Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
DIE GRUNDLEHREN
DER MATHEMAT1SCHEN WISSENSCHAFTEN
BAND XXXVIII
MATHEMATISCHEORUNDLAOENDER QUANTENMECHANIK
vonJOHANN V. NEUMANN
BERLINVERLAG VON JULIUS SPRINGER1932
ИОГАНН фон НЕЙМАН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕОСНОВЫКВАНТОВОЙМЕХАНИКИ
Перевод с немецкогоМ. К. ПОЛИВАНОВА и Б. М. СТЕПАНОВА
Под редакциейакад. Н. Н. БОГОЛЮБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО 《НАУКА»
МОСКВА 1964
530.1 H 46
УДК 530.145
АННОТАЦИЯ
Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только существованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему. В частности, именно в этой книге изложено доказательство знаменитой теоремы о невозможности ввести «скрытые параметры» без кардинальной перестройки всей квантовой механики.
Таким образом, книга будет чрезвычайно ценной для всех глубоко изучающих квантовую механику, в первую очередь для студентов старших курсов и аспирантов, как физиков, так и математиков, а также для научных работников этих же дисциплин.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Введение
Глава I. Вводные замечания
Возникновение теории преобразований
Первоначальные формулировки квантовой механики
Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований ....
Эквивалентность двух теорий: Гильбертово пространство ...
Глава И. Общие свойства абстрактного гильбертова пространства
Определение абстрактного пространства Гильберта
Геометрия гильбертова пространства
Отступление: Об условиях Л.—Е
Замкнутые линейные многообразия
Операторы в гильбертовом пространстве
Проблема собственных значений
Продолжение
Предварительное рассмотрение проблемы собственных значений
Отступление: О существовании и единственности решения проблемы собственных значений
Коммутирующие операторы
Шпур
Глава Ш. Квантовомеханическая статистика
Статистические утверждения квантовой механики
Статистическая интерпретация
Одновременная измеримость и измеримость вообще
Соотношения неопределенности
Проекционные операторы как утверждения
Теория излучения
Глава IV. Дедуктивное построение теории
Принципиальное обосиоваиие статистической теории
Доказательство статистических формул
Выводы из экспериментов
Глава V. Общее рассмотрение
79
2 2419
11 11 11 ол СМ
34
4200903 1 196 8
34 56688 9 12134
858249
455788
1111 11 111111
22w-^^
Измерение и обратимость Термодинамические вопросы ... Вопросы обратимости и равновесия Макроскопическое измерение ...
8 86 13
5 568 9
2 2222
°60919•3 333°60919•3 3335 5 7 4 3 722345533 33335 5 7 4 3 722345533 3333
°60919
•3 333
°60919
•3 333
5 5 7 4 3 7
223455
33 3333
5 5 7 4 3 7
223455
33 3333
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Процесс измерения
Постановка задачи
Составные системы
Обсуждение процесса измерения
Дополнение. Доказательство эргодической те(м)емы и //-теоремы в новой механике (Zs. f. Phys. 57, 30—70 (1929))....
Введение
Квантовомеханическая формулировка основных понятий статистической механики Гнббса....
Проведение доказательств
Обсуждение результатов
Приложение
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя монография одного из крупнейших математиков нашего времени, недавно скончавшегося Иоганна фон Неймана посвящена вопросам математического обоснования квантовой механики. Основная заслуга автора состоит в том, что он придал квантовой механике логически последовательную форму, излагая ее как единую теорию, в которой не остается невыясненным ни один принципиальный момент.
Главный математический аппарат его исследований опирается на теорию гильбертова пространства и спектральную теорию самосопряженных операторов. Многие глубокие положения этих теорий были разработаны самим автором в связи с потребностями математического обоснования квантовой механики. Мы имеем здесь прежде всего в виду спектральную теорию неограниченных самосопряженных операторов, действующих в абстрактном гильбертовом пространстве. Значение этих результатов далеко выходит за рамки потребностей квантовой механики; они широко используются в современной математике. Следует подчеркнуть, что в этой книге впервые дано систематическое изложение теории абстрактного гильбертова пространства.
Отмеченная основная направленность книги определила отсутствие в ней каких бы то ни было приложений квантовой механики к физическим задачам, из которых в основном и состоят обычные учебники (например, такие, как книги Шиффа, Зоммерфельда и др.). Единственное исключение составляют изложение вторичного квантования и вывод формул для вероятностей переходов, проведенные в разделе III. 6 не в общей абстрактной форме, а для физически совершенно реального случая электромагнитного поля. Зато все величины и понятия, которыми оперирует квантовая механика, обосновываются совершенно точно, все необходимые связи между ними устанавливаются в виде математических теорем, опирающихся на изложенную во второй главе общую математическую теорию. В этом смысле рядом с изложением фон Неймана можно было бы поставить
8ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
лишь книгу Дирака. Однако при всей логической красоте н стройности его изложения Дирак позволяет себе использовать понятия, математическая природа которых оставалась в то время невыясненной (Д-функция). Только теперь мы знаем, что Д-функция, как и ряд других подобных математических объектов, которые используются физиками, получила математически корректное обоснование в развившейся за последние годы теории обобщенных функций (С. Л. Соболев, Л. Шварц и др.).
Книга содержит важные оригинальные физические результаты. Во второй части книги автор уделяет много внимания статистическим аспектам квантовой механики как с точки зрения внутренне присущей ей статистической природы, так и с точки зрения квантовомеханического определения понятий статистической физики. Первое заставляет автора последовательно рассматривать не только чистые состояния, но и смеси, в связи с чем он вводит понятие матрицы плотности, оказавшееся чрезвычайно плодотворным в дальнейшем развитии теории. Последнее побуждает к чрезвычайно тщательному анализу макроскопического измерения и введению специальных операторов макроскопических величин и приводит к весьма важному макроскопическому определению энтропии. Наконец, в книге приводится принадлежащее автору доказательство эргодической теоремы в квантовой статистике. В силу важности этого вопроса мы решили добавить к книге перевод, к сожалению мало известной, оригинальной статьи автора.
Стиль Неймана весьма своеобразен и не всегда ригорически следует правилам школьной грамматики. Переводчикам книги М. К. Поливанову и Б. М. Степанову пришлось немало потрудиться, чтобы найти достойный русский эквивалент. Необычно оформление книги — большая часть формул не вынесена в красные строки, а располагается непосредственно внутри текста. Отсутствует и нумерация формул в обычном смысле — только самые важные выражения получают свои специальные названия. Мы пытались сохранить эту особенность, насколько то было возможно по условиям печати.
"・". Боголюбов
Август 1964 г.
ПАМЯТИ МОЕГО ОТЦА ПОСВЯЩАЮ
ВВЕДЕНИЕ
Предмет этой книги составляет единое и, насколько это возможно и уместно, математически безукоризненное изложение новой квантовой механики, которая за последние годы достигла, в ее существенных частях, вероятно, уже окончательной формы в так называемой «теории преобразований». При этом основной упор сделан на общие и принципиальные вопросы, возникающие в связи с этой теорией. В частности, надо будет подробно исследовать сложные и зачастую все еще не проясненные до конца вопросы интерпретации. Особенно важно, в связи с этим, отношение квантовой механики к статистике и к классической статистической механике. Что же касается разъяснения применений квантовомеханических методов к частным задачам, равно как и изложения отдельных более специальных теорий, ответвляющихся от общей теории, то мы будем, как правило, отвлекаться от них ——по крайней мере насколько это возможно без угрозы пониманию общих связей. Это представляется тем более позволительным, что существует или находится в стадии публикации много превосходных изложений подобных вещей 】).
С другой стороны, мы включим изложение потребного для целей этой теории математического аппарата — теории гильбертова пространства и так называемых эрмитовых операторов，в нем. При этом
Это, среди прочих, следующие исчерпывающие руководства: Sommerfeld, Приложение к Atombau und Spectrallinien, Braunschweig, 1928 (русский перевод: ОНТИ, М. — Л. (1938)); Weyl, Gruppentheorie und Quan- tenmechanik, Leipzig, 1928 (русский перевод: ОНТИ ДНТВУ, Харьков (1938)); Френкель, Волновая механика, 1929 (нем.), 1934 (русск.); Born und Jordan, Elementare Quantenmechanik, Berlin, 1930; Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, at the Clarendon Press (1930) (русский перевод: ГТТИ, M. —Л. (1932)).
Из более современных книг на русском языке можно привести: Блохинцев, Основы квантовой механики, «Высшая школа》， 1963. Дирак, Принципы квантовой механики (перевод с 4-го английского издания), Физматгиз, I960. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, т. II (перевод с немецкого издания 1951 г.)( Гостехиздат, 1956. Ландау и Лифшиц, Квантовая механика, Физматгиз, 1963. Шифф, Квантовая механика (перевод со 2-го английского издания), ИЛ, 1957. (Прим, ред.)
потребуется подробно войти и в рассмотрение неограниченных операторов, т. е. расширить теорию (созданную Гильбертом и Хеллпн- гером, Рисом, Шмидтом, Теплицем) за пределы ее классического объема. По поводу метода изложения, принятого здесь, можно заметить следующее: вычисления будут, как правило, производиться с самими операторами (представляющими физические величины), а не с матрицами, которые получаются из них лишь после введения в пространстве Гильберта какой-либо (специальной или произвольной) системы координат. Этот «бескоординатный», т. е. инвариантный и в сильной мере геометризированный способ изложения связан с заметными формальными преимуществами.
Дирак в ряде статей и недавно опубликованной книге) дал столь краткое и элегантное изложение квантовой механики, также имеющее инвариантный характер, что оно вряд ли может быть превзойдено в этом смысле. Поэтому, пожалуй, будет уместным привести здесь некоторые соображения в пользу нашего метода, который существенно отличается от метода Дирака.
Упомянутый, перешедший сейчас вследствие своей прозрачности и элегантности в большую часть квантовомеханической литературы, метод Дирака ни в какой мере не сможет удовлетворить требованиям математической строгости ——не сможет, даже если и снизить их как-то естественно и разумно до, впрочем, в теоретической физике обычного уровня. Так, например, этот метод последовательно цепляется за ту фикцию, что каждый самосопряженный оператор можно привести к диагональному виду, что, для операторов, для которых это на самом деле не так, приводит к необходимости вводить «несобственные» функции с самопротиворечивыми свойствами. Такое включение математических «фикций» оказывается иногда неизбежным, даже и в случаях, когда речь идет лишь о подсчете результата наглядно определимого опыта. Это не было бы возражением, будь образование этих, недопустимых в сегодняшних рамках анализа, понятий действительно существенно для новой физической теории. Подобно тому как ньютонова механика сразу принесла с собой возникновение в своей тогдашней форме безусловно самопротиворе- чивого анализа бесконечно малых, так и квантовая механика могла бы подсказать новое построение нашего «анализа бесконечно многих переменных》，т. е. вызвать изменение математического аппарата, а не физической теории. Это, однако, ни в коей мере не так, и, напротив, будет показано, что квантовомеханическую «теорию преобразований» можно столь же ясно и единообразно обосновать и математически безукоризненным образом. При этом надо подчерк-
нуть, что корректное построение отнюдь не состоит в математическом уточнении и разъяснении метода Дирака, но требует с самого начала отличающегося приема — именно, опирается на гильбертову спектральную теорию операторов.
При анализе принципиальных вопросов будет, в частности, показано, как статистические формулы квантовой механики могут быть получены из небольшого числа фундаментальных качественных допущений. Дальше будет подробно обсужден вопрос о том, можно ли свести статистический характер квантовой механики к некоторой неоднозначности (т. е. неполноте) в нашем описании природы —— ведь такое объяснение лучше всего отвечало бы тому общему принципу, что всякое вероятностное суждение есть следствие неполноты наших знаний. Такое объяснение с помощью «скрытых параметров》， равно как и родственное ему другое, приписывающее «скрытые параметры» наблюдателю, а не наблюдаемой системе, предлагалось не однажды. Между тем оказывается, что это едва ли может удаться удовлетворительным образом, или, более точно,—такое объяснение несовместимо с некоторыми основными качественными постулатами квантовой механики ).
Будет также исследовано отношение этой статистики к термодинамике. Подробное рассмотрение показывает, что известные трудности классической механики, связанные с «предположением о беспорядке», требуемым для обоснования термодинамики, могут быть здесь устранены ).
ГЛАВА I
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Возникновение теории преобразований
Здесь не место указывать на огромные успехи, постнгнутне квантовой теорией в период с 1900 по 1925 гг. в ходе развития, над которым господствуют имена Планка, Эйнштейна и Бора).
К концу этого процесса развития представилось ясным н не оставляющим никаких сомнений, что все элементарные процессы, т. е. все происходящее в атомно-молекулярном масштабе, управляются «прерывными» законами квантов. Почти для всех задач имелись и количественные квантово-теоретические методы, которые большей частью велн к результатам, более или менее хорошо согласующимся с опытом. И что имело наибольшее принципиальное значение—само мышление теоретико-физического исследования восприняло ту идею, что господствующий во всем доступном восприятию макрокосмическом мире принцип непрерывности (《natura non tacit saltus》) возникает лишь в результате процесса усреднения в по существу своему прерывном мире — благодаря тому, что человек обычно сразу аппер- цепирует только сумму многих квадрильонов элементарных процессов, так что истинная природа единичного процесса оказывается полностью завуалированной все нивелирующим законом больших чисел.
Тем не менее к этому времени не существовало математикофизической системы квантовой теории, которая обнимала бы единым образом все дотоле известное, не говоря уже о такой, которая одновременно включала бы в себя монументальную замкнутость взорванной квантовыми явлениями системы механика ——электродина-
мика一теория относительности. Вопреки несомненно оправданному притязанию квантовой теории на универсальность, ей недоставало необходимого для этого формального и идеологического аппарата; она представляла собою нелегкую для распутывания смесь существенно различных, независимых, разнородных и частью противоречащих друг другу допущений и предписаний. Самыми разительными пунктами были: принцип соответствия, наполовину принадлежащий классической механике и электродинамике, но играющий решающую роль в окончательном прояснении положения вещей, самопротиво- реинвая двойственность природы света (волны и частицы — ср. прим.5) и прим.148) на стр. 211) и, наконец, существование неквантованных (апериодических) и квантованных (периодических или условно периодических) движений).
Решение принес тысяча девятьсот двадцать пятый год. На основе предложенного Гайзенбергом подхода Борну, Гайзенбергу, Йордану и, несколько позже, Дираку удалось выстроить новую систему квантовой теории, первую замкнутую систему квантовой теории, которую получила физика. Лишь чуть позже Шредингер из совершенно другого исходного пункта нашел 《волновую механику», которая к тому же и, как вскоре выяснилось, была (по крайней мере в математическом смысле, ср. I. 3, 4) эквивалентна системе Гайзен- берга, Борна, Йордана и Дирака).
На основе борновского статистического толкования квантовотеоретического описания природы) Дирак и Йордан ) смогли сплавить обе теории в единую «теорию преобразований», в которой обе эти теории объединяются, дополняя друг друга, и в которой оказалось возможным математически особенно простое понимание физических вопросов.
Можно еще упомянуть (хотя это и не относится собственно к нашему предмету), что теперь, после того как Гаудсмит и Уленбек открыли еще магнитный момент и спин электрона, исчезли почти
все трудности Первоначальной квантовой теории, так что сегодня мы обладаем безукоризненной системой механики. Правда, упомянутое ранее великое единство с электродинамикой и теорией относительности еще не восстановлено, однако, по крайней мере, есть универсально справедливая механика, в которую квантовые закономерности входят с естественной необходимостью и которая удовлетворительно объясняет большую часть наших опытов).
Первоначальные формулировки квантовой механики
В целях предварительной ориентировки расскажем кратко, как принципиально ставится задача в «матричной механике» Гайзенберга —— Борна — Йордана и в «волновой механике» Шредингера..
В обеих теориях сперва задается классическая механическая задача, характеризуемая гамильтоновой функцией H(gv ..., qk, pv ..., pQ. (Это означает, как известно, — детальнее смотри в учебниках механики —следующее：
Пусть система имеет k степеней свободы, т. е. ее состояние в каждый момент фиксируется заданием численных значений 内 координат с】，...,qk. Ее энергия есть заданная функция координат и их производных по времени
и именно, как правило, квадратичная функция производных 夕「 ... > qk. С помощью соотношений
для координат д【，....qk вводятся «сопряженные импульсы» р「..., р«, которые в случае сделанного выше предположения зависят от 01， ..., qk линейно. Во всяком случае можно исключить q【...,qk из £ с помощью о】,..р龙,так что будет
Е —厶(0]， 0在》 0], • • • * 0右)——*" (с】,・・・,q 卜、pp • • > > P/)・
Зта Н и есть гамильтонова функция.) В обеих теориях мы хотели бы теперь узнать, исходя из этой гамильтоновой функции, возможно больше об истинном, т. е. квантовом, поведении этой системы п)— прежде всего определить возможные энергетические уровни, затем найти относящиеся к ним «стационарные состояния», посчитать «вероятности переходов» между ними и т. д.).
Наставление, предлагаемое для решения этой задачи матричной теорией, состоит в следующем: надо найти систему 2内 матриц Qi， . . -, Q尼,Р］， . .., Pk )» которые, во-первых, удовлетворяют условиям
QmQn — Q〃Qm ~。’ РтР" —=。’
0 прнм，“ = 1炒
^mQn —= { h ! при 血=〃
и для которых, во-вторых, матрица
W = И （Qv . . ., Q在，Рр . . ., PQ
становится диагональной.
Мы не будем здесь входить в детали происхождения этих уравнений, в особенности первой группы — так называемых «правил коммутации», которые определяют все некоммутативное матричное исчисление в этой теории. Читатель найдет исчерпывающее изложение этого предмета в работах, цитированных в прим.】）（стр. 9）. Величина h ——это планковский квант действия. Диагональные элементы 取， пусть Wp 吻2' • • • * будут тогда различными возможными уровнями энергии системы. Элементы матриц Qv . . ., Qk ——g爲,•… 磯:известным образом определяют вероятности перехода системы （из состояния /п с энергией 加足 в состояние п с энергией 吻緑 吻皿〉w^） и испускаемое при этом излучение.
Вдобавок следует заметить, что матрица
W = Н （QpQ丸，Рр 巳）
не определяется полностью набором Q「 ..., Q丸,Рр Рй и гамильтоновой функцией //（^Р . . ., qk, р}> .. р^） классической механики, поскольку Q[ и 匕 не коммутируют между собой （при умножении）, в то время как в случае классической механики было бы совершенно бессмысленным различать между, скажем, ри】и 佐凸 в "（%， . . ., qk, /?Р ...» pQ・ Поэтому надо еще установить в " порядок множителей ^z и pt в дополнение к классическому смнслу этого выражения в отдельных членах. В общем эта процедура не проведена, но для важнейших частных случаев известны целесообразные нормировки. （В простейшем случае, когда рассматриваемая система состоит из у частиц и, следовательно, имеет 々 = 3y координат 'г .. ., ,3v，——скажем так, что ^3ji_2, ，з卩一「每 суть три декартовых координаты 卩-伪 частицы,卩=1, . . ., v,——в которых взаимодействие этих частиц определяется потенциальной энергией V （夕卜...,^3J, вообще не возникает неоднозначностей такого рода. Классической функцией Гамильтона будет тогда
н（01，03v，Рр • . . * Рз»）=
=e玩^（脸一2+同一：1 +唸）+丿（%，3,%）,
где /п卩一масса 卩-伪 частицы, а Рз粒一2，Рз粒-i，Рз卩—компоненты ее импульса. Что будет означать это после подстановки матриц Q「（^, Рр .. ., Оз” совершенно ясно. В частности, не возникает никаких затруднений с потенциальной энергией, поскольку все Q。 . . ., Q3V между собою коммутируют.） Существенно* что дозволены только
2］ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 17 эрмитовы матрицы, т. е. такие матрицы Л = {^mn}, для которых тождественно выполняется атп = апт （элементы атп могут быть комплексными!）. Отсюда "（Q「 . . ., Q力,Р「...,尸左）должна быть эрмитовой, если эрмитовы все Qp . . ., Q左，戶】,...,Pk, что вносит определенное ограничение в упомянутую задачу определения правильного порядка сомножителей, ни в коей мере недостаточное, однако, чтобы однозначно определить //（QP . . ., Q^，尸］,...,Pk） по классической функции Н （，］,♦.., q 卜、Pi» • • • > Р 舟）*）♦
Напротив, наставление волновой механики гласит следующее: сперва надо образовать гамильтонову функцию Н （^Р ...,夕总,рр . . ., р比）, а затем составить для произвольной функции 屮（力，• • •，％） в конфигурационном пространстве системы （а не в фазовом пространстве, т. е. /?р ....卩卜 не входят в 屮）дифференциальное уравнение
"（%,…•，勿，> • • ■» ^7 ^q^ ）屮（0i，勿）=入屮（0i，％）•
При этом
"/h dh д 、
надо понимать в само собой разумеющемся смысле как функциональный оператор. Например, в указанном выше случае
//（处，•一，03v， Pрр3У）=
переводит функцию 屮仇…，q^ в
屮讨屮讨02嗚02嗚屮+吸屮+吸
屮讨
屮讨
02
嗚
02
嗚
屮+吸
屮+吸
Если матрицы Q〔，Pi — эрмитовы, то ни Q^R ни Р& не обязаны быть такими, но зато всегда эрмитова 讶（QiR + ?Q，Но уже в случае Q部］начинают конкурировать как у （Qi^ + ^Q?）, так и Qj^Qj （правда, если Р& ——Qi^i = ^^ L то эти два выражения совпадают）, в случае Q；尸;一трн выражения у（Qi^i + ^^Qi）, Qi^iQi и 尸】Q；尸и т. д. （теперь уже не все эти выражения совпадают и в упомянутом частном случае）. Мы не будем сейчас вдаваться в это подробнее, поскольку развиваемое далее операторное исчисление позволит много йснее разобраться в этих соотношениях.
2 И. Нейман
Л д 而矶q1，Л д 而矶q1，(мы опустили в V н 屮 переменные qv ..., %) Поскольку операция
Л д 而矶q1，
Л д 而矶q1，
здесь снова возникаетздесь снова возникает41 言 爲"отлична от операции)
здесь снова возникает
здесь снова возникает
неопределенность, связанная с порядком сомножителей qm и рт в H(qv ....外，pv ..., р&), однако Шредингер показал» как можно устранить эту неоднозначность путем сведения к определенному вариационному принципу и притом так, чтобы результирующее дифференциальное уравнение оказалось самосопряженным). Ну а это дифференциальное уравнение («волновое уравнение») приобретает характер проблемы собственных значений, если интерпретировать 入 как параметр собственных значений и наложить на собственную функцию ф = ф(^р ..., 勿)требования, скажем, исчезновения на краю конфигурационного пространства (пространства координат qv ”), и, конечно, регулярности и однозначности в нем. По смыслу волновой теории собственные значения 入(как в дискретном, так и в непрерывном спектре)) представляют собой возможные энергетические уровни. Также и (комплексные) собственные функции, принадлежащие нм, связаны с соответствующими (стационарными в смысле Бора) состояниями системы. Так для системы из y электронов (々 = Зу см. выше, е ——заряд электрона) плотность заряда электрона с номером 卩，который по Шредингеру надо представить себе «размазанным» по всему пространству х, у, 2gq现” 4з卩一и 4з卩)，измеренная в точке х, у, 2, задается выражением
6 / ，…/ I屮（%，•…43世-3，y，2，必出+i，%卩）产X
3—3
Л д ,2 戒 d% И %Л д ,2 戒 d% И %X/1… "每-3對3卩+ 1…"%У，
Л д ,
2 戒 d% И %
Л д ,
2 戒 d% И %
(Чтобы полный заряд вышел бы равным е, функция 屮 должна быть нормирована условием
/ J* IФ (?1 • • • ?3v)|2^?l • • * 歯3V = 1・ '3^*
(Интегрирование по всем 3y переменным!] Причем для каждого из 卩=1, y получается то же уравнение.)
Кроме того, волновая механика может делать высказывания и относительно систем, не находящихся в боровских стационарных состояниях 18), а именно следующим образом:
Если состояние не стационарно, т. е. изменяется со временем» тогда волновая функция 屮=中@, ..., q亩 /) содержит время и меняется согласно дифференциальному уравнению
-•"«u…，偌,爵爾备"^)屮④%；f)=
Это значит, что для / = % 屮 может быть задана произвольным образом, а затем однозначно определяется для всех £• Даже стационарные 屮，как можно заключить из сравнения двух шредингеровых дифференциальных уравнений, в действительности зависят от времени, но только для них время входит согласно
屮(分，%; f)=e ' 屮(01’ g在；。),
т. е. / появляется только в множителе, равном единице по абсолютной величине и не зависящем от qv ..., qk (т. е. постоянном в конфигурационном пространстве), так что, например, определенное выше распределение плотности заряда не изменяется. (Мы 0упем вообще предполагать — и обнаружим, что это оправдается в дальнейшем более детальными рассуждениями, — что множитель в 屮，равный единице по модулю и постоянный [в конфигурационном пространстве], принципиально ненаблюдаем.)
Поскольку собственные функции первого дифференциального уравнения образуют полную ортогональную систему), мы можем
разложить по ним всякую 屮=屮(^卜...,g/・ Если фр 屮？， ■ • ■ суть собственные функции (все опять не зависящие』от времени) и ХР Х2> ...— соответствующие им собственные значения, то разложение имеет вид
屮(дr=» a簿以(41，
Если же 屮 зависит от времени, то f войдет в коэффициенты ап (напротив, собственные функции %, %, ... не должны здесь, как и всюду далее, зависеть от времени. Таким образом, если 屮=屮(％,…，％), с которой мы имеем дело, есть в действительности 屮(处，•…， 勿； 幻, то, с учетом того, что
屮=屮(先，q止£) =』％(/)%， 〃S= 1
"屮=』a门(f) H^n =』底a界(/)屮门П—1Л=1
И
爲亲中=e备乙⑴屮"л= 1
из второго дифференциального уравнения сравнением коэффициентов получим
朝 *(/) = — %%(/), an(t) = cne — " , ■ т. e.
(0 = e「罕 ％ C '°)°" (%)=厂罕％ ■ ‘。)峭
屮=屮(分，夕尼，£) = 2 ©• •'>
Следовательно, если 屮 не стационарна, т. е. если не все ап, за исключением одного, обращаются в нуль, то 屮(при изменении £) уже больше не меняется лишь на (в пространстве состояний) постоянный множитель абсолютной величины 1. Поэтому будут, вообще говоря, изменяться и определенные выше плотности заряда и, значит, в пространстве возникнут реальные электрические колебания ).
Мы видим, что основные понятия и практические наставления обеих теорий звучат заметно различно. Тем не менее с самого начала они всегда приводили к одним и тем же результатам, даже и тогда, когда это касалось деталей, в которых обе они отличались от более ранних концепций квантовой теории 盟). Эта необычайная ситуация была, как указано в 1.1, вскоре прояснена ) Шредингером, доказавшим их математическую эквивалентность. Мы обратимся сейчас к этому доказательству эквивалентности и в то же время поясним общую теорию преобразований Дирака——Йордана (которая объединяет эти две теории).
Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
Фундаментальная проблема матричной теории состояла в отыскании матриц Qi，Q无,Рр ...,尸尼 таких, чтобы, во-первых, удо
влетворялись перестановочные соотношения из 1.2 (стр. 15) и, во-вторых, чтобы некоторая определенная функция этих матриц "(Qi， . .., Q尼，Рр ..., PQ становилась диагональной матрицей. Эта задача была разделена Борном и Йорданом уже в их первой публикации на две части следующим образом:
居，…，Ph居，…，PhСначала разыскивались какие-нибудь матрицы Qp …，Q尼, ,которые должны были лишь удовлетворять перестановоч
居，…，Ph
居，…，Ph
ным соотношениям, что легко достигается ); при этом, вообще говоря,
H = //(Qp ...» Q无，Р「.・・* PQ
не оказывалась диагональной матрицей. Затем правильные решения разыскивались в форме
Q] = S~%1SQft= S~^QkS,尸1 = s-gs々=s-'pks,
где S могла быть произвольной матрицей (но все же обладающей обратной матрицей S-1 со свойствами S-1S = SS~X= 1). Поскольку из
выполнения перестановочных соотношений для QP ..,, Qft
следует (тождественно в силу свойств S!) и их справедливость Для Qi，二…，Q尼，В】，・…尸尼 и поскольку Н="(@и Q, /%・・•，PQ переходит в Н = /7(QP ...» Q力 Р】，…,PQ, где
S^HS = Н 26), то единственное, что надо требовать от S,— это чтобы S7Hs была диагональной матрицей при заданной Н. Следовало бы, конечно, еще позаботиться о том, чтобы при этом 5~\2]5, остались эрмитовыми, как были Q” .... Однако при более внимательном рассмотрении оказывается, что этому дальнейшему требованию к S всегда можно удовлетворить позже; поэтому сейчас в этом предварительном рассуждении мы оставим его без внимания.
Следовательно, требуется привести данную Н к диагональной форме с помощью преобразования S~'HS・ Давайте поэтому точно сформулируем, что это значит !
Пусть матрица Н имеет элементы h^ искомая матрица S ——элементы s1Mt и (также неизвестная) диагональная матрица Н — диагональные элементы w^ и, следовательно, общий элемент w^B^ )< H = S~iHS утверждает то же, что и SH = HS, а последнее означает (если мы приравняем друг другу соответствующие, определяемые по известным правилам матричного умножения элементы с обеих сторон равенства):
不S"J.咽р =不啞.% т. е.
审 h^ • Syp = Wp • s^p.
Отдельные столбцы s^, 52р» • • • матрицы S (р= 1, 2, ...) и соответствующие диагональные элементы wp матрицы Н являются, следовательно, решениями так называемой проблемы собственных значений, которая записывается следующим образом:
(тривиальное решение хх — х2= ... = 0 естественно исключается). Действительно, %丫 = $冲，入=砌「 есть решение. (Решение х”三 ° и, следовательно, ^р^0 [для всех v] не относится к делу, поскольку тогда р-й столбец S исчез бы тождественно, в то время как S обладает обратной матрицей S-1 !). Замечательно, что в существенном единственно такие решения и возможны.
В самом деле, полученное выше уравнение означает, что преобразование вектора х= {%「 х?， • • •} с помощью матрицы Н равняется тому же вектору, умноженному на число 入. Преобразуем х = ^{хР х2, .. .) с помощью S"1 и обозначим полученный при этом вектор через у={у], у2» • • • }• Если мы преобразуем у с помощью Н. то это будет то же, что преобразование х с помощью HS-1 = =Sj^HS • S^i = S~i • Н, а следовательно то же, что преобразование 入х с помощью S"* т. е.入у. Далее Ну имеет компоненты
§ 叫%»义=«^，
а 入у — компоненты 入у^, т. е. требуется, чтобы 砌卩¥卩=入¥卩 для всех к=1, 2, а это означает, что у卩=0 для всех 砌卩# 入. Это означает, если обозначить через 干 вектор, у которого p-я компонента есть 1, а все остальные ——нули, — что у есть линейный агрегат таких 笃卩， для которых 砌？=入，一в частности, у нуль, если таковых вовсе нет. Значение х получается применением S к у, следовательно, х есть определенный выше линейный агрегат векторов 笃？， преобразованных с помощью S. Компонента St)p с номером 卩 есть (поскольку v-й компонентой 玳 была 8vp):不 s卩Д1PHs屮 Если мы теперь будем понимать р-й столбец S: 5lpt $2р, как вектор, то х будет линейным агрегатом всех столбцов, для которых 砌「=入，—— в частности, х есть нуль, если таковых не существует. Таким образом, наше первоначальное утверждение доказано:叫，叫，...—это единственные собственные значения и 工=§屮 入=,—в существенном единственные решения.
Это весьма важно, поскольку не только знания S н Н достаточно 口ля определения всех решений проблемы собственных значений, но и наоборот, мы можем определить S м Н, коль скоро мы решили проблему собственных значений полностью. Например, для Н： w^ составлено из всех решений 入 и каждое такое 入 появляется в ряду 砌 1，砌2，... столько раз, сколько есть принадлежащих ему линейно-
независимых решений xv %» . .. ), тем самым &「 w2, .. . уже определены с точностью до порядка следования ).
Таким образом, центральная проблема матричной теории — это решение уравнения проблемы собственных значений:
Ei.$九(л产y =2 入，礼(w =5 1,2,...).
Перейдем теперь к волновой теории. Основное уравнение этой теории 《волновое уравнение》：
e2，"屮(力，…q^)= \ ， 4 (qy • * • * q》
где H ——уже обсуждавшийся дифференциальный оператор. Надо отыскать все решения 屮(^】，gQ и 入，исключая тривиальное: 屮(^1‘ ・••， ^Q = 0 и 入 произвольно. Это похоже на то, что требовалось в Е[・：последовательность xv %» …может рассматриваться как функция %у «прерывной» переменной y (со значениями 1,2,...), соответствующая функции 屮(^广..…^尼)«непрерывных» переменных 01， ••・，qg 入 каждый раз играет одну и ту же роль. И только линейное преобразование
工&/V
на первый взгляд совсем не похоже на преобразование
Как же достичь аналогии?
Мы рассматривали индекс v как переменную и установили параллель между ней и 内 переменными 九...,勿，т. е. между положительным целым числом и произвольной точкой ^-мерного конфигурационного пространства (которое мы будем отныне называть пространством Q). Поэтому нельзя ожидать, что N можно перенести в Q в виде суммы, скорее правильной аналогией будет интеграл /..・/••・ dqx . • • dqk (или, короче, / • • • du, ^ — элемент объема •2 2
dq> . . . dqk в Q）. Матричному элементу 用炉，который зависит от двух переменных типа индекса % тогда соответствует функция
九（分‘ • • •’県；^r • • •» %），
в которой qr qk qfv ... t qfk независимо пробегают всю область Q. Преобразование
± 九炉4 или -> 2 九
должно перейти тем самым в
中（91…? 9衣）f
f J,J力（自1，県；^i, • • •» %）+（分，…r県）阳1-• dq
а проблема собственных значений Е「， которая может быть записана как
Е].^j h^'х^' = X • %
переходит в
е3. / • • • / "（分, • • •» 県；分，• • • * 県）+ 01，• • •1 柒）"分... dg也
=入•中（分，...，q》
Задачи собственных значений типа Ез・ широко изучались в математике и действительно могут быть представлены в виде, в сильной степени аналогичном проблеме Е…Они называются «интегральными уравнениями》）.
Однако, к несчастью,七2・ не представляется в такой форме или, точнее, она может быть представлена в этой форме лишь, если для дифференциального оператора
26ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯg. I
может быть найдена такая функция 九（%瞑;g；, ..., g；＞ что
，"屮（外%）=
=J* .*. /力（％……’％; %,••♦, gJ¥（%，•••‘ ％）對］.・.的尼
2
выполняется тождественно （т. е. для всех 屮（^1，・・.，9力））・
Эту 力（4］，・•., q/ g；, ..., а；）’ если она существует, будем впредь называть （интегральным） «ядром» функционального оператора ", а сам ^ тогда называется «интегральным оператором».
Но такое преобразование вообще невозможно, т. е. дифференциальные операторы Н никогда не являются интегральными операторами. Даже простейший функциональный оператор, преобразующий каждую ср в самое себя, — этот оператор называется 1 — не является таковым. Остановимся на этом операторе, положив ради простоты й = 1. Итак, требуется, чтобы было:
ОО
Ai.屮（д）三 / 力（g, д'）中（g'）dg'.
Заменим（р（д） на 中（д + %））, положим д = 0 и введем переменную интегрирования 9“ =旷十90・ Тогда 叭qj= J* hQ, q"—qjR（q"）dq"・ Если мы теперь заменим g。，qff на g, д', мы увидим, что 力（0, д' —д） решает задачу, так же как и 力（g, g'j, так что мы вправе считать, что 九（д, д'） зависит лишь от д' — д. Тогда требование формулируется так:
Аг.中（д）三 /°力（д' —д）中（д'）歯'，伍（д, д'） = /г（д' —д））.
Заменяя снова 中（д） на 中（g + gj, убедимся, что достаточно рассмотреть случай д = 0:
Аз.中（0）三 / 力（g）屮（g）dg.
Замена 中（g） на 屮（——g） показывает, что h （——q） есть, так же как 力（д）, решение и, следовательно,九］（a） = g（九（9）+ 力（—9）） — тоже, так что 力匂）можно считать четной функцией д.
Ясно, что этим условиям невозможно удовлетворить: если мы выберем ср (^) > 0 для g 总 0, ср (0) = 0, то из А3. следует, что 力(д) = О для ^^0). Если же мы выберем ф(9)=1, то получится
/ 力(9)對=1，
тогда как из предыдущего безусловно следует
J* /z (^) dq = 0.
Несмотря на это, Дирак лицемерно допустил существование функции такого рода:
А《・6 (д) = 0 для g 2 0，3 (д) = 8 (— g), J* 8 (^) d^ = 1.
Она удовлетворила бы А3.:
j3(g)cp(g)dg = cp(0) jb(g)dg+ j“g) g(g)—中(0)｝歯= — CO—CO—8
= ¥(0)・l+ J O・〃g = cp(O),
а следовательно, также &. и A?・・ Мы должны представлять себе эту функцию исчезающей везде, кроме начала координат, и настолько сильно бесконечной в этой точке, что полный интеграл от нее все же оказывается равным единице ).
/А”/А”Если уж мы признаем эту фикцию, то можно будет представлять самые разнообразные дифференциальные операторы, как операторы
/А”
/А”
•wvdoiEdauo к8&
ияэаьи1яв（1и 7 sHHavaBioirsdu эончее（1лэ1ни чхвевавн онжок хв丄
《6 —…」6）力 ~^" =孑6р ' * * ]Ьр （^：6）力（» — /）§•*.
= }bp ■•■ \bp （»力）л （»—5） § •••（步一％）式％ — %） # / …/
fb…• %6/）力=…=
=»0 （力一廿）9 X
><•••»〃（》—%）? \bp （^―T^）g（^沙》）打 J … J
=例 …»0（力%）△（»-»）q …（»一%）q（，一%）?/ …/
:doKuduBH ^пхнАф-? BMHaVaasHodu wniTOHMdu низн у 世b ……"b xiqHHBKodou хиячгояээн ийц ・Hodo£Bd2iio хннчкви,пна（1аффи,п, хпнжогэ ониоаА quoxo edun aHHqvBdjaiHH M&HEH кожок iqK окохз ож но工 оц 'оннэахэхааюоэ ub〈b——6）g и Qb ——6）（“）g edUB З1чнчкв（1лэ1ни клаки и^ и ^^ o&h -a •丄
>bp Qb） * Qb — b）⑺Q / —
-加(/)力(力一①9噜 / =阮(/)力(用一6) g J
啥=S№*
OEh
•WHVOXBH EU」O工
•эпнкоаеиоби 09 H ихээяя （伙 я зннзниоиов S ИГЭ9 *ЭННЧГВ（1лЭ1НИ
I If」]
BHHVhawve HNHiroaa
8乙
Коль скоро есть такое представление, аналогия между Е「и £3. становится полной, нужно лишь заменить v， v‘，»， х на
V，
分，. . ., 为；9也； / …./, ',• "9也；■
2
Как векторам %丫 соответствуют функции ^(qv q》так и матрицам к нужно поставить в соответствие интегральные ядра 力(^у^左；а；， •…，令7)； °пнако еще целесообразней рассматривать
эти ядра прямо как матрицы и соответственно считать qv …，qk индексами строк, а q； •…或 индексами столбцов, соответствующими V и /. Мы тогда имеем, кроме обычных матриц ｛力犷｝ с дискретными совокупностями столбцов и строк, нумерованными числами 1, 2, ..., еще другие ｛力(^у …，q卜；q； • • •, g；)｝ (интегральные ядра), для которых каждая совокупность характеризуется 々-переменными, непрерывно пробегающими все Q.
Эта аналогия может показаться чисто формальной, но в действительности это не так, ибо индексы v м У могут также рассматриваться как координаты в пространстве состояний: именно, если понимать их как квантовые числа (в смысле теории Бора: как номера возможных орбит в фазовом пространстве, которые оказываются дискретными вследствие запретов, накладываемых квантовыми условиями).
Мы не будем прослеживать далее этот ход мысли, развивая который Дирак и Йордан очертили единую теорию квантовых процессов. «Несобственные» конструкции (такие, как 3(х), У (%)) играют в нем решающую роль — они лежат за пределами обычно употребляемых математических методов, а мы надеемся описать квантовую механику с помощью именно этих последних методов. Поэтому мы перейдем к другому (шредингерову) методу объединения обеих теорий.
Эквивалентность двух теорий: Гильбертово пространство
Метод, намеченный в I. 3, приводил к аналогии между «дискретным» пространством значений индекса Z = (1, 2, ...) и непрерывным конфигурационным пространством Q механической системы (Q 々-мерно, где k число классических механических степеней свободы системы). Неудивительно, что такая аналогия не могла быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Пространства Z и 2 в действительности весьма различны и любая попытка соотнести их должна приводить к большим трудностям).
Однако, что нам в самом деле нужно, это вовсе не соотношение между Z и 2, но только соотношение между функциями в этих двух пространствах, т. е. между последовательностями х「 х2, ..., которые суть функции В Z, И ВОЛНОВЫМИ функциями 屮(^1， ... . ^尼)，ЯВЛЯЮЩИМИСЯ функциями в 2. Единственно эти функции и представляют собой те объекты, которые входят в постановку квантовой механической задачи.
В теории Шредингера важную роль играет интеграл
J* • • • J* I?(^р • • •1 ^尼)卩對1 • • •歯尼；
2
он должен быть равен единице для того, чтобы функции 屮 можно было дать физическую интерпретацию (ср. 1.2). В матричной теории, напротив (ср. проблему Ej. в 1.3), решающую роль играет вектор хР х? На этот вектор всегда накладывается условие конечности суммы £|х/2 в духе гильбертовой теории такого рода задач
о собственных значениях (ср. ссылку в прим. ^) на стр. 25). Обычно даже, чтобы исключить тривиальное решение xv = 0, устанавливают нормировку W|xJ2=L Это побуждает нас ограничить круг допустимых в Z или Q функций такими, для которых
£因俨или J ... J忤(力…・，932 dgi・・・"％
конечны, поскольку лишь для таких функций 工 или J ... J могут у j 飞一一’
быть сделаны равными единице умножением на постоянную, т. е. функции можно нормировать в обычном смысле 融).Мы назовем множества таких функций Fz и 尸а соответственно.
Многократно отмечалось, что в теории Шредингера для волновой функции у существенно лишь требование конечности интеграла
/ 1中(分，%)|2dg]...
Так что, например, у может быть сингулярна, может обращаться в бесконечность, если только указанный интеграл остается конечным. Поучительным примером такого рода оказывается атом водорода в релятивистской теории Д1п)ака, ср. Dirac, Proc. Roy. Soc., Lond., 117 (1928); и W. Gordon, Z. Physik 48 (1928).
Далее, выполняется теорема:尸z и F& изоморфны （Fischer и. F. Riesz））.
Точнее это означает следующее: Возможно установить однооднозначное соответствие между Fz и 尸*, т. е. каждой последовательности Хр х2, ... С конечной §|&|2 сопоставить функцию ср（<7Р 弘）с конечным Г ... Г 丨中（处勿）卩歯i …•"勿 н на
оборот, так что соответствие будет линейным и изометрическим. «Линейность» означает: если xv х2, ... соответствует 屮（д「夕力） И J], у2' .…соответствует 屮（处，•…，%），то axv 。❷' Н 修 + 力， 砲亠儿，...соответствуют а中（处，.... 外）и 中（g「 ％）； 十屮（处，一・，勿）；«изометричность» означает: для соответствующих друг другу хР х2, ... и ср（^Р ...» qQ выполняется 工 |%」？ =
/ I屮（夕1，...,夕总）12dgi ・・・ dqk （понятие «изометрии» связано
с тем, что принято рассматривать хР х2, ... и 屮（夕^，... > 夕力）как
векторы, а 1/ У !xj2 и -./…1中（外，%）户明i •，•的总
как соответствующие «длины»）. Вдобавок, если хР х?’ • •・ н У1‘ У2,・・・ отвечают соответственно 中（q^ ・.•，%） и 屮（外，外）,то будет даже
£ %以 =/ .…/中（g1，…•，q/0也7qG@0i ，・，"%
（и обе части абсолютно сходятся）. По поводу этого последнего пункта заметим, что собственно можно было бы желать, чтобы выполнялось
Е %、= / ... J* ср （^Р ...» 0总）“01 • ♦ • dqk
или нечто в этом роде, т. е. полной аналогии между суммированием с одной стороны, и интегрированием с другой, однако ближайшее
рассмотрение показывает, что сложение 工 и интегрирование J ……dqk применяются в квантовой механике всегда
только к таким выражениям, как 当义 или 屮(弘%)屮(力，％)*
Мы не собираемся здесь предпринимать какое-либо исследование того, как это соответствие должно быть установлено, поскольку это все равно будет нашей главной заботой в следующей главе. Но надо подчеркнуть, что означает существование такого соответствия: Z и 2 весьма различны и установление прямой связи между ними должно приводить к неразрешимым математическим трудностям. С другой стороны 尸z и 尸* изоморфны, т. е. идентичны по своей внутренней структуре (они реализуют одни и те же абстрактные свойства в различных математических построениях)——и поскольку они (ио не сами Z н Q!) суть собственно аналитические субстраты матричной и волновой теорий, то этот изоморфизм значит, что обе теории должны приводить к одним и тем же численным результатам. Поэтому, например, изоморфизм сопоставляет матрицу
H = "(Q],.…Q右，Pp .... Pk) и оператор
друг другу. Поскольку и та и другой получены с помощью одних и тех же алгебраических операций из матриц Qp Pt (/ = 1, ... 4) и функциональных операторов
Но матрицы,Но матрицы,соответственно, то достаточно показать, что д〃 ... отвечает матрице Q,…• и 臺' -~, ... матрице Pv ... Далее, от матриц Qz, Рг (2=1,….© не требовалось ничего, кроме того, чтобы они удовлетворяли правилам перестановки, упомянутым в 1. 2:
Но матрицы,
Но матрицы,
QmPn —「"Qm ='
=°ПРИ т^п (zn, n = l, 2,...)
] при щ = п.
QmQn— QnQm=^°> 戸m 戸”一2 戸m =。'
соответствующие
(по изоморфизму) д〃 ..
九 d
2戒百^
безусловно будут им удовлетворять, поскольку сами функциональные
операторы д〃 ,..,^- , . .. обладают этим свойством 簧），и свой
ства эти не теряются при изоморфном переносе на Fz.
Поскольку системы Fz и 尸* изоморфны, и поскольку квантовые
механики, построенные на них, математически равнозначны, то следует ожидать, что единую теорию, не зависимую от случайностей формальной схемы, выбранной в свое время, и представляющую только действительно существенные черты квантовой механики, можно будет построить, лишь если изучить основные внутренние свойства （общие для 尸z и 尸а）, присущие этим системам функций, и взять именно их за исходную точку построения.
Система Fz обычно называется «пространством Гильберта». Таким образом, в первую очередь речь пойдет о том, чтобы разыскать те внутренние свойства гильбертова пространства, которые не зависят от специальных свойств его частных воплощений 尸z или 尸*. Математический образ, описываемый этими свойствами （и который в конкретных частных случаях можно в целях вычислений с равным правом принимать за Fz или 尸*, но для общих целей удобнее рассматривать непосредственно）, будем называть «абстрактным гильбертовым
пространством».
Итак, мы хотим описать абстрактное гильбертово пространство и затем с полной строгостью доказать следующие положения:
Что абстрактное гильбертово пространство однозначно характеризуется свойствами, которые будут указаны, т. е. что оно не допускает более существенно различных реализаций.
Что его свойства осуществляются как в 尸z, так и в 尸*• （При этом вещи, обсуждавшиеся в I. 4 лишь качественно, будут строго проанализированы.） Когда это будет сделано, мы применим получаемый таким образом математический аппарат к построению квантовой механики.
36） Мы имеем %0"中（价，勿）= 0“％中（分，…，％），
ЖГ Ж‘（%"）=**‘（分%），
0d[ == 0при 加次 ％
丽（分'…'*）—'"露‘例…'%）= 1=做0「.%）。 PH 加=", нз чего прямо следуют нужные операторные соотношения.
3 И. Нейман
ГЛАВА II
ОБЩИЕ СВОЙСТВА АБСТРАКТНОГОГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
1・ Определение абстрактного пространства Гильберта
Нам надо теперь выполнять программу, предложенную в конце 1.4: определить гильбертово пространство, — которое даст нам математическое основание для трактовки квантовой механики,——в терминах исключительно тех понятий, которые впоследствии войдут в саму квантовую механику и которые в силу этого будут иметь равный смысл как в《дискретном》функциональном пространстве Fz последовательностей xv (V = 1, 2, .. .), так и в «непрерывном» пространстве 尸 q волновых функций ср (fl， ..., 0总)(с】,...,qk пробегают все конфигурационное пространство 2). Эти понятия, как мы уже однажды указывали, суть следующие:
Умножение на скаляр, т. е. перемножение (комплексного) числа а и элемента / гильбертова пространства: а/. В 尸工 при этом .из %、 получается axv, а в F2 из 中(勺卜...,勺。получается 。屮(0i，• • •» %)•
Сложение и вычитание двух элементов / н g абстрактного гильбертова пространства /土 g. В 尸工 при этом из £ и 义 получается л\ 士义；в 尸。нз ср(%%) н 屮(％gj получается ср (%, ..%) 土屮(勺「
а), Р) эта опера- к элементу гиль- ИЗ xv И Уу полу- н 屮(％，…•， q)а), Р) эта опера- к элементу гиль- ИЗ xv И Уу полу- н 屮(％，…•， q)丫) «Внутреннее умножение» двух элементов / н g абстракт-
а), Р) эта опера- к элементу гиль- ИЗ xv И Уу полу- н 屮(％，…•， q)
а), Р) эта опера- к элементу гиль- ИЗ xv И Уу полу- н 屮(％，…•， q)
ного гильбертова пространства. В отличие от ция приводит к (комплексному) числу, а не бертова пространства (f g)・ В 尸工 при этом чается 工％丫义，а в F2 из ср(^р ...,勺宓)
получается / ... /中(处，. •.，%)屮(价%)d处・一d%.
2
(Определения в Fz и в F2 должны быть пополнены необходимыми доказательствами сходимости. Мы приведем их в II.3).
Кроме того, в дальнейшем мы будем последовательно обозначать точки абстрактного гильбертова пространства буквами /, g,..., ср,屮，...,комплексные числа — буквами 。，仇х, у, ・・.，а целые положительные числа ——буквами 阮，/и, •…，卩,丫,…• Мы будем также в случае необходимости обозначать абстрактное гильбертово пространство символом 恥8 (как сокращенное обозначение со-мерного евклидова пространства, аналогичное обычному обозначению 5Лл для ««-мерного евклидова пространства» [л — 1, 2,...]).
Самое замечательное в операциях а/, /士 g， (/，g) это то, что это как раз основные операции векторного исчисления: те операции, которые делают возможным введение вычисления длин и углов в геометрии Евклида или вычислений, относящихся к силе и работе в механике частиц. Аналогия становится совершенно ясной в случае 尸z， если вместо xv х2, ... в St^ мы рассмотрим обычные точки «г】，...,%% из 5Лл (для которых ведь операции а), 口)，丫) могут быть определены так же точно). В частности, для л = 3 мы имеем случай обычного пространства. В некоторых случаях более удобно говорить о комплексе хР .. ., хп не как о точке, но как о векторе, направленном из точки 0О в точку X]хя.
Итак, для того чтобы определить абстрактное гильбертово пространство, мы возьмем за основу фундаментальные векторные операции а/, /土 g，(/. g)・ Как окажется при обсуждении, к которому мы переходим, мы одновременно с SR^ охватим и все %. Поэтому, пока мы еще не хотим специально различать между 9?^ и ^, мы будем пользоваться нейтральным символом 8ft как общим обозначением пространства.
Постулируем прежде всего в 9t характерные векторные свойства):
91 есть линейное пространство.
Это значит: в 9t определены сложение / + g и умножение на «скаляр》 af (/, g——элементы SR, а — комплексное число; / 土 g и af принадлежат 沁，и SR имеет нулевой элемент О).
Таким образом, для этого пространства выполняются известные правила векторной алгебры
f+g=g+f(/+g)+九=/+(g+九)(。+ 6)/ =。/+" If+g=g+f(/+g)+九=/+(g+九)(。+ 6)/ =。/+" I(коммутативность сложения), (ассоциативность сложения).(коммутативность сложения), (ассоциативность сложения).a<J + g'> = af +ag J(。6) / =a0/)О / = 0, 1 f = 1a<J + g'> = af +ag J(。6) / =a0/)О / = 0, 1 f = 1(дистрибутивность умножения),(дистрибутивность умножения),(ассоциативность умножения), (роль нуля и единицы).(ассоциативность умножения), (роль нуля и единицы).
f+g=g+f(/+g)+九=/+(g+九)(。+ 6)/ =。/+" I
f+g=g+f(/+g)+九=/+(g+九)(。+ 6)/ =。/+" I
(коммутативность сложения), (ассоциативность сложения).
(коммутативность сложения), (ассоциативность сложения).
a<J + g'> = af +ag J(。6) / =a0/)
О / = 0, 1 f = 1
a<J + g'> = af +ag J(。6) / =a0/)
О / = 0, 1 f = 1
(дистрибутивность умножения),
(дистрибутивность умножения),
(ассоциативность умножения), (роль нуля и единицы).
(ассоциативность умножения), (роль нуля и единицы).
Правила вычислений, не указанные здесь, непосредственно еле дуют из этих постулатов. Например, роль нулевого вектора в ело жении:
/ + 0=1*/ + 0 • / ~ (1 + 0) • / — 1 • / ~ /.
Или однозначная возможность вычитания: определим
—/ —(—1) • /;/ — g —/ + (—g),
тогда
(/一g) + g = (/ + (—g)) + g = / + ((—g) + g)]— (f + g) —g = (/ + g)+(—g) = / +(g + (—g))尸 = /+((7)・g+l ・g)= / +((-l)+l),g = = /+o・g = /+。"
Или дистрибутивные законы умножения при вычитании й • (/ — g) = a・/+。，(一 g) =。/ +。* ((— 1) • g)= =af 1)) • g=a/ + ((—1)。)• g = = 5+(— eg) = a/ — 〃g，
(仪一b) • f ~ a • / + (— b) * / ~ ^/ + ((一 1)少)” / =
=e/+ (- bf) =。/ - bf.
He стоит, пожалуй, продолжать эти примеры дальше, и так должно быть ясно, что все правила линейного векторного исчисления здесь имеют место.
Мы можем, следовательно, как и для векторов, определить, когда известные элементы /р /А пространства 眈 будут линейно независимы.
Определение /. Элементы /р /А линейно независимы, если из а1/1 -I- • • • -h仪比/片 0 (以「 • • • > 。々—комплексные числа) следует, что。] =。2=…—ak — 0.
Определим далее аналог линейных объектов векторного исчисления (линия, плоскость и т. д., проходящие через начало координат)— линейное многообразие.
Определение 2. Подмножество 咙 пространства 8ft называется линейным многообразием, если оно вместе с какими- либо 左 (^― 1, 2, ...) его элементами fv .. ., fk ) содержит и их линейные комбинации a}f} -|~ .. . +。々/既 Если 班 есть произвольное подмножество 兇 то множество всех 。1衣 + .. . + ^kfk (左=1, 2, . . .; av ...» ak — произвольные комплексные числа; /р .. ., f к — произвольные элементы 僦) есть линейное многообразие, которое очевидно содержит 僦. Ясно, что оно является также подмножеством любого другого линейного многообразия, содержащего 3(. Оно называется «линейным многообразием, натянутым на $1》и обозначается символом {31}.
Прежде чем дальше развивать эти представления, сформулируем следующий основной принцип векторного исчисления ——существование внутреннего произведения.
В 9t определено эрмитово внутреннее произведение.
Это означает: определено (/, £) (/ и g — элементы 8ft (/, g)——комплексное число) со следующими свойствами:
(/； + f1^ g) = (广，g) + (/"，g) (дистрибутивность относительно первого множителя),
{а • /, g) =。•(/‘ g)(ассоциативность относительно
первого множителя),
(/, g) = (g, /)(эрмитова симметрия),
(/* /) ^ Q и ~ 0 лишь при / ~ 0) (дефинитность).
Соответствующие два закона для второго множителя следуют из законов для первого и свойства эрмитовой симметрии (поменяем / и g и возьмем комплексно-сопряженные с обеих сторон):
(/. g' + g") = (/，Q + (/，g")，
(/, а • g) = 3 • (/, g).
Это внутреннее произведение очень важно, поскольку оно позволяет ввести определение расстояния. В евклидовом пространстве длина вектора определяется как ||/|| = ]/"(/, f)^Y а расстояние
между двумя точками определяется как ||/ ——g||. Придерживаясь этой аналогии, введем
Определение 3. «Длина» элемента / из SR есть ||/|| = =]/(/, /), расстояние между f g есть ||/ — ^|| ).
Что это понятие действительно обладает всеми свойствами расстояния, мы сейчас увидим. Докажем для этого следующую
Теорему 九 Всегда |(/> ^)1 = 11/11 ' 11^11-
Доказательство. Напишем сначала
ll*2+HgU2 — 2Re(/, g)=
= (/，/)+& g) —(/，g) —(g，/) = (/ —g丿一м)Ю,Re(/, g)三^(|⑺У+|固2)
(если 2 = 〃 + %и ——комплексное число ——и и и вещественны, то Rez и Imz являются соответственно вещественной и мнимой частями 2, т. е. Re? = 〃， Im 2 = и). Если мы заменим / и g на af а -^ g
большеправойбольшеправойнуля), то левая часть, как легко видеть.нуля), то левая часть, как легко видеть.же мы получимже мы получим(а вещественно и не изменится. В
больше
правой
больше
правой
нуля), то левая часть, как легко видеть.
нуля), то левая часть, как легко видеть.
же мы получим
же мы получим
Поскольку этоПоскольку этовыражение > Re (/, g), то неравенство, в частности,
Поскольку это
Поскольку это
сохраняется и для его минимального значения ||/|| • ||^|| (это значе
ниениедостигаетсядостигаетсядля /, g ¥= 0 при адля /, g ¥= 0 при адля / = 0 илидля / = 0 или
ние
ние
достигается
достигается
для /, g ¥= 0 при а
для /, g ¥= 0 при а
для / = 0 или
для / = 0 или
g = 0 при ef+ со или при ef+ 0 соответственно). Следова
тельно,
Re(f g)W||/|| • I®.
Если мы заменим здесь / и ^ на ^f н g (а вещественно), то правая часть уравнения не изменится (вследствие того, что (е/, af)~ =aa(ft /)= |^2| (/, /), имеем ||^/|| = | й| • ||/|| и, следовательно, при |仪| = 1 IIaf\\ = Ц/ll), а левая часть перейдет в
Re (eia(ft ^))—cosa Re (/, g) — sin a Im(/, g).
Последнее выражение очевидным образом имеет максимум
M(Re(力 g))2 + (E(/, g))2=|(/, g)|,
откуда и следует предложение к/.
Следствие. Чтобы имело место равенство, /, g должны совпадать с точностью до постоянного (комплексного) множителя» Доказательство. Чтобы имело место равенство в соотношении Re(/, g)^y(||/||2+||g-||2), необходимо даже, чтобы (/—g, /—g) = 0, т. е. должно быть / = g. При переходе от этого соотношения К К/, g-)| ^ 11/11 • llg-Ц, / и g — заменяются на e^af н ；g (е, а вещественны, а > 0), если только ни / ни g не равны нулю. Чтобы в нем сохранялось равенство, нужно, следовательно, чтобы было 6历仪/ = ^_旦，т. е. g = a^e^f = с/ (с 娱 0). Обратно, для / или g, равного нулю, или для g — cf (с 娱 0) явным образом имеет место равенство.
Теорема 2. Всегда ||/|| ^ 0 и равенство достигается лишь для /== 0. Выполняется ||а • /|| = \а\ • ||/||. Всегда будет также ||/4~^|| = 11/11 + 11^11* причем равенство достигается лишь для / и ^, совпадающих с точностью до постоянного вещественного множителя >0.
Доказательство. В правильности двух первых утверждений мы уже убедились выше. Докажем неравенство третьего предложения следующим образом:
(/+g，f+ g) = s f)+(g，g) + (力 g) + (g，/)=
-(11/11 +Uli)2.-(11/11 +Uli)2.=II/IP+ kll2 + 2Re(/, g)互 ||/||2+ ||g||2 + 2||/|| • ||g|| =
-(11/11 +Uli)2.
-(11/11 +Uli)2.
||/ + ^|| ^11/11 +IIS-：l-
Чтобы достигалось равенство, Re (/, g) должна быть равна Il/Н • H^ll， для чего необходимо / или g=0‘ или g — a^f = cf (с вещественно, > 0) в силу выводов, сделанных при доказательстве предыдущего следствия. Обратно, очевидно, что в этом случае равенство выполнено.
43) По теореме 2 (которую надо должно быть /—g = 0, т. е. f — g g—h — c(f — g) (с вещественно, > 0),43) По теореме 2 (которую надо должно быть /—g = 0, т. е. f — g g—h — c(f — g) (с вещественно, > 0),Из теоремы 2. немедленно следует, что расстоян е ||/ — g|| обладает следующими свойствами: Расстояние между / и ^ есть нуль для / = g и только в этом случае. Расстояние между / и g то же, что и между g и /. Расстояние между / и й меньше или равно сумме расстояний между / и ^ и между g н 〃• Равенство достигается только, если g=e/ + (l—а) А (仪 вещественно, 0 < д < I)).
43) По теореме 2 (которую надо должно быть /—g = 0, т. е. f — g g—h — c(f — g) (с вещественно, > 0),
43) По теореме 2 (которую надо должно быть /—g = 0, т. е. f — g g—h — c(f — g) (с вещественно, > 0),
Расстояние между а/ и ag есть умноженное на |а| расстояние между / и ^. Но это как раз те самые свойства расстояния, которые дают возможность свести в геометрии (и топологии) понятия непрерывности, ограниченности, предельной точки и так далее к фундаментальному понятию расстояния. Мы воспользуемся этим для следующих определений:
Функция 尸(/) в 猊(т. е. функция, определенная для / из !Л и имеющая в качестве своих значений или всегда точки из 睨，или всегда комплексные числа) непрерывна в точке /0 (из W), если для каждого е > 0 существует В > 0 такое, что из ||/ — /0|| < 8 с необходимостью следует, что 口尸")一尸(％州или |F (/) — F(/0)| < e
(в зависимости от того, являются ли значения 尸 точками из 9? или комплексными числами). Будем называть эту функцию ограниченной в 猊 или в заданном подмножестве W, если там всегда ||F(/)|| ^С или IF (/)I < С (С — постоянная, соответствующим образом выбранная, но фиксированная). Аналогичные определения имеют место для нескольких переменных. Последовательность /р /2> . .. сходится к / или имеет предел /, если числа ЦД — /||, ||/2—/||, .. . сходятся к нулю. Точка называется предельной точкой множества 觊 (которое есть подмножество 猊！)， если она является пределом последовательности из 费抬). В частности, будем называть 以 замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и оно называется всюду плотным, если его предельные точки включают все 猊・
Мы должны еще доказать, что а/, / + g，(/» g) непрерывны по всем своим переменным. Поскольку
\\af-af\\^\a\ •旷一川，
II(/ + g) — (广 + g'州=11(/-广)+ (g-g'M ^П/-Г11 + 11 g-g'll， то первые два утверждения очевидны. Далее, из
II/ —ГН <s> Hg —g'M<e
при подстановке f — / =屮，gf —旦=屮 следует, что
l(/> g)—(/'，g')l = !(/• g) —(/十屮，g+屮)1 = =1(中，g)+(/，屮)+(% 屮)1 三 三 1(% g)l + IS 屮)1 +1(% 屮)1 互 ^11?11-к114-11/1М1Ф11-Ы1?Н-11Ф11^ We(旧|+||g||+e).
При s—>0 это выражение стремится к нулю и может быть сделано меньше любого В > 0.
Используют также следующее определение предельной точки: для любого £ > О найдется такое /' из ?1, что ||/—/z|| < £- Эквивалентность обоих определений можно показать дословно так же> как это делается в обычном анализе.
Свойства А. и В・ позволяют нам, как мы видели, сказать об 31 довольно много, однако они все же недостаточны, чтобы отличить Э1Я друг от друга или от % — ведь р числе измерений пространства до сих пор не было сказано ни слова. Это понятие известным образом связано с максимальным числом линейно независимых векторов. Если такое максимальное число п = 1, 2, ... существует, то для этого п мы можем утверждать, что
С(")・ Существует точно п линейно-независимых векторов.
Это значит, что можно указать п таких векторов, но n -|- 1 не существует.
Если же не имеется максимального числа, то тогда мы утверждаем, что
С®). Существует произвольно много линейно-независимых векторов.
Это значит, что для каждого 々=1, 2, ... можно указать k таких векторов.
Итак, С・ не является собственно новым постулатом. Если имеют место А., В・,то либо одно из С⑺・，либо С^\ также обязательно имеют место. Судя по тому, какое из них мы выберем, мы получим различные пространства 况 Мы увидим, что из С向.следует, что 猊 обладает всеми свойствами n-мерного (комплексного) евклидова пространства. Напротив, постулата С®). не хватит, чтобы обеспечить тождество 31 с гильбертовым пространством %, нам потребуются для этого еще два постулата D. и Е.. Точнее, дело обстоит следующим образом: мы покажем, что 31 с А., В. и С("'・ обладает всеми свойствами Э1Л и, в частности, свойствами D, и Е. t которые будут сейчас сформулированы (и которые, таким образом, следуют из А., Я. и С(")・). Далее мы покажем, что 9? с А., Я., С(оо\, D・,Е. обладает всеми свойствами Э?8， однако в этом случае постулаты D. и £. существенны (т. е. они не следуют из /・,В., С(8).). Мы перейдем теперь к формулировке D. и £., а доказательство того, что все 猊，况8 обладают такими свойствами, будет несколько отложено (см. II. 3).
Пространство 91 полно).
Это значит, что если последовательность /】,/2, ... в 91 удовлетворяет критерию сходимости Коши (для каждого е > 0 существует такое 内= N(e), что \\fm — /л|| < е для всех т,汽叁№), то
она сходится, т. е. обладает пределом / (см. определение этого понятия, данное выше).
Пространство 睨 сепарабельно ^).
Это значит, что имеется последовательность /р /2, ... в 眈， которая всюду плотна в 5R.
В II. 2 мы, как сказано, построим «геометрию» St исходя из этих основных положений, и покажем ее тождественность с геометрией SR„ или 猊8 соответственно.
Геометрия гильбертова пространства
Мы начнем с двух определений. Первое из них содержит ровно столько от тригонометрии, сколько нужно для наших целей: понятие о прямом угле — ортогональность.
Определение 4. Два элемента / и g из 5R ортогональны, если (/, g) = 0. Два линейных многообразия 2R и !У1 .ортогональны, если каждый элемент из 2R ортогонален каждому элементу из 3fL Множество О называется ортонормированной системой, если для всех /, g мз О
(/■ g) = {(/■ g) = {1 дляО для1 дляО для
(/■ g) = {
(/■ g) = {
1 для
О для
1 для
О для
(т. е. каждые два различных элемента ортогональны и каждый элемент по длине равен единице)). В частности, О будет называться полной, если она не может быть подмножеством какой-
либо другой ортонормированной системы, содержащей дополнительные элементы ).
Заметим еще, что утверждение о полноте ортогональной системы ©
означает, очевидно, что не существует / с ||/|| = 1, который был бы ортогонален ко всей G (ср. прим. 46)). Но будь / просто отличен от
=Е •/ (ведь 11/11 >0)=Е •/ (ведь 11/11 >0)удовлетворяетудовлетворяетвсем требованиям:всем требованиям:нуля и ортогонален ко всей системе О, то /'
=Е •/ (ведь 11/11 >0)
=Е •/ (ведь 11/11 >0)
удовлетворяет
удовлетворяет
всем требованиям:
всем требованиям:
11/11 = i|7j| 11/11 = 1 " /' ортого-
нален к О. Следовательно, полнота О требует, чтобы любой /, ортогональный ко всей системе О, исчезал.
Второе определение таково, что оно существенно только для 脏田 поскольку в Мя каждое линейное многообразие ——такого типа, как то, которое им описывается (ср. конец II. 3). Поэтому мы не можем дать
интуитивно-геометрическую картину его смысла.
Определение 5. Линейное многообразие, которое одновременно замкнуто, назовем замкнутым линейным многообразием. Если 飘 есть некоторое множество из 5R и мы дополним ｛阳 (линейное многообразие, натянутое на 旣)всеми его предельными точками, мы получим замкнутое линейное многообразие» содержащее 觊.При этом оно будет подмножеством каждого другого замкнутого линейного многообразия, тоже содержащего 旣 48). мн назовем его замкнутым линейным многообразием, натянутым на 筑 и обозначим ［觊］•
Перейдем теперь к более детальному анализу 31 и, в частности, к полным ортогональным системам. К тем теоремам, для которых в дополнение к 4., В. потребуются С(")・ или С^°\, D. и £., мы будем добавлять соответственно индекс(编 или 3). Теоремы общие для обоих случаев оставим по-прежнему без индексов.
Теорема 3^* Каждая ортонормированная система имеет 三 私 элементов и будет полной тогда и только тогда, когда она имеет п элементов.
Замена&〃е. Из первого утверждения следует, что существует максимальное значение для числа элементов ортогональных систем; те ортогональные системы, для которых достигается это максимальное значение, оказываются, л о определению, полными. Итак» в случае С(2 существуют полные ортогональные системы и каждая такая система имеет п элементов.
Доказательство、Каждая ортогональная система (если она ко* нечна) линейно-независима. Если ее элементы суть 平】，平?， •・・，?т» то из
01中1+ ••• +адm = 0
следует, что 〃卩=0 (р=1, 2,・・・,т); в этом можно убедиться, образуя внутреннее произведение с 平卩. Следовательно, в силу С("'・ система не может иметь 汽+1 элемент. Произвольная ортогональная система, таким образом» не может иметь подсистем с 汽+1 элементами. Следовательно, она конечна и содержит 三汽 элементов.
Система из п элементов не допускает расширения и, следовательно, полна. Однако система с m < п элементами (pv .... ^т не полна. Действительно, среди линейных комбинаций а】中】+ ... +。皿中巾 не может быть 汽 > 加 линейно-независимых. Следовательно, в силу C("L должен существовать элемент /, отличный от всех。】平1+ ... + «шТт» т. е. такой, для которого
屮=/ -a用-…-OrnTrn
Как линейное многообразие, оно должно содержать ｛双｝ и, поскольку оно замкнуто, то и предельные точки ｛叫.
всегда отличен от нуля. Далее,（屮，屮卩）=0 означает, что а^ = （/,屮卩） （卩=1, 2,m）. Следовательно, если это условие может одновременно выполняться для всех 卩=1, 2, . .., т, то оно определяет таким образом 屮，который показывает, что система 屮「..., ^т не полна.
Теорема З®）. Каждая ортонормированная система конечна или есть счетно-бесконечная последовательность; если она полна, то она заведомо бесконечна.
Замечание. Значит, мы можем записывать все ортогональные системы в виде （возможно обрывающихся, т. е. конечных） последовательностей 屮「ср2, ..., что мы действительно и сделаем. Подчеркнем, что теперь число элементов системы только необходимо для ее полноты, но в отличие от случая С（"）・ этого условия еще недостаточно）.
Доказательство. Пусть D ——ортонормированная система, / и g — два различных ее элемента. Тогда
（/ —g，/ —g） = CA /） + （g，g） —（/，g） —（g，/） = 2,II/ - gll = u2.
Пусть теперь /р /2, ...—существующая согласно Е・ последовательность, всюду плотная в 猊.Для каждого / из Q существует некоторое /т из последовательности, для которого ||/ — /т|| < у ]/2. /т и /л, соответствующие / и §■, должны быть различны, поскольку из fm — fn следовало бы, что
II/ — gll = 1К/ — fm） — （g — gm）|| 三—
^ll/-/mll + k-^!l <|/24-l/2 = /2.
Значит, каждому / из D соответствует /т из последовательности /р /2, ... с различными /т для различных /. Следовательно, D или конечна, или является последовательностью.
Как и при доказательстве теоремы 3叫，показывается, что если в JR есть > т линейно-независимых элементов, то система 屮】屮加 не может быть полной. Однако поскольку в силу С（оо\ при любом т в 31 имеется больше m линейно-независимых векторов, то полная система должна быть бесконечной.
Следующие теоремы в той мере, в какой они говорят о сходимости, относятся только к С（8）., однако желательно их сформулировать в общей форме, имея в виду другие утверждения, которые в них содержатся.
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА45
Теорема 4. Пусть 屮】,ср2,... ——ортонормироваиная система. Тогда все ряды 2 (/* 屮J(g，屮J，если только они вообще имеют
бесконечно много членов, абсолютно сходятся. В частности, для / = g всегда 2 I(/,中开三 |1/产.
Доказательство. Пусть а^ — (/,中J, v=l, 2, Тогда /——士。丫％ =屮 ортогональна ко всем %, v~ 1, 2，. . ., ^ (ср. до
казательство теоремы 3®). Поскольку /=』％汽 +屮，то
(/. /)=2 。11A (匕，%)+?包(中，外) + 2% (%，中)+ (中，中)=
V,科=1V=17=1
=昌1a"卩+ (中,屮)自斗。」4
т. е. ± |%|2 工 口/1户・ Если система %, cp2, ••• конечна, то прямо следует, что
2 l«J2-ll/li2.
если же она бесконечна, то при ^-> оо мы убеждаемся в абсолютной сходимости W |%|2 и в том, что X |^J2^||/|,2. Тем самым второе утверждение доказано.
Вследствие того, что )(/, %)(g,%)居^{1(力 %)户+13 %)円， более общее утверждение о сходимости — первое предложение теоремы—следует из уже установленного факта сходимости.
Теорема 5. Пусть 屮「 ср2,...——бесконечная ортонормиро- ванная система. Тогда ряд ± х^ сходится тогда и только
тогда, когда сходится ряд 2 I ^ I2 (члены последнего ряда суть вещественные неотрицательные числа и, следовательно, ряд или сходится, или собственно расходится к 十8).
Доказательство. Поскольку высказанное предложение нетривиально лишь для С(8)., то мн можем пользоваться D. — критерием сходимости Коши. Согласно ему сумма ± %/f\ сходится, иными ело-
вами, последовательность частных сумм 2 х^ч сходится при ^->oo
тогда, когда для любого е > 0 существует некоторое ^ ~ N（е） такое, что для L, M=N будет | 耳丄汽一斗月丫屮J < е. Мы предположим, что L〉M*N, тогда
L2Y=M+ IL2Y=M+ I/ LL（* 屮v' *\v = M+Iv=M+I/ LL（* 屮v' *\v = M+Iv=M+I
L
2
Y=M+ I
L
2
Y=M+ I
/ LL
（* 屮v' *
\v = M+Iv=M+I
/ LL
（* 屮v' *
\v = M+Iv=M+I
L __LLM
2 %H（也'％）= 2 I X『=t 13—X MR
）=Af+Iv= Л1+1v= 1v— I
Следовательно,
。三斗人吁斗相"eZ
Однако это есть в точности условие сходимости Коши для последо- ОО
вательности | xv ]2, оо, т. е. для ряда 2 ||2.
Следствие- При /=£%肝炉 （/，%） = %、 （независимо от того, является ли ортонормированная система конечной или бесконечной, однако в последнем случае, конечно, предполагается сходимость）.
Доказательство. При NW имеем
（X /&，外）=X Хр.（毋 汽）=х『
В случае конечной системы（рр（р2мы можем положить ^ равным наибольшему индексу. Для бесконечной системы 屮「 ср2（ . , . можно считать N-> 8, вследствие непрерывности внутреннего произведения. В обоих случаях мы получаем （/,屮卩）=力卩.
Теорема 6. Пусть 屮「 cp2, ... ортонормированная система, а / произвольно. Тогда /z — 2 х^ 4 = （/，屮丫）（丫=1，2,...）
всегда сходится, если ряд бесконечен. Выражение /—/' ортогонально к 屮1，屮2， ■ • •
Доказательство. Сходимость следует из теорем 4. , 5. ; согласно следствию теоремы 5・ имеем （/', 平）=%丫 = （/,屮》 （/一广，%） = 0-
После этой подготовки мы можем дать общий, т. е. пригодный даже для С(8). критерий полноты ортонормированной системы.
Теорема 7. Пусть 屮「(р2,….——ортонормированная система. Тогда для полноты системы необходимо и достаточно каждое из следующих условий:
а) Растягиваемое 屮「(р2, ... замкнутое линейное многообразие [фР 屮2，• • • 1 равно Л.
₽) Всегда /=§%、％，где 爲= (/,汽)(y=1, 2, сумма сходится по теореме 6.).
Y)Всегда (/; g) = ?(/,屮J(g，屮J (сумма сходится абсолютно по теореме 4.).
Доказательство. Если 屮「 ср2, ... полна, то / —』％/f\ равно
нулю (得= (/,屮J, y=1, 2, …)， поскольку / ортогонально к 屮 1，屮2，….в силу теоремы 6. и тогда 0) удовлетворено. Если 0) выползу
няется, то каждый / есть предел своих частных сумм 士％丫屮丫，N->s
(если 屮i， (p2, ... в самом деле бесконечна) и, следовательно, принадлежит к [фР 屮2，• • •!• Отсюда [屮 1，屮2，…・]=8t, т. e. а) удовлетворено. Если a) выполняется, мы можем рассуждать следующим образом: Если / ортогонален ко всем 屮「(р2, то он также ортогонален ко всем их линейным комбинациям, и, в силу непрерывности, также ко всем предельным точкам оных, т. е. ко всему [?「 (р2,...]. Следовательно, он ортогонален ко всему 猊，а значит, и к себе самому: (/, /) ~ 0, / = 0. И, следовательно, %, %,…полна.
Итак, мы имеем такую логическую схему:
полнота ->₽)->«)-> полнота.
Тем самым показано, что а) или 0) действительно необходимые и достаточные условия полноты.
Из у) следует, что если / ортогонален ко всем 屮「ср2, ... и если мы положим / = g, то получим (/, /) =』()• 0 = 0, / = 0, тем самым 屮】，屮2，• • • полна. С другой стороны, из 0) (которое ведь теперь эквивалентно полноте) следует
(/■ g)= lim ( £(/, %) • %,》(g, %) •
N
=lim 』(/,屮R(g,屮J(%p 汽)=
^co
=lim 2(/,外)(g，%)=，(/，汽)(g，外)
N->8 V= IV =1
(если система срр ср2, ... конечна, то в предельном процессе нет необходимости), т. е. у). Итак, у) тоже является необходимым и достаточным условием.
Теорема 8. Каждой последовательности fv /2, ... соответствует некая орто нормированная система 屮「 (р2на которую натягивается то же самое линейное многообразие, что и на исходную последовательность (обе последовательности могут быть конечны).
Доказательство. Сначала заменим /р /2, ... подпоследовательностью gv &，…，которая растягивает то же линейное многообразие и состоит из линейно-независимых элементов. Это можно сделать так: Пусть gi — первый из элементов /л, отличный от нуля; 且2—первый из /л, отличный от всех а^; g§ — первый из /я, отличный от всех а® 十 a2g2；…(Если для какого-либо Р не существует ни одного /л, отличного от всех。闻+ … -j~ aPSP' мн обрываем систему на gp.) Такие g「 ^2 .... обеспечат, очевидно, желаемый результат.
Образуем теперь
72 = g2 — <^2> 屮 1) •屮1，?2 = "jp% •丫2，
丁3 = g3 —* ®3,中 1)° % — ®3，中2)•中2，中3 = "^ • %，
(Это—известный «процесс ортогонализации» Е. Schmidfa.) Построение каждого из срр действительно возможно, т. е. все знаменатели 11TzJ| отличны от нуля, ибо, иначе, будь 117Pll = 0, gp было бы линейной комбинацией 屮「...,屮卩_「 т. е. линейной комбинацией gi，…，gp-u что противоречит допущенному. Далее ясно, что gp — линейная комбинация 屮卜 ср2, ..., а 屮卩一линейная комбинация g「..., gp, следовательно gv g^ ... и %, cp2, ... определяют одно и то же линейное многообразие.
Наконец, по построению ||屮卩||=1 и для g < р (丁少 屮?)= 0, следовательно и (屮尹，屮,)= 0. Поскольку мы можем поменять р н g местами, то последнее справедливо всегда для р * q. Следовательно, Фр 屮 2，• • • есть орто нормированная система.
Теорема 9. Для всякого замкнутого линейного многообразия 2R найдется ортонормированная система, как раз растягивающая 2R, как замкнутое линейное многообразие.
Доказательство. В случае С(")・ эта теорема самоочевидна, ибо если 況 удовлетворяет А,, Я, и С叫，каждое линейное многообра-
зие 2R в 9? удовлетворяет А., В. и С(т\ с некоторым 也三汽,так что к 2R применимо замечание м теореме 3⑺•： существует ортонормальная система <рР ..., <рт, полная в 2R, что, вследствие теоремы 7. а), и есть в точности утверждение, которое надо доказать. (Как можно видеть, предпосылка о замкнутом характере 2R сама по себе не необходима, поскольку она фактически доказывается. Ср. со сказанным перед определением 5.)
В случае С^\ напомним, что, согласно Е., 9? сепарабельно. Мы хотим показать, что то же будет для 2R — что вообще любое подмножество 31 сепарабельно. С этой целью образуем последовательность /и /2, всюду плотную в 31 (ср. Е・ в II. 1), и для каждого /л и /п=1, 2, ••• построим шар £*加，содержащий все / с ||/ — /л|| < -^ • Для каждого £幫加,содержащего точки из 2R, выберем одну такую точку gnm. Итак, для некоторых пит такие точки gr1m могут быть не определены, но определенные точки gnm образуют последовательность в 2R50). Пусть / — любая точка из ШС ]£
и е > 0. Тогда существует некоторое т такое, что — < у, и некоторый /л такой, что у/л ——/|| < ~. Поскольку Ялт теперь содержит точку из Wt (именно /), то gnm определена и ||/л — gnm\[ < ―, 2
значит, ||/ — gnm]\ < ^ < e. Следовательно, / есть предельная точка определенных выше gnm и, значит, эта последовательность приводит нас к желанному результату.
Обозначим через 厶，/2, ... последовательность из SR, всюду плотную в 2R. Замкнутое линейное многообразие, определяемое ею [/Р /2, .. .], содержит все свои предельные точки и, следовательно, все 2R; однако поскольку 2R есть замкнутое линейное многообразие, а /р /2, ... принадлежат ему, то, следовательно, {/р /2, ...] есть часть его, следовательно, оно равно 耽. Выберем теперь по теореме 8. ортонормированную систему 中「<р2Тогда {中】，<р2, ・•.} = = {/1，/2» …}, и если мы присоединим к обеим сторонам предельные точки, то получим [<р1( <р2, •..] = [/г /2, .. .] = 2R. В этом и состояло наше утверждение.
Надо теперь только положить в теореме 9.耽= 9?, и мы получим по теореме 7. а) полную ортонормированную систему Фр 中2Итак: существуют полные ортонормировадные системы. На основании такой системы мы можем теперь показать, что простран-
Вспомним, что двойная последовательность gnm (л, т = 1, 2,...) может быть записана и как простая последовательность g” gI2, g2b g13, &22，g31，
4 И. Нейман
ство 睨 есть 睨寿 или 31^ (судя по тому, имеет ли место С(")・ или С^).), т. е. полностью определить его свойства.
Нам осталось только показать, что 睨 допускает о дно-однозначное отображение на множество всех {%「 .,., хп} или всех {%「х2, ...} (Х|%」2 конечна).
Из (尤2，…}h3 ((修，%2,…}W4-*}^!» У2'…}Из (尤2，…}h3 ((修，%2,…}W4-*}^!» У2'…}Из /*->{%【，尤2，・..} следует af^-^\axv ах^ ••・}•
Из (尤2，…}
h3 ((修，%2,…}
W4-*}^!» У2'…}
Из (尤2，…}
h3 ((修，%2,…}
W4-*}^!» У2'…}
2・2・3・3・следует/ + §■—{%] + %,电 + 山，-}，
2・
2・
3・
3・
Л ИЛИ 8 следует (/, g)=工】工义.
(в бесконечном случае в 3. надо еще показать наличие абсолютной сходимости). Правило этого сопоставления /*->{хр 修，• • •} мы сейчас приведем.
Пусть срр 屮2’ • • •—полная ортонормированная система; в случае С("). она обрывается на 屮寿，в случае С(8). она бесконечна (теоремы 3("). и 3(8).). Положим
Л ИЛИ ОО
/ = XX 抻「
V = 1
В силу теоремы 5. этот ряд сходится и в бесконечном случае 8\
поскольку 鼻丨相户 конечна ), т. е. пространства 尤 или соответственно ^ им полностью исчерпываются. Но в силу теоремы 7. 0) Л ИЛИ 8
и поскольку 』 |(/,屮J]? конечна (теорема 4.), элементы 睨
также будут исчерпаны [следует подставить 招=(九，屮)]• Очевидно, что только один / соответствует каждому {%【，尤2，••・}，в то время как обратное следует из следствия теоремы 5,.
Утверждения /. и 2・ выполнены очевидным образом, а 3. следует из теоремы 7. у).
Отступление: Об условиях 4 — £.)
Мы еще должны доказать утверждение 2. из I. 4: что FZt F2 действительно выполняют условия А.——Е・・ При этом достаточно рассмотреть Fs, так как мы уже показали в 11. 2, что 睨 с 4—Е, по всем своим свойствам идентично с 睨廿 т. е. с 尸工，так что 4. — Е. должны выполняться и для 尸z・ Кроме того, мы докажем
упомянутую в II. 2 независимость условий D., Е・ от Д.——С(8). и тот факт, что они следуют из 4.——С^п\ , т. е. что они имеют место в 朮仪・ Эти три чисто математических вопроса составляют содержание этого раздела.
Начнем с доказательства выполнения свойств 4.——Е. в 尸◎・ Для этого нам придется опереться на лебегово понятие интеграла, отно
сительно обоснования которого мы лишь сошлемся на специальную литературу по этому вопросу). (Интеграл Лебега важен нам только в данном случае, и знакомство с ним не является необходимым для чтения следующих глав.)
В I. 4 мы ввели Q как ^-мерное пространство элементов %, g力 и 尸q как множество всех функций /(q» …、q/ с конечным J… J 1/(%，•…，0总)12dgi "”；ПРИ этом все %,・・・，qk могут
меняться от — 8 до +оо. Впрочем, все наши рассуждения останутся справедливыми, и даже вывод будет по большей части дословно тот же, и если бы мы ограничили интервалы изменения д】,qk (так чтобы Q было, например, полупространством, внутренностью куба, внутренностью сферы или внешностью этих фигур и т. д.), и даже если бы мы выбрали в качестве Q искривленную поверхность (как, например, поверхность сферы и т. п.). Но для того, чтобы не потеряться в ненужных усложнениях (их сможет без затруднений рао смотреть читатель по образцу нашего типичного доказательства), мы ограничимся указанным простейшим случаем. Итак, пройдем последовательно 4—Е. одно за другим.
Относительно А.. Мы должны показать, что если f n g принадлежат F, го aft f ± g также принадлежат ему. Иными словами, если конечны
/ I/Е / IgA
(мн ввели сокращенное обозначение для /・•♦/ 1/(0卜・•・， ^ft)|2 X X ^i ... dqk и /••・ J|g(%，・・・，勿)|?d% ...歯总， поскольку это не может привести к путаницеj, то J|а/|2= |al2 J|/|2> /|/土 g产
также конечны. Первое утверждение тривиально. Вследствие того, что |/士g|2=|/y+|g|2土 2 Re (/g) 5з), справедливость второго будет установлена, как только будет показано, что интеграл /|/・？|=/1/1-1^1 конечен. Однако, поскольку |/| • |g| W
三q(]/|2 + |g「)，то последнее следует непосредственно из исходной гипотезы.
Относительно В,. Мы определим (/, g) как J /g・ Этот инте-
грал, как мы только что убедились, сходится абсолютно. Все свойства, постулированные в В,, очевидны, кроме последнего: что (/, /) = 0 влечет за собой / = 0. Теперь (/, /) ~ 0 означает, что
丿⑺』丿⑺』0. Следовательно,0. Следовательно,множество точек, на котором |/|2 > 0,множество точек, на котором |/|2 > 0,
丿⑺』
丿⑺』
0. Следовательно,
0. Следовательно,
множество точек, на котором |/|2 > 0,
множество точек, на котором |/|2 > 0,
т. е. /@,…，％)力 0，должно иметь лебегову меру нуль. Если мы теперь будем считать две функции / ид, для которых f 丰 g [т. е. /(0「…，勿)*g(0i勿)]имеет место только на множестве 0「 ..., qk лебеговой меры нуль, функциями несущественно различными ), то мы можем сделать тогда вывод, что / = 0.
Относительно С.. Пусть Ор ..., От — т областей в Q, никакие две из которых не имеют ни одной общей точки, и пусть мера Лебега каждой из них больше нуля, но конечна. Пусть /z(g「 qQ есть 1 в Ог и нуль повсюду, кроме Ог. Поскольку / ]力卩 равен мере 0〃 то 力 принадлежит 尸 * (2=1, ..., п). Эти /рf п ли
нейно независимы. Действительно, 。1/】+ •一 -\- anfn^0 означает что функция в левой части не исчезает лишь на множестве меры нуль. Следовательно, она имеет корни в каждой Ор но поскольку она постоянна и равна а% в Ог, то аг = 0, / = 1, . . ., п. Поскольку это построение проходит для всех п, то должно иметь место С(со\
Относительно D. * Пусть последовательность /р ..., /л удовлетворяет критерию сходимости Коши, т. е. для каждого е > 0 су
ществует некоторое他孔三М Выберемществует некоторое他孔三М Выберем^ —^(e)J такое, что^ —^(e)J такое, что/\fm-fn?<^/\fm-fn?<^припри「呜）;「呜）;«2 ^ ^v N«2 ^ ^v NП3>ПрП3>Пр
ществует некоторое
他孔三М Выберем
ществует некоторое
他孔三М Выберем
^ —^(e)J такое, что
^ —^(e)J такое, что
/\fm-fn?<^
/\fm-fn?<^
при
при
「呜）;
「呜）;
«2 ^ ^v N
«2 ^ ^v N
П3>Пр
П3>Пр
Если его лебегова мераЕсли его лебегова мера?5冲）＜ 丁?5冲）＜ 丁
Если его лебегова мера
Если его лебегова мера
?5冲）＜ 丁
?5冲）＜ 丁
N借)； … тогда/三风三…；人，%戸n传)；следовательно, ，/!/拉v+i 一 /^^?<(专). раеемотрим теперь множество 尸")всех
точек, для которых |Av+1—AJ > От
равна то
/ I 产昌"ЖГ =岁’
Лебегаh露十击■Лебегаh露十击■1 尸.1 尸.
Лебега
h露十击■
Лебега
h露十击■
1 尸.
1 尸.
Рассмотрим также множество
Р叫 р(»+1), р(»+2)Его мера
三时+严1)十冲+ 2)十…V
Вне Q”) выполняется
Q”)， возникающее при объединении
1// + ］一九 JV^； 1/味2—/% + /V 提；
|/以 v+З 一/门 У + 2|<^^' ，
Следовательно, вообще для 丫二 V 三 y"
I /3 — f п^' I 甚 I /屮十1 — f n^ I 十 I /~ + 2 — /” 十1 I + ...
При v'f 8 эта величина стремится к нулю, независимо от y", т. е.
последовательность /%, /竝？, ... удовлетворяет условию сходимости Коши, если о? .・.，qk не лежит в Q("・ Поскольку (при фиксированных о】0将)речь идет о числах, эта последовательность также будет сходиться. Значит, мы можем утверждать обратное: Если последовательность /勺,/竝2， ... не сходится при каких-либо значениях 01， ..., 0将，то они лежат в Q”). Назовем Q множество всех значе
ний 0「 . .., q^ для которых нет сходимости. Тогда Q есть подмно
жество Q”)и его
мера не больше, чем
мера Q(", т. е. <
1
戸
Это
справедливо для любых y, так как Q определено независимо от у. Следовательно, Q имеет меру Лебега 0. Поэтому ничего не случится, если, например, положить все /й в Q равными нулю (ср. прим. 54) на стр. 52). Но тогда fn^ fn^ ... будет сходиться и в Q, т. е. везде.
Таким образом, мы описали подпоследовательность fn^ f%,... последовательности /р /2, ..., сходящуюся в каждой точке 0卜・・•，0巾 (нет необходимости, чтобы это было верно для всей /р /2,...). Пусть предел fn^ /%, ... есть / = /(%，•••，%)• Мы должны, стало быть, показать, что: 1. / принадлежит 尸◎，т. е. Jl/卩 конечен.
/ есть предел /门],Д2，... не только в смысле сходимости при каждом %,…，勿，но также и в смысле «сходимости по длине» в пространстве Гильберта, т. е. ||/ — /门J|f 0 или / | / — /rtJ2->0.
В последнем смысле / ——это даже предел всей последовательности /р /2т. е. II/ —/л|| ->о, или J I/ —/„ |2->0.
2
Выберем г > ОВыберем г > Ои W%, n^N(s).и W%, n^N(s).теперь Yf 8, тотеперь Yf 8, тои 力 такое, что /ЦММ ⑹ ^например, М-《&> Тогда /|/仆—fn |2 < s- Если мы устремим подинтегральное выражение будет стремитьсяи 力 такое, что /ЦММ ⑹ ^например, М-《&> Тогда /|/仆—fn |2 < s- Если мы устремим подинтегральное выражение будет стремитьсяк |/ — fn I2» следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. 52) на стр. 51), /|/ — /“рЕзСоот-к |/ — fn I2» следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. 52) на стр. 51), /|/ — /“рЕзСоот-
Выберем г > О
Выберем г > О
и W%, n^N(s).
и W%, n^N(s).
теперь Yf 8, то
теперь Yf 8, то
и 力 такое, что /ЦММ ⑹ ^например, М-《&> Тогда /|/仆—fn |2 < s- Если мы устремим подинтегральное выражение будет стремиться
и 力 такое, что /ЦММ ⑹ ^например, М-《&> Тогда /|/仆—fn |2 < s- Если мы устремим подинтегральное выражение будет стремиться
к |/ — fn I2» следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. 52) на стр. 51), /|/ — /“рЕзСоот-
к |/ — fn I2» следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. 52) на стр. 51), /|/ — /“рЕзСоот-
конечен, т. е.конечен, т. е.ветственно, во-первых, интеграл /|/ — /л|2 будет
конечен, т. е.
конечен, т. е.
2
/ — fn будет принадлежать 尸若 а так как 九 принадлежит 尸◎，то и / будет принадлежать 尸◎ также; таким образом 1. доказано. Во-вторых, из полученного неравенства следует, что /1/ — /；112fo
при п—>сю и, значит, 2. и 3. доказаны тоже.
