МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

И ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЛОГИКА

Дж. ШЕНФИЛД

Перевод с английского

И. А. ЛАВРОВА и И. А. МАЛЬЦЕВА

Под редакцией Ю. Л. ЕРШОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1 9 7S

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 19 7 5

617

Ш47

УДК 519.9

JOSEPH R. SHOENFIELD

MATHEMATICALLOGIC

ADDISON-WESLEYPUBLISHING COMPANY19 6 7

20203-116

Ш 053 (02)-75

67-75

© Перевод на русский язык. Главная редакция физико-математической литературы издательства《Наука», 1975 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора 7

Предисловие 9

Глава 1. Природа математической логики 11

.L Аксиоматические системы (И). 1.2. Формальные системы (13). 1.3. Синтаксические переменные (19).

Глава 2. Теории первого порядка 23

2.1. Функции и предикаты (23). 2.2. Функции истинности (25).

2.3. Переменные и кванторы (28). 2.4. Языки первого порядка (31). 25 Структуры (37). 2.6. Логические аксиомы и правила (40). Задачи (44).

Глава 3. Теоремы в теориях первого порядка 47

Теорема тавтологии (47). 3.2. Результаты о кванторах (54).

Теорема дедукции (56). 3.4. Теоремы эквивалентности и равенства (58). 3.5. Пренексная форма (62). Задачи (65).

Глава 4. Проблема характеризации 67

Теорема редукции (67). 4.2. Теорема полноты (70).

Теорема непротиворечивости (79). 4.4. Теорема Эрбрана

(84). 4.5. Добавление функциональных символов (90).

Расширения с помощью определений (93). 4.7. Интерпретации (98). Задачи (103).

Глава 5. Теория моделей 108

Теорема компактности (108). 52 Изоморфизмы и подструктуры (111), 5 3. Мощность моделей (122). 5,4. Совместная непротиворечивость (124). 5.5, Полные теории (128). 5.6. Кат占 горичность (138). Задачи (144).

Глава 6. Неполнота и неразрешимость 162

Вычислимость (162). 6.2. Рекурсивные функции (165).

6・3. Явные определения (168). 6.4. Номера последовательно- сте同(174). 6.5. Тезис Чёрча (180). 6.6. Номера выражений (185). 6.7, Представимость (190). 6.8. Теорема Чёрча и теорема 0 неполноте (196). 6.9. Неразрешимость (201). Задачи (206).

Глава 7. Теория рекурсии 215

Частичные функции (215). 7.2. Функционалы и отношения (220). 7.3. Свойства рекурсивных функционалов (226). 7.4. Индексы (234). 7.5. Арифметическая иерархия (239). 7.6. Относительная рекурсивность (244). 7.7- Степени (252). 7.8., Аналитическая иерархия (258). 7.9. Гиперарифметические отношения (262). 7.10. Теорема характеризации (267). 7.11. Теоремы о базисе (276). Задачи (283).

Глава 8. Натуральные числа 300

Арифметика Пеано (300). 8.2. Теорема о доказательствах непротиворечивости (307). 83 Доказательство непротиворечивости (315). 8.4. Применения доказательства непротиворечивости (32 7). 8.5. Арифметика второго порядка (33 4). Задачи (343).

Глава 9. Теория множеств 348

Аксиомы для множеств (348). 9.2. Систематическое построение теории множеств (352). 9.3. Ординалы (359). 9.4. Кардиналы (369). 9.5. Интерпретации теории множеств (379). 9.6. Конструктивные множества (393). 9.7. Аксиома конструктивности (401). 9.8. Вынуждение (408). 9.9. Доказательства независимости (422) 9.10. Большие кардиналы (436). Задачи (452).

Приложение I. Проблема тождества слов 459

Приложение II. Неразветвленное вынуждение 482

Предметный указатель 520

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

В настоящее время интерес к математической логике и теории алгоритмов непрерывно растет. Все большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу обучения курсы математической логики, теории алгоритмов или их фрагменты. Специалисты в области ЭВМ начинают осознавать, что эти разделы математики являются фундаментом для' построения настоятельно необ^ ходимой сейчас хорошей теории математического обеспечения и теории вычислений. Многие специалисты далеких от математики разделов науки начинают сознательно знакомиться с достижениями математической логики. За последние годы вышли переводы многих хороших книг по математической логике и теории алгоритмов, однако ни эти переводы, ни довольно бедный ассортимент отечественных книг не могут полностью удовлетворить запросы читателей. Предлагаемая вниманию читателей книга сочетает в себе (относительную) простоту изложения с почти энцикло^ педической полнотой содержания. Ее выход в русском переводе будет полезен широкому кругу советских читателей.

Книга Дж. Шенфилда «Математическая логика» вышла в США в 1967 г. и в настоящее время, после прошествия семя лет, становится ясным, что она завоевала постоянные симпатии специалистов и стала, в определенном смысле, «канонической» книгой. Это проявляется, например, в том, что ссылки на нее в журнальных статьях делаются чаще, нем на какие-нибудь другие систематические изложения ^нов математической логики. Чем это можно объяснить? Прежде всего краткостью, полнотой и тщательностью от- 6°ра материала. Полнота изложения книги весьма впечат- ляюща. При сравнительно небольшом объеме она седер、 右нт практически все теоремы, заслужившие всеобщее при- знание специалистов, в области математической логики, те°рии моделей и теории алгоритмов. Так, например, книга

содержит: теорию счетно категоричных теорий, решение проблемы Поста о степенях неразрешимости, основные результаты о независимости в аксиоматической теории множеств и многое, многое другое. Впервые в такой книге изложено гёделевское доказательство непротиворечивости арифметики, использующее функционалы высших типов. Краткость книги достигнута многими авторскими находками в способе подачи материала. Многие важные результаты излагаются в упражнениях, которые составляют необ- : ходимую органическую часть книги. К сожалению, стремление к краткости иногда приводит и к некоторым потерям. Написанная довольно понятно в целом, книга в некоторых местах становится трудно понимаемой.

Ряд важных теорем книги снабжен указаниями на их авторство* В основном эти указания точны, но имеются и досадные упущения. Так не отмечено, что теорема полноты и теорема компактности в полном объеме (для любой сигна-: туры) принадлежат выдающемуся советскому математику академику А. И. Мальцеву.

Книга имеет 9 глав и 2 приложения. Главы 1——5, 9 и приложение II переведены И. А. Лавровым, главы 6—8 и приложение I —И. А. Мальцевым.<

Автор любезно предоставил в распоряжение редактора ； и переводчиков список замеченных опечаток и неточностей : и высказал пожелание в присоединении в качестве второго ; приложения статьи, автора «Неразветвленное вынуждение», i Редактор благодарен Дж. Шенфилду за полезное сотрудни-； чество. Пожелание автора о включении статьи «Неразветвленное вынуждение», содержащей замечательное упрощение изложения результатов о независимости в аксиомати- ческой теории множеств, выполнено. При переводе были ： исправлены замеченные опечатки и неточности (указанные и не указанные автором) без всяких особых указаний на это. В переводе имеется совсем немного примечаний, сделанных, редактором и переводчиками. При этом сознательно подав-； лилось возникающее иногда желание делать замечания, основной целью которых являлась бы демонстрация того, что редактор (переводчик) понимают то, о чем идет речь в книге. Как показывает опыт, чтение книг, снабженных многочисленными такими примечаниями, оказывается довольно мучительным делом.

Ю. 〃. Ершов

Посвящается

КЛИФФОРДУ СПЕКТОРУ (1930—1961)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Редко бывает, чтобы автор учебника по математике не жаловался на недостаток места для изложения своего предмета. Сегодня невозможно описать во вводных курсах анализа, алгебры или топологии даже все центральные направления исследований. Это в какой-то мере возможно в математической логике, но и здесь приходится отбрасывать многие интересные разделы. Поэтому я пытался собрать главные результаты только в кажущихся мне центральными направлениях математической логики: теории доказательств, теории моделей, теории рекурсии, аксиоматической теории чисел и теории множеств. При этом я не хочу создавать предубеждения против многозначных логик, типов рекурсивной эквивалентности и других специальных вопросов; читатель должен изучать их где- нибудь в другом месте. Особенно важной из опущенных тем является интуиционизм; наличие соответствующих учебников и некомпетентность автора в этом вопросе являются главными моими оправданиями.

Но и главные направления не могут быть описаны полностью; однако я пытался предложить несколько нетривиальных теорем и доказательств в каждом из этих направлений. Число результатов значительно увеличено благодаря задачам. Это не шаблонные упражнения, а важные результаты, доказательства которых часто требуют значительного обобщения методов, изложенных тексте книги. Я надеюсь, что сделанные указания будут достаточными Для того, чтобы хороший студент решил эти задачи, но он не должен быть обескуражен, если многие из этих задач покажутся ему очень трудными.

Математическая логика всегда была тесно связана с философией математики. Я обычно избегаю философских рас- суждений, за исключением тех мест, где они тесно связаны с математическим материалом. Иногда, излагая некоторую

точку зрения, я не буду при этом извиняться за то, что я не отмечаю противоположной точке зрения, также широко распространенной.

Эта книга значительно расширена по сравнению с конспектом курса математической логики, прочитанного несколько раз, начиная с 1958 г., в университете имени Дьюка. Часть материала взята из курса по теории рекурсии, прочитанного в Стенфордском университете в 1964—1965 гг. Включенный материал несколько больше, чем я обычно читаю в одногодовом курсе.

Так как я предназначаю эту книгу в качестве учебника для аспирантов первого года обучения, то ют читателя требуется достаточная математическая зрелость. С другой стороны, необходим лишь ограниченный запас математических знаний. Достаточно знания простейших свойств натуральных чисел и множеств, а также некоторого знакомства с современной алгеброй. Но некоторые задачи требуют знакомства с более сложными темами.

Только небольшая часть результатов книги принадлежит автору. Я не стремился указывать автора каждого результата; имена, данные важнейшим теоремам, просто дают читателю представление о людях, создававших эту науку. Я также опускаю все библиографические ссылки. Но одну книгу, имеющую для меня особое значение, я хотел бы отметить: это книга Клини «Введение в метаматематику».

Наряду с имеющимися опубликованными источниками я использовал беседы и переписку со многими логиками. Я хотел бы, в частности, поблагодарить Джона Аддисона, Соломона Фефермана, Азриэля Леви, Анджея Мостовского, Ричарда Платека, Хартли Роджерса, Дэна Скотта, Клиффорда Спектора, В. В. Тейта и Роберта Воота. Этот список не исчерпывающий, но я надеюсь, что многие другие примут мою общую благодарность за их содействие.

Особенно я обязан Георгу Крайзелю. Именно в дискуссиях и переписке с ним за многие годы я пришел к выводу, что математическая логика является не собранием разрозненных результатов, а действенным методом изучения некоторых наиболее интересных проблем, стоящих перед математиками. Я считаю, что успех этой книги будет зависеть от того, насколько она передаст эту идею читателю.

Дарем, Северная Каролина Май 1967

ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Аксиоматические системы

Логика изучает умозаключения, а математическая логика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются математики. Поэтому, чтобы найти правильный подход к математической логике, мы должны исследовать методы, которыми пользуются в математике.

Отличительной чертой математики, в противоположность другим наукам, является использование доказательств, а не наблюдений. Физик может выводить физические законы из других физических законов, но как окончательное подтверждение физического закона он обычно рассматривает согласованность с экспериментом. Математик может при случае использовать наблюдение: например, он может измерить углы многих треугольников и прийти к выводу, что сумма этих углов всегда равна 180°. Однако он признает этот факт как математический закон только тогда, когда это будет доказано.

Несмотря на это, ясно, что невозможно доказать все математические законы. Самые первые законы, которые принимаются, не могут быть доказаны, так как нет более ранних законов, из которых они могут быть выведены. Поэтому мы должны выбрать некоторые начальные законы, называемые аксиомами, которые принимаются без доказательства; остальные законы, называемые теоремами, доказываются, исходя из аксиом.

На каком основании мы принимаем аксиомы? Здесь мы могли бы пытаться применить наблюдение, но это не очень практично и не в духе математики. Поэтому мы пытаемся выбрать в качестве аксиом такие законы, которые, как мы полагаем, очевидны по самой природе рассматриваемых понятий.

Так мы сводим большое число законов к небольшому числу аксиом. Похожее сведение происходит и с математи-

ческими понятиями. Мы обнаруживаем, что можно определить некоторые понятия в терминах других понятий. Но опять-таки самые первые понятия, которые мы используем, не могут быть определены, так как нет более ранних понятий, в терминах которых их можно было бы определить. Поэтому мы выбираем некоторые понятия, называемые основными понятиями, которые остаются неопределенными; остальные понятия, называемые производными понятиями, определяются в терминах основных, К основным понятиям, так же как и к аксиомам, предъявляется требование： они должны быть столь просты и ясны, что мы можем понимать их без точного определения.

В любом утверждении можно заменить производные понятия основными понятиями, в терминах которых они определены. В частности, это можно сделать для аксиом. Поэтому можно предполагать, что все понятия, которые встречаются в аксиомах, являются основными.

Теперь можно следующим образом описать то, что делает математик. Он предлагает нам некоторые основные понятия и некоторые аксиомы об этих понятиях. Затем он объясняет нам эти понятия, пока мы не поймем их достаточно хорошо, чтобы увидеть, что аксиомы являются истинными. Далее он переходит к определению производных понятий и доказывает теоремы об основных и производных понятиях. Здание, которое он строит, состоящее из основных Понятий, производных понятий, аксиом и теорем, называется аксиоматической системой. Это может быть аксиоматической системой для всей математики или для некоторой части математики такой, как планиметрия или теория действительных чисел.

До сих пор мы предполагали, что описываем какие-то заранее подразумеваемые понятия. Но даже в этом случае можно придумать и другие понятияt которые делают наши аксиомы истинными. В этом случае все доказанные теоремы будут также истинными для этих новых понятий. Это приводит математиков к построению аксиоматических систем, аксиомы которых являются истинными для многих понятий. Типичным примером является множество аксиом для групп. Мы называем такие аксиоматические системы совре^ менньши, в противоположность классическим аксиоматическим системам, о которых говорилось раньше. В действительности, конечно, разница не в самой аксиоматической системе, а в замысле ее построения.

Руководствуясь этими замечаниями, мы начинаем изучение математической логики с изучения аксиоматических систем. В итоге это приведет нас к разнообразным проблемам, ряд которых будет лишь косвенно связан с аксиоматическими системами.

Формальные системы

Аксиома (или теорема) может рассматриваться с двух точек зрения. Мы можем воспринимать ее как некоторое предложение, т. е. объект, находящийся на бумаге, когда мы записали эту аксиому, или интересоваться смыслом этого предложения, т. е. фактом, который выражен этой аксиомой. Казалось бы, последнее кажется более важным. Очевидная цель предложения —— выражать смысл этого предложения ясно и точно. Это очень полезная цель, но, по-видимому, мало чего дающая для оснований математики.

При этом существуют два важных довода в пользу изучения аксиом и теорем именно как предложений. Во-первых, если мы удачно выберем язык для выражения аксиом, то структура предложения будет до некоторой степени отражать смысл аксиомы. Поэтому можно изучать понятия, входящие в аксиоматическую систему, изучая структуру предложений, выражающих аксиомы. Это особенно ценно для современных аксиоматических систем, так как для них наше интуитивное понимание основных понятий может быть очень слабым.

Второй довод состоит в том, что понятия математики обычно очень абстрактны и поэтому трудны для понимания. Между тем предложение является конкретным объектом; таким образом, изучая аксиомы как предложения, мы подходим к абстрактному через конкретное.

Бесспорно одно: мало пользы в изучении конкретных объектов (в отличие от абстрактных), если мы не подходим к ним конкретно или конструктивно. Например, когда мн хотим доказать, что некоторый конкретный объект с каким-то свойством существует, мы должны фактически построить такой объект, а не просто показать, что несуществование такого объекта привело бы к противоречию.

О доказательствах, которые оперируют с конкретными объектами конструктивно, говорят, что они финитны.

Другое описание этого термина, предложенное Крайзелем, состоит в следующем; доказательство финитно, если мы можем сделать его обозримым. Конечно, ни одно из этих описаний не является очень точным, но мы можем применять их во многих случаях для решения того, будет данное доказательство финитным или нет.

Поскольку фундаментальное различие между конкретными и абстрактными объектами принято во внимание, появляются разнообразные вопросы, на которые можно ответить, лишь изучая финитные доказательства. Например, Гильберт, первым начавший такое изучение, считал, что только финитная математика может быть безоговорочно оправдана нашей интуицией. Абстрактная же математика вводится для получения более легких или элегантных доказательств финитных результатов. Поэтому Гильберт предложил программу с целью показать, что всю обще- признаваемую абстрактную математику (или ее существенную часть) можно рассматривать подобным образом. Вопрос о том, как далеко можно продвинуть эту программу, представляет очевидный интерес даже для тех, кто не разделяет точку зрения Гильберта на абстрактную математику*

Изучение аксиом и теорем как предложений называется синтаксическим изучением аксиоматических систем; изучение смысла этих предложений называется семантическим изучением аксиоматических систем. По причинам, изложенным выше, мы будем часто различать синтаксический и семантический аспекты наших исследований. Когда это возможно и достаточно удобно, наши синтаксические исследования будут финитными. Мы всегда будем рассматривать аксиомы и теоремы как предложения и, следовательно, как синтаксические объекты; когда мы хотим изучать их семантически, мы говорим о смысле аксиом или теорем.

В ведем понятие формальной системы, которое будет сопровождать нас в нашем синтаксическом изучении. Грубо говоря, формальная система представляет собой синтаксический аспект аксиоматической системы. Дадим точное определение.

Первой частью формальной системы является ее язык. Как указывалось раньше, язык должен быть выбран так, чтобы структура предложений по возможности отражала

их смысл. По этой причине, как, впрочем, и по другим, для наших формальных систем обычно будут использоваться искусственные языки.

Чтобы определить язык, нужно прежде всего определить его символы. В случае русского языка ) символами будут буквы, цифры и знаки препинания. Большинство наших искусственных языков будет иметь бесконечно много символов.

Любая конечная последовательность символов языка называется выражением этого языка* Понятно, что символ может несколько раз появляться в выражении; каждое такое появление называется вхождением этого символа в данное выражение. Число вхождений символов в выражение называется длиной этого выражения. (Таким образом, русское выражение ботинок имеет длину 7.) Мы допускаем в качестве выражения пустую последовательность; это единственное выражение длины 0.

Одно выражение может встречаться внутри другого выражения. Каждое такое появление называется вхождением первого выражения во второе. Например, русское выражение он имеет 2 вхождения в русское выражение понтон. Однако вхождениями не считаются те случаи, когда символы первого выражения встречаются во втором выражении в другом порядке или разделяются другими символами. Таким образом, он не имеет вхождений в выражения нос или война.

Большинство выражений в алфавите русского языка не имеет смысла. Среди осмысленных выражений имеются (повествовательные) предложения, которые приблизительно могут быть описаны как выражения, которые утверждают некоторый факт. Мы будем требовать, чтобы в каждом языке.некоторые выражения языка выделялись как формулы этого языка; под ними- будем подразумевать такие выражения, которые утверждают некоторый факт.

Язык считается полностью определенным, когда определены его символы и формулы. Это делает язык чисто синтаксическим объектом. Конечно, большинство наших языков будут иметь определенную семантику (возможно, не единственную), но эта семантика не считается частью

языка. Язык формальной системы 尸 будем обозначать через /(尸).

Следующей частью формальной системы являются ее аксиомы. Наше единственное требование состоит в том, чтобы каждая аксиома была формулой языка формальной системы.

Нам нужна также третья часть формальной системы, которая позволит нам получать теоремы из аксиом. Это достигается с помощью правил вывода, которые часто будут называться просто правилами. Каждое правило вывода утверждает, что при некоторых условиях одна формула, называемая заключением правила, может быть выведена из некоторых других формул, называемых посылками правила.

Как же определить теоремы формальной системы F? Очевидно, они должны удовлетворять следующим двум законам:

аксиомы системы 尸 являются теоремами системы F;

если все посылки некоторого правила системы F являются теоремами системы F, то заключение этого правила является теоремой системы F.

Более того, желательно, чтобы формула была теоремой системы только тогда, когда это следует из этих двух законов* Поэтому мы можем определить теорему системы 戸 как формулу, которая является теоремой на основании законов ⑴ и (ii).

Можно дать более явное описание теорем системы 戶， Пусть S()— множество аксиом; это формулы, о которых можно заключить, что они являются теоремами на основании закона (i). Пусть S^ — множество формул, которые являются заключениями правил, посылки которых нахо* дятся в множестве So; это формулы, о которых можно заключить, что они являются теоремами на основании закона (и). Пусть S2 — множество (^юрмул, которые являются заключениями правил, посылки которых находятся в множествах So и &; это также теоремы на основании закона (ii). Таким же путем строятся множества S3, S4,... Пусть S® -- множество формул, которые являются заключениями правил, посылки которых находятся по крайней мере в одном из множеств So, S^ …；это опять-таки теоремы согласно закону (ii). Продолжаем этот процесс до тех пор, пока по закону (ii) нельзя будет получить новых теорем; вот теперь мы имеем все теоремы.

Определение только что описанного типа называется обобщенным индуктивным определением. Обобщенное индуктивное определение семейства- объектов С состоит из некоторого множества законов, каждый из которых говорит о том, что при подходящих предположениях некоторый объект х лежит в С. Некоторые из этих предположений могут говорить о том, что какие-то объекты, определенным образом связанные с х, лежат в С. Когда дается такое определение, всегда подразумевается, что объект лежит в С, только если это следует из данных законов. Можно дать более явное описание С, аналогичное сделанному выше.

В качестве другого примера предположим, что мы определили 0 и последователь и хотим определить натуральные числа. (Натуральные числа — это неотрицательные целые числа 0, 1, 2, ... Последователем натурального числа является следующее большее натуральное число.) Можно дать такое обобщенное индуктивное определение:

0 есть натуральное число;

если у есть натуральное число, то последователь у есть натуральное число.

Чтобы доказать, что каждая теорема системы F имеет некоторое свойство Р, достаточно доказать, что формулы, имеющие свойство Р, удовлетворяют законам, указанным в определении теоремы. Другими словами, достаточно доказать, что:

(У) каждая аксиома системы 尸 имеет свойство Р;

jii') если все посылки некоторого правила системы F имеют свойство Р, то заключение этого правила имеет свойство Р.

Из (Y) и (ii') следует, что каждый элемент множеств 50, S[, ... , Seo,…,построенных выше, имеет свойство Р; поэтому каждая теорема имеет свойство Р. Данное таким способом доказательство называется доказательством индукцией по теоремам] предположение в (ii‘), что все посылки правила имеют свойство Р, называется индуктивнъш предположением.

Более общо, предположим, что семейство С определено с помощью обобщенного индуктивного определения. Тогда, чтобы доказать, что каждый объект семейства С имеет свойство Р, достаточно доказать, что объекты, имеющие свойство Р, удовлетворяют законам данного определения,

Такое доказательство называется доказательством индукцией по объектам семейства С. Упомянутые в этих законах предположения, что некоторые объекты принадлежат семейству С, превращаются в таком доказательстве в предположение о том, что некоторые объекты имеют свойство Р; эти ' предположения называются индуктивными предположен : ниями. Читатель легко заметит, что если С есть семейство < натуральных чисел, полученное с помощью обобщенного ‘ индуктивного определения, данного выше, то доказательство индукцией и индуктивное предположение имеют их обычный смысл.

Правило формальной системы F называется конечным. если оно имеет только конечное число посылок. Почти все правила, которые мы будем рассматривать, будут конечными.

Пусть F ——формальная система, все правила которой конечны. Под доказательством в системе F мы понимаем конечную последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо заключение правила, посылки : которого предшествуют этой формуле в доказательстве. Если Л есть последняя формула доказательства Р, то мы говорим, что Р есть доказательство формулы. А.

Покажем, что формула Л системы F является теоремой тогда и только тогда, когда существует доказательство формулы 力.Прежде всего, как следует из законов (i) и ； (ii), каждая формула доказательства является теоремой;； следовательно, если формула А имеет доказательство, то ；： она является теоремой, Обратное докажем индукцией по теоремам. Если А ——аксиома, то сама формула Л является доказательством формулы А; следовательно, Л имеет доказательство. Теперь предположим, что Л может быть , выведена из формул 3丄,...,Вп по некоторому правилу системы F. По индуктивному предположению каждая из формул В/ имеет доказательство. Если мы поместим эти - доказательства одно за другим и добавим формулу А в конце этой последовательности, то получим доказательство формулы Л.

Будем писать 卜尸.一 в качестве сокращения для ...есть теорема системы F. Если не возникает путаницы, нижний индекс F опускаем.

Основные понятия аксиоматической системы будут соответствовать некоторым символам или выражениям формаль-

ной системы, связанной с данной аксиоматической системой. Производные понятия, так как они определяются в терминах основных понятий, в общем случае будут соответствовать более сложным выражениям. Если важному производному понятию соответствует весьма сложное выражение, может оказаться желательным ввести новый символ как сокращение этого выражения. Мы можем также пожелать ввести сокращения, чтобы сделать некоторые выражения более короткими или более удобными для чтения.

По этим причинам мы позволяем себе вводить в любой язык новые символы, называемые определяемыми символами. Каждый такой символ может комбинироваться определенным способом с символами данного языка и ранее определяемыми символами, чтобы образовать выражения, называемые определяемыми формулами. Каждая определяемая формула является сокращением некоторой формулы языка. (В этой терминологии сокращение не обязано быть более коротким, чем выражение, которое оно сокращает.) Для каждого определяемого символа мы должны дать определение этого символа; это должно быть правилом, говорящим, как строить определяемые формулы с новым символом и как для каждой такой определяемой формулы найти формулу ■ данного языка, которую она сокращает.

Подчеркиваем, что определяемые символы не являются символами языка, а определяемые формулы не являются формулами языка. Более того, когда мы говорим что-либо о некоторой определяемой формуле, мы в действительности говорим о формуле языка, которая была сокращена (при условии, что имеется какое-нибудь отличие). Так, длина определяемой формулы не есть число вхождений символов в определяемую формулу, а есть число вхождений символов в формулу, которую данная определяемая формула сокращает.

1.3. Синтаксические переменные

Рассматривая формальные системы, мы будем изучать выражения точно так же, как в анализе изучаются действительные числа. В обоих случаях исследования проводятся на русском языке, с добавлением некоторых специальных символов, приспособленных к исследованию. Рассмотрим некоторые специальные символы, используемые в анализе.

и введем аналогичные специальные символы для исследования формальных систем.

Прежде всего в анализе используются имена для некоторых действительных чисел, например, 3,——^,п. Нам также нужны имена для выражений. Мы находимся в благоприятной ситуации, так как мы можем дать имя каждому выражению при соглашении, что каждое выражение должно использоваться как имя для самого себя. Это соглашение неудобно для тех, кто пишет учебники по анализу: имя должно быть выражением, а действительное число не является выражением.

Однако при этом соглашении возникает одна опасность. Выражение может (в языке, который мы до сих пор рассматривали) быть именем какого-либо объекта, теперь оно стало также и именем для самого себя. Так, Бостон является именем некоторого города, но в связи с нашим соглашением это выражение есть также имя некоторого слова в русском алфавите. Мы избавлены от этого неудобства» потому что мы будем изучать лишь искусственные языки и при их изучении будем пользоваться русским языком. Так, если выражение входит в контекст искусственного языка, оно есть имя некоторого объекта; когда же выражение входит в контекст русского языка, оно есть имя самого этого выражения ).

Другим важным типом символов, используемых в анализе, являются переменные. В противоположность имени, которое имеет только одно значение, переменная имеет много значений. В анализе переменная может означать любое действительное число; или, как мы будем говорить, область изменения переменной есть совокупность действительных чисел. Однако переменная сохраняет постоянное значение на протяжении некоторого контекста. Формула, содержащая переменные, также имеет много значений — одно значение для каждого распределения действительных чисел как значений переменных, входящих в формулу. Например, х = % может означать 2 = 2нл; = п;* = у имеет эти же значения, а также 2 = 5. Когда в анализе

утверждается какая-то формула, содержащая переменные, то подразумевается, что все значения этой формулы являются истинными. *

Подобным же образом мы будем использовать синтаксические переменные^ только вместо действительных чисел их область изменения будет состоять из выражений изучаемого языка. Поэтому синтаксическая переменная может означать любое выражение языка, но значение этой переменной остается фиксированным на протяжении некоторого контекста. Формула, содержащая синтаксические переменные, имеет много значений — одно значение для каждого распределения выражений как значений каждой синтаксической переменной, входящей в формулу. Если такая формула утверждается, то подразумевается, что все значения этой формулы являются истинными.

Чтобы дать пример использования синтаксических переменных и выражений как имен для самих себя, предположим, что х есть символ формальной системы F. Предположим также, что мы получаем некоторую новую формулу системы 尸 всякий раз, когда добавляем символ х справа к некоторой формуле системы F. Условившись использовать символ и в качестве синтаксической переменной, можно выразить это следующим образом: если и есть формула, то выражение, полученное добавлением 尤 справа к 必, есть формула.

В анализе некоторые переменные имеют область изменения, состоящую только из части всех действительных чисел. Например, обычно область изменения i и / состоит только из натуральных чисел. Мы часто будем использовать синтаксические переменные, область изменения которых состоит лишь из некоторых выражений рассматриваемого языка. Если А используется в качестве синтаксической переменной, область изменения которой состоит из формул, то утверждение в конце предыдущего абзаца может быть сокращено до следующего: выражение, полученное из 4 добавлением справа символа %, есть формула.

В анализе ху обозначает результат умножения 尤 на у. Если м н @ — синтаксические переменные, то мы будем использовать запись 弘© для выражения, полученного сцеплением 我 не, т. е. написанием« и затем написанием а сразу после я. Такое же соглашение используется для дру- 「нх синтаксических переменных. Оно же может использо-

ваться и в комбинации синтаксических переменных с именами выражений. Например, утверждение в конце предыдущего абзаца может быть сделано более коротким: Ах есть формула.

Для синтаксических переменных будут использоваться полужирные буквы. В частности, мин будут означать синтаксические переменные, область изменения которых состоит из всех выражений; А, В9 С и D будут означать синтаксические переменные, область изменения которых состоит из формул. Другие синтаксические переменные будут введены позднее. При использовании полужирных букв для синтаксических переменных будем иметь в виду, что можно образовывать новые синтаксические переменные добавлением штрихов и индексов и эти новые синтаксические переменные будут иметь ту же область изменения, что и старые переменные. Таким образом, Д' и Аг являются синтаксическими переменными, область изменения которых состоит из формул.

В заключение добавим еще пару слов. Во-первых, если две различные синтаксические переменные встречаются в одном контексте, они не обязательно означают разные выражения (аналогично в анализе % и у не обязательно означают различные действительные числа). Во-вторых, синтаксические переменные не являются символами рассматриваемого языка; они являются символами, добавленными к русскому алфавиту, чтобы помочь исследованию этого языка.

ТЕОРИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.L Функции и предикаты

Как уже отмечалось, мы хотим изучать формальные системы, в которых структура языка связана с подразумеваемым смыслом языка. Теперь мы выберем класс формальных систем, обладающих этим свойством, который достаточно широк, чтобы включать в себя формализации обычных аксиоматических систем математики.

Наша первая задача ——описать языки, которые будут использоваться в этих формальных системах. Перед тем, как это сделать точно, мы неформально исследуем понятия, которые встречаются в математических аксиоматических системах, и введем для них некоторые обозначения. Некоторые из этих понятий являются общими для всех аксиоматических систем. Мы называем их логическими понятиями; они будут рассматриваться в следующих двух параграфах. В этом параграфе мы рассматриваем природу остальных понятий, которые называются нелогическими понятиями.

Начнем с примера. Предположим, что мы хотим построить язык для изучения натуральных чисел. Типичной формулой в таком языке была бы формула 2 + 1 V 4. Что означает каждый символ в этой формуле?

Ясно, что 2, 1 и 4 представляют конкретные натуральные числа. Можно думать, что символ + представляет объект, который связывает с каждой парой (а, Ь) натуральных чисел третье натуральное число, а именно, сумму а^Ь. Можно считать, что символ ＜； представляет некоторый объект, который отличает пары натуральных чисел (а, %), У которых а меньше Ь, от тех пар (а, &), для которых а не меньше Ь. Поэтому мы будем использовать этот символ для представления семейства всех пар (а, Ь) таких, что а меньше 匕.

Можно объяснить это короче, вводя терминологию теории множеств )・ Множество или класс есть семейство некоторых объектов. Пусть Л и В — множества; отображением из А в В называется сопоставление каждому объекту из 4 некоторого объекта из В. Если 尸 обозначает отображение и 尸 сопоставляет элемент & из В элементу а из А, то мы говорим, что & является значением 尸 для аргумента а, и пишем 户(а) вместо Ь. п-кой в А называется последовательность из п (не обязательно различных) объектов из А, $ n-ку, состоящую из объектов alf а?， •-, 〃曜 в указанном , порядке, мы обозначаем через (аъ а2, ... , а儿).Отображе^ j ние из множества n-ок в 4 в В называется п-арной функцией из А в В. Подмножество множества n-ок в А называется пиарным предикатом на А. Если Р обозначает такой предикат, то Р (^,, а几)будет обозначать, что п-ка

(&, ... , aj принадлежит Р. Вместо 1-арный мы говорим унарный, а вместо 2-арный —— бинарный. Заметим, что ； унарная функция из Л в В есть отображение из Л в В,， а унарный предикат на Л есть подмножество множества А. :

Условимся также, что существует ровно одна 0-ка в Л и обозначим ее через ( ). 0-арная функция из Л в В полностью определена своим значением для аргумента (). Мы будем отождествлять эту функцию с этим значением. 了 Это означает, что 0-арная функция из Д в В есть просто некоторый элемент из В.

Возвратимся к нашему примеру; пусть N — множество натуральных чисел. Тогда + представляет бинарную функцию из N в М а V — бинарный предикат на М Мы также можем считать, что 1, 2 и 4 представляют 0-местные функции из 2 в М

В математической аксиоматической системе мы будем : иметь некоторое множество объектов, играющее такую же роль, как и множество натуральных чисел в вышеприведенном примере. Это множество называется универсумом ' аксиоматической системы, а его элементы — индивидами системы. Функции из универсума в универсум называются

индивидными функциями; предикаты на универсуме называются индивидными предикатами. Среди символов, которые нужны для формализации аксиоматической системы, находятся имена для некоторых индивидов, индивидных функций и индивидных предикатов. (С точки зрения нашего истолкования 0-арных функций первое есть частный случай второго.)

Можно было бы подумать, что для некоторых аксиоматических систем необходимо иметь несколько универсумов. Например, в планиметрии мы должны иметь множество точек и множество прямых. Однако можно взять за универсум множество всех точек и прямых, а затем ввести символы для множества точек и множества прямых (рассматривая каждый как унарный индивидный предикат).

Мы ограничиваемся аксиоматическими системами, в ко* торых универсум не пуст, т. е. содержит по крайней мере один индивид. Это является техническим соглашением; оно, очевидно, не исключает ни одного интересного случая.

Для любого множества Л мы можем построить бинарный предикат, который состоит из всех пар, у которых первый и второй элементы являются одним и тем же элементом из А, Этот предикат называется предикатом равенства на Л. Мы будем использовать символ = для обозначения предиката равенства на универсуме.

Рассмотрение, которое было проведено, предполагало, что мы формализуем какую-то классическую аксиоматическую систему. Для современной аксиоматической системы результаты будут те же, за исключением того, что мы имеем в виду несколько различных универсумов. Так, если мы формализуем теорию полей, то возможными универсумами являются различные поля. Нам следовало бы затем ввести символы для функций сложения и умножения в поле и т. д.

22 Функции истинности

Символы, которые рассматривались в предыдущем параграфе, позволяют нам строить некоторые простые формулы. Введем еще некоторые символы, которые помогут нам строить более сложные формулы из этих простых формул. Например, мы введем символ & и будем понимать его

как союз и. Тогда мы можем построить формулу 2 V 4 & &6=3 из формул 2 <4 и 6 = 3.

Примечательной особенностью формулы А&В является то, что для того, чтобы узнать, будет ли 4&В истинной или ложной, нужно лишь знать, будет ли Л истинной или ложной и будет ли В истинной или ложной; нам не нужно знать, что означают Л и В. Мы можем выразить это проще, введя следующую терминологию. Выберем два объекта, И и Л, которые назовем истинностными значениями. Не имеет значения, чем являются эти объекты, важно лишь то, что они отличаются друг от друга. Затем мы приписываем истинностное значение каждой формуле следующим образом: мы приписываем И каждой истинной формуле и Л каждой ложной формуле. Тогда мы видим, что истинностное значение 4&А определяется истинностными значениями Л и В.

Функцией истинности называется функция из множества истинностных значений в множество истинностных значений. Вышеприведенное замечание можно переформулировать так: существует бинарная функция истинности Н& такая, что если а и & — истинностные значения 4 и В соответственно, то Н& (% &) есть истинностное значение А&В. Эта функция истинности задается с помощью равенств:

(И, И) = И,

Н& (И, 〃) = "& (Л, М)=Н& (Л, Л) = Л・

Затем мы вводим символ V，понимая его как союз или. Будет ли истинностное значение A\JВ определяться по истинностным значениям Л и Я? Конечно, Л V Я ложна, когда А и В обе ложны, и истинна, когда в точности одна из 4 и Я истинна. Если 4HB обе истинны, то в повседневной речи мы можем считать, а можем и не считать Л или В истинным; но в математике это выражение всегда считается истинным. Именно такой математический смысл союза или мы придаем символу V・ Так, если а п Ь — истинностные значения Л и Я соответственно, то истинностное значение 4VB есть Н“ (а, 6), где Hv — бинарная функция истинности, определенная следующим образом:

"v (乩 H) = 〃v (乩 Л)-Яу (Л, И) = И,

(Л, Л) = Л.

Теперь введем символ f, понимая его как союз если …，mo; таким образом, 4fB означает если Л, то В. В математике мы считаем утверждение если А, то В неверным только в случае, когда А истинна, а В ложна. Если Л ложна, то если А, то В является верным, хотя и не интересным утверждением. Символу f мы придаем именно такой математический смысл союза если ..., то. Тогда символу -> соотносится, аналогично вышерассмотренному, функция истинности Нг, определенная так;

Я_(И, М) = "т(Л, Н)=〃т(Л, Л) = Н,Нт(Н, Л) = Л・“

Теперь введем символ ^, понимая его как тогда 以 только тогда. Ясно, что А В истинна, если А и В обе истинны или обе ложны, а в остальных случаях А^ В ложна. Следовательно, символу — соотносится функция истинности Нс, определенная так:

〃一(И, И) = Н^ (Л, Л)-И,力-(И, Л) = "~(Л, И) = Л.

Далее мы введем символ 1, понимая его как частицу не; таким образом, Q 4 означает не А. Если Л имеет истинностное значение а, то ] 4 имеет истинностное значение Н-|(а), где Я^ — унарная функция истинности, определенная так:

ЯП(И) = Л, 〃口 (Л) = И.

Простые рассуждения показывают, что некоторые из этих символов могут быть определены в терминах других. Например, 4f 8 означает, что или 4 ложна или В истинна; следовательно, 力―8 означает то же самое, что и ~\A\J В. Более формально это можно сделать так. Если а и Ь — истинностные значения Л и В соответственно, то истинностное значение А^В есть 〃_(а, &), а истинностное значение 14 V 8 есть "у (方】(〃)，匕).Но для любых а и &

- "т (а, Ь) = НУ (Яп (а),匕)， в чем мы можем убедиться, перебирая все возможности» Таким же образом мы видим, что А&В означает то же самое, что и ~](А^~] В), и что А^ В означает то же самое, что и

(А^В)&(В^А).

Следовательно, все наши символы определяются в терминах 1 и V- (Можно показать, что каждый символ, имеющий некоторую функцию истинности, сопоставленную ' с ним, как в рассмотренных выше случаях, можно определить в терминах 111V ； см. задачу 1.)

Переменные и кванторы

Применяя введенные выше понятия, мы можем выра-； зить довольно сложные факты о конкретных натуральных . числах. Однако мы не сможем выразить даже такой простой общий закон, как: каждое натуральное число равно самому себе.

Для этой цели введем индивидные переменные. Они подобны переменным из анализа, рассмотренным ранее, но их область изменения представляет собой индивиды, а не действительные числа. Таким образом, индивидную переменную можно понимать как любой индивид, но ее значение остается фиксированным на протяжении всего контекста. Формула, содержащая индивидные переменные, имеет много значений — одно значение для каждого распре-； деления индивидов как значений каждой индивидной пере-: менной в формуле. Если мы утверждаем такую формулу, то мы утверждаем, что все ее значения истинны.

Так как в наших языках будут встречаться лишь индивидные переменные, мы будем называть их просто переменными. В качестве переменных мы будем употреб-. лять символы %, у, Z И 5, добавляя к ним штрихи для образования новых переменных, если они понадобятся. Так, если универсум есть множество натуральных чисел,； то мы можем утверждать, что каждое натуральное число равно самому себе, утверждая справедливость формулы х=х. 一

Хотя теперь мы можем утверждатьЛ что каждый индивид имеет некоторое свойство, у нас нет формулы, означающейf что каждый индивид имеет это свойство. Чтобы показать неудобство этого, предположим, что мы : высказали утверждение х=0. Мы бы тогда утверждали ошибочно, что каждое натуральное число равно 0. Можно надеяться сделать это утверждение справедливым, поставив перед ним символ 口 . Но утверждать ~| (х=0) — это значит утверждать» что каждое натуральное число не равно 0； а это также неверно.

Чтобы преодолеть эту трудность, введем символ V, который будет означать для всех индивидов. Таким образом, Vx(%=0)означает для всех, натуральных чисел х имеем х = 0, т. е. каждое натуральное число равно 0. Теперь, чтобы получить правильное утверждение, что не каждое натуральное число равно 0, мы утверждаем ~1 Vx (х=0).

Большинство наших предыдущих замечаний о переменных ложны, если они применяются к переменной х в Vx (х=0). Эта формула имеет только одно значение, в то время как х=0 имеет много значений. Мы получаем конкретное значение для х=0, подставляя 2 вместо х; однако если мы подставляем 2 вместо х в Vx (х = 0), то получаем бессмысленное выражение V2 (2=0). С другой стороны, если мы подставим у вместо х в Vx (х=0), то получим формулу Vy(y=0), которая имеет тот же смысл, что и Vx (х = 0) (а именно, что каждое натуральное число равно 0). В противоположность этому х = 0 и у=0 не обязательно имеют одинаковые значения; это зависит от выбора значений для хну.

Чтобы разделить эти два случая, мы называем вхождение переменной х в х — 0 свободным вхождением, а вхождения переменной х в Vx (х — 0) — связанными вхождениями. Если мы воспользуемся описанными выше особенностями, для того чтобы отличать свободные и связанные вхождения переменных, то мы увидим, что связанные вхождения переменных имеются и в анализе. Рассмотрим переменную х в sinxdx. Это выражение имеет единствен- о

ное значение, и оно равно некоторому действительному числу. Если мы подставим 2 вместо х, то получим бес- 1

смысленное выражение \ sin 2 d2. Если мы подставим у 1 0

вместо х, то получим，sinydg, которое имеет тот же J о

смысл, что и j sinxdx (хотя в этом иногда трудно убе- о

дить студентов первого курса). Другим примером связанного вхождения переменной является вхождение переменной п в £

Теперь введем символ 3, означающий для некоторого индивида. Таким образом, Эх(х=0) означает для некоторого натурального числа % имеем 尤=0, т. е. некоторое натуральное число равно 0. Мы можем также читать Зх как существует индивид х такой, что; например, 三％ (尤=0) означает, что существует натуральное число х такое, что 尤=0. Если применять вышеприведенный критерий, то мы видим, что вхождение х в Зх(х=0) является связанным.

Вхождение выражения V% или 三尤 влияет только на те свободные вхождения переменной х в формуле, которая написана за ним. Таким образом, в формуле

V光体=5)\/m元(% V 2)\/元=7первые два вхождения х не связаны со следующимидвумя вхождениями, а последнее вхождение не связанос первыми четырьмя. Аналогично, в формуле

Vx (x = 5f 士 (х<7))

первые два вхождения х не связаны с последними двумя. Мы можем всегда избежать таких формул, переименовав переменную. Так мы могли бы заменить первую формулу на

Vy(y = 5) V3z(z<2)Vx=7. а вторую на

Vx (х = 5-> 题(у V7))・

Однако не всегда удобно совершенно исключать такие формулы. Если Vx или Эх поставлено перед формулой, у которой нет свободных вхождений х, то смысл этой формулы не меняется.

Необязательно брать в качестве неопределяемых символов оба символа V и 3; мы можем определить V в терминах 3. Вначале заметим, что Зх "] (^ = 0) означает, что некоторое натуральное число не равно 0. Следовательно, 1 3% 1 (х = 0) означает нет натурального числа, не рае- кого 0, т. е. каждое натуральное число равно 0. Это означает то же, что и формула Vx(x=0). Такие же рассуждения показывают, что УхД всегда означает то же, что и ~| Эх ~] Л; следовательно, можно определить УхД как 1 Эх ~]Л. (Аналогично мы- можем определить ЗхЛ как "I Vx "[Л.)

Языки первого порядка

Теперь мы имеем все необходимое, чтобы перейти к точному определению того типа языка, который мы хотим рассматривать.

^зык первого порядка имеет следующие символы:

переменные

х, у, г,叫犬，у\ z‘，叽

п-арные функциональные символы и п-арные предикатные символы для каждого п;

символы 1 V н 三・

Для каждого п число n-арных функциональных символов может быть равно 0 или не равно 0, конечно или бесконечно. То же самое и для предикатных символов, за исключением того, что среди бинарных предикатных символов должен быть символ равенства =.

Любой 0-арный функциональный символ называется константой. Функциональный символ или предикатный символ, отличный от = , называется нелогическим символом} остальные символы называются логическими.

Для ссылок иногда будет удобно иметь фиксированный порядок переменных. Тот порядок, в котором они перечислены выше, мы называем алфавитным порядком. Заметим, что мы не включили скобки и запятые, которые мы использовали в предыдущих параграфах для указания группировки символов. Оказывается группировка символов однозначно определяется и без них, если сделать одно изменение в наших обозначениях: писать V ДВ вместо 4 V В. Конечно, мы можем затем ввести обозначение 力 V 日 п。определению.

Мы применяем xt у, ^ и w как синтаксические переменные, областью изменения которых являются переменные; fug как синтаксические переменные, областью изменения которых являются функциональные символы; р и ^ как синтаксические переменные, областью изменения которых являются предикатные символы; е как синтаксическую переменную, областью изменения которой являются константы.

Предположим, что мы имеем семейство символов, опи* санных выше. Определим термы с помощью обобщенного индуктавного определения.

Переменная есть терм.

Если иъ..., ял — термы и /— n-арный символ, то %1…弘孔一терм.

В частности, по правилу (ii) константа есть терм. Ясно, что термы — это как раз те выражения, значениями которых являются индивиды. Мы будем применять а9 bt с и d как синтаксические переменные, областью изменения которых являются термы.

Атомная формула — это выражение вида ра、…ani где р — n-арный символ. Определим формулы с помощью следующего обобщенного индуктивного определения:

всякая атомная формула есть формула;

(И) если 〃 ——формула, то ~] а —формула;

если 以 и гг —формулы, то \/ 口@ —формула;

если а —формула, то Зхд —формула.

Для этих двух обобщенных индуктивных определений мы имеем соответствующие формы доказательств по индукции. Однако обычно проще использовать индукцию по длине терма или формулы. Иногда мы будем приме- нять индукцию по высоте формулы, где высота определяется как число вхождений символов ], V и 3 в формулу.

只зык первого порядка определяется как язык с сим во* лами и формулами, описанными выше. Таким образом, язык первого порядка полностью определяется своими нелогическими символами. Этими символами могут быть любые символы, которые еще не выбраны для других целей. Однако мы договоримся, что если некоторый символ используется как n-арный функциональный символ в одном из языков первого порядка, то он может быть использован в другом языке первого порядка только как л-арный функциональный символ; аналогично для предикатных символов. Отсюда следует, что если два языка первого порядка имеют одинаковые нелогические символы, то они совпадают.

Указателем называется выражение, которое является либо термом, либо формулой. Как видно из определений терма и формулы, каждый указатель имеет вид 我安卜一刀总, где « — символ, ®1,..., ©д — указатели^ а п — натуральное число, определяемое по ». Например, если д — переменная, то п=0; если я —й-арный функциональный символ, то n—k\ если и есть 3, то п = 2. Назовем 几 индексом д.

Скажем, что два выражения сравнимы, если одно из них может быть получено из другого добавлением к нему справа некоторого выражения (возможно, пустого). Если 弘刃 и u/d сравнимы, то 弘 н 〃' сравнимы; если ме и 弘廿' сравнимы, то © и сравнимы.

Лемма 1. Если и^..^ дл, К,…，* — указатели, а 玄1 … 以孔“弘；...«л сравнимы, то наесть д^ для i= 1,..., п*

Доказательство. Проведем индукцию по длине 弘 1，.,〃九.Запишем 0Х как ри*…幻比、где ® — символ индекса 总,а 砂1,・・・,刀论一указатели. Так как 4； начинается с ©, то оно имеет вид 廿托…可工 где 叫，…，可分一указатели. Значит, 我 1 сравнимо с 4；, а 队…％ сравнимо c@j...zZ・ По индуктивному предположению 5 есть 廿工 для* i=l,・・・ k\ следовательно,弘^ есть 〃；. Отсюда следует, что и^^ ...ип сравнимо с 抬…* и по индуктивному предположению есть для ，=2,...,九.

Следующая теорема является точной формулировкой нашего утверждения о том, что в языке первого порядка запятые и скобки не обязательны для восстановления группировки символов.

Теорема построения. Каждый указатель можно записать единственным способом 8 виде 我可八一廿也,где й —— некоторый символ индекса п, a ®i,..., ггл — указатели.

Доказательство. Нужно доказать только единственность. В этом случае и должен быть первым символом указателя; следовательно, й и п определяются однозначно. Остается показать, что если 我可 1...0几 совпадает с я^... ^п и 廿 1,.一，廿几，廿；,.・・,©7 —указатели, то ©* есть ©J для z= 1,..., и. Это следует из леммы 1.

Лемма 2. Каждое вхождение любого символа 8 указатель и начинает вхождение некоторого указателя 8 и.

Доказательство. Проведем индукцию по длине и. Запишем и как 幻不》—幻次,где г» —символ индекса k, а ①”,…，①卜一указатели. Если рассматриваемое вхождение символа есть начальное @, то оно начинает и. В противном случае это вхождение есть вхождение в некоторое 晒 и по индуктивному предположению начинает вхождение некоторого указателя в 廿八 Следовательно, оно начинает вхождение некоторого указателя и в и.

Т ео р ем а о в х ожде н и и. Пусть и — символ индекса 冷，Q ^1» .…, ^п ~ указатели. Тогда любое вхождение 2 Дж. Шенфилд

указателя © в 弘四,.一 ,юп есть либо всё и%,…，@弘 либо часть одного из 刀广

Док аз ате л ьство. Предположим, что начальный символ вхождения D есть начальное 欧 в 弘廿i ….©入 Тогда 廿 есть "0；…％ где ®J, ..., ^ — указатели. Так как 刃 сравнимо с 2©1 ・•• 〃， то ©；.・•廿Z сравнимо с 幻工.••廿理. По лемме 1 q есть ©； для /= 1, ..., п; так что 刃 есть всё и^± ,.. ®л.

Теперь предположим, что начальный символ вхождения 刃 находится внутри 砂九 По лемме. 2 этот символ начинает вхождение некоторого указателя е‘ в ©入 Ясно, что 廿 и г/ сравнимы, тогда по лемме 1 刃 есть 砂*. Следовательно, 廿 есть часть q.

Дадим теперь точные определения свободных и связанных вхождений. Вхождение х в Л связано s 4, если % входит в часть Л цида ЗхВ *); в противном случае это вхождение свободно 8 Л. Скажем, что % свободно (связано) в Л, если некоторое вхождение х в Л свободно (связано). (Заметим, что х может быть как свободным, так и связанным в А.) Как следует из теоремы о вхождении, если у отлично от %, то свободные вхождения х в ]力,\J АВ и ЭуА — это в точности свободные вхождения % в 4 и в В. Конечно, х не имеет свободных вхождений в ЭхА.

Будем обозначать через Ьх [а] выражение, полученное из Ь заменой каждого вхождения х на а; будем обозначать через Ах\а\ выражение, полученное из Л заменой каждого свободного вхождения х на а. Используя индукцию по длине b и А, легко доказываем, что Ьх[а] есть терм, а Ах[а] есть формула.

*) Напомним, что В—'Синтаксическая*) Напомним, что В—'СинтаксическаяВообще говоря, Ах [а] утверждает про индивид, обозначенный через 〃，то же самое, что 4 утверждает про индивид, обозначенный через %, но это верно не во всех случаях. Так, предположим, что 4 есть Зу (х = 2у), х есть х, а а есть у+1・ Тогда Л утверждает, что х — четное число; но Ах [а], которое есть Зу (у+ l = 2z/), не утверждает, что z/ + 1 — четное число. Эта трудность возникла, конечно, потому, что у в подставляемом терме у + 1 стало связанным. Мы хотим исключить такие возможности.

*) Напомним, что В—'Синтаксическая

*) Напомним, что В—'Синтаксическая

переменная для формул, так что ЗхВ — подформула формулы А. — Прим, ред.

Будем говорить, что а допустим для подстановки вместо х в А, если для каждой переменной у, входящей в а, В Л нет части вида ±5, содержащей вхождение %, которое свободно в 4 Теперь условимся, что если встречается выражение Ах [а], то Л, х и а таковы, что а допустим для подстановки вместо х в А. Заметим, что это условие наверняка выполняется, когда а не содержит переменных, или когда 4 не содержит переменных, или когда А не содержит связанных вхождений переменных.

Теперь обобщим это понятие на случай нескольких переменных. Пусть 匕%,…,力丸[〃力….,а/ обозначает терм, полученный из Ь заменой всех вхождений 力厶...,хл на 。力...,ап соответственно; пусть 4%, … 力在[々i, •…，。九] обозначает формулу, полученную из Л заменой всех свободных вхождений %ь л\ на alt ..., ап соответственно. Эти понятия используются при ограничении, что хъ ..., хл — различные переменные. Если встречается 4*1,…，хп j"l j • ► •) 〃/г], то 4, %]，…* , %露,。工,•…,口衣 ТЗ" ковы, что % допустим для подстановки вместо X/ в Л для i= 1, ,.., п, Мы будем опускать нижние индексы Xi, ..., %汽,если они будут несущественны или ясны из контекста.

Введем теперь некоторые определяемые символы. Во всех теориях (А\/В) есть сокращение для V АВ\ (А -> В) — сокращение для (~\А\/В); (А & В) — сокращение для "I (Л->П^)； {А<^ В) — сокращение для ((Д В) & & (В-> Л)); УхЛ — сокращение для ~]Зх~\А. Если 我一 бинарный предикатный или функциональный символ, то {aub) есть сокращение для uab\ если и — бинарный предикатный символ, то (aub) есть сокращение для "] [aub). В каждом случае определяемые формулы — это те выражения, которые получаются из формул, когда определяемые символы заменяются согласно только что указанным правилам.

Можно показать, что скобки, введенные в определениях, приведенных выше, достаточны для определения группировки символов. Однако, так как мы не намерены изучать определяемые символы, такой общий результат нам не нужен. Нам нужно только, чтобы каждая определяемая формула, которую мы пишем, была сокраще- ннем единственной формулы языка. По этой причине мы

будем опускать скобки, когда они не являются необходимыми для определения группировки символов; например, мы пишем х—у^у — х вместо

((%=у)_> (у = %)).

С другой стороны, мы можем для удобства чтения употреблять и лишние скобки и запятые. Так мы часто будем писать и («1,,.,, 〃几)вместо и^ .…〃几,если 〃 есть функциональный или предикатный символ. Следующее соглашение поможет нам опускать еще больше скобок: если имеется выбор, то мы предпочитаем записывать формулу в виде 4f 3 или А^ Bf чем в виде А\/ В или А&В. Следовательно^ А + В\/С должна читаться как

А^(ВУС),

а А & В с С должна читаться как (А&В)<^ С.

Мы также вводим соглашение правого сочетания опущенных скобок. Это означает, что A\JB\JС должно читаться как A\J(В、С); 4V^V^V^ должно читаться как 14 V (BV(CV 力))и т・ Д* То же соглашение используется для последовательности формул, связанных символом &, или последовательности формул, связанных символом ->. Заметим также, что AiV--«V^n означает, что по крайней мере одна из 4卜...,Лл истинна: Лх&... ...&Лл означает, что все А^ ..., Ап истинны; и A^f …. • ・・f 4汽тВ означает, что если все 4工,...,Ап истинны, то В истинна. Во всех случаях мы допускаем и п= 1. Если мы пишем Ai-^ ...~^Ап-^В, то мы даже допускаем, что п может быть равно 0; в этом случае это просто формула В.

Мы называем ~\А отрицанием А; А\]В — дизъюнкцией Л и В; Л & В — конъюнкцией Л и В; Л -> В — импликацией Я из А; А^ В — эквивалентностью Л и Я; ЭхЛ — подтверждением Л с помощью х; ^хА — обобщением Л с помощью х. Мы также называем AR …Y А注 дизъюнк- цией Л1г ..., Лл, а Л1 & .., & — конъюнкцией 工卜 ….,Ап, Однако если мы просто говорим, что формула есть дизъюнкция или конъюнкция, то мы подразумеваем, что это дизъюнкция или конъюнкция двух формул. Выражения Эх и Vx называются кванторами по %; первый есть квантор существования, а второй — квантор всеобщности.

2*5, Структуры

Теперь приступим к строгому описанию семантики языков первого порядка. Как уже указывалось, семантика языка первого порядка состоит из универсума и содержательного смысла каждого нелогического символа. Записывая это детально, мы приходим к следующему определению.

Пусть L — язык первого порядка. Структура <^ для L состоит из следующего:

непустого множества |о^|, называемого ун* версумом 孩"；элементы из |"| называются индивидами структуры о^\

n-арной функции /^ из |(^ j в | от^ | для каждого 枕тарного функцйонального символа / из L (в частности, е历 является индивидом из о^ для каждой константы е из L);

n-арного предиката 尸历 на | ©^ | для каждого /г-арного предикатного символа р из 厶 отличного от =.

Мы хотели бы, чтобы формула Л была истинной в e^t если все ее значения истинны в(^. Поэтому было бы удобно, если бы для каждого значения Л мы имели формулу, которая выражает именно это значение* Так как значения А получаются с помощью задания значений индивидов для каждой свободной переменной формулы Л, то ясно, что нам нужны имена для индивидов. Это приводит нас к следующим определениям.

Пусть М — структура для £・ Для каждого индивида Q из ©^ мы выбираем новую константу, называемую именем индивида а. При этом подразумевается, что разные имена выбираются для разных индивидов. Язык первого порядка, полученный из £ добавлением всех имен индивидов из ©^, обозначим через L (а^). Мы используем z и j в качестве синтаксических переменных, областью изменения которых являются имена.

Выражение называется свободным от переменных, если 0Ho не содержит переменных. Определим теперь индивид о^ (а) из / для каждого терма а из L (е^), свободного °т переменных. Определение дается индукцией по длине 。・ Если а — имя, то о^ (а) — индивид, для которого а является именем. Если а —не имя, то (так как он сво- боден от переменных) он имеет вид 扭工，…аП9 где /—

функциональный символ из L. Тогда полагаем ©^ (а) равным 力(Д1),(&))•

Замечание. В вышепр и веденном определении мы неявно применяли теорему построения, когда считали, что а может быть записано в виде fax 〃體 единственным образом. Мы будем часто так неявно использовать теорему построения в определениях индукцией по длине терма или формулы.

Формула Л называется замкнутой, если в ней нет переменных, свободных в А. (Это означает, что Л имеет только одно значение.) Мы определим теперь истинностное значение ©^ (Л) для каждой замкнутой формулы 4 языка L(^). Определение дается индукцией по длине Л. Если 4 есть а = Ь, то а и b должны быть свободными от переменных (так как А замкнута). Положим

(^/ (4) = Н тогда и только тогда, когда ©^ (а) — о^ (Ь) (т. е. тогда и только тогда, когда ©^ (а) и “ (&) одинаковы). Если Л есть pav.. ant где р отлично от =, то положим

^ (А) = И тогда и только тогда, когда /?л (^ (^i)..., • • • > 6^ ("/г))

(т. е. тогда и только тогда, когда /г-ка (©^ (ai)r .., ©^ (〃几)) принадлежит предикату р^. Если Л есть ] 8, то “ (Л) есть Н-\ {о^ (В)). Если А есть B\J С, то 該(4) есть Ну (е^ (Я), о^ (С)). Если Л есть ЗхВ, то ^ (А) = И тогда и только тогда, когда ^ (Вх [/]) ~ И для некоторого / из L

Ясно, что о^ (A~>B) = H^.{q^ (Л), ©//(В)) и аналогичное справедливо для & н —・ Имеем

о^ (Лх\/.. ,\/Лл) = И тогда и только тогда, когда о^ (А,) = И по крайней мере для одного 厶

и

©^ (Дх & ... & Дл) = И тогда и только тогда, когда (Л0 = И для всех 厶

Также

а^ (УхЛ)= И тогда и только тогда, когда "S (4* [/])— =И для каждого t из L(o^).

Если Л — формула языка 厶,то ©^-частным случаем формулы Л назовем любую замкнутую формулу вида А [/1я ...,北]языка 厶(“).Формула А языка L называется истинной в ^, если е^ (4Г) = И для каждого

^-частного случая А формулы Л. В частности, замкнутая формула А языка L истинна в ©^ тогда и только тогда, когда (Л) = И.

Докажем лемму, показывающую, что Ьх [а] и Ах [fl] имеют должные значения.

Лемма. Пусть(^ — структура для L, а —терм языка L (&^), свободный от переменных, z —— 以м兄 для е^ (а). Если b — терм языка L(。/), 6 котором нет переменных, за исключением %, то о^ (方* [а]) = ^ (九[》])・ Если А — формула языка 厶(©^), 6 которой нет свободных переменных, за исключением х, то (4*[а]) = ^ (力*[〃)・

Док азател ьство. Первое утверждение докажем индукцией по длине Ь. Если 力一имя, то Ьх[а] и Ьх[^] оба представляют собой Ь; таким образом, утверждение очевидно. Если & —переменная, то она должна быть х； тогда Ъх[а\ есть а и Ь* 卩]есть /. Но ®^ (а) = е^ (/) по выбору /. Если Ь есть 薪—…匕汽,где /—функциональный символ из L, то, используя индуктивные предположения, получаем

(力[〃])=©^ (自1 [〃]…力[〃])

=启 3^ (瓦[词),…，<2^ (&л [а]))

=启 @^ 仇口]),^ фп [/]))

="(饱[Л • • •办 UD

= <2^(匕国)•

Докажем второе утверждение индукцией по длине Д. Если Л есть 6 = % то, применяя первое утверждение, получаем

(Л [а]) = И <-> о^ (力[@]) = ®^ (с [〃]) с М (Ь [/]) — s^ (с [/]) *-> (Д [/]) = И.

Если А есть р&х ...Ьп, где р отлично от =, то доказательство подобно предыдущему. Если Л есть Q В, то

。^ (Л 囱)=% (s^ (Я [а]))

= "i(^(矶切)

=а^ (Л [/]).

Если Л есть By С, то доказательство аналогично. Пусть А есть ЭуВ. Мы можем предполагать, что у отлично от х,

так как в противном случае 4*[а] и Ах[/] равны Л. Тогда

(4* [а]) = И <■> о^ ^ВуВх [а]} = И

(员，у[@, /]) = Н для некоторого / с ^ (BXt у [/, /])==И для некоторого j -m少瓦FD=n —<г^ (Лх [/]) — И.

2・6・ Логические аксиомы и правила

Если мы формулируем классическую аксиоматическую , систему в языке первого порядка L, то мы имеем в виду ' конкретное значение языка £, т. е. конкретную струк- туру ^/ для L. Мы хотим, чтобы все теоремы нашей : формальной системы были истинны в ©^. Чтобы гаранти-: ровать это, мы требуем, чтобы все аксиомы были истинны ： и все правила были таковы, что истинность заключения следует из истинности посылок, или» как мы будем говорить, заключение есть следствие посылок.

Некоторые формулы языка L истинны просто по смыслу логических символов; они истинны в каждой структуре для L. Например, х = х имеет такое свойство. Про такие . формулы говорят, что они являются логически истинными. Некоторые из наших аксиом, называемые логическими : аксиомами, будут логически истинными. Другие аксиомы, называемые нелогическими аксиомами, будут истинными из-за конкретных свойств структуры о^.

Мы говорим, что А есть логическое следствие множества формул Г, если она есть следствие Г по смыслу значений логических символов, т. е. если А истинна в каждой структуре для £, в которой истинны все формулы из Г. Можно ожидать, что правила также разде-； лятся на два класса: логические правила, у которых заключение является логическим следствием посылок, и нелогические правила^ у которых заключение является следствием посылок только благодаря специфическим свойствам структуры ©^・ Однако мы можем совсем обойтись : без нелогических правил. Так, предположим, что мы хотим иметь возможность вывести В из Лъ ...» Ап. Тогда В будет следствием Л1Э ..., А^ следовательно, Ах-^ .,.-^Ап-^В является истинной и ее можно при-

нять в качестве нелогической аксиомы. Но В является логическим следствием формул 4^ ..., Ап и Лх-^ .,. …—4 В； таким образом, если мы имеем достаточно много логических правил, то мы можем вывести В из 41,.…,Ап и аксиомы 41 >■... —* Ап >■ В.

Теперь опишем логические аксиомы и правила. Пусть А — язык первого порядка. Пропозициональная аксиома есть формула вида 力4丫力， Аксиома подстановки есть формула вида Ах [^]~>ЭхЛ. Аксиома тождества есть формула вида х = х. Аксиома равенства есть формула вида

%1 =” f …f Хя =Уп f 拉工…^n ~fyi • ■ • Уп

или вида

%1=Уе —> ... —> хп—уп p%i • • ■ %孔 f ДУ工•…Уп'

Логическая аксиома есть формула, являющаяся пропозициональной аксиомой, 'аксиомой подстановки, аксиомой тождества или аксиомой равенства.

Покажем теперь, что логические аксиомы являются истинными. Пусть о^ — структура для L. ©^-частный случай пропозициональной аксиомы имеет вид "| ЛVЛ; имеем

(П 4 VД) = Яу (^п(^И))> ^(Л))-И.

е^-частный случай аксиомы подстановки имеет вид Ах[а]^ЭхА. Пусть &^ (Д^[а]^ЗхЛ) = Л. Тогда 段(4固)=Н и 技(ЗхЛ) = Л. Если i есть имя(^ (齿， то из последнего равенства следует, что 々^ ({*[〃)=爾, хотя из первого равенства и леммы из § 2.5 следует, что (^({*[〃) = И. Получаем противоречие, ©^-частный случай аксиомы тождества имеет вид / = /; следовательно, / (£) = ^Q), ^ (z = Z) = И_Доказательство для аксиом равенства оставляем читателю.

Введем теперь пять правил вывода. (Заметим, что эти правила конечны.)

Правило р асширения. В\]А следует из Л.

Правило сокращения. 4 следует из А\/А.

Правило ассоциативности. (A\JB)\JC еле- дует из А\/(В\/С).

Правило сечения. В\/С следует из A\JВ и 〕4\/С.

Правило 3 -введения. Если х не является свободной в В, то ЭхА -> 5 следует из 4 fb.

Мы хотим сейчас показать, что заключение каждого правила есть логическое следствие посылок этого правила. Проверим это только для последних двух правил, оставляя читателю доказательство для первых трех.

Предположим, что A\JВ и 1 A\JС являются истинными в %. Пусть Br\JCr является о^тастнмм случаем формулы В\/С. Очевидно, мы можем выбрать ©^-частный случай А формулы А так, что A\J Вг есть ^-частный случай формулы А、В, а "1 А\/Сг есть о^тастннй〔 случай формулы П A\JС. Тогда

毋< V В) = Н 】А V С) = Н.

Следовательно, j (4) = Н или М (*) = Н, а М (А)=Л или ^ (С) = И. Отсюда следует, что или ©^ (В') = Н или о^ (С9 = И (в соответствии с тем, будет ли ©^(А) = Л или 盛(>Г) = М)・ Следовательно, ^(B'V°) = H・

Предположим, что Л —> В истинна в а переменная х не является свободной в В. о^тастннй случай формулы ЭхА-^В имеет вид ЗхАг-^Вг. Предположим, что (BxAf Br) — Ji. Тогда ©^ (HvA) = H и М (6‘)= =Л. Из первого следует, что ©^ (Л^[/]) = И для некоторого /; следовательно, о^ (Л^[г]->ВГ) = Л. Это невозможно, так как Ах [/] В является ©^-частным случаем формулы 4 fB.

Теперь можно определить класс формальных систем, которые мы собираемся изучать. Теорией первого порядка или просто теорией называется формальная система Т такая, что:

языком формальной системы Т является язык первого порядка;

аксиомами формальной системы Т являются логические аксиомы языка L (Т) и некоторые другие аксиомы, называемые нелогическими аксиомами^

правилами формальной системы Т являются правило расширения, правило сокращения, правило ассоциативности t правило сечения и правило Э-введения.

Для того чтобы задать теорию, мы должны задать лишь ее нелогические символы и ее нелогические аксиомы； все остальное дано по определению теории. Заметим также, что логические аксиомы и правила определены, как только язык выбран; они не зависят от нелогических аксиом.

Приведем два примера теорий. Первая теория, которую мы обозначим через М формализует классическую систему аксиом для натуральных чисел. Нелогическими символами для N будут константа 0, унарный функциональный символ S (который обозначает функцию следования), бинарные функциональные символы + и ■, бинарный предикатный символ V. Нелогическими аксиомами N являются:

Nl. Sx^=0.N6. x・Sy = (x・y) + x・

N2. Sx = Sy —> х = у,N7. ~] (х< 0),

N3.尤+0 =尤・N8. x<ZSy х <Zy\J х=у.

N4. x-\~Sy = S (х^~у).N9. хСу\/х = у\/у <Zx.

N5. х • 0=0.

Наш второй пример теории формализирует современную аксиоматическую систему для групп. Она называется элементарной теорией групп и обозначается через G. Единственным нелогическим символом теории G является бинарный функциональный символ •. Нелогические аксиомы теории G следующие:

G1."，Р)，2 =工・回2).

G2. Эх (Vz/ (xy = y)& Vy3z (z-y = x)).

Под моделью теории Т мы понимаем структуру для L (Т), в которой все нелогические аксиомы являются истинными. Формула является истинной в 7\ если она является истинной в каждой модели теории Т или, что эквивалентно, если она является логическим следствием нелогических аксиом теории Т.

Примеры.

Мы построим модель для N, взяв в качестве универсума множество натуральных чисел и обычные значения индивидов, функций и предикатов в качестве нелогических символов N. Эта модель называется стандартной моделью для N и обозначается через ".

Структура для L (G) может быть описана как непустое множество (универсум) вместе с бинарной операцией (Функцией, соответствующей символу •)• Такая структура будет моделью теории G тогда и только тогда, когда она есть группа.

Теорема истинности. Если Т — теория, то кож-； дая теорема теории Т является истинной 8 T.

Доказательство. Применяем индукцию по теоре-: мам. Если А — нелогическая аксиома, то утверждение , верно по определению модели. Если Л — логическая аксио-: ма, то утверждение мы уже доказали выше. Если А—' заключение правила, то утверждение следует из индуктивных предположений и фактов, доказанных ранее.

Если, формулируя нелогические аксиомы, мы имеем • в виду определенную структуру или несколько структур, мы обязательно выберем эти аксиомы так, чтобы они были истинными в этих структурах. Тогда эти структуры являются моделями для теории, и в силу теоремы истинности все теоремы рассматриваемой теории будут истинными в этих структурах. Таким образом, мы видим, что наши ； логические аксиомы и правила являются корректными.：

Теперь возникает вопрос: можем ли мы получить больше выгоды, если добавим другие логические аксиомы или правила? Один из путей установить, что это не так, состоит в доказательстве обращения теоремы истинности: каждая формула, истинная в Т, является теоремой теории Т. Тогда, если новая логическая аксиома или правило дают новую теорему, то эта теорема не должна быть логическим следствием нелогических аксиом, и следовательно, новая аксиома или правило должны быть некорректными. Мы установим это обращение теоремы истинности позднее; сначала нам придется исследовать некоторые следствия логических аксиом и правил.

Задачи

n-арная функция истинности Н называется определимой в терминах функций истинности Нъ ..., "а, если Н имеет определение

Н (。工» • • * > ^д) == • • • 1

где правая часть построена из Я1( ..., Я*, aif ..., q几,а также запятых и скобок.

Пусть "壮,％ —функция истинности, определенная так:

Нdт 9*ал) = И тогда и только тогда, когда «»= И по крайней

мере для одного г;

пусть функция истинности НСгП определена так:

儿，几(4,…，а〃) = Н тогда и только тогда, когда «* = Н для всех L Показать, что каждая функция истинности определима в терминах и некоторых из Hdtn и Нс,п.

Показать, что каждая функция истинности определима в терминах % и "у. [Использовать (а).]

Показать, что каждая функция истинности определима в терминах 的 и [Использовать (б).]

Показать, что каждая функция истинности определима в терминах Я-| и Н&. [Использовать (б).]

Показать, что Н「не определима в терминах "у, Hf Н&

(а) Пусть Я^ —функция истинности, определенная так:

% (% Ь) = Н тогда и только тогда» когда а=& = Л.

Показать, что каждая функция истинности определима в терминах /• [Использовать 1 (б).]

Пусть Я5—функция истинности, определенная так:

Hs (а, Ь) = Л тогда и только тогда, когда а = 6 = И.

Показать, что каждая функция истинности определима в терминах Н§. [Использовать 1 (б).]

Функция истинности Н называется сингулярной, если существуют функция истинности И1 и некоторое / такие, что Н (。工，…，/)= ="'(а» для всех а1(...,。几.Показать, что если Я сингулярна, то каждая функция истинности, определимая в терминах Н, является сингулярной.

Показать, что если Я—бинарная функция истинности такая, что каждая функция истинности определима в терминах Ht то Я есть 〃d или Hs, [Показать, что Я (И, И) = Л и Н (Л, Л) = И, и использовать (в).]

Показать, что если wz> и то' —указатели, то либо г>, либо а' является пустым выражением.

Показать, что результат замены а на л в терме есть терм, и что результат замены а на х в формуле есть формула.

Пусть Г —теория, у которой нет нелогических символов и нелогических аксиом.

Показать, что ~]"] (% = %) V 1 (х=х) является теоремой теории Т, не доказуемой без пропозициональных аксиом. [Пусть / —— отображение из множества формул в множество истинностных значений такое, что /(Д) = И, если А атомная; f ("| А) —Л; / (Д V ^)= = 〃£); /(ЗлА) = И. Показать, что если А доказуема без пропозициональных аксиом, то f (А) = И.]

Показать, что #=# —三尤(％ = #) является теоремой теории 7, не доказуемой без аксиомы подстановки. [Поступать, как и в (а), положив f(4) = M для атомных А; /(14) = 〃、仃(力))；/(力 V 6)= ="у (〃4), /(£)); /(ЗхА) = Л.]

Показать» что х —х есть теорема теории Т, не доказуемая без аксиомы тождества. [Пусть /(4) = Л для атомных Д； /(14) = = "「(/(4))； /(力 VS) = 〃v(〃4)"(8))； fUx4)=f(4)・ Для проверки аксиомы подстановки доказать, что / (Дх [«])=/(Д).]

Показать, что х = у—左= zf# = #fy = z есть теорема тео- рии Т, не доказуемая без аксиомы равенства. [Образуем U из L(T) добавлением констант 6工,6岂,е% Для замкнутой формулы А языка Lz

определим f(A) так:

f ® = е» = М — f w j;

fQA)^H^ (/(4));

/(4 VB) = 〃v(〃4), 〃£))；

/(三工4) = H — f (4*[e『]) = H для некоторого i.

Показать, что если 4 доказывается в Т без аксиом равенства, то /(4')=Н для каждой формулы 4‘，полученной из 4 заменой каждой переменной на некоторое е^ во всех свободных вхождениях этих переменных.]

Показать, что х = х V (х =# х V 尤=#) есть теорема теории Г, не доказуемая без правила расширения. [Пусть /(А) = И для атом* ных А;

〃14)="口 (/(А))；

MAY В) = Нс(МА),Нг(ЦВ)));

/Ux4)=〃4).]

Показать, что ~] [ (х=х) есть теорема теории 7\ не доказуемая без правила сокращения. [Пусть / (4) — И для атомных А; ^(^Д)=/(ЗхА)=Л; f (А У В) = И. Чтобы доказать [ ](% = %) в Т, получить 尤=尤\/ -!](% = %) как заключение правила сечения и затем использовать правило сечения для доказательства ~| ~] (х = х) V V 1П(х^х).]

Показать, что ~\(х^х\/хфх) есть теорема теории Т, не доказуемая без правнла ассоциативности. [Пусть f一отображение из множества формул в множество целых чисел такое, что

/(4) = 0 для атомных 4;

"]用=1一/(4);

〃力 V S) = f (4)• f 仍)• 0 一/ (力)一/ 仍))； /(ЗхД)=/(А).

Показать, что если А выводима без правила ассоциативности, то 〃4) = °・]

Показать, что "] "](% = #) есть теорема теории Т, не доказуемая без правила сечения. [Пусть f (А) = И для атомных А; / (~| 4) = И, если /(Д) = Л или А атомная, f ("] А) = Л в противном случае; f(A\J В)=Н^ (f(A)t / (В)); НЗхА)=/(А)-]

Показать, что 刃(*=##) — %*% есть теорема теории Т, не доказуемая без правила 3-введения. [Пусть f (4) = Н для атомных А; fQA) = Hn (/(A)); /(A VB) = //v(fM). /W)； /(ЗхВ) = И.]

ТЕОРЕМЫ В ТЕОРИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

3・1・ Теорема тавтологии

На протяжении всей этой главы будем предполагать, что теория Т фиксирована, и будем исследовать те теоремы, которые могут быть доказаны в Т.

В следующей главе мы покажем, что если В есть логическое следствие Л1, 4几 и Alt ..., Л^ — теоремы, то 3 —теорема. В этом параграфе мы докажем некоторый частный случай этого результата. Грубо говоря, это такой случай, в котором то, что В есть следствие ..., /儿，выясняется с использованием лишь правил для вычисления истинностных значений П С и С V -^ п0 истинностным значениям С и £>・

Формула называется элементарной, если она атомная формула или подтверждение. Истинностной оценкой теории Т называется некоторое отображение из множества всех элементарных формул теории Т в множество истинностных значений.

Пусть V — истинностная оценка теории Т・ Будем определять истинностное значение V (Д) для каждой формулы Л теории Т индукцией по длине А. Если Л — элементарная формула, то V (Д) уже определено. Если Л есть ~| В, то V (4) = 〃-] (У (В)). Если А есть В V С, то V (Л)= = ”V”)，V (О). Из этого определения и определений & и мы видим, что V (В С) — //^ (V (В), V (С)) и аналогично для & и q. Кроме того, имеем

V (4 V ... V 4) = И тогда и только тогда, когда

V (4Z) = И по крайней мере для одного z, и

V (4 & …& О = И тогда и только тогда, когда U(4) = H для всех i.

Скажем, что В — шавтологическое следствие Alf..., Anf еслн 17(3) = И для каждой истинностной оценки V такой, ито V (Д!)=... = V (4Л) = И. Формула А называется /пав- Оологией, если она есть тавтологическое следствие пустой

последовательности формул, т. е. если V (А) —И для :， каждой истинностной оценки V. Легко видеть, что Я — тавтологическое следствие <1, ..., Ап тогда и только •； тогда, когдаВ —тавтология.

Покажем теперь, что для данных А^ ...» Ал, В можно ' в конечное число шагов определить, будет В тавтологическим следствием Аг> Ап или нет. В связи с последним утверждением предыдущего абзаца достаточно пока-: зать, что для данной формулы А мы можем определить, у будет А тавтологией или нет. Используя индукцию по сумме длин /$, покажем, как определить, будет ли Л1 V • • • V ^л тавтологией; при n= 1 получается выше-二: названный результат.

Вначале предположим, что каждое Л/ — элементарная формула или отрицание элементарной формулы. Мы утверждаем, что Лх V * • • V Дл — тавтология тогда и только ' тогда, когда некоторое /」есть отрицание некоторого 4・ Если это условие выполняется, то для каждой истинностной оценки V или V (4；) = И, или V (4；) = И; таким образом, V (4工 V ••• V Лл) = И. Предположим, что данное условие не выполняется. Определим истинностную оценку 匕 положив V (Л) = И тогда и только тогда, когда 1А есть некоторое 4f. Легко видеть, что V (4» = Л для всех i; таким образом, V (4i V • • • V Лл) = Л.

Предположим, что некоторое /卩 не является элемен- ‘ тарной формулой и не является отрицанием элементарной формулы. Поскольку

У (4 V …V 4f (4 V …V 4 V А V …V 4т) для всех истинностных оценок V, то Л1 V • • • V Лл —тавтология тогда и только тогда, когда

AN …\J ArN А*、…\ Ац；

является тавтологией. Следовательно, мы могли бы сразу предположить, что 4】не является ни элементарной фор- ■ мулой, ни отрицанием элементарной формулы. Тогда 力工 ： есть или дизъюнкция или отрицание; а в последнем случае 41 есть отрицание отрицания или отрицание дизъюнкции. Предположим, что 4 есть В V С. Поскольку

У(41 V …V 4力=V(6 V С V%2 V V 4力

для каждой истинностной оценки к то 4 V …V 4 - тавтология тогда и только тогда, когда

В V С V 4 V • •・ V 4

является тавтологией. Итак, достаточно определить, будет ли В V С V 4 V …V 力忆 тавтологией; а это может быть сделано по индуктивному предположению.

Предположим, что 4^ есть ~\"] В. Тогда для каждой истинностной оценки V имеем 廿(4i) = V(8) и, следовательно, V (4 V …V 4) = V (3 V /2 V …V 4)・ Отсюда следует, что достаточно определить, будет ли В V』2 V … ...V ^л тавтологией; а это может быть сделано по индуктивному предположению.

Предположим, что 4】есть "] (В V С). Тогда для каждой истинностной оценки V имеем

V (4i) = H тогда и только тогда, когда

V(73) = и(]С)= н； таким образом,

1/(4V …V4) = H тогда и только тогда ^ когда

VQBV 4 V …Л0 = Р(】С V 4 V …V4/ = H・

Поэтому достаточно определить, будут ли

АВ\/ А%、…Ак и \C\J А%、…\ Ап тавтологиями; а это может быть сделано по индуктивному предположению.

Обратимся к основному результату этого параграфа.

Теорема тавтологии (Пост). Если В — тавтологическое следствие Аъ .... Ап и 41, . • •, Лл, то |— В.

Следствие. Каждая тавтология является теоремой. Наш первый шаг — свести теорему к следствию.

Лемма 1. Если hA\/ Bt то iV4

Доказательство. Поскольку 1 А у А — пропозициональная аксиома, то |— Л V ^ и Н1 А V ^- Следовательно, |— В V Л по правилу сечения.

Правило отделения. Если [- Л а (—4+5, "。I~ 8."

Доказательство. Из 卜-А мы получаем \- В \J А 口。правилу расширения и, значит, нл V^no лемме 1. Из |- д у д и F4fs мы получаем \- В\/ В по

правилу сечения (и определению ->); следовательно, 1В по ' правилу сокращения.

Следствие. Если р А^ ..., Н Лл и [-4 —…

>4В, mo —В.

Доказательство. Индукцией по п.;

Ясно, что теорема тавтологии следует из следствия _ к теореме тавтологии и следствия к правилу отделения.: Таким образом, осталось лишь доказать, что каждая тавтология есть теорема. V (4 V 4) = У (Л) для каждой истинностной оценки V; таким образом, если А — тавтология, то 4 V Л — тавтология. С другой стороны, из 卜｛ V " следует рЛ по правилу сокращения. Следова-' тельно, нам нужно только показать, что если 4 V " — тавтология, то 4 V 4 —теорема. Это есть частный случай следующего результата.

Лемма 2. Если п^2〃 41V.V А^ есть тавтология, то Ь Л1 V • • • V 4・。

Наше доказательство леммы 2 ведется индукцией по “ сумме длин А, и параллельно методом, описанным выше. В процессе доказательства мы будем отмечать результаты, в которых мы нуждаемся, и позднее их докажем.

Сначала предположим, что каждая 4 является элементарной формулой или отрицанием элементарной формулы. С помощью метода, описанного выше, получаем, что некоторое Aj является отрицанием некоторого 4. Тогда |—Л/ V ^ч п0 пропозициональной аксиоме. Тогда получаем 二厶工\/…\J Ап по

Если n^ 1,加左1, числа 也…,U находятся среди чисел 1, .,., м и

『А、\…、А%

ТО

Теперь предположим, что некоторое А» не является элементарной формулой и не является отрицанием элементарной формулы. По (А) — A*\J …、Ап тогда и только тогда, когда 卜 4 V …V %九 V %i V •…V 4f-i・ Поэтому так же, как и раньше, можно предполагать, что 4 не является элементарной формулой и не является отрицанием элементарной формулы. Как и раньше, это разбивается на три случая.

Предположим, что 4 есть B\J С. Тогда В V ^ V V ^2 V • • • V Лл —тавтология и, следовательно, по индуктивному предположению — теорема. Поэтому \- At\j ... ….V %/г по правилу ассоциативности.

Предположим, что Аг есть ^^В. Тогда 3 V 力2 V ・・・ ...V Л „ — тавтология и, следовательно, по индуктивному предположению — теорема. Тогда мы получаем H^iV-*- …V 4 口。

(Б) Если 卜 4 V 旦 то J- "] П Л V fi-

Наконец, предположим, что 4 есть ~| (В у С). Тогда

АВ\/ А%' …N A7t и 】CV4V…V4

——тавтологии и, следовательно, по индуктивному предположению —теоремы. Тогда получаем 二 4 V … V 4 п0

Если Н ПЛ V С и рп В V С, то Ы (Л V В) V С.

Теперь докажем (А) индукцией по т. Вначале предположим, что т^З. Пусть А есть 4 V …V 4寵・ Из посылки (А) и ассоциативного закона имеем

1(л1V 4jv 43 V …V4卅

Следовательно, 卜(4 V 4J V % п0 индуктивному предположению. Применяя лемму 1 и ассоциативный закон, получаем Р(Л V 4J V /%； таким образом, — (А V 4J V V % по индуктивному предположению. Снова применяя лемму 1 и ассоциативный закон, получаем [—(Л V 4) V V 4； таким образом, по индуктивному предположению имеем |—(4 V /) V (% V %)• Теперь два применения правила сокращения дают |— Л.

Теперь предположим, что m= 1, и пишем г вместо &・ По правилу расширения получаем

1(4屮 V …V4)V4；

такнм образом, по лемме 1 имеем р Л/ V • ■ * V 4小 При- меняя /— 1 раз правило расширения, получаем |— Ai V ■ • ■ V А".

Остается случай, когда т = 2. Если ii = /2, то |—4厶 V А^ Аает |— Л^ по правилу сокращения, и мы возвращаемся к случаю, когда т= 1. Случай &>为 сводится к случаю h < z2 по лемме 1. Итак, остается доказать

) Если 1 V i V /V 几 и 14 V Л» то [- ^1V • • • V ^п-

Докажем (А') индукцией по п. Если п = 2, то доказы- Вать нечего; поэтому предположим, что п^З. Положим

В вместо А§\/ …、А» тогда доказываемый результат' будет 卜4 V 4 V 氏

Если 02, то р Л2 V ^ по индуктивному предположению; таким образом, \— Ах\/ А2\/ В по правилу рас- j ширения, *.5

Если，=1 и /^3, то 14 V В по индуктивному； предположению. По лемме 1 и правилу расширения полу- > чаем — А%' B\J А、、По правилу ассоциативности и лемме 1 получаем [—4 V 4 VB. Если i=l и / = 2, то； J—4 V 4 по предположению. Следовательно,卜 BV : V 41V %2 по правилу расширения. Применяя правило， ассоциативности и лемму 1, имеем (—4 V 3 V 4・ Приме- некие правила ассоциативности и леммы 1 снова дает •： 14V4VA

Теперь докажем (Б). Так как ] ] А V ~1-^ — ПРОПОЗИ' циональная аксиома, тоТ4\/~П4 получаем по лемме L . Из |— A V ^ и hП Л V~1 ~1 ^ по правилу сечения полу-； чаем 18Vl "I %* Следовательно, 口 4 V 8 п0 : лемме 1.

Теперь докажем (В). Так как ~\〈A\J В、、А\/ В— I пропозициональная аксиома, то [— Л V В V "1(4 V В) 口。呼： чаем по (А). Отсюда и из〉"| % V 心 п0 правилу сечения : получаем \~-(В V"l (Л V ^)) V С・ Отсюда по лемме 1 полу-: чаем \-С \/ Ву\(А\/ В)] таким образом, \-В \/ С \/ V"! (% V 3) по (А)・ Отсюда и из 1~]3 V С по правилу сечения получаем |— (С V П (>1 V В)) V С Применение ' леммы 1 дает НС V С V"! И V ^)； таким образом,； НП(Д VB) VC по (А). Это завершает доказательство . теоремы тавтологии.

Когда мы будем утверждать, что некоторая формула :; есть тавтологическое следствие других формул или что : некоторая формула есть тавтология, мы обычно будем * оставлять доказательство этого читателю. Как правило,: он быстрее будет находить непрямое доказательство. Так,; чтобы показать, что Л & В-> 4 — тавтология, предположим, что существует истинностная оценка V такая, что * У(А&В^А) = Л. Тогда V(A&B)^ и Р(4) = Л・ Из первого имеем V (A) = V (В) = И. Поскольку имеется два ： разных значения для V (Л), то мы получаем противоре-.. чие. С накоплением опыта читатель будет все больше убеждаться в том, что как только он может увидеть» что : В истинна (или является следствием Дъ .,., А^ лишь ;

по смыслу 口，V，f，& н Q，то В является тавтологией (или тавтологическим следствием А】, Ап).

Замечание. Предположим, что с каждой формулой Л мы связали формулу Л* так, что (П Л)* есть ^ Л* и (Л V вг есть Л* V В*. Если В — тавтологическое следствие А19 ...» 4^, то В* — тавтологическое следствие Л*, ..., Лл. Чтобы убедиться в этом, предположим, что V ——некоторая истинностная оценка. Определим новую истинностную оценку Vf так: V (4) = V (Z*) для элементарных формул Л. Тогда легко проверить, что V’ (Д)= = V (Л*) для всех {. Следовательно, если

y(父)= ..-(碉=乩 то

『(4)=…(4)= Н；

таким образом,『(3) = Н; следовательно, V (В*) = И.

Выпишем часто применяемые случаи теоремы тавтологии (отличные от правила отделения):

Если \- A ^Bf то р А тогда и только тогда, ког- да ； В*

Если \~А~^В и (—ВтС, то |—4тС

Если |-{сЗ и \-В^С9 то \-А^> С.

\- А&В тогда и только тогда, когда р 4 и Р В.

\—А^В тогда и только тогда, когда |—Л ->В иВ -> {.

(vi) [- А — 3 тогда и только тогда, когда 卜"]Вт ] %.

Кроме того, теорема тавтологии- может заменить применение пропозициональных аксиом и правил расширения, сокращения, ассоциативности и сечения. Другими словами, мы можем определить теоремы теории Т с помощью следующего обобщенного индуктивного определения:

каждая аксиома подстановки, аксиома тождества, аксиома равенства и нелогическая аксиома является теоремой;

если Аъ ..., Ап (и ^ 0) ~теоремы и В —тавтологическое следствие %工,・・.,4Л, то В —теорема;

если А — теорема и В может быть выведена из А с помощью правила 3-введения, то В —теорема.

Это приводит нас к доказательству индукцией, которое мы также называем доказательством индукцией по

теоремам. По этому методу мы доказываем, что каждая теорема имеет свойство Р, доказывая, что:

каждая аксиома подстановки, аксиома тождества, аксиома равенства и нелогическая аксиома имеют свойство Р;

если 41, ..., Ап имеют свойство Р и В —тавтологическое следствие Аъ ..., 4, то В имеет свойство Р;

если Л имеет свойство Р и В может быть выведена из 4 c помощью правила Э-введения, то В имеет свойство Р.

32 Результаты о кванторах

Теперь выведем некоторые правила для оперирования с кванторами.

Правило V-введен и я. Если \-А-^В и * 〃е является свободной 8 4 то У А ^хВ.

Доказательство. Из ^А-^В с помощью теоремы тавтологии получаем р-] В^~] А. Тогда [―三％1 8-> ^^А по правилу 3-введения; следовательно, 14f -> ~] Эх П В по теореме тавтологии. По определению V это есть Л VxB.

Правило обобщения. Если 卜4, то ^^хА.

Доказательство. Из J—Л по теореме тавтологии имеем Ц УхА^Л. Тогда по правилу V-введения получаем |—~]Vx4fV*4 следовательно, р VxA по теореме тавтологии.

Скажем, что А1 есть частный случай формулы Л, если А' имеет вид АХ1，.…％ 网，…，a J

Правило подстановки. Если \—А и Аг - част- ный случай формулы А, то \—Af.

Док аз ател ьство. Вначале предположим, что Аг есть Ах[а]. Из \-А по правилу обобщения получаем НУхД, то есть |—~] Зх-] А. По аксиоме подстановки получаем |-~] Ах[а]^Эх П Л. Следовательно,卜Ах[а] по теореме тавтологии.

Теперь предположим, что Аг есть 4气，…，*几[〃公aj・

Пусть з\, ..., yn — n новых переменных (т. е. переменных, которые не входят в А или 4‘). Применяя первую часть доказательства, мы последовательно получаем

14」，工],\~аХи Хл [уъ必IUi,…,%]，

Начиная с последнего и снова применяя первую часть доказательства, последовательно получаем, что

...,%&，必，…，％]),

1>Ц,^ [«1, «2, • • %],

I~力*1хп [®i > “2，• • •，а〃]・

(Читатель должен заметить, что применение у в вышеприведенном доказательстве действительно необходимо. Начиная с А, мы могли бы получить ДХ1 [^], но мы не смогли бы тогда получить AXlt Х2 [«i, «2]> если бы *? входило в а】.)

Теорема подстановки.

Г%，…,％®а^-^ЭХг.^ЭХпА;

Vxi... VхлЛ —> Д хп [^1? • • • j а/

Доказательство. По аксиомам подстановки получаем

НС^ЭхС(1)

и рп С-> ЗхП С. Из последней формулы с помощью теоремы тавтологии и определения v получаем

H-VxC^C.(2)

Ввиду (1)

для f = 1, ..., п. Отсюда с помощью теоремы тавтологии получаем [~ Д -> 3X1... ЗхпА, а из последней формулы мы получаем (а) по правилу подстановки.

Аналогично, мы можем применить (2) для получения 卜 V*i・・・Х寵4т 4 и затем получить (б) по правилу подстановки.

Правило дистрибутивности. Если \-A~^Bt 也о \-ЭхА-^ЭхВ и р\/хЛ-> VxB.

Доказательство. По аксиоме подстановки получаем РВ-^ЗхВ. Отсюда и из |—4 —В получаем рЛ-> f т%8 по теореме тавтологии; таким образом, \-ЗхА^ f т%5 по правилу Э-введения.

По теореме подстановки получаем _V%Af 4 Отсюда и из- \-А-^В получаем \-^хА-^В по теореме тавтоло- / гии; таким образом, \—^хА -> VxB по правилу V-вве-- дения.

Пусть Л —формула и хх, ..., хп — переменные, пере-: численные в алфавитном порядке, которые свободны в А.； Формула Vxi ... УхпЛ называется замыканием формулы Л. \ Ясно, что замыкание формулы Л замкнуто и что если Л ； замкнута, то замыкание формулы А есть Л.

Теорема замыкания. Если А1 — замыкание фор- ■ мулы А, то \-Аг тогда и только тогда, когда |—Л. &

Доказательство. Если рЛ, то \-Аг по правилу обобщения. По теореме подстановки получаем \-Аг -^А\ : следовательно, если ^-Д\ то \—А по правилу отделения.<

С л ед ст в и е. Если Аг — замыкание формулы А, то Л является истинной в структуре М тогда и только тогда, когда /Г является истинной в е^.

Доказательство. Предположим, что 4 является 我 истинной в от^. Если Т имеет формулу А в качестве своей единственной нелогической аксиомы, то ©^ — модель теории Т. По теореме замыкания получаем ―丁厶‘；следовательно, Af является истинной в 次 по теореме истинности. Обратное доказывается аналогично.

Теорема дедукции

Если математик желает доказать утверждение если Р, mo Q, то он обычно предполагает Р и затем доказывает Q. Мы покажем, что в теориях существует подобный ； метод доказательства теорем.i

Обозначим теорию, полученную из Т добавлением 4,… ...,Ап в качестве новых нелогических аксиом, через ' Т[АЪ ..., Лл]. Тогда аналогом вышеописанного метода для теорий будет следующее: если мы желаем доказать 力一>5 в Т, то мы стараемся доказать В в Т[Л]. Покажем, что если мы добьемся этого и если А замкнута, то А-^В действительно является теоремой теории 7\

Теорема дедукции. Пусть А—замкнутая формула теории Т. Для каждой формулы В теории Т имеем \-~тА^В тогда и только тогда, когда В является тео~ ремой теории Т[4].

Доказательство. Если h г А -> В, то Л и 4fs являются теоремами теории Т[А]; следовательно, В — теорема теории ТЮ по правилу отделения. Докажем теперь, что \-тА-^В для каждой теоремы В теории Т[А], применяя индукцию по теоремам (в форме, описанной в § 3.1).

Предположим, что В— аксиома теории Т[А]. Если В есть А, то А-^В есть тавтология и, следовательно, теорема теории Т. В противном случае В есть аксиома теории Т; поэтому |— В; тогда \-тА->В по теореме тавтологии.

Предположим, что Я ™ тавтологическое следствие формул Cl …,Сп. Тогда А-^В — тавтологическое следствие 4->Ci, 4тС〃・ По индуктивному предположению \~т Л->-С^ \~т А^- Сл; следовательно, \-т А^В по теореме тавтологии.

Предположим, что В выведена по правилу 3-введения; например, В есть ЗхС-^D и выводится из С~^Dt где X не является свободной в D. По индуктивному предположению [—т4f СтZ); следовательно, по теореме тавтологии имеем РтС->Л-^Л. Так как х не является свободной ни в Л, ни в Р, то \-T3xC А~^ D по правилу '3-введения; следовательно, \-тА^В по теореме тавтологии.

Следствие. Пусть 4厶Лл — замкнутые формулы теории Т. Для каждой формулы В теории Т имеем — г 力工 т ・・・—%；1fb тогда и только тогда, когда В — теорема теории Т

Доказательство, Индукцией по /г.

Теорема дедукции ложна, если не требовать, чтобы А была замкнутой. Так, если мы добавим х = 0 в качестве аксиомы к ^, то мы можем доказать у = 0 по правилу подстановки. Но х —0->у —0 не является теоремой N, так как она не является истинной в модели 力.Чтобы обойти эту, трудность, докажем теорему, которая позволит нам заменять 4fs на импликацию с замкнутой посылкой.

Тео р ем а о константах. Пусть Тг получена из Т добавлением новых констант (но 〃е новых нелогических аксиом). Для каждой формулы А теории Т и каждой последовательности ех, ..., еп различных новых констант имеем [-г Л тогда и только тогда, когда |—『/回，…，%].

Доказательство. Если \~тА, то рг^Л; следовательно, |—尸4[%, ..., ej по правилу подстановки. Теперь предположим, что мы имеем доказательство . А[еъ ел] в Т'・Мы выберем п переменных ^i, ..., yni не встречающихся ни в доказательстве, ни в А, и заменим 2], ..., ея во всем доказательстве на ^工,...,： Это не затронет нелогических аксиом (которые не содержат никаких новых констант). Легко видеть, что каждая ■； другая аксиома становится аксиомой того же типа, а каждое применение правила становится новым применением того же правила. Отсюда следует, что мы получим дока- зательство Л^； ..., у„\ в Т：Таким образом,

\~т А [Уъ • ■ •» Уп]\

следовательно, (—ГЛ по правилу подстановки.

Теперь возвратимся к проблеме доказательства А^В в 7\ Пусть Xi, …，xw — переменные, свободные в 4. Строим Тг из Т добавлением новых констант еъ ..., ел. По теореме о константах имеем

\~т А-^В тогда и только тогда, когда」

I~ тг 4 [^1» • • ■»。儿]^" В [©i, • ♦ •, ej.

Так как 4 0,…，О замкнута, то теорема дедукции показывает, что для этого достаточно доказать 5W1,…，备]в Г [А[е^е/]・

Теоремы эквивалентности и равенства

Результаты этого параграфа могут быть приблизительно ' сформулированы как следующие: эквивалентные формулы и равные термы взаимозаменяемы.

Теорема эквивалентности. Пусть 4’ получена из А заменой некоторых вхождений Blf ..., Вп на В{,-

• •・,Вп соответственно. Если

—& с 山，..*, р Вп с Вгп, то

Доказательство. Рассмотрим вначале один специальный случай: существует только одно такое вхождение и оно есть всё А. Тогда А есть 民 и А' есть Bi для некоторого i； следовательно, |—^4 c 4, по предположению.

Докажем теперь теорему индукцией по длине Л. Если Д — атомная формула, то любое вхождение формулы в Л есть всё А по теореме о вхождении. Следовательно, если это не специальный случай, то никакое вхождение не заменяется и А1 есть Л. Тогда 卜一4q4‘ по теореме тавтологии.

Предположим, что Л есть ]С. По теореме о вхождении любое вхождение формулы в А или есть всё Л или целиком содержится в С. Отсюда следует, что если это не специальный случай, то Af есть ~| С\ где С' получается заменами из С так, как описано в теореме. По индуктивному предположению \- С ^С^ следовательно, А1 по теореме тавтологии.

