ИЗДАТЕЛЬСТВО

«МИР»

NOTES ON MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS

General Editors:

Jacob T. Schwartz

Courant Institute of Mathematical Sciences, New York

Maurice Levy

Universite de Paris

DIFFERENTIAL GEOMETRYAND TOPOLOGY

by

JACOB T. SCHWARTZ

NEW YORK • 1968

Дж. Шварц

ДИ ①① ЕРЕНЦНАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯ

И ТОПОЛОГИЯ

Перевод с английского

В. Л. ГУТЕНМАХЕРА

Под редакцией

А. А. КИРИЛЛОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"

Москва 1970

Книга представляет собой курс лекций, прочитанных известным американским математиком Дж. Шварцем в 1965/66 г. Лаконичность и сравнительная простота изложения позволяют читателю быстро ознакомиться с основными понятиями дифференциальной геометрии и топологии. Начиная с общей теории многообразий, выясняя далее связь топологических инвариантов с инвариантами римановой метрики и переходя к К-теорнн, автор завершает изложение теоремой о векторных полях на сферах.

Книга представляет интерес для широких кругов математиков. Ее могут использовать студенты, аспиранты и преподаватели университетов и пединститутов.

Редакция литературы по математическим наукам

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателей книга Дж. Шварца написана на основе записок его лекций. Она входит в серию „Лекции по математике и ее приложениям", редакторами которой являются Дж. Шварц (Нью-Йорк) и М. Леви (Париж). Серия задумана как собрание лишь немного обработанных конспектов новых математических курсов; на полную методическую отточенность до уровня учебников издания этой серии не претендуют.

Книга посвящена важному разделу современной математики — теории гладких многообразий. Автор поставил своей целью дать элементарное изложение геометрии и топологии многообразий на языке анализа. Книг такого рода до сих пор не существовало ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Реализацию этого замысла надо признать удачной. Отметим только, что автору не удалось достичь полной элементарности. Во многих местах автор явно или неявно предполагает у читателя довольно серьезное знакомство с теорией гомологий и когомологий. Поэтому читателю рекомендуется познакомиться с основами этой теории, например, по книге Стин- рода и Эйленберга „Основания алгебраической топологии".

Из нового материала, не вошедшего до сих пор в монографии, отметим связь кривизны и характеристических классов (гл. VII) и набросок доказательства известного результата Адамса о векторных

полях на сферах. Книга написана с присущим автору педагогическим мастерством, весьма живо и неформально.

Я думаю, что русское издание этой книги будет хорошим подарком студентам, аспирантам и всем математикам, • желающим ознакомиться с основами дифференциальной топологии и геометрии многообразий.

А. А, Кириллов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Предлагаемые конспекты сделаны по курсу лекций, прочитанному в 1965/66 учебном году. Мы надеемся, что несмотря на их фрагментарный характер, эти конспекты будут полезны студентам и всем желающим познакомиться с материалом, который они содержат.

Основная цель курса состоит в развитии и приложении методов теории пересечений для вычисления основных топологических инвариантов. Г лава I содержит основные понятия дифференциальной топологии. Кроме того, в ней доказывается фундаментальная лемма Сарда, которая тут же применяется цля доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. В гл. II используется лемма Сарда, а также понятия трансверсальности, первоначально исследованные Рене Томом, для установления классических связей между теорией геометрических пересечений и группами гомологий. В следующей главе полученные результаты теории пересечений применяются к вычислению кольца когомологий многообразия Грассмана; установленные здесь факты дают основу для последующего обсуждения классов Уитни и Чжэня. Во второй части гл. III методы теории пересечений з сочетании с основными теоремами теории Морса используются для доказательства теоремы двойствен- юсти Пуанкаре. Глава IV содержит основные поня- гия и теоремы, относящиеся к теории расслоений, з частности векторных расслоений. В гл. V дается :хема алгебраической теории спектральных последо- зательностей, а в гл. VI общие принципы, развитые з двух предыдущих главах, объединяются с методами теории пересечений из гл. III и обсуждаются характеристические классы векторных расслоений.

В следующей главе мы приводим некоторые основные формулы римановой геометрии; а затем, сопоставляя их с топологическим материалом, данным в предыдущих главах, приходим к чрезвычайно интересному обобщению теоремы Римана — Роха, сделанному Чжэнем.

Последующие главы служат кратким введением в обобщенную теорию когомологий и, в частности, в /(-теорию, важная роль которой проявилась во многих недавних успехах топологии. Глава VIII на

чинается с простого доказательства того, что некоторое семейство гомотопических классов отображений определяет обобщенную теорию когомологий; далее на этой основе определяется ^теория как частный случай обобщенной теории когомологий. В гл. IX продолжается обсуждение Л-теории, вво

дятся различные операции уможения, а также изучаются специальные свойства /(-теории, которые следуют из теоремы периодичности Ботта. В третьей части гл. IX мы показываем, что классы Чжэня определяют гомоморфизм /(-теории в обычную теорию когомологий. Этот факт затем используется, чтобы установить некоторые интересные свойства /(-теории. Спектральная последовательность Атьи — Хирцебруха для /(-теории установлена в четвертой части гл. IX. Отображение этой спектральной последовательности характером Чжэня, рассмотренное в предыдущей части гл. IX, позволяет установить интересные связи между /(-теорией и обычной теорией когомологий. В части 5 гл. IX приводятся введенные Адамсом операции /(-теории. Заключительная гл. X дает неполный, но, возможно, полезный набросок доказательства результата Адамса о числе линейно независимых вектооных полей на п-сферах.

Дж. Шварц

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ

Мы начнем с понятия дифференцируемого многообразия. Для краткости будем называть его просто многообразием*

Определение 1. Сепарабельное) метрическое пространство М с системой открытых множеств {t/a} называется многообразием, если

м 三 U 4； a

для каждого а существует отображение Аа множества Ua в m-мерное евклидово пространство Е", причем Аа — гомеоморфизм множества Ua на открытый шар в

для любых а и § отображение

W1： /Z0(UalWf У

гладко), т. е. принадлежит классу С°°.

Множества Ua называются координатными окрестностями на М, отображения hah^1 — координатными преобразованиями, а число m — размерностью многообразия М.

К многообразиям применимы понятия обычного локального анализа. Например говорят, что отображение qp: М-> Mi многообразия М в многообразие М принадлежит классу С00 или гладко в точке раМ, если существуют такие координатные окрестности Up £ М, Р$(Р)三 Mi，что peUp，9 (р)邑 Р$(Р)и композиция 8屮(卩)屮力丁： hp[lJЕтх принадлежит классу С°° в точке hp(p) GE £т. Здесь отображение йр ассоциировано с координатной окрестностью Up, a g*(卩)— e，屮(Р卜

Можно также ввести понятие диффеоморфизма qp: Mf Mi между М и М[. Назовем отображение qp диффеоморфизмом, если оно гомеоморфизм класса С00 в каждой точке р ^ М и если обратное отображение qp"1 также принадлежит классу С00 в каждой точке q 曰 Alp

Заметим, между прочим, что если qp: М->М есть отображение класса С00 в точке р s М, то ^фй"1: /^(Ujf 七内 есть отображение класса С°° в точке 力а(Р) Для всех координатных окрестностей Ua，乙，У которых р ^ Ua^ М, qp(p) @ VY s Му В самом деле, сужение отображения ^фй"1 на соответствующую подобласть можно представить в виде

gyg* g)g屮(р)①Ла —

=(gy。g^:p))。(g(p (p)。学。偿)。(匕。九1).

В силу условия (III) g“gj и hph~[ — отображения класса C°°, а отображение ^ф ^фЛ"1 принадлежит классу С00 по предположению. Следовательно, их композиция также принадлежит классу С°°.

Таким образом, понятие дифференцируемости в точке инвариантно, т. е. не зависит от выбора координатных окрестностей.

Пусть f: М-^Е1 — гладкая функция во всех точках многообразия М. Говорят, что f горизонтальна в точке р ^ Му если все ее первые частные производные по координатам обращаются в нуль в этой

точке. Легко проверить, что понятие горизонтальности в точке инвариантно относительно координатных преобразований.

Определение 2. Пусть т — линейный функционал, заданный на множестве вещественнозначных гладких функций на М. Если tf = O для всех функций f, горизонтальных в точке р, то т называется касательным вектором к многообразию М в точке р.

Легко видеть, что этому определению эквивалентно

Определение 2‘. Пусть т — линейный функ** ционал, заданный на множестве вещественнозначных гладких функций на М. Если т (fg) = f (р) т (g) + + g(P)T(fj， то т называется касательным вектором к многообразию М в точке р・

Если f — вещественная функция класса С00 от вещественного переменного, то с помощью интегрирования по частям получаем

1

f(D~f(O)= r(s)dS = о

1

=f (0) + …+ = f" (0) + 靑]■ (1 — S)"产+D (s) ds.

о

Если g — вещественная функция класса С00 от tn вещественных переменных, то, заменяя в этом равенстве f(s) на g(s%), где % w Е% получаем

g (%) = g (0) + 工(&g) (О) %’ + 击工(力也 g) (0) /%%+...

…+皆工(山1…%g)(0)/ …+1

+=J(i —s)〃£(d仆，a+]g)(S%)/ …X‘"+"S, о

где

(%…间⑼=(m)：%，/)L； х=(/,…,错).

Пусть g: M->E — гладкая функция. Говорят, что g п-горизонтальна в точке р 巨 М, если все ее частные производные по координатам до порядка п включительно обращаются в этой точке в нуль.

Очевидно, что интеграл в написанной выше формуле ^-горизонтален в точке х = (0, ..., 0), a g(0) — константа. Сумму остальных членов называют главной частью функции g(x).

Таким образом, вблизи х = 0 функция g(x) представляется как сумма константы, главной части и «-горизонтальной части.

Определение 3. Пусть т — линейный функционал, заданный на множестве вещественнозначных гладких функций на М. Если т，= 0 для всякой м-го- ризонтальной в точке р функции f, то т называется потоком 9 порядка п (сокращенно п-потоком) на многообразии М в точке р.

Ясно, что касательный вектор является 1-потоком.

Выразим zz-поток в координатах точки р. Пусть g: Mm —> f1 — гладкая функция в точке р М, имеющей координаты х1 = 0, . . ., = 0, и т — произвольный м-поток в этой точке. Тогда g(x) = С + р(х) + + Нп (х) вблизи х = 0, где С — константа, р (х) — главная часть функции g(x) и Нп (х) — ее м-горизонталь- ная часть.

По определению т (Нп (х)) = 0. Кроме того, так как константа С ^-горизонтальна в точке р для всех 左》1, в том числе и для k = п, то т (С) = 0. В силу линейности т

T(g) = T(P (х)) =

=T(£(&g)(0) х' + £@| …康"g)(0)x'i …У") = =£ (&g) (0) Т(Х‘) + . • •

…+=£(% - • <\g)(0)T(C …У").

Полагая

т(х') = %(т), ..., т(х'1 ... х'") = а,[…％(т), получаем

т (g) = £ (д^) (0) аг (т) +

+备工(％…7g)⑼％…J(т)・

Вещественные числа ^ (т), ..., а& ... tn(т) называются координатами n-потока т в точке р* Для n = 1

T(g) = £a；(T)*，HnH т = £%(т)今•

Очевидно, можно естественным образом определить сумму двух п-потоков т, к】и произведение n-потока на скаляр. Тем самым n-потоки в точке р образуют линейное пространство — пространство п-по- токов в точке р. Пространство 1-потоков называется касательным пространством в точке р.

Если f: Nn ~>ЕХ — гладкая функция на N, то пишут / е С°° (N). Если отображение <р: М^ ~>Nn гладкое, то i w С°° (N) влечет f о(ре С°°(Л1).

Лемма 1. Если функция / е С°° (N) k-горизон- тальна в точке 9 = <Р(Р), то £。屮 k-горизонтальна в точке р.

Доказательство. Локально:勿=(Р/(修，…，xm) (j = 1,2,...,孔)，где (%i，..., %m) — координаты в окрестности точки р, а (у】, у„) — координаты в окрестности точки д. Тогда

，(0⑴)дх[，(0⑴)дх[行（叫（元），….，＜Р"（%））=дх[—

，(0⑴)дх[

，(0⑴)дх[

<3ф/ (xb ...» 无用)дх[<3ф/ (xb ...» 无用)дх[а так как,9 ⑶)I0打 L=oа так как,9 ⑶)I0打 L=o讨仰⑴)dyj=0 для讨仰⑴)dyj=0 для_ §，（01 （%），，一，9"（%））

<3ф/ (xb ...» 无用)дх[

<3ф/ (xb ...» 无用)дх[

а так как

,9 ⑶)I

0打 L=o

а так как

,9 ⑶)I

0打 L=o

讨仰⑴)dyj

=0 для

讨仰⑴)dyj

=0 для

i =0 для j= 1, 2, .. ., п, то /=0

i=l, 2, …，m. Аналогично

доказывается, что все производные функции f。屮 до порядка й включительно в точке х = 0 обращаются в нуль.

Пусть т будет й-потоком на М в точке р; положим т (^) = т (^ ° ф) для f т (N). Из леммы 1 следует, что т будет й-потоком на N в точке ^ = Ф(р). Обозначим его через 七=屮*(工)и назовем образом k-потока. Очевидно, что

Ф.(т + т,) = ф. М + фДт!),

1-потоки 三 2-потоки 三 3-потоки ^ ....

Определение 4. Если т(р) — касательный вектор во всех точках р w М, то t называется касательным векторным полем. .

Каждой функции f w С°°(М) сопоставим вещественнозначную функцию g, полагая g (р) = х (р) (f), и это соответствие обозначим через Г: f—> g・ Если g — гладкая функция для всех f ^ С°°(М), то Т называется гладким векторным по儿ем. Очевидно, что T(fg)^fTg + gTf.

Аналогично можно определить поле k-потоков.

Лемма 2. Если Г! — поле hпотоков, а Т2 —поле k2-noTOKoe, то (Т^г) f =Т^ (T2f) — поле {kx + k^-потоков.

Доказательство. Если поля 方 н 見 гладкие, то их композиция ТХТ2 также гладкая. Остается доказать, что в каждой точке р 三 М поле Т{Т2 будет (^1 + й2)-потоком. Выше было показано, что в координатах точки р поле Т2 представляет собой дифференциальный оператор порядка й2, а Г] — дифференциальный оператор порядка 自.Следовательно, Т]^ — дифференциальный оператор порядка 々1 + 々2・

Пусть ф： М-> ^ — гладкое отображение и р ^ М. Обозначим через тр (М) касательное пространство в точке р. Мы показали, что существует линейное отображение 屮*: тр(М)—>тф(р)(^. Назовем рангом отображения ф в точке р размерность образа пространства хр(М) относительно ср* и обозначим его через гапкрф.

Если х — координатный вектор на М в точке р, а у — координатный вектор на ^ в точке <р(р), то <р можно локально записать в виде Ф(х) = у. Легко показать, что линейное отображение <р* представляется матрицей Якоби |^^| |. Следовательно, rankp(p равен рангу этой матрицы.

Замечание. Если р?->р, то lim rank 屮》 Л->оо %

》rankptp.

Действительно, если U — координатная окрестность в точке р, то рп^= U для достаточно большого п. Пусть rankptp —г, тогда матрица Якоби содержит ненулевой минор порядка г. Но поскольку определитель матрицы непрерывно зависит от ее элементов, этот минор вблизи точки р также не равен нулю. Заметим, однако, что матрица Якоби в точках рп может содержать ненулевые миноры и большего порядка. Если она их не содержит, то говорят, что Ф имеет локально постоянный ранг.

Если ср: Mm -^ Nn, то максимально возможная величина rankptp равна min (/и, п).

Когда гапкрф максимален, р называется регулярной точкой отображения ф, в противном случае — сингулярной точкой.

Лемма 3. Если в точке р отображение ф имеет локально постоянный ранг, то можно выбрать координаты в точках р 三 М и ①(p)w N так, что Ф[х, у]= ==[х, 0].

Доказательство. Пусть % =(修,心，，…，尤m)- координатный вектор на Л4 в точке р, ар — начало координат х = 0. По условию rankp ф = г в окрестности точки р, т. е. в окрестности % = 0 матрица Якоби ]穿Н содержит ненулевой (г X г)-минор. Без ограничения общности можно считать, что вблизи с = 0 отличен от нуля определитель

det I欝；10公/0小

Пусть

4 =①用（-^ь • • •» 尤犷）， 々=1, 2, ..., г,

4 =冲，々=< + 1, ..., ш.

Тогда 卫=（卫1，卫加）можно взять в качестве нового координатного вектора на Л1 в точке р. Действи* тельно, якобиан преобразования （хь ...,尤加）f （卫1，...,卫皿）в точке х = 0 не равен нулю, и можно применить теорему о неявной функции. В новой координатной системе отображение 屮 представлено новой функцией ①，（卫），

①;（/一 …，Em）=4， й == 1, 2, . . ., f, а новая матрица Якоби имеет вид 居;1w皿,у《/ =

（1

，о

1

端+1

дит .

Так как ранг этой матрицы в некоторой окрестности точки 卫=0 равен г, то в этой окрестности дФ^/ди^ = 0 для а, § > г. Следовательно, для а > г функция ①;，4，• • •，卫力）на самом деле зависит только от первых л координат %,〃尸 т. е.①;％）= к ① Z （%,•••,卫）

Если у — координатный вектор на ^ в точке（р（р）* положим

2左=%，左=1, .…几

2也=% -①2 （%，…，現），总=г+1,…

Поскольку якобиан этого преобразования в точке р отличен от нуля,(小，…，源)—®, …，？力 есть координатное преобразование в точке(р(р). В координатных системах и на М и г на ^ отображение <р представлено новой функцией 帝(〃)и

帝丸(щ, . . и^ = uk,^ = 1, . . Г,

①丸(〃1，〃fn) = °，k = Г -V 1, . . ., М.

А это и есть требуемый результат, если обозначить 尤=(W], • • • » 〃г), У = (% + 1，•…，^fn)*

Следствие 1. Если rankpcp максимален 〃 m и, то для заданных координат к на N в точке р можно выбрать координаты, [х, у] на М в точке р ток, что <р имеет вид Ф[х, у] = х.

Следствие 2. Если rankp(p максимален и т^п, то для заданных [х, у] на N в точке (р(р) можно выбрать координаты х на М в точке р так, что ср имеет вид ①(％) = [%, 0].

Определение 5. Пусть Мт и V^ — многообразия и и ^ m, U 三 М. Многообразие V называется подмногообразием многообразия М, если V локально устроено как подпространство Е" в £т. Это означает, что найдется система координатных окрестностей {UJ， покрывающих М, для которой {Ua П V} будет системой координатных окрестностей, покрывающих V, и если х = (хь ..., хт) — координатный вектор на Uai то UaRU задается равенством (x^+1, ..., xm)= =(0, ..0).

Следствие 3. Пусть <р: М^ f N"、m^n. Если W — подмногообразие в N и прообраз (р~' (W) содержит только регулярные точки отображения <р, то Ф~! (IF) — подмногообразие в М и codirnq)"' (W)= «= codim W').

Через dim М обозначается размерность (dimension) множества Л1. Если N и М, то codim ^ в М (коразмерность множества N в М) определяется как dim М — dim У. — Прим, перев,

2 Зак. 356

Доказательство. Пусть р 巨 q)T (IT) — произвольная точка, q = ^{p}^W. Тогда на ^ найдется такая координатная окрестность V в точке Ф (р) с соответствующим координатным вектором х = (хь ..., хп), что V П 1Г — координатная окрестность на IF в точке(р(р) и сужение х на IF имеет вид (хь .«., х®, 0, ...» 0). Согласно следствию 1, можно выбрать координаты [х, у] в М так, что отображение ф будет задано функцией

Ф [%],…♦,工硏 ％w + I，…♦, %", Уе + 1，• . ♦, Ут]=

=(%1，尤2，%J

Следовательно, если U — координатная окрестность на М в точке р, соответствующая координатному вектору fx, yj, то qp"1 (W) П U имеет вид [-Vp «.0, У"+1，…，Ут]・ А это и означает, что(рТ(М) — подмногообразие в М. И, наконец, codim(рТ(М) = т — (w -\- (т — п))^= п — w = codim 1Г.

Определение 6. Говорят, что подмножество е многообразия М имеет меру нуль, если образ ha (е П UR его пересечения с любой координатной окрестностью Ua имеет нулевую меру Лебега!).

Заметим, что множество меры нуль не содержит внутренних точек. В дальнейшем будут чрезвычайно полезны следующие леммы.

Лемма 4 (Сар д). Пусть qp: MfN — гладкое отображение, a S 三 М — множество всех его сингулярных точек. Тогда(p(S) имеет меру нуль.

Лемма 5. Всякое связное одномерное многообразие диффеоморфно либо открытому интервалу^ либо окружности.

Прежде чем приступать к доказательству этих лемм, покажем, как из них можно получить теорему Брауэра о неподвижной точке. Наше доказательство

】)Понятие меры Лебега, а также ее свойства, которыми ав= тор пользуется в дальнейшем при доказательстве ле,ммы, см” например, Колмогоров и Фомин [1].—Прим, перев,

теоремы Брауэра не носит комбинаторного характера и позволяет проиллюстрировать силу дифференциального подхода к топологическим вопросам. Напомним, что в теореме Брауэра утверждается существование неподвижной точки у всякого непрерывного отображения на себя замкнутого n-мерного шара.

Обозначим через Вг = {x = (xi, ..., xrt)|||x||^r} замкнутый n-мерный шар радиуса г. Достаточно доказать эту теорему для дифференцируемых отображений. В самом деле, пусть f: В? —> S? непрерывно и ле： В? -> В?-е — ретракция *) шара В； на его подмножество

х, если И х II < 1 — е,

"W = ［击(l-唸 если 也 &

Ясно, что d(f,冗J)《& где d — максимум по метрике. Рассмотрим отображения

冗l/浦： Bl —> Bl~l/mt /72 = 2, 3, * . . •

По теореме Вейерштрасса о приближениях можно найти такие отображения ①小 класса 0°°, что d(%/j Фт) = 1М- Очевидно, что <pm(B^)s В：.

Допустим, что теорема Брауэра верна для гладких отображений, т. е. найдется такая точка xm 三 8% что фт (xm) = xm, m = 2, 3,...・ Учитывая компактность шара В； и переходя в случае необходимости к подпоследовательности, будем считать, что 工力-> Xg'w &• В силу непрерывности отображения f и неравенства треугольника f (Q =

Чтобы доказать теорему для гладких отображений, достаточно показать, что не существует гладкого отображения ср: В；->ОВ；, сужение (р|@в； которого было бы тождественным отображением(0В；= ={х III х II = 1}). На доказательстве эквивалентности

Ретракцией множества 4 на его подмножество В называется непрерывное отображение /: 4->5 при котором f (b)=^ b для всех b ^ В. — Прим, перев^ '

этого утверждения теореме Брауэра мы не будем останавливаться, поскольку оно хорошо известно (см, например, Гуревич и Волмэн [1]) *). Докажем теорему о несуществовании ретракции. Допустим противное и обозначим через ср: В" f дВ" такое отображение. Гладкость ср означает, что найдется такая открытая окрестность N (Вп) шара 5", что продолжение отображения ср на нее принадлежит классу С°°. (В дальнейшем, когда речь пойдет о многообразиях с краем, мы будем пользоваться именно таким определением дифференцируемости.)

Итак, ср: N (Вп) -> <ЗВга — гладкое отображение «-мерного многообразия на (п — 1)-мерное многообразие. Если S — множество его сингулярных точек, то по лемме Сарда ①(S) имеет меру нуль. В частности, существует такая точка р ^ дВп, что р 亥①(S). Согласно следствию 3, ф-1 (р) — одномерное подмногообразие в N (В")・ Пусть К — его связная компонента, содержащая р. Возможны два случая (лемма 5):

(I) Множество К диффеоморфно открытому интервалу. Так как К замкнуто в N (В、то КПЗ" замкнуто в 5", Пусть {т](s): —oo<s< + oo} — некоторая параметризация интервала К н т)(0) = р. Этот интервал „протыкает44 дВп в точке р, т, е. не может быть нн К 三 В", нн К = N (5") — 5* так как иначе К касалось бы дВп в точке р вопреки регулярности ср в этой точке. (Позднее мы встретим такую же ситуацию в более общем случае, когда будем говорить о трансверсальности.)

Поскольку Т] (0) = р, ТОЧКИ Т]( — 8)для малых 8> 0 должны лежать либо внутри, либо вне 5".

Пусть для определенности точка т](— 8)находится внутри 5". Тогда т] (s) е Int Вп2) для всех s <0. В самом деле, если это не так, то для некоторого；

L) Если / (х) ^ х для всех 尤 三 В；, то можно определить ретракцию qp: 8；->ЗВ； так: каждой точке к 曰 В； сопоставим точку qp (х) пересечения с 38； луча, исходящего из / (х) и проходящего через %. Гладкость отображения qp легко следует из гладкости отображения /. — Прим, перев.

Int Вп~Вп~ дВп (внутренность шара В"). — Прим、nepeet

SoVO найдется точка g = n(s。)三 ОВ'・ Если q = р, то множество К не диффеоморфно открытому интервалу, а потому q 乎 р* С другой стороны, 7= Ф(7)= =①(П ($0)) = Р， так как ① \дВп — тождественное отображение. Таким образом, такой точки не существует. Аналогично доказывается, что r(s)三 N (В") — В^ для всех 5 > 0.

Рассмотрим множество точек 刀⑸ в В", s<0. Пусть {s„} — последовательность вещественных чисел, монотонно сходящаяся к — оо, и {п (§")}— соответствующая точечная последовательность. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, будем считать, что lim n(sJ = Ре 巨 В".

Так как qp(n(sJ) = P для всех п, то Ф(Рз) = р в силу непрерывности ф. Тем самым р^ е ф'1 (р) П ГЙПВ" = КП 夕，ибо КП В" замкнуто в 夕.А это противоречит тому, что К диффеоморфно открытому интервалу. Следовательно, случай (I) отпадает.

(II) Множество К диффеоморфно окружности. Так же, как и в случае (I), К не может лежать полностью ни внутри В", ни внутри N (В) — Вп. Но будучи диффеоморфным окружности, К пересекает дВп по крайней мере в двух точках, т. е. К П дВп = {р, д}, q 乎 р. С другой стороны, из тех же соображений, что и в случае (I), получаем е =①⑷=①(р) = р. Таким образом, случай (II) тоже не годится.

Дока з ательство леммы 4. Пусть р е Л1 и д =(р(р)еМ Возьмем координатную окрестность 九 в точке 7* В силу непрерывности ① найдется такая координатная окрестность Uр в точке р, что ^(Up)^Vqt А для нее можно найти такую координатную окрестность Up в точке р, что Up s Upi Up — компакт, гомеоморфный m-мерному шару Bm, и Up гомеоморфно его внутренности Int

Итак, qp(t/p)三九 н 九 гомеоморфно некоторому открытому шару. Тем самым ① можно локально рас- сматривать как отображение Int Bm-> Int В"・

По определению М — сепарабельное метрическое пространство, поэтому его можно покрыть счетным семейством координатных окрестностей вида Up.

Таким образом, доказав лемму Сарда для (Р： Int Bm -> Int Вп, легко перейти к общему случаю, воспользовавшись полной аддитивностью меры.

Обозначим Int Bk через Wk> Покажем, что у отображения ср: Wm -> Wn образ(p(S) множества S всех сингулярных точек имеет меру нуль.

Заметим кстати, что поскольку <р: Wm —> Wn представляет собой сужение соответствующего отображения компактов ф： Вт -> Вп, все функции и их производные равномерно непрерывны.

Случай 1: т<п. Покажем, что все множество <р (呼俏)имеет меру нуль. Представим Wm как объединение малых кубов со стороной е (естественно, объем каждого такого куба равен ет). Можно выбрать е-кубы так, чтобы их общее число не превосходило с/ет, где с — константа, не зависящая от е (по существу с — объем множества Wm). Обозначим е-кубы через 感)・ Тогда ф (旷) == ср 口 К?') = J 屮(废))・ Так как <р дифференцируемо, то diam ((р(к£)))忘 К% где К не зависит от е. Следовательно, Vol((p(Rf)))KK%\ где М не зависит от е ^. Наконец, Vol (<р (Wm)) ：С Kzen-^-= =К'с£“~т, а это сходится к нулю при е—>0, так каь

Случай 2: т^п. Пусть S^ — множество точе! из Wmf в которых ранг отображения 中 равен k. Оче видно, достаточно доказать, что (p(SJ имеет мер： нуль для каждого <п. ，

Пусть Р — отображение пространства Еп в себя проектирующее каждый n-вектор (аь а2, а, в (а“ а2, ..., afe+1, 0,…0). Очевидно, что Р(р п( прежнему сингулярно на S丸.

Если лемма верна для Sk при n — k+ 1, то P(p(Sfe) имеет меру нуль (в соответствующем подпространстве). Хорошо известно из теории меры (непосредственное следствие теоремы Фубини), что если 户(е), где е 胃 Е", имеет меру нуль, то Р~{ (Р(е)) также имеет меру нуль. Но так как е 三尸~ (尸(е)), то е само имеет меру нуль. В нашем случае(p(Sfe) = e и, следовательно, (p(Sfe) имеет меру нуль. Остается поэтому доказать, что если <р: U7m—> Wk^{t то (p(Sfe) имеет меру нуль.

Проведем индукцию по ш. Если /п=1, то ft = О, т. е. ф： W{ -^W{ — гладкое отображение открытого интервала на себя, a So— множество точек, в которых d(p (x)/d№0. Покроем So множеством интервалов R* так, чтобы общее число интервалов не превосходило с/е, где с не зависит от е. Тогда для каждого / диаметр множества q)(R貝)не больше к£, где К не зависит от е. Действительно, пусть х0 ^ 三成flSo； тогда d^ldx jx=Xo = 0. Если х — любая другая точка в r£), то в силу формулы Тейлора

I Ф (х) - ф (圖 К ^ I х - х0 I2 < К*

следовательно, ф Во)三屮(U №")=(!$(牍“ н

Vol@(So))^Ke2 = cK&

При е—>0 получаем

Vol (Ф (So) ) = 0.

Предположим теперь, что наше утверждение верно для всех целых чисел, меньших mt и докажем, что оно верно для /п.

Пусть сначала /г = 0, т. е. <р: Wm —> IT1 — гладкая вещественнозначная функция, S『一множество всех точек из Wmt в которых все частные производные функции ф до порядка ш включительно равны нулю. Точно так же, как и в случае /п= 1, легко показать, что 屮(S『)имеет меру нуль. Обозначим через $J

множество точек из Wm, в которых все частные производные функции ср до порядка j равны нулю, а некоторые производные (/ + 1)-го порядка не равны нулю, т. е. если р е §о, то найдется такая функция 巾= В(р, что 巾(р) = 0, @屮(卩)关0. Эта функция будет отображением Wm^ W\ регулярным в точке р. Пусть U — окрестность точки р, в которой 外⑶声 О, Согласно следствию 3, множество 巾々⑼口〃 представляет собой многообразие размерности m — 1. Так как многообразие Wm сепарабельно, то §о содержится в счетном объединении его подмногообразий размерности /и — 1. По предположению индукции и в силу полной аддитивности меры ①闾)имеет меру нуль. Наконец, So = §J U So . .. U U So" и, следовательно, ср (So) имеет меру нуль.

Пусть теперь ср: Wm ^ Wk+l, /? + 1 ^ m, Z?〉0. Мы хотим показать, что(p(Sfe) имеет меру нуль. В окрестности точки р 三 5卜 найдется отличный от нуля (k X /г)-минор матрицы Якоби || дФ^дх^ ||. По теореме о неявной функции можно выбрать так локальные координаты в точках р и (р(р), что отображение ср будет иметь вид 亩(х, 切=[尤，f(x, У)]・ Здесь х = =(%1, • • •» х^), У = (ук+1，Ут) н f (х, У)— веществен” позначная функция. Если U — координатная окрестность, соответствующая координатному вектору [х, у], то ясно, что Sfe 0 U = {[居川「嚼"=0 卜 В силу сепарабельности многообразия Wm множество S^ содержится в счетном объединении множеств вида {[х，川 "^ " = ° } ” Следовательно, достаточно доказать, что мера образа (относительно ср) каждого такого множества равна нулю.

Далее, <p(SQ = {[爲 t]\t^f(x. у), ^^ = °； / = = /?+1, /и}. Зафиксируем х =元=(元卜...,观)н рассмотрим множество ([х, t]\t (元,у),己^■” =。；

/ = fe + 1, ..., mj. Для выбранного 元 можно рассматривать f как отображение координат 勿十卜…，ym в вещественные числа f = f(兄，у), т. е. /: Wm~k -> W1.

Обозначим через So множество синулярных точек отображения /. Ясно, что So совпадает с множеством всех у, для которых °'；； " =。， / = ^ + 1, …，m. Таким образом, мы снова пришли к случаю 6 + 1 & ги, 々 = 0, для которого доказали, что q)(S0) имеет меру нуль. Так как q)(S0) есть множество {[无，/] | / = / (х, у), ''^." = 3 / = й+1, mJ, то мера последнего также равна нулю. Таким образом, пересечение множества ф(Sfe) с линией вида {[%, /] I — Л < / < /2} имеет меру нуль. По теореме Фубини q)(Sfe) само имеет меру нуль, и лемма 4 доказана.

Пусть 7° — гладкое векторное поле на гладком многообразии М. Если у (/) — дифференцируемая кривая на М, то, положив 备 Y ⑴。f =备 f Z (D), получим касательный вектор в каждой точке y(t) е= М. Пусть задана точка р0 е= М и мы хотим найти проходящую через нее дифференцируемую кривую 丫 (厶 р°) с условием, что 备Y(f)。/〒尸。厶 т. е. решить уравнение у (Л 卩0)=尸(丫(厶 Ро)) с начальным условием у(0, Ро) = Ро- Переходя к локальным координатам, мы можем применить классическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробности см. Лефшец [2] (или Понтрягин [4]. — Перее.).

Доказательство леммы 5. Пусть М — связное одномерное многообразие н U — максимальная координатная окрестность на М, существование которой мы потом докажем. Очевидно, что U диффео- морфна открытому интервалу (— 1, 1). Выберем ее взаимно однозначную параметризацию р (/), —1 < / < 1. Если U замкнута в М, то доказательство

закончено. Действительно, если U открыта и замкнута в М, то в силу связности многообразие М совпадает с U, т. е. диффеоморфно открытому интервалу.

Если окрестность U не замкнута, то найдется такая последовательность Zrt-> 1, что p(f也)一> р】陆 U. Возьмем координатную окрестность V точки 卩卜 Эта окрестность содержит некоторую точку из U, скажем р (Л), — 1 < Л < 1. Теперь выберем другую координатную окрестно£ть V точки р} так, чтобы компактное замыкание V содержалось в V, и поскольку U диффеоморфно замкнутому интервалу, мы можем потребовать, чтобы один из его концов совпадал с р (Л). Очевидно, все точки p(f) для / > Л лежат внутри V, а потому p(f)—>卩 при / -> 1. Тогда пересечение U f] V имеет вид либо

{р (t)\t> Л},

либо

{р (t)\t> A}(J{p(t)\t<B для некоторого 5, -1<В<1}.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что выполняется одно из следующих условий:

р(/) не имеет предельной точки при /—>— 1,

p〃)f * при 〜一 1 и р_产凸，

р ⑴ f Pi при /-> — !, т. е. р_} = рг

Если выполняется (1) или ⑵，то можно так выбрать V и е>0, чтобы V П {р (/) I/ < — 1 + е} = 0. В самом деле, в противном случае нашлась бы такая последовательность р&), "f —1, что p(3)f р「 А это означает, что р— существует и р_х = р「Таким образом, если выполняется (1) или (2), то U Г1 V имеет вид (а), если же выполняется (3), то вид (Ь).'

Рассмотрим сначала случай (а). Докажем, что на U U V существует векторное поле Т, которое (I) на U н в ее координатах положительно и ограничено; (II) на V и в ее координатах положительно и ограничено. Будем считать, что производная координатного преобразования от U к V положительна.

Если это не так, изменим направление координаты в окрестности V (т. е. если s — координата в V, заменим s на — s)・

Построим векторное поле 乙 на U, неотрицательное и ограниченное на U. Для этого построим вещественную функцию f{ класса С00 на интервале —1 < i< 1, равную единице на (—1, А] и гладко убывающую до нуля при f-> L

Обозначим через 乙 векторное поле на U, имею- щее в координатах вид %什)衣・ Пусть окрестность 1/ диффеоморфна интервалу — 1 <s< 1, а V задана неравенствами — 1/2 <5< 1/2.

Построим теперь вещественную функцию % класса С00 на интервале — 1 <s< 1, равную 1 на [—1/2, 1/2] и гладко убывающую в обе стороны до нуля при s—> — 1 и s—>+ 1. Обозначим через Т°2 векторное поле на 匕 имеющее в координатах вид %(S)萇・ Если положить 7° = 7°! + Т2, то 7°, очевидно, будет удовлетворять условиям (I) и (II).

Возьмем Ро ^ U (]V и рассмотрим уравнение ■ "^ 加 = 7°(y(x, 加)с начальным условием Y (0, ро) = Ро- Пусть y(x, pi —его решение. Из положительности и ограниченности поля 尸 следует, что х—>Y(x, %) пробегает монотонно всю V и всю V. А тогда y — взаимно однозначная параметризация их объединения U U 匕 что противоречит максимальности U. Значит, р[ не существует, т. е. U = М・

Рассмотрим случай (b): р")тр「 при ff ±1・ Множество К = {р (f) I — 1 之 f 之 D U {PiJ одновременно открыто и замкнуто, а потому К =麻.Поскольку К гомеоморфно окружности, остается только доказать, что К еще и диффеоморфно окружности.

Итак, существует непрерывная параметризация 0 (0 0 < 2л) многообразия Л4, задающая ориентацию любой координатной системы. Точнее говоря, можно покрыть М координатными окрестностями, чтобы производная каждого преобразования координат была положительной. Таким образом, имеет смысл понятие

положительного векторного поля на М. Поскольку М компактно, можно построить на М (используя разбиение единицы) векторное поле 7\ всюду по» ложительное и ограниченное. Возьмем U (]V, и пусть 外(居 Po)/dx = 7° (у (х, ро)) — дифференциальное уравнение с начальным условием у(0, р0) = р0* Область решения у (х, р0) включает в себя U U V. Следовательно, функция у не может быть взаимно, однозначной и потому найдется х0 =# 0, для которого y(xOj %) = Y(0, Ро). Тогда множество {丫(爲 ％)丨 О ^ х ^ %о} будет окружностью, вложенной в Л4, и должно совпадать с М.

И, наконец, докажем существование максимальной координатной окрестности U в М. Воспользуемся леммой Цорна: возьмем возрастающую систему {t/J координатных окрестностей (U尸 U卜、если / ^ й). Поскольку М имеет счетную базу, нет необходимости рассматривать несчетные системы. Можно также считать, что производная любого преобразования координат положительна. Пусть Л = (J UЕсли мы по- м= 1

кажем, что L покрыто одной координатной окрестностью, то этим докажем, что каждая система обладает верхней гранью, и можно будет применить лемму Цорна.

Построим на L положительное и ограниченное векторное поле. На каждой окрестности U/ такое векторное поле 尸,существует. Мы можем даже считать, что все 尸,ограничены сверху единицей. Тогда

" = 门 и будет искомым векторным полем. Из тех же соображений, что и раньше, получаем, что L покрыто одной координатной окрестностью, и лемма доказана.

Определение 7. Пусть Мт — многообразие. Если U и V — две его пересекающиеся координатные окрестности и якобиан преобразования координат от U к V положителен, то говорят, что U ^V положительно связаны. Многообразие М называется ориен-

тируемым, если его можно покрыть координатными окрестностями, каждые две из которых положительно связаны】).В противном случае многообразие М не” ориентируемо.

Часто бывает полезна следующая конструкция. Для каждого связного неориентируемого многообразия ^ существует связное ориентируемое многообразие №, являющееся двулистным накрытием) над ^. Чтобы построить N, рассмотрим семейство S всевозможных пар (р, U), где U — какая-нибудь координатная окрестность точки р. Возьмем два экземпляра S, скажем S+ и S— т. е. S+ = {(р, U)+ \ р ^ U}, В_ = = {(р, U)」р 三 U}・ Будем считать,, что (р, U)+ = (g, V)+ и (р, U)_ = (g, 1/)一 тогда и только тогда, когда р = q и якобиан преобразования координат от U к R положителен в точке р, а (р, U)+ = (g, V)- тогда и только тогда, когда р = д н якобиан преобразования координат от U к 1/ отрицателен в точке р. Обозначим через N множество пар, полученное из S+(JS_ посредством такого отождествления.

Введем на N топологию. Пусть [(р, U)+] — класс эквивалентности (т. е. элемент в 斤)，содержащий (р, U)+・ Определим окрестность точки [(р, U)+] как множество точек из N вида [(g, U)+], где q пробегает U. Аналогично для точки [(р,。)一]・ Легко проверить, что эти окрестности задают топологию на N. Чтобы сделать ^ многообразием, возьмем в качестве координат около точки [(р, U)+] координаты на U,

1) Ориентируемое многообразие будет ориентировано, если фиксировать ориентацию в одной его координатной окрестности, а в остальных определить ориентацию так, чтобы все координатные окрестности были положительно связаны. — Прим, перев.

а около точки [(р, [/),] — координаты на U с противоположной ориентацией, т. е. если (хь ..хп)— координаты на U, то 工户_], — хл) будут координатами около точки [(р, [/)_]. Тогда N будет многообразием класса С°°. Легко видеть, что N ориентируемо и отображение [(р, U)土] f р — двулистное дифференцируемое накрытие. Из неориентируемости ^ следует, что N связно.

Определение 8. Пусть А — замкнутое подмножество сепарабельного метрического пространства М. Если М — Д — многообразие, то М называется отно~ сительным многообразием по модулю А. Мы будем обозначать его (М, А) или (М/А).

Определение 9. Пусть М ^ ^ (^ — многообразие), р 三 М. Точка р называется ^угловой, если существует в 2V ее координатная окрестность U, в координатах которой М П U представляет собой /-угол в Еп (n = dim N), т. е. множество {х = [хь ...» хп]|11 х||< 1, Xi >0, ...» X/ >0}, причем р соответствует началу координат х = (0, 0, …，0).

Определение 10. Многообразием с углами называется пространство, каждая точка которого является /-угловой точкой для некоторого j》0・ Пространство, каждая точка которого 0-угловая или 1-угловая, называется многообразием с краемJ).

Понятие /-угловой точки не зависит от координатной окрестности; в самом деле, если р есть /-угловая точка, то множество всех касательных в точке р векторов к многообразию с углами представляет собой (ш — /)-мерное векторное пространство и его размерность инвариантна относительно любого невырожденного линейного преобразования. Если Мт—многообразие с краем дМ, то дМ представляет собой многообразие размерности m — 1. Дифференциальная структура на дМ индуцируется многообразием М・

1) Краем называется множество 1-угловых точек. — 77р«л» 不叩ее.

Пусть Мт, Аа — многообразия, a Nn — подмногообразие в Мт, Локально, если [х, у\ — координаты на М, то ^ задается равенством х = 0, т. е. [О, у]— координаты на М

Определение 11. Пусть ф； А —>Л4 — отображение класса С°°. Говорят, что 屮 трансверсально к ^ в точке g w q)T (N)，если

源(M + <M7gG4)) = &(M)・

Здесь р =①(q), Тр (X) и Тр (М) — касательные пространства, a q)t — отображение касательных пространств, индуцируемое отображением 屮)

Отметим некоторые свойства трансверсальных отображений.

Если dim А + dim ^ < dim М, то ^ П ф(Л) = 0.

Если dim А + dim ^ = dim М, то точки д, для которых ①(q)三 N, изолированы в 力.

Если Рх — проекция [х,川-> 芻 то определение трансверсальности эквивалентно утверждению „Рлф регулярно в точке д“. (В этом случае регулярность отображения 「彳屮 в q означает, что отображение (Р/рГ надъективно.)

Если ф трансверсально к X в каждой точке прообраза ф" (^), то q)-1 (^ — подмногообразие в Л и codim ф-1 (^ в А совпадает с codim ^ в М. Сформулированные утверждения следуют из приведенных выше лемм.