Относительно Е.. Мы должны посмотреть последовательность функций /р /2, ••・, всюду вплотную В Fq.
Пусть 2Р @2’ ・・・—последовательность областей в Q, покрывающих всю Q, каждая из которых имеет конечную меру. (Пусть, например, Qn есть шар радиуса N с центром в начале координат.) Пусть / = /(0卜...,0总)——некоторый элемент 尸&. Определим fN = = /n(0u ・・•‘ 9。 ^ля каждого ^= 1, 2,..
{
если %, ・・・,qk лежит в QN
.—и 1/(%外)|WN；
0 во всех других случаях.
При N-*8, fN(^р . .., 0A；) — /(О】，.• •, g将)(начиная с некоторого N достигается даже равенство), следовательно, |/ —— /м12 fo. Далее, / ——fN равняется 0 или /, и поэтому | / ——f N |2^ | / |2. Следова
тельно, интегралытельно, интегралы/1/-/^|2 я/1/-/^|2 ямажорируются (конечным !)мажорируются (конечным !)интеграинтеграломлом/⑺2S/⑺2Sне зависящим от п. Поскольку подынтегральные выражене зависящим от п. Поскольку подынтегральные выражения стремятся к нулю, то же верно относительно интегралов (ср.ния стремятся к нулю, то же верно относительно интегралов (ср.
тельно, интегралы
тельно, интегралы
/1/-/^|2 я
/1/-/^|2 я
мажорируются (конечным !)
мажорируются (конечным !)
интегра
интегра
лом
лом
/⑺2
S
/⑺2
S
не зависящим от п. Поскольку подынтегральные выраже
не зависящим от п. Поскольку подынтегральные выраже
ния стремятся к нулю, то же верно относительно интегралов (ср.
ния стремятся к нулю, то же верно относительно интегралов (ср.
QQцитированную выше теорему сходимости):
Q
Q
Назовем классом G класс всех функций g ~ g(q}, . .., %), для которых множество всех точек, где g#0, имеет конечную меру и которые удовлетворяют во всем пространстве неравенству | g | <С с произвольным, но фиксированным С. Все определенные выше /^ принадлежат G. Следовательно, G всюду плотен в F*
Пусть g принадлежит О и е > 0. Пусть мера множества, где g#0, есть М, а верхняя граница | g | есть С. Выберем цепочку рациональных чисел — С < pj < р2 < … < pz < С таким образом, чтобы было pj < —。+ * р2 < Pi + wPf 之 Р/т + е，С < р/ + е, что легко может быть сделано. Заменим теперь каждое значение Reg©, gQ на ближайшее р§ (s=l, 2,)оставляя лишь
нуль по-прежнему нулем. Тогда мы получим некую новую функцию hx (^р .. ., 0总)，которая повсюду отличается от Reg меньше чем на s. Точно так построим h?闻,...,q^) для Im g. Тогда для h =航 + 电 имеем
J|g —九 |2= /|Reg —九1产+ /|lmg —九2产三 M¥+Me2=2Me2, RRS
llg —九II三u丽u
k-лц <8.k-лц <8.Если дано 6〉0, то положим е <, и тогда
k-лц <8.
k-лц <8.
Н2M
Назовем классом Н класс всех функций h — h (^р gQ, которые принимают только конечное число различных значений,—— именно лишь значения вида р + %о, где р и о ——рациональные числа,—— и каждое такое значение, кроме нуля, лишь на множестве конечной меры. Построенные выше h принадлежат классу Я и, следовательно, Я всюду плотен в О, а следовательно также и в 尸。.
Пусть П ——множество с конечной мерой Лебега. Определим функ цию%=/n (力%)：
f 1 в П,/□(%'••''，" — I 0 всюду, кроме П.
Класс Я, очевидно, состоит из всех
£ （Ps + /os）/n （£=1, 2,・・・；р§, о§ рациональны）. 5= 1$
Найдем теперь последовательность П-множеств П⑴，П（",... со следующим свойством: Для каждого П-множества и для каждого е > 0 существует П⑺ такое, что мера множества всех точек, принадлежащих П, но не П（"）, или принадлежащих П（"）, но не П （такое множество называют разностью множеств П и П（"））, меньше £♦ Если мы имеем такую последовательность, то совокупность элементов вида
sZ（Ps+何）
（£ = 1, 2,・•・,р$ н о§ рациональны, n5== 1, 2, ...） всюду плотна в ": Действительно, если мы выберем для каждого П5 свое П^ соответственно предыдущему рассуждению, то
££2
/ 2 （р5 + la^ /ns — 2 （р5 + Z°5）/ （«,）=
t
負 E / I （% + £） /%-（& + '%） <（«.） F = S= 1 2
=2 您+ d） / I &-〃%）〔 2 =
S=12
t= £（Р；+В）・（меpa разностиt= £（Р；+В）・（меpa разностиt
t
= £（Р；+В）・（меpa разности
t
= £（Р；+В）・（меpa разности
множеств П§ и Ц仏））< 2 g+%•e• 5=1
Если задано некоторое S > 0, то уже
虫（成+喲
дает нам
信（Ps+此）л- i 但+此）/n（^）|<s-
Но элементы 2（P54" ^Gs）/ （n \ образуют последовательность, если
5=1H（ S'
мы их соответствующим образом упорядочим. Это можно сделать
следующим образом. Обозначая общий знаменатель всех рь 0卜 ..рР О/ через с* а новые числители через р；, о；, ..., р；, о；, получим
S= 1
где £, t 1, 2,р§, о§ — 0, 土 1, 土 2, • ■ ■ *『2$ ~— 1, 2, • ■ • для
s=l, 2, .. ., £. Задача упорядочения этих функций в последовательность сводится к упорядочению их целочисленных номеров £, т, р；, Ор ..., р；, о；, пг ..., пг Среди этих комплексов чисел сгруппируем вместе те, для которых положительное целое
/ = £ + 弋 +1 р] + …+1 Р； I 1 叫 + 汽1 + …+ %
имеет одно значение. Затем расставим эти группы в порядке возрастания значения индекса группы /. Каждая из этих групп (с фиксированным /) состоит, очевидно, из конечного числа рассматриваемых комплексов. Если мы теперь расставим элементы в каждой из этих конечных совокупностей каким-либо образом, то мы в самом деле получим простую последовательность всех указанных комплексов.
Чтобы иметь возможность описать введенную последовательность множеств П°), П(2), воспользуемся тем, что для каждого множества П с конечной мерой Лебега М и для каждого S > 0 существует открытое точечное множество П‘，покрывающее П, но мера которого превосходит М на величину < 8 (см. литературу, указанную в прим. 52) на стр. 51, а также 45) на стр. 41, где определяется понятие «открытого точечного множества》). Но для каждого открытого П‘ и 8 > 0, очевидно, существует множество П", состоящее из конечного числа кубов, содержащееся в IT, и мера которого отличается от меры П‘ на величину < 8, Ясно, что все длины ребер этих кубов и все координаты их центров могут быть выбраны рациональными. Теперь легко видеть, что разностное множество П и П", определенное выше, имеет меру < ^ + 5 = 25 и, следовательно, для S < у меру < е. Поэтому мы достигнем цели, если сумеем упорядочить в последовательность совокупности описанных выше кубов.
Эти совокупности кубов характеризуются числом кубов п == =1, 2, ..., длиной ребер куба 囂⑺ и координатами центральных точек 炉Т)(y=1, 2, . .., п). Числа 囂” *),••・，驅)рациональны. Пусть их общий знаменатель (для всех y=1, 2, ... t п) есть % = =1, 2, . .., а их числители суть
...；耳")= °，±1，±2,...
58 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II Следовательно, совокупности кубов характеризуются комплексами чисел
〃 『⑴x⑴ х⑴ /⑺y⑺ 9)
Если мы расставим их в порядке возрастания сумм 儿+刀+小 + 1『)[+
+1产+…+№叫
то мы получим простую последовательность, в точности так, как в предыдущем случае линейных комбинаций функций.
Прежде чем продолжать, ответим на следующий вопрос: Дано 凡 удовлетворяющее Д. — Е. (с (8))； в каких подмножествах Ф^ из 猊 Я. — Е. снова удовлетворяются (с теми же определениями а/, /土g и (/，g))?
Чтобы выполнялось 4.,耽 должно быть линейным многообразием. 5. справедливо само по себе. Отложим на время С.: во всяком случае или С(л\, или С(со). имеют место. D. означает: если последовательность в 耽 удовлетворяет критерию сходимости Коши, то она имеет предел в 欢・ Поскольку эта последовательность во всяком случае имеет свой предел в 范 то D. означает просто, что этот предел должен принадлежать 耽.Это значит, что 耽 должно быть замкнутым. Условие Е., как мы убедились при доказательстве теоремы 9r выполняется всегда. Следовательно, мы можем суммировать результат:耽 должно . быть замкнутым линейным многообразием. Обратимся к ортонормированной системе, растягивающей 2R {теорема 9.),(рр ср2, ... Если она бесконечна, то, очевидно, имеет место С’00', и 耽 изоморфно 猊8， т. е. самому 猊；если она заканчивается некоторым cprt, то имеет место (например, как следствие теоремы 3(切•) С向・，т. е.耽изоморфно眈个
Но поскольку О. и Е. имеют место в 耽 во всяком случае, значит они справедливы в каждом SRrt. Значит, они также следуют из А.——С^・•
Как видно, мы избежали прямой проверки выполнения свойств 4.——Е. (с С(2 или С®)) в 猊门 или % за счет искусственных логических доводов. Однако и непосредственное установление этих свойств не представляет существенных затруднений. Предоставим это доказательство читателю.
Остается еще показать, что D. и £, независимы от 4. — С^9. Как мы только что видели, любое линейное многообразие в 叱 удовлетворяет 4・,В., Е・ и С”)・ или С030). ； н0 если оно не замкнуто, то D. не выполняется. В этом случае в нем должно иметь место С(8)., поскольку из С‘')・ прямо следует 0.・ Нетрудно теперь привести при-
незамкнутое, потому чтонезамкнутое, потому чтоконечна! I является преконечна! I является премер такого незамкнутого линейного множества. Пусть ср1( ср2, ... есть орто нормированная система, тогда элементы ^ ХЛ (N=l, 2,...; хр ..., xN произвольны) образуют линейное многообразие, однако 2 Д
незамкнутое, потому что
незамкнутое, потому что
конечна! I является пре
конечна! I является пре
дельной точкой, но не элементом множества
при
\v = 1v= I/
Следовательно, D. не зависит от А. — С(со). и Е..
Рассмотрим далее все комплексные функции х(а) с непрерывным параметром а: —со < а < -|- со. Кроме того, предположим, что % (а) #6 возможно записать в виде последовательности такой, что сумма £|%(а)|2, распространенная по членам этой последовательности, будет конечной). Все функции х (а) образуют пространство SRcont • Поскольку для любых двух функций х(а), у (а) этого пространства х (а) или у (а) ^= 0 только для двух а-последовательно- стей и поскольку мы можем объединить эти две последовательности в одну, то х (а) = у (а) = 0 везде, кроме некоторой а-последова- тельности ар а2,…Следовательно, мы должны обсудить только значения хп = х (ал), уп = у (ал) для всех n= 1, 2, . . . Поэтому, пока мы рассматриваем только две точки %出，все будет происходить так же, как и в 猊8・ Но значит 4・ и 5・,выполняются в 9tCont в точности так же, как и в %> 56). т0 же будет справедливо и для 月(々=1, 2, ...) точек 猊cont，поэтому С®). также имеет место в SRcont- Более того, все остается верным даже для последовательности точек SRcont • Рассмотрим %[(а), х2 (а), . .., причем а, для которых xrt(a)^=0, образует по следователь ность для каждого п == 1, 2, .. .: а，), а^\ ... Эти последовательности образуют все вместе двойную последовательность а^) (п, /п=1, 2, ...), которая может быть записана как простая последовательность af), ag), af), a£), ag),々,),… Следовательно, и D. выполняется в SRcont так же, как и в 猊8・ Иначе обстоит дело с Е.. В этом случае играют роль все точки (ведь все они должны быть предельными точками соответствующих последовательностей), и поэтому мы не можем делать заключение о 猊8nt на
Основании 猊8・ И это условие действительно не выполняется, потому что не будет справедливым одно из его следствий: существует ортонормальная система, которая не может быть записана как последовательность (вопреки теореме 3(со).).
Пусть
(1 для а = 0/⑷=｛о для а =А р
для каждого 0 х^(а) будет элементом 9?Cont» и хр (а) образуют орто- нормированную систему. Но в виде последовательности их можно было бы записать, только если бы это было возможно для всех 十8〉0〉一8, между тем хорошо известно, что это невозможно ). Следовательно, Е. также независимо от А. — С・(8),刀..
(В заключение следует отметить фундаментальную разницу между пространством функций / (х) с конечным интегралом / |/(х) ^dx и пространством функций х(а) с конечной суммой 21х (а) I2- Мм могли бы, конечно, с равным правом называть первое пространством всех х (а) с конечным / da | % (а) |2! Вся разница ——это только замена
... da на 工• • •， и, несмотря на это, первое пространство есть
尸а, оно удовлетворяет, следовательно, условиям Д.——Е., и изоморфно пространству %, в то время как второе —SRcont нарушает условие Е・ и отличается от 猊8 существенным образом. И тем не менее оба пространства тождественны и отличаются только определением длины !)
Замкнутые линейные многообразия
Важность § II. 2 для нас определяется не только доказательством изоморфизма, но также и тем, что там были доказаны теоремы об ортонормированных системах. Мы хотим теперь продвинуться дальше в рассмотрении геометрических свойств пространства Гильберта и детально изучить замкнутые линейные многообразия, которые играют в 猊8 роль, аналогичную роли прямых линий, плоскостей и т. д. (иными словами,猊加 п) в SR”
Напомним прежде обозначения, введенные в определениях 2. и 5.: если Ш есть какое-либо множество в 范 то ｛僦｝ или [31] суть
линейное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно растягиваемое 旣，иными словами, наименьший представитель каждого из двух типов многообразий, содержащий 北. Расширим теперь эти обозначения в том смысле, что если 北，®, .. . —какие- либо подмножества 胱，a /,g,・・・—элементы из 胱，то мы будем понимать под {^t ^, .. •, f, g, . • или [31, 2J, /,g,・.・] линейное многообразие или замкнутое линейное многообразие соответственно, натянутое на множество, получающееся соединением 31, ®,... и /, g,…
Если, в частности, ЭЙ,贝，• • • суть замкнутые линейные многообразия (в конечном или бесконечном числе), то мы будем обозначать замкнутое линейное многообразие [峡，员，..J символом 峡 + 员+ . • • Линейное многообразие {峡，员，...} состоит, очевидно, из всех сумм /+g + …(/ — пробегает 峡，g пробегает 贝，…)，в то время как, замкнутое многообразие [峡,駅,..・]=»七 +况+ • •. получается из незамкнутого присоединением всех его предельных точек. Если мы имеем лишь конечное число множеств 峡，员，.•・ и каждый элемент одного из них ортогонален всем элементам других, то, как мы увидим, эти два образования равны одно другому. В общем случае они совпадают не обязательно.
Если €й есть подмножество 况，то рассмотрим еще совокупность всех элементов 贝，ортогональных ко всем элементам €й. Они тоже составляют замкнутое линейное многообразие, которое может быть названо !У?—峡.Теорема 14, объясняет причину такого обозначения в виде вычитания. Особый интерес представляет собою множество Ht —峡 всех /, ортогональных ко всему 峡.Оно называется замкнутым линейным многообразием, дополнительным к €й.
Наконец, упомянем три особенно простых замкнутых линейных многообразия: во-первых, само SR; во-вторых, множество {0} = [0J, состоящее лишь из нулевого элемента, и, наконец, множество всех а/ (/ ——заданный элемент из 胱，а а — переменная), которое, очевидно, представляет собой замкнутое линейное многообразие и, следовательно, одновременно равно {/} = [/].
Введем теперь понятие «проектирования», совершенно аналогичное этому понятию в евклидовой геометрии.
Теорема 10, Пусть SJi есть замкнутое линейное многообразие. Тогда каждый /; может быть разделен одним и только одним способом на две компоненты / = g + ^ g из 峡 и Л из眈一峡，
Замечание. Назовем g проекцией / на ЭЙ, Л (которое ортогонально ко всему 耽)нормальной к 2^ составляюш.ей /. Для g введем обозначение g = P^f・
Доказательство. Пусть 中丫 ср2, ... —ортонормированная система, существующая в силу теоремы i；, растягивающая замкнутое линейное
Таким образом,
尸勞1(。1/1+ • • • + anfn) — a\S 1 + • • • + anSn =
=axP^/j -|- .. . + anP^/„» и первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения положим
/ = g' + % g = у £『(g< g" из 呪 勿，/г" из 猊一耽)•
Поскольку тогда g‘， g" ортогональны к h\ /г", то, следовательно,
(g‘，g) = (g'' g"+九〃) = (g'' g〃) = (g' +力，g〃) = (/, g〃)，
т. e. (P^/, g) = (/, Pang) и второе утверждение доказано.
Наконец, P^f принадлежит к 峡，и, следовательно, P^f — P^f + О есть разложение Р以f на компоненты, существующее в силу теоремы 70., т. е. Рда(Р^/) = P^f- Это третье утверждение теоремы.
Формула P^f — f или 0 означает, что в разложении f — g~\-h, g— из 峡，h—из 睨一峡(теорема /0.) или / = g, Л = 0, или g=0, / = Л; т. е. что / принадлежит 峡 или 猊—峡.Это пятое и шестое утверждения теоремы. Все P^f принадлежат к €й по определению, и каждое /' из 峡 равно какому-либо 尸泌/: например, по только что сказанному, оно равно P^f^ Это четвертое утверждение теоремы.
Заметим еще, что из второго и третьего утверждений следует, что (尸m，尸咖g) = (/，尸山凸tg) = CA R»tg) = (尸2，g).
Мы хотим определить теперь проекционные операторы независимо от SDi.
Теорема 12. Оператор Е, определенный повсюду (ср. обсуждение, предшествующее теореме //.), есть проекционный оператор, т. е. Е = Р皿 для некоторого замкнутого линейного многообразия SDi, если и только если он обладает следующими свойствами:
®, g) = (/, Eg),严=及
(См. замечание к теореме //.) В этом случае SDJ однозначно определяется по Е (согласно теореме //.).
Доказательство, Необходимость указанных условий, так же как и то, что 峡 определяется оператором Е, следует из теоремы 7/.. Мы должны, следовательно, лишь показать, что, если F обладает такими свойствами, то существует замкнутое линейное многообразие Ti c f -Р叫?.
Пусть SDi есть замкнутое линейное многообразие, натянутое на все Ef. Тогда g — Eg ортогонален ко всем Ef:
(Е/，g — Eg) = (Ef, g)—{Ef, Eg) = (Ef, g) — (f2/, g) = 0.
Множество элементов из 猊，ортогональных к g — Eg, образует замкнутое линейное многообразие; следовательно, вместе с Ef оно включает в себя SDJ, и, значит, g — Eg принадлежит к 猊一2R. Разложение g по отношению к 耽 в смысле теоремы, 10. есть, следовательно, g = Eg+(g — Eg), и, значит, P^g = Eg для произвольного g. Таким образом, вся теорема доказана.
Если SDJ — 9? или — [0], то 猊一2R= [0] или 9? соответственно, значит, разложение по теореме 11. есть / = /+0 или =0 + /, отсюда P^f ~ / или равно 0 соответственно. Мы назовем единичным, 1, оператор, определенный (повсюду!) как Rf — ft и нулевым, 0, оператор, определенный как R/ = 0, т. е.尸阻=1,尸田】=0. Далее очевидно, что разложение /=g+也(g из 2R, h из 猊——2R) по отношению к SDi может также употребляться по отношению к 猊一SDi в форме / = ^ + g (也 из 9? — SDL g из 2R). (Ибо, если g принадлежит 2R, то он ортогонален каждому элементу 猊一一峡 и, следовательно, принадлежит к 猊一(9?—峡).)Итак, P^f — gt P^^f = =也=/ — g, т. e. P^_^f = / —尸次/• Это обстоятельство 尸況一耽/= =1/ —— 尸耽/ мы выразим символически в виде 尸^一紀=1—尸咖. (О сложении, вычитании и умножении операторов см. теорему 14..) Нужно заметить еще следующее: Мы уже обнаружили без труда, что €й есть подмножество от 9? — (9? — SDi). Непосредственно показывать, что оба множества совпадают» было бы кропотливо. Однако это немедленно следует из того, что
%-(职Т)- 1 - p猊-机=1 - (1 —户/)=0如
Более того, из предыдущего замечания следует, что если f——проекционный оператор, то и 1——f тоже, и, поскольку 1—(1—Е) — Е, то и обратное заключение верно.
Теорема 73. Всегда \\Ef ||2 —(f/, /), Ц^/Ц 三 ||/||, Ilf/H = 0 или = 11/11 характеризует / из 9?—SDJ и из 弧 соответственно.
Замечание. В частности, отсюда следует, что
la — Egll = НЕ(/ —g)||w||/ —g||,
т. е., что оператор f непрерывен (ср. дискуссию после теоремы 2. в II. 1).
Доказательство. Мы имеем (ср. дискуссию после теоремы //.) ||Е/||2 =(е/, £/)= (£/, /).
Поскольку 1——£ также проекционный оператор, то 11^/1|2+ 旷一印Т= ||Е/||2+ 11(1 -E)f\\^
= (e/, /) + ((1-6)/,/) = (/, /)=|1*2.
Поскольку оба слагаемых (слева)田0, они также оба ^j|/||2 и,
в частности,"七川产三口/产，||£，/||^||/||. То, что 卩七力|=0, £/ = 0, выражает тот факт, что / принадлежит к 猊一耽，нам известно из теоремы //. Вследствие вышеприведенного Ц^/Ц — ||/,| означает, что ||/ — Ef\\ — 0, Ef = /; итак, по теореме 1L / принадлежит к
Если R и S — два оператора, то мы понимаем под А 土 S, aR (。——комплексное число), RS операторы, определяемые соотношениями (R ± S)f = Rf ± Sft (aR) f = а • Rft (RS) f^^(Sf), и пользуемся также следующим естественным обозначением:
不=1, Q = R R』RR, R = RRR、…
Правила исчисления, справедливые в этом случае, довольно просты и естественны. Для R ± S, aR легко показать справедливость всех элементарных законов счета, справедливых для чисел, но это не так для RS. Легко показать, что выполняется дистрибутивный закон (R ± S)T — RT ± ST и R (S 土 Т) = RS 土 RT (для последнего необходима, конечно, линейность А; см. замечание к теореме 11. и обсуждение в следующем параграфе). Ассоциативный закон также имеет место: (RS) Т = R (ST、= RST、но коммутативный закон RS = SR, вообще говоря, не справедлив ((RS)/ = A(S/) и (SR) f = S(Rf) не обязаны быть равными друг другу!). Если этот закон выполняется для двух частных R и S, говорят, что они коммутируют. Так, например, 0 и 1 коммутируют со всеми R, определенными повсюду:
RO — OR = 0; RT = 1R = R.
Также коммутируют Rm и А", поскольку RmRn = Rm^n и, следовательно, не зависит от порядка т, /г.
Теорема 14. Пусть f и 尸一проекционные операторы замкнутых линейных многообразий SDi и 况.Тогда EF будет также проекционным оператором тогда и только тогда, когда £" и 尸 коммутируют, т. е. если EF = FE. Притом EF относится к замкнутому линейному множеству 即，которое состоит из элементов, общих множествам SDi и 况 Оператор £"+尸 будет проекционным тогда и только тогда, когда f尸=0 (или, что то же, 尸£"=())• Это означает, что все SDi ортогонально ко всему 况，£"+尸 тогда относится к 少? +况=俄，况], которое в данном случае = ｛耽，况｝. Оператор f—户 является проекционным тогда и только тогда, когда EF = F (или, что то же, Ff = F). Это означает, что 况 есть подмножество Ti, и Е—尸 относится к 耽一况
Доказательств о> Надо проверить, выполняются ли для EF два условия теоремы. /2.:
BFf、g) = (/, EFg) и(ё尸)2 =ь尸.
5 И. Нейман
Поскольку (EFft g) = (F/, Eg) = (/，尸Eg)，то первое условие означает, что
(/, EFg) = (/,尸Eg),(/,(尸七 一 EF) g) = 0.
Поскольку это выполнено для любых /, то (f尸一尸f)g = 0, и поскольку последнее выполняется для любых g, то EF — FE = 0; EF = FE. Итак, коммутативность необходима и достаточна уже для выполнения первого условия, однако и выполнение второго следует из нее:
(EF)2 = EFEF = EEFF = f2F2 = EF.
Так как 七十尸 удовлетворяет первому условию ((七十尸)/, g)= = (/, (f+F)g) всегда (поскольку ему удовлетворяют f,尸)，нам остается доказать только второе. Так как
(£■ + 尸)2 =严 + 严 + £■尸+尸£■ = (£■ + 尸)+ (Е尸4-尸£),то остается показать, что EF FE = 0. Далее при EF = 0, EFесть проекционный оператор и, так как по доказанному тогдаEF = Се, то 七尸+ 尸f=0. Обратно, из EF-｛- FE = 0 следует, что
E(EF^FE) = E^F + EFE = EF~yEFE=^,
Е (fF + Ff) f = ^FE + EFE1 = EFE + EFE = 2 • EFE = 3 следовательно, EFE = 0, и, следовательно,尸E = 0. Таким образом, условие EF — 0 необходимо и достаточно или, так как f и F играют одну и ту же роль, 尸f = 0 — также необходимое и достаточное условие. Е—尸 есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда 1—(f—尸)= (1—£")十尸 является тоже проекционным оператором, и поскольку 1—以 и 尸 являются таковыми, то в силу доказанного (1—£")户=0, или 尸一七尸=0, EF = F есть условие того, что 1—(f—尸)，а значит f—尸 есть проекционный оператор (равным образом 尸(1—f) = 0,尸一FE = 0,尸f =尸.
Нам еще осталось доказать утверждения относительно 山匕 况 ｛Е—Р^ъ 尸=尸哄)，Положим сперва EF = FE. Тогда каждый EF/ — FE/ принадлежит н к 峡 н к 况，а следовательно к 沮 и для каждого g из 笫 Eg = Fg = g, следовательно EFg = Eg = g, т. е. каждый элемент 即 представим в виде EFf. Соответственно 笫 есть множество значений EF и, значит, по теореме 11. ЕF = Р*. Затем положим EF — 0 (значит, FE = 0 также). Каждый (f+尸)/ = =e/+尸/ принадлежит к ｛峡，贝｝ и каждый g из ｛欢，夾｝ равен 九 + 丿，с Л из SDJ и 丿 из 员，следовательно, Eh = Л, Fh = FEh = 0, Fj = j, Ej = EFj = 6 Но, значит,
(E+F№ + j) = Eh + Fh + Ej+Fj = h + j、 (E+?g = g.
Следовательно, g представим в виде (£"+尸)目.Тем самым ｛峡，况｝ есть множество значений Е-\- F. но поскольку f+尸 есть проек-
ционный оператор, то ｛SDi,员｝ есть соответствующее замкнутое линейное многообразие （теорема //.）• Поскольку ｛峡，况｝ замкнуто, то I吼况｝=血，员]=耽 +丸 Теперь положим ЕС = F （значит, и FE = F тоже）. Тогда 2 =尸叨，1—尸=尸'国~猊，следовательно, £■ — F = Е — EF = f（l—F） равно P^ где 串一общая часть 耽 и睨一况，T. e.峡一九
Наконец, f尸=0 означает, что всегда （Е尸/, g） = 0, т. е. что （£"/,尸g） = 0, иными словами, это значит, что все 2）｛ ортогонально ко всему 况.A EF = F означает, что 尸（1—f） = 0, т. е., что все 况 ортогонально ко всему 睨一SDi или это значит, что 员 есть подмножество 猊一（猊一峡）=銀
Если 况 есть подмножество 2R, то мы будем для 尸=尸咒 и Е = Р^ говорить, что 尸 есть часть от f и символически записывать это в виде £"> F или 尸叁Е. （Такая запись, следовательно, означает, что £"尸=尸，или, что то же, FE= F、и как следствие, что F, 尸 коммутируют. Рассмотрением 峡，员 или же прямой выкладкой можно убедиться, что всегда справедливо: O^f^ 1； H3&W 尸 и 户近Е следует f =尸；из f 三尸，尸 W G следует f 三 G. Наш знак W обладает, таким образом, свойствами «упорядочения по величине». Следует заметить дальше, что три утверждения: Е三尸， 1—f> 1—尸 или Е ортогонален к 1—尸，эквивалентны друг другу. Кроме того, ортогональность £"‘,尸'следует из ортогональности £",尸，если Ег ^Е и 尸三尸.）Если SW и 贝 ортогональны, мы говорим, что f и F также ортогональны. （То есть это значит, что f尸=0 или также FE = 0.） Напротив, если f,尸 коммутируют, мы будем говорить, что соответственные SDi,员 также коммутируют.
Теорема 15. Утверждение 七三尸 эквивалентно тому, что всегда справедливо Ц^/Ц^Ц^/Ц•
Доказательство. Из Е^ F следует, что 尸=£'尸，следовательно, llf/Ц — llfF/Ц^ ll^/H （ср. теорему /3.）. Обратно, это соотношение имеет следующее следствие: если 尸/ = 0, то Ц^/Ц ^ IIF/|| = 0, f/ = 0 и из-за F（1 :尸）/ = （尸一F2） / = 0 получаем тождественно f（l—尸）/ = 0, т. е. f （1—尸）=方一f尸=0, E = EF、следовательно Ew F.
Теорема 16. Пусть fp …，Ek суть проекционные операторы. Тогда £\+ ...十£\ будет проекционным оператором тогда и только тогда, когда все Ет, 弓 （тп, /= 1, …，仇 тп # /） взаимно ортогональны. Другое необходимое и достаточное условие ——это
11^/1!2+…+Н斗外2三V产
（для всех /）. Более того, fu+ • • • +^k （力=尸叫，.… …，丛=尸也）есть в этом случае оператор проектирования
в 峡1+ ... +3Jife = [SWp ....耽左],которое в данном случае равно {Tip弧々卜
Доказательство. Последнее утверждение доказывается повторным применением теоремы 14.. Отсюда же следует достаточность первого критерия. Если выполнен второй критерий, то то же справедливо относительно первого: Для т Ф I, Emf ~ / будет
II/IP+ Рг/Ц2=11^/Ц2+ 1岡/俨三 I旧/||2+
••• +!l^/ll2^ll/ll2.
||Е/|2 = 0, 々/ = 0.
Поскольку, однако, f优(f优/) = £\„/ выполняется тождественно, то 吕(£■/) = 0, т. е. 瓦f优=0・ Наконец, второе условие необходимо: Если £\ + .・. +七尼—проекционный оператор, то (тео~ рема 73.):
11^/112+ …+口4/俨= (e/ /)+••• +(以/，/)=
=((当+ ...+与)/, /)=[1(々+ ... +^)/!|2^||/!|2.
Имеем таким образом следующую логическую схему:
七1+ ... +七左 есть проекционный оператор г второй критерий г
-> первый критерий г 七】十 ... 十 线 есть проекционный оператор
т. е. все три утверждения эквивалентны.
В заключение мы докажем еще теорему о сходимости проекционных операторов:
Теорема 17. Пусть £\,耳，…есть возрастающая или убывающая последовательность проекционных операторов: £\ w 三七2三 • • • или £\Nb2HТакая последовательность схо
дится к проекционному оператору f в том смысле, что для всех / Enf->Ef\ и при этом все Еп^ f, или Еп^Е соответственно.
Доказательство. Достаточно исследовать второй случай, поскольку первый может быть сведен к нему заменой £\, Е2f на 1-fp 1-叁 …，1-e. Пусть поэтому 三 / 自 …
В силу теоремы 15. ||£'1/||2^ H^/ll = • • •鼻 °・ Следовательно, существует lim \\^mf[\2^ Это значит, что для каждого е > 0
существует N = N⑹ такое, что для т, /团N будет ||f优/俨— ——II^/||2 < е. Далее, для 加三，Em^Elt Em — f? есть проекционный оператор, и. значит,
1!^/Н2- Н Е"俨= (Е"，/)-(Е/ /) =((%— 々)/，/)=
= \\(Em-El)f\\^\\Emf-Elf\^
откуда следует, что \\Emf — ^/|| < Уе. Последовательность £\/, 旦/,…удовлетворяет, таким образом, критерию сходимости Коши и имеет поэтому предел /* (0. из II. 1!). Следовательно, £/ = /* определяет оператор, всюду имеющий смысл.
Из (£"„/, g，= (/, Eng) получается после перехода к пределу, что (£"/, g) = (f Eg)，из (EJ, Eng) = (Enft g) следует/ что (f/, Eg)~(Eft g), значит, (E2/, g) = (Ef、g) и N = E. Таким образом, E есть проекционный оператор. Для l^m, U^/ll^ll^/Ц# и при /->оо мы получим Ilf^/H ^ Ц^/Н» следовательно, Ет^Е (теорема 15).
Если Ev Е?' • • • суть попарно взаимно ортогональные проекционные операторы, то Ev £\-|-Е?’ 七【+ 七2 + 七3'суть также проекционные операторы, и они образуют возрастающую последовательность. Поэтому они должны сходиться по теореме /7. к проекционному оператору, который больше каждого из них и который мы можем обозначить через £\ + £"?+ • • • Пусть Е\ —Р^^ Е2 = Р^ ....弓 + 弓十 …='尸期・ Поскольку все Ет^Е> то 欢巾 есть подмножество 峡 и, следовательно, 峡 включает также [师1，峡2，…]=叫 + 吗+ … =3R. g другой стороны, все 耽门 суть подмножества 训'，значит, Ет^Р^ —Е\ Поэтому по непрерывности (ср. аргументацию в приведенном выше доказательстве) EWE* т. е. SDJ есть подмножество »)匕 Таким образом, SDJ — ^, E—Eft т. е. 2R = 2Ri+耽2+ ♦・• или， переписанное другим способом,
"戰十釈2+ ...=0典I + P貌2 + …
На этом мы закончим изучение проекционных операторов.
5・ Операторы в гильбертовом пространстве
Теперь мы в достаточной мере познакомились с геометрическими отношениями в бесконечномерном (гильбертовом) пространстве 猊00y чтобы можно было обратиться к линейным операторам в нем, т. е. к линейным отображениям 9?中 на самого себя. С этой целью придется ввести некоторые понятия, которые по существу уже были .предвосхищены в некоторой мере в последних разделах.
В предыдущих разделах мы уже имели дело с операторами; мы определим их (в соответствии со сказанным там перед теоремой //.) следующим образом:
Определение 6. Оператор R есть функция, определенная на подмножестве 9?, со значениями из ㈱ т. е. соответствие» которое сопоставляет некоторым элемента^ / из 9? элементы Rf из 睨.
(Мы допустили здесь и 9trt в дополнение к 猊8* Следует обратить внимание на то, что если 血8 есть Fa，то оператор R определен
в конфигурационном про- такие же функции. Итак, «функциями от функций》 I. 2,4). Класс /, для кото-в конфигурационном про- такие же функции. Итак, «функциями от функций》 I. 2,4). Класс /, для кото-для элементов 尸&, т. е・ обычных функций странстве, причем его значениями будут операторы оказываются так называемыми или «функционалами». Сравни примеры в
в конфигурационном про- такие же функции. Итак, «функциями от функций》 I. 2,4). Класс /, для кото-
в конфигурационном про- такие же функции. Итак, «функциями от функций》 I. 2,4). Класс /, для кото-
рых определено Rf ——область определения R — не обязан включать в себя все 9?, если же он включает все 9?, то R называется определенным повсюду. Кроме того, нет никакой необходимости, чтобы множество всех Rf — область изменения R (отображение области определения, осуществляемое R) — содержалась в области определения R, т. е. если Rf определена, то из этого еще не следует с необходимостью, что R(Rf)~ R2f имеет смысл58).
В предыдущем разделе мы уже установили, что надо понимать под R 士 S, aRt RS или Rm (Л, S — операторы, а — комплексное
число, /п = 0, I, 2, …)：
(aR)f = a-Rft (RS)f = R(Sf)t R2 = RR R3 = RRR,…(aR)f = a-Rft (RS)f = R(Sf)t R2 = RR R3 = RRR,…(R±S)f = Rf ±Sft
(aR)f = a-Rft (RS)f = R(Sf)t R2 = RR R3 = RRR,…
(aR)f = a-Rft (RS)f = R(Sf)t R2 = RR R3 = RRR,…
《=1, Ri = R
определения этих операторов следуетопределения этих операторов следуетДля установления областей
определения этих операторов следует
определения этих операторов следует
заметить, что левые стороны (т. е. операторы R ± S, aR, RS) определены только, если определены также и правые части. Таким образом, например, R 土 S определено лишь в общей части областей определения /? и S, и т. д. Если R/ принимает каждое из своих значений лишь однажды, то R обладает обратным оператором /?-1: Z?"1/ имеет смысл, если Rg = / имеет решение g, н g есть его значение(R^}f = R XRg = ^)« В предыдущем разделе уже шла речь о законах счета для операторов R ± St @R, RS, здесь мы добавим еще несколько слов относительно соответствующих областей. Операторы, определенные там в качестве равных, имеют также совпадающие области определения, однако такие операторные уравнения, как 0 • /? = 0, несправедливы для областей определения. Выраже-
58)Так, например, если % есть ^, где 2 — пространство всех вещественных х, — 8 V * V 8, то d/dx есть функция от функции, т. е. оператор, определенный, однако, в нашем смысле только для тех / (л), которые, во-первых, дифференцируемы и, во-вторых, обладают конечным J J ^" / (х)『dx (ср. II. 8, где этот вопрос обсуждается подробнее). Есте-
ственно, что тогда в общем случае ^г/(*) не обязана существовать и
J J _^^- / (х) |2 dx не обязан быть конечным. Например, такого рода по-
2
ведение будет у функции f (х)^\х\2е~х\
а (0 ' R) /, по определению, имеет Rf (если, однако, оба они опреде- стороны, когда выполнено 1・R =а (0 ' R) /, по определению, имеет Rf (если, однако, оба они опреде- стороны, когда выполнено 1・R =то это жето это жеверно для соответствую-верно для соответствую-ние 0 • / имеет смысл всегда, смысл только когда определено лены, то оба =0)・ С другой =R • 1 =R и Rm • Rl=Rm+l, щих областей определения.
а (0 ' R) /, по определению, имеет Rf (если, однако, оба они опреде- стороны, когда выполнено 1・R =
а (0 ' R) /, по определению, имеет Rf (если, однако, оба они опреде- стороны, когда выполнено 1・R =
то это же
то это же
верно для соответствую-
верно для соответствую-
Если R, S имеют обратные операторы, то RS также обладает обратным оператором, который, как легко видеть, имеет вид (RS)^1 =
= S~1rT. Далее, для а ^= 0, (л/?)'1 —/?"\ Если существует
то мы можем образовать и другие отрицательные степени R:
R-2 = R7r7；R7=R-1r7rT,…
После этих общих замечаний мы перейдем к более детальному исследованию тех специальных классов операторов, которые представляют для нас особый интерес.
Определение 7. Оператор А называется линейным, если область его определения есть линейное многообразие, т. е. если она содержит все a1f1-\- 一. + akfk вместе с /р . .., /А, и если
/（%/1+ ，•♦ +。为/片）=@1//1+ ，-+。为/九，
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы и именно лишь такие, область определения которых всюду плотна.
конечным J I ф(0)У 對,конечным J I ф(0)У 對,Последнее замечание позволяет найти ——во многих случаях эффективную —замену требования об определенности оператора повсюду, от которого в квантовой механике нам приходится отказаться. Это обстоятельство достаточно важно для нас, чтобы рассмотреть его более подробно. Для примера рассмотрим конфигурационное пространство в волновой механике Шредингера, которое для простоты возьмем одномерным： — 8 V g < + оо. Волновыми функциями будут 平(g)
конечным J I ф(0)У 對,
конечным J I ф(0)У 對,
они образуют пространство Гильберта
(ср. II. 3). Рассмотрим операторы д,・・• и —у -~, Они, оче
видно, линейны, но их области определения ни в коей мере не охватывают все гильбертово пространство. Для ^, ... это не так» потому что
fl gcp (g)12 dg = Jq^^dq
может легко оказаться бесконечным, даже при конечном
/g(/2"g,
так что g 中(g) не будет странству. Это не так и для
ференцируемые функции, так
принадлежать более гильбертову про-А d,
2^-西，поскольку существуют недиф-
же как и такие, для которых
/ |<р(д)|2 歯
конечен, а
/陶昂屮句）『/=名/陽屮®t/
не конечен (например, |g|歹 № или e~^ sin(^2)). Однако их области определения всюду плотны: Оба оператора, разумеется, применимы к каждой g(g), которая 卓 0 лишь в конечном интервале —С<^<С и всюду непрерывно дифференцируема; а такое множество функций повсюду плотно59). Определим далее:
Определение 5. Два оператора Л и Л* назовем сопряженными, если они имеют одну и ту же область определения, причем в этой области
(Af, g) = (f /*g),(Л7, g) = (/, Ag).
(Заменяя взаимно /, g и производя комплексное сопряжение с обеих сторон равенства, убеждаемся, что каждое из этих соотношений следует из другого. Далее ясно, что связь 4 с 4* симметрична» т. е. что Л* и Л также сопряженные, так что Л** = А.)
В соответствии с изложением II. 3 (при обсуждении условия £.) нам достаточно уметь аппроксимировать с любой точностью все линейные комбинации следующих функций: / (х) = 1 на множестве, состоящем из конечного числа интервалов, и равно 0 всюду вне их. Это удается, если мы будем уметь аппроксимировать каждую из этих функций в отдельности; в свою очередь достаточно научиться делать это для функций с общим 1-интервалом (остальные функции будут суммами таких). Пусть, например, интервалом будет а < х < Ь. Функция
/ (х) = 0 для х < а—£ или х>6+*
/(х) = cos2
加 a - x
2£
для
" 一£三%三4,
/ (х) = cos2
乙x - b
2£
для
6三左三6+ *
/ (*)=1
для
а <х <b
в самом деле удовлетворяет нашим требованиям регулярности н вместе с тем приближает заданную функцию произвольно точно при достаточно малых е.
Заметим дальше, что для Л может быть найден лишь один сопряженный оператор Л*, т. е. если Л есть сопряженный к Л* и к Лг, то 24；=4・ В самом деле, для всех g, для которых определено <g,
3/，g) = (/，Ag)=(而，g)'
и поскольку эти g всюду плотны, 4/ =工2」. И так как это выполняется всегда, то Л* ~ А^. Следовательно, Л* определено по Л однозначно, так же как и Л по Л*.
Мы немедленно можем убедиться в том, что 0,1 и вообще все проекционные операторы Е самосопряжены (ср. теорему /2・),т. е. для них 0*, 1*, Е* существуют и равны соответственно 0, 1, Е・ Далее, (аА/ = а^ и, если только А±В может быть вообще определено (т. е. если их области определения всюду плотны), то (工±8)* = —Л*±В*. Наконец, при ограничениях на область определения, которые могут быть легко установлены, (АВ^ = (В*А^) (ведь (АВ/, g)* = = (8/, /Tg) = (f B*A*g)), равно как и (Л-1)*= Л* , так как
(л-1/, g)=(A-y А〕*7)=(А4-\Л A*Tg) = (f A*Tg))・
В частности, для случая волновой механики Шредингера (которую мы рассматривали и раньше, но здесь будет иметься в виду ^-мерное конфигурационное пространство), когда гильбертово пространство состоит из 屮(41， ..'/ с конечными
f ' ' , / 丨平(处, ， …'q/F dqdq^、
мы имеем для операторов qv — и ^-, •.・
дау _丄旦2冗? 0g ),一2疝 dqi •
Первое очевидно, поскольку
J • J% т(g「…一勿)•屮(91夕力)〃g 1 • • • 〃抬
= /•■•/8gl勿)•《•屮@%"% • • •期.
соООсоООВторое утверждает
соОО
соОО
~§^ ?（7Г ' • •1%）.屮（必…， •，9龙）對1...d" =
coco
=/ •… /?（%，♦・・，%）•爲豈屮（%勿）d%d”，
ООoo
/…/ {^* 中（% …%）7（% …, %） +
+ ? （^г • • • • qM ~Sqi 屮（°v * …，勿）} “91 d% = о, т. е.
Hm f • • • （ [（p（^p «..（ 作）屮（力%）]0；=X
Д-» + оо JJ
日今+8-8 一8
X ・• • dq^—、+i • • • dq卜=0.
Предел должен существовать, поскольку сходимость всех интегралов
對1 ... dqk
несомненна （так как ср,屮$ *^-<р, *^■屮 принадлежат пространству Гильбертаj, так что важно только именно его равенство нулю. Но если бы он не был равен нулю, то （несомненно существующий） предел при g2f 十8 （или при 0еf 一оо） выражения
/ • • • J* ? （^p • • •» 力）屮（9口 • • •» ^a） "91 " • • d%.i d%+[•一d%
был бы не равен нулю, что несовместимо с абсолютной сходимостью интеграла
СО00
/ " *, /平（9d • • - 9龙）屮（90• • • ’0丸）/1..."%.1 d% "%+i. ..//
3,屮 принадлежат пространству Гильберта!）.
Если А есть интегральный оператор "中(%'•••'勿)=
=/ ..■ J k (q「.,., q浜;%, • • • 1 %)中(%， •一，9/ "% 。一"0工
то непосредственно получаем следующее утверждение: Л* есть также интегральный оператор, однако ядро его н€ К也, …、q^ q；q；), но
K(%，％；分，%)，
Рассмотрим теперь положение вещей б матричной теории, где пространство Гильберта состоит из последовательностей %卜 х2,... с конечной 2 1хр.12- Линейный оператор А переводит {修，х2, ...} в У，У2» • • •}
/ |хр %2，・・・} —^〔У]， У2' • • • }» где вследствие линейности А, ур у2, •・・ должны зависеть от 尤 1， х2>линейно
Это рассуждение не точно, поскольку оно оперирует понятием линейности в случае бесконечных сумм и прочего. Но оно может быть улучшено таким образом: Пусть ?n <f>3, ... будет полной ортонормированной системой, а Л и Л*—сопряженными операторами. Пусть /— ^xvyv, 4/ = £扑汽・
Тогда
y" = (" Y") = (/- 4*作)=£ (/, ?V)(4*作，汽)=
У= 1
[в силу теоремы 7., 丫)]
=2 占(%, 4=Р»)=斗(幽” *)%.
Если мы теперь положим а卩丫 н (Л^, у»), то получим формулу из текста у*= У а^х^ где уже обеспечивается абсолютная сходимость.
В гильбертовом пространстве последовательностей хь х3, ... последовательности Yi = 1, 0, 0, ...; ^2 = °т 1, 0, ...;... образуют полную
ортонормированную систему (в чем можно легко убедиться). Тогда для
/■=(#[, #2, •…)имеем /=2 #v%' а для Л/=(уп %，• ■ •) имеем л/=2八狗， чем достигается полное согласие с текстом.
Если мы образуем 仪：丫 для Л*, то увидим, что
0 =(4*% Y J = (%，4cpiх) = ("%，外)=痕
Следовательно, оператор Л характеризуется заданием матрицы 4炉. Легко видеть, что матрица % (комплексно-сопряженная транспонированная!) соответствует оператору Л* (см. прим,吗).
Аналогия с положением в матричной теории, которую мы сейчас обнаружили, подсказывает нам способ ввести понятие эрмитова оператора, которым мы сейчас и воспользуемся. Одновременно мы введем два других понятия, которые окажутся существенными для наших дальнейших целей.
Определение 9. Оператор Л назовем эрмитовым, если Д*=А. Назовем его также дефинитным, если всегда (А/, /)鱼О"). Оператор U назовем унитарным, если UU* — U*U = 1).
Для унитарных операторов мы, таким образом, имеем U =U「 По определению,
РЗ ug)=(u*u； g) =(/, g),
значит, в частности, (при/ = g)? \\^f\{ — ||/.)Ь Напротив унитарная природа оператора следует из последних свойств, если U определен повсюду и принимает все значения (ср. прим. 62)). Мы доказываем это следующим образом: во-первых, если верно, что
то, значит,
(U/, и/) = (/, /); (и*и/, /) = (/, /).
у -1- gу — g
Если мы заменим здесь / на —и другой раз на —и вычтем их друг из друга, то, как легко подсчитать,
Re (О/, Ug) = Re(； g).
Если мы подставим // вместо /, то получим Im вместо Re. Итак, вообще справедливо, что
РЗ Ug) = (/, g), т. е. (и*и/, §•)=(/, g)・
При данном / это верно для всех g, значит, U*Uf = f, и поскольку это выполняется для всех /, то U*U = 1. Мы должны еще показать, что UU*=1 также. Для каждого / существует g такое, что Ug = 3 значит. UU^f^UU^Ug^U-U^Ug^Ug^f, следовательно, UU* = 1.
Поскольку вследствие линейности
Ug|| =悶(/-g)ll = ll/-^l|.
то каждый унитарный оператор непрерывен, что отнюдь не обязательно для эрмитовых операторов. Например, операторы ^ . .. и ^7 鳥 столь важные для квантовой механики, — не непрерывны).
Из наших формальных правил исчисления для Л* немедленно следует, что если U, V унитарны, то будут унитарны и U""1, UV,
следовательно, иследовательно, ивсе степени U, Если А, 8 эрмитовы, то А±В
следовательно, и
следовательно, и
также эрмитовы. Напротив, аА — эрмитов лишь при вещественных а
(исключая т. е. если раторы (и%,…，и(исключая т. е. если раторы (и%,…，иЛ = 0), а АВ эрмитов, лишь если Л и В коммутируют, АВ == В А. Далее мы знаем, что все проекционные опе- в частности 0,1) эрмитовы и что эрмитовы операторы •g^~^~, ... теории Шредингера, Вместе с Л эрмитовы
(исключая т. е. если раторы (и
%,…，и
(исключая т. е. если раторы (и
%,…，и
и все его степени (так же, как и /Р* если он существует), равно как и все полиномы с вещественными коэффициентами. Замечательно, что при эрмитовом Л и произвольном X оказывается эрмитовым и оператор ХЛХ*:
{ХАХ^ = Х**Л*Х* = ХАХ\
Следовательно, например, эрмитовы все XX* (Л ~ 1) и Х*Х (X ——заменяется на X*). При унитарном U, UAU" эрмитов, поскольку UT = U*・
Непрерывность для операторов, так же как и для численных функций обычного анализа, является свойством первостепенной важности. Мы поэтому хотим сформулировать несколько характерных условий существования этого свойства для случая линейных операторов.
Теорема 78. Линейный оператор R непрерывен всюду, если он непрерывен в точке / — 0. Необходимым и достаточным условием для этого опять является существование постоянной С такой, что всегда ||/?/|| ^ С • ||/||. В свою очередь, это условие эквивалентно тому, что всегда справедливо
|(R/, g)\^C- Ц/ll - ||g||.
Для эрмитовых R этого достаточно потребовать только для / = g ： |(RA /)1 三。• I ⑺卩 или, поскольку (R/,/) вещественно (прим.6I) на стр. 76),
~C.\\f\\^(Rft /)^С.||/|р.
Замечание. Концепция непрерывности операторов восходит к Н i 1 b е г t*y64). Он характеризовал это свойство как «ограниченность» и определял его предпоследним из данных выше критериев. Если в последнем критерии всегда выполняется только одно из неравенств, то R называется полуограниченным: сверху или снизу. Например, всякий дефинитный оператор полуогра- ничен снизу (с С = 0).
Доказательство. Непрерывность в / = 0 означает, что для каждого е > 0 существует такое 8 > 0, что из ||/|| < 8 следует IIR/Н < е- Тогда из ||/ — /0|| < 8 следует, что
1|/?(/-/о)11 = И/-^/о!1 <^•
т. е., что R непрерывно также в / — /0 и, следовательно, всюду. Если выполняется ||/?/||^С-1|/|| (конечно С>0), то мы можем дока
зать непрерывность, положив В =专.Напротив, если имеется непрерыв- 2
ность, мы можем определить 8 для е — 1 и положить С = у* Ибо\\Rf\\^-\\f\\
выполняется для / = 0 без дальнейшего. Для / * 0, т. е. ||/|| > 0
/. В этом случае ^g\\ = 2"^ и, следовательно,
丄6
lIRgll =lIRgll =1^1 Ц/?/Н<1.P/II<V^-C.||/||.
lIRgll =
lIRgll =
Из ||/?/||^С- Ц/ll следует, что |(Rf g)| W ||А/|| • ||g|| 昼 WC・ 口/M • ll^ll- Напротив, из \(Rf, g)\^C • ||/|| • ||g|| мы получим ||/?/||2^C • ll/ll • ||g||, если положим g ~ Rft и, следовательно, j|/?/|| ^C • ||/||. Еще остается показать, что для эрмитовых R из 依/，/)| WC・ “/Il следует |(R/, g)匡С • ||/|| • ||g||. Подставляя
j и % & вместо /, получаем：
|Re(R/，g)|=|(R 牛，—(R令，令)|二
Gottingen Nachrichten, 1906.
Подставляем теперь а/, ；g вместо /, g, как при доказательстве теоремы /,. Минимизируя правую сторону, получим |Re(R/, g)|W ^С • 11/11 • ||g||. Затем, заменяя / на eiaf (а — вещественно), получим в качестве максимума левой части
|(R/, g)匡С・ |6|・ ||g||.
Конечно, это справедливо только, если Rg определено, но поскольку эти g всюду плотны, a Rg вовсе не входит в окончательный результат, то в силу непрерывности это выполняется всегда.
Докажем еще одну теорему о дефинитных операторах:
Теорема 79. Если R эрмитов и дефинитный оператор, то всегда
II 負 1W，/)(Rg，g)
и, значит, из (R/, /) = 0 тогда следует, что R/ = 0・ Доказательство. Приведенное неравенство следует из справедливости (R/,/)叁0 (дефинитность) совершенно так, как в теореме /. доказывалось неравенство Шварца |(/, ^)| ^ V(f* /)(^* g) (т. е.三 H/Ц • ||^||)' ИСХОДЯ из (/, /)^0. Если теперь (А/, /) = 0, то из этого неравенства следует также, что (R/, g) = 0, если Rg имеет смысл. Следовательно, оно выполнено для всюду плотного множества g и, значит, в силу аргументов непрерывности, для всех g. Значит, R/=0,
Наконец, мы коснемся важного понятия коммутативности двух операторов R, S, т. е. отношения RS = SR.
Из RS = SR следует, что
S .. . SSR — S ... SRS = S ・…RSS =.・• = RS ... SS・
т. е. /? и 5Л коммутируют (п — 1, 2, ...). Поскольку R • 1 = 1 • R = R и S°=l, то это верно и для п = 0. Если существует S I то S"1 • SR • S"1 = S~f • RS • S"1 и, поскольку
S"1 • SR • S'4 = 5飞・ R • S'1 = RS「
S'"】.RS • S"1 = S^R . SS~i = S^R，
то и S^R — RS^, Так что 孔=—1 и, значит, и 孔=—2, —3,... также допустимы, т. е. R коммутирует со всеми степенями S. Повторные рассуждения показывают, что все степени R коммутируют со всеми степенями S, Если R коммутирует с S н с Г, то он, очевидно, коммутирует со всеми aS, а также с S±T, S7\ Вместе с результатами, полученными выше, это означает, что если R, S коммутируют, то коммутируют также любые полиномы из R с любыми полиномами из S. В частности, при R = S все полиномы по R коммутируют между собой.
6・ Проблема собственных значений
Итак, мы продвинулись достаточно далеко, чтобы рассмотреть в абстрактном пространстве Гильберта ту самую задачу, которая составляла в ее частных реализациях Fz или 户* центральный вопрос квантовой механики ——решение уравнений Е〔・ и 七2・ из 1. 3. Мы назовем ее проблемой собственных значений и должны будем сформулировать ее наново и более единообразным способом.
В I. 3 и в Е]・ и в Е^ требовалось найти все решения 中 #0 уравнения
e.h<? =入平，
где Н ——эрмитов оператор, отвечающий функции Гамильтона (ср. обсуждение в I. 3), ср — элемент гильбертова пространства, а 入 ——вещественное число (Н—дано,入 и 中一ищутся). При этом, однако, выдвигаются определенные требования относительно числа нужных решений. Их должно быть столько, чтобы
/• в матричной теории из этих решений
% = {$]「S⑵中2={$2「522* • • • ) > • • •
(напомним, что мы в Fz!) могла бы быть образована матрица S =瓦J, которая имеет обратную S"1 (ср. I. 3);
2. в волновой теории в ряд по решениям
% = %(%,••・，0/),中2 =中2(01，0/)'
можно было бы разложить любую функцию 中(%, . . ., qf) (не обязанную быть решением уравнения)
? (^г • • • * 0/) = 2 с圈罹(％’ •…’0/)п~ I
(срр 中2， •…могут принадлежать различным значениям 入).(Последнее обстоятельство не упоминалось, правда, в I. 3, но оно необходимо для дальнейшего развития волновой теории и, в частности, для «теории возмущений» Шредингера).)
Но 1, ведет к тому же, что и 2.， потому что матрица S переводит {1, 0, 0,.・•}, {0, 11 0, .. .}, ... соответственно в
{$11，S]2，S]3，• • • } *{$21，§22，§23，• • • ]» • • • *
и, следовательно, все гильбертово пространство 9?^ в замкнутое линейное многообразие, натянутое на %, ср2> .. ,, и, значит, для того,
чтобы существовала S~* последнее обязано тоже быть равным Э^. А 2. утверждает то же самое прямо: оно тоже требует, чтобы каждое 屮 могло быть аппроксимировано с любой степенью точности линейной комбинацией %, у?， • • • )-
Выясним, сколь сильно это условие, и попутно докажем еще раз свойства уравнения Е・，пользуясь тем формальным аппаратом, который теперь имеем в своем распоряжении.
Во-первых,——поскольку мы требуем 中 #0 и поскольку ау есть решение, коль скоро 中 является таковым,——достаточно рассмотреть только решения с 口屮|| = 1・ Во-вторых, нет нужды требовать, чтобы 入 было вещественным, потому что это следует из Н<? =入中：
(Hg,中)=(入中，中)=入(中，中)=入
(ср. П. 5, прим. 6I) на стр. 76). В-третьих, решения %,中？， принадлежащие различным Хр 入2，взаимно ортогональны:
(Н%,中2)=入 1(%，中2)； (Ну「中2)=(中「Н<р2)~ ^2(?р 中2).
Значит, (фр 中2)= °，так как 入式%,屮2)=入2(%，¥2)，a м # %，
Пусть теперь %, %，…一это отличные друг от друга 入，для которых Е. разрешимо. (Если мы выберем для каждого X с разрешимым Н<? =入中 по одному решению 中入 длины 1, то эти 中 образуют, в силу сделанных прежде замечаний, ортонормированную систему. Следовательно, по теореме 台叫 из II. 2 этот набор образует конечную или бесконечную последовательность. Но, значит, мы можем записывать и 入 как (быть может, обрывающуюся) последовательность.) Для всякого 入=% все решения уравнения Н<? =入屮 образуют линейное многообразие и притом замкнутое). Следовательно, согласно теореме 9・ существует ортонормированное множество 屮？.，中？ 丫 таких решений, которые как раз растягивают это замкнутое линейное многообразие. Ясно, что число vp ——это максимальное число линейнонезависимых решений с 入=%. Это число известно, под названием
кратности собственного значения %. (м= 1, 2,…，со; м = оэ может встречаться. Например,入=1 для Н = 1.) В соответствии с преды
дущим рассуждением срр( 1( ..., cpp(v с двумя разными р также взаимно ортогональны. Следовательно, полный набор всех
?р, у (р=1, 2, ...; V = 1, vp) также образует ортонормированную систему. Зная источник этой системы, мы замечаем, что на нее натянуто то же самое замкнутое линейное многообразие, что и на все решения ср проблемы £・.
Пронумеруем %,丫 в любом порядке, обозначая их через 屮「 %，・・・， соответствующие им 入——через К",入仅),... Итак, сформулированное прежде утверждение, что все решения £. должны растягивать 猊8 как замкнутое линейное многообразие, гласит теперь, что это должны делать уже только 屮],%，….(подмножество решений!)——и, следовательно, по теореме 7. а), что эта ортонормированная система полна.
Таким образом, решение проблемы собственных значений в смысле квантовой механики требовало бы найти как раз столько решений
ф —-1 屮1，屮 2， • • • Н 入 ~—入 I，入 2， • • •
проблемы £・，чтобы из них можно было образовать полную нормированную ортогональную систему. Это, однако, в общем случае никоим образом невозможно. Так, например, в волновой теории мы видим, что часть решений Е・(т. е.七2・ из 1. 3),——а ведь нам нужны все, чтобы можно было разложить по решениям каждую волновую функцию (ср. замечание выше), — не обладает конечным интегралом от квадрата абсолютной величины), т. е, не принадлежит гильбертову пространству. В последнем же (а ведь в £?・ мы учитываем лишь его) не оказывается поэтому полной нормированной ортогональной системы решений.
С другой стороны, гильбертова теория проблемы собственных значений показывает, что это явление отнюдь не представляет исключения в поведении операторов (даже для непрерывных)). Значит, нам придется разобраться в том, что это означает физически; ср. III. 3). Если это явление имеет место, т. е. если ортонормированная система, составленная из решений Е., не полна, то говорят, что у Н есть «непрерывный спектр》 («Streckenspektrum»), (%, %,.・• образуют «дискретный» спектр (cPunktspektrum») Н).
Наша следующая задача состоит в том, чтобы найти, поскольку £・ не годится, формулировку проблемы собственных значений эрмитова оператора и применить ее к квантовой механике. Прежде всего мы должны, следуя пути, указанному Гильбертом (ср. прим. 70)), объяснить постановку проблемы собственных значений.
Продолжение
Уравнение
Нср = Х<р
и требование, чтобы из его решений можно было построить полную ортонормированную систему, перенесены по аналогии из конечномерного 眈力
В 9tzp Н —это матрица {厶内},卩，v— 1, ..., n;力内=么^ и тот факт» что решения ср— {х1( х2,・♦・,*〃} уравнения 门中= Х(р, т. е.
содержат полную ортонормированную систему, хорошо известен в алгебре).
Это свойство 況门,как мы видели, не может быть перенесено в % непосредственным переходом п —> со. Таким образом, проблема собственных значений в 尢 должна быть сформулирована иным способом. Сейчас мы увидим, что проблема собственных значений в 猊抬 может быть преобразована к такому виду, что в этой новой формулировке (которая в Мл эквивалентна старой) переход к л—>со становится возможен. Иными словами, обе формулировки выражают во всех 況门(л = 1, 2, ...) одно и то же (а именно — что эрмитову матрицу можно привести к главным осям), но одна может быть распространена на 況®, в то время как другая, напротив, нет.
Пусть {хп,,..,尤[〃}, ..., {хл1, .,., хл„} будет полной орто- нормированной системой из решений уравнения для собственных значений и Хр ...» Хл будут соответствующие X. Итак, векторы {%п，х1л}, ・・., {хлр .. ., хлл} образуют декартову систему
координат в 貝犷 Тогда формулы преобразования координат &, .. <, jrt в этой координатной системе к некоторым другим 厶,...,£弘 имеют вид
{Е[, ... * Е/ = Ji {-^ц» • • • > *1门} Ч~ * • • + Jn {%лг • * • > *м}* т. е.
а для обратного преобразования
Мы можем записать условия 耳力内尤» = %尤叩 с помощью переменных gi， •••,& и нового ряда переменных 刀「...,刁〃 (с соответствующими им по предыдущей формуле рр ・・・,D〃) в виде
л /n、_ n
p, p. = l \v = l/р,卩=1「' г L
т. е.
з・)£ 个几=i 籲).
卩，V = 1p=I \卩=1/ \p.= I /
Тогда декартов характер координатной системы выражается формулой
(О.)(О.)芬尿=泓/」漓）（若Е，%芬尿=泓/」漓）（若Е，%
(О.)
(О.)
芬尿=泓/」漓）（若Е，%
芬尿=泓/」漓）（若Е，%
Итак, отыскание матрицы [х^] со свойствами D. и О.——вот что эквивалентно в 脏〃 решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к % нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия D. и О. не определяют
неизвестные кр и х^ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям》 (см. прим. 7I), стр. 83), величины % определяются единственным образом с точностью до порядка,
но положение с х^ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку %П，..., хрп можно домножить на множитель 8P абсолютной величины 1, если же некоторые % совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк хрР ...» хрЛ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу rtf 8
с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге Хр и 尤快丫 могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!
Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попытаться заменить условия Z). и О. и неизвестные 入？ и %内 такими, которые обладают недостающими свой
ствами однозначности ——после этого, как мы покажем} переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.
Если / есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из %, то выражение
84ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА[ГЛ. II
п
Мы можем записать условия 工无◎尤仆=入0尤叩 с помощью переменных JP . . .. Jrt и нового ряда переменных %,...,刁〃 (с соответствующими им по предыдущей формуле 》】,...,D〃) в виде л /л\ _ л
р, [Х = 1 \у=1/Р，R=1
т. е.
(0•) £①
R,v = lP=1\R=1/ \R=1/
Тогда декартов характер координатной системы выражается формулой
(О.)(О.)
(О.)
(О.)
Итак, отыскание матрицы {х^} со свойствами D. и О.——вот что эквивалентно в 脏〃 решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к 也 нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия D. и О. не определяют неизвестные Хр и х^ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям》(см. прим. 71), стр. 83), величины 入р определяются единственным образом с точностью до порядка, но положение с х^ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку хр1, . . ., хр„ можно домножить на множитель 8P абсолютной величины 1, если же некоторые Хр совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк хр1, . .., хрЛ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу zif 8 с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге Хр и /” могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!
Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попытаться заменить условия D. п О. и неизвестные Хр и /“ такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности ——после этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.
Если / есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из %, то выражение
Следовательно, матрицы эти таковы: нули всюду, кроме диагонали, 1 на р-м месте диагонали, если Хр^2, или соответственно W『, в противном случае также нуль. Для таких матриц высказанное выше утверждение очевидно.
Переформулируем теперь еще и D,. Оно означает, очевидно,
工 拠工%=e4{万亿；窘哈一E(4-1； E，喇
&——какое-нибудь число, меньшее 厶).Но поскольку F(/; Е，刁)Постоянно на каждом из отрезков
8 V Z V /p 4 W 2 V %；• * • * "加一1 三 2 V %；"m 三 2 < I,"
то для любого набора чисел
А。< А] V Ag V •・・ V А壶，
если /р ...» /т входят в число А「 ..., ЛА, выполняется n少
工 \^\ = 2 Лт {^ (лт； Е，哈一Е(А_1； Е, 7))}.
Применяя интеграл в смысле Стильтьеса), мы можем переписать это как
Л+8
.工九a&%= jf XdE(X; Е, 7))
J, VS I—ОО
I I может быть, очевидно, заменен на любой I , с а < /р b > Z J , или, если мы рассмотрим коэффициенты и напишем для самих матриц уравнение, справедливое для всех коэффициентов, то как
+ 8
Н —，入 dE (Х)>
где Н = {织J・
Итак, пока возникла следующая задача: Для данной эрмитовой матрицы Н = Еу} надо разыскать семейство эрмитовых матриц С(Х) (—оо<入 V+oo) со следующими свойствами:
При достаточно j больших}儿石(入)={:卜 Е 6) (как функция от 入)постоянна всюду, за исключением конечного числа точек, где она изменяется скачками. Скачок всегда происходит слева от данной точки.
Всегда E(M)E(M) = E(Min(X, Xw)))-
5з・ Выполняется (с интегралом в смысле Стильтьеса)
+ 8
Н = /入"Е(')・
Мы сейчас не будем останавливаться на обратном рассуждении — отправляясь от Si・—S3, вернуться к решениям D* и О. (хотя это было бы совсем просто), потому что только последняя форма проблемы собственных значений будет нужна нам для квантовой механики. Вместо этого мы сразу перейдем к обобщению Si. — $з・ от конечного на бесконечное число измерений, т. е. к переходу от 先k %
В % мы, очевидно, должны понимать Н н 七(入)как эрмитовы операторы,—значит, мы должны будем попытаться найти для данного Н такое семейство С (X), чтобы они сопоставлялись ему некоторым определяемым по примеру Si，— 5з・ образом. Должна быть найдена ^-аналогия Si・ ——S3 J
S2. остается неизменным в этом переходе, поскольку число измерений 9t„ не играет в нем никакой роли. Мы только переформулируем его, воспользовавшись результатами, полученными в связи
88 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II с операторами проектирования (II. 4). Во-первых, это свойство утверждает, что F (X)2 — Е (X) при 入'=入"=入，т. е. Е (К) являются операторами проектирования. Но тогда S2・ означает (мы можем ограничиться случаем "三 入"，поскольку для 入‘昌 入"получится совершенно аналогичный результат), что из 乂三入"следует ?(X)W?("') (ср. теорему /4. и последующий текст в II. 4).
*з・ требует некоторой осторожности, поскольку выражение А — =/ 入 d?(入)непосредственно лишено смысла, так как интеграл Стильтьеса определен для чисел, а не для операторов. Но легко заменить Н и £ (入)числами и это нас опять приведет к нужному операторному соотношению. Потребуем, чтобы для всех /, g из М^ выполнялось
+ 8
(Н/, g)= / kd(Egf, g),
если только Н/ имеет смысл. Соотношение Н= / X dE (X) следует понимать символически, только как сокращенную запись предыдущего.
Si・，наконец, весьма существенно затрагивается переходом к бесконечному числу измерений. Точки, после которых £(入)становится равным 0 или 1, или в которых £(入)испытывает скачки, соответствуют (в 尤)собственным значениям Н, а интервалы, где она постоянна—интервалам, свободным от собственных значений. Если теперь устремить п —> оо, то могут произойти самые разные вещи. Наибольшее и наименьшее значения могут уйти соответственно на + оо или на —оо, но остальные, поскольку их становится все больше, могут стесниться все плотнее, так что интервалы постоянства могут постепенно стянуться в точки* (Этот последний признак указывает на то, что в гильбертовой теории операторов при некоторых обстоятельствах появляется так называемый непрерывный спектр ).) Мы должны, следовательно, изменить Si・ при переходе от 9}л к М^ совершенно существенным образом. Надо допустить возможность того, что изменения £ (入)не будут более иметь дискретного, скачкообразного характера.
С такой точки зрения очень естественно будет отказаться от требования, чтоб функция ?(入)принимала конечные значения 0 и 1, и
требовать только сходимости к 0 или к 1 (при X—>—со или Х->+ со соответственно). Равным образом вместо постоянства на отрезках и скачков в точках выступает допустимость непрерывного возрастания. С другой стороны, менее ограничительное требование, что в возможных точках прерывности разрыв должен происходить только слева, мы можем попытаться сохранить. Соответственно мы сформулируем Si・ следующим образом: при Х-> — 8, £(入)f 0; при 入f 十8, E(X) —> 1, а при X—>X0,入N%, E(X)->^(X0)).
Кое-что еще следует сказать относительно S?. В конечномерном т
пространстве 范，выполнялось 4= 工厶尸廿 если понимать под 尸工
матрицу ?&) — Е(4т)・ В силу Si., имеем:
для de
F『&) = Е &) Е (厶)一 ？(厶一 I)? &) = ? &)
а для 0 三T一1
JE (厶)=Е (4) Е &) — Е (/.О Е&) = Е(4) - £ (G = 0.
Следовательно, поскольку 尸。=?(厶)一？(/一)，
'尸 ДЛЯ 1：尸尸={Т。0ДЛЯ Т：次 о.
Отсюда следует
(
m \2 加m
士人占=24w。={/沪。 t=l / т, 0=1t=l
(н таким же образом Н"=』/?尸工)・ Следовательно, такое же преобразование, что для самого Н, приводит к
+ 8
屮=/ X2 dE (X).
Поэтому в 眈8 мы предположим символическое уравнение, построенное аналогичным образом, а значит, в числах
十8
(H2fg)= / Md«(/ 圻.
(Мы подтвердим это последующим построением.) Для f ~ g из-за (Н2/, /) = (Н/, Н/)= ||Н/||2.«(»/,/)= ||£(Х)/||2,
отсюда следует + 8
ЦН/||2= / ^(||F(k)/|P).
Эта формула, однако, дает основания ожидать, что F(X) не только определяет значения Н/ в тех случаях, когда они существуют, но и позволяет заключить, когда они имеют смысл. В самом деле, инте
грал J 入2d (||七(入)/||2) содержит неотрицательную функцию (Х2^0) и
монотонно возрастающее выражение ]|七(入)/||2 под знаком дифференциала (ср. *2* и теорему /5. в П. 4). Следовательно, этот интеграл по своей природе сходящийся, — т. е. нуль или положителен и конечен, — или собственно бесконечен, т. е. равен -|- со ). Последнее заключение справедливо независимо от связи с Н, т. е. безотносительно к тому, имеет ли Н/ смысл, или нет. Следует поэтому ожидать, что Н/ имеет смысл (т. е. существует в 91^) тогда и только тогда, когда предполагаемое значение ||Н/||2 т. е. имеющее для
十8
всех / смысл выражение / k2c?(|| Е(Х) /||2) конечно.
Итак, с нашей новой формулировкой Si・——$з・ задача выглядит следующим образом: Для данного эрмитова оператора Н мы ищем семейство проекционных операторов 巨(入)(—8三入Woo) с такими свойствами:
Si・ При К—> — со или 入f+ 8, Е(Х)/->0 или f / соответственно. При 入—> 入°,入乏入°, ?(入)/ —> F (k0) / (для каждого /!).
$2・ Из неравенства 入‘三入"следует, что В(kz) ^ F (Xzz).
Интеграл / )^d (|| В(Х) /||2), по природе своей сходя
щийся (равный нулю или положительному конечному числу) или же собственно расходящийся (+8)характеризует область определения Н： Н/ определено тогда и только тогда, когда этот
интеграл конечен (или нуль). В этом случае для всех g+ 8
(Н/, g)= / kd(E@)f, g).
(Последний интеграл абсолютно сходится, если первый конечен ).)
Сам Н вовсе не входит в формулировку свойств Si・，S2. Семейство проекционных операторов со свойствами S「, S2. мы будем называть разложением единицы («die Zerlegung der Einheit》).О разложении единицы, связанном соотношением $з・ с оператором Н, мы будем говорить, как о принадлежащем Н，
Итак, проблема собственных значений в 9?^ ставится следующим образом: Всегда ли существует для данного эрмитова оператора Н, принадлежащее Н разложение единицы, и если существует, то сколько? (Нужный ответ должен быть: существует всегда точно одно.) В дальнейшем нам еще останется показать, как наше определение проблемы собственных значений соотносится с общими методами, которыми пользуются в квантовой механике (в частности, в волновой теории) для определения собственных значений эрмитовых операторов.
Предварительное рассмотрение проблемысобственных значений
Первый вопрос, возникающий в связи с нашей формулировкой проблемы собственных значений, состоит в том, что Si・一S3, звучат совершенно не так, как задача, с которой мы начинали предыдущий раздел, и их взаимоотношение больше не прослеживается. Правда, мы вывели Si・—S3, в 況门 из первоначальной формулировки, но в 9}^ все соотношения существенно видоизменились. Обе формулировки более не эквивалентны (как они были — что специально отмечалось в свое время—в 9?л). Значит, вся проблема в сущности снова остается открытой, и мы должны показать, в какой мере новая формулировка совпадает со старой, т. е. в каких случаях и каким образом наши Е(Х) определяют прежние Хр Х2> ... и %, ср2, ...
Если разложение единицы Е (入)принадлежит эрмитову оператору А, то в какнх случаях уравнение
4 — %Р
разрешимо? Уравнение 4у =入产 означает то же самое, что
g) —g) =。
для всех g, т* е.
0= f\d(E(^f, g)-MG g)=
=f^d(E(^f, g)-% jd(E(^f, g)= f (入一％)&(々入)/, g).
—oo—oo—co
Положим сначала g = E(\))/, тогда
0= /(X-X0)d(5(X)/, E%)/) =
=j(入一％)d(E(%)E。)/, /)=
—OO
CQ
=/ (入一入0)d (E (Min (入，％))/,/) =
—OO
8
=f (X-X0)d(||5(Min(k,楠)/俨).
Мы можем разбить теперьМы можем разбить теперь/ в сумму/ в сумму入0入0/ -J- J. В / мы можем— ООЛй— 8/ -J- J. В / мы можем— ООЛй— 8
Мы можем разбить теперь
Мы можем разбить теперь
/ в сумму
/ в сумму
入0
入0
/ -J- J. В / мы можем
— ООЛй— 8
/ -J- J. В / мы можем
— ООЛй— 8
заменить Min (入,入°) на 入,а в J на 入°. Знаднт, в последнем ннте- грале под знаком дифференциала стоит константа и таким образом он исчезает. Для первого интеграла остается тогда
/(k-ko)rf(||5(k)/||2) = O.
Далее положим g = /, тогда
0=『6-%)d(Ee)/, /)= J(k-k0)rf(||£(k)||2).
Вычитая из этого первое уравнение, получим (изменив знак подин-
тегрального выражения)
/(% 一 入"(|広(入)/1|2) = 0.
Рассмотрим теперь интегралы
%ОО
—入)d(| 広(入)/||2),pk-k0)rf(||E(k)/||2)
несколько более подробно. Подынтегральное выражение в обоих случаях 》0 и под знаком дифференциала стоит монотонно возрастающая функция от К. Следовательно, мы имеем для каждого е > О j(% 一入)d(1|E0)/1|2)叁 j (% 一人)d(1|E(入)/1|2)叁
叁 / ed(||EG)_/T) = e||E& — e)/||2,
— ОО
СО8
/(入一%)d(1|EG)/1|2)^ /(入一%№(庐(入)/||2)m
叁 Р^(||5(Х)/||2) = е(||/||2-||Е(% + е)川2)=
= S||/-£(k0H-e)/||2.
Следовательно, правые стороны 三0, но поскольку они тождественно 昌 0, то они должны исчезать. Итак,
Е(%-а/=о， ^а0+ю/=/.
Вследствие непрерывности Е0) сира， мы можем устремить г—>0 справа во втором уравнении: f (Хо)/ При 入М% тогда, в силу второго уравнения (& =入一入0 三 0)，e(人)/ =/，тогда как для 入 < 入3 в силу первого уравнения (е = Хо — К > 0), Е(入)/ = 0, Итак,
£(Х)/ = |о для 9
Но это необходимое условие также и достаточно, поскольку из него следует, что
(Af, g)= f\d(EG)f, g) = % (九 g)
(следует вспомнить определение интеграла Стильтьеса, данное
в прим. ) на стр. 86), а значит, (Л/ —入°/, g) = 0 для всех g, т. е. // = %/
Что означает это условие? Во-первых, оно включает разрыв £(入) в точке 入=入。.По теореме 17. в II. 4, f (к) сходится к проекционным операторам е⑴(入о) или 酬(入0) при X —> Хо, к < Хо и при 入—> 入°,入〉入о соответственно ). В силу &., £⑵(入)=£ (入°), но в случае разрыва 足⑴(％) # £ (入°). Далее, поскольку Е (К) f (k0) при k < k0 ($2・)，т。Е⑴(入0)三£(入0)・ Следовательно, £%) — £⑴％) есть проекционный оператор, и скачок характеризуется тем, что он не равен нулю.
Из того, что f (к) / — 0 для всех 入 > 入°, следует, что £“)(入°)/ = О, однако (так как 3(入)三£0)%)), из второго также следует первое. £(!)/ — / для всех 入总入° следует из £■%)/ = /：•£■%)三Е(入), Е (к) £ (%) = Е (入 °), но, следовательно, Eg f = Е (入)Е (入 °) / = =启(入о)，= /・ Значит, уравнение Af — к0/ характеризуется условием £⑴(入о)/ = О, £(入о)/ = /, или (теорема 14. в II. 4) {f (k0)— -E^^f^f. И значит, если мы напишем £(Х0) —Е(1)(Хо) = ^!Хо. то из предыдущего следует, что / принадлежит к 泌°.
Тем самым показано, что // =入/ имеет решения / #0 только в точках разрыва непрерывности Е(入),и что эти решения / образуют замкнутое линейное многообразие 泌°, определенное выше.
Итак, полная нормированная ортогональная система, которую мы искали в II. 6 из решений (с возможно различными 入)существует тогда и только тогда, когда все 或% (——оо < k0 < оо) вместе растягивают замкнутое линейное многообразие SRg. [Мы обсуждали в II. 6, как должно быть достигнуто построение этой системы. Взаимную ортогональность 泌° можно продемонстрировать теперь другим способом. Из 入° < 阿 следует, что
Р%产% = [Е %) 一 ?⑴ &)]仍(/)-?°)(闯]=0, так как
e^ = e^^^e(1^^^, ?(因)一#"(師)三1 一?⑴(Q.]Не устанавливая точных критериев, при которых это выполняется,установим только следующее: если существует некоторый интервал 卩「
卩2， в котором Е（入）возрастает непрерывным образом [т・ е.卩1＜步2, f （X） непрерывна при 向三入三四，Q@i）R Е@2）】，то зто безусловно не справедливо. В самом деле, при 入三阿，七（入）一e⑴（入）三七（入）三 we（a1）, в то время как при а1《入wа2，e（入）-e°）（入）=0 в силу непрерывности, а приа2＜入，e（入）一七⑴（入）三1-七⑴（人）三1-e@2）， Следовательно, Е（入）一炉"（入）всегда ортогонально к £他）一^ （P-i）* Положим Е（М）— E（pq） = P猊，тогда все 3）fx ортогональны к *. Если из них будет выбираться полная ортогональная система, то ?К будет содержать только нуль, т. е. F（р.2）——Е（р.^ = 0, в противоречии с первоначальным предположением.
Разрывы непрерывности Е （入）мы назовем дискретным спектром оператора А. Это те 入，для которых Af = \f имеет решения / ^ 0. Если мы выберем из каждого 9Jix ^ 0 элемент / с ||/|| = 1, то вследствие взаимной ортогональности Ш\ мы получим ортонормиро- ванную систему. В силу теоремы 3・ из II. 2, она или конечна, или образует последовательность. Следовательно, и значения 入 дискретного спектра образуют, в максимальном варианте, последовательность.
Все те точки, в окрестности которых Е（Х） не постоянна, образуют спектр А. Мы видели, что если есть интервалы, заполненные спектром А, но не дискретным спектром, т. е. интервалы непрерывности 月（入），где она не постоянна, то проблема собственных значений безусловно неразрешима в том смысле, в каком она была сформулирована в начале раздела II. 6. Мы не будем дальше исследовать точные условия неразрешимости: она может также возникать и при несколько других обстоятельствах, когда точки дискретного спектра проникают во все интервалы, где есть точки непрерывного спектра. Отделение дискретного спектра от остальной части спектра — задача значительно более трудоемкая и выходит за пределы этой работы. （Читатель найдет эти исследования в цитированных выше трудах Гильберта.）
С другой стороны, мы хотим показать, как при наличии полной ортонормированной системы 屮】，ср2, . . . решений 4屮=入屮（с 入= = k1（入 2， ... для соответствующих 屮=屮1，屮2， •・.）—как мы будем говорить, в случае чисто дискретного спектра——должна строиться Е （к）. Мы имеем
?（人）=,4小产
（Сумма 2 может иметь 0 членов, тогда Е （入） = 0; или положительное конечное число членов, тогда смысл ее очевиден; или, наконец, бесконечно много, в таком случае она сходится в силу аргументов в конце II. 4.）
Это точная переформулировка определения £ （Z;备叫，данного в II. 7.
$2. в сущности очевидно, потому что при X 三入"，
Е(М) — Е(Х)=2
есть проекционный оператор, поэтому Е(入‘)三Е(入")(теорема /4.)・ 5). мы докажем следующим образом: для каждого /
第!％р]/『 СХОПИТС乱第!％р]/『 СХОПИТС乱(теорема 7.), т. е(теорема 7.), т. еСледовательно, для кажСледовательно, для каж斗产艮]/『='1(力中Р)е= прнm. 81)=1|/产 р'р
第!％р]/『 СХОПИТС乱
第!％р]/『 СХОПИТС乱
(теорема 7.), т. е
(теорема 7.), т. е
Следовательно, для каж
Следовательно, для каж
дого £ > 0 мы можем найти конечное число членов р, так что сумма 2> взятая только по этим членам, будет > ||/||2 — £, и, значит, каждая сумма 2，из которой они исключены, будет < £. Зна-
чит, также
?%м|尸写 11PM
Отсюда, в частности, следует, что
唸7M卜7俱严w唸7M卜7俱严w一%斗竹一%斗竹
唸7M卜7俱严w
唸7M卜7俱严w
一%斗竹
一%斗竹
если 入 взято, соответственно,——достаточно малым, достаточно большим или достаточно близким к 入° (и 入昌入°). Тогда
e(人)/= 2 /勺小/f 0 при入f — 8,
/ — £1(入)/= £入竹里/ f °82) Пpи 入">+8，
?(入)/—£"(%)/=2/у]/ —。при 入入昌入°,
т. е. Si. удовлетворяется.
Как показывает построение, выполненное при доказательстве теоремы /〃，P^f = (/,屮)т (если ||^|1 = 1), следовательно, |)Л ,/|| = =I (/. ?) I = I (”)
Имеем (по теореме 7.):
/ nуS作)тр =?尸[中Р]九
Это следует также из рассуждений в конце II. 4.
81РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ97
Чтобы убедиться в справедливости $з・， положим f — х^^-^ + 尤2屮2+ •・・ Тогда 4/ = %%/Р1 +%尤2屮2+ • • • Для того чтобы А/
было определено,』入;|/『должна быть конечной. Но
j^d\\Ea)f\\2= J Md(E 1/12)=叩恥83) = 2入；1/|2,
CO-8、入pS 入/p= 1
j入 d(£0)/, g)= j入&(工 х》р) = прнм.8з)=
CO—CO、入pW 入/
=2 %/Е=("力 g)・
Рассмотрим еще два случая чисто непрерывного спектра, т. е. такие, когда вовсе нет дискретных уровней. Пусть 猊8 есть пространство всех функций /(‘[, ..., %) с конечным
J* • • • J* I /(¥i%) |2 "% ♦・• "%，
Л ——оператор 分,・**, эрмитов характер которого очевиден.
По прим. 73), стр. 86, 8为
/#“工|*Р『)=1而£~ 工|*р『.
Если везде А； — А；/ < е (Т. е. если Сетка Ло, ..., А« достаточно чаСтая),
то выражение меняется на величину, меньшую е ^ I -^р I2 == £ Н/П2； если мы р=1
заменим его на сумму
и если Ло достаточно мало, а ЛА достаточно велико, то оно произвольно близко к 2 入^ I *р F・ Таким образом, эта сумма есть искомый предел, т. е. значение интеграла.
Следующая интегральная фоомула доказывается в точности таким нее способом.
7 И. Нейман
Мы видим, что Af = \f приводит к тому, что (分——入)/(9i，%) = 0, т. е. /(‘и . .., %) = 0 повсюду, за исключением только, может быть, (1~ 1)-мерной плоскости 夕丿=入・ Однако эта плоскость несущественна (в соответствии со сказанным в II. 3, в связи с условием 6.), поскольку ее мера Лебега (т. е. объем) равна нулю. Следовательно, / = 0 ). Значит, никогда не существует решения // =入/, не равного нулю. Но мы видим также (не строго!), где можно было бы ожидать решения:(夕,—— 入)/(%, .. ., %) = 0 означает, что /#0 может быть лишь при 幻=入. Линейная комбинация решений с разными 入，скажем с 入=义，入，・•・，入⑻，была бы тогда /, не равной нулю только в точках
/ / ⑷ И?) dq =/ / ⑷ И?) dq =九⑺=九⑺=при «-> -|- со.при «-> -|- со.(Сравни также 1.3 и, в частности,(Сравни также 1.3 и, в частности,分=m入"，2
/ / ⑷ И?) dq =
/ / ⑷ И?) dq =
九⑺=
九⑺=
при «-> -|- со.
при «-> -|- со.
(Сравни также 1.3 и, в частности,
(Сравни также 1.3 и, в частности,
Таким образом, мы можем рассматривать как линейную комбинацию всех решений с 入三入° такую /, которая 次 0 только для 入三入屮 Но в случае чисто дискретного спектра у нас было
Р = о
现广也pW%)]，
т. е.况入 состояло из линейных комбинаций всех фр с 入？三入° или из всех решений уравнения // =入/ с 入 三 入°. Соответственно —— разумеется, в неточном и эвристическом смысле!——можно ожидать, что теперь f (k0) = PgjXo) где 员％ состоит из тех /, которые не равны нулю только для gjW 入°* 猊8—或％ состоит тогда, очевидно, из тех /, которые для д^ 三入° всегда равны нулю, следовательно,
W®|0 для %〉％.
Значит, мы нашли совершенно нестрогим образом семейство проекционных операторов f (к), от которых можно ждать, что они удовлетворяют требованиям Si.——S§・ для нашего А. В действительности Si. и $2. удовлетворяются тривиально, а в Sle даже случай X—>к0 без условия 入叁入°, т. е. Е(入)непрерывна как функция 入 повсюду. Чтобы убедиться в том, что $з・ тоже удовлетворяется, достаточно доказать справедливость уравнений:
/ X»rf||£(X)/|p =
8/8入8\
=，/入2 d ( J . •. //1 / (gI, .…，g力••.,g2)]2dg1 dg/ . .. dg?)
—OO\—8—8—8/
oo / co co
H / 人2 d人 ( / • • • / 1/(处，，一，幻-1，人，9)+1，，勿)|2*
—OO\ —oo —CO
X dq* .…dq$一、dqj+ \ .…dgj =
=j…f力/@—g了一1，g户勺+1—%)广x
Xd力…dq$_* dqjdqj + idqt^\\ Л/Ц 2,
广以Ё（人）/, g）=
со/ со 入 ОО
/入"I /*♦. /・.. //(%,・**,分，••・，g/)g(gi,g」，♦ ♦ •'勿)X
— ОО8—ОО—СО
)
СО/ СООО
=/入dl( J* J'/(^1(g/_], A幻+n g)X
—OO\ —8—co
g(01,I’Agj+i，・.・,gE)d%dqj一idqj+1dgz 丿—
J • • • / ”/ (с】，•…‘劣―g/‘ g/+i, * * ・，g) X
Xg(g" •••，幻-1,劣,幻+1，，。，:先)"g】•一dgy 一]"分"分+1"% =(幺£g). Мы снова, таким образом, убеждаемся, что старая формулировка проблемы собственных значений ——формулировка для точечного спектра —— здесь не пригодна, поскольку Е (к) непрерывно возрастает повсюду.
Этот пример указывает нам и в общем случае путь, на котором можно найти f (X) и для непрерывного спектра: мы можем определить (некорректным образом!) решения уравнения Af — \f (поскольку 入 лежит в непрерывном спектре, эти / даже не принадлежат к 派8丨)и образовать их линейные комбинации для всех 入三入「 Они уже будут частично принадлежать / и, возможно, образуют замкнутое линейное многообразие 况％. Тогда можно положить £(入о)=尸员,и если мы правильно выберем его, то может удастся
доказать выполнение Si・—5з. (для А и этих £(入))，и тем самым post factum преобразовать эвристические аргументы в точные).
В качестве второго примера мы хотим рассмотреть другой важный оператор волновой механики ~т ^у • Чтобы избежать ненужных усложнений, положим /==/= 1 (так же точно рассматриваются и другие случаи). Итак, мы должны рассмотреть оператор
4〃д)=為 ^/(д)・
Если область изменения q есть —8 <0<十8, то это эрмитов оператор, как мы убедились в II. 5. С другой стороны, при конеч-
ной области 。三夕三少 это не так:
ьь
(4/, g)一(/，心)=/备广⑷灰對一/ /(9)矗g'⑷/=a' a
b
=击/ {尸⑷g⑺+ / (g) FT?)}/=备［/⑷ 灰吟= a
=*V⑥F(*) — /⑷訥1・
Чтобы это выражение исчезало, область определения — ^-должна быть ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из нее / и ^ было бы /(a)g(a) = /S)gS), т. е. /(a)： /S) = gS) ： g(a)・ Если мы будем теперь менять / при фик-Чтобы это выражение исчезало, область определения — ^-должна быть ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из нее / и ^ было бы /(a)g(a) = /S)gS), т. е. /(a)： /S) = gS) ： g(a)・ Если мы будем теперь менять / при фик-сированном g, тем же числомсированном g, тем же числомто увидим, что /(a)： /(力)должно быть одним и 9 во всей области (8 может также быть 0 или 8);то увидим, что /(a)： /(力)должно быть одним и 9 во всей области (8 может также быть 0 или 8);тогда заменатогда заменатого чтобытого чтобы/Л/Лна g приводит к 9= 1,на g приводит к 9= 1,т. е. |9| = 1. Значит, длят. е. |9| = 1. Значит, дляdd28，dq28，dqбыл эрмитовым оператором, мы должны посту-был эрмитовым оператором, мы должны посту-лировать «граничное условие» вида/ (a)： / (力)=。лировать «граничное условие» вида/ (a)： / (力)=。
Чтобы это выражение исчезало, область определения — ^-должна быть ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из нее / и ^ было бы /(a)g(a) = /S)gS), т. е. /(a)： /S) = gS) ： g(a)・ Если мы будем теперь менять / при фик-
Чтобы это выражение исчезало, область определения — ^-должна быть ограничена таким образом, чтобы для двух произвольным образом взятых из нее / и ^ было бы /(a)g(a) = /S)gS), т. е. /(a)： /S) = gS) ： g(a)・ Если мы будем теперь менять / при фик-
сированном g, тем же числом
сированном g, тем же числом
то увидим, что /(a)： /(力)должно быть одним и 9 во всей области (8 может также быть 0 или 8);
то увидим, что /(a)： /(力)должно быть одним и 9 во всей области (8 может также быть 0 или 8);
тогда замена
тогда замена
того чтобы
того чтобы
/
Л
/
Л
на g приводит к 9= 1,
на g приводит к 9= 1,
т. е. |9| = 1. Значит, для
т. е. |9| = 1. Значит, для
d
d
28，dq
28，dq
был эрмитовым оператором, мы должны посту-
был эрмитовым оператором, мы должны посту-
лировать «граничное условие» вида
/ (a)： / (力)=。
лировать «граничное условие» вида
/ (a)： / (力)=。
(где 9 — любое фиксированное число абсолютной величины 1).
Сначала мы возьмем интервал —оо < ^ < оо. Решениями урав нения 4屮=入屮，т. е. 击 屮‘(,)=入屮(С) будут тогда функции
屮(д) = ее 九 .