Если Л есть С、D, то доказательство аналогично. Теперь предположим, что Л есть ЗхС. Если это не специальный случай, то {' есть ЗхС\ где = С q С' по индуктивному предположению. Тогда р С^С1 и |— Cf-^С по теореме тавтологии. По правилу ди стр и бутив ности имеем \-А -> А1 и рЛл следовательно, \-А <-> Аг по теореме тавтологии.

Мы уже замечали, что формула не меняет своего значения, если связанную переменную заменить другой переменной. Как применение теоремы эквивалентности докажем теперь синтаксический вариант этого замечания.

Скажем, что 4’ — вариант формулы Д, если Аг может быть получена из Л с помощью последовательных замен следующего типа: заменяем часть ЗхВ на ЗуВх [у], где > —переменная, не являющаяся свободной в В.

Теорема о вари анте. Если Аг — вариант фор* мулы 4, то —%з4'・

Доказательство. Ввиду теоремы эквивалентности и теоремы тавтологии нам нужно лишь показать, что в обозначениях предыдущего определения |— ЗхВ<^ ^уВх[у]^ Пусть В' есть Вх [j]. По теореме подстановки 『Вг -> т%5; следовательно, по правилу Э-введения

一 3yBf f ЗхВ.(1)

Учитывая то, что у не является свободной в В, видим, что B；W есть В. Следовательно, по теореме подстановки 卜 8->Щу£; таким образом, [- ЗхВ^ЗуВ' по правилу Э-введения. Отсюда и из (1) получаем ^- ЗхВ ЗуВ1 но теореме тавтологии. v

Варианты применяются, когда у нас имеются труд-: ности, связанные с тем, что терм а не является допусти^ : мым для подстановки вместо х в А. Мы можем тогда : найти вариант 4’ формулы Л, в котором ни одна пере-； менная из а не является связанной. Тогда Q будет до- “ пустимым для подстановки вместо х в Л\ и мы можем ? заменить А на А1.

Теорема симметрии. Н а = Ь ^>Ь = а.:

Док а з ательство. По аксиоме равенства имеем :

Таким образом, по аксиомам тождества и теореме тавто- логии р- х^у -^у — х. По правилу подстановки 卜。= = Е»>Ь = аи р & = а->« = &； следовательно, [~ а = & о ^Ь = а по теореме тавтологии.

Теорема равенства. Пусть Ь‘ получен из Ь заме-. ной некоторых вхождений а^ ..., ап на 山,...,〃2 соот* ветственно, и пусть Аг получена из А заменой некоторых .： вхождений а^, ... t «я, &е находящихся в областях действия кванторовл на aif ,.., а】 соответственно. Если 卜 〃工= : =屈,.一，h an = a^ mo 1力=6 u \-A^a,.

Доказательство. Вначале докажем, что |— b = br,二 Если единственное заменяемое вхождение есть всё 瓦 то для некоторого г терм & есть 碉 и терм Ьг есть 必；еле-: довательно, (— b=V по предположению. Мы исключаем : теперь этот специальный случай и проведем индукцию по длине 力.Если Ь — переменная, то нет вхождений, которые можно заменить (так как специальный случай ' исключен). Следовательно,匕'есть Ь и J— b = bf по акси-, оме тождества и правилу подстановки. Теперь пр ед пол о-: жим, что Ь есть fc^... Q. Тогда bf есть fc；…с£ где |—с± = с，для i=l,...,内 по индуктивному предположению. По аксиомам равенства и правилу подстановки имеем

IС] ^ С1 ―> .…~* Ck Ch -^" Ь ==匕•

Следовательно, p Ь~Ъг по правилу отделения.

Докажем теперь, что Н 4 ^ Л\ индукцией по длине А. Если Л — атомная формула рс里…/, то по первой ‘ части доказательства Af есть pci …с%, где |—Q = d для f = 1,…•，瓦 По теореме симметрии 1 d = O для «=!,...;

%. По аксиомам равенства и правилу подстановки

Q = 4…f с 丸亍 4 f 4 f 4'

и

卜 Ci = q —>■... —> % = Ch —> 4’ —>- 4.

Следовательно, \— А<-> Аг по теореме тавтологии. Оставшиеся случаи рассматриваются так 尔е, как и в доказательстве теоремы эквивалентности.

Следствие 1. )—a1 =必->一.->g门=a2->匕[аз…，0"= =b [a{,矶].

Доказательство. Заменяем каждую переменную, входящую в。士 или в а；, новой константой. Предположим, что ®& и b превращаются в q, d и d. Формулой, которую надо доказать, является

q = Ci ~>■ • • • —>■ с л с п ~^ 4 [с,…•, с〃]=== d [口,…•, cj.

Ввиду результатов последнего параграфа достаточно добавить Ct = c[ в качестве аксиом и доказать &[&,…，с/ = = d[d, •…,Гл]. Это можно сделать с помощью теоремы равенства.

Следствие 2.卜 % =山—...fa〃 = aZf (4[%,

• • •)a也]< > 4 [ai,.• ., a九]).

Доказательство. Аналогично доказательству следствия 1.

В приложениях теорема и оба следствия будут называться просто теоремой равенства.

Следствие 3. Если х не входит в а, то

14*[可-三* (* = a&4).

Доказательство. По теореме равенства

\- х~а~^{А<^ Ах[а^\

следовательно, по теореме тавтологии и правилу 2-введения

Н Зх (х = а&А)-^Ах[а].(2)

По теореме подстановки

1 ®=〃&4[司)т三* (% = а&4).(3)

По аксиомам тождества и правилу подстановки

[-〃=a.(4)

По теореме тавтологии следствие получается из (2), (3) й (4).

Пренексная форма

Теперь покажем, что каждая формула эквивалентна : формуле, находящейся в некоторой специальной форме.

Формула называется открытой, если она не содержит кванторов. Формула А находится в пренексной форме,； если она имеет вид QXi... QxnB, где каждое Q*f есть или ЭХ/ или VXi； *l ..., хп различны и В открыта.- В этом случае Qxi ….Сх儿 называем приставкой, а В — матрицей для Л. Мы допускаем случай, когда приставка ； пуста, другими словами, считаем, что открытая формула также находится в пренексной форме.

Наше определение пренексной формы содержит опре- “ деляемый символ V. Как и во всех таких случаях, в опре-， делении, на самом деле, упоминаются формулы, получен-， ные устранением определяемых символов. Однако, имея дело с пренексной формой, вообще лучше не предполагать определяемый символ V устраненным.

Введем теперь некоторые операции, называемые пре- неясными операциями. Это операции, которые могут быть произведены над формулой Л, возможно, содержащей : определяемый символ V; результатом операции является [ другая такая формула. Пренексными операциями являются:

замена Л некоторым вариантом;

замена части "| QxB в Л на Q'x П В, где СТ* есть Vx, если Qx есть Зх, и Q'x есть Эх, если Qx есть Vx；

замена части Q%5 V С в Л на Qx (В V С) при : условии, что х не является свободной в С;

замена части В V Q*C в Л на Qx (В V С) при условии, что % не является свободной в 8*

Вначале покажем, что если «—результат, полученный из А при помощи некоторой пренексной операции, то \- А ^ А'. Для (а) это следует из теоремы о варианте. Для (б) достаточно, имея в виду теорему эквива-' лентности, показать, что I- IQxBqQ'xiB. Таким : образом, мы должны показать, что ,

1 т%5 о Vx "] В

и

1 YxB ^Эх^В

являются теоремами. Если устранить V, то получим

"I ЗхВ q 口 ：3%口18 и ППЭхПВ^ЭхПВ.

Они следуют из теоремы эквивалентности и теоремы тавтологии.

Обращаясь к (в), достаточно доказать, что 卜 QxB V С~ — Q%(8 V С). Это будет следовать из теоремы тавтологии, если мы докажем

⑵⑶⑵⑵⑶⑵FQeB—Qx{8 V О， 1 С —Q%(5 V С)， 卜 Qx(8 V О —Q%5V &

⑵⑶⑵

⑵⑶⑵

Мы получаем (1) из тавтологии BfB\/ С по прав ди стр ибутив ности. Если Qx есть Эх, мы получаем

из аксиомы подстановки В V С-> Эх (В V С) по теореме тавтологии. Если Qx есть Vx, мы получаем (2) из тавтологии С->8\/С по - правилу V-введения. Теперь из аксиомы подстановки В-^ЗхВ мы получаем 卜 В V С->ЗхВ\/ С R。теореме тавтологии; следовательно, 卜 Зх (В V С) f ЗхВ V С по правилу 3-введения. Это есть (3), когда Qx есть Зх. По теореме подстановки имеем ； V%(8 V С)->В V С следовательно, по теореме тавтологии и правилу V-введения имеем

Н Vx (В V C)&、CfYxB・

Отсюда по теореме тавтологии получаем \- Vx (В V С)-> fNкВ、С, которое есть (3), когда Q% есть Vx.

Обращаясь к (г), достаточно показать, что 13V QxC — cQx (В \J С), если х не является свободной в В. По сказанному выше имеем 卜 QxC \/ Вс Qx(С V 8), и желаемый результат следует по теореме эквивалентности и теореме тавтологии.

Теперь покажем, что каждая формула может быть преобразована в формулу в пренексной форме с помощью применения пренексных операций. Доказательство ведется индукцией по длине Л. Если Л — атомная формула, то она уже в пренексной форме. Предположим, что А есть 1 В. По индуктивным предположениям мы можем преобразовать В в формулу 月'в пренексной форме с помощью пренексных операций. Те же операции преобразуют 4 в 】Ь‘. Но ясно, что ~] В1 может быть преобразована в

формулу в пренексной форме последовательном применением? операции (б).

Теперь предположим, что А есть В V С По индуктив-' ному предположению мы можем преобразовать В и С\ в формулы Bf и Cf в пренексной форме. Имея в виду； операцию (а), мы можем далее предполагать, что пере-{ менные в приставке Bf отличны от переменных в приставке С' и что переменные в обеих приставках отличны^ от переменных, свободных в 8' и С'. Мы можем тогда преобразовать / в 笈'V С; с помощью операций (в) и (г) мы можем преобразовать В' \] С в формулу в пренексной форме*

Наконец, предположим, что 4 есть QxB. Мы можем： преобразовать В в формулу 8’ в пренексной форме; мы можем предполагать, что переменные в приставке Вг отличны от х. Тогда Л может быть преобразована в Q*B\ которая находится в пренексной форме.

Под пренексной формой формулы Л мы понимаем фор-； мулу в пренексной форме, в которую Л может быть пре-- образована с помощью пренексных операций. Мы уже^ видели, что каждая формула имеет пренексную форму и； что если Лг — пренексная форма Л, то р Л о Л\ Заметим, что пренексные операции не зависят от. теории, в которой мы работаем.

Наш метод получения пренексной формы формулы 4 требует от нас устранения определяемых символов, отличных от V. Мы можем избежать устранения ->и & с помощью/ введения следующих дополнительных пренексных операций:.

замена части Qx^-> С в Л на Qfx(B^-C), где: Q5 означает то же, что и в (б), при условии, что х не является свободной в С;

замена части Bf0cC в 4 на Qx(5f С) при ； условии, что х не является свободной. в Я;

замена части Q%8&C в Л на Qx (В & С) при условии, что х не является свободной в С;

замена части B&QxC в Л на Qx (В & С) при i условии, что х не является свободной в 8.

Можно видеть, как и раньше, что этих операций? достаточно, чтобы преобразовать любую формулу, содержащую f и &, в пренексную форму* Чтобы убедиться,- что формула, полученная в результате этих операций, эквивалентна формуле, над которой операции производи-：

лись, заметим, что каждая операция по устранении определяемого символа становится некоторой последовательностью операций (б), (в) и (г). Например, предположим, что мы используем (д) для замены 3xfi-> С на Ух (В -> С). Устраняя т, видим, что мы заменили п ЭхВ V с на Vx (~15 V С)・ Это можно сделать, вначале применяя (б) и затем применяя (в). Мы не можем получить подобного правила для если мы устраним с и применим (а) — (з), то обнаружим, что не можем вернуться К Q.

В заключение приведем пример шагов преобразования формулы из ^ в пренексную форму:

Зх {х = у)~^Эх (х = 0 V 1 刃® V0)),

Зх (х=^)->Эг (г = 0 V ~| 3 ш (ш<0)),

Зх (х = у) Эг (г = 0 у Vd] (ш<0)), Эх(x^y)^Bzifw (z = 0 V 1 (ш<0)), УхЭгУш {х=у V "I (⑪ V。)).'

Задачи

Показать, что если А —формула, доказуемая без использования аксиом подстановки, нелогических аксиом, аксиом тождества, аксиом равенства и правила Н-введения, тс А — тавтология.

Пусть Г—теория без нелогических аксиом. Для каждой формулы 4 теории Т пусть А* — формула, полученная из А опусканием всех кванторов и заменой всех термов новой константой е. Показать, что если 1丁4, то Д* — тавтологическое следствие формул вида а = а. Вывести, что не существует формулы А такой, что НГА и н 7П Л*

3・(а) \~Ух(А-уВ)~^ НхА tYxB.

1 f Vx4 ЗхЯ.

(а) И Зл (A V 5) — ЭлД V

ьУх(А^В)^ Vx A & VxB.

H (4 & 5) ЗхЛ & mxb.

Ь УхА V Vx&f Vx (A V 砚

Привести примеры формул из А/ вида

Vx (4 V 5) -» VxA V Vxfi и ЗхА&ЗхВ-»Зл(Д&Я)(

которые не являются истинными в @^,

Показать, что если х не является свободной в А, то |— 3x4 — 4 н 卜 УхА +а Д.

(a) F Зх3.уД Зз»ЗхА.

УхУуА — УуУхА,

L НхУуД -> УуВхЛ.

Привести пример формулы из ^ вида УхЭуА -> НуУлД, которая не является истинной в ©У^.

3 Дж. Шенфилд

(а) Пусть Аг получена из 4 заменой некоторых вхождений В на В\ Пусть xlt ..., хл включают в себя все те переменные» которые имеют вхождение внутрь этих вхождений В и 6', свободное в В или Вг и связанное в 4 или 4‘.

Показать, что

L Yx* …Vx住(В — S') f (4 — 4)

[Использовать метод из § 3.3 и теорему эквивалентности.]

Привести пример формул Л, 4\ В н 6, из ^, удов летворяющих , условию (а) таких, что (方—6') — (4 — 4‘) не является истинной в

(а) Пусть 4’ получена из Л заменой некоторых вхождений а, не находящихся в областях действия кванторов, на а'. Пусть х1(，

...,хл включают в себя все те переменные, которые имеют вхождение внутрь этих вхождений а и а', связанное в А или Д\ Показать, что,

Н VXi …V4 (а = а'}—(力—4').

[Подобно 7 (а).]

Привести пример термов а и а' и формул Д и Д' из ^, удовлетворяющих условию (а), таких, что a = af -> (А ^ Az) не % является истинной в(§#二

Пусть Т——теория. Пусть Тг — формальная система, получен-' ная из Т опусканием аксиом равенства и добавлением в качестве новых аксиом всех формул х~у -> 4 f 4* [у] для атомных формул А. Показать, что Т и Т‘ имеют одни и те же теоремы.

(а) Показать, что если х не входит в а, то

Ь Ах [а] — Vjc (工=а 4).

Привести примеры формул из N вида

Ах [а] — Зх (х = а & Д) и Дх [а] ^Ух (х = а f А), которые не являются истинными в

(а) Формула находится в дизъюнктивной форме, если эта формула есть дизъюнкция конъюнкций формул, которые являются ' элементарными формулами или отрицаниями элементарных формул. Показать, что для каждой формулы 4 существует формула 4‘， находящаяся в дизъюнктивной форме, такая, что 4 — Af ——тавтология*

Формула находится в конъюнктивной формеt если эта формула есть конъюнкция дизъюнкций формул, которые являются : элементарными формулами или отрицаниями элементарных формул. Показать, что для каждой формулы 4 существует формула 4- находящаяся в конъюнктивной форме, такая, что А — Дл —тавтология. [Начать с формулы S в дизъюнктивной форме такой, что [4—6 является тавтологией.]

Пусть А ——формула, возможно, содержащая определяемые символы & и V. Пусть 4。получена из А следующим образом: для . каждого вхождения атомной формулы В в At если В непосредственно следует за ], то опускаем ~|; в противном случае вставляем ~\ перед В. Пусть А* получена из 4° заменой всех V, &,三 н V на &, V, V и 3 соответственно. Показать, что [- А* ^ ^ А. [Использовать индукцию по длине А.]

ПРОБЛЕМА ХАРАКТЕРИЗАЦИИ

4.L Теорема редукции

Главная цель формальной системы — служить основой для доказательства теорем. Поэтому особенно важной проблемой для любой формальной системы F является следующая: найти необходимые и достаточные условия того, чтобы формула системы F была теоремой системы 尸. Эта проблема называется проблемой характеризации для 尸. Мы предполагаем изучить проблему характеризации для теорий.

Имеется тривиальное решение проблемы характеризации для любой теории Т: формула является теоремой тогда и только тогда, когда эта формула имеет доказательство. Такое решение проблемы является неудовлетворительным, потому что условие, что Л —теорема, зависит от всех формул, которые могут встретиться в доказательстве формулы А. При удовлетворительном решении условия должны зависеть только от Л и формул, тесно связанных с А.

Если мы ищем решение проблемы характеризации, подходящее для всех теорий, мы должны немного изменить 9To требование. Будет ли Л теоремой теории Т или нет, очевидно, сильно зависит от нелогических аксиом теории 7\ Поэтому мы должны ожидать, что условие, согласно которому А — теорема теории Т, будет учитывать не только 4 но также и нелогические аксиомы теории Т. Если эти нелогические аксиомы достаточно просты, то зт。не должно создавать каких-либо неудобств. Для теорий со сложными нелогическими аксиомами необходимо отказаться от общих решений и искать решение, приспособленное к частной теории.

Существуют несколько простых результатов, относя- 『нхся к проблеме характеризации для различных теорий. Чтобы рассмотреть их, введем некоторые понятия, кото Рне часто применяются при изучении теорий.

3*

Язык 4 первого порядка L' называется расширением ； языка первого порядка L, если каждый нелогический : символ из L является нелогическим символом из ; (Учитывается соглашение из § 2.4 относительно ирнмене* ; ния нелогических символов в двух различных языках.)； Теория Т‘ называется расширением теории Т, если ? L (Т‘) — расширение языка 厶(Т) и каждая теорема теории Т : является теоремой теории Т‘. Ясно, что для последнего , необходимо и достаточно, чтобы каждая нелогическая . аксиома теории Т была теоремой теории Г', но не обя-； зательно, чтобы каждая нелогическая аксиома теории Т : была нелогической аксиомой теории Т‘.

Консервативным расширением теории Т называется рас- t ширение Тг теории Т такое, что каждая формула теории : 7\ являющаяся теоремой теории 7\ также является тео-] ремой теории Т・ Например, если мы получаем Тг из Т добав- j лением некоторых новых констант, то по теореме о констан-； тах Т‘ является консервативным расширением теории Т. *

Теории Т и Tf называются эквивалентными, если каждая из них есть расширение другой, т. е. если они , имеют одинаковый язык и одинаковые теоремы. Отсюда : следует, что эти теории являются консервативными рас-； ширениями одна другой. Если Т является (консерватив- ным) расширением теории Т, то любая теория, эквива-；； лентная Т‘, является (консервативным) расширением лю-； бой теории, эквивалентной Т.

Если Tf — консервативное расширение теории Т, то формула теории Т является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда она является теоремой теории Т‘；； таким образом, решение проблемы характеризации для Т‘ ■ дает решение аналогичной проблемы для Т. В частности, | если Т п Тг эквивалентны, то проблемы характеризации для Т и эквивалентны.

Если Г — множество формул теории Г, то пусть Т [Г]— теория, полученная из Т добавлением всех формул из Г в качестве новых нелогических аксиом.

Теорема редукции. Пусть Г — какое-то множество формул теории Т и А — некоторая формула теории Т. Тогда А является теоремой теории Т [Г] тогда и только тогда, когда существует теорема теории Т 二 вида Bif-.fBttfA, где каждое 氏 есть замыкание , некоторой формулы из Г.

Доказ ател ьство. Если такая теорема теории Т существует, то по теореме замыкания 5^,.…,В抬 н Вг. …+ Br1fA являются теоремами теории г [Г]; таким образом, по правилу отделения Л — теорема теории Т [Г]. Теперь предположим, что Л имеет доказательство в TS и пусть В], ..., B/t —замыкания тех формул из Г, которые используются в доказательстве в качестве нелогических аксиом. Применяя снова теорему замыкания, получим, что Л ~ теорема теории T[вl，…，&];следовательно, по теореме дедукции Я1 ВЛ-> Д — теорема теории Т.

Теорема редукции сводит проблему характеризации для Т [Г] к проблеме характеризации для Т. Далее, любая теория Т‘ есть T [门， где Т получена из Т опусканием всех нелогических аксиом, а Г ~ множество иелоги- ческих аксиом теории Т‘，Поэтому для того, чтобы решить проблему характеризации для всех теорий, достаточно решить ее для теорий, у которых нет нелогических аксиом. Конечно, тогда решение для Т‘ зависит от нело- гических аксиом теории 7‘； но мы уже видели^ что это неизбежно..

Теория Т называется противоречивой, если каждая формула теории Т является теоремой теории Т; в противном случае Т называется непротиворечивой. Проблема, будет Т непротиворечивой или нет, является специальным случаем проблемы характеризации для Т. Это важно потому, что, как мы увидим в следующем параграфе, Т непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет модель.

Если для некоторой формулы Л обе формулы Л и П Л являются теоремами теории Т, то Т противоречива; действительно, каждая формула есть тавтологическое след- ствне формул А и ~\ А, Мы часто будем молчаливо использовать этот факт в рассулдениях о непротиворечивости.

Если Тг — расширение теории Т 还 Г непротиворечива, то Т непротиворечива; действительно, если Л — любая формула теории Т, то одна из формул А и 4 не является теоремой теории Тг и, следовательно, не является теоремой теории 7\ Если Т ——консервативное Расширение теории 7\ то Т‘ непротиворечива тогда н только тогда, когда Т непротиворечива. Действительно» еслн Т непротиворечива и Л — формула теории 7\ то °Ана из формул Л или 1 / не является теоремой теории Т и> следовательно, не является теоремой теории Т'・

Теперь переформулируем теорему редукции примени- | тельно к неп роти вор еч и вости.

Теорема редукции дл 任 непротиворечивости. Пусть Г — непустое множество формул теории 7\ Тогда Т [Г] противоречива тогда и только тогда, когда существует теорема теории Т, которая есть дизъюнкция отрицаний замыканий различных формул из Г.

Док аз ате л ьство. Если такая формула ~\ Аг\/ ...

...V Т 4〃 существует, то каждая из Ab ..., Ant ~| 4i V

...V 1 %几 является теоремой теории Т [Г]; следовательно, по теореме тавтологии каждая формула есть теорема теории Т [Г]. Теперь предположим, что Т [Г] противоречива, и пусть В — любая формула теории Т. Тогда В&~\В— ； теорема теории口门； следовательно, по теореме редукции НMi~^...~^Ап^В&~\В, где каждое 4» является замыканием некоторой формулы из Г. Ясно, что можно предполагать, что п > 0 и что 4 различны. По теореме : тавтологии имеем )—т [ 41V …V 1：

С л ед ств и е. Пусть Аг — замыкание формулы 4. Тогда ； 4 является теоремой теории Т тогда « только тогда, когда Т[П Л'] противоречива.

Доказательство. По теореме Т[[/‘] противоречива тогда и только тогда, когда 卜 丁~]-|4'・ По теореме тавтологии и теореме замыкания это выполняется тогда и только тогда ^ когда |—ГЛ.-

Теорема полноты

Нашим первым решением проблемы характеризации является результат, уже упоминавшийся в главе 2.

Теорема полноты, первая форма (Гёдель). Формула А теории Т является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда А является истинной 6 Т.

Эта теорема имеет вторую форму> относящуюся к непротиворечивости.

Теорема полноты, втора я форма. Теория Т непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет : модель.

Вначале покажем, что из второй формы теоремы полноты следует первая. Ввиду теоремы замыкания и ее 丫 следствия достаточно доказать первую форму для замкнутой формулы Л. По следствию к теореме редукции для

непротиворечивости А есть теорема теории Т тогда и только тогда, когда Т [~| А] противоречива. По второй форме теоремы полноты это выполняется тогда и только тогда, когда 7 口 用 не имеет модели. Далее, так как А замкнута, то модель для Т[1А] есть просто модель для Т, в которой А не является истинной. Следовательно, Л является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда А является истинной в каждой модели теории Т.

Одна часть второй формы теоремы полноты следует из теоремы истинности. Предположим, что Т имеет модель е^. Если Л — замкнутая формула теории Т, то (Л & ~| Л)= —Л; таким образом, А & "] Л не является истинной в и, следовательно, не является теоремой теории Т. Таким образом, Т непротиворечива.

Дадим теперь доказательство Генкина другой части второй формы теоремы полноты. Начнем с некоторых замечаний о структурах и расширениях.

Предположим, что язык первого порядка U является расширением языка первого порядка и пусть — структура для £/. Опуская некоторые функции и предикаты из мы получим структуру о^ для L. Мы называем структуру от^ обеднением структуры ©^' до 厶 и обозначаем 2 через /'厶 Мы также говорим, что структура /' является обогащением структуры》до L\

Если “' является обогащением структуры о^ до L\ то и “* имеют одни и те же индивиды. Поэтому мы используем одну и ту же константу в качестве имени индивида а в £ (от^) и L {o^f). Легко проверить, что ^ (A) — q^f (Л) для каждой замкнутой формулы А языка 厶 值抬).Отсюда и по следствию к теореме замыкания получаем, что одни и те же формулы языка L являются истинными как в /, так и в 孩'.Отсюда и по теореме истинности мы получаем следующий результат.

Лемма 1. Если Тг — расширение теории Т и о^9 — м°дель для Т‘，то обеднение /' до L (Т) является моделью теории Т.

Возвращаясь к теореме полноты, мы сталкиваемся со Сл^дующей проблемой: как мы найдем модель для данной ^противоречивой теории Т? Поскольку дана только тео- Рнн, то мы должны строить нашу модель из синтакси- 'ескнх материалов. Далее, выражения теории Т, которые °бозначают отдельные индивиды, являются термами, сво-

бодными от переменных. Основная идея ~ взять эти термы' в качестве индивидов, и пусть теоремы говорят нам, что ' будет истинным для этих индивидов. Фактически инди-' видами будут множества термов, свободных от перемен」 ных； это необходимо, потому что теоремы теории могут 三 вынуждать два терма, свободных от переменных, пред-, ставлять один и тот же индивид.

Пусть 7 — теория, содержащая константы. Определим ; структуру от^, которую мы называем канонической струк- турой для Т. Если а и Ь — термы теории Т, свободные от переменных, то мы определяем а 〜匕，означающее : [-「a =匕. Имеем ^-та = a и

.та = Ь f (а = с с b = с)

по аксиомам тождества и теореме равенства. Следовательно,

а 〜а и а 〜b f (а 〜с с b 〜с).

Полагая с равным а в последнем выражении и исполь- р зуя первое выражение, получаем

а〜bfb〜а.

Итак, 〜 является отношением эквивалентности.

Пусть ] q^ I — множество всех классов эквивалентности по 〜.Класс эквивалентности, содержащий терм а, обозначим через а0. Мы полностью определяем структуру",； полагая

爲(а；明=(加…а”)。，

р乩(а；,…，а%) тогда и только тогда, когда \~Tp^i ^л-, Мы должны показать, что правые части зависят только от а?, а не от 〃厶 Для этого предположим, что | а^ = Ы для /=1, ・•・，п. Тогда ^Tat = bi\ следовательно, по теореме равенства имеемt

Н т/^1…a几=步1…b",^Tpai^an^pbr.t.bn.

Итак,т

(%1 ・…^п)°—(У^1 • • •匕 J

卜 亦。工••・〃“ тогда и только тогда, когда 卜-巾人 …％• А это как раз то, что мы хотели доказать.

Теперь покажем, что

М (а) = а。(1)

для каждого терма а теории Т, свободного от переменных. Используем индукцию по длине а. Поскольку а свободен от переменных, он должен иметь вид fat.. .ап. Следовательно, применяя индуктивное предположение, получаем

(^1)» • • • > а))

Отсюда следует, что если Л — атомная формула, свободная от переменных, то М (Л) = И тогда и только тогда, когда \~тА. Действительно, для этого предположим, что А есть ра工…а^ где р отлично от =・ Тогда

(Л) = И е0/(g^ (%),…，g^ (。力)发(片，…，風)

Теперь предположим, что А есть а = Ь. Тогда

次(Л) = Н — о^ (а) —(Ь)

о ^0 — ^0 с а〜6

Мы показали, что атомная формула, свободная от переменных, истинна в ©^ тогда и только тогда, когда она является теоремой. Это не обязательно верно для всех замкнутых формул по двум причинам. Во-первых, может оказаться, что термов, свободных от переменных, недостаточно; может быть, существует теорема, которая утверждает, что какой-то индивид имеет некоторое свойство и не существует терма, свободного от переменных, представляющего такой индивид. Во-вторых, теоремы могут не определять истинность или ложность всех замкнутых формул; может быть, существует замкнутая формула 4 такая, что ни 4, ни ~] % не являются теоремами. Теперь мы введем некоторые допущения о теории 7\ которые устраняют эти трудности.

Теория Т называется теорией Генкина, если для каждого замкнутого подтверждения ЗхА теории Т существует константа е такая, что Н тЭхА ^- Ах [е].

Формула 4 теории Т называется неразрешимой в 7\ если ни Л, ни П А не являются теоремами теории Т; в противном случае А называется разрешимой в Т. Теория Т называется полной, если она непротиворечива и каждая замкнутая формула теории Т разрешима в Т. Это можно переформулировать так: Т — полная теория, если для каждой замкнутой формулы А теории Т в точности одна из формул 4 и ~| 4 является теоремой теории Т.

Позднее мы изучим в деталях полные теории. Заме-； тим только, что неразумно требовать, чтобы каждая формула была разрешимой. Например, ни x — Q, ни х W О не являются истинными для всех значений переменных; следовательно, мы не должны надеяться, чтобы какая-, ни будь из них была теоремой.

Лемма 2. Пусть Т — полная теория Генкина, — каноническая структура для Т, А — замкнутая формула теории Т. Тогда /({) = И тогда и только тогда,: когда А является теоремой теории Т. ，

Доказательство. Используем индукцию по вы-: соте А, Для атомных формул 4 результат уже был доказан. Предположим, что Л есть 口 А. Тогда “ (4) = М тогда и только тогда, когда(^ (В) = Л; следовательно, по индуктивному предположению тогда и только тогда, когда В не является теоремой теории Т. Так как Т полная, то это выполняется тогда и только тогда, когда А является теоремой теории

Предположим, что А есть В\/С, Если (4) = И, то а^(5) = И или(^ (С) = И; следовательно, по индуктивному предположению одна из формул В или С является 、 теоремой теории Т. По теореме тавтологии Л —■ теорема ， теории 7\ Теперь предположим, что о/ (4) = Л. Тогда

Е8) = /(С) = Л;

следовательно, ни В, ни С не являются теоремами теории Т. Ввиду полноты имеем \-т~\ В и |—т]С； следовательно, \—т~\ А по теореме тавтологии. Ввиду непротиворечивости теории Т формула Л не является теоремой теории Т.

Предположим, что А есть ВхВ. Тогда (Д) = И тогда и только тогда, когда (^ [/]) = И для некоторого /. Каждое / есть имя индивида а0. Так как(^ (а)— =а°, то по лемме из § 2.5 следует, что @^(5力[〃，=

=0■公(fix [а]). Следовательно, (4) = Н тогда и только тогда, когда ©^ (Вх [«]) = И для некоторого терма а, свободного от переменных. По индуктивному предположению это выполняется тогда и только тогда, когда Н тВх [й1] для некоторого терма а, свободного от переменных. Поэтому мы должны доказать, что это последнее условие эквивалентно 卜丁4 Вх[а]-^А есть аксиома подстановки; следовательно, если ；8%[〃] для некоторого а, то \— А по правилу отделения. Теперь предположим, что J 4. Так как Т —теория Генкина, то существует е такое, что Н Л->Вх[е]; следовательно, |- Вх [е] по правилу отделения.

Следствие. Если Т является полной теорией Ген- к〃凡о, то каноническая структура для Т является моделью теории Т.

Доказательство. Пусть Л — нелогическая аксиома теории Т, и пусть А1 — замыкание формулы А. Тогда =丁4‘； следовательно, Аг является истинной в ^ по лемме; поэтому Л является истинной в а^.

Наша следующая проблема — посмотреть, как получать теории Генкина. Для этого введем некоторые определения.

Пусть L — язык первого порядка. Определим специальные константы уровня п индукцией по п. Предположим, что специальные константы всех уровней, меньших п, уже определены. Пусть Эх А — замкнутое подтверждение, образованное из этих констант и символов языка £. Если 孔〉0, то предположим также, что ЭхЛ содержит по крайней мере одну специальную константу уровня п — 1. Тогда символ, состоящий из буквы с с нижним индексом ЭхА} есть специальная константа уровня п, называемая специальной константой для ЗхА.

Язык, полученный из £ добавлением всех специальных констант всех уровней, обозначим через Lc. Если ЗхА —— замкнутое подтверждение языка Lc, то в Lc существует единственная специальная константа для ЗхЛ; ее уровень есть наименьшее натуральное число, большее уровней всех специальных констант, входящих в ЗхА. Мы используем 尸，$ и £ в качестве синтаксических переменных, областью изменения которых являются специальные константы. Если г — специальная константа для ЗхА, то формула ЗхА -> Ах [г] называется специальной аксиомой для г.

Пусть Т — теория языка L. Обозначим через Тс тео-, рию, язык которой есть Lc и нелогическими аксиомами ：■ которой являются нелогические аксиомы теории Т и спе-； циальные аксиомы для специальных констант из Lc. Оче-: видно, что Тс есть теория Генкина.:

Лемма 3. Тс является консервативным расширением теории Т.

Доказательство. Пусть Тг получается из Т до ； бавлением специальных констант (но не новых аксиом). 1 По теореме о константах Т‘ является консервативным : расширением теории Т; таким образом, достаточно будет 二 показать, что каждая формула Л теории Т, являющаяся , теоремой теории Тс, есть теорема теории 7\ По теореме ' редукции получаем, что|—т^В^ —>,.. —> В^ —>- Л, где :

Я1, ...» Bk — различные специальные аксиомы. Теперь применим индукцию по k. Если 々 = 0, то нечего доказы-： вать. Пусть 力 > 0. Можно считать, что уровень специальной константы 尸，для которой ^ есть специальная 『 аксиома, по крайней мере такой же большой, как уровни ： специальных констант, для которых Ь?,В^ являются * специальными аксиомами. Тогда г не входит в В$,В^ и, конечно, в Л. Отсюда по теореме о константах еле- j дует, что если % есть ЭхС -> сх и ну — новая переменная, то1

I(ЗхС —> Сх [у]) f &f BkA.

Следовательно, по правилу 3-введения

т ^у(m%C f C” [『])f 82 f …f 4

Теперь по теореме о варианте |— г ЭхС ^ 3jCx [у]; та- ким образом, с помощью пренексных операций получаем [—『Ду (ЗхС^Сх[j^]). Следовательно,|—丁,笈2f • • •

, ^Bk^A по правилу отделения; таким образом,卜丁，/ 彳 по индуктивному п ред пол ожен ию.

Теперь нам нужен метод для получения полных тео-: рий. Для этого нам будет нужен один результат из теории : множеств, который мы приведем без доказательства. (Набро-: сок доказательства см. в задаче 4 главы 9.)

Пусть Е — множество и пусть J — какой-то класс подмножеств множества Е. Скажем, что J имеет конечный ■ характер, если для каждого подмножества Л множества Е множество А принадлежит 丿 тогда и только тогдаt когда

каждое конечное подмножество множества Л принадлежит /• Множество Л в J называется максимальным элементом из J, если Л не является подмножеством никакого другого множества из J.

Лемма Тейхмюллера — Тьюки. Если J — непустой класс подмножеств множества £, имеющий конечный характер, то J содержит максимальный элемент.

Расширение Т‘ теории Т называется простым расширением, если Т к Т‘ имеют один и тот же язык.

Теорема Линденбаума. Если Т — непротиеоре- кивая теория, то Т имеет полное простое расширение.

Доказательство. Пусть Е — множество формул теории Т. Пусть J —класс всех подмножеств А множества Е таких, что Т[А] непротиворечива. Покажем, что J имеет конечный характер. Если Л принадлежит J, то каждое подмножество 4' множества Л находится в J, так как Т[А] является расширением теории T[Afl

Предположим, что Л не принадлежит J, так что Т[А] противоречива. Выберем формулу Л теории Т и доказательства формул 4 я 】/ в Т [А]. Пусть Л' — множество формул из Л, которые используются как нелогические аксиомы в этих доказательствах. Тогда А1 — конечное подмножество из Л и, значит, Т [Л7] противоречива; следовательно, Аг не принадлежит J・

Пустое множество находится в J; следовательно, по лемме Тейхмюллера — Тьюки существует максимальный элемент А из /• Ясно, что Т [Л] — непротиворечивое простое расширение теории 7; покажем, что оно полное. Мы должны показать, что если Л — замкнутая формула теории Т, которая не является теоремой теории Т[Л], то П Л — теорема теории Т[А]. Пусть 4 получается добавлением ]4 к 4. По следствию к теореме редукции для непротиворечивости получаем, что Т [Лх] непротиворечива; следовательно, /' принадлежит J. Ввиду максимальности Л отсюда следует, что 4 = /'; таким образом, ~| / принадлежит Л. Следовательно, [4 —теорема теории Т[А].

Теперь легко доказать теорему полноты. Предположим, что Т — непротиворечивая теория. Тогда по лемме 3 Тс — непротиворечивая теория. По теореме Линденбаума существует полное простое расширение U теории Тс. Так как U — простое расширение теории Tct to U сама яв- 』хетсн теорией Генкина. Следовательно, по следствию

к лемме 2 U имеет модель. Так как U расширение теории Т, то Т имеет модель по лемме 1.

Комбинируя наши леммы, можно также получить один результат, который будет полезен позднее.

Лемма 4. Пусть Т — теория u U — непротиворечивое простое расширение теории 7\. Тогда U имеет модель М такую, что каждый индивид из о^ есть ©^ (г) для бесконечного множества специальных констант г.

Доказательство. По теореме Линденбаума существует полное простое расширение U' теории U. Поскольку Uf — теория Генкина, то каноническая структура / для Ur есть модель теории U' и, следовательно, по лемме 1 модель для U. По (1) каждый индивид а из о^ есть 或(а) для некоторого терма а, свободного от переменных. По аксиомам тождества и теореме подстановки получаем 卜用％ (% = 〃)； таким образом, если г—специальная константа для Эх {х = а), то |—^尸=。・ Отсюда следует, что (尸) = ©^ (а) = а. Заменяя х другими переменными, мы можем найти бесконечно много других специальных констант с тем же свойством.

Каждая форма теоремы полноты устанавливает эквивалентность между некоторым синтаксическим понятием и некоторым семантическим понятием. Из них можно получить много других таких же эквивалентностей. Дадим один пример.

Следствие. Пусть Т w Т' — теории с одним а тем же языком. Тогда Т есть расширение теории Т‘ тогда 〃 только тогда, когда каждая модель для Тг есть модель для Т. Следовательно^ Т и Тг эквивалентны тогда 〃 только тогда, когда они имеют одни и те же модели. Доказательство. Условие необходимо ввиду леммы 1. Если условие выполняется, то каждая формула, истинная в Т, является истинной и в Т‘； таким образом, каждая теорема теории Т есть теорема теории Т‘ по первой форме теоремы полноты.

Укажем одно применение этого следствия. Как хорошо известно, существует большое количество множеств аксиом для групп, отличных от тех, которые мы формализовали в G. Предположим, что мы формализуем одно из этих множеств в теории G' с тем же языком, что и у G. Тогда G н G' имеют одни и те же модели (а именно, группы) и, еле- довательно, являются эквивалентными.

Теорема непротиворечивости

Проблема характеризации имеет дело только с конкретными объектами. Решение проблемы характеризации, данное с помощью теоремы полноты, использует, однако, модели, которые являются абстрактными объектами. Поэтому естественно поискать финитное решение проблемы характеризации для теорий. Мы дадим такое решение в этом и следующем параграфе.

Теория называется открытой, если все ее нелогические аксиомы открыты. В этом параграфе мы рассмотрим специальный случай проблемы характеризации для теорий, а именно, проблему непротиворечивости для открытых теорий.

Пусть г — специальная константа для Эх А. Формула относится к г, если она является специальной аксиомой языка L (Тс) для г или замкнутой аксиомой подстановки вида Ах ［词 + ЭхЛ. Обозначим через А (Т) множество всех формул теории Тс, которые относятся к специальным константам или являются замкнутыми частными случаями аксиом тождества, аксиом равенства или нелогических аксиом теории Т.

Лемма 1. Если 卜 т% “ Af — замкнутый частный случай формулы. А языка L(T^)，то 4’ есть тавтологии ческое следствие формул из Д (Т).

Доказательство. Используем индукцию по теоремам (в форме, описанной в § 3.1). Если А — аксиома подстановки, то Аг — замкнутая аксиома подстановки и, следовательно, принадлежит А(Т). Если А является аксиомой тождества, аксиомой равенства или нелогической аксиомой, то ясно, что 4，принадлежит А (Т). Если Л — тавтологическое следствие Blf ..., В注, то Л7 — тавтологическое следствие замкнутых частных случаев SJ ..., 爲 формул Вп ..., Вп соответственно. По индуктивному предположению 8J ..., В^ — тавтологические следствия формул из А(Т); следовательно, такова же и /Г. Наконец, предположим, что Л есть ЗхВ~^С и Л выводится из Bf С по правилу Э-введения. Тогда А9 есть 3xBz->С\ Если г — специальная константа для ЗхВ\ то Bfx\r\-^- f С'——замкнутый частный случай формулы В-> С, и, следовательно, по индуктивному предположению, есть тавтологическое следствие формул из А(Т). Поскольку

Д' — тавтологическое следствие Вх [г] -> С' и специальной аксиомы 3xBf -> Вх [г], то Д' есть тавтологическое следствие формул из А (Т).

Формула называется квазитавтологией, если она есть тавтологическое следствие некоторых частных случаев аксиом тождества и аксиом равенства.

Теорема непротиворечивости (Гильберт — Аккерман). Открытая теория Т является противоречивой тогда и только тогда, когда существует квазитавтология, которая представляет, собой дизъюнкцию отрицаний некоторых частных случаев нелогических аксиом теории Т.

Доказательство. Предположим, что ] 41V ・•・ ...\/~\Ап является такой квазитавтологией. Тогда все А19 ..., Ап и 口/iV* …V~|Zr являются теоремами теории Т; следовательно, по теореме тавтологии Т противоречива.

Теперь предположим, что Т противоречива. Пусть 尸一 любая специальная константа в Тс. Тогда 尸夕尸 есть частный случай теоремы 尤，汇 теории Т; следовательно, по лемме 1 существуют формулы Аъ •一, Ak из А (7) такие, что формула 4]f ...f 4&f 厂长尸 является тавтологией. Поскольку 尸=尸 принадлежит А(Т), можно предположить, что это есть одна из Д£. Тогда Г 4V … • • • V "1 』左—тавтология ・

Рангом специальной константы для ЭхЛ называется число вхождений 3 в формулу ЗхЛ; ранг по крайней мере равен 1. Пусть Дл (Т) — множество, полученное из А (Т) опусканием формул, относящихся к специальным константам ранга, большего п. Таким образом, А。(Т) состоит из свободных от переменных частных случаев аксиом тождества, аксиом равенства и нелогических аксиом теории Т в языке L (Гс).

Мы называем {^ ..., Ak специальной последователь-- ностью, если ~| А^... V П ^л — тавтология; т. е. если не существует истинностной оценки V такой, что V (Л；) = И для всех L Мы уже видели, что существует специальная последовательность, все формулы которой принадлежат А (Т) и, следовательно, все принадлежат Дл (Т) для некоторого и. Предположим, что мы имеем специальную последов ательность формул из До (Т). Заменяя каждую специальную константу новой переменной, мы получаем специальную последовательность, формулы которой являются

частными случаями аксиом тождества, аксиом равенства и нелогических аксиом теории Т в языке L (Т). Если Л1,…，人一все частные случаи нелогических аксиом, входящих в эту последовательность, то ясно, что ~| A^\j ... 一 • V ~1 %丸 является квазитавтологией. Отсюда следует, что доказательство сводится к доказательству следующей леммы.

Лемма 2. Если 冷>0 〃 существует специальная последовательность, состоящая из формул, принадлежащих А^ (Г), то существует специальная последовательность} состо 兄 ща 冗 из форму л у принадлежащих A„-i (Г).

Доказательство. По предположению существует специальная последовательность, состоящая из формул, принадлежащих A^i (Т), и формул, относящихся к специальным константам ранга п. Докажем заключение леммы индукцией по числу этих констант ранга п. Если таких констант нет, то доказывать нечего; поэтому мы предположим, что существует по крайней мере одна такая константа. Пусть г —та константа, которая имеет наивысший из возможных уровней, и пусть 尸工,r5 — остальные константы ранга п. Мы построим специальную последовательность, состоящую из формул, принадлежащих A^-i (Т), и формул, относящихся к гъ ...,产5； ввиду индуктивного предположения доказательство теоремы будет завершено.

Пусть А】,...,4「—все формулы из данной специальной последовательности, которые принадлежат 厶北一工(Т) ИЛИ ОТНОСЯТСЯ К ОДНОЙ ИЗ констант 尸1，..., г$. Пусть остальными формулами из данной специальной последовательности будут специальная аксиома ЗхВ 斗 Вх [г] для 尸 и формулы

содержащей вхож- когда Ai являетсясодержащей вхож- когда Ai является8田[a力•_->■ m*8,i 1, .…，P •

содержащей вхож- когда Ai является

содержащей вхож- когда Ai является

Покажем, что среди 4f нет (|юрмулы, Дения ЗхВ. Это сразу ясно в случае,

частным случаем аксиомы тождества, аксиомы равенства или нелогической аксиомы, так как тогда 4 открыта. Предположим, что А£ является формулой ЭуС-^Су [^] или Су [а\-^ЭуС, относящейся к $. Поскольку ранг 尸 не меньше ранга s, то ЗхВ содержит не меньше вхождений символа 3, чем ЗуС. Следовательно, ЗхВ не может входить в Су [^] или в Су [а]. ЗхВ не может входить

в ЗуС, кроме случая, когда ЗуС есть ЗхВ. Но это невозможно, так как s отлично от г.

Если в нашей данной специальной последовательности мы заменим каждое вхождение ЗхВ на Вх [г], то мы получим новую специальную последовательность. (Это следует из замечания в § 3.1.) Эти замены не затронут Лг. При них ЭхВ-^Вх [г] перейдет в тавтологию Вх [г]

Вх [г], а Вх [а^ЭхВ — в Вх[а^\^Вх [г]. Отсюда следует, что

4,4, вх [^i] —>- Вх [г], ..., Вх [Up] —> Вх [г] (1) является специальной последовательностью.

Пусть для каждого выражения и языка L (Тс) выра-: жение 〃⑴ получается из и заменой г везде (в том числе ： и внутри нижних индексов у специальных констант) на а,. ‘ Если Сь Ck — специальная последовательность, то ! такова же и С匕…，С限(по тому же замечанию из § 3.1). Применяя это к (1) и замечая, что Вх [г]1^ есть 5/〃力，， потому что 尸 не встречается в В, получаем специальную последовательность

Д<0, .... 4"瓦[%]")一瓦3L当[勺产f&[闻.：

(2)

Теперь мы утверждаем, что последовательность, со^ стоящая из всех 4 и всех Лр (t= 1, г; /= I,…，р) является специальной последовательностью. Для этого предположим, что существует истинностная оценка V, дающая значение И для всех этих формул. Согласно (2) для каждого i оценка V будет давать значение Л неко-： торой формуле Вх [a^i} ~^ВХ [aj. Таким образом,, у(^х[а;]) = Л для всех i; следовательно, V дает значе^ ние И каждой формуле Вх[а^\^-Вх [г]. Это невозможно по (1).

Теперь достаточно показать, что каждая 4" либо при-: надлежит Дл_! (Т), либо относится к одной из констант 广 1, •一，г5. Если А — частный случай аксиомы .тождества, аксиомы равенства или нелогической аксиомы теории Т. то такова же А^\ Теперь предположим, что Л; — предложение 3yCf Cy[s] или Су [а] -> ЗуС, относящееся к s. Тогда 4?)есть

ByC^^C^[s^]

ИЛИ

cд)［小］f巾心(".

Поскольку s отлично от г, то ясно, что s^^ — специальная константа для ЗуС{^. Следовательно, ЛР — предложение, относящееся к s(」L Ясно, что s и s(')имеют одинаковый ранг. Следовательно, если 4f относится к А并т(Т), то такова же и А^. Предположим, что s есть одно из 尸и.・・,/・ Поскольку уровень 尸 не меньше уровня s, то г не входит в ЗуС и, следовательно, не входит в s. Значит, s⑺ есть s и 4，)относится к одной из констант

Комбинируя то, что " есть модель для теории N, с теоремой полноты, получаем доказательство непротиворечивости теории М Теперь укажем, как можно превратить это доказательство в финитное доказательство непротиворечивости теории N. Сначала заменим все индивиды из конкретными объектами. Для этого достаточно заменить натуральное число п выражением, состоящим из п черточек. Затем замечаем, что если даются свободные от переменных терм а или формула Л, то мы в действительности можем вычислить "(а) или 力(Д). Отсюда следует, что в некоторых случаях можно дать финитное доказательство того, что некоторая открытая формула А языка L (N) истинна в В частности, можно доказатьf что каждый частный случай нелогической аксиомы теории N является истинной формулой в ©^ и каждая открытая квазитавтология является истинной в ". Теперь ясно, что невозможно найти открытые формулы Alt,..t Ап так玄е, что все Лх,..., 4理 и ~| 4 V …V I <〃 являются истинными в ©<^; следовательно, по теореме непротиворечивости теория N непротиворечива.

Итак, мы имеем два доказательства непротиворечиво- стн теории N: одно финитное и одно нефинитное. Так как финитное доказательство более длинное, то естествен- н。спросить: какие дополнительные выгоды мы можем извлечь из финитного доказательства?

Прежде всего, как упоминалось ранее, финитные доказательства могут пролить свет на природу конкретного н абстрактного. Например, финитное доказательство непротиворечивости теории 启 показывает, что точка зрения Гильберта на абстрактную математику, обсуждавшаяся

в § 1.2, подходит для N. Можно считать, что формулы теории М свободные от переменных, выражают ко.нкрет-； ные результаты, а кванторы являются абстрактными по- нятиями, введенными для доказательства конкретных ре-. зультатов. Тогда наше доказательство непротиворечиво-; ста показывает, что любой такой конкретный результат является правильным, т. е. что любая формула А,- свободная от переменных и доказуемая в М, является ；； истинной в ”. В противном случае Q А должна быть ； истинной в “, и вышеприведенное доказательство пока- з зывало бы, что N [~| А] непротиворечива, что противоре- 1 чит следствию к теореме редукции для непротиворечиво-； ста.'

Далее, финитное доказательство часто дает больше z информации, чем абстрактное доказательство, просто по- ‘ тому, ат。ограничение финитными методами часто застав-1 ляет нас доказывать больше, чем нужно для того, чтобы : получить требуемый результат. Например, наше абстракт-: ное доказательство непротиворечивости теории N основа-: но на доказательстве того, что каждая теорема теории N : является истинной. Так как истинность формулы теории N ； не является финитным понятием, финитное доказательство должно доказывать нечто более сильное о теоремах ' теории N. Если мы более внимательно проанализируем доказательство, то найдем, что можно действительно по- 士 строить формулу, которая является истинной, но не имеет этого более сильного свойства. Таким образом, мы полу-: чаем истинную формулу теории Л\ которая не является теоремой теории Л\ Мы не будем сейчас рассматривать : эту конструкцию, так как подобный результат про другую .: теорию будет рассмотрен в главе 8.%

4・4・ Теорема Эрбрана

Перейдем теперь к финитному решению проблемы ха・； рактеризации для теорий. Так как доказательство теоремы : редукции финитно, достаточно дать решение этой проблемы для теорий, у которых нет нелогических аксиом.: Ввиду результатов из § 3.5 достаточно дать решение для формул в пренексной форме. Мы даже можем ограни-. читься замкнутыми формулами в пренексной форме; это : следует из теоремы замыкания и того, что замыкание 4

формулы в пренексной форме находится в пренексной форме.

' Формула в пренексной форме называется экзистенциальной, если все кванторы в ее приставке являются кванторами существования. Начнем с решения проблемы характеризации для замкнутых экзистенциальных формул.

Лемма 1. Пусть Т — теория, не имеющая нелоги- ческих аксиом. Замкнутая экзистенциальная формула А является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда существует квазитавтология, являющаяся дизъюнкцией частных случаев матрицы формулы А.

Док азательство. Предположим, что Л есть Зхх... ... ЭхпВ9 где В — открытая формула. По следствию к теореме редукции для непротиворечивости Л является теоремой тогда и только тогда, когда теория 7口图является противоречивой. Применяя пренексные операции и теорему замыкания, получаем, что теория Т 口 Л] эквивалентна теории Т 口 В]. Следовательно, Л является теоремой тогда и только тогда, когда теория Т[1В] противоречива. По теореме непротиворечивости это выполняется тогда и только тогда, когда существует квазитавтология"| "] 8】V ... ...V "I "I ^w> где каждое 5』есть некоторый частный случай формулы В. Поскольку П 1 ^i V V 11 ^ — квазитавтология тогда и только тогда, когда формула 51V ... ...V 5尼 является квазитавтологией, мы получаем доказательство леммы.

Перед тем как дать полное решение проблемы характеризации, мы вводим одно расширение 冗 теории Тс. Под специальной аксиомой равенства мы понимаем формулу

Vx (Л с B)-^r=sf

где 尸 и s являются специальными константами для 3x4 口 ЗхВ соответственно. Мы получаем теорию Тс из теории Тс добавлением всех специальных аксиом равенства в качестве новых нелогических аксиом.

Лемма 2. Теория TZ является консервативным рас- рением теории Т.

Док азате льство. Допустим, что 7[乙…，r^ — теория, полученная из Т добавлением констант ru...9 rnt специальных аксиом и специальных аксиом равенства, которые содержат только эти специальные константы. Как н в доказательстве леммы 3 из § 4.2, всё сводится к

доказательству следующего: если уровень 厂^ не превосходит уровня 尸 для i= 1,..., п, то Т [гп..., г„, г] является консервативным расширением теории Т[尸匕・・・，〃]・ Покажем, что если формула Д теории Т[",…，尸j имеет доказательство в теории Т [尸工,.一,гл, r]t то формула Л имеет такое доказательство, которое не использует специальных аксиом равенства, содержащих 广；тогда мы можем завершить доказательство леммы так же, как и в лемме 3 из § 4.2.

Заметим, что для каждой специальной константы, встречающейся в левой части специальной аксиомы равенства, существует специальная константа более высокого уровня, встречающаяся в правой части. Отсюда следует, что специальная аксиома равенства в нашем данном доказательстве формулы А может содержать г только в правой части. Можно предполагать, что все эти аксиомы имеют вид V*(5qC)4尸=$; действительно, Vx (Со B)->s = =尸 можно вывести из Vx (5。С) f 尸=s по теореме эквивалентности. Можно также предполагать, что ни одна из этих аксиом не имеет правую часть вида г=г; такую аксиому можно было бы вывести из аксиом тождества.

Пусть V*(BqC)->/*=s является одной из этих специальных аксиом равенства в данном доказательстве формулы А. Пусть Тг——теория, полученная из Т[/,…，〃] добавлением константы г и двух аксиом 尸=$ и V* (” qC). Покажем, что Л является теоремой теории Т‘. Для этого достаточно доказать в Т все те нелогические аксиомы из данного доказательства формулы Л, которые содержат 广.Прежде всего мы можем вывести В^> С и, следовательно, Вх [г] С С* [г] из аксиомы V* (5с С). ИЗ ВХ[Г} е Сх(Г] и 尸=$ мы выводим по теореме равенства Вх [г]оСх [s], Затем мы можем по теореме эквивалентности вывести специальную аксиому ЗхВ -> Вх [г] для 尸 из специальной аксиомы ЗхС Сх [s] для S. Теперь рассмотрим специальную аксиому равенства V*(8q —0) f r= /, входящую в данное доказательство формулы %. Мы можем вывести ее по теоремам эквивалентности и равенства из специальной аксиомы равенства Vx (С — с D)fS = t (которая не содержит 尸).

Так как ；т，4 то по теореме дедукции и теореме о константах следует, что формула

у = $ —> Vx (В С1 С) т^ 4

является теоремой теории ^[г^..., гл]. Подставляя s вместо у и используя аксиомы тождества, получаем, что формула Vx(BcC)fA является теоремой теории Тр^,..., гл]. По теореме тавтологии отсюда следует, что П (^х (В«-> qC)tr=s)f 4 доказуемо в Т^,..., гП1 г] без применения нелогических аксиом, содержащих г.

Теперь пусть D^..,, Dk ——специальные аксиомы равенства, содержащие г и используемые в данном доказательстве формулы Л. По теореме дедукции формула Z)if … …f D*f A имеет доказательство, не использующее специальные аксиомы равенства, содержащие 尸.Мы только что показали, что каждая формула ~\'Di-^ А также имеет такое же доказательство. Таким образом, по теореме тавтологии и 4 имеет такое же доказательство.

Сделаем следующее замечание о теории 冗.Пусть г — специальная константа для формулы Зх ~] А. Тогда Зх~| А^~\ Ах [г]——аксиома теории Т] Приводя левую часть к пренексной форме и используя теорему тавтологии, получаем

^ГсАх [rj^^xA. (1)

Теперь возвратимся к проблеме характеризации. Мы свяжем некоторую замкнутую экзистенциальную формулу Ан с каждой замкнутой формулой А, находящейся в пренексной форме. Если 4 — экзистенциальная формула, то 4〃 есть А, В противном случае Л имеет вид Зх!... ... х^уВ(п^О). Вводим новый л-арный функциональный символ /； и пусть 4* будет 三看…并/历％/. Тогда Л* имеет на один квантор всеобщности меньше, чем А. Если А* — не экзистенциальная формула, то строим 4**, 4*** и т. д., пока не придем к экзистенциальной формуле. Эта экзистенциальная формула и есть 4H.

Теорема Эр б р а н а. Пусть Т — теория, не имею- Щая нелогических аксиом и А — замкнутая формула теории Т, находящаяся 8 пренексной форме. Тогда А является теоремой теории Т тогда и только тогда, когда сущест- syem квазитавтология, являющаяся дизъюнкцией частных случаев матрицы формулы 4H.

Доказательство. Пусть Т‘ получена из Т добавлением новых функциональных символов из Ан. Покажем, что 卜川 тогда и только тогда, когда \~т^АИ] тогда по 订емме 1 будет сразу следовать теорема.

Применяя обозначения, используемые при определении ' 4”，по теореме подстановки получаем f，VyBf斗[扭" ...Хп\ и, следовательно, по правилу дистрибутивности t Рг<4-> Л*. Аналогично получаем|—『4*

卜т，4**т4*** и т. д.; следовательно, }—『4f 4H. Если |—г4, то |—т，4; следовательно, по правилу отделе-； ния卜■广人氏

Доказывая обратное утверждение, для простоты предположим, что 4 есть SxV^B^VwB с открытой формулой В. (Однако метод доказательства будет совершенно общим.) Когда В записывается с квадратными скобками, то подр аз умев а етс я, что переменными в этих скобках яв-, ляются х, у, Z, W・ Поэтому можно А переписать в виде

3xVj3^VwB у,爲 w],

а формулой Ан будет

Введем теперь следующее обозначение: если а и Ь~ 1 термы теории Т^ свободные от переменных, тогда 尸(@)—— специальная константа для:

3j П 3^wB [Q, у N, W]■

и s (a, b)——специальная константа для>

三询 1В[а, г {a), b, w]・*

Из (1) и теоремы подстановки получаем в Т[:i

\- B[at г (q), b, s (a, b)] f V砚5[а, г (а), b, w],

—VwB[a,尸⑷，瓦 w]->mzVw8[@,尸(a), n, w], imzVwB [q, r (a), z, w] f ^y3z^wB [a.y, z, w], 卜 Vy^NV盟3 [а, у г,询]f 3x^y3z^wB [%, у, N,砚].

Следовательно,；

—3[q,尸(a),仇 s(a, b)]-> 4(2)

Имеем также

|- Q =。’ f Г(Q)=尸(废)(3)

И

\- a^=af ^b^bf ~^s (a9 f?) —s (a\ br). (4) ।

Чтобы доказать (3), используем специальную аксиому ；

равенства

Vy (1 三之 V wB[at у N, w] с 1 壬 V wB[aft у z, w])—

-> r (a) = r (q‘) и теорему равенства. Чтобы доказать (4), используем (3), специальную аксиому равенства

V w (1В[а.尸(。),Ь, w]^> П В[а\ 尸(@‘), b\ w])->

s(。，b)=s(a‘，b‘) ii теорему равенства.

Теперь предположим, что ^- т^Ан- По лемме 1 существует квазитавтология

В [%, %i,瓦，gQi瓦]V …V B[an, fanj bm gaj)^ (5) где 〃£ и bi — термы языка £ (T')・ Теперь изменим (5) следующим образом. Во-первых, заменим каждую переменную некоторой специальной константой. Затем выберем часть вида fa или gab. где а и 6 не содержат / или g. Если выбранная часть есть fa. то заменим ее везде на 尸(а); если выбранная часть есть gabf заменяем ее везде на s(q； &). Продолжаем делать такие замены до тех пор, пока мы не устраним все вхождения / и g.・ Получим окончательную формулу 8[必，尸(名)，济，S(朗，%)] V・，.

…v В [%,尸(qQ,工，s (%,瓦)](6)

теории Т] Покажем, что (6) является теоремой теории Т] Тогда по (2) и теореме тавтологии получим, что 4 является теоремой теории Т】и, следовательно, по лемме 2 теоремой теории Т.

Формула (5) является тавтологическим следствием частных случаев Clt ..., Сг аксиом тождества и равенства. Если мы проделаем те же преобразования над С】,...,С- которые мы делали, чтобы получить (6) из (5), мы получим формулы С；, ..., С；. По замечанию из § 3.1 формула (6) является тавтологическим следствием формул С；, ..._, Сг； следовательно, нам нужно лишь доказать формулу Сг в теории Т2・ Но Ci — снова частный случай аксиомы тождества или равенства, если только С/ не является частным случаем аксиомы равенства

X = xf -^fx^fxr или х—хг -> J =уг -> gxy = gx'y', В этом случае Cj является теоремой по (3) и (4). Это завершает доказательство теоремы Эрбрана.

4・5・ Добавление функциональных символов

Существует такой тип рассуждений, часто используемый в математике, который мы еще не рассматривали. Для его иллюстрации допустим, что мы рассматриваем натуральные числа, и доказали, что для каждого числа 尤 существует простое число у такое, что у^>х. В ходе более позднего доказательства мы могли сказать: пусть у будет простым числом таким, что p>x. В оставшейся части доказательства мы должны помнить, что у зависит от х. Если мы желаем указать эту зависимость с помощью какого-то обозначения, то вместо этого мы могли бы сказать: для каждого х пусть / (х) будет простое число, большее %. Конечно» f должен быть новым символом, не встречающимся в том утверждении, которое мы хотим доказать. Наш следующий результат показывает, что аналогичный метод, примененный к теории Т, не приводит нас к утверждениям, которые не могут быть доказаны в Т.

Т еорема о функциональных р асши р е- н и я х. Пусть х, ji, ..., уп — различные переменные 儿 ЗхД ——теорема теории Т, s которой нет свободных переменных, отличных от у* ..., j„. Пусть Тг — теория, полуденная из Т добавлением нового пиарного функционального символа f и новой нелогической аксиомы Ах [fyi • • • ,..jJ. Тогда теория Т‘ является консервативным расширением теории Т.

Доказательство. Ввиду теоремы замыкания достаточно доказать, что каждая замкнутая формула В теории Г, являющаяся теоремой теории Т‘，является теоремой теории Т. По теореме редукции существует доказательство (не использующее нелогических аксиом) формулы

…V упАх [/У1 • ■ -Уп\ f&f …— MfB, (1) где каждое Cf есть замыкание некоторой нелогической аксиомы теории Т. Пусть С является пренексной формой формулы AfCif-.fChfB. Тогда формула 3>1 ЭупСх [fyi- уп] является пренексной формой формулы (1), и следовательно, эта формула доказуема без нелогических аксиом.

Пусть D — формула 3^1.. .3jw VxC. Тогда D не содержит /. Если мы используем / в качестве нового

функционального символа при образовании D*, как это делалось в последнем параграфе, то D* есть

三y1…[方1…y"];

таким образом, Р* доказуема без нелогических аксиом. Так как Dh^ то же самое, что и 0%, то из теоремы Эрбрана следует, что D также доказуема без нелогических аксиом и, следовательно, есть теорема теории Т. Отсюда и из теоремы эквивалентности получаем

卜一т^Ух • ■ • ^Уп Vx (А —> Ci —>—> Ck —> В)・

Поэтому с помощью пренексных операций получаем

j…~А С] ~А • • •~> 5.

Поскольку V% …^iy^xA, С】，…，(7由一теоремы теории Т, то по правилу отделения получаем, что В —теорема теории Т.

Формула называется универсальной, если она находится в пренексной форме и все кванторы в ее приставке являются кванторами всеобщности. Мы свяжем некоторую замкнутую универсальную формулу As с каждой замкнутой формулой Л, находящейся в пренексной форме. Если А ~ универсальная формула, то As есть 4 В противном случае А имеет вид Yk工…Yx^yB (п^О). Вводим новый n-арный функциональный символ /, и пусть 4° будет Vxi... ^хпВу [fxx ... xj. Тогда AQ имеет на один квантор существования меньше, чем 4. Если 4° —не универсальная формула, то строим Л°°, 4°°° и т. д. до тех пор, пока не придем к универсальной формуле. Это универсальная формула и есть As»

Применяя несколько раз теорему о функциональных расширениях, получаем, что если А — замкнутая формула в пренексной форме, являющаяся теоремой теории Т, н если Т‘ получена из Т добавлением функциональных символов из формулы As и новой нелогической акси- °Mbi %s, то теория Т является консервативным расширением теории Т. Заметим также, что формула As-^A Доказуема без нелогических аксиом. Очевидно, для этого Достаточно показать, что так может быть доказана

формула А° -> Л. Теперь в вышеприведенных обозначениях , Ву[/г工为"тЗуВ является аксиомой подстановки; еле-: довательно, по правилу дистрибутивности получаем

Теорема Скулема. Каждая теория имеет откры-: тое консервативное расширение.

Доказательство. Пусть Т — теория. Пусть Tt ： получена из 7 заменой каждой нелогической аксиомы ； на замыкание одной из ее пренексных форм. По § 3.5 ； и теореме замыкания 7\ эквивалентна Т. Далее, полу-, чаем 7% из 7\ следующим образом: для каждой нелоги-: ческой аксиомы Л теории 7\ добавим функциональные , символы из As и добавим As в качестве новой аксиомы,; Применяя предыдущие результаты и то, что любое доказательство в Т2 может использовать только конечное число новых функциональных символов и аксиом, видим,' что теория Т2 является консервативным расширением ； теории Tj. Далее, получаем Т3 из Т?, отбрасывая нело-: гические аксиомы теории 7\. Поскольку As^ А дока- ‘ зуема без нелогических аксиом, эти отброшенные аксиомы t доказуемы в 7з； следовательно, Т3 эквивалентна Т^，： Нелогические аксиомы теории Тз являются универсаль- ' ными формулами. Затем получаем Т& нз Тз заменой к аж-； дой нелогической аксиомы ее матрицей. Тогда Т4 — откры- * тая теория и по теореме замыкания Т& эквивалентна Тз, а следовательно, теория Т《является консервативным рас-; ширением теории Т.?

Одним из приложений теоремы Скулема является полу- ? чение финитного доказательства непротиворечивости для : теорий, не являющихся открытыми. Для такой теории Т : строим консервативное открытое расширение Тг теории Т ? и затем доказываем, что 力'является непротиворечивой : теорией, с помощью метода из § 4.3. Если нелогические ； аксиомы теории Т достаточно просты, этот метод вполне ； эффективен. Однако если теория Т имеет сложные нело-. гические аксиомы, то теория 7V может быть так сложна,； что- не существует модели теории Т‘，которую можно5 описать финитным образом; может случиться также, что : все такие модели так сложны, что обращаться с ними ‘ неудобно.

Расширения с помощью определений

Теперь перейдем к проблеме определения в теории новых функциональных и предикатных символов. Для иллюстрации проблемы предположим, что мы хотим ввести =в N. Мы можем сделать это с помощью соглашения, что аVЬ является сокращением для a<Zb\j 〃 = b. Имеется одна трудность, которая состоит в том, что тогда V является определяемым символом и поэтому не является предикатным символом.

Более удовлетворительная процедура состоит в образовании расширения Nf из “ добавлением нового бинарного предикатного символа V и новой аксиомы

xVgcxVpV х = У・

Из этой новой аксиомы можно доказать a^b^aCbV а = Ь по правилу подстановки, а затем мы можем применять теорему эквивалентности для замены а^Ь на аV <6 V а — Ь и наоборот.

Мы хотим показать, что переход от N к Nr является не более чем введением определяемого символа в ^. Чтобы сделать это строго, допустим, что А — формула теории Nr. Если мы считаем W определяемым символом в 府，то Л — определяемая формула теории N, которая сокращает некоторую формулу А* теории М Мы хотим показать, что ^^^А тогда и только тогда, когда р^Д*.

Теперь рассмотрим общую ситуацию. Мы имеем теорию 7\ различные переменные xx, •…,хп и формулу D теории 力,в которой нет свободных переменных, отличных от хг, ..., хп. Образуем Т‘ из Т добавлением нового п-арного предикатного символа р и новой нелогической аксиомы р% …Хп — D, которую мы называем определяющей аксиомой для р.

Для данной формулы 4 теории 7’ мы получаем формулу Д* теории Т, называемую переводом А в Tt следующим образом. Выбираем вариант D9 формулы Dt в котором никакая переменная из А не является связанной, и заменяем каждую часть раг... ап из Л на

Некоторый произвол при выборе не страшен; при разных выборах Dr получаются различные ответы для 4*, но эти ответы являются вариантами один другого.

Покажем теперь, что |—т，4 тогда и только тогда,. когда РтЛ*. Для этого достаточно доказать, что

Ь^Л^А*;

Т‘ является консервативным расширением теории Т. Действительно, тогда по (i)(—『4 в том и только в том случае, когда 卜丁，4*, и 卜-丁，{* в том и только в том случае, когда по (ii).

Сначала докажем (i). Ввиду теоремы эквивалентности : достаточно показать, что (при вышеприведенных обозначениях)

h厂г0上…Q/t С 0xхЯa几].

Это следует из определяющей аксиомы для р по теореме о варианте и правилу подстановки*:

Если Л--формула теории Т, то Л* есть Л. Поэтому для доказательства (ii) достаточно показать, что ^тЛ* для каждой теоремы А теории Т‘. Докажем это индукцией по теоремам (в форме, описанной в § 3.1).

Предположим, что А — аксиома подстановки В*[о]-> ->3х^. Легко доказать индукцией по длине 3, что Вх [а]* есть Bi [а]. Значит, 4* —аксиома подстановки : Bi [a]->3xB*. Если Д — аксиома тождества или аксиома равенства, не содержащая р, то Л* есть Л. Если Л— ； аксиома равенства

У1=У；.—>~уп =у； -^ РУ г 《Ул f ДУ；・У：，

то Л* есть

山=»； f…f %=加 f刀‘[九 уп]f0' [y，…，уп\* .

Она следует из следствия 2 к теореме равенства. Если 4 — нелогическая аксиома теории Т, то {* есть А, Если 4 — определяющая аксиома для р, то 4* есть D‘ —D, которая является теоремой по теореме о варианте.

Если 4 — тавтологическое следствие Въ ...» Вп, то Л* —■ тавтологическое следствие В*,...» В*; поэтому 4* является теоремой по индуктивному предположению и теореме тавтологии. Если А есть ЗхВ-^С и выводится из В-^С по правилу 3-введения, то 4* есть ЗхВ* -4- С*. По индуктивному предположению имеем [—炉 + С*, и

поскольку х не является свободной в С, то х не является свободной в С*. Значит, ^- ЗхВ* -> С* по правилу 3-введения.

Теперь допустим, что мы рассматриваем аналогичную проблему для функциональных символов. Например, предположим, что мы рассматриваем теорию, содержащую •, индивиды которой являются положительными действительными числами, и мы хотим определить функцию извлечения квадратного корня 丿一・ Мы могли бы добавить У~ в качестве нового унарного функционального символа и добавить новую аксиому

Перед тем, как это сделать, мы могли бы доказать в нашей теории, что каждый индивид имеет один и только один квадратный корень, т. е. мы могли бы доказать

3/ (У У^х) И

Допустим, что все это сделано. Как можно перевести формулу ...Ух, содержащую новый символ, в первоначальную теорию? Один путь — перевести эту формулу следующим образом:

力®，y=х&…Р…).

Теперь можно описать общую ситуацию. Мы имеем теорию Т, различные переменные Xi, ..., хл, у, у' и формулу 0, в которой нет свободных переменных, отличных от а хл, у. Имеем

ItR。 (I)

1 iD&Dy [у] ->у =уг. (2) Образуем Тг из Т добавлением нового n-арного функционального символа f и новой нелогической аксиомы У =执\…х^с D、которую мы называем определяющей Аксиомой для f Мы называем (1) условием существования н (2) условием единственности для f.

Теперь определяем формулу 4* теории Т, соответ- ствующую формуле Л теории 7V. Сделаем это только для

атомных формул А; в общем случае А* получается заме-: ной каждой атомной части В формулы 4 на 3*. Наше ； определение дается индукцией по числу вхождений / : в А. Если таких вхождений не существует, то А* есть А.: В противном случае Л может быть записано как ' 瓦[加.…。』, где。1,.・・,ап не содержат / и В — атом- ” ная формула, содержащая на одно вхождение / меньше, чем 4 Выбираем вариант Df формулы Р, в котором ” никакая переменная из Л не является связанной, и пусть Л* будет

зг(D^，…,"戸[a1,…，a"，z]&6*).

Мы снова хотим показать, что 卜 丁，4 тогда и только тогда, когда \~тА*. Снова достаточно доказать, что

т，4 с Д*;

теория Тг является консервативным расширением теории Т.

Достаточно доказать (i) для атомных А. Сделаем это : индукцией по числу вхождений /в {. Если таких вхождений нет, то А^ А^ является тавтологией 4 — 4. Теперь предположим, что / входит в 4, и применим : вышеприведенные обозначения. Из определяющей аксиомы ； для / теоремы о варианте и правилу подстановки получаем*

IN =：力^1 а^ о D [@i,・・.，^л» n].

Следовательно, по теореме эквивалентности имеем

Н mN (Z =%1 .一@门 & b*) 0 4* .

Поскольку по индуктивному предположению 1Вс5*, то

К mz(N=%1&笈)С Д*；：

следовательно, по следствию 3 к теореме равенства получаем二

т. е. 4 — 4*.:

Доказывая (ii), допустим, что Т" получена из Т i добавлением / иновой аксиомыg

Dy[fxt...xn].(3)；

По (1) и теореме о функциональных расширениях теория - Т" является консервативным расширением теории Т. :！ Поэтому достаточно доказать, что Тг и Т,г эквивалентны,；

Можно доказать (3) в Т\ подставляя fxt^,хп вместо j в определяющей аксиоме для / и применяя аксиомы тождества. Теперь по теореме равенства получаем

卜 т，少=步1 ...xn-^(D^Dy[fx!... хл]),(4)

в то время как по (2) и правилу подстановки имеем

Tr,D & Dy [^^工….хл]»- • хл. (5)

Из (3), (4) и (5) мы можем получить определяющую аксиому для / по теореме тавтологии.

Замечание. Эквивалентность теорий Тг и Т" показывает, что мы могли бы с тем же успехом принять (3) в качестве новой аксиомы. Поэтому мы иногда называем (3) также определяющей аксиомой для f

Особым случаем, часто встречающимся, является случай, когда D есть у —а, где а ~ терм, не содержащий переменной^ отличной от *工,...,хл. Определяющая аксиома для / (в виде (3)) тогда становится формулой fxlt,.xn~a. В этом случае условия существования и единственности всегда доказуемы. Условие существования Зу(у =。)следует из а —а и аксиомы подстановки; условие единственности

следует из у' = о—> (у =у‘= а),

а это есть один из случаев теоремы равенства.

Скажем, что теория 7’ является расширением теории Т с помощью определений, если Тг получается из Т с помощью конечного числа расширений двух описанных типов. В этом случае мы имеем для каждой формулы 4 теории Т' формулу 4* теории Т (перевод Д в Г) такую, что 卜％ тогда и только тогда, когда |—丁4*・ 'Кроме того, теория 力'является консервативным расширением теории Т; следовательно, Г непротиворечива тогда и только тогда, когда Т непротиворечива.

Теперь предположим, что теория Тг является расширением теории Т с помощью определений и ©^ — модель теории Г. Мы утверждаем, что существует единственное обогащение е^‘ модели М、являющееся моделью теории X. Ясно, что достаточно это проверить, когда Т содержит только один нелогический символ, не содержащийся

Дж. Шенфилд

в Т. Если этот символ есть предикатный символ р с определяющей аксиомой

то

P底# (a1，ал) e ^ (0方V…，%卩I，…，乙］)=乩

где 盘—・•, Zn — имена для аи ... f ал. Если новый символ есть функциональный символ / с определяющей аксиомой fxr... хл =у с Р, то f^f (alt ... t aj есть единственное b такое, что

где 厶—力，J— имена для @1,.一， ал> b. То, что такое 6 существует и единственно, следует из того, что условия существования и единственности для / являются истинными в &^・

.7. Интерпретации

До сих пор все структуры описывались на русском языке. Мы могли бы, конечно, перевести целиком всё описание на любой язык, в котором существует достаточная теоретико-множественная система обозначений для рассмотрения функций, предикатов и т. д.

Однако если мы хотим изучать лишь какую-нибудь частную структуру для 厶，то необязательно иметь такой богатый язык. Достаточно иметь язык L\ который имеет какой-то символ для универсума и какие-то символы для каждой функции и предиката из Это пр иводит к одной незначительной трудности: функции и предикаты, обозначенные символами из L\ используют все индивиды из U в качестве своих значений аргументов, хотя функции и предикаты из е^ используют в качестве значений своих аргументов только индивиды из Эта трудность преодолевается, если разрешить символу из U обозначать любую функцию (или предикат), которая (ый) является расширением функции (или предиката) из詠.

Пусть L и L* — языки первого порядка. Интерпретация / языка L в языке U состоит из

унарного предикатного символа U/ из L\ называемого универсумом для /;

n-арного функционального символа 力 из U для каждого n-арного функционального символа / из L;

n-арного предикатного символа р, из U для каждого n-арного предикатного символа р из L, отличного от =.

Интерпретацией языка L в теории Т1 называется интерпретация / языка L в языке L(T‘) такая, что

\-T^XU!X(1)

и

|— TrUiXx —> 4.. —> UfXn —> UffjXi... хп(2)

для каждого / из L. Первое условие требует, чтобы универсум был непустым; второе условие требует, чтобы 力 представляло функцию, ограничение которой до универсума для / принимает значения в универсуме для /. (Оба условия (1) и (2) выполняются при любом наборе переменных; ясно, что если (1) выполняется для одного х и если для каждого / выполняется (2) для одного набора х1г..., х„ различных переменных, то (1) и (2) выполняются при любом выборе переменных.)

Пусть / — интерпретация языка L в языке L\ Будем определять для каждой формулы Л языка L формулу 4(八 языка L', называемую интерпретацней формулы А с помощью /, означающую, что 4 является истинной в рассматриваемой структуре. Допустим, что Д； —формула языка £', полученная из 4 с помощью двух следующих шагов:

заменяем каждый нелогический символ я на я；;

заменяем каждую часть ЗхВ на m%(U/*&5). Тогда 人⑴ есть

S*工...—> UМп —//,

где х1? ..., хп — все переменные, свободные в А (и, значит, в А；), взятые в алфавитном порядке. Если а—терм языка L, то пусть а『обозначает терм, полученный из а с помощью правила (а), данного выше.

Теперь можно определить понятие, в данной ситуации соответствующее модели. Интерпретацией теории Т в теории Т‘ называется интерпретация / языка £(Т) в теории 7’ такая, что 卜 丁，｛")для каждой нелогической аксиомы 4 теории Т.

Наш следующий результат является аналогом теоремы истинности в данной ситуации,

4*

Теорема о б интерпретации. Если / является интерпретацией .теории Т s теории 7\ то [-厂 4⑺ для ； каждой теоремы А теории 7\

Доказательство, Нам нужны два предварительных результата. Во-первых, если а —терм теории Т и Xi,…，％尤一все переменные из а, то

1 С//Xi т ... —>• UfXn —> U『Qf ・(3)

(Здесь й в последующем 卜 означает |—т‘・) Доказательство (3) проводится индукцией по длине а с использованием (2). Оставляем детали читателю.

Второй предварительный результат состоит в том, что если среди а;】,хл имеются все переменные, свободные в Л, и если

丄 т ■ • • —> U卢/г f Ai,(4)

то p A^. Из (4) по теореме тавтологии получаем

{7炉工-> …т C/炉左—>4"),(5)

где ji, ..., y/f — различные переменные, не свободные в 4, и, значит, не свободные в А^. Применяя правило 3-введения к (5) и затем используя (1) и правило отделения, получаем

S必—>U/贝-4(‘).

Далее просто повторяем этот шаг k— 1 раз.

Докажем теперь теорему об интерпретации индукцией по теоремам теории Т (в виде, описанном в § 3.1), Предположим, что А — аксиома подстановки Вх\а\-^ЗхВ и Ji,…，％ — переменные, отличные от х, свободные в В и а. По (3) имеем

По теореме подстановки получаем

Н(и,〃/ & (b/)“Qj) f m% (U* & 瓦).'

Из этих результатов по теореме тавтологии получаем

Н U/『i т …Ujyn f (В/)* [a『]—> 3x (UiX & 0),

т・e.т・e.H Ujyi —> …f Ujyn^ А/.H Ujyi —> …f Ujyn^ А/.

т・e.

т・e.

H Ujyi —> …f Ujyn^ А/.

H Ujyi —> …f Ujyn^ А/.

Следовательно^ [— {（『） по второму предварительному результату.

Если А — аксиома тождества или равенства, то такова же и 4『；следовательно, ]—4『％ значит, |—4<『）・ Если Л — нелогическая аксмома, то J {（『）по предположению.

Предположим, что А — тавтологическое следствие формул В* …,В内. По замечанию из § 3.1 Л； —тавтологическое следствие формул （3工）八…，（瓦）八 Отсюда следует, что если *i,….,хл — все переменные, свободные в Л, Bi, ., -, ВА, то （4） есть тавтологическое следствие формул В} °, ..., Bk}. Следовательно, р 4<;） по индуктивному предположению, теореме тавтологии и второму предварительному результату.

Предположим, что 4 есть МхВ fC и выведено из 8->已 по правилу 3-введения. Пусть %】,•…,хп — все переменные, свободные в Л. Тогда х отлично от хг. По индуктивному предположению и теореме тавтологии получаем

I一 U/Хх —>... —> U—> U/X —> В[ —>■ С/.

Следовательно, по теореме тавтологии и правилу 3-введения получаем

I^лс （U【к & 3『）~~~■a U【к龍―> С/,

из которой по теореме тавтологии следует р 4（п.

Сл едствие. Если 7 — интерпретация теории Т 6 теории Т и 7V является непротиворечивой, то Т является непротиворечивой.

Доказательство. Предположим, что Т является противоречивой, и пусть 4 — некоторая замкнутая формула теории Т. Тогда |—т Л и 卜 门瓦 Поскольку （]力）⑺ есть 14"）, то 4⑴ и ] 4（八 являются теоремами теории 厂，что противоречит непротиворечивости теории 7V.

Так как доказательство теоремы об интерпретации финитно, то мы можем использовать это следствие для финитных доказательств непротиворечивости.

При образовании А； и А^ мы предполагали, что определяемые символы устранены. Однако ясно, что необязательно устранять f, & н с. Если А содержит часть ▼%В, то она превращается в ~| Эх "| В при устранении V и» значит, дает часть

П'Зх （S*&13）

в 4/ и 4"). По теореме тавтологии и теореме эквивалентности эта часть эквивалентна

"I Зх ~| (U/f В),

т* е. Vx(UiX-^B). Следовательно, мы можем просто заменить часть Vx方 на V%(U/%f В).

Пусть / — интерпретация теории Т в теории 7VH U — расширение теории Т с помощью определений. Мы собираемся показать, что при подходящих предположениях / может быть расширена до интерпретации теории U в расширении теории Т‘ с помощью определений.

Сначала предположим, что U получается из Т добавлением нового предикатного символа р с определяющей аксиомой

рхх хп^ D^(6)

Строим расширение Ur теории 7V с помощью определений, добавляя новый предикатный символ рг с определяющей аксиомой

卩‘%1…居qQ.⑺

Затем расширяем /, полагая, что 〃/ есть р\ Чтобы убедиться, что / является интерпретацией теории U в теории UJ мы должны доказать, что интерпретация формулы (6) выводима в U； Эта интерпретация есть формула

U[X] ~> ... —U[Хп ―> (尸'*1*北 <-> Dj)

и, значит, выводима из (7).

Когда мы действуем с функциональными символами, появляется одна новая проблема. Если / есть новый функциональный символ в расширении теории Т с помощью определений, то / обозначает единственную функцию на универсуме нашей модели, и мы должны расширить эту функцию до универсума теории 7V. Наше решение этой проблемы состоит в том, что мы выбираем индивид из Тг и считаем его значением функции для всех новых множеств аргументов.

力1…%;г=у е〃.力1…%;г=у е〃.(8)(8)Поэтому предположим, что некоторая константа е в 7V фиксирована. Пусть Z7'получена из Т добавлением нового функционального символа / с определяющей аксиомой

力1…%;г=у е〃.

力1…%;г=у е〃.

(8)

(8)

Строим расширение Ur теории Тг с помощью определений, добавляя новый функциональный символ f с определяющей аксиомой

fXr^-X^y^ (U/1 & ・• • & U[Xn&Di&U/У)

V (1 (U/i & ... & UixQ & у = e).(9)

Легко проверить, что условия существования и единственности для f следуют из интерпретаций условий существования и единственности для /. Мы снова расширяем /, полагая, что fi будет f. Мы должны тогда доказать

Это следует из (9). Интерпретация формулы (8) есть формула

U/力工—^~^ U戌住—> U/у ~■a (f <Х]_.,. %汽 ^=у о Dj}^

которая также следует из (9).

Скажем, что Т интерпретируема в Т〔 если существует интерпретация / теории Т в некотором расширении теории 7V с помощью определений. Из следствия к теореме об интерпретации мы видим, что если Т интерпре- хнруема в Т‘ н 牛‘ является непротиворечивой, то Т является непротиворечивой. (Доказательство этого факта полностью финитно.) Ввиду вышеприведенного рассуждения мы видим, что если теория Т интерпретируема в теории 7V и если в Т‘ или в расширении теории Тт с помощью определений существует некоторая константа, то каждое расширение теории Т с помощью определений интерпретируемо в теории Т'・

Задачи

1. Доказать теорему Линденбаума для теории 7, имеющей только счетное число нелогических символов, не применяя лемму Тейхмюл- лера — Тьюки. [Показать, что существует только счетное число фор- 乎订 теории Т. Если 4，4，…—все замкнутые формулы, выберем 当 индуктивно так, что 瓦 есть либо &, либо ^| 4/ и Т [Вп ...» 约] непротиворечива. Добавим все 修 к 力 в качестве новых аксиом.]

2・ Пусть L — язык первого порядка, содержащий константу. Мно- исество Г формул языка L свободных от переменных, называется Тавтологически лротиворечивым> если существует квазитавтология, котсфая представляет собой дизъюнкцию отрицаний предложений нз F； в противном случае Г называется тавтологически непротиворечивым, Если Г является тавтологически непротиворечивым и для

каждой формулы Л, свободной от переменных, либо 4, либо "] А принадлежит Г> то Г называется тавтологически полным,

Показать, что каждое тавтологически непротиворечивое множество является подмножеством тавтологически полного множества. [Показать, что любое максимальное тавтологически непротиворечивое ； множество является тавтологически полным； и использовать лемму Тейхмюллера—Тьюки,]

Показать, что если Г является тавтологически полным, то существует структура (з^ для L такая, что каждая открытая формула Д является истинной в(^ тогда и только тогда, когда каждый частный случай формулы А, свободный от переменных, принадлежит Г. [Выбрать eJ^ подобно канонической структуре для теории, заменив множество теорем теории множеством Г<] “

Используя (а), (б) и теорему Скулема, дать новое доказательство теоремы полноты.

Используя (а), (б) и теорему полноты, дать новое доказа- тельство теоремы непротиворечивости.“

3・(а) Пусть язык L (Т‘) является расширением языка L (Т)- Показать, что теория Тг является расширением теории Т тогда и только тогда, когда о^днение до Z (7) каждой модели теории Тг является моделью теории Т.

Показать, что если теория 7’ является расширением теории Т и каждая модель теории Т имеет обогащение, являющееся моделью теории Т\ то теория Тг является консервативным расширением теории Т.

(а) Доказать теорему о функциональных расширениях посредством моделей. [Использовать 3(6).]

Используя лемму 1 из § 4.4 и (а), дать новое доказательство теоремы Эрбрана.

Пусть Г — множество формул языка £ и Ж (Г) — множество отображений из Г в множество истинностных значений. Мы рассматриваем ^ (Г) как произведение пространств [J 丁力，где^саждое

Лег 一

есть множество истинностных значений. Если мы наделяем каждое ТА дискретной топологией, то по теореме Тихонова Ж (Г) становится компактным хаусдорфовым пространством. Пусть ^33 {Г) — множество таких V из ^ (Г), что V {^] А) = Н】” (Д)), как только 4 и ] 4 принадлежат Г, и V (А\/В) = Ну (V (A)> V (Л)), как только А, В и 4 V笈 принадлежат Г*

Показать, что для любой формулы Д из Г множество таких V из £(Г), что V (Д) = И, является открытым и замкнутым.

Показать, что пространство 忠泄(Г)является замкнутым в 岂(Г) и, следовательно, компактным. [Использовать (а).]

Используя (а) и (б), дать новое решение задачи 2 (а), [Использовать свойство центрируемости.}

Дизъюнкты формулы 4 определяются индукцией по длине Л 、 следующим образом: если А не является дизъюнкцией, то единственным дизъюнктом формулы А является сама 4; если Д есть By С9 то дизъюнктами формулы А являются дизъюнкты формулы В и дизъюнкты формулы С.

Пусть Т—некоторая теория, и пусть Тг будет следующей формальной теорией. Языком теории 7’ является язык теории Т. Аксио- ,

мамн теории 7’ являются аксиомы тождества, аксиомы равенства, нелогические аксиомы теории Т и все формулы 口 4 V 4，где Л — атомная формула. Правилами теории 7v являются:

V-правила В следует из 4» если каждый дизъюнкт формулы Л является дизъюнктом формулы 6;

^-правило: "П A\JB следует из 4VE；

П V-правило: ~| (Л V^)V^ следует из ^ B\JC и "| Л VC；

Оправило: 3xA\jВ следует из Ах fa] V^；

"13-правило: "I ЗхАУВ следует из ~| A\JВ при условии, что х не является свободной в 5;

правило сечения.

Показать, что теории Т и Тг имеют одни и те же теоремы.

Пусть теории Т н 7’ такие же, как в задаче 6. Пусть U будет языком, полученным из языка £ добавлением бесконечного числа новых констант. Пусть U будет, следующей формальной системой. Язык системы U есть АЛ Аксиомы системы U являются замк- нутыми частными случаями языка L' аксиом теории Т'・ Правила системы U те же, что и правила теории Т- за исключением того, что в каждом правиле требуется, чтобы посылки и заключение были замкнутыми формулами, а также ~| 5-правило исправлено следующим образом: ~| ЗхА\/В следует из ] Ах [е]\/В при условии, что е есть новая константа, которая не встречается в ~] ЗхА\/В. Показать, что каждый замкнутый частный случай языка Lz теоремы теории Т есть теорема системы U.

Пусть Г ——открытая теория, a U такая же, как в задаче 7. Систему U' получаем из системы U заменой правила сечения на слабое правило сечения: B\JC следует из A\JВ и ~| А\/С при условии, что 4 свободна от переменных (а Я и С замкнуты). Формула 4 системы Ur называется секущей формулой, если для каждой пары замкнутых формул Л и С таких, что \-и,А\/В и 1『~]元丫，，мы имеем НиВ'С.

Показать, что если Н^/4 и 6工,…,ел—новые константы, то существует доказательство Л. в U' такое, что

каждая формула в доказательстве, за исключением последней, используется ровно один раз в качестве посылки правила для вывода последующей формулы;

если "[ 3-правило используется для вывода ~| ЗхВ\/С из П Вх [^] VC, то е не является одной из %, ..., еп,

Показать, что если 1订,4 и 4’ получается из А заменой везде новой константы е термом % свободным от переменных, то Ну/А*. [Использовать (а).]

Показать, что если формула А не является свободной от переменных и Ьу/ "|1 А\/В, то \-UfA\/B. [Начать с доказательства "1П ЛуВ, данного по (а). В каждой формуле этого доказательства заменить [] 4 в некоторых местах, где эта формула встречается как дизъюнкт, на А.] Затем показать, что если Д — секущая формула, то и 1 А — секущая формула.

Показать, что если А \В не является свободной от перемен- нь【х и Н^/ ~] (Д V^)V^> то lb"|4VC и \~цГ^В\/С. [Подобно

(в).] Вывести, что если А и Л являются секущими формулами, то A\JВ—секущая формула,

Показать, что если Ь-у，~| 3x4 VС и е —новая константа, не встречающаяся в ЭхА\/С, то \~Uf^ Ах [е]\/С. [Подобно (в).]

Показать, что если Ах [а] является секущей формулой для каждого терма а, свободного от переменных, то 5x4 является секущей формулой. [Предположим, что \~цЗхА\/В и Н(уИ ЗхА\/С. Начать с доказательства ЗхД V^» как описано в (а), и заменить подходящие вхождения ЭхД на С. Использовать, что если Н UfAx [а] V VR то Hy/Су/)по (д) и (б).]

Показать, что каждая теорема системы U есть теорема системы U'. [Использовать (в)* (г) и (е) для доказательства того, что каждая замкнутая формула является секущей формулой.]

Используя (ж) и задачу 7, дать новое доказательство теоремы непротиворечивости. [Заметим, что доказательство формулы системы U', свободной от переменных, удовлетворяющее (а), может не содержать кванторов.)

Пусть Т —открытая теория и Л —формула теории Т, находящаяся в пренексной форме. Показать, что \-тА тогда и только тогда, когда существует дизъюнкция частных случаев матрицы, которая является тавтологическим следствием частных случаев аксиом тождества, аксиомы равенства и нелогических аксиом теории Т. [Использовать теорему редукции и теорему Эрбрана.]

Показать, что если Л есть теорема теории Г, то существует доказательство формулы Д, в котором не встречаются нелогические символы, за исключением тех, которые есть в 4 и в нелогических аксиомах теории Т. [Использовать теорему редукции и теорему Эрбрана.]

Пусть Д —открытая формула и п —число термов, входящих в А. Показать, что А является квазитавтологией тогда и только тогда, когда 4 является истинной в каждой структуре, имеющей не более л индивидов. [Показать, что мы можем предполагать, что Л свободна от переменных. Если 4 не является квазитавтологией, то получить структуру (2т/, в которой А не является истинной* с помощью конструкции, подобной той, которая применяется для построения канонической структуры для теории, заменяя теоремы теории на формулы, которые имеют значение И при подходящей истинностной оценке.]

Теории Т н 7’ называются слабо эквивалентными, если некоторое расширение теории Т с помощью определений эквивалентно некоторому расширению теории 7’ с помощью определений.

Показать, что для каждой теории Т существует теория Т* не содержащая функциональных символов, слабо эквивалентная теории Т. [Получить расширение U теории Т с помощью определенийF добавляя для каждого / в Т предикатный символ р с определяю* щей аксиомой рх工... хпу^/хг ... хп=у. Выбрать теорию Гх так, чтобы》=户工...х^**pXj ... Х^ могло быть использовано как определяющая аксиома для /.]

Показать, что если Т является открытой теорией, то существует теория Т‘, слабо эквивалентная теории Т* такая, что 7v не содержит функциональных символов и нелогические аксиомы тео-

рии 7V являются экзистенциальными. {Подобно (а).] Если Т имеет только одну нелогическую аксиому» то показать, что Г может быть выбрана так, что она имеет только одну аксиому.

Формула Д называется выполнимой в А, если Д является истинной в некоторой модели, имеющей А своим универсумом. Формула находится в скулемовской форме, если она находится в пре- нексной форме, не содержит функциональных символов и все ее кванторы всеобщности предшествуют кванторам существования. Показать, что для данной формулы Л можно построить замкнутую формулу В в скулемовской форме такую, что А выполнима в А для каждого А тогда и только тогда, когда 8 выполнима в А. [Использовать (б).]

Пусть L —язык первого порядка.

Пусть (27^ ——структура для L, имеющая конечное число индивидов, и Q——конечное множество нелогических символов языка L. Предположим, что нам дано 夕名(а) для каждого терма а вида //2 ... /л, где / принадлежит Q, и ^/^(А) для каждой формулы 4 вида 卩厶.../л, где р принадлежит Q. Показать, что можно вычислять “ (Д) для каждой замкнутой формулы языка L (А), все нелогические символы которой принадлежат Q.

Показать, что для данной формулы Л языка L и любого числа п можно решить, будет ли А истинной в каждой структуре для L, имеющей л индивидов.

Предположим, что Д — экзистенциальная формула языка, не содержащая функциональных символов, отличных от констант. Показать, что если Л не является логически истинной, то существует структура, в которой А не является истинной, имеющая не более % индивидов, где л—число переменных и констант в 4.

Показать, что для данной экзистенциальной формулы А, не содержащей функциональных символов, отличных от констант, можно решить, будет А логически истинной или нет. [Использовать (б) н (в).]

ГЛАВА 5

ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ

5・1・ Теорема компактности

Цель теоремы полноты — показать, что каждое логическое следствие множества нелогических аксиом может быть выведено из этих нелогических аксиом посредством логических аксиом и правил. Однако может показаться, что следствия теоремы зависят от нашего выбора логи* г ческих аксиом и правил, и следовательно, эта теорема ничего не говорит нам про природу моделей. Это не так, : потому что логические аксиомы и правила, которые мы выбрали, имеют два простых свойства, а то, что множества логических аксиом и правил с этими свойствами достаточно для получения всех логических следствий каждого множества нелогических аксиом, имеет важные следствия.

Первое свойство выражается в следующем утвержде- ； нии: если мы имеем метод для решения, будет ли формула 〉 нелогической аксиомой или нет, то мы имеем и метод для 1 решения, будет ли последовательность формул доказатель- ： ством или нет. Мы изучим это свойство и его следствия в следующей главе.

Второе свойство состоит в том, что логические пра- ； вила являются конечными. Мы собираемся вывести одно ； важное следствие из этого.

Теория Т называется частью теории Т〔 если Т и Т* имеют один и тот же язык и каждая нелогическая аксиома : теории Т является нелогической аксиомой теории Т'・ : Теория Т называется конечно аксиоматизируемой, если 1 она имеет только конечное число нелогических аксиом. \

Теорема компактности. Формула А теории Т является истинной в Т тогда и только тизда, когда А : является истинной 6 некоторой конечно аксиоматизируемой части теории Т.

Доказательство. Ввиду теоремы полноты нам нужно показать лишь, что формула есть теорема теории Т 扌 тогда и только тогда, когда эта формула есть теорема

в некоторой конечно аксиоматизируемой части теории Т. Это очевидно, так как в любом доказательстве может использоваться лишь конечное число нелогических аксиом.

Следствие. Теория Т имеет модель тогда и только тогда^ когда каждая конечно аксиоматизируемая часть теории Т имеет модель.

Доказательство. Беря в качестве теоремы формулу %，х, замечаем, что х^х в любой структуре не является истинной.

Теорема компактности не зависит от логических аксиом и правил, так как в ней ничего не говорится про них. Возможно, это будет яснее, если мы сформулируем эту теорему в несколько другой форме: формула Л является логическим следствием множества формул Г тогда и только тогда, когда А является логическим следствием некоторого конечного подмножества множества Г. Можно дать доказательство, которое не использует логических аксиом и правил (см. задачу 30), но такое доказательство не будет тривиальным.

Дадим некоторые применения теоремы компактности к элементарной теории полей. Эта теория, которую мы обозначаем через FL, имеет в качестве нелогических символов 0, 1 и — 1 и бинарные функциональные символы + и •・ Нелогическими аксиомами FL являются:

FL1. (* + y) + z = x + (y+z)・

FL2.尤

FL3. х+(—1・х) = 0・-

FL4. х*р=у+х・

FL5. (х・у) ・z=x・(夕z)・

FL6. хЛ =х.

FL7, От 湎 gy= 1).

FL8.y=y-x.

FL9.x(y + z) = (x・y) + (x・z).

FL10. 0^1.

Теория FL имеет такое же отношение к полям, как и теория G к группам. Говоря коротко, моделями FL являются в точности поля.

Можно получать элементарные теории некоторых специальных типов полей, добавляя дополнительные нелогические аксиомы. Так, пусть Дл есть формула

1 + 1 +…+ 1 =0,

где имеется п вхождений 1 в левую часть (и мы используем соглашение правого сочетания скобок). Добавляя нелогические аксиомы

П “2，"1 ”3，• • * , "1 ^л-1＞』/г.

получаем элементарную теорию FL (и) полей характеристики л (л п 2). Чтобы получить элементарную теорию FL (0) полей характеристики 0, добавляем все формулы 14 в качестве нелогических аксиом. Так как каждое поле имеет характеристикой 0 или простое число, то, как следует из теоремы полноты, теория FL (п) является противоречивой, если п составное.