Определение 12. Пусть ^, ^ — подмногообразие многообразия М, N [\N *0, Говорят, что ^ и ^ трансверсальны в их пересечении, если вложение I: N М трансверсально к ^ в каждой точке, Т. е. TP(N) + TP(N) = TP(M), pe=^П^.

— Например, если М = £, У — плоскость х3 = О, У — прямая Х[ = 0, %2 = 0, то ^, ^ трансверсальны в точке (0, 0, 0).

Лемма 6. Если ^, N трансверсальны и р巨М П N, то можно так выбрать координаты в точке р, что оба многообразия N и N будут линейными подпространствами, в сумме дающими все пространство.

Доказательство. Пусть [х, у] — координаты на М в точке р, ^ задается как [0, у], и пусть Рх: [х, у]->х. Введем координаты 2 на N,，(之)：N->M. Поскольку Pxi регулярно в р, заменим координаты 之一>[%, v] так, чтобы Pxi([u, v]) = и (см. свойство с)). Тем самым Z( [u, v]) = [и,州(％ и)]. Так как N вложено регулярно, то / имеет максимальный ранг и, следовательно,

[弘州®, v)] = [и, Г|(^ 叫 X (u, и)], det (寨)？=0.

Заменим координаты в ^: [u, v] -> [и, г|]. Тогда /([и, г|]) = [и, г|, х (и, г|)]. Заменим координаты в М: [и, % х] -> [и, г|, х — х(и, 1])]. Тогда z( [и, ”)= =[и, т|, 0], и лемма доказана.

Следствие. Пересечение N RN является подмногообразием.

Это очевидно, так как N RN представляет собой “плоскость" в окрестности точки р 三 N R N.

Лемма 7, Пусть tp: М-> А и N ^ М, В^ А — подмногообразия. Если tp всюду трансверсально к В и Ф всюду трансверсально к В, то N и ф'1 (В) трансверсальны s М.

Доказательство. Поскольку трансверсаль^ ность сводится к касательным пространствам, можно сформулировать лемму в линеаризованном виде: если N ^ М, В ^ А (рассматриваемые как подпространства линейного пространства) и ф: М—>Л — та* кое_ лилейное отображение, jto ф (М) + В = А и 0(%) + 3 = 4』о % + ф-1 (В) = М. Тогда если /й —любая точка из М, то @(沂)=a = @(也)+ б влечет /й 一用曰 W@T(Q)・

Если М — многообразие с краем dMt мы всегда будем считать, что М содержится в некотором большем многообразии “> Отображение ф： “f / (Л — многообразие) будем понимать как сужение отображения ф： — 4

Пусть В — подмногообразие в Л, ср всюду трансверсально к В и ф |5M всюду трансверсально к В в ОМ. Тогда ф-1 (В) — подмногообразие в Л40 и по лемме 7 оно трансверсально к дМ во всех точках пересечения с дМ. Легко видеть, что М П Ф-1 (В)— многообразие с краем 0 (М П 旷‘(В))=中一】(В) П дМ.

Пример. Пусть выполнены условия двух предыдущих абзацев. Кроме того, будем считать, что М компактно, В = {6} (т. е. состоит из одной точки) и dim Л4 = 1 + dim Л. Тогда ф-'(力)будет подмногообразием в Л4 размерности 1 и, значит, объединением открытых дуг и окружностей; 中一‘(力)П“ = С будет семейством замкнутых дуг и окружностей, а дС —— множеством точек в (ЭМПф-Цб), конечным, потому что М компактно, и четным, потому что пересечение открытой дуги или окружности с дМ состоит из четного числа точек.

Этот пример будет играть важную роль в следующей главе, где речь будет идти о степени отображения.

Для удобства ссылок сформулируем его в виде леммы.

Лемма 8. Пусть М — компактное многообразие с краем дМ и Л — многообразие той же размерности, что и дМ. Пусть ф： А — гладкое отображение. Предположим, что точка а^ А выбрана так, что Ф и (р|0M трансверсальны, к {а) с Л. Тогда(р-1 (а) Q М распадается на некоторое число гладких замкнутых кривых, лежащих в М — дМ, и некоторое число замкнутых дуг в М. пересекающих дМ только в их концах. Эти дуги пересекают дМ трансверсально, и все точки из ф-1 (а) П дМ служат их концами.

СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ И ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ.ПРИЛОЖЕНИЯ

Определение 1. Пусть М, А — многообразия, оба размерности т. Пусть М компактно, а отображение ф： Л1 Д принадлежит классу С°°. Если 屮 трансверсально к {р}, р А, то четность числа точек в ф-1 (р) называется степенью отображения ср (mod 2) в точке р и обозначается deg2(<P)Ip ")•

Пусть М ^ А заданы в определении 1, а отображения 2： Л1 -> Л, @: М-> А (гладко) гомотопны, т. е. существует такое отображение 屮：М X [0, 1] -> А, что W 1м х {0} = 2, W 1и X {1}=电 Здесь 屮，电屮 一 отобра- жения класса С". Отображение 屮 называется гладкой гомотопией.

Предположим, что все упомянутые отображения трансверсальны к подмногообразию {р} и %. Пространство Л1Х = Л1 X [0, 1] представляет собой многообразие с краем 0ЛГ = (Л1 X {0}) U (Л1 X {1}) и dim ЛГ = =m + 1. Из леммы 8 гл. I известно, что множество д(^-! (р)П Л1Э содержит четное число точек. Это означает, что если число решений уравнения 屮(％) = р, где х ^ М X {0}, равно м0, а число решений уравнения ^ (х) = р, где х е=Л1Х{1}> равно 孔卜 то n0^n Jmod 2). Но 4f (%)=屮(х) для х е Л1 X {0} и 屮(％)=⑪(х) для х М X {1}, следовательно, четность числа точек в прообразе i^-1 (р) равна четности числа точек в прообразе @т(р)・ Мы. покажем дальше, что вовсе не

1) Четность числа определяется его остатком при делении на 2, т, е, гомоморфизмом кольца Z целых чисел в кольцо Z2 вычетов по модулю 2. Таким образом, deg2 (ф) |р принимает значения 0 и 1, — Прим^ перев.

обязательно предполагать гомотопию 4r трансверсальной к 4 в точке р. Таким образом, будет доказана

Теорема 1. dcg2(屮)1р является (гладким) гомотопическим инвариантом.

Замечание. Из леммы об аппроксимации (см. стр. 44) следует, что два гомотопных гладких отображения гладко гомотопны.

Замечание. Пусть многообразия М и Л компактны, а Л еще и связно. Тогда множество В Л всех точек р, для которых гладкое отображение Ф： М—4 трансверсально к {р}, открыто и всюду плотно (лемма Сарда).

Степень deg2 (ф) |卩 одинакова для всех точек р w В, поэтому ее называют просто степенью отображения ①(mod 2). В самом деле, пусть х — система координат с началом в точке а ^ Л, и пусть / — шаровая окрестность точки а в этой системе координат. Возьмем две точки Ьо и bi в пересечении V П В. Легко построить диффеоморфизм 2 многообразия Л на себя, при котором все точки множества A — V остаются неподвижными, а 方° переходит в 仇.Отображение 2 гомотопно тождественному отображению (см. лемму о гомотопии, стр. 44). Легко проверить, что степень отображения 2(р в точке 瓦 равна степени отображения ф в точке Ь^ Поскольку 2(р н 屮 гомотопны, их степени в точке Ъх совпадают. Таким образом, степень отображения 屮 во всех точках b ^V (] В одинакова. Поскольку Л связно, а В всюду плотно в Л, степень отображения 屮 одинакова во всех точках множества В.

Следствие. Тождественное отображение компактного многообразия на себя и постоянное отображение 1) не гомотопны.

Постоянным отображением называется отображение в точку. Если прообраз точки пуст, то степень отображения в этой точке равна нулю. — Прим, перев*

В самом деле, степень первого отображения равна единице, а второго — нулю.

Определение 1. А. Предположим, что многообразия М и Л из определения 1 ориентированы, а Л еще и связно. Прообраз 中~'(р) состоит из конечного числа точек 团卜 团2，门〃，в каждой из которых якобиан отображения ср отличен от нуля. Обозначим через 瞋=±1) знак якобиана в точке i = 1, 2,…，々，и назовем сумму & + 助 + …+ % степенью отображения ср в точке р; обозначим ее deg((p)|p.

Предложение. Пусть 儿彳小+^ — компактное ориентированное многообразие с краем дМ, Ат — компактное связное ориентированное многообразие и ср: М -* Л — такое гладкое отображение, что его сужение ср |^м трансверсально к точке р в А. Тогда степень отображения ср \дМ в точке р равна нулю.

Доказательство см. Понтрягин [3] ^.

Теорема 1. A. deg (ср) | ^ — Г гладкий) гомотопи- ч еский инвариант отображений компактных ориентированных многообразий.

Пусть X — метрическое пространство и Y ^ X. Если У можно представить в виде суммы счетного числа нигде не плотных в X множеств, то У называют множеством первой категории. Если множество X — Y первой категории, то У называют превалентным множеством. Если какое-то свойство верно для пре- валентного множества точек, то говорят, что оно верно в большинстве точек.

Любое многообразие М имеет метрику, делающую его полным метрическим пространством. Для компактного М это очевидно. В противном случае компактифицируем его одной точкой, т. е. берем М U {р^. Если р (х, у) — полная метрика на М U {р^, положим

Доказательство этого предложения легко получить, используя лемму 8 гл. I и проследив за знаком якобиана отображения. — Прим, ред.

Pi(X, 4)= р(х, 4)+ |р(х, Р8)Т-р® Роо)~' I для х,у^М. Тогда pi будет полной метрикой уже на М 】)・

Если М сепарабельно и локально компактно, то М = (jKm где К» К2>— компакты, Ki и IntK2 и

и К2 и Int Кз и . .. . Рассмотрим множество непрерывных отображений пространства М в себя и положим

q I р^%. Р (屮 S), 2 S))

d (屮，屮)一工 QT i + sup p 6G), ® S)) *f = lP w K{

Тем самым множество отображений из М в Л4 становится полным метрическим пространством. Очевидно, сходимость в метрике d есть не что нное； как равномерная сходимость на компактных подмножествах.

Если М — многообразие, обозначим через Jk (М) совокупность всех ^-потоков во всех точках из М и назовем ее пространством k-потоков многообразия М. Это пространство можно сделать многообразием. Для 々=1 оно называется касательным пучком} многообразия М и его размерность равна 2m. Введем координаты на J} (М): если (ш°, а0) — пара из 厶(М), где m° ^ М, а а0 — касательный вектор в т°, то„£уш,е- ствуёт координатная окрестность U точки ш° с координатами (尤1,...,尤巾)・ Пусть л: /1 (М) М — отображение, определенное равенством 冗(济，a) = R Тогда 冗-i(U) представляет собой множество всех пар (历，а)； У которых 应巨 U. Если (т, а) s л-1 (f7), то 应=(Xb ..尤加)И

д ,. d

a =• + ат~дх^'

Это рассуждение не вполне корректно, так как пространство, получаемое в результате компактификации, не будет, вообще говоря, многообразием. Однако на нем можно ввести такую метрику р1( в которой оно полно. Этого достаточно для завершения доказательства. — Прим. ред.

Отображение

(『", Ct) '~*■(尤 1，尤2， •…，Xg 〃[, ^2» • • •» 〃/n)

взаимно однозначно переводит 冗~i(U) на открытое подмножество пространства Е2m. Существует единственная топология на ，1(Л1), для которой это отображение будет гомеоморфизмом. Возьмем {л"1 ((7)} в качестве координатных окрестностей пространства 厶(М), а гомеоморфизмы

(济,Ct) f (/,尤2，•・•，尤 m a1，出，•*•，am)

в качестве координатных отображений. Оставляем читателю самому проверить, что эти координатные окрестности согласованы друг с другом.

Структура многообразия на 厶(М) вводится аналогично.

Пусть pfc — полная метрика на Jk (Л4). Отображение ср: Л1 —Л1 индуцирует отображение ср/ Jk (М)->

Jk(M) (гл. I). Введем полную метрику dk на，左(М) и положим dk (ф, ip) = dk (ф*, ipj. Сходимость в метрике dk есть не что иное, как равномерная сходимость на компактных подмножествах по всем производным до порядка k включительно.

Наконец, положим

白 2一一&@ 2)

Сходимость в этой метрике есть не что иное, как равномерная сходимость по всем производным на компактных подмножествах. Метрика 逃(^ = 0, 1, 2,8) определяет С^-топологию. Заметим, что все определенные выше метрики полны.

Лемма 1 (вспомогательная). Пусть гр, ср: (Мт, А) ^m, р е^ Nm—q)(Л), Л1 компактно, а ср трансверсально к {р}. 'Если 屮 достаточно близко к Ф в С1-топологии, то число точек s ^~1 (р) равно числу точек s ср"*1 {р\

Доказательство. Поскольку М компактно, ф-'(р) состоит только из конечного числа точек,

скажем 夕卜...,д^・ Окружим каждую точку qi координатной окрестностью U ： так, чтобы [7川5 = = 0(i，/). Это можно сделать, потому что каждая точка 力 принадлежит многообразию М —4 Тогда (р(м —^[/力打卩 и для отображения 取 достаточно близкого к ф (даже в С°-топологии), ф^М——(J U，/ р. Мы хотим показать, что если 巾 достаточно близко к ф в С!-топологии, то каждая окрестность Uj содержит единственную точку прообраза 旷'(р). В самом деле, так как 屮 трансверсально к {р} в точке q^ то ^({p}) +(p4^(M)) = rp^),

а так как Тр ({р}) 0-мерно, то фДГ^^ (М)) должно быть m-мерно. Следовательно, якобиан отображения 屮 отличен от нуля, и так как 巾 близко к ф в С^топо- логии, то якобиан отображения 巾 в точке 由 также отличен от нуля* По теореме о неявной функции 巾 отображает U/ диффеоморфно на окрестность точки р и, в частности, существует единственная точка Ху 三 Uj, в которой 巾(弓)=р.

Следствие. Пусть многообразия из вспомогательной леммы ориентированы. Если считать точку в Ф'1 (р) со знаком плюс, когда якобиан отображения ф в ней положителен, и со знаком минус в противоположном случае, то утверждение леммы остается верным.

Лемма 2. Пусть ^ — компактное связное многообразие и ф： N т N — диффеоморфизм на себя. Если 巾 достаточно близко к 屮 s С1-топологии, то 少一так*се диффеоморфизм на себя.

Доказательство. Так как отображение q\ нигде не вырождено, то 也 по условию также обладает этим свойством. Поэтому 巾 локально взаимно однозначно и по теореме о неявной функции отображает открытые множества на открытые. Поскольку ^

компактно,屮 переводит замкнутые множества в замкнутые. Из связности ^ получаем “(N) = N. Остается показать, что 屮 глобально взаимно однозначно. Допустим, что это не так. Тогда существуют последовательность отображений {“〃}, стремящаяся к ср в С^топологии, и последовательности точек {嗚，{叫, для которых 屮几(4几)=屮几(4；)・ Используя компактность многообразия ^ и переходя в случае необходимости к подпоследовательностям, получаем q^fq® 4；f 4北・ Очевидно, что $(%) = $(〃). Следовательно, % = 〃• Но тогда для достаточно большого п точки qn и qfn лежат в одной координатной окрестности вопреки тому, что 屮几 локально взаимно однозначно.

Пусть 历 — пространство всех отображений Ф： N—N с С°°-топологией. Лемма 2 показывает, что множество。三历，состоящее из диффеоморфизмов на себя, открыто. Пусть d^ (ср,屮)一полная метрика в пространстве С°°-отображений ^ ->^. Положим

Ze (恥 3) = ^ОО (Ф> W) +

+ inf Q®, K)『-「inf 厶(屮,70

где ср,屮三 £)• Тогда d^ — полная метрика на D.

Л е м м а 3 (о шевелении 】))• Пусть 屮：Mm-> Nn — отображение класса С°°. а V — подмногообразие многообразия N. Если М и N компактны, то диффеоморфизмы т] многообразия N на себя, для которых композиция т]屮 трансверсальна к V, образуют превалентное открытое подмножество s D.

Следств ие. Пусть 屮，屮：Mm— гладко гомотопные отображения и р w N* Если ср 〃屮 транс- версальны к {р}, то четность числа точек s прообразе срТ (р) совпадает с четностью числа точек s 屮^ (р)・

Доказательство следствия. Обозначим через Ф гомотопию между ср и ”. Согласно лемме

1) В оригинале jiggling. — Прим, перев.

о шевелении, существует диффеоморфизм Т) многообразия N на себя, близкий к тождественному и такой, что т)Ф, т)ф, туф трансверсальны к ^ в точке {р}. Далее, т)ф и т)1|)гладко гомотопны (посредством гомотопии т)Ф) и можно использовать замечания, предшествующие теореме 1. Тем самым четность числа точек в (пф)-1 (р) совпадает с четностью числа точек в (тр|))т(р). Поскольку Т) близко к тождественному отображению, можно применить вспомогательную лемму к отображениям ф, т)(р, а также и к отображениям 2，туф.

Доказ ательство леммы о шевелении. Для того чтобы доказать, что множество диффеоморфизмов Т) многообразия ^, для которых туф трансверсально к У, превалентно, достаточно доказать превалентность множества TR (U) диффеоморфизмов Т), для которых сужение отображения туф на некоторую малую координатную окрестность U в М трансверсально к V.

Если Т) близко к тождественному отображению, то туф (U)三取,где W — фиксированная координатная окрестность на ^. Выберем координаты [х, у] в 取 так, чтобы V локально задавалось уравнением у = 0. Пусть Р — проекция [х, у] у. Трансверсальность сужения отображения туф на U означает, что в каждой точке из (Ртуф)7(О) матрица Якоби отображения Ртр|) имеет максимальный ранг, т. е. содержит отличный от нуля (г X г)-минор, где г — наибольшее возможное число. Ясно, что множество TR(U) открыто. Для того чтобы доказать, что оно плотно, достаточно показать, что в любой окрестности тождественного отображения найдется такой диффеоморфизм т)0, что Рт)(уф имеет в каждой точке из (Рт](уф)7 (0) матрицу Якоби максимального ранга.

Пусть S — множество точек из U, в которых Лф не имеет максимального ранга. По лемме Сарда Pi|)(S) — множество меры нуль. Тогда для любого е>0 существует такой вектор 6 с нормой ||61|<е, что 6 丈 Рф(Е), т. е. матрица Якоби отображения Р^

имеет максимальный ранг в каждой точке из (尸屮)々(S). Можно найти диффеоморфизм т]。： N f N、для которого % ([х, у]) = [х, у — 6] при всех х, у ^= W (мы считаем, что окрестность W содержится в координатной окрестности I忆 поэтому [х, у — 6]^ Wf) и который гладко переходит в тождественное отображение вле W. Тогда (Р%屮)-'(0) = (Р“)-‘ (6), и лемма доказана.

Замечание. Если в лемме о шевелении взять в качестве N не настоящее многообразие, а относительное многообразие по модулю какого-нибудь замкнутого подмножества Д, и если V N — А, то все равно множество диффеоморфизмов t]： (Л\ ^)->(^, Д), совпадающих с тождественным отображением в некоторой окрестности множества А и таких, что композиция п屮 трансверсальна к V, будет превалентным открытым множеством.

Доказательство этого утверждения по существу не отличается от доказательства самой леммы.

Лемма 4. Любое компактное многообразие Nn вкладывается в евклидово пространство Ek достаточно большой размерности k.

Доказательство. Многообразие N можно покрыть координатными окрестностями % так, чтобы для каждого а существовали такие координатные окрестности Va и 叭，что % 三 / 三 几 三九三 Wa. В силу компактности N можно считать число окрест- ностей Ua конечным, скажем, NuU。。， Можно также предполагать, что ни один из n-мерных шаров, гомеоморфных координатным окрестностям 0屮 /= 1, ...,/, и задающих на них координаты, не содержит начала координат.

Пусть 九：Nn-^ Еп — вектор-функция класса С°°, для которой

fa(P)=

J координатный вектор точки р в U» если р w Uat

I 0, если р 三 N — Vq,

а ^а —такая вектор-функция класса С°°, что ga(P)=

J координатный вектор точки р в 九，если р w 九, -(0, если р a N —

Зададим F: Nn -> £2nZ равенством

f(p)=卩%(p)，九(p)，g%(P)gajР)].

Отображение 尸 взаимно однозначно. В самом деле, пусть 尸(р) =尸(д)・ Если pwU&； то /а. (р) О, а потому и fa.(9)*0. По определению fa это означает, что 〃 g w Кг Далее, g。JP)= ^a.(^)> z= Ь • • - J- По определению ga (р) — координатный вектор точки р в 九/ а ^а (^) — координатный вектор точки q в 九厂 Но тогда Pi совпадает с %，и F взаимно однозначно.

Так как F и F~ принадлежат классу С°°, то F — диффеоморфное вложение многообразия N11 в Q, где k = 2nl 1).

Следствие. На любом компактном многообразии можно задать риманову метрику. (Позднее мы поговорим подробнее о римановой геометрии.)

Замечание. Лемма 4 представляет собой частный случай более общего результата, называемого теоремой Уитни о вложении: для произвольного Nn (не обязательно компактного) существует такое вложение т: Nn -> £2n+I, что множество т (N) замкнуто в Е2п+1 (см., например, Де Рам [1])).

Лемма 5. Если Nn — гладкое многообразие, ело- женное 6 Ek、то существуют трубчатая окрестность U

многообразия Nn в Ek и отображение р: U -> Nn^ являющееся гладкой ретракцией U на Nn.

Доказательство. Рассмотрим многообразие состоящее из пар ст = [а, Ь], где а s Nnt а Ь — вектор в Ek, ортогональный в своем основании к N. Ясно, что отображение f: ^ -> Ekt заданное равенством f& Ь] = а + b, гладкое и в каждой точке а множества So,г на котором Ь имеет нулевую длину, его якобиан отличен от нуля. По теореме о неявной функции существует окрестность U множества So, на которой отображение f: U Ek гладко, взаимно однозначно и отображает U на открытое множество V в £а, причем обратное отображение 尸 множества V также гладко по теореме о неявной функции. Положим g[a, b] = a, тогда p = g。尸 удовлетворяет условию леммы.

Лемма 6 (о гомотопии). Пусть Мт и Nn — компактные многообразия, /, r)2: М-> N — гладкие отображения, a d~ метрика на многообразии N, вложенном в некоторое евклидово пространство Ek (см. лемму 4). Тогда найдется такое е>0, что если d(n(p), ^(р))^ 6 для всех р ^ Mt то х\{ и г)2 гомотопны.

Доказательство. Рассматривая N как подмногообразие евклидова пространства Ek, возьмем его трубчатую окрестность U, существование которой гарантирует лемма 5. Если е > 0 достаточно мало, то 加](р) + (1 —，)П2(Р)三 U для всех р М, f 三[0, 1]. Положим р/р) = р «а (р) + (1 - f) т]2 储))，где р - ретракция U на М Очевидно, что р± и есть нужная гомотопия между q и т]2.

Лемма 7 (о б аппроксимации). Пусть Мт и Nn — компактные многообразия, f: Mm —> Nn — непрерывное отображение. Тогда для любого (наперед заданного) е>0 найдется такое гладкое отображение Фе: М-> М что d(f (tn), фе(т))<е для всех т^М.

Доказательство этой леммы не трудно, оно использует лемму 5 и обычную теорему Вейерштрасса

об аппроксимации. Мы опускаем это доказательство и отсылаем читателя к статье Понтрягина [3].

Определение 2. Пусть Л1т и Nn — компактные многообразия, ср: М-> N — непрерывное отображение. Возьмем произвольную точку р w N. По лемме 7 найдется последовательность {ср；} гладких отображений, для которых d(^(tn),(p；(m))< 1//. По лемме о шевелении можно считать отображения фу трансверсальными к {р} для всех /. По лемме о гомотопии найдется такое целое число Л, что 屮在 и 也 гомотопны при 代，1^ А. Отсюда, согласно следствию из леммы о шевелении, четность числа точек в(р^1 (р) совпадает с четностью числа точек в (р”(р) (для 代,/》4). Обозначим это число через deg2 ф |р.

Теорема 1‘. deg2 (ф) 1р является гомотопическим инвариантом.

Теорема Г. A. deg (ф) |р является гомотопическим инвариантом отображений ориентированных многообразий.

Теория пересечений по модулю 2

Напомним сначала несколько определений из сингулярной теории гомологий.

Сингулярным п-кубом в пространстве X называется отображение о: /" -> X (/，={х = (х” х?，・• •，хп)е 三 Е" |0 W х» & 1})・ Если 『2 = 0, то а — единственная точка в Х・ Если и > 1, то сингулярные (и — 1)-кубы (九 jO)(XI，x冷-1)= 0"(元1，•…，/7，E, 修，.・.，%冷一1),

力=1, 2, M, e = 0, 1, (X[, х^т)三 />

называются i-й нижней(Х?а) и f-й верхней (xja) гранями n-куба о. Очевидно, что 九7A7 =九?—伍;，где fVj и & 叮 равны 0 или 1.

Обозначим через Q^ (X) свободную абелеву группу 1), образованную всеми сингулярными и-кубами

')Группа Qn (X) называется группой сингулярных (целочисленных) n-цепей. Формально цепь можно записать в виде линейной комбинации сингулярных кубов с коэффициентами из Z.— Прим. ped.

в X при п^О, и положим Qn (X) = 0 для п < 0. Тогда операция

Оо = £ (— 1)"(九;о —九Ь)

определяет гомоморфизм д: Qn(X)~>Qri-i (X) для каждого п. Непосредственно проверяется, что дд = 0.

Каждому сингулярному (п — 1)-кубу о в X, п > 0, сопоставим сингулярный n-куб Do в X:

(£)(у) (%i， ..., %”1，%几)=о (%i，♦ ♦ ♦, %几—J.

Сингулярный n-куб V в X называется вырожденным, если V = Da для некоторого о. Другими словами, V вырожден тогда и только тогда, когда он не зависит от последней координаты хп точки (%» ..., %) в Г, Вырожденные сингулярные п-кубы в X, п > 0, образуют подгруппу DJX) группы Q几(X). Так как ^D = DK^ I < n, KnD = 1, то

d Dg= £ (一以 ① Do-^Do) =

=2(-1)'(0初o-зb),

и, следовательно, д переводит DJX) в Dn^} (X).

Для каждого целого п факторгруппа Сп(Х)= =Q式X)]D注(Х\ очевидно, будет свободной абелевой группой. Она называется группой нормализованных кубических сингулярных пщепей в X. Поскольку оператор д переводит D式X) в £)几_i(X), он индуцирует гомоморфизм

0:以(X)f &т(Х)

для каждого п, Так как дд = 0, то можно определить сингулярные циклы и сингулярные границы так же, как и в си мплици альной теории гомологий) Аналогично можно определить группу "几(X, G) сингу-

1) Группа сингулярных n-циклов определяется как ядро кег д гомоморфизма 0: Cn (X)->。几_】(X), а группа п-грапиц — как образ Im д гомоморфизма д: Cn+l (X) Ctl (X). Так как Imdukerd в силу дд = Q, то можно говорить о факторгруппе kerd/ImO = =Нп (X). — Прилц перев.

лярных гомологий с коэффициентами в произвольной абелевой" группе G.

Пусть (AF, А) — относительное многообразие, УУ

М — подмногообразие и V П Л = 0. Говорят, что n-цепь ?3о имеет своим носителем Л, и пишут 2 koa ^ Л, если а (Г) ^ Л для всех а. Сингулярная n-цепь а называется циклом по модулю Л, если да^А.

Пусть а = 2 ^оа- Тогда существует такой диффеоморфизм г| на М, сколь угодно близкий к тождественному отображению, что вблизи А он совпадает с тождественным отображением, композиция г|а трансверсальна к V для каждого а, а ее сужение на любую грань куба /" трансверсально к V. Это сразу следует из замечания на стр. 42.

Определение 3. Пусть m~ v = k (m, и те же, что и выше). Пусть а будет fe-циклом в М по модулю Л, а = 2 々о。. Мы хотим определить а • У, т. е. индекс пересечения а с V (mod 2).

Возьмем, как и раньше, диффеоморфизм q достаточно близкий к тождественному отображению. Прежде всего заметим, что граница куба /* не содержит точек х, для которых “仃(％)三1/. В самом деле, если бы такая точка существовала, то очевидное неравенство dim (грани) < fe = codim V противоречило бы свойству а) трансверсальных отображений (стр. 31).

В силу свойства Ь) множество точек %, для которых “0(尤)三!/, изолированное. Но поскольку /'*— компакт, таких точек может быть только конечное число. Обозначим четность этого числа через # (и) и положим а • V = # (а), а • К = 2 亂(# (В )

Легко видеть, что индекс пересечения а • V не зависит от % Если а = 2^оа» то по определению 1]а = =2 ^о ■ Ла' Пусть ^ — другой диффеоморфизм, обладающий теми же свойствами, что и 斗 По лемме

о гомотопии 7)н т/ гомотопны. Тогда т]а и т/а гомологичны (mod Л), т. е. т)а — ^а = 0§ + % rad 丫三 Д, a 8 есть (k + 1)-мерная сингулярная цепь. В самом деле, пусть т)г — гомотопия между п, т/，т. е.胃0 =刀， 7)! = ^. Положим § = N 々g • G, где G (t, %)=刀,・ о (х). Нетрудно показать, что r)ct —g —邦三 4

Лемма 8. Если цикл а гомологичен нулю (mod Л), то а • Р = 0, т. е. если а = 2 йоа = <?р + у, 丫 三 4 ,то X 备• # (о) = О'

Доказательство. Гладко пошевелим М так, чтобы сделать все сингулярные кубы цепей а, £ у трансверсальными к V. Мы видели, что это шевеление не изменяет индекса пересечения а с 7. Тогда сингулярные кубы цепи у лежат на Л и поэтому отделены от V. Если 卩=三/尸，то 5р = ^1хдх. Для каждого куба т число точек % в O/尼十* для которых т (x)^V, четно. В самом деле, т'1 (I/) — одномерное многообразие с краем и все его граничные точки содержатся в О/'44. Таким образом, т-1 (I/) —множество дуг и окружностей (см. лемму 8 гл. I); следовательно, множеетво {%三0尸1|Т(%)三1/} всех концевых точек четно.

Следствие, а • V зависит только от класса гомологий {а} цикла а, 〃 поэтому можно определить {а}・Р = а・Р.

С.л е д с т в и е. (aj + а2) * I/ = aj * I/ + а2 • V, т. е. {а} • V линейно по {а}.

Пусть о: /总―М,『：F f ML Зададим отображение

IkXll = Ik+l~>MXMf равенством

0X0(%],..., %尼，%h+1，%总+2)=

~ [°(X], • - •» %尼)，0(%尼 + 1，• • •» -^fe + Z)l, Если ct = £ 备 *5 </ = £/(/•(/, положим ctXct' = =』«。/出(0 X『)・ Проверку формулы

5 (a X 优)=(Oct) X(/十(一l)fea X (ОМ),

где д — граничный оператор, определенный на стр. 46, предоставляем читателю.

Пусть (М, Л) и (ЛГ, Л7) — относительные многообразия, а — цикл в М. (mod Л) и а7 — цикл в ЛГ (mod Л7). Легко показать, что

а X а7 — цикл в MXAT(mod(M X Л7) U(M'X4)),

если а — граница в М (mod Л) или а7 — граница в АГ (mod 力‘)，то а X а' — граница в MX Mf (mod (М X 力')U (ЛГ X 4)) (заметим, что (а + 0) X 优= =а X + 6 X а')・

Из этих утверждений следует, что соответствие [а, а7] ->а Ха' индуцирует отображение

%(М，A)XHdM\ &)->

f (М X ЛГ, (М X 4) U (ЛГ X 4)).

Предположим теперь, что оба многообразия М, ЛГ содержатся в (абсолютном) многообразии М(), причем М ЛГ и Мо имеют одну и ту же размерность m и А{\ М7 = Af [\ М. = Q • Наконец, обозначим через ^ множество diag Мо = {[%,刁 |%wM()}・ Ясно, что N будет также m-мерным многообразием. Пусть а — цикл в Л1 (mod Л), а7 — цикл в М7 (mod Л7). Тогда а X а' — цикл в М X АГ (mod (М X Л7) U (М‘ X Л)). Так как N 1 {(М X 4‘) U (ЛГ X 4)} = 0, то можно определить индекс пересечения {а X а7} • ^ в случае, когда dim а + dim а'=々 + / = т, ибо коразмерность ^ в Мо равна 2m — m = т.

Определение 4. Индексом пересечения {а} • {а7} двух классов гомологий {а}, {(/} (mod 2) назовем число {а X а'} • N.

Лемма 9. а) Индекс пересечения корректно определен для классов гомологий {。}三//冗(乂卜 A) 〃{ct'}w ^Hi(M2i 4‘)，если 々 + / = /п;

билинеен по {а}, {а'};

Y • У = V ・ ％ где у = {а}, V = {(/}•

Доказательство, (а) Класс гомологий цикла а X а' зависит только от классов гомологий циклов а и а7, следовательно, у • у' не зависит от выбора представителей а, а'.

Очевидно.

Рассмотрим диффеоморфизм р многообразия М X М, переводящий [тн т^ в [т^ mJ, и гомеоморфизм Рз z пары (/*”，dlk^1) на себя, заданный соответствием

[%],..., %м，%h + i，♦ ♦ ♦,尤代 + 力 [%/； + ],•♦♦,尤代十厶 ％1，• . .,%h]

Заметим, что гомеоморфизм p^j гомотопен (как отображение пары (六dlk+l)) тождественному отображению, если kl четно, и отображению , xk+i] -> [1 — %], %2‘ ♦…，/+J если kl нечетно. Если В = £ ^о^ есть (左 + /)-мерный цикл, то』孔。(и ・ afe( 0 принадлежит тому же классу гомологий, что и (— Ясно, что если т: lk М, т: I1 -> Л1, то р (а X т)= =(т + а) afei z. Тем самым для k- и /-мерных классов гомологий дДу ху') = (— 1)*'(у'Х\> Так как множество N=diag(Ai X М) инвариантно относительно отображения р, то (у Ху') • N = (—1)*(V X у) • " Приводя полученное равенство по модулю 2, поручаем (с).

Замечание. Если многообразия ориентированы, то можно, как и в теории степени отображения, обобщить теорию пересечений по модулю 2 до целочисленной теории (см. определение 1. А на стр. 36. — Перее.). Тогда

а • 6 = (—1)"р • а, где 々 = dima, / = dim р；

если е и г| — такие цепи, что dim е + dim q = =dim Мо + 1, и если de П drj = 0, то de • rj = ( — l)ze •办, где / = dim е.

、 Доказательство оставляем читателю.

Лемма 10. Пусть а и " имеют размерности k и I соответственно " k +1 = т. Пусть в каждой точке р пересечение сингулярного куба о из а с сингулярным кубом и' из с/ „трансверсально^, т. е. а+ (ГР1 (lk)) + + о：(Т^(//))= 々(М), где 儿 м。一(р),內三『т (р), а и*，— отображения касательных пространств, 〃”- дуцированные отображениями g, и'. То^да а * ах равно четности числа пересечений всех сингулярных кубов из а со всеми сингулярными кубами из а'・

Доказательство ^акже оставляем читателю.

Пример 1. Пусть S" обозначает n-мерную сферу. Известно, что 方冗(S", Z2) = 0, если 々#=0, м, и "冗(S\ Z2) = Z2, если 々 = 0, n.

Пусть у0, yn — нетривиальные классы гомологий размерности 0 и п. Выберем представителей а0, а" из у0, у" (т. е. {а°} = у°, {а"} = у") следующим образом. Пусть а": /"f S" тождественно переводит внутренность куба Г на внутренность куба /* а всю его границу в одну точку р^. Тогда а"(/") будет п-кубом с границей, отождествленной в точку р^, т. е. топологической сферой S". Пусть а0: /° -> р0, p°fSn, p# 卩句 В силу леммы 10 тогда у0. уп = 1.

Теорема 2. Пусть М, Mf — многообразия, у〔, у2 — классы гомологий на М, а у] у^ — классы гомологий на М\ dim у〔 + dim у2 = dim Л4, dimy； + dim у；= =dim ЛГ. Тогда 卜 X у；) • (у2 X Y；) =(Y「у2) (у； • 丫》. Если же указанное условие на размерность не выполняется, то (% X у0 • (у2 X У, = 0.

Доказательство следует непосредственно из определения индекса пересечения и оставляется читателю.

Сформулируем теорему Кюннета о группах гомологий топологического произведения. Подробности и доказательство см. Хилтон и Уайли [1, гл. V].

Теорема (Кюннет). Пусть | К I, | А | — поли- эдры ]). Тогда

ЯР(^|Х|Л|)^

4 2 нт(^|)®^„(|А|)ф 2 〃т(|К|)*〃“(|〃)， m+n=p т+п=р—1

где в качестве группы коэффициентов берется группа целых чисел, а знак * означает периодическое умножение );

1) Полиэдром называется пространство, допускающее симпли- циальное разбиение. — Прим, перев.

если ^ — поле характеристики нуль, то

HP(\K\X\L\-, ^)- 2 Нт(\К\)^Нп(\Ц)^^-,

если q — простое число и ZQ — группа вычетов по модулю е，то

HP{\K\X\L\-, Z9)- ，Hm{\K\-, Z^HA\L\-, z9). m + n = p

Пример 2. Рассмотрим Sn X Snt где Sn задано в примере 1. По теореме Кюннета нетривиальными классами гомологий у S" X S" будут только у0 X у0, у X у0, у0 X Y", y" X Y". В силу теоремы 2

(Y“ X Y0) •(Y° X Y") = 1,

(Y°X Y。) •(Y" X Y")= 1,

а все другие пересечения (которые определены) равны нулю.

Замечание. Если индекс пересечения какого- нибудь класса гомологий на Sn X Sn со всеми другими классами (соответственно дополнительной размерности) равен нулю, то сам этот класс нулевой.

В самом деле, n-цикл на Sn X Sn имеет вид Ci (у°Х 丫厶)+ C2(Y"XY°)・ По условию С2 = {С1，(у°Хул) + + С2(УЛХу0)} • (у°Хул) = 0. Аналогично &=6. В силу примера 2 достаточно рассмотреть только п-циклы.

Пусть ф： Sn-^ Sn — гладкое отображение. Зададим отображение Гф: S"—> S"xS” равенством 「屮(％) = =k，ф(х)] (гф(х) называется графиком отображения ф) и обозначим через Лф его образ. Это отображение индуцирует отображение F?: Hp(Sn)-^ Hp(Sn X S”) для всех р. Так как уЛ X у°> Y°Xy" образуют базис в Нп (sn X sn), то「¥(y") = &(y"x Y°) + C2(Y°X y")・ Возьмем в качестве представителя класса у" сингулярный n-куб о из примера 1. Представитель класса r?(Y”) задан соответствием х—>[а(х), ф(а(х))]; представитель класса уЛXу0 — соответствием х—>[а(х), %о], где х0 = у°(/0), а представитель класса у0 X ytl задан

соответствием х —> [х0> <?(%)]. Согласно лемме 10, (у° X уп) • Г^ (yn) = 1, и (yn X у°) • F*(y") равно четности числа решений уравнения ф (о (х)) = х0)или уравнения ф(р) = ХО, т. е. deg2(q))l。.

Поэтому

1 =(Y° X Y”)•「？(Y”)=

=(Y° X y")，{&(Y" X 丫°) + С?(Y° X Y")} = &, deg2(Ф)1% =(Y” X Y°)• r*(Yn)=

=(Y" X 丫°) •{&(Y" X Y°) + C2(y° X Y")} = C2.

Тем самым

r*(Yrt) =(Y” x Y°) + (deg2 (q))l)(Y° X y")・

Если ^ — другое отображение Sn —> Sn, to

r* (y") = (y" X Y°) + (deg2 (2)L)(Y° X y")・ Следовательно,

「ПУ) • F?(d) = deg2(q>) I#。+ deg2(明向.

Далее, F? (丫，) — цепь с носителем Лф и Г? (у") — цепь с носителем А屮.Отсюда, если deg2 (ср) |Xo=# deg2 (i|)) |х? то Г?(Y")・Г?(Y")=1 и потому Лф П Л^ = 0, т. е. существует такая точка хх ^ Sn, что 屮(尤[)=2(尤1). Это дает нам так называемую теорему совпадения.

Следствие. Если deg2q)|^о = 0, то <р имеет неподвижную точку.

Доказательство. Возьмем в качестве “ тождественное отображение и применим полученный только что результат.

Теперь приведем без доказательства теорему о неподвижной точке. Подробности см., например, Лефшец [1].

Теорема (Л е ф ш е ц). Пусть X — конечно триангулируемое пространство, отображение 屮：X -> X индуцирует отображение (р#: Hk(X)->Hk (X). Если / (<р)= dim X

=2 (—1)"г但風(х))*0 (tr обозначает след линейного оператора), то <р имеет неподвижную точку.

При менение. Если X = S", то /((р) = 1 + (— 1)' deg(p.

Пусть ф], q)2： S"-> S", 5，屮2： S"-> S。Зададим Ф: Sn -> Sn X S" равенством Ф (p) = [s (p),(p2(P)L Аналогично зададим W. Тогда

①*(Y") = deg?(6)(y" X Y°) + deg?(啕(Y° X y"),

К(Y") = deg? (“J (y" X Y°) + deg?(电)(丫。X Y"), откуда

①*(Y")-屮*(Y") = deg2(6)de& (屮2)+ deg2 (屮 J deg2 (屮2)・

Если эта величина не равна нулю, то существуют точки хи х2, для которых

[<p1(^1),中2(打)]=伸1(х2)，电(冷)]■

Определим теперь кольцо когомологий пространства. Возьмем топологическое пространство X и обозначим через "(X) прямую сумму групп его сингулярных гомологий (всех размерностей). Если группа коэффициентов является полем, то "(X) можно рассматривать как векторное пространство над этим полем. Сопряженное к нему пространство назовем (полной) группой Я* (X) когомологий пространства X.

Пусть ф： X -> У. Тогда <р индуцирует отображение Ф/ Н (X) -> "(У) н двойственное ему(р#: "* (У) —(X).

Пусть diag: X -> X X X — диагональное отображение, заданное равенством diag (х) = (х, х). Тогда

diag*: Н (X) f " (X X X) = " (X) & " (X),diag*: "*(X)g"*(X)f ”*(Х).

Определим ^-произведение Y；」Y； элементов из 斤* (X), полагая

Y、Y；= diag*(Y； ® Y訴

Эта операция умножения превращает 〃*(Х) в кольцо, называемое кольцом когомологий пространства X.

Пусть X — топологическое пространство, содержащее замкнутое множество А. Конечная последовательность X 三 篇三篇7 三 … XQ = А замкнутых множеств называется фильтрацией пространства X или нормальной системой замкнутых множеств в X. Фильтрация в X задает клеточный комплекс, если для каждой пары (Х〃 X/.J, / = 1, 2, . . ., п, существуют /-кубы С?, С?* . .Ст} и отображения 吧)，嗯)，удовлетворяющие условиям

噌：C, f X)для каждого p=l, 2, 团了;

(П)噌：ОЗ—Х.с。

唱)гомеоморфно отображает внутренность С^ куба Ср} на ее образ;

口噌前)) = Х/ — Х『.

Р = 1

Множество X/ называется тогда j-остовом клеточного комплекса, отображение а^ — сингулярной j-клет- кой клеточного комплекса (или отображением приклеивания клеток}, а множество а^ (С^) — открытой j-клеткой клеточного комплекса.

Введение этих понятий обусловлено тем, что они облегчают вычисление групп гомологий различных пространств. Приведем без доказательства две важные леммы. (Доказательство можно найти в книге Кука и Финрея [1].)

Лемма 11. а) Любой сингулярный j-цикл пары (X, А) гомологичен линейной комбинации клеток 叫.

b) Группу гомологий пары (X, 4) можно вычислить следующим образом. Возьмем класс а на (/— ^-мерной сфере дС^\ порождающий (/ — [^-мерную группу гомологий с целочисленными коэффициентами. Так как отображение из дС^ в Х—, задаваемое клеткой су》)， индуцирует гомоморфизм о? из Н @С?、

в 日(X/т, 4), то 咽(а)胃日/_] (Х/т，Л). Согласно утверждению (а), любой сингулярный (/ — 1)-цикл пары (X/—1, Л) можно представить в виде линейной комбинации некоторых (/ — 1)-клеток клеточного комплекса:

吗(a) = {Хm户尸%

где {р} — класс гомологий цепи р.