Однако они непосредственно не могут быть использованы для наших
нужд, потому что / I屮(g)|2d,= J |c|2 dg =十8 (если только не
имеет места с = 0,屮三 0). Заметим, что в первом примере мы нашли решение В (^ —入)， т. е. фиктивную несуществующую функцию
(ср. прим.84)). Теперь мы нашли е 九 ,т. е. вполне добропорядочную функцию, которая, однако, не принадлежит к SR^ вследствие бесконечности интеграла от квадрата ее модуля. С нашей точки зрения оба эти факта значат одно и то же, ибо то, что не принадлежит SRs，для нас не существует).
комбинациикомбинацииКак и в первом случае, образуем теперь линейные решений с 入互入()，т. е. функции
комбинации
комбинации
/(g)= /呐尸、入.
— ОО
из 叽，что и, наконец.из 叽，что и, наконец.Нам надо надеяться, что среди них встретятся функции оные образуют замкнутое линейное многообразие 叭％
из 叽，что и, наконец.
из 叽，что и, наконец.
что проекционные операторы £ (к0) = Р^ образуют принадлежащее оператору А! разложение единицы. Мы получим подтверждающий первое предположение пример, полагая, скажем,
e （入）=e （入）=1, ДЛЯ 入昌入11, ДЛЯ 入昌入10, для0, для入< %入< %/ (g) = / 3也 壮入=/ (g) = / 3也 壮入=А < %，А < %，里%q 里入以里%q 里入以2л/2л/
e （入）=
e （入）=
1, ДЛЯ 入昌入1
1, ДЛЯ 入昌入1
0, для
0, для
入< %
入< %
/ (g) = / 3也 壮入=
/ (g) = / 3也 壮入=
А < %，
А < %，
里%q 里入以
里%q 里入以
2л/
2л/
потому что эта /(g) регулярна при всех конечных значениях аргу-
мента и убывает как 1/д при gf ±8,мента и убывает как 1/д при gf ±8,чен, Но и другие предположения также как то действительно следует из теориичен, Но и другие предположения также как то действительно следует из теориитак что / 1/(力2弱коне- оказываются выполненными,так что / 1/(力2弱коне- оказываются выполненными,деле, эта теория утверждает следующее87):деле, эта теория утверждает следующее87):интегралов Фурье. Винтегралов Фурье. ВсамомсамомПусть / (х) — любая функция сПусть / (х) — любая функция сконечным / I /(X) \2dx.конечным / I /(X) \2dx.ТогдаТогда
мента и убывает как 1/д при gf ±8,
мента и убывает как 1/д при gf ±8,
чен, Но и другие предположения также как то действительно следует из теории
чен, Но и другие предположения также как то действительно следует из теории
так что / 1/(力2弱коне- оказываются выполненными,
так что / 1/(力2弱коне- оказываются выполненными,
деле, эта теория утверждает следующее87):
деле, эта теория утверждает следующее87):
интегралов Фурье. В
интегралов Фурье. В
самом
самом
Пусть / (х) — любая функция с
Пусть / (х) — любая функция с
конечным / I /(X) \2dx.
конечным / I /(X) \2dx.
Тогда
Тогда
/ eixyf (х) dx,/ eixyf (х) dx,— ОО— ООможет быть образована функция
/ eixyf (х) dx,
/ eixyf (х) dx,
— ОО
— ОО
Z. /(х)=尸(у)三
? 2冗
равенравендля которой интеграл J* |尸(y)「dy также конечен и именно
равен
равен
J \f(x)\2dx. Более того, ££/(%) = /(——х). (Это так называемое преобразование Лапласа, играющее важную роль во всей теории дифференциальных уравнений.)
8 ы8 ы附了⑷=f⑵三合/ёк附了⑷=f⑵三合/ёк/⑺ dq、/⑺ dq、
8 ы
8 ы
附了⑷=f⑵三合/ёк
附了⑷=f⑵三合/ёк
/⑺ dq、
/⑺ dq、
образование
также конечен итакже конечен иpdRgf, g)88).pdRgf, g)88).
также конечен и
также конечен и
pdRgf, g)88).
pdRgf, g)88).
обладающее теми же свойствами. Именно, оно отображает % на самое себя [附/(q) = g(p) разрешимо для всякого g(p) из 詼：f(q) — Mg(—р)], оставляет ||/|| инвариантной и линейно. Согласно II. 5 этот оператор М унитарен. Кроме того, М2/ (^)= =/(—0)и> значит, M~lf (q) = М*f (q) =z Mf (—g), так что 財 коммутирует с М2, т. е. с операцией / (^) -> / (——g)・
Далее, то, что мы имели в виду относительно 况入°, состояло в следующем: /(g) принадлежит к 况％, если F (р) — M~xf (q) равно нулю для всех р > %. (Здесь
尸 о）=U 应（？）
с с (к), определенным выше.) Но эти 尸 Qo), как мн знаем, образуют замкнутое линейное многообразие 员入旷 Следовательно, и отображение 式° этого 况儿，полученное с помощью М, есть также замкнутое линейное многообразие. Е，(kj образуется из £ (入°) совершенно
так же, как 班｝ из 哄^: преобразованием всего 択^ при помощи М.
Значит, Ez (Хо) — ME (Ло) М~\ Тогда £*'(入)так же, как и £*(入)，обладает свойствами S” £.. Остается еще доказать 龜*, т. е. то, что разложение единицы Е (X) принадлежит к 4.
При этом мы ограничимся тем, что покажем следующее: Если /(g) дифференцируема без особых трудностей в смысле сходимости
00СО
и интеграл 壮/，(9) Й конечен, то и интеграл I i?d^E (к)/|j2
芻)То есть 七'(入)принадлежит не самому <‘ = -^ 西,но оператору, область определения которого включает в себя область определения А' к совпадает с Я7 в этой области. В развитие этого замечания см. И. 9.
В самом деле, [ЛГ》(д) =尸(р)]:
=奥弘合/尸⑺醬/尸(呜0""=
=评 J 尸(р) • р • е 厶 K dp = M (pF (p)).
Следовательно, для упоминавшихся /, А! — МАМ~Г (Л оператор д・・・, или, поскольку мы пользуемся здесь переменной р, то р ...)・ Поскольку сделанные выше утверждения выполняются для А, Е (X), то они справедливы и после преобразовзгния 3?^ с помощью М. Следовательно, они выполняются также и для Af = МАМ~Г и Е1 (к) = ME (к) М~г. Существенно иначе обстоит дело для 奈 禺 в интервале а^д^Ь (а < Ь. а и Ь конечны), когда, как мы выяснили, для сохранения эрмитовостн оператора необходимо также граничное условие
/(а) ： /(^) = 9(|9|= 1).
Уравнение ^[靑 f (q) = M ⑷ опять решается функцией
/(g) = се 厶"， но теперь интеграл
/l/(g) 12 dg = /\с\^ад = (Ь~а)\с\^
конечен, так что /(g) всегда Принадлежит к SR^. С другой стороны, должно быть удовлетворено граничное условие
X (а—/ (а): / (6) = з 用 =9
или, если мы положим 0 = е~1^ (0^а^2к),
^■入(а — 6) = —/а—2Лк/(Л = 0, ± 1, ±2,...),
入=任7底+今
8]8]Следовательно, мы шение определяется1Следовательно, мы шение определяется1имеем дискретный спектр и нормированное ре- теперь условием (Ь—д)|с|2 = 1, т. е., напри-имеем дискретный спектр и нормированное ре- теперь условием (Ь—д)|с|2 = 1, т. е., напри-мер，с = 7^Т имер，с = 7^Т и
8]
8]
Следовательно, мы шение определяется
1
Следовательно, мы шение определяется
1
имеем дискретный спектр и нормированное ре- теперь условием (Ь—д)|с|2 = 1, т. е., напри-
имеем дискретный спектр и нормированное ре- теперь условием (Ь—д)|с|2 = 1, т. е., напри-
мер，с = 7^Т и
мер，с = 7^Т и
(论=0, 土 1, ±2,...).
Таким образом, это ортонормированная система, но она также и полна. В самом деле, если /(g) ортогональна ко всем 屮龙 0), то
еъ-а Q f (q) ортогональна ко всем еь~а и, значит, е 2n / \~~2tF х) ортогональна ко всем elkxt т. е. к 1, cos х, sin х, cos 2х, sin 2х,... Кроме того, она определена в интервале
aтaтЬ 一 a2力Ь 一 a2力x^b,x^b,
aт
aт
Ь 一 a
2力
Ь 一 a
2力
x^b,
x^b,
длина которого равна 2к, так что она должна, согласно известным теоремам, обращаться в нуль). Следовательно, /(д) = 0.
Итак, мы имеем здесь дело с чисто дискретным спектром — случай, подробно обсуждавшийся в начале этого раздела. Следует обратить внимание на то, как «граничное условие》，т. е. 0 или а, оказывает влияние на собственные значения и собственные функции.
В заключение мы можем рассмотреть случай полу ограниченного интервала, скажем, 0三^<+8. Прежде всего мы опять должны убедиться в эрмитовости оператора. Имеем
(«/' g) —(/，K'g)=誥/(/'⑺詢 + / ⑺ g'(g) dq =
6
=备"(9)放就.
Что /(q)g(g) стремится к нулю при д—> 十8, показывается так же, как это делалось в II. 5 в случае бесконечного (в обе стороны) интервала. Следовательно, требование должно состоять в том, что /(0) g(0) = 0. Если мы положим / = g, то увидим, что «граничное условие》есть /(0) = 0. В этом случае обнаруживаются серьезные трудности. Решения уравнения 工。=入？ те же самые, что и при
интервале — 8 < д < 十 8, именно се 用 ；они не принадлежат к SR^
операторы М и М~хоператоры М и М~хи не удовлетворяют граничному условию. Последнее подозрительно. Но еще удивительнее, что, следуя намеченному выше приему, мы должны были бы достичь того же £ (入)，что и для интервала --8 <"+8, поскольку (несобственные, т. е. не принадлежащие к 况8) решения ——те же самые. Как примирить это с тем, что сам оператор другой? К тому же это не то, что нам нужно, так как, если мы опять определим в гильбертовом пространстве 尸* функций
операторы М и М~х
операторы М и М~х
/(g) 0Wg< + 8, / |/(g)12dg конечен К о
Mf(q)=F(p) = y^J" Я f(q) dq.
M^F(p) = f(q)=^M^F(p) = f(q)=^五 P<1P(P)dp (=MF(— p))(五 P<1P(P)dp (=MF(— p))(
M^F(p) = f(q)=^
M^F(p) = f(q)=^
五 P<1P(P)dp (=MF(— p))(
五 P<1P(P)dp (=MF(— p))(
то M отображает гильбертово пространство /V всех / (7),Owg < 00. j|/(g)|2dg,0
на другое гильбертово пространство: пространство 尸*“ всех 尸(р),
一8三 р < ОО, / I尸(Р)12dp.о
В то время как, естественно, все еще выполняется ||M/(g)|| = "/(g)口 (это следует из ранее упоминавшихся теорем, если положить в них /(g) = 0 для — оо < ^ < 0), ^M~yF (/?) II = ||F(p州，вообще говоря, не имеет места, поскольку, в силу упоминавшихся теорем, если мы
определим /(g) и для ^ < 0 формулой /(д) =определим /(g) и для ^ < 0 формулой /(д) =17T17Tf ~РЯJ е 立 F(p)dp,f ~РЯJ е 立 F(p)dp,
определим /(g) и для ^ < 0 формулой /(д) =
определим /(g) и для ^ < 0 формулой /(д) =
17T
17T
f ~РЯ
J е 立 F(p)dp,
f ~РЯ
J е 立 F(p)dp,
то
II用户=/ I尸(Р)12dp= / \f(q)\2dq,
||m一5『=П/俨=J |/(g)12dg
,0
—и) следовательно, || М"4尸 || V || 尸］|, если только случайно /(7) (в той форме, как нам ее только что пришлось определить) не исчезнет для всех ^ < 0. Следовательно, £г (к) = ME (к) М~г — это совсем не разложение единицы ^), т. е. наш метод отказывает.
Мы скоро увидим (в прим. 1°5), стр. 128), что это лежит в самой природе вещей, поскольку этому оператору вообще не принадлежит никакого разложения единицы.
Прежде чем закончить эти ориентирующие рассуждения, приведем несколько формальных правил вычислений с операторами, представленными в символической форме
со
Д = J* k dE (入)
с помощью их разложения единицы.
Во-первых, пусть 尸 будет проекционным оператором, коммути* рующим со всеми £ (X). Тогда для всех 入‘< 入">
II £ (入”)Ff — E (X) /7 |р _ и(£(М)一 е(X))7V ||2 =
=，(£ (入“)-£ (X))川2 三 ЦЕ (М) — Е (X)) / F，
следовательно, поскольку £(入")，£(Х), £(入")一石(入)，так же как и
Е (入")尸，Е (X)尸，£ (М) F — E (М)尸=(Е 0") — Е (X))尸，
суть проекционные операторы, то
II £ ”)尸川2 7 Е (X) Ff^^E (М)川2 T £ (X) / ||2.
88
Следовательно, J 雜矶£(入)/||Следовательно, J 雜矶£(入)/||2三/m叫£(入)尸/к Тогда, по第，
Следовательно, J 雜矶£(入)/||
Следовательно, J 雜矶£(入)/||
Правда, в действительности верно, что M~rMf (д)~ /(^) (достаточно определить /(^) = 0 при ^ < 0 и воспользоваться предыдущими теоремами), но не всегда должно выполняться 加乂一】尸(р)=尸(р), потому что, вообще говоря, ||Af-1/?||<||/:'|| и, значит, ||AfAfT尸||< ||尸||. Следовательно, М ^ = 1, a MM~~l^=lt т. е. М"1 не есть истинный обратный элемент М- (Не может существовать и никакого другого обратного элемента, так как если бы он был, то, поскольку М~1М = 1, он должен был бы быть равен нашему Л1 х.) Как следствие этого для £z (X) = ME (X) М-1, например, заключение £/2 (X) = Ef (X.) еще может быть сделано (поскольку сюда входит лишь『3), однако & (入)-> 加『修1 (при 入->8).
108ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 11
AFf имеет смысл, если имеет смысл Л/. Далее, тогда
4尸=/入d{E (入)尸)=J1入d{FE (入))=尸A, 91)
т. e. Л и F тоже коммутируют. В частности, мы можем выбрать любой Е (入)в качестве F (согласно S2) Тогда
Л£(Х)= J Xd(E(M)E(X))= / XdCEXMin (入，『)))=
А со Xсо
-S+S-iVdE^+Sм d?a),
—00 X —ооX
и поскольку / = ° (так как функция, стоящая под знаком дифференциала есть константа), то
工？(入)=Е (入)А = J)/dE (X).
Вдобавок отсюда следует, что оооо / А*оо
(AFf, g) = /(AFf, g) = /4 = / 入 d(E (入)А) = j 入 d( / X dE (X) I = прим. ) = /入2 dE (k)* —8—88/— OO
(AFf, g) = /
(AFf, g) = /
Вообще, мы имеем
"=/ NdE0
поскольку мы можем по индукции переходить от п——1 к п:
88/ 入、
А1А1-1 А = / ^а^Е^ А)= /入J Mdf(X)=
— СО—ОО\ —ОО/
=прим. % = / 入"~| ‘ 入 dE (X) = /入"dE (入).
Тогда, если р (х) == а0+atx ++。枕力"есть некоторый поли
ном, то
р(<)= J°pG)d?(入)
(под р (Л) мы понимаем, конечно, р (/)=旬1 + а ① + .…+ anAnt
/dE(入)=1 следует из Si.).
Далее установим следующее: если /*(入)，s (入)——две любые функции, и если мы определяем два оператора В, С (символически) формулами
В = / /* (入)dE (入)，С = / s (入)d? (к)93),
то следует, что
ЗС= / r(K)s(^ ^(k).
9з)Это значит
8СО
(В/，g) = / г (入)d(£ в)/, g), (С/, g) = / S (A) d(£ (X)/, g).
Доказательство мы проведем в точности так же, как в специальном случае В^С ~ А\
ОО8
BE (k)= J г (X) d (f (X) £\入))=/ г (X) d (f (Min (儿 X)))=
— ОО—8
入 8 入8入
=/ + /= / Г^) ^(^)+J rgdE(K)= / r gdEg,
—co 入 一8入CO
88/ 人\
C8= / s(X)d(8E0))= ]\(入)《/rOdfQ)=
—co— ^^\ 一 oo/
Могут быть легко установлены также следующие соотношения:
В* = J r (入)dE (入)，aв^= ^ ar (X) dE (入%
3 ± С = / (г (入)土 s (入))dE (X).
Значит, не существует никаких формальных возражений против того, чтобы писать В = г (Л) для таких функций г。)％). В частности, замечательны следующие (разрывные!) функции：
[1 для 入'三入，—
訳(7/)= { с 、，、 Имеем для них, согласно
人' 丿(0 для X〉入.
е入(А)= / еА (kz) dE (К) = / dE (kz) = £ (X).
(В начале этого раздела мы обсуждали оператор A~q^ ... . Его Е(入)было умножением на 1 или на 0 соответственно для gW入 или g 〉入,т. е. умножением на е入(д)・ Поэтому е入(д, .. .) = еА (^у) Этот пример очень хорош для того, чтобы дать интуитивное представление о введенной выше концепции.)
94) Точное обоснование этого понятия функции дано автором в Annals of Math. 32 (1931). F. Riesz первый определял общие операторные функции с помощью предельного процесса, примененного к полиномам,
9. Отступление: О существовании и единственностирешения проблемы собственных значений
В предыдущем разделе мы рассмотрели вопрос о том, какие разложения единицы Е(入)соответствуют данному эрмитову оператору Л только качественно, иллюстрируя его частными примерами. Систематическое изучение этой задачи еще предстоит провести. Правда, во всей математической полноте оно вышло бы за рамки нашей книги, и нам придется ограничиться доказательством нескольких моментов и лишь формулировкой остальных, тем более, что точное знание всех этих соотношений не абсолютно необходимо для понимания квантовой механики ).
Согласно теореме /8- непрерывность линейных операторов выражается в том, что
旧・)』財||зe ■旧
(С произвольно, но фиксировано).
По теореме 18. существует и еще несколько эквивалентных форм условия S=
(S3)|(Л/, ^)|^С.|]/||. 11^11，
(S?2.)1(//, /)1w5|力2
(последнее только для эрмитовых операторов).
Условие St…эквивалентное условию непрерывности, выражает введенное Гильбертом понятие ограниченности. Для ограниченных (т. е. непрерывных) эрмитовых операторов Гильберт поставил и разрешил проблему собственных значений (сравни прим. б4), стр. 78). Но прежде чем обсуждать этот случай, мы должны ввести еще одно дополнительное понятие.
Эрмитов оператор Л называется замкнутым, если он обладает следующим свойством: Пусть /р /2, . . . есть точечная последовательность, все ЛД имеют смысл и выполняется /^f/， Afn-^/*, тогда Af также имеет смысл и равно /*. Следует заметить, что можно было бы определить непрерывность способом, весьма близким к этому требованию, именно так: если все Afп и Л/ имеют смысл и если /寿 f/, то 工/枕-> 工/• Различие двух определений состоит в том, что для замкнутости заранее требуется существование предела /* последовательности Afn, и только в этом предположении утверждается.
что он равен Af. В требовании непрерывности, напротив, утверждается и существование /*.
Несколько примеров. Пусть fR^ опять будет пространством
всех /(0)с конечным интеграломвсех /(0)с конечным интегралом/ l/(g)|2 對 (—8 < 0 V 8),/ l/(g)|2 對 (—8 < 0 V 8),
всех /(0)с конечным интегралом
всех /(0)с конечным интегралом
/ l/(g)|2 對 (—8 < 0 V 8),
/ l/(g)|2 對 (—8 < 0 V 8),
/ ——оператором g ・••, определенным для всех /(^), для которых
конечны,конечны,A! — операто-A! — операто-/1 / (?) I2 dq и /° 炉 I / ⑷ I2 對
конечны,
конечны,
A! — операто-
A! — операто-
h д,,.
ром "g^y 希,определенным для всех всюду дифференцируемых функ-
2dq. Как мы2dq. Как мыций, для которых конечны / | / (^) |2 dq
2
dq. Как мы
2
dq. Как мы
знаем, оба эти оператора эрмитовы. Оператор / замкнут. В самом
т. е.т. е.деле, положим /л—>/, Л/л—>/*,
т. е.
т. е.
/|0/(0)~~/*(0)|2d，f。・ На основе сказанного в II. 3 при дока
зательстве D. существует подпоследовательность /理丿 fn^ последовательности /р /2, ..., сходящаяся к пределу повсюду, за исключением ^-множества меры нуль //^(0)—> g(q)・ Следовательно, /|g(g) —/&)|2對=о，j|gg(g)—/*(g)|2對=о，т. е. всюду,
кроме множества меры нуль g(g) = f(q) и точно так же qg (q) = /* (^), следовательно, qf (^) —/* (^), т. е. /* (^) и 夕/(夕)не различны существенно. Но поскольку /* (^) принадлежит, по предположению, к (R^, то qf (^) принадлежит к 貌g также. Соответственно //(,) имеет смысл и равно qf (^) —/* (^). Напротив, оператор 4 не замкнут.
Действительно, положим /拉(q) = e ， "， Очевидно, все Afn имеют смысл, но Af не определено (/ не имеет производной в точке 0 = 0). Тем не менее, в чем легко непосредственно убедиться, Д—>/, ЛД->/*, если положить /*(,) =——sgn(0)eJ】qi (sgn (^)=——1, 0, +i соответственно для q <, =, > 0).
Покажем теперь, что в отличие от непрерывности замкнутость — это свойство, которое без особого труда может быть достигнуто для всех эрмитовых операторов. Это достигается при помощи процесса продолжения, т. е. путем того, что мы оставляем оператор неизменным во всех точках 猊g，me он был определен, но дополни-
тельно определяем его в некоторых точках, где он до того определен не был.
В самом деле, пусть А — некоторый произвольный эрмитов оператор. Мы определим оператор А таким образом: Af имеет смысл, если существует последовательность /р /2> • • • со всеми имеющими смысл Afn и при том такая, что / есть предел /拉 и Afn также обладает пределом /*. Тогда Af — /*. Такое определение приемлемо, однако, только в том случае, если оно однозначно, т. е. если из /„->/- g〃->/，Af广,4g〃f g* следует, что /* = g*. Действи- тельно, если Ag имеет смысл, то
СТ，^) = Нт(ЛД, g)^lim(fn> /g) = (/, /g),(g*，g) = 1而(4g拉，g) = 1而(g拉，Ag) = (/, Ag),
и, следовательно, (/*, g) = (g*，g)・ Но эти g всюду плотны и, значит, /* = g*, т. е. мы определили А корректно. Это А есть продолжение А, т. е. повсюду, где Af определено, определено и Af, равное 4/: достаточно положить все /〃 = / и f* — Af. Из линейности и эрмитовости оператора А те же свойства следуют для Z
(по непрерывности). Наконец, А также и замкнут. Действительно, пусть все Afn имеют смысл, /л—>/, Afn->f*. Тогда существуют последовательности /小卜 fn)v ... с определенными 4/拉，加,fnm^ fn^ Afn m —>/* и Afn = /*. Для каждого n существует Nn такое, что прН也皂办I厶"一九修打財小一用三^. Следовательно, 九“—九 f °，厶几書—百“ — ° н，значит, fnN-f^, A^n ——/*->0・ Отсюда следует, по определению, что Af — /*.
(Следует обратить внимание на то, что не непрерывный оператор никогда не может быть сделан непрерывным с помощью продолжения.)
Если оператор 石 является продолжением оператора А, т. е. если,
A-i А и чтоA-i А и чтоколь скоро Af имеет смысл, Bf также имеет смысл и равно Л/, то мы будем записывать это как 6*4 или 4 У 6. Мы доказали
A-i А и что
A-i А и что
уже, чтоуже, чтоА эрмитов и замкнут. Очевидно без дальней
уже, что
уже, что
шего обсуждения, что для каждого замкнутого В такого, что / УЗ, должно выполняться также 4 У 6. Соответственно 才 есть наимень
шее замкнутое продолжение А. (Значит, 2=客)
Тесная связь между Л и Д подсказывает нам, что Л может быть во всех рассуждениях заменено на А поскольку А естественным образом расширяет область определения Л или, если посмотреть с другой стороны, Л без всякой необходимости ограничивает
8 И. Нейман
область А. Сделаем так, т. е. заменим везде Л на А тогда мы сможем считать, что все эрмитовы операторы замкнуты.
Рассмотрим опять непрерывный эрмитов оператор А. В этом случае замкнутость эквивалентна замкнутости его области определения. Далее условие || Л/1| < С • || /1|, характеризующее непрерывность, очевидным образом выполняется также и для А Следовательно, А также непрерывен и, поскольку область определения А таким образом замкнута, и, вместе с тем, всюду плотна, она должна совпадать с 说8・ Значит, / имеет смысл повсюду и тем самым каждый замкнутый и непрерывный оператор также повсюду определен. Обратное утверждение тоже верно: Если замкнутый оператор всюду имеет смысл, то он непрерывен (это теорема Т б р 1 i t z*a 96), в доказательство которой мы не можем здесь углубляться).
Результат, полученный Гильбертом, состоит в следующем: Каждому непрерывному оператору соответствует одно и только одно разложение единицы. (См. прим.), стр. 78.) Поскольку непрерывный оператор всегда имеет смысл, то интеграл /入2dH£(入州2 всегда должен быть конечен; поскольку, к тому же, он равен ||Л/||2 и, следовательно, по St, С2 • ||/||2* мы имеем
Q^\\Afr~C^ 旷||2 =
Положим теперь /=Е(—С—e)g. Тогда Е(入)/=Е(Min (X —С—e))g и, следовательно, для Х> — С — г это константа, так что нам
остается рассмотреть только / ・ В этом случае 七(入)/ =七(入)旦 и
入2 — С2^(С-4-£)2 — С2 > 2Се, так что
— Ст
О 叁 2cs / d||E(X)g||2=2Ce||E(—C — e)g 俨，
||E(-C-e)g||2wo,E(—C — e)g = 0.
Таким же путем при / = g — E(C+9 g может быть показано, чтоg — E(C + »g = 0.
Тем самым, для всех £ > 0 будет Е(—С 一 а) = 0, f (С 4- е)
т. е. £ (к) = 0 при к <—С и £(入)=1 при к > С. (В силу 5г- последнее выполняется еще и для к = С.) Итак, Е(Х) изменяется лишь в интервале —С《入式 С・
Обратно, из этого как следствие вытекает непрерывность Л:
соСС
||4/1|2=「2用£(入)川=/入2初e(入)先2三02. /叫e(入)*2 =
-8- С— c
Мы видим разложениями переменной 入.Мы видим разложениями переменной 入.= С2・ Jd\\E(^f\^ = C^ \\f\\\ M/II^C- 11/11 таким образом, что все непрерывные А исчерпываются единицы, изменяющимися лишь в конечных интервалах Как же обстоит дело для остальных не непрерывных= С2・ Jd\\E(^f\^ = C^ \\f\\\ M/II^C- 11/11 таким образом, что все непрерывные А исчерпываются единицы, изменяющимися лишь в конечных интервалах Как же обстоит дело для остальных не непрерывныхэрмитовых операторов? Ведь можно еще использовать все разложения единицы, изменяющиеся для сколь угодно больших X, исчерпают ли они все упомянутые эрмитовы операторы?Необходимо прежде всего правильно оценить то обстоятельство, что эти операторы могут иметь смысл не повсюду.Само по себе мыслимо, что какой-либо эрмитов оператор может оказаться не определенным в тех точках гильбертова пространства,эрмитовых операторов? Ведь можно еще использовать все разложения единицы, изменяющиеся для сколь угодно больших X, исчерпают ли они все упомянутые эрмитовы операторы?Необходимо прежде всего правильно оценить то обстоятельство, что эти операторы могут иметь смысл не повсюду.Само по себе мыслимо, что какой-либо эрмитов оператор может оказаться не определенным в тех точках гильбертова пространства,в которых это пример, нашв которых это пример, нашможно было бы сделать разумным образом. Так, на-можно было бы сделать разумным образом. Так, на-оператороператор/(0) = 6一 ⑷，И/(0) = 6一 ⑷，Имы моглимы моглитолько к аналитическим q — вещественно)97) и тактолько к аналитическим q — вещественно)97) и такА! = ^у ■— был не определен для бы даже Ограничить -^г 丽 применением функциям (в интервале — 8<g<8, далее.А! = ^у ■— был не определен для бы даже Ограничить -^г 丽 применением функциям (в интервале — 8<g<8, далее.97) Даже /(g), аналитические в ——8Vg<8 (с конечными / 1/(^) |2^,97) Даже /(g), аналитические в ——8Vg<8 (с конечными / 1/(^) |2^,
Мы видим разложениями переменной 入.
Мы видим разложениями переменной 入.
= С2・ Jd\\E(^f\^ = C^ \\f\\\ M/II^C- 11/11 таким образом, что все непрерывные А исчерпываются единицы, изменяющимися лишь в конечных интервалах Как же обстоит дело для остальных не непрерывных
= С2・ Jd\\E(^f\^ = C^ \\f\\\ M/II^C- 11/11 таким образом, что все непрерывные А исчерпываются единицы, изменяющимися лишь в конечных интервалах Как же обстоит дело для остальных не непрерывных
эрмитовых операторов? Ведь можно еще использовать все разложения единицы, изменяющиеся для сколь угодно больших X, исчерпают ли они все упомянутые эрмитовы операторы?
Необходимо прежде всего правильно оценить то обстоятельство, что эти операторы могут иметь смысл не повсюду.
Само по себе мыслимо, что какой-либо эрмитов оператор может оказаться не определенным в тех точках гильбертова пространства,
эрмитовых операторов? Ведь можно еще использовать все разложения единицы, изменяющиеся для сколь угодно больших X, исчерпают ли они все упомянутые эрмитовы операторы?
Необходимо прежде всего правильно оценить то обстоятельство, что эти операторы могут иметь смысл не повсюду.
Само по себе мыслимо, что какой-либо эрмитов оператор может оказаться не определенным в тех точках гильбертова пространства,
в которых это пример, наш
в которых это пример, наш
можно было бы сделать разумным образом. Так, на-
можно было бы сделать разумным образом. Так, на-
оператор
оператор
/(0) = 6一 ⑷，И
/(0) = 6一 ⑷，И
мы могли
мы могли
только к аналитическим q — вещественно)97) и так
только к аналитическим q — вещественно)97) и так
А! = ^у ■— был не определен для бы даже Ограничить -^г 丽 применением функциям (в интервале — 8<g<8, далее.
А! = ^у ■— был не определен для бы даже Ограничить -^г 丽 применением функциям (в интервале — 8<g<8, далее.
97) Даже /(g), аналитические в ——8Vg<8 (с конечными / 1/(^) |2^,
97) Даже /(g), аналитические в ——8Vg<8 (с конечными / 1/(^) |2^,
/ I (夕)卩 dg, ...) , всюду плотны в 次Действительно, по II. 3, D・ линейные комбинации функций
上 ，、 fl для a<q <b, 九，方(0)=- I 0 в остальной области
расположены всюду плотно. Следовательно, достаточно аппроксимировать нх произвольно близко при помощи упомянутых выше / (^). В самом деле, например,
f^a.b(夕)=■—thf^a.b(夕)=■—th(х — а) (х — 6) 1(х — а) (х — 6) 1
f^a.b(夕)=■—th
f^a.b(夕)=■—th
(х — а) (х — 6) 1
(х — а) (х — 6) 1
будет функцией искомого типа н сходится к /«,〃')при s -> -j- 0.
8*
ратор 4 м 卜 у 2兀z dqратор 4 м 卜 у 2兀z dqОбласть определения уже застрахована от слишком произвольных сокращений требованием того, чтобы она была всюду плотной. Далее, мы можем ограничиться замкнутыми операторами. Все же еще и это не достаточно эффективно. Действительно, возьмем, например, опе-
ратор 4 м 卜 у 2兀z dq
ратор 4 м 卜 у 2兀z dq
1/|/е)|2對1/|/е)|2對в интервале 0三夕三1 и предположим, следова-
1
/|/е)|2對
1
/|/е)|2對
1И / I /'⑷卩 dq1И / I /'⑷卩 dqтельно, что /(g) всюду дифференцируемы, а интегралы
1
И / I /'⑷卩 dq
1
И / I /'⑷卩 dq
о
конечны. Чтобы А! оказался эрмитовым, надо еще
О.
наложить граничное условие /(0):/(1) = £-及(0 互а < 2冗)；пусть множество этих f (q) называется 或&， а сам /' называется Л\ Рас
смотрим далее еще граничное условие /(1) = /(0) = 0 и назовем соответствующее множество 31°» а соответственно ограниченный оператор /' назовем /[• Все N； суть продолжения % (который эрмитов, и область определения которого всюду плотна98)) и, следовательно, и замкнутые % также суть продолжения % Все они отличны один от другого и от 《• Действительно, явно унитарная операция /(g)f е的/(g) преобразует 4 в 4十罢 1 н 级“ в 丸+口，％ в 现; и. значит, 4 в 4_р +差 I, & в %+ 签 1; и, значит,无 в %-р+空 1 и Лд в 4 +某 1 • То есть из %=% следовало бы, что 4—0=4’ т・ е- все《были бы равны между собой. Тем самым достаточно показать, что % 次 2； при а #『 а это заведомо так, если 4，4 не имеют общего эрмитова продолжения, т. е. если А! не эрмитов в соединении 31a и 纥.Поскольку е'м принадлежит к 3I&, е"‘ принадлежит к 以了 и
(/产")一(产，/即)=
00
1
=/ J37勺 g 一T)歯=小"7)_ 1 壬 0,
0
98)Опять достаточно при помощи функций из98)Опять достаточно при помощи функций изфункциямифункциямиаппроксимировать функции fab (g), 0三a V 片 1 耽°. Например, для этого можно воспользоватьсяаппроксимировать функции fab (g), 0三a V 片 1 耽°. Например, для этого можно воспользоватьсяс £, стремящимся к 十0.с £, стремящимся к 十0.謂 6(.)=4-4th{l I 譜}謂 6(.)=4-4th{l I 譜}
98)Опять достаточно при помощи функций из
98)Опять достаточно при помощи функций из
функциями
функциями
аппроксимировать функции fab (g), 0三a V 片 1 耽°. Например, для этого можно воспользоваться
аппроксимировать функции fab (g), 0三a V 片 1 耽°. Например, для этого можно воспользоваться
с £, стремящимся к 十0.
с £, стремящимся к 十0.
謂 6(.)=4-4th{l I 譜}
謂 6(.)=4-4th{l I 譜}
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 1 17 т0 именно этот случай имеет место. Это означает, что замкнутый эрмитов оператор % определен в слишком ограниченной области, так как существует его истинное (т. е. отличное от него самого) замкнутое эрмитово продолжение / и при этом процесс расширения бесконечно многозначен, так как можно воспользоваться каждым из % и любой из них будет порождать иное решение проблемы собственных значений. (Каждый раз мы будем иметь чисто дискретный спектр, но он зависит от а: набор 也(盡+ 左)，月=0, ± 1, ±2,...). С другой стороны, с помощью самого оператора《мы вообще не можем ждать никакого разумного решения проблемы собственных значений. В самом деле, мы еще покажем дальше в этом разделе, что эрмитов оператор, принадлежащий какому-либо разложению единицы (т. е. такой, для которого проблема собственных значений разрешима), не имеет ни одного истинного продолжения. Оператор, не имеющий никакого истинного продолжения,——иными словами, уже определенный во всех тех точках, где его можно было бы определить разумным образом, т. е. не нарушая его эрмитова характера,—мы назовем максимальным. Значит, по сказанному, разложение единицы может соответствовать только лишь максимальным операторам.
С другой стороны, имеет место следующая теорема: Каждый эрмитов оператор может быть продолжен до максимального эрмитова оператора. (И притом каждый не максимальный, но замкнутый оператор всегда бесчисленными различными способами. Таким образом, единственный однозначный шаг процесса продолжения ——это „замы- канне" Л —> Д. Ср. прим.95), стр. 95.) Поэтому наиболее благоприятным решением проблемы, на которое мы вправе надеяться, было бы: Каждому максимальному эрмитову оператору принадлежит одно и только одно разбиение единицы. (Каждый замкнутый непрерывный оператор определен повсюду в 9?^ и является, следовательно, максимальным.)
Таким образом, следует ответить на вопросы: Всегда ли обладает максимальный эрмитов оператор разложением единицы? Может ли случиться так, что несколько разложений будет отвечать одному и тому же оператору?
Мы начнем с того, что сформулируем ответы: Данному максимальному эрмитову оператору не принадлежит ни одного или принадлежит точно одно разложение единицы, причем первый случай реально встречается, т. е. проблема собственных значений наверняка однозначна, но при некоторых условиях неразрешима. Тем не менее последний случай надо рассматривать и известном смысле как
исключение. Мы наметим в основных чертах метод, приводящий к
этому результату.
Если мы применим рациональную функцию /(入)к (бесконечномерной и диагонализуемой с Помощью унитарного преобразования) матрице Л, то собственные векторы матрицы А сохранятся, а собственные значения кр ..., Хп перейдут в /(%), .. ., /(Хл)"). Если теперь / (X) отображает вещественную ось (в комплексной плоскости) на окружность единичного радиуса, то матрицы с лишь вещественными собственными значениями перейдут в матрицы с собственными
значениями, равными по модулю единице, т. е. эрмитовы матрицы перейдут в унитарные °). Этим свойством обладает, напрнмер,
加=集・加=集・Д —/1 д-р/!Д —/1 д-р/!А =-А =-£+1 万一1£+1 万一1Соответствующее преобразование
加=集・
加=集・
Д —/1 д-р/!
Д —/1 д-р/!
А =-
А =-
£+1 万一1
£+1 万一1
называется преобразованием Кэли (Cayley). Мы попробуем это преобразование и для эрмитовых операторов в 9f^, т. е. мы определим следующий оператор U i Uf имеет смысл тогда и только тогда, когда / = (/ + 〃)中=/中 + /勺 и именно тогда Uf — {А --f1)中=/勺--Zcp. Мы рассчитываем, что это определение даст нам однозначное U/ для всех / и что U будет унитарным. Доказательство в Лл естественно не является более аргументом, поскольку оно предполагает возможность преобразования к диагональной форме, т. е. разрешимость проблемы собственных значений и паже с чисто дискретным спектром. Но если наши утверждения относительно свойств U правильны, то мы сможем разрешить проблему собственных значений Д следующим путем.
Для U проблема собственных значений решается таким образом —существует единственное семейство проекционных операторов
")Поскольку мы можем представить себе функцию / (X)апроксими- рованной полиномами, то достаточно рассмотреть полиномы, или их основу, т. е. степени / (入)=М (s = 0, 1, 2,…).Поскольку унитарное преобразование здесь не играет роли, мы можем считать Л диагональной матрицей; так как диагональные элементы и суть собственные значения, то они суть Хь Х2,入拉. Мы должны, следовательно, показать, что и Д5 диагональна и что ее диагональные элементы суть 入;，禱，…，嗑 но это очевидно.
Е(о) (0三0三1), удовлетворяющее следующим условиям:
Si. £(0)~ О, Е⑴=1 и при of о°, о》0о имеет место
&. Из o‘Wo" следует, что е。)三七(0").
и интеграл в правой части всегдаи интеграл в правой части всегда5з・ Всегда выполняется (U/, g) = J е2^ d^E^) /, g)
и интеграл в правой части всегда
и интеграл в правой части всегда
(U/ определено повсюду абсолютно сходится )).
Это доказывается в рамках и средствами теории Гильберта, что оказывается возможным в силу того, что унитарный оператор U всегда непрерывен (см. указанную в прим.64) стр. 78 и в прим.101) литературу). Аналогия с формулировкой S【・一S3, для эрмитовых операторов бросается в глаза. Вся разница сводится к тому, что под интегралом вместо вещественного 入， пробегающего интервал ——8 V入 <十8, оказывается комплексная величина 62n加，пробегающая окружность единичного радиуса (уже в 汾门 соотношение эрми- товость — унитарность было глубоко аналогично соотношению вещественная ось — контур единичного круга; ср. прим. 10°) на стр. 118), и что описание области определения оператора в S3. здесь оказывается излишним, поскольку унитарные операторы определены повсюду.
ать только (Е (о) /, /). Но в интегралеать только (Е (о) /, /). Но в интегралеВ силу S[,, £ (о) / -> £ (0) / — 0 при о^О (поскольку о 三 О по самой своей природе!), в то время как при о —> 1 (так как о 三 1!) не обязательно должно быть £(о) /->£(1) f — f. Если это в действительности не выполняется, то Е (а) терпит разрыв как раз в точке о=1. Но поскольку существует проекционный оператор Е' такой, что для а -> 1, о < 1, £ (а) / -> Erf (ср. теорему 77. в II. 4, а также прим.79) на стр. 94), это означает, что 七—七(1)=1,・ т. е. что 己/ = 0 также имеет решения / ^ 0. Поскольку £ (с)<Е\
ать только (Е (о) /, /). Но в интеграле
ать только (Е (о) /, /). Но в интеграле
то из 七了 = 0 следует, что Е(о)/ = 0 для всех о < 1. Обратно, по определению Ef первое следует из второго. Если все £ (о) / — 0 (о < 1), то мы убеждаемся совершенно так, как в начале раздела II. 8, что (U/, g) = (/, g) для всех g и, следовательно, Uf — f. Напротив, если U/ = /, то
1
/ е2Md (Е(。)/, /) = 0/, /) = (/, /), о
1Re / 或小 d (Е (。)/, /) = (/, /), о1Re / 或小 d (Е (。)/, /) = (/, /), о1/ (1 — cos (2m)) d (E (o) /, /) — 0, о1/ (1 — cos (2m)) d (E (o) /, /) — 0, о
1
Re / 或小 d (Е (。)/, /) = (/, /), о
1
Re / 或小 d (Е (。)/, /) = (/, /), о
1
/ (1 — cos (2m)) d (E (o) /, /) — 0, о
1
/ (1 — cos (2m)) d (E (o) /, /) — 0, о
мы получаем и для о = 0). означает, чтомы получаем и для о = 0). означает, чтоОтсюда, совершенно так же, как в начале II. 8, Е (о) / = 0 для всех о < 1 (и > 0, но это выполняется Тем самым разрыв непрерывности Е(о) при о=1 U/ = / разрешимо при / * 0.
мы получаем и для о = 0). означает, что
мы получаем и для о = 0). означает, что
Для наших кэли-образов U будет теперь ср=// + %/, U?=// — Z/ и из U? = ? таким образом следует, что / = 0, ср = О. При этом Е(о)/—>/ должно выполняться также и для о —> 1.
Вследствие этого с помощью отображения
入=—/ 2仙—-=—ctg но, о =arcctg 入
(которое отображает друг на друга однозначно и монотонно интервалы 0 < о < 1 и —ос < к < -(- ос) мы можем получить нзЕ(о) разложение единицы для 尸(入)в смысле Si・，S?.
(С.) 尸(人)=e(— ^arcctg 入)， e=尸(—ctgTuo).
Мы хотим теперь показать, что 尸(入)удовлетворяет условию S3, с оператором / тогда и только тогда, когда Е(о) удовлетворяет условию S3, с оператором U и таким образом свести вопрос о существовании и единственности решения проблемы собственных значений эрмитова (возможно не непрерывного) оператора / к тому же вопросу в отношении унитарного оператора U. Последняя же задача, как было описано, в желаемом смысле решается.
Итак, пусть /—эрмитов оператор и U — его кэли-образ. Для начала рассмотрим случай, когда U унитарен, так что для него существует Е(о), удовлетворяющая условиям Si., S?・ так же, как и S3.. Образуем теперь 尸(入)согласно (С・)，тогда для него выпол-
няются Si・，S2. • Если Af имеет смысл, то Д/ + // =物 А/一£/ = 〃▼ и, следовательно,
/ 一 -2/-，"J -2,
Подсчитаем, в несколько символическом смысле ”龙)，
/ = }«—&) = 土卜—/ 公山 df (о) ?) = / dE (о). \ о/ о
上(。)/ = / -d (E (。) E (/W)=
О
С
^d(E(min(。，У)),) = J :dE(/)% 06
||B(o)/|P = (E(o)/, /)-J 气—diE^)^, /)=
6
~ J 2/d£(。')/，％ = 0
0丿
J f-~_2i "«E ⑺% 叫=ОJ f-~_2i "«E ⑺% 叫=О
J f-~_2i "«E ⑺% 叫=
О
J f-~_2i "«E ⑺% 叫=
О
Мы применяем здесь интегралы Стильтьеса к элементам % вместо чисел. Так что все наши соотношения должны пониматься в том смысле, что мы выбираем некоторое фиксированное g из 灸8 и вместо каждого элемента 円8， появляющегося в вычислениях, подставляем его внутреннее произведение с этим g. Соотношения выполняются для любых g・ В противоположность операторным интегралам Стильтьеса в II. 7 это лишь наполовину символический процесс; вместо одного g из 統8 мы должны были там выбирать /, g — два произвольных элемента из 况国 и вместо (..., g) должны были образовывать (.../, g) (точки стоят вместо операторов).
Следовательно, входящий в Sj・ интеграл есть
2222
2
2
2
2
1
=/ ctg2 (m) . sin2 (nW) d^E (，)叫| ?= о
Но поскольку он абсолютно мажорируется интегралом / d|if(b)屮口？= о
= ||ср||2, то он конечен. Далее
/ 1 + м ь/ 1 + м ь…+1 1声* _ 1 -2Z—…+1 1声* _ 1 -2Z—dE (с) ср =dE (с) ср =66df (o)屮=/ 6df (o)屮=/ 62冗纷，\;dE。）中=2冗纷，\;dE。）中=
/ 1 + м ь
/ 1 + м ь
…+1 1
声* _ 1 -2Z—
…+1 1
声* _ 1 -2Z—
dE (с) ср =
dE (с) ср =
6
6
df (o)屮=/ 6
df (o)屮=/ 6
2冗纷，\
;dE。）中=
2冗纷，\
;dE。）中=
/ — ctg (m) dE (c) / =
6-co
т. е. окончательное соотношение из S3, также выполнено. Соответственно / есть во всяком случае продолжение того оператора, который, по S3. » принадлежит 尸(入),но, поскольку (как мы покажем) он максимален, то 4 должен с ним совпадать).
Рассмотрим теперь обратное утверждение. Пусть 尸(入)принадлежит Л в смысле Si・——S3. Что можно сказать об U? Определим сперва Е(о) при помощи (С.). Оно, следовательно, будет удовлетворять Si., 5г- Пускай <р произвольно. Напишем (опять символически)
со1
f T^dF^^f
—ооО
1
? 1 — с21th
=丿一й —dE (°)
0
/1 1一次，、
[так как 入十(или ^ ограничена, то все сходится у. Но тогда
尸内/= Е9)/ =/ T次(。#。)中)=
О
Ia
^d (E (min (a,『))％•= J -^—"(吟屮, оо
11Af =Af =о1e2G 十]/о1e2G 十]/оо11\o\oT—花（/）中=T—花（/）中=66成必+1 1 一…戸ZTf ―й — dE 9)屮=Jо成必+1 1 一…戸ZTf ―й — dE 9)屮=Jо1e 1 + /П"1e 1 + /П"22dE (о) <р.dE (о) <р.
1
1
Af =
Af =
о
1e2G 十]/
о
1e2G 十]/
о
о
1
1
\o
\o
T—花（/）中=
T—花（/）中=
6
6
成必+1 1 一…
戸ZTf ―й — dE 9)屮=J
о
成必+1 1 一…
戸ZTf ―й — dE 9)屮=J
о
1
e 1 + /П"
1
e 1 + /П"
2
2
dE (о) <р.
dE (о) <р.
и, значит,
Af -\-If = J* dE (a) cp — cp； Af — £/ = / 战"dE (a)屮.оо
найдено такое 尸,найдено такое 尸,что для всех gчто для всех g(广 g)= / S("("(广 g)= / S("("g) и что / с этимg) и что / с этим
найдено такое 尸,
найдено такое 尸,
что для всех g
что для всех g
(广 g)= / S("("
(广 g)= / S("("
g) и что / с этим
g) и что / с этим
свойством повсюду плотны. (Эрмитовость оператора, определенного таким образом, следует тогда из 53.: нужно поменять / н g в последнем выражении и взять комплексно-сопряженное.) Оба эти предложения доказываются в статье, цитированной в прим. 78), Стр. 91).
Тем самым U* определено и равно J е1^ dE (а) ср. Поскольку ср было о
произвольно, то U имеет смысл всюду. Если мы образуем внутреннее произведение с произвольным 屮 и возьмем комплексно-сопряженное,
то убедимся, что = / ^^冗力壮七^)屮.Выкладка в конце II. 8 но- о-
называет тогда, что UU*=U*U =\, т. е* что U унитарен и принадлежит Е(。).
Итак, разрешимость проблемы собственных значений оператора / эквивалентна унитарному характеру его кэли-образа U. Его единственность этим установлена и таким образом последний остающийся вопрос это ——всегда ли мы можем образовать U, и если да, то когда он будет унитарен? Чтобы ответить на эти вопросы, мы опять начнем с замкнутого эрмитова оператора А.
Мы определили U таким образом: Если ср — Af -\-If и только тогда Uq имеет смысл и равно Af ——£/・ Но сначала следует показать, что это определение вообще приемлемо, т. е. что для одного ср не может существовать нескольких /. Или, иными словами, что из Af ~\- If — Ag 4- ig следует, что / = g, или, в силу линейности А, что из Af ~\-if = 0 следует, что / = 0.
Мы имеем
II 川土 /|2 = ({/土 沙 Af±lf) =
= (*, Af) ± (Af, if) ± (//, *) + (£/, S =
=\\Af\\^i(Aft /)±£(/, ^/)+i|/|P=|M/ip+||/||2.
Итак, из Af~\- if = Q вытекает \\f\\2^\\Af~\- lf\\2=Qt / = 0, и, значит, наш способ определения оправдан. Во-вторых, "// ——£/|| = = ||j4/-|-//||, т. е. \\U^\\ = ||?11- Но, значит, U, коль скоро ои определен, непрерывен. Далее, пусть 6 — область определения U (т. е. множество всех Af ~\-if) и g — область изменения U (множество всех U/, т. е. множество всех Af — //). Так как А п U линейны, то Й и § суть линейные многообразия, но они еще и замкнуты. Действительно, пусть 屮一предельная точка 6 или 音 соответственно. Тогда существует последовательность %, ср2, ... из Й или из 芯 соответственно, сходящаяся к ср：中加—> 卩 Значит, ^n—Afn 士 If п. Поскольку срл сходится, они удовлетворяют критерию сходимости Коши (ср. D, из II. 1), и поскольку
ym-fn^Wm - /“)± /(% — 厶州=и % — 端I.
то и /л, безусловно, удовлетворяют этому критерию, но так как II A%-Aз || = IIЛ (/m-/n) I!^)| Л(/n,-/„)±/(/n,-/„)I| = II 中加一 ％ II.
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕН. ЗНАЧЕНИЙ 125 то н Afn также удовлетворяют критерию. Следовательно, /р /2,... и Afv Afv - . • (по。・ из П. 1) тоже сходятся: fm~>/, 4/加一>/*・ Поскольку /——замкнутый оператор, Af определено и равно /*. Имеем, следовательно:
^n=Afn ± гЛ->/* ±if=Af + if,屮“->%
Но, значит, ^=Af±lft т. е. ср также принадлежит к S или к 芯 соответственно.
Итак, U определен в замкнутом линейном многообразии 6 и отображает его на замкнутое линейное многообразие 芯.Оператор U линеен и, так как \\Uf — Ug\\ = 11^(/ — ^)11 = II/ — g||， то оставляет все расстояния инвариантными. Мы назовем его изометрическим. Тем самым из Uf ^ Ug следует, что /声 g, т. е. отображение однозначно. Верно также, что (/, g) = (U/, Ug), что доказывается совершенно так же, как в конце И. 5 доказывается аналогичное соотношение для унитарных операторов. Следовательно, U оставляет также неизменными все внутренние произведения. Но унитарным U будет, конечно, тогда и только тогда, когда ⑤=g =貌廿
Если А и В ——два замкнутых эрмитовых оператора, U и V ——их кэли-образы, а вышеописанными множествами будут соответственно В, 8 н ⑤，§, то сразу видно, что если В есть истинное продолжение 4, то н V есть истинное продолжение U. Следовательно, 6 есть истинная часть 6, g — истинная часть &• Следовательно,⑤声脏g, § 次睨8・ Значит, U не унитарен и проблема собственных значений / неразрешима. Так мы доказали неоднократно упоминавшуюся прежде теорему: Если проблема собственных значений 4 разрешима, то не существует истинных продолжений Л, т. е. Л максимален.
Вернемся теперь к замкнутому эрмитову оператору А с его 6, g и U. Если Af имеет смысл, то для Л/ +1/ = ср U屮 тоже имеет смысл и, именно, Af ——i/ = U屮，-следовательно, /=^-(屮 ——UR // = ^(中 + u中)，?. е., если мы положим 屮=击中，то / =少一U屮, //=£ (屮+ U屮).Наоборот, для / =屮 ——U^, разумеется, определено Л/; так как поскольку U屮 имеет смысл, то 屮=4广+ 看广(А『определено !), U^ = Aff —1『 и, следовательно, }=屮一U屮=2»广・ Область определения / есть, таким образом, множество всех 屮——U^ и, при / =屮—U屮，// = 上(屮+и屮).Тем самым А тоже однозначно определяется по U (так же, как 6 и 先).Одновременно мы убеждаемся, что множество 屮——U^ должно быть всюду плотно (как область определения Л).
Пойдем теперь в обратном направлении, начиная с двух замкнутых линейных многообразий 6, g и линейного изометрического О, отображающего 6 на g. Существует ли эрмитов оператор А, кэли- образом которого является этот U? Во всяком случае для этого
необходимо» чтобы 屮一U^ были, всюду плотны, так что это предполагается. Искомый оператор / определяется тогда, согласно только что сказанному, однозначно, и остается открытым лишь вопрос о том, возможно ли такое определение, будет ли этот / в действительности эрмитовым, будет пн U в действительности его кэли-образом. Первое, несомненно, справедливо, если / однозначно определяет 中 （когда оно вообще существует） через соотношение / =屮——U. т. е., если 屮=屮 следует из ср —Uq =屮——U屮 или ср—0 следует из ^—U^—0. В самом деле, положим ср — U^ — 0. Тогда из 且=屮——U屮 следует, что
（屮，g） = （屮，屮）一（％ U^） — （U^t U^）—（屮，U屮） = （Ucp — cp, U屮） = 0,
и, поскольку эти g всюду плотны, то ср — 0.
Во-вторых, нам нужно доказать, что （А/, g） = （f, Zg）， т. е. что （Л/, g） переходит в комплексно-сопряженное выражение при замене/иg-. Положим / =屮 ——U.且=屮 ——U屮,тогда Af — l（^—U^） и
（АЛ g） = «（9+Ucp）,屮一U屮）=
=2（屮，屮）+ *Ucp,屮）—z（屮，U屮）—z（U. U^） =
= Z［（"p,屮）—（U屮，cp）］ = l（U^,屮）十z（U屮，中）
и последнее выражение» очевидно, ведет себя желательным образом при перемене мест / и §•, т. е. ср и 屮. Ответ на третий вопрос мы получим следующим образом. Обозначим через V кэли-образ 4 Его область определения есть множество всех
"/+*/ = »（中+u中）十纟（中-Ucp） = 2蚱，
т. е. область определения U, н в этой области
V （2Zcp） = V {Af -\-if） = Af 一 t/ = j（屮+ ^7屮）一2（屮一Ucp） = 22Uср,
т. е. Vcp = U^. Следовательно, V — U.
Таким образом （замкнутые） эрмитовы операторы Л со всюду плотными 屮——Uq соответствуют нашим линейным изометрическим U одно-однозначно, если мы отнесем каждому Л его кэли-образ U ）.
4Я 90 屮。 9ll?oll II Фо IIтеперь оператор V а — некоторое число)4Я 90 屮。 9ll?oll II Фо IIтеперь оператор V а — некоторое число)Мы можем теперь обозреть все В— эрмитовы продолжения А, поскольку все V ——изометрические продолжения U можно найти без всякого труда (ср ——Vcp автоматически повсюду плотны, так как 中 ——U屮 —— подмножество предыдущего множества ——всюду плотны). Чтобы оператор / был максимальным, U должен быть тоже максимальным и наоборот. Если U не максимален, то S 91^, § ¥= 91^. Из этих неравенств в свою очередь следует не максимальный характер U. В самом деле, тогда 脏g — 6 — 0, ■ 3?^ — g 0; поэтому мы можем выбрать некоторое % из St^ —芯 и некоторое 屮° из 9t^ — 8 такие.
4Я 90 屮。 9ll?oll II Фо II
теперь оператор V а — некоторое число)
4Я 90 屮。 9ll?oll II Фо II
теперь оператор V а — некоторое число)
что 屮0声0,屮о#°； и если мы их еще заменим будем иметь ||ср0|| — "屮 ^ — 1. Определим b [®.屮о] так, что для / =屮 +а屮0 (屮 из 区
V/=Ucp+。屮°, причем V, очевидно, линеен; так как ср ортогональна к ср。н U屮 ортогональна к 屮°, то ||/||2— ||ср||2+1 а |2, ||V/||2 = =|Q叫|2十|。卩，и, значит, ||У/|| = ||/|| и R изометрический оператор. Наконец, V есть истинное продолжение U. Следовательно, максимальный характер А определяется тем, что ⑤=吃8 или 音=胱0G.
Если, с другой стороны, / не максимален, то оба замкнутых линейных многообразия 脏g — ® и 脏8 — 8 отличны от нуля. Пусть ортонормированными системами, растягивающими эти многообразия, будут 屮р Ур и 屮卜・・・，% соответственно (ср. теорему 9.
из II. 2); р=1, 2,…，8； q=l, 2,…，оо; при р или 外 равном 8, ряд ср или 屮 не обрывается. Пусть r = Min(p, q), тогда мы определим оператор V в [S, срр ...,屮/ следующим образом: для
/ =屮+£。型(ср из ⑤；а】，.…аг一числа), U/ = Ucp + £a就.
Далее легко убедиться в том, что 丿一линейный и изометрический оператор и что он является истинным продолжением U. Его область определения — это [S, срр ..., ^г], т. е. при г — р она совпадает с [6,睨8 —图=刑8； ег0 область изменения—это [§,屮卜...,屮/ и, следовательно, при r — q она совпадает с [§,晩g — 81 — ^га* Значит, одна из двух областей во всяком случае равна 猊^. Пусть V будет кэли-образом эрмитова оператора В. В соответствии с нашим рассуждением В есть продолжение / и притом максимальное. Заметим, что «р н 屮 могут быть выбраны бесконечным числом разных способов (например, мы можем заменить 屮]на любое 8屮]с | 0 | = 1). Соответствующая неопределенность остается и в выборе V н 3.
Итак, мы до конца проанализировали проблему собственных значений и пришли к следующему выводу: если она разрешима, то она имеет лишь одно решение, однако для немаксимальных операторов она, безусловно, неразрешима. Немаксимальные операторы всегда могут быть бесконечно многими способами продолжены до максимальных (мы все время имеем в виду эрмитовы замкнутые операторы).
Но условие максимальности не есть в точности то же, что условие разрешимости проблемы собственных значений. Первое гласит, что ⑤=吃8 или 咅=吃8，в то время как последнее — что ⑤=%
Мы не собираемся подробно исследова1;ь здесь те операторы, для которых имеет место первое условие и не имеет места второе, т. е. операторы, для которых проблема собственных значений неразрешима и поскольку (вследствие максимальности) они не имеют истинных продолжений, то это положение для них окончательно. Операторы эти характеризуются тем, что для них @ = 81^, § ^ 91^, или ⑥ ¥=世8, 芯=吃8・ Такие операторы существуют на самом деле и все они могут быть получены из двух простых нормальных форм, так что их можно рассматривать как исключения по сравнению с максимальными операторами с разрешимой проблемой собственных значений. Читатель может найти более подробные сведения об этом предмете в статье автора, упомянутой в прим.95) стр. 111. Во всяком случае в настоящий момент эти операторы должны быть исключены из квантово* механического рассмотрения. Причина этого состоит в том, что разложение единицы, принадлежащее данному эрмитову оператору, столь существенно входит (как мы вскоре убедимся) во все представления квантовой механики, что просто невозможно отказаться от его существования, т. е. от разрешимости проблемы собственных значений ). В соответствии с этим мы будем, как правило, допускать только такие эрмитовы операторы, для которых проблема собственных значений разрешима. Поскольку это свойство является усилением максимальности, мы будем называть такие операторы гипермаксимальными 吗.
В заключение следует отметить два класса (замкнутых) эрмитовых операторов, которые в то же время непременно гипермаксимальны. Во-первых, это непрерывные операторы: они определены повсюду и, следовательно, максимальны, а поскольку, согласно Гильберту (смотри ссылку в прим.64), стр. 78), проблема собственных значений для них всегда разрешима, они также гипермаксимальны. Во-вторых, это операторы, вещественные в какой-либо реализации 9ftg, если они максимальны. Ведь единственное различие между ⑤ и g но их определению сводилось к знаку перед £, который, если все остальное вещественно, не имеет значения. Таким образом,咅=睨8 оказывается следствием S = (R^ и наоборот, т. е. гипермаксимальность следует из максимальности. Без предположения о свойстве максимальности мы, во всяком случае, можем сказать, что 51co — S и (R^ —咅 имеют одинаково много (одинаковое число) измерений. Следовательно (в терминах, принятых выше при исследовании соотношений продолжения), р = д, и, значит, г — р = q и
[S,屮u…，叫=圈眈8 -国=睨8，
[8.屮 屮/ = [$ 睨8 - б1=猊8，
т. е. продолжения, полученные тогда, были гипермаксимальны. Итак, вещественные операторы всегда имеют гипермаксимальные продолжения. В литературе, указанной в прим.95), стр. 111, показывается, что то же самое справедливо для всех дефинитных операторов.
Коммутирующие операторы
Два оператора R и S коммутируют согласно данному в II. 4 определению, если выполняется RS = SR； при этом области определения обеих сторон равенства, если только они не имеют смысл всюду, также должны совпадать. Мы ограничимся сперва эрмитовыми операторами, и притом, чтобы не возникало трудности с областями определения, такими, которые определены всюду, следовательно — непрерывными. Одновременно с R и S мы будем рассматривать и принадлежащие им разложения единицы 七(入)и 尸(入)・
Коммутативность R н S означает, что (RSf, g) = (SR/, g) для всех /, g, т. е. что (5/, Rg) = (Rf, Sg)・ Далее, из коммутативности R с S следует и коммутативность Rn с S (п = 0, 1, 2,...), значит, и коммутативность p(R) с S для всех полиномов /?(%) = = 0(,+。/+ . .. + апхп.
Символически
сс
R= / 入 dE。)，s(R)= / sgdEg
—c— c
9 И. Нейман
(С—постоянная, введенная в II. 9 для непрерывного оператора R, который обозначался там через Л; s(x)——какая-либо функция; ср. II. 8, особенно прим.94) на стр. ПО.) Для полиномов s(x) выполняется (s(R)/, Sg)~(Sft s(R)g), т. е.
*. Js(入)d(E。)/, Sg)= J s(X)d(S/, E(X)g).
-c-c
Поскольку любую непрерывную функцию можно сколь угодно хорошо аппроксимировать полиномами (равномерно в ——С《％《С), то *. выполняется еще и для непрерывных s(x). Пусть теперь
s(x)=s(x)=~—■入о% для X %,
s(x)=
s(x)=
：：1」0для х ^^j- Xq,
тогда *. даст нам
J (ХО-Х)Й(£(Х)/, Sg)= J (Х0-Х)й(5/, Е (入)g).
-С-с
Заменяя здесь 入° на 入о+е (е > 0), получим, вычитая и деля на s:
/d(EG) /. Sg)+ / 上卢 d(E(入)/, Sg) =
—C入о
入0入
=/d(Sf E0)g)+ / =^d(S/, E0)g),
и при £-> 0 (вспоминаем $・！)
f d(E a) f, 5^)= р(5/, EQ^gy, (£(Х0)/. Sg) = (Sf, E(k^g). -С
Таким образом, все £*(入 °) для —CW 入о《С коммутируют с S, для остальных же это очевидно непосредственно, поскольку для к0 <——С или для 入о〉С £"(入о)=О или соответственно 1.
Итак, если R коммутирует с S, то то же выполняется и для всех Е (к). Обратно, если все £*(入)коммутируют с S, то *, выполняется для каждой функции s(x), благодаря чему все s(R) коммутируют с S. Отсюда мы можем вывести, во-первых, что R тогда и только тогда коммутирует с 5, когда это имеет место для всех £*(入), и, во-вторых, что в этом случае коммутируют с S и все функции s (欠)от R,
Но теперь некоторое £*(入)будет коммутировать с S тогда и только тогда, когда это будет иметь место для £* (入)и всех 尸(卩) (мы применяем нашу теорему для Suf) на месте А и S). Таким образом, для коммутативности R н S характерно и то, что все Е(X) должны коммутировать со всеми 尸(м)・ Далее, коммутативность R vi S имеет, согласно сказанному выше, следствием и коммутативность г (/?) с S, что в свою очередь (если заменить A, S на S, г(А)) — коммутативность г (/?) с s(5).
Если эрмитовы операторы R н S не связаны условием непрерывности, то положение усложняется, поскольку области определения RS и SR могут слагаться очень ненаглядным образом. Так, например, R • 0 имеет смысл всегда (так как 0/ — О, R・0/ = R(0/) = =R . О = 0), а 0 • R, напротив, только если R имеет смысл (ср. сказанное по этому поводу в II. 5). Таким образом, для не всюду определенного R вследствие различия областей определения R • 0 # 0 • R, т・ е., строго говоря, R не коммутирует с 0. Такое положение вещей чрезвычайно неприятно для наших дальнейших целей: оператору 0 следовало бы коммутировать не только с непрерывными, но и со всеми эрмитовыми операторами). Мы определим поэтому для не непрерывных R, S коммутативность другим способом; мы ограничимся при этом единственно интересными, согласно II. 9, гипермаксимальными А и S. Определяем: R н S должны называться коммутирующими в новом смысле, если все £*(入)коммутируют со всеми 尸(俨) (это опять соответствующие им разложения единицы) в старом. Для непрерывных R н S новое определение, как мы уже знаем, совпадает со старым, напротив» для разрывных R или S (или обоих) это при некоторых обстоятельствах не имеет места. Примером последнего служит случай операторов R и 0: в старом смысле они не коммутировали, а в новом — коммутируют, поскольку для оператора 0 каждое 尸(м) равно 0 или 1 ), следовательно коммутирует с £*(入)・
ницы вида 尸(出)=ницы вида 尸(出)==1 для=0 для=1 для=0 для以а0,以а0,Выше мы доказали, что если R и S ——два коммутирующих (непрерывных) эрмитовых оператора, то каждая функция г (/?) оператора R коммутирует с каждой функцией s(S) оператора S. Поскольку для R = S эта предпосылка выполняется всегда, то две функции г (/?) и s(R) одного и того же оператора всегда перестановочны (это сле-
ницы вида 尸(出)=
ницы вида 尸(出)=
=1 для
=0 для
=1 для
=0 для
以а0,
以а0,
дует и из формулы умножения в конце И. 8: г (R) s (R) = t (R)t если r(x)s(x)==t(x)). Если г(х) и s(%) вещественны, то, кроме того, r(R) и s(R) будут эрмитовыми (в силу И. 8: если г (х) вещественна, то (〃R))* = 7(R) = l(R)).
Справедливо и обратное утверждение: если Л и В — два коммутирующих эрмитовых оператора, то существует такой эрмитов оператор R, что оба они будут его функциями: 4 = l(R), 3 = s(R). Можно утверждать и несколько большее: если задано произвольное (конечное или бесконечное) множество коммутирующих эрмитовых операторов Л, В, С, .... то существует такой эрмитов оператор R, функциями которого будут все Л, В, С, ... Мы не можем привести здесь доказательство этой теоремы и нам придется ограничиться ссылкой на литературу вопроса109). Для наших целей понадобится эта теорема только для конечного числа операторов Л, В, С,... с чисто дискретным спектром. Для этого случая она будет сейчас доказана, относительно же общего случая мы сможем привести лишь некоторые ориентирующие замечания.
Итак, пусть Л, В, С, .. .—конечное число эрмитовых операторов с чисто дискретным спектром. Если 入一некоторое число, то назовем & замкнутое линейное многообразие, натянутое на совокупность решений уравнения Д/ = к/; соответствующий проекционный оператор назовем Е入.Число 入 тогда и только тогда будет дискретным собственным значением Л, когда существуют решения / ^ О, следовательно, для & ¥= (0), что значит 七入# 0. Аналогично мы образуем 峡入 и 尸入 для оператора В, % и Gx для СИз Af — Xf следует АВ / — В А / = В (к/) = ХВ /. Это значит, что вместе с / в 网 входит и В/. Так как &/ всегда принадлежит к £» то то же справедливо и для BE由 тем самым Е^ВЕ" = BEj. Это выполняется тождественно, следовательно, Е%ВЕ% = ВЕ%・ Применение 車.приводит отсюда к Е%ВЕ% = Е%В, Следовательно, 以3 = 3£'紋 Точно так же, как мы заключили сейчас из коммутативности Л и В о коммутативности В и 七戸 из коммутативности В，н Е% следует коммутативность £\ и 尸卩. Поскольку 4 н 3 никак не были выделены среди операторов А, В, С, .. ., можно утверждать, что все 七入,尸卩,Gv, . . . коммутируют друг с другом. Итак, К (Xp-v • • •)=七入尸卩0丫 ——тоже проекционный оператор; его замкнутое линейное многообразие назовем Я(Хр<>)- • •. Согласно теореме 14. (И. 4),优(入口…)будет пересечением 网，叫,
贸,・.・,т. е. совокупностью всех общих решений уравнений
Af — X/, Bf = ^ft С/ = у/,
Пусть 入，戶,丫, 一 • и X, р/, М,・♦.——две различные системы чисел, т. е.入)X или 戶# р/, или y 步 VПусть / принадлежит к 优(入口・・•)，a f — к ^(X^V- • •). Функции / н 广 ортогональны: для 入#» из-за Л/ == X/,厶广=入广，для 卩# р/ из-за Bf — р./, В『=$『、.... Тем самым всё Я (Xp,v • •«) ортогонально ко всему
Поскольку Л имеет чисто дискретный спектр, то всё % (рассматриваемое как замкнутое линейное многообразие) натягивается на &・ Поэтому / # 0 не может быть ортогональной ко всем йх» т. е. по крайней мере для одного йх ее проекция в £入 должна быть #0, т. е. E^f ^ 0* Точно так же должно существовать одно 卩 с 尸卩/¥=0, одно y с GJ* 0, ... Вследствие этого мы можем найти для каждой / # 0 одно £ Fx/ 步 0, затем 戶 с 尸卩(£\/) # 0, затем v с Gv (尸卩(弓/)) + /0, ... . Так оказывается окончательно, что
尸卢人//0；丛尸卩5…/#0，k(雄Y，，・)/#0, т. е. что / не ортогональна к 优(入戶丫・…).Итак, функция /, Ортогональная ко всем 优(入口 …)，=0. Тем самым на совокупность всех Я(Хр- • •) натягивается все 优 как замкнутое линейное многообразие.
Пусть теперь 弘北丫 / 屮,^丫 )(...——ортонормированная система, на которую натягивается замкнутое линейное многообразие 优(入戶丫 • (Эта последовательность обрывается или нет, судя по тому, имеет ли 京(入戶丫 …)конечное или бесконечное число измерений; если, напротив, Я(Х|Л>- .*) = 0, то она состоит из 0 членов.) Каждая 屮修丫 )принадлежит некоторому Я(Хр,>- • •), является, следовательно, собственной функцией всех Л, В, С, ... . Две различные 屮悔丫 )всегда ортогональны^ друг другу: если они обладают одной и той же системой X, р., v,..., то на основании их построения, если они обладают различными системами 入，戶,y, •・・,то поскольку они принадлежат к различным Я(Хр- • •). Все функции ср*]у )растягивают то же замкнутое линейное многообразие, что и все 京(入口：…)一многообразие Я^- Тем самым 屮肅)образуют полную ортонормированную систему.
Итак, мы построили полную ортонормированную систему из одних лишь общих собственных функций операторов А, В, С, ... В дальнейшем мы предпочтем обозначать ее через %, ф2> • ■ •» а соответствующие уравнения будем записывать в виде
'中 zn = \n中т^Фm = ?,mФm*e屮 m = Y加屮
Возьмем теперь какую-нибудь систему различных друг от друга чисел хр 衿 囂3，…и построим эрмитов оператор R с одними лишь
134 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА ［ГЛ. 11 дискретными собственными значениями хр х2, ... и соответствующими им собственными функциями 屮%， ・・・，т. е. положим
1 / 1
Пусть, далее, 尸(乂) — определенная в интервале ——оо < х < -|- со функция, для которой имеет место 尸(乂机)=入机(m=l, 2, . ..) (для всех остальных значений к функция Л (х) может быть произвольной); точно так же G(x)——функция с G (хт) =з ^т, ”(乂)——функция e "(K机)=Y帽，... Покажем, что
A = F(R), 3 = Q(R), С = //(/?),
Нам надо показать, что, если R обладает чисто дискретным спектром хр х2, ... с собственными функциями 屮】，%，・，•， то 尸(г) будет обладать чисто дискретным спектром 尸(乂】)，尸(乂？)‘ . * • с теми же самыми собственными функциями <рр %, ... Поскольку, однако, функции 屮］,屮2，・・・ во всяком случае образуют полную ортонормированную систему, то будет достаточно доказать, что 户(R)屮机= =尸(xm)' ,
Пусть, в согласии с II. 8, £(入)= 工 勺力］—принадлежащее R разложение единицы. Тогда, как мы знаем, можно будет записать символически
и, по определению,
尸(R) = / 尸(X)dE(X).
но) xb *2，乂3，•・・ следует выбрать ограниченными, например, 乂机=一, чтобы R оказался непрерывным. Действительно, из непрерывности 欠，т. е. йз |!j?/|J< С> f(/|(, следует тотчас же
!! А屮m II = II 乂?《屮机 II = I 丨《C • II 屮m II = G I Хл11 W C，
а из I xm К C(m = l, 2, ...) — обратно:
ПА/У =
R (』xnAm
\m= 1
У ^ni^m'^m
1
—』I &n I21 *m I2,
ll/l|2 = | 自jNm
следовательно, оператора A・следовательно, оператора A・
следовательно, оператора A・
следовательно, оператора A・
\\^f\\2^C2- ll/ll2, ||/?/||^C- ll/ll, т. e. непрерывность
Далее
e （入）屮m = （
=匕
=о
для % 三 X, для кт > 人.
Отсюда следует, что для всех g
（尸（R）%，g）=/尸（入）4（七（入）屮川g）=尸（％），（屮m g），
т. e. действительно 尸（R）屮巾=尸（匕）•屮m
Тем самым доказательство для случая чисто дискретного спектра, как мы и обещали, выполнено. Для случая непрерывного спектра нам придется удовлетвориться указаниями примечания ） （стр. 132）. Мы хотели бы только остановиться на одном особенно характерном случае.
Пусть 9ft8 — пространство всех /® %） с конечным / ^\f ^v Я^ ^Ях^Я^ определенных в квадрате 0^^р ^2 = ^' Образуем операторы A = qx - • •, В = ^2• • •. Они эрмитовы, в рассматриваемой области определения на плоскости g『д? также и непрерывны （при —8 <外，72 < + оо—нет!）, далее» они коммутируют. Следовательно, они оба должны быть функциями одного R. При этом последний должен коммутировать с Л и В, откуда, на доказательстве чего мы не будем здесь останавливаться, следует, что R должен иметь вид s（g『 ％）… [$（处，％） — ограниченная функция]. Но тогда Rn （л = 0, 1, 2, ...） должен равняться （s（g】，夕2））“•一，и 尸（R） равняться 尸（s（0i， 02））. * •，если 尸（к） — полином. Последнюю формулу можно, однако, во что мы также не можем глубже вникать здесь, распространить на все 尸（к）. Итак, из 尸（R） = 4 Q（R） = 3 следует, что
尸（S（01, %）） = %, 。（6（%, 02）） = %1"），
Это значит, что взаимно обратные отображения s（g】， ^2） = х и 尸（乂）=夕[,0（乂） = 02 должны были бы одно-однозначно отображать поверхность квадрата 0《д「％《1 на линейное числовое множество переменной 乂一нечто, что противоречит геометрической интуиции.
Однако на основе упоминавшегося выше доказательства мы знаем, что это тем не менее должно быть возможным. И в самом деле, отображение желаемого рода действительно осуществляется посредством так называемой кривой Пэано П2）. Внимательное изучение приведенного в прим.109） доказательства действительно показывает, что оно приводит в рассматриваемом примере к кривой Пэано или родственным ей образованиям.
Шпур
Мы хотим определить здесь некоторые важные инварианты операторов.
Для одной матрицы {а ) из 9?л таким инвариантом будет шпур £ а^. -Он унитарно-инвариантен, т. е. не меняется, если преобразовать {%} к другой (декартовой) системе координат). Если же заменить матрицу {”、} соответствующим оператором
4 {尤г ％〃} = {%»•・.‘ ％}‘ Ур.= 4”у%м
то элементы а^ выразятся через Л следующим образом. Векторы ср】.—{1，о，* ■ • >屮2 {°，I，■ • •» о}» • • • > 屮〃 -―{。，о, 1}
образуют полную и нормированную ортогональную систему, и, очевидно, d” = (Z汽,屮卩(ср. II. 5, в особенности прим. ^) на стр. 75). Итак, шпур выражается формулой ^(Л(р ,屮)，и его инвариантность утверждает, что его значение будет одним и тем же во всякой полной нормированной ортогональной системе.
Такое образование понятия шпура можно немедленно перенести по аналогии в %: если Л — линейный оператор, то мы выбираем
какую-нибудь полную ортонормированную систему 屮「 ср2, ..., для которой все Лср^ имеют смысл (этого, безусловно, можно добиться, если область определения Л всюду плотна ——достаточно взять в ней плотную последовательность /р /2, ... и ортогонализировать ее с помощью теоремы & из П. 2) и полагаем Spur (А) = £ (厶屮以 cpj. Надо показать, что так образованная величина действительно зависит только от Л (но не от *!)•
Для этой цели введем сперва две полные ортонормированные системы ф1( ср2, ,,. и 屮и 屮2’ и положим
Spur (А; % 屮)=£ (4% 工)(屮” ср ).
Из теоремы 7. раздела И. 2 следует, что это выражение равняется £ (Лер , ср ), т, е. зависит от 工 только кажущимся образом. Далее
СООООО
11gl(А%，屮JCK，^) = ^2^. a*屮JCK，中3=出名1(А*%，%)(作，%)，
т. e. Spur (Л;屮，ср) = Spur (Л*;屮，ср). Поскольку правая часть зависит, согласно сказанному выше, от 屮卩 только кажущимся образом, то это же должно быть справедливо и для левой: она зависит, следовательно, только кажущимся образом н от 屮卩 н от 屮丫， в действительности же есть функция только от 4 Поэтому мы можем обозначать Spur (Л; ср,屮)просто как Spur Л. Поскольку он равен X (A3屮卩，то желаемое доказательство инвариантности завершено. При этом из последнего равенства следует еще и Spur (Л) == Spur (Л*).
Соотношения
Spur (а А) = a Spur (Л),Spur (Л ± 3) = Spur (Л) 土 Spur (В)
очевидны. Далее, выполняется (и для некоммутирующих Л и В) соотношение
Spur (АЗ) = Spur (ЗА).
Оно доказывается так：
8ОО
Spur(AB) = m(AB%,中卩=耳(8理，A*cpJ =
=^^(5^, <pv)(<pv. А^=^(В^, ф^СЛ^,屮J,
где фр ср2, ... и 屮1，屮2’ * * * можно считать двумя произвольными полными ортонормированными системами, и симметрия последнего выражения в Л и В (при одновременной перестановке 屮 н 屮)очевидна. Таким образом, для эрмитовых операторов Л и В:
Spur (АЗ) = Spur((4^5=丽斫灰珞=Spur®) = Spur (硒,
следовательно, Spur (ЛВ) веществен (для шпура Spur (Л) это естественно так).
Если 峡一замкнутое линейное многообразие, a F — его проекционный оператор, то Spur(E) определяется следующим образом. Пусть 屮 1，..・，屮尼——ортонормированная система, на которую натягивается линейное многообразие 2R, а /р * .., %( — система, растягивающая 況8 —— 峡 (естественно, что или 月，или /, или же оба они бесконечны). Тогда 屮卜...,屮尼,力,...,力 растягивают в совокупности все 次8，т・ е. образуют полную ортонормированную систему (теорема 7. а. из И. 2). Поэтому
кIkI
Spur(F) = X(%,%)+2(%,4)=》(屮"，屮D + X(0,△)=
[1= Ip. = lp.= 1R= 1
k
=£ ]=瓦
R= 1
t. e. Spur (F) равен числу измерений многообразия ВД.
Если оператор Л дефинитен, то все (А屮*,屮世)叁0 и, следовательно, Spur Д> 0. Если при этом Spur(^) = 0, то должны обращаться в нуль и все (工屮卩，屮世)，и поэтому 工屮世=0 (теорема 79. из И. 5). Если ||ср||= 1, то можно подыскать полную ортонормированную систему 屮 1， ср2, ...(:屮1 =屮(если последовательность /р /2> ... всюду плотна, то мы «ортогонализуем» 屮,/р /2ч...——ср. доказательство теоремы 7. в II. 5—, благодаря чему возникнет
начинающаяся с 屮 полная ортонормированная система), следовательно, будет Лер = 0. Если теперь / произвольна, то для / = 0 конечно будет Af — 0, для случая же / ^= 0 то же следует из предыдущего,
если положитьесли положить^> = ~-^ f. Итак, Л = 0. Это значит, что если Л
если положить
если положить
дефинитен и ^ 0, то Spur Л > 0.
При всей краткости и простоте наших рассуждений относительно шпура, математически они не безукоризнены. Действительно, мы рас-
сматривали ряды N（餌，工）（工，中卩и н（А作, ?卩）не обращая
внимания на их сходимость, преобразовывали их друг в друга (меняли порядок суммирования)—короче, делали все, что при корректном обращении делать нельзя. Хотя неряшливость такого рода допу-
скается в теоретической физике и в других случаях, и хотя данная небрежность и не приведет в дальнейших применениях к квантовой механике ни к какой беде, — надо все-таки ясно заявить, что дело идет о неряшливости.
Тем существеннее подчеркнуть, что в основных статистических утверждениях квантовой механики используется только шпур операторов АВ, если и 4 н 3 оба дефинитны, и что это понятие может быть обоснованно и совершенно точным образом. Поэтому в оставшейся части параграфа мы установим те свойства шпура, которые доказываются с абсолютной математической строгостью.
Рассмотрим сперва шпур произведения А*А （А — произволен, Л*Л в силу П. 4 эрмитов и вследствие （Л*Л/, /） = （Л/, А/）》0 дефинитен）. Мы имеем:
888
Spur（A*A）=》（А*А作，作）= 》（А也，a也）=X m加产.
р.= 1卩=S 1p.« 1
Поскольку этот ряд содержит лишь члены 套 0, то он либо сходится, либо расходится к + оо, т. е. в любом случае имеет смысл. Покажем теперь независимо от предыдущих рассуждений, что его сумма не зависит от выбора срр ср2 При этом мы встретимся лишь с рядами, все члены которых ^0, поэтому все будет иметь смысл и любое изменение порядка суммирования будет дозволено.
Если срр ср2> • • • и 屮и 屮2，・・•——пве полные ортонормированные системы, то определим
*（4 作，屮"）= X |（4f）a，屮JR
Согласно теореме 7,『из П. 2 это выражение равняется ^必乎/艮
Т. е. 2（4 ▼卩，屮J зависит от 工 только кажущимся образом. Далее （как Лср^, так и /Г屮丫 должны иметь смысл）,
£（А；加工）=£ 1（А%'工）|2=穆 1（% А*工）卩=
Р-, V —1卩，Y= 1
8
=X I （A*屮,，1K）E = £（A*；屮》, %_）• p・，V = 1'
Поэтому зависимость от 屮卩 тоже только кажущаяся, поскольку так обстоит дело для крайнего правого выражения. Тем самым оказывается, что S （Л; ?世，工）зависит вообще только от Л, и мы назовем ее S （Л）. Согласно доказанному выше,
Е（Л）= 2||Л? ||2=工）卩
卩=1pL, V - 1
и £ (Л) = L (Д*). Таким образом. Spur (Л*Л) определяется заново (и теперь корректно) как L (Л).
Докажем еще независимо некоторые свойства £ (Л), которые следовали бы и из уже выведенных общих свойств шпура.
Из определения следует, что всегда £(厶)昌0, а для £ (Л) = 0 должны все А^^ — 0, откуда, как и раньше, следует, что Л = 0. Это значит, что для Л ^ 0 будет Е(Л) > 0,
Ясно, что £(^^4) = Iа|2£(Л). Если 4*3 = 0, то выполняется:
II(А + В)%J|2—II4Pll俨一118^2 = (4?"，RpJ + (B%_, 4f>口 =
=2 Re (A* 3屮卩=2 Re®, Л*В^) = 0,
следовательно, после суммирования》：
Е(Л + 5) = 2И) + 2(В).
Это соотношение не изменится, если переставить в нем Л и В. Следовательно, оно будет справедливым и для В*Л = 0. Далее, мы можем заменить Л, В на Л* и В*; следовательно, в равной степени достаточно и условий АВ* = 0 или ВЛ* = 0. Для эрмитова Л (или 8), мы можем поэтому написать АВ = 0 или ВЛ = 0.
Если F—проекционный оператор замкнутого линейного многообразия 9W, то для рассматривавшихся при определении шпура Spur (F) функций 屮J, 办，Хи •・・，力：
尼z々J尼
s(^)=2 ll^ll2+2 11^112=211М12+5 I|0||2-2i=a.
[X= I[1=1p=l[1 = 1p.= 1
Иными словами, и £(E) оказывается равным числу измерений М (из-за Е*Е = ЕЕ = Е ничего другого и нельзя было ожидать).
Теперь, к S можно свести Spur(53) для двух дефинитных (эрмитовых) операторов Л и В. Именно, существуют два таких же оператора 4, 3’ со свойством Л/2 = Л( 3'2 = 3匸4)— МЬ1 назовем их У” и 7В、Чисто формально пишем:
Spur (АЗ) = Spur (U 五 УА У В УВ)= Spur (/В 了7 У А /в)= =Spur ((/Л ув/(У А /в) ) = £ (ул /в).
и) Точно это утверждение формулируется так: Если Л гипермаксимален и дефинитен, то существует один и только один такой же оператор А' с А,2 = А. Докажем существование.
Теперь эта £(У Л У^) обладает, — на основании собственного определения и без какого бы то ни было учета связей со шпуром,— всеми свойствами, которые мы ожидаем для шпура Бриг(ЛВ)— именно:
^дув) = ^в 联N),
£ (联N /F+С) = £ (/Л /в) + £ (/л /с9，
£ (联厶 + 夕 /с) = £ (/л /С) + X (/в /с).
Первое следует из того, что £(ХУ) в X н У симметрично:
S(^n= £ 1(ХУ&，屮芥=玄 |“也，X%)|2,
второе следует с помощью первого из третьего, следовательно, остается доказать лишь его, т. е. что 双联/联⑶ аддитивна в А.
Пусть Л — / 入d£ (入)一представление оператора Л через его собственные значения. Поскольку Л дефинитен, то £ (入)для 入 v 0 постоянно (следовательно, согласно S「， равно 0), поскольку иначе для соответственно выбранных 入I V 入2Vo было бы £ (Х2) — Е (入i)用 0, значит, можно было бы выбрать / #0 с (Е (入 2)— Е (入 i))f = /・ Но отсюда следовало бы, как мы уже многократно заключали,
F/n/_f / ДЛЯ 入二入2，t 0 для 入
следовательно,
0О入2入2
(Л/, /) = / 入 d(E(X)f /)= / \d(E(K)f, /)^ J X2 d (£ (X) /, /)=
—oo入 1X]
=入2((E(入2)-E(Xi))/, /)- x2 (/, /) < o.
Поэтому
ооооA = / X dE (X) = J* A dE (入)=J (a2 dE (p-2),
оо
оо
и Л/ = J* 出 d£ (出2)представляет собой желаемый оператор.
Подчеркнем: из дефинитности мы заключили о том, что £ (X) = 0 для 入 V 0. Так как из последнего естественно следует дефинитность, то это, т. е. то обстоятельство, что весь спектр*0, — является характерным для дефинитности.
142 общие Свойства гильвеРТОва пространства [гл. п Но в последнем мы убедимся, если запишем £(]/ 厶]/^) в виде
Е 彩 了豆)=111 UN M®『=2(/л и% /Л /^)=.
=宫w頁 WN V% Vb^^ M(AP丽""电)•
Тем самым строгое обоснование понятия шпура в том объеме, который мы признали выше желательным, проведено.
Последняя формула позволяет сделать и следующее заключение: если А и В дефинитны, то АВ = 0 является следствием равенства Spur (43) = 0. Действительно, последнее утверждает, что МУХУ 豆) = о, следовательно, и ]/Л У В = 0 (ср. сказанное на стр. 140 или следующее ниже рассмотрение Е); следовательно, АВ = У А-У~ЛУВ • J 万=0.
Для дефинитного эрмитова оператора Л вычисления со шпуром корректны и в первоначальной форме. В самом деле, если %〃 ср?，•・・ —— полная ортонормированная система, то X (厶平卩，平卩(сумма, которая была призвана определить шпур !) будет суммой с только неотрицательными членами и, следовательно, будет или сходиться, или собственно (к + оо) расходиться. Теперь могут встретиться два случая: или эта сумма бесконечна при любом выборе ^v ср?，■ • • > —— тогда шпур действительно определен независимо от срр ср2, .. ,, а именно равен+ оо,——или же она по крайней мере при одном выборе фр 屮2，пусть при фр ср2» ・・・， конечна, но тогда из-за
(
8\ 2 сосо
»(a加 也)) = (a加 &)(a%, %)昌 £ 1(屈x，%)У = e(А) (X = l/ k, V= 1同 M= 1
будет конечной и E (Л), пусть, например, равной С2. Если теперь 屮1，屮2， • • •——какая-либо полная ортонормированная система, то
Е(Л)^2 ЦЛф |р = С2. IIAKWC2,11ApiНС.
Поскольку каждое 屮 с ||ф|| =1 можно выбрать за % такой системы, то из ||ф|| — 1 следует ||ЛфЦ^С. Тем самым в общем случае будет II Л/||^С||/||: для / = 0 это очевидно, а для / # 0 достаточно положить ? —][у[[ /• Но тем самым Л удовлетворяет условию St. из II. 9, т. е. Л будет непрерывным оператором. Однако можно утверждать и значительно больше.
Именно, из-за конечности Е (Л) оператор А принадлежит к классу так называемых полностью непрерывных операторов, для которых Гильберт показал, что проблема собственных значений разрешима для них в первоначальной форме, т. е* что существует полная орто- нормированная система %, ф2, ... с 厶屮卩=入卩屮卩(и притом еще 入pf 0 для 卩 f оо)п5). Из дефинитности Л следует, что 儿=5屮以屮D >6 Далее
工％ = X II4屮卩俨=Е (А) — С?・
Если фР ср2, ... образуют некоторую полную ортонормированную систему, то
2 (%，也)=X (W (%，%)(工,汽))=£ (W(也，曲(工/))= p=l[1=1 \v = l/ p=1\y=1/
oo / co\ co / co'
=高（营儿仇，屮V）（工,此）=百3）/（加WI2
f袋 0 с (Е (к) — Е ®_ D ) % = %, откуда /「. Мы можем достичь и DyJ = 1. Из入《入—Icpv) = 0 для м # y. Тем самым функцииf袋 0 с (Е (к) — Е ®_ D ) % = %, откуда /「. Мы можем достичь и DyJ = 1. Из入《入—Icpv) = 0 для м # y. Тем самым функции115)Ср. прим.б4) на стр. 78. Прямое доказательство удается провести следующим образом. Пусть 入о V 入i V 入2 V …V 入必 все они > е или же все< —£, £(Х0) # 七(入力=Л £(Х2)=^=…朵 Е&). Тогда Е (入J —Е (入“т)片 О, следовательно можно выбрать 、/ 9丫 для
f袋 0 с (Е (к) — Е ®_ D ) % = %, откуда /「. Мы можем достичь и DyJ = 1. Из
入《入—I
cpv) = 0 для м # y. Тем самым функции
f袋 0 с (Е (к) — Е ®_ D ) % = %, откуда /「. Мы можем достичь и DyJ = 1. Из
入《入—I
cpv) = 0 для м # y. Тем самым функции
следует, что Е (入)外={
(0 для сказанного следует, что 仇，
%，…，?л> образуют ортонормированную систему и мы можем расширить ее до полной «л，…，…
Выполняется (v == 1, ..., /г)
8%
||4%||2= J ХМ||£(Х) Ъ||2= / 雜對£(入)外产》/ е2 d||Е(А)外产=
пe? ([I e (a外产一 [1 e (入一 0外Ц 2)=му外产=e2. Следовательно,
E=£(4) = C2,
О
что значит, что 枕《^-・ Таким образом, для |入 |》е 七(入)вообще может
принять только《2 • -р- различных значений, т. е. меняется лишь конечным числом скачков, между которыми лежат интервалы постоянства. Но это значит, что при 1 入 | > е имеется только дискретный спектр. Поскольку это справедливо для всех е > 0, то и вообще существует только дискретный спектр.
Поскольку вс€》0, мы вправе переменить порядок суммирования
СО8ОО / ОО ■\
2(厶屮1PtpJ= X \®，工)|2= 2 儿(X ®'屮"2) = [Х= 1р., м= 1v=l \р.= 1/
=Дм1Ф,!12= £ 仆
Итак, и в этом случае X (厶平心?а) оказывается не зависящей от ФР %2，・・・，а именно равной сумме собственных значений. Поскольку для системы срр ср?， • • • она конечна, то, значит, она конечна и всегда. Итак, Spur А опять окажется однозначным, только теперь конечным.
Тем самым мы обосновали обращение со шпуром в обоих случаях.
Получим еще несколько результатов, относящихся к шпуру Spur (Л) и к Е (Л). Для всех Л с конечной Е (Л) выполнялось ЦЛ/11 </Ё(Л)- 11/11， для всех дефинитных (эрмитовых) Л с конечным шпуром—II Л/||^ Spur(X) • ||/||. Пусть теперь Л — дефинитный оператор, Spur (Л) = 1 и для соответственно подобранной ср с ||ср|| = 1 ||Лср||2^-1—s или (Лер,平)》1—е. Поскольку из-за (Лер, ср)^||Лср|| • ^\\ = II Дср|| первое условие следует из второго (с (1—m)2》i—2е вместо 1—е, значит с 2е вместо е), то достаточно рассмотреть только его.