Покажем теперь, что если А является истинной в FL (0), то существует и0 такое, что Л является истинной в FL (п) для каждого 孔^九。.По теореме компактности 4 является истинной в некоторой конечной части Т теории FL (0), и мы должны лишь выбрать п0, большее всех п таких, что ] Ап является нелогической аксиомой теории Г, 'Следствием этого результата является то, что мы не можем заменить бесконечное число аксиом, добав^ ленных к FL, чтобы получить FL (0), некоторым конечным числом этих аксиом. Если бы мы это могли сделать, то конъюнкция этих аксиом была бы истинной в поле нулевой характеристики, но не в других полях. Выбирая, как и раньше, и0, мы должны были бы заключить, что не существует полей характеристики больше п0, что является абсурдным.

Можно было бы попытаться построить элементарную теорию конечных полей, т. е. можно было бы поискать простое расширение Т теории FL, моделями которого являются в точности конечные поля. Однако это сделать нельзя. Чтобы убедиться в этом, допустим, что Вп есть формула, которая утверждает, что существуют по крайней мере п индивидов, (Например, В3 есть

ЗхЗуЗ^ (х W y&xWz&pW 2).)

Предположим, что мы имеем такую теорию 7\ и пусть Т‘ получается из Т добавлением всех Вп в качестве нелогических аксиом. Тогда Тг не имеет модели; таким образом, некоторая конечно аксиоматизируемая часть Т" теории Т не имеет модели. Выбираем п0 большим любого

п такого, что Вп является нелогической аксиомой теории Т", и выбираем конечное поле М、имеющее более п0 элементов. Тогда 疑 является моделью теории Т\ что противоречит выбору Т".

52 Изоморфизмы и подструктуры

Пусть g^ ——некоторая структура. Можно получать структуры, подобные е^, с помощью следующего процесса: заменяем каждый индивид из е^ новым индивидом (различные индивиды заменяются различными индивидами), но во всем остальном оставляя функции и предикаты е^ неизменными. Опишем теперь этот процесс точнее.

Пусть ф — некоторое отображение из Л в В・ Мы говорим, что ф инъективно (или 1 — \-отображение), если для каждых а 以 а' из Л из <р(а) =(р(а') следует 〃 = а'・ Мы говорим, что 屮 сюръективно (или отображение 峭，если для каждого & из В существует а из Л такое, что (р(а) = Ь・ Мы говорим, что ① биективно (или взаимно однозначно)9 если оно инъективно и сюръективно.

Теперь пусть .^ -- некоторая структура для L н <р —— некоторое биективное отображение |^| в В. Определяем структуру 励 для L с универсумом В следующим образом. Если /?!,..., Ъп принадлежат В, то существуют однозначно определенные индивиды 。^ •一,仪汽,принадлежащие 疑，такие, что а(а1)=%,…，中(a力=勿. Положим

爲(瓦ь0=中(爲(a1一..，%)), р^ (&1, Ь^ <->рл (%一…,％)•

Если 砺 строится из 歹考 описанным выше способом, то мы говорим, что ©^ изоморфно 扬 н(р‘ является изоморфизмом между 力 н 曲.Другими словами, изоморфизм между 疑 и 扬 есть биективное отображение 屮 из | 疑 | в Ig® I такое, что для а^,@汽,принадлежащих |е^ |, имеем

f^ (屮(ai), . . .,中(a以))=中(f用(Q1，.一，。/) (1) и

尸曲(屮(a1),…•，Ф (&)) рл (^i> - • • > %)* ⑵

Пример. Если ©^ и ^5 — группы, рассматриваемые как модели теории G, то изоморфизм между / н 曲 в

описанном выше смысле является изоморфизмом между н @® в обычном теоретико-групповом смысле.

Тождественное отображение из ] ©^ | в | ©^! （т. е. отображение ф такое, что ф （а） = а для всех а, принадлежащих |е^!） является изоморфизмом между и Если 屮一изоморфизм между 孩 и о®, то обратное ото-； бражение для ф является изоморфизмом между 翫 и е^.. Если ф — изоморфизм между е^ и 妣 а *ф — изоморфизм 丨 между & и &, то композиция отображений 屮＜р является изоморфизмом между “ и 皆.Из этих утверждений ■■ следует, что изоморфизм является отношением эквивалентности на структурах для L.；

Пусть е^ и S3 — некоторые структуры для L н 屮—— ； некоторое отображение из | /1 в | 宓 |・ Если / — имя инди-. вида а из структуры “，то мы используем 方屮 для обозначения имени индивида ф （а） из структуры 荡.Если «— выражение языка 厶（@^）, то и^ — выражение, полу- ' ченное из и заменой каждого имени i на /ф.

Лемма 1. Пусть ф — некоторый изоморфизм между от/ и е®. Тогда 屮（&^ （@））=砺（。屮）для каждого свободного от переменных терма а языка £（"） и е?^ （4）=宓（4屮）для каждой замкнутой формулы А языка L （（^）.:

Доказательство. Докажем первую часть индук- : цией по длине 〃• Если а — имя, то результат очевиден. * В противном случае а есть 力丄...“〃,где / принадлежит 厶.Используя （1） и индуктивное предположение, получаем

（f3/（a）） =（p（勿（句0）,⑷）；

=爲（屮（e^（а0）,①（g^（a肃）

,=爲（扬3»…，施（噌）=Q%（Q中）.：

Теперь докажем вторую часть индукцией по длине Д. Если А — атомная формула ра* …％, где р отлично от =, то по （2） и первой части получаем

（А） = И с Д^ {о^ （。1）,М （a J）

СA绮（屮（幺）），（/））） 0加（断（取），场（然））

—册（АР） = М・：

Если 4 есть а = “ то так как 平 является инъективным, '

имеем

@^ (Л) = И с 6^(Q)= о^ (&)

Q 屮(々^ (。)) = Ф ((2^ (&)) -0©(仆)=砺(那).

Если А есть отрицание или дизъюнкция, то результат легко следует из индуктивного предположения. Теперь предположим, что А есть ЗхВ. Так как 屮 является сюръективным, то каждое J из 厶(场)есть /ф для некоторого i из Li^}, Следовательно, по индуктивному предположению имеем

о^ (Л) = И е^ (Вх [/]) = И для некоторого / из £(©^) с 第(怨[評])=Н для некоторого / из L(^、 ^^(B^\J]) = M для некоторого j из L(场) ^^(А^) = И.

Две структуры ©^ и 场 для L называются элементарно эквивалентными, если одни и те же формулы языка L являются истинными в / и、扬.Очевидно, отсюда следует, что ^/ н 励 являются моделями для одних и тех же теорий.

Следствие к теореме замыкания показывает, что если одни и те же замкнутые формулы истинны в <2^ и 宓，то ©^ и ^ являются элементарно эквивалентными. Следовательно, по лемме 1 изоморфные структуры являются элементарно эквивалентными.

Пусть о^ и ^ — некоторые структуры для L. Вложением ©^ в 炀 называется инъективное отображение <р из I <^ I в ]册 I такое, что (1) и (2) выполняются для всех йелогических символов / и р из Л и для всех % ..., ап нз I ©^ ]. Если I е^ I — подмножество множества 留 | и тождественное отображение из | ©^ | в | 场 | является вложением е^ во®, то е^ называется подструктурой струк- тУры о®, а 認——расширением структуры ©^. В этом слу- 咏(1) и (2) превращаются в

f^ (%* …，&)=力 @! • • •，a J(3)

ря (@l aj *"* P^ (^i> * * *»。力•(4)

Е^и о^ и ^ являются моделями некоторой теории, то мм иногда говорим подмодель вместо подструктуры,

Пример. Если о^ и ^ являются группами (рассматриваемыми в качестре моделей теории G), то ^ является подмоделью модели 扬 тогда и только тогда, ‘ когда “ является подгруппой группы 扬.

Пусть 幽一некоторая структура для 厶 и Л — непустое подмножество множества | 統).Если существует подструктура (2^/ структуры 册 с универсумом А, то она единственна, так как она определяется с помощью (3) и (4). Ясно, что (3) и (4) определяют структуру “ тогда и ; только тогда, когда Л удовлетворяет следующему условию: если %,& принадлежат Л и /— функциональ-；

ный символ из L, то f^ (at9 ..., о/ принадлежит А.

Пусть и ^ — структуры для L такие, что || —

подмножество множества | ^ |. Если а — индивид из е^, то мы используем одно и то же имя для а в L (е^) и . 厶(初)・ Следовательно, язык L 雜、является расширением языка £©/)•j

Лемма 2. Пусть 。^ и <^ — некоторые структуры ' для L и ^ — некоторое отображение из |。^ | 6 I 扬 | • Тогда 屮 является вложением ^ в @5Э тогда и только тогда, когда 夕^(<)=册(40) для каждой свободной от переменных формулы { языка 厶(®^)・

Доказательство. Доказательство того, что дан- ное условие выполняется, если ср — вложение, в точности такое же, как и доказательство в лемме 1. Теперь предположим, что данное условие выполняется. Пусть аъ ... — индивиды структуры ©^ и 乙/п — имена ； индивидов。1, "л соответственно. Тогда ^^ (/?/工.../л)= =@® (爾？ … 碎).Отсюда следует (2), Если J—имя инди-； вида恭加1то

或(fW…爍=評)=^(第1…^=J)=H.

Отсюда следует (1). Наконец, если 屮(。0 =中(&), то "场(彳=碍)="；/

следовательно, аг — а^. Таким образом, ф инъективно.

Следствие. Пусть ©^ и 就一структуры для L、 такие, что \<^\ — подмножество множества | 砺 |・ Тогда ©^ 丨 является подструкту рой структуры @55 тогда 〃 только тогда, когда 孩(4)=场(4) для каждой свободной от переменных формулы Л языка 厶(。夕).

Пусть Г — множество формул языка L и ©^ — структура для L. Тогда через Г(е^) будем обозначать множество ^-частных случаев для формул из Г. Таким образом, если Г есть множество всех открытых формул языка L, то Г (@т^) есть множество всех свободных от переменных формул языка £(о/), а если Г есть множество всех формул языка L, то Г (^) есть множество всех замкнутых формул языка L (е^).

Пусть и ^ — структуры для L такие, что | | является подмножеством множества | 酚 |, и Г — некоторое множество формул языка L. Мы говорим, что ©^ есть Г - под структ ура структуры 场,а 场 есть Г-расширение структуры ©т/, если для каждой формулы Л из F (技)из з^(4) = И следует 扬(4) =氏

Если отрицание каждой формулы из Г принадлежит Г, то это же самое справедливо и для Г (©^). Отсюда следует, что если е^ — Г-подструктура структуры 扬，то /(%)=册(4) для каждой формулы Л из Г ((2^). Действительно, если (Д) = Л, то е^(]4) = И； следовательно, 场(]4) = И; таким образом, gS9 (Л) = Л.

Из только что сделанного замечания и следствия к лемме 2 мы видим, что если Г есть множество открытых формул языка А, то любая Г-подструктура есть просто подструктура, а любое Г-расширение есть просто расширение. Если Г — множество всех формул языка L, то мы говорим об элементарной подструктуре вместо Г-подструктуры и элементарном расширении вместо Г-расширения. Далее, если е^ — элементарная подструктура структуры 册, то мы имеем ©^ (4)=场(4) для каждой замкнутой формулы 4 языка £; следовательно, @^ и 扬 элементарно эквивалентны.

Если о^ есть произвольная Г-подструктура струк- турн 旣,то е^ является А-подструктурой структуры 扬 4厶兄 каждого подмножества Д множества Г. Если подмно- 當ество А состоит из формул языка Л\ имеющего L своим расширением, то ©^ | U есть Д-подструктура структуры

Лемм а 3. Если 8 Г имеется формула х = е и е^ — некоторая У-подструктура структуры 炀,тоо^ (е) = =勘(e).

Доказательство. Если / — имя индивида о^(^),' т。в Г(о^) имеется формула i = e и о^ (/==в) = И,

Следовательно, &(»=е) = И; таким образом, 励 (е)п , =初(/) =«) = <2^ (е).

Пусть о^ в 翫一 структуры для L такие, что | <з^ | является подмножеством множества )扬 |・ Обогащаем 酌 до структуры 砺先 для L(^) следующим образом: если i — имя индивида а из о^, то значением символа / в струк- туре 扬理 является а.

Пусть Lf =L (е^) — язык для 场品 тогда имя i в L играет в U (幽必)двоякую роль; это какая-то константа 胃 из L' и имя некоторого индивида из 扬弘* Мы утверждаем,. что по крайней мере для получения истинностных значе- ний 场先(4) это различие не играет никакой роли. Чтобы 1 убедиться в этом, допустим» что мы временно считаем: любое такое имя z константой из £' и используем 尸 в качестве имени соответствующего индивида из 绝?. Тогда 尸一имя индивида 场弘«)・ Если Af получается заменой i на 尸 из Л, то .^^ (Д) = @®л(Лл) по лемме из § 2.5.

Пусть Г — множество формул языка L и ^ — структура для L. Т-диаграммой структуры о^, обозначаемой . через Dr(е^)> называется теория, язык которой есть： L(e^), а нелогическими аксиомами являются формулы Д из Г (©^) такие, что 々/(4) = Н. Если Г — множество открытых формул, то мы пишем D(o^) вместо °г(<2^);； если Г — множество всех формул, то мы пишем De (©^)： вместо !)г(^).

Лемма о диаграмме. Пусть Г — множество фор-： мул языка £, а ©^ и ^ — структуры для L такие, что |е^| является подмножеством множества | 场 |. Тоёда ^ ； является Г-подструктурой структуры 砺 тогда и только ] тогда, когда 场* является моделью теории。「(@^).

Док а з ательство. Для замкнутых формул А | языка 丄(")имеем 场庚(4)=场(4), потому что 场/ является обогащением структуры 幽.Лемма следует тогда' из определений Г-подструктуры и Г-диаграммы.

j Множество формул Г языка L называется регулярным,: еоди каждая формула вида *=у или **j принадлежит Г и для каждой формулы Л из Г каждая формула вида Д [Хх,…，хД принадлежит Г.

Теорема о расширении модели (Кислер). Пусть 孩—структура для 厶 Т — теория языка L, Г —= некоторое регулярное множество формул языка L. Тогда д

乂 имеет Г-расширение, являющееся моделью теории 7\ тогда а только тогда, когда каждая теорема теории Т, являющаяся дизъюнкцией отрицаний некоторых формул из 1\ является истинной 8 読*

Доказательство. Предположим, что такое Г-рас- ширение 幽 существует. Мы должны показать, что если

Е4 V …V14，

где каждое 4 принадлежит Г, то ~|/iV … V "I Лл является истинной в о^. Если это не так, то существует ©т^-частный случай 1尚 V …V〕複 формулы 14V …

VI 4" такой, что / (40 = Н для i = l, п. Поскольку 战 является Г-расширением структуры ©^ и Л^ принадлежит Г(^), то @® (%3 = Н・ Следовательно, 宓(1%；V … V KZ) = 〃・ Это невозможно, так как 14； V • • • V "I力Z является @®-частным случаем некоторой теоремы теории Т и 励 является моделью теории 7\

Теперь предположим, что условие выполнено. Образуем 7V из Т добавлением всех имен языка £(©^) в качестве новых констант; образуем Т" из Т‘ добавлением всех нелогических аксиом теории 0「(е^) в качестве новых аксиом. Покажем^ что Тп является непротиворечивой. Если это не так, то по теореме редукции для непротиворечивости мы имеем

4 V …V】％，’

где каждая Л/ есть формула из Г (е^) такая, что М (Л；) = И. Следовательно^ по теореме о константах имеем

41V …VI Л,.

где Л/ получается из 47 заменой имен новыми переменными. Тогда Ai получается из некоторой формулы, принадлежащей Г, подстановкой переменных и, следовательно, ввиду регулярности 1\ принадлежит Г. Следовательно, по предположению ~|4iV .…\/彳厶理 является истинной в 旷. Отсюда следует, что ©^ ([ 4；V • • • \/П-^«)= и5 таким обра- зом,觀(4J) = Л для некоторого /; получили противоречие.

По теореме полноты Т" имеет модель 筋'.Если / и J— имена различных индивидов из е^, то /^/ является формулой из Г (е^) (так как множество Г регулярное) н QQ*/) = H. Следовательно, / ^j является аксиомой теорнм Dr (©^); таким образом,範'@ 扌 j) = B и, значит,

场，(9片场，(/). Заменяя 紛'на изоморфную структуру, легко заметить, что мы можем предполагать, что для каждого имени i языка L (©^)场，(/) является индивидом, именем которого является /. Это означает, что если 场 есть обеднение структуры 药'до 厶，то 励次=扬'.Так как s®‘ есть модель теории Dr (е^), то, как следует из ； леммы о диаграмме, 扬 есть Г-расширение структуры 疑工 в то время как 宓 есть модель теории Т по лемме 1 из § 42

Следствие. Пусть Г — регулярное множество фор- мул языка L и Д — множество формул, содержащее каждую формулу Vxt VxnAf где А — дизъюнкция отрицаний некоторых формул из Г. Если ©^ — структура для L ； u Si — ^-расширение структуры X、т。существует Г-； расширение 皆 структуры 宓，которое является элемен тарным расширением структуры.

Доказательство, Пусть Г7 — множество формул : Л [4, ...» ik]t где 4 из Г и /ь ...,九一имена языка L (©^)・ Покажем, что существует Гл-расширение структуры ^л» которое является моделью теории De (©^). По теореме .. нам нужно лишь показать, что если %匕..* t Лл из Tz и : -|4iV・・・V口 ｛理 является теоремой теории De (©^), то ; 1 Дх\/ …“口 ｛孔 является истинной в 领限 Замыкание В J формулы П Ах\/ ... \J~\An является теоремой теории : De (©^); таким образом, по лемме о диаграмме ^ (В)=: =(В) = И. Поскольку В принадлежит А(。^), то она является аксиомой теории 力厶(必)；таким образом,； по лемме о диаграмме снова имеем 宓/(В) = Н. Следо- г вательно, "| Лх\/ ... \J~\An является истинной в 扬庚・

Пусть 皆'一Г^расширение структуры 场必 которое : представляет собой модель теории De (а^), и пусть 皆=§ =^f \L, Поскольку Г является подмножеством множе・：； ства Г\ то 皆 есть Г-расширение структуры 缎 Если »~ имя индивида а из то 皆‘(方)=麻庚(») = 〃 по лемме 3. Отсюда следует, что 纟'=&庚；следовательно, по лемме： о диаграмме ^ — элементарное расширение структуры е^・

Применим наши результаты для решения следующей: проблемы: каким условиям должны удовлетворять модели теории Т, чтобы Т была эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой принадлежат Г? Мы решим эту проблему в том случае, когда Г — множество открытых， формул и когда Г ~ множество экзистенциальных формул.：

Лемма 4. Пусть Г — множество формул языка L(T) 〃 Г' — множество всех тех формул из Г, которые являются теоремами теории Т. Если каждая структура для £ (Т), 8 которой все формулы из Г" являются истинными, является моделью теории Т, то Т эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой принадлежат Г.

Доказательство. Пусть Тг — теория языка L(T), нелогические аксиомы которой являются формулами из Г\ Ясно, что теория Т — расширение теории Т\ По предположению каждая модель теории Т‘ представляет собой модель теории Т; поэтому по следствию к теореме полноты теория Tf является расширением теории Т. Значит, Т эквивалентна Т'・

Теорема Лося —Тарского. Теория Т эквивалентна открытой теории тогда и только тогда, когда каждая подструктура произвольной модели теории Т является моделью теории Т.

Доказательство* Предположим, что Т эквивалентна открытой теории 7V. По следствию к теореме полноты достаточно показать, что каждая подструктура(^ произвольной модели 勘 теории 7V является моделью теории Т'・ По следствию к лемме 2 каждая открытая формула, истинная в 场,является истинной в е^; следовательно, ©^ является моделью теории Т‘.

Предположим, что условие теоремы выполняется. По лемме 4 достаточно показать, что если каждая открытая теорема теории Т является истинной в ©^, то о^-мо- аель теории Т. По теореме о расширении модели ^ имеет расширение, являющееся моделью теории Т; следовательно, по условию теоремы ©^ — модель теории Т.

Последовательность ©^工,診？，….структур для L назьь вается цепью, если для каждого п структура ©^也+工 является расширением ^小 Для каждой такой цепи мы определяем структуру е^, которую мн называем объеди- нением цепи. Универсумом структуры ^ является объединение универсумов структур М仆 Если 仪厶，，・,а右 принадлежат этому объединению, то существует м такое, что все аъ ., ak — индивиды структуры е^理.Положим

耿)=f^n (@i,"比)，

Используя определение цепи, легко заметить, что это определение не зависит от выбора п, а также, что ‘ является расширением каждой структуры “花.

Элементарной цепью называется цепь .「©^力 такая, что для каждого п структура о^п^ является эле-: ментарным расширением структуры 汽.

Лемма Тарского. Если /厶 о^^ *• • — элементарная цепь, то объединение “ цепи является элементар- ным расширением каждой структуры ⑦^似

Доказательство. Мы должны показать, что если 4 —замкнутая формула языка 厶(^力,то(^孔(Л) = е^(Л). Используем индукцию по длине А. Если Л — атомная, то5 о^п(Д) = о^ (Л) по следствию к лемме 2. Если А — отри-. цание или дизъюнкция, то результат непосредственно еле-: дует из индуктивного предположения. Теперь предположим, что 4 есть ЭхВ. Если(4) = Л, то (Вх [/]) = Л

для всех / из £(о^). По индуктивному предположению 5 <^л {Вх [/])=Л для всех / из £(©^力；следовательно, ：^ о^п (Д) = л. Если о^ (Л) = И, ТО е^ (Вх [/]) = И ДЛЯ I некоторого 才 из L(@^). Выберем k так, чтобы А>п и / являлось именем из £ (е^й). По индуктивному предположению o^k (Вх [/]) = И; следовательно, ^々(4) = Й. По- ) скольку о^— элементарное расширение /以,то отсюда следует, что о^п (Д) = И.:

Теорема Чжана —Лося —Сушко. Теория Т: эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой экзи- стенциальны, тогда 〃 только тогда^ когда для каждой^ цепи моделей теории 7 объединение этой цепи является: моделью теории Т.'

Доказательство. Предположим, что теория Т эквивалентна теории Т‘, нелогические аксиомы которой; экзистенциальны. По следствию к теореме полноты доста-； точно доказать, что объединение ©^ цепи e^i, ©^2， моделей теории 7V является моделью теории 7‘. Пусть； 3X1... ЗхпД ——疑-частный случай некоторой нелогической аксиомы теории Т'・ Для достаточно большего h BXi... ВхлЛ является с^й~частньш случаем этой аксиомы;； следовательно, “用(Зхх... ЗхлЛ) = И. Отсюда следует, что

4]) = и

для некоторых J .・.,乙 из L(^^. По следствия?'

к лемме 2 получаем

疑(4 瓦，…，/Л])== И;

следовательно,

©^ (Зл*1 •«• т*д/1) -— И*

Итак, мы показали, что ©^ является моделью теории Т'・ Теперь предположим, что для каждой цепи моделей теории Т объединение этой цепи является моделью теории Т. По лемме 4 достаточно показать, что если осетру ктура, в которой каждая экзистенциальная теорема теории Т является истинной, то 累 является моделью теории Т・ Построим цепь ^厶 о^2, такую, что <s^i = —о^, ^2汽 является моделью теории Т, а 孩2以+3 является элементарным расширением структуры ^2п+1* Предположим, что это уже сделано, и пусть ^ 一 объединение этой цепи. Тогда @® — объединение цепи е^2, о^&,….моделей теории Т и, следовательно, является моделью теории Т. Но 砺 также есть объединение элементарной цепи е^х， 夕為，...Следовательно, по лемме Тарского е® — элементарное расширение структуры ^! = <2^ и, значит, элементарно эквивалентна ©^. Отсюда следует, что о^ —— модель теории Т.

Теперь определим о^п. Предположим, что ©^2«-1 уже определена и ©^2л-1 является элементарным расширением структуры e^i = e^; строим “2并一 н ^2仪+1・ Пусть Г — множество универсальных формул языка 丄；покажем, что существует Г-расширение ©^2北 структуры ©^2л-1» которое является моделью теории Т. По теореме о расширении модели достаточно показать, что если 54 где Л — дизъюнкция отрицаний некоторых универсальных предложений^ то А является истинной в ^纟龙т・ Пусть Л нмеет экзистенциальную пренексную форму 3・ По предположению В является истинной в(^ и, следовательно, в ^?2n_lt Значит, "2/1—1 является моделью теории, у которой В — единственная нелогическая аксиома. Так как 4—— теорема этой теории, то 4 истинна в 疑2厚一>

Так как каждая открытая формула принадлежит Г, т° ^2Л — расширение структуры е^2л-1* По следствию к теореме о расширении модели существует расширение ^2л+1 структуры о^2л» которое является элементар- нкм расширением ©^2л-1- Это завершает доказательство теоремн.

Если мы применим эту теорему к теории G и используем хорошо известный факт, что объединение цепи групп есть группа, то мы выводим отсюда, что G эквивалентна теории, у которой нелогические аксиомы экзистенциаль- * ны. Аксиомы такой теории также хорошо известны: они со-二 стоят из ассоциативного закона и аксиом Зх (х-у=г) и Зх(ух=2).

Мощность моделей

В этом параграфе мы предполагаем известными неко- • торые элементарные результаты о мощностях. Доказательства можно найти в главе 9 или в любом учебнике по теории множеств.

Под мощностью структуры о^ мы понимаем мощность ее универсума | 勿^ | *)• Мы будем говорить, что ^ конечна . или бесконечна, счетна или несчетна, если |&^| имеет соответствующее свойство.

Пусть ш — произвольная бесконечная мощность. Язык первого порядка L называется т-языкомt если мощность множества нелогических символов языка L не превосхо-, дит ш. Теория Т называется т~теориейt если L (Т) — т-язык. Мы говорим счетный язык и счетная теория вместо ^0-язык а и Ко-теории.

Лемма. Если m — бесконечная мощность и L — т-язык9 то Lc содержит самое большее nt специальных констант.

Доказательство. Покажем индукцией по п, что существует самое большее m специальных констант уровня /г; отсюда будет следовать, что существует самое большее = |^0. m = m специальных констант. Так как L содержит только счетное число логических символов, то L содержит : самое большее ^0 + m = m символов. Если Q — множество всех символов языка L и всех специальных констант уровня, меньшего п, то по индуктивному предположению ； мощность Q не превосходит m + nm = m. Следовательно, для каждого 为 число выражений длины 归，образуемых : с помощью символов из Q, не больше n? = m; таким образом, число всех выражений, образуемых с помощью сим- ；■ волов из Q, не превосходит №，т = т. Отсюда немедленно ■

♦) В главе 9 мы вместо «мощность множества» говорим «кардинал множества». — Прим, перев.

следует, что число специальных констант уровня 几 не больше т.*

Теорема о мощности (Тарский). Пусть m — бесконечная мощность и Т — т-теория9 имеющая бесконечную модель. Тогда Т имеет модель мощности ш.

Доказательство. Строим [/ из Т следующим образом: добавляем множество новых констант мощности m и, если е и ef — различные новые константы, добавляем аксиому eWe'・ Покажем, что U имеет модель. Ввиду следствия к теореме компактности достаточно показать, что каждая конечная часть U' теории U имеет модель. Пусть 6工,.・.,е左—новые константы, встречающиеся в нелогических аксиомах теории U'. Пусть ^ — бесконечная модель теории Т и а】,* ak — различные индивиды модели “.Обогатим 瑟 до структуры для U', придавая е? значение at и новым константам, отличным от Ci, . • •, е左,произвольные значения. Ясно, что ^z является моделью для

Число нелогических констант в U не превосходит in + m =т; следовательно, U — m-теория. По лемме содержит самое большее m специальных констант, сказанного выше и леммы 3 из § 4.2 получаем, что непротиворечива. Следовательно, по лемме 4 из § 4.2

имеет модель ^, мощность которой не больше ш. Аксиомы теории U гарантируют, что ^(е)#^(е) если е и е‘ — различные новые константы; следовательно, мощность 登 в точности равна ш. Обеднение структуры о^ до L (Т) является моделью теории Т мощности т.

Следствие (Лёвенгейм——Скулем). Если Т — счетная теория, имеющая модель t то Т имеет конечную или счетную модель.

Существуют несколько парадоксов, впервые указанных Скулемом, получающихся из теоремы о мощности и теоремы Лёвенгейма——Скулема. Мы наверняка можем формализовать достаточно большую часть математики в счетной теории, чтобы доказать, что множество действительных чисел несчетно. Как же может такая теория иметь счет- ную модель? Объясним это. Множество действительных ннсел в модели на самом деле счетно, и, значит, существует биективное отображение этого множества в множе- ctrq натуральных чисел. Но это отображение не находит- с兄 в этой модели; поэтому теорема теории, утверждающая.

что не существует биективного отображения множества' действительных чисел в множество натуральных чисел, не опровергается.

Другой парадокс возникает из аксиом Пеано. Имеется ； хорошо известное доказательство того, что любое множество； объектов, удовлетворяющее этим аксиомам, изоморфно множеству натуральных чисел и поэтому счетно. Если :же： мы формализуем аксиомы Пеано в L (N), то теорема о мощ-; ности показывает, что полученная теория имеет несчетные модели. Трудность здесь состоит в том, что мы не можем - полностью выразить аксиому индукции (являющуюся одной ； из аксиом Пеано) в L{N). Мы обсудим эту ситуацию более подробно в главе 8.

Совместна貝 непротиворечивость

Пусть Т и Т1 — некоторые теории. Объединением тео- ■ рий Т и Т\ обозначаемым через TUT', называется теория, .нелогическими символами которой являются нелогические символы теории Т и нелогические символы теории 7VL а нелогическими аксиомами которой являются нелогические аксиомы теории Т и нелогические аксиомы тео- 4

Теория Т[}Т, может быть противоречивой, даже если ； теории Т и Т‘ обе непротиворечивы; действительно, может существовать формула Л такая, что ргЛ и |—丁，~|4. Мы покажем, что если не существует такой формулы Л, то TIJT' непротиворечива. Это показывает, что любое [ противоречие в T\JTf может быть «локализовано» в фор-； муле А, являющейся формулой обеих теорий Т и Т'・

Теорема о совместной непротиворечивости ； (Крейг—Робинсон). Пусть Т и Т' — некоторые теории. Тогда TIJ7' противоречива тогда и только тогда, когда : существует замкнутая формула А такая, что \~тА и

Док аз ател ьство. Если такая формула Л суще-: ствует, то Л и ~] А — теоремы теории Т U Тг\ таким обра- зом, TUT' противоречива. Предположим, что такой фор-； мулы Л не существует, и докажем, что T\JTr непротиво-； речива.ч

Пусть Г — множество замкнутых формул языка L (Т),: которые являются теоремами теории TL Тогда Т[Г] не-:

противоречива. Действительно, в противном случае, как следует из теоремы редукции для непротиворечивости, существует формула А теории Т, являющаяся дизъюнкцией отрицаний некоторых замкнутых теорем теории Т'・ Тогда ；丁4 и —厂"14 что противоречит нашему предположению.

Пусть L — язык первого порядка, нелогические символы которого являются нелогическими символами, общими для L(T) и £(Т‘). Будем строить- элементарную цепь 。纟 1,瑟2,・…моделей теории Т и элементарную цепь

<2^2, ... моделей теории Тг таких, что ^<i |£, ^； |Ц @/^2丨乙，е^2|L, ... является элементарной цепью.

Пусть о^х — произвольная модель теории Т［「］・ Пусть А — множество всех формул языка L. Тогда Л регулярно. Пусть о® —обогащение структуры о^/Е до £(Т')・ Тогда одни и те же формулы языка L истинны в о^\ н 励. Если формула языка L является теоремой теории Т\ то ее замыкание принадлежит Г и, следовательно, является истинным в о^^ значит, сама формула истинна в ^х, а следовательно, н в 场・ Как следует из теоремы о расширении модели, существует модель “； теории 7\ которая является Л-расширением структуры 缄 Тогда &^； I £ — элементарное расширение структуры 册 | L =

Опишем теперь конструкцию для 次汽 при n> 1; конструкция для М\ аналогична. Пусть ^ — обогащение структуры o^n-i\L до £(Т)・ Тогда ^ | L — элементарное расширение структуры ^п-^ | L; следовательно, & есть A-расширение структуры ^п^. Ввиду следствия к теореме о расширении модели существует Д-расширение ^冷 структуры 皆,являющееся элементарным расширением структуры о^пт・ Тогда е^л является элементарным расширением структуры ^1 и, следовательно, моделью 工еа-# рии Т. Очевидно, что ^п | L — элементарное расширение структуры & I £ = o^Zt IL.

Пусть о^ — объединение цепи c^i, о^2» • • • и g^z — объединение цепи <^「... По лемме Тарского струк- тура е^ является элементарным расширением структуры “、и, значит, моделью теории Т. Аналогично, структура 翁'является моделью теории 7V. Теперь ^［L^^' \L, так как они обе являются объединением иегщ о^г\Ь9 /；|£, <3^2丨厶 е^з\L, ... Из этого сразу

видно, что существует структура 励 для Т\]ТГ такая, что ^\ИТ) = ^ и 勁|L(T')=e^'・ Тогда —модель теории TUT'； таким образом, TUT' непротиворечива.；

Следствие (интерполяционная лемма Крейга). Пусть Т и Г — некоторые теории и А-^В являете теоремой теории T\JTf такой, что А — формула теории Т а В — формула теории Т‘. Тогда существует формула такая, что \-гА-^С иВ.

Доказательство. Вначале предположим, что Л и В замкнуты. В теории Т [Д]и 厂□ 6] мы можем доказать Л "]3 и А-> S; следовательно, по теореме тавтологии теория Т [Д] U Т' [1 В] противоречива. По теореме Крейга——: Робинсона существует замкнутая формула С такая,, что С является теоремой теории Т [4], а П С является теоремой теории V ["1 В]. По теореме дедукции 卜『4 +С и ；丁，"|8f〕С; следовательно, по теореме тавтологии —『Ст R

В общем случае, подставляя новую константу вместо каждой переменной, свободной в А или 6, получим формулы 4’ и 笈'・ Из сказанного выше следует, что для подходящей формулы С1 имеем \—ц А' С' и 1『С' ->В\ где теории Uni? получены соответственно из теорий и 7’ добавлением констант. По теореме о варианте Сг может быть выбрана так, чтобы ни одна из переменных/ связанных в С* не была свободной в 4 или В. Заменяя новые константы первоначальными переменными, получим формулу С； обладающую ввиду теоремы о константах： требуемыми свойствами.、

Укажем одно применение интерполяционной леммы? Пусть Q — некоторое множество нелогических символо теории 7\ Предикатный символ р, не принадлежащий Q называется определимым 6 терминах Q s Т, если суще ствует формула 4, не содержащая нелогических символов； не принадлежащих Q, такая, что \-тР^1 . • • хп^ А (гд Xi, ..., %〃 различны). Функциональный символ 力 не при надлежащий Q, называется определимым в терминах Q s Т. если существует формула 4, не содержащая нелогически : символов, не принадлежащих Q, такая, что 卜「歹=尹1

хп^ А (где Xi, ...» ”小 у различны).

Пусть / и е® —структуры для А, д —нелогически0 символ языка 厶 а(р — биективное отображение из |е^|в | о® ].; Мы говорим, что 屮 есть 誣-изоморфизм между ©^ и 册；

если ф — изоморфизм между обеднениями структур ©^ и 座 до языка с единственным нелогическим символом 玄.

Т еор ема определимости (Бет). Пусть Q — некоторое множество нелогических символов теории Т, а и —не* логический символ теории 7\ которого нет s Q. Тогда а определим s терминах Q £ Т тогда и только тогда, когда для каждой пары моделей о^ и 酰 теории Т и каждого биективного отображения <р из | е^ | в | 筋 |, которое является ^-изоморфизмом для каждого ① r/з Q, отображение ф является и・ изсморфизмом •

Доказательство. Предположим, что я — предикатный символ р; если и — функциональный символ, то доказательство по существу такое же. Предположим, что мы имеем \-трхг ... хп^А. где Л не содержит нелогических символов, не принадлежащих Q. Пусть е^,协 н 中 таковы, как в условии теоремы. Если 厶,…・,/л — имена языка L (^) и В есть 4%吃[厶,…，/J то

ПоэтомуПоэтому0^ 94 …/л *-* 5) == И,励(加？…修Qь中)=H，^(3)=励(5屮).

Поэтому

Поэтому

Отсюда следует, что

Р 雇 Si,・• •，。力— А 绷(ф (^i),ф (%))

Для аъ ..., ап из | ©^ |; следовательно, <р есть р-изомор- физм.

Теперь предположим, что условие теоремы выполняется. Для каждого n-арного функционального или предикатного символа 刃 из Т, которого нет в Q, вводим новый п-арный Функциональный или предикатный символ 刃'・ Мы полу- наем Т1 из Т, заменяя каждое @ на ①‘ (оставляя сим- волн из Q неизменными). Покажем, что рхг ... Хп-^ ^P Xi ... хл является теоремой теории T[}Tf. По теореме полноты нам нужно лишь показать, что эта формула является истинной в каждой модели о^ теории TJ Г*. ^|£(Т) и IL (Тг) являются моделями теорий Т и Т‘ соответственно. Строим структуру е® для L (Т), беря I场I = |g^ |,刃弟=①庚для刃нз 0 и①毋=廿金для п, кото- Ро「о нет'в Q. Так как е^ I 厶(Т‘)есть модель теории Т‘，

то очевидно, что о® есть модель теории 7\ Ясно также, что тождественное отображение из 々^|£(Т) в 励 есть Ф-изоморфизм для 外 из Q; следовательно, это отображение есть р-изоморфизм. Отсюда получаем, что рл = =0绢=2厶；а из последнего равенства следует, что рх工…Xn+рХ ... хл является истинной в М*

Применим интерполяционную лемму Крейга к теореме

теории Т[)Т\ Получим формулу 4 такую, что

IтP^i • * •力九 4 и I~ у* А —ргх±...

Так как 4 принадлежит как Т, так и TJ то она не содержит нелогических констант, не принадлежащих Q. По выбору 7V из

(—А р‘ следует

поэтому имеем

卜 т pxi <.. хп с Л

по теореме тавтологии.，

5.5・ Полные теории

Мы уже использовали понятие полной теории при доказательстве теоремы полноты. Кроме этого, существует несколько других важных приложений полных теорий.

Для первого приложения предположим, что нам дана структура ©т^ для L. Теорией структуры е^, обозначаемой через Th (^), называется теория, язык которой есть L, а нелогические аксиомы которой являются формулами языка L, истинными в М. Ясно, что <^ — модель для Th (©^); следовательно, по теореме истинности теоремами теории Th (©^) являются в точности те формулы, которые истинны в

Теория Th(e^) обычно трудно поддается изучению, потому что нам неизвестны ее нелогические аксиомы. Поэтому желательно найти простую аксиоматизацию теории Th (q^/), т. е. найти теорию Т, эквивалентную Th (е^), нелогические аксиомы которой просты. Мы будем, конечно, рассматривать только аксиомы, являющиеся истинными

в "\ т. ем мы будем рассматривать только теории Т, имеющие 战 своей моделью. Следующая лемма показывает, что всякая такая теория, являющаяся полной, эквивалентна теории Th (<2^),

Лемма i. Для непротиворечивой теории Т следующие условия эквивалентные

Т — полная теория]/

каждые две модели теории Т элементарно эквивалентны}

для каждой модели ©^ теории Т теория Т эквивалентна теории Th (о^/).

Доказательство. Вначале покажем, что из (а) следует (б). Мы должны доказать, что если(^/ и ^ — модели теории Т, то каждая замкнутая формула 4 либо является истинной и в ©т^, н в 勁,либо не является истинной ни в е^, ни в е®. Но первое выполняется, если \-rAt а последнее выполняется, если \-т1 А; следовательно, одно или другое выполняется по (а).

Покажем теперь, что из (б) следует (в). Ясно, что теория Th [о^) — расширение теории Т・ По (б) каждая модель теории Т элементарно эквивалентна <^ и, следовательно, есть модель теории Th (©^); таким образом, по следствию к теореме полноты теория Т — расширение теории Th (от^).

Покажем теперь, что из (в) следует (а). Пусть °/ — некоторая модель теории Т. Если 4 -- замкнутая формула, то либо 4, либо П А истинна в ©^ и, следовательно, является теоремой теории Th (ет^). Таким образом, Th (е^) — полная теория; следовательно, по (в) Т — полная теория.

Второе наше приложение также связано с леммой 1. Предположим, что Т —полная теория, и допустим, что мы уже показали, что А выполняется в некоторой модели теории Т. Согласно (б) из леммы 1 мы можем заключить, что 4 выполняется в каждой модели теории Т.

Третье приложение полных теорий будет рассматриваться в главе 6. Эти приложения показывают важность нахождения методов доказательства того, что некоторые специальные теории полны. Мы даем один такой метод, другой будет дан в следующем параграфе.

Скажем, что формула 4 эквивалентна формуле В 8 Т* если \-т А^ В. Мы скажем, что теория Т допускает б Дж. Шенфилд'

элиминацию кванторов, если каждая формула теории Т эквивалентна в Т некоторой открытой формуле. Ясно, что если Т допускает элиминацию кванторов, то тем же свой-- ством обладает и каждое простое расширение теории 7\;

Лемм а 2. Предположим, что теория Т непротиворе- wea, Т допускает элиминацию кванторов, Т содержит какую-то константу и каждая формула теории Т, свобод-： ная от переменных t разрешима s Т. Тогда Т полна.

Доказательство. Если 4 ——замкнутая формула： теории Т, то \-тА^ В для некоторой открытой формулы В. Так как мы можем подставить константу вместо' переменных, свободных в 6, то можно предполагать, что 笈 свободна от переменных. Тогда В разрешима в Т, таким образом, Л разрешима в Т.

Практически трудно проверить в посылке леммы 2/ что Т допускает элиминацию кванторов. Мы докажем теорему, дающую достаточные условия для этого случая. Формула называется простой экзистенциальной, если она. имеет вид Эх А, где Л — открытая формула.

Лемма 3. Если каждая простая экзистенциальная формула эквивалентна 8 Т открытой формуле, то Т допу-: скает элиминацию кванторов.

Доказательство. Докажем индукцией по длине 4, * что А эквивалентна открытой формуле. Если Д ——атомная ； формула, то все ясно. Если А— отрицание или дизъюнкция, то результат следует из индуктивного предположения； и теоремы эквивалентности. Теперь предположим, что А есть ЭхВ» По индуктивному предположению В эквивалентна некоторой открытой формуле 6‘； следовательно, • по теореме эквивалентности 4 эквивалентна простой экзи-. стенциальной формуле ЭхВ\ Так как ЗхВг эквивалентна открытой формуле, то такова же и Л.

Лемма 4. Пусть А — замкнутая формула теории Т. Предположим, что Т содержит какую-то константу и для каждых двух моделей 孩〃 ©^' теории Т таких, что "(В) =(2^，(В) для каждой свободной от переменных формул В теории Т, имеем ©^ (4)=е^‘(4). Тогда А эквивалентна в Т формуле, свободной от переменных.

Доказательство. Пусть Г — множество теорем теории Т[А], свободных от переменных. Достаточно показать, что Л — теорема теории Т [Г], Действительно, отсюда по теореме редукции следует, что ^тВг-^^.-^Вп-^А,

где каждая Вг принадлежит Г. Так как Bi принадлежит Т, то теорема дедукции показывает, что 卄4 +母 Тогда ввиду теоремы тавтологии имеем-

]т А (Bi & •・• & &)

и формула В工 &…& Вп свободна от переменных.

Предположим, что 4 не является теоремой теории Т [Г]. По теореме полноты существует модель 々^ теории Т [Г] такая, что ^ (4) = Л. Пусть А — множество формул, свободных от переменных, которые истинны в с^/・ Пусть о^г — любая модель теории 夕[А]・ Для каждой формулы В, свободней от переменных, имеем ©^ (В) — о^г (В). Действительно, если Х^ (В) = И, то В принадлежит Д и, следовательно, ^'(3) = Н; если же ©^ (В) = Л, то "] Я принадлежит А и, следовательно, (В)=Л. Отсюда следует, что ©^х (Л) = ©^ (Л) = Л; таким образом, с^/'，1%) = И・ Мы показали, что ] 4 истинна в Т[А]・ По теореме полноты ~| Л — теорема теории Т[^ таким образом, по теореме дедукции

где Ci, ..., Ст принадлежат А. Тогда по теореме тавтологии

г Л (G & …& &Л)； таким образом, ~| (Сг &... & С^) принадлежит Г. Поэтому заключаем, что все формулы

С1, Cm Н "] (Cj & ... & Cm) истинны в(^, а это невозможно.

Скажем, что Т удовлетворяет условию изоморфизма, если для каждых двух моделей е^ и ©^' теории Т и каждого изоморфизма ф подструктуры модели ^ и подструктуры модели М' существует расширение изомор- фнзма <р, которое является изоморфизмом между подмо- Депью модели ©^ и подмоделью модели ®^\ Скажем, что Т удовлетворяет подмодельному условию, если для каждой модели 荡 теории Т, каждой подмодели 々^ мо- 个厶н 册 и каждой замкнутой простой экзистенциальной формулы Л языка L (о^) имеем (4) =场(4).

Лемма 5. Пусть Тг получается из Т добавлением 例8。应 константы е. Если Т удовлетворяет условию изо морфизма (подмодельному условию), то такова же 以 Т'・

Доказательство. Предположим, что Т удовлетворяет условию изоморфизма. Пусть о^ и о^9 — модели теории Т‘， и пусть <р — некоторый изоморфизм между подструктурой с® модели ©^ и подструктурой о®' модели ет^\ Тогда <р можно расширить до изоморфизма 屮‘ между подмоделью & модели ^ |L(T) и подмоделью * модели “」L (Т). Обогащаем 皆 до структуры для L (Т‘)，полагая е@ = е庚;это даст нам подмодель модели /・ Подобным же образом получаем подмодель модели о^г. ..Так как 屮(е①= е〃，то <р? — изоморфизм между этими подмоделями.

Предположим, что Т удовлетворяет подмодельному условию. Пусть с® — модель теории Т\ ©^ — подмодель модели 场 и 4 ——замкнутая простая экзистенциальная формула языка £(^)・ Пусть 4’ получается из Л подстановкой имени индивида °/ (е) вместо е. По лемме из § 2.5 имеем

{А^—о^ (Л) и 曲(£)=曲(4).

Применяя подмодельное условие для Т к е^ | L (Т) и е®|£(Т), находим, что о^/(4') =座(4‘)； таким образом,

(Л)—о® (Д).

Лемма 6. Если Т удовлетворяет условию изоморфизма и подмодельному условию и содержит некоторую константу, то каждая замкнутая простая экзистенциальная формула теории Г эквивалентна в Т формуле, свободной от переменных.

Доказательство. Пусть Л一замкнутая простая экзистенциальная формула. По лемме 4 достаточно проверить, что если 孩 и е^‘ 一 модели теории Т такие, что о^ (3) = ©^'(5) для каждой В, свободной от переменных, то а(4) = е^‘(4). Пусть В — множество всех ©^ (а) для термов а, свободных от переменных. Так как 7 содержит константу, то В непусто; ясно, что f必(а^, ..., а九) принадлежит В, если %,…,ап принадлежат 反 Отсюда следует, что В — универсум подструктуры 扬 модели 翁.

Пусть о®' — соответствующая подструктура модели(^二 Мы утверждаем, что существует изоморфизм ф между 场 и 曲'，определенный так: $ (02/(а))=е^‘(а). То, что отображение <р корректно определено и биективно, следует из равенства 該(а = &) = /'(а = Ь). Тогда то, что

Ф — изоморфизм, следует из равенств

О^ (%1…% =匕)=е^’ (%1…0也=b) и"(p%.一0九)=(2@工•，，。九).

По условию изоморфизма ф можно расширить до изоморфизма между подмоделью © модели о^/ и подмоделью &' модели е^\ Так как А ~ простая экзистенциальная формула, то из подмодельного условия следует, что ^(後= &(А) и ^Г(4) = *(4)・ Но &(4) = *(А), так как 禎 н * изоморфны; таким образом, “ (A) = o^f (Л).

Теорема о б элиминации кванторов. Если Т удовлетворяет условию изоморфизма и подмодельному условию, то Т допускает элиминацию кванторов. 一

Доказательство. Ввиду леммы 3 достаточно доказать, что каждая простая экзистенциальная формула Л теории Т эквивалентна в Т открытой формуле. Пусть 4’ получается из Л заменой каждой свободной в Л переменной на новую константу; пусть Tf получается из Т добавлением этих констант (или добавлением одной новой константы, если А замкнута). По леммам 5 н 6 4’ эквивалентна в Т‘ формуле, свободной от переменных; следовательно, по теореме о константах Л эквивалентна в Т открытой формуле.

Чтобы проверить, что Т удовлетворяет подмодельному условию, достаточно проверить, что следующее условие выполняется для каждой модели 扬 теории Т и каждой подмодели 02/ модели 物：если 4“ .・.,Ап~атомные формулы языка 厶(“).в которых нет свободных переменных, за исключением х, а j—имя языка L (扬),то существует имя i языка L (е^) такое, что

翊(4口])=期(4[/]) для i = l, ..., П.

Пусть это проверено, и пусть ЗхА ~ замкнутая простая экзистенциальная формула языка £(©^). Очевидно, что из о^ (Эх4) = И следует ^ (ВхЛ) = И; мы должны доказать обратное. Предположим, что g® (ЭхА) = И, и выберем имя / языка 厶(场)，так, чтобы о>Э (Лх^])^!!. Выберем, как и выше, /, где 4b .... Лл — атомные формулы, входящие в Л. Тогда

^ (А [;]) = ^(Л 口])=座(4 [У]) = И;

таким образом,

^(ЗхА) = И.

Применим наши результаты для нахождения систем 1 аксиом для поля комплексных чисел и поля действительных чисел. (Эти системы аксиом найдены Тарским.)

Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е. каждый многочлен, отличный от константы, с коэффици-: ентами из поля имеет корень в этом поле. Мы получаем : элементарную теорию ACF алгебраически замкнутых полей из теории FL добавлением для каждого n^ 1 аксиомы, утверждающей, что каждый многочлен степени п имеет корень. Например, аксиомой для п —2 является

(/^0->Эх(у-х-х+г-х+^ = 0).

Используем теперь теорему об элиминации кванторов,、 чтобы показать, что ACF допускает элиминацию кванторов. Любая подструктура поля содержит 0, 1 и —1 и ； замкнута относительно сложения и умножения; таким образом, она есть подкольцо, содержащее 1. Следова-. тельно, условие изоморфизма для ACF сводится к следу- % ющему: если ©^ и — алгебраически замкнутые поля и ср — изоморфизм между подкольцом поля оЛ、содержащим 1, и. подкольцом поля 次二 содержащим 1, то ф ' можно расширить до изоморфизма между алгебраически замкнутым подполем поля 次 и алгебраически замкнутым ； подполем поля е^\ Чтобы получить это расширение,: вначале расширяем <р до изоморфизма между наименьшими / подполями полей е^ и <2^[ включающими эти подкольца, а затем полученный изоморфизм расширяем до изомор-: физма между наименьшими алгебраически замкнутыми」 подполями, включающими эти подполя. То, что такие два расширения могут быть сделаны, доказывается в стан-' дартных учебниках алгебры.

Предположим, что “一поле и а — терм языка 厶(^), не содержащий переменных, отличных от X. Тогда существует многочлен р@ с коэффициентами из е^, который представляет а в следующем смысле: если 场一расшире- ‘ ние поля о^ и J— имя индивида & из 扬,то ^(GrL/D =: =ра (Ь)・ Доказательство проводится индукцией по дли-； не а; детали оставляются читателю. Теперь предположим, что Ь ™ другой такой терм, и пусть г = р@ — рь・ Если Л — атомная формула а = Ь, то ^ {Ax\j^ = ^ тогда и только тогда, когда г (6) = 0,

Если мы скомбинируем эти замечания с замечаниями, данными после теоремы об элиминации кванторов, то мы увидим, что для того, чтобы доказать, что ACF удовлетворяет подмодельному условию, достаточно доказать следующий результат: если <^ — алгебраически замкнутое поле, <2^ — алгебраически замкнутое подполе поля о®, 小 …，гл —многочлены с коэффициентами из и 6 принадлежит ^, то существует а из ©^ такое, что 乙•(〃)= 0 с 勺 @) = 0 для всех I* Мы можем предполагать, что ни один из Г/ не является постоянным многочленом 0, так как такое 厶 можно выбросить из списка. Если некоторое 々(b) есть - 0, то & — алгебраический элемент над ©^ и, следовательно, принадлежит 次;таким образом, мы можем взять а — Ь. В противном случае мы находим а из ^ такое, что 门(@)*0 для всех i. Так как многочлен имеет только конечное число корней, то достаточно показать, что ^ бесконечно. Но если бы 。工,а龙 были всеми элементами из ©^, то многочлен

(X — а】)・…• (X — &) + 1

не имел бы корней в

Пусть ACF (п) — теория ACF U FL (п). Покажем, что если п равно 0 или простому числу, то ACF (/г) полна. Так как теория ACF (/г) имеет модель, то она непротиворечива, а так как она есть простое расширение теории ACF, то она допускает элиминацию кванторов. Следовательно, по лемме 2 нам нужно лишь доказать, что каждая формула теории ACF (и), свободная от переменных, разрешима в ACF (/г). Ввиду теоремы полноты для этого достаточно доказать, что если Л — формула теории ACF (п), свободная от переменных, то истинностное значение X (А) одинаково для всех моделей о^ теории ACF (/г). Если 办=0, то пусть <=® — поле рациональных чисел; если п —— простое число, то пусть е® — поле целых чисел по мо Дулю п. Каждая модель ©^ теории ACF (п) имеет под- структуру, изоморфную 网 таким образом, / (Л) = ^(Л) А订只 всех моделей ^ теории ACF (п) по следствию к лемме 2 из § 52

Отсюда следует, что ACF (0) эквивалентна теории поля комплексных чисел. Ввиду нашего второго приложения полных теорий отсюда следует, что каждая формула тео РМн FL, истинная в поле комплексных чисел, является

истинной в каждом алгебраически замкнутом поле характеристики 0. Значение этого состоит в том, что мы имеем много средств, не пригодных в других полях (таких, как、 интегрирование по контуру), для того, чтобы доказывать, ■ что некоторая формула является истинной в поле ком- । плексных чисел.,

Имея дело с полем действительных чисел, лучше рас-， сматривать предикат V. Поэтому мы вводим теорию OF -упорядоченных полей- Она получается из FL добавлением предикатного символа V и аксиом

OF1. "|(х<х).

OF2. х V g f у V z -> х V z・

OF3. х Vy V V У： OF4. х <С у -^尤 + n*^^/十 2.

OF5. 0 V % f 0 之 У f 0 V % • у・

В дальнейшем изложении будем предполагать известными основы теории упорядоченных полей.

Упорядоченное поле действительных чисел является вещественно замкнутым. Это означает, что из каждого ； положительного элемента извлекается квадратный корень и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Мы； получаем элементарную теорию RCF вещественно замкнутых полей из теории OF добавлением аксиомы

0 V х —>- ^р(У * D=х)

и для каждого нечетного 九 такой же аксиомы, как мьь добавляли, чтобы получить ACF.■

Теперь применяем теорему об элиминации кванторов； для того, чтобы показать, что RCF допускает элиминацию кванторов. Условие изоморфизма теперь говорит следуют щее: если(^/ и ©^' — вещественно замкнутые поля и ф ― изоморфизм между подкольцом поля “, содержащим 1, и подкольцом поля о^\ содержащим I, то ср можно расширить до изоморфизма между вещественно замкнутым подполем поля 伞 и вещественно замкнутым подпол ем поля &^‘. (Конечно, этот изоморфизм должен сохранять порядок.) Опять-таки мы вначале расширяем ф до изо-., морфизма между наименьшими подполями, включающими； эти подкольца, а затем полученный изоморфизм до изоморфизма между наименьшими вещественно замкнутыми подполями, включающими эти подполя.

Мы видим, как и ранее, что проверка подмодельного условия сводится к доказательству следующего: если 扬—— вещественно замкнутое поле, ©^ — вещественно замкнутое подполе поля 炀,片,...,rn — многочлены с коэффициентами из о^、b принадлежит 扬,то существует а из “ такое, что

G(a) = 0cQ(b) = 0 и 々(a) VO—片⑹ V0・

Снова мы можем предполагать, что ни один из 八 не является постоянным многочленом 0. Если 九(&) = 0, то & —— алгебраический элемент над ^ и, следовательно, принадлежит ^; таким образом, мы могли бы взять а—Ь. Поэтому мы можем предполагать, что гг (匕)声 0 для всех i.

Предположим вначале, что существует корень с некоторого многочлена 々 и корень d некоторого многочлена q такие, что cVbVd. Так как многочлен имеет только конечное число корней, то можно предполагать, что ни один из многочленов гъ ..., гл не имеет корней между cud. Тогда каждый из многочленов 片,...,гл имеет один и тот же знак в каждой точке из ^ между end. (Это происходит потому, что многочлен в вещественно замкнутом поле, положительный в некоторой точке и отрицательный в некоторой другой точке, имеет корень между этими точками.) Ввиду сказанного выше cud принадлежат о^\ таким образом, мы можем взять а = = ^(c+d).

Теперь предположим, что никакой корень каждого многочлена г； не превосходит &. Тогда знак многочлена 广± во всех точках, больших Ь, такой же, как его знак в точке &. Знак многочлена г? при больших значениях аргумента определяется по знаку коэффициента много- члена г； при высшей степени и, следовательно> один и тот же в е^ н в 歩.Таким образом, если мы выберем а нз о^ достаточно большим, то каждое Г/ (а) будет иметь тот же знак, что и гД&). Подобное доказательство можно провести и в том случае, когда ни один корень любого многочлена г{ не меньше Ь.

Так как упорядоченное поле всегда имеет упорядочен- ное подполе, изоморфное упорядоченному полю рациональных чисел, то можно, как и раньше, показать, что каждая формула теории RCF, свободная от переменных,

разрешима в RCF; следовательно, теория RCF полна. Таким образом, RCF эквивалентна теории упорядоченного поля действительных чисел. Из этого легко можно получить аксиомы для поля действительных чисел (см. задачу 17).

Категоричность

Скажем, что теория Т категорична, если любые две модели теории Т изоморфны. Например, пусть Т — теория без нелогических символов и с единственной нелогической аксиомой х = у. Тогда каждая модель теории Т содержит только один индивид, и легко видеть, что любые две такие модели изоморфны.

Можно дать и более сложные примеры, чем этот; но все эти примеры имеют только конечные модели. Действительно, если Т имеет бесконечную модель, то теорема о мощности показывает, что Т имеет модели многих разных мощностей, а две модели с различными мощностями не могут быть изоморфными.

Это приводит нас к обобщению нашего определения. Пусть m — некоторая бесконечная мощность. Теория Т называется m-категоричной (или категоричной в мощно- ста ш), если каждые две модели теории Т мощности m изоморфны. Тогда мы имеем следующие возможности:

Т является m-категоричной для каждой т. Примером служит теория без нелогических символов и без нелогических аксиом.

Т не m-категорична ни для какой ш. Примером служит теория без нелогических аксиом и только с одним унарным предикатным символом в качестве нелогического символа. Известно также, что этим свойством обладает теория RCF.

Т является “о-категорнч:ной, но не ш-категоричной ни для какой несчетной т. Например, пусть единственным нелогическим символом теории Т является унарный предикатный символ Р. Пусть нелогические аксиомы теории Т утверждают, что для каждого натурального числа 左 существуют по крайней мере k индивидов, принадлежащих множеству Р, и по крайней мере k индивидов, не принадлежащих множеству Р. Другой пример приводится в задаче 23.

Т является ni-категоричной для несчетной т, но не Ко-категоричной. Например, пусть нелогическими символами теории Т будет бесконечная последовательность констант а】, а?， а нелогическими аксиомами будут 刍老 2/ для i，j. Известно также, что этим свойством обладает теория ACF.

Для счетных теорий имеются только эти возможности, так как теорема Морли утверждает, что если счетная теория m-категорична для какой-то несчетной ш, то она ш-категорична для всех несчетных т. Так как доказательство этой теоремы довольно длинное, то оно здесь не приводится.

Полезность понятия категоричности показывает следующая

Теорема Л ося —Воота. Пусть m 一 некоторая бесконечная мощность. Если Т — непротиворечивая т-тео~ Р"% имеющая только бесконечные модели, и Т является х^-категоричной, то Т полна.

Доказательство. Предположим, что существует замкнутая формула 4, которая неразрешима в Т. По следствию к теореме о редукции для непротиворечивости обе теории Т [1 А] и Т[~]~] А] непротиворечивы. Поэтому обе эти теории имеют модели и эти модели бесконечны, потому что каждая модель теории Т бесконечна. По теореме о мощности существует модель ©^ теории Т [~] А] мощности m и модель 场 теории Т[~]~|4] мощности ш. Так как Т является m-категоричной, то “ и <э® изоморфны. Это невозможно, так как(^ (%) = 〃 и 飭(А) = И.

Вместе с результатом, упомянутым в (iv), эта теорема Дает новое доказательство полноты теории ACF.

Теперь будем исследовать Хо~категорнчность. В оставшейся части этого параграфа ^, ^2» ••• будут означать переменные, расположенные в алфавитном порядке. Пи- тем А[аъ а/ вместо 4勺，…，^[аъ ..., «л]. Обозначим через Sn (L) множество формул языка L, в которых нет свободных переменных, отличных от z* …，гл.

Пусть s^ ——некоторая структура для L и а工,..,,ап — некоторые индивиды из Типом n-ки (аъ ..., aj называется множество всех формул Л из S儿(工)таких, что

- е^ (4 [九.…，^л]) = И,

где &, ..., in — имена индивидов alt ..., ап соответст-

венно. п-типом 8 ©^ называется тип некоторой n-ки индивидов из ". Так, единственным 0-типом в ©^ является : множество замкнутых формул, истинных в(^/. Если Т— : теория, то мы пишем Sn (Г) вместо Srt (L (Т)) и каждый : n-тип в модели теории Т называем п-типом е Т.‘

Отметим несколько простых фактов про типы. Если Г : есть n-тип в структуре для L и А принадлежит Sn (L),； то в точности одна из формул А или j Л принадлежит Г. Отсюда следует, что если один n-тип включается в дру-, гой, то эти два n-типа совпадают. Если

—т4 V • • - V 4丸'

где 4],…,Ak принадлежат S也(Т), то каждый n-тип : в Т содержит по крайней мере одну из формул А?. Если : где формулы Аъ 4,笈 принадлежат Sn (Т), то отсюда следует, что каждый п-тип в Т, содержащий 4韜...,Aki также содержит и В.

Лемма. Пусть Т — счетная теория и Т — непустое «、 множество формул из Sn (Т) такое, что никакая дизъюнк-: ция отрицаний формул из Г не является теоремой тео-: puu Т・ Тогда существует п-тип 6 конечной или счетной : модели Т9 содержащий Г.

Доказательство. Образуем Т из Т добавлением п новых констант %, ..., вл и добавлением 4 [&,•••, е J в качестве аксиомы для каждой А из Г. По предполо-' жению, по теореме редукции для непротиворечивости и по 「 теореме о константах теория Т‘ непротиворечива. По , теореме полноты и по теореме Лёвенгейма — Скулема Тг имеет конечную или счетную модель &^. Пусть а? = &^ ®).: Тогда q^\L(T) является конечной или счетной моделью ； теории Т и тип n-ки (。厶...,а%) в этой модели содер-； жит Г.

Следствие. Если Т — счетная теория и Г есть п-тип ； в Т9 то Г есть п-тип 6 конечной или счетной модели тео- “ рии Т.

Доказательство. Если Alt..., Ak принадлежат Г, ‘ то не может выполняться \—т1 Лх V ... V 口』走；отсюда еле-; довало бы, что некоторая Й 4 принадлежит Г. По лемме некоторый n-тип в конечной или счетной модели теории Т ； содержит Г и, следовательно, равен Г.

Пусть Г —некоторое множество формул из Sn (Г), Фор-. мула Л из SMT) называется образующей для Г, если 1 4 '

не является теоремой теории Т и \~ТА-^В для каждой формулы В из Г. Если Г имеет какую-то образующую» то назовем множество Г главным.

Если А — образующая для /г-типа Г, то Л принадлежит Г. Иначе П А принадлежала бы Г; поэтому \-тА^ f ] 4; следовательно, по теореме тавтологии ~ Q 4 Отсюда следует, что Г — множество всех формул В из Sn (Т) таких, что [—「4 —6・ Это показывает, что главный п-тип определяется любой своей образующей.

Теорема Эренфойхта. Пусть Т — счетная непротиворечивая теория 〃 Г — некоторое подмножество множества 5九(丁), не являющееся главным. Тогда существует не более чем счетная модель (^/ теории Т такая, что никакой п-тип 8 не содержит Г.

Доказательство. По лемме из § 5.3 Тс содержит только счетное число специальных констант. Поэтому мы можем расположить множество n-ок различных специальных констант из Тс в последовательность.

Определим индуктивно последовательности 4], Д2, замкнутых формул из Тс так, что

Tk = Tc[Alt ..,, 4ft] непротиворечива;

Ak есть ~| А [гъ ...,尸 J где А принадлежит Г и (厂1，гя) — A-я по порядку n-ка в вышеуказанной последовательности .Прежде всего Т непротиворечива； следовательно, Tq = Tc непротиворечива по лемме 3 из § 4.2.

Теперь предположим, что Alt ..., Л^ уже выбраны, и пусть Д — множество формул 4 из Sn (Т) таких, что Л [гх, . _ , гл] —теорема теории Tk^. Для любой такой Л формула

41f.• • *-^ / 总—1T4。1,…，〃]

по теореме дедукции является теоремой теории Тс. Из доказательства леммы 3 из § 4.2 мы видим, что эта формула имеет доказательство в Тс, которое использует специальные аксиомы только для 勺,…・,гЛ и специальных констант, входящих в 4Ь ..., 4左т・ Отсюда следует, что еслн В — конъюнкция этих специальных аксиом и Аи ... •• •, ｛龙т， то В-^А [rlt ・・・,гл] выводима в Тс без специальных аксиом для каждой А из А.

Можно записать В как С [гь rm], где m^n, 尸i, •・.,rm различны и формула С принадлежит Sm[T). П。теореме о константах [-гС-> А для каждой А из А.

Если С' — формула 三2什「・・m?mC, принадлежащая S冷(Т)「： то по правилу Э-введения ^ТСГ-^А для каждой Л из А.

Так как С [G, …，rm] — теорема теории 7\口 то по теореме подстановки и правилу отделения С1 [л,г^ —— теорема теории 7月_】.Так как Т^_г непротиворечива, то Q С'[尸1，. -., %] не является теоремой теории Tk~i\ таким образом, 1 С' не является теоремой теории Т. Но С' не является образующей для Г; таким образом, должна существовать формула А в Г такая, что Cz -> Л не является теоремой теории Т. Тогда А не принадлежит А. Пусть . Аь есть 1 A [rlf ..., гп]. Тогда по следствию к теореме ： редукции для непротиворечивости Т用 непротиворечива.:

Образуем Т‘, добавляя все Аъ Л2, ... в качестве новых аксиом к теории 兀・ Каждая конечная часть теории Т‘ имеет некоторую Tk в качестве своего расширения и поэ- ■ тому непротиворечива. Следовательно, по теореме компакт-： ности и теореме полноты теория Т непротиворечива. Как ; следует из леммы 4 из § 4.2 Т‘ имеет модель ^ такую,； что каждый индивид из е^ есть М (尸)для бесконечно 一 многих 尸.Такая модель, конечно, не более чем счетна.

Пусть 。1,ап — индивиды из е^. Тогда можно найти 、

различные специальные константы гъ ...,尸"такие, что 02/ (尸 1) = %, …、М (尸力二。%. Для некоторой Л из Г фор-: мула "1 А [г1? ..., 〃] является аксиомой теории Тг и,二 следовательно, истинной в ©^. Применяя лемму из § 2.5, заключаем, что 1 Л находится в типе /г-ки (^, ..., aj;' таким образом, Г не содержится в типе n-ки (^, ..., ^).. Это показывает, что Г не содержится в /г-типе в

Теорема Рылль-Нардзевского. Пусть Т—」 полная счетная теория, имеющая только бесконечные модели. Тогда следующие условия эквивалентны:

Т является ^-категоричной]

для каждого п теория Т имеет лишь конечное число п-типов;

для каждого п каждый п-тип в Т главный^

Доказательство. Предположим, что Т имеет /г-тип Г, не являющийся главным; покажем, что тогда (а)； и (б) ложны. По теореме Эренфойхта существует счетная модель ^ теории Т, в которой Г не является п-типом, в то время как по следствию к лемме существует счетная модель 扬 теории Т, в которой Г является n-типом. Так ， как и с® не изоморфны, то (а) ложно.

Теперь покажем, что (б) ложно. Так как n-тип Г не главный и так как конъюнкция формул из Г принадлежит Г, то по индукции можно выбрать формулы Аъ 4, . • • теории Т такие, что для каждого k формула (41 &• • • & %启т) f %左 не является теоремой теории Т. Тогда формула ~| 4 V …V 1 4-1 V "Н 4 не является теоремой теории Т. Следовательно, по лемме существует n-тип Гй в Т, который содержит А^ъ ~| А 眇 Ясно, что n-типы F龙 различны.

Теперь предположим, что (в) верно и докажем (а) и (6). Начнем с (б). Фиксируем п. Для каждого n-типа в Т выберем образующую, и пусть эти образующие будут Дъ 力2,.・• Тогда никакой /г-тип не может содержать все формулы 1 4, "I 4,…Следовательно, по лемме 2 и теореме тавтологии существует k такое, что /工 V • • • V 力左 является теоремой теории Т. Тогда каждый n-тип в Т содержит ЛЛ Но если некоторый л-тнп содержит 4, то он содержит и n-тип с образующей Л/ и, следовательно, совпадает с этим п-типом. Таким образом, n-типами являются лишь n-типы с образующими 41，..., 4比・

Теперь докажем (а). Пусть ^ и g® — модели теории Т мощности No・ Расположим все элементы множеств ||

и I <^ I в последовательности различных элементов. Будем располагать их в новые последовательности %,围…и &,匕2,так, чтобы для каждого п (аь .…,〃咒)и

(匕八..-,匕力 имели одинаковый тип. Вначале мы должны показать, что это выполняется для /г = 0, т. е. что пустая последовательность имеет одинаковый тип и в “, и в 扬. Это означает, что одинаковые замкнутые формулы истинны в " и о®, а это выполняется по лемме 1 из § 5.5.

Теперь предположим, что элементы а1г ..., ал_ь ...,&„，! уже выбраны. Сперва предположим, что л четное. Пусть ап —первый индивид в старой последовательности индивидов из q%\ которого нет среди 仪厶^_2. Пусть Г —тип n-ки а，…，а) а А — образующая для Г. Тогда Э^Л принадлежит типу 几 ——1-ки (^,,.., ап^ и, следовательно, типу п — 1-ки (&1,...» Ьп^. Отсюда следует,что мы можем выбрать Ьп в | 座 | так, что Л принадлежит типу n-ки (瓦,・・・, b")・ Тогда тип /г-ки (九,...,&л) включает Г и поэтому должен быть равен Г. Более того, Ьп 用 bj для 力 V 几；действительно, с1rl 丰 а» и, следовательно, формула N^WZg принадлежит Г.

Если п нечетно, то пусть 6Л — первый индивид из старой последовательности индивидов из 网 которого нет среди 瓦,йл-1- Мы можем тогда выбрать ал, как и； выше. Первые 九 членов старой последовательности элементов из 纱^ встречаются среди аь …，а^ таким обра-； зом, каждый индивид из s^ есть ^. Аналогично, каждый индивид из е® есть 仇・ Поэтому мы можем определит^ биективное отображение ф из |&^| в | ^ | следующим образом: <р (ф) = &л По лемме 2 из § 5.2 <р — изоморфизм.

В качестве приложения теоремы Рылль-Нардзевског покажем, что Th (”) не является ^-категоричной. В действительности легко видеть, что если i и / — различные натуральные числа, то тип i отличается от типа /. Таким образом, Th ("°) имеет счетные модели, не изоморф-： ные:

Задачи

Пусть Г —множество замкнутых формул языка L. Пусть, 生(F)—такое же множество, как и в задаче 5 из главы 4, и пусть Ж® (Г) — множество таких V, принадлежащих 见(Г), что для некого-； рой структуры о^ для L имеем У (4) = ^(4) для всех Л из Г. Показать» что ^^ (Г) замкнуто в ^ (Г) и, следовательно, компактно. [Применить теорему компактности.]'

Пусть 3 ~ класс структур для L. Если существует формула 4 языка L такая, что 3 —класс всех структур, в которых Л является истинной, то 喜 называется элементарным классомt Если существует теория Т языка L такая, что ^ — класс всех моделей теории Т, то 3 на- зывается обобщенно элементарным классом *).

Показать» что класс структур для L является элементарным классом тогда и только тогда, когда он является классом всех моде-:; лей некоторой конечно аксиоматизируемой теории языка L.

Показать, что класс структур для L есть обобщенно элемен-, тарный класс тогда и только тогда, когда он является пересечением : некоторого семейства элементарных классов.；

Пусть Д —некоторое семейство обобщенно элементарных : классов и Э ——элементарный класс, содержащий пересечение всех эле- 1 ментов из Л. Показать, что существует конечное подсемейство 4’ семейства А такое, что 3 содержит пересечение всех элементов из Л\ [Применить теорему компактности.]

Пусть St，$2$ - • — последовательность элементарных классов таких, что. для всех п класс 3Л+1 есть собственный подкласс класса 9小 Показать, что пересечение всех 5Л не является элементарным ; классом. [Применить (в).]

*) В советской литературе принят термин аксиоматизируемый &乩асе.—Прим. ред.

Пусть 3 — обобщенно элементарный класс, ?' — класс структур для L, которые не принадлежат 3： Показать, что S—элементарный класс тогда и только тогда, когда ^' является обобщенно элементарным классом. [Применить (б), (в) и (а).]

(а) Пусть q^ — структура для L и 8 — непустое подмножество множества | ©纟 |・ Показать, что существует наименьшее подмножество С множества | @抬 |, включающее 8 и являющееся универсумом некоторой подструктуры структуры от/. Подструктуру с универсумом С мы называем подструктурой, порожденной множеством В.

Пусть S3 — подструктура структуры ◎亲，порожденная множеством В. Показать, что если т —наибольшая из следующих мощностей: No，мощность множества 8 и мощность множества функциональных символов языка L,——то мощность структуры 曲 не превосходит т. В частности, если L ——счетный язык и множество В счетно* то структура 场 счетная.

Структура <2^ называется конечно порожденной, если существует конечное подмножество В множества | “ | такое, что подструктура структуры qt^, порожденная множеством В, совпадает с о^. Показать, что структура qt^ имеет расширение» являющееся моделью теории Т, тогда и только тогда, когда каждая конечно по- рожденная подструктура структуры ©^ имеет расширение, являющееся моделью теории Т. [Если 汉 не имеет такого расширения, то по теореме о расширении модели существует открытая теорема А теории Т, не являющаяся истинной в q托.Показать, что Л не является истинной в некоторой конечно порожденной подструктуре структуры -

Показать, что структура от^ для открытой теории Т является моделью теории Т тогда и только тогда, когда каждая конечно порожденная подструктура структуры q先 является моделью теории Т. [Применить (в) и теорему Лося — Тарского,]

Группа 诙 называется полной, если для каждого положительного целого числа л и каждого индивида а из ет^ существует индивид b из от^ такой, что Ьп — а. Показать, что каждая абелева группа изоморфна подгруппе некоторой полной абелевой группы. [Всякая циклическая группа изоморфна некоторой подгруппе мультипликативной группы отличных от нуля комплексных чисел, а эта группа является полной. Обобщить результат на конечно порожденные абелевы группы и затем применить (в).]

(а) Пусть Г —регулярное множество формул языка 匚 и(^, 務—— структуры для L такие, что каждая дизъюнкция отрицаний фор- МУЛ из Г, истинных в о^, является истинной в 認.Показать, что существует Г-расширение структуры 影,изоморфное некоторому эле^ 響тарному расширению структуры М、[Обогатить 燄 до структуры 》" для L (az^)- Найти Г-расширение структуры 勁',являющееся моделью теории De ((2^)-1

Показать, что если ^^ и 册一структуры для L, то ◎纟 и 扬 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные элементарные расширения. [Применить (а).]

Пусть ◎抬 и 励—структуры для L и Г——некоторое множество Формул языка L. Г-морфизмом из ©_£ в(^9 называется отображение ср 三з I ^ I в |@®| такое, что для каждой формулы 4, принадлежащей 1 (с^), из “ (Д) = И следует ^ (А*?) = И.

Показать, что если | q^ I — подмножество множества | 场 |, то о^ есть Г-подструктура структуры 扬 тогда и только тогда» когда тождественное отображение из | ©^ | в | 幽 | является Г-мор- физмом.

Показать, что если х — е принадлежит Г и ср ——Г-морфизм из ♦ в 宓，то <р(0^ (*)) =励(е)・；

Если(р-~отобр ажение из | qt^ | в |(^5 |, то мы обогащаем Si - до структуры ^0ф для 丄((2^), придавая значение 屮(а) имени инди-， вида а. Показать, что 屮 является Г-морфизмом тогда и только тогда, когда 励中 является моделью теории 方】(电纟).[Вначале показать,: что 座爭(4) = о^р (4④)=场(貝中)для любой замкнутой формулы Л языка £(『/)」

Множество формул Г называется инвариантным, если для : каждой формулы Л из Г каждая формула A [xls ... , хл] принадлежит Г. Показать, что если Г инвариантно и L (T) = L, то Г-морфизм из о^ в некоторую модель теории Т существует тогда и только ： тогда, когда каждая теорема теории 7\ являющаяся дизъюнкцией '； отрицаний формул из Г, является истинной в е^- [Аналогично доказательству теоремы о расширении модели.]

Пусть Г —инвариантное множество формул, содержащее х=(/；； Д—множество формул, содержащее каждую формулу Vxt... УхЛА> где Л — дизъюнкция отрицаний некоторых формул из Г, ф ——А-мор- физм из 勿^ в 扬.Показать, что существует Г-морфизм 屮 из 场'в не-； которое элементарное расширение & структуры(^^ такой, что 屮屮： есть тождественное отображение из |(^^ | в | & |- [Аналогично дока- зательству следствия к теореме о расширении модели.]；

Формула называется позитивной, если она находится в пре-、 нексной форме и ее матрица построена из атомных формул с помощью нескольких применений дизъюнкций и конъюнкций. Формула называется негативнойt если она есть отрицание позитивной фор- ■ мулы. Если Г — множество атомных (позитивных, негативных) фор- * мул, то вместо Г-морфизма мы будем говорить о гомоморфизме (па： зитивном гомоморфизме, негативном гомоморфизме}.

Показать, что отображение 屮 из |(^ | в | ^ | является гомо-； морфизмом тогда и только тогда, когда для всех нелогических слм- волов / и р и для всех аъ …,。九 из | ©^ |

Ф (/乩(%,…，&))=/死(中(a1)，…，中(an))

и?

Р必(^1» • • • »。/1)-?^ (中(a1)，…，Ф (^n)),

Показать, что в этом случае ср (^ (а)) = №(а屮)для каждого свободного от переменных терма а языка Z (®/)・

Показать, что сюръективный гомоморфизм является позитивным гомоморфизмом.

Показать, что если ф —негативный гомоморфизм из q^ в 筋，. то существует позитивный гомоморфизм 屮 нз 炀 в некоторое эле-, ментарное расширение & структуры * такой, что 屮屮 является тождественным отображением | qz^ | в ] &|. [Применить 5 (д).]

Пусть ф —позитивный гомоморфизм из М в 册・ Показать, что существует элементарное расширение ^г структуры(^ и негативный гомоморфизм 屮 из 燄& в “％ [Применить 5 (г) для по-

лучения негативного гомоморфизма из 场屮 в некоторую модель теории De (qz^)']

(Д)Пусть 屮一позитивный гомоморфизм из Q^ в о®. Показать, что существуют элементарные расширения ^' и 砺'структур “ и

соответственно и позитивный гомоморфизм фЛ из ^/' в 扇', являющийся^ расширением гомоморфизма 屮，такие, что (рх (©7^9 включает | 励 |. [Выбрать q^\ как в (г), и использовать (в) для нахождения позитивного гомоморфизма 屮，из ^% в некоторое элементарное расширение 皆 структуры 场屮.Положить 场'=皆|丄.]

Скажем, что структура 励 есть гомоморфный образ структуры е^, если существует сюръективный гомоморфизм из ^^ в 荡. Показать, что если существует позитивный гомоморфизм из q^' в 历,,то некоторое элементарное расширение 扬 структуры 爲/ является гомоморфным образом некоторого элементарного расшире- ния <2^ структуры о^^ [Взять и 励 как объединения элементарных цепей, построенных с использованием (д).]

Показать, что теория Т эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой позитивны тогда и только тогда, когда каждый гомоморфный образ модели теории Т является моделью теории Т. [Для доказательства части «только тогда» использовать (б). Предположим, чт0 ^ — структура, в которой каждая позитивная теорема теории Т является истинной. Показать, что если Г — множество негативных формул, истинных в 或,то теория Т [Г] непротиворечива, Поль- 崇只сь 5 (г), найти позитивный гомоморфизм из модели ^ теории Т [门 в некоторое элементарное расширение структуры 册・ Затем применить (е), чтобы показать, что(^ — модель теории TJ

Пусть Q^i будет структурой для L для каждого i из непустого множества /* Прямым произвёдвнивм q^ = JJ q^i называется структура для L, определенная следующим образом. Универсум структуры о^ есть множество 口I I и

(戏(%，/))£=//((%)*-•，(aJ),

0必(%…，纵)一口/((0也，(%)?) Для веех i.

Пусть 电(a) = (a)j для а из | Показать, что 几七一сюръек- тивныи гомоморфизм ИЗ в 少彳厶

Показать, что если 4 —формула языка L (ет^), свободная т переменных, то q允(4) = И тогда и только тогда, когда Q%t(《') = И для всех £ из I. [Применить (а) и 6 (а).]

-(в)Назовем формулу формулой Маккинси, если она представляет 0 „ои дизъюнкцию формул, каждая из которых является либо атом- :明 либо отрицанием атомной формулы, и самое большее одна из "X формул атомная. Показать, что если 4 —замкнутая формула "кк^нси языка L (о^) такая, что(^,(ЛЛ/) = И для всех i из /, ° ^ (А) = И. [Предположить, что & (/) = 〃，и применить (6/j 肥 (г)о Назовем формулу формулой Хорна, если она находится в пре- к КСНои Ф°Рме и ее матрица есть конъюнкция формул Маккинси. По- ать* utQ результат из (в) обобщается на формулы Хорна.

[Применить индукцию по числу кванторов.] Вывести, что если формула Хорна является истинной в каждой структуре(^力 то она является^ истинной и в к

Пусть Т — теория такая, что каждое прямое произведениеj моделей теории Т есть снова модель теории 71. Пусть ~|/iV-「 ...v^ ^V^iV-'-V^m —теорема теории 7\ где m > 0, а Л/ и ^； —атомные.Показать, что для некоторого / формула [ Aj V... V П』九 V : \jBj является теоремой теории Т. [Предположить, что такого / не существует. Найти модель 黒] теории Т такую, что ~| А^..^ ...\/i ^nN^i не является истинной в (^力 и показать, что A1V---V1 ЛдV^iУ--\/^л не является истинной в прямом произведении структур(^入]。

Показать, что теория Г эквивалентна теории, у которой аксиомы являются формулами Маккннсн, тогда и только тогда, когда： каждая подструктура модели теории Т является моделью теории 7 и, каждое прямое произведение моделей теории Т является моделью^ теории Т・[Применить теорему Лося ——Тарского, (в), задачу 11 (б) из главы 3 и (д).]

Класс 9 структур для L называется замкнутым, если каждая подструктура структуры из 3 находится в 3, каждый гомоморфный： образ структуры из 3 находится в 3 и каждое прямое произведение структур из 5 находится в 3. Обозначим через At (3) множество? атомных формул, которые являются истинными в каждой структуре； из 3.

Пусть 3 ——замкнутый класс структур для L, I/ получается из 丄 добавлением непустого множества новых констант и 3* — мно-; жество обогащений до U структур из 3・ Показать, что 5х замкнут-; и At (3) — подмножество множества At (Зл).

Пусть обозначения такие же, как и в (а), и пусть Л — фор-< мула языка Д\ свободная от переменных, не являющаяся частным； случаем формулы из At (3). Показать, что существует 次 нз 3’ такая, что 或(4) = Л, и такая, что каждый индивид из ©^ есть? о^ (а) для некоторого свободного от переменных терма а языка LL [Выбрать структуру о® в З7 так, чтобы <^(4) = Л, и взять любую； подструктуру,]

Пусть обозначения такие же, как и в (а). Показать, что существует структура о^ из ?' такая, что

каждая атомная формула языка Z/, свободная от переменных,, истинная в М、есть частный случай некоторой формулы из At (&);：

каждый индивид из Q^ есть(^ (а) для некоторого свободного от переменных терма а языка /Л [Применить (б) и 7 (б).]、

Пусть 3 ——некоторый замкнутый класс структур для L. Показать, что если @® —структура для L, в которой каждая формула； из At (3) является истинной, то 磁 принадлежит 3. [Пусть U будет, L (丽)и 羡 такая же, как в (в). Если А —атомная формула языка £'* свободная от переменных, то из ^^(4) = И следуех ^(_Д) = И. Определим сюръективный гомоморфизм (р из(^ в 譎縛/ полагая 中(8^ ("))=场比(«)-]

Показать, что класс 3 структур для L замкнут тогда и- только тогда, когда этот класс является классом всех моделей теории языка L, нелогические аксиомы которой атомные. [Для доказательства части «только тогда» применить (г).]\

Если Т — теория, язык которой есть расширение языка L, то обеднением теории Г до L назовем теорию, язык которой есть 丄 и нелогические аксиомы которой представляют собой формулы языка L, являющиеся теоремами теории Т.

Пусть Г —обеднение теории Т до L, Показать, что структура о^ для L является моделью теории Т тогда и только тогда, когда какое-то обогащение некоторого элементарного расширения структуры о^ является моделью теории Т‘. [Пусть(^^ ——модель теории Т; применить теорему о совместной непротиворечивости, чтобы показать, что Tf U De (^) непротиворечива.]

Привести пример теории Т, обеднения Т теории Тг и модели М теории-Т, не имеющей обогащения, являющегося моделью теории 7v. [Пусть Т7 имеет в качестве нелогических символов константы elr £z, ... н в качестве нелогических аксиом все формулы в；六 ej для 岸 j. Получить T отбрасыванием е「]

Пусть Т1' —расширение теории Т. Показать, что Т' является консервативным расширением теории Т тогда и только тогда, когда для каждой модели 詼 теории Т какое-то обогащение некоторого элементарного расширения модели(^ является моделью теории Т‘. [Применить (а).]

Пусть Т——теория, язык которой есть расширение языка L и 3 — класс обеднений моделей теории Т до L. Предположим, что каждая подструктура произвольной структуры из 3 находится в 3. Показать, что 3 есть множество всех моделей обеднения 7’ теории Т до L и что Т‘ эквивалентна открытой теории. [Применить (а) и теорему Лося — Тарского J

Пусть Т — открытая теория, язык которой получается из L добавлением предикатных символов. Пусть ^^ — структура для Л. Показать, что от^ имеет обогащение, являющееся моделью теории Т, тогда и только тогда, когда каждая конечно порожденная подструктура структуры &Z имеет обогащение, являющееся моделью теории 7\ [Пусть 3 такое же, как в (г); показать, что каждая подструктура структуры из 3 находится в 3. Затем применить (г) и 3(в)」

Гипотеза четырех красок утверждает, что любую карту можно раскрасить четырьмя красками так, что никакие две соседние страны не будут иметь одинаковый цвет. Показать, что если гипотеза четы- рех красок справедлива для карт с конечным числом стран, то она справедлива для всех карт. [Будем рассматривать карту как струк- туру, индивидами которой являются страны, и с бинарным преди- катом быть соседней страной к стране. Показать, что карту можно раскрасить четырьмя красками тогда и только тогда, когда эта карта нмеет обогащение до модели подходящей открытой теории, содержащей четыре унарных предиката. Затем применить (д).]

Обозначим через 三『множество всех формул Зх5 ... ^х九4, Me Л из Г, и через УГ множество всех формул Vx1? ... хлА, где 4 нз Г. Определим Зп и V九 индуктивно следующим образом: Эо и Vo 一 множество всех открытых формул, Зл+1 = НУл> Vn+1 = VBn. Пусть йл —множество формул, полученных из формул в Зл и Vra с помощью применения отрицаний и дизъюнкций.

Пусть Г —некоторое множество формул языка Lt @® — струк- тура для L, q^ — подструктура структуры 场. Показать, что если

некоторое элементарное расширение структуры。^ есть Г*расшире- ние структуры ^, то 飭 есть УГ?-расширение структуры (^, где Гг —множество отрицаний формул из Г.

Показать, что каждая формула из Вп имеет пренексную форму, находящуюся в 工屮 и пренексную форму, находящуюся в Ул ^. Показать, что отрицание формулы из Нл (V„) имеет пренексную форму, находящуюся в V〃 (三办).

п-сандвичем для L называется последовательность q^o, ...» о^п структур для L таких, что(^(+i — расширение структуры q^i для I <п и от^/+3 — элементарное расширение структуры kt Для i Vm—L Пусть е^—расширение структуры qz^. Показать, что 認 есть Ул-расширение структуры(^^ тогда и только тогда, когда существует (п+ 1)-сандвич, первыми двумя структурами которого являются 湿 и 或,[Применить (а), (б) и следствие к теореме о расширении модели.]

Показать, что теория Т эквивалентна теории, нелогические аксиомы которой находятся в 三儿，тогда и только тогда, когда для каждого (门+1)-сандвниа для L (Т), если вторая структура в сандвиче—модель теории Т, то первая структура в сандвиче — модель теории Т. [Для доказательства части «только тогда» применить (в) и (б). Пусть условие выполняется и .^ — структура, в которой все теоремы теории Т из Зл являются истинными; использовать (б) и теорему о расширении модели для получения V^-расширения для(з^, являющегося моделью теории Т. Затем применить (в).]

(а) Пусть(^1，(2^2> -.. — цепь структур для L такая, что для каждого Е структура o^fe+i есть Уп-расширение структуры o^k* Показать, что объединение цепи ^^ есть Ул-расширение каждой структуры q^r. [Аналогично доказательству леммы Тарского.]

Пусть Т и Г—теории одного и того же языка» нелогические аксиомы которых находятся в П也.Показать, что для л^ 1 теория TUT' противоречива тогда и только тогда, когда существует замкнутая формула Л из Вл такая, что 1rA и 1丁「] Л. [Предположим, что такой формулы 4 не существует. Пусть Г—-множество замкнутых формул из 月冷,являющихся теоремами теории Т; определим Г подобным же образом. Показать, что Т [Гг] и Тг [Г] непротиворечивы н что одни и те же формулы из 月汽一1 являются доказуемыми в Т [「] и в Тг [Г]. Используя теорему о расширении модели, найти цепь ^工, ^а» … такую, что е^м~ В^-расширение структуры ^左,<2^2笈+1一модель теории Т [Г] и о^2й~ модель теории Т* [Г]. Использовать (а), чтобы показать, что объединение цепи есть V^-расширение каждой структуры q^/； и, следовательно, модель теории Т U Тг ] Если п —0, то это же утверждение справедливо при условии, что мы отказываемся от требования, чтобы 力 была замкнутой. [Применить теорему о не пр от иво ре чивости.]

Пусть \-TA f В, где Л из V叶工，а 5 из 曰胃+丁 Предположим, что все нелогические аксиомы теории 夕 принадлежат Зл. Показать, что существует формула С из Вп такая, .что \~ТА ^ С и —丁(？一>6・ [Доказывать аналогично интерполяционной лемме Крейга, исполь- зуя (б).]

Пусть Т ——теория, нелогические аксиомы которой находятся в Зл. Показать, что если 4 эквивалентна в Т формуле из Нл+1 и

эквивалентна в Т формуле из V^i, то А эквивалентна в Т формуле из Вл. [Применить (в).]

(а) Пусть (^―такое расширение структуры。^, что для каждой замкнутой формулы Эха языка 厶(о^) такой, что 炀(ЗхЛ) — =И, существует такое Z в L (о^), что g® (Лх [/]) = И. Показать, что о® — элементарное расширение структуры ©亲.

Пусть ш —бесконечная мощность, L —m-язык, (^ — структура для 厶 мощности ш и В — подмножество множества |(^^ | мощности w nt. Показать, что существует элементарная подструктура 场 структуры о^、имеющая мощность т, такая, что В™подмножество множества [о®|, [Определить индуктивно последовательность BOt Blt подмножеств множества | ^ | таких, что (i) В& = В; (ii) если alt ...,值几 принадлежат В^, то f雇(а】, ..., а理) принадлежит J+1 для всех /; (iii) если / (ЗхА 卩工，…，/Л])=И, где А — формула языка L и 友,.…,in — имена индивидов из В«, то о^ (4 [/，Л> •*•, /л]) = И для некоторого Имени / индивида из 6也十丄； (iv) В内 имеет мощность m для 左 > 0. Взять в качестве | ^ | объединение множеств 5左 и применить (а).]

Пусть т —бесконечная мощность, L —m-язык и ^ — бесконечная структура для L мощности, не превосходящей ш. Показать, что от^ имеет элементарное расширение мощности т. [Применить теорему о мощности к De (q^)-]

Пусть(^ — структура для L, 4】и Л2—подмножества множества I(з^ [. Изоморфизмом между Аг и А2 в называется биективное отображение <р из Дг в 从纟 такое, что 赍(4) = ^ (Дф) для каждой замкнутой формулы Л языка L(q^) такой, что все имена из Л являются именами некоторых индивидов из /「Автоморфизмом структуры М называется изоморфизм между ^^ и /.

Показать, что биективное отображение из | @纟 | в ||

является автоморфизмом структуры “ тогда и только тогда, когда это отображение является изоморфизмом между | ^^ | и | 6T^ | в /,

Пусть ф —изоморфизм между 4工 и Л2 в *、Показать, что существует элементарное расширение 暁 структуры(^ и изоморфизм q/ между | 丛 | и некоторым подмножеством множества | 炀 | в о®, расширяющий ф. [Для каждого имени / языка L (от^) ввести новое имя 尸；для каждой формулы 4 языка L (^) пусть А1 получается из 貝 заменой каждого Z на『• Получить Т' из De (q^) заменой каждого / на ”. Получить Т из De ((2^) следующим путем: если Z — имя индивида из Alt то добавить константу V и аксиому /'= Обогатить от^^ до структуры q^' теории Т, полагая о兑У) = о^ (押).Показать, что о^гмодель теории Г и что если Д7 —замкнутая формула теории Т, то

"(4') = " (А» = WA).

Вывести, что если 1「4', то 4 истинна в &^\ Использовать это и теорему о совместной непротиворечивости, чтобы показать, что T\]Tf непротиворечива. Пусть & — модель теории T(JTr такая, что & (Z)= =о^ «) для имени / языка L (©т^). Пусть 座 будет ^ I L, и пусть 8 (^ «)) = &(，)/

Пусть <р —изоморфизм между Лх и Д2 в Показать, что существует элементарное расширение 座 структуры &抬 и изоморфизм ср，между некоторым подмножеством множества | 35 丨 м множе-

ством I <а^ I в 场,который расширяет ср. [Применить (б) для полу* чения обратного отображения для ф.]

Показать, что каждый изоморфизм между подмножествами множества || в о^ может быть расширен до автоморфизма неко

торого элементарного расширения структуры /. [Образовать элементарную цепь, начинающуюся с 羡、в которой элементы получаются попеременно по (б) и (в).]

Показать, что если Т имеет бесконечную модель, то Г имеет модель, в которой существуют два различных индивида, имеющие одинаковый тип. [Достаточно доказать непротиворечивость теории Т‘， полученной из Т добавлением двух констант е и е\ аксиомы е，е‘ и аксиомы 4 [^] -> Л [ef] для каждой Л из S】(Т). Если Т' противоречива, то

1丁("1 - 4【У])—…4 切)勺=m

где 4。...,力孔 из Si(T). Вывести, что никакая модель теории Т не имеет более 2也 индивидов.]

Показать, что если Т имеет бесконечную модель, то Г имеет модель, в которой есть автоморфизм, отличный от тождественного отображения. [Применить (д) и (г).]

Пусть Т—теория, р —предикатный символ теории 7 н Q —— некоторое множество нелогических символов из 71, не содержащее р. Скажем, что р дизъюнктивно определим в терминах Q в Т, если существует теорема теории Т> которая представляет собой дизъюнкцию замыканий формул вида рх】...хп^ At где х1( ..., хл различны и Д не содержит нелогических символов, не принадлежащих Q.

Показать, что если р не является дизъюнктивно определимым в терминах Q, то существует модель (^^ теории Г такая, что для каждой формулы Л, не содержащей нелогических символов, не принадлежащих Q, формула рх工…《抬―4 не является истинной в(^. [Пусть Г— множество отрицаний замыканий таких формул； показать, что Т [Г] непротиворечива.]

Показать, что р дизъюнктивно определим в терминах Q тогда и только тогда, когда для каждой модели о^ теории Т и каждого биективного отображения 屮 из I(^ | в |(^ |/ являющегося ^^изоморфизмом для каждого и из Q, ф является р-изоморфизмом. [Если 卩 не является дизъюнктивно определимым в терминах Q, то берем(^' такую же, как и в (а), и применяем теорему об определимости, чтобы получить модели 宓 н 省 теории Th (©т/) и биективное отображение <р из | 场 | в | 皆[,являющееся й-изоморфизмом для всех и из Q, но не являющееся р-изоморфизмом. После замены & на изоморфную модель применить 4 (б), чтобы получить общее элементарное расширение для 励 н 皆，н применить 13 (г).]

Обобщить результаты этой задачи на функциональные сим- ' волы.•

Будем предполагать известной следующую теорему: если ； е^ —поле и р —многочлен, отличный от константы, с коэффициен- ； тами из ет^, то существует расширение поля 勿夕,являющееся полем, в котором р имеет корень.

Показать, что для каждого поля。^ существует расширение 历 поля о^, являющееся полем, в котором каждый многочлен, отлич-

ный от константы, с коэффициентами из “ имеет корень. [Получить Т из FL U D (©^) добавлением для каждого многочлена р, отличного от константы, с коэффициентами из М аксиому, утверждающую, что р имеет корень. Применить теорему компактности, чтобы показать, что Т имеет модель.]

Показать, что каждое поле q^ является подполем некоторого алгебраически замкнутого поля, [Построить по (а) цепь полей, начинающуюся с о^, и применить теорему Чжана — Лося —Сушко.]

Теория Т называется моделъно полной^ если для каждой модели 炀 теории Т каждая подмодель модели 痂 является элементарной подмоделью модели 幽.

Показать, что если Т допускает элиминацию кванторов，то Г модельно полна. Показать, что если Т — модельно полная открытая теория, то 7 допускает элиминацию кванторов. [Применить теорему об элиминации кванторов.]

Предположим, что для каждой модели 领 теории Г каждая подмодель модели 幽 есть Vi-подмодель модели 勁・ Показать, что Т модельно полна. [Пусть(^ — подмодель модели ^@. Применяя индукцию по п и 10 (в), показать, что существует n-сандвич, двумя первыми структурами которого являются 次 и 曲.Затем снова использовать 10 (в).]

Показать, что если “ и ^Э—.структуры для 丄 такие, что I о^ | —подмножество множества | @>Э |» то ^^ —элементарная подструктура структуры 幽 тогда и только тогда, когда(^淀 элементарно эквивалентна 册

Показать; что теория Т модельно полна тогда и только тогда, когда для каждой модели @т^ теории Т теория THD (©т^) полна, [Применить (в), лемму о диаграмме и лемму 1 из § 5.5.]

Модель q^ теории Т называется простой, если каждая модель теории Г имеет подмодель, изоморфную 5、Показать, что если Т модельно полна и имеет простую модель, то Т полна.

Пусть Т получается из FL добавлением аксиом

丸①•!/ = * V У ・У = — х),

mz (Z・Z = %・* + “y)

и для каждого нечетного п аксиомы, утверждающей» что каждый многочлен степени п имеет корень.

Показать, что если (^/—модель теории Г и для а и & из I q^ I формула а < b означает, что а=Ь+с2 для некоторого ненулевого с из I q^ I，то о^ становится вещественно замкнутым полем.

Показать, что некоторое расширение теории Т с помощью определений эквивалентно RCF. [Применить (а), следствие к теореме компактности и полноту RCF.] Вывести, что Т полна и, следовательно, эквивалентна теории поля действительных чисел.

Показать, что Т не допускает элиминации кванторов. [Показать, что если А——открытая формула теории Т, в которой нет сво・ бодных переменных, за исключением х, Р —множество действительных чисел а таких, что 貝 является истинной, когда х принимает значение п, то либо Р конечно, либо все действительные числа, за исключением конечного числа, принадлежат 尸.Вывести, что В^ (х = ==у у) не эквивалентна в Т никакой открытой формуле.]

18・ Пусть “ — поле и ^ — кольцо многочленов от 孔 неизвестных с коэффициентами из(^,

Пусть /1( ..., /й —многочлены из 筋,одновременно обращающиеся в нуль для некоторого набора аргументов в некотором расширении поля о^* Показать, что 厶，…，在 одновременно обращаются в нуль для некоторого множества аргументов в каждом алгебраически замкнутом расширении поля ^. [Применить 16(a) и 16 (г), чтобы показать, что ACFUD(©z^) полна *); затем применить лемму 1 из § 5.5 и лемму о диаграмме.]

Показать, что если I ——собственный идеал кольца 场，то все многочлены из / одновременно обращаются в нуль для некоторого набора аргументов в некотором поле &, являющемся расширением поля ^. [Применить лемму Цорна, чтобы найти максимальный идеал J, включающий I. Заметить, что M/J — поле и естественное отображение из о® в 或卩 есть изоморфизм на ^^. Взять 皆 изоморфным 曲//.]