Введем теперь формальный граничный оператор Э, положив 3吋=工％硯_1 Лемма утверждает, что дд = 0. Следовательно, можно обычным образом определить формальные циклы и формальные границы и показать, что группа формальных j-границ содержится в группе формальных j-циклов. Переходя к факторгруппе, получаем формальную j-мерную группу гомологий. Лемма утверждает, что эти формальные группы гомологий изоморфны настоящим группам сингулярных, гомологий.

Пусть (X, Л), (У, 8) —два клеточных комплекса, т. е.

X = Хп 旦 Х〃—1 — * *. — Х()= А,

Y = Yn^ 厶7 旦...^Yq= В,

и пусть f: (X, /)->(/, В) — отображение пар, т. е. f(X)三 У, f(A) ^ В. Отображение f называется клеточным, если f(X/)三力 и f гомеоморфно отображает каждую открытую клетку из X/ —Х— на некоторую открытую клетку из Yf—Y^y (напомним, что X, —Х— представляет собой конечное объединение открытых /-клеток).

Ориентация открытых клеток е клеточного комплекса определяется выбором для каждой клетки гомеоморфизма h на открытый единичный шар 8八 Говорят, что два гомеоморфизма 加：е — 8八 力2： е — 8/ задают одну и ту же ориентацию, если отображение 力1厶夕‘：Bl В； сохраняет ориентацию. В противном случае говорят, что они задают противоположную ориентацию на е・

Лемма 12. Пусть f: (X, /)-> (У, В) — клеточное отображение. Введем формальное отображение f на открытых ориентированных клетках е из (X, Л) следующим образом. Ориентация на е задана гомеоморфизмом А: е —> Bjt а на f (^) — гомеоморфизмом g: f(e)->Bj (напомним, что f (е) — открытая 卜клетка). Если h и gf задают одну и ту же ориентацию клетки е, положим f(e)= + f(e), 8 противном случае пусть f(e)= — f (^). По линейности можно определить формальное отображение на формальных линейных комбинациях открытых ориентированных клеток. Лемма утверждает, что отображение f перестановочно с д.

Отсюда следует, что f индуцирует отображение 工 групп формальных гомологий. Кроме того, это отображение 工 выполняет роль отображения f* групп сингулярных гомологий.

Продемонстрируем теперь вычисление некоторых групп гомологий.

Пример 1. X = S" (n-мерная сфера). В лемме 11 мы уже пользовались тем, что группа HJS? изоморфна группе коэффициентов. Покажем, что для 0<k<n группа Hk (Sn) тривиальна.

В качестве фильтрации Xn?Xn—i ^ ... ^Хо возьмем Xr = , Х"—]= . .. =Х()={р} (одна точка), а в качестве n-клетки возьмем отображение и": С(п) -> Sn, тождественное на 2⑺ и переводящее ОС⑺ в точку р. Для 0<k<n мы не выделяем ни одной 々-клетки. В качестве (единственной) 0-клетки берем отображение сг(°)： С(о) -> р. Легко проверить, что мы получили клеточный комплекс и все операторы д тривиальны. Осталось применить леммы 11 и 12.

Пример 2. X = Рп (комплексное проективное n-мерное пространство). В качестве фильтрации возьмем 簿•三簿-1? . .. ЭР?. Пусть Еп-комплексное евклидово пространство. Компактифицируем его точками со* в оо, соответствующими всем единичным векторам со, а именно %(〃)一> со*, если 之(〃)/| % (〃)| со.

Легко видеть, что так компактифицированное пространство Еп гомеоморфно вещественному 2〃-мер~ ному шару. В качестве 2/г-клеткн возьмем отображение отождествления о@')： 戸"一＞ Р] Очевидно, что оно непрерывно. На внутренности шара 歐(т. е.成) оно совпадает с тождественным отображением и, следовательно, а(2л) |с — гомеоморфизм на Рп~ Рп-ь Определяя аналогично клетки 。哼〃-",...,о(°) и не вводя клеток нечетных размерностей, приходим к клеточному разбиению пространства Р：. Снова все границы 3 тривиальны, поскольку нет клеток нечетной размерности. Тем самым

Я/(Рп)=2, / = 0, 2, 2п;

"/(尸;) =。，/= h 3,2〃—1・

Пример 3. X = Р拄 (вещественное проективное n-мерное пространство). В качестве фильтрации возьмем Рп^ Р... mR・ Для каждого /, 0^/^п, получаем одну /-клетку о(力：С" f Р「где С(力 есть /-куб, а а(^ — отображение отождествления. Такая фильтрация дает клеточный комплекс.

Зададим клеточное отображение из (S", S0) в (A, R) следующим образом. Выберем клеточное разбиение сферы S" (отличное от рассмотренного в примере I): Sn^ Sn~ 3 … 三 S°, где S/-1 —экватор сферы S', / = 1, 2,…п. Определим для каждой размерности / две /-клетки 叩，工，В качестве q力 возьмем замкнутую верхнюю полусферу U』сферы S\ т. е. ту ее часть, где 尤升]》。，а в качестве С?)— замкнутую нижнюю полусферу 厶力 для которой %/ + 1&°1)・ Точнее говоря, о?) и og) представляют

])Считается само собой разумеющимся, что рассматривается стандартная сфера S", заданная в пространстве Еп^^ уравнением /+1 . 7+1

』尤彳=1, а сфера S1 — уравнениями 』尤：=1 и х；+2 =尤/+з =...

собой естественные гомеоморфизмы стандартных /-кубов С，： С соответственно на полусферы。八 厶「 Очевидно, что 理(dC『))三 S/-1 (ибо S^1 —экватор сферы S’)и аналогично оУ'(ОСУ))三 S’t. Наконец, sJsi = *(&)ud(G" и все условия для клеточного комплекса выполнены.

Теперь мы определим само клеточное отображение f. Пусть f: S’f 匕一отображение отождествления, т. е. мы считаем 匕 сферой S’ с отождествленными точками % н — %. Из нашего построения ясно, что это отображение клеточное.

Выясним характер отображения /. Открытые /-клетки сферы W" представляют со®济 открытые полусферы 办 и £/• Кроме того, открытую /-клетку пространства Рп можно рассматривать как UТем самым f(Uj) = Uj. Но сужение отображения f на 1； переводит % в — % н сохраняет (меняет) ориентацию, если / + 1 четно (нечетно), т. е.『(/) = (—1) U；. По лемме 11 而⑺=岡0”一" для некоторого целого числа 閻，и в силу леммы 12

Г 2, если / четно,

/ I 0, если j нечетно» поскольку основной цикл на S’ равен U/十厶八 а его образ равен либо 2U卜 либо 0. Теперь легко вычислить гомологии пространства Рп. Мы получаем следующий результат.

Если п четно, то

%(&, Z) = Z,

%(Р", Z)4,3(P", Z)==，"Т(Р", Z)^Z2;

，2(Р", Z)=，4(P", Z)=注 HjPm Z) = {0}.

Если n нечетно, то

仇(乙，Z) =，"(P", Z) = Z,

%(P", Z)-仇(P“，Z)- ... ^，…(巳，Z)4z2> %(P", Z) =，4(P", Z- ... =，“T(P", Z) = {0}.

Кольцо когомологий пространства Рп (mod 2)

Займемся вычислением кольца когомологий (modZ2) вещественного проективного пространства Р仆 Как было показано выше, группа Нj{Pni Z2) образована одним элементом, скажем » Мы утверждаем, что а； ■= 1.

В самом деле, элемент а/ представлен отображением 。⑺，переводящим С⑺ на Р〃 а элемент %_/— отображением и , переводящим С на 乙 Так как。⑺ и。("一" невырождены на С‘“ и С’"*, то ау • ап_/ равно индексу пересечения Р/ с Рп-ь если они находятся в общем положении в Рп. Но Р/ П Pn~j состоит только из одной точки, и утверждение доказано.

Согласно теореме Кюннета, Н«Р^Х Р^, Z2) имеет в качестве образующих а0 X а；,…，а； X «о- По правилу пересечения получаем (а0 X &/)•(% X %_/) = 1, QX%・_i)・(％_iX%_j+i)= 1— …(а/Ха())・(％тХ%)= 1・ Все остальные пересечения пусты.

Рассмотрим диагональное отображение Рп -> f РпХ Рп к найдем образ элемента ау. Покажем, что diag* (а；) = (а0 X а；) + & X а；-1) + ... + (а； X а0)- Прежде всего, diag,(а/) = Со(аоХа/)+... + С/(а/Хао)' Далее, diag* (%•) • (а? X ат) = 1, если / + / + m = 2п. В самом деле, diag, (а;) • (а； X ат) — это число точек в пересечении Р『ПР, ПР^， где Ph Рь Рт находятся в Рп X Рп в общем положении. Но это пересечение равно PJ+i-n П Pm = Pj+l+m^n = Ро» т. е. состоит из одной точки. Дальше доказательство очевидно.

Пусть Ро, рь ...» prt — двойственный базис для групп когомологий пространства Рп (mod Z2), т. е. Р/ — линейный функционал, определенный равенством 6/(“)=。〃，i=l, 2,…，亿 Тогда p/^pfe = P/+fe. В самом деле, 6/2也((Х了+h)=

=diag (В/ g В。(％+也)=В/ 8 氏(diag* (ctj+J)==陶 X Pfe («о X ctj+h + •…+ %X% +. +a/+feXa0)= h

Аналогично 氏~6尼(а,) = 0, если / ¥= / + ^, и утверждение доказано.

В результате получаем, что кольцо когомологий пространства Рп (mod Z2) изоморфно кольцу Z2[x]/(xn+l).

Упражнение. Вычислить кольцо целочисленных когомологий пространства Рп (см. стр. 72. — Перее.). Используя полученный результат и теорему Лефшеца о неподвижной точке, доказать, что пространство 處 обладает свойством неподвижной точки, т. е. всякое непрерывное отображение его на себя имеет неподвижную точку.

ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ

Эта глава разбита на две части. Первая посвящена вычислению групп гомологий и кольца когомологий многообразия Грассмана. Насколько важно знать гомологическую и когомологическую структуру этого многообразия, станет ясно позже, когда будет выявлена его роль в теории стинродовских расслоений (гл. IV, VI). Метод вычисления полностью аналогичен методу, использованному в гл. II при вычислении гомологической и когомологической структуры проективных пространств; результаты гл. II будут использованы в настоящей главе. С другой стороны, в частных случаях многообразие Грассмана представляет собой проективное пространство, а потому результаты этой главы можно рассматривать как обобщение результатов предыдущей.

Во второй части этой главы мы докажем классическую теорему двойственности Пуанкаре, но не самыми классическими методами. Вместо того чтобы использовать громоздкие методы комбинаторной топологии (см., например, Александров [1]), мы обратимся за помощью к теории Морса. Это подсказывается самой последовательностью изложения, намеченной в гл. I и II, а именно подходом к топологическим вопросам (насколько это возможно) дифференциальными методами. Теорема двойственности Пуанкаре сама по себе больше не будет использоваться в этой книге.

А. Гомологии многообразий Грассмана

Обозначим через Gkt п множество fe-мерных линейных подпространств (fe-плоскостей, проходящих через начало координат) пространства Е“. Это множество

называется многообразием Грассмана /г-мерных плоскостей n-мерного евклидова пространства. Когда мы будем говорить о вещественных (комплексных) /г-плоскостях в вещественном (комплексном) евклидовом n-мерном пространстве, мы будем иногда для ясности писать G^ 几(G兑 J.

Легко видеть, что ортогональная группа О (п) (группа линейных ортогональных преобразований n-мерного евклидова пространства) действует транзитивно на Gfe, п. Кроме того, если л — фиксированная /г-плоскость, а 冗丄一ее ортогональное дополнение, то подгруппа группы О (п), переводящая /г-плоскость л на себя, расщепляется в прямое произведение О(/г)Х ХО(〃 — ^), первый сомножитель которого оставляет неподвижной плоскость 冗丄，а второй — плоскость 冗. Следовательно, можно отождествить G?,几 с (аналитическим) многообразием О (п)](О (к) X 6 (п —峪),и тогда G^,几 будет компактным многообразием размерности k(n — k). Аналогично можно отождествить G?, п с U 仇)/(。(/?) X U (п — k)), где U (几)—унитарная группа, и тогда G?几 будет компактным многообразием комплексной размерности k(n — k) и, следовательно, вещественной размерности 2々(几亠/г).

Сопоставляя каждой /г-плоскости ее ортогональное дополнение, мы получаем взаимно однозначное соответствие между Gh,注 и Gn—зм Очевидно, что 3】，^ = =Рп_{ — обычное проективное пространство.

Возьмем в 尸 возрастающую последовательность £° ^ £' ^ ... ^ Е”, где £^ — подпространство размерности / пространства Е'・ Для данной плоскости л Gk,n зададим числа

mz (冗)=inf {m I dim (冗 П 辟)> j},/ = 1, 2, ..., /г,

и будем писать 冗вместо л Q Ет. Заметим, что тх (л) < т2 (л) < ... <(л),

и положим

c飞，…，人(守，户，.…，&)=

={冗三 Gk,,Jmj(^) = ^/ (/= h 2, ..., &)}•

Для краткости будем писать Ст】mk вместо С/,加在(£°，Е* …Е") и называть это множество клеткой Шуберта, соответствующей мультииндексу (色，恤，…，恤).

Лемма 1. Клетки Шуберта являются топологическими клетками. Семейство всех клеток Шуберта дает клеточное разбиение множества Gktn.

Доказательство. В качестве базиса для Еп возьмем векторы

е = (0,…,0, 1, 0,・・・,0),1=1, 2, ..., м,

где 1 в 自 стоит на i-м месте. Можно считать, что Ek порождается векторами 修，後，…，％• Пусть л 三 Gmi加廿 Тогда nf^' одномерно, ибо лЛ^'-1 = {0}, и 冗£加‘ порождается вектором % = (хь хтр 0,0),

где %加1 2 0. В самом деле, если xmi = 0, то dim (л^^'-1)^ 1, что невозможно. Будем считать, что %g = L

Так как 冗七内 двумерно, a dim (л^^2-1) < 2, то лЕ^2 порождается вектором % и вектором

Л (Лh • • • > 刀人，"人+1，…•，刀加2，。}

Но так как линейное преобразование х->х, 刀一> 刀一刀加% обратимо, то векторы х и ^ =刀一刀小］% также порождают 延叫 Вектор у имеет вид

У ®，…，Ут.-v 仇 Ут^^1 * * ' * ^也'”

Как и раньше, ymi 声 0. Будем считать, что у俏？= 1. Продолжая этот процесс нахождения базиса для лЕ^2, ..., лЕ”外 приходим к (fe X п)-матрице

p1 …° p%+1 •…4g-i1 °…，0

2］ . . .之加［-10 2加什1 " ， ， 2加2 — 1。2m2+1• • •2加3 - 11。. . . °

Первые / строк представляют собой векторы, порождающие лЕ‘ (/ = 1, 2,...,尼).Элементами этой матрицы будут вещественные (если мы рассматриваем множество G&, п) или комплексные (если мы рассматриваем G? п) числа, которые могут принимать любые значения. Тем самым на Cmv.... mk определены координаты, а потому Cmv .... mk — открытая клетка (хотя не обязательно открытое подмножество в 6斩也) размерности

(^1 — 1) +(Ш2 — 2) + ... + (ш^ —尉=

=(他1 + ... +пг^~ 艮嚟 1).

Ясно, что существует только одна клетка Шуберта нулевой размерности, а именно Ci, 2k> и только одна клетка Шуберта размерности 尼(〃一尼)，а именно С口 — fe+ 1, .. ■, П'

Покажем, что клетки Шуберта дают клеточное разбиение пространства Gktn. Пусть Da — замкнутый a-мерный единичный шар, Ва — его внутренность. Для краткости будем писать 5 = 口七'.Пусть Q = Z)i X。2 X ... X &, а В — его внутренность. Ясно, что D гомеоморфно замкнутому шару размерности (ГИ1+ ... + т^ — k(k + 1)/2. Нам нужно определить непрерывное отображение 屮：D —> Gktni для которого

ф(/)) = Стхmk U клетки Шуберта меньшей размерности,

2)屮 отображает В гомеоморфно на Cmj“

ф отображает dD = D — В в объединение клеток Шуберта меньшей размерности.

Рассмотрим множество всех единичных векторов и ^ Ет\ у которых тгя компонента ⑷皿 неотрицательна; это множество гомеоморфно Dr = Dmi~l. Обозначим через 此)вращение пространства Еп, непрерывно зависящее от и и такое, что

а) &%, = 〃，Ь)㊀ ES — тождественное отображение.

Затем рассмотрим множество всех единичных векторов ?三七飞㊀{dm} с (u)m%》0; это множество

гомеоморфно £)2 = Dm^~2. Обозначим через R§‘ вращение пространства Ent непрерывно зависящее от i и такое, что

а)碍ет尸 и,Ь)赠 \ЕП е 冲 е {emJ]-™X=e°e

Рассмотрим теперь множество всех единичны; векторов w с= Em'Q{em^ ет} с (ш)тз>0; это множе ство гомеоморфно 与二夕恤一乙 Обозначим через 甩 вращение пространства Е", непрерывно зависяще от ш и такое, что

а)础eg = s, b) R{^ |£rt е [£тз е {emi> emj] - ™«^= Повторим этот процесс k раз и зададим отображе ние ф формулой

Ф((и, V, ш, ...)) = {弘 R%, R{uR{vWt ...} = л.

Тогда л будет плоскостью, натянутой на вектор 弘 内％,础R?叫….Размерность ее равна k, поскол ку эти векторы взаимно ортогональны. Покажем, н пример, что (и, &%) = 0:

(弘 &%) =(R開佗，&%) = (с叫，и) = 0.

(Здесь мы пользовались унитарностью отображ ния 甩")

Очевидно, что 屮 непрерывно. Проверим условие По построению dim(ji£m0^^ для ，=1, 2,..., Тогда по определению 色 @ (d)) & 色 для d 巨 / = 1, 2, ..k. А это означает, что

0(d)巨(J С%..., %,

(a，…，%)

причем суммирование производится по всем мулх индексам 仏,...,2) у которых /i ^ mb /2 ^ т2,

lk ^ mk. Условие 1) доказано.

Чтобы проверить условие 2), построим взанм однозначное непрерывное отображение

■ф： Стг ...» mk f Bt

обратное к отображению 屮尿

Возьмем л на Cmv.... m^ Так как dim(nEm,) = 1, то найдется только один единичный вектор и е лЕ^1 с (и)т >0, порождающий яЕт\ Так как А1т(лЕт^ = 2, то лЕ" порождено вектором и и единичным вектором dw{(R%)) ’л} Г)仿电㊀{£%}}• Если потребовать, ито6bl (D)m?力 6， то v будет однозначно определяться плоскостью л. Продолжим этот процесс и положим

•ф(л) = (и, и,…).

Легко видеть, что отображение 电 обладает нужным свойством.

Проверка условия 3) не представляет затруднений, Итак, лемма 1 доказана.

Вычислим теперь гомологии многообразия Gk,巾 В комплексном случае (т. е. в G?/ будут только четномерные клетки, следовательно, граничный оператор действует тривиально.

В случае вещественного переменного обозначим через (0Q)i ту часть границы GD, которая посредством ф отображается в объединение клеток Шуберта, причем размерность каждой из этих клеток ровно на единицу меньше размерности клетки Ст『 Легко видеть, что такие клетки имеют вид еmГ%-1, %+1，…，mky где ms - 1 > 恤一1.

Если d w (dD\ и d = (u, vt w, .. .\ то на границе соответствующих полусфер 口，Q，&,…может лежать не более одного из единичных векторов и, и,叱….В самом деле, пусть, например, и лежит на границе полусферы，，a v лежит на границе полусферы А* Тогда dim^E^1"1)^ 1, dim(nEm2_,)^2 и, следовательно, /и】 (л)《/п】一1, т2 (л) ^ т2 — 1, что противоречит сказанному выше. Отсюда сразу следует, что на (О。％ отображение 屮 двулистное, т. е. прообраз каждой точки содержит ровно две точки.

Пусть теперь С = Ст>…,皿玄，Тогда 3c = W〃C‘， где размерность клеток С1 на единицу меньше, чем клетки С, а % — целые числа (или вычеты по модулю 2,

если речь идет о гомологиях по модулю 2), определенные следующим образом (см. гл. II): если С1 не содержится в qp ((?£)), то 修=0; если же С，三 qp(d£)), то nf — степень отображения qp:屮一|((?)—С'. Тем самым щ — алгебраическая сумма точек в dD、отображаемых в одну точку клетки С'. Так как qp — двулистное отображение на (dD)h то dC = 0 (mod 2).

Тем самым доказана

Теорема 1. Группа 口№*皿 Z)изоморфна прямой сумме Ni экземпляров группы Z, q группа Hl (Gb- Z2) изоморфна прямой сумме Nt экземпляров группы Z2, где Ni~ число клеток Шуберта размер- ности /.

Следствие. В силу двойственности Hl(G^n, Z)= ^Ht{Gln, Z) и 犷(G孔,ZJw/MgM，Zj '

Таким образом, теорема 1 позволяет вычислить также группы когомологий многообразия G&, 〃.

Займемся теперь теорией пересечений на G&, л. Обозначим через Е* ортогональное дополнение к Ер в пространстве Еп (6* 打)• Пусть я^ Gktn удовлетворяет условиям

dim (л£т1)^ L dim (jiEi1-1)》財

dim (яЕт2) > 2, dim (irEf》々 一 1,(东)

dim (яЕт^ 比 dim (nE丁一‘)> 1.

Первая строка условий (*) означает, что л содержит единственна访(с точностью до скалярного множителя) вектор ет{ из Ет* П -ЕТ1-1； вторая — что л содержит единственный (с точностью до скалярного множителя) вектор из Em" П Е^~\ Вообще, /-я строка означает, что л содержит единственный (с точностью до скалярного множителя) вектор ет. из Ет/ П Е^}~\ Следовательно,冗=卜叫，ет^ ...,纟小々}, и это единственная плоскость, удовлетворяющая уело-

виям （*）• Легко видеть, что в силу этих условий 冗巨 С/，…，m漑 Далее, так как

e°三e1三.一三 то

Обозначим F’ = Е『 （/ = 0, 1, ..., п）; тогда

尸оuри u尸"

Положим

汾 j （л） = inf {m|dim （冗尸？》/}tn

И

C^i，f = {冗丘 Gk n!^^ （n）=勺卜

Заметим, что с^Гm也=e勺，％（尸°，尸）一•，尸"）. ИЗ УСЛОВИЙ （*） ВЫТеКаеТ, ЧТО Л ^ Cn-mk^\п-т^Ь а непосредственные вычисления дают

dim Cmv m^ + dim C^-m^+i,"-%+1 = dim G施，«.

Можно показать, что клетки Cmvmk и Cn~mk+i,.... n-m^i находятся в общем положении в G&" Отсюда

С/% ♦ Сп-%+1,…,n-ntj + l = 1・

Покажем теперь, что множество плоскостей 冗е G^,*, удовлетворяющих условиям

dim （冗辞）》1,dim （冗Е『）》 总

dim （冗Е"）》2,dim （冗Е『）》々一1,（**）

dim （冗E”）》k,dim （冗E*~）》1

и дополнительному условию 』〃=』mh непусто i =s 1t = 1

только тогда, когда Zy = т^ （/ = 1,...,山）.

Пусть, например, lx > mv Тогда Ет' П fi'1 = {0} и первая строчка условий (**) нарушена. Тем самым /,ианалогично /2m2i ...,几&团目・ Так как

kk

2 4 = 2 то h = j = 1,...,左).

1=1£=1

Таким образом, если целые числа /ь %，•. •, 4 строго возрастают и /九，т^для некоторого /ое {1,2,...,左}, 在 k

а £ 厶=£ 色，то

Cmj…” C"—Z^+1, • • •, "—Zj + 1° *

Мы уже обращали ен Шуберта зависят от послед 三 Е". Пусть даны двеE0三B三•…三e" и что £° = £°, Еп = Ёп и Е* пространства, вложенные странство, и пустьСт^, ..., m也=C.q,.Мы уже обращали ен Шуберта зависят от послед 三 Е". Пусть даны двеE0三B三•…三e" и что £° = £°, Еп = Ёп и Е* пространства, вложенные странство, и пустьСт^, ..., m也=C.q,.1мание на то, что клетки )вательности f0^ f1 ^...

Мы уже обращали ен Шуберта зависят от послед 三 Е". Пусть даны две

E0三B三•…三e" и что £° = £°, Еп = Ёп и Е* пространства, вложенные странство, и пусть

Ст^, ..., m也=C.q,.

Мы уже обращали ен Шуберта зависят от послед 三 Е". Пусть даны две

E0三B三•…三e" и что £° = £°, Еп = Ёп и Е* пространства, вложенные странство, и пусть

Ст^, ..., m也=C.q,.

такие последовательности

加三户三…三戸\

Е1 — евклидовы /-мерные в n-мерное евклидово про-

"М。,…，Е"),…®,£Л).

Тогда справедлива

Лемма 2. С%,…宀 〃 8%mk определяют один и тот же класс гомологий в 口 &丸,力・

Доказательство. Последовательность Е°三… ...^ Еп дает базис^р &，工…，%，где^'^^р ej， Последовательность 戌三炉】三…三巨注 дает аналогичный базис @“ @2，々屮 Пусть Т:后'一лн・

нейное преобразование, заданное равенствами

Ге,，=瓦， z = 1, п.

Отображение Т естественно индуцирует отображение Т'： Gh,nf.Gh,n>

которое в свою очередь индуцирует отображение % H(Gk,n)^H(Gktn).

Очевидно, что 7V (С% mJ = С%,

Если мы рассматриваем многообразие gE% то Т принадлежит группе GL (n, С) всех обратимых линейных преобразований пространства Crt, и поскольку она линейно связна, Т можно соединить путем в GL (и, С) с тождественной матрицей /• Этот путь индуцирует гомотопию между 7V и тождественным отображением /' многообразия Gk,n- Следовательно, Г, —тождественное отображение многообразия//(Ga, J и для этого случая лемма доказана.

Если же мы рассматриваем многообразие Gk,nt то Т е GL (n, R), и тогда либо det Г>0, либо det f<0. Если det Г>0, то Т можно соединить с / путем в GL (n, R), поскольку Т лежит в той связной компоненте группы GL(n, R), которая содержит /. Отображение 7* здесь также будет тождественным. Если det Т< 0, то Т можно соединить путем в GL (п, R) с матрицей

[-1О

1

71

=，

О1

-поскольку Т лежит в той связной компоненте группы GL (n, R), которая содержит /. Но отображение

户：G也，"f G也，小индуцированное отображением /, будет тождествен-ным отображением многообразия G* nt посколькуGfe, п состоит из неориентированных ^-плоскостей 】).

】)Это утверждение неверно. Например, для G& ] = Р$_] отображение / не только не тождественно, но и не гомотопно тождественному (так как умножает на — 1 элементы из Я2Й_1 (P^_ItZ)). Однако в гомологиях с коэффициентами из Z2 оно индуцирует тождественное отображение.— Прим. ред. '

Следовательно, 7\ снова будет тождественным отображением, и лемма доказана.

Так как Ст「…>% =。勺，…，小(F , F , ..., F ), то верна

Теорема 2. Пусть т^ tn2+ ... + mk = 1{ + + %2 + • • * + /左.ГоаОа

c/,• Cn-ik+\，…,i]+i =/m2二*紋 где

《1%] 1，если 厶=^1» (z = 1, •. • > 々)，

加严2( 0 8 противном случае.

Рассмотрим теперь кольцо когомологий многообразия Gk п. Пусть P^L] X ... X Р^! —произведение k экземпляров проективного пространства Рп~^ Согласно результату гл. II (стр. 60),

〃*(pL, Z)^ZM/(zn)). 〃*(pL, Z2)nZ2E/(x)

В силу теоремы Кюннета (стр. 51)

h (Pf-i X .…X Р乙)a Z [?]，.…2后]/(2\ .…鸣， "(比一1 X ... X -Pn-i) — Z2 [xp ...,尤//卜7，•…"2),

и классы гомологий произведения P?Li X ... X Рп~\ можно представить произведениями

Р?ХР?Х ХР£ Ц^п-\, ，=1, 2, k.

Определим теперь „естественное44 отображением p£L х х p^LfGhm

Элемент из P/Li является классом эквивалентности n-вектора (х0, хи ...,尤尼—i)* Этот класс задает одномерное подпространство евклидова пространства Е? (£ = 1, 2,々).

Пусть Ekn = £?ф ㊉Е£ Для Vi^PnL{ положим N(®1，?2,.…，%)) = 81，？2,/}=冗，

т. е. л — плоскость в Ekn, порожденная векторами 口1，^2* • • • > %*

Пусть {Р&： X ... X Р^} обозначает класс гомологий произведения Р^ X …X Р轟 в Н (pNi X …X Р&), а {С%,…，网} — класс гомологий клетки С^,…，网 в //(GkJ. Из теории пересечений следует, что м (囲)х X К?}) = [С/1+1,/2+2,/$} +

+ низшие классы той же размерности

где 乙 & % &・••&/巾&拉—1，а ^+ — отображение гомологий, индуцированное отображением ^. Доказательство оставляем читателю.

Далее,

“阳x...Х怨})=f35，…,*} +

+ низшие классы той же размерности где /ь /2, ..., lk — произвольная последовательность целых чисел, каждое из которых не больше n— 1, а /ь /2, ..., /； —та же последовательность, записанная в порядке возрастания ее членов. В самом деле, зададим отображение

2： P?i X ... X PfLf P“L X ... X Р 也 равенством 屮((仃,％)) = (?“, ・.., и〃), т. е. 2 будет перестановкой векторов s,・・.,vk и

2(叫X…X噌=叫X…X嘴.

Выбирая 2 соответствующим образом, можно добиться того, дтобн /『К%&・・.《儿・

Заметим, что N。2 = X。М где отображение Т‘： G^t1f Gh、tt индуцировано соответствующим (невырожденным) линейным преобразованием пространства Е*'・ Из доказательства леммы 2 получаем

М。也=М， i|)* ° W* = АГ,

где ^*, ^ — индуцированные отображения когомологий, а отсюда сразу следует наше утверждение.

Пусть теперь Ym m^ — класс когомологий, двойственный к [Cmv .... mft). В силу только что доказанного утверждения 心飞,…,心(1p？ X …X 尸£[) равно 1, если (/ь /2, ..., /й) — перестановка набора (ГИ] — 1, т2 — 2, ...» mk — k)t и 0, если (/ь ..., 1^ < < (ги! — 1, т2 — 2, …，mk — й) в лексикографическом порядке 々-наборов.

Пусть 6/1) — класс когомологий в Н^Р^^ двойственный к {р「} (2=1,々).Согласно результатам

гл. II ^ = (^1 = ^^^ ,.,^ (/ раз),'откуда

N*Y% s= Symm稣L@%_2@ …@嘰_j + 4- комбинация базисных векторов более высокого порядка

где Symm — оператор симметризации. Записывая 端т в виде 留)',получаем

％ = Symm ((6 丁广'®®(6,广 ”)+

комбинация базисных векторов более высокого порядка.

Теорема 3. ^отображает Н* (б*. й«){илиН*(б^, йп)) на подкольцо кольца Z[2】,2 尼]/(2；, ..., 2々)(или

Z2 [х(,...,尤山図，…，戏))，состоящее из симметрических полиномов^

Рассмотрим возрастающую последовательность евклидовых пространств Ek 三 Ek+l 三...三 EN 三..., где

?={(修，•一,xn), /wR}, n^k.

Вложение En 三戸+丨 задает отображение вложения乙：Gм п ~* Gfti n+i,

которое, очевидно» является клеточным отображением. Так как граничные операторы на клетках

Шуберта тривиальны, то

(，J： H(Gk,n)->H(Gkin+l)

—инъективный гомоморфизм.

Обозначим через Е°° прямой предел последовательности Е々三 £^+1 三...,а через Gki то прямой предел последовательности Gktk S Gktk+[ ^ .... Ясно, что G&, g можно трактовать как множество ^-плоскостей в £°°. Так как гомоморфизмы (，/* инъективны, то

H(Gk,J = \^H(Gk,n')оо

(Пгп означает прямой предел). Таким образом, справедлива

Теорема 4. Н* (Gh,D изоморфно кольцу всех симметрических полиномов от k переменных гь ..., г^.

По известной теореме из алгебры любой симметрический полином от k переменных можно записать в виде полинома от элементарных симметрических полиномов аь 仃丸， Пусть сь ..., ck — элементы из Н* (Gfe, оо), соответствующие (при изоморфизме из теоремы 4) полиномам аь …，％• Эти элементы называются классами Уитни в вещественном случае и классами Чжэня в комплексном случае.

Таким образом, в теореме 4 утверждается, что любой класс из Н* (G卜,口 можно представить в виде ^-произведения классов Уитни (Чжэня).

Обратим внимание на то, что в вещественном случае с. w 〃/(G£ то； Z2), а в комплексном случае с尸 H”GN8；Z).'

Б. Теорема двойственности Пуанкаре

Напомним некоторые факты из теории характеров (полное изложение этих результатов см. Лю- мис [1] или Понтрягин [2]).

Для локально компактной абелевой группы G со счетным базисом можно определить группу харак.

теров G как группу непрерывных гомоморфизмов из G в R/Z, где R — аддитивная группа вещественных чисел, a Z — группа целых чисел.

Известно, что (I) если GdR", то G = R1^, (II) если G — конечная группа с дискретной топологией, то G ^G, (III) если G = Z, то G R/Z. Утверждение „группа G компактна" равносильно утверждению „группа G дискретна и G ~ G для любой локально компактной группы

Для групп G и G определено так называемое спаривание в группу R/Z, т・ е. задан естественный *) закон умножения: gg = г, где geG, g е G, reR/Z. В частности, если G = G = R, то это обычное сложение по модулю 1.

Говорят, что группы G и G' образуют двойственную пару по отношению к R/Z, если определено произведение gg'三 R/Z, удовлетворяющее следующему условию. Пусть (pg — элемент из G', заданный равенством(Pg(g') = gg', а %, — злемент из G, заданный равенством 巾旦‘ (g) = gg'; тогда отображения g—>①旦 и g'f 必，будут изоморфизмами G на ©' и Gr на д・

Теперь м因 можем сформулировать основное утверждение.

Теорема двойственности Пуанкаре. Пусть Мт — компактное ориентируемое многообразие без края и G — локально компактная абелева группа со счетным базисом. Тогда Hk{M\ G) u Hm^k (Al； G) образуют двойственную пару по отношению к R/Z, если умножение между Hk (М; G) и Hm^k (М\ G) определено как нахождение индекса пересечение классов гомологий.

Следствие 1. Пусть Мт — компактное ориентируемое многообразие без края. Если а — сингулярный

】)Это значит, что умножение обладает свойством дистрибутивности. 一 Прим, перев.

k-цикл на М с вещественными (целыми) коэффициентами и а • р = 0 для всех сингулярных (т — к)-циклов ^ на М с вещественными (〃з R/Z) коэффициентами, то а является границей.

Если G — поле, то группы сингулярных гомологий многообразия М будут векторными пространствами. Назовем р-м числом Бетти 力卩 многообразия М размерность пространства HP(M\ G). Из теоремы двойственности Пуанкаре вытекает

Следствие 2. bk = bm-k.

Если М неориентируемо, то целочисленная теория пересечений неприменима. Однако справедлива

Теорема двойственности Пуанкаре mod 2. Если Мт — компактное многообразие без края, то Н^М; Z2) 〃 Hm-k (М; Z2) образуют двойственную пару по отношению к R/Z, если умножение между Hk (М; Z2) и Hm^k (М; Z2) определено как нахождение индекса пересечения mod 2 классов гомологий.

В нашем доказательстве этих теорем будет использоваться теория Морса. Мы только сформулируем

нужные нам результаты, а доказательства можно найти в книге Милнора [1].

Пусть f — гладкая вещественнозначная функция на многообразии М"‘. Точка р ^ М называется критической точкой для 厶 если в локальных координатах

^-(р)==^~(р) = 0. Критическая точка р назы-

вается невырожденной> невырождена. В леммевается невырожденной> невырождена. В леммееспн матрица |^^(Р)]

вается невырожденной> невырождена. В лемме

вается невырожденной> невырождена. В лемме

Морса утверждается, что

если р — невырожденная критическая точка для 厶

то в этой точке можно так задать локальные координаты, что f = f(p)-尤一...-巧 +戏+1 + . •. +嗚 в

некоторой координатной окрестности многообразия. Число k называется индексом критической точки р. Из леммы Морса непосредственно вытекает, что

невырожденные критические точки изолированы.

.Следовательно, если Л1 —компактное многообразие, то число таких точек конечно.

Важную роль в дальнейшем играет следующая лемма, тесно связанная с леммой о шевелении.

Лемма 1. Пусть f — гладкая вещественнозначная функция на компактном многообразии М. В любой близости от f (в смысле й^метрцки для любого k) найдется гладкая вещественнозначная функция g на М, имеющая только невырожденные критические точки. Более того, функцию g можно выбрать так, что значения g(p) g(P2)，•••，g(Pz) 60 всех ее критических точках Pi，卩2，• • ч Р? будут попарно различны.

Прежде чем сформулировать один из основных результатов теории Морса, дадим некоторые определения.

Пусть / — гладкая вещественнозначная функция на компактном многообразии М. Вещественное число с называется критическим уровнем функции /, если существует критическая точка р этой функции, в которой f(p) = c. Обозначим через (rWfW「2)множество всех точек g ^ М} для которых「1&『向《5 где 勺 и г2~ любые вещественные числа, а через (f&rj (соответственно (f》「))множество всех точек gw М, для которых f(g)《r (соответственно f(g)^ г).

Теорема Морса, Пусть а и й — вещественные числа, а < й. Если между а и b нет ни одного критического уровня функции /, то множество (f*a) будет деформационным ретрактом〔) множества (f《6). В частности, группа относительных сингулярных гомологий Н ((f & 匕)/(f W а)) 2) равна 0. Если же между а 瓦 й содержится ровно один критический уровень функции f, соответствующий только одной невырожденной критической точке индекса 右，то Н? ((f & й)/(/ & а)) = 0 для k=^l и Hk((f<b)/(f<a)\ G)aG.

】)Деформационным ретрактом пространства X называется множество Z и X, для которого существует ретракция г: X Л, гомотопная тождественному отображению X ^ Х.~ Прим, перев.

Hk СХ/У)= 〃丸(X, У)； Х/У = X U СУ,「де CY — конус над 匕 получающийся из У X 7 при стягивании У X 1 в точку. — Прим, пере в.

Теперь мы приступим к доказательству теоремы двойственности Пуанкаре. По лемме 1 найдется гладкая вещественнозначная функция f на М, все критические точки о” 02， Pn-i которой невырождены и все значения f（p） f（pj,…，f （prt-i） различны. Без ограничения общности можно предполагать, что f（Pi）Vf3）V …Vf（Pi）・ Очевидно, что На）- минимум, a f （Prt-J — максимум функции f.

Возьмем любые вещественные числа q, 4，.…，。仆 ДЛЯ которых {?!</（/?!）<С2<НР2）<-.<^-1 <f（Pn-l）<^n« Достаточно доказать, что группы 〃&（（f《cJ;G） и 〃m-R（（f & G）/（f = Q）； °） представляют собой двойственную пару по отношению к R/Z. В самом деле, если это будет доказано, то/ положив i == п, получим （f《C"） = M и （f = C"）=0, откуда следует теорема.

Проведем индукцию по /. Для i = 1 утверждение верно, ибо （f《Ci）=0・ Обозначим через c = f（pj минимальное значение функции. Существует координатная окрестность точки рь в которой функция f имеет вид с + х； ++ х^. Поскольку рх — един

ственная точка на М, в которой функция принимает минимальное значение, из компактности М следует, что найдется такое число 8 > 0, что множество （f we + 8） гомеоморфно шару 8工={（/，.…%m）1 *；+ … ...+х^8}. Группы &（8：; G） и Hm_k{B^dB：-, G） образуют двойственную пару по отношению к R/Z. В самом деле, если 々声 0, то

办（國;G）= 0 = "…（國历國;@）,儿（國；G）=G, Hm （國历國；G）=G.

Из первой части теоремы Морса получаем

4（（『）；昨4（或;G）,

"…（蚱喇（f = G）； G） - Hm_k （缁/呀；G）,

и утверждение верно для / = 2. Предположим, что оно верно для ，《厶 и докажем его для » = j+l.

Пусть индекс критической точки р」равен X. Положим

Т = (f С/+1), [/ = (/ = С/+) Т_ = (f 忘 Q+i — £),7()=(Q + £& f 忘 С/ + )厶=(f 忘 Q・).

Здесь е выбрано так, чтобы выполнялись неравенства %1 — £〉f (р/)〉д・ + £. Рассмотрим две точные J) гомологические последовательности: последовательность пары (Г_, L)

… f日…(7一/厶G)f 儿仏；G)f%(7一； G)f f %(7一儿；G)f Hi 仏；G)f⑴

и последовательность тройки (Г, 7°, U)

<-/тт(То/и； G)<-Hm_k(T/T0-, G)<-

-Н—⑴U; 5-H*EIU； G)<-

*~ HfH-h +1(777°; G)<-(2)

Мн хотим показать, что 儿(7； G) и Hm-k (T/U; G) образуют двойственную пару. В силу теоремы Морса можно рассматривать 儿(7_; G) вместо Hk (Г; G). Напомним, что индекс пересечения цепей аир определен, когда ОаПВ=0, аП(?В=0. Следовательно, индекс пересечения определен между элементами из %亿；G) и 日吁「(「/Г。； G), из Hr(T^ G) и Hm^r(T/U; G), из НГ(Т.Щ G) и 日^一「(Г"。； G), так как Л П Го = =Г- П U = 0.

Покажем, что %(L； G) и Hm-gTc； G) образуют двойственную пару по отношению к R/Z. Согласно аксиоме вырезания,

Hm^k(T/T0; G) = Hm-k((f^Cj + *G = Cj+ е); G), а в силу первой части теоремы Морса

Нк 亿；G) 4 HM (f&s + e); G),

Точность выписанных ниже последовательностей (1) и (2) гарантируется аксиомой точности и аксиомой вырезания сингулярной теории гомологий. Автор далее в тексте часто ссылается на семь аксиом теорий гомологий и когомологий, сформулированных в книге Стинрода и Эйленберга [1]. Аксиомы 4 — 7 имеют специальные названия — аксиомы точности, гомотопии, вырезания и размерности соответственно. — Прим, перев.

и утверждение следует теперь по индукции с использованием еще раз теоремы Морса. Аналогичный результат верен, очевидно, и для групп H”\(L; G) н +1(Т/Т°； @)・ 八

Докажем, что группы Я^(Т_/А; G) и Hm-k(TJU\ G) также образуют двойственную пару. Из второй части теоремы Морса непосредственно следует, что

儿(Т“； G) = { G儿(Т“； G) = { Gеслиеслиеслиесли月声儿 fe = z.月声儿 fe = z.

儿(Т“； G) = { G

儿(Т“； G) = { G

если

если

если

если

月声儿 fe = z.

月声儿 fe = z.

Согласно аксиоме вырезания,

HmfGJU; С^нт_ла>4 + ^^С1^ G)-宀 a Hm-k ((— f & — Q + e)/(— f & — %i)； G).

Так как p^ — критическая точка для функции f с индексом Z, то она будет критической точкой и для функции — f с индексом /и —九.Снова применяя вторую часть теоремы Морса, получаем

и утверждение доказано. Аналогичный результат верен, очевидно, и для групп Hn(T」L; G) и "гл-/г-i(T0/t7； G). Мы утверждаем, что точные последовательности (1) и (2) двойственны друг другу в следующем смысле.