Пусть 屮 ортогональна ср, ||ф|| = 1. Тогда можно найти полную ортонормированную систему 七， 心，•… с /1 = cp, 乂2 =屮・ Следовательно,
у .,,，2_ f =£(^)<(Spur(X))2= 1,
髙"厶叫2+м川2》l-2e+M*2,
II 绅|2《2e,114Pll《]/亲.
Для произвольной ортогональной к ср функции / отсюда следует II Af\\^Y 2е ЦУИ (для / = 0 это ясно, в противном случае 屮=*|^р /) • Если учесть еще, что (Д/, g) = (/, Xg), то мы сможем сказать, что КАЛ ^)К]/2е . 11/11 • ||g||, если / или g ортогональна к ср.
Если теперь / и ^ произвольны, то
/=а% + /'， g = ?% + €‘，
где f и gr ортогональны к ср, а а = (/, ср) и R = (g, %)• Таким образом,
(4Л §)=晒(々，З+МАр, g，)+F(A/，，^-\-{Af, g),
следовательно, если положить (Лер, %) = с,
М/，g) — a餡OI • |(Ар, ^)1+IN • W> 叫+ 1(АГ，g')l и, согласно полученным выше оценкам,
1G4/,中一频[《]/金(同.||川| + |財. |[r)[ + Иr)( • 11^11) < </^.(|a| + nri|)(|₽| + ||gq|)<
《2]/至.Wa|2+ II川2 Wb|2+ ||炉俨=2 ]/五• |力• ||g||- С другой стороны,
(4Л g) —са“=(4Л g) — c (/, %)(. g)= ((A —cP切)/, g). Поэтому всегда выполняется |((Л — cP岡)/, g)[M2 y2m・ ||/|| • ||g||， а значит, как мы знаем из II. 9, и
||(Л-еРи)/||<2/2；. ||/||.
Для / — ср это дает (с = (Лер, ср) вещественно и》0):
[| Ар — fcp|K2]/2e,
e= !打明=e= !打明=<Р?"^11 + Рф||<2/^+Ь.》-II д(р - С叫 + |1工叫> -2]/"26 + (1 -е),1 - (£4-2/2^) <e< 1+2 /Й.
e= !打明=
e= !打明=
Поэтому
11и-рм)/ц<||(л-рм)/|| + lie - 1)%幷式
式 2 ]/五.I⑺I + (e + 2 ]/匹)仍仙《 G + 4 ]/家)И / И.
Итак, для af 0 _4 равномерно сходится к 「旧卜
2 闵 2)one- 口=1/2 闵 2)one- 口=1/В заключение рассмотрим еще шпур Spur (Л) и Е(4) в реализациях 尸z н 尸& пространства 猊8 (СР- I- 4 и II. 3), поскольку именно в них будут получаться физические следствия.
2 闵 2)one- 口=1/
2 闵 2)one- 口=1/
конечнойконечнойВ 尸z (множество всех {хР х?，•••} с ратор А описывается матрицей {仪炉}：
конечной
конечной
■Д {%], л^2( • ■ •}{力‘ Уз* • • ■}» у и —^ ^}
=1
Векторы {1, 0, 0, ...}, {0, 1, 0, ... ], ... образуют полную орто- нормированную систему ср1( ср2, ... и 4屮卜={々]卩, а2[1> . ..}= =刃％昂，следовательно,(厶海，^)-^- IM?p.ll2—21 flP(ll2.
1Q И, Нейман
Отсюда сейчас же получаем
сосо
Spur (4)=工。111P£(4)=工 |""产。
* = 1卩，V = 1
^.f^dv)^.f^dv)В 尸@ (множестве всех определенных в й функций /(Р) с конечным
^.f^dv)
^.f^dv)
22мы рассматриваем только интегральные операторы
2
2
А/ (Р) = / ° (Р,尸)/ (Р) d〃2
(а (Р, Р‘)一 определенная в Q функция двух переменных, «интегральное ядро», ср. I. 4). Если 平i(P),平2(Р)，・・・ —некоторая полная ортонормированная система, то
Spur (4) = 2 (厶九(Р), & (尸))==
ЕОО
=£ / ° (Р Р)梅(Р)請 М 卩=1 й LsJ
и, поскольку всегда выполняется (теорема 7.R.) из IL 2 в при； мене нии к g(P))
g g(P)中佚(Р) de、⑷(P) = g(P), 卩=1 \fi/
£ g (P) & (?) 〃吟 & (P)=g(「), p.= l \2/
TO
Spur (Д) = / a (P, P) ds
Далее имеет место
£(▲) = £/ J a(P, P)也(？) do, 2 dv, p= 1 Q 0
значит из-за (теорема 7.『из П. 2)
2 Jg(P)也(P')d〃 2=£ /g(P)&(P)“ =
p,» 1 2p=l 2
=/ |F7^|2W= J \g(.P'^dvf
22
П] шпур 147 и
£(А)= / J J а (Р, P')\^dvdv'.2 2
Мы видим, что операции Spur (Л) и Е (Л) производят то, что было достигнуто в разделе 1.4 ценой применения математически весьма рискованных искусственных приемов: при переходе от Fz к & сумма 2 • • • заменяется интегралом J • • • du.
р== 1 2
Мы продвинулись теперь в математическом изучении эрмитовых операторов достаточно далеко. Дальнейшие сведения по этому предмету интересующийся математической стороной читатель найдет в примыкающей литературе).
ГЛАВА III
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Статистические утверждения квантовой механики
Возвратимся теперь к анализу квантовомеханических теорий, прерванному математическими рассуждениями главы II. До сих пор мы обсудили лишь, как позволяет квантовая механика определить все возможные значения одной определенной физической величины, энергии,—это будут собственные значения оператора энергии Н, т. е. числа из его спектра. Напротив, вопрос о том, что может она сказать о значениях других величин, равно как о причинных или статистических связях между ними, не был затронут. Теперь нам надо заняться теми утверждениями теории, которые относятся к этим проблемам. За основу примем волново-механический метод описания, так как эквивалентность обеих теорий уже установлена.
При таком методе описания ясно, что все, что мы хотим сказать о состоянии системы, надо извлекать из ее волновой функции ср(^р ..., д/. (Пусть у системы 内 степеней свободы и ^р •• •, g 力一 координаты ее конфигурационного пространства.) При этом мы не будем ограничиваться только стационарными состояниями системы (квантовыми орбитами, волновые функции ср которых являются собственными функциями оператора Н： Н% =入平，ср. L 3), но допускать все состояния системы, т. е. любые волновые функции ср (изменение которых определяется временным дифференциальным уравнением Шредингера: Нср =——"§^7■齐 Р ср. L2). Какие же высказывания можно сделать относительно системы, находящейся в состоянии ср?
Прежде всего заметим, что волновая функция ср была нормирована (I. 3) соотношением
сосо
/ |<Р(^р • • •» %)|2歯1"％：=1,
1] СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 149 т. е. в нашей новой терминологии — как точка гильбертова пространства 猊8 всех /®и qk) с конечным
/ • • • / l/(?i%)户歯1 .. . d%
(некоторого 尸*!) — соотношением ||ср||=1. Иными словами, точка должна лежать на поверхности единичного шара в гильбертовом пространстве ). Мы уже знаем, что постоянный (т. е. не зависящий от с】gQ множитель в ср лишен физического смысла. (Т. е. можно заменить ср на аср, а ——комплексное число. В силу нормировки ||ср||= 1, должно быть |а| = 1). Далее, надо указать еще на то, что ср, помимо координат д】，...,qk конфигурационного пространства нашей системы, зависит еще и от времени /; однако гильбертово пространство строится лишь относительно д「 . . ., qk (ведь и нормировка относилась только к ним), не учитывая зависимости от £, которое следует скорее рассматривать как параметр. Вследствие этого ср, как точка %，зависит от Л но, напротив, не зависит от д「 •・・,0必 ибо как точка 紀8 平 представляет всю функциональную зависимость от q、，…，q^ в целом. Поэтому мы будем иногда указывать параметр £ в ср (когда ср рассматривается как точка 置8)，за" писывая срг
Итак, рассмотрим состояние 中= %(ду ..., д/. Статистическое утверждение, которое можно тогда сделать, гласит: система находится в точке 0[, •・・,qk конфигурационного пространства с плотностью вероятности |ср(д「•…％)化 т- е. вероятность того, что система окажется в объеме V конфигурационного пространства, будет равна
f - ■ f W(G%)户也
(Это один из первых и самых простых примеров, на которых был осознан статистический характер квантовой механики)； впрочем, связь между этим утверждением и предположением Шредингера о распределении заряда [ср. I. 2] является очевидной.) Далее, пусть энергии системы соответствует оператор Н» его собственными значениями
будут Хр %，..・,а собственными функциями—— 平口 cp2, .・・, тогда вероятностью значения энергии Хл в состоянии ср будет
I • /屮（01，^й）?л（^р • • •* 0» “01 …• “0力 I •
（Ср. работы, упомянутые в прим.118）.） Желательно теперь объединить эти два утверждения и придать им единую форму.
Пусть V — ^-мерный параллелепипед
《 C分三抬或eg历三成.
Обозначим интервалы {〃，g；},…，{成，成} соответственно через /р …，/片 Координатам qv qk сопоставляются операторы %…，•…0々…соответственно. Разложения единицы, принадлежащие
образом （ср. И. 8）: разло- обозначается 与（入）и%） для 办三入， для 分〉入.образом （ср. И. 8）: разло- обозначается 与（入）и%） для 办三入， для 分〉入.этим операторам, определим следующим жение, принадлежащее 分（/=1,....内），
образом （ср. И. 8）: разло- обозначается 与（入）и
%） для 办三入， для 分〉入.
образом （ср. И. 8）: разло- обозначается 与（入）и
%） для 办三入， для 分〉入.
EjQ） /（0i‘ •…”）—j °
Введем следующее общее обозначение: если 尸（入）一некоторое разложение единицы, а /—интервал {М,入"}, то положим 尸（/） = 干尸（入"）一尸（入’）（это - проекционный оператор, так как при к三入" 尸（入‘）三尸（入"））・ Тогда вероятность того, что система находится в указанном выше объеме V, т. е. что qx лежит>-в /р ...» qk в /论,составит
/ • • • J |?（^i* • • • > ^*）|2 dq 1 • • • dq^ =
= /..・/ |£\ （/［）・..以（厶）平（о» ・• •，gQ 户 d% …・ d%
（поскольку £\（厶）..-七九（/々）屮（01， •・・,%）=平（01，.一,%）, если qx принадлежит /Р ・・・,g目 принадлежит /々,а в остальных случаях = 0）,
=MG a1） • ♦ •/（/也）叫口•
В качестве второго примера рассмотрим вероятность того, что энергия лежит в интервале /, равном {入'，入“}. Разложение единицы 5（Х） оператора Н определено （ср. П. 8） как F（X）= 工 竹％卜 поэтому
£（/） = £（/）—Е（Х）=2 戶伸］・
1] СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 151 Но рассматриваемая вероятность, — поскольку лишь значения энергии Хр Х2, ... относятся к делу, — является суммой вероятностей всех 入门，для которых 入‘^底三入"，и, следовательно, равна
2 I• J屮(％ ・・・，^fe)?n(^r • •^片)“41 "qj —
=({ £ %/}? r) =(e(/)? ?)-1!£,(/)?!)2.
X ＜統3人"
Итак, в обоих случаях достигается результат, который можно сформулировать следующим образом:
(W.) Вероятность того, что в состоянии ср величины с операторами Ry …，RJ9) принимают значения из соответствующих интервалов /】/р равна
||吕&)弓(厶)中1|2,
где £\(入)，・・・,Е[(入)—разложения единицы, принадлежащие операторам R】,..,,Rt соответственно.
Первый случай соответствовал l = h、R、=q：、…，*=д^ • • •, второй — 2=1, R] = H・ Мы хотим теперь принять, что утверждение W. справедливо и в общем случае; в самом деле, оно включает в себя все статистические утверждения квантовой механики» сделанные до сих пор.
Одно ограничение его применимости все же необходимо. Поскольку при постановке задачи порядок операторов R「 ..., Rt совершенно произволен, то он не должен сказываться и на результате, т. е. операторы Е1 (/^, ..., Е£(/[) или, что то же самое, все операторы £\(入 1), . .., Ei (Xz) должны коммутировать между собой. Согласно П. 10, это означает, что R]R( коммутативны. Это условие выполняется в случае ^1 • • •, ..., д^・・・,а при /= 1» & = Н оно даже беспредметно.
Итак, постулируем W・ для любых коммутирующих операторов Rv ・・・， /?[• Тогда £\(/0Et (/；) взаимно коммутируют и, следо-
”в)В IV. 1 мы обсудим более обстоятельно вопрос относительно этого соответствия, сопоставляющего каждой физической величине эрмитов оператор. Пока же мы знаем лишь на основании 1.2, что операторы ^р ..., q^ соответствуют координатам,операторы 石j2ш дд соответствуют импульсам, а «оператор энергии» Н — энергии.
вательно, Ех (/^ . . . Et (/z) будет проекционным оператором {теорема /4. в II. 4), а рассматриваемая вероятность принимает вид
W = 1|E«i)…弓(厶)叫12 =(g(厶)…勺(厶)中，叫
(теорема 72. в II. 4.).
Прежде чем идти дальше, надо установить некоторые свойства W., которые должны иметь место в любой разумной статистической теории.
/. Порядок утверждений безразличен.
Пустые утверждения, т. е. такие, для которых /у есть интервал {——оо, -|-оо}, можно вставлять по желанию, не изменяя W, ибо их вклад сводится лишь к множителю
Ej (/) = Е (+ оо) — Е (— оо) = 1 — 0 — 1.
Выполняется теорема сложения вероятностей, т. е. если мы разобьем интервал /у на два интервала /；, //, то старая вероятность будет суммой двух новых. Действительно, пусть /；, /；, /； обозначают соответственно интервалы {К 入"}, {К 入}, {入，入"}, тогда
Е (К) - Е (X) = (Е (入)-Е (V)) + (£ (М) — Е (入))，
т. е. £(〃) = £(%) + £(/；), что в силу второй из приведенных выше форм W (линейной по 弓仆)马(/丿)...弓(/】))и дает аддитивность вероятностей.
Для абсурдных утверждений (один из /у пуст)取=0, поскольку в этом случае соответствующее Ej(J^ — 0. Для тривиально справедливых предложений (бее 〃 равны {—8, +°°}) 取=1, поскольку тогда все Ej{Ij)= 1, W = ||cp||2= 1. Всегда имеет место неравенство 0纟取三1 в силу теоремы /3, из II. 4.
Наконец, заметим, что W. содержит утверждение: величина Rj может принимать лишь свои собственные значения, т. е. числа из ее спектра. Действительно, если интервал /力 равный {X, Xм}, лежит вне спектра, то Ejg постоянно в нем и, значит,
弓《j)=弓0")一马(*) = 0,
откуда следует, что W = 0.
Положим теперь /= 1 и обозначим & просто через R. Пусть 混——та физическая величина, которой сопоставляется оператор R (см. прим.119)). Пусть 尸(入)一произвольная функция. Требуется вычислить математическое ожидание 尸(混)•
Для этой цели разделим интервал {——оо, -|- оо} на последовательность подинтервалов {入％, Хл+1),几=0, ± 1, ±2, ... Вероятность того, что 混 лежит в подинтервале 及，Хл+1}, будет
(卢。“+1)—£(%)}% ¥)= «%+】)¥，¥)— «(“¥' ?)•
1] СТАТИСТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 153 и математическое ожидание 尸(混)оказывается, следовательно, равным сумме
+ 8
〃N/&){(E&+i)% 中)一(£&)% 叫，
если 入;является надлежащим промежуточным значением из подинтервала {入入*+i}・ Начнем теперь выбирать точки подразделения ...,入一2，入-1 入0‘ 入 1’ 入2’ • • • все более и более близкими, тогда эта сумма будет сходиться к интегралу Стильтьеса
/尸（入）义ё（入）中，中）.
Поэтому рассматриваемое математическое ожидание также равно этому интегралу. Но в силу общего определения операторной функции в II. 8 этот интеграл равен (尸(R). ср). Следовательно, мы получаем:
(Е1・)Пусть 混—произвольная физическая величина, R——ее оператор (см. прим.119)), а 尸(入)一произвольная функция. Тогда для математического ожидания 尸(混)в состоянии ср выполняется
Erw (尸(91); ср) — (F(R)^t ср).
В частности, если мы положим 尸(入)=入，то будет:
(£2.) Пусть 混,R будут как и раньше. Тогда для математического ожидания 混 в состоянии ср имеем
Erw (吃 ср)=(r%，(Р).
Перейдем теперь к исследованию связей между W・，Ер, Е2..
Мы вывели Ei・ из W・ и Е?・ из Ер^
Если обозначить оператор величины 尸(哨 через S, то сравнение А с 旦.даст нам
(S% 中)=(尸(R)% ф)
для любого состояния ср, т. е. для всех ср с ||ср||= 1. Следовательно, и вообще
(S/,/) = (尸(R)/,/)
(для / — 0 это очевидно, а в остальных случаях ср = ^у^ /), значит, также
(S/, g) = (F(R)f g)
I заменить / на & и на - ^ и результаты вычесть — получим равенство вещественных частей; беря $/, g вместо /, g ——мнимых
частей). Таким образом, должно быть S=F(R). Сформулируем этот важный результат отдельно.
(Е) Если величине 91 соответствует оператор R, то величине 尸(91) должен соответствовать оператор 尸(А).
В предположении Е, однако, Е「очевидным образом следует ИЗ £*2- •
Поэтому (предполагая F.), Е[・ и Е?. являются эквивалентными утверждениями. Покажем, что они эквивалентны также и W.. Поскольку они следуют из W., то остается лишь убедиться, что W. следует из 吊・ или из Ег..
Пусть Rv ..., Rt — взаимно коммутирующие операторы, принадлежащие соответственно величинам阻19V Согласно II. 10, они являются функциями одного эрмитова оператора R:
Ri = F](R),…,%=尸1住).
Примем, что R также принадлежит некоторой величине 91. (Этим самым допускается, что любой величине 91 принадлежит некоторый [гипермаксимальный] эрмитов оператор R и наоборот. Ср. прим. 119) на стр. 151 и раздел IV. 2.) Тогда благодаря 尸.
嘱=尸m脏)，.…脏上=尸ё餌).
Допустим теперь, что /г ...,厶—интервалы, о которых говорится в W・，н
f 1 для к из
G-(X) — <(/= 1,/).
[0 для л вне Ij Положим
HQ、) = G№Q、))...G«FiG)) и образуем величину
0 = "(猊).
Если 91у лежит в /户 т. е.尸,(91) лежит в /尸 то О；(尸,(91)) равняется 1; в остальных случаях оно равно 0. Таким образом, 0 = 〃(91) равно 1, если все 91у лежат в своих 夕(/=1,/),
в остальных случаях — это 0. Математическое ожидание 0 равно, стало быть, вероятности W того, что 脏】лежит в /р ...,脏工 лежит в 厶.Отсюда
W = Erw (®, %) = (〃(/?) ср, ?)=
=(01 (尸 1 (R)) • . •0e(尸Ё (R)) 6 ?) ~ (01 (勺)仇(々)中，中). Обозначим снова разложение единицы, относящееся к R), через Ej (X), и пусть Ij — интервал ｛入，入J Тогда, на основании сказанного
в конце II. 8, в принятых там обозначениях
Gj (人)=6с(人)-%[(入)，
Gj (%)=%"g)-分(巳)=马(右)一Ei (心)=?)(Л) и, значит,
IF = (?] (/J . •.弓(厶)ср, ср).
Но это как раз и есть W.・
Вследствие простоты формулировки, утверждения Е?・ и 尸.особенно удобны как основа, на которой строится вся теория. Мы видели, что наиболее общее возможное вероятностное утверждение W. следует из них, но утверждение W・ обладает двумя замечательными особенностями:
W, является статистическим, а не причинным утверждением, т, е. из него не следует, какие значения принимают величины 9iP ..., 91] в состоянии ср, но лишь с какими вероятностями эти величины принимают все возможные значения.
На вопрос в постановке, свойственной W., нельзя ответить для произвольных величин 脏卜...,脏订 но только для таких, для которых соответствующие операторы Ri， ..., R】 коммутируют друг с другом.
Обсудить значение этих двух фактов будет нашей ближайшей задачей.
Статистическая интерпретация
Классическая механика представляет собой причинную дисциплину, т. е. если состояние описываемой ею системы известно со всей подробностью,—для чего в случае й степеней свободы необходимо задать 2内 чисел: й координат %, ..., qk конфигурационного пространства и я их производных по времени ^―,…，-^ или же, вместо последних, й импульсов pv .. ., р,,——то значение любой физической величины (энергии, момента и пр.) можно определить единственным образом и численно точно. Несмотря на это, существует и статистический метод исследования классической механики, но он является, так сказать, лишь роскошью или приправой. А именно, если нам известны не все 2力 фиксирующих состояние параметра (41，...,勿，PiрЗ но лишь часть из них (причем даже 5TH последние могут быть известны не точно), то можно, j средняя каким-нибудь способом по параметрам, оставшимся неизвестными, сделать по крайней мере статистические утверждения относительно всех физических величин. Это же справедливо и для прошлых или будущих состояний системы: если известны qv ..., qk, pv ….,рк
в момент / = ^0, то с помощью уравнений движения классической механики можно (причинным образом) вычислить состояние в любой другой момент /; но если известны лишь некоторые из параметров, то надо усреднить по остальным, и о состояниях в другие моменты времени 120) можно делать уже лишь статистические утверждения.
Статистические утверждения, с которыми мы сталкиваемся в квантовой механике, имеют другой характер. Здесь в случае й степеней свободы состояние описывается волновой функцией 屮(内，•…，gQ， т. e. точкой ср надлежащим образом реализованного 晚8(11cpi|=1 —— численный множитель абсолютной величины 1 несуществен). И хотя мы считаем поэтому, что задание ср полностью определяет состояние, оно тем не менее делает возможными лишь статистические утверждения о значениях физических величин.
Впрочем, эта статистичность ограничена предсказаниями значений физических величин, в то время как прошлые и будущие состояния 屮£ вычисляются из 屮寿=屮 причинным образом. Это позволяет сделать временнбе уравнение Шредингера (ср. I. 2), так как
中产"击备中，= 一H我
определяют всю эволюцию состояния 屮尸 Решение этого дифференциального уравнения можно получить даже в явном виде
(i)H
[е 九 ° унитарно121)/. (В этой формуле предполагается, что Н не зависит от времени, но % определяется однозначно и для
120) Хорошую иллюстрацию к теория газов.Один моль (32 г) кислорода120) Хорошую иллюстрацию к теория газов.Один моль (32 г) кислородаэтим соотношениям дает кинетическая
120) Хорошую иллюстрацию к теория газов.
Один моль (32 г) кислорода
120) Хорошую иллюстрацию к теория газов.
Один моль (32 г) кислорода
、，.. содержит 6 • 1023 молекул кислорода и
является, учитывая, что каждая молекула О2 состоит из двух атомов кисло-
рода (внутренней структурой которых мы пренебрежем, рассматривая их как точечные массы с тремя степенями свободы у каждой), механической системой с 2 • 3 • 6 • 1023 = зб. 1()23 н 々 степенями свободы. Итак, знание 2々 параметров позволило бы описать его поведение причинно, но теория газов использует лишь два: давление и температуру, которые являются определенными, сложными, функциями этих 2々 параметров.
Поэтому она может делать лишь статистические (вероятностные) утверждения. То, что они во многих случаях оказываются почти причинными, т. е. соответствующие вероятности — близкими к 0 или 1, не меняет принципиального положения вещей.
,21) Пусть Г/ (X) — зависящая от времени функция, -^- Ft (X) = Gt (X), и пусть Н — эрмитов оператор, тогда -^- Ft (Н) = Qt (Н), поскольку 备 полу-
чается вычитанием, делением и переходом к пределу. Если Ft (К.)=
зависящего от времени Н, так как наше дифференциальное уравнение первого порядка, только тогда нет больше простых формул для решения.)
Если желать объяснить акаузальный характер связи между ср и значениями физических величин по примеру классической механики, то, очевидно, естественно понимать его следующим образом: На самом деле ср вовсе не определяет состояния во всех деталях, напротив, чтобы узнать его полностью, необходимо задать дополнительные числа. Иными словами, у системы, помимо % имеются еще и другие характеризующие ее параметры или координаты. Будь все они известны, мы смогли бы указать значения всех физических величин точно и определенно; напротив, с одной только ср — точно так же как в классической механике на основе лишь некоторых из ^р ..., g论， Pi， ..., pk — возможны только статистические утверждения. Такое понимание ——это, конечно, гипотеза, попытка, ценность которой зависит от того, удастся ли в самом деле найти дополнительные координаты, добавляющиеся к ср, и построить с их помощью причинную теорию, находящуюся в согласии с опытом и приводящую при задании одной только ср (и усреднении по остальным координатам) снова к статистическим утверждениям квантовой механики.
Обычно эти гипотетические дополнительные координаты называют «скрытыми параметрами» или «скрытыми координатами», так как они должны были бы играть скрытую роль в сравнении с волновой функцией ср, которая только и раскрыта в настоящее время. Объяснение с помощью скрытых параметров уже свело в классической физике некоторые, казалось бы статистические, соотношения к причинным основаниям механики： характерным примером является кинетическая теория газов (ср. прим. ).
Вопрос о том, возможно ли объяснение этого типа с помощью скрытых параметров в квантовой механике, обсуждался не один раз. Тот взгляд, что на этот вопрос когда-нибудь будет получен положительный ответ, имеет и сейчас выдающихся представителей. Если бы он подтвердился, то сегодняшнюю форму теории пришлось бы
158 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. Ш объявить предварительной, поскольку описание состояний с помощью волновых функций оказалось бы тогда существенно неполным *).
Ниже будет показано (IV. 2), что введение скрытых параметров заведомо невозможно, во всяком случае без фундаментальных изменений существующей теории. Пока же подчеркнем только, что волновая функция ср тем весьма существенно отличается от частичной системы координат и импульсов ^р ..., g為，р、、…，р^ классической механики, что зависимость ср от времени причинна, а не статистична: у%, как мы видели выше, определяет все д, однозначно.
До тех пор, пока более подробный анализ положений квантовой механики не позволит нам объективно доказать (в отрицательном смысле) возможность введения скрытых параметров (что делается в указанном выше месте), мы откажемся от возможности такого объяснения и станем на противоположную точку зрения, т. е. примиримся с тем фактом, что законы, управляющие элементарными процессами (т. е. законы квантовой механики), имеют статистическую природу. (Причинность в макромире может, во всяком случае, быть симулирована нивелирующим действием 《закона больших чисел», который проявляется, когда многие элементарные процессы происходят одновременно. Сравни замечание в конце прим. ) на стр. 156 и прим. 175) на стр. 243.) В соответствии с этим мы убеждаемся, что W. (или также £2.) является наиболее всеобъемлющим утверждением относительно элементарных процессов.
Зтэ понимание квантовой механики, принимающее ее статистические утверждения за истинную форму законов природы и отказывающееся от принципа причинности, и есть так называемая статистическая интерпретация. Она восходит к М. Вог п'у) и является сейчас единственной последовательно проводимой интерпретацией квантовой механики, т. е. суммы нашего опыта относительно элементарных процессов. В дальнейшем мы будем придерживаться этой интерпретации, до тех пор пока не сможем приступить к более подробному обсуждению положения вещей.
Одновременная измеримость и измеримость вообще
Вторая замечательная особенность, отмеченная в конце III, 1, была связана с тем, что W・ объясняло не только вероятности, с которыми некоторая величина 91 принимает те или иные числовые значения, но и указывало вероятностные взаимозависимости между
несколькими величинами 脏】91； — W・,определяло вероятность того, что эти величины одновременно примут некоторые заданные значения (точнее, что эти значения попадут в некоторые интервалы /г ...,厶)・(Все относится к заданному состоянию ср.) Но эти величины Л» ...,脏工 были подчинены своеобразному ограничению： их операторы Rv …，R】 должны были коммутировать. В случае же некоммутирующих Rv ・・，,欠工,напротив, W. не давало совершенно никаких сведений о вероятностных взаимозависимостях между 91р ..91/ и его можно было использовать лишь для определения распределения вероятностей каждой из этих величин самой по себе, безотносительно к остальным.
Скорее всего, тут хотелось бы допустить, что утверждение W, неполно и что должна существовать более общая формула, охватывающая и эти случаи. Действительно, даже если квантовая механика и дает лишь статистические сведения о природе, все же мы могли бы по меньшей мере ожидать от нее описания не только статистики индивидуальных величин, но и корреляции между ними.
Однако в противовес этому представлению, которое на первый взгляд кажется разумным, мы убедимся вскоре, что подобное обобщение W. невозможно и что наряду с формальными (основанными на структуре математического аппарата теории) в пользу ограничения говорят и веские физические причины. Необходимость этого ограничения и его физическое толкование позволят нам даже глубже заглянуть в сущность природы элементарных процессов.
Прежде всего, сошлемся на важный эксперимент, поставленный С о m р t о п'ом и Simons *ом еще до создания квантовой механики ). В этом опыте свет рассеивался на электронах и количественное изучение процесса рассеяния состояло в том, что рассеянный свет и рассеянные электроны перехватывались и проводилось измерение их импульсов и энергий, т. е. между квантами света и электронами происходили столкновения, и наблюдатель мог, измеряя пути после столкновения, проверить, удовлетворяются ли законы упругого удара. (Нужно рассматривать только упругие удары, так как нельзя представить себе, чтобы кванты света или электроны могли воспринимать энергию в форме, отличной от кинетической. Ведь
весь опыт говорит за то, что и те и другие являются однозначными жестко установленными структурами. Естественно, что расчет столкновения нужно вести релятивистски123).) Такой математический контроль был возможен на самом деле: так как траектории до столкновения были известны, а после столкновения наблюдались, то тем самым задача о столкновениях была переопределена. Ведь чтобы фиксировать
ее с точки зрения механики, достаточно двух из этих четырех путей и «центральной линии» удара (направления передачи импульса), т. e.i во всяком случае, достаточно знать три пути, а четвертый можно использовать для проверки. Эксперимент полностью подтвердил механические законы удара.
Если считать законы удара справедливыми, а траектории до столкновения известными, то этот результат можно сформулировать также следующим образом. Как измерения траектории кванта света после столкновения, так и измерения такой траектории для электрона достаточно, чтобы определить место и центральную линию столкновения. Эксперимент Комптона — Симонса показывает, что оба эти наблюдения дают один и тот же результат.
Обобщая, можно сказать: одна и та же физическая величина (именно, какая-либо координата точки столкновения или же направление центральной линии) измеряется двумя разными способами (с помощью захвата квантов света или электронов), а результат получается всегда один и тот же.
Эти два измерения происходят не совсем одновременно (квант света и электрон приходят не сразу, и надлежащим изменением измерительной аппаратуры любой из них можно поймать первым —— конечно, речь идет о 10-9—10“ сек). Назовем более раннее измерение Mv а более позднее — М2, а измеряемую величину —虱 Теперь существенно следующее. Хотя вся установка такого рода, что до измерения можно делать только статистические утверждения относительно 猊，т. е. относительно Мх и М2 (см. ссылку в прим. )), статистическая корреляция между Мх и М2 оказывается совершенно резкой (причинной): значение 91 для Мг наверняка равно значению 91 для М2. Итак, до измерений Мх и М2 оба результата совершенно неопределенны. После же выполнения Мх (но еще не М2) результат 附2 У*© определен причинным и единственным образом.
С принципиальной точки зрения можно сказать: a priori мыслимы три степени причинности или непричинности. Во-первых, значение величины 91 могло бы быть полностью статистическим, т. е. результат измерения можно было бы предсказать лишь статистически; и если бы непосредственно вслед за первым было выполнено второе измерение, то оно могло бы опять обладать некоторым распределением, совершенно не зависящим от значения, найденного при первом измерении, например столь же широким, как и у первого ). Во-вторых, мыслимо, что значение величины 91 может иметь дисперсию в первом измерении, но что каждое непосредственно за ним следующее измерение вынуждено
31 ОДНОВРЕМЕННАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ И ИЗМЕРИМОСТЬ ВООБЩЕ 161 давать результат, согласующийся с первым. В третьих, 91 могло бы быть определено причинным образом с самого начала.
Эксперимент Комптона — Симонса показывает теперь, что в статистической теории возможен лишь второй случай. Поэтому, если первоначально система находилась в некотором состоянии, в котором значение 91 не может быть предсказано с достоверностью, то это состояние переходит при измерении М величины 91 (в вышеприведенном примере ——М^ в другое состояние: а именно в такое, в котором значение величины 免 однозначно определено. Кроме того, новое состояние, в которое М переводит систему, зависит не только от установки для получения М, но также от результата измерения М (который не может быть предсказан причинным образом в первоначальном состоянии), поскольку значение 猊 в новом состоянии должно быть как раз равно этому М-результату.
Пусть теперь 91—некоторая величина, оператор которой R имеет чисто дискретный спектр Хр Х2> * • * с соответствующими собственными функциями 9Р 中2，—・，которые, следовательно, образуют полную ортонормированную систему. Кроме того, пусть каждое собственное значение будет простым (т. е. кратности 1, ср. II. 6), т. е. 入卩 * 入у при 卩 * y. Предположим, что мы измерили 91 и нашли значение X*. В каком состоянии окажется система после этого измерения?
В силу предыдущей дискуссии это состояние у должно быть таким, чтобы возобновленное измерение 猊 давало бы результат X* с достоверностью. (Конечно, это измерение нужно делать немедленно, так как через t секунд ср перейдет в е 九 ср. Ср. III. 2, Н ——это оператор энергии.)
На этот вопрос ——когда измерение величины 91 в состоянии 屮 с достоверностью дает значение X* — мы ответим в общем случае, без ограничительных предположений относительно оператора R*
Пусть £*(入)一 относящееся к R разложение единицы, а / — интервал {入',入"}. Наше допущение можно сформулировать и так: величина 91 попадает в интервал / с вероятностью 0, если этот интервал не содержит X*, или с вероятностью 1, если X* принадлежит /, т. е. если X <入*三入".
Согласно W・ это означает, что ||Е(/)屮|产=1, или, так как ||ср|| = 1, что ||£,(/)ср|| = ||ср||. Так как ^(/)—проекционный оператор, так же как и 1—£(/) (теорема 13., II. 4), то
12-E(/)叫12=|1叫2_|卢(/)叫2 = 0, ср ——£ (/)中=О, Е (М) ср — Е (X)屮=£ (/) ср =屮.
Предельный переход Xх ->——8 дает £(入")中=. а переход 入〃f 十8 дает Е(Xz) ср = 0 (ср. Si・，II. 7). Поэтому
、(у для 人
吁для Х<к*.
Но, согласно II. 8, это условие как раз характеризует Rq = »% Другой способ доказать, что 欠屮=入*ср, основан на Е「(т. е. на 上2・)・ То обстоятельство, что величина 猊 принимает с достоверностью значение 入*, означает, что математическое ожидание величины (猊一入*)2 равно 0. Это означает, что оператор 尸(R), где 尸(入)= =(入一入*)2, т. е. оператор (R — X* • l)2, имеет то же математическое ожидание. Поэтому, должно быть
((R —宀 1)2% cp) = ((R —六• 1)(р, (R —六• 1)6 =
=ll(R —入"1)ф||2— л/?(р — х*ф||2 = о, t. ё.rФ=入*Ф.
Итак, мы видим, что в частном случае, который мы рассматривали прежде, должно быть 欠屮=入*ср. Как было указано в II. 6, это приводит к следствию, что 入* должно равняться одному из 入世 (так как ||ср|| = 1, то 屮学=0), а у =。屮世.Так как ||ср|| = ||сри|| = 1» то и \а\ должно быть =1, н, значит, его можно опустить, не изменяя состояния. Итак, 入* = (, ср = ср卩 для какого-либо из ^― 1, 2, ... (утверждение относительно 入* можно было бы получить и непосредственно из W・,но не утверждение о ср!).
Итак, при сделанных допущениях относительно оператора R измерение величины 猊 имеет своим следствием превращение любого состояния 屮 в одно из состояний фр ср2» .…,соответственно связанных с результатами измерения 入〔,Х2> ... Вероятности этих переходов равны поэтому вероятностям измерения Хр Х2, ..., так что их можно вычислить из W..
Вероятность того, что значение величины 猊 лежит в интервале /, дается тогда, согласно W., выражением ||£(/)ф||2. Отсюда, если учесть, что, согласно II. 8, £'(/)= £ 尸[勺也]‘ будет следовать
取=|1e(/)屮 |]2=(e(/)屮，屮)=R/(%J% 屮)=厘/ I(屮，中/Ж
Значит, можно ожидать, что вероятность найти 入也 равна |(屮，срл)|2. Если можно выбрать интервал / так, чтобы он содержал только одно 入加,которое тогда и есть как раз 入*, то высказанное предположение непосредственно следует из вышеприведенной формулы. Если же это не так (т. е. если другие 入团 сгущаются к %), то можно рассуждать, например, следующим образом: Пусть 尸(入)=1 для 入=入门 и — 0 в остальных случаях. Тогда искомая вероятность Wп
будет математическим ожиданием величины 尸(猊)и, согласно Е2. (или £ь), равна (尸(R)屮，屮). Ну, а согласно определению (II. 8),
(尸(R)屮，屮)=/尸0)4(1|万(人)中产).
Вспоминая определение интеграла Стильтьеса, легко заметить, что это выражение равно 0, если £(入)屮 непрерывно (по X!) при к = кя и, вообще говоря, равно скачку (монотонно возрастающей) Х-функции II £(入)屮俨 в точке Х = ХЛ. Но этот скачок равен 口尸山小产，где 耽 —— замкнутое линейное многообразие, растягиваемое всеми решениями уравнения R^—\n^ (ср. II. 8). В рассматриваемом случае 耽=[%] и поэтому
吃=們。"]屮『=1(屮，中肝•
Мы ответили таким образом при сделанных предположениях относительно оператора R на вопрос о том, «что» происходит при измерении его величины 91. Конечно, вопрос《как》остается пока невыясненным. Этот разрывный, скачкообразный переход из ф в одно из состояний 七，ср2* (которые не зависят от 屮，поскольку 屮 входит лишь в соответствующие вероятности Wn == |(ф, сря)|2, п — 1, 2, ... этих скачков)——это, конечно, не переход типа, описываемого временным уравнением Шредингера. Ведь это уравнение всегда приводит к непрерывному изменению 屮，при котором конечный результат однозначно определен и зависит от 屮(ср. сказанное в III. 2). В дальнейшем мы попытаемся перебросить мост через эту пропасть (ср. VI) 125).
Предположим опять, что оператор R обладает чисто дискретным спектром, но не будем больше требовать, чтобы все собственные значения были бы простыми. Тогда снова можно образовать последовательности фр ср2, ... и Хр Х2, ...» но среди 入* могут встречаться равные. После измерения величины 猊 с достоверностью осуществляется состояние ср, для которого R?=入*ср (X* ——результат измерения). Отсюда будет следовать, что X* равно одному из 入*, но относительно ср можно сказать лишь следующее. Обозначим те из Хя) которые равны X*, через ХЛ1,入门？, ... (их число конечно или бесконечно). Тогда
中=?叫.
(Если имеется бесконечно много 也、，то сумма 2 Iа^12 должна быть конечной.) Две таких ср описывают одно и то же состояние, только
То обстоятельство, что эти скачки связаны с представлением о «квантовых скачках» старой теории квант Бора, обнаружил Jordan Z. Physik 40 (1924).
если они отличаются лишь численным множителем, т・ е. если отношение О] ： 〃2 ： • •・ У НИХ 。艮НО и то же. Поэтому, коль скоро имеется больше чем одно nv, т. е. коль скоро собственное значение X* кратно, то состояние ср после измерения не определяется однозначно и знанием результата измерения.
Вероятность значения 六(согласно W. или, соответственно, Ei・ или 历・)вычисляется в точности так же, как и раньше. Она равна 呼0*)=2」(% 中")卩=J|(% %JF・
Если спектр оператора R не чисто дискретен, то возникает следующая ситуация.
Все решения / уравнения Rf = \f растягивают замкнутое линейное многообразие 风，все 虱 вместе — в свою очередь многообразие Q)J и для несуществования чисто дискретного спектра характерно耽次呪в т.e.况=次8 一师次(0) (ер. по этому поводу, а также и по поводу нижеследующего, II. 8). Н)外千(0) в крайнем случае для некоторой последовательности 入，и такие 入 образуют дискретный спектр оператора R. Когда мы измеряем величину 91 в состоянии 屮，то вероятность того, что в результате измерения будет получено значение 入*, равна
(人*) = IIР叫*屮『=(Р恥*屮，屮)•
Разумнее всего доказать это с помощью применявшейся выше аргументации, основанной на £?・(или В・)и на функции
(1 для 入 — 人*,"0)=(0 для
Вероятность того, что значением величины 猊 окажется некоторое 个 из дискретного спектра 即 оператора R, будет соответственно равна 取=工 (%»屮)=p訥，屮尸仍刪2， в
в чем можно убедиться непосредственно с помощью функции
尸（入）=尸（入）=1 для 入* из 举，
尸（入）=
尸（入）=
0 в остальных случаях.
Если, однако,猊 измеряется точно, то после этого должно осуществиться состояние 屮，удовлетворяющее 欠屮=入*. и поэтому результат измерения 入* должен принадлежать 事，一вероятность удачи точного измерения равна поэтому (в лучшем случае) || Р^ф ||2. Но это число не всегда равно 1 и в случае 屮 нз 况 даже равно 0, значит, точное измерение возможно не всегда.
Мы видели, что величина 猊 всегда （т. е. в любом состоянии 屮） может быть точно измерена тогда и только тогда, когда эта величина обладает дискретным спектром. Если она не обладает дискрет* ным спектром, то она может быть измерена лишь с ограниченной точностью. Именно, можно разделить числовую прямую —оо < 入 < + оо на интервалы ..., /（-6, /（-"，/⑼，/⑴，/⑵-..（пусть точками деления будут ....入T）,尸），收，2,入⑵，…；*=｛人（"），/+»； максимальная длина интервала £ = Мах（Х”+"—入（"））, расстояние между точками деления является тогда мерой точности） и указать, в каком интервале лежит величина 91. Математическое рассмотрение этого процесса можно продолжить и дальше. Именно, пусть 户（入）обозначает функцию （入;一некоторое промежуточное значение из интервала /л\ выбираемое для каждого п = 0, ± 1, ±2, ... произвольным, но в интересах дальнейшего, фиксированным образом）:
尸（入）=入;，если 入 лежит в /（初
Тогда приближенное измерение величины 猊 будет эквивалентно точному измерению величины 尸（猊）.Значит,
СО+8 W+D
尸（R）= / FgdEG）=2/ 尸（入）冲（人）=
- 00Л= —OO 人（门）
8W + D+8
=2Nз）=eKEO*
Л = —CO入（〃）П— —ОО
Очевидно, что для всех / из принадлежащего £（/（”）замкнутого линейного многообразия имеет место уравнение 尸（欠）/ =入*/, т. е. для оператора 尸（R） многообразие 2R, содержит это линейное
многообразие. Следовательно,尸叽乂 МЕ（/'"）） и поэтому
4-8+8+8
Р声 £ Ал , ^ £ £（/（"））= 2 侶（严+"）-瓜入⑺）） = 1-0 = 1.
门=—8 入〃 п= —СОл= —СО
Отсюда следует, что
2 %, =%=1， %, =Е（М），
лллл〃 =—8 X入
л
л
л
л
т. е.尸（R） имеет чисто дискретный спектр, который состоит из
Поэтому 尸(猊)действительно точно измерима, и вероятность того, что ее значение равно 入;，т. е. что значение 猊 лежит в /叫 равна 户/屮『=厄(/("))屮『，
в согласии с утверждением W. для 91.
Этот результат может быть интерпретирован и физически, и при этом выясняется хорошее согласие теории с обычной физической наглядной точкой зрения.
В свойственном классической механике методе рассмотрения (без каких бы то ни было квантовых условий) хотя и приписывают каждой величине 猊 в любом состоянии совершенно определенное значение, но в то же время считают, что любой мыслимый измерительный аппарат, как следствие несовершенства человеческой способности наблюдать (которая позволяет прочесть указание стрелки или же локализовать почернение фотографической пластинки лишь с ограниченной точностью), может дать это значение лишь в пределах некоторой, никогда не исчезающей, ошибки. Правда, пределы этой ошибки удается за счет достаточного уточнения метода измерения сдвинуть сколь угодно близко к 0, но точно нулем они никогда не будут. Можно ожидать, что это будет так же и в квантовой теории для тех величин 猊,которые, согласно сложившимся для них (в особенности ло открытия квантовой механики) наглядным представлениям, не квантованы, например, для декартовых координат электрона (которые могут принимать любое значение от ——оо до +оо и операторы которых имеют непрерывный спектр). С другой стороны, для тех величин, которые (согласно нашему наглядному представлению о них) «квантованы», верно обратное положение: поскольку они способны принимать лишь дискретные значения, то достаточно наблюдать их лишь с такой точностью, чтобы не возникало более сомнения, какое именно из этих «квантованных» значений было наблюдено,——оно-то уж наверняка будет абсолютно точным. Например, если мы знаем о водородном атоме, что у него меньше энергии, чем нужно для второго снизу энергетического уровня, то мы знаем его энергию с абсолютной точностью: это энергия низшего уровня.
Но такое деление на «квантованные» и «неквантованные» величины соответствует, как мы видели при анализе матричной теории (ср. I. 2 и II. 6), делению на величины 91 с оператором R, обладающим чисто дискретным спектром, и такие, для которых это не имеет места. И как раз для величин первого рода, и только для них, мы нашли возможность абсолютно точного наблюдения, тогда как величины второго рода можно наблюдать лишь со сколь угодно хорошей (но никогда не абсолютной) точностью).
(Отметим кстати, что упомянутое во введении, равно как и в I. 3, привлечение «несобственных» или не принадлежащих гильбертову пространству собственных функций, 一 ср. также II. 8, в особенности прим. 84), 86)на стр. 98 и 101, — как раз здесь передает действительность хуже, чем наш метод, вводя нас в заблуждение о существовании таких состояний, в которых величины с непрерывными спектрами принимают в точности определенные значения, хотя как раз этого никогда не бывает. Хотя такие идеализации и предлагались многократно, мы считаем, что их надо отклонить и по этой причине, не говоря уже об их математической несостоятельности.)
Тем самым мы достигли некоторой, пока достаточной, ясности в вопросе о процессах, происходящих при измерении одной величины, и мы можем обратиться к одновременному измерению нескольких величин.
Пусть сперва 猊 н 0 будут две величины с операторами R, S соответственно. Примем, что они одновременно измеримы. Что отсюда следует?
Будем сначала требовать абсолютно точной измеримости, так что оба оператора R н S должны будут обладать чисто дискретными спектрами: Хр Х2, ... и р.р р.2)... Пусть соответствующие полные ортонормированные системы состоят из собственных функций cpj, ср2, ... И屮],屮2， ...
Чтобы начать обсуждение с простейшего случая, мы предположим сперва, что у одного из этих операторов, скажем у R, есть только простые собственные значения, т. е.入团 次 入门 для ^'
Если 猊 н 0 измеряются одновременно, то после этого возникает состояние, в котором как 猊，так и 0 наверняка имеют только что измеренные значения, скажем 入蒞 и р.-, а состояние 屮，которое тогда возникает, должно удовлетворять уравнениям 欠屮=入而中，5ф = р.-^. Из первого из них следует, что 屮=ср- (с точностью до численного множителя, которым можно пренебрегать), тогда как из второго一
что屮что屮если IV %.если IV %.,.・.представляют собой все р^, рав
что屮
что屮
если IV %.
если IV %.
ные р.—. Если начальным состоянием было ?, то Х-, ср- имеет
силовые поля и т. д.) известна точно и ищется лишь состояние, т. е. мгновенные значения координат. Если это (идеализированное) предположение окажется неверным, то, конечно, появятся дополнительные источники неточности.
Даже и в нашем методе описания неточного измерения содержалась некоторая идеализация. Мы предположили, что оно состоит в том, что мы с абсолютной достоверностью решаем, принадлежит рассматриваемое значение интервалу / = {V,入"}, X < М или нет. На самом деле границы М, М размыты, т. е. необходимое решение происходит лишь с определенной вероятностью. Тем не менее наш метод описания представляется математически наиболее удобным, во всяком случае в настоящее время.
вероятность |（. ср-） |2. Для 屮=屮加 будет поэтому наверняка т — т, так что для каждого т можно сказать, что 屮加 равно сумме 2 a^nv е равными 卩门,t. e. 5Рт=卩р加（где 卩=!1/ =卩小= ...）.Следовательно, для / = срт будет выполняться RSf = SRf （обе части соотношения равны 入团卩屮加）.Так что это равенство справедливо также и для их линейных комбинаций и, если R н S непрерывны, то и для предельных точек этих комбинаций, т. е. для всех /. Следовательно, R н S коммутируют.
Если R н S не непрерывны, то рассуждать надо следующим образом. Разложения единицы 七（入），尸（а）, принадлежащие операторам R н S, определяются соотношениями
3竹小f@）=3竹山
Следовательно, F（|х）^т = cpm или =0 в зависимости от того, pN или < введенного выше 卩. Далее.七（入）屮加=屮加 или == 0 в зависимости от того,入三 или < Хт. Поэтому в любом случае Е （入）尸（俨）屮加= =尸（卩）七（入）屮⑺ для всех 屮加.Отсюда, как и выше, следует коммутативность 瓦入），尸（а） и, значит （согласно II. 10）, коммутативность R н S.
Но, согласно П. 10, существует полная ортонормированная система собственных функций, общих для R н S, т. е. можно принять, что 屮勿=屮卅 Так как 入加 次入门 для m^nt то можно построить функцию 户（入），для которой
尸（人）={ ）
I произвольна при других значениях 入，
и тогда S =尸（R）, т. е. 0 =尸（猊）.Это значит, что 91 и ® не только измеримы одновременно, но каждое измерение 猊 является также измерением 0, поскольку 0 есть функция от 猊,т. е. 0 причинным образом определяется через 猊127）.
Перейдем теперь к более общему случаю, когда не делается никаких предположений относительно кратности собственных значений Rt S. В этом случае мы применим совершенно другой метод.
Рассмотрим сначала величину 猊-1-0. Одновременное измерение 猊，0 является также измерением 值 + 多，так как сложение результатов измерений дает значение猊+ 0. Вследствие этого математическое ожидание 猊十0 в любом состоянии 屮 является суммой математических ожиданий 猊 н 0. Заметим, что это имеет место независимо
*27） Последнее предложение можно проверить с помощью W.! Разложения единицы, принадлежащие R н S, можно построить, следуя II. 8.
от того, являются лн Л н 0 статистически независимыми или же между ними существует какая-нибудь корреляция, так как закон
Математическое ожидание суммы = сумме математических ожиданий, как известно, справедлив всегда. Поэтому, если Т есть оператор величины Л + 0, то рассматриваемое математическое ожидание равняется, с одной стороны, (7屮，屮)，а с другой —
网，屮)+也屮，屮)=((R + S)%屮)，
т. е. для любого 屮
(7屮，屮) = ((R+S)% 屮).
Поэтому T = R + S・ Следовательно, величине 91十0 соответствует оператор R + S^). Таким же способом можно показать, что величина аЛ +少0 (а, b — вещественные числа) имеет оператор aR -{- bS. (Это следует и из первой формулы, если мы подставим Л, 0 и R, S в функции 尸(入)=а入，G(|x) = *.)
Одновременное измерение Л, ◎ является также измерением величин
Я+0 2
班+0、2 SR-0 似一0、2 削 + 0\2 册—0\2
2
2
2
2
2
=猊心
Операторами этих величин (если воспользоваться еще тем обстоятельством, что если 7 — оператор величины 忠，то у величины Л(Х) будет оператор 尸(Т), откуда у величины 富？ — оператор Т2) будут, следовательно,
欠+S( R + SY _ R2 + S2 + RS + SRR — S
-2 ~2 ~ 丿4'2 ~，
(R — S 弋 _ R?+S2 — RS — SR/ 欠 + S \2( R — S 弋 一 RS + SR
4,-2.
Это значит, что 9fl • 0 имеет оператор "‘扌‘". Это справедливо также для всех 尸(Л), G(0) (которые ведь тоже измерились вместе с Л и 0), и поэтому Л (Л) • 0(0) имеет оператор
尸(A) G (S) + G (S)尸(А) 2*
Пусть теперь £ (入)и 尸(|х) — разложения единицы, соответствующие R и S. Пусть, далее,
[1 ДЛЯF(X)= (o для[1 ДЛЯF(X)= (o для入Wf 1 для Р步，
[1 ДЛЯ
F(X)= (o для
[1 ДЛЯ
F(X)= (o для
-, G (俨)={_ .
入〉入I 0 для р. > |х.
128) Мы доказали этот закон, согласно которому оператором величины Л + 0 является сумма операторов величин JI н 0 для одновременно измеримых 猊,0. Ср., что говорится по этому поводу в конце IV. 1 и IV. 2,
Как мы знаем,尸（R） = E（入），G（S）=F（Q, поэтому 尸餌）• G（®） имеет оператор （для краткости мы пишем ^ и F вместо Е（入）
или 尸（卩））. Поскольку 尸（猊）всегда равно 0,1, то 尸（猊）2=尸（猊）・ и поэтому
尸（猊），（尸（猊）。 G （0））=尸（哨 G （0）.
Применяя теперь нашу формулу умножения к 尸（猊）и 尸（猊）・G（0） （все они измеримы одновременно）, получим для этого произведения оператор
nEF + FE , EF + FE
匸 212— e2尸+ 2石尸石 + 尸ё2 _ EF+FE+2EFE
-=2=4・
£尸*尸£
Это выражение должно равняться , откуда следует, что
EF + FE = 2EFE.
Умножая слева на Е получаем
e2尸+ё尸e=2 .e2尸ё,Е尸+ё尸e=2.EFE、 EF = EFE、
а умножение справа дает
EFE+FE』2' EFE?, EFE* FE=2，EFE, FE = EFE、
t. e. EF = FE、т. e. все E （入），尸（*） коммутируют и, следовательно, в свою очередь коммутируют и R、S.
Согласно II. 10, это условие, т. е. коммутативность R н S, означает то же самое, что и требование существования некоторого эрмитова оператора Т, функциями которого являются R н S:氏=尸（才）， S=G（7）. Если этот оператор соответствует величине 富，то будет также 猊=尸（方），0 = G（方）.Поэтому это условие оказывается и достаточным для одновременной измеримости, поскольку измерение X （абсолютно точное, так как Ж обладает чисто дискретным спектром, ср. II. 10） измеряет одновременно также и его функции 猊 н 0. Итак, коммутативность R н S является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости.
Если дано несколько величин 猊,0, •・.（но конечное число） с операторами R, S, .. . и снова требуется абсолютно точная измеримость, то положение с одновременной измеримостью будет обстоять следующим образом. Если все величины 猊, 必,... одновременно измеримы, то то же должно выполняться и для всех образованных из них пар, т. е. все операторы R, S, ... должны коммутировать друг с другом. Обратно, если R, S, .. . коммутируют друг с другом, то тогда, согласно II. 10, существует оператор Т, функциями которого все они являются: R = F ⑺、S ~ G （Г）и поэтому для со от-
ветствующей величины 富：猊=尸(篁)，^― Q (X). Точное измерение величины Ж (Ж снова обладает чисто дискретным спектром, ср. II. 10) является, следовательно, одновременным измерением величин 猊，0, т. е. коммутативность операторов R, S,…необходима и достаточна для одновременной измеримости величин 猊，0,...
Рассмотрим теперь такие измерения, которые не абсолютно точны, но выполняются с (произвольно большой) заранее заданной точностью. Тогда R, S, .. . уже не обязаны иметь чисто дискретный спектр.
Поскольку измерения величин 猊，0, ... с ограниченной точностью означают то же самое, что и абсолютно точные измерения величин 尸(猊)，G(0), ..., где 尸(入)，G (入)，...—известные функции, способ построения которых был описан в начале этого параграфа (при обсуждении измерения ограниченной точности； там, разумеется, было дано лишь построение 戸(入))，тогда 猊,0, •.・ наверняка измеримы одновременно, если все 尸(猊)，G(0), ... измеримы одновременно с абсолютной точностью. Но последнее эквивалентно требованию коммутативности операторов 尸(R), G(S), ..., которая в свою очередь следует из коммутативности операторов R, S, ... Поэтому коммутативность операторов R, S, ..., во всяком случае, достаточна.
Обратно, если считать величины 猊,®, ... одновременно измеримыми, то поступим следующим образом. Достаточно точное измерение величины 猊 позволит решить, является ее значение 〉入 или W 入(ср. наше определение «ограниченной точности», обсуждавшееся, в частности, в прим. 126) на стр. 166). Тогда, если 尸(入)определено так, что 尸(入)=1 для Х^Х и = 0 для 入〉入，то 尸(猊)измеримо абсолютно точно. Соответственно если G(*)=l при *3 卩 и == 0 при 卩〉№ то G(0) измеримо с абсолютной точностью и, более того, обе величины измеримы одновременно. Следовательно,尸(R), G(S) коммутируют. Пусть теперь Е (入)и 尸(俨)—разложения единицы, принадлежащие R н S. Тогда 尸(R) = E(入),G(S)=F(*) и, следовательно, f(X) и 尸(俨)коммутируют для всех 入 н 卩・ Следовательно, R н S коммутируют, и так как это должно иметь место для любой пары из /?, S, ..., то и все R, S, ... должны коммутировать друг с другом. Таким образом, это условие также и необходимо.
Итак, мы видим, что характеристическим условием одновременной измеримости произвольного (конечного) числа величин 猊, 0, •.・ является коммутативность их операторов R, S,…Действительно, это верно как для абсолютно точных измерений, так и для измерений с произвольной точностью, только в первом случае надо еще потребовать, чтобы операторы обладали чисто дискретными спектрами, что характеристично для возможности абсолютно точного измерения.
Тем самым мы построим математическое доказательство того, что W. — это наиболее далеко идущее утверждение, которое вообще
возможно в этой (т. е. во включающей W・)теории. Ведь оно предполагает лишь коммутативность операторов Rv ..., /?р а без этого условия относительно результатов одновременных измерений величин 猊］,…，猊,вообще ничего сказать нельзя, так как одновременное измерение этих величин вообще невозможно.
Соотношения неопределенности
В предыдущих параграфах мы пришли к важным выводам об измерительном процессе, шла ли речь об одной величине или же о нескольких, измеримых одновременно. Теперь нам надо выяснить, как будут вести себя величины, не измеримые одновременно,—мы будем интересоваться их статистикой в одной и той же системе (и в одном и том же состоянии 屮).
Итак, пусть даны две такие величины 脏 н 0, равно как и их (не коммутирующие) операторы R и S. Несмотря на это предположение, такие состояния 屮，в которых обе величины имеют точно определенные значения (т. е. дисперсию, равную 0), могут существовать, т. е. могут существовать собственные функции, общие для них обеих, нельзя только образовать из них полную ортогональную систему, так как тогда R н S коммутировали бы. (Ср. построение, приведенное в П. 8 для соответствующих разложений единицы Е(入), 尸(入)：если 平i，屮2， •… образуют полную ортогональную систему, о которой шла речь, то как 后(入)，так и 尸(入)будут суммами Р怖］ и потому будут коммутировать, так как коммутируют 尸叩)Легко понять, что это означает, что замкнутое линейное многообразие ЗИ, натянутое на эти 屮，должно быть меньше, чем ^, — потому что, будь оно равно 混8，искомая полная ортонормированная система могла бы быть построена точно так же, как это было сделано в начале II. 6 для одного оператора.
В состояниях из 2K наши величины 91H 0 измеримы одновременно, что проще всего показать, приведя модель такого одновременного измерения. Поскольку общие собственные функции 屮 операторов R н S растягивают 吼 то тем самым существует и растягивающая 2R (т. е. полная в Ш?) ортонормированная система таких 屮：фр 屮2，..• (н нх можно получить путем только что упомянутого построения из II. 6). Расширим систему 屮「屮？， * * - по полной системы 屮］,屮2，・••，屮卜屮добавляя ортонормированную систему фр 屮2，・•・， которая растягивает —2K. Пусть теперь 入］,入2， • • • .,.,а?， •••—все различные числа, Т — оператор, определенный соотношением
7( § % •中—?^-Я=?入内宀〃+ 审 ％% •屮“，
а 雹一соответствующая этому оператору величина.
Измерение 宠 создает (как мы это знаем из III. 3) одно из состояний 屮],屮2， •・•，屮 1，屮2，• * • .Если таким состоянием окажется % (что мы заметим потому, что результатом измерения будет одно из 入〃)，то нам будут известны и значения величин 猊 и 0. Действительно, 猊 и 0 имеют в состоянии ^п по предположению точно определенные значения, и мы можем с достоверностью предсказать, что в измерении 呢 0, которое производится немедленно вслед за этим, будут найдены как раз эти значения. С другой стороны, если в результате измерения образуется %, то ничего подобного не известно (% не принадлежит 竅；поэтому 猊 и 0 не определены точно в со- стояниии 屮)Но вероятность того, что система будет обнаружена в состоянии %, равна, как мы знаем, 竹屮也]屮，屮，а вероятность найти систему в любом из состояний 办(汽=i, 2,...)—
芋P阳1 G中=%8-脫中'中=仍%-物件『=后一p»评『
Эта вероятность равна 0, т. е.猊 и 0 измеримы одновременно с достоверностью, если 屮=尸刃忏，т. е. если 屮 принадлежит к 2К ).
Так как нас интересуют сейчас одновременно неизмеримые величины, примем, что осуществляется крайний случай Ж = (0), т. е. предположим, что 91 и <$ не измеримы одновременно ни в каком состоянии или, иными словами, что не существует общих собственных функций для R и St
Если операторы R, S обладают разложениями единицы Е(入), 尸(入)и система находится в состоянии 屮，то, как мы знаем из III. 1, математические ожидания операторов R н S будут равны
p = (Ry,屮)，<5 = (S(f),屮)，
а их дисперсии, т. е. математические ожидания величин (91 ——р)2 и (0 —。)2 (ср. обсуждение абсолютно точного измерения в III. 3), будут равны
F = ((R —Р，1)“’屮)=||(R —Р，1)屮 1「=|® —Р屮俨’
切2 = ((S - 0 . 1)2 中，中)=H(S -0• 1)中1户=|]S中—0中产
После известного преобразования эти выражения принимают вид 13°)5= И R屮 II2 — (Ар 屮)厶刁2=||S叫 2 — (S.屮)2
(так как 店口 = 1, то уже неравенство Шварца, т. е. теорема /. из II. 1, показывает, что левые части ^ 0). Возникает вопрос: поскольку в и ^ не могут одновременно равняться нулю, хотя порознь s н 刀 могут быть сделаны сколь угодно малыми (ведь 猊 н 0 по отдельности измеримы с произвольной, возможно даже с абсолютной точностью), то должны существовать соотношения между в и 刀，которые препятствуют их одновременному уменьшению ——какой вид они имеют?
Существование таких соотношений было открыто Heisenberg' ом ), и они чрезвычайно важны для познания неопределенностей, вносимых квантовой механикой в описание природы. Поэтому их называют соотношениями неопределенности. Мы выведем сначала математически самое важное соотношение этого типа, а затем вернемся к его принципиальному значению и его связи с опытом.
В матричной теории важную роль играли операторы Р н Q с перестановочными соотношениями
они сопоставлялись, например, координате и сопряженному ей импульсу (ср. I. 2) или, более общо, любым двум величинам, которые были канонически сопряженными друг другу в классической механике (см., например, работы, упомянутые в прим. 2) на стр. 10). Рассмотрим несколько более общо любые два эрмитова оператора Р и Q, для которых
PQ — QP = а • 1.
(Так как (PQ — QP)* = QP — PQ、то (а・1)*=а・1= — а・1, 〃 =—。，т. е. а должно быть чисто мнимым. Это операторное равенство не распространяется, конечно, на области определения обеих его сторон: PQ ——QP может иметь смысл не везде.) Для любого состояния 屮 тогда будет
2 Im (Р? Q屮)=/ [(Ру, Q屮)一(Q% Pep)]=——£ [(QP%，屮)——(PQy，?)]= = ("PQ — QP} ср,屮) = Za・||平俨.
Пусть a =# 0, тогда мы имеем (теорема /. из II. 1)
11т112=一"^lm(Rp, Q<p)互畐|(Rp, Qcp)|w而 ||Р叫|.|]Q叫，
поэтому в случае ||（р|| = 1 это дает
II叫II • ||Qd 昌粤.
Так как операторы Р — р・1, Q — а. 1 удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, то имеем аналогично
На —P叫I • iiq中—叫g粤，
и если мы введем математические ожидания и дисперсии
Р =（尸屮，?）.&2 = 口 Ру — Р7 II 2,
◎ = （Q.屮），7|2=HQy—。屮J] 2,
то получится
（u・）叫昌粤.
Для того чтобы имел место знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах 三，использованных при выводе, всегда использовался бы знак =. Полагая Р = Р — р-1 и Q' = Q — а* 1, будем иметь
一粤 im（P«, Q«） = |（P% Q«）|=||%||.||Q”||.
Согласно теореме /. из II. 1, второе уравнение означает, что Р" и Q” отличаются друг от друга лишь на постоянный множитель, и поскольку из ||Р«|| • ||Q©| 三"^〉0 следует, что Pf^ Ф 0 и Q'平干 0, то должно быть Р'у = с ・ Q'% с 干 0. Первое уравнение означает, что （Р”，Qf^） = c* HQ^H2 чисто мнимо и даже что коэффициент при I имеет тот же знак, что и у（вещественного I）, т. е. противоположный знаку а. Итак, с = 1、, 丁 вещественно и ^0 в зависимости от того, —^0. Следовательно,
（О/.） Py = f「Q® 丫 вещественно и ^0 для /а 三 0.
Определение р н。требует еще, чтобы было （Р‘.屮）=0 н （Q‘屮，屮）=0. Но поскольку из （G/.） следует, что （尸‘平，屮）=力（0@,平），где слева стоит нечто вещественное, а справа ——нечто чисто мнимое, то оба эти уравнения выполняются автоматически. Нам еще осталось определить е и 7|. Имеем
е ：彳=I『'叫I ： IIQ©【=|с | = |仆 河=粤’
[ГЛ, III[ГЛ, III176КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ, III
[ГЛ, III
поэтому, так как е и 期 оба положительны.
|4丨•丨r丨2|4丨•丨r丨2В случае квантовой механикиВ случае квантовой механикиа = -^ и мыа = -^ и мыполучаем из (U・)получаем из (U・)
|4丨•丨r丨2
|4丨•丨r丨2
В случае квантовой механики
В случае квантовой механики
а = -^ и мы
а = -^ и мы
получаем из (U・)
получаем из (U・)
(и.‘)еум^・
Можно обсудить и соотношение (О/.) для того случая, когда 尸，Q являются, например, операторами теории Шредингера: Р = =-^-靑。Q — q .... (Ср. I. 2, мы принимаем, что рассматривается механическая система с одной степенью свободы, ее единственной координатой является д.) Тогда (О/.) дает
化7 2化Y2兀?化Y2itp
—Ce~~к+方"=C/e-—(9-°)a+— *
Благодаря f > 0 оказывается, что
llvll2 = /1 屮(g) 12 dg
в самом деле
конечно, и С' определяется из условия || 叫=1:
=М J/备 / e^dx = \C^^泰w? =1^!2 /Х=1,
—QO
4] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 177 Поэтому, пренебрегая не имеющим физического смысла множителем модуля 1, найдем, что СУ =(普)才,т. е.
е и 刁 мн уже знаем:
Поэтому, если отвлечься от условия 広刀=認，они, пока 丁 меняется от 0 до +оо, пробегают все значения, т. е. любой набор из четырех величин р, 6 е,刀，удовлетворяющих условию 区刀=^, реализуется в точности в одном состоянии 屮.Впервые такие состояния 屮 были исследованы Гейзенбергом и применены для разъяснения квантовомеханических соотношений — они исключительно удобны для этой цели, так как дают наивысшую возможную (в квантовой механике) степень приближения к соотношениям классической механики (где ни р, ни 0 не имеют дисперсии!) и так как а и 刀 можно придать по произволу приписанные значения (ср. ссылку в прим. 131) на стр. 174).
Наши предыдущие соображения относятся лишь к одному, а именно формальному, аспекту соотношений неопределенности; для полного понимания этих соотношений необходимо еще рассмотреть их с другой точки зрения: с точки зрения непосредственного физического опыта. Действительно, соотношения неопределенности стоят к нему в более прозрачном и более простом отношении, чем многие другие факты, на которых была основана квантовая механика, и потому заслуживают большего, чем приведенное выше чисто формальное доказательство. Наглядное обсуждение тем более необходимо, что на первый взгляд могло бы даже возникнуть впечатление, что мы сталкиваемся здесь с противоречием со здравым смыслом: ведь без дальнейшего обсуждения непонятно, почему нельзя было бы измерить положение и скорость (т. е. координату и импульс) материального тела одновременно и со сколь угодно большой точностью, если только есть достаточно тонкие измерительные средства. Поэтому надо сделать совершенно ясным, путем подробного анализа тончайших процессов измерения (осуществимых, возможно, лишь в смысле мысленных экспериментов), что это не так. Более того, хорошо известные законы волновой оптики, электродинамики и элементарных атомных процессов ставят непреодолимые трудности на пути точного измерения как раз там, где того требует соотношение неопределенности. Дело обстоит даже так, что в этом можно убедиться, еще рассматривая упомянутые процессы чисто классически (не квантово-
12 И. Нейман
вместо соотношения етд = -^вместо соотношения етд = -^£7]〜论(т. е. Ет] равно h по£7]〜论(т. е. Ет] равно h по
вместо соотношения етд = -^
вместо соотношения етд = -^
£7]〜论(т. е. Ет] равно h по
£7]〜论(т. е. Ет] равно h по
теоретически!). Это обстоятельство имеет принципиальное значение, так как показывает, что в классической, обоснованной независимо от
справедливости квантовой механики, области (т. е. там, где квантовые явления еще не требуют существенных поправок к старому способу
рассмотрения, — значит, единственно непосредственно доступной нашему наглядному восприятию )) мы не вступаем в противоречие
с парадоксально звучащими соотношениями неопределенности квантовой механики.
Нам следует, таким образом, показать, что если р н 0 являются двумя канонически сопряженными величинами и система находится в состоянии, в котором значение р может быть задано с1 точностью £ (т. е. измерение р допустимо с ошибкой в пределах е), то значение q нельзя узнать с точностью, превосходящей т]= ^ : е. Иными словами, измерение р с точностью е вносит неопределенность т)= : е в значение q.
Естественно, что при таком очень качественном рассмотрении нельзя надеяться точно передать все детали:
мы сможем показать только, что
порядку величины) в случае по воз
можностиможностиприпринаиболее точного измерения. В качестве типичного
можности
можности
при
при
мера мы рассмотрим сопряженную пару： положение (координата)— импульс частицы Т ).
Исследуем сначала определение положения. Определить положение частицы Т можно, наблюдая ее, т. е. если она освещается и рассеянный ею свет поглощается в глазу. Итак (рис. 1), квант света L испускается источником света / в направлении частицы 71, при столкновении с Т отклоняется от прямолинейного »пути 00】в направлении 002 и в конце своего пути гибнет, поглощаясь экраном Sch
(представляющим собой глаз или фотографическую пластинку). Измерение состоит в констатации того, что Z встречает экран не в точке 1 (в конце неотклоненного пути 陷)，а в точке 2 (в конце рр2). Но для того чтобы отсюда сделать вывод о месте столкновения (т. е* о месте нахождения частицы 7), надо знать и направления р н 肉 (т. е. направление движения кванта света £ до и после столкновения): этого можно достичь, добавляя систему диафрагм ss и s's'・ (При этом мн, собственно, не измеряем координату частицы Т, но лишь судим, имеет ли эта координата определенное ——соответствующее точке пересечения направлений р и 历，которую можно выбрать по желанию, установив соответствующим образом щели, — значение или нет. Только суперпозиция многих таких рассуждений, т, е. установка многих щелей s's', эквивалентна измерению.) Как же обстоит дело с точностью такого измерения положения?
Его точность принципиальным образом ограничена законами образования оптического изображения. Действительно, с помощью света с длиной волны 入 невозможно резко отобразить объекты меньшие, чем X, или же хотя бы подавить дифракцию до такой степени, чтобы можно было говорить об одном (искаженном) изображении. Конечно, мы не требуем оптического изображения, так как для определения положения 7 достаточно простого факта отклонения L. Однако щели ss и Ms' нельзя делать уже, чем X, так как иначе £ не сможет легко преодолеть их без искажений и возникнет целая куча интерференционных полос, так что по направлениям линий, соединяющих последовательные щели ss и sV, уже ничего нельзя будет заключить о направлениях световых лучей 0 и ^2. Отсюда следует, что с помощью такой бомбардирующей частицы £ невозможно прицелиться и попасть с точностью большей, чем 入.
Итак, длина волны 入 это в то же время и мера ошибки при измерении координаты:入〜е. Дальнейшими характеристиками светового кванта 丄 являются его частота y, его энергия Е, его импульс р; между ними существуют хорошо известные соотношения м, he - Е h^ h
м = у,£=^y = -j「 р = — —= ~
(с — скорость света)). Следовательно, р 〜4- В точно не известном процессе столкновения между £ и Т происходит некоторая передача импульса, которая, очевидно, имеет порядок самого 万，т. е. тот же порядок, что и ~ . Отсюда для Т вытекает неопределенность Л
в значении импульса.
Этим соотношение е刀-^■ h было бы доказано, не будь при этом просмотрена одна деталь. Дело в том, что процесс столкновения не так уж неопределенен. В действительности известны направления движения 丄口о н после 偉 и 02)н поэтому также его импульсы, откуда может быть найдена передача импульса частице 7\ Следовательно, р не является мерой 刀・ Таковой, скорее, является возможная неопределенность в направлениях лучей ， и % Чтобы установить точнее связь между «прицелом» на маленький объект Т и неопределенностью
в направлении, которая св направлении, которая сэтим связана, разумно воспользоваться
в направлении, которая с
в направлении, которая с
лучшей фокусировкой, чем щель ss, а именно
приспособлением сприспособлением слинзой. Следовательно, надо учесть результаты известной теории микроскопа, согласно которой для освещения элемента поверхности с линейными размерами е (т. е. для попадания в частицу Т лучом £ с точностью е) необходимо, чтобы между длиной волны 入 и апертурой линзы
приспособлением с
приспособлением с
существовало соотношение ；—〜е
2 sin 子
(рис. 2)). Неопределенность в //-компоненте импульса луча £ связана с тем, что его направление лежит в угле между —子 н 十卜 а в остальном неизве-
C.入 九 Л2smР — ~ ' ТЛ тельно, снова 刀~-^, т.C.入 九 Л2smР — ~ ' ТЛ тельно, снова 刀~-^, т.стно. Следовательно, ошибка будет порядка Но это ——правильная мера для 小 следова-
C.入 九 Л
2smР — ~ ' Т
Л тельно, снова 刀~-^, т.
C.入 九 Л
2smР — ~ ' Т
Л тельно, снова 刀~-^, т.
е. 5 〜h.
Этот пример очень ясно раскрывает механизм принципа неопределенности: чтобы точнее прицелиться, необходимы широкие глаза (большая апертура ‘平)и очень коротковолновое излучение, т. е. очень неопределенные (и большие) импульсы световых квантов, которые сталкиваются (эффект Комптона) с наблюдаемым объектом 7 в значительной степени неконтролируемым образом и тем самым «разма-
зывают» его импульс.
Рассмотрим еще противоположный процесс измерения: измерение скорости (импульса). Сначала следует заметить, что естественным методом измерения скорости частицы ■ Т являются измерение ее положений для двух различных моментов времени, скажем 0 и Л и деление изменений координат на £. В этом случае, однако, скорость в интервале времени 0, t должна быть постоянна; если же она изменяется, то это изменение является мерой отклонения вычисленной выше скорости от настоящей скорости (скажем, в момент времени f), т. е. мерой неопределенности измерения. То же справедливо для измерения импульса. Дальше, если измерения координаты сделаны с точностью е, то это в действительности не влияет на точность измерения среднего импульса, так как t можно выбрать произвольно большим. Тем не менее это приведет к изменению импульса по
Л
рядка y и, следовательно, к неопределенности в конечном значении импульса порядка ~ . Итак, в любом случае получается ет] Чего-нибудь нового, если только это вообще возможно, можно было бы ждать поэтому только от таких измерений импульса, которые не связаны с измерением положения. Такие измерения вполне возможны, и ими часто пользуются в астрономии, они основаны на эффекте Допплера, и мы сейчас рассмотрим этот эффект.
Как хорошо известно, эффект Допплера состоит в следующем. Свет, излученный телом 7\ движущимся со скоростью и, частоты % (измеренной на движущемся теле), воспринимается покоящимся наблюдателем как свет измененной частоты » которую можно вычислить из соотношения 三也cos 0 (6 — угол между направлением движения и направлением излучения. Правда, эта формула нереляти- висте кая, т. е. она верна лишь при малых『 но ее легко можно было бы исправить). Поэтому определение скорости возможно, если y наблюдается, а % известно, скажем, потому, что это определенная спектральная линия известного элемента. Точнее, измеряется компонента скорости в направлении наблюдения (направлении излучения света) Vcos 6 = с(^ "^Z или же соответствующая компонента импульса р，= р cos 8 = 叫(；Т丫0), (/п — масса тела Т). Дисперсия тд импульса р‘ зависит, очевидно, от дисперсии Ay частоты » так что 刁'加:А上〜竺尹.Импульс тела 7\ конечно, изменяется из-за того, что оно испускает квант света частоты y и тем самым с импульсом
p = ^-、но неопределенность в этой величине 丄壯 пренебрежимо мала по сравнению с ——冋).
Частоту y можно измерить каким угодно интерференционным методом. Но при таком измерении абсолютно точное значение y полу-
чится, естественно, лишь длячится, естественно, лишь длячисто монохроматических цугов свето
чится, естественно, лишь для
чится, естественно, лишь для
вых волн. Такой цуг волн имеет форму asin(2TC^y-—Yf)-|-a) (g — координата, t ——время, а ——амплитуда, а — фаза, — это выражение представляет любую компоненту напряженности электрического или магнитного поля) и, значит, распространен по всему бесконечному пространству и времени. Чтобы избежать этого, приходится заменить это выражение, которое мож-но записать также и как a sin(2冗Y(^ /)+ а),tак кик 入=в， другим,尸(^-f)， отличным от нуля лишь в конечном интервале изменений своего аргумента. Если световая волна имеет такую форму, то ее, как известно, надо подвергнуть анализу Фурье
+ со
尸(％) = / av sin (2к^х 4~ av) c?v.
о
Тогда интерференционная картина покажет все частоты y, для которых 4”#=°， причем интервал частот y, 丫 + dy войдет с относительной интенсивностью a； dv. Дисперсия y, т. е. Ay, должна быть вычислена из этого распределения.
Если рассматриваемый цуг волн имеет протяженность с по %, т. е. соответственные протяженности по / и ^ составят т и сс, то, как легко видеть, дисперсия частоты y будет 〜g). Неопреде-
ленность положения возникает при таком способе измерения из-за того, что тело Т испытывает отдачу (в направлении наблюдения) за время индивидуального акта испускания кванта света, т. е. его скорость подвергается изменению порядка "^・ Поскольку на процесс испускания требуется промежуток времени т, то момент этого формул обращения интеграла Фурье (см. прим. 87) на стр. 102)我?=必+彳，где
+ 8Т
"=2 У 尸(％)｛靠卜花= 2а/sin 2^vox • |^ 12^)x ■ dx = — co0
=土 J(｛北卜(v+v。) -｛北卜(v _ v。)屮… о
J｛靠卜(v + “。" ｛常卜
——，L 花 d+yq)花(y — ％) Jo ~
Г (—1)л COS 花Yt — 1(—I产 COS 花Yt — I ] _
'[ 农(y + V。)兀(Y 一 Y。) J
—2叫(1—(—1)〃 COS Z：)
=心一嗡 ,
а "(~1)л sin^vx (—1 尸 sin 花yt" — 2叫(一l)〃sin 花丫七
L 兀 d+v/ h(v—%)J(7—^)'
поэтому
2av0 $2 -- 2 (--1)弘cos花vt 4叫 ] ｛ cos ｝万 兀Yg)
4飯0 I sin花(Y 一脸t丨
Как видим, наиболее сильно представлены частоты из окрестности y = y。， так что наибольшая часть энергии цуга волн попадает на тот интервал частот, в котором 花(1 — yq)t имеет умеренные значения. Поэтому дисперсия y — "о (или, что то же самое, дисперсия 丫) по порядку величины равна —.
Точное вычисление выражения/ W(y —“0)%У0 дает тот же результат.0Точное вычисление выражения/ W(y —“0)%У0 дает тот же результат.0
Точное вычисление выражения
/ W(y —“0)%У
0
дает тот же результат.
0
Точное вычисление выражения
/ W(y —“0)%У
0
дает тот же результат.
0
изменения скорости не может быть локализован точнее, чем в пределах X. Отсюда следует неопределенность в положении е ^^弋, Поэтому
力y加с тс 1,
так что мы имеем снова 河〜瓦
Если тело Т не самосветящееся, как предполагалось выше, а рассеивает чужой свет (т. е. оно освещено), то вычисление выглядит совершенно аналогично.
Проекционные операторы как утверждения
Рассмотрим, как в III. 1, физическую систему S с 内 степенями свободы, конфигурационное пространство которой описывается 总 координатами д「 . . ., qk (ср. также I. 2). Все физические величины 脏, которые могут быть построены для системы S, являются, в рамках классической механики, функциями от qv ...» qk и от сопряженных импульсов рр ..., рм 91 = 91(^!，. . ., q^ р「 .. ., р0 (например, энергия является гамильтоновой функцией ”(处,…，q^, рР ..., р/)・ С другой стороны, в квантовой механике, как уже было указано в III. 1, величины 脏 взаимно однозначно сопоставлены гипермаксимальным эрмитовым операторам /?; в частности, д】,...,qk соответствуют операторам Qi=9] • • • Q^=g电• • •, а /?р ..., рА — операторам Р1=-^Р =... В общем случае, как было
27cz dqx尼 27cz dqk丿
пояснено в I. 2 на примере гамильтоновой функции, нельзя из-за неперестановочности Q% и Pt определить R как R — ^flfQ^, .. ., Q电， 戶1， ..., Р电).Не будучи в состоянии высказать что-либо вполне определенное о соотношении между величиной 脏(д「д^, р】,...,рА) и ее оператором R, мы тем не менее установили в III. 1 и III. 3 следующие частные правила.
丄.Если операторы A, S соответствуют одновременно наблюдаемым величинам 脏，0, то оператор 次十 6s (а, Ь — вещественные числа) соответствует величине。脏十力叡
F. Если оператор R соответствует величине 脏,то величине 尸(脏)(尸(入)—произвольная вещественная функция) соответствует оператор 尸(R).
L,, Е допускают еще некоторое обобщение. Оно вынуждается свойством 尸.и гласит:
尸*. Если операторы R, S,…соответствуют одновременно измеримым величинам 脏, 0* ・•・(следовательно, коммутируют, пусть их число конечно), то величине 尸(凡 0, . ..) соответствует оператор 尸(R, S， . • .)•
При этом мы примем, что 尸(入，,・.，)一это вещественный полином по 入,р., ...» так чтобы смысл выражения 尸(R, S, ••・) не вызывал вопросов (R, S, ... коммутируют), хотя 尸*. можно было бы обосновать и для произвольной функции 尸(А 出，...)(относительно определения общего выражения 尸(R, S, ...) см. ссылку в прим. 94) на стр. ПО). Тогда, так как любой полином можно получить повторением трех операций нА 入十2，入2， достаточно рассмотреть лишь эти последние, а поскольку 入* = ^ ((入十 出乎 ——(入 ——р-)2), т. е. равно
•J * (入十出)*+ (一 £■) * (入+ (—1)'出)4
то указанные три операции можно заменить также операциями 加， 入+出，М. но две первые принадлежат к типу 丄・，а последняя — к Е. Следовательно,尸*. доказано.
С другой стороны,丄・ распространяется в квантовой механике даже на те случаи, когда 脏，0 не измеримы одновременно. Мы обсудим этот вопрос позже (в IV. 1), а сейчас ограничимся замечанием, что даже смысл выражения а^Я-\-Ь^, если Й, 0 одновременно не измеримы» вовсе не представляется ясным.
Наряду с физическими величинами 91 существует еще нечто, являющееся предметсм физики: именно альтернативные свойства*) системы S. Альтернативным свойством будет, например, что некоторая величина 91 принимает определенное значение 入，или что значение величины 脏 положительно, или что значения двух одновременно измеримых величин 脏 н 0 равняются соответственно 入 и 出，или что сумма квадратов этих значений > 1 и т. п. Мы обозначали величины через 脏,◎ будем обозначать альтернативные свойства бук
вами ◎，您,...Величинам отвечают, как мы только что установили, гипермаксимальные эрмитовы операторы R, S, .... что же будет соответствовать альтернативным свойствам?
Мы можем сопоставить каждому альтернативному свойству ⑨ величину, определив ее так: каждое измерение, разрешающее альтернативу наличия или отсутствия свойства @, рассматривается как измерение этой величины; при этом ее значение равно 1, если ⑨ имеет место, и нулю в противном случае. Величину, которая соответствует альтернативному свойству @( будем также обозначать через ⑨
Такие величины принимают лишь значения 0 и 1, и обратно, любая величина 脏，принимающая лишь эти значения, соответствует альтернативному свойству @, которое, очевидно, состоит в следующем: «Значение величины 脏 не равно 0》. Поэтому для величин ©, сопоставляемых альтернативным свойствам, этот признак является характерным.
То обстоятельство, что ① принимает лишь значения 0, 1, может быть сформулировано также следующим образом: его подстановка в полином 户(入)=入 —— 入2 тождественно обращает последний в нуль. Если величине © соответствует оператор Е, то величине 尸(@) соответствует оператор 尸(Е) = Е — f2; поэтому наше условие гласит: Е —— 启2 = 0, или Е — Е2, Иными словами: оператор Е величины @ — это проекционный оператор.
Итак, альтернативным свойствам @ (через посредство соответствующих величин @, которые мы только что определили) сопоставляются проекционные операторы Е или замкнутые линейные многообразия 5R, если рассматривать наряду с проекционными операторами Е = P》t и принадлежащие им замкнутые линейные многообразия 2R.
Рассмотрим теперь более подробно вычисления с взаимно соответствующими друг другу f и
Если мы хотим рассудить альтернативу, обладает или нет состояние ср свойством @, то мы должны измерить величину & и установить, равно ли ее значение 1 или 0 (это ——то же самое по определению). Тем самым вероятность первого, т. е. того, что @ имеет место, равна математическому ожиданию @, т. е.
(£\р,(р)= ||Е叫 2= ||Р 岬口 2,
а вероятность второго, т. е. того, что ⑨ не имеет места, равна математическому ожиданию 1——@, т. е.
(О —£■)?. <р)= 11(1 —切叫产二 и<р_Р9^II2#
(Сумма, конечно, равна (% у), т. е. единице.) Следовательно, @ наверняка имеет место / не имеет места, если соответственно вторая / первая вероятность равна нулю, т. е. при Р耽平=平//\~ = 0. Иными словами, если <р принадлежит к 5R/ортогонально к 2)J н〃还 же если у принадлежит к ВД/к 猊8 — ®t
Стало быть, 欢 может быть определено как множество всех у, с достоверностью обладающих свойством @. (Собственно, этим определяется лишь подмножество 2R, лежащее на поверхности ||(р|| =1. Само 耽 получается отсюда умножением на положительные константы и добавлением нуля.)
Если мы назовем свойство, противоположное свойству @ (отрицание @), «не @》，то из сказанного выше непосредственно будет следовать, что если Е или 小? относятся к @, то к 《не ⑨》относятся 1-е или脏8—次・
Как и в отношении величин, здесь также возникает вопрос одновременной измеримости (или, вернее, одновременной рассудимости) свойств). Ясно, что @,密 одновременно рассудимы тогда и только тогда, когда соответствующие величины @,密 одновременно измеримы (неважно, абсолютно точно или с произвольно большой точностью, noci ольку они ведь могут принимать лишь значения 0 и 1), т. е. если F,戸 коммутируют. Аналогично обстоит дело в случае нескольких свойств 近密，@
Из одновременно рассудимых свойств @,帝 можно образовать дальнейшие свойства «@ и 密》и «© или 密》.Величина, соответствующая свойству «@ и 密》，равна 1, если обе величины, соответствующие 但 н 窗 равны 1, равна 0, если одна из них равна нулю, т. е. произведению этих величин. Согласно F*. ее оператором будет произведение операторов величин @ и ^, т. е. Е尸.По теореме 14. из II. 4, соответствующее замкнутое линейное многообразие будет общей частью 举 многообразий 少t и 况.
С другой стороны, свойство «@ или 密》можно записать как«не ((не ①)и (не 普))》，
и, следовательно, его оператором будет
1 - (1—E)(1 -尸)=e + 尸一Е尸
(по способу построения это, конечно, тоже проекционный оператор). Так как 尸一EF является проекционным оператором, то линейным многообразием, принадлежащим к 七+尸一EF, будет ЗЙ +(况 —— 第) (теорема 14. из II. 4). Оно является подмножеством ｛Ж,災｝ и, очевидно, содержит Ж, значит, по симметрии также и 3^, а следовательно, и ｛耽，犷｝. Следовательно, оно равно 懒，犷｝, которое, как замкнутое множество, само равно [TL 叭].
Если ① является свойством, которое всегда имеет место (т. е. пустым), то соответствующая величина равна тождественно 1, т. е. Е=1,小？=販8・ С другой стороны, если @ никогда не имеет места (т. е. невозможно), тогда соответствующая ему величина тождественно равна 0, т. е. f = 0, $01=0. Если два свойства ®,密 несовместны, то во всяком случае они должны быть одновременно рассудимы и свойство «@ и 咏》 должно быть невозможно, т. е. Е н 尸 должны коммутировать, a EF — 0. Но поскольку из EF = 6 вытекает перестановочность (теорема /4. из II. 4), то это свойство характерно само по себе. Если предположить, что f и F коммутируют, то тогда £尸=0 означает попросту, что общее подмножество множеств JR н 况 состоит лишь из 0, однако из одного последнего условия перестано-
вочность Е н 尸 следовать не будет. Напротив, в общем случае EF = 0 утверждает для 少t и 况,что всё 5R ортогонально ко всему 况(теорема 14. из II. 4).
Если 脏——это величина с оператором R, которому принадлежит разложение единицы Е (入),то оператором свойства «91 лежит в интервале /={М р-З»,^7^^) будет оператор ^(^) — Е(入').Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, например, что вероятность сделанного утверждения равна ((Е(р/) — Е(Х))屮,屮)(ср. W・ в III. 1). Другой способ: величина, соответствующая рассматриваемому свойству, равна & =尸(況)，где
尸（入）=尸（入）=при X < 入
尸（入）=
尸（入）=
О в остальных случаях,
так что 尸(R) = E(p/)—f(V) (ср. II. 8 или III. 1). В III. 1 этот оператор обозначался через Е(/)・
Итак, мы пришли к следующим выводам относительно связи между свойствами @, их проекционными операторами Е и замкнутыми линейными многообразиями ®J этих операторов:
Вероятности того, что свойство @ имеет или не имеет места в состоянии 屮.равны
(g,中)=||Е叫2= ||Р酰>112
ИЛИ
((1 -E)中，中)=IK1 一学中俨=[I? -.paa?||2.
Р) & с достоверностью имеет или не имеет места в состояниях 屮，принадлежащих 5R или 8f1g——刃七 соответственно, и только в таких состояниях.
丫) Для одновременной рнесудимости нескольких свойств @, 密,..• перестановочность их операторов Е, 尸,...является характерной.
Если Е, Ш? принадлежат свойству ⑨ то 1 —Е, Я» —耽 принадлежат свойству 《не ◎》・
Если Е, 5R принадлежат свойству &, а 尸，员一свойству 密 и если & н 密 одновременно рассудимы, то EF и общая часть 力t, 员 принадлежат свойству «@ и 密》，а Е-[-尸一EF и {ЗЙ,员} (равное [2R,况])принадлежат свойству «@ или 密》.
n)® всегда имеет место, если Е= 1 или же если 2)1 = ЭТ^, и никогда не имеет места, если Е=0 или же если ®i = (0).
@,密 несовместны, если EF = 0 или, также, если всё 5R ортогонально всему 况.
，)Пусть величине 脏 соответствует оператор R и пусть / ——некоторый интервал. Пусть Е (入)——разложение единицы, принадлежащее R, ，={Кр/}(入‘互出‘)，Е(/) = Е(р/) — EQ^f) (ср. III. 1). Тогда оператор f (/) принадлежит свойству лежит в /》・
С помощью предложений &)—，) можно вывести указанные выше вероятностные утверждения W., £〔・,七2・,а также утверждения из III. 3 относительно одновременной измеримости. Ясно, что последние утверждения эквивалентны 丫); W・ следует из а), е), ,), a Ei・,七2・ являются его следствиями.
Мы видим, что связь между свойствами физической системы, с одной стороны, и проекционными операторами, с другой, делает возможным некое логическое исчисление над ними. Однако в противоположность исчислению обычной логики эта система обогащена характерным для квантовой механики понятием «одновременной рас- судимости».
Это, основанное на проекционных операторах, исчисление предложений имеет, пожалуй, определенные преимущества над исчислением величин, опирающимся на совокупность всех (гипермаксимальных) эрмитовых операторов, состоящие в том, что понятие «одновременной рассудимости» является уточнением понятия «одновременной измеримости». Например, чтобы вопросы «лежит ли 91 в /?》и «лежит ли 0 в J?》[й и ® обладают операторами /? и S, а эти в свою очередь — разложениями единицы е(入)и 尸(а)；/= {X,入"}, J= {a-a"}] были бы одновременно рассудимы, мы требуем лишь (согласно 丫)， ，))， чтобы операторы £'(/) = £' (Vх) — f(V) и 尸(J) =尸，心")一尸(卩勺 коммутировали. Для одновременной же измеримости 脏，0 необходима перестановочность всех Е (к) со всеми 尸(卩).
Теория излучения
Мы снова вывели все статистические утверждения квантовой механики, приведенные в I. 2, и даже существенно обобщили их и придали им систематический порядок с одним-единственным исключением. Именно, нам недостает гайзенбергова выражения для вероятности перехода из одного стационарного состояния квантованной системы в другое, хотя как раз оно сыграло важную роль в создании квантовой механики (ср. сказанное по этому поводу в I. 2). Следуя методу D i г а с 'а ), мы покажем теперь, каким образом могут быть выведены эти вероятности переходов из обычных статистических утверждений квантовой механики, т* е. из только что изложенной теории. Это тем более важно, что такой вывод позволит нам глубже заглянуть в механизм переходов между стационарными состояниями, а также в смысл частотно-энергетических условий Эйнштейна ——Бора. Теория излучения, развитая Дираком, является одним из самых прекрасных достижений в области квантовой механики.
Пусть S——система (например, квантованный атом), энергии которой соответствует эрмитов оператор Но- Обозначим координаты, описывающие конфигурационное пространство системы S (если, например, S состоит из I частиц, то имеется 3/ декартовых координат: %1 = 9р У] = 02，^\ — Q^ • • ' » "z = 032-2，У/= ^3Z-1* Zj = 9зЗ П〃* краткости через Е; далее, для простоты пусть Но имеет чисто дискретный спектр: собственные значения 1ГР W^ . . ., собственные функции 中 1(E),中2©， • • • (некоторые из Wп могут совпадать). Произвольное состояние системы S, т. е. волновая функция 中(Е), развивается в соответствии с временным уравнением Шредингера (ср. III. 2) 爲^/(9 = 一h肝簿)，
т. е. если при t = t0 也(Е)=中(Е) = £ 。々屮々(Е)， то для произвольного времени
Состояние 中(E) =(p^(E) переходит, следовательно, в е 九 °'中々(目， т. e. само в себя (так как множитель е h " не играет роли). Значит, состояния 中々(? стационарны. Таким образом, мы сперва вовсе не находим переходов из одного состояния 中々(Е) в другое. Как же получается, что о таких переходах все-таки говорят? Объяснение несложно. Мы не учли агента, который вызывает такие переходы, ——свет. Ведь уже согласно первоначальной теории Бора стационарные квантовые орбиты нарушались лишь при испускании света (ср. прим. 5) на стр. 12), но если не обращать на него внимания (как в только что намеченной постановке задачи), то совершенно разумно, что получается абсолютная и постоянная стабильность. Таким образом, следует расширить исследуемую систему так, чтобы она включила в себя и свет, который, возможно, будет испущен S, т. е. вообще весь свет, который может вступать во взаимодействие с S. Обозначим через L систему, образуемую светом (т. е. электромагнитным полем классической теории, исключая стационарное поле, порождаемое электронными и ядерными зарядами). Рассмотрению подлежит тогда система s+厶
Итак, надо найти следующие вещи：
/. Набор переменных для квантовомеханического описания системы 丄，т. е. конфигурационное пространство L.
Оператор энергии системы S-\-L. Эта энергия состоит из трех частей:
а) Энергия системы S, существующая независимо от 丄，т. е. невозмущенная энергия S: для системы S — это оператор Но.
Р) Энергия системы L、существующая независимо от S, т. е. невозмущенная энергия L. Обозначим соответствующий оператор через Нг.
丫) Остальная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия S н 厶 Обозначим ее оператор через Н®・
Как видно, здесь идет речь о вопросах, на которые, в духе основных принципов квантовой механики, сначала нужно ответить классически, с тем чтобы полученные таким образом результаты можно было затем перевести на язык операторов (ср. I. 2). Встанем поэтому сперва на чисто классическую точку зрения относительно природы света: будем рассматривать его (в духе электромагнитной теории света) как осцилляторное состояние электромагнитного поля ).
Во избежание излишних усложнений (диссипация света в бесконечном пространстве и т. д.) будем считать, что S н 丄 заключены в очень большой замкнутой полости Н объема 纱 с абсолютно отражающими стенками. Состояние электромагнитного поля в Н описывается, как известно, напряженностями электрического и магнитного полей: S = {Sx,瓦，S2], £={目*, £y,皆以・ Все величины Sx, .... ^>2 являются функциями декартовых координат %, у, z общей точки полости Н и времени Л Следует указать еще, что теперь мы будем часто рассматривать вещественные пространственные векторы а = {б*, %, %}, b = {b*, by, Ь2} и т. д. (например, S, Q)， а также разные конструкции с ними, как, например, внутреннее или скалярное произведение
【6, Ь] =+ciyby十。儿，
Здесь, конечно, не возникает опасности спутать это скалярное произведение с внутренним произведением (у, |) в (R^. Обозначим диф- @2@2@2
ференциальный оператор ^^ + 5^ + ^^ через А, а известные векторные операции ——через div, grad и rot. Векторы Bug удовлетворяют в пустом пространстве Н уравнениям Максвелла:
div£ = 0, rot(S + ^/ £ = 0,divS~0, rotф^ ^-6 — 0.
Первое уравнение первой строки будет удовлетворено, если положить $ = rot 31 (где Ш= {Ш^,旣у,以%}—так называемый вектор- потенциал; его компоненты также зависят от х, у, z, £), а второе— если 6= — у-^ Ш. После этого уравнения второй строки приобретают вид
(A)div现=0,厶现=о.
[В целях повышения симметрии пространства и времени, вектор-потенциал вводится часто несколько отличным способом. То, что предложенный способ введения 观 дает общее решение уравнений Максвелла—здесь надо обратить особое внимание на то, что из первого уравнения второй строки следует лишь, что "^div以=0, т. е. div?(= = /(х, у, г), —доказывается в большинстве изложений теории Максвелла. Поэтому мы не станем дольше останавливаться на этом. Ср. прим. ) на стр. 191.] Уравнения (Д.) являются исходным пунктом для дальнейшего. Свойство стенок полости Н отражать свет можно выразить в виде условия перпендикулярности вектора-потенциала 观 к стенкам на границах И. Известный метод нахождения всех таких 以 состоит в следующем. Так как в рассматриваемой проблеме t нигде не фигурирует явно, то наиболее общим выражением для Ш будет линейная комбинация всех решений, имеющих вид произведения вектора, зависящего от х, у, z, на зависящий от времени скаляр,
以*现(*, у, N, /)三以(*, у, n) • 7(/).
Уравнения (Д.) дают тогда
(4・)div宓=0,原(=т| 類，
賓 перпендикулярно к стенкам Я на границе.
(Аг.)丽 q «) = * 刀 g (/)•
Здесь, согласно (Ль),刀 зависит лишь от х, у, N, а согласно (Л2.) —лишь от 九 Значит,刀 есть константа.
Таким образом, уравнения (Ai・) формулируют проблему собственных значений, в которой 叮 является параметром для собственных значений и Ш — собственной функцией. Теория таких задач полностью разработана, и мы приведем здесь лишь результатыио).
Задача (4.) имеет чисто дискретный спектр, все собственные значения 7}р 叮2， • • • (пусть им соответствуют ШР 以2， • * *) отрицательны и стремятся к —оо при /if 十8. Полную систему 以卜 Ш2» ・・・ можно нормировать условием
J f f 以m Шл] dx dy dz —J f f 以m Шл] dx dy dz —4нс2 для т = п,О для т 4= п.
J f f 以m Шл] dx dy dz —
J f f 以m Шл] dx dy dz —
(Мы выбрали 4нс2 вместо обычной 1, поскольку в дальнейшем такая нормировка окажется немного более практичной.) Обозначим ?}л (<0)
через^" (Рл〉0，при n->^- 00 имеем также р71f+ оо), тогда (AJ даст
qn (/) = ^cos 2тгрл (t — t)(7，1t произвольны).
Таким образом, самое общее решение 旣 имеет вид
观=以(%, y,储 0 = 2^л (x> y，^) Яп (0 —л = 1
=w乱(尤y，z)力cos 2昭(f- %) л = 1
(Ti， Т2* • • •» 弋1，弋2， • • •—произвольные константы). Энергия произвольного поля 级=£/〃(％, у, ^) qn (/) (где 现 не предполагается л= 1
решением задачи (Д.)» т・ е- коэффициенты qn (/) произвольны) составляет
Е = ~^ J / / ([S» 图 + [g, ^]) dx dy dz =
-if ff^l^ 拿矶十 3% rot 现 dxdydz =
m, л=m, л=/ / /(2 ^_^")g9理⑴然,%]+ 1 Я
m, л=
m, л=
十 Чт ⑺ 7" (0 [rot 可g rot 求"])dx dy dz.
13 И Нейман
Интегрируя по частям, получим)
rot 丸]dx dy dz =rot 丸]dx dy dz =
rot 丸]dx dy dz =
rot 丸]dx dy dz =
яя
я
я
[rot rot 以加，必弘]dx dy dz =
=/// [—A 就加 + graddiv 丸，^dx dy dz —
北理]dxdydz.
Поэтому
?=М 2 (守肃9加⑺亦外⑹Н^9加⑴勿g»Х
X / / / 倒勿可"dx dy dz = ^ £ [係盛«)y + 4吟"羡(Z))2]. Я加=1
Но 91，夕2， ♦・• можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенное состояние поля, т. е. как координаты конфигурационного пространства системы Z. Сопряженные импульсы рп (в смысле классической механики) находятся из формулы
e =42(他讶十4喲确)
Л = 1 в форме
%" е е = ±7, е=4& (必+4吨励
(ср. I. 2). Отсюда можно получить уравнения движения классической механики
京% =一就e = -4 吟曾"-qn^E = pn.
т. e.
i^qn + ^nqn = ^
что в точности совпадает с уравнениями (Л.)- вытекающими и^ уравнений Максвелла. Тем самым доказана теорема Джинса:
Поле излучения 丄 можно описать в смысле чисто классической механики координатами д】,^2,...,——которые связаны с мгновенным значением вектор-потенциала 21. описывающего поле, соотношением
以三以（％, у, N）三2孫叫（％，У，N）,—
посредством энергии (гамильтоновой функции)
Е = }£(""4п 喻).
Точка массы 1, движущаяся по прямой линии, с координатой д, находящаяся в потенциальном поле С^2, С = 2化2「2, обладает энергией 計传7 ) + 4叩外Или же, поскольку опять р = ~qt равной 歹(Р? +4тт2P2,2). Уравнение движения такой частицы имеет, следова- тельно, вид -^g+4тг2р2д = 0, решением которого является д =
=7 cos 27rp(/ ——с) (т， с произвольны). Благодаря такому характеру движения эта система называется «линейным осциллятором частоты р》. Следовательно,丄 можно рассматривать как совокупность некоторой последовательности линейных осцилляторов, частоты которых являются собственными частотами полости Н: р1( р2»
Это «механическое» описание электромагнитного поля важно потому, что его можно немедленно реинтерпретировать в духе обычного метода квантовой механики, описывая конфигурационное пространство системы 丄 координатами 力,^2» • • • и заменяя в выражении для Е величины р„ и q„ на -тДг ... и(у„ * • • соответственно.
l п г" 2тс/ dqn
Последние операторы обозначим через Рп и Qn. Тем самым вопросы
/. и 2. В) будут разрешены, в частности, .оператором, о котором шла речь в 2. §), явится
m=4 2(匕十4叫随.
I
Вопрос 2. а) был решен заранее, так как мы приняли, что Но известно. Таким образом, остается лишь вопрос 2. 丫)， который, однако, не готовит нам дополнительных трудностей.
Согласно классической электродинамике, взаимодействие между S и 丄 вычисляется следующим образом: Пусть S состоит из 2 частиц (скажем, протоны и электроны) с зарядами и массами е「加卜... ...,е〃 加工 соответственно и с декартовыми координатами Xj — qv у】 = 02，之[=夕3，хг = ^зг-2» Vz=== ^3Z-i* % =铀(совокупность которых образует символ Е, введенный выше) и пусть им соответствуют импульсы р；, р{, р% ..., р力 р{, pf. Тогда энергия взаимодействия будет иметь вид (в достаточном приближении)
2 含@久 % % 2,) + 冲收，义，z)+ k%(%, %，Z,))M2).
1 V
Соответствующий оператор квантовой механики получается путем замены р，, рУ, pj, х^ 乂,之丫 (y=1, ..., /) на операторы
h дh дh д
которые мы обозначим через Р：, Р：, Р；, Q：, Q?, Q：. Учитывая еще, что
观(％, У，N)= £/次У，N),
получаем искомый оператор Hw в виде
h®=2 t誌，囿%,*(Q：, Q+, Q：) + 〃=1 Y=I
+RX,y(Q：，Qh Q：) +「阳,z(Q；，Q± Q：)}・
Здесь следует заметить, что мы заменили произведения р^п #(%屮 yv> nJ операторами, используя произвольный порядок сомножителей: 代方％ *(Qf，Q?，Q?，хотя мы могли бы с равным основанием взять 班％#理(Q：, Q，Qf)Pf, а чтобы обеспечить эрмитовость возникающего
м2)См., например, ссылку в прим. 138) на стр. 189.
оператора, в действительности следовало бы пользоваться симметричной записью вида
戈代孤 *（& Q?, Q3）+吋G, Q?P：）,…
К счастью, все это не играет роли ввиду того, что
財乱 *（國，Q+，Q：）+ …]—国,*（Q：，Q'，Q：）E+ …]=
=[P寓,*@，Qt，Q：）— 裒…G，Qt，Q：）P：]+ …M3）=
=击言弘,*（Q：，Q', Q：）+…=負杀孔侬 &, Q：） = 0.
Таким образом, полная энергия нашей системы S + 厶 и ее операторН = Н（）+ Hj + Hw
теперь полностью определены. Но прежде чем преобразовывать Н дальше, заметим следующее: конфигурационное пространство системы S +丄 описывается координатами Е （т. е.分，...,必】или же %】，％, 马，...,хр %, N/） и 分，02，а волновая функция зависит от всей их совокупности. Но допускать в рассмотрение системы с бесконечно многими степенями свободы или же волновые функции с бесконечно большим числом переменных неудобно в формальном отношении и сомнительно с точки зрения законности математических операций, ——наши предписания относились ведь всегда к случаю конечного числа координат. Мы будем поэтому сперва учитывать лишь ^ первых из координат qv ,2’ ・・•， а именно qv ..., qN （т. е. мы ограничим 观 линейными комбинациями ШР ...,以％）, и лишь после того, как будет получен готовый результат для такой упрощенной системы, мы выполним фактически необходимый предельный переход N ~>■ —[~сю.
из） Так как Р： коммутирует с Q：, Qj и не коммутирует только с О', то для того, чтобы обосновать последующее преобразование （мы опускаем излишние индексы и заменяем 江 на Л）, следует доказать соотношение
Р尸（Q） —尸（Q）P=鳥尸（Q）,
в котором 尸"5^ …，Q = g… Это соотношение, играющее в матричной теории исключительно важную роль, проще всего проверяется с помощью прямого вычисления.
Таким образом, получаем
h = н。 + ^ е （兑+ 4备力3+
n= 1
+ W工含@/响"（Q:，Q?，Q：）+
〃 =1 v== I
+ 戶?孔,y（Q；，Q?，Q：） + E乱,z（Qf，Q?, Q：）｝・
Вместо Pn, Q„ удобно ввести （не эрмитовы!） оператор Rn и сопряженный ему Rm
Rn = y^^（2叫⑪ + "尸）a = У^^。（2哂@理-iP），
Тогда Qn = ^]/ 冢（心 + &），н так как「"（?"一（?/“ =疽1, то 丸尤=备（比+ 4П/瑞）+》1， 欲产备（中+ 4昂瑞）-戈1・
Поэтому, в частности, RnRn ——RnRn = !• После этого формула для энергии принимает вид
Н = Но+ W/гр厶居居 +
單2 兀 с/и、單2 兀 с/и、/击(耳+勺)附九(Q—:)+/击(耳+勺)附九(Q—:)+
單
2 兀 с/и、
單
2 兀 с/и、
/击(耳+勺)附九(Q—:)+
/击(耳+勺)附九(Q—:)+
+P戒”,y（R，Q?，Q?+P急,z（Q：，Q：，QQ]十C，
где С = const — у 2 ^п' Поскольку аддитивная постоянная в вы- ражении для энергии не имеет смысла, то константу С можно опустить. Это тем более желательно, поскольку при Nf+ оо С становится бесконечным, что нарушило бы разумную конечность теории.
Эрмитов оператор RnRn является гипермаксимальным и обладает чисто дискретным спектром, именно, состоящим из чисел 0, 1, 2,...
7^宀" = 2n7^宀" = 2nQnQnRnRn =—R^Rn =—RnRn =—R^Rn =—1 一22+1 2 各1 一22+1 2 各丄2 21 -2丄2 21 -2
7^宀" = 2n
7^宀" = 2n
Qn
Qn
RnRn =—
R^Rn =—
RnRn =—
R^Rn =—
1 一2
2+
1 2 各
1 一2
2+
1 2 各
丄2 2
1 -2
丄2 2
1 -2
Соответствующие собственные функции обозначим через 屮^SJ 屮;(9) 屮g (g) 。-
[Если положить * )/上 9 вместо ", то
1h д \ f~h 1 a2/грл 2兀方 dqn2兀 F 2p„ z dqn
перейдут в 方g иперейдут в 方g и金｝ ^соответственно, так “то получим
перейдут в 方g и
перейдут в 方g и
Теорию собственных значений этих операторов можно найти во многих изложениях, например, Courant — Hilbert, стр. 261, формулы (42), (43) и относящийся к ним материал, а также стр. 76, формулы (60), (61) (русский перевод: Р, Курант и Д. Г ильберт, Методы математической физики, ГТТИ, 1933, стр. 84, формулы (30), (31) и стр. 310, формулы (48), (49)); или Weyl, Gruppentheorie und Quan- tenmechanik, стр. 74 и далее.]
Так как 屮】(£),屮26)， ••・ образуют полную ортогональную систему в пространстве Е, а 屮&(qj 屮f(g).…образуют полную ортогональную систему в пространстве %, то
①叫…Mn G，45n)=整(Е) •屮儿 @)…屮戈N品)，
力=1, 2, Mv . .., MN — 0, 1, 2, ... образуют полную ортогональную систему в пространстве Е, д” .. ., qN, т. е. в конфигурационном пространстве. Мы можем тогда разложить любую волновую функцию @ = @(Е, 9i，9%) следующим образом:
со сосо
co coco
*0 …G)如画)…％ (7n).
To обстоятельство, что мы нумеруем полную ортогональную систему и коэффициенты разложения ~+1 индексом 佗， Mv ..., MNt
а не одним, не играет никакой роли. Как показывают рассуждения
в 11. 2, гильбертово пространство волновых функций Ф можно интерпретировать также как пространство ^-|-1-кратных) последова- (88co、
с конечной 2 22
龙=1 М] = 0ЛТдг=О 111 /
бертова пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначалабертова пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначалаКакой же вид принимает оператор Н при таком понимании гиль
бертова пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначала
бертова пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначала
Н①走招…Л4дг・ Так как Но действует только на & а 屮走(Е) является собственной функцией Но с собственным значением Wk и, далее, так как RnRn действует лишь на и 屮% (%) является собственной функцией R^Rn с собственным значением Mnt то
НФ/гЖ1 .：.мк = ^к + ^ЬрпМ^ФкМ1 +
+ S Sdk/羽附気у® Q?，Q：)+ л= 1 v = 1
+Р務yg Q?，Q：)+P您,z(5, Q?，Q：)] X
x ^ G)如@) •••(% +七)% @)…屮凱品)，
Для любого оператора Л, который (подобно выражению [...]) действует лишь на переменную Е, можно пользоваться разложением
А屮式9 = а (例3 %) •屮j(E)= J(A)%/b(E)，
где (4)走/=(/屮走，屮» Дальше, как показано в упомянутой выше работе, %隔(7.) = 了顽h伍)，勺嶋臨)=U W %+i @0
(при М — 0 правую часть первого уравнения надо считать, не обращая внимания на появляющееся в ней выражение 屮匕【，равной нулю). Следовательно,
НАМ】…1tz宏+ ＞九附j①力陷…^n +
x(/^vh+1 ■ ＞ ＞炽十謔…mJ.
Теперь оператор Н можно представить себе как оператор, действующий на коэффициенты аШ{ по формуле
kM{ АГдг 1 jv I /v论31][ /v 1 jv
где
h”修…4例=Wm「.Mn=1吃十2仰”此)a叫…mn + л=1/
8^ / /\
十2工1/證工 -(时…(Q3Q?，Q：)+…筋 X
/=1 л= 1/
Здесь наше обсуждение оператора Н дости гло того этапа, когда можно уже осуществить предельный переход Nf 8. Поскольку система индексации коэффициентов аъм изменяется при таком процессе, то в результате возникает совершенно новый оператор Н. Нам нужно ввести компоненты а.лл я, с бесконечно многими ин- дексами Mv М2, ..., но уже для того, чтобы гарантировать конечность суммы X 力р理附炉 фигурирующей в Н, следует ограничиться п-1
такими последовательностями Afp М2 ..., которые содержат лишь конечное число элементов, отличных от нуля. Итак, начиная с этого момента будет строиться гильбертово пространство последователь- со со со
иостей akMxM2... с конечной суммой £ 2 n1。£М陷…卩；При k~ I Л41х=0 初尸 0
этом индексы 总，Mv М2 пробегают следующую область：总=1, 2, ..., Mv 他，…=0, 1, 2, .. ., с конечным (но произвольным) числом МпФ 0【44). Окончательно оператор принимает следующий
№4) То, что так описанная система индексов 幺 Мь М2, ... действительно образует последовательность, можно проще всего доказать следующим образом. Пусть к” 冗2，冗3，есть ряд простых чисел 2, 3, 5, ... Произведения 冗夕也夕2 ... в действительности будут конечны, так как, кроме ко- вечного числа исключений, все Мп = 0> т. е. сомножители 兀〃笛【=1. Далее, если 證,М],附2，•，. пробегают полностью всю нашу систему индексов, то числа ^i "^^1^2 • ■ - пробегают совокупность всех чисел 1, 2, 3, ... и принимают каждое значение только один раз. Поэтому можно воспользоваться числами 冗，一1冗?1 兀夕* ..., чтобы получить однократную систему текущих индексов для коэффициентов ”的的….
вид:
Hа无齒m2…… =(也十纟小此)。s..■+
+?s N]鸣(Uw叫附此…综+1…十了初(^jMiM2 综-1 ...), где 叫卜 определяется выражением
^■=/52-2кс/Иу-(尸网UQ& Q?，Q；)十 Y =1
Прежде чем извлекать из этого результата интересующие нас физические выводы, напомним, что он был получен на основе электродинамической теории света. Было бы желательно установить сперва, достаточно ли проделанного нами шаблонного квантовомеханического преобразования, чтобы передать отклонения света от волновой модели, в частности его на самом деле дискретно-корпускулярную природу. (Конечно, вполне разумно было бы ожидать, что для достижения этой цели надо бы исходить прямо из корпускулярной модели, а не «квантовать» электромагнитное поле, как было сделано выше.)
Непосредственно из вида полученного выражения Н для энергии ясно, что что-то вроде световых корпускул в нем есть. Действительно, если опустить в этом выражении второй член, представляющий своего рода возмущение и который, как вскоре будет видно, является причиной квантовых скачков системы S из одного «стационарного состояния» в другое (т. е. причиной интересующего нас сейчас явления, которое, однако, всегда существенно слабее, чем сама материальная система S и уже присутствующее излучение, и которые, как мы увидим, овеществлены в первом слагаемом Н), то останется только
ндm网…=(吃+2 "p〃此)。/:m也 \ ■
Но это выражение для энергии можно интерпретировать следующим образом: это энергия Wk системы S, к которой добавляются энергии h^nMn (〃 = 1, 2, .. .), в связи с чем напрашивается интерпретация чисел Мп — 0, 1, 2, … как чисел частиц, обладающих соответственно энергиями 左р“ Но Лр„—это в точности та энергия, которую, по Эйнштейну, надо приписать световому кванту частоты р仪(ср. прим. 134) на стр. 179). Итак, строение Hi говорит в пользу того представления, что находящееся в полости И электромагнитное поле (за вычетом электростатической части), т. е.丄，состоит в действительности из квантов света с частотами р「 р2, ... и с энергиями
/грр 力р2числа которых указываются индексами Mv ТИ2,... (=0, 1, 2, .. .). То обстоятельство, что других частот, помимо р「 р2, ..., нет, можно сделать легко понятным, если заметить, что эти частоты являются собственными частотами полости И. Действительно, векторы-потенциалы §ln (%yz) 丁 cos 2Kp仪 « ——т) представляют собой единственно возможные в Н стационарные электромагнитные колебания.
Приведенные соображения и интерпретации обладают поэтому лишь эвристической силой; полностью удовлетворительный и окончательный ответ на наш вопрос мы получим лишь тогда, когда, и если, нам удастся получить выражение Н для оператора энергии, отправляясь, от модели световых квантов для изучения L. Мы вынуждены были провести сначала классическое рассмотрение из-за того, что доквантовомеханическая гипотеза световых квантов не дает нам выражения для энергии взаимодействия кванта света с материей (в этом пункте реинтерпретацию классической электродинамики никогда не удавалось провести). Теперь же мы сможем определить этот член взаимодействия сравнением коэффициентов, если только окажется, что результат, который мы получим, пользуясь общим выражением для энергии взаимодействия, совпадет по форме с оператором Н*
Что такое конфигурационное пространство 丄(вопрос 1.) с точки зрения гипотезы световых квантов? Один-единственный световой квант (в полости Я) можно было бы охарактеризовать известными координатами, совокупность которых мы обозначим символом и 145). Пусть его стационарные состояния (в Н) обладают волновыми
ms) в качестве координат, описывающих световой квант, можно использовать, например, его импульсы рх,卩屮 厶，а также координату 冗，определяющую его состояние поляризации. Компоненты рх,卩屮 pz определяют направление движения светового кванта, т. е. его направляющие косинусы %，ау, %伝+芋+磋=1), равно как его частоту » длину волны 入 и энергию, ибо согласно Эйнштейну длина вектора импульса равна 专■ (ср. прим.
134) на стр. 179), и следовательно,
AvAvэнергия ~ h*энергия ~ h*CPza = —； • 九YCPza = —； • 九Y九YAv
Av
Av
энергия ~ h*
энергия ~ h*
CPz
a = —； • 九Y
CPz
a = —； • 九Y
Px = ~ %， Py ~ 旳， t. e.
y = £M/ +内+屐，入=余
cPxc&
~ —-— .-—.
Здесь, однако, начинает мешать то обстоятельство, что наши собственные колебания ^п (х, у, z) 了 cos 2冗р〃 (£—т) являются стоячими волнами—-иных и не может быть в полости Я из-за отражающих стенок, — а такие собст-
функциями 屮К%), ф2 (и)..…(которые образуют полную ортонорми- рованную систему) н энергиями £\, Е?’ * • ■ Эти стационарные состояния отвечают электромагнитным собственным колебаниям 以卜 以?， ■ • • с частотами рр р2, ... (Согласно представлениям Эйнштейна должно быть Еп = h^n, что также будет доказано.) В связи с этим надо заметить следующее: уже при электромагнитном рассмотрении мы так нормировали энергию света, что ее минимальное значение было равным О, оно соответствовало индексам М} — М2 — ... = 0. Тем самым мы признали и несуществование за возможное состояние света, и это объективно оправдано. Ведь световые кванты могут в самом деле испускаться и поглощаться, т. е. создаваться и уничтожаться. Между тем такое представление совершенно чуждо квантовой механике: каждая ча-
венные колебания ”仪 нельзя поставить в соответствие ни с каким «направлением луча» 厶，ау, az. Непосредственно ясно, что наряду с направлением а%, ау аг, во всяком случае, имеется и противоположное направление ——価, —勺，~аг)и то же утверждение справедливо и для импульса. Следовательно, в полости Я надо пользоваться не % 卩屮 勿 冗，а какими-то другими координатами.
В некоторых новых изложениях рассматриваемого предмета это затруднение преодолевается с помощью следующего приема. Будем считать, что полость Я является параллелепипедом
—-/ V х V А_- В V у V 8— С V z V С,
граничные поверхности которого x=±A,y=±Bt2=^±C не считаются отражающими стенками. Отождествим вместо этого
х~ А с х — — А у — В с у — — В, z~ С с z — — C.
Это означает, что излучение, падающее на стенку х = А в точке А у, z возобновляет в точке — Л, у, г свое движение в том же направлении (снова внутри полости Я), как если бы ничего не случилось, и т. д. (ср., например, статью Л. Ландау и Р. Пайерлса, L. Landau und R. Р е i е г 1 s, Z. Physik, 62 (1930)). Можно сказать также, что пространство считается периодическим в направлениях xt yt z с соответствующими периодами 2Л, 28, 2С.
Аналитически рассмотрение остается прежним, но граничными условиями теперь будут 31(4 у, г) = 31 (—А у, z), 31 (х, В, ?) = ?[(% —В, г), 班(х, у, С) = 31 (х, у, — С) (вместо прежних: ^-51 — 0 на границеj, а «элементарные решения», по которым идет разложение, примут вид
{靠卜2a (f — с (%х + ауу + «гг))]
(а не /(х, у, ?)?(£))• Можно легко найти принадлежащие собственным ре* шениям y = % и
% ~ %, г» ау ~ ап> у， °z = %, z (и = 1, 2,...).
Дальнейшее же развитие теории совпадает с приводимым в тексте.
стица привносит свои координаты в конфигурационное пространство системы и тем самым настолько интимно входит в формальное описание всей системы, что фактически ведет Себя, как абсолютно неуничтожаемая. Поэтому и после уничтожений ей приходится приписывать своего рода латентное существование, когда ее координаты все еще принадлежат конфигурационному пространству. Следовательно, одно из состояний 屮八％) с энергией Е〃 = 0 должно отвечать несуществованию кванта света, — мы предпочитаем обозначать такое состояние через ф0(и) (f0 = 0), так что волновые функции 屮】(〃), 屮2(〃)，• • • описывают существующий световой квант, но только 屮о(〃)，屮i(〃)，屮2(")，• • • образуют полную ортогональную систему.
Перейдем теперь к рассмотрению L, системы всех световых квантов. Поскольку в счет идут и неприсутствующие кванты, то £ состоит из столь многих квантов, что их никогда не может оказаться больше этого числа, т. е. количество световых квантов в £
бесконечно велико. Поскольку все же нецелесообразно с самого начала иметь дело с бесконечно многими составляющими системы £, то будем сперва поступать так, как если бы имелось всего S световых квантов (5=1,2, ...), и только в конце перейдем к пределу 5->十8鸣.Перенумеруем эти световые кванты с помощью чисел 1, …，S и обозначим их координаты через %】，…，闻、Конфигурационное пространство системы £ будет тогда описываться переменными ир ..., %s，а конфигурационное пространство 5十丄一• переменными Е, %「 .. ., %. Наиболее общей волновой функцией 5十丄 будет поэтому /(Е, %】％$), а совокупность функций
%(Е)屮硏(勺)• * * 屮打(”s)，内=1， 2, np ns = 0, 1,2,..., образует полную ортогональную систему.
Далее, световые кванты обладают фундаментальным свойством быть совершенно тождественными друг другу. Это значит, что на свете не существует способа различить два кванта с одинаковыми координатами %. Иными словами, состояние, в котором световые кванты с номерами тип имеют некие координаты, например 〃加=%', ип = и!г, нельзя отличить от состояния, в котором ит — и!1. ип — «\ (Это классический, а не квантовомеханический, способ описания, так как мы задали значения %, а не волновую функцию 屮(卫)I) Квантовомеханически это будет означать, что состояния, принадлежащие ВОЛНОВЫМ функциям /(Е, %1，. . ., ит，. . . , %仪，• • •，％s) и
мб) Этот предельный переход S-> +8 отличается от предельного перехода &-> + 8, проделанного в электромагнитной теории! Действительно, если и индексы М” 風，… интерпретировать как числа световых квантов, то ^ будет ограничивать число некогерентных световых квантов (т. е. световых квантов с несовпадающими частотой, направлением распространения — они совместно определяют импульс — и поляризацией; ср. прим. ^з) на стр. 197), тогда как У ограничивает число световых квантов вообще.
/(Е ，忆]%几,...,и^ .. ., %s)неразличимы. Иными словами, любая
физическая величина 混 имеет в обоих этих состояниях одно и то же математическое ожидание (а значит, поскольку то же справедливо для 尸(混)，каждая физическая величина имеет одну и ту же статистику—ср. в 111. 1 обсуждение предложений Еь и Е2-)* Обозначим функциональную операцию, которая переставляет ит и 闷，через Отп (Ртп является одновременно эрмитовым и унитарным оператором О*〃=1, в чем легко убедиться), тогда сделанное утверждение будет означать, что математическое ожидание 91 по какой-нибудь волновой функции / будет совпадать с математическим ожиданием по волновой функции Отп/, т. е.
(R/‘ /) = (ROm*/，^mnf) ~ (^тп ^^тп f» /)» откуда
R н QmnR°mM НЛП R°mtt = °mttR・
Это означает, что в рассматриваемом случае допустимы лишь такие операторы R, которые коммутируют со всеми Отп (m, n= 1,...
S,加次汽),т. е. (вспоминая определение 0加〃)такие, в которые все координаты %卜...,us входят симметрично.
Волновая функция /, симметричная по всем переменным %】,.,.,ws, т. е. для которой 。加〃/ = / О，相=1S,加力 相)，переходит под действием такого оператора R в новую волновую функцию того же рода: OmnR/ — ROmnf = Rft Такие / образуют замкнутое линейное многообразие, т. е. они образуют гильбертово подпространство 猊㊁ в гильбертовом пространстве 峻)всех функций /, а операторы R отображают элементы 呪豐 на элементы из того же подпространства, т. е. их можно рассматривать как операторы в гильбертовом пространстве 睨W・ Таким образом, пространство 瞪) столь же полезно для нужд квантовой механики, как и первоначально рассматривавшееся 猊^), и возникает вопрос, не надо ли ввиду симметрии £ по отношению к обменам световыми квантами ограничиться симметричными волновыми функциями, т. е. заменить 猊窗)на 8嚕). Мы сделаем это, и результат, т. е. желаемое полное совпадение с выражением для Н， полученным в электромагнитной теории, оправдает нас post factum),
Волновые функции 殁电屮^ (%i).…屮打(％s) образуют полную ортонормированную систему в 猊曾・ Пользуясь этой системой, построим теперь полную ортонормированную систему в 胱㊁.Пусть Л!。,
Л4Р ... —некоторые числа = 0, 1, 2, .. ., удовлетворяющие условию 他)+加1 十 … =S (так что лишь конечное число из них отлично от нуля). Обозначим через [ТИ。,加「 ... ] совокупность всех систем индексов п1( ..., ns, в которых 0 фигурирует Мэ раз, 1 фигурирует М} раз, . .. Имеется в точности 府°! Мх \ ... различных систем. Положим
①МдМ ("1 …• “5)== 工 屮吃("1) ■ • •屮抬§ (“5)， 〃1 ...普5 b [m0m1
Так как волновая функция ①МоМ】 ... является суммой М^ \ Мх \ ... попарно ортогональных слагаемых, модуль каждого из которых равен 1, то квадрат модуля этой волновой функции будет суммой М^! AIj! . . , единиц, так что ее модуль будет равен УМ^1 М^ .... Две различные волновые функции содержат попарно ортогональные слагаемые, а потому сами взаимно ортогональны. Волновые функции
屮м。М ("1…"s) = J就^'而 U①检质…("1 •…%)
образуют, таким образом, ортонормированную систему. Волновая функция /(Е, %], ..., %s), симметричная по и1( .. ., %$, имеет одно и то же внутреннее произведение со всеми слагаемыми, образующими функцию 匕(9 ①仪開 (％，•…，％s), значит, она ортогональна к каждому из них, если она ортогональна к 屮在(Е)①〃。附, (％]，. .., %§), т- е. к 匕(Е)屮лмл (%，.…，%)♦ Следовательно, если она ортогональна ко всем 匕(Е)屮“о/ (%，%)， то она будет ортогональна ко всем 匕(Е)屮* (%】)...屮*s(%s) и, следовательно, она =^0. Стало быть, волновые функции *(Е)屮此齒 (% ….%) (которые сами принадлежат к SR*)) образуют полную ортонормированную систему b睨夂
Рассмотрим теперь набор энергий, выступающих в системе S-\-L,
Во-первых, [2. а)] там имеется энергия системы S, оператор которой для S определяется уравнением Н。^ (Е)=呼论屮在(Е) и, значит, для S + 丄一уравнением
НоК (Е)屮此〃]……ws) = ^й?й (0 ^момх... (tti *' * "s)・
Во-вторых, [2・0)] каждый световой квант 1Г обладает энергией Н『％ (辽)=£^%(4・ Поэтому /n-й квант (т = 1, ...» 5) обладает в S-\-L энергией
m小中在(Е)屮勺("i) ■ ■ ■ фЛm ("加)• • •屮心("s)=
=£〃刷屮在(E)屮勺("1)• • •屮〃R("m)• 〃s (“s%
208КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА[ГЛ. III
так что нужно образовать сумму Н尸 ％ ++% Наконец,
[2. y)] пусть энергия взаимодействия светового кванта ， с системой S описывается, пока еще точно не известным, оператором 匕 который мы представим в виде матрицы:
匕，匕(Е)屮“⑷=Д ^ovknlJp^j © 屮р(〃)・
В системе S +丄，следовательно, будем иметь ал я m-го светового кванта
%内⑴％⑷…統(%…跣("s)=
=Д Д Vknm!j^i © Фл, (〃>••% (й,«)…屮"s (“S)=
=lu 工..丁(/ f)…嗔3小••依 一&) X m S
X力⑴屮% (%)(%…%(%)
(8 (п) равно 1 при 汽=0, 0 при п 十 Q), и нужно образовать сумму (=乙++%
Собирая все вместе, будем иметь
Н%(Е)% (%)…屮“s("s) =
= (% + %+ ■•■ + E“s" ® % (〃】••％(%) +
oo ooS
十君气.%0自(％ - Ра ••乙"，"〃.加…依一 Ps) X Х^^Ъ,(Й1) Ъ5(й5)-
В результате легкого вычисления это выражение принимает вид
= (%+£〃/)九⑴① ММ ...(% …咐 +
7= 1 ",/一Unp
(для п = р надо заменить ... Мп ——1 . . . Мр 十 1 ... на ... Мп ...) и, значит, для ортонормированных функций
Н?无(Е)屮Амт】……％)=
=(% + Д加"£")九⑹屮М眼…(%…"S)+
+ 1 До м也也+1TЗ一p))喰""•用(Е) X
Общую волновую функцию /(& Ир ..., %) из 朮兽 мюжно разложить по этим ортонормированным функциям:
/(Е%1 •・・ 〃$) = Х £9fc(Е)里检m…(%…，"s>
«= 1 AloAit
(М)+Л1[十... = S)
Следовательно,睨曾 можно представлять себе и как гильбертово пространство последовательностей ^kMoMl ，内=1， 2, .... Мо( Mv = =0,1,2, ...»〃0十加[+ •… =S, с конечной суммой
£ I akM ж I2* В этом случае оператор
无Af(M …0 1,
H%Af(0fi … =акМйМ{
определяется из уравнения
Н ДakM0Ml(М1 • • • Ms)
(Л1"о十Л1[+ • > > = S)
=25。/岡…％(Е)'1rMM …(％ …"$)'
电=1 Af0Alj -0
(m)++ . •.匸 S)
так что
= аьм „ = ( W -|- 2 Af f ) a.MM. ... +
AAfoAft ... kM^Mi …\ я 1 ^7^ n n J k 011
co co
+3 匕此也+1T(—P)) Vkn/jp ajMQMl...Mn-l..,川尸+1・.・
(Й, J ^ п, p обменялись ролями по сравнению с формулой для & ⑤屮心恥…вместо VJplkn мы написали Vkn/Jp, учитывая эрмитовость У.)
Перейдем к подготовке перехода к пределу S~>+оо. Так как Мо определяется числами 力厶,М2> ・・・, согласно соотношению
14 И. НеЙмац
M^s—M.—M^- . ... ТО можно вместо 口小….писать %〃％..・ При такой записи индексы оказываются ограниченными условиями 々= =1, 2М，私，...=0, 1, 2的 + 〃2十三 S Если заметить, что £0 = 0 и ввести обозначения SVko/jo = Уk/j^ j/S Vkoijn — ^Vkljnt YS Vkn!j0 = \/jlkn (^л//р—эрмитова матрица!), то найдем Н%лм“ …=akMlM2... ~ (吃 + >+
/ = 1 〃= 1
+£ £u此”宀
Теперь можно устремить Sf 十8. Коэффициенты。左関心…будут тогда снова определены для всех последовательностей kMxM2 ..., в которых /г = i, 2,..・, Mv М2. . . . = 0, 1, 2, . . ., причем только лишь конечное (но произвольное) число Мп ^ 0 (ср. прим. 144) на стр. 201), а из Н получится
Н%м%.. = a'kM1M2..—{^k+ 2( МпЕп^ akMlM2...^
ОООО со
+ £ УkljdjMxM2... + £ 2(^j/kn ]/〃〃+ 1 叫川此…М“ + 1 …+
+ 匕/加 V ^п ^jMxM2...Mn-l ...) +
+ 2 Е匕72/〃 к元〃(g+ 1) 。/ЛТ]%…综T…
Сходство с уравнением, полученным на основе электромагнитной теории излучения, 'теперь очевидно; чтобы сделать оба выражения тождественными, следует лишь положить
Е" = Чг腺，/ = °，V k^^jk^k рVknijp^^'
Итак, мы видим, что концепция световых квантов оказывается тождественной классической электромагнитной концепции, если:
А Последняя переписывается в соответствии с общей квантовомеханической схемой.
Энергия каждого светового кванта, в соответствии с правилом Эйнштейна, приравнивается /z-кратной частоте.
Энергия взаимодействия светового кванта с материей определяется правильным образом (ср. приведенное выше выражение для V).
На этом пути блестяще разрешается один из труднейших парадоксов квантовой теории в ее ранней форме ——двойственная природа света (электромагнитные волны и дискретные корпускулы световых квантов) и8). Конечно, трудно найти прямую, наглядную интерпретацию только что вычисленной энергии взаимодействия 『 света и материи. Это тем более трудно, что ее единственно отличные от нуля матричные элементы V^叩р (т. е. для которых п = 0, р/0 или /г/0, р = 0) зависят от числа всех возможных световых квантов S (они пропорциональны ~р^~)， а ведь окончательно нужно положить S~>+ 8. Тем не менее можно примириться с этим, если учесть, что любое модельное описание является лишь приближением, тогда как точное содержание теории и как раз дается выражением для оператора И.
Возвратимся теперь к нашей первоначальной задаче: определению вероятностей перехода. Согласно временному уравнению Шредингера, изменения в коэффициентах 口&初 ~ аьм ,,(£) опреде
ляются из
鳥^ %用也…= _ H"q%.. = _卜什g /2р“Л1' %財也一 一e工叫(m此+1 ajM{M2 ...综十1 …+M此 а]мгм2 …
j—1n—1-
Так как главное изменение в аьм „ вызывается первым членом этого выражения, то целесообразно выделить его с помощью подстановки/ со 、
4M居…«)= е '
148) Дальнейшие подробности относительно того, как понималась эта «двойственная природа» и как парадоксально она воспринималась, читатель найдет в литературе того времени. См., например, работы, указанные в прим. 6), стр. 13.
Часто говорилось, что квантовая механика предписывает материи ту же двойственную природу, поскольку дискретные частицы (электроны, протоны)
Тогда д ._
7F °kMxM2=
Физический смысл коэффициентов а.л. „ и bможно 立附[附2 ■ •，«Л1]Л12 • • •
уяснить себе из способа их введения: при конечном MQ~\- М^-у- + 附2十 …• = S волновая функция 屮区(Е)屮府°力] (//} . .. u^j описывала состояние, в котором система S находилась на 力-й квантовой орбите и имелось 附°,附卜附？， • * * световых квантоб в состояниях %，屮1，屮2， - * • соответственно, т. е. Мо световых квантов в состоянии «несуществования», а 附「附？， • • * в состояниях, принадлежащих соответствующим собственным колебаниям 寰卜 觊？， • - • Коэффициенты акм1м2...» принадлежащие этой волновой функции, имеют тогда вид 勺加陷„^^^-^(М.-М^ (附2 -舫2)…
(Лишь конечное число множителей отлично от 1, так как равенство Мп — Мп ~ 0 имеет лишь конечное число исключений.) Это, конечно, останется справедливым и после перехода к пределу S->~\-оо. В случае произвольного состояния а丸加I加2 системы S +丄 упомянутая конфигурация (если она измеряется, см. сказанное в Ш. 3 по поводу невырожденного чисто дискретного спектра) имеет, следовательно, вероятность
I%%m./伊一硏(的一/"(附2 一而2)…『=
I走m1附2…I
В частности, полная вероятность того, что система S находится на А-й квантовой орбите, равна % = 2 伤汤用…匕
также описываются волновыми функциями и проявляют типично волновые свойства, например дифрагируют на решетке. [Ср. эксперименты Davison^—G е г m е г* a, Phys. Rev. 30 (1927), Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 14 (1928), а также С. P. Thompson^, Proc. Roy. Soc. 117 (1928) и R u p p‘ a, Ann. Physik 85 (1928).] В противоположность этому, однако, надо Подчеркнуть, что квантовая механика выводит обе «природы» из одной единой теории элементарных явлений. Парадокс прежней квантовой теории состоял в том, что для объяснения эксперимента приходилось попеременно привлекать две противоречащих друг другу теории (электромагнитную теорию Максвелла ——Герца и теорию световых квантов Эйнштейна).
Пусть первоначально (£ = 0) атом находился в 论-м состоянии и пусть имелось Mv 附2，…световых квантов в состояниях 觊「?12, .. *, т. е.
勿加м …=akMtM2 …=6 (力一力)6(附 1 —附 1)3 (AI? — “2)…
В силу приведенного выше дифференциального уравнения и как первое приближение (т. е. для настолько коротких промежутков времени 九 что правая часть может считаться постоянной) отличными от нуля будут вообще лишь те из ~ 力々加】加& ，для которых либо набор 附］,附2' • • ■ ＞附汽+ 1，•…，либо набор 附1，附2'・••，附汽—1，…. совпадает с набором 附「附2’ •…:т- % все 瓦附「附？,... ..., 附爲 ±1, .. . После интегрирования найдем для них
J
bkMlM2府“+1=缥汽W- — Wk — h?nP 附
J罕册_/+综)t
bkMiM ... ^ -1 …=鸣W- — W Н-ЛРУ Мп'
Все прочие 勿加陷 равны в этом приближении нулю. (За исключением коэффициента 6巨友〔兩？ ， который в этом приближении, т. е. с точностью до /2-члбнов, должен был бы равняться своему начальному значению 1. Тем не менее тот вывод, что ^力石兩［丽&= 0, ста
новится сомнительным из-за того, что правая часть нашего дифференциального уравнения содержит в этом случае в нашем приближении бесконечно много членов b应前汤？ Я ±1，не обращающихся
в нуль. Поэтому из малости каждого из этих слагаемых — при малых 工——нельзя еще делать вывод о малости их суммы. И действительно, вычисление приближений более высоких порядков показало бы, что отклонение Ь%冗而? от 1 пропорционально 九 а не 步 ). Поскольку, однако,
kMiM2 ...k^im2 ...1
так что'
IW2...r=i -2—一 |%м『，
то прямое вычисление коэффициента b砒砺на самом деле не
обязательно.)
Из приведенных формул ясно видна качественная природа процесса: коэффициент b石两两2 ..肃十1， соответствующий испусканию светового кванта 觊门(с частотой рл), становится тем больше, чем меньше знаменатель 步巨一Wk —力p门，т. е. чем ближе частота света рй
»-一犷
к《боровской частоте» ^15°); аналогичным образом коэффициент Ь^ -^ _соответствующий поглощению, возрастает при
приближении рп к ^~- . Мы видим, таким образом, что боровское соотношение частот выполняется не точно (ведь р爲 предоставляют в наше распоряжение не все частоты), но все же с подавляюще большой вероятностью — если время t мало, а частоты рл расположены очень густо (как то и будет для большой полости Н). Далее, частоту таких процессов увеличивают и матричные элементы 吗宦 Мы вскоре сможем отождествить их с вероятностями переходов.
Из нашей формулы для 乙府①？…历肘[…следует, что
2 _/一cos 2工(p„——~- I t
16叫打.包+1…Г=贏附"+屮嘘『一7一忆"l叫'
/ w -W-\
.2 _1—cos 2я(р„吃~) t
I Ьш}м2 ...м^-.^ — Т^^^п^^「Ш)'
I乙加加2|2 = 0 для kMxM2 .. . =^kM\M2…，力附1附2…附门±1…
Н. Бор, как известно, установил в 1913 г. фундаментальный принцип (см. ссылку в прим. 5) на стр. 12), согласно которому при переходах из стационарного состояния с энергией 取⑴ в стационарное состояние с энер- ц^7(1) W⑵
гией 犷⑵ атом испускает свет частоты ^——-(конечно,к⑴ > m⑵).
W-—W^
В нашем случае этому соответствует ^,
Имеет место
I _ 1 ]2 = («% — 1)(戸—1)(«% — 1) («- 以 _ 1)=
=2 ——= 2 — 2 cos * = 2 (1 — cos x).
Отсюда получаем для 8巾，力* 力，выражение
'〃』（"+力鸣'〃』（"+力鸣/ 忆一IT,2 ] — cos2f "~/ 忆一IT,2 ] — cos2f "~++吃一吃、2 ~л~吃一吃、2 ~л~
'〃』（"+力鸣
'〃』（"+力鸣
/ 忆一IT
,2 ] — cos2f "~
/ 忆一IT
,2 ] — cos2f "~
+
+
吃一吃、2 ~л~
吃一吃、2 ~л~
соПервая сумма £соПервая сумма £
со
Первая сумма £
со
Первая сумма £
соответствует испусканию, а вторая сумма £ — п- 1
поглощению.^ Чтобы можно было придать этим 8力 замкнутый вид, надо сделать упрощающие предположения. Именно, будем считать, что, с одной стороны, полость Н очень велика (т. е. ее объем 勿 f оо), а с другой стороны, будем подсчитывать собственные колебания %п ъ Н статистически. Для этой цели объединим в каждой из приведенных сумм члены, принадлежащие частотам р^, заключенным в интервале между р и p + dp (вместо 吗五 мы подставим его значение и предположим, что dp«p):
I2-
4K2c2力р4K2c2力р工 工^伊：'见* （Q：，Q：，Q：） ）族（瓦+1） X P^P„<P+^P v=l
4K2c2力р
4K2c2力р
-2小一-4^卜
X / 旷一一\2'
一 _%_k
а затем повторим эту процедуру, но с Мп вместо 附〃 + 1 и
取方一卜为
вместо . После этого остается еще вычислить квадратные
скобки [...].
Заметим теперь, что при обычном способе описания не задают значений 附八 附？， ■ • • • но ограничиваются гораздо меньшим, а именно заданием интенсивностей, т. е. заданием энергии излучения /(р)〃р. приходящейся на спектральный интервал от р до р + Jp и единицу
216КВАНТОБОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА[ГЛ. Ш
объема. Это означает, что
2〃p"而"^加2屁=778)却，
pW%<F+dpР^РЛ<Р *-<fp
2而尸眷如
n
pg% <p+dp
Число частот P", лежащих в интервале р^р0 < р4~^Р* равно —^/— dp, согласно всегда справедливой асимптотической формуле Вейля (ср. ссылку в прим. 140) на стр. 192) §臂■ dp, и. следовательно,
£ (此 + 1) Q」_卽• с ' dp. Л
р^рл<р+^р
Итак, для квадратных скобок [...] мы получим в указанных выше двух случаях следующие выражения:
®庇(Р)^冲 и ®/(Р)办'
если только величина
買(叫‘ *(Q：, Q+, Q? + …)凉
флуктуирует (достаточно быстро) в интервале pwp"<p-{-dp вокруг некоторого среднего значения, которое мы обозначили через w匠(р). 吃一吃吃一吃
Напишем еще 丫不点 вместо^ и 丫在芟 вместо , тогда наши
суммы примут вид
ОО
Г1 — cos2"(L%)/
—4工縛出 J Н/(Р)+ ~?-Р )(р- %)2 Н
Т~ / (р)Т~ / (р)е-м2е-м21 — cos 2兀(р — \^—^ t1 — cos 2兀(р — \^—^ t
Т~ / (р)
Т~ / (р)
е-м2
е-м2
1 — cos 2兀(р — \^—^ t
1 — cos 2兀(р — \^—^ t
При малых t этот интеграл будет, очевидно, порядка Z2 (потому что таков порядок величины 1—cqs 2kcZ), за исключением лишь того
участка области интегрирования, в котором знаменатель （р — 丫以『или （р ——丫丸％）2 мал. Здесь могут возникнуть вклады, большие по сравнению с 步，и если это так, то эти вклады и будут представлять собой асимптотические выражения для 8力 Действительно, окажется, что это так, ибо мы получим вклады порядка Л — их-то и надо нам теперь вычислить.
W-— W
Так как % =—、就=^—-, то при ^ > Wk малым будет
только знаменатель первого члена, а при W^ < Wk ——только знаменатель второго, поэтому при 步妥 > Wk мы оставим лишь первый член, а при W- < Wk ——лишь второй. Кроме того, так как для р, лежа/—|\
щего вдали от % и 丫欠妥（обозначим для краткости = -1,
получаются вклады в интеграл лишь порядка /2, то можно заменить подынтегральное выражение его значением при р — м^, т. е. через
kk 〈 ЙЛ/
где / = /（丫々％）-|——不~、标 или I 36 соответственно. Следовательно,
Tlw - fv -\ ? 1 — cos 2л fp—v -V
% =% =I / V kk）
% =
% =
4"経九勾2 一丿]白
kk оV kk）
Далее, / можно заменить на /, так как это ведет лишь к до- 0—оо
полнительным вкладам порядка Z2, и ввести еще новую переменную интегрирования % = 2冗（р — м丸彳）£. Поскольку
1—— cos 2冗（p —— Y及巨）t1—— cos 2冗（p —— Y及巨）tGF）'GF）'dp = 2к/dp = 2к/dx = 152） — 2泊九dx = 152） — 2泊九
1—— cos 2冗（p —— Y及巨）t
1—— cos 2冗（p —— Y及巨）t
GF）'
GF）'
dp = 2к/
dp = 2к/
dx = 152） — 2泊九
dx = 152） — 2泊九
152）Имеем （ср. Courant — Hilbert, стр. 49）,
/* 1 — cos x с / 1 — cos x , 广 1 — cos 2y ■
— ооОО
sin2 у 严
то окончательно находим
е
kk
4ем доказывается также и то, что Gft порядка £.
Для вычисления 砌月工（丫丸丁） нужно получить для величины
I2
2附次…(Q力或,Q?+…麻
выражение, свободное от 北疗 К такому выражению можно прийти, если заменить вектор 額也，имея в виду его быстро осциллирующий характер, иррегулярно ориентированным вектором постоянной длины （ввиду его постоянства в пространстве, т. е. независимости от Qf, Q?, Qf, он является численным вектором, умноженным на матрицу 1）. Постоянную длину 7Я можно найти из условия нормировки
JJ / ［觊T 乱］dx dy dz = 4h也 я
Поэтому
少* = 4ке2,*=警，
На х-компоненту 驚，* приходится в среднем -у скалярного произведения ［乱，乱 1 ^^п, х + ^п,у + ^ z— * т. е. она равна у 7^ = =整 ,и аналогично для остальных компонент 説 у и 歌 г. Имеем,
следовательно,
Z2
吗 F（P）= Среднее、2今（8%,*（Q：, Q：, Q? + …負 «
PWp”<P+dP M "
Так как Но，т. е. энергия одной только системы S, равняется кинетической энергии + потенциальная энергия и имеет, следовательно, вид
Но =工■^"（（gy+G）“+（内2）+ V（Qf, Qi. Qf, Q；, Q% Q；），
то оказывается, что）
и поскольку Но — диагональная матрица с диагональными элементами 步1，呼2，• ■ * KH（））^j =步肃皮力 то отсюда следует для матричных элементов, что
（т歳=+ HQ：_Q：H。）^ =警（%一吟）（Qf^ = = ±i.2^_^k_.
Таким образом,
喝（р） =专手（冃*j _
Подстановка в выражение для 8皮 дает формулу
Полученный результат, положив еще 砌皮巨=
можно, очевидно, интерпретировать следующим образом. Атом S в 左・м состоянии претерпевает следующие переходы （квантовые скачки）:
Переход в высшее состояние A （U^- > W^ происходит 8冗3/咋一% \
5^叫彳/[h/ Раз в секунду, т. е. его частота пропорцио
нальна интенсивности поля излучения соответствующей боровской w~ — wk частоты г.
Переход в низшее состояние 左(取近 V 取 J происходит 版3 /吋/ \
~У ^^I I ^I раз в секунду, т. е. его частота пропорцио
нальна интенсивности поля излучения соответствующей боровской 吃一吃
частоты ；.
Кроме этого, происходит еще переход в низшее состояние _64炉 /取一犷近、3
后”/ < Гл) с частотой——丿 раз в секунду, т. е.
с частотой, совершенно не зависящей от присутствующего поля излучения.
Переход 1. соответствует процессам поглощения из поля излучения; переход 2.—процессам излучения, индуцированным полем излучения; а переход 3. соответствует процессам спонтанного излучения, которые всегда будут происходить с атомом, пока он не добьется окончательного покоя в своем низшем стационарном состоянии (минимальное 步力1).
Три механизма переходов 1.—3. были термодинамически найдены Einstein*oM еще до открытия квантовой механики), не хватало лишь значений «вероятностей переходов» 砌丸/・ Приведенное выше выражение
как уже упоминалось, содержится в первой интерпретации, данной Гейзенбергом. Мы получили его снова (следуя Дираку) из общей теории.
ГЛАВА IV
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
Принципиальное обоснование статистической теории
В главе III нам удалось свести все утверждения квантовой механики к статистической формуле （названной там Е?・）
（反）Erw （脏，叫=（R%屮）
（Erw （91,屮）является математическим ожиданием величины 猊 в состоянии ср, R есть оператор величины 猊）.В дальнейшем мы покажем, как сама эта формула может быть выведена из немногих общих качественных предположений, и одновременно мы еще раз проверим правильность всего построения квантовой механики в том виде, в каком оно было развито в III. Однако црежде чем переходить к этому, необходимо сделать следующее замечание.
В состоянии ср величина 猊 обладает математическим ожиданием p=（Rcp,屮），и, в качестве дисперсии е2,——математическим ожиданием величины （猊-р）2, т. е. （（R - P」户中，中）=口R喇？—（R中，中尸 （ср. прим.130） на стр. 173, все эти математические ожидания вычисляются на основе Е. !）. Последнее выражение, вообще говоря» больше нуля （и равно нулю только, когда Rcp = p •屮，ср. III. 3）——уже в одном индивидуальном состоянии 屮 существует, следовательно, как мы это уже неоднократно устанавливали, только статистика. Но статистический характер может обостриться еще и за счет того, что неизвестно, какое же состояние имеется на самом деле ——например, когда в описании участвует несколько состояний 屮八 cp2, ... с вероятностями wP w2,...（砌 1m6,砌2三°，..。，砌1 + 砌2*4" • • ■ =1） соответственно. Тогда математическим ожиданием величины 猊，в смысле всегда справедливых правил вычисления с вероятностями, будет р'= =X
Далее, имеется общее соотношение （/?屮，屮）=Spur （尸怦「R）. Действительно, выберем полную ортонормированную систему 屮「屮2，・…
так, чтобы 屮1 = <р （и, значит, ф2, %, ... были ортогональны к ср）, тогда
（ф для 1, р. . ф = {
[叨 тI 0 в остальных случаях, и, следовательно,
Spur （% 勺=//%%，屮К（%，屮0 =
= 2（?-屮m）（R% 0 =（R? ?）•
Поэтому наше р，= Spur （ {工 ％Р 口 ]}•/?）. Оператор
будет дефинитным в силу дефинитности всех Рг 】и условия w推自 О, а его шпур будет, так как Spur Рг =1» равен 2 吻拉=1， Тем
самым этот оператор полностью характеризует только что описанную смесь состояний в смысле ее статистических свойств:
р，= Spur （£//?）.
Заметив, что наряду с состояниями нам придется иметь дело также и с этими смесями, перейдем к более общему исследованию.
"你…*Р一 -."你…*Р一 -.Забудем всю квантовую механику и будем держаться только следующих положений. Предположим, что дана система S ）> которая для экспериментатора характеризуется заданием всех эффективно
"你…*Р一 -.
"你…*Р一 -.
измеримых в ней величин и их взаимных функциональных зависимостей. Под величиной подразумевается, собственно, наставление, как ее измерять, т. е. как найти или же выч：1слить ее значение из расположения стрелок измерительных приборов. Если 91 ——какая-нибудь величина, а /(%) — произвольная функция, тогда величину /(混)следует определять так: чтобы измерить /(ОТ), измерь 混，найди при этом (для 混)значение а, тогда значением /(混)будет /(〃)・ Как видим, все величины /(混)(混 фиксировано, /(%) — произвольная функция) измеримы одновременно одна с другой, а также с величиной 91: это первый пример одновременно измеримых величин. Вообще же, назовем две (или больше) величины 混，® одновременно измеримыми, если существует установка, которая измеряет одновременно обе величины в одной и той же системе, — при этом, конечно, их соответственные значения вычисляются по-разному из показаний приборов. (В классической механике, как известно, все величины одновременно измеримы, а в квантовой механике, как мы видели в III. 3, это не так.) Для таких величин и какой-нибудь функции двух переменных /(%, у) можно определить и величину /(91, 0)： она будет измерена, если одновременно измерить 混，0, и если для них будут найдены значения а, Ь, то значением /(混，0) будет /(а, Ь). Надо, однако, ясно представлять себе, что совершенно бессмысленно желать построить /(М, 0), когда 混，0 не измеримы одновременно: ведь тогда невозможно указать надлежащую измерительную процедуру.
Но исследование физических величин на одном-единственном объекте S не является единственным, что мы можем делать ——особенно тогда, когда возникает сомнение относительно одновременной измеримости различных величин. В таких случаях можно рассматривать и большие статистические ансамбли, состоящие из многих систем S[SN (т. е. из ^ экземпляров системы S, ^ велико)). В таком ансамбле [£,…，SN] измеряется, естественно, не《значение》некоторой величины 混，но распределение ее значений, т. е. для каждого интервала a'<aWa" (а〈 а" заданы, a’Wa") число тех из систем Sp .. ., Sg для которых значение 混 лежит внутри него. N-я часть этого числа является функцией распределения 吻(а* а") = =吻(〃")一吻(а')%. Большое преимущество рассмотрения таких ансамблей состоит в следующем:
Даже в том случае, когда измерение какой-нибудь величины 混 сильно изменило бы измеряемую систему S (в квантовой механике дело обстоит именно так, и в III. 4 мы видели, что в физике элементарных процессов это принципиально должно быть так, ибо воздействие измерения имеет тот же порядок величины, что и система или же ее наблюдаемая часть), статистический снимок распределения вероятности величины 混 в ансамбле [Sp …，SN изменится при таком измерении сколь угодно мало, если только ^ достаточно велико.
2・ Даже если две (или больше) величины 混,0 не являются одновременно измеримыми в единственной системе 0, их распределения вероятностей в одном и том же ансамбле [0卜 …，多％] можно получить с произвольно большой точностью, если только ^ достаточно велико.
Именно» в случае ансамбля, состоящего из ^ элементов, достаточно собрать статистические показания о распределении значений величины 混 не со всех ^ элементов Sp .. ., 6%, а лишь с некоторой подсистемы из М (^ N) элементов, скажем [Sp . .., S", если только 附，^ оба велики, причем М можно сделать совсем малым по сравнению с ^). Тогда при измерении будет вообще подвергнута изменению лишь -jnr-я часть ансамбля, т. е. сколь угодно малая, если 歹 выбрано достаточно малым, что при достаточно большом ^ возможно даже для больших 附，一в соответствии с утверждением 7. Чтобы измерить одновременно две (или больше) величины 混，0, нам потребуются две подсистемы, скажем §, ..., S川] и [5ж+1, ..., 52Ж] (2兩 gN), так чтобы первая была применена для снимка статистики 混,а вторая — для 0. Тогда оба измерения не помешают одно другому, — хотя они и производятся на одном и том же ансамбле [Sp …，S%], — и даже изменят ансамбль лишь на произвольно малую величину, если достаточно мало, что возможно и для очень больших Mt если только N достаточно велико, в соответствии с утверждением 2・
Как видим, привлечение статистических ансамблей, т. е. теоретиковероятностных методов, обусловлено возможностью того, что измерение окажет влияние на одну отдельную систему, и возможностью неодновременной измеримости нескольких величин. Общая теория должна учитывать эти обстоятельства, появление которых для элементарных процессов всегда подозревалось 159), а сегодня, как показывает подробное обсуждение положения вещей (ср. III. 4), стало несомненным. Статистические ансамбли опять устраняют эти трудности и делают тем самым снова возможным объективное описание (описание, которое не зависит от случая, равно как от того, измеряется ли в данном состоянии та или другая из двух неодновременно измеримых величин).
Для таких ансамблей не удивительно, что физическая величина 混 не имеет точно определенного значения, т. е. что распределение ее значений не состоит из единственного значения а0°), но допускает многие значения или интервалы значений, так что дисперсия положительна 160). Все же для такого поведения мыслимы два различных основания:
/. Отдельные системы S】，...,SN нашего ансамбля могут находиться в различных состояниях, так что ансамбль [S],…，SN] определяется их относительными частотами. То, что мы не получаем здесь точно определенных значений для физических величин, обусловлено нашим незнанием: ведь мы же не знаем, в каком состоянии мы измеряем, а потому и не можем сказать, что при этом получится.
【59)Так, например, главной трудностью в определении электрического поля считалось то, что необходимое для этого «пробное тело》 не может быть меньше электрона.
//. Все отдельные системы S” •・•， S% находятся в одном и том же состоянии, но законы природы не каузальны. Тогда причиной дисперсий будет уже не наше незнание, а сама природа, которая не считается с «принципом достаточного основания».
Случай /. общеизвестен, важным же и новым является, напротив, случай 〃・.Конечно, сначала мы будем относиться скептически к возможности его осуществления, но затем найдем объективный критерий, который позволит отличать случаи, когда он имеет место, от случаев, когда его нет. На первый взгляд кажется, что существуют серьезные возражения против возможности понять его и придать ему точный смысл. Мы полагаем, что эти возражения не имеют основания и что случай 〃・ является единственным выходом из известных трудностей (например, в квантовой механике). Перейдем поэтому к обсуждению принципиальных трудностей случая 〃・•
Против 〃・ можно возразить, что природа вообще не может нарушить «принцип достаточного основания», т. е. причинность, так как здесь скорее идет речь просто об определении тождественности. Иными словами, теорема о том, что два тождественных объекта Sp S2,— т. е. два экземпляра системы S, находящиеся в одном и том же состоянии, — будут вести себя одинаково при всех мыслимых воздействиях, верна, поскольку она ничего не говорит. Ведь если бы системы б】，& ве^и себя по-разному при одном и том же вмешательстве (например, если бы они давали разные значения некоторой величины 混 при ее измерении), то их нельзя было бы назвать одинаковыми. Таким образом, в ансамбле [Sv …，S^, имеющем дисперсию по отношению к величине 混,отдельные системы S” ..., SN, по определению, не могут все находиться в одном и том же состоянии. (Применительно к квантовой механике это означало бы: поскольку при измерении одной и той же величины 混 на нескольких системах, которые все пребывают в состоянии, описываемом волновой функцией <р, получаются разные значения, если 屮 не является собственной функцией оператора R величины 91)> то эти системы не одинаковы, т. е. описание с помощью волновых функций не является полным. Поэтому должны были бы существовать другие характеристики, упомянутые в III. 2 «скрытые параметры». Вскоре мы увидим, что это предположение не проходит без дальнейших осложнений.) Следовательно, для большого статистического ансамбля, до тех пор пока хоть одна величина 混 продолжает иметь в нем дисперсию, должна существовать возможность разбиения его на многие, различным образом построенные части (в соответствии с раз-
личными состояниями его элементов). Это тем более правдоподобно, что на первый взгляд кажется, что фактически существует простой способ подобного разбиения: именно, ансамбль можно разбить в соответствии с различными значениями, принимаемыми в нем величиной 9ft. По-настоящему однородный ансамбль был бы получен только после подразделения или разбиения по отношению ко всем имеющимся величинам 混， 0,意，•.. В конечном итоге ни одна из этих величин не имела бы дисперсии ни в одном из подансамблей.
Утверждения, содержащиеся в последних фразах, ошибочны прежде всего потому, что не учитывают, что измерение изменяет измеряемую систему. Если велйчина 混(принимающая ради простоты лишь два значения а「 а?) измеряется во всех объектах Sp ..., SN и принимает значение, скажем, аг на системах Si,…，S^e а значение 的一 на системах Si\ Wn—n、、то после этого она не будет иметь дисперсии ни в ансамбле [Si, ..., S^J, ни в ансамбле [Sj, .... S^_^J (там она всегда равна а〔 или соответственно а2). Тем не менее это не будет простым разбиением ансамбля [Sp ..., SN] на две указанные части, так как отдельные системы были изменены при 91-измерении. Правда, согласно /., у нас имеется метод нахождения распределения значений величины ОТ таким образом, чтобы ансамбль [Sp ..., SR； изменился лишь незначительно (для этого надо измерять на S], S^, М велико,斤 мало I, однако этот прием не приводит ни к какому разбиению, поскольку для большинства систем Sv ..., SN (а именно для систем S^+i，…，S^ он не позволяет ничего сказать о том, какое значение имеет величина 混 в каждой отдельной системе из их числа. Теперь мы убеждаемся, что указанный выше метод построения совершенно однородной системы не приводит к цели. Действительно, измерим еще другую величину 0 (также принимающую лишь два значения %, д2) в подансамблях [S；, . .., S%J и [S；\ ...» S〉—nJ. Пусть в системах S；", . • S^“ и S：,…，5儿 найдено значение 仇，а в системах S：L S^-n” и sYL …，5^1^_^2—— значение b^ Тогда в ансамблях 回"，第」[sF,S^-mJ， [«У, [s/1.....我_N\—n& величина 0 больше не имеет дисперсии (ее значения будут равны соответственно %, %， ％，力2)・ Однако несмотря на то, что первые два ансамбля являются частями ансамбля [S；, ..., S^], а два последних ансамбля ——частями ансамбля [S；, ..., S%_Nu], в которых величина ОТ не имела дисперсии, в каждом из этих новых четырех ансамблей величина ОТ может иметь дисперсию, так как ^-измерение изменило отдельные системы (из которых состоят ансамбли)! Это значит, что мы не продвигаемся вперед：
каждый новый шаг разрушает результат предшествующего ) и никакое повторение последовательных измерений не сможет привнести причинный порядок в эту путаницу, ибо атомные явления лежат на краю физического мира, где любое измерение вносит изменение того же порядка, что и сам измеряемый объект, так что последний изменяется существенным образом, в основном из-за соотношений неопределенности.
Таким образом, при известных обстоятельствах не существует метода, с помощью которого можно было бы разлагать дальше ансамбли с дисперсией (без изменения их элементов) или даже пробиться до вообще не обладающих дисперсией однородных ансамблей, которые мы должны представлять себе состоящими из причинно определенных, тождественных между собой отдельных объектов. Несмотря на это, можно было бы попытаться поддержать фиктивное представление о том, что всякий ансамбль с дисперсией можно разбить на две (или больше) отличные друг от друга и от всего ансамбля части; и даже без изменения его элементов, т. е. так, что смешивание обоих ансамблей разбиения снова давало бы исходный ансамбль. Как видим, попытка интерпретировать причинность как определение тождественности приводит ввиду этого к реальному вопросу, на который можно и должно ответить, возможно в отрицательном смысле. Именно: возможно ли на самом деле получить всякий ансамбль [S「 .. ., S%], в котором имеется величина ОТ с дисперсией, в виде смеси двух (или большего числа) ансамблей, отличных друг от друга, а также от заданного ансамбля? (Случай, когда число ансамблей больше двух, скажем, п = 3, 4, ... приводится к случаю п = 2( если рассматривать первый из ансамблей и смесь п——1 остальных.)
Если бы, скажем, [SP .. ., S^] был смесью двух ансамблей [S；Sp] и [S；, . .., S%], то вероятностную функцию 吻魂(а) любой величины 况(см. прим. 157) на стр. 223) можно было бы выразить через вероятностные функции ®%(а), w^(a) последних двух ансамблей:
(М[・)®魂(а) = а®^(а) + Р®^(。)，а > 0, ^ > 0, <х + р = 1.
Здесь в = х * , = ^ (N = P + Q) не зависят от 况 Итак, в конечном счете мы наталкиваемся на математический вопрос: пусть в каком-нибудь ансамбле имеется величина ОТ, обладающая дисперсией
с вероятностной функцией w猊(о) (относительно соответствующего свойства функции w猊(а) см. прим. 16°) на стр. 225), существуют ли тогда два других ансамбля с вероятностными функциями w^(a), соответственно ®^(а), такие, что утверждение М】.имеет место для всех 混? Этот же вопрос можно сформулировать еще несколько иначе, если характеризовать ансамбль не вероятностными функциями w猊(а) величин ОТ, а математическими ожиданиями
+ со
Erw (混)=/ a d吻朮(а).
Наш вопрос звучит тогда так: В ансамбле нет дисперсии, если в нем для каждой величины 混 математическое ожидание
Erw ([混一Erw (混)产)=Erw (ОТ2) - [Erw (混)卩
равно нулю (ср. прим. 160) на стр. 225), т. е. если
(S%・)Erw (混 2)= [Erw (沁 R
Всегда ли возможно в том случае, когда это не так, найти два других ансамбля с Erw'(沁，Erw/Z (91)
(Erw (沁茫 Erw，(晒 茫 Erw"(沁)
такие, чтобы выполнялось условие
(M2.)ErwM) = aErw'M) + pErw"M), а > 0, р > О,
а + В = 1,
где а, р не зависят от 混？ (Заметим, что в случае единственной заданной величины 9ft число Erw (9i) не может быть заменителем функции 吻说(а); напротив, знание всех Erw (ОТ) эквивалентно знанию всех 砌朮(а). Действительно, если /а (х) определить равенством
то будем иметь w<h (а) = Erw (Д (91)).)то будем иметь w<h (а) = Erw (Д (91)).)f 1 для % 三 а, /а(%)— I Q для %〉°,
то будем иметь w<h (а) = Erw (Д (91)).)
то будем иметь w<h (а) = Erw (Д (91)).)
При математическом рассмотрении этого вопроса целесообразнее иметь дело не с ансамблями [Sp .. ., S%], а с соответствующими ожиданиями Erw(9i). Каждому ансамблю соответствует такая функция, которая определена в S для всех физических величин 混 и имеет значениями вещественные числа и которая, наоборот, полностью характеризует все статистические свойства ансамбля. (Ср. сказанное выше о связи между Erw (91) и 的猊(а),) Конечно, ^ще надо установить, какими свойствами должна обладать функция от 混，чтобы она представляла собой Erw (91), по некоторому надлежащим образом выбран-*
ному ансамблю. Но как только это будет выполнено, мы можем дать определение:
а) Функция от 混，являющаяся математическим ожиданием Erw (91), называется бездисперсной, если она удовлетворяет условию 5f片..
卩) Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw (91), называется однородной или чистой, если для нее из 从2・ следует, что
Erw (沁=Erw (9Г) = Erw (呪〃)・
То, что всякая бездисперсная функция Erw (91) является чистой, ясно просто по смыслу и вскоре будет доказано. Наш же вопрос звучит так: является ли любая чистая функция Erw(9?) бездисперсной?
Ясно, что любая функция Erw (91) должна обладать следующими свойствами:
А, Если величина 91 тождественно равна 1 (т. е. если правилом ее измерения является: ничего не надо измерять, так как 91 всегда имеет значение 1), то Erw(91)=1.
5. Для любой величины 91 и для любого вещественного числа а имеет место равенство Erw (a9l) ™ a Erw (91)).
Если по своему смыслу величина 91 никогда не бывает отрицательной, если она, например, является квадратом 163) некоторой другой величины 0, то и Erw (51) > 0.
Если величины 91, ®, .. . одновременно измеримы, то должно быть Erw(猊 + 0 + .. .) = Erw血)+ Erw(0)-|- ...I63). (Для неодновременно измеримых величин 现,0, . . . величина 猊 + 0+ …не определена, ср. выше.)
Все это непосредственно вытекает из определений рассматриваемых величин (т. е. из предписаний для их измерения), а также из определения математического ожидания как арифметического среднего всех результатов измерений по достаточно большому статистическому ансамблю. В отношении D^ следует заметить, что его справедливость основана на той теореме из теории вероятностей, согласно которой математическое ожидание суммы всегда равно сумме математических ожиданий отдельных слагаемых, независимо от того, существует между ними вероятностная зависимость или нет (в противоположность, например, математическому ожиданию произведения). Естественно, что мы сформулировали D. лишь для одновременно измеримых величин 91, 0,...,——ведь в противном случае величина 猊十 6 + . . . не имеет смысла.
Но в квантовой механике имеется еще одна, выходящая за пределы обсуждавшихся до сих пор, вычислительная операция: именно,
сложение двух произвольных, не обязательно одновременно неизмеримых, величин. Эта операция основывается на том, что сумма R + S двух эрмитовых операторов /? и S опять является эрмитовым оператором, даже и тогда, когда /? и S не перестановочны, в то время как произведение RS, например, оказывается эрмитовым лишь в случае коммутативности (ср. II. 5). Математические ожидания по любому состоянию 屮 складываются: (/?屮，屮)+ (Sy,屮)= ((/?+ S). 屮).(Ср. £?・ из III. 1). То же справедливо и для многих слагаемых. Мы отметим этот факт в нашем общем, пока еще не специализированном на случай квантовой механики, подходе:
Пусть 混,0, ...—произвольные величины, тогда существует новая величина 猊十0+ . .. (не зависящая от выбора функции Erw (混))такая, что
Erw (混+e+ …)=Erw (混)+ Erw (0) + ...
Если 混，0,… одновременно измеримы, то эта 混+0+… должна, согласно D., быть обычной суммой. В общем же случае эта величина лишь неявно определяется утверждением Е., и мы едва ли можем из измерительных предписаний для 混,0, ... составить измерительное предписание для 猊十0+ ... ).
К сказанному выше добавим еще: мы хотим ввести в рассмотрение не только функции Erw(9i), представляющие собой математические ожидания, но также и такие функции, которые выражают собой
относительные математические ожидания, т. е. мы опускаем условие
Erw (混)Erw (iPErw (混)Erw (iPнормировки Л.. Если Erw (1) (что, согласно С.,叁 0) конечно и R0,
Erw (混)
Erw (iP
Erw (混)
Erw (iP
все остается по-старому.все остается по-старому.то это несущественно, так как для
все остается по-старому.
все остается по-старому.
Случай Erw (1) = 8 соответствует, однако, существенно отличной
возможности, ради которой мы и делаем это обобщение. Ее можно
лучше всего проиллюстрировать на одном простом примере. Именно, существуют случаи, когда лучше оперировать с относительными вероятностями, а не с истинными, в особенности с бесконечной полной относительной вероятностью (выражение Erw (1) представляет ведь собой полную вероятность); подобным случаем является, например, следующий. Пусть рассматриваемой системой будет частица, движущаяся в одном измерении, и пусть ее статистическое распределение будет таким, что она находится с равной вероятностью всюду на бесконечной прямой. Тогда вероятность любого конечного интервала этой прямой будет равна нулю, но равновероятность всех положений на этой прямой выражается не этим обстоятельством, а тем, что отношение вероятностей двух конечных интервалов равно отношению
„ О
их длин. Гак как 灯 не имеет смысла, то это можно понять, лишь приписав длинам смысл относительных вероятностей, но тогда полная относительная вероятность будет равна, конечно, 8.
Учитывая все сказанное до сих пор, мы приходим к следующей, окончательной форме наших условий (А'・ соответствует С. , а В', соответствует В., 0., Е.):
А- Если величина 猊 по своей природе никогда не отрицательна, если она, например, является квадратом некоторой другой величины 0, то Erw(混)NO.
В'・ Если 猊，0,...——произвольные величины и если а, Ь,...——вещественные числа, то Erw (а猊十力0 + ...) = =а Erw (猊)+ b Erw (0) + …
Подчеркнем еще:
/. Поскольку мы рассматриваем относительные математические ожидания, то функции Erw (猊)и с Erw (肌)(с〉0 ——константа!) надо считать не существенно различными.
2・ Функция Erw (51) = 0 (для всех Й) не выражает никакого высказывания, а потому должна быть исключена.
3・ Мы имеем дело с абсолютными, т. е. с правильно нормированными математическими ожиданиями, если Erw (1) = 1. Согласно А'・，выражение Erw (1), во всяком случае, > 0. и если только оно конечно и 孚 0, то Л с с= е二⑴- возвращает нас к правильной нормировке. При Erw (1) = 0, как будет показано, имеет место 2・,а потому этот случай исключается. Если Erw (1) = 8, то мы имеем дело с существенно ненорми- руемой (т. е. относительной) статистикой.
Нам остается теперь возвратиться к нашим определениям а), 0). Имея в виду /., условие М?. можно заменить следующим более простым условием:
(m3.) Erw (猊)= Erw‘餌)+ Erw"(猊)•
Следует иметь в виду, венство Erw(l)== 1. ВСледует иметь в виду, венство Erw(l)== 1. Вчто и при выводе Str\. предполагалось ра- случае Erw (1) = оо нельзя дать определение
Следует иметь в виду, венство Erw(l)== 1. В
Следует иметь в виду, венство Erw(l)== 1. В
свойству отсутствия дисперсии, так как это свойство означает, что Erw ((91 — р)2)=0, где р — абсолютное математическое ожидание ве
тактакличины 肌，т. е. '^^^， каковое отношение не имеет смысла, как равно ^). Итак a), Q) гласят теперь:
так
так
а') Функция от 肌，являющаяся математическим ожиданием Erw (畋 называется бездисперсной, если Erw (1) ^ 0 и конечно, так что можно считать, согласно /., что Erw (1) = 1. Характеристичным является тогда St尸・
§') Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw (91), называется однородной или чистой, если для нее условие Мз. влечет за собой соотношения
Erw7 (91) = cf Erw (肌)，Erw"(况)=c" Erw 餌)
(c‘, c"——константы, конечно cf ~\-crf — 1, и в силу 4'・ и /・,2・, cf > О, с" > 0).
Принимая за основу А'・，В'・ и а，)， §'), мы будем в состоянии принудительно разрешить вопрос о причинности, если только нам будут известны физические величины 肌, 0,・..в S, а также существующие между ними функциональные связи. Это приведет нас в последующих параграфах к соотношениям квантовой механики.
В заключение этого параграфа сделаем еще два замечания.
Сначала замечание, относящееся к случаю Erw (1) — 0. Тогда из 5'・ следует, что Erw (с) = 0, а потому, если только какая-нибудь величина 91 всегда ^ с\ Wc", будут, согласно А'・，иметь место соотношения Erw (с" — 91)n0, Erw (91—U)叁 0, так что, согласно В； будем иметь Erw (с‘) W Erw (肌)三 Erw (с"), т. е. Erw (91) = 0. Пусть теперь 91 произвольно и /](*), /2(х), ...——некая последовательность ограниченных функций, для которой
/1(%) + /*2(%)+ ' • ' = *
// / 、 sink < / 、 sinпх sin (и — 1) хс
(например,力(*)= —^-，Д (х) = —&'二 >； при /г = 2,
3, . ..). Тогда Erw(/л(91)) = 0 для n= 1, 2, ...» так что, согласно В'・，будет также Erw (91) = 0. Следовательно, в соответствии с ранее сделанными утверждениями, случай Erw (1) = 0, согласно 2., должен быть исключен.
Во-вторых, отметим следующее замечательное обстоятельство. Согласно Str\, для отсутствия дисперсии характеристично условие Erw (912)— [Erw (91)]2, хотя в этом случае Erw (91) равно попросту значению величины 肌，а значит, Erw (/ (Й)) есть значение величины /(91),
так что должно быть
Erw(/(9l)) = /(Erw (沁)Erw(/(9l)) = /(Erw (沁)(S力2・)
Erw(/(9l)) = /(Erw (沁)
Erw(/(9l)) = /(Erw (沁)
для любой функции / (х). Значит, St尸i・ является частным случаем Sf尸2・： /(х)=лЛ % каким же образом это условие может быть достаточным? Ответ гласит: если Sf尸2・ выполняется для / (х) — х2, то оно будет справедливо и для всех / (х). Можно было бы даже х2 заменить любой другой непрерывной и выпуклой функцией от х (т・ е. функцией, обладающей свойством: / ('扌 丁 ) < /(%)扌/(У). ПрИ любых х # у)・ На доказательстве мы не будем останавливаться.
2・ Доказательство статистических формул
Как мы знаем, физнпеским величинам квантовомеханической системы однозначно сопоставлены гипермаксимальные эрмитовы операторы (ср., например, дискуссию в III. 5). Целесообразно сделать допущение, что это соответствие взаимно однозначно, т. е. что каждому гипермаксимальному эрмитову оператору соответствует на самом деле некоторая физическая величина. (Частные применения этого допущения делались также в III. 3.) Тогда будут справедливы следующие правила (ср.尸.，丄.в III. 5, а также сказанное в конце IV. 1): /. Если величине 91 соответствует оператор А, то величине /(航)будет соответствовать оператор /(/?).
〃・ Если величинам 肌,0, ... соответствуют операторы R, S, . . ., то величине 91-(- 0-|- . .. будет соответствовать оператор R-\-S-\- . .. (Одновременная измеримость величин 肌,0,... при этом не предполагается. Ср., что говорилось по этому поводу выше.)
А'・,В'・,а，), °，) и /・,//・ образуют математический базис нашего анализа.
Пусть 屮 1，屮2，• • •—полная ортонормированная система функций. Вместо оператора R мы будем рассматривать матрицу &冲=(足屮卩，%). Построим еще следующие эрмитовы операторы, матрицы которых нмеют вн〃есди = 丫 = 〃，
pv I 0, в остальных случаях
1.1.если а = % y = %.если а = % y = %.,тп)=,тп)=1,О,1,О,если а = %， y = /%, в остальных случаяхесли а = %， y = /%, в остальных случаяхр-(т«)=Ь p.vр-(т«)=Ь p.vI, если 卜=т, у = %——Z, если а = % Y = /n,I, если 卜=т, у = %——Z, если а = % Y = /n,О, в остальных случаяхО, в остальных случаях
1.
1.
если а = % y = %.
если а = % y = %.
,тп)=
,тп)=
1,
О,
1,
О,
если а = %， y = /%, в остальных случаях
если а = %， y = /%, в остальных случаях
р-(т«)=
Ь p.v
р-(т«)=
Ь p.v
I, если 卜=т, у = %
——Z, если а = % Y = /n,
I, если 卜=т, у = %
——Z, если а = % Y = /n,
О, в остальных случаях
О, в остальных случаях
Эти операторы можно записать какЭти операторы можно записать как叶％+口丫范 ИМ叶％+口丫范 ИМР[力「Р「3%]~~咛5% I， соответствуют величины V^n\
Эти операторы можно записать как
Эти операторы можно записать как
叶％+口丫范 ИМ
叶％+口丫范 ИМ
33W, 2B(m,л). Очевидно (так как апт= атп), что
% = £。""喘 + 2 Re amnf^^- 2 面a加国产,m <лm <л
и потому
混=》。""口⑺ + 2 Rea"出加")+ 2 Im amn^mn\ лmnmn
m<.nm
а значит, в силу 〃・ и В；
Erw (呪)=2。““ Erw (口⑺)+ W Re amn Erw(В(тл)) +
т<л
+ Z Im атп Erw(2B(mn)).
m <n
Поэтому, если положим
""“ =Erw (口⑺)，
〃加”=^Erw 侬加")) + ^Erw(2Bg")), . (m „)(
FT Erw(加m"))_^Erw(2B(M)
то будем иметь
Erw(9t) = ^anmamn.
Так как unm = umn, то можно определить эрмитов оператор U условием (U屮团，％) = "mJ")， после чего в правой части окажется
166) То есть
U弋т = 2 "т胛mп
для чего, разумеется, необходима конечность 》| итп |2. В ней можно убедиться, например, так: Если ^ I хл I2 = Ь то оператор R =戶冋 имеет матрицу х^хч для ф — 2 Хп¥п и соответствующая этому оператору величина 沢 будет иметь математическое ожидание £ итп^тхп Так как P^j =成「
Spur(UR) (ср. II. 11). Таким образом, окончательная формула гласит：
(Sp・)Erw (猊)=Spur (UR),
где U — не зависящий от R эрмитов оператор 167), определяемый, следовательно, лишь самим ансамблем.
В силу //. соотношение Sp. удовлетворяет условию В'・ при любом выборе оператора U. Поэтому нам остается лишь установить, какие ограничения накладываются на U условием А'・.
Если ||ф|| — 1, но в остальных отношениях 屮 произвольно, то величина 猊，соответствующая оператору 尸[屮】будет благодаря 尸筋=尸闸 и /. обладать свойством 猊2 =猊，так что согласно 4'・ будет Erw (猊)叁 0. Таким образом, Spur (UP闸)=(Uy,屮)昌0. Если /
1—尸冋=(1 —尸切)与 т° это математическое ожидание будет МО, ^Erw (1) и, значит,——по крайней мере, для нормированных Erw (猊％ —工 0, W 1. Если %= %= ... =0, то это означает, что N-мерная эрмитова форма£ итпхтхп при W 丨今 Е=1 имеет значения NO, < 1, т. е. собствен- m, n = 1п~ 1ные значения матрицы 心，卩，丫=1, …，^ будут 工 0,三 1. Поэтому длины £ итпхп будут всегда W длин векторов хт. Положим т = т,,тогда у =辽一,так чтоNNNm= 1m = 1m= 1 '1—尸冋=(1 —尸切)与 т° это математическое ожидание будет МО, ^Erw (1) и, значит,——по крайней мере, для нормированных Erw (猊％ —工 0, W 1. Если %= %= ... =0, то это означает, что N-мерная эрмитова форма£ итпхтхп при W 丨今 Е=1 имеет значения NO, < 1, т. е. собствен- m, n = 1п~ 1ные значения матрицы 心，卩，丫=1, …，^ будут 工 0,三 1. Поэтому длины £ итпхп будут всегда W длин векторов хт. Положим т = т,,тогда у =辽一,так чтоNNNm= 1m = 1m= 1 'вектороввекторовхтхт1100длядлядлядля
1—尸冋=(1 —尸切)与 т° это математическое ожидание будет МО, ^Erw (1) и, значит,——по крайней мере, для нормированных Erw (猊％ —工 0, W 1. Если %= %= ... =0, то это означает, что N-мерная эрмитова форма
£ итпхтхп при W 丨今 Е=1 имеет значения NO, < 1, т. е. собствен- m, n = 1п~ 1
ные значения матрицы 心，卩，丫=1, …，^ будут 工 0,三 1. Поэтому длины £ итпхп будут всегда W длин векторов хт. Положим т = т,
,тогда у =辽一,так что
NNN
m= 1m = 1m= 1 '
1—尸冋=(1 —尸切)与 т° это математическое ожидание будет МО, ^Erw (1) и, значит,——по крайней мере, для нормированных Erw (猊％ —工 0, W 1. Если %= %= ... =0, то это означает, что N-мерная эрмитова форма
£ итпхтхп при W 丨今 Е=1 имеет значения NO, < 1, т. е. собствен- m, n = 1п~ 1
ные значения матрицы 心，卩，丫=1, …，^ будут 工 0,三 1. Поэтому длины £ итпхп будут всегда W длин векторов хт. Положим т = т,
,тогда у =辽一,так что
NNN
m= 1m = 1m= 1 '
векторов
векторов
хт
хт
1
1
0
0
для
для
для
для
Поскольку это справедливо при любом ^J то будет также》1%片1・ п
167)Все рассмотрение, строго говоря, обосновано лишь в том случае, когда все функции 字卜 у?，•・• принадлежат области определения оператора R. Хотя, конечно, для любого R можно найти такую полную ортонормированную систему %, ф2, .., (ср. Н.П), но если R имеет смысл не везде, то эта система будет зависеть от R. Собственно говоря, каждой полной ортонор- мированной системе функций 字门字2, •…соответствует, таким образом, свой, зависящий от нее оператор U такой, что равенство
Erw (猊)—Spur (UA)
имеет место лишь для тех R, к области определения которых принадлежат 也，結…
Между тем все эти операторы U равны друг другу. Действительно, пусть U，, U" — два таких оператора. Тогда наше равенство будет справедливо для них обоих, если только К везде имеет смысл. Иными словами, тогда Spur QiJlR} = Spur (Uf'R). Полагая R =尸〔电，найдем “％ 帀=(U"% <p), ((。'一U")外 у) = 0. Так как это соотношение справедливо для всех 屮 с II 屮 ||=1, а тем самым и для всех элементов пространства Гильберта, то должно быть также и U — U' = 0, т. е. U = U'.
произвольно, TO при условии / #0 функция р = у^р・ / будет допустимой, и тогда (Uy,屮)=ц/m (〃/，/)* так что снова (U/, /)^0; при условии же / = 0 это соотношение выполняется автоматически. Таким образом, оператор U дефинитен. Но свойство дефинитности U, следующее, как мы убедились, из А'・,является и достаточным, чтобы А'・ было справедливым.
Действительно, А', означает лишь, что всегда должно быть Erw(0?)M() и ничего больше. Потому что, если величина 91 принимает лишь неотрицательные значения, то для / (х) — I х | будет /(肌)=肌，и так как для g(x)=M|x| тождественно выполняется (g(x))2 = /(x), то (g (沁)2 = /(肌)，肌=02, где 0 =g(肌)168).
Если величине 0 соответствует оператор S, то должно быть также Spur(t75)^ 0. Так как оператор 52 дефинитен
((57, /) = (5/, 5/)>0),
то, написав Л, В вместо U, 52, видим, что речь идет о доказательстве теоремы: если операторы Л и В эрмитовы и дефинитны, то имеет место соотношение Spur (45)三 0. Но она была доказана в II. 11 с помощью общей теоремы о дефинитных операторах (ср. прим.114) на стр. 140)169).
168)Непосредственная подстановка 0HM 91, т. & 0=九(肌)，h(x)~y х, не проходит, так как мы рассматриваем лишь вещественно-зиачные функции, определенные для всех вещественных х, а функция У х не является таковой, поскольку для отрицательных х она мнима.
169)Удается провести простое непосредственное доказательство. Пусть ^и 屮2,.… ——полная ортонормированная система функций, = (<¥乩，屮 j,
2。出也出叁°，пусть卩，v= 12。出也出叁°，пусть卩，v= 1NN生丫 =(热出，%)，Spur (ЛB) = 2。炉九出• оh n 0, если вее
2。出也出叁°，пусть
卩，v= 1
2。出也出叁°，пусть
卩，v= 1
N
N
f =〉]"卩丫口 тогда (Л/, /) = 2^。炉х/у 三 0, (В/, /) = 2^ 匕卩/卩八 ~ 0, 卩=I[JL, V = 1卩，V= 1
так что конечные матрицы。卩丫, b^ (р-, 丫 = 1^) также дефинитны. Как свойство дефинитности, так и величина суммы £ 。出丫丸卩 являются инвариантами ортогональных преобразований в TV-мериом пространстве. Так как матрица Ь^ эрмитова, то (в Ммерном пространстве!) ее можно привести с помощью ортогонального преобразования к диагональному виду. Поэтому ее можно считать диагональной, т. е. 6^ = 0 при 出 W» Таким образом,
Тем самым мы полностью задали функции Erw(9l): они соответствуют дефинитным эрмитовым операторам U, причем связь между ними дается соотношением Sp・・ Оператор U будем называть статистическим оператором рассматриваемого ансамбля.
Вернемся теперь еще раз к замечаниям /., 2・,3・ из IV.I. Они будут утверждать:
/. С точки зрения относительных вероятностей и математических ожиданий операторы U и cU не различаются между собой существенно (с〉0 — константа).
U = 0 не приводит ни к каким утверждениям, а потому должно быть исключено.
Абсолютные (т. е. правильно нормированные) вероятности и математические ожидания получаются в случае, когда Spur U=1 ・ Коль скоро Spur U конечен, оператор U можно .нормировать, согласно /., умножив его на с =廊：切.(В силу дефинит- ности U, имеем Spur ^7 > 0, причем даже Spur 67 > 0, так как из SpurU=0 вытекает, как было показано в общем виде в конце IV. 1, но в нашем случае получается также из П. 11, что U = 0, т. е. случай, исключенный согласно 2・.)Только для бесконечного Spur U мы сталкиваемся с существенно относительными вероятностями и математическими ожиданиями.
Наконец, надо еще исследовать а), р) из IV. 1, т. е. найти среди операторов U те, которые отвечают бездисперсным и однородным ансамблям.
Сначала бездисперсность. В этом случае U можно считать правильно нормированным (ср. IV. 1), причем должно выполняться требование Erw (9i2) = [Erw (91)]2, т. c. Spur (UR2) = [Spur (UR')^. Положив R=尸闸，имеем R2 = R =尸闸，Spur (UP[叫)=(U. 屮)，так что должно быть (Uy, ср) = (U^>t 屮)2, т. е. (Up, ср) = 0 или 1. Пусть II^|| — 1, 口屮"" = 1, тогда функцию 屮 можно изменять непрерывным образом так, что она начинается с 屮‘ и в конце равна 屮"，причем все время ||(р|| = 1 17°). При этом (U% 屮)тоже изменяется непрерывно, и так как это выражение равно или 0 или 1, то оно постоянно. Таким образом (Uy-屮/)=(。屮"，屮").Это означает, что (U% 屮)всегда равно либо 0, либо 1, откуда сейчас же получаем U=0 или U=l. Случай U=0 исключен согласно 2・，а случай U=1 ненормируем
170) Для у' = у" это очевидно. Пусть поэтому у'#= у". «Ортогонализация» функций 屮'，Q" (ср. II. 2) приводит к некоторой функции у】с 11% 11 = 1, которая ортогональна к 屮'，так что у" является линейной комбинацией у', %. Итак,旷=呼，+ 好!* Е屮"严=I о |2 + j & у = 1. Пусть, скажем, | ^ | = cos О,
(Spur U = числу измерений пространства = оо) и, как легко видеть непосредственно, не бездисперсен. Таким образом, не существует ансамблей без дисперсии.
Перейдем теперь к однородным ансамблям. Согласно Q) и S. оператор U будет чистым, если из
亿 W — дефинитные эрмитовы операторы, как и U) следует, что V = c{U^ W = cffU). Мы утверждаем, что это свойство имеет место тогда и только тогда, когда U = Р^у (||ф|| = 1).
Предположим сначала, что U обладает указанным свойством. Так как U 学 0, то существует /0( для которого U/。次 0, а значит, /о#0 и, следовательно, (У/0, /0) > 0 (ср. II. 5, теорема /9・)・ Построим два эрмитовых оператора
тогдатогда叮=縹%"/。' wf=uf叮=縹%"/。' wf=uf(£ %М %) ' %(£ %М %) ' %”，/)”，/)1&u九)产А0(U%, %)=1&u九)产А0(U%, %)=
тогда
тогда
叮=縹%"/。' wf=uf
叮=縹%"/。' wf=uf
(£ %
М %) ' %
(£ %
М %) ' %
”，/)
”，/)
1&u九)产А0(U%, %)=
1&u九)产А0(U%, %)=
”/，/)=”/，/)=NONO(U/, /)(u九，九)一|(/,U%)卜(U九,%)
”/，/)=
”/，/)=
NO
NO
(ср. IL 5, теорема /9.), т* е. операторы V, W дефинитны, причем, очевидно, U~V~\-W^ Поэтому V — cfU, и так как V/o= UfQ^=Ot то 〃=1, т. е. U — V. Пусть теперь 屮=л"^~|р ・U/o(|：屮!| = 1) и с =(北Г)о)(' > °)' тогда Uf = Vf = с (3 喻 * =呜也/, г. q. U— cP^ и, согласно /•, U в существенном совпадает с Р闸.
Пусть теперь, обратно, U =尸闸⑷叫； = 1). Если U — V-\-W, где 亿 W — дефинитные операторы, то аргументация ведется следующим образом. Из U/ = 0 следует, что
О 三 ”，/)三(V/, /) + (Г/, /) = (U/, /) = О, ”, /) = о
и, значит, V/= 0 (ср. выше). Но из (/,屮)=0 следует, что Uf = P^f — 0t а тем самым и V/=0. Поэтому, каково бы ни было g, всегда (/, Vg) = (V/, g)=0. Таким образом, всё, что ортогонально к ср, ортогонально также и к Vg, ввиду чего Vg — с^. • ср (с?—число, зависящее от g), но нам нужен лишь случай g =屮， т. е. V^ — cf* ср. Любой элемент / имеет вид (/,屮)•屮斗/', где /л ортогонален к 屮，так что
V/ = (/,叫• h + Vf = (/,屮)•仅屮=c'Pwf = c'Uf.
Поэтому V = c'U, W = U ——У = (1 — с') U, чем и завершается доказательство.
Однородные ансамбли соответствуют, таким образом, операторам U =尸岡,"屮 J］ = 1, причем соотношение Sp. переходит в формулу £2. из III. 1：
(七2・) Eiw(9l) = Spin(P［/)=(R. ср).
Заметим, что Eiw (1) = Spur (尸〔⑴)=1 (ввиду того, что 尸闸 соответствует одномерному ［ср］, или же согласно 七2・)，т. е. рассматриваемая форма оператора U правильно нормирована. Выясним еще, наконец, при каких условиях 戸旧】и Р^ обладают одной и той же статистикой, т. е. при каких условиях 户|* = сР［屮］(с〉0 ——константа, ср. Д). Так как Spin (尸闸)=Spui■(尸［屮», то е = 1, так что 尸⑻=尸［屮］,［屮］=［屮 1， и 屮=а屮，а из И屮|| = II屮II = 1 следует для константы а, что |а| = 1; очевидно, это условие также достаточно.
Резюмируя, можно сказать: ансамблей без дисперсии не суще - ствует. Однородные же ансамбли существуют, причем они соответствуют операторам U = Р^, ］| 屮"=1 и только этим операторам. Для таких U соотношение Sp. переходит в £2. ； нормировка в этом случае правильна, и U не изменяется при замене 屮 на а^ (а ——константа, \а\ — 1), при любом же другом изменении 屮 оператор U изменяется существенным образом (см. /.). Таким образом, однородные ансамбли соответствуют состояниям квантовой механики, как эти последние были охарактеризованы выше: с помощью элементов 屮 гильбертова пространства с ||ср|| — 1, причем постоянный множитель абсолютной величины 1 не играл роли (ср., например, III. 2), а статистические утверждения выводились из £2.)-
Все это мы вывели из чисто качественных условий 4‘., В\ , а), В), /・
Таким образом, в рамках наших условий мы пришли к решению, и притом направленному против причинности: в самом деле, все ансамбли обладают дисперсией, даже и однородные.
Остается еще обсудить поднятый в III. 2 вопрос о «скрытых параметрах》,т. е. вопрос о том, не вызвана ли дисперсия однородных ансамблей, описываемых волновыми функциями 屮(т. е. соотношением 七2・)тем, что эти ансамбли не являются истинными состояниями, но лишь смесями многих состояний, в то время как для описания истинных состояний, помимо задания волновой функции 屮，
было бы необходимо задать еще и другие характеристики (они и являются «скрытыми параметрами»), которые все вместе описывают всё причинным образом, т. е. приводят к ансамблям без дисперсии. Статистика однородного ансамбля (U =尸巾卜 ||屮|| = 1) возникала бы тогда в результате усреднения по всем настоящим состояниям» из которых состоит ансамбль; иными словами, в результате усреднения по той области значений «скрытых параметров》，которая реализуется в этих состояниях. Но это невозможно по двум причинам: Во-первых, потому, что тогда рассматриваемый однородный ансамбль можно было бы представить в виде смеси двух различных ансамблей), вопреки его определению. Во-вторых, потому, что ансамблей без дисперсии, которые должны были бы соответствовать «истинным» состояниям (т. е. которые состояли бы исключительно из систем, находящихся в одном и том же «истинном» состоянии), вообще не существует. Заметим, что нам вовсе нет надобности вдаваться здесь более подробно в детали механизма «скрытых параметров》： твердо установленные результаты квантовой механики никоим образом нельзя будет получить с их помощью. Ведь если бы наряду с волновой функцией должны были бы существовать еще и другие фиксирующие состояние параметры («скрытые параметры^), то было бы даже исключено, чтобы те же самые физические величины стояли в тех же самых отношениях друг к другу (т・ е. чтобы выполнялись /・,〃•)・
Не помогло бы также предположение о том, что помимо известных изображаемых в квантовой механике с помощью операторов физических величин, существуют еще другие величины, до сих пор неизвестные. В самом деле, ведь тогда даже для известных физических величин оказались бы неверными соотношения, взятые из квантовой механики (т. е. /., 〃.). Таким образом, дело здесь совсем не в вопросе интерпретации квантовой механики (как нередко считалось). Напротив, квантовая механика должна была бы оказаться объективно ошибочной, чтобы стало возможным другое описание элементарных процессов, отличное от статистического.
Стоит упомянуть еще следующее обстоятельство. Соотношения неопределенности имеют на первый взгляд некоторое сходство с основными постулатами теории относительности. Именно, там утверждается, что принципиально невозможно установить одновременность двух событий, происходящих в точках, разделенных расстоянием г,
с точностью, превосходящей интервал времени длительностью ~ (с — скорость света), в то время как, согласно соотношениям неопределенности, принципиально невозможно указать положение материальной точки в фазовом пространстве с точностью, превосходящей область объема (^)' Несмотря на это, существует фундаментальное различие. Теория относительности отрицает возможность объективного, точного измерения одновременности, но, несмотря на это, введением галилеевой системы отсчета можно наложить на мир координатную систему, которая позволит произвести определение одновременности, вполне согласующееся с нашими нормальными представлениями по этому поводу. Этому определению одновременности нельзя приписать объективного смысла только потому, что такую систему координат можно выбирать бесконечно многими различными способами, в силу чего получается бесконечно много различных, одинаково хороших, определений. Иными словами, в силу невозможности измерения, существует бесконечная многозначность в возможных теоретических определениях. По-другому обстоит дело в квантовой механике: там вообще невозможно описывать систему, характеризуемую волновой функцией 屮，точкой в фазовом пространстве, невозможно даже в том случае, когда вводятся новые (гипотетические, ненаблюдаемые) координаты, «скрытые параметры», поскольку это привело бы к ансамблям без дисперсии. Иными словами, не только измерение невозможно, но невозможно и никакое разумное теоретическое определение (т. е. такое определение, которое хотя и не могло бы быть эмпирически доказано, как в случае теории относительности, но во всяком случае не могло бы быть и эмпирически опровергнуто). Таким образом, принципиальная невозможность измерений основывается на том, что в одних случаях имеется бесконечно много, а в других случаях не имеется вовсе конструктивных определений спорных понятий, которые не противоречили бы непосредственному опыту (или же общим допущениям теории).
и*1) Это фазовое пространство шестимерно. Его шестью координатами являются три декартовы координаты точки 夕卜 ^2, ^3 и три соответствующих импульса Е，с，р3. Согласно III. 4, соответствующие дисперсии 汕 е2> $з, 方1，»2，^з удовлетворяют соотношениям
т.
£1£2£37111]2713 N (/^) •
и в пределах этого объема положение в фазовом пространстве классической механики никогда не определено.
Резюмируя, можно охарактеризовать положение причинности в современной физике следующим образом. В макромире не существует опыта, который поддержал бы ее. Более того, такой опыт невозможен, так как видимый причинный порядок макромира (т. е. для объектов, воспринимаемых невооруженным глазом) не имеет, конечно, другой причины, кроме《закона больших чисел», совершенно независимо от того, являются управляющие элементарными процессами (т. е. настоящие) законы природы причинными или нет). То, что макроскопически тождественные объекты ведут себя макроскопически одинаково, имеет мало общего с причинностью: ведь в действительности эти объекты не тождественны, поскольку соответствующие координаты, определяющие состояния образующих их атомов, почти никогда не совпадают. Макроскопическое рассмотрение усредняет по этим координатам (здесь это — «скрытые параметры»), но так как их число очень велико (примерно 1025 на 1 г материи), то это усреднение, в соответствии с известными теоремами теории вероятностей, ведет к чрезвычайно сильному уменьшению всех дисперсий. (Вообще говоря, конечно. В особых же случаях, например в броуно- вом движении, в нестабильных состояниях и пр., эта кажущаяся макроскопическая причинность уже не имеет места.) Вопрос о причинности оказалось возможным проверить как следует лишь при изучении атомных явлений, самых элементарных процессов, но здесь, на современном этапе наших знаний, все говорит против. Действительно, единственная имеющаяся в нашем распоряжении формальная теория, упорядочивающая и обобщающая, в известной степени удовлетворительно, наш опыт, т. е. квантовая механика, находится с причинностью в непреложном логическом противоречии. Конечно, было бы преувеличением утверждать, что тем самым с причинностью покончено: несомненно, что квантовая механика в ее нынешнем состоянии остается еще неполной, и могло бы даже оказаться* что она ошибочна, хотя последнее и представляется совершенно невероятным в свете ошеломляющих возможностей, предоставляемых ею для понимания общих проблем и для численного расчета конкретных. Хотя квантовая механика находится в блестящем соответствии с опытом и хотя она приоткрыла нам завесу над одной качественно новой стороной мира, тем не менее ни об одной теории никогда нельзя сказать, что она доказана опытом, но лишь что она дает для него лучшее из известных объяснений. Учитывая все эти предосторожности, можно все же сказать: в настоящее время не существует ни повода, ни извинения для разговоров о причинности в природе. Действительно, нет опыта, который поддерживал бы наличие причинности, поскольку макроскопические опыты для этой цели принципиально
непригодны, а единственная известная теория, которая совместна с совокупностью наших опытных знаний относительно элементарных процессов——квантовая механика — ей противоречит.
Речь идет здесь, разумеется, об исстари укоренившемся способе рассмотрения, присущем всем людям, но никоим образом не о логической необходимости (что, между прочим, видно хотя бы из того, что статистическую теорию вообще удалось построить), и тот, кто подходит к предмету без предвзятого мнения, не имеет никакого основания упорствовать в таком способе рассмотрения. Обосновано ли при таких обстоятельствах жертвовать ради него разумной физической теорией?
3. Выводы из экспериментов
Последний параграф учит нас, что самый общий статистический ансамбль, совместный с нашими основными качественными предположениями, характеризуется, согласно закону Sp., некоторым дефинитным оператором U. Ансамбли частного вида, названные нами однородными, характеризуются операторами U =尸图 (|| 中|| = 1). Поскольку эти ансамбли являются истинными (дальше неразложимыми) состояниями системы 5, то,мы их будем называть также состояниями (именно, U = P[叫 назовем состоянием 屮).
Если спектр U чисто дискретен, скажем, с собственными значениями wp ®2，• • • нс собственными функциями 屮 1，屮2，• • • (которые образуют полную ортонормированную систему), то будем иметь (ср. 11. 8)
В силу дефинитности U все ^п>0 [действительно, U屮总=如〃屮小 так что (U屮〃，屮〃)и значит, 0], причем 2®〃 = = 2(U屮〃，(ря) = Spur U (ср. также начало IV. 1), так что 2 例〃 =1, если U правильно нормирован. Тем самым можно, согласно сказанному в начале IV. 1, понимать U как смесь состояний 屮卜屮?， с соответствующими относительными весами 叫，叫，… 一если U правильно нормирован, то эти веса правильны и абсолютно.
Но правильно нормированный оператор U, т. е. такой, что Spur U ~\t будет, согласно II. 11 (ср., в частности, прим.叫, стр. 143), вполне непрерывным и, значит, будет обладать чисто дискретным спектром. То же самое, конечно, справедливо и в случае конечного Spur U. (Случай бесконечного Spur U можно рассматривать как предельный случай, на чем мы не будем останавливаться.) Таким образом, в действительно интересном случае рассматриваемый ансамбль представим в виде смеси состояний, которые мы, кроме того, выбирали попарно ортогональными* Поэтому мы будем общие
ансамбли (в противоположность однородным, т. е. состояниям) называть смесями.
Если все собственные значения оператора U просты, т. е. все wP % отличны друг от друга, то, как мы знаем, система (рр 屮2， •・.определяется однозначно с точностью до постоянных множителей модуля 1, а значит, соответствующие состояния (и операторы P[g], P[^t ...)——полностью. Равным образом однозначно определяются и веса w「w2,…，разумеется, если не принимать во внимание их порядок. Таким образом, в этом случае можно однозначно указать, из каких (попарно ортогональных) состояний построена смесь U. Существенно по・нному обстоит дело, если U обладает также и кратными собственными значениями («вырождения»). В 11.8 мы обсуждали подробно, как могут быть выбраны 中I，屮2，・..： это можно сделать бесконечно многими, существенно различными способами (тогда как 叫，叫，… все еще могут быть определены однозначно). Следует выписать те из 叫 w2,…，которые отличны друг от друга: w‘，”，..., для каждого из них указать замкнутое линейное многообразие принадлежащих им собственных функций (т. е. решений уравнения Uf — w/)切?审一 2)t审", и затем выбрать произвольным способом в каждом из 耽酬‘,耽审”,... ортогональные системы 心 X；,X；，必，…，…，растягивающие
данные многообразия. Эти системы *；， X； •••； X；， Х；‘ образуют тогда систему 屮卜(p2, ...» а соответствующие собственные значения w‘， w‘，.…； w", w", ...; являются тогда весами wP w2, ... Коль скоро какое-либо ЗИ审 имеет больше чем одно измерение, т. е. имеется кратное собственное значение, принадлежащее ему, Ху к?，.…не определяются больше с точностью до постоянного множителя модуля 1 (например, в качестве 七 можно взять любой нормированный элемент 9W审),т. е. соответствующие им состояния также многозначны!
Это явление можно сформулировать также следующим образом: если состояния хр Х2， •・・ попарно ортогональны (т. е. 乂卜 ^2> образуют ортонормированную систему, безразлично — конечную или бесконечную) и мы их смешиваем таким образом, что все они входят с одинаковыми весами (скажем, с относительными весами 1 : 1 :...), то получающаяся в результате смесь зависит лишь от замкнутого линейного многообразия 山匕 растягиваемого 用， 抬，• • • Действительно,-
Если число Xi，乂2，…конечно, скажем, равно s:加…，七，то оператор U можно представить себе как смесь всех нормированных элементов 2)?, т. е. всех состояний из 耽.Эти состояния имеют вид
z = ^1Х1+ …十/%，|*1]2 +十1%|2=1.
246ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ[ГЛ. IV
В самом деле, положим %] = 〃]+£&[, ..., %б = 〃б + %и$， через К обозначим （2* •—1 ）-мерную поверхность сферы 吟 + 齊-f- … ... + 〃:十 切；=1， соответствующей условию |%1户+ ・• •十 |х512 = 1, и через do элемент поверхности этой сферы. Положим еще
тогда
（О'/, g） = / f …f f （RM g）"° = //・・・/ /（/•x）（g，%）&>=
=//£（% +综）厶）&。=
к' 世=1八 卩=1/
= //•••//£（/'小）（g，爲）（％ — '%）（4 + '%）"° = *卩，v= 1
=£（/‘ 厶）（g，X”） f f ••• f f [（Vv+V^+^Vv-^A）]^0-
Таким образом, поскольку все 〃卩q, zz^-интегралы, а также все 〃卩〃у *у^-интегралы обращаются в нуль при р. ^= v из соображений симметрии 17% а при 胪=丫 все эти последние интегралы = =（С > 0） 176）, находим
（u+ g）=^E（/，xD（g，4）=^£（尸%]/，g）=p= 1p.= 1
= （]■?■，尸/ g）・
£・ii нх суммы:+ W + 吟 d。=л-/>ккf площади поверхности К, которую обозначим через С.£・ii нх суммы:+ W + 吟 d。=л-/>ккf площади поверхности К, которую обозначим через С.Замена u,x -> —— 觇屮（или uv -> ——uv и 力卩一> —и卩）является операцией симметрии поверхности К, в результате которой первые множители подынтегральных выражений изменяют знак, так что соответствующие интегралы равны 0. Замены 况卩今 и炉 и卩今 北乩 и и^ -> и^ 北丫今北卩 представляют собой такую операцию симметрии поверхности к, при которой последние интегралы переходят друг в друга, ввиду чего оин равны между собой, а значит, равны
£・ii нх суммы:+ W + 吟 d。=л-/>
кк
f площади поверхности К, которую обозначим через С.
£・ii нх суммы:+ W + 吟 d。=л-/>
кк
f площади поверхности К, которую обозначим через С.
Это означает, что
т. е. U', U отличаются друг от друга несущественным образом.
Эти обстоятельства имеют большое значение для характера квантовомеханической статистики. Ввиду этого мы повторим их еще раз: /. Если смесь состоит из взаимно ортогональных состояний с в точности равными весами, то нельзя больше установить, какие это были состояния. Иными словами, в результате смешивания в точно равных отношениях различных (взаимно ортогональных) компонент можно получить одну и ту же смесь.
Полученная таким образом смесь в случае конечного числа компонент идентична смеси всех состояний, являющихся линейными комбинациями этих компонент.
Вот простейший пример: если смешивать 屮 н 屮(ортогональные!) 1 : 1, то получится то же, что и если, например, смешать ；^^ и "^^1:1, шш же все %屮十у屮(|%「+|у|2= 1). Если смешиваются неортогональные 屮，屮(отношение может не быть 1 : 1), то их тем менее можно идентифицировать по готовой смеси, поскольку эту смесь наверняка можно представлять себе как смесь ортогональных состояний.
Дальнейшее углубление в природу смесей мы отложим до термодинамических рассмотрений в V. 2 и далее.
Формула Sp. в IV. 2 указывала, как надо вычислять математическое ожидание величины 猊 с оператором R в смеси со статистическим оператором U: это Spur(UR). Вероятность того, что значение Q оператора R лежит в интервале af < а 三 а"(废，а" заданы, af ^ az/), находится как в III. 1 или III. 5: с помощью функции
尸（х）= ｛：尸（х）= ｛：для 优 <а",
尸（х）= ｛：
尸（х）= ｛：
в остальных случаях
строится величина 尸(猊)，еестроится величина 尸(猊)，еематематическое ожидание и будет ука-
строится величина 尸(猊)，ее
строится величина 尸(猊)，ее
занной вероятностью. Если величине 尸(猊)соответствует (согласно /. в IV. 2) оператор 尸(R) и если Е(入)一относящееся к R разложение единицы, то, как мы неоднократно вычисляли,尸(/?) = £■(◎") — E(af) и искомая вероятность w(a- а") = Spur U (Е (а") — Е(а/，). Поэтому функцией распределения, определяющей статистику величины 猊，будет w ^а) = Spur UE (а) [ср. IV. 1, прим.175) на стр. 243; в случае состояний, т. е. когда U = P闸，снова будет w(а) = SpurР^Е(а)= = (Е(а)：. 屮)]• Естественно, что эти вероятности будут лишь относительными, если оператор U нормирован неправильно.
На вопрос о том, когда величина 猊 с оператором R с достоверностью принимает значение 入带 в смеси со статистическим оператором U, можно ответить непосредственно с помощью функции w(a): для а < к* должно быть w (а) = 0, а для а 昌六 w (а) = 1, или же, если U неправильно нормирован, = Erw (1) — Spur U. То есть Spur UE (а) = 0, если а < 入*, Spur U (1 — Е(а)) = 0, если а 昌入*177) Но в случае дефинитных операторов Л, В из Spur АВ = 0 вытекает что АВ — 0 (ср. II. 11), так что будем иметь UE(a) = 0, если а < X*, и UE (а) — Ut если о^Х*, или, что то же самое, поскольку в силу эрмитовости произведения сомножители должны коммутировать, [==/ для а 三入* f(a)U = 0 или же = т. е. если / = Ug, то Е(а)/ j — ° 旦〃兄 g 入*. Согласно проведенной в II. 8 диск^тсии, это означает, что /?/ =入*/, т. е. RUg = КUg тождественно по g. Следовательно, последнее условие гласит: RU =入*U. Если обозначить через 2U замкнутое линейное многообразие, порожденное всеми решениями h уравнения R% =入*九，то можно сказать также: Uf всегда лежит в 耽.
Тот же результат, впрочем, можно было бы получить из условия обращения в нуль дисперсии, т. е. обращения в нуль (возможно, относительного) математического ожидания величины (91 — К*).
Мы ответили в III. 3 на следующие вопросы (91, 0, … 一физические величины, R, S,…一их соответствующие операторы):
Когда 沢 измеримо абсолютно точно? Ответ: Если R обладает чисто дискретным спектром.
2・.Когда 猊，0 абсолютно точно измеримы одновременно? Ответ: Если R, S обладают чисто дискретными спектрами и перестановочны между собой.
Когда несколько величин 91, 0,…абсолютно точно измеримы одновременно? Ответ: Если R, S,…обладают чисто дискретными спектрами и все перестановочны.
Когда несколько величин 沢，0,…измеримы с произвольной точностью одновременно? Ответ: Если R, S, . . . все перестановочны.
При этом мы использовали следующий принцип, абстрагированный из результата эксперимента Комптона ——Симонса:
(府・)Если физическая величина 猊 дважды измеряется на системе S, причем измерения следуют непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и то же значение. Это будет справедливо даже в том случае, когда в исходном состоянии системы S 猊 обладала дисперсией, так что 91-измерение, помимо всего прочего, могло изменить состояние системы S.
Физический смысл М. мы уже обсудили подробно в III. 3. Дальнейшими предположениями для ответов 7.——4・ были: статистическая формула 七2・ из III. 3 для состояний; допущение Е из III. 3, в силу которого величине 尸(猊)соответствует оператор 尸(R), если только величине 猊 соответствует оператор /?; допущение, согласно которому величине 猊十0 соответствует оператор ^-]-S, если (одновременно измеримым) величинам 猊，@ соответствуют операторы R, S.
Так как эти три предположения по-прежнему осуществляются (первое вытекает из формулы Sp. в IV. 2, а два других соответствуют /., 〃・ в IV. 2) и так как М・ также должно считаться верным,—поскольку мы считаем его необходимым для принципиального построения квантовой механики,—то здесь также останутся в силе приведенные в IIL 3 доказательства 7.—4.. Таким образом, указанные ответы снова оказываются правильными.
В III. 5 мы исследовали такие физические величины, которые принимают лишь два значения: 0 и 1. Они взаимно однозначно соответствуют альтернативным свойствам @. Действительно, если бы было задано @, то соответствующую величину можно было бы определить так: эта величина будет измерена, если мы сможем рассудить (см. прим, перев. на стр. 187), имеет @ место или нет; ее значениями будут соответственно 1 и 0. Наоборот, если была задана величина, то @ было следующим свойством: названная величина имеет значение 1 (т. е. не 0). Из приведенного там Е (т. е. из /. в IV. 2) следовало, что соответствующие операторы Е как раз и являются операторами проектирования. Вероятность того, что @ имеет место, равнялась математическому ожиданию определенной выше величины. В III. 5 эта вероятность вычислялась лишь для состояний 中(т. е. для U = P岡， М中 Н = 1), но ее можно вычислить и в общем случае по формуле Sp.: она равна Spur UE (относительная!, абсолютная, только если U правильно нормирован, т. е. когда SpurU=l).
Установив справедливость положений 7.——4・，мы тем самым доказали вытекающие из них утверждения а)-9 из III. 5. Следует отметить, правда, что там а) давало информацию лишь относительно состояний, а здесь мы распространили его на любые смеси:
а') В смеси со статистическим оператором U вероятности того, что свойство @ имеет место или же не имеет места, равны
соответственно
Spur (UE) или Spur (U (1 — £"))
(вероятности относительные!, абсолютными они будут лишь в том случае, когда U правильно нормирован, т. е. когда Spur U = 1).
Если рассматривается несколько величин 猊「...,猊厂 причем величинам SR】，..., 猊％ соответствуют операторы R『R( с разложениями единицы £\(入)，…，弓(入)，и если, далее, задано / интервалов /1：入入 W 入；，…，厶：入； <)、三入;， и положено £\(八)= =Ei (入;)-Ei (入J,.… Ei (Л)=巴(入；)—Ei (入；)，то свойствам «911 лежит в /；》，《嘱 лежит в /(》соответствуют проекционные операторы £\ (/)…，Е( (/() (ср. ；)). Характеристичным условием одновременной рассудимости этих свойств является перестановочность проекционных операторов Ех (^), …，弓(厶)(ср. 丫)). Их одновре- меннэму осуществлению будет соответствовать проекционный оператор Е = £\(/])・• •£■%(厶)(ср. е)), а соответствующая вероятность будет равна Spur (UE) (ср. az)).
Пойдем теперь по обратному пути: предположим, что мы не знаем состояния системы S, но зато проделали в S некоторые измерения, результаты которых нам известны. Ведь в действительности дело обстоит всегда именно таким образом, так как узнать что-нибудь о состоянии S можно лишь из результатов измерений. Строго говоря, состояния ——это лишь теоретические конструкции, в действительности в нашем распоряжении оказываются лишь результаты измерений, и задача физики состоит в том, чтобы установить связь между прошлыми и будущими измерениями. Конечно, для достижения этой цели всегда вводится вспомогательное понятие «состояния», но физическая теория должна тогда научить нас, как, с одной стороны, заключить из прошлых измерений о настоящем состоянии и как, с другой стороны, перейти от настоящего состояния к будущим результатам измерений. До сих пор мы занимались только вторым вопросом, теперь же нам надо обратиться к первому.
Если предшествующие измерения недостаточны, чтобы однозначно установить настоящее состояние, то при известных обстоятельствах из них можно узнать вероятности, с которыми входят отдельные состояния (это справедливо как в причинных теориях, например в классической механике, так и в квантовой механике). Итак, задача состоит, собственно, в том, чтобы по данным результатам измерений найти смесь, которая обладала бы той же статистикой, что и ожидаемая для системы S, относительно которой нам известно только, что в ней проделаны указанные измерения и что они дали указанные результаты. Конечно, мы должны уточнить смысл выражения: относи-
тельно системы S «известно только то» и ничего больше, а также указать, как отсюда может быть получена некоторая статистика.
Связь со статистикой должна, во всяком случае, быть следующей: если для многих систем 51, ...» S， (многих экземпляров системы S) эти измерения дают упомянутые результаты, то тогда ансамбль [5], ..., Sm] во всех своих статистических свойствах совпадает со смесью, которая дает те же результаты измерений. То, что измерения на всех системах 5Ь ..., 5^ дают одни и те же результаты, можно приписать в духе М・ тому обстоятельству, что первоначально имелся большой ансамбль [S】，...,SN], в котором были проделаны измерения, а затем из тех элементов, для которых получался требуемый результат, был образован новый ансамбль, который и является ансамблем [5；, …，S%] Конечно, все зависит от того, как был выбран ансамбль [51( …，SN]. Этот исходный ансамбль, так сказать, задает априорные вероятности индивидуальных состояний системы S, В целом положение вещей хорошо известно из общей теории вероятностей: для того чтобы можно было из результатов измерений делать выводы о состояниях, то есть из следствий ——о причинах, т. е. для вычисления апостериорных вероятностей, необходимо знать априорные вероятности. Вообще говоря, последние можно выбирать многими способами, вследствие чего наша задача не решается единственным образом, тем не менее мы увидим, что при наличии специальных квантовомеханических соотношений имеется некоторый особенно подходящий выбор первоначального ансамбля [Sp ..., SN] (т. е. априорных вероятностей).
Совсем по-другому обстоит дело, когда известно достаточно много результатов измерений, чтобы полностью определить состояние системы S: в этом случае всякий вопрос должен иметь однозначный ответ. Мы увидим вскоре, каким образом проявляется это обстоятельство.
Отметим, наконец, еще следующее. Вместо того чтобы говорить, что нам известны многие результаты измерений, относящиеся к системе S, можно сказать также, что система S подвергалась испытанию относительно какого-то известного свойства 6 и что его наличие было установлено. Из а) — ；) нам известно, какая существует связь между этими вещами: если, например, имеются результаты одновременно допустимых измерений, из которых следует, что значения величин 猊1猊(лежат соответственно в интервалах /「..., /р то (пользуясь введенными выше символами) проекционным оператором величины 6 будет Е — Ех (/^ ... Ez (/г).
Итак, наши знания о S всегда выражаются в наличии некоторого известного свойства 6, которое формально характеризуется заданием проекционного оператора Е. Надо найти статистический оператор U ансамбля [s]・・・,S%] с одинаковыми значениями, равно как и ста-
тистический оператор U。 общего исходного ансамбля [SP .・., Sv]. Каковы те математические соотношения, которые связывают между собой Е, 4?
В силу М・ свойство @ наверняка имеет место в [S；, . . ., S}], т. е. величина, принадлежащая &, имеет там значение 1. Это означает, как мы видели в начале этого параграфа, что EU = U, т. е. что U/ всегда лежит в 2R, где 9)2 означает множество всех /, для которых Е/= /, т. е. замкнутое линейное многообразие, принадлежащее Е
Вместо EU — U мы можем написать также UE = U, U (1 —Е) = О, т. е. Ug ~ 0 для любых g = (l—七)/, иными словами, для всех g из замкнутого линейного многообразия, принадлежащего к 1 — f, т. е. для всех g из 9? — Ш?. Итак, U/ равно 0 для всех / из 9t—宓， а для / из 2R U/ также лежит в 2)?. На этом пути относительно U больше ничего сказать нельзя.
Этим оператор U определяется тогда и только тогда (в существенном, т. е. с точностью до постоянного множителя), когда множество ЗИ является 0- или 1-мерным. Действительно, в случае 2R = [0] мы имеем U = 0, что, согласно IV. 2, замечание 1, невозможно; в случае же Ti — [ср](中#0, поэтому можно принять, что 口中口 = 1) будем иметь U/ = ccp, так что и для всех / из 2R (поскольку они равны йф) будет Uf — cf и, следовательно, вообще U/ = UEf = cEf, U =сЕ = сР^], и так как с > 0 (поскольку U дефинитен н 声 0), то U в существенном —Е — Р(с?]. В том случае, когда у множества 耽 число измерений 叁 2, можно выбрать два ортонормированных элемента 中，屮 из 2R, и тогда 尸5，尸伸]будут двумя существенно различными операторами U, удовлетворяющими нашим условиям. Итак, равенство Е = 0 невозможно, при 七=尸例(口中口 = 1) будет U = —Е — Р(?]( во всех других случаях U многозначно.
То, что для Е = 0 вообще нельзя найти никакого U, было бы нехорошо, если бы S могла обладать таким свойством @. Однако, согласно 刁)，это исключено: такое свойство @ никогда не имеет места, его вероятность всегда равна 0. Одномерное множество 耽, т. е. f — Р^ (||(рК = 1), определяет U однозначно, и даже как состояние 中，т・ е. это то самое измерение, которое полностью определяет состояние системы S, если оказывается утвердительным, причем этим состоянием оказывается 中). Все прочие измерения не являются полными и их не хватит для определения состояния.
В общем случае мы поступаем следующим образом. Обозначим величину, соответствующую свойству &, также через ®. Тогда U получается за счет того, что в ансамбле ［SP .. ., SN］t принадлежащем U。， измеряется &, а затем все элементы, для которых получено значение 1, объединяются в ансамбль оператора U （т. е. в ［Si， ...» 5加］）・ Само измерение свойства & можно проводить многими различными способами, например измеряя какую-нибудь другую величину Э?（ известной функцией которой является свойство ⑨ & =尸（况）.Если, например, 色，中？， • • • является ортонормировангюй системой, растягивающей 欢，а фР 屮2， • • • является соответствующей для 猊——Si, то система 中「 ^2*屮и 屮2， • • • растягивает 2Ji-j-（9?—耽）=猊，т. е.
является полной. Пусть Хр 入» ・•・，№и №2’ • • •—попарно различные вещественные числа, а оператор R определен посредством
\ nn / rtn
Оператор R имеет, очевидно, чисто дискретный спектр 入卜 %， №i，卩2， ••• с соответствующими собственными функциями 中「 （р2, фр 小2，…，причем все собственные значения просты. Если 尸（х）—— какая-нибудь функция, для которой
尸（入"）=1,尸（％） = 0,
то 尸（R） имеет для ⑴,中？， • • • собственное значение 1, а значит, и для любого / из 2R. В случае же 屮】，屮?， • • • собственным значением будет 0, а значит, и для любого / из 91——Ti. Таким образом, E—F （R）・ Если R принадлежит 91, то тем самым （^ =尸（9t） и &-изме- рение можно истолковать как 91-измерение.
В этом случае мы можем вычислить, какая связь существует между U°, U. После 91-измерения каждая система будет находиться в одном из состояний ф1（屮2，・・.，фр 屮2，в соответствии с тем, какое из значений 入卜 %, ..., №「卩？， • • • было обнаружено. Относящиеся сюда вероятности будут равны соответственно
Spur （U0P回］）=（4中］,中］）,Spur （/尸皿］）=（4中2, ？2）
Spur （U。尸检j］） =。0屮 1，屮 1）, Spur （U。尸仲4）=（4屮2，屮2），…•
（ср. соображения из III. 3, справедливость которых была нами установлена）. Это значит, что эти части ^-ансамбля переходят в ансамбли
（собственных функций оператора R）, т. е., вообще говоря, измерение изменяет состояние системы S. Аналогично, （^-измерение также изменяет состояние, поскольку после него в случае положительного результата оказывается U =尸［中у а в случае отрицательного результата, напротив, U （1 — Р^0 = U, UP ］=0, т. е. Ucp = Q тогда как первоначально ни один из этих случаев не был обязательным. Это квантовомеханическое «отыскание» состояния, таким образам, изменяет его, как и следовало ожидать.
勺中小尸也］Р伸小 В屮2卜• • • Поскольку значению @ = 1 соответствует 淑=入「入2’ * * * > то U-ансамбль возникает путем объединения первой группы. Таким образом, находим
。=w(4%，中〃)P回］.
Далее, каждый оператор 尸［屮也］перестановочен с R )( а потому R должен коммутировать н с U. То есть если U перестановочно не с любым из операторов R, получающихся указанном способом, то некоторые измерительные процедуры (а именно те, которые основываются на соответствующих 9?) исключаются при приготовлении U из /. Тогда мы знаем об U больше, чем то, что он возник посредством ©-измерения. Но поскольку U как раз должен представлять это состояние наших знаний, то мы попытаемся придерживаться следующего условия: если имеются такие U, для которых не приходится исключать ни одного измерительного процесса из величины & то мы окажем им предпочтение. Посмотрим поэтому, существуют ли такие U и что они собой представляют!
1111не ортогональнойне ортогональной（%中）/2（屮，屮）（%中）/2（屮，屮）/2 — /2/2 — /2Как мы видели, U должен был коммутировать со всеми R, получающимися указанным способом. Отсюда следует, что RU中门=URy^u =U (入也中力=入也〃屮小 т. e. U^n является собственной функцией оператора R с собственным значением 入山 в силу чего U^n — а^п. В частности, 〃％ = 〃］%. Пусть задан произвольный элемент 中 из ЭЙ, для которого ||ср|| = 1, тогда можно так выбрать систему 中卜 cp2,.,. ...,фР ф2, . . ., чтобы было 中i=中，а потому любое такое ср является собственной функцией U. Все такие ср должны тем самым принадлежать одному и тому же собственному значению. Действительно, если бы ср и ф принадлежали различным собственным значениям, то они должны были бы быть ортогональны. Но тогда 5^^. также была бы собственной функцией, причем, в силу соотношений
1
1
1
1
не ортогональной
не ортогональной
（%中）
/2
（屮，屮）
（%中）
/2
（屮，屮）
/2 — /2
/2 — /2
屮，а потому должна была бы при-
надлежать тому же собственному значению, которому принадлежат ср и ф, что невозможно, поскольку последние должны были относиться к различным. Следовательно, U* =叫 с одним и тем же а. Условие ||ср|| = 1 можно, очевидно, опустить, так что для любых / из 9W будет иметь место соотношение Uf — af. Таким образом, всегда UEg = aEg、т. е. UE — аЕ, но поскольку U = UE、то U = аЕ. Далее, U, Е оба дефинитны н 吩 0・ Поэтому а > 0 н, следовательно, можно положить U = E, не изменяя его существенным образом.
Но этот оператор U действительно решает поставленную задачу для любого R, т. е. для любой системы 屮「 ср2,...,屮卜 %， • • •， если только Uo выбрано надлежащим образом. Именно, для U°=l будет
审(。肝“，中а)尸[叫=审 3“’ ％) P[fn]=审 P[fn] = Р‘М = Е = U.
Тем самым устанавливается, что U = E в смысле набросанной выше программы. Можно определить и оператор U。，если допустить, что он универсален, т. е. не зависит ни от f, ни от R. Желаемое дается тогда оператором Uq=1, и только им. Именно, мы имеем
(^т-中加)=(啓加，中m)= 3m中")=1，
(^m> ▼»:) = §(%?“，'^^[P^^^ 陶=
=2(0肝“，中")13"，?")卩= (")%:，％)，
и следовательно, (U^m,屮加)=1- Поскольку любой 屮 нз ®t с ||ср||~ 1 можно выбрать за 屮卜 то должно быть (U(yp,屮)=1, а отсюда следует, что для всех / нз 皴 будет иметь место равенство (U。/, /) = (/, /). Но ведь 2U произвольно, а потому это соотношение должно выполняться вообще для всех /. Тем самым показано, что U°=l・
Пусть даны не обязательно одновременно устанавливаемые, альтернативные свойства ①， 彩.Согласно изложенному выше, вероятность того, что система S, относительно которой только что установлено, что она обладает свойством 您 при непосредственно следующем измерении будет обладать и свойством 彩，дается выражением Spur(E£) = =』(£"£) (Е,尸 являются операторами величин ⑥，彩；первая формула справедлива, так как U = E, а вторая в силу f2 —f, 产=戸, согласно П. 11). Впрочем, эти вероятности относительные, причем @ нужно считать фиксированным, а 密 переменным; в том случае, когда число Spur (Е) — 2 (^) ~ числу измерений 9W оказывается конечным, их можно нормировать, деля на это число.
Вместо свойств @,彩 мы можем рассматривать также физические величины. Пусть Э?р …，呪丁一 одновременно измеримые величины и,
кроме того, пусть 多「...,多^ — также одновременно измеримые величины. Их операторами пусть будут /?Р .. ., /?у и Sp . . ., Sp а разложения единицы для этих операторов обозначим через Ех （К）, ..., Е,（入） и尸1 （入）,...,修（入）• Пусть, 口алее,厶：入;V入三入:，.…：入； v入三入；, и J］：内 ＜入与解，…，'：№；V入冬№；一интервалы и £\ （人）= =/（% 一g（寸，…，e.（切=Ej⑺一吃⑺，G仏）=/（脸一 一尸1（吩，…，户z （，）=£2（№；）—户z （必＞Вопрос состоит в следующем: пусть St】, ..・,91у измерены в S н пусть их значения попали в интервалы /р . . ., Ij соответственно; сколь вероятно, что величины 多у ...,窃 при измерении, непосредственно следующем вслед за первым, попадут в интервалы 丿卜...,Jt соответственно? Очевидно, что надо положить: е - eх （/^ ...三（/力，尸=尸1（乙）...尸1（4） （ср. е）, ；））, и тогда искомой вероятностью будет
Spur （£\ （厶）,..Ej （/y） •尸 1 （厶）.…々（"））=
=2 g &）...句（/力•储（厶）…巴m））.
В заключение надо еще раз вернуться к смыслу общего исходного ансамбля и°=1. Мы получаем из него ансамбль U, разделяя его на две части при 混-измерении. Если бы мы не выполнили этого разделения, т. е. провели бы 91-измерение на всех его элементах, а затем снова объединили их всех в одном ансамбле, то мы снова получили бы UQ — 1. В этом можно легко убедиться или прямым вычислением, или выбирая Е=1; тогда собственные значения Хр Х2, ... и собственные функции 中「 ср2, ... выпадают, а собственные значения Хр Х2＞ ... и собственные функции ср1（中？， • • • образуют полную систему. Итак, хотя при некоторых обстоятельствах 91-измерение и изменяет индивидуальные элементы, все эти изменения должны в точности компенсироваться, поскольку ансамбль в целом не изменяется. Впрочем, это свойство характерно для U°= 1・ Действительно, если для всех полных ортонормированных систем 旳,ср2, ... имеет место соотношение
"о = У（/%,中也）尸［%］，
то и° перестановочно с 尸论卜 а так как это может быть любой 尸投 卜 то это значит, что U。коммутирует с любым Р^, ||（р|） — 1. Таким обргзом, имеем
4中=4尸回抨=尸闸U肝=名中，中）•物
т. е.中 является собственной функцией U》Равенство Uq = 1 следует отсюда в точности таким же образом, как выше из соответ-
ствующих соотношений (с 耽 н £ вместо iR и 1) получилось, что U = £・
В ансамбле U°=l, таким образом, все возможные состояния находятся в наиболее равновесном из всех возможных состояний равновесия, и никакое измерение не может его изменить. Для любой полной ортонормированной системы 仏，中？，・・・ имеет место равенство 4=1 =g]Р网卜
иными словами, смесь 1:1:... всех состояний 中口 中？，…. Отсюда мн заключаем, что Uo = 1 соответствует обычному в старой квантовой теории термодинамическому допущению об 《априорной равновероятности всех простых квантовых орбит». Такой ансамбль будет играть важную роль и в наших термодинамических рассмотрениях, которым посвящены следующие ниже параграфы.
ГЛАВА V
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
Измерение и обратимость
Что происходит со смесью со статистическим оператором Ut если в ней измеряется какая-нибудь величина 9? с оператором R? (Под измерением в ансамбле мы понимаем здесь измерение величины 9? на каждом элементе ансамбля с последующим объединением полученных в результате этого измерения отдельных систем снова в один ансамбль.) На поставленный вопрос можно ответить в той мере, в какой этот вопрос вообще допускает однозначный ответ.
Во-первых, рассмотрим случай, когда R имеет чисто дискретный и невырожденный спектр. Пусть фр ср2,...——полная ортонормированная система собственных функций, а % 入2，• • • — соответствующие им собственные значения (по предположению все отличные друг от друга). После измерения возникнет следующее положение вещей: В доле (U中也，中也)исходного ансамбля величина 9? будет иметь значение \п (л = 1, 2, ..,). Эта доля образует тогда ансамбль, в котором 91 имеет значение Хл с достоверностью (М・ в IV.3). Этот ансамбль находится в состоянии 中厶 с (правильно нормированным) статистическим оператором Р^р Собирая эти подансамбли, мы получим, таким образом, смесь со статистическим оператором
ОО
Пусть теперь R обладает чисто дискретным спектром, а 中「(р2,... и 入1，入2’ ・・• имеют прежний смысл, за исключением лишь невырожденности, т. е. среди 入也 могут быть равные друг другу собственные значения. Тогда процесс измерения не определен однозначно (как уже было, например, в случае @ в IV.3). Действительно, пусть 也，卩2，…—различные вещественные числа, a S — оператор, соответствующий (рр 中2’ ・… и Р-р 卩2， •… Пусть этому оператору отвечает величина 0・ Определим функцию 尸(х):
尸(儿)=%(拉fl，2,・・・)，
тогда 尸(S) = R и( значит,尸(0) =脏.Таким образом, измерение 多 можно рассматривать как измерение 9t. Это превращает оператор U в оператор U', определенный выше, причем Ur не зависит от (совершенно произвольных) №[,出，...,но зависит от 中「 ср2, . .., хотя эти собственные функции, в силу кратности собственных значений R, не определяются единственным образом. В IV.2 мы установили, основываясь на II.8, что можно сказать относительно 中卜(р2, ...: пусть 入',入",...——различные собственные значения среди 入「 Х2, . .., пусть 2)У， 2R产 ... — множества /, удовлетворяющих уравнениям R/ = =入'/, R/ = *'/, .•• Пусть еще %；, %；X；， X；，—про
извольные ортонормированные системы, растягивающие 耽入，，⑴七入“，... соответственно. Совокупность всех 苏，X； ..., X；，X；，…，… образует тогда самую общую систему 中卜 ср2, ... Таким образом, Uf может в зависимости от выбора ^, т. е., собственно, в зависимости от выбора измерительной процедуры, иметь вид любого выражения типа
s=*也'K)^]+WS；，К)%
А это выражение однозначно лишь в особых случаях.
Укажем теперь такой особый случай. Каждое отдельное слагаемое должно в этом случае быть однозначным. То есть для каждого собственного значения 入，если 班入 означает множество /, удовлетворяющих уравнению R/ =入/, сумма 2 (^Хл> Хл)^[х^] 旦опжна иметь одно и то же значение при любом выборе ортонормированной системы Xi， Х2， •••， на которую натягивается 屮｛入.Назовем эту суммуV, тогда дословное повторение рассуждения из IV.3 (там только U。， U,耽 надо заменить на U,亿 耽入)показывает, что должно быть V=〃P% (сх — константа, > 0), а это требование эквивалентно справедливости равенства (U/, /) = сх (/, /) для любого / из 耽入. Поскольку эти / совпадают со всеми Р叫g для любых g, то мы требуем
(S\g, р叫g) = G(p吗g, p%g), т. e.
(Pm^UPw^g, g) = a(P%g, g), t. e.
戸%外UP亚入=cP獣I
для любых собственных значений 入 оператора R. Если же это условие, которое, очевидно, сильно ограничивает U, не выполняется, то различные процедуры измерения действительно могут преобразовать U в различные U'・(Тем не менее, исходя из термодинамических принципов, в V.4 мы сможем в общем случае сказать еще кое-что относительно результата 91-измерения.)
ИЗМЕРЕНИЕ И ОБРАТИМОСТЬ 263 в лучшем случае равно обратной величине временной длительности 1/с, так что а для того, чтобы монохроматичность светового кванта могла себя проявить во всем интервале с, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни энергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий. Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин 9t. Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном измерении?
Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время £ по сравнению с тремя пространственными координатами 尤 1 у, z и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты х, у, z, тесно связанные с t преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр Л Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волно- ■вой функцией, которая зависит от 2X3 = 6 пространственных координат, и только лишь от одного времени £, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это ——разъяснение, но отнюдь не радостное!
Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Действительно, чтб нам на самом деле нужно, это совсем не малое время 九 но лишь малый его эффект при вычислении вероятности (U中外 中/ ——и, значит, при образования суммы U'=』(^7фя,中QP［力］——независимо от того, исходим ли мы
2兀上 Ш
из самого оператора и или из иt = e п Ue й . В силу соотношения
(一书屮 争，h 1 ( 衿.h 争.h I
(。吊，中Ue h ^n) — \Ue й <р„, е й .
этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения Н возмущающей энергией, при котором е й 中融 отличалось бы от 屮％ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние 乎“ должно оставаться под влиянием 2・ в своей существенной
в лучшем случае равно обратной величине временной длительности 1/弋， так что е^а Для того, чтобы монохроматичность светового кванта могла себя проявить во всем интервале т, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни энергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий. Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин 9t. Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном измерении?
Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время £ по сравнению с тремя пространственными координатами %、 у, z и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты х, у, z, тесно связанные с t преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр £. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волно- ■вой функцией, которая зависит от 2X3 = 6 пространственных координат, и только лишь от одного времени £, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это ——разъяснение, но отнюдь не радостное!
Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Действительно, что нам на самом деле нужно, это совсем не малое время Л но лишь малый его эффект при вычислении вероятности (Uqn,中力——и, значит, при образовании суммы U'=』(U中小 中疝尸［屮/ —независимо от того, исходим ли мы
из самого оператора U или же из Ut~e h Ue й . В силу соотношения
(0用(0用“=“=
(0用
(0用
“=
“=
этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения Н
—ьн
возмущающей энергией, при котором с 论 ^п отличалось бы от ^п лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние 勺厶 должно оставаться под влиянием 2. в своей существенной
и не поставить ли на место зависимостей между состояниями S и положениями стрелок М зависимости между состояниями S и химическими изменениями в его глазу или даже в его мозгу (т. е. тем, что он «увидел» или 《воспринял》).В VI.1 мы исследуем этот вопрос подробнее. Так или иначе, речь может пойти, следовательно, лишь о применении 2. к системе S-|-М. Правда, надо будет еще показать, что это дает для S то же самое, что и непосредственное применение /. к S. Только лишь после того, как это удастся, мы достигнем единого способа описания физического мира на квантовомеханической основе. Мы отложим обсуждение этого вопроса до VI.3.
Во-вторых, отметим в связи с Д, что, как мы неоднократно указывали, измерение, в смысле /,, должно быть мгновенным, т. е. должно проводиться в столь короткий промежуток времени, чтобы изменение U, обусловленное 2・,не было бы еще заметно. (Если бы мы захотели поправить результат, вычисляя измененный Ut с помощью 2・,то все равно бы ничего не вышло,——ведь чтобы прибегнуть к какому-либо Uv надо знать f, момент измерения, точно, т. е. длительность измерения все равно должна была бы быть короткой.) Однако такое требование сомнительно в самом принципе. Ведь хо- рошб известно, что существует величина, которая в классической механике канонически сопряжена времени: энергия). Поэтому можно ожидать, что для канонически сопряженной пары время ——энергия должны существовать соотношения неопределенности, аналогичные соотношениям неопределенности для пары декартова координата —— импульс). Специальная теория относительности также показывает, что должна существовать далеко идущая аналогия: три пространственные координаты и время образуют 4-вектор точно таким же образом, как и три пространственных импульса и энергия. Подобное соотношение неопределенности означало бы, что невозможно очень точно измерить энергию за очень короткий промежуток времени. Действительно, можно ожидать, что между ошибкой измерения е и промежутком времени с существует соотношение вида
ет 〜％.
Физическое рассмотрение, аналогичное проведенному в III.4 для р, q、 действительно приводит к этому результату181). Не входя в детали, мы рассмотрим случай светового кванта. Неопределенность в его энергии s равна, в силу условия частот Вора, А-кратной неопределенности в частоте: 'Mv. Но Ау, как показано в прим.137) на стр. 182,
в лучшем случае равно обратной величине временной длительности 1/т, так чтоа для того, чтобы монохроматичность светового
кванта могла себя проявить во всем интервале т, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни энергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий. Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин 猊， Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном измерении?
Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время / по сравнению с тремя пространственными координатами 尤：у, z и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты %, у, z, тесно связанные с / преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр /. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волно- •вой функцией, которая зависит от 2X3 = 6 пространственных координат, и только лишь от одного времени /, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это — разъяснение, но отнюдь не радостное!
Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Действительно, что нам на самом деле нужно, это совсем не малое время Л но лишь малый его эффект при вычислении вероятности (订屮小 屮融)一и, значит, при образовании суммы U = £ (UcpM 屮力尸[%] —независимо от того, исходим ли мы 一丝 АН —ЛН
из самого оператора U или же из Ut = e 厶 Ue А ・ В силу соотношения
этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения Н возмущающей энергией, при котором е 九 屮融 отличалось бы от лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние % должно оставаться под влиянием 2. в своей существенной
части постоянным, т. е. должно быть стационарным состоянием; или же Нр；, должно равняться некоторой вещественной константе, умноженной на 平融，т. е.平融 должно быть собственной функцией Н- На первый взгляд такое изменение оператора энергии Н. при котором собственные функции оператора R стационарны и, следовательно, являются также собственными функциями Н (т. е. А, Н перестановочны), не кажется правдоподобным. Но на самом деле это не так, можно даже убедиться, что типичное измерительное приспособление предполагает как раз изменение такого сорта в Н・
e邮•附"+工，碼( /1=17 = 1 Л = 1\e邮•附"+工，碼( /1=17 = 1 Л = 1\Действительно, любое измерение заканчивается тем, что световой квант или частица, обладающая массой, испускаются с известной энергией и в известном направлении и посредством своих характеристик, т. е. своих импульсов, выражают результат измерения; или же тем, что частица с массой (например, стрелка на шкале) приходит в состояние покоя и ее декартовы координаты дают результат измерения. Итак, для светового кванта заданию измеряемой величины эквивалентно, пользуясь терминологией III. 6, задание того Мп, для которого Мп — 1 (все остальные = 0), т. е. задание значений всех 附1，附？，・••；几订夕 вылетающей частицы с массой ——задание трех компонент импульса Р", Г', Р”, а в случае покоящейся частицы с массой —задание трех ее декартовых координат %, у, N, или же, пользуясь их операторами, Q", Qy, Qt Но измерение будет действительно проведено лишь тогда, когда световой квант или частица с массой действительно улетят 《прочь》,т. е. когда световой квант не подвергается больше риску быть поглощенным или когда частица с массой не может уже больше отклоняться потенциальными энергиями; или же когда покоящаяся частица с массой действительно покоится, для чего необходима большая масса). (Последнее необходимо уже в силу соотношений неопределенности, поскольку скорость должна быть близка к 0, поэтому ее дисперсия мала, хотя ее произведение на массу,——импульс должен, из-за малой дисперсии координат, обладать большой дисперсией. В действительности стрелки являются макроскопическими объектами, т. е. они огромны.) Далее, оператор энергии Н, поскольку он имеет отношение к световому кванту, имеет, согласно III. 6, вид
e邮•附"+工，碼( /1=17 = 1 Л = 1\
e邮•附"+工，碼( /1=17 = 1 Л = 1\
в случае же обоих примеров частиц с массой — это
烈士穿山+ " Q，, Q?)
(附一масса, V ——потенциальная энергия). Наши критерии будут гласить, что 吻£/ должны обращаться в нуль или же что V должно быть постоянно, или же что т должно быть очень велико. Но это как раз и приводит к тому, что Мп или Р", Ру, Рг или Q", Qy, Qz начинают коммутировать с указанными Н・
В заключение следует подчеркнуть, что «делание стационарными» собственно интересующих нас состояний (здесь это 平卜 屮?，• • •) играет роль также и в других отделах теоретической физики. Предположение о возможности прерывания химических реакций (их «отравления»), которое часто необходимо в физико-химических «мысленных экспериментах», имеет именно такую природу).
Два воздействия /. и 2・ отличаются друг от друга фундаментальным образом. То, что оба они по форме однозначны, т. е. причинны, не существенно: действительно, так как мы рассматриваем статистические свойства смесей, то не удивительно, что любое изменение, даже если оно статистическое, приводит к причинному изменению вероятностей и математических ожиданий. Ведь именно по этой причине и вводят статистические ансамбли и вероятности! Очень существенно, напротив, то, что 2・ не приводит к увеличению существующей в О статистической неопределенности, тогда как /. приводит к такому увеличению: 2・ переводит состояния в состояния
а /. вполне может перевести состояние в смесь. В этом смысле можно сказать, что эволюция состояния согласно /. является статистической, а согласно 2.——причинной.
Далее, при фиксированных Н и Л 2. является просто унитарным преобразованием всех U: U t — AU А , А — е 九 унитарно, т. е. из Uf = g следует, что Ut (Л/) = Ag, так что Ut получается из U с помощью унитарного преобразования Л гильбертова пространства н тем самым с помощью некоторого изоморфизма, который оставляет инвариантными все наши основные геометрические представления (ср. принципы, разъясненные в 1.4). Поэтому 2・ обратимо: достаточно заменить Л на Л-1, а это возможно в силу того, что Л и Л 1 можно считать совершенно произвольными унитарными операторами
благодаря далеко идущей свободе в выборе Ни/. Точно так же как и классическая механика, 2・ не воспроизводит поэтому одну из наиболее важных и удивительных черт реального мира, а именно его необратимость, фундаментальное различие между направлениями времени в «будущее» и в «прошлое».
Фундаментальным образом по-иному ведет себя /.: переход
U' = g(U也，^Р[^
не является безусловно обратимым. Вскоре мы увидим, что он вообще необратим: в том смысле, что вообще невозможно возвратиться от данного U' к его U с помощью повторного применения какого- нибудь из процессов /. или 2・!
Здесь мы достигли такого положения, когда целесообразно привлечь термодинамические методы рассмотрения, так как лишь они позволяют нам правильно понять различие между /. и 2・,в котором замешаны вопросы об обратимости.
Термодинамические вопросы
Мы будем исследовать термодинамику квантовомеханических ансамблей с двух различных точек зрения. Сперва мы предположим справедливссть обоих основных начал термодинамики, т. е. невозможность perpetuum mobile первого и второго рода (законы энергии и энтропии)), и вычислим, исходя отсюда, энтропию каждого ансамбля. При этом будут применяться обычные средства феноменологической термодинамики, а роль квантовой механики ограничится лишь тем, что наше термодинамическое рассмотрение будет относиться к таким объектам, поведение которых определяется законами квантовой механики (нашим ансамблям, равно как и их статистическим операторам U), — правильность же обоих основных начал предполагается и не доказывается. Затем мы перейдем к доказательству выполнения основных начал в квантовой механике, причем выяснится, что закон энергии выполняется без каких-либо оговорок, а закон энтропии ——лишь в рамках задачи. Именно, мы покажем, что воздействия /., 2. никогда не уменьшают энтропию, вычисленную по первому способу. Такая последовательность, казалось бы, несколько неестественна, но обусловлена тем, что только в ходе феноменологического обсуждения нам удается достигнуть того понимания
Й] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 267 всей проблемы, которое потребно для рассуждений второй половины задачи.
Итак, мы начинаем с феноменологического рассмотрения, которое, между прочим, позволит нам также разрешить один известный парадокс классической термодинамики. Здесь сразу следовало бы подчеркнуть, что «авантюристический^» характер наших мысленных экспериментов, т. е. невозможность провести их практически, не причинит какого-либо ущерба их доказательной силе: по смыслу феноменологической термодинамики всякий мысленный процесс имеет доказательную силу, если только не нарушает основных начал.
Нашей целью будет определить энтропию некоторого ансамбля [Sp …，SN] со статистическим оператором U, который предполагается правильно нормированным, т. е. так, что SpurU=l・ Пользуясь принятым в классической статистической механике способом выражения, мы имеем здесь дело с ансамблем Гиббса ——это значит, что статистика и термодинамика относятся не к (взаимодействующим) составным частям единой, очень сложной, механической системы со многими (и только недостаточно известными) степенями свободы ), но к набору очень большого числа механических систем, каждая из которых уже одна, сама по себе, может (но не обязана) обладать необозримо большим числом степеней свободы, и которые следует мыслить не взаимодействующими и совершенно разделенными друг от друга). В силу полной разделенности систем S】,...,SN и благодаря тому обстоятельству, что мы хотим применить к ним основанные собственно просто на счете методы исчисления вероятностей, не возникает сомнения, что следует использовать обычные методы теории вероятностей и что отступающие от них способы счета Бозе—Эйнштейна и Ферми — Дирака, уместные для известных ансамблей неразличимых и взаимодействующих индивидов (именно, для световых квантов и соответственно для электронов и протонов, ср. III. 6, особенно прим. 147) на стр. 206), не относятся здесь к делу.
Введенный Эйнштейном метод термодинамического рассмотрения таких ансамблей §,…，SN] состоит в следующем ): Каждая из систем S[, ..., SN заключается в свой ящик К】，...,Kn、стенки
которого не проницаемы ни для каких переносов взаимодействий,— в силу невзаимодействия рассматриваемых систем это допустимо. Далее, каждый ящик должен обладать очень большой массой, чтобы возможные изменения состояний (а тем самым и энергий, следовательно и масс) систем Sp ..., SN затрагивали бы их массы лишь в малой степени. Благодаря этому и их скорости окажутся в проводимом мысленном эксперименте столь малыми, что будет допустимо считать нерелятивистским способом. Эти ящики &, ..., Kn мы в свою очередь поместим в очень большой ящик ЛГ (последнее означает, что объем 7° ящика К должен быть много больше суммы объемов К】,...,KQ； ради простоты в К не должно быть силовых полей (в частности, следовательно, он должен помещаться далеко от всех гравитационных полей и быть столь большим, чтобы массы К】，...,KN не оказывали бы никакого действия). Поэтому можно рассматривать теперь К「•…Kn (содержащие Sv …，SN соответственно) как молекулы газа, запертого в большом ящике & Если мы теперь приведем К в контакт с очень большим резервуаром тепла температуры Т, то и стенки ящика К тоже примут ту же температуру, и их (настоящие) молекулы придут в соответствующее броуновское движение. Но тогда они станут передавать импульсы ближайшим ящикам К】,....Kn、 из-за чего последние придут в движение, передавая импульсы и остальным ящикам &, ..., Kn* Вскоре все ящики К「 ..., KN окажутся в движении, обмениваясь импульсами： у стенок К——с молекулами стенок, а благодаря взаимным соударениям (внутри 向一друг с другом. Состояние стационарного равновесия такого движения будет достигнуто лишь тогда, когда ящики К「KN примут то распределение скоростей, которое будет в равновесии с броуновским движением молекул стенок (температуры Т), т. е. максвелловское распределение скоростей для газа температуры Т, в качестве 《молекул» которого следует рассматривать ящики ЛГР ..., 瓯 i*®). Итак, мы можем сказать, что [Sp ・・・, SyyJ-газ принял температуру Т. Ради краткости будем называть в дальнейшем ансамбль [S^SN] со статистическим оператором U tZ-ансамблем, a [S】, .・・, 5；у]-газ — "газом.
Причина, по которой мы решили заняться подобным газом, лежит в том, что разность энтропий LZ-ансамбля и IZ-ансамбля (U н I/ — дефинитные операторы со шпуром 1; соответствующие ансамбли — [Si， ・・・,SN] и [S；, ・・・, S^]) находится по определению путем обра-
энтропий составит华十...11энтропий составит华十...11/ c(T) dT/ c(T) dTтимого преобразования первого из них во второй), а это удается проще всего выполнить обходным путем через U・ или соответственно V-газ. Именно, мы утверждаем: разность энтропий U- и V- ансамблей в точности та же, что и разность энтропий U- и У-газов, если оба последние рассматриваются при одной и той же температуре Т, которая в остальном может быть произвольной. Если Т приближается к нулю, то это утверждение, очевидно, справедливо с любой степенью точности, ибо разница между tZ-ансамблем и U-газом исчезает при температуре 0, поскольку ящики ЛГР ..., Kn последнего не обладают тогда никаким собственным движением, а присутствие покоящихся ящиков К],、…Kn、K термодинамически несущественно (аналогично для V). Таким образом, мы достигнем цели, если покажем, что для некоторого заданного изменения температуры Т энтропия U-газа меняется на столько же, на сколько энтропия 1/-газа. Изменение энтропии некоторого одного газа, когда он нагревается от температуры Т\ до температуры Т2, зависит только от его теплового уравнения, точнее» от его теплоемкостей ), — при этом, конечно, нельзя допустить идеальности газа, так как, как раз в нашем случае, Tj должно быть выбрано вблизи нуля). Напротив, оба газа (U и V) гарантированно имеют одно и то же уравнение состояния и одинаковые теплоемкости,——с точки зрения кинетической теории газов ящики К】,...,Kn доминируют подавляющим образом и совершенно маскируют заключенные в них системы S】,S% или S；, ..., S^, Итак, при рассматриваемом процессе нагревания различие между U и V не сказывается и, как и утверждалось, обе разности энтропий совпадают. Поэтому в дальнейшем мы будем сравнивать друг с другом только U- и V-газы, и при этом выберем температуру Т столь большой, что их можно было бы рассматривать как идеальные).
энтропий составит华十...11
энтропий составит华十...11
/ c(T) dT
/ c(T) dT
Тем самым их газокинетическое поведение станет полностью ясным, и мы сможем обратиться к собственно нашей задаче — обратимо перевести U-газ в V-газ. При этом нам придется, в отличие от уже рассмотренных процессов, затронуть и находящиеся внутри К【Kn системы Sp .. . > SN, т. е. придется «открыть» наши ящики ЛГР Kn・
Покажем прежде всего, что все состояния U = P%］ обладают одной и той же энтропией, т. е. что Р(?］-ансамбль удается обратимо перевести в 尸［屮「ансамбль без затраты или получения тепловой энергии (механическую энергию придется, естественно, затратить или выиграть, если только средние значения энергии в 尸旧］и в 尸耳］различны), ср. прим.185) на стр. 267. Действительно, для этого нам вовсе не понадобится привлекать только что рассматривавшиеся газы ——желательное переведение удается выполнить и при температуре 0, т. е. с самими ансамблями. Следует также подчеркнуть, что как только это будет доказано, то мы сможем (и действительно так сделаем) пронормировать энтропии LA-ансамблей таким образом, что все состояния будут обладать энтропией 0.
Впрочем, намеченное выше преобразование 尸［屮］в Р^ не обязано даже быть обратимым, поскольку не будь оно таким, то разность энтропий должна была бы быть》выражения, приведенного выше, в прим. 189), следовательно 》0; если мы переменим теперь 「〔电 и 尸仲］,то точно так же получим, что оно должно быть 总0; поэтому оно равно 0.
Простейшим способом было бы привлечь сюда зависящее от времени дифференциальное уравнение Шредингера, т. е. наш процесс 2・, для чего следовало бы найти некоторый оператор энергии Н и численное значение г такие, чтобы унитарный оператор е 厶 переводил бы ср в ф. Тогда за t секунд 尸闸 сам по себе перешел бы в 尸［屮卜 процесс был бы даже обратимым и о тепле не было бы и речи (ср. V. 1). Мы предпочтем, однако, уклониться от каких-либо допущений о возможных формах оператора энергии Н и будем применять только процесс /., т. е. воздействия типа измерения. Самым простым, что можно было бы придумать, было бы тогда измерение в ансамбле 尸〔« некоторой величины 91, оператор которой R имел бы чисто дискретный спектр с одними лишь простыми собственными значениями 入I，入2，…，притом так, чтобы 屮 встретилась бы среди его собственных функций фр 屮2，•…，например 屮］=屮.Поскольку при таком измерении состояние 屮 преобразуется ведь в смесь %, %，•…，то возникает и состояние 屮.Тем не менее это нецелесообразно, поскольку 屮】=屮 возникает лишь с вероятностью | (屮，屮)『，в то время как доля 1 ——I (ср,屮)|2 переходит в другие состояния, и для ортогональных 屮 и 屮 эта доля даже составляет целое. Несмотря на это, сходный прием приведет нас к цели: путем последовательного выполнения большого
числа различных измерений мы переведем Р1（р] в такой ансамбль» который сколь угодно мало отличается от Р@]. То, что все эти операции необратимы （или по меньшей мере могут оказаться такими）, будет, как мы уже замечали выше, несущественно.
Мы будем считать 屮 и 屮 ортогональными, так как иначе мы могли бы выбрать ортогональное к обоим ^（||^|| = 1） и перейти сперва от ср к х，а затем от % к 屮.Пусть 论=1, 2, ... будет числом, которым мы еще должны распорядиться, и положим
屮⑵=cos 费：屮 + sin法，屮 （y = 0, 1,...,总）.
Очевидно, что 屮⑼=屮，屮伍）=屮 и что всегда II 屮叫I = L Каждую из 屮® （у= 1,...,论）мы дополним до полной ортонормированной системы 屮化 啖），...с 屮，=炉2 Пусть R® будет оператором с чисто дискретным спектром и всеми различными собственными значениями, например 入化 入乳...,для которого 屮化 屮孔...будут собственными функциями; соответствующей величиной пусть будет 猊"）.Заметим еще, что
（产,們=
冗（Y- 1）化Y J .冗（У - 1）.冗У/ 化y 化（Y - 1） \
=cos f^ cos 航 + sin fpA Sin 诟=cos （彩一-*1 丿=
= cos£
Теперь мы измерим в ансамбле с U（°）= Р[ф（о）] =Pg] величину 猊G）, благодаря чему возникнет U°L затем в U°）——величину 31（2）, благодаря чему возникнет U^\ ...» наконец, в и（”*"° ——величину 9l（fe\ благодаря чему возникнет U肉.Что для достаточно большого 论 U候）будет сколь угодно близок к Р[屮候）] = Р[5， можно пояснить следующими наглядными соображениями. Когда мы измеряем 猊⑵ в 屮"一°, то в 屮⑺ переходит доля |（屮"-°,屮"））『 = （c°s 款）"Следовательно, при последовательных измерениях величин 猊⑴，31（2\ 猊候）из 屮© =平 через посредство 屮⑴，屮⑵，屮他~" перейдет в 屮=屮同 по меньшей мере
/ 冗、2々 / , Л \2fe
доля I cos-gy I • А поскольку при 论一＞ x I cos ~^\ f !, то возникнет почти одно лишь 屮，если k достаточно велико. Строгое доказательство проходит следующим образом: Поскольку процесс /. не
меняет шпура, то, в силу SpurU（°）= Spin■尸[电=1, будет SpuiU°）= = SpurUQ'= … =SpurU（"=L С другой стороны,
①7，/）=w①…甯,啸））（勺喇"片
= X（U…峭,*）|（啸）,/））2.
следовательно, для ^= 1, ...» k——1 и / =屮『+° =屮（叶"или же, соответственно, для y =论 и / =屮p=屮依）=屮 будет
①⑵屮"】），y+1））》（U（f 产 中⑺）|（中" y+D）F =
= （cos 羲У •屮⑴）；
（U同屮叫*））=（0但"）屮伍），屮⑷）.
Вместе с
（。。）严,屮。））=（"期屮。）,中。））=@。）,严卄=（з姦）2 это дает
（и⑺屮,屮）》（cos金厂.
Поскольку Spur U候）=1 и （cos ^-『'f 1 при 论一> оо, мн можем применить результат, найденный в II. 11: Uk сходятся к 夕回卜 Наша цель достигнута.
Теперь мы должны обсудить вопрос о том, в каких пределах можем мы опираться на такое вспомогательное средство, как «мысленные эксперименты» феноменологической термодинамики, также и при рассмотрении квантовомеханических систем; именно, мы имеем в виду вопрос о так называемых полупроницаемых стенках.
В феноменологической термодинамике имеет место теорема: Если / и Л —два различных состояния одной и той же системы S, то допустимо принять существование такой стенки, которая для / полностью проницаема, а для 〃一совершенно непроницаема）; это, так сказать, термодинамические определения различия, следовательно и совпадения, двух состояний. В какой мере допустимо подобное предположение в квантовой механике?
Докажем сперва, что если 屮卜 cp2屮「屮2， •・•——ортонормиро- ванная система, то существует полупроницаемая стенка, беспрепятственно пропускающая систему S в каждом из состояний 屮卜（р2> ... и отражающая ее в неизменном виде в каждом из состояний j「（р2> ...
Напротив, системы, находящиеся в других состояниях, могут при соударении со стенкой даже и измениться.
Систему 屮卜 屮2， • • •， фр 屮2， • • • можно принять за полную, так как в противном случае ее можно было бы завершить в полную добавлением дальнейших функций /р /2 ..., которые можно было бы причислить, например, к 屮】，ср2, . . . Выберем теперь оператор R с чисто дискретным спектром и лишь простыми собственными значениями 入 1，入2， * * < > 卩卜 卩2' • • •» собственными функциями которого могли бы быть 屮卜 ср2, .. . ( фр ф2, ...» и пусть при этом будут все Хл < 0. а все 卩也 > 0. Пусть к оператору R относится величина 91. Прорежем в стенке много окошек, каждое из которых устроено следующим образом: Когда любая из «молекул» К， ..., Kn нашего газа (мы снова рассматриваем теперь U-газ при температуре Т > 0) попадает в окошко, она там задерживается, открывается, в содержащейся в ней системе S】или ... или SN измеряется величина 混,затем ящик снова закрывается, и, судя по тому, оказалась ли измеренная величина 9? < 0 или же > 0, ящик вместе с его содержимым и без изменения импульса пропускается через окошко или же отражается. То, что такое устройство достигает желаемой цели, -—это ясно; остается только обсудить, какие изменения остаются в нем после таких соударений и не родственно ли оно в какой-либо степеыи так называемому «максвеллову демону» термодинамики).
К первому вопросу следует сказать, что поскольку при известных обстоятельствах 91-измерение меняет состояние S, следовательно и математическое ожидание ее энергии, то по смыслу первого начала эта разность механической энергии должна быть предоставлена или, наоборот, воспринята измерительной установкой (например, путем использования пружины, которая будет при этом ослаблена или, наоборот, напряжена сильнее, или каким-нибудь аналогичным образом). Так как здесь идет речь о совершенно автоматически функционирующем измерительном механизме и так как преобразуются только механические (не тепловые!) энергии, то, конечно, мы не встретимся здесь ни с какими изменениями энтропии, что единственно важно для нас сейчас. (Находись S в одном из состояний 屮卜 屮?， • • •» 屮「屮2，… Ш-измерение вообще не изменит S, и потому в измерительном аппарате вовсе не останется компенсирующих изменений.)
Второй пункт гораздо опаснее; наше приспособление несколько напоминает смаксвеллова демонам, т. е. полупроницаемую стенку, пропускающую летящие справа молекулы, но отражающую летящие слева. Вставь мы подобную перегородку посередине наполненного газом сосуда, вскоре весь газ собрался бы на левой стороне»
т. е. объем уменьшился бы вдвое без затраты антропнн. Это означало бы нигде не компенсирующееся уменьшение энтропии газа, поэтому по второму началу термодинамики такая стенка не может существовать. Все же наша полупроницаемая стенка отличается от этой, термодинамически недопустимой, весьма существенно в том отношении, что она принимает во внимание только внутренние особенности《мо- 〃еку』》К】,...,Kn (состояние заключенных в них систем S】S%), а не внешние (движутся ли они справа или слева и т. п.). Как раз от этого все и зависит. Подробный анализ этого вопроса стал возможен на основе исследований Сциларда, которые прояснили природу полупроницаемых стенок, «максвеллова демона》и вообще роль «вмешательства разумного существа в термодинамические системы»; мы не можем вдаваться здесь в эти вещи подробнее, тем более что читатель найдет исчерпывающее изложение этого вопроса в упоминаемой в прим. 194)работе.
Проведенные рассуждения показывают, в частности, что два состояния системы S безусловно можно разделить полупроницаемыми стенками, если эти состояния ортогональны. Мы хотим показать теперь обратное: если ср и ф не ортогональны, то допущение подобной полупроницаемой стенки противоречит второму началу. Это значит, что необходимым и достаточным условием разделимости полупроницаемыми стенками будет (% 屮)= 0, а не 屮昆屮，как в классической теории (мы пишем сриф вместо использовавшихся выше / и //). Тем самым разъясняется старый парадокс термодинамики в ее -классической форме, именно, досадное отсутствие непрерывности при оперировании с полупроницаемыми стенками: сколь угодно слабо различные состояния все еще поддаются 100-процентному разделению, а абсолютно тождественные — не поддаются вовсе. Теперь мы имеем дело с непрерывным переходом, поскольку 100-процентная разделимость сохраняется лишь при (屮，屮)= 0, а при растущем (〃 屮)она становится все хуже. Состояния же ср и ф становятся идентичными только при максимальном (ср,屮)，именно при |(屮，屮)|=1 (ведь ||(р|| = ||ф|| = 1, поэтому из I (ср, ф) I = 1 следует, что 屮= счр, где с ——постоянная и I с I ~ 1), и тогда разделение совершенно невозможно.
Чтобы провести обещанное рассуждение, нам придется заимствовать конечный результат этого параграфа ——значение энтропии для /7-ансамбля. Естественно, что мы не будем использовать этого результата при его выводе.
Итак, допустим, что существует полупроницаемая стенка, разделяющая 屮 н 屮；должно быть выведено, что тогда (屮，屮)= 0. Рассмотрим •^■(Р[叫 + 尸囤)таз (т. е. состоящий из ~ систем в состоянии ср и ^ систем в состоянии 屮；шпур такого оператора равен 1) и выберем Т* (т. е.用 н Т так, чтобы он был идеальным. Пусть 彳 имеет изобра-
женное на рис. 3 продольное сечение /2347; на одном конце
мы вставляем в него нашу полупроницаемую стенку аа и сдвигаем ее затем до середины (положение Ь6); температура газа должна при этом поддерживаться постоянной за счет контакта с большим тепловым резервуаром W температуры Т на другом конце 23. С ср-мо- лекулами при этом процессе не происходит ничего; ф-молекулы же, напротив, оттесняются в правую половину К (между bb и 23). Иными словами, если рассматривать -g-(^^Ч-^фО-газ как 1 :1-смесь
Р^-газа и Р^-газа, то с первым не происходит ничего, а второй ока
зывается изотермически сжатым до половинного объема. Из уравнения состояния идеальных газов следует, что при этом процессе будет совершена механическая работа告 /Г 1п 2
(ND
I-gэто число молекул 。［屮「газа, ах — постоянная Больцмана)195), и, поскольку энергия газа (из-за изотермии) не меняется196), это количество
энергии возьмет себе тепловой резер
вуар W・ Увеличение энтропии резервуара составит, следовательно (ср. прим. 186)на стр. 267), -у = ^x • у 1п 2.
После этого процесса слева от ЬЬ содержится половина первоначального Р^-газа, т. е. N/4 молекул; справа же от 66 — половина первоначального Р^-газа, т. е. N/4 молекул, и весь 尸乎「газ, т. е. N/2 молекул, — т. е. всего 3N/4 молекул (卫尸回］十 § 尸।屮］)-「аза. 八"》3学
Сожмем и соответственно расширим эти газы до объемов -у и -^,
причем соответствующая механической работе энергия опять перейдет к тепловому резервуару W (или будет заимствована у него). Эта
【95)Если идеальный газ состоит из М молекул, то его давление р — —^—. Поэтому при сжатии от объема »【до объема ^2 будет совершена механическая работа
р d7 = Л1*Т / ——~ AfxT 1 n♦
В нашем случае М~-^~,険【=芽 и 少2 =讶・
196)Как известно, энергия идеального газа завнснт лишь от его температуры.
дг3N 3
работа составит 丁乂Tin 2 или хТIn ^ (СР- прим. 19i) на стр. 269), и, следовательно, энтропия резервуара возрастет на № • ^ In 2 или, со- 33
ответственно, на —Nk •彳 1口电・ Все вместе составит
№.(11п2+11п2—41n|)^^z.|lп4.
Итак, в результате мыИтак, в результате мы+4+4газам изгазам изТТU少 3次мающих объемы 才 н -^-.U少 3次мающих объемы 才 н -^-.пришли к одному 尸闸- и к одному и, соответственно, 飞- молекул, зани- Первоначально же у нас был одинпришли к одному 尸闸- и к одному и, соответственно, 飞- молекул, зани- Первоначально же у нас был одинобъеме Т* или, чтообъеме Т* или, чтото же, двато же, два(^■尸[叫 十^■尸2，таз из ^ молекул в(^■尸[叫 十^■尸2，таз из ^ молекул вмолекул в объемахмолекул в объемахТТ3"Т3"Т
Итак, в результате мы
Итак, в результате мы
+4
+4
газам из
газам из
Т
Т
U少 3次
мающих объемы 才 н -^-.
U少 3次
мающих объемы 才 н -^-.
пришли к одному 尸闸- и к одному и, соответственно, 飞- молекул, зани- Первоначально же у нас был один
пришли к одному 尸闸- и к одному и, соответственно, 飞- молекул, зани- Первоначально же у нас был один
объеме Т* или, что
объеме Т* или, что
то же, два
то же, два
(^■尸[叫 十^■尸2，таз из ^ молекул в
(^■尸[叫 十^■尸2，таз из ^ молекул в
молекул в объемах
молекул в объемах
Т
Т
3"
Т
3"
Т
соответственно. Таким образом, весь процесс привел к следующим
изменениям:彳 молекул в объеме 才 перешли из
■3次
газа вгаза вгаза в 尸闸-газ;力 молекул в объеме 丁 перешли из
газа в
газа в
-газ; к энтропии резервуара W добавилось
34
Nx •彳 In 万• Поскольку процесс обратим, то полное увеличение энтро
пии должно составить 0, т. е. изменения энтропий обоих газов должны как раз скомпенсировать увеличение энтропии W. Поэтому нам надо еще знать изменения энтропий газов.
Как мы увидим, энтропия U-газа из М молекул составляет ——УИх • Spur ([/ In U), если энтропия P^j-газа того же объема и той же температуры нормирована на нуль (ср. выше). Поэтому, если U обладает чисто дискретным спектром с собственными значениями 山卜 w2
со'
то это составит——Л1х • £ ^ In wn (при этом к1пх следует считать л = 1
чениями 1,0 или, соответственно,чениями 1,0 или, соответственно,равным 0 для х = 0). Теперь, как легко сосчитать, операторы Р^
чениями 1,0 или, соответственно,
чениями 1,0 или, соответственно,
обладают собственными зна-
, 0 или, соответственно,
3 + П+8a2б3 + П+8a2б3 —“ + 8a23 —“ + 8a266,0 (где а = [(?,,0 (где а = [(?,屮)1， следовательно 》0屮)1， следовательно 》0
3 + П+8a2б
3 + П+8a2б
3 —“ + 8a2
3 —“ + 8a2
6
6
,0 (где а = [(?,
,0 (где а = [(?,
屮)1， следовательно 》0
屮)1， следовательно 》0
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ277
InIn4444и 《1）, из которых 0 во всех случаях бесконечно кратен, а остальные однократны 197）. Поэтому энтропия газов возрастает на
In
In
44
44
6
十三严^上严•（耳办宇+ 1^1 "与斗
Добавляя сюда еще и увеличение энтропии N* • -|-1пу резервуара W, мы должны получить 0. Если разделить все на Nx/4, то получится
3 + М阡 8a2 _ 3 + Н-ра? з —M〔+8a2 t 3 —了 1十8&2 （
2 In §2“6
4-2（1+a）In-Ц^-+2（1 — а）1п-Ц^ + 31п | = 0, причем 0《а《；1・
Определим собственные значения оператора （必冋 + 6Р囤）.Должно быть
（%也+'Р加/ =入九
и, поскольку левая часть является линейной комбинацией у н 屮，то такой будет и правая, следовательно и /, если 入千 0.入=0 наверняка будет собственным значением бесконечной кратности, так как к нему будет относиться любая /, ортогональная к у н 屮.Поэтому достаточно рассмотреть 入千0 н f = х^-^-у^ （у и 屮 должны быть лииейио независимы, так как иначе у = с屮, I с I = 1, т. е. два состояния тождественны）.
Тогда выписанное выше уравнение будет гласить
a（% + У（屮，中））«+"%（% 屮）+ y）•屮=入尤Т +入y•屮，
т. е.
〃•*+〃（％ 屮）• у =入• R, 力（％ 屮）・ ％ + 占• у =入.у.
Детерминант этих уравнений должен обращаться в нуль:
''=0; 伍一入）（力一入）一曲]@屮）|2 = 0；
b ® 屮），b 一 Х I
入2 — （a + в）入 + 曲（1 — 32） = 0;
方士 ）4伍+ 方）2 — 4a力（1 — a2） a+方土 m（0-6）2 十备2功
Если теперь положить здесь а = 1, 6 = 0 или а = ^, 6 = у, или а = у,
I 2工
力==§, то получатся формулы текста.
Легко заметить, однако, что левая часть здесь при а, изменяющемся от 0 до 1, монотонно возрастает198), именно от 0 до 3 1п~; поэтому должно быть а = 0 (для а#0 процесс, обратный описанному, уменьшал бы, вопреки второму началу, энтропию!). Тем самым утверждение (屮，屮)=0 доказано.
После этих предварительных рассуждений мы подошли к тому, чтобы определить энтропию некоторого U-газа из ^ молекул
198)Так как (尤 1口 ％)'= 1口 ％ + 1, следовательно
1n屮+与Ln与21n屮+与Ln与2
1n屮+与Ln与2
1n屮+与Ln与2
то производной нашего выражения будет
1 8a ] 41 [1 + а：221 -a=2 I It! J +01产一丝=1n厂 > .\ 1—a pl 十8a2 3 — У 1 + 8«2 /Утверждение, что она > 0, означало бы, что1 8a ] 41 [1 + а：221 -a=2 I It! J +01产一丝=1n厂 > .\ 1—a pl 十8a2 3 — У 1 + 8«2 /Утверждение, что она > 0, означало бы, что2a2aЗ + МПра：З + МПра：[1 + а1п>1——a[1 + а1п>1——a2a2aт. е. что1 ,1 + а27|пТ^7т. е. что1 ,1 + а27|пТ^71пз+£Т±Е.У1 + 8a2 З — р 1 十 8a2 '1пз+£Т±Е.У1 + 8a2 З — р 1 十 8a2 '> 2 . J_lnl+£. к 3 20 m 『> 2 . J_lnl+£. к 3 20 m 『33
1 8a ] 41 [1 + а
：221 -a
=2 I It! J +01产一丝=1n厂 > .
\ 1—a pl 十8a2 3 — У 1 + 8«2 /
Утверждение, что она > 0, означало бы, что
1 8a ] 41 [1 + а
：221 -a
=2 I It! J +01产一丝=1n厂 > .
\ 1—a pl 十8a2 3 — У 1 + 8«2 /
Утверждение, что она > 0, означало бы, что
2a
2a
З + МПра：
З + МПра：
[1 + а
1п>
1——a
[1 + а
1п>
1——a
2a
2a
т. е. что
1 ,1 + а
27|пТ^7
т. е. что
1 ,1 + а
27|пТ^7
1пз+£Т±Е.
У1 + 8a2 З — р 1 十 8a2 '
1пз+£Т±Е.
У1 + 8a2 З — р 1 十 8a2 '
> 2 . J_lnl+£. к 3 20 m 『
> 2 . J_lnl+£. к 3 20 m 『
3
3
Мы докажем последнееМы докажем последнеенеравенство даже с } на месте |. Тогда, в силу
Мы докажем последнее
Мы докажем последнее
1 ——§2 = ^(1 _ а2) н а с В (второе следует из первого из-за а < 1), неравен-
1 + а 1 —俨 1 + В^-m17rp1 + а 1 —俨 1 + В^-m17rpство будет утверждать, что 1 — а2
1 + а 1 —俨 1 + В
^-m17rp
1 + а 1 —俨 1 + В
^-m17rp
Ойо будет гарантированно выполняться, если мы выясним, что
1 一 х2 . 1 + %
2%17
будет монотонно убывать в 0 < х < 1, что можно, например, видеть из разложения В ряд
1—炉[1 4-Х 八 2」1 1 炉 I %4
-^~m市=(1-炉中+з+号+ •••
i_0Tj炉—停T卜—
в объеме Т* и при температуре Т, точнее присущий ему избыток энтропии сравнительно с Р^-газом при тех же условиях. Та же величина будет тогда, согласно нашим прежним замечаниям и в рамках избранной выше нормировки, также и энтропией /7-ансамбля из ^ отдельных систем. Spur U мы будем, как уже говорилось выше, считать равным 1.
В таком случае U обладает, как мы знаем, чисто дискретным спектром 吻］, 吻2’ ' ' • С 加］》0, 吻2》0， •・•，吻］十加2+ . . • = 1・ Соответствующими собственными функциями пусть будут срр ср2, ...;
Тем самым наш U-газ являетсяТем самым наш U-газ являетсятогда и=?叫尸网］(ср. IV. 3).
Тем самым наш U-газ является
Тем самым наш U-газ является
Рис. 4.Рис. 4.смесью 尸电「，尸佇2「，.. • -газов из 吻］N「 w2^2* …молекул соответственно, заключенных все в один и тот же объем 7°. Пусть Т и 7° опять таковы, что все эти газы идеальны, а К обладает прямоугольным сечением. Чтобы разделить 屮］・，ср2-, . .. -молекулы друг от друга, предпримем следующие обратимые воздействия (рис. 4). Пристроим к К (23462) второй, такого же размера, прямоугольный ящик К' Q256Г) и заменим общую стенку 25 двумя тесно
Рис. 4.
Рис. 4.
прилегающими стенками, одна из которых (25) пусть будет неподвиж
ной и полупроницаемой, именно проницаемой для 屮【и отражающей для 屮2，屮з， . • •, а вторая (66)——подвижной, но обычной, совершенно непроницаемой, стенкой. Далее, вдвинем в положение dd, тесно прилегающее к 34, еще одну полупроницаемую стенку, на этот раз проницаемую для 屮2，屮з，•••，но отражающую 屮「После этого мы сдвинем bb и dd, сохраняя их относительное расстояние неизменным, до положений аа и сс (т. е. вплотную к 16 или к 25). Эти действия
совсем не затронут ср2"> Уз、 • • - -молекул; молекулы же срр напротив, будут вынуждены все время оставаться между подвижными стенками bb и dd; поскольку расстояние между ними постоянно, то нам не понадобится затрачивать работы (против давления газа), и потому никаких тепловых процессов не произойдет. В заключение мы заменим стенки 25 и сс неподвижной, совершенно непроницаемой стенкой 25 и удалим аа, в результате чего будут снова созданы ящики К и “• Лишь все сррмолекулы будут теперь находиться в К, т. е. мы «отцедили» их обратимым образом без какой-либо затраты работы, передачи тепла или изменения температуры нз《в такой же ящик《'【我).
Ср. в связи с этим, характерным для феноменологической термодинамики искусственным трюком, например, прим.184) на стр. 266.
Точно так же мы 《отцедим》ср2-, ср3-, .. .-молекулы в одинаковые ящики К\ “"'，.. . и придем, наконец, к 夕［中「，尸［仍］~，• • • -газам, состоящим из 加［N,加2乂，• • • молекул, каждый в объеме 7°. Теперь мы сожмем их изотермически до объемов 叫7°,加2尸，...соответственно, для чего нам придется подвести из большого резервуара (температуры Т, чтобы процесс был обратимым) количества тепла w^x- Т In wp w2Ni<-Tln w2, . . . (все они < 01), так как механические работы сжатия отдельных газов как раз равны этим величинам с обратным знаком (ср. прим.191) на стр. 269). Итак, увеличение энтропии
при этих процессах составит £ w„Nx-ln wn. Наконец, переведем в заключение все 尸回广，尸也厂,...-газы в один Р^-газ (ср ——произвольное состояние). Итак, мы получили теперь сплошь 尸［屮「газь1, состоящие из 加［N, 加2”，••・ молекул и заключенные в объемы 加］7°, 加？尸，• • • Поскольку все они идентичны и обладают одинаковой плотностью (N: 7°), то их можно смешать, не нарушая обратимости, и у нас
возникнет один Р［叫-газ из N молекул в объеме 7° I из-за 2 加也=1 ).
Тем самым желательный обратимый переход выполнен. Энтропия при этом увеличилась на Ny± wnln 呦",и поскольку в конечном состоянии она равна (по нашей нормировке) 0, то в начальном состоянии она равнялась ——Nx£ 加；1111mzi.
Поскольку оператор U обладает собственными функциями Фр 屮2，• • • с собственными значениями 加卜 w2, , .., то UlnU будет обладать теми же собственными функциями, но с собственными значениями ^! In wp w2 In w2, ..., н, следовательно, Spur (U In U)=
= 2 wn J° ^n- Заметим, что 加也》0, 《1, значит wn In wn ^ 0 и 1
притом =0 лишь для wn = 0,1,——что для w„ = 0 надо брать значение In w„ = 0, видно из того что в нашем рассмотрении не нужно учитывать обращающихся в нуль 加〃；впрочем, соображения непрерывности приводят к тому же.
Итак, мы определили, что энтропия состоящего из N отдельных систем /7-ансамбля составляет ——№ Spur ((7 In /7). Сказанное ранее относительно wnInw„ показывает, что она всегда 》0 н для равенства нулю все 加也 должны быть =0 или 1. Поскольку Spur 0=1, то при этом в точности одна 加也=1, все остальные = 0, т. е. U = Р^. Итак, только U = P［叫,т. е. только состояния имеют энтропию =0, все остальные смеси нмерт энтропии > 0.
Вопросы обратимости и равновесия
Теперь мы можем заняться доказательством высказанного в V. 1 утверждения о необратимости процесса измерения. Если, например, U ——состояние, 。=尸回卜 то в результате измерения некоторой величины 猊，оператор R которой обладает собственными функциями 屮卜 （р2, . .., оно переходит в ансамбль
d = gi （%⑴，中"）•尸[叫=£] 1（屮,中”）12 %"],
и если Ur ——не состояние, то при этом происходит возрастание энтропии （энтропия U была 0, а энтропия U' будет 〉0）, так что процесс необратим. Но чтобы U1 было состоянием, следовательно было 尸|%卜 где %】一его собственные функции, должно быть |（（р,（рл）|2= 0 для всех 屮仆 исключая одну （для нее = 1）, т. е.屮 должна быть ортогональна ко всем 屮门，ti п. Но тогда 屮=，屮_, причем |с| = 1, следовательно Р[^ = Р^^ и U = UL Итак, всякое измерение в состоянии необратимо, исключая случай, когда собственная функция измеренной величины （т. е. эта величина в данном состоянии） имеет точное значение, когда измерение вообще не меняет состояния. Как мы видим, акаузальное поведение однозначным образом связано поэтому и с определенными сопутствующими термодинамическими явлениями.
Мы хотим обсудить теперь с полной общностью, когда процесс /, Uf U'=£（U屮炉弘）’尸[%] повышает энтропию.
Ансамбль U обладает энтропией — № Spur（/7 In U）, и если wI（吻2，——е「° собственные значения, а 屮卜 屮2， •… ——собственные функции, то это равно
—Nk》w“lnw“ = —Nk £ （U屮"，屮“）ln （。屮”，屮"）.以=11
Что до U', то он обладает собственными значениями （Ug» %）, （。屮2，?2）» ••・，следовательно его энтропия равна
一m t （U中"，中"）ln（U<f>“，中"）.
Поэтому энтропия ансамбля U^ энтропии Uf в зависимости от того, будет ли
Покажем сперва, что б *, во всяком случае, выполняется знак》， т. е. что процесс U—>/ не уменьшает энтропии; хотя это и ясно термодинамически, тем не менее для наших дальнейших целей будет важно обладать и чисто математическим доказательством этого обстоятельства. Именно, мы будем считать U, а вместе с ним и фр ф2,... фиксированными, а систему срр 屮?，- • ■——пробегающей все возможные полные ортонормированные системы.
Мы можем сперва ограничиться из соображений непрерывности такими системами 屮】，^2» ■ • ■» в которых только конечное число функций 屮〃 отличны от соответствующих функций 屮球 Итак, пусть, например, для n > Af всегда 屮〃=屮公 Тогда функции % с п ^М будут линейными комбинациями функций фл с n ^ Af и наоборот, т. е.
м
?m — 2j хтп^п (W — 1.М),
и Af-мерная матрица {хтл} очевидно унитарна. Выполняется (U屮卅 屮团)=加团 и, как легко вычислить,
(^?т» ^т)~ £ 叫 I хтп\2 (тп = 1,M)tл = 1
так что требуется доказать, что
мм / м\/ м\
加=1w = 1 \ д = 1/\ 1/
Поскольку правая часть является непрерывной функцией М2 ограниченных переменных хтл, то она имеет максимум и ({хтп} унитарна!) принимает его; так как левая сторона является значением правой для
1 для щ — п, О для т Ф п.
то остается показать, что названный максимум осуществляется как раз для этой системы переменных хтп.
Итак, пусть 月^田(w, л = 1, . .., Ж) — те значения переменных, для которых осуществляется максимум. Если перемножить матрицу [尤北 1 с унитарной матрицей
а, % 0, . О
—р, а, 0, .0
о,о, 1,. о р 1а12+ IN2= 1’
0,0,0,・ 1
то получится унитарная матрица \хтгд, т. е. опять допустимая система переменных хтп. Пусть, именно, а = ]/"1—s2, р = &е (е вещественно, |&| = 1) и- е мало, так что в дальнейших вычислениях мы будем учитывать только члены порядка 1, е, е2, а членами порядка е3, е4,...——пренебрегать. Тогда а 1 —-g- е2, и в новой матрице ｛月;j будет
科一(1-»2)唸+ 8 喲"；
必弋一屍%+ (1-4 ё2)%;
*農=*黑⑺》3),
и, следовательно, далее 加附附一 _
£ 叫 II 吼 |2+ N 2% Re (5唸芻М e +
n=11л=1
М
+点叫(一|%叶|%2) •吟
МММ
斗叫I以F Q斗®/羯F - N 2% Re @巩现)• S -
л=1'л=1Л=1、'
М
一盘叫(一|吟?+|%2).*
мм
Z严“1%“f=z：1%|唸/2・
Подставляя эти выражения в /(%) = % In %, учитывая при этом, что广(％) = In % + 1,/"(月)=^,
и выполняя сложение, мы получим
м / м\ / м\
Е Е 叫 и2 1n 2% мм卜
次н1 \Л=1/ \ Л»I/
M / MX / м\
*£ Е%心 12 bl £®〃м/ +m=l \〃=1/ \ n = l/
/ / m 、 /m 、\巾
卄П (工叫I %2) f ( £ % I项F )卜工2%Re网"现).e+
2吗因/一2以14,12 +2吗因/一2以14,12 +4（1П（2叫因/2）—1п （工®"隰"卜
2吗因/一2以14,12 +
2吗因/一2以14,12 +
4-1/ 1—
十2 m
[EMM
Чтобы первый член справа осуществлял максимум, коэффициент при е должен = 0, а коэффициент при е2 быть 《0. Первый из них содержит два множителя,
1п （露 ％ 胤 r）~in （а % 羯 г） и
W] 2%Re e洋两）.
Будь первый из них = 0, в коэффициенте при е2 первый член будет = 0 （он всегда 《0）, так что второй член, который, очевидно, всегда ^> 0» должен будет обратиться в нуль, чтобы весь коэффициент был ^ 0. Это означает, что 2 2azi Re （8%? л^ ） = 0, т. е. второй множитель в коэффициенте при е должен тогда тоже = 0, что можно записать также и в форме 2 Re （礴wnxinx2n^= ^* Поскольку это условие переходит, при соответствующем выборе &, на абсолютную величину суммы 工,то она должна обращаться в нуль: 2%此现=0，
Л» 1〃=»1
Поскольку мы могли бы поставить на место 1 и 2 любые два различных А, /= 1, ..., М, то получается
m 一
2 整理产力=0 для為*/
Но это значит, что унитарное преобразование координат с матрицей [^п] преобразует диагональную матрицу с диагональными элементами wP ...,加田 снова к диагональной форме. Поскольку диагональные элементы являются мультипликаторами （или собственными значениями） матрицы, то при преобразовании координат они не меняются, а могут, самое большее, переставиться. До преобразования
это были величины 初加(加=1, ..., М); после преобразования это будут величины 2 ® / ^л I2 (w= 1,N). Итак, суммы 2 ^л In wn
n=Iл=1
и 2 (2 %1%7『)1"(£ %|现/1『) имеют те же самые значения* т. е. при'
f 1 для т = п,”6〃 — I о для т 丰 п
осуществляется максимум, как то и утверждалось.
Установим теперь, когда в соотношении * имеет место знак равенства. Когда это выполняется, сумма
工。厶，厶)1n(0厶，х") п-1
будет принимать максимальное значение не только для 厶=屮〃 (/z=l, 2, . ..) (собственных функций оператора U, ср. выше), но и для х% =屮 ％ (я = 1» 2, ...). (Считаем, что х「Хг，пробегают все полные ортонормированные системы.) В частности, это выполняется, если унитарное преобразование испытывают только М первых 執(т. е, если х% =屮星 для n> М). Пусть umn = (U^m,屮％) (mt п~\, .. M)t 空1，•••，^м будут собственными значениями конечной (а также и эрмитовой и дефинитной) матрицы {〃加/, a {a^j (w, n= 1, . . ., M)—— матрицей, приводящей {итп] к диагональному виду. Функции срр ，屮第
пусть она переводит в (о「⑴加,屮加=X 仪加^⑴星(?n= 1,,..,附), n-1
тогда U^n = vn^ni следовательно,
[吃 для m — nt(U3m'3〃)= fo для m + n.
Д〃Я 厶=』xmnо)л (w == 1, ..., M\ [xmn] пусть тоже будет унитарной) будет, следовательно, (UE走,Е」)= £ &〃％在Поэтому, согласно допущению о<рр …呼加,величина 2 (工叫尤加|2 )ln( 2 ^| %加星 F принимает максимум при хтп=^=атп. В силу предыдущего доказательства отсюда следует 2 吃％*加=0 для 月*/ т. е. (U屮* 屮,) = 0 для h丰 j、h、j=L M.
Это должно выполняться для всех Л4; следовательно, U屮走 ортогональна ко всем 屮户 月声/ поэтому равна w；屮走(w； — константа). Тем самым 屮卜 屮小 ….оказываются собственными функциями U с собственными значениями w；, w： • • • (т. е. с перестановкой собственных значений wp w2, ...). Но при таких обстоятельствах
u'= 2 (u%，%) •牛"]=旦哈竹匕]иU.
Ита^<, мы нашли, что
（U中小中以）• P［中］（中1，中2，…一со6.（U中小中以）• P［中］（中1，中2，…一со6./., UfU』£
（U中小中以）• P［中］（中1，中2，…一со6.
（U中小中以）• P［中］（中1，中2，…一со6.
ственные функции оператор^ R измеряемой величины 猊)никогда не уменьшает энтропии; он даже увеличивает ее всегда, исключая случай, когда все 屮「@?,являются собственными функциями U, т. е. когда U = U\
Впрочем, в этом случае U коммутирует с /?, и это тоже характерно для того, чтобы такой случай имел место (поскольку коммутативность равносильна существованию системы общих собственных функций 屮 1，(р2> ・..，ср. II. 10).
Итак, процесс /, необратим во всех случаях, когда он вообще приводит к каким-либо изменениям.
Теперь мы должны рассмотреть вопросы обратимости при процессах /. и 2・ независимо от феноменологической термодинамики, как то было прокламировано в V. 2 в качестве второго пункта программы. Математический метод, с помощью которого это может удаться, мы уже знаем; Если выполняется второе начало, то энтропия должна равняться ——N* Spur (U In U), и эта величина не вправе уменьшиться ни при каком процессе /. или 2.. Поэтому нам надо рассмотреть теперь ——NxSpur(UlnU) как чисто математическую величину, независимо от ее толкования как энтропии, и выяснить, что происходит с ней при /. и 2・ ^).
При процессе 2. из U возникает Ut = e 论 Ue 无 ,т. е. если обозначить унитарный оператор 6 论、через A, U —^ Ut~ AU АГ . Поскольку в силу унитарности Л замена /-> Д/ осуществляет изоморфное отображение гильбертова пространства само на себя, которое переводит каждый оператор Р в АРА^1, то вообще F {АР A-1) = AF (Р) Д-1. Поэтому UJn Ut = A.U\n U ■ 7rl. Отсюда Spur (Uf In %) = Spur (U In U), т. e. наша величина — N% Spur (U In U) сохраняется при 2. постоянной. Что происходит с ней при /., мы
26°) Мы, естественно, могли бы опустить здесь множитель N* и рассматривать просто ——Spur (U In U) или же, чтобы сохранить пропорциональность числу элементов “, величину — N Spur (U In U)t
только что (и притом без ссылок на второе начало) выяснили: если U при этом меняется (т. е. U*U‘)， то она возрастает, при неизменном же U (т. е. при U — Uf или же при <рр <р2, ...» являющихся собственными функциями U, или же при коммутирующих U н R) она, естественно, тоже остается неизменной. Итак, при воздействии, составленном из многих процессов /. и 2・(в произвольных числе и порядке), —Nx Spur (U In U) остается, следовательно, неизменной, если каждый из процессов /. недействен (т. е. не совершает каких- либо изменений), а во всех остальных случаях — возрастает. Поэтому, если рассматриваются только воздействия /. и 2・,то каждый из процессов 九,который вообще что-либо меняет, необратим.
Существуют, правда, и более простые выражения, чем—Spur (U In U), которые не убывают при процессах /. и остаются постоянными при 2・, например, наибольшее собственное значение оператора U, В самом деле, при 2・ оно, как и все собственные значения U, не меняется, при /. же собственные значения wP w2, •. . оператора U переходят
в собственные значения ? ^л | ^ш |2> 2 加田|%2〃产’ оператора U?
11
(ср. рассмотрение этого параграфа), и, поскольку из-за унитарности
матрицы [хтп] будет выполняться £ |х1л |2 = 1, ? (х2л|2 = ^• п=1л-1
то все эти числа《наибольшего % ^наибольшее 吗,существует,
8\
поскольку все w〃》0, и из-за У а«=1 должно быть -> 0 .
д= 1丿
Поскольку безусловно можно изменить U таким образом, чтобы величина — Spur (U In U)=——? w% In 加田 осталась бы инвариантной, а наибольшее собственное значение 叫 уменьшилось бы, то видно» что существуют переходы, возможные с точки зрения феноменологической термодинамики,—которые, следовательно, действительно можно провести путем наших газовых процессов, но которые никогда не могли бы произойти лишь через посредство последовательного применения /, и 2.. Это показывает, что введения газовых методов нельзя избежать..
Вместо — Spur (U In U) мы могли бы, конечно, рассматривать Spur (F (U)) для какой-либо подходящей F (х). Что последнее выражение будет увеличиваться при /• для и=^0' (для U = U‘，равно как и при 2. , оно, естественно, останется инвариантным), можно доказать точно так же, как мы делали для 尸(％)=—月 In %, если только для функции 尸(％) будут выполняться те свойства, которые мы единственно использовали выше; именно, что Fff (х) < 0 и что
Fr (х) монотонно убывает (последнее, впрочем, следует из первого). Итак, для нашего нетермодинамического рассмотрения необратимости мы можем употребить любой Spur (尸(U)), будь только 尸(％) выпуклая кверху функция, т. е. выполняйся 户"(％)•< 0 (в интервале О ^ х ^ 1, поскольку в нем лежат все собственные значения U).
В заключение следовало бы еще показать, что и смешивая два ансамбля U V (например, в соотношении а: ^( а > 0, § > О, а + §»=1) мы не придем к уменьшению энтропии, т. е. что
—Spur ((aU + gV) In (aU + pV))》一a Spur (L/ In U)—, Spur (Vin 7).
И это утверждение остается справедливым для всякой выпуклой функции F (х) на месте — х In х; доказательство мы предоставим читателю.
Займемся теперь розыском стационарно равновесной смеси, т. е. смеси максимальной энтропии при заданной энергии. Последнее надо, конечно, понимать в том смысле, что предписано математическое ожидание энергии, — только такое понимание будет соответствоеать идее цитированных в прим. 184) (стр. 266) методов термодинамического исследования статистических ансамблей. Таким образом, допустимыми будут лишь те смеси, для чьих U выполняется Spur U —\ и Spur(UH) = E, где Н—оператор энергии, а Е — ее предписанное математическое ожидание. При этих дополнительных условиях надо сделать —NxSpur(UlnU) максимальной. Сделаем еще то упрощающее предположение, что Н обладает чисто дискретным спектром, именно, собственными значениями 坦「 W^ .・・ и собственными функциями 屮卜 屮2， • • - (среди них могут быть и многократные).
Пусть 吼——некоторая величина, чей оператор R обладает теми же собственными функциями 屮】，ср2, ..., но всеми различными собственными значениями. Измерение 91 преобразует U согласно 2・ в U'= =2 (〃屮匕，屮％)尸[屮拉];ПРИ этом ——NxSpur(^7In U) возрастает, a Spur" и Spur (UH) не изменяются ——последнее из-за того, что ^п — это собственные функции Н и, следовательно, (Hf^,平％) для т 丰п обра* щаются в нуль:
Spur ”Н) = ^ (^?п- ?«) Spur g%] Н)=
=£ (U%，^/(Н%,平/= £ (U%，?J (Н?л. ?m) —Spur (t/H)；
т,
это должно выполняться и из-за коммутативности /? и Н (т. е. из-за одновременной измеримости 猊 и энергии). Поэтому искомый максимум будет таким же, как если бы мы ограничились операторами U', т. е. статистическими операторами с собственными функциями 屮『 屮？ и будет достигаться как раз на этих функциях.
Итак, пусть и=£ w以尸[р 1, и так как все операторы U, UH п-11 "」
к U In U обладают собственными функциями 屮小 но собственными значениями w^, ^^п и w^lnw以 соответственно, то речь идет о том,
со
чтобы достичь максимума для —Nk £ wn In wn при дополнительных
условиях 2 azi = 1 и 2 ^n^n = E・ Но это в точности та же зап— 1〃=1
дача, что и встающая в соответствующей проблеме равновесия в обычной теории газов ), и поэтому она решается так же. По известным правилам нахождения экстремумов, для максимальной системы чисел wp 叫，…должно выполняться
где а и 3 ——подходящие постоянные и л == 1, 2, ... Это значит, чтогде а и 3 ——подходящие постоянные и л == 1, 2, ... Это значит, что(lnwП+ ]) + a + % = 0,叫= e-1-.一叫=3吗,(lnwП+ ]) + a + % = 0,叫= e-1-.一叫=3吗,где вместо а введена постоянная а = ^-1"а. Из 三 询修=1 следует, что л= Iгде вместо а введена постоянная а = ^-1"а. Из 三 询修=1 следует, что л= I 1Л- 1 1Л- 1,и поэтому,и поэтому叫叫£宀m=l£宀m=lа из-за 2 吃叫 л = 1а из-за 2 吃叫 л = 1=Е должно=Е должновыполнятьсявыполняться£ *л = 1£ *л = 1厂吗厂吗2宀〃=12宀〃=1=Е,=Е,
где а и 3 ——подходящие постоянные и л == 1, 2, ... Это значит, что
где а и 3 ——подходящие постоянные и л == 1, 2, ... Это значит, что
(lnwП+ ]) + a + % = 0,叫= e-1-.一叫=3吗,
(lnwП+ ]) + a + % = 0,叫= e-1-.一叫=3吗,
где вместо а введена постоянная а = ^-1"а. Из 三 询修=1 следует, что л= I
где вместо а введена постоянная а = ^-1"а. Из 三 询修=1 следует, что л= I
1
Л- 1
1
Л- 1
,и поэтому
,и поэтому
叫
叫
£宀
m=l
£宀
m=l
а из-за 2 吃叫 л = 1
а из-за 2 吃叫 л = 1
=Е должно
=Е должно
выполняться
выполняться
£ *
л = 1
£ *
л = 1
厂吗
厂吗
2宀
〃=1
2宀
〃=1
=Е,
=Е,
что фиксирует.，. Если ввести, как обычно,《сумму состояний»
z (В) = £ е~呻“ =Spur (е-РН)л = 1
[ГЛ. V[ГЛ. V290ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
[ГЛ. V
(ср. сюда и далее прим. 197) на стр. 277), то будет
Z，(B)= —g «7„e-₽K，» = Spur (Не~₽н),1
и следовательно, условие для ， будет гласить
Z‘偉)_pТ> — Е.
Мы допустили здесь еще, что 2 ^^^^ и ± Wne"^w^ сходятся л=1几=1
для всех §〉0, т. е. что для п->оо значения Wn сю, н притом достаточно быстро. Например, хватит требования ^-~>оо・) Для
самого U возникает следующее выражение:
и = ^^прш = ае-^ л = 1и = ^^прш = ае-^ л = 1Spur (е'Н)Spur (е'Н)0-вн0-вн
и = ^^прш = ае-^ л = 1
и = ^^прш = ае-^ л = 1
Spur (е'Н)
Spur (е'Н)
0-вн
0-вн
Итак, свойства равновесного ансамбля U, которые фиксируются заданием значения Е или ，, т. е. зависят, как то и должно1 было быть, от одного параметра, можно определить с помощью методов, обычных в кинетической теории газов.
Энтропия нашего ансамбля будет равна
/е'н е~ВН\
S = — Nk Spur (U In U) = — Nx Spur 374 In „ q =
=—杀Spur(eTH(_рн —EZ偉)))=
=軀 Spur (He-вн)十 1 吟(:产.Spur (етн)=
=叫一崂畀-HnZ(p)], а полная энергия
NE — N Z，偉)
(эту полную энергию, а не саму Е надо ставить в параллель к S). Тем самым U, S н NE выражены через 0. Вместо того чтобы выражать § через Е, будет практичнее найти температуру Т равновесной смеси и свести все к ней. Это делается так: Приведем нашу равновесную смесь в соприкосновение с тепловым резервуаром температуры Т‘，чтобы она могла перенять от него энергию “％Е, при этом (по смыслу обоих начал) суммарная энергия не должна измениться,
а энтропия ——уменьшиться. Тепловой резервуар теряет при этом энергию NdE, поэтому его энтропия увеличивается на^―, и в то же время должно быть
"S —帶=(鳥一%)NdE》0.
С другой стороны, конечно, NdE^O, судя по тому Т‘与 Т, поскольку более холодные тела получают энергию от более теплых; поэтому Т‘ ^ Т означает, что
т. е. чтот. е. чтоdS 1dS 1io,io,tzBtzBNdENdEdE%不dE%不dSdSdSdS
т. е. что
т. е. что
dS 1
dS 1
io,
io,
tzB
tzB
NdE
NdE
dE
%不
dE
%不
dS
dS
dS
dS
Поэтому
т. е.т. е.dEN飞dEN飞dS再dS再
т. е.
т. е.
dE
N飞
dE
N飞
dS
再
dS
再
Тем самым все величины U, S и NE представлены как функции температуры.
Аналогия полученных выше выражений для энтропии, равновесного ансамбля и т. п., соответствующим результатам термодинамической теории, основывающейся на классической механике, сразу бросается в глаза. Прежде всего, энтропия — Nx Spur (U In U). Смесь
U = 2 w〃尸口履］—это смесь ансамблейU = 2 w〃尸口履］—это смесь ансамблей尸回］'尸ГМ' . * * в соотноше
U = 2 w〃尸口履］—это смесь ансамблей
U = 2 w〃尸口履］—это смесь ансамблей
ниях w, : w2: ... , т. е. Na】 систем 屮【, Nw? систем 屮?‘ • • • Больц- манову энтропию этого ансамбля можно получить с помощью《термо динамической вероятности» (双加)〔(尺加 у —• она будет равна ее х-кратному логарифму (прим. 201) на стр. 289). Поскольку N велико, то мы вправе приблизить факториал формулой Стирлинга 尤! U2冗％тогда х Inпереходит в своей сущест
венной части в —Nx ? ^n^^ni а это как раз и есть ——Nx Spur (UlnU).
н
Далее, для (мы опускаем
равновесного ансамбля у нас было U = е “т здесь численный множитель 工 ⑹ J ； 9To равно
со
尸国TР［旳Г•一，
т. е. представляет собой смесь состояний
т. е. смесь стационарных состояний с энергиями 叱历2
Гр r2, .. . и
с (относительными) весами е “т : е хТ : ... Если
какое-либо собственное значение энергии многократно, например 吃1= … =U7^ = W, то смесь尸产3+ … +勺中川 войдет с весом е~^, т. е. правильно нормированный ансамбль
丄(尸W〃] I +尸囱])(叩，начало IV. 3) — с весом ve ”т，Но как раз так и определяется классический ^канонический» ансамбль (если отвлечься от появления специфически квантовомеханического образования-|*(^[ ]+-•+} 卩；9To так называемая теорема Больцмана (см. прим.加)на стр. 289).
Для Tf 8 весА е хТ стремятся к 1, следовательно, наш U — к 2]尸[屮〃] = 1* Таким образом, U = 1 является абсолютным состоя
нием равновесия в случае, когда нет энергетических ограничений,— результат, который мы уже получили в IV. 3. Мы видим, что «априорная равновероятность квантовых орбит» (имеются в виду простые, невырожденные; в общем случае кратность уровня является «априорным весом》，ср. сказанное выше) возникает в этой теории сама собой.
Стоит установить, сколь много может быть высказано относительно равновесного ансамбля U заданной энергии нетермодинамически, т. е. на основе только тех обстоятельств, что U стационарен (не меняется с течением времени, процесс /.) и что он остается неизменным при всех измерениях, не затрагивающих энергии (т. е. при измерениях величин, измеримых одновременно с энергией; процесс 2・ с коммутирующими /? и Н, т. е. с 物，ср2, ..., являющимися собственными функциями Н).
Первое означает, в силу дифференциального уравнения ~ U == = -y(UH — HU), только, что Н н U коммутируют. Последнее
утверждает, что если срр ср2,・.・ можно использовать в качестве полной системы собственных функций для Н, то U = U‘， т. е.
%, (р2, ... будут собственными функциями и для U. Пусть соответствующими собственными значениями Н будут Wv 呼？， ••・，а для U — wp ®2， • • • Если Wj= Wkt то мы можем заменить для Н
поэтому эти комбинации тожепоэтому эти комбинации тожефункции %, ^ на у- , ~^._ ；
поэтому эти комбинации тоже
поэтому эти комбинации тоже
будут собственными функциями U, откуда следует, что Wj = w左.
Поэтому можно построить функцию 尸(х), удовлетворяющую 尸”也)=叫(я = 1, 2, ...), и тогда будет A(H) = U・ Ясно, чтоПоэтому можно построить функцию 尸(х), удовлетворяющую 尸”也)=叫(я = 1, 2, ...), и тогда будет A(H) = U・ Ясно, чтоэтого достаточно, равно как и то, что это повлечет за собой комэтого достаточно, равно как и то, что это повлечет за собой коммутативностьИтак, нановить видмутативностьИтак, нановить видН И и.Н И и.этом пути вполне выводится U=F(H), однакоэтом пути вполне выводится U=F(H), однако尸(х) (т. е. что, как мы знаем, 尸(х) =尸(х) (т. е. что, как мы знаем, 尸(х) =11уста-6一",уста-6一",
Поэтому можно построить функцию 尸(х), удовлетворяющую 尸”也)=叫(я = 1, 2, ...), и тогда будет A(H) = U・ Ясно, что
Поэтому можно построить функцию 尸(х), удовлетворяющую 尸”也)=叫(я = 1, 2, ...), и тогда будет A(H) = U・ Ясно, что
этого достаточно, равно как и то, что это повлечет за собой ком
этого достаточно, равно как и то, что это повлечет за собой ком
мутативность
Итак, на
новить вид
мутативность
Итак, на
новить вид
Н И и.
Н И и.
этом пути вполне выводится U=F(H), однако
этом пути вполне выводится U=F(H), однако
尸(х) (т. е. что, как мы знаем, 尸(х) =
尸(х) (т. е. что, как мы знаем, 尸(х) =
1
1
уста-6一",
уста-6一",
лучается еще, чтолучается еще, что
лучается еще, что
лучается еще, что
удается. Из условий SpurU=l и Spur(UH) = E по
2尸"“)=1 иу吃尸(吃)=e, п-1п=1
но этими результатами метод исчерпывает себя полностью.
Макроскопическое измерение
Хотя наше выражение для энтропии является, как мы видели, образованием, совершенно аналогичным классической энтропии, представляется удивительным, что при временном развитии системы (процесс 2・)она остается постоянной и увеличивается только при измерениях (процесс 7,),——в классической теории (где измерения вообще не играют роли) она ведь, как правило, увеличивалась уже при обычном механическом развитии системы во времени. Поэтому этот кажущийся парадокс нуждается в разъяснении.
Нормальная процедура классической термодинамики протекает следующим образом. Берется сосуд объема 7°, в правой половине /少
которого (объем 叮，отделенный от другой половины промежуточной стенкой) находятся М молекул (ради простоты — идеального) газа температуры Т. Если мы расширим этот газ изотермически и обратимо до объема 7° (давая промежуточной перегородке отодвинуться под действием давления газа, используя освобождающуюся механическую работу и поддерживая температуру газа постоянной большим тепловым резервуаром температуры Т), то энтропия вовне (в резервуаре) уменьшится на Л1х 1п 2 (ср. прим. 195) на стр. 275), следовательно, энтропия газа на столько же возрастет. Если же,
напротив, мы просто вытянем перегородку, то газ продиффундирует в свободную левую половину, объем возрастет до 7°, т. е. энтропия увеличится на 兩乳 In 2, без того, чтобы создалась какая-либо компенсация. Процесс будет, таким образом, необратимым, и энтропия возрастет в ходе простого механического развития системы во времени (именно, в ходе диффузии). Почему же наша теория не приводит ни к чему похожему?
Соотношения становятся всего яснее, если положить Л4=1; для такого одномолекулярного газа термодинамика все еще справедлива, и то, что его энтропия возрастает на 乂1口2 при удвоении объема, это верно. Однако эта разница на х 1п 2 действительно есть лишь до тех пор, пока мы на самом деле не знаем о молекуле ничего более того, что она находится в объеме -у или соответственно 7°. Если, например, молекула находится в объеме 7°, но известно, расположена она справа- или слева от середины сосуда, то достаточно вставить посередине перегородку и дать молекуле оттеснить ее изотермически и обратимо к левому или правому концу сосуда. При этом будет совершена механическая работа хТ 1п 2, т. е. эта энергия отнимется от теплового резервуара. В результате молекула опять окажется в объеме 7°, однако мы уже не будем знать, располагается ли она справа или слева от середины, но зато произошло ведь компенсирующее уменьшение энтропии (в резервуаре) на xln 2. Иными словами, мы обменяли наше знание на уменьшение энтропии на х In 2 ). Можно сказать, что энтропия в объеме 7° будет такой же, что и в объеме -у > если только известно, в какой половине сосуда расположена молекула. Поэтому, если бы мы перед диффузией знали молекулу (т. е. ее положение и импульс) с полной подробностью, то для каждого момента после диффузии можно было бы вычислить» расположена она в правой или в левой половине, т. е. энтропия вообще бы не возросла. Только тогда, когда в нашем распоряжении имеется одна лишь макроскопическая информация, что первоначаль- ный объем составлял 彳，в процессе диффузии действительно происходит возрастание энтропии.
Итак, для классического наблюдателя, знающего все импульсы и координаты, энтропия постоянна, а именно равна нулю, так как
больцманова ^термодинамическая вероятность» (ср. выше, прим. 201) на стр. 289) равна тогда 1,——как раз как в нашей теории для состояний, U = P®], которые ведь тоже отвечают наибольшей возможной степени знаний наблюдателя относительно системы.
Изменения энтропии со временем касаются, следовательно, той ситуации, когда наблюдатель знает не всё или может выяснить (измерить) не всё, что принципиально измеримо. Его чувства как раз позволяют ему воспринимать только так называемые макроскопические величины. Это разъяснение изложенного в начале параграфа кажущегося противоречия налагает, однако, на нас обязанность найти для квантовомеханических ансамблей точный аналог классической макроскопической энтропии, т. е. энтропии, рассматриваемой с точки зрения такого наблюдателя, который может мерить не все величины, но лишь некоторые избранные, именно ——макроскопические, величины, да и эти ——в зависимости от обстоятельств ——только с ограниченной точностью.
В III. 3 мы узнали, что все измерения с ограниченной степенью точности могут быть заменены абсолютно точными измерениями других величин, являющихся функциями от них и обладающих чистэ дискретными спектрами. Если 猊一такая величина, R ——ее оператор, a N°, N",...——отличные друг от друга из числа ее собственных значений, то измерение 呪 равносильно ответу на вопросы:《Равно ли 猊 значению №?》， «Равно ли 猊 значению 入仏)？》, ... Мы могли бы, конечно, сказать и непосредственно: если величина 多 с оператором S должна быть. измерена с ограниченной точностью, например надо рассудить, в каком из интервалов сп_х < X ^ сл она лежит (...< С—2 < < С。< С] < С2 V . . . ； С/1f 十8 или К ——8 ПрИ 孔 _>+ со или к —8), то речь идет об ответе на все вопросы: 《Лежит ли 6 в сл_1 < 入 К сл?», п = 0, ± 1, ±2,
Но таким вопросам соответствуют, согласно III. 5, проекционные операторы Е, чьи величины @ (принимающие только два значения О и 1) собственно и подлежат измерению. В наших примерах величинами (i будут функции F п (91), n= 1, 2, ..., где
(1 для入=入叫
[ 0 в остальных случаях.
или же функции Gn (^S), n = 0, ± 1, 土 2, где
( 1 для 以一1<入mС炉 С% (入)■"— ] с
I 0 в остальных случаях,
а операторами £ будут соответственно 尸也(R) или G式S). Итак, вместо того чтобы задавать макроскопически измеримые величины 多 вместе с достижимой точностью измерения, можно задать вопросы ⑨
на которые могут ответить макроскопические измерения или же их проекционные операторы £ (ср. III. 5). Как раз это является отличительным признаком макроскопического наблюдателя — задание его £ (классически мы характеризовали бы его, например, тем, что он в состоянии измерить в каждом кубическом сантиметре занимаемого газом объема температуру и давление ——возможно с определенной ограниченной точностью, — но ничего другого) 2°3).
В самой природе макроскопического измерения заключено, что все, измеримое вообще, измеримо тотчас же, т. е. что все вопросы, на которые можно ответить макроскопически, тотчас же находят свой ответ; это значит, что все £ перестановочны друг с другом. Как раз потому ведь неодновременная измеримость квантовомеханических величин и произвела сначала столь парадоксальное впечатление, что это понятие чужад макроскопическому образу восприятия. Благодаря большому принципиальному значению этого пункта будет уместно обсудить его несколько подробнее.
Представим себе яснее способ, которым две явно не измеримые одновременно величины, например координата q и импульс р (ср. III. 4), измеряются одновременно с ограниченной точностью. Пусть средними ошибками измерения будут & и 力(согласно соотношению неопределенностей 5笃〜力)，обсуждение в Ш. 4 показало, что при таких претензиях к точности одновременное измерение в самом деле возможно,—измерение положения (夕)проводится не слишком коротковолновым светом, а измерение импульса (р) — не слишком длинными цугами волн. Когда все приготовлено таким образом, то собственно измерение состоит в том, что как-либо идентифицируются, например фотографируются, два световых кванта — один световой квант, отклонившийся за счет комптон-эффекта при измерении q, и второй, отразившийся при измерении р с эффектом Допплера, свою частоту изменивший и для обнаружения этой частоты соответствующим оптическим устройством (призмой, дифракционной решеткой) отклоненный, световой квант. Итак, в конце опыта мы имеем дело с двумя световыми квантами или даже просто с двумя фотографическими пластинками, и из направления этих квантов или из расположения почернений на пластинках мы должны вычислить q н р. Здесь следует отметить, что ничто не препятствует нам определить эти два направления или места этих двух почернений сколь угодно точно,—— ибо очевидно, что это — одновременно измеримые величины (это импульсы или соответственно координаты двух различных объектов),— но это нисколько не поможет измерению q и р. Действительно, как было показано в III. 4, связь этих величин с g и р так устроена, что для последних как раз сохраняются неточности е и т/ (даже при
Такая характеристика макроскопического наблюдателя восходит к Вигнеру.
совершенно точном знании первых), и нельзя устроить опыт так, чтобы стало 5笃＜^力.
Итак, если мы введем эти два направления или два положения почернений как самостоятельные физические величины, их операторы пусть будут называться Q' и Р, то видим, что Q' и Р совершенно точно перестановочны, но принадлежащие 夕 и р операторы Q и Р можно выразить с их помощью не аккуратнее, чем с точностью до е и 斗 Пусть относящимися к Q' и 户 величинами будут qr и //; та интерпретация, что макроскопически измеримые величины — это, собственно, не сами 夕 и р, но qr и р〈 совершенно естественна и полностью соответствует нашему постулату об одновременной измеримости всех макроскопических величин.
Целесообразно трактовать выясненное обстоятельство вообще как характеристику макроскопического способа рассмотрения. Это рассмотрение состоит тогда в том, чтобы заменить все возможные операторы 4, В, С, ..., как правило, не коммутирующие друг с другом, другими операторами 4, В- О, ..., функциями которых они приближенно являются и которые коммутируют друг с другом. Поскольку эти функции операторов Д\ 炉，О,…можно тоже обозначить через Д\ В', Ото мы вправе сказать, что 4, С, ... являются приближениями для 4, В, С,.・.,но коммутируют друг с другом. Если порядок величины операторов А! — А, 5’ ——8, С' — С, ... задан числами ел, ев, ес, ..., то мы видим, что произведение елев будет такого порядка, как АВ ——В А (что ведь, вообще говоря, #0) и т. д., — это определяет границы достижимой степени приближения. Разумно, конечно, уже при задании Л, В, С, ... ограничиться лишь такими операторами, чьи физические величины хоть в каком-либо приближении макроскопически постижимы.
Эти чисто качественные рассуждения остаются пустой программой» пока мы не сможем показать, что они требуют чего-либо математически проводимого. Остановимся поэтому на том, чтобы обсудить для характерного случая Q и Р вопрос о существовании Q' и Р‘ чисто математически. Итак, пусть заданы два положительных числа & н 笃 с 叫 =^; мы ищем два коммутирующих оператора Q' и Рг таких» чтобы Q' — Q и 尸'——尸 имели бы (в некотором, еще подлежащем более точному определению смысле) порядок величины е и Tj.
Мы достигнем этого с двумя совершенно точно измеримыми величинами qr и р\ т. е. такими, чтобы Q' и Р‘ обладали чисто дискретным спектром; поскольку они перестановочны, то существует состоящая из их общих собственных функций полная ортонормиро- ваиная система 屮】，ср2, ... (ср. И. 10). Соответствующие собственные значения Q' и Рл пусть будут п「 а^ ... и bv %, так что
Q/= *]。/[%] и р =也自%Рзj. To, что их измерение — пусть проводимое так, что после него возникает одно из состояний 屮「ср2,... (измеряя, например, некоторую величину 猊，которой соответствует оператор R с собственными функциями 屮「屮?，■ ■ • н всеми различными собственными значениями ср 出，…，тогда Q' и Р будут функциями R), — включает приближенно и измерение Q и Р, видно из следующего: В состоянии 弘 операторы Q н Р выражаются приближенно через соответствующие значения Q' и Р, т. е. через ап и 力％, в том смысле, что их дисперсии вблизи этих значений малы. Этими дисперсиями будут математические ожидания величин (д —а/ и (р —%)2, т. е.
((Q一0"1)2中"，%)=|1(Q -%1)中/12= ]@,la咼』2
I!
(ь一九1)2中"，^=，^р-ьП\^п^=^п-ьп^.
Они будут масштабами для квадратов разностей между Q' и Q или соответственно между Р‘ и Р, т, е. должны примерно равняться е2 или % Итак, мы требуем, чтобы
Поэтому, вместо того чтобы говорить о Q' и Р, целесообразнее просто найти полную ортонормированную систему 恥，(р2> .…，Для которой при соответствующем выборе а「 «2, ... и &, Ь^ ・• • выполнялись бы приведенные оценки.
Отдельные ср (с ||ср|| — 1), для которых при соответственно подобранных а и b выполняется
MQ 中-0叫=£ и нрср 一力？m=罡，
мы уже знаем из III. 4:мы уже знаем из III. 4:⑺=(箱“⑺=(箱“(”b)2 + = lq(”b)2 + = lq
мы уже знаем из III. 4:
мы уже знаем из III. 4:
⑺=(箱“
⑺=(箱“
(”b)2 + = lq
(”b)2 + = lq
т. е.т. е.h
т. е.
т. е.
где мы из-за г^ = -^ опять положили е —
Т = ^-) и где надо выбрать а = ь и /> = р. Речь идет теперь о том,
чтобы составить из этих 屮？, ％ 丫 полную ортонормированную систему. Поскольку р — это математическое ожидание оператора Q, а о — оператора Р, то хотелось бы допустить, что р и о пробегают системы чисел независимо друг от друга, и притом так, чтобы первая имела примерно плотность е, а вторая ——刁.В действительности оказывается
удобным вцбрать единицы 2)/к，^=]/力1112]/书，ng|/ у , так
чтобы было p = у斫卜，。= Итак» функциичтобы было p = у斫卜，。= Итак» функцииY V @, v = o, ± 1, 土 2,・・・).Y V @, v = o, ± 1, 土 2,・・・).
чтобы было p = у斫卜，。= Итак» функции
чтобы было p = у斫卜，。= Итак» функции
Y V @, v = o, ± 1, 土 2,・・・).
Y V @, v = o, ± 1, 土 2,・・・).
屮〃 丫 = %『Qi, y = 0, ±1, ±2,.・・)
以Y卩，Y
должны будут играть роль(ря (я= 1, 2, ...); то, что вместо одного индекса у нас появились два ——|i и y, — конечно, несущественно.
Однако эти 屮卩,у пока еще не ортогональны. (Нормированными
они являются, и условия
выполнены.) Если мы «ортогонализируем» (ср. II. 2, док. теоремы 8・) их методом Шмидта (в какой-нибудь последовательности), то для ортонормированной системы 屮;屮 которая тогда возникнет, можно будет без труда доказать полноту и установить справедливость оценок
!Q脸、一y斫咻,』《сё；卜忆,一）/^吼,,k5
причем для С получится значение 〜60・ Доказательство этих утверждений потребовало бы довольно громоздких, но не требующих каких-либо новых точек зрения, выкладок, которые мы обойдем. Множители С 〜60 не играют большой роли, поскольку измеренная в макроскопических (CGS) единицах величина &刁=含 оказывается совершенно необычайной малости (〜10*28!).
Итак, мы можем сказать теперь, подводя итоги, что допущение о коммутативности всех макроскопических операторов мотивировано;
следовательно, в частности, это так и для введенных выше макроскопических проекционных операторов £
Операторы Е отвечают всем вопросам @, на которые можно ответить с макроскопической точки зрения, т. е. всем разбиениям на различные случаи» относящиеся к исследуемой системе, которые могут быть проведены макроскопически. Как мы видели, они все перестановочны; согласно III. 5. вместе с £ к ним относится и 1—R далее, вместе с Е и 尸一также и операторы EF、Е+ F—EF и Е — EF. Естественно допустить, что их существует лишь конечное число: £】,...,Е&. Введем на мгновение обозначение £■")= £ и 炉一)=1—£ и рассмотрим все 2я произведений £^^ . .. £^(5Р ..., $rt = ± 1). Любые два различных из них обладают произведением нуль, так как если W ...成"и £华...良“)一два таких произведения, у которых, например, $丫#£炉 то в их произведение войдут множители £^^ и Е^, т. е.或=£ и Е「=1 —R произведение которых равно нулю.
Каждое £\ является суммой нескольких таких произведений, именно
Е尸》 状3m良+)•或产)…或
“，…?久一]，5升]，…,%=±1
Если мы назовем те из этих произведений, которые отличны от нуля, £；, ..., £*； (ясно, что т 式 2", но должно быть даже /п ^ я — 1, так как все они должны встретиться среди £Еп и не равны нулю), то будет Е；丰 О, Е；Е； = 0 для 卩 # y н каждый Е卩 есть сумма нескольких Е：. (Из последнего следует также, что п= 2т.) Заметим, что никогда не может случиться, что 七卩 + 七丫 =£*；, исключая £*卩.=0, 七丫二七；или ” = Е；, Еу = 0, так как иначе £*卩 и £\, были бы суммами нескольких Е；, следовательно Е；——суммой ^> 2операторов Ек (возможно, с повторениями). По теоремам /5. и 16. из П. 4 все эти операторы были бы отличны друг от друга, поскольку их 》2, и от Ер・ Но поэтому должны были бы равняться нулю их произведения с Ер, следовательно и произведение их суммы, что противоречит тому, что эта должна была быть равной Ер.
Итак, соответствующие операторам £i，f^ свойства©!, ^^dm— это макроскопические свойства следующего рода: Ни одно из них не абсурдно. Любые два взаимно исключают друг друга. Любое макроскопическое свойство оказывается расщепимым на некоторые из них. Ни одно из них нельзя дальнейшим расщеплением разложить на два более точных макроскопических свойства. Итак, @]@；
осуществляют самое глубокое макроскопическое различение случаев, которое вообще может быть сделано; они макроскопически неразложимы.
В дальнейшем мы не будем требовать конечности их числа, но только существования макроскопически неразложимых свойств 必，図 …Соответствующие проекционные операторы пусть будут к 良， опять все 声 0, любые два ортогональные и такие, что каждый макроскопический Е есть сумма некоторых из них.
Поэтому и 1 должна быть суммой некоторых из них; не войди некоторый X в их число, он был бы к ней, т. е. к 1, ортогонален, т. е. было бы £： = £■：• 1 == 0, что невозможно. Поэтому £\ + Е； + + ... = 1・ Мы опустим теперь штрихи и будем писать @「 @2,... и £р Е?， • • • Относящиеся к ним замкнутые линейные многообразия будут называться 9ИР 2^а числа их измерений —sp 汨 …
Будь все s&=l, т. е.耽〃 одномерны, то было бы и ЗИЛ = [?Л1» Еп = Р[фл] и, из-за ^ + ^-]- ... ==1, срр ср2, ...—полной орто- нормированной системой. Это означало бы, что уже макроскопические измерения позволяли бы полностью установить состояние рассматри-
ваемой системы. Поскольку в нормальном случае это не так, то, вообще говоря, будет 5融〉1 н даже sn 1.
Заметим кстати, что операторы" Еп, являющиеся элементарными
кирпичиками макроскопического описания мира, в некотором смысле соответствуют обычному в классической теории разделению на клетки фазового пространства. Что они в состоянии приближенно передавать
поведение некоммутирующих операторов, в частности поведение столь важных для фазового пространства Q и Р,——мы уже видели.
Какой же энтропией обладаетКакой же энтропией обладаетсмесь U для макроскопического
Какой же энтропией обладает
Какой же энтропией обладает
наблюдателя, чьи неразложимые проекционные операторы — это Fp F2, .. . ? Или, более точно, какую максимальную энтропию может выиграть такой наблюдатель при преобразовании U в V, т. е. какое уменьшение энтропии (оно может быть, естественно,言0)во
внешних объектах в состоянии он в лучшем случае создать в качестве компенсации за переход U-> V?
Прежде всего следует подчеркнуть, что два ансамбля U и U', для которых все 旦，七2，… обладают одинаковыми ожидаемыми значениями, т. е. такие, что Spur(Uf^) = Spur(U'f^) (я == 1, 2, . . .) он вовсе не может различить друг от друга. Правда, он смог бы, возможно, сделать это спустя некоторое время, так как U к U' эволюционируют согласно 2. и равенство Spur ^AUA~x^n)= Spur(AUfA~1En) 一竺fH
c ，= e 九 не должно было бы более выполняться ), но мы
ведь рассматриваем только измерения, которые можно выполнить тотчас. Итак, при изложенных выше условиях мы вправе считать U н U' неразличимыми. Далее, наблюдатель может употреблять лишь такие полупроницаемые стенки, которые пропускают 屮 некоторых Вп и отражают все остальные. Этого оказывается достаточно, чтобы, как без труда можно убедиться, следуя методу V. 2, перевести некоторый U' = £ хпЕп в некоторый V’ = £ y^F^ обратимым обра- л = 1п-1
зом, так что для разности энтропий сохранится выражение
乳 Spur (d In S) — x Spur (Vz In 1Л),
т. e.. энтропия U‘ будет равна — x Spur (Uf In Ur). Правда, надо
заметить, что,—чтобы такие U' со свойством Spur Uf = 1 вообще существовали, — шпуры Spur Еп, т. е. числа sn, должны быть конечны. Поэтому мы примем, что все sn конечны. Оператор Uf обладает ^-кратным собственным значением хр 52-кратным собственным значением х2, ..., поэтому — Ul In Uf будет обладать ^^кратным собственным значением —хх In хр 52-кратным собственным значением
—х2 In х2, ... Таким образом, Spur U' = 1 означает, что £ snxn = 1, п= 1
а энтропия равняется ——х 2 snxn ^п х/г Из-за
ОО
U'E^ = ^ хп^п^т = Хт^т> Spur (UfEm)="优 Spur Em = 5mXm，
u ，Spur (U任從)uк
будет xm = ——, поэтому обсуждаемая энтропия будет равна
Sm
оо
— % £ Spur。写)In §£"(//).
n= 1
Для произвольного U (Spur U = 1) энтропия тоже должна равняться
—xV Spur (UE“)In 迎r"“).
Действительно, положи мы
Х"= Sp\(洋,U' = ^xnEn,
то будет Spur (UE^) — Spur (UfE^)t и поскольку U н U，неразличимы, то они должны обладать одной и той же энтропией.
Надо еще упомянуть, что эта энтропия всегда превосходит обыкновенную: всегда будет
—хУ Spur (UE") In> — z Spur (67 In U),
sn% = 1
и знак равенства достигнется только для U = 2 хл£л. Согласно результатам V. 3, это гарантированно будет иметь место, если \? Spur ШЕЛ 口=..,
U =±—；——может быть создано из U несколькими (не обязательно макроскопическими) применениями процесса /・，так как слева ведь стоит —к Spui (U‘In a U=三 хпЕп означает то же,
что и U = UL Выберем ортонормированную систему 吸），…，吸）, растягивающую принадлежащее Е.г линейное многообразие Ш?л; из-за У £*也=1 совокупность всех 勺，）（п = 1, 2, . ..; v = 1, . . ., s0 образует полную ортонормированную систему. Пусть R — оператор, собственными функциями （со всеми различными собственными значениями） которого они являются, а 91 — его физическая величина. При измерении 现 нз U получается, в силу /・，
8%
Положим теперь
% 2就
Функции ф^,...,屮,）образуют ортонормированную систему, которая растягивает то же замкнутое линейное многообразие Ш?л, что и
屮「，.. .，9?）. Поэтому и 屮黑）（汽=1, 2, • • •； v = 1, •…，sR образуют
полную ортонормированную систему. Построим с этими собственными функциями оператор S и относящуюся к нему физическую величину 邑 Отметим еще, что выполняются следующие формулы:
0 для т丰小 力sn
（牛河鹤屮济）=匕д“…
Поэтому при измерении 0 в силу 7. из U" получится
工工（5，憎师叫=
m= 1 |xt= 1I 卩」
=2 s[s>"口刚ум憎），屮护）]屬『=2 s[s>"口刚ум憎），屮护）]屬『тт卩卩8 $加8 $加mm仍",俨）仍",俨）m = \ I Lv=Im = \ I Lv=I卩卩P留『P留『8 。加-ss8 。加-ssSpur。/）Spur。/）v Spur （UE從）v Spur （UE從）J S/nm= 1J S/nm= 1尸-/// 乙加一U .尸-/// 乙加一U .
=2 s[s>"口刚ум憎），屮护）]屬『
=2 s[s>"口刚ум憎），屮护）]屬『
т
т
卩
卩
8 $加
8 $加
m
m
仍",俨）
仍",俨）
m = \ I Lv=I
m = \ I Lv=I
卩
卩
P留『
P留『
8 。加
-ss
8 。加
-ss
Spur。/）
Spur。/）
v Spur （UE從）
v Spur （UE從）
J S/n
m= 1
J S/n
m= 1
尸-/// 乙加一U .
尸-/// 乙加一U .
Таким образом, двух процессов /. хватает, чтобы преобразовать U в U',—и это все, в чем мы нуждались для доказательства.
Для состояний (U = P[⑴，Spin(UE/ = (七杵，屮)=||当叫?)эта энтропия
не испытывает более тех зол, что «микроскопическая», — она, вообще говоря, не остается постоянной во времени (т. е. при процессе 2・)и не для всех состояний равна нулю. Действительно, что Spur^^), из которого строится наша энтропия, вообще говоря, не остается постоянным со временем, уже обсуждалось в прим.204) (стр. 301). Легко выяснить, когда состояние U = Р(?] будет обладать энтропией 0: Поскольку ——“工 ・》0 и《1, то все слагаемые Н£脚俨 1n 〃E：¥l}в выражении для энтропии 《0, они должны были
sn
бы, следовательно, все обратиться в 0. Это требует, чтобы Il £ а II 2
—— 0 или =1・ Первое означает, что f厶中=0, последнее — что Ц^срЦ = Уsn. Поскольку, однако, Ц^срЦ < 1, sn^\t то для последнего нужно sn — 1 и Ц^срЦ = ||(р||, т. е. Е^ = ср или $也=1 и ср лежит в Ш?л. Это последнее не может, конечно, выполняться для двух различных п, но не может и не выполняться ни для одного, так как тогда было бы всегда 七也中=0, т. е., в силу ，£^=1, 屮=0. Итак, надо, чтобы в точности для одного п ср лежала бы в Ш?л, и при этом было бы $^ = 1. Поскольку ранее мы установили, что, вообще говоря, все sn ^> 1, то это невозможно. Итак, наша энтропия всегда > 0.
Поскольку макроскопическая энтропия зависит от времени, то следующий вопрос, который нам надо разрешить, состоит в том, ведет ли она себя, как энтропия феноменологической термодинамики в действительном мире, т. е. возрастает ли она прогрессивно? В основанной на классической механике теории утвердительный ответ на этот вопрос получается через посредство так называемой Н-теоремы Больцмана, но при этом приходится делать известные статистические допущения, так называемые «гипотезы беспорядка» ). В квантовой
механике автору удалось доказать соответствующую теорему без предположений такого рода 喲.Более близкое знакомство с этим предметом, равно как и с теснейшим образом связанной с ним эргодической теоремой (ср. прим. 206), где последняя также доказывается), завело бы нас слишком далеко, и мы должны отказаться от передачи этих исследований. Заинтересованного в этом направлении читателя мы отсылаем к приведенным работам ).
2°6)Zs. f. Phys. 57, 30(1929). (См. перевод этой статьи в конце книги.)
ГЛАВА VI
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
Постановка задачи
В предыдущем рассмотрении мы выяснили, как относится квантовая механика к различным, причинным и статистическим, методам описания природы, и обнаружили своеобразную двойственность ее предписаний, которая не была еще исчерпывающе объяснена. Именно, мы нашли, что, с одной стороны, некоторое состояние ср преобразуется под действием оператора энергии Н за время 0《t《/ в со-
стояние д' по закону
罕 н% (ОСУ)，
中0 = % 中f =中， или, иными словами,
^ — е 力 中，
е. чисто причинным образом. Смесь U преобразуется тогда соответственно в
U = e /2 Ue 九
и в согласии с причинным изменением 屮 в 屮‘ состояния U = Р旧 переходят при этом в состояния и = Р«，] (процесс 2・ в V.l). С дру・ ^ой стороны, при измерении ——пусть, например, измеряющем некоторую величину с только простыми собственными значениями и собственными функциями(рР ф2，...——состояние ср испытывает акаузальное изменение, в результате которого может возникнуть каждое из состояний фр §2，• • • > и Притом С вероятностями Кф, Ф1)I2, I (ф,屮2)I2* соответственно. Это значит, что возникает смесь U' = £|(中，屮力卩・「[屮 i.
В общем случае смесь U переходит в t// = 2|(^cPn»cPn)l2'^)[=prt] (про-
цесс /・ в V.1). Поскольку состояния переходят здесь в смеси, то этот процесс не является причинным.
Различие между двумя этими процессами U -^Uf глубоко фундаментально: даже отвлекаясь от разного поведения относительно принципа причинности, они отличаются и тем, что первый (термодинамически) обратим, а второй — нет (ср. V. 3).
Сравним теперь эти соотношения с теми, которые действительно осуществляются в природе или при ее наблюдении. Во-первых, само по себе безусловно верно, что измерение или связанный с ним процесс субъективного восприятия является по отношению к внешнему физическому миру новой, не сводящейся к нему сущностью. Действительно, такой процесс выводит нас из внешнего физического мира или, правильнее, вводит в неконтролируемую, так как в каждом контрольном опыте уже предполагаемую, мысленную внутреннюю жизнь индивидуума (ср. ниже). Однако имеется, несмотря на это, фундаментальное для всего естественнонаучного мировоззрения требование, так называемый принцип психофизического параллелизма, согласно которому должно быть возможно так описать в действительности вне- физический процесс субъективного восприятия, как если бы он имел место в физическом мире, — это значит сопоставить его последовательным этапам физические процессы в объективном внешнем мире, в обычном пространстве (естественно, что при этом процессе сопоставления (ZuordnungsprozeB) возникает еще необходимость локализовать эти физические процессы в таких точках, которые лежат в занимаемой нашим телом части пространства). В применении к простейшему примеру это наше понимание выглядело бы примерно следующим образом. Пусть измеряется температура. Мы можем, если захотим, продолжить теоретическое вычисление этого процесса до тех пор, пока не получим температуру окружения ртутного сосуда термометра, и сказать затем: эту температуру измеряет термометр. Мы можем, однако, продолжить расчеты далее и вычислить, исходя из объясняемых молекулярно-кинетической теорией свойств ртути, ее нагревание, расширение и результирующую длину ртутного столбика, после чего мы скажем: эту длину видит наблюдатель. Идя еще дальше, мы могли бы, включая в рассмотрение источник света, учесть рассеяние световых квантов на непрозрачном столбике ртути и путь остальных квантов в глаз наблюдателя, затем преломление в хрусталике и образование изображения на сетчатке, и только тогда мы сказали бы: это изображение регистрируется сетчаткой наблюдателя. Наконец, если бы наши физиологические знания были полнее, чем сегодня, мы могли бы пойти еще дальше и указать химические реакции, возбуждаемые этим изображением на сетчатке, в нерве и в мозгу, и только тогда сказать: эти химические изменения в его мозговых клетках воспринимает наблюдатель. Однако в любом случае, сколь далеко ни продолжали бы мы вычисления — до ртутного сосуда термометра, до его
шкалы, до сетчатки или до клеток мозга, — в некоторый момент мы должны будем сказать: а это воспринимается наблюдателем. Это значит, что мы всегда должны делить мир на две части — наблюдаемую систему и наблюдателя. В первой из них мы можем, по крайней мере принципиально, сколь угодно подробно исследовать все физические процессы; в последней это бессмысленно. Положение границы между ними в высокой степени произвольно. Так, в приведенном выше примере мы видели четыре разные возможности; следует специально подчеркнуть, что наблюдатель в рассматриваемом смысле ни в коей мере не идентифицируется с телом настоящего наблюдателя, — в приведенном примере мы в одном случае причислили к наблюдателю даже термометр, в то время как в другом не включили его глаза и нервные пути. То, что такую границу можно переместить сколь угодно далеко внутрь организма действительного наблюдателя, и составляет содержание принципа психофизического параллелизма. Однако это обстоятельство ничего не меняет в том, что при каждом способе описания эта граница должна быть где-нибудь проведена, если только все не проходит впустую, т. е. если сравнение с опытом должно быть возможном. Ибо опыт может приводить только к утверждениям этого типа — наблюдатель испытал определенное (субъективное) восприятие, но никогда не к утверждениям таким, как: некоторая физическая величина имеет определенное значение.
Квантовая механика описывает как раз те события, которые разыгрываются в наблюдаемой части мира за то время, пока она не приходит во взаимодействие с наблюдающей частью, с помощью процессов 2・(V.1); как скоро, однако, такое взаимодействие возникает, т. е. производится измерение, она предписывает использование процесса /.. Тем самым двойственность оправдана ). При этом, однако, возникает опасность нарушения принципа психофизического параллелизма, если только мы не покажем, что (понимаемую в указанном выше смысле) границу между наблюдаемой системой и наблюдателем можно смещать произвольным образом.
Чтобы обсудить последний вопрос, разделим мир на три части /, // и ///. Пусть / означает собственно наблюдаемую систему, // — измерительный инструмент, а /// ——собственно наблюдателя ^8). Нам надо показать, что границу можно провести с равным успехом как между / и 〃+〃/, так и между /-|-// и ///. (В приведенном выше
примере при сравнении первого и второго случаев / соответствовало исследуемой системе, //——термометру, а /// — системе свет-|- наблюдатель; при сравнении второго и третьего — / соответствовало исследуемой системе-|-термометр, //——свету十 глаз наблюдателя, IH — наблюдателю, начиная от его сетчатки; при сравнении третьего и четвертого случаев /——всему, вплоть до сетчатки наблюдателя, 〃 ——его сетчатке, нервам и мозгу, ///—его абстрактному《Я》.)Это значит, что один раз надо применить 2. к /, а /. к взаимодействиям между / и //-|- ///, а другой раз — 2・ к /十//, а /.——к взаимодействиям между /-|-// и ///. (Само /// остается каждый раз вне рассмотрения.) Доказательство того, что оба пути приведут к тем же самым утверждениям относительно части / (она и только она принадлежит оба раза к наблюдаемой части мира), и составляет, собственно, нашу задачу.
Однако, чтобы быть в состоянии успешно заняться ею, нам надо будет сперва более подробно исследовать процесс объединения двух физических систем в одну (который ведет от / и // к /十//).
2. Составные системы
Рассмотрим, как было намечено в конце предыдущего параграфа, две физические системы / и // (они не обязательно должны иметь обсуждавшийся там смысл) и получающуюся их объединением систему /~|-〃. Пусть с точки зрения классической механики система / обладает k степенями свободы, следовательно* координатами д】，...,g力, вместо которых мы ради краткости будем писать одну букву д. Система // пусть обладает соответственно I степенями свободы, описывается координатами гр ..., гр сокращенно г. Тогда у системы I-\-II будет ^ + / степеней свободы и ей будут соответствовать координаты а】,...,g力,rp ..., г и сокращенно д, г. При квантовомеханическом описании волновые функции / будут тогда иметь вид 屮(«), системы // ——Е(у), а системы /4"// —①(g, г). Внутреннее произведение в соответствующих гильбертовых пространствах S?7, SR” и 脏“" естественно определить как / 屮(д)屮(g)dg или I* ^ (г) (г) drt или / J ①(q, г)些(q, r)dqdr. В соответствии с этим физические величины систем /, // и /// будут (гипермаксимальными) эрмитовыми операторами А или А, или А в 匿'，или в 匿〃，или в 铝+"•
Каждая физическая величина в / является, конечно、такой и в системе /十〃，и при этом ее оператор А получается из А следующим образом: чтобы получить А ①(д, г), следует считать г постоянными и применить А к ^-функции ①(д, г)20Э). Это правило сопоставления,
во всяком случае верно для операторов координат и импульсов (Qi，Q為 и Pv ..., Р^, т. е・，ср. 12 %,♦・•, 9力，^^,・・・
...,~S^)и находите* в согласии с общими принципами сопоставления 7. и 〃. из IV.2), поэтому мы постулируем его и для общего случая. (В квантовой механике оно общеупотребительно.) Точно так же каждая физическая величина в // является такой н в /十〃，н ее оператор / приводит к ее А по тому же правилу: А Ф(^, г) равняется /①(д, г), если при образовании последнего выражения рассматривать q как постоянные и 6(д, г)——как г-функцию.
Если 屮從(д)(例=1， 2, ...) образуют полную ортонормированную систему в 道',а ^л(г) (д = 1, 2, .. .) — такую систему в то функции ①從例(д, г) = срт (^) ^л (г) (/п,打=1, 2, ...) составят, очевидно, такую же систему в 猊'+〃・ Тогда операторы А, Л или А можно будет представить матрицами 出叫加} или {%”} или {叫打從”" (/n, mftnt 打，=1, 2, .. .))» к чему мы будем ниже часто прибегать. Матричное представление означает, что
ОООО
a中從(g)2 8用/加中加，(9),(r)==?。/2例疋»(产)
加‘ =1/iz = 1
И
т. e.
^ ?m(9)^л (И = X ^тп[тгп1^тг (^) ^л^(Г)«
В частности, сопоставление А—>А устанавливает, что
Афт (д) Е〃 (г) = (Афт (д)) Е〃 (г) = £ а叫т耳w (q)En (г)>
т. е. что
/( 1 для 打=nrt\
amn/m-„' = am/m-(б硒，для 儿# 加丿
Аналогично сопоставление Д —> А устанавливает, что а^^^^,= =a司献6 m[m‘"
Статистический ансамбль в /十// характеризуется его статистическим оператором U или соответствующей последнему матрицей {^切切加切，}. Этот оператор определяет статистические свойства всех величин в /十〃，следовательно, в частности, и статистические свойства величин в /. Таким образом, этому ансамблю отвечает и статистический ансамбль в одной лишь системе /: в самом деле, наблюдатель, могущий учитывать существование только /, но не //, воспринял бы ансамбль, относящийся к системам /-|- //, как относящийся к системе /. Что же будет теперь статистическим оператором U или его матрицей (u^/m*}, относящимся к этому /-ансамблю? Определим его из следующих соображений, /-величина с матрицей {am/mf} будет обладать, как (/-|~^)-величина, матрицей {^凉/团寿仪勿彳，следовательно, на основе вычислений в / будет иметь среднее значение
в то время как вычисления в (/十//) приведут к
£ ^tnnlm'п'З-т'/г^п'/п £^mn/mfnSim'/т ==
т, % т，, я』[т, mr,п ~ 1
==2(2 ^тп/т'п ) Игп7д*
rn, тг = 1 \п^1/
Чтобы эти два выражения совпали, должно быть
Совершенно аналогичным образом определяет наш (/+//)-ансамбль в случае, когда учитывается только //, а / игнорируется, //-ансамбль со статистическим оператором U и соответствующей ему матрицей иП[П^ Совершенно так же тогда получается, что
% ^тп/тп'*
Итак, мы вывели правила сопоставления и для статистических операторов U, U н U систем /, // и /十〃，однако эти правила существенно отличаются от тех правил сопоставления, которые имели M“tq для операторов А,工 н А физических величин.
Надо еще отметить, что выбранное сопоставление операторов U, U н U зависит от выбора полных ортонормированных систем срт (^) й &门(尸)только кажущимся образом, поскольку оно было выведено ив инвариантного условия (которому можно удовлетворить только
таким сопоставлением)——совпадения средних значений операторов А и А или Д и А.
Оператор U выражает собой статистику в системе /-|-〃，операторы U или U — статистику, ограниченную системами / или //. Возникает вопрос, определяют ли U и LZ оператор U однозначно или нет? В общем случае следует ожидать отрицательного ответа, поскольку при знании только операторов U 协 U, т. е. лишь свойств разделенных систем / и //, у нас выпадают все «зависимости вероятностей», могущие существовать между обеими системами. Если, однако, как состояние /, так и состояние // известны точно, то «зависимости вероятностей» не играют роли н /+〃 узнается точно. За этими качественными соображениями должно, конечно, последовать точное математическое рассмотрение, к которому мы сейчас приступим.
Задача состоит в том, чтобы для двух заданных дефинитных матриц {Um/m‘} и {linin'] построить третью дефинитную матрицу {^lin/mrnr} такую, что
£ ^тп/т^ = Um/加一 п-1£ ^тп/т^ = Um/加一 п-1£ ^тп/тп' == 〃*/*'♦ т-1£ ^тп/тп' == 〃*/*'♦ т-1
£ ^тп/т^ = Um/加一 п-1
£ ^тп/т^ = Um/加一 п-1
£ ^тп/тп' == 〃*/*'♦ т-1
£ ^тп/тп' == 〃*/*'♦ т-1
/оооо
(Из 2 Um/m = 1， 工 кт — 1 следует тогда автоматически, что \т=1л=1
£ отп^л= 1, т. е. правильная нормировка сохраняется. ) Разре- тп~ 1/
шима задача всегда; так, например, ^mnim'n' ^Um/m^n^ всегда будет решением (легко убедиться, что эта матрица дефинитна); вопрос состоит в том, когда это решение будет единственным.
Мы покажем, что это выполняется тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одна из двух матриц {Um/加，} и {unfn'] будет состоянием. Докажем сперва необходимость этого условия, т. е. существование многих решений в случае, когда обе матрицы соответствуют смесям. Действительно, тогда (ср. IV. 2)
U 加/加— ^mlm'-^^mlm^ (матрицы Vm/m‘ и Wm/mf ДефИНИТНЫ янным множителем, то же для vn^£ Vmlm = W Wm/m =U 加/加— ^mlm'-^^mlm^ (матрицы Vm/m‘ и Wm/mf ДефИНИТНЫ янным множителем, то же для vn^£ Vmlm = W Wm/m =^nln1 = Т吃"+3W巾，и отличаются не только посто- И侬川储2=1л=1^nln1 = Т吃"+3W巾，и отличаются не только посто- И侬川储2=1л=1
U 加/加— ^mlm'-^^mlm^ (матрицы Vm/m‘ и Wm/mf ДефИНИТНЫ янным множителем, то же для vn^
£ Vmlm = W Wm/m =
U 加/加— ^mlm'-^^mlm^ (матрицы Vm/m‘ и Wm/mf ДефИНИТНЫ янным множителем, то же для vn^
£ Vmlm = W Wm/m =
^nln1 = Т吃"+3W巾，
и отличаются не только посто- И侬川储
2=1л=1
^nln1 = Т吃"+3W巾，
и отличаются не только посто- И侬川储
2=1л=1
а, р, 7，8 > 0; &+р=1； 7十力=1), и легко проверить вычислением, что каждая матрица
0т同现S = EYmmv0司п’ + pw现m?"" + 3他师@川足+ CWm/加我厶/" с
冗+ ◎ = &；р-|-т = р; 冗十р = т； а-|-х = 8； 冗，р, % с >О
будет решением. Числа 冗,р, о н с можно выбрать при этом бесконечным числом различных способов (поскольку а + р = т +，то из четырех уравнений независимы только три, пусть, например,
p = T—，冗；0 = a -冗； t = (3—a) + 代.
Чтобы все было положительным, должно быть а — 8 = f — 0< <7v < а, f , что выполняется для бесконечного числа значений к), и различные 冗，р, о, с ведут к различным ^тщт'п^ так как Nmgetin，…，^mim'^nin' линейно независимы, поскольку это имеет место как для Vm/苏，W加仰，，так и для %”，
Перейдем теперь к доказательству достаточности, причем можем принять, что состоянию отвечает Ug/加， (другой случай рассматривается точно так же). Итак, пусть U=Pg・ Поскольку полная ортонормированная система срр ср2, ... была произвольна, можем принять, что у】=ср. Оператору U =尸伸j соответствует, очевидно, матрица
Итак, 8(〃=IIИтак, 8(〃=IIдля /п =团‘ =1, в остальных случаях.
Итак, 8(
〃=II
Итак, 8(
〃=II
для m = nif — 1,
О в остальных случаях.
В частности, для 团次 1 2 °тп[тп — 0, но поскольку по оп ределе-
НИЮ ^mnlm'п' все ^тп/тп ^^ ^ (действительно*。加*/加* := (U①他*, ^тп) )* то в этом случае и加⑶"^ = 0. Это значит, что (U①加总,4>加*) = 0, следовательно» в силу дефинитности U, и (U ①加，① m%) = 0 (ср. II. 5, теорема /9.) для произвольных т‘,也'.Но это значит, что нз 团次 1 следует ^mnim,n, = 0, а вследствие эрмитовости то же будет следовать и из 团‘次 i, Но для m — mf=l получается
01用5' = 2 ^тп[тп, =
Тем самым, как и утверждалось, оказывается, что решение %叩紋* определено однозначно.
Резюмируя» можно сформулировать наш результат следующим образом. Статистический ансамбль в / + // с оператором U =闻叩紋紋} однозначно определяется определенными только в / и только в // статистическими ансамблями с операторами U = {Цт^} и U= {龙*团‘} тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
/•^rnnlm'n' = Ут1т'^п1п,*
(Из равенства Spur U - 2j %刈例権=eV面〃2n“儿=1 сле- m, " = 1m = l "=1
дует, что мы можем умножением Vm/m，и 守冷伍，на два взаимно обратных множителя добиться выполнения
士 Vm/m1,2 Р/г[/г = 1 ■
1〃=1
Но тогда видно, что будет Um[加=y叫w и 母团，=0即仆] 2・ Выполняется либо 71nml = x 1nxm‘，либо Vn>n' ~ ^п^П'
(Ибо и=Р[з означает, что 中= 2 У^т^ следовательно, 0^* = УтУтг и соответственно для Mmimf\ аналогично рассуждаем и для U =尸闺)
В дальнейшем мы будем называть U 协 U проекциями оператора U В / и В Л 212).
Обратимся теперь к состояниям из /十//, U=P[①卜 Относящиеся к ним волновые функции ①(д,厂)могут быть разложены по полной ортонормированной системе Фтп(^, г) — ^т(^)^л(г):
①句,Г)=玄句瑞6，n- 1
Мы можем также заместить их коэффициентами fmn (т, n = 1, 2,...),
которые ограничены только условием 2 1/от«12 = 11ф1Р конечна. т,п-\ .
Можно ввести также два оператора 尸 и 尸* равенствами
尸中(g) = /①(g，О ?⑷歯，尸* &(r) = J ①(g, г" (г) dr.
Они линейны и обладают той своеобразной особенностью, что} будучи определенными в 917 пли соответственно в ЯМ', принимают значения из W или соответственно из 猊'. Они соотносятся как сопряженные операторы, поскольку, очевидно,(尸q Е) = (中，F*^) (внутреннее произведение в левой части образуется в 贞‘厶 а в правой ——в $¥!). Поскольку различие между 脏/ и 脏/' не имеет математического значения, то мы можем применить результаты II. 11, и поэтому £ (尸)
Проекции состояния из『+〃 оказываются в / и в //, вообще говоря, смесями, ср. ниже. Эго обстоятельство было открыто Ландау (L. Landau, Zs. f. Phys. 45 (1927)).
и £ (尸*), поскольку речь идет об интегральных операторах, будут равны
/ JI①(g, г)|2歯" = ||①产=1(||Ф|| в 卅+〃!)
и, следовательно, конечны. Поэтому F и Л* будут непрерывными, даже полностью непрерывными операторами, произведения 尸*尸，равно как и FF*, будут дефинитными операторами и
Spur (尸*尸)=e (尸)=1,Spur (尸尸 *) = S (产)=1 .
Обращая снова внимание на различие между 脏/ и 睨'，，замечаем, что尸*尸определено в壮4а尸尸* 一 B脏".
Так как F^m (^) оказывается равным ^f mf^n{r\ то оператор 尸 п- 1
имеет своей матрицей [fmn] (при использовании полных ортонор- мированных систем срт (^) и Ел(г)); аналогично матрицей оператора 尸 будет {/тл}. Поэтому 戸尸 и 尸尸* будут иметь матрицы
{
£ fmnfтгп} Н { £ f mnf 〃=1Jlm = l丿
С другой стороны, оператор и = Р[Ф| будет обладать в системе функций Фтл(^, г) = <f>m(д)&“(г) матрицей {fmnfm>n'], так что матрицами его проекций UhUb/hb〃 будут ^J f mnf т'п и COOT- л=1
ветственно 2 f mnf тп' 213). Поэтому т=1
U =尸尸，U =尸尸.
Это утверждение не будет зависеть от выбора функций срт и Е〃 (так как U, U н 尸 не зависят от такого выбора).
Операторы U н U полностью непрерывны и, согласно II.11 и IV.3, могут быть записаны в виде
u=Z】叫р^ги=Ек勺讶
где 屮论 образуют полную ортонормированную систему в 猊‘，叮々—— такую систему в 脏〃 и все 叫，叫〉0. Опустим теперь в каждой из обеих формул члены с w^ = 0 или 叫=0 н перенумеруем оставшиеся опять последовательными числами 1, 2,… Тогда функции 屮々 или 加 будут образовывать уже только ортонормированную, но
Математически это рассуждение соприкасается с работой Е. S с h m i d t' a, Math. Ann. 63 (1907).
не обязательно полную систему, на месте сумм 2 выступят
2 и 2 где Mf и 附"с равным правом могут как равняться А = 1尼=1
бесконечности, так и быть конечными, но зато все 叫 и 叫 будут теперь строго больше нуля.
Рассмотрим некоторую 屮片 Будет U% = w；%, следовательно»
严% =吟%尸尸尸% =叫尸%，UF^^F^.
Далее
№.尸电）=（尸尸b，与）=（Uh，我）=,
（也 для & =厶
=叫他，屮1）=1о дляв次厶
Поэтому, в частности, 口尸屮尼『=初〉 Итак, функции -，干 尸屮尼 образуют ортонормированную систему в 91〃 и, более того, они будут собственными функциями оператора U с теми же собственными значениями, что у функций 屮尼 для U (т. е. равными w；). Это значит, что всякое собственное значение U будет и собственным значением не меньшей кратности для оператора U； переставляя U н U, получаем, что эти операторы имеют одинаковые собственные значения с одинаковыми кратностями. Итак, числа w^ и 吗 совпадают попарно с точностью до порядка нумерации. Поэтому 附'=附"=附,и изменением порядка нумерации 吼 мы можем достигнуть выполнения 叽=叫=吗・ Но, коль скоро это так, мы можем, не теряя общности, выбрать " =一7^尸屮也.Тогда будет
Итак,Итак,高宀=^尸*%=专恥=ь.%=高尸也'h=武严% *）•
Итак,
Итак,
Дополним теперь ортонормированную систему фр ф2* • - - R。полной фр 屮2，,屮у Фз* * * * * а систему 刁］,叮牙•・・ до 叮刁?，. • •，^p 叮牙.• • (каждая из систем 屮;，屮;и 唯，刀g ... может быть пустой, конечной или бесконечной; они строятся независимо друг от друга). Все предыдущие рассуждения не зависели от выбора полных орто-
нормированных систем 心・(р2, ... и ^р ^2, ...» мы можем поэтому выбрать в качестве их системы 屮］,屮？弘，屮J ・…и %，％，•…， 唱，%,・・.Именно, пусть屮мсовпадает с中蹊，办一C三力(向，网，•，■ взаимно различны; то же для 宜，％，■ • •)• Тогда
尸偉△ = }'叫Л/ ^?m = ° ДЛЯ 加 #F1，也 Итак,
f _［V^k nn* 理=1他， 禮=Y内， 々 = 1, 2, J mn = I n
I U в остальных случаях,
или, что то же самое,
①(q，r) = 2V叫电(g)&”(г).
Таким образом, мы достигли, путем соответствующего выбора систем 屮加(0) и Ед (г), того, что каждая строка и каждый столбец матрицы {/mn} содержат самое большее один не равный нулю элемент (то, что он даже веществен и положителен, именно равен У叫, для дальнейшего не важно). В чем заключается физический смысл этого формального утверждения?
Пусть 4—оператор с собственными функциями 屮卜 ср2, .... и всеми различными собственными значениями, например 旬，出，…； В — такой же оператор с функциями Е「^，•…и значениями 力卜 瓦，… Оператор Л соответствует некоторой физической величине в /, оператор В — в 〃； эти две величины допускают, следовательно, одновременное измерение. Легко видеть, что утверждения «Л имеет значение。加》и《В имеет значение Ь^ определяют совместно состояние Фтп(q,「)= %匂爲(「)，которое имеет в состоянии ①(д, г) вероятность (尸［屯加］①，Ф)= |(Ф, Фтп)|2= \fmn\2. Таким образом, наше утверждение означает, что А и В одновременно измеримы, и если бы один из них был измерен в Ф, то тем самым значение другого было бы однозначно определено. (Собственное значение ат, которому отвечают все fmn = 0, встретиться не может, поскольку его полная вероятность £ |/тл|2 не может равняться нулю, если ат вообще можно найти. Итак, точно для одного n fmn 次 0. Для bn — так же.) Это означает, что в состоянии Ф может встретиться много значений оператора Л (каждое значение。加，для которого £|Лп/2>" т・ е- существует n с fmn ^ 0, — в большинстве случаев это будут все а" и столько же значений оператора В I каждое 勿，
для которого 2 |/т„|2> 0, т. е. существует одно 加 с fmn =^ 0 ), п = 1/
но Ф устанавливает между возможными значениями Д и В однооднозначное соответствие.
Если назвать возможные 加:|ip |л2, ..., а соответственные возможные п: и，%，■ • •» то будет
j С为 ^1 01 для 加-=a^， 也二二二 Y为， 内===1 * 2, ««•,
—〔О в остальных случаях.
т. е. (Ж — либо конечно, либо бесконечно)
м
①(д, г)= 2也=1也 k
Далее будет
:一(|Сь|2 для m — mr = ^k, k— 1, 2,..
— о в остальных случаях,
^пп' = 2 fmnf тп'==т~ 1^пп' = 2 fmnf тп'==т~ 1I с" * ДЛЯ Л —= Л ■ ■- Y内，内——-1, 2, « • • j О в остальных случаях,
^пп' = 2 fmnf тп'==т~ 1
^пп' = 2 fmnf тп'==т~ 1
следовательно,
u=否疗%J。=却/气]■
Итак, будучи спроектировано в / или в //, Ф становится, вообще говоря, смесью, оставаясь состоянием только в /-|-//, поскольку оно включает утверждение относительно /-(-//, которое нельзя использовать ни в рамках одной системы /, ни в рамках одной системы 〃，一взаимно однозначное соответствие между значениями операторов А и В.
Таким образом, для любого Ф мы можем так выбрать Л и В, т. е・ функции срт и ?л, что это наше условие будет выполнено, но для произвольных Д и В оно, конечно, нарушится. Иными словами, каждое состояние Ф устанавливает определенную связь между / и //, в то время как связываемые величины А и В зависят от Ф. В какой степени определяет их, т. е.屮加 и ^， состояние Ф, легко установить. Если все \ck\ различны и не равны нулю, то U н U (которые фиксируются заданием Ф) определяют 屮优 и ^п однозначно (ср. IV. 3); обсуждение общего случая мы оставим на долю читателя.
В заключение заметим, что если 附次 1, то из-за |cfe|2 > 0 ни U, ни U не будут состояниями. Для М = 1 состояниями будут оба: U = P[®] и и = Рр] Тогда ①(g, r) = G?打(g)%(r), а 々 можно будет включить в 屮卩(g). Итак, U н U будут состояниями тогда и
только тогда, когда ①(д, г) имеет вид y(g)E(r); они будут тогда равняться %] и Р[^
На основе полученных выше результатов мы можем сформулировать следующее утверждение. Находится система / в состоянии 屮(д), а система 〃一 в состоянии Е(г), то и，+ 〃 будет находиться в состоянии ①(g, r) = y(g)W(r)・ Если же, напротив, /-]-// находится в состоянии ①(д, г), не имеющем формы произведения y(g)E(r), то / и // будут смесями, но Ф установит взаимно однозначное соответствие между возможными значениями определенных величин в / и //.
8. Обсуждение8. Обсуждениепроцесса измеренияпроцесса измерения
8. Обсуждение
8. Обсуждение
процесса измерения
процесса измерения
Прежде чем довести до конца обсуждение процесса измерения в смысле развитых в VI. 1 идей с помощью найденных в VI. 2 формальных средств, мы хотели бы еще использовать результаты VI. 2, чтобы исключить многократно предлагавшуюся возможность объяснения статистического характера процесса /. (V. 1). Она основывается на следующем рассуждении. Пусть / означает наблюдаемую систему, а //——наблюдателя. Если / находится до измерения в состоянии U =尸闸，а 〃 一 в смеси U —^ ^^[^ ]，то /十〃 будет в однозначно определенной смеси U, именно, как легко сосчитать, следуя VI. 2, будет
U=E®"Pf〃]， фп(^- r^^^qy^^r).
Если теперь имеет место измерение величины Д в /, то его надо понимать как взаимодействие между / и //, т. е. как процесс 2. (V. 1) с некоторым оператором энергии И. Если оно продолжается время /, то превратит U в
U' = g九Uc九
именно, как легко видеть, в
2п*2п*и』％
2п*
2п*
Если бы теперь всякое ①*(д, г) имело форму 屮*(g)%(r), где 屮* —— собственная функция Д, а 叮* образуют некоторую фиксированную полную ортонормированную систему, то это вмешательство имело бы характер измерения, переводя каждое состояние ср системы / в смесь собственных функций 屮* оператора А. Статистический характер возникает здесь из того, что, хотя система / и находилась до изме-
рения в одном определенном состоянии, но 〃 была смесью, а в процессе взаимодействия «смешанный» характер // 《заразил» и систему /+〃，в частности, превратил в смесь проекцию в /. Иными словами, измерение не приводит к определенному результату из-за того, что состояние наблюдателя перед измерением не является точно определенным. Было бы мыслимо, что такой механизм функционирует, так как степень информации наблюдателя о его собственном состоянии могла бы быть ограничена законами природы. Эти границы нашли бы себе выражение в значениях w*, которые должны были бы определяться только наблюдателем (т. е. не зависели бы от у!).
Как раз здесь эта попытка объяснения терпит крушение, ибо квантовая механика требует, чтобы было
吗= (「[%]¥，Y)= 1@ 屮訓2'
т. е. чтобы 叫 зависело от 硏 Существующее, возможно, другое разложение u‘=N叫牛м (В котором ①；(д, г)=屮"(g) % (Г) ортогональны и нормированы!) тоже не помогает, поскольку 叫 однозначно устанавливаются (с точностью до порядка) смесью UZ(IV. 3) и, следовательно, совпадают с 叫 ).
Итак, акаузальность процесса /. обусловлена не недостаточностью знаний о состоянии наблюдателя. Поэтому в дальнейшем мы будем всегда принимать, что оно известно точно.
Обратимся снова к задаче, сформулированной в конце VI. 1. /, II и /// будут иметь определенное там значение; для квантовомеханического описания систем / и // будут использоваться обозначения VI. 1, в то время как /// вообще останется вне вычислений (ср. сказанное по этому поводу в VI. 1). Пусть Л означает подлежащую измерению величину (в /),平】(д),平2(0)，.…—ее собственные функции, а система / находится в состоянии 平(д)・
Если / считается наблюдаемой системой, а П-\~Ш ——наблюдателем» то нам следует прибегнуть к процессу 2., и мы найдем, что измерение переводит / из состояния ср в одно из состояний ^п (也=1, 2, .. .) с соответствующими вероятностями |(. (рл)|2 (也=1, 2, . . .). К какому же способу описания следует нам прибегнуть, если считать наблюдаемой системой / + //, а наблюдателем —///?
В этом случае мы должны сказать, что 〃一 это измерительный прибор, показывающий на шкале значение величины Л (из /). Положение стрелки на этой шкале есть некоторая физическая величина В (из //), которая, собственно, и наблюдается системой /// (если //
лежит уже внутри организма наблюдателя, то на месте шкалы и положения стрелки выступят соответствующие физиологические понятия, например сетчатка и изображение на ней) и значения которой однооднозначно связаны со значениями величины А. Пусть значения Д будут аР, а2, ..., значения В — &р &2, ..., а нумерация выполнена так» что как раз ап и Ьп связаны друг с другом.
Первоначально / находится в (неизвестном) состоянии ср (д), а //—в (известном) состоянии Е(г), следовательно, /-|-// — в состоянии ①(д, 「)=屮(g)E(r)・ Измерение (пока оно проводится системой // над системой /) совершается, как и в прежнем примере, посредством оператора энергии Н (в /+ 〃)за время Л Это будет
процессом 2., который превратит ① в ①'=е 九 Ф. С точки зрения наблюдателя /// об измерении можно заговорить, только если дело обстоит так, что начни /// измерять посредством процесса /. одновременно измеримые величины Д и В (в / и соответственно в //, или же обе в /十〃)，то пары значений 。加,bn с 加次也 стали бы появляться лишь с вероятностью нуль, напротив, пары с т — п — с некоторыми определенными вероятностями wn. Иными словами, достаточно《рассмотреть》//, чтобы Д из / оказалась бы измеренной. Квантовая механика потребует тогда еще, чтобы т〃=|(. срп)|2.
Произойди такое, и процесс измерения, в той мере, в какой он протекает в //, будет теоретически «объяснен» ——рассматривавшаяся в VI. 1 граница сдвинута из положения 1\11-}~Ш в /十〃|〃/.
Итак, математическая задача состоит в следующем. Задана полная ортонормированная система срР ср2, ... в /. Такую же систему В】，?2, ... в 9J", равно как и состояние Е в 9lnt надо найти. Далее следует подобрать оператор (энергии) Н в 壮，+〃 и значение £ так, чтобы выполнялись следующие условия. Если ср——произвольное состояние в SR7, а
2п %
①(0, r) = y(g)E(r),Q/(g, г) = е 九 ①(g, г)
по построению, то ①'(g, г) должна представляться в виде
2 ^耀屮耀(д) Е〃 (г) (коэффициенты сп могут, естественно, зависеть от у).
При этом должно быть |с/2=|(ср, срл)|2 (то, что последнее условие соответствует сформулированным выше физическим требованиям, было выяснено в VI. 2).
В дальнейшем мы будем наряду с срр ср2, ... считать фиксированными и Е「 勾，• • • н & а вместо Н искать унитарный оператор
А = е '.
Математическая задача сводится к уже разрешенной в VI. 2: там была задана ①'，и мы показали существование с〃，屮以 и Е〃； теперь нам заданы
21 И. Нейман
постоянные 屮小 Е〃 и зависящие от ср Ф и ся, и задача состоит в том, чтобы так определить А, чтобы эти с〃,屮门 и ^ получились бы из①’=a①.
Мы покажем, что такое построение А действительно возможно. При этом мы будем интересоваться лишь принципиальной стороной дела, т. е. вопросом существования какого-либо такого Д. Дальнейший вопрос о том, обладают ли требуемыми свойствами операторы △ = е “ простейших наглядных схем постановки опытов （например, рассмотренных в III. 4）, не должен нас заботить. В самом деле, поскольку, как мы видели, наши условия действительно совпадают с наглядным критерием измеримости и, с другой стороны, в упомянутых схемах опытов наглядные требования к измерению тоже удовлетворяются, то квантовая механика должна была бы приводить к грубо противоречащим наблюдению результатам, если бы соответствующие А не удовлетворяли бы （по крайней мере приближенно） нашим условиям ）. Таким образом, в дальнейшем нам надо будет найти только абстрактный оператор А, точно удовлетворяющий нашим условиям.
Итак, пусть функции 屮巾 （加=0, ± 1, ±2, ...） и ^ （я = 0> ± 1, ±2, ...） образуют две заданные ортонормированные системы в 舟 н соответственно в П1〃 （мы даем теперь т ^ п пробегать не значения 1, 2, а значения 0, ± 1, ±2, ...; это основано на технических соображениях и не имеет принципиального значения） и пусть, простоты ради, состояние Е совпадает с ^0. Определим оператор А равенством
△ 2 х〃“%（д） &“（，）= 2 хт^т（9）?m+n（Г）. т, л = —со щ, —со
Поскольку как 屮т（9）^（尸），так и 屮т（9）^十m（尸）образуют в 3V+" полные ортонормированные системы, то такое А будет унитарным. Теперь
中⑺=雌g8（中'屮m）'中擁（'）；Е（г） = ^0"）• Следовательно,
①（g，г）=中（?） Е （，）= 2 （中，?m） •中门（g） Eo （г） и
①'（g，г） = м>（д, г） = т^8（中，％）・％（g）Em（，K
Но тем самым наша цель достигнута, мы добились даже равенства 源=(中，中)
Мы получим, однако, более наглядное представление о механизме этого процесса, рассмотрев пример с конкретными шредингеровыми волновыми функциями и задавая само Н вместо Д.
Как наблюдаемый объект, так и наблюдателя (т. е. Z и //) будет достаточно охарактеризовать одной непрерывно пробегающей от ——8 до +8 переменной g или г, т. е. мы будем представлять их как линейно двигающиеся точки. Их волновые функции будут иметь вид 屮(夕)и т](г). Мы примем, что их массы 加】и т2 столь велики, что кинетической энергией
2加1 \ 2л/ dq ) ' 2т2 \ 2л/ dr /
в операторе энергии можно будет пренебречь, и в Н останется только ответственная за измерение энергия взаимодействия, для которой мы выберем специальную форму 而：q 万；.
Зависящее от времени дифференциальное уравнение Шредингера для волновой функции % = %(9，г) системы /-}-〃 будет тогда гласить：
言^г)=一击д^屮乩о, т. е.
что приведет к
弘(夕，尸) = /(9, г —%)・
Если для / = 0 屮° (д, г) —Ф(^, г), то мы получим /(g, r) = @(g, г) и, следовательно,
屮必 Г)=①(9,—科)■
Если, в частности, начальные состояния систем / и // представляются функциями 屮(夕)и ^ (г), то, в духе нашей вычислительной схемы (если выбрать участвующее в ней время £ равным 1), будет
①(g，r) = <p(g)E(r),①'(g, г)=屮Ng, r) = <p(g)E(r —g).
Покажем теперь, что найденные результаты могут послужить для измерения координаты системы / системой //, т. е. что координаты q и г взаимно связаны. (Поскольку ^ и г обладают непрерывным спектром, т. е. только сколь угодно точно, но не абсолютно точно измеримы, то это может удаться только приближенно.)
Допустим для этой цели, что ^ (г) отлична от нуля только в очень узком интервале — е < г0 < е (т. е. что координата г наблюдателя
известна до измерения очень точно). Кроме того, Е должна, естественно, быть нормированной:
|图| = 1, т. е. J[^(r) ^dr= 1.
Вероятность того, что q лежит в интервале q0——6<夕<夕()+3, аг — в интервале г0 — 8х < r0 < г0+ В7, будет тогда составлять
Qo+6，о+В‘9о+咨 Го 十6'
j J |*(g, r)Fdgdr= j* j | 屮(g)卩| & (r — g)产歯
尋一6 Гц—3fq。一6 t^•—6'
Если 70 и r0 отличаются друг от друга больше чем на 窃十丫十金， то она обратится в нуль, т. е.夕 и г связаны столь сильно, что их разность никогда не может стать > 6十*十& Для случая же r0 = д0 она, если мы выберем 6'》6 + е, будет из-за допущений относительно £
равняться / I <р (7) ^dq. Так как, однако, мы можем выбрать В, * о。一咨
и е сколь угодно малыми (они должны быть только ббльшими нуля!), то это значит, что 夕 и г связаны сколь угодно сильно, а плотность вероятности имеет требуемое квантовой механикой значение | 中(д)卩.
Таким образом, условия для измерения в той форме, как они обсуждались в VI. 1 и в этом параграфе, осуществляются.
Обсуждение более сложных примеров, например, аналогичных нашему четырехчленному примеру из VI. 1, или таких, как контроль со стороны второго наблюдателя /// измерения, выполненного // над /, проводится совершенно аналогично. Мы предоставим его читателю.
ДОПОЛНЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫИ //-ТЕОРЕМЫ В НОВОЙ МЕХАНИКЕ )
Показывается, каким образом должно разрешаться кажущееся противоречие между макроскопическим понятием фазового пространства и существованием соотношений неопределенности. Затем дается квантовомеханическое истолкование самых основных представлений статистической механики, формулируются и доказываются (без «допущения о беспорядке») эргодическая теорема и //-теорема. После этого следует обсуждение физического смысла математических условий, ограничивающих области их применения.
Введение
Темой настоящей работы является выяснение связи между макроскопическим и микроскопическим рассмотрениями сложной системы, т. е. обсуждение вопроса, почему дело обстоит так, что обычные термодинамические методы статистической механики дают возможность делать в подавляющем большинстве правильные утверждения относительно систем, известных неполным образом (т. е. только макроскопически). В частности： каким образом, во-первых, возникает своеобразное, казалось бы, необратимое поведение энтропии и почему, во-вторых, для известной неполным образом (реальной) системы позволительно подставлять статистические свойства (фиктивного) микро- канонического ансамбля ). И на эти вопросы мы должны ответить, пользуясь средствами квантовой механики.
Как известно, в классической механике эти вопросы привели к построению двух детально разработанных теоретических систем: больцмановой и гиббсовой статистических механик. Первая теория не
смогла дать окончательного и удовлетворительного решения, потому что в ней приходится существенно пользоваться так называемым предположением о «беспорядке», — а понимание природы этого «беспорядка» и представляет как раз основную задачу ). Вторая теория по своему подходу была бы вполне пригодна для этого: однако она привела к математической проблеме, так называемой проблеме квазиэргодичности, оказавшейся абсолютно непреодолимой ни при тогдашнем состоянии науки, ни при нынешнем. Поэтому теория Гиббса приведет к цели, только если предположить правильность соответствующей математической теоремы.
Далее, в общих принципиальных вопросах новая квантовая механика отличается от классической механики совершенно необычайной простотой ). И именно благодаря этому обстоятельству в квантовой механике цель может быть достигнута с помощью сравнительно простых математических средств, если только следовать гиббсову пути. Так, в дальнейшем окажется возможным доказать эргодическую теорему и //-теорему (которые являются двумя указанными выше постановками вопроса) независимо от каких бы то ни было предположений о беспорядке. Однако прежде, чем переходить к подробному разговору об этом, не лишне сказать несколько слов о понятии макроскопического в квантовой механике.
2・ Принципиальной трудностью квантовомеханического воссоздания гиббсовой теории является то, что здесь нельзя избегнуть обращения к понятию 《фазового пространства», т. е.—для системы с / степенями свободы—к 2/-мерному пространству, описываемому / координатами 0],/и их / импульсами /?р ..., р「——все важные для этой
цели понятия (энергетическая поверхность, фазовые ячейки, микроканонические и канонические ансамбли и т. д.) определяются в нем. В квантовой механике никак нельзя построить такое фазовое пространство, так как координата qk и ее импульс pk не могут быть измерены одновременно, напротив, между их вероятными ошибками (разбросами) Ад用 и Ар力 всегда имеет место соотношение неопределенности Ад力• Ар力》). Более того, невозможно даже указать для какого-либо состояния системы два интервала /, J таких, что qk с достоверностью лежит в I，а рк с достоверностью лежит в J (этого нельзя сделать и тогда,
когда произведение их длин намного больше, чем 差！ *)),—так что не только непрерывное фазовое пространство, но и его дискретные разбиения на ячейки лишены смысла! Несмотря на это, в действительности совершенно очевидно и то, что при макроскопических измерениях координаты и импульсы измеряются одновременно, —здесь возникает даже представление, что это возможно благодаря неточности макроскопических измерений, которая намного больше неточности, при которой еще можно было бы опасаться коллизии с соотношениями неопределенности. Как же согласовать эти два противоречащих друг другу обстоятельства?
Мы считаем, что правильной является следующая интерпретация: при макроскопическом одновременном измерении координаты и импульса (или двух других величин, квантовомеханически одновременно не измеримых) в действительности одновременно и точно измеряются две физические величины, только эти величины не являются в точности координатой и импульсом. Пусть, скажем, это будут положения двух стрелок или места двух почернений фотографических пластинок **), — ничто не мешает нам измерить их одновременно и с достаточной точностью, но связь этих величин с реальными интересующими нас физическими величинами (夕力 и pQ довольно неопределенна, причем мерилом этой необходимой по законам природы неточности связи как раз и является соотношение неопределенностей (ср. прим. ***) на стр. 326).
Математическая формулировка: квантовая механика сопоставляет величинам 夕左 и рк известные операторы Qk = qk ... и
*) Это означает, что если волновая функция 屮(力，...,^у) обращается в нуль для всех значений 夕屈 лежащих вне какого-нибудь конечного интервала /, то ее коэффициенты Фурье с (ръ ..., /у) (мы разлагаем
со со2л /、
J с(ръ pf)en丿丿 dp、…dpf)
должны всегда 片 0 при произвольно больших pk.
**) Координату и импульс частицы можно представлять себе измеренными в смысле цитированных в прим. ***) на стр. 326 работ, скажем, следующим образом： с одной стороны, частица освещается пучком света, сфокусированным в приблизительном месте ее нахождения, и рассеянный свет фотографируется (координата) и, с другой стороны, частица освещается достаточно монохроматичным и плоскопараллельным пучком света, причем отраженный свет фотографируется после прохождения через призму (для констатации длины волны) (импульс). Естественно, что должна соблюдаться связь между точностями, обусловленная соотношением неопределенностей. Таким образом получаем на двух пластинках два почернения, устанавливающие с известными точностями координату и импульс.
4 =言盡一.), неперестановочность которых «疋件 Р&, разность же равна, как известно,标 1) соответствует одновременной неизмеримости этих величин ). Предположим теперь, что существуют два других перестановочных оператора “ и 4，которые лишь мало отличаются- от Qk,戶用，причем настолько мало, что для их соответственных отклонений мерой являются два числа AQ左 и АР左， произведение которых не превосходит существенно ^ из соотношения неопределенностей. (Естественно, что в силу PkQk — QkPk = =向1, Qk^k -4盛=0 оно не может быть меньше ~ !)Немного отличная, но, как легко убедиться, по существу, та же формулировка получается, если заметить следующее: перестановочные операторы 必4 должны обладать полной ортогональной системой общих собственных функций ), назовем их 屮卜屮?，• • • Потребуем тогда от этой системы следующее: в любом состоянии ^п дисперсии Qk и Pk меньше, чем AQ力 и АР用 соответственно (и при этом AQ在• △尸左〜^). Тогда одновременное измерение 戶[,после которого должно наступать некоторое состояние %, действительно дает нам одновременную информацию относительно Qk и Pk. Впрочем, достаточно отыскать полную ортогональную систему (рр(р2> ... с указанными выше свойствами; тогда “[, & могут быть сейчас же установлены —— для этого достаточно лишь задать их собственные значения в состояниях срл (п=1, 2, ...), каковые собственные значения целесообразно выбрать равными математическим ожиданиям Q力，Pk в состояниях ^п ).
Это, по существу, убедительное допущение мы можем теперь подтвердить математически: каковы бы ни были два положительных числа г, т} с £方=。• ^ (С——константа, ср. по этому поводу прим. *)), существует полная ортогональная система 屮【，(р2* • • • такая, что в любом состоянии (^п дисперсии Qk и Pk будут меньше, чем е,方 соответственно *). Задание 屮也 и доказательство их свойств приводит к довольно затруднительным выкладкам **), приводить которые мы здесь не станем, тем более что сказанное до сих пор достаточно проясняет принципиально наиболее важное.
Таким образом мы делаем следующее допущение о сущности макрос копических измерений: они являются исключительно измерениями одновременно измеримых величин (с взаимно перестановочными операторами), которые связаны с простыми и не измеримыми одновременно физическими величинами (координаты, импульсы и т. д,) лишь настолько, насколько это допускается соотношениями неопределенности. В дальнейшем изложении работы должно быть показано, как это осуществляется в деталях.
3. Относительно общего формального аппарата квантовой механики надо иметь в виду следующее. Состояния системы будут характеризоваться известным образом комплексными функциями(р=(р (^j,.,.,夕了) (так называемыми волновыми функциями), определенными
*) Как видно, С*1 было бы идеальной оценкой (использующей все возможности, допускаемые соотношением неопределенности). Автору удалось линь достичь С < 3,600, но поскольку ^ в макроскопических (ССЗ)-едини- цах составляет ss 10-28, то это несущественно.
**) Нужно воспользоваться введенными Гейзенбергом, 1. с. прим. ***) на стр. 326, волновыми пакетами
J儒+竽，"，
квадраты дисперсий О2,квадраты дисперсий О2,—мы пишем q вместо qk и опускаем остальные из 办,・・•,夕/, в указанном выше состоянии Q = q … и Р= ^-^- .一 имеют средние значения а, b и 2
квадраты дисперсий О2,
квадраты дисперсий О2,
соответственно, — гдесоответственно, — где© =£ и Z, / = 0, ±1, ±2, . •・© =£ и Z, / = 0, ±1, ±2, . •・
соответственно, — где
соответственно, — где
© =£ и Z, / = 0, ±1, ±2, . •・
© =£ и Z, / = 0, ±1, ±2, . •・
Получающиеся таким образом функции записываются в каком-нибудь порядке в виде последовательности и затем, согласно Шмидту (Е. Schmidt, Math. Ann. 63 (1907)), «ортогонализируются». Это дает желаемую систему 衝，??>•••
в «пространстве состояний》 системы, т. е. в /-мерном пространстве, описываемом / координатами 力％ физические же величины — эрмитовыми операторами 4, 5, ... ). Важнейшими операциями с этими объектами являются: «внутреннее произведение»
(中，屮)=/… /中&g力屮(g1q片dq、…dqf
(* мы обозначаем комплексное сопряжение) и 《абсолютная величина»闸=了(中，中)=/f /%3門)产明1 ...例).
Простейшее описание состояний с помощью волновой функции 屮 делается так: математическое ожидание величины 4 в состоянии 屮 равняется (4 屮，平).Задание всех математических ожиданий означает, поскольку одновременно с этим становятся известными математические ожидания всех степеней (т. е. так называемые высшие моменты распределения вероятностей), знание всего распределения вероятностей любой величины, т. е. полную статистическую характеристику системы ).
Нам нужна также статистика величин в системе, в которой имеется не одно состояние 平，а много состояний 平口 平2，•…с соответствующими вероятностями 吻【, w2, ... Тогда математическое ожидание А равно, очевидно, 2 w/i (^ ?л> 9л)> 口丁° удобнее записать по-другому.
Именно, будем описывать оператор 4 в некоторой полной ортогональной системе функций матрицей 。冲，а функции 屮〃——векторами х^([1, y=1, 2, ...) ), Тогда
2 %(4 中"，中.)=22«^*^ = 2^[2 叫x"f ],
e. если обозначить через U оператор с матрицей 工吻 хпх^, то рассматриваемое выражение будет равно шпуру от 4〃). Тем са-
мым статистическое поведение введенных смесей многих состояний характеризуется оператором U на основании правила: математическое ожидание 4 равняется Spur(4Z/). Мы называем U статистическим оператором смеси. Как видно, знания его достаточно для описания смесей, причем нет нужды задавать отдельные состояния, из которых состоит смесь.
Кроме того, удобно ввести особое обозначение для оператора с матрицей 无卩％丫(无卩—вектор волновой функции 屮)：〃.Легко ве
рифицировать и другое определение: P^f = (/,屮)•屮(/——любая другая волновая функция). Тогда будет "士 吻/%,в частности Q
является статистическим оператором самого состояния ср.
Теперь мы можем непосредственно перейти к (квантовомеханической) формулировке эргодической теоремы. А именно, мы обсудим сначала два подхода, которые хоть и не решают саму проблему, но, как нам кажется, проясняют и делают более прозрачными существующие здесь соотношения.
Классическая формулировка эргодической теоремы (точнее, квази- эргодической теоремы) звучит так: точка фазового пространства, изображающая систему, в своем движении (определяемом из дифференциальных уравнений механики) сколь угодно близко приближается к любой точке энергетической поверхности системы, при этом время, проводимое изображающей точкой в среднем за большой промежуток времени в какой-нибудь области энергетической поверхности, пропорционально объему этой области ). Тем самым в случае заданного состояния статистические свойства временного ансамбля (который получается усреднением каждой величины по всем временам) оказываются тождественными статистическим свойствам его микроканони- ческого ансамбля. Этот последний представляет собой смесь всех точек, изображающих систему, лежащих на энергетической поверхности, причем кускам поверхности равной площади (ср. прим. *) приписыва
ются равные веса.
Пусть теперь в квантовомеханической формулировке Я будет оператором энергии,屮J 屮2， • - •——его собственными функциями ), a Wv
取2， • • •—соответствующими собственными значениями. Состояние
W ап • срл эволюционирует с течением времени t (建 °) в смысле временнбго дифференциального уравнения Шредингера следующим образом:
电=X0"0 ""•中"=Xa" (0 %
Прежде всего, здесь надо теперь проанализировать несколько подробнее понятие энергетической поверхности. Именно, с течением времени постоянными остаются все | ап (/) ^ = \ап |2, а не только математическое ожидание энергии (倂尸 屮)=£ j ап (f) |2 Wn. Поскольку эти I ал (f)产 характеризуют всю энергетическую статистику ), мы можем сказать так: Закон сохранения энергии классической механики переносится в квантовую механику не просто в форме сохранения только средних значений, но в форме сохранения распределения вероятностей энергии. Если бы мы определили квантовомеханическую «энергетическую поверхность», казалось бы, естественным образом с помощью 21 ап |2 ^л = const, то о справедливости эргодической теоремы не могло бы быть и речи — ведь существует бесконечно много «интегралов движения» | ах |2, | а 卩，• • • Ее надо определить, скорее, посредством \ах^ — constp | а212 = const2,... Так возникает вопрос: Будь ап = гп е'*〃 (尸〃至 0, 0^ал < 2乱)，тогда энергетическая поверхность состоит из всех 屮'=Хa: •屮〃 c а:= —гп • е^п (О^а^ < 2к). Подходят ли тогда an (f) = rn * е^ h Wnt+af^ произвольно близко ко всем а；, т. е. ~ Wал ——к а； (конечно по mod 2冗，причем для всех 打=1, 2, .. .), и как велики будут «относительные времена пребывания» в заданных ал-интервалах? Мы можем спросить и так: Будет ли сколь угодно близко подходить
— ал
для надлежащего / к произвольной системе ——石—(mod 1 для всех n= 1, 2, ...), и каковы будут относительные времена пребывания? Согласно теоремам Кронекера для выполнения первой половины требования необходимой и достаточной является целочисленно-линейная независимость —^ между собой, т. е. условие, что не существует
соотношения %】—^——h • • •+%"-^ = 0 (л произвольно велико, но конечно; хр хп целочисленны), если только не имеет места равенство %i = ... = х^ = 0 *). Из дальнейших теорем Вейля следует, что в этом случае времена пребывания также оказываются правильными, а именно, они пропорциональны произведениям длин интервалов **)• Итак, в этой формулировке эргодическая теорема вытекает из того, что между термами —системы не имеется резонансов ***).
Собственно, мы здесь потребовали даже слишком многого: действительно истинным, существенным для всех приложений, ядром эргодической теоремы является, как уже упоминалось выше, соответствие между временным ансамблем и микроканоническим ансамблем, а вовсе не вопрос о том, какой именно путь проделывает на энергетической поверхности точка, изображающая систему. Как мы знаем из 3・，для этого необходимо лишь соответствие между статистическими операторами этих двух ансамблей (их «настоящий» состав в отношении волновых функций здесь заведомо не может быть установлен).
Пусть теперь ^t имеет статистический оператор %,, тогда речь идет о том, что он один раз усредняется (при фиксированных ал) по всем £ (временнбй ансамбль), а другой раз — при / = 0 по всем ал (мы пишем ал вместо а；, т. е. микроканонический ансамбль). Запишем оператор 马/ в виде матрицы в системе координат 屮~ ср2,... В силу того, что 屮/=工乙 J (方 历/+%) * 屮/p его n-компонента будет равна rmrne (万(％- 瞅 + (* %)). усредняя ее по всем &, получаем 0 при m=f=n и гт при т~ п. Чтобы тот же результат
*) Ср. К г о п е с к е г, Вег. d. PreuB. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1884, S. 1071—1080, 1179—1193, 1271—1299.
***) Может***) Может**) Cp. Weyl, Math. Ann. 77 (1915).
***) Может
***) Может
показаться странным, что здесь фигурируют —^, а не
получился при усреднении по 九 должно быть 万(眩皿一W^^O, т. e. 眩皿#%〃，при т 丰 纵 Это означает; вырождение должно полностью отсутствовать (условие намного более слабое, чем предыдущее!).
Тем самым эргодическая теорема была бы доказана, казалось бы, в удовлетворительном объеме. Тем не менее этот результат не может нас удовлетворить, поскольку здесь ничего не говорится о роли макроскопичности. Ведь мы здесь оперировали с совершенно точно заданными системами, так, например, энергетическая поверхность описывалась точным заданием всех | ап |2. Для того чтобы подойти к только частично известным системам статистической механики, нам надо еще несколько модифицировать нашу постановку вопроса ).
Эта модификация должна состоять в первую очередь в том, что надо макроскопически переосмыслить понятие энергетической поверхности, т. е. надо расширить микроканоническйЙ ансамбль до совокупности всех состояний, энергетические статистики которых макроскопически неотличимы от энергетической статистики данных состояний. При таких обстоятельствах соответствия между временными и микроскопическими средними следует требовать лишь для макроскопических величин. Но зато это ослабление влечет за собой существенное усиление, которое становится возможным лишь при макроскопическом способе рассмотрения. А именно, мы покажем, что для любого состояния системы значение любой (макроскопически измеримой) величины не только имеет микроканоническое среднее в качестве временнбго среднего» но и обладает малой дисперсией, т. е. временные точки, в которых значение отклоняется от среднего не мало, очень редки.
Полезно сравнить это с соответствующими соображениями из классической теории. Там указанную теорему, эквивалентную оправданию статистически-механических методов, разбивают на два шага следующим образом: прежде всего надо показать, что для любой величины временная статистика совпадает с микроканонической, а затем, что для так называемых макроскопических величин последняя имеет малую дисперсию. Первое утверждение как раз и является классической квазиэргодической теоремой, которая не может быть доказана в настоящее время, а второе, напротив, можно легко доказать с помощью комбинаторных вычислений ). Взамен этого, как уже было сказано, мы будем называть эргодической теоремой указанное выше следствие из обеих частей.
Более точная дискуссия будет приведена в ходе этой работы, здесь же мы укажем только на два следующих обстоятельства: во-первых, в нашей формулировке эргодической теоремы мы потребуем, чтобы намеченное выше временнбе поведение действительно имело место для каждого начального состояния системы (для любого 屮) без исключения (классически можно было бы вполне допустить исключения в частях энергетической поверхности, имеющих меньшую размерность). Во-вторых, надо подчеркнуть, что реальное состояние, с которым мы и работаем, является волновой функцией, т. е. чем-то микроскопическим,——если бы мы здесь действовали макроскопически, то это означало бы введение гипотезы о беспорядке, но мы как раз этого хотим безусловно избежать. То же самое можно сказать и об операторе энергии, который фигурирует в зависящем от времени дифференциальном уравнении Шредингера ), его тоже надо рассматривать точно (микроскопически). (Иначе, конечно, будет при построении энергетической поверхности, что будет видно из дальнейшей дискуссии.) Перейдем теперь после сказанного к небольшому разговору об условиях, которые оказываются необходимыми для справедливости эргодической теоремы.
Они распадаются на две группы: во-первых, те, которые относятся к (микроскопическому) оператору энергии Я, во-вторых, те, которые относятся к подразделению (макроскопической) энергетической поверхности на фазовые ячейки и к величине последних. (Дальше мы точно установим, что следует понимать квантовомеханически под энергетической поверхностью, фазовыми ячейками и другими конструкциями в фазовом пространстве; предварительно же вполне достаточно будет оперировать с этими понятиями так, как это было обычным в доквантовомеханической теории. В частности, под фазовыми ячейками мы понимаем такие подразделения фазового пространства, которые могут быть осуществлены с помощью макроскопических измерений.)
Относительно энергии оказывается: разности термов (собственные колебания) должны отличаться друг от друга, а также и сами термы (отсутствие вырождения!), т. е. если 眩卜 W2, ... являются собственными значениями, то все Wm — Wn (/n / л) должны отличаться друг от друга, а также и все Wп. (Допустимы даже редкие исключения!) Как видно, по своей силе это условие занимает промежуточное положение между двумя найденными в 4. В разумности этого условия мы убедимся в разделе III. 3. этой работы. В частности, мы увидим, что оно нарушается как раз в классических контрпримерах против эргодической теоремы (идеальный газ без соударений, объем, запол-
ненный излучением без поглощения) и опять восстанавливается известными (но признаваемыми действенными лишь эвристически) контрправилами (введение столкновений, а также поглощений и испусканий соответственно).
Относительно величины фазовых ячеек получается в существенном следующее: число состояний {квантовых орбит) 8 каждой фазовой ячейке не только должно быть очень велико, но в среднем должно быть все еще велико по сравнению с числом фазовых 咒 нее к на их энергетической поверхности. Более подробное разъяснение этого условия оставим до дальнейших обсуждений этой работы, здесь же укажем только на следующее: если совершать предельный переход 也 f 0 (так что квантовая механика приближается к классической), но не менять макроскопически технику измерений, то первое число будет неограниченно возрастать, тогда как второе будет постоянным, так что наше условие выполняется все лучше. Итак, его выполнимость обеспечена во всяком случае, если макроскопическая техника измерений слишком груба, чтобы достигнуть квантовых эффектов (тогда й практически равно 0).
Еще остается сформулировать Н-теорему (которую мы тоже докажем). Мы можем естественным образом сопоставить каждому состоянию 屮 энтропию, а равным образом и его микроканонический ансамбль ), а затем проследим за временным изменением энтропии и сравним ее первоначальное значение с конечным (последнее, как легко показать, всегда 纟 начального). Как и в классической механике, здесь также не может быть и речи о постоянном возрастании энтропии и тем менее о преимущественно положительном знаке ее производной (или же отношения разностей): здесь, как и там, остаются в силе возражения, связанные с обратимостью и повторимостью. В духе обсуждения этого обстоятельства, проведенного П. и Т- Эрен- фестами (ср. !. с., прим. *) на стр. 326), мы склонны скорее видеть существенную часть утверждения /7-теоремы в следующем: временная средняя энтропии состояния % лишь мало отличается от энтропии микроканонического ансамбля,——и поскольку последняя является верхней гранью для первой, это означает, что энтропия состояния % спускается сколько-нибудь заметно ниже границы лишь очень редко.
Мы увидим, что /7-теорема справедлива при тех же предположениях, что и эргодическая теорема.
Итак, резюмируя, можно сказать вот что: В квантовой механике эргодическую теорему и /7-теорему можно доказать во всей строгости и без гипотезы о беспорядке, тем самым устанавливается гарантированная применимость статистически-механических методов к термодинамике без привлечения каких бы то ни было дальнейших
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 337 гипотез ). Совершенно ясно, конечно, что это связано с тем обстоятельством, что, как и дифференциальные уравнения классической механики, зависящее от времени уравнение Шредингера, лежащее в основе квантовой механики, обладает свойством обратимости и повторимости *), ввиду чего само по себе не может быть достаточным для объяснения необратимых процессов ).
Можно было бы сказать еще несколько слов о связи этой работы с другими квантовомеханическими исследованиями вопросов статистической механики и термодинамики. Статьи Шредингера *), а также Нордгейма ) и Паули) описывают макроскопические соотношения на основании предположения о беспорядке, а потому относятся к другому направлению. Одна более ранняя работа автора стоит полностью на микроскопической точке зрения и также преследует другую цель: из предположенной справедливости феноменологического второго закона термодинамики сделать вывод относительно величины энтропии.
Автор хотел бы здесь подчеркнуть, что он считает себя обязанным выразить глубокую благодарность Е. Вигнеру за многочисленные обсуждения, в процессе которых возникли постановки вопросов этой работы.
1・ Квантовомеханическая формулировка основных понятийстатистической механики Гиббса
Как говорилось и было обосновано во введении, мы исходим из того, что вообще все макроскопически возможные наблюдения могут быть совершены одновременно. Их операторы коммутируют, следовательно, между собой, а потому существует полная ортогональная система з「 з?， • • • волновых функций, которые для каждого оператора являются собственными функциями (ср. прим. *) на стр. 328). При этом следует ожидать, что среди Юр з?， ■ • • имеются группы многих З/р для которых макроскопические операторы имеют одни и те же собственные значения: ведь в противном случае проведение
всех макроскопически возможных наблюдений позволяло бы добиться
полного различения между 叫，полного различения между 叫，о)2，…(т・ е. абсолютно точного опре-
полного различения между 叫，
полного различения между 叫，
деления состояний, что, вообще говоря, не так). Эти группы будем обозначать (заменяя применявшуюся до сих пор простую систему
К = 1, . . ., s/ черезК = 1, . . ., s/ черезиндексов 打=1, 2, ... двойной р = 1, 2, ... и
К = 1, . . ., s/ через
К = 1, . . ., s/ через
величин *) группы 叫 卩,величин *) группы 叫 卩,1, 2, ..., так что для всех макроскопических ,...» о>5 р представляют собой взаимно вы-
величин *) группы 叫 卩,
величин *) группы 叫 卩,
о) равнозначнаSp> Ро) равнозначнаSp> Ррожденные функции. Поэтому система о)1 卩,
о) равнозначна
Sp> Р
о) равнозначна
Sp> Р
любой системе з； 「，・.・，з； 炉 которая получается из первой с помощью линейного унитарного преобразования.
Если все состояния одной группы {①厶夕,...,(aSpt pJ смешиваются с весами 1 : ... : 1, то получается статистический ансамбль со стати-
стическим оператором — Еspстическим оператором — Еsp儿入 р, причем этот оператор Ер儿入 р, причем этот оператор Ерне изменяется при замене 33P на любые з； р (ср. выше), в чем легко убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет 3kp в качестве собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операто-не изменяется при замене 33P на любые з； р (ср. выше), в чем легко убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет 3kp в качестве собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операто-Р°в %Р°в %с коэффициентами, равными собственным значениям **),с коэффициентами, равными собственным значениям **),а поскольку все ①入，卩 с одним собственное значение, то будет отметим это для дальнейшего.а поскольку все ①入，卩 с одним собственное значение, то будет отметим это для дальнейшего.и тем же р имеют одно и то же также линейной комбинацией Ер,—и тем же р имеют одно и то же также линейной комбинацией Ер,—В остальном —В остальном —является.является._ _ как это видно из егоSp,статистическим оператором ансамбля, для которого все_ _ как это видно из егоSp,статистическим оператором ансамбля, для которого всеческие величины имеют значения, относящиеся к р-йческие величины имеют значения, относящиеся к р-йэтом все изэтом все изсами),——сами),——sp квантовых орбит обладают одними иsp квантовых орбит обладают одними ипостроения» макроскопи- группе (при теми же ве・построения» макроскопи- группе (при теми же ве・он соответствует таким об разом р-й из алыперна*он соответствует таким об разом р-й из алыперна*тиву относящихся к свойствам системы., которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических измерений. Тем самым он является эквивалентом «фазовых ячеек» ста-тиву относящихся к свойствам системы., которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических измерений. Тем самым он является эквивалентом «фазовых ячеек» ста-
стическим оператором — Еsp
стическим оператором — Еsp
儿入 р, причем этот оператор Ер
儿入 р, причем этот оператор Ер
не изменяется при замене 33P на любые з； р (ср. выше), в чем легко убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет 3kp в качестве собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операто-
не изменяется при замене 33P на любые з； р (ср. выше), в чем легко убедиться. Каждый макроскопический оператор имеет 3kp в качестве собственных функций, т. е. является линейной комбинацией операто-
Р°в %
Р°в %
с коэффициентами, равными собственным значениям **),
с коэффициентами, равными собственным значениям **),
а поскольку все ①入，卩 с одним собственное значение, то будет отметим это для дальнейшего.
а поскольку все ①入，卩 с одним собственное значение, то будет отметим это для дальнейшего.
и тем же р имеют одно и то же также линейной комбинацией Ер,—
и тем же р имеют одно и то же также линейной комбинацией Ер,—
В остальном —
В остальном —
является.
является.
_ _ как это видно из его
Sp,
статистическим оператором ансамбля, для которого все
_ _ как это видно из его
Sp,
статистическим оператором ансамбля, для которого все
ческие величины имеют значения, относящиеся к р-й
ческие величины имеют значения, относящиеся к р-й
этом все из
этом все из
сами),——
сами),——
sp квантовых орбит обладают одними и
sp квантовых орбит обладают одними и
построения» макроскопи- группе (при теми же ве・
построения» макроскопи- группе (при теми же ве・
он соответствует таким об разом р-й из алыперна*
он соответствует таким об разом р-й из алыперна*
тиву относящихся к свойствам системы., которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических измерений. Тем самым он является эквивалентом «фазовых ячеек» ста-
тиву относящихся к свойствам системы., которые могут быть отличены друг от друга с помощью макроскопических измерений. Тем самым он является эквивалентом «фазовых ячеек» ста-
тистической механики Гиббса. Число sp=Spur£^ (Spur означает шпур, ср. прим. *****) на стр. 330) является числом истинных (микроскопических) состояний, т. е. квантовых орбит в этой ячейке, —его величина является, таким образом, мерой грубости макроскопического способа рассмотрения.
Рассмотрим теперь оператор энергии Я с собственными функциями срр ср2, ... и собственными значениями Wv W2, ... соответственно, так что 夕=e取"〃 .Следует подчеркнуть, что Я должен быть точным оператором энергии, а вовсе не каким-нибудь макроскопическим приближением.
Функции 屮"，в общем, не являются функциями ①入“ и Я не есть линейная комбинация 弓,так как энергия, не будучи макроскопической величиной, не может быть измерена абсолютно точно с помощью макроскопических средств ). Но с известной (незначительной) точностью это все же возможно, т. е. можно подразделить собственные значения энергии 吃，％,…системы на группы {忆 ％口,力 (мы здесь снова заменяем простую нумерацию W\,屮離 с 打=1, 2, на двойную 眩р, а，屮р, 口 с а = 1, 2, ..., р == 1, ..., S/ таким образом, что все W^ 口 с одним и тем же а расположены близко друг к другу и лишь те из них, для которых а отличаются между собой (т. е. полные группы) могут быть различены макроскопически. Как сформулировать теперь, что уже сама принадлежность значений энергии к одной группе {%, й, ..., ^sa,«} макроскопически измерима?
надлежит к указанной группе, и 0 в остальных случаях,——следовательно, она макроскопически измерима. Из Н = £W『中 следует 九(夕)=2九(吃)％ (ср. 1. С., прим. **), стр. 329), так что=X % ，а эта последняя группа должна быть линейной ком-р=1 Р，°бинацией Е. Далее £ 夕 ,а также и каждый 弓=2% Рр=1 年。p )±1 人,pравняется своему квадрату, а произведение любых двух различных Ернадлежит к указанной группе, и 0 в остальных случаях,——следовательно, она макроскопически измерима. Из Н = £W『中 следует 九(夕)=2九(吃)％ (ср. 1. С., прим. **), стр. 329), так что=X % ，а эта последняя группа должна быть линейной ком-р=1 Р，°бинацией Е. Далее £ 夕 ,а также и каждый 弓=2% Рр=1 年。p )±1 人,pравняется своему квадрату, а произведение любых двух различных ЕрМы сделаем это, применив упомянутый выше и неоднократно используемый в 1. с., прим. *), стр. 330, искусственный прием. Пусть /а (%)— функция, которая для % =眩1,口，..., ^sa,«(〃 фиксировано) принимает значение 1, а в остальных случаях — 0. Тогда /й (Я) будет величиной, которая имеет значение 1, когда значение энергии при
надлежит к указанной группе, и 0 в остальных случаях,——следовательно, она макроскопически измерима. Из Н = £W『中 следует 九(夕)=2九(吃)％ (ср. 1. С., прим. **), стр. 329), так что
=X % ，а эта последняя группа должна быть линейной ком-
р=1 Р，°
бинацией Е. Далее £ 夕 ,а также и каждый 弓=2% Рр=1 年。p )±1 人,p
равняется своему квадрату, а произведение любых двух различных Ер
надлежит к указанной группе, и 0 в остальных случаях,——следовательно, она макроскопически измерима. Из Н = £W『中 следует 九(夕)=2九(吃)％ (ср. 1. С., прим. **), стр. 329), так что
=X % ，а эта последняя группа должна быть линейной ком-
р=1 Р，°
бинацией Е. Далее £ 夕 ,а также и каждый 弓=2% Рр=1 年。p )±1 人,p
равняется своему квадрату, а произведение любых двух различных Ер
равно 0 ); отсюда следует, что в упомянутой линейной комбинации Ер каждый из коэффициентов равен своему собственному квадрату, т. е.
равен 0 или 1. Итак, £ Р является просто суммой нескольких
Е , которые можно назвать £1( йEN ,口：
s。s。Взяв шпурВзяв шпур£ % а = £ 与‘от этого равенства, получим Sa — 2 s4s й. J Поскольку,£ % а = £ 与‘от этого равенства, получим Sa — 2 s4s й. J Поскольку,
s。
s。
Взяв шпур
Взяв шпур
£ % а = £ 与‘
от этого равенства, получим Sa — 2 s4s й. J Поскольку,
£ % а = £ 与‘
от этого равенства, получим Sa — 2 s4s й. J Поскольку,
согласно сказанному выше, произведение сумм 24a и £ 与力
(а #b) равно сумме слагаемых £ , общих обеим суммам, и поскольку, с другой стороны, это произведение равно произведению сумм £ Р
SbР=[屮р，а
м £ % ，которое обращается в нуль, то сумма общих £ равна 0.
р=1 р, ь卩
Итак, общих слагаемых нет, потому что сумма нескольких %, т・ е. нескольких Р@ , никогда не исчезает ). Наконец, Е^ й исчерпывают Ер (до сих пор мы знали только, что они образуют взаимно однознач
ную систему индексов некоторого подмножества), что, согласно только что сделанному замечанию, будет гарантировано, если только
сосо
будет доказано равенство X 2旦，а = £ 弓・ Левая часть является а~I v=lр-1
суммой всех £丫，а， т. е. всех 々 ,т. е. 1 (в случае полной ортогональной системы %],工2，. •. сумма всех Р* равняется 1 ), а 屮「口 образуют полную ортогональную систему); правая часть является суммой всех £ , т. е. суммой всех 儿 ,т. е. тоже 1 (з入 ° также
образуют полную ортогональную систему),—вместе с тем все доказано.
Таким образом, 与,霭, 厶霭 с а = 1, 2, ..., y=1^й — это просто заново перенумерованные %, sp с р = 1, 2, ... Соответственно будем писать ①入，粵 а вместо ①入，°. Положим
Как видно, ｝厶仪 является смесью состояний 屮】 緑•••，▼§ а с весами !:...:! или же смесью обсуждавшихся выше смесей —£i а——£拉 «> соответствующих фазовым ячейкам с ве-
S], aS%, а а'
сами S],宀・・：$з・
Вполне понятно, с другой стороны, что является аналогом этих представлений в гиббсовой теории: -J—А^ соответствует энергетической поверхности, т. е. микроканоническому ансамблю, Na является числом фазовых ячеек 与，а на энергетической поверхности и S^ = —Spur Ай является числом истинных состояний, т. е стационарных квантовых орбит на энергетической поверхности.
Макроскопически возможные измерения энергии разбивают тем самым множество мыслимых состояний на энергетические поверхности, соответствующие Afl, а=1, 2, •••； дальнейшие измерения энергии (которые разбили бы Аа на cpp fl( р == 1, ..., SJ с этими средствами невозможны. Если же дальнейшие измерения все-таки макроскопически возможны, то они должны относиться к таким величинам, опе
раторы которых не коммутируют с Я, т. е. к величинам, которые не могут быть измерены одновременно (с микроскопической) энергией. На классическом языке это означает, что они относятся к неинте- гралам движения, к изменяющимся во времени величинам *)• Эти измерения разбивают энергетическую поверхность Afl на фазовые ячейки 与，曲 y=1, ..., №霭. Дальнейшее разбиение (которое разбивало бы 6, а на % у, 口；入=1，Sy, 口)макроскопически вообще невозможно.
*) Например, в случае молекул, находящихся в макроскопически измерима, во времени,*) Например, в случае молекул, находящихся в макроскопически измерима, во времени,Тем самым величина Na является мерой того, насколько сильно пересекаются макроскопические методы измерения величин, неизмеримых одновременно с энергией, т. е. в какой мере неточность макроскопических измерений энергии обусловлена естественным образом
*) Например, в случае молекул, находящихся в макроскопически измерима, во времени,
*) Например, в случае молекул, находящихся в макроскопически измерима, во времени,
соотношениями неопределенностей. Напротив, величина s% 0 （т. е. величина фазовых ячеек £% а） является мерой неточности макроскопических методов как таковых, т. е. вытекающей из их неполноты. Неточность, связанная с Na, компенсируется знанием неинте- гралов, она не является слабой стороной нашей измерительной аппаратуры, но зато неточность, связанная с s、а, таковой является.
Наконец, Sa = 2 sv, а является мерой для произведения обеих неточностей: для полной, настоящей неточности измерения энергии.
Пусть теперь задано произвольное состояние 屮（волновая функция 屮 нормирована, т. е. |@卩=（屮，ф） — 1）. Вероятаость того, что при макроскопическом измерении в этом состоянии будет получено значение из фазовой ячейки £丫，°, равняется, как известно, сумме вероятностей переходов из этого состояния в состояния описываемые собственными функциями （оь v> а, ...» ms^ а> а, образующими £v（a, т. е.
e I （屮,J F= 2 （儿3"卅中）=6, J»,中）•
Можно сказать, что настолько плотно занята ячейка £v> « в состоянии 屮. Для того чтобы значение энергии относилось к группе ”h（r …，^sa,a\' получается соответственно выражение
2 1 （Ф> ”, а）卩=W &,卅屮）=（4% 屮）•
Это является также числом заполнения энергетической поверхности А。. В духе этих представлений имеем
8
Х6,。屮，屮） = （а。屮,屮）,.S（M> 中）=（屮,屮）=1・
Теперь мы можем определить микроканонический ансамбль, принадлежащий состоянию 屮，т. е. задать его статистический оператор. Если бы одно только （А。屮，屮）равнялось 1, а все остальные были бы равны 0 ）, то мы должны были бы, конечно, выбрать в качестве статистического оператора оператор 飞一А〃，рассматривающийся уже в 2. ）. Если же несколько （или все） （А。屮，屮）/0, то надо определять
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И //-ТЕОРЕМЫ 343 по-другому, а именно установим, что тогда должна браться смесь ^- Ар 亲 А2, ■ • • с весами ⑶屮,屮):(А抻,屮)：….Микроканонический ансамбль будет иметь тогда следующий статистический оператор:
a.
Собственно, оправданием этого определения является лишь последующий успех: эргодическая теорема и "-теорема справедливы лишь в этом случае. (Во всех практических случаях, конечно, все (Ааф,屮), кроме одного-единственного, очень малы.)
Остается еще определить энтропии для 屮 н % (самого состояния и относящегося к нему (виртуального) микроканонического ансамбля). Не имеет смысла пользоваться здесь выражениями для энтропии, данными автором, так как они вычислены с точки зрения наблюдателя, который может проделать все принципиально возможные измерения, т. е. безотносительно к макроскопии (например, каждое состояние («чистый случай») имеет там энтропию 0 и лишь смеси имеют энтропию > 0!). Если принять во внимание, что наблюдатель способен измерять только в макроскопическом смысле, то придем к другим выражениям для энтропии (имеющим ббльшие значения, так как наблюдатель теперь менее удачлив и при определенных обстоятельствах может отнимать у системы лишь меньшую механическую работу); но теорию можно построить также и в этом случае. Е. Вигнер рассмотрел, каким образом надо поступать ). Формулы для энтропий S (屮)，S(%) состояния 屮 и мпкроканонического ансамбля % соответственно имеют вид
S(中)=一 £寸6,簡,中)in(£*"'期一，a~ 1 1
S(%)=-2(M.中)in 德也 ).
Впрочем, эти формулы для энтропии тождественны с обычными формулами, основанными на больцмановском определении энтропии (с использованием формулы Стирлинга). Стоит лишь заметить, что
（g,a屮，屮），（厶麓，屮）являются числами заполнения фазовых ячеек, энергетических поверхностей соответственно, а $屮。，Sa ——числа находящихся в них квантовых орбит, т. е. их так назы-ваемые априорные веса
П. Проведение доказательств
Временная эволюция % исходного состояния 屮 определяется из зависящего от времени дифференциального уравнения Шредингера
屮0 =屮，死% = 丁砚,
'со sa\
Я— Оператор энергии,• Таким образом,
еслиесли、а = 1р=1 н > а/
если
если
（%, 。 三б。三 ар, а < 2口），（%, 。 三б。三 ар, а < 2口），屮=X £小/也…р,。 то будем иметь
（%, 。 三б。三 ар, а < 2口），
（%, 。 三б。三 ар, а < 2口），
中，=N Xр，a ^а' • <Р а.
а= 1 р=Г
Положим для краткости
/а =（& 冉，％）' "а = （А。％，％） =（А。屮，屮）
（оба последних выражения равны друг другу, потому что
SaSa（А。％，电）=W （Q, 3,屮,）=2|（фг ?р, a）『=己」；,a（А。％，电）=W （Q, 3,屮,）=2|（фг ?р, a）『=己」；,a
Sa
Sa
（А。％，电）=W （Q, 3,屮,）=2|（фг ?р, a）『=己」；,a
（А。％，电）=W （Q, 3,屮,）=2|（фг ?р, a）『=己」；,a
"a8
не зависит от /）. Как видно, £/“ = %，X %=】，^Vj а зависит v=1*a=l
от Л а иа не зависит*）. Из определений энтропии нам известно, что л\, °，我。неотрицательны и что имеют место соотношения
8ОО
11также не из*также не из*s @）=—£1相，小咤予s（%）=-£"m 豈.
1
1
также не из*
также не из*
Так как сумма всех х^ а, как и всех %, равна 1, то все они 三 0. W1 и вместе с тем обе энтропии всегда N。. Займемся теперь подробнее соотношением между их величинами.
Имеем 0三％丫，° 三九£ заменим хъ а переменной z и примем сна
чала 0三2 三 2s》'“丸а，так что I—^― z — 11^1. Тогда будет ◎I Sy, a^a I
a\ LJ / \
十也(1 十[鼻1])) = 一看0+[爲1])X
*(g金十[訂「一1]_好言「一1T十
Z — 1 ]—Z — 1 ]—S”，а% Г Sq 1*2* Sa L Sy, a%S”，а% Г Sq 1*2* Sa L Sy, a%J 丁2・3・Sa LV*"J 丁2・3・Sa LV*",-l]3-+...,-l]3-+...
Z — 1 ]—
Z — 1 ]—
S”，а% Г Sq 1*2* Sa L Sy, a%
S”，а% Г Sq 1*2* Sa L Sy, a%
J 丁2・3・Sa LV*"
J 丁2・3・Sa LV*"
,-l]3-+...
,-l]3-+...
В силу 匸歹 + 亢耳+ …=1, сумма последних членов по абсолютной величине w §”％,[_^-z1 ] , поэтому можем написать
匚崙"嘰7唆十讣一号"j + zh^W
Чтобы доказать это для остальныхЧтобы доказать это для остальныхзначений %, сравним левую частьзначений %, сравним левую часть
Чтобы доказать это для остальных
Чтобы доказать это для остальных
значений %, сравним левую часть
значений %, сравним левую часть
(без I. .. I) с половиной правой. Для z(без I. .. I) с половиной правой. Для zSy, a〃aSy, a〃aобе исчезают.обе исчезают.
(без I. .. I) с половиной правой. Для z
(без I. .. I) с половиной правой. Для z
Sy, a〃a
Sy, a〃a
обе исчезают.
обе исчезают.
вообще же производные равны
i) = lni) = ln§aSv, a%§aSv, a%§y, a〃a§y, a〃a叉,a% ]Sq J叉,a% ]Sq JSa羽，Q北QSa羽，Q北Q
i) = ln
i) = ln
§a
Sv, a%
§a
Sv, a%
§y, a〃a
§y, a〃a
叉,a% ]
Sq J
叉,a% ]
Sq J
Sa羽，Q北Q
Sa羽，Q北Q
Первое выражение, очевидно, всегда 三 второго и 毒 0 для % 与 ®К也,поэтому левая сторона 与, чем половина правой для
% 与 声啜也,но она всегда >0. Тем самым имеем всегда
0三一等 "1n*一（1П 罪+川2一乎〃;
V Sa Г 2 Sv, a% У
Положим теперь z = x^霭 и просуммируем по всем у=1, ..., N。; nqN；
В силу 鼻 S“a = Sa，g 相,。=% ПОЛучИМ
0W—吗喈+ *МП尹互勺用[А,。一Ь^к]
Если теперь просуммировать еще по a = 1, 2,.・・, то будет
°0 Na
Эта оценка позволит нам доказать //-теорему. Перейдем теперь к эргодической теореме. Окажется, что и для нее дело сведется к оценке того же выражения.
Пусть 4 — макроскопически наблюдаемая величина, т. е.
a- I y=1
Функции ①入，％ ° фазовой ячейки 与，。являются собственными функциями 4, соответствующими собственным значениям 耳* 小 т. е.耳丫 а является значением 4 в фазовой ячейке £v> а.
В состоянии 屮/ и в микроканоническом ансамбле & величина 4 будет иметь математические ожидания
8 %8 TV。
（4屮「屮f）=』а % a（V, a屮尸屮f） = У 士％, Mv, О
a= 1 v— 11 v= 1
/ 8 М。8 %\
Spur (4%) = Spur £2XE「££V&a =
\ a= 1 v=la— 1 v=l/
8
§v, а〃а
Sa
*)
соответственно. Назовем их Ед (ф) и 七力(%), тогда можем дать
оценку (привлекая неравенство Шварца): / 8 N。
(々(％) — ea(&) У = (沿山
Sa
Sy，a〃a 5 I f I 屮
S.
2
亠
a=l v= 1
a=1 v=l
§v，a〃a
Назовем первый множитель 寸,
В
силу
°0 Na
^^互0, £ £
§v, a〃a
8 Na
это — среднее значение значений 耳；
а величины /2, а именно, микро
каноническое математическое ожидание: 4P как раз является смесью ь Aa(Q = 1, 2,・・・)с весами 〃。, т. е. смесью£v a (a = 1, 2,...;
у = 1,・・・,^a) с весами 区产乌一 и /2,
как мы знаем,
значение 北彳 а， Поэтому в любом случае 北 является порядка величины для величины /. Итак, имеем
1 - имеетв^—£v(a
разумной мерой
_8 N。
（々（中,）一以№））三千・££生!>^
§v，a〃a
Г-
*) Число членов уменьшается благодаря тому, что £у,。£卩，ь = 0, если только не имеют места равенства 丫 =出，a = 6,w в этом последнем случае произведение равно £力 а н его шпур равен sv, °.
Усредним теперь по времени /, что будем обозначать через Mv Тогда
饵｛|S（&）-S（屮,）|｝三 м饵｛|S（&）-S（屮,）|｝三 мSaSaMt {{EM-EA^\^MtMt {{EM-EA^\^Mt
饵｛|S（&）-S（屮,）|｝三 м
饵｛|S（&）-S（屮,）|｝三 м
Sa
Sa
Mt {{EM-EA^\^Mt
Mt {{EM-EA^\^Mt
Тем самым эргодическая теорема и //-теорема будут доказаны единым махом, как только мы покажем, что 饵{…}, стоящие справа, равномерно малы для всех начальных состояний 屮(т. е. для всех
%,。，%,а- 2 £片。=|屮卩=1丿・(Заметим, что в 当，。входят Л гя % „, в w_ входит лишь гЛ с，все остальное ——константы.)
Чтобы это показать, подсчитаем сначала %山。・ Будет
X” а =冏,№ 屮,)=а W % J (万"""％ ' • 4悠 信％% j$)) =
=2 г^агъае1^^^^^^^ •爲，肝…瑞/
и дальше〈 мыи дальше〈 мыучитываем,учитываем,чточто
и дальше〈 мы
и дальше〈 мы
учитываем,
учитываем,
что
что
管(％, а-也,а) 「％, а))管(％, а-也,а) 「％, а))
管(％, а-也,а) 「％, а))
管(％, а-也,а) 「％, а))
2 г?,/。,/
р. V1
Р声b
X(与,а屮"а» %, а) + \ а {& & а* ”, а) —}
*) Число членов уменьшится из-за того, что (£丫, /?, ь,屮⑺ с)= =(屮р,力，£;,。屮^, е)=0, если только не имеет места равенство а~Ь~с. Достаточно показать, что 氏，。作，ь = ° при а ^ 6 .или же (в силу £.)аДа= Еъ а, ср.
sa
1・,2.) Аафр, ь = 0. Это следует из А。=』Р? ^, так как <рр, ь ортогонально ко всем 外，°.
Это выражение надо возвести в квадрат и усреднить по /, тогда выпадут все члены с е"“， где с # 0. Если поэтому выполняется
при р В ипри р В и2兀*（吃一必）¥=0,2兀*（吃一必）¥=0,
при р В и
при р В и
2兀
*（吃一必）¥=0,
2兀
*（吃一必）¥=0,
при р R о, р‘ В『 普（％ — %） —（%’ 一必，）力 0,
если только не р#р‘，oRo',——т. е. если для каждого фиксированного а все %,@（р=1，2,…）отличны друг от друга, и равным образом все W^ а — ^о, а（р/5 р, а= 1, 2, ,..）, —то мы получим
他（Rl若]）=*Г；,/,。庐,/"，復 a）f +
Положим теперь
Мах （16, a”, а，% 訓2） = М“,а，
Р 声力 Р» Ь=1, • • Sq
P』N%（依得小）—"『Хn,。
где Му,«, N* °—константы, т. е. не зависят от /, гр（ а и а л （т. е. от 屮J В силу ^ г^ а~ иа будет тогда
饵 G"。- ^]2）^ 2 彳，/，4m“ 。 （g 彳,a w
p,b=l“1/
P声b
三吟・（M“a + N,J и поэтому
8 s@]8 %
饵 ££鼻[%-^4卜££*M,a+M,j
В силуВ силу£%=i£%=iэто также W Мах a~ 1, 2,.это также W Мах a~ 1, 2,.Na工总 M,a + M,a）Na工总 M,a + M,a）припри
В силу
В силу
£%=i
£%=i
это также W Мах a~ 1, 2,.
это также W Мах a~ 1, 2,.
Na
工总 M,a + M,a）
Na
工总 M,a + M,a）
при
при
этом достаточно ограничить Мах такими а, для которых иа 卢 О,а = 1, 2, • *（
т. е. энергетические поверхности которых на самом деле входят в микроканонический ансамбль. Тем самым цель будет достигнута, если мы покажем, что
£%(М“а + М,/
1
мало для таких а, причем тогда наш результат будет иметь место для всех таких 屮：поскольку названное выражение является константой, т. е. не зависит от 屮(Л rp> а, ар)а)——в него входят лишь Еъа (и тем самым S&, N&, s &, Аа, равно как 网①入，打/• Для того чтобы оценить это выражение, надо оценить Mv(a, N*。・
Мы считаем Н, а вместе с ним 眩「，&,屮「，& фиксированными (и удовлетворяющими условиям из 3. *)), так же как и S&, N⑴ $力 &， и А。， и варьируем лишь 旦，。внутри этих границ. Это означает, что м,ы варьируем ортогональную систему з入,打 а (y= 1,...» N«; X—1,...» $丫,&), которая связана лишь условием У 工儿、 =Aa, и полагаем
£y,& = g 尸⑴/ у °， 丫= 1， •・・，Na，Заметим, что все такие ортогональные системы ⑴入，у, & возникают из одной из них, скажем из ⑴入，丫，《, с помощью линейных унитарных преобразований (поскольку а фиксировано, в £ $丫, & = S& измерениях)! (Можно вспомнить, например, матричное определение Рш> введение, 3..) М^, &, N)& зависят тогда еще лишь от ①笛丫，。 и их никоим образом нельзя сделать настолько малыми, как это нам нужно при каждом выборе системы (этого нельзя также избежать с помощью каких бы то ни было разумных условий на S&, Na, sv)a). Если, например,⑴入，丫，口 совпадают с 屮?，。 (а фиксировано, обеих имеется по Sa штук), то мы видим, что
любое (£у屮р, @,屮％ @) принимает среди будет №, а 自(1 — ^^『三^ (если,любое (£у屮р, @,屮％ @) принимает среди будет №, а 自(1 — ^^『三^ (если,прочих и значениечто всегда имеетпрочих и значениечто всегда имеет1, такместо,1, такместо,чтовсечтовсе
любое (£у屮р, @,屮％ @) принимает среди будет №, а 自(1 — ^^『三^ (если,
любое (£у屮р, @,屮％ @) принимает среди будет №, а 自(1 — ^^『三^ (если,
прочих и значение
что всегда имеет
прочих и значение
что всегда имеет
1, так
место,
1, так
место,
что
все
что
все
%@W"^Sa), И потому(Mv, a + 风, a)MN。* 2 * "^ =今，
т. е. для больших Na произвольно велико. Неблагоприятный результат в этом случае зависит, естественно, от того, что подобный выбор о入宀 @ вообще не является разумным: & а.имеют тогда те же собственные функции, что и Я, а потому перестановочны с ним, — а этого не может быть (ср. I. 2.)!
Между тем такое поведение является лишь сингулярным и исключительным, для преобладающего большинства систем 吗宀 @, о которых шла речь, М* @, N* @ имеют правильный порядок величины. Но прежде чем доказывать это, мы хотим (неточно!) сориентироваться в том, чего мы могли бы ожидать в лучшем случае для Му, @, Ny, @・ С этой целью мы поступим так: вместо того чтобы усреднять
М”,®= Мах (|&,陷” %, а) 12)>
Р次％ Р，а=1, ♦•・，S〃
风，® = р=]Мах$ Ц 6,$,®，理 а)
по всем возможным системам 吗,丫, @ (т. е. установить, какие значения
преимущественно принимаются; как определяется усреднение и как оно осуществляется, будет детально показано в приложении; ср. также дискуссию в III.1.), мы усредним сами |(与,@", @，屮р, @)户 (Р =# °» Р» ° ~ Ь • • • > S。)И { (А, а^р, @，屮р, а) ^^ } (р = 1, • • •, S) а затем возьмем максимум. Мы заменяем, таким образом, среднее от максимума максимумом среднего—так получаются неправильные, причем слишком заниженные (т. е. слишком благоприятные) числа, но для первой ориентировки этим можно удовлетвориться.
Как будет показано в приложении к этой работе, средние от lf», а^.аК Л2(Р #。)，6, $, с，”, а)，卜且，得,а，中р, а) — ^f" } равны соответственно ‘山 “ 9“丁又 J), 又，а , 又，а(：а — 5二&). , так что 儿因一1)S"s@+1)
если sv> а <^ Sa (как и бывает на самом деле), то будем иметь для средних <〜 包嗫，•"，@ , 三罗. Подставим поэтому в виде опыта
вместо Му, “，№,авместо Му, “，№,авеличину $，］,величину $，］,тогдатогдаNq^总 М,а + М,/Nq^总 М,а + М,/2»а2»а
вместо Му, “，№,а
вместо Му, “，№,а
величину $，］,
величину $，］,
тогда
тогда
Nq
^总 М,а + М,/
Nq
^总 М,а + М,/
2»а
2»а
Это мало, если мало, т. е. если 工匸велико. Итак, S〃N& Na
€旷，а， а значит, фазовые ячейки должны в среднем быть большими. Этот результат совершенно разумен, мы перейдем поэтому к корректному усреднению М», 〃 N、，& по 吗、…勿
Для средних от М», °, N^ & по всем со?f ч> а
% %，а'
при X й^-^^.
„In Sa 9Sy, alnSa
в приложении будут найдены верхние границы — и ——
соответственно. Как видно, они в ‘° 也 и соответственно в 91nse
Sv, a°
раз больше использовавшихся в 4. чисел (полагаем 1 <^s^ a <^ Sa I), в частности, первая оценка существенно хуже второй. Возможно, что наши оценки допускают существенное улучшение и могут быть приближены к оценкам из 4・，一это следует подчеркнуть, чтобы правильно оценить условия, которые мы получим для соотношения между величинами 邑，N〃，％。： они во всяком случае достаточны, но возможно не необходимы.
Подставляя приведенные выше выражения, для среднего от
>^(M,,a + N“a)
находим, .что оно
Введем арифметическое и гармоническое средние ots、，a (y=1 , ..., NJ
11 у 111 у 1
11 у 1
11 у 1
тогда указанное выше выражение равно In Sa • (=^ + =^)・ Поскольку s^sa и 爲举1 (это выражает оправданное допущение, что на энергетической поверхности лежит много фазовых ячеек), то это ~ln Sa • -. Когда это выражение мало?
Во всяком случае должно быть %叁^^>N。，In%三InN。， так что In Sa = In 5a + In Na, можно заменить на ln%・ Итак, условием будет
т. е.
Это означает, что $,。должны быть велики и по отношению к их числам Na (т. е. фазовые ячейки по отношению к их числу на энергетической поверхности), а не только, как в 4., просто велики. Что это означает более точно в применении к распределению s^ а, будет еще показано.
Следует еще раз указать на предварительный характер наших оценок. Возможно, что данное выше усиление требования относительно величины фазовых ячеек необходимо на самом деле для того, чтобы эргодическая теорема и /7-теорема были справедливы. Может оказаться также, что оно вытекает лишь из неполноты наших методов оценки, так что в действительности достаточно уже условия $@^>1 из 4.. Было бы интересно внести ясность в этот вопрос.
Обсуждение результатов
Подведем итог достигнутому до сих пор. Мы показали:
Пусть ф ——некоторое состояние,屮^ ——состояние, вытекающее из него с течением времени /(^ 0), %—его микроканонический ансамбль (ср. I, 3.), Я——оператор энергии, W^ а ——его собственные значения (〃=1, 2, ...; р = 1, ...» S^ макроскопически различимы лишь собственные состояния с различными а, ср. 1.2.),——как 屮 так и Я являются точными (не макроскопическими!) выражениями. Относительно Я мы делаем допущение, что (при фиксированном а) все %, @ различны между собой, а также все разности W^a ——W[, &， т. е. что Я не обладает вырождением внутри макроскопически неразличной группы термов и резонансами с другими (виртуальными) такими же
^3 И, Не必мам
системами ). (Не слишком частые нарушения этого запрета допустимы.) Тогда для математического ожидания каждой макроскопически измеримой величины Л и для энтропии в среднем по времени имеют место
(
Na 、
[Ср. II. 3.; достаточно образовывать Мах лишь по тем а (макроскопические), энергетические поверхности которых входят в микро- канонический ансамбль U^ (иа — (Даф, ф) ^ 0)——на практике чаще всего это сводится к лишь одному а. %2 является микроканоническим средним от /2, т. е. является мерой порядка его величины.]
Е/(М“а+№,а) v= 1Е/(М“а+№,а) v= 1Эргодическая теорема и //-теорема справедливы, таким образом,
Е/(М“а+№,а) v= 1
Е/(М“а+№,а) v= 1
без исключений (т. е. для всех 屮)，если эти
малы. Относительно выполнимости этого условия, в которое помимо Sa，Na，s“c (и Аа) входит также %、，° (в Мч)в и N»,J можно сказать следующее: Если имеет место
е. если фазовые ячейки 或，^ велики по отношению к их числу на энергетической поверхности А。， то это условие выполняется для подавляющего большинства ①入,、,&， т. е. среднее по ①入,丫,《 от
总(M“a + N“a)мало). V = 1
Итак, истинное условие справедливости обеих теорем может
нарушаться и при V«―~> т. е. даже и в этом случае
V s^a Esq
можно так искусно выбрать макроскопическую измерительную технику (①入,V а)， ит。 обе теоремы не будут справедливы. Но для подавляющего большинства макроскопических точек зрения обе теоремы справедливы без исключений (т. е. для всех 屮 и Л).
2. Присмотримся внимательнее к условию2. Присмотримся внимательнее к условиюSv, аSv, а11п&11п&
2. Присмотримся внимательнее к условию
2. Присмотримся внимательнее к условию
Sv, а
Sv, а
1
1п&
1
1п&
Если бы все s、,& (а условие означало бы,Если бы все s、,& (а условие означало бы,приводит к тому, чтоприводит к тому, что厶4 %a =入厶4 %a =入
Если бы все s、,& (а условие означало бы,
Если бы все s、,& (а условие означало бы,
приводит к тому, что
приводит к тому, что
厶
4 %a =入
厶
4 %a =入
фиксировано!) были примерно равны» то это
N 15"
что, —当-2^>М，т. е. немногим
S。 In Sa In Sa
больше, чем sa^> Na, т. e. утверждение, что фазовые ячейки велики по сравнению с их числом на энергетической поверхности. Если же
среди Sy,标 попадаются существенно различные, то нужна максималь
ная осторожность: одно-единственное $,编 которое не 扌>1, уже
не <^ 1. т. е. к нарушению нашего
условия. С другой стороны, Sy, а сильно отличаются друг от друга: ибо InSy, а надо считать энтропией смеси —^g,。， которая характе- ризует общую систему, находящуюся в фазовой ячейке £打а)，—и достаточно представить себе соотношения из теории газов, чтобы понять, что на энергетической поверхности, вообще говоря, лежат фазовые ячейки с существенно различными энтропиями. (Как раз их наличие делает и» //-теоремы глубокое утверждение!) Если самая большая из встречающихся (макроскопически воспринимаемая!) разница энтропий равна а, то всегда 卩口^卩，。——Ins，〃|三0, так что
ввиду чего надо потребовать, чтобы —~ ^> eaNa.
In sa
Впрочем, это соотношение показывает, что опасность оказывается только кажущейся: в силу малости 力，которое входит в левую часть (при 九一>0, %->оо, ср. введение, 6・)，но не в правую, это соотношение при нормальных обстоятельствах выполняется. Нам кажется, что здесь нет нужды вдаваться в дальнейшие подробности.
. Остается еще разобраться в смысле условий на собственные значения Я, приведя известные классические примеры и контрпримеры к эргодической теореме и ”-теореме.
Пусть К ——ящик, в котором беспорядочно движутся N частиц 力 ••., kN, т. е. какой-то газ; примем альтернативно, что:
а) между частицами нет никаких взаимодействий, так что даже соударений никогда не бывает (это значит, что они могут беспрепятственно проходить друг через друга);
3) имеются взаимодействия и соударения.
В случае а) оба предложения, как известно, не справедливы (так как любое распределение скоростей, а не только максвелловское, может существовать произвольно долгое время), в случае 0) надеются, напротив, что они имеют место. (Совершенно аналогична ситуация в случае излучения в полости, в которой имеется лишь отражение.) Как следует понимать такое поведение с точки зрения наших условий?
Поскольку в отношении S。， N@, $丫，。 и £,。 едва ли имеется какое-нибудь различие между а) и ?), то в качестве причины этого различия остается Я-условие. Будем рассматривать сначала каждую частицу в К саму по себе, тогда ее собственные значения энергии будут гр е2 ・•• *)• Собственными значениями энергии всего К будут тогда в случае а) все 21^ = 0, 1, •.= N ), в случае ?)
V=1 \ v=1 /
они еще немного изменятся ——тем меньше, чем слабее взаимодействие. В силу тождественности частиц здесь собственно возникает, вообще говоря, Nl-кратное «обменное вырождение» ), т. е. нарушение первого условия на собственные значения энергии. Поскольку, однако, имеет место или статистика Ферми — Дирака,暗н же статистика Бозе — Эйнштейна, т. е. допустимы только антисимметричные, соответственно симметричные во всех частицах волновые функции ), то эти вырождения снова отпадают ). Таким образом, здесь не возникает трудностей. Напротив, в случае а) существует ряд соотношений вида, запрещенного вторым условием：
(€1 + ^3+ • •・)—(€2 + ^3+ •・•) = (е1 + £4Н~* • •) —(02 + ^4+ . - .) И Т. Д.
В случае ?) это невозможно, так как четыре заданных терма К возмущаются совершенно по-разному, причем это утверждение, очевидно, нисколько не зависит от абсолютной величины возмущения (т. е. взаимодействия).
Таким образом, внутренняя причина различного характера случаев а) и 似 лежит в поведении по отношению к условию
Приложение
свойства распре- Сначала, однако,говорить о стати-свойства распре- Сначала, однако,говорить о стати-Надо вывести использованные в II. 4«, 5. Делений 16,督,。，%, й)!2(Р 学:。)и (与,$,。，理,J нам следует разъяснить, как здесь вообще можно
свойства распре- Сначала, однако,
говорить о стати-
свойства распре- Сначала, однако,
говорить о стати-
стическом распределении.В II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависят, в конце концов, от 吗宀① а такжестическом распределении.В II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависят, в конце концов, от 吗宀① а такжезависящие от 且,靠, на то, что подзависящие от 且,靠, на то, что подусреднением мы понимаем усреднение по этим ①入宀 °： поскольку S@,Na %Jусреднением мы понимаем усреднение по этим ①入宀 °： поскольку S@,Na %JN«，Sy, ° и Аа заданы, они подчиняются условию 斗 2 ^шх, v, аN«，Sy, ° и Аа заданы, они подчиняются условию 斗 2 ^шх, v, аи, со своей стороны, определяют Е、,и, со своей стороны, определяют Е、,%, апо формуле 2「叭%, апо формуле 2「叭
стическом распределении.
В II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависят, в конце концов, от 吗宀① а также
стическом распределении.
В II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависят, в конце концов, от 吗宀① а также
зависящие от 且,靠, на то, что под
зависящие от 且,靠, на то, что под
усреднением мы понимаем усреднение по этим ①入宀 °： поскольку S@,
Na %J
усреднением мы понимаем усреднение по этим ①入宀 °： поскольку S@,
Na %J
N«，Sy, ° и Аа заданы, они подчиняются условию 斗 2 ^шх, v, а
N«，Sy, ° и Аа заданы, они подчиняются условию 斗 2 ^шх, v, а
и, со своей стороны, определяют Е、,
и, со своей стороны, определяют Е、,
%, а
по формуле 2「叭
%, а
по формуле 2「叭
Дальше мы упоминали, что все такие системы получаются из одной
из них, скажем о)х> Ч1 а> с помощью линейных унитарных преобразований. Так что, избрав каким-то образом ①入，打 &， можно с равным успехом сказать, что мы усредняем по множеству унитарных матриц пре-
образования в 》$丫，。= S。измерениях, они переводят сох)Vj а в ①入，* @
обра- ①入,„ aобра- ①入,„ a(а фиксировано!) • Следовало бы обозначать эти матрицы через
обра- ①入,„ a
обра- ①入,„ a
{К, wv, у'}，используя для строк двойные индексы 入，v, и равным зом для столбцов V, /, в соответствии с системой индексов для
Na % @
И ①入…а I ведь должно бытьИ ①入…а I ведь должно быть①入,У, a = а]Nf% v/V,j3入
И ①入…а I ведь должно быть
И ①入…а I ведь должно быть
но мы предпочитаем ввести один текущий индекс, т・ е. писать &/?'(Р，р' = 1，. . ., S^^ Теперь мы должны объяснить, как следует усреднять по множеству 5й-мерных унитарных матриц {&/?}
Мы желаем усреднять так, чтобы при этом ни одной из систем отсчета ①入,丫, & не отдавалось предпочтения перед другими. Если теперь ①储打 @ означает какую-нибудь другую из таких систем отсчета>
一"a 包@~=~
3…=》工H,v“v9，,v，,a (запишем теперь также и 坛疗 вместо 入=1
{%，} (тоН *е системы % ,,/ о\, у, а существует соотноше-{%，} (тоН *е системы % ,,/ о\, у, а существует соотноше-р/р%/『'р/р%/『'E,y“N), то между матрицами {%，J и в отношении к ①入,а и соответственно ние {&/} = %/『}{%〃，}，т. е.
{%，} (тоН *е системы % ,,/ о\, у, а существует соотноше-
{%，} (тоН *е системы % ,,/ о\, у, а существует соотноше-
р/р%/『'
р/р%/『'
Итак, метод усреднения должен быть таким, чтобы он был инвариантным по отношению к преобразованиям указанной выше формы {£〃?,} f {Е；/у} (口』只 любой фиксированной унитарной матрицы {^/厂})・ Но подобный метод усреднения по унитарной группе существует, причем он полностью определяется наложенным требованием; он был разработан Вейлем ). Мы, однако, не будем пользоваться здесь его общими формулами, единственное, что нам понадобится для достижения цели,——это свойства инвариантности этого метода усреднения. Упомянем еще, что (как показано в 1. с.) указанный метод усреднения инвариантен также по отношению к преобразованию {%/?‘} — {£/},
которое определяется соотношением {%" = {、/}{%?，}，т.
Во-вторых, сделаем еще несколько формальных упрощений. Так как порядок нумерации 丫=1,…，Na не имеет значения, то достаточно рассмотреть £\,优 Заменой индексов 入,y через р мы можем распорядиться так, что 入，1 перейдет в р=1, ...» sb а. Выберем затем систему отсчета ①入，* а: пусть это будет система 屮仆 а, чем одновременно достигается перенумерация. Имеем тогда
И, наконец, опустим излишние индексы у, а, так что S&, N&、s1>a, &，а。，&,а，Ml” М,а перейдут в S, Ms, А, £,屮「，М, N.
Итак, вот наша задача: исследовать с помощью очерченного выше метода усреднения распределения величин
1（6阵，外）y =1（6阵，外）y =NW 次。）NW 次。）
1（6阵，外）y =
1（6阵，外）y =
NW 次。）
NW 次。）
(员Рр，中р)=/£/р|2.
где 代р/р" пробегает все S-мерные унитарные матрицы.
Прежде всего одно вспомогательное рассуждение. Установим
S
распределение значений ^ х2, когда вектор {хр ..., xs] пробегает
s
поверхность единичной сферы ^ х2 =lt причем сначала для веще- p=i °
ственных хр. То есть мы определим W (zz), где W (zz) du является s
(геометрической) вероятностью для 辽 三 £ %2二辽 十^辽(0 三辽三 1) )・ р= 1 р
Простое геометрическое рассмотрение, которое мы здесь не станем воспроизводить, показывает, что W Q) пропорционально выраже- s-s t
нию 辽2(1 —辽)2, а не зависящий от 辽 фактор пропорциональ
ности определяется из
1
/ W {ti) du =\. о
Если теперь хр ..., xs могут быть комплексными и, следовательно, надо рассматривать
"W W |斗12三"+ 加 h 2)х )2=1,Р=1Р=1
то стоит лишь сообразить, что все остается по-старому, если дей
(S—1)!(s—1)!(S —S—1)!(S—1)!(s—1)!(S —S—1)!ствительные и мнимые части хр рассматривать как вещественные декартовы координаты. При этом нужно лишь s, S заменить на 2s, 2s. Тогда W (zz) будет пропорционально z/5-1 (1—辽)'-s-l а фактор про
(S—1)!
(s—1)!(S —S—1)!
(S—1)!
(s—1)!(S —S—1)!
порциональности определяется из нормировки как
/ 5\«
Следовательно, среднее от ( 2 lxJ2) будет равно\р=1 Р /
(S-1)!(s—1)!(S —s—1)!(S-1)!(s—1)!(S —s—1)!辽s-i([—辽)'-б— •少.d% =辽s-i([—辽)'-б— •少.d% =
(S-1)!
(s—1)!(S —s—1)!
(S-1)!
(s—1)!(S —s—1)!
辽s-i([—辽)'-б— •少.d% =
辽s-i([—辽)'-б— •少.d% =
(S-l)!(S-l)!(s—1)!(S —s—1)!(s—1)!(S —s—1)!1
(S-l)!
(S-l)!
(s—1)!(S —s—1)!
(s—1)!(S —s—1)!
/ us+n-^\ — u^~s~l du = 0
(S — 1) !(5 + n — 1) ! (S — S — 1)! 5(5 + 1)(s + n — 1) (S— 1)! (S —S—1)! (S + 几一1)!= e(s4-l)…(s*〃一1) *
Возвращаясь к унитарным {£“？‘}, запишем для краткости %=N 諸/， В силу приведенных в 1. оснований, все е^ «(р^о) имеют одно и то же распределение вероятностей, а равным образом и все а с *)•
В 里，？=£代山|2 входит лишь р-й столбец матрицы {£?/}, по нему можно усреднить так, как это было проделано в 2. по единичной сфере (это легко следует из свойств инвариантности наших средних). Поэтому будет (через 耽 мы обозначаем среднее)
耽д,j=意,
耽&J耽&J=s(s-H)
耽&J
耽&J
—S(S+1)
s(s+l) s2 s(S — s)
s (^j-1)—勺=S2(s + d •
Дальше из £2 = £ выводим
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И //-ТЕОРЕМЫ 361
В силу равенства всех 2И(рр)а|2) (р 十 о) будет поэтому
耽(/。^=占縛&J一耽 色,р))=
—1 (s s(s+D\_ s(S —s)
=S -1百(*1)丿= S(S2_]) •
Тем самым в согласии ТеперьТем самым в согласии Теперьиспользованные в II. 4. средние значения найдены, причем с данными там значениями.
Тем самым в согласии Теперь
Тем самым в согласии Теперь
остается лишь исследовать распределения |©「, ^丨？ (р=^о)
и 卜р, р—^) , чтобы определить средние М, N из II. 5..
Последнее проще всего: мы уже знаем, что 〃三 е。，三〃十壮〃 (0三〃三 1) имеет вероятность W (zz) da (ср. 2.). Пусть а ——некоторое число > 0, «今，тогда вероятность, что & ?——1~) > а (заметим, что левая сторона заведомо W1, так как 0 <gpj р < 1) будет равна
W (卫)du =W (卫)du =
W (卫)du =
W (卫)du =
Логарифмическая производная подинтегрального выражения равна
丄-^^MlTTT^ds-ll — lS — Z]"),
так что оно постоянно возрастает при приближении к и —不二？‘ •
ss —-1 I S — 2s 1
Это значение < -|~, причем на если。自表，то оно лежитЭто значение < -|~, причем на если。自表，то оно лежитТ 一 享二Г + S7S-1)W -s ； потому в интервале -^-±]/"а. В области инте
Это значение < -|~, причем на если。自表，то оно лежит
Это значение < -|~, причем на если。自表，то оно лежит
грирования подынтегральное выражение достигает поэтому своего максимума при 〃 =姦±]/^ (мы не различаем где). Поэтому мы
можем оценить все выражение, оно будет
Воспользуемся теперь тем, что 1<sVS, тогда первый множитель (на основании формулы Стирлинга) будет
а второй 7 ние будета второй 7 ние будетS —s
а второй 7 ние будет
а второй 7 ние будет
.Поэтому все выраже-
S s In (1 土 ^ M2)+ (S-s) In (1 干 ^^ MG)
Экспонента будет
三土 S ^^ — S 芸土 s ^^2■干(S — s) ^7 M2 =
S2a f S3a Н а=-"2r±^?—•
В силу $(а <^ ] второй член мал по сравнению с первым, так что наше выражение ^—^^е 2s (0 ——какое-то число < 1).
|"У ^ д для фикси-|"У ^ д для фикси-у 2qs
|"У ^ д для фикси-
|"У ^ д для фикси-
Это относилось к вероятности, что (с^ °
рованного р = 1,…，S. Вероятность того, что это будет иметь место
для произвольногодля произвольногов крайнем случае вв крайнем случае вР[Ь е，ДЛЯ N = p="x,s(&p_^『叁叫，
для произвольного
для произвольного
в крайнем случае в
в крайнем случае в
S раз больше, таким образом —е 2s .
У 2ns
Среднее значение NСреднее значение Nмы оцениваем теперь в двух областях: для зна-
Среднее значение N
Среднее значение N
чений 鼻0,三仪 вероятность во всяком случае ^ 1, для значений же 昌 а,二 1 имеет место указанная граница. Итак,
S2 -0
+2s.
у 2ns
1$2
В качестве а можно выбрать любое число 三専,^^亨，мы положим а = *黑？. (Это дает все, если s》lnS, что безусловно должно
выполняться в силу заключительного условия из II. 5. *)•) Тогда наша верхняя граница будет
8slnS t S2 4In. 8sInS I 1 8slnS
Так что если предпосылки 1 <^5 <d*^ выполнены достаточно сильно, и一 951ns
то указанное среднее будет заведомо 三一— •
Остается еще обсудить распределение |бр, ^1?(Р ^ °)- Обозначим p-Й и о-й столбцы {Е*Т через Е={&/” ・••，厶口，期={&/，•…，Es/。}， и пусть W={Ei/p, ..., Es/p, 0，• • •，0}. ^Воспользуемся для таких векторов С~ {Ср •・•,(€}, /= (хр •. •, Х5} также символами (С, /)—2 ^Х*,
KH/O-KH/O-I Ст|2. ) Будет: |е?,/2=|& 叫|2, причем век-I Ст|2. ) Будет: |е?,/2=|& 叫|2, причем век-
KH/O-
KH/O-
I Ст|2. ) Будет: |е?,/2=|& 叫|2, причем век-
I Ст|2. ) Будет: |е?,/2=|& 叫|2, причем век-
торы Е, 7] как столбцы унитарной матрицы подчиняются условиям |Е|= 1, |т)| = 1, (Е, т]) = 0 (т. е. оба лежат на единичной сфере и ортогональны друг к другу).
Разложим 三 на компоненты ——параллельную Е и ортогональную Е： F=@, ?可+巨 Тогда равным образом будет: |ер>ст|2~ |(^, т]) |2. При фиксированном Е (и Е, Е) мы имеем, таким образом, два вектора,
ортогональные к E, а второй свободно ной сферы. Введем координат, и пусть нашего построенияортогональные к E, а второй свободно ной сферы. Введем координат, и пусть нашего построенияа именно | и т], из которых первый фиксирован, меняется на поверхности (S—1)-мерной единич- какую-нибудь (S—1)-мерную декартову систему П =(У1， •••， Уд—1)・ Нз унитарно% инвариантности среднего следует, что усреднение (при фиксиро-
ортогональные к E, а второй свободно ной сферы. Введем координат, и пусть нашего построения
ортогональные к E, а второй свободно ной сферы. Введем координат, и пусть нашего построения
лишь от длины, |^|, на ^ = {I Г|» 0, •…0}лишь от длины, |^|, на ^ = {I Г|» 0, •…0}ванном Е=(Е“р^s/p}) надо проводить в точности так, как если бы т] усреднялось в смысле 2. по (S——1)-мерной единичной сфере. Дальше, в силу унитарной инвариантности, среднее зависит
лишь от длины, |^|, на ^ = {I Г|» 0, •…0}
лишь от длины, |^|, на ^ = {I Г|» 0, •…0}
вектора Е, поэтому можно заменить его ((S—1)-мерный!). В силу этого мы хотим
sv, a^> In sa. Записанное иначеS так что сначала верно ^― ^ 1,ДОЛЖНО быть Sy, a》>lnSa，т. е.sv, a^> In sa. Записанное иначеS так что сначала верно ^― ^ 1,ДОЛЖНО быть Sy, a》>lnSa，т. е.*) Из V<^ —L— следует 纟 Sv，a gSa
sv, a^> In sa. Записанное иначе
S так что сначала верно ^― ^ 1,
ДОЛЖНО быть Sy, a》>lnSa，т. е.
sv, a^> In sa. Записанное иначе
S так что сначала верно ^― ^ 1,
ДОЛЖНО быть Sy, a》>lnSa，т. е.
(ср. там):且屮1 Sa<i, f巴gS。这J SaSa 5O
一厂一.1
Sa 叁旷Sa，In Sq 叁歹 lnSd. Тем самым
определить сначала распределение |(Е, т])|2= |^|2 * |yj2 для |т]|2 =
5-1=拇Ml』означает, что5-1=拇Ml』означает, чтоГГ1. То, что эта величина 三玄，三玄+ &玄(0三玄三间2),
5-1
=拇Ml』
означает, что
5-1
=拇Ml』
означает, что
Г
Г
—=|山|2=_^1— и обладает вероятностью
I 印l£l2 1?12
4—» где в W («) из 2・ надо s, S заменить на 1, S——1・4—» где в W («) из 2・ надо s, S заменить на 1, S——1・s —i仔 |2(S-1)s —i仔 |2(S-1)(向2—")S-2.(向2—")S-2.Итак, коэффициент при du будет
4—» где в W («) из 2・ надо s, S заменить на 1, S——1・
4—» где в W («) из 2・ надо s, S заменить на 1, S——1・
s —i仔 |2(S-1)
s —i仔 |2(S-1)
(向2—")S-2.
(向2—")S-2.
то饮/三回2三吻+ a侬обладает вероятностью того чтобы получить в точке и, мы должныто饮/三回2三吻+ a侬обладает вероятностью того чтобы получить в точке и, мы должны(S—1)!(S—1)!(s—l)!(S — s——l)!(s—l)!(S — s——l)!侬ST (1 一加)StT X侬ST (1 一加)StT XXXS —1S —1(w (1 —w))'(w (1 —w))'(w(l —砌—〃产2 . dm =(S — 1)! (S — 1) (ay (1 — w) — q)s-2(w(l —砌—〃产2 . dm =(S — 1)! (S — 1) (ay (1 — w) — q)s-2(s — 1)! (S — s — 1)! ws^s (1 — w>(s — 1)! (S — s — 1)! ws^s (1 — w>• dm• dm
то饮/三回2三吻+ a侬
обладает вероятностью того чтобы получить в точке и, мы должны
то饮/三回2三吻+ a侬
обладает вероятностью того чтобы получить в точке и, мы должны
(S—1)!
(S—1)!
(s—l)!(S — s——l)!
(s—l)!(S — s——l)!
侬ST (1 一加)StT X
侬ST (1 一加)StT X
X
X
S —1
S —1
(w (1 —w))'
(w (1 —w))'
(w(l —砌—〃产2 . dm =
(S — 1)! (S — 1) (ay (1 — w) — q)s-2
(w(l —砌—〃产2 . dm =
(S — 1)! (S — 1) (ay (1 — w) — q)s-2
(s — 1)! (S — s — 1)! ws^s (1 — w>
(s — 1)! (S — s — 1)! ws^s (1 — w>
• dm
• dm
Но до сих пор Е было фиксировано, теперь надо усреднить его (конечно, тоже в смысле 2.) по (S-мерной) единичной сфере. В выражение для распределения |epj G|2 при фиксированном Е входит лишь |^|2, а это равно (так как 孑 ортогонально к Е ——三 и к W= =W—&W)・W)
国2 = @, 5 =怎耳，
解=|怎中.屮+自2 =间4+即，
向2=间2(1 一间2).
Поскольку &={&!?, ..・, Esip)} изменяется на единичной сфере,
(0三加三1), ?. е.吻三斗信/?12三侬+ %1, (s二lf(U)；—1)!沙7(1 —砌s-А%® Для полную плотность вероятности ДЛЯ I^?1 а|2 поэтому проинтегрировать
по всем w> 0, ^ 1 c 玄三吻(1——w). Вследствие этого надо учитывать для и вообще лишь значения 三彳，Мы определим сейчас же вероятность, что |ер( а|2^ а (согласно только что сказанному 0名〃§^)， для этого приведенное выражение надо проинтегриро-
вать по всем «, w c a^u ^w(l ——w), t. e. no ^
-a м
-0> 口三"三呦(1-呦)， Мы можем провести
интегрирование по ":
"F w w)
(S-1)!(S—1)(s —l)!(S — s—1)!
(w (1 — w) — ")S-2
沙s-s(1 —沙)§
dadw =
(S — 1)!
т+Кр«
/(*(1 -*)一a)s 2
(s —1)!(S —s—1)!
4$
(1 — w)5
dw・
у нм
1
2"
Разложим интеграл на две части, J
1
и
J , и вве-
ГР
дем в них новые переменные с помощью
т+
=w и
丄—
—尤=吻 соответственно. В обоих случаях х — w(l—w),
в обоих случаях 尤 пробегает значения от д до -^-. Складывая оба интеграла, получим
(S-1)!
(s —1)!(S—s—1)!
T
XJ a
+
X
Наконец, введем новую переменную y = q, которая про
бегает значения от 0 до L
Тогда написанное выражение будет
(l_4a)ST (S—1)!
2§т (s —1)!(S —s—1)!入
X /yST [(1 + “ —4а Н —у) В “ (1—Н — 4а “ 一 $) $ + о
Разделим эту вероятность на (1—4〃产* тогда от а будет еще зависеть лишь выражение [...]. Как мы покажем, оно возрастает при 〃一>0, а следовательно и введенная дробь. Но так как при 〃 =0 числитель (вероятность) = 1, а знаменатель ((1 ——《а)'-1) тоже, то тем самым доказано, что дробь всегда ^ 1, т. е. что вероятность всегда 三(1—4，广1 三 ei(ST).
Если ^ —>0, то У1 ——4〃 了1 —у, возрастая, стремится к 了1 ——у, поэтому достаточно показать, что
[(1 +/)-(S-s)Q —/)7十([_ /)TS-s)(] +')-s]
при / > 0 возрастает. Действительно, его производная (中宀(I尸(占一儲+
+(1 一)-5(1 +厂(甘一用)>0,
если I мы полагаем z =[二 у > 1)
加(sz — (S— s))+ nS-s((S — s)z — s) > 0, но это выражение, очевидно,
> zs (s — (S — s)) + nS-s ( (S — s)—s) = (nS-s —勿)((S—s)—s)叁 0*
Тем самым приведенная оценка вероятности |ер> а|2^ ^ для фиксированнойпары р次％ р, о— 1, .. ., S подтверждена. Ве
роятность того, что это случится для каких-то р, о [т. е. для М = = Мах (|6”/2)叁用，в крайнем случае в ―^~- раз р 卢 Ь, р,ь=1, S
больше (так как е? а = е* р, то достаточно рассмотреть р < о), т. е. 三 S(S^—l)g_4a(S—I). Среднее значение M оценим снова в двух обла-
стях: для значений 三0,三〃 вероятность во всяком случае 三1, а a/я значений М〃，三^ имеет место приведенная оценка. Итак,
航(M)W 〃 十 S(S/1) «—a(s—i).
В качестве а можно взять любое число 自 0, <^ 1, мы полагаем а = "|"^^-・ (Пригодное, так как S^> 1-) Тогда наша верхняя граница будет
3 g S(S — D -3gsm 3 ES [ S2s_
4s 十 8‘4s 十 8‘ 一
—3 ins 丄 1 〜3 ms
=彳 S 1 8S ~ S *
Таким образом, если предпосылка S^> 1 выполнена достаточно сильно, то рассматриваемое среднее будет М^^・
Тем самым желаемые оценки полностью проведены.
ii) Движение по классической механике, как известно, полностью определяется гамильтоновой функцией, поскольку она дает нам уравнения Движения
p=一西 (/ = 1м
До открытия квантовой механики пытались схватить квантовые явления, сохранив эти уравнения движения и лишь налагая дополнительные квантовые условия (ср. прим. 6) на стр. 13). Уравнения движения определяли для каждого, заданного в момент / — 0, набора значений 〃】，...,g版 尸］,...,pk дальнейшее развитие со временем, 《орбиту》системы в 2й-мерном «фазовом пространстве» д「..., g必 р? ..., р^ Поэтому всякое дополнительное условие оказывается приводящим к ограничению всех возможных начальных значений (орбит) определенной подсистемой. (Соответственно малому числу допустимых орбит будут возможны лишь некоторые уровни энергии.) Хотя квантовая механика и порвала полностью с этим приемом, все-таки a priori ясно, что функция Гамильтона должна и в ней играть большую роль. В самом деле, весь наш опыт доказывает справедливость боровского принципа соответствия, который утверждает, что квантовая теория должна давать те и<е результаты, что н классическая механика в так называемом пределе больших квантовых чисел.
18) В первоначальном понимании матричной механики (ср. наше изложение выше) не существовало такого общего понятия состовння, для которого стационарные состояния оказываются частным случаем. Только стационарные, сопоставленные собственным значениям энергии, состояния были предметом теории.
19) " = "(%, ・.・,g尼,pv ...,尸/ может даже явно содержать время t Естественно, что тогда, вообще говоря, не будет вовсе никаких стационарных состояний.
а】) Эти, так же как и все последующие разложения в ряды, сходятся 《в среднем». Мы это рассмотрим в II. 2*
23) Ср. вторую работу Шредингера, упомянутую в прим.16) на стр. 18.
26) Поскольку
S~i ・ 1 ・ S = 1, ST ・ а4 ・ S = а ・ S- %S,
5-1.(Л + В)^=5-1Л5 + 5-1В5, S~^ AB S ^ S~lAS • S-^S,
то для любого матричного полинома Q(4, В,...) S~ip (А В,・•・)S =戶(S~》S, S-WS,・・
Взяв в качестве P левые части перестановочных соотношений, убедимся в их инвариантности; взяв в качестве Р величину Н, получим S-1hS=H.
4I) Если / имеет компоненты “匕..,,“用 то по замечанию, сделанному в 丫)，П.1 (если мы ограничимся конечным числом компонент) ^(/, /) =з R *|/^ Z I % I2» т. е. 11/11 есть обычная евклидова длина,
53) Вообще
|л + у |2 = (х + у)(х+У) = хх + уУ+(хУ+х^) =
= l*『+ly|2 + 2R6 (行)・
56) Естественным образом мы определяем (х (а), у (а)) как 工 х (а) у (а).
б1) (Л/, /) вещественно в любом случае, так как равно
б5) В приведении к этому виду важна эрмитовость оператора А: (号，牛卜(々,守=
=(必皎吉(Rg'/)=w，0 賢丽=Re(^, g)
(в третьем шаге).
дел всех таких последовательностей X (\ -> Хо и X < Хо или соответственно
入 > 入о) должен быть один и тот же, поскольку две таких последователь
ности могут быть скомбинированы в одну ——и поскольку эта последователь
ность должна иметь предел, то обе составляющие ее последовательности обязаны иметь одинаковый предел. Из этого следует, что и в случае непре
рывного изменения X также существует сходимость (к общему пределу всех
87) Plancherel, Circ. Math, di Pal. 30 (1910); Titchmarsh, Lund. Math. Soc. Proc. 22 (1924).
91) Собственно это следовало бы доказать ие символически при помощи строгого уравнения
(Л/, g)= jld(E(^f,g).
Тогда преобразования выглядят так:
х d(E 0) Ff, g) = / A d(尸 Е。)/，g)=
=/ 入d(E Q^f.Fg) = (4/,尸g)=(尸4f g).
Отсюда следует, что АР — РА.
или соответственно унитарного характера матрицы, опять достаточно дока
зать это для диагональных матриц. По отношению к диагональной матрице Д
с элементами 入卜...,入门 диагональная матрица Д* с элементами 入卜...,кп
есть сопряженная транспонированная; значит, Д = Д* утверждает, что
入1 =入卜• • •，入拉=入理,т. е. что 入I，.・.，入拉 вещественны. А ДД* — Д*Д — 1
утверждает, что 入高=1,…，，、小=1, т. е. что【入i ]=… =| 入拉[=L
106) Это понятие восходит к Е г h а г d* у Schmidt'y, ср. ссылку прим.78), стр. 91.
10Э) Для двух эрмитовых операторов Л и В, принадлежащих нашему специальному классу (так называемых вполне непрерывных, ср. прим.70) на стр. 82), Теплиц (ср., например, прим,33) на стр. 29) доказал теорему, из которой следует сформулированная выше (именно, существование полной ортонормированной системы из общих собственных функций операторов Л и В). Общая теорема для произвольных А и В или А В, С,…была доказана автором в другом месте (ср. прим.94) на стр. ПО).
разрабатывается группой de Broglie'q (Vigier, Lochak и др.) во Франции, а также ВоЬт'ом в Америке и Терлецким у нас.——Прим. реЗ.
130) Вычисление с операторами делается следующим образом:
е2 = ((/? — р • I)2 % ¥)— (R?中,¥)— 2P • (R% ?) + p2 =
= ||%||2 —2・(R% ?)2 + (^?> ,)2 =口％口2 —(А% ¥)2 и соответственно для 期2.
I57) w (af) является вероятностью того, что а^ а\ т. е. относится к интервалу —оо,诡.Как видно, функция 故(а) или же, как мы будем ее называть, чтобы подчеркнуть ее зависимость от 9fl w^ (а) обладает следующими свойствами: При а-> — 8 w^ (tz) -> 0; при а->-|-8 w诳(а)->1; при
I 61 = sin 0, так что а = ^а cos О, Ь = ^^ sin 0. Тогда а^х^ = eiXa cos х^, 6(*J = е"0 sin хб также удовлетворяют условию |。(“)卩+| 6(")产=1. Положив »*)= о(*)у + 6(*勺],будем иметь ||»*)||=1. При этом 恥勺 непре- р ывно изменяется от <р7 (х = 0) до y"(x=i).
и’) Если Spur U бесконечен, то последняя формула, полученная с помощью вычитания, может показаться сомнительной. Тем не менее ее можно обосновать также следующим образом: то, что величина 沢 имеет значение 入*, означает, что 缈(废，а") = 0, т. е. Spur U (£ (。”)一 £ (az) ) = 0, если а" < 入*
и не возрастает с а7, то при а" < X* достаточно рассмотреть его lim ,
4, ~> —со
а при af ^ X* — его lim , т. е. Spur UE {arf) = 0, если 。" < 入*,
Spur U (1 — E (废))=0 при。‘ 叁 М.
188)Именно так описывает, как известно, кинетическая теория газов тот процесс, в котором стенки передают свою температуру заключенному в них газу. Ср. выше, прим. 184), !®5).
208) Последующие рассуждения, равно как и дискуссия в VI.3, содержат существенные элементы, за которые автор должен быть благодарен разговорам с Л. Сцилардом. Ср. также аналогичные рассуждения у Гейзенберга (прим,181) на стр. 262).
209) Можно легко показать, что оператор А будет одновременно с А эрмитовым или гипермаксимальиым.
*) Макроскопической величиной является такая величина, значения которой могут быть точно установлены с помощью макроскопических измерений. Итак, если Л может принимать все значения от ——со до 十8, а макроскопическая неопределенность характеризуется тем, что эти значения можно различить между собой лишь для различных интервалов 尼，尼十1 (А = 0, ± 1, ±2, ...), то тогда макроскопически измеримой будет лишь /(Л), где /(л) является следующей функцией: /(х) = л для 尼W* v 尼十1 (^ — 0, ± 1, ±2, ...). Ср. также дискуссию во введении 2 и прим. *) на стр. 327.
**) Эрмитов оператор с собственными функциями 为，К，…и с соо тветствующими собственными значениями wb w2> …должен равняться £ w*拄户柏 Ср. также 1. с., прим.*) на стр. 330.
в принципе энергия с дискретным спектром (ср. стр. 332) при благоприятных обстоятельствах измерима с абсолютной точностью: можно, например, рассудить, находится осциллятор в основном состоянии или нет.
***) Если привлечь матричное определение оператора 々(введение, 3.), то можно убедиться, что это тождественно обычной форме соотношений полноты. Ср. также 1. с., прим. *) на стр. 330,