Пусть ^—алгебраически замкнутое поле, являющееся расширением поля X、и пусть Д, ...» /й —многочлены из 励,одновременно не обращающиеся в нуль для любого набора аргументов из &. Показать, что идеал кольца 觐、порожденный многочленами 沁…，毘， есть о®. [Применить (а) и (б).]

Пусть f, glt , ^fe —многочлены из 场.Предположим, что существует алгебраически замкнутое поле 皆,являющееся расширением поля о^, такое, что все общие корни многочленов g、…，gb в & являются корнями многочлена /. Показать, что некоторая степень многочлена / принадлежит идеалу кольца е®, порожденному многочленами gi，…，g内(теорема Гилберта о корнях). [Пусть Z — новая неизвестна兄.Вывести из (в), что 1 = h®十…十九®十九@ — Zf) для подходящих многочленов 厶，…，伝，h. Подставить 十 вместо Z и освободиться от дробей.]

Если A ^i，..., gk такие же, как и в (г), то ?=力疋]+… …十儿左欧区訳夕 подходящих^т,力「…，比.Показать, что существуют границы для tn и степеней многочленов h^ которые зависят только от 孔 н степеней многочленов / и ^. [Для данного п и степеней многочленов /,近，…，g内 построить формулу Л теории FL такую, что если xlt ... , х$ —данные значения коэффициентов многочленов f, g工，…,g/г, то Л является истинной в некотором расширении 皆 поля о^ тогда и только тогда, когда все общие корни многочленов gi，…，gh в 汤 являются корнями многочлена /. Пусть Я —открытая формула, эквивалентная формуле Л в ACF. Пусть Сг —формула, которая при тех же значениях х1( ... , xs является истинной тогда и только тогда» когда

产! = %gl +…十汝gA

для некоторого m £г и некоторых многочленов 友，…，力力 степеней £г. Тогда если е» …，^―новые константы, tq〔 5 [刍，…，分]—

)16 (г) здесь неприменимо, так как ^ не является, вообще говоря, моделью ACF. Нужно применить 16 (д) и теорему о существо- ваннн и единственности алгебраического замыкания. —Прим. ред.

логическое следствие нелогических аксиом теории FL и формулы 1 С г l^i%]• Применить теорему компактности.]

19. Пусть <3^ —упорядоченное поле.

Пусть Д, ..., /& —многочлены от п неизвестных с коэффициентами из 或、которые одновременно обращаются в нуль для некоторого множества аргументов упорядоченного поля, являющегося расширением поля q^、Показать, что &,…,% одновременно обращаются в нуль для некоторого множества аргументов в каждом вещественно замкнутом расширении поля от/, [Подобно 18(a)]

Многочлен f от п неизвестных с коэффициентами из(^ положителен в расширении 座 для “、если / принимает только неотрицательные значения для аргументов из 领、Показать» что если f положителен в некотором вещественно замкнутом расширении поля ^\ то f положителен в каждом вещественно замкнутом расширении поля [Подобно 18 (а).]

Теорема Артина —Шрайера утверждает, что если ^ — расширение поля от^ и b ——индивид из 宓，который не может быть представлен в виде &竹 +…+ %碗,где ^ — положительные индивиды из о么 то существует упорядочение 認,превращающее 觊 в упорядоченное поле, расширяющее порядок поля 况 и такое, что ^ < 0. Предполагая, что это верно, доказать следующую теорему Артина. Пусть f——многочлен от п неизвестных с коэффи циен та ми ИЗ о^、 положительный в некотором вещественно замкнутом расширении ПОЛЯ Тогда f = qg；十…十%gK где с. —положительные элементы из (^, а ^ — рациональные функции с коэффициентами из 工.Более того, если ^ — вещественно замкнутое поле или поле рациональных чисел, то вместо с» могут быть взяты 1. [Предположим, что / не может быть записан в такой форме. Применяя теорему Артина ——Шрайера, упорядочить поле рациональных функций так, чтобы f < 0, и показать, что это противоречит (б).]

Показать, что в теореме Артина существует граница для k и для степеней числителей и знаменателей функций gf, которая зависит только от к и степени /. [Подобно 18 (д),]

Пусть ^/^ и 场—структуры для Л, Oi，..., ол — индивиды из о%、а Ь^ ••• ,7?л —индивиды из 扬.Определим т-эквивалентность (01，…，〃汽)и (瓦，…，力幫 индукцией по m следующим образом. Скажем, что n-ки (а19 ..., ал) и (瓦，…,g) являются О-эквивалентными, если типы n-ок (内,…，〃几)и (%,•-,方九)содержат одни и те же атомные формулы. Скажем, что п-ки (а】，…，ал) и (%, ...,匕九)являются (^г+ ^-эквивалентными, если для каждого а из |(^ | существует Ь из I 励 I такое, что n-ки (ах, ..., ол> а) и (%,…，匕尼,6) будут m-эквивалентными, и для каждого b из | о® | существует а из | ^^ | такое, что n-ки (а^ ..., ап. а) и (如,…,匕中 Ь) будут тп-эквивалент- ными. Показать, что если %-кн (%,…,aj и (&ь ...» Ьл) являются m-эквивалентнымиг то типы n-ок (的，…，值儿)и (比方儿)содержат одни и те же формулы высоты т* [Использовать индукцию по т.] Вывести, что если n-ки (аи ..., ол) и (厶，…，方邦)являются ^-эквивалентными для каждого /и, то они имеют одинаковые типы.

Пусть EQ —теория, у которой единственным нелогическим символом является бинарный предикатный символ 〜》а нелогическими

аксиомами являются

*〜尤，

к〜у —д〜х,

X〜уту〜ZfX〜z.

Тогда всякая модель ^^ теории EQ состоит из непустого множества I от/ I и отношения эквивалентности 〜浣 на |(.

Для каждых тип показать, что существует замкнутая фор- мула 』/п,九,которая истинна в модели(^ теории EQ тогда и только ■ тогда, когда ©^ имеет по крайней мере т классов эквив алентности,' содержащих п элементов, и замкнутая формула Вт,п, которая истинна ； в модели q^ теории EQ тогда и только тогда, когда ◎纟 имеет по ； крайней мере m классов эквивалентности, содержащих по крайней : мере п элементов.

Если q/ и о® — модели теории EQ, то мы пишем 勿^ 三扬， когда

(з^ k^m^n}^^^ (^т>п) и Q^ Ст,л) = ^® 仍加,％)即^ всех т н 九 Предположим, что 次三砺,夕i，••： , а^ — п-ка из ] ^т^ |, 0-эквива-- лентная n-ке (瓦,.一,6汽)из |(^8 I, и что для i = 1, ... , л либо классы эквивалентности для а, и 加 имеют одно и то же число элементов,, либо оба эти класса эквивалентности имеют больше 团 + 九 элементов. Показать, что n-ка (^, ...»ал) будет /n-эквивалентна п-ке (^,..., 6Л). • [Применить индукцию по /п.]

Показать, что если “ и ^ — модели теории'EQ, то(^ ~ 砺 тогда и только тогда, когда。^" элементарно эквивалентна @®. [Использовать (б) и задачу 20.]*

Пусть 上一язык, нелогическими символами которого являются : лишь унарные предикатные символы р» …，рп.

Показать, что для каждого подмножества / множества {1,…，硏 и каждого /и существует замкнутая формула 4八巾，истин-『 ная в структуре 次 для L тогда и только тогда, когда существуют 之 по крайней мере т индивидов а из(^ таких, что 口 1(Р»施(。)]=九 ：

Если q^ и 扬一структуры для L, то мы пишем 読 三 册, если qt^ (Л7 ^ = ^^^ w) для всех I ^ т. Покажем, что если о^ 三场,то любая n-ка из 况 и любая л-ка из 领、которые 0-экви- валентны, являются /n-эквивалентными для всех т. Вывести, что ◎纟三翫 тогда и только тогда, когда М и 飭 элементарно эквивалентны. [Использовать задачу 20.]

23・ Пусть DO — теория, единственным не логическим символом 1 которой является <, а нелогическими аксиомами — аксиомы OF1 ™ i —OF3 теории OF и

х < t< -* Hz (х < z & z < ^),mx(x vy),3x(i/ < X).

Пусть q^ и g® —модели теории DO и (аъ ..., ал) —n-ка из . I о^ I， которая О-эквивалентна л-ке (匕口 ... ： Ьл) из | 丽 |. Показать,' что (ап ..., ал) и (&ь ..., &л) имеют одинаковый тип. (Показать, что они m-эквивалентны для каждого т, и использовать задачу 20.]

Показать, что DO полна. [Использовать (а) и лемму 1 из § 5.5.]

Показать, что DO является Хо"к^тег°Ричн°й. [Использовать (а), (б) и теорему Рылль-Нардзевского.]

Доказать (в), не применяя (а) или (б). [Для данных моделей 2纟 и 丽 мощности No выбрать последовательности а1? а2, ... и 方》 力z，,как в доказательстве теоремы Рылль-Нардзевского так, чтобы @iV 弓 тогда и только тогда, когда 加 Vb/J Получить новое доказательство (6).

Показать, что если m ——мощность множества действительных чисел, то DO не является m-категоричной. [Построить модель теории DO, начав с рациональных чисел и заменяя каждый элемент линейно упорядоченным множеством, изоморфным множеству действительных чисел ). Показать, что эта модель не изоморфна множеству действительных чисел.]

Пусть нелогическими символами теории Т являются унарный предикатный символ р н две бесконечные последовательности констант elf 。2, и е「©；, -• Пусть нелогическими аксиомами теории Т будут р ®) и 1 р (е，)и все е，е，для различных констант е и ef. Показать, что Т ——полная теория, не явлзпощаяся ш-категоричной для любой бесконечной мощности in. [Использовать метод из § 5.5.]

Показать, что если Т—полная теория и Г имеет конечную модель, то Т категорична. [Предположим, что(^― конечная модель и о®— модель, не изоморфная q^・ Пусть £工,・•・, /„ — имена индивидов из /. Если ф —биективное отображение |(^ | в | 扬 |, то существует формула 力屮 из S孔(Т) такая, что

^(即阮一…川)=н и场(4Ф盟，…，第)=JI.

Пусть 5 —конъюнкция формул А 屮,формул Zi^Zj для 1 £ i V j W к и формулы

VZ/i+i (^п+1 = 4 V …V ^л+1 = 2办).

Тогда ^ 0引…三弱6) = Н и砺(三马…Згл5)=Л,]

Пусть Т— счетная полная теория, имеющая только 6еско・ нечные модели, и。^ — счетная модель теории Г. Скажем, что。^ слабо насыщена, если для каждого л каждый n-тип в Т есть л-тип в о^. Скажем, что 次 насыщенаг если для каждых а19 ...» ап_г из I ^ I и каждого п-типа Г в Т, содержащего тип (п— 1)-ки («1, ..., ал_1), существуетал из | ©т^ ] такое, что Г—тип n-ки (а1#..., %). Скажем, что 詼 однороднаt если, как только а^ ..,, ал> blt ... ,Ьп являются индивидами из 次 такими, что типы n-ок (。^, 九) и ｛瓦,...,bQ одинаковы, существует автоморфизм ф структуры 我 такой, что 屮(值1)=方I，...,屮(口九)=方而 Скажем, что / универсальна, если каждая счетная модель теории Т изоморфна некоторой элементарной подструктуре структуры

Показать, что всякая насыщенная модель ©т^ теории Т универсальна. [Пусть @® —счетная модель с индивидами 瓦，金，…Выберем индивидыOi，a2f... нз^^ индуктивно так» чтобы n-ки (а1г ... ,ап) и ©1，・.・,匕九)имели одинаковые типы. Показать, что а； являются

индивидами некоторой элементарной подструктуры структуры qz^, изоморфной 场 J

Пусть * и ^Э — насыщенные модели теории Т, Пусть, аъ ...» ал —индивиды из ^^ и blt ...» /?л —индивиды из 励 такие, что п-ки (ап ..., 4九)и (&х,...,匕咒)имеют одинаковые типы. Показать, что существует изоморфизм ф между 々g и 曲 такой, что"

Ф (%}=瓦，.•.，ф (а%) — ^п'

[Подобно доказательству теоремы Рылль-Нардзевского.] Вывести, что любые две насыщенные модели теории Т изоморфны и что всякая насыщенная модель однородна.

Показать, что всякая универсальная модель слабо насыщена. [Использовать лемму из § 5.6.]

Показать, что всякая слабо насыщенная однородная модель насыщена.

Пусть о^ — счетная модель теории Т, а1э ...,。打一^——ннанвндн из 該、Г —n-тип в Т, включающий тип (л— 1)-ки (仪卜…，ал_г). Показать, что существует счетное элементарное расширение g® модели 次 и элемент ап из |场| тако亢,что Г——тип л-ки (%,..., ап). [Пусть Zt> ..., /Я-1 —имена индивидов ах> ... . ап^. Получить 夕' из De (©т^) добавлением новой константы е и для каждой формулы 4 из Г новой аксиомы Л [厶%_力 е].

Если 41(...,』总 принадлежат Г, то Эг^ (Лх&... & Лд) принадлежит типу (п — 1)-ки (а。..., а九一j, так как ее отрицание не может принадлежать этому типу. Вывести, что Г' непротиворечива, и взять в качестве о® обеднение некоторой модели теории Т*.}

Допустим, что для каждого п теория Т имеет только счетное число п-типов. Показать, что Т имеет насыщенную модель. [Пусть “ —любая счетная модель; применить (д) и лемму Тарского, чтобы получить элементарное расширение с® модели от/ такое, что заключение (д) выполняется для каждого выбора Г и а?, ..., аЛ-1. Скомбинировать этот результат с леммой Тарского.]

Показать, что следующие условия эквивалентны:

для каждого п теория Т имеет только счетное число л-типов;

Г имеет насыщенную модель;

Т имеет универсальную модель;

Т имеет слабо насыщенную модель.

[Применить (е), (а) и (в).]

Пусть Т —некоторая счетная полная теория. Используя обозначения задачи 5 из главы 4, отождествим каждое подмножество Г из S九(Т) с элементом V из 见(S孔(力)так, что V (Л) — И тогда и только тогда, когда Л принадлежит Г. Множество л-типов в Т является тогда подпространством пространства ^ (Sn (Т)); обозначим это подпространство через 也i% (Г).

Показать, что элемент V из 岂(S九(Т)) принадлежит £9^(7) тогда и только тогда, когда V принадлежит 兌电(S孔(Т)) и V (Л)=^И для каждой формулы А из Sn (Т), явлющейся теоремой теории Т. [Использовать лемму из § 5.6.] Вывести, что £рм(Т) замкнуто в 足也(Sn (Т)) и, следовательно, компактно.

Для формулы Л из Sn (Т) пусть Фл будет множеством эле” ментов V из ^рл (Г) таких, что V (Л)=И. Показать, что Фл обра-

зует базу для 岂9^(7) и что Фл непусто тогда и только тогда, когда Н 丁三纟Н^ЛД.

Пусть Г с: 5Л (Г), и пусть Ф будет множеством всех л-типов в Т, включающих Г. Показать, что формула Л из S„ (Т) является образующей для Г тогда и только тогда, когда Фл —непустое под- множество множества Ф. Вывести, что л-тип является главным тогда и только тогда, когда этот тип является изолированной точкой пространства 见р% (Т).

Показать, что если ^^ ——модель теории Т, то n-типы в ^^ образуют плотное подмножество пространства ^рл (Т). [Использовать (б).] Вывести, что n-тип в Т является главным тогда и только тогда когда этот тип есть n-тип в каждой модели теории Т. [Использовать (в) и теорему Эренфойхта.]

Пусть 7? —множество типов в Т таких, что для каждого п R П 纪如(力 нигде не плотно в ^pn (Т). Показать, что существует счетная модель(^ теории Т такая, что никакой тип в ^т^ не находится в R. [Аналогично теореме Эренфойхта, используя (в).]

Допустим, что 登 и 励 ——счетные бесконечные модели теории Т, и предположим, что каждый л-тнп в ^^ является главным. Показать, что ©^ изоморфна некоторой элементарной подмодели модели 幽.[Пусть %, &,…一индивиды из g^- Как и в доказательстве теоремы Рылль-Нардзевского, выбрать индивиды blf 3# из 曲 так, чтобы л-ки (&丄，…,ал) и (友，…,Ь„) для каждого п имели одинаковый тип. Затем действовать, как в 26 (а).] Кроме того, показать, что если каждый тип в 场 является главным, то(з^ и 荡 изоморфны. [Аналогично теореме Рылль-Нардзевского.]

Модель М теории Т называется элементарно простой, если каждая модель теории Т изоморфна некоторому элементарному расширению модели “* Показать, что модель ^^ теории Т является элементарно простой тогда и только тогда, когдасчетна и каждый тип в q^ главный. [Использовать теорему Лёвенгейма——Скулема, теорему Эренфойхта, задачу 25 и (е).]

Показать, что любые две элементарно простые модели теории Т изоморфны. [Использовать (е) и (ж).]

Показать, что Т имеет элементарно простую модель тогда и только тогда, когда для каждого п множество главных п-типов является плотным в 每以行).[Использовать (ж), (г), (д) и (в).]

Пусть U— класс подмножеств некоторого непустого пространства /. Скажем, что U — ультрафильтр над /, если

U является центрированным классом *);

для каждого подмножества J пространства / либо J, либо Jc (дополнение / в 7) принадлежит U,

Показать, что если 33 — центрированный класс подмножеств пространства /, то 壮 содержится в некотором ультрафильтре над /. [Использовать лемму Тейхмюллера——Тьюки.]

Пусть U — ультрафильтр над /. Показать, что если J 三 U н JuK, то К 三 U・ Показать, что пересечение любых двух элементов из U есть элемент из U.

*) Напомним, что класс множеств называется центрированным, если пересечение любого конечного числа множеств из этого класса непусто. — Прим, перев.

29* Пусть U — ультрафильтр над непустым пространством /・ Для ： каждого Г из / пусть (^/ будет структурой для L, и пусть : 场=口 ^^ Для а и b из ]酚 I пусть а 〜b означает, что ;

["(*=(项]巨丸

Показать, что 〜一отношение эквивалентности.

Пусть А—множество классов э кв ив а лен тности по 〜н ” 屮(b) —класс эквивалентности» содержащий 瓦 Показать, что мы можем ； определить структуру ет^ с универсумом 4 следующим образом:

eМ (中(的)，…，(T(4儿))=屮(/纶(%…，曲)，；

^(ф(«1)>» 屮(W[i|pq((ai)t，…，QJ)]三 口・

Мы называем ^^ улыпрапроизведением структур 。纟力 и обозначаем через [[0^/口.

Пусть а —терм языка ^(筋)，свободный от переменных; показать, что е^ (а^)=(р (о$@ (а)).?

Пусть Л — замкнутая формула языка L (о®) и л； определи-' ется так:北 3) = (b)t； показать, что ©^ (4») = И тогдг и только ■ тогда, когда [i | q^i(4"i) = И] е U. [Использовать индукцию по длине “ А и 28 (6).J В частности, замкнутая формула Л языка 厶 является истинной в 次 тогда и только тогда, когда [i |(^ ； (Л) = И J е U.『 Вывести, что если каждая структура ©^ есть модель теории Т,: то есть модель теории Т,；

Если все структуры(^? равны 穹,то q^ называется ультра-鼻 степенью структуры &. Показать, что в этом случае структура & изоморфна некоторой элементарной подструктуре структуры “、“

[Отобразить индивид с из 皆 на класс эквивалентности, содержащий b 飞 из I 宓 I，для которого(Si = c для всех /, и использовать (г).]

30. (а) Использовать ультрапроизведения» чтобы доказать теорему 飞 компактности, не применяя теоремы полноты. [Предположим, что :; замкнутая формула 4 не является истинной в никакой конечно ' аксиоматизированной части теории Т. Пусть / ——класс формул 乎 1 Л &ЛТ& ... & Ant где 4b ... , Ал — нелогические аксиомы теории Т. . J Для 6 нз / пусть q^ в — стр у ктур а, в которой В является истинной,工 и пусть JB —множество всех Bz из / таких, что В является истин-: ной в о^в#. Используя 28 (а), найти ультрафильтр U над /, содер- J жащий каждое 丿石.По 29 (г) каждая 8 из / является истинной j в "(3^6 / "•]〉

Пусть 勿^ и 筋一структуры для L. Показать, что 々^ элемен- 一 тарно эквивалентна 励 тогда и только тогда, когда (^ изоморфна некоторой элементарной подструктуре некоторой ультрастепени струк- < туры 物.[Часть «тогда» следует из 29 (д). Предположим, что ©т/ и 飭 элементарно эквивалентны. Пусть / — множество замкнутых формул А языка L 伝^) таких, что q^ (4) = И. Если А принад-. лежит /. то мы можем определить отображение(р< из | от/ | в | g® | ； так, что 扬({“4) = М. Пусть 丿力=[6 | 励(4%) = И]. Найдем ультра、 фильтр U, содержащий все /<• Пусть(^力二扬，甘=□扬力/H. Для а

из I о^ I пусть (р (а) — класс эквивалентности из | ^ |> содержащий элемент Ь такой, что Ьл = ^л(а) для Л из I, Использовать 29 (г),

чтобы показать, что ^*(4屮)=="для А из /.]

Показать, что класс 3 структур для L является обобщенно

элементарным классом тогда и только тогда, когда каждое ультрапроизведение структур из 3 принадлежит 3 и каждая структура, элементарно эквивалентная структуре из 3, принадлежит 3- [Для доказательства части «только тогда» использовать 29 (г). Предположим, что условия выполняются. Пусть нелогические аксиомы теории Т являются замкнутыми формулами, истинными в каждой структуре из 3- Пусть е纟一модель теории Т и /—класс замкнутых формул, истинных в о^. Для каждой Л из / выберем 筋％ из 3 так, чтобы 炀а(4) = Н. Пусть Q^ —множество 6 нз / таких, что ^в (Л)= И, и Н — ультрафильтр, содержащий все Q* Показать, что @兄 элементарно эквивалентна II 扬E/U.]

6 Дж. Шенфилд

НЕПОЛНОТА И НЕРАЗРЕШИМОСТЬ

6.L Вычислимость

Разрешающим методом для формальной системы 尸 называется такой метод, с помощью которого для любой данной формулы из 尸 мы можем за конечное число шагов решить, будет она теоремой из 尸 или нет. Проблема разре-: шимости ) для 尸 состоит в следующем: найти разрешающий метод для 尸 или доказать, что такого метода не 扌 существует.

Хотя решение проблемы разрешимости для 尸 дает решение проблемы характеризации, обратное утверждение ； не всегда верно. Например, если Т —теория, в которой нет нелогических аксиом, то теорема Эрбрана не дает решения проблемы разрешимости. Решая с помощью теоремы Эрбрана, является данная формула теоремой или нет, мы должны проверить для бесконечного множества формул, являются ли они квазитавтологиями, а это не- - s возможно сделать за конечное число шагов. Разумеется, теорема полноты также не дает решения проблемы разрешимости, так как мы не можем установить с ее помощью, верна ли данная формула в Т,

Можно сформулировать еще более общую проблему, чем проблема разрешимости для формальных систем. Предположим, что Л 一 подмножество множества Е. Разрешаю- < щам методом для Л в £ называется такой метод, с помощью которого для каждого данного элемента а из £ мы за конечное число шагов можем решить, принадлежит + элемент о множеству Л или нет. Проблема разрешимости для А в Е состоит в следующем: найти разрешающий метод для А ъ Е или доказать, что такого метода не существует.

Разрешающий метод для формальной системы 尸 является частным случаем, в котором Е — множество формул :

из 尸，а 4 — множество теорем из Е В математике возникло много аналогичных проблем. Например, еще не решена десятая проблема Гильберта ): найти метод, с помощью которого можно узнавать, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Здесь Е — множество диофантовых уравнений, а Л — множество тех диофантовых уравнений, для которых существует решение. Еще один пример рассматривается в приложении I.

Чтобы наше определение разрешающего метода для / в £ имело смысл, каждый элемент из Е должен быть таков, что он может быть задан нам за один шаг. Это означает, что элементами множества Е должны быть конкретные объекты. В приведенных выше примерах элементами множества Е были выражения некоторого языка; такое выражение может быть нам задано, если оно выписано перед нами. Если Е — множество натуральных чисел, то мы можем, как и в § 4.3, заменить натуральное число п символом, состоящим из 九 черточек, а затем действовать в том же духе. Не было бы никакой разницы, если бы натуральное число 九 было задано десятичной записью, так как у нас есть метод перехода к выражению, состоящему из п черточек.

Мы можем сформулировать аналогичную проблему для отображения 尸 из множества Л в множество В. Разрешающим методом для F называется метод, с помощью которого по заданному элементу а из Л мы можем за конечное число шагов получить 户(а)* Здесь как элементы множества 4 так и элементы множества В должны быть конкретными объектами. Проблема разрешимости для 尸: найти разрешающий метод для 尸 или доказать, что такого метода не существует.

Проблема разрешимости для функций является обобщением проблемы разрешимости для множеств. Действительно, предположим, что Л — подмножество множества Е Определим отображение 尸 из множества Е в множество натуральных чисел, полагая 尸(а) = 0, если а принадлежит Л, н 尸(〃)= 1, если а не принадлежит Л. В таком случае разрешающий метод для 尸 давал бы разрешающий метод

для Л в £ и наоборот, так что проблема разрешимости для 尸 эквивалентна проблеме разрешимости для А в Е.

До сих пор наши определения были очень неточны в одном отношении: мы не указывали точно, что такое метод. Делая шаг к объяснению этого, мы отмечаем, что метод должен быть механическим. Возможно, лучший способ разъяснить последнее замечание —это привести несколько примеров методов, которые при этом исключаются. Во-первых, исключаются методы, содержащие вероятностные процедуры; бросая монетку, мы не можем решить, принадлежит элемент а множеству / или нет. Во-вторых, исключаются методы, использующие магию; мы не можем установить, принадлежит а множеству Л или нет, вопрошая гадалку. В-третьих, исключаются методы, требующие интуиции; мы не можем пользоваться методом, который требуется нам для решения проблемы» если этот метод не содержит указаний для решения этой проблемы. Очевидно, эти исключения неизбежны, если мы хотим уметь давать отрицательные решения проблемы разрешимости. Например, мы не можем привести математическое доказательство того, что гадалка не в состоянии указать, принадлежит элемент а множеству Л или нет.

В качестве более позитивного указания, механический метод — это метод, который можно реализовать при помощи соответственно сконструированной машины. Разумеется, мы подразумеваем идеальную машину, не ограниченную, подобно реальным машинам, проблемами размера, механической прочности и т. д. Машина для вычисления F будет иметь входное устройство, в которое мы можем вводить аргумент 〃； затем она вычислит F (й). Разумеется, сама машина не должна зависеть от а. Это подразумевается в понятии метода; если мы по-разному вычисляем F (а) для разных 〃，то мы будем иметь всё, что угодно, только не метод.

До сих пор мы еще не дали точного определения метода. Действительно, кажется совершенно безнадежным описать, скажем, всевозможные механические методы отображений натуральных чисел в натуральные числа. Однако мы утверждаем, что это не является необходимым для решения проблем разрешимости.

Сначала предположим, что мы хотим дать положительное решение проблемы разрешимости. Тогда мы просто

укажем разрешающий метод и проверим, что он механический и что он всегда приводит к правильным ответам.

Множество или отображение вычислимо, если оно имеет разрешающий метод. Таким образом, отрицательное решение проблемы разрешимости заключается в доказательстве того, что какое-то множество или отображение невычислимо. Несомненно, для этого достаточно дать точное определение вычислимости. Может показаться, что от этого мало пользы, так как неочевидно, что мы можем определить вычислимость без того, чтобы вначале определить метод. Однако мы увидим, что это можно сделать по крайней мере в некоторых случаях.

В оставшейся части этой главы мы будет придерживаться следующей процедуры. Мы введем класс функций из натуральных чисел в натуральные числа. После некоторого изучения этого класса мы приведем аргументы в пользу того, что этот класс в точности совпадает с классом вычислимых функций из натуральных чисел в натуральные числа. Затем мы воспользуемся этим длу получения точной формулировки проблемы разрешимости для теорий. Наконец, мы укажем методы получения решений проблем разрешимости для теорий.

Рекурсивные функции

Мы примем некоторые соглашения, которые значительно сократят изложение наших результатов. В этой главе, если не оговорено противное, число означает натуральное число, множество означает множество натуральных чисел, функция означает функция из множества натуральных чисел в множество натуральных чисел, предикат означает предикат на множестве натуральных чисел.

Мы будем применять строчные латинские буквы для обозначения натуральных чисел. Для обозначения функций и предикатов мы будем использовать прописные латинские буквы, обычно Ft G и Н для функций и Р, Q и R для предикатов. Символы из N будем употреблять в наших рассуждениях неформально в их обычном значении. Таким образом, запись

VxP (a, *) \/尸®，田=2

означает или Р (а, х) для всех чисел х, или F{a,走) = 2.

Понятия о свободном и связанном вхождении переменной "Будут употребляться в том же смысле, что и в § 2.3; вхождение х свободно, если значение выражения зависит от значения х.

Строчные готические буквы мы будем употреблять для обозначения конечных последовательностей различных латинских букв. Так, мы можем писать F(a) вместо : 尸(〃i, …・, 〃〃)• Если две различные готические буквы, скажем а и Ь, встречаются в одном и том же контексте, то подразумевается, что буквы в последовательности, обозначенной через а, полностью отличны от букв в последовательности, обозначенной через Ь. Если некоторая готическая буква встречается как аргумент функции или предиката, то предполагается, что обозначенная этой буквой последовательность имеет соответствующее число букв. Так, если F — n-арная функция и мы пишем 尸(а), то мы подра- 1 зумеваем, что а — последовательность, состоящая из п букв. Если а означает ④，…，ал, то мы обозначаем ； 3% ・・• Зал через За и V% V& через Va.

Пусть Р — я-арный предикат, определим п-арную функцию Кр следующим образом:

к °’ если 尸(°)，'

*[1, если "I Р (а).

Функцию Кр мы называем представляющей функций пре-: диката Р. Как мы отметили в предыдущем параграфе, пре-二 дикат вычислим тогда и только тогда, когда его представляющая функция вычислима.:

Приведем теперь несколько примеров вычислимых функций. Пусть lwfw& определим функцию /? следу-: ющим образом:

/ i ("1»■ • • ＞。九)—〃/ *

Ясно, что /? вычислима. Бинарные функции + и • вы- числимы; разрешающие методы для этих функций изучаются в элементарной школьной арифметике. Бинарный £ предикат V вычислим, так как вычислима его представляющая функция Ко

Теперь укажем два способа получения вычислимых . функций из других вычислимых функций. Первый: пред-: положим, что мы определили функцию 尸 следующим :

образом:

尸(a) = G(%(a),//ft(л)),

где G? %, …，Hk — вычислимые функции. Тогда 尸 вычислима. Действительно,尸(а) может быть вычислена, если сначала вычислить значения "i(a) = bi, ..., Hk (a)= =力左，а затем вычислить G (blt ..., 6Q.

Чтобы изложить второй метод, нам надо ввести некоторые обозначения. Если •…х... — утверждение, истинное для некоторого *, то “х (—. х …)означает наименьшее 尤* для которого .…尤... истинно. Например, мх(х = а)=а. Как видно из этого примера, значение 卩％ (…％ …)не зависит от значений х; это означает, что вхождение х в “х (…％ …)связанное. Выражение |ix мы называем ^-оператором.

Теперь предположим, что мы определили 尸 следующим образом:

F(a) = jix(G(a, х)==0),

где G —такая вычислимая функция, что для каждого a существует такое х, что G (а, х) = 0. (Это последнее условие необходимо для того, чтобы гарантировать, что F(a) определена для всех а.) Тогда 尸 вычислима. Действительно, мы можем вычислить 尸(а), последовательно вычисляя G (а, 0), G(a, 1), .一 до тех пор, пока мы не получим нулевое значение.

Теперь мы определим рекурсивные функции с помощью обобщенного индуктивного определения, состоящего из трех правил RI—R3*

R1. /?,+,・ н Kv рекурсивны.

R2. Если G, Hlt ..., Hk рекурсивны, а 尸 определена следующим образом:

尸(a) = G (% ⑷，Hk (а)), т。尸 рекурсивна.

R3. Если G рекурсивна и Va3x (G (а, %) = 0), а 尸 определена следующим образом;

F(a) = fxx(G(a, *) = 0),、

то F рекурсивна.

Чтобы доказать, что каждая рекурсивная функция &меет некоторое свойство Р, достаточно доказать, что Rl —R3 остаются справедливыми, если слова рекурсивные

функции заменить на функции, имеющие свойство Р. Такое доказательство называется доказательстеом индукцией по рекурсивным функциям. Используя предшествующие рассуждения, мы можем доказать индукцией по рекурсивным функциям, что каждая рекурсивная функция вычислима. Обратное не очевидно; мы вернемся к этому в § 6.5.

Предикат называется рекурсивным, если его представляющая функция рекурсивна. Вследствие сказанного выше каждый рекурсивный предикат вычислим. Рассмот- , рение обратного утверждения мы снова отложим до § 6.5. :

Явные определения

Пополним список правил RI—R3 новыми правилами : образования рекурсивных функций и предикатов.

R4. Если Q, У/i, …,Hk рекурсивны, а Р определен следующим обр азом:

P^-Q{H^ Hk (а)),

то Р рекурсивен.

Доказательство. Мы имеем

Кр S)=Kq (/Л (哈％ (а)),

следовательно, Р рекурсивен по R2 и по определению : рекурсивного предиката.

R5. Если Р рекурсивен и Va3xP (а, х), a F опреде-- лена следующим образом:「

尸(о) = рхР(с, х),

то 尸 рекурсивна.；

Доказательство. Так как 尸(а) =)щг(Кр(3 %) = 0),

то 尸 рекурсивна по R3.

Мы уже встречали определения вида 尸(а) = ... или Р (а) о—, где ... и — содержат только ранее определенные символы. Такое определение называется явным ; определением. Используя RI —R5, мы можем доказать ； рекурсивность функций и предикатов, заданных какими-то ' явными определениями. Проиллюстрируем это.

Предположим, что 尸 определена следующим образом:

尸(а,仇 c) = G(H(R с), K(G(R с, с), а), с),

где G, Н м К — ранее определенные рекурсивные функции.,

Мы будем последовательно проверять, являются ли всё большие и большие части выражения справа рекурсивными фуйкциями от a, b, с. С этой целью мы определяем

尸 1(а, Ь, с) = а,

尸2 (а, Ь, с) = 6, 尸з(а, Ь, с) = с, 尸4 (а, Ь, с) = 〃(Ь, с), 爲(&, b, c) = G(b, % с), 尸6 (а, b, c) = K(G(b, с, с), а).

Функция 尸1 есть /； и, следовательно, рекурсивна по R1.

Аналогично, функции F2 и 尸言 рекурсивны. Далее,

尸4 (а, Ь, с)=Н (居(а,仇 с),尸з(а,仇 с)),

так что 尸4 рекурсивна по R2. Аналогично,凡 рекурсивна. Так как

尸6(d R с) = К(&(〃，仇 с), /\(а,仇 с)),

то Ftf рекурсивна по R2. Наконец,

尸(a, b, c) = G(F&(a, 6, с), F6(a9 仇 с), F3(af b, с));

следовательно,尸 рекурсивна по R2.

Аналогичная техника применяется к предикатам. Если в правой части встречаются связанные вхождения переменной, то некоторые из используемых в доказательстве функций и предикатов могут иметь эту переменную в качестве аргумента, а некоторые нет. Так предположим, что Р определен следующим образом:

尸(a, 6)cQ(b,卩乐(尤，F{b, а))),

где Q, R н F рекурсивны и таковы, что 卩xR (х, F (b, а)) определено для всех а а Ь. Затем определим

储储x) = F(b, &)=尸(/式&, b, х), /；(а, b, х)), x)qR(x,尸(b, a)j —R(/§(a, b, *),尸i(a, b, x)),

储

储

= fxxR(x, F(b, c)) = nxPi (a, b, x), cQ(/式a,b)，与(a, 6))■

Используя RI —R5, убеждаемся, что все эти функции н предикаты рекурсивны.

Наши наблюдения мы можем подытожить следующим образом: функция рекурсивна или предикат рекурсивен,

если она (он) имеет явное определение, использующее только переменные, символы рекурсивных функций и рекурсивных предикатов и ц-операторы. (Подразумевается, что эти ^-операторы применяются только тогда, когда они определены для всех значений переменных.) Остальные результаты этого параграфа дадут возможность рас- 「 ширить класс символов, которые могут быть использованы в таких определениях.

R6. Каждая константная функция рекурсивна.j

Доказательство Пусть Fft —n-арная функция с постоянным значением 左；докажем индукцией по 也，что % рекурсивна. Для 走=6 мы имеем явное определение ,

尸о (а) = Р-Х (/«+1 (я, х) = 0);

в то же время для А = г +1 мы имеем явное определение

& (а) = 2% (尸「(а) V%).

Заметим, что последнее определение законно, так как предикат V рекурсивен по RL

Вследствие R6 мы можем использовать константные функции в явных определениях рекурсивных функций : и предикатов.；

Обозначим через ] Р предикат, определенный следующим образом: (1 力)(а) — 尸(а). Определим 尸 V Q следующим образом:

仍 VQ)(a)-尸⑺ VQS)，

аналогично определим PfQ’P&QuPcQ.；

R7* Если Р рекурсивен, то ~|Р рекурсивен. Если 尸

и Q рекурсивны, то Р V Q，尸―Q，P&Q и PqQ рекур-. сивны.f

Доказательство. Мы имеем явные определения :，

К-]р (а)=К< (0, Кр (a)), Kpvq (а) = Кр (口)・Kq (а). 工

Отсюда и из определения рекурсивного предиката мы ； видим, что предикаты 1Р и Р V Q рекурсивны. В ос-: тавшихся случаях мы пользуемся тем, что 尸一>Q есть 1Р V Q，P&Q есть 】(Pf]Q), а 尸—Q есть 扌 (尸- Q)&(Qf Р).；

Вследствие R7 мы можем употреблять ], V, &,-> нов явных определениях рекурсивных функций и предикатов.:

R8. Предикаты <, V, >, ^ и = рекурсивны.

Доказательство. По R1 предикат < рекурсивен. Остальные предикаты имеют следующие явные определения:

a ~| (6 V。)， a>b cbV%

a = b с &b Va.

Теперь мы введем модифицированный тип ц-оператора, который будет свободен от недостатка иногда быть неопределенным. Предположим, что —х ——— формула, а ..,— выражение, не содержащее х и представляющее некоторое число. Затем определим

卩х发 V …( X )—nX ( X V X ■— * •

Ясно, что правая часть всегда определена. Значением fxx%<„. (—х—) является наименьшее х, меньшее ...и такое, что —х— истинна, если только та” кое х существует, если же такого х не существует, то ^хх<...(——尤——)=...Заметим, что вхождения х в 卩犬尤<-(—х一) связанные. Мы называем 卩尤*v... ограниченным 快-оператором, в отличие от неограниченного ^-оператора рх. (Однако ^-оператором будет по-прежнему называться w^osp ан и ценны й [i-onepamop.)

Из определения ограниченного ^.-оператора и предшествующих результатов следует

R9. Если Р рекурсивен, a F определена следующим образом:

尸(а, а) = н**<аР®, х),

то F рекурсивна.。

Вследствие этого мы можем употреблять ограниченны^ 卩-оператор в явных определениях рекурсивных функций и предикатов.

Позднее мы уввдим> что, используя кванторы, мы можем явно определять нерекурсивные предикаты. Поэтому мы введем модифицированные кванторы, которые могут Употребляться в явных определениях рекурсивных функций и предикатов.

Пусть — х — и ... имеют прежнее значение. Мы определяем

m** V …х —) «> 卩х* V …(—％ —)■ •

и ^Хх<„. (—X—о П Эхх<„. П ——).

В таком случае Эхх<...(___%—) истинна тогда и только тогда, когда — х истинна для- некоторого х, меньшего ..., и Vxx<...(——尤—一)истинна тогда и только тогда, когда ——х— истинна для каждого х, меньшего •…Таким образом, мы можем представить себе 士#< …как квантор существования по переменной, областью изменения которой являются все числа, меньшие ..., аналогично можно объяснить V映V….Мы называем 3xx<... и Yx*<… ограниченными кванторами первый есть ограниченный квантор существования, а второй ——ограниченный квантор всеобщности. Напротив, Эх и V% называются неограниченными кванторами. (Однако квантор по-прежнему означает неограниченный квантор.)

Из определений ограниченных кванторов и предшествующих результатов следует

R10. Если R рекурсивен, а Р и Q определены следующим образом;

Р{а, a)^3xx<aR(at х),

Q(q, а) —V厶vaR(o, х),

то Р и Q рекурсивны.

Вследствие этого мы можем употреблять ограниченные кванторы в явных определениях рекурсивных функций и предикатов.、

Иногда мы будем использовать х Е … в качестве нижнего индекса при 卩芻 Эх или Vx, считая это сокращением для х<..，+ 1. Вследствие сказанного выше мы можем употреблять эту запись в явных определениях.

Обычная функция вычитания не является функцией в нашем понимании, так как ее значениями не всегда являются натуральные числа. Поэтому мы определяем модифицированную функцию вычитания —:

а亠 b = a — b, если

в противном случае а 亠 Ь = 0.

R11. Функция 亠 рекурсивна.

Доказательство. Мы имеем явное определение a^-b = [kx(b + x = a\/ а<.Ь).

Некоторым обобщением явного определения является определение разбором случаев. Здесь значения функции или предиката в различных случаях задаются по-разному. Примером является приведенное выше определение функции 亠.

R12. Пусть Gi,Gft — рекурсивные функции, a Ri, ..., Rk — такие рекурсивные предикаты, что для каждого а в точности одно из R± (а), ,.., К^(а) истинно. Если F определена следующим образом:

'G(a), если R (а), 尸(口)=

、Gk (а), если &(а), то F рекурсивна.

Доказательство. Мы имеем явное определение 尸(а) = а (а) ■ Кт% (а) + …+ G右(а) • К~\ 必(。)，

R13. Пусть QlQ左一 рекурсивные предикаты,

И пусть R1,…，Rk — такие рекурсивные предикаты, что для каждого а в точности одно из 欠工(。)‘…，& (口) истинно. Если Р определен следующим образом:

Qi (а), если Rx (а),

Р (а) q

Qk (а), если & (а),

то Ррекурсивен.

Доказательство* Мы можем определить Кр следующим образом:

№ (% если Ri®)，

Кр(В=

Kq^S), если &(0).

Следовательно, Р рекурсивен по R12.

Обычно Gi, . -., Gft> Rl Rh из R12 и Qi,Q/n Ri, Rk из R13 заменяются явными определениями этих функций и предикатов. Так как Rh есть 1 (RiV .VR^t)， то мы иногда вместо R^ пишем просто

в остальных случаях. Так, типичным определением, исполь-； зующим R12, является

'〃，если a Vb,

尸(а,力)6十2, если b ^а&а = 4,

2в остальных случаях.

Разумеется, мы можем применять полученные результаты к множествам (т. е. к унарным предикатам). Так, согласно R7 объединение и пересечение двух рекурсивных множеств рекурсивно и дополнение рекурсивного множества рекурсивно. Кроме того, каждое конечное множество Л рекурсивно. Действительноj если Л пусто, то оно имеет явное определение

总(а) » а V生

если же Л содержит элементы 自，...,knf то оно имеет : явное определение

4 (") c а=自 V…\/a =焼.」

Здесь мы сделаем предупреждение относительно упот- ребления многоточий в явных определениях. В приведенном выше примере выражение, изображаемое многоточием, зависело от Л; если бы мы знали, что за множество есть А, то мы могли бы полностью его выписать. Однако мы не должны употреблять многоточия, если изображаемые ими выражения зависят от значения какого-нибудь аргумента. Так,

Pд,})-0=?(0)\/0=尸(1)\/…Va =尸位)

не является правильным явным определением, так как изображаемое многоточием выражение зависит от значения Ь.；

Номера последовательностей

Следующая наша цель — так сопоставить число каждой : конечной последовательности чисел, чтобы соответствующие ‘ функции и предикаты были рекурсивны. Это будет связано со следующим результатом.:

Лемма (Гёдель). Существует такая бинарная рекурсив-丄 ная функция р, что；

0(。，Q 亠 1з

для любых а и I, и такая, что для любых чисел 的，近…… ,..,an-i существует такое число а, что Р (a, i) = a£ для любого iV 几.

Для доказательства леммы нам понадобятся несколько простых фактов из теории чисел* Так как позже нам надо будет убедиться в том, что эти факты доказуемы в некоторой теории, то приведем подробные доказательства.

Будем писать Div (а, 6), если а делится на Ь, т. е. если Зх(а = Ь^х). Если 〃 н В отличны от 0 и Vx (Div (ах. 匕)—Div (%, &)), то мы говорим, что а и & взаимно просты, и пишем RP(〃，匕).Тогда

RP& b)f RP(b, 〃)・(I)

Действительно, допустим, что RP(a, b) и что Div (bx. а), тогда Ьх=уа для некоторого у. Отсюда Div(a“, &), т血 что Div(g, b) и у = 6г ,для некоторого г. Вследствие этого bx = abz и потому х = аг; таким образом, Div (х, Q).

Предположим, что〃储 瓦,.…,bm отличны от О

и 1 и что RP@, bf) для всех t и /. Тогда существует число с, которое делится на каждое 〃； и не делится ни на какое b卜 Мы докажем это индукцией по п. Если п=0, то положим с=1. Если же 几力 0, то существует такое с', которое делится на ^, ..., ап^ и не делится на &1э b£ тогда положим с = а/.

Далее докажем, что

狗 W 0 & 2 W 0 & Div (z,团 f RP (1 + (j + 力)2, 1十")* (2)

Прежде всего мы имеем

Div(x + xp, z)f Div(x, z) для всех х, так что RP(1+", г). Из (1) получаем RP(z, 1 + /г). Теперь предположим, что

Div(x + x(/ + ^)2, 1+")・

Тогда ясно, что Div (х^г, 1 + /г). Вследствие RP (г, 1 +/^) мы имеем

Div (尤屏 1 +/г).

Так как Div (之，左)，то отсюда следует, что Div (xz, 1 +/г). Вновь, используя RP⑵ 1+R), получаем Div(*, 1+间・ Отсюда следует (2).

Введем функцию ОР:

0р (a,方)=(0 + 6)日 + b)+ a+1.(3)

Тогда

ОР(о, Ь)=ОР (а\ Ь)а'&Ь=Ь〔(4)

Действительно, предположим, что левая часть верна. Если а + 6Vа'+ь\ tо

ОР(〃，匕)v(〃 +力+1)2ма+6)2<0Р(М, 6), что невозможно. Аналогично, невозможно a'+^’Va + b, так что a+b = d+〃・ Отсюда и из ОР (а, Ь)=ОР(а\ 6, получаем а = М, а из этого и из

а-\-Ь = d + bf получаем Ь = /.

Теперь определим § следующим образом:

з (a, t)=卩厶u。二5%<在m22 Vti (" = 0p (g, z) &

&Div(y, l + (OP(%2)+l)，z))・(5)

Из этого явного определения видно, что если мы докажем рекурсивность Div и ОР, то 卩 рекурсивна. Однако Div имеет явное определение

Div (a, b)^3xx^a{a=x^b).

а ОР имеет явное определение (3). Ясно также, что Р (a, i) V а .

Пусть теперь даны а。，аь ..., ④一方 найдем то а* о котором говорится в лемме. Пусть с — наибольшее из ОР(0九 i) + 1, и пусть г — не равное нулю число, делящееся на все числа, меньшие с. Если /</<с, то из (2) при 々 = Z —j следует RP(1+", 1十岳)・ Из полученного выше результата следует, что существует такое число у, что при，Vc число у делится на 】+/% тогда и только тогда, когда / есть одно из OP Q, z) + L Мы полагаем а = ОР (у, г).

Из определения ОР мы имеем 史VyVa и zV〃・ Вследствие (4) у и г — единственные числа, удовлетворяющие равенству а=ОР(у, г). Следовательно, чтобы доказать, что В (а, 1)= йь достаточно показать, что а» есть такое наименьшее число х, что

Div (у, 1 + (ОР(х, 0+1)-г).

Для этого достаточно доказать, что если xV〃〃 то ОР (占 f)Vc и ОР (х, ()' отлично от любого ОР(。/, j). Однако ОР (х, I)^ОР (ah i)Vc и ОР (х, г) отлично от любого ОР («у, /) вследствие (4).

Далее мы будем предполагать, что Р — функция, опре- деленная в (5). Однако все свойства функции, которыми мы воспользуемся, указаны в лемме. Отметим, что из 卩 @ i)^a — 1 мы получаем

0(。，0 =。(6)

и

0(& i)V&.(7)

Теперь мы сопоставим каждой n-ке (^,..., mn) такое наименьшее число что § (а, 0) = п и 0 (а, ，) = а» для i=l, ・・・,п. Согласно лемме такое число существует. Это число мы назовем номером последовательности (^,... …，ап) и обозначим его через @,…，唠.Мы допускаем также случай п = 0; в соответствии с (6) мы имеем ( ) = 0.

Для каждого фиксированного п (^,..., 〃離〉является рекурсивной функцией от аъ .…，а公 Действительно, мы имеем явное определение

〈％,..., а/ = |лх (Р (х, 0) = /? & 0 (х, 1)

=〃1 &... & р (х ,n) = art).

Кроме того, по 〈的,…,а/ можно найти п, аь …，ап с помощью рекурсивных функций. Более конкретно, определим явно две рекурсивные функции

lh(a) = 0Q 0),

(* = В(а, i+D・

Тогда, если а есть〈а。,…,aQ, то мы имеем n = lh (а) и (* = а» при iV& Вместо ((а)》будем сокращенно писать (а)*,」. Из (7) получаем

a W〈〉-Hh (а) V а & (〃卜 V а.(8)

Введем некоторые другие рекурсивные функции и предикаты, связанные с номерами последовательностей* Множество номеров последовательностей обозначается че- рез Seq. Оно рекурсивно, так как имеет явное определение

Seq (а) с V厶<。(lh (х) # lh (〃) VRvih⑷((卄 W (а%)・ Mbi определим In так, чтобы

. In (〈0］，.…，a/, 0 ==〈的，"了〉 при i в 几：

In (а, 0 = |лх (lh (ж) = / & V/7< f ((х)； = (а)；)).

Наконец, мы так определим *, чтобы

〈01,0附〉*〈力 1,…，^/n) 〈a工，a几，仇，*

Явное определение функции *: a*b = рх (lh (х) = lh (а) + lh (&)'

& Vh<ih(a)(U)i = («)/)

& V右<由(6) ((*)lh(a) + f = (b)»)・

Одним из применений номеров последовательностей : является замена n-арных функций и предикатов унарными функциями и предикатами. Если F — некоторая п-арная ; функция, то мы определим унарную функцию (F), называемую сверткой функции F, следующим образом:“

〈尸〉(a) =F ((%,…，(叽т).(9)

По (F) мы можем восстановить F: 尸(的,0")=(尸)(@一一，痂〉).(10);

Пусть ^ — /г-арный предикат; определим унарный преди- ■ кат 〈Р〉， называемый сверткой предиката Р, следующим образом:т

〈尸〉(а)一а((〃)。,他)7).(n) ；

По〈Р〉мы можем восстановить Р::

Р(аъ qJ —〈P〉(@,脸).(12)；

(9)——(12) мы называем формулами свертывания] из них' следует, что 尸 рекурсивна тогда и только Тогда, когда] 〈戶〉рекурсивна, и что Р рекурсивен тогда и только тогда,' когда 〈尸〉рекурсивен. Заметим также, что 〈Кр〉= К《р〉,

Теперь мы увидим, как номера последовательностей； могут применяться для индуктивного определения рекур-; сивных функций и предикатов. Пусть F — /г-арная ^унк-; ция и 九 幺 0, определим новую n-арную функцию 戸 следующим обр азом:

戸(a, a)-=<F(0, a),尸(1, a), 尸(a-1, a)>. (13> Грубо говоря,戶(a, a) содержит всю информацию о зна二 чениях 尸& а) при iVa.-

Мы покажем, что 尸 рекурсивна тогда и только тогда/, когда F рекурсивна. Предположим, что 尸 рекурсивна.； Мы не можем использовать (13) в качестве явного опре-;

деления, так как изображаемое многоточием выражение зависит от а. Однако мы имеем такое явное определение:

尸(d а) = fix (lh (х) = а & Vii<a ((x)f =尸 & а)))・(14) Если F рекурсивна, то для F мы имеем явное определение 尸(a, a) = (戶(a+1,叫用(15)

Предположим теперь, что G~(n+ 1)-арная функция. Равенство

尸(d a) = G (戶(他 а), а, а)

дает значение .F (а, а), когда известны значения 尸(i, а) для fV а. Поэтому это правильное индуктивное определение функции F.

R14. Если G рекурсивна, a F определена индуктивно следующим образом:

尸(d a) = G(尸(а, а), а, а), то 尸 рекурсивна.，

Доказательство. ОпределимН следующим образом: Н (о, а) = pix (Seq (х) & lh (х)=

= a&Vi£<a(GL = G(m(x, 0,厶 В))・ (16)

Тогда ясно, что Н совпадает с 戶，так что мы можем определить F следующим образом:

F(a, a) = G (Н(at я), а, а).(17)

Из явных определений (16) и (17) мы видим, что F рекур* сивна.

На практике при употреблении R14 функция G имеет явное определение или определение разбором случаев. Поэтому равенство, определяющее 尸，имеет вид явного °пределения или определения разбором случаев, за исключением того, что F (а, а) может появляться в правой части. Так, мы можем определить рекурсивную функцию F бедующим образом:

尸(a, b)^F{a. Ь) + К(Ь) + а.

гДе К — некоторая ранее определенная рекурсивная функция. При определении разбором случаев мы даже можем Допустить появление в правой части некоторых выраже- ний вида F (..., а). Например, предположим, что G м Н

рекурсивны, и определим 尸 следующим образом:

口/ 八 f 尸 9(a),力)，если G (a) < a,

[H (a, b) в остальных случаях.

Чтобы представить это в форме R14, заметим, что из

G ®<а следует,

尸(G(a),匂=(戶(a, b))(?⑷，：

так что мы можем заменить в первой строке 尸(G(a), b) на (戶(a, b))G®)・ Общим условием является следующее: в случае употребления 尸(..・, а) мы должны суметь дока- зать, что ….V а. Часто встречается следующий тип индуктивного определения:

尸(0, a) = G(a), F(〃+ 1, a)=H (F(a, a), a, ■), где G и H определены ранее. Чтобы убедиться, что оно ： подпадает под правило R14, мы перепишем его в виде

J G(c), если а = 0,

"*~\ Н (F (а~—\, а), а~-\, а) в остальных случаях.：

При явном определении предиката Р (а, а) мы можем : использовать справа/Ср (<z, а). Действительно, если о пре-；： деление имеет вид Р (а, а) о ..., то мы можем опреде- / лить Кр индуктивно следующим образом:%

(0, если ...,

' ''{ 1 в остальных случаях.

Подобное же замечание справедливо в отношении определения разбором случаев. В таком определении мы также можем употреблять справа 尸(….,а), если мы можем показать, что при этом ….Va. Действительно, мы можем : заменить 尸(一., о) на Кр(・・・，。)=0* а затем поступать ' так, как объяснено выше.

Тезис Чёрча

Чтобы использовать рекурсивность при исследовании : проблем разрешимости, мы должны быть убеждены в истинности следующего утверждения: каждая вычислимая функция рекурсивна и каждый вычислимый предикат рекур-; сивен. Это утверждение известно как тезис Чёрча.

В проведении доказательства тезиса Чёрча имеется очевидная трудность： у нас нет точного определения вычислимости. Это не обязательно является непреодолимой трудностью: в § 6.2 мы доказали, что каждая рекурсивная функция вычислима и каждый рекурсивный предикат вычислим, не пользуясь подобным определением. Если мы проанализируем это доказательство, то увидим, что мы использовали только такие свойства вычислимых функций и предикатов, которые были очевидны даже при нашем туманном описании вычислимости. Возникает вопрос, сможем ли мы таким же способом доказать тезис Чёрча?

Очевидно, что мы сможем доказать тезис Чёрча для предикатов, если предположим истинность тезиса Чёрча для функций, так как предикат вычислим или рекурсивен тогда и только тогда, когда его представляющая функция вычислима или рекурсивна. К несчастью, еще никому не удалось доказать тезис Чёрча для функций или хотя бы выделить те свойства вычислимых функций, которые были бы необходимы для такого доказательства. Но и не имея такого доказательства, мы все же надеемся найти аргументы в пользу того, что тезис Чёрча справедлив. Известно много подобных аргументов, так много, что почти все логики считают тезис Чёрча верным. Изложим вкратце эти аргументы.

Прежде всего показана рекурсивность огромного количества вычислимых функций. Некоторые из 'них рассматривались в предшествующих параграфах. Функциивстречающиеся в элементарной теории чисел, обычно определены по индукции и могут рассматриваться в духе последнего параграфа. Например, а& можно определить индуктивно следующим образом: 。。=1, ab^ = ab • а. Уже обсуждавшимися методами можно показать рекурсивность некоторых вычислимых функций, встречающихся в ана- 〃нзе (см. задачу 3). Еще один класс вычислимых функ^ иий, рекурсивность которых может быть доказана, будет рассмотрен в следующем параграфе. В дополнение к этим положительным аргументам имеется сильный отрицатель- Н0目：еще никто не сумел построить вычислимую функ- UHQy рекурсивность которой нельзя было бы доказать, илн хотя бы указать правдоподобный метод построения тако" функции.

‘ Следующим аргументом в том же направлении служит то, что, как было показано, многие общие методы получения вычислимых функций из вычислимых функций при применении к рекурсивным функциям дают рекурсивные функции. Некоторые такие методы мы уже рассматривали, а другие рассмотрим позднее. И снова имеется дополни」； тельный аргумент: еще никто не указал метода, для кото- ■ рого было бы видно, что, будучи применен к вычислимым / функциям, он дает вычислимые функции, и для которого： не было бы показано, что, будучи применен к рекурсив- ным функциям, он дает рекурсивные функции.

Мы получим еще больше аргументов, если попытаемся непосредственно определить понятие вычислимыйt Для простоты рассмотрим унарную вычислимую функцию F. Разумно предположить, что вычисление заключается в выписывании выражений на листе бумаги (или что оно может быть к этому сведено). Как станет ясно из следующего^ параграфа, не теряя общности, можно предположить, что ■ выписываемые выражения являются числами (точнее, выра-1 жениями, обозначающими числа). Поэтому мы пишем @。尸 %,где а。есть а и ал есть 尸(а). Теперь разре-；

шающий метод указывает нам, как получить 凶 из %, •…干 …а”工 или, что эквивалентно, из〈а。，…，“у〉. Следовательно, существует некоторая вычислимая функция G такая, что G(<a0, ...» а?т〉) = Q厶 Разрешающий метод также указывает нам, когда вычисление закончено, поэтому суще-： ствует некоторый вычислимый предикат Р такой, что 尸(〈а。，, а±〉) ложен при К.п и истинен при i — n.

Наша попытка определить понятие вычислимости закон-： чилась порочным кругом, так как G и Р должны предпо-^ лагаться вычислимыми. Тем не менее G должна быть очень： простой вычислимой функцией, потому что она описывает.1 единственный шаг в вычислении; то же самое относится - и к Р. Поэтому, основываясь на прочих доводах в пользу： тезиса Чёрча, мы можем ожидать, что G н Р рекурсивны. Предполагая это, мы можем доказать, что F рекурсивна.

Действительно, если мы определим

. I 〃，если i = 0,

°)—(G(H& &))в остальных случаях,

К(а) = ^хР(Н (х+1, а)),

то

F (а) = Н (К (а)» 〃)・

Дальнейшие аргументы (в пользу тезиса Чёрча) даются нам различными точными определениями, которые предлагались для вычислимых функций. Для каждого из этих определений очевидно, что подпадающие под них функции вычислимы, и обратное кажется очень правдоподобным. (В некоторых случаях можно привести весьма убедительные аргументы в пользу этого обратного.) Имеется много типов таких определений. В некоторых утверждается, что функция может быть вычислена на машине определенного типа. В других говорится, что функция может быть вычислена в формальной системе подходящего вида. Третьи похожи на определение из предыдущего абзаца, но с точно определенными возможностями для G и Р. Четвертые аналогичны определению, которое мы давали. Имеются также и другие типы определений, и для каждого типа имеются несколько отличающихся друг от друга определений.

Из этих определений аргументы в пользу тезиса Чёрча получаются двумя путями. Во-первых, можно показать, ито все функции, подпадающие под эти определения, рекурсивны. Поэтому любой аргумент в пользу того, что все вычислимые функции подпадают под одно из этих определений, становится и доводом в пользу тезиса Чёрча.. Во-вторых, класс функций, задаваемый каждым из этих определений, в точности совпадает с классом рекурсивных функций. Это несомненно наводит на мысль, что этот класс функций является весьма естественным классом; последнее очень трудно объяснить, если этот класс не совпадает в точности с классом вычислимых функций.

Впредь мы будем принимать тезис Чёрча. Он никогда не будет использоваться в наших теоремах и доказатель- ствах, потому что они не будут опираться на вычисли- мость. Его значение будет заключаться в том, чтобы показывать, что наши теоремы являются решениями поставленных нами проблем. Так, если мы докажем, что божество А не рекурсивно, то нам понадобится тезис UWpqa для того, чтобы убедиться, что мы дали отрицательное решение проблемы разрешимости для Л.

Существует и другой способ применения тезиса Чёрча. Мн можем определить функцию, а затем утверждать, что

так как очевидно, что эта функция вычислима, то она рекурсивна вследствие тезиса Чёрча. Такое использование 一 тезиса Чёрча хотя и является очень удобным при определенных условиях, не является на самом деле необходимым. Читатель, не желающий принимать тезис Чёрча, может доказать, что рассматриваемая функция рекурсивна, используя методы этой и следующей глав.

Мы можем воспользоваться тезисом Чёрча для уста-二 новления другой связи между вычислимостью и рекур- сивностью. Мы говорим, что предикат 尸 позитивно вычис-； 几им, если существует метод, который, будучи применен ； к а, приведет к заключению, что Р (а) истинно, если такое заключение верно, и не даст результата, если 尸(口)；： ложно. Мы утверждаем, что предикат Р позитивно вычис-; лим тогда и только тогда, когда существует такой вычислимый предикат Q, что для всех а

Р (а) с 士Q(a, х).z

Действительно, если такой предикат Q существует, то мы : можем вычислить Р в указанном ранее смысле, последовательно вычисляя Q (а, 0), Q(a, 1),… до тех пор, пока не придем к такому г, что Q(a, i) истинно, и тем самым к заключению, что Р (а) истинно. Обратно, предположим,； что Р позитивно вычислим, и пусть Q (а,尤)означает,.； что * шагов в вычислении Р (а) приводят к заключению, что 尸(а) истинно. Тогда Q вычислим и

Р (a) *^3xQ(a, х)%

для всех а.

Предикат Р называется рекурсивно перечислимым, если существует такой рекурсивный предикат Q, что Р (а) <•* ^3xQ(a, х) для всех а. Из сказанного выше и вычисли-： мости рекурсивных предикатов мы видим, что каждый рекурсивно перечислимый предикат позитивно вычислим.,： Если к тому же мы принимаем тезис Чёрча, то мы можем заключить, что предикат позитивно вычислим тогда и только тогда, когда он рекурсивно перечислим.

Каждый рекурсивный предикат Р рекурсивно перечислим; действительно, Р (a) 3xQ (а, х), где Q —рекурсив-; ный предикат, определенный следующим образом: Q(a,尤)—： сР(«)・ Как мы увидим позже, обратное неверно.

Номера выражений

Прежде чем рассмотреть проблему разрешимости для какой-то формальной системы, мы должны точно знать, какие символы имеются в этой формальной системе. В случае теории это означает, что мм должны знать нелогические символы, так как остальные символы фиксированы. В простейшем случае число нелогических символов конечно; тогда мы можем просто дать список этих символов. Поэтому в оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что все языки и теории первого порядка имеют только конечное число нелогических символов. Читатель увидит, что большинство результатов на самом деле применимо и при некоторых более общих условиях.

Теперь покажем, как проблема разрешимости для теорий связана с рекурсивными функциями. Пусть L — некоторый язык первого порядка (удовлетворяющий приведенному выше условию). Каждому символу языка L мы сопоставим некоторое число. Число, сопоставленное символу «, называется номером символа и и обозначается через SN(〃). Если 备,2工,•…—переменные, расположенные в алфавитном порядке, то мы полагаем SN(20 равным 2/. Остальным символам (число которых конечно) мы сопоставляем произвольные номера символов, удовлетворяющие лишь следующему условию: различным символам должны быть сопоставлены различные номера символов. Впредь мы будем предполагать, что сопоставление номеров символов для каждого рассматриваемого языка первого порядка фиксировано.

Теперь мы сопоставим число каждому указателю языка L. Число, сопоставленное указателю 玄,называется номером сражения ) и и обозначается через 厂“工 Оно определяется индукцией по длине и. По теореме построения и есть 刃0工一.皆",где ^ — некоторый символ индекса и, a ®i>.. м^ указатели. Затем мы полагаем

「Q =(SN (矶

Ясно, что различные указатели имеют различные номера. Так как функции 〈电，…•，呢〉вычислимы, то мы можем

фактически вычислить 厂我〔，если и задано (при условии, что мы имеем список нелогических символов и их номеров). Обратно, если нам дано число а, то мы можем уста-; новить, является ли это число номером какого-либо выра-1 жения, и если это так, то мы можем найти указатель с этим номером. Как это сделать, мы покажем индукцией： по а. Вначале мы установим, является ли а номером; последовательности, отличным от (〉； мы можем это еде- лать, потому что множество Seq вычислимо. Если это не’ так, то а не является номером никакого выражения. Если же это так, то мы найдем такие числа а。, а^,・・，％, что- a = (aQt %,…，а»; это мы можем сделать, таккакфунк-.； ции lh и (x)z вычислимы. Теперь посмотрим, является ли； а。номером символа @ индекса п. Если не является, то а не является номером никакого выражения. Если же это; имеет место, то мы посмотрим, является ли 〃》номером； указателя 伤(i= 1, 2, •..,孔).Это мы можем сделать по ? индуктивному предположению, потому что 凶 V а согласно (8) из § 6.4. Предполагая, что все это выполнено, остается лишь взглянуть на выражение 舒雪工….廿汽,чтобы увидеть,' является ли оно указателем.:

Теперь предположим, что Т — некоторая теория языка L,； и пусть Thm7 — множество номеров теорем теории Т. Мы ; покажем, что Т нмеет разрешающий метод тогда и только тогда, когда множество Thmr вычислимо.:

Предположим, что мы имеем разрешающий метод для 7\ ： Для каждого данного числа а мы можем следующим образом установить, принадлежит ли а множеству Thm/v； Вначале выясним, является ли а номером некоторого： выражения. Если не является, то а не принадлежит мно- ■： жеству Thm「・ Если является, то мы найдем такой ука*； затель 弘,что。=厂〃口. Тогда а принадлежит множеству； Thm? в том и только в том случае, когда а является； некоторой формулой и и является теоремой теории Т. Теперь предположим, что множество Thm? вычислимо.； По данной формуле А теории Т мы установим, является/ формула А теоремой теории Т или нет, вычислив 厂4「и установив, принадлежит ди это число множеству Thm^.；

Мы говорим, что теория Т разрешима^ если множество Thmr рекурсивно, в противном случае мы говорим, что теория Т неразрешима. Соединяя предшествующие- рассуждения с тезисом Чёрча, мы видим, что Т имеет'

разрешающий метод тогда и только тогда, когда Т разрешима, (Можно показать, что разрешимость Т не зависит от конкретного сопоставления номеров символам; см. задачу 6.)

Выше мы показали, что множество всех номеров выражений вычислимо. То же самое можно показать для других важных множеств номеров выражений. Согласно тезису Чёрча отсюда следует, что эти множества рекурсивны. Мы проверим это для некоторых из указанных множеств. Помимо того, что это даст дополнительные аргументы в пользу тезиса Чёрча, эти результаты позднее нам понадобятся.

Продолжим определение некоторых функций и предикатов. Сначала мы для каждой функции и каждого предиката дадим формальное определение (явное, разбором случаев или по индукции), которое покажет, что эта функция рекурсивна или этот предикат рекурсивен. Это определение мы сопровождаем объяснением того, что означает данная функция или данный предикат. Иногда это объяснение неполно, и касается лишь тех случаев, которые представляют интерес. Символы всех этих функций и предикатов должны бы быть снабжены нижним индексом 71, чтобы показать, что они относятся к теории 7\ однако мы его опускаем здесь и в других случаях, когда рассматривается только одна теория.

Vble (а) с а =〈(а)。〉& 三％ & «((а)。= 2 • у).

Vble (а) означает, что а — ^х^ для некоторой переменной х. (Ограничение у va следует из (8) из § 6.4; оттуда же следуют некоторые ограничения в дальнейших определениях.)

Определения (Б) и (В) мы дадим для специального случая теории N> однако ясно, что этот метод является вполне общим,

О = 0,если а =〈SN (0)),

Term ((6Z)!), если a =〈SN(S), (а)〉

(Б) Term (а) *^(Б) Term (а) *^Term ((a)i)&Term ((а)2),

(Б) Term (а) *^

(Б) Term (а) *^

если а =<SN ( + ), (а)ъ (^)2> V

Va =〈SN(・)，(а% (а)2〉,

Vble (а) в остальных случаях.

Term (а) означает, что а=「а~> для некоторого терма а. 'то определение является индуктивным определением, имеющим вид, описанный в § 6.4.

AFor(a)»a =〈(a)o,(〃)力(〃卜〉& ((a)o = SN( = )V V (n)0 = SN «))& Term ((a)!)& Term ((<z)2).

AFor(a) означает, что а =「41 для некоторой атомной _ формулы А.

(D、■

Fof(&)),если a =〈SN (]〉，(叫〉，

Per/川一jFoi■(沥i)&Fof((*), если a =〈SN(V),(叫，(仪卜〉，： '()$Var《*)&For((〃)2), если a =〈SN(n), (ak, (6〉,

AFor(〃)в остальных случаях.

For (а) означает, что a =「Л"1 для некоторой формулы А, Следующие три определения мы дадим для теории," в которой имеются только унарные и бинарные функцио- нальные и предикатные символы, однако метод опять' является вполне общим.

(Д) Sub (<z,瓦 с)=

с,если Vble(a)&a = b,

〈⑷о, Sub ((a)lf 力，с» если 〃 =〈(*,(班〉，三

〈(a)o, Sub((a)i, b, c), Sub ((a%, R c)〉，i

.если a =〈(a)o, (a)i, (a)2> & (iz)0 ^ SN (3),

<(^)o> (*, Sub((a)2, b, c)〉，：

если a = (SN (3),(叫，(a%〉& (。)工 W 仇： aв остальных случаях.；

Sub (Га~1, “，гь~\) = гах [fef；'

Sub(гд1. в, 5 =「人同】：

(Е) 亿=匕， если Vble(a),

Fr((a)i, b), еелн a =〈(a)s (叫〉，？

Fr(a,b)c 仲31, b) VFr(« b),J

если a =〈(a)(), (a)» (a)2) & (a)o W SN (EQ*

.Fr((a)2, 6) & (a)】W b в остальных случаях. :

Fr(rЛ"I, Г*~1) означает, что переменная х свободна в Л

(Ж)(Subtl ((а%, 6, с), если a =〈(a)(),⑷〉

Subtl ((a)» 瓦 с) & Subtl ((a%, b, c), если a =〈(*, (a)i, (a)2> & (a)。W SN (3)> Subtly, 6,c)c {Subtl ((a%, b, c)&(~|Fr((a)2, b)V V、Fr(%(*))?

если ai = (SN (3), (a%, (a)^> &(d)i^： b. I 0=0 в остальных случаях.

Subtl(「4〔, гхп, Г а"1) означает, что а допустим для подстановки вместо х в Л.

РАх (а) с Эхх< а (For (х)&а =

=〈SN(V),.〈SNC), х>, х».

РАх (а) означает, что а является номером пропозициональной аксиомы. Следующие три определения соответствуют аналогичным образом аксиомам подстановки, аксиомам тождества и аксиомам равенства.

(И) SAx (a) q Зхх<。刃"а3г2< а (Vble (尤)&

，& For®)&ferm ⑵ &6ubtl (协 x, z)&

& 〃 =〈SN(V),〈SNQ), Sub®,看 z)〉，

<SN(3), x, у〉〉).

(K) IAx(〃)q 士*<a(Vble(x)&a =〈SN( = ), x, x>).

(Л) EAx (a)—

Мы предоставляем читателю заполнить правую часть в (Л) для теории N и убедиться, что метод является общим.

(М) ERR b)-b =〈SN(V), 0)i, Q〉・

ER (гА~^9 Г_В1)означает, что Я выводима из Л по правилу расширения. Следующие четыре определения подобным же образом соответствуют правилу сокращения, правилу ассоциативности, правилу сечения и правилу 3-введения.

(Н) CR@ b)ca =〈SN(V), b, Ь).

AR(a, 6)-®)o = SN(V)&(a)2,o = SN(V)&

&6 =〈SN(V)，〈SN(V),(叫，(％〉(％2〉・

(П) TR® 儿 с)。伍)° = SN(V)&(力)o = SN(V)&Sh = =〈SN(】)，(a)，&c=〈SN(V)，(% g)2〉・

IR Q b) c (〃)o = SN (V)& (%o = SN (D&

& 】Fr((a)2, (6)s】)&

&『〈SN(V),.〈SN(D〈SN⑶，(Лg〉，(a%〉.

Множество номеров нелогических аксиом теории Т обозначается через NLAxr. Так как это совершенно произвольное подмножество множества Forr, то оно не обя- зано быть рекурсивным. Если же оно рекурсивно, то мы говорим, что теория Т рекурсивно аксиоматизированная. Остальные определяемые нами функции и предикаты будут рекурсивны только при предположении, что Т рекурсивно аксиоматизированная.

Каждая конечно аксиоматизируемая теория является рекурсивно аксиоматизированной; в частности, рекурсивно - аксиоматизированной является теория N. Можно доказать, что теории ACF и RCF также рекурсивно аксиоматизированные, приведя, в каждом случае (аналогично вышеприведенным определениям) определение множества NLAx.

(С) Ах (а) с РАх (а) V SAx (а) VI Ах (а) V ЕАх (〃) V

'VNLAx 明

Ах является множеством номеров аксиом.:

Теперь мы сопоставим некоторое число каждой конечной последовательности выражений, сопоставляя последовательности «1» ... , ип ЧИСЛО (Ги^, ...» 「“〃□〉・

(Т) Prf (〃)— Seq (。) & lh (a) w 0 & Vk<ih⑷((Ax ((叫)V

V37<口抵<MER ((班，(叫)V

VCR ((a)；, (a)DVAR((a)j, (a),) V；

VT『((a)j,(叫，(a)i)VIR((。)/,(叫)))&For((*))・： Prf является множеством номеров доказательств.

(У) Рг(а, Ь) — PMS)&a = (b)ih(b)二-

Рг (ГДП^ 万)означает» что Ъ является номером доказательства формулы А.，

Теперь мы можем определить Thm следующим образом: Thm (д) Зх Рг (а, %).

Так как здесь имеется неограниченный квантор, то мы； не можем утверждать, что множество Thm рекурсивно.1. Однако мы можем утверждать следующее,'

Теорема. Если Т — рекурсивно аксиомашизироеанная； теория, то множество ТЕшт рекурсивно перечислимо.

В заключение мы приведем еще одно определение, относящееся к теории М которое будет полезно позднее.

(Ф) Num(0) =〈SN(0)〉，：

Num(a+ 1) = <SN (S), Num(a)〉.

Num (a) является номером выражения, состоящего из a символов S, после которых следует 0, т* е. выражени теории М обозначающего а.

6・7・ Представимость

Теперь мы покажем, что каждая рекурсивная функций и каждый рекурсивный предикат могут в известном смысл быть вычислены в теории М・(Фактически нелогически ! аксиомы теории N выбраны именно для этой цели.) В это параграфе |— означает

Термы О, SO, SSO, ... называются цифрами. Мы употребляем kn как имя цифры, которая имеет л вхождений символа S. Таким образом, цифрами являются А。,力小 尼％*.・・

Пусть 尸一n-арная функция, 4 —формула теории ^, %!，..., хЛ1 ^ — различные переменные. Мы говорим, что А от *1,..・，*%, у представляет 務 если для любых

I~ 而 ［必1，儿卅］e у =財,

где b — F{alf ..., 〃j. Мы говорим, что функция 尸 пред* ставима, если для некоторых 4, ”厶хл, у формула Л от Xi, ％几,у представляет F.

Пусть Р — n-арный предикат, Л ~ формула теории N, %н …，хп ~ различные переменные. Мы говорим, что 4 от Xi, хп представляет Р, если для любых 叫 …、％

Р (。1, ・，а^ -^"|- ％ ［々а】，・…，"。/3 и -

Мы говорим, что предикат Р представим, если для неко* торых A, Xi, ..., хл формула Л от Xi, ..., хп представляет Р,

Если F представима, a Xi,..., xnty——различные перемен- ные, то существует такая формула А, что 4 от Xi,..., хп,у представляет 尸.Действительно, предположим, что А1 от %；,..., хА, _У‘ представляет F. Ввиду теоремы о варианте мел можем предположить, что Х］, ..., хл> у не связаны в 4‘. Тогда мы можем взять в качестве А формулу

% #；*2’ у ［*ь ％^ УЬ

Аналогичное замечание можно сделать и о представимых предикатах.

Пусть 尸一九-арная функция, а —терм теории N, *厶.… -■ • > xn — различные переменные. Мы говорим, что а от "1, ..., хл представляет F, если для любых &, ..., ал

I~［瓦V总j =%，

где b = F (a±, ..., aj. Если это имеет место и у — новая переменная, то из теоремы равенства следует, что фор- мула」=@ от Хх, ..., хл> у представляет F.

Теперь рассмотрим несколько примеров. Сначала мы покажем, что %=у от %, у представляет —. Для этого нам надо доказать, что

\-km = knt если 加=九,(1)

卜кт展кт если 优/械(2)

Действительно, (1) следует из аксиом тождества. Ввиду теоремы симметрии достаточно доказать (2) при т^>п. Мы сделаем это индукцией по 〃. Если 〃 = 6, то (2) следует ИЗ N1. Если 〃>0, ТО i т = к fl f ктт = кпТ ПО N2 и \-Ктт 用 кпт по индуктивному предположению, следовательно, \-km^kn по теореме тавтологии.

Покажем теперь, что *+у от х, у представляет +・ Нам надо показать, что

Н 腻+亂=焉(3)

Докажем это индукцией по п. Если п = 0, то (3) следует из N3. Предположим, что (3) выполняется для некоторого п. Тогда по теореме равенства

Н S (论m + kn) — Лт+пч.1.

Отсюда, из теоремы равенства и из N4

I~ кт + 弘+1 = ^m^n-Vlf

а это есть утверждение (3), в котором п заменено на n+ L Аналогичные рассуждения, использующие N5, N6 и (3), показывают, что

I —尤п * 必=^mn-(4)

Поэтому х*у от х, у представляет

Теперь мы покажем, что xVy от %, у представляет V・ Нам надо доказать, что

Н^<ЛЛ,если т<.п,(5)

1〕优mV 焉)，если т^п.(6)

Докажем это индукцией по п. Если м = 0, то (5) невозможно и (6) следует из N7. Предположим теперь, что для некоторого п (5) и (6) выполняются. Вследствие N8

I~ ^m V 自+1 ■*■* (кт V 瓦 V 々m =论 J⑺

Предположим, что mV〃+L Если m<n, то \-km<kn по индуктивному предположению, если же т = п, то

|—々用=弘 вследствие (1). В обоих случаях H^<^n+i вследствие (7) и теоремы тавтологии. Предположим теперь, что т^п+^ Тогда Ц (km < k^ по индуктивному предположению и 卜口 伊m =总")вследствие (2). Отсюда PI (km<kn^ вследствие (7) и теоремы тавтологии.

Лемма 1. Любой предикат Р представим тогда и только тогда^ когда Кр представима.”

Доказательство. Предположим, что А от №,… ...,хп представляет Р. Пусть В есть

(Л &У=局)V(1%&y=瓦).

Мы утверждаем, что В от хь …，хл> у представляет Кр・ Предположим, что

Kp(〃i,〃J = 0.

Тогда Р (аг, ...» aj следовательно, —4 [厩炉 …，ka^ Отсюда и по теореме тавтологии получаем

I~8 [片勺晶J-y = ^5

Аналогичное доказательство справедливо и при кp (01,叁)=L

Предположим теперь, что 4 от %工,Хл, у представляет Кр・ Покажем, что Ау[0]^от *厶 为冷 пРеД" ставляет Р. Если Р (的，•…，a J то К尸(&,•-,。力=。 и потому

|—Л \ka^ • ■ • > 晶 У = Ео・

Подставляя 為。вместо у и применяя (1) и теорему тавтологии, получаем

I一 A [ег]，. . .,儿m用斗

Если 1 Р (%,…,@), то мы рассуждаем аналогично, пользуясь (2) вместо (1).

Теорема о представимости. Каждая рекурсивная функция и каждый рекурсивный предикат представимы.

Доказательство. Вследствие леммы 1 достаточно доказать это для функций. Мы сделаем это индукцией по рекурсивным функциям, т. е. покажем, что представимые функции удовлетворяют правилам RI —R3.

Ясно, что %； от Xi, ..., хл представляет /?. Мы видели, что +, • н V представимы, поэтому К< предста-

7 Дж. Шенфнлд

вима в силу леммы 1. Это обеспечивает выполнение правила R1.

Теперь предположим, что 尸 определена следующим образом:

尸(。1,％) = G (H* (^i, • • •» a〃)，• • •，//后(仪1,・•・，“〃))，

где G, "i, Hh представимы. Пусть хь ..., хл> уи ... …，У^ ^ — различные переменные. Выберем такие Аь что 4 от Xi, ..., хп, yt представляет Hit и выберем В так, что В от уъ ..., ykt г представляет G. Пусть С есть

З^.^З^й (ЛХ&...& Л^&В).

Мы покажем, что С от хэ, ..., хл> 2 представляет F. Пусть 尸(01，…，@) = a Тогда 团(4, ..., %)=瓦 и G(瓦，一・，尻)=с Пусть 4，и Cf получены из 4f и С подстановкой №% ...,々％ вместо Xi, ..., х„. Ввиду выбора 4 имеем

|-朗Сm =闕.

Вследствие теоремы эквивалентности

4(?' emy1.一%(?1 =財1&...&山=靓月&b).

Повторно применяя теорему эквивалентности и следствие 3 теоремы равенства, мы получаем, что

)- e — % …，yk [电电].

По выбору В и по теореме тавтологии

Прежде чем перейти к R3, нам надо доказать еще две леммы.

Лемма 2. |— Ах [^о] —^ • ♦ * —^ Ах [^л-i]х *^ kn А, Доказательство. Мы пользуемся индукцией по п. При n — Q утверждение, которое надо доказать, превращается в 尤 V0->4 а это следует из N7. Теперь предположим, что лемма верна при некотором п. Вследствие N8

I — 4 "^ 尼理十I *-* * "^ кп V % =比г・(8)

По теореме эквивалентности

(9)(9)I~ % =焼—^ (% *•* 4* 伏%])•

(9)

(9)

Из (8), (9) и индуктивного предположения по теореме тавтологии получаем

Н[瓦]—> …~> Лх[Лл-1] —> 4 [Лл] —> * V R"+i —> Af

а это является утверждением леммы, в котором п заменено на п+1.

Лемма 3. Если Н ~] Ах \ki\ для каждого iV 孔 u ^Axlk^^mo

I & Vy(У v % q 4 [у]) — %=后仆

Доказательство. Пусть В — левая часть доказываемой эквивалентности. По теореме равенства

4* =耳 (В —人[fen] & VJ (у V Лл -Я Ах [j])). (10)

По лемме 2, правилу отделения и правилу обобщения получаем

\~^y{y<Zkn^lAx[y^(И)

Из (10)厂(11) и Н Ах [Лл] по теореме тавтологии получаем

\-x = kn-^B.(12)

По теореме подстановки

4Ху(У V*f "I4[y])f (瓦 V”f】 Ax[k^.

Отсюда и из Н 4* [自]

1 (骯 V*)・(13)

По лемме 2 и правилу отделения |—%<；々冷-> 】4, поэтому

hB^~](x<kn).(14)

Вследствие N9

V阮 V * = В V 馬 V%.(15)

Из (12), (13), (14) и (15) мы по теореме тавтологии получаем, что \~B^>x — knt

Теперь мы покажем, что представимые функции удовлетворяют правилу R3. Предположим, что F определена следующим образом:

尸("I,，，，，。/ =7 N# (G (。1,a"，灯=0),

где G представима. Пусть Л от Xi, ..., хп、у, г представляет G. Пусть w — новая переменная, и пусть Я есть

[0] & Vzy (w <у -> 1 Лл [w, 0]).

Покажем, что В от Xi, .一，Хя, у представляет 尸.

Пусть 尸(％, ..., 〃％) = 6; положим s = G (的,...,〃孔,i)・ Пусть формулы А! и В' получены из формул Л и В подстановкой к%,…•，々％ вместо хь ... , Хп. Тогда по выбору А

Отсюда

н^г№> 0]С丸=斤.(16)

Если iVb, то Ci 7^= 0, так что из (16) и (2) получаем

Н1^,^№» 0] для iv氏(17)

Так как сь =0, то из (16) и (1) мы имеем

-尚,ё[瓦，0].

Отсюда, из (17) и по лемме 3 получаем [-З'су = %・

6・8・ Теорема Чёрча и теорема о неполноте

Теперь мы в состоянии применить наши результаты для решения проблемы разрешимости для теорий.

Пусть Р — некоторый бинарный предикат. Определим . для каждого числа Ь унарный предикат P(&)следующим образом:

Р(ь)(〃) —尸(а, Ь).

Следующая простая лемма играет фундаментальную роль.

Диагональная лемма (Кантор). Пусть Р — би-' ； парный предикат, a Q — унарный предикат, определенный : следующим образом: Q(a)c~| 尸(а, 〃)・ Тогда Q отличен ■； от всех Р^}-

Доказательство. Если Q совпадает с 尸(匕),то :

P(b, mcP(b)e)cQ3)-qP(瓦 m； получаем противоречие.

Пусть z — некоторая фиксированная переменная (на- s пример, первая из переменных, расположенных в алфа-, битном порядке). Пусть Т является расширением теории ^. $

Для каждой формулы Л теории Т через Е (Л) обозначается множество таких п, что 卜丁力倉伊/. Если Т противоречива, то каждое множество Е (Д) совпадает с множеством всех чисел. Покажем, что если Т непротиворечива, то каждое рекурсивное множество совпадает с некоторым множеством Е (Л). Пусть Л 一 рекурсивное множество, выберем в соответствии с теоремой о представимости такую формулу Л, что 4 от 2 представляет Л. Тогда если п принадлежит Л, то \—^Az［^rt］» поэтому 〜人肉］, следовательно, п принадлежит Е (Д). Если п не принадлежит Л, то 11/?［々九］,поэтому ；г7力?［内". Ввиду непротиворечивости Г п не принадлежит Е (Л).

Теперь определим

Р(〃，b) q Thmr (Sub (Ь,厂z. Num (а))).

Тогда если b = rAJ, то Pw совпадает с Е (Л). Если мы определим Q следующим образом: Q(a)<^~］P (а, а), то по диагональной лемме это Q отлично от всех Е (4) и поэтому не рекурсивно. Далее, Q имеет явное определение

Q ⑷ с 1Thmт (Sub (а,「z. Num (а))),

и функции Sub и Num рекурсивны. Вследствие этого Thrnr не рекурсивно. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема Чёрча *). Если Т — непротиворечивое расширение теории N, то теория Т неразрешима.

В частности, неразрешима теория М (Ввиду теоремы нз § 6.6 это доказывает, что Thm“ является рекурсивно перечислимым нерекурсивным множеством.) В следующем параграфе мы увидим, что теорема Чёрча может быть использована для доказательства неразрешимости многих Других теорий. А сейчас мы применим теорему Чёрча для получения очень важного утверждения о полноте.

Теорема об отр ица ни и. Предикат Р рекурсивен ^огда и только mosdat когда как Р, так 〃力 Р рекур- с^вно перечислимы.

Доказательство. Если Р рекурсивен, то ~| Р ； также рекурсивен, поэтому я 尸 н [ Р рекурсивно перечислимы. Теперь предположим, что 尸 и Q Q рекурсивно “ перечислимы, и пусть

P{a)^BxQ(a, х) и Q 尸(а) с HrR (а, х), где Q и /? • рекурсивны. Для любого а либо Q (а» х), либо R (а, х), поэтому существует такое %, что либо Q (а, х), либо R (а, х).: Следовательно, мы можем определить рекурсивную функцию 尸 следующим образом:

尸 ®)= y(Q(a, *)VR(。，灯)・

Мы утверждаем, что;

尸 S)cQ (禺尸 «))•(1)

Действительно, если Q(a, F(a)), то 3xQ(a, x), и поэтому ； P(a). Если же QQ(a,尸(口＞), то R(工 F(a))＞ поэтому ； 3xR (a, x) и потому "] P (a). Из явного определения (1): мы видим, что Р рекурсивен.

Лемма. Если Т — рекурсивно аксиоматизированная и : полная теория, то Т разрешима.

Доказательство. Определим рекурсивные функции F и ^ следующим образом:

尸(0, a) = a,?

尸(几+1, a) =〈SN(】)，＜SN (3),〈2孔〉，〈SN(1),尸(％ a)〉〉〉，； K(a)=F(a+l, a).;

Если a =厂力，то K(a) =「Vn()Vni … V^*^"1, где 备，] 备，...—переменные, расположенные в алфавитном по-； рядке. Если 0 входит в А, то i ＜： Г гр ＜； ГЛП = а. еле-； довательно, V^V^... У^Д замкнута; по правилу обоб- 2 щения она является теоремой тогда и только тогда,: когда Л является теоремой. Тогда ввиду полноты Т фор-； мула Л не является теоремой тогда и только тогда, когда ■ формула

является теоремой. Таким образом, мы имеем‘

1 Thm (a) — Q For (a) V Thm (＜SN ⑴，К ⑷〉)

-WlFs ⑷ VPM〈SNC), К ⑷〉，力)・

Вследствие этого 1 Thm рекурсивно перечислимо. Так

как Thm рекурсивно перечислимо, то по теореме об отрицании Thm рекурсивно. Таким образом, 7 разрешима.

Эта лемма указывает третье применение полных теорий, упоминавшихся в § 5.5. Вместе с предыдущими результатами их можно использовать для того, чтобы показать, что RCF и все ACF (п) разрешимы.

Из леммы и теоремы Чёрча мы получаем следующий результат.

Теорема о неполноте (Гёдель — Россер). Если Т является рекурсивно аксиоматизированным расширением теории N, то теория Т неполна.

Теорема о неполноте имеет важные следствия, касающиеся аксиоматического метода. Идея аксиоматического метода состоит в том, что, имея различные понятия, мы вводим язык для выражения утверждений об этих понятиях, а затем вводим аксиоматическую систему для доказательства утверждений об этих понятиях. Аксиоматическая система должна быть такой, чтобы все теоремы аксиоматической системы были истинными, и мы надеемся, что она будет такова, что все истинные предложения этого языка будут теоремами. Во всяком случае, нам, конечно, нужно, чтобы аксиомы и правила аксиоматической системы были такими, чтобы мы могли решить, что является и что не является доказательством. (В противном случае мы могли бы достигнуть нашей цели, просто выбрав в качестве аксиом все истинные предложения.)

Теперь предположим, что эти понятия берутся из н что избранный язык есть L (^). Предположим далее, ато мы хотим, чтобы наша аксиоматическая система была формализуема как теория. Требование, чтобы мы могли опознавать доказательство, означает, в частности, что когда мы видим какую-либо нелогическую аксиому, мы Должны уметь ее опознать. Ввиду тезиса Чёрча это озна- 'ает, что наша теория Т должна быть рекурсивно аксиоматизированной. Если доказуемыми в Т являются истин- нне предложения из 力 и только они, то Т должна быть эквивалентна Th(") и, следовательно, должна быть пол- HRM расширением теории N, Однако это невозможно по теореме о неполноте.

Рассуждая менее формально, мы можем увидеть, что Ограничениё на теории или на язык 厶(N) несущественно "”н доказательства. Предположим, что мы имеем аксиома^

тическую систему, в которой каждая замкнутая формула А теории ^ выражена формулой A*t и предположим, что мы можем фактически построить 4*, если дана форму-, ла Л. Предположим также, что Л* доказуема в нашей аксиоматической системе тогда и только тогда, когда А - истинна в ". Наконец, предположим, что наша аксиоматическая теория удовлетворяет требованию, что мы можем опознавать док аз ательство. Тогда мы в состоянии решить, истинна Л или ложна. Единственно, что мы должны делать, —это просматривать все последовательности формул , из нашей аксиоматической системы до тех пор, пока мы не придем к такой последовательности, которая является либо доказательством Л*, либо доказательством (П Л)*. Если она является доказательством /*, то Л истинна; если она является доказательством (~| Л)*, то Л ложна Таким образом мы получили разрешающий метод для ； Th("), что невозможно по теореме Чёрча, Поэтому мы приходим к такому заключению: не существует . корректной аксиоматической системы, в которой мы могли бы доказать все истинные факты о натуральных ; числах, выразимые в L(M); этих фактов много меньше, чем всех математических истин.'

Это важное ограничение должно быть правильно понято. Здесь не утверждается, что существует некоторая математическая истина, которую нельзя доказать ни в какой корректной аксиоматической системе. Ясно, что это не так, ； потому что мы можем получить новую корректную си・* стему, присоединяя эту истину в качестве аксиомы. Проб-： лема заключается в следующем: может ли каждая математическая истина (или хотя бы каждая математическа * истина, выразимая в 厶(N)) быть доказана из аксиом, истинность которых очевидна. Однако мы не можем на： деяться достигнуть большого прогресса в решении этой проблемы до тех пор, пока мы не представим себе более четко, что же означает на самом деле «быть очевидно истинным».

Теорема о неполноте показывает нам, что если Т является непротиворечивым рекурсивно аксиоматизирован^ ным расширением теории М то некоторая замкнутая формула Л теории Т неразрешима в 7* Отсюда следует, чтр если мы внимательно проанализируем детали доказательства, то обнаружим, что если Т задана, то мы може^ фактически построить формулу 4二

6・9・ Неразрешимость

Теперь мы изложим несколько новых методов доказательств неразрешимости теорий. Эти методы могут сочетаться с леммой из § 6.8 для доказательства неполноты теорий.

В этом параграфе мы возвратимся к первоначальному интуитивному описанию проблемы разрешимости для теорий. Чтобы превратить наши доказательства в формальные доказательства, надо просто проверить, что используемые функции и предикаты рекурсивны.

Наш план заключается в следующем: скомбинировать теорему Чёрча с основным методом, чтобы показать, что неразрешимость одной теории влечет за собой неразрешимость другой. Основной метод заключается в следующем. Предположим, что каждой формуле Л теории Т соответствует такая формула Д* теории Т‘, что 卜丁 4 тогда и только тогда, когда У*. Предположим также, что мы имеем какой-то метод построения формулы 4* по данной формуле А. Ясно, что тогда разрешающий метод для Т1 приводит к разрешающему методу для 7\ поэтому если Т неразрешима, то Т1 также неразрешима.

Конечным расширением теории Т называется такое простое расширение Т‘ теории Т, что В Т‘ существует только конечное число нелогических аксиом, не являющихся теоремами теории Т. Интерпретация / теории Т в теории 7’ называется точной^ если для каждой формулы А теории Т из 卜丁，4（工）следует гЛ.

Теорема 1. Если Т‘ 一 консервативное расширение теории Т и Т неразрешима, mo Т неразрешима. Если Т — конечное расширение теории Tf и Т неразрешима, mo Tf неразрешима. Если Т — расширение теории Т‘ с помощью определений и Т неразрешима, то Тг неразрешима. Если / — точная интерпретация теории Т в теории Tf и Т неразрешима, то Тг неразрешима.

Доказательство. В каждом случае мы определим формулу А* для использования основного метода. Если Тг — консервативное расширение теории Т, то Л* есть Л. Если Т — конечное расширение теории 7\ то Л* есть А, где Bl ..., Вп — замыкания тех нелогических аксиом из Т, которые не являются теоремами теории Т‘； тогда по теореме редукции имеем рг Л тогда

и только тогда, когда [― 丁，4*. Если Т — расширение тео- :. рии Т‘ с помощью определений, то Д* — перевод 4 в Т< ； Если / — точная интерпретация для теории Т в теории Т‘,；, то 4* есть А^.:

В качестве примера рассмотрим теорию Т языка М J" не имеющую нелогических аксиом. Тогда ^ является '..； конечным расширением теории Т9 и вследствие теоремы 1:

и теоремы Чёрча Т неразрешима,g

Структура е^ называется строго неразрешимой, если неразрешимой является каждая теория,для которой;

является моделью.；

Теорема 2. Структура ” строго неразрешима.

Доказательство. Пусть ©^ — модель теории Т. / Тогда " является моделью теории TUN н потому тео- рия TU" непротиворечива. Вследствие теоремы Чёрча TU" неразрешима. Так как T\}N — конечное расширение теории Т, то Т неразрешима вследствие теоремы L

Если Т~ обогащение теории Th ((2^) с помощью определений, то существует единственное обогащение структуры /, являющееся моделью теории Т. Такое обогащение структуры (2^ называется обогащением струн- : туры с помощью определений

Лемма. Если 励является обогащением структуры о^ ; с помощью определений и 扬 строго неразрешима, то 诙 также строго неразрешима.

До каз ател ьство. Пусть является моделью теории 7; нам надо показать, что Т неразрешима. Мы знаем, что 扬 является моделью расширения U теории Th(/) с помощью определений. Образуем 7\ из Т, присоединяя в качестве новых нелогических аксиом условия существования и единственности, необходимые для определяющих аксиом теории U. Тогда <^ будет моделью теории 7\. Кроме того, 7\ является конечным расширением теории Т (так как мы допускаем только конечное число нелогических символов), поэтому вследствие теоремы 1 достаточно доказать, что Т' неразрешима.

Пусть L/i — расширение теории ^ с помощью определений, полученное присоединением новых нелогических символов из U вместе с их определяющими аксиомами. Так как ^ является моделью теории Т19 то Th (о^) является расширением теории 7\, и поэтому U является расширением теории Ui. Вследствие этого 扬 является

моделью теории С\, и потому теория U* неразрешима. По теореме 1 теория 7\ неразрешима.

Интерпретация / языка L в языке U называется простой,, если й/ совпадает с и для каждого нелогического символа и языка L. -Предположим, что / является простой интерпретацией языка L в теории Т‘，где L(T') = Z/, и что “ является моделью теории Т, Из истинности в “ утверждений (1) и (2) из § 4.7 мы видим, что (U/)4 является универсумом некоторой подструктуры 筋 структуры “. Структура 附厶 обозначается через <^/・

Так как каждый индивид из о/『имеет одинаковое имя как в L((s^/), так и в //(〃^), то мы можем расширить / до простой интерпретации языка 厶((2^/) в языке П(<^/)・ Тогда о^/ (А) = о^ (А/) для каждой замкнутой формулы А языка L {o^i). Доказательство ведется индукцией по длине формулы Л. Если формула А атомная, то 4 есть А и о^/ (Д) = е® (Д) =(А). Если А является отрицанием или дизъюнкцией, то результат следует непосредственно из индуктивного предположения. Предположим теперь, что А есть ЭхЯ. Используя индуктивное предположение и вспоминая, что

l<^7| = (S)必 получаем

о^/(%) = Uc ^/(瓦团)=Н для некоторого / из L (^/) » о^ ((Я/)х [Z]) = И для некоторого / из L (q^j) 卄(«/ & (В/)# [〃) = И для некоторого I из

L(^) q &抬(Эх Щ[Х & В/) = И‘

»(А/) = И,

Пусть теперь А — предложение языка L, а В — замыкание Д. Тогда Bi является замыканием 4(口. Отсюда и вследствие равенства q^i{B)^q^ (3力 мы получаем, что А истинна в ；/ тогда и только тогда, когда 4")истинна в е^.

Мы говорим, что предикат на | 麺]или функция из 丨 I в \о^ I определим (о) в о^, если он (она) входит в некоторое обогащение структуры о^ с помощью .определений. Вследствие этого предикат р на |о^| определим в(2^ тогда и только тогда, когда существует такая формула Dt что

где 厶,...,/л — имена индивидов alt ..., %; и функция / из II в ； I определима в <^ тогда и только тогда, когда существует такая формула Df что

&…源=匕一^ 0О [儿/л, 7]) = и,

где “* …,/п, j— имена индивидов %,…,&汽,b. (Легко заметить, что последнее условие гарантирует, что нужные условия существования и единственности истинны в(^ и потому являются теоремами теории Th (©^) J

Структура 〃 определима в структуре 施 если множество |品| является подмножеством множества | ^ |, определимым в 场，н каждая функция и каждый предикат из о^ являются ограничением на | ©^ ] соответствующих функций или предикатов, определимых в 场.

Предположим, что структура ©^ определима в структуре 宓.Тогда мы можем найти такое обогащение 皆 структуры 宓 с помощью определений, что | ©^ | является предикатом 〃皆 структуры ^, и такое, что каждая функция и каждый предикат из <^ являются ограничением на I <^ I каких-то функций или предикатов из 皆.Мы можем предполагать, что обозначения выбраны так# что "必 является ограничением 〃皆 для каждого нелогического символа а языка структуры “、Пусть теперь / является простой интерпретацией языка структуры <^ в языке структуры 皆，в которой 5=р. Тогда / является интерпретацией языка структуры <^ в теории Th (皆)и %『2.

Теорема 3 (Тарский). Если структура <^ определима в структуре 丽以^ строго неразрешима, то 励 строго неразрешима.

Доказательство. Пусть 甘 и / определены, как ранее. Вследствие леммы достаточно показать, что 皆 строго. неразрешима.