Рассмотрим две точные последовательности групп

...f j+1+4>(1')

野 打7,

Вj+1 4В/4—— Вj -1.(2‘)

Пусть определено произведение а • b для а 巨 /八 b 巨 В「Последовательности (Г) и (2‘) называются двойственными точными последовательностями, если qp/+ictz • b = а/ * ^fb для всех а'н/—],匕三8八 Двойственность последовательностей (1) и (2) легко следует из свойств индекса пересечений. Теперь для завершения доказательства теоремы нам понадобится

Алгебраическая лемма. Пусть (г) и (2 )— двойственные точные последовательности, 〃 пусть A3/ и В3" а также Л3/+1 и В3/+1 образуют двойственные пары по отношению к R/Z. Тогда Л3у+2 〃 В3у+2 также образуют двойственную пару.

Доказательство. Пусть С/ = Д — группа характеров группы 屏 Точная последовательность (2‘) индуцирует точную последовательность

Рассмотрим диаграмму

Гомоморфизмы 力：Ai -> Ci здесь заданы соответствием & f 且仆，где gai{b^ = % • bv Так как 呼“・匕= =а'•屯А то диаграмма коммутативна. По условигс f3y и f3/+1 — изоморфизмы. По лемме о пяти гомоморфизмах (см. Стинрод и Эйленберг [1]) /зу+2 также будет изоморфизмом, и лемма доказана.

Из этой леммы и двойственности последователь ностей (1) и (2) следует, что Hk (Т_; G) и Hm-k(T U^ G образуют двойственную пару по отношению к R/Z

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА1)

В этой главе мы начинаем изучение расслоений Стинрода и некоторых их приложений к дифференциальной топологии. Основное внимание будет уделено теории векторных расслоений и ассоциированных с ними главных расслоений. Мы рассмотрим также важный, частный случай таких расслоений — касательное расслоение многообразия.

Геометрически расслоение Стинрода можно представлять себе как обобщение прямого произведения пространств. На самом деле, как мы увидим ниже, расслоение локально устроено как прямое произведение, однако разрешается „кручение в целом".

Формальное определение расслоения Стинрода довольно запутано. Кроме того, многие теоремы по существу носят исключительно технический характер, и поскольку существует подробная книга, посвященная этим вопросам (Стинрод [1]), мы позволим себе небрежность в приведении полной аргументации. Мы будем часто формулировать без доказательства теоремы, которые можно найти в этой книге. В качестве другого источника для справок (особенно по теории векторных расслоений) мы предлагаем книгу Хирцебруха [1].

Напомним, что топологическая группа G называется группой гомеоморфизмов топологического пространства У, если существует такое непрерывное отображение rj: G X Y (т. е. n(g, у) = g • у), что еу = у для всех у^У (е — единица группы G) и

】)Расслоение Стинрода — сравнительно новый термин. Раньше в русской литературе употреблялся термин косое произведем ние. — Прим, перев.

gi(g2//) = (gig2)4 Для всех g], g2^G, y^Y. Группа G называется эффективной, если из равенства gy у для всех ywF вытекает, что g = е.

Оп ре делен ие 1. Расслоением Стинрода с группой G, или просто G-расслоением, называется совокупность (X, A, F, G, л) следующих объектов:

пространства X, называемого пространством расслоения〔),

пространства В, называемого базой расслоения,

пространства F, называемого слоем расслоения,

эффективной группы G гомеоморфизмов пространства F, называемой группой расслоения,

отображения л: X *>В, называемого проекцией, причем 冗7(匕)гомеоморфно пространству А для всех b В.

Кроме того, имеется семейство {"(J открытых множеств, покрывающих В, называемых координатными окрестностями. Для каждой окрестности 勿& существует гомеоморфизм ima: я-1 ^^ —-> ^/a X F, заданный равенством

ima(x) = [6, /] = [л(х), fa(x)], b w%s fwF. ■

Если ь三约:1r1當0, то

imp мт- [^, f]=[瓦 Ub^, a) f]-

Отображения /(6, a): F f F, непрерывно зависящие от ft и принадлежащие группе гомеоморфизмов G, называются координатными преобразованиями (или функциями перехода G-расслоения).

Примеры (подробности см. Стинрод [1]).

Если X — группа Ли, а F — ее замкнутая подгруппа, то X будет пространством расслоения с базой В = X[F, слоем F и группой F, действующей на себе левыми сдвигами.

Лист Мёбиуса является пространством расслоения над окружностью как базой и отрезком прямой

как слоем. Группа G для него — циклическая группа второго порядка.

Тривиальный пример дает прямое произведение В X F — пространство расслоения над В со слоем F. Группа G здесь тривиальна.

Пусть Мт — многообразие, т (М) — множество касательных пространств во всех точках многообразия М, т. е. множество всех пар [р, v], где р^ М, а V — касательный вектор к М в точке р. Пусть отображение л: т (М) —> М задано равенством л [р, v] = р. Тогда т;(Л4) будет пространством расслоения над М, называемым касательным расслоением !), а слоем будет линейное пространство. В самом деле, в качестве координатных окрестностей 缪口 можно взять координатные окрестности многообразия М а в качестве отображений Ub (₽, а) — матрицы Якоби координатных преобразований. Тогда группа G будет полной линейной группой GL (т) преобразований слоя и потому расслоение %{М) будет GL (тУрасслоением над М.

Замечание. Координатные преобразования U^(6，а) G-расслоения удовлетворяют условиям

) Ub (а, а) — тождественный гомеоморфизм е^ G, (II) ^(Y, ₽)°^(₽- a)=Uz,(Y, а).

Очевидно, из этих условий следует, что

Ub^ ₽)° ^ь (₽» а) = е・

Семейство функций Uь(^, а), определенных на множествах "口^缪夕 непрерывных по b (в том смысле, что отображение 纥! П 落° f G, заданное соответствием b->Ub (Р，а), непрерывно) и удовлетворяющих условиям (I) и (II), определяет структуру G-расслоения на В.

Пусть В — некоторое пространство, {2fa} — его открытое покрытие. Предположим, что топологическая группа G действует на некотором пространстве 尸 как группа гомеоморфизмов и функции Ub (Р，а), заданные на 2аП 缪у определяют структуру G-расслоения на В. Тогда справедлива

См. сноску 1 на стр. 37. — Прим, перев.

Теорем а существова ния(Стинрод[1, стр. 20]] Существует G-расслоение X над В со слоем 尸 и коор динатными преобразованиями Ub^ а).

Пространство X строится следующим образом Пусть X — множество троек {[6,力 а] | 6 w "，f 三 尸} снабженное топологией прямого произведения (мне жество индексов берется с дискретной топологией； Введем в X отношение эквивалентности [匕，力 а] 〜[6，Uь^ а)Д р]. Тогда X определяется как множе ство классов эквивалентности.

Теорема уверждает также, что пространство J единственно с точностью до эквивалентности (см. ниже]

Эквивалентность G-расслоений

Пусть X, X' —два G-расслоения с одной и той ж базой В, одним и тем же слоем 尸 и проекциями л, л соответственно. Эти расслоения называются эквива лентными (仝), если существует гомеоморфизг Ф： Х」>Х', для которого лЛф = л (тем самьи Ф： л-1 (Ь)л^1 (6) — гомеоморфизм), и если 罂°

7^р/ — координатные окрестности G-расслоений X, X соответственно и im^。ф。im^〔 [6, f] = [6, R 偉‘，a) f] to ①匕 непрерывно зависит от и принадлежит G

Замечание. Непосредственно из определениз получаем

力(Y'，P')<W，a) % (а, д) = ФДу； 6), ИЛИ

力(Y‘, В')=仇(Y‘, 6)“ (6, a)①厂(* a).

Последнее равенство можно взять в качестве опре деления эквивалентности структур G-расслоений над В

Определение 2. Пусть g — структура G-pac слоения над В со слоем F и гр: Bf В — непрёрыв ное отображение. Индуцированной структурой 屮十; G-расслоения над Bf со слоем 尸 называется струк тура, для которой координатные окрестности пред ставляют собой прообразы "；=屮7 (勿а) координат

ных окрестностей ^а из ^, а в качестве координатных преобразований берутся 外⑺偉，а), где 2(b')w 巨"。八"炉

Заметим, что если ^, g2 — эквивалентные структуры над В, то 屮十Ei и 1|)+^2 — эквивалентные структуры над В7. Кроме того, (2伸2)十=(屮2)十(21)十，⑴十=1 (1 — тождественное отображение).

Определение 3. Пусть ^ — структура G-расслоения над В, Gf — подгруппа группы G. Структура 自 называется приводимой к G', если существует такая эквивалентная ей структура 自‘,что все координатные преобразования 0匕(卩,а) лежат в G'. Если G，= {e}, то структура Е， называемая тривиальной, эквивалентна структуре прямого произведения.

Если G = GL (%) — полная линейная группа и структура Е приводима к подгруппе GL+ (п) группы GL(%), состоящей из всех (几 X п)-матриц с положительным определителем, то говорят, что 自 определяет ориентируемое расслоение.

Лемма 1. Многообразие Мт ориентируемо тогда и только тогда, когда касательное расслоение т(М) ориентируемо.

Доказательство. Напомним, что многообразие ориентируемо, если его можно покрыта такими координатными окрестностями, что определители матриц Якоби координатных преобразований положительны. Отсюда и из определения касательного расслоения следует достаточность условия.

Необходимость. Пусть т〔,…т^ — репер в некоторой точке р ^ М, т. е. множество линейно независимых векторов в точке р. Пусть % — координатная система в некоторой окрестности точки р и т，)(％) — компоненты векторов tz (/ = 1, 2, ..., т) в этой координатной системе. Говорят, что репер т$ положительно ориентирован, если определитель матрицы IIт^|| положителен. Это определение корректно, если т(М) ориентировано.

Зададим координатную систему ха на Л1 и возьмем в качестве 七〔,...,七小 производные по координатным направлениям. Назовем эту систему положительной, если J, Em образуют положительны? репер, и отрицательной в противном случае. Покроем многообразие Л1 координатными окрестностями н/ системы ха, если она положительна, и из системы %： обратной к ха, в противном случае (обратной к систем( [хи ..., хп] называется система [хр ..., х^—г — хД) Таким образом, многообразие М ориентируемо.

Сечение расслоения

Определение 4. Пусть X — расслоение с ба зой 5 и проекцией л: X—> 5. Сечением расслоения J называется непрерывное отображение 々：3f X, дл которого nk — тождественное отображение.

Пример. Непрерывное векторное поле на многс образии является сечением касательного расслоени этого многообразия.

Примечание. Не все расслоения обладаю сечениями. Например, множество t(M) всех ненул( вых векторов в х{М) будет расслоением над М, н у него может не быть сечений. В самом деле, спр; ведлива

Теорема. На многообразии существует непр^ рывное поле отличных от нуля векторов тогда только тогда, когда эйлерова характеристика мног^ образия равна нулю.

Векторные расслоения

Определение 5. Расслоение Стинрода наз] вается векторным, если слой представляет соб( векторное пространство Vk некоторой размерности а структурная группа расслоения содержится в GL (/ Одномерное векторное расслоение называется л нейным.

Определение 6. Пусть (X, В, 1/匕 GL (左),л) —векторное расслоение,冗(Х') = 6 для некоторого 元‘三 X. Тогда (Х‘，В, V;, GL (/), л &，} называется векторным подрасслоением расслоения (X, В, VA, GL (左),л), если

1) л'1 (6) П Х，= k'(b) — линейное подпространство пространства V电 всегда одной и той же размерности /, т. е. j=dimW(b) не зависит от выбора точки 方；

V7 (b) непрерывно зависит от Ь, т. е. W(b) имеет базис, непрерывно зависящий от Ь.

Пусть 分0三5. Возьмем какой-нибудь базис {v^^o), ■ ■ ■，0/(力0)} пространства V'(b^ и найдем векторы v/+1, % в V (瓦)=л—(瓦)，для которых система {力(力о), и『(力°), U/+i，・..,vk} образует базис пространства V (60)- По условию 2) определения 6 найдется базис {v{ (6), ..., ?j(b)} пространства U'(b), у которого Vi(b) близко к 虫(瓦)，если Ь близко в 瓦 (lW，Wj)・ Легко видеть, что если b достаточно близко к Ьо， то система {?【(6), ..., u『(b), v^^ ..., vft} образует базис пространства W (Ь). Тем самым существует единственное невырожденное линейное преобразование L (6), непрерывно зависящее от 6 и переводящее 81(瓦)，….，0/(瓦)，v/+1, ..., %} B Wi(b),.…，0j(b),

Пространство X локально устроено как ^W (瓦), где 亥—некоторая координатная окрестность, а 60 —— какая-нибудь точка из В (см. определение 1). Из предыдущего абзаца следует, что X’ локально устроено как X片(瓦).

Читатель, вероятно, уже убедился, что векторное подрасслоение само является векторным расслоением.

Определение 7. Пусть X — векторное расслоение, а X' —его векторное подрасслоение. Будем говорить, что 尤［эквивалентно х2 в X, и писать х1 х2, если 冗(修) = п(%2) и х2 — %! е Х\ Множество XX классов эквивалентности можно превратить в пространство векторного расслоения, так как локально X = " X 1/ (瓦)，山=% X 片(瓦)и тем самым x/x/=

=(勿 X I/ (^o))/V,(bo)- Эта „координатизация^ задает естественную структуру для векторного расслоения на Х/Х'. Пространство векторного расслоения Х/Х' называется факторрасслоением.

Лемма 2. Пусть X 一 ориентируемое векторное расслоение с базой В 〃 проекцией л. Его векторное подрасслоение X’ ориентируемо тогда 〃 только тогда, когда ориентируемо Х/Х\ Кроме того, любая ориентация одного расслоения естественно индуцирует ориен- тацию другого.

Доказательство. Если Vk — слой векторного расслоения X, то 归-penep в X представляет собой множество 归 линейно независимых элементов хн х2, ..., xk в X, для которых 口(修)=匕(поскольку л-1 (6) = Vk)- Заметим, что расслоение ориентируемо, если множество реперов можно разбить на право- сторонниё и левосторонние реперы „непрерывно^, т. е. если xh . .., xfe — правосторонний репер, то любой достаточно близкий к нему репер — также правосторонний.

Пусть Xf ориентируемо. Назовем репер 勺十“ ...，/ в Х/Х' правосторонним, если, дополняя его правосторонним репером из X', мы получаем правосторонний репер в X. Обратно, предположим, что Х/Х' ориентируемо. Назовем репер хь .・., %/ в X’ правосторонним, если, дополняя его правосторонним репером из Х/Х\ мы получаем правосторонний репер в X. Тем самым лемма доказана.

Пусть М — многообразие, Mf ^ М — подмногообразие, т (М) — касательное расслоение над М, а т()(М) — его сужение на ЛГ, т. е. множество касательных векторов к М в точках из ЛГ・ Ясно, что

t0(M)^t(Mz).

Предположим, что на М задана риманова метрика (см. гл. VII). Обозначим через v(Mz) множество век торов из То(М), нормальных к Mf. Оно называете? нормальным расслоением многообразия М‘. Легк< видеть, что t0(M)^t(Mz)® v(Mz) (определение знака 任

см. на стр. 147). Если многообразие М ориентируемо, то ориентируемо касательное расслоение т(М), а следовательно, и т0(Л1). Отсюда в силу леммы 2 расслоение т^Э ориентируемо тогда и только тогда, когда ориентируемо нормальное расслоение w(M'). В силу леммы 1 многообразие М^ ориентируемо тогда и только тогда, когда ориентируемо расслоение v^^-

Частный случай. Пусть М — ориентируемое многообразие с краем ЛГ = 0М. Тогда v (М^ — тривиальное расслоение. В самом деле, обозначим через п(Ь) единичный нормальный вектор в точке b w ЛГ, направленный внутрь многообразия М; он непрерывно зависит от 6. Любому нормальному вектору и в точке 6 сопоставим координаты [6, v • n(b)] (х * у — скалярное произведение векторов х и у). Таким образом, где R — вещественная прямая. Это означает, что V (М^ — тривиальное расслоение, следовательно, оно ориентируемо. Поэтому, если М — ориентируемое многообразие, то его край дМ также ориентируем.

Замечание. Соотношение v(A1,)®t(M,) = т0ОИ), упоминаемое выше, означает, что расслоение v (М^ естественным образом эквивалентно факторрасслое- нию т0(Л1)/т(Л4,)- Очевидно, что т0(Л4)/т(Л1,) не зависит от выбора римановой метрики на многообразии, а потому расслоение w(M'), которое, казалось бы, зависит от римановой метрики, в действительности определено (с точностью до эквивалентности) вну・ .тренней структурой многообразия М・

Теперь предположим, что многообразия М п Mf содержатся оба в многообразии MQ и пересекаются трансверсально, т. е. в каждой точке р^М[] ЛГ = Л1ЛГ

т (М) |р + т (ЛГ) |р = т (Мо) |р.

Если Л40, Л4 и М7 ориентированы некоторым образом, то многообразие МЛГ ориентируемо (и обладает естественной ориентацией). В самом деле,

заметим, что

卜(М) + t (ЛИ L”}/t (ММЭ -т(М0) 1мм，・

(Через 七(M)Lm，обозначено множество всех каса тельных векторов к М в точках из MM\ Аналогична Для т (М7) \мм, и t (MJ Lm，・)

Так как по условию т(М) \мм„ r(Mz) |^, и т(М0) |ш ориентированы, то ориентировано r(MMf)t а следе вательно, и MM\

Чтобы замкнуть круг идей, относящихся к орнен тации подмногообразий и т. п.» приведем еще одн лемму и следствие из нее. Доказательство лемм] оставляем читателю в качестве упражнения.

Лемма 3. Пусть 屮： M-^Mf — гладкое отобрс жение многообразия М в многообразие М‘. Есл ^/ — подмногообразие многообразия М‘ и отображе ние ф всюду трансверсально к №、то

z(N) 4 屮十(*v(N‘))，

где N = ф-1 (^/) a 屮十一индуцированное отображены расслоений.

Следствие. Если M, Mz w ^/ ориентируемь то N также ориентируемо^

Доказательство. Так как М‘ и ^/ ориентг руемы, то V (Nf) также ориентируемо. Это означаем что 1V (%') приводимо к группе GL* (拉'),где п' — ра: мерность многообразия 府'• Отображение 屮十 не „ра( ширяет" группу GL+ (/г), т. е. qpf (v(Nf)) — ориентиру( мое расслоение. По лемме 3 расслоение v^) такж ориентируемо. А тогда многообразие ^ ориентируем( поскольку ориентируемо многообразие М,

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если X — топологическое пространство, а А — его замкнутое подмножество, назовем (X, Д) парой. Нор- мальным рядом пары (X, Д) называется последовательность

X = Хп ? Х"Т — ... — X。= А,

где все Х『замкнуты в X.

Обозначим Н (X, Л) = £㊉//d(X, Л), где ///& Л) есть d-мерная относительная группа гомологий пары (X, Л). Отображение вложения (X；, А)^(ХП1 А) индуцирует гомоморфизм Н (X；, А)-> Н (ХП1 Л). Обозначим через Im Н (Ху, Л) образ при этом гомоморфизме группы "(X/, Л) в группе Н (Хп, Л) (вообще, если (丸，U) и (S, V) — две пары, для которых R ^ S, U ^V, обозначим через [Im Н (R, U) в //(S, V)] образ группы "(R, U) в группе Н (S, V) относительно гомоморфизма, индуцированного вложением (R, U)-> (S, Р»・ Рассмотрим последовательность

Н(Х, А) = Н(Хп, А)^ТтН(Хп^ Л)

2 1mH (Х—2, 4)?…^ 1т//(Л/Л) = 0.

Поскольку все написанные группы абелевы, эта последовательность будет нормальным рядом для Н(Х, 4) (в теоретико-групповом смысле). Пусть F, обозначает /-й фактор этого нормального ряда, т. е.

1т〃(Х/, 4)

勺=1т〃(Х/т, 4)

(фактор A/В для удобства записи представляем в виде强・

Положим Л = X-k 伍=0, 1, 2, ...) и X =力(/ = п, п + 1, ...). Мы хотим найти соотношения между группами "(X/, Х/т) и группами нормального ряда пары (X, Л). Для этого зададим вспомогательные группы Лере

/"т〃(Х/, К/-) в H(Xj+r_iiX!_r)]

3 [Im〃(X/T,XjT)в 〃(X/ + f ХЕ •

Легко проверить, что Е/ = "(Х〃 Х/т) и eN = F/・ Основной результат дает

Теорема 1. Существуют такие граничные операторы дГ: E；fE尸，что

1)(5V = 0, откуда B(EgZ 励,где Z (必)= = {z^E'r\ drz = 0} u 8 ®)=⑦飞 1 s 三必+[,

H (必)冬 где " (厚)=Z (屏)/8 (砌.

Доказательство. Определим оператор дГ следующим образом. Рассмотрим последовательность "(X/, X寸上)H(Xj_)f

—> Н (XX/-2r) f ”(X/7，X/-2r)；

здесь д — граничный оператор, а другие отображения индуцированы соответствующими вложениями. Композиция этих отображений переводит "(Х『，Х/_「) в "(X/т，Х/—2г)，обозначим ее do. Заметим, что do можно рассматривать как отображение из "(Х“ Х—) в [Im H{Xf-n Х/-2г) в Н(Х/т，Xj-2r)l и a fortiori как отображение из "(Х〃 Х/“ в Е厂 1 где

у—г [Im ” (X/—г, X/一2г) в Н (Xf — i, Х/тг)]

Если {у} принадлежит Er и у е [Im H{Xh Xy_r) в 斤(X/+r-i， X/_r)] — представитель класса {у}, то положим。「{丫} = {。沁}, где ае Н {Xh Х；_г) — элемент,

образом которого в "(Х/+—, Х/_，является у, a fdoa} —класс эквивалентности (т. е, элемент из 必一) содержащий (%а.

Чтобы убедиться в том, что дг — гомоморфизм из 必 в E/т, нужно проверить, что

если образ элемента а в Н (Xf+r-b X/一)равен О, то(%а = О,

если aw[Im"(Xjf X/一)в "(X/, Х/」)], то 03a = 0.

Проверим (а). Рассмотрим последовательность

"(X/+L1，Х/)£>"(Х/, X/_)f "(Х/+ГТ，Х/-3

точную последовательность тройки (Х」+г—1，X」，X7_r). Так как а переходит в 0, то в силу точности последовательности а = 0*6, где ре Н (Xj+r^}t Х0・ Затем рассмотрим последовательность

"(Х/+ГТ，X/)£>"(X/)f 〃 (储，X/_)f 〃(X/_)f f "(X/f X/-”)f "(X“，X/-2r)・

Гомоморфизм 尹 есть не что иное, как композиция оператора д и „вложения** "(Х0->"(X/, Х^г). Чтобы показать, что образ элемента а в Н (X宀一卜 Х—) равен 0, достаточно показать, что образ элемента 00 в "(Х/+гт，X/—J равен 0. Но уже образ элемента 00 в "(Х/—г) равен 0, потому что кусок Н (X j f f Н (X/, Xу—) " (X/г) написанной выше последовательности является частью точной последовательности пары (X/, Х/—г)・ Условие а) выполнено.

Проверим (Ь), Рассмотрим диаграмму

"(Xj—[,Xj_,)"(Xj—[,Xj_,)"（*一）"（*一）

"(Xj—[,Xj_,)

"(Xj—[,Xj_,)

"（*一）

"（*一）

Пусть а — такой элемент из Н(Х^ Х/_，，что ^ (Р) = а, где Bw"(X/_i，X,_) Тогда 亦х = 0缶偉)=厶添‘偉). Так как

〃(Х/т，Xi)丄>〃(Х/г)丄>〃(Х/т)

—часть точной последовательности пары (Xj.^ Х^-〉、 то %0，(В) = 0, а потому и 0$а = 0. Условие Ь) выполнено.

Покажем теперь, что д'д' = 0, и даже больше, а именно, что до^о = 0. Для этого рассмотрим диаграмму

斤(*/, Х/т)『、"(Х/т) “А Н (Xj_f,Xj-2 八—** 斤(Х『_[/『一2r)

Н(Х% Х/_з，)丄"(Х,_2,. Х/-3,)』• "(Xf,)

Имеем /%а =，з&0% дх (а). Полагаем § = & (а). Тогда, как и раньше, 0%偉)=0, а потому 030[а = 0.

Остается доказать, что "(E/)4E，+i. Определим для каждого элемента xQ^ Н (X；, Х,_，, для которого {%o}wZ(E/)(t. е. {доХо} = 0), такой элеменг {①o}wE(+i, что соответствие {х0} -> {соо} задает гомоморфизм группы Z(A) в группу Е&, а затем покажем, что этот гомоморфизм надъективен, а его ядро совпадает с В(Е〃. Доказательство разобьем на три леммы.

Лемма 1. Пусть О'{%о} = О. Тогда существуют такие элементы %三"(Х—, %•_/■) w gw" (%, Х——), что %о = im % + im ①°. (Напомним, что im % обозначает образ элемента 2。в ”(Х,, Х/_，, аналогично для imcoo.)

Доказательство. Сначала рассмотрим диаграмму

"(Х〃 Xj-r) —->//(Xj-n X/_2r) -> И (X/-i，X/-2r)

”(Xj-r-1，Х”2г)・

Так как 0「{工()} = 0, то по определению группы Ejr~r найдется элемент 丸至 Н (Х；_гт，Х『—2г)，Для которого образ разности 此一泌 в Н (X/-i，Xj^2r) равен 0. Далее рассмотрим диаграмму

，(Х/, X/_)W>，(X/_, X/—I)f，(Х/т，Х/тт)

Поскольку "(Xj—r—i，Х/_г一1) = 0, легко видеть, что элемент Ох。из Н (X；一八犬/_尸一1) имеет нулевой образ в "(X/—г X/_r_i). В силу точности последовательности тройки (X/_“ Xj_r，Х/-г一 J существует такой элемент Zq^H (Xj-i，Xj — r), ЧТО。％0 =。2()В Н (Xj — r，Xjf-]). Очевидно,。(网一im2o) = O в H (X；_r, X—т)，В силу точности последовательности тройки (X/, Х.「X существует такой элемент a)Q^H (Xfi Х^^^, что х0 — im20 = im(oo» т. е. х0 = im20 + im(оо- Доказательство закончено.

Определим теперь отображение из Z(E。в E/+i. Пусть {х0}е 2(£0 и х0- элемент в H(Xh X/_j, представляющий класс {х0}. Согласно лемме 1, х0= im20 + im(оо, причем 铀三 Н (Xj, Х_т) и

• [Im Н (ХЛ Х『—гт) в Н(Х», %/_,_!)]Ег^ = [1т//(Х/т,1rB "(X/ + r, Xjfi)]'

Пусть {со。} —злемент в E/+i, определенный элементом д・ Покажем, что отображение {хо}^{<оо} корректно определено.

Лемма 2. Если {%()} = 0, то {(оо} = 0.

Доказательство. Мы должны доказать, что

если образ элемента х0 в Н (Xf+r^{i XQ равен 0, то {д} = 0;

если x()w[lm"(X/7，犬宀)в "(X,, Х/Ц то {з()} = 0・

Докажем (а). По лемме 1 х0 = im 20 + im(оо- Из условия непосредственно следует, что образ элемента %о в "(X/+r,.X/-i) равен 0. Кроме того, образ

элемента z0 в Н (Х/+г, Х」-) равен 0 в силу коммутативности диаграммы

Н(Х/т，Xj_)f "(К», К—)\/

\ /

Тем самым образ элемента соо в Н (Х^п X^J равен 0. Пусть соо — образ элемента соо относительно отображения 77(Х/, Х.г-) — Н(Х；+г, X广「1)・ Тогда образ элемента соо в Н (Х； Х/т) равен 0. В силу точности последовательности тройки (Х^п Х—, Х『」т) с60 принадлежит [Im/7(X/_i, Xy^J в H(X^n ^卜「1)]・ Из определения группы £^+i непосредственно следует, что {соо} = 0, и утверждение а) доказано.

Чтобы доказать (Ь), заметим, что по предположению существует такой элемент z0 в Н (X/-i, Х；_г), что %o = im%. Тем самым im со。= im (% — %), следовательно, образ элемента соо в группе Н (X/, Х—) равен нулю. В силу точности гомологической после； довательности тройки (Х『，Xf_lt Xf-r-^ существует такой элемент u°R Н 凶一木…-!)，что соо = im 汉。, а потому {со()} = О*

Леммы 1 и 2 показывают, что соответствие {х0}~> {соо} задает гомоморфизм группы Z(E。в группу £/+i. Этот гомоморфизм надъективен, так как, имея {со。}巨 E，+i, мы как раз выбираем такой элемент х0^Н (X/, Х/-г), что х0 = im соо- Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что ядром этого гомоморфизма будет 8(助.

Лемма 3. Если {соо} = 0, то {х0}^ В(Е^.

Доказательство. {ю0} = 0 тогда и только тогда, когда существует такой элемент u°rH (Х)т, Х—-)> что образ элемента соо в Н (Х^п Х；_г_1) совпадает с образом элемента 汉。в Н (Х/+г, Xf_r-^. Обозначим через й0 и z0 образы элементов м0 и z0 в Н (Xj, Х/_「)，

а через х0, й0 и z0 — соответственно образы элементов No, w0, z0 в Н (Xi+n X/_J・ Очевидно, что 元。二乏^+以山 Образ элемента г0 = х0 — й0 — z0 в Н (Xi+n Х/_) равен 0. В силу точности последовательности тройки (Х/+г，Х『，X/—J тогда ro = Os(), где sQ^H(XJ+n ХД Поэтому х0 =(3s0 + г0 + й0. Если {2。} и {й0} — элементы из Еп определенные элементами 2。 и й0, то легко видеть, что {z0} = {й0} = 0. Так как

/+「=[Im"(X/ + r, X/) в "(勺+ 21,/)]

4 = [\mH(xi+r^txf)в Н(Х]+^

то s0 определяет элемент ®}三必+'. Из определения оператора дг следует, что {х0} = дг {s0}. Тем самым {%} = 0 тогда и только тогда, когда {х0}三。任广二 Теорема доказана.

Заметим, что в ходе доказательства мы не пользовались всеми аксиомами теории гомологий (см. Стинрод и Эйленберг [1]). В частности, мы не использовали аксиому размерности. Независимость соотношения Лере Н(E^)^Er+i от этой аксиомы приводит к так называемой обобщенной теории гомологий, в которой отсутствует аксиома размерности. Заметим также, что доказательство соотношения Лере полностью алгебраично, не имеет явных ссылок на топологические пространства или непрерывные отображения. Теория спектральных последовательностей находит широкую область применения, которая не ограничивается только топологическими вопросами. Прежде чем переходить к приложению теории спектральных последовательностей к расслоениям Стин- рода, сделаем несколько замечаний.

Если положить

у[Im "d (X/, X/ —J в "d (Х/ + г—1, Х/ — г)]

七d = [1т%(Х『т，Х/т) в "d(力+ гт，々-J ， то дг будет гомоморфизмом, переводящим Е(& в Er7d~i^ Как и прежде,

Z(EL)/B(E,d)mE*,d.

Последовательность групп Е< с граничным оператором дг из теоремы 1, в которой Н(Е04 Е&, называется спектральной последовательностью. Если существует такое число г。, что 0/ = 0 для г》г。, то последовательность называется сходящейся. Группы Е1Г для г г0 в таком случае обозначаются через Е〃 и называются предельными группами спектральной последовательности.

Упомянем, наконец, о спектральной последовательности в когомологиях. Здесь мы берем нормальный ряд, отличный от того, который брали в гомологиях, а именно

"*(Х, /) = ker ("* (X, /) —"*(4 /))三

'mker("*(X, /) —"*(Xi, /))三

?ker("*(X, /)->"* (%, /))三

mke「("*(X, /) —"*(X, /)) = 0, где ker обозначает ядро соответствующего гомоморфизма. Положим

/ _ ker {Н^ (Xj + r^ Xjf) r HYXj /г))

hr = ler「而*r•

Как и раньше, можем показать, что Е?= = "* (Xj, Х/—1), а Е^ есть /-Й фактор нормального ряда. Далее можно развить такую же теорию, как и в случае гомологий.

Одно из основных приложений спектральных последовательностей —выяснение связи между гомологическими (когомологическими) группами пространства, базы и слоя расслоения. Мы дадим только набросок метода.

Пусть X — расслоение над (конечно) триангулируемой базой (т. е. полиэдром) 8 со слоем F и проекцией л.

Предложение. Любое расслоение над клеткой тривиально.

Доказательство см・ Стинрод [1, стр. 67].

Пусть а — какой-нибудь симплекс в В, да — его граница. Возьмем его ”раздутую" границу (да)т и рассмотрим 6 = о — (do* Например, на рис. 1 весь (замкнутый) треугольник соответствует о, заштрихованная часть (включая границы) соответствует (да)т, а внутренний (замкнутый) треугольник соответствует а.

Согласно сформулированному только что предложению, 冗—(о) = о X 尸，冗7 (do) = do X 尸，冗т((0о，= =(do% X 尸.Так как do — деформационный ретракт для (do%, то множество do X 尸=冗~】(do) будет деформационным ретрактом для (da)T X F = л~1 ((da)T). Обозначим через 力 подмножество пространства 匕 лежащее над /-мерным остовом базы В, а через (^л)т ~ подмножество, лежащее над объединением (k — 1)-мерного остова базы В и раздутых границ симплексов размерности k. Тогда Х/т будет деформационным ретрактом для (Х/_])т и потому

Согласно аксиоме вырезания, "(Х〃 Х/_]) = 冗-i(Ud6£))， где суммируются все

/-мерные симплексы в В. Так как симплексы б£ не пересекаются, то

"(唄уm，『У叫『

=审㊉"俨一儈» G(d%)= W㊉"(同义f，d^XF).

Элементарный подсчет с использованием теоремы Кюннета дает {㊉//(同 XF, @6&Х 尸)=』㊉"(尸)・

Возвращаясь к базе В, получаем

"(X/, Х/7)= &(В; Я(Г)),

где С\(В； Я (F)) — группа /-мерных цепей базы В с коэффициентами в Н (F).

Далее, пусть X = Хп^ Хп^г ^ ... — фильтрация пространства X, соответствующая фильтрации В = =8"三8尹一1旦комплекса В. Так как по определению Е{ = Н (X/, Х/—1), полученный выше результат можно записать в виде

用= &(8； Я(Л).

И, наконец, е£н«в； h(f))>

Эта формула является основным соотношением, к которому мы будем обращаться. Ее легко доказать с помощью соотношения Лере //(以)卓必+1. Детали оставляем читателю.

【)Для выполнения этого соотношения необходимо, чтобы фундаментальная группа базы тривиально действовала на (ко)гомологиях слоя. В противном случае мы приходим к так называемым (ко)гомол огням с локальными коэффициентами. Подробнее об этом см.( например, Фукс [1]. — Прим. ped.

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КЛАССОВ

В этой главе мы познакомимся с гомотопической и когомологической теориями расслоений Стинрода. Многие стандартные теоремы мы только формулируем; доказательства см. Стинрод [1].

Основная цель этой главы — показать, что по крайней мере в некоторых отношениях изучение произвольного главного G-расслоения можно свести к изучению так называемого универсального G-расслоения. В частности, если G — одна из классических групп Ли: группа Un унитарных матриц n-го порядка или группа Оп ортогональных матриц n-го порядка, — то базой соответствующего универсального расслоения будет грассманово многообразие Gn, от. В этом случае можно с помощью знания когомологической структуры многообразия Gn, определить и изучить классы Чжэня и Уитни произвольного главного Un- или Оп- расслоения. В следующих главах мы продолжим исследование этих „характеристических классов". В конце главы мы коротко упомянем (и больше не будем к ним возвращаться) о классах Понтрягина.

Напомним некоторые факты о гомотопических группах (подробности см. Ху Сы-цзян [1, гл. IV]). Пусть X — топологическое пространство, Л — его подпространство, хоеЛ — фиксированная точка. Обозначим через Г~[ грань куба /" = j川力 | & 1, £ = 1,2, п}, определенную равенством tn = 0, а через Jn~x — множество О/" — IL Рассмотрим множество F"(X, 4 凡) всех отображений f куба Г в X, переводящих Г~х в Л и /"-' в х0. Сложение в этом множестве дляп> 1 зададим формулой

f⑵1，力，…，3), 0 0九0專，

(f + g)«)= I

g (2^ — 1, ^2, ..., £ J 万 & 厶 & 1,

где f, g^Fn (X, 4 %о)・ Назовем два отображения %, f佇尸"(X, 4 尤о) эквивалентными, если существует гомотопия ft, связывающая их и такая, что

% (尸T)三4力(尸7)=凡，0&WL

Обозначим полученное таким образом множество классов эквивалентности через лл(Х, Л, х0)- Сложение в Fn (X, Л,尤о) индуцирует сложение в 冗几(X, Л, %#, которое и превращает 冗几(X, Л, х0) в группу. Эта группа называется п-мерной относительной гомотопической группой пары (X, Л) в точке х05 Для п ^ 3 она абелева. В частности, если / = %山 то пишут 冗几(X, %о， %())=冗几(乂, ％о) и называют эту группу n-мерной абсолютной гомотопической группой пространства X в точке 尤о； эта группа абелева для п ^ 2. При п = 1 получаем фундаментальную группу щ (X, %。) пространства X в точке 尤> Если пространства X и Л линейно связны, то n-мерные гомотопические группы в любых двух точках х0, х} изоморфны. В этом случае мы будем писать пл (X, Л) вместо 冗几(X, Л, х0)-

Можно сказать, что отображение f: (X, Л,凡)-> -> (У, 8, %), для которого f(A)^B и f (х0) = У о, индуцирует гомоморфизм

Л：冗几(х, 4 %о)-> 冗几亿 5 Уо}.

Если f^Fn (X, 4 %о), то его сужение на грань Г~1 определяет элемент в 冗几_](/, х0) и тем самым гомоморфизм

0:师(X, 4 x0)~>(Л, %о),

называемый граничным гомоморфизмом.

Лемма 1. Последовательность гомотопических групп пары (X, Л)

•%(Х, Л)—>(Л)—>(X)—>

f (X, Л)-> ...

точна.

Здесь 乙 и /+ — гомоморфизмы, индуцированные вложениями Z, /.

Замечание. Существует полезное обобщение этого понятия гомотопической последовательности на случай тройки (X, Л, В), где X А^ В и х0^В:

...—> лп (Л, В) —лп (X, В) —-> лп (X, Л) —^-->

%(4 В) —> . .. —> л2 (X, Л),

где z, / — вложения, a J — композиция гомоморфизмов

冗耀(X，若)1 (<)(4 В),

где k — вложение. Из леммы 1 без особых трудностей следует, что это последовательность точна.

Займемся теперь гомотопическими свойствами расслоений Стинрода. Ключевое свойство, которым обладает расслоение Стинрода и на которое опираются последующие теоремы, дает

Теорема 1 (о накрывающей гомотопии) (Стинрод [1, стр. 63 — 67] и Ху Сы-цзян [1, стр. 89]).

Пусть X — расслоение Стинрода над В с проекцией р и f: К~> X — отображение „хорошее。" пространства (например, конечного комплекса) в X. Если существует гомотопия gf： К f В с go = p。/, то существует гомотопия %:X с /о = Л P°ft = gt-

С помощью этой теоремы и леммы 1 построим точную гомотопическую последовательность расслоения (Стинрод [1, стр. 110]). Возьмем %owX, Ьо = Р(%о), Fq = р~1 (й0)» причем Fq гомеоморфно слою F. По теореме 1 отображение р*:冗耀(X,尸山 ％())-> 冗耀(В,力山 bj — изоморфизм для п^2. Тогда композиция Д = d ° р~\ где 0:冗耀(X, ^о)-*^-! (^о) — граничный гомоморфизм, будет гомоморфизмом из лп (В,瓦)в 冗耀一乂尸山 xj. Тем самым точная последовательность пары (X,尸。) (см. лемму 1) превращается в точную последовательность

• • • ~^^п (尸。)」> 冗耀(X)—-> лп (В)—^+冗耀一 1.

...-^0项(8) ~% (尸口)~(X)(b).

Определение 1. Расслоение W называется главным G-расслоением, если а) слой 尸 представляет собой группу G и b) G действует на себе левыми сдвигами.

Пусть ^ — расслоение с базой В, группой G и слоем 尸.Расслоение g с той же базой В, теми же координатными окрестностями 落© теми же отображениями UьМ Р) и той же группой G, что и у но у которого роль слоя F играет группа G, действующая на себе левыми сдвигами, называется ассоциированным главным расслоением.

Замечание. Обратим внимание на то, что с точностью до эквивалентности существует взаимно однозначное соответствие между структурами G-расслоения с базой В и главными G-расслоениями над В. Это следует из того, что для данной структуры G-расслоения над В существует единственный путь построения главного G-расслоения над В (см. теорему существования в гл. IV).

Т еор ема 2 (о групповых расслоениях) (Стинрод [1, стр. 39]). Пусть G — топологическая группа, Н и К — ее замкнутые подгруппы, причем К и Н, К#Н. Пусть Я допускает локальное сечение *). Если р — отображение, порожденное вложением классов смежности, то G/К будет расслоением над G/H с проекцией р, слоем "/К w группой "/Ко, действующей на HIK левыми сдвигами (Ко — максимальный нормальный делитель группы ", лежащий в К). Кроме того, любые два локальных сечения приводят к экви- валентным расслоениям. Наконец, левые сдвиги расслоения G/k на элементы группы G будут отображениями этого расслоения на себя.

В частности, если К = {е}, то G будет главным расслоением над G/Н со слоем и группой Н.

В дальнейшем нам понадобится

1) Локальным сечением группы Н в группе G называется такое непрерывное отображение f некоторой окрестности V точки к。三G/〃 в группу G, что pf (х) — х для всех x^V. — Прим, перев.

Лемма 2. Если От — группа ортогональных пре- образований евклидова пространства Е^, то простран- ство ON/On„ асферично" для всех 6 Vn, т・ е.冗尼(0川/°")= =0 для k<n.

(Заметим, что пространство ON/On линейно связно, поскольку 0川 имеет две компоненты, а Оп содержит матрицы как с положительным, так и отрицательным определителями.)

Доказательство. Так как От — группа Ли, то она допускает локальное сечение. Далее, Ort(=Ort+1cz

По теореме 2 ON/On будет расслоением над ON/On+\ со слоем Ofi+J6fl= S", причем 冗尼(S") = 0, если 左之п. В точной последовательности этого расслоения каждый третий член равен нулю. Поэтому

"h(。/v/0")4 nh(。/v/On+i)，h <几"

Повторяя это рассуждение, получаем

冗尼(О^/Оп)=冗尼(O/v/On+i) — • • • — л^ (°n/°n) = °・

Аналогично доказывается

Л е 竄 м а 2‘. Если Un — группа всех унитарных пре- образований пространства С", то

nk(U N/Un) = 0 при 々 V 2孔 + 1.

Определение 2. Напомним, что fe-penep в EN— это упорядоченная система 左 независимых векторов в Е“. Множество всех ортонормированных (^ — ^-реперов в Е“ называется многообразием Штифеля

Очевидно, что группа ON действует транзитивно на V/v-я, ^• Подгруппа, оставляющая на месте какой- нибудь определенный репер ^~л, есть не что иное, как группа Ontn* = Ом действующая в пространстве, ортогональном ко всем векторам из 盘~"・ Тем самым Vn-mn =。川/。少

Если рассматривать вместо Е" пространство С^, то аналогично можно определить V^_n 旧・ Очевидно, ЧТ0 VN-n,N= ^N/Un. '

Так как Оп^ОпХ От и по теореме 2 丿小,n+m = =Оп+т/Оп - расслоение над Оп+т/(Оп X Om) = Gm, m+n СО слоем (。小 X Оп)'Оп От и группой (Om X Of10tl 4 4 0小,то многообразие Штифеля Vmim+n является главным расслоением над многообразием Грассмана Gm,m+厶 С группой От и слоем 0团1)・

Определение 3. Пусть ^ — главное расслоение над пространством 5 с группой G. Оно называется п-универсалъным для группы G, если для любого «-комплекса К и его подкомплекса 厶，главного расслоения У над К с группой G и отображения расслоений f: g^f Е существует продолжение отображения f до отображения E'f Е・

Если Т)— расслоение (X, Л, р, G) и А^А, то можно построить очевидным образом расслоение

力=(L (力,4 Р 1рт(К), G)・

n-универсальные расслоения

Теорема 3 (Стинрод [1, стр. 124]). Главное G-расслоение 自 с пространством X будет п-универсалъным тогда и только тогдау когда лг (X) = 0 для Q^Kn.

(Заметим, что л0(X) = 0 означает, что X линейно связно.)

Следствие. Вещественное {комплексное) много^ образие Грассмана Gm, п с определенной над ним структурой От-расслоения {U^расслоения) является

】)Проекция этого расслоения имеет простой геометрический смысл: каждому реперу сопоставляется плоскость, порожденная векторами репера. Слой состоит из всех ортонормированных m-реперов в данной m-плоскости и естественно отождествляется с группой От.——Прим, перев.

(п — т)~универсалъным О ^Расслоением ([2 (п — т)十 1]- универсальным Uрасслоением).

Доказательство. Выше мы показали, что Vmt „ является главным От-расслоением над G^,也 и 冗々(bm, п) = 0 при 0 ^ ^ <п — m. Аналогично для комплексного случая.

Определение 4. Рассмотрим последовательность естественных вложений Е" Е'71*，三…，индуцирующую последовательность вложений 7^, m —^m,m+i ^ .. •• Обозначим через Vm, прямой предел второй последовательности, т. е. 7т> — множество ортогональных m-реперов в Е°°.

Определение 5. Множество 7mi ^ можно рассматривать как главное От-расслоение над 6^,8 (и^-расслоенне в комплексном случае). Это расслоение r-универсально для От-расслоений (t/^-расслое- ний) для всех целых чисел г >0. Пространство Gm^ называется универсальным классифицирующим про- странством для От-расслоений ([/^-расслоений). Главное расслоение над Gmt обозначим через а。.

Теорема 4 (классификационная) (Стин- род [1, стр. 123]). Пусть 自 будет (п + ^-универсальным расслоением с базой В и пространством X, К — некоторым п~мерным комплексом. Пусть 冗代(丫) = 0 (OW^W 孔)，Операция, относящая каждому отображению f: К f В индуцированное расслоение над К, устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности главных G-расслоений над К и гомотопическими классами отображений из К в В.

Следствие. Структуры От~расслоений (Um~pac~ слоений) над комплексом К конечной размерности взаимно однозначно . соответствуют гомотопическим классам отображений К —> Gm, g(К —> 嗚,J

Определение 6. Напомним, что отображение Ф： X —> У индуцирует отображение <р* колец когомологий Н*(У)->Н*(Х) и отображение 屮十 структур

G-расслоений над У в структуры G-расслоений над X. Пусть Г — отображение, сопоставляющее каждой структуре G-расслоения над произвольным пространством У элемент кольца H^(Y; С) так, что Г ((р^) =(рТ (g) для всех пространств X, Y и всех непрерывных отображений ф： X -> У. Тогда Г называется С-когомоло- гическим инвариантом структур G-расслоения. Здесь С — коммутативное кольцо (группа) коэффициентов для когомологий.

Пример когомологического инварианта. Пусть р будет О^-расслоением над триангулируемым пространством В со слоем 尸 и пространством расслоения X. Пусть 乐(尸)=0 для z п — 1 (п > 1). Обозначим через Bk й-остов пространства В, через ok+l (k + 1)-мерный симплекс в В и через до^+} — его границу (гомеоморфную ^-мерной сфере S*).

Мы хотим узнать, можно ли сечение расслое- ,.,продолжить на 5.

Сужение расслоения р на клетку 。崑十】тривиально, ибо всякое расслоение над клеткой тривиально. Поэтому ф|д«+1 будет отображением до^^ -> dok+i X 尸, заданным равенством (р(с) = (с, f) и, следовательно, будет определять отображение (назовем его тоже ф) do*十】一> 尸・ Так как d挑十】гомеоморфно сфере Sk и слой 尸 односвязен, то 中 определяет некоторый элемент а0 в nk (F). Легко видеть, что 中 можно продолжить на 。崑十1 тогда и только тогда, когда а0 = 0, Поэтому при h&n — 1 его можно продолжить на все毋十L

Если k = n, то указанная операция сопоставления каждой клетке o*+i элемента а0 в 冗々(尸)определяет 优+ 1)-коцепь а на В. Можно показать, что а—коцикл и он не зависит от последовательных продолжений отображения ф в низших размерностях. Поэтому можно было начать с отображения ф, заданного произвольным образом на В。. Таким образом, очевидно, что каждому р можно сопоставить единственный элемент в Hn+i (В; nn(F)); обозначим его через obski(p,尸).

Отображение obst структур От-расслоений над В в Hn^{B-,nn{F^ является лп (Р)-когомологическим инвариантом структур От-расслоения 】).

Теорема 5. Множество S ^когомологических инвариантов структур U^ расслоения взаимно однозначно соответствует множеству классов когомологий пространства G^, 8 с целыми коэффициентами.

Доказательство. Напомним, что Ит,оо —главное и^-расслоенне над Gm, оо. Пусть ат — соответствующая ему структура и Г — элемент из S. Тем самым Г (%J представляет собой элемент у кольца когомологий "*(G^, 8, Z). Пусть 氏 — структура {7т-расслоения с базой В. По теореме 4 существует такое отображение ф (единственное с точностью до гомотопии) из В в G^ то, что 61 =屮十(。仅)；тогда

г (₽1) = г (ф+ат) = <₽*「(％) = <P*(V).

Если Р — другой когомологический инвариант, для которого Гл (ат) = у, то Гл (pj = ф* (у) и потому Г (pt) = =Г" (б) для всех пространств В и структур 0】 ^-расслоения, т. е. Г = Г\

Обратно, пусть у — любой элемент из "*(G^, 8, Z). Мы хотим определить некоторый элемент「丫 в S, который соответствовал бы у. Пусть В — любое пространство, ^ — структура /7т-расслоения над В. Тогда существует такое отображение <р (единственное с точностью до гомотопии) из В в GR то, что ^ = ф+ (ат). Положим Гу (^) = ф* (у) ^ //* (В, Z). Легко проверить, что Гу будет Z-когомологическим инвариантом структур (Ут-расслоения. Мы должны показать, что если Гу = Г^, то y = y'・ Очевидно, достаточно показать, что Гу (ат) = у. Но это ясно, поскольку, если I— тождественное отображение Gmt^-> Gm, оо, то 3 н『一 также тождественные отображения. Теорема доказана.

I) Этот инвариант называют также (п + \)-м препятствием (к построению сечения). Отсюда и происходит символ obst — obstacle (препятствие). — Прим, перев.

Так как классы Чжэня с； е H2i (Gm( ^, Z) составляют множество образующих кольца Н* (G巾,® Z), мы получаем

С л е дств и е. каждый Z-когомологический инвариант структур U^расслоения можно единственным образом отождествить с линейной комбинацией ^-произведений классов Чжэня.

Теорема 6. Множество S' ^^когомологических инвариантов структур От-расслоения взаимно однозначно соответствует множеству классов когомологий пространства G^, а с коэффициентами из Z2.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.

Следствие, каждый ^^когомологический инвариант структур Of^ расслоения можно единственным образом отождествить с линейной комбинацией ^-произведений классов Уитни.

Определение 7. Пусть 自=(X, В, Um, р) — главное t/^-расслоение с базой В, пространством X и проекцией р. Так как G^, «> — универсальное классифицирующее пространство, то существует такое отображение “：5f G^, а (единственное с точностью до го- мотопии), что ^ = i|3+(am), где am = (7m> „„, Gm>0O, Um, pm). Это отображение индуцирует отображение 炉 из "*(龍 оо) в "* (X). Заметим, что если 2 н ® гомотопны, то 炉=炉.Таким образом, 2* определено расслоением и не зависит от отображения 2，а потому можно определить класс Чжэня 内(自)главного расслоения W, полагая J* 信)=2* (с0, где с； есть /-й класс Чжэня расслоения а^. Кстати, С/ (自) принадлежит "2/ (X).

Назовем классами Чжэня произвольного U^расслоения классы Чжэня ассоциированного главного расслоения.

Определение 8. Элемент с (自)=1 + q (自)十 •… + cm (^) называется полным классом Чжэня расслоения 自.

Аналогично определяются классы Уитни От-расслоений и полный класс Уитни От-расслоений с помощью вещественного многообразия Грассмана Gm, со и его кольца когомологий с коэффициентами из Z2.

Сопряженное расслоение

Пусть 己—структура [/^-расслоения над В с координатными окрестностями 夕片 f и координатными преобразованиями U力亿 /). Каждое координатное преобразование принадлежит Um и может рассматриваться как унитарная (т X /п)-матрица. Пусть U力(詳/)— ее комплексно сопряженная матрица, также принадлежащая Uт. Структура g расслоения над В с координатными окрестностями "» и координатными преобразованиями U力亿 j) называется сопряженной по отношению к 三.

Найдем связь между классами Чжэня структур 三 и £. Структура 自 индуцирована отображением ср: В—> Gm> то. Рассмотрим отображение

сопоставляющее элементу л 三 Gm> (где л есть /п-пло- скость в Е°°, проходящая через начало координат) комплексно сопряженный ему элемент 元 w Gm)co. Композиция

С。ф： В -> Gm, 8

индуцирует структуру &. Пусть отображение

с'： Р^ X Р(? X X Р依 f Р^)义 Р 倒义...义 Р 俨

задано равенством

e‘((2⑴，2⑵，2(向))=(2⑴，2" …，2(m)).

В гл. Ш, стр. 72 мы обозначили отображение P?义…义Р俨-Gm,mm+i)через М Обозначим через 而 его композицию с отображением вложения Gm,力伊十】)-»

f Gm, 8・ Легко видеть, что диаграмма

Р? X …X РGm, 8

Р「Х…X Р俨亠G* коммутативна.

Далее, клеточное разбиение пространства Рп задается последовательностью вложений

Ясно, что С' переводит гомеоморфно каждую клетку из Рп на себя, но, возможно, с изменением ориентации. Исследуя координаты на Р〃 нетрудно увидеть, что в действительности С' отображает Р] на себя гомеоморфно со степенью (—1)'. Поэтому индуцированное отображение классов когомологий переводит класс У в (—1)〃'，где f — образующая кольца Я* (Pn, Z). В силу коммутативности приведенной выше диаграммы С* оказывает такое же действие на H*(Gm,8), что^ и С『на Н*(Р? X ... X Р俨). Кроме того, с, (3 =屮* ©), где ^― отображение из определения 7, и

e/ (I) = (c。屮)*(e/) = 2*c* (С/) =屮* ((一 1))勺).

Таким образом,

Q 传) = (-1)%©(*)

Классы Понтрягина

Пусть у — структура От-расслоения над В с координатными окрестностями о#3^ и координатными преобразованиями t/匕(厶 /). Как и прежде, Ub(it /) рассматривается как вещественная ортогональная (m X /и)- матрица. „Расширим** структурную группу, считая От подгруппой группы Umi a Ub(it /) — элементом из Um.

Тогда мы получим структуру у° С/т-расслоения над В. Очевидно, что 丫° = §°・ Поэтому, согласно формуле (*),

S(/)=勺(f)=(-1)%/(卡)■

Тем самым 2сf (yc) = 0, если / нечетно. Определим классы Понтрягина Р/(у) структуры у От-расслое- ния, полагая

Р/(Y)=甸(У)・

Ясно, что P/(Y)—элемент группы Я4/ (В; Z).

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ.

ПРИЛОЖЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КЛАССОВ

Сначала мы коснемся некоторых аспектов римановой, геометрии, а затем рассмотрим приложения изложенной ранее теории к некоторым геометрическим задачам (подробности см. Милнор [1]).

Напомним, что векторное поле V на многообразии М представляет собой линейное отображение в себя алгебры С°° (М) определенных на М вещественнозначных функций класса С°°, удовлетворяющее равенству IZ(qnp) = (1/(р)“ + <р (l/屮)для qp, ip е С°° (М). Если U и V — два векторных поля, то скобка Пуассона [[/, V] = UV — VU также будет векторным полем. Обозначим через D} (М) (или просто D1) множество всех векторных полей на М.

Определение 1. Римановой метрикой на М называется билинейное отображение g: Dl X D1

локальное, т. е. g (<pU, “U) = qnpg (U, V) для U,V^D} и <р,屮 wC°°(M);

симметричное, т. e. g(U. V) = g(V, U) для

положительно определенное, т. e. g(U, U)》0 и g(U, u)= oou = o.

Определение 2. Аффинной связностью на М называется билинейное отображение I—: D‘ X D f D (мы будем писать V \- U вместо I— (U, V)), для которого

qp V I— [/ = qp (V I— [/),

V^^U = (1/ф) и +(Р (1/ 1 U).

Определение 3. Аффинная связность называется симметричной, если (V Н [/) — ([/ I— V) = [V, U] для U, V />・

Определение 4. Аффинная связность называется совместной с данной метрикой g, если

Г(У°У) = (Г Н У)о7 + ^о(ГН У) для U,匕 W^D\ (Здесь U。，означает g(U, V)).

Посмотрим, что представляют собой введенные понятия в локальных координатах. Положим gti = =g(&，必)=&。%， где д» = dldKf Тем самым, если U = uldi, V = v^df (мы опускаем, как общепринято, знак суммирования), то g(U, V) = g订〃“〃. Если 0尸庚=吟以，то

V \- и = 〃必 Н 〃& = 〃(％ 4 公仇)=

=小(〃"%[- д什(д“) &)=样(〃T％魂 + (0*)必)=

Нетрудно проверить, что связность симметрична тогда и только тогда, когда Г% = !%

Теорема 1. Пусть М — риманово многообразие, т. е. многообразие с заданной римановой метрикой g. Тогда на М существует одна 〃 только одна симметричная связность, совместная с g.

Доказательство. Сначала докажем единственность. Пусть Н — связность на М обладающая требуемыми свойствами. Локально она полностью определена функциями Г*. Выразим равенство из определения 4 в локальных координатах. Левая часть равна wk(dk (^/U^7)), где W = wkdk. Правая часть равна

(wkurlki + (о") wk) di。и'% +

+ 优&。(w^v^kj + (北 J)侬')& =

=gii [uv^^ik + v'w'd"} +

+ gti [uv^^ki + u'w'd^v1].

Положим Грит = gp J(jp. Тогда ГдХ = ^Р^Г；ат> где матрица || gij || — обратная к матрице || g^ || (положительно определенной и, следовательно, обратимой).

Так как

护 @3“。'))=

=^{(dkgtj) u%)+ g"办(以0‘)+ g"?'(泓"‘)}, TO

{(以g") "‘?‘必} + зm‘3'(九0')+ g"?"110小}=

={gl^lki^v,wk + g£产①/} +

+ {giiUlwk(dkv}') + gijV^^dkU1)},

т. е.旗g〃 =「削 +П/ф Обозначим d忠仆 через {а,0, 丫} и ?呻丫 через [а^у]. Полученное равенство приобретает вид {kij} = [jki] + [ikj]t откуда с помощью циклической перестановки индексов получаем

{滋} = [kij] + [jik], {jki} = [ijk] + [kji],

В силу симметричности связности [сфу]=佃俐.Тем самым

口闹=({砌 + {加}一密} )/2,

г или

F“h = @g〃 + d^gki — &g 加/2, поэтому

Vik = (dkgai + djg^ - dagjk)gai/2,

что и доказывает единственность.

Чтобы доказать существование, определим Г% полученной формулой. Легко проверить, что заданная таким образом связность удовлетворяет всем требованиям.

Определение 5. Ковариантным п~тензорным полем на многообразии М называется такое п-линей- ное отображение

7： Д1 X ... X Д^С00(М), чтоп

7(Ф1U], •・•，Фп^п) = Ф1 • • •必7 (。1，• • ♦, UJ

т. е. это отображение локально (значение T{U{, ..., t/rt) в точке х зависит только от значений。【，…，Un в этой точке).

Риманова метрика является ковариантным 2-тен- зорным полем. Построим теперь два других важных тензорных поля.

Ковариантная производная ковариантного п-тен- зорного поля Т. Положим

DT(U卜…,U", W)=W(T(U{1 ...,力))一

-T5 步is，

一7(u1，U"T， Г Н и^

Очевидно, что поле DT (п + 1)-линейно, и нетрудно показать, что оно локально.

Если ti}... in — координаты поля Т, то координатами поля DT будут

片…/„./ = dj (片…i^-tai2 гД/ -

— %叫…丿丛一…一片一3*■

Тензор римановой кривизны. Положим

[R(U. V) W]oZ =

={U 1” 1 步)—iz ~(U \-W)-[U, V] H W}oZ. Очевидно, что поле R 4-линейно, и нетрудно показать, что оно локально. Если положить R(Gj, д^д「 ==R^kdm, то легко проверить, что

此拉=Oji ik —。々丄"十1 /1 mi — I订丄mk>

Полагая

Rhijk = ghmR^k = [R (%,以)• &] ° 以， получаем

Rhiik—^^Shk,订 + gii，hk — ghi，ik 一 gik, hj) + 工, где N — сумма членов, содержащих первые производные тензора метрики, a ga伙 丫6 = ^2Sa^ (х)/дхудх6.

Далее, пусть у — (гладкая) кривая на многообразии М", а V (0 — векторное поле вдоль у, т. е. если.

Y (f)=(少(力，…，，(f)) (0 W f W 1), то V (f) 一 касательный вектор в точке y(f). Поле V (f) называется параллельным вдоль y(f), если dy/df Н V (^) = 0. Кривая у (s) называется геодезической, если dy/ds Н Н dy/ds = 0, где s — длина кривой. В локальных координатах

曲2 1\产 ' / / 曲 ds

Определение 6. Локальная система координат (х1, ..., хя) на римановом многообразии Мп называется геодезической координатной системой, если

Г%(%)/%* = 0,/ = 1, 2, ..., п.

Заметим, что в геодезических координатах rijk(x)xJxk = 0. Так как Г.-^ = (<Э^;/ + djgik - dtgik)/2, то должно быть

2 (旗g〃・) xJxk - (dig!k)= 0.

Предположим, что gap(x) — вещественная аналитиче-ская функция. После очевидных выкладок получаем(/旗)(g/毋)=xJxk(dkgji) + g2dt (g/W/) = (@g%) xJxk + Чёцх1.

Комбинируя полученные результаты, находим, что в геодезических координатах

2 (xkd^ (gtixJ) - & (gikxJxk) = 0.(*)

Положим 力(x) = gij (x) X’ и

vf)(x) = dli... 1й(у1)(0)х^x^,

где 6 — неотрицательное целое число. Тогда формула (*) принимает вид

2(公旗)0=力(%一/).(**)

Приравнивая суммы членов порядка 6 в левой и правой частях этого уравнения, получаем

2 (%七 j uf)= di {v^x1).

Далее, и£)(f%)=f'0?)(%)и дифференцирование по t дает (xkd^ 4" (х) = 6uf)(х) при f = 1・

Формула (**) теперь принимает вид

26uf)= &(u)"%j).(***)

Положим 户= v，3 тогда

晔)=击①产，6>0,

и в результате

沁=击g方#吗=笥廿№).

Следовательно, f^ = 0, если 6*1. Без ограничения общности можно считать g^ (0) = 6订，и тогда 产①=0 (6>1) влечет в геодезических координатах

gii (х) X’ = х‘.

Разлагая левую часть в ряд Тейлора и сравнивая коэффициенты с правой частью, находим

g",询..』(°)х‘/ …х% = ° и, в частности,

g订$(0) = 6

Чтобы установить существование геодезических координат, достаточно найти такую координатную систему (%、. .., %'), чтобы геодезические линии, проходящие через начало этой системы, представлялись в виде х1(5)= als (т. е. были бы прямыми).

В самом деле, подстановка 尤'(s) = a*s в дифференциальные уравнения для геодезических дает Г% (%) х'М = 0. Существование такой координатной системы (х1, ..., %') следует из известных свойств обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя полученную формулу для R九订力,имеем в геодезических координатах

Rhijk (°) = ^依他，if(°)+ gj/, hk (°) 一 g九/, ik (°) —g/, hi (0) )•

Теорема 2. 8 начале геодезических координат частные производные m-го порядка метрического тензора {метрики} алгебраически выражаются через

ковариантные производные порядка Wzn — 2 риманова тензора.

Доказательство. Из равенства

R订/и = 4(Sil，kl — gih, и + Ski,订 一 g〃, ih) + T⑴

(здесь и ниже мы обозначаем через Т⑺ любое алгебраическое выражение для метрического тензора g и его zn-x производных, m ^п), меняя местами 乙 ％ и складывая, находим, что

2 (Rijkl + &/〃)+ Т")= gkl,订 + g〃, h/ — 2幻厶 ik, (1) Дважды дифференцируя уравнение gri (%) хг = х\ по- лучаем-g-^, lkxr = g“，卜 + g^,/. Последовательное дифференцирование дает

—g川，厶…f/' = g"i，% …g+ +g(，八…Gy (EJ

Используя уравнение (Е2) для того, чтобы заменить первые два члена в правой части уравнения (1), находим, что

gr 厶订后—2 (R 订/и + Rkiii) + 丁⑴=3g〃，必⑵

Полагая x = 0 в (2), получаем выражение для второй производной метрического тензора в начале координат через члены риманова тензора.

Докажем теперь теорему 2 индукцией по целым числам ш. Теорема уже доказана нами для /п = 2. Допустим, что теорема верна для mx < т. zn>2. Возьмем (т — 2)-ю производную от уравнения (2) и заметим, что [т — 2)-ю производную риманова тензора можно выразить через его (伍一2)-е ковариантные производные и производные метрического тензора порядка не больше zn — 1. Мы видим, что для доказательства теоремы 2 достаточно доказать, что в центре геодезических координат производную ^ = g订力…можно выразить через суммы

3g-»70, !l--.in + gilv /2---/„/0++^/ге-2. in-rfnio---in-3-

Пусть о — циклическая перестановка индексов /о • • ■ /п /1 • • • /п/о> так что a^+1 = 1. Тогда нам нужно

доказать, что Л можно выразить через сумму ЗЛ + аЛ ++ ал~2Л, учитывая что (1 + о Г

,..+ ал) Л = 0 (это равенство следует из (EQ, когда мы полагаем х = 0). Для доказательства заметим, ЧТО ПОЛИНОМЫ Р(У)= 3 + у + ・•・ + 歹一2 и Q (у) = 1 + + у + • • • + у" не имеют общих корней и, следовательно, взаимно просты. В самом деле Р(у。)一 —УоР(Уо) = О，где % —корень уравнения Р{у) = 0^ Следовательно, 3 —2% —у；т = 0, и у。 лежит на единичной окружности тогда и только тогда, когда 2% = 2 и ^-'= 1, так что %=1 н Q(//о) #= 0.

Таким образом, можно найти рациональные полиномы А (у) и 3(у), для которых А (у) Р (у) 4- 十 B(y)Q(y)=l, так что А = Д (а) Р (а)Л, и теорема 2 доказана.

Следствие. Ковариантные производные риманова тензора дают полное множество инвариантов для римановой метрики 8 геодезических координатах.

Доказательство. По теореме 2 ковариантные производные риманова тензора полностью определяют значения функции g订 и всех ее производных в начале геодезических координат. Так как g£j — аналитическая функция, то она полностью определена во всей координатной окрестности значениями всех ее производных в начале координат.

Рассмотрим еще один важный пример ковариантных n-тензорных полей — кососимметрические /г-тен- зорные поля (или n-формы). Так называются л-тен- зорные поля со, для которых

s(九⑴乙6)) = sgno・s(%九)，

где Vt e D}t a — перестановка чисел 1, 2, , n и sgn о — знак этой перестановки. Если(^ — кососимметрическое ^-тензорное поле (/ = 1, 2), то тензорное произведение полей со】и со2 задается равенством

©I • й>2(/1, . .1/拓，V\+Q =

==(t>i (Vi, ..., Vfej • o>2(^fei+ь • • • > Vfei+fej).

а внешнее произведение — равенством

(О］八 ①2= {(①「①2)，

где А — альтернирующая операция

Лсо(/Ь ...,乙)=仇!)т Wsg口 а •(o(/0(i),,.九s))・

Легко показать, что внешнее умножение ассоциативно и

①1八(02= (- 1)'也①2 А①卜

Если Deo — ковариантная производная от со, положимdco = Л (Deo)

и назовем d внешним дифференцированием. Очевидно, что

d? = 0, d(o)i Л со2) = dcoi Л со2 + (— 1)'例 Л dco2.

Рассмотрим теперь семейство всех пар (S, Т), где S — компактное подмножество евклидова пространства ENt а Т — замкнутое подмножество в S. Зададим следующие объекты:

Fk — пространство всех (гладких) fe-форм, определенных на EN,

Vk(S) — подпространство пространства F% состоящее из форм, равных нулю вблизи S,

Z 气 S, Т)= {(0 w d(r)|dsw，+i(S)},

炉(S, Т)= {d(o + e|(oe=/fe-1(n. Owd(S)},

Dk(S, 7) = # (S, 7)/加(S, T).

Теорема 3 (де Рам). Для каждой триангулируемой пары (S, Т) группа Dk(St Т) естественно изоморфна k-мерной относительной (сингулярной) группе когомологий пары (S, Т) с вещественными коэффициентами.

Доказательство мы опускаем.

Если в качестве S взять многообразие Мт и положить Т = 0, то получится классическая теорема де Рама,

Назовем Z'(M) пространством замкнутых k-форм, а В* (М) — пространством точных k-форм.

Пусть ср: М^тМ — гладкое отображение, а со будет ^-формой на N. Зададим fe-форму q/co на М равенством

Ф，со(/1,..乙)=со((рМ1,・•・，％九)，

где Vi^ Dl (М) (/ = 1, ..., fe) и qpt — отображение векторных полей, индуцированное отображением ф. Легко видеть, что dq/co = q/ds. Таким образом, qpz индуцирует отображение из Dk(N) в Dk(M) (назовем его тоже q/)・ Оказывается, что диаграмма

加(М R)工R)

М\VM

D，M ^Dk^

коммутативна. Здесь vNi vM — естественные изоморфизмы, определенные теоремой де Рама, а ф* — гомоморфизм когомологий, индуцируемый (непрерывным) отображением ф.

Пусть Мл — риманово многообразие н Р» — гладкие векторные поля, определенные в некоторой координатной окрестности 4, причем 兀。力 = =g 亿，力)=仇八 Пусть l-форма tdj задана равенством

例(，/) = ”•

Зададим 1-форму со订 равенством

g/") = g(，f),

где / — векторное поле на "• Дифференцирование равенства 匕。匕=0“ ковариантно по / дает

(p1乙)。乙十乙。(，1%)=0,

а так как 包(/) = Р。兀，то

Если U — векторное поле на o/F\ то U ~a>j(U)Vl (сумма берется по повторным индексам). По определению аффинной связности

(о, (у 4吗(U)%)=吗(U)①订(V) +铀(匕卜У (吗(U))= = 8『(и)М(У) + У(8(и)),

откуда

Deo/ (U, V) = V (叫(U)) 一 例 ” 1 U) = — Sj (U) co” (V).

Альтернируя обе части этого уравнения, получаем

dcdj = — со； Л со仃.(Ki)

Пусть теперь Q”(U, У)=叫(R(U, V) V；). Довольно громоздкое, но непосредственное вычисление, использующее определения и приведенные выше формулы, дает равенство

叫(R (U, V) Z) = s式Z)®i Л 8ns (U, V) 一 d铀式U, V)}.

В частности, если Z = P/, то

•d®“ = <о〃 Л ①厅一 Q“・(Кг)

Беря внешние производные от обеих частей уравнения (Кг) с учетом того, что ①呻=一①即，получаем

dQ订=ds〃 Л со” — ds〃 Л соп.(К3)

Формулы (К) — (Кз) называются структурными уравнениями Вартана.

Построим на римановом многообразии Мп важный класс форм, называемых формами кривизны.

Положим

Q® = Qf % Л Qf % Л ... Л й/ / Л Яе/ .

Если п четно и М ориентируемо, положим

Q = в'】…GQ屮2八Q%%八• • •八Q J~】3

/ t/ 1 .・・・〃、

где в i …n ==sgn .. J, если все 厶，・厶 раз-

Vi • * • zn/

личны, и Ji …G=Q в противном случае.

Теорем а 4. Формы кривизны Й（й）инвариантно определены на М, т. е. если У» ..., Vn — другая орто, нормальная система векторных полей на ©^ и 仓厶 йг/, Q（fe）— построенные из них формы, то。（尼）=。（尼）. Кроме того, формы £2（收）замкнуты； т. е. dG（尼）=0, и °（尼）=° для нечетных

Доказательство. Существует такая ортогональная матрица || ац ||, что У£ = akiVk （сумма по 々, как обычно）!）. Тогда если форма &z задана условием 金£（//） = 6/，то 6/ = afet（ofe. Из определения форм 6订 и ◎订 легко вывести, что

Qif（U. V） = akiatlQkl（U. V）.

Заменяя соответствующим образом каждый сомножитель формы Q^^ Л й/2/3 Л — , ЛЙ/А/1 и учитывая ортогональность матрицы || ai} ||, получаем нужный результат.

Равенство dQ® = 0 докажем с помощью формулы dQij = —。〃 Л со,/ + ^и Л Й；/»（*）

которая следует из структурных уравнений Картана. Итак,

d。（同=dQiti2 Л （0%% 八03% Л ... Л 0必 J +

+必小人d（0%% Л • • • Л"必） Но

◎屮2Ad八・・・AQ%4）=

=Qz z A [dQi i A Q/l A ... Л Й/ z 4-

+ 八 d л Л Л 0%厶）} ~

=②也 Л Л / А • ■ • А f 4~ 1 */<ЭО »К 1

+ Q中2人°中3人d （0%〃 Л • • • Л。%厶）=

=dQi i Л。八〃 A Л ②臼 Л +

+ ◎中2 八 Q2G 八 “Qqq Л <，. Л Qjg）,

Заметим, что коэффициенты 碎/ будут на М гладкими функциями, — Прия, перев^

поскольку Qt也 есть 2-форма, коммутирующая с любой формой.

Следовательно,

d◎(炒=2 dQ/也 Л ◎%% Л Л。£館1 +

+0也人0%%人%。%厶人•一人0%%), и по индукции

dQ他)=k • dQixi2 A ◎%% A A ◎%%•

Чтобы убедиться в том, что dQ^% 八 Q%%八

.A Q%q =0, нужно применить формулу (*) к dQ^% и произвести необходимые вычисления.

Наконец, чтобы показать, что ◎(同=0 для нечетного k, заметим, что ◎订= —й/7 (это следует из (К2))* Тогда

0信)=О也人а修з ^ • • • ^ Qfe =

=(—1)&Qi i A i Л …A Qiktk . Л / =

=(-1了0厶％ Д0%%_1 А Л Q%% a 0修1 = - 0但)， поскольку k нечетно. Теорема доказана.

Теорема 5. Форма кривизны Q инвариантно определена на четномерном ориентированном многообразии М", т. е・ если R» . . Vn — другая ортонормальная система векторных полей на g^,, задающая ту же ориентацию, что и 1/ь ..., Vni то ◎ = ◎. Кроме того, форма й замкнута.

Доказательство. Так же, как в теореме 3, 0仃=爆№订。^ и 丨 а订丨=det (II а订 II) = L Непосредственные вычисления дают

0 = М …'"d 也 Л Й/3/4 Л Л Qjn_ljn =

=6^ lnallixai2i2 • • • й1п^1112 ^ ^13{1 ^ …入 Q%-M =

= е1'--1«йг11-2ЛйглЛ л й(п_1(п.

Так как dQ имеет порядок и + 1, а многообразие М п-мерно, то dQ = 0・

Определение 7. Согласно теоремам 4 и 5, формы кривизны Q候)，й определяют элементы в кольце когомологий де Рама. Назовем эти элементы когомологическими классами кривизны. По теореме де Рама их можно отождествить с элементами обычного кольца когомологий (с вещественными коэффициентами).

Пусть Л4о — подмногообразие риманова многообразия Мп. Метрика g на Л4 естественным образом индуцирует риманову метрику go на Л40. По теореме 1 go определяет симметричную связность Но, совместную с g().

Лемма L UH)U = Po"PU), где U, V е О1 (Мо), а Ро — ортогональная проекция касательного пространства к М на соответствующее касательное пространство к Мо-

Д оказательство. Положим V \-xU = Р0 (У Н U). Легко убедиться, что Hj — аффинная связность, симметричная и совместная с g0.

Так как такая связность единственна (теорема 1), то лемма доказана.

Пусть теперь V,, ..., Vn — система ортонормальных векторных полей в координатной окрестности многообразия М\ причем Уь ..., Vv образуют систему касательных векторных полей к Mo, a Vv+I, ... f Vn образуют систему нормальных векторных полей к М\・ Пусть 衅)，峭)，й^ — формы на 恤，заданные с помощью векторных полей Ун ...,丿俨 Тем самым эти формы определены только для значений 1 ^ z, j&v.

Если 1 < /^ V и V ^ D{ (Мо), то 吗(V)=叫孙(V), т. е. (о<0) — сужение формы со. (1 ^/^v). Если 1 ^ i, J < V и V ^ D1 (Мо), то (о〃(V)=包(旷 4叱)= =g(PoU~%)) = g" 10%)=衅)"10%)=叱？"), т. е. (о^ — сужение формы ①“(IQ, j^v).

На многообразии Мп выполняется равенство (%)：

&/= X ①〃 А ①“一den»/, 1 ^ I, j ^п.

Аналогично на М；

5 S7 л 増)一d嘴,i<i,/<v.

Из приведенных выше замечаний вытекает, что фактически

V

Q2)=a①"八①"-ds"， 1 ^ Л / < v.

Вычитая, получаем

п

Q? = Q” , W ]①〃 л①力 1《詳j w v・ (**)

В дальнейшем мы воспользуемся следующей трудной теоремой, которую сформулируем сейчас без доказательства (см. Шварц [1]).

Теорема 6 (Н э ш). Любое риманово многообразие можно изометрично вложить в Е° для некоторого достаточно большого N.

В силу этой теоремы можно считать произвольное риманово многообразие Мо изометрично вложенным в EN и заменить в предыдущих рассуждениях МЛ на EN. Так как Q订=0 в EN, то из формулы (**) вытекает

Теорема 7 (обобщенная theorema еgге- gium)).

^1 = - 2 3〃 Л 3", К I, / ^ V.

Z=v+1

Пусть М" обозначает произвольное риманово многообразие, изометрично вложенное в EN, Введем понятие, которое позволит связать когомологические

классы кривизны, определенные выше, с характеристическими классами гл. VI (ср. Понтрягин [1]).

Определение 8. Пусть 0 — начало координат в EN. Зададим отображение

Т： Mn^Gn,N следующим образом. Пусть Тх — касательное пространство к М" в точке х w Л4л. Его можно считать ^плоскостью в Е", поскольку М"三 EN. Обозначим через Т (х) n-мерное подпространство, проходящее через 0 параллельно Т*, Отображение х -* Г (х) называется касательным представлением многообразия М\

Пусть Wnt N — подпространство в G^n X G】,”, со* стоящее из пар (л, е), для которых вектор е лежит в л. Это подпространство наследует топологию всего пространства. Проекция р2： 呼小 “ задана равенством р2(л,е) = л. Тогда Wni N — пространство векторного расслоения 自 над G^, “ (см. гл. IV, определение 5). Можно считать структурной группой этого расслоения группу Оп, действующую, как обычно, на n-мерное векторное пространство. Если т (М) — касательное расслоение многообразия М (напомним, что т(М) состоит из пар (х, %), где х е М, а вектор ех лежит в 7\) и 仍：т (М) -* М — проекция (х, ех) -> х, то существует отображение расслоений

Т： т(М)-% 皿т. е. диаграмма

т(М) X 必,м

м Gn.N

коммутативна. В самом neg Т задано равенством т《X, ej = (Т*, е (х)),

где вектор е (х) проходит через 0 параллельно ех. Ясно, что ассоциированное с 自 главное расслоение £ (см. стр. 106) будет расслоением с многообразием

Штифеля. Vn( N в качестве пространства расслоения (см. стр. 108). Таким образом, Г+| есть как раз ассоциированное с t (М) главное расслоение. По классификационной теореме (см. стр. 108) гомотопический класс отображения Т однозначно определен (для достаточно большого числа N)・ В частности, индуцированное отображение Т* когомологий является инвариантом ассоциированного главного Оп-расслоения пространства т(М). Тем самым Т* не зависит ни от вложения М" в 占", ни от числа N (если N достаточно велико).

Построим семейство форм на многообразии Gn, N аналогично тому, как мы строили формы кривизны на М\ и покажем, что формы кривизны на ЛГ можно получить из этого нового семейства с помощью отображения Tr (Tz —индуцированное отображение форм).

Пусть л — типичный элемент из ©小 弘 Выберем ортонормальный базис в л, скажем е” е2, ..., еп (где 4 = е»(п)), и дополним его ортонормальным базисом en+i (л), ..., е^(л) в п丄.Мы считаем, что векторы еДл) гладко изменяются на Gn, n в окрестности точки п.

Напомним, что если f — вещественнозначная гладкая функция, определенная на Gg n (как и на любом многообразии), и V — векторное поле на GntN, то df(V) = Vf. Гладкое отображение g из Gn, ^ в EN можно представить как набор N функций g” ..., gN, где gj： Gn, /v -> R (力=1, 2, …，N)・ Поэтому зададим dg равенством

dg”)= (Pg], Pg J

Тем самым dg будет отображением

dg： D(G〃,n)-> C8(G小 JX ••• XC8(公,J，

(Обозначения D(M), С°°(Л1) введены в начале этой главы.)

Векторы s(n) можно интерпретировать как отоб* ражения

Зададим 1-формы 6а0 на Gn, ^ (а, р= 1, 2, .,., JV) равенством

而呻="а ° %,

где 。обозначает риманову метрику на ENt т. е, обычное скалярное произведение. Далее, 2-формы 0〃 на Gr,n (力/=1, ・，・，п) зададим равенством

rsart+I

Как и раньше, введем формы Q&), Q равенствами

◎闾=焉也 А Л Л °%~/ Л

0 = /【…'喷屮2 Д ◎%〃 Л ... Л Qzrt_Izrt для четных л.

Замечание. Очевидно, форма Q определена только с точностью до знака. Чтобы Q была определена однозначно, можно считать ее заданной на двулистном накрывающем пространстве G〃,川 (см. стр, 29), на котором группа SOn действует транзитивно, и ясно, ЧТО Gn,N = SON/(SOn X SOf)・ Мы не будем останавливаться на этом чисто техническом вопросе, а предоставим читателю строго доказать все сформулированные без доказательства утверждения. Заметим, что формы 気)инвариантно определены на Gn, ^» поскольку вопрос ориентации в этом слу” чае роли не играет.

Так как Оп действует транзитивно на G〃,皿 то для g ^ Оп существует индуцированное гладкое отоб” ражение

g： G% 川-G%『

Говорят, что r-форма со на G% 川 инвариантна относительно О", если g'co =(o для всех g е Оп, где gf — индуцированное отображение форм.

Мы утверждаем, что введенные выше формы 0&), R не зависят от выбора базиса 〃， использованного при их определении. Поскольку доказательство этого

утверждения очень похоже на доказательство теорем 4 и 5, мы оставляем его детали читателю. Из определения форм G订 и того факта, что векторы еа образуют ортонормальный базис, непосредственно следует, что dG订= 士 ①必 /\（оа/. Отсюда dG疗=aik Л

（X U 1

Л &館一6中 причем суммирование по 月 производится от 1 до п. Используя эту формулу вместо （К2）, можно убедиться в том, что формы Q（fe）и Q замкнуты, причем убедиться точно так же, как и в случае форм Q（fe）и Q; все дополнительные детали доказательства остав， ляются читателю.

Нетрудно убедиться, что

厂（°s）） = Qg）, 7V （。） = Q, следовательно,

尸 （俭值）｝）=位g）｝,广（位｝）=阅，

где Г* — индуцированное отображение классов когомологий ｛ ｝.

Теорема 8. Когомологические классы кривизны многообразия Мп являются （вещественными） линейными комбинациями к> -произведений классов Уитни ассоциированного главного Оп-расслоения пространства т（М）.

Доказательство. Пусть Т%:-> Gn, % — каса

тельное представление многообразия Мп и Q（^\ 0（"）— формы, построенные выше （мы обозначали их Q（fe）, Q）. Тогда

т*（｛ад）=®）｝, т*（｛0?）=®｝.

Рассмотрим отображение

小 Т: Мп-> Grt（oo,

где i闻：Grt, №> On, со — естественное вложение. Так как iN ° Т с^ iP ^ Т для любых достаточно больших N и Р, то выбор числа N не существен. Кроме того,

匾。？）+（%）=或 М）,

где ап — расслоение, введенное в гл. VI (определение 5), а т (М) — ассоциированное главное расслоение для т(М). Поскольку гомоморфизм i\ надъективен, существуют такие элементы у (葡，、w Н飞G必 力,что

小(*上=(就},以Y)=仍)}, откуда

(3T)*(Y(a)) = {Q(a)}，%。7?(Y)=8}.

Элементы 丫価)，у можно представить в виде линейных комбинаций ^-произведений классов Уитни, и теорема получается прямо из определения классов Уитни расслоения f (М).

Пусть Мп — ориентированное четномерное многообразие. Мы выразили формы кривизны многообразия Мп, первоначально заданные в терминах риманова тензора на М\ в топологически инвариантном виде. Посмотрим, например, как обстоит дело с формой Очевидно, интеграл / Q должен также быть мп

инвариантом многообразия Мп. Можно просто попы- гаться вычислить его в том виде, в каком он записан. Однако, используя связь между Q и W, можно ввести эту задачу к вычислению интеграла J 0(")・ 加3")

3 самом деле, обычная замена переменных дает

J M=J〃@"))=Jq.

7n (財")財"МП

Тем самым вся тяжесть вычислений ложится всего гишь на одну форму 0(")на многообразии Gr,n、 )то, конечно, отражает „универсальный*4 характер ■ространства G%&・ Интеграл J 0怦 можно найти Т“(м")

ез особых трудностей (см. Понтрягин [1]). Мы

опускаем вычисления и приводим окончательный результат:

Теорема 9 (обобщенная теорема Гаусса— Б он нэ). Если %(Мп} — эйлерова характеристика многообразия Мп, а оп — объем п-мерного единичного шара, то

J Q = g&

мп

ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИИ

В последних трех главах мы продолжим изучение теории расслоений. Для любого конечного комплекса X и даже для любой клеточной пары (X, У) мы введем последовательность групп, заданных в терминах рас- слоений над X. Эти группы и их гомоморфизмы образуют систему, очень схожую с теорией когомологий и. удовлетворяющую всем аксиомам Стинрода — Эйленберга, кроме аксиомы размерности. Эта теория „когомологий из расслоений** находит много важных приложений в топологии; одно из них мы рассмотрим в гл. X.

Эта глава разбита на две части. В части А вводится общее понятие экстраординарной теории когомологий (не связанной с расслоениями). В части Б изучается упомянутая теория „когомологий из рас- слоений(< — так называемая /(-теория. Показывается, что /^-теория является экстраординарной теорией кого- мологий в смысле части А. Более глубоко и детально /f-теория изучается в гл. IX.

А. Экстраординарная теория когомологий

Мы будем рассматривать здесь топологические пространства с отмеченной точкой и отображения, переводящие отмеченную точку в отмеченную.

Пусть Т — некоторое линейно связное пространство; назовем его пробным пространством. Для любого пространства X рассмотрим множество Гх всех непрерывных отображений пространства X в пространство 7\ Обозначим через (Т*) множество всех гомотопических классов отображений из X в Г. Если на Т*

задана компактно-открытая топология (окрестность отображения f определяется выбором компакта К в X н открытого множества Unf(%) в Т; эта окрестность состоит из всех отображений g, для которых g(K)uU), то элементами множества (ГЛ) будут компоненты линейной связности пространства Тх. Легко проверить, что (Т^) есть функтор двух переменных Г и X, ковариантный по Г и контравариантный по X.

Пусть А — замкнутое подмножество в X, причем отмеченная точка х0 принадлежит Л, а Х[А — множество, полученное отождествлением всех точек из А. Множество XIА становится топологическим пространством, если мы будем считать подмножество W(^ Х/А открытым тогда и только тогда, когда p~ (W7) открыто в X (здесь р: XXIА — естественная проекция).

Назовем букетом XV/ пространство, полученное отождествлением в топологической сумме XIJY отмеченных точек %о，у>

Назовем скрещенным произведением 】)пространство

X 八 У = (X X У)/(Х V У)・

Возьмем в качестве отмеченной точки п-мерной сферы S" ее северный полюс v и положим

S〃 (X) = SfX.

Тогда S"(X) будет ковариантным функтором по X. В самом деле, любое отображение f: У —X продолжается до отображения

Г： S〃 X Y^Sn X X,

определенного равенством ff(p, у) = (р, f(y)), р 个 S^, y^Y. Но так как『(S“ X у。)三 S“X х0» Л(^ХУ)^ vXX, то f индуцирует отображение

Л s“(y)f s“(x).

Нетрудно видеть, что соответствие X—>S"(X), f^f функториально.

Определим теперь экстраординарную теорию когомологий на классе всех пар (X, У), где X — клеточный комплекс, а У — его замкнутый подкомплекс. Мы требуем, чтобы отмеченная точка х0 была вершиной в У (если У * 0).

Эту теорию назвали экстраординарной потому, что „группы” когомологий не обязаны быть группами в обычном смысле и аксиома размерности не обязана выполняться.

Для пары (X, У) положим

7-" (X, y)=(片"叫

и назовем Т~"(Х, У) /г~мерной „группой** 7-когомологий пары (X, У).

Хотя множество Т~п {X, У) не всегда будет группой (см. по этому поводу стр. 145), оно имеет некоторый элемент (который заменяет единицу). В самом деле, если U и V — пространства и U линейно связно, можно рассматривать элемент множества (U。соответствующий классу всех отображений, гомотопных постоянному отображению, как особый элемент.

Определив Т~п(Х, У), нужно определить для любого отображения f: (X, У)—>(Х‘，У') соответствующий „гомоморфизм"

Г：『)f L(X, У).

Это легко сделать. Действительно, / индуцирует отображение f: X/Y —> Х'/У', которое в свою очередь индуцирует отображение f: S" (Х/У)-> S" (Х'/У‘). Но так как функтор (Тх) контравариантен по X, то f индуцирует нужное отображение.

Теперь мы должны определить кограничный оператор

6: T~(n+1\Y)^T~n(X, Y).

Для этого приведем несколько предварительных предложений, но сначала перечислим три важных

свойства операций V и Л. Их доказательства оставляем читателю.

(XV У) VZ = X V(Y VZ),

илПЛ2 = ХЛ(УЛ2),

s】八 S】=S2 и вообще 呪,AS1 = S*

равенства понимаются с точностью до гомеоморфизма.

Теорема о продолжении гомотопии (ТП Г). Пусть (X, У) — пара, состоящая из клеточного комплекса X и его подкомплекса У. Пусть f: Х—>Т — отображение, a ht\ У —> Г — его частичная гомотопия (т. е, f 卜=力0)・ Тогда существует гомотопия Ht: X fT, у которой = Ht |r = ht (0&fWD・

Доказательство для случая, когда (X, У) — триангулируемая пара, см. Ху Сы-цзян [1, стр. 24].

Следствие 1. Пусть Л — подкомплекс клеточного комплекса В; t, s —тоук〃 отрезка / = [0, 1]; b — точка из В. Пусть С — подмножество произведения I X I X В:

С ={(0, s, b)\s^I, b wB}U{(f, s, b)|f w/, sw/, 6三力}・

Тогда любое отображение f: С—>Т можно продолжить до отображения всего произведения I X I X В.

Доказательство. Достаточно применить ТПГ к паре (/ X В, / X Л).

Следствие 1 можно сформулировать и так: если г — комплексная переменная, пробегающая единичный квадрат комплексной плоскости, а отображение f (а, Ь) определено для всех а на нижней стороне квадрата и всех b ^ В или для всех а во всем квадрате и всех b 三 4, то его можно продолжить на все а в этом квадрате и все b В.

Следствие 2. Если отображение f(s, b) определено для всех г на левой, нижней и правой сторонах единичного квадрата и всех b 巨 В или для всех 2 во всем квадрате и всех b ^ А, то его можно продолжить на все г в этом квадрате и все b 巨 В.

Доказ ател ьство. Топологически нижняя сторона квадрата ничем не отличается от объединения левой, нижней и правой его сторон. Таким образом, следствие 2 представляет собой всего лишь переформулировку следствия 1.

Приступим к определению оператора 6. Пусть awL“+i)(y)= (rs"+")) н “ S"+i(y) f Г-какой- нибудь представитель элемента а. В силу свойств (II) и (III) (см. стр. 140) Sn+'(y)= S1(Sn(y)). Из определения скрещенного произведения легко усмотреть, что Ф можно представлять себе как такое отображение

Ф： lXSn(Y)->T,

что ф： 0xS"(y)-> 际 ф： lXSn(Y)->tQ, ф： IXpQ->tQi где f0 — отмеченная точка пространства Г, а р0 — отмеченная точка пространства Sn (У). Зададим семейство отображений

恥：S〃(y)f 7,

полагая 恥(")=口(厶 р), p^Sn (У). Тем самым ф0 — постоянное отображение пространства S"(Y) и его можно продолжить до постоянного отображения всего пространства S"(X), (Поскольку X ? У, очевидно, что S"(X)?S"(y)・ Заметим также, что Sn (X) — клеточный комплекс, a Sn(У) — его подкомплекс.)

Таким образом, если отображение %: S"(X)-> Т задано равенством f0(p) = f0 для всех p^=Sn (X), то Ф/ — его частичная гомотопия. По ТПГ найдется гомотопия

力：S〃(X)f 7,

продолжающая ее. Так как отображение %: S"(X)-> Т продолжает фь то 片：S"(y)-> 力.Поэтому 九 можно считать отображением

"Sn(X)/Sn(Y)->T.

Легко проверить, что S" (X)/S“(У) = S" (Х/У), и тогда

fi： S"X/y)-> 兀

Обозначим через {%} класс отображения 八 в(7s '"") И положим

6а = 6{(р} = {"}.

Покажем, что а однозначно определяет элемент {%}• Пусть(р(0) и(р — два представителя элемента а. Они определяют семейства отображений 中俨，ф^0, удовлетворяющие приведенным выше условиям. Кроме того, существуют гомотопия ф^ между отображениями ф^0), (р^!) и продолжения 力°), f? этих отображений на все S"(X), постоянные при t = 0. Зададим 恵 равенством

恵(Р)= 4 Для всех p^Sn (X)

и положим

¥(Р)=齊)(Р)Для всех р ^Sn (У).

Тем самым задано отображение f, удовлетворяющее условиям следствия 2 из ТПГ и потому продолжаемое до отображения всего произведения I X I X Sn (X) в пространство Г. Это продолжение в свою очередь задает отображение 内§)(р), определенное для всех t, s 三 I, р w S" (X). Очевидно, что ff〉— гомотопия, связывающая отображения 『，)и 『，),и так как она постоянна на Sn(Y), то {"'} = {『} в Т~п(Х, У), т. е. оператор 6 определен корректно.

Теперь проверим первые шесть аксиом теории когомологийт). Аксиомы 1 —3 очень просты, и мы оставляем их читателю.

Для проверки выполнения аксиомы 4 (аксиома точности) рассмотрим последовательность

...L(y)”>L+Yx, У)

где отображения Г и 『индуцированы вложениями X —(X, У),

а оператор 0 определен только что.

Нужно проверить шесть вложений. Мы ограничимся проверкой только двух из них. Проверка остальных того же порядка трудности, что и этих двух.

ker 广三 imj*. Пусть ｛q)｝wker 广.Тогда ф отображает S“r(X) в Г, а его сужение на S^"1 (У) гомотопно постоянному отображению. Назовем эту гомотопию 屮广 По ТПГ найдется гомотопия ①》: S"~i(X)f Т, продолжающая 屮尸 Следовательно,屮亠①】н Ф1 |sn-i (у)=q)i — постоянное отображение, т. е. ｛ф｝ = /* ｛Ф^.

ker /* 三 im д. Пусть ｛“｝ w ker『・ Тогда 2： Sn-1 (X) Г — постоянное отображение на S^"1 (У), гомотопное постоянному отображению на всем S"-i(X)・ Пусть ^t — гомотопия, и пусть для удобства 21 = 2， 2о постоянно. Так как гомотопия ^ |sn-i (П постоянна для f = 0 и / = 1, то она индуцирует отображение S1(Sn-1 (У))-^ г, назовем его Т. Тогда по определению ｛“｝ = ｛电｝ = 0 ｛屮｝, т. е.仲｝巨 imO.

Проверим выполнение аксиомы 5 (аксиома гомотопии).

Пусть отображения %,九：(X, У) —(Х‘, У') гомотопны, a ft — их гомотопия. Она индуцирует гомотопию f；: X[V f X[Y\ которая в свою очередь индуцирует %: Sn/\(XIY)-^ Sn/\(Xf/Y7). Отображение

зададим соответствием ｛九｝ — ｛九九｝, где /г 三 TSn(x'Y》 и z = 0,1. Но композиции Afo и 九九 гомотопны посредством гомотопии hft и, следовательно, ｛九％｝=｛九九｝, т・ е. f； = f；

Наконец, проверим аксиому 6 (аксиому вырезания). Фактически в этой теории справедлива усиленная аксиома вырезания. Рассмотрим вложение

f: ｛X-U. У —U)r(X, У),

где U — любое открытое множество в У. Так как X/Y и (X — [/)/(У — U) гомеоморфны, то отображение

г： T"n(X,Y)^T"n(X-U, У — U) будет изоморфизмом.

Теперь убедимся в том, что в общем случае аксиома размерности не выполняется. Пусть {р, р()} — двухэлементное пространство с отмеченной точкой р> Так как

S' Л {р, Ро}=

=(S" X р) и S X %)/(“ X р) и(V X Po)U(s“ X Ро), то

厂”({р，р。}, Ро) =#"(?)•

Перечислим в заключение условия на Т, при которых теория Г-когомологий совпадает с обычной теорией когомологий.

Определение 1. Пространство Т называется пространством Хопфа (Н-пространством), если существует такое непрерывное отображение г)： Г X Г Г (мы будем писать 九 X /2 = r)(/i, /2)),' что

в Т найдется элемент е, для которого еХе = е, и отображения t->eXt и /Хе гомотопны тождественному отображению f;

для каждого элемента fwT найдется элемент /(/)еТ, для которого отображения t->t X I (t) и ff/(f)Xf гомотопны постоянному отображению f f е;

отображения (乙，友，友)-(乙 X 友)X 厶 и (乙，勾，厶)—九 X (% X /з) гомотопны между собой.

Элемент е называется гомотопической единицей, / (/) — гомотопически обратным к элементу t, а отображение г] — гомотопически ассоциативным умножением.

Если, кроме того,

отображение rf: Т X Т ->Т, заданное равенством rf(fi, /2) = ^2Х^1，гомотопно отображению ”，то //-пространство Т называется абелевым.

Примечание. В качестве отмеченной точки пространства Т берется элемент е. Все гомотопии, фигурирующие в определениях, должны сохранять отмеченную точку.

Если Т есть //-пространство, то на (产)можно ввести групповую структуру, положив {『} • {g} = {f • g}, где {『}, {g}三(Т*), a f • g задается равенством

f-g(x) = f(x) X g(x).

Заметим, что идемпотентность элемента е обеспечивает сохранение отображением f • g отмеченной точки. Определим единичный элемент как гомотопический класс такого отображения 「

Е: XfT,

что Е(х) = е для всех х 三 X. Возьмем {/} w (Гх) и зададим отображение f: Х-> Т равенством f(x) =/(『(％)). Тогда, как легко видеть, {f} * {f} = {/} • {f} = {Е}^ Ассоциативность этого умножения следует из свойства (III) определения 1. Наконец, если Т — абелево //-пространство, то (Т*) будет, очевидно, абелевой группой.

Далее, согласно конструкции Эйленберга — Маклейна (см. Ху Сы-цзян [1, стр. 234 — 236]), для произвольной абелевой группы G существует абелево Я-пространство Т°, у которого

冗 1 (Тс) & G,冗"{Тg) 0 для п * 1.

Если в теории Го-когомологий положить Нп(Х, У)= = Т6"+1(Х, У), то получится обычная теория когомологий с коэффициентами в G.

Добавление

Цель этого добавления состоит в том, чтобы обратить внимание на неточное утверждение, сделанное на стр. 139, и коротко объяснить, в чем дело. Мы утверждали, что „множество с особым элементом44 "s“(x]Y» в общем случае не обладает групповой

структурой. Однако можно показать, что без всяких ограничений на пространство 7 можно ввести групповую структуру на(75л(х/у)) для всех 〃》1. Более того, оказывается, что для 〃》2 эта группа абелева. Мы покажем, как это делается, в общих чертах; подробности см. Буржен [1, стр. 414 — 421].

Наличие групповой структуры на (Т^Вп 冗孔(Т) следует из существования отображения ц: S"f SfvSg (состоящего в стягивании экватора в точку), обладающего нужными свойствами. Группа лп (Г) абелева для п^2, поскольку S? и S? можно поменять местами. Отображение 卩 естественно индуцирует отображение X： S"八取->(S；八取)V(S$ 八取)，которое, как и ц, обладает всеми свойствами, нужными для введения групповой структуры.

Читатель может теперь сам попытаться решить, будут ли индуцированные отображения Г-когомоло- гий и пограничный оператор, определенные в части А, гомоморфизмами.

Наконец, возникает вопрос, согласована ли „естественная" групповая структура, введенная здесь, с групповой структурой, определенной в части А, в случае когда //-пространство Т абелево. Ответ на этот вопрос утвердительный (см. Буржен [1]).

В части Б мы изучим обобщенную теорию когомологий, у которой пробное пространство 7, как нетрудно показать, будет //-пространством. На основании предыдущего замечания групповая структура, которую всегда можно ввести в обобщенные когомологии, совпадает со структурой, возникающей из //-пространства. Поэтому замечания, сделанные в этом добавлении, несущественны для чтения последующего текста.

Б. К-теория

Начнем с описания некоторых алгебраических операций над расслоениями Стинрода, определяющих (коммутативное) кольцо К (X). Затем покажем, как ?то кольцо связано с теорией, развитой в части А.

Сумма Уитни

Пусть уа — структура U （та）-расслоения над пространством 瓦，а = 1, 2. Обозначим через ｛羽"｝,侬伊｝ соответствующие координатные окрестности, а через （т?亿儿（嘴?电/）｝ соответствующие координатные преобразования. Семейство ｛落9）X 落?）｝ покрывает В] X

Для （bl,历）W （落?）X 落?））Г1 （彩，"X 窓е）положим

a瓦,"）（厶/ j，/）=U"（i，j）㊉U%（比 2），

здесь знак ㊉ обозначает прямую сумму матриц. Группу U（Ш]）ф U （т2） можно считать вложенной в U（Ш] + т2） посредством отображения, переводящего （〃，и） w U （色）㊉ U （m2） в（Ш] + т2）Х（Ш] + т2）-матрицу /и 0\

（° и）， Если в качестве координатных преобразований взять функции 。（瓦，匕2）（厶女；/> /），получится структура U（Ш] + т2）-расслоения над В] X В2» называемая внешней суммой У] ф у2 структур у】и у2.

При В] = В?, = * имеем диагональное отображение 6: В—>В X В, задаваемое соответствием х—>（х, х）. С помощью понятий гл. IV получаем индуцированную структуру д+（у] ® у2） расслоения над В, называемую суммой Уитни структур У1 И 丫2，

Y1㊉也=6+（Y1⑥Y2），

Сумму Уитни векторных расслоений （с одной и той же базой） можно определить иначе. Пусть & = （Е” В,尸a, U （恤），Ра） （а = 1, 2） — комплексное векторное расслоение （т. е. расслоение, у которого слой 尸а является та-мерным комплексным векторным пространством） с базой В, пространством расслоения Еа и проекцией ра. Обозначим через Е подмножество ｛（ci, %）w Ej xZ2 1Pl（3）= Р2（%）｝ пространства Е】X Е2 и зададим проекцию

р: Е—> В

равенством р（с” с?） =卩】（当）=卩2（£2）・ Слой при этой проекции гомеоморфен прямому произведению （т. е.

прямой сумме в смысле векторных пространств) F{ * 尸2・ Поскольку U (/И] + /и?) действует на 尸〔X 尸2, можно построить раеслоение 自= (e, b,尸i* 尸2，u(团1 + 团2)，P)， которое и будет суммой Уитни векторных расслоений & и *2・

Еще один способ определения суммы Уитни. Пусть %, 丫2 — структуры векторных расслоений над Bi, В2 с группами U (/и) и U (恤)соответственно. По теореме о классификации существуют отображения

Q•: Bjf Gq, 8(2=1, 2),

индуцирующие расслоения 丫尸 Кроме того, существует отображение

N： От(, оо X От2, оо —*■ Gmi + 恤,оо,

определяемое равенством Ng,冗2)=冗1 ㊉ л2, где SEG/・,g (i = 1, 2)1). Поэтому

5 * & 6X6> G人,g X G恤,g —> От(+тг, oo-

КоМПОЗИЦИЯ Л^0 (<Pi X Ф2) индуцирует структуру расслоения над В〔 * В2. Можно убедиться в том, что это и есть внешняя сумма У! ф у2- При В^ = В? = В композиция

N。(①1 * ①2)° °： ВОт( + тг, оо

индуцирует сумму Уитни структур % и у2 над пространством В.

Тензорное произведение (произведение Кронекера)

Мы дадим только один вариант определения тензорного произведения, соответствующий третьему способу определения суммы Уитни.

Естественное билинейное отображение Л： E^XE^)f E^^E^wEg,

Предполагается, что G^. то состоит из плоскостей в £(? «=1, 2), a G恤+强，8-нз плоскостей в Е曾㊉ Е^= Е®.- Прим, перев.

заданное соответствием (〃，u)f 〃gu, индуцирует отображение

九'：GmJt со X Gm2, оо ~> Gmtm2, оо»

Поэтому

В| X 历^^> Gg. 8 X Gg, 8亠 Gmm, 8・

Композиция 九，。(叫 X ф2) индуцирует структуру расслоения над Вх X В2> называемую внешним тензорным произведением у】<^ у2 структур у】и у2- При В] = В2 = & диагональное отображение 6 индуцирует структуру

6+(Y1 施 Y2)= Y1 ® 丫2，

называемую тензорным произведением структур 匕 и y2，

Замечание. Легко доказать, что

a)竹㊉Y2 = Y2㊉%，

Y1 ㊉(Y2 ㊉ Y3)= (% ㊉ Y2)㊉ ?3，

Yi g Y2 = Y2® Yb

Yi ®(Y2 ® Уз) =(Yi ® 丫2)® Y3，

Yi g(Y2®Y3)斗打纟 丫2)㊉(％ g Уз)，

если f:自 f В, to 产(％ ㊉丫2)4 产(％)㊉产(у?) m广(Yi你> Y2)三产(V)®产(也).

Лемма 1. Для каждого главного U (п)-расслое- ния 自 с базой X найдется главное U (г^урасслоение 自丄 над X(20е nz ~ некоторое целое число), для которого расслоение 自㊉*丄 тривиально.

Доказательство. Сначала докажем лемму Для случая 自=%,汽=(丿〃，w Gn,陋 U 仇)，U (〃)，p〃，y). Напомним, что многообразие Штифеля Vп)乂 состоит из всех ортонормальных n-реперов в начале координат А^-мерного пространства, или, что то же самое, представляет собой множество всех пар (л, ип), где л w Gn, Nt a. vn~ ортонормальный базис для л. Проекция рп n задается равенством.

,р“，^((л,。“))= 〃•

Обозначим через Еп N множество {(л, u；j"w w Gn 汽}, где 吟—一ортонормальный (X — n)-penep, образующий ортонормальный базис в 几丄.Проекция

Рп, М Е% % f Gn n задается равенством

Таким образом, мы получаем главное расслоение %n = (E〃,n，G%n，U(N — n), U (N- n), % Ясно, что сумма 01n n ㊉ а^м эквивалентна прямому произведению Gn N X U (N), т. е. расслоение ап 乂 ㊉ а^ N тривиально.

Чтобы доказать лемму для общего случая расслоения 自,возьмем „классифицирующее(< отображение ДЛЯ W

屮：X —>%,

где N — достаточно большое целое число (зависящее от размерности пространства X), Тем самым

Ф+ (%, N)=己 Положим

占丄=<₽+ (а^ n)・

Тогда в силу замечания, предшествующего лемме, 自㊉自丄=$+(% n)㊉Ф+ (吟,n)=叫% n㊉喷J

откуда следует лемма.

Определение 1. Два главных унитарных расслоения & н W2 c базой X называются s-эквивалентными (или стабильно эквивалентными), если существуют тривиальные расслоения т】и т2, для которых &㊉5 4自2㊉3.

Легко проверить, что s-эквивалентность действительно является отношением эквивалентности. Обозначим это отношение через а класс s-эквивалентности, содержащий расслоение а, — через {а}. Множество всех классов 5-эквивалентности обозна-

чим Ко(Х). Заметим, что из (обычной) эквивалентности расслоений вытекает s-эквивалентность, но обратное неверно. Например, касательное расслоение сферы S2n s-эквивалентно тривиальному расслоению, но не эквивалентно ему.

Лемма 2. Множество Ко(Х) всех классов s-эквивалентности главных унитарных расслоений над X образует абелеву группу относительно операции, индуцированной суммой Уитни расслоений.

Доказательство. Пусть 倡} и {^2} — любые два элемента из Ко(%)・ Тогда ^ и ^2— главные унитарные расслоения, представляющие классы {^} и {^2}. Положим

倡}㊉代9 = {&㊉自2}.

Легко проверить, что эта операция определена корректно. Согласно замечанию, предшествующему лемме 1, она коммутативна и ассоциативна. Нулем группы будет класс {т} всех тривиальных расслоений т:

固㊉①=也}=任}㊉{9;

этот объект определен корректно, поскольку все тривиальные расслоения s-эквивалентны.

Пусть {自}三 Ко (X), а 自一представитель этого класса. Если ^1 — расслоение, построенное в лемме 1, т. е.自㊉自丄生叫 гДе т —тривиальное расслоение, то

⑶㊉也丄} = {自㊉自丄}=任}.

Тем самым элемент {^1} — обратный к элементу {У, и группа Ко(Х) абелева.

Примечание. Мы увидим дальше, что Ко(Х) можно даже сделать кольцом.

Функтор Атьи — Хирцебруха — Гротендика

Пусть X — конечномерный клеточный комплекс, а— главное унитарное расслоение над X. Обозначим через (а) класс эквивалентности, содержащий расслоение а, и через К^(Х) свободную абелеву группу.

образованную всеми классами эквивалентности (а) главных унитарных расслоений над X. Пусть ©(Х) — подгруппа группы К尸(X), образованная всеми элементами вида (а! фа2) — (aj — (а2). Факторгруппа

KF(X)I^(X) = K(X)

называется группой Гротендика комплекса X, или АХГ-функтором.

В действительности К( ) есть контравариантный функтор из категории клеточных комплексов и непрерывных отображений в категорию абелевых групп и гомоморфизмов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что отображение f: X -> У индуцирует отображение 产 расслоения над У в расслоение над X. Поскольку f十 переводит эквивалентные расслоения в эквивалентные, мы получаем индуцированное отображение из К戶(У) в К^(Х)； обозначим его тоже ft Согласно за- мечанию перед леммой 1,

Г((а1фа2)) = Г((а1))®Г((а2)).

Следовательно, f^ отображает также К^ (У) в q (X) и тем самым индуцирует отображение из К (У) в К (X); это отображение мы также будем обозначать 广. Очевидно, что соответствие Х->К(Х), f-> f+ функто- риально.

В силу замечания перед леммой 1 тензорное произведение расслоений естественно задает (коммутативную) кольцевую структуру на К (X). Это кольцо обладает единицей — ее роль выполняет класс три- виального одномерного расслоения, т. е. тривиального U (1)-расслоения.

Класс главного унитарного расслоения а над X в кольце К (X) обозначается через [а]. Напомним, что (а) обозначает класс просто эквивалентности расслоения а, а {а} — класс s-эквивалентности. Мы уже отмечали, что (а) = (р) =^>{а} = {р}, но не обратно. Ясно также, что (а) = (р) =^> [а] = [р].

Зададим теперь кольцевой гомоморфизм, называемый размерностным гомоморфизмом,

dim: K(X)f Z?

полагая

dim (工мjaj) = £ 勿 dim az.

Здесь nz — целые числа, a £Mf[aj состоит из конечного числа членов и является произвольным элементом кольца К (X). Замётим, кстати, что размерность U (/пг)-расслоения az равна т^ а не размерности многообразия U (/nJ. Целое число т^ иногда называется рангом группы U (mJ и расслоения а(.

Положим

R (X) = ker (dim).

Тем самым К(Х) будет идеалом в К (Х)・ Очевидно, что К(X) — контравариантный функтор тех же категорий, что и К(Х)・ Попытаемся установить связь между К(Х) и Ко(Х). Зададим гомоморфизм групп ":К尸(X)f Ко(Х),

полагая Az ((«)) = {«}, а далее продолжая по линейности. Если т — положительное целое число, то

"(/и(а)) = {а}㊉{а}㊉ … ㊉{а} (т слагаемых), если же т отрицательно, то

"(/и (а) ) = {а丄}㊉{а丄}㊉...㊉{а丄} (т слагаемых).

Кроме того,

"((% ㊉<Ъ)- (%) - (a?))=也㊉a?}㊉{吟}㊉{吟}=

=佃㊉а}㊉а?㊉吋} = {%㊉％} ={т}，

а {т} — нулевой элемент из К()(Х)・ Следовательно, подгруппа К^(Х) группы Kf(X)лежит в ядре гомоморфизма А\ который тем самым приводит к такому гомоморфизму

/г K(X)f Ко(Х), что

九(М) = {а}, А( - [а]) = {а丄}.

Наконец, сужение гомоморфизма h на К(Х) будет гомоморфизмом

Я： K(X)f Ко(Х).

Лемма 3. Г омоморфизм 历 является (групповым) изоморфизмом.

Доказательство. Начнем с определения отображения

Z: Z —К(Х).

Пусть т„ — тривиальное расслоение размерности п. Положим /(т) = [тт] для m ^ 0 и Z(m) = — [т_т] для m ^ 0.

Для доказательства леммы достаточно показать, что последовательность

Of Zf К(Х) 口 >Ko(X)f о

точна. Покажем, что эта последовательность расщепляется. Для этого нужно определить гомоморфизм

/： Ко(Х)-К(Х)・

Возьмем {р}®Ко(Х), и пусть n = dimp, где 0 — представитель класса {8}・ Положим j({R}) = [(В) - (％)]• Легко проверить, что это определение корректно и

dim 0 / = 1,左。/=1,dim 0 / = 0,无。%= 0.

Наконец, если [а] — образующая в К(Х) и dim а = =п, то

[а] = [(а) - (т„)] + [т„] = /({а}) + i (п),

т. е. К(Х)= im(2)㊉ im(j), и лемма доказана.

Поскольку "(X) обладает кольцевой структурой, можно с помощью (группового) изоморфизма 力 задать кольцевую структуру на Ко(Х).

Теперь мы пришли к нашему основному результату:

Теорема 1. Существует пространство BU, для которого

Ко(Х) —(BUB

(^-> обозначает взаимно однозначное соответствие).

Доказ ате льство. Рассмотрим пространства Е：% （п = 1,2, ...）, состоящие из бесконечных в обе стороны последовательностей комплексных чисел （..., х_ь х0, хь …），в которых только конечное число членов отлично от нуля и все %上 при /^ — п равны нулю. Бесконечный грассманиан Grt, то будем считать множеством n-плоскостей в пространстве ЕГ% （ср. гл. III）.

Тогда у нас будет последовательность естествен* ных вложений

G1, 8 三 G2, 8 三 G3, 8 三 * • • •

Действительно, пусть 冗忆三 Gn, 00. Очевидно, что £-（n+i）= £-пФодномерное пространство.

Пусть в-（п+1）— образующая этого одномерного пространства, и пусть отображение

^П, П + 1* G& 8 f G% + 1, 8 задано равенством

^п, п+1（Пп）= {^п, е_（п+1）},

где {лп, e__（rt+1）} — плоскость, порожденная векторами 冗九 и e_（rt+1）. Обозначим сквозное вложение пространства G&8 в G%+h,8 через in> n+k. Назовем пространством BU = lim Grt, 8 объединение всех Grt, то П->оо

（п = 1, 2, ...）, взятое с топологией прямого предела.

Напомним, что каждое G© то само есть пространство прямого предела, т. е.

оо =G%,

С помощью диагональной последовательности получаем

BU = lim G„, 2rt,П->оо

т. e. BU — прямой предел компактных пространств. Отсюда следует, что любое его компактное подмножество содержится в некотором пространстве G% 2rl （и, следовательно, в Gnt ^）. Заметим, что само пространство BU не компактно.

Зададим теперь отображение 凡(不->(8。*)・ Возьмем {а}巨 Ко(Х) с представителем а, и пусть dima = k. Тогда

恥：Xf Gfe, 8,

где q)fe — классифицирующее отображение, индуцирующее а. Если ，々： Gfe, 8 -> BU — отображение вложения, зададим

①：XfBU

как композицию Ф = iko^k' Пусть р~а и dimp = /• Возьмем классифицирующее отображение

电：Xf G厶8，

индуцирующее & Тогда

У: XfBU, гдев=右。收.

Отображения ① н 屮 гомотопны. В самом деле, так как а~р, то существуют тривиальные расслоения ть т2, для которых

а㊉q 4 0㊉/・

Пусть dim(а㊉q)=dirп(B㊉t2) = r• Тогда r^k, /, и мы получаем отображения

Фг. S： X -> Gr, 8，

где срг = ik,r°^>k，^г = кг° 'Фр Легко видеть, что

4」(％)三线㊉気，с； г (%) = %㊉％，

где ^ — стандартное главное {7(п)-расслоение над GntM (см. гл. VI, определение 5). Но тогда

<Р： (аг) = а ㊉％, W(aJ = Р ㊉工2 и, следовательно,

^(%)三电!'(а)

Согласно теореме 4 гл. VI,

叶4力，

а так как ①=厶。ф?,，= "。％ то ①44f.

Тем самым соответствие

{*-[①],

где [Ф] — гомотопический класс отображения Ф, определено корректно. Его взаимная однозначность непосредственно следует из обратного утверждения теоремы 4 гл. VI. Осталось доказать надъективность этого соответствия.

Возьмем любое отображение Ф из X в BU. Так как X — конечный клеточный комплекс, то пространство X компактно, а потому компактен и его образ ①(X). Отсюда ①(X)三 G%^ для достаточно большого п. Тем самым Ф можно представить в виде

①=灰° Фл.

где (prt — отображение нз X в Gnt то. Положим

а = Ф〃 (%).

Используя компактность пространства XX/, можно показать, что элемент а определен отображением [Ф] однозначно с точностью до s-эквивалентности. Тем самым соответствие {а}—>[Ф] обратимо, и теорема доказана.

Следствие 1. K(X)^(BUx).

Это непосредственно следует из леммы 3.

Сле дств ие 2. К(X)<->((8U X Z)*) (Z берется с дискретной топологией)-

Доказательство: Имеем K(X)aR(X)㊉Z и (仍力 X Z)*) 一 (BUX) X (ZX)^(BUX) X Z, и следствие 2 вытекает из следствия 1.

Замечание 1. Можно показать, что BU — абелево Я-пространство. Тогда, если (BUX) наделено естественной групповой структурой (см. часть А и добавление к ней), то К(Х) и (BUX) изоморфны как группы.

Замечание 2. Пусть U = lim U (п) — прямой предел унитарных групп. (Он называется бесконечной унитарной группой.) Тогда BU можно считать универсальным классифицирующим пространством для U; отсюда и название BU.

Опре деление 2. Пусть (X, У) — клеточная пара, т. е. У — подкомплекс конечного клеточного комплекса X. Если У = 0 н X не обладает a priori отмеченной точкой, то заменим X объединением XU{p}, где точка р не принадлежит X. Назовем ее отмеченной точкой нового пространства. Для каждого п^О по* ложим

УС" (X, y)= R(S"(X/y)).

Согласно результатам части А, группы К"“(х, у) образуют экстраординарную теорию когомологий, называемую /С-теорией. В следующей главе мы подробнее изучим некоторые особенности этой теории.

К-ТЕОРИЯ. ПРОДОЛЖЕНИЕ

Изучим подробнее структуру групп К<(Х, У), определенных в предыдущей главе. Для ссылок мы предлагаем работу Атьи и Хирцебруха [屮)・

Теория умножения

Прежде всего рассмотрим экстраординарную теорию когомологий с //-пространством Т. Исследуем точную последовательность пары (X X У, XV/). Так как T~n(Xt Y) = Т~п (Х/У, *) (здесь * обозначает отмеченную точку) и (X X У)/(Х V /) = Х/\У, то

...-^T^n(XAY)-^T~n(XX У)->

->Г~п(ХуУ)->(Е)

где 广 и л* индуцированы естественными отображениями XVYfXXY и л: X X Y ХАУ.

Лемма 1. Точная последовательность (Е) распадается на короткие точнее последовательности

0->T~n(X/\Y)-^T~n(X X y)H>?i(XVy)f о.

Доказательство. Сделаем несколько предварительных замечаний. Пусть (S, Sj) — любое пространство с отмеченной точкой. Рассмотрим пространство QS петель на S с началом и концом в точке s0. Определим по индукции Q^S = Q (Q権-】S)・ Отметим два свойства операции Qn:

На русском языке К-теория изложена в книге Атьи [1],— Прим, перев.

Q"S является //-пространством для м>0 независимо от того, обладает или нет этим свойством пространство S;

существует естественное взаимно однозначное соответствие между (S$fw)и ((Q'S)% (W7 — любое пространство). Оно задается следующим образом. Пусть 几=1 (общий случай получается по индукции). Отображение f: S】八 IF->S можно рассматривать как отображение f: I X W -> S, для которого f (0 X F) = s0, f (1 X F) = s0, f(/X®o) = So・ Отображение fz: 取->25 определено так: ff(w) — это петля, зависящая от времени f так же, как f (/, ®), т. е. ff (w)(t) = f (Л w). Условия, наложенные на f, гарантируют, что f сохраняет отмеченную точку, отображая W в QS. Соответствие [f]-> [丹(где [ ] обозначает гомотопический класс) — искомое.

Перейдем к доказательству леммы. Сначала покажем, что отображение

(д"Т)ХхУ 卢+((Q")XVP)

надъективно. Пусть [f] е ((йяТ)ХуГ) и f: XV/ -> -> QnT — представитель из 用； положим % = Нххд。, % = f I х°ХУ・ Зададим отображение F: X X У -> ЙЯТ равенство м 尸(%, у) = fi (%, %) • %(У，%о)，где произведение определено структурой //-пространства на Q". Ясно, что 尸-продолжает f с точностью до гомотопии, т. е. Z*([F]) = [f]. Отображение

((Q"T)X«) H>((Q"T)xxy)

взаимно однозначно. Следовательно, последовательность в условии леммы точна. Чтобы усмотреть, что последовательность (Е) распадается, заметим, что Т~п (X V У) = Т~п (X) ф Т~п (У) (из определения 厂“).

Естественные проекции 冗厂 X X Y -> X и л2Г X X Y ->Y индуцируют отображения

£： тт(х)->т—"(х X У),忌 Т^(У)->Т^(ХХ У), и, следовательно, определено отображение

л；®П2：厂"(X)㊉厂"(y)f Т-"(Х X У).

Отождествляя T~n(X\/Y) с T~n(X)®T~n (Y), мы видим, что 冗1 ㊉冗2 обеспечивает требуемое распадение последовательности.

Вернемся снова к /(-теории. (Внешнее) тензорное произведение расслоений определяет естественное умножение

因 К(Х)@К(У)->К(ХХУ).

Напомним, что^(X) = ker (dim), a dim: K(X)f -> Z — гомоморфизм, введенный в гл. VIII. Его можно представлять себе, как гомоморфизм, индуцированный вложением х0->Х, где х0 — отмеченная точка пространства X. Если awR(X),力三及(У), то ц(а, 6)е ker [К(Х X У)-> R(XVP)].

По лемме 1 ц(а, Ь)^К (ХЛУ). Тем самнм 出 индуцирует умножение

匸:R(X)@ 穴(У)-> К(ХАУ).

Теперь можно для т, п^ 0 определить умножение

L(x, Xo)gk(R %)- f K-g+")(x X У, (Хо X У) и (X X %)).

Это делается следующим образом:

/г" (x,Xo)= R(S2x/x。))，к『у, %)= R(s"(y/%)), К”+")(X х У, (X。х У) и (х х у。))=

=k(sm+“(x X У/((Х° X пи (Хх У。)))). Но

X X У/((Х° X У) и (X X У。)) = Х/Хо ЛУ/Уо

И Sm(X/Xo)ASn(y/ya) = S^^WX^Y/Yo).

Осталось определить、

& (S^ (Х/Хо)) gR (S" (У/%)) f К(S^ (Х/Хо)八 S" (У/%)), а это как раз та ситуация, в которой определено ц.

Для простоты будем обозначать новое умножение написанием сомножителей рядом друг с другом (без всякого знака между ними). В силу естественного гомеоморфизма между X X У и У X X

К-(У, Уо)節 С (X, х0)->

f К~т+⑴(X X У, (Хо X y)U(X X Уо))・

Лемма 2. Если a^K~m(Xt Хо), b 三 К""*, У。), то ab = (— i^ba.

Доказательство. Имеем гомеоморфизмы

Sm/\Sn 一s", snASm^ Sm^n.

Композиция отображений

Sm^n-> Sn/\Sm->Sm/\Sn-> sm^n

будет отображением степени (― 1)优".Отсюда легко следует лемма (см. Атья и Хирцебрух [1]).

Пусть (X, Хо) — клеточная пара с отмеченной точкой %о 三 Х()・ Рассмотрим диагональные отображения

X &>Х X X, Х0->(х0 х X)U(X X Хо).

Переходя к факторпространствам, получаем

Х/Х° ^(Х/х0)А(ВД.

Исследуя композицию

К* (X) ® к「"(X, Хо)->Л'(т+п)(ХА(Жо))->

纟 к"+叫X/Х。),

видим, что 2 /С"(X, Хо) является 2 №т(Х)-мо- 心 0т>0

дулем. Поэтому справедлива

Теорема 1. 2 К* (X) представляет собой гра- дуированное антикоммутативное кольцо. Существует гомоморфизм степени О

(± «5(X))耸(X /г" (X, X。)) -> 2 к-p(X, х°),

\т》0/\п>0/р>0

превращающий X №" (X, X。) в градуированный

У К~т(Х)-модуль. т>0

До полнение. Умножения, введенные в этом разделе, обладают, очевидно, функториальными свойствами. Например, пусть f： (X, Хо) -> (Х-Х %) и g： (У, ?о) f (% У'о) — отображения пар. Тогда диаграмма

К~т (х[ х0 ® L(K 切f к-*")(X，х У, (х[х У) и(X，х 砌 卜 ®g*卜 х g)*

K-\X. Хо) ® К-"(匕 Го) f №(m+n) (X X К (Хо X У) и (X X У。)) коммутативна. Заметим также, что отображение /: X -> У индуцирует кольцевой гомоморфизм

尸：У K~m(Y)-> У L(X)・ m^Om^O

Замечание. Обратим внимание на то, что мы использовали специфические свойства (теории только однажды, когда показывали существование отображения

因 К(Х)8)К(У)->К(ХХ У).

В последней части рассуждений использовалось только то, что ^теория есть экстраординарная теория когомологий. Тем самым теорию умножения можно развить для любой теории Г-когомологий, допускающей отображение

因 Т0(Х)8)Т°(У)-> ТО(ХХУ).

Теорема Ботта и ее следствия

Специфические свойства экстраординарной теории когомологий зависят только от того, как устроено соответствующее пробное пространство Т. Гомотопический тип пространства BUt пробного в /(-теории,

полностью изучен Боттом. Мы приведем здесь результаты Ботта (в формулировке Ботта и Атьи), а затем используем их для вывода некоторых основных результатов /С-теории. Доказательство теоремы Ботта можно найти в работах Милнора [1], Шварца [1] и, разумеется, самого Ботта!).

Теорема 2 (Ботт — Атья — Хирцебрух). 欠(S〔)= 0, К (S2) = Z. Образующую 8 及(S?) можно представить себе следующим образом. Рассмотрим S? как Рь и пусть yj— каноническое линейное расслоение (расслоение Хопфа) над Pf* Это расслоение определяется естественной проекцией С2 — — {(0,0)} на Рр; слой представляет собой все пары (Хгь Хг2), X е С. Пусть 1 обозначает тривиальное одномерное расслоение над S2, положим ц = rj — 1. Тогда g =岡 w & (S?) (ибо dim g = 0) u g — свободная образующая 8 及(S?)・ Если a e K~m (X,凡)，то отображение

В： К* (X, Xo)f K-g+2)(X, Хо), заданное равенством р(а) = ag, будет изоморфизмом (так называемым изоморфизмом Ботта).

Доказательство. Утверждение из теоремы 2, относящееся к 穴(S?), элементарно, и его можно доказать следующим образом. Поскольку S2 можно покрыть двумя координатными кругами Р+ и Р~, пересекающимися по окружности С, и любая структура U (п)-расслоения на Р* или Р" тривиальна, структура U (п)-расслоения на S2 определена координатным преобразованием h: С fU (п). Два таких отображения h и ^ определяют эквивалентные структуры расслоений тогда и только тогда, когда существуют отображения g+： Р* f U (п) и 尸一一＞〃(汽)，для которых g+hg~ = IV (ср. замечание ..перед определением 2, стр. 86). Легко проверить, что это может

быть тогда и только тогда, когда 力 и 力‘ гомотопны между собой. Таким образом, установлено взаимно однозначное отображение между структурами U (п)-расслоений на S? и гомотопическими классами в Л[ (U (п)). Поскольку (как это будет подробнее разобрано ниже) любое отображение Л: С -^U (п) можно продеформировать в отображение h: С f U (1) s U (n)t отсюда следует, что любая структура U (^-расслоения на S2 эквивалентна прямой сумме U (1)-расслое* ция и тривиального расслоения. Тем самым струк* тура K(S2) определена U (1)-расслоениями, которые она содержит. Если U (1)-расслоение ц соответствует в указанном выше смысле данному отображению й: С—>U(1), то n® 卩 соответствует Л2: С-* U(l), Легко видеть, что поскольку расслоение Хопфа 力 соответствует образующей Л группы щ (U (1)), каждая структура U (п)-расслоения на S2 s-эквивалентна либо степени Кронекера расслоения % либо обратному одного из этих расслоений. Отсюда легко проверить то, что нам требуется.

Приведем набросок доказательства оставшейся части теоремы 2. Пусть X — любой конечномерный комплекс. Тогда, согласно теореме 1 стр. 162, элементы в R (X) находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений Ф： X -> G„, 2п для любого достаточно большого п. Можно проверить (см. Шварц [1, лемма 7.22, следствия 7.23, 7.24, лемма 7.27 и следствие 7.28]), что существует некоторое вложение О„, 2„ в пространство петель Q(U(2п)), индуцирующее изоморфизм 9昊/-> д(и(2/г))х)для низкомерных пространств X. Это вложение можно описать следующим образом. Пусть р будет п-плоскостью в f2", а £р — ортогональной проекцией на р. Тогда

」exp(2ni(/-£р) /), O&fQ%,

G⑴ехр(2ш/)/,

определяет замкнутую петлю в U (2п), оба конца которой — тождественные отображения; р->Ср(1) и есть требуемое вложение.

Для больших и многообразие 卜2*4也= U (4п)/[/ (2п) односвязно во всех низких размерностях и иредста， вляет собой расслоение со слоем U (2п) над G2nt 4« 匸 U (4〃)/U (2п) X U (2п). Тем самым любое отображение ф： У —> [7 (2п) гомотопно в V2n, 4« постоянному отображению, и получающаяся в результате гомотопия фа спроектированная естественным отображением V2n,4n т G?& 4小 определяет некоторый элемент из ((^(С2п,4п)Г). Отображение(и(2〃)У)т (①伶?““”)/) определяет, таким образом, изоморфизм гомотопических классов для низкомерных У. (См. ниже более удобное алгебраическое выражение этого изоморфизма.) Беря композицию наших двух изоморфизмов и используя очевидное тождество(Q (Zi)Za) = (zf*л Z2), получаем сквозной изоморфизм(G« 2也)—>(U (2〃)$"*)— f(G乳給) для любого X размерности меньшей, чем и. Этот изоморфизм и есть изоморфизм Ботта 0, указанный в теореме 2.

Наконец, теорема 2 отождествляет изоморфизм 0 с операцией умножения a—>ag. Мы опускаем доказательство этого факта; заметим, однако, что он будет редко использоваться в дальнейшем и что его можно установить из явного вида 0, данного выше. Читатель, интересующийся дополнительными деталями доказательства, может обратиться к статье Атьи, Хирцебруха [1].

Следств ие 1. «〜'((凸，р2)> Р2) = Z, если s четно^ и ^ 0, если s нечетно,

Замечание. Следствие 1 показывает, что гомотопические группы %(BU) периодичны с периодом 2. Обычная формулировка теоремы Ботта о периодичности утверждает, что гомотопические группы 冗貝⑺ бесконечной унитарной группы периодичны с периодом 2: ns(U) = Z, если s нечетно, и =0, если s четно- Сейчас мы покажем, что это утверждение на самом деле эквивалентно следствию 1.

Докажем три формулы, из которых будет следО' вать эта эквивалентностьг

Для фиксированного s и достаточно большого k %t(U(£))w%7(U 伍 + 1))= •・.4%T(U), (1) 几$(6統2在)=冗Li (U (2)),(2)

冗s(Gh»20 4 %(Gh + L2h + l)=…=%(BU)・(3) В самом деле, U (2) представляет собой пространство расслоения над U(£+ 1)/U (^) = S2fe+I со слоем U(£)• Запишем точную гомотопическую последовательность расслоения (см. гл. VI)

f %(52ё + 1)马备7(u他))一> %T(u 他 +l))f

f (S2T)f

так как ^(52&+1) = 0 для 2й + 1 > s, то

0 ~> 冗$_ I (U (2)) ~*■冗 $—1 (U (2 + 1)) *• 0.

Отсюда 冗$一1 (U (女))仝冗$~1 (U (2 + 1)); этот изоморфизм индуцирован вложением U (£)—>U (頁 + 1). Используя, как мы делали это раньше, компактность, получаем, что вложение U(£)—>U также индуцирует изоморфизм 冗$一1 (U (2)) 4 冗$_[ (U), и формула (1) доказана.

Далее, Vkt2k— пространство расслоения над Gfej2fe со слоем U (£)• Снова напишем последовательность расслоения:

…f % (九,2h)f nKG^zh)"}%-] (U (£))f%T (九,2h)f …

Согласно лемме 2’стр. 107,冗$"斩2左)=0区』只 22+ 1 >s・ Отсюда следует формула (2).

Вложения U (k)-> U (k ^ \) и U (22) —> U (22 + 1) дают отображения

①：乙,2h=U(2£)/U(£)f U(2^+l)/U他+ 1) =九+】,2川, 屮：堤,2lU(2£)/U 伍)X U(£)->

-> U (22 + 1 )/U 优)X U 他 + 1) = Ge, 2fe+1.

Очевидно, что ф — отображение расслоения, накрывающее отображение 屮.Поэтому диаграмма

-> л5 (Vkt 2Й) fH$(GR,喊) 厶冗s-i(U(/f)) fHsT(%, 2々) f

■^«(^A+baft+J^^jCGft+b'afe+i)^ns~i(U(k + 1))->л5-1(Уй+Ь2й+1)->.^

коммутативна. Из формул (1) и (2) вытекает, что для 2/г + 1 > s отображения д и z# — изоморфизмы. Но тогда и — изоморфизм.

Из соображений компактности следует, что вложение Gh,2h —BU индуцирует изоморфизм %(6軌2仆— —>%(BU), и формула (3) доказана.

Комбинируя эти три формулы, получаем ns(BU) =冗S-1 (U)，

Попытаемся теперь извлечь из теоремы Ботта информацию о группах 长一注(X, 凡).

Лемма 3. Диаграмма

L(K尤)亠k2(x1尤)If*If*

L(x, Xo)Xo),

где f: (X, Xo) —►(X\ Xo) — отображение nap, коммутативна.

Это непосредственно следует из диаграммы, данной в дополнении к теореме 1, и из определения §•

Лемма 4. Диаграмма

К-"Т(Х°)占 L(X, X。)

К-"Т(Хо)Г>К-"Т(Х, Хо),

где (X、XJ — лгоба^ пара, коммутативна.

Это следует из леммы 3 и из того, что отображение 6 можно считать индуцированным некоторым отображением пространств (см. гл. VIII, А, а также статью Атьи и Хирцебруха [1]).

Теорема 3. Пусть (X, Х^ — любая пара, а Хо —->Л и (X, 0)—->(Х, Хо) — естественные вложения. Если

6 диаграмме

верхняя строка представляет собой точную последовательность пары (X, Ло), то шестиугольник в этой диаграмме точный.

Доказательство. Точность в《一(犬)，№*(Л"о), К°(Х, Ло), К°(Х) очевидна. Точность в К~' (X, Хо) следует из того, что р — изоморфизм, Проверим точность в KJAq). Согласно лемме 4, 60。『=閏。Г. Но так как 6。『=0, то 的。Г = 0, т・ е. Im Г ^ ker бр. Для доказательства обратного включения допустим, что 60(а) = О, а е /С°(Х0). Тогда р(а)巨 kerb и потому р (а) = Г (а7), а е /С~2 (X). Так как отображение 0 надъективно, то а! = р(а"), а" в《。(犬).Тем самым pg =邝(а") = pf (а") (по лемме 3). Кроме того, а =『(а"), поскольку 8 взаимно однозначно, и потому кегбр ^ Im t.

Определение 1. Для любого целого числа %》0 и любой пары (X, Ло) положим

К"(Х, Х°) = {К"(Х, Х°) = {К°(Х, Ло), если п четно, №* (X, Ло), если п нечетно,

К"(Х, Х°) = {

К"(Х, Х°) = {

К*(Х, X。) = К°(Х, X。)㊉ N (X, Х°)・

Из определений и приведенных выше результатов следует

Теорема 4. К* (X) представляет собой Z-epa- дуированное антикоммутативное кольцо, т. е.

К°(Х)К°(Х)三 К°(Х), К°(Х)К(Х)三 к(х), К1(Х)К'(Х)^К°(Х), а К*(х, Хо) является 2гградуи- рованным К* (X)-мод улем. Кроме того, шестиугольник

точный.

Характер Чжэня

Этот раздел посвящен построению кольцевого гомоморфизма из К (X) в обычное кольцо когомологий (например, сингулярных) пространства X с рациональными коэффициентами. Этот гомоморфизм, называемый характером Чжэня, играет важную роль, например, в вычислении кольца К (X). Такие вычисления мы произведем в следующей главе для случая, когда X — проективное пространство.

Характер Чжэня определяется с помощью классов Чжэня. Поэтому начнем с доказательства основной теоремы о классах Чжэня.

Теорема 5 (о произведении Уитни). Пусть 自匕 ^2— комплексные расслоения над комплексами X” Х2- Тогда для классов Чжэня с(&) и с(&)

С&^Е2)= С(Е)ХС&)・

Если X] = X? = X, то

e因㊉自2)= e (畠)5 值).

Доказательство. Обозначим через q, 増),с? классы Чжэня пространств &%+%, 8, G〃，8, G耿，з соответственно. Пространство Gt^g можно представлять

себе как множество ^-плоскостей в бесконечномерном евклидовом пространстве Ef, a G/+/,8 —как множество （П] + п2）-плоскостей в £°° = £Г ® £~« Зададим вложение

N: Gсо X ~G吃со

равенством N （л^ л2） = {ли л2}, где {Л], л2} — плоскость, образованная плоскостями Л] и л2. Пусть

Фг %f G“, 8 И <р2: 4 —G““8

—классифицирующие отображения расслоений 畐，&2, причем 中：（（1勺）=^, а ап^ — универсальное расслоение над Grt?oo. Очевидно, что расслоение ^ф^ индуцировано отображением

而。® х @2）： & X /f G“,+s,8.

Поскольку кольца когомологий 〃*（3勺，8；7） свободны от кручений （гл. III）, из теоремы Кюннета следует, что

Mc/=Q/&）,噌，

где Qj — однородный полином степени /. Далее,

С/ （^1 ®^2）= [N ° （ф] X 屮2）]* С/ =（Ф1 X 恥）* ° N* （с；）=

= （（₽| X 中2）*Q/（哨，空） и потому

^i^ = Qi^}U 成）匐）•

Остается найти полином Q/. Для этого положим

X. = Р^} X … X P，t）и Х]2 = Х]ХХ2 （здесь п выбрано так, что П（П] +п2）^ /）.

В гл. III были определены естественные отображения

м：片）XXPfJG …，

М Хм = Р^ X X P^'+n^Gn>+n2, со.

Напомним, как задается N广 Элемент 〃/ВР?) определяет одномерное подпространство евклидова пространства £/. Обозначим через М(® "2, …，％)) плоскость л в Еп^ = £? ф … ㊉瑞，порожденную одномерными пространствами s,...,气.Очевидно, что

У = Уо(У1 X М)・

Поэтому, если о, (о弘仃俨)есть /-й (fe-й, /-й) элементарный симметрический полином от пх + n2(nit м2) образующих, то

0/а,…，％+Q = Q/(吧(A,…，J)咪£+],…，^n^n) )•

Так как

汇2%/(九fn, + G)= H(Z — f/) =

rt(rt|4*rta

TO

Qj (破),屮)=% = o? + o?i • о俨 +…+ 理• o?i + о?

Поскольку c(日=1 + q (自)+ &(自)+ …，первая часть теоремы доказана. Вторая получается с помощью диагонального отображения.

Дальше наша цель состоит в том, чтобы доказать существование очень важного гомоморфизма K(X)f f Н*(Х, Q), где Q — поле рациональных чисел, называемого характером Чжэня виртуального расслоения. Прежде чем определять этот гомоморфизм, приведем несколько подготовительных лемм, относящихся к унитарным расслоениям. Эти леммы понадобятся для того, чтобы установить, что введенное отображение действительно является гомоморфизмом. Из них бу-

дет следовать, что любое алгебраическое соотношение между классами Чжэня выполняется для всех сумм Уитни t/j-расслоений и вообще для всех t/n-pac- слоений (ср. лемму 5). Чтобы установить этот основной факт, мы покажем, что для любого данного [/„-расслоения 三 с базой X существуют пространство Y и такое отображение р:X, что

р+(Е) приводимо к периодической подгруппе Тп группы U拄,т. е. представляет собой прямую сумму t/j-расслоений (теоремы 6 и 7 и их следствия),

р*: Я* (X) Я* (У) — взаимно однозначное отображение (теоремы 8 и 9).

Пространство У построено из пространства Е главного расслоения посредством общей элементарной процедуры, которая дана в следующих нескольких абзацах- Пусть а = (£\ X, G, G, р) — главное G-pac- слоение, G — топологическая группа. По определению G действует на себе левыми сдвигами. Заметим, что она естественно действует на пространстве расслоения Е. В самом деле, Е можно считать (см. гл. IV) множеством троек (х, g, U) (где х X, g G, U — открытая окрестность точки х), рассматриваемыхс точностью до эквивалентности (х, g, U)〜(х, g‘,丿)台g'= =guv (%) • g (здесь gav — координатное преобразование). Группа G действует на Е справа:

[(招 g, и)] • go = [(x, g • go, U)], где [ ] обозначает класс эквивалентности. Легко проверить, что это действие определено корректно.

Пусть У — пространство, на котором группа G действует слева. Тогда можно задать ее действие справа

Ф： (EXY)XG^EXY

на прямом произведении Е X Y, положив

<р((е, у), g) = (fg, g-切).

Рассмотрим факторпространство (£ X 7)/G, наделенное фактортопологией. Обозначим класс эквивалентности элемента (е, у) в (Е X Y)/G через {(е, у)}. Задав отображение

“：(EXY)IG^X

равенством"

Р‘： ({(& У)}) = р (е),

получим расслоение ((Е X K)/G, X, У, G, "')•

Пусть § = (Е, X,穴，К, р) — главное /^-расслоение и К — замкнутая подгруппа группы Ли G. Пусть i: /< -> G — вложение. Определим очевидным образом действие слева группы К на G. Применив описанную выше конструкцию, в которой роль группы G играет теперь группа К, получим расслоение ((Е X G)]K, X, G, ^, р')，которое, как легко видеть, можно считать главным G-расслоением ({Е X G)/K, X, G, G, р‘). (За- метим, кстати, что группа G действует на (Е X G)/K справа, действуя на второй множитель.) Обозначим последнее расслоение через z+ (Р)!).

Итак, пусть 自= (Е,匕 G, G, р) — главное G-pac> слоение, где G — группа Ли. Пусть опять К— замкнутая подгруппа группы G, a i: /< —> G — вложение. Поскольку к действует на Е справа, мы получаем факторпрортранство 瓦К・ Легко проверить, что 0 = =(Е, Е/К, ^, ^, о) будет главным ^С-расслоением над £/К с проекцией а, определенной равенством

о (е) = {е}.

Согласно предыд^^щему абзацу, можно построить G-расслоение /+ 偉).Пусть {«} w Е[К и е,或一два представителя класса {е}. Тогда е н е‘ эквивалентны по модулю К и потому a fortiori эквивалентны по мо・ дулю G. Следовательно, отображение

р: Е/К —X, заданное равенством

Р({е}) = Р(е),

Описанная конструкция О-расслоения по заданному К-рас- слоению встречается во многих областях математики. В теории представлений групп она известна под названием „индуцированного представления**. — Прим, перед.

определено корректно, и диаграмма

Е 亠 Е[КЕ 亠 Е[КXX

Е 亠 Е[К

Е 亠 Е[К

X

X

коммутативна. Ясно, что (Е/К, X, G/K, G, р) — расслоение. С другой стороны, отображение р индуцирует главное G-расслоение p+(g) с базой Е/К* Пространство этого расслоения, как мы видели в гл. IV, состоит из пар ({е}, е‘)(где {е}三 Е[К, а е, e'wE), для которых р({е}) = р(е). Обозначим это пространство через Е, и пусть р — проекция, заданная равенством

P( (W,或))={*

Теоре ма 6. Расслоения p+焦)〃 厶⑹ эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим диаграмму

(EXG)IK 上，厄三 EIKX Е Е

рр

、EIKе——> X

в которой еще надо определить отображение 厂 Зададим отображение

j: Е X G f (Е/К) X Е равенством

j((e, g)) = "(е), е • g).

Так как ра = р, р(е • h) = р (е) для любого /2 е G и о (е * «) = о (е) для любого й е Д', то / индуцирует отображение_

『：(EX G)/Kf 区

Очевидно, что 厂 накрывает тождественное отображение Е/К в себя, т. е.户，=/。/1 и теорема доказана.

Если в качестве О взять унитарную группу U〃, а в качестве К „максимальный тор" Тп группы Un (например, замкнутую подгруппу всех диагональных матриц в U J то получится

Теорема?. Пусть g = (£, X, U〃, U〃, р〃) — главное Uп-расслоение9 Тп — подгруппа диагональных матриц группы Un9 а 〃： Т〃一> U〃一 вложение. Если § = (Е, Е/Т〃, Тп, Тп,效),(М§) = ((Е X и^Тп, Е!Тп, ип, ип, р；) а p煤)=(瓦£77“，U", Uо где。.，吸厶 имеют тот же смысл, что 〃 а, р\ р, то (厶)十(р)仝 pj (g). Кроме того, Е1Тп — пространство Uп-расслоения над X со слоем Un/Tn 〃 проекцией р几,а диаграмма

Е—->Е^Тп коммутативна.

Следствие 1. U п-расслоение р^ (g) приводимо к Тп. (Определение приводимости см. гл. IV, стр. 87.)

Следствие 2. р^(В) есть сумма {Уитни) п экземпляров и^-расслоения.

Это ясно, так как Тп = U、X ... X U\(n множителей).

Пусть ат =(乙,8, Gm, 8, Um Um pm) - универсаль- ное (/^-расслоение (см. определение 5 гл. VI). Положим aj = а и вспомним, что 0ьто — бесконечномерное (комплексное) проективное пространство Рто, а УЬоо — бесконечномерная (комплексная) сфера S°°. Рассмотрим также

£ =，х …X S8, Pg х ... х % (Л X ... x и» l/i X X i/b Pi X X %),

где каждое прямое произведение имеет п сомножителей. Так как пространство S°° X …X S°° гомотопически тривиально во всех размерностях и Vx X ... …X иг = Тп9 то из теоремы 3 гл. VI следует, что qn

можно рассматривать как универсальное ^-расслоение. Таким образом, пространство 尸g X … X Р^ является универсальным классифицирующим пространством для Гп-расслоения. Вместо принятого выше громоздкого обозначения будем писать

В гл. II было показано, что

Н*(Х%; Z) = H*(POOX ... X 尸 8； Z) a Z 仏t^ где Z[f], . . ., tn] ~ кольцо полиномов от n переменных с целыми коэффициентами.

Применим теорему 7 к расслоению %. Тогда P =(v„,oo! Vn,xITn, Tn, Т", &), диаграмма

коммутативна и (zrt)+ (Р) = р„ (art). Поскольку Vп гомотопически тривиально во всех размерностях, можно рассматривать В как универсальное ^-расслоение с базой Vn, 8〕ТП. В силу универсальности

，* (%, 8储；Z) =，* (Х&) = Z [厶，...，/ J

Согласно теореме 7, 7П1 ^/^ будет пространством {7п-расслоения над Gni со слоем UnITn. В этом случае справедлива

Теорема 8. Последовательность градуированных колец

1 f，* (G", 8)*，* (乙,“)士，* (UnITn) fl,.

где jn: UnITn ^ Vn, ^Tn ~ вложение слоя в пространство расслоения, точна.一

Доказательство см. Хусейни [1, стр. 14].

Пусть теперь 三=(£, X, Un, Uni р) — главное Un-pac^ слоение. Тогда мы имеем расслоения

В = (Е, E/Tni Tni а) и (Е/7\, X, Un/Tni t/小 р).

По теореме о классификации найдется отображение f： Xf G…

для которого /+ (ап) = ^. Кроме того, существует классифицирующее отображение

f: EITn^VniJTni

для которого f+(B〃) = B・ Следовательно, диаграмма

где / и /л — вложения слоев в пространства расслоений, коммутативна. Рассмотрим в когомологиях диаграмму, индуцированную верхним треугольником:

尸(Е/Т〃)一H'(yn,JT^

В силу теоремы 8 гомоморфизм /* надъективен, а потому надъективен и гомоморфизм /*. И уже нетривиальные рассуждения (см. Хусейни [1]) показывают, что верна

Теорема 9. Отображение р*: Н* (X)f Н* 位口力 инъективно.

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы дать определение характера Чжэня.

Пусть сь с2, ..., сп — классы Чжэня пространства 8，т. е. элементы из Н9 (Gn> ^), соответствующие элементарным симметрическим полиномам а；, ...» ап от п переменных 匕,..tn. Классами

Чжэня расслоения 三(см. диаграмму (*)) будут s (自)= = f*(s)，i=L м, а полным классом Чжэня расслоения 自 будет с (自)=1 + 3 (自)+ ・・.+ сп (自).Выше было показано, что

Будем считать переменные fj кольцевыми образую- щими кольца JT^;力三乙，g/TJ Положим

Yt=尸(力)，1 & i & 亿

Тогда Yt принадлежат ”2(E/7\) и называются корнями главного (/„-расслоения 自.Полагая с。(自)=1, получаем

Р*с (^) = р*[^ Ci (自))=р*尸(£ S

В силу коммутативности квадрата диаграммы (*)

По теореме 9 р*: H\Gn ^~>H'(Vn ^T^ есть взаимно однозначное отображение подкольца, состоящего из всех симметрических полиномов, в кольцо Z[Zb ../„]. Тем самым

р;他= 1 +

\t =0 /t = l

По определению элементарных симметрических полиномов

1 十$ d = H (1 + 分，t=i i=iи потому

P*c® = r (n(i + ^ = n(i + Y；).

V = l/ i = l

Рассмотрим элемент 2 e* кольца "* (E/7\; Q).

1=1

(Тут мы должны предположить, что группы когомологий Нт (Е/Тп) равны нулю для m ^ т0, где т0 — некоторое целое число. В противном случае степенной

ряд 2 е” может быть бесконечным и будет пред- t=1

ставлять собой некоторый элемент в бесконечном прямом произведении Я** (EfTn\ Q)= Ц 〃'《£/〃； Q).)

Заметим, что 2 е" — симметрический полином от

Z = 1

корней % и потому будет полиномом от элементарных симметрических функций этих корней, т. е.

$e” = Rd®),ГШ), Z = 1

где R — полином, определенный выше.

Назовем

с (Е，Z)= 1 + 3 (自)Z + . . . + С„ (Е) Z”

полиномом Чжэня от вспомогательной переменной 2.

С учетом уравнения р*с (自)=Ц (1 + Yt) можно формально записать

。怎 z)=f[(l+wz)・

Если ^ ^ т], то очевидно, что ch(E) = ch(n)・ Тем самым отображение

о ch(a,

где (^) — класс эквивалентности расслоения 自，определено корректно. Продолжим его по линейности до гомоморфизма

ch: К尸(Х)->/Г(Х; Q).

Исследуем поведение этого гомоморфизма на К^ (X) и на тензорных произведениях.

Теорема 10. Если 自—главное U^ расслоение над X, а " — главное U^расслоение над X, то

ch (自㊉ Ti) = ch ⑶+ ch(Ti),

ch (E®ri) = ch(E)ch(Ti).

Доказательство. По теореме о произведении Уитни

С(自㊉％ z) = c(g, z)с(n，z).

Это означает, что если {уь …，уп] — корни расслоения 自,а (ур ..., у*}—корни расслоения ", то {Yi，…宀} U 怖•…Y*}-корни расслоения 自㊉斗 Следовательно,

nm /

p*ch雋㊉叫=£е" ,* = P*ch⑶ + P*ch⑺,

откуда непосредственно следует (а). Так как

才"?Hw

то для того, чтобы установить (Ь), достаточно доказать, что множество корней расслоения 自暂"имеет вид [у/ + Yp 1 z n, 10jWm}・ Докажем это.

Случай 1:自 и п являются [/『расслоениями. Предоставляем читателю доказать, что тогда

3 (自耸叫=Cl雋)+ Cl (叫.а так как

e (S 0 П. 2)= 1 + q (自告叫2,

c (g, z) = 1 + g (自)z, с 何，z) = 1 + q (n) z,

то утверждение доказано.

Случай 2:自=&㊉.一 ㊉几，n = n1®㊉F，где

& н П/ являются Ui-расслоениями.

Так как

自耸9 = X &告%,

то по теореме о произведении Уитни

С& 2)=П(1 + С] (gf)z),

С 5, z)= q(l +q(%)z),

С (自 8n, z)= П (1 + J (& 8*2)=

=Hu + {0(&)+ 0(中)}矶

и утверждение для этого случая тоже верно.

Случай 3:自 и 刀 произвольны. Для доказательства теоремы в этом случае достаточно показать, что выполняется

Лемма 5. Любое алгебраическое соотношение между классами Чжэня, справедливое для сумм U^-расслоений, справедливо и в общем случае,

А эту лемму влечет

Лемма 6, Пусть 自卜...,gr — главные унитарные расслоения над X (не обязательно одной и той же размерности). Тогда существуют такое пространство У и такое отображение <р: У -> X, что индуцированное отображение ф*: "*(Х)->/Г(У) инъективно и каждое из индуцированных расслоений 屮十(&) (1 &，&г) над У равно сумме U ^-расслоений.

Доказательство. Сначала докажем лемму ДЛЯ r=L Пусть £ = (£, X, и mJ Ug，Р\У Возьмем в качестве У пространство E{ITmi, а в качестве <р отображение р (см. теорему 7). В силу теоремы 9 отображение ф* инъективно, а из следствия 2 теоремы 7 вытекает, что 屮十(&) можно представить в виде суммы [/^расслоений.

Итак, найдутся пространство Y{ и отображение

Ф1：匕-X,для которых ф* инъективно и 屮：(&) равно суммеt/j-расслоений. Используя те же рассуждения, най-

дем пространство % и отображение

ф2： 匕，

для которых <р； инъективно и 嗚哂值?)равно сумме (/^расслоений. Заметим, что тогда и (р}(р； (&) также равно сумме U^расслоений. Зададим отображение 屮：У2fx

равенством 屮=口1。5・ Так как

炉=屮；。①；：H*(X)f ?(%)

инъективно, а 屮十(畠)и 屮十(自2) равны суммам U「pac- слоений, то лемма доказана для г = 2. Общий случай г>1 выводится по индукции.

Тем самым лемма 6, а с ней лемма 5 и теорема 10 доказаны.

Следств ие. ch 1^w = 0, и отображение ch: К尸(X)-* Н*(Х; Q) индуцирует кольцевой гомоморфизм

ch: К(Х)-> ?(Х; Q).

В теореме 10 мы рассматривали расслоения 自，г| над одним и тем же пространством X, Для большей общности можно считать 自 расслоением над X, а г| — расслоением над У. Тогда справедливы утверждения, аналогичные теореме 10 и ее следствию. Например, диаграмма

К(Х)8К(У) —К(Х8У)I ch ® chI ch

H*(X; Q)8H*(y； Q)f Н*(Х8У； Q)

коммутативна. Отображение на нижней стороне прямоугольника является изоморфизмом Кюннета.

Для ch к(х)получаем коммутативную диаграмму 女(X)® 穴(У) —>К(ХДУ)

I ch ® chI ch

Q)8^*(y； Q)f/?(Х/\У),

в которой 庁(X; Q) — кольцо приведенных когомологий, т. е.方*(Х; Q) = 〃*(X,尤°; Q), а отображение на нижней стороне — изоморфизм по тензорной формуле Кюннета.

Пусть Hq (X) — кольцо обычных когомологий пространства X с коэффициентами в G. Положим

%(Х)= X，方(X; G),，*(Х)= х 炉屮(X; G).

Тогда

"，制="^制㊉"弘х).

Лемма 7. ch отображает К (X) в 〃$ (X)三 Н)(X). Если пространство X связно, то ch отображает 女(X) в Hq= 2 /(X; Q).

Доказательство нетрудно, если вспомнить, что корни расслоения представляют собой классы 2-мерных когомологий.

Определим теперь отображение

ch: К『Х, Хо)->//*(^ Хо； Q).

Для этого зададим надстроечный изоморфизм

о": HQ(W)->HQ(Sn(W)) равенством

ап(х)= х ® srt,

где srt — каноническая образующая группы Нп (Srt; Z), a W — любой комплекс. Из тензорной формулы Кюннета следует, что ап — изоморфизм. Пусть а принадлежит К~п (X, X。)=欠(S〃 (Х/Хо))・ По лемме 7 ch(a)w^3(S"(X/Xo)) и

(о")т ch (а) е Hq (Жо) = Hq (X, X。).

Соответствие

口-> (М)т ch(a)

и будет определять требуемый изоморфизм (который мы, допуская некоторую вольность, снова обозначим ch)

ch: К~"(Х, Хо)-> 弘(X, Хо).

По аналогии с изоморфизмом Ботта положим

$2 = g, О2 = р.

Тогда получим изоморфизм

8：屏(Х/Хо)-> 方\(s2(X/Xj)), заданный равенством

6(а) = @ <8>g・

Лемма 8. Диаграмма

R(X) & 彳 S (X))

\/

ch、 /ch

福(X) коммутативна.

Доказ ате л ьство. Если мы докажем, что ch(g) = g, то утверждение будет следовать из второй коммутативной диаграммы на стр. 139. Так как g = [q— 1], где -q — каноническое линейное расслоение над Pf, т. е. “ индуцировано вложением %: Р； ~> Р匕,то %(") =，；(%),

т. е. С| (т]) — образующая группы 片(拜). Далее

ch (л) = *⑴)=]+ q (叫 + ^彳⑺ + -.

а так как с；(“) = с；⑺= … =0, то

ch (g) = ch (n)-ch(l)- 1 + q(T]) — 1 =3(哨， и лемма доказана.

Возьмем aw/C(X, X。)и положим ch (а) = ch (旷％),

где число т удовлетворяет неравенству п — 2/п ^0. (Здесь снова допущена вольность обозначений.) Лемма 8 показывает, что это определение вполне законно. Тем самым определено отображение

ch: К"(Х, Xo)f 阮(X, Хо)

для всех целых п. Кроме того (см. лемму 7), мы получаем, что ch отображает К°(Х, Хо) в Н% (X, X。)и № (X, Хо) в "d (X, Хо).

Для полноты картины напомним, что в теореме 4 мы построили точный /(-шестиугольник. Аналогично имеем точный //-шестиугольник

"衣X, Xo)f 方d(X)

У\

方 $(Xo)方 HXo)

\/

\/

方$(X)-"6(X, Xo)

Упражнение. Показать, что ch естественно преобразует /(-шестиугольник в //-шестиугольник. (Указание. Согласно теореме 4, достаточно показать, что ch является Q-когомологическим инвариантом расслоений, т. е. ch Г = Г ° ch, где f — непрерывное отображение пространств. А это лучше всего доказать сначала для сумм {/「расслоений, что практически тривиально, а затем перейти к общему случаю с помощью тех же рассуждений, что мы использовали в этом разделе.) .

Замечание. При определении ch на К"“(Х, X。) и К"(Х, X。) мы требовали, чтобы образ лежал в "^ (X, Хо). В противном случае можно было бы задать очевидным образом

ch: К「"(Х, Xo)f "式S"(X/Xo))

и положить

鸵一"(X, Xo) = "$(S"(X/Xo)).

Докажем, что группы 能一"(X, Ло) образуют экстраординарную теорию когомологий. Для любого целого п найдется такое пространство 》〃 (так называемое пространство Эйленберга — Маклейна, обозначаемое обычно K(Q, п)), что для любого конечного комплекса X

尿(X) R (蹈.

Если

ТО

(费)三 2 炉'(X; Q) = 方$(X),

т. е. ^ — пробное пространство, и утверждение доказано.

Наконец, можно построить ^-шестиугольник, как в /<-теории (используя 0 вместо 0), и показать, что ch естественно преобразует /С-шестиугольник в ^-шестиугольник.

4. Спектральная последовательностьАтьи — Хирцебруха

В этом разделе мы получим спектральную последовательность, связывающую обычные когомологии клеточной пары с ее ^-кoгoмoлoгиями, и извлечем из нее полезные сведения о /<-группах. Мы получим спектральную последовательность, развивая общий метод, содержащийся в книге Картана и Эйленберга [1, гл. 15], Начнем с описания этого метода.

Первое понятие — групповая таблица. Под парой мы будем понимать пару целых чисел (р, q) с —ooWpMqW + 8, а под тройкой — тройку целых чисел (р, 4， г) с — о© & р W 4 & г М + 8・ Групповой таблицей называется набор следующих объектов:

абелевой группы 〃(р, «) для каждой пары (р,办

гомоморфизма 〃(р‘, q')f 〃(р, q) для двух пар, удовлетворяющих неравенству (尸，q)&(“，q‘) (т. е, р</, q Ю，

гомоморфизма Я (р, q) —^H(qy г) для каждой тройки (р, д, г).

Эти группы и гомоморфизмы должны удовлетворять следующим аксиомам.

0) Н (р, р) = 0.

Н(р, q)f Н(р, q) — тождественный изоморфизм.

Если (р, q)& (p\ “W(p", е"), то треугольник

Н(р\ qQfHgq)\/

\ /не力

коммутативен.

Если (р, q, "&(//, 4‘，С, то квадрат

"(р, q)—^H(q, г)

коммутативен.

Для каждой тройки (р, q, г) треугольник

н (р, q)3H® г)

\/

\ /

точен.5) Группы значений р иПримерточен.5) Группы значений р иПримерН (р, г)

точен.

5) Группы значений р и

Пример

точен.

5) Группы значений р и

Пример

Н(р, q) стабилизируются для малых для больших значений q.

Пусть (X, А) — пара пространств и

X = X n ^^ X n—1 — •.. — Л"。= 4

—конечная фильтрация пары (X, Л). Положим

J 4 если /и ^ 0;

{ X, если m^N,

ИИ

И

И

для произвольной теории r-когомологий (Г — пространство Хопфа). Получим групповую таблицу, в которой гомоморфизмом Н(р, е)—>"(//, д') будет гомоморфизм

2 厂"(х。，，xjf 2 厂"(Xg, х^,

индуцированный вложением

(储，/)=(Xg Хp)

а гомоморфизмом 〃(p, q) f H〈q、г) — композиция

2 厂"(Xg, Хр) f 2 ГЛХд)4 2 厂"(X「，Xg).

n>on>on>o

Все аксиомы легко проверяются.

Пример 2. Можно вместоК* (Хд, X》(см. определение (с обычной Z-градуировкойПример 2. Можно вместоК* (Хд, X》(см. определение (с обычной Z-градуировкойZDZDИЛИИЛИT (乙，Xзвзять или H*Q〈Xq, X/ 22-градуировкой).T (乙，Xзвзять или H*Q〈Xq, X/ 22-градуировкой).

Пример 2. Можно вместо

К* (Хд, X》(см. определение (с обычной Z-градуировкой

Пример 2. Можно вместо

К* (Хд, X》(см. определение (с обычной Z-градуировкой

ZD

ZD

ИЛИ

ИЛИ

T (乙，Xзвзять или H*Q〈Xq, X/ 22-градуировкой).

T (乙，Xзвзять или H*Q〈Xq, X/ 22-градуировкой).

Пример 3. Другой частный случай примера 1. Пусть (X, Л) — пара конечных комплексов. Возьмем каноническую фильтрацию пары (X, Л) по остовам комплекса X. Другими словами, пространство Хр будет объединением Л с p-остовом комплекса X.

Чрезвычайно важное сведение о групповых таблицах дает

Теорема 11. Для данной групповой таблицы существует спектральная последовательность {Е?}, г ^ 1, в которой Eg = Н (р, р + 1), первый дифференциал 0’ совпадает с гомоморфизмом "(р, р + 1)—> />"(р+ L р + 2) 〃 группы £?о образуют фильтрацию в Н (— сю, оо).

Эта теорема по существу была доказана в гл. V. Действительно, там мы доказали существование спектральной последовательности с требуемыми свойствами для групповой таблицы примера 1. Кроме

того, заметили, что построение спектральной последовательности не зависит существенным образом от топологической структуры пары (X, Л); такое доказательство проходит для любой групповой таблицы.

Исследуем теперь ситуацию примера 3. В частности, изучим подробнее группы Е{ и Е2- Для удобства записи обозначим

Т*(Х, Л)= 2 厂"(X, 4).

Напомним, что

Е『 = 〃(р, р+1)=Т*(Хр+“ XJ

Заметим, что Xp+i/Xp представляет собой букет сфер (гроздь винограда), т, е,

Xp+/Xp = sf+iVS5+IV vsg：L

где ар+1 — число (р + 1)-клеток в (X, Д). Пусть

力：仍产，2产)_>(Х。+「XJ (1 《y明)

—отображение приклеивания для (р + 1)-клеток пары (X, А) (см. стр, 55). Зададим отображение

ap+i

/0+1： т*(х”|, Xp)f 2 Т*⑦冲，亦叫

равенством

1р+Л^-(т，措н'а)).

Очевидно, что /0+1 — изоморфизм. Положим

即"(方 *)(1&У%+)

Тогда

М+1 三 Xp+1-Xp,

или, что то же самое,

X。三 Xp+I — M+L

Рассмотрим композицию g/ отображений

Xp+i/Xp f Xp+i/Xp十 1 — е产 f。产/@d；+\

первое из которых индуцировано вложением (Хр+1, Хр)三(Хр+1, Хр+1-曲+)

второе переводит В?*' в Q* посредством 斤； а Хр+\ — 6?+1 переводит в точку. Получаем отображение

〜+ i

/Р+1：，т* (。产历。产)f Т*(Хр+|%),

1 = 1

заданное равенством ■

厶+|(%a%+)= g；(ai)+ …+^р+,(%+!)'

Ясно, что оно обратное для /卩+卜

Из формулы Е，= Н (р, р +1) легко вывести формулу

\心0/

где Ср — группа коцепей.

Исследуем теперь дифференциал》，т. е. когра- ничное отображение

& 2 厂"(Хр+|, Хр)-> 2【"(Xi，ха.

Определим отображение

"р+1°р+2

А*： 2 T'kD^IdD^)^ ^гЧ^Г2)- £ = 1/ = 1

где ар+2 — число (р + 2)-клеток пары (X, А). Для любого », удовлетворяющего неравенству 1 ^ i ^ар+1, составим композицию отображений

0货+2 X X"1f Xp+i/Xp+i - 0产 f0产历0产，

где

fi：(。产 d。产(Xp+2, Xp+i) (1a”2丿

—отображение приклеивания, а последние два определены на стр. 191. Назовем эту композицию 力订.Она индуцирует отображение

质：?*(0产/(50产)f 口亦产).

Зададим отображение

равенством

/«1，•…а<Хр+) = '；/(%)+ ••• + hap+v!(^ap+y

Тогда нужное отображение Л* задается равенством 力* д，•••，%+)=

Легко видеть, что диаграмма

T*(Q产/汕产)"^“Xp+i/Xp)

%+2/

2 T*(dQ产)6

\ ap + 2/

т* ⑦产IGDM 亠> Т* & + JXp Q

коммутативна*

Теперь мы уже почти показали, что дифференциал О】 есть не что иное, как „формальная кограница44 8 клеточного комплекса (X, Л) (ср. лемму 11 гл* II). Чтобы закончить это доказательство, осталось показать, что 力订 можно рассматривать как отображение (р + 1)-сферы в себя. Так как 力订 принадлежит гомотопическому классу, характеризуемому его степенью D订,то достаточно показать, что

力订(a)=0订0

для любого а^Т*(Sp+l). Итак, осталось доказать, что справедлива

Лемма 9. Рассмотрим произвольную экстраординарную теорию когомологий с пробным пространством Пусть

Ф： SJ

—отображение степени D. Тогда индуцированное ото- бражение

Ф*： T"n[Sm)-^T~n(Sm)

переводит элемент а^ T~n[Sm) в элемент Da・

Доказательство. Элемент а представлен некоторым отображением

f: S^AS^f Т, или, после обычного отождествления (см. доказательство леммы 1), отображением

『：Sm^QnT.

Но тогда элемент(р*(а) представлен отображением Л Оф： Sm-^QnT

и очевидно, что

Так как д1 — формальный кограничный оператор, то e^hР(X, Л;工厂"-1(人))，

\心。/

где Нр интерпретируется как формальная группа когомологий. Учитывая лемму 11 гл. II (точнее, двойственное к ней утверждение), можно считать Нр обычной группой когомологий пары (X, Л).

Замечание. В гл. II мы привели лемму 11 без доказательства. Лемму легко доказать с помощью результатов гл. V. В самом деле, рассмотрим спектральную последовательность на стр. 100, где в качестве "(X, Л) и т. п. берутся обычные гомологии. Из определения дифференциала О' (в первой части доказательства теоремы 1 гл. V) непосредственно следует, что(/ = 0 для г》2. Отсюда

七2 =七'4 4 . » . = Eoot

НоНо口/ [1тЯ(Хл Л) в Я (X, Л)]^°° = [1т Я (Л/_ь Л) в Я (X Л)] *

Но

Но

и эта факторгруппа будет, очевидно, обычной /-группой гомологий Н j (X, Л) пары (X, Л).

Примечание. Равенство нулю дифференциалов О' (г》2) в случае, когда Г* — обычная теория когомологий, играет, как мы скоро увидим, важную роль.

Подытожим полученные результаты.

Теорема 12. Пусть (X, Л) — клеточная пара. Существует спектральная последовательность, у которой

\心。/

Е^НР(Х, Л; 2 Т-п-р^(Х0)\,\心0/

а 七厶一градуированная группа соответствующей фильтрации в Т* (兀 Л).

Следствие. Пусть (X, Л) — клеточная пара. Существует спектральная последовательность, у которой

Е? = СР(Х, Л; Z),

Е^ = НР(Х, Л; Z),

а 七厶一градуированная группа соответствующей фильтрации в К*Х Л).

Доказательство. Нам понадобится здесь лишь соотношение

К* (X0) = k° (X。)㊉ ^I (Хо) a Z㊉ 0.

С клеточной парой (X, Л) ассоциированы групповые таблицы

Н(р, q) = K*(Xg,簿)，

Н (р, q) = Hq (Xg, Хр).

(Мы используем обозначение

Hq (Xq,簿)=罐(Xg,簿)+ "W (Xq, Xp),чтобы не путать с обычной Z-градуировкой阮(Xq, Xp)=§M(Xg,簿).)

Выше мы показали (стр. 186) существование естественного преобразования ch из /С-теории в "^-теорию. Другими словами, у нас есть естественное преобразование из одной групповой таблицы в другую. Мы хотим изучить связь между спектральными последовательностями Е夕，£?, которые можно получить посредством этого преобразования.

Лемма 10. Пусть {Н (р, е)}, {后(р, е)} — две групповые таблицы и ср: {Н(р, <7)}^{^(р, q)} — естественное гомоморфное преобразование, г. е. семейство гомоморфизмов

屮，。："(р, q)^H(p, q),коммутирующих очевидным образом с индуцирован-ными и кограничными гомоморфизмами. Тогда суще-ствует семейство Ф = [Ф?) гомоморфизмов спектраль-ной последовательности {Е?, 0「} в спектральную после-довательность {石久 3[, г. в. семейство гомоморфизмов①?： E?f理，

для которых ①?—。d‘ = 3’。Ф^. Кроме того, отображение

①f: Eff Ef

совпадает с отображением

q)P，D+i： "(р, р + l)f В(р, р + 1).

Доказательство. Группу Е% можно предста1 вить в виде

ср _ [Im〃(р - !, ?+r-1) в 〃(р-г, р +，-1)]. г — [Im Н(р( р г г'^Т)-"~в 厅，_厶 р +『_ l)j，

аналогично для £?. Случай общей групповой таблицы по существу не отличается от примера 1. Для этого случая группа Е夕 определена в гл. V (причем то определение согласуется с приведенной выше формулой). Поскольку гомоморфизмы ф коммутируют с индуцированными гомоморфизмами, ясно, что существует индуцированный гомоморфизм

[1ш Н (р — 1, р + г — 1) в Н (р — г, р + г — 1)]—>

->[1шЯ(р— I, p + r—1) в Н(р~г, р + г—1)]・ Аналогично и для „знаменателей** групп Е? и Е% Таким образом, у нас есть требуемое индуцированное отображение из £? в £?, которое мы обозначим через Ф?, Коммутирование гомоморфизмов Ф с дифференциалами спектральных последовательностей следует из того, что дифференциалы определены с помощью индуцированных и кограничных гомоморфизмов, с которыми коммутируют гомоморфизмы ф. Утверждение о ①? не вызывает сомнений.

Лемма 11. Пусть Ф — семейство гомоморфизмов из {£?, @1 в {£?, 3[・ Предположим, что для некого- рого г0 гомоморфизмы

吗:或f或

инъективны для всех р. Если Зг = 0 для всех г^г^ то У = 0 для всех r^rQ и гомоморфизмы

Ф?: E?f 砂

инъективны для всех г》0. Если гомоморфизм Ф^ еще и надъективен, то все ①? (г》г()) надъективны.

Доказательство. Покажем, что дГо = 0. Пусть a w Е* тогда

①ьГ"(@%) = 3Г。①?。(a) = 0,

ибо ЭЛо = 0. Так как гомоморфизм <!)：「" инъективен, то @"а = 0, откуда @“ = 0・ Из соотношения Лере

тогда £*М+1 亍成，旣+1=此， и гомоморфизм Ф^+i：成+「旣и совпадает с гомоморфизмом Ф?о: Е?。—月* В частности, гомоморфизм ①纟+i инъективен, и доказательство можно закончить по индукции.

Вернемся к конкретным Групповым таблицам〃(р, q) = K*(Xg, Х^疗(р, q) = HM，簿).

Теорема 13. Пусть (X, Л) — клеточная napaf у которой группа Н* (X, Л; Z) свободна от кручений. Тогда отображение

ch: К*(Х, 4)f 成(X, Л)

инъективно. В частности, К*(Х, А) — свободная абе- лева группа конечного ранга.

Доказательство. Возьмем <р = ch н, используя лемму 10, найдем гомоморфизмы Ф из {£*?> @[ В吃3%

Для /*=1 отображение

①?： Eff £f

совпадает с отображением

ch: K*(Xp+i，Х^^Н^Х^ XJ.

Вычислив K*(Xp+i，X/ и Hq (Хр+у Хр) (см. теорему 12 и ее следствие), увидим, что отображение

ch: С*(Х, 4;Z)f С*(Х, 4Q)

есть не что иное, как отображение, индуцированное гомоморфизмом коэффициентов Zf Q・

Для /■ = 2

①夕：Нр (X, Л; Z) f Нр (X, Л; Q),

где Ф? — отображение, также индуцированное гомо- морфизмом

ZfQ

(ибо 。1 совпадает с формальным пограничным one* ратором, а гомоморфизмы Ф коммутируют с дифференциалами). Так как группа Н* (X, Л; Z) свободна от кручений, то гомоморфизм Ф2 инъективен. Кроме того, мы уже отмечали, что дифференциалы дг (г》2) равны нулю. По лемме 11 гомоморфизм

Ф?:历f邮

инъективен для г》2・ Но Е? = Е^о для достаточно большого г, скажем r》R (поскольку остов пары (X, Л) стабилизируется), и потому отображение

①现E理f e么

инъективно. В силу замечания на стр. 193 (применимого скорее к когомологиям, чем к гомологиям) отображение

ch: К*(Х, /)-> Н^(Х, Л)

инъективно, и теорема доказана.

Теорема 14. Пусть (X, Л) — клеточная пара. Тогда

ch® 1: К*(Х, 4)®Qf 成(X, 4)®Qa襪(X, Л)

— изоморфизм, отображающий К"(Х, Л) ® Q на 俄? (X, Л) и К(Х, Л) ® Q на 做(X, Л).

Доказательство. Вместо групповой таблицы 也(р, q) = К* (Хр, XJ рассмотрим групповую таблицу Н(р, g) = K*(Xq, Хр) ® Q и будем рассуждать так же, как в теореме 1 包 Характер Чжэня индуцирует гомоморфизм 屮 из {球,дг} в {£?, 3], и гомоморфизм

恥 Ef f Ё?

совпадает с тождественным гомоморфизмом

ch: С(Х, 4Q)f CJX, 4Q).

Согласно лемме 11, ^f будет изоморфизмом для всех г, и теорема доказана,

Следствие. Пусть (X, Л) — клеточная пара. Тогда KQ (X, А) {соответственно /С1 (X, Л)) — конечно порожденная абелева группа, ранг которой равен сумме четномерных (соответственно нечетномерных} чисел Бетти пары (X, А).

Когомологические операции в К-теории

В этом разделе мы построим отображения

联：K(X)f к(х).

Эти отображения будут когомологическими операциями, т. е. кольцевыми гомоморфизмами, коммутирующими с индуцированными гомоморфизмами. Они играют основную роль в доказательстве теоремы Адамса о векторных полях (см. гл. ■ X и статью Адамса [1]).

Нам понадобятся некоторые предварительные сведения о представлениях компактных топологических групп. Доказательства приводимых результатов см. Понтрягин [2]. Напомним, что унитарным представлением р компактной группы G будет непрерывный гомоморфизм

р: G —> [/ (/г)

для некоторого /г; число п называется степенью пред' ставленая р. (Конечно, понятие представления имеет смысл для любой топологической группы, но нас интересуют только компактные группы G.) Представления р] и р2 группы G одинаковой степени п называют эквивалентными и пишут р〔〜р2， если найдется элемент u^U (孔)，для которого р】(g) = a~ip2(g)〃 при всех g ^ G. Обозначим класс эквивалентности представления р через (р). Понятия прямой суммы и тензорного произведения представлений определяются очевидным образом. Заметим, что если deg(pz) = th (/= 1, 2), то deg(p1®p2) = nI + n2 и deg(pi ® p2) = tt]n2. Представление р степени п называется приводимым, если пространство представления Еп (на котором U (п) действует обычным образом) обладает собственным подпространством, инвариантным относительно всех

преобразований p(g), g^ G. Из классических свойств унитарной группы следует, что любое унитарное представление вполне приводимо, т. е. представимо в виде прямой суммы неприводимых представлений. Характером представления р будет комплекснозначная функция

%р (g) = tr (р (g))・

Ясно, что Р]〜Р2 влечет %р)= %^ Кроме того,

АР1 ® р2 АР1 ЛР2*АР1 ® Ра АР1АР3*

Наконец, нам понадобится несколько глубоких результатов теории представлений компактных групп. В этой теории определен инвариантный относительно сдвигов интеграл Хаара на G, с помощью которого вводится понятие ортогональности функций: комплекснозначные функции

3 f2： G -> С

называются ортогональными, если

J f 1 (g) • Mi) dg = о.

Сформулируем важные результаты, которые потребуются нам в дальнейшем.

Предложение 1. Пусть рь ^ — неэквивалентные унитарные представления группы G. Тогда характеры %卩〔 и Уд ортогональны. Если р — унитарное неприводимое представление группы G, то %р имеет единичную длину *), т. е・

J %p(g)%p(g)dg= 1.

G

Предполагается, что интеграл Хаара нормирован условием J dy = 1. — Прим. ред.

Отсюда непосредственно следует

Предложение 2. Унитарные представления компактной группы эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеры равны.

Определим теперь по аналогии с К(Х) функтор Атьи — Хирцебруха — Гротендика K(G) для компактных групп G.

Пусть 及尸(G) обозначает свободную абелеву группу, образованную классами эквивалентности представлений группы G. (Под представлением мы все время будем понимать унитарное представление некоторой степени.) Обозначим через Kf (G) подгруппу группы R尸(G), образованную элементами вида (Р1ФР2)— —(Pi) —(P2), и положим

Ef(G) = Rf (G)/内(G).

Класс элемента р 已欠(G) обозначим через [р]. Элементы из R (G) будем называть виртуальными представлениями. (По аналогии элементы из К (X) можно назвать виртуальными расслоениями^)

Любой элемент 8 已 N (G) можно представить в виде

0 = 2 [р/]>

причем представители р/ из [pj неприводимы. Это следует из того, что все представления вполне приводимы и [Pi ® Р2] = [Pi] + [Р2] (mod Kf (G))- По аналогии с размерностным гомоморфизмом dim: К (X) -> Z можно очевидным образом определить степенной гомоморфизм

deg: N(C)f Z.

Кроме того, К (G) является коммутативным кольцом с единицей (произведение в K(G) индуцировано тензорным произведением представлений, а роль единицы играет класс тривиального представления степени 1). Это кольцо — пополненное (см. Картан и

Эйленберг [1, гл. VIII]), и deg — пополняющий гомоморфизм. Непрерывный гомоморфизм р: G —> //, где Н — еще одна компактная группа, порождает естественным образом отображение

р*:太⑻-> N(G),

которое, очевидно, обладает функториальньши свойствами.

Пусть ^ — структура G-расслоения над X. Она определяется открытым покрытием {U} пространства X вместе с функциями

guv- U(]V^G,

удовлетворяющими определенным условиям (см. гл. IV). Если р — непрерывный гомоморфизм из G в Н, зададим структуру р(£) "-расслоения над X следующим образом*

Открытое покрытие {U} пространства X оставим прежним, а функции

hm\ U[]V^H

зададим равенством

为 иу (无)=Р (guy (%) )，х U (]V.

Легко проверить, что эти функции удовлетворяют требованиям структуры расслоения.

Пусть 0 — виртуальное представление группы U (п). Тогда

6 = 2 «г [Pfl-

Если & обозначает U (гг)-расслоение над X, зададим виртуальное расслоение ©(&) равенством

б (Ю = 2 щ [р( (Ю1-

Допустим, что для каждого п у нас есть элемент 8rlwN(U). Назовем © = {0j = {0I, 02, ..., %} просто последовательностью. Пусть

щ : U (п) X U (т) —> U (гг), л2 : U (гг) X U (/л) —> U (/л)

—две проекции произведения» -

Определение 2. Последовательность 0 называется аддитивной, если

% + " (n1 ㊉ e2)=例 0 n1) + (9m。Л2)

для всех п, т. Другими словами, для всех 况巨U (п), и巨 U (ги)

忆+皿0㊉联%⑷+吼⑼.

Лемма 12. Пусть 自况 刀一соответственно U (п)- и U (т)~расслоения над X, a Q — аддитивная последовательность. Тогда

е〃+т(自㊉叫= %/)+%(*•

Доказательство очевидно*

Определение 3. Пусть 0 — аддитивная последовательность и а^К(Х)・ Представим а в виде

0 = X九g因] и положим

®(a) = 2叫、因)，

где & есть U (^)-расслоение. Из леммы 12 следует, что это определение имеет смысл.

Определение 4. Аддитивная последовательность 0 называется мультипликативной, если

%“。(口10n2)=包 ° Л1) • (0m。Л2)

для всех n, т. Другими словами, для всех u^U (п), V U (т)

0"т (儿 0 u) = % (九).办(U)■

Лемма 13. Пусть 自 и т] — соответственно U (п)- и U {т)-расслоения над X, a Q — мультипликативная последовательность. Тогда

%” (三 о 叫=% (Ю • 9т (п)-

Доказательство, как и в лемме 12, очевидно.

Теорема 15. Если 0 — мультипликативная последовательность, то

©： К(Х)-> К(Х)

(см. определение 3) — кольцевой гомоморфизм^ естественный по отношению к отображениям пространства X, г. е. представляет собой когомологическую операцию.

Доказательство. Первое утверждение следует из лемм 12 и 13. Второе очевидно.

Теперь мы готовы к тому, чтобы определить когомологические операции У. Пусть V — (комплексное) векторное пространство, а V* — двойственное к нему пространство. Пусть Vr — множество полилинейных кососимметрических отображений

V* X .・・ X V*->C (г множителей).

dim V

Прямая сумма 2 Vr называется пространством

г = 0

Грассмана !), ассоциированным с V. Унитарное отображение

и: V-^V

индуцирует унитарное отображение

m：乙-> %,

определенное равенством

我(Г)®1八八%)= 〃力八一.Auvr.

Отображение

является унитарным представлением группы унитарных преобразований пространства V. Если V — евклидово пространство £, то

к?=心

будет унитарным представлением группы U (и).

В этом пространстве вводится так называемое внешнее умножение, обозначаемое знаком Л и отображающее VrXVs в Vr+j. Пространство Vj естественно отождествляется с V. Легко проверить, что Vr порождается элементами вида и】А ... Дип UjwK Пространство Грассмана с внешним умножением называется грассманово^ или внешней, алгеброй над V. — Примме рев.

Пусть хп ..., хп суть п формальных переменных. Сумма 工 洋 представляет собой симметрическую функцию от этих переменных и поэтому ее можно записать в виде Q^(of), ..., of)), где Q* — полином с целыми коэффициентами, а о『)есть /-я элементарная симметрическая функция от п переменных. Положим

磁= Q算K化K兇…，kВ)；

здесь сумма и произведение берутся в смысле прямой суммы и тензорного произведения представлений. Тем самым 屮^ — виртуальное представление группы U (п) для каждого h, и можно составить последовательность

呼={帏啮….}.

Лемма 14. Последовательность Y* мультипликативна для каждого k.

Доказательство. Сначала мы докажем, что %欠(〃)=tf (〃') для u^U (п). Матрица и в некотором базисе имеет диагональный вид. Пусть ее собственными значениями будут 九】,...,九小 а соответствующими собственными векторами — eh ・・・,е^* Векторы % А …Ae/f (1 & " V12 V<ir^^)

образуют базис пространства Е；・ Эти векторы будут собственными для матрицы 〃(力 с собственными значениями 九外九"..九—Тогда

y户(")= 1 v <e<± v '厶統…з=凉")(九)，

где о"(九)есть r-я элементарная симметрическая функция чисел Хь ...,九％, и из свойств характеров получаем

%№)= Q〃(of)a),.，雷(九))=* +簿+ ... +篤=

〃=tr(^).

Для доказательства леммы нужно показать, что %" (/㊉ ％)=嗎(％) + 噁(％)'

%д% 8%)=畸(%) •嶋(%)•

Докажем первое равенство, второе доказывается аналогично. Из предложения 2 о связи представлений с характерами (стр. 201) следует, что следы обеих частей равенства одинаковы. Тогда в силу только что доказанной формулы

tr (嗽+仅 ® ㊉ ％)) = tr ((% ㊉ ％У) = tr (哨 + tr 觴)=

=tr (畸％)+ tr 仲紹2)， откуда следует утверждение леммы.

Теорема 16. Отображение 屮囱：К(Х)->К(Х) является когомологической операцией для каждого положительного целого числа k.

Это непосредственно следует из теоремы 15.

Если 0 и 0Z ~ аддитивные последовательности, зададим композицию ®。О', определив гг-й член (6。0)rt последовательности 6 ° 0Z как виртуальное представление 日(聡，описанное в определении 3.

Теорема 17.必。吸=屮叱

Доказательство. Из формулы, установленной в ходе доказательства леммы 14, получаем, что tr (Vft о 必(«)) = tr (冰9 = tr (“У (江))для всех 〃巨 U (矶 откуда следует теорема.

Лемма 15.(:%(屮％)=左J chja), где а巨К(Х), а chq(a) обозначает 2д~мерную компоненту множества ch (а).

Доказательство. Пустьz — комплексноечисло с модулем 1; его можно считать унитарной матрицей степени 1. Тогда 竹(屮；(？)) = *• Следовательно, для U (1)-расслоения g

1除)=1.

Если 自=畠㊉...ф^„ — сумма U (1)-расслоения, то ch (^) = ее, (€1> + ... + %%)；

так как 叩⑶=叩因)+ ... + 4M&), т。

ch(联(&)) = ch(联 3)++ch(叩閒))=

= еМ*?++e"(磋).

Из доказательства формулы (Ь) теоремы 10 видно, что

с】(^) = k • с}(力 1 < Z < п.

Поэтому

(±(4"(自))=/q隔)+…+/q隔).

Отсюда, используя формулу для ch (^), получаем результат для 自・ Результат для расслоений общего вида вытекает из леммы 5, а переход от расслоений к элементам из К (X) не вызывает труда.

Заметим теперь, что степень виртуального представления 吋 равна п. Это следует из равенства

Zx? = QK。产，…，躋) /=1

после подстановки в него %i = 1, х2 = 1, ..., хп = 1. Если X — пространство с отмеченной точкой х0, то

К(Х)4К“о)^К(Х)・

В силу предыдущего замечания когомологические операции W сохраняют это разложение. Действительно, кольцо R (X) характеризуется тем, что его элементы имеют размерность нуль и отображения 联 действуют тождественно на К (尤о)・(Проверьте, как действуют W на векторные расслоения над 尤°.)

Теорема 18. Операция 屮也：К (52?) -> К (52^) задается равенством

屮(а) =胪・а.

Доказательство. Напомним, что ^(52。)= = K°(SM). Так как группа H*(S29; Z) свободна от кручений, то из теоремы 13 следует, что отображение

ch:—方凯$2。)

инъективно и, более того, переводит /C°(52i7) изоморфно на He^q\ Z)^^q(S2^). Так как

方e(S29； Z) = "24(524；工), то отображение

ch„: К^^-^Н^ (S2<,)

инъективно и переводит 不⑶，изоморфно на Н2g($2д；牙)三 Hg(s2g). Применяя chg к /(о), по лемме 15 получаем

с%(КТ・с%(а),

и теорема доказана, поскольку отображение с% инъективно.

Следствие. Если р： К(Х)-^К(52Х) — изоморфизм Ботта, то

必。8 =々。(外y).

Доказательство. Пусть g — образующая в R S). По теореме 18

屮(g)=^・g, поэтому

屮。В (а)=屮(а . g)=屮(а).屮(g)=屮(а) •々g = =行邛。у(a)

для любого aw R (X), и следствие доказано.

Г лав^ X

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ

В этой главе мы найдем максимальное число Л1 (п — 1) линейно независимых векторных полей на сфере S“t. Представим целое число п》1 в виде произведения нечетного числа и степени двойки:

n = (2a(n)+ 1). 2Й(П).

Разделим Ь(п) на 4:

b(n) = c(") + 4d (п).

Таким образом, для каждого целого числа п》1 определены неотрицательные целые числа а(п), b (п), с(п), d(n), причем с(п)&3・ Положим

p(n) = 2cW + 8d(n).

В дальнейшем мы покажем, что справедлива

Теорема. М(п — 1) = р(п)— 1.

Многообразие Мп называется параллелизуемым, если оно допускает п линейно независимых векторных полей. Как непосредственное приложение сформулированной теоремы получаем

Следствие. Параллелизуемы только сферы S' S* S7.

Неравенство М (п — 1)》р (п) — 1 устанавливается в части А этой главы. Доказательство непосредственно не затрагивает алгебраической топологии и принадлежит Гурвицу, Радону и Экману (см. Экман [1]).

Неравенство М (rz — i)& р (гг) — i устанавливается в части Б. Доказательство использует /^-теорию, а также результаты работы Атьи [2], и принадлежит Адамсу [1].

А. Л1 (п — 1) ^ р (п) — 1

Теорема 1. Пусть Gp — абстрактная группа, образованная р элементами е, а〔, а^ ..., ар_ь удовлетворяющими соотношениям

е2= 1, а； = е (/= 1, ..., р- 1),akat = eazafe(k^l, \&h,l&p — 1).

Ортогональное представление

Ф： GpfOs

для которого (р(е) = — /, существует тогда и только тогда, когда р^р(и).

Следствие. М (и — 1) ^ р (/?-) — 1.

Доказательство следствия. Пусть ф： Gp(п)-^Оп удовлетворяет условиям теоремы. Положим 耳=(p(aj (1 ^Z^p(n)— 1). Очевидно, что 屋=—/, AkAi= — AtAk (k^l). Для того чтобы найти p(n)— 1 линейно независимых векторных полей на 5"一) достаточно определить такие отображения Уг:—> R" (1W，Wp(孔)一 1),

что

а)(匕⑴，盼=0 (l<z<p(n)-l; xeS"-1),

b)亿(%),匕(х)) = бг/ (l<z, /<р(п)-1; xe S"T).

Положим Vi(x)= Лгх. Непосредственное вычисление, использующее свойства элементов 4, показывает, что условия а) и Ь) выполняются.

Сформулируем в виде предложений ряд результатов из теории представлений конечных групп, которые понадобятся нам для доказательства теоремы. Предложения 1 — 3 и 5 обобщаются на произвольные компактные группы. Доказательства см. Холл [1] и Понтрягин [2].

Под представлением мы понимаем представление в группе GL (и, С) (или GL (и, R)). Предложения 4 — 7 и 9 справедливы только для комплексных представлений.

Предложение 1. Каждое представление р группы G эквивалентно (〜)прямой сумме неприводимых унитарных представлений, причем неприводимые слагаемые определены однозначно с точностью до эквивалентности.

Предложение 2. Если рь р2 — представления группы G и отображение %&: G —>С задано равенством %pjg) = tr(pf(g))，т。Р1~Р2 тогда и только тогда, когда хР1 = Хр/ Если, кроме того, р】и р2 неприводимы, то Pi~P2 тогда и только тогда, когда

W 4,(g%(g)*0・

Предложение 3. Если g ^ G — произвольный элемент, отличный от 1, то существует неприводимое представление Rg группы G, для которого Rg(&)=#/•

Предложение 4. Число неэквивалентных не- приводимых представлений группы. G равно числу классов сопряженных элементов s G*

Предложение 5. Если группа G абелева, то все ее неприводимые представления одномерны,

Предложение 6. 2 {deg К}? = # G, где # G — по- рядок группы G, а суммирование производится по всем ее неэквивалентным неприводимым представлениям.

Предложение 7. deg R делит # G для любого неприводимого представления R группы G.

Предложение 8 (критерий Шура). Если R — неприводимое представление группы G, a R —представление группы. G, заданное равенством R(g) = R(g) (где R (g) — комплексно сопряженная матрица к матрице R(g)), то a) R эквивалентно вещественному представлению группы G тогда и только тогда, когда 5 %R(g2)>。； b) R~R, но R не эквивалентно веще- ственному представлению тогда и только тогда, когда

£ %A(g2)V0； с) R не эквивалентно R (а значит^ g^G

и никакому вещественному представлению группы G) тогда и только тогда, когда 2 %кО = 0・

g^G

Предложение 9 (частный случай леммы Шура). Если Q — неприводимое множество (г X г)- матриц и (г X г)-матрица В коммутирует с каждой матрицей из Q, то В = §/, где р е С.

Теперь мы приступим к доказательству теоремы 1. Из соотношений

Gp = (е, %, •…ар_^\ е2= 1; ^ = е, %% =吗％ 他=#/) видно, что каждый элемент группы G можно представить в виде 。厶...als или ва“ ...。匕(1《乙 V …. • ・•<£$& р— !)• В частности, # G =2。. Пусть Я —подгруппа группы Gp, образованная элементом е. Так как е лежит в центре ^(Gp) группы Gp, то Н — нормальный делитель. Очевидно, что группа Gp/H равна прямой сумме р— 1 экземпляров группы Z2, поэтому она абелева. Тогда Н содержит коммутант [Gp, Gp], откуда следует, что ghgTfT' = 1 или е, т. е. ghg~ равно h или еЛ для всех g,九三 G. Таким образом, класс сопряженности элемента А состоит из А и еА, если 九 не лежит в ^(Gp).

Найдем 貝Gp). еелh 仏，为，…，厶}*3 2,…，Р一1}, т. e. s < р — 1 (напомним, что индексы 匕,芍，is расположены в порядке возрастания), и индекс / не содержится в {%, %，•・•‘ '$}‘ т0 a7^ix • • • %)% = =^aix ...。匕・ Если же индекс / содержится B {%，•••, (}，то al(气…a分)4 =欧7%...忆.

Таким образом, так как либо е$*1, либо в$т*1, то элемент % …& не принадлежит ^(Ор), если 仏八}*{1,…，方一1}.так как

Q/ (°i°2 • • * °p—i) “丿=沙。1。2 ■ • •。尸―i，

то элемент ад …％】принадлежит g(Gp) тогда и только тогда, когда р четно. Аналогично еа^ ・・・ а% лежит в g(Gp) тогда и только тогда, когда {/и ...» 厶}= =(1, ..., р — 1) и р четно. Тем самым g(Gp) = {1, е}, если р нечетно, и ^ (GP)={1, е, ^^2 ・・・ Op-i， е^ ... Op-J, если р четно.

Число классов сопряженности в Gp равно половине числа элементов, не принадлежащих g(Gp), плюс число элементов в g(Gp)・

В силу предложения 4 число неэквивалентных неприводимых представлений группы Gp равно

(1Н) */2 + 2 = 2"i + 1, если р нечетно,

■^^■ + 4 = 2"~1 + 2, если р четно.

Согласно предложению 5, группа GJH имеет 2Р~! одномерных неприводимых представлений. В самом деле, если R: Gp/H Uit то /? о л: GP-^U1 (где л： Gp -^ Gp/H — естественное отображение) и R*R‘ влечет R。冗弋 R'。冗.Таким образом, найдутся по крайней мере 2"一1 неприводимых представлений R「・••，/?2p-i группы G с gf+ /•

Из (1Н) и (1Ч) следует, что

для нечетного р существует одно и только одно неприводимое представление R*, не включенное в семейство R『...,/^рт (в силу предложения 6 тогда 2Р~* • I2 + (deg R^ = 2Р, откуда deg /?* = 2(р'1)/2);

для четного р существуют ровно два неприводимых представления R；, R% не включенных в семейство R】, R?p_i (в силу предложения 6 тогда 2Р-1 • I2 + (deg /?i)2 + (deg R^f = 2Р, откуда (deg R]f + + (degR^2 = 2Р^, а так как, согласно предложению 7, deg 7?* = 2% д & р (，= 1, 2), и равенство(2* +(2“У = =2"一1 выполняется, если Q] = а2, то degR； = degR； =

Из неприводимости представлений R\ R；, R； и из предложений 1, 3, 9 получаем, что

(Зн) R* отображает е в 0/, где 0 w С, | ₽ | = 1 и р#=1,

(Зч) хотя бы одно из представлений R；, R% отображает е в р/, где р — то же, что и в (Зн). Для определенности будем считать, что R；(£)= §/•

Напомним, что теорема 1 утверждает существование вещественных ортогональных представлений группы Gp. Пока мы можем только утверждать (благодаря предложению 1), что R*, 7?* — унитарные представления группы Gp. Но вообще, если R — комплексное неприводимое представление конечной группы G, не эквивалентное вещественному представлению, то сумма R ㊉ R эквивалентна вещественному неприводимому представлению. Таким образом, если необходимо, можно заменить R* и R； на R* ㊉ R* н R；㊉ R； соответственно. С помощью предложения 8 найдем теперь значения числа р, для которых R* и R； эквивалентны вещественным представлениям.

Пусть g —любой элемент группы Gp. Тогда, как было замечено раньше, g = а^ ... а% или g = ea“ ... air， В любом случае g2 = е^'1... е = ег<г+1)/2, откуда g?= i, если r = 0; 3(mod4), и g? = £, если г= 1; 2(mod4). Пусть R = R*, если р нечетно, R = R；, если р четно, и пусть d = deg R = 2(р~1)/2, если р нечетно, н d = = degR； = 2 …* если р четно. Тогда %^ (g2) = d, если r=0; 3(mod4), и %^(g2) = — d, если r=l;2(mod4). Суммируя по элементам из Gp> получаем

工 ％к(/) = 2d {Cp-i — Cp-i — Cp-i + Cp-i — (*) e^Gp

Положим (1 — tf~x = x-\- iy^ По формуле бинома величина 尤+ у равна выражению в скобках в правой части формулы (*). Остается определить знак этой величины для различных значений р. Легко проверить Jc помощью тригонометрической записи 1 — z — =了差7”4), ЧТо 尤+ у〉0, если р=0; 1; 7 mod (8);

х + у = 0, если р = 2; 6 (mod 8); х + у V 0, если р = 3, 4, 5 (mod 8).

Положим R = R, если р таково, что х + д>0, и A = R^R в противном случае. Зададим k (р) равенством ■ deg П= 2厶⑺. Из утверждений (2) (2Ч) и результатов последнего абзаца следует, что

々（Р）=々（Р）=Р-22~2~Р-22~2~еслиеслиеслиеслир 三 0 (mod 8);р 三 0 (mod 8);р = 1,7 (mod 8);р = 1,7 (mod 8);р 歹，р + 1р 歹，р + 1еслиеслир = 2, 4, 6 (mod 8);р = 2, 4, 6 (mod 8);еслиеслир 三 3, 5 (mod 8).р 三 3, 5 (mod 8).

々（Р）=

々（Р）=

Р-22

~2~

Р-22

~2~

если

если

если

если

р 三 0 (mod 8);

р 三 0 (mod 8);

р = 1,7 (mod 8);

р = 1,7 (mod 8);

р 歹，

р + 1

р 歹，

р + 1

если

если

р = 2, 4, 6 (mod 8);

р = 2, 4, 6 (mod 8);

если

если

р 三 3, 5 (mod 8).

р 三 3, 5 (mod 8).

Из утверждений (Зн), (Зч) и предложения 8 выте- кает, что R —(с точностью до эквивалентности) вещественное ортогональное представление группы G, переводящее е в — / (т. е. р = — 1).

Теперь пусть м》1. В силу предложения 1 и утверждений (2Н), (2Ч) вещественное ортогональное (не обязательно неприводимое) представление Ф： Gp-> Оп существует тогда и только тогда, когда 2尼8)делит п. Представляя и в виде (2а (и) + 1)2° "), получаем, что 2尼8) делит 2”"). Теорема 1 будет доказана, если мы покажем, что наибольшее значение р, удовлетворяющее неравенству k(p)^b(n)t равно р(м). Другими словами, нам осталось найти наибольшее значение р, для которого

2& (и) + 2, 2b (м) + 1, 26 (м),2& (и) + 2, 2b (м) + 1, 26 (м),2& (и) — 1,2& (и) — 1,если если если еслиесли если если еслир = 0 (mod 8);р = 1,7 (mod 8);р = 2, 4, 6 (mod 8);р 三 3, 5 (mod 8).р = 0 (mod 8);р = 1,7 (mod 8);р = 2, 4, 6 (mod 8);р 三 3, 5 (mod 8).

2& (и) + 2, 2b (м) + 1, 26 (м),

2& (и) + 2, 2b (м) + 1, 26 (м),

2& (и) — 1,

2& (и) — 1,

если если если если

если если если если

р = 0 (mod 8);

р = 1,7 (mod 8);

р = 2, 4, 6 (mod 8);

р 三 3, 5 (mod 8).

р = 0 (mod 8);

р = 1,7 (mod 8);

р = 2, 4, 6 (mod 8);

р 三 3, 5 (mod 8).

Очевидно, что это наибольшее значение равно 26(孔)+ 6, где 0 зависит только от вычета числ^

0 12 30 12 32 4 6 82 4 6 813 5 713 5 70 2 4 60 2 4 6113 5113 5

0 12 3

0 12 3

2 4 6 8

2 4 6 8

13 5 7

13 5 7

0 2 4 6

0 2 4 6

113 5

113 5

b (п) mod 4 и находится с помощью таблицы

Ь 5)Ь 5)2b (п) 4- 6

Ь 5)

Ь 5)

р = О(mod 8)р = О(mod 8)р = 1, 7 р = 2» 4, 6 р = 3, 5 (mod 8) (mod 8) (mod 8)

р = О(mod 8)

р = О(mod 8)

В каждой из четырех верхних строк таблицы жирным шрифтом выделено наибольшее число, согласованное с условием на р, указанным в последней строке. Например, в первой строке 2 > 1, но 2^0, в то время как 1 = 1 (mod 8). Из этой таблицы находим, что максимум числа р имеет вид

2Ь (и) + 1, если 2b (п) + 2, если 2Ь (и) + 4, если 2Ь (и) + 8, если2Ь (и) + 1, если 2b (п) + 2, если 2Ь (и) + 4, если 2Ь (и) + 8, если方5)三0 (mod 4); ft (и) 1 (mod 4); 匕⑺=2 (mod 4); 匕⑺=3 (mod 4).方5)三0 (mod 4); ft (и) 1 (mod 4); 匕⑺=2 (mod 4); 匕⑺=3 (mod 4).

2Ь (и) + 1, если 2b (п) + 2, если 2Ь (и) + 4, если 2Ь (и) + 8, если

2Ь (и) + 1, если 2b (п) + 2, если 2Ь (и) + 4, если 2Ь (и) + 8, если

方5)三0 (mod 4); ft (и) 1 (mod 4); 匕⑺=2 (mod 4); 匕⑺=3 (mod 4).

方5)三0 (mod 4); ft (и) 1 (mod 4); 匕⑺=2 (mod 4); 匕⑺=3 (mod 4).

Наконец, чтобы увидеть, что эти значения дают р(п), вспомним, что b (и) = c(n) + 4d(n), и заметим, что по определению с(п) = k тогда и только тогда, когда b(n) = k (mod4), 0&々&3・

Б* М (л — 1) & Р (л) — 1

Мы дадим доказательство только в общих чертах; детали см. Адамс [1].

Отправным пунктом для исследования Адамса служит

Теорема 2. Если существуют р (п), и ^ 1, линейно независимых полей на сфере то найдутся такое целое число m^l, что р(/и) = р(и), и такое отображение f усеченного вещественного проективного

пространства處+Р5)/處-1 8 сферу Sm, что композиция отображений

5。=處/處.1 -^-> P^+P(m)/pLi 丄* s^ имеет степень 1.

Примечание. Для любых целых чисел р> q существует естественное вложение пространства Р^ в Рр. Поэтому факторпространство "/" корректно определено. Отображение I из теоремы 2 индуцировано отображением пар(Р^> P^-i)f (Р%+р(т),成-i).

Адамс доказал теорему 2 с помощью всестороннего использования работы Джеймса [1] о гомотопиях многообразий Штифеля и работы Атьи [1] о так называемых комплексах Тома. Идеи доказательства этой теоремы требуют введения довольно многих понятий, включая S-теорию Спеньера — Уайтхеда. Мы не будем обсуждать здесь эти понятия, отсылая читателя к статьям Джеймса [1] и Атьи [2].

В силу теоремы 2 для доказательства неравенства М(п—1)&р(п)—1 достаточно доказать, что справедлива

Теорема 3. Не существует отображения

удовлетворяющего условию теоремы 2.

Тем самым задача доказательства несуществования определенного числа векторных полей сводится к задаче доказательства несуществования определенного отображения. В алгебраической топологии такие задачи решаются с помощью обычного метода, заключающегося в том, что если g: X -> У — предпола* гаемое отображение (существование которого мы хотим опровергнуть), то индуцируемое им отображение g*: H*(y)f/Г(Х) в когомологиях должно обладать некоторым алгебраическим свойством, несовместимым со свойствами колец Н*(Х), Н* (У) (поскольку g наделено некоторым топологическим свойством). Это противоречит существованию g\ а

следовательно, и g. (Простые примеры, иллюстрирующие этот метод, см. Ху Сы-цзян [1, гл. I].) Если даже кольцевой структуры колец когомологий недостаточно для отрицания существования g*, то можно получить противоречие, вводя когомологические операции в кольца когомологий пространств. Основы этой теории и некоторые приложения можно найти в книге Стинрода и Эпштейна [1].

Адамс [1] для доказательства несуществования отображения f (см. теорему 3) использует /(-теорию вместо обычной теории когомологий. Итак, рассмотрим индуцированное отображение

Г： KR(S")f Kr (處+р(т)/Р=1).

Здесь Kr —функтор, аналогичный функтору К из гл. IX, с вещественными векторными расслоениями вместо комплексных. (Раньше следовало бы писать К = Кс) В обозначениях теоремы 2 композиция f。» эквивалентна тождественному отображению (топологическое свойство отображения /). Тогда композиция 2*。，* равна тождественному отображению (алгебраическое свойство отображения 尸). Тем самым Kr (Р^+р(m)/P^-i) расщепляется в прямую сумму keri* ® Imf*・ Хотя кольцевая структура в KR(P^+p(m/P%-1) допускает возможность такого расщепления, оно исключается, поскольку операции 屮', изученные в гл. IX, делают его невозможным.

Таким образом, задача сводится к вычислению колец Kr("/") и операций 屮上 Кк("/Ю — fKR(P^/P》・

Адамс производит вычисление колец Ka (X) в следующем порядке:

Л = С, Х = Р；/р；,

Л = С, X = PplPqt

Л = R, X = Pp)P^t

Так как факторпространства Рр/Р^ представляют собой совсем простые клеточные комплексы, то необходимые вычисления, использующие методы гл. IX,

вполне выполнимы. (В частности, обычные группы когомологий этих пространств можно вычислить почти механически методом гл. II.)

Просто с целью иллюстрации результатов гл. IX доведем до конца вычисления в случае а).

Введем сначала некоторые обозначения. Мы будем писать К, Рр вместо Кс, Рр. Далее, пусть ^ — каноническое линейное расслоение над Рр, т. е. над каждым проективным классом [/, г2, ..., гр+1] е Рр, слоем которого служит комплексная прямая, состоящая из всех {р + 1)-наборов (九/, ^г2, ..., ^гр+1),九 wC (ср. гл. IX, теорема 2). Если 1 — тривиальное линейное расслоение над Рр1 положим ц = -q— 1. Тогда 岡wR(Pp)・

Заметим, что класс Чжэня с} (rj) является образующей в группе когомологий Н2{Рр\ Z). В самом деле, стандартное вложение

，：〜ао

будет классифицирующим отображением расслоения % и потому, если с} е ^(Р^ представляет собой универсальный класс Чжэня, то

С1(Я)=『(3)， и наше утверждение доказано.

Теорема 4. Кольцо К(Рр) является усеченным кольцом полиномов с целыми коэффициентами, имеющим единственную образующую [ц] и единственное соотношение [ц]р+1 = 0. Естественная проекция Ppf f PpIPq переводит К (Рр/Р«) изоморфно на идеал 8 К (Рр), порожденный элементом [卩『+1 Когомологические операции 屮存 удовлетворяют соотношению 屮气[仃)=((1 +岡)&-1『.

Доказательство. Аддитивная структура в К (Рр) легко выводится из теоремы 13 и следствия из теоремы 14 гл. IX. Действительно, так как группа /Г(Рр； Z) свободна от кручений, то (в обозначениях гл. IX) K'(Pj wZ% если г четно, н 仝0, если г нечетно (Z〃 обозначает прямую сумму р экземпляров

группы Z). В частности, R (Рр) = К°(Рр) = Zp и потому

K(Pp)aR(Pp)㊉ ZaZP+L

Мы утверждаем, что элементы 1, [ц], [ц]2, .・., [ц]р составляют множество групповых образующих кольца ^ (Рр) (отсюда следует, что [ц] — кольцевая образующая кольца К (Рр)). Покажем, что элементы 1, [ц], [卩产，・• [卩F образуют Q-базис для Q-линейного пространства k(P*j®Q・ Для этого заметим, что

ch (л) = е&(“

и так как q(n) можно отождествить с образующей у в Н*(Рр； Z)^Z[y]l(y^ то

ch (ц) = ch(Т)) - 1 = еу - 1 = г/ + -|^- + ... .(*)

Очевидно, достаточно показать, что элементы

1, [ц],[卩]2,...,[卩]* Q-линейно независимы.

Предположим, что

%，1 + з，[卩]+... +旬[卩F = 0.

Применяя характер Чжэня к этому уравнению, получаем

а0 + "1(У + 今+ …)+电(У + 今+…)+ … =0,

и в силу известного свойства элемента у

“О = 4Z] = ♦ ♦ ♦ = Пр = 0*

Мы оставляем читателю проверить, что элементы 1, [ц], [ц]2, ..., [ц]р образуют Z-базис в К(Р*) (ср・ Атья и Хирцебрух [1, стр. 19]).

Так как yWO, то очевидно, что

ch(p*+i) = O,

откуда 卩*+1 = 0, поскольку отображение ch инъективно (теорема 13 гл, IX).

Итак, первое утверждение теоремы 4 доказано. Чтобы получить второе утверждение, рассмотрим точную последовательность пары (Р*, Р?)

…f КТ (Pg)」＞K°(Pp, Pq) 口 К°(Рр)亠 К°(Рр)

(здесь Г и /* индуцированы стандартными вложениями). Так как //(「?) = О, если г нечетно, то f вкладывает K(PJPg) = К°(4, Р?) в K°(Pf В силу точности последовательности Im /* — ker Г, причем множество ker Г образовано элементами [卩]°+* ・・•，仙『・ Отсюда получаем второе утверждение.

Наконец, вычислим операции 屮 в К(Р*)・ Так как т] — линейное расслоение, то

印尼(叫=哦

(см. первый абзац доказательства леммы 15 гл. IX). Из определения [ц] следует, что

屮气1 +岡)=(1 +同产.

Так как 屮尼一групповой гомоморфизм, то

印尼(同)= (1+同产-1，

а так как ^ — кольцевой гомоморфизм, то

印尼(同‘) = ((1 +同户一1)‘.

ЛИТЕРАТУРА !)

Адамс (Adams J. F.)

Vector fields on spheres, Ann. 0f Math., 75 (1962). Александров П. C.

Комбинаторная топология, Гостехиздат, M. — Л., 1947. Атья М.

*1. Лекции по К-теории,《Мир», М., 1967.

Пространства Тома, сб. Математика, 10 : 5 (1966), 43—69. Атья, Хирцебрух (Atiyah М., Hirzebruch F.)

Vector bundles and homogeneous spaces, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 3, Differential Geometry, 7—38, American Mathematical Society, 1961.

Б у p ж e н (В о u г g i n A.)

1. Modern algebraic topology, New York, 1963. Вейль A.

Классические группы, их инварианты и представления ИЛ, М., 1947.-

ГуревичУ., В о л м э н Г.

1. Теория размерности, ИЛ, М., 1948.

Джеймс (James L М.)

The intrinsic join. A study of the homotopy groups of Stie fel manifolds, Proc. London Math. Soc., 8 (3), (1958) 507—535.'

К a p та н А., Эйленберг C.

Гомологическая алгебра, ИЛ, M., 1960.

Колмогоров А. Н., Фомин С. В.

*1. Элементы теории функций и функционального анализ; 《Наука》，М., 1968.

Кук, Ф и н р е й (Cooke, F i п г е у)

Homology of cell complexes, Princeton Univ. Press, 196' Л e ф ш e ц C.

Алгебраическая толология, ИЛ, M., 1949.

Геометрическая теория дифференциальных уравнени- ИЛ, М., 1961.

Л ю м и с Л.

Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, М 1956.

Милнор Д ж.

1. Теория Морса,《Мир》，М-, 1965.

】)Литература, отмеченная звездочкой, добавлена при пер воде. — 〃р^м, перев.

Понтрягин Л. С.

Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых многообразий, Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 125—162.

Непрерывные группы, Физматгиз, М., 1954.

Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопии, Труды МИАН, 45 (1955).

Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгиз, М., 1961.

д е рам Ж-

Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.

С т и н р о д Н.

Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953.

Сти нрод Н., Эйленберг С.

Основания алгебраической топологии, Физматгиз, М., 1958.

С т и н р о д, Эпштейн (S t е е п г о d N., Epstein А.)

Cohomology operations, Princeton Univ. Press, 1962. Фукс Д. В.

Спектральные последовательности расслоений, УМН, 21, вып. 5 (131) (1966).

Хилтон Дж., Уайли С.

Теория гомологий, «Мир», М., 1966.

Хирцебрух (Н I г z е b г и с h F.)

Neue Topologische Methoden in der algebraischen 66dmet- rie, Springer, 1962.

Холл M.

Теория групп, МЛ, M., 1962.

X у С ы - ц з я н

Теория гомотопий, «Мир», М., 1964.

X у с е й н и (Н u s s е i n i S. Y.)

Topics in the algebraic topology of the classical groups, University of Wisconsin, lecture notes.

Шварц (Schwartz J J

1. Lecture notes on nonlinear functional analysis, New York University, 1963/64.

De Rham's theorem for arbitrary spaces, Amer. /. Math 77, № 1 (1955), 29-44.'

Экман (E c k m a n n B.)

Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz — Ra- don uber die Komposition quadratischer Formen Comm Math. Helv., 15, № 4 (1942/3), 358—366.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода . . . • 5

Предисловие автора 7

Глава I. Общая теория многообразий 9

Глава II. Степень отображения и теория пересечений. При-

3434ложения

34

34

Глава III. Другие приложения теории пересечений .... 62

А. Гомологии многообразий Грассмана 62

Б. Теорема двойственности Пуанкаре 75

Глава IV. Введение в теорию расслоений Стинрода . . , . 83

Глава V. Спектральные последовательности 93

Глава VI, Введение в теорию характеристических классов . 103

Глава VII. Риманова геометрия. Приложение характеристических классов116

Глава VIIL Обобщенные теории когомологий .137

А. Экстраординарная теория когомологий137

Б. ^теория 146

Глава IX. ^-тeopия. Продолжение159

Глава X, Векторные поля на сферах209

А. М (" — 1) > р (") — 1210

Б. М (п — 1) < р (п) — 1 216

Литература222

ПК ШВАРЦ

Дифференциальная геометрия и топология

Редактор Л. Б. ШтейнпрессХудожник Н. Я. Фильчагина

Художественный редактор Н. Г. БлиновТехнический редактор Н. Д. Толстякова

Сдано в производство 30/IX 1969 г.Подписано к печати 17/Ц 1970 г.

Бум. № 2.84X108732 = 3,50 бум. л, Печ. усл. 11,76. Уч.-изд. л. 9,21.

Изд. № 1/5430. Цена 64 коп. Зак. 356.

ИЗДАТЕЛЬСТВО “МИР"

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29.

трансверсальным к ^ в точке q ^ А, если ①(q)史 N. Далее в пунктах а), Ь) имеется в виду отображение 屮,трансверсаль

尸 ерез.