}(6.8)
где р =1/2 (冷1 + 冷2 ——I 冷1 — 冷2 J)； 上^ (工) 一 обобщенный полином Лагерра, а величина | 0, 0; £〉 задается формулой (6.7), в которой сс = р = Q. Решение (6.8) переходит, как нетрудно проверить, в случае постоянного магнитного поля и равного нулю электрического поля в известные волновые функции, отвечающие состояниям с заданными энергией Е% и угловым моментом lz = =孔2 —孔г Таким образом, хотя ни энергия, ни момент в рассмат- риваемои задаче не сохраняются/ существуют квантовые числа； отвечающие начальному моменту и начальной энергии, которые полностью определяют решения и \в-поеледующие моменты времени. Этим поц^зано, что квантовое, числа в данной задаче являются точными инвариантами. 1-'
Легко проверить, что 5 когерентном состоянии (6±7)г распределения по квантовым числам пг и п2 являются ^распределениями Пуассона.:
Поскольку для рассматриваемой задачи известны дочные per шения (6.7), образующие полную систему функций, легка найти выражение для функция Грина, которую можно получить из соотношения G (2,1)=冗刍』d2^ d2p J a, 0： 2〉3, p； 1 I， либо воспользоваться оператором (6.6) и известной функцией Грина для задачи без электрического ноля； Опуская известный шюжитейь, отвечающий свободному движению вдоль магнитного поля, имеем
для функции Грина следующее выражение:
G (д, 2/2, ^2；勺，y、tj = [2砌 е (匕)е (幻 | sin 丫尸 x
X expg[等*一等甯 + (五1一五2)2 Ctg什2 ® X无2M + + i ,备 К。12 - I £。12 ) "T - »危错 02)+片 Co (^2)- Clto (力工)一g：fo(b)",
1(6.9)
где величины 勺，勿，力 выражаются через 装 по формулам (6.2), длины векторов Rt и величина у даются равенствами
а разность углов между векторами 五卜 U2 имеет вид
Фв2 一中eI = arg & + go (")]-arg 自 + go (幻]一7.
Легко проверить, что при равном нулю электрическом поле (^0 = = 0) формула (6.9) переходит в полученное выше выражение для функции Грина, а в случае постоянного магнитного поля (е = ес) эта формула переходит в хорошо известное выражение, полученное в [90].
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении матричных элементов [7-матрицы для случая, когда до нулевого момента времени существовало постоянное магнитное поле(Ощ, затем было включено переменное электрическое поле и начало меняться по величине магнитное поле, в далеком будущем электрическое поле выключается, а магнитное поле становится постоянным, равным (Of. Легко вычислить [7-матрицу в любой момент времени 力；[7-матрица выражается через параметры 三(力),т](力),6а (» и 3^ (力),тесно связанные с решениями уравнений (6.4). Параметры 三(力 и т](力)выражаются через решение е ⑴ и его производную ё (力：
ё 0) = (2/g)%[自 (力)exp (心u/2)— it] R) exp (—心U/2)];
e (Z) = i ((0f/2)，A 代(力 exp (加“/2) + it] 0) exp (―心亦/2)], причем 8*8 — её* = 2х；| ^ |2 — | т] |2 = 1.
При 力一＞ - оо величина е (力 переходит в (2/(0m)% ехр (必m，2), а при 力 т оо величины 三(力)и Т] (£) являются постоянными комплексными числами.
Решения неоднородного уравнения (6.4) имеют вид
备2-% (⑪* + 3n)；
& = - 2'厶卜(т)斤(т) dr; 6b =-力2一'/‘ J e (t) F* (r) dr, (6.10) оо
При £ V 0 имеем F (^) = О и $0 = О, а при £ -> 8 сила 尸(£) = О и 6d(£)и 6ь(£) становятся постоянными числами. Конечные состояния I 出,V；力〉описывают когерентные состояния частицы в постоянном поле с частотой (Of. Операторы А( и _Bf даются формулами (6.3), а явный вид этих состояний — формулой (6.7), причем в формулах (6.3) и (6.7) нужно положить
Со = 0;8 «) = (2/%% ехр (必#/2).
Операторы А и В связаны с Af и В^ соотношениями
А = Е «)4 + п (力國 + За (f);
5 = Е ⑺以 + п «) 4f + Зь (t).(6.11)
Отметим, что оператор D (6.6) отличается только фазовым множителем от вейлевского оператора сдвига
D=exp i J (^* + F*^o) dt + 6аЛ^ - 6*Л + ^ - 6? 5 . (6.12)
Амплитуда перехода из начального когерентного в конечное когерентное состояние может быть получена либо взятием интеграла, либо с использованием свойств операторов вейлевского сдвига и имеет вид
⑴，V； f |а, Р; in> =
=『iexp {бА^"一4-(l6al2 + l6b|2 + |a|2 + lP|2 + lH|2+|v|2) + + Г1 [(а — За) И* + (Р — 6b) V* — T]H*V* + 口*邙 + а 低醴—口*瓦)+
i
+ P 低成-n*6а)] + i #仅：+ ь竺。)就}.(6.13)
О
Можно вычислить производящую функцию для вероятностей перехода между уровнями Ландау
/(Z1, Z2,如，浓)=£ wmiminin,z^y^y^,吗=0,
имеющую вид
/ = Д-1 exp {(2A)FsZi + 期 + м% + wy2 + (s + 力 + м + u?) X
X %勿2仔2 — sy1y2z1 — Mzm2y2 —切Z1Z2力—ty^iz1 — qy±y2 —
—(2м — 0加仔1 — (2u? — Gy#2 — (2s — 2м + 0)2仔2】一(s +
+ t + u + 必)/2 К I 2},(6/4)
где Д = J nf(%% - 1)(2饱-1) + @仔1 - 1)仅汽-1);" =
=I 6a I2; u? = I 6bI2; 5 = Щ2и + I T] |2^ — 2 Re 图磋磋)；t = s + + ”一 м； g = M — s+(s + w)R\ ^ = I г] I2 /| g ]2.
■ Амплитуда иерехода (6,13) не зависит при больших времецак от переменной 力 в чем легко убедиться дифференДированйем. Комплексные константы ^, т], 6а, 6Ь, определяющие асимптотику траёкторий (6.10), полностью задают амплитуду перехода (6.13). Поскольку амплитуда (6.13) задает производящую функцию для амплитуд перехода между состояниями с заданными значениями энергии и углового момента <znx, zn2； f | 孔”孔纟；in〉, эти амплитуды легко сосчитать обычным дифференцированием. Имеем
(恤，恤；f IM 砧 in〉=々:；;'£；；!：!；：' ")〈0,0; f 10, 0; in〉. (6.15)
Здесь HninimiTn2 — полином Эрмита от четырех переменных, причем 4 = За—Т]酸/Е*; х2 = 8Ь —醴口化*; х3 = —6誑*; ，4 = 一3訂е*, а симметричная квадратичная форма 屮=仰卜勺工卅, задающая эти полиномы Эрмита, имеет четыре не равные нулю коэффициента: ai2 = —刀*/三； а34 =刀/三； а《2 =仪2& = —1/^.
Интересно отметить, что полученная в [42] амплитуда перехода между энергетическими уровнями для осциллятора с переменной частотой, на который действует переменная вынуждающая сила, также вычисляется точно и выражается через полином Эрмита от двух переменных. Впервые амплитуды перехода для такого осциллятора вычислялись методом производящих функций в [85] (см. также [87]), в адиабатическом приближении — в [91]. Эти амплитуды строились также в [89] с помощью применения квадра- тичцых инвариантов, явно зависящих от времени. Интегралы перекрытия, дающие вероятности перехода для осциллятора, исследовались в [93].
Представляет интерес рассмотреть амплитуду перехода начального. когерентного состояния | а, 0; in〉на уровни Ландау конечного состояния | т^ zn2; f〉. Для этого необходимо продифференцировать производящую функцию, задаваемую формулой (6.13), по параметрам 卩*, v*. Имеем в результате
〈恤，恤；f J а, Р; in> = <0, 0; f |а, 0; in> 依工!恤!" x
产風% + % + I %—m21)]!\ 5 /, \ 5 / 、
…D%me(s),(6.16)
где р = % (иг】+ m2 — \m1 — m2 |); s =(三刀)7 (а — 6а)(р — — 6Ь); 1)^~^ '(s) — обобщенный полином JIareppa, а амплитуда <0, 0; f I a, 0; in〉задается формулой (6.13).
Полученные результаты легко переносятся на случай заряженного осциллятора, имеющего равные переменные частоты колебаний Q «) по осям хи у и частоту коле баний по, оси z, равную(о3 R), и движущегося в однородных полях А = Vs [宜 X г]; 屮 = =—Е О；迎⑴=(Ех (Z),笈в ⑴，笈з 传))* Волновая функция
разбивается при этом на произведение двух функций 4rl (怎 у, t) х X 屮普(z,力)* Функция, зависящая от переменных ◎ и у, удовлетворяет уравнению
/学=一段+ I肝偿+ 0) % +餌* +e啕%，(6Л7)
где g дается формулой (6.2). Уравнение (6.17) сводится к уравнению (6.1) заменой(о«)->/о? ") + 4Q2 (Z).①ушщия 屮2 (z,力， описывающая движение осциллятора вдоль магнитного поля, удовлетворяет уравнению Шредингера для осциллятора с переменной частотой (о3 ⑶，движущегося под действием вынуждающей силы, решенному выше. Амплитуды перехода, аналогичные (6.15), при этом факторизуются и выражаются через произведения полиномов Эрмита от двух и четырех переменных.
Таким образом, полностью решена общая задача о построении точных решений, когерентных состояний, функции Грина и амплитуд перехода для задачи о заряженном осцилляторе с перемен^ ной частотой в переменных электрическом и магнитном полях.
Глава III
Инварианты и функция Грина динамических систем
Инварианты (интегралы движения)
В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые конкретные физические задачи; при этом выяснилось, что для различных квантовых систем имеет смысл проводить исследование по некоторой единой схеме. Так, и для осциллятора, и для заряда в магнитном поле мы находили сперва интегралы движения, причем найденные интегралы движения подбирались таким образом, чтобы удовлетворялись бозонные коммутационные соотношения. Важно, что в рассмотренных задачах интегралы движения находились в явном виде через операторы координат и импульсов. Затем строились решения уравнения Шредингера (когерентные состояния) с помощью интегралов движения и находилась функция Грина — тем самым получалось полное решение задачи. В настоящей главе мы покажем, что применявшаяся для обсужденных задач схема полезна и может использоваться для произвольных квантовых систем. Ключевым моментом при этом является наличие у произвольных динамических систем интегралов движения, с помощью которых проводится все рассмотрение. Обсудим поэтому в настоящем параграфе свойства инвариантов, или интегралов движения, а также рассмотрим вопрос, сколькими инвариантами может обладать квантовая система. Иногда по этому вопросу имеются разночтения и различная трактовка. Очень важным моментом в нашем рассмотрении служит предположение, что у обсуждаемой квантовой системы при всех временах 力〉0 имеется оператор эволюции U (力)такой, что существуют и~г (力)и U^ (力)и имеет место условие унитарности UU^ = 1. Мы считаем, таким образом, что ядро оператора эволюции (функция Грина или амплитуда перехода) существует для рассматриваемой системы. Это очень широкий класс квантовых систем. Практически квантовая механика только такие системы и рассматривает, поскольку описание квантовой системы на языке функций Грина эквивалентно описанию на языке волновых функций Т (£) = U (£)Т (0) и существование оператора эволюции эквивалентно существованию волновой функции.
Если у квантовой системы существует оператор эволюции U, то можно построить 2N (где N — число степеней свободы систе- 72
мы) интегралов движения q0 и р0 по следующим формулам:
*=U非歹1；0。=-ihU 言 u-\ (1.1)
(Эти формулы являются определением операторов qQ и 卷门) Действительно, главным свойством операторов (интегралов движения) является то, что среднее от них не зависит от времени. Если вычислить среднее от оператора ^0 по состоянию 4r (£ = 0) = 4ro в начальный момент времени, мы получим
〈。0%=0 = ^^о I I ^о)» (1*2) т. е. среднее значение координаты в начальный момент времени. Вычислив среднее от оператора ^0 в момент времени 力 получим
〈0。* =〈屮11 О。I 屮)=〈UI。\UxU~1] /7То>. (1.3) Учитывая унитарность оператора эволюции и свойства средних в формализме Дирака, имеем
〈0〉= ^U^UxU-1^ То> = <^„>о. (1.4)
Таким образом, физический смысл оператора ^0 состоит в том, что он описывает начальную координату системы. Аналогично, физический смысл оператора — инварианта р0 — состоит в том, что он описывает сохраняющееся значение начального среднего импульса системы. По теореме Стоуна — фон Неймана 2N операторов q。и р^ образуют полный набор. Их коммутационные соотношения совпадают с коммутационными соотношениями оператора координат х и импульсов — ih dldx. Любая функция от операторов q0 и р0 является интегралом движения. Поэтому можно образовывать различные алгебраические выражения от операторов до и 卷о с удобными коммутационными соотношениями, которые также будут инвариантами, причем, возможно, зависимыми инвариантами. Так, можно образовать различные алгебры Ли, генераторы которых строятся из 2N операторов q0 и р0.
Обсудим теперь связь операторов q()и#。с гейзенберговскими операторами х& и #g・ Заметим, что, хотя операторы ^0 и pQ похожи на операторы координат и импульсов в представлении Гейзенберга, они отличаются от них,— и это существенно, особенно для нестационарных квантовых систем. Операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга строятся из операторов х и —ih д/дх с помощью оператора эволюции по формулам х& — =u^xU и pq = —тит @д翼)U・
В силу одинаковости коммутационных соотношений эрмитовых операторов ^0 = UxU-1 hjo0 = U (—力方 д/дх)и~г и операторов координат и импульсов в представлении Гейзенберга и 卷g, по теореме Стоуна — фон Неймана существует каноническое преобразование S, переводящее операторы и pG в ^0 и р0, которое имеет вид
(1.5)73(1.5)73况G = (О')? О。。?； 0G -(U^PoU\
(1.5)
73
(1.5)
73
В случае стационарных гамильтонианов эта связь приводит к соотношениям х& (—£) = д0 ⑴ и 4G (—£)= р0 «)♦ В случае нестационарных гамильтонианов Ж (^) эти равенства места не имеют.
Можно указать еще одно полезное соотношение. Если мы введем новый гамильтониан 鬼(£)= — 况g ⑴瓜 построим операторы координаты Xq и импульса ра в гейзенберговском представлении, связанном с этим гамильтонианом 延(£), то операторы д0 и р^ — интегралы движения исходной системы с гамильтонианом 况 ⑴一 совпадают с операторами х^(£) и 0G (力 Задача нахождения интегралов движения о。(£)и pQ (t) технически эквивалентна задаче нахождения операторов координаты и импульса в гейзенберговском представлениия；о и ?，g или Xq и 〃g, но надо отдавать себр отчет в том, что по физическому смыслу и по дальнейшему применению эти операторы существенно различны, что было продемонстрировано при решении конкретных задач в предыдущих главах. Указанные замечания относятся и ко всем другим операторам —интегралам движения, которые можно построить из инвариантов q()и pQ.
Доказанное формулами (1.1) — (1.5) наличие у квантовой системы с N степенями свободы 2N интегралов движения ^0 и р0 отражает факт наличия аналогичных интегралов у соответствующей классической системы. Существование квантовых интегралов Qo и Pq совершенно понятно, если исходить из принципа соответствия? который, не являясь доказательством, служит наводящим соображением для построения квантовых интегралов движения Оо и pQ на основе рассмотрения классических интегралов движения.
Итак, подойдем к этому вопросу, следуя [67, 77, 78, 80], с точки зрения связи классической и квантовой механик. Известно, что классическая динамическая система описывается уравнениями движения второго порядка. Если проводить описание на языке уравнений Гамильтона q=d^!dp и р =—。先7。％ q = (%,... ..gQ, Р = (Ри ♦ ♦ •，Pz), то имеется система 2N (N — число степеней свободы системы) уравнений первого порядка. Решение этой системы полностью определяется 2户 постоянными, которые могут быть выбраны как координаты начальной точки классической траектории в фазовом пространстве координат q и импульсов 卷.Таким образом, движение классической системы описывается зависимостями q (t) = q (^0, pOi £)；争(£)= Р (^о» 卷о,力； Т〉Е〉0. Если разрешить эти соотношения (что всегда можно сделать однозначно для достаточно малых Т, считая точку (qOi р0) неособой), выразив начальные точки qQ и р0 через величины д, р, % то получаются функции траекторий 仏(％ 卷,£) и р^ (夕，@"), постоянные на классической траектории. Таким образом, они яв- ляютс^г интегралами движения, т. е. полная производная от этих функций, выраженная на языке скобок Пуассона, равна' нулю. Отметим, что функциональная зависимость qQ и _р0 от классиче-
ских координат и импульсов может сильно отличаться от соответ-- ствующих квантовых формул. Однако каноническое преобразование от классической точки (^0, р0) к достаточно близкой точке (0 (%), Р G)) задается классической производящей функцией, ко
торая соответствует в квантовом случае оператору эволюции U (^) (см., например, [196]).
Перейдем теперь к обсуждению квантового случая. Поскольку имеется принцип соответствия классической и квантовой меха
ник и поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механики, что прекрасно демонстрируется в фейнмановской формулировке квантовой механики с ломощью интеграла по путям, для квантовой системы должно существовать 2N интегралов движения, отвечающих данным классическим интегралам. Как в классической механике любая функция от интегралов движения также сохраняется, т. е. является интегралом движения, так и в квантовом случае любая функция от сохраняющихся операторов (в частности, их коммутаторы и антикоммутаторы) сама является оператором — интегралом движения. Поэтому и можно выбирать в качестве 2N интегралов движения операторы, отвечающие начальным точкам в фазовом пространстве； классической системы. Остальные интегралы могут как-то выражаться через эти операторы. Например, в случае свободного движения с гамильтонианом 宛=р212т классическим инвариантам, начальным точкам р Qo = Q — 2tlт, отвечают интегралы движения в квантовом случае pQ = — ih д/дх и q。= 况 + 近£ X X did (znx). Интегралы движения, отвечающие дискретным симметриям типа оператора четности, не входят в обсуждаемый набор 2N интегралов движения.
Инварианты и динамическая симметрия
уравнения Шредингера
Существует замечательная связь между операторами симметрии Ва уравнения Шредингера и интегралами движения. А именно, инварианты квантовой системы одновременно являются операторами симметрии этой системы в смысле определения (3.3), данного в гл. I. Действительно, операторы симметрии Ва в этом, смысле должны удовлетворять условию
[^5а] Т = о,(2.1}
Где Y — решения уравнения Шредингера. С Другой стороны- интеграл движения определяется как оператор, среднее значение кб- торого не зависит от времени:〕
二 ^-<Т(7а|Т> = 0.(2.2)
Эта означает, что,-、‘
・二 (中|几1中〉十〈中|九卜羚+(中|几|中) =0，
или
(|]{与侬*% -几%)+ *}|可〉=0・(2.3)
Если 洸，= 咏,то достаточным условием выполнения (2.2) является условие, определяющее инвариант 7a:
偿十匕能,%]子=。，(24
что эквивалентно (2.1). Таким образом, интеграл движения 7a (и любая функция от него) переводит решение уравнения Шредингера в другое решение. Это очень важное свойство, существенно использующееся во всех последующих построениях.
Обычное определение интеграла движения в квантовой механике является частным случаем данного определения (2.4). Дело в том, что обычно используется более сильное условие тождественной коммутации
[备+=
не являющееся необходимым для (2.2). Условие (2.4) слабее.
В работе Барута [8] при рассмотрении спектра энергий стационарной квантовой системы было введено понятие динамической группы квантовой системы как группы, операторы которой включают и такие, которые переводят состояния, принадлежащие одному уровню энергии, в состояния с другими энергиями. Почти одновременно аналогичные понятия были введены под названием «группы неинвариантности» в работе [10] и под названием «алгебры, генерирующей спектр» в работе [9]. По существу, эти понятия являются частными случаями понятия симметрии уравнения Шредингера в смысле определения, данного в гл. I. Дело в том, что для стационарных систем, для которых существуют уровни энергии, алгебра, генерирующая спектр, состоит из операторов, которые являются как раз операторами, переводящими одно решение (с заданной энергией) в другое (с заданной энергией). Смысл введения групп неинвариантности заключался в том, чтобы собрать все уровни энергии в один мультиплет (в одно неприводимое представление) этой группы (названной группой, генерирующей спектр энергий). Для того чтобы обобщить понятие алгебры, генерирующей спектр (мы назовем эту новую алгебру алгеброй, генерирующей состояния), на системы, для которых энергия не является инвариантом (на нестационарные системы), следует воспользоваться определением (3.3) гл. I. Найдя достаточное количество интегралов движения, в частности взяв интегралы движения (1.1), можно построить алгебру, генерирующую состояния системы. В качестве такой алгебры может быть взята алгебра Гейзенберга, состоящая из единичного оператора и операторов (1.1), поскольку по теореме Стоуна — фон Неймана операторы (1.1) в пространстве состояний квантовой системы не имеют
инвариантных подпространств. Из операторов (1.1) можно строить и другие алгебры, генерирующие состояния, например алгебру неоднородной симпле ктиче с кой группы 7 Sp (2N, Я) или группы U (N, 1). Поскольку указанные утверждения базируются только на существовании интегралов движения (1.1), то можно считать, что для произвольной квантовой системы существует алгебра, генерирующая состояния I Sp (2N, Я) или U (TV, 1).
С помощью группы Гейзенберга с генераторами (1.1) можно из одного-единственного состояния построить все остальные состояния. Классификацию состояний квантовых систем можно производить, используя разные алгебры, генерирующие состояния, что эквивалентно решению уравнения Шредингера в разных координатах. Разумеется, все вышесказанное относится и к другим уравнениям (в частности, Дирака и Клейна — Гордона). Алгебра, генерирующая спектр (группа неинвариантности), является частным случаем алгебры, генерирующей состояния. Например, алгеброй, генерирующей состояния атома водорода, является алгебра конформной группы О (4, 2) (см. [И, 80]), совпадающая в этом стационарном случае с алгеброй, генерирующей спектр энергий.
Когерентные состояния произвольных квантовых систем
Перейдем теперь к построению когерентных состояний произвольной квантовой системы [67, 77——80]. Для этого введем интегралы движения — операторы рождения и уничтожения
А^ = 2~,/г (g-о — iPo)； 4 = 2-明 & 十 5о), (3.1) удовлетворяющие стандартным коммутационным соотношениям [Ла, 2^] = 6ар. Заметим, что, поскольку любая функция от интегралов движения является также интегралом движения, можно было бы выбрать и другие независимые интегралы движения, совершив каноническое преобразование А! = SAS^1 в фазовом пространстве (в частности, симплектическое), не нарушающее коммутационных соотношений. Это индуцировало бы преобразование операторов рождения и уничтожения.
В чем физический смысл интегралов движения Л, 4)? Если в начальный момент времени £ = 0 операторы д° и р^ совпадают с обычными координатами и импульсами, то это означает, что средние координаты фазового пространства, фиксированные в нулевой момент времени, полностью определяют эволюцию системы. Таким образом, физический смысл интеграла движения 4 заключается в том, что он определяет начальную точку траектории в фазовом пространстве средних координат и импульсов. Когерентные состояния строятся обычным образом, как собственные состояния неэрмитовых операторов (см. [94—98]);
Ли |а> Оц I а>. (3.2)
Таким образом, когерентные состояния произвольной квантовой системы всегда существуют, если существует оператор эволюции СА(Е)(функция Трина). Тогда формально, пользуясь свойствами операторов о。叮/o, можно построить выражеййя для ко- гарентных состояний. Иным способом когерентные состояния строились в работах [204, '205]. Можно, кроме того, строить состояния, часто также называемые в литературе когерентными или обобщенными когерентными (имеются и другие названия), отталкиваясь не от операторов д0 и р^ а от функций этих окера^ торов 几&, ”)・ В частности, операторы /а могут образовывать алгебру Ли. Обычно строят состояния с помощью этих операторов, взятмх в момент времетш ^ — 0. Мы можем строить ко- герептпые состояния с учетом временной зависимости (см. [205, 1301). Основное свойство всех таких когерентных состояний состоит в том, что они удовлетворяют временному уравнению Шредингера и образуют неортогональные полные (и всегда переполненные) системы функций, зависящих от непрерывных параметров. Причем для одной и той же квантовой системы можно строить совершенно различные наборы таких состояний. В математическом плане такие состояния весьма удобкн, поскольку они служат производящими функциями для волновых функций с дискретными индексами^ а-аппарат производящих- функций： эффективен для исследования рекуррентных соотношений, асимптотик, вычисления интегралов перекрытия и т. д.
Существенным моментом является тот факт, что мы строим когерентные состояния не с помощью какого-то произвольного оператора уничтожения Л, а именно с помощью интеграла движения. Это существенно облегчает расчеты и позволяет легко строить когерентные состояния нестационарных систем, что было ^сиоль-： зовано в [67—80]. Вектор а задается N произвольными- ком；? плексными числами. Для любой динамической системы существуют, таким образом, когерентные состояния (этот вывод справедлив, разумеется, и для динамических систем с координатами и импульсами, меняющимися в конечных пределах,— это динамические системы типа квантового волчка, описываемого углами, Эйлера). .,
Явный вид когерентных состояний для произвольных сиёгем полупить трудно, поскольку когерентное состояние,： выбранное： в начальный момент времени в виде квадратичной экслонеяттд,- под действием оператора эволюции может сильно изменить ^вой； функциональный вид. Лишь для систем, описываемых квадрахия-. ным гамильтонианом, для которых оператор эволюции сам 4р^Д：г ставляет г собой квадратичную экспонентут функциондльны^ ви^ когерентных состояний ,со временем не - меняется, доскольку, интеграл от произведения двух квадратичных экспонент. сам-( явля-; ется квадратичной экспонентой.. , . ： ：
Для когерентных состояний произвольной квантовой системы выполняются стандартные соотношения ортогональности и 78
полнотыполноты<« If〉= exp (—[a F/2 — I p |2/2 十 а*В);九一"§ I а〉〈北 I d2« = 7.：<« If〉= exp (—[a F/2 — I p |2/2 十 а*В);九一"§ I а〉〈北 I d2« = 7.：(3.3)(3.3)Операторы 力* неэрмитовы, поэтому их собственные ф>гнктц1и, принадлежащие разным собственным значениям, не обязательно ортогональны. Существование когерентных состояний для произвольных квантовых .систем, обладающих оператором эволюцпи, дает возможность построить также фоковское представление для таких систем. Поскольку когерентное состояние | а) задает производящую функцию для состояний [ п), являющихся собственными состояниями квадратичных операторов А^А^ (см. [94]), легко построить эти состояния, дифференцируя функцию е13 % | %〉по переменным а：Операторы 力* неэрмитовы, поэтому их собственные ф>гнктц1и, принадлежащие разным собственным значениям, не обязательно ортогональны. Существование когерентных состояний для произвольных квантовых .систем, обладающих оператором эволюцпи, дает возможность построить также фоковское представление для таких систем. Поскольку когерентное состояние | а) задает производящую функцию для состояний [ п), являющихся собственными состояниями квадратичных операторов А^А^ (см. [94]), легко построить эти состояния, дифференцируя функцию е13 % | %〉по переменным а：I孤〉=I孤〉=（旬!…几%!）"~瀛严一（旬!…几%!）"~瀛严一/а[2/2| а〉det]. .. da^/а[2/2| а〉det]. .. da^(3.4)(3.4)здесь замкнутые контуры интегрирования в плоскостях комплеко- ных переменных ац охватывают начало координат.Проведенные рассуждения показывают, что для любых гамильтонианов существует полный набор интегралов движения, чьи собственные числа совпадают с набором собственных чисел, задающих энергии N независимых гармонических осцилляторов. Система функций | п> полна (W | п> <п ] = 7), причем з工и функции ортогональны ((п ] т) = Snm)• Явный вид. функций | -п) легко получить в случае квадратичного гамильтониана, поскольку для него оператор эволюции (квадратичная экспонента) сохраняет первоначальный функциональный вид состояния | п, 0> (полином Эрмита). В случае же пеквадратичного гамильтониана оператор эволюций таков, что изменяет функциональный вид начального состояния ] п, 0>.,.；::. Распределение яероятностей в когерентном состоянии с заданными числами тгц является распределением -Пуассона.здесь замкнутые контуры интегрирования в плоскостях комплеко- ных переменных ац охватывают начало координат.Проведенные рассуждения показывают, что для любых гамильтонианов существует полный набор интегралов движения, чьи собственные числа совпадают с набором собственных чисел, задающих энергии N независимых гармонических осцилляторов. Система функций | п> полна (W | п> <п ] = 7), причем з工и функции ортогональны ((п ] т) = Snm)• Явный вид. функций | -п) легко получить в случае квадратичного гамильтониана, поскольку для него оператор эволюции (квадратичная экспонента) сохраняет первоначальный функциональный вид состояния | п, 0> (полином Эрмита). В случае же пеквадратичного гамильтониана оператор эволюций таков, что изменяет функциональный вид начального состояния ] п, 0>.,.；::. Распределение яероятностей в когерентном состоянии с заданными числами тгц является распределением -Пуассона.
полноты
полноты
<« If〉= exp (—[a F/2 — I p |2/2 十 а*В);九一"§ I а〉〈北 I d2« = 7.：
<« If〉= exp (—[a F/2 — I p |2/2 十 а*В);九一"§ I а〉〈北 I d2« = 7.：
(3.3)
(3.3)
Операторы 力* неэрмитовы, поэтому их собственные ф>гнктц1и, принадлежащие разным собственным значениям, не обязательно ортогональны. Существование когерентных состояний для произвольных квантовых .систем, обладающих оператором эволюцпи, дает возможность построить также фоковское представление для таких систем. Поскольку когерентное состояние | а) задает производящую функцию для состояний [ п), являющихся собственными состояниями квадратичных операторов А^А^ (см. [94]), легко построить эти состояния, дифференцируя функцию е13 % | %〉по переменным а：
Операторы 力* неэрмитовы, поэтому их собственные ф>гнктц1и, принадлежащие разным собственным значениям, не обязательно ортогональны. Существование когерентных состояний для произвольных квантовых .систем, обладающих оператором эволюцпи, дает возможность построить также фоковское представление для таких систем. Поскольку когерентное состояние | а) задает производящую функцию для состояний [ п), являющихся собственными состояниями квадратичных операторов А^А^ (см. [94]), легко построить эти состояния, дифференцируя функцию е13 % | %〉по переменным а：
I孤〉=
I孤〉=
（旬!…几%!）"~瀛严一
（旬!…几%!）"~瀛严一
/а[2/2| а〉det]. .. da^
/а[2/2| а〉det]. .. da^
(3.4)
(3.4)
здесь замкнутые контуры интегрирования в плоскостях комплеко- ных переменных ац охватывают начало координат.
Проведенные рассуждения показывают, что для любых гамильтонианов существует полный набор интегралов движения, чьи собственные числа совпадают с набором собственных чисел, задающих энергии N независимых гармонических осцилляторов. Система функций | п> полна (W | п> <п ] = 7), причем з工и функции ортогональны ((п ] т) = Snm)• Явный вид. функций | -п) легко получить в случае квадратичного гамильтониана, поскольку для него оператор эволюции (квадратичная экспонента) сохраняет первоначальный функциональный вид состояния | п, 0> (полином Эрмита). В случае же пеквадратичного гамильтониана оператор эволюций таков, что изменяет функциональный вид начального состояния ] п, 0>.,.；::
. Распределение яероятностей в когерентном состоянии с заданными числами тгц является распределением -Пуассона.
здесь замкнутые контуры интегрирования в плоскостях комплеко- ных переменных ац охватывают начало координат.
Проведенные рассуждения показывают, что для любых гамильтонианов существует полный набор интегралов движения, чьи собственные числа совпадают с набором собственных чисел, задающих энергии N независимых гармонических осцилляторов. Система функций | п> полна (W | п> <п ] = 7), причем з工и функции ортогональны ((п ] т) = Snm)• Явный вид. функций | -п) легко получить в случае квадратичного гамильтониана, поскольку для него оператор эволюции (квадратичная экспонента) сохраняет первоначальный функциональный вид состояния | п, 0> (полином Эрмита). В случае же пеквадратичного гамильтониана оператор эволюций таков, что изменяет функциональный вид начального состояния ] п, 0>.,.；::
. Распределение яероятностей в когерентном состоянии с заданными числами тгц является распределением -Пуассона.
Возможность построения когерентных состояний | а) и састояг- иил | ：п> для произвол ьных квантовых . систем' связана с известным свойством изоморфизма гильбертовых пространств состояний. Благодаря этому свойству пространство состояний лвобой /V-мер- -ной квантовой, системы можно отобразись ла цространстжо^состояний TV-мерного' гармонического осциллятора, что делает очевидным (Соответетвие^ квантовых/чи^ел последнего и квантовцх чисел< эа^ дающих с рстояние любой системы. Обсудим теперь вопрос о связи когерентньтх состояний с фейнмановским интегралом цр путям?
7.9
Поскольку когерентные состояния являются полной системой функций, функция Грина G (2, 1), являющаяся амплитудой вероятности перехода частицы, находящейся в точке 1 в момент времени 5 в точку 2 в момент времени %, вычисляется по следующей формуле:
G (2,1)=冗-n \ d2a〈况21 叫 ％〉〈％ h | 况Q. (3.6)
Эта формула аналогична формуле разложения функции Грина по любой полной системе функций, например по функциям | п＞：
G (2,1) = 2〈况21 п; %〉5； " I 况i〉・ (3,7)
Однако если вспомнить физический смысл переменной а, то формула для функции Грина с интегрированием по когерентным состояниям приобретает особый смысл. Фактически мы имеем выражение для функции Грина, представленное через интеграл по фазовому пространству начальных средних координат системы. Тем самым интеграл по траекториям Фейнмана всегда сводится к интегралу по начальным координатам траекторий в фазовом пространстве, причем переменных а как раз хватает для получения требуемого выражения. Это связано, в частности, с тем, что классическая система описывается уравнениями второго порядка. При квантовом рассмотрении с помощью интеграла по путям системы, описываемой на классическом языке уравнениями более высоких порядков, такого согласования, по-видимому, уже не будет.
Заметим, что при вычислении амплитуды перехода из точки 1 в точку 2 как интеграла по траектории интервал времени 左，t2 разбивается на малые участки длины е, а затем £ f 0 [99]. При этом на временном интервале е траектория заменяется обычно либо отрезком прямой, либо кусочком классической траектории (т. е. кривыми, задаваемыми начальной координатой и скоростью). Предел при £ f 0 при этом существует и дает функцию Грина. Из проведенного рассмотрения вытекает, что, если соединять концы интервала е кривыми, задаваемыми большим числом параметров, чем два, предельная процедура уже не должна давать правильного значения функции Грина. Этот вопрос требует дополнительного рассмотрения.
Следует подчеркнуть, что в тех задачах, для которых получены явные выражения для функции Грина, легко построить и явный вид когерентных состояний. Это позволяет воспользоваться стандартными методами техники когерентных состояний, в частности рассматривать задачу на языке 尸-распределения, введенного Глаубером [1001.
Обсудим еще один аспект связи когерентных состояний и интегралов движения с фейнмановской формулировкой квантовой механики. Для этого перепишем формулы для инвариантов % и ро (1.1) в несколько иной форме. Запишем ядра интегралов движения qQ и р0 как интегралы по траекториям. Поскольку ядро опе- 80
ратора эволюции U (функция Грина) в координатном представле- пии дается в формулировке Фейнмана выражением (рассмотрим одномерное движение)
xt
G (g, %； 3,厶)=,exp ［彳 S (g, %; g,亢)］卷(«),(3.8)
где классическое действие 5 = ^ L (a:r a:r г) dr определяется через лагранжиан L системы и 烈(£) — мера в функциональном интеграле, мы можем выписать ядро оператора — интеграла движения 9о — в виде (左=0, G = 0
7о (驾 У")=
к 卜&'$ $ехр 卅［S (芻，/) — S* (у, X, t)］^S)x(t)S*y(t). (3.9) 0е'工'
Здесь мы использовали то, что ядро оператора координат х имеет в координатном представлении вид / (д, &) ~ 胃抖(勺一g). Аналогично можно выписать ядро оператора — инварианта р0； оно имеет вид
Ро(2, y,t) = —ih^ d/dZ ^ \ exp ｛堂［S (z, /, 0 —
-S* (y, "")］｝勿2 (t) ®*y (t)R'(，-吟.(3.10)
Заметим, что интегралом движения является также оператор f (乳) с ядром
/(2,沙")=$ f (z')dz' $ $ ехр ｛善［S(2, /, 0 — ос'
—S* &,/,£)］｝ SHt)勿*/). (3.11)
Аналогичное выражение пишется и для оператора произвольной функции импульса f (“).
Можно выписать ядра этих же операторов — интегралов движения —в виде интегралов по фазовому пространству системы (в представлении когерентных состояний). Имеем следующее выражение для ядра q()(况，仍 t) (см. ［1011):
40 (况，"")=
=n~2N J d2ad2azdx' <x|a; £〉〈a; 0『况'〉况'<x'|a; 0>〈a'; £ |〃〉，
(3.12)
81
и для ядра оператора начального импульса:
Ро (.г, 〃 Е)=冗TN (— iK) \ d2ad2a dx djcff <x | a; £〉<a; 0 | 比'〉X；
т “ xN”一S)〈"|a';0〉S；"〃〉. (3.13)
Выражения (3.9) — (3.13) характерны тем, что в них можно при расчете использовать замены переменных в пространстве большего числа переменных, отвечающем удвоенному фазовому пространству систем (3.12), (3.13) или двойным интегралам по траекториям ^3.9), (3.11). ' - ■ ■ — <
Мы показали, что для произвольной квантовой системы можно ввести полные наборы когерентных | а; %〉и фоковских | и； О состояний, диагонализируя операторы——инварианты 4 в первом случае и операторы — инварианты /工 А^ во втором. Можно также вводить и другие системы функций, диагонализируя полные наборы операторов —функций от инвариантов q()и р0. В частности, можно построить функции — собственные функции операторов qQ (1.1); они определяются формулой
С%。(况")=С76 (例 f g) = G (况，况о； £)
и описывают развитие начальной функции, заданной в виде 6- функции ——собственной функции оператора координаты. Можно построить и функции, описывающие развитие функции, заданной в начальный момент в виде плоской волны
у¥Ро (х, t) = (^^)~^^и区/。*.
Эта функция является собственной для оператора начального импульса /о. Можно строить также функции, собственные для квадратичных интегралов движения типа /覆「就口 или операторов q叩 勿中.Все эти функции определяют полные наборы решений уравнения Шредингера, существующие для произвольных квантовых систем. Ниже на примере квадратичных систем мы будем строить их в явном виде. j :
Гамильтон показал (см. [401]), что уравнения движения 力尸一d能/dq, @ = 0兆е# сразу интегрируются, если использовать функцию действия S, удовлетворяющую условию каноничности - 一.. ., 一
' fiPtdqt —気 dt = dS +2Ptidq* —
Для интегрирования уравнений Гамильтона достаточно знать функцию S как функцию начальной 1<оордйнатьГ ^.,и' текущей координаты 方. Тогда имеем первые интегралы р? = —8S/8冰 Текущие импульсы находим по формуле р» = dS/dqi^Кв^т^ым аналогом метода Г.цмильтода построения первых интегралов р? и * G помощью функции действия 5 (^, q()) является изложенный ме1：од построения квантовых интегралов движения g и q。с
помощью оператора эволюции U (£) (см. (1.1) — (1.5)). Можно показать, используя результаты работы Фока [195], что в квази- классическом приближении интегралы движения р0 переходят в первые интегралы р? — —dS/d^ что для квадратичных систем обсуждается в § 3 гл. V.
Когерентные состояния систем
с квадратичным гамильтонианом
Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры квантовых систем позволяют сделать обобщение на системы, описываемые гамильтонианом, являющимся нестационарной квадратичной формой общего вида (включая линейные члены). Точное решение волнового уравнения для такого гамильтониана (без линейных членов) было получено Черниковым [102]. Следуя предложенной выше схеме (см. работы [43, 76, 103]), построим для такой системы инварианты, когерентные состояния, функцию Грина, амплитуды и вероятности переходов между уровнями энергий.
「Рассмотрим систему с N степенями свободы и с эрмитовым гамильтонианом вида
能(0 = 0/认(上)а т аа)a 伍нё - 1)； з 及=1,…
(4.1)
где Ql = Pl,。2 =「2，…Qn ~ Pn，Qn+1 = ,1，Qn+2= 02，* 0N = =On； эрмитова матрица B(t) и действительный вектор С (0 являются заданными функциями времени. В дальнейшем формы типа (4.1) будем записывать в виде 况=QBQ + OQ. В системе (4Л) существует 2N эрмитовых инвариантов, которые запишем в. виде .一
- 丨 Z⑴二 A©Q + 6R); j = 〃r,羽，：(4.2)
где действительная матрица Л (0 и вектор 6(0, удовлетворяющие' уравнениям . Л 1Хв^В + 5*), 6 二汰屯。(причем % — блочная матрица Паули), находятся по формулам5
Л = 7'ехр р ((г2 (5 + 5*) dt] ;5 = t \ A(r2C dt. (4.3)
О?. о -' . ■
Легко убедиться, что [厶，厶J = @, QJ Это ясно и без ировер- к異,поскольку (4,2) соответствует развитию операторов координат и импульсов с помощью; оператора эволюции Т 三 UQU^1, и в ；.этой форме сохранение коммутационных соотношений очевидно .. В качестве интегралов движения может быть выбран вектор Т^= =SIr где S 亠 симплектическая "матрлца, сохраняющая эрмито- вость и коммутационные соотношения, что соответствует другому вйбору начальных условий в (4.3) или' каноническому прёобразо- влнйю. Ясно, что оператор эъол-юцил задает канонйческо^ преоб-^
разование такое же, как и в классической механике. Следуя схеме, вводим операторы уничтожения Аа 工品几 + Zv+a) / 了2 такие, что [Аа, Л|] = 6ар, и строим когерентные состояния | а； £〉 как собственные функции этих операторов. Для этого сначала построим «вакуум»:
!0; О =冗~N/4exp [- % 况卩比 + vox + Ф (上)]; 卩=认｝崎；
Vo =—认"‘A； 必=入3 + 次 1；入q =入4 + 认 2； Да =靖 а + 6a+N；
(4.4)
(р (上) = \ dt [-Sp (星+瓦工1％) +必入^仇入^A +2丄入】a]. о
Здесь введены обозначения, отвечающие разбиванию матриц 5 и Л на блоки размерности:
笈=偿：：|； А = / 外 С=(：>
Вакуум (4.4) удовлетворяет уравнению Шредингера и условию Аа I 0; £〉= 0. В соответствии с отмечавшейся неоднозначностью выбора инварианта Т, вакуум также выбирается неоднозначно, что отвечает рассмотрению задачи в различных системах координат в фазовом пространстве (q, р), связанных каноническим преобразованием.
Физический смысл инвариантов 7a состоит в том, что их собственные числа задают начальные значения классической траектории в фазовом пространстве средних величин〈#〉，〈q〉・ Когерентное состояние I а; £〉строится из (4.4) с помощью оператора сдвига D (а) = ехр (— | а 卩 /2 + а4才)ехр (а*А). Поскольку А и 4 才 ——инварианты и a ——постоянный комплексный вектор, I а； £〉удовлетворяет уравнению Шредингера и соотношению 4 j а； £〉= a I а; £〉•
Запишем когерентное состояние в двух удобных для дальнейшего формах:
|а； £〉= r—NSexp (a + vx — %宓卩宓)(4.5а)
и
I a； £〉= 10； £〉exp (— % | a |2 + sa — ^га^а),(4.56)
где
о = <p (t) — % I a |2 + 2"/'(A* — АХ；1^^) a + % a 0，券川二 一 X*^)a； v = v0 + 2fW -工%石)a; w=i 2T (浦灯-◎工%白)；(4.6)
s = ^1'^ - X*VA + X*x —九:&%比)； 卩=i統%.
Поскольку I a； £〉задает производящую функцию для собственных состояний операторов А^Аа, написав соответствующее раз-
ложение, легко получить решение | п； £〉，где п — векторы с положительными целыми компонентами, отвечающие энергетическому представлению
|九；£〉= |0； £〉(м/ •.・мх!)-%Еп(况卜 (4.7)
где Нп (х) — полином Эрмита от N переменных х = (%, . . ., ^n), задаваемый матрицей 卩.Свойства этих полиномов хорошо известны (см. [88]).
Интересны простые частные случаи: свободное движение (能=% /Л 仄=%, bg = Ьз = b& = 0) и перевернутый осциллятор (能=V2(p2 — g2), % ~ —"工 ％,匕2 =匕3 = 0). В этих случаях спектр гамильтонианов не дискретен. Тем не меиее в задачах существуют и вакуумы, и когерентные состояния, и решения (4.7). Это и очевидно, поскольку такие операторы эрмитовы и унитарный оператор эволюции (функция Грина, являющаяся квадратичной экспонентой) переводит пакеты, построенные в момент £ = 0 в виде квадратичных экспонент (когерентные состояния) или полиномов Эрмита (см. (4.7)), в те же функции. Поэтому когерентны и энергетические состояния, причем бесконечное число их (симплектическая матрица S) существует для любых квадратичных систем.
Имея (4.56) и используя полноту системы когерентных состояний, легко получить явное выражение для функции Грина, беря гауссовский интеграл по начальным координатам в фазовом пространстве:
G (况 2,"； xi, ") = 2,0; 2> <0； 1 |(det Р)-% ехр (% ZPF), (4.8) p=俨+"(2)+第*⑴"第(2)一第*(1)] II
II г [w ⑵一w* (1)] 2 一出⑵一以⑴ (| 1
7= (s(2) + s* ⑴、
—Us (2)⑴丿.
Матрицы w (1), w (2) и векторы s(l), s (2) определены формулами (4.6). Здесь и в дальнейшем используем известный интеграл (см. формулу (3.26) гл. II).
Получение функции Грина (4.8) интегрированием по когерентным состояниям (по координатам в фазовом пространстве) полностью эквивалентно взятию фейнмановского интеграла по классическим траекториям, Воспользуемся теперь свойствами когерентных состояний для расчета вероятностей возбуждения рассматриваемой системы. Будем считать, что при £ V 0 и при t f g гамильтониан системы становится не зависящим от времени. В этих условиях существуют начальные и конечные состояния стационарной системы, между которыми происходят переходы. Амплитуда перехода из начального состояния | in) в конечное I f〉дается матричным элементом〈f | £ -> оо), где | t -> оо) есть предел состояния | £〉при £-> оо. При этом подразумевается, что начальные условия выбраны правильно, т. е. состояние | £〉сис-
темы в любой момент £> 0 дает развитие со временем соответствующего начального состояния ] in〉и совпадает с ним при ^0.
Амплитуда перехода | a; in) f | 0； f〉между когерентными состояниями легко вычисляется взятием гауссовского интеграла по координатам:
⑸ f|a；£〉=〈O;f|O；£〉exp[—i/2(|a|2 + №|2)+ 8g — %gw0,(4.9)
где
p - % T (同+ Ui)wА -/2-4*(^ + ^)寸Z
—T*H1T ”； — т；М：—T*H1T ”； — т；М：卩1 =（卩+若）t；卩1 =（卩+若）t；
—T*H1T ”； — т；М：
—T*H1T ”； — т；М：
卩1 =（卩+若）t；
卩1 =（卩+若）t；
p = 2-/g* 一溝寸A)；t = 2-，/!(X* -蔦醮元 1).
Амплитуда〈6； f I а； £〉(функция Грина в представлении когерентных состояний) есть производящая функция для амплитуды <m； f I и； £〉(функции Грина в дискретном фоковском базисе), связывающей начальное энергетическое состояние | и; О с конечным I ?и; f〉・ Из формулы (4.9), вспоминая формулу для производящей функции полиномов Эрмита от 2N переменных [88], сразу получим
<m； f I и； О =<m； f I и； О =(4.10)(4.10)<0;f |0；母 Н“ 伊TS)(孔J ...孔川! тп/ ... ти^у!)'"
<m； f I и； О =
<m； f I и； О =
(4.10)
(4.10)
где M =(冷1, . . ., ^n, ^it . . ., hin), a 8財(况)есть полином Эрмита от 2N переменных, определяемый с помощью матрицы W.
Мы можем вычислить производящую функцию ф (и, и) для вероятностей перехода | <m; f | п;力〉|2 по формулам
Ф (и, р)=冗-2N 卜р； fJ а；力〉<v*a； 11 up； f > d2ai d2Pi. . . d^aN d2^； (4.11)
邓(к, u) = W I〈m; f I叫力〉у寸…\
_ •'n^=0,二 ， 一
Trtj=O ~■ ■ ■ ； ■ ■■' ■ ■
где，u — diag 加 内，...，“n)； ° — diag (vn p2, . . ., vN); | u} | =-
Въгчпсление гауссовского интеграла в (4.11) дает сзгедующий результат: .
- 二 р(и,и) = 2^ I <0;f|O; t^(d^^Yl/t^p ^hL^L\ (4.12)
гдегде
где
где
。|1 丄俨*0 ||||б3^*Зз бзД*<5з|||1 ^з О II .
2+川|十И О0f/乜。飞卜一
汕1 一也1'汕1 一也1'D = I散+0~ "收+喇；R =俨 叫;： II - i （出2 + 第3）一第2 一协3 IIII 侬4 一形 J
汕1 一也1'
汕1 一也1'
（4.13）
即娱^小即娱^小。+。）$1、 （1一岁）$1） （1 + &） $2 丿 、（1 一 "） $2 /
即娱^小
即娱^小
Мы разбили матрицу W на блоки порядка N: W = || ^1 ^"|， и аналогично вектор 8 =（；丄）.Таким образом, 驴 есть матрица размером 4N X 4N, вектор L имеет 4N компонент.
Для перехода вакуум — вакуум имеем
<0； f 10； /〉= 2‘v/2 （det 卩 1）% exp （<p 十屮；+ % v0Hiv0）, （4.14）
где 卩1 =（卩十位）T, v0 =—认/a.
Полученные формулы полностью решают,задачу о поведении любой квадратичной системы. Отметим, что получение в явном виде интегралов движения, когерентных состояний и амплитуд перехода для таких систем отвечает возможности вычислить для них явно гауссовский интеграл по траекториям. Все рассматривавшиеся до сих пор задачи с когерентными состояниями являлись частными случаями именно квадратичных систем.
Инварианты и функцця Грина
В работах [104—107] был выяснен еще один аспект интегралов движения （1.1）. Оказывается, что функция Грина является решением нового уравнения, определяемого инвариантами д。, р0 Так, из физического смысла функции Грина как амплитуды перехода из начальной точки в конечную и физического смысла интеграла движения д（）как оператора начальной координаты вытекает, что
до （况）GQ,宓о,力）=<r（）G （囂，宓о"）.（5.1）
Это легко проверить, исходя из соотношений （1.1） и из того, что G （х,况°,力）=U "）5（况—Хо）. Можно легко доказать справедливость еще одного соотношения, а именно:
„2>о （х） G （^, х0, 0 = 1Й A G （ж, х0,7）, （^.2）
а также соотношения
q （х0） G （宓，х0, 0 =况G （х, g"）；（5.3）
здесь q (х) = 〃丁况(〃т)т, a q (%q) действует в (5.3) тта переменную 宓/ ~
Соотношения (5.1) и (5.2) можно переписать также в форме, использующей представление функции Грина системы через интеграл по траектории, а именно:
и
Эти соотношения, разумеется, справедливы для произвольных динамических систем, т. е. систем, описываемых уравнениями типа уравнения Шредингера и обладающих операторами эволюции. Часть уравнений (5.4), (5.5), а именно уравнения (5.4), была написана для интеграла по траекториям произвольной динамической системы в работе [108].
Соотношения (5.1), (5.2) или (5.1), (5.3) определяют функцию Грина с точностью до фазового множителя, зависящего от времени и определяемого из уравнения Шредингера. Часто оказывается, что решать систему уравнений (5.1), (5.2) гораздо легче, чем обычное уравнение для функции Грина, если, конечно, независимо известен явный вид всех интегралов движения, которые необходимо находить заранее. Как в классической механике знание всех инвариантов эквивалентно нахождению решения уравнений движе^ ния или действия как производящей функции канонического преобразования, задающего переход от начальных точек ^0, р0 к текущим q()(i), р0 (i), так и в квантовой механике знание всех интегралов движения дает возможность определить эволюцию системы, т. е. найти функцию Грина. Докажем соотношения (5.1), (5.2). Введем для удобства 2№-мерный вектор q = (р, х). Тогда формулы (1.1) принимают вид Q = UqU^1. Отсюда сразу следуют уравнения (5.1), (5.2), поскольку если QU = Uq、то для ядра G оператора U выполняется уравнение 0 (x)G = 夕丁 (x0)G. Коммутационные соотношения операторов Q* сохраняют свой вид в любые моменты времени, что аналогично сохранению скобок Пуассона, вычисленных для координат и импульсов ^0 и р0 и связанных с ними каноническим (касательным) преобразованием координат q и £
Поясним, следуя [104], вывод соотношений (5.1), (5.2) следующим способом. Заметим, что в начальный момент времени функция Грина равна 6-функции:
G (吃况о； +0) = 6 (况一g); G (x, Xo, t) = U6 (况一Xo), (5.6) и что действие оператора q на 6-функцию как на функцию первого аргумента х равно действию транспонированного оператора ^т на 6 (х — Хо) как на функцию второго аргумента х0:
q (х) 6(х — х0)=夕丁 (А) б(х — х0)(5.7)
(запись I (х)Т (х, у) означает, что оператор / действует на функцию В как на функцию от переменной ос, а у при этом считается параметром； напомним, что эст =况,* = —р).
Действуя на обе части равенства (5.7) оператором эволюции U, получим
(Uq) (х) 3 (况一Хо) = (UqUr。)(宓)3 (况一能о) =。(x) G (:居尤о,力)； U (х)用(х0) 6 (х — Хо)=夕丁(Хо)и (宓)3 (况—х0) = qt (х0) G(x, jc0,力). Следовательно, функция Грина удовлетворяет следующей системе из 2N уравнений:
Q (х) G (х,度о")=夕丁 Зо)g (х,况о, £)•(5.8)
Эти уравнения — краткая форма записи соотношений (5.1), (5.2):
до (х) G(x,况о, 0 = x0G (х, д")；(5.9а)
Ро (况)G (х, д") = t方謚 G 3 Хо,力).(5.96)
Функция Грина G (х, х0,力)является собственной функцией оператора начальной координаты ^0. Этот факт является, очевидно, следствием определения функции Грина как амплитуды вероятности перехода из начальной точки х0 в конечную точку х и физического смысла интеграла движения ^0. Система уравнений (5.9а) является совместной, поскольку все операторы q^ коммутируют друг с другом. Эти уравнения определяют функцию Грина с точностью до произвольного множителя, зависящего от х0, t : G (х, Хо, 0 = Go (х, ,х0, 0 / (х0,力)，функция / (х0,力)может быть получена из уравнений (5.96) простым интегрированием. Уравнения (5.9) дают функцию Грина с точностью до множителя, зависящего только от времени. Чтобы найти этот множитель, следует подставить функцию G (х,况о,力)в уравнение Шредингера и учесть начальное условие (5.6).
В уравнения (5.8) переменные х и х0 входят несимметрично. Можно написать вместо (5.96) уравнение, по форме аналогичное (5.9а), но в котором 况 ит。меняются ролями. Для этого введем оператор Y q (х):
Y = U% (0 尸=(О』。)】.(5.10)
Для доказательства соотношения (5.3) достаточно учесть, что G (ас,宓о,力=£7т(ж0) 6 (х 一 х0). Сравнивая формулу. (5.10) с вытекающим из (1.1) соотношением х = U^qQU, можно получить следующий рецепт для построения оператора Y. Допустим, что оператор х можно выразить как функцию от операторов д° и р0: х = /(^0, у?。)* Тогда оператор К можно представить в следующем виде:
p =["况,初.
Хотя в начальный момент времени оператор К совпадает с оператором х, он не является иптегралом движения для системы с гамильтонианом ^1, так как К удовлетворяет не уравнению.(2,4), а уравнению„
「冇^ —.%', K『F = 0; т = (и-^иу.(5.11)
Если гамильтониан 咏 от времени не зависит, то операторы 宛 и U коммутируют, так как в этом случае U ~ ехр (—»%〃％)• Тогда 咏'工 衫.Поэтому уравнение (5.3) наиболее удобно в случае стационарных симметричных гамильтонианов, ибо при этом операторы д()и q совпадают.
Иногда может оказаться удобнее работать не с оператором Q, а с какими-либо функциями от него, например ср (Q), которые также являются интегралами движения. Тогда уравнения (5.8) заменяются, очевидно, следующей системой:
[q> (Q)] («) G (х, х0, 0 = [ф (д-)]т (ж0) G (х, х0, 0-(5.12)
Аналогичным образом видоизменяется и уравнение (5.3). Можно переписать соотношение (5.12) в виде уравнения на собственные Значения для интеграла по траекториям. Оно выглядит следующим образом:
ае.
仰(Q)I Q)、 eXp [专 S(",然)，力]级T⑴= to
• ' 1= [q>(g)]T(g) jexp [-^S(ac,g, # 步尤⑴，(5.13)
й обобщает соотношения (5.4), (5.5) на случай произвольной функции от интегралов движения ^0 и р0.
‘ Уравнения, аналогичные (5.8), могут быть написаны и в любом другом представлении. Все они получаются по следующему правилу. Пусть имеются 27V независимых операторов d『,j』 —1; 2,. . .,27V, а функция Грина зависит от переменных у иу。. Пусть в начальный момент времёйи? действие операторов dj на первый Йргумёнт функции Грина эквивййеятпо действию каких-то операторов ф (dj) на второй аргумент:
@(“)G 例伙),0) = [<p3)]@o)G ⑨，伙)，0).(5.14)
Тогда, вводя ийтеграл движения 刀 == U dU~\ получим для функции Грина уравнение …
D (V)G (у, у о, t) = [<p (S)] (y^G (у, «/о, t).(5.15)
В частности, в импульсном представлении снова получим уравнение (5.8), в котором нужно, очевидно, сделать замену 况二争 и учесть, что в этом представлении рт = 2?, а хт = —х. Уравнения (5.9а) и (5.96) справедливы и для функции G (力，х0, t) — амплитуды перехода из состояния | х0> в состояние | р) за время 力 нужно только заменить х на р.
Эти уравнения можно получить по указанной схеме, если учесть, что
G (#, х0, 0) = (2叫-Me exp (■- _l— 7>g).'
Рассмотрим еще одно в стречающееся представление, а именно представление когерентных состояний [61, 63, 64], в котором каждому кет-вектору | /) ставится в соответствие целая аналитическая функция комплексного аргумента а: / (а*)工 exp (V2 | а |2)〈а | /〉 (звездочка означает комплексное сопряжение), где (а | — это эрмитово-сопряженный вектор к ] а> — собственному вектору неэрмитова оператора а, удовлетворяющего следующим коммутационным соотношениям:
[出，仇]=0,[a"a上]=6沁 的Ia)= а/а)，(5.16)
где а = (а1т а2, . . ., а/у) может быть произвольным комплексным вектором. Операторы а и а^ действуют на функции / (а*) по формулам一
а/(а*) = -^*/(а*)< а〃(а*)二 а*〃а*),(5.17)
а ядро единичного оператора в рассматрийаёмбм представлении равно G (a*, р, 0) = exp (а* р):
/(а*) = \ехр(а*В)/(0*)即(В)；:/ 攸
」dp, (Р) = л^ exp (^-1 p I2) d (Re p) d (Im P).(・ J
Поэтому формула (5.14) в данном случае принимает следующий вид:
勿⑷ еа*Р = №<х*В = ат (Р) т*В； / (а) т*В = 击 m*B = (d)T (Р) еа*В
(5・19)
(да второй аргумент, очевидно, нужно действовать не операторами а и а储 а комплексно-сопряженными операторами а^ == (а^^ и (〃*)* ат). Следовательно, вводя интегралы движения Й == = UaU^1 и F 三 Ua^U"1 (если гамильтониан неэрмйТов, то, во-
обще говоря,尸力 А^, но соотношение [А^ F^\ = 6丁上 выполняется всегда), получим уравнения для функции Грина следующего вида:
(5.20a)(5.20a)4 (a) G (а*, р, t) = pG (а*, р,力);
(5.20a)
(5.20a)
F (а) G (а*, ^,t)^^G (а*,卩，t).(5.206)
Физический смысл функции G (а*,卩，t) состоит в том, что величина G (а*, 0, t) ехр [—%(I а I 2 + I р I 2)] есть амплитуда перехода из когерентного состояния | р； 0> в когерентное состояние I a;力).
Преимуществом представления когерентных состояний является то, что в этом представлении функция Грина не имеет особенностей (функции / (а*) — целые аналитические функции). Переход к координатному представлению осуществляется по формуле
G (徹2, «I)= ^ <х21 а> G (а*, Р) <р I «!> ехр -^- (|а|2 + | Р |2)即(а) d(i (Р), (5.21) где〈况 I а〉一 волновая функция в координатном представлении, соответствующая кет-вектору | а).
В качестве примера рассмотрим, следуя [104], еще раз квантовую систему с гамильтонианом (эрмитовым или неэрмитовым), являющимся произвольной квадратичной формой от операторов q：
第（力）П%网力）0十0（力）0+①R）；第（力）П%网力）0十0（力）0+①R）；。=目；。=党）；6=1:::小。=目；。=党）；6=1:::小(5.22)(5.22)
第（力）П%网力）0十0（力）0+①R）；
第（力）П%网力）0十0（力）0+①R）；
。=目；。=党）；6=1:::小
。=目；。=党）；6=1:::小
(5.22)
(5.22)
N-мерные векторы ^ и с2 и TV-мерные матрицы %, / = 1, 2, 3, 4, могут быть произвольными (достаточно гладкими) функциями времени. Очевидно, матрицу В можно всегда считать симметричной, т. е. Ь± = А,瓦=方4, &2 —方з，гДе тильда обозначает транспонированную матрицу. Если гамильтониан эрмитов, то матрица В и вектор О вещественны, но для дальнейшего это несущественно. Обсудим сначала классическую систему с квадратичным гамильтонианом (5.22), общей квадратичной формой координат 况 и импульсов р. Тогда уравнения Гамильтона — Якоби выглядят, если ввести 2Ммерный столбец q =窗)，следующим образом (для произвольной классической системы)：
…醬. (5.23)
Здесь Е к]； :"] - матрица размером 2N X 2M где En - единичная TV-мерная матрица. Те же уравнения можно записать в координатах а =(况 + fp)//2 и а* =(况一»〃)/|/2. Тогда, если ввести 2№-мерный вектор Y =(含 ), уравнения
Гамильтона — Якоби примут вид
"=p第,「Kep=［厂:卜 (5.24)
Будем искать решение системы уравнений (5.23) в виде (траектория в фазовом пространстве)
q (力)=А (力)q()+ А (力)； Л (0) = Е；А (0) = 0.(5>25)
Здесь д()— начальные координаты точки в фазовом пространстве системы. Тогда, подставляя (5.25) в (5.23), получим уравнения для матрицы △(力 размером 2N X 2N и 2TV-мерный вектор Д (力 Они имеют вид
Л ⑴=2БЛ ⑴； А ⑴=£ (ЗА + О).(5.26)
Решение уравнений (5.26) дает решение классических уравнений движения в фазовом пространстве системы с квадратичным гамильтонианом. Если разрешить соотношения (5.25) и выразить величины q0 через текущие координаты и время, мы получим функции
q0 (С = А (力 q + А； А = Л'1； А = — ЛА, (5.27)
являющиеся классическими интегралами движения. Из сохранения скобок Пуассона и действительности координат ^ и ^0 вытекает, что матрицы Л и Л принадлежат симплектической группе матриц Sp (2N, R). Каноническим преобразованием в фазовом пространстве, а именно заменой переменных
〃 =uq + jli,(5.28)
можно привести гамильтониан 能 к виду без линейных по величинам ql членов：
就 % q'B'q' + ф ⑴； 笈'=侬т) Ви~\(5.29)
Вернемся к рассмотрению квантового случая, т. е. будем считать величины q в гамильтониане (5.22) операторами. Как и в классическом случае, интегралы движения р0 и q0 выражаются линейно через операторы & и ас:
q=图=m)。+А竹 a = 收 3］； a =(：:)，(S30)
причем 2“~мерная матрица Л (力 и 2%-мерный вектор Л являются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Л ^ Л55； Л (0) = ^2N；
Л AZO; А (0) = 0; 一》方马抬—也力 g"；(5.31)
En 一 единичная матрица размером 7VxM В общем случае матрица Л комплексна, а операторы р0 и q0 неэрмитовы. Однако
если гамильтониан эрмитов, то?.эрмитовы! л йнтёгpaльrJ движенй)! Pq и q(), так как в этом случае Ли Л вещественны (операторы р и 强т)и этом выбраны эрмитовыми). -'
Через интегралы движения гамильтониан выражается следующим образом:-'-
能=%0£0+0‘0+ ①'；# = А^л"1； 0‘= аТ(0一 5aта)；
一①’=1/2a82 —0A一弘 +①.(5.32)
Пусть операторы р и х совпадают с операторами импульса и координат. Поскольку коммутатор интегралов движения также является интегралом движения, то [Q^ ^] = [g；, 弘]= —iKZ^-, j,左=1, 2, . . ., 2N. Следовательно, матрица Л является симплек- тической: Л2Л = S. Этот результат верен как в квантовой, так и в классической механике, ибо преобразование (5.30) является каноническим. Условие симплектичностй означает, что det Л — 1, а TV-мерные матрицы 入&• удовлетворяют условиям
入2入1 ^=入1入2, 入3入4 —'入4入3, 入4入2 入2入4, 入1入3 —1入3^1，入2入1 ^=入1入2, 入3入4 —'入4入3, 入4入2 入2入4, 入1入3 —1入3^1，(5.33)(5.33)入4入1 -入3入2 & N， 入4入1 — 入2入3 E N， 宀u:門
入2入1 ^=入1入2, 入3入4 —'入4入3, 入4入2 入2入4, 入1入3 —1入3^1，
入2入1 ^=入1入2, 入3入4 —'入4入3, 入4入2 入2入4, 入1入3 —1入3^1，
(5.33)
(5.33)
Для функции Грина получаем согласно (5.8) уравнения
(-t^3+ 入4第 + 62)G(X,黑0,%)=XoG；
”/ аe(5.34)
(—流北1 -^ 十入&黑 + 6, G(X,黑0,力=i方而"G(x, Xq, t).
Пусть матрица Х3 не вырождена. Тогда эти уравнения легко интегрируются и функция Грина имеет вид экспоненты от квадра^ тйчной формы:
G (at,贫0, /) = exp [屮(犷一募[第爲以4第一2以/宓0 + 一上
-+ ®)入 1 入з%о + 2龙入3气2 + 2宓0 (& —入зЛ/М}]} * (5*35)
Заметим, что для совместности написанных уравнений необходимо, чтобы матрицы 入;'Х4 и Л1Х^1 были симметричными. Но эта Симметричность является, как легко проверить, следствием соотношений (5.33). :二
Для функции ф ⑴ после подстановки в уравнение Шредингера получается следующее, уравнение:“.
电=-^- Sp (入з 九瓦一％) H—к СзЛз ^2 —^ ба%%%3^亡①“
Это уравнение легко：интегрируется, если учесть следующие соотношения, вытекающие из уравнений (5.31):入《瓦=一儿& ~Р 入зб；.
62 = Л3с2 —入g, а такжё .тождество, Sp ХХ'1^ (d/dt) In det 入(力一 Константа интегрирования определяется требованием, что при 方f 十 0 Gf § (х — х0). Поэтому окончательное выражение для функции Грина следующее:二
G (X, Хо, t) = (2就方厂n/2 [det (-入3)]~‘/z exp {-亲[况爲九第—「
—2第招 %。 + 第0 入右з0 + 2xХ3162 + 2x0 (& 一入 i入"闻 +
--「+ 62入]Л3‘52 - 2 J (8162 - Ф) аT]}? det Х3 =^ 0. (5a36),
Оно совпадает с (4.8), если t2 — 0, а^2 = зс и учтены естественные соотношения типа (5.33).
Канонические преобразования типа (5,30) r их приложения к некоторым физическим проблемам изучались также в работах [109, 110]. При этом для ядра преобразований были получены выражения, аналогичные (5.35), но с точностью до фазового множителя и с ограничением унитарными преобразованиями (т. е. в предположении, что матрица Л вещественна).
Функции G (@, р0, t) и G (р, х0,力 вычисляются аналогичным образом. Чтобы из формулы (5.36) получить G(q, &(), %), следует сделать следующие подстановки: х —> р;入3fA2；入4 f 入i； 62 f т 6i； E->—応 а чтобы получить G (笈，x0,力，нужно заменить ас —> р;入3 f 入4；入 1 —> 入2, кроме того, поменять знаки перед всеми членами, содержащими р, и убрать множитель (—力)一双/2 перед экспонентой.
Если матрица Х3 вырождается, но det 入&，0, то функцию G (х, х0, t) можно получить преобразованием Фурье из функции G (р, х0, t), так как последняя в этой случае особенностей не имеет. Поскольку матрица Х^Хд симметрична, то некоторым ортогональным преобразованием S (будем считать для простоты гамильтониан эрмитовым) ее можно привести к диагональному виду, 汇叽з = $т diag Зи 卩2,卩小 0, . . ., 0)5 (固卢 0, / < Л).
(5.37) Следовательно, если при вычислении интеграла Фурье по /? сделать подстановку Sp = у, то, интегралы по ⑦，j《左；будут гауссовыми, а остальные. N — к интегралов дадут 6-функции. В результате вычислений получается следующее выражение для функции Грина в фокальных точках:」
G3,宓也")=--(— 2nih)~^P (det 入4尸厶 вXР{—壶[第山入;%0 +
斗2妣(6]--入乱Jb") + &小就/62 - 2\(瓦62一①)@T]} X
-о
X n^expj-J^^z?) П 6(3； (5.38) j=i3=计1
здесь ^ = 5 (х —入/а + 入『62). Если det 入& = 0, но det 入窘，О или det A】=# О, то выражения, аналогичные (5.38), можно получить, вычисляя преобразования Фурье от функций G (р, р0,力 или G(4Г, Ро» 力* Случай, когда все четыре Х-матрицы вырождаются одновременно, рассмотрен ниже.
Вычислим теперь функцию Грина в представлении когерентных состояний. Ограничимся при этом случаем эрмитовых гамильтонианов (как видно из предыдущего, это не принципиальное ограничение, но в данном случае оно позволяет несколько упростить формулы, так как вместо четырех матриц типа %, / = 1, 2, 3, 4, достаточно ввести только две). Произвольный квадратичный эрмитов гамильтониан можно представить в виде
况=% [d@m + a@：d + adra + 口爲;/] + fa + /*а^, (5.39) причем N-мерная матрица dx симметрична, а матрица d0 эрмитова. Интеграл движения А = UaU^1 имеет вид
4 = Е«)а + ri ⑴а*+ у, (5.40)
где матрицы и Л и вектор у являются решениями уравнений
力底=-泌+外由；E (0)=后n；
ihx\ = — g@： + 刀片；T](0) = 0； (5.41) i 祈=—V* + л/i Y (0) = 0.
Поскольку коммутационные соотношения между операторами Я； н 耳=u4u~i во времени не меняются и, кроме того, F = 4才， то матрицы g и т] удовлетворяют тождествам
Е『—•吶才 н En；玩=礴； ^ — Л Л* = En-, <4 =《ri*. (5.42) Первое из этих тождеств означает, что для произвольного вектора 力 выполняется соотношение (а, Е『а) = (а, а) + "а, т/а) > (а, а). Следовательно, матрица g является невырожденной (иначе нашелся бы ненулевой вектор 纟,для которого 自才纟 = 0). Поэтому функция Грина в представлении когерентных состояний всегда имеет вид экспоненты от квадратичной формы, т. е. нигде не имеет особенностей. В этом одно из преимуществ представления когерентных состояний.
Решая уравнения (5.20) с учетом явного вида оператора А (5.40) и тождеств (5.42), получаем следующее выражение для функции Грина:
G(a*, р, t) = (det §-% ехр [——^-а*ЕТт1а* + 代岁平十击阿*岁平一
—а吒』+ ₽(?* — Л*^1?) + 4~ 丫4吒』+ \ 汕 &斗(5.43) о
Функция Грина G (а*,卩,％) является производящей функцией для функции Грина G (т, п, t) — Gmn ⑺ в фоковском представлении:
G(a*,『)=£G(a*,『)=£(а：严...(啖)m”;,…偽N(恤！ .…mN!勺！.…nN^12(а：严...(啖)m”;,…偽N(恤！ .…mN!勺！.…nN^12G (ж, n, t).G (ж, n, t).(5.44)(5.44)
G(a*,『)=£
G(a*,『)=£
(а：严...(啖)m”;,…偽N
(恤！ .…mN!勺！.…nN^12
(а：严...(啖)m”;,…偽N
(恤！ .…mN!勺！.…nN^12
G (ж, n, t).
G (ж, n, t).
(5.44)
(5.44)
Разлагая функцию Грина (5.43) в ряд по переменным а* и Р， получаем выражение для матричных элементов оператора эволюции U в дискретном фоковском базисе:
⑴⑴=G(0, 0, £)(介if)(тх!. . . mN\ 勺！.…办ND”'=G(0, 0, £)(介if)(тх!. . . mN\ 勺！.…办ND”'(5.45)(5.45)
⑴
⑴
=G(0, 0, £)(介if)(тх!. . . mN\ 勺！.…办ND”'
=G(0, 0, £)(介if)(тх!. . . mN\ 勺！.…办ND”'
(5.45)
(5.45)
Здесь Нм — полином Эрмита 2N переменных; " = (mv . . ., ту, 孔,，…",孔N)；
где §i = —§2 = у* — Л*S'1?* Выражение (5.45) совпадает (если сделать соответствующие переобозначения) с амплитудой перехода при параметрическом возбуждении многомерного осциллятора (4.10). Это же выражение есть интеграл перекрытия волновой функции I п; 0> и волновой функции I ж; О» получающейся в результате эволюции квадратичной системы с гамильтонианом (5.22) из состояния | ж; 0>. В представлении когерентных состояний волновая функция <т | 0； %〉(функция Грина в «косом» базисе) имеет вид
<m I р； О = G (0, В") Нт (宓;％).(5.46)
Здесь Нт — полином Эрмита от N переменных;卩=g，(卩一Y)； W± =w一勺.
Теперь мы можем вычислить функцию Грина в координатном представлении в том случае, когда все Х-матрицы вырождены. Для этого введем операторы а и а^ по формулам |/2а = * + 力〃, ]/2况彳 = х — ip. Тогда матрицы g и т] будут связаны с Х-матрицами согласно формулам
e = % (入w -次a)；" = % (入a + 认a)；Y = (2方尸J 6；47)
必=入3 +队1；入q =入4 +次2；6 = 62 + Х6「
Нетрудно показать, используя тождества (5.33), что матрицы Хр и Хд не могут быть вырождены (мы рассматриваем сейчас для простоты случай эрмитовых гамильтонианов, в неэрмитовом случае формулы более громоздкие). Функции <х | а> в данном случае равны
<хI а> у (л方)~n/4 еХр [— (2%尸宓2 — %а2 + (2/^)^ах — %|а|2].
(5.48)
4 Л. Л. Малкин, В. И. Манько97
Поэтому, применяя преобразование (5.21), получим следующий результат:
G (X, 35о, c =//2 (2哂*2 (det入Ртeхp [一芸寫吋統第——^^g寸6一 —表* + $$(网* — 2g)dt] 口产厶exp {-^y —^Vj (Sf>)j +
+ 4-[(5xo)；]2} П 6(Um)exp{—^[(2S"o — 0)m]2}； (5.49)
入3入丁 = 5一1 diag (卩 1, p2, . . ., рь0,0,... ,0)S； Re 円〉0,/<*；
(5.50)
0 = S (g — & —枕丁宓)<(5.51)
В этях формулах S — вещественная ортогональная матрица, диагонализующая симметричную матрицу 入з入石士 Существование S очевидно в случае det 入3 千 0, ибо тогда, в силу определения (5.47),入з入^i = (En + 认^入J-* а вещественная (в случае эрмитова гамильтониана) симметричная матрица Хд1Х1 диагонализуется вещественной ортогональной матрицей. Поскольку матрица 入3入? неособенная, то справедливость (5.50) можно доказать с помощью предельного перехода. Можно также показать, что в силу свойств Х-матриц аргументы 6-функций в (5.49) на самом деле всегда вещественны, если вещественны Х-матрицы.
Если гамильтониан от времени не зависит, то можно показать, что матрицы Ху и векторы 6； подчиняются, кроме условий (5.33), еще дополнительным соотношениям
入1 (— t)—統(力)；入2, 3 (一%)=-入2, 3⑴；
历(力=%1闻(一 c - X；1 (- t)人(一力恒(力； (5.52) 闻(力=統⑴VW 61⑴+元1 (力阮(-办
так что в этом случае полученные для функций Грина выражения могут быть еще более упрощены.
Вычисляя преобразования Фурье от функций Грина G (力, можно получить функции Грина стационарного уравнения Шредингера. Примеры точных функций Грина такого типа могут быть найдены, в частности, в работах [111—114].
В заключение этого параграфа сделаем тривиальное замечание, что поскольку известны функции Грипа для квадратичных систем, то тем самым известны и функции Грина для целого семейства гамильтонианов, которые могут быть получены из (5.22) преобразованием типа 况'= 5兆5一1, где S — произвольный оператор. В частности, можно убрать каноническим преобразованием сдвига линейные члены в'гамильтониаие； это"преобразование имеет вид
S = ехр (n (%)q); 小⑺—笈(%)pN⑺ + C (力)=0;
рu =
Иеквадр^тн^ндй систёмА ——сингулярный нестационарный осциллятор
Данный параграф посвящен изучению неквадратичной квантовой системы ——сингулярного квантового осциллятора, описываемого волновым уравнением [65, 66]
/2(6.1)
Но прежде чем изучать это уравнение, рассмотрим предельный случай — нестационарный осциллятор с переменной частотой, со стенкой в начале координат [114], решениями которого являются нечетные когерентные состояния | а土〉(см. формулы (9.28) и (9.38) гл. I). Нужно только учесть, что скалярные произведения заданы в этой задаче интегрированием от точки z = U до бесконечности. С учетом новой нормировки приведем явный вид когерентных состояний I для этой задачи:
I 、/ 4m \^( im 邕 2 . е* 2 I a I2 \ . /ха т / 2m \
(丽)ехp+石a _
(6-2)
Эти состояния не нормированы. Для нормировки их следует умножить на фактор (| а |).
Выпишем также функции | 孔俯〉：
I 、(^)П in X (— l)n / 4m \fi / е* J2n+1)/2
Xexp^l^)%^^)/^),(6.3)
где Hn (土) 一 полиномы Эрмита. Следует учесть, что | 0历〉一основное состояние осциллятора со стенкой — соответствует первому возбужденному состоянию обычного осциллятора.
Функция Грина для рассматриваемого осциллятора со стенкой легко получается из функции Грина для нестационарного осциллятора без стенки, определенной в [85], антисимметризацией:
G (д, %；勺，％) = £ I nw, 2> <nw, 1| = i ( ijapj；sinY ) х n=0
X sin (^ад exp ｛号[分J今宕十ctgMA争]｝， где(6.4)
Рк = |£(%)|； Y = \"^p
Эту же функцию можно получить интегрированием по когерентным состояниям: G (2, 1) — л^1 j da | aw, 2〉〈сцу, 1 |.
Перейдем к рассмотрению уравнения (6.1) при произвольных значениях параметра g. Мы будем пока рассматривать это уравнение на полуоси 0 彳 z < ос. Удобно ввести параметр а = г/2 (1 + + 3mg!K2y^^ поскольку во все формулы g входит именно в такой комбинации. Будем считать, что g〉— h2/8m, т, е. что а — вещественное и положительное число. Случай, когда g<— h2/8m (обычно его называют «падением частицы на центр»), рассматривается отдельно.
Решения уравнения (6.1) для произвольной функции со (力 получены в работе [115]. Они могут быть выражены через функцию £ (%), определенную соотношениями (1.3) и (1.5) гл. II, следующим образом:
屮")=[2備广生%
хeхp(—2也Y+瑞-|■述)/(牛产)， (6.5)
где L^ (x) —полином Лагерра, у (力)一 аргумент комплексного числа е: £ «) = р (力 exp (力у «)), р и у — вещественные функции, причем, в силу (1.4) гл. II, р2 (力)у = 1. Полезно также иметь в виду соотношение е/е = р/р + ty. Функции (6.5) ортонормированы:
/ Т* (т, t) Т^ (爲 t) dx = 3n团， и образуют полную систему о
на интервале 0 < z < ос в классе функций, интегрируемых с квадратом модуля [116]. Если 0 < a < 1, то существует вторая система квадратично интегрируемых решений, получающихся из (6.5) заменой а па — а. Однако, как показано в [117], эти решения следует отбросить по физическим соображениям. Подробнее этот вопрос мы обсудим ниже, а пока вторую систему решений рассу атри- вать не будем.
Если частота осциллятора от времени не зависит, то, полагая в (6.5) £ (力)=①一打 ехр (力①%), получим стационарные состояния с собственными значениями энергии Еп —方①(2孔 + a + 1).
При g = 0 (a = 1/2) волновые функции (6.5) совпадают с решениями (6.3) для осциллятора со стенкой в силу тождества [88] Я2П+1 (T) = (- 1严 22研1 加m之2(必).
Если а — целое или полуцелое число, то, как будет показано ниже, решения (6.5) тесно связаны с радиальными волновыми функциями для /t-мерпого нестационарного изотропного осциллятора.
Рассмотрим интегралы движения, т. е. операторы, коммутирующие на решениях уравнения Шредингера с оператором th dldt—死. Как показано в [115], одним из интегралов является оператор
А = (2ттг方尸[(叩工—评血归产 + 2s2mg/x2] = a2 + Mg/无* (6.6)
где а — линейный интеграл движения (см. (1.2) гл. II) для нестационарного несингулярного осциллятора. Оператор Л неэрмитов. Очевидно, что эрмитов оператор В = 1А, Г]/4 также является интегралом движения:
в = %т [р2 (t) (р%2т + g/喲 + (р2 + G) тх2/2 — рр (хрх +
+ рт)/2]. (6.7)
Операторы Л, Г и В удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
U, А^] = 4Б; [В, Лг] = 2А^; [5, А] - -2А.(6.8)
В частном случае, когда ①(力 = const,
Л = ехр (2庙力[(рх — immx)2 + 2mg/x2];
3 =笛方 3.(6.9)
Таким образом, В является интегралом движения, совпадающим (с точностью до множителя) в стационарном случае с гамильтонианом. Отсюда сразу можно сделать вывод, что решения (6.5) (далее будем обозначать их символом | 汽〉)一это собственные функции оператора В с собственными значениями 2тг + а + 1. Используя коммутационные соотношения (6.8) и ортогональность функций (6.5), можно показать, что имеют место соотношения
/ I 九〉=Nn I 九-1〉； 4" I 九〉= ь+1 I 九十 1>；(b.10)|1п = 2 [тг (a + 汽)]力；
I汽〉=(40n入n I。〉；入办=(因卩2…卩71) 1 =[诃-；-, t"丄"]*
I 4 丄(a十孔十1)」
(6.11)
Эти формулы можно непосредственно проверить с помощью явных выражений (6.5) для | тг>, учитывая при этом различные соотношения для полиномов Лагерра [88].
Используя производящую функцию для полиномов Лагерра [88]』L^(z)zn = (1 — з)-(а+1)ехр [zz/(z — 1)], можно построить производящую функцию для собственных векторов оператора В [115]:
G к，&»)= £ [^Щ^『兴(力巾=
=[2 備门%。叫1 -s)3exp «4^4- ^炉』г
s = zN； |z V"(6.12)
101
формальйо ее можно представить в виде
G (z, & t) = J (а + I)]% ^ (献 2)1 (z/彳产 |0> = п=о
=К(а + 1)Г/‘ехр (岑)|0〉.
Можно построить и другую производящую функцию, являющуюся в какой-то мере аналогом нечетных когерентных состояний для осциллятора, о которых говорилось в § 9 гл. I.
Легко проверить, что функция I а) ^= 2j ct2n^n|«) является собственной функцией оператора А:
/|а〉= ) /|孔〉=) 1?г — 1> = а2|а>.
n=0n=l
(6.13)
Нормированные собственные функции оператора Л имеют вид
I а〉= [Г (а + 1)「％N (IаI)纪а?%|п> ="(1aD(病厂(需广х n=o'
хехр 传 4-2 十 44"传 J 咨卜(6.14)
N(I а I) = [Ia(I а I2) I а2/2 尸尸厶.
Здесь Ja (土)一 функция Бесселя порядка а, 1а (х) — модифицированная функция Бесселя [88]. Формула (6.14) следует из производящей функции для полиномов Лагерра [88]:
£F =(政)一叫妤几(2 MR). n=0
Если a= 1/2, то функции (6.14) совпадают с точностью до множителя | а |/а с нечетными когерентными состояниями для осциллятора со стенкой (6.2), так как 工厶(土) ~ (2/лх)1/2 sin х.
При вычислении скалярных произведений векторов | а> используется интеграл [88]
j (5)几(做)e~^t 出=(2Y尸 exp (- ^^) Ia (器).(6.15) 0'
Легко видеть, что состояния | а> не ортогональны друг к другу:
<а 1 р> = TV (|а I) Л^(I ₽ I) (а*₽/2)-°/а(а*₽)г(6.16)
Поскольку оператор А неэрмитов, то в спектр его собственных значений входят все комплексные числа, тогда как оператор
А^ вовсе не имеет собственных функций. Последнее утверждение может быть доказано с помощью соотношений (6.10) точно так же, как и для оператора а* в случае обычного осциллятора.
Не представляет труда вычислить средние значения оператора В (т. е. в стационарном случае среднюю энергию) как в состояниях (6.12) (обозначим их символом | z>), так и в состояниях |а〉(6.14).
В первом случае используем соотношение
ТогдаТогда/г + ап/г + апГ* 仇 + а + 1)不g+1)门。十1)Г* 仇 + а + 1)不g+1)门。十1).(6.17).(6.17)
Тогда
Тогда
/г + ап
/г + ап
Г* 仇 + а + 1)不g+1)门。十1)
Г* 仇 + а + 1)不g+1)门。十1)
.(6.17)
.(6.17)
〈吁署T牛吋%^_1Z…+1)罟步 n=o
(6.18)
Во втором случае, используя определение функций Бесселя, получим
35g = N2(g£(喈『脩出"+吋=^ a (6.19
В частности, для осциллятора со стенкой (при a = 1/2)
<aw \В I aw〉= % + I а Г cth (| a『).(6.20)
Рассмотрим теперь функцию Грина уравнения (6.1), которую можно вычислить по формуле G (2, 1)= 』I Л，2) (тг, 11, используя одну из производящих функций для полиномов Лагерра [88]: X Г (a J； + 1) L"⑺疗(沙)=
= 占 exp (- Z芸力砂产/a(2 白)•
После проведения вычислений получаем
G (&,力2；勺"1) (^Pip2sin yY1m (zM2)‘‘2exp {[ —》他 + ')曰]+
•十襲[^/一^: +川?&+青]}几(就謊排(6.21)
Обозначения здесь те же, что и в (6.4). В частности, при a ~ У2 получим функцию Грина (6.4) для осциллятора со стенкой. Рассмотрим два частных случая формулы (6.21)：
103
=0; 丫 =①(％ —幻=①7;=0; 丫 =①(％ —幻=①7;1) з = const. Тогда p = 旷必；p
=0; 丫 =①(％ —幻=①7;
=0; 丫 =①(％ —幻=①7;
G (2, 1)= 学吗"几(「洋陰)「肃3 (£+喲].(6.22)
' '/ Л sin(o7 Q \ 龙 sin co? / г [ 2龙 tg ①' 1 ''/
Отметим, что в этом случае функция Грина была получена методом, близким к фейнмановскому интегрированию по путям, в работе [118].
2)①=0. Результат можно получить либо переходя к пределу со т 0 в (6.22), либо полагая £ «) = 1 + " в (6.21):
G (2, 1)=m3用)%他?尸((^^) eXр[瑞(说+駕)-G (2, 1)=m3用)%他?尸((^^) eXр[瑞(说+駕)-(а + 1) л2(а + 1) л2(6.23)(6.23)
G (2, 1)=m3用)%他?尸((^^) eXр[瑞(说+駕)-
G (2, 1)=m3用)%他?尸((^^) eXр[瑞(说+駕)-
(а + 1) л2
(а + 1) л2
(6.23)
(6.23)
Здесь ^ и т| — постоянные поведение функции е (力)приЗдесь ^ и т| — постоянные поведение функции е (力)приg) = (Of1/2 (^Wf/ -g) = (Of1/2 (^Wf/ -(6.25)(6.25)
Здесь ^ и т| — постоянные поведение функции е (力)при
Здесь ^ и т| — постоянные поведение функции е (力)при
g) = (Of1/2 (^Wf/ -
g) = (Of1/2 (^Wf/ -
(6.25)
(6.25)
Рассмотрим амплитуды и вероятности переходов между энергетическими уровнями. Пусть ①(力=①山=const при t —> — оо и co = (Of= const при 力 т + ос. При t —> — ос имеются стационарные состояния, определяемые формулой (6.5) с е =①йУ‘ exp (i(DjnZ); обозначим их через | п, in>. Стационарные состояния при t 7 g с £ (力)= со”？ ехр (心“)обозначим через I тг, f>. Через I n、ty обозначим решения уравнения Шредингера, совпадающие при % г — g с | пу in>. Дальнейшая эволюция этих состояний определяется в конечном счете эволюцией функции е (力. Амплитуда перехода из состояния | п、in> в состояние \т. f〉равна Т^ =<m,i\n,力т сю〉. При вычислении этого интеграла полиномы Лагерра были выражены через вырожденную гипергеометрическую функцию [88], а затем использовалась формула (f, 10) из [88]. Получающаяся в результате гипергеометрическая функция в данном случае сводится к полиному Якоби [88], и окончательный результат таков:
Уп =［备；（：：：*；））『喂一噌*2+1）尸竹…）（1 _ 2］
=［加 F （几宁 а + 1）『2（—^-и）п-тп^*тп^-（п+а+1）р<п~тп> а）（I
“、（6.24）
комплексные числа, определяющие
t т 8：
На ^ и т| наложено одно ограничение, вытекающее из коммутационных соотношений: | 占| 2— | т| |2 = 1. Матричный элемент (6.24) выражается через интеграл, вычислявшийся выше при получении амплитуды перехода между уровнями Ландау в переменном магнитном поле. Параметр а в этом случае целый, но, поскольку выражение матричного элемента аналитично по этому параметру, естественно, что ответ получается в обоих случах одинаковым.
Вероятности перехода при т》п равны
W* = I T# =
=备-；(:<者十冗皿一同(1 - A)"】I P^'a) (1 - 27?)『；
A = |T■卜(6.26)
Если /тг V % то в правой части нужно поменять местами тип. Таким образом, вероятности перехода выражаются через единственный параметр 凡 который можно рассматривать как коэффициент отражения от некоторого потенциального барьера. Отметим симметрию формулы для вероятности перехода Wn ~ Wm- Как частный случай приведем формулы, описывающие возбуждение основного состояния:
「/加+ а、卩2
m%(6.27)
诵丁 = ( п )Лт(1-区厂。(6.28)
Легко проверить, используя формулу (6.28), что 》W『=1.
О=тп
Производящую функцию для амплитуд перехода можно получить,
вычислив интегралчимтп—о L \ а / \ 〃вычислив интегралчимтп—о L \ а / \ 〃G* (и, х； f) G (z, х； t) dr. В результате полу- о
вычислив интеграл
чим
тп—о L \ а / \ 〃
вычислив интеграл
чим
тп—о L \ а / \ 〃
，、卩2
)Тп^пУт =(占 +— 丁万)-S+D.
(6.29)
Вторую производящую функцию получим, вычисляя амплитуды переходов между состояниями |а, in> и |а, f>. Ее можно представить в таком виде (при вычислениях используется формула (6.15)):
ТТЛ _2п _2ТП/ n[献 m! г (a + а + 1) F 仅 + m +1)戸2.
=^М-а ехр (喲 ^d) /а (弩)• (6.30)
Поскольку амплитуды переходов выражаются через полиномы Якоби, то из формул (6.29) и (6.30) можно получить производящие функции для этих полиномов [44, 119].
Рассмотрим предельные случаи полученных точных формул для вероятностей переходов. Одним из них является случай медленного (адиабатического) изменения частоты. Точнее говоря,
рассмотрим такой вид Зависимости (о от времен% когда| со/сой |<< L Тогда и Е W 1, и можно разложить точную формулу (6.26) в ряд цо степеням 凡 ограничиваясь старшими членами:
w771 m* г (也 +a+ 1)网7n 用 Y 吗=H门T丁寸m(1m一也")2 X
2 师+ r (十+1).a+m>n. (6.31)
Wn [2n2 + 他十 1) (2 孔 + 1)] A + …
Как видно из этих соотношений, ограничиться старшими членами в разложении по степеням R можно лишь для относительно небольших квантовых чисел, когда выполняются условия Rnm<^ 勺 и Rna £ 1.
Другим предельным случаем, в каком-то сйгысле противоположным первому, является квазиклассический, когда квантовые числа пит велики. Используя асимптотику полиномов Якоби [88] и формулу Стирлинга для гамма-функции, получим
Wn^^g^\J{n-mi(NQ) |2.(6.32)
Здесь R = sin2 (0/2)； N = % (汽 + m + a + 1). Эта формула справедлива, когда тгтоо,/тгтоо, а \п — т \ = const. Если N@ 登 1, то можно воспользоваться асимптотикой функций Бесселя и написать
w^^^ Cig A cos?(N8 - 1丁1 " 一 子)•(6.33)
Рассмотрим также приближенную формулу, описывающую возбуждение очень высоких уровней. Используя формулу [88]
J™ а~пР^ П) (.г) = 士 (^1)二(6.34)
получим, ограничиваясь главным членом,
代=“^(：；：彳,a…(1 一 a)…屮+ 。 (士小 吁…
(6.35)
Аналогично можно получить приближенную формулу для случая a f 吟 т〉п (если a — целое или полуцелое число, то эта формула приближенно описывает переходы между энергетическидти уровнями n-мерного изотропного осциллятора в состоянии с очень большим моментом):二 ；
iym Г (rn + a + 1) a2n+na+1
•[〜1他 + 宀)而.(6・36)
Если n = 0, to эта формула совпадает с точной (6.28). Однако при очень малых R она неверна (при/? = 0 получим W^ = 0, если
孔 + m =# 0). Таким образом, формулу (6.36) следует применять, если aR J 1.
Обобщим полученные результаты на случай многомерного изотропного осциллятора [65].--
Рассмотрим систему с гамильтонианом
р+2Р+2
%一亲£為+学产+爲戸=工碌(6.37)
Если р = 1, то это — пространственный изотропный осциллятор. Гамильтониан (6.37) инвариантен относительно группы вращений в (р + 2)-мерном пространстве, поэтому решения уравнения Шредингера для него могут быть выбраны в виде 4f (宓) = = R (г) У (0Ь 02, . . .); где У (01? 02, . . .) -- известные функции (сферические гармоники [88]), являющиеся обобщением сферических функций Y^m (0, ср) для обычного трехмерного пространства. Уравнение для радиальной волновой функции при этом имеет вид «戸一嗡器土屮*-+(每+令公 (6.3&)
где I — целое число, и является обобщением абсолютного значения момента в трехмерном случае. Поскольку в (6.38)(входит лишь Z, а другие угловые квантовые числа не входят, то каждый уровень энергии вырожден Q2 + р) (% + Р — !)!//!/>! раз. Обозначив R = =r-(p+i)/2^ (г), мы получим для % (г) одномерное уравнение Шредингера (6.1), в котором нужно положить g = К + (九2/2ттг) [I (Z + + Р)+ О9? — 1)/4]. Таким образом, все ранее полученные результаты переносятся и на случай многомерного осциллятора. В частности, функция Грина может быть представлена в виде ряда
G(2,l) =(』G,(Q, "；「1,厶)yf m,…(仇，®2,…)匕，m,…(®1, ®2,…) (6.39)
где G[ — это вычисленная по формуле (6.21) функция Грина для заданного квантового числа Z. В случае К = 0 ряд (6.39) вычисляется и дает квадратичную экспоненту [72].
Задача о движении заряженной (для простоты бесспиновой) частицы в однородном магнитном поле с вектор-потенциалом [Н (t) х 尸/2] и в электрическом поле с потенциалом К!{з?^ у2) также сводится к уже разобранной нами, поскольку уравнение (в цилиндрических координатах) для радиальной части волровой функции совпадает в этом случае с (6.38) при р = 0.
Приведем для этого случая явные формулы. Так, состояние I п,厶卩歹〉с г^аврцм квантовим числом п, проекцией момента I
W7
叮 импульсом йдоль поля Pz имеет вид
\п,1,рХ> = 師尸/睜耳陸-某+方母—等加⑴d矶屮//)； о
(6.40) 产=*2 + 产 〃=仍 + 2"近伍2)%；со ⑴=еН (t)!mc.
При К = 0 эта функция переходит в полученную в [72]. Функция Грина G (2, 1) данной задачи может быть представлена в виде (частный случай формулы (6.39))
G (%,屮2,勾；尸 1,屮 1, £1)—
=£б，(Г2,/2；Г1,厶)cos 口 (屮2 — Ф1)十皆 У з(т)&т] .(6.41)
2=0
Амплитуды перехода между уровнями энергии T^j} имеют следующий вид:
т^ =氟“北雜,％ а); а =俨 + 2mKl峪W(6.42)
При К — Q эта формула переходит в полученную в [72].
Рассмотрим теперь многомерный осциллятор с К = 0. В этом случае мы знаем р 4" 2 линейных интеграла движения а», определяемых по формуле (1.2) гл. II. В то же время, как мы только что выяснили, задачу можно свести к одномерной с g = /г2 [Z (Z + + Р)+ (Р? — l)/4]/2m, если рассматривать состояния с заданным моментом, а для одномерной задачи мы знаем интеграл движения Л (6.6). Рассмотрим интеграл движения
p十2叶2.叶2
絞=》就=(2m,忘尸丨》pie2 + *M产—££》](伤Pt +卩沔)].(6.43) i=i4=1i—i
Если его рассматривать только для функций /?(г) У/>т,. . . (0Г, 02,...), то он может быть представлен в виде
+ ^тт^г2 + ihet(2Г"^7 + р + 1)] .(6.44)
Далее мы из многомерного гамильтониана (6.37)能卩 получаем одномерный гамильтониан 兆】с помощью подстановки R = rS/2 乂 X % (r). При зтом 能0 (L("1)做)=L9+1)/2%1左 аналогично, вместо оператора а? мы должны ввести оператор а2, определяемый соотношением a3r-(p+i)/2^ = r-(p+D/2G2%. п®гко проверить,что определенный таким образом оператор а2 совпадает с интегралом Л (6.6), в котором следует положить g = " (2 + р) + (р2 — 1)/4]方2/2；^. Прй этом параметр а равен I + р/2, т. е. многомерный осциллятор
описывается полученными ранее формулами, в которых а — целое или полуцелое число.
До сих пор мы рассматривали решения уравнения (6.1) лишь на полуоси0 < * < оо. В случае потенциала отталкивания g〉О это вполне оправдано, так как, согласно классическому рассмотрению, частица с конечной энергией не может достичь начала координат и тем более перескочить на другую полуось. Если же в окрестности начала координат потенциал имеет притягивающий характер, то с классической точки зрения вполне можно вести рассмотрение на всей оси; в этом случае частица пройдет начало координат с бесконечной скоростью и перескочит на другую полуось. От бесконечной скорости в начале координат можно избавиться, обрезав потенциал снизу. Таким образом, можно поставить вопрос о распространении полученных ранее решений на всю ось. Мы уже отмечали, что при О V а < 1/2, кроме решений (6.5), существуют и другие решения, отличающиеся от (6.5) лишь знаком при коэффициенте а (факт, отмеченный и в работе [117]), образующие полную систему [116] и обращающиеся в нуль при z = 0. Единственное, чем эти решения хуже решений (6.5),— это то, что величина 4r (%)4r (z) — оо при* — 0. Мы уже отмечали, что решения (6.5) (будем их обозначать | тг,—〉)при а — 1/2 совпадают с нечетными состояниями осциллятора. Легко видеть, что решения второго типа (обозначим их | % +〉)переходят в четные волновые функции осциллятора при а = 明.Если считать, что решения на всей оси должны переходить в решения для осциллятора при а — =1/2, то ясно, что функции I % —〉следует продолжить на отрицательную полуось нечетным (Тп. (— ) х |) = — у¥п_ (| х |)), а функции (п, +〉— четным (Тп+ (― I * I) = ^„+ (I х I)) образом. Полученная таким образом система функций будет ортогональна на всей оси и полна на интервале — оо <* V оо. Аналогичным образом можно построить состояния I а, —〉и | а, +〉，которые при а = % переходят в нечетные и четные когерентные состояния соответственно.
Рассмотрим, наконец, случай, когда g < —方2/8^, т. е. а — чисто мнимое число. В работе [120] показано, что для частоты, не зависящей от времени, можно получить полную систему решений в этом случае, если наложить дополнительное условие на поведение функций в окрестности нуля, которое сводится к тому, что из двух решений, ведущих себя при 6fo как ^,z2+i|a | и 疗厶一寸硏， следует выбирать второе. Формула (6.5), в которой вместо а следует писать — 11 а I， является обобщением полученных в [120] результатов на случай произвольной зависимости частоты от времени.
Рассмотрим теоретико-групповой аспект обсуждаемой задачи. Вернемся сперва к задаче об осцилляторе. Интегралы движения 小，出 и 〃、，определяемые обычными формулами, можно рассматривать как генераторы группы U (1,1) (или О (2,1)), что было сделано в работах [19, 121]. Действительно, выполняются следую- 109
щие коммутационные соотношения:
М+ = % 小；м_=—%* Мз = %(〃^ + а〃)； (6.45)
[М+, М」=2Мз； [М3, MJ = "+； [М3, М」=-М_.
Эти соотношения определяют алгебру Ли группы U (1,1). Можно посчитать оператор Казимира № = % ("+"_ + М_М^ + М；・ Он оказывается равным № = s (s + 1) = — 3/i6. Таким образом, все четные уровни реализуют одно неприводимое представление алгебры Ли группы TJ (1,1), а нечетные — другое. Это — результат работ [19, 121]. Поскольку интегралы движения Л, 4* и [Л, 4*] являются обобщением операторов а2, а^ и а^а, легко перенести и результаты работ [19, 121] на рассматриваемый случай. Вычислим в нашей задаче оператор Казимира М? (М+ = 1/2 Л^; М_ = =—%4； М3 = % 笈). Проще всего это сделать, вычислив с помощью формул (6.10) средние значения М? по состояниям | 孔〉 и убедившись, что все они одинаковы:
М2 - % 仍2 + 2笈 _ 44才)=% (а2 - 1).(6.46)
Таким образом, все решения обсуждаемого сингулярного осциллятора можно рассматривать как базисные функции одного бесконечномерного неприводимого представления алгебры Ли группы 0(2,1), задаваемого оператором Казимира (6.46).
В качестве примера применения метода интегралов движения рассмотрим еще раз неквадратичную систему (6.1) методом инвариантов. Рассмотрим следующие операторы:
仇=炉；02 = р2 + 2g* 03 =硬 + Рх- (647)
Если обозначить через 0 интегралы движения, совпадающие в начальный момент времени с операторами д；, то нетрудно проверить, что Qj линейно выражаются через 力 по следующим формулам:
—щх二以九科+[a卩—щх二以九科+[a卩Функции 入(力)и 卩(力)являются решениями уравнения 2 + со?⑺ z = О,Функции 入(力)и 卩(力)являются решениями уравнения 2 + со?⑺ z = О,(6.48)(6.49)(6.48)(6.49)
—щх
二以
九科+[a卩
—щх
二以
九科+[a卩
Функции 入(力)и 卩(力)являются решениями уравнения 2 + со?⑺ z = О,
Функции 入(力)и 卩(力)являются решениями уравнения 2 + со?⑺ z = О,
(6.48)
(6.49)
(6.48)
(6.49)
удовлетворяющими начальным условиям
(6.50)(6.50)X (0) = |1 (0) — 1;久(0)=卩(0) = 0.
(6.50)
(6.50)
Функция Грина является решением уравнений типа (5.15):
(6.51)(6.51)0 ⑺ G 佟? &, t) = g；(砧 G (仆 x9, t).
(6.51)
(6.51)
Единственным решением зт^х уравнений, обращающаяся в нуль при * = б。= 0 и совпадающим с дельта-функцией при Е —> О, является функция
=尸（宀）"几（宀尸）exp [ 一 子（a + I） n + 击（M + 大硝,（6.52） где а = 1/2 （1 + 8g）/ （力=zn = 1）; Ja — функция Бесселя. Итак, мы другим способом вывели формулу （6.4）.
О нормальных координатах
в фазовом пространстве квантовых систем
В § 5 были построены новые уравнения для функции Грина G（况，冗 о，t） （где х = （*工,胃2，•…，*w）, N— число степепей свободы） произвольной квантовой системы и показано, что эта функция является собственной функцией интегралов движения ^0, имеющих смысл операторов, начальной точки траектории системы. Для одномерного осциллятора и заряда в электромагнитных полях аналогичные уравнения были использованы также в [122]. Цель настоящего параграфа состоит в исследовании свойств симметрии квантовой системы не на основе уравнения Шредингера для волновой функции, зависящей от ^ переменных *】,л^，・・・,зд, а на основе системы уравнений для функции Грина G （冗，勿°, b）, зависящей от 2^ переменных （况，况°）. Мы применим также эти уравнения для введения аналога нормальных координат для квантовых систем.
Сущность подхода заключается в том, что при рассмотрении уравнений для функции Грина становятся допустимыми замены переменных в 22V-мерном пространстве （х,况°）, а не в пространстве ^ измерений, что позволяет вводить более общие преобразования, чем при рассмотрении уравнения Шредингера для волновой функции （см. [123]）. Эти преобразования, очевидно, включают в себя как частный случай все канонические преобразования в фазовом пространстве системы （х, р）. Для доказательства этого достаточно построить преобразование Фурье G（x, р, t） функции Грина G （宓，况°, Q по переменной х0.
Уравнения для функции Грина, введенные в § 5, имеют вид
｛。（耽 言）一 2 （/，謚）｝ G（*，/，0 = 0, （7.1）
где 22V-MepHbifi операторный вектор Q является интегралом движения, имеющим смысл оператора начальных координат в фазовом пространстве:
а 2“-мерный вектор О' равен (i д/дх0, ха); 〃一 оператор эйол4оЦйИ квантовой системы (функция Грина есть ядро этого оператора в соответствующем представлении).
Под симметрией квантовой системы будем понимать теперь симметрию уравнения (7.1) в смысле определения из первой главы, т. е* существование системы операторов В», удовлетворяющих условию
(Q - 0)方好=0(7.3)
йа классе функций G, удовлетворяющих уравнению (7.1). Такой подход позволяет существенно расширить количество операторов симметрии квантовой системы по сравнению с количеством операторов симметрии уравнения для волновой функции 屮(宓，t). В частности, можно рассматривать все кононические преобразования типа G (х, х0) ~ SG(宓，х0), что эквивалентно переходу к новым операторам:S^1 宓S; х0 —> 5-1х05; @/@宓д/дх 5; d/dxQ
—» *т d/dxQS, где ядро оператора S зависит уже от 4JV переменных.
Далее будем рассматривать еще более частный случай преобразований 5汀 сводящихся к замене переменных
у = y(x, x0,t)\ уй у0 (х,х0, i).(7.4》
Под обобщенными нормальными координатами квантовой системы будем понимать такие переменные “，？()，для которых функция Грина может быть представлена в виде произведения N функций G卅(卜卅，z/o,k,力),каждая из которых зависит только от двух переменных 勿 и 拠,卅体=1, 2, . . ., ^). Существование таких координат означает возможность «расцепления» весьма сложной в общем случае системы интегродифференциальных уравнений (7.1).,
Покажем, что обобщенные нормальные координаты всегда существуют для системы с произвольным квадратичным гамильтонианом вида
%=% aB (力)2 + 0 (力)2 + ①(力(7.5)
Согласно [104], функция Грина такой системы имеет вид (очевидно, достаточно ограничиться случаем О = 0,屮=0)
G (宓,宓。,力)=
= [det (- 2h次3)]iехр (——^*以；九宓-2лЛуg +宓内入;%0)， (7.6) где ^мерные матрицы 入力 j = 1, 2, 3, 4, являются элементами некоторой блочной симплектической матрицы. Для простоты мы ограничиваемся здесь случаем det Z3 声 0. Но в 2№-мерном пространстве векторов z — (х,，翼°) всегда существует такое ортогональное преобразование 0{zl = Oz), которое диагонализует квадратичную форму в аргументе экспоненты в (7.6). Новые переменные 炉 и являются обобщенными нормальными координатами. В этих
беременных функция Грина распадается на произведение 2N функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. Это означает, что с помощью преобразований (7.4) можно* всегда полностью «расцепить» систему уравнений (7.1) для квадратичных систем. Заметим, что если рассматривать функцию1 Грина в переменных 况，р, т. е. проделать фурье-преобразование^ по переменной 况о, то преобразование, факторизующее функцию1 Грина, хотя и является ортогональным в пространстве (况，◎丁 но не является в общем случае каноническим, т. е. не сохраняет коммутаторы {②力 ％}. Это утверждение следует из результатов работы [125] (см. также [104—107]). В качестве примера укажем на гамильтониан % = 広十 研 Достаточным условием возможности диагонализации гамильтониана (7.5) и факторизации функции Грина с помощью канонического преобразования является неотрицательная определенность матрицы В в (7.5). Если в системе можно ввести обычные нормальные координаты [99], то вновь введенные обобщенные координаты, очевидно, могут быть сведены к обычным.
Проведенное рассмотрение показывает, что свойства симметрии квантовых систем, обсуждаемые на языке уравнений (7.1), богаче, чем обсуждаемые на языке уравнения Шредингера.
Глава IV
Матрица плотности квантовых систем
§ 1. Интегралы движения и матрица плотности
В предыдущих главах мы рассмотрели функции Грина и интегралы движения квантовых систем. Целью настоящей главы является обсуждение свойств матриц плотности квантовых систем и их связи с интегралами движения [105, 126], а также исследование стационарных квантовых систем, функций Грина стационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом и свойств адиабатических инвариантов квантовых систем.
Если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то матрица плотности задается ядром оператора е~^где параметр В =『т, Т — температура. Очевидно, что эта матрица плотности получается простой заменой времени во временной функции Грина квантовой системы t т ——ZR.右，поскольку функция Грина является в этом случае ядром оператора эволюции ехр(——it3£!K). Матрица плотности стационарной квантовой системы р(冗, х\ р) удовлетворяет уравнению Блоха 6р/60 —變р = =ib (p)b (冗一冗')一полному аналогу уравнения для функции Грина квантовой системы. Если мы рассматриваем нестационарную квантовую систему, то ее матрица плотности получается из матрицы плотности р0 = ехр[——0宛(0)], заданной в начальный момент времени 力° = 0, с помощью оператора эволюции U(力)согласно формуле
р⑴⑴PoL ⑴. (1.1)
Эта матрица плотности удовлетворяет уравнению ih dp/dt = =[兆，р] и является интегралом движения для гамильтониана системы 宛(力)，определяющего оператор эволюции U⑴.
Рассмотрим некоторые наборы интегралов движения, зависящих от параметра 0 и времени 力 с целью написать уравнения, связывающие интегралы движения квантовой системы и ее матрицу плотности и являющиеся аналогами соответствующих уравнений] для функции Грина. Для этого рассмотрим 2N операторов ——«интегралов движения» для стационарного гамильтониана —變(0), зависящих от «времени»:
(1-2)(1-2)л 偉)=еВ%е)(— ih 言)е-В%(* q (р) — e₽-^(o)jpg-PMo)t
(1-2)
(1-2)
Построим из этих операторов интегралы движения квантовой системы с гамильтонианом 死(力]
к (疗)=и⑴元(р)〃т&);
g(力 ^^U^q^U-^t).口冋
Тогда прямой проверкой нетрудно убедиться, что матрица плотности системы р(хт х\ 力 р) связана с инвариантами системы (1.3) и интегралами движения, задающими начальные точки траектории системы в ее фазовом пространстве X = U(t)xU~\t), Р = =U(力)(一洗 6/a%)UT〃)，с помощью соотношений
Х(%)p(况,£,力 0)= a"")卫(笫，%[力,出；二
J* (%)p (况,冗1 厶 0) = Ет(0/) р (冗，冗/，0)；(1.4)
p (况;0/, 0, 0) = 6 (况一%')，
где 2T (况')означает транспонированный оператор °, действуюцуии на аргумент х\一 二一
Уравнения (1.4) связывают матрицу плотности с интегралами движения квантовой системы. В начальный момент / — 0 матрица плотности совпадает с равновесной. В тех случаях, когда квантовая система задается квадратичными гамильтонианами, интегралы движения X,P,q, л легко вычисляются, аналогично случаю, ра^ зобранному в предыдущей главе, и представляют собой линейные формы по операторам координат и импульсов.
Если операторы Р и X задаются матрицей А(力 и вектором 6 (力)(см. формулы (4.2), (4.3) гл. III), то инварианты (1.3) задаются формулами
(；)=А (В) А ⑺(一'无丽)十 А 偉)6 (力十 6 (В),(1-5)
где Л(р) определяется аналогично матрице А(力)для случая квадратичного стационарного гамильтониана 能 (0), а вектор 6 (р) определяется аналогично вектору 5(力)для этого же гамильтониана. Таким образом, инварианты (1.3) получаются последовательным действием двух симплектических неоднородных преобразований, задаваемых моментами настоящего времени t и «времени» р. Если ввести обозначения
Л (Р，t) = АТ⑴АГР) А⑴；Л(о, 0) = /;
6偉，t) = А-】⑴[6⑴ + Ат(р)6(р)],
то уравнения (1.4) перепишутся в форме, полностью эквивалентной уравнениям для функции Грина квадратичной квантовой системы, рассмотренным в гл. IIL Поэтому выражение для матрицы плотности совпадает с функциейгГрина с учетом введенных обозначений и начального условия* на матрицу плотности при 力=0. При этом в выражении для временной：小ункции Грина достаточно рдел^ть замен区 A(力)uA(P?力)" 0(力)40.(p,“)， В частном случае
стационарных квадратичных гамильтонианов матрица плотности совпадает с функцией Грина квадратичной системы, при этом сделана замена времени 1тZR方 и матрица Л(р) имеет простой вид.
Используя явное выражение для матрицы плотности, можно подсчитать средние значения произведений координат〈②；崂... ...^^>. Соответствующий интеграл уже вычислялся при рассмотрении функции Грина в дискретном базисе, и поэтому ответ может быть выражен через полином Эрмита от N переменных. В случае положительно определенного гамильтониана справедлив ва обобщенная теорема Блоха [105, 126], согласно которой в состоянии термодинамического равновесия функция распределения собственных значений любой линейной вещественной комбинации операторов обобщенных координат и импульсов имеет вид распределения Гаусса. Эта теорема была в одномерном случае доказана Блохом [127] (см. также [128]). Это утверждение просто вытекает из явного вида матрицы плотности как экспоненты от квадратичной формы по координатам х и х\ Более того, утверждение остается верным и для матрицы плотности нестационарной квадратичной формы, поскольку ее вид также определяется экспонентой от квадратичной формы. При этом параметры гауссова распределения зависят от времени. Формула для матрицы плотности в представлении когерентных состояний также получается из соответствующего выражения для функции Грина с учетом формул (1.6). Поскольку матрица плотности имеет простой вид, легко подсчитывается характеристическая функция <е^°>, являющаяся производящей функцией для средних значений степеней координат и импульсов, а также функция Вигнера [129]
叩(П, 2)= , р(R + 皆 ％, R — 等 ％, В) exp (^^) d券. (1.7)
Интегралы для этих функций являются гауссовыми и стандартным образом вычисляются.
Функции Грина ста дионарного уравнения Шредингера квадратичных квантовых систем
Рассмотрим в настоящем параграфе задачу о нахождении функции Грина стационарного уравнения Шредингера, отвечающего случаю не зависящего от времени гамильтониана.
В координатном представлении эта функция Грина G — ядро оператора (能一笈尸 удовлетворяет следующему уравнению:
(先—~ E)G(xi,%2,百)Н 6(%1 -%2),(2.1)
являющемуся следствием операторного тождества
（能一月）（.% 一百尸=/,（能一月）（.% 一百尸=/,(2.2)(2.2)
（能一月）（.% 一百尸=/,
（能一月）（.% 一百尸=/,
(2.2)
(2.2)
записанного в координатном представлении. Гамильтониан 宛 действует на координату 冗「Фукция Грина стационарного уравнения Шредингера G(2, 1; £) может быть выражена с помощью ряда (или интеграла), если известны собственные функции ¥% (в любом представлении) гамильтониана 能，а именно:
Здесь G(2, 1; Е) означает функцию Грина в любом представлении (координатном, импульсном, представлении когерентных состояний и т. д.), причем цифры 1 и 2 означают начальные и конечные точки в любом представлении (,七力 х2 — в координатном, 0】,р2 — в импульсном, %, а* — в представлении когерентных состояний).
Действительно, подействуем на выписанный ряд оператором ，宠 —— Е, действующим на координату 1 в функциях ^еп (Л- Тогда, поскольку эти функции являются собственными для гамильтониана
宛屮⑴=⑴， (2.4)
мы получаем
^-E)G (2, 1； £) = £ —~—=
屮気⑵ ХЕЮ (2.5)
Полученный ряд есть ядро единичного оператора в соответствующем представлении, поскольку система функций 屮еп (1) полна, В координатном представлении имеем
2 曬п (吗屮后。(》1) = 6 (收一 ％1). (2.6)
Таким образом, выражение (2.3) действительно является решением уравнения (2.1). Функция Грина G(2, 1; Е) может быть найдена, если известна временная функция Грина квантовой системы G(2, 1； 力 Эти функции связаны соотношением
G (2,1； Е)=』j G (2, 1； t) &Е必 dt. (2.7) О
В соотношении (2.7) подынтегральное выражение может иметь особенности, которые необходимо принимать во внимание. Часто удобней пользоваться не формулой (2.7), а получать функцию Грина G(2, 1; Е) из функции Грина G(2, 1; 0) уравнения Блоха (см. (2.9) гл. I). Соответствующее соотношение полностью ана-
логично (2,7) и имеет вид
， G(2,1；E) =、G(2, ”В)еРЕ©|3, ： ReB<0. (2.8) о -
При значениях энергий таких, что ReE〉0, функция Грина получается с помощью аналитического продолжения выражения (2.8). Выражение (2.8) есть не что иное, как преобразование Лапласа функции Грина G(2, 1; р).
Рассмотрим теперь функции Грина стационарного уравнения Шредингера некоторых квантовых систем, описываемых квадратичными гамильтонианами, следуя работам [104—107, 111]. Как видно из формулы (2.3), если известна функция Грина G(2, 1; Е), то ее полюсы в комплексной плоскости переменной Е дают значе-. ний энергий, ггри надлеж ащих дискретному спектру гамильтониана системы ^. Чтобы вычислить функцию Грина стационарного уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора, удобно работать в представлении когерентных состояний, поскольку в этом представлении волновая функция 乎瓦п(а) имеет очень простой вид (см. (5.46) гл. III);
¥еп (а) = <«|а> = е-1«12/2 書；Еп=風⑺士 %)• (2,9) Подставляя это выражение в формулу (2.3), мы сразу получаем
G (a2, а» E) =т \ —^：~гттт，(2,10)
Ряд (2.10) определяет вырожденную гипергеометрическую функцию Ф или неполную гамма-функцию у (см. [88]). Окончательное выражение может быть записано в виде
G (a*, 3e)=伍①尸e-m因2-伍因2(% — £7%(o)7/m2 X
X Ф (1； 3/2 — E]he； - a1u2)-(2.11)
Это же выражение можно получить с помощью формулы (2.7), поскольку временная функция Грина гармонического осциллятора в представлении когерентных состояний (матричный элемент оператора эволюции С7 между когерентными состояниями а】и а2) имеет вид (см. (5.43) гл. III)
<?(а* «1； t) =.〈《2 I U(力)I а» =
= exp{一计/2 _旧12/2 - I a2 |2/2 + cqa北-"}.(2.12)
Мы для простоты взяли случай ш — 1,方 = 1, Поэтому в безразг мерных/пёременйых имеем интеграл ,
G(",S；E)=卄№，図2」叫2/2 \ exp [а&еТ -Jf-i^E-^t'] dt, (2.13)
Являющийся табличным (см. [88]) и приводящийся кЬиду (2.11). Однако, пользуясь формулой (2.13), нам легко вычислить функцию Грина стационарного уравнения Шредингера для заряженной частицы, движущейся в постоянном и однородном магнитном поле. Поскольку в базисе когерентных состояний временная функция Грина имеет вид (в безразмерных переменных)
G(a£,储；a» ₽j； t) = ехр[—%5 + | аг |2 + | а2 |2 + | 员『+ + I 仇 Г) + 阮储 + %若е-"], (2.14)
то вычисление стационарной функции Грина, по существу, сводится к взятию того же интеграла типа (2.13). Поэтому ответ выписывается сразу и имеет вид (мы выпишем ответ в обычных переменных)
G -(力з尸(％ — Е/力①尸ехр[ — %(| % Г + I a2 |2 + | Pi |2 +
+ [ 02产)十 門時十 З13*№(1； % - A7加9； 一出臂).(2.15)
Это выражение было получено в [130, 107].
Можно было бы получить выражение (2.15) тем же способом, которым была получена функция Грина (2.11) для гармонического осциллятора. Однако этот способ потребовал бы перегруппировки членов в двойном ряде и некоторых выкладок. Можно перейти в координатное представление с помощью общей формулы
G (х2,冗в Е) = ji-2N \ q(臂，а】；笈)〈冗21 a?〉＜ai I 冗i〉d2a2 d2al. (2,16)
Для заряда e в магнитном поле Н интеграл берется, поскольку произведение ＜х2 | а2＞〈山 | 冗】〉есть квадратичная экспонента, и ответ имеет вид [130]
Gir^r^E)^-^?^烏)рТ〃4,%)%Е/加0,°(р2)； (2.17) здесь
Р2 =登①2 —%)2； ^ =(瑞 У)；
/(小,小)=exp p^(2自2 -g力)j,.,•
a W есть функция Уитеккера (см, [88]), Полюсы функции Грина и в координатном представлении, и в представлении когерентных состояний находятся в точках спектра 石冗 = 方(о(тг Т- V2)； тг = 0, 1, . . ., оо. Этот же ответ (2.17) можно получить, используя известную функцию Грина G (r2, #i； В) [90] в координатном представлении:
6⑴2产1；6)= 叢'卜匸(4-方呻)『＞⑴2,心)义
X exp [^-p2cth (-j-方q8)] , (2.18) где f (r2, Ti) дается формулой (2.17)/ Вычисляя интеграл (2.8) с функцией (2.18) (см. [88]), мы опять получаем ответ (2.17). Таким
，119
способом формула (2.17) была получена впервые в работе [1301. Можно также выписать удобную для больших значений величины р формулу для функции G (г2?尸 1； Е) [130], используя связь между функцией Уитеккера и функцией 2F0 (см. [88]), а именно:
G(2%，3 Е)=爲 Г (；—岛)/ 3,⑴炉 R * — 1) ее/2 X х{1+£^г[(4--^)(4 - iY--^- i -^)]2(-р2)-"卜 (2-19) Обсудим теперь общий случай квадратичного стационарного гамильтониана, сводящегося с помощью канонического симплекти- ческого линейного преобразования к виду
能=』j)十①； 电〉0 传=1),(2.20)
Здесь 0了 一 бозонные операторы уничтожения, 1。力砚]=6加 Постоянное слагаемое Ф можно убрать каноническим преобразованием, поэтому мы считаем для простоты Ф = 0. Спектр энергий неизотропного гармонического осциллятора (2,20) имеет вид
Em,...,nN — Wl^l + ^2^2 十• . . + 3n孔N・(2.21)
Удобно работать в представлении когерентных состояний, поскольку временная функция Грина в этом представлении не имеет при 力 = 0 особенностей. Используем для расчета функции Грина стационарного уравнения Шредингера формулу (2.3). Собственные функции гамильтониана % (2.20) в представлении когерентных состояний имеют вид
子吃,…= exp [一手**[与(2.22)
Введем новую специальную функцию (см, [107, 111])
+ Qn汽n -石）一工+ Qn汽n -石）一工(2.23)(2.23)Q (^1,...» zn, wIt .,. , o)n；笈)
+ Qn汽n -石）一工
+ Qn汽n -石）一工
(2.23)
(2.23)
厶j…、
П!,...,П^у=0
Эта функция очень похожа на гипергеометрическую функцию
и сводится к ней при 仰=出=•…=(°n：
NNQ(21, ...» Zn, s,…•，(0； E1)=
N
N
；-£2j). (2.24)/=1；-£2j). (2.24)/=1= -^еХр(£2})Ф(1；1-4
；-£2j). (2.24)/=1
；-£2j). (2.24)/=1
6=1
Здесь Ф — вырожденная гипергеометрическая функция. Функция Q может быть записана также через неполную гамма-функцию (см, [88]):
NN
Q(21т,,,,,(о； £) (о(一2勾广3?(-"^:-£今)25)
Используя новую функцию, аналитическую по переменным Zj(j = 1, . , г N), можно выписать функцию Грина стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (2.20) в виде
G (а*,., . , а*, Pi,... т Вм 笈)=
N
=eкp [^-^^ (I 方f+ I 隹f)]Q (a：Bi…,磷阮,5,…зn；后).
(2,26)
Переходя к координатному представлению с помощью формулы (2,16), мы можем сразу написать интегральное представление для функции Грина стационарного уравнения Шредингера G(冗，у; Е)
4-»(p》+ 3弼-1)；4-»(p》+ 3弼-1)；через специальную функцию (?. Пусть 况 тогда имеем формулу
4-»(p》+ 3弼-1)；
4-»(p》+ 3弼-1)；
G (ж,沙;Е)-
=W2a d20 exp {一 [g 粤(若 + *) 一(2g"(出芍 + 修%) +
十 4~(疋 + В；，+ 4~(1勿『+ |B#)]}[H (g)%] X
X E%Q (a*p1T,,. , a^P^, o)i, со* E).(2,27)
Интегрирование в этой формуле ведется по 47V действительным переменным, отвечающим интегрированию по начальным и конечным точкам фазового пространства TV-мерного гармонического осциллятора.
Используя формулу (2.25) и интегральное представление для Y(c, z) (см, [88]), можно получить интегральное представление для функции Грина G(x, у\ £) изотропного многомерного осциллятора с гамильтонианом 能 — V2(p2 + ж2) (мы для простоты взяли случай (0 = 1,充=1):
G (爲，勿 Е)=・sinn；i/；-E) ©硅[-；(心 +，)] \(1 鼻产 X
X ехр {汾(％ — 后)一 [*8 (囂2 + 沙2)+ 2^0xy] (1 - e书T}.(2.28)
Этот интеграл можно выразить через функции параболического цилиндра, поскольку через эти функции в [112] было получено выражение для функции Грина G（况，勿；月）.
Соотношение неопределенности энергия — время для нестационарных квантовых систем
Открытое Гейзенбергом [132] соотношение неопределенности Ар \х 〜h явилось основой для согласования корпускулярной и волновой картин в квантовой механике [133].
Понимаемым вначале эвристически неопределенностям Др и 卜⑴ вскоре был придан общепринятый теперь смысл среднеквадратичных отклонений координаты и импульса, и было найдено Вейлем [134] вошедшее во все учебники по квантовой механике математическое доказательство этого соотношения. Соотношение неопределенности для координаты и импульса вызвало желание получить аналогичное соотношение для других канонически- сопряженных величин, таких, как, например, проекция момента импульса и угол поворота, переменная действия и угол и другие. Однако эти попытки встретили на своем пути значительные математические трудности, связанные с особыми спектральными свойствами этих операторов. Современное состояние проблемы соотношения неопределенности для величин типа действие — угол отражено в обзоре Карузерса и Нието [135].
Особое положение как в связи с физической интерпретацией, предложенной впервые Бором [136], так и с математическим доказательством занимает соотношение неопределенности для величин энергия — время. На особенную роль этого соотношения в вопросе о воспроизводимых измерениях различных физических величин было указано в работе Ландау и Пайерлса [137],
С другой стороны, делались многочисленные попытки подобрать такой оператор, чтобы его среднеквадратичное отклонение играло роль At. Этот оператор тесно связан с временем задержки, введенным Вигнером [140], в задачах рассеяния и распада возбужденных состояний. Отметим в этой связи работы Смита [138], Липпмана [139], где такой оператор был построен, а также дальнейшие работы Лурката [141] и Флеминга [142],
Двойственная роль соотношения неопределенности энергия — время была подчеркнута в работе Фока и Крылова [143], где это соотношение было проанализировано в связи с временем распада квазистационарных состояний. Особенно острая дискуссия велась в работах Аронова — Бома [144] и Фока [145] относительно физической интерпретации этого соотношения.
В работе Мандельштама и Тамма [146] был описан некоторый класс времен неопределенности, когда любому оператору физической величины можно сопоставить свое время неопределенности, которое связано с соответствующим гейзенберговским уравнением движения, .
Следуя этой идее, Эберли й Сингх [1471 для стационарной системы, матрица плотности которой удовлетворяет уравнению Лиувилля
3 = (〃％)[р,初，(3,1)
ввели параметр — «время стационарности» Ts:
l/賣=<(Др)2>,(3.2)
В [147] было показано, что Ts может играть роль At в соотношении неопределенности энергия— время
А月 7\〉方，(3.3)
где (Д^)2 =〈(А%)?〉，причем среднеквадратичное отклонение для оператора А вычисляется по обычной формуле 〈(A/户〉= = Spp(4 — Л)2, Z = Spp/. На ряде простых примеров в [147] было продемонстрировано, что «время стационарности» 7\ совпадает с вводимыми эвристически неопределенностями At. В частности, время Ts совпадает с временем жизни в приближении Вигнера — Вайскопфа [148].
Следуя [131], рассмотрим для нестационарной системы функцию времени T(t), которая в случае стационарной системы не зависит от времени и совпадает с временем Т$:
1/?2«) = Spp02 — (Spp0)2.(3.4)
Оказывается, что соотношение неопределенности в виде (3.3) остается справедливым и для нестационарных систем, если вместо Ts в него подставить функцию T(t) ). Доказательство соотношения (3.4) в стационарном случае проведено в работе [147] при специальном выборе базиса. Ниже приведен вывод (3.3), справедливый и в нестационарном случае, в форме, явно не зависящей от выбора базиса.
Хорошо известно, что для двух эрмитовых операторов А и В и их коммутатора [А, В] = 1С справедливо соотношение неопределенности в форме
〈(А4)2〉〈(АЗ)2〉》％ 丨《〉I 2,(3.5)
где <(ДЛ)2> = Sp р(4 - А)2; <(Д5)2> = Sp р(5 一 砂;<С> = = SppC. Положим теперь, что Л =%\ В = 方0; тогда в силу (3.1) С =[毙，Ip,%]], а соотношение (3.5) с учетом (3.4) принимает вид
(А 月户方 2/т2〉％(Sp[宛，[р,况]]р)2.(3.6)
Используя уравнение Лиувилля и тождество Sp[4, В]С = = Sp [С, /傢二находим, что
方2/?2 = Sp р2р = %Spp2[猶[宛，p]].(3.7)
Так как р" & р, то из (3.6) и (3.7) следует
(AЕ)2方2/72 > %(Sp[鎖[p,%]]p)2〉(胪/72)2,(3.8)
что эквивалентно (3.3) при условии Т V 8. Соотношение (3.3) (или (3.8)) обращается в равенство при условии р2 — р, т. е- для чистых состояний, что отмечалось в [147], и при условии Т V оо.
Наряду с временем T(t), можно рассмотреть и другой параметр: т (力)，который тоже может играть роль времени в соотношении неопределенности. Определим новое время т(%) (в случае стационарных и нестационарных систем) соотношением
т-2 Sp р2;(3.9)
тогда справедливо соотношение неопределенности энергия —время в форме
т А月》%瓦(3.10)
Действительно, представим (3.6) в виде
(А月)2Sp р2р》V4(Sp р2尸科(3.11)
Очевидно, что
Sp p2 >Spp2p.(3.12)
Из (3.11) и (3.12) следует неравенство
(Ag2sp(02)> %(Sp02户方2,(3.13)
которое при TV 8 эквивалентно (3.10).
Неравенство (3.12) г оказывает, что
7>т.(3.14)
Для чистых состояний р2 — р времена Тит равны и соотношение (3.3) превращается в равенство.
При выводе соотношения неопределенности энергия — время в форме (3.3) и (3.10) было использовано условие, что Тит ограничены.
Теперь сформулируем для стационарных систем условия, когда Тит обращаются в бесконечность. Заметим, что в стационарном случае эволюция матрицы плотности описывается уравнением
р, = g—i 紡〃九 р0陷/九(3.15)
и времена стационарности Ts и ts определяются только по начальной матрице плотности:
胪/71 = Sp [猾 Р°] [ро,兆]Ро,方2/般=Sp [况，p0] [p0,策L
(3.16)
Время стационарности ts равно бесконечности, т. е. Sp р2 = 0, тогда и только тогда, когда матрица плотности начального состояния р0 описывает либо стационарные состояния, либо их^смесь,
т. е. имеет вид
Ро = » We I 屮е〉〈屮е I，(3.17)
где I ф£> — стационарные состояния гамильтониана 舞： 兆| 屮后〉= = £"( ф£>. Из (3.14) ясно, что условие (3.17) является достаточным для обращения Ts в бесконечность. Обращение Т5 и т5 в бесконечность связано с наличием у системы интегралов движения. Действительно, в стационарном случае сам оператор 兆 является интегралом движения. Совершенно очевидно, что времена стационарности Ts и q равны бесконечности в случае, когда в качестве матрицы плотности р0 выбрана матрица, отвечающая равновесному распределению Гиббса:
Ро = 2；%卄叫 Z。= Spe-紡产(3.18)
хотя〈(А%)?〉> 0.
Пусть система описывается гамильтонианом 於 и обладает полной системой интегралов движения L^ Z = 1, . . ., TV, не зависящих явно от времени:
［厶，能］=0.(3.19)
Рассмотрим стационарные состояния, отвечающие этому полному набору интегралов движения：
厶I乙，EQ -厶I厶，总П〉，
Вообще говоря, энергия системы зависит от квантовых чисел 厶： Еп = En(lt)\ например, энергия Е^」зависит от орбитального момента в центральном поле (хотя при наличии высшей симметрии возможно «случайное вырождение», как, например, в задаче о трехмерном изотропном осцилляторе или атоме водорода, когда энергия не зависит от орбитального момента).
Рассмотрим матрицу плотности вида (3.17):
ро= X wл・(3.21)
Так как %, вообще говоря, зависит от квантовых чисел, то 〈(А%)2〉〉0, а 北 и т$, как видно из (3.19) и уравнения Лиувилля, обращаются в бесконечность.
В качестве простейшего примера рассмотрим движение спина, равного %, в постоянном однородном магнитном поле JET. Матрица плотности этой системы, как известно, имеет вид р — % (月 + OiSf), где s — матрица Паули, а гамильтониан 宛=—|лв^ (Ни).
Выберем ось 么 вдоль магнитного поля, тогда уравнение Лиувилля (3.1) переходит в систему уравнений для вектора &:
S+ = 一必 §+； S_ = + 必 S_; Sz = 0,(3.22)
где S+ = Sx + iSy; S_ = S% — iSy\ co = jiBgH/万.Очевидно, что уравнение Лиувилля обладает интегралом движения L = Н • 8.
Вычислим тёпёрь《厶方尸〉и 兜 для матрицы плотности р 士 =1/2 (£ + OiSi). Находим, что •
■ -〈С能)2〉=方％2 (]_£),(3.23)
а времена стационарности Ts и q совпадают:
м2 = 772 = ①2(^ + 货)(3.24)
Тогда при условиях S± + Sj〉О, Т$ V 8 находим, что соотношение неопределенности энергия — время имеет вид
△ETs =% M(1 — g)/(必工 理)> 加(3.25)
Последнее неравенство очевидно в силу того, что S^ + S； + S±《 《1. В случае чистого состояния S? = 1 и S： + 出〉0, а Т$ < оо и (厶兆”？=方* что находится в полном согласии с (3.8). Однако наличие интеграла движения Sz приводит и к другой возможности: пусть 5c = 5廿 = 0; тогда матрица плотности имеет вид р = % (Е + 5仇)，причем S < 1 и (厶兆户=^2со2 (1 — S?)〉 〉0, однако q =北=оо.
Для выяснения физического смысла функции Т (力)и возможности ее использования для решения конкретных задач обсудим процесс измерения энергии в некоторой нестационарной системе, описываемой гамильтонианом
能(t)=能0 + p(t)，(3.26)
где Р (力)=0 при 工 & 0 и lim V (力)=0.
В начальный момент времени задана матрица плотности ро = Wty^l 孔〉〈孔 I， гДе I 孔〉—стационарные состояния гамильтониана %0：
兆о I 孔〉•= En I n).(3.27)
Уравнение Лиувилля с начальным условием р( |/=0 = р0 определяет эволюцию матрицы плотности рР Пусть в момент времени t производится измерение энергии 兆о, которое описывается процессом «1» согласно фон Нейману ([149], стр. 261). В результате измерения энергии система, после измерения, будет находиться в состоянии, характеризуемом матрицей плотности
后=»"〉〈" I 历“《),(3.28)
где Wn (力)=<« I Pt I "〉•
Используя pt, легко подсчитать Et и (厶£\产 по известным формулам:
.£t = Sp(pt 墙)；(3.29)
(А&)2 н Sp {б (笳 一 E02}.(3.30)
Таким образом, было произведено два измерения энергии: первое при 力=0 — этому измерению отвечает матрица плотности р0, которая определяет среднюю энергию Ео и дисперсию А£(),— и второе в момент времени 力一с матрицей плотности р，средней энергией Et и дисперсией Изменение средней энергии обозначим 8Е = % — £о. Естественно выбрать в качестве критерия того, что распределения Wn (0) и Wn (力)существенно различаются (в духе критерия разрешения Релея в спектроскопии), условие
|5阳》А% + А£»; (3.31)
их отличие может быть обнаружено в результате измерения средней энергии. Для простоты исследования (3.31) будем считать, что вначале, при 力=0, система находится в стационарном состоянии I тг0> с энергией Е® тогда Д£"о = 0. Для оценки \Et используем (3.2) и соотношение неопределенности (3.3), тогда (3.31) принимает вид .
|6£(> 方广1 (%)；I 6£ I > %方 J (力). (3.32)
Формула (3.32) позволяет определить, в какой момент нужно произвести измерение энергии, чтобы разрешить энергию начального и конечного состояний с точностью
Переходя в формуле (3.32) к пределу i -> + оо, получаем соотношение неопределенности в виде
I I Т > 方；I I т》％方， (3.33)
где Т = lim Т (оо), т — lim т (力).В такой форме в рамках теории возмущений соотношение неопределенности обсуждается в [53].
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере возбуждения гармонического осциллятора зависящей от времени внешней силой. Гамильтониан этой системы имеет вид
%(力)=亲 + 宇■"/(М, (3.34)
где / (力)=0 при 力 & 0 и lim / (力)=0. Пусть в начальный момент 力 = 0 осциллятор находится в основном состоянии с волновой функцией То = у!^ ехр(—导),где z0 二]/為• Легко показать, что решение уравнения Шредингера, отвечающее гамильтониану (3.34) и имеющее То в качестве начального условия, имеет вид
'⑵=V^^e" [一* + '("“+ 如"'h ' (3-35)
где 6(力=—+ \ ei<o(r-t)y(T)dr> a 屮o«)=—粤 + "^ \ 6?⑺ dr. 0tо
Отметим, что состояние (3.35) является когерентным состоянием осциллятора [94].
Матрица плотности р» = | Т<)〈 4ft | определяет матрицу плотности 0t (3.28), где | 汽〉一 стационарное состояние осциллятора с энергией Йео {п + 1/2), а вероятности 力乳= (»%-п)/献 являются распределением Пуассона с 5 = X nWn = %宕6&*・ Ясно, п=0 что
Et 二 ％灰0(1 + 君66*)；&E = Йа J尤找*/2.(3.36)
Используя явное выражение для матрицы плотности рь вычисляем по формуле (3.4) функцию Т (办，которая имеет вид
Т (力=/2 伍со У 7淞*)т.(3.37)
В случае, когда / (力)равно /0 на интервале 0《力《т и 0 вне него, функция 6 равна
6t — е"削6опри 力 V т;
60 = /。 (1 - 6必Р)(方3尸 при 力〉T.(3.38)
Вышеизложенное в случае зТ 発 1 допускает простую клас
号号1 / »Р , © 二 vK me + q1 / »Р , © 二 vK me + q.При 力=0 система находилась в ко.При 力=0 система находилась в косическую интерпретацию на фазовой плоскости р, q или, что более удобно, в комплексной плоскости когерентных состояний а:
号
号
1 / »Р , © 二 vK me + q
1 / »Р , © 二 vK me + q
.При 力=0 система находилась в ко
.При 力=0 система находилась в ко
герентном состоянии с а = 0; тогда Ар = J方ттгз/2, А% = ]/方/2ттгз И Ар Аг =方/2. Можно сказать, что состояние | 0〉было размазано в окрестности начала координат фазовой плоскости и занимало площадь 加 Эволюция во времени 4ft является тоже когерентным состоянием, находящимся в точке а» = a (i)= =&6 «)/U2 с Ар = J方ттгз/2, А£ = |/^/2ттгз и АрА1r =方/2 и занимающим ту же площадь в фазовом пространстве. Наглядно ясно, что пакеты будут сильно перекрыты, если эти окрестности пересекаются. Естественно считать, что состояния разрешены, если эти окрестности не пересекаются. При | 6 胃。| 登 1 и 力〉т окре
стности заведомо не пересекаются и осциллятор находится в квази- классическом состоянии со средней энергией Et 登 А^ (см. (3.36)). Очевидно, что
16ЕI = 1Maz^6*>AE' = Йи U^?(3.39)
т. е. конечное состояние осциллятора может быть по измерению энергии разрешено от начального основного состояния,
128
Линейные адиабатические инварианты и когерентные состояния
В предыдущих параграфах был рассмотрен вопрос о построении генераторов группы динамической симметрии квантовой системы из интегралов движения, чьи собственные значения определяют начальные координаты и импульсы в фазовом пространстве средних координат и импульсов. В настоящем параграфе будет рассмотрен другой аспект таких интегралов движения, с помощью которых строятся когерентные состояния. А именно будет обсуждена связь этих точных интегралов движения с адиабатическими инвариантами. Хорошо известными примерами адиабатических инвариантов являются магнитный момент заряженной частицы, движущейся в медленно меняющемся (по сравнению с радиусом классической орбиты) по пространству и (по сравнению с периодом обращения по этой орбите) по времени магнитном поле [150], а также отношение энергии осциллятора к частоте в случае зависимости частоты от времени. Адиабатическим инвариантам посвящено большое количество работ [151—154]. В точной формулировке адиабатической инвариантности вводится параметр Т (масштаб времени) такой, что при Т —> g (т. е. i/T —> 0) внешние параметры, зависящие от времени (массы, электрические и магнитные поля и т. д) имеют бесконечно уменьшающуюся скорость изменения. Если имеется положительная константа М такая, что для изменения А/ числа I для всех достаточно больших I выполняется неравенство | А/ | < МТ (汽—положительное целое число), то говорят, что / является адиабатическим инвариантом порядка п. Постоянство магнитного момента с точностью до первого порядка по параметру малости было впервые получено Альфвеном (см. [150]). Позднее Крускал [154] доказал это свойство с точностью до всех порядков в некоторых частных случаях полей.
Курлсрудом [151] была доказана адиабатическая инвариантность для одномерного классического осциллятора с переменной частотой с помощью использования линейности классического уравнения движения. Ленард [152] расширил этот результат на нелинейный осциллятор. Адиабатическая инвариантность в квантовой механике была доказана в первом поряд! е по параметру малости Борном и Фоком [155] для квантовых систем с невырожденным спектром энергий. Справедливость теоремы Борна — Фока с точностью до всех порядков была доказана в [153] для систем ^конечным числом невырожденных уровней энергии, не пересекающихся в процессе адиабатического изменения параметров. В работе [91] рассматривался в адиабатическом приближении квантовый осциллятор с переменной частотой, была показана экспоненциальная малость амплитуд переходов между уровнями энергии. В настоящем параграфе будет продемонстрирована справедливость теоремы Борна — Фока для квантовых систем с
1291295 И. А. Малкин, В. И. Манько
129
129
бесконечным числом вырожденных уровней энергии и с бесконечным числом бесконечнократно ьырожденных уровней энергии. Рассмотрение квантовых систем и наличия адиабатических инвариантов для них будет проведено на основе исследования точных инвариантов. Кратко идея этого рассмотрения такова. Как говорилось выше, каждая квантовая система с п степенями свободы имеет 2п точных инвариантов, собственные значения которых дают начальные точки в фазовом пространстве средних координат и импульсов системы, а собственные векторы являются когерентными состояниями. Такие точные инварианты могут быть разложены в ряды по параметру малости, характеризующему скорость изменения зависящих от времени параметров системы. Это разложение определит адиабатические инварианты, которые сохраняются лишь с определенной степенью точности относительно параметра адиабатичности. Функция Грина и амплитуды переходов между различными состояниями как когерентными, так и энергетическими могут быть разложены по параметру адиабатичности, давая соответствующие ответы в адиабатическом приближении. Из описанного подхода ясно, что число адиабатических инвариантов соответствует числу точных инвариантов, равному 2п для системы с п степенями свободы. Функция от адиабатических инвариантов сама является адиабатическим инвариантом.
Рассмотренные в предыдущих главах важные квантовые системы (осциллятор с переменной частотой, электрон в переменном магпитпом поле) описываются с помощью функции е (方)，подчиняющейся классическому уравнению колебаний с переменной частотой. Если частота меняется медленно (G/o^y 1), это уравнение можно решать с помощью метода последовательных приближений. Если ввести параметр Т согласно формуле % = 77т, то (см. подробный вывод также в [151]) уравнение для е (т) примет вид
Т-2 霊+ 炉⑺е = 0.(4.1)
Можно искать решения этого уравнения в виде
е ⑴=叩 sin (打 S В) df) .(4.2)
Здесь W ^ S — медленно меняющиеся неизвестные функции т. Тогда
и (т) = W sin (т \ S (т‘) dx'] + TSW cos(Т \ S^dr') ；(4.3)
е7т) = (W" - Т2s2叩)sin(Т \ S (工‘)dr'] + (2TSW + TS'W) X
X cos [t § S' (t‘)di) . (4.4)
Уравнение (4.1) приводит К соотнойтенйяМ
W'/T2 - W52 + 炉(т)叩=0; 2WS + WSf = 0. (4.5)
Отсюда видно, что W2S = const, например, S = 1/俨.
Можно представить функции Ж и 5 в виде асимптотических рядов по параметру 1/Т:
(4・6)(4・6)S= SQ + S1/T + SJT* +，..；
(4・6)
(4・6)
W w^+ W1/T 十 WJT^ +
Подставляя эти ряды в (4.5) и приравнивая члены одного порядка по 1/Т, имеем
So н з； И7。= 1/ Мз.(4.7)
Кроме того, имеют место соотношения
Wn-2 一 Wn—2 (S2)2 - Wn^(S^ -- Wo f% - 0；(4.8)
(叩2)nS。+ (W^2S2 + ... + (W%s〃 = o.(4.9)
Здесь введены обозначения
f爲=f爲=(4.10)(4.10)SmSo + Sm-^S 2 + — • + SoSm；
f爲=
f爲=
(4.10)
(4.10)
(俨)m = WmW。+ W2W2 + …+ WoW^.
Нечетные члены 52/f+i,叩2^+1 равны нулю. Величины Wn и Sn зависят от частоты з и ее первых производных. Решение уравнения для функции е эквивалентно нахождению решения уравнения для р, где е = р(т) exp [iT Jj S (rz)drj ; S = z/p2. Льюис [89] нашел функции pn (Wn) до шестого порядка. Приведем их с точностью до четвертого порядка:
ро = (V 3尸；Р2 м ■j-旷"®⑵—^_ 旷％(Q⑴尸； p4= _^_3-因2»4)+^_з"/2з ⑶ з ⑴_镯 з」%3(2)(з ⑴尸 +
+ 黑 3-%3⑵2 + 黑 3-%s")'；3⑺=
Для заряженной частицы с гамильтонианом ^=(2М)~1 [(рж— —e/J + (% — с//] + е(р, 4 = [Н (力 х г]/2,屮=% ⑶⑺十 + /, точные линейные инварианты, как было показано в [72], имеют вид
44)-云* eхр 份\3口)а'[e伍 + 2pJ — iMS(y~-ix)];
4 G)=赤 exp4 G)=赤 expdd
4 G)=赤 exp
4 G)=赤 exp
d
d
Где ё + Q2e = 0, С? = 3?/4 + (е2/М2)К (力).Эти точнЬге инварй- анты можно представить в виде асимптотического ряда
4 (т)=厶产(т) + % 0"⑺ + …(4.11)
Сумма первых п членов дает адиабатический инвариант n-го порядка
4開=心 + 4-心+…+击步；4r = ° (旨)•
(4.12)
Мы выразили точный инвариант через решение е (力).Чтобы получить ряд (4.11), нужно подставить в точное выражение асимптотический ряд для функции е (力).Нулевое приближение для функции е (力) имеет вид е0(^) = (MQ/^)1/2ехр (f ^ Qdz) ； с ее помощью можно получить два линейных по операторам координат и импульсов адиабатических инварианта нулевого порядка для частицы, движущейся в переменном электромагнитном поле:
璃(© = #хр
風⑴=1^ехр
Пусть электромагнитное поле постоянно при 力《0 и при t -> оо. Это означает, что в уравнении для функции е имеют место соотношения ◎«《()) =Qm, ◎(力 f ос) = Qf, где Cm и Qf — постоянные частоты. Точные начальные условия задаются формулами е (力)—Q-% ехр (iQinO и © = iQe. Таким образом, можно получить формулы для амплитуд и вероятностей переходов из начального I Е〉состояния в конечное | f〉，а также вычислить изменение адиабатических инвариантов. Точные формулы для амплитуд переходов и изменения адиабатических инвариантов получены в работе [76].
Найдем эти величины в адиабатическом приближении, т, е. определим асимптотические разложения точных формул по параметру ЦТ. Из формул (4.6) вытекает, что
е(ое) = % 十闕+2/方+2 + …， (4.14) где п — число непрерывных производных функций Q (力)(разложение асимптотическое), т, е. число непрерывных производных
Электромагнитного потенциала. Значение ел+2 определяется изменением (п + 1)-й производной функции Q 〃)• Подставляя формулу (4.14) в формулу для точных интегралов движения, получаем
(4.15)(4.15)4(°°) = 4,о + 4,п+"Тп+1;
(4.15)
(4.15)
4 (°°) = 4,о + 4,n+i/Tn+i,
где /1,() и Л2,о являются адиабатическими инвариантами при 力一> g. Формулы (4.15) показывают, что изменение адиабатических инвариантов 4,о и Л2,о пропорционально 1/Тп+1. Это означает, что адиабатические инварианты сохраняются с точностью до членов порядка 1/Тп+1. Этот результат получается, если построить асимптотическое разложение точной формулы для изменения адиабатических инвариантов /“)и Л2>0 по параметру ИТ. Все формулы для переходов выражаются через комплексные константы ^ и г)(I ^ |2 — I " I? = 1). Точное решение уравнения для е (/) при t f g имеет вид
е(оо) = (MQ"e)-/2 化評М -力巾一叫').
Если разложить g и г) по параметру 1/Т, то из разложения для е (4.14) следует
? = ^0 + Ui/^+1； Т = 1]м/ТЕ・(4.16)
Здесь 三o = exp«\(Q^-) d#) . Значение i -^- играет роль амплитуды отражения от одномерного барьера, определяемой функцией Q (力 Таким образом, коэффициент отражения есть величина порядка l/T?⑴+i)Если подставить в точную формулу изменения адиабатических инвариантов асимптотическое разложение (4,16), то мы получим, что линейные инварианты сохраняются с точностью до 1/7研1. Получим изменение адиабатических инвариантов по когерентным состояниям. Разность значений операторов определяется следующим образом:
〈£ т 8 I I £т 8〉一 <in I 4n I in>
L<in I Лр I in>
где I 力一> oo〉 есть предел при 力一> oo начального состояния | in〉.
Значения A/用 легко вычисляются, если использовать связь точных инвариантов с конечными. В результате в случае когерентных состояний I а, 0〉имеем следующие изменения адиабатических инвариантов Л2>о：
△4,о= — 1 + 伊—ехр 卜、(Q —字)&т]；
/ L「/」а.®
△4,0 = - 1 + 伊--^-) exp 口、(◎ —-^) dx]-
В адиабатическом пределе Г)стремится к нулю； разности A/i,o и А/2,0 также стремятся к нулю. Если в эти формулы подставить разложение (4.16), найдем
厶/力。=О (1/7*1), t = 1, 2. (4.19)
Получим теперь изменения квадратичных адиабатических инвариантов 閃4 и 閃4，соответствующих точным квадратичным инвариантам. Их эволюция может быть легко рассчитана так же, как и для линейного случая. Для когерентных состояний имеем
(4.20)(4.20)A^ = NP'-^^l-2Re^^)；
(4.20)
(4.20)
А<А = 1л!2」a%*・+L - 2Re 伽 ^).
Для случая уровней Ландау с заданными значениями энергии и проекции момента имеем
△ <4 - 11] I2 凸土,：：*•• ；А小=I ■>] |2 &±,产 I .(4.21)
В адиабатическом пределе (г) = 0) все эти изменения равны пулю для любых начальных состояний. Интересно рассмотреть квантовый оператор, соответствующий классическому адиабатическому инварианту pt/H или 石7з:
/о = М,о4,о + 1/з-/о = М,о4,о + 1/з-&22)&22)
/о = М,о4,о + 1/з-
/о = М,о4,о + 1/з-
&22)
&22)
Изменение этого инварианта легко вычисляется:
А/ = 2|1]|2 吋貝••(4.23)
Вследствие (4,16) сохранение величины Zo выполняется с точностью порядка 1/普(n+1)：
Д70 =。(1/T2gi))・(4.24)
Если частота Q имеет производные всех порядков, то все адиабатические инварианты, линейные и квадратичные, сохраняются во всех порядках по параметру UT. Это не означает точной инвариантности. Хороший пример, который часто приводится,— функция ехр ( —1/Х), для которой все производные при 九 = 0 равны нулю. Здесь следует подчеркнуть, что сохранение адиабатических инвариантов во всех порядках по 1/Т получено для системы с бесконечнократным вырождением уровней энергии, поскольку уровни Ландау вырождены по проекции момента на магнитное поле. Когда поля постоянны, гамильтониан заряда в магнитном поле выражается через операторы 4, А^ по формуле %=(典4 + %).
Рассмотрим теперь разложение амплитуд перехода по параметру 1/Т. Точная формула получена нами ранее и обсуждалась в [72, 76]. Все амплитуды суть функции двух комплексных параметров I и г], а вероятность перехода зависит от одного действительного параметра R | r)/J | 2, который можно трактовать как коэффициент отражения от потепг иального барьера, задаваемого функцией Q (力)• Сначала найдем разложение точных амплитуд по параметру | 唔 |:
(T,6；f(a, pU)=，2„(a,6,Y*,6*)|1]初7(4.25)
где
耳m —与[，戒〈R 6； f I Ct, P； in)] = 0,
и
〈俏1，m2； f I a,出；力〉:s Am (加1，m2, a, n2)( Г)/? r， (4.26) m=o
где
[
^711+712+1711+7712
X exp (一等I a |2+I阡亠1芥4■用户二。.
Для вероятности перехода |〈m, т^ f | ni5 п2;力〉| 2 разложение по параметру R = | г)/己 |2 дано в [72]. Первый член разложения вероятности остаться в том же состоянии | п/, п2> имеет вид
I <wl5 n2; f I nn 孔2；方〉12 = 1 — (2孔1 孔2 + 力十孔2)e + …(4。27)
Можно получить асимптотические разложения по параметру 1/Т, подставляя формулы (4.16) для функций ^ и г] в формулы для амплитуд переходов (4.25) и (4.26). Видно, что | г]/^ | 〜\/Тп^ и коэффициент R 〜1/普(研1). формула (4.27) показывает, что вероятность перехода | (in | f> | 2 есть величина порядка 1/Г2(п+1\ Это означает, что адиабатическая инвариантность выполняется с такой точностью. Если электромагнитное поле задается функцией, которая имеет производные по времени всех порядков, то адиабатическая инвариантность сохраняется для заряженной частицы, движущейся в этом поле, во всех порядках по параметру адиабатичности ИТ.
Обсудим теперь случай общей квадратичной системы и физический смысл введенных линейных адиабатических инвариантов. В случае общей квадратичной системы были построены 2п точных линейных интегралов движения, удовлетворяющих соотношениям коммутации бозонных операторов рождения и уничтожения (см. формулу (4.2) гл. III), Решения волнового уравнения, амплитуды переходов и функция Грина были выражены через зависящие от времени матричные элементы матрицы А (力)и вектор 6 (力)(см.
) гл. III). Матрица Л удовлетворяет матричному уравнению первого порядка Л = iAa2 (В + 5*), где матрица В + В* зависит от времени. Если зависимость от времени матрицы В + В* мала, то можно решать это уравнение методом итераций. Подставляя приближенные решения в точные линейные инварианты, мы будем получать адиабатические линейные инварианты. В случае общей квантовой системы с п степенями свободы мы имеем 2п точных инвариантов, отвечающих начальным точкам траектории в фазовом пространстве 宓in = UxU^1 и рщ = UpU1, где U — оператор эволюции (или функция Грина) — зависит от медленно меняющихся параметров квантовой системы. Разлагая функцию Грина по параметру адиабатичности, как это делалось для обсуждаемых систем, мы будем получать соответствующие адиабатические инварианты. Их физический смысл легко понять с помощью решений классических уравнений Гамильтона ——Якоби qi (qo^Po,厶入")),Pt(Оо, #0,厶入 ⑺).Пусть эти соотношения разрешены относительно начальной точки в фазовом пространстве. Тогда интегралы движения ^0, Ро зависят от величину (Z), p(t) и параметра 入⑺.Точная траектория, начинающаяся в точке (^0, @о), может быть аппроксимирована приближенной траекторией, причем эти траектории совпадают друг с другом при стремлении параметра адиабатичности к нулю. Сказанное, разумеется, относится и к тем случаям, когда гамильтониан квантовой или классической системы зависит от нескольких переменных параметров, причем один из параметров меняется медленно. Тогда переходы между построенными в § 1 данной главы состояниями | п,力〉при стремлении параметра адиабатичности к нулю определяются [7-матрицей такой, что Umn = ^тп* Таким образом, существуют 2N адиабатических инвариантов, отвечающих точным инвариантам — начальным точкам траектории в фазовом пространстве. Другие адиабатические инварианты, например квадратичные (типа £7з), строятся разложением точных, квадратичных по параметру адиабатичности инвариантов. Линейные адиабатические инварианты связаны поэтому с когерентными состояниями квантовых систем, также строящихся как собственные функции точных инвариантов — начальных точек (^0(, pQ).
Глава V
Спектр квазиэнергий квадратичных систем
Квазиэнергия и квазиэнергетичегкие состояния квантовых систем с периодически изменяю щимися параметрами
Рассмотрим систему, гамильтониан которой является периодической функцией времени:况(力 + Т)=况(力.Примерами таких систем являются стационарные системы, взаимодействующие с сильным периодическим внешним полем, как, например, атомы, молекулы, кристаллы в поле лазерного излучения. Волновые функции 4r нестационарной системы удовлетворяют уравнению Шредингера
汤穿=(1.1)
Оператор эволюции U (力 этого уравнения — временная функция Грина — является решением операторного уравнения с начальным условием U (0) = Е:
历黑-=能0.(1.2)
В силу периодичности по времени гамильтониана 能 система обладает дискретной группой симметрии, состоящей из преобразований вида 力一＞ 力 + пГ, n = 0, ±1, ±2,...
Периодичность гамильтониана (1.1) приводит к соотношению
и (t+ Т) ^= и (t) и (Т).(1.3)
Ясно, что с помощью оператора эволюции U (力)можно построить представление этой дискретной группы, причем сдвигу 力一＞ 力 + пТ будет отвечать оператор U (пГ). Из (1.3) следует, что произведению двух сдвигов 力一＞ 力 4* 孔Т и Z -＞ Z + mT отвечает снова сдвиг Z Z + (пг + п) Г, т. е.
U (пГ) U (mT) = U ((п + п) Г).(1.4)
Оператор U (Т) является образующей этой дискретной группы: U (пГ) = [U (T)F, и в математической литературе [157] U (Т) называется оператором монодромии.
В работе Никишова и Ритуса [158] были построены для релятивистской заряженной частицы, движущейся в поле плоской волны,
йолйовые функции, обладающие определенном ЧетырбХмерпЬгм квазиимпульсом, четвертая компонента которого была названа квазиэнергией. Волновые функции с определенной квазиэнергией использовались в работе [159] при рассмотрении процесса ионизации атома сильным периодическим полем.
В работах Зельдовича [160] и Ритуса [161] был выделен важный класс решений уравнения (1.1), названный квазиэнергетическими состояниями (КЭС). Волновые функции КЭС являются решениями (1.1) и, кроме того, удовлетворяют условию
т£(г + Г)= Не^те(г). (1.5)
Величина е, входящая в (1.5), называется квазиэнергией (КЭ). Опа определена с точностью до целого числа колебательных квантов £ + р力Q, ◎ = 2冗/Т, р = 0, ±1, ±2, ... В случае стационарного гамильтониана (период Т произволен) решениями (1.5) являются стационарные состояния. Спектр КЭ переходит в энергетический спектр стационарной системы при 7foо, т. е. при Q -> 0.
В случае систем с конечным числом уровней уравнение Шредингера превращается в систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и спектр КЭ определяется с помощью собственных значений унитарной матрицы монодромии U (7). Стационарные системы, обладающие близкими уровнями, например мультиплеты тонкой и сверхтонкой структуры в атомах, вращательно-колебательные спектры молекул [162— 167], системы со случайным вырождением, такие, как атом водорода [168—170], и другие, взаимодействующие с сильным периодическим внешним полем, обычно аппроксимируются моделью с конечным числом уровней. Наиболее популярной является довольно грубая двухуровневая модель, в рамках которой рассматриваются только два уровня стационарной системы Е2 и 当，помещенной в резонансное внешнее поле с частотой Q = (Е?—— 总1)/无. Обзор результатов, полученных в рамках этой модели, и сравнение их с экспериментом приведены в работе [178].
Характер спектра излучения, возникающего при переходах между КЭС, был впервые исследован Блохинцевым [171] при рассмотрении эффекта Штарка для атома водорода в переменном поле. В дальнейшем спектры излучения систем с конечным числом уровней, помещенных в периодическое внешнее поле, были подробно исследованы теоретически и экспериментал ьно [172-175]. -
Применению метода квазиэнергий при рассмотрении процессов рассеяния и излучения квантовой системой, находящейся в сильном электромагнитном поле, посвящен обзор Зельдовича [176]. Метод квазиэнергий оказывается полезным при описании процессов многофотонной ионийации атомов периодическим внешним полем (см. обзоры [177—179]). Рассмотрению молекулярных систем методом квазиэнергий посвящены работы [180—182]. В ра-
боте [182] в квазиклассическом приближении находится спектр КЭ ангармонического осциллятора и исследуется явление нелинейного резонанса.
Спектр квазиэнергий найден точно для небольшого числа систем, таких, как, например, некоторые системы с конечным числом уровней [183, 184], осциллятор с периодически изменяющейся частотой [185, 186], релятивистский электрон в поле плоской волны [158], релятивистский электрон в суперпозиции полей плоской волны и постоянного магнитного поля [187]. В работе Бабича и Булдырева [188] при рассмотрении задачи дифракции фактически были найдены дискретный спектр КЭ и КЭС квадратичной системы с ТУ степенями свободы и гамильтонианом специального вида. Спектр КЭ и КЭС для заряда, движущегося в поле волноводного типа, были найдены в работах [189, 190]. Многие из этих точно решаемых задач могут быть сведены к квантовомеханическим задачам о поведении многомерной системы с периодичным по времени и квадратичным по координатам и импульсам гамильтонианом, спектр КЭ и КЭС которой построены в [191].
Как указывалось в [176], КЭС являются собственными функциями оператора монодромии U (7). В работе [167] было установлено, что временная эволюция собственных функций 明(0) оператора монодромии
U (Т) Те (0) = е—^т伍屮& (0) (1.6) порождает КЭС, т. е.
明⑴=U⑴砲(0). (1.7)
Доказательство этого утверждения сводится к проверке выполнения условий (1.1) и (1.5) для 4rg ⑴，определенной согласно (1.7). Условие (1.1) выполнено для волновой функции 4rg (办(1.7) в силу (1.2), а выполнение (1.5) следует из (1.3) и (1.6):
^E{t+T)^U(t + Т) Те (0) = и Q) и (7) Те (0) е*т 伍屮 g () (1.8)
В полном соответствии со случаем пространственных сдвигов находим
U (пТ) те (力=6-花心m恥() (1.9) т. е. КЭС являются аналогами блоховских волновых функций. Таким образом, КЭС преобразуются по одномерному унитарному представлению дискретной группы временных сдвигов, характер Х& (п) которой задается величиной
%е (n) ^ ехр (一历义77%).
Отметим, что КЭС существуют только в том случае, когда временная функция Грина U (力)является унитарным оператором при всех t и удовлетворяет соотношению (1.3).
Интегралы движения системы
с периодическим квадратичным гамильтонианом
В предыдущих главах были построены интегралы движения, функция Грина, когерентные и фоковские состояния нестационарной квантовой системы, гамильтониан которой представляет собой неоднородную квадратичную форму общего вида с коэффициентами — произвольными функциями времени. Важным случаем такой системы является квадратичная по операторам координат и импульсов система с коэффициентами — периодическими функциями времени с периодом Т. Гамильтониан системы 兆(力)удовлетворяет условию 兆(力 + 7) = % (办.У таких нестационарных систем, в силу инвариантности относительно сдвигов по времени на период Т, существует спектр квазиэнергий (КЭ) и отвечающая этому спектру система квазиэнергетических состояний (КЭС). В явном виде КЭС и спектры КЭ найдены для небольшого числа простых квантовых систем, таких, как, например, заряженная частица в поле плоской волны [158], осциллятор с переменной частотой [185], заряженная частица в суперпозиции постоянного магнитного поля и плоской волны [187], системы с конечным числом уровней [183] (см. также обзор [176]). Дискретный спектр КЭ однородной квадратичной системы частного вида в связи с задачами дифракции был рассмотрен в [188]. В работах [189, 191] был проведен теоретико-групповой анализ представления группы динамической симметрии, на основе которой построены КЭС и спектр КЭ произвольной периодической квадратичной системы. Рассмотрим, следуя [191], систему с N степенями свободы, гамильтониан которой, используя обозначения (4.1) гл. III, запишем в виде (力 =1)
箔= QB(t)Q + C ⑴ Q + % ⑶，(2.1)
где Qt = р» — импульсы, Qz+i = ,i —— координаты, i = 1, 2, ..., TV.
Положим теперь, что вещественная симметрическая матрица В (办，вещественный вектор С (办 и функция 曰。(力)являются пери одическими фун кциями в реме пи:
В (t + Т) = В ⑺；。(力 + Т) = С (力 Яо « + Т) = Яо (小
(2.2) Волновые функции состояний с определенной квазиэнергией е удовлетворяют уравнению Шредингера с гамильтонианом (2.1) 力簪= 2ГР(2.3)
и условию квазипериодичности во времени
4r (仏力 + 7) н efT 4r (g, Z),(2.4)
которое позволяет представить 4r в виде
где iZg (分 ％ + Т) = Mg (分 办.Величина % как указывалось выше, определена с точностью до аддитивной добавки энергии целого числа колебательных квантов:
6 — 8q + 72.(0,(0 — 2л/Т, 72，— 0, ±1, ±2,…
С гамильтонианом (2.1), как было показано в гл. III, можно связать, как и в классическом случае, 2N эрмитовых, явно зависящих от времени интегралов движения 7\ ⑺，удовлетворяющих уравнению
dljdt + i [先，ZJ =0,入=1, 2,…，2N,(2.5)
Решение системы (2.5) запишем в виде
厶= ©k«)Qk +玩 G)，(2.6)
где вещественные матрица А%к и вектор В九 удовлетворяют системе уравнений (см. (4.2), (4.3) гл. III)
/А=2АЕЗ; » = АЕС(2.7)
и условиям
Л (0) = Е; В (Т) = А ⑺ 6 (0).(2.8)
Матрица Л является симплектической: Л5Л = 2 (см. (5.33) гл. III), а интегралы движения (2.4) подчиняются каноническим коммутационным соотношениям
(Л⑺，4⑺]-一立加(2.9)
В силу условий периодичности (2.2) гамильтониана 况，матрица Л удовлетворяет соотношению
А « + 7) = А (7) А (小(2.10)
Матрица Л (7) в математической литературе называется матрицей монодромии [157]. Она определяет спектр КЭ системы. Очевидно, что ввиду (2.8) и (2.10) интегралы движения /入 связаны соотношением
I (t+ Т) = Л (Т) Т (力(2.11)
Отметим, что если среди решений В (力)системы (2.5) не существует решения, удовлетворяющего условию (2.6), то среди решений уравнения Шредингера нет КЭС. Это означает, что квантовая система находится в резонансных условиях, когда существен учет в гамильтониане системы наряду с квадратичными и ангармонических членов. Для нахождения спектра КЭ исследуем теоретикогрупповую структуру преобразования Л (7).
Совершенно очевидно, что выбором подходящего симплекти- ческого преобразования I матрицу монодромии А (7) можно привести к некоторой стандартной форме Л7 (7):
' А (7) = /А' (7) L,(2.12)
441
В случае комплексных симплектических преобразований I в качестве Л' (7) можно взять жорданову форму матрицы Л (7). Преобразование (2.12) по матрице Л (7) определяет в симплекти- ческой группе класс сопряженных элементов А' = /-1Л (7) /, когда I пробегает всю группу Sp (2N, R).
Рассмотрим простейший случай, когда матрица Л (7) может быть приведена к диагональному виду с помощью, вообще говоря, комплексного симплектического преобразования I. Тогда матрица Л (7) сопряжена элементу некоторой картановской подгруппы в Sp (22V,方).В работе [192] были найдены все картанов- ские подалгебры вещественных полупростых алгебр Ли. Для группы Sp (27V, R) (тип с. 1) в [192] показано, что в случае четного N имеется (ТУ + 2)2/4 различных картановских подалгебр, а в случае N нечетного —(N + 1) (N + 3)/4. Каждая картановская подгруппа А(к/)= ехр 无(к，“， соответствующая картановской подалгебре 无(к，‘)，задается двумя целыми числами К, / (К〉О, Z> О, K + 2/&N).
Матрица h(K^ имеет блочный вид:
勿к, I)勿к, I)О 0 @кО% О ООО с ОООООоООО — %ОООоО 0 @кО% О ООО с ОООООоООО — %ОООо(2.13)(2.13)о о о о о
勿к, I)
勿к, I)
О 0 @кО
% О ОО
О с ОО
ОООо
ООО — %
ОООо
О 0 @кО
% О ОО
О с ОО
ОООо
ООО — %
ОООо
(2.13)
(2.13)
-С
где блоки равны
ак -ак -А ОII力 K+2ZE厶 К+2Р+2А ОII力 K+2ZE厶 К+2Р+20m2）瓦= 二o Z（z）0m2）瓦= 二o Z（z）ОО6⑺=6⑺=~^hK+r hK+l+r~^hK+r hK+l+r
ак -
ак -
А ОII
力 K+2ZE
厶 К+2Р+2
А ОII
力 K+2ZE
厶 К+2Р+2
0
m2）
瓦= 二
o Z（z）
0
m2）
瓦= 二
o Z（z）
О
О
6⑺=
6⑺=
~^hK+r hK+l+r
~^hK+r hK+l+r
hi — вещественные числа (方=M 2,…，TV).
Матрица А(к」)= ехр 无(氏」)имеет 2К собственных значений вида 入团=e±'"m (m^lt 2, К), лежащих на единичной окружности; 2 (7V — К — 2Z) вещественных собственных значений вида 入/ = е士勺(К + 2/ + 1 《/《％) и 4/ комплексных собственных значений вида Хг = ехр (±ihK+r 土 无k+e+丁) (г = 1, 2, ..., Z). Таким образом, в случае, когда все собственные значения матрицы Л (7) различны, можно преобразованием (2.12) привести 142
матрицу Л (Т) к стандартному виду:
А' (7) = /Х]Л (7)厶工 ехр 加％ О,(2.14)
где 无(к，О дается (2.13), причем матрица /л определена с точностью до правого множителя А(к,【), который является произвольным элементомкартановскойподгруппыЛ(К11)=ехр h^'1^ определяющей симметрию задачи.
Линейное каноническое преобразование
Рассмотрим линейное неоднородное преобразование от канонических импульсов р и координат q к новым канонически- сопряженным импульсам / и координатам q вида Q = 2@ + @, т. е.
僚Н；： ；М>(2)僚Н；： ；М>(2)(3.1)(3.1)
僚Н；： ；М>(2)
僚Н；： ；М>(2)
(3.1)
(3.1)
где Z — вещественная симплектическая матрица размером
2N X 2N,2N X 2N,&= (ji) — вещественный 27У-мерный вектор. В силу
2N X 2N,
2N X 2N,
условия симплектичности матрицы I:
江『=2, где
преобразование (3.1) оказывается каноническим, т. е. сохраняющим коммутационные соотношения
3p/ =[力，力]=°；回刃=[八，g/ = °；
【Pi，力]=—泌j；应，？j] = —^ij (^ ^ 1? 2, . . . , N),
Подставляя (3.1) в (3.2), получаем соотношения между матрицами 厶，являющиеся следствием симплектичности I:
% 1%4 % 2”3 == ЕN、^ 3^4 ^3^ ^4^3»%1“2 == ^ 2^1 J^4^1 — % 3“2 ^^ ЕN* (3 .3)
Каноническому преобразованию (3.1) отвечает порождающий его унитарный оператор U^ U《U】=Е, такой, что
p = u^ut, 4 =0应。〔(3.4)
Для нахождения ядра <§ | Ut \ q) преобразования U, полезно рассмотреть соответствующее ему классическое каноническое преобразование. Будем теперь считать входящие в (3.1) координаты и импульсы не операторами, а с-числами. Перестановочные соотношения (3.2) перейдут в условия каноничности классического преобразования (3.1) путем замены в (3.2) коммута-
N
торов [/, g] на скобки Пуассона {/,联=£儀/一 誥謠) по обычному правилу: [/, g] т — % {/, g}p.
Классическому канонйческому преобразованию (3.1) отвечает в переменных q, q производящая функция 〃(明 歹)，позволяющая находить импульсы # м
р = dFldq,力=一 dFIdq.(3.5)
Условия каноничности преобразований (3.1) и (3.4) можно записать в виде
您dg =杀己彳+ dF.(3.6)
Для существования F в переменных % q достаточно, чтобы гессиан Hess F 三 det || d^FIdq дд || был отличен от нуля. Пусть det %з 声 О, тогда (3.1) можно разрешить относительно р и 方；с учетом (3.3) находим
р ~ А%% ■~ ?з勺十或i； р — %% —以厶夕一％i近2・(3.7)
Подставляя (3.7) в (3.6), получаем для производящей функции F (q, q) уравнение в полных дифференциалах, причем условия совместности уравнения (3.6) выполнены ввиду тождеств (3.3). Интегрируя уравнение (3.6), находим
月(2, Q) = %qZ 而%+ 1/2方汇%7一7%% + q V^di + qdr - ql^ d2.
(3.8)
Отметим, что Hess F = det || d^Fldq dq || = det 仁'卢 0.
Для нахождения явного вида ядра <§ | U? | ?〉квантового преобразования (3.1) следует использовать систему уравнений (3.4), которая в представлении, где q диагональны, принимает с учетом (3.3) и (3.7) вид
-i (4 II0〉= (23勺-23〃9 - * @2)(0 I Uz 10〉；
~~(3，9)
‘*^r(。I q I。〉= (2"3~ - А% — 厶?@2 + "0(0I a 10〉"
Ясно, что при подстановке (^ \ Ui \ q) ~ с ехр {——iF (q,彳)} система (3.9) переходит, с учетом (3.7), в систему (3.5). Условие унитарности ядра〈彳 | 〃с | 0〉позволяет определить нормировочную константу с, квадрат которой равен якобиану перехода от координат (р, д) к (彳，。)， деленному на плотность состояний (2n)N в фазовом пространстве. Таким образом, получаем
01sl q〉= (^^У2 ехр [ —G)],(3.10)
где F (д,行)дается (3.8), a Hess F = det 厶L
В вырожденном случае, когда det Z3 = 0, необходимо рассмотреть, аналогично вышеизложенному, ядро U, в импульсном представлении (см. § 5 гл. III).
Отметим, чю Фок в работе [195] (см. также приложение в [196]) получил в квазиклассическом приближении формулу (3.10) для
144
ядра оператора UF, отвечающего классическому каноническому преобразованию (3.5) с производящей функцией F (% 彳).В случае линейного канонического преобразования (3.1) квазиклассическое приближение совпадает с точным выражением для ядра Up,
Преобразования вида (3.10) образуют представление группы G = Sp (27V, R) /\ Н (TV), являющейся полупрямым произведением симплектической группы Sp (27V, R) и группы Гейзенберга — Вейля Н (ТУ), генераторами алгебры Ли которой являются операторы qt、рт и единичный оператор Е, Изучению этого представления посвящены работы [109, НО, 197—200].
Для того чтобы привести матрицу моподромии А (7) к одной из стандартных форм, описанных выше, совершим в уравнении Шредингера (2.3) унитарное преобразование U, вида 屮 = U,屮. Волновые функции 屮 удовлетворяют уравнению Шредингера (2.3) с преобразованным гамильтонианом 箔'=Z/f宛'U” Очевидно, что спектры КЭ гамильтонианов 宛'и 况 совпадают. Если в качестве UI взять линейное каноническое преобразование (3.1), то гамильтониан снова оказывается квадратичным по р и § и имеет вид
%’ = QBfQ + С'@ + 冗，(З.И)
где Bf = IBI； С' = Z(C + (5 + Е)@); 瓦=dBd + Cd + Яо-
Интегралы движения I (2.5), отвечающие гамильтониану 宛, перейдут в интегралы движения Z' гамильтониана 宛'：
Г =加ТО尸 А，0 + &,(3.12)
где
А'=尸 В'=尸(В + Ad)(3.13)
удовлетворяют соответствующим соотношениям (2.5)—(2.8).
Выберем теперь параметры преобразования U( вида (3.1) следующим образом. Пусть матрица А (7) имеет вид
А(Т) = %ехр{НК书久.
Тогда, полагая Z, входящее в (3.1), равным 1^, находим, что А，(7) = ехр {%("」)} (см. (2.12)). Сдвиг d выбираем из условия & (0) = & (7) = 0 равным & = — Ат (7) 6 (7).
Новые интегралы движения Г (力)совпадают с интегралами движения квадратичного гамильтониана 宠'， рассмотренными ранее, и удовлетворяют, кроме того, уравнению
Г « + 7)= ехр {h^iy} Г ⑴.(3.14)
Таким образом, эволюция системы за период определяется элементом картановской подалгебры 无(к，‘) вида (2.11), который полностью определяет характер спектра КЭ системы. Можно теперь считать, что гамильтониан системы, интегралы движения и матрица монодромии А (7) с помощью подходящего линейного
канонического преобразования U р^ уже приведены к стандартному виду (3.11), (3.12) и (3.14). В этих формулах, для того чтобы не усложнять изложение громоздкими обозначениями, будем в дальнейшем опускать тильду и штрих.
Дискретный спектр квазиэнергий и когерентные состояния
Рассмотрим случай, когда матрица монодромии Л (7) системы с гамильтонианом (2.1) является элементом максимальной карта- новской компактной подгруппы Л (N, 0) = ехр {勿n,o)}, где 无(NZ)дается (2.11). Вычисляя экспоненту от матрицы h^^,
находим явное выражение для матрицы монодромии:
Il cos Ai
COS 九2
0
sin /«
sin 力2
0
cos hN
0
0
sin 力n
0
' 丿一sin
—sin 期
COS /"
cos h2
0'
-sin 九N
0
cosGn
(4」)
Собственные значения %」
матрицы
A⑺
лежат на
единичной
окружности 入/ = е 乙 入扌=
:e-明，/ =
1, 2,.
..,,N, причем веще-
ственные числа % определены по модулю 2л.
Построим из интегралов движения (3.12) операторы уничтоже ния и рождения
1
(4.2)(4.2)4G)= ~jp亍口厶《)+』%+#)]；
(4.2)
(4.2)
4；G)н[―江№)+/n+№)].
удовлетворяющие бозонным одновременным коммутационным соотношениям
[/力 Л^] = [А], Л^] = 0; [/力 /f] = 6д,(4.3)
причем
4(0)=出=■^■(tpj + q)；/；(。)= a； = "^ (— iPj + %•)•
В силу (2.4) операторы /力 /，一 интегралы движения —— можно выразить через операторы р и д):
4 = -4="(九p 聳 + 九 q。+ A),九p =九3 + 认 1；
4" =亲加0+九急+ A*), 入q =入4 +i九2,
У 2
а также через операторы а, а — начальные точки:
[% _认?> % + еpI時一&绪+ 可[% _认?> % + еpI時一&绪+ 可
[% _认?> % + еp
I時一&绪+ 可
[% _认?> % + еp
I時一&绪+ 可
Подставляя (4.4) в коммутационные соотношения (4.3), находим полезные тождества, эквивалентные условиям симплектичности матрицы А (力)(см. (5.33) гл. III):
入a'q —九q九р = 2iK；九p% =入q九p・(4.5)
Используя (2.14), (4.2) и (4.1), можно показать, что операторы 4 (力)(4.4) удовлетворяют соотношениям
4 « + Т) = /万％ «)；% (Т) = eihia3.(4.6)
С помощью интегралов движения Л построим, как обычно, нормированные когерентные состояния | а,力〉,удовлетворяющие условию
4 (力)I а,力〉=а/ I а"〉(4.7a)
и уравнению Шредингера
i备1a,力〉=能(力)|a,力〉.(4.76)
Комплексное число «задает координаты центра волнового пакета, движущегося по классической траектории в фазовом пространстве, проходящей в начальный момент через точку с координатами q(。)= (а + а*)/]/2, 0(。)= (а — a*)/i/2・ Приведем явное выражение для когерентного состояния, отвечающего операторам Л в координатах q, в несколько упрощенной по сравнению с [76] форме, следуя [104] (см. (4.56) гл. III):
|а,力〉н 10,力〉ехр [；а九孰^% + -^ а (А* —九挑^А +
+ 2f^q}-^-\^ ,(4.8)
где 《вакуум»
10,力〉=Jt~N/4exp (— ~ q讶％q— iq工％ + ①)，(4.9)
а фаза
①⑺=\ [Sp (齿 1%兀—&3)+ ic^^ —必元力次『A - i，o (T)] dr.
0(4.10)
Следует показать, что матрицы, входящие в квадратичные формы, встречающиеся в (4.8), существуют и являются симметрическими. Из условий симплектичности (см. (5.33) гл. III) следует, что
(4.11)(4.11)^р^p = 03 -次 1)(入3 + 次i)=入3入3 + 九］Л1.
(4.11)
(4.11)
Следовательно, матрица КрКр является вещественной и симметрической. Покажем, что матрица 九^九？ является положительно определенной. Предположим противоположное, т. е. пусть существует вещественный вектор / ^ 0 такой, что (/, ^^р/) = 0. Ясно, что тогда Ар/ =(九з + X九i) / ~ 0. Из вещественности 九；и / следует 九 1/ =九з/ — 0. Применяя операторы левой и правой частей тождества 九&九 1 —九2九з =笈(см. (5.33) гл. III) к вектору /, находим, что / — 0. Полученное противоречие доказывает положительную
определенность матрицы 九^九р. Используя это свойство матрицы, докажем существование матрицы Zp1. Если матрица 九^ не существует (т. е. det 九а = 0), следовательно, существует ненулевой, вообще говоря, комплексный вектор / ~ /i + i/2 (векторы /\ и /2 — вещественные и /；十先〉0) такой, что 九 j = 0. Ясно, что тогда справедливо равенство 九^九р/ = Apip (/\+ i/2) ~。・ Так как матрица 九^九р вещественная и положительно определенная, то /1 ~ /2 ~ 0. Полученное противоречие доказывает, что матрица ^р1 существует. Покажем теперь, что матрица 九^九工* входящая в квадратичную форму (4.8), симметрическая. Из (4.11) следует, что 九^九р = 又「九^； отсюда легко получаем требуемое:九浊^ = 仇0-叽^ = = ^J^p1. Аналогично, для матрицы 九^九д， входящей в квадратичную форму g九*1 九qO, находим, используя (4.5), что 九^九@ =
Волновые функции когерентных состояний | а,力〉и «вакуума» I 0,7) содержат множитель, быстро убывающий при больших значениях | q |. Чтобы показать это, рассмотрим более подробно квадратичную форму, входящую в показатель экспоненты (4.8). Преобразуем эту форму к виду
-iQ^^Kqq =彳 q (入Р1% +(^*)~1 九：)q -2 q 0P叽q —仇犷1^*) %
где, очевидно, первая квадратичная форма — чисто мнимая, а вторая ——вещественная и отрицательно определенная. Используя (4.5), получаем
-4'?回% -(力尸％) ,応(白尸q <0，
Из последнего неравенства следует, что волновые функции (4.8) экспоненциально убывают с ростом | g |. В силу этого когерентные состояния можно нормировать: ＜а,力 | а,力＞ =1.
Рассмотрим фоковские состояния | п,力〉системы, введенные в [76], удовлетворяющие уравнению Шредингера и являющиеся собственными для квадратичных операторов Nj = А^А/
Nj I 九，力="j I n,力〉.(4.12)
В силу своего построения (см. § 4 гл. III) когерентные состояния (4.7) являются производящими для фоковских состояний:
ОО N nj
|a"〉= eTW2 £(П(4.13)
nj=l ；=1 j*
Ввиду полноты системы когерентных состояний | а,力〉，фоковские состояния образуют полную ортогональную систему
I 屮)=』〈屮 1九，力)1九，力)，＜m, z )n, о = smn.(4.14)
Покажем, что фоковские состояния (4.12) являются квази- энергетическими состояниями гамильтониана (2.11) в смысле определения (2.4).
Действительно, запишем (4.7) в момент времени 力十 Т:
4j (Т + 力)I а,力+ Т〉= а/ I а,力+ 7〉.(4,15)
Используя (4.6) и (4.7), из (4.15) получаем
е"4 ⑴ I а,力十 7〉= 4* 十 Т) I а,7 十 7〉= а/1 а"十 7〉. (4.16)
В силу единственности решения системы (4.7), т. е. простоты спектра операторов 4； и полноты системы когерентных состояний I а,力〉，из (4.16) заключаем, что
I а〃 力 + Т〉= ехр (— /е0Г) | 6一叱 а；,力〉.(4.17)
Фаза е0 легко получается из (4.8)—(4.10) и равна
е0 -力①(Т)/Т(4.18)
Соотношение (4.17) показывает, что эволюция когерентного состояния за период Т сводится к повороту в каждой плоскости а； на угол — % в полном соответствии с (4.1) и соотношением (4.6). Подставляя теперь формулу (4.13) в левую и правую части (4.17) и сравнивая члены при одинаковых степенях а, находим
I小力+ ?)= eхр Г- i他7 +工电砌[1九,力).(4.19)
Сравнение выражения (4.19) с условием квазипериодичности (2.4) дркаэывает, что СФСТояцид | п； О явлнк?тсн крцэдэнергетическими
聲
состояниями, а спектр квазиэнергии является чисто дискретным:
£ = * £ 何(勿 + М) + *，[£ Im (АД) + % (т)] @т. (4.20)
Числа hj определены в силу (2.4) и (2.12) по модулю 2л.
КЭС, отвечающие фоковским состояниям | и,力〉,можно явным образом выразить через полиномы Эрмита от N переменных [88, 223], используя (4.8) и производящую функцию (4.13):
|п, О = I 0, О (njn2! ... nN\r^ Hnini...nN (ж),(4.21)
где ж =2-I"內1 (^Л；а -a* — 2位%) и 10,力〉дается формулой (4.9).
Обсудим теперь характер спектра КЭ (4.18). Как было отмечено выше, числа 无)определены по модулю 2л, а квазиэнергия — с точностью до 2nJV7T (TV = 0, + 1, + 2,...).
Если все отношения 无〃2冗(/ ~ 1,2, . . . , TV) — числа линейно независимые, с целочисленными коэффициентами т^ т. е. У m^hj ^ 0 (mod 2л), то каждое собственное значение КЭ (4.20) не вырождено, причем КЭ е всюду плотно заполняет отрезок [0, 2л/Т]. Если 2 m亍加=0 (irod 2л)(77ij — целые числа), то появляется вырождение спектра КЭ. Если все отношения hjl2n — рациональные числа, то спектр КЭ конечный, причем каждому собственному значению е отвечает счетная последовательность КЭС (4.21).
Непрерывный спектр квазиэнергии
Рассмотрим случай, когда система описывается гамильтонианом (2.1), которому отвечает матрица монодромии Л (Т), являющаяся элементом максимальной некомпактной картановской подгруппы Л(о>о)= ехр {无(必。)}・ В этом случае Л (7) — диагональная матрица и ее собственные значения — вещественные числа вида % = е土"》(7 = 1,2, . . . , N), где 加 一 вещественные числа.
Тогда для операторов Z； (Г) (см. (3.14)), используя (2.11), находим
厶 « 十 Т) = ^1}⑴，/ = 1, 2, . . . , N;
h(5.1)
厶+N « + Т) = e-"/+N ⑺.
Рассмотрим состояния системы | Л;,力〉,являющиеся собственными для взаимно коммутирующих интегралов 乙(力)(/ = 1,2,N):
"I儿力〉=& I融力〉，(5.2)
й, кроме того, удовлетворяющие уравнению Шредингера
t%\k,t> =况\к,»(5.3)
Используя явный вид инвариантов，丁 (力)(2.5), находим решения системы (5.2), (5.3):
I 4,力〉=(2л) %"ехр [—橫 0九『九2。+ iqK1 (* — 6i) +
+ ~2 ЛЛз九i% 十 k (62 —九3九 J6]) + Ф (力)]•(5.4)
Фаза
①(力二，[Sp (h%%- %) + ic次丁61 一消立丁瓦石气1 -
0
—i〃o (т)] du (5.5)
может быть найдена подстановкой (5.4) в уравнение Шредингера
Отметим, что если det 九 1 声 0, то волновые функции состояния I к,力〉следует вычислять в координатном представлении, а если det 九3 声。，то в импульсном. Одновременное выполнение равенств det 九 1 = det 九3 = 0 невозможно в силу условий симплек- тичности (см. (5.33) гл. III).
Состояния (5.4) нормированы согласно условию
®t\k,t〉= 6也一 А/)(5.6)
и являются временной эволюцией плоских волн — состояний, обладающих в начальный момент определенным импульсом к. Они могут быть получены путем вычисления преобразования Фурье по второму аргументу от ядра функции Грина гамильтониана 兆 ⑺，приведенной в § 5 гл. III (см. (5.35)). Волновые пакеты
образуют полную систему.
Аналогично тому, как это было проделано в § 4 в случае дискретного спектра, используя (5.1) — (5.6), находим соотношение U，力十 7〉= exp [Ф (7)] I kje~\ 0.(5.7)
Рассмотрим состояния | v；,力〉,получающиеся из состояний I "% 力〉с помощью преобразования Меллина [193]
N
I %•, %•"〉= 財，О П危・|E№(sign 用户蹈・，(5.8)
где Vj — вещественные числа, а числа е； принимают значения 0 и 1. Известно, что преобразование (5.8) имеет обращение того же вида:
N
, I 期"〉=£ J 旧,叮,£〉П I ki ^^1' (sign 用)"d",(5.9)
J=1J=1ej=o,i
J=1
J=1
где в сумме имеется 2N слагаемых, отвечающих всевозможным наборам чисел е；.
Волновые функции состояния | v；, е；,力〉можно выразить через функции %,g (ж), являющиеся естественным многомерным обобщением функций Эрмита одной переменной с непрерывным индексом (функцией параболического цилиндра [116]). Подставляя производящую функцию (5.4) в (5.8), находим
I Vj, е；, о = [ПГН + 1-)У ^',Е(ж)|0,О；(5.10)
здесь «вакуум»
10,力〉=(2h)-N/2exp [ - ■^g入:以2g一同入丁包 + ①(力)](5.11)
И
瓜,E (况)=[IIF(2 + 4~) ]、exp (多 kK^k + »历& + iq^k —
_该入3а？51) JJ I "j I 吗"(sign "力"@侑，(5.12)
戸1
где
(5.13)(5.13)ж =入 1 居"1 (入 т0 + & 一入 3%丁61).
(5.13)
(5.13)
Состояния I V；, e；,力〉являются собственными функциями квадратичных интегралов движения N)= V2 (，j+N，j +，“j+N), совпадающих в начальный момент времени с операторами растяжения вдоль оси / в пространстве координат д:
(5.14)(5.14)Nj I Vj, £j,力=Uj I V；J £〃 力.
(5.14)
(5.14)
Состояния I V；, £〃 力〉,ввиду полноты и ортогональности системы I к,力〉，как следует из (5.5) и (5.8), образуют полную ортонормальную систему. Используя (5.7), легко проверить, что состояния I V；, е；,力〉являются КЭС в смысле (2.4) и определяют спектр КЭ вида
(5.15)(5.15)N
(5.15)
(5.15)
j = l
где
£о = "jr ^ [62^1 + Hq (т)] dx.
Спектр (5.15) 2№-кратно вырожден по квантовым числам е；. Это вырождение может быть связано с группой Вейля симплекти- ческой группы Sp (27V, Е).
§ 6. Смешанный спектр квазиэнергии
Рассмотрим сначала частный случай, когда матрица монодро- мии А (Т) является элементом картановской группы A®, n/2)= =exp {力(°‘n/2)}, где 无(°仆/2)_ матрица вида (2,13), построенная только из блоков 加г). Это возможно в случае четного N = 2厶 Вычисляя ехр {无(必认⑵}, находим явное выражение для Л (Т):
a* "(8 ⑴尸，/"""獄-：。%1(69 llo
Собственные значения матрицы Л (Т) — комплексные числа вида 入г = ехр (土 hr+i ± z%J г — 1, 2, . . . , 2 = N/2.
Наряду с интегралами движения ，)(力)(3.12) рассмотрим их линейные комбинации
Zr 二，2『-i + 江2r,г = 1, 2, . . . , N/2,(6.2)
Операторы Zr являются нормальными, т. е. коммутируют со своими эрмитово-сопряженньгми операторами:
[Zr, ZJ = О; [Z「，Z力=0; [zf, Z〕] = 0.(6.3)
Коммутационные соотношения (6.3) являются следствием эрмито- вости и взаимной коммутативности интегралов движения /；, 7 = 1,2, ...,7V (см. (2.7)). Используя соотношения (3.14) и (6.2), а также явный вид матрицы Л (Г) (6.1), находим связь между операторами Zr (力十 Т) и Zr (力)в виде
Zr « 十 Т) = eh^l+ihrZT «), г = 1, 2,, I. (6.4)
Рассмотрим состояния | 公，力〉，диагонализирующие полный на” бор операторов Z「, zf, г = 1, 2,, Z, и, кроме того, удовлетво
ряющие уравнению Шредингера (2.3):
Zr I 2,力〉=Zr I Ж, О； Zr I «, О = Z? I 2,圾， (6.5)
где z「一 комплексные числа. Используя инварианты (6.2), находим решение системы (6.5) в виде
I公，力=I也力，(6.6)
где I Е,力〉дается формулой^(5.3), а координаты вектора кт выражаются через z「следующим образом: "2г ~ Im иг, Л2г_1 = Re 2广 Состояния I 公，力 + 7〉 и I «, О связаны соотношением
\ zr, t + Ту = ехр [Ф (力)]I z「ехр (— h^x — ihr), О, (6.7)
153
где Ф (7') определяется, как в (5.5). Соотношение (6.7) легко проверить, используя (6.5), (6.6) и явное выражение для фазы Ф (力).
Состояния с определенной квази энергией получаются из состояний I «, О с помощью комплексного преобразования Мел- лина
I 电,pз〉= f1z,"〉力 Z I叫',/绰
。 二:(6.8)
d2sr — d (Re zj d (Im zJ
где Pr — вещественные положительные числа, а т — целые Используя формулы (6.7) и (6.8), получаем спектр квазиэнергий смешанного вида
N/2
(6.9)(6.9)£ —^2j (加也 + P&+Z)+ £и,
(6.9)
(6.9)
е0 = - Im Ф (Т)/Т,
отвечающий квазиэнергетическим состояниям (6.8).
Рассмотрим теперь общий случай, когда матрица монодромии А (Т) является некоторым элементом картановской подгруппы А(к/) вида А(к」)=ехр {勿к」)}, где"勿％%) дается формулой (2.11). Приведем явное выражение матрицы А (Т) размером 2N х 2N в блочном виде:
0 0限
0 0 II
0
勺0 0
°0
0
0co
00
0 0 破
00 '
(6.10)
0
0 00
方1。
0
0 00
0 C-1 II
Блоки 簿？，4? — диагональные матрицы размером К X К:
Il cos &0
sin hr0
sin阮
I- (6.11)
II 0cos /^
0sin hK
1
Матрица С — диагональная, размером (N — К — 2Z) X (N —
-К -2Z):
ehK+2l+l Oil
』K+2H2
С =
e
(6.12)
0■ e"N
Матрица 5г размером 2Z X 2Z состоит из I блоков вида 7?"):
8⑴05⑶8⑴05⑶8(r)_ ehK+l+ r8(r)_ ehK+l+ r8(Z)8(Z)cos 左к+r — sE "к+r IIsE "к+r cos 〃k+t 卜cos 左к+r — sE "к+r IIsE "к+r cos 〃k+t 卜
8⑴0
5⑶
8⑴0
5⑶
8(r)_ ehK+l+ r
8(r)_ ehK+l+ r
8(Z)
8(Z)
cos 左к+r — sE "к+r II
sE "к+r cos 〃k+t 卜
cos 左к+r — sE "к+r II
sE "к+r cos 〃k+t 卜
Числа & (Z = 1, 2, . . . , N), входящие в (6.11)—(6.13), вещественные, причем 伝 击 0, г — 1, 2, К и hK+i+r % 0, г = =1, 2,・・・,I. Среди собственных значений матрицы Л (7) имеется 2К комплексных чисел, лежащих па единичной окружности, 4/ комплексных чисел, ие лежащих на единичной окружности, и 2 (N — К — 2Z) вещественных чисел.
Интегралы движения I удобно представить, используя блочно- матричпую запись:
Кроме того, каждую квадратную матрицу 入》размером N 乂 N разобьем на блоки вида
7： = 1,2, 3, 4,
где 屮 一 квадратная матрица размером К X К,入俨 一 размером (N — К) X (N — К), матрицы 緡)и 入曾 一 прямоугольные. Соответственно этому JV-мерные векторы 6】и 62 естественно разбить на два вектора: /^-мерный 6? (6俨)и (7V — К)-мерны或 б£)(б9‘).
Из коммутативных интегралов 7；⑺,/ ~ 1, 2, . . . , 7V, строим операторы Л г = 2% (力厶 + 厶+n), i = 1, 2, . . . , К, операторы Zjf, Z「— /к+2л + ^к+2Г1 г = 1, 2, . . . , Z, и ZSJ s = R 十 + 2/ + 1, ..「ТУ, которые взаимно коммутируют и образуют полный набор. Построим состояние | а,公,к,力〉,удовлетворяющее уравнению Шредингера и являющееся собственным для этих операторов:
/i I а,公,к,力〉=at I а,公,在,力〉,i = 1, 2, . . . , К;
ZJ a,公，兩，0 =今I а,餘但力)；(6 ］旬
Zr ( а,公，加，方〉=z： I а,公，к,力，г = 1, 2, • • • , 2;
=6 (7с' — к) 6 (胃，一公)ехр (— I а |2/2 — | а712/2—а'^а), (6.15) где 6© — 公)=JJ6(z?) — z”)6(z£)— #2)’)， 2г = z0)+ izp).=6 (7с' — к) 6 (胃，一公)ехр (— I а |2/2 — | а712/2—а'^а), (6.15) где 6© — 公)=JJ6(z?) — z”)6(z£)— #2)’)， 2г = z0)+ izp).Is I а,公，Zc,力〉2=2 "§ I а,餘 Ar,力〉，s === К -2/ -p 1, . . . , N, где числа ks — вещественные, а аг и 2r — комплексные. Состояния I а,公，布，力〉нормированы согласно условию (а\公Л/,方I a,公,乃，力)Н
=6 (7с' — к) 6 (胃，一公)ехр (— I а |2/2 — | а712/2—а'^а), (6.15) где 6© — 公)=JJ6(z?) — z”)6(z£)— #2)’)， 2г = z0)+ izp).
=6 (7с' — к) 6 (胃，一公)ехр (— I а |2/2 — | а712/2—а'^а), (6.15) где 6© — 公)=JJ6(z?) — z”)6(z£)— #2)’)， 2г = z0)+ izp).
Приведем яЬныё Выражения для волновой функции состояний I а,学,乃,力：
I а, ?,力，力=I o, 0, 0, о eхр (-自J卩3叮啕2 -自/卩3叮1风+风几- -|а|2/2).(6.16)
где《вакуум» и фазы Ф (力 равны соответственно
I О, О, О, О = лГК/4(2jr)—(N+K)/2 ехр (切叮】卩2^/2 + 切瓦％ —
一也叮做+①⑴)，(6.17)
①⑴=f [一，"0 ⑴ + Sp (b串;1 卩2 -仇)+ »(e1卩:1S1 一 0
(6.18)(6.18)
(6.18)
(6.18)
Матрицы 出，J и векторы |, S「S?, входящие в (6.16) — (6.18), имеют вид
= 可)Ч2) I，陪)Ч2) I，
/2 了叫3)”守f ~ 7^ Ih嚟 V麺4)r
%⑴疗⑵氏 о
限y%3)s増)
自=(g )；风=(吋))；风二
где霜；次f)+需)，总)=辽限+霜),U弘= №?+ 6风 心,+自Г = =z「，г = 1, 2,.…，Z, А-к —冗，s = К 十 2Z + 1,….，N； Ек и En-k —единичные матрицы размером К X К ^. {N — К} X (N — К) соответственно.
Используя (3.14) и (6.10), можно показать, что операторы /之, Z「，/$, взятые в моменты времени 力 + Т н 力，связаны между собой соотношениями вида (4.6), (5.1), (6.4). В силу этих соотношений и простоты спектра операторов между состояниями | а,公,к、力〉, рассмотренными в те же моменты времени, имеется связь вида
I %, z「，冗，力 + f〉= exp [①(T)] j「％£, e h^l^x^Tz^ ^hsks.力〉.
(6.19)
Квазиэнергетические состояния получаются из волновых пакетов (6.19) с помощью интегрального преобразования — естественного обобщения формул (4.11), (5.8), (6.8):
I 九i, ^r, pr, %, %, Z> = Jt-K J I w, Zr,冗，力 X
厶уе dk /a# d2z
(冗)FS (sign 匂 ss,
1де d% = d (Re zj d (Tm zj; d% = d (Re aj d (Im а»； числа %, Pr — вещественные, 叫 一 целые, 勺 一 целые положительные» а % принимают значения 0 и 1.
Квазиэнергетическим состояниям (6.20) отвечает спектр квазиэнергии смешанного вида
кв
е =今 £ (% 十})无i + ； ^^ (叫无K+r + р/к+B+r) +
4=1
+ "yr*^ %饱+咖,6=K+2В+1+ "yr*^ %饱+咖,6=K+2В+1(6.21)(6.21)
+ "yr*^ %饱+咖,
6=K+2В+1
+ "yr*^ %饱+咖,
6=K+2В+1
(6.21)
(6.21)
Ео = ~^г\ [〃о (т) + 6卜)8{)2~ Im (A*A)1 dt.
Квазиэнергетические состояния | пь 皿力 рг, vf, е；,力〉являются собственными для полного набора квадратичных интегралов движения
N； = AiA i; Ds = % $ + IJn+s)；
Mr =⑵尸(Z%Zn+「- Z2&「);Mr =⑵尸(Z%Zn+「- Z2&「);(6.22)(6.22)
Mr =⑵尸(Z%Zn+「- Z2&「);
Mr =⑵尸(Z%Zn+「- Z2&「);
(6.22)
(6.22)
Dr = % (Z^Z^n + Zf+nZ? + Z^+rZ「+ Z^Zn+t),
образующих подалгебру Картана алгебры Ли группы Sp (27V, 7?):
(6.23)(6.23)Nt I nh 皿丁, pr, vs, es, t) = nt\ nh mr, p” vs, es,力〉；D $ I TZj, ^r» Pr，"s, £$,力〉="s I 孔i，勿％，Pr，"s，£$，力〉,Dr I nh mr. pr, %, %,力〉=p「J q,皿丁, pr, %, %,力〉；^^"r I 孔i，皿丁，Pr，"s，Es，力〉皿「I 孔i,皿「, Рт，"§，^s, О*
(6.23)
(6.23)
Динамическая симметрия квазиэнергетичевких состояний
В качестве группы симметрии нестационарной квадратичной системы можно рассматривать группу G, являющуюся полупрямым произведением вещественной симплектической группы Sp (2N, R) и группы Гейзенберга — Вейля Н (N): G = Sp (27V, R) Д H(N、. В случае стационарных систем эта группа и тесно связанная с ней / Sp (27V, 7?) рассматривались в работах [201, 110].
В нестационарном случае динамическая группа остается той же, как было отмечено в [294, 74], и ее генераторы строятся из линейных интегралов движения [74]
Xjj =厶厶 + 厶厶，У/ = Ij, Z = /.(7.1)
Легко проверить, что Х^, У；, Z являются генераторами неприводимого унитарного представления алгебры Ли группы G =
=Sp (27V, R) /\ H (TV). Подгруппе Sp (2Л\ 左)отвечают генераторы Х；；,а нормальному делителю Н (爾)一генераторы Y^ I [202].
Состояния (6.19) являются орбитой [202—2051, порожденной подгруппой Н (N) из «вакуума» | 0, 0, 0,力〉 путем действия на последний операторами группового сдвига:
1a,公，左，力)=exp [У〕(— af 4 + 修 4) +
+ (Z「Zr+N + ^^г+N)+ [〃./]10,0, 0,)(7.2)
Симплектическая группа Sp (27V, R), являющаяся группой внешних автоморфизмов группы Н (N), порождает на орбите соответствующее линейное каноническое преобразование параметров а, .г, к. Так как «вакуум» определяется из условий
4 I 0, 0, О, О = О； Z「I О, О, О, 0=^1 О, О, О, О = о； ，I о, о, о, О = о, (7・3)
то группой изотопии (малой группой) «вакуума» является карта- повская подгруппа Sp (27V, R) (6.10), отвечающая картаповской подалгебре вида (2.12), порожденной генераторами
(7.4)(7.4)自=% (箱4 + //?)；胛)=⑵尸(zMn+Г + 2忆孔Г); 瓦=% (/Jn+s + In+s / J；九，"=% (ZrZ^^ + Zr+^Zr + + Z§+r Zr + Z^Z^+r).
(7.4)
(7.4)
Из (6.22) следует, что квазиэнергетические состояния возникают в связи с задачей о разложении на неприводимые представления сужения представления группы Sp (27V, R) /\ Н (TV) на некоторую ее картановскую подгруппу. Геометрически это соответствует расслоению орбиты {а,公,加} на многообразия, транзитивные относительно соответствующей картановской подгруппы Ли. Квазиэнергетические состояния I nh mr, pr, vs, es,方〉 реализуют это разложение на неприводимые представления картановской подгруппы А(к,『). Состояние | 勺,тг, рг, %, “,力〉 преобразуется по одномерному неприводимому представлению картановской подгруппы А(к, I), отвечающему характеру %(〃"") = ехр,[多孔也 + + 2jvsAs + ^(mrhr+K + pr /ir+K+i)]} • Таким образом, в случае, когда матрица А (Т) не имеет присоединенных векторов, в §§ 4—6 получено явное выражение для спектра квазиэнергий (6.21) нестационарной квадратичной системы и найдено выражение для соответствующих квазиэнергетических состояний (6.21) в теоретико-групповых терминах. Более сложен случай
«резонансов», когда матрица Л (Т) имеет кратные корни и отвечающие им присоединенные векторы. В этом случае возникает задача о разложении на неприводимые представления сужения представления Sp (2N, R)/\H (N) на некоторую разрешимую подгруппу.
Заряженная части г а в периодическ ом поле
Полученные выше результаты могут быть проиллюстрированы на примере движения заряженной частицы в периодических во времени электрическом и магнитном полях. Гамильтониан системы в этом случае имеет следующий вид (см. § 6 гл. II): 况⑴=_ 4■(告 十金)+ к "+
+ ^ (^2 + У2) - IEX (Z) x+Eu (Z) у].(8.1)
Электрическое и магнитное поля выбраны для простоты ортогональными друг другу и равны
e (方)={Ех ⑺，еу (方)，0}; h ⑴={0, 0,(о (方)}.(8.2)
В (8.2) использована система единиц, в которой е/2М = 1 小 следовательно, Я2 (力)= со ⑺.
Потенциалы электрического и магнитного полей выбраны в виде
中(方)=一E (方).>; a (方)=V2 [h (方)х r].(8.3)
Движение по оси z свободное.
Положим, что электрическое времени с периодом Т:Положим, что электрическое времени с периодом Т:Гамильтониану (8.1) отвечает гамильтониан вида (2.1) с матрицей b (方)：
Положим, что электрическое времени с периодом Т:
Положим, что электрическое времени с периодом Т:
5(0 =
1
1
0
0 со/2
0
1
—со/2 0
0
—со/2 со2/4 0
со/2 0 0
d/4
，(8.4)
и вектором С (力)：
(8.5)
и магнитное поля периодичны во
Е (力 + Т) = Е ⑶；Н (t + Т) = Н (力).(8.6)
Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле отсутствует, т. е.屮三 0 н Е 三 0. Как показано в [69], случай, когда электричек ское поле не равно нулю, сводится к задаче с 屮=0, при этом состояния с 屮六 0 могут быть получены действием унитарного оператора на состояния с 屮 = 0. Интегралы движения в переменных 备 G* и 厶 отвечающие преобразованному гамильтониану,
имеют вид （см. § 6 гл. III）
4传）=吉卜白+ %提）；硝力=吉他* 一喂）；
白=一方（2 +2exp子\ co⑴dt；（8.7）
/ =金0吨* 粉；镇=方（一 "一£*提），
где функции е （力）являются решениями уравнения для классического осциллятора
8 + U）2£/4 = 0.（8.8）
Решения классического уравнения （8.8） разбиваются на два типа: устойчивые и неустойчивые решения. Согласно теореме Фло- ке устойчивые решения имеют вид
& （力十 Т） = & （力）е^т. £*«+?）= £*（力 屮， （8.9） где х ——действительное число, а | £ （力）| — функция, периодическая во времени, т. е. | £ （力+ Т） | = | £ （力）|. Комплексное решение е （力）уравнения （8.8） может быть представлено в форме £ （力）~ =I 8（Z） |exp（/J| е「2 dt） в области устойчивости, т. е. 乂= Т—j е |-2 dt.
оо
Используя （8.9） в качестве е （力）в интегралах движения （8.7）, получим соотношения коммутации для А и В:
М, в] = [Г, в] = ы, в" = [*, в" = о；
[Л, Г] = [В, в" = 1.
Последние два соотношения следуют из условия е*ё — ©*е = =2〃 Из （8.7） с учетом （8.9） следует, что операторы А и В связаны соотношениями в моменты 0 и Т следующего вида:
A （t + Т）= ^А （力；6 «十 Т） = ^В ⑺，（8.10）
где
&![修十1*"p；凡=*£（一搭十由）北（8/1） оо
Построим когерентные состояния | а, р,力〉,являющиеся собственными для операторов /"и 月：
4 （力 I а, Р，О = « I «, Р，О；也⑵
В «） I а, р, О = Р I «, Р, О-
Явный вид I а, р, Z） дается формулой （6.7） гл. II, где необходимо положить 白о = 0. Когерентные состояния | а, р,力〉，как показано
160
выше (см. (4.13)), являются производящими функциями для квазистационарных состояний. Используя (4.15), (4.18) и (8.10), (8.11), получим выражение для дискретного спектра квазиэнергий
^П1П2 ~ (孔1 + %) 乂且十(孔2 + %) *В,(8.13)
где /г。п2 — целые неотрицательные числа. Явный вид волновой функции состояния с квазиэнергией еП1П2 приведен в гл. II (формула (6.8)),
Рассмотрим теперь случай неустойчивых решений (8.8). По теореме Флоке существуют два действительных линейно независимых решения % (力)и е2 (力)уравнения ё + we/4 = 0:
% (力 + Т) = % (力)е%;玩(力 Т- Т) = % (力)efT, (8.14)
причем &声2 — £搗=2,炉〉0. Подстановка % и е2 вместо е и е*, соответственно, в интегралы движения (8.7) определяет новые интегралы движения Л1? А2, 8。В^ Вследствие действительности %, ^ = 1, 2, оказывается, что
4 = iB^ ［4,浦］=о,友=1, 2.(8.15)
Построим состояния I а,力〉,являющиеся собственными для одновременно коммутирующих неэрмитовых операторов А± и 浦:
Лх I а, О = а I а,力〉； А^ | а,力〉=а* | а,力〉，
и удовлетворяющие уравнению Шредингера с гамильтонианом (8.1). Волновые функции состояний | а,力〉имеют вид
1a"〉=臺_ехр ［噜®2 ——^旧十吸)—w卩言］,(8.16)
где а =仪1 十 /а2 — комплексное число. Состояния | а,力〉нормированы согласно условию〈о/,力 | а,力〉= 5 (а； — а) 6 (吗 一 а2). Используя (8.15) и (8.16), получим для | а,力〉связь между состояниями в моменты времени 0 и 7:
где £『l — функция Лагерра [88]. Спектр квазиэнергий, отвечающий этим состояниям, является смешанным и имеет вид
&пр =务'，w (т) dx 一卜 рк,(8.18)
о
где х = ~ ^ (е声2尸"击；т — целое положительное число,
о
а р — действительное квантовое число, являющееся собственным значением очевидного интеграла движения, а именно оператора проектирования момента на ось я.
Рассмотрим теперь случай ненулевого электрического поля 屮 # 0. В работе [69] найден унитарный оператор 力，переводящий состояния I 孔，力о (屮=0) в состояния с нулевым электрическим полем I п,力〉е (см. § 6 гл. II):
D = ехр [— "g管 + g*6)) + » \ 岁 Co I2 — I to I2) dt}xp (第 ^ + Co 巒)> о
(8.19)
где Co — решение уравнения Co + (з?/4) Со = 歹(力， 歹(力)= = — —=■ (Ех + ZEJ ехр (% \ 多 dt) — комплексная сила. Таким образом,
I 匕力〉е = D \ п, Оо- (8.20)
Явный вид волновых функций КЭС в случае ненулевого электрического поля дается формулой (6.8) гл. III, используя которую находим дискретный спектр квазиэнергий, отвечающий этим состояниям:
£ =(孔 1 + %) 乂& + (孔2 + V2)>B + Go,
ё。=用(一界。『十图2)肌■ (8,21)
Используя волновые функции в области неустойчивости (8.17) и применяя к ним оператор D (8.19) согласно (8.20), находим ненормированные волновые функции с заданной квазиэнергией с учетом ненулевого электрического поля в виде
I Р, m, 0 =(五户2广(5£1 产"("*)2 僧饱尸产2 (^d^「m/2 x
X exp I i EjEx11 C + Co |a ― (CtT + C*；o) + § 得■ K。产一I ；。F)氏]}义
X少4但/产),(8.22)
где р = % (ip + I пг I — 1); L^^ Q) — функция Лагерра. Этим состояниям отвечает спектр квазиэнергий вида
£ — ~уГ \ "2~ @т + Р乂 + 6о,(8.23)
о
где е0 = -1- ^ (|to|2 — ^|So |2)^； 乂 =亲、伯网厂％* р — веще- 0о
ственное, а т — целое число. Из (8.22) и (8.23) следует, что наличие электрического поля приводит только к его сдвигу на величину 80, что находится в соответствии с найденным ранее выражением для спектра КЭ.
Глава VI
Излучение квадратичных систем
§ 1. Излучение нестационарной системы
Рассмотрим систему, гамильтониан которой 宛о（力）явно зависит от времени. Оператор эволюции Uo （Z2,力J гамильтониана 宛о （力）удовлетворяет уравнению （方=с = 1）
i更需® = *。（厶）0。色，幻（1-1）
и условию U（）（力i,力i） = /. Оператор эволюции UQ（t^ 力J （временная функция Грина） является унитарным оператором и удовлетворяет соотношению
U（）（九力 2） U（J（方 2, 力 3） = Uo（方 1，方 3）"（1*2）
Интегралы движения /（土）, отвечающие гамильтониану 宛。（土）, являются решением уравнения
x粤=［能，/（切；/⑴『。=/（0）.（1.3）
В качестве I （0） выбираем, как и ранее （см. § 2 гл. III）, координаты q и импульсы р системы. Из （1.2） и （1.3） следует, что имеет место соотношение
/ （力2）U（）（方2，幻 - /（方2，幻/.（方 J（1.4）
Будем рассматривать системы, которые были стационарными в далеком прошлом и станут стационарными в далеком будущем. Гамильтониан 笫£力）определяет два стационарных гамильтониана: 能m = lim 能о （力）,описывающий начальные состояния системы, и 咏г = lim 能о （力）一конечные состояния. Стационарные состояния, отвечающие этим гамильтонианам, обозначим |Е, in） и |Е, f〉：
^in|en, in> = en |en, in>; ^t\Em, f） = Em\Em, f>. （1.5）
Интегралы движения, отвечающие этим гамильтонианам, будем обозначать /1П и /' соответственно. Амплитуды перехода между начальными и конечными стационарными состояниями вычисля-
ются с помощью временной функции Грина
7И(°)= Jim〈％, f| 九他，幻 I &n, in>.(1.6)
В случае системы с квадратичным нестационарным гамильтонианом амплитуды перехода между фоковскими состояниями были вычислены в гл. III.
Рассмотрим переходы в нестационарной системе с излучением одного фотона. Полный гамильтониан системы в первом порядке по электромагнитному взаимодействию содержит три члена:
况=况0 + 况 int + 况F,(1.7)
где 就mt = jA (4 ——векторный потенциал поля излучения, J — вектор тока); 雍f — гамильтониан свободного поля фотонов. Векторный потенциал запишем, как обычно [360], в представлении Шредингера через операторы рождения сМ。и уничтожения с^о фотонов с волновым вектором *, частотой со и вектором поляризации еЛо в виде
…萼订"ftoехр (泳>)+ %。《° exp (— ikr)]謠=,(1.8)
причем вьдвь^о* == ^go*, ©к% —^ 0 (o = 1, 2).
Операторы рождения и уничтожения фотонов подчиняются бозонным коммутационным соотношениям
1%，嚎七'1 〔4,九,]=0；[%,或р，1 = ^GO' ^kkr'
Будем рассматривать системы, у которых ток j допускает линейное разложение по интегралам движения в виде
d =』[我)(力)我)⑴+*)(力)1伊(切，(1.9)
где
Укажем, что системы с квадратичным по координатам и импульсам гамильтонианом допускают представление J в виде (1.9) [206]. В §§ 2—5 этой главы будут рассмотрены конкретные примеры таких систем.
Построим из интегралов движения /尹 и /尹 операторы рождения и уничтожения:
際];&[江尹 + 成匕(1.n)
удовлетворяющие стандартным бозонным перестановочным соотношениям.
Ток j можно выразить через /% и /{ в виде
j = ^КА^ j^(1.12)
где
人=2叫一“？ + 冷；J* = 2沙口及 + 42)]. (1.13)
В первом порядке теории возмущений функцию Грина гамильтониана 咏 можно, как известно (см. [99], стр. 142, (6.17)), представить в виде
〃⑴ «2, %) = 〃О «2,片)〃F (7,右)一
力2
-i^drU0 ⑸，т) Up (Z2, T)能mt (r) / (r,片)Uv (r,⑴，(1.14) где / — оператор эволюции, отвечающий гамильтониану свободного поля фотонов 况р, а 咏mt (t) = jA.
Амплитуда перехода в первом порядке по электромагнитному взаимодействию j А, описывающая процессы излучения и поглощения фотона при переходах между стационарными состояниями, дается выражением
Л/■⑴=〈％, f;加丫 I U(D «2，幻 I en, in; nv>, (1.15) где nv и m? — числа фотонов в начальном и конечном состоянии соответственно. Подставляя в (1.15) функцию Грина U。)(1.14) и используя соотношение (1.4), находим в дипольном приближении при ，nv
m⑴=<％, i\mv\U ⑸，*)2j [厶(s)%。4% 依)+
+ 慮(3)"c4 (幻]回，①，％〉， (1.16) где
%(3)= \L%%(T)dT.(1.17)
Выбирая теперь для интегралов движения А «) в качестве начальных условий /т (£) и устремляя 灰 и G к бесконечности, получаем
m⑴=2 M像，2[5'1或崎(%我(砌)+ 6 (缎户九〉(%人®))], n'X
(1.18) где амплитуда перехода М^ в нестационарной системе без излучения фотона равна
м^ = lim〈Em, f|〃o«2,厶)|鼠，，in〉.(1.19)
(8—>00,
Матричные элементы 〈孔，| / f | 孔〉берутся по начальным состояниям
{п I Лх11 zi> = <enS in I A^ | en, in>.(1-20)
Из (1.16) следует, что зависимость матричного элемента М^ от частоты содержится только в фурье-компонентах тока j% (t) вида +ес
九(з) = S e-吗入⑴阮(1.21)
Наряду с переходами между стационарными состояниями можно рассматривать переходы с излучением (поглощением) фотона между когерентными состояниями системы.
Амплитуда перехода между когерентными состояниями с излучением фотона дается формулой
力脸=<₽, f； mv I。⑴值，幻I %也，九0，(1.22)
где I a) — нормированный собственный вектор операторов 仪入: %|а〉=%|а〉， ax = 2~'h (ipK + g^).(1.23)
Подставляя в (1.22) явное выражение для функции Грина (1.14), находим формулу, аналогичную (1.18):
A/盅=,da?［〈叫砍(川 a> eg% ®)+
十g(戏)*(幻I a〉% %®"唯,,十g(戏)*(幻I a〉% %®"唯,,(1.24)(1.24)
十g(戏)*(幻I a〉% %®"唯,,
十g(戏)*(幻I a〉% %®"唯,,
(1.24)
(1.24)
где da = U； d (Re aj d (Im %). Переходя к пределу в (1.24) при Z2 -> оо и ^ -> — оо с учетом〈а，| Л х (幻 | а〉= 額入〈砌 а〉 (см. (1.10) и (1.23)), находим выражение для амплитуды перехода с излучением (поглощением) фотона через амплитуду перехода без излучения (поглощения):
м^ = £ ［气％ (со)气儿/紀—ekajK (со)謚 ехр (Ц1_) М悶，(1.25)
где
(1.26)(1.26)加攤=<₽, f I U0(t2,幻 I a, in>.
(1.26)
(1.26)
Излучение заряженной частицы в стационарных скрещенных полях
В этом параграфе рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего общую схему, изложенную в § 1, задачу о движении и излучении заряда, находящегося в постоянном однородном магнитном поле и постоянном неоднородном электрическом поле, потенциал которого является квадратичной формой координат.
Поля подобного рода создаются в различных приборах, таких например, как магнетрон [208, 209] и строфотрон [210, 211]. Движение и излучение заряда в подобных полях рассматривалось в работах [212 — 217], где было показано при некоторых предположениях, что система на одной из частот вынужденно излучает. Различные методы расчета излучения электрона, движущегося в постоянном магнитном поле и неоднородном электрическом поле с потенциалом 屮 вида
e(p =号(Q&2 + Q婚)一号(瓚 + %)z2,
были предложены в работах [216, 217].
Рассмотрим, следуя [217], движение электрона в скрещенных полях: однородном постоянном магнитном поле Н, направленном по оси 羽 векторный потенциал которого в калибровке Ландау имеет вид
4 = (0, Нм, 0), Н = const,
и неоднородном электрическом поле Е, потенциал которого равен ср. Гамильтониан электрона в этих полях записывается как
咏="^7 —• е(р =名"伍 + ‘4)2 _ е(р 三舒丄 + 咏(2.1) где 咏丄—квадратичный гамильтониан вида
舞丄=亲 + 盜 + Q”Pv + g (Q2 - Ql)"-子磁2， Q = ^ ； 2(2.2)
%z =强 + 胃 嗓 2，®3 = M 冢F您(2.3)
Считаем, что Q > Q】+ ◎?； ПРИ этом движение будет устойчивым.
Гамильтонианы 充丄 и 佻工 коммутируют между собой и зависят от разных переменных; следовательно, волновую функцию гамильтониана № можно представить в виде произведения волновых функций 4r Q, у) и 屮(z);段z — гамильтониан обычного линейного осциллятора, волновые функции которого хорошо известны [53]. Поэтому далее рассматривается лишь гамильтониан 舞丄.
Введем бозонные операторы рождения и уничтожения:
аг = ]fm J/Q2 — q,2 富 + (i /，27n Y^ — ^i) Px；
& = U т%/2 У + (r/^mQa) Pg；(2・4)
[仪力仪上1 = [a，，〃f] = 0；[仪力 ^fc] — 5/, j, fc — 1, 2.
Найдем два неэрмитовых интеграла движения Aj, j =1,2, которые удовлетворяют условиям
»号=幽丄，4]；(2.5)
[/力 /f] — 5加 [Aj, A^] = 0.(2.6)
Для этого, следуя работам [218, 220, 221, 376], диагонализуем гамильтониан 寿」с помощью линейного канонического преобразования над операторами 仪力 а，, принадлежащего группе Sp (4, 7?) [217]:
ии-Д11221,*22-Д11221,*22〃:〃:&12* W11"22W21&12* W11"22W21(2.7)(2.7)
и
и
-Д1
12
21
,*
22
-Д1
12
21
,*
22
〃:
〃:
&12
* W11
"22
W21
&12
* W11
"22
W21
(2.7)
(2.7)
где
“и =“и =g + U d — ◎；g + U d — ◎；2（Q2一跳产%（吟一若），2（Q2一跳产%（吟一若），"12 -2（0-僦产^（用一畸，"12 -2（0-僦产^（用一畸，〃13 =〃13 =-g —。2 /2-g —。2 /25QQ2 .5QQ2 .з；—呜з；—呜〃14 = 一〃14 = 一i (i)i + Q2 /" SjQQai (i)i + Q2 /" SjQQa2 со】2 со】3；—若，3；—若，U21 =U21 =w2 — MQ2 — Q；w2 — MQ2 — Q；QQ2（Q2 -Q；产 |/加（3； 一确‘32 + 了0-Q；2（Q2 -Q；产 |/加（3； 一确‘32 + 了0-Q；〃22〃22(2.8)(2.8)2(0一@产 |/е2(m2-m2))2(0一@产 |/е2(m2-m2))
“и =
“и =
g + U d — ◎；
g + U d — ◎；
2（Q2一跳产%（吟一若），
2（Q2一跳产%（吟一若），
"12 -2（0-僦产^（用一畸，
"12 -2（0-僦产^（用一畸，
〃13 =
〃13 =
-g —。2 /
2
-g —。2 /
2
5QQ2 .
5QQ2 .
з；—呜
з；—呜
〃14 = 一
〃14 = 一
i (i)i + Q2 /" SjQQa
i (i)i + Q2 /" SjQQa
2 со】
2 со】
3；—若，
3；—若，
U21 =
U21 =
w2 — MQ2 — Q；
w2 — MQ2 — Q；
Q
Q
2（Q2 -Q；产 |/加（3； 一确‘
32 + 了0-Q；
2（Q2 -Q；产 |/加（3； 一确‘
32 + 了0-Q；
〃22
〃22
(2.8)
(2.8)
2(0一@产 |/е2(m2-m2))
2(0一@产 |/е2(m2-m2))
Z (i)2 — °2Z (i)2 — °22 co22 co2/]=自科必叱 /2 =自20-必叱/]=自科必叱 /2 =自20-必叱(2.10)(2.10)
Z (i)2 — °2
Z (i)2 — °2
2 co2
2 co2
/]=自科必叱 /2 =自20-必叱
/]=自科必叱 /2 =自20-必叱
(2.10)
(2.10)
"23 ="23 =Z (1)2 + e2 /£2QQ2 .一
"23 =
"23 =
2 w2 J/ 吒一呜，"24
® = 4" "Q2 -75 — Q"2 + V^ - (Qi + Q2)2)；
32 = 4" (5 — 网 — 5)2 — ]/Q2 _ (Qi 十出)2).
Здесь и в дальнейшем используются обозначения
со；十 а；со^ + Q；
Е = ~； а = ——；
2Q U QiQ? *(31 — ^2)(Qi —盘2)
%(W1 + 32)(盘1 十盘2)' E‘ ®1 + %) (Ql + Q*2)
причем при & = Q2 имеем 5 =加=% = 1, e《=0. Искомые инварианты записываются как
а гамильтониан (2.2) приводится к виду
(2.11)169(2.11)169宠丄=31(/『』1 + %) ：~ 32(/孤2 + %)，
(2.11)
169
(2.11)
169
(2.12)(2.12)т. е. энергия электрона принимает значения
(2.12)
(2.12)
Ех.щпг — 31 (% + %) — 32(孔2 + %)，
где 孔1,孔2 = 0, 1, 2, 3,...
Состояние «вакуума» | 0, 0) гамильтониана 况丄 определяется как
& I 0, 0〉= 4 I 0, 0> = 0.(2.13)
Система (2.13) совместна, ее нормированное решение имеет вид |0, 0〉=
=Nехр {一 4 h(®1-m2)<+m 貯豈他曰 5"2 + i含先£叫卜
(2.14)
me% =
Когерентные состояния | an а2 > = | а；, £〉 можно получить из состояния «вакуума» | 0, 0) при помощи унитарных операторов Вейля [222]
Dj (а；) = ехр (а弘？一吗*从)=ехр(а)Н —碘》；不
|а1а2> =Z)1(a1)Z)2(a2) |0,0>:*」"
здесь а；, 鴻 一 постоянные комплексные числа, а 出 =а； ехр (— tco^), а2 = а； ехр (f(o2C- Когерентные состояния а?, а；〉一 собственные функции линейных инвариантов Л；:
4 I а；, а(2> = а； | а；, а®>, j = 1, 2,(2.16)
и удовлетворяют уравнению Шредингера. Приведем выражение для когерентного состояния:
I И1, а2> = ехр {g- [| aj I2 + I а212 + е4 (а；—喲 + 2E3aia2]—
Г«I + ^2 ^1 + ^2 L \了£1 十
+Ш2?/(/^а1 -/^а2)]}|0, 0>.(2.17)
Когерентные состояния являются производящими для стационарных состояний I к】, к?〉：
|ai, a2> = ехр ^- (I И112 + | a212) j 工 詰侖_ | %,九?〉，(2.18)
内宀=0 ? 1 "2，
где I Пц 孔2〉—собственные состояния инвариантов А^А；:
A^Aj I nj, n2> = n； I zi15 n2}, j = 1, 2,(2.19)
удовлетворяющие уравнению Шредингера и условию ортонорми- рованности <тп 皿纟 | %, n2> = 6nina6mim2. Дифференцируя (2.17) по aj, а2, получаем выражение для | ^, п2>:
I ① 几2〉=(円！ ^!)-1/2 I 0, 0)(n1,小)；(2.20)
здесь Нщ щ (ili，Th) — полином Эрмита от двух переменных [88, 223]:
_/2加誓^2^^("М“)，(221)
Возможность диагонализации гамильтониана 舞丄(см. (2.2)) каноническим преобразованием (2.7), принадлежащим группе Sp (4,7?), тесно связана с группой динамической симметрии гамильтониана 咏丄.Явное выражение для 欢丄(2.11) позволяет легко сконструировать группу динамической симметрии, являющуюся полупрямым произведением симплектической группы Sp (4, Е) на группу Гейзенберга Н (2). Эта группа как группа динамической симметрии JV-мерного осциллятора и ее представления рассмотрена в работах [110, 201]. Генераторы группы Sp (4, R) Д Д Н (2) легко могут быть записаны через операторы "力 占，в виде линейных и квадратичных выражений (см. [207, 217]). Стационарные состояния возникают при диагонализации операторов, принадлежащих компактной подалгебре, а когерентные — при диагонализации операторов, построенных из генераторов нормального делителя. Функция Грина системы является матричным элементом оператора этой динамической группы (см. [217]). Гамильтониан взаимодействия электрона с фотоном также принадлежит как в дипольном приближении, так и в общем случае динамической группе, что позволяет легко найти его матричные элементы в различных базисах в стационарных и когерентных состояниях.
Рассмотрим теперь однофотонные переходы в этой системе.
Гамильтониан взаимодействия с полем фотонов записывается в виде
= -^-(А2л),(2.22)
где А2 — векторный потенциал поля излучения, который в шре- дингеровском представлении имеет вид
4 = £ /詮5"散。["。exp (ikKr) + c£ exp (— ikKr)]； (2.23) здесь ©ха, 6入2 — единичные векторы поляризации, а с^ и с^ — операторы, подчиняющиеся бозонным коммутационным соотношениям. Оператор ^int допускает представление вида (1.7) с током j вида (1.12).
Рассмотрим сначала в дипольном приближении индуцированное излучение электрона при переходе из когерентного состояния I ai, а2» &3〉三 I %, а2> | а3>, где | а3> — когерентное состояние, отвечающее осцилляторному гамильтониану 况 %, а а3 = =а； ехр (—»а)з9, а； = const, в состояние | 伝，р2» Рз〉・
Пусть начальное состояние электрона описывается матрицей плотности pin, которая в P-представлении Глаубера [94] имеет вид
з
pin и J Pin («1, «2, «3)I «1, а2, «3> <«1, «2, а31 п &%力(2.24)
а конечное состояние описывается матрицей плотности pf, отвечающей другой P-функции — Pf.
В случае неполяризованной падающей волны для вероятности вынужденного перехода с излучением фотона частоты(о2 в интервале углов do получим 1217]
峥=.2嘗吗[("十 Q：)(1 一般)+ (3: + 货)(1 -喲]X
仪。 m(t)2 (Wj — 30
3
X，Pn(ai, a2, a3) Pf(₽i, ₽2, Вз) I <₽i, %, Вз I "： I S, a2, a3> |2 П ©%; ©隼力 7=1
(2.25) где n — единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора, а V (со2) — интенсивность падающего излучения на частоте(о2-
Индуцированное поглощение на частоте (о2 дается формулой (2.25) с заменой g на ^2-
Окончательно суммарная мощность индуцированного излучения на частоте (о2 равна
字=W学明[解+总)a -喲+解+ Q；) (1 -喻r X
ao m (co；—唠
X，Pin (ai, a2, a3)Pf (₽i, ₽2, ₽3) (I Bz |2 — | «212) X
33
X exp(-m旧-0捫u"初"孤(2.26)
Отметим, что на частотах 仰 и (о2 происходит суммарное поглощение. Для частоты 例，например, имеем
等=£：轡)[(若 + Q:) a - %)2 + (说 + Q:) (1 -嗚)]X
X § Pn (ai, a2, a3) Pr(0“ p2, Рз) (I «i I2 — I ₽i I2) X
33
X exp (- УI a；- ₽； I2) П d^i d^y(2.27)
J=1j=]
Спонтанное излучение на частоте(о2 дается формулой (2.25) с заменой множителя U (ш2), описывающего падающее излучение, на з*(2л)з.
Общая формула (2.25) позволяет легко вычислить вероятность индуцированного излучения в том случае, когда начальное I 孔 1,孔2，孔3〉и конечное | т* тп2, m3〉 состояния системы стационарные. Подставляя в (2.27) выражения Pin и 尸匕 соответствующие стационарным состояниям, находим
—?(吗 [(3； + ^2)(1 — Wx) + (3； + Q；) (I — Пу)] X
a0 m0)2(吒一%)
X (孔2 + 1) бтп1, П1бт2, п2+1^тпз, п8"(2.28)
Для вычисления спонтанного излучения электрона при переходах между стационарными состояниями в общем случае, когда экспоненциальным множителем в выражении для оператора взаимодействия пренебрегать нельзя, представим этот множитель как произведение вейлевских операторов сдвига О/ (2.15). Производя несложные алгебраические действия и используя формулы (2.4) и преобразование, обратное к (2.7), находим тождественно
з
ехp (-力乃入尸)=П^(А})； "з 三。3,(2.29)
/=1
где。式厶丁)задаются (2.15), а параметры А； равны
(j = 1, 2)；(j = 1, 2)；(2.30)(2.30)»к — 2 勺 * 一%
(j = 1, 2)；
(j = 1, 2)；
(2.30)
(2.30)
M2m VQ2 _ fi2h 佯泅2
A3 = - г .了2现0)3
Матричный элемент перехода М^ описывающий излучение из начального состояния | п^ п2,孔3〉(фотонов нет) в конечное состояние I ти т2, m3〉(один фотон с частотой з解 импульсом «入 и вектором поляризации 6入),дается формулой
Mj =〈恤，皿2, т§ I (ёД； + &扌&) exp { — ik^r) | %, n2, "3〉，
]=1,2,3,(2.31)
где
33一月1 /?-T^(m近 + 焉""-» $碣 +0"1；(2.32)
3
3
И 2喈一呜
ё3 = 一，|/ -2- 33 cxiz.
Учитывая действие бозонных операторов на стационарные волновые функции, а также используя тождество (2.29) и известную формулу для матричных элементов оператора D, имеем окончательно
此=® /^ + i Hi + где
卩士 .(一 ])⑵±心土山e(信后骂)weхр (一 } A产)X
X A1母"?声閭严士蜀丄卽/乳14卩)；(2.33)
% = П (- 1)д%м [("衆/ ехр (― } A |2)IA 尸丛卡 X
X (A：)f ”年％D/2 (I Ai I2), pi = g + 預，gt =恤一％, (2.34) a Lp — полиномы Лагерра; в произведении П штрих означает, что множитель с » = j должен быть опущен.
Вероятность спонтанного перехода в единицу времени с излучением фотона с импульсом к^ частотой з% и поляризацией е入 в интервале углов 〃о дается формулой
吟=為田叫
где ©х = 5i — mQsi — (n2 —皿2)©2 + 5з — тз)®з・
Когерентные состояния заряженной частицы
лях волноводного типа
Рассмотрим частицу с зарядом е и массой т, движущуюся внутри волновода или резонатора, в котором возбуждены собственные электромагнитные колебания. Считаем, что волновод (или резонатор) помещен во внешние стационарные поля.
Поведение нерелятивистского заряда е в полях с векторным потенциалом 4 и скалярным потенциалом ф описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом
%=崇(0 -3"绅，(3.1)
где р = —-i д/дт — оператор импульса частицы. Здесь и далее мы используем систему единиц, в которой с = 方 = 1.
Векторный потенциал
4 (г, t) = 40 (г) + 41 (г,力)(3.2)
описывает поле, являющееся суперпозицией стационарного внеш- 174
него поля с ьекториым потенциалом . 0 и псля электромагни!ной волны, распространяющейся в волной оде (или резонаторе), с векторным потенциалом 4式宀 力.
Предполагается, что внутри волноводов и резонаторов —一 вакуум, а распространение волн не сопровождается затуханием.
При рассмотрении цилиндрических волноводов за ось z принимается направление образующей волновода. В комплексной форме записи фаза электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z, определяется множителем exp [I (з£ — A^z)]三 ехр (/т), где 乃=(0, 0,.先)一волновой вектор, а з = | 乃 | — частота волны. Существуют некоторые минимальные значения частот Зяйп распространяющихся волн [224, 225].
В дальнейшем будем предполагать, что возбуждается колебание какой-либо одной моды. Такое предположение является вполне допустимым (см. [211]).
Так как комплексная напряженность электрического поля волны в волноводе или резонаторе экспоненциально зависит от времени:
Е(>") = Eq (г) eit0/, (3.3)
то из уравнений Максвелла следует, что, выбирая для векторного потенциала 4> соответствующего этой напряженности, кулоновскую калибровку div 4式％ 方)—0, получим
4 (m)= Re [与 e "")]• (3.4)
Скалярный потенциал при этом равен нулю.
Волны в волноводах и резонаторах, как известно, бывают волнами электрического типа (в поле этих волн отсутствует компонента магнитного поля по оси z) и волнами магнитного типа.
Если частота изменения Аг достаточно велика, то заряд движется по плавной траектории, заданной эффективными статическими полями, с небольшими осцилляциями около нее, вызываемыми высокочастотным полем волны. Тогда полезно воспользоваться методом усреднения Капицы [226]. При этом можно считать, что заряд движется в постоянных внешних полях и в поле с эффективным потенциалом Ф, который можно получить, усредняя по времени гамильтониан (3.1), описывающий движение заряда:
①=•£•星⑴’ (3.5)
где черта означает усреднение по времени:
尾⑴三击 W；(t)dt, Т = ^・ (3.6) о
Учитывая (3.4), формулу (3.5) можно переписать в виде
4m со2 11 *
что совпадает с выражением для эффективного потенциала, полученным классическим образом [227].
Выбирая в качестве внешнего поля постоянное однородное магнитное поле Н с векторным потенциалом
4 = % 屮 X Н],(3.8)
находим эффективный гамильтониан 况，описывающий движение ведущего центра орбиты заряда, в виде
兆=(0 _ g儿)2/2б + ①.(3.9)
Точки, где напряженность электрического поля Е равна нулю, являются положениями равновесия эффективного гамильтониана. В симметричном резонаторе (волноводе) это обычно центр (ось) симметрии. При рассмотрении ограниченных траекторий вблизи таких положений равновесия можно разложить потенциал Аг (г, t) в ряд вблизи точки равновесия, ограничиваясь при этом только линейными членами. Тогда гамильтониан (3.9) будет квадратичной формой координат и импульсов вида
况в - Q做，(3.10)
где В — шестимерная вещественная симметричная матрица, которую, как и в гл. III, будем записывать в блочном виде: В =|：‘ ?|， причем блок &1 кратен единичной матрице:匕】= ~ Е)2т; Q — шестимерный вектор, построенный из координат 尸 и импульсов 0 н — id/dr по следующему правилу: Q『=卩力 0з+/ = г；, у = 1, 2, 3. Явные выражения матрицы В для цилиндрических волноводов круглого, прямоугольного и эллиптического сечений и некоторых резонаторов приведены в [228] и [207].
Рассмотрению движения заряда в полях волноводного типа с различными гамильтонианами, являющимися частными случаями квадратичного гамильтониана (3.10), посвящена большая литература (см., например, [229—232] и [207], где имеется подробная библиография).
Для того чтобы можно было описывать движение частицы с гамильтонианом (3.10), необходимо, чтобы при правильно заданных начальных условиях вблизи оси волновода или центра резонатора траектория частицы не нашла за пределы областей, где справедлива аппроксимация точного гамильтониана 舒(3.9) квадратичным 徹в (3.10). Таким образом, рассматривая движение заряда в параксиальном приближении, необходимо исследовать устойчивость движения заряда по оси волновода или устойчивость равновесного положения в резонаторе. Будем исследовать устойчивость классической системы, которая соответствует квантовой 176
с гамильтонианом (3.10), не зависящим от времени. При исследовании устойчивости будем использовать критерии устойчивости, полученные в работах [233—236], (см. также монографию [157], где содержится подробная библиография).
Классическая траектория в фазовом пространстве (0, q) находится из гамильтоновой системы уравнений
dQ/dt = 2ZBQ,(3.11)
отвечающей гамильтониану 况(3.10).
Фундаментальной системой решений (3.11) — ее матрициан- том — является матрица
Ат«) = ехр (2W跳).(3.12)
Решение Q (方)системы (3.11), проходящее через начальную точку Qq = (q0, 0q), дается выражением Q ⑴ = Л"1 ⑴&)・ Матрица Л"1, ввиду симметричности В, является симплектической: Л-1 (г) Z Л-1 (г) = Е.
Как известно [157], для того чтобы решение Q (方)三 0 системы (3.11) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы матрица Л-1(1) имела собственные значения 卩储 лежащие на единичной окружности I 卩方 I = 1, и ее можно было привести комплексным симплектическим преобразованием S к диагональному виду Л-1 = SDS^, где О = II М小t II [157]. Тем самым условия устойчивости точки Q = 0 налагают существенные ограничения на вид матрицы В. Однако этих ограничений на матрицу В еще недостаточно для рассмотрения движения в приближении 况石.Квадратичный гамильтониан 况石(3.10), записываемый с помощью матрицы 笈,является некоторой аппроксимацией точного гамильтониана % (3.9). Естественно, что и любой квадратичный гамильтониан 兆в，вида (3.10) с матрицей В\ близкой к матрице 4, очевидно, тоже может рассматриваться как аппроксимация точного гамильтониана 猾 и, следовательно, решение Q 三 0 должно быть устойчивым для всех 月',близких к В. В таком случае будем говорить, что Жв——сильно устойчивый гамильтониан. Таким образом, для рассмотрения движения вблизи положения равновесия необходимо требовать, чтобы 兆в был сильно устойчивым гамильтонианом.
Критерий сильной устойчивости гамильтониана 况в (теорема Крейна — Гельфанда— Лидского (см. [157])) состоит в том, что выполняются условия: все собственные значения 卩丁 матрицы Л (1) имеют вид 卩/ = ехр ｛土 f(o；｝, где з」〉0, 7 = 1, 2,... (среди з/ могут быть равные). Матрица Л (1) имеет шесть различных собственных векторов:
'Ат(1)*)= ^*)； Ат ⑴产⑵=£产就，j = 1,2,3, (3.13)
и, следовательно, приводится к диагональному виду; кроме того сигнатура Крейна
饪=i (w)，工产力)，(3.14)
где W=(—* f) , (/(1), /<2)) — скалярное произведение векторов, одна и та же для любых собственных векторов /(% отвечающих одному и тому же собственному значению.
Как показано в [157], векторы /行)，отвечающие различным собственным значениям, ортогональны:
i(/5,工产的)=0, 后市九(3.15)
и могут быть нормированы условием
f (/⑴，工尸力)=± 1.(3.16)
Рассмотрим теперь, следуя [228, 207], лишь случай устойчивого движения заряда. Тогда матрица А-1(1) имеет шесть корней вида £±出$(33〉0, /= 1,…3), три линейно независимых собственных вектора /0), которые являются собственными и для матрицы 252:
282川)=必护力；AT(1)/S = 卅予力，(3.17)
и три линейно независимых собственных векторов /(з+力=/*(3).
Считаем, что собственные векторы /(力 нормированы следующим образом:
(W),5少))=3 j 市 A； (W), 0户力)=土1，02=◎-
(3.18)
Введем, используя сигнатуру oj, векторы F^ и 歹*0)=歹侣+力. Пусть
I если 0；
-[产"，ес又и * V),
где o(j)= (/(力，厶/“⑺)，и частоты й； равны
Q； = 3)sign о") = 3/ sign (/0),。步⑴).(3.20)
Запишем соотношение (3.17) в матричной форме в обозначениях (3.19):
2F(j2B = QF,(3.21)
или
ехр {2tB^}F —戶 ехр {%£"},(3.22)
гдегде(3.23)(3.23)(3.24)(3.24)
где
где
(3.23)
(3.23)
(3.24)
(3.24)
Построим шесть неэрмитовых операторов — интегралов движения Aj (^, /，(方) 一 для системы с гамильтонианом (3.10):
■i 岁U【4(t),的=0,(3.25)
удовлетворяющих бозонным перестановочным соотношениям [/力 /好=5%；[Aj, Ak] = 0.
Можно проверить, используя (3.12), (3.17) и (3.21), что интегралы имеют вид
//) = /°з£,(3.26)
где операторы |； равны
X).(3.28)X).(3.28)%=2%=2Интегралы движения (3.26) диагонализируют гамильтониан (3.10):
X).(3.28)
X).(3.28)
%=2
%=2
Qj(4 4 + А
Аналогичная диагонализация гамильтониана с помощью интегралов движения была применена для расчета излучения заряда в скрещенных полях [217]. Вопросам диагонализации квадратичных гамильтонианов посвящены работы [219—221] (см. также [218]).
Когерентные состояния строим как собственные функции операторов А ；(^):
//(方)I а;力=а/ I а; О,(3.29)
или 己j I а; О = а/(±) I а; О, а；(^)三出广吗]
Рассмотрим теперь фоковские состояния | 九〉,являющиеся собственными для операторов
A^Aj J n> = n； I п>.(3.30)
Фоковские состояния | п) образуют полную ортогональную систему 5t I巧〉—5仃.
Когерентные состояния | а;力〉могут быть использованы как производящие функции для фоковских состояний I п):
|a；O = exp(-M)V(3.31)
\У 孔廿 п2! п3!
Из (3.30) следует, что фоковские состояния | и) являются стационарными состояниями гамильтониана (3.28) и спектр энергий имеет вид
Еп = %51 + %) + й2(п2 + %) + Сз5з + %)•(3.32)
Из выражения (3.32) видно, что если имеются Q； V 0, то при устойчивом движении мы получаем неограниченный снизу спектр. Системы с таким спектром рассматривались в работах [212—217J.
Явный вид когерентных и стационарных волновых функций приведен в [190J.
Излучение заряда в полях волноводного типа
В настоящем параграфе рассмотрим, следуя [230, 2071, излучение заряженной частицы в волноводе или резонаторе [211J, помещенном во внешнее стационарное поле.
Если частота волны, распространяющейся в волноводе, достаточно велика, то приближенно можно описать поведение заряда в волноводе или резонаторе квадратичным стационарным гамильтонианом с эффективным потенциалом Ф. Оказывается [228], что имеется класс систем, в которых существует эффект вынужденного излучения на одной из частот. Впервые подобное усиление внешней падающей волны при движении электрона в стационарных скрещенных полях было рассчитано в работе [212J. Эффект вынужденного излучения стационарными квантовыми системами рассматривался также в работах [213 — 217]. Отметим, что классические стационарные системы волноводного типа рассматривались в [237J. Спектр излучения систем с эквидистантным энергетическим спектром рассматривался в [238J.
Рассмотрим излучение системы с гамильтонианом (3.10). Гамильтониан взаимодействия системы с полем излучения в первом порядке по заряду получается, как обычно, из (3.10) путем замены в (3.10) 0 на р ——6厶2，「Де 厶2 ——векторный потенциал поля излучения вида (1.8). В дипольном приближении 况mt запишем в виде
况mt = -е^ВА-^ 4В。)，(4.1)
где шестимерный вектор А выражается через векторный потенциал поля излучения 4纟 как А = (Л2Х, Л2г, 0, 0, 0).
Следуя общей схеме § 1, запишем гамильтониан взаимодействия системы (4.1) с полем излучения в дипольном приближении через интегралы движения А^ ⑺ и /，(力)в виде (1.7):
况mt = А 小(4.2)
Ток / имеет вид (1.12), т. е. выражается через А (方)и 4才(力)：
J= - e/Q,叫'4(f)-战iQsJ%'箇优)，(4.3)
где матрицы 储 и Qe даются формулами (3.23) и (3.24), а интегралы движения 4 и 4才一(3.26).
Будем рассматривать дипольные переходы между когерентными состояниями I а; О и I Р； О с излучением фотона с частотой з入 и вектором поляризации е入.Суммировать по начальным и усреднять по конечным состояниям будем с помощью матриц плотности pin и pf, которые записываются в P-представлении Глаубера [94J в виде
pin = J Ри (а) &<х(4.4)
и
例=§R(p)dp,(4.5)
где da = Ц d (Re a；) d (Im а；).
Энергия излучаемая в единичный телесный угол в направлении Пк (九左 ——единичный вектор, направленный вдоль 乃入)в частотном интервале 〃з储 равна
您(пк,铀，eQ = у 矣，dadp Р® (a)Pf(P) X
X ехр (- I a —肝)Q；| (#%) |2 [| a.|26 ⑨ _ 孤)十 J 住产S(Q. + 孤)],
(4.6)
где вектор %行)есть /-я строка матрицы 耳工.Отметим, что для С/〉0 остается первый член в квадратной скобке выражения (4.6), а для Q； <0 — второй член.
Выражения для мощности излучения при переходах между стационарными состояниями можно получить из выражений для переходов между когерентными состояниями, учитывая, что матричные элементы последних служат производящими функциями для матричных элементов переходов между стационарными состояниями. Можно непосредственно использовать (4.2) и (4.3).
В случае различных частот Q； для спонтанных переходов I n> -> I пг>, где 力)声 п；, 小卜=几加 "=# /, имеем
5s (九斤，g,飲)=
=/ |~ 2jT I (W)e) 12 [汽Al尸,mj6(Qj - 3/ + 8 + 1)6%+1, mj6(Qj + 6)I.
(4.7)
Для перехода к классическим формулам излучения выберем в качестве начального состояния системы когерентное состояние I а0), максимально близко описывающее начальное классическое состояние срои г0. Таким образом, положим Рщ = 5 (а — а0), причем
а0 = "Оо + 耳2%，(4・8)
где r0 и Ро — начальные классические координаты и импульсы. Усреднение по конечным состояниям выполним с матрицей плотности вида Р{Л-3. Тогда выражение для мощности (4.7) принимает вид
5s (九左，6,纵)=
=£ "^ I(*。缺)『口。。312 6 (旦 一 S) + (I ctoj |2+1)6 (Qj + g)]・
(4.9)
Для излучения на частотах Qg〉0 из (4.9) получаем классическое выражение для мощности излучения (см. [2281)
个(九小耿,e0 = e -^ I %(加缺 I21 aoj I2.(4.10)
J=i
Если рассматривается излучение на частотах Q； V 0, то классическое выражение для мощности излучения получается из (4.10) при I «о/ I2 >> 1-
Парадокс гармонического осциллятора состоит в том, что вероятность перехода между стационарными состояниями растет пропорционально п； (см. [239]). Ширина же линии, возникающей при излучении волнового пакета — когерентного состояния,— совпадает с классической (см. [228]). Таким образом, при излучении волнового пакета — когерентного состояния — происходит интерференционное сужение линии, которое приводит к совпадению классического и квантового расчетов.
При рассмотрении вынужденного излучения полагаем, чтб волна, индуцирующая переходы, слабая и ее можно считать квай- тованной плоской волной. Тогда, чтобы получить мощность йн- дуцированного излучения, в приведенных выше выражениях для спонтанных переходов необходимо сделать замену (з入/2冗)3—»
f U(3九), где U (з入)一интенсивность падающего излучения на частоте з^・ Чтобы получить мощность индуцированного поглощения, нужна замена (з^ / 2л)3 -> — U(3入),а в 6-функциях 3九一> —3九・ Интересен суммарный эффект обоих процессов — индуцированного поглощения и индуцированного излучения. Из приведенных выше формул, как для переходов между когерентными состояниями (4.6), так и для разрешенных переходов между стационарными состояниями (4.7), получим для суммарной мощности всех индуцированных процессов следующее выражение:
2 砂(пЛ, 3力”)=—』4冗2週〃(3力 Qj I *)e I2.(4.11)
Таким образом, из (4.11) следует, что если (川)，力产⑴)〉。， то на частотах Q/〉0 (см. (3.20)) суммарным эффектом является вынужденное поглощение, а если (川), 厶产⑴)V 0, то Q『V 0 и на частотах ] ◎/ | суммарный эффект — вынужденное излучение.
Классическое рассмотрение процесса вынужденного излучения приводит в силу формул (4.9) и(4.10), в которых необходимо выполнить соответствующие замены, к тем же самым эффектам, что и квантовое рассмотрение.
Как уже указывалось, системы с эффектом индуцированного излучения рассматривались в работах [212—217, 207]. Отметим, что гамильтонианы типа (3.10) с эффектом индуцированного излучения описывают поведение электрона, например, в цилиндрическом волноводе, помещенном во внешнее магнитное поле Н, направленное по оси z, когда в волноводе возбуждена волна ТН-типа достаточно большой частоты с т = 1. Аналогичными гамильтонианами описывается поведение электрона в целом ряде других систем волноводного типа (см. [228, 207]).
Излучение заряженной частицы, находящейся
в периодическом, зависящем от времени внешнем поле
В этом параграфе рассмотрим излучение заряда, находящегося в периодически изменяющемся во времени электромагнитном поле, заданном векторным потенциалом
4 ⑴=[Н «) X г] / 2, А(Т + t) = А ⑴，(5.1)
где Н (方)= {0, 0, Н ⑺} — периодическое магнитное поле, направленное по оси z,① о = 2冗/ Т.
Гамильтониан заряда в поле (5.1)
變=(争 一 е4)2 / 2m(5.2)
можно записать в виде 兆 = 兆丄 + p^2m. Движение по оси z — свободное. Гамильтониан 變丄,описывающий движение в
183
плоскости n, у, имеет вид
眾丄=击（区+ 就）+ ^-（炉+ "2） + 等（Уpх 一才рУ）,
阻（力（5.3）
где рх. ру — операторы проекций импульса частицы; е, т — соответственно ее заряд и масса. (Здесь и далее мы используем систему единиц, в которой с = % = 1.)
В случае произвольной зависимости векторного потенциала 4 от времени переходы с излучением фотона в поле вида (5.1) рассматривались в [240]. Спектр квазиэнергий, когерентные и квазиэнергетические состояния заряда во внешнем поле (5.1) были получены в § 8 гл. V.
Следуя [241], рассмотрим процессы излучения и поглощения фотонов зарядом при переходах между КЭС дискретного спектра.
Гамильтониан взаимодействия заряда с полем излучения получаем из гамильтониана 能 с помощью замены #-># — еА^ где А2 ——векторный потенциал поля излучения (1.8). Гамильтониан взаимодействия 兆mt в первом порядке по заряду в дипольном приближении имеет вид
咏mt = — £ 1/^j^ - (с%о + "о) (е%о«/), (5.4)
где Сха (点о) — операторы рождения (уничтожения) фотона с частотой со%, вектором поляризации е%。и волновым вектором %%; ток
J =^(Р —以(£))•(5.5)
Гамильтониан 咏丄 обладает в случае дискретного спектра КЭ четырьмя интегралами движения: А (力 В ⑺，/*«), В^ ⑴，явное выражение для которых дается формулами (8.7) гл. V, в которых нужно заменить g на 〃 = — J/^修 (х iy) ехр (扌 \ Q dt).
о Интегралы A (t) и В (方)удовлетворяют условиям
/« + ?) =产М/ ⑴；3 « + Т)=产戸3 ⑴，(5.6)
где 乂q и хь даются формулами (8.11) гл. V.
Используя явные выражения для интегралов движения, ток J можно представить в виде (1.12). Ограничимся случаем, когда фотон излучается параллельно плоскости n, у (т. е. e%z = 0). Такое ограничение несущественно, так как движение по оси z свободное — в конечном выражений для мощности излучения член, зависящий от 咏,выпадает.
Выразим гамильтониан взаимодействия (5.4) через интегралы движения Л, 5, /才,В^ в виде 咏mt =
——2 j/ 2 M"^(3 + c厶(j[4 + %月 + /：А‘ + 广笈"(5.7) где
J；")(3 + »3)0式力；了2") =(6?^ + %m/)02g)；
订代)=[ё* + (- 1)'4 Qe*] exp [(- 1)；4-$Q dp] ; (5.9)
e九x и e九у —— проекции вектора поляризации е九 на оси 彳 и у.
гл. V, a Q ⑴= разложить в ряд(5.10)гл. V, a Q ⑴= разложить в ряд(5.10)Так как 8 (方)удовлетворяет условию (8.9) =Q R + Т), то функции о)(±), / = 1, 2, можно Фурье:
гл. V, a Q ⑴= разложить в ряд
(5.10)
гл. V, a Q ⑴= разложить в ряд
(5.10)
ттооaj (t) = е~г少 』о)(Z) еПп〃/т, причем
т
т
о
о
Рассмотрим теперь переходы между когерентными и квази- энергетическими состояниями системы (см. (4.12) и (8.12) гл. V) с излучением или поглощением фотона. При рассмотрении излучения будем полагать, что
х；，Аз。， /с = + 1, + 2,...
Так как гамильтониан ^int (5.7) имеет вид (1.7) с J вида (1.13), то амплитуды переходов с излучением фотона при переходах между когерентными или фоковскими состояниями находятся аналогично (1.18) и (1.24).
Найдем теперь мощность 5s, излучаемую при дипольных спонтанных переходах заряда из когерентного состояния | а,方〉 в состояние | 卩,0. Пусть излучаемый фотон имеет частоту з, вектор поляризации е入(считаем, что е；^ = 0) и волновой вектор к. Тогда для мощности излучения 砂(з, п,纵)в единичный телесный угол в направлении п = к\ / \ к\\ в частотном интервале d(o получим, согласно [241J, выражение
乎(3, п, е/ =雲 \ ©a d^ Pin (а) 2 偉)X
X exp (― I а — 0 |2)ЕЁI。№) |"| а； |2 6 (<о0/ -出十 з)十 j=I I——CO
十]0；产 6(3。2 + Kj + з)] (5.12)
(就=或R+瞅М =1,5 = 2冗/7),
где усреднение по начальным когерентным состояниям и суммирование по конечным когерентным состояниям проведено при помощи матриц плотности pin, pf, взятых в P-представлении Глаубера (см. [94J и (2.24)).
Полагая в (5.12) Pm (<х — а0), В = л~2, получим
2j 16(川2[1方。f6(3()2 -出+ 3) +
+(I а)о「+ 1)6 (со。% + 乂)+ з)]・ (5.13)
В приближении | а；0 | 身 1 выражение (5.13) переходит в классическое, если положить, согласно работе [240],
оц = [8 (0) (рхо + ip уд) — £ (0) (^о + Х%)1/2 М^；/匚/ .
... 广一(5.14)
曲=[е (0)(Руо + Хрхо) — £ (0)仇 + Е)]/2 ]/ т；
здесь г0 и р^ — соответственно начальные координаты и начальный обобщенный импульс частицы.
Для мошности спонтанного излучения при переходах, аналогично (5.12), получим
3s (оэ, и, е%)=第 ^ {| О\ (2) |2 6„2, т2 [И16П1-1,叫 в(Х1 — Зо/ — з)十
+ 仇丄 + 1) 671rbI, m力(乂I + Зо% + 3)] + I。2 (0 |2 х
X 6巾,тп」孔26712—I, т2й(х2 — Зо% — з) + (孔2 + 1) M+i,皿小的十 w0^ + w)] }•
(5.15)
Из выражения (5.15) видно, что переход между квазиэнерге- тическими состояниями | п, О -> | ж, О дает не одну линию, а серию линий (см. [175, 176]), так как квазиэнергия определена по модулю (о0-
Отметим, что впервые спектр излучения при переходах между КЭС был найден Блохинцевым [171] при рассмотрении эффекта Штарка в переменном электрическом поле. При этом нельзя сказать, какое из состояний: | п,方〉или | ж, О — обладает большей квазиэнергией. Поэтому, в отличие от стационарного случая, возможны как переходы | п, О ~^ | з也,方〉,так и переходы I ж, t) ~^\ nt 方〉.
Рассмотрим теперь индуцированные переходы. Будем считать, что индуцирующая внешняя волна с интенсивностью U (з) моно- хроматична и имеет какую-либо одну частоту з. Происходят переходы как с индуцированным излучением, так и с индуцированным поглощением. Интересен суммарный эффект обоих этих процессов [228, 241].
Для переходов | n1； n2, t)——| ^1；^2» О излучаемая суммарная мощность определяется как
疗皿(з(1), n, ео =爲。(3⑴)I。1 S) F，(5.16)
где
3。)= Зо&1)— % > 0,— оо < 2。)V оо; (5.17)
при этом 1^ подбираются так, чтобы з(丄)> 0. Поглощаемая суммарная мощность равна
，歹um(з(* ", е/ = — и «№))10102))产， (5 18)
「де
⑴К) = % — Зо〃2) >0,- ОО < %(2) V ОО. (5.19)
Аналогичные соотношения получаем для переходов | п1} 1 孔и ^2，力〉，汽2 ¥= ^2：
孔2，t〉f
乎s^ （з（3）, n,歆）一缥0（3⑶）1。川3） |2,
(5.20)
где
3(3)=①俨)—x2 > 0,— О0 < №)V o0,
(5.21)
и
驴S|™(3(% n)e/ =—磊 0®⑷)J 02 (2⑷)|2,
(5.22)
где
3⑷=乂2 — 3()№)〉0,— 8 V №)V 0О .
(5.23)
Если рассматриваемая система имеет отрицательные xj, то из выражений (5.16), (5.17), (5.20) и (5.21) следует, что внешнее излучение будет усиливаться уже на основной частоте xj. Из этих выражений видно также, что, каковы бы ни были х；: положительные или отрицательные, всегда найдется такой номер гармоники 2。)или 2(з), начиная с которого система работает как усиливающее устройство. На возможность эффекта усиления падающей радиации системами с периодическим во времени гамильтонианом было указано в [242, 243].
Глава VII
Динамическая симметрия вибронных переходов многоатомной молекулы
Введение
При описании молекулярных систем используют обычно адиабатическое приближение, следуя классической работе Борна и Оппенгеймера [245]. Параметром адиабатичности при описании взаимодействия электронов и ядер в молекуле служит величина 乂 = . mJМ, где те — масса электрона, М — средняя масса ядра в молекуле. Полная волновая функция 屮(г, q) молекулы удовлетворяет уравнению Шредингера 能、F = Е% причем г означает совокупность координат электронов, a q — ядер. Оператор Гамильтона 兆 равен
Ж = те+ TN + и (г, д), (1.1)
где Те и Tn ——операторы кинетической энергии электронов и ядер, U (г, q)——полная потенциальная энергия. Так как периоды колебаний ядер в молекуле около равновесных положений много больше характерных времен движения электронов, то можно описывать движение электронов в поле зафиксированной конфигурации ядер. Полная энергия электронов, зависящая при этом от конфигурации ядер, является эффективной потенциальной энергией, в поле которой колеблются ядра.
Таким образом, в приближении Борна — Оппенгеймера [2451 полную волновую функцию молекулы 中(г, q) можно представить в виде произведения электронной волновой функции (pn (г, q) и волновой функции, зависящей только от координат ядер Т11П (д). Эти волновые функции удовлетворяют системе уравнений
[Те + и (г, ?)]<рп (г, q) = Vn (g)<Pn (г, g); (1.2а)
+ Vn(9)И„п(0)=石。“屮皿， (1-2б)
где Vn (g) — электронный терм при заданной конфигурации ядер. Энергия движения ядер Е0n зависит, таким образом, как от набора колебательных квантовых чисел у, так и от электронного терма. В работе Борна [247], на основании точного уравнения (1.1), путем разложения по параметру адиабатичности 乂 в качестве нулевого приближения была получена система вида (1.2), где в уравнении (1.26) вместо Vп (д) стоит эффективная потенци-
альная энергия Uett = Vn (g) + <Tn> (здесь скобки означают усреднение по электронному состоянию (рп).
Вопросы, связанные с применимостью адиабатического приближения и его нарушением, обсуждаются в работах [248—250].
Обычно полную волновую функцию 4f записывают в так называемом грубом адиабатическом приближении. При этом в электронной волновой функции координаты ядер q заменяют их равновесным значением до, которое отвечает минимуму электронного терма Vn (д) (〃eff)：
a (r,g) = <Pn (г,д。)(д)・ (1・3)
В случае двухатомной молекулы эффективную потенциальную энергию 〃eff (g) аппроксимируют такими потенциалами, как гармонический, Морзе [251], Леннарда ——Джонса [252], Гуль- берта — Гиршфельдера [253] и др., которые позволяют исследовать волновые функции аналитическими методами. Эффективную потенциальную энергию можно найти методами Клейна — Дан- хема и Ридберга — Клейна — Рисса из спектроскопических данных. В этом случае расчет волновых функций и интенсивностей переходов производится численными методами (см. [277—279, 281]). Вопросам электронно-колебательных спектров посвящена громадная литература. Укажем только ряд монографий [254— 260] и обзоров [250, 261, 262], содержащих подробную библиографию вопроса.
В случае многоатомных молекул обычно ограничиваются гармоническим приближением, дающим возможность находить колебательные волновые функции. Нахождение эффективной потенциальной энергии многоатомной молекулы представляет собой весьма трудную задачу, решенную лишь для отдельных молекул [256].
Процессы излучения и поглощения фотона молекулой могут сопровождаться изменением ее электронного состояния. В этом случае говорят о вибронных (электронно-колебательных) переходах.
Если электронное состояние молекулы не изменяется, то в этом случае говорят о чисто колебательном переходе. Эти переходы описывают эффекты комбинационного рассеяния, а также инфракрасные спектры излучения и поглощения (263—271].
Распределение интенсивностей колебательных полос в электронных спектрах двухатомных молекул описывается посредством принципа Франка — Кондона [273, 274]. Распространение принципа Франка — Кондона на многоатомные молекулы было сделано Герцбергом и Теллером [275]. Применимость к многоатомным молекулам принципа Франка ——Кондона является следствием того, что для них, как и для двухатомных молекул, характерное время перестройки электронной конфигурации значительно меньше характерных времен относительного движения ядер. При этом наиболее вероятны переходы при малых скоростях ядер,
соответствующих их положениям, близким к точкам поворота классического движения [276].
Интенсивность излучения (поглощения) фотона определяется величиной матричного элемента дипольного момента ЛЛ Этот матричный элемент в адиабатическом приближении принимает вид
〈吟鼠 I МI y,n> = Q' I К% (g) I » (1.4) где Нп^п (д) — матричный элемент, вычисленный с помощью электронных волновых функций q)n (г, д):
底s S) = <nf\M\ n>. (1.5)
В случае разрешенного электронного перехода 届疗(go)声 О и слабо зависит от до. При вычислении (1.4) можно использовать приближение Кондона, т. е. заменить q его равновесным значением <у\ п \ М \ V, п) = М'п (我)〈房| и〉. Матричный элемент Q] и〉— интеграл перекрытия — определяет зависимость момента перехода от колебательных квантовых чисел. Квадрат модуля ^歩》= =I <yz I и〉|2 называется фактором Франка — Кондона.
Обычно экспериментально наблюдаются только относительные интенсивности в спектрах излучения или поглощения при виброн- ном переходе в многоатомной молекуле. При этом измеряют интенсивность всей колебательной полосы, не разрешая вращатель' ную структуру.
В приближении Кондона [274] интенсивности вибронных полос, пропорциональные квадрату дипольного момента, выражаются через фактор Франка — Кондона в спектре поглощения
(1.6)(1.6)
(1.6)
(1.6)
и в спектре излучения /呼 /а,、4\2
11klЧ = I %% 〈喙丨匕〉*
где /，. 一 интенсивность вибронного перехода {и}} — {ut}, и； и Uj — колебательные квантовые числа верхнего и нижнего электронных состояний, Q^b ——частота перехода {и}} — {у^.
Для двухатомных молекул хорошо разработаны методы аналитического и численного расчета факторов Франка — Кондона. В обзорах [277—281] описаны методы расчета и составлены подробные таблицы молекул, для которых произведено вычисление факторов Франка — Кондона различными методами.
Количественные расчеты факторов Франка —— Кондона в случае многоатомных молекул выполняются, как правило, в гармо' ническом приближении.
При анализе интенсивностей наблюдаемых спектров снискала широкую популярность модель, позволяющая просто вычислить интеграл перекрытия. В основе этой модели лежат два предположения: в основном электронном состоянии колебания описываются гармоническим потенциалом 170cH（0）； при переходе в возбужденное электронное состояние форма потенциала не изменяется, а происходит только сдвиг на 巨 положения равновесия Z7BO36（0）— = Uoch （夕 + &）• В этом случае многомерный интеграл перекрытия превращается в произведение интегралов перекрытия волновых функций, отвечающих одномерным осцилляторам с одинаковой частотой, но с различными положениями равновесия. В рамках этой модели пренебрегают, во-первых, эффектом изменения частоты моды вследствие электронного перехода, во-вторых, эффектом взаимодействия мод во время перехода, описанным Душинским [282]. Эффект Душинского приводит в гармоническом приближении к линейной зависимости координаты одной моды после перехода от координат всех мод до перехода. Модель применялась для интерпретации вибронных спектров: примесных центров [283—285], ароматических углеводородов [286], красителей, молекулярных кристаллов и др. В [250, 261] содержится обзор экспериментальных и теоретических работ, в которых успешно использовалась эта модель. Однако еще в работе Крейга [287] на примере молекулы бензола было показано, как можно использовать принцип Франка — Кондона для расчета геометрической структуры возбужденного состояния. В этой работе был вычислен одномерный интеграл перекрытия с учетом изменения частоты и сдвига положения равновесия. Сравнение экспериментальной интенсивности полос одной из прогрессий в спектре бензола с вычисленной позволило определить изменение длины С—С-связи в бензоле.
Принципиальное отличие проблемы вычисления факторов Франка ——Кондона для многоатомной молекулы от случая двухатомной молекулы заключается в необходимости учета эффекта Душинского [282], состоящего в зависимости /с-й нормальной координаты возбужденного состояния, вообще говоря, от всех нормальных координат основного состояния. В работе Куна и др. [288] был развит приближенный метод расчета фактора Франка — Кондона с учетом как частного эффекта, так и эффекта Душинского. Метод Куна [288] позволяет посредством итеративной процедуры оценить углы поворота осей нормальных координат одного электронного состояния относительно осей другого состояния （углы смешивания нормальных координат）, считая их малыми. С помощью этого метода для нелинейной молекулы ХУ2 оказалось возможным вычислить изменение длины X—Y-связи и угла между связями. По методу Куна и др. ряд конкретных расчетов был проведен в работах [289—293]. Точный, а не приближенный учет угла смешивания дан в работе [294], где в замкнутом виде вычислен интеграл перекрытия для волновых функций двумерного
гармонического осциллятора. В [294] также предложен метод анализа экспериментальных данных распределения интенсивностей, позволяющий определить геометрию нелинейной молекулы типа XY2 в возбужденном электронном состоянии.
Шарп и Розенсток [295] с помощью производящих функций получили некоторые общие выражения для интегралов перекрытия между волновыми функциями TV-мерного гармонического осциллятора и применили их к процессу вертикальной ионизации некоторых простых многоатомных молекул. Следует отметить, что выбранная в работе [295] параметризация требует для эффективного применения аппарата полного анализа данного колебательного спектра. Зависимость распределения интенсивностей от изменения длин связей обсуждается в работе [296], а также в обзоре [250], где даны ссылки на более ранние работы. Отметим также работу [297], в которой показано, что теоретически непоследовательным является применение теории Герцберга — Теллера с пренебрежением эффектом Душинского.
Работы [294, 298—301] посвящены изучению многомерных интегралов перекрытия с позиции динамической симметрии [8, 81]. Основная идея такого подхода состоит в том, чтобы описать спектр энергии системы как единое неприводимое представление некоторой динамической некомпактной группы, которое реализуется на всех состояниях системы. Так как в задаче о вибронных переходах одно и то же представление реализуется на начальных и конечных состояниях системы, то амплитуда перехода (интеграл перекрытия) между ними является матричным элементом представления динамической группы. При изложении материала в настоящей главе мы следуем работам [294, 298—302].
Вибронные переходы многоатомной молекулы
в гармоническом приближении
В приближении Борна — Оппенгеймера [245] колебания ядер в основном электронном состоянии молекулы описываются гамильтонианом
%in =击/]方58,"；｝,(2.1)
где (Oj — частота, отвечающая массово-взвешенной нормальной координате g; ｛аг, 源｝ = а^ + а『а»； N — число колебательных степеней свободы молекулы. Операторы уничтожения и рождения а^ и а^ обычным образом выражаются через нормальную координату qt и сопряженный ей импульс р*
& 二 2-*^ [(-^L)，/，Qi + Z (加》产网]；
Коммутацйонные соотношения имеют следующий вид:
、 [ап а；] = 0；[а?, а?] = 0； [а{, а/] = 6“・
Волновые функции стационарных состояний гамильтониана (2.1) имеют вид
I v> = П Ni ехр (_ ~^~) "%《¥)/ qj] ,(2.3)
где 0 =(У1, у2» • •・,Un) —набор колебательных квантовых чисел; ^^ = [(л.Л ①》产2%内!卜山；Hv (х) — полином Эрмита.
В возбужденном электронном состоянии молекулы гамильтониан 兆f, описывающий колебания ядер в новых нормальных координатах {^}, имеет вид
兆Г = % L冇&例，由，
-■k=i
где о* ——частота, отвечающая нормальной координате д}, а операторы 尿, 以 и волновые функции | г/〉даются формулами (2.2) и (2.3) с заменами дг -> q^ Pt-> ph ①i①工 内 一> ".
二 В результате электронного перехода происходит деформация равновесней конфигурации ядер молекулы, что приводит к изменению равновесных длин связей и углов между ними. Это, в свою очередь, означает, что нормальные координаты до и после электронного перехода оказываются связанными соотношением Душинского [282]
如干.2 十以，к = £2,N,(2.4)
где II Sai II 一 ортогональная матрица, описывающая поворот в TV-мерном пространстве нормальных координат; d^ — сдвиг в этом пространстве. Преобразование (2.4) индуцирует каноническое преобрааование от операторов аъ а『к операторам 匕片,匕彳 вида
屏=_2- -[(①仰k)」"5底[(①к+ 5)ai + (зe —你)0力+ (~^") d储
(2.5)
彳=手^^ (①阿融)-*Sxt [(加一叫)&十(①止+津0*] + ("2F/魂.
Детальное рассмотрение канонических преобразований операторов как бозе-, так и ферми-типа дано в работе [1091.
Поскольку время электронного перехода мало по сравнению с характерным периодом колебаний ядер в молекуле, то изменение колебательного гамильтониана от 兆in к 能f можно рассматривать
1931937 И. А. Малкин, В. И. Манько
193
193
как внезапное возбуждение ^-мepнoгo осциллятора, в результате которого изменяется и частота нормальных колебаний, и и геометрическая конфигурация молекулы. Преобразование (2.5) позволяет выразить гамильтониан 笈f через операторы а», а『 в виде
绢=2 [%％出+噌生a? +噌％鱼+晟广威威]+
+ 2+ С『а；) + &• (2.6)
Это приводит к возможности рассматривать вибронные переходы молекул как задачу о внезапном возбуждении квадратичной системы. В гл. III была рассмотрена задача о возбуждении нестационарной квадратичной системы, гамильтониан которой имеет вид (2.6) с коэффициентами 珏?，U, Со, являющимися произвольными функциями времени. Для этой задачи в гл. III была получена функция Грина и найдено выражение для амплитуды перехода между фоковскими состояниями через полином Эрмита от нескольких переменных.
Амплитуда перехода между стационарными состояниями начального и конечного j^f гамильтонианов в случае внезапного возбуждения дается интегралом перекрытия между этими состояниями
Тс =〈k, f I 也 in>. (2.7)
§ 3. Динамическая симметрия
В качестве группы динамической симметрии стационарного гамильтониана 變s рассмотрим, следуя [294, 300], группу G = =Sp (2^, R) Д H(N), являющуюся полупрямым произведением вещественной симплектической группы и группы Гейзенберга —— Вейля H(N). 脸
Реализуем эту группу как подгруппу симплектической группы Sp(2(N + 1), 7?) большей размерности [202]. Симплектиче- ские матрицы размером 2^ X 2N удовлетворяют условию g-1 = =JfgJ. Матрица Jn размером 2^ X 2^ имеет вид
=叫 Sn = |； о I
—матрица размером N X N.
Всякий элемент g 三 G может быть записан в виде g = go九, где g()и h ——симплектические матрицы размером 2(N + 1) X X 2(N + 1) блочного вида:
00g°=。0Цо0100g°=。0Цо011 /?1 /?0 Е0 Е0 00 0
0
0
g°=。
0
Цо
0
1
0
0
g°=。
0
Цо
0
1
1 /?
1 /?
0 Е
0 Е
0 0
0 0
причем go — симплектическая матрица размером 2N X 2N; Е — единичная матрица;无'——27У-мерный вектор; z —— число. Матрицы вида h принадлежат подгруппе Гейзенберга ——Вейля.
Проективные представления неоднородной симплектической группы /Sp(N, 7?) рассмотрены в работах [109, НО, 197, 198, 2001.
Генераторы группы G могут быть построены из операторов рождения и уничтожения (2.2). Именно, генераторы h^ 卩 = =1,2, .. ., 2N, отвечающие подгруппе Гейзенберга ——Вейля H(N)、 имеют вид
瓦 ~ @i；无N+i = ^г •(3」)
Генераторы X”，отвечающие подгруппе Sp(2N, R), равны
% {%，吵 %与
Генератору центра z группы G отвечает единичный оператор Е.
С целью построения группы динамической симметрии для нестационарного квадратичного гамильтониана 變(力),описывающего колебания ядер как до, так и после электронного перехода, будем следовать методу, предложенному в работах [74, 811. В них показано, что с гамильтонианом 舞(力)вида (2.6) можно связать 2N линейных по координатам и импульсам интегралов движения
/8)= 2 (%3 +噌公)十6р；
К(3.3)
является симплек-приведены в (76]является симплек-приведены в (76]удовлетворяет уравнениюудовлетворяет уравнению/产=2(喀P什需%,•)+ 6*，
является симплек-
приведены в (76]
является симплек-
приведены в (76]
удовлетворяет уравнению
удовлетворяет уравнению
где блочная вещественная матрица А = тической. Явные выражения для 入$)(%) (см. (4.3) гл. III).
Оператор эволюции U, который
范豈= %и(Е)(и(0) = /),
связывает интегралы движения 1^ и /俨 с координатами дг и импульсами pa
/产=u(t)Piu-\t)； /俨=。⑺g“T&).(3.4)
В силу (3.3), (3.4) интегралы движения
4 = 2-%(〃?)+ 炉)，4=2-/(一 il^ + 齊))
7*195
("灯科 + ViX) + Wi；("灯科 + ViX) + Wi；Сйяйаны с операторами а” а/ соотношениями
("灯科 + ViX) + Wi；
("灯科 + ViX) + Wi；
(3.5)(3.5)4(力)=U(力)%u-1(力)=x
(3.5)
(3.5)
N
《Q) U (力)а：。1 (0 = 2 (碣的 + 畸а；) + 片， где
〃炉=3 [传①产(鳩)一认戲+»("^7)"(入豊一»瑞))]；
S尸卜砌)/(a?? 一»a")-(±)"(Ag)一 込给J ; (3.6) 叫=方2%(6户一沁仔).
С помощью интегралов движения можно построить генераторы динамической группы G = Sp(2^^?) Д H(N) нестационарного гамильтониана по формулам (3.1), (3.2), заменяя в них at на Л； и а： на А^ В силу (3.5) новые генераторы будут связаны со старыми соотношениями
Х^ ⑴=U«)X^UT⑶；乙(Е) = U«)如С/т(力
Очевидно, что нестационарный квадратичный гамильтониан, описывающий вибронный переход, линейно зависит от генераторов неприводимого представления алгебры Ли группы Sp (N, п) Д /\H(N). Таким образом, для описания вибронного перехода в молекуле будем следовать общей схеме теоретико-группового подхода, изложенной в [205]. Из результатов § 2 гл. III следует, что оператор эволюции U&) является оператором, принадлежащим группе динамической симметрии G.
С учетом вышеизложенного ясно, что существует оператор W, при над ле жащий динамической группе G и связывающий операторы а?, а； и b?，bj соотношениями вйда
bl = ^а^\ ^ = 2WS.「
Отметим, что для случаев ^ = 1, N = 2 явное выражение для W в виде функции операторов 〃t и af приведено в [302, 294].
Оператор W связывает состояния начального 勿in и конечного 勿f гамильтонианов: | 力,in〉= W | 0, f〉. Интегралы перекрытия являются, следовательно, матричными элементами оператора группы динамической симметрии:
М” = е‘，in I 2 I ^, in> = ®,f I W I 0； f>.(3.7)
Легко написать явное выражение для оператора S: 5”*
W = 6讲工 6х&・(3.8)
Здесь оператор сдвига в пространстве нормальных координат имеет вид
5( = ехр[(а)1/2无)％&(以一@0].
Операторы Sx и S# растяжения координатных осей в з?" и а/；" раз соответственно равны
Sx = ехр 卩/纟川©?—〃f)]；Sr = ехр [%т； (а? — af2)],
где
тг — i/zlng; tJ = i/zln就.(3.9)
Наконец, Sx — оператор поворота, отвечающий матрице || S ||・
В случае, когда ортогональная матрица || S^i ||, входящая в (2.4), (2.5), достаточно близка к единичной и допускает экспоненциальное представление вида || 5^； || = ехр || ——%^； ||, где % fci = —%«t — антисимметричная матрица, оператор 5Х равен
6% = ехр [； £ %i； Qq, — с®].
Интегралы перекрытия и рекуррентные соотношения
Для нахождения интегралов перекрытия 〈⑦'| “〉между колебательными волновыми функциями типа (2.3) начального и конечного электронных состояний воспользуемся, как и в работах [294, 300], представлением когерентных состояний [94]. Когерентные состояния | а〉, реализующие, как и состояния | ⑦〉, базис пространства неприводимого представления динамической группы, определяются как собственные состояния операторов уничтожения: а» | а〉= а» | а〉. Здесь с^ (» = 1, 2, . . ., N) — набор произвольных комплексных чисел. Явное выражение для когерентного состояния ^мерного гармонического осциллятора имеет вид
|а> =紋尸 /4х|а> =紋尸 /4хX ехрX ехр/"就+(т2) aм_}a「"4•岡 2]卜/"就+(т2) aм_}a「"4•岡 2]卜
|а> =紋尸 /4х
|а> =紋尸 /4х
X ехр
X ехр
/"就+(т2) aм_}a「"4•岡 2]卜
/"就+(т2) aм_}a「"4•岡 2]卜
Интеграл перекрытия 〈丫 | а〉между когерентными состояниями начального и конечного осцилляторов, который .служит производящей функцией для искомых интегралов перекрытия〈0’ | 期〉 (см. § 4 гл. III),.выражается, согласно [300], в виде квадратичной
экспоненты по а и у*:
<?|а> = <0|0> ехр[ —4-(1а|4 + |Т|2)]义
/[тм匸篇看偉+2%(屮『:二©
(4.1)
Здесь симметричные положительно определенные матрицы Q 且 Р, а также матрица R размерами N XN определены следующим образом:
Q = (1 + 了丿尸；р = JQJ； R = Qf (4.2) где J = Х^5Х^,入з = diag(a)i/2, ①?、• • •，①紛，а матрица S введена в (2.4). Кроме того, 6 =入з, @方飞 где @ 一 также из (2.4). Матричный элемент〈0 | 0〉равен
〈0|0〉= 2з2坦信](d.exp[^-б (1 —尸)б].
Матрицы Р, Q 且 R для ^ = 2 приведены в явном виде в [294] .
Формула (4.1) для〈？ | а〉совпадает в случае ^ = 2 с полученной ранее в работе [294]. Таким образом, структура производящей функции для интегралов перекрытия〈0’ | 0〉не зависит от числа колебательных степеней свободы. Тем самим анализ рассматриваемой проблемы в терминах когерентных состояний позволяет выявить ряд общих закономерностей, присущих интегралам перекрытия 〈0，| &〉. Отметим, что производящая функция для N-мерных интегралов перекрытия 〈0’ | &〉 рассматривалась в работе [295].
Разлагая (4.1) в степенной ряд по а и у*, получим наиболее общее выражение для интеграла перекрытия ® | ь〉через полином Эрмита от 2^ переменных [300]:
〈0'|0〉=〈О|О〉[П (力 &!)」/[ %,°'(О, т) (4,3)
причем ^мерные аргументы стих7 записываются в виде
@…匚# / 二Kз (4.4)
Соотношения (4.3) и (4.4) для N — 2 переходят в соответствующие формулы, полученные в [294]. Свойства многомерных полиномов Эрмита обсуждаются в книгах [223, 88].
Рекуррентные соотношения для интегралов перекрытия (4.3) немедленно следуют из производящей функции (4.1). Так, дифференцирование ее по а/ приводит к следующим N рекуррент- 198
ным соотношениям (i = 1, 2,・..,N):
〈0’ I %;…•,内 + 1,..., Un〉~
=^j QQ —g j j) <vz I fi,..., vj — !)•••)Un〉+
+ 2 匕 T?tE § + r丿Un I 力,•・•,办,...,Un〉—
—^y I 7^ (R8)t〈⑦ I S,..., Un〉. (4・5)
Аналогично, дифференцирование no 嗾 дает (/с = 1, 2, • . .,N) (^•..,加+ 1,...,煮1&〉=
=2 匕 At I 成 + [丿,Un I 力,•・•,内 一 1,..., Un〉+
N+ g(2P —6/2=1+N+ g(2P —6/2=1+44八+ 1八+ 1力 ，，，I 〈齿,...，而一1,...，^1力）+力 ，，，I 〈齿,...，而一1,...，^1力）+" [(1 - P)狐〈*…，涼…，心付).(4.6)" [(1 - P)狐〈*…，涼…，心付).(4.6)
N
+ g(2P —6/2=1
+
N
+ g(2P —6/2=1
+
4
4
八+ 1
八+ 1
力 ，，，
I 〈齿,...，而一1,...，^1力）+
力 ，，，
I 〈齿,...，而一1,...，^1力）+
" [(1 - P)狐〈*…，涼…，心付).(4.6)
" [(1 - P)狐〈*…，涼…，心付).(4.6)
Если некоторые колебательные моды не возбуждаются в процессе электронного перехода, то соответствующий интеграл перекрытия сводится к полиному Эрмита от меньшего числа переменных. При этом можно указать общее правило редукции, позволяющее сразу написать интеграл перекрытия в этом случае. Действительно, для получения интеграла перекрытия между колебательными волновыми функциями начального состояния, в котором не возбуждены i-я, /-я, • • . колебательные моды, и конечного состояния, в котором не возбуждены /с-я, Z-я, . . . колебательные моды, нужно вычеркнуть в блочных матрицах, входящих в (4.4), 1-ю, у-ю,. . ., (^ + /с)-ю, (^ + /)-ю, • • • строки и столбцы. Оставшиеся матрицы меньшей размерности будут задавать аргументы соответствующего полинома Эрмита. В частности, получаем ⑷ I 0〉=〈01 0〉[ П (眾!尸/[ Н"，(V); т，= 2% (1 - 2尸尸(1 - Р) 6.
а(4.7)
1,这|。〉=〈。|。〉^V^Hv^^1,这|。〉=〈。|。〉^V^Hv^^В случае, когда возбуждены только две моды, интегралы перекрытия записываются в виде *)
1,这|。〉=〈。|。〉^V^Hv^^
1,这|。〉=〈。|。〉^V^Hv^^
*) Здесь и в дальнейшем символ | 也,Uj > означает состояние, в котором возбуждены только t-я и /-я колебательные моды с частотами 33 з力 а оставшиеся N — 2 колебательных квантовых числа равны 0. Аналогично, символ
-2P« r /【(1 — P)6]) 1—2P〃| к(1-Р)б"・-2P« r /【(1 — P)6]) 1—2P〃| к(1-Р)б"・(4-9)(4-9)
-2P« r /【(1 — P)6]) 1—2P〃| к(1-Р)б"・
-2P« r /【(1 — P)6]) 1—2P〃| к(1-Р)б"・
(4-9)
(4-9)
Явные выражения для матричных элементов <0 | vb и」〉и <vfr |i；£〉 приведены в [300] и [294].
Если величины эффективных сдвигов (H6)i и [(1 — /^)8]^ обращаются в нуль, то интегралы перекрытия (4.7) 一, (4.9) сводятся к сферическим функциям (см. формулы (2.20) 一 (2.22) работы [294]).
Далее, в случае одного отличного от нуля квантового числа получим
<p；,0>= (0(0) (加产(上了神广〃^ (京，(4.10)
Ts =(1 一2尸由》([1 -p)嶋，(4.11)
где Н^(х) 一 классические полиномы Эрмита. Подчеркнем, что, несмотря на возбуждение только одной колебательной моды, формулы (4.10), (4.11) не сводятся к соответствующим формулам для одномерного осциллятора с частотой(ог или ①分.Элементы матриц Р, Q, А, входящие в (4.3), (4.10), (4.11), зависят от всех нормальных частот обоих электронных состояний и могут быть найдены по экспериментальным данным.
Формулы (4.10), (4.11) эквивалентны выражениям, полученным ранее в работах [295, 303]. При ^ = 2 выражения (4.7) — (4.11) переходят в соответствующие формулы, приведенные в работе [294J..
Рекуррентные соотношения для интегралов перекрытия с некоторыми нулевыми квантовыми числами являются следствием общих соотношений (4.5), (4.6). Приведем наиболее важные из них [300]:
〈％ + 1, S10〉= (2&е — 1) ( * ) 〈％ — 1, s 10〉+
+ 2尸н ( -, -■ ■ ) 〈 s — 10〉+
+ —7)[(1 一 尸)6]底入,vz|0>;(4.12a)
〈0 M + 1, vj) = (2Qm — 1) ( ； j •)〈0 必一1,叮〉十
(
V-/2\‘/2
77+T) 〈°m，刃一 ])一(九工()(7?6)：<0! vb i?j). (4.13a)
Приведем еще два типа рекуррентных соотношений, которые не являются не зависимыми от (4.12а), (4.13а) соответственно, но оказываются полезными при проведении конкретных расчетов [3001:
〈％ + 4, s |0〉=
=(т^т)" {[(1 -Р)^- 2]^- [(1 - Р)办卜涼喇 о〉+
+ 2рР|1-~(<vk,vl + l\0>;(4.126)
(01 % + 1,少=一 (^7)"[(五划 一 2潦% ①叱]〈0m，力〉+
+( /丄八〈0I»(4.136)
Что касается рекуррентных соотношений для интегралов перекрытия вида〈味 I 以〉,то с учетом новой области изменения индексов (% = 1, 2, . . ., N) они полностью совпадают с такими же рекуррентными соотношениями, полученными в работе [294] (см. формулы (2.14 а) — (2.14d)).
Формула (4.3) для интеграла перекрытия получена без учета принадлежности молекулы определенной группе симметрии. Существенное упрощение этого выражения достигается в случае разрешенного электронного перехода, сохраняющего исходную симметрию молекулы. При этом, согласно лемме Шура, общий интеграл перекрытия (4.3) факторизуется в произведение интегралов перекрытия, каждый из которых отвечает типу колебаний, преобразующемуся по неприводимому представлению точечной группы симметрии. Так, интеграл перекрытия для полносимметричных колебаний Л-типа будет по-прежнему выражаться формулой (4.3) с сохранением всех вышеприведенных рекуррентных соотношений. Рекуррентные соотношения для интегралов перекрытия для неполносимметричных колебаний 5-типа следуют из формул (4.5), (4.6) при условии 6 = 0. Отметим, что явные выражения для интегралов перекрытия ^-типа в терминах £>-функ- ции получены для 2V = 1 口 N = 2 в работе [299].
Отметим, что общее выражение (4.3) для интеграла перекрытия будет справедливым и в том случае, если переход изменяет симметрию молекулы. … »■
瓢
Итеративный метод расчета интегралов перекрытия
В случае, когда углы смешивания малы, %底 У К интеграл перекрытия <vz | 0〉можно разложить в ряд по ^i, коэффициенты которого выражаются через произведение интегралов перекрытия одномерных осцилляторов. Подставляя в (3.7) выражение оператора W из (3.8) и разлагая оператор 5Х в степенной ряд по параметрам 厶订 находим [300]
7 _ \\ T⑺]
(5.1)(5.1)/ a，0 一，/ Uzv 一 "丁，n=o
(5.1)
(5.1)
где
7兄=〈0', in|5(5$5TMn|v,in),
(5.2)
величина т； введена в (3.9).
Еслм параметры смешивания %灯 равны нулю, интеграл перекрытия 〈0’ I 0〉факторизуется в произведение одномерных интегралов перекрытия:
[(含)心(а； — а»]ехр [出(W —а})}叫 in〉=
=П〈£,й1|5^%М，Й1〉，(5.3)
где
5弓=ехр [(o)j/2ft)1/2% (а： 一 出)];S^ = exp 叫(а- 一 а})]；
Как показано в [302], интеграл перекрытия〈и> in | 5弓5卩)| и力 in〉 совпадает с интегралом перекрытия одномерного осциллятора [304]:
3, in I Sf丼/ 巧,in) =〈苏 f I и 力 in> - <0! 0% (力£尸屯%力(马 E), ‘(5.4)
\吗十r丿 \ /九①j十①j/
где Hv.4 vy (xj, xj) — полином Эрмита от двух переменных [88], 202
а аргументы имеют вид )
吁一^ 吗+吗吁一^ 吗+吗%%心； fj = - ,r в +①j心； fj = - ,r в +①j
吁一^ 吗+吗
吁一^ 吗+吗
%
%
心； fj = - ,r в +①j
心； fj = - ,r в +①j
①j + R2(吗3；)%①j + R2(吗3；)%石=2(3猶) %石=2(3猶) %
①j + R
2(吗3；)%
①j + R
2(吗3；)%
石=2(3猶) %
石=2(3猶) %
Учитывая затем результат действия операторов а力 а, на состояние I v；X можно вычислить поправку ГЙ，Приведем явное выра^ жение для первого приближения:
7仪-gxue；m)...{ch(q -()[齿"(内 + 1产(加必一1〉X
X <vj |v]+ 1) -(以 + 1)"吟〈涼 M + 1〉〈eI 力-1)] +
+ Sh(Ti —匕)3力)％Q；|内一1〉〈K•心一1〉一 (％ + 屮⑴ + 1)" X
XX<Уг|У{+ l〉〈G|lZj + 1>]}…&N ®N〉・(5.5)
X
X
Разложение (5.1) полезно в том случае, когда параметры
сдвигов, входящие всдвигов, входящие вSt, велики по сравнению с параметрами
сдвигов, входящие в
сдвигов, входящие в
смешивания, входящими в S%. Тогда с помощью (5.1) и явных выражений для величин Т牝 и Т旧 можно обобщить на многомерный случай итеративный метод, предложенный в работе Куна и др. [288] для нелинейных молекул типа XY2*
Действительно, в нулевом приближении полагаем Z^r = Т义 и вычисляем 7义,используя (5.3) и(5.4). Для вычисления Hv^(x^ xz) обычно используют рекуррентные соотношения Маннебака [304, 302]. Параметр сдвига d；, входящий в Hv.^ v^ находят (см. § 6) по экспериментальным значениям относительных интенсивностей переходов ) из начального бесколебательного электронного состояния молекулы в конечное электронное состояние с возбуждением только одной колебательной моды, т. е. переходов вида и； — 0. Переходы типа 0 一 р^ с поглощением колебательных квантов в начальном состоянии также пригодны для нахождения 或.Поправки к нулевому приближению вычисляют, используя формулу (5.5). Величины параметров смешивания х订 могут быть найдены, например, из экспериментальных значений относительных интенсивностей переходов 1»1『 ——0, 0 ——1Д；, lj ——lf.
лов перекрытия (см. сноску на стр. 199).лов перекрытия (см. сноску на стр. 199).
лов перекрытия (см. сноску на стр. 199).
лов перекрытия (см. сноску на стр. 199).
♦♦) Обозначения типов переходов соответствуют обозначениям интегра-
Возникающая при этом система линейных уравнений слишком громоздка для явного выписывания.
Вопрос о выборе знаков при нахождении интегралов перекрытия из данных по интенсивностям решается путем дальнейшего сравнения вычисленных интенсивностей с их экспериментальными значениями. .
§ 6. Метод парциального анализа вибронного перехода
В этом параграфе мы излагаем, следуя [300], метод, который позволяет найти элементы матриц Р, Q, R 且 вектор 6, входящие в (4.1), и восстановить параметры S^, d. преобразования Ду~ шинского (2.4) на основе анализа некоторых экспериментально найденных величин относительных интенсивностей g (⑦‘；⑦)= 三 I G10〉/〈0 I。〉12, т. e. факторов Франка—Кондона. Тем самым полностью решается задача о распределении интенсивностей полос, а также находится геометрическая конфигурация молекулы в возбужденном электронном состоянии.
В отличие от итеративного метода, излагаемый ниже метод парциального анализа не предполагает малости параметров смешивания нормальных координат и учитывает эффект изменения частот.
Первым этапом применения данного метода является рассмотрение переходов и} — 0 из начального бесколебательного состояния в конечное, в котором возбуждена только одна колебательная мода с частотой ①不.По относительным интенсивностям g (1尼;0) и g (2{； 0) переходов 1左 一 0, 2左 一 0 находим параметры и} и А}/
(6.1)(6.1)，q%； о) .а，_ g (”；о)
(6.1)
(6.1)
= g ("; 0)±2‘//(2*; 0) ' k = 2n
после чего интенсивности оставшихся переходов данной прогрессии выражаются либо формулой (см. (4.10))
式成;0)=囱产(加)"2，(£),(6.2)
где 立工=G/z ui)"% либо с использованием рекуррентного соотношения (4.12а) с = 0. Величины Р^ и [(1 — ?)6]左,входящие в рекуррентные соотношения, также находятся по относительным интенсивностям g (1左；0) и g (2左；0). Действительно, из (4.10) находим
[(1 一 尸)株=% g (1k； 0)(6.3)
Pkk = % [1 士 2”％ (2k； 0) 一 q (尢 0)].(6.4)
Выбор нужного знака в (6.1) и (6.4) производится из сопоставления вычисленных интенсивностей g (i^; 0), и】〉2, с измеренными. Отметим также, что из условия неотрицательности диагональных-
элементов матрицы Р часто бывает возможным фиксировать знак в (6.4). - .
При проведении конкретных расчетов более удобно вместо формулы (6.2) пользоваться эквивалентными выражениями в терминах полиномов Лагерра [88]:
(6.2а)(6.2а)\ (2П； 0)=(从严[(2打)!『(2Ъг!)2[右%(^)j ;
(6.2а)
(6.2а)
g (2” 十 1； 0) = q (% 0)(Д>[(2п + 1) !尸俨叫佑％(等旷
--Формула типа (4.10) была использована ранее в работе [295] при рассмотрении вертикальной ионизации из основного состояния молекулы, а также в работе [3031 в применении к анализу
спектров сопряженных молекул.
Формула (6.2) позволяет обобщить на рассматриваемый случай формулу Герцберга ——Теллера для одномодовой парциальной интенсивности 0 一 0-перехода:
T* = （1 一込:声 eхp 自?他［；0）T* = （1 一込:声 eхp 自?他［；0）2аА1 + 2Ак2аА1 + 2Ак=2[A化(1一p加]%eхр=2[A化(1一p加]%eхр:軍一Р）6襄:軍一Р）6襄1 一 Р1 一 Р(6.5)(6.5)
T* = （1 一込:声 eхp 自?他［；0）
T* = （1 一込:声 eхp 自?他［；0）
2аА
1 + 2Ак
2аА
1 + 2Ак
=2[A化(1一p加]%eхр
=2[A化(1一p加]%eхр
:軍一Р）6襄
:軍一Р）6襄
1 一 Р
1 一 Р
(6.5)
(6.5)
Правило сумм типа (6.5) оказалось полезным при анализе экспериментальных интенсивностей вибронных переходов в нелинейной молекуле типа XY2 (см. [294]). Оно может служить критерием применимости гармонического приближения.
Следующим этапом применения излагаемого метода является анализ переходов вида 咏и； — 0 с возбуждением двух колебатель
ных мод в конечном электронном состоянии. В этом случае по измеренным относительным интенсивностям q (1左；0), g(l，； 0) находятся, в соответствии с формулой (6.3), эффективные сдвиги [(1 ——P)6]k и [(1 ——P)6h・ Затем с учетом экспериментально найденной величины интенсивности перехода 1^1^ — 0 вычисляются недиагональные элементы матрицы Р:
-一 ？炉=土 ％]乃(1由；0) 一 M (U; 0)g* (ii； 0)].(6.6)
Недиагональные элементы матрицы Р служат мерой нефактори- -зуемо^ти； интегралов перекрытия〈uj, vj | 0> в произведение двух .интегралов перекрытия типа (4.10)..
：С помощью производящей функции (4.1) несложно получить аналог формулы Герцберга — Теллера для двухмодовой парциаль,
205
ной интенсивности 0 ——0-перехода:
8 2，д8 2，дq（o；。）q Е，心 о）q（o；。）q Е，心 о）=4 [(1 一0加(1 一 p")-Р制%(办疋"-Р切/，X=4 [(1 一0加(1 一 p")-Р制%(办疋"-Р切/，X
8 2，д
8 2，д
q（o；。）
q Е，心 о）
q（o；。）
q Е，心 о）
=4 [(1 一0加(1 一 p")-Р制%(办疋"-Р切/，X
=4 [(1 一0加(1 一 p")-Р制%(办疋"-Р切/，X
X exp { — [(1 - Л/)[(1 -尸)6]± + 2PM(1 - P)6]fc[(l -尸)卽 +
+ (1- P#[d -尸)6向 В -尸加 О — PQ — 成]т}・(6.7)
Таким образом, для полного нахождения элементов матрицы необходимо измерить относительные интенсивности 2N + 丄/?% (N — 一 1) вибро иных переходов вида 1尼 一 0, 2不一0, 1『1? 一 О, А, 2 = = 1, 2, . . ., N, причем диагональные элементы находятся по формуле (6.4), а недиагональные ——по формуле (6.6). Вектор 6 находится затем из (6.3):
源=2」/2》(1一/>)寻矿/也；0).(6.8)
Следует отметить, что описанная выше процедура нахождения величин P^i и 6尼 неоднозначна. Это связано с произволом в выборе знака интеграла перекрытия, полученного из интенсивности рассматриваемого перехода (см. также обсуждение этой проблемы в работе [288]).
Для нахождения по матрице Р матрицы S (2.4) необходимо решить уравнение (см. (4.2))
Е + AUS^ 竭=К.
Это эквивалентно решению задачи о нахождении ортогональной матрицы S, диагонализирующей матрицу Wf = 入①‘ С?-' —— E)^^ т. e.
SWfS =您.(6.9)
Вектор & находится по известному из (6.8) вектору 6;
a工九詡/.(6.Ю)
Тем самым по экспериментальным значениям относительных интенсивностей некоторых вибронных полос полностью восстановлено преобразование Душинского (2.4).
Вышеприведенный анализ может быть эквивалентным образом сформулирован в терминах матриц Q и К, если в качестве экспериментально задаваемых интенсивностей принять интенсивности переходов вида 0 — 1Ь 0 一 2г, 0 — 1/1； из начального электронного состояния, в котором возбуждены одна или две моды, в конечное бесколебательное электронное состояние. При этом формулы (6.1), (6.2), (6.2а,) (6.4) сохраняют свой вид с интенсивностями q (0; и。, а формула (6.3) запишется в виде (笈6)；= =2~iq (0; 1», Аналог формулы (6.5) в терминах Q% % и & будет 206
иметь видиметь вид_g(o；o)W q(o；q) %=о]_g(o；o)W q(o；q) %=о]（一淫"（一淫"=2[QiMl — QQ]*exp=2[QiMl — QQ]*exp(砌:1 一 Q"(砌:1 一 Q"
иметь вид
иметь вид
_g(o；o)
W q(o；q) %=о]
_g(o；o)
W q(o；q) %=о]
（一淫"
（一淫"
=2[QiMl — QQ]*exp
=2[QiMl — QQ]*exp
(砌:
1 一 Q"
(砌:
1 一 Q"
Элементы Qke вычисляются по формуле (6.6), где следует сделать замены P^fQ" [(1 — P)6h・ f (7?6)底 q (I/；, 1г; 0) f 〜9 (0； % 1/), g (1; 0)f g(0； 1). С помощью таких же замен получается аналог формулы (6.7). Тем самым будет полностью определена матрица Q. Можно показать в общем виде, что замены ①丿—sj, S ~ 8 переводят выражения с матрицей Р в соответствующие выражения для матрицы Q. Так, матрица S преобразования (2.4) находится из условия диагонализации SWS = Х^* квадратичной формы W — ^ (QT — Е)卜①.С нахождением элементов матрицы S по формуле (4.2) получают матрицу R, после чего вектор 6 находят из соотношения
& = 2」％Х (/?-%• ^ (0; 1^). (6.11)
(Знак минус в (6.11) опущен ввиду указанной выше неопределенности в выборе знаков интегралов перекрытия.) Вектор 或 из преобразования (2.4) вычисляется затем по (6.10).
Обратим внимание на ряд преимуществ оперирования с матрицей R при анализе данного спектра. Если найдены экспериментально интенсивности переходов вида 1尼 一 1/, когда в начальном и конечном электронных состояниях возбуждено по одному колебательному кванту, то II R || находится из соотношения
A/ = 士% [屮(年 L) 一 产(年0)小(0； li)].(6.12)
С другой стороны, нетрудно показать, что
(十1)林=:(6.13)
Таким образом, знание матрицы 2? позволяет непосредственно оценить величину смешивания нормальных координат в результате электронного перехода (см. (2.4)).
Следует отметить, что матрицы Р, Q, R не являются не зависимыми одна от другой и знание одной из этих матриц ведет к получению остальных при помощи простых соотношений (4.2).
Хотя проблема обсуждается на примере спектра поглощения, полученные результаты применимы в равной мере к анализу спектров испускания. Более того, можно непосредственно вычислить распределение интенсивностей в спектре испускания, исходя из анализируемого спектра поглощения, и наоборот.
207
Геомегрическая конфигурация возбужденного состояния ：；
Согласно принципу Франка ——Кондона относительные интенсивности вибронных полос зависят от изменения геометрии молекулы в результате электронного перехода. Следовательйо, из анализа распределения интенсивностей можно получить сведения о геометрии молекулы в возбужденном электронном состоянии.
Обычно для описания положения ядер в молекуле вводят так называемые естественные координаты [305, 306], в качестве которых обычно выбирают приращения длин связей и приращения углов между связями. Естественные и нормальные координаты линейным образом выражаются друг через друга: г — Lq. Методы расчета матрицы L для основного состояния молекулы хорошо разработаны. Элементы матрицы L для основного электронного состояния молекулы определяются из анализа ИК- спектров [264一269, 272].
Нормальные координаты возбужденного электронного состояния связаны с нормальными координатами основного согласно уравнению (2.4). Обращая это соотношение, находим q = =8~^ 一 S^d, В естественных координатах имеем г = LS~rq 一 ——LS'd. Естественные координаты равновесной конфигурации возбужденного состояния получаем, полагая ql = 0. Следовательно, геометрическая структура возбужденного состояния легко находится по известной матрице L и параметрам, описывающим эффект Душинского [300]:
fpaBH п —LS^d. (7.1)
Знак в (7.1) несуществен ввиду произвольности знака 6 (6,8). Так как параметры 5 и 6, вообще говоря, неоднозначно определяются из экспериментальных данных, то существует несколько возможных структур возбужденного состояния.
Для правильности интерпретации результатов необходима дополнительная информация, например анализ ротационной структуры полос. Отметим, что если молекула обладает группой симметрии, которая не нарушается при переходе, то в формулу (7.1) входят только полносимметричные колебания. Действительно, для неполносимметричных колебаний & = 0, а матрицы £ и S из-за свойств симметрии имеют блочно-диагональный вид. В (7.1) входит только блок матрицы S, связывающий полносимметричние координаты молекулы в основном и возбужденном состояниях, и блок матрицы L, описывающий симметричные естественные координаты. Таким образом, наличие группы симметрии молег кулы понижает размерность системы (7,1) и позволяет для восстановления геометрии возбужденного состояния использовать весь набор только полносимметричных колебаний. 一 ； 了
Запрещенные электронные переходы —：
Запрещенные электронные переходы, для которых в приближении Борна 一 Оппенгеймера выполняется условие
R，e Q) = $ 屮:*Q,我)出；匕位,g。)九=0, ： (8：1) где 屮已(X, g) — электронная волновая функция, Ме ——оператор электрического дипольного момента, drx 一 элемент электронного конфигурационного пространства, возможны в многоатомных молекулах по той причине, что в них могут возбуждаться неполносимметричные колебания, понижающие симметрию молекулы по сравнению с равновесной (gj. При этом произведение колебательных волновых функций I &〉и I v^ неполносимметрично по отношению к тем операциям симметрии, к которым неполносимметрично выражение 4rfife屮е (или по крайней мере одна из его компонент).
Следуя Герцбергу и Теллеру [275], разложим электронный момент перехода 后‘用(g) в ряд по нормальным координатам около положения равновесия ядер молекулы. Соответствующее разложение матричного элемента момента перехода <v/ | Re»e (g)| 0〉 будет, с учетом (8.1), иметь вид
e1W，e(g)|。)=》%〈。'1%1。)+ …， (8.2)
где 久 = (dRe»e (g) /5ga)o. Суммирование в (8.2) ведется только по неполносимметричным координатам ga, так как для полносимметричных координат (дЛе/е(9)/8仆)。=0 (Na — число неполно- гимметричных мод). Кроме того, фактически только те % в (8.2) следует принимать во внимание, присутствие йоторык удовлетворяет групповым правилам отбора.
Если симметрия молекулы не меняется в результате электронного перехода, то, как указано выше, матрица S (2.4) принимает блочно-диагональный вид. При этом каждый блок описывает эффекты смешивания координат, преобразующихся по' одному и тому же неприводимому представлению точечной группы симметрии молекулы. В этом случае матричный элемент〈0，| ga | 0〉, входящий в (8.2), также факторизуется:
{v' \ qa I «> = <Vs I Vs > <va I qa I va>. 「 一(8・.3)
Здесь vs и va ——совокупность квантовых чисел, отвечающих полносимметричным и неполносимметричным колебаниям соответственно. , г , Выделение интеграла перекрытия (v8 | &$〉для прлносиммет* ричных колебаний типа (8.3) было получено Крейгом [2871 дри анализе спектра бензола. Отметим, что момент перехода допуска^?1 также дальнейшую факторизацию относительно тех неполнорим-
метричных колебаний, координаты которых не входят в сумму (8.2). Формула (8.3) позволяет заключить, что характер распределения интенсивностей во всех прогрессиях данного полносимметричного колебания, возбуждающегося совместно с различными неполносимметричными колебаниями, должен быть в рассматриваемом приближении одним и тем же («скейлинг» в распределении интенсивностей).
Так, в случае перехода 52и ——Aig в бензоле распределение интенсивностей полос в различных сериях, в которых возбуждается полносимметричное колебание с частотой со； = 923 см-1 (см. [308]), должно, в рамках приближения (8.2), подчиняться указанному скейлингу. Действительно, экспериментальные данные указывают на некоторое качественное подобие распределений. Однако количественные расчеты, как показывает табл. 1—5 (см. ниже), не подтверждают достаточно убедительно такого рода скейлинг.
В этой связи учтем феноменологически эффекты второго порядка по электронно-колебательному взаимодействию, разложив момент перехода до членов второго порядка по нормальным координатам:
Na
JS『e (g)=』С/+ N &弘分，(8.4)
где dij = 1/2 GRd^SqQq*. Члены второго порядка отвечают эффекту электрического ангармонизма [312].
Выделим в (8.4) в квадратичных членах полносимметричные координаты:
^^^a ^5%
.Z ^ijQiQj = 2 也值柒盘曰 + > 2 ^asQaQs + 2 ^aias^ai^Of (8・5) 1, ^==181,62=1a=l s=l%,。2=1
Очевидно, члены c 仆白^ вклада в матричный элемент перехода не дают, так как чисто электронный переход запрещен. Члены вида qaqs преобразуются по тому же представлению Га точечной группы, что и а。* Следовательно, они дают ненулевой вклад в матричный элемент, если соответствующее колебание д。разрешено правилами отбора. Члены вида gaiga2 преобразуются по представлению ГО1® Гав. Они дают вклад в матричный элемент перехода, если в разложении ГД1 ® Га2 на неприводимые представления содержится хотя бы одно представление Га, удовлетворяющее правилам отбора.
Учет членов второго порядка по электронно-колебательному взаимодействию аналогичен учету возможности смешивания в матрице S полносимметричных и неполносимметричных колебаний. Наличие не диагональных блоков в матрице, описывающих эффекты смешивания координат различной симметрии, указывает на то, что в возбужденном состоянии точная симметрия основного состояния будет несколько нарушена. Отметим, что учет этого
малого нарушения симметрии может быть произведен путем использования итерационного метода, описанного в § 5.
Матричный элемент〈0'戶詳(9)|力〉с учетом (8.4), (8.5) и в пренебрежении вкладом от принимает вид
〈0〕_Ве，е（9）I "〉=斗％8〈0〕_Ве，е（9）I "〉=斗％8；I 9а I %〉〈0； （1 + £ 毘必）明〉,；I 9а I %〉〈0； （1 + £ 毘必）明〉,(8.6)(8.6)
〈0〕_Ве，е（9）I "〉=斗％8
〈0〕_Ве，е（9）I "〉=斗％8
；I 9а I %〉〈0； （1 + £ 毘必）明〉,
；I 9а I %〉〈0； （1 + £ 毘必）明〉,
(8.6)
(8.6)
где Pqs = daJca. В отличие от (8.3), относительные интенсивности полносимметричных колебаний определяются теперь неуниверсальным параметром ра5, т. е. существенно зависят от того неполносимметричного колебания, совместно с которым они возбуждаются.
Таким образом, задача расчета распределения интенсивностей полос сводится прежде всего к необходимости вьшисления матричных элементов вида 〈г/ | ^ | 0〉. Выражая оператор координаты gj через операторы уничтожения и рождения а〃 aj, являющиеся генераторами группы динамической симметрии гамильтониана, получим
〈0」力 I 0〉= Е2s冲［(叮 + 1)'九〈0’ I % • •，力 + 1, • • vNy + + " <У| %, . . ., Vj — i,. . ., Un〉］,(8.7)
причем входящие в (8.7) интегралы перекрытия вычисляются но формулам § 4.
Учет вклада членов вида qaiqai приводит к необходимости вычисления интегралов перекрытия〈0’ | qq | 0〉. Используя опять генераторы группы G, находим
=子(①仰旷明 3 + 1)力(环 + 1”〈0’ I %, • • •,以 + 1, • • •,巧 +
十 1, • • • , D/у〉+ Vi (巧十・1) /2〈0 I . . . T V|+
+ (力+ ly^v/2〈 k I • • •, s + 1,・• •，и, — 1, . • •〉+
+ e科I.• •,%(8.8)
Входящие в (8.8) интегралы перекрытия также вычислены в § 4.
С учетом связи (2.5) операторов ан а? и Ьк, Ь^ формулы (8.7), (8.8) могут быть представлены также как результат действия операторов 6^, b" на волновые функции конечного состояния.
Формула (8.6) принимает простой вид в Случае возбуждения, наряду с одним квантом, подходящего неполносимметричного колебания (целой прогрессии только одной полносимметричной моды). Из (8.6) с учетом (8.7) находим, в частности,
〈％,〔a I Reb (?) I Оз» Од)=
「’<‘1(4)&2
=К］死；国)+ Y亦叫'「伸"^， (89)
где К — множитель, не зависящий от и；, а с； и А； введены в (6.1 )Л (6.2). Константа у возникает при учете вклада электронно-колебательного взаимодействия во втором порядке (учет членов вцда %gJ，хотя сама пропорциональна первой степени этого взаимодействия., Для 丫 справедлива оценка ?~ (?Пвл①эл/^нд①кол)"% где 侬л и ?цЯд масса электрона и средняя масса ядра； (оэзп ①氏皿 一 частоты электронного и колебательного переходов. Из (8.9) видно, что в случае малых А учет второго члена может быть существенным.
Применим изложенную выше схему к расчету распределения интенсивностей некоторых вибронных серий, возникающих в спектре бензола в результате запрещенного электронного пере^ Хода 笈2и —"』ig в системе 2600 А. Интенсивности вибронных полос в прогрессиях полносимметричных колебаний для серий А, В、Е, М (обозначения по Ингольду [308]) известны экспериментально [307—311].
Рассчитаем, следуя (8.3), распределение интенсивностей для этих полос [300]. Для этого по формулам (6.1) находим величины м；歹 А；, используя экспериментальные значения относительных интенсивностей q (ls; 0) и g (2S; 0)7 Интенсивнос^Й остальных йар^ходой вычисляем по (6.2) или (6.2а).
В качестве критерия применимости гармонического приближения вычисляем по формуле (6.5) теоретическую сумму. 5те0!р относи;^ельнцх интенсивностей всех возможных полос данной со
прогрессии: $теор = 』д(и§；0)——и сопоставляем ее с сум
мой 5Эксп относительных интенсивностей экспериментально зафиксированных полос. Разность 5те0р — $експ показывает, какова
Таблица 1
Интенсивности вибронных полос в системе ,2600 А спектра бензола (Е-серин)
• "' Частота, ■ .- смт
Колебательное отнесение [308]
'Относительная интенсивность
эксперимент [308]
теория
эксперимент [309]
теория
39 560,8
Eg
1,000
1,000
1,00
1,00
40 48МТ
闿.
1,126
1,126
1,31
1,31
* ■ 41402,3
е2
0,906
0,906
0,89
0,89
42 318,3'
Eg
0,342
0,597
0,46
0,41
43 241,3 “
—
0,348
0,15
44164,3 •.
一一
0,183
—
0,04
&・"%5 087,3.
—
0,092
—
0,01
瞬
Таблица 2
Интенсивности вибронных полосв системе 2600 А спектра бензола (U-серия)
Частота, смт
Колебательное отнесение [308]
Относительная интенсивность
эксперимент [308]
теория
39134,2
碎
1,00
1,00
40 050,2
и?
1,46
1,46
40 968,5
1,77
1,77
41 884,5
1,15
1,80
42 800,9
и?
1,00
1,68
43716,6
0,28
1,45
44 639,6
—
1,19
Таблица 3
Интенсивности вибронвых полосв системе 2600 А спектра бензола (В-серия)
Частота,
Колебательное отнесение [308]
Относительная интенсивность
эксперимент [ЗС8]
теория
37 481,9
В§
1,000
1,000
38 407,0
В?
1,309
1,309
39 330,6
В?
0,833
0,833
40 250,4
成
0,763
0,343
41173,5
成
0,131
0,103
42 096,5
—
0,024
43 019,5
或
—
0,004
43 942,5
В；
—
0,001 -
возможность наблюдения следующих полос данной прогрессии. Результаты вычисления приведены в табл. 1——5.
Согласие с экспериментом удовлетворительное. Более тщательный анализ потребовал бы учета вклада второго порядка по эЛектронно-колебательному взаимодействию (см. (8.9)). Для этого необходимы более точные эксперименты по относительным интенсивностям. ―
Т а б лиц а 4
Интенсивности вибронных полос в системе 2600 А спектра бензола (Л£-серия)
Частота, СМ-1
Колебательное отнесение [308]
Относительная интенсивность
эксперимент [308]
теория
эксперимент [309]
теория
38343,4
1,000
1,000
1,00
1,00
39255,1
1,454
1,454
1,14
1,14
40177,7
腸
1,121
1,121
1,00
1,00
41099,7
腸
0,424
0,608
—
0,73
42018,9
0,166
0,260
—
0,48
42941,9
—
0,093
—
0,29
43864,9
—
0,029
—
0,16
44787,9
0,008
—
45710,9
0,002
—
—
Та б лица 5
Интенсивности вибронных полос в системе 2600 А спектра бензола (Л-серия)
Частота, CM-1
Колебательное отнесение [308]
Относительная интенсивность
пары
раствор
эксперимент [ЗИ]
теория
эксперимент [310]
теория
38612,2
1,000
1,000
1,000
1,000
39534,2
1,344
1,344
1,452
1,452
40456,0
1,034
1,034
1,122
1,122
41377,9
禺
0,534
0,592
—
0,612
42297,9
或
0,206
0,280
0,264
43215,8
黑
0,060
0,115
—
0,095
44133,0
然
0,017
0,042
—
0,030
45050,4
—
0,014
0,009
45973,4
—
0,005
—
0,002
Вибронный переход в трехатомной молекуле вида ХУ2
Нелинейная молекула вида ХУ2 имеет форму равнобедренного треугольника с атомом X при вершине. Эта молекула обладает тремя нормальными колебаниями со】,①窑,①中 Молекула допускает точечную группу симметрии С2и, состоящую из преобразовании:
тождествеиного, отражения в плоскости молекулы, поворота на 180° вокруг высоты, опущенной на основание треугольника, и, наконец, отражения в плоскости с поворотом на 180°. Оказывается, что два колебания, з】и (о2, являются полносимметричными, а колебание з§ неполносимметрично — его нормальная координата меняет знак при повороте и не меняет при отражении в плоскости. Если симметрия молекулы сохраняется при вибронном переходе, то, очевидно, мода (о3 не может смешиваться с полносимметричными модами. Это приводит к тому, что матрица S, описывающая эффект Душинского, превращается в матрицу поворота на угол % вокруг оси 3 в пространстве нормальных координат. Свойства симметрии моды з§ требуют обращения в нуль третьей проекции вектора d, входящего в (2.4). Вибронный переход, сохраняющий симметрию, приводит к изменению частот, положений равновесия и смешиванию только двух полносимметричных мод, 31 и 3?, а мода(о3 может претерпевать в результате перехода только изменение частоты. Таким образом, полносимметричные колебания описываются двумерным осциллятором [288]. Полносимметричные колебания в начальном электронном состоянии описываются в нормальных координатах гамильтонианом вида
咏in = %(р； + р2)+ %(3；/ + 3^区).(9*1)
Здесь 31 и З2 ——собственные частоты этих колебаний.
В результате электронного перехода конечное колебательное состояние системы будет характеризоваться гамильтонианом вида
獨=% (р； + р；) + % (5g； + %g；)・(9.2)
Нормальные координаты основного и возбужденного состояний связаны соотношением [288]
д' = Sq + d,(9.3)
где S — ортогональная матрица 2-го порядка — имеет вид
S _ I cos% sin % 11
—Ц — sin % cos % II *
Преобразование (9.3), связывающее нормальные координаты первого и второго осцилляторов, естественным образом индуцирует линейное каноническое преобразование операторов рождения и уничтожения первого осциллятора 仪『,。力 через соответствующие операторы второго осциллятора. Линейное преобразование (9.3) принадлежит группе динамической симметрии Sp (4, К)八左(2) и осуществляется с помощью унитарного оператора 2, принадлежащего представлению этой же группы; 6t = 2^аг2； 力『=£*〃『£, i = l,2. Учитывая структуру преобразования (9.3), оператор 2 можно представить в виде произведения
операторов [294]:
2 — StSxSxSX'.(9.4)
Операторы S% и 5工，,соответствующие растяжению осей, даются выражениями
Sx = exp [%5 (a? - (a：)》]； 又, =exp [%《(就-(仪抒)],(9.5a) где 七力=丄/2 In 3订 七彳=1/2 In Cf. Оператор S* является оператором поворота на угол % и, очевидно, задается формулой
S* = ехр [% (— а^а2 + <4旬)].(9.56)
Для интегралов перекрытия стационарных состояний имеем [294] 〈"，f I V, in> =〈0', f I I 0, f〉=〈0* in I W I 0, in〉. (9.6) Получение фактора Франка — Кондона в данной задаче сводится к вычислению интеграла перекрытия 〈и；, и； | и】,z^〉для двумерного осциллятора. Интеграл перекрытия 〈？ | а〉 между когерентными состояниями представляет собой гауссов интеграл, который вычислен ранее (см. (4.1)). Амплитуда 00 — 00- перехода равна
<0,0 I 0,0> = 2Ат (З1З2/С1С2” ехр [- 6 (1 - ^)6/2]. (9.7)
Амплитуда и；и； — /^-перехода была получена в (4.3). Приведем явные выражения для матрицы 尸,входящей в (4.4) (см. [294, 298]):
+ 32；231s52% 步譏Tin 2%
sin 2%上守十'
(9.8)
где величина А есть
Д ~ (Q%)T [®i + %)(32 + ^2)+(32 — 31)(。2 — Q) sin2 %]. (9.9) Матрица Q получается из P посредством замен з» 口 却力 и % -> f—X (i = 1, 2). Матрица R легко находится по формуле (4.2) или (6.13). Явные выражения матриц Q и Е приведены в [294, 298]. Сдвиг 8 связан с 風 соотношениями
61 = m◎詼也； d2= /0"d2.(9.10)
|80|0,0〉|221〈心，"10,0〉?"户2|80|0,0〉|221〈心，"10,0〉?"户2Формула Герцберга — Теллера для парциальной интенсивности 0 — 0-перехода существенно видоизменяется в случае двумерных колебаний. Именно [294],
|80|0,0〉|221〈心，"10,0〉?
"户2
|80|0,0〉|221〈心，"10,0〉?
"户2
|《0,0丨0,0〉I? =
£ I <0, 0 I %, &〉|2 也，。2
=4Д-1 Vехр [- 8(1 -Р) 8].(9.11)
"S4力42
При 6 = 0 и % = О выражение (9.11) переходит в произведение двух множителей, вычисленных по формуле Герцберга —— Теллера для двух колебательных переходов.
При наличии только одной колебательной моды одномодовая парциальная интенсивность и；0 — 00-перехода дается (6.5), где fc — 1. Аналогичные выражения для перехода Ои] — 00 следуют из (6.5) в результате замены индекса к на 2. Формула (6.5) при 6 = 0 и % = 0 дает непосредственно парциальные интенсивности Герцберга — Теллера 2p3i%/((Oi + Q) и 2M①z%/®? + ®) соответственно. Рассмотрим в качестве примера некоторые виброн- ные переходы в молекулах SO2, BS2 и ZnTl2, следуя [294].
Уоткинсом [289] были выполнены измерения относительной интенсивности вибронных полос в системах 1227, 1269 и 1340 А в спектре поглощения молекулы SO2. Во всех этих системах vx = =р2 = 0. Вначале рассмотрим системы 1227 и 1269 А (см. табл. 6). Используя уравнения (6.3) и (6.4), находим (при условии д(0,0)= =1) параметры [(1 — Z?)d]2 и Р?2 по измеренным интенсивностям переходов 01—00 и 02—00. Найденные параметры используем затем для нахождения интенсивностей остальных переходов по формулам (6.2а). Результаты приведены в табл. 6. Предположение q (0, 0) = 1 в системе 1227 А было независимо проверено путем непосредственного расчета интенсивности перехода 00 — —00 по измеренным значениям интенсивностей переходов 01 — - 00, 03 -00, 05 -00.
Таблиц а 6
Интенсивности вибронных полос в системах молекулы SO2
Система полос, А
Частота, см-1
Колебательное отнесение (也，空)
Относительная интенсивность
эксперимент
теория
78 772
(0,0)
1,00
1,00
79172
(0,1)
2,62
2,62
79 570
(0,2)
3,09
3,09
1269
79 969
(0,3)
2,17
2,15
80 368
(0,4)
0,99
0,96
—
(0,5)
—
0,29
—
(0,6)
—
0,02
(0,7)
—
0,006
(0,0)
1,00
81 487
(0,1)
4,07
4,07
81 879
(0,2)
7,70
7,70
82 273
(0,3)
8,96
8,96
1227
82 666
(0,4)
7,14
7,14
83 069
(0,5)
4/0
4,10
83 448
(0,6)
1,73
1,73
—
(0,7)
—
0,54
В качестве критерия применимости гармонического приближения можно использовать правило сумм (6.5). Действительно, вычисляя сумму найденных экспериментально относительных интенсивностей 5ЭКСП =』|〈0, и； 10, 0>/<0, 0|0,0>|а и сравнивая
ее с такой же теоретической суммой (см. уравнение (6.5), где параметры 尸22 и Г(1 —尸)6】2，входящие в правую часть, уже найдены), мы получаем:
1227 А: бакен = 33,80, "op = 35,38;
1269 А: 5ЭКСП = 9,82, 5теоР = 10,17.
Разность 5теор — Sancn показывает, какая часть интенсивности приходится на неизмеренные переходы. Сравнение результатов говорит О ТОМ, ЧТО Вакси ХОрОШО аппроксимирует 5Теор-
Этим же способом были проанализированы система полос 7210 А в спектре поглощения молекулы BS2 [315а] и система 6270 А в спектре излучения молекулы ZnTl2 [3156]. Расчеты были проделаны в соответствии с уравнениями (6.2а). В табл. 7 и 8 приведены результаты расчетов. В этом случае имеем:
7210 А:6270 А:7210 А:6270 А:Вакси = 4,46, [ §теор = 5,16； ^ эксп = 3,1, 5теор = 3,3.
7210 А:
6270 А:
7210 А:
6270 А:
Проведение более полного анализа возможно для системы полос 1340 А в спектре поглощения молекулы SO2. Прежде всего был определен, согласно (6.6), параметр Р12, который равен 0,507-10-3. Это означает, что угол смешивания очень мал: % = = 17,5- Теперь, подставляя найденный угол % в соотношение (9.8), определяем все элементы матрицы 尸订.Параметры [(1 —尸)5L
Таблица 7
Интенсивности вибронных полос в системе 7210 А молекулы BS2
Частота, см~*
Колебательное отнесение ®,&2)
Относительная интенсивность
эксперимент
теория
13 896
(0,0)
1,00
1,00
14371
(1,0)
1,08
1,08
14 877
(2,0)
0,98
0,98
15377
(3,0)
0,86
0,75
15878
(4,0)
0,39
0,53
16 376
(5,0)
0,11
0,34
16 877
'(6,0)
0,03
0,21
17 367
(7,0)
—
0,13
—
(8,0)
—
0,07
Таблица 8
Интенсивности вибронных полос в системе 6270 А молекулы ZnTl2
Частота, см~*
Колебательное отнесение (叽 器)
Относительная интенсивность
эксперимент
теория
16 097
(0,0)
1,0
1,0
16 135
(1,0)
1,1
1,1
16 168
(2,0)
0,7
0,7
16 200
(3,0)
0,3
0,3
—
(4,0)
—
0,1
(5,0)
—
0,03
и [(1 — 尸)6】2 вычисляем по формуле (6.3). Интенсивности остальных переходов вычисляем с помощью рекуррентных соотношений. Интенсивности 02 — 00-перехода были вычислены по формуле (6.2) и интенсивности 12 — 00-перехода определялись из рекуррентного соотношения (4.136). Результаты вычислений приведены в табл. 9. Сдвиги 6】и 62 вычисляем, решая систему (6.3), fc = 1, 2.
Таблица 9
Интенсивности вибронных полос в системе 1340 А молекулы
SO3
Т1астота, см-1
Колебательное
отнесение ⑴，也)
Относительная интенсивность I
эксперимент
теория
74 599
(0,0)
1,00
1,00
74 948
(0,1)
1,39
1,39
75290
(0,2)
0,71
0,72
75 667
(1,0)
0,91
0,91
76 002
(1,1)
1,27
1,27
76 315
(1,2)
0,65
0,66
(2,0)
—
0,45
—
(0,3)
—
0,15
Для нахождения геометрической структуры возбужденного состояния молекулы типа ХУ2, исходя из известной конфигурации основного состояния, введем естественные координаты г = = (「1，「2)，описывающие полносимметричные колебания. Здесь гг есть величина растяжения связей X — Y, а г2 определено как г2 = = г0Да, где Да — изменение угла YXY. Естественные и нормальные координаты связаны посредством матрицы L、т = Eq, явный
вид которой следующий [264, 265]:
L =L =gl«l (glCll + С22)-'〃 m1 (g?Cn +e22尸4gl«l (glCll + С22)-'〃 m1 (g?Cn +e22尸4g2«2 (glcn + С22)-'/»32 (g；Gl +e22)一*g2«2 (glcn + С22)-'/»32 (g；Gl +e22)一*
L =
L =
gl«l (glCll + С22)-'〃 m1 (g?Cn +e22尸4
gl«l (glCll + С22)-'〃 m1 (g?Cn +e22尸4
g2«2 (glcn + С22)-'/»
32 (g；Gl +e22)一*
g2«2 (glcn + С22)-'/»
32 (g；Gl +e22)一*
Здесь С = |[ ctj К (1, 7 = 1, 2) — матрица потенциальной энергии 2V = тСт^ элементы которой (пренебрегая с12) находим из секулярного уравнения
d + 3； = ЛцСц + 万22c22, 3；3；=(无 11无22 —无;2)G1&2；
Н = II 无幫 II есть матрица кинетической энергии 2Т = тЦ-'т [265]:
力и力и■^7 +■^7 +222■^— (1 + cos а)； Л22 = —1~ —— (1 — cos а)；222■^— (1 + cos а)； Л22 = —1~ —— (1 — cos а)；sin аmXsin аmX
力и
力и
■^7 +
■^7 +
222
■^— (1 + cos а)； Л22 = —1~ —— (1 — cos а)；
222
■^— (1 + cos а)； Л22 = —1~ —— (1 — cos а)；
sin аmX
sin аmX
где ttzx и ^丫 一 массы атомов X и Y соответственно. Равновесная геометрическая конфигурация возбужденного состояния относительно известной конфигурации основного состояния находится из равенства гравн = LS^d. Выражая 風 через 6 согласно (6.10), можно найти, в соответствии с (7.1), длину и угол связи S—О для возбужденного электронного состояния. Таким образом, г = 1,483 А и а = 125°30‘. Частоты и геометрическая структура основного состояния, необходимые для вычислений £, были взяты из работы [288]. Приведем также значения экспериментальной и теоретической сумм интенсивностей для каждой прогрессии:
^эксп = 1,91,5теор — 2,40；
^эксп = 3,11,^теор = 3,27.
Для того чтобы подобный анализ можно было выполнить для систем полос 1227 и 1269 А, необходимо дополнительное экспериментальное нахождение интенсивности перехода 10 — 00.
Т аб ли ц а 10
Интенсивности вибронных полос в системе 3700А молекулы SO2
Частота, см-*
Колебательное отнесение (也，s)
Относительная интенсивность
эксперимент
теория
25776
(0,0)
1,000
1,000
26 137
(0,1)
1,223
1,223 二
,26 494
(0,2)
0,594
0Л56 -
26 682
(1.0)
1,323
1,323
'27033
(М)
1,602
[,602
(2,0)
0,724
- Изложенная схема может быть применена для расчета в системе полос поглощения 3700 А молекулы SO2 [288]. Результаты приведены в табл. 10. Для сумм интенсивностей 5те0р и ?Эксп каждой прогрессии получаем:
Sbkcu = 2,323, 5те0р = 3,278;
Sbkcu = 2,817, ■ Зтеор = 2,870.
Расчет геометрической структуры возбужденного состояния приводи!' к следующим значениям длины связи и угла: г' — 1,490 А, а = 124°,57'. Эти результаты хорошо совпадают со структурой, найденной с помощью ротационного анализа [288]. В основном электронном состоянии молекулы SO2 длина связи S—О г = =1,432 А и угол а = 119°35‘.
§ 10. Правила сумм для вибронных переходов
В этом параграфе рассмотрим, следуя работе [301], некоторые правила сумм и предельные распределения интенсивностей, полезные для обработки экспериментальных данных. Будем рассматривать переходы вида 咪一0, обычно отвечающие прогрессии полносимметричных колебаний. В этом случае интегралы перекрытия выражаются через полиномы Лагерра (6.2а).
В § 6 было найдено следующее правило сумм для факторов Франка — Кондона *):
^t &(2=…p(匐•(m)
Аналогичное выражение в терминах 〃》и А» имеет место для переходов 0 —— и». Если сдвиги 办 в (2.4) равны нулю и эффект сме^ шивания нормальных координат отсутствует (Ski = 5底)，то соотношение (10.1) дает формулу Герцберга — Теллера [275] для парциальной интенсивности 0 —0-перехода. В предыдущих параграфах было показано, что распределение L интенсивностей, вычисленное с помощью (6.2а), и правило сумм (10.1) хорошо согласуются с экспериментальными данными. .
В последующем будем для определенности рассматривать
（盘増）-陋%门唸/曙）.（盘増）-陋%门唸/曙）.очевиденочевидени сводится к заменеи сводится к заменеспектр поглощения, опустив при этом штрихи и индексы у соответствующих величин. Переход" к случаю спектра испускания
（盘増）-陋%门唸/曙）.
（盘増）-陋%门唸/曙）.
очевиден
очевиден
и сводится к замене
и сводится к замене
Обычно экспериментально измеряют только относительные интенсивности вибронных полос, поэтому полезно ввести парциальные интенсивности
g@) = .(1Q2) и I I о> I2
V=o
удовлетворяющие условию нормировки 2 q (и) = 1 • При и = О
переходит в парциальную интенсивность 0 — 0-перехода. Величины q (и) являются вероятностями возбуждения различных колебательных уровней и при электронном переходе.
С помощью распределения (10.2) можно вычислить моменты колебательного квантового числа и:
un =』unq (и).(10.3)
»=о
Для среднего числа колебательных квантов 力 и его дисперсии а? имеем )
瀉三 № 一(”户=(1 :;А)2 [ (I U；А)2 十 а ； + ；；]•(10.5)
Параметры Дии вычисляются по экспериментальным значениям интенсивностей двух первых переходов, 710 и 厶0, в спектре поглощения：
1 Qoo1 Qoo/]0‘00/]0‘00(10.6)(10.6)
1 Qoo
1 Qoo
/]0
‘00
/]0
‘00
(10.6)
(10.6)
Выбор определенного знака в формуле для А обычно фиксируется условием I A I V %.
В работах [311, 314] рассматривались моменты распределения частот переходов &£：
Qn = X Q^oq (и)・»=о
Ограничиваясь линейным приближением Qv0 = Qoo + сои, находим среднюю частоту и ее дисперсию：
◎ = Qoo + © 步；抬=d 唸
где уист? даются формулами (10.4) и (10.5). В работе [311] величина Q была связана с геометрией возбужденного состояния молекулы.
Высшие моменты распределения частот могут быть вычислены с помощью производящей функции
G(Z)= 上 研П=(1 - 4A毗2)-% ехр(QooZ + .言既,),(Ю.7) где id = exp (zco), по формуле
丽=春亲6(也=。.(Ю.8)
Если в (10.7) положить Qoo = 0, гр = 1, то получим производящую функцию для моментов ип(10.3).
Рассмотрим теперь некоторые предельные случаи распределения интенсивностей (10.2), которые оказываются полезными при анализе эксперимента. Предельные распределения интенсивностей в тех случаях, когда отсутствует эффект Душинского (S^t = —3葭)и нет изменения частот нормальных колебаний (cof =喲, а преобразование (2.4) сводится к сдвигам 源，приведены в [250].
Распределение интенсивностей (10.2) будет пуассоновым, если
и интенсивность 710 не является аномально малой. Тогда | Д | —> —> 0 и I u I —> оо, причем произведение иД остается постоянным. В этом случае имеем распределение Пуассона
9日)=舟-『，(Ю.9)
где среднее число квантов 力 равно
В другом предельном случае, когда иД 登 1, || u || ^> 1, (1 — —2 I Д I ) I и I 导 1, распределение (10.2) становится гауссовым:
q (и) = (2冗城尸2 ехр [— (и —方)2/2喲， (10.11) где связь среднего числа квантов 万 и дисперсии ст? с экспериментальными данными приведепа в (10.4), (10.5), (10.6).
Сравним полученные вьппе правила сумм (10.1), (10.4), (10.5), а также предельные формы распределения (10.12) с экспериментальными данными.
В работе [289] измерены интенсивности полос 0名0 — 000 в спектре поглощения молекулы SO2 в области 1227 А. Вычисление тех же интенсивностей по формуле (6.2а) привели к прекрасно-
му согласию с экспериментом (см. [294] и табл. 7). В этом случае Д?= 0,073, и = 27,78. Приведем значения S, D,唸 вычисленные как по формулам (10.1), (10.4), (10.5), так и по экспериментальным- интенсивностям: .
35,38,35,38,%еор = 3,04, Оитеор = 2,34；
35,38,
35,38,
.^-эксп f 33,80,.^-эксп f 33,80,%ксп — 2,93,%ксп — 2,93,^иэксп^иэксп=2,79.=2,79.
.^-эксп f 33,80,
.^-эксп f 33,80,
%ксп — 2,93,
%ксп — 2,93,
^иэксп
^иэксп
=2,79.
=2,79.
Полученные результаты показывают, что правило сумм для S выполняется с точностью 〜5%, а для D — с точностью ~ 3%. На самом деле точность выполнения правила сумм может быть улучшена. Для этого необходимо измерить интенсивность следующего перехода с о； =7. Теоретический расчет дает для
I〈7丿 0〉/〈0 I 0> |2 величину 0,54, учет которой приводит к Sэксп 34,34, %KGU = = 2,99, т. е. к процентной точности. Распределение интенсивностей полос в спектре является пуассоновым (D〜喲.
Другим примером распределения Пуассона могут служить интенсивности ряда серий вибронных полос, возникающих при переходе 笈2篁一 41g в молекуле бензола. Возможность применения полученных выше формул к случаю запрещенного электронного перехода вытекает из того факта, что если данный переход не нарушает симметрию молекулы, то интегралы перекрытиядопускают факторизацию вида 〈〃,叫%,"%>=〈叫%>〈叫% где ps и ра — наборы колебательных квантовых чисел
для полносимметричных и иеполносимметричных мод. При этом начало прогрессии отвечает частоте Qoo + s^u] Как отмечалось выше, введение естественной нормировки в (10.2) позволяет непосредственно сравнивать формы распределения интенсивностей, Измеренных в различных экспериментах.学 г-
На рис. 1 сплошная кривая отвечает распределению Пуассона (10.9). с учетом (10.3) и (10.6). Точки соответствуют эксперимен-
In q(u)In q(u)In q Q)= ‘"二")2WIn q Q)= ‘"二")2W— ；1п(2п%,(10.12)— ；1п(2п%,(10.12)
In q(u)
In q(u)
In q Q)= ‘"二")2W
In q Q)= ‘"二")2W
— ；1п(2п%,(10.12)
— ；1п(2п%,(10.12)
тальным значениям факторов Франка — Кондона дэксп (и) = ~4г-q00,
0 气 0 /00
где S найдено по формуле (10.1) (см. [301]). Экспериментальные данные, необходимые для вычислений, взяты из работ [308—311]. Сплошная кривая и значок V соответствуют спектру паров бен
зола, а штрих-пунктирная и значок А — раствору бензола.
Указанием на гауссов тип распределения интен- сивностей"(10.11) является переход в молекуле СЮ2 [290]. Быстрый рост интенсивностей с увеличением и качественно удовлетворяет критерию выполнимости распределения Гаусса.
На рис. 2 сплошная кривая отвечает параболе
а точки представляют экспериментальные значения величин In (Zv0Q00/Z00Qv0) — In S. Величины p и ст? находятся из эксперимента по формулам (10.4) — (10.6) [290], a S — согласно (10.1). Так как диссоциационный предел находится вблизи энергии Е н н 方 со方，то существует только левая ветвь параболы.
Следует отметить, что в случае значительного роста интенсивностей с увеличением и не всегда достигается достаточная точность вычисления параметров и и А но формулам (10.6). В таких ситуациях величины р и а? из (10.11) могут быть найдены путем про^ ведения по методу наименьших квадратов параболы
% =——" 丁产一 4- In 5 (2")一%,
где yv находятся по экспериментальным интенсивностям:
Отметим, что величины 万 и 唸 вычисленные по экспериментальным значениям интенсивностей и частот, позволяют, согласно
2252258 и. а. Малкин, В. И. Манько
225
225
(10.4), (10.5), найти параметры 〃，А, которые, как указывалось в § 6, необходимы для восстановления параметров преобразования Душинского (2.4). -
Полученные правила сумм, как и результаты для самих относительных интенсивностей, справедливы и в случае колебательной структуры ядерного у-перехода, связанной с испусканием ^-кванта ядром многоатомной молекулы. Ряд вопросов, касающихся указанной структуры, обсуждался в недавних работах [331].
§ 11. Вырожденные вибронные переходы
Принцип Франка — Кондона [273, 274], сформулированный вначале для двухатомных молекул, был распространен Герц- бергом и Теллером [275] на многоатомные молекулы. Среди много атомных молекул имеются молекулы, содержащие одинаковые атомы и допускающие некоторую точечную группу симметрии. Тогда различные моды колебаний такой молекулы можно классифицировать с помощью неприводимых представлений точечной группы симметрии молекулы. Так как среди неприводимых представлений точечных групп имеются двумерные и трехмерные, то отвечающие им неполносимметричные моды обладают двукратно или трехкратно вырожденными частотами. Характер вибронного перехода существенно зависит от типа симметрии возбуждаемых мод. Обычно из теоретико-групповых соображений следует, что для неполносимметричных колебаний невозможно смещение положения равновесия [275] и при переходе изменяется только частота моды, в то время как для полносимметричпых колебаний определяющим является эффект смещения минимума потенциальной энергии [250].
Интегралы перекрытия (ИП) для двукратно и трехкратно вырожденных мод в случае разрешенного электронного перехода, не нарушающего симметрию молекулы, рассматривались в работах [316, 317]. Некоторые ИП в представлении углового момента вычислялись в [312]. В работе [316] на примере одномерного и двумерного осцилляторов обсуждалось влияние радиального возмущения на матричные элементы перехода. В работах [298, 299] были найдены простые замкнутые выражения для ИП в случае двукратно и трехкратно вырожденных мод, получены полезные для расчетов рекуррентные соотношения и правила сумм. Используя результаты [299], авторы работы [300] проанализировали интенсивности двукратно вырожденной моды в вибронном переходе бензола. В настоящем параграфе излагаются результаты ьтих работ.
Рассмотрим вначале, следуя [299], случай, когда в результате электронного перехода симметрия молекулы не из меняется. В этом случае колебательное движение ядер, отвечающее вырожденной моде с частотой о), в гармоническом приближении описы- 226
вается изотропным осциллятором с гамильтонианом вида
N
г=1
где а『и ctj — обычные операторы рождения и уничтожения, явное выражение которых дается формулой (2.2); s — частота колебаний.
Так как вибропный переход пе изменяет симметрию молекулы, то в возбужденном электронном состоянии изменяется только частота моды. Гамильтониан, описывающий эту вырожденную моду с частотой о/, имеет вид (11.1) с заменой операторов 〃订 "па 仇，b" a G)на о/.
Так как координаты осциллятора (11.1) q преобразуются по неприводимому представлению точечной группы и симметрия молекулы при переходе не нарушается, то входящие в преобразование Душинского (2.4) сдвиги равны нулю (см. [275]). Если операторы 仰 подвергнуть ортогональному преобразованию а^ = = oikak, °"°/h = 3订，то, очевидно, гамильтониан (11.1) не изменит свой вид. Следовательно, в вырожденном случае эффект смешивания несуществен, т. е. матрицу || 5/f； ||, входящую в (2.4), без ограничения общности можно считать единичной. Таким образом, преобразование (2.5) для вырожденной моды принимает вид )
____(И-2)
Интегралы перекрытия (4.1) для когерентных состояний | а〉 и I у〉начального и конечного осцилляторов факторизуются:
(?(a) = П〈"1方〉，(n-3)
где〈打 I 出〉一интеграл перекрытия соответствующего одномерного осциллятора. Из (4.1) следует с учетом (11.2), что
// la# lY；l2 \
〈Y/®〉= a + exp (20 X
X exp [； 僞一Y言)+ 亭/•(儿4)
Интеграл!! йерё^рйтия между стйЦйойарн!лМи состояниями | 0〉 и I
4*0〉= и/ 0〉；寸伪|0‘〉= р； I vz> (11.5)
также факторизуются;
〈叫 0〉=П〈"М〉・(Н.6)
Факторизация интегралов перекрытия связана с возможностью разделения переменных в декартовых координатах 〃，следующей из (11.2) в связи с отсутствием смешивания координат. Амплитуда 〈7/ I а/〉служит производящей функцией для амплитуд <г； | г；> (см. § 4 гл. III). Разлагая (11.4) в ряд по степеням р* и а；, получаем для ИП [186]
0〉=卜OS~|~)N/2 ]j 即十:(COS 8),(11.7)
где %，,m (cosВ) — функция Вигнера [320], cos0 = 2 Jg)g//(g)+ s').
(И-8)(И-8)Отметим, что ИП〈吟 | г；> является, в силу (3.7), матричным элементом линейного канонического преобразования Боголюбова (11.2), матричные элементы которого приведены в [186], где даны ссылки на более ранние работы. Так как @3,m(cos6) является матричным элементом неприводимого унитарного представления группы О (3) [320], то из (11.7) следуют правила сумм для факторов Франка — Кондона [299]:
(И-8)
(И-8)
2-1 |-<0|0> I
%+1也
где суммирование производится вдоль прямых и^ + и} = /卜， к = i, 2, . . ., N, при фиксированных числах /卜〉0.
Теперь разберем случай N = 2, описывающий двукратно вырожденную моду. Примерами таких мод являются: деформационные колебания линейной многоатомной молекулы типа СО2 [319]; валентные плоские колебания молекулы типа XY4 с группой симметрии D^h и др. Если молекула обладает осью симметрии порядка тг ^ 3, то имеются двукратно вырожденные моды. В случае N =2 ввиду изотропности осциллятора полезно, наряду с квантовыми числами 0 (11.5), рассмотреть другие квантовые числа и, т, являющиеся собственными значениями оператора энергии и проекции момента Z3 = 〃丄发—PsQi* Волновые функции состояний | и, тп〉 с определенной энергией и проекцией момента
^f I р, ?п> = Йео (р + 1) I и, ?п>;
Z3 I р,吟=hm I % ?n〉
в цилиндрических координатах г,屮(re库=% -|- »%) имеют ёйд S 屮 I % ± 2〉三 5, 土z (г, ф) = е土仙叫о,(⑺，(11.10)
где 2 — целое неотрицательное число； числа и и 2 — одинаковой четности; 2 = и, и — 2, и — 4, . . ., 1 или 0. Приведем явный вид волновой функции [53]:
5С (Г)三〈小,Z〉= [^ 户» ! / (中『X
* ^Тг2Г ехР (-募产)Md/2 (*产)'《Л)
где Ln(2)——присоединенный полином Лагерра [88].
Волновые функции 我‘，(г, ф), описывающие колебания в возбужденном электронном состоянии, получаются из начальных волновых функций (11.10) с помощью очевидных замен s f о/, и f и', 2 f Г. Для того чтобы вычислить интегралы перекрытия 〈и', 2 I и, 2〉согласно изложенной выше схеме, необходимо построить новые когерентные состояния, которые являлись бы производящими функциями ДЛЯ СОСТОЯНИЙ I и, 2〉.
Образуем сначала
из операторов
a” bi новые
операторы
4 二
1
(a1 + 山2),42 =
〒^-(a1-‘如)，
(11.12)
々=
1
（瓦+方优），4=、
方（仇一派），
(11.13)
удовлетворяющие бозевским перестановочным соотношениям
[4“ Aj]=弘"力〃 =0;[Л/, А]] = М『；
[Bi,B}] = [5< 5<] = 0; 包，笈力=3沙
Гамильтониан (11.1) сохраняет свой вид при преобразовании (11.12). Когерентные состояния | 瓦，员〉являются нормированными собственными векторами операторов уничтожения (11.12):
4t I рр р2> =阮 I 瓦，也>；(11.14)
Bi I 6lf 62> = 6г I 6lf 62>.(11.15)
Волновые функции этих состояний получаются из волновых функций I а】，а2> (см. § 4) с помощью замен % =(瓦 + ф2)/}^2, а2 = (В】—ф2)/К2 и в цилиндрических координатах имеют вид [299]
<г'ф|Рьр2> =(矗)"ехр (-•也号团卩)X
X exp [—若一 p!p2 + }/ £ г (眦-诉 + 员川•(11.16)
Когерентное состояние | 瓦，也〉ПРИ повороте в положительном направлении на угол 0 в плоскости 鱼，必 переходит снова
229
в когерентное:
ехр (i%) I 九 р2> = I еТ叩 1，е%>.(11.17)
Разлагая когерентное состояние | 瓦，员〉в ряд по степеням 瓦，凤， находим
|р1,р2> = ехр[- (IPi^ + IM2)^] X
, и—I v+Z
X £(弓丄!上二厂LE，，,Z〉・(11.18)
Таким образом, волновая функция когерентного состояния (11.16) служит производящей функцией для волновых функций стационарных состояний (11.9). Интеграл перекрытия <61?621 阮良〉 получается из ИП (11.3) с помощью подстановки
_Y1 + 介2 k — 丫1 一 八'2_Y1 + 介2 k — 丫1 一 八'2
_Y1 + 介2 k — 丫1 一 八'2
_Y1 + 介2 k — 丫1 一 八'2
Амплитуда <6 | 卩〉,очевидно, ввиду (11.18) является производящей функцией для ИП〈и'Ци,%〉. Разлагая <61 卩〉в ряд по степеням 熒，6*, Ри Р2 и используя формулы (4.14), (4.15) гл. II, находим
(v',l\v,l) = COS-|-d^±v^/4+Z/2,(v<-v)/4+Z/2(cos 9), (11.19)
где /,т，— d-функция Вигнера [320].
В работах [298, 299] формула (11.19) была выведена другим способом. Так как d^>m/ (cos 0) является матричным элементом унитарного неприводимого представления группы О (3), то из (11.19) можно получить некоторые правила сумм. Если экспериментально не разрешается структура линий, отвечающая определенным т, то представляет интерес величина
т=[о‘，и]
(11.20)(11.20)/и” =£ I ^v',m\v,m') I2,
(11.20)
(11.20)
m=—[o', v]
где [r\ и] = min (и, и'), определяющая относительную интенсивность полосы. Из (11.19) следует правило сумм, установленное в [299]: '
(11.21)(11.21)^^[ Iv'v — (2/ + 1) cos2 ~2~ • o+o'dj
(11.21)
(11.21)
Перейдем теперь к обсуждению запрещенных электронных переходов, не изменяющих симметрию молекулы. Как уже указывалось выше (в § 8), в кондоновском приближении электронный момент запрещенного электронного перехода равен нулю (см. (8.1)). Вследствие этого обычно, следуя Герцбергу ——Теллеру 230
[275], рассматривают разложение электронного момента перехода в ряд по нормальным координатам колебательных мод (см. (8.2)).
В случае двукратно вырожденной моды в этой связи естественно рассматривать матричные элементы вида〈и', т" | 产е匂屮 | % 脸, где р и q ——целые числа. Аналогичные амплитуды возникают при учете ангармонизма. При вычислении этих амплитуд интегрирование по углу ф приводит к очевидному правилу отбора пг‘ —— ——т = q. Дальнейшее интегрирование по г приводит, как показано в [298, 299], к появлению гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных [88, 223]. Приведем явное выражение для амплитуды, полученное в [298, 299]:
/ , "八 (25、(5)/2+1/ , "八 (25、(5)/2+1(J')/4 /2无 \P/2(J')/4 /2无 \P/2
/ , "八 (25、(5)/2+1
/ , "八 (25、(5)/2+1
(J')/4 /2无 \P/2
(J')/4 /2无 \P/2
v f(】/2(，+ l + p) + i「+ l I w + 〃 QTX ШЧL ~2~2~v f(】/2(，+ l + p) + i「+ l I w + 〃 QTX ШЧL ~2~2~A)TA)T
v f(】/2(，+ l + p) + i「+ l I w + 〃 QT
X ШЧL ~2~2~
v f(】/2(，+ l + p) + i「+ l I w + 〃 QT
X ШЧL ~2~2~
A)T
A)T
义 Fz , + %P + 2； l-v.『：；Z + 1；Z，+1；义 Fz , + %P + 2； l-v.『：；Z + 1；Z，+1；2 CDCD + Wz2 CDCD + Wz2W )①十CD，/2W )①十CD，/
义 Fz , + %P + 2； l-v.『：；Z + 1；Z，+1；
义 Fz , + %P + 2； l-v.『：；Z + 1；Z，+1；
2 CD
CD + Wz
2 CD
CD + Wz
2W )
①十CD，/
2W )
①十CD，/
(11.22)
〈и', V I и + 2,2〉—〈и', V I и + 2,2〉—①一①‘ ①十со'①一①‘ ①十со'Из (11.22) легко следуют ИП〈i/, V | и, 2〉для радиальных волновых функций 屮泊(г) (11.11). Отметим, что такие интегралы перекрытия совпадают с ИП для волновых функций ангармонического потенциала типа сингулярного одномерного осциллятора, вычисленных в [302], если отождествить параметр сингулярности а с квантовым числом I. Там же приведены рекуррентные соотношения для ИП, которые целиком переносятся на рассматриваемый случай. Именно:
〈и', V I и + 2,2〉—
〈и', V I и + 2,2〉—
①一①‘ ①十со'
①一①‘ ①十со'
(о— 7)(。+ 7)[
“ —Z 十 2)®+ 2)」@ 丨。一 4 十
2 CD①十(У2 CD①十(У|je — 2 + 2)e 十 2 十 2)」|je — 2 + 2)e 十 2 十 2)」〈и' 一 2, Z 11；, Z)十〈и' 一 2, Z 11；, Z)十+ 2+ 2①'(。+1)—① e‘ +1)①'(。+1)—① e‘ +1)(w十 W)[S — 2卜2)® + /十2)]*(w十 W)[S — 2卜2)® + /十2)]*〈吟1必以 (11.23)〈吟1必以 (11.23)<У + 2,Г|и」〉<У + 2,Г|и」〉①-①①-①“г)"十，)“г)"十，)①+W L。— /十2)(?/+，+2)①+W L。— /十2)(?/+，+2)“2 X“2 XX» —2J|gZ〉十告X» —2J|gZ〉十告X〈г/, ГI и — 2,2〉+ 2X〈г/, ГI и — 2,2〉+ 2- (и — 2)3 十 Z):(加一〃+ 2)" + 〃* 2) со (г/ + 1)—①'(e + 1)- (и — 2)3 十 Z):(加一〃+ 2)" + 〃* 2) со (г/ + 1)—①'(e + 1)XX(co + W)[” 一 〃 + 2)6 十 Г + 2)M X〈г/, V I и, Z>.(co + W)[” 一 〃 + 2)6 十 Г + 2)M X〈г/, V I и, Z>.XX(11.24)(11.24)
2 CD
①十(У
2 CD
①十(У
|je — 2 + 2)e 十 2 十 2)」
|je — 2 + 2)e 十 2 十 2)」
〈и' 一 2, Z 11；, Z)十
〈и' 一 2, Z 11；, Z)十
+ 2
+ 2
①'(。+1)—① e‘ +1)
①'(。+1)—① e‘ +1)
(w十 W)[S — 2卜2)® + /十2)]*
(w十 W)[S — 2卜2)® + /十2)]*
〈吟1必以 (11.23)
〈吟1必以 (11.23)
<У + 2,Г|и」〉
<У + 2,Г|и」〉
①-①
①-①
“г)"十，)
“г)"十，)
①+W L。— /十2)(?/+，+2)
①+W L。— /十2)(?/+，+2)
“2 X
“2 X
X» —2J|gZ〉十告
X» —2J|gZ〉十告
X〈г/, ГI и — 2,2〉+ 2
X〈г/, ГI и — 2,2〉+ 2
- (и — 2)3 十 Z)
:(加一〃+ 2)" + 〃* 2) со (г/ + 1)—①'(e + 1)
- (и — 2)3 十 Z)
:(加一〃+ 2)" + 〃* 2) со (г/ + 1)—①'(e + 1)
X
X
(co + W)[” 一 〃 + 2)6 十 Г + 2)M X〈г/, V I и, Z>.
(co + W)[” 一 〃 + 2)6 十 Г + 2)M X〈г/, V I и, Z>.
X
X
(11.24)
(11.24)
Эти рекуррентные соотношения позволяют просто вычислять значения интегралов перекрытия.
Отметим, что интеграл перекрытия〈и', " % 2〉рассматривался ранее в работах [317] и для него были получены некоторые рекуррентные соотношения, отличающиеся от (11.23), (11.24).
Рекуррентные соотношения для ИП <г/,厂 | 产 | и, 2〉получаются из соотношений (11.23) и (11.24) путем замены i/f г/ + р/2 в коэффициенте при〈г/, Г | и, 2〉соотношения (11.23) и замены и f и 壬 р12 в коэффициенте при〈г/, V | и, 2〉соотношения (11.24).
Обсудим теперь кратко, следуя [299], случай трехкратно вырожденной колебательной моды. Если молекула допускает тетраэдральную или октаэдральную точечную группу симметрии, то у нее имеется трехкратно вырожденная колебательная мода. Колебательное движение ядер, отвечающее этой моде, описывается трехмерным изотропным осциллятором с гамильтонианом (11.1) при N = 3.
Волновые функции начального и конечного состояний осцилляторов в декартовых координатах распадаются на произведение одномерных ИП. В силу инвариантности гамильтонианов начального и конечного состояний относительно группы вращений, эффект смешивания мод отсутствует. Это приводит к факторизации ИП в виде произведения трех одномерных ИП (11.6). Факторы Фрэнка — Кондона |〈岁‘ | 岁〉『подчиняются правилам сумм (11.8).
Очевидно, что гамильтониан трехмерного изотропного осциллятора допускает разделение переменных в сферических координатах. Это позволяет представить волновые функции стационарных состояний с энергией Е =方со (и + 3/2), обладающих определенным моментом, в виде <г | и,厶脸=Rvl (г)У г> m (0, ф), где Yцт (0, ф) — нормированные сферические функции. Как известно [53], радиальная волновая функция имеет вид
“• I % Z〉三 Rvl (г)=
й / г [(« + z +3)/2] \\h) /2 (冗卜
(11.25) Интегралы перекрытия ®', I, т \v, Z, иг〉= Q', I | и, Z〉，являю- щиеся, по существу, ИП для радиальных волновых функций (11.11), редуцируются, ввиду (11.25), к аналогичным амплитудам <i?\ I \v, I) (11.19). Приведем окончательный результат [299]:
〈г/, Ц т \ и,厶 тп〉= (cos ①"。力м (cos 0), (11.26)
где cos 0 = 2 JcoS/® + co');必夕次一d-функция Вигнера [320], J {у + v + 1)/4, M = (2l-Yi+v-吟/4, Mf = (2/ + 1 + + 房 一 0/4.
Для интегралов перекрытия 〈i/, I \ v, I) между радиальными волновыми функциями (11.25) в [298, 299] получены рекуррентные соотношения, которые следуют из рекуррентных соотношений (11.23), (11.24) с помощью замен
и и + V2, V и' + 1/?, 2 2 十 %, (11.27)
Квазиклассическая асимптотика ИП 〈г/, 2 | % 2〉в случае двукратно и трехкратно вырожденных мод сводится к квазиклас- сической асимптотике d-функции Вигнера, подробно рассматриваемой в гл. X.
Применим полученные выше результаты для анализа некоторых интенсивностей вибронного перехода бензола B2U ^ Alg в системе 2600 А. Серия полосы Ло (обозначения по Ингольду [308]) отвечает переходам с возбуждением в обоих состояниях вырожденных колебаний типа Е^ (С), т. е； переходов вида
Од 1 * S + — Од 0 + S + .Ag Eg(C)成(С) lg Eg (С)成(С)
В рамках гармонического приближения эти переходы моделируются двумерным изотропным гармоническим осциллятором. Интегралы перекрытия для вол новых функций, описывающих дважды вырожденные колебания, даются формулой (11.19). Фактор Франка ——Кондона равен квадрату интеграла перекрытия, умноженному на статистический вес е (Z), который равен 1 для Z = 0 и 2 для 2 声 0. Таким образом, относительная интенсивность полосы Ло задается, с учетом больцмановского фактора, выражением [300]
/ (S)// (0) = e-^!HTW (у, (11.28) где W (S) = 2 ]。證 z/2 (0) |2 е (Z). Суммирование здесь ведется по всем 厶 допустимым для данного S. Приведем значения нескольких первых выражений W (S):
S
W (S), у = cos? (0/2)
1
2
2y+ (2у —1)2
3
2®з_(Зу — 2)2]
4
2哽 + 2 (4у — 3)2у2 + (6у2 — бу + 1)2/
5
2 [у5 + 唄(5у — 4)2 + у ®2 _ 12y + 3)]-
Здесь каждый отдельный член в сумме представляет собой вклад определенного значения I со своим статистическим весом.
Предполагается, что при электронном переходе не изменяется точечная группа симметрии равновесной конфигурации молекулы и, следовательно, для вычисления интенсивностей переходов можно использовать формулу (11.19). Кроме того, колебание Е^С) не смешивается при возбуждении с другим колебанием той же симметрии.•”
Частоты со и со' равны соответственно 405 и 243 см-1 [308]. Больцмановский фактор при Т — .300 К равен 0,135. Подставляя
Таблица И
Интенсивность полос /f
S
Эксперимент [308]
Теория
0
1,000
1,000
1
0,253
0,254
2
0,081
0,047
3
0,0104
0,075
эти величины в (11.28), гшходим значения интенсивностей полос Ло- Результаты приведены в табл. 11.
Электронный переход, вызывающий нарушение симметрии молекулы
В настоящем параграфе изложенная выше общая схема расчета факторов Франка — Кондона применяется для рассмотрения вибронного перехода, при котором молекула в основном и возбужденном электронных состояниях обладает различной точечной группой симметрии.
В качестве простейшего примера такого перехода рассмотрим, следуя [298, 299], случай, когда при вибронном переходе число колебательных степеней свободы сохраняется. Например, молекула в основном электронном состоянии имеет двукратно вырожденную моду колебаний с частотой со, а в возбужденном электронном состоянии это вырождение частот оказывается снятым.
Вырожденные колебания в основном электронном состоянии молекулы описываются двумерным изотропным осциллятором, гамильтониан которого 能m имеет вид (11.1) с W = 2. Этот гамильтониан не изменяется при повороте в плоскости нормальных координат ди д2.
В возбужденном электронном состоянии колебания молекулы описываются гамильтонианом 阳=р2/2 + Uf(%, g2)- Потенциальная энергия колебаний в возбужденном состоянии является неоднородной положительно определенной квадратичной формой
SSl 02)= % 4弘4 + (九 4)=
=U1171 + 2a1291% +.a22 状+ /191 +/292， (12.1)
причем unu22 —唸 > 0, и” > 0. Упростим теперь гамильтониан 凭г, приведя квадратичную форму 〃f к диагональному виду некоторым ортогональным преобразованием S. Существенно, что при таком преобразовании не изменяется гамильтониан 能п 234
В новых координатах 沙=Sq потенциальная энергия имеет вид
Uf = %(3：У； + ^2 У2)+ С1У1 + &%,
где с = Sf, $=(_：以黑".Очевидно, что %, у2 являются нормальными координатами, а со； и со； — частотами этих колебаний. Угол поворота % определяется коэффициентами квадратичной формы
1IWii — “22］ %
cos %1 Н厂 u.
УК (^11 — М22)2 + U12 „
В переменных “ волновые функции когерентного состояния
I %, ?2〉f конечного осциллятора имеют вид
,/ ①网「со；СО：с
I 71，72〉f =(n2龙2 ) exp {2i~(力 + Al)2而®2 + a2)-
-4 ［就)2 + (磅2 + I*2+也『］-J曹打仇+ Д1)_
--/ 72 仇 + А2)} ,(12.2)
где А】=& / (co；)?, А?=已2 / (ci)2)2- Волновые функции когерентного состояния I а1?网兄门 начального осциллятора получаются из (12.2) с помощью очевидных замен 力 f S； со： f со; А» = 0. Волновые функции (12.2) являются, так же, как и волновые функции стационарных состояний, произведением двух волновых функций одномерных осцилляторов. Следовательно, интегралы перекрытия (ИП) факторизуются:
5 也 I %, а2> = 5 I а)"? I 3；
〈％,内 I 乙，I；?〉=〈％ I %〉®2 I 办〉・
Амплитуды перехода 〈丫八仪艺〉являются гауссовыми интегралами перекрытия типа (4.1) и легко вычисляются:
〈鹏…exp(-丁^7A"X
X ехрX ехр—^-（g『十丨力f）+—^-（g『十丨力f）+XX++•储一YT）+4 ①+吗M6臂A{八；哈•储一YT）+4 ①+吗M6臂A{八；哈2 И①①；-Xs + g2 И①①；-Xs + g(12.3)(12.3)
X ехр
X ехр
—^-（g『十丨力f）+
—^-（g『十丨力f）+
X
X
+
+
•储一YT）+
4 ①+吗
M6臂A{八；哈
•储一YT）+
4 ①+吗
M6臂A{八；哈
2 И①①；
-X
s + g
2 И①①；
-X
s + g
(12.3)
(12.3)
Так как амплитуда 〈丫" а〉является производящей функцией для амцдитуд 〈川 I и», то, раз〃аган〈丫^ | %〉в ряд лд степеням
аг и у* в соответствии с (5.4), находим [299]
e；, и； I %,方〉=2e；, и； I %,方〉=2co V 4%co V 4%一（①+喚①+ %）一（①+喚①+ %）*/sX*/sX
e；, и； I %,方〉=2
e；, и； I %,方〉=2
co V 4%
co V 4%
一（①+喚①+ %）
一（①+喚①+ %）
*/s
X
*/s
X
гдегдеX expX exp1/ SSiо①①。 c\ 12"( ^a1+ Г-а2 ) XX H 「zj H r (г2, г2), 勺，。1"2，°21/ SSiо①①。 c\ 12"( ^a1+ Г-а2 ) XX H 「zj H r (г2, г2), 勺，。1"2，°2(12.4)(12.4)
где
где
X exp
X exp
1/ SSiо①①。 c\ 1
2"( ^a1+ Г-а2 ) X
X H 「zj H r (г2, г2), 勺，。1"2，°2
1/ SSiо①①。 c\ 1
2"( ^a1+ Г-а2 ) X
X H 「zj H r (г2, г2), 勺，。1"2，°2
(12.4)
(12.4)
z±z±U2co cojU2co coj, У 2со. соzl^R …2), У 2со. соzl^R …2)
z±
z±
U2co coj
U2co coj
, У 2со. со
zl^R …2)
, У 2со. со
zl^R …2)
и функции Ug g (zt，z；) являются полиномами Эрмита от двух переменных [88, 223]. Из (12.4) находим парциальную интенсивность 0 — 0-перехода аналогично соотношению (6.7)
|<0,0|0,0〉|2|<0,0|0,0> I2
4co /Ш1Ш24co /Ш1Ш23 +《)(s + %)3 +《)(s + %)2 I © 0 丨 ％,砲〉卩—2 I <J " I 0, 0〉|2
4co /Ш1Ш2
4co /Ш1Ш2
3 +《)(s + %)
3 +《)(s + %)
/COCO. оCOCO- , \
exp (■~— &-Л-毎.(12.5)
\①+ %①+①2/
Если в результате электронного перехода происходит только изменение частот, а минимум потенциальной энергии “(％,%) не смещается, т. е. А； = 0, то интеграл перекрытия значительно упрощается. Получаем
,,* I 、/ 瓦 62,(Г1+V?)/2公(з+久)/2
心 I 几,3〉= (coscos)/2 他)m,电工)/岁)， где cos (仇⑵=2)Лyз；/(з + co；), cos (仇⑵=2p33；/(3 + co^)" Из этих выражений получаем дополнительное правило сумм
yi yi 〈а,0；1也,方2>2 _ 1
2-j2-j-
Di+u：=2厶 v2+v^—2；2
Правило сумм (12.5) переходит теперь при А» = 0 в произведение двух величин 2Mcoco； / (со + со；) и 2Hз血 / (со + 喲 в соответствии с известной формулой Герцберга — Теллера (см. [256], (II, 29), стр. 150).
Наряду с колебательными числами %, и?, начальное состояние можно характеризовать другими квантовыми числами: проекцией момента I и радиальным колебательным числом и. Волновые функции состояний I и, 2〉 приведены в § И (см. (11.11)). Прежде чем находить интегралы перекрытия 〈и], u^lu, 2〉, полезно вычислить амплитуду 〈％, 也 | % 2〉, двляющуюся прои^во^дщен функцией для〈％,弘 I % 2〉，
Для нахождения〈и；, и] | и, 2〉используем метод, развитый в § 11. В амплитуде <у1?也 | %,网〉величины аг положим равными, в соответствии с (11.6), % =(必 + 他)/ )^2, а2 =他一単2)7» И получим амплитуду〈打，72 | 国，“〉• разлагая <^1?已 | 自，伝〉, являющуюся производящей функцией для〈丫厶 丫2 I % 2〉，в ряд по степеням 瓦，％ получаем [299]
<Тп 也|%2〉= <0, 0|0,0><Тп 也|%2〉= <0, 0|0,0>V - £0 +1V - £0 +1ЯЛ±£ , 22±(гъ г2)хЯЛ±£ , 22±(гъ г2)хгдегдеX ехрX ехрL \ 2丿，」4 ①+ /4①+%①+ %L \ 2丿，」4 ①+ /4①+%①+ %+ -^У^-^Ш+Ы)]，(12.6)+ -^У^-^Ш+Ы)]，(12.6)
<Тп 也|%2〉= <0, 0|0,0>
<Тп 也|%2〉= <0, 0|0,0>
V - £
0 +1
V - £
0 +1
ЯЛ±£ , 22±(гъ г2)х
ЯЛ±£ , 22±(гъ г2)х
где
где
X ехр
X ехр
L \ 2丿，」
4 ①+ /4①+%①+ %
L \ 2丿，」
4 ①+ /4①+%①+ %
+ -^У^-^Ш+Ы)]，(12.6)
+ -^У^-^Ш+Ы)]，(12.6)
Интегралы перекрытия〈и；, и] | и, 2〉находим, разлагая производящую функцию〈Yu Y2IP1，р2> в ряд по степеням 丫扌,丫^,卩口 р2- Окончательно получаем
〈儿從旧？〉=〈0,010,0〉\— X
X H 廿+七 ®—I，，(Z/2Z3Z4),(12.7)
где
Z1 =Z1 =М* ». М 33；
Z1 =
Z1 =
— 01 — %г①+ %①+ %
h2 —;— 02 十 4 Г
СО + %со + С02
①+ %①+ %通6"①+%通6"①+%
①+ %
①+ %
通6"
①+%
通6"
①+%
и НП1пгп^(Z1Z2Z3Z4) — полином Эрмита от четырех переменных [88]. Формула (12.7) находится в полном соответствии с убщим результатом (4.3),
Глава VIII
Симметрии релятивистских волновых уравнений и уравнений с внутренними переменными
Динамическая симметрия релятивистгкого волчка
В предыдущих главах мы показали, что нерелятивистские квантовомеханические системы, такие, как осциллятор, ротатор, атом водорода, обладают динамическими симметриями, которые позволяют описывать поведение системы полностью в рамках одного неприводимого представления группы симметрии. В настоящей главе будут рассмотрены некоторые простые релятивистские волновые уравнения и уравнения теории поля, причем мы покажем, как метод динамических симметрий, использованный в том же аспекте, что и в предыдущих параграфах, описывает эти волновые уравнения.
Рассмотрим в настоящем параграфе некоторое модельное релятивистское уравнение со спектром масс.
Одним из основных инструментов для описания поведения квантовых систем, будь то атомы, молекулы, ядра атомов или элементарные частицы, являются волновые уравнения. Волновые уравнения можно рассматривать как с учетом специальной теории относительности Эйнштейна,— это релятивистские волновые уравнения, подходящие для описания квантовых объектов, обладающих скоростями, приближающимися к скорости света,—— так и нерелятивистские волновые уравнения, например уравнение Шредингера и уравнение Паули, описывающее частицу со спином 1/2. Что касается релятивистских волновых уравнений, предназначенных в первую очередь для описания элементарных частиц, то их можно разделить, хотя и несколько условно, на три типа. Во-первых, это уравнения для волновой функции, имеющей конечное число компонент и описывающей объект с конечным спином. Первое релятивистское волновое уравнение для частицы со спином 1/2 было написано в 1928 г. Дираком [321]. Во-вторых, это уравнения типа написанного в 1932 г. Майорана [322] для волновых функций с бесконечным числом компонент. К третьему типу релятивистских уравнений, описывающих объекты с бесконечным числом спиновых состояний, можно отнести уравнения с непрерывными «внутренними» переменными. Впервые такое уравнение, основанное на модели релятивистского волчка, бдао предложено в 1947 г. Гинзбургом и Таммом [323],
Ниже мы оСтаиовиМСй на последних двух типах уравнений, являющихся основной темой настоящей главы.
Построение релятивистских уравнений тесно связано с теорией представлений групп Ли, особенно с теорией неприводимых представлений группы Лоренца и группы Пуанкаре.
Обзор теории релятивистских уравнений с внутренними переменными был дан в работе Гинзбурга [324] (см. также [325]). После того как на ускорителях было открыто в шестидесятые годы большое число новых элементарных частиц — резонансов, спектр масс которых находится в настоящее время примерно в интервале от одной до пяти протонных масс, а спины имеют большие значения, до s 〜10 (см. таблицы Розенфельда), опять возродился усиленный интерес к релятивистским уравнениям со спектром масс и высшими спинами, особенно в связи с успехами применения в теории этих уравнений идей и методов динамических симметрий. Особенно большое количество работ на эту тем у стало появляться после важной статьи Намбу [3271. Причем в последнее время разрабатывается как подход, основанный на введении внутренних переменных, так и подход, основанный на приписывании волновой функции индекса, пробегающего бесконечный набор значений, определяемый групповыми свойствами, которые постулируются для волновой функции. В этой связи представляет интерес изучить все аспекты теории бескопечнокомпопентпых уравнений со спектром масс, в частности динамические симметрии этих уравнений, в рамках развитого в предыдущих параграфах подхода.
Перейдем теперь к рассмотрению релятивистского уравнения Гинзбурга — Тамма, следуя работам [323 — 325].
Как уже отмечалось, Гинзбург и Тамм предложили ввести новые внутренние непрерывные переменные, например 4-вектор Волновая функция 可 становится при этом зависящей от координат центра масс частицы х^ и от внутренних переменных 心 Можно считать, что 4-вектор 乂卩 является 4-вектором относительного движения какой-то структурной составляющей элементарной частицы около ее центра масс. Исходя из этих соображений, рассмотрим генераторы группы Лоренца М^. Эти генераторы являются обобщением на случай четырехмерного пространства генераторов поворота в обычном трехмерном пространстве ①订 которые можно реализовать известным образом:
&к ~%(3 ^ — 4 言)0,归=1，2, 3).(1」)
Если построить квантовомеханический гамггльтониан ротатора, то он будет иметь вид
能=(2J尸厶心h能=(2J尸厶心h(1・2)
能=(2J尸厶心h
能=(2J尸厶心h
239
Антисимметричная матрица £[左 выражается аерез оператор углового момента следующим образом:
= 0Z(1.3)
Величина / связана с моментом инерции волчка. Гинзбург и Тамм предложили следующее обобщение описанного трехмерного волчка. Пусть генераторы группы Лоренца М^х задаются формулами
%《卩 ^u«v 房)(卩,屮 к 0,1, 2, 3),(1.4)
т. е. являются генераторами поворотов четырехмерного пространства. Тогда величина
"(乂卩；^~) = A/gv^gv(1・5)
является инвариантом и очевидным образом обобщает гамильтониан нерелятивистского волчка (1.2) на релятивистский случай. Теперь можно обобщить уравнение Дирака или Клейна — Гордона, считая волновую функцию зависящей от координат «центра масс» системы х^ и внутренней переменной иц. Таким образом, получаем уравнение Гинзбурга — Тамма:
[ас3/ — 7济 + M^VMgvj 田(&, ”7)= 0・(1 ・6)
Константа 卩 аналогична моменту инерции J в формуле (1.2), а величина тп? — постоянная. Чтобы решить уравнение (1.6), заметим, что переменные 乂卩 и 第卩 в этом случае разделяются, а волновая функция 4r может быть факторизована:
中(第中陶)=中(冲)①(祠.(1.7)
При этом функция ф (乂卩)является собственной для оператора /^
L* = M^xM^v/2]% ①—九 1 ①.(1.8)
Тогда для функции 4r (第卩)имеем соотношение
(□ _ 加2 + 九0)屮(喇=0-(1.9)
Как обычно, состояние с определенной массой отождествляется С решением этого уравнения следующего вида:
屮(第卩)=С exp (— imQf).(1.10)
Это означает переход в систему покоя (р = 0), и мы имеем соотношение для массы частицы
."="2 —入口(1.11)
Таким образом, спектр масс, описываемый уравнением Гинзбурга — Тамма, задается собственным значением инвариантного оператора Е「В работе Гинзбурга и Тамма [323] четырехвектор 乂卩 выбирался пространственноподобным. Этот выбор обусловливался желанием иметь дискретный спектр значений Х1? а тем самым и дискретный спектр масс (1.11). Легко показать, переходя к сферическим координатам на однополостном гиперболоиде
и。= г sh %;% = г ch % sin 9 sin 屮； (1.12)
и】=r ch % sin 9 cos 屮； U3 = r ch % cos 0,
что оператор Е] задается в дифференциальной форме следующим выражением:
G3(1.13)
Здесь оператор L имеет вид
乙二备^32%/)十备(1，m)
где А仇屮一угловая часть трехмерного оператора Лапласа — равна
А仇中=謚糸(sin噥)^亲.(1.15)
Если искать только те решения уравнения на собственные значения (1.8), которые обладают конечной нормой, т. е. квадратично- интегрируемые на однополостном гиперболоиде, то получится дискретный спектр 九「Действительно, переменные %, 8 и 屮 разделяются, т. е. функцию Ф можно факторизовать:
①以，仇(р)= у，,т(е,屮)Е (办(1.16)
Здесь У^щ (9, ф) — обычные сферические функции, a R (%) удовлетворяют уравнению
[Уг^И % S + ^Щ^ + 屮(%)= °-。」7)
Нормированным решением этого уравнения являются полиномы Лежандра Р{ (th %). Здесь j — целое число. Действительно, введем новую переменную и новую функцию:
z = th%; Р = ]Л 匸0Е.(1.18)
Тогда уравнение (1.17) перепишется в следующем виде:
(1 —z2)署一2z 嘗+不+ 1)p+宙P=0.(1.19)
Это стандартное уравнение для функции Лежандра [328]. Оно имеет в качестве нормируемых решений полиномы Лежандра jP{ (z). Здесь I и / — целые числа.. Полиномы нормированы следую-
.241
Щим образом [328]:
、丨用(z)Fdz = *^ 玲.(4.2。)
Собственное значение X дискретно и связано с числом /:
九=—产 + 1,/ = 1, 2, 3,・• •(1-21)
При этом число I пробегает значения
Z = /, 7 + 1, / + 2, . . .(1.22)
Если же взять времениподобный вектор 乂卩,то, как показано в работе [323], у уравнения на собственные значения массы не будет нормируемых решений и будет только непрерывный спектр масс. В работе [3291 уточняется данное рассмотрение и учитывается также непрерывный кусок спектра оператора £「Дело в том, что этот оператор подобен гамильтониану атома водорода, обладающего как непрерывным, так и дискретным спектром энергий. Собственные функции дискретного спектра нормируемы, собственные функции непрерывного спектра ненормируемы. Но, если ставить задачу таким образом, чтобы работать в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых па однополостпом гиперболоиде функций, нужно учитывать весь спектр, как дискретный, так и непрерывный его куски, чтобы иметь полную в этом пространстве систему функций. Безусловно, можно выбрать из этого пространства подпространство, в котором будет полной система функций, принадлежащих только дискретному спектру. Особенно ясен результат, полученный Гинзбургом и Таммом [323], на групповом языке. Дело в том, что массовый оператор А1? по существу, является оператором Казимира С\ (см. [330]), что отмечалось и в [323]. Второй оператор Казимира С2 для данной реализации представления группы Лоренца равен нулю. Спектр операторов Казимира для неприводимых представлений группы Лоренца хорошо известен (см., например, [326, 50], а также [332, 333]):
Сх - -(/ - 1) + 吟 Q = _ а/.(1.23)
Здесь / — целое или полуцелое, а — положительное действительное число. В реализации (1.6) на однополостном гиперболоиде, если требовать квадратичной интегрируемости собственных функций оператора С1? число а = 0, / — целое число. Это показано в [323]. Можно этот результат сформулировать и по-другому. Поскольку вектор и^ пространственноподобен, то задача о собственных значениях оператора Казимира С工 эквивалентна задаче о построении полной системы функций на однополостном гиперболоиде, т. е. на однородном многообразии, задаваемом стационарной группой вектора (0, 1, 0, 0). Это та же задача, что и о раз-
ложении квазирегулярного представления на однородном многообразии на неприводимые составляющие. В случае двухполостного гиперболоида (времениподобный вектор 乂卩,стационарная подгруппа вектора (1, 0, 0, 0)) она была решена в [326]. Для однополостного гиперболоида решение дано в [334] и подробное применение к рассматриваемой задаче дано в [329].
Обсудим теперь полученный спектр масс. Как видно из формул (1.11), (1.23), квадрат массы дискретен и каждое значение бесконечнократно вырождено по числу I и проекции момента на ось z (Z，. Масса состояния зависит только от числа у. Теперь перейдем к вопросу об описании полученного спектра масс на основе представления более широкой некомпактной группы. Здесь имеется ряд возможностей. Можно пытаться вкладывать группу Лоренца в более широкие группы; например, группа Лоренца 0(3,1) может быть вложена в группу де Ситтера О (3,2), а затем в группу 0(4,2), описывающую динамическую симметрию атома водорода. Для того чтобы реализовать это вложение, к генераторам группы Лоренца М^х (1,4) можно добавить дополнительные генераторы (см. § 6 гл. I), описывающие вращение в шестимерном пространстве. Тогда реализованное на полиномах на четырехмерной сфере представление группы 0(4,2) можно рассматривать как приводимое представление группы Лоренца 0(3,1). Можно поступить по-другому, добавив к операторам а^ — 缜％ = ”宀 где 匆=(〃а + А / ди^!У2^ дополнительные операторы 〃[优 + + а工曲.Вместе с предыдущими операторами мы получим алгебру Ли группы U (3,1)- Эта алгебра Ли может быть включена в алгебру Ли группы U (3,2). Таким образом, эти группы можно связать со спектром масс релятивистского волчка, полученным на основе релятивистского уравнения Гинзбурга —Тамма.
Релятивистские осцилляторные модели
Рассмотрим в данном параграфе динамические симметрии релятивистских волновых уравнений, основанных на осцилляторных моделях. В последние годы такие модели интенсивно используются для описания свойств элементарных частиц (см. работы [335, 336, 51] и обзоры [325, 337]). Нерелятивистский случай обсужден в [338].
Ниже для частиц с полуцелым спином будут рассматриваться уравнения типа (см. [51, 325])
加肃+厶脸，…)了=°，(2.1)
где 4r (?卩，u^v, . . .) является биспинором, на который действуют дираковские матрицы уц.
В случае частиц с целым спином мы.будем использовать волновую функцию 4f/(%,件、,….)？ явлдющуюся 4-вектором (индекс у)
и подчиняющуюся уравнению
[疥九一％" _ 厶(^v, ...)] ¥j = о.(2.2)
В качестве переменных 也 выберем совокупность 4-векторов и®, где индекс а отвечает номеру осциллятора и не имеет ничего общего с векторным индексом 卩.Оператор L в (2.1) и (2.2) выбирается в виде
乙=｝百星(一爲+唯呼｝ (2。3)
где, как и везде в других местах, подразумевается суммирование по векторному индексу 卩=1, 2, 3,4. Использование выражения осцилляторного типа для L диктуется связью с унитарной группой SU(3).
В уравнениях (2.1) и (2.2) переменные разделяются, и, таким образом, их решения можно записать в виде
▽ = 中 Ы(p (呦； %=% (加中(呦，(2.4)
где под ф (唬)понимается произведение Н 屮(绍)“
а, а
Поскольку координаты м? = Шо являются мнимыми, спектр оператора L бесконечно вырожден [51]. В этой связи достаточно использовать дополнительное условие на биспинор 4r или вектор К [339]:
爲(唯一諭 ¥ =Q.5)
言(呼-总Q.6)
положив в (2.4) 4r (第卩)= A exp [—i (Et — pr)]; r = (/, g, /); 第4 = Z力％ = c = 1. Тогда в системе покоя (при р = 0; при этом считаем, что Е 市 0) уравнения для ф (uj) принимают вид
(L - X) ф (и«) = 0;(^-^^(^) = 0,(2.7)
где в случае уравнения (2.1) Е? = (乂 + X) 2, а для уравнения (2.2) Е2 工乂2 + 九.Собственные значения для масс покоя \ Е \ = =М соответственно таковы:
勿Ь = К +』Sab 绮 + % +時+ 1)；(2・8)
сс=1
4爲=炉+』呢П (呼+吟+嘴+ 1),(2.9)
Здесь n1)2i3 = О, 1, 2,….,коэффициенты 比(2.3) обозначены через Sab (барионы) И (0am (мвЗОНы), ПОСКОЛЬКУ размерность Ьа в обоих случаях, конечно, различна. Роль условий (2.5), (2.6) состоит в том, что они приводят к необходимости полагать 汽彳=0 (это, разумеется, уже учтено в (2.8), (2.9)).
Легко видеть, что собственные функции системы (2.7) реализуют неприводимые представления группы U (3N), задаваемые старшим весом (N, 0, . . ., 0), где число нулей равно 3N — 1. В этой связи сразу же ясно, что использовать один осциллятор (N = 1) мы не можем — этому случаю отвечают старшие веса (N, 0, 0); в то же время октету соответствует старший вес (2, 1, 0). Для двух осцилляторов (N = 2) уже можно построить все необходимые унитарные мультиплеты [51, 325]. Однако оператор момента количества движения оказывается не коммутирующим с генераторами Тз и У группы SU (3). Поэтому, очевидно, нельзя построить функции, являющиеся собственными для всех трех операторов： внутреннего спина М, изоспина Т и гиперзаряда У. Минимальное число осцилляторов Nmin, дающее возможность построить все унитарные мультиплеты с коммутирующими операторами Г, М, М^ Тз и У, равно трем. Именно случай трех осцилляторов (N = 3) и обсуждается ниже. Отметим вместе с тем, что при N = 4 роль группы SU (3) играет уже группа SU (4), также обсуждаемая в литературе [325, 337] в связи с квантовым числом «чарм» и Т-частицами.
Итак, положим N = 3 и введем операторы (a = 1, 2, 3)
(2.10)(2.10)
(2.10)
(2.10)
удовлетворяющие соотношениям
[а®,碍彳]=SijSap；[戏，a?] = [a产，a戶]=0.(2.11)
Очевидно, что
£ь=玄 Sab(碍偿+ 1)； £m=£ 嗚n(a#a叶 1).(2.12)
а=1а=1
Оператор
Т“В _ а产碍(2.13)
удовлетворяет коммутационным соотношениям группы U (3): 口吗7吗_通产_ %6?吗(2.14)
Оператор момента количества движения, связанный с переменными uf,
з
(2.15)(2.15)м引=一 ％ S仲产与-缉彳呼）5*1
(2.15)
(2.15)
2锌
коммутирует со всеми генераторами группы U (3):
[7明 ми] = 0.(2.16)
Поскольку операторы r3, Т и Y выражаются через операторы 7邱 (см. ниже), соотношение (2.16) обеспечивает коммутацию оператора спина М^ с Тз, Т и Y.
Каждое решение уравнений (2.7) характеризуется прежде всего главным квантовым числом % равным
з
(п^+ П^+ 噌.(2.17)
сс—1
Если частоты s^ одинаковы, то все решения с данным п имеют одинаковую массу; если же частоты s^ разные, то решения с данным п группируются по различным уровням. Однако все они принадлежат одному и тому же унитарному мультиплету группы U (9), задаваемому старшим весом (пОО ООО 000). Отсюда вытекает, что и унитарные мультиплеты группы U (3), вообще говоря, будут содержать состояния с разными массами.
Определим значения спиновых моментов для некоторых нижних уровней. Для этого мы сначала сузим представление группы U (9) до группы U (3) X U (3), а затем еще раз сузим полученные представления до группы U(3) X О (3). Правила первой редукции вытекают из теории групп. Мультиплет с и = 0 есть унитарный синглет с моментом нуль, мультиплет с п = 1 остается неприводимым и имеет старший вес [(100), (100)]. Мультиплет (200 000 000) = [(200), (200)] + [(110), (110)]; мультиплет с п =3 имеет содержание
(300 000 000) = [(300), (300)] + [(210), (210)] + [(111), (111)].
Правила последующей редукции выводятся на основе формулы для характеров неприводимых представлений группы SU (3). Характер xmim2 неприводимого представления, задаваемого старшим весом (zTZi, ztz2), имеет вид
ХтП1?П2 —ХтП1?П2 —^mi^miХтгНХтгН"%7И1Хт2 — Хт1+1Хт2-1?"%7И1Хт2 — Хт1+1Хт2-1?(2.18)(2.18)
ХтП1?П2 —
ХтП1?П2 —
^mi
^mi
ХтгН
ХтгН
"%7И1Хт2 — Хт1+1Хт2-1?
"%7И1Хт2 — Хт1+1Хт2-1?
(2.18)
(2.18)
где %т есть характер неприводимого представления группы SU (3) со старшим весом (т, 0); в то же время Хт содержит все те моменты, которые есть у уровня трехмерного осциллятора с главным квантовым числом т, т. е. моменты I = m, I = m — 2,... до 2 = 0 (четное zn) или 1 (нечетное 喻.Отсюда получаем, что моменты, которые содержатся в представлении (ш*, т^, следует искать по такому правилу: складываем между собой все моменты в представлениях (тъ 0), (т2, 0) и в представлениях (т2 — 1, 0), (m1 + 1,0), а затем из первой суммы вычитаем вторую. Для октета, таким образом, присутствуют моменты 2 口 I (размерность 8)・
По этому правилу нетрудно получить состав по моментам для любого мультиплета группы SU (3).
Определим число состояний для главного квантового числа-п. Для нашего случая п = 3, п X N = 9 и Е (0) = 1, R (1) = 9, 五(2) = 45, R (3) = 165. Следовательно, содержание состояний по моменту и мультиплетам группы SU (3) следующее:
тг = 0 = (0,0);
於=1 = (3,3);
zz = 2 = (6,5) + (6,1) + (3,3);
^ = 3 = (10,7) + (10,3) + (8,5) + (8,3) + (1,1);(2.19)
汽=6 = (28,13) + (28,9) + (28,5) + (28,1) + (35,11) +
+ (35,9) + (35,7) + (35,5) + (35,3) + (27,9) + (27,7)十
+ (27,5) + (27,1) + (10,7) + (10,3) + (10,7) + (10,3) +
+ (8,5) + (8,3) +(1,1).
Здесь использованы обычные обозначения: в правой части в скобках слева стоит индекс мультиплета группы SU (3), а справа — значение 2Z + 1, где I — момент. Из этих разложений можно видеть, что нижние состояния 汽=1 и 汽=2 отвечают кваркам, имеется синглет п = 0, только для п — 3 появляются октет и декуплет.
Можно дополнительными условиями исключить кварковые решения. Здесь мы можем указать, например, на две возможности. Наложим на 4f дополнительное условие [51]
ехр (号")'Р = К ^i = 4~ Ц (-~ 3- (2・20)
Условие на 4f了 является точно таким же. Для функций ср (и?), удовлетворяющих уравнениям (2.7), действие оператора % есть умножение на
з
СС —1
Поэтому условие (2.20) означает, что п должно делиться на 3 и, таким образом, п = 0,3, 6, . . . Тем самым мы отбрасываем «кварковые» состояния с п ~ 1 и 2. Однако и в этих условиях остается «лишний» уровень с п == 0. Если использовать вместо (2.20) условие
[ехр @ I &) + ехр (—吟 j) ] ¥ = 0,(2.21)
то в этом случае допустимые значения п равны 3, 9, 15.
В любом из рассмотренных случаев нас интересует в первую очередь уровень п = 3, которому отвечают декуплеты со спинами
3 и 1, октеты со спинами 2 и 1 и синглет со спином 0 (см. (2.19)). Мы, однако, еще не учли спина, связанного с «центром масс» частиц. Этот спин в случае уравнения (2.1) равен %, а для уравнения (2.2) равен 1. В системе покоя можно обычным образом складывать «орбитальный спиновый момент», о котором шла речь выше (момент M}j, связанный с переменными 〃?)，и собственно спиновый момент (матрицы уи в (2.1), индекс / в (2.2)). Поступая таким образом, приходим к заключению, что в состоянии тг — 3 для барионов имеются декуплеты со спинами (речь идет о суммарном спине s) %, 3/3, 5/2 и 7/2, октеты со спинами %, 3/2 и 5/2 и синглет со спином %. Для мезонов имеются декуплеты со спинами 0, 1, 2, 2, 3, 4, октеты с суммарным спином 0, 1, 1, 2, 2, 3 и синглет со спином 1 (когда дважды указывается один и тот же спин, это означает, что имеются два разных решения, или, точнее, две группы решений с тем же спином).
Операторы гиперзаряда У, проекции изоспина 7\, квадрата изоспина Г2, «орбитального спина» Mz и М2 имеют вид (см, (2,13))
У = _2/з(Т11 - Г33) + 1/з(Т?2 - ТЗЗ)； 乙=_%(?22 - /33)；
(2.22)(2.22)Г2 = % (712/21 + т2T2) + Г}}
(2.22)
(2.22)
3
Mz = — i ^J (%%戏—%、；)；
cc=l
M2 = М；2 + 瞇 3 + 悪г
Все эти операторы коммутируют.
Перейдем к вопросу о массах частиц, основываясь на формулах (2.8) и (2.9), которые содержат по три параметра — частоты Sab Sam G = 1, 2, 3).
В рассматриваемом приближении, когда используется выражение (2.3) для операторов массы Е, массы частиц октета и декуплета, имеющих одинаковые квантовые числа, совпадают и не зависят от спина. Если частоты ①仪 различны, то массы некоторых частиц внутри унитарных мультиплетов различаются между собой.
Отметим, что мультиплеты с более высокой размерностью, например 27-плет, появляются. при тг — 6, 9, ... и имеют более высокие массы. .
Мы видим, что можно построить систему релятивистски-инва- риантных уравнений, которая в качестве решений имеет состояния (мультиплеты), связанные с группой SU (3).
Обсудим теперь вопрос о динамической симметрии рассматриваемой модели. Если не накладывать дополнительных условий Маркова [339, 340] (2.5), (2.6), то оператор (2.3) обладает некомпактной группой инвариантности и бесконечнократным вырождением уровней, описываемым груцпой U (37V\ TV) (t/(9,3)).
Генераторы этой группы имеют следующий вид:
凜意（心詛
Если же учесть дополнительное условие (2.5), то группа инвариантности станет компактной группой U (9). Весь спектр масс с учетом дополнительных условий (2.5) может быть связан в одно неприводимое представление некомпактной группы U (9,1). Ее генераторы имеют вид
?患=爲旬з(а, В,力j = 1,2,3);
з ｛｛丿(2.23)
^lO = — 1 — . S &а&а；Т；2 =沁乜—'—Т；； •
i, cc=i
Марков предложил [340] уравнение следующего вида:
也兩+…。 設+Е陶+ 2 马№Ц 丁 0.
IL 8幽兔％作」丿
(2-24)
(Обозначения — из работы [340].) В системе покоя, в которой импульсы центра масс к ~ 0, массовый оператор принимает следующую простую форму;
^ = ^ + «(Й + Й + Й + Й-^-^-^-^). (2.25)
Рассмотрим динамическую симметрию уравнения (2.24).
Легко увидеть, что операторы
&V = 2 [修-£)值 + 原)](卩，"=。,1，2, 3);
&4 = IFT [^ _号][僞—£)值 + 总 + I / ；(2.26) 普4 = 一 1 一 [值-君值+設)]:
связывают состояния разных масс в одно неприводимое представление некомпактной группы U (4,1). Группой инвариантности массового оператора (2.25) является группа U (4). Операторы Казимира для представления (2.26) могут быть найдены и сводятся к числам. Другое уравнение, рассмотренное Марковым [340], имеет вид
｛沛小+吗+。[一 备 + ?Л+20竺Y不便門肘=0-(2・27)
Интересно, что спектр масс, связанный с этим уравнением, является спектром трехмерного осцилдятора. В связи с этим можно
249
построить динамическую симметрию уравнения (2.27). Группа симметрии массового оператора
(2.28)(2.28)^ = ^о + 2а (爲 + 聪 + 篇一* — *
(2.28)
(2.28)
является группой U (3).
Некомпактная группа U (3, 1), генераторы которой строятся аналогично генераторам (2.23), связывает все состояния дискретного спектра массового оператора в одно неприводимое представление, аналогично рассмотренному в первой главе случаю атома водорода. Таким образом, мы видим, что многие релятивистские модели, описываемые релятивистскими волновыми уравнениями, обладают динамическими группами симметрии, аналогично кванто、 вомеханическим уравнениям.
§ 3： Уравнение Майорана
В настоящем параграфе рассмотрим еще один тип релятивистских уравнений с точки зрения динамических симметрий, а именно уравнение Майорана [322]. Прежде всего кратко обсудим возможные способы обобщения релятивистского уравнения Дирака.
Релятивистские уравнения со спектром масс обычно представляют собой то или иное обобщение уравнений Дирака либо Клейна —Гордона:
Y血W =苏Р, Р^Р^ = ^2Ф，Y血W =苏Р, Р^Р^ = ^2Ф，卩 н 0, 1, 2, 3;|1 ~ 0, 1, 2, 3.卩 н 0, 1, 2, 3;|1 ~ 0, 1, 2, 3.(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)
Y血W =苏Р, Р^Р^ = ^2Ф，
Y血W =苏Р, Р^Р^ = ^2Ф，
卩 н 0, 1, 2, 3;
|1 ~ 0, 1, 2, 3.
卩 н 0, 1, 2, 3;
|1 ~ 0, 1, 2, 3.
(3.1)
(3.2)
(3.1)
(3.2)
(Мы работаем в системе единиц с ^ = с = 1.) По дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование от 0 до 3 с учетом псевдоевклидовой метрики Минковского. Скалярное произведение двух 4-векторов задается формулой ab =。卩匕卩= =о。瓦一ab. Операторы импульса имеют вид р0 = i dldt, р = н —Z@/a驚.В уравнении Дирака матрицы 皿 имеют стандартный
вид
(3.3)(3.3)
(3.3)
(3.3)
где и — обычные матрицы Паули:
(3.4)(3.4)
(3.4)
(3.4)
а I — двухрядная единичная матрица. Уравнения (3.1), (3.2) записаны в таком виде, что масса покоя т играет роль собственного значения оператора, стоящего в левой стороне равенства.
250
Основное свойство или требование к релятивистскому уравнению заключается в том, чтобы его вид не менялся при переходе из одной инерциальной системы координат в другую. Это условие выполняется благодаря тому, что масса т является скаляром (инвариантна при переходах в различные инерциальные системы координат), а матрицы уи преобразуются как 4-векторы. Действительно, так как скалярное произведение двух 4-векторов является скаляром, выражение у^р^ не меняется при переходе из одной инерциальной системы координат в другую. Это утверждение эквивалентно тому, что волновая функция 4f преобразуется по некоторому представлению группы Лоренца. Мы напомнили хорошо известные свойства уравнений Дирака и Клейна ——Гордона, для того чтобы подойти к вопросу о путях обобщения этих уравнений. Что фактически обеспечивает нам релятивистскую инвариантность этих уравнений? Во-первых, скалярпость массы, во-вторых, то, что импульс 歹卩 множится скалярно на 4-вектор. При любых обобщениях уравнений Дирака и Клейна — Гордона пользуются этими простыми соображениями.
Иногда вводят другие 4-векторы Гц? заменяя ими матрицы Дирака уц. Если эти векторы являются конечномерными матрицами, мы имеем конечнокомпонентные релятивистские уравнения [332, 50]. Если же эти векторы являются бесконечномерными матрицами, мы имеем бесконечнокомпонептные уравнения (см. [341]). Можно поступать и по-другому, а именно ввести некоторый набор внутренних переменных векторов 瞰(а = 1, . . .,%)• Эти переменные описывают в каком-то смысле внутреннюю структуру элементарных частиц. А затем массу в уравнении Дирака или Клейна — Гордона заменить на скалярный оператор, зависящий от введенных внутренних переменных. Такой способ построения релятивистских уравнений и был предложен в работе Гинзбурга и Тамма [323]. Конечно, не обязательно использовать только 4-векторы. Можно также использовать любые ковариантные величины, например тензоры (см. обсуждение этого вопроса в статье Гинзбурга [324]). Внутренние переменные можно вводить не только в оператор массы, но и составлять инварианты, в которые входят также и переменные 右卩 и 歹卩(см. [323, 324, 339, 340]).
Именно описанным образом и строятся все предлагавшиеся до настоящего времени релятивистские уравнения со спектром масс. Таким образом, технически проблема сводится к подбору 4-векторов Ги или скаляров т (ии). Конечно, выбор этих величин очень широк и требуются дополнительные соображения, ограничивающие этот выбор. Подчеркнем только, что любое условие на волновую функцию, наложенное с помощью любого скалярного оператора, подойдет в качестве релятивистского уравнения с точки зрения инвариантности при переходе из одной системы координат в другую. Поскольку вопрос о поиске релятивистских уравнений часто сводится к поиску операторов 4-векторов, рассмотрим подробнее свойства этих величин.
Бесконечно малые преобразования группы Лоренца удобно изображать следующей антисимметричной матрицей:
II 0 N、 %2 II
"卩電=—%2 —〃з о 必 卜 |i, v = 0,1,2, 3.
|_%з М2 о I
(3.7)(3.7)Операторы М отвечают бесконечно малым поворотам обычного трехмерного пространства, а операторы N — поворотам между осью времени и осями 况,у, z. Операторы М^ удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли группы О (3,1) (группы линейных преобразований, сохраняющих интервал 力？ 一 х2):
(3.7)
(3.7)
111
0
0
0
p
—1
0
0с
g|JV = 0
0 -
一1
0 •(3.6)
0
0
一
Коммутационные соотношения
(3.5)
можно переписать с помощью
[ТИру, Л/ро] = i (gypA/p<j + g^cM^q — g、gMup — gup47*vo), (3*5)
где матрица g^ имеет вид
трехмерных векторов Л£ и N:
[Afi, MJ =话ikM; [Mi, Nk] = 2〃kM； 【N“ Nr] = — Z% 阳?.
По определению 4-вектором называется оператор Гу, удовлетворяющий коммутационным соотношениям
[Млц> Tv] = i (gaT儿一^¥%Г[л).(3.8)
Соотношения (3.4) — (3.8) написаны абстрактно. Под операторами можно понимать матрицы из любых представлений группы Лоренца, в частности неприводимых. Соответственно и 4-векторы 1\ будут являться матрицами линейных операторов, действующих в пространстве представления.
Рассмотрим теперь подробно уравнение Майорана. Хотя это уравнение и не является подходящим для описания свойств реальных элементарных частиц, оно является простой и удобной моделью, на которой можно продемонстрировать многие особенности бесконечнокомпонентных полей. Это уравнение изучалось в работах [342—347]. В этом случае вектор fv выбирается некоторым вполне определенным образом. А именно рассматривается конкретное представление группы Лоренца. В этом представлении операторы М ^ N реализуются с помощью бозонных операторов рождения и уничтожения или с помощью некоторого чисто вспомогательного двумерного квантового осциллятора [343]. Операторы М и N имеют вид
M^I^Gi^af, N =力4一1 [鼠sN")務。工 + &(Z0v为 U/oJ(3.9)
(По повторяющиеся индексам 北瓦 j = 1,2 ведетсй Здесь й ниже суммирование от 1 до 2.) Операторы аь 成 удовлетворяют стандартным соотношениям бозевских операторов рождения и уничтожения
[&・，afl =(ЗЛО)
Эти операторы удовлетворяют также условию
(。产=di.(3.11)
При этих условиях операторы М ^ W являются эрмитовыми и удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.7), в чем можно убедиться прямой и недлинной проверкой. Поскольку операторы бесконечно малых преобразований М и N эрмитовы, отвечающие им операторы конечных поворотов ехр (гМигсоИУ) унитарны. Унитарные представления группы Лоренца, задаваемые операторами (3.9), называют обычно представлениями Майорана. После того как реализовано представление группы Лоренца, т. е. указано, как преобразуется волновая функция 4f при переходе из одной инерциальной системы координат в другую, можно подыскать вектор Гу и тем самым получить обобщение уравнения Дирака. В случае уравнения Майорана этот вектор выбирают в виде
Го - % (修М + 1)；
Г = %[a?0订(一»0П)扑。/ + at (Ш^)^^У^^].(3.12)
Действительно, соотношения коммутации (3.8) выполняются, что легко проверить прямым расчетом. Но построенный вектор 1\ обладает дополнительным свойством. Если прокоммутировать его компоненты друг с другом, то результат выразится через векторы Jf и " (или МИу), что не выполняется для произвольного вектора:
[Гц, Fv] = —iM^^(3.13)
Таким образом, десять величин М卩$, Гр образуют замкнутую алгебру. Это алгебра Ли группы О (3,2) или группы де Ситтера (локально-изоморфной симплектической группе Sp (4, 7?); точнее, конкретного представления этой группы, называемого лестничным представлением). Неприводимые представления группы Лоренца задаются собственными значениями двух операторов Казимира:
% = М N; С2^ М2 — “2.(3.14)
Если произвести прямой расчет, воспользовавшись для представления Майорана формулами (3.9) и коммутационными соотношениями операторов рождения и уничтожения (3.10), то окажется, что все операторные величины в (3.14) сократятся, а останутся только числа, а именно:
МХ = 0; Jf2 一 *2 = _з/《.(3.15)
Обычно неприводимое представление группы Лоренца задается парой чисел (%,幻[341] таких, что 血・N 工让工,M2 — N2 = =^ + 源一1- Таким образом, получаем, что представление Майорана (3.9) приводимо и распадается на сумму двух представлений, задаваемых парами чисел (/0 = 0,乙=“2)и (% — х/2?厶 = 0). (Представление Майорана подробно обсуждается в работах [343— 345].) Соотношения (3.15) учитывают только генераторы группы Лоренца. Если учесть также векторы Г¥ и построить операторы Казимира группы О (3,2), то окажется, что они также являются числами. Это легко увидеть, подсчитав с помощью (3.12) лоренц- инвариант F卩几工 Гд — Г2 = —1/2. Таким образом, неприводимая компонента представления группы де Ситтера, задаваемого формулами (3.9), (3.12), обладает тем свойством, что, будучи суженной па подгруппу Лоренца, остается неприводимой. Такое же свойство имеется и у неприводимого представления конформной группы или группы О (4,2), описывающего спектр атома водорода [11 ]. Это представление остается неприводимым при сужении на подгруппу де Ситтера О (4,1). Такие представления часто называют максимально вырожденными. Интересно, что именно такие представления используются при построении бесконечнокомпонентных уравнений на основе алгебраического подхода.
Посмотрим теперь, какой спектр масс дает уравнение Майорана, т. е. уравнение
(Г^卩一加)中(况)=0,(3.16а)
где операторы Ги выбраны в виде (3.12). Для выяснения этого вопроса поступим следующим образом. Сначала перепишем уравнение (3.16а) для фурье-компонент функции 屮(办 Оно примет вид
(耳歹卩一ztz)屮伪)=0.(3.166)
Здесь 融 一 не оператор, а 4-вектор энергии-импульса. Возьмем случай времениподобного 4-импульса, т. е. р«р卩〉0. Тогда, совершив переход в систему покоя, можно привести этот вектор к следующему виду; р = (р0, 0,0,0). Уравнение (3.166) в этой системе сводится к следующему уравнению:
(TqPo — 加)屮伪)н 0. (3.17)
Таким образом, вопрос о нахождении спектра масс эквивалентен вопросу о диагонализации матрицы Го (3.12). Вид этой матрицы говорит нам о ее спектре, фактически о спектре двумерного квантового осциллятора. Мы получаем падающий спектр масс для инварианта р^р^, т. е.
РиРя = т^ = т2 (s + 力戶， (3.18) где s — главное квантовое число фиктивного двумерного квантового осциллятора, деленное пополам. Остается только выяснить смысл этого числа. Для этого посмотрим на явный вид оператора квадрата момента количества движения М2, даваемого формулой
(3.9). Легко непосредственно вычислить этот оператор через операторы рождения и уничтожения. Мы будем иметь следующее:
м2 = ^l^ai е/Л + 1),(3.19)
т. е. собственные числа оператора квадрата момента количества движения выражаются как раз через число s:
АРР = s (s + 1)也(3.20)
Таким образом, смысл числа 5, стоящего в формуле для спектра масс, заключается в том, что это число совпадает со спином состояния. Как видно из формул (3.19), (3.20), спин сможет принимать любые целые и полуцелые значения. Это обстоятельство связано с тем, что представление группы Лоренца, задаваемое формулами (3.9), приводимо. Одна неприводимая компонента (Zo = 1/2, 1± ~ 0) содержит только полуцелые значения спина, а вторая неприводимая компонента содержит только целые значения спина. Подпространство состояний, отвечающих первому случаю, состоит из всех векторов состояний, разлагающихся только по нечетным состояниям двумерного квантового осциллятора, а подпространство состояний, отвечающих целым спинам, есть линейное подпространство с базисом из четных состояний двумерного осциллятора. Поэтому, говоря об уравнении Майорана,необходимо конкретизировать, по какому именно неприводимому представлению преобразуется волновая функция, поскольку формулы для генераторов (3.9) имеют один вид в обоих представлениях. Конкретизация достигается наложением дополнительного условия на четность главного квантового числа фиктивного двумерного квантового осциллятора. Спектр масс (3.18) является падающим спектром.
Обсудим теперь динамическую симметрию уравнения Майорана в рассматриваемом в предыдущих параграфах смысле (см. § 3 гл. I). Группой инвариантности уравнения Майорана в системе покоя (3.17) является, очевидно, группа U (2). Ее четыре генератора строятся из операторов а», а? (/ = 1,2) по формуле 7\忙 ~ а?ам Однако спектр масс уравнения Майорана, поскольку он аналогичен спектру гамильтониана двумерного осциллятора, мо/кпо описать, как и при рассмотрении релятивистских осцилляторных моделей, с помощью группы динамической симметрии U (2, 1). Генераторы этой группы объединяют в одно представление все уровни, отвечающие значениям масс (3.18) как с целыми, так и с полуце- лыми спинами. Формулы для генераторов аналогичны строившимся в предыдущем параграфе.
§ 4. Симметрия уравнений движения свободной релятивистской частицы
Гамильтониан для свободной релятивистской частицы со спином % имеет вид
^ = ар + ^т,(4.1)
где а и Р — стандартные четырехрядные матрицы Дирака [196].
С оператаром 笈 коммутируют оператор полного момента / и оператор Дирака
К = В(иЕ+ 1).(4.2)
В силу этого состояния с определенной энергией Е можно выбрать так, чтобы они обладали определенным полным моментом j2, его проекцией /2 и оператором Дирака К:
况屮= Е屮ЕЬн；К^Ект - к^Е^；
(4.3)
Jz^Ekm = М^Ектп；j^^Е^т =(胪一%) ^Ект*
Бесконечный набор волновых функций с / = 丄厶，3Л» 64 и ^ = =+ | / + г/21 (где к — собственное значение оператора Дирака) образует базис в пространстве состояний с определенной энергией Е. Легко проверить, что операторы Xg：
где 4 =([厶 X 0] — [_р X Х])/2 \р\,р 二(炉—疗)明，коммутируют с полным моментом J и свободным гамильтонианом 咏 [56].
Операторы Х^ подчиняются коммутационным соотношениям
[Ха, Хр] = 2迎啲％;{Ха, Хр} = 26cф(4.5)
и, следовательно, являются генераторами спиральной группы SU (2). Название «спиральная группа» связано с тем, то оператор Xi является оператором спиральности.
В двумерном пространстве состояний с заданными энергией, квадратом момента J2 и проекцией /2, базис в котором образуют функции ^Ект с разными k = ± | j + 丄厶 |, матрицы операторов Ха совпадают с a-матрицами Паули. Двукратное вырождение по знаку к объясняется наличием спиральной группы симметрии SU (2).
Следуя [56], определим операторы;
L =+ 詳 + В (° 一 Q 爲)}；
三=一的+0齊+0户盖；е6)
4=志{5* 万 -也XQ]b
Легко проверить, что эти операторы коммутируют с гамильтонианом (4.1) и удовлетворяют коммутационным соотношениям прямого произведения группы Лоренца и унитарной группы
SU(2)：
[工归"]=历订乙；【Ei, Aj] = i&iji^i,
—i%jiLi；[厶，2)] =£j] = 0;(4.7)
Таким образом, в бесконечномерном пространстве состояний W£*m с заданной энергией реализуется унитарное представление группы SL (2, С) Q SU (2), являющееся тензорным произведением представления группы Лоренца с р=0ит = 0 (см. [50]) и спинорного представления группы SU (2). Легко сосчитать операторы Казимира для алгебры (4.6). Имеем
Ci = (1 + ily = -1; S2 = 3, С2 = (Z - /А)2 = 1.
Отсюда и вытекает сформулированный вывод.
Покажем теперь, что в данной задаче возможно появление не вполне приводимого представления группы Лоренца. Для этого рассмотрим, следуя [56], два векторных оператора:
J = £ + 2/2; к = А + 疫/2.(4.8)
Эти операторы обладают коммутационными с о отношештя ми алгебры Ли группы SL (2, С):
[，汀 Jm^ = i^imlj I；(4 9)
Оператор j есть оператор полного момента количества движения. Вычислим теперь операторы Казимира этой группы. Имеем
G = В 十泳)2 = —1；(4 10)
с2 = (7 - ifc)2 = -2 (1 + Xi) К-, 爲=0.
Это означает, что данное представление не вполне приводимо. В двумерном пространстве, базис которого образует состояния 屮E,k,?n，中E,-k,m, оператор С2 может быть приведен только к треугольному виду. Представления группы Лоренца такого типа рассмотрены Желобенко [348]. Существование таких представлений в свободном уравнении Дирака связано с его релятивистской ин- в ариантностью.
§ 5. Динамическая симметрия релятивистской частицы в магнитном поле
Рассмотрим теперь релятивистскую частицу со спином нуль в однородном магнитном поле. Уравнение, описывающее ее поведение, имеет вид
[爵 + 济十 р^ + (厶-e4J + (р„ - еА^ ¥ = 0, (5.1)
2572579 И. А. Малкин, В. И. Манько
257
257
где векторный потенциал 4 = г/2 [Н X г], поле Н = (О, О, Н). Ясно, что определенные выше операторы 4k (f,忘=2, 3) (см. (7.26) гл. I) коммутируют с уравнением (5.1) и определяют его группу инвариантности U (1,1). Используя определения (7.5), (7.6) гл. I, легко получить спектр энергий:
e = ± [雨⑴(2几1 + 1) + 疗 + Р号"工(5.2)
Основное состояние р? = 0,孔工=0 задается формулой
Л+ = (тз + т2)'2.(5.3)
Следует отметить, что подобный спектр частицы в магнитном поле, описываемой в рамках теории бесконечномерных релятивистских инвариантных уравнений, обсуждался в работе [349]. Все рассуждения § 7 гл. I (см. [359]) полностью переносятся на рассматриваемый случай; функции, являющиеся решениями уравнения (5.1) при фиксированном знаке энергии, даются формулами (7.14), (7.15), (7.17) гл. I (решения с различными знаками энергии отличаются экспоненциальным множителем ехр (±2ЕС))・ Поэтому на состояниях релятивистской заряженной частицы со спином нуль при фиксированных pz и знаке энергии реализуется одно бесконечномерное представление группы U (2,1), задаваемое операторами (7.26) гл. I. На состояниях с фиксированными импульсом р? и энергией Е реализуется одно неприводимое представление группы инвариантности U (1,1), задаваемое операторами Казимира (7.28) гл. L
Гамильтониан, описывающий дираковскую частицу в магнитном поле, имеет вид
能=а (р — е4) + 师，(5.4)
где матрицы а, Р ——стандартные четырехрядные матрицы.
Следуя работе [350], используем для рассмотрения собственных функций гамильтониана (5.1) метод квадрирования. Запишем уравнение для волновой функции в виде
О^Е 三(兆一Е)屮石=о.(5.5)
Рассмотрим квадрированное уравнение
ОО^Е = (% + Е) (% 一 Е)①е = 0,(5.6)
которое уже не содержит четырехрядных матриц и приводится К виду
[加丄 + (pz + w2)/2w — 0)。丿2 — E2/2m]①后=0.(5.7)
Связь между функциями Y^ и Ф^ обычная:
Уе = ОФЕ,(5.8)
если четырехкомпонентная функция ①е выбрана в виде
(5.9)
где ф^ — двухкомпонентная функция.
Метод квадрирования уравнения Дирака позволяет по интегралам движения квадрированного уравнения находить интеграл движения исходного линейного уравнения. Этот способ легко позволяет находить группы инвариантности для релятивистских моделей атома водорода и свободного движения [56]. В матричной форме оператор О_ имеет вид
ОператорыОператорыо (р — pN)Е — 〃zо (р — pN)Е — 〃z(5.10)(5.10)R = Q (р — еА);R = Q (р — еА);c =况 - mc =况 - m(5.11)(5.11)
Операторы
Операторы
о (р — pN)Е — 〃z
о (р — pN)Е — 〃z
(5.10)
(5.10)
R = Q (р — еА);
R = Q (р — еА);
c =况 - m
c =况 - m
(5.11)
(5.11)
удовлетворяют соотношениям
(5-12)(5-12)7?2 = %2 _ ^2.e・2 =第2 + 疗一2 我办
(5-12)
(5-12)
4 °||
Пусть Li = ° Е — интегралы движения квадрированного уравнения. Тогда интеграл движения линейного уравнения строится с помощью операторов 7? и С:
оCLgTоCLgT(5.13)(5.13)
о
CLgT
о
CLgT
(5.13)
(5.13)
Такую конструкцию можно построить, если существуют обратные операторы 7?-% С-1. Из (5.13) ясно, что коммутационные соотношения операторов £» совпадают с коммутационными соотношениями операторов Lz. Легко видеть, что с уравнением (5.7) коммутируют те же операторы, что и с уравнением (7.1) гл. I. Операторы b и bf коммутируют также с линейным уравнением, с которым коммутирует оператор а (р — е4). С помощью описанного способа переноса интегралов квадрированного уравнения на линейный случай легко построить следующие, коммутирующие с гамильтонианом (5.4), операторы:
〜0 if 〜0 II
0 = | о CjCT 卜T 0卜(5」4)
Легко убедиться, что выполняется соотношение
忆 + 必/2 = %(5.15)
где jz — проекция углового момента на направление поля. Операторы спиральной группы инвариантности (см. (7.23) гл. I) также переносятся на релятивистский случай для частицы без аномального магнитного момента. Следует отметить, что интегралы
движения, объясняющие двукратное вырождение, строились ранее в работе [350]:
b IIО II
(5」6)
Между, операторами 必乞，。才。и b^b имеется связь:
戒z = @〃 一 廿氏(5.17)
Спектр энергий, как видно из уравнения (5.7), равен
Е = ± [雨⑴(2孔1 + 1 — 2sz) + pz + 疗]"•(5.18)
Операторы RhC обращаются в нуль на одном состоянии с 夕之 =0, 几1 = 0, $z = V2- При любом фиксированном ненулевом импульсе операторы R, С имеют обратные. Для состояний с 孔1〉0 существуют обратные операторы 7?"1, С-1, и операторы спиральной группы (5.16) являются генераторами группы SU (2), коммутирующими с операторами bf, b, поскольку их можно нормировать, как и в случае нерелятивистской частицы. Случай пространства состояний с нулевым импульсом Pz = ° требует особого рассмотрения, поскольку на состояниях с 几1 = 0 операторы R, С обращаются в нуль. Однако можно сконструировать и в этом случае алгебру U (2, 1), представление которой реализуется на данном пространстве состояний. Дело в том, что легко построить штрихованные операторы с помощью предельного перехода. Хотя R и С обращаются в нуль, мы имеем при построении решений произведения RRT и СС'1, которые заменяем единицей. На этом основании легко доопределить штрихованные операторы там, где не существует обратных операторов для 7? и С. Рассмотрим пространство D состояний с фиксированными pz. Построим операторы а,且储 方，方f по правилу (5.13). Из этих операторов построим группу U (2,1) по формулам (7.26) гл. I, где вместо операторов а, Ь,", Ь4 поставим операторы а, 6, 2才,6彳・ Ввиду того, что правило сопоставления операторов (5.13) не нарушает коммутационных соотношений, можно сделать следующий вывод.
&域 В пространстве состояний релятивистской заряженной частицы со спином 1/2 в однородном магнитном поле с фиксированными Pz， s? и фиксированным знаком энергии реализуется одно бесконечномерное унитарное неприводимое представление динамической группы U (2, 1), задаваемое операторами Казимира (7.28) гл. I. На подпространстве состояний с заданной энергией Dni и фиксированным импульсом рг в случае 孔i〉0 реализуется неприводимое представление группы симметрии гамильтониана U (1,1) 0 SU (2) с операторами Казимира (7.30) гл. I. На состояниях —аналогах состояний (7.21) гл. I — реализуется спинорное представление спиральной группы SU (2).
Глава IX
Когерентные состояния и функции Грина релятивистских квадратичных систем
Движение релятивистской заряженной частицы в однородном стационарном электромагнитном поле
Волновая функция, описывающая состояние релятивистской заряженной частицы со спином нуль, движущейся в постоянных электрическом Е и магнитном Н полях, удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
[(W — е4")2 一 疗]屮=0.(1.1)
Далее (как и прежде) используем систему единиц такую, что 方= = с = 1. Четырехмерный векторный потенциал электромагнитного поля можно выбрать в виде
ЛИ =(一画九 ％ [Н х г]), N = 0, 1, 2, 3,(1.2)
а оператор импульса полагаем равным р" = 2А" — (id/dt, — iy).
Будем использовать стандартные обозначения и сокращения (см. [351]) для релятивистски-инвариантной записи. Метрический тензор полагаем равным g°° = —g11 = —g22 = —g33 = 1; скалярное произведение двух четырехмерных векторов будем записывать просто как аЪ = а^Ъ^.
Функция Грина уравнения Клейна — Гордона удовлетворяет уравнению
(d冗"-雨2) G (犷，0)=6 (疗‘ 一疗)，(1.3)
где 加1 = W — еА^.
Для решения уравнений (1.1) и (1.3) Фоком [352, 353] был разработан метод собственного времени, в дальнейшем интенсивно использовавшийся в работах Намбу [355], Фейнмана [86] и Швингера [354], где с его помощью была найдена функция Грина.
Решение уравнения (1.1) связывается с помощью интегрального представления
¥(工)=击、eхр (一等)中(瑞 s)ds(1.4)
с функцией ср (土, s), которая удовлетворяет уравнению Шредингера z需=况恥 况=一貝鹏.(1.5)
Параметр s играет при этом роль времени. В [353] Фок показал, рассматривая квазиклассический предел, что параметр s совпадает с собственным временем частицы. Используя представление собственного времени, можно написать аналогичное соотношение для функции G (土“, 土')：
G(z* x)=击\ exp [―十(档—论)s] g(z",‘£, s)曲，(1.6) о
где ядро g является функцией Грина уравнения Шредингера
(1.7)(1.7)» ^况)g (/‘ 认 s)=沁⑻ 6 (z“一 z)
(1.7)
(1.7)
Мнимая добавка к массе — ie, £〉0, в уравнении (1.6) означает, что G (土* хг) является причинной функцией Грина и содержит состояния с положительной энергией при 力〉0 и с отрицательной энергией при £ V
Уравнение Шредингера (1.5) в случае постоянных и однородных внешних полей Е и Н обладает гамильтонианом, являющимся квадратичной формой по отношению к операторам координат 土从 и импульсов р». Для его исследования можно применить методы, развитые ранее (в гл. III). Для согласования с изложенной там схемой расчета введем координаты ^ (/ = 1, 2, 3, 4) вместо х, у, z, % и соответствующие канонические импульсы . =——»V， р4 -— —у?。= —id/dt. Электрическое поле имеет компоненты Е = =(Ед 月2,石3), а магнитное поле считаем направленным вдоль оси z. Далее следуем работам [366, 356].
Гамильтониан (1.5) может быть записан в форме (4,1) гл. III. Так как в (1,5) нет линейных членов, то вектор С = 0, а матрица 月 имеет вид
丛=方2&b2,丛=方2&b2,0%任000000000；(1.8)殳£з00%任000000000；(1.8)殳£з0
丛=方2&b2,
丛=方2&b2,
0
%任
0
0
0
0
0
0
0
0
0
；(1.8)
殳
£з
0
0
%任
0
0
0
0
0
0
0
0
0
；(1.8)
殳
£з
0
Система уравнений (5.26) гл. III, определяющая интегралы движения, может быть легко решена. Явное выражение для матрицы Л дается формулами
九1 =不4 +方2凡九2 =方2ё仇62；
九3— b]R;九4— biRbib2j■
где
^ ^ ^ о^ ^ ^ о•9)•9)й = WT【exp (sW)-且]; W = -b^b^10 —я 0я о 0о о о%^2Е3
^ ^ ^ о
^ ^ ^ о
•9)
•9)
Матрица W совпадает с тензором электромагнитного поля 戶Е и не зависит от выбора калибровки. Подставляя матрицы (1.9) в формулу (5.36) гл. III, находим явное выражение для ядра g (s) в координатном представлении. Это представление более удобно, чем импульсное, так как det 九2 = 0:
g (/\ 认 s) = _ 力(2 冗厂2 (det 7?尸 A exp [f (Z - xf) R-^ (" - x)-
2 (力"+ z') b2bl(N“ — z)] *( 1 • Ю)
От выбора калибровки зависит только последний член в (1.10), который не зависит от собственного времени s. Характеристическое уравнение для матрицы W
z& + z? (Л2 -画2)一(否五)2 = о(1.11)
имеет два вещественных корня:
Z1 = —Z2 = / = 2rz {石2 _ Н2 + [(画2 _ Н2)2 + 4(ЕН)2]и>2, (1.12а) и два мнимых: Z3 = —z《=/о), где
о = 2-2 {Я2 一画2 + [(否2 _ 我2)2 + 4(ен)2]%}%. (1.126)
Вычисляя в явной форме экспоненту от матрицы и используя формулы работы [356], получаем
exp {Ws} = (со? + 产)-1[石4(0)2 ch fs + /2 cos(os) + И7 X
X (o)3 sh % 4-产 sE ⑴j] eh I т + IV2 (ch fs — cos(os) + W3 X
X (co sh /s — / sin(os) I EH「].
Эта формула справедлива в случае det W = —(EH)2,0， В сингулярном случае должна быть использована другая формула. Если ЕН = 0, то уравнение (1.11), ввиду теоремы Гамильтона —— Кэли [357}, приводит к соотношениям И7" = a2W2, а2 = Е2 — №. Используя их, легко получить выражение для R ($):
R ($) = sE& + W а~2 (ch as — 1) + W2a~3 (sh as — as).
Мы не будем явно выписывать формулу (1.10), так как в общем случае получающееся выражение довольно громоздко. Ограничимся рассмотрением двух важных частных случаев. Пусть ЕН — =0; это условие означает, что имеются или перпендикулярные ненулевые поля, или есть только электрическое или только магнитное поле. Производя все необходимые вычисления, можно получить следующий результат [366J. Для определенности
полагаем Е& = Е3 = О, Е* = Е, а2 = Е2 — №:
g (”',，'； М 尸；s) = ia(8sn;2 sh 岑)'exp 椅(z" — ^产十
+ ^cth TS - /产 一県c(吟归(* - ^) + Я(丁 一矿)]2 +
4-羨[Е (『一沙')+ 〃 (* — QF 十岑(〃一矿 О +
+号S +吟伍"一力卜(1.13)
Переходя к пределу Е = Н, получаем функцию Грина частицы в скрещенных полях Е2 — Н2 = О, ЕН = 0;
g(S)= — i (2ns)-2exp 犠收一X'产+(旷一唄户+(丁一/户一(*一 02]- 一^ "2 (矿'一唄+ t"-，)2 + ^ [心'一心"十(Z+ /)(£"一，)]}.
(1.14)
Простое выражение получается также и в другом случае, когда поля Е и Н параллельны (^ ~ Е2 = 0, Es = Е):
g (s) = _ i (4n)-2g〃 (sh 与 sin 等)】exp {手 ctg ~ f(^ —公产 +
+ (矿-уУ] + TcthT Kz" — /)2 -(Г-疗]+
十号(九'一 У'С + 学(/ + /)(产一价.(1.15)
Уравнения (1.8) и (1.14) показывают, что функция Грина уравнения Клейна — Гордона в скрещенных полях может быть выражена через функцию Грина свободной частицы:
G (/；,心-G⑴(n ^； ^2 +%"2 (/'一矿 + *一，)2) X
X exp {"^ 仅"%'一八"十("+ 储(*一，)]} •(L16)
Интеграл (1.6) легко может быть вычислен явно в случае, когда имеется только магнитное поле. Если Е = 0, то удобно сделать фурье-преобразование по переменным z и 九 После этого интеграл (1.6) может быть вычислен по формуле (4.5.41) из работы [358]— при этом необходимо в интеграле (1.6) деформировать контур интегрирования так, чтобы $f —笈',b〉0. Функция Грина уравнения Клейна — Гордона' в переменных z, у, р%，Ро принимает вид [366]
G (犷,у", р^ % х,矿,％, Ро) = — (4л)т 6 (р； — 2)6 (乩—Ро) X xT(±-v) ехр {伴("—“)}p-牝,。С),(1.17)
где р2 = 1/2 я [(2" — /)2 + (у〃 —心2]； V =(就一pl —档)/28;
恥，0 (p2) — функция Уиттекера; Г (z) — гамма-функция. Аналогичное выражение для нерелятивистской функции Грина было получено в работе [359]. Как известно, полюсы функции Грина позволяют найти уровни энергии Ландау частицы в магнитном поле; р^ = тг^ pi Н (2/г + 1), тг — 0, 1, 2,...
Когерентные состояния квадратичной системы были построены в явной форме в гл. III. Волновые функции 屮(％, s) когерентных состояний релятивистской частицы, отвечающие квадратичному гамильтониану (1.5), даются формулами (4.5) гл. III, в которые следует подставить значения 入之 матриц, приведенные в (1.9). Однако получение когерентных состояний уравнения Клейна — Гордона является особой задачей.
Проблема состоит в том, что волновая функция 4f (z), получаемая из ср (z, s) согласно (1.4), будет являться решением уравнения Клейна — Гордона лишь при дополнительном условии. Именно, необходимо в (1.4) выбрать такой контур интегрирования, чтобы разность значений функции 屮 exp (— m2s/2) на концах контура обращалась в нуль. Это возможно, вообще говоря, не всегда. Проиллюстрируем это на примере частицы, движущейся в однородном постоянном магнитном поле Н. Гамильтониан (1.5) выражается в этом случае просто:
舞=Hat а. + % (8 十龙一威，(1-18)
где оператор а】=(^Н^12 (лх —力冗廿). Операторы а】 и а?'- —(Н/2)1^ [х + Н^Пу — / (у — #宀％8)] являются интегралами движения. Решения уравнения (1.5) можно выбрать в виде
屮5”т(>"，$)=
=①пт 3, У)exp I— iEt + ipzz^-储 + H (2孔十 1)—炉]} , (1.19)
где Фпт (z, у) — функции, описывающие движение в плоскости X, У, — даются формулой (7.15) гл. I. Они являются собственными функциями операторов а；。】и а^а?，отвечающих собственным значениям пит соответственно. Однако волновая функция 4f (/), получающаяся при подстановке (1.19) в (1.4), не удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона, так как указанная выше разность не обращается в нуль. Это обстоятельство становится понятным, если учесть, что параметр Е в (1.19) — произвольное число, а энергия частицы в магнитном поле зависит от pz и п. Чтобы получить решение (1.1), необходимо построить из волновых функций (1.19) волновой пакет.
Стационарные состояния (1.1) получаются из (1.19) следующим образом:
^.n,m(r, 0= 27 EdEl dscpE.Pzmm(»•，厶 s)e-im2s/2 =
=①切(z, у) exp {tpz =F i У Pl + m2 + Я (2n + 1) t) . (1.20)
Энергия стационарного состояния равна Vр^ + т? + Н (2/г 十 1), а знаки 干 отвечают, как обычно [360], волновым функциям частицы и античастицы.
Для нахождения явного вида когерентных состояний заряженной частицы в магнитном поле удобно ввести новые коммутативные операторы Ез = р° —夕工 и т)4 = V2 (р0 + pj. Уравнение Клейна — Гордона (1.1) принимает вид
[一Е3厶4- % (展十响+ 1/m2]屮=0.(1.21)
Оператор Ез 三/ является интегралом движения. В силу этого уравнение (1.21) на пространстве собственных функций, отвечающих собственному значению оператора I, может рассматриваться как обычное уравнение Шредингера, если ввести «новое время» s = (t ——z)/I;占3。4 = id/ds. Тогда интегралы движения, порождающие когерентные состояния, таковы:
4 = ехр {旧s} %;4 =仪2・
Волновые функции когерентных состояний являются собственными функциями операторов Аъ с2 и /, которые отвечают собственным значениям ар а2, / соответственно (числа о^ и о^ — комплексные, а I — действительное число), и имеют простой вид:
屮 amr (% /)二(2п)т "% ехр {— "，j 硝(/-2)-^(/ + z)-
一*(炉十 乎)+ (冬广‘(2 一 切)a1 exp [一手(t — z)] +十 u2 m + iy) —' а^а? ехр Г六(t — z)l矛(| a】户十 | a2. (1-22)
Функции (1.22) являются производящими для стационарных состояний 411TlmI уравнения Клейна ——Гордона
% = £言*5,(1.23)
где
кmг =①пт (瑞沙)(2n)一'/： eхp {二^ (t 十 Z)-
_i 一z)27~ [
Волновая функция Wmni совпадает с (1.20), если учесть, что / = =Ро — Pz, pl = т^ + pl + Н (2п + 1) (см. [366]).
Функции (1.22) и (1.23) удовлетворяют условиям нормировки 〈^nml I 匕г，тТ〉=/6(/ — Г)台加不团团，；(1.24)
〈屮小11田%з〉Ге(/ 一r)exp [(a)* a - % (1叫2+1 a |外
Скалярное произведение определяется согласно
〈中|V〉三孑、办dy dz (<?*警一參叮.
Функции 4fm几т c I〉0 описывают частицы, а с / <； 0 — античастицы.
Ядро функции Грина g (s) в представлении a1; а2, р2 и р0 вычисляется с помощью решения общих соотношений (5.34) гл. III:
g (a*,広,儿；В，% Ро； s) = 6 (р； — 2)6 (р； — Ро) X
X ехр [导(露一処 一 〃)+ a*Pie-iHs + a*p2] , (1.25)
где a = (a15 a2), p = (Pp P2).
Интеграл (1.6) вычисляется посредством формулы 4.5 (36) из работы [358] и дает функцию Грина уравнения Клейна — Гордона
G (а*,加,加；р,加 Ро) = 6 侬—ро) 6 (р；—厶)(就—pl — 一疗一НУ^Ф (1, (28)T (苏一若 十 区 + 3Я), - %*2, (1-26) где Ф (a, b, z) — вырожденная гипергеометрическая функция [88]. Выражение, аналогичное уравнению (1.26), может быть получено и для случая дираковской частицы.
Рассмотрим теперь представление когерентных состояний и в случае чисто электрического поля. Удобно выбрать оператор а в форме
a = (2e)-%[厶 + "0一反)].(1.27)
Тогда оператор Гамильтона 况 равен
况=% (Рх +喻+ %Е⑷+ О・
Решая уравнения (5.34) гл. III, получаем следующее выражение для функции g (s) в а, рх, ру, ^-представлении [366]:
g (a*, #L 加；区 &丄，Pt； s)二
=6(p； — pt) 6(#i — p^ [ch (Es)LAexp { — i2~1^Ls —
-i 2-Hh (Es) (a*2 + 俨)+ a*3[ch(^5)]-i}, (1.28) где 丄=(pR，Py)・
Рассмотрим теперь движение частицы со спином г/2 во внешнем электромагнитном иоле, спинорная волновая функция которой подчиняется уравнению Дирака
(丫从冗从一？п) 〃 = 0.(1.29)
Матрицы 丫卩 в (1.29) удовлетворяют следующим соотношениям:
Y叫V + Y叫"=2g"v； Y力=YoY/o.
Для того чтобы найти функцию Грина уравнения Дирака
(уцли — т) / (n", /') = 6 (/" — /'),(1.30)
подействуем на обе части уравнения (1.30) оператором 丫卩冗从 + т、 Вводя собственное время s, представим функцию Грина в виде
Gd (Z, /') = ± (血 + m) \ exp (— у ^25)目口("，К s)曲・(1・31) о
В формуле (1.31) оператор ул + тп действует только на перемен* ную /". Ядро gD (s) является временной функцией Грина уравнения Шредингера с гамильтонианом вида
况=一}d+^%"0叫(1.32)
где &v =时4V -八/"； * = V2 (Y叫V - TV)-
Функция Грина уравнения Шредингера может быть найдена в явном виде в случае гамильтониана, являющегося произвольной неоднородной квадратичной формой по отношению к операторам координат и импульсов. Следовательно, если внешнее поле Ли оказывается таким, что гамильтонианы (1.32) становятся квадратичными, то и релятивистская функция Грина может быть вычислена в представлении собственного времени в явном виде.
В стационарных и однородных внешних полях функция Грина уравнения Дирака может быть выражена через ядро g(s), удовлетворяющее (1.7):
gD (s) = g (s) exp {%s尸"vN}.(1.33)
В случае перпендикулярных полей 尸从"и11V = 2Н (у? — Yo) Yi, так что (.”仃从卡)？ = 0. Окончательно функция Грина уравнения Дирака принимает вид
Gd (犷,d) = (?« + zn乂占4-+ IH (丫2 — Yo) Yi 鳥)Gkg (Z, x, тг),
(1.34)
где функция Грина уравнения Клейна — Гордона Grg (nj %', тп2) дается соотношением (1.16).
268j
Функция Грина уравнения Дирака в постоянном магнитном поле в /, у, Pz, ро-преДставлении такова [366]:
GD = — (8л)-1 Г (― V)(ул + тп) 6 (р； — р) 6 (р； — Ро) рТ X
X ехр [学 ®"/ — /Z)] {Е, \W^,。М) — 5%」/,, о (р2)]- -iy^[W^f!, о (р2) + V恥-%,о (Р2)]},(1-35)
где р2 и V определены в (1.17).
Движение релятивистской заряженной частицы в суперпозиции поля плоской волны и стационарного внешнего поля
Точные функции Грина для релятивистской частицы в однородном электромагнитном иоле, а также в поле плоской волны впервые были вычислены Фоком и Швингером [353, 354] (см. также [361, 362]). Решения уравнений Клейна ——Гордона и Дирака для частицы в однородном магнитном поле и поле распространяющейся вдоль него плоской волны были получены Редмондом [363L Функция Грина для этой задачи была вычислена Олейником [364], а в более общем случае, включающем еще однородное электрическое поле, параллельное магнитному (в некоторой специальной системе отсчета), — Баталиным и Фрадкиным [365]. В работах [366, 356] с использованием результатов работ [67 — 84] были рассмотрены релятивистские системы, сводящиеся к квадратичным, и для них вычислены функции Грина в более общих, чем в [361—365], случаях, а также построен пример релятивистских когерентных состояний, удовлетворяющих уравнению Клейна —Гордона. Когерентные состояния для релятивистских частиц строились на основе общих методов работ [67 — 84] с использованием формализма нулевой плоскости в работах*[367]. Точные решения уравнений Клейна — Гордона и Дирака в однородном магнитном или электрическом поле и поле плоской волны, распространяющейся вдоль них, вычислялись также в работе [369].
В настоящем параграфе для внешнего поля, рассмотренного в (366, 356] (это поле будет описано ниже), построены в общем случае интегралы движения, когерентные состояния, получена функция Грина, а также вычислена поляризационная добавка к лагранжиану.
Рассмотрим, следуя [356, 366], движение заряженной частицы во внешнем поле, являющемся суперпозицией поля плоской волны с волновым вектором 〃也 четырехмерный вектор-потенциал которой обозначим А^ (кх), и дополнительного поля, описываемого векторным потенциалом 口口. Удобно ввести, наряду с 〃从,четырехмерные векторы q, е(^ и е⑺ такие, что
〃2 = ,2 = “е⑴ _ ,£⑴ _ &⑴"2)= 0；
仞二—(е⑴)2 == 1, 2,("'а)
и новые координаты % и импульсы ^te (Zc = 1, 2, 3, 4):
11,2 = —е32)р; Ез = кр- п = кх, х= (，，X1, X2, х3);
П1,з = —e(i'2)x;% = _"； 山=W Q」6)
Координаты 刀乂, и импульсы & являются каноническими и подчиняются соотношению
店力%]=一叭力"，7 = 1, 2, 3, 4.
Четырехмерные координаты % и импульсы р связаны с новыми переменными соотношениями
% = %е ⑴ + he® — %" + %，；
p =自传⑴+e2ё⑵+ %" + е3，，
Эти переменные были предложены Дираком [370] в координатном пространстве. В импульсном пространстве эти координаты были использованы для расчета дважды логарифмической асимптотики в [371, 372], а впоследствии — при формулировке реджеонной техники в [373].
Векторный потенциал плоской волны А^ зависит только от Е&. За счет произвола в выборе калибровки всегда можно считать, что кА — qA = 0. Таким образом,
/(&) =4(久)礎)+ 4(久)成).
Если <i или <2 равны нулю, то волна будет линейно поляризована, в случае циркулярно поляризованной волны | 儿 | = | Л 2 |.
Дополнительное поле описывается векторным потенциалом 福 имеющим вид
a"-% [—小皿(&) ё£)+ %32(久)ef)l + /^49h»(2.2)
где / = const; со】и co? —— произвольные функции переменной 占型 Огшетим, что потенциалы а" удовлетворяют волновому уравнению. Если со】и (о2 ~ константы, то аи является вектор-потенциалом однородного электромагнитного поля, причем 瓦i — собственный вектор тензора ^ этого поля, отвечающий собственному значению /. Этот случай был рассмотрен ранее с помощью других методов. Случай(о = const, /户 0 был рассмотрен в [365], а случай (о = const, / = 0 — в [364].
Можно было бы рассматривать в (2.2) вместо последнего члена /1n3"" + /2自4，". Это сумма может быть сведена к виду /e4，"(2.2) с помощью калибровочного преобразования, так как /” /2» / — постоянные. С помощью градиентного преобразования невозможно более упростить выражение (2.2), и в общем случае со】и(о? являются произвольными функциями ^4. Ниже будет рассмотрен случай (о】=со? = з (占4)・ Рассмотрение общего случая не представляет никаких принципиальных затруднений, но является более громоздким [366].
Обсудим кратко свойства электромагнитного поля, описываемого потенциалом а^. Тензор этого поля 算却 равен
FaB = 3 因)[噜喑)一咿哨]+ /伯叫-q^ +
+ % 3‘ &)[п2 ("6礎)-"ae$)) + n1 (儿成)一"卩證))]，3' =丑3/а£"
Волновой вектор 倉° плоской волны является собственным вектором этого тензора: 艇=/а・
В специальной системе координат, где базисные векторы имеют вид
〃 = (1, 0, 0, 1);，= %(1, 0, 0, -1);
e(D = (0, 1, 0, 0);е(2)= (0, 0, 1, 0),
электрическое Е и магнитное Н поля равны
/% У® « — 2)\/% w“ (£ — z)、
Е — I — % £3’(力一z) ) ； H =卜/2 yd (力一z) I .(2.3a)
\//\3(— Z)丿
Используя (2.3а), находим следующие выражения для инвариантов:
Н2 一 杼=炉 一 * Н・Е = ",(2.36)
где
(0 = 2-%{h2 - 否2 + [(R2 - e2)2 + 4(也.h)2]%}*；
/ = 2一%{炉—h2 + [(e2 —五2)2 + 4 ^•HYVI^K
Уравнение Клейна — Гордона (1.1), описывающее движение заряженной частицы в поле с потенциалом А^ + а叫 после введения собственного времени s описывается гамильтонианом 猶 который в переменных (2.1) приобретает вид
誑=能12+瞅n,(2.4)
где
銀 & = — Ез% + %〃П & + %山)；
%12 = %崗+%小3(自4)- /1 (Ed)]2 + %[自2 - %%3 (%)—
—/2 (自4)卩。
Этот гамильтониан, вообще говоря, не является квадратичным по отношению к оператору ^4. Однако задача может быть сведена к квадратичному случаю. Для того чтобы показать это, рассмотрим вначале гамильтониан ^34. Этот гамильтониан является квадратичным и может быть представлен в виде (5.22) гл. III, где полагаем вектор с равным нулю, а матрица 8 имеет только два ненулевых блока 62 и 63 =仇(3 b^ = 0):
厶=]厶=]000011(2.5)(2.5)
厶=]
厶=]
0
0
0
0
1
1
(2.5)
(2.5)
Матричные элементы Л (s) легко вычисляются из уравнений (5.26) гл. III:
入1 = С ：% ：)；入4 =入丁；入2 = Аз = 0； detX1 = e/s. (2.6)
Следовательно, система с гамильтонианом 舞з& обладает следующими интегралами движения:
/з = е3；/4=^(1一步)自3+。"扇；
1(2-7)
А = Т]з + —(1 — e-抬)小； Л = 堂
Поскольку оператор /3 не зависит от собственного времени, он является интегралом движения и для уравнения Клейна — Гордона. Вторым таким геометрическим интегралом является оператор
J =丿4 + " з = % + /лз = qp — fq 工.(2.8)
Аналогичные интегралы движения были найдены в [369].
Ядро функции Грина g34 (s), отвечающей квадратичному гамильтониану 能34, легко находится с помощью общей схемы, изложенной в гл. III, путем подстановки в общие формулы явного вида интегралов (2.7). Наиболее удобным представлением для g34 (s) оказывается ^-представление, в котором она принимает очень простой вид. Согласно уравнениям (5.34) гл. III находим g34 (Ез, &； /з, /4； S)= е%/2б (Ез - /з) 6 因—^Ts — } (( 一 e-fs)厶).
(2.9)
Гамильтониан ^34 имеет два интеграла движения /3, /4, которые являются линейными комбинациями только операторов % и %. Именно это обстоятельство, которое является следствием вырождения матрицы В гамильтониана 能34, позволяет решить задачу точно. Интегралы /3 и /4 оказываются интегралами движения не только системы с гамильтонианом ^34, но также системы с полным гамильтонианом 兆=^12 + ^34, так как гамильтониан 能工2 не содержит операторов т|3 и т|4. Поскольку операторы /3 и /4 — интегралы движения полного уравнения (1.1), то решение этого уравнения естественно искать в том представлении, где они диа- гональны. Учитывая это обстоятельство, задачу можно свести к случаю нестационарного квадратичного гамильтониана, если подставить всюду в оператор 维2 вместо оператора & его выражение через s и интегралы движения /3 и /4 полного гамильтониана 应=兆 12 + ^4-
Обозначим через ^12 гамильтониан, который получается из 兆12 заменой оператора 匕 на с-числовую функцию:
% (/з, /4； s) = y(l- e-fs) /3 + е-%(2.10)
(В дальнейшем тильда над буквой всюду будет обозначать замену ?4~>X(S)-) Гамильтониан 5^12 является нестационарным квадратичным гамильтонианом и допускает представление в виде формулы(В дальнейшем тильда над буквой всюду будет обозначать замену ?4~>X(S)-) Гамильтониан 5^12 является нестационарным квадратичным гамильтонианом и допускает представление в виде формулы(5.22) гл. III.Интегралы движения уравнения Шредингера с гамильтонианом(5.22) гл. III.Интегралы движения уравнения Шредингера с гамильтонианомлибо взятьлибо взятьнепосредственноИЗ[366, 356]:+屮) 6§1) <#) 脸)/1 л Jl лel (s)力 一el (s) QEi &2 % П2一s ($)力邑(s)。где матрицаD (s)равна仆)=爲累)—sin Q ⑸ Il cos Q (s) II 1Q (s)—1T\ s (r) dr, 0непосредственноИЗ[366, 356]:+屮) 6§1) <#) 脸)/1 л Jl лel (s)力 一el (s) QEi &2 % П2一s ($)力邑(s)。где матрицаD (s)равна仆)=爲累)—sin Q ⑸ Il cos Q (s) II 1Q (s)—1T\ s (r) dr, 0绢2 можно найти либо по общим формулам гл. III,绢2 можно найти либо по общим формулам гл. III,а вектор Аа вектор Аdd(2.11а)(2.11а)(2.116)(2.116)ddА =А =才2 诟(％ sin Q)—彳1 ^ (% cos Q) dd—(5 cos Q) — 彳1 京(ei sin Q)Mi 77 ® cos °) 一 才2 浜(e2 sin ◎)才2 诟(％ sin Q)—彳1 ^ (% cos Q) dd—(5 cos Q) — 彳1 京(ei sin Q)Mi 77 ® cos °) 一 才2 浜(e2 sin ◎).(2.11b).(2.11b)ооdddd才1 京 ® sin ^) + ^2^7 ® cos Q)才1 京 ® sin ^) + ^2^7 ® cos Q)
(В дальнейшем тильда над буквой всюду будет обозначать замену ?4~>X(S)-) Гамильтониан 5^12 является нестационарным квадратичным гамильтонианом и допускает представление в виде формулы
(В дальнейшем тильда над буквой всюду будет обозначать замену ?4~>X(S)-) Гамильтониан 5^12 является нестационарным квадратичным гамильтонианом и допускает представление в виде формулы
(5.22) гл. III.
Интегралы движения уравнения Шредингера с гамильтонианом
(5.22) гл. III.
Интегралы движения уравнения Шредингера с гамильтонианом
либо взять
либо взять
непосредственно
ИЗ
[366, 356]:
+
屮) 6§1) <#) 脸)
/1 л Jl л
el (s)力 一el (s) Q
Ei &2 % П2
一s ($)力
邑(s)。
где матрица
D (s)
равна
仆)=爲累)
—sin Q ⑸ Il cos Q (s) II 1
Q (s)—
1
T
\ s (r) dr, 0
непосредственно
ИЗ
[366, 356]:
+
屮) 6§1) <#) 脸)
/1 л Jl л
el (s)力 一el (s) Q
Ei &2 % П2
一s ($)力
邑(s)。
где матрица
D (s)
равна
仆)=爲累)
—sin Q ⑸ Il cos Q (s) II 1
Q (s)—
1
T
\ s (r) dr, 0
绢2 можно найти либо по общим формулам гл. III,
绢2 можно найти либо по общим формулам гл. III,
а вектор А
а вектор А
d
d
(2.11а)
(2.11а)
(2.116)
(2.116)
d
d
А =
А =
才2 诟(％ sin Q)—彳1 ^ (% cos Q) dd
—(5 cos Q) — 彳1 京(ei sin Q)
Mi 77 ® cos °) 一 才2 浜(e2 sin ◎)
才2 诟(％ sin Q)—彳1 ^ (% cos Q) dd
—(5 cos Q) — 彳1 京(ei sin Q)
Mi 77 ® cos °) 一 才2 浜(e2 sin ◎)
.(2.11b)
.(2.11b)
о
о
d
d
d
d
才1 京 ® sin ^) + ^2^7 ® cos Q)
才1 京 ® sin ^) + ^2^7 ® cos Q)
Функции % (s) и e2 (s) удовлетворяют осцилляторному уравнению
ё + 52 (s) e/4 = 0ё + 52 (s) e/4 = 0(2.12a)(2.12a)
ё + 52 (s) e/4 = 0
ё + 52 (s) e/4 = 0
(2.12a)
(2.12a)
и начальным условиям
% (°) = G (°) = 1，% ⑼=% ⑼=0-(2.126)
Отметим, что интегралы (2.11а) являются каноническими переменными [/；, Jk]=-方6泳.
Зная интегралы движения, легко получить и функцию Грина гамильтониана ^i2 по общим формулам (5.35) гл. III. Она имеет следующий вид:
gi2 (Y,《s) = [2絞2 (s)『 exp {-^y 風丁2 + ЕЕ'?—
一2 cos Crftf 十 2 sin Q (倒；-呜喇 + ~ v^D^ 62 -
-河(6]+ -- &) + -^-後十方 5 [瓦闻^-(/ + 北)]"p} , (2.13)
где -q и 8fc — двумерные векторы с координатами
Ядро функции Грина g (s), отвечающей полному гамильтониану, можно представить в виде g (s) = g^ (s) g 34 (s), где g34 (s)— функция Грина уравнения Шредингера с гамильтонианом ^34, a g]2 (s) отвечает гамильтониану 勿^。Факторизованная функция g (5) = gi2 (s) g34 (s) удовлетворяет уравнению (1.7) с полным гамильтонианом (2.4), что легко проверяется непосредственной подстановкой g (s) в уравнение (1.7). При подстановке следует учесть, что g]2 ⑸ не зависит явно от переменных ^3 и 甌，а зависит как от параметров от собственных значений интегралов движения полного гамильтониана /3 и /4.
Функция Грина уравнения Клейна — Гордона получается подстановкой g (s) в интеграл (1.6), причем интеграл вычисляется по лучу 0 < s 々 со, Im s = 0. Благодаря наличию дельта-функций этот интеграл легко берется, и в результате получается формула [356]
G (rf,备，痂;不厶,Л) = %：器U 6因-厶)X
X gi2 ⑴"，彳,一十 In 以)exp (等 Inu) , (2.14)
где
1
仆=、6 (z — u) dz = 0
1, оо<1, о, (1/и)<1, ,，2, U — 0, U = 1.
Таким
образом, в
выбранном нами представлении для функции
Грина уравнения Крейна — Гордона в поле А^ = А + а полу
чено замкнутое выражение, в котором уже нет невычисленных интегралов. При / = 0 формула (2.14) переходит в следующую:
G (Y,氐全;厶,Л) = щ^т® (-Чг^)6 自-厶)X
X gi2 (n", s',员产)exp (一 手 ±W)， (2」5) где
日(/)=%,力=0，0, 1r <0.
Если 扇=，4, то 〃 = 1 и (2.14) имеет вид
G⑴",氐反； n',厶,以)=相二普6⑴"一寸)，(2.16)
так как gi2 (""，不 0) = & (tf — “'). В эту формулу не входят ни з (己4), ни Aj (^4), а только величина /.
Если дополнительное поле отсутствует, т. е. (о = / = 0, то легко получаем простое выражение для функции Грина заряженной частицы в поле плоской волны. Для ядра g (s) получаем
g (К Г, s) = U 6 © —恥 6(W — E；s - Q ехр 曰燈 + 讀 + к —1
+ -г- \ 图41 (т) + З2/2(Р)— % (4 + $)]灭｝ •(2-17)
Отметим, что аргумент ческим действием дляОтметим, что аргумент ческим действием дляэкспоненты в (2.17) тесно связан с класси- заряда в поле плоской волны [374]. Это
Отметим, что аргумент ческим действием для
Отметим, что аргумент ческим действием для
характерное свойство квадратичных систем.
■ Интеграл (1.6) при подстановке в него (2.17) тривиально вычисляется. Функция Грина уравнения Клейна — Гордона заряженной частицы в поле плоской волны имеет вид
++2"%12"%1++
+
+
2"%1
2"%1
+
+
Найденные выше явные выражения для функций Грина уравнения Клейна — Гордона позволяют вычислить поправку к лагранжиану электромагнитного поля, вызванную взаимодействием с электрон-позитронным вакуумом. Согласно Швингеру [354], поправка к лагранжиану равна (% — четырехмерный координатный вектор)
乙⑴⑺=—Z ^L g (.г, г, s) e~imts!'2,(2.19)
о
где g (х, х, s) — диагональный элемент функции Грина уравнения (1.5) в координатном представлении. Для его вычисления следует проделать преобразование Фурье функции g (屮，晶，胤； 寸，/з，占4，5)по Ез и /з・ В результате функция g?4 (s) перейдет в / [4nsh (/s/2)]-1 exp [i/眾(呜 — п；)1・ В функции g12 (s), параметрически зависящей от /3 и /4, следует положить /3 = /&《 = //《. Тогда функция * (т) = g《,т. е. не зависит от собственного времени. Поэтому при вычислении диагональных элементов функции Грина следует считать функции (о, /口 Аг не зависящими от s и т,
а равными просто их значениям в точке ?4. Этот вывод сохраняется, очевидно, даже если функции оь (£) и ю2 (^4) различны: в диагональные элементы нужно подставить з (&) = % [«! (&) + + <о2 (£)L При й (s) = const функции % и е2 равны
61 (s) = cos -^- ； е2 (s) — j sin 等.(2.20)
Учитывая эти соотношения, а также считая Л у не зависящими от s, нетрудно убедиться, что величины /『в формулу для диагональных элементов g (s) не входят (заметим, что для исчезновения Л； из (2.13) при “" = т/ достаточно условий /『=const и тождества ё2е1 — £2^1 = 1, которое является следствием уравнений (2.12) при любых й (s)； явный вид функций £1,2 (s) при этом не важен). Окончательно находим [356]
g (%，П2, Пз, &； Пь %, Пз, £； s)=
=/ 3 (自4){(4n)2 i sin [% 3 (%4) si sh (%同尸.(2.21)
Таким образом, плоская волна не вызывает дополнительной поляризации вакуума по сравнению с полем ^ар (2.2), что объясняется тем, что оба инварианта, Н2 — Е2 и НЕ. одинаковы как для поля ^ар, так и для полного поля, включающего плоскую волну. Впервые этот результат в случае(о = / = 0 был получен Швингером [354], при (о = / = const — Баталиным и Фрадкиным [365] и при(о = О, / = const — Нарожным и Никишовым [369].
」 Для построения когерентных состояний, согласно изложенному выше (см. гл. III), введем вместо интегралов движения (2.11а) их линейные комбинации:
笈(s) = Мз"2 卩/2」1+ A/Wo—力(％ J2—八/Зо)]=
=i/2eTQ®[£(s)& +i£)— e (s) (r)2 + 河 1)] + % (2.22) и
/ (s) = MЗо/2 [% J1 —厶侦。+ i (% 丿2 + 八/Зо)]
=%e纥⑻[£ (s)(阳一备)+ £ ⑸(小-41)] + 6a,(2.23)
где
6в = — } j (力2 (T) + гЯ1 (т))备(е (т) е-ш ⑴)dt;
必=}卜晶(v) 一 ^1 (г))备(s (г)两⑺)九；(2.24)
-e (s) =^ )/2/(00^1 + г }^Фо/2е2； ее* — е*е = 2г；
о)о — значение функции й (s) при s = 0. При(о = const е (s)= = 了2/(0 exp (i(os/2). Нижний предел в интегралах для 6а и 6r может быть произвольн ым.
Операторы А и В удовлетворяют соотношениям
[Л, АЦ = [В. 5Л = 1;[Л, В] = [Л, ВЦ = 0. (2.25)
Собственные функции срар (s) интегралов движения А и В, удовлетворяющие уравнению Шредингера с гамильтонианом 舒 12，являются когерентными состояниями в собственном времени. Явный вид нормированных состояний фаз следующий:驚
Фа₽ (力，小，S)= (ле2)-，/! ехр {备 | z |2 + -^-[e^z* (а - 6А)亠
+ 陶z (₽ - 6В)] 一 4^ (а — 6а) (₽ 一 6в) + а^ + 0施-
一 "\ pm (6A5a+ 6в^в) + } (z； + 番)]--4(1«|2+1₽|2 + |6а |2 + |бв I2)}, (2.26)
где z = % + ir|2; а и p — собственные числа A (s)且 В (s) соответственно. Если з = const, то эта формула упрощается (6® = 0): 屮а6(小，小，s)=(券)" eхp {- ^ ^"|z 12+]/"措 X
X [e~iasz* (a - 6a) + 0z] - 0?-输5 (a - 6a)+ аб3 -
一"j [lm (6A6力+ g(质 + 不)]"P^"(1a户+ IP!2 + 16工产)} , (2.27)
где
6厶=]/'措\0次(方1⑴丄力42 (r)) dt.
Решение полного уравнения (1.5) равно ср (s) = g34 (s) cpap(s). Чтобы получить решение уравнения Клейна ——Гордона, нужно подставить ср (s) в интеграл (1.4) и выбрать такой контур интегрирования, чтобы разность значений функции ср (s) ехр (— izn2s/2) на концах контура обращалась в нуль?
В случае функции ср (s), определяемой формулами (2.9), (2.26), (2.27), ситуация проще: при s = —оо функция g34 (s) равна нулю из-за наличия дельта-функции, a g34 (+ оо) = 0 благодаря множителю е~%/2 (ПрИ? /〉0; при / < 0 — наоборот). Поэтому интеграл (1.4) можно вычислять вдоль вещественной4 оси от —оо до + со. В результате имеем следующее1 решение" уравнения Клейна — Гордона (по ^3 проделано преобразование Фурье, чтобы получить решение в координатном представлении) [356]: 屮 Лар (也，恥，"з,扇)=I，吧二;0 (〃)exp (打3/3 + "^ In u) X
X 屮ccb("l 电；；ln u)・(2.28)
Это решение уравнения Клейна — Гордона является собственной функцией операторов /3, Ло и 50 с собственными значениями /3, а, 0, причем Ло и 50 получаются из / (s) и В (s) (2.23), (2.22) заменой параметра s оператором (—1//) In и (^4, /3, /4). Операторы Ло и 50 удовлетворяют соотношениям (2.25) при условии 〃〉0. Поэтому функция (2.28) является когерентным состоянием и обладает всеми его свойствами. Когерентные состояния для уравнений Клейна — Гордона и Дирака строились также (при (о = const) в работах [366 — 368]. Полученные в них результаты сводятся к (2.28).
Фактически формула (2.28) является частным случаем общей формулы для когерентных состояний квадратичных систем, найденной ранее в работах [84, 104], и получается путем подстановки в общую формулу конкретных значений матриц и векторов, определяющих интегралы движения (2.22), (2.23). В случае / = 0 формула (2.28) переходит в следующую:
子1”0 (%，小，Пз,扇)=
=ехр(^-粤 ^5^)屮сф (%，小，^^Н1) • (2・29)
Параметр /& соответствует произволу в выборе начала отсчета координат. Решения, отвечающие /3〉0, описывают частицы, а решения с /3 <^ 0 — античастицы.
Г лава X
Матричные элементы представлений групп динамической симметрии
§ 1. Матричные элементы преобразования Боголюбова и переходы между уровнями Ландау в нестационарном магнитном поле
Для диагонализации гамильтониана 變 вида [375]
兆=鸟誉+4 Л [(鏡十 т^) ^ак 十 а-ка-^+ k#0
+ -^- (а£а?к + а+ -^- (а£а?к + а
+ -^- (а£а?к + а
+ -^- (а£а?к + а
Боголюбов [376] и Валатин [377] рассмотрели каноническое преобразование Бозе операторов рождения и уничтожения 〃2, 〃足, удовлетворяющих стандартным коммутационным соотношениям
вида
5；(1-1)5；(1-1)Ьк — u^dk 十 丸〃_足； 谑一建=1； Uk = 〃f ； Vk =
5；
(1-1)
5；
(1-1)
Ьк = Uk&k + ^№〃-№； tZfc = chp/g, U 就—shP%
где параметр т^ выбирается из условия диагонализации гамильтониана 舒[375, 378].
Наборы фоковских состояний
I 兀 1, «2>а = 51M2!)" (aZ)n,(Mk产 I о, 0〉a И
I mn F* =(词g尸4屈尸(匾)m“ I 0, 0入
связаны между собой оператором S = exp [тк 出吸必一姦")]:
I 恤，F〉b = S I 兀1,兀2〉а，(1-2)
матричные элементы которого обозначим как
^ти ту, п1( п2 =《血1，m2 | ^1, ^2>а = а<^1» ^2 丨 S^ | 體1，體2〉а・(〔*3)
279
Соотношения (1.2), (1.3) вытекают из
bk = Sa^S^^ 匕2 = SatS^.bk = Sa^S^^ 匕2 = SatS^.(1-4)(1-4)
bk = Sa^S^^ 匕2 = SatS^.
bk = Sa^S^^ 匕2 = SatS^.
(1-4)
(1-4)
Отметим, что в задаче о движении заряженной частицы в переменном по времени магнитном поле [71, 72] оператор эволюции является, по существу, преобразованием Боголюбова, что позволяет использовать применявшийся в [71] метод когерентных состояний [61] для вычисления производящей функции и матричных элементов преобразования Боголюбова. Далее следуем [381].
Введем когерентные состояния, следуя [68, 381], для операторов 岭，bk и при 力声0:
ал I аи а?〉。— % I ссъ a?〉。； bk I pi, р2〉ь = Pi I Pi, 02〉b；([ 5)
〃』| %, a2>a = a2 I a】，a2>((; 弘 | 阮 ₽2>b = ₽2 | 阮 ₽2>ь-
Наличие когерентных состояний позволяет ввести производящую функцию для матричных элементов (1.3):
ехр (% I ai |2 + I а212 + I pi 卩十 | р212)《近隹 | ® За =
臂喏舒哈产臂喏舒哈产74,^2； mi, m274,^2； mi, m2Si!a！"”！询)"?Si!a！"”！询)"?Smi, m2； nt, n2-(1.6)Smi, m2； nt, n2-(1.6)
臂喏舒哈产
臂喏舒哈产
74,^2； mi, m2
74,^2； mi, m2
Si!a！"”！询)"?
Si!a！"”！询)"?
Smi, m2； nt, n2-
(1.6)
Smi, m2； nt, n2-
(1.6)
Легко вычислить, используя результаты работы [71] (см. также [380]), производящую функцию (1.6); имеем
ехр (% 1ali2 + I «2『+ I 瓦 I 2 + I 自『)《瓦，₽2 |а「За =
=(1/^fc) ехр (丸0毋2 — ^^1^2 + ^202 + «!₽!)• (1.7)
Разложение (1.7) в ряд Тейлора позволяет найти, используя (1.3) и (1.5), матричные элементы оператора S:
Smi, m2； пъ п2 —
1^m.m^COS 0)при 叫〉Q И 7П1 > ТП2,
% 2 mi,n2 nl(_ [)m-m 力工加(cost)) при 恤 < Q И 恤〉网,
(1.8)
где cos 0 = 1 — 2u2/v2, j = V2 (пг】+ 电)， m = V2 (^ — m^^ m‘ = 1/2 (血1 — 电)，a Dm^ (cos 8)-фуннция определена согласно работе [388]. Случай т2 5 пгх получается из (1.8) заменой п* 二 二八2，^1二吗
Матричные элементы преобразования Боголюбова с 历=0 приведены в [85, 186], а также в работе [379].
280
Заметим, что в случае общего линейного канонического преобразования 仇=* + 内к恤 + 左,где и注，и或，左-к0мп- лексные числа, соответствующий матричный элемент оператора преобразования можно явно выразить, используя результат работы [43], через полином Эрмита от и переменных.
Когерентные состояния симметричного волчка
Различные авторы [382—385] вводили когерентные состояния для симметричного волчка разными способами. В частности, когерентные состояния можно понимать как состояния, в которых задана начальная точка траектории волчка в фазовом пространстве средних обобщенных координат и импульсов. Можно, однако, воспользоваться еще одним важным свойством когерентных состояний, а именно тем, что они задают производящую функцию для таких состояний квантовых систем, которые характеризуются дискретными квантовыми числами. В частности, если известны амплитуды переходов между когерентными состояниями
〈а】,..an I В】，• • *, Pn〉=〈а I 0〉，
то можно определить аналоги когерентных состояний для квантовых систем, чьи волновые функции суть матричные элементы представлений группы G, следующей формулой: 〈g I а, 0〉=〈a I 0g〉・ Здесь 0g есть вектор, полученный действием преобразования g, принадлежащего группе G, на вектор Р： Pg — gP, т. е. совокупность {% g ^ G} представляет собой некоторую орбиту [202—204]. Следуя вышеуказанной конструкции, мы построим волновые пакеты, являющиеся аналогами когерентных состояний для симметричного волчка. Используя их, найдем новые производящие функции для d-функции* Следуемые из них интегральные представления d-функции будут использованы для нахождения асимптотических выражений в области больших квантовых чисел.
Гамильтониан асимметричного волчка с моментами инерции /2 и /3 имеет вид
彩T停+氣用， (-)
где 人■— операторы углового момента ■— генераторы алгебры Ли группы О (3). Если все моменты инерции 厶=/ одинаковы, то волчок является сферически-симметричным и гамильтониан 兆 в этом случае пропорционаленТоператору квадрата момента /2, который является оператором Казимира группы вращений О (3). Волновые функции 屮 стационарных состояний симметричного волчка, отвечающие энергии Ej = h2J (J + 1)/2/, связаны с матричными элементами неприводимого представления группы О (3)
с моментом /. Как известно [386, 387], в представлении углов Эйлера срп 0, ср2 волновые функции стационарных состояний можно записать в виде 史(屮口 0, cp2) = exp [—i (пг% + 7nzcp2)]屮，причем 屮 удовлетворяет уравнению Шредингера
3 [(1 — Z?) А^ 屮 + [; (/ 十 1)—济—：?刍 +逹]2 = 0, (2.2)
где z — cos 0. Решение уравнения (2.2) можно выразить через d-функцию Вигнера [320, 388], являющуюся матричным элементом неприводимого представления группы вращений О (3):
^т,т' (0) = <7> m\e~^Jy\j,m'}.
Состояния волчка | j, т, т'〉, отвечающие квантовым числам /, т, пг', выбираем ортонормированными:
02，m2, л1-217i，"「Wl〉= 6関16叫砌5冠*.(2・3)
В представлении углов Эйлера эти состояния связаны с /)-функцией:
<Ф1, 0, ср217, т, т')二工 Dm, m-(Ф1. 0,屮2),(2.4)
где 圆,m- (%, 0, cp2) = e~im^ 恋,"(0) e~im\ ^j^ 8旧⑵ + 1).
Рассмотрим волновые пакеты | а〉，являющиеся суперпозицией стационарных состояний | /, т, пг'〉， вида
ОО7
I а〉= ехр (——а*а)工 £ C§N> х j = 0 т, m'=—j
色+m J-m a/+承，京一小
X 广=]2=3 . 4I /・，心，(2.5)
у (/ -次)！ (/, + 次)！(， —次‘)！(，+ 加')！
где а =(出，а2, а3, а4) — произвольные комплексные числа, а коэффициенты & можно выбирать различным образом. Волновые пакеты типа (2.5) с Cj = 1, / = 0, х/2,1, . . ., встречаются при рассмотрении задачи о движении заряженной частицы в переменном магнитном поле (см. § 4 гл. II). Если коэффициенты CJ выбрать равными У(2/)!, то волновые пакеты (2.5) будут аналогичны когерентным состояниям асимметричного волчка [389].
Характерно, что средние значения〈а | 厶(力)| а〉=厶 гейзенберговских операторов /г (力)，вычисленные с помощью когерентных состояний асимметричного волчка, определенных так, как показано в [389], удовлетворяют классическим уравнениям Эйлера [390] вида
)i + (/3 —厶)Q2Q3 =。；
/2 + (乙-/3) С3С1 = 0;(2.6)
/3 + (厶一人)С力?2 =。，
где =力⑦禹(j = l, 2, 3).
282
Далее будем рассматривать (следуя [392]) только когерентные состояния I а〉 (2.5) с Cj = 1. В представлении углов Эйлера когерентное состояние (2.5) имеет вид
(2・7)(2・7)<фь 0, ф21 а> = ехр(—；а*а) ехр ^(a3a4)u (^) j
(2・7)
(2・7)
где 〃 一 унитарная матрица 2-го порядка — является представлением D1'2 группы вращений О (3) SU (2):где 〃 一 унитарная матрица 2-го порядка — является представлением D1'2 группы вращений О (3) SU (2):
где 〃 一 унитарная матрица 2-го порядка — является представлением D1'2 группы вращений О (3) SU (2):
где 〃 一 унитарная матрица 2-го порядка — является представлением D1'2 группы вращений О (3) SU (2):
Формула (2.7) с учетом (2.5) задает производящую функцию, введенную Швингером [393], для D-функций (2.4):
<Фь 9,(р2|«> =ехр<Фь 9,(р2|«> =ехрООj(—}а*а)Е £ Dm,m ((fl, 0, Cp2)X j = 0 m, m'=—JООj(—}а*а)Е £ Dm,m ((fl, 0, Cp2)X j = 0 m, m'=—JXXR+majm《+m《-m，R+majm《+m《-m，Y(j — m)\ (/ + m)! (/ — m')! (/ + m')!Y(j — m)\ (/ + m)! (/ — m')! (/ + m')!
<Фь 9,(р2|«> =ехр
<Фь 9,(р2|«> =ехр
ООj
(—}а*а)Е £ Dm,m ((fl, 0, Cp2)X j = 0 m, m'=—J
ООj
(—}а*а)Е £ Dm,m ((fl, 0, Cp2)X j = 0 m, m'=—J
X
X
R+majm《+m《-m，
R+majm《+m《-m，
Y(j — m)\ (/ + m)! (/ — m')! (/ + m')!
Y(j — m)\ (/ + m)! (/ — m')! (/ + m')!
причем
D3m^(Ф1, 9,屮2)= Nj&i，仇屮2 I 九 m, my.
Волновой пакет типа (2.5) возникает также при рассмотрении движения заряда в электромагнитном поле [71].
Используя (2.5) и (2.4), легко найти закон преобразования когерентных состояний при вращениях, т. е. при действии на них оператора правого сдвига на группе SU (2):
Т(① 1,8,①2)= ехр (i Ф2 /з) ехр (/ 0 J^ ехр (/ ①】Jз).(2.9)
Записывая вращение (①】,0, Ф2) с помощью параметров Кэли — Клейна (а, 0, у, 6):
С .① 1 +① 2С . Ф1—① 2
а = cos -6 = i sinа = cos -6 = i sin歹 е 2 , 丫 = %sm-^-e2 ,
а = cos -
6 = i sin
а = cos -
6 = i sin
玄 е 2 , 6 = cos 彳 е 2 ,
находим
Т(а,Вмб)|аи а2, аз, а4> = | а% — фа2, 2丫幺 + 6а2, а3, а4>.
(2Л0а)
Аналогичным образом находим для левого сдвига Т на группе SU(2)
7(атр,у,б)| а】，О125 о^з， а&〉= | а】，а?, баз £丫風4, %0аз + аа，，
—(2.106)
где Т = ехр {^Ф273} ехр {汾兀} ехр {力①"з}・
Отметим, ато законы преобразования (2.10а) и (2.106) когерентных состояний I а) (2.5) при конечных вращениях остаются справедливыми^при любом выборе коэффициентов {С；}.
Инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов, отвечающие операторам углового момента в подвижной и неподвижной по отношению к волчку системах, в | а)-представлении имеют вид
人=}3 言十询£)； /2 =多(一a2 费" + ai£)；
Операторы /乞 и 了力 подчиняются коммутационным соотношениям[/b //1 К 回扑/ fcjU г> Jjl = 一2修加/h； U m »^j] ~ 0*
Средние значения этих операторов, вычисленные с помощью когерентных состояний (2.5), даются выражениями [392]
Г ,. .*丿*小「1a3卩+4|2『2丿2 (2人)•
h ——(a僧2 + 5出)[I % 口十1a2卩一J 7(2九)"
Г ,0*0、「丨 "3 I2 十| & 卩 丁厶/2 (2入)./2 4 八
J /I a 12 I a |2\ Г I a3 Г2 + I a4 Г2 T'2 ^2 (2X)
где /. = (a I /г I a〉, а /г и J2 —— модифицированные функции Бесселя.
Аналогичные выражения для 〈а ] 7； | а〉получаем из (2.11) с помощью замены cq —> a3, a2 f a4.
При больших значениях a, |a|》l, т. e. в классическом пределе, используя асимптотику функции Бесселя [88], находим
Лкл^-4(а& + а*а2)卄：；£ 制]&
厶 кл а 子(aia： — а：。?)СЕу"^%] "；(2-12)
(g |2 — I a? F)[^|^『
и аналогичным образом для〈а | 了| а〉.
Скалярное произведение когерентных состояний (2.5) с Cj 三 1 выражается через функцию Бесселя мнимого аргумента
<₽|a> = 8dехр (—哗^严§) h^L ,(2.13)
где
九=[(Pi^i + P*«2)(₽з«з + 麓％)】％•(2.14)
Выражение (2.13) показывает, что когерентные состояния (2.5) не ортогональны, хотя и образуют полную систему.
Волновой функции 〈ср】,0,(р2 I /〉, отвечающей состоянию | /〉 в представлении углов Эйлера, в представлении когерентных состояний отвечает амплитуда
2门Л 2门
<а(/> = J J J <a|(pi, 0,(р2> <cpi, О, <Р21/> d(pisin0ded<p2, (2.15) ООО
где <а I фх, 0,屮2〉Дается (2.7). Преобразование (2.15) отображает пространство состояний волчка, т. е. гильбертово пространство Z? функций на группе SU (2) / (фг, 0, ф2), интегрируемых с квадратом: II / ||2 = jjj I /* (%, 0, ф2) |2 &% sin 0 d® d(p2, в пространство 泸 аналитических функций F (а) от четырех комплексных переменных аг : F (а) = ехр {% | а |2} <а | /〉， интегрируемых с квадратом с весом.еТ。匕 которое рассматривалось Б аргманом [64].
Обозначим образ Л2 в ^ через ①.Тогда .务 получается из 舒 с помощью оператора проектирования Р вида
PF (а) = ^F ^!^ 2, а2е 2, а3е 2, а* 2丿^~.(2.16)
В этом случае преобразование (2.15) имеет единственный образ в У- По образу F (а) такому, что PF (а) = 耳(а), находим состояние волчка:
<фь 仇屮21 /〉二盡、噜《Р1, 0, ф21 а〉歹(а) (1 + 2Q) ехр (— ~ а*а),
(2-17) где
"а = И (& %)d (Im а；)]；
.0貝型we£结也 ,
Q = sin-^- a am+cos-^-e 2 а1а3 _]_
-|-cos-^-e2 а?% — sin-g-e 2 gg. (2.18)
Формула (2.17) является обращением интегрального преобразования (2.15) [392].
Рассмотрим теперь другие волновые пакеты, которые играют роль производящих функций, и получим различные интегральные представления для d-функций, используемые в дальнейшем. Учитывая (2.5) и (2.7), а также (2.4) и (2.8), находим интегральное
285
представление для d-функции вида
必,т，(6) = (2砌т К/ + 6)! (/ — т)! (/ + т)! (/ — 〃)!]% х
XX(2-19)(2-19)аТт^+ту-тт+т&ц2aза&аТт^+ту-тт+т&ц2aза&ехр(2 а© + + агСЦ + -^- Qj^ — -^- а2Оз) dq da^ da3 da&
X
X
(2-19)
(2-19)
аТт^+ту-тт+т&ц2aза&
аТт^+ту-тт+т&ц2aза&
где 刀/三=sin (0/2), 1/占—cos (0/2). Интегрирование в (2.19) про^ изводится по независимым замкнутым контурам в плоскостях комплексных переменных a1T а2, а3т а4т охватывающих один раз начало координат соответствующей плоскости.
Производя в (2.19) различные замены переменных и выполняя затем интегрирование по части переменных, авторы [391] получили различные интегральные представления для d-функции.
Рассмотрим, следуя [391, 392], некоторые из таких замен переменных, позволяющих выполнить в (2.19) одно интегрирование и, таким образом, получить волновые пакеты, являющиеся произвол дящими функциями и зависящие уже от трех комплексных пере- менних.
Введем, согласно [392], новые переменные 瑞 у, z, w:
n ^― о^о^, у —2 a2a4； z —: 0-2^3> R о^аз， (2.20) причем xz = yw. Легко проверить, что a^+m = =x^mym+m，z^-m，. Производя замену (2.20) в (2.19), получаем интегральное представление ■
必，m- (0) = (2ni)~3 [(/ + 砌！(j — wz)! (/ + m)\ (/ — m)\^2 x /Г)11 XZ T)、
小 exp I +可 y+石丁-可 右 4^2
” Jx^~mym+ml z^m，6yz
Из (2.21) следует, что производящая функция в переменных н, у, z имеет вид
eхр (七z+*什*子_*)=
(2.22)(2.22)V 标/-m 严+m，jm，
(2.22)
(2.22)
=\ dm m'—，一 」±♦• F T
.^4.^'M(/ + m)! (i — ^)1 (/ + mf)\ (/— mf)\
В переменных a, b, с таких, что
b = a2a4；ab = a2a3； c = ag,(2.23)
интегральное представление (2.19) принимает вид
dm, m' (9) = (2加)т [(j + m)! (/ — тп)! (/ + тп')! (j — m'^!t х
(2.24)(2.24)Р exp [--^ab+ — ac+ — b + — cj dadbdc
(2.24)
(2.24)
X 7 'a'-m，戍+m/-m'abc—
Производящая функция в переменных (2.23), как ясно из (2.24), дается формулой
ехр (—-^-曲 +*ас +专Ь + ?с)=
= %/1)E仁:",—(2岡
Замене переменных вида
旬仇=cq%; a1!b1 = a2a4；仃/仇=а2а3 (2.26)
в (2.19) отвечает интегральное представление
國п, т- (9) = (2叫-з [(j + 汕！(j — 6)! 0 + 加)！(j — М)!广"义
*0 ехр [十ai (^ + *)十善ci (瓦一音)]黯产"喘:"•
(2.27)
Соответствующее (2.27) интегральное представление очевидно: eхp [专 ai (恥 + *) + *i 他一豈" =
；' У(/ + ^)!(,—m)!(/+m，)!(j—從)1''
В работах [391, 392, 298] путем выполнения интегрирования в представлении (2.21), (2.24) и (2.27) по некоторым переменным получены производящие функции двух и одной переменной. Волновые пакеты (2.22), (2.25) и (2.28) могут играть роль когерентных состояний симметричного волчка.
Квазиклассическая асимптотика 〃-巾унк《м说—— матричных элементов группы вращений 0(3)
Изучение поведения d-функций при больших значениях квантовых чисел («классический предел») представляет интерес как в связи с различными применениями, так и с математической точки зрения, так как через ^-функции выражаются матричные элементы неприводимых представлений группы вращений О (3). Отметим, что матричные элементы преобразования Боголюбова [376], как показано в [380, 381] (см. § 1 гл. X), выражаются через d-функции, так же как амплитуда перехода между уровнями Ландау в нестационарном магнитном поле (см. § 3 гл. II). Различные виды асимптотик d-функций обсуждались в работах Вигнера [320], Бруссарда и Тельхука [394], Корио [395] и Мартина [396].
Для исследования квазиклассической асимптотики матричных элементов перехода Ландау [276] предложил метод, основанный на нахождении комплексных траекторий классической системы,
и экспоненциальный характер асимптотики связал с этими комплексными траекториями. В настоящем параграфе асимптотические выражения для d-функций, следуя [392], мы будем находить методом перевала, используя интегральные представления для d-функиий, найденные в § 2 (см. [298, 391]).
Методом перевала [397——399] можно оценить асимптотики при X 另 1 интегралов вида
/(%) =，(р(? ехр {%/©}&&? =&),(3.1)
С
где х ——вещественное число, х ^> 1; (р (^) и / (Q ——аналитические функции переменных С】,^2,...,工几;С — многообразие в комплексном пространстве такое, что его граница не вносит существенного вклада в интеграл (3.1). Если контур замкнут, то подынтегральное выражение может быть мероморфной функцией. Метод перевала позволяет записать асимптотику как сумму вкладов от каждой точки перевала g。вида
厶。(“)=(-辱17g^ +。g) ,(3.2)
где He / (C)——детерминант матрицы, составленной из вторых производных функций /(С)：
Не /(：) = det |[尹〃觴呜“，i, j = 1儿 (3.3)
Точки перевала ^0 определяются уравнением grad / (^0) = 0. Предполагается, что вблизи ^0 функция ф (^0) меняется достаточно медленно. При наличии нескольких точек перевала асимптотика интеграла / (х) определяется суммой вкладов вида (3.3) по всем допустимым перевальным точкам (см. [397——399]). Таким образом, асимптотика, вычисляемая методом перевала, определяется значениями подынтегралыюй функции в некоторых экстремальных точках.
Обычно квазиклассические амплитуды перехода в соответствии с принципом Франка ——Кондона [273, 274], как показано в [276], определяются некоторыми точками в фазовом пространстве системы. Эти точки являются точками пересечений траекто^ рий (в фазовом пространстве системы), отвечающих некоторым фиксированным интегралам движения начального и конечного состояний.
Для нахождения «квазиклассической» асимптотики tZ-функции в области больших значений квантовых чисел можно, следуя [392], использовать полученные в § 2 интегральные представления.
Используя (2.21), представим d-функцию в виде (3.1):
“,m，(0) = (2位)-3 [(j + 6)! (/_ m)! (/ + ")!(/ — M)!]% 义
X 小 exp {/ (z, у, z)}，噥匕,(3.4)
где
Р~ 2 — (у — m) In а: — (m + m') In ?/ — (/ — m) Inz.
Асимптотика интеграла (3.4) в области больших квантовых чисел определяется точками перевала, для которых grad / (况,у, z) = =0. Координаты точек перевала находим из следующей системы уравнений:
(3.5)(3.5)
(3.5)
(3.5)
Решая систему (3.5), получаем значения коо])дипат 况,yt z и 山 二二 =xz/y точек перевала:
%, 2 二击｛2/rf + (in — 7ZZ)g2 干 j [4 (/2q2 + nwi'F) — (m |-"产守门?｝；
У1,2 =急⑶ + (m -Ь т)守 土 i [4 02tl2 十 mm'^)-陋一卜柏 2 ру”；
(3.6)
zi, 2 =击｛- 2加2 + (加'一加)$ 土 i [4 (广干 十 mmV)-
-(m + ??l')20]%｝;
Wi, 2 =专｛2/ — (m + 加)干 土 力[4 (『if -]- mmV)—(加 + 加户陷％｝.
Отметим, что
I Z I 2 = (7 一6)(/ + б‘)； I y | 2 = (/ + 6)(/ + 加)；
I Z I 2 = (7 + 加)(/ -б‘)；I n2 I 2 = (7 一6)(/ - m)•
Определитель, составленный из вторых производных функции по координатам 况,у, z,гессиан Не / — || Э2//^(Э^； || (^ =况, U2 н/Л Сз = %), входящий в (3.2), в перевальных точках можно представить с учетом (3.6) в виде
Не / =吗2：更｛2边[/2(П2 — 1) + mmV] +
+ ^j-m) (/ -加)[2/ + (加 + m)守｝.(3.7)
При подстановке значений w (3.6), отвечающих точке перевала, в формулу (3.7) гессиан можно представить в виде
нe/三」■显严，m)4,2呎2名,2?нe/三」■显严，m)4,2呎2名,2?(3・8)(3・8)
нe/三」■显严，m)
4,2呎2名,2?
нe/三」■显严，m)
4,2呎2名,2?
(3・8)
(3・8)
28928910 И. А. Малкин, В. И. Манько
289
289
где h (у, т, m7) = | 无(j, m, m') | exp {i Ф}; | h (7, m, mf) | = =g2 [(7 + 尸)(/ — m) (/ + mf} (7 — m')]^ [4 (/牙 十加〃資— —— (т/г + mr)2 自"『厶； фаза Ф в двух перевальных точках отличается только знаком:
(3.9)(3.9)Ф = + arctg*缈一l) + mm 岁——
(3.9)
(3.9)
— J / [4 (/V + mm^2)— (m + m^ ^] h
Интегрирование по переменным 况,у, z в (3.4) тесно связано с интегрированием по фазовому пространству шарового волчка. Действительно, гессиан Не / (3.8) можно выразить через классический импульс ро шарового волчка в виде
Не/ 二-『.. ‘ей 丁р〜(3.10)
U0 + m) (， 一 ⑺(，+ 相)(，一 句)
Таким образом, точкам остановки отвечают пули Не /:
4 (Fd + тт飞2) — I m + m' I 2^4 ~ 0.(3.11)
Это, очевидно, совпадает с условием обращения в нуль квадратного корня, входящего в (3.6). При фиксированном угле 0 d-巾унк- ция зависит от трех дискретных переменных —— квантовых чисел /, т и тп\ причем | m | ^ / и | т7 | ^ /, / > 0. Эти условия выделяют в трехмерном пространстве (т, тп', /) пирамиду с вершиной в начале координат и квадратным сечением в плоскости / — const. Уравнению (3.11) соответствует в этом пространстве конус с вершиной в начале координат, лежащий внутри пирамиды и касающийся ее граней. Конус (3.11), соответствующий классическим точкам остановки шарового волчка, выделяет внутри пирамиды области, в которых асимптотика (^-функции иосит сущестпенпо различный характер. В области, лежащей внутри конуса (3.11), решения системы (3.6) комплексные (область классического движения волчка) и асимптотика носит осциллирующий характер. В области вне конуса (3.11) рептения вещественные (классически недоступная область) и асимптотика является экспоненциально убывающей.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью / = const, / ^> 1. Тогда область квантовых чисел т, т\ отвечающая осциллирующей асимптотике ^-функции, лежит внутри эллипса
М2ЛГ2
1 + cos 0 十 1—cos 0 где M — 2一力(/л + mf) и Mf = 2-1/2 (—m + mf). Вне эллипса (3.12) при / * 1 асимптотика cf-функции носит убывающий характер.
Асимптотика cf-функции при условии, что точка (/, т, тп') лежит внутри конуса (3.11), причем /, т, т‘》1 и / 登 m, т‘, определяется вкладом в интеграл (3.4) двух перевальных точек (3.6). Вклад в интеграл (3.4) от первой перевальной точки, вычислен-
ный по формуле (3.2), будет равен
砒％，(6)= 負 [4 (/V十mmV) 一(6十川)21「明义
X ехр { — i[ (j— m) arg ^ 十(m + m) arg yr 十(/ — m) arg Zj.十十 2一代arg A (1)] + 2/} {2п (у — ^i^!2 (/ 十 wz)«+m)/2 # — ^j^hi x
X (j 十川戶+砲，2 [(j — m) (/ 十僞)(/ 一 m) (/ + ”)『，}」. (3.13)
Используя формулу Стирлинга и! яг ппе~п У2ли,兀袋 1, выражение (3.13) можно представить в виде
厶猾e?p[-i 屮亿加，优)]_(3.14)
'、/2л [4(7^ 十 тт^) — (m + m^] 1/4、/
Вычисляя вклад второй перевальной точки, получим
0耙"⑼m号eхP网，(7，%w)](3.15)
и2n [4 (产炉+ mmf^) — (hг十 苏户已円笳
Суммируя вклады двух перевальных точек, находим, что для больших квантовых чисел 7, п, nf, лежащих внутри конуса (3.11), асимптотика d-巾ушщмм носит осциллирующий характер:
dm, м (8) р ]/ 二自[4 (产 if 十 ттг^ — (m + 川)2 亨]-% cos 屮(/, m, т\
(3.16)
Аналогичная формула приведена в работе [394], где находилась методом ВКБ волновая функция сферического волчка. Фаза 屮 0, т, mf) была подробно исследована в работах [391, 298]. При / f оо формула (3.16) приобретает простой вид:
(0)之 /^j С^ [('十"4-) 6 一(加一m)号^~] . (3•17)
В [391] показано, что при фиксированном / фаза 屮(/, т, т'), определенная внутри эллипса (3.11), испытывает скачки при переходе через отрезки прямых. При 刀？〉1 эти прямые имеют вид т‘ = т (т)2 — I)/" + 1), (т]2 + l)/(i]2 — 1).
Рассмотрим теперь асимптотику d-функции при условиях
7>1, П<1?加2 〜1, F 〜1. (3.18)
В этом случае эллипс (3.11) будет сильно вытянут вдоль оси М. Для получения асимптотики d-функции как внутри, так и вне конуса (3.11) при выполнении условий (3.18) удобно использовать интегральное представление (2.24). Выполняя в (2.24) интегрирование по а и b и заменяя с на 刀/自％, получаем интегральное пред-
ставление вида
/К(8)= Ю爲)丁(2叫實0+歩尸X
Х(Т* 备，(3.19) где
b(j-m^ = (/二加需下(普)‘m (表 广 m (3.20) и величина р (/ — mf｝刀財守)равна
p(7 -加,圜 =77—Jj力十用!传*)e•(3.21)
Величину b (j ——m,刀2/自2) можно записать в виде биномиального распределения (7V!/?z! (TV — n)!) pnqN-\ где , = ц2/^2, N = = 2/. Условия (3.18) означают, что р f О, TV f оо и Np — const, и тогда, как известно [399], биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона Р (п) = (Np)" exp (—Np)/n\:
心一(3.22)
Величина p (/ — m\ T^/f) при выполнении (3.18) равна (2加2/自2)、皿/0 — тп')!. Подынтегральное выражение (3.19) при условии (3.18) принимает вид'
а+土广(一*片(…宀冲(一2皆)
(3.23)
и совпадает с производящей функцией для полиномов Лагерра [88].
Таким образом, (3.19), с учетом (3.22) и (3.23), позволяет выразить асимптотику ^-функции в пуассоновом пределе через полиномы Лагерра [392]:
乱"мехр(一誓)[Ш碧wZ/R嗡.
(3.24)
где j А 1;刀 ％ 1; /т]2 〜1；自2 〜1. Вне эллипса (3.12), расположенного вблизи оси М^ полином Лагерра, входящий в (3.24), не имеет нулей.
Рассмотренные асимптотики сохраняют свой характер в случае, если плоскость / = const, j f оо заменить на другую плоскость при условии, что сечение пирамиды / ^> 0, | m | < /, [тг | V V j другой плоскостью является ограниченной областью.
Перейдем теперь к нахождению асимптотики ^функции при условии, что квантовые числа j, т, т принадлежат некоторому двумерному некомпактному многообразию.
Пусть
7>1； П <1；Е~1； П2 (/ + ^) = const. (3.25)
Очевидно, что плоскость т]2 (/ + mf) = const параллельна грани пирамиды и ее пересечение с пирамидой (/ > 0; | m | < /； | т' | < V /) является неограниченной областью. Сечение конуса (3.11) плоскостью т)2 (j + m') = с при условиях (3.25) является параболой, уравнение которой при малых п в проекции на плоскость т, тп принимает вид
©・26)
Для нахождения асимптотики d-функции при условии (3.25) используем снова интегральное представление (2.24). Интегрируя в (2.24) по Ь, находим
见 м (0) = (2叫f ["吗；片俨 i'H 丁(+r X
(3.27)
Заменяя (1 —刀〃)汁？ ввиду условия (3.25), на ехр [—刀(/ + m )a] и используя разложение вида
ООeXр (az 十 0夕十 Уху) = 2 з/旳。，
где
Г р +(7 + I Р — 7 I 11-1 P-Q+lP-q] »m-Pl p+q-gq]
Cpq = L 2 J a 202■ Y 2 x
x 〃舐L|p q| (- -у-),
находим асимптотику d-функции (т 〉т)\
/,加(6) у ехр (一 川2)[(注；熊•二需!「r]m^mL^ [哦(j + rn)].
(3.28)
Так как конус (3.11) разделяет области, в которых асимптотика d-функции носит различный характер, то, как следует из (3.28), нули полиномов Лагерра лежит внутри параболы (3.26). Используя теперь известное асимптотическое выражение для полиномов Лагерра [88], из (3.28) получаем
^т,тг (6) у (冗用)т“ cos 1/0 — (т — m) л/2 — л/4]. (3.29)
В силу свойств симметрии d-функции асимптотика, рассмотренная в плоскости т]2 (j + ^) = const, переносится на семейство
293
плоскостей т]2 (j 土 m') = const, i]2 (7 ± m) = const, параллельных граням пирамиды.
Вигнер показал [320], что асимптотикой квадрата модуля d-функции с т/г' = j при Л1 является нормальное распределение 風j(8)|2yg'sin2旷％хр [—"高驚叫(3.30)
со средним значением проекции момента на ось 2 m = / cos 0. Плоскость / — mf, в которойврассматриваем асимптотику d-фупк- ции (3.30), совпадает с гранью пирамиды, а прямая, вдоль которой конус (3.11) касается этой грани, определяет средние значения 河=/ cos 0. Этот результат Вигнера можно связать с другой асимптотикой биномиального распределения] (3.20). Действительно, асимптотика d-функции (3.28) в плоскости 刀？ (j + mf)= = const была получена при условии (3.25), когда 刀 f 0 и биномиальное распределение В (п, р) можно заменить распределением Пуассона Р (?г) = (TVp^exp (~Np)/n\. Однако при Np 导 1 распределение Пуассона, так же как и биномиальное, переходит в нормальное распределение G (?г) = (2 冗 Npq)~^2 exp [— (?г — —Np)2/2Npq]. Таким образом, при условии 2/т]2/^2 登 1 можно найти, что выражение (3.22) переходит в
牛雲 exp (— 2/ £) /ЗЕ。宀хр [-也謂叫，(3.31)
где sin 0 — 2刀/自2, cos 0 = 1—2刀2/自2. Величину p (/ —zn‘，芽) (3.21) можно заменить на (/ sin2Ву~т//2^т (j — m')!. Выражение (3.27) можно представить теперь в виде
(1 + с尸 exp (— 2j £ с)今 exp(1 + с尸 exp (— 2j £ с)今 exp[(jcos 0 — m) c c2/ sin2 б].(3.32)[(jcos 0 — m) c c2/ sin2 б].(3.32)
(1 + с尸 exp (— 2j £ с)今 exp
(1 + с尸 exp (— 2j £ с)今 exp
[(jcos 0 — m) c c2/ sin2 б].
(3.32)
[(jcos 0 — m) c c2/ sin2 б].
(3.32)
Производя предельный переход в (3.19) при условии /ц2/^2》 货 1, с учетом (3.31) и (3.32) находим
1 £ exp [(/ cos 0 — пг) с — "4 c?j $山2()] de (3 33) X 2 浦 JI ' 丿
Подынтегральное выражение в (3.33) является производящей функцией для полиномов Эрмита [88]. Следовательно [392],
吃,m，(8) У (- У7"' (Л/Sin2 旷/"2Е (j _ 加)!「％ X Г —— / cos 8)2 Jm — 7 cos 8 \/0 0 /\
xexp[—(27s 為」334)
В плоскости 7 = m (3.34) переходит в формулу Вигнера (3.30).
В случае j — тп'〉0 плоскость j — т，= const, параллельная грани пирамиды, пересекает конус (3.11). Осциллирующий характер асимптотики d-функции внутри конуса будет обусловлен полиномами Эрмита. Отметим, что в соотношении, аналогичном (3.34), полученном Корио [395J, имеется лишний множитель ввиду неточности в записи предельной формулы для полинома Эрмита (см. формулу (30) в [395]).
Перейдем теперь к нахождению асимптотики d-функции при условиях, что Л 1,1]М1ит]М/2 — тп'2 〜 1. Теперь можно найти асимптотическое поведение d-функции в случае, когда квантовые числа j и тп' лежат на гиперболе вида 产——m'2 =炉必唄,о = —const и 1 m I < 7. При достаточно больших / проекция пересечения этой поверхности с конусом (3.11) на плоскость т, т представляет собой две параллельные прямые Mf =二 ±с/У2- Для нахождения асимптотики б/-функции при этом условии оказывается удобным использовать интегральное представление (2.27). Выполняя интегрирование по 仰 и & в формуле (2.27), легко находим интегральное представление для ^-функции вида
m，м в丿L(7• + 他，)！行一m，)！ J FT 中 .
(3.35)
dL ".十小,）!（—小,）！」XdL ".十小,）!（—小,）！」Xexp %(?•十加m"一 ^^；)] duexp %(?•十加m"一 ^^；)] du(3.36)(3.36)Условие т] V 1 позволяет заменить в подынтегральном выражении (3.35) величину (1 + 刀〃)‘+W (1 -刀/a)‘"' на exp [刀(/ + + mf) —— л (у —— mf)/u]. С учетом этой замены получаем
dL ".十小,）!（—小,）！」X
dL ".十小,）!（—小,）！」X
exp %(?•十加m"一 ^^；)] du
exp %(?•十加m"一 ^^；)] du
(3.36)
(3.36)
Интеграл, входящий в (3.36), является интегральным представлением функции Бесселя
，f схр 因2Z (£ —歩/力 dt 二 1
используя которое находим асимптотику d-функции в виде [392]
%, W (6)之[/；分2二2；!「exp (- /噌 X
X (i^；)—)/2 小⑷ VT^)(3.37)
при j ^> 1, т] *^ 1, i] (j2 ——^，2)1/s 〜1. Отметим, что асимптотика (3.37) типа Хильбе была получена в [392], а для полиномов Якоби строгими математическими методами получена в [396].
Приложение
В настоящее время на русском языке имеется значительная монографическая литература, посвященная теории представлений групп п алгебр Ли.
Детальному математическому изложению общей теории абстрактных групп и алгебр Ли посвящены монографии [1 — 7]. Общие вопросы теории представлений алгебр и групп Ли освещаются в [8 — 10, 202].
Теория конечномерных представлений классических групп подробно излагается в ряде работ [9—13], а теории бесконечномерных представлешп! посвящена монография [330]. Сшшориые представления группы О (п) приводятся в работе [14]. Вопросы спектрального анализа на симметричных пространствах излагаются в работах [15—20].
Различные вопросы теории представлений группы вращений О (3) группы Лоренца и ее приложений в физике нашли свое отражение в монографиях [21—30, 50, 393, 388, 320].
Свойствам некоторых специальных функций и их связи с теорией представлений посвящена монография [31].
В настоящем приложении приводится сводка, содержащая связное изложение некоторых важнейших определений и результатов теории представлений. Следует отметить, что приводимые в сводке определения хотя и эквивалентны общепринятым, несколько отличаются от них по форме.
Цель сводки двоякая: во-первых, она позволяет читателю ознакомиться с краткими определениями понятия и формулировками результатов теории представлений, которые встречаются в основном тексте монографии； во-вторых, сводка может облегчить дальнейшее знакомство с обширной литературой. Сводка состоит из трех частей ： I — Алгебры Ли, II—Линейные группы Лп, III — Алгебры Ли линейных групп Ли, содержащих 48 пунктов. Предполагается, что читатель свободно владеет линейной алгеброй в объеме [32——34].
Приводимая краткая сводка чисто математических результатов ни в какой мере не может заменить читателю знакомства с систематическим изложением теории представлений групп Ли и ее применений в физике.
I. Алгебры Ли
Алгебра Ли. Пусть X — линейное конечномерное векторное пространство, комплексное или вещественное. Пространство X является алгеброй Ли, если в пространстве X введена билинейная операция, называемая коммутированием, сопоставляющая каждой паре векторов н, у w X третий, обозначаемый как Е yj В X. Операция коммутирования должна удовлетворять
условиям:
1)
Е у]= 一[忆，у] для всех £,
У 0 X・
⑴
2) Для
любых
комплексных (вещественных)
чисел X и р, и всех ；
% У,
[% Ау + 同=X [х, у] + 卩
Е г].
⑵
3) Для
любых
н, у, z X
，【У, z〃 + [у, [z,胃〃十[z,[爲
(3)
Последнее соотношение называется тождеством Якоби.
Векторы 寫口 £ X, а = 1,...,八=dim X, образующие базис в X, называются генераторами алгебры Ли X.
Так как коммутатор двух генераторов является вектором пространства X, то можно записать коммутатор в виде
[%,叩=С貓⑷
Константы с^в называются структурными постоянными алгебры Ли X. В силу (2) и (3) структурные постоянные удовлетворяют условию
4® = -或а(5)
и тождеству Якоби
脸端+喩魂с +喩嗑=0.⑹
Нетрудно проверить, что набор структурных постоянных 电卩(а, р = =1, . . ., п), удовлетворяющих (5) и (6), позволяет построить алгебру Ли X.
Подалгебра. Подалгеброй алгебры Ли X называется подпространство У U X, являющееся в свою очередь алгеброй Ли.
Идеал. Подалгебра У алгебры Ли X называется идеалом в X, если для всех z w X и у ^ Y влечет [х, у] W У.
Центр. Совокупность элементов z W X, коммутирующих со псеми элементами алгебры Ли X, называется ее центром Z (X) = {z: [z, ь] = 0, °WX} и обозначается Z (X).
Любая алгебра Ли X обладает двумя тривиальными идеалами, один из которых состоит из нуля, а Д])угоп совпадает со всей алгеброй Ли X.
Абелева алгебра Ли. Алгебра Ли X называется абелевой или коммутативной^ если для любых элементов ①,у 曰 X их коммутатор равен нулю: [工，yj = 0.
Простая (полупростая) алгебра Ли. Алгебра Ли X называется простой^ если она не имеет идеалов, отличных от тривиальных, и dim X > 1, Алгебра Ли X называется полупростой, если она является прямой суммой простых идеалов.
Представление алгебры Ли. Пусть V — комплексное (вещественное) линейное векторное пространство. Будем говорить, что в V действует представление алгебры Ли Х^ если каждому элементу 工三 X поставле^^ соответствие линейный оператор Тх в пространстве V. Это соответствие удовлетворяет
условиям:
厶+и - 4 J- &, н, У е X;(7)
ТКх =九％;(8)
[%,几]三 TXTV 一 Г”％ - q.,g(9)
Неприводимое представление алгебры Ли. Представление алгебры Ли называется непр иводимым, если в пространстве У нет замкнутых инвариантных подпространств V7, отлпчнрях от нуля и всего пространства.
Замечание. Отметим, что в случае бесконечномерного пространства V подпространство Vf должно быть замкнутым, а к условиям (7) — (9) добавляются соответствующие требования непрерывности (в том пли uhoai смысле).
Лемма Шура. Оператор Z, колтмутирующий со всеми операторами Гх неприводимого представления алгебры Ли X, кратен единичному оператору Z =九石.
Из леммы Шура следует, что в неприводимом представлении Тх алгебры Ли X,忆三 X, элементам центра Z (X) соответствуют операторы 72, z 3 三 Z (X), кратные единичному.
Присоединенное представление алгебры Ли. Любая алгебра Ли X обладает некоторым особым представлением, которое связано с операцией коммутирование. Для любого фиксированного элемента 0 g X рассмотрим коммутатор Е у] для всех у Е X* Этот коммутатор позволяет построить некоторый линейный оператор следующим образом: каждому вектору у Е X поставим в соответствие вектор [^, у]. Соответствующий линейный оператор, обозначаемый ad х, определен на алгебре Ли X, рассматриваемой как векторное пространство:
ad 忆匂)=[寫,g],支,g S X.(10)
Легко проверить, что операторы ad х задают представление алгебры Ли X, которое называется пр исоединенным представлением t
В базисе ｛砧 оператору ad % отвечает матрица 产=|| 喩 ||, построенная из структурных постоянных (4) по формуле
(严辰二%-(11)
Так как ad х является представлением, то матрицы 产 удовлетворяют условию (4), т. е. имеет место равенство
产」—艮a=标匕(12)
В справедливости (12) легко убедиться непосредственной проверкой, используя определение 产 и тождество Якоби (6).
Отметим, что всякий идеал У алгебры X является инвариантный! пространством присоединенного представления.
Центр алгебры Ли в присоединенном представлении переходит в нуль.
Алгебра Ли X является простой алгеброй Ли X тогда и только тогда, когда представление ad 寫,не равное тождественно нулю, является неприводимым.
Форма К иллинга — Картана. Пр исоединенное представление позволяет на всякой алгебре Ли определить некоторую билинейную форму 298
В (工，у), называемую формой Киллинга — Картана. Любой паре векторов 工，у 日 X поставим в соответствие число В (х, у), равное следу произведения Двух операторов ad х, ad у присоединенного представления:
В (х, у) = Тг (ad xoad / (13)
В базисе алгебры Ли X {叫，а = 1, 2, . . ., "} форма Киллинга — Картана задается метрическим тензором ga^~B (父仪，у^, который легко выразить через структурные константы：
ga0 = Wp%‘ (14)
Форма Кпллиига ——Картана позволяет весьма просто сформулировать критерий полупростоты (простоты) алгебры Ли, доказательство которого приведено в [4 — 7, 10, 15].
Критерий Картана. Для того чтобы алгебра Ли X была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы форма В (х, у) была не вырождена, т. е. det II ^ар II ¥= 0.
Комнактная алгебра Ли. Вещественная подалгебра У алгебры Ли X называется компактной, если на У форма Киллинга —— Картана отрицательно определена, т. е. для любых у「％ 三 У имеет место неравенство В %) < °-
Подалгебра Картана. Картановской подалгеброй полупростой (простой) алгебры Ли X называется подалгебра Н U X, удовлетворяющая условиям:
подалгебра Н является максимальной абелевой подалгеброй в X;
для любого h ^ Н собственные векторы оператора ad h образуют базис в алгебре Ли X, рассматриваемой как комплексное векторное пространство.
Можно показать, что в любой полупростой алгебре Ли X существует картановская подалгебра [1 — 7, 10, 15]. Для вещественных и комплексных простых алгебр Ли картановские подалгебры найдены в явном виде в работе [192].
Ассоциативная алгебра. Векторное пространство X над полем С комплексных (или полем R вещественных) чисел, для всех пар элементов которого, кроме сложения и умножения на числа, определена еще операция умножения, удовлетворяющая условиям:
дистрибутивности: a, b, eg X, С,
(а + b) с = ас + be, с (а 十 b) = са + cb\
(Ха) с = А (ас) = с (入а)=入(са)；
ассоциативности:
(ab) с = а (Ьс), называется ассоциативной алгеброй.
Если размерность векторного пространства конечна, то алгебра X называется конечномерной, и бесконечномерной — в противном случае.
Полная матричная алгебра. Совокупность всех квадратных комплексных (вещественных) матриц размером и X w образует с обычными Операциями сложения матриц и умножения матрицы на комплексное число комплексное (вещественное) пространство М (и, С) (М (и, Н)) размерности и2-
Если для всех пар элементов М (и, С) определить операцию умно?кения как обычное умножение матриц, то М (n, С) становится ассоциативной алгеброй- Алгебра М (и, С) называется полной матричной алгеброй. Если в алгебр0 'М (и, С) ввести операцию коммутирования матриц [工1， х2] = хгх2 — таа：1 для всех хх,工a W М (и, С), то М (и, С) становится алгеброй Ли.
Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Наименьшая ассоциативная алгебра U (X), содержащая алгебру Ли X как подалгебру, называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли X, Операция коммутирования для произвольных элементов х, у £ X определяется в U (X) обычным образом: [х, у] = ху — ух.
Приведем конструкцию универсальной обертывающей алгебры U (X). Пусть {ха} — генераторы алгебры Ли X; тогда любой элемент 工 £ X имеет вид х =①°%, где ха — комплексные (вещественные) числа. Рассмотрим теперь тензорные степени векторного пространства X, т. е. тензоры ранга М
产"…"N, № 0, 1, 2, . . оо.(15)
В качестве образующих алгебры U (X), линейные комбинации которых порождают всю алгебру U (X), рассмотрим все выражения вида
L %- %i%2，工必％产5，■ ■ ■ » %i%2 …％“ ■ ■ ■ »(16)
являющиеся формальными произведениями генераторов 工& Е X и подчиняющиеся ассоциативному закону. Будем предполагать, что произведение элементов % и Хр таково, что выполняется условие
%知-n13% =电产屮(3)
где 虐в — структурные константы алгебры X. Используя произведения вида (16) и тензоры (15) соответствующих рангов, определим все элементы и бесконечномерной алгебры в виде формальных сумм
"="° + 产％ + и""%产у + — + и""…°N%产а「…％n + …• (18)
Произведение элементов и, v ^. U (X)вида (18) определим так, чтобы в алгебре U (X) выполнялись ассоциативный и дистрибутивный законы, т. е. как произведение многочленов от некоммутирующих переменных %, удовлетворяющих (17).
Разложение (18) элемента и можно сделать однозначным, если считать
тензоры исимметризованными.
Можно показать, что представлению Тх алгебры Ли X в пространстве У отвечает представление универсальной обертывающей алгебры U (X) такое, что элементу и ^ U (X) вида (18) отвечает линейный оператор Ти вида
=?…T +
U 1 也]工5. %&、也1 Hq xa^
(19)
Центр универсальной обертывающей алгебры. Подмножество элементов U (X), коммутирующее со всеми элементами и ^ U (X), называется центром Z (U) универсальной обертывающей алгебры U (X), т. е. z ^ Z (f7),
если z ^ U (X), zu = uz для всех мм U (X). Центр Z (U) является подалгеброй в U (X).
Можно показать, что в центре Z (U) существует конечное число полиномиальных образующих G，С2, . . ., Ср таких, что для любого элемента z 日 Z (U) найдется полином 夕 от р переменных такой, что z = ¥ (С^ С2,... ‘ • г Ср)，
В свою очередь образующие С” Са, . . ., Ср центра являются полиномами от генераторов % 三 X：
e\ - ^1 (*0С1，工%'工a力)‘
Некоторые методы построения элементов центра универсальной обертывающей алгебры приведены в работах [35, 36].
Элемент Казимира. Пусть X — простая (полупростая) алгебра Ли X; тогда существует элемент С2, называемый элементом Казимира, принадлежащий центру Z (U) универсальной обертывающей алгебры U (X). Элемент Казимира легко выразить через генераторы % и метрический тензор %§ (14):
С2 =f"%%(2。)
где f В — матрица, обратная матрице |]目耶 || метрического тензора, которая существует, так как det || gaJ31| =/= 0 (см. п. 12).
Операторы Казимира. Пусть 工― 7Х,工日 X,— представление алгебры Ли X; соответствующее ему представление универсальной обертывающей алгебры U(X) алгебры Ли X: и — Ти, и ^ U (X). При этом в представлении и — 7и, ми U (X), образующие центра Z (U) С^ С2, . . ., Ср переходят в операторы：
С —欧(Тну Т牝с?，• ’ т Т*а》(2')
которые называются операторами Казимира. В частности, элементу Казимира (20) отвечает оператор Казимира С^ = ^ТХ(ХТХ^
Если представление алгебры Ли X неприводимо, то в силу леммы Шура, операторы Казимира Ci кратны единичному оператору: Ci = 入咨 Собственные значения М операторов Казимира Ci зависят от представления Тх алгебры Ли X.
В работе [39] дан метод нахождения этих чисел 脑‘ Собственные значения операторов Казимира вычислены в явном виде в [37] для представлений (конечномерных и бесконечномерных) простых и полупростых алгебр Ли. Для конечномерных представлений классических алгебр Ли собственные значения операторов Казимира вычислены в [9, 38].
П. Линейные группы Ли
Группа. Множество элементов G называется группой^ если для его элементов определен закон композиции (умножения), удовлетворяющий условиям:
Для любой пары элементов g】，ga ^ G определен третий, называемый произведением gx *g2, тоже принадлежащий G.
зЬ1
Произведение элементов ассоциативно：
SigJ 目3 = gi (^з)-(22)
Существует элемент е q G, называемый единицей группы, такой, что ge g, eg = g(23)
для всех g G G.
Для любого элемента g существует обратный элемент g" такой, что gg" = е, g* = е.(24)
Подгруппа. Множество Н U G называется подгруппой группы G, если оно является группой относительно умножения, заданного в G.
Абелева группа. Группа G называется абелевой или коммутативной если для любых 历，ga £ G имеет место gxg2 = ^г
Нормальный делитель. Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем группы G (или инвариантной подгруппой), если для любого h Н имеет место ghg-1 g Н для всех g £ G* Группа G, а также подгруппа, содержащая один элемент е, являются нормальными делителями, которые называются тривиальными нормальными делителями.
Центр группы. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом из G, называется центром группы G и обозначается Z (位‘
Представление группы. Пусть G — группа, V — линейное векторное пространство. Будем говорить, что задано представление Tg： g т Tg группы G 6 пространстве 7, если каждому элементу g W G поставлен в соответствие линейный оператор Tg в V, причем удовлетворяются условия：
Те = Е,(25)
где Е — единичный оператор в 匕
Тс兀=乙炉(26)
'g2 gigi''
для всех gi, g2 e G.
Замечание. Для непрерывных групп G на соответствие g 7 Tg следует наложить, помимо условий 1) и 2), некоторые естественные условия непрерывности (см. [8—10]).
Неприводимое представление группы. Представление Т^ группы G в пространстве V называется неприводимым представлением^ если в пространстве V нет замкнутых инвариантных подпространств 7Z U U, отличных от нуля и всего V.
Лемма Шура. Если оператор Z коммутирует со всеми операторами Tg неприводимого представления группы G, TgZ — ZTg для всех g g G； то Z кратен единичному оператору Z = АЕ, где X — число.
Из леммы Шура следует, что неприводимые представления абелевой группы G являются одномерными.
Полная линейная группа. Рассмотрим в комплексном линейном векторном пространстве V размерности п линейные преобразования V в себя. Совокупность всех обратимых линейных преобразований пространства V образует группу, законом умножения в которой является композиция преобразований. Она называется полной линейной комплексной группой и обозначается GL (n, С). Эта группа допускает простую матричную реализацию.
Если в пространстве V фиксировать некоторый базис, то линейным преобразованиям в этом базисе будут соответствовать квадратные матрицы II gi上 Ц, г, Л: = 1, 2, . . ., и, где матричные элементы 幫上 — комплексные числа. Обратимым линейным преобразованиям пространстса V отвечают невырожденные матрицы g, det || g^ || =/= 0. Произведению линейных преобразований отвечает произведение соответствующих лгатриц, тождественному преобразованию отвечает единичная матрица. Таким образом, GL (и, С) — это групца невырожденных квадратных комплексных Л1атрпц п X п.
Совокупность всех вещественных невырожденных квадратных матриц размером 孔义孔 образует группу, которая назыпастся вещественной линейной группой и обозначается GL (n, Е).
Линейные алгебраические группы. Группа G называется комплексной линейной алгебраической группой (соответственно, вещественной), если она является подгруппой некоторой полной линейной группы GL (п, О) (соответственно, вещественной GL (n, Н)) и элементы g = || g^ || g G удовлетворяют системе алгебраических уравнений]
彳 1 (gik) = 0,乡2(g£k) = 0,…r 不p (g%k) =。， (27) где 仔j 回屈)一полиномы.
Оказывается, что подавляющее большинство групп, возникающих в различных физических задачах, являются линейнылш алгебраическими группами. В свою очередь линейные алгебраические группы являются важнейшими представителями более общего класса непрерывных групп, так называемых групп Ли. Различные аспекты теории абстрактных групп Ли изложены в монографиях [1 — 7].
Линейная группа Ли. Группа G называется р~мерной линейной группой Ли、если выполнены следующие условия;
Группа G является подгруппой группы GL (n, Н).
Существует окрестность U единичной матрицы Е в линейном пространстве М (n, Н) всех квадратных матриц размером n X п такая, что для g = II Sir II 三 G, g 三 U, матричные элементы g咏 являются непрерывно дифференцируемыми функтщялш 纟汨=g,k (乂1，乂2，• • •，хр) Р вещественных параметров us, s — 1, 2, . , ., p, I % I < Mo.
Ранг якобиевой матрицы || dg^/dus ||, имеющей n2 строк и p столбцов, равен р при всех | | < х。.
Можно показать, что линейная алгебраическая группа является линейной группой Ли. Линейные группы Ли являются важнейшими представителями абстрактных групп Ли.
Существенную роль в теории групп Ли играют одномерные подгруппы Л и, так называемые однопараметрические под гр уппы.
Однопараметрическая подгруппа. Гладкая кривая g «) w G, 一 8V < i <； оо, в группе G, проходящая через единицу g (0) = е, называется однопараметр ической подгруппой^ если для любых вещественных параметров “，％ нмеет место равенство
g (G) g (切 н g (〃 + 办 (28)
Компактная группа Ли. Линейная группа Ли G называется компактной группой, если множество ее элементов g = ||gtk||, g 三 G, г,兀 = 1,2,...,孔,является ограниченным и замкнутым подмножеством в линейном
пространстве М (n, Н) всех квадратных матриц размером п х 孔.Orp；t' ниченность подмножества G в М (n, Е) означает, что матричные элементы gik равномерно ограничены, т, е. существует число К〉0 такое, что для всех g — II gjjt И s G I gj/c I < X при г, к ~ iy 2, . . ., n. Замкнутость означает, что предел любой сходящейся по с л едова те л ьно сти матриц gp, принадлежащих G, gp a G, тоже принадлежит группе G:
g = lim gp 三 G.
Важнейшим примером компактной линейной группы Ли служит унитарная группа U (п).
34. Унитарная группа U (п). Группа обратимых линейных преобразований линейного комплексного векторного пространства 1\ сохраняющих невырожденную положительную эрмитову квадратичную форму, называется унитарной группой и обозначается U (п). Унитарная группа допускает мат-
ричную матриц жение),
35.
реализацию. Унитарная группа U (п) — это группа всех унитарных 乂 = II 乂万 II таких, что ии^ = и^и — Е (^ означает эрмитово сопря- Е ——единичная матрица, г, / = 1, 2, . . ., п.
Классические группы. А) Специальная линейная группа. Совокуп-
ность всех комплексных матриц g = || gjk || размером n X п с определителем
det g = 1 образует группу, которая называется специальной линейной плексной группой и обозначается SL (n, С). Максимальной компактной группой в SL (n, С) является группа SU ⑺ =SL (п, С) П U (п), т. е. группа унитарных матриц и, мм* = Е, с определителем det м = 1.
Б) Ортогональная группа. Линейные обратимые преобразования
ком- ПОД- ПОД-
ком-
плексного векторного пространства V размерности п, сохраняющие невырожденную симметричную билинейную форму, образуют группу, которая называется ортогональной комплексной группой и обозначается О (n, С). Ортогональная группа О (n, С) — это совокупность ортогональных матриц g = —|| 欧屈 у, таких, что gg = gg ~ Еу где 〜 означает транспонирование. Максимальной компактной подгруппой в группе О (n, С) является группа ортогональных вещественных матриц。(孔)=。(п, С) П U (n).
В) Симплектическая группа. Линейные обратимые преобразования комплексного векторного пространства V размерности 2孔,孔 = 1, 2, . . ., сохраняющие невырожденную кососимметричную форму, образуют группу, которая называется комплексной симплектической группой и обозначается Sp (2% С)» Симплектическая группа Sp (2孔,С) — это группа матриц g =
—II gjk|| размером 2几 X 2п таких, что gJg = /, где / ——блочная матрица ° J , Er — единичная матрица n X п. Максимальной
вида
0
也
компактной подгруппой в группе Sp (2孔,С) является подгруппа Sp (2孔，С)「］ С U (孔), обозначаемая Sp (2 孔).
36. Группа Гейзенберга — Вейля H(N). Группа Н (N) — это группа
вещественных матриц h ^ Н (^) размером
(^ + 2) X (^ + 2) вида .
/1 Ь z
Л (а, 6, г) — I 0 En а \0 01.
(29)
「丿代 a n b — векторы-столбцы с вещественными координатами a = ｛〃；｝， 厶==｛九｝, i = 1, . . ., ^; г — вещественное число, EN ——единичная матрица размером N X N. Груипа Н (^) зависит от 2^ + 1 .параметра. Элементы вида Л (0, 0, z) при а = Ь ~ 0 образуют центр группы Н (^).
Алгебры Ли линейных групп Ли
Касательная матрица. Пусть G ——линейная группа Ли и g (力— гладкая кривая g(2)w G, проходящая через едпшщу группы G, g (0) = е. Матршз х иазывается касательной матрицей, к кривой g (%) в точке е.
Касательное пространство. Совокупность всех касательных матриц в точке е W G ко всем гладким кривым g (%) в группе G образует векторное пространство, которое будем называть касательным пространством группы G в точке е и обозначать &
Можно показать, что если £ — касательная матрица, принадлежащая касательному пространству ⑤ группы G, то гладкая кривая g (;) — ехр(£2), ——оо < % < оо, является однопараметрической подгруппой группы G.
Пусть 弘")и g2 (z) — однопараметрические подгруппы группы G, порожденные касательными матрицами 勺， х^ е ⑤，gi (z) = ехр 仅丿). Тогда легко проверить, что
кривой g (z) = gi(%)g2 ⑺ соответствует касательная матрица
кривой g ⑺=先(/7)弘(了力史(一M力弘(一М力 соответствует ка- сателт>ная матрица
" 1t=o = "口2 — W1，
кривой g (力—ехр (Ха；19, л ——вещественное или комплексное число, соответствует касательная матрица
кривой g (z) = ^oexP(^i^ g；1， go 三 G, соответствует касательная матрица
= ^|t=0= g° 崎 L
Алгебра Ли линейной группы Ли. Свойства 1)—3) п, 38 показывают, что если в касательном пространстве ® линейной р-мерно近 группы Ли G определить операцию коммутирования двух касательных матриц q, х2 е ® согласно [xj, х2]—①严？ 一 土含勺，то @ будет являться алгеброй Ли, которая называется алгеброй Ли группы Ли G.
Следует отметить, что соответствие между группой Ли G и ее алгеброй Ли таково, что
если H — подгруппа Ли ) группы Ли G, а ^)и ® — соответствующие им алгебры Ли, то ◎ является подалгеброй алгебры Ли ®;
Б) если Н — инвариантная подгруппа Ли группы Ли G, а 力 н ⑤ 一 соответствующие им алгебры Ли, то ◎ является идеалом алгебры Ли @;
если Н — компактная подгруппа Ли группы Ли G, а ◎ н ⑤一соответствующие им алгебры Ли, то подалгебра ^)алгебры @ является компактной.
Простая группа Ли. Группа Ли G называется простой, если соответствующая ей алгебра Ли @ простая.
Подгруппа Картана. Подгруппа Ли И простой группы Ли G называется картаноеской, если подалгебра Ли 身 подгрухшы Н является карта- новской подалгеброй в алгебре Ли ® группы G.
Присоединенное представление AdG. Пусть G — линейная группа Ли и ⑤ 一 ее алгебра Ли. В алгебре Ли ⑤，рассматриваемой как векторное пространство, определим лпне1шы11 оператор Ad g, g 三 G, следующим образом: каждой касательной матрице 忆三⑤ н произвольному элементу g w G поставим в соответствие касательную матрицу gzg" (см. свойство 4) п. 38), т.' е.
Ad g ⑺=g£gf(30)
для всех £ 三⑤. Легко проверить, что соответствие g т Ad g задает представление группы С в се алгебре Ли 9, рассматриваемой как векторное пространство, которое называется присоединенным представлением группы G. Очевидно, что элементам центра Z (G) группы G в присоединенном представлении соответствует единичный оператор.
Алгебра Ли полной линейной группы. Совокупность всех квадратных комплексных матриц размером 孔义 孔,с определенными в ней правилами матричного сложения и умножения матрицы на комплексное число, образует комплексное векторное пространство размерности п2. Это векторное пространство, снабженное операцией умножения матриц, называется полной матричной алгеброй п обозначается М (n, С).
Легко показать, что для всех х ^ М (% С) матрица
exp (z)=后 + 忆 + 可 + . . . + к + . . .(31)
не вырождена, так как имеет место тождество det (ехр ⑺)=ехр (Тг к), где Тг обозначает след матрицы: Тг а; — 2^гг* Справедливо обратное утверждение: любая комплексная невырожденная матрица g — || 夕；木 ||, det g =/= 0, допускает представление в виде g = ехр 瑞 где х ^ М (〃, С).
Однопараметрические подгруппы GL (/г, С) порождаются элементами х М (п, С), g (Z) — ехр (笈).
Совокупность всех квадратных комплексных матриц £ размером п X п превращается в алгебру Ли, если в М (n, С) определить операцию коммутирования двух матриц к】,& обычным образом:［勺,/】~ 勺/ ^2^1* Легко проверить, что все условия, входящие в определение алгебры Ли, выполнены. Таким образом, полная матричная алгебра М (n, С) является алгеброй Ли группы GL (n, С).
Аналогичным образом, алгеброй Ли вещественной группы GL (п, 7?) является вещественная полная матричная алгебра М (п, Я).
Простые алгебры Ли Лл, Вл, C# Dn. Классические группы SL (п, С), О (n, С) и Sp (2孔,С) порождают четыре серии простых алгебр Ли, свойства которых подробно изложены в [1 —7, 9, 10, 15].
Простые алгебры Ап. Классической группе SL (п, 0 — группе комплексных квадратных матриц g размером n X /г с det g — 1 — отвечает простая комплексная алгебра Ли, обозначаемая /九一七 孔》2.
Алгебра Ли Ап — это совокупность всех комплексных матриц х размером п X п, след которых равен нулю: Тг % = 0.
Форма Киллинга — Картана В (瑞 у), %, у 曰 力九-1, для Лп_1 задается формулой В (% у) — 2п Тг ху. Максимальной компактной подгруппе SU (п) (乂夕乂 — Е, det и — 1) группы SL (n, С) отвечает компактная подалгебра алгебры Ли Ап_^ состоящая из всех косоэрмитовых матриц 忆 размером п X п, удовлетворяющих условию к* — —х. Алгебра Ли косоэрмитовых матриц образует вещественную подалгебру алгебры Ли An_v Форма Киллинга ——Картапа В (%, %) — 2孔 Тг (%%) для элементов 忆—отрицательно определена. Картановская подалгебра алгебры Ли /“-i состоит из всех диагональных матриц, след которых равен нулю.
Б) Простые алгебры. Вп. Классической группе О (2п + 1, С) — группе комплексных ортогональных матриц g, gg — Е, размером (2п + 1) X X (2n + 1) — отвечает простая комплексная алгебра Ли, обозначаемая Вп, 孔> 1.
Алгебра Ли Вп — это совокупность всех комплексных кососимметричных матриц х размером (2孔 + 1) X (2孔 十 1), удовлетворяющих условию 3е = —х.
Простые алгебры Сп. Классической группе Sp (2% С) — группе комплексных симплектических матриц g размером 2孔,таких, что gjg = /,
/ 0 爲、
J — IJ , — отвечает простая комплексная алгебра Ли, обозначае-
\-^п0 /
мая 0九,孔 > 1.
Алгебра Ли Сп ——это совокупность всех комплексных матриц £ размером 2n X 2孔，удовлетворяющих условию х — /х/. Если матрицу х представить в блочном виде：工 — (‘^ ‘纟),где х； — комплексные матрицы 孔 义 孔,то %〔 = — —х4, а 忆2，工3 — симметричные матрицы: х2 = х2, х3 — х3.
Г) Простые алгебры Dn. Классической группе О (2& С) — группе комплексных ортогональных матриц размером 2孔乂 2孔一отвечает простая комплексная алгебра Ли, обозначаемая 0九,孔〉2.
Алгебра Ли Dn — это совокупность всех комплексных кососимметрич- HHJX матриц х размером 2几 X 2孔,удовлетворяющих условию 宕=—£.
Кроме перечисленных выше четырех бесконечных серий Ап, В„, Сп, Dn простых комплексных алгебр Ли, существует пять особых простых комплексных алгебр Ли, обозначаемых G2, F4, %, Е^, % Конструкция и свойства особых алгебр подробно изложены в [6]. Наряду с классификацией комплексных простых алгебр Ли, имеется классификация всех вещественных простых алгебр Ли (см. [6, 7, 10, 15]).
Псевдоортогональная группа О (р, ^) и ее алгебра Ли. Вещественные матрицы И g彳R II размером (р + q) X (р + q), удовлетворяющие условию
0 、
glpqg = /pq (где /рд — блочная матрица вида (I, Ер и Eq ~
единичные матрицы размером р X р и q % q соответственно), образуют группу, которая обозначается О (р, д). Группа матриц О (р,力 сохраняет квадратичную форму (с, а；) = с； + . . . + 建一(弓+i + . . . + 若+q) в (p + д)-мер- ном линейном пространстве.
Алгебра Ли X группы О (р, д) состоит из вещественных матриц х, удовлетворяющих условию х =——Ipqxlpq. Если с 三 X записать в виде блочной
матрицы:工=матрицы:工=J, то вещественные матрицы 勺，i — 1, 2, 3, 4, удов-J, то вещественные матрицы 勺，i — 1, 2, 3, 4, удов-\工3工4/летворяют соотношениям 牙1 = — хх, х2 =工3，龜=——工击Алгебра Ли группы О (р, g) является простой вещественной алгеброй Ли.46. Симплектическая группа Sp (2n, -R) и ее алгебра Ли. Вещественной\工3工4/летворяют соотношениям 牙1 = — хх, х2 =工3，龜=——工击Алгебра Ли группы О (р, g) является простой вещественной алгеброй Ли.46. Симплектическая группа Sp (2n, -R) и ее алгебра Ли. Вещественнойсимплектическо 力 дратных матрицсимплектическо 力 дратных матрицгде / — блочнаягде / — блочнаяца размером 冷 хца размером 冷 хгруппой Sp (2孔, R) называется группа вещественных ква-размером 2n X 2п, удовлетворяющих условию gJg = /,/ О я \матрица вида J% — единичная матри-\-Еп 0 /п. Алгебра Ли X вещественной симплектической группыгруппой Sp (2孔, R) называется группа вещественных ква-размером 2n X 2п, удовлетворяющих условию gJg = /,/ О я \матрица вида J% — единичная матри-\-Еп 0 /п. Алгебра Ли X вещественной симплектической группыSp (2n, Е) состоит из вещественных симплектических матриц с размеромSp (2n, Е) состоит из вещественных симплектических матриц с размером2n X 2п, удовлетворяющих условию х = /х/. Если 工巨 X2n X 2п, удовлетворяющих условию х = /х/. Если 工巨 Xпредставитьпредставить
матрицы:工=
матрицы:工=
J, то вещественные матрицы 勺，i — 1, 2, 3, 4, удов-
J, то вещественные матрицы 勺，i — 1, 2, 3, 4, удов-
\工3工4/
летворяют соотношениям 牙1 = — хх, х2 =工3，龜=——工击
Алгебра Ли группы О (р, g) является простой вещественной алгеброй Ли.
46. Симплектическая группа Sp (2n, -R) и ее алгебра Ли. Вещественной
\工3工4/
летворяют соотношениям 牙1 = — хх, х2 =工3，龜=——工击
Алгебра Ли группы О (р, g) является простой вещественной алгеброй Ли.
46. Симплектическая группа Sp (2n, -R) и ее алгебра Ли. Вещественной
симплектическо 力 дратных матриц
симплектическо 力 дратных матриц
где / — блочная
где / — блочная
ца размером 冷 х
ца размером 冷 х
группой Sp (2孔, R) называется группа вещественных ква-размером 2n X 2п, удовлетворяющих условию gJg = /,
/ О я \
матрица вида J% — единичная матри-
\-Еп 0 /
п. Алгебра Ли X вещественной симплектической группы
группой Sp (2孔, R) называется группа вещественных ква-размером 2n X 2п, удовлетворяющих условию gJg = /,
/ О я \
матрица вида J% — единичная матри-
\-Еп 0 /
п. Алгебра Ли X вещественной симплектической группы
Sp (2n, Е) состоит из вещественных симплектических матриц с размером
Sp (2n, Е) состоит из вещественных симплектических матриц с размером
2n X 2п, удовлетворяющих условию х = /х/. Если 工巨 X
2n X 2п, удовлетворяющих условию х = /х/. Если 工巨 X
представить
представить
,где 亠，2=1,2, 3,,где 亠，2=1,2, 3,4,— ветцест-4,— ветцест-в виде блочной матрицы: z = Г1 工?
,где 亠，2=1,2, 3,
,где 亠，2=1,2, 3,
4,— ветцест-
4,— ветцест-
\£3~4,
Алгебра ЛиАлгебра Ливенные матрицы размером п X п, то хг = —х4, х2 = х2, х4 = х4.
Алгебра Ли
Алгебра Ли
группы Sp (2n, Е) является простой вещественной алгеброй Ли.
Инфинитезимальный оператор. Пусть g т Tg —— представление
группы G н g «) — однопараметрическая подгруппа в G, порожденная касательной матрицей с W ⑤ алгебры Ли линейной группы Ли G, g(Z)= d I
—ехр (^х). Определим инфинитезимальный оператор Т х — ^у ^f(Q L °, отвечающий элементу х е @. Так как Tg является представлением группы G, то можно показать, что соответствие х -^ Тх является представлением алгебры Ли @ группы G. Соответствие между представлением Tg группы Ли G и ее представлением Тх алгебры Ли @ таково, что для однопараметрической подгруппы g (° группы G, порожденной касательной матрицей с W ⑤，g «) = ехр «с), имеет место равенство Tg(t)— ехр (ZZX).
Представление Ado и его связь с представлением ad⑤.Пусть G —— группа Ли и @ — ее алгебра Ли. Рассмотрим присоединенное представление AdG группы G: Ad g (у) — gygT для всех g & G н у £ ⑤.Легко установить тождество -J^ Ad g (t) [у] |f=0 = [x, у] == ad x [?/], где g (f)= exp (л), с, у E 國
Используя это тождество, можно показать, что присоединенному представлению AdG группы G соответствует присоединенное представление ее алгебры Ли. . , ;;
Литература
Ikeda М,, Ogawa S・，Ohnuki Y.—Progr. Theor. Phys., 1959, v. 22, p. 715.
Gell-Mann M.— Phys. Rev., 1962, v. 125, p. 1067.
Фок В. 4.一 Zs. f. Physik, 1935, Bd. 98, S. 145； Изв. АН СССР, 1935, т. 8, c. 169.
Bargmann V.— Zs. f. Physik, 1936, Bd. 99, S. 576.
Sakita B.— Phys. Rev., 1964, v. 136, p. 1317.
Gursey F” Radicati L.— Phys. Rev Lett., 1964, v. 13, p. 173.
Pais 4.— Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 175.
Barut A. O— Phys. Rev., 1964, v. 135, p. B839.
Dothann У., Gell-Mann M、, Neeman У.— Phys. Lett., 1965, v. 17, p. 148.
Mukunda M, O'Raifeertaigh £., Sudarshan 瓦一Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 1041; Phys. Lett., 1965, v. 19, p. 322.
Малкин И. A., Манъко В. И.— Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, с. 230; Ядерная физика, 1966, т. 3, с. 372.
Neeman F. Algebraic Theory of Elementary Particles, 1967.
Nambu F.— Progr. Ther. Phys., Suppl., 1966, v. 36—37, p. 368.
Fronsdal C— Phys. Rev., 1967, v. 156, p. 1653; 1968, v. 171, p. 1811.
Barut A. О., Кleinert H・一Phys. Rev., 1967, v. 156, p. 1541; 1967, v. 157, p. 1180; 1967, v. 160, p. 1149； 1967, v. 161, p. 1464.
Тодоров 〃. T. Физика высоких энергий и теория элементарных частиц.— Киев: Наукова думка, 1967, с. 237.
Hwa Е. С, Nuyts /.— Phys. Rev., 1966, v. 145, p. 1148.
Mosh insky M., Quesne C.— J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 1772, 1780.
Goshen 5., Lipkin H. /.— Ann. Phys., 1959, v. 6, p. 301, 310.
Majorana E.~ Nuovo Cimento, 1932, v. 9, p. 335.
Barut A. O., Budini P., Fronsdal C.— Proc. Roy. Soc., 1966, v. A291, p. 106.
Mariwalla K.— Phys. Lett., 1975, v. 20C, p. 289.
В aeryNuovo Cimento, 1966, v. 41A, p. 222.
Gyorgyi G.— Nuovo Cimento, 1968, v. 43A, p. 717.
Hwa R. C— Nuovo Cimento, 1966, v. 42B, p. 367.
Pratt R. Я., Jordan T.凡一Phys. Rev., 1966, v. 148, p. 1276; 1969, v. 188, p. 2534.
Musto E.— Phys. Rev., 1966, v. 148, p. 1274.
Bander Itzykson C— Rev. Mod. Phys., 1966, v, 38, p. 330, 336.
Bohm A.— Nuovo Cimento, 1966, v. 43A, p. 665； Phys. Rev., 1966, v. 145, p. 1212.
Wolf К. В.— Nuovo Cimento, Suppl., 1967, v. 5, p. 1041.
Kyrlakopoulos E.— Phys. Rev., 1968, v. 174, p. 1 弘6.
Jauch J. M.~ Phys. Rev., 1939, v. 55, p. 1132 (A).
Jauch /. M., Hill E. L.— Phys. Rev., 19 40, v. 5 7, p. 6 41.
Baker G. A.— Phys. Rev., 1956, v. 103, p. 1119.
Демков Ю. H.— ЖЭТФ, 1954, т. 26, с. 757; 1959, т. ЗЗ, с. 88.
Аллилуев С. 〃.一 ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 250.
7. Демков Ю. Н.~ ЖЭТФ, 19 63, т. 17, с. 1349.
Илькаева Л. А.— Вестник ЛГУ, 19 63, т. 22, с. 5 6.
Dulock V. A., McIntosh H. V.— Amer. J. Phys., 19 65, v. 33, p. 109.
Vendramin Nuovo Cimento, 1968, v. A54, p. 190.
Maiella G., Vilasi G.— Lett. Nuovo Cimento, 1969, v. 1, p. 57.
Mалкин И. A., Манъко В. И.— Phys. Lett., 19 70, v. 32A, p. 243.
42a. Малкин И. А., Манъко В. И.— ДАН СССР, 1969, т. 188, с. 321.
Малкин И. 4., Манъко В. И., Трифонов Д. А.— Краткие сообщения по физике, 1971, № 5, с. 20, 27.
Додонов В. В., Малкин И. А., Манъко В. И.— ПрепринтФИАН
СССР, 1972, № 48.
Swamy V. /., Kulkarny R. С, Biedenharn L. C.— J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1165.
Kulkarny R. C.— Nuovo Cimento, 1972, v. 12B, p. 215.
Dunlop B. /., Armstrong L.— Phys. Rev., 1972, v. A6, p. 1370.
Anderson R. L., Kumei S., Wulfman С. E.— Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 988； Rev. Mex. Phys., 1972, v. 21, p. 34.
Barut 4. O.—Phys. Rev., 1965, v. 139A, p. 1433； 1967, v. 156, p. 1538; Phys. Lett., 1968, v. 26B, p. 308; Acta Phys. Acad. Sci. Hung., 1969, v. 26, p. 5.
Наймарк M. А. Линейные представления группы Лоренца.— М.： Физматгиз, 1958.
Гинзбург В. 〃.，Манъко В. И*— Ядерная физика, 1965, т. 2, с. 1103； Nucl. Phys., 1966, v. 74, р. 577.
Johnson М. Н., Lippmann В. А.— Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 828; 1950, v. 77, p. 702.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Квантовая механика.— M.: Физматгиз, 1963.
54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65・66.67.68. 69・ 70.71.72.73.74.75.76.77.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65・66.67.68. 69・ 70.71.72.73.74.75.76.77.Schrodinger E.— Proc. Roy. Irish Acad., 1940, v. A46, p. 9.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65・
66.
67.
68. 69・ 70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65・
66.
67.
68. 69・ 70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
Inf eld L., Hull T. E*— Rev. Mod. Phys., 1951, v. 23, p. 21.
Малкин И. 4., Манъко В. И.~ Письма в ЖЭТФ, 1968. т. 7, с. 105； Ядерная физика, 1969, т. 9, с. 184; ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 257.
Bargmann V.— Ann. Math., 1947, v. 48, p. 569.
Barut A. 0” Fro ns dal C.— Proc. Roy. Soc., 1965, v. A287, p. 532.
Levy M.~ Proc. Roy. Soc., 1950, v. 204, p. 145.
Kyriakopoulos E.— Nuovo Cimento, 1971, v. 1A, p. 571； Nucl. Phys., 1971, v. B28, p. 61.
Glauber E. /.— Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 84.
Schrodinger E. S.— Naturwiss., 1926, Bd. 14, S. 664.
Fock V. A.— Zs. f. Physik, 1928, Bd. 49, S. 339.
Bargmann V.— Rev. Mod. Phys., 19 62, v. 34, p. 829； Comm. Pure Appl.
Math., 1961, v. 14, p. 187.
Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I.— Nuovo Cimento, 1974, v. 24B, p. 46.
Dodonov V. V., Malkin I.A., Man'ko V. I. —Physica, 1974, v. 72, p. 597.
Малкин И. 4., Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1971, № 15.
Малкин И. АМанъко В. И.— ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 1014.
Малкин И. А., Манъко В. И.— ЖЭТФ, 1970, т. 59, с. 1746.
Малкин И. А., Манъко В. И.— ТМФ, 1971, т. 6, с. 71.
Малкин И. АМанъко В. ИТрифонов Д. А.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 721.
Малкин И. А., Манъко В. ИТрифонов Д. А.— Phys. Rev., 1970, v. 2D, р. 1371.
Малкин И. А., Манъко В. И., Трифонов Д. А.— Phys. Lett., 1969, v. ЗОА, р. 414.
Малкин И. А., Манъко В. И., Трифонов Д. А.— Nuovo Cimento, 1971, v. 4А, р. 773.
Трифонов Д. А. Афтореферат канд. дисс.— М.： ФИАН СССР, 1972.
Малкин И. А., Манъко В. 〃.，Трифонов Д. 4.— J. Math. Phys., 1973, v. 14, р. 576..
Манъко В. И. Вводная статья в сб.: Когерентные состояния в квантовой теории.— М.： Мир, 1972.
78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102.103.104.105.106.107.108.109. ПО.111.112.113.114.115.116.117.118.119.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.102.103.104.105.106.107.108.109. ПО.111.112.113.114.115.116.117.118.119.Манъко В. Я. Invited Talk in Proc. 2nd Intern. Colloq. on Group Theoretical Methods in Physics.— Netherlands, 1973, v. 1, p. A107.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109. ПО.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109. ПО.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
Манъко В. И. Автореферат док г. дисс.— М. ： ФИАН СССР, 1972. Малкин 〃. А., Манъко В.玄.一Препринт ОИЯИ, 1976, Р2-9228. Аронсон Е. В., Малкин И. А., Манъко В. И.— ЭЧАЯ. 1974, т. 3, с. 123. Додонов В. В., Малкин И. А., Манъко В. И.— Physica, 1972, v. 59, р. 241.
Додонов В.艮，Малкин И. А., Манъко В. И. — Phys. Lett., 1972, V. 39А, р. 377.
Додонов В. В., Малкин Н. ЛМанъко В. ".— Препринт ФИАН СССР, 1974, № 106.
Husimi К.— Progr. Theor. Phys., 1953, v. 9, p. 381.
Feynman R.尸.一Rev. Mod. Phys., 1948, v. 20, p. 367.
Швингер Ю. Теория квантованных полей.— М.: ИЛ, 1965.
Бейтман Т., Эрдейи А.— Высшие трансцендентные функции.— М.： Наука, 1965.
Lewis II. Е., Riesen/eld W. В. —J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 1458. Sondheimer E. H., Wilson A. A.— Proc. Roy. Soc., 1951, v. A219, p. 173. Дыне A. M.~ ЖЭТФ, I960, t. 38, c. 5 70.
Переломов A. M., Попов В. C.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 1375； 1969, т. 57, с. 1684.
Ansbacher F.— Zs. f. Naturforsch., 1959, Bd. 140, S. 889.
Глаубер P. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. — М.: Мир, 1966, с. 91.
Глаубер 尸.,Когерентные состояния в квантовой теории. — М. ： Мир, 1972, с. 26.
Клаудер 乃L, Сударшан Ц. Квантовая оптика.— М.： Мир, 1970.
Перина Я. Когерентность света.— М.; Мир, 1974.
Louisell W. ". Radiation and Noise in Quantum Electronics.— N. Y., 1964.
Фейнман P. 〃., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.—М.: Мпр, 1968.
Glauber R. J.— Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 2529.
Dodonov V. K, Malkin I. A., M。％%。V. I.— Physica, 1970, v. A82, p. 113. Черников H. A.— ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 1006.
Holz 4.— Lett. Nuovo Cimen to, 1970, v. 4, p. 1319.
Додонов В. В., Малкин И. А., Манъко В. И. — ТМФ, 1975, т. 24, с. 164. Dodonov V. К, Malkin I. А., Мап'ко V. I.— J. Phys., 1975, v. А8, р. L19.
Dodonov V. К, Malkin I. A., Man 'ко V. I.— Int. J. Theor- Phys., 1975, v. 14, p. 37.
Додонов В. В. Автореферат канд. дисс.— М.： МФТИ, 1976.
Campbell W. В., Finkler 尸.，Jones С. Е., Misheloff М. М— Nuovo Cimento, 1976, v. B31, p. 219.
Берез ин Ф. А. Метод вторичного квантования.—— М.： Наука, 1965. Boon М. Н., Seligman Т. Н.— J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 1224. Додонов В. В., Малкин И. А., Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1975, № 151.
Бахрах В. Д., Ветчинкин С. 〃.一 ТМФ, 1971, т. 6, с. 392.
Грановский Я. 〃., Димашко W. 4.— Укр. физ. ж., 1974, т. 19, с. 1456.
Додонов В. ВМалкин И, А., Манъко В. И.— Phys. Lett., 1975, v. 51А, р. 230.
Gamiz Р. et al.— J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 2040.
Лебедев H. H. Специальные функции и их приложения.— М.： Физматгиз, 1963.
Calo ger о 尸•一 J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 2191; 1971, v. 12, p. 419. Peak D., Inomata 4.— J. Math. Phys., 1969, v. 10, p. 1422.
Додонов В. В., Малкин И. А., Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1974, № 83.
Аллилуев С. П.~ ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 15.
Санников С. С.— Ядерная физика, 1965, т. 2, с 570.
Landovitz L. F.— Phys. Rev., 1975, v. All, p. 67.
Додонов В. В., Малкин И. А., Манъков В. И.— Краткие сообщения по физике, 1976, «№ 1, с. 3.
Додонов В. В., Малкин И. А., Манько В. И. J. Phys., 1976, v. А9, р. 1791.
Williamson /.— Amer. J. Math., 1936, v. 58, p. 141.
Dodonov V. V., Malkin I. A., Man ^ko V. I.— J. Stat. Phys., 1977, v. 16, № 4.
7. Bloch F.~ Zs. f. Physik, 1932, Bd. 74, S. 295.
Ландау 〃. Д., Лифшиц E. M. Статпстичесиая физика.— M.: Наука, 1964.
Wigner E.— Phys. Rev., 1932, v. 40, p. 749.
Dodonov V. V., Malkin I. A., Маико V. I.— Phys. Lett., 1976, v. 51A, p. 133.
Курмышев E. В., Малкин И. A., Манько В. 〃.一 Препринт ФИАН СССР, 1975, № 173
Heisenberg W.~ Zs. f. Physik, 1927, Bd. 43, S. 172.
Гейзенберг В. Физические основы квантовой механики.— М.： ГТТИ, 1932..
Weyl Н.— Zs. f. Physik, 1928, Bd. 46, S. 1.
Carruthers P., Nieto M.— Rev. Mod. Phys., 1968, v. 40, p. 411.
Bohr H.— Naturwissenschaft, 1928, Bd. 16, S. 245.
Landau £., Peierls R.— Zs. f. Physik, 1931, Bd. 69, S. 56.
8. Smith 凡一Phys. Rev., 19 60, v. 118, p. 349.
Lippmann B.— Phys. Rev., 19 6 6, v. 151, p. 1023.
Wigner E.— Phys. Rev., 1961, v. 42, p. 231.
Lurcat 尸.一Phys. Rev., 1968, v. 173, p. 1461.
Fleming G. Nuovo Cimento, 1973, v. 16A, p. 232.
Фок B・,Крылов H.— ЖЭТФ, 1947, t. 17, c. 93.
Aharonov У., Bohm D.— Phys. Rev., 1961, v. 122, p. 1649； 1964, v. 134B, p. 1417.
Фок 反一 ЖЗТ①，1962, т. 42, с. 1135.
Манделъштам Л. 〃.，Тамм И.Изв. АН СССР, сер. физ., 1945,
т. 9122.
Eberly I. Я., Singh L. Р. S.— Phys. Rev., 1973, v. D7, р. 359.
Weiss ко pf К, Wigner Е.— Zs. f. Physik, 1930, Bd. 63, S. 54.
Фон Нейман. Математические основы квантовой механики.——М.： Наука, 1964.一
Аль^вен Т., Фелътхаммар К. Г. Космическая электродинамика.— М.： Мир, 1967.
Kurlsrud Р. М.~ Phys. Rev., 1957, v. 106, р. 205.
Lenard А.— Ann. Phys., 1959, v. 6, p. 261.
Stern P. D.— J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 2771.
Kruskal M.— Confer, on Plasma Physics and Controlled, Nucl. Fus. Res.— Salzburg, 1961.
Born M., Fock V.— Zs. f. Physik, 1973, Bd. 51, S. 381.
Von Neumann JWigner E.— Physik Zs., 1929, Bd. 30, S. 467.
Якубович В. 4., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.— М.: Наука, 1972.
Никишов А. И., Ритус В. И.— ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 776.
Келдыш Л.反一ЖЭТФ, 1964, т. 47, с. 1945.
Зельдович Я. Б.~ ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1492； УФН, 1973, т. 110, с. 139.
Ритус В. И・一ЖЭТФ, 1966, т. 51, с. 1544.
Зельдович Я. 5., Манаков Н. 〃.，Рапопорт Л. П.— УФН, 1975, т. с. 563.
Зон Б. АКацнельсон Б. Г.— ЖЭТФ, 1975, т. 69, с. 1166.
Манаков Н. 〃.，Рапопорт Л. П.— ЖЭТФ, 19 75, т. 69, с. 842.
Berson /.— J. Phys., 1975, v. B8, p. 3078.
Salzman A.~ Phys. Rev., 1974, v. A10, p. 461; Chem, Phys. Lett., 1974, v. 25, p. 302.
Зон В. А., Шолохов В. ЛЕ— ЖЭТФ, 1976, т. 70, с. 886.
168a. Коварский В. 4., Перельман Н. ©.— ЖЭТФ, 1971, т. 60, с. 509, 1389.
1686. Зон Б. АКацнельсон Б. Г.— ЖЭТФ, 1973, т. 65, с. 947.
Gontier У., Trahin МPhys. Rev., 1973, v. А7, р. 191.
Зон Б. 4., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П.~ Оптика и спектроскопия, 1975, т. 38, с. 13.
Блохинцев Д. И.— Phys. Zs. Sowjet., 1933, Bd. 4, S. 501.
Townes С. H., Merritt F. R・一Phys. Rev., 1947, v. 72, p. 1266L; 1947, v. 73A, p. 1249.
Karplus 瓦，Schwinger J.— Phys. Rev., 1947, v. 73, p. 1020.
Karplus E.— Phys. Rev., 1948, v. 73, p. 1027.
Таунс 〃.，Шавлов А. Радиоспектроскопия. — M.; ИЛ, 1959.
Зельдович Я. 3・—УФН, 1973, т. НО, с. 139,
Делоне И.石УФН, 1975, т, 115, с. 361,
Делоне Н, Б., Зон Е. А., Крайнов 8. 〃.，Ходовой В. А.— УФН, 1976, т. 120, с. 3.
Делоне Н. Б. Лвтоионизацпонные состояния атомов.——М.: Изд-во МГУ, 1976.
Fedorov М. V., Kudrevatova О. К, Makarov V. R, Samokhin 4. 4.— Preprint PhlAN, 1974, № 34.
Fedorov M. V., Makarov V. P.— Preprint PhlAN, 1975, № 35.
Шуряк Э. B.~ ЖЭТФ, 1976, t. 71, c. 2039.
Делоне H. А, Крайнов В. П., Ходовой В. 4.— УФН, 1975, т. 117, с. 189； Делоне Н. 3., Крайнов В. 〃. Атом в сильном световом поле.—— М.： Атомиздат, 1978.
Бонч-Бруевич А. М., Ходовой В. А., Чигирь Н. А.— ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 2068.
Переломов А. М., ПоповВ. С.— ТМФ, 1969, т. 1, с. 360; 1970, т. 4, с. 48.
Вазъ А. 〃., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.——М.： Наука, 1971.
Олейник В. 〃•一 ЖЭТФ, 1967, т. 52, с. 1049; 1967, т. 53, с. 1997.
Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.— М,： Наука, 1972.
Ivanova Е. V,, Malkin I. А., Man^ko V. I.— Preprint Ph IAN, 1976, № 109.
Иванова E. В. Автореферат канд. дисс.— М.： МФТИ, 1977.
Malkin I. 4., Man'ко V. /., Schustov А. Р.— Preprint PhlAN, 1975, № 169.
Sugiura M.~ J. Math. Soc. Japan, 1959, v. 11, p. 37 (русск. перевод — Математика, 1969, т. 13 : 3, с. 101).
Титчмарт Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.： Гостехиздат, 1948.『
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над пими.— М.: Физматгнз, 1958.
Фок В. А.— Вестник ЛГУ, 1959, № 16, с. 67.
Дирак П. 4. М. Принципы квантовой механики.— М. ： Физматгиз, 1960.
Сегал И. Математические проблемы релятивистской физики.— М.： Мир, 1968.
Weil 4.— Acta Math., 1964, v. Ill, p. 143.
К up иллов 4. 4.— Функциональный анализ, 1969, т. 3, с. 36.
Segal I. Е.— Mat. Fys. Medd Danske, Vid. Selsk, 1959, v. 31, p. 1.
Haskell T. G., Wybourne B. G.— Proc. Roy. Soc., 1973, v. 334A, p. 541.
Кириллов A. A. Элементы теории представлений.—— М.: Наука, 1972.
Шевалле К. Теория групп Ли.— М.： МЛ, 1958, т. 3.
Perelomov А. М.~ Comm. Math. Phys., 1972, v. 26, p. 222; ТМФ, 1974, т. 19, m. 83; УФН, 1977, t. 123, c. 23.
Малкин И. А,— Труды МФТИ, 1976, № 8, с. 206.
Иванова Е. В.)Малкин И. Л., МанькоВ. И,—Phys. Lett., 19 74, v. 50A, p. 24; Препринт ФИАН, СССР, 1974, № 127; В сб.： Ускорители.— М.： Атомиздат, 1975, вып. 14, с. 157； Препринт ФИАН СССР, 1975, № 94.
Иванова Е. В. Кандидатская диссертация, МФТИ, 1977.
Пирс Дж. Р. Теория и расчет электронных пучков.— М.: Сов. радио, 1956.
Капица П. Л. Электроника больших мощностей.——М.: Изд-во АН СССР, 1962.
Дерюгин И. Л,, Воронцов В. И. В со.: Квантовая электроника.—— Киев: Наукова думка, 1971, вып. 5, с. 281.
Вайнштейн Л. Л., Солнцев В. Л. Лекции по сверхвысокочастотной электронике,— М,: Сов. радио, 1973.
Соколов А, А,, Павленко Ю.『.一Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, с. 449. Оптика и спектроскопия, 1967, т. 22, с. 3.
Сипхротронное излучение.— М,： Наука, 1966, с. 144.
Graff G., Klempt Е. Е.— Zs. f. Naturforsch., 1967, Bd. 22a, S. 196.
Urban P,, Wittman K*— Acta Physica Austriaca, 1972, v, 35, p. 9,
Дементьев A. С, Павленко IO. Г.— Изв. вузов, Физика, 1974, № 6, с. 62.
Иванова Е* В*, Малкин И. Л., Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1274, № 48; Ядерная физика, 1975, т. 21, с. 664.
Докторов Е. В., Малкин И、А., Манъко В. И.— Ядерная физика, 1973, т. 18, с. 142.
Боголюбов Н. Н.— Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, т. 11, с. 77.
Боголюбов II. 〃., Тябликов С. В.— ЖЭТФ, 1949, т. 19, с, 256.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей,—М. ： Гостехиздат, 1957.
Weyl Н. Gruppentheorie und Quantenmechanik.— Leipzig: Hirzel, 1928.
Appel R, Kampe de Feriel /. Fouctions Hypergeometriques et Hyper- spheriques, polinoms d'Hennitc.— Paris, 1926.
Де Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах.— М.： ИЛ, 1948.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.—— М.: Физматгиз, 1957.
Капица П. Л.— УФН, 1951, т, 44, с. 7.
Гапонов Л, В., Миллер М. А,— ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 242; 1958, т. 34, с. 751.
Иванова Е. В., Малкин И. Л,, Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1976, № 109.
Ворончов В. И - Маусунбаев С. С— Phys, Lett., 19 75, v. 53А, р. 435.
Соколов А. Л., Кулькин А. Т., Павленко Ю. Г.— Атомная энергия； 1971, т, 31, с. 292.
Павленко Ю. Г.— Вестник МГУ, Физика, Астрономия, 1971, т, 12, с. 706.
Павленко Ю.『.，Воронцов В. И.— Укр. физ. ж., 1975, т. 20, с. 1931.
М. Г. Крейн* В сб.: Памяти А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1955, с. 413; ДАН СССР, 1950, т. 73, с. 445.
Гельфанд И. М., Лидский В.反一УМН, 1955, т. 10, с. 3.
Moser /.— Comm. Pure Appl. Math., 1958, v. 11, p. 81.
Seminar Notes on Hamiltonian Differential System. University of Minnesota, 1962—1963.
Павленко Ю. Г.^ Дементьев А. С— ЖТФ, 1969, т. 15, с. 264.
Белавин А. 4, Зельдович Б. Я.、Переломов А. М., Попов В. С.： ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 264.
Зельдович Я. 3», Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Наука, 1966.
Иванова Е. В., Малкин И, Л., Манъко В. И.— Труды МФТИ, 1975, № 6.
Иванова Е. В., Малкин И. Л., Манъко В. И.— Препринт ФИАН СССР, 1976, № 99; J. Phys., 1977, v. 10, р. L75.
Гапонов А. В., Петелин М,反,Юлпатов В. К.— Изв, вузов, Радиофизика, 1967, т. 10, с. 1414.
Раутиан С. Л, Собельман Я. 〃.一 ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 456; 1963, т. 44, с. 934.
Кузнецова Т. И., Раутиан С.『.一ЖЭТФ, 1965)т. 49, с. 1605.
Born 血“ Oppenheimer У?.— Ann. d. Phys., 1927, Bd. 84, S. 457.
Борн ”., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток.— 1958.
Вот М.— Gott. Nachr., math., phys. KL, 1951, v. 1.
Fulton E., Gouterman M.~ J. Chem. Phys., 1961, v. 35, p. 1059.
Гейликман В. T.— УФН, 1975, т. 115, с. 403.
Франк-Каменецкий М. Д., Лукашин А. В*— УФН, 1975, т. 116, с. 193.
Morse Р. М.~ Phys. Rev., 1929, v. 34, р. 57; Ter-Haar D.—Phys. Rev., 1946, v. 70, p. 222.
Lennard-Jones J. E.— Proc. Roy. Soc., 1924, v. A106, p. 441, 463, 709.
Hulburt H. ЛЛ, Hirschfelder J. 0.— J. Chem. Phys., 1941, v. 8, p. 61.
Гейдон А. Энергия диссоциации и спектры двухатомных молекул.— М.: ПЛ, 1949.
Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул.— М.: ИЛ, 1949.
Герцберг Г. Электронные спектры и строение многоатомных молекул.— М.: Мир, 1969.
Герцберг Г. Спектры и строение простых свободных радикалов.— М.: Мир, 1974.
Слотер Дж. С. Электронная структура молекул.—— М.: Мир, 1965.
Пеннер С. С. Количественная молекулярная спектроскопия и излучательная способность газов.— М.: ИЛ, 1963.
Ельятевич М. А. Атомная и молекулярная спектроскопия.— М.: Физматгиз, 1962,
2 61. Щека Е. Ф.~ УФН, 1971, т. 104, с. 593.
Lucas N. /. D.— J* Phys- В: Atom. Molec. Phys.，1973, v. 6, p. 155.
Герцберг Г, Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул.— М.: ИЛ, 1949.
Волъкенштейн М. В., Грибов 〃.幺.,Ельятевич М. Л., Степанов В. 〃・ Колебания молекул.— М.: Наука, 1972.
Вилсон Е., Дешиус 〃., Кросс П. Теория колебательных спектров молекул.— М.: ИЛ, 1960.
Маянц Л. С. Теория и расчет колебаний молекул.——М.: Изд-во АН СССР, 1960.
Маянц Л. С., Авербух В. С. Теория и расчет интенсивностей в колебательных спектрах молекул.— М.: Наука, 1971.
Сивин С. Колебания молекул и среднеквадратичные амплитуды.— М.: Мир, 1971.
Свердлов Л. М., Ковнер М. 4., Крайнов Е. П. Колебательные спектры многоатомных молекул.— М.: Наука, 1970.
Сущинский М. М. Спектры комбинационного рассения молекул и кристаллов.—М.: Наука, 1969.
Конингстайн И, А. Введение в теорию комбинационного рассеяния света.— М.: ПЛ, 1975.
Татаевский В. М. Квантовая механика и теория строения молекул.— М ■ Ичп-вп МГУ
Franck}.- Trans. Faraday Soc., 1925, v. 21, p. 53 6.
Condon E. V.— Phys. Rev., 1926, v. 28, p. 1182; 1928, v. 32, p. 858.
Herzberg G., Teller E.— Zs. Phys. Chem., 1933, Bd. B21, S. 410.
Ландау Л. Д.— Phys. Zs. Sowjet., 1932, Bd. 1, S. 88; 1932, Bd. 2, S. 46； Собрание трудов.— M.: Наука, 1969, т. 1, с. 71, 81.
Колесников В. Н., Лесков И. В.— УФН, 1958, т. 65, с. 3.
Сошников В. Н.— УФН, 1961, т. 74, с. 61.
Ортенберг Ф. С., Антропов Е. Т.— УФН, 1966, т. 90, с. 237.
Chakraborthy 反,Pan У. К.— Appl. Specktr. Rev., 1973, v. 7, p. 283.
Кузнецова 〃.幺.,Кузьменко Н. Б., Кузякин Ю. Я., Пластинин Ю. А.— УФН, 1974, т. 113, с. 285.
Dushinsky 艮一 Acta Physicochim. URSS, 1937, v. 7, p. 551.
Пекар С. И,一 УФН, 1953, т. 50, с. 197.
Markham J. J.— Rev. Mod. Phys., 1959, v. 31, p. 956.
Ребане К. К. Элементарная теория колебательной структуры спектров примесных центров кристаллов.— М.: Наука, 1968.
McCoy Е. Р., Eoss J. G.— Aust. J. Chem., 1962, v. 15, p. 457.
Craig О. P.— J. Chem. Soc., 1950, p. 2146.
Coon J. B., de Wantes R. E., Loyd P M.— J. Mol. Spectrosc., 1962 v. 8, p. 285.
Watkins L, W.— J. Mol. Spectrosc., 1969, v. 29, p. 402.
Richardson A. M, Redding R. W., Brand J. C. D.— J. Mol. Spectrosc., 1969, v. 29, p. 93.
Dubois I.— Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 1970, v. 39, p. 63.
Scott J. 0., Causley G. C, Russell B. h.— J. Chem. Phys., 1973, v. 59, p. 6577.
Viuesland J. P., Stricter S. J.— J. Chem. Phys., 1974, v. 60, p. 660.
Doktorov E. V., Malkin I. 4, Man'ko V. I.— J. Mol. Spectrosc., 1975, v. 51, p. 1; Препринт ФИАН СССР, 1974, № 142.
Sharp T.工，Rosenstock H. M.— J. Chem. Phys., 1964, v. 41, p. 3453.
Smith W. Л., War sop P. A.— Trans. Faraday Soc., 1968, v. 64, p. 1165.
Sharf B., Honig B.— Chem. Phys. Lett., 1970, v. 7, p. 132.
Докторов E. В. Автореферат канд. дисс.— Москва — Минск: ФИАН БССР, 1974.
Doktorov Е. К, Malkin I. A., Man ко V. I.— J. Phys. В: Atom. Mol. Phys., 1976, v. 9, p. 507.; Препринт ФИАН СССР, 1974, № 144.
Doktorov Е. V., Malkin I. А., Man ko V. I.一 Препринт ФИАН СССР, 1975, № 176； J. Mol. Spectrosc., 1977, v. 64, p. 302.
Doktorov E. V,, Malkin I. A., Man'ko V. I.— Chem. Phys. Lett., 1977, v. 46, p. 183.
Doktorov E. K, Malkin I. A., Мап'к о У・ Z., Tyurin A. V.— Препринт ФИАН СССР, 1974, № 36.
Warshel A., Kar plus M.— Chem. Phys Lett., 1972, v. 17, p. 7.
Mannebach C.— Physica, 1951, v. 17, p. 1001.
Wilson E. B.— J. Chem. Phys., 1939, v. 7, p. 1047.
Elyashevitch M. A.— ДАН СССР, 1940, т. 28, с. 605.
Hade W. F., Beck C. A.— J. Chem. Phys., 1940, v. 8, p. 507.
Carforth F. M., Ingold С. K.— J. Chem. Soc., 1948, p. 417.
Sponer Я., Nordheim G.— J. Chem. Phys., 1939, v. 7, p. 257.
Mayusord W.匕，Eos E. M. F.— Proc. Roy. Soc., 1935, v. A152, p. 299“
Weigang О. E., Ong E.— J. Chem. Phys., 1969, v. 50, p. 4558.
Smith, W. L.一 Proc. Phys. Soc., 1966, v. 59, p. 1021.
Gregory Л. E., Siebrand W., ZglersKi M. Z.— J. Chem. Phys., 1976, v.
p. 3145.
Moffitt G., Moscowitz A.— J. Chem. Phys., 1959, v. 30, p. 648.
315a. Brom J. M., Weltner W. W., Jr. — J. Mol. Spectrosc., 1973, v. 45, p. 82.
3156. Santaram C., Vaidyan V. K., Winas J. G.— J. Phys. B., 1971, v. 4, p. 133.
Bell S.— J. Phys. B: Atom. Mol. Phys., 1970, v. 3, p. 735, 745.
Bell S., Warsop P. A.一 J. Mol. Spectrosc., 1966, v. 20, p. 425; 1967, v. 22, p. 360.
Smith W. £•— Proc. Phys. Soc., 1966, v. 89, p. 1021.
Ковнер M. Л., Горохов Л. В., Герасимов Г. А., Базаров Е. Н.— Оптика и спектроскопия, 1970, т. 29, с. 666.
Вигнер Е. Теория групп.— М.: ИЛ, 1961.
Dirac Р. А. М.— Proc. Roy. Soc., 1928, v. 117A, p. 610.
Majorana E.— Nuovo Cimento, 1932, v. 9, p. 335.
Гинзбург В. Л,, Тамм И. Е.— ЖЭТФ, 1947, т. 17, с. 227.
Ginzburg V. L.— Acta Phys. Polonica, 1956, v. 15, p. 163.
325・ Гинзбург В. Л., Манько В. ".— ЭЧАЯ, 1976, т. 7, с. 3.
Виленкин Я. Я., Смородинский Я. А.— ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 3, 179.
Nambu У.— Phys. Rev., 1967, v. 160, р. 1171.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа.一 М.: Физматгиз, 1963.
Кузнецов Г.— ЖЭТФ, 1969, т. 53, с. 241.
Гельфанд И. М., Наймарк М. А.— Труды МИАН, 1950, т. 36.
Letokov У. S.— Phys. Rev., 1975, v. A12, p. 1954; Летохов В. С., Ми- ногин В.『•一 ЖЭТФ, 1975, т. 69, с. 1569; 1976, т. 70, с. 794.
332・ Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3・ Я. Представления группы вращений и группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1961.
Виленкин Н. Я., Смородинский Я, А.— ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 179.
Гельфанд 〃• М., Граев М. И.^ Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлении. — М.: Физматгиз, 1962.
Takabayashi Т„— Nuovo Cimento, 1964, v. 33, p. 668.
Dirac P. A. M.— Proc. Roy. Soc., 1972, v. 322A, p. 435； 1972, v. 328B, p. 1.
Боголюбов П. H.— ЭЧАЯ, 1972, т. 1, с. 144.
Манько В. И.— Ядерная физика, 1965, т. 2, с. 512.
Марков М. 4— ДАН СССР, 1956, т. 51, с. 101.
Markov М. А.— Nuovo Cimento, SuppL, 1956, v. 3, Ser. X, № 4, p. 760.
Гельфанд И. M., Яглом Я. М.— ЖЭТФ, 1948, т. 18, с. 703, 1094, 1105.
Fradkin D. М. — Am. J. Phys., 1966, v. 34, р. 314.
Stoyanov D. Г, Todorov I. T.— J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 2146.
Ruhl W.~ Commun. Math. Phys., 1967, v. 6, p. 312.
Sudarshan E. C. G., Mukunda N.— Phys. Rev., 1970, v. DI, p. 571.
Румер Ю. Б., ДАН СССР, 1970, т. 192, с. 64.
Mukunda М— Phys. Rev., 1969, v. 184, p. 1486.
Желобенко Д. П.— ДАН СССР, 1959, т. 126, с. 935.
Гинзбург В. Л., Силин В. П.— ЖЭТФ, 1954, т. 27, с. 116.
Johnson М. Н., Lippmann В. А.— Phys. Rev., 1950, v. 76 p. 828; 1950, v. 77, p. 702.
Верестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л, ZZ. Релятивистская квантовая теория.— М.: Наука, 1968, ч. I.
Фок В. А.— Sow jet. Phys., 1937, № 12, p. 404; Изв. АН СССР, сер. физ., 1937, № 4—5, с. 551.
Фок В. А. Работы по квантовой теории поля.一 Л.： Изд-во ЛГУ, 1957.
Schwinger J.— Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 664.
Nambu У.— Progr. Theor. Phys., 1949, v. 76, p. 1180.
Dodonov У. V., Malkin I. Л., Man'ko 匕 I.一 Preprint PhlAN, 1977, № 70.
Гантмахер Ф. P. Теория матриц.一 M.: Наука, 1966.
Tables of Integral Transforms/Ed. A. Erde'lyi — New York: McGraw- Hill, 1954, v. 1.
Малкин И. N., Манько В. И.— Ядерная физика, 1968, т. 8, с. 1264.
Ахиезер А. £\, Берестецкий В. X. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1969.
Ритус В. И. Автореферат докт. дисс.一 М.: ФИАН СССР, 1969.
Brown L. 5., Kibble Т. W.— Phys. Rev., 1964, v. 133, p. 705.
Redmond P. J.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 1163.
Олейник В. П.一 Укр. физ. ж., 1968, т. 13, с. 1205； 1970, т. 14, с. 190.
Баталин И. Л., Фрадкин Е. С.一 ТМФ, 1970, т. 5, с. 190.
Додонов В・ В., Малкин И. 4, Манько 力.И.— Препринт ФИАН СССР, 1975, № 60; Physica, 1976, v. 82А, р. ИЗ; J. Phys., 1976, v. А19, р. 1791.
Багров В.几，Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М.— Изв. вузов, Физика, 1975, № 8, с. 134； J. Phys., 1976, v. А9, р. 1955.
Боргарт А. Л., Карпенко Д, Я, — Укр. физ. ж», 1974, т. 19, с, 227; 1975, т. 20, с. 566.
Нарожный Н. Б., Никитов А. И,— ТМФ, 1976, т. 26, с. 16.
Dirac P・ A. M.— Rev. Mod. Phys., 1949, v. 21, p. 392.
37L Судаков В. В*— ЖЭТФ, 1956, т. 30, с. 87.
Горшков В. И.— УФН, 1973, т. 110, с. 45.
Грибов В.瓦一 ЖЭТФ, 1967, т. 53, с. 654.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1973.
Лбрикосов А, Л., Горьков Л, 〃・,Дзялотинский 〃. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике.— М.： Наука, 1962.
Боголюбов Я. Я.— Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, т. 11, с. 77; Nuovo Cimento, 1958, № 7, р. 794.
Valatin J. G.— Nuovo Cimento, 1958, v. 7, p. 843.
Боголюбов H. Я., Толмачев В.启•，Ширков Д. В. Новый метод в теории сверхпроводимости.— М.: Изд-во АН СССР, 1958.
Tanabe К.— J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 618.
Witschel W・一Zs. f. Physik, 1975, Bd. B21, S. 313.
Aronson E. A, Malkin I. Л., Man'ko 匕 I.— Lett. Nuovo Cimento, 1974, v, p, .
Bonifacio E., Kim О. M., Skully M. 0.— Phys. Rev., 1969, v. 187, p. 444.
Atkins P. W., Dobson J. C.— Proc. Roy. Soc., 1971, v. A321, p. 321.
Mikhailov V. V.— Phys. Lett., 1971, v. 34A, p. 343.
Махвиладзе T. M., Шелепин Л. A. —Ядерная физика, 1972, т. 15, с. 1082.
Reicke 艮，Rademacker H.— Zs. f. Physik, 1926, Bd. 39, S. 444.
Kronig Л., Rabi I. I. — Phys. Rev., 1927, v. 29, p. 262.
Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics.— New .York: Princetou 1.957
Хксен Д.— Препринт ОИЯИ, 1976, Р4-9547.
Ландау Л. 〃., Лифшиц £. М. Механика.— М.: Наука, 1973.
Doktorov Е* К, Malkin /• Л., Man'ko V. I.— Preprint PhlAN, 1977, № 14.；
Doktorov E. V., Malkin I. Л., Man'ko V. I.— Int. J. Quant. Chem., 1975, v. 9, p. 951.
Schwinger J. Quantum Theory of Angular Momentum/Eds L. Biedenharn and H. Van Dam. N. Y. A. P., 1965.
Brussard P. J., Tol hock H. A.— Physica, 1957, v. 23, p. 955.
Corio P. L.— Int. J. Quant. Chem., 1972, v. 6, p. 289.
Martin A. — Preprint, TH-2199-CERN, 1976.
Евграфов M. 4, Постников M. M.— Математический сборник, 1970, т. 82, № 1.
Лаврентьев М. Л., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.——М.: Физматгиз, 1958.
Федорюк М. В., Метод перевала.— М.: Наука, 1977.
Феллер В. Введение в теорию вероятности и ее приложения.— М.: ИЛ, 1964.
Кар тан 3. Интегральные инварианты.— М.: Гостехиздат, 1940, с. 108.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.—— М.: Наука, 1974.
Г у рея 3・ Курс математического анализа.— М.: ГТТИ, 1933, т. 2, ч. 2, с. 102.“
Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.—— М.: Изд-во СО АН СССР,」1962; Груповой анализ дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978.
Липкин Г. Квантовая механика.— М.： Мир, 1977.
Литература к Приложению
Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли.— М.: Гостехиздат, 1940.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.:, Гостехиздат, 1954.
Шевалле К. Теория групп Ли.— М.: ИЛ, 1948, 1958, тт. 1—3.
Серр Ж. 〃• Алгебры Ли и группы Ли.— М.: Мир, 1969.
6-z&96-z&910.и.10.и.9^ o^z^ 59^ o^z^ 516.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.Теория алгебр Ли, Топология групп Ли. Семинар «Софус Лд».— М.: ИЛ, 1962.「
6-z&9
6-z&9
10.
и.
10.
и.
9^ o^z^ 5
9^ o^z^ 5
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Джекобсон Н. Алгебры Ли.一 М,: Мир, 1964.
Бурбаки Я. Группы и алгебры Ли.— М.: Мир, 1972, 1976, 1978.
Диксмъе Ж. Универсальные обертывающие алгебры.™ М.： Мир, 1978. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М.: Наука, 1970； Лекции по теории групп Ли.—Ду血а, 1965; Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.一 М.: Наука,
Наймарк М. А. Теория представлений групп, — М,: Наука, 1976.
Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. — М : ИЛ, 1947.
Мурнаган Ф. Теория представлений групп.— М.: ИЛ, 1950.
Хамермет М. Теория групп.一 М.: Мир, 1966.
Картан 3. Теория спиноров,— М,: ИЛ, 1947.
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,—М.: Мир, 1964.
Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функции многих комплексных переменных в классических областях.— М,: ПЛ, 1959.
Гельфанд И. М.. Граев М.玩，Виленкин Я, Я.— Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений,—— М.: Физматгиз, 1962.
Гельфанд И. ЛЛ, Граев М.必，,Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции.— М.： Наука, 1966.
Хариш-Чандра. Автоморфные формы на полупростых группах Ли,— М.: Мир, 1971.
Арифметические группы и автоморфные функции,— М.: Мир, 1969.
Гельфанд И. М,, Минлос Р. 4, Шапиро 3. Я. Представления группы “~— М.: Физматгиз, 1958.
вращений и группы Лоренца.вращений и группы Лоренца.Юцис A. II.t Левинсон И, Б., Ванагас В. В. Математический аппарат теории момента количества движения,— Вильнюс, 1960.
вращений и группы Лоренца.
вращений и группы Лоренца.
Эльбаз 3., Кастель Б. Графические методы алгебры спинов.— М.: Мир, 1974,
Варталович Д. /., Москалев А. Н.^ Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента.— Л.: Наука, 1975.
Каплан И. Г. Симметрия многоэлектронных систем, — М.: Наука, 1969,
Петрашенъ М. 〃., Трифонов Е. Д. Применения теории групп в квантовой механике.— М.: Наука, 1967.
Любарский Г. 〃. Теория групп и ее применения в физике.— М.: Физматгиз, 1958.
Вейгман В. Ф. Лекции по применению теории групп в ядерной спектроскопии.— М.: Физматгиз, 1961.
Хейне В. Теория групп в квантовой механике,一 М.: ИЛ, 1963.
Теоретико-групповые методы в физике.— Труды ФИАН СССР, 1973, т. 70.
Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория предс та влений групп.—— М.: Наука, 1965.
Кострикин 必.必.Введение в алгебру,— М,: Наука, 1977.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.— М.: Наука, 1966.
Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).—М.: Наука, 1969.
Гельфанд И. М. Математический сборник, 1950, т. 26,疝 ЮЗ.
Mtcu 林一NucL Phys,, 1964, v. 60, p. 353.
Лезнов A, H., Малкин И. Л., Манько В* И.— Труды ФИАН СССР, 1977, т, 96, с. 24.
Переломов А. М., Попое В. С,— Изв, АН СССР, сер- мат.» 1968, т. 32, с. 1368,
Березин ⑦.4.—— Функциональный анализ и его приложения, 1967, т. 1. с. 1.
I а,力十 7〉= е+т I аеМ,力〉，где 卩=乂 一苏，з@т.о
согласно (6.8), найдем выражение для ненормированных волновых функций КЭС:
I p,叫方〉=&£丁严2伯声2尸"倂广尸1个限或1厂/2 x
х eхP (扈* К Е) 以臨+ ］向)/2 (22 k 阿%言，(8.17)
6 И. А. Малкин, В. И. Манько161
I 以上〉означает возбуждение только одной моды с частотой ①上 в данном состоянии.