Пусть структура 皆 является моделью теории Т; нам надо доказать, что Т неразрешима. Образуем 7\ из 7\ присоединив к Т аксиому 3xUiX и для каждого функционального символа / языка £ (языка структуры о^) аксиому

U/X]U j%、хл9

где хъ ..., хп различны. Тогда теория 7\ является конечным расширением теории Т, так что в силу теоремы 1 достаточно доказать, что 7\ неразрешима. Так

как / является интерпретацией в теории Th (^), то присоединенные аксиомы истинны в 皆 н потому 穹 является моделью теории 7\.

Пусть U — теория языка L, нелогическими аксиомами которой являются такие формулы Д, что Р т^^. Для каждой такой 4 формула А^ истинна в 3, поэтому А истинна в 皆/ = ©^. Таким образом, ©^ является моделью теории U, и потому U неразрешима. Очевидно, / является точной интерпретацией теории U в теории Т19 так что 7\ неразрешима по теореме 1.

Укажем теперь некоторые применения этих результатов. Пусть о^ — кольцо целых чисел, рассматриваемое как структура языка FL. Мы утверждаем, что структура ©#а определима в структуре ". Труднее всего показать, что множество |"| определимо в структуре о^・ Для этого воспользуемся теоремой Лагранжа: каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел. Таким образом, если А есть

3y3z4yf ^ (х = у-у + г-г + у, -yr +zf -zf)

и / — имя индивида а из то <^ (4* [/]) = И тогда и только тогда, когда а является натуральным числом. Замечая, что S (а) =(з+1 и что а<Ь тогда и только тогда, когда。* с + 1 = b для некоторого натурального числа с, мы легко покажем, что 0, S, +, • и < являются ограничениями функций и предикатов, определимых в структуре М.

Вследствие теорем 2 и 3 структура <^ строго неразрешима, поэтому любая теория языка FL, имеющая моделью о^, неразрешима. Среди этих теорий находятся элементарные теории колец, коммутативных колец и областей целостности.

Пусть теперь о^ определена, как прежде, а 扬一поле рациональных чисел. Тогда структура М определима в структуре 场.Единственной трудностью является следующая: показать, что j | определима в 缎 Это сделала Джулия Робинсон, использовав теорию квадратич^ ных форм. (Мы не будем здесь излагать это решение.) Вследствие теоремы 3 структура 扬 строго неразрешима. Отсюда мы можем вывести неразрешимость FL, FL (0) и других теорий.

Задачи

Предполагается, что все теории имеют лишь конечное число нелогических символов.

Примитивно рекурсивные функции определяются с помощью следующего обобщенного индуктивного определения.

PR1. Константные функции, функция следования S (х)=х+1 и функции /，примитивно рекурсивны.

PR2. Если G, "и"月 примитивно рекурсивны, а 尸 опреде

лена следующим образом:

то F примитивно рекурсивна.

PR3. Если G н Н примитивно рекурсивны, a F определена следующим образом:

F(0, Q = G(G，

F (a+ L a) = H (F (a, a) a, a), to 尸 примитивно рекурсивна.

Предикат примитивно рекурсивен, если его представляющая функция примитивно рекурсивна.

Показать, что RI, R2, R4 и R6 —R13 верны, если рекурсивный заменить на примитивно рекурсивный. [Последними доказывать R9 и R10.]

Показать, что 0 примитивно рекурсивна.

Показать, что существует такая примитивно рекурсивная функция F, что если

то существует такое x<F (d)t что р (х,，) = 〃£ при i < л.

Показать, что 〈％, ... , 6Zn), [Е(0)厶 Seq, In и # примитивно рекурсивны. [Воспользоваться (в) и R9.] Показать, что R14 справедливо, если рекурсивна заменить на примитивно рекурсивна.

Показать, что если множество NLAx「примитивно реку.р^ сивно, то функции и предикаты, определенные в § 6.6, примитивно рекурсивны.

Пусть Н и К —рекурсивные функции, и пусть 尸 и G определены индуктивно следующим образом:

F (а, й) = Н (F (a, a)> G(a, a), a, a),

G (a, a) = K (戶(口+1, q), G (a, a), a, a).

Показать, что F и G рекурсивны. [Пусть L (a, a)=〈尸(《, 口)，g (a, a)〉； пользуясь R14, показать, что L рекурсивна.]'

Действительное число а рекурсивноt если существуют такие рекурсивные функции F в G, что при и#= 0 мы имеем G(n) #= 0 и 『1a1一尸5)/G (明Vl/小

Показать, что каждое рациональное число рекурсивно.

Показать, что сил рекурсивны. [Воспользоваться подходящими разложениями в ряд е и л вместе с оценками скорости сходи^ мости этих рядов.]

Показать, что если а и 5 рекурсивны, то а + b а——Ь и а • Ь рекурсивны. Если к тому же Ь =^ 0, то показать, что а/b рекурсивно. [Следовать доказательствам непрерывности этих функций.]

Пусть Ра (т, п) означает, что /г*0 и т/п < | а |. Показать, что а рекурсивно тогда и только тогда, когда Ра рекурсивен. [Предположим, что а рекурсивно и иррационально. Тогда m/n V I а I тогда и только тогда, когда

т/п < 尸仇)/G 但)—1/А для некоторого k, и

т/п > I а ] тогда и только тогда, когда

т/п >尸 R)/G 但)十1仇 для некоторого 瓦

где F н G определены выше.]

Показать, что действительное число а рекурсивно тогда и только тогда, когда существует такая рекурсивная функция 尸,что F(〃)W9 при п*0 и ! а | = £尸⑺・ I()f. [Если а рекурсивно и иррационально, то F определена неравенствами | о | — 10~力 <

< 2 F(“)・10f <|叩

п — О

Унарная функция 尸 перечисляет множество 4, если элементами множества Д являются в точности элементы последовательности 尸(0).尸⑴л

Показать, что непустое множество Л рекурсивно перечислимо тогда и только тогда» когда оно перечисляется рекурсивной функцией.

Показать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое множество перечисляется инъективной рекурсивной функцией.

Показать, что бесконечное множество 4 рекурсивно тогда и только тогда, когда оно перечисляется такой рекурсивной функцией F, что F (n)<F (л+1).для всех л.

Показать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое множество имеет бесконечное рекурсивное подмножество. [Воспользоваться (б) и (в).]

Теория называется рекурсивно аксиоматизируемо й, если она эквивалентна рекурсивно аксиоматизированной теории.

) Показать* что Т рекурсивно аксиоматизируема тогда и только тогда, когда Thmr рекурсивно перечислимо. [Пусть Thmr рекурсивно перечислимо, выбрать 尸 такую же, как и в 4 (а). Предположить, что нелогическими аксиомами из Т* являются 40 & Ах ... ...& Дл, причем 厂4〔=尸⑴，и применить 4 (в).]°

) Привести пример рекурсивно аксиоматизируемой теории, не являющейся рекурсивно аксиоматизированной.

Пусть символам теории Т сопоставлены номера двумя различными способами, и пусть 厂修、и '“' являются соответствующими номерами выражений 口. Показать, что существует такая рекурсив- нан функция Ft “то 尸(「修「) = &' для любого указателя и. Дока- зать, что теория Т является разрешимой (рекурсивно аксиоматизированной) при одном способе сопоставления номеров символам тогда и только тогда, когда она является разрешимой (рекурсивно аксиоматизированной) при другом способе сопоставления.

Теория называется численной, если она содержит символы О и S. Представимость в такой теории мы определяем так же, как н в М

Показать, что если 7—рекурсивно аксиоматизированная численная теория и если \- Tkm^kn влечет т — п для любых /п н 九, то каждая представимая в Т функция рекурсивна и каждый представимый в Т предикат рекурсивен. Доказать, что функция рекурсивна (предикат рекурсивен) тогда и только тогда, когда она (он) представима (представим) в некоторой конечно аксиоматизируемой численной теории такой, что |—丁 左卽=々％ влечет m = и для любых тип.

Показать, что если теория Т является расширением теории А/, то функции, представимые в Г, удовлетворяют RI— R3. Затем показать, что если Т непротиворечива, то Thm 丁 не представима в Т. [Воспользоваться доказательством теоремы Чёрча.]

Формула Л численной теории Т называется определением истинности, если 户丁В^АХ [*ГвП] для каждой замкнутой формулы А теории 7\ Показать, что если теория Г является непротиворечивым расширением теории А/, то не существует определения истинности в Т. [Применить (б) и теорему Линденбаума.]

Пусть Г — численная теория. Формула Д от различных переменных Хх, t хп слабо представляет. Р, если для любых а1У ... t ап

F т 4qхп 产ар坛/ О Р (%，…，％).

Предикат Р является слабо представимым в теории Р, если он слабо представим в Т некоторой формулой от некоторой последовательности переменных.

Показать, что если теория Т непротиворечива, то каждый представимый в теории Т предикат является слабо представимым в теории Т.

Пусть Р и Q —n-арные рекурсивно перечислимые предикаты. Показать, что существуют формула 4 из ^ и различные переменные к» ・-,Хл такие, что]

p (。1，…，a九)& ~) Q (%,…，a汽)-/ 1 tv 4 [少也，—，々аm，

Q(Q)a汽)& p (a]4冷)-? " ]4 [*a1在@ j .

[Взять в качестве А формулу Их (3 & Vy (у V к f [ С)), где В представляет такой предикат Рг, что Р (а) ЗхРг (й, х), а С представляет такой предикат Qi，что Q(a)—m(Q (口，x).J

Показать, что если Т—непротиворечивое рекурсивно аксиоматизированное расширение теории ^^ то каждый рекурсивно перечислимый предикат Р слабо представим в теории Т. [Выбрать такой рекурсивно перечислимый предикат Q, что для всех А

Q (&，…‘％「4〔) о 1丁 Ах^%, у [%’ …，^ап9 々厂 л~1]-

Выбрать 4 такую же, как и в (б), и взять в качестве В формулу АУ [*глп]-]

Показать, что если теория Т рекурсивно аксиоматизированная, то каждый слабо представимый в теории Г предикат рекурсивно перечислим. Затем показать, что предикат рекурсивно перечислим

тогда и только тогда, когда он слабо представим в некоторой конечно аксиоматизируемой численной теории. [Использовать (в).]

Пусть Сл—формула, утверждающая, что существует ровно л индивидов.

Пусть теория Т конечно аксиоматизируема. Показать, что существует разрешающий метод для формул вида Сп А, [Использовать 13 (б) из главы 4 ]

Показать, что если теория Т конечно аксиоматизируемая и m-категоричная для некоторого бесконечного кардинала гп, то Г разрешима. [Пусть теория Tf получена из Т присоединением в качестве аксиом всех И Сл. Используя теорему Лося — Воота и лемму из § 6.8, показать, что Тг разрешима. Показать, что по данной замкнутой теореме А из 7\ мы можем найти такое л, что [-г-]。] — ... — -1dzi— 4. Затем использовать (а).]

/в) Показать, что (б) будет ложно, если конечно аксиоматизируемая заменить на рекурсивно аксиоматизированная. [Пусть А — нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество. Выбрать в качестве Т теорию, в которых нет нелогических символов и нелогическими аксиомами которой являются "] Сп для п из Д, и воспользоваться 5 (а).]

Структура q^ называется неразрешимой, если теория Th (^^) неразрешима.

Показать, что если ®^ неразрешима, то любое обогащение структуры неразрешимо.

Показать, что если структура о® является обогащением структуры ет^ с помощью определений и 筋 неразрешима, то。^ неразрешима. [Показать, что расширение с помощью определений полной теории является полным. Пользуясь леммой 1 из § 5.5, показать, что теория Th (扬)эквивалентна расширению теории Th (о^) с помощью определений.]

Показать, что если структура ^т^ определима в структуре 册 и о^ неразрешима, то 節 неразрешима* [Показать, что теория Th (с纟)имеет точную интерпретацию в теории Th (场)j

Непротиворечивая теория Т называется существенно неразрешимой (строго неразрешимой), если каждая модель теории Т неразрешима (строго неразрешима).

Показать, что если теория Т непротиворечива и разрешима, то Т имеет полное разрешимое простое расширение. [Воспользоваться доказательством теоремы Линденбаума, описанным в задаче 1 из главы 4.]

Показать, что непротиворечивая теория Т существенно неразрешима тогда и только тогда, когда каждое непротиворечивое простое расширение теории Т неразрешимо. [Использовать (а) и лемму 1 из § 5.5.]

Теория Т‘ совместима с теорией Т, если L (Tf)=L (Г) и тео рия TU Tz непротиворечива. Показать, что непротиворечивая теория Т строго неразрешима тогда и только тогда, когда каждая совместимая с Т теория неразрешима.

Показать, что если теория Г конечно аксиоматизируема и существенно неразрешима, то Т строго неразрешима. [Воспользоваться доказательством теоремы 2 из § 6.9.] Затем показать, что N строго неразрешима. [Использовать (б).]

Показать, что если теория Т существенно неразрешима (строго : неразрешима), то каждое непротиворечивое расширение теории Г : существенно неразрешимо (строго неразрешимо). [Показать, что - любое обогащение строго неразрешимой структуры строго неразре- л шимо, а затем в ос поль зов аться этим и 10 (а).]:

Показать, что если теория Т* является расширением теории Т : с помощью определений и Т， существенно неразрешима (строго не-； разрешима), то Т существенно неразрешима (строго неразрешима). ? [Использовать 10 (б) и лемму из § 6.9.]г

Показать, что если теория Т интерпретируема в непротиво-; речивой теории Тг и Т существенно неразрешима (строго неразре- * шима), то Т，существенно неразрешима (строго неразрешима). [Вслед-: ствие (е) мы можем предположить, что существует интерпретация теории Т в Т'. Показать, что если 场 является моделью теории Т'， то некоторая модель теории Т определима в структуре 励.Затем воспользоваться 10 (в) и теоремой 3 из § 6.9.]:

Непустое множество Г замкнутых формул теории Т назы-：; вается базой теории 7\ если для каждых двух моделей o^f и е>Э тео- •； рии Г выполняется условие: если 总纟(A) —g® (4) для всех А из Г,； то / и 靓 элементарно эквивалентны. Через ①(Г) мы обозначим множество дизъюнкций формул, являющихся либо формулами из Г,; либо отрицаниями формул из Г, а через 沿(F) — множество конъюнк-; ций формул из Т) (Г).“

Показать, что если Г является базой теории Т, то каждая замкнутая формула теории Т эквивалентна в Т формуле из 沿(Г). [Воспользоваться доказательством леммы 4 из § 5,5.]

Предположим, что теория Т рекурсивно аксиоматизирован-. ная, Г является базой теории Т, и мы имеем метод решения вопроса 扌 о том, принадлежит ли данная формула множеству Г. Показать, что . для данной замкнутой формулы Л теории Т мы можем найти фор-: мулу из 沿(Г), эквивалентную А в Т.ч

Пусть теория Т рекурсивно аксиоматизированная и Г —база ； теории Г. Предположим, что мы имеем метод для решения вопроса о том, принадлежит данная формула множеству Г или нет, и метод : для решения вопроса о' том, является ли данное предложение из' 扌 ® (Г) теоремой теории Т. Показать, что теория Т разрешима. [Ис-: пользовать (б).]

Показать, что теория EQ разрешима. [Использовать (в) и [ задачу 21 из главы 5.]

Показать, что если теория Т конечно аксиоматизируемая и 弋 все нелогические символы теории Т являются унарными предикат-； ньши символами; то Т разрешима. [Показать, что мы можем пред-; полагать, что Т не имеет нелогических аксиом, и использовать (в)' и задачу 22 из главы 5.]

13, Множество R отделяет множество Р от множества Q, если Р j является подмножеством множества R, и Q и /? не пересекаются.」 Непересекающиеся множества Р и Q называются рекурсивно неотде-； лимыми, если не существует рекурсивного множества, отделяющего Р от Q. Теория Т рекурсивно неотделима, если множество Thm^ : является рекурсивно неотделимым от множества номеров отрицаний “ теорем теории Т・■

Пусть Р и Q—непересекающиеся множества, и пусть Г — такая численная теория, что для каждого рекурсивного множества Л существует формула А теории Т такая, что для любого п справедливо Р (ПД если и принадлежит Л, и QC^^IA："-1), если п не принадлежит А. Показать, что Р н Q рекурсивно неотделимы. [Пусть R отделяет PotQ, обозначить через Е' (Л) множество таких п, что R (厂4 [^]n)> и вести доказательство аналогично доказательству теоремы Чёрча.]

Показать, что если каждое рекурсивное множество слабо представимо в теории Т, то Т неразрешима. [Использовать (а).]

Показать, что если теория Т непротиворечива и каждое рекурсивное множество представимо в Г» то Т рекурсивно неотделима. [Использовать (а).] Затем показать, что существуют рекурсивно неотделимые рекурсивно перечислимые множества.

Показать, что если теория Т рекурсивно неотделима, то Т существенно неразрешима. [Использовать 11 (б).]

Теория Т называется наследственно неразрешимой, если каждая теория, для которой Т является простым расширением, неразрешима.

Показать, что。^ строго неразрешима тогда и только тогда, когда Th (<2т/) наследственно -неразрешима.

Показать, что если теория Т имеет строго неразрешимую модель, то Т наследственно неразрёшима. Затем показать, что строго неразрешимая теория наследственно .неразрешима.

Показать, что элементарная теория колец является наследственно неразрешимой, однако не является существенно неразрешимой, [Использовать (6丿 и 11 (б).]

Пусть А и В —рекурсивно неотделимые рекурсивно перечислимые множества [см. 13 (в)]. Пусть 力厶左 определена так же, как в задаче 21 (а) из главы 5. Пусть теория Т получена из теории EQ присоединением в качестве аксиомы Altk для каждого Jfe из Л и присоединением в качестве аксиомы ]4т,后 для каждого k из В. Показать, что теория Т рекурсивно аксиоматизируема и существенно неразрешима. [Использовать 5 (а) и 13 (г).] Показать, что каждая конечная часть теории Т разрешима, а затем показать, что Т не является наследственно неразрешимой. [Использовать 12 (г) и тео- рему 1 из § 69]

(а) Показать, что если теория Т рекурсивно аксиоматизируема и имеет только конечное число неэквивалентных полных простых расширений, то Г разрешима. [Показать, что если А — замкнутая формула и если теории Т (А) н Г ([ 4) разрешимы, то Т разрешима. Затем воспользоваться индукцией по числу неэквивалентных полных простых расширений.]

Показать, что существует рекурсивно аксиоматизируемая неразрешимая теория, имеющая только счетное число неэквивалентных полных простых расширений, каждое из которых разрешимо. [Исполь- зивать пример из 9(в).]

(а) Показать, что существует строго неразрешимая структура 4吋 языка, который имеет единственным нелогический символ — 4-ар- нк自 предикатный символ R. [Пусть |(з^ | является множеством натуральных чисел, и пусть R^ — множество всех четверок вида (1, tn, п, 酬 +也)и (0, m, n, m-n). Замечая, что R (加,m,加,m) тогда и только

тогда, когда 加= 0., показать, что структура g#3 определима в стр у к- РУре

Обогащение 毋 структуры называется несущественным^ если символами языка структуры 毋,не являющимися символами языка структуры q^, являются лишь константы. Показать, что если структура 历 является несущественным обогащением структуры ©т^ и 励 строго неразрешима, то &^ строго неразрешима. [Пусть ©т/ — модель теории Т. Получить Тг из 7\ присоединяя новые константы из 纲 и применить теорему о константах.]

Показать, что существует строго неразрешимая структура для языка, единственным нелогическим символом которого является ： бинарный предикатный символ Р. [Пусть структура(^ такая же, как в (а). Пусть | 毋 | состоит из элементов I ©^ |, упорядоченных пар элементов |(^ | и некоторого нового элемента и. Пусть Р的 состоит из следующих упорядоченных пар элементов | ^ | (где а,匕，’ с и d означают элементы из | ^ |): все ((& Ь), (с, *)) такие, что R必(е, Ь, с, 4); все (а, (а,方))；все ((а, Ь), &); все (и, а) и все ((а, Ь), и). Показать, что структура ^^ определима в несущественном обогащении структуры 宓,и воспользоваться (б).]

(а) Пусть Т ——теория, единственным нелогическим символом ' которой является бинарный предикатный символ 尸，а нелогическими аксиомами —1 Р (х, х) и Р (х, у) ~ Р (д, х). Показать, что Т имеет строго неразрешимую модель. [Пусть структура ©^ удовлетворяет условиям задачи 16 (в). Пусть для каждого элемента а из | ^ множество I 务 I содержит три элемента /, &, &，и пусть | 毋 содержит еще два элемента и и и. Пусть Р第 состоит из всех пар (&1，电)，(&,。3),(口，的)，(и, @2)； всех пар (%, &3) таких, что (а, Ь) принадлежит 乙，и пар, им обратных. Показать, что структура ©т/ : определима в несущественном обогащении структуры оЗЭ/

Пусть РО ——теория, единственным нелогическим символом которой является < и аксиомами которой является ] (% V %)； и %v：—4Vz — %Vz. Тогда моделями для РО являются частично упорядоченные множества. Пусть теория LT —расширение теории РО, полученное присоединением аксиом, утверждающих, что каждые ” два элемента имеют наименьшую верхнюю грань и наибольшую ниж- ■ нюю грань. Показать, что LT имеет строго неразрешимую модель., [Пусть е^ удовлетворяет условиям задачи (а). Пусть Е состоит из . элементов из | ©^ | и упорядоченных пар из Р盘.Пусть |/j является классом всех таких подмножеств F множества Е, что если (а, Ь) принадлежит 尸，то о и 匕 принадлежат 尸.Показать, что объединение и пересечение любых двух членов из | 毋 | принадлежит | 毋 |. Далее, пусть 尸 V佛尸‘，если F — собственное подмножество множества 尸 Показать, что некоторая структура, изоморфная структуре ^^, определима в структуре 易.]

Показать, что существует строго неразрешимая структура для языка, нелогическими символами которого являются лишь два ； унарных функциональных символа. [Пусть ©т^ удовлетворяет уело” ' виям задачи (а). Пусть | 毋 | состоит из индивидов из(^ и пар из P乩.Пусть

%(3,6))=a，g 曲((4 匕))=右，f爵g= g^G = a

для а, b из |ет/|・ Показать, что структура ©т/ определима в структуре 例.]

Пусть q^ — множество биективных отображений множества целых чисел в себя. Мы рассматриваем q^ как группу и, следовательно, как модель теории G с композицией функций в качестве групповой операции. Пусть S ——элемент из g^, определенный следующим образом： S(f) = i+L

Показать, что отображение, сопоставляющее числу i отображение S', является биективным отображением множества целых чисел в множество индивидов структуры。^, перестановочных с S. [Если отображение 尸 перестановочно с S, то F (S(，(0)) = Sz (F (0)).]

Показать, что для любых чисел i и / число j делится на i тогда и только тогда, когда S」перестановочно с каждым индивидом структуры f^, с которым перестановочно SL [Пусть i*0 н условие выполняется;' применить его к 尸,определенному следующим образом: 尸伏)=总 + 九 если 冗 делится на г, F (* = h в противном случае.]

Пусть структура 毋 определена следующим образом: | 毋 | —— множество целых чисел, 1^ —целое число 1, +^ —функция сложения, а 1)^ —предикат делимости (это означает, что D% (厶/) тогда и только тогда, когда i делится на /). Показать, что структура 曲 строго неразрешима. [Показать, что кольцо целых чисел определимо в структуре 悠. Для этого заметить, что г2 является единственным целым числом / таким, что j + i является наименьшим общим кратным чисел I и £ +1, a j — t является наименьшим общим кратным чисел г и »——1; затем определить i・ j с помощью равенства (i + /)2 = =汴 + - j + iT + 产,]

Показать, что структура ©т/ строго неразрешима. [Пользуясь (а) и (б), определить в несущественном обогащении структуры “ модель, изоморфную структуре 毋.]

Пусть J。——теория* полученная из теории ^ заменой аксиом N2 и N8 следующими тремя аксиомами: SOfO,

Sx 看 х f Sy 用 у f Sx~Sy -» x~yt

S 尤声尤 7(gvS% —pv#V '=%)•

Пусть теория J получена из теории Jo присоединением в качестве новых аксиом всех предложений Лл+1 Ф kn.

Показать, что если 加片忆,то

170^m+1并^m f々九+1牛 h住7 кт并々/T

Показать, что если функция 尸 рекурсивна, то существуют формула А и различные переменные х1( ... , хл, у такие, что если ?(01，,0外=5,то

HjA^ka^ ... , ^а^ —卫=闷・

К^ледовать доказательству теоремы о представимости. Если F есть Ку，то взять в качестве А

Sx1 * %1 f S*2**2 -> (内 < 融&y=鳥)V (1 (/ V%2)&y =后)， ?,н рассмотрении R3 учесть, что G можно выбрать так, что s (о") W 1, так как мы можем заменить 6 (% Ь) на Ку (G (% Ь), !).]

Показать, что если предикат Р рекурсивный, то существуют : формула 4 и различные переменные “口 …，к% такие, что

p1//因工，%J

! p (%…，a汽)— 一 j 1 4产气电aj.■

[Использовать (б).]

Показать, что теория J строго неразрешима. [Пусть теория ； Т совместима с теорией J. Пусть Р и Л те же, что и в (в), и пусть : В является конъюнкцией замыканий нелогических аксиом теории Jo-亨 Показать, что 6г 4 слабо представляет 尸 в теории Т и воспользо-' ваться 13 (б) и 11 (в).]

Показать, что каждая конечно аксиоматизируемая часть тео-, рии J имеет конечную модель. [Для каждого натурального числа л 「 рассмотреть структуру q^ с индивидами 0, 1,…，w, в которой

S4(a)= min(4+1,九)，a十4b = min (a+儿 n),*

@ •必b=min (a •瓦几)， 必 b—aVbJ

Пусть Г — теория языка L (^), нелогическими аксиомами которой являются все предложения, истинные в каждой конечной . структуре для этого языка. Показать, что теория Т неразрешима. [Использовать (г), (д), 11 (в) и теорему компактности.]

ТЕОРИЯ РЕКУРСИИ

Частичные функции

Отображение 尸 множества Л в множество В полностью определяются любым "разрешающим методом для 尸：значением 尸(а) должен быть элемент из В, полученный при применении метода к а. Однако произвольный метод получения элементов множества В из элементов множества А может не быть разрешающим методом для отображения из Л в В, так как этот метод может не давать ответа для некоторых а из Л, Например, метод может требовать решения некоторого множества уравнений, а уравнения могут не иметь решения для некоторого а. К тому же может существовать такое а, для которого вычисление прямым способом никогда не окончится. Это произойдет, например, если мы попытаемся найти rxR(&, х) обычиьш методом, а а таково, что Vx】R(d, х).

Все это приводит к новому определению. Частичным отображением 尸 нз / в В называется отображение некоторого подмножества множества Л, называемого областью определения отображения F, в В. Таким образом, отображение Л в В —это частичное отображение Л в В, областью определения которого является А. Если мы хотим противопоставить отображения частичным отображениям, то мы говорим всюду определенное отображение вместо отображение. ‘

Разре тающим методом для частичного отображения F нз 4 в В называется метод, который, будучи применен к произвольному элементу а из 4 даст значение 尸(〃)， если а принадлежит области определения отображения F, н не даст результата, если а не принадлежит области определения отображения 尸.Мы говорим, что 尸 вычислимо, ес/н оно имеет разрешающий метод. Эти определения согласуются с данными ранее, если отображение 尸 всюду определенное.

Может показаться неестественным требование, чтобы метод, будучи применен к элементу из А, не принадлежащему области определения отображения 尸，не давал результата. Однако это гарантирует, что разрешающий метод для частичного отображения F полностью опреде-匸 ляет F. Действительно, область определения отображения F —это множество таких а, что метод., будучи применен к а, дает результат, и 尸(а) для такого а является значением, полученным при применении метода к а. 了 Отсюда видно, что каждый метод получения элемента из множества 8 по заданному элементу из множества Л явля-' ется разрешающим методом для некоторого однозначно ! определенного частичного отображения из Л в 5. Если какой-то метод дает результат 尸(а) для каждого а из ； области определения отображения F, то соответствующее этому методу частичное отображение является продолже- ■ нием 尸，так что на самом деле мы при нашем ограничении ничего не теряем.

Частичное подмножество А множества Е состоит из некоторого подмножества множества Е, называемого областью определения множества 4, и указания для каж-: дого элемента из области определения, находится ли этот : элемент 8 Л или вне 4 Таким образом, частичное под-: множество множества Е может быть задано указанием ■ области определения и подмножества области-определения, состоящего из тех элементов, которые принадлежат ча-, стачному подмножеству. Любое подмножество множества £ — это просто частичное подмножество множества £, областью определения которого является Е. Мы говорим всюду определенное подмножество вместо подмножество, если мы хотим подчеркнуть различие с частичными подмножествами.

Разрешающим методом для частичного подмножества Л ■ множества £ называется метод, который, будучи приме-. нен к любому элементу области определения множества Л, покажет нам, лежит ли этот элемент в Л или вне Л, и который, будучи применен к любому элементу из £, не : принадлежащему области определения множества Л, не дает результата. Частичное подмножество вычислимоt если оно имеет разрешающий метод.

Эти понятия обобщаются на функции и предикаты. Так, п-арной частичной функцией из Л в В называется

частичное отображение множества 几-ок элементов, принадлежащих А, в В, а п-арным частичным предикатом на Л называется частичное подмножество множества п-ок элементов из Л. И снова мы говорим всюду определенная функция и всюду определенный предикат вместо функция и предикат.

В этой главе мы будем придерживаться соглашений, сформулированных в начале § 6,2 и дополненных следующими: частичная функция означает частичная функция из множества натуральных чисел 8 множество натуральных чисел, а частичный предикат означает частичный предикат на множестве натуральных чисел.

Буквы, использовавшиеся ранее для обозначения функций и предикатов, будут теперь использоваться для обозначения частичных функций и частичных предикатов. Вследствие этого некоторые выражения теперь не имеют значения или, как мы будем говорить, не определены при некоторых значениях переменных. Так,尸(а) не определено, если а не принадлежит области определения функции Е Также и 户(а) не определен, если а не принадлежит области определения предиката Р. (Если а принадлежит области определения предиката 尸,то 尸(а) истинен, если а принадлежит Р, и ложен, если а не принадлежит Р)

Мы условимся, что сложное выражение определено только тогдаг когда определены все его части. Так, 尸(G(a)) определено тогда и только тогда, когда а принадлежит области определения функции © н G (〃) принадлежит области определения функции 尸.Аналогично, P(a)V VQ (〃) определен тогда и только тогда, когда а принадлежит как области определения предиката Р, так и области определения предиката Q.

Если мы попытаемся явно задать частичную функцию F равенством 尸(q) = G (Н (а)), где функции G и Я частичные, то мы столкнемся с трудностями. Если G (Н (а)) не определено, то F (a) = G (Н (а)) не определено и потому не может ничего сообщить нам об 尸(а). Мы обойдем это затруднение, введя новый символ* Если — и .. . — выражения (обозначающие числа), которые могут быть не определены, то — ~ ... означает, что или как —, так и ... определены и имеют одинаковые значения, или — и ... оба не определены. (Это является исключением из уста-

новленного ранее правила; — ~ ... всегда определено,.. даже если одно из __. или ….не определено.) Теперь мы ' можем явно определить частичную функцию F следующим образом: F(o) nG (Н (〃)). Это означает, что область опре-； деления функции F состоит из таких а, что G (Я (а)) определено, и что для этих а справедливо F (a) = G (Н (ci)).

Мы введем еще один символ, употребляемый в ； явных определениях частичных предикатов. Если — и —предложения, которые могут быть не определены, то ； —К ・…означает, что или как _—, так и …・ определены и истинны, или оба определены и ложны, или оба 『 не определены. Таким образом, мы можем явно опре- ‘ делить частичный предикат Р следующим образом:扌

Р(a)玄仍(a))

(где Q н 尸 частичные).

Обычно мы будем избегать пользоваться связанными переменными в выражениях, которые могут быть не опре-: делены. Тем не менее мы хотим придать смысл выраже-.. нию |хх(.х ...), где .,, х ,.. — предложение, не опреде-: ленное при некоторых значениях х. Мы хотим сделать ； это таким способом, чтобы если R вычислим и 尸 опре-' делена следующим образом:?

尸(a)(а, х),

то F была вычислима. Предположим, что мы вычисляем '； F (а) таким же способом, как если бы R был всюду определен, т. е, мы вычисляем R(a, 0), R(a, 1), *.., пока мы ' не найдем такое а, что R (储 а) истинно, а затем делаем S' вывод, что F(a) = a. Тогда мы получим а как значение для 尸(а) в том и только в том случае, если а есть такое ■ наименьшее х, что R (а, х), и R (а, х) определен для всех х, меньших этого а. Поэтому мы определяем 卩汇(•…х •…) 纟 как наименьшее число а такое, что ...а... определено ； и истинно, при условии, что ... х ... определено для всех х, меньших этого а. Если это последнее условие не выполнено или если не существует такого а, что ・・・〃.•• определено и истинно, то [ix (... х ...) не определено. Заметим, что это согласовывается с нашим прежним определением, когда ... % *.. определено для всех х. :

Представляющей частичной функцией ^p частичного * предиката Р называется частичная функция, область

определения которой совпадает с областью определения предиката Р и которая следующим образом определена для аргумента а в этой области определения: Кр (л) = 0, если Р (а), и Кр ⑺=1, если ]Р(а). Очевидно, Р вычислим тогда и только тогда, когда Кр вычислима.

Если F — n-арная частичная функция, то графиком F, обозначаемым через ©^, называется (п+ 1)-арный всюду определенный предикат^ определенный следующим образом:

①尸(а，а)С尸(口)4".

Вследствие этого мы имеем

f(а)4卩尤⑨尸(a,尤)，

так что 尸 может быть восстановлена по ⑨尸.

Покажем, что F вычислима тогда и только тогда, когда ®р позитивно вычислим. Предположим, что F вычислима. Мы вычисляем ⑨尸(а, а) следующим образом: по данным а и а вычисляем 尸(а); если мы получаем некоторое значение и это значение есть а9 то мы делаем заключение, что ⑨尸(а, а) истинно. Ясно, что это дает правильный ответ, если 您尸(а, а), и не дает ответа, если "1^尸(。,。),поэтому ①尸 позитивно вычислим*

Чтобы доказать обратное утверждение, заметим вначале, что.

^у (Of (a, y)c：3xR(a, у, х)) -> F (а) ~ (цг/? (а, (г)0,(叫))。.

(1) Действительно, если 尸(а) определена, то пусть y=F(a), н выберем такое х, что R(a, у, х). Полагая г = (у, х), получаем R (а, (г)0, (г)г), поэтому

("次(0，(z)o, (z)i))o

определено. Предположим теперь, что

(卩zR®, (z)o, (г)!))е определено, и пусть

〃 = NzR(q,⑵°, (z)3

^гда R(a, (u)Ol (叫)，отсюда 士R(a,(辽％, х), так что 3戶(a, (u)o), и потому/(а) = (〃)()・ Это доказывает (1).

Теперь предположим, что ®Е позитивно вычислим. Тогда существует такой вычислимый предикат R, что

⑨f(% g)~±R(K у, х)

для любых а и у. Поэтому вследствие (1) 尸(口) 4з次(口，⑵0,⑵0)。.

Ввиду вычислимости (а)『 отсюда следует, что 尸 также ' вычислима.,

Частичная функция F реку реи18Hа, если ее график рекурсивно перечислим. Частичный предикат Р рекурсивен, если рекурсивна его представляющая частичная функ-: ция. Ввиду сказанного выше, а также вследствие тезиса ； Чёрча частичная функция рекурсивна тогда и только ， тогда, когда она вычислима, частичный предикат рекурсивен тогда и только тогда, когда он вычислим.

Так как каждая всюду определенная функция является частичной функцией, то мы теперь имеем два опре-: деления рекурсивности для всюду определенных функций. Чтобы установить, что они совпадают, мы должны дока-: зать следующее: всюду определенная функция рекурсивна (в старом смысле) тогда и только тогда, когда ее график рекурсивно перечислим. Действительно, если 尸 всюду ； определена, то 您尸 имеет явное определение；

⑨尸(а, 〃)—尸(а) = а.

Поэтому если 尸 рекурсивна, то ⑨尸 рекурсивен и, следовательно, рекурсивно перечислим. Предположим теперь, что ⑨产 рекурсивно перечислим, например,

3尸(/ y)<^3xR(at у, х)

для всех а и //. Тогда по (1)

尸(а)=(卩殖(禺⑶о,(2)1))о, и поэтому 尸 рекурсивна. Отсюда сразу же следует, что + два определения понятия рекурсивный для всюду определенного предиката совпадают.：

Прежде чем рассматривать свойства рекурсивных частичных функций и предикатов, мы введем еще одно обобщение понятия рекурсивности.

Функционалы и отношения

Мы рассматривали проблему разрешимости для отобра-: жения 4 в 8 только в случае, когда элементами множеств Л и В были конкретные объекты. Теперь мы обсу-. дим случай, когда элементы множеств Л и В являются

простейшим типом абстрактных объектов, а именно, функциями.

Можно считать, что каждая 几-арная функция 尸 состоит из бесконечного числа частей, каждая из которых есть значение функции 尸 для одной 几-ки чисел. Каждую часть можно заменить конкретным объектом, например равенством, дающим значение функции F для этой n-ки. Однако мы не можем заменить F единственным конкретным объектом.

Предположим, что Ф — отображение множества А конкретных объектов в множество В м-арных функций. Ясно, что мы не можем найти по данному элементу а из Л бесконечно много частей ①(а) при финитном вычислении. Самое большее, чего мы можем достигнуть, — это получить в качестве результата вычисления разрешающий метод для Ф (а). Поэтому мы определим разрешающий метод для Ф как метод, с помощью которого по данному элементу а из А мы за конечное число шагов можем найти разрешающий метод для Ф (а). (Разумеется, такой метод может существовать только тогда, когда все значения Ф — вычислимые функции.)

Предположим, что у нас есть разрешающий метод для Ф. Для данного элемента а из Л и данной п-ки чисел *i, ..., хл мы можем вычислить значение ①⑷ от xlt ..., х„. Если мы обозначим это значение через ①'(〃, Xi, ・••*&), то это значит, что мы имеем разрешающий метод для ①'.Итак, ясно, что вместе с разрешающим методом для Ф нам дается разрешающий метод для 力.

Мы можем воспользоваться этим, чтобы определить разрешающий метод для отображения Ф произвольного множества Л в некоторое множество В n-арных функций. Определим ①', как ранее, и определим разрешающий метод для Ф как разрешающий метод для Ф\ Таким образом, мы всегда можем переходить к случаю отображений в множество натуральных чисел.

Рассмотрим теперь отображение Ф множества Л п-ар- ных функций в множество натуральных чисел. Чтобы представить себе, как информация об 尸 используется в вычислении Ф (Г), мы рассмотрим характерный пример. Пусть n= 1, и пусть

①(尸)=2尸(尸(0) + 2).

Чтобы найти ①(尸)，мы сначала должны узнать значение 尸(0). Предположим, что оно равно 3. Прибавим к нему 2,； получим 5. Чтобы продолжить вычисления, мы должны : знать значение 尸(5). Предположим, что оно равно 4. Тогда, умножив его на 2, получим 8. Делаем вывод, что ①(尸) = 8. Заметим, что для вычисления безразлично, как : мы получили F (0) и F (5); если только 尸(0) = 3 и 尸(5)=； =4, то мы получаем ①(尸) = 8.

Таким образом, мы видим, что функция F использу- ется в вычислении Ф (F) путем использования значений функции 尸 для некоторых и-ок (肉，…」@几).В некоторых случаях аъ ..., ап даются в указаниях к вычислению Ф(F), в других случаях &力 〃汽 вычисляются в про- ： цессе вычисления, возможно, используя другие значения ； функции 尸.В нашем примере значение аргумента 0 было ； дано как указание к вычислению, тогда как значение аргумента 5 было вычислено с использованием значения」 F(0) = 3.:

Как мы упоминали, для описания разрешающего метода несущественно, как получены значения F. Чтобы как-то : пояснить это, предположим> что с начала вычисления ; ①(尸)у нас имеется некий объект, который, если его ： снабдить какой-то n-кой чиселя выдаст значение функции 戶： на этой n-ке. Этот объект не может быть машиной, так ； как 尸 может быть невычислимой. Следуя Тьюрингу, мы называем такой объект оракулом 也ля F (потому что он дает правильный ответ, обходясь без какого-либо явного способа сделать это). Таким образом, мы можем сказать,； что разрешающий метод для Ф — это такой метод, с по- i мощью которого, имея оракул для Ft мы можем за конечное число шагов вычислять ①(尸)•：

Оракул для F может быть заменен оракулом для 〈尸〉' и наоборот, так как мы можем найти 尸(竹，вычисляя (а)' и спрашивая оракул для 〈尸〉об 〈尸〉((a)), и мы можем найти 〈尸〉(а), вычисляя (а%,(а)九一工 и спрашивая ора-

кул для F об 尸((а)。* .…，(л)„-1). Вследствие этого без потери общности мы можем ограничиться рассмотрением только множеств А унарных функций.

Таким образом, мы приходим к следующим определе- ' НИЯМ. Пусть Nmt л — МНОЖвСТВО (/n + n)-OK («1, , . . , ОСт ； 〃工》…，阳)，где 备，…，^т — унарные всюду определенные функции, а аъ ,.., ал~числа, (т, п)-арным частичным

(всюду определенным) функционалом является частичное (всюду определенное) отображение Ngn в множество чисел. Всюду определенный функционал называется просто функционалом. Очевидно, (0, п)-арные частичные (всюду определенные) функционалы — это просто п-арные частичные (всюду определенные) функции.

(т, м)-арньш частичным [всюду определенным) отношением называется частичное (всюду определенное) подмножество множества “加,孔，Всюду определенное отношение называется просто отношением. (О, п)-арныеп частичные (всюду определенные) отношения — это просто м-арные частичные (всюду определенные) предикаты.

Буквы, употреблявшиеся ранее для обозначения частичных функций и частичных предикатов, будут теперь употребляться для обозначения соответственно частичных функционалов и частичных отношений. Строчные грече- ские буквы мы применяем для обозначения всюду определенных унарных функций. Эти буквы будут называться функциональными переменными, если они употребляются в качестве переменных; употребляемые в качестве переменных строчные латинские буквы будут называться числовыми переменными. Мы будем пользоваться прописными готическими буквами для обозначения таких конечных последовательностей различных греческих и латинских букв, в которых греческие буквы (если они есть) предшествуют всем латинским буквам (если они есть). Если две различные готические буквы встречаются в одном контексте, то предполагается, что обозначенные ими последовательности не имеют общих букв. Как и при употреблении строчных готических букв, мы предполагаем, что число букв в последовательности выбрано в соответствии с контекстом. Так, если функционал 尸 является (加,几)-ар- ным и мы пишем 户(界)，то мы предполагаем, что ?1 состоит нз т греческих букв и п латинских букв.

Мы ограничили аргументы (т, п)-ками, в которых m Функций предшествуют п числам. Очевидно> что на самом Деле при таком ограничении общность не теряется. Для Удобства обозначений мы можем иногда писать некоторые "з функциональных символов после некоторых числовых символов. Если это имеет место, то подразумевается, что символы функций должны быть поставлены перед симво- 厶амн чисел без какого-либо другого изменения порядка

символов. Например, если мы пишем 尸(疔，纷)，то подразумевается, что функциональные переменные из 53 должны быть передвинуты вперед числовых переменных из 畧.

Представляющим частичным функционалом Кр частич-；： ного отношения Р называется частичный функционал, область определения которого та же, что и у Р, и кото-: рый следующим образом определен для аргументов 北 в этой области определения: Кр (方) = 0, если Р (3(), и : Кр(91)=1, если 口尸映).

Мы говорим, что нам дана (т, и)-ка 必，если нам даны : п чисел из 91 и оракулы для m функций из 界.Это дает : нам право использовать определения из предыдущего па-； раграфа для определения разрешающего метода и вычислимости для частичных функционалов и частичных отношений. Ясно, что частичное отношение вычислимо тогда и : только тогда, когда его представляющий частичный функ-- ционал вычислим.；

Всюду определенное отношение Р позитивно вычислимо. если существует такой метод, который при применении к 戰 установит, что Р (31) истинно, если это действительно так, и не даст никакого результата, если Р (双)ложно. Мы покажем, что это понятие можно свести к понятию вычислимого всюду определенного предиката. Сначала введем следующее обозначение: если 理 есть 融，…，а^,； a工，a汽,то (x) есть )巫工(工),...,(x), s, an.； Тогда мы утверждаем, что (т, п)-арное всюду определен- ное отношение Р позитивно вычислимо тогда и только : тогда, когда существует такой вычислимый (m + n4~ 1)-ар-: ный всюду определенный предикат Q, что

Р 闿-士Q(近")，X).

для всех 21.

Для простоты предположим, что 理 есть а, а. Пусть ' отношение Р позитивно вычислимо. Определим разрешаю- у щий метод для 3-арного всюду определенного предиката Q.； Чтобы вычислить Q (&, а, х), сделаем х шагов в вычисле- нии Р (а, а). Однако мы не будем пользоваться оракулом — для а. Вместо этого, когда нам нужно значение a (i), мы ' пользуемся значением (力)办 если 2V 尤，и прекращаем вычисление, если i^x. Если это вычисление дает ответ,

что Р (а, а) истинно, то Q(R а* %) истинно; в противном случае Q (6, а,尤)ложно. Теперь вычисление Q (а (х), а, х) есть просто часть правильного вычисления Р (а, а), так что если 2xQ (а (х), а, х), то Р(а, а), Наоборот, предположим, что Р (а, а). Выберем х настолько большим, чтобы для вычисления Р (а, а) требовалось менее х шагов и чтобы все аргументы, для которых в вычислении требуются значения а, были меньше х. Тогда Q (& (*), а, х).

Теперь предположим, что существует такой вычислимый предикат Q, что Р(а, а) 3xQ (а (х), а, х) для всех а н а. На 尤-м шаге в вычислении Р (а, а) мы пользуемся оракулом для а, чтобы вычислить & (尤),а затем вычисляем Q (а (х), а, х). Если Q (①(х), а, х) истинно, то мы решаем, что Р (а, а) истинно; в противном случае мы переходим к следующему шагу. Ясно, что это дает правильный ответ, если 尸(а, а), и не дает ответа, если 1尸(% a).

(т, п)-арное всюду определенное отношение Р рекурсивно перечислимо, если существует такой рекурсивный (m4-n+ 1)-арный всюду определенный предикат Q, что

Р (方)-士Q (可(X), х)

для всех 9L Вследствие сказанного выше, а также вследствие тезиса Чёрча отношение рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда оно позитивно вычислимо. Заметим, что наше определение согласуется с данным ранее определением рекурсивной перечислимости для предикатов.

Пусть F — (т, п)-арная частичная функция; определим (т, м-|- 1)-арное всюду определенное отношение ⑨尸,называемое графиком 尸，следующим образом:

⑨尸(丸а)qf(衿4欧

Мы можем распространить (1) из § 7.1 на этот случай: Yy (%(%У) С 士R (乱协х))f尸侬~

亠3欠(乱(z)o,⑵i))°. (1) Как в случае частичных функций, мы можем доказать, ито частичный функционал вычислим тогда и только тогда, когда его график позитивно вычислим.

Частичный функционал рекурсивен, если его график рекурсивно перечислим. Частичное отношение рекурсмно^

8 Дж. Шенфилд

если его представляющий частичный функционал рекурсивен. Вследствие сказанного выше, а также вследствие тезиса Чёрча частичный функционал рекурсивен тогда и только тогда, когда он вычислим, частичное отношение рекурсивно тогда и только тогда, когда оно вычислимо.

Свойства рекурсивных функционалов

Мы начинаем с рассмотрения некоторых правил образования рекурсивно перечислимых отношений.

RE1. Если Q рекурсивно перечислимо, а Р определено следующим образом:

p (电，…，ат, а) с Q 3乙，.…aз 尸i(Q),…，尸也(a)), где числа 九.一,ir находятся среди 1, т^ а Г1Э ... ...,Fr — всюду определенные рекурсивные функции, то Р рекурсивно перечислимо.

Доказательство. Для некоторого рекурсивного предиката R

Q(2 — ：3xR(^(x), х)・

Отсюда

夕(备，…，а加 a)<^3xR (况乙(尤)，• • .，& j (x),尸工(а), ...,Л(л),х)

-m%口(四(X)，&m(x), a, x), где Rf — рекурсивный предикат, определенный следующим образом:

R (匕1，….，bg a,尤)《，R (bq,...,仇尸，尸1(。), *一，尸用(0)，十). Таким образом, Р рекурсивно перечислимо.

Предположим, что отношение Р имеет явное определение, использующее только переменные и символы рекурсивно перечислимых отношений и рекурсивных функций. Предположим также, что функциональные переменные встречаются только как аргументы рекурсивно перечислимых отношений, а символы рекурсивных функций не встречаются в качестве аргументов этих отношений. Тогда Р рекурсивно перечислимо. Действительно, определение должно иметь вид

尸 Gi, •・「Sg а) с Q (а^, .,., % Xi, ..., AQ, где 4 состоит из числовых переменных и символов рекурсивных функций. Тогда мы определяем F/ (а) = Аг и применяем RE1.

В частности, каждое рекурсивное отношение Р рекурсивно перечислимо, так как 尸(妙)^⑤氏尸改，0), а ©кр рекурсивно перечислимо.

Если 奴 есть а1(аш, %, ..., @, то мы пишем In (北(х), g) вместо )

In (ах (х), у), — ・，In(am (%),幻,％,…,传.

Тогда, если gv 尤，то In(3( (x), g) есть в точности 91(g).

RE2. Если Q рекурсивно перечислимо и Р определено следующим образом:

尸(20 士Q (乱工),

то Р рекурсивно перечислимо.

Доказательство. Мы имеем

Q (乱尤)с myR (而(у), X, у), где R рекурсивно. Тогда

Р (/)—三尤口/R 您(办 x, g)・(1)

Теперь, если 2 пробегает все числа, то ((2)0, (*) пробегает все пары чисел (х, у). Следовательно, мы можем переписать (1) следующим образом:

P^)^ BzR^ (Ш，(2%,⑶ J⑵

Так как согласно (8) из § 6,4 (г)х ^ г, то

近((z)i) = In(双(Z),⑶ 1).

Отсюда

Р (叫-mzR(In (近(z), (z)J, (z)°, (z)J

—出口 (近⑵，z), где /?' — рекурсивный предикат, определенный следующим образом: R‘(a, z) с A (In (а,⑵)(z)。，(z)i)・ Таким образом,尸 рекурсивно перечислимо.

Переход от (1) к (2) называется свертыванием кванторов t Он может также применяться для свертывания (замены) двух смежных соседних кванторов всеобщности одним квантором всеобщности.

Вследствие RE2 мы можем употреблять кванторы существования по числовым переменным в явных определениях рекурсивно перечислимых отношений.

RE3. Если Q и R рекурсивно перечислимы, то Q V R и Q&R рекурсивно перечислимы.

Доказательство. Пусть Р есть Q V R. Пусть Q(”cHxQi(M(x),x),R(2 — myRi(^®),y), где Qi и Ri рекурсивны. Тогда при помощи пренексных операций и свертывания кванторов получаем

p (% - 士Q1 (帀(2灯V必当("办у)号

-3хву (Qi (近⑴,尤)V R (近g)，y))

-壬(Qi (% (Ш，⑶о) V & (亚((％)，Ш)

一士(Qi(In(式⑶，⑶o),(2)o) V%(In (近⑶，；

(*)，(*))・;

Следовательно, Р рекурсивно перечислимо. C Q&R мн ■ поступаем аналогично.

Вследствие RE3 мы можем использовать V* н & 三 в явных определениях рекурсивно перечислимых отно- ? тенкй.；

Отметим, что

^хх<аЗуР(х, г/, a)^3z^xx<aP(x, (z)x, а).(3)

Действительно, обе часта утверждают, что существуют ； такие числа у^ уъ ..., уа-ъ что Р (х, у”, а) для всех xV а.1

RE4. Если Q рекурсивно перечислимо и Р определено 号 следующим образом:；

Р(。，沁-V&VaQ (妣 X), то Р рекурсивно перечислимо..j

Доказательство. Пусть Q (必，х) q SyR (31 (у),尤，у), где R рекурсивно. Тогда, используя (3), получаем

Р (а,汨 С VXxvaRR (讶 ®), X, у) c：3zVx*VaR(^((Z)JX,(2)J

—mzVXxvJ? (111(亚(Z),(Z)x), X,(Z)*).

Отсюда следует, что Р рекурсивно перечислимо. Вследст- ：、 вие RE4 мы можем употреблять ограниченные кванторы 三 всеобщности в явных определениях рекурсивно перечислимых отношений.

Теперь мы обобщим RI—R14 на частичные функционалы и отношения. Так как эти обобщения включают

предшествующие результаты, то мы снова назовем их RI ——R14. В случае прямых обобщений мы опустим доказательства, а иногда и формулировки правил.

Пусть 1 ViV%; определим (т, п)-арный функционал /竺'следующим образом:

厶 31,…•，％n, "1, * • ♦ , ^л) == 〃£•

Определим также (1,1)-арный функционал Ар: Ар (а, а) = а(а).

R1. Функционалы /『'',+, •, К< и Ар рекурсивны. Доказательство. Нам надо рассмотреть лишь /『'"и Ар. Обозначая /戶"через /, имеем

Таким образом,⑤ рекурсивно перечислимо. Аналогично, ®АР (% а, Ь) с а ⑷=& q 三工(х>0& (况(尤))a =b)， поэтому ®Ар рекурсивно перечислимо.

R2. Если G, Hlt ..., Hk рекурсивны, а 尸 определен следующим образом:

F (a_i,・.・，仪加，а) ^^ G (%；,.，.，加戸 /7\ (а】，….，а^, 口)，…* • • • > Hha用，口))，

где числа 厶,...,ir находятся средн 1, ..., m, то F рекурсивен.

Доказательство. Мы имеем

①尸(%, .・.,am, а, а) с 三2]

...3zA (®Ht (аь ..., ат, а, N0 & ・…

⑨"用(«с ‘ 仪加,% %)&^g (а(а% , • ••» , '))* Из полученных ранее результатов следует, что ⑨尸 рекурсивно перечислимо.

R3. Если G рекурсивен, а 尸 определен следующим образом:

尸(21)亠呼(G (* 尤) = 0), то F рекурсивен.

Доказательство. Мы имеем

⑨尸(丸 a)c&G(富，a, 0)&^xx<aBy(y>0&®G (^1, x, g)).

Из полученных ранее результатов следует, что ⑨尸 рекурсивно перечислимо.

R4. Если Q, Нъ ..., Hk рекурсивны, а Р определено следующим образом:

Р (o^i, ■ * * > «6, а) < > Q ^ос/^) »..)勿尸，Нi (а^, •…，仪加，а),...

• • * > "施(网，，一，0))，

где числа &,.・・,〃 находятся среди 1, ..., т, то Р рекурсивно.

R5. Если Р рекурсивно, a F определен следующим образом:

尸(%~卩鳍(如х), то F рекурсивен.

Применяя R1 —— R5, мы можем почти точно так же, как и ранее, показать, что явно определенные частичные функционалы и отношения рекурсивны. Например, предположим, что F определен следующим образом:

尸(а, 0, х)"卩(G (а,尤)+ а (%)),

где G рекурсивен* Тогда мы можем последовательно определить рекурсивные частичные функционалы:

尸 1(% 0, %) ~ G (а,尤)dG(a, /"(а, §, х)),

居(а, В, х) 4 а (х)〜Ар (а, х),

尸з(а, 8, х) ~ G (а, х) + а(х)亠尸"а, р,工)+ 尸2(% ₽, х), 尸(а”，х) ~ р (G (а, х) + а(х))~Ар(р, F3(a, р, х)).

В обобщении R7 подразумевается, что Р V Q определено следующим образом:

(Р VQ)(界)мР (方)VQ(2，

и поэтому определено на 31 тогда и только тогда, когда как Р(2，так и Q(3I) определены. Поэтому мы имеем

KpyQ^)^KP (21)・Kq (沿.

Аналогичные замечания применимы к Q Р, PfQ, P&Q н PcQ・

Мы можем трактовать ограниченные (х-операторы и ограниченные кванторы так же, как ранее. Однако ограниченный р.-оператор или ограниченный квантор по х имеет свое обычное значение только тогда, когда последующее выражение определено для каждого х.

R12. Пусть Gl •…,G总 рекурсивны. Пусть R*一…Rk — либо рекурсивные частичные отношения, либо рекурсивно перечислимые отношения такие, что для каждого 21 не более чем одно из отношений Rx （Ш）, ..., Rk （й） определено и истинно. Если 尸 определен следующим образом:

，G（2, если &（“，

•尸（Ш）~

& （31）, если 凡啟）

（где подразумевается, что 尸（北）не определен, если никакое из отношений Ri （观），一•, R左（北）не будет определено и истинно）, то 尸 рекурсивен.

Доказательство. Если Q — рекурсивное частичное отношение, а R， определено следующим образом:

©（2 с ⑨К% （乱 0）,

то R； рекурсивно перечислимо и № （奴）истинно тогда и только тогда, когда Ri （21） определено и истинно. Поэтому мы можем предположить, что Ri — рекурсивно перечислимое отношение. Тогда

团（4 a） С （慘0 （乱 "）& Ri （界））V …V （阮用（乩 "）& R用（2）; поэтому ⑨尸 рекурсивно перечислимо.

R13. Пусть Qi,Q用 рекурсивны. Пусть R* Rh —

или рекурсивные частичные отношения, или рекурсивно перечислимые отношения такие, что для каждого 專 не более чем одно из отношений 7?工（以），...，R左（奴）определено и истинно. Если Р определено следующим образом:

Qi（2, если R（2， 尸倒产

QM2, если &（北）

（где подразумевается, что Р（21） не определено, если ни одно из отношений R （北），…，欠用（北）не будет определено и истинно）, то Р рекурсивно.

Определим 尸 следующим образом:

户包界）~〈尸（0,2，尸（匕一1,汨〉.

Явное определение （14） из § 6Л все еще корректно, поэтому, если 尸 рекурсивен, то F рекурсивен. Определение （15） из § 6.4 не имеет силы, если функционал частичный.

Мы можем очевидным образом обобщить R14 иа рекурсивные частичные функционалы.

Заметим, что—

Ар (а, 〃) = а(〃)； следовательно, _употребляя Ар таким же образом, как ； мы прежде использовали Ар, мы видим, что надчеркну- тые функциональные переменные можно употреблять в явных определениях рекурсивных частичных функционалов и отношений.

Следствием наших результатов о явных определениях является то, что если G (疝，%) и Н (21) рекурсивны и мы подставим Н (21) вместо 尤 в G (北，%), то мы получим рекурсивный частичный функционал от 取. Мы намерены доказать подобное правило подстановки вместо функциональ- : ных переменных. Очевидно, мы не можем подставить Н (81) вместо а, потому что //(М) —число. Поэтому мы сначала введем некоторое обозначение.；

Пусть ... х ... — выражение, которое, когда оно определено, представляет число. Тогда мы используем ; Хх... х... для обозначения унарной частичной функции F, определенной следующим образом:尸(尤)亠 ….х.…Отметим» что 尤 в ^х ...х... связано. Например,九 х(* + у) —это функция 尸，определенная как 尸(尤)=%工^; это функция, ■ зависящая от значения у, но не зависящая от значения х. Частичная функция 入х …х … всюду определена, если .…尤определено для всех 尤:

Теорема о подстановке. Пусть G и Н — рекурсивные частичные функционалы^ тогда существует такой : рекурсивный частичный функционал F, что

F(^)^G(KxH(x9^以):

для всех таких 乱 что Хх/f (%, Ш) является всюду опреде- ленной функцией.；；

Доказательство. Определим尸‘ следующим об- g

разом:+

尸(衿~G (説"(х,吸)，界).'

Пусть R —такой рекурсивный предикат, что •

&а (а,乱 у) с BxR (а (х),吋(х), у, х).

Тогда, если 31 таково, что 九хТ/ (х,切)всюду определена, то 隔‘ (*, у) — 3x7? (Я (х,汾，观(х), у, х)；

поэтому вследствие (1) из § 7.2 получаем, что

Е 闿亠(卩zR (Я ((*,沁，或((*), Z0)。.

Следовательно, мы можем явно определить 尸，полагая 尸(欢)равным правой части последнего выражения.

Замечание. Если 8( таково, что ^хН (х,奴)определена не всюду, то 尸，(21), конечно, не определен, однако 尸(理)может быть определен.

Теперь рассмотрим явное определение

尸(?1) ~ —儿工(…*…)一一,(4)

содержащее 九，и предположим, что для всех остальных имеющихся символов уже было показано, что они могут употребляться в явных определениях рекурсивных частичных функционалов.

Мы можем определить рекурсивные частичные функционалы G и Н следующим образом:

G(a,耽)=一а_;

h (х,衿4…%.…

Тогда (4) превращается в

尸(双)4g(九x//(居也)，山).

Мы не можем сделать вывод, что функционал F рекурсивен; однако по теореме о подстановке существует такой рекурсивный функционал 尸，что (4) имеет место, если • ・・х... определено для всех х. Еслиопределено

при всех значениях х и 91, то мы можем сделать вывод, что определенный в (4) функционал 尸 рекурсивен. Справедливы точно такие же замечания об употреблении А в явных определениях рекурсивных частичных отношений.

Функцию ^ха(〈2, х)) мы обозначаем через (а)- Ввиду сказанного выше (а)? может применяться в явных определениях рекурсивных частичных функционалов и отно теннй. Если а0> »1> ... — бесконечная последовательность Функций, то существует такое а, что (а)» = м для всех i, потому что мы можем определить а следующим образом: «) = %)。((研.

Индексы

Теперь мы сопоставим каждому рекурсивному частичному функционалу число таким образом, чтобы по этому числу можно было восстановить этот частичный функционал.

Пусть Zi, 2纟,...—переменные теории N, расположенные в алфавитном порядке. Если 4 ~ формула теории N, то пусть £л(Д) — множество таких n-ок (^,а^, что

Точно так же, как и в § 6.8, мы можем показать, что каждый рекурсивный п-арный всюду определенный предикат есть Еп (Д) для некоторого 4.

Теперь мы получим явное определение Еп (Л). Определим рекурсивную функцию S„ следующим образом:

Sn (^, @) = Sub® (2n), Num (a)).:

Тогда

S八厂4、d}^Az^^

Теперь мы определим такую рекурсивную функцию Sb^, что

Sb/г (厂4丁 〃工Пл) = AzvN」'％，'％]‘・

Пользуясь индукцией по п, определяем"

Sb。(е)=е и

Sb/i(e, %,口计1) = Sb乩(S孔(е, a汽+i), S* •・•, 〃汽)・(1)

Тогда мы имеем

(аъ а/г)е£л(А)*^ЗаРглг(5Ьл(Г4~,, аь а^ у). (2)

Пусть теперь F — рекурсивный (т, п)-арный частичный ! функционал. Тогда мы можем выбрать такой рекурсивный предикат R, что；

⑨尸(我，У) 3w7? (у,叫取侬))•

Выберем 4 такое, что R есть Ет^п^ (4), и пусть f =「4】 Тогда, свертывая кванторы, вследствие (2) имеем

% (乱 у) <^ 3w3v PrN (Sb^+2 (/,弘吗—気(◎)), V)

C 士 P[N(Sbm+/2(力，(幻0,近((联))，(*)1).

Вследствие (1) из § 7.2

尸(我)4 3zPrN(Sbm+〃+2(f,⑵о,⑵i,o,浜(⑵i,。))，(Zb」％. Определим рекурсивное отношение Тт> п и рекурсивную функцию U следующим образом:

7k " (f, * Z)-Pl>(Sb办计2(厶(2)山(2)1,0, ^((2)1(0)), (Zltl))fUki)。

(вместо 丁电汽 мы пишем Тп). Тогда мы имеем

F^)^U(iizTmtn(f.吸，z))・(3)

Число f называется индексом (m, п)-арного частичного функционала F, если (3) верно для всех 51. Мы доказали, что каждый рекурсивный частичный функционал имеет индекс. Обратно, если f является индексом функционала 尸, то функционал 户 имеет явное определение (3) и поэтому рекурсивен. Таким образом, мы имеем следующий результат.

Теорема о нормальной форме (Клини). Частичный функционал рекурсивен тогда и только тогда, когда он имеет индекс.

Каждое число f является индексом единственного (т, п)-арного частичного функционала, а именно, того 尸, который определен в (3). Этот частичный функционал мы обозначим через \f]m*Л, опуская верхние индексы, если это не вызывает путаницы. Таким образом,

{乃mm仅)4 и(“汀加"亿乩2»(4)

и, следовательно,

{丹m»(2 определено ^> НгГт( л (Д 吸，2).(5)

Вследствие (4) {/}(理)является рекурсивным частичным функционалом от аргументов 力 班.Отсюда видно, что мы можем употреблять 疗}(以)в явных определениях рекурсивных частичных функционалов и отношений. Отсюда также видно (ввиду определения рекурсивного частичного функционала), что {/} (й) ~& является рекурсивно перечислимым отношением от аргументов 厶 近，b.

Пусть теперь Р — рекурсивно перечислимое (т, п)-арное отношение, например,

尸(北)- HR (氣(初х),

где R рекурсивно. Определим рекурсивный частичный 「 функционал 尸 следующим образом:尸(必)d[ixR (欢(尤)，x), и пусть р является индексом функционала 尸.Тогда значение {р}(必)определено тогда и только тогда, когда 尸(/)• Отсюда и из (5) имеем

尸偿)cm2T…(р,乱 г).(6)

Число р называется RE-индексом (т, и)-арного отношения Р, если (6) справедливо для всех 界.Мы видели, ‘ что каждое рекурсивно перечислимое отношение имеет ， RE-индекс. Отношение Р, имеющее R.E-индекс р, имеет . явное определение (6) и потому рекурсивно перечислимо. ■ Отсюда получается

Теорема о перечислении (Клини). Отношение ' рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда оно ; имеет RE-индекс.

Каждое число р является RE-индексом единственного (т, п)-арного отношения 尸，определенного в (6). Мы обо-: значим это отношение через W^1 л, опуская верхние ин-' дексы, если это не приводит к путанице.

Пусть 尸一(/и,几 + 力)・арный частичный функционал; для : каждой ^-ки а определим (т, п)-арный частичный функ-: ционал 尸(底)следующим образом:』

尸⑷(/)4尸改，а).

Пусть Р есть (т,几 +力)-арное отношение; для каждой : 耳ки ?1 мы определим (т, и)-арное отношение Р^ следую-： щим образом:勺

尸⑴(汨q尸他0：

(Мы могли бы дать аналогичное определение для частичного отношения Р, однако оно нам не потребуется.) Мы говорим, что (т, п + 1)-арное отношение Р перечисляет класс (т, м)-арных отношений, состоящий из Р^, P(i),...」

Теперь мы покажем, что существует такая рекурсивная функция 5吗%在，что

TmzU，乱仇 z)cTm»(S%&兑(厶 a),丸 z)・(7) *

Мы можем положить S* %o(f)=3 Сравнивая (1) и определение Тт, л, мы видим, что мы можем определить :'

^т. л, 1 (/> а)汽±2 (f, 〃)•

Далее, проводя индукцию по k9 определяем

^mt n, fe+i (/» а, &)S^,吃左(Sm, п+А,1(厶G, В・

Иногда мы опускаем нижние индексы у Sm, %加・

Из (7) мы получаем''

疗产》+叮乱 a)^{Sminfk(ft а)}(Й()

吟(乱。…%…^^»(8)

Вследствие этого, если f является индексом функционала Е то S (/, а) является индексом функционала 尸⑷；если р является RE-индексом отношения Р, то S (р, а) является RE-индексом отношения Р(#.

Теперь мы используем индексы для получения еще одного метода определения рекурсивных частичных функционалов. В неявном определении частичного функционала 尸 значение 尸(“)дается в терминах F и ?L Таким образом, мы полагаем

尸(衿~0 (居北)，(9)

где Ф ——отображение, значениями которого являются числа. Конечно, это на самом деле не определяет функционал 尸,это просто означает, что мы искали такой функ* ционал F, что уравнение справедливо для всех 3(. Это уравнение может не иметь решения, или иметь единственное решение, или много решений.

Мы хотим показать, что при подходящих предположениях о Ф существует по крайней мере одно рекурсивное решение. Мы не можем предполагать, что отображение Ф рекурсивно, так как Ф не является функционалом. Поэтому мы заменим в правой части (9) функционал F на индекс функционала 尸.Иначе говоря, мы определим частичный функционал ①'следующим образом:

仃优沁~①(仍，8().

Теперь мы можем предполагать, что ①'рекурсивен. Мы хотнм показать, что существует такой рекурсивный функционал F е индексом /, что 尸(и)4 ①‘(力吸)для всех 汇

Теорема о рекурсии (Клини). Пусть G — рекур- сивный (т, п+ \)-арный частичный функционалу сущест- 8Jc他 такой (加， п)-арный частичный функционал 尸 с

индексом 厶 что

F (汾亠G (乱f) для всех 21 ・

Доказательство. Определим рекурсивный функционал Я следующим образом:

"(耽 e)~G (叽 Szn"j® e)), и пусть h — индекс функционала И. Пусть 尸 есть Я(Л) и f=Smt ntl(ht А). Тогда f есть индекс функционала 尸 и 尸侬)~"(乱h)

4GM S…(%五))

4G(也我

Теорема о рекурсии является ценным средством для доказательства рекурсивности частичных функционалов.: По данному функционалу 尸 мы пытаемся построить ото-, бражение Ф так, чтобы (9) имело в качестве единствен-二 ного решения Ft и так, чтобы соответствующий функцио-: нал был рекурсивен. Тогда мы можем заключить, что 尸 рекурсивен. Примером такой техники служит задача 1.

При употреблении теоремы о рекурсии мы обычно бу-. дем говорить: определим рекурсивный частичный функ- ' ционал F с индексом f следующим образом:尸僧)亠G(% /).: Конечно, в общем случае К н / не являются единственными; мы подразумеваем, что какие-то 尸 н 厶 обладающие : этими свойствами, могут быть выбраны. Обычно функционал G будет задаваться явным определением или определением разбором случаев. Поэтому 尸(3()~G (北,f) будет ； иметь вид явного определения функционала 户 или определения функционала F разбором случаев, за исключением того, что индекс / функционала F может встречаться в пра- вой части. Мы также будем допускать появление выра-； жений F (...) в правой части; такое выражение считается < сокращением для {/} (•.). Мы можем определить~

Г Я (F (21)), если Р (Я),

[К (乩 в остальных случаях, где Я и ^ — рекурсивные частичные функционалы, а Р — рекурсивное отношение.

Мы можем также использовать теорему о рекурсии для , того, чтобы определить рекурсивное частичное отношение Р следующим образом: Р《X) XQ (乱 р), где р — индекс функ-

ционала Кр] действительно, это определение эквивалентно определению Кр (方)~Kq (狄,р). И снова в общем случае Q может быть задано явным определением или определением разбором случаев. Тогда мы допускаем наличие в правой части выражений Р (...); такое выражение считается сокращением для {р} (.. ,) = 0.

Арифметическая иерархия

Мы уже видели, что применение кванторов в явных определениях выводит за пределы класса рекурсивных отношений. Мы собираемся изучить отношения, которые могут быть получены навешиванием кванторов на рекурсивные отношения. В этом параграфе мы рассматриваем только кванторы по числовым переменным, кванторы по функциональным переменным будут рассмотрены позже.

Отношение Р называется арифметическим, если оно имеет явное определение

尸倒)QQ/…Q/R (乱打，…，*J (1) где R — рекурсивное отношение и каждое Ох/ есть либо 三修,либо Vxz.

Два квантора имеют одинаковый вид, если они оба являются кванторами существования или оба являются кванторами всеобщности. Если нам дано определение (1), в котором имеются два смежных квантора одинакового вида, то мы можем воспользоваться свертыванием кванторов для замены их одним квантором. Так, если первоначальным определением является

Р (2() 3xiy^z3wR (51^ х, у, z,侬)，

то мы имеем новое определение

Р (?() Bx\fv3wRf (^(, х, и, ш), где R' — рекурсивное отношение, определенное следующим образом:

R'(4 %,厶 5)cR (乱爲(о)。，(oh，侬).

Если n ^ 1, то отношение называется отношением рода ^п (П^), если оно имеет явное определение (1), где отно- щение R рекурсивно, нет двух смежных кванторов одинакового вида и где первый квантор — квантор существования

（всеобщности）. Таким образом, мы видим, что каждое ； арифметическое отношение либо рекурсивно, либо является отношением рода Е^ или П^ для некоторого и ^： L Эта; классификация арифметических отношений называется арифметической иерархией.:

Мы дадим несколько правил получения отношений рода ■ 当 и Щ.<

А1. Если отношение Р рекурсивно, то Р — отношение •■： рода £先 и Щ для любых п. Если Р — отношение рода ! 2^ или П^, то Р — отношение рода Е% и Щ для любых ' п > т.

Доказательство. Используется добавление лиш-:： них кванторов. Предположим, например, что Р — отноше-； ние рода и имеет определение

p侬）-士VyR （*居力

Покажем, что Р — отношение рода 銀 и 口扌.Действительно,Р （5（） о 3x^y3zR （3（, х, у）

—P3cYyR （乱 xt у）.

A2. Если Q — отношение рода S^ （Щ） и 尸工，…，尸厂「 G], ..., Gu — рекурсивные функционалы, то отношение Q,: определенное следующим образом:

Р （汾СQ （就网 （汎不），…，版尸，（% X）, G]改），…，伉州）），

является отношением рода 2^（Щ）.:

Доказательство. Предположим, что Q — отноше-； ние рода 工扌 и имеет определение;

Q（2cRV?R（M,у, %）.三

Тогда 尸（衿—司VzR'（X, у, z）, где Rf — рекурсивное от-: ношение, определенное следующимобразом:；

R （取,Г/, sjcR（九叫性尤）,…，九工尸尸（丸X）,:

G^^.^G^.y^z）,

АЗ. Если Q — отношение рода S„ и отношение Р опре-: Делено следующим образом:夕（衿 cBrQ （汰 х）, то P—； отношение рода £，Если Q — отношение рода П^ и отно-： шение Р определено следующим образом: Р （批）—VxQ （乱尤），； то Р —отношение рода Щ.」

Доказательство. Используется свертывание кванторов. Так, если Q — отношение рода 桀 и определено ■

следующим образом:

Q(^t x)<^By\fzR (21,尤 у, z)?j

то

Р (理)e m石gVzR (欢，x,弘 z),

и, следовательно, Р ™ отношение рода St если свернуть кванторы.

А4. Если Р и Q — отношения рода 2^(Пн), то Р V Q и Р & Q — отношения рода 或⑴»

Доказ ател ьство. Предположим, что Р и Q —отношения рода 注，например, что

尸(衿е нTууа (丸х, g), Q (欢)一士V映1也z,侬).

Свертывая кванторы, видим, что Р \/ Q — отношение рода 瑞

А5. Если Р — отношение рода S^ (Щ), то Р — отношение рода Щ (2л).

Доказательство. Используются пренексные операции. Например, если Р — отношение рода Eg и имеет определение

Р(М)с士％R (丸 х, у\ то

1尸(分)-1士办7?也х, у)

Для изучения ограниченных кванторов нам необходимы следующие эквивалентности:

⑵①4)⑸⑵①4)⑸-Зхх<аЗуР (х, д, а}<^ЗуВхх<аР (х, у, а), Yx”a^yP (х, 9, 〃) —VgV七<。尸(尤，弘 а), ^Хх<аЗуР(Х, у, a)^By\fXx<aP(X,也卜,叫 Эхх<(УуР(X, у, а)^^у3хх<ар (х, ®)х, 〃)•

⑵①4)⑸

⑵①4)⑸

Первые две очевидны, a (4) есть (3) из § 7.3. Чтобы получить (5), мы в (4) заменим 尸 на ~|Р н вынесем знаки отрицания вперед с помощью пренексных операций. Мы получим, что отрицания обеих частей в (5) эквивалентны, отсюда следует (5).

Аб. Если Р — отношение рода £%(1Ц), а отношения Q и R определены следующим образом:

QQ 2〔)С：3 爲 <°Р(乱 X), R@ 北)cVx#<aP(丸 X),

то Q и R — отношения рода S^ (Щ),

Доказательство. Предположим, что Р — отношение рода 驾，например, что

尸也 a — myVzR 倒,х, у, z).

Тогда вследствие (2) и (5) имеем

Q(a,戰)С士"。寺v次(乱 x, g, г) ^ByBxx<a^zR (3(, х, у, г) ^3y^z3xx<aR (81, х, у,⑵)

Эти результаты могут применяться для доказательства того, что различные явно определенные отношения являются отношениями рода 2« или Щ; при этом техника такая же, как при употреблении рекурсивных частичных отношений и рекурсивно перечислимых отношений.

Отношения рода SJ — это в точности рекурсивно перечислимые отношения. Действительно, отношение рода Е； рекурсивно перечислимо в силу результатов из § 7.3, а обратное очевидно.

Если Р — отношение рода £；, имеющее хотя бы один функциональный аргумент, то Р имеет определение

尸(％ 8() BxR (а (х),次)，(6)

где отношение R рекурсивно. Действительно, так как Р рекурсивно перечислимо, то

尸(% 戰)c三xQ (反(х),近(*),灯，

где Q рекурсивно, а тогда мы можем определить R следующим образом:

RQ ?I)cQ(〃，亚(lh(〃))，lh(〃))・

Отсюда и из А5 мы видим, что если Р — отношение рода nj, имеющее хотя бы один функциональный аргумент, то

Р (а, ?1) с 1 3xQ (а (х), 8(), где отношение Q рекурсивно. Применяя пренексную операцию к правой части, мы видим, что Р имеет явное определение

Р^ Й) VxT? (а (х), 2,(7)

где R рекурсивно.

Т еорема о б ар ифметическом перечислении (Клини). Для любых типи любого & ^ 1 сущест-

вует (т, п^ 1)-арное отношение рода 2% (ГЦ), которое перечисляет множество (т, п)-арных отношений рода 当(В).

Доказательство. Предположим, например, что 々 = 3. Если Р — отношение рода 2^ то

尸(界)с HrV归次(*, у, г, 8(),

где R рекурсивно. По теореме о нумерации существует такое р, что

m次(尤，y, 2,弘)。壬7\叶2(p，x,弘孔z), так что

•尸(怨 с HrV归打丸北+2(Р，х, у. 81, г).

Наоборот, определенное этой эквивалентностью отношение Р имеет род St Поэтому перечисляющее отношение для отношений рода 羽 определяется следующим образом:

q (丸 —,n+2 (〃 X, у,乱 2)・

По А5 отношения рода П3 — это в точности отрицания отношений рода S3. Вследствие этого 1Q является перечисляющим отношением для отношений рода И：.

Теперь мы можем показать, что единственными соотношениями между отношениями рода 2„ и П^ являются соотношения, полученные по А1.

Теорема о б арифметической иерархии (Клини). Для каждого 几京1 существует унарный предикат Р рода 2 К который не имеет рода Щ 〃，следовательно, не имеет рода 2^ или П^ при т<2п. Кроме того, Я Р имеет род П«, но не Е\ и, следовательно, не 5^ или П^ при mV/г.

До казательство. Пусть Q — бинарный предикат рода £* перечисляющий множество унарных предикатов рода £^, определим Р следующим образом: Р (a) ^>Q (а, а). Тогда Р имеет род S« по А2, в то время как [ Р не имеет рода W% по диагональной лемме. Поэтому требуемое заключение следует из А5 и А1.

Отношение Р имеет род 燄，если оно одновременно имеет род 2^ и Щ. Согласно А5 Р имеет род Д^ тогда и только тогда, когда как Р, так н QP имеют род 5^, и тогда и только тогда, когда как Р, так н QP имеют род П^. В частности, Р имеет род А； тогда и только тогда, когда как Р, так и 1 Р рекурсивно перечислимы.

Следовательно, по теореме об отрицании предикаты рода : ДJ — это в точности рекурсивные предикаты. Мы можем ' легко использовать доказательство теоремы об отрицании, чтобы показать, что отношения рода Д? — это в точности ‘ рекурсивные отношения; на этот результат мы будем также ссылаться как на теорему об отрицании. В еле™ : дующем параграфе мы получим аналогичную характери- - зацию предикатов рода А? для 孔 > 1.

7・6・ Относительная рекурсивность

Пусть Ф — некоторое множество всюду определенных функций. Определим функции, рекурсивные в Ф (или рс・‘ курсивные относительно Ф) с помощью обобщенного опре-. деления, состоящего из четырех правил RO(j), Rig, R2① 4 и R3o・ Последние три правила получены из RI, R2 и R3 заменой слова рекурсивные на рекурсивные s Ф. Первое правило:

И0Ф. Каждая функция из Ф рекурсивна в Ф.

Пусть теперь Ф — некоторое множество всюду опреде- | ленных функций и предикатов, и пусть Ф^ — множество, состоящее из функций, принадлежащих Ф, и из представ-大 ляющих функций предикатов, принадлежащих Ф. Мы ； говорим, что функция рекурсивна в Ф, если она рекурсивна ； в ①‘.Если Ф состоит из У7】，...,尸加，R】，R7n то мы говорим «рекурсивна в Flf ...» Fmt Rlt .一，R@ вместо「 «рекурсивна в Ф».彳

Так как все понятия теории рекурсии определены в терминах понятия рекурсивной функции, то мы можем : из каждого из этих понятий получить новое понятие относительно Ф заменой слова рекурсивно на рекурсивно 6 Ф' в определении старого понятия. Это приводит к следую- “ щим определениям.

Предикат рекурсивен s Ф, если его представляющая 》 функция рекурсивна в Ф (очевидно, отсюда следует, что каждый предикат, принадлежащий Ф, рекурсивен в Ф). Отношение Р рекурсивно перечислимо 6 Ф, если сущест-. вует рекурсивный в Ф предикат R такой, что

Р(2"士R (双(X), x)

для всех 2(. Частичный функционал рекурсивен в ①,если > его график рекурсивно перечислим в Ф. Частичное отно-

шение рекурсивно в Ф, если его представляющий частичный функционал рекурсивен в Ф. Мы предоставляем читателю самому определить арифметичность, W%, 閣 и А% в Ф-

зависят только функции удов-зависят только функции удов-Многие доказанные нами результаты от того обстоятельства, что рекурсивные

зависят только функции удов-

зависят только функции удов-

летворяют правилам R1——R3. Очевидно, эти результаты также справедливы в релятивизованном случае (когда используется понятие относительной рекурсивности)* Таким способом обобщаются правила R1—R14 (в обоих вариантах) и RE1—RE4, а также теорема о подстановке. Обобщаются правила А1—Аб, а также утверждения о том, что каждое арифметическое отношение рекурсивно, имеет род £% или Пд, и утверждение о том, что отношения рода *； —это в точности рекурсивно перечислимые отношения. Теорема об отрицании также обобщается. Разумеется, результаты, доказываемые индукцией по рекурсивным функциям (подобно теореме о представлении), не могут быть обобщены столь просто.

Если Ф пусто, то функции, рекурсивные в Ф, — это в точности рекурсивные функции. Таким образом, реля- тивизованная теория рекурсии содержит в себе как частный случай обычную теорию рекурсии.

Пусть Т — другое множество всюду определенных функций и предикатов. Мы говорим, что Ф рекурсивно в Т, если каждый элемент, принадлежащий Ф, рекурсивен в Т.

Лемма о транзитивности. Если Ф рекурсивно в Т, то каждая функция, рекурсивная в ①，рекурсивна s Т.

Доказательство. Используется индукция по функциям, рекурсивным в Ф.

Следствие 1. Всякая функция, рекурсивная s Ф, рекурсивна в каждом множестве, включающем Ф.

В частности, каждая рекурсивная функция рекурсивна в ① для любого Ф.

Следствие 2. Если функция F рекурсивна в множестве, каждый элемент которого либо реккурсивен, либо принадлежит Ф, то F рекурсивна s Ф.

Лемма о транзитивности обобщается для частичных рекурсивных функционалов и отношений, рекурсивно перечислимых и арифметических отношений, а также отношений рода SL П^ и А%・ Это значит, например, что если ф рекурсивно в 呼 то каждое отношение, арифме-

тическое в Ф, является арифметическим в Т. Следствия также могут быть обобщены для этих случаев.

Лемма о конечности. Если функция рекурсивна 8 Ф, то она рекурсивна s некотором конечном подмножестве множества Ф.

Доказательство. Используется индукция по функциям, рекурсивным в Ф.

Лемма о конечности обобщается также для всех рассмотренных выше понятий.

Теперь мы рассмотрим случай, когда Ф конечно. При этом полезно предположить, что элементы множества Ф каким-то образом упорядочены, так что Ф является конечной последовательностью, а не конечным множеством. Затем мы определим унарную функцию Ф*, называемую сверткой Ф, следующим образом. Пусть 尸°,Fa_i— ?

последовательность, полученная из Ф заменой каждой функции ее сверткой и каждого предиката сверткой его представляющей функции, тогда

①”а) =〈&(а)&т(а)〉・；

Очевидно,

f2(%)=(①*(纵.

Эти равенства показывают, что функция ①* рекурсивна в Fo,・一,尸左т и что каждая функция 尸金 рекурсивна в Ф*. Из формул свертывания следует, что каждый чл(ен из Ф : рекурсивен в 尸°,...,尸左т и что каждая функция 尸± ре-. курсивна в Ф. Комбинируя эти факты с леммой о тран-; зитивности, получаем, что ①* рекурсивна в Ф, и наоборот. Тогда по лемме о транзитивности функции, рекур-, сивные в Ф, — это в точности функции, рекурсивные в Ф*; / аналогичные утверждения справедливы для рекурсивных ' частичных функционалов, рекурсивно перечислимых отношений и т. д.

Лемма о замене. Частичный функционал F рекурсивен в конечной последовательности Ф тогда и только = тогда9 когда существует такой рекурсивный частичный функционал 尸，что 尸(“亠尸(①*, Ш) для всех 戰.Отношение Р рекурсивно перечислимо в конечной последовательности Ф тогда и только тогдаt когда существует такое рекурсивно перечислимое отношение Р\ что Р (U) q (①*,方)для всех Ш.

Д оказ ательство. Если такой функционал 尸'существует, то явное определение

尸(衿〜f(版①*(х),2

показывает, что функционал 尸 рекурсивен в Ф* и, следовательно, в Ф. Утверждение «тогда» во второй части леммы доказывается аналогично.

Теперь мы докажем утверждение «только тогда» для случая, когда F является всюду определенной функцией. Так как 尸 рекурсивна в ①*, то мы можем воспользоваться индукцией по функциям, рекурсивным в Ф*. Рассматривая правило ROo*, заметим, что

"0>*(a)=Ap((D*, а).

Доказательство для правила R1，тривиально. Так как правила R2①* и R3o* рассматриваются аналогично, то мы рассмотрим лишь последнее из них. Предположим, что функция 尸 определена следующим образом: F (а)— = “x(G(a, х) = 0). По индуктивному предположению

G(a, x) = Gf (Ф*, % х)

для некоторого рекурсивного частичного функционала G'. Определяя 尸'следующим образом:

Ff (a, a)4Rx(G'(oc, а, х) = 0), мы получаем, что 尸(a)=尸(①*, a).

Предположим теперь, что Р рекурсивно перечислимо в ①，н пусть

Р (汨 с HrR (讶(х), х),

где R рекурсивно в Ф. Выберем рекурсивный функционал 尸 так, что

Kr(0, x)=F'((D*, а, х).

Тогда_

P(31) 一 土 (尸‘(①*,双(*), %) = 0)

Q 士艱*, /(*), X, 0).

Определяя Р следующим образом:

Р(а, 31) с 士⑨尸，(а,亚(х), х, 0),

мы убеждаемся, что 尸‘ рекурсивно перечислимо и Р (3() -p (①*,轧).

Наконец, пусть F —частичный функционал, рекурсивный в Ф. Пользуясь только что доказанным результатом и тем, что рекурсивно перечислимые отношения имеют род SJ, мы получаем, что

⑨尸(丸 a)c±R'(O>*,界，a, x),，

где Rr — рекурсивное отношение. Тогда вследствие (1) из § 7.2 имеем

f做)~伍r(①工乱(*,⑵1))。；:

поэтому мы можем определить 尸'следующим образом: 尸，(a, %d@zR，(a,耽(г%,⑶通.

С л едств и е 1. Частичное отношение Р рекурсивно ■ 6 конечной последовательности Ф тогда и только тогда,, когда существует такое рекурсивное частичное отношение p, что р(汾石尸‘(①*, Щ) для всех 31.

Следствие 2. Отношение Р является арифметическим отношением рода 2д (П^) в конечной последователь-: ности Ф тогда и только тогда, когда существует такое арифметическое отношение Рг рода 25t (ГЦ), что Р(2()с :

(Ф*,班)для всех 界.

Доказательство. В случае £； это следует из ' теоремы (потому что 2? означает то же самое, что и рекурсивно перечислимое). Затем мы получаем случай И；,二 используя отрицания. Оставшиеся случаи получаются из : этих двух навешиванием кванторов.

Замечание. Подобные утверждения неверны для ； рекурсивных всюду определенных функционалов, рекурсив-； ных всюду определенных отношений и отношений рода А%; ' см. задачи 11 (г) и 21 (б).

Теперь мы используем понятие относительной рекур-； сивности, чтобы охарактеризовать предикаты рода А^ при п > 1.

Лемма. Предикат Р имеет род Sn+i тогда и только ■ тогда, когда он рекурсивно перечислим в множестве пре-, дикатов рода Пп.

Доказательство. Если Р имеет род 2^1, то P(a)<^3xQ(a, х), где Q имеет род Щ, поэтому Р рекур-； сивно перечислим в множестве предикатов рода П^. Теперь : предположим, что Р рекурсивно перечислим в указанном : множестве. Формулы свертывания показывают, что свертка '

предиката рода II% имеет род П^ и что каждый предикат рекурсивен в своей свертке. Таким образом, Р рекурсивно перечислим в множестве унарных предикатов рода □% и по лемме о конечности ~ в некоторой конечной последовательности Ф таких предикатов. Пусть Ф состоит из предикатов R*,…,R^ и пусть Qi является графиком Kr「 Тогда

Qt (% 匕)-(R (。) & b = 0) V С R (а) & 1),

поэтому Qf имеет род S„+i вследствие А1—Аб. 'Далее, ®ф* (а, Ь)Ь —

'=〈(Ь)0,(6)左t〉&Q工(а,(匕)о)&…&QM&, (б)—)；

поэтому ®ф* имеет род 驾

По лемме о замене существует такой рекурсивный предикат Mt что

尸倒)一士m (①* (%), K х)

ЭхЭу/у=Ф* (х) & М (у. а, %)) с 士刃(Seq (у) & lh (у)=

= x&Vzzv*3s(n, (р)^) &М (уt а, х)).

Следовательно, по А1—Аб Р имеет род 2^ + ь

Комбинируя лемму с релятивизованной теоремой об отрицании, мы получаем такой результат.

Теорема Поста. Предикат имеет род А^_|_i тогда 〃 только тогда 9 когда он рекурсивен s множестве предикатов рода Пд.

Используя А5 и то, что каждый из предикатов Р и 1 Р рекурсивен в другом, мы видимг что в теореме Поста Щ можно заменить на 驾.

Пусть Ф — конечная последовательность. Число f является индексом (т, п)-арного частичного функционала 尸 по ①，если для всех 界

尸(弘)4"}加+L也(①*,方).(1)

Вследствие теоремы о нормальной форме и леммы о замене частичный функционал рекурсивен в Ф тогда и только догда, когда он имеет некоторый индекс по Ф. Каждое число f является индексом по Ф единственного (т, /г)-аркого функционала 尸，а именно, того F, который определен в (1). Этот функционал 尸 обозначим через {/}ф.

Пусть снова Ф — конечная последовательность. Число р : является RE-индексом (т, п)-арного отношения Р по Ф, если для всех ?[

P^)^W^'n(^*,班).：

Тогда отношение является рекурсивно перечислимым в Ф в том и только в том случае, когда оно имеет некоторый RE-индекс по Ф. И снова каждое число р является RE-индексом по Ф единственного отношения; это отношение мы обозначим через W^.

Мы имеем

{严(耽。)4岱吟^亿叫①的，

F® (21, a) - r^»9，.)(沿•

Далее мы можем сформулировать релятивизованный вариант теоремы о рекурсии.

Частичный функционал называется функционально ре・: курсивным, если он рекурсивен в множестве всех всюду : определенных функций. Аналогично мы определяем функ^ ；; ционамно рекурсивное частичное отношение и понятия ； функционально рекурсивно перечислимого и функционально арифметического отношения. Отношение имеет род 2%, если оно имеет род 2д в множестве всех функций; аналогично мы определяем отношения рода 立^ и А%. Оче-夕 видно, каждая функция функционально рекурсивна и ； каждый предикат функционально рекурсивен.

Предположим, что F — функционально рекурсивный (т, п)-арный частичный функционал. По лемме о конечности 戶 рекурсивен в некоторой конечной последователь-二 ности Ф. Пусть / — индекс 尸 но ①,а а —функция, определенная равенствами a(0)=f, a(n+ 1) = Ф* (^). Тогда ：

F (21) ~ {а (0)}^+^ л (Ua (х + I), 2・(2);

Функциональным индексом функционала 尸 мы называем : такую унарную функцию а, что (2) выполняется для всех 界.Так как определенный в (2) функционал F рекур-: сивен в а и потому функционально рекурсивен, то мы видим, что частичный функционал функционально рекур-： сивен тогда и только тогда, когда он имеет некоторый - функциональный индекс. Каждая унарная функция a является индексом единственного (加,п)-арного частичного +

функционала f, а именно, того функционала 尸，который определен в (2). Этот функционал 尸 мы обозначаем через {а卜》или, проще, через {а}・

Из ⑵ следует, что

{а}%〃 (理)~〃 (財j+ijae), Хха(х4-1),乱？))•

Определим рекурсивный функционал Tmt „ следующим образом:'

Tmt п (а,乱 z)c 7n1fzi (а (0), Хха(х+1),乱 г).

Тогда {^^^U^zTmtn^9 汜 n)).(3)

Функциональным RE-индексом отношения Р мы назовем такую функцию а, что для всех 31

Р^)^ЗгТт,п^ 乱 z)・

Используя доказательство теоремы о нумерации, мы покажем, что отношение функционально рекурсивно перечислимо тогда и только тогда» когда оно имеет некоторый функциональный RE-индекс.

Если Р является (m+L п)-арным отношением, то мы для каждой функции а определим (т, п)-арное отношение Pw следующим образом:

尸⑺(2 - Р (丸a).

Мы говорим, что Р функционально перечисляет класс отношений, состоящий из 尸(口)・

Теперь мы можем получить аналог теоремы об арифметическом перечислении для случая функциональной перечислимости. Отсюда мы получим аналог теоремы об арифметической иерархии для (1, 0)-арных отношений. (Разумеется, мы не можем получить подобный аналог Для унарных предикатов, так как каждый предикат функционально рекурсивен.)

Лемма о п р оекци и. Если 戶®) функционально рекурсивен для каждого а, то 尸 функционально рекурсивен.

Доказательство. Пусть аа является функциональным индексом 戶(Q) для каждого а; выберем а так, что (а)а=аа для всех а. Определим рекурсивный функционал G следующим образом:

о(₽, 31, а)』(0)а}(2・

Тогда

尸(丸Q)4尸⑺(衿

~G (af 乱 a).

Таким образом, F рекурсивен в а, а отсюда и по лемме о замене он функционально рекурсивен.

Лемма о проекциях обобщается на функционально рекурсивные частичные отношения, потому что (Kp)(g является п р едставл яющимчастичным функционалом

для 尸⑷. Она обращается также на отношения рода £分 (в частности, на функционально рекурсивно перечислимые отношения), отношения рода П^ и отношения ； рода АЗ а потому и на функционально арифметические? отношения. Например, предположим, что Р(а} имеет род SB для всех а. Тогда；

尸⑷(2 C 士VpRa (% X,外，：

где R& функционально рекурсивно. Определим

R (乱 х,弘 d)^Ra (3(, %, р)・

Тогда R(a)= Ra функционально рекурсивно для каждого й：^ поэтому 衣 функционально рекурсивно. Также имеем :

P(^t a)^Bx\fyR(^9 芻 yt a);j

поэтому P имеет род £$•

77 Степени

Пусть Ф — множество всех всюду определенных функций и предикатов. Мы говорим, что два элемента из Ф эквивалентны, если каждый из них рекурсивен в другом. Пользуясь леммой о транзитивности, мы легко проверим, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалент-j ности называются степенями рекурсивной неразрешимо^ ста или просто степенями. Для обозначения степеней мы пользуемся полужирными строчными латинскими буквами.；

Грубо говоря, два элемента из Ф эквивалентны, если, их одинаково трудно вычислять. Таким образом, степень； функции или предиката является мерой трудности н&. вычисления.'

Очевидно, Р эквивалентен Кр н 尸 эквивалентна %. Следовательно, каждая степень содержит и функцию и предикат. Формулы свертывания показывают, что каждая функция и каждый предикат эквивалентны своей свертке, поэтому каждая степень содержит унарную функцию и множество. По этой причине мы часто имеем дело только с множествами.

Пусть а и & —степени; запись avb означает, что существуют множество Аван множество В в Ь такие, что А рекурсивно в В. Если это так, то по лемме о транзитивности любая функция и любой предикат из а рекурсивен в любой функции и любом предикате из &. Пользуясь этим, а также леммой о транзитивности, мы легко проверим, что V обладает основными свойствами частичного порядка:

a Va,a^b~^b ^a^a = btavbfbwcfawc.

Мы пишем 〃V仇 если avb и a*b.

Очевидно, множество всех рекурсивных функций и предикатов является степенью, эту степень мы обозначим через 0. Для любых а мы имеем 0 V а; это значит, что 0 является наименьшей степенью.

Мы говорим, что а рекурсивно перечислима в 匕，если существуют множество % в а и множество В в & такие, что А рекурсивно перечислимо в В. В таком случае по лемме о тр анзитивности А рекурсивно перечислимо в каждом множестве из Ь. Степень а рекурсивно перечислима, если она рекурсивно перечислима в 0, иначе говоря, если она содержит некоторое рекурсивно перечислимое множество. Если а рекурсивно перечислима в 匕 н bVG то а рекурсивно перечислима в с по лемме о транзитивности. В частности, каждая рекурсивно перечислимая степень рекурсивно перечислима в любой степени.

Среди рекурсивно перечислимых в а степеней имеется наибольшая. Действительно, пусть А — множество нз 〃， и пусть“

в (a)-三尤7\,1 (⑷。，及4，(Si，*).

Тогда степень &, содержащая В, рекурсивно перечислима в а. Мы покажем, что среди таких степеней она является

наибольшей. Пусть с рекурсивно перечислима в а. В таком случае с содержит множество 6，которое рекур- ! сивно перечислимо в Д. По релятивизованной теореме ■ о нумерации существует такое с, что для любых а

С (а) 3xTlt! (е, Ka, а, %)—В(〈е,а〉).

Таким образом, С рекурсивно в В; следовательно, cvb. ■ Наибольшая рекурсивно перечислимая в а степень называется скачком а и обозначается через 鼠 Таким ; образом, О' является наибольшей рекурсивно перечисли- ? мой степенью. Если а^Ь. то а' рекурсивно перечислима ван, следовательно, в Ь9 поэтому a'wb'. Так как ; каждое множество, рекурсивное в А, рекурсивно перечислимо в Л, но не наоборот (вследствие релятивизован-： ной теоремы об арифметической иерархии), то мы имеем aV#・ Отсюда следует, что не существует наибольшей ： степени.

Сказанное выше наводит на два вопроса. Первый: ■ является ли множество степеней линейно упорядоченным?: Второй, известный как проблема Поста: существуют ли : рекурсивно перечислимые степени, отличные от 0 и О'?: Сейчас мы докажем теорему, отвечающую на оба вопроса.

Теорема ① ридберга — Муиннк а. Существуют : такие рекурсивно перечислимые множества А и В, что / не рекурсивно в В и В не рекурсивно в Л.

Предположим, что теорема верна, и пусть а н 匕一 ； степени, содержащие Л и В соответственно. Тогда неверно / как а^Ь, так и bva, поэтому множество степеней не является линейно упорядоченным. Так как для каждой рекурсивно перечислимой степени с OWcvO', то а и b являются рекурсивно перечислимыми степенями, “ отличными от 0 и (У, этим решается проблема Поста, I

Вначале мы дадим общую схему доказательства. Мы ； будем строить Л и В по этапам. На каждом этапе мы' ■；■ либо ничего не будем делать, либо добавим в точности ； одно число в Л или в В. По данному п можно будет : в точности установить, что происходит на n-м шаге, > Вследствие этого Л и 5 будут позитивно вычислимыми,: а потому и рекурсивно перечислимыми.:

Чтобы быть уверенным, что В не рекурсивно в 4 ： мы должны быть уверены, что К^ отлична от всех {е}/.

Наша идея состоит в следующем. Мы непрерывно стараемся вычислить {е}厶(X2J Для некоторого числа х^ Если нам это удастся и значением будет 1, то мы относим 心6 к множеству В. Таким образом, Кв(%2е) = 0 тогда И ТОЛЬКО тогда, когда {с}#(*2е)4 1， поэтому Кв отлично от {с}". Аналогично, мы гарантируем, что К石 отлично от {е}в9 относя некотерое число x^+i к множеству А тогда и только тогда, когда {е}в (x2e+i) — 1-

Трудностью в проведении этой идеи является то, что на n-м этапе нам еще не известно множество Л, а известно только конечное множество Ап чисел, которые были отнесены к Д до и-го этапа. Поэтому мы пытаемся вычислить {eQMJ； если это нам удастся и значение равно 1, то мы относим %2е к множеству В. Однако неприятность заключается в том, что позже мы можем отнести к множеству А еще несколько чисел и, таким образом, изменить значение {е}А (小土)на 0; тогда мы получим {с}# (小。= = Кв(%2е)・ Мы можем исправить положение, допуская, что хе может измениться. При вычислении

{6户(*2е)= 1 мы используем только конечное число значений функции К/也.Пусть у больше любого из значений этих аргументов. Если мы никогда в дальнейшем не будем относить к множеству 4 числа, меньшие у, то все будет в порядке. Далее, к множеству А причисляются лишь числа x2/+i- Следовательно, мы просто изменяем все числа Х2/+1 так, чтобы они были больше у.

Имеется еще одно затруднение. хе может изменять свое значение бесконечное число раз, так что мы никогда не решим, какое же значение хе нам взять. Мы обойдем это затруднение, изменив нашу процедуру; если мы относим х2е к 4, то мы изменяем 小/+1 только в том случае, если 2/+1>2е. Таким образом, x2/+i может изменять значение только из-за конечного числа значений х2е, где 2е<2f +1, поэтому оно изменяет свое значение только конечное число раз. Но что можно сказать 。尤2/+工,где 2/+ 1 V2e, которое мы не изменяем? Если •^2/-i-i никогда не будет отнесено к Д, то это не приведет нн к каким трудностям. Если же оно отнесено к Л, то мн одновременно изменяем х2е, потому что 2е > 2f + 1 • Таким образом, тот факт, что мы для прежних значений

х2е можем иметь {е『(％篇=«8 (&J，не имеет никакого значения.

Теперь мы приведем доказательство. Если F (а, е, а) ~ ； ~{с}а ⑷，то F рекурсивен, поэтому 3尸 рекурсивно ; перечислим и потому имеет род £f. Согласно (6) из §7.5 существует такой рекурсивный предикат R, что

{е}ад)4匕c/R (应(力,e, a, b).]

Множества Ап и Вп и функции Fn мы определим индукцией по п. (Fn (е) будет значением хг до n-го этапа.) В качестве Ло и Во мы возьмем пустые множества и положим 尸о(е) = 2е. Теперь предположим, что Ап, Вп н& Fn уже выбраны. Допустим вначале, что (九)о четно, > например, (п)0 = 2е. Мы ищем такое число у, что

y<n&R^KAn(y),e, F„(2e), 1)&Л,(2е)^&.(I)

Если такого у не существует, то Лл+1 = Дл> ВП+1~ВП9 Fn+1=Fna В противном случае мы выберем среди таких; у наименьшее. Отнесем Fn (2^) к Вп^ и положим

尸宀(2f+l) = 3"，G(2f+l)

для 2f+l>2e・ Во всем остальном An+lt Вп+1 hG+i； совпадают с /也,Вл и Fn. Теперь предположим, что (п)0 нечетно, например, что (n)0=2/+1. Тогда мы опять； поступаем так, как написано выше, меняя местами А и В『 е и 片 2е и 2/+ 1.,

Мы утверждаем, что Кап(х)9 Кв^ (%) и Fn(х) явля-^ ются рекурсивными функциями от л и х. Это очевидно) вследствие тезиса Чёрча. Простейший способ дать точное； доказательство — положить G (% х) =〈К若几(х), Кв^ (%),尸(灯〉 и определить G с помощью теоремы о рекурсии. Мы предо-； ставляем это читателю.:

Теперь мы покажем, что для каждого е значение^ Fn (е) изменяется только конечное число раз. Доказатель^г ство ведется индукцией по 仇 Если Fn+1 (е) ^Fn (^)^ TOi мы имеем 尸孔(力 е An^i и Fn(f)^ Ап для некоторого f <ег (Это верно для четного е; если е нечетно, то мы должн поменять местами А и В.) По индуктивному предполо-? жению число значений Fn (f), где『V% конечно, Следо4, вательно, Fn (е) может изменяться только конечное чис ло раз.

Пусть А — объединение всех 4, а В — объединение всех В加 Так как

Л (х) с Зи (К((尤)=0)

и аналогичное выражение верно для В, то Л и В рекурсивно перечислимы. Пусть хг — заключительное значение Fn (е). Мы покажем, что 汇切 三 В тогда и только тогда, когда {е}А (也加亠】.Это доказывает, что В не рекурсивно в Л, а симметричное рассуждение доказывает, что Л не рекурсивно в В.

Предположим, что {е}А (尤2金)亠 1， Тогда существует такое 〃 что

'R(k厶⑼，自 х2е> 1).

Далее, существует бесконечно много п, для которых (孔)о = 2е. Выберем одно из этих м такое, что п>У， 3(2е) = л：2е и K/常(У)=К〃(у)・ Тогда либо х2й принадлежит 3", либо оно отнесено к Вп+1. Следовательно,尤加三⑶-

Теперь предположим, что х2й ^ В. Выберем такое п, что 不£三3理十1 и х2е Вп. Тогда мы получим, что (п)0 = =2е & 尸理(е) = %2е и (1) будет истинно для некоторого у. (Мы воспользовались тем, что Fn (е) всегда имеет вид 2°3宕 и потому для разных е принимает разные значения.) Если К仆匂)=女兑(у), то из (1) следует, что {е}А (х2е)~1. В противном случае существует такое число г, что z<Zy и Ка^ (n) W К〃 (а)* Это означает, что существует такое т> 几,что z 三 4加+1，z 丰 Ag Тогда мы имеем

(^)о = 2/+1 и г = ^(2/+1).

Если при этом 2/+1>2е, то мы получим

2 =fm(2f+1)^旦+](2/+1) = 3"1.凡(2/+1)>弘

т. е. противоречие. Следовательно, 2f + 1 V 2% поэтому 尸加+1 (2е) > Fm (2е) Fn (2е)=х2е.

Однако это Невозможно по определению х2г.

С помощью развитой выше техники могут быть дока- заны многие другие утверждения и степенях, однако мы не будем здесь этим заниматься.

9 Дж. Шенфилд

Аналитическая иерархия

Теперь мы изучим результат навешивания кванторов； по функциональным переменным на рекурсивные отно- ■ шения.

Отношение Р называется аналитическим^ если оно имеет явное определение вида

尸(2-Qi CUR齒纵⑴]

где отношение R рекурсивное, a Qi, ... , Q^ — кванторы, по одному на каждую переменную из 33.

Мы говорим, что два квантора имеют одинаковый вид,, если они оба являются кванторами существования или J оба являются кванторами всеобщности. Мы говорим, что； два квантора имеют одинаковый munt если они оба связывают функциональные переменные или оба связывают числовые переменные.;

Теперь предположим, что мы имеем определение вида； (1), и перечислим некоторые упрощения, которые можно- делать в цепочке кванторов Qi Q在.В каждом случае^ подразумевается, что упрощение требует замены отношения: R новым рекурсивным отношением (как это было при свертывании кванторов в арифметическом случае).

i) Числовой квантор может быть заменен функцнт опальным квантором того же вида.已

Это следует из эквивалентностей 3xP(x)^BaP(a(Q)l V鑄(*)q VaP(a(0))・

ii) Два смежных квантора одинакового вида и типа; могут быть заменены одним квантором того же вида；" и типа.“

Для числовых кванторов это является свертыванием； кванторов. Для функциональных кванторов мы поль-; зуемся тем же методом, заменяя (а)/ на (а)±・

iii) Если функциональный квантор следует нелосредт ственно за числовым квантором, то он может быть пере-* ставлен вперед этого числового квантора.；

Это следует из эквивалентностей；

ВхВаР (а, х)ЗаЗхР (а, х),:

VxVaP (а, х)—VaVxP(a, х),

Vx3aP (а,BaVxP ((а)%,:

3xVaP (а, х)<^ Va3xP ((«h，尤).

Первые две из них очевидны, а две другие доказываются так же, как (4) и (5) из § 75

Приставка Qx.., Qft в (1) называется нормализованной, если 々京 2, Qi,..., Q矗—1 — функциональные кванторы, a CU—— числовой квантор и всё кванторы чередуются по видам. Мы покажем, что, исходя из определения (1), в котором имеется хотя бы один функциональный квантор, мы можем упростить приставку до нормализованной приставки. Сначала мы переставим все функциональные кванторы вперед согласно (iii). Если теперь найдутся числовые кванторы того же вида, что и последний функциональный квантор, то мы элиминируем каждый из этих кванторов, начиная с первого, следующим образом: мы заменяем этот квантор функциональным квантором согласно ⑴，переносим его вперед всех числовых кванторов согласно (iii) и свертываем его с последним функциональным квантором согласно (ii)・ Теперь все числовые кван

торы находятся в конце и все имеют вид, противополож

ный виду последнего функционального квантора. Если же таких числовых кванторов не найдется, то мы добавим в конце фиктивный числовой квантор вида, противоположного виду последнего функционального квантора. Если мы теперь выполним все возможные свертывания согласно (ii), то получим нормализованную приставку* Заметим, что мы могли бы получить тот же самый конечный результат, если бы мы поступили следующим образом: вычеркнули все числовые кванторы, выполнили все возможные свертывания согласно (ii) и присоединили в конце новый числовой квантор вида, противоположного виду последнего функционального квантора.

Отношение имеет род £；(П„) при n^ 1, если оно Удовлетворяет определению (1), в котором приставка нормализована, число функциональных кванторов равно 九 и

первым стоит квантор существования (всеобщности). Отсюда мы видим, что каждое аналитическое отношение

пнбо является арифметическим, либо имеет род Е1 или И； при некотором п. Эта классификация аналитических отношений называется аналитический иерархией.

Теперь мы приведем аналоги утверждений Al — Аб. Если при этом не дается доказательства, то это доказательство такое же, как и в арифметическом случае.

1. Если отношение Р ~ арифметическое, то Р имеет род 2А и Щ для каждого 九.Если Р имеет род，^ или П^, то Р имеет род £片 и Щ для каждого п^т.

Доказательство. Используется добавление фиктивных кванторов с последующим упрощением^ как это ' было показано ранее. Так, если Р ~ отношение рода W；, то

P^)^Ba^^3xR (Й, а, 3 %)

VylaVpBx^ (3(, а,仇圻Q：EaVBRHrR”，а, 3 х)・

После упрощения вторая строка показывает, что Р —— отно・, шение рода Щ, а третья строка показывает, что Р — отно- * шение рода 5|.

2. Если Q —отношение рода 2д (Щ), a Flt ..., Fr. G1; ..., Gk — рекурсивные функционалы, то отношение Р, определенное следующим образом: Р (或)с Q gF】(31, х),...

版6(乱 X), Gi(衿，…，Gm3{)), имеет род 理(口4.％

3. Если Q — отношение рода Si, а отношение Р определено следующим образом: Р (^l) 3aQ (2(, а), то Р ■ имеет род 2^. Если отношение Q — отношение рода Щ,. а отношение Р определено следующим образом: Р (兴)с cVaQ (乱 а), то Р имеет род П„.

4. Если Р и Q — отношения рода 2^ (Щ), то 尸 V Q ； и Р & Q — отношения рода 2^ (Щ).

5. Если Р — отношение рода 2^ (Щ), то ~| ^ — отно- ■ шение рода □弘窃).

6. Если Р — отношение рода SA (Щ), а отношения Q ■ и R определены следующим образом: Q (兴)~三％尸(方，х) и R (21) q VxP (界，*), то 0 и R — отношения рода 2^ (Щ)・；

Доказательство. Проводится при помощи у про щения, как это описано выше.

Отметим, что из Y6 следует аналогичный результат для ограниченных кванторов, так как мы можем переписать : 口犬”炉倒，％) и V芻sP (乱 ％) как Зх (х<Ь&Р(^)尤))；； и Ух(хсЬ-^Р (21, %)).

Если Р имеет род Ш, то Р (21) VaQ (3(, а), где^. Q имеет род S?. Поэтому вследствие (6) из § 7.5 Р опре-； деляется формулой

Р (Щ) <^ ^a3xR (а (х), 8(),(2)

где R рекурсивно. Аналогично, применяя (7) из § 7.5,, мы видим, что любое отношение Р рода S} определяется ；

формулой

Р (Й) о 3aVx7? (а (х),汕 (3)

где R рекурсивно.

Теми же самыми методами, что и в арифметическом случае, можно доказать теорему об аналитическом перечислении и теорему об аналитической иерархии. Мы предоставляем это читателю.

Отношение имеет род Д^, если оно имеет как род SA, так и род Щ. Вследствие Y5 Р имеет род ДА тогда и только тогда, когда как Р, так и ~| Р имеют род 火^, и тогда и только тогда, когда как Р, так и ~| Р имеют род Щ.

Мы определим понятие аналитичности в ①，рода 5^ 6 Ф, рода П^ в Ф и рода Д4 в Ф с помощью обычного метода определения релятивизованных понятий. Например, отношение Р является аналитическим в Ф, если оно определяется формулой вида (1), где отношение R рекурсивно в Ф. Утверждение, что каждое аналитическое отношение является арифметическим, либо имеет род £^ или Щ для некоторого п, обобщается на релятивизованный случай по образцу Yl —Y6. Теорема об аналитическом перечислении и теорема об аналитической иерархии обобщаются при условии, что Ф —конечная последовательность. При этом условии истинны также лемма о транзитивности и лемма о конечности. Лемма о замене истинна для понятий аналитичности в Ф, рода 5^ в Ф и рода ПА в Ф (но не для рода Д„ в Ф).

Отношение Р называется проективным (отношением рода 2п, Щ, Л^), если оно аналитично (имеет род 母， Щ, Д^) в множестве всех функций. Мы можем обобщить теорему об аналитическом перечислении и теорему об аналитической иерархии на этот случай, пользуясь функциональной перечислимостью точно так же, как и в арифметическом случае. Лемма о проекциях обобщается на все эти понятия. Следствием является то, что если мы определим Р следующим образом：

P^)^3xQx^

г“е каждое Qx — отношение рода SA (Щ), то Р ——отношение Р°Да £、(！!；)・ Действительно, если мы определим Q

следующим образом:

Q (乱 x)cQ* (衿,

то по лемме о проекциях Q — отношение рода Si (ПА), а затем мы можем применить Y6.

7・9・ Гиперарифметические отношения

Теорема об отрицании говорит нам, что отношения рода Д?, для определения которых, казалось бы, тре- ‘ буются кванторы, на самом деле рекурсивны и потому могут быть определены без кванторов. Это наводит на мысль поискать такую характеризацию отношений рода Л}, которая показывает, что эти отношения, для определения которых, казалось бы, требуются кванторы по функциям, могут на самом деле быть определены без кванторов. > Вначале можно было бы предположить, что отношения рода А} — это в точности арифметические отношения; однако оказывается, что арифметические отношения обра-: зуют собственный подкласс отношений рода Д}. Чтобы получить действительную характеризацию отношений рода AJ, мы должны обобщить арифметическую иерархию.:

Так как любое отношение является подмножеством множества Nmg то мы можем выполнять теоретико-мно-: жественные операции над отношениями. Таким образом, t А4 и А5 могут рассматриваться как правила, показыва-； ющие» что получается из арифметических отношений при : взятии объединений, пересечений и дополнений. Кроме ：■ того, каждое отношение рода 2^+1 (Пд+1) является объ-- единением (пересечением) счетного числа отношений рода ； Щ(2п). Например, если Р — отношение рода S^i, то ； существует такое отношение Q рода Щ, что

尸(31) — 士Q (Й, x)Q 士 Q(*)(汾.

Таким образом, Р является объединением отношений Q(*), а(2(Л) —отношение рода Щ, потому что Q(*)(3l) — Q(3l, х). ? Тем не менее только очень простые объединения и пере-: сечения счетного числа арифметических отношений яв-； ляются арифметическими. Например, каждое множество : является объединением счетного числа конечных, а потому : рекурсивных множестз.

Мы будем получать гиперарифметические отношения, отправляясь от рекурсивно перечислимых отношений и неоднократно беря дополнения и некоторые объединения счетного числа множеств. Чтобы описать эти объединения, мы сопоставим каждому гиперарифметическому отношению некоторый индекс. Тогда если А является рекурсивно перечислимым множеством индексов, то мы берем объединение тех отношений, индексы которых принадлежат А.

Три следующие правила образуют обобщенное индуктивное определение Н-индекса:

(О, е〉является //-индексом для каждого с.

Если е является ^-индексом, то〈1, е〉является //-Индексом.

Если каждое число из 恥"является ^-индексом, то 〈2,е〉 является Я-индексом.

Для каждого ^-индекса i мы определяем (т, п)-арное отношение 丿尸'"следующим образом. Если z = (0, е〉，то /竺厶 есть 1Г『。Если i =〈l, е〉，где е —некоторый //-индекс, то J}" есть ]/厂"・ Если i =〈2, е), где каждое число из We1 является //-индексом, то Jf'" является объединением отношений /?'\ где х принадлежит 1Г?*т. е.

J^n (衿-3x(ГГ (х) & 疗” (2)・(1)

Нам надо показать, что это является законным методом определения J『''・ Чтобы определить эти отношения, очевидно, достаточно определить для каждых /пип множество 叁恤也 пар (2, J竺也)・ Теперь три части приведенного выше определения могут рассматриваться как три правила в обобщенном индуктивном определении множества ①用，也.Например, правилом, соответствующим случаю i = =(2, е〉, является следующее: если £ =〈2, е〉является некоторым //-индексом, если (х, Р*) принадлежит Фотл Для каждого х из 步?】и если Р является объединением всех PXi то (£, Р) принадлежит ①人九.

(^игп)-арное отношение Р является гunepapuфмemuчecкuмf если P=J^,n для некоторого Я-индекса i; при этом всякое такое i называется Н-индексом отношения Р.

Теперь мы установим некоторые правила получения гиперарифметических отношений и ^-индексов таких отно-

шений. Если это не вносит путаницы, то мы опускаем верхние индексы у 吃 и 几

Hl. Если 7? — рекурсивно перечислимый предикат, то существует такая рекурсивная функция F, что

厶3)м) 。 士 (R (芻 。)& 厶(*))

всякий раз, когда а такова, что для каждого % из R (х, а) .следует, что х .является //-индексом.

Доказательство. Выберем е так, что R есть We. Имеем

Ws^a)(x)^We(x9 а).

Полагая 户(а) =〈2, S (% а)), мы для а, описанного в Н1, имеем

厶(口)(衿-士(%&a)⑶&人(以))C н (R (叫0)&人(界)).

Н2. Пусть 尸i, ..., Fn Gx, ..., Gk — рекурсивные функционалы. Тогда существует такая рекурсивная функция //, что для каждого //-индекса i

Jh @ e (电)Q 厶(Ь•尸 1 (方，a, x), ...,KxFr^t, а, х), Gx (31, а), ... ,Gk (2(, а)).

Доказательство. Сначала мы докажем эквивалентность, замечая, какие свойства Н необходимы, а затем мы определим % обладающую этими свойствами.

Доказательство эквивалентности мы будем вести индукцией по //-индексам. Вместо множества аргументов у /^ в правой части эквивалентности мы будем писать .・・ Тогда We (...) является рекурсивно перечислимым отношением от аргументов 31, а, е по А1. Следовательно, по (8) из § 7.4 существует такая рекурсивная функция 厶，что 呼〃％ е)(М)с%《-)・

Тогда, если i =〈0, е〉，то

J (…)Q 羽L (а, е)(界)

Q/〈0, L(a, e))(^)-

Следовательно, чтобы получить эквивалентность J/7 «,但)(”)с h (• • •) в этом случае, достаточно иметь

я (г, а) =〈0,厶(а, (%)〉，если (t)o = O.⑵

Пусть теперь i =〈l, е〉. Тогда, используя индуктивное предположение, мы получаем

/ (…)Q _1((…)

J"(小)州)

e J〈l, H(e, a)〉(沙

Следовательно, в этом случае достаточно иметь

Н (it «)=-<!, Н ((Qi, а)〉，если(4)о=1-(3)

Теперь пусть i =〈2, е〉・ Тогда, пользуясь индуктивным предположением, мы получаем

力(…)。 士(吃⑴&厶(…))

С ：gx(呼ё(元)&)h①,)(衿)

。羽(击(吃(尤)& H (招 a) = © & Jy (21)).

Пусть Л — некоторый индекс функции Н. Тогда из сказанного выше следует, что

J(^^3y (三丫(吃(х) & {h}(x^) = y) & Jy (呜).

Далее,三％ (We (%) & {h} (x, a) = y) является рекурсивно перечислимым предикатом от аргументов у, % h, а. Следовательно, по Н1 существует такая рекурсивная функция К (не зависящая от Я и Л), что

4 (…)с ‘К (% А, а)(方)•

Таким образом, в этом случае достаточно получить

X (厶 a) = K((i)i,瓦 а), если ⑴o>L(4)

Остается определить такую рекурсивную функцию Н с индексом h, что (2), (3) и (4) выполняются. По теореме о рекурсии мы можем так определить рекурсивную частичную функцию Н с индексом 九，что (2), (3) и (4) выполняются, если = заменено на Далее, вследствие (8) из § 6.4 мы имеем в (3)(办<汇 Пользуясь этим, легко доказать индукцией по i, что Н (i, а) определена Для всех г и а. Это завершает доказательство.

НЗ. Существует такая рекурсивная функция 尸,что Jf ⑴ есть Я Ji для всех //-индексов L Существует такая рекурсивная функция G, что J в(^ ；)есть J»V/z для всех И-индексов i и /. Существуют аналогичные функции Для Т* & н с.

Доказательство. Мы можем положить 尸(i) =〈 1, i〉.' Далее»•

3\/厶)(2С±((% = ?\/%=/)&厶(2)■■

Отсюда и по Hi мы получаем G. Остальные функции получаются, если воспользоваться определениями & язв терминах ~] и V- Например, функция Н для f : определена следующим образом: Н (/> j) = G(F(i), /).；

Н4. Существуют такие рекурсивные функции Н и К9 что

⑴(衿-士厶(乱灯，

для каждого /7-индекса“

Доказательство. По Н2 существует такая рекур-； сивная функция G, что Jg и 亦)(订)办 乙(乱 *)• Тогда

Эх Ji (/ %) - 3xJ g (C *)(联)->

q 刃(击匂=G(i, x))&Jy^)).

Затем нужную функцию Н мы получим по Н1. Чтобы ' получить К, положим KQ) =尸(“(尸(‘)))，где 尸一такая же, как и в НЗ.；

Н5. Каждое арифметическое отношение является гипер-： арифметическим.

Доказательство. Индукцией по 九 мы покажем, ： что каждое отношение рода S^ или Щ является гипер-. арифметическим. Любое отношение рода £f является рекур- J сивно перечислимым и, следовательно> гиперарифметичес- ? ким, поэтому любое отношение рода И? является гипер- > арифметическим по НЗ. Шаг от п к n+ 1 следует из Н4.;

Замечание. Обращение Н5 ложно; см. задачу 22.

Так как определение гиперарифметичности использует : RE-индексы, то мы не можем для произвольного множества 彳 Ф получить релятивизованный вариант этого определения, поэтому мы сначала рассмотрим конечную последователь- ■ ность Ф. Мы определим Н-индекс по Ф и J9 для /Z-индек-； са i по ① так же, как и прежде, за исключением того,； что We заменено на 取，• Мы говорим, что Р является : гиперарифметическим s ①，если существует такое /, что Р есть J『；тогда всякое такое i называется Н-индексом ； отношения Р по Ф. Затем мы можем релятивизовать ； Н1—Н5.；

Пусть теперь Ф является некоторым классом всюду определенных функций и отношений. Мы говорим, что Р является гиперарифметическим в Ф, если оно является гиперарифметическим в некоторой конечной последовательности элементов из ①.Отношение называется борелевским9 если оно является гиперарифметическим в классе всех функций.

Теорема характеризации

Теперь мы можем перейти к характеризации отношений рода Др

Пусть J (厶裏)означает, что i есть /7-индекс и что имеет место 厶(81). (Мы опускаем верхние индексы.) Мы хотим получить явное определение для J.

Пусть Q (Й, а9 р, е) — конъюнкция утверждений

а(〈0,е〉) = 0,

В(〈О,е〉)=О~ 旧綱， а (е) = 0 今 а (〈 1, е〉) = 0, а(〈1,е〉) = 0т(Р (〈Le〉) = 0Qp(c)W0), V 尤(吃(х) т а (х) = 0) т а «2, e» = 0, а «2, e〉) = 0 — (p «2, e〉) = 0 q 土(吃⑴ &卩(x) = 0)). Покажем, что

J 储或)—VaV§ (VeQ (沐 а, 0, e)f

f a (i) = 0 & p (/) = 0).(1)

Предположим, что имеет место J (% 刘).Пусть а и р таковы, что выполняется VeQ (?1,а, Р,в). Пользуясь индукцией по Я-индексам, мы получим, что а (/) = 0 и Р (/) = 0 <-> — J/(吸)для каждого Я-индекса j. Полагая j = t, мы у беж* даемся, что а(/) = р (/) = 0. Теперь предположим, что правая часть (1) истинна. Пусть а — представляющая функция множества ^-индексов, и пусть р — представляющая Функция множества таких //-индексов j, что справедливо ，/(")・ Очевидно, 11To Q (吸,а, Р，е) для всех е; следовательно, по предположению а (力=р (/) = 0. Вследствие этого имеем J(i,班).

Так как отношение Q — арифметическое, то вследствие ⑴ / — отношение рода Пр Если i есть Я-индекс, то 厶(％ с/(厶雲)для всех 31 и, следовательно,厶一отао-

шение рода П]. Таким образом, каждое гиперарифметическое отношение имеет род П}・ Если отношение Р — ги- перарифметическое, то и отношение ~\Р — гиперарифметическое, поэтому Р и 1Р оба имеют род П；・ Отсюда получается

Лемма 1. Каждое гиперарифметическое отношение имеет род А；.

Номер последовательности {аъ.,., а^ называется расширением номера последовательности (&!,...,匕加〉,если 及^加 и cii = bi при z = l,...,m. Если к тому же п>т, то мы говорим, что (аъ..., а^ — собственное расширение 〈力ь ・..>匕力〉・ Мы будем писать 〃V*R если а — собственное расширение Ь.

Очевидно,

〃 V* b ->b V* с->а V* с.(2)

Предикат V* рекурсивен, так как он имеет явное определение

а V* 力 о Seq (а) &3хл<1ь ⑷(力=In (а. %)).

Последовательностью, убывающей относительно V*, называется такая бесконечная последовательность а^ «1,..., что ап^<^ ал для любого 孔.Множество 4, состоящее из номеров последовательностей, называется деревом, если не существует последовательности, убывающей относительно V*, все члены которой содержатся в А. Ясно, что каждое подмножество дерева является деревом.

Обозначим через SS класс представляющих функций множеств, состоящих из номеров последовательностей, а через Тг —класс представляющих функций деревьев. Оба они являются (1,0)-арными отношениями. Мы имеем явные определения

SS (а) с Vx(а (х) W 1) &Vx (а (х) = 0^Seq (%)),Тг (а) с SS (а) & Л 三卩丫尤(а (р (尤))= 0 &卩(犬+ 1) V* р (#)•

Вследствие этого SS имеет род П；, а Тг — род П}.

' Теорема о дереве. Если Р — отношение рода П{, то существует такой рекурсивный функционал F, что для всех 界 имеем SS(%x/?(^l>x)) 〃

p改）。T［（除尸（汜无））・

Доказательство. Вследствие (2) из § 7.8 существует такое рекурсивное отношение R, что

Р (火)с Va3x7? (а (х), 81).(3)

Пусть U (3() — множество номеров последовательностей 〈х(),・・・，尤也一1〉таких, что

"I R (〈尤 0,…，修一1〉，界)для всех iv九.

Мы утверждаем, что

m(zVx IR 低(х), ^)oU (2 не является деревом. (4) Предположим, что верна левая часть, и выберем такое а, что ~|R (曳(％), 21) для всех х. Тогда а (0),汉(1),…一убьь вающая последовательность из U (Й). Предположим теперь, что aGf о】，...—убывающая последовательность из U(*). По определению < * существует такая функция а, что каждая 反(х) имеет в качестве доопределения некоторое а厶 Так как 〃± принадлежит U (21), то мы.имеем ~|R (汉(*),兴，.

Если в (4) мы перенесем знак отрицания вперед при помощи пренексных операций, возьмем отрицание обеих частей и воспользуемся (3), то получим

尸(U) о U (欢)является деревом.

Поэтому достаточно выбрать такой рекурсивный функционал 尸，что 九尤尸(丸 х) — представляющая функция U 図). Такой функционал определяется следующим образом:

仪丸 °' еСЛИ Seq(x)&Viyh(x#R(In(x, i),汕

' I 1 в остальных случаях.

Если А — множество номеров последовательностей и а принадлежит Л, то А [а] — множество таких b из Л, что 匕 V * а. Вследствие (2)

6 е 4[а] -> Л[а] [&] = 4[Ь]・(5)

Мы также определим

砲（S =砲（S =а(&), если ЬС*а&а(а) = 0,

砲（S =

砲（S =

1 в остальных случаях.

Тогда если а — представляющая функция множества Л и а принадлежит Л, то а[а] — представляющая функция множества 4也]・ Заметим, что а[用 есть 廉尸(а, 〃.尤)для неко-

торого рекурсивного функционала F и поэтому может использоваться в явных определениях рекурсивных частич-』 ных функционалов и отношений.

Далее мы будем предполагать, что читатель знаком с элементарными свойствами ординалов. (Весь необходимый материал можно найти в главе 9.) Для обозначения ординалов мы используем буквы а, т и р.3

Для каждого ординала с мы при помощи трансфинит-' ной индукции по а определим класс ТО (а) множеств : номеров последовательностей. Множество номеров после-, довательностей 4 принадлежит ТО (и), если 4[也 принад-: лежит ТО (т) для некоторого tVo н для каждого а из А.: Ясно, что

и —ТО(о) иТО(т).(6)

Теперь мы покажем, что множество принадлежит неко-:: торому ТО (а) тогда и только тогда, когда оно является > деревом. Докажем сначала при помощи трансфинитной : индукции по о, что каждое множество из ТО (о) является『 деревом. Предположим, что некоторое множество Л из ТО (о) имеет убывающую последовательность а。, аъ ...； Тогда /[%】 принадлежит ТО(т) для некоторого tVo и :: вследствие (2) аъ tz2» * ■ — убывающая последовательность J из А[аа^ Это противоречит индуктивному предположению.-

Теперь предположим, что 4 не принадлежит ни одному ： ТО (а). Мы покажем, что Л —■ не дерево, определив индук- ■ тивно такую убывающую последовательность %, аъ из А, что каждое Л^ не принадлежит ни одному ТО (а). Предположим, что а* выбрано при Z<n. Пусть В = 4 если и —0, и пусть В = Xpn ij в противном случае. Вследствие (5) достаточно так выбрать ап из 3, что %" не принадлежит ни одному ТО (о). Если это невозможно, то： для каждого а из В существует такое од> что В[а]三 ТО (oj.； Выбирая о больше любого из。仪；мы получим, что В 三 ТО (а);； это противоречит тому, что В не принадлежит ни одному ； ТО (а).1

Если А — дерево, то наименьший ординал и такой, что f Л 三 ТО (и), называется ординалом дерева А и обозначается ； через || А |]. Запись ||川 wo означает, что Д—дерево и IIЛ Л ^ а, аналогично используется запись ]| Л || < а. Тогда <

Л еТО(о)^||ЛН^(7『

То, что из левой части следует правая, очевидно. Если Л — дерево, то Л е ТО (|| Л ||); поэтому если || Л || ^ о, то Л 三 ТО (о) вследствие (6). Из (7) и из определения ТО мы получаем

||Л|(^а^Ух(Д (х) т ° & 用 J < а)(8)

для каждого множества Л номеров последовательностей. Отсюда следует, что если Л — дерево, то

/(UvMIL(9)

Мы также имеем обратное к (9): если Л — дерево, то UVMZ *(/(%)&0= 1|4插).(Ю)

Мы докажем это трансфинитной индукцией по || 41|. Если а < IIДII，то вследствие (8) существует такое х, принадлежащее Д, что а ^ IIЛ w ||. Если o=^A[Xi ||, то всё доказано. В противном случае о < || 幺⑴ |] < || Д || вследствие (9), поэтому по индуктивному предположению и вследствие (5) существует такое у, принадлежащее Хм, чтоа^Ц Дм м ||=||・4川 ||-

Пусть 4 н 3 — множества номеров последовательностей. Отображение 尸 множества А в В является MOHOtnoHHbiMf если для любых а и аг из А

aV 尸(a) V *尸(a').

Лемма 2. Пусть А — множество номеров последовательностей, а В — дерево. Тогда || / } V || В || тогда и только тогда, когда сушествует монотонное отображение А 6 В.

Доказательство. Мы воспользуемся трансфинитной индукцией по || В ||. Предположим, что F — монотонное отображение А в В. Если а принадлежит множеству А, то некоторое ограничение отображения F является монотонным отображением 4旧 в в[广(明，поэтому 114用仁 ^j| B[F(a)]J| вследствие (9) и индуктивного предположения. Отсюда, а также из (9) и (8) мы получаем || Л || ^ || В ||.

Теперь предположим, что | Л || ^ || В ||. Фиксируя а из Л, мы вследствие ⑼ имеем || А[а] \ <||Д ||^||В ||. Вследствие (10) Для некоторого & из В справедливо 卜力[用 ||=卜8[川.Вследствие (9) и индуктивного предположения существует монотонное отображение Fa множества /皿 в 员巾 а потому н в 8. Если мы положим 尸а(а) = Ь, то 尸@ будет монотонным отображением Аа в В, где Аа — множество рас- Мирений at принадлежащих Л.

Элемент из А называется максимальным, если он не является собственным расширением никакого элемента из Л. Очевидно, каждый элемент из А принадлежит Аа для единственного максимального элемента а из А . Следовательно, существует такое отображение 尸 множества А в В, что для каждого максимального элемента а ограни-, чение 尸 на Аа есть Fa. Если а и а! — различные максимальные элементы, то никакой элемент из Аа не может : быть расширением элемента из Аа\ Отсюда следует, что ； F монотонно.'

Если а — представляющая функция дерева Л, то вместо ; IIA |j мы пишем ||а||. Мы- пишем || а || ^ о или ||а|| <а, под- ■ разумевая, что а — представляющая функция дерева.

С ледстви е. Существуют такие отношенияТ《и'

Т< рода 2}, что если Tr (Р), то

Т《(а,Р)-||аИ11₽11I

И5

(а,₽)-|]а||<11Р11-，

Доказательство.Согласно леммемыможемполо-г

жить

Т&(а, ₽) - SS (а) & 3V (Vx (а (х) = 0 -> р (у (х)) = 0)

& VxVr/(а (х) = 0->а (^) — 0-^-х< 事 У~>丫(尤)V * Y(D)))*

Вследствие (10) мы можем положить"

те(a, 8)一击偉(尤)=0&7=3 限])).；

Оба отношения имеют род 5} вследствие Yl—Y6.

Ординал о* называется рекурсивным, если о^=[А || для “ некоторого рекурсивного дерева Л. Каждый ординал, меньший некоторого рекурсивного ординала, рекурсивен.； Действительно, пусть т<сг = ||Л||, где 4 — рекурсивное дерево. Вследствие (10) т = [4[«]|| для некоторого а из 4.: Однако Л[а] — рекурсивное дерево, так как

4a](尤)e 4 (尤)& х V *

Первый нерекурсивный ординал обозначается через Е.: Согласно только что доказанному утверждению ординал рекурсивен тогда и только тогдаf когда он меньше k.

Замечание. Мы имеем со<；瓦 Чтобы это доказать, обозначим через 4 множество всех таких 〈а】,...,:

что。1>&> … >。力 Легко заметить, что Я — дерево, и оно рекурсивно, потому что

/ (а) — Seq (а) & У^<П1 ⑷ V/z< ,((*•< (а)》.

Фиксируя п, ПОЛОЖИМ аё =(他九—1,...,t〉для i^n. Тогда s принадлежит Л и

а0<^ аг<^ ап.

Вследствие (9) и (5)

MsiVMaN V... VM&] V〕川•.

Отсюда следует, что п<С|| Л ||. Так как это верно при всех и, то отсюда следует, что(oV||/|jO・

Для каждого о мы определяем

T% (a)С[同v5Tr； (a)<->||aj|<or.

Вследствие (8)

Тг。(а) с SS (а) & V% (а (х) =0->Тга ©印)).

Отсюда и из Н1 — Н5 следует, что существует такая рекурсивная функция 厶，что если Тг^ есть Jh то Тга есть 丿厶⑴.

Лемма 3. Если о* рекурсивен, то отношения Тг% и Тг^ гиперарифметические.

Доказательство. Из только что доказанного утверждения следует, что нам достаточно рассмотреть лишь Тг；. Пусть А — такое рекурсивное дерево, что и = ；|/||, и пусть для х из 4 ординал %=]4[力亚 Вследствие (9) и (10)

Тга (а) с 士 (Л (尤)& Тгах(а)).

Мы покажем, что существует такая рекурсивная функция F, что для каждого х из Л отношение Тгад, есть Jp {х). Отсюда будет следовать, что

Тга (а)Зх (4 (х) & Jf ⑴(а))

—三沙(Зх (4 (%) & 尸(х) =у) & Jy (а)).

Поэтому отношение Тг% гиперарифметическое по HL

Сначала трансфинитной индукцией по о* мы докажем, ато Tr(y# есть J尸⑴,замечая, какие свойства F необходимы, а затем мы определим F с этими свойствами. Вслед- ствне (9), (10) и (5) ординалами, меньшими о\, являются Оу для у из А и у <Z^ х. Следовательно,

鹏(а) о 巾(/ (у) & у V * * & J尸(“)(а))

по индуктивному предположению. Если / — индекс функ-: ции 尸，то мы можем записать

Tr£ (a) q Зг (刃(А(у)&у<* х& {f}(y) = z)&Jz (а)).； По Н1 отсюда следует, что существует такая рекурсивная функция М (не зависящая от F и /), что

Т応(а)»/м亿 *)(а).

Если 厶 та же, что и раньше, то

Тг\у% (а)。厶(л1 (f, X))(а).；

Следовательно» чтобы заключить, что Тг^% есть JF(х), достаточно иметь F(x)=L(M (Д %)). Теперь, пользуясь теоре- мой о рекурсии, мы можем определить такую рекурсивную частичную функцию F с индексом 厶 что'

F(x)^L(M (А х))>

для всех х. Так как функции L и М. — всюду определен-: ные, то функция F также всюду определена и 尸(尤)=: = L(M (厶 x)).占

Теорема ограниченности. Если Р — подкласс рода 2} класса Тг, то существует такой рекурсивный ? ординал а, что Р — подмножество множества Т%.:

Доказательство. Мы предположим, что такого о ； не существует, и докажем, что каждый унарный предикат Q рода П} имеет род £；; это будет противоречить':：: теореме об аналитической иерархии. По теореме о дереве существует такая рекурсивная функция 尸,что:

Q (а) Tr ^xF (а, х)).(11) \

Мы покажем, что

Q (а) с За (Р (а) & Т《(ZxF (а, х), а)),]

отсюда будет следовать, что Q — предикат рода 2{*.4

Предположим, что имеет место Q (а). Тогда вследствие : (Д1) получаем Tr(^xF(at х)). Пусть о = || 九尤户(а, *)||・ Так как 尸 рекурсивна, то ординал <т рекурсивен, поэтому в Р : существует такая а, что ~| Тга (а). Тогда мы имеем Тг(а) J и а^||а||, поэтому T^(XxF(at х), а). Теперь предположим,: что в Р существует такая а, что 7&(Хх尸(а, х), а). Тогда : Тг (а) и, следовательно, Tr(Ax尸(а, х)). Следовательно, по (11) выполняется Q (а).,

Пусть Р, Q и R —(т, п)-арнне отношения. Мы говорим, что Р и Q не пересекаются, если I (Р (班)&Q (М)) для :

всех Й. Мы говорим, что R отделяет Р от Q, если 尸(W)f R (理)Для всех 81 и 7? и Q не пересекаются; очевидно, отсюда следует, что Р и Q не пересекаются,

Теорема отделимости (Лузин — Аддисон). Если Р и Q — непересекающиеся отношения рода £；, то существует гиперарифметическое отношение R, отделяющее Р от Q.

Доказательство. По теореме о дереве существует такой рекурсивный функционал 尸，что

1Q(^)^ Тг (AxF (3(, х)).

Пусть S — класс всех Ах尸(丸 х), где 翼 таково, что Р(?1)・ Так как Р и Q не пересекаются, то S — подмножество множества Тг. Так как

S (а) — 32((尸(31) & Vx (а (灯=尸乳 *))),

то S имеет род 斗. По теореме ограниченности отсюда следует, что существует такой рекурсивный ординал а, что S является подклассом класса Тга. Мы определим R следующим образом:

R (观)—Т% (Ах尸(丸 х)).

Так как класс Тга — гиперарифметический по лемме 3, то отношение 7? — гиперарифметическое. Если Р(21), то 入xF (必,％) принадлежит S и, следовательно, классу Т%, поэтому & (立).Если Q (少，то Ах户(乱 х) не принадлежит множеству Тг и, следовательно, не принадлежит классу Т%, поэтому《R(2()・ Таким образом, R отделяет Р от Q.

Т еорема характеризации (Суслин — Клини). Отношение имеет род А； тогда и только тогда, когда оно гиперарифметическое.

Доказательство. Если отношение Р — гиперарифметическое, то оно имеет род Д} по лемме 1. Если Р — отношение рода А；, то Р и П ^ — непересекающиеся множества рода Е；・ По теореме отделимости существует гиперарифметическое отношение R, отделяющее Р от 1Р. Отсюда следует, что R = Р, поэтому 尸—гиперарифметическое отношение. —

Для любой конечной последовательности Ф мы можем релятивизовать все рассуждения этого параграфа. Из реля- тивизованной теоремы характеризации и леммы о конечности следует, что отношение имеет род Д} тогда и только тогда, когда оно борелевское.

Получив такой аналог теоремы об отрицании, соблазнительно предположить истинносТь следующего аналога , теоремы Поста: предикат имеет род ДД+1 тогда и только ? тогда, когда он является гиперарифметическим в классе предикатов рода Щ. Однако это неверно; предикаты, гипер-； арифметические в классе предикатов рода Щ, образуют : собственный подкласс класса предикатов рода Д^ (задача 18). Известны некоторые полезные характеристики + предикатов рода А$ (см. задачу 27), однако при 孔>2 подобные характеристики предикатов рода 第 неизвестны.

Теоремы о базисе

Функция имеет род 2^ (Щ, А；), если ее график имеет , род 2^(Щ, AQ (где i=i или i = 0). Далее, для любой ; всюду определенной функции 尸 имеем:

~| ®r(«> Q)—三尤(х W а&О尸(а,尤))・

Следовательно, если F — функция рода Е* то ~| Sr имеет род Sn и потому F —функция рода А先，тогда как если ； F — функция рода 2^ или П^, то ~| <3尸 имеет род 2% или 专 IIJj соответственно и F — функция рода А^. По этой причине мы будем рассматривать только функции рода А%.；;

Функция F имеет род А； тогда и только тогда, когда : ®F рекурсивен (по теореме об отрицании), и, следовательно, тогда и только тогда, когда F рекурсивна. Функция 户 имеет род Д] тогда и только тогда, когда ®F— гиперариф- метический (по теореме характеризации); в этом случае ； мы говорим, что функция F — гиперарифметическая.

Нас интересует следующая проблема. Предположим,； что Р — некоторый класс унарных функций, т. е. некото-； рое (1,0)-арное отношение. Предположим, что нам что-: нибудь известно о классификации Р в одной из иерархий. * Что можно сказать о классификации функций из Р? Мы не можем надеяться узнать что-либо о всех функциях ? из Р; например, если Р — множество всех функций, то Р ；; рекурсивно, однако некоторые элементы из Р не имеют : классификации. Самое большее, что мы можем надеяться . доказать, — это что если Р имеет простую классификацию,； то некоторый элемент класса Р имеет простую классификацию.

В соответствии с этим мы приходим к следующему определению. Класс 3 унарных функций *) называется базисом совокупности Ф классов унарных функций, если для каждого Р из Ф

ЭаР (a) f За (В (а) & Р (а)).

Пр имер. Класс функций, равных нулю везде, кроме конечного числа значений аргумента, является базисом совокупности функциональных классов рода SJ *). Действительно, предположим, что Р есть непустой класс рода 2J. Имеем Р (а) с 3*R (а (х)) для некоторого R. Так как класс Р — непустой, то существует такой номер последовательности s, что R(s). Полагая a(x) = (s)* при х< Ihs и а (尤)=0 при х^ lh (s), мы получаем, что а принадлежит Р.

Отметим, что если В является базисом совокупности функциональных классов рода П；, то класс функций (у)。， где ? принадлежит В, является базисом совокупности функциональных классов рода Е；・ Действительно, пусть класс Р имеет род 泻 и непуст. Тогда Р (а) 3₽Q (а, Р), где Q имеет род И；. Определим отношение R рода it； следующим образом: R(Y)cQ((Y)o,(Y)i)・ Так как класс Р непуст, то Q непуст, поэтому непустым является R. Таким образом, R содержит функцию у из В, а (у)。является функцией из Р. Аналогичным способом мы убеждаемся, что если 3 является базисом совокупности функциональных классов рода Щ, то класс функций (у)。，где у принадлежит В, является базисом совокупности функциональных классов рода 2^1-

Для произвольного класса функций Р через /р мы обозначим множество всех чисел а (х), где а принадлежит Р, а х произвольно. Оно имеет явное определение

1р (〃) з Ba (Р (а) & а (lh (〃))= а).(1)

Лемма. Если Р — непустой функциональный класс рода И；, то Р содержит функцию, рекурсивную 6 /夕・

Доказательство. Определим F индуктивно следующим образом:

尸(п) 4 卩z/p (戶(и) *〈z〉)・

По R14 尸 рекурсивна в /р. Индукцией по и мы покажем,； что F (и) определено и принадлежит /р. Так как Р непуст, то 尸(0) =〈 ) принадлежит /Р. Теперь предположим, что; F (п) определено и принадлежит /р. Тогда F (п) = а (п)< для некоторого а из，Так как:

Ip (a (n+ 1)) и 反(几 + 1)=汉⑺*〈а(/г)〉，*

то 尸(п) определено и /尸(戸(几)案〈尸(孔)〉)• Следовательно, F (п+ О определено и принадлежит 1Р.!

Остается показать, что 尸 принадлежит Р, Для неко< торого предиката R мы имеем 尸(а) <■> V尤R (汉(尤))• Очевидно^/р является подмножеством множества R, поэтому;； VxT^ (F (х)) н, следовательно,尸 принадлежит Р.

Теорема Клини о базисе. Класс функций, рекур-, сивных 6 классе всех предикатов рода 2J, является базисом; совокупности функциональных классов рода И； и, следовательно, совокупности функциональных классов рода £；.： Класс гиперарифметических функций не является базисом- совокупности функциональных классов рода IIJ.

Доказательство. Если Р имеет род П；, то вслед：； ствие (1) 1р имеет род S}, поэтому первое утверждение^ следует из леммы. Чтобы доказать второе утверждение^ достаточно показать, что класс Я всех гиперарифмети-; ческих функций не является базисом совокупности функ-; циональных классов рода 2}. Так как 1Я непуст и н 3 содержит элементов из 乩 то достаточно показать, что! ~| Н имеет род S}, или, что равносильно, что Н имеете род П]. Для этого мы воспользуемся явным определение^ Н (а) о Bi^x^y ((а(x)=y-^J (i,修 у))&:

&(&(*)力J (〈1, % х, »)))• (2力 (Отметим, что из правой части следует, что t являете ； 方-нндексом, потому что она означает, что J (厶 ％, у) дл некоторых хну.)

Мы также можем применить наши соображения к клас сам множеств. Чтобы не вводить новую терминологию^ мы вместо этих классов рассматриваем классы представ-' ляющих функций множеств, т. е. унарных функций, зна чениями которых являются только 0 и 1. В качеств переменных, изменяющихся на множестве таких функций： мы используем строчные греческие буквы со звездочкой：

Лемма бесконечности (Брауэр — Кёниг). Для любого предиката Р

3a*VxP (а* (х)) с Vn3a*Vxx^rtP & (х)).

Доказательство. Очевидно, что из левой части вытекает правая. Предположим, что правая часть истинна. Пусть Л ——такое множество номеров последовательностей (的，…，&〉，что GV1 Н 尸(〈公，…，q力)для всех i^n. Индукцией по 尤 мы так определим а* (х), что а* (х) для всех х имеет бесконечно много расширений в А; отсюда следует, что VxP (а* (х)). Из правой части эквивалентно- сти следует, что а* (0) = ( ) имеет бесконечно много расширений в А. Теперь предположим, что а* (х) определено и имеет бесконечно много расширений в Л. Каждое собственное рас1иирение_а* (х) в А есть расширение либо а* (х) (0), либо а* (х) *(1). Отсюда следует, что при подходящем выборе а* (х)

а* (%+ 1) = а* (%) *〈а (%)〉

имеет бесконечно много расширений в Л.

Следствие. Если Р имеет род IIJ, a Q определено следующим образом:

QW — ：3a*P (乱 а*), то Q имеет род nj.

Доказательство. Мы имеем Р (兴，а) <-> VxR (а (х), 方),где R рекурсивно. Отсюда по лемме получаем

Q (Ш) <■> YnSaNxxvnR 帝(灯，界)・

Поэтому достаточно доказать, что часть, следующая за V& является рекурсивным отношением от 班,п.

Определим рекурсивную функциюF следующим образом: f(0)=〈〉，

尸(九+1)=卩zV%WFS)仍〈0〉Vz&y*〈1〉Vz)・

Тогда если 由 v 1 при i V 孔,то мы имеем〈%,.…,ап-^ V (п). Поэтому

ma*V芻 W"R (*(х)，2 一 3ss<F(„)(Seq (s) & Ih (s)=

=л & Viz<n ((s)f ^ 1) & Vtt<„7? (In (s,，)，2〔)).立。дает нужный результат.

Теорема Кр айзеля о базисе. Класс функций рода А； является базисом совокупности классов рода П} представляющ их функци й.

Доказательство. Пусть Р — непустой класс рода П1 представляющих функций. Из (1) и из следствия ； к лемме бесконечности вытекает, что /尸 имеет род П；・; По лемме и по теореме Поста Р содержит функцию рода А；・：

Если Р ——класс, единственным элементом которого : является унарная функция F, то мы говорим, что Р неявно определяет F. Тогда F имеет род Д^ тогда и только ■ тогда, когда Р имеет род Д^ Действительно, предположим, что Р имеет род А^ и, следовательно, 2%. Так как

®F 3, &) с Эсс(Р (а) & а (а) = Ь):

с Va (尸(а) т а (a) = b),

то 尸 имеет род Ад. Теперь предположим, что F имеете род А；. Тогда (D尸 н П ®г имеют род AL Так как

Р (а) с VxVy (а (尤)®f (匕 S):

q VxVu ((а ⑴=у & ©f^,护)V (& ⑴力 У & 1 ⑨尸(招 У)))…

то Р имеет род А]拼

Отсюда следует, что для того, чтобы доказать, что4 функциональный класс рода А^ является базисом совокупности Ф, достаточно доказать, что каждый непустой； класс из Ф содержит функцию, неявно определенную； классом рода Д„, или, что эквивалентно, что в каждом непустом классе из Ф имеется подкласс рода АЗ содержащий в точности одну функцию. Мы воспользуемся этим- методом, чтобы показать, что функциональный класс рода. А； является базисом совокупности функциональных клао сов рода П{.

Теорема униформизации (Новиков-— Кондо —：. Аддисон). Если Р — отношение рода И；, то существуем такое отношение Q лода П{, что для всех 界，а 〃 0；

Q(a,界)—漳，界)，

Q(a, 81)&Q® 叫—a = 0,；

зaр (a,界)f maa(a, 31).

Док аз ате льство. Так как 21 остается фиксиро ванным, то для простоты обозначений мы будем его опу『 скать. По теореме о дереве существует такой рекурсивны функционал Ft что Р (a) Тг (ZxF (а, х)). Мы буде писать 尸仪 вместо XxF(а,尤)и F^n вместо (户仪)[用.

Если отношение Р пусто, то Q мы возьмем также пустым. Теперь предположим, что Р непусто. Индукцией по 竝 мы определим для каждого п непустой подкласс Рп из Р. Пусть а — наименьший из ординалов ||耳卜 где а принадлежит Р, и пусть Ро — класс таких а из Р, что II户а 11 = о. Теперь предположим, что Рп уже определен. Пусть sn — наименьшее из чисел а (п), где а принадлежит 巳,и пусть ал — наименьший из ординалов ||Fa,„||, где а принадлежит Рп и 衣(n) = s个 Тогда в качестве Рп^ мы возьмем множество таких а из Pnt что а (п) = sn и Иа,п|| = ^. В таком случае мы имеем

а 三巳 & 反(垃)V s也 & |］凡,% а м P/i・ (3)

Возьмем в качестве Q пересечение всех Рп. Свойство (а) очевидно. Если а принадлежит Q, то а (п) = sn для всех п, это доказывает (б). Чтобы доказать (в), нам надо показать, что Q непусто. Выбирая а в Рп^ мьх получаем, что аи Рпе поэтому сс (n+ l) = s^+1 н E(/z) = s加 Следовательно s^+i является расширением s^. Так как к тому же lh (s„) = n, то существует единственная функция у такая, что у (п) = s„ для всех п. Покажем, что у принадлежит Q.

Сначала мы покажем, что

Ру (т) = % (м) = 0 & 加 V *n->om < 恥. (4)

Так как функционал 尸 рекурсивен, то мы имеем F (а, а)亠 ~b^3zR (а (г), а, %). Отсюда и из того, что Fy (/п)= =尸丫 (几) = 0, мы видим, что существует такое число А, "о если a(k)=y{k)t то Fa(m) = Fa(n) = 0. Мы можем таюке предполагать, что 々>m, k>n. Выберем а в Р^ъ Тогда a (^) = sA = y (力),поэтому 尸& (m) = Fa (几)=0. Отсюда 51 h3 m<*n мы получаем |:尸sl| = 1:(尸%力［询］1V1|%/. 1ак как а принадлежит Рт+1 и Рл+1, то это неравенство превращается в ^<；^. Аналогичное (однако несколько более простое) доказательство показывает, что

Fy (п) = 0 -> ал < а. (5)

Далее, мы покажем^ что у принадлежит 尸.В против- ном случае существовала бы такая убывающая последовательность т0, тъ ..., что Fy (m^) = 0 для всех i. Тогда вследствие (4)行加。>аШ1 >..,, что невозможно.

Теперь трансфинитной индукцией по ал мы докажем, что .；

% (zz) = 0f I[尸》"I(6)

Если F^n (m) = 0, то F、(/n) = 0 н m V *% поэтому Gm V 口落 вследствие (4). Следовательно, по индуктивному предпо- '；■ ложению?

(%, n)M II = II %,理 II W ^tn V ^л*

Вследствие (8) из § 7.10 отсюда вытекает, что Ц FY( л || ^ аЛ. | Вследствие (5) и (6) || 尸y||Vu, поэтому у принадлежит!

Ро・ Если у принадлежит Рл, то из (3) и (6) следует, что> у принадлежит 匕卄 Таким образом, по индукции у при-Х надлежит всем Рп и, следовательно, Q.1

Остается показать, что Q — отношение рода П；・ Вслед- ； ствие (3) мы имеем-

Рп (₽) ** И₽ II ^ ст & ^тт<п (р (от) ^ % & |[Fp>m ^ ат).:

Следовательно, если а принадлежит РЛ, то

Правую часть этой экви в а лентности можно переписать ； как RQ, 3 九)，「Де R — отношение рода S}. Тогда для : а из Рл:

1 Р“+1 (а) <^3₽(Р„ (₽)&[₽(«) V & ⑺ V (В ⑺=；；

_ =无⑺&宙承V№%加): эр (R (а, P, n) & [₽ (n) < а (л) < (p (n)=.

=&(九)&7<(a,“，尸%“))])

—R (a, n),

где R，— отношение рода S{. Отсюда

Q(a) —Po(a)&V"R(a, n) cP(a)&VBlT<(&,尸a)&V〃lR'(a, n).

Таким образом, Q — отношение рода П}. Если Р н Q пусты, то мы можем использовать такое же определение для Q.

Следствие 1. Класс функций рода А& является базисом для совокупности, функциональных классов рода П；.

Следствие 2. К.ласс функций рода Д| является базисом для совокупности, функциональных классов рода 爲.

Следующей задачей должна бы быть такая: найти базис совокупности функциональных классов рода Щ. Однако Леви показал, что при обычных аксиомах теории множеств нельзя доказать, что класс функций, определимых в теории множеств, является базисом этой совокупности. Так как среди определимых функций содержатся, например, все функции, рекурсивные в множестве аналитических предикатов, то мы видим, что эту проблему нельзя удовлетворительно решить, не рассматривая новые аксиомы. С другой стороны, Аддисон показал, что предположение о том, что класс функций рода А； является базисом совокупности функциональных классов рода Щ, не противоречит имеющимся аксиомам.

Так как теперь мы, очевидно, далеко ушли от проблемы разрешимости, которая вначале привела нас к рекурсивным функциям, то естественно спросить, чего мы надеемся достичь при изучении иерархий? Одним из ответов является такой: мы надеемся прояснить понятие множества. С этой точки зрения мы рассматриваем иерархии как классификацию некоторых важных множеств в соответствии со сложностью их определения. Поэтому не является неожиданным, что, как только что было указано, многие из нерешенных проблем в теории иерархий связаны с проблемами в аксиоматической теории множеств.

Задачи

(а) Пусть 尸 определена индуктивно следующим образом:

尸(0, a) = G(。)，

F0 + 1, а)= Н(尸 g, К (尸仏矶瓦 а))", а),

где G, Н н К—рекурсивные функции. Показать, что 尸 рекурсивна. [Определить с помощью теоремы о рекурсии рекурсивную частичную функцию 尸'* удовлетворяющую равенствам, в которых = заменено на а , а затем доказать индукцией по Ь, что 尸(仇 d)^F (b, a).]

Показать, что существует такая бинарная рекурсивная функция F, что для каждой n-арной примитивно рекурсивной функции G существует такое число g, что Eg)=〈G〉・ [Сопоставить индекс g каждой примитивно рекурсивной функции G. Положить 尸(％ g)= =〈G〉(а), если g является индексом функции G, н 尸(a, g) = 0, если g не является индексом. Пользуясь методом из (а), показать, что F рекурсивна.] Затем показать, что 尸 не является примитивно рекурсивной. [Показать, что функция Я, определенная следующим образом: Н (a) = F(a,.a)4-l> не является примитивно рекурсивной.)

2. (а) Показать, что область определения любого рекурсивного / частичного функционала рекурсивно перечислима.?

Пусть 尸一рекурсивный частичный функционал, а Д — неко- 7 торое подмножество области определения функционала F. Пока-,; зать, что ограничение функционала 尸 на % рекурсивно тогда н? только тогда, когда Л рекурсивно перечислимо. [Использовать (а) и R12J之

Пусть Р—такой рекурсивный предикат, что VxP (х, о) не '3 является рекурсивно перечислимым предикатом от а. Пусть Н (х, а) * 二 цгР (х, а), G(ot, а) = 0,尸(а)亠 G (版//(а, х)( а). Показать, что 尸：冷 не рекурсивна. [Использовать ®].

3・ Частичный функционал 户 называется селектором для отношения Р, если для любых 91 таких, что ЗхР (г, 91), Л (Ш) определено и P(F (Щ),界).

Показать, что если отношение Р рекурсивно перечислимо, то для Р существует рекурсивный селектор. [Если Р (х, 9【)—： 一百成(招乱 у), то пусть 戶(閏 * (m？ (g)0, V(, (z)i))0.J工:

Показать, что можно найти такое рекурсивно перечислимое : отношение Р, что селектор цхР (х, а) для Р не рекурсивен. {Определить Р следующим образом： Р (х, a) — R(a) V 尤=1, где отноше- ■ ние Р рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно.]；

Предположим, что отношение Р рекурсивно. Показать, что : существует рекурсивный всюду определенный функционал, являю- 、 щийся селектором для Р тогда и только тогда, когда ЗхР (х, 51) является рекурсивным отношением от ?1.

Пусть % …,尸农一рекурсивные частичные функционалы. Показать, что существует такой рекурсивный функционал 尸，что 尸(2() для каждого 班 определено тогда и только тогда, когда хотя бы / одно нз Fi (21) определено, и в этом случае 尸(如)==尸》(职)для некоторого t. [Использовать (а).]工

Рекурсивная частичная функция F называется креативной 宀 функцией для множества А, если для каждого е такого, что A n We : не пересекаются,尸(е) определено и не принадлежит ни А, ни We. Рекурсивно перечислимое множество А креативно, если оно имеет креативную функцию. Рекурсивно перечислимое множество.А называется простым, если его дополнение бесконечно, но не содержит никакого бесконечного рекурсивно перечислимого подмножества.

Показать, что креативное множество существует. [Рассмотреть А (е) — We (е).]

Показать, что креативное множество не может быть рекурсивным. [Воспользоваться теоремой об отрицании.]

Показать, что каждое креативное множество А имеет всюду определенную креативную функцию. [Ввести рекурсивную функцию G, областью определения которой является множество таких е, что пересечение множеств 叭 и А непусто, и воспользоваться 3 (г).]

Показать, что простое множество существует. [Ввести Р (х, е) — —Wg (%)&%>2е. Пусть ? является рекурсивным селектором для Р, и пусть Д—множество значений функционала 尸* Показать, что для каждого k з А найдется не более й чисел, не превосходящих 2月J

Показать, что простое множество не может быть рекурсивным. (Воспользоваться теоремой об отрицании.]

Показать, что простое множество не может быть креативным.

Множество А называется много-односводимым к множеству В, если существует такая рекурсивная функция 尸,что для каждого а

А (а) В (尸(а)).

Если к тому же можно 尸 выбрать так, что она окажется инъективной (биективной), то Л называется одно-односводимым к В (соответственно рекурсивно изоморфным В).

(а) Показать, что если множества Л и В рекурсивно изоморфны, то каждое из них одно-односводимо к другому.

Пусть А одно-односводимо к 8, и пусть R (а, Ь) означает, что □(a1，..., 0/i)，6:=〈瓦，• • •» 匕л〉，电==a/ ="加=:匕/ д/* веех f, / и Л (ар —B(bj). Показать, что существует такая рекурсивная функция G, что

R (а, 6) - R (а*〈尤〉，b*〈G (а, Ь, х)>).

[Пусть А (а) — В (尸(а)), где 尸 инъективна. Если % =的，то пусть G(o, b,尤)=瓦・ В противном случае, если F (х) не равно 勿，то пусть G(& 6, *)=尸(尤)；если F(%) = 6G и 尸(&J не равно 勿，то пусть G (а, Ь, *)=尸(勺1)и т. д.]

Показать, что если каждое из множеств Д и В одно-односводимо к другому, то А рекурсивно изоморфно В. [Использовать (б) и технику доказательства теоремы Рыль-Нардзевского.]

Показать, что существуют такие рекурсивно перечислимые множества А н В, что А одно-односводимо к В, В много-односводимо к 4 н В не одно-односводимо к А. [Взять в качестве Д простое множество и сформировать В, исключив из А некоторое, бесконечное рекурсивное подмножество.]

(а) Показать, что если Р —рекурсивно перечислимый предикат, то существует такая рекурсивная функция Н, что 阪“(方)(口)一 —Р (а, х, Н (х)) для любых а н 尤.[Определить такую рекурсивную функцию G с индексом g, что G (а, х) = 0, если Р (а, х, S (g, х)), и G (а, %) не определена в противном случае, и положить 方(%)= =S (g, %) J

Показать, что если Л креативно, а Р рекурсивно перечислим, то существует такая рекурсивная функция F, что Р (х,尸(力))— —A (F (х)) для всех х. [Пусть G—всюду определенная креативная функция для Д. Выбрать Н из (а) так, чтобы

阪冃⑺(а) — a = G (Н (尤))& Р(лт, G (Я (х))),

и положить 尸(%) = С (Я (х)).]

Показать, что если { креативно, то существует такая всюду определенная креативная функция 尸 для А, что если пересечение Л с % непусто, то 4 (尸(е)). [Ввести Р (е, у) 一叭仅)V 玄(％ (%) & &仆尤))и применить (б).]

Т「)Пусть А креативно. Показать» что существует такая рекурсивная функция F, что если А (х), то IF尸(％)и А, а если ~] А (х), то 取f(x)бесконечно и не пересекается с А. [Использовать (в).]

Показать, что если А креативно, то существует такая рекурсивная функция 尸,что F (х, у)^у и А (лг) —4(尸(％, у)) для всех 尤 и у. [Использовать (г) и 3 {a).J

Показать, что если А креативно, а В много-односводимо к Д, то В одно-односводимо к А. [Пусть 尸 рекурсивна, пользуясь

(д), определить индуктивно такую инъективную рекурсивную функ- £ цию что A (F (а)) — Л (尸'(а))」，

Показать» что для рекурсивно перечислимого множества А 与 следующие утверждения эквивалентны:£

А креативно;”

каждое рекурсивно перечислимое множество много-односво-； димо кА;

каждое рекурсивно перечислимое множество одно-односво- :! димо к 4.R

[Использовать (б), (е) и 4(a).]У

Два непересекающихся множества Л и В эффективно рекур-寸二 сивно неотделимы, если существует такая рекурсивная частичная |; функция F, что если A a:We и 总 и 囚介 то 齐(& /) определено и не : принадлежит ни 囚ни Wр歹

Показать, что эффективно рекурсивно неотделимые множества I рекурсивно неотделимы. [Использовать теорему об отрицании.]

Показать, что существуют эффективно рекурсивно неотдели* ” мые рекурсивно перечислимые множества. [Ввести

А (х)—巾(С ((х)т，х, у) & V“wy ~| Л ((х)о)х,明，；

В (х)—丸(Тг ((х)0, х, у) & V"q 1 Л (Wi> % К)£

и尸(%力=佃f〉.]

Показать, что если Л и В—эффективно рекурсивно неотде- ； лимые рекурсивно перечислимые множества» то А, В и Л V ^ креативны. .i

Показать, что существуют рекурсивно неотделимые рекурсивно перечислимые множества А и 8, не являющиеся эффективно рекурсивно неотделимыми. [Построить А и В следующим образом. На 鼻 n-м шаге положить е=(п)0, х=(п)1( ^ = (п)а. Если условие : Т工(е, х, у) & х > Зе не выполняется, то на этом шаге больше ничего не делать. Если же оно выполняется, то отнести число х к Л> если : оно не было отнесено к В и никакое число не было отнесено к А Т на шаге m<cnt где (/п)0 = В противном случае отнести х к В, если оно не было отнесено к Л и никакое число не было отнесено к В на шаге т<.п, где (т)0=е. Показать, что Л V ^ является простым и что если 吃 & [(4 V В) бесконечно, то каждое из множеств Л и В 产 содержит элемент из 叽.Использовать (в) и 4 (е).]

Пусть Ux означает для бесконечно многих х. Предикат Р называется предикатом рода Un (Vn)> если

Р (а) — Uq …U 乙R (a, xlf ...» 修).

где предикат R рекурсивен (рода И»

Показать, что каждый предикат рода ил имеет род П^» и что каждый предикат рода V% имеет род 口臥 + 入

Пусть Р—предикат рода Пл+i； показать, что Р(@)— —UxQ (а, х) для предиката Q рода Е^・[Воспользоваться эквивалент' ноотью VzR (z) — U侬Vz3 VtyК 3)J

Пусть Р —предикат рода П^+а (Пз); показать, что Р^^их(Рг(^ х)&Ра(а, »),

где Р, —предикат рода Пл (рекурсивный), а Р£—предикат рода S» (рекурсивный). [Использовать (б) и эквивалентность

UxmyQG，y)~Uz(Q((%, (z)i)&Vi^v(*1Q((%,叫).

Пусть Р —предикат рода П^+% показать, что Р (а) *+ *■* UxPt (а> х), где Pi— предикат рода П^. (Использовать (в) и эквивалентность

Ux (3yQ (х, у) & VvR (х, и))—'

iU2(Q((%,⑵0&V侬g<⑵JQ((%,侬)&VuR((z)明J

Пусть Р — предикат рода Пл. Показать, что если 门= 2/п, то Р — предикат рода Um, а если п=2т~^\, то Р~предикат рода Vm. [Воспользоваться (в), (г) и индукцией по mJ

Полным множеством рода £：(П%) называется такое множество А рода Sn (Пп), что каждое множество рода S« (Пп) многоводно- сводимо кА

Пусть Р —бинарный предикат рода 工? (口^), перечисляющий класс унарных предикатов рода W% (Пп), и пусть 4 (а) — Р ((а)0, (а)〔). Показать, что Л — полное множество рода Sn(Hn).

Показать, что множество таких % что We бесконечно, является полным множеством рода И；. [Использовать 8 (д).]

Показать, что множество таких е, что 】^纟 бесконечно, является полным множеством рода Щ. [Использовать 8(a) и 8 (д)4

Показать, что множество таких е, что We рекурсивно, является полным множеством рода £；・[Пользуясь теоремой об отрицании, показать, что это множество рода W；. Пусть Л — нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество. Определить такую рекурсивную функцию 尸，что

取尸® (х)-(叭((6) & (吐=0) V («о < (俞 & A (Wo)) V -

V((x)i>0& 叭((/))・

Показать, что 杯尸(《)рекурсивно тогда и только тогда, когда [ We конечно, и использовать (в).]

Множество А таблично сводимо к множеству В, если существуют рекурсивная функция F и рекурсивный предикат Р такие, что А (х)^ Р (Кв (尸(х))) для всех 尤.

Показать, что если А много-односводимо к В, то А таблично сводимо к В.

Показать, что для каждого рекурсивно перечислимого множества А существует такое простое множество В, что А таблично сводимо к В. [Мы межем предполагать,女о [ А бесконечно. Пусть С — такое простое множество, что для каждого л в С существуют самое большее л чисел, меньших 2汽 + 2, Пусть Dn — множество таких х, что 2" w л: V 2"+工,а В —объединение множеств С и Dn> где п принадлежит множеству А.] Затем показать* что обращение (а) ложно даже для рекурсивно перечислимых множеств. [Использовать 4 (е).]

Показать» что А таблично сводимо к В тогда и только тогда, когда существует такой всюду определенный функционал F, что

«4(%)=尸(«8，力)для всех аг. {Предположим, что такой функционал У7 существует. Выберите такой рекурсивный предикат R, что ⑸尸(а, х, а)—mzR^(z), х, а). Обратите внимание на то, что для каждого %•

VaF纸戸((z)J,修(％), и воспользуйтесь леммой о бесконечности.]

И. Рекурсивно перечислимое множество А называется гиперпрос-^ тьш, если дополнение множества / бесконечно и не существует такой рекурсивной функции 尸，что Vx^g С\ А (у) &. х Су cF (х)).

Показать, что если А гиперпросто, то Л просто и потому не рекурсивно.

Предположим, что креативное множество А таблично сводимо к рекурсивно перечислимому множеству В., Показать, что В не может быть гиперпростым. [Пусть 4 (а)—Р(Кв {尸(%))), где Ри/7 рекурсивны. Выберем рекурсивную функцию G из 6 (б) так, что A (G (е)) —Me(G(e)). Пусть Jn (x) = (n)xt если х < lh (п), /л (х)^Ов противном случае. Выберем рекурсивную функцию Я так, что

呼h⑺伍)-[尸(乙(尸(a))).

Пусть L(n) = F (G (Я (п))). Показать, что

lP(Jn(L(n)))^P(KB(L (n))),

а затем показать, что (0 Kg (0 для некоторого f < Л (п). Используя L, определить такую рекурсивную функцию М, что 也刃(~]В(у)&х<у<М (ж)).]

Показать, что для каждого нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества А существует такое гиперпростое множество В, что В таблично сводимо к Д и Л рекурсивно в В. [Пусть 尸一инъективная рекурсивная функция^ перечисляющая Л; определить В следующим образом：

В (a) ^lx (а С х ScF (х) <ZF (а))・

Показать, что дополнение множества В бесконечно и что

1 В 侬)& 尸侬)> х т (4 (х) 一 士zv 陋(x = F (z))).

Предположим, что G —такая рекурсивная функция, что Vx^y (】В (у) & &xVy VG (%)). Показать, что мы можем установить, принадлежит ли а множеству Л г отыскивая такое л, что

a<min (F (X),f伪+1),e(g ⑼)J

(ij Показать, что существуют такие рекурсивно перечислимые множества А п В, что А рекурсивно в В, однако не является габ- лнчн。сводимым к В. [Использовать (б) и (в).] Затем показать, что лемма о замене неверна для рекурсивных всюду определенных функций и предикатов, [Использовать 10 (в).]

12. Пусть S — класс всех рекурсивных унарных частичных функций* Подкласс 5Z класса 5 называется вполне рекурсивно перечислимым (вполне рекурсивным), если множество индексов частичных функций из 晋'рекурсивно перечислимо (рекурсивно). Отображение Ф нз под- класса 宙'класса 8 в множество чисел называется эффективной one-

рацией, если существует такая рекурсивная частичная функция F, что 尸®* ①({е}), как только {е} принадлежит ?\

Показать, что если 咅'вполне рекурсивно перечислим, то каждое расширение любой частичной функции из 宙'，принадлежащее S, принадлежит *'. [Предположим, что G принадлежит 淨，а ее расширение Н не принадлежит ему. Пусть А 一нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество, и пусть & и % определены следующим образом：

尸工(修у)』Н⑴，если / ((/),

尸2(兄 У)-^(х)-

Определим 尸 так же, как в 3 (г), и выберем рекурсивную функцию К так, что {К®)}(尤)~ 尸(尤，У)- Показать, что {К (у)} принадлежит 旷 тогда и только тогда, когда [ Л ((/).]

Показать, что если 音'вполне рекурсивно перечислим и G принадлежит 8\ то Q является расширением некоторой частичной функции G，из 晋-имеющей конечную область определения. [Предположим, что такой функции G' не существует. Выберем такое е, что 必已 нерекурсивно. Определим 尸 следующим образом:

尸(у, %) = G(x), если 1 3zz<xTt (е, у, z),

и выберем такую рекурсивную функцию К, что {К®)}(尤)之尸(招 У)・ Показать, что {К (у)} принадлежит 讶 тогда и только тогда, когда “(^ Пусть 8S, л л —множество таких С из 宵，что G ((s)；)(/)；

при i < п. Показать, что подмножество 注'множества S вполне рекур； сивно перечислимо _тогда и только тогда, когда существует такой рекурсивно перечислимый предикат Р, что ®，является объединением 声s, /, л, где st t и п таковы, что Р (s, f, п). [Использовать (а) и (6)J (г) Показать, что вполне рекурсивными подклассами класса б является лишь 8 и пустой класс. [Использовать (а) и теорему об отрицании.]

Показать, что отображение Ф вполне рекурсивно^ перечислимого класса 斤 в множество чисел является эффективной операцией тогда и только тогда, когда существует такая рекурсивная частичная функция ", что для 尸 из 方，

Ф (F) а а — 3s3An (尸三晋& 九 ”& Н (s,力孔)а а).

[Если Ф — эффективная операция, то множество таких F> что Ф (尸)》е， вполне рекурсивно перечислимо. Пользуясь этим, скопируйте доказательство (в).]

Показать, что условие в (д), говорящее, что 音'一вполне рекурсивно перечислимое множество, нельзя заменить условием, говорящим, что каждая «астичная функция из S' всюду определена. [Пусть Ф (户)匸 0, если F (х) = 0 для всех х, и Ф (F) = 1, если 尸一рекурсивная всюду определенная функция и 三尤(％ Wе &尸(尤)片。)для каждого индекса е из F. Показать, что для каждого 在 существует такая 尸， что F(%) = 0 при 尤 V尼 и ①(F)=1J。

. Пусть Я — класс всех рекурсивных унарных функций. Подкласс 况,класса Ш называется тотально рекурсивно перечислимым (тотально рекурсивным), если существует такое рекурсивно перечис^ ли мое множество Л (существуют непересекающиеся рекурсивно перечис-

Дж. Шенфилд

лимые множества Л и 8), что {е} w 訳‘ о 4 (е) (и {е}陆 9Г о 8 ®) как только {е} всюду определена.

Пусть класс 紀'тотально рекурсивно перечислим. Показать, что для каждой G из ^ и каждого z существует такая G' из 批', что Q' (лг) = G (х) при %vz и Gr (х) = 0 везде, кроме конечного числа значений х. [Доказывать подобно 12 (б).]

Пусть Ф — отображение некоторого тотально рекурсивно перечислимого класса 91’ в множество чисел. Показать, что Ф является эффективной операцией тогда и только тогда, когда оно имеет расширение, являющееся рекурсивным частичным функционалом. [Предположим, что Ф —эффективная операция^ например,戶(с)〜①({е}), где {е} принадлежит 晚'・ Пусть К — такая рекурсивная функция, что {К(м)}(尤) = (м)%, если Seq (п) &х < lh (и), и ；К(/г)}(尤)=0 в противном случае. Пользуясь 3 (а), определить такую рекурсивную частичную функцию Л4, что М (/, у) является таким числом я, что {К (л)} принадлежит 猊，и является расширением 南(“),и 尸(/) * 尸(К (胃)), если только такое 汽 существует. Выберем такую рекурсивную функцию L, что

{L® /)}⑴〜(⑴⑴'еСЛИ0

*I (M (厶 卩沙7\ (е, е, g)))# в противном случае.

Если 1 We(e), то {L(e, /)} = {/}; если у = щ/7\(% % р) и М (/, у) определено» то

{L(%f)} = {K (附亿伊)}.

Выберем рекурсивную функцию N так, чтобы 呼_у(/)являлось множеством таких % что 戶(L (е, /)) ~尸(/). Показать, что если {/} м Э1\ то & (力三闪jv(/[ Если F 仍 определено и

f6(N(3 N(力切，

a G принадлежит 訳'и G (y)={f} (у), то ①(G)=F(/); действительно, в противном случае М (/, у) определено по (а), поэтому 尸(L (N (/)),/)= = F(K(M(f,(/))) =^F (b и потому N (f) ^ WN^y Пусть 々(}, a) означает, что существует такое g, что 尸(/) определено» у = ^уТх (^ (/), N (/), у) н а (у) =仔} (g). Пусть Я —рекурсивный селектор для Q, Показать, что Ф (a) = F (Н (а)) для а из 2.)

Показать, что подкласс Di* класса 猊 тотально рекурсивен тогда и только тогда, когда существуют такие непересекаюгциеся рекурсивно перечислимые множества А и В, что для а е 94 имеем

仪三淀—三4力(а (%)) и а 陆 9Г — 3x5 (а (%))•

[Пусть 9}z тотально рекурсивен, пользуясь (б), найти такую рекурсивную функцию Я, что Н (а) = 0, если а принадлежит 猊\ и л (а)== =1, если а рекурсивна и не принадлежит 統、Выразить ⑸出 на языке рекурсивных предикатов.]

Показать, что если А рекурсивно перечислимо, то множество таких а из 鉄* что ЗхД (а (*)), является тотально рекурсивно перечислимым. Показать, что не каждый тотально рекурсивно перечислимый класс может быть получен таким образом. [Пусть F из 91 принадлежит Э^\ если либо Vx (F (х) = 0), либо 3^e<2Vxx<2 ({е} (х)=

=F (х)), где z = |ix (F (х)，0). Показать, что если {/} принадлежит 紀 и {/} (х) = 0 при %wf, то {/} принадлежит ЭГ, а затем показать, Что 丸，тотально рекурсивно перечислим. Показать, что для каждого 归 существует функция 尸，принадлежащая 批,но не принадлежащая 恥，такая, что для всех 论 尸(尤)=0.]

(а) Показать, что если а и & —степени, то множество, состоящее из а и &, имеет наименьшую верхнюю грань (относительно частичного упорядочения степеней W). [Пусть Л и В — множества из а и 匕 соответственно, и пусть с — степень множества С, определенного следующим образом:

С (%) — 4 ((х)о), если 仇)1 = 0,

С (%) — 8 ((х)о) в противном случае.]

Эту степень мы обозначим через a|J力.

Пусть Л и В — непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества, имеющие степени а н 6 соответственно. Показать, что A U 8 имеет степень а\)Ь,

Показать, что если ^ ^ а, то существует такая степень bt что a = b'=>&U0L [Пусть Л — множество из а. Выберем рекурсивный предикат R так, что

ЗхТЬ1 ((а)0, а, (а)” х) f 3xR (а (х), а), и положим

Q (s, а)—出(£ V * s & R (6 а)).

Положим G (0) = ( 〉н—

'lit(t<*G(a^{KA(a))^R(tta))9

G (白+ 】)=если Q(G⑷*〈К^ (а)), а),

G (а) * <К< (а))в противном случае.

Пользуясь тем, что Q рекурсивен в А, показать, что G и Л эквивалентны. Пусть'

尸⑷= (G(a+l))a，

и пусть & —степень функции 尸.Показать, что 3xR (尸(х), а) рекурсивен в G, а затем показать, что b'Wa. Показать, что G рекурсивна в F и Q, а затем показать, что aWbUO'J

(а) Пусть А — нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество. Показать, что существуют непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества Ло и 力口 объединение которых Л нерекурсивно ни в 40, ни в At. [Пусть F—инъективная рекурсивная функция, перечисляющая 4, и пусть предикат R такой же, как и в доказательстве теоремы Фридберга—Мучника. Определим А。и & по шагам, одновременно определяя множества 8内・ Пусть Л/(Л—множество чисел, отнесенных к Л/ до п-го шага, и пусть Бл —множество значений функции F (х) при х < п. На n-м шаге для / < п и i = 0, 1 пусть xj,( является таким наибольшим числом, меньшим п, что для всех *v 打 имеем

现M评（R/J办，，%Kq⑻）.

Если х<лу,；, то отнесем каждое число, меньшее

* + ^R (R/, (у), j, X, Kd (*))，

к §2/+,. Теперь выберем такое наименьшее 2/十工 что F (и) принадлежит множеству В2у+/, и отнесем F (п) к 41」или, если 尸(п) не принадлежит В^, отнесем 尸仇)к Ло, Показать^ что если {j}"f*K力, то В^^ конечно. Затем индукцией по 2/-]-/доказать, что {j}Ai следующим образом. Показать, что существует шаг %, после которого уже никакое число B^t не относится к А^ Предположить, что {/} t = Ка，н показать, что КА (х) можно вычислить, проверяя на шаге 也 >孔0, выполняется ли %<马,尸 и полагая Ka(#)=Kq (х).]

Показать, что каждое нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество является объединением двух непересекающихся нерекурсивных рекурсивно перечислимых множеств, [Использовать (а) и 14 (б).]

Показать, что если а —отличная от 0 рекурсивно перечислимая степень, то существует такая рекурсивно перечислимая степень 匕，что 0<&<а. [Использовать (а) и 14 (б).]

Зададим на каждом множестве Nm,n топологию следующим образом. Зададим на М)“ дискретную топологию. Рассматривая ^1>0 как произведение счетного числа копий множества N»» зададим на нем топологию произведения. Рассматривая ^т,к как произведение m копий множества А/1)0 и п копий множества Х%,т，зададим на нем топологию произведения.

Пусть Bs —класс все таких 象 из 修加切，что 班((s)0)=(⑤口 … …，倒加+庠).Показать, что Bs образуют базу для Nm,n*

Показать, что подмножество Р множества Nm,n открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой отношение рода Н?* [Если Р открыто, то согласно (а) 尸 есть объединение всех 生(孔) для некоторого а. Если Р имеет род 2}, то Р (观)—*R (а (*), 9((х)) для некоторых R и а.]

Показать, что отображение Ф множества 乂加也 в ^i0 непрерывно тогда и только тогда, когда функционал F, определенный следующим образом: 尸(奴，匕)=(①(21)) (b), является функционально рекурсивным. [Если F функционально рекурсивно, то использовать (б), чтобы доказать, что множество, являющееся прообразом откры- того множества относительно Ф, само является открытым. Если отображение Ф непрерывно, то показать> что график функционала F открыт, и использовать (б).]<

Показать, что класс (т, л)-арных борелевских отношений является наименьшим классом подмножества множеств N皿田 содержащим открытые множества и замкнутым относительно взятия дополнений "и счетных объединений. [Использовать (б).]

(а) Показать, что если Р —множество рода £；，то существует такое рекурсивное отношение А, что

P (双)一m06*V白贝(?(, a*, %, у).

[Пусть Р 偉I) — maV#Q(21 (%), а (х)), где Q рекурсивно. Тогда Р (Э1)

в том и только в том случае, когда существует “*» являющаяся представляющей функцией для некоторого 〈⑤^〉 такого, что ▼妇贝a* ",(/)) = 0 & Q 你 ⑴，力)•]

(б) Показать, что если Р определено следующим образом: Р (21)— —曰必，应，а), где отношение R рекурсивно, то Р рекурсивно перечислимо. [Записать правую часть так: 3a3xQ (Л, а (х)), где Q рекурсивно.]

(а) Показать, что если Ф —конечная последовательность предикатов рода 练，то Ф* —предикат рода 练.

Предположим, что Р —предикат рода Е^ (Л" AR в множестве всех предикатов. Показать, что если k^n, то Р ——предикат рода ££(!!£, AQ, и что если ^ < п, то Р —отношение рода А] [Заметим, что если「(а) —、®*, ?1) и 7? —класс, единственным членом которого является Ф*т то

P(?l) —la (R (a)&Q(a, R))

一 Va (R (a) -> Q (a, Ш)).

Воспользоваться этим, леммой о конечности и (a).J

Показать, что каждое гиперарифмети^ское в множестве гипер- арифметических предикатов отношение является гиперарифметическим. {Использовать (б) и теорему характеризации.]

Показать, что предикаты, гиперарифметические в множестве предикатов рода И" образуют собственный подкласс класса предикатов рода 州+r [Показать, что существует предикат Р рода Щ? в котором рекурсивен каждый предикат рода П^, и выбрать предикат, имеющий род ГЦ в Р, однако не имеющий рода W； в Р. К этому предикату применить (б) и релятивизированную теорему характеризации.]

Реляционное множество состоит из множества Л и бинарного предиката <л. Убывающей последовательностью в таком реляционном множестве является такая последовательность а0, ^, ... элементов из Л, что ад+1 <дап для всех л. Реляционное множество вполне фундировано, если в нем нет убывающих последовательностей. Таким образом, дерево является вполне фундированным реляционным множеством с предикатом <*. Реляционное множество называется вполне упорядоченным, если оно вполне фундировано и <д линейно упорядочивает Л. Если 尤 принадлежит 4, то А^ является множеством таких у из Л, что ^<д х, рассматриваемым в качестве реляционного множества с предикатом <力.

Показать, что ординалы можно сопоставить вполне фундированным реляционным множествам таким же образом, как и деревьям. Ординал, сопоставленный вполне фундированному реляционному множеству Л, обозначается череа | Л ].

Если Д — реляционное множество, то DS (А) является мно* жеством всех таких чисел (av .... %〉, что ал <л ап_г <л ... <л а1в Показать, что А вполне фундировано тогда и только тогда, когда DS (厶)является деревом, и что в этом случае | Л | =j| DS (Л) |[. {Пусть А вполне фундировано и a = (alt ,.., an) принадлежит DS(Д),

показать трансфинитной индукцией по | 々а ]卜 что | Ra ] =11 DS (4)⑷ Н

Показать, что для каждого счетного о существует дерево, имеющее ординал о. [Использовать (б).]

Реляционное множество А называется рекурсивным (еиперариф- метичеасим), если рекурсивными (гиперарифметическими) являются как множество Л, так и предикат V^・ Показать, что если Л — вполне фундированное гиперарифметическое реляционное множество, то | Л | рекурсивно. [Показать, что DS(/1) —гиперарифметическое множество, и применить теорему ограниченности к классу, неявно определяющему Kds(/)・] “

Если а и Ь —номера последовательностей, то а <° Ь означает, что либо а <* 匕，либо существует такое j, что / < lh (。)，/< lh (b), (明 V(b), И Vifvj ((。)/ =(叽> Показать, что если %, %,…—— такая последовательность, что ал+1 <° лЛ для всех л, то существует такая убывающая относительно <* последовательности 匕。,blt .... что для каждого и при всех достаточно больших m мы имеем ат <；* Ьп. [Определить Ь几 индукцией по п.] Показать, что < ° линейно упорядочивает множество Seq.

Пусть Л —реляционное множество; рассмотрим DS (4) как реляционное множество с предикатом v°. Показать, что А вполне фундировано тогда и только тогда» когда DS (Л) вполне упорядочено, и что в этом случае | Л | ^ | DS (Л) |. [Использовать (д) и метод из (б).] Затем показать, что рекурсивные ординалы—это в точности ординалы рекурсивных вполне упорядоченных реляционных множеств.

Показать, что если ординалы о и т рекурсивны, то。+工 и 口 ■ т также рекурсивны. [Использовать (е).] Затем показать, что к является предельным числом.

Два предиката называются Я-эквивалентными, если каждый из них является гиперарифметическим в другом.

Показать, что Я-эквивалентность является отношением эквивалентности. [Использовать рёлятивизованный вариант 18 (в).] Классы эквивалентности называются гиперстепенями. Определим для гиперстепеней отношения V н V так же, как и для степеней. Показать, что класс ги пер ар ифметиче ских предикатов является гиперстепенью 0 и что 0 V。для каждой гиперстепени а.

Гиперстепень а имеет род ГЦ в гиперстепени Ь, если существуют множество Л из а и множество В из & такие, что А имеет род И； в В. Показать, что отсюда следует, что А имеет род П} в каждом множестве из Ь. Показать, что среди гиперстепеней, имеющих род П} в а, существует наибольшая. Она называется гиперскачком а и обозначается через а'. Показать, что owb~ e'W&‘ и что а < а'・

Для произвольной конечной последовательности Ф обозначим через 乂力 наименьший не рекурсивный в Ф ординал. Показать, что если а — гиперстепень, то к' один и тот же для всех множеств А из а. [Использовать релятивизованный вариант 19 (г),] Этот ординал обозначается через х°・ Показать, что =

Показать, что если а имеет род П} в 0 и ха = х, то а = 0. [Пусть Л — множество рода П} из а. Тогда А («)**Тг (欣尸(％ х)),

где F рекурсивна. Как и в доказательстве теоремы отделимости, показать, что существует такой рекурсивный в А ординал о, что Л (а) —Тг。(九尤尸"，х)). Заметить> что ординал о рекурсивен, и показать, что множество А гиперарифметическое.]

Показать, что 乂Q#Xf (Two. [Если х<ха, то Тгх является гиперарифметнческим в каждом множестве из а. Пользуясь теоремой о дереве, показать, что О'we* Чтобы доказать обратное утверждение, заметить, что по (г) х< х°\ и применить (в).]

Показать, что степенями, имеющими род П{ в 0, являются лишь 0 и (И. [Использовать (г) и (д).]

(а) Показать, что если ординал о рекурсивен, то существует такое гиперарифметическое множество А, что для любой рекурсивной функции 尸 неверно, что А (а) Тга (XxF (а^- х)) для всех а. [Пусть Q(e, а) означает, что {^}0,2 всюду определена и что Тга (Ах {е} (а, х)). Показать, что Q —гиперарифметический предикат, и применить диагональную лемму.]

Показать, что лемма о замене не верна для гиперарифметических отношений. [Пользуясь 19 (в), выберем Ф так, что хф > х. Предположим, что Р (а)^Р, (Ф*, а), где Р1 — гиперарифметический предикат. Выберем такой рекурсивный функционал 尸，что

Р1 (<х, а) — Тг (XxF (а, а, х))・

Как и в доказательстве теоремы отделимости, показать, что Pf (а, а) — Тгк (KxF(а, а, %)) и, следовательно, Р(а)— *->Trx(XxF (ф*, а, х)), и применить релятивизованный вариант (а).]

22» Определим Ln индуктивно следующим образом:

厶о(а) —а = а,「м (а)—壬%〔((叫，勺“，(а)г г).

Введем L (п, а) — £孔(а).

Показать, что если множество Р рекурсивно перечислимо в Ьл, то Р рекурсивно в L也+^ [Использовать релятивизованную теорему о нумерации.]

Показать, что каждый арифметический предикат рекурсивен в £• [Используя (а), индукцией по 汽 показать, что каждый предикат рода £% рекурсивен в 厶小]Затем показать, что предикат 厶 неарифметический. [Воспользоваться теоремой об арифметической иерархии и теоремой Поста.]

Показать, что существует такая рекурсивная функция 尸, что F (п) является //-индексом предиката Ьл для каждого п. Затем показать, что предикат L гиперарифметический. [Использовать Н1.]

Пусть Q —такое (1,1)-арное отношение, что для любых множеств 4 и 3

4 и В т Vx (Q (Кд, х) Q (К. "))•

Множество А называется Q-замкндтьем, если Vx(Q(K^, х) -> Д (х)). Пусть А — множество всех чисел, входящих в каждое Q-замкнутое множество.

Показать, что Л является Q-замкнутым.

Показать, что

Л (а) — Va (Vx (Q (а, лг) f а (尤)=0) — а (а) = 0).

Затем показать, что если Q имеет род П{, то А имеет род П].

Показать, что в эквивалентности из (б) мы можем а заменить на а*. Затем показать, что если Q рекурсивно перечислимо, то Л рекурсивно перечислимо. [Использовать следствие леммы бесконечности.]

Применяя трансфинитную индукцию по и, определим для каждого и множество Ао следующим образом:

Ag ⑷—Zr (т V о & Q (К%, а))・

Показать, что <т wtf 友 и 儿，а затем показать, что существует такой счетный ординал о, что Ла = Ла+1. Пусть р —наименьший среди таких ординалов. Показать, что Аа = А при <т^р.

Показать, что Л0—пустое множество, что Ла+1 является множеством таких а, что Q(/(^ , а), и что если о—предельный ординал, то Ла —объединение всех Ах при т < а.

Показать, что если Q рекурсивно перечислимо, то pWs* [Заметить, что для некоторого R

Q(Kr，〃)―三価(冗4 a), а),一

и воспользоваться (д), чтобы показать, что А^+1 cz А^.]

Пусть для каждого о дано отношение Ра; мы говорим, что Ра является Щ-равномерным по а, если существует такое отношение Р рода П}, что Р||В0(21) —Р‘(К§,象)для ка7кдого дерева В. Показать, что если Q —отношение рода П{, то Ла будет Неравномерным по о. [Для произвольного дерева В определим Рв следующим образом:

Рв(0, а) —Ави®, 曝(匕+匕a)8 (b) &4俨向!| (叫

Показать, что для подходящего □卜отношения Q& множество 〈Р§〉 является множеством чисел, принадлежащих каждому Q^-замкну- тому множеству, и воспользоваться эквивалентностью из (б).]

Если Р。является И卜равномерным по а и

'V吸 т。(о V 论 & р。(э()),

то существует такой рекурсивный ординал т, что

V观 За(а<т&Ра(联))・

[Пусть У Q)f m%V(r((T V 论 &P(j(2 —||а||£о)・ Применить к V теорему ограниченности.]

Пусть

& (а, а) — (V% (Аа (х) г а (х) = 0) f Q (а, а)).

Показать, что а^т->2?а(а, а)-> & (а, а).- Показать, что

4(т+1(а) —VaRcrQ，。)

и что для предельного ординала о

R。(а, а) -> Чт (т < а & 2?т (а, а)).

[Использовать (д).] Показать, что если Q —отношение рода П{, то R。 является ITJ-равномерным по о. [Использовать (ж).]

Показать, что если Q —отношение рода И；, то pV財[Пользуясь (и), (з) и 19(ж), показать, что Л^+1 cz А^,] Затем показать, что если Q —отношение рода П}, то Аа имеет род П} для всех сг. [Использовать (ж), (г) и (б).]

(а) Показать, что если Р — отношение рода П{, то существует такое П{-отношение Q, что

Q (/91) Т р (居汨，

и

3x? (X,以)f *Q (居城).

[Использовать теорему униформизации.]

Показать, что если Р—отношение рода П} и УхЗуР (у, х), то существует такая гиперарифметическая функция а, что VxP (а (х), *). [Используя (а), показать, что существует такая а, что VxP (а (х), х) и ⑸口 имеет род И；.]

Показать, что если Р —отношение рода П} и если для каждого х существует такая гиперарифметическая функция а, что Р (а, %), то существует такая гиперарифметическая функция а, что V#P((a)x，%). [Пусть Q0, %) означает, что i является Я-индексом графика такой функции ос, что 尸(а, х). Показать, что Q —отношение рода П}. Выбрать согласно (б) гиперарифметическую функцию 0 так, что VxQ (Р (%), %), и, используя Р，построить такую функцию а, что VxP ((а)х, и ®а —отношение рода П}.]

25* Пусть ^—совокупность подклассов некоторого пространства, Фс ™совокупность дополнений классов из 卓.Мы говорим, что 渺 удовлетворяет принципу редукции, если для каждой пары Л и В классов из 取 существуют такие непересекающиеся классы Лх и 8】 из 泣 что Лг с: Л, В】и В и AiDBi — A^B. Мы говорим, что ф удовлетворяет принципу отделимости f если каждую пару непересекаю* щихся классов из $ можно отделить с помощью класса, принадлежащего одновременно ф и 畢夕

Показать, что если 眩 удовлетворяет принципу редукции, то *» удовлетворяет принципу отделимости.

Показать, что совокупность подмножеств рода £^ множества Ми,% удовлетворяет принципу редукции. [Пусть 4 (?1)-*ЗхР(9(, х), В (VI) — 3xQ (* х). Определить

&©【)一：3#(Р (氾灯&Vy“<#1Q(也 у))

и аналогично определить В*, заменив V на ^.]

Показать, что совокупность подмножеств рода П} множе- ств* %, Л удовлетворяет принципу редукции. [Пусть Л (班)一 (ХхЛ{21, х)), В (?t)** Тг (XxG (9(, х)). Определить

&(?〔}—Тг(Ь：尸 QL х))&~]Т< (UG (91, г), UF (31, *))

и аналогично определить Blt заменив < на &J

Показать, что совокупность подмножеств рода 羽 множества Nт,住 удовлетворяет принципу редукции. [Пусть '

А(^)^^Тг (UF(9l, р, х)),В(51)^3р Тг (XxG (9(, р, х)).

Положить

А^)^^ [Tr (Xxf ('И, 3 х))^~]ЧаТ< ^G^t а, х),入片尸(乱 0, х)).]

Показать, что совокупность подмножеств рода Е£ (П{, Е» множества N&2 не удовлетворяет принципу отделимости. [Пусть Р— бинарный предикат рода ££, перечисляющий класс унарных предикатов рода Е£. Пусть Л (а, Ь) ** Р (а^ (Ь)о),旦(а, Ь)^Р (а, (b)i). Возьмем Д1 и 旦工,о которых говорится в определении принципа редукции. Если некоторый предикат рода А% отделяет Аг от 5工，то он должен перечислять класс унарных предикатов рода Л^. Однако это невозможно по диагональной лемме.]

(а) Показать, что класс функций, степени которых меньше 0、 является базисом для совокупности классов рода И? представляющих функций. [Пусть Р — непустой класс рода И, представляющих функций. Пусть Q —класс таких а*, что если Р —(а*)0 н 丫 = @*)口 то Р(8) и Y®* {е}偉，明 как только {е} (Р, е) определено. Применить к Q теорему Крайзеля о базисе.]

Показать, что класс функций, гиперстепени которых меньше О', образуют базис для совокупности функциональных классов рода И?* [Пусть Р — непустой функциональный класс рода П{. Пусть Q —класс таких а, что если р = (а)0 и у = (а)1( то Р (р) и у (е) =# К^ (е) при условии, что е является Я-индексом для R по р. Пользуясь реляти- визованным вариантом J, показать, что Q имеет род S}, и применить теорему Клини о базисе.]

Показать, что существует такая гиперстепень а, что OvaV。。 [Использовать (б) и теорему Клини о базисе.]

Показать, что класс представляющих функций рекурсивно перечислимых множеств не является базисом для совокупности классов рода П? представляющих функций. [Показать, что если Р и Q рекурсивно перечислимы, то класс представляющих функций множеств ,отделяющих Р от Q, имеет род П?，и применить 7(6).]

Для произвольного //-индекса i определим А^ следующим образом:

x=i V 4⑴,(％),если (厌=1,

% (х) — ■ х=» Y my (у 合 №")] &/y W)> если (i)o = 2, x=iв остальных случаях.

Показать, что существует такая рекурсивная функция F, что 4 =犷尸 для каждого Н-индекса i. [Использовать теорему о ре- курсив.]

Пусть для произвольного Я-индекса i

J"j, а) — A j (j) & J (/, x).

Показать, что существует такое арифметическое отношение Q, что Q(i) неявно определяет〈К「〉для каждого Я-индекса ь [Использовать (а).]。

Показать, что каждый гиперарифметический предикат рекурсивен в некоторой функции, неявно определенной некоторым арифметическим классом. [Использовать (б).]

Показать, что если 尸 неявно определена классом рода П§л+Ь то 尸 рекурсивна в функции G, неявно определенной классом рода П§л_р [Положить a = F — Y^yR® х, у) и ввести G (х)= =〈尸(%)，W/R(F,尤，У)〉・]

Показать, что предикат является гиперарифметическим тогда и только тогда, когда он рекурсивен в функции, неявно определенной классом рода □?. (Использовать (в) и (г).]

Показать, что предикат имеет род А$ тогда и только тогда, когда он гиперарифметический в функции, неявно определенной классом рода П}. [Чтобы доказать часть «тогда», применить 18(6). Предположим, что

Р ⑷一ЗаТ? (а, в) и [Pg) — 2aQ (а, а),

где R н Q имеют род П{* По теореме уннформизации мы можем предполагать, что для каждого а существует единственное а@ такое, что R(^。)V QGa，◎• Выбрать 尸 так, что (F)a=a。для всех а, и показать, что Р имеет род А} в F.]

Пусть предикат / (Л а) такой же, как и в § 7.10, и пусть // — множество Я-индексов.

Показать, что J — негиперарифметический предикат. [Применить диагональную лемму.]

Показать, что Н имеет род П；, однако не является гипер- арифметическим. [Использовать (а) и эквивалентности

J(i, a)-H(i)&W〉О).]

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Арифметика Пеано

До сих пор мы изучали общую теорию аксиоматических систем. В этой и следующей главах мы будем изучать аксиоматические системы для двух фундаментальных математических понятий: натурального числа и множества.

Теория 乂 не совсем подходит для изучения натуральных чисел. Она содержит лишь немногие из основных функций и предикатов теории чисел и даже для них она содержит лишь некоторые из очевидных аксиом. В частности, отсутствует аксиома индукции, которая необходима для большинства доказательств из теории чисел. Мы покажем, что, присоединив аксиому индукции в подходящем виде, мы получим более удовлетворительную теорию.

Одним из вариантов аксиомы индукции является утверждение о том, что если множество содержит 0 и содержит последователь для каждого натурального числа из этого множества, то оно содержит каждое натуральное число. Мы не можем выразить это утверждение в языке L(N)t потому что у нас нет переменных, областью изменения которых являются множества натуральных чисел* В другой форме аксиома индукции утверждает, что если 0 обладает некоторым свойством и если последователь каждого натурального числа, обладающего этим свойством, сам обладает этим свойством, то этим свойством обладает каждое натуральное число. Мы также не можем это выразить в языке L (^), так как у нас нет переменных, область изменения которых состоит из свойств натуральных чисел. Однако мы можем это выразить для каждого свойства натуральных чисел, которое может быть выражено в языке 2)・

Если Д —формула языка 厶(N), то формула

Ax[0]&Vx(4-> Дх[5х]) + 4(1)

называется аксиомой индукции. Теория, полученная из N

выбрасыванием аксиомы N9 и присоединением в качестве новых нелогических аксиом всех аксиом индукции, называется арифметикой Пеано и обозначается через Р.

Нашим первым наблюдением является то, что многие обычные доказательства, использующие индукцию, могут быть формализованы в Р. В качестве примера мы докажем в Р аксиому N9, доказав тем самым, что Р является расширением теории N* Пусть формула А есть 0=у \/0 Vy Тогда по аксиоме тождества |— Ау [0]. Вследствие N8 имеем)— Л — 0 V Sy, поэтому \-А~^Ау [学]・ Следовательно, [—4 по аксиомам индукции. Пусть теперь В есть х Vy f

SxVSy Тогда — 8y[0] no N7. По N8

卜纬[5歹]~(% Vy V x=y —S%VSy V Sx = Sy).

Отсюда и из теоремы равенства мы получаем \-B^By[Syl Таким образом, по аксиомам индукции р В, Пусть теперь С есть х<_у V ^=У \/ У <.Х. Из J 4 мы получаем 1 Сх [0]. Из Н S и N8

卜 x<Zy~^Sx<y V Sx=yt

-у V% V у = У VS%.

Отсюда \- С ~^СХ [Зх]. Следовательно, ]— С по аксиомам индукции.

Теперь заметим, что в Р могут быть доказаны некоторые обычные следствия аксиомы индукции. Так, мы имеем принцип полной индукции

|- Vx (Уу См V % f 4 [у]) — 4)今 YxA (2)

при условии, что у отлично от % и не встречается в А. Для доказательства обозначим Vy (у V % -> 4KLУ]) нерез В. Тогда |— Вх [0] по N7. Из N8 с помощью элементарных преобразований получаем

Bx[Sx]^B\/ А.(3)

Если теперь С есть левая часть в (2), то по теореме подстановки

|-Ст 4(4)

Из (3), (4) и правила V-введения

—С —> Vx (В —> Вх [Sx]).

Отсюда, из 1 &[0] и из аксиом индукции следует —С—В. Используя это, (4) и правило V-введения, мы получаем (2).

Теперь мы можем получить принцип наименьшего числа:

ЭхЛ -> Зх (Л & Vj (j< % "I Lv]))* (5) где у отлично от х и не встречается в А. Для этого мы в (2) заменим А на ~| А и произведем некоторые элементарные преобразования.

Заметим, что (1), (2) и (5) истинны также в каждом расширении теории Р с помощью определений. Действительно, перевод формулы вида (1) в теорию снова имеет вид (1), аналогично для (2) и (5).

Теперь рассмотрим проблему введения новых функций и предикатов. Предположим, что при неформальном построении теории чисел из аксиом Пеано мы имеем определение новой функции или нового предиката и. Если это определение может быть выражено в Р, то мы можем ввести расширение Р теории Р с помощью определений, в котором некоторый новый нелогический символ и обозначает 〃；определяющая аксиома для 玄 будет формально выражать данное неформальное определение символа и. Тогда мы скажем, что мы ввели и в Р. Неформальные доказательства свойств и можно тогда заменить формальными доказательствами в теории Р при условии, что техника доказательства не выходит за пределы того, что возможно в Р. (Разумеется, при этом существенно формализовать данное неформальное определение символа 〃 или хотя бы формализовать некоторое неформальное определение, о котором можно доказать в 户，что оно эквивалентно данному.)

Мы покажем, что многие фундаментальные функции и предикаты из теории чисел можно ввести в специального типа расширение теории Р с помощью определений. Прежде, чем описать этот тип расширения, мы введем формальный аналог 卩-оператора.

Предположим, что Р — расширение теории Р с помощью определений и что 4— формула теории 尸‘，в которой нет свободных переменных, отличных от %i, ..., хл, у. Предположим также, что »，ЭуА. Тогда мы можем получить расширение Р" теории Р‘ с помощью определений, вводя п-арный символ / и определяющую аксиому

л^ [fx1...xn]&^y(y<fx1...xn^-{A). (6)

Чтобы убедиться в этом, нам надо доказать условия существования и единственности для / в Р‘. Условие существования следует из [— р ЗуА и (5); условие единственности является простым следствием аксиомы N9. Обычно мы сокращаем (6)* до

• хп = цу А(7)

и называем 巾/ условием существования для /.

Под рекурсивным расширением теории Р мы понимаем расширение теории Р с помощью определений, в котором определяющие аксиомы для предикатных символов открытые, а определяющие аксиомы для функциональных символов имеют вид (7), где формула А открытая. Простым следствием результатов из § 6.3 является то, что функции и предикаты, введенные в рекурсивных расширениях теории Р, рекурсивны. Теперь мы покажем, что в таких расширениях можно ввести большое количество важных рекурсивных функций и предикатов.

Вначале мы заметим, что условие существования для определения

/Х1. .. 1ГП = Р-Х(X = Q)

есть Эх (х —а), доказуемое в силу аксиом тождества и теоремы подстановки. Кроме того, из этой аксиомы следует, что

/хъ..хп = а.(8)

Обычно мы будем просто говорить, что мы вводим / с помощью аксиомы (8).

Теперь мы проверим RI —R14. Делая это, мы позволим себе употреблять все латинские буквы (возможно, с верхними индексами) так, как если бы они были переменными теории Р. Если функции или предикату неформально было дано имя, то мы пользуемся этим именем как нелогическим символом, обозначающим эту функцию или этот предикат.

Сначала мы отметим, что если R уже введен, то Kr можно ввести с помощью аксиомы

Kr(0i,%)=吋(依(01，…，Qj&% = 0)V

V ("lR(a：b "门)&*=1))

(где 1 является сокращением для SO). Условие существования для Kr легко доказывается. Из аксиомы для К&

мы можем доказать

R （01，. * ., &） > Kr （0力. 一，%）0,

口 R （〃i,・ *..,。门）-> Kr （&,*・’，&）== 1 •

Если Kr уже введена, то мы можем ввести R с помощью аксиомы

R （^1» • * • > ^п） <* Kr 伍1, • • •, ^п）0*

/? мы можем ввести с помощью аксиомы

/t（%,♦♦♦, a办）=a2.

Мы уже имеем +, • н V, поэтому мы можем ввести К<・ Если F определена следующим образом:

尸（a1, .…，a也）G （Hi （生,.…，^n）t • • •! H也（。1, •一，◎））］（9） где G, Н* ..., Hk уже введены, то мы можем использовать （9） в качестве аксиомы, чтобы ввести F, Аналогично мы рассматриваем R4* Если 尸 определена следующим образом:

尸（&,期）=产（6a, ant 灯=0）,（10）

где G уже была введена, и если формула

3х （G （a1,0也，灯===0）

（которая утверждает, что F корректно определена） доказуема, то мы можем использовать （10） как аксиому, чтобы ввести F. R5 мы рассматриваем аналогично.

Очевидно, каждую константную функцию можно ввести с помощью определения

尸（a］，…，%）=后加.

Ясно также, что если Р н Q уже введены, то можно ввести ［Р 尸 V Q，PfQ，尸&Q и PcQ. У нас уже имеются предикаты <； и =, оставшиеся предикаты из R8 можно ввести с помощью определений, данных в доказательстве R8.

Если F определена следующим образом:

尸（b, ^i> - • ■»卩尤xVЬR （01,a言，十），

где R уже введен, то мы можем ввести 尸 следующим образом:

尸（"色，・••，a^^^x（R{ar, ..., ant x） у x —&）. （11）

Условие существования для 尸 доказуемо из аксиом тождества и теоремы подстановки.

Если Р определен следующим образом:

尸 0, 4i,...,。门)mx方v^R (生，. 一，an，%),

где R уже введен ранее, то мы вводим 尸 с помощью (11), а затем вводим Р следующим образом:

Р(儿。1@)С尸缶，的，ajVb.

Затем мы можем доказать

尸仇出，an)^Bx(x<b&R(a19 的，％))・

Мы вводим ограниченные кванторы всеобщности, определяя их в терминах ограниченных кванторов существования так же, как и в § 6.3.

Мы вводим 亠 следующим образом:

х 亠 P = JXZ (y + z = ^V 犬 <У)；

условие существования Эг {y-^-z—x V x<Zy) можно доказать в Р при помощи индукции по у.

Теперь предположим, что F определена следующим образом:

Gi(&,а^, если %(&,…，％), 尸(&1，..., aj =' * ' " * ' * ' * ' ' *

,G/j (&, . * • j 。/г), если Р为(。1， • • • j ^л)> где Gi, Gk9 尸力...,Pk уже были введены. Предположим также, что

p1 (01,…- 源)V • V Р氏 ®1,…•，0小，(12)

l(Pt(alf an)&Pj(a19 aj), IViV/MB (13) доказуемы. Тогда вводим 尸 следующим образом:

尸(^i> * • * j ajzz=卩尤((Pi (傲，…•，aj &x = Gj(^ij • • • 5 a捏))V • • • …• V ①卜(%,♦•*, a%) & x = Gh (^1) ■ • •» a%))).

Условие существования для F следует из (12), а используя (13), мы можем доказать

Pf (a1，…, ^л) ~^尸(01, * * . , ^n) ^^ Gf (Q工，...，a九).

Если R определен следующим образом:

Qi(%,%), если а(生，…，a J

R (^i> • • •» %)

.Q/г (a1，i,’ 一，a也)，если р/г(а1， .a门)?

где Ql ・・.,Q/” Pl ….,Ра введены ранее, а (12) и (13) доказуемы, то мы вводим R следующим образом:

R (^1> ■ • • » 〃/г) *"*■ ((Р1 (^1» ■ * » > ^л) & Q1 (&, . . * , О/?)) V * • •

• • • V (Р走薪)&Q.k (^i> • • • > 〃")))•；

С помощью явных определенийг данных в § 6.4, мм ， можем ввести OP, Div и р. Основное свойство функции 卩: можно выразить следующим образом:

m*Vy(yVN->6(%, У)=。)，(14)

для введения и предикаты, можно ввестиF, пользуясь же (14) дает что 尸 опреде-для введения и предикаты, можно ввестиF, пользуясь же (14) дает что 尸 опреде-где х, у и различны, а к н а не входят в а* Это можно доказать, формализовав доказательство, данное

для введения и предикаты, можно ввести

F, пользуясь же (14) дает что 尸 опреде-

для введения и предикаты, можно ввести

F, пользуясь же (14) дает что 尸 опреде-

в § 6.4. Это дает условие существования функций 〈％, .,., а». Остальные функции связанные с номерами последовательностей, без всяких трудностей.

，Если 尸 уже введена, то мы вводим явным определением (14) из § 6.4. Опять нам условие существования. Предположим, лена следующим образом:

F (Ь9 口1, • * * * а》^31 G (f (b> 〃i, • ■ •»。冷)，b,。1, • • •) ^n)> (15)；- где G уже была введена. Тогда мы вводим F, пользуясь : определениями (16) и (17) из § 6.4. Затем, пользуясь ? элементарными свойствами используемых там функций,产 мы можем доказать (15). В дальнейшем мы будем просто ； говорить, что мы ввели F с помощью аксиомы (15).

Если 尸 определена следующим образом:

F(0, а】，а〃) = G(。1,…，％),:

尸(6 十 1，〃i,.…，％) = // (尸 0, %,….，&), by 〃i,...,。衣)， где G н Н введены ранее, то мы можем ввести 尸 с помо-" щью определения вида (15), как это изложено в § 6.4;: затем мы можем доказать (16).'

Этими средствами мы можем вводить функции из обыч-】 ной теории чисел (экспоненты, факториалы и т. д.) и .- формализовать наиболее элементарные доказательства, данные в учебниках по теории чисел. Фактически можно : формализовать и много более сложных доказательств, если их несколько модифицировать. Так, многие доказательства в теории чисел используют контурные интегралы в комплексной плоскости. Такие доказательства зачастую

можно формализовать, заменяя интегралы подходящими аппроксимирующими римановыми суммами. Мы не будем вдаваться в подробности, а лишь отметим, что такие методы можно применить с тем, чтобы усилить утверждения, доказанные в оставшейся части этой главы.

Теорема о доказательствах непротиворечивости

Мы видели, что значительная часть теории чисел может быть формализована в теории Р. Теперь мы изучим свойства теории Р.

Очевидно, что “ является моделью теории Р. Мы называем ее стандартной моделью теории Р и говорим, что формула теории Р истинна, если она истинна в ".

Теперь применим результаты главы 6. Так как М является моделью теории Р, то Р является непротиворечивым расширением теории М поэтому по теореме Чёрча теория Р неразрешима. Легко привести явное определение множества номеров аксиом индукции, которое показывает, что это множество рекурсивно, а отсюда следует, что теория Р рекурсивно аксиоматизированная. Таким образом, по теореме о неполноте теория Р неполна. Эти результаты непосредственно обобщаются на рекурсивные расширения теории Р.

Пусть Р — некоторое рекурсивное расширение теории Р, а ^л, — обогащение модели 必"дс модели теории Р'・ Мы говорим, что формула теории Р истинна, если она истинна в "'. Таким образом, каждая теорема теории Р истинна. Если 4 — замкнутая формула теории Р\ то либо А, либо "] Л истинно. Поэтому ввиду неполноты теории Pf существует истинная формула теории Р, не являющаяся теоремой теории Р'. Мы изучим эту ситуацию подробнее.

Пусть Р — некоторое рекурсивное расширение теории Р. Определим R-формулы теории 戶‘ с помощью обобщенного индуктивного определения.

Каждая формула вида fx工…xn=yt или рхх ，…%孔, или jp%i ... хл является 2?-формулой.

Если А и Я— 7?-формулы, то А\/ В и А&В являются R-формуламн.

Если А — /?-формула, ахну различны, то Vx(RVyf 4) является /^-формулой.

Если А является 7?-формулой, то 3x4 является 7?-формулой.

Лемма 1. Если теория Р' является рекурсивным расширением теорьш Р, то каждая экзистенциальная фор-: мула теории Рг эквивалентна в 尸‘ некоторой R-формуле.

Доказательство. Сначала мы докажем это для ； формул вида х = а, пользуясь индукцией по длине а.: Если а — переменная, то х = а является 2?-формулой. + В противном случае а есть fa工…％. Тогда по след- J' ствию 3 теоремы равенства

=〃1 & &Уп 。也 & X ^^^Vl • • ' Уп)'(

По индуктивному предположению формула у = / экви- ■ валентна некоторой R-формуле, а по теореме симметрии』 формула %=方1 • Уп также эквивалентна некоторой R-1 формуле. Таким образом, формула х = а эквивалентна : некоторой R-формуле по теореме эквивалентности.'

Очевидно, достаточно доказать, что каждая открытая ,； формула А эквивалентна некоторой R-формуле. Мы дока- J жем это индукцией по длине формулы А. Если А — атом- '： ная формула ра工 …。几？ то；j

卜 ZcRi ... Вуп(у1=-а1&...&уп = ап&ру1...уп),

Так как по доказанному выше формула у =。* эквива- ? лентна некоторой 7?-формуле, то формула А эквивалентна ； некоторой 7?-формуле* Аналогичное доказательство спра- л ведливо и тогда, когда Л является отрицанием атомной》 формулы *). Осталось рассмотреть случаи, в которых А \ есть ~]~]Bt 1 仍 V С) и В V С・ Если 4 есть [ ]8, то : формула В эквивалентна некоторой R-формуле по пндук* ; тивному предположению; так как 4 эквивалентна В, то ；： она эквивалентна некоторой /^-формуле. Если А есть ,< 1 (笈 V С), то А эквивалентна j 3 & С. По индуктив-； ному предположению формулы 18Hqe эквивалентны 丿 R-формулам, поэтому по теореме эквивалентности формула А эквивалентна некоторой 7?-формуле. Аналогичное доказательство справедливо, если 4 есть B\JC・；

Лемм а 2. Если Р‘ 一 рекурсивное расширение теории Р, то каждая R-формула теории Р' эквивалентна в Рг некоторой R-формуле теории Р.

Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что если 尸'получена из Р" присоединением одного нового нелогического символа, то каждая 7?-формула теории Рг эквивалентна некоторой R-формуле теории Р‘. Также достаточно рассмотреть только ^-формулы вида /1 ・.・ хп =у, или рхг ％", или ~| pXi ,.. %%, где / или 〃 一 новый нелогический символ. Из вида определяющей аксиомы для 〃，правила подстановки и теоремы эквива

лентности мы видим, что рХ]…х几 и ~|^1 %м эквивалентны открытым формулам теории Р"・ Вследствие этого по лемме 1 они эквивалентны /^-формулам теории Р". Аналогично, формула /Xi... хп=У эквивалентна некоторой формуле теории Р‘ вида 4 & Vz(2 Vy->/Г), где формулы Л и А" открытые. Таким образом, по лемме 1 и теореме эквивалентности она эквивалентна некоторой R- формуле теории

Численным частным случаем формулы 4 называется замкнутая формула вида

4 [®ka^

Лемма 3. Если А — R-формула теории Р, то каждый истинный численный частный случай формулы А является теоремой теории Р.

Доказательство. Мы пользуемся индукцией по длине формулы 4 Если Л есть 0=у то единственным численным частным случаем является 0 = 0, и он доказуем. Если 4 есть Sx=yt то каждый истинный численный частный случай имеет вид йл+1 = йл+1 и потому доказуем. Если А есть % + %'=у %*х'=у х=у, %=#> %Vy или 1(% Vy), то утверждение следует из (1) — (6) из § 6.7. Если 4 есть В\/ С или В&С, то утверждение следует из индуктивного предположения и теоремы тавтологии. Предположим, что А есть Vx (х^у^ВУ Истинный численный частный случай х формулы Л имеет вид ^х (х <Zkn^Bf). Для каждого /< п формула В1 [Л；] является истинным численным частным случаем формулы 3 и, следовательно, доказуема по индуктивному предположению. Таким образом, |- ^fx(x<kn-^B) по лемме 2 из § 6.7, правилу V-введения и правилу отделения.

Наконец предположим, что / есть ЗхВ. Истинный числен- НЬ1И частный случай формулы А имеет вид ЗхВ\ Так' ^ак формула 3xBf истинна, то при некотором / истинна? формула Bx\ki\. Так как она является численным част-J ннм случаем формулы В, то по индуктивному предполо-i *енню она доказуема. Следовательно, по теореме попета*； новки |- ЗхВ\

Комбинируя эти три леммы, мы получаем следующий^ результат.

Теорема. Если Р — рекурсивное расширение теории Р,: то кеждая истинная замкнутая экзистенциальная фор： мд儿а теории 尸'является теоремой теории Р‘，

Мн покажем, что это утверждение нельзя распростра- нить на универсальные формулы. Наша методика получе-: ння истинной, но недоказуемой формулы основана на доказательстве теоремы Чёрча. В этом доказательстве мы； строим предикат Q, отличный от всех Е(4). Мы построим такую формулу А, что A [knj истинно тогда и только тогда, когда Q(м). Так как Q*£({), то существует такое п, что \-PA[kn\ не эквивалентно Q(吟 Так как： доказуемые формулы истинны, то Л [Лл] истинна и недо* i казуема.£

Напомним, что Q был определен следующим образом: 1 Q(a)o [Thmp(Sub@ 厂N，Num (а))).

Тогда если а = ^~А~\, то Q (а) истинен тогда и только тогда, когда A\ka\ не является теоремой теории Р. :

Пусть теперь Р является рекурсивным расширением теорнн Р, в котором введены всё функции и предикаты ' из § 6.6 (для теории Р). Пусть В есть формула:

1 Ду РгР(Sub (г,月广z[, Num(z)), у)

"脅 j отлично от г) и пусть Л-перевод формулы В : в Югда 8便/ и A[kn] истинны тогда и только тогда,二 когда Q (м). Если л = гЛп, то A [ka] истинна тогда и : только тогда, когда Q (а), и потому, ввиду сказанного выше тогда и только тогда, когда 4 [瓦]не является теоремой ' теории Р. Так как все теоремы теории Р истинны то отсюда следует, чTо а [瓦] истинна и не является теоре- мон теории Р. Следовательно, B[ka] истинна и не является *)?*ой теории Р'. Тогда пренексной формой формулы ^1^1 является некоторая истинная универсальная формула теории Р', не являющаяся теоремой теории Р. ；

Наше доказательство того, что A[k^ истинна, зависит от того факта, что теоремы теории Р истинны. Пользуясь нашими леммами, мы вместо этого можем дать другое доказательство, основанное на непротиворечивости теории Р. Согласно леммам 1 и 2 существует некоторая /?-формула С теории Р, эквивалентная в Р формуле 1В[к^ В таком случае С эквивалентна Q Л悶в Р н, следовательно, в Р. Таким образом, если A[ka] ложна, то С истинна, поэтому по лемме 3 |—р С и потому Рр ~| 4 [fej. Однако если A [fea] ложна, то Q(a) ложен и потому \~р A \ka\^ Из этих двух результатов и непротиворечивости теории Р мы заключаем, что A[ka] истинно.

Формализуем эти шаги в теории А'. Пусть Thmp(a) является сокращением для Эу РгР (а, у). Пусть 6=厂。「, d = r4 [瓦「• Тогда утверждение если 4 [瓦]ложно, то С истинно превращается в

1А[ка]^С.(1)

Утверждение если С истинно, то \-р С превращается в

С-> Thmp 电).(2)

Утверждение если \-рС, mo Нр 1 ^[fej превращается в Thmp (网)—Thmp (Neg 传 j),〜(3)

где Neg (а) является сокращением для 〈Esn("]〃 或〉.Утверждение если А闷ложно, то [- р 4[儿] превращается в 14M — Thmp 他/(4)

Утверждение (молчаливо использованное) если \-р А [Ла] и |—р~| A [fea], то теория Р противоречива превращается в Thmp (ka) f ThmP (Neg 他加-> 】Corip,(5)

где Coup является сокращением для ~| Vx (ForP(x)-> ->Thmp(x))・ Заключительный вывод о том, что если теория Р непротиворечива, то А [力/ истинно превращается в

Сопр —>- Л [Йд].(6)

Покажем, что все эти утверждения доказуемы в теории Р. Для (1) это следует из того, что 1 Л [Ла] эквивалентна С. Рассмотрение (2) мы ненадолго отложим. Рассматривая (3), заметим, что так как [-рС-^1 А [Ла],

ТО

Thnip («sn(V), Neg 便J Neg (能)〉)(7)

является истинной замкнутой экзистенциальной формулой теории Рг и, следовательно, теоремой теории Р‘. Если мы ， также формализуем доказательство правила отделения в Р, то (3) мы можем получить из (7). Чтобы доказать (4), заметим, что

々d=Sub (耳，E厂Num 仅j) является истинной свободной от переменных формулой ； теории Рг и, следовательно, теоремой теории Р： Поэтому мы получаем (4) по теореме равенства и по выбору формулы d. Доказательство (5) в Рг является просто формализацией очень простой синтаксической леммы. Наконец, (6) является тавтологическим следствием (1) — (5).

Теперь рассмотрим доказательство (2). Пусть S (а,瓦)： является сокращением для

Sub (а, 々у. Num (仇))；

S (а,仇，力2)является сокращением для ■

Sub(S(a,九)，々厂片门，Num (ft2))

и т. д. (Разумеется, S зависит от выбора xlf х2,..., однако мы не считаем нужным отмечать это с помощью специальных обозначений.) Докажем, что если D —некото* раяR-формула теории?, а %厶…・，％几一переменные, свобод-: ные в Р, то

DfThmp (S (力厂s~i，%i,…，*力)；(8)

тогда (2) получается отсюда как частный случай. Доказательство проводится индукцией по длине формулы D. Поскольку оно является просто формализацией доказательства леммы 3, то мы лишь кратко рассмотрим несколько случаев.

Предположим, что D есть 0=х* Опираясь на свойства Sub, мы можем доказать

S(A?oqf *) = 3sn(=〃 Num (0), Num(x)).

Следовательно, нам надо доказать

0 = x^ThmP«fesN(=), Num (0), Num (х)>).

Ввиду теоремы равенства достаточно доказать

Thmp (〈為sn(=), Num (0), Num (0))).

Однако это истинная замкнутая эксистенциальная формула, и потому она доказуема.

Предположим, что D есть *+y = N・ Как и выше, достаточно доказать

х +у =

=2f Thm(/sN(=),〈々sn(+), Num (%), Num®)〉，Num (2)〉), а для этого достаточно доказать

Thmp(«sN(=), <*sn(+), Num (x), Num(y)〉，Num(%+y)〉).

Это формализованный вариант (3) из § 6.7, доказываемый индукцией по у.

Предположим, что Р есть 三20'・ Если а есть S(A「q，f %i，.…，хп)9 то по свойствам Sub имеем

1 S (々[-pF *1,…，*л) =〈尼SN(R,狂nF 〃〉•(9)

По индуктивному предположению

\~ Df Thmр (Sub (а,為厂^, Num(N))); следовательно, по правилу дистрибутивности

D-^Э^ ThmP (Sub (а,以「门,Nwti(n))). (10)

С другой стороны,

卜 ^n Thmp (Sub (а, Ещ, Num(z)))f

Thmp ((fesNo)> E厂гл, 〃〉)；(11)

действительно, это просто формальное утверждение, говорящее, что если h D^ [йл] для некоторого п, то — 3zD\ Из (10), (11) и (9) получаем (8). В остальных случаях следует действовать аналогично, используя формализацию леммы 2 из § 6.7, где D есть V^{z<ZXi~^Df).

Итак, мы показали, что СоПр->A[ka] является теоремой теории Р'・ Так как 4 [為&] не является теоремой теории Р\ то отсюда следует, что Сопр не является теоремой теории Р\ Если мы будем называть перевод формулы Сопр в Р формулой теории Р, утверждающей, 必团。теория Р непротиворечива, то получим следующий результат.

Теорема о док аз ател ьствах непротиворечивости (Гёдель). Формула теории, Р, утверждаю-； щая, что теория Р непротиворечива, не является тео-: ремой теории Р.

,Как и теорему Чёрча и теорему неполноты, это утверждение можно обобщить на более общ^е теории, и, не вполне '； строго говоря, мы можем утверждать, что оно обобщается : на более общие аксиоматические системы. Основным выво- дом является то, что если некоторая аксиоматическая ： система содержит теорию чисел в том же объеме, что и 尸， то мы не можем доказать непротиворечивость этой аксио-, матической системы из аксиом этой системы.*

Теорема о доказательствах непротиворечивости накла-, дывает ограничения на типы доказательств непротиворечивости, которые мы можем дать для теории А. Чтобы 『 они имели какое-нибудь значение, нам надо знать, что 亡 некоторые типы доказательств непротиворечивости можно г формализовать в Р. Разумно предполагать, что каждое финитное доказательство непротиворечивости можно фор-」 мализовать в Р (или, что эквивалентно, в некотором ； рекурсивном расширении теории Р). Во-первых, финитное : доказательство имеет дело только с конкретными объектами, а их можно заменить натуральными числами, сопос- / тавляя такое число каждому объекту (как мы это проделали с выражениями). Во-вторых, это доказательство имеет дело с такими объектами конструктивным способом,' поэтому мы можем ожидать, что возникающие функции ' и предикаты могут быть введены в некоторых рекурсив- ных расширениях теории Р:

Изучение конкретных финитных доказательств непро- ± тиворечивости подтверждает это предположение. Например,: приведенное в главе 4 доказательство непротиворечивости : теории N может быть формализовано в Р. Формализация ' доказательства теоремы непротиворечивости является скуч-: ним, но элементарным упражнением. Затем следует проверить > что множество номеров истинных свободных от переменных формул теории ^ можно ввести в некотором рекурсивном расширении теории Р; это также несложно.

Конечно, мы не можем гарантировать, что каждое : финитное доказательство непротиворечивости можно формализовать в Р, поскольку мы не указали точно, какие методы являются финитными. Можно попытаться доказать

это утверждение из тех аксиом, описывающих финитные методы, которые очевидны даже при нашем неточном определении, но в этом направлении не было достигнуто большого прогресса. Однако исследованиями Крайзеля было показано, что в тех доказательствах непротиворечивости, которые нельзя формализовать в 尸,должны бы использоваться некоторые принципы, полностью отличные от принципов, использующихся в известных финитных доказательствах.

Мы пришли к заключению, что разумно отказаться от попыток отыскать финитное доказательство непротиворечивости теории Р. Однако это не означает, что мы должны удовлетвориться док аз ательством непротиворечивости посредством стандартной модели. Основной неприятностью в таком доказательстве является не то, что оно не финитно, а то, что оно столь неинформативно. Доказательство непротиворечивости теории ^ из главы 4 сопровождалось побочными результатами, которые в конечном счете вели к решению проблемы характеризации. Доказательство непротиворечивости теории Р посредством стандартной модели не содержит таких побочных результатов. Оно даже не увеличивает наше понимание теории Р, потому что не содержит ничего такого, чего бы мы не заложили в Р с самого начала.

Существует вторая причина для продолжения поисков доказательства непротиворечивости теории Р. Любое финитное доказательство имеет две характерные черты: оно имеет дело с конкретными объектами, и оно обращается с ними конструктивным способом. Теперь мы можем надеяться найти некоторое доказательство непротиворечивости, имеющее дело с абстрактными объектами, однако по-прежнему конструктивное. Первое такое доказательство было найдено Генценом; позднее было найдено несколько других доказательств. Мы приведем одно из таких доказательств, принадлежащее Гёделю.

Доказательство непроти воречи вост и

Теперь мы введем формальную систему Р\ являющуюся фактически только видоизменением теории Р. Символы системы Рг те же самые, что и символы теории Р, за исключением того, что 3 заменен на V. Термы и

формулы, свободные и связанные вхождения переменных определены так же, как и в Р, только опять 3 заменен на V.

Аксиомы и правила системы Р‘ получены из аналогичных аксиом и правил теории Р с тремя изменениями. Во-первых, аксиомы подстановки теории Р заменены на аксиомы подстановки системы 尸'，которые являются формулами вида VxAf 4%[а]. Во-вторых, правило 3-вве-, дения заменено на следующее правило ^-введения', из A\JВ выводима Vx A\JВ、если только х не входит свободно в 8* ； В-третьих, аксиомы индукции заменены правилом ам@妳必〃а:： из ЛДО] и Л -> Лх [Sx] выводима 4

Очевидно, что теорема тавтологии истинна в Р\ потому что модифицированные правила и аксиомы теории Р : не используются в ее доказательстве.

Мы вводим 3 как сокращение в Р\ считая 3x4 : сокращением для ~] Vx 口 А. Тогда каждая формула • теории Р является определяемой формулой системы Р'・ Покажем, что если \-рА, то 卜戶，力.Очевидно, для этого достаточно показать, что аксиомы подстановки теории Р и аксиомы индукции доказуемы в Р н что правило . 3-введения справедливо в Р-

Согласно аксиомам подстановки системы Р‘ имеем Нр^х 1 A~^~i Ах[а]. Тогда по теореме тавтологии ； I~р^Ах [а] —^ ~| Vx ~] -4, т. е. |—р，4* [а] —>■ ЭхД.

Предположим, что 卜「，4fB и что х не входит свободно в В. По определению -> и по правилу V-введения 〉 Hp^Vx 1 А\/В. По теореме тавтологии Л Vx ~] Д->В, ■ т, е. I—pm%/—"В.г

Предположим, что 4 является аксиомой индукции :

斗[0]&Vx (Д->Bx[Sx]) f 8.

Легко заметить, что Ах[0] и 4 f 4#[Sx] доказуемы в Р、 без использования аксиом индукции, следовательно, как уже было доказано, они являются теоремами системы 尸'・： По правилу индукции \-р^А.

Теорема о доказательствах непротиворечивости пока- ■ зывает, что каждое доказательство непротиворечивости теории 戶 должно использовать что-нибудь такое, что 、 не формализуемо в Р. В доказательстве Генцена использована трансфинитная индукция. Мы вместо этого вое-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 317 пользуемся функционалами высших типов, которые мы теперь и опишем.

Определим типовые символы при помощи обобщенного индуктивного определения:

о — типовой символ;

если 厂 и s — типовые символы, то (r->s) — типовой символ.

Теперь мы для каждого типового символа г индукцией по длине символа г определим функционалы типа г. Функционалом типа о является натуральное число. Функционалом типа (г-> s) является отображение множества функционалов типа г в множество функционалов типа s. Впредь функционал будет означать функционал некоторого типа.

Если F — функционал типа (r-> (s -> ^)), а % —функционал типа г, то 尸(х) является функционалом типа (stf), поэтому если у — функционал типа s, то 尸(х)®) является функционалом типа /. Более общо, если 户一 функционал типа

(厂1 f (「2 f •・•—(厂九-> $)・ * ・)), (1) a %!, . *., хп — функционалы типов гх, ..., гп соответственно, то F (xi) ... (хл) является функционалом типа s. Если мы положим

尸(犬1，• • • , ^п)==Р{^1) *•• (^л)>

то получим отображение 尸'множества Л, состоящего из всех м-ок (х1( ..., %/, где 修 имеет тип 门 при i = =1, …，& в множество В всех функционалов типа s. Кроме того, каждое отображение множества А в В может быть получено таким способом из единственного функционала F типа (1). Поэтому мы отождествим 尸 и 尸'. В смысле обозначений это означает, что вместо 尸(xQ

(А)мы можем писать 尸(不，儿).Чтобы подчеркнуть это отождествление» мы будем иногда записывать тмн (1) как (片,,61f s)・

Ясно, что (mt л)-арный функционал в смысле определения из предшествующей главы является функционалом типа

(/*1, ) Г加 ~^ °),

ГДе каждое 〃 есть (ото) и каждое s* есть о. *

Теперь для рассматриваемых функционалов мы введем язык У. Язык У имеет следующие символы.

Для каждого типового символа г переменные типа 厂

无尸，Уггz尸，④Г，

Для каждого типового символа г константы типа г., Они будут описаны ниже.

Символы Ар, =, ] н V・■

Переменные типа г будут изменяться на множестве) функционалов типа г. Каждая константа типа 厂 будет . обозначать конкретный функционал типа г, как это будет ■ разъяснено ниже. Символ Ар мы вводим для того, чтобы : обозначать результат применения какой-либо функции к ее аргументу; так, мы сокращаем Ар 〃① до 〃⑼ и и (и。(%) до 〃(外l・…,％). Символы = ,и V имеют .

свой обычный смысл.

Мы применяем х, у и z в качестве синтаксических ■ переменных, областью изменения которых являются пере- ' менные языка К

Константы и термы языка У определяются при • помощи следующего обобщенного индуктивного опреде-； ления.:

Символ 0 является константой типа о, символ S $ является константой типа (ото).

Каждая переменная или константа типа г является термом типа г.；

Если и — терм типа (『f s), а ® — терм типа г, то ： 我(①)—терм типа s.

Предположим, что 力工,...,хл — различные переменные типов г1( ..., гп соответственно и что и — терм типа s, в котором нет вхождений переменных, отличных от %i, ..., хл. Мы вводим новую константу о типа ： (ги ...» % f s) с помощью определяющего равенства ®Xi... • * • ^п ■—- N •

Предположим, что X — переменная типа о, д — кон- станта типа г, а л' — константа типа (г, о-> г). Мы вводим новую константу 幻 типа (отг) с помощью определяю-, щах равенств г» (0) == л и ©(S (х)) = йл (© (х), %).

Константа 0 обозначает натуральное число нуль, а константа S обозначает функцию-последователь. Значения , остальных констант даются их определяющими равенствами.

(Это является единственным назначением определяющих равенств. Они не являются определениями в смысле § L2, потому что константы не являются определяемыми символами.)

Мы употребляем £ g н 五 в качестве синтаксических переменных, областью изменения которых являются константы; а,Ьис — в качестве синтаксических переменных, областью изменения которых являются термы.

Атомной формулой называется выражение а = Ь, где а п b имеют тип о. Формулы определяются при помощи следующего обобщенного индуктивного определения:

любая атомная формула является формулой:

если и —формула, то и 1 и —формула;

если д и ^ — формулы, то и Vиг»— формула,

(Отметим, что определяющие равенства, вообще говоря, не являются формулами, потому что они являются равенствами между термами, не обязательно имеющими тип о.)

Поскольку мы разъяснили значение всех символов языка У, то должно быть ясно, что подразумевается, когда говорят, что некоторая формула языка У истинна при каких-то значениях ее переменных. Мы пишем \-уА для обозначения того, что 4 истинна при любых значениях ее переменных, опуская иногда нижний индекс.

Подходящие сокращения, применявшиеся в теориях, можно применять и в языке К Чтобы избежать ссылок на типы констант, мы примем следующее соглашение: типы всех переменных и констант таковы, что все выражения, в которых они встречаются, образованы в соответствии с правилами образования термов, формул и определяющих равенств. Так, например, если мы упоминаем о формуле /(%) = 〃, то подразумевается, что для некоторого 厂 символ / имеет тип (г->о), х имеет тип г, а а имеет тип о.

Через ях [а] мы обозначим выражение, полученное из д заменой всех вхождений % на а. Если встречается такой символ, то подразумевается, что % и а имеют одинаковый тап. Аналогично мы употребляем 笈々^ [а1я 二・,〃汽]

Заметим, что существует по крайней мере одна константа каждого типа. Действительно, 0 является констан' т°й типа о, и если / имеет тип s, а х является переменной типа г, то мы можем ввести некоторое g типа (r->s) с помощью определяющего равенства g(x)—f.

Пусть *1, ..., хп, у, Z — различные переменные, причем у имеет тип о* Пусть а и 匕一такие термы типа о, что а не содержит переменных, отличных от хъ хл, а b не содержит переменных, отличных от х1( .,., ХП9 yt ^. Тогда мы можем найти такую константу /, что

Ivf(0> %i,％；!)= 〃，2

I~汙(S(y), *i,хл) = bs[f(уj %i,…•，％/i)]・

Для этого мы введем / при помощи определяющих равенств f(O) = g, f(S(y))^h(f(y)ty)9 где g н 力 имеют определяющие равенства

方(叫 m *i,…，忆)=九|>(*1,…，£)].

Если мы выбрали некоторое 尤 удовлетворяющее (2), то мы говорим, что мы ввели / при помощи (2). В частности, мы вводим + следующим образом:

0Ц-х=х,

S (у) + 犬=S (л* + у), а затем вводим ■ следующим образом:

0 • х = 0т

S®)・％ = (夕％) + %・

Кроме того, мы введем Р следующим образом:

尸(0) = 0,P(S(y))^

а затем введем 厶 следующим образом:

L (0, х)=х,

L(S(y),灯=尸亿®, %)).

После этого сократим выражение 厶(。，匕)#0 до aVb・ Очевидно, это придает символу V его обычное значение.

Переменные из Р мы отождествляем с переменными типа о .языка Y. Тогда каждый терм из 尸'является термом типа о языка F, а каждая открытая формула из Рг является (возможно, определяемой) формулой языка У. Кроме того, такая формула имеет в Рг то же значение, что и в У.

Теперь заметим, что для каждой формулы А языка У существует такой терм。типа о, все переменные которого

ВХОДЯТ В 4 что

[—уА с а = 0.

Мы легко можем получить а, воспользовавшись индукцией по длине формулы Д, если мы имеем такие константы Е, N в D, что

d = b <-^ Е (flj 匕) = 0,

d 中0q N (。) = 0,

@ = 0 V 匕= 0с£) ®> й) = 0.

Последние можно ввести следующим образом:

Е (%, У)厶L (у, х)‘"(0)=1, ^(S (//)) = 0,О(х, У)=х-у.

По данным различным переменным х^ ...» хл, среди которых находятся все переменные, входящие в Д, аиЬ9 мы можем найти такую константу /, что

Н { f 7 (%1，％/г) = а,⑶

Действительно, воспользовавшись сказанным выше, выберем с так, что [— 4 qc = 0, и введем / с помощью определяющего равенства

f(xu x^^a-N^ + b-N (N(c))・

Если мы выбрали /, удовлетворяющую (3), то мы говорим, что мы ввели / при помощи (3).

Обобщенной формулой называется выражение Vxx •一

Vx^a^i ... ЭупА, где Xi, хт9уъ ^^уп различны, а Л — формула языка У. Разумеется, оно не является выражением языка У (исключая случай m = M = 0), однако ясно, что оно должно означать. Две обобщенные формулы мы считаем одинаковыми, если они отличаются только выбором подкванторных переменных (т. е. если они являются вариантами).

Для удобства изменим порядок употребления синтаксических переменных до конца этого параграфа. Мы будем употреблять xf у и z для обозначения последовательностей (возможно, пустых) различных переменных. (Областью изменения для з будут по-прежнему переменные из Р・) Если хну встречаются в одном контексте, то переменные,

11 Дж. Шенфилд

входящие в л\ отличны от переменных, входящих в у; аналогично и для других пар синтаксических переменных. Если х есть последовательность 办 ...,xni то Эх ： есть 3xi ... Зхл и Vx есть Vxi .Мы приме-: няем а, b и с для обозначения последовательностей (не , обязательно различных) термов, а /, ^ и Л для обозна-: чения последовательностей констант. (Областью изменения для d по-прежнему являются термы из Р'・) Если а есть последовательность @九...,ал, а Ь есть последовательность Ьъ ..., Ьт9 то а (力)есть последовательность

他(仇，方m), .一，a№1,…?

Аналогичное значение будут иметь /(а), Ь (х) и т. д. Если а есть последовательность alt .... аП9 a b есть по-: следовательность 61,..., &л, то 。=力 означает последовательность равенств а^ = Ьъ ..?, ап = Ьп. Таким образом,, мы можем ввести некоторую последовательность констант / : с помощью последовательности определяющих равенств ， /(尤)=4.

Чтобы сократить число нижних индексов, мы будем записывать обобщенную формулу УхЗ^Д в виде УхЭуА [х, у z], где z состоит из переменных, свобод-: ных в А, и, возможно, переменных, не встречающихся в 4.: Далее, мы пишем Л [а, Ь, с] вместо AXtyt£[at 方，с]. По- J скольку мы разрешаем переменным, не встречающимся в : 4 входить в Z, и так как мы можем изменять подквантор-' ные переменные, не меняя обобщенной формулы, то : мы видим, что любые две обобщенные формулы можно записать в виде МхЗуА [х, у г] и Мх'3угВ[хг, у', z]c обычным соглашением, что все переменные, входящие в %, у, и 爲 различны.

Теперь мы сопоставим каждой формуле А из Р‘ неко-； торую обобщенную формулу Д*. Определение формулы А* производится индукцией по длине формулы А,

Если 4 — атомная формула, то А* есть Л.

Если А есть ~\В и В* есть ^хЗуВг [х, у г], то Д* есть \/у 三％ 1 В1 [х, у' (%), z], где у' — последовательность новых переменных соответствующих типов.

Если А есть 3 V & 3* есть Mx3yBf [х, у z] и С* есть ^xf3yfCf [х\ у', z], то А* есть

^х^х/ЭуЭу,(Вг [X, у, z] V С，у', /])•

Если А есть ^wB и 3* есть ^хЗуВг [х, у z], то Д* есть Vw^x3yBr [х, у z]・

Хотя это и не будет использоваться в нашем доказательстве, легко заметить, что формулы 4 н 4* имеют одинаковое значение. Это является очевидным, быть может, за исключением случая (ii). В случае (ii) заметим, что В* имеет то же самое значение, что и By^xB'lx, уг (х), N], поэтому А имеет то же самое значение, что и 13угМхВ [х, уг (х), 2], а затем воспользуемся пренексными операциями*

Если формула А открытая, то Д* есть А. Индукцией по длине формулы 4 легко проверить, что 力少[4]* есть

Обобщенная формула УхЗ^Д [х, у, z] называется верной, если существует такая последовательность термов а, что |—у4[%, а, zj. (Разумеется, отсюда следует, что эта обобщенная формула будет истинной для всех значений своих переменных.)

Теорема. Если [~p^At 团。А^ верна.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по теоремам Р‘. Сначала предположим, что Л является пропозициональной аксиомой ~| 3 V 艮 Если В* есть V хЗуВг [х, у, z], то (1 3)* есть (после замены переменных) У^'Зх* 1 В' [лг\ у『(#‘)，？] поэтому Д* есть

VyVxBx'B^Cl * [£, У (%) z] V & [МУ，N】)・

Таким образом, мы должны найти такую последовательность термов а и 仇 что

hlBf [at У (а), z] V * [尤，仇 z]・

Положим а равным х и & равным у' (%)•

Теперь предположим, что А является аксиомой подстановки MwB-^Bw [d]. Если В* есть

УхЗ^в' [х, у z, w], то (~| Vwfi)* есть

и Bw[dy есть-

Mx3yBf [х, у, 2, d].

Следовательно, Д* есть

^y'y/xJwJx'HyiB'lX^y'(W, %) N, w]-^Bf [xfyr 瑞“])・ 11*

Нам надо найти такой терм。и такие последовательности термов b п с, что

卜3‘也 у'(。，&), N, ^^В^Х, С, N, 〃]•

Положим а равным 弘 Ь равным х и г равным у' (а, &).

Если 4, является аксиомой равенства, аксиомой тождества или одной из аксиом Nl—N8, то формула 4 открытая и, следовательно, А* есть А. Очевидно, |—у4・

Предположим, что А получена из В по правилу расширения, например, что А есть С V 3・ Если В* есть ^x3yBf[x9 у, N] и С* есть МхгЗугС [х\ у, N], то Л* есть

\fxf\fxBy,3y(Cr[x,i у\ N] V 8’[为,У，2])・

По индуктивному предположению 炉 верна, поэтому существует такая последовательность термов а, что |— Вг[х, а, ^]. Таким образом, для любой последовательности термов"Ь

1 С[х\ Ь, N] V * [尤，Q，N]・

Отсюда следует, что Д* верна.

Теперь предположим, что 4 получена из 4 V Л по правилу сокращения. Если А есть ”％巾4'[为,у9 2], то (Д V 厶)* есть

V#V*'Rh'(A[%, у N]V {'[%'，У, z])・

Так как (Д V Д)* верна, то существуют такие последовательности термов а и а「что

Н Аг[х. а, z] V 4'[х\ а', 4

Подставляя х вместо х\ для подходящих 力 н Ь' имеем

-4’[/ b, z]V4 [乂 б，Z].(4)

С помощью (3) мы можем найти такую последовательность термов с, что

&[%, Ь, N]f 0 =瓦

Дл[х, b, с = %

Отсюда и из (4) следует, что |— Ar[x, с, z]・ Таким образом, А* верна.

Предположим, что А получена из В по правилу ассоциативности. Тогда матрица формулы 4* может быть получена из матрицы формулы В* ио правилу ассоциативности.

Отсюда сразу следует, что из верности формулы В* следует верность формулы Д*.

Предположим, что А получена по правилу сечения, например, что А есть С V°，н получена из формул В\/ С и ~| ^ V ^- Пусть Я*, С* и D^ имеют вид

МхЗуВг [х, у, N], Мх'Эу'Сг [х\ yft z] и

Тогда (5 V С)* есть

"зад/(&[*, у г]ус [х\ у,也

а (] 3 V 厶)* есть

^y^ixtf3x3ylf (】В^х, ^ (х),勾 V Dr[x\ у", z]).

Поскольку обе они верны по индуктивному предположению, то мы имеем такие последовательности термов а, 〃\ Ь и б，что

н 8[尤，а, z] V С [£, а', г],(5)

1 ВГ\Ь. % (ft), г] V Df[x\ ”N]・(6)

Можно предполагать, что а не содержит переменных, не встречающихся в %, z или %'; действительно, такие переменные можно было бы заменить константой такого же типа. Далее, мы можем ввести последовательность / при помощи определяющих равенств / (*', 2, х) = а. Полагая в (5) а равным /(х\ 2, х), получаем

н^[^, 〃炉，爲 *),典 V С'[£, al 2].(7)

Подставляя в (6) /(х\ N)вместо уъ получаем

Ь1ВГ[ЬЪ /(Х\ Z,瓦)，N] V 少[炉，瓦，2].(8)

Подставляя в (7) 历 вместо х, имеем

и В1\Ьг, /(х\ 2-,瓦)，z] V С'[£, %, N]・(9)

Из (8) и (9) получаем

И^ [x\ %, N] \/。'[%"，限 2，

Так как Л* есть

^xr^xff3yr3y,f(C[x\ у, N]V"[x", у"，Z]), то отсюда следует, что А* верна.

Теперь предположим, что 4 получена из 5 V С по правилу V-введения. Тогда А есть VwF V С, где w не свободна в С. Легко проверить, что А* есть Vw ((5 V С)*). Таким образом, если (В V С)* верна, то верна и 厶*.

Наконец, предположим, что 4 получена из Лда[0] и Л -► Ла,[5а/] по правилу индукции. Пусть А* есть \fx3yA' [х, у, z, w]. Тогда (4да [0])* есть

У/хЭуА' [х, у, N, 0];

поэтому по индуктивному предположению существует такая последовательность термов а, что |— А' [х, а, 2, 0]. Как и выше, мы можем определить последовательность g следующим образом: g(N, х) = а, и получить, что

!- А'[х, g(z, х), z, 0].(10)

Теперь (4f 4w[Sz])* есть

^у'^хВх'Эу (А' [х',уг (х'), 2, w]-^A'[x, у, z, S (砌])• По индуктивному предположению существуют такие последовательности b и с, что

l-4'W，у' (ft), z, w}-^A'[x, с, z, S (砌].

Подставляя *'(z) вместо у', получаем, что

h A' \b', *'(z, 6'), z, w]-> 4,肉 с', z, S(w)].

Как и ранее, мы можем переписать это следующим образом: I- 4'[” *'(?, b'), z, w]-^A,[x,h(x,, w,局 *), z, S (w)].

(П)

Пусть f имеет определяющие равенства f(0) = g, /(S (w)) = « (/(w), w). Тогда (10) превращается в

1 4'[尤，f(0, Z,出)，Z, 0]；(12)

в то же время, подставляя /(w) вместо х' в (11), получаем h 4'[財，/(蹤，Z,仇)，N, w]f

^A'\x, /(S(w), z, x), z, S(w)]. (13)

Теперь покажем, что |- A' [x, f(w, z, x), z, w]； отсюда будет следовать, что А* верна. Мы хотим показать, что для каждого м если w имеет значение 九，то 4' [*‘ /3, Z, %), Z, w] истинна при всех значениях х и z. Докажем это индукцией по п. Для п = 0 это верно вслед-

ствие (12). Теперь предположим, что это верно для некоторого п. Если 砌 имеет значение % а % н N имеют произвольные значения, то

Ar\bu f(wf ^ ЙО, -г, w]

истинна; таким образом, вследствие (13)

Ar[xf f(S(w), z, %), N, S(w)]

истинна. Отсюда следует, что если w имеет значение n+ 1, а % н z имеют произвольные значения, то Аг[х9 /(吻，z, х), z, w] истинна. Это завершает доказательство.

Наше доказательство данной теоремы было конструктивным. Действительно, мы показали, как построить последовательность % показывающую, что Д* верна, по доказательству формулы 4 в Р\

Теперь доказательство непротиворечивости стало простым. Пусть 4 есть О R 0. Если [— р Л, то [— р* А, поэтому 4* верна. Однако Л* есть 0 W 0, которая не верна, следовательно, 0 力 0 не является теоремой теории Р, и потому теория Р непротиворечива.

8.4. Применения доказательства непротиворечивости

Ранее мы уже отмечалиг что финитное доказательство часто дает больше информации, чем нефинитное, потому что оно требует от нас доказать больше, чем на самом деле сформулировано. Это верно и по отношению к конструктивным доказательствам непротиворечивости; хорошим примером служит наше доказательство непротиворечивости теории Р. По смыслу стандартной модели из .доказательства непротиворечивости мы получаем необходимое условие того, что А является теоремой теории Р, а именно, А должна быть истинной. Из нашего конструктивного доказательства мы получаем другое необходимое условие» а именно, А* должна быть верной. Далее, если А* верна, то она истинна, и, следовательно, истинна А, однако обратное не всегда выполняется (см. задачу 9 (б)). Таким образом, наше конструктивное доказательство привело к дополнительной информации неконструктивного характера.

Достаточное условие того, что А является теоремой теории Р, можно рассматривать как частичное решение

проблемы характеризации для Р. Полученное нами решение не является вполне удовлетворительным в одном отношении: если формула А очень сложная, то отношение между А и верностью формулы Л* не вполне ясно. Мы увидим, как можно преодолеть это препятствие.

Как обычно, достаточно рассмотреть замкнутые формулы, находящиеся в пренексной форме. Пусть 4 — такая формула, и пусть Ро и /% получены нз Р н Р' присоединением новых функциональных символов из формулы Ан. Доказывая теорему Эрбрана, мы показали, что формула 4 -> Ан доказуема без использования нелогических аксиом. Отсюда следует, что если (—尸 4, то 4H является теоремой теории Ро, а потому и системы

Теперь будем смотреть на каждый из новых функциональных символов из 4H как на переменную языка У соответствующего типа. Тогда можно определить В* для произвольной формулы В из Pj, как это делалось прежде, и доказать для Р； теорему из предыдущего параграфа. Мы приходим к выводу, что если \-рА, то Ан верна.

Предположим, что 先,.・•，力—новьте функциональные символы из Ан и что Ан есть Зхг ... ЗхтВ^ где формула В открытая. Легко заметить, что /斉 есть 3X1... …ЗхтВ\ где Вг получена из В приписыванием к ней слева 2m знаков отрицания. Отсюда следует, что если [-р Д, то существуют такие термы 口工,Q加 языка У, что Hr^ztai» • • > а^ н, следовательно, Ну^[^п • > а^ Мы можем предполагать, что 价 не содержит переменных, отличных от 力，•… %, а тогда мы можем ввести некоторую константу Ft при помощи определяющего равенства f乂/l, .…力)=a2■ отсюда

一 У 3 [尸I (五f力，…> Fm (/i, 9 力)].

Мы называем функционал функционалом рекурсивного типа, если он обозначен некоторой константой языка У・ Утверждение, которое мы доказали, можно сформулировать следующим образом*

Интерпретация опровержением контрпри- мер а (Крайзель). Пусть А — замкнутая формула в пренексной 石орме, являющаяся теоремой теории Р. Пусть формула Ан есть 三*工... 3xmBt где формула 3 открытая, 〃 пусть fi,・…,fn — NOBbie функциональные символы из 4”. Тогда существуют такие функционалы 尸“ ...,Fm

рекурсивного типа, что

5办,…，工加[尸1 (力，…，加，尸m (方，力)] истинна при любом выборе символов 五，fn.

Чтобы пояснить, что это означает, предположим, что А есть

3xVy3^VwB [х, у, n, w].

Тогда Дя есть ЭхЭгВ [х, /(х), N, g(*, z)]. Отсюда следует, что если 1р4 то существуют такие функционалы 尸 и G рекурсивного типа, что

5仍(力⑶，f (戸(f,g)), G(f,g), g(F(f,g),G(f,g))]. (1) Далее, ~| А эквивалентна формуле VxB^Vs'Bw ~| B[x, у, N,砌，поэтому 4 ложна тогда и только тогда, когда существуют такие функции / и g, что для всех 尤 н 2

】В[%, /(%), 2, g(X, 2)].

Подобные функции / и g мы будем называть контрпримером к А. Далее, Л истинна тогда и только тогда, когда не существует контрпримера к А, т. е. тогда и только тогда, когда для любых / и g* мь! можем найти такие F (f* ё) ь G(& g), что (1) истинно. Дополнительная информация, которую мы получаем, когда 4 доказуема в Р, заключается в toM, что F и G можно выбрать среди функционалов рекурсивного типа.

Замечание. Если А истинна, то существуют такая константа е и такая функция /, что 5[е, у, /(，), N] для всех у н Z. Кажется правдоподобным, что если Л доказуема, то функцию / можно выбрать рекурсивной. Однако это неверно; см. задачу 9.

Мы расширим интерпретацию опровержением контрпримера на рекурсивные расширения теории Р. Очевидно, для этого достаточно распространить наше доказательство непротиворечивости на такие расширения. (Отметим, что такое обобщение доказательства непротиворечивости бессмысленно для доказательства собственно непротиворечивости, потому что непротиворечивость каждого рекурсивного расширения теории Р следует из непротиворечивости теории Р ввиду предшествующих результатов.)

Очевидно, достаточно предположить, что мы распространили доказательство непротиворечивости на рекурсивное

расширение Р, и показать, что его можно распространить также на рекурсивное расширение Р", содержащее на один нелогический .символ больше, чем Р\ Сначала предположим, что присоединяемый символ есть предикатный символ р с определяющей аксиомойрхг .…хп<^ А. Тогда формула Z открытая, поэтому 4* есть Л. Мы вводим р в качестве определяемого символа языка У, считая ра工• • • @九 сокращением для А [^х，..., а/. Очевидно, р имеет в У такой же смысл, что и в 4". Кроме того, (pxi ... хп^ Л)* есть p%i ... хп^ А, которая наверняка верна; таким образом, наше доказательство непротиворечивости обобщено.

Теперь предположим» что новым неЛогическим символом является функциональный символ f с определяющей аксиомой

户^1…⑵

Тогда формула Л открытая и \-РЗуА. Поскольку наше доказательство непротиворечивости было обобщено на Р, то (ЭуАГ， которая есть не что иное, как h~n 4 верна. Отсюда следует, что существует такой терм а, что НуП"1 Ау[а] и, следовательно, |-у4y[司.Если g имеет определяющее равенство

g(xlt х^=а,

то мы получаем, что %

-y4g[g(Xi,…，％)]•(3)

Введем теперь константу А следующим образом:

A^h(yt 耽 ％l /)=У

14f 也(y 叫 为L …，*j = S(砌)，

и константу f следующим образом:

F(о, Xi, ■ *. * ^п)=о,

f (S (w), Xi, • • •)xn) = й(F (w, ^1» • • • > xQ, w, *l * …，尤汽)・ Тогда

i4Lf 侬，*1，/)]\Аf(w，a…，/)=з，(4)

F-уУ Vf(w,力1,…，％)->[4(5)

Будем считать / константой языка У с определяющим равенством

f(Х1, > * * I ХЛ) =F (g(X1J • ■ « J 力也)，尤 1, •・ r ^n)*

Тогда из (3), (4) и (5) получаем, что

I~yyVf(*Lхп) —>~| А.(7)

Отсюда следует, что / имеет в У тот же смысл, что и в Р".

Нам еще надо показать, что если В есть аксиома ⑵, то В* верна. Однако В есть

Ay[fxr %j& Vy(y v/i …当f I<);

поэтому В* есть

Vv网Lf(xi,^^{y<f{x^$)->】/))・

Она верна вследствие (6) и (7).

В процессе расширения доказательства непротиворечивости мы показали, что каждая функция, которую можно ввести в некотором рекурсивном расширении теории Р, имеет рекурсивный тип. Теперь мы увидим, что, наоборот, каждую функцию рекурсивного типа можно ввести в некотором рекурсивном расширении теории Р,

Введем формальную систему F. Символами системы F являются константы языка У и символы Ар и =. Сокращение 〃(Zi 外冷)мы вводим так же, как и в У. Термы системы F определены при помощи следующего обобщенного индуктивного определения:

константа типа 厂 является термом тапа 尸；

если к — терм типа (r->s), а ①一терм типа г, то и (七)—терм типа s.

Синтаксическими переменными f9 g, Л, 。， b и с мы пользуемся так же, как и в У. Формулами системы F являются выражения. а = Ь, где а и 6 имеют одинаковый тип.

Каждая формула 〃 = а является аксиомой системы 尸. Если / имеет определяющее равенство

a gi,…，gn имеют тип *力 ….，%也 соответственно, то f(gi,…，gj=a[gi,…，gn]

является аксиомой системы F. Если / имеет определяющие равенства /(0) = g и /(S (х)) = Л (/(х), х), то /(0) = g является аксиомой системы F и все формулы /(月“+i) »« =比(/(及)，弘) являются аксиомами системы F. Этим множество аксиом системы 尸 исчерпывается. Единственным

правилом системы 尸 является следующее правило: В вывО дима из А я а =匕，если В получена из А заменой некоторого вхождения а на b или наоборот.

Определим понятие сводимого терма типа г индукцией по длине г. Терм а типа о является сводимымt если Y~Fa~kn для некоторого 儿 Терм а типа (r->s) является сводимым, если а (Ь) является сводимым для каждого сводимого терма Ь типа 几

Докажем теперь некоторые простые факты о сводимости.

Если каждая входящая в а константа сводима, то а сводим. Докажем это индукцией по длине терма а. Если а — константа, то утверждение тривиально. В противном случае а есть Ь (г), где b и с сводимы по индуктивному предположению. Тогда а сводим по определению сводимости для Ь・

Если _а = Ь и Ь сводим, то а сводим. Воспользуемся индукцией по типу терма Ь. Если Ь имеет тип о, то \- Ь = % для некоторого п, и, следовательно, \- a^kn пс правилу системы Е Таким образом, а сводим. Пусть b имеет тип (г —s), и пусть с ~ сводимый терм типа г. Так как |— а (с) = а (с) и ； а =仇 то получаем, что [- а (г)= = ^(с). Поскольку терм Ь сводимый, сводимым будет и Ь (с), так что а (г) сводим по индуктивному предположению. Таким образом, а сводим.

Если 0(也九)сводим для каждого п, то а сводим. Действительно, пусть Ь — сводимый терм типа о, тогда f— b=kn для некоторого 亿 Так как (—◎(&) = а 偿)，то р а (b) = a(k^. Терм а(Ь) сводим по условию и (ii).

Теперь индукцией по константам покажем, что каждая константа сводима. Очевидно, константа 0 сводима. Так как s (自) есть ^л+1, то она сводима, следовательно, S сводима по (iii). Пусть / имеет определяющее равенство /(尤工，.・・，％力=@, где каждая константа из а сводима. Очевидно, чтобы доказать, что / сводима, достаточно показать, что f (gi,・・・,gQ сводима для всех сводимых констант gi,…，g“*)・ Однако

^/(gi,gj = Q [gi,gj

И а[а •. •, gj сводима по ⑴. Отсюда следует, что f(gi，•・•，以)сводима по (ii).

Пусть теперь / имеет определяющие равенства / (0) = §*, /(尤)=力(/(%), %), где g и 也 сводимы. Индукцией по п покажем, что /(Лл) сводима, тогда сводимость / будет следовать из (iii). Так как hf(^) = gf то /(0) сводима в силу (ii). Далее, предположим, что /(йл) сводима. Из сводимости 也 следует сводимость 力(/(鼠))• Ввиду сводимости kn отсюда следует, что й (/(Лл),也力 сводима. Так как

^f{k^ = h{f(k^ 弘)，

то из (ii) следует, что /(^л+1) сводима.

Следующим шагом является сопоставление номеров выражениям системы F и введение определений, аналогичных определениям, введенным для F в § 6.6. Поскольку в этом нет ничего нового, то мы это пропустим. Пусть f— константа ,обозначающая некоторую n-арную функцию рекурсивного типа, тогда мы можем определить такой предикат Rf что R (〃ь ・：.,аП9 Ь) означает, что b есть номер доказательства формулы вида fk% … 将&打=为с， и такую функцию G, что если 匕 является номером такого доказательства, то 6(力)=以 Так как f сводима, то для всех а^ .... ап мы имеем т bR (а、%、6), и ясно, что

G{\^R(au anb))(8)

является как раз функцией, обозначенной через f

Воспользовавшись результатами из § 8.1, мы можем ввести R н G в некотором рекурсивном расширении Pf теории R Чтобы ввести функцию (8), мы должны уметь доказать в Р1 условие существования 3yR(Xi,...,力也,^). По существу это означает, что мы должны уметь доказать сводимость / в Р\

Для каждого типового символа г в некотором (нерекурсивном) расширении системы Р с помощью определений мы можем ввести такой предикат Red^, что Redr (х) означает, что 片 является номером какого-то сводимого терма типа г. Затем мы можем доказать (i) отдельно для каждого типа, т. е. для каждого г мы можем доказать формулу, утверждающую, что (i) истинно для всех термов а типа г. Аналогично, (ii) и (iii) можно доказать отдельно для каж-

доготипа. Затем индукцией по константам мы можем показать, что если а —номер некоторой константы тапа г, то h Red,(儿).

Полагая а равным номеру константы /, мы получаем нужный результат ).

8・5・ Арифметика второго порядка

Мы убедились в том, что не существует аксиоматической системы, в которой можно доказать все истинные формулы теории Р и ни одной ложной. Однако весьма естественно искать такой способ расширения теории Р, который позволит нам доказать больше истинных утверждений о натуральных числах. Один из способов сделать это — это присоединить переменные, областью изменения которых являются функционалы высших типов. Мы рассмотрим несколько упрощенную систему, в которой мы присоединяем переменные, областью изменения которых являются множества чисел; это разъяснит возникающие проблемы и в то же время позволит избежать некоторых трудностей»

Наиболее естественным путем было бы присоединение к Р нового вида переменных. Однако при этом мы не получили бы теории, а потому не могли бы воспользоваться полученными ранее результатами. Вместо этого мы будем придерживаться процедуры, предложенной в § 2.1 для работы с двумя видами индивидов.

Опишем теорию 3, называемую арифметикой второго порядка. Нелогическими символами теории S являются нелогические символы теории Р, бинарный предикатный символ 三 и унарные предикатные символы N п С. Примем соглашение, что Nx будет означать, что % есть некоторое число, и что Сх будет означать, что % есть некоторое множество чисел.

Договоримся применять строчные латинские буквы так, как если бы они были переменными из S. Кроме того, мы вообще будем предпочитать использовать буквы из этого алфавита в тех случаях, когда переменная обозначает число,

а не множество. Это соглашение вводится только затем, чтобы облегчить чтение, и имеет неофициальный характер.

Наши первые две нелогические аксиомы утверждают, что каждый индивид есть либо число, либо множество

но не то и другое одновременно:

^xVCx,(1)

^[(Nx&Cx}.(2)

Следующие три аксиомы говорят о том, что некоторые индивиды являются числами или множествами:

NO,(3)

NafNSa,(4)

。三 XfNa&Cx*(5)

Определим интерпретацию / языка L(P) в языке L(S), считая, что U, есть N и что и； есть и для нелогического символа и теории R Тогда в качестве новых нелогических аксиом мы возьмем интерпретации аксиом Nl — N8 относительно

Аксиомой индукции теории S является

Сх & 0 е х & Va (Na &awx fSa 三 x)fka (Na -> a 三灯.

Аксиомой объемности является

Cx&Cy&\fa(aex<^a^y)^x=^y;

она утверждает, что два множества, имеющие одни и те же элементы, совпадают.

Теперь нам нужны такие аксиомы, которые позволят нам получить некоторые множества. Основной способ получить некоторое множество — это взять множество всех чисел, имеющих некоторое свойство. Введем некоторые аксиомы, называемые аксиомами выделения, которые показывают, что множества, определенные таким способом, существуют. Ими являются все формулы вида

R (Су & Vx (х Nx & 4)),

где у отлично от х и не встречается в Л.

Так как функция, обозначенная некоторым функциональным символом, должна быть определена для всех индивидов, то Sx должна иметь смысл даже тогда, когда ^х является множеством. В этом случае мы положим Sx = 0.

Аналогичное соглашение мы примем и относительно поведения +, • nV, если их аргументами являются не числа. Это выражается следующими аксиомами:

Сх —>- Sx = 0,⑹

Ст V Су% + у = О&%・у = О& ] (х Vy)・ (7) Этим лаш список нелогических аксиом теории S завершается.

Построим модель "' теории S следующим образом. Пусть 卜仍 является множеством натуральных чисел, а С“* является множеством всех множеств натуральных чисел. Обозначим через |"'| объединение N仍 и С旷. Пусть а е “，％ истинно, если а является числом, х является множеством и амх. Пусть и — нелогический символ теории Р, придадим 我“，то же самое значение, что и 我步,если аргументами являются числа, и значение, данное согласно (6) и (7), при других аргументах. Ясно, что "' на самом деле является моделью теории S. Мы называем ее стандартной моделью теории S и говорим, что формула теории S истинна, если она истинна в

Изучим теперь некоторые синтаксические свойства теории S. Предположим, что %工,...,хл» у — различные переменные, и среди них находятся все свободные переменные формулы 4. Тогда мы можем ввести новый функциональный символ / с помощью определяющей аксиомы

Cf*i…х住&Yy(y三力工…力也—Ny & 4).(8)

Действительно, условием существования для / является аксиома выделения, а условие единственности является простым следствием аксиомы объемности и (5). Из аксиомы индукции следует, что

\-Q^fxl...xn&\iy (Ny &у 已力1 •…％九 f

—Sy三执丄…Vy (Ny —y已j心…* J поэтому вследствие (8) и теоремы эквивалентности получаем

Н^0&Ду [Q]&>/y (Ny & А^ NSy & Ау [S>])->

Vy (Ny Ny & Л).

Ввиду (3) и (4) это можно упростить до

н Лу [0] & Vy (Ny & 4 f 4y [Sy]) f Vy (Ny f A). (9)

Отсюда мы получаем правило индукции: если Н Ау [0] и \-~Ny & А Ay[Sy], то [-心 т 4

Теперь докажем, что / является интерпретацией теории Р в теории S. Вследствие (3)

2aA&(10)

Интерпретациями аксиом N3 и N4 являются

Мат @ + 0 = а,(11)

NafNbfa + Sb = S(a~\~b)、(12)

Вследствие (12) и (4)

HNbf(NctfN(a+b》f(NafN(a + Sb》・ (13)

Из (11), (13) и правила индукции получаем, что

№(& + %).(14)

Аналогично, используя (14) и интерпретации аксиом N5 и N6, получаем, что

-NbfNafNO,(15)

Вследствие (10), (3), (4), (14) и (15) / является интерпретацией языка 厶(Р) в теории S. Остается показать, что интерпретация аксиомы индукции теории Р доказуема в S. Эта интерпретация имеет вид

N% +N% -> (4 [0] & V# (Nx -> А -^Лх [Sx]))->

f V% (Nx~^A)

и, таким образом, доказуема вследствие (9).

Комбинируя это с результатами из § 4.7, мы видим, что / можно расширить до интергу)етации любого рекурсивного расширения теории Р в некотором расширении теории S с помощью определений. Таким образом, те функции и предикаты, которые могут быть введены в рекурсивном расширении теории Р, могут быть также введены в расширении теории S с помощью определений. Иногда мы будем молчаливо предполагать, что некоторые из этих функций и предикатов уже введены.

Разумеется, эти результаты позволяют вводить лишь те функции, значениями которых являются числа. Укажем, как можно вводить функции, значениями которых являются множества, если они определены индуктивно. Для простоты рассмотрим лишь унарные функции.

Предположим, что в некотором расширении S' теории S с помощью определений имеется константа 4 и бинарный функциональный символ G и что мы можем доказать С (А) и С (G (х, 〃)). Мы покажем, что в некотором расширении 丿 теории S' с помощью определений можно ввести функциональный символ 尸 и доказать；

尸(0) = 4?

NafF (Sa) = G (尸(a), a).『

Используя (8), определим функциональный символ Cut определяющей аксиомой

Vb(bwCnt(%, a) —№匕&@ 匕〉wx).〔

Тогда мы можем выписать определяющую аксиому для функционального символа 斤，говорящую следующее. Если х — множество, то Я (х) = 0. Если а — число, то Н(а)— .《 множество чисел вида 〈6, с〉, где Ь^а. Кроме того, Cut("(a), 0) = 4 и для каждого bVa выполняется : Cut (Я (a), S6) = G(Cut (Я (a), &), b). Условие существо-哈 вания и единственности для Н мы можем доказать индукцией, используя аксиомы выделения при доказательстве : существования и аксиому объемности при доказательстве единственности. Воспользовавшись индукцией по й, мы ? можем также доказать, что Cut (Я (Sa), b)=Cut(H(a), b) 广 при Ь^а. Введем 尸 с помощью определяющей аксиомы 尸(a) = Cut(H (а), а). Тогда

尸(O) = Cut("(O), 0) = 4.

F (Sa) = Cut (Я (S^), Sa) = G(Cut(H(Sa), a), a)=

=G (Cut ("(a), a), a) = G (尸(a), a).

Правильный путь «доказать» формулу 4 теории Р ■ в теории S — это доказать 4⑺. Мы видим, что каждую теорему теории Р можно доказать в этом смысле в S. Как уже говорилось в начале этого параграфа, не к аж-；

дая истинная формула теории Р может быть доказана в S (см. задачу 10). Однако существуют истинные формулы теории Р, которые недоказуемы в Р, но доказуемы в S. Мы пр оил люстр ир уем это, набросав в план доказательства Сбп段 в S.'

Идея заключается в формализации “ доказательства непротиворечивости теории Р с помощью стандартной

модели. Другими словами, мы индукцией по теоремам докажем, что каждая теорема теории Р истинна, и придем к заключению, что О W 0 не является теоремой теории Р. Сделать это очень просто, как только мы получим определение истинных формул теории Р. Для этого достаточно определить истинные замкнутые формулы. Это можно сделать индукцией по высоте формулы после того, как мы определим истинные свободные от переменных атомные формулы. Однако множество номеров истинных свободных от переменных атомных формул можно определить в некотором рекурсивном расширении теории Р, а потому и в S. Тогда описанным выше методом мы можем ввести такое 尸，что F (а) является множеством номеров истинных замкнутых &рмул высоты, не превосходящей а. Затем легко определить множество номеров истинных замкнутых формул.

Замечание. Разумеется, это доказательство нельзя провести в Р. Причиной является то, что истинность истинного замкнутого подтверждения зависит от истинности или ложности бесконечного числа формул меньшей высоты. Мы не можем определить в Р функцию, если ее значения зависят от бесконечного числа прежних значений.

Перейдем теперь к моделям теории S. Если о^ — модель теории S, то q^i (в обозначениях из § 6.9) — структура для 厶(Р). Если 4 — аксиома теории Р, то 卜§4⑺，поэтому 4") истинна в ©^, следовательно, 4 истинна в о^；. Таким образом, — модель теории Р.

Модель о^ теории S называется регулярной, если С% является множеством подмножеств множества ^^ и а е^х <-> с a w х, где а принадлежит N庚,а х принадлежит С/, Мы покажем, что каждая модель ^ теории S изоморфна некоторой регулярной модели. Заменяя на какую-нибудь изоморфную модель, мы можем предполагать, что никакой элемент из | | не является подмножеством множества | ②^ |・ Определим отображение 屮 следующим образом: если а принадлежит N战、то ф (а) = а; если х принадлежит С/, то 屮(乃) является таким множеством элементов а из ^^, что а 已/%・ Используя (1), (2) и аксиому объемности, мы видим, что ф — биективное отображение |@^| в некоторое множество, Отсюда следует, что существует такая модель 砺, что ср является изоморфизмом между о^ н 瞅 Очевидно, 曲 регулярна.

Регулярная модель е^ полностью определяется по М】 и С盘、Действительно, Мт определяет N^ — ]^^ и значения функций и предикатов, отличных от е^, для аргументов из N历.Согласно (1) |©^ | должно быть объединением ^^ и С® а (5) и условие регулярности определяют 三历. Остальные функции и предикаты для аргументов, не принадлежащих ^^, определены согласно (6) и (7).

Лемма. Модель 》теории Р изоморфна " тогда и только тогда^ когда каждый индивид модели ^/ есть (йл) для некоторого п.

Док аз ател ьств о. Очевидно, условие необходимо. Предположим, что оно выполнено. Определим сюръективное отображение 屮 из | @^ | в | о^ | следующим образом: 屮(九)=読 出 J Если m^n, то \~pkm W knf поэтому e^ (々m) W ^ (也л). Это показывает, что 屮 инъективно. Теперь условие изоморфизма следует из леммы 3 из § 8.2. Например, чтобы доказать, что

屮(加)+ лф (и) = <р (т + /г), заметим, что ^pkm-\-kn = km^n и потому

(也т) + 虑(2/^ (馬)=s^ (^tn+n)'

Если ^ — регулярная модель теории S, то ©^ (抬)= = о^№侖 для всех и. Отсюда и из леммы 2 следует, что о^1 изоморфна " тогда и только тогда, когда каждый элемент из |^/| = N虑 есть ©^ (fen) для некоторого и. Если это так, то мы говорим, что 羡 является (^-моделью теории S.

Регулярная модель ©^ теории S называется тоталь- ной. если С虑 является множеством всех подмножеств множества N施.Покажем, что каждая тотальная модель теории S изоморфна "'. (Это является известным доказательством того, что аксиомы Пеано категоричны.) Пусть е^ — тотальная модель теории S, и пусть х —множество всех (EJ Тогда 0历 wx, и если aw %, то S^a е х. По аксиоме индукции отсюда следует, что a w х для каждого а из N® поэтому является ©-моделью. Вследствие этого мы можем предполагать* что о^「". Но тогда 6^=。“ и потому @^ = "\

Теперь мы получим синтаксическую характеризацию тех формул, которые являются истинными в каждой со-модели. Формальная система Sw получена из S добавлением

следующего «-правила: из 4 伊0], 4[々j…выводима Nxf А、Заметим, что в отличие от всех рассматривавшихся нами ранее правил, о-правило не конечно; для получения заключения требуется бесконечно много посылок.

Теорема Генкина —Оре. Формула теории S является теоремой системы S© тогда и только тогда, когда она истинна 6 каждой т-модели теории S.

Доказ ательство. Чтобы доказать, что каждая теорема системы S① истинна в каждой(o-модели й^ теории S, достаточно показать, что если все посылки(о-пра- вила истинны в 必、то и заключение истинно в В, а это

очевидно.

Предположим теперь, что Л — не теорема системы &. Пусть Sf — теория языка L(S)* нелогическими аксиомами которой являются все теоремы системы S©. Тогда каждая теорема теории S' будет теоремой системы 50, поэтому Л — не теорема теории S'・ Отсюда следует, что если А!— замыкание формулы 4, то r^S' ["] Аг] непротиворечива.

Пусть Г — подмножество множества Si(T), состоящее из формулы .^i и всех формул NiH/几. Покажем, что множество Г не является главным. Предположим, что В — образующая для Г. Для каждого п имеем 卜 тВ — ZiW 为小 Подставляя kn вместо 勿 и используя аксиомы тождества, получаем, что 卜戸8便/・ По теореме дедукции + В [EJ — теорема теории S', а потому и системы 5Ш. По «-правилу ^i -> "1 4Л -> 1В — теорема системы S® а потому и теории S'・ Таким образом, }—tNn；1fq 5. Однако \~TB~^Nz^ поэтому 卜丁~]5 по теореме тавтологии. Это невозможно по определению образующей.

Из теоремы Эренфойхта следует, что существует такая модель ^/ теории Т, что никакой 1-тип из @^ не включает Г. Мы можем предполагать, что модель * регулярная. Тогда ^ является s-моделью теории S, в которой 4 не является истинной.

Если Л — истинная формула теории Р, то для каждой «-модели мы имеем'

^ 便⑴)=^; (Л) = ^(Л) = И^

поэтому 4(『)一теорема системы S®. Это не противоречит выводу, который мы сделали из теоремы о неполноте, поскольку S(o не является аксиоматической системой в упомянутом там смысле.

Формула 4 теории 5 является теоремой системы S® тогда и только тогда, когда она принадлежит каждому классу Г формул теории S такому, что

каждая аксиома системы S® принадлежит Г;

если все посылки некоторого правила из S^ принадлежат Г, то и заключение этого правила принадлежит Г. Если мы заменим все формулы их номерами, то мы сможем сформулировать это определение в теории S. Другими словами, существует такая формула D теории S, что D\k^\ истинна тогда и только тогда, когда м является номером некоторой теоремы системы S®. Пользуясь этим, мы так же, как и в § 8.2, можем доказать следующее утверждение.

Теорема Россера. Существует истинная формула теории S, не являющаяся теоремой системы 5Ю.

В заключение сделаем несколько замечаний о доказательствах непротиворечивости теории S. Если исключить тривиальные доказательства, то единственное такое доказательство принадлежит Спектору. Это доказательство по существу является обобщением доказательства непротиворечивости, проведенного нами для Р, Для того чтобы позаботиться об аксиомах выделения, необходимо присоединить к Y новые константы. То, что определяющие равенства для них определяют функционалы, не так очевидно, как в рассмотренных ранее определяющих равенствах. Это можно доказать довольно легко, однако доказательство не конструктивно. Таким образом, чтобы сделать доказательство конструктивным, надо дать конструктивное доказательство того, что эти равенства определяют функционалы. Недавние исследования показывают, что это вряд ли возможно. Таким образом, в настоящее время неизвестно, существует ли конструктивное доказательство непротиворечивости теории S.

Все сказанное вызывает следующий более общий вопрос: что такое, собственно говоря, конструктивное доказательство и каковы свойства таких доказательств? Это главный вопрос, изучаемый интуиционизмом. Хотя пока окончательные ответы на эти вопросы не найдены, в этом направлении достигнуты значительные успехи. Однако мы не будем здесь углубляться в этот предмет. •

Задачи

Предполагаетсяt что все теории имеют только конечное число нелогических символов.

Предикатный символ р из расширения Рг теории Р с помощью определений называется R-символом^ если рх^... Лл эквивалентно некоторой R-формуле теории Р.。

Показать, что если предикат Q можно ввести как некоторый ^-символ в Р\ то Q*工 1.x几 от 石,…,хп слабо представляет Q в Р‘・[Использовать лемму 3 из § 8.2.] Затем показать, что Q рекурсивно перечислим.

Показать, что каждую примитивно рекурсивную функцию (примитивно рекурсивный предикат) можно ввести в некотором рекурсивном расширении теории Р. В частности, так можно^ ввести Тп.

Показать, что каждый рекурсивно перечислимый предикат можно ввести как R-снмвол в некотором расширении теории Р с помощью определений. [Использовать (б) и теорему о нумерации.]

Пусть Т — такая теория, что NLAx^ рекурсивно перечислим. Согласно 1 (в) NLAx「можно ввести как /?-символ в некотором расширении теории Р с помощью определений. Тогда мы строим Thm)^ и Сопг подобно *Thmp и Сопр, используя NLAxr вместо NLAxp. (Заметим, что Thm7 и Сопг зависят не только от 7\ но также и от выбора R-снмвола NLAx『)

Показать, что Thm? является ^-символом.

Введем NLAx% с помощью определения

NLAx% (к) — X —々勺 V …V % = %九・

Показать, что (8) из § 8.2 выполняется, если Thm尸 заменить на ТЬгпЛГи

Показать, что если Т — расширение теории ^^ то I— Thm^ (х)—► -> Thnir (") *

Показать, что если Т — непротиворечивое расширение теории Р, то боп? не является теоремой теории Т・[Следовать доказательству из § 8.2, используя (а) — (в).]

(а) Пусть S и Т — такие теории, что NLAx§ и NLAx「рекурсивно перечислимы. Предположим, что S имеет интерпретацию / в Т. Показать, что для каждого выбора R-снмвола NLAx^ можно так выбрать /?-символ NLAx5, что Н Сопг Соп^. [Ввести такую функцию Г, что Г (「4「)=厂人"门 в некотором рекурсивном расширении теории Р Ввести NLAx$ как R-сммвол и определить новый ^*символ следующим образом:

NLAx& (%) — NLAxs (х) & Thm7 (〃(%))•

Следуя доказательству теоремы об интерпретации, показать, что 1Т*т& (х) -> Thm「(〃 (尤))J

) Пусть Т — такая теория, что NLAx^ рекурсивно перечислим. Показать, что если теория Т непротиворечива, то Р [Сопг] не интер-

претируема в Г. [Предположить, что это не так, и, пользуясь (а) и 1 (г), показать, что Р[Соп?] противоречива, и, следовательно, что Сопг ложен.]

) Пусть Т — такая теория, что NLAx^ рекурсивно перечислим. Показать, что если теория Т непротиворечива и если' / является интерпретацией теории Р в теории Г, то Cong)не является теоремой теории Г. [Использовать (б).]

(а) Показать, что если Q — унарный R-снмвол из Р- то существует такая замкнутая 7?-формула А, что \~Р,А ^Q(krA~\)^ [Взять в качестве 4 формулу В2 [ЛгвП1^「陇 Е есть 7?-формула, эквивалентная Q(Sub(z, ^г2~\* Num (г))).]

Показать, что если В — замкнутая формула теории Р такая, что Н pThm (々厂®〕)fE, то имеем ―卩艮[Определим Q (а) о О Thnip (Imp (а, Г尸)),где Imp (ГдП, гВ^^А f 门 Введем Q как /^-символ, и пусть 4 такая же, как и в (а), Показать, что

С А-> Thm (&「《-])f Thm 伍厂占一I)н 1-4 f Thm 他厂』一i),

а затем последовательно доказать, что }~ Л ^ Bt \- Q (々厂丛-]),1 4, 1艮].

Показать, что если Q есть Thmp и А такая же, как в (а), то 1 РА. [Использовать (б).]

Пусть А — не разрешимая в Р замкнутая формула.

Пусть В — множество номеров теорем теории Р [А], не являющихся теоремами теории Р. Показать, что В не является рекурсивно перечислимым. [Предположить обратное и воспользоваться теоремой об отрицании, чтобы показать, что теория Р [~] А] разре* шима.]

Пусть F — рекурсивная функция. Показать, что существует такая теорема В теории Р, что если m и л —наименьшие номера до- казательств теоремы 3 в Р н Р [4] соответственно, то m > F (л). [Предположить обратное и прийти к противоречию с (а).]

Пусть “ — такая модель теории Р, что | q^ | = | ©^^ |, однако 勿^ не изоморфна 〃Г*. По лемме из § 8.5 существуют элементы из I(^ I， отличные от(^ (々足〉；такие элементы называются бесконечными элементами.

Показать, что если 尤 является бесконечным элементом из | q^ |, то * (йл) <л х для всех м. [Использовать N9 и лемму 2 из § 6.7.]

Показать, что если в А нет свободных переменных, за исключением X, то■

Нр 士丸丫％ (-Х < ш f 工三廿 ® = £ • (1 +%) ♦ z) — А)).

[Аналогично лемме из § 6.4.]

Пусть Ф ——последовательность всех функций и предикатов из £^・ Показать, что если в А нет свободных переменных, за исключением х, то множество А таких п, что(^ (Ах [Лл]) = И( является рекурсивным в ①.[Показать, что ©^ 伊 J рассматриваемая как функция от п, рекурсивна в Ф. Взять бесконечный элемент о», и

выбрать г, у, zf и у' согласно (а) и (б) так, чтобы в ©^ выполнялось ЗхЛ (у = х/ • (1 +ет^ (々打))‘ z) — 4 [Лл],

三£ &=犬•(1 +(瓦))е) — 1 А [йл].

Воспользоваться теоремой об отрицании.]

Показать, что любые два непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества могут быть отделены некоторым множеством, рекурсивным в Ф. [Использовать (в) и задачу 8 (б) из главы 6.] Затем показать, что некоторый элемент из Ф является нерекурсивным. [Использовать задачу 13 (в) из главы 6.]

Показать, что если q^ элементарно эквивалентна ©^» то некоторый элемент из Ф не является арифметическим. [Показать，что каждое арифметическое множество представимо в Th (“^) и потому вследствие (в) рекурсивно в Ф. Затем применить теорему об арифметической иерархии.]

Р-теорией называется такое расширение теории Р, в котором каждая формула вида

4 [0] f V* (4 -> Ах [Sk]) — А

является теоремой. Пусть Т ——некоторая P-теория; определим рекурсивные расширения так же, как и для Р, тогда мы можем доказать все результаты из § 8.1.

Показать, что всякое расширение P-теории с помощью определений является Р-теорией.

Унарный функциональный символ / доминирует над п-арным функциональным символом g в Р~теории Т, если

HrXi<X->...^Xn<X^ gXx.^Xn <fx.

Показать, что если Т —Р-теорня, то существует расширение Т‘ теории Т с помощью определений, содержащее функциональный символ /, доминирующий над каждым функциональным символом теории Т. [Пусть g ——n-арный функциональный символ теории Г, определить Лъ ..., йл в рекурсивном расширении теории Т так, что

1 kIV % f…V出-* 纟打…必V hy^…"修+1…弘J

Пусть Т—P-теория. Показать, что в подходящем расширении Т‘ теории Т с помощью определений существует бинарный [функциональный символ g такой, что если а ——терм теории 71, содержащий самое большее 加 функциональных символов, a xt> ... , хп —все переменные из а, то

НГлХх<x^...->xn<x^a<g(xt 也热), и такой, что

f У VZf g(x, У) Vg(x, z)・

[Используя / из (б), индукцией по у определить ?(*, ?)•]

Пусть ^у4—теорема некоторой P-теории Т, и пусть %1，…，хп — все переменные, свободные в ЗуА. Показать, что существует функциональный символ / из расширения Т‘ теории Т с помощью определений такой, что \~TfAy \fxr ...尤％]・[Использовать принцип наименьшего числа.]

Показать, что если существует конечно аксиоматизируемая непротиворечивая Р-теория, то существует конечно аксиоматизируемая непротиворечивая открытая P-теория. [Доказывать аналогично доказательству теоремы Скулема, используя (г).]

Пусть q^ — модель некоторой P-теории; элемент х из такой, что (Агл) #= х для всех п, называется бесконечным элементом. Показать, что если х~ бесконечный элемент, то с^ (也汽)V历* ; для всех л. [Подобно 6 (а),] Показать, что если Т — непротиворечивая P-теория, то Т имеет модель, содержащую бесконечный элемент. [Использовать теорему о мощности.]

Показать, что не существует конечно аксиоматизируемой непротиворечивой P-теории. [Предположим, что Г ——такая теория.； Вследствие (д) мы можем предполагать, что теория Т открытая.； Согласно (е) существует модель 丛 теории Т, имеющая бесконечный : элемент г. По теореме Лося ——Тарского мы можем предполагать, что каждый элемент из | ^^ | есть ^ (а), где а — свободный от переменных терм языка £(©7^), не содержащий имени, отличного от имени г. Выберем g н Г так же, как и в (в), и обогатим(^ до : модели теории Т'・ Показать, что У V成g必(С庚(％), г) для каждого ; индивида у из ^т^.]

(а) Пользуясь теоремой из § 8.3, показать, что не существует 飞 замкнутой теоремы ~| VwA теории Р такой» что н pAw [麻]для ' всех л. [Предположим противное, и пусть Л* есть ^^ЗуAf [х, у, г]. Тогда существуют такие функции ftg^hw рекурсивного типа, что

14‘[/У)，旷(/仗)，0(У))，纟(У)】 и

4’ [М 九(*)，w]

истинны при всех у’，х и w. Получить противоречие при помощи подходящего выбора у* х и w.]

б) Показать, что существует такая замкнутая теорема 3wA теории Р, что Aw [йл] не является теоремой теории 尸 для каждого п. [Пусть В является такой R-формулой, что Vw6 истинна, но не доказуема в Р, и пусть А есть B\/\/wB.]

(а) Показать, что существует такая бинарная рекурсивная функция F, что каждая унарная функция рекурсивного типа есть /(е) для некоторого е. [Использовать (8) из § 8.4.] Затем показать, что существует унарная рекурсивная функция, не являющаяся функцией рекурсивного типа.[百35nb G (尤)=尸(％/) +L]

Показать, что существует предикатный символ R из некоторого рекурсивного расширения Р‘ теории Р такой, что ^x^yR (х, у) истинно, но такой, что для каждой унарной функции рекурсивного типа 尸 существует такое х, что К (х,尸(х)) ложно. [Положить R (х， Р)—71(% 改，乡)，「Де е —индекс рекурсивной функции, не являющейся функцией рекурсивного типа,] Затем показать, что \fx3yR (х, у) неразрешима в Р、

Показать, что существует предикатный символ R из рекурсивного расширения Р‘ теории Р такой, что Нp^VxSyVzR (х,弘 z), но такой, что не существует такой рекурсивной функции 尸，что & (尤，尸(x)f г) истинно для всех х и г. [Пусть R (х,弘 z) — 7\ (%, х, у) V

V~]Ti(%, %， z). Если существует такая рекурсивная функция F, что VxVz R (储尸(х), z), то ЗуТх (х, х, у) является рекурсивным предикатом от х, а это противоречит диагональной лемме.]

(а) Показать, что если Т имеет точную интерпретацию в некоторой рекурсивно аксиоматизированной теории» то Т рекурсивно аксиоматизируема. [Использовать задачу 5 (а) из главы 6.]

Показать, что если полная теория Т имеет интерпретацию в непротиворечивой рекурсивно аксиоматизированной теории Т\ то Т разрешима. [Показать, что интерпретация должна быть точной, и воспользоваться (а) и леммой из § 6.8.] Затем показать, что Th (@^) не может иметь интерпретации в непротиворечивой рекурсивно аксиоматизированной теории.

Показать, что существует такая истинная формула А теории Р, что 貝")не является теоремой теории S. [Использовать (б).]

(а) Показать» что если Q есть (1, п)-арное арифметическое отношение, то существует такое предложение А теории S, что для каждой со-модели имеем “ (А 口, kav ...» ka^\ = И тогда и только тогда, когда /—-имя такого множества 4, что Q(K^, аг ... # а九). [Свести к случаю, когда Q рекурсивно перечислимо. Затем заметить, что

Q (а, а) — 2x7? (а (х), а)

—ЗхЗу (у = а (%) & R 仇 а)),

где R рекурсивно. Воспользоваться тем, что 7? представим в теории S.J

Показать, что каждый предикат рода П} слабо представим в S” [Использовать (а), задачу 17 (а) из главы 7 и теорему Ген- кйна—Оре.]

Показать, что множество номеров теорем системы Sw имеет род П}. Вывести, что каждый слабо представимый в У® предикат имеет род П}.

Множество натуральных чисел Я находится в со-модели ©^ (где q^j = ®^*), если А принадлежит С^.

Показать, что если Л представимо в S^, то А находится в каждой ш-модели. [Использовать аксиому выделения и теорему Генкина —Оре.]

Показать, что каждое гиперарифметическое множество представимо в Sg. [Использовать 11 (а), задачу 27 (б) из главы 7 и теорему Генкина —Оре.] -

Пусть Г — счетная непротиворечивая теория, и пусть Г и А — подмножества множества St (T)t ни одно из которых не является главным. Показать, что существует счетная модель qt^ теории Г такая, что никакой 1-тип из 或 не включает либо Г, либо А. [Подобно теореме Эренфойхта.]

Показать, что множество Л, находящееся в каждой со-модели, является гиперарифметическим. [Пусть Sr и F такие же, как и в доказательстве теоремы Генкина —Оре, и пусть Д состоит из С® 唠 w%i，где п^ А, и 殳乐 2工，где л ^ А. Используя (в), показать, что Д имеет образующую. Используя это и 11 (в), показать, что 4 н ~| А имеют род 爲 J

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Аксиомы для множеств

Обратимся теперь к исследованию теории множеств. Большой интерес к множествам отчасти вызван той важной ролью, которую они сыграли в современной математике. Но даже без этого понятие множества так естественно, что оно само привлекает внимание исследователя.

Множество (или класс) есть некоторое семейство объектов. Этими объектами могут быть числа, функции, физические объекты или даже множества. Так как нет никаких ограничений на объекты, которые могут быть элементами множеств, то могло бы показаться, что мы можем задать множество, если укажем для каждого объекта из универсума, будет данный объект элементом множества или нет. Однако это сразу приводит нас к парадоксу Рассела. Зададим множество А следующим образом: объект х является элементом Л тогда и только тогда, когда 才 есть множество и X не является элементом множества х. Итак, Л является элементом Л тогда и только тогда, когда Л не является элементом Л; приходим к противоречию.

Внимательный анализ этого парадокса показывает, что здесь в действительности нет противоречия с интуитивным понятием множества. Согласно этому понятию для образования множества Л мы собираем вместе некоторые объекты, которые в своей совокупности и составляют единственный объект, являющийся множеством Д. Следовательно, перед тем, как множество Л образовано, мы должны иметь в распоряжении все объекты, которые являются элементами А. Отсюда следует, что множество Л не является одним из возможных элементов 4; следовательно, парадокс Рассела исчезает.

Поэтому мы приходим к следующему описанию построения множеств. Мы начинаем с некоторых объектов, не являющихся множествами и не использующих множеств в своем построении. Назовем эти объекты праэлементами,

Затем мы образуем множества последовательно по шагам. На каждом шаге мы имеем в распоряжении праэлементы и множества, образованные на более ранних шагах, тогда мы образуем новые множества как всевозможные семейства этих объектов. Семейство считается множеством, если оно образовано на каком-то шаге этой конструкции.

Мы можем провести эту конструкцию с любым семейством праэлементов. Если мы проводим эту конструкцию без праэлементов, то получающиеся множества называются чистыми множествами. Оказывается, для математических целей этого достаточно; этого также достаточно для формулировки всех проблем, которые возникают в общем случае. Поэтому мы ограничиваемся лишь этим случаем и впредь под множеством или классом понимаем чистое множество,

В каких случаях некоторое семейство множеств образует множество? Для каждого множества х из этого семейства обозначим через Sx шаг, на котором х было образовано. Мы можем образовать множество из этого семейства тогда и только тогда» когда существует шаг S, следующий за всеми S#. Однако такого шага может и не быть, например, тогда, когда среди шагов S# содержатся все шаги. Поэтому нам нужен ответ на следующий вопрос: при каких условиях для данного семейства шагов существует шаг, следующий за каждым шагом из этого семейства?

Так как мы хотим допустить в качестве множеств по возможности произвольные семейства, то условимся, что такой шаг должен существовать всякий раз, когда это будет возможно, т. е. когда мы можем представить себе ситуацию, в которой все шаги этого семейства проделаны. Это несколько неясный принцип, но мы можем вывести из него некоторые точные результаты. Например, для данного шага S должен существовать шаг, следующий за S. Если семейство состоит из бесконечной последовательности шагов Si, S2, •・・, то мы можем представить себе ситуацию, когда все эти шаги проделаны; таким образом, должен существовать шаг после всех Зл.

Другой важный пример состоит в следующем. Предположим, что мы имеем множество Л и мы указали шаг Sa Для каждого элемента а из А. Поскольку мы можем представить семейство Л как единый объект (а именно,

множество А), мы можем также представить это семейство шагов как единый объект, поэтому мы можем представить себе ситуацию, когда все эти шаги проделаны. Тогда должен существовать шаг, который следует за всеми шагами Sq. Это соглашение носит название принципа конфиналь-. ности.

Применим теперь эти принципы к построению теории. Эта теория называется теорией множеств Цермело — Френ-； келя и обозначается через ZF.

Единственным нелогическим символом теории ZF является бинарный предикатный символ 三.Подразумеваем, что индивидами теории ZF будут (чистые) множества и ； хеу будет означать, что х есть элемент у.

Первая нелогическая аксиома ZF утверждает, что если ： два множества имеют одни и те же элементы, то эти множества равны. Этой аксиомой, называемой аксиомой объ- * емности9 является

Vz (z 已 х с z 已 у)%=у.

Следующая нелогическая аксиома — аксиома регулярности:

3y(y^x)-^3y(y^x&~\Bz(zGx&zGy)).

Она утверждает, что если % имеет какой-то элемент, то х имеет некоторый элемент у9 который не пересекается с х (т. е. х и ^ не имеют общих элементов). Такой элемент множества х будем называть минимальным элементом множества 尤 Чтобы увидеть, что аксиома регулярности справедлива, предположим, что х — непустое множество, и пусть у — элемент множества х, образованный на самом раннем из возможных шагов. Так как элементы множества у должны быть образованы на ещё более ранних шагах, то они не являются элементами множества х. Следовательно, у есть минимальный элемент множества х.

Оставшиеся аксиомы относятся к существованию множеств. Прежде всего, имеем аксиомы подмножеств. Это все формулы вида

где %, у н Z различны, а у н z не входят в А- Чтобы понять, что это означает, положим %, у н N равными х9 у и zt и пусть 4 есть .・・ х ... Тогда аксиома утверж-

дает, что существует множество, элементами которого являются в точности все элементы х из у такие, что ... х... Чтобы проверить, что это справедливо, предположим, что S есть шаг, на котором у построено. Тогда каждый элемент х из у такой, что ... х..., должен быть построен до шага S; значит, N может быть построено на шаге S.

Мы используем Set* А как сокращение для

(Переменная у должна быть отличной от х и не входить в Д. В остальном выбор у произвольный ввиду теоремы о варианте.) Ясно, Setx.. .х... означает, что существует множество “, содержащее каждое * такое, что •・・%.・・ Аксиомами замены являются все формулы вида:

VaSzV,(4 —у 三 n)Se%3x(xecei&4),

где xf у, и w различны, z н 询 не входят в А. Чтобы понять, что это означает, предположим, что xt у9 2! и w представляют собой х, у, z н 叫 н пусть 4 будет …犬… …у … Посылка утверждает, что для каждого х существует множество г^ состоящее из всех таких у, что ... %... …у …Заключение утверждает, что существует множество z (зависящее от ш), содержащее каждое у такое, что ...х... …у … для подходящего х из ⑺.

Для того чтобы проверить это, предположим, что Sx есть шаг, на котором построено zx. По принципу конфинальности существует шаг S после всех шагов Sx для х w 侬.Если * 三 5 и ・ 一 ％.…у...., то у 已 n*; следовательно, у построено до шага S% и поэтому до шага 3. Тогда на шаге S мы можем построить множество всех у таких, что …х …у … для некоторого % w 侬.

Аксиомой степени является

Set# Vz(2 三 у — n w %).

Она утверждает, что для данного множества х существует множество, которое содержит каждое подмножество множества х. Предположим, что х построено на шаге S. Тогда каждый элемент из х построен до шага S; значит, каждое подмножество множества % может быть построено на шаге S. Поэтому на любом шаге, следующем за S, мы можем построить множество, содержащее все подмножества множества х.

Нам нужна еще одна аксиома, гарантирующая существование бесконечного множества. Это будет аксиома бесконечности:

Hr (By ® м х & V? (2 % у)) &

& Vy(y Rx->m?(z s x&^fw (w ^ z —⑪ wy V &y = y)))). Она утверждает, что существует множество х такое, что пустое множество 0 есть элемент х, и такое, что если у 三 х, то множество S(y), элементами которого являются само у и все элементы из у, также будет элементом х. Ясно, что если у построено на некотором шаге, то S (у) может быть построено на следующем шаге. Поэтому существуют шаги So, Si, S2, ..., на которых мы можем построить О, S (0), S (S (0)), ... На шаге S, следующем за всеми шагами У。, Si, S2, •••, мы можем построить множество х, элементами которого являются 0, 5 (0), S (S (0)), … Ясно, что это множество обладает требуемыми в аксиоме бесконечности свойствами.

Этим завершается описание теории ZF. Позднее будут рассмотрены некоторые другие аксиомы, которые могут быть добавлены к ZF.

Систематическое построение теории множеств

Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами элементарной теории множеств. Мы будем развивать теорию, в основном исходя из следующих двух соображений:

чтобы такие основные понятия, как упорядоченная пара, функция и натуральное число, могли быть определены в ZF;

чтобы в ZF можно было доказать существование всех множеств, использующихся в элементарной теории множеств.

Мы часто будем прибегать к расширению ZF с помощью определений. Для того чтобы не рассматривать их как расширения нашей теории, мы считаем новые нелогические символы определимыми символами. Тогда каждая формула такого расширения будет некоторой определимой формулой теории ZF, сокращением ее перевода в ZF. Далее, мы можем рассматривать определяющую аксиому для нового функционального или предикатного символа как определение этого символа. Конечно, в доказательствах мы рассматриваем эти определимые функциональные или преди-

катные символы так же, как мы рассматривали бы обычные функциональные и предикатные символы; мы будем относиться к ним, как к функциональным и предикатным символам теории ZF.

Определения и доказательства будут даваться на русском языке; мы предполагаем, что читатель знает, как перевести их на язык теории ZF. Для большего удобства чтения мы используем все строчные латинские буквы (иногда со штрихами или индексами) в качестве переменных теории ZF. При неформальном изложении мы ограничиваем области изменения некоторых из этих переменных специальными семействами множеств.

*Мы хотим избежать использования синтаксических переменных, так как их применение в русском контексте предполагало бы, что мы говорим про ZF> а не о переводе языка L(ZF) на русский язык. Поэтому мы будем допускать такие утверждения, как: если Q — предикатный символ, то ，… Это будет означать> что все, что доказано про Q, выполняется для всех предикатных символов. Иногда мы будем использовать Q для специального предикатного символа, который не настолько важен, чтобы ему давать постоянное имя. В некоторых контекстах мы используем R, U н М таким же образом, как и Q. Мы используем F, Си// аналогично, за исключением того, что они должны быть функциональными символами.

Подходящее использование этих букв позволяет нам обходится без синтаксических переменных для формул. Например, рассмотрим какую-то аксиому подмножества

В^х (x^z^x ^у & 4).

Предположим, что х, у и г представляют собой х, у к z. Определим Q следующим образом:

Q(x,比

где 〃i, 。九— все другие переменные, свободные в Л. Тогда аксиома примет вид

三？\/才(х 巨 zcx 三y&Q(x, Vi,...,办))•

Обратно, каждая формула такого вида есть некоторая аксиома подмножества. Соответствующий вид для аксиом

12 Дж. Шенфилд-

замены таков:

V启zVy (Q (х, у, fi, ..., % с у w z) f

+ Set^x (x ^ w & Q (x, y, Vi,...,勿))・

В обоих случаях переменные 〃l,, и^ называются пара

метрами. Так как они обычно остаются неизменными во всем доказательстве, мы часто не будем их писать.

Предположим, что Q определен, и мы хотим определить F так, чтобы 尸® 1,.…，Vn) было множеством всех таких 爲 что Q(x, ^, ...» vrt). Для этого нам нужна определяющая аксиома

Vx(x 三尸(％ …，u“)一Q(x, Ui,…，％)).(1)

Условие единственности для этой аксиомы легко следует из аксиомы объемности. Условием существования является

ВгУх(хе2Q(х, их, %)).(2)

Покажем, что (2) может быть доказано из

SetxQ (х, uj(3)

Мы опускаем параметры vi9 ..., %. Предположим (3) и выберем множество w такое, что @ (х)->х 三 酬 для всех х. В силу аксиомы подмножества существует множество n такое, что для всех х

х 三 z С х w и> & Q (х).

Так как Q(x)->x 三叫 то это эквивалентно следующему: % 曰 z — Q (灯.Это доказывает (2).

Будем называть (3) условием существования для (1). Когда (3) доказано, мы будем записывать определение (1) в виде

尸(s，…，%) = [x1Q(x,%…，%)].(4)

Мы можем также использовать [x|Q(x, 九 -• ■» %)] как терм в определении или доказательстве. Это будет пониматься как сокращение для F (ulf ...» %), где 戸 определено с помощью (4). Кроме того, мы можем использовать [*|—片—],где 一 х 一 есть формула, в качестве терма; это будет означать сокращение для [х | Q (尤 力,…•, ％)], где Q определено так:

Q (% 力,...,%)e — x —

Конечно, [х I — х —] может использоваться как сокращение только при условии, что условие существования для Set* 一 尤一доказано. Заметим, что это всегда имеет место, если — х — есть хе ... или 片三...&^,

где ... — некоторый терм, не содержащий х.

Определим

хиу7 V2(2 三 XfZRy).

Тогда х иу означает, что х есть подмножество множества у. Определим

Р(х) = ®|уи*]；

условие существования для этого определения есть в точности аксиома степени. Мы называем Р (а:) множеством степени множества %; это есть множество всех подмножеств множества х.

Мы используем [F (х, Vi,...,勿)|Q(*, 以,….,％)]* как сокращение для

[у I зx (Q (х,，%)&4=尸(修九…，%))]•

Так, например, опуская параметры, [F (х) | Q (х)]Л означает множество всех 尸(％) для х таких, что Q(%)・ Обычно мы будем опускать индекс х. Мы часто будем писать [...х ... I — х —]; это будет сокращением для [戸(х, 〃，• 一 •・・，％)IQ(&。1，…，％)]，где 尸 н Q определены следующим образом:

尸(修 Vi,%) = •・・X・・・,

Q (x，. ^1> * • • > ^n)

Покажем, что из Setx Q (х, vl9 ...,匕)следует условие существования для [F(х, 力，…•, vn) |Q(x, 0厶...,vn)]- Параметры опускаем. Имеем 尸(х)и 片(х); таким образом, F (х)三户(尸(х)); следовательно,

YУ 9 = F ⑺ f у 三 Р (F 6).

Из этого получаем. Vx Set^ {y = F (х)), что, как было показано выше, влечет

Vxl^Vy 匂三 z с g = F(x))・

Из этого по аксиомам замены следует

SetvB^ (х 三[^ IQ WI&P = F(x)),

которое эквивалентно

S% Зх (Q (х) & у =尸(х)).

А это и есть требуемое условие существования.

Пустое множество 0 определяется следующим образом:

Условие существования mpVx(x=7^Xf 尤三 у) следует из аксиом тождества.

Определим неупорядоченную пару {х, у}, состоящую из множеств х и у, следующим образом:

{修 //} = [z [ Z =尤 V 2 = У]・

Чтобы доказать условие существования, определим 尸 так, чтобы F (Q) = x и F (г)=у для 之干 0. (Мы опускаем параметры хну как аргументы 尸・)Пусть

•5 =[尸⑵ |n 三Р(Р(0))]・

Достаточно будет показать, что Уг (г = хV ^={/ ~> 2 е w) или, что эквивалентно, x^w&yew. Далее 0иР(0), поэтому 0 三 Р (Р (0)) и, значит,尤=尸(0) м w. Кроме того, Р(0)иР(0), поэтому Р(0)еР(Р (0)). Далее, 0 е Р (0) и 0 ^ 0, поэтому Р(0)犬 0. Отсюда 〃=尸(尸(0))三吼

Определим одноэлементное множество {x}f состоящее из множества х, следующим образом:

{%} = {%, %}* Определим

Un (х) = [у \ 3z (z х & у г)].

Чтобы доказать условие существования, отметим, что VWuVy(y^v^yez), поэтому по аксиомам замены Set^Bz(2 三尤 & у 三 z). Мы называем Un (х) объединением х; это есть объединение (в обычном смысле) всех элементов множества х.

Определим теперь операции объединения, пересечения и разности множеств следующим образом:

x(JZ/=Un ({爲 у}),

X[\y = \z\z^x^z^y\,x — y = [z\z^x&z^y].

Условия существования для двух последних операций доказаны, потому что они имеют вид [г | г х & ,..].

Определим теперь упорядоченную пару〈％, у), состоящую из множеств х н 协 следующим образом:

〈X, У〉= {{х}，{%，у}}-

Докажем основное свойство упорядоченных пар:

〈乂 У〉=〈х, У / Х—Х & у ~у «(5)

Импликация справа налево тривиальна. Предположим, что (х, 4〉=〈尤\ “〉. Тогда {*} лежит в 〈х, р〉 и, следовательно, в 〈％】 у'〉, поэтому {%} = {/} или {х} = {х\ ^'}・ В любом случае /三{%}, поэтому x=f・ Далее, {%, у} лежит в (х, у〉=〈х[ у'〉, поэтому {х, //} = {%'} или {х, у}= —{/, у'}. Таким образом, у лежит в {/} или в {х\ у\ поэтому у = £ или у=у： В силу симметрии у' = х или у' = у. Если мы предположим» что у Ф у\ то получим y = xf = х~у', поэтому мы должны иметь 4 = у〔

Если Х = {у9 2〉, ТО ПОЛОЖИМ Л；1(х)=у и 九2(工)=?； ЭТИ операции корректно определены в силу (5), Так как функциональные символы должны быть определены для всех аргументов, то мы должны определить значения лх (х) и л：2 (х), когда х не является упорядоченной парой. Положим это значение равным 0. И вообще, если мы не определяем значение некоторого функционального символа для некоторых аргументов, то будем считать, что это значение есть 0.

Определим декартово произведение хху множеств х и у следующим образом:

xxy = [z\ ЗлЭб (а ^ х & b е у & z = {а, &))].

Чтобы доказать условие существования, заметим, что

а ^ х& bу {а} Р (х \Jу) & {af b} Р [х\]у)

т〈％ 6) wP(P"U 力"

Следовательно,

三石匕{a^x&b ^у &.z = (at b〉)f z 三 P (P (xU"))・

Определим теперь〈打,...,&〉для каждого 乙 Проводя индукцию по п, полагаем для п^З

〈%1, . . . , Хл) = (%1，〈Ха,

Чтобы включить и случай п— 1, полагаем

Тогда мы имеем

〈打,• • •,汇",〈九，・••，以〉〉=〈*1, ♦…?X/2, уъ • • " » Уk) >(6)

что легко доказать индукцией по п. Применяя (5) и индукцию по п, получаем

〈尤 1, •.хЛ)=〈为,Уп) ^~* *i = у* & * …& Хп п* (7) Мы можем поэтому определить функциональные символы л? (1 V £ V 孔)так, чтобы

нf (〈尤1,，…，"/1〉)=看.

Мы также обобщаем понятие декартова произведения на случай более чем двух сомножителей, полагая

Х1Х. . .Ххп = х1х(х2х.. .ХХп).

Тогда ххх...XхЛ есть множество всех таких 〈@工，・.・, %〉, что йх ем хп.

Пусть

[尸(а：и紋%…，%) [ Q (%1,…，十以，%,…，%)]xn

(8) является сокращением для

\у I 三%1 ・‘・ Эхл (Q (*i, • • •, хЛ> &].,♦♦•, U/n) & У

==尸(％1, •・•，Х/и ”，*•・，^^))1* Индексы обычно будут опускаться. Опустив параметры, имеем, что

[尸(-^1» • * • > 工/t) IQ (-^i» • • • > A)]

есть множество 尸(打,・一,左)для xlf •一，办 таких, что Q (^i> • • ■ 1 尤冷)‘

.Используем обозначение

"%，…,％Q(4 …%%)(9)

в качестве сокращения для

三侬 1 ...三8；1VxiVX/t (Q (-^1» • ■ • » Xg ^1> • • • » ^m) -^

->Xi巨侬1 & .・.& XK三侬j.

Покажем, что из (9) следует условие существования для

. Определим функциональный символ 〈尸〉следующим образом:

〈尸〉(2)=尸(呼(2),…，吋(z)).

Тогда

F (хь ..., x„)=〈尸〉(&, ..., %”〉).

Предполагая (9), получаем, что для подходящих 侬】,...

三％1 …3v” (Q (хь .... %”)& у =尸(Xi, ..., x„)) f

-> у三К尸〉⑵|z三SiX…X©j.

Это дает нам требуемое условие существования. Поэтому мы*называем (9) условием существования для (8).

Будем отождествлять функцию с множеством упорядоченных пар 〈“，力〉，где а есть значение функции для аргумента Ь. Определим область определения Do (х) и область значений Ra (%) для х следующим образом:

Do(x) = [n2(i/)|z/ex].Ra(x) = [jTi(£/)|r/ex].

Мы будем говорить, что х есть функция, и записывать это Func (а:), если х с Ra(x)xDo(x) и если из (а,匕〉， 〈а', Ь) ^ х следует а=а\ Ясно, как определить инъективную функцию; мы пишем IFimc(x), если х есть инъективная функция. Используем обозначение %'〃 для значения функции х для аргумента а. Мы рассматриваем 4 как бинарный функциональный символ: в соответствии с нашим соглашением х'〃 = 0, если х не является функцией или если а не находится в области определения для х. Различные понятия, связанные с отображениями, могут быть теперь определены о&щным образом.

В следующем параграфе мы получим определение натурального числа в теории ZF. Затем мы получим все необходимое, чтобы приступить к любой из обычных конструкций действительных и комплексных чисел.

・ Ординалы

Для каждого шага S конструкции из § 9.1 мы выбираем некоторое множество 格，которое впервые строится на шаге S. Можно предполагать, что хт У^е выбрано для каждого шага Т, п редшеств уюте го S・ Пусть %$ означает

множество всех хт для шагов Т, предшествующих шагу S. Это множество может быть впервые построено лишь на шаге S, так как S — первый шаг, на котором имеются все его элементы.

Определим в теории ZF свойство быть одним из множеств 尤§. Скажем, что множество транзитивно, и пишем Trans (х), если каждый элемент множества х есть некоторое подмножество множества х, или что эквивалентно, если Y.yY z(y 巨 x&z 巨 yfZRx). Скажем, что х есть ординал, и пишем Ordx, если множество х транзитивно и каждый элемент множества х также транзитивен. Пусть областью изменения а, т и р будут ординалы. (Эти символы будут считаться дополнительными переменными теории ZF.)

Легко видеть, что каждое множество 尤s транзитивно, а из этого следует, что каждое множество xs есть ординал. Обратное будет доказано после того, как будут получены некоторые свойства ординалов.

Имеем

xea->Ord(x).(1)

Действительно, пусть 尤三 о. Тогда множество х транзитивно. В силу транзитивности и имеем х с: а, поэтому каждый элемент множества х есть элемент множества о и, следовательно, транзитивен. Поэтому множество х есть ординал.

Определим

а<т a s т.

(Заметим, что Xs<^r тогда и только тогда, когда шаг S предшествует шагу Т.) Имеем

а<т&т<р->а<р(2)

в силу транзитивности р. Далее

-|(ст<а).(3)

Это есть частный случай такого результата:

х 学 х.(4)

Чтобы доказать его, заметим, что {х} имеет минимальный элемент, которым должен быть х. Тем самым 犬八{*} = 0, поэтому х ^ х. Из (2) и (3) получаем

~|(о<т&т<а).(5)

Имеем

3oQ (о-, % ...,勿)+

->3q(Q(o, yx, .... y„)&Vr(T<(r-^nQ(T, “，...，％))).

Параметры в доказательстве опускаем. Предположим, что 3oQ (сг), и выберем сг так, чтобы Q(cr). Если Vr (т< ст -> f lQ(T)), то ст — требуемый ординал. В противном случае [х I хС сг & Q (х)] непусто и, следовательно, имеет минимальный элемент р. Так как р 三 о, то р — ординал в силу (1). Ясно, что Q (р); покажем, что T<p^~]Q(r). Предположим, что т<р. По (2) имеем т<а. По выбору р имеем %争[х|хvu&Q")]; таким образом, "]Q(т).

Ординал о такой, что Q (о,力，…，％) н "j Q (% 力у„) для всех tVo, называется минимальным ординалом о таким, что Q (а,力,...,勿).Мы можем также говорить о минимальном ординале а таком, что … о …；это есть минимальный ординал ст такой, что Q(u,力，…，^л), где Q определяется следующим образом;

Q9,%) —…0…

Перед тем как предположить, что минимальный ординал и такой, что ... а ..,, существует, мы должны доказать, что З0 (…0…).

Теперь докажем, что

о<т\/о = т\/т<(т.(6)

Сократим эту формулу до С (о, т). Предположим, что ЗстЭт "I С (сг, т), и придем к противоречию. Пусть о — минимальный ординал такой, что Зт~|С(сг, т), и пусть т — минимальный ординал такой, что П С (а, ". Сперва докажем, что тио, Пусть р 三叫 тогда р — ординал в силу (1). По выбору тг имеем С (а, р), поэтому, чтобы доказать, что р 三 и, достаточно показать, что а = ру(т <р приводит к противоречию. Так как из pVthu = p\/oV <Р по (2) следует, что а<т, то мы имеем противоречие С1е(5 七).

Так как тгио и ~| С (а, т), то существует р в а —т. По (1) р есть ординал. По выбору о имеем С (р, т). Так как р ^ т, то отсюда следует, что т< р\/т = р. Отсюда следует в силу (2), что tVu, а это противоречит тому, что [С(о, т)・

Теперь мы можем доказать, что каждый ординал есть некоторое множество 心、Предположим, что а — множество, впервые построенное на шаге S, Так как xs также впервые строится на этом шаге, то о 侬尤§ и х5 ^ а. Так как оба множества а и %s являются ординалами, то по (6) отсюда следует, что 0 = xs^

Другим следствием формулы (6) является то, что если 3aQ(a,力，...,力)，то минимальный ординал о такой, что Q (а,也 …，ул), единствен. Мы называем его первым ординалом а таким, что Q(а, у1( ..., %), и обозначаем его через 卩oQ(。，％, 哨.

Определим-

о V !г о о V T V 0 =工.

Обычные порядковые свойства V могут быть выведены из свойств V* доказанных выше. Сверх этого имеем

oVtcGut;.(7)

Действительно, если 01V G то оитв силу транзитивности т, поэтому оМт->оит/. Теперь предположим, что 1 9 Vт)・ По (6) имеем т<а, но в силу (3) имеем ~| (т<т). Поэтому т е а —т; следовательно, ] (о и т).

Принцип тр ансфин итной индукции. Если

Va(Vr(t<q^Q(t,厶勿))f Q(6 力，％)), mo VaQ (a, vn ..., “).

Доказательство. Если заключение ложно, то существует первый ординал а такой, что 1Q (a, vx,..., 〃)・ Но это противоречит посылке.

Принцип трансфинитной индукции утверждает, что если мы хотим доказать Q(а, с^,◎也),то достаточно

доказать

Va(Vr(T<a->Q(r,力，…，％))f Q(o, s,.…，％))・

Другими словами, при доказательстве Q(o, vu ..., vn) мы можем предположить, что Q(t, Ui^л) для всех т< а. Доказательство с помощью этого метода называется доказательством трансфинитной индукцией по а； предположение, что Q(g Vi, .,., %) для всех 17 Vs называется индуктивным предположением.

Можно также доказывать формулу ... a ... трансфинитной индукцией, определяя Q следующим образом:

Q 9’ °i,…,勿)с •・• ° .…；индуктивное предположение тог嚕 состоит в том, что …1；…для всех т < а. _

Имеется также некоторый способ индуктивного подхода к доказательствам фактов про множества (вместо рассмот- ренн噜 доказательств только про ординалы). Будем назы- u п ^. ^Рдинальньм функциональным символом, если *) 口 га (л (xj, ..., хл)). Предположим, что это имеет место 1огда, чтобы доказать*

Q (-^i> ' • • >

достаточно доказать это при предположении, что

V%：.. V%(H®1,…，"”)VH(X1,…，x“)f

f Q®i,…，Уп, s,…，vm)). Если мы доказали это при таком предположении, то мы можем доказать

V/ …Vxn (Я "1，…，хп)=а^Q (Xi,..., хл, s,…，％)) трансфинитной индукцией по о, а из этого мы сможем доказать

Q(Х1, ..., xni i^i,...,勿).

Если п-натуральное число и S-(n+ 1)-й шаг кон- струкции, то множество xs имеет в точности /г элементов. Мы намерены отождествить п с этим множеством х5. Так； например, 0 отождествляется с пустым множеством. Затем мм должны определить операцию следования и свойство быть натуральным числом.

Определим

S 9)=行U付}

и назовем S (о) последователем ординала а. Имеем

S (o) = S (兀)f о = т.

Действительно, предположим, что S (а) = S (т) и а^т. ToF^a ?三 и U {а} —т U {т}, поэтому о ^ т. Аналогично two. Это невозможно по (5).

*) Замети叱 что утверждение о том, что Н есть ординальный Функциональный символ, является утверждением о доказуемости в теории ZF, а не, является утверждением теории ZF. И вообще, е^ли мы приписываем какое-то свойство функциональному или предикатному символу, мы делаем некоторое утверждение о доказуемости в теории ZF,丁

Теперь покажем, что S (и) является некоторым ординалом. Если у е S (а), то “мо или у = о, поэтому у транзитивно и yuouSQ). Ясно, что oVS(u). Кроме того, S (и) есть первый ординал т такой, что а<т. Действительно, если т< S (о), то tVo\/t = o и, значит, 1 (д<т)..

Пусть х — некоторое множество ординалов. Тогда Un (х) — некоторый ординал. Действительно, если у 三 е Un (%), то у 三 и для некоторого о 曰 х. Следовательно, у транзитивно и yuuuUn(x). Используя (7), видим, что Un(x) есть первый ординал т такой, что uvt для каждого о三х.

Если х — множество, то существует ординал, больший каждого ординала из х. Действительно, если у — множество ординалов из х, то S (Un (у)) — такой ординал. Из этого мы можем доказать

Set#mu (x = F (о)) -> ЗаЗт (т V о & F (t)=尸(а)). (8)

Действительно, пусть G (х)=^а (尸(а) =х), если За (尸(а)= =х), и G (х) == 0 в противном случае. Предположим, что Set*no(¥ =户(<т)), и выберем w так, чтобы F (о)三 д для всех о. Выберем и не пр инадлежащим множеству [G (х) I х 巨 ⑪].Тогда G (F (о))先 о, поэтому существует т такое, что tVo и 尸(工)=户(о).

Ординал называется предельным ординалом, если он не 0 и не является последователем ни для какого ординала .^Докажем, что предельный ординал существует. По аксиоме бесконечности существует множество х такое, что О G х и У у 也三 х f S (у)三 х) * Пусть г — множество ординалов из х, и пусть u = Un(z)・ Имеем S(0)三尤 и, следовательно, О V V (0) V о1； таким образом, и 纟 0. Предположим, что о = 5(т). Тогда T<a = Un(г), следовательно, т<р для некоторого р 三 z. Отсюда следует, что а = S (т)^ VpVS(p). Но S(p)wz, поэтому 5{р)^а. Это противоречие показывает, что а — предельный ординал.

Первый предельный ординал обозначим через (о. Элементы множества о) (т. е. ординалы, меньшие(о) называются натуральными числами. Ординал называется конечным или бесконечным в зависимости от того, является этот ординал натуральным числом или нет. Так, например, со — первый бесконечный ординал.

Теперь легко доказать аксиомы Пеано. Ясно, что 0 — первый ординал и, следовательно, натуральное число. Если а — натуральное число, то а<；со, поэтому S(o) V(o・ Так как со не является последов ател ем ^ то S (<т) < со； та： ким образом, S (а) — натуральное число. Ясно, Что S (о)#0, a S (o) = S (у)т 0=兀 уже было доказано. Пятая аксиома говорит, что если х — множество такое, что 0巨工 и Vo (а<со& а ^ x^S (о) е х), то % содержит каждое натуральное число. Докажем, что о V сот и 三 х, трансфинитной индукцией по о. Если и = 0, то ow%. В остальных случаях, так как о меньше, чем первый предельный ординал, мы должны иметь a = S (т). Так как tV% то 工之зит;巨％ по индуктивному предположению. Отсюда следует, что o = S (т) ^ х.*

Теперь мы можем определить 1,2,.,. следующим образом: 1 = S (0), 2 = S (1),...

Теперь обратимся к определениям по трансфинитной индукции. Идея состоит в том, что мы хотим определить 尸(о) в терминах и и значений F(t) для ординалов т<а. Добавляя параметры, мы приходим к следующей ситуации: имея определение G, мы хотим определить F так, чтобы

尸(о, “，•••，勿)=

-G(о, [<F(т,力，…，％，T〉|tV。],力，…，％)• (9) Покажем, как это может быть сделано.

Как обычно, опускаем параметры. Пусть %, а есть сокращение для

G(o, [g т〉]Уо])・

Пусть Q (力 о) означает, что f есть функция, область определения которой включает о, и для каждого tVo имеем 广t = G/,t. Ясно, что

Q& 6&弋 VGfQ* F(10)

Докажем, что

Q亿⑴&Q® o)f %,g = Gge(11)

трансфинитной индукцией по о. Для т<а имеем Q (Д т) & &Q(g, t) по (10), поэтому G/, p = Gg,工 по индуктивному предположению; следовательно, 广工= ^/, т = Gg, т = g-Ч. Отсюда следует, что GftO=GgtO.

Определим теперь F следующим образом. Если существует функция f такая, что Q(力 о), то 尸(⑴匸①，^ в противном случае F (а) = 0. Функция F корректно определена в силу (11). Кроме того,

三及伉 о)->尸(o) = G(s ［〈尸(矶 0|tVo］)・(12)：

Действительно, выберем f так, чтобы Q (/, а). Для каждого tVo имеем Q (厶 т) по (10), поэтому 尸(т)=/У. Отсюда

F(o) = Gw = G(g,［〈F(t), t〉|i；VoD・

В силу (12) осталось лишь доказать, что 3/Q (/, а). Докажем это трансфинитной индукцией по а. Пусть f = ? =［〈尸(工)，т〉|т之 и］； покажем, что Q (厶 а). Ясно, что /—胃 функция с областью определения и. Если tVo, то

尸⑴= G(t,［〈尸(р), р〉|р<т］):

в силу (12) и индуктивного предположения. Следовательно, ： 广兀=尸⑴= G(t,［〈尸(р), р>|р<т］) = СЛт.:

Мы называем (9) определением F с помощью трансфи- J нитной индукции по ст. На практике правая часть опре- ；р деления> возможно, не будет иметь точно такого вида* ко- торый имеет правая часть (9), нужно будет еще должным ； образом определить G, чтобы добиться этого. Так мы могли бы определить%

尸(0)=以(［戶⑼TV。］).

Это принимает должный вид, если мы определим G еле- ： дующим образом::

G(”i(Ra(f))・

Теперь предположим, что Я — ординальный функциональный символ такой, что

Se%，…，％(H(%i,…宀)wu)・

Мы можем тогда определить функциональный символ 尸 так, что

F (-^i, -Vn)=

=g (xj, )尤尼，［〈尸(协，…，g〃)，у it • • • > Уп) I "(%,…，Уп)<Н(х19心)］)・(13)

Чтобы получить такое 尸，определим

尸的元)=/ ("g …，хп)У(xъ 当〉(⑶ для подходящего /. Мы хотим, чтобы /(g) было функцией с областью определения

[〈x1, к41h (工1，хп) = 0], значением которой при 〈汇“ ...,хл) являлось бы 尸(工工,...,хл). Поэтому мы определим с помощью трансфинитной индукции

/(o) = [〈G(打，…，В, Un([/(叫tV引))，

*.…，义力IH (尤1,….，X")0].

Из этого определения и (14) мы можем тогда доказать (13). Определение вида (13) (или аналогичное определение с па- раметрами) будет называться определением с помощью индукции по Я (xlf …，打).

Мы можем также определять предикаты по индукции. Для простоты рассмотрим одноместный предикат. Пусть Н ——ординальный функциональный символ такой, что HSeU (77 (х)^а). Для данного Q мы хотим определить R так, чтобы

R(x)cQa, W®)V"(x)&R®)])・(15)

Сначала определим функцию Kq(x, г), равную 0, если Q (х, г), и 1 в противном случае. Используя индукцию по Я (х), определим

Kr(x) = Kq8 М"⑼VH(灯&Кк®) = 0])・

Затем определим

ROKr")"

Тогда легко вывести (15). Определение такого вида также может содержать параметры.

Теперь. установим соответствие между ординалами и у пор ядочен ными парами ординалов. Вначале определим Max ((a, r)) = aUT* Тогда по (7) Мах (〈и, т» = т, если owt, и Мах «а, т〉) = о, если т^а.

Определим теперь МР (х) следующим образом, Пусть о — первый ординал такой, что [(их стих). Такой ординал должен существовать, так как в противном случае Ra (%) содержало бы все ординалы. Пусть т — первый такой ординал, что (т, р〉争 х для некоторого р s а, и пусть

р — первый ординал такой, что (т, р〉咕 х. Положим МР(х) =〈т, р>.

Ясно, что МР (х) — упорядоченная пара ординалов, не находящихся в х. Если а такое, как раньше, то Мах (МР (х)) <о, поэтому по выбору о имеем

Мах (МР (х)) X Мах (МР (%)) с %.(16)

Если о и 工 такие же, как и выше, и £=#0, то (0, р) е х для всех р< а, поэтому и для р^Мах (МР (х)). Таким образом,

冗i(MP (尤))*0 +〈0, Мах (МР (%))〉м 尤 (17) Теперь определим К с помощью трансфинитной индукции следующим образом:

К(о) = МР (^(т)|т<а]).

Тогда К (а) — упорядоченная пара ординалов, не находящаяся в [К(т)|г<(т]; таким образом, К(6 方 К⑴ для tVu. Из этого получаем

и，ттК(6，К ⑺.(18)

В силу (16) имеем

Мах (К (и)) X Мах (К (о)) и [^ (т) [т<а].(19)

Используем это, чтобы показать, что каждая упорядоченная пара ординалов х есть К (о1) для некоторого о. По (18) и (8) имеем П Set^3o (г = К (ст)). Следовательно, существует а такое, что

К (6 争 S (Мах (х)) х S (Мах (х)).

Из этого легко следует, что

х w Мах (К (В) X Мах (К (о)),а тогда требуемый результат следует из (19).Имеем

Мах (К (т)) V Мах (К (и)) — т V о. (20)

Из левой части и (19) следует, что К (т)三[К (р) | р V п], а из этого и (18) следует, что т<а.

Далее мы докажем

Мах (К (6) V о(21)

трансфинитной индукцией по и. Предположим, что <7 <Мах (^ (а)). Выберем т так, чтобы К(т) =〈0, о〉・ Тогда

Мах (К (т)) — а СМах (К (о))； таким образом,工 V о по (20). Следовательно» по трансфинитной индукции Мах (К (т)) V т. Поэтому oWtVu； получили противоречие.

Наконец, докажем, что

冗 1 (К (и))，0 f Мах (К ")) V и(22)

Предположим, что лх (К(и))工 0. По (17) существует т< а такое, что

К ⑴=〈0, Мах (К (о))〉.

Тогда Мах (К (а)) = Мах (К (т)) ^ т < а по (21).

. Кардиналы

Мы говорим, что хну подобны, если существует биективное отображение из х на у; символически

Sm (芻 у) с 3/ (IFunc (/) & х = Do (/) & у = Rа (/)).

Легко проверить, что подобие является отношением эквивалентности, т* е.

d 2书d 2书Sm(x, х),

d 2书

d 2书

Sm(x, g)f Sm®, x),

Sm (x,乡)&Sm(y, г) ->Sm (x, г).

Мы намерены сделать так, чтобы кардинал множества служил какой-то мерой величины этого множества; поэтому мы хотим, чтобы два множества имели один и тот же кардинал тогда и только тогда, когда эти множества подобны. Это подсказывает, что кардиналом множества х должен быть класс эквивалентности множества х по отношению подобия. Однако этот класс эквивалентности не будет множеством. Поэтому мы выбираем в качестве кардинала множества х некоторый конкретный элемент этого класса эквивалентности, а именно, первый ординал в этом классе эквивалентности. Конечно, мы должны быть уверены, что каждый класс эквивалентности содержит некоторый ординал, а это требует новой аксиомы.

Мы говорим, что / есть функция выбора на множестве х, если f — функция с областью определения Р (х) — {0} и такая, что 尸у 三 у для каждого у в области определения

функции /. Символически,

CF (/, х) с Func (f) & Do (f)=

=p (%) - {。} & Vg 匂三 Do (/) f 广у w у).

Аксиомой выбора называется формула

Vx^fCF (厶 х);

она утверждает, что для каждого множества х существует функция выбора на 尤.

Аксиома выбора справедлива при нашем понимании множеств. Действительно, выберем для каждого непустого 『 подмножества у множества х элемент zy из 弘 и пусть / — семейство упорядоченных пар (г^, у〉. Так как каждая такая пара находится в х х Р (х), то f — множество; ясно, что f — некоторая функция выбора на х.

Теория, получающаяся из теории ZF добавлением аксиомы выбора, обозначается через ZFC. Все дальнейшие 中 результаты этого параграфа доказываются в теории ZFC. ；

Теорема о вполне упорядоченности (Цер- мело). Для каждого множества х существует биективное .； отображение из некоторого ординала на %.f

Доказательство. Пусть g — функциявыбора на х.:

Определимспомощью трансфинитной индукции；

尸(o)=g'(x-[尸(叫 ％v。])'

(здесь опущены параметры g и % как аргументы 尸)： Так ； как:

尸(。)三 Ra(g)U{°}, то мы имеем

Set2 Но (F(a)=z).а

Поэтому по (8) из §9.3 существуют ординалы а и т та- / кне, что т<а и F (т) = F (а). По определению 尸(о) и вы- : бору g отсюда следует, что х cz [F (т) [ т < а].

Пусть и — наименьший ординал такой, что х ,и : U [F(T)I т < а], и пусть-J

f = [〈尸(砧 T〉|TVO]・；

Тогда / — функция с областью определения о и 尤 и Ra (f). Если tV。，то отсюда следует по выбору о, что * — —[尸(p)|p<^t]#0； таким образом,

Г(т) ex-[F(p)|p<T].

Отсюда получаем, что Ra(f)u， поэтому Ra(f) = x. Отсюда также следует, что

'р V 兀 V о f F (р)，尸(т);

таким образом, f является инъективной функцией.

3 амеча ние. Мы также показали, что если g есть функция выбора на х, то существует биективное отображение f из некоторого ординала на х такое, что для каждого 0三Du (力

х — [f41т<a]^0&fla =? (x —[/Ч[т<а]).

Теперь докажем, что

хсза->Эт(т^а &Sm(т, *))•(4)

Пусть xug. Для непустого подмножества у множества х положим g*y = р,т (т ^ р)・ Тогда g — функция выбора на х. Ввиду замечания существует биективное отображение из некоторого ординала 工 на х такое, что

/*р = fxo' (az е X - [/•р' I р' < р])

для pVt・ Мы завершим доказательство, показав, что

Предположим, что а<т. Тогда /Рех, откуда имеем /'uVu, так как хии Пусть р — первый ординал такой, что /*р < р. Так как функция f инъективная, то

『pwx-炉。|р' </'р].

Но 尸『р —первнй ординал в этом множестве, поэтому 尸尸PV/p Так как 戸pvp и функция / инъективная, то 广广pV尸р. Но это вместе с /(р < р противоречит выбору р.

Кардиналом множества х, который будем обозначать через Card (х), называется первый ординал, подобный х. Ввиду теоремы о вполне упорядоченности это определение корректно. Будем говорить, что о есть кардинал, и записывать Cd (а), если и есть кардинал некоторого множества.

Применяя (1) — (3), получаем

Card (х) = Card (у) — Sm (х, у).(5)

Из (1) имеем

Card (а)(6)

Более того,

Cd (о)— Card (о) = 5(7)

Импликация справа налево получается немедленно. Если Cd (о), то G = Card(x) для некоторого х. Тогда Sm (а, х), поэтому Card (и) = Card (灯=g по (5).:

Имеем

% и у Card (尤)V Card ®).(8)

Действительно, пусть a=Card (у). Так как у подобно о,: то множество х подобно некоторому подмножеству ординала а, поэтому по (4) множество х подобно некоторому ординалу т W ст Тогда Card (尤)W 工 V о.

Имеем

Func (/) f Card (Ra (/)) V Card (Do (/)).(9)

Действительно, пусть g — функция выбора на Do (/), и пусть h — функция с областью определения Ra (/), опре- деленная следующим образом:

用‘2 = g“ I g w Do (力 & 广夕=z].

Тогда h — биективное отображение из Ra (/) на некоторое подмножество w множества Do (/), поэтому, используя (8), получаем

Card (Ra (/)) =Card 侬)W Card (Do (/)).

Теперь покажем, что:

Sm (S (a), S (t)) ->Sm (a, t).(10)：

Действительно, пусть f — биективное отображение из S (и)= : =ujj {и} на 5 (т) = тU {т}. Изменяя, может быть, два зна-；; чения 力 можно предполагать, что 戸g = tt. Тогда ограни-: чение функции f а。и есть биективное отображение а на ； т, поэтому Sm (а, т).:

Теперь докажем, что:

crwcof ~|Sm(% S (a)),(11)

индукцией (обычной) по и, Случай о = 0 легкий, а шаг от и к S (о) следует из (10).

Теперь можно доказать

a е a>->Cd (о)(12)

индукцией по а. Случай о = 0 может быть выведен из (6) и (7). Теперь предположим, что Cd(") для о 三(о. Из (7) и (8) имеем о = Card (a) ^Card (S (о)). Но Card (S (а)) 声Card (о) по (11), поэтому о V Card (S (о)), и отсюда

S (а) ^ Card (S (а)). Используя ⑹ и (7), получаем Cd (S (о)).:

Таким образом, доказано, что каждое натуральное число есть кардинал. Далее, со есть кардинал. Если бы это было не так, то было бы Card (&))＜；(д по (6) и (7). Поэтому Card (со) есть некоторое натуральное число а. Так как S (о) V со, то имеем S (о) = Card (S (о)) V Card (со)= =а. Приходим к противоречию.

Множество называется конечным или бесконечным в за висимости от того, конечным или бесконечным является его кардинал. Множество называется счетным *), если его кардинал есть некоторое натуральное число или со. Теперь могут быть приведены все обычные доказательства элементарных свойств конечных и счетных множеств.

Определим

Card((ax{O})U(^x{l})), о ■ x=Card (о Хт).

Легко проверить, что

# П 9=0 Card “ U 9)= Card (x) + Card (у),(13)

Card (x X i/) = Card (x) • Card (g).(14)

Записывая x Uy = x U(У— 尤)н применяя (13) и (8), получаем

Card (尤 U") V Card (x) + Card (y)・(15)

Кроме того, имеем

Cd (о) & Vy (у 三 л: Card (у) V и)

Card (Un (x)) V Card (x) • o. (16)

Сначала заметим, что если / есть биективное отображение из Card (у) на у, где у м 羽 то f еР (Un (х) х а). Поэтому, используя функцию выбора на Р (Un (%) х о), получаем функцию g с областью значений х такую, что g*y для у е х~ биективное отображение Card (у) на у. Пусть z — множество всех〈弘 0 таких, что ywx н TVCard(p); пусть й — функция с областью определения г, определенная следующим образом:川〈协 t〉= (g'y)‘工.Тогда А —— сюръективное отображение из г на Un (х). Используя (9) и (8), заключаем

Card (Un (х)) W Card (г) v Card (x x и) = Card (*) a.

Применяя (13) k% = oU0 и S(o) = g|J{g}, получаем

Card (о) = Card (и) + 0,(17)

Card (S (o)) = Card (g)+L(18)

Из определений также имеем

о +(т = о・2・(19)

Если о и т — натуральные числа, то o + 0 = d

o + S(t) = S(o + D，G・0 = 0,

O'S(T)= (a-T)+ a.

(Читатель легко может провести доказательства.) Из этих : равенств индукцией по т получаем

a, TW(dfo + t,仃工三3・(20)

Из (8) получаем

о Vt&o'WB0十0‘+ &о・сг‘vt-tA (21)： Мы записываем Inf Cd (о) для обозначения того, что о— : бесконечный кардинал. Используя (21), (17) и (19), по-； лучаемg

InfCd(o)->(T=a + 0^a+l^a + a = or-2^a-a.(22)

Ввиду результатов из § 9.3 [(Л (т), т) | т < а] — биективное отображение из о на [К (т) [т<；а]. Следовательно,.

Card (о) = Card ([К (т) | т < о])*

Применим это к доказательству:

Irif Cd (о) & Мах (К (и)) = ои • о = о.(23) |

Ввиду (22) нам нужно лишь показать, что а-а^а. ГТо предположению и (19) из § 9.3 получаем о 义 о и ： и [К (т) I tV о]. Переходя к кардиналам и используя пре- •： дыдущее равенство, получаем а о^а.:

Теперь докажем, что. |

Inf Cd (и) Мах (К (о)) = о,(24) %

трансфинитной индукцией по а. Сначала покажем, что из ； индуктивного предположения следует

р V и — S (р) • S (р) V о.(25)：

Если р е со, то S (р) • S (р) V s V。по (20). Теперь предположим, что &)Wp・ Положив t = Card(pj, получим со = =Card (со) V 兀 V р V и. Из индуктивного предположения следует, что Мах(К(т)) = 7 а из этого и (23) следует, что т т = т. По (18) и (22) имеем Card (S (р)) = т+ 1 поэтому S (р) • S (р) = т • тг = т V и

Возвращаясь к (24), предположим, что Мах (/((a)) ^ct Тогда

р=Мах (К (о)) V о

по (21) из § 9.3. Если т< о, то

. Мах (К (т)) V Мах (К (и)) < S (р)

по (20) из § 9.3, поэтому Л (т) е S (p)xS (р). Из этого и (25) видим, что

.а = Card (о) ^ Card (X (р) X S (р)) < а.

Приходим к противоречию.

Комбинируя (23), (24) и (25), получаем

Inf Cd (и) f о • о = о & о + и = и.(26)

Из этого мы заключаем, что

Inf Cd (а) & Inf Cd (т)->а -т = а + т=Мах ((а, т)). (27)

Действительно, пусть р = Мах(〈о, т)). Тогда, применяя (21), находим, что

р=Мах ((о + 0, 0 + 0) V<t + tVp + p = P， р=Мах((а- 1, 1 ・t〉)Мот Мр・р = р.,

Имеем также

InfCd (а) & Card 侬)V

V о-> Card (［尸(尤1хл) I Xi, ...» хл e w］) ^ a. (28)

Действительно, определяя 〈尸〉,как в § 9.2, имеем

［尸(/, ...» %)丨/，…，左三切=［〈尸〉(a)|aw5X…х⑵］.

Поскольку Card (з x.…x з) V о з. • • и = 6 то требуемый результат следует из (9).

Будем говорить, что множество 尤 является F-замкну- тым, если для каждых 协> …，y^wx имеем F(%,….，％)三尤

Теорема замыкания. Пусть 尸力一・,Fk — функциональные символы. Для данного множества х и бесконеч-

ного кардинала т такого, что Card(%)vt, существует множество у такое, что х и у, Card (у) и у является F『замкнутым для i = 1, ..., k.

Доказ ател ь ство. Определим

Gt(2) = ^1^!,侬“)1 g,…，wn е г],

GC^) = Gi(z)U..・UG* ⑵.

Определим Н с помощью трансфинитной индукции следующим образом: "(0) =看 方(u) = G (Н (р)), если a = S(p); Н (a) = Un ([Я (р) I р< о]), если л — предельный ординал. Мы утверждаем, что у—Н (со) обладает требуемыми свойствами > Очевидно, что х и у. Если , 3rl 三 у, то 侬 1, ..., w孔三"(и) Для некоторого и V со; следовательно,

爲(侬1,吗)三 G (〃(u)) = H (S (о)) и у.'

Используя (28) и (15), получаем Card (г) ^x^Card (G (г))<т. Используя это, мы легко доказываем индукцией, что а <； > V&)f Card (" (о)) Тогда по (16) имеем Card (у) V Vrs Vt・t = t.

Рассмотрим теперь операцию, которая позволит нам ； получать кардиналы/ большие о. Определим

2。=Card (尸(о)).“

(Здесь 2 ~~ функциональный символ и не связан с ранее введенной константой 2. О причинах введения такого обо* значения см. в задаче 7.) Так как Sm (х, a)->Sm (Р (%), Р (а)), то мы имеем

Card (х)=…Card (Р (灯)-2 J(29):

Следующий результат известен как теорема Кантора:

Cd(u)f UV2J(30)；

Прежде всего существует биективное отображение f из и на подмножество из Р(и), которое отображает т в {т}. Таким образом, ое2°; поэтому достаточно доказать, что предположение 2° = и приводит к противоречию. Предпо- + ложим, что ^ — биективное отображение нз о на Р (а). Пусть х = [т|теа&т^ §4].

Тогда х ен Р (а), поэтому существует т такое, что g't=工

По определению множества х имеем、

弋三Хс弋干g” о Т ^ X；А

получаем противоречие.

Более общо, имеем

а <2°.(31)

Действительно, если 20rM и, то, применяя (29), получаем2Card(a)= Card (尸(о))_Card(2。) vCard(а),

что противоречит теореме Кантора. Как следствие (31) мы заключаем, что для каждого ординала существует больший кардинал. Отсюда следует, что для любого множества х ординалов существует кардинал, больший каждого элемента множества х. Более того, можно предположить, что этот кардинал бесконечный,, так как если бы он был конечным, то мы могли бы заменить его большим кардиналом а>.

Из только что сделанного замечания мы видим, что можно определить функциональный символ N с помощью трансфинитной индукции следующим образом:

N (о)=卩т (InfCd (т) & т ^ [К(Р)| р VQ])・

Мы обычно будем писать No вместо ^ (а). Тогда Кав бесконечный кардинал. Далее,

oVtf NoVNu(32)

Действительно, пусть а<т. Тогда Nt по определению отлично от N(y и' не лежит в [Np|pVo]・ Так как No — наименьший бесконечный кардинал с последним свойством, то NYN「

Покажем теперь, что каждый бесконечный кардинал есть No для некоторого и (и, следовательно, по (32) для единственного о). Вследствие (32) и (8) из § 9.3 имеем П Setx3a(x—j^a). Поэтому если т——бесконечный кардинал, то существует о такое, что 必哄七・ Таким образом, TWNa Если выполняется равенство, то всё доказано. Предположим, что tV No Так как Кд — первый бесконечный кардинал, не лежащий в [Np|pVo], то имеем 兀三[NpIpVo], что дает требуемый результат.

Ясно, что 忌о =(о и по (32) ^5 (а) — первый бесконечный кардинал, больший No・ Из этого и теоремы Кантора получаем

№(。)三2n。.(33)

Формула

Ver(2*= Ns(ст))>

которая утверждает, что в (33) всегда выполняется равенство, называется обобщенной гипотезой континуума. Формула

2电=№,

выражающая один частный случай этого равенства, называется гипотезой континуума.

Хотя было предпринято большое число попыток решить, будут эти две формулы истинными утверждениями о мно-； жествах или нет, проблема до сих пор не решена. Логические исследования показали по крайней мере, почему эта проблема так трудна: ни одна из этих формул не может быть доказана или опровергнута в теории ZFC.

Мы посвятим доказательству этого факта несколько следующих параграфов. Вначале отметим одно затруднение. Если мы, например, докажем, что гипотеза континуума не является теоремой теории ZFC, то отсюда будет , следовать непротиворечивость ZFC. Следовательно, по теореме о доказательствах непротиворечивости никакое такое : доказательство не может быть проведено внутри теории " ZFC. Поэтому это доказательство должно быть очень неконструктивным и, возможно, не будет признано многими математиками.

Мы обходим эту трудность, предположив заранее непро- тиворечивость теории 々F. Это разумный подход, так как даже если кто-то сомневается в непротиворечивости теории ZF, то он должен признать, что эта проблема непро-； тиворечивости сильно отличается от проблемы независимо-： сти гйпотезы континуума. Мы увидим, что возможно дать у финитное доказательство такого утверждения: если теория ZF непротиворечива, то ни (обобщенная) гипотеза конти- нуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны в тео- * рии ZFC.

Мы докажем также один родственный результат: если - теория ZF непротиворечива, то ни аксиома выбора, ни ее , отрицание не могут быть доказаны в теории ZF. Кое-кто может спросить: почему эта проблема представляет инте-. рес, ведь аксиома выбора, конечно, справедлива для множеств? Один из ответов состоит в том, что аксиома выбора имеет специфическую природу. Множества, существование которых утверждается в аксиомах существования теории ZF (такие, как множество подмножеств некоторого множества),,

могут быть точно описаны в теории ZF; в действительности *эти аксиомы имеют вид [х | Q (%,内，.v^. С другой стороны, нет причин предполагать, что для каждого множества V существует функция выбора на v, которая может быть описана подобным путем. Следовательно, можно представить, что при некотором понимании множества, при котором допускаются только семейства, которые могут быть описаны, аксиомы теории ZF являются истинными, в то время как аксиома выбора ложна. Конечно, это может случиться, лишь если аксиома выбора не является теоремой теории ZF.

Другим основанием для доказательства такого результата является то, что он сводит трудную проблему получения в некотором смысле приемлемого док азате льства непротиворечивости теории ZFC к аналогичной и, возможно, более легкой проблеме получения такого док азател ьств а для теории ZF.

Интерпретации теории множеств

Утверждение о том, что формула А не доказуема в теории ZF, в силу следствия к теореме редукции для непротиворечивости эквивалентно утверждению о том, что какое- то расширение ZF' теории ZF непротиворечиво. Поэтому те результаты, которые мы хотим доказывать, имеют вид: если теория ZF непротиворечива, то теория ZF， непротиворечива. По следствию к теореме об интерпретации это может быть доказано с помощью построения некоторой интерпретации теории ZF' в теории ZF. По этим причинам мы начинаем с изучения интерпретаций теории ZF и других родственных теорий.

Удобно слегка обобщить понятие интерпретации. Интерпретация языка L(ZF) в теории Т будет теперь содержать некоторый унарный предикатный символ U, такой, что hBxUjX, и два бинарных предикатных символа ez и =『. Мы строим Л； и 4(『)，как и раньше, за исключением того, что мы заменяем также = на — р Интерпретация языка 厶(ZF) будет называться интерпретацией теории ZF, если интерпретации аксиом тождества, аксиом равенства и нело- ^ических аксиом теории ZF являются доказуемыми. Тогда, как и раньше, мы можем доказать теорему об интерпретации и ее следствие. Если =/ есть =, то мы получаем ранее

рассмотренный случай. При этом интерпретации аксиом тождества и аксиом равенства всегда доказуемы.

Напомним, что если Q определяется следующим образом:

* Q (石，-2

то Q『определяется следующим образом:

Q/ (-^i> • • • > 尤%)0/*

Мы можем принять это определение даже тогда, когда / — некоторая интерпретация языка L (ZF) в расширенном смысле. Тогда при образовании /『или 4")мн просто заменяем Q на Q/.

Мы будем брать наши интерпретации в некоторой теории Т, являющейся расширением теории ZF* Более того, будем предполагать, что все символы теории Т, не являю-' щиеся символами теории ZF, представляют собой константы. Это означает, что каждая из аксиом подмножества или за- мены для теории Т есть частный случай аксиомы подмно- ‘ жества или замены для теории ZF и, следовательно, может быть доказана в теории Т, Поэтому все результаты, доказанные для теории ZF, также выполняются для теории Т, Все доказательства мы собираемся проводить в теории Т, % если не оговорено противное.

Так как всякая интерпретация является некоторым фор-: мальным аналогом структуры, то многие понятия, относящиеся к структурам, имеют соответствующие аналоги в теории интерпретаций. Рассмотрим аналог понятия изомор-: физма..

Пусть / и J — интерпретации языка L(ZF) в теории Т, ! Изоморфизмом между / и J называется унарный функцио-: нальный символ F теории Т такой, что

F Uj (圻 с mx (Uj (х) & u = F (х)),(1)：

-Ui(X)& Ui (圻 f (х jy — F (х) WjF (у)),(2)：

h^i (%) & U/ (g) f (x =/9 — F (x)=丿尸仅)).(3)

Лемма 1. Пусть / w J — интерпретации языка L (ZF) 8 теории T, F — некоторый изоморфизм между I a Jf Q — некоторый предикатный символ теории ZF. Тогда

—U吊&…& U[кП f (Q, (%1，…，хп) q Qj (尸(x)…,戶(厶))).

Доказательство. Используем индукцию по длине

правой части А определения Q. Если 4 — атомная формула»

то Q определяется следующим образом:

Q(X1х„) X/ е Xf ИЛИ

Q (*^1» • • ■, xQ X/ =尤力

и этот результат следует из (2) и (3). Если А — отрицание или дизъюнкция, то Q определяется следующим образом: Q X分)q「R (看，》J

где лемма выполняется для R, или следующим образом:Q (石，4%) *"* Ri (^1» • ■ • > *л) V Rz (%工，*%),

где 'лемма выполняется для R】и R%. В каждом из этих случаев лемма для Q легко следует из индуктивного предположения.

Если А — подтверждение, то Q определяется так:

Q (*^13 • • • » */г) ^^ 0yR (f/i 尤1, •…，打)，

где по индуктивному предположению имеем

U К、& ・、• & U №几 & UI у f

f (R)(协不xQcRj(F3,尸(不)，…，戶任力)). Следовательно, при предположении, что 1｝网& …& 1｝网, имеем

刃(U/®&R№,打，…，/)) —

-必(U/®)&Q(尸(力尸(力)，尸(/))). Левая часть этой эквивалентности есть Q『(jq,.…,хп), поэтому нам нужно лишь показать, что правая часть эквивалентна Qj(尸(元)F(x^). Опуская 尸(为)，.一，尸(公)， в силу (1) имеем

刃(S ®) & R八戶 ®))) — 3i/ (U/ (g) & 3z(z^F(y) &Rj (г)))

—士 (R (UI (y)&z = F 匂))& Rj ⑶) c 壬(Uj(2)&Rj(z)).

Правая часть есть Qj(F(x0, 尸(x“)).

Доказательство, что все предикатные символы имеют некоторое свойство, с помощью индукции вышеприведенного типа будет называться доказательством индукцией по предикатным символам.

Если М. — некоторый унарный предикатный символ теории Т такой, что [-ЭхМ (х), то мы можем построить интер-

претацию / языка L(ZF), беря М за U/,三 за Е? и = за =『.Мы называем эту интерпретацию ^-интерпретацией М и пишем Ам и 小屈)вместо 4』и 力⑺ соответственно. Множества х такие, что М(х), будут называться М-множествами.

Пусть А — некоторая константа теории Т такая, что ^-Л =# 0. Определяя М следующим образом: М(х)^х^А9 получаем 卜三尤〃(％)・ е - интерпретацией А будет называться е - интерпретация М] будем писать Лд и 4 ⑷ вместо 4M и 4(м>. е-интерпретация М называется транзитивной, если

\-М (х)&у^х-^М (г/).

Тогда, если Л — константа, то е-интерпретация А транзитивна в том и только в том случае, когда —Trans (%).

Покажем, что всякая интерпретация, удовлетворяющая подходящим условиям, изоморфна транзитивной е-интер- j претации. Предположим, что / ——интерпретация языка L (ZF) такая, что =/ есть =, и такая, что интерпретация аксиомы объемности выполняется. Предположим, далее, что существует некоторый ординальный функциональный символ Н такой, что

-Set" ("⑶ V0)и.

\-у WiXfH (у)<Н(х).

Определим

F(y)=[F(x)\Udx)&x^y]

индукцией по Н (y)t а затем определим

М (х) ^3y(Ui(y)&x = F (у)).(4)

Ясно, что —тхМ(х), поэтому М есть е-интерпретация.； Более того, 7И — транзитивная интерпретация. Действи- ■ тельно, предположим, что M(x)&z 三尤 Тогда x=F(y)； для некоторого у, поэтому zwF(y); а тогда г = F (г^) для некоторого w такогоt что Ui (к;); следовательно, М (г),：

Покажем, что F — изоморфизм между / и е-интерпретацией AL Мы должны доказать (1) — (3), когда J есть М,' (1) есть в точности (4). Для (3) мы должны доказать

x=y^F(x) = F(y)

при условии 〃(*) и Ur (у). Используем индукцию по Н (х),:

Импликация слева направо получается сразу. Из интерпретации аксиомы объемности относительно / имеем

Vz(U〃N)f(ZR"c 2 £ 心 fK = y、

поэтому достаточно показать, что если 尸(%)=尸(у) и U『(z), то z jxq z уд. Предположим, что г е；х. Тогда F (z) ^F (x) = F (у)\ следовательно,尸⑶=尸侬)для некоторого w такого, что U/(侬)и ww?“・ По индуктивному предположению 之=侬；следовательно, 2 曰 у. Импликация z 当рт zjx доказывается аналогично.

Для (2) мы должны доказать

,xwiycF(x)qF(y)

при условии 〃 (％) и Ui (у). Импликация слева направо доказывается сразу. Если F(x)^F (у), то 尸(%)=尸&) для некоторого г такого, что Ui (г) и z 三/ у. Как и раньше, имеем х=г, поэтому %三『玖

Теперь мы переходим к получению некоторых достаточных условий, при которых интерпретации аксиом теории ZF относительно некоторой транзитивной е-интерпретации были бы выводимы.

Лемма 2. Если, М. — транзитивная ^.-интерпретация языка L (ZF),加。интерпретации аксиомы объемности 〃_ аксиомы регулярности выполняются.

Доказательство. Интерпретацией аксиомы объемности является

М (%)->М (у) f Vz (М (z) ->(z w%~ z 三у)) _>x=y.

Допустим, что посылки верны. Если zwx, то 7И⑵ ввиду транзитивности М, поэтому z 三 у. Подобным образом из ^^у следует г е х; таким образом, х = у.

Интерпретацией аксиомы регулярности является

М (х) т Зу (М(у)&у 三％)

-^Эу(М (г/) & у s х & П Зг (М (z)&z 三％&zwy)).

Допустим, что обе посылки верны. Тогда х имеет некоторой минимальный элемент у, который является М-множеством ввиду транзитивности М. Следовательно, у удовлетворяет заключению.

Функциональный символ 尸 теории Т называется М-инва- риантным, если

1M (/)&…& m(X.) - 附 (尸(电...，/))•

Лемма 3. Пусть М — некоторая транзитивная ^-интерпретация языка Л (ZF) такая, что для каждого предикатного символа Q из L (ZF) функциональный символ F, определенный так:

F 也,01,…，0")= [х]% 三 y&QxMx,力，…，力)], является M-инвариантным. Тогда выполняется интерпретация каждой аксиомы подмножества из теории ZF.

Доказательство. Всякая аксиома подмножества имеет вид

壬 Vx (xwzQXWp&Q (х))

(здесь мы опустили параметры). Ее М-интерпретацией является

М (у) т Зг (М (?) & Vx (М ⑶—

— (xwzcxwy&Q 附(х)))).(5)

Для данного Л4-множества у положим z=F(y), где 尸 таков, как в лемме. Тогда г есть Л4-множество и для всех ЛТ-множеств х имеем xwz —% my&Q加(х)・ Таким образом, (5) выполняется.

Лемм а 4. Пусть М ——некоторая транзитивная е-интерпретация языка 厶(ZF) такая, что для каждого М“ инвариантного функционального символа F

-М ®) & М (力)&...&М ®Q 今

->^z(7И (z) & Vx(尤三 5f 尸(x, v19 ...» %) и г)).

Тогда выполняется интерпретация каждой аксиомы замены из теории ZF.

Доказательство. Всякая аксиома замены имеет вид

VxSzVr/ (у е zcQ(爲 у)) Set^ Зх (х е w&Q(x, g)) (здесь мы опустили параметры). Ее ТИ-интерпретация имеет посылку

М (侬)& Vx (М (尤)-> Вг (М (г) & Ру(М (у) f

f 匂三 zcQm (芻 p))))(6)

и заключение

Зг (М ⑵ & Vy (М (у) т

Зк(/И(х)&х 三侬&Qm (爲 у))ту 三 z))・(7)

Определим 尸 следующим образом:

尸(幻=团附(方&^2附0 Р)]，

если множество в правой части существует и является Л1-множеством, и 尸(х)=х в противном случае. Тогда F является 2И-инвариантным. Допустим (6). Тогда для каждого 7И-множества х существует Л4-множество г такое, что

Yy (М ⑼—® 三 z с Qm (х, у)).

Теперь у 三 г-^М (у) ввиду транзитивности М; таким образом, z = \y\M[tf) &Qm(x, у)]. Отсюда следует, что

M(x)~^F.(x) = [y\M(y)&QM(<xt у)1(8)

По предположению теоремы мы можем выбрать М-множество z такое, что Vx (хе w-^F{x) с г). Чтобы доказать (7), мы должны показать, что

М (у) & М (х) & х ^ w & Qm(^9 y)fywz.

Ввиду (8) посылка влечет у 三尸(尤)；таким образом, имеем Hz.

Лемма 5. Пусть М ——некоторая транзитивная ^-интерпретация языка L (ZF) такая, что

|—М (у) -> Зш {М 侬)& [х ] М (х) & х и у] и 5).

Тогда интерпретация аксиомы степени выполняется.

Док аз ательство. Интерпретацией аксиомы степени является

М (у)-> 三侬(М ®) & Vx (М (х)->

-> Vz(M(2)f z 三 х —z wy)->х w w)).(9)

Если M (x), то г e x-> M (г) ввиду транзитивности М. Поэтому в (9) мы. можем опустить часть Af(z)f. Тогда (9) выполняется ввиду предположения леммы.

Лемма 6. Если М — транзитивная интерпретация языка L (ZF) такая, что М (со), то интерпретация аксиомы. бесконечности выполняется.

Доказательство. Так как М (о), то мы имеем 阳(а) для каждого натурального числа ст ввиду транзитивности М. Тогда легко доказать, что @ есть 7Й-множество, удовлетворяющее условиям, требуемым для интерпретации аксиомы бесконечности.

Теперь предположим, что М — некоторая фиксированная транзитивная е-интерпретация теории ZF. Тогда мы можем образовывать 尸для каждого функционального символа F нз ZF. (Это требует выбора константы в Т; мы можем

13 Дж. Шенфилд

выбрать константу 0.) Пусть теперь Л — формула, содержащая определимые нелогические символы, и пусть А* — ее перевод в язык теории ZF. Тогда ^-Л <-> А* в теории ZF; следовательно,

\-m (十1) & …& m (打)-(4m q 4%)

(где 尤1, ..., хп — переменные, свободные в А). Отсюда следует, что \-А^ тогда и только тогда, когда 卜 %*(〃). Это показывает, что при образовании Aw нам не нужно элиминировать определимые символы, а мы можем заменять Q и F на Qji и 尸必

Далее, формула Зу {y=F(xli ..., /)) доказуема в теории ZF. Ее 7И-интерпретацией является

М 住)&...&Л1 (&) т By (М ®) & у = FM (修…-儿))•

Это показывает, что F^ есть Л4-инвариантный функциональный символ.

Еслм F определяется следующим образом:

尸(％, ・・・，vn)^[x\Q(xt 九…，％)], то

尸加依vn) = [x\M(x)&QM(xt。]，…，吟](10)

Для любых TH-множеств vlt ...» ул. Действительно, интерпретация определяющей аксиомы для 尸 утверждает, что、 для таких ,勿

VX (m(X)f (%三尸附®L…，%)c Qm (%,九…，勿)))・

Так как Fm является М-инвариантным функциональным символом, то 尸m®l •…，uQ является 7И-множеством, поэтому имеем

不三尸М (иьvn) f М (х)

ввиду транзитивности М. Комбинируя эти два результата, получаем (10).

Если 尸 определяется следующим образом:

尸(5，%) = [G (/力，…，%)|Q(&以，％)], то

Ей (“，一•,〃) =

=[G附(爲以...，吟|M(x)&Q留(/% …，嗚](II)

для любых М-множеств 内,...,vn. Действительно, в силу 三

имеем

尸財(5勿)=[川 М(9)&士 (М(х)&у =

==Gm (匕 ^i> • • •) %) & Qm (x, ^i> • • •) ^л))]«

Используя Af-инвариантность G^, получаем (11).

Будем говорить, что предикатный символ Q теории ZF является абсолютным для М, если

|— М(х0&…&Л1 (xre)—>(Q(xi, ..., x# cQjM(»i,…，хл)). (12) Будем говорить, что функциональный символ 尸 теории ZF является абсолютным для М, если

(尤i)&…&M(A)f 尸(石，xn) = FM(xlt 厶).

Когда М фиксировано, мы говорим просто абсолютно вместо абсолютно для М.

Если Q абсолютно, то мы можем заменять QM на Q всякий раз, когда условия обеспечивают, что аргументы для Qm являются М-множествами; аналогично для функциональных символов. Это полезно при изучении интерпретаций аксиом.

Если F — абсолютный функциональный символ, то F является М -инвариантным функциональным символом — это следует из того, что FM является М-инвариантным функциональным символом.

Теперь рассмотрим методы для доказательства того, что нелогические символы абсолютны. Ясно, что е и = абсолютны. Если Q определяется так:

QM /)с—,(13)

где — состоит из л\, ..,, хп и абсолютных нелогических символов, то Q абсолютен. Действительно, интерпретация для (13) утверждает, что

QjM (尤1, *^п) *"*■ ()Af

Для M-множеств 石，...,хл. Далее, все термы в (一)м строятся из Xi и функциональных символов G^. Так как последние Л4-инвариантныг то из условия, что х» являются М -множествами, следует что эти термы представляют "множества. Следовательно, по сделанному выше замечанию мы можем заменить каждое Gm йли Rm в (—储 на G

13*

или R. Поэтому мы получим

Qm (尤 1, •一，A)>

которое вместе с (13) дает (12).

Теперь покажем, что если 尸 определяется следующим образом:

戶(石，xn) = y^Q(y, %i,…，x“)，(14)

где Q — абсолютный символ, то 尸——абсолютный символ. Допустим, что Xi, ..., хп — 7И-множества. Подставив 尸m(¥l • •., хл) вместо у в (14), получаем

尸(-^i> • • • > *门)~ 尸м(%工，…• 9 汇门)w aQ(F加(尤］,* …，хл), %i) ■ ■ • > xQ. Таким образом, нам нужно лишь доказать правую часть этой эквивалентности. Ввиду абсолютности Q и M-инвариантности 尸м это эквивалентно

Qm {^М (-^1> • • • > 尤л),尤1,…•，^n)•(15)

Теперь по (14) Q(尸(石，…，尤力，尤丄,хл) доказуема в ZF. Беря ее интерпретацию, мы получаем (15).

Частный случай возникает, когда F определяется следующим образом:

尸(尤1, • • * * A) == -|

где __ состоит из 石，…，хл и абсолютных функциональных символов. Действительно, это определение эквивалентно (14), где Q определяется следующим образом:

Q(y, Xi,а)—р = _;

а мы видели выше, что такой символ Q абсолютен.

Если Q определяется следующим образом:

Q (%工，• ■ •, X") ~l R (-^ij • • •» 尤/i),где R — абсолютный символ, или следующим образом:Q (尤1, • ♦ •, ”力 *~* R1 (%1,^n) V ^2 (-^1? • • • » %/г),

где R】 и ^2 — абсолютные символы, то Q — абсолютный символ; это легко доказать. Из этого мы получаем аналогичный результат для & или с вместо V- Будем говорить, что Q полно для М (или просто полно), если

1 М (弘)& …& М (拆)&Q (х, Уь yQfM (х).

Например, ясно, что = полно и 三 полно в силу транзитивностиг М. Мы иногда будем говорить, что — х — полно в х; это означает, что Q, определенное следующим образом:

. Q(看力— х—, является полным. Таким образом, в силу полноты 三 получаем, что

и

ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ В X.

Если Q определяется следующим образом:

Q (-^i> • ■ •) *л) mpR (уt -^1» • • •» 尤冷)，(16)

где R — абсолютный и полный символ, то Q — абсолютный символ. Действительно, пусть х1? ,.., хп — М-множества. Из интерпретации для (16) получаем

Qm (*^i, • • • > xQ ^^ 三^ (Al (у) & Rm(У，%i,…•，尤J).

Ввиду абсолютности R мы можем заменить RM на R, а затем в силу полноты R мы можем опустить часть М (у) &. Комбинируя этот результат с (16), получаем (12). Отсюда следует, что если Q определяется следующим образом:

QS，…，X")q%R(“，Xi,…，х“)，(17)

где R — абсолютный символ и 口 R полно, то Q — абсолютный символ.

Если F определяется следующим образом:

尸®1, .一，%)=^［尤IQ(元，%，%)］，

где Q — абсолютный и полный символ, то F — абсолютный символ. Действительно, если 。工,vn — M-множества, то (10) выполняется. Как и раньше, мы можем вначале заменить Qm на Q, а затем опустить часть М (х) &. Из этого получаем

尸 М®1,^п) ==［-^ I Q (-^» ^1， ■ • •» ^«)1*

откуда следует, что 尸一абсолютный символ. Подобное доказательство, использующее (11), показывает, что если 尸

определяется следующим образом:

尸®1,〃) = [G(x,力，…，以)|Q(x,也…，'％)],

где G и Q абсолютны и Q полный, то 尸 абсолютен.

Будем использовать эти результаты, чтобы показать, что многие нелогические символы, которые мы определили, являются абсолютными. Для каждого нелогического символа мы будем давать определяющую аксиому. Мы оставляем читателю большую часть проверки того, что здесь применимы вышеприведенные результаты, указывая лишь некоторые менее очевидные шаги. Иногда определяющая аксиома, которую мы даем, несколько отличается от (но, очевидно, эквивалентна) определяющей аксиомы, которую мы использовали раньше.

А. ХиусУ2(2 三 XfZWy).

Применение правил в этом случае использует то, что 1 (г е x^z <= у) полно в г.

Б. 0 =[元|尤美灯.

Ясно, что %，％ полно в %.

в. {尤，y} = [2|z = xVz=D]・

Г. {х} = {х, х}.

Д. ип(х) = [//|Эг(г ех&уег)].

Ясно, что z 巨 x&ywz полно в г. Мы должны также показать, что 3z (г е х & у е г) полно в у, т. е.

М (х) & 3z (z ^ х & у ^ z) -^ М (у).

А это следует из транзитивности М.

Е. %Uy = Un({x, у}).

Ж.%(19=[2]2三х&2三9].

х —y—[z\z ^ X &г ^у].

и-〈%，У〉= {{%}，{х，У}}-

К.为(х=〈п±(х), y〉)V(1 刃±(x = U，z〉)&Mx) = 0).

Необходимая полнота для этого определения следует из

、М((а, Ь〉) —М(а)&М(Ь)・(18)

А это следует из транзитивности М, так как а, Ь 三{а, Ь} и {а, b} w 〈а, b〉・ С л2 поступаем аналогичным образом.

Л・ х X у = [г I ЭаЭЬ (а е х & & е ^ & г = (а, Ь〉)]・

Для этого нам нужно доказать, что

3^3& (а^ х&Ь ^.у&г = {а, Ь〉)(19)

полно в Z. Допустим, что (19) выполняется, когда хну являются Л4-множествами. Тогда а и b являются М-мно- жествами. Так как символ ( 〉 абсолютен, то он Л4-инва- ряантен, поэтому z =〈d %〉 есть Л4-множество.

m.(修，，无门〉^^〈%1，〈%2, . . * ,"门〉〉*

С 冗? поступаем подобно 冗卜

H. Do (х) = [л2 (у) \ у^х}.

О. Ra(尤)= рч(у)|у 三灯.

П. Func (%) ^> х d Ra (х) X Do (х) &

& VaVb (a三尤& b三元&Л2(Q)=冗2 (力)fa=b)， Р. IFunc (х) — Func (x) &

& VaVb (a ^ x & b ^ x & ^(a)^^^)a=b).

C. (F\inc(x)&y eDo(x) &{x6yt y) x) \/

V(1 (Func(x)&y^ Do(x))&£y=0).

T. Trans (x) c Vy (y w g и x).

У. Ord (%) c Trans (%) & Vy (// ^ x -^Trans (z/)).

Ф. UVtqUW T・

X. G w t С O VtVo = T・

Если 尸 определяется следующим образом:

尸(尤工，• • •，"к) ^^ p*uQ(G, *1，• • • ' xQ*

где Q абсолютен, то 尸 абсолютен. Определяющей аксиомой для 尸 является

где R определяется следующим образом:

R (у, Xi, ..., м) — Ord (у) & Q (协打，…，当)&

&^г(г е y^~\Q(zf xlt儿))

и, следовательно, абсолютен.

Ц. S(u) = oU{H，

Ч.(о = р,а (а=#0&"| Зх (Ord (х) &o = S (х))).

Полнота Ord(X)& u = S (%) в х следует из импликации o = S (■¥)->%№

Ш. 1=S(O), 2 = S(1), .■»

Теперь докажем, что если 尸 определяется трансфинитной индукцией в терминах абсолютного функционального символа, то 尸 абсолютен. Как обычно, параметры опускаем. Итак, пусть 戸 определяется следующим образом:

F(u) = G(af [(^(т), т)|т<а],

где G абсолютен. Положим

н(0) =[〈尸(T)，0[tVu].

Тогда 尸 может быть определен следующим образом:尸(о)= — Н (S (<?))•<!, поэтому достаточно показать, что Н абсолютен. Мы можем определить Н следующим образом:

Н (%) = “cQ(协 х),

где Q определяется так:

Q (弘 х) — (Ord (х) & Func (у) & Do (у)=х &

&Pz(z 三Xfy‘z = G (n，[〈夕吗 5 I 侬三 г])))

V(lO『da)&y=0)・

Тогда Q абсолютен, значит, и Н абсолютен.

Щ. Мах (х) = ^i (х) U 九2 (办

Э. МР (%) = (лх (МР (х)),乳2 (МР (х))〉&

& Л；! (МР (х)) = [1Т (Зр (р 鼻(ло([(ох(гих))&«, р)^х))& &П2(МР(х/ = мр1〈л；1(МР%)), р〉争х)・

А「. ^(a) = MP(Ra([<^(т)> т>[т<о])).

Будем говорить, что М супертранзитивно, если оно транзитивно и и полно для М, т. е.；

1 м (д) & % и I(%).

Теперь допустим, что М супертранзитивно, и докажем,. что следующие нелогические символы абсолютны.

S.尸(# = ®|уи"・

BJ Sm (х, у) с mf (IFunc (f) &x = Do (f) &y=Ra (f))*

Для полноты мы должны показать, что '

М (%) & М (у) & IFunc (/) & 尤=Do (/) & у~ Ra (f) -> М (/)., Так как х абсолютно, а значит» М-инвариантно, то из [ посылок следует, что М (ухх). Так как из них также следует, что f и ухх, мы имеем М (/) в силу супертран-: зитивности /И.；

Г. CF 伉 х)卄 Func (/) & Do (/)=尸(%) — {0} &

& Vg ® w Do /)—广"w y).

Заметим также, что CF полно. Для этого заметим, что CF (/, x)ffuxxP (%), и далее поступаем, как раньше.

Оставшиеся нелогические символы связаны с кардиналами. Поэтому мы будем предполагать, что М — некоторая супертранзитивная интерпретация теории ZFC.

ДЛ. Card (х) = |xq (Sm (ст, х)).

Е「Cd (*) q х=Card (х).

氷'.InfCd (х) — Cd (х) & х 争(o.

3'. 2o=Card(P(o)).

И. N(o) = |rr(InfCd(i;) &т 哄 Ra([〈N(P), P〉|pVo]))・

9・6. Конструктивные множества

Мы собираемся построить транзитивную е-интерпре- тацию L теории ZF в теории ZF. Мы будем делать это, сопоставляя каждому ординалу некоторое множество; так построенные множества будут называться Л-множествами. Элементами каждого L-множества будут более ранние А-множеств а (т. е. L-множества, сопоставленные меньшим ординалам); это обеспечит транзитивность интерпретации L. Отсюда, в частности, будет следовать, что выполняются интерпретации аксиомы объемности и аксиомы регулярности.

Так как остальные аксиомы являются аксиомами существования, дальнейшие проблемы будут состоять лишь в том, чтобы доказать существование достаточного числа А-множеств. В частности, мы хотим обеспечить, чтобы существовали достаточно большие L-множества. Чтобы достичь этого, мы будем определенным ординалам в качестве L-множества сопоставлять множество всех более ран- ннх L-множеств. Более того, будут существовать произвольно большие ординалы а, для которых это будет сделано* Отсюда будет следовать, что каждое множество L-множеств будет включаться в некоторое Л-мно- жество.

Далее, мы должны быть уверены, что существует достаточное число малых Л-множеств, т. е. если 〃 есть Л-мно- жество, то достаточное число подмножеств множества а является L-множествами. Аксиомы подмножеств требуют, чтобы для каждого Q множество всех 尤 в а таких, что Ql(尤),было L-множеством (и аналогично в случае параметров). Чтобы достичь этого, мы многократно применяем некоторые определенные операции к L-множествам, уже полученным, и' множества, получающиеся в результате этого, добавляем к 厶-множествам. Основания для точного выбора таких операций будут выявлены в ходе доказательства, сейчас мы дадим только одну идею, откуда эти операции появляются.

Мы намерены доказать индукцией по предикатным символам, что все требуемые множества являются £-мно- жествами. Если Q определен в терминах R, то R может иметь больше аргументов, чем Q. Следовательно, неудобно пытаться иметь дело только с унарными предикатными символами. Поэтому мы будем вынуждены доказывать, что если а есть L-множество, то множество п-ок 〈尤丄,... ...,х„). таких, что хъ .... хп^ а и QL (хь ...» х/, есть L-множество. По этой причине мы должны иметь возможность образовывать упорядоченные n-ки. Так как они образуются с помощью повторных построений неупорядоченных пар, то одной из наших операций будет операция. образования неупорядоченных пар.

Допустим, мы рассматриваем наиболее трудный шаг; в индукции, а именно, когда Q определяется так: Q (х) <-> —ЗуЛ (协 х)・(Для простоты берем здесь предикат Q унарным.) Тогда

Ql (尤)С孔(L匂)& Rl (协外)

для Л-множества х. Таким образом, каждое % такое, что Q^fv), есть, второй элемент в упорядоченной паре 〈^* х) такой, что Rl® х). Это наводит на мысль, что множество [х\х ea&Qr (х)] может быть получено как область; определения множества [〈协 x)\yf xwb&RMy, х)\ Нет никакой трудности в выборе операций так, чтобы область определения A-множества была 厶-множеством; вопрос состоит только в том, как найти это множество Ь. Мы хотим знать, что b содержит а и что для каждого х в а, если существует L-множество у такое, что Rl 匂,х), то такое?

^-множество у существует также и в &. Применяя аксиомы замены, мы можем легко построить множество Ъ A-множеств с таким свойством; затем мы можем увеличить b до 乙 множеств а.

символы 務 длясимволы 務 дляОпределим бинарные функциональные / = 1, ..., 9 следующим образом:

символы 務 для

символы 務 для

融(X, g) = [〈a,Ь〉丨〈a，b〉三 х&a 三 6],

取2(尤，9)=[〈а，а〉ка，a) ex],

派з(х, д) = [〈а, b〉|〈a，b) GX&a^y], 双(x，9)= %&，b〉\(a, b〉三 x&b 三 у], 瘫(x，У)= [{^ b〉I <а, b〉w x & © a) e y], 苫6(%, У)= [^，仇 c〉丨〈&，仇 c〉三 x&〈b, a, c〉三列, 否7(尤，9)= i〈a，b, с〉I (a, b, c) ex&(c, a, b)^y], 芯8(x，y}~^ — У>

区(居 9)= *nDo(y).

(Аргумент g включен в ^i и g2 для того, чтобы сделать все операции бинарными.) Заметим, что 良.(х, у) и * для i = 1, ..., 9.

Определим также

Л)9) = П1(К{0)),

Ji(o) = ni(K(MK(0)))),厶(о)=叱(К g (К (о)))).

Тогда для любых о。，ах и сг2 существует с такое, что 4 9) = 6 для 2 = 0, 1, 2. По (21) и (22) из § 9.3 получаем

(1)(1)，о 付)¥= 0 -> 厶(о) V о & 厶(о) V о.

(1)

(1)

Теперь определим функциональный символ С трансфинитной индукцией следующим образом:

'[С (т) [ т < о], если J。(о) = 0,

С (о)=芯(С (厶(о)), С (J2 (ff))), если J0(a) = r, i=l,…，9, .{C"i(o)), ССЛЗ))}, если 9 V J&(o).

Нам нужно условие (1), чтобы увидеть, что это действительно определение трансфинитной индукцией. Положим также

С*(о) = [С (т)|т<^].

Определим

L (х)За (х = С(о))・

Множество называется конструктивным, если оно есть L-множество. Если 尤 конструктивно, то первый ординал о такой, что х = С (а), называется порядком множества % и обозначается через Od (х).

Докажем теперь, что конструктивные множества обладают требуемыми свойствами.

Лемма L Если х конструктивно и у ^ х, то у конструктивно и Od (у) V Od (х).

Доказ ательство. Применяем трансфинитную индукцию по a = Od (%). Если Jo (а) = 0, то

х=С(о) = С*(о).

Отсюда у = С(т) для некоторого tVu, поэтому 0d (у) V VtVg. Если %(o) = i (i=l,…，9)，то х = &(С(Ji(а)), С(，2 9)))иС"19))・ Так как Л (а) < а по (1), то индук- тивное предположение показывает, что у конструктивно; и Od ©) V Л (о) < о. Если 9 V Л)(и), то у=С (厶(о)) для г = 1 или z=2. В любом случае у конструктивно и 0d(у) V Vjgvo.

Лемм а 2. Если каждый элемент множества 尤 конст-; руктивен, то х содержится в некотором конструктивном ； множестве.

Доказательство. Пусть о — ординал, больший каждого ординала в [Od (у) | у 三尤];выберем т так, чтобы К(т) =〈6, о〉・ По (21) из § 9.3 имеем а^т. Отсюда следует, что

%uC*(u)uC*(t) = C(i;)・

Имеем

L (х) & L (у) —> L (^ (х, у)), i=l,9.(2)：

Действительно, пусть х=С (о), у=С (т); выберем р так,; чтобы Л(Р).= Л 厶(Р)= 5 厶(Р)=т・ То「аа С(р) = *・ (％, у” Аналогично

L(x)&L(y)^L({xt у}),(3

откуда следует, что

L (xt) &... & L (x^^-L «хп ...,打〉)•(4

ГГ Л ТТрА¥

'L(x)&L(y)^.L(xxy).(5

Действительно, по (4), лемме 1 и лемме 2 существует конструктивное множество z такое, что xxyuz. Тогда

%ХУ = *4伍з(2, х), у),

поэтому хху конструктивно по (2). Определим

尤义传= К〃，b, c)\b^x&{af С)^у],¥Х2Р = [〈。，R с〉|с 巨 лг&〈&,匕〉三贝.

Тогда

L(x)&L(y)^L(xx1y)&L(xx2y).(6)

Действительно, по (4), лемме 1 и лемме.2 существует конструктивное множество г такое, что %乂切 и z, тогда ^Х1У = ^б (^1» %Ху)・ Доказательство для хх2у аналогичное, но использует ^7 вместо 现.

Положим

Cv (%) = [〈a, b) I © а〉w х]. Тогда

£(x)->L(Cv(x)).(7)

Действительно, если мы выберем конструктивное множество г такое, что Cv (х) и z, то Cv(x) = &5(z, х). Из (2) полу- чаем

L(x)&L(y)^L(x-y).(8)

Отсюда

L(x)&L(y)^L(x\Jy) &L(x^\ у).(9)

Действительно, по лемме 2 мы можем выбрать конструктивное множество г такое, что % U У и z, и тогда

xUy = 2_((z_x) — g) и х(]у=х~(х-у).

Имеем также

L(x)-> L(Do(%)).(10)

Прежде всего заметим, ч^о если awDo(x), то существует b такое, что〈a, b) ех. Так как ае{а}& {а} е (а. &), то отсюда по лемме 1 следует, что £(〃). Следовательно, по лемме 2 существует конструктивное множество z такое, что Do (х) cz г; тогда Do (х) = ^9(г, х).

Лемма 3. Пусть 1 ViV几,lWjW%・ Если а и b конструктивны, то существует конструктивное множество с такое, что для всех 修,...,хл из а

^Х/,/〉三 b 〈光1,.A〉wc

Доказательство. Вначале предполагаем, что /V/, и доказываем это индукцией по п. Сначала пусть г> 1. По индуктивному предположению существует конструктивное множество d такое, что для xlt ...» хл из а

勺〉W b q〈尤2,尤"〉三 d.

Тогда для Xi, ..., хл из а

(修，切〉三6一〈打，х力三axd.

Положим c = axd и, применяя (5), доказываем, что с конструктивно.

Пусть теперь i=l и / >2. По индуктивному предположению существует конструктивное множество d такое, что для 修,心,из а

&•,吃)三 b — <хь х3,...,匕〉е d.

Тогда для %工，а из а

<看，勺〉三匕3“1,, %力三aXid.

Берем c = ax1d9 используя (6).

Наконец, пусть i=l, / = 2・ Тогда для 尤匕••., %几 из а х〉三beg хл>е^-2х2&

(где ап~2 = ах.. .ха с 几一2 сомножителями). Берем с — =ал-2Х2&, применяя (5) и (6). (Конечно, если м = 2, то берем с =氏)

Теперь предположим, что jVi. По (7) и доказанному выше существует конструктивное множество с такое, что для xlf хп пз а

⑴，修〉三 Cv (&) — ®,…，/〉e c.：

Тогда

Ка三b cx:

И наконец, пусть i=j. Тогда для xlf f хп из а

〈修，打〉三b "片w D。俄(仇b))

-g,办〉三 аT X Do 信2 3, &)) X an±

из аиз аЛемма 4. Пусть Q — предикатный символ теории ZF. Для каждого конЬтруктивного множества а существует конструктивное множество & такое, что для хъ ..., хп ■

из а

из а

〈尤工，• • •，х力 м b *-> Ql (^1? •»*,汇几)*

Доказательство. Используем индукцию по предикатным символам. Предположим, что

Q (“ …，%") Q Xi 三 Xj или

Q (尤i, •一，分)*-*/==勺.

Тогда Qz (抬,/) — Q (/,•••, &)• Ввиду леммы 3 достаточно будет найти конструктивные множества с и d такие, что

(xt у) ^с^х^у и

для х и у из а. Возьмем с=^г (аха9 а), d = g2 (аха, а).

Предположим, что Q определено следующим образом:

Q (-^1» * * • > ^л)~\ R(Х1, > • •} Х/z),

так что

Qz (汇].,* • • , X/z) П Rl (*^1т • • • > 尤/1)・

По индуктивному предположению существует конструктивное множество с такое, что для хъ ... 9 хп из а

(修，时〉三CqRz(Xl 尤).

Берем ь=а也一0.

Если Q определен следующим образом:

Q (尤 1，^п) *"* ^1 (-^1> • * • > -^л) V 欠2 (尤1，：尤/i),

то мь1 берем множества。丄 и c2f соответствующие Ri м &, и полагаем b — c1(Jc2^

Теперь предположим, что Q определяется так:

Q (^i> * • • > ^п) 三^/R (у, %i, • • •, X"), так что

Ql(%i,х，Ту (L (у) & Rl (у,尤工，.•.，X/i))*

Определим функциональный символ F следующим образом. Если Зу (Л (y)&RL (У,石，…，当))，то 尸的，…，^—конструктивное множество у наименьшего порядка такое, что

Rl(у,尤1，， …，右),

в противном случае F (хъ .,., хл) = С (0). Пусть

c = [F (尤l …，二)I小 w a &...&亏三a].

По лемме 2 существует конструктивное множество d такое, что aUcud. По индуктивному предположению существует конструктивное множество е такое, что для у, хъ ..., хл из d

(У，石……X)三e - RL(y,打，…，当).

Заменяя е на 6八@&岂,можно предположить, что eud^+i. Тогда для хь ..., хл из а

«1,…，х0 三 Do© — тр ® 个 d & (у,尤1,…，&〉we) ^3y(yed&RL {у,打，/)) С 也(L 匂)&а (y,也，%))‘

Qz.(xj_, •…，Х/i).

Поэтому мы можем взять b = Do(e).

Теперь мы можем доказать, что L -™ интерпретация тео-: рии ZF в теории ZF. Ясно, что ЗхЬ (х). По лемме 1 L транзитивно, поэтому по лемме 2 из § 9.5 интерпретации аксиомы объемности и аксиомы регулярности выполняются.

Чтобы доказать интерпретации аксиом подмножества, достаточно по лемме 3 из § 9.5 показать, что если у, 。口 •…,卩衣 конструктивны, то множество

[x\xey&QL{x, Vi,勿)](П)

конструктивно. По лемме 2 существует конструктивное мно-- жество, включающее у и содержащее элементы %,・.., ％., Поэтому по лемме 4 существует конструктивное множество г такое, что % 三 у

〈修 ^1, • • - »。/г〉三 ％ *^ Q/, (%,力，• ■ •) uj.

Заменяя г на zn(f/x{ajx・・ •><{%})， имеем для всех х xwR^2)QXWy&Q/.a，%,•••, %)•

Следовательно, множество (И) есть Ra (z) = Do (Cv (г))； и поэтому оно конструктивно.

Чтобы доказать интерпретации аксиом замены, достаточно по лемме 4 из § 9.5 показать, что если 尸 является L-инвариантньш и wt v19 ..,, vn конструктивны, то сущест-. вует конструктивное множество г такое, что F (х, v^ .. s ...,%)uz для всех 汇三侬. Пусть 〃 = Un ([尸g» 力 ...,ул) I x e co]). По лемме 1 каждое множество из и кон-： структивно. Поэтому по лемме 2 существует конструктивное^ множество z такое, что а и z. Тогда для * w 5;

尸(х,力,…,%) и〃 и z.，

Чтобы доказать интерпретацию аксиомы степени, достаточно по лемме 5 из § 9.5 показать, что если у конструктивно, то существует конструктивное множество, которое содержит множество [x|L(x)&xcz у]. Это следует из леммы 2.

Чтобы доказать интерпретацию аксиомы бесконечности, достаточно по лемме 6 из § 9.5 показать, что (о конструктивно. В действительности мы докажем, что каждый ординал конструктивен.

Прежде всего напомним, что мы доказали в теории ZF Зх (Ord (尤)& % 卒 у).

При доказательстве ) не использовалась аксиома бесконечности, поэтому интерпретация этой формулы

L (у) f Эх (厶(%) & OrdL (х) & х ^ у) доказуема. Далее, Ord абсолютно для L (так как наше доказательство абсолютности не требовало интерпретации аксиомы бесконечности). Поэтому

L (у) Hr (L ⑶ & Ord (尤)& % 挙 у).(12)

Теперь мы можем доказать L (а) трансфинитной индукцией по а. Индуктивное предположение показывает, что каждый элемент из о конструктивен, поэтому по лемме 2 существует конструктивное множество у такое, что о и у. По (12) существует конструктивный ординал т такой, что т 空 у. Имеем а^т, поэтому 0 =兀 или grt. Так как L транзитивно, то отсюда следует, что а — конструктивное множество.

97 Аксиома конструктивности

Формула VxL (х), которая утверждает, что каждое множество конструктивно, называется аксиомой конструктивности. Теория, полученная из теории ZF добавлением этой аксиомы, обозначается через ZFL.

Мы вовсе не намерены принимать аксиому конструктивности в качестве аксиомы теории множеств, так как нет причин верить, что она истинна. Однако она полезна при исследованиях непротиворечивости, как показывают следующие две теоремы Гёделя.

Теорема 1. Если теория ZF непротиворечива, то теория ZFL также непротиворечива.

Теорема 2. Аксиома выбора и обобщенная гипотеза континуума являются теоремами теории ZFL.

Отсюда следует, что если теория ZF непротиворечива, то ни отрицание аксиомы выбора, ни отрицание обобщенной гипотезы континуума не доказуемы в теории ZF (и даже в теории ZFC).

Чтобы доказать теорему 1, мы покажем, что L есть е-интерпретация теории ZFL в теории ZF. Так как мы уже показали, что £ есть интерпретация теории ZF, то необходимо только доказать интерпретацию аксиомы конструктивности.

Вначале покажем, что С абсолютно (для всех транзитивных е-интерпретаций теории ZF). Абсолютность 南 следует из результатов § 9.5. Чтобы увидеть это, лучше всего переформулировать определения, используя л^. Так, например,

&(X,圻= [z|z wx&z = 5i(z), 口1 ⑵〉],

8б(х, //) = [21 г е х & г = (nJ (z), л| (г),嚼(z)〉&

&(竭(z), n；(z),吗(z)〉三川. Абсолютность 厶 получается сразу. Итак, С определяется следующим образом:

” C(o) = G(a, [<С(т), т>|т<а])

для определенного G; мы должны показать, что G абсолютно. Мы можем определить G так:

где R определяется следующей формулой:

R (д, <г, f)，(Jo(o) = 0&g=Ra (f)) V

V(Jo9)=l&y = 8i {尸厶 9), flJ. (a))，V-..

…V(9V/o(o)&U = {f/(o),尸厶⑹卜

Тогда R абсолютно, поэтому и G абсолютно.

Теперь докажем, что L абсолютно для £ (но не для всех транзитивных е-интерпретаций). Имеем

厶(х) с Зу (Ord 匂)& х = С ®))・

Поэтому достаточно показать, что Ord (д) &х = С (у) полно

в у для L. Но это следует из того, что каждый ординал конструктивен.

L-интерпретацией аксиомы конструктивности является

Vx (L(x)-^Lz (х)).⑴

Абсолютность 厶 для L означает, что

L(x)-> (L (%)—厶(х));

а из этого, очевидно, следует (1).

Теперь обратимся к доказательству теоремы 2. Доказательство аксиомы выбора в теории ZFL совершенно простое. Определим

' Ch (%) = С (к(у(%，0->С(о)三 %)).

Аксиома конструктивности показывает, что функция Ch корректно определена и

х，0->Ch (х) ех.

Из этого следует* что функция выбора на х определяется следующим образом:

[〈Ch®), y}\y^P(x)-{Q}l

Чтобы доказать обобщенную гипотезу континуума, вначале установим соотношение между кардиналами и конструктивными множествами, показав, что

Card (С* (№)) = №•(2)

Так как [(С (т), т) | т <； Ка] является сюръективным отображением из № на С* (№), то Card (С* (Na)) ^ Card (№)= =№• Чтобы доказать обратное неравенство, достаточно определить инъективное отображение Ко на С* (Nu)・ Пусть F (т) будет (единственный) ординал такой, что К (尸(т))= =(0, т〉； пусть『t=C(F(t)) для т wN「Если tV 宮о, то Max(K(F(T))) = tVNo=Max(K(№)) по (24) из § 94, поэтому F (т) < Ка по (20) из § 9.3. Таким образом, f~ отображение из Ка в С* (N) Предположим, что т, т/ 三 Ко и т^=т\ Тогда F (т) ^F^'). Если F(t)V#(t‘)，то

/Ч=С(F ⑺)е С* (尸 В)) = С (尸(Y)) ="'・

Аналогично, если F (V) VF ⑺,то『丁 三广а. В любом случае『t，f”，по (4) из § 9.3. Следовательно, / инъективно.

По (29) из § 9.4 и (2)

Card (Р (С* (№))) = 2%(3)

Мы докажем, что

P(C*(Nc))uC*(Ns(。)).(4)

Из (4), (3) и (2) имеем

2*VNs(。).

Из этого и (33) из § 9.4 мы получаем обобщенную гипотезу континуума.

Доказательство (4) основано на следующей лемме, являющейся формальным аналогом теоремы о мощности.

Лемма. Пусть Т — теория, полученная из теории ZFL добавлением константы В и аксиомы Trans (В). Тогда s подходящем консервативном расширении Т' теории Т мы можем определить константу А и доказать

в и 4

Trans (Л),

Card (В) V No f Card (А) V Zu

и А^ Аа для каждой замкнутой формулы А теории ZFL. Доказательство. Чтобы построить Тг из 7\ добавим константу D и аксиомы

В uD,(5)

Card (В) W Nu f Card (D) V Кг(6)

и

xi,xj三0⑺

для каждого функционального символа 尸 теории ZFL. Сначала докажем, что Т‘ является консервативным расширением теории Т, Предположим, что А — формула теории Т, доказуемая в теории Т‘. Пусть Ti получается из теории Т добавлением константы Р. По теореме редукции \-тгВ-^ А, где В —конъюнкция замыканий аксиом (5), (6) и (7). По теореме о константах и правилу 3-введения [~тЭхВг ^ А, где В' — результат замены D в В на новую переменную х. Но —『31*8' по теореме замыкания; следовательно, \-т А.

Теперь покажем, что

\~Tf Xi, ...» хл s D (Q (%1, ...» х^ с Qd(x*,…,Кд))

Для каждого предикатного символа Q теории ZFL, Используем индукцию по предикатным символам. Если Q определено ^следующим образом: Q (хп 厶)。修已巧 или QGi, • •,厶)。修=巧，то Qq есть Q и результат очевиден. Если Q определяется как отрицание или дизъюнкция, то результат следует из индуктивного предположения. Теперь предположим, что Q определяется следующим образом:

Q (X1,編)3yR (弘打，…, -Vn).

По индуктивному предположению

x1〃 .一，Х^ g 三 D ->(R (4, x上，….，心)<■* Rd (g, Xi, . …，/))； таким образом, при условии, что хь ..., хп Dt имеем Эу(y^D&R(yf 打山)q

cmyfjjwD&Ra 色,打，，二)).

Правая часть есть QD (хъ ...» 当)；таким образом, нам нужно лишь доказать, что левая часть эквивалентна Q(%n ..., x〃). Для этого достаточно доказать (при условии, что х1( ..., хп е D)

三川(弘 石，%")f 三沙®三0&R (协 /，.一，品)).

Определим F (尤工,...,х吊) как множество у наименьшего порядка такое, что R(y, хххл), если такое у существует, и 0 в противном случае. Если

RR (勿乱…，xj то

-R (尸(-^1, • • * » %%), ^1> • ■ • , X/z)・

Ho F(a*u ..., x„) е D по (7), следовательно, Зу (у w D & & R (у,> -^п)) •

Пусть теперь Л — замкнутая формула теории ZFL, определим 0-местный предикатный символ Q с помощью Q — А. Как и раньше, FQcQq, поэтому |— Л ^ AD. Из этого мы заключаем, что D есть ^-интерпретация теории ZFL в Т'・ Действительно, пусть В — некоторая аксиома теории ZFL и А — замыкание формулы В. Тогда AD — замыкание формулы 笈⑵. Мы последовательно приходим к заключению, что В, A, Ad и В⑵ доказуемы в теории Т‘.

В частности, интерпретация аксиомы объемности относительно D доказуема. Далее, gwx->Od (у) VOd(x) по

лемме 1 из § 9.6; Od — ординальный функциональный символ такой, что Set#(Od ⑴ vo), так как Od(x)Vuf % 三 е С* (S (а)). Поэтому мы можем применить результаты из § 9.5. Определим

F(y)^[F\ х е D &х у] и

力=[尸(х) I х е D].

Мы приходим к выводу, что Л транзитивно и 尸一пзомор- фпзм е-интерпретаций D и А. Отсюда следует, что Card (Л) = Сагб (D), поэтому в силу (6) получаем

Card (В) V № ->Card (Л) < 乩・

Используя лемму 1 из § 9.5 (примененную к 0-местным предикатным символам), покажем, каки раньше, что |— 4。— с Ад для произвольной замкнутой формулы А теории ZFL. Следовательно, [- А Ал для такой формулы А.

Осталось доказать, что В cz Л. Для этого достаточно показать, что

х 三 В —F (%) = %,

Докажем это индукцией по Od(х). Пусть хе В. Если У м % то Od ®) VOd (灯 и у w В ввиду транзитивности В. Следовательно, по индуктивному предположению и включению В uD имеем

F(x) = [F 匂)\ywD&у 巨 х]=[у 必三灯=尤

В обозначениях доказываемой леммы Л есть е-интер- претация теории ZFL в теории Т‘； доказательство этого факта аналогично соответствующему доказательству для D. Определение

Od (х) = ца (х — С (о))

вместе с абсолютностью С показывает, что Od абсолютно для Л. (Конечно, аксиома конструктивности нужна для выполнения определяющей аксиомы для Od.) Отсюда следует, что Od будет Д-инвариантным. Из этого и транзитивности А получаем

尤 м 4fod (%) и / f

Card (Od (x)) w Card (Д).

Используя это вместе с В и 4 Card (В) W №r f Card (4) V WNg, получаем

Card (В) V № & х 三 8 f Card (Od (%)) V No-

Из правой части следует, что х 巨 С* (Ns(<?))• Действительно, если х 咕 С*(*(в), то *$笛)VOd (лг), поэтому

№ < Ns в) = Card (Ns ⑹)V Card (Od (%)).

Поэтому формула

Card (昨必―BuC*(Ns《s)

доказуема в теории Т‘. По лемме эта формула доказуема в теории Т. Следовательно, по теореме дедукции и теореме о константах получаем, что формула

Trans (&) & Card (匕)V Nu -> 力 и С* (兩⑷)(8)

доказуема в теории ZFL.

Теперь мы можем доказать (4). Пусть ае Р (С* (Ко))» т.巳 а и С* (Nu)・ Пусть Ь = С* &仃)U {司・ По лемме 1 из § 9.6 С* (Kg) транзитивно. Из этого и из того, что а и иС*(*у), мы видим, что Ь транзитивно. Также

Card (b) V Card (С* (№)) + Card ({а})=必 + 1 =乩по (2). Следовательно, b и С* (Nsg)) по (8); таким образом,@ м e密 (Ns ⑹).

Это завершает доказательство теоремы 2.

Закончим этот параграф применением доказанной леммы к выводу формального варианта теоремы Левенгейма — Ску- лема. Пусть ZFLA —теория, полученная из теории ZFL добавлением константы Л и аксиом

Trans (Л),

Card (Л) V №

и Л о Да для каждой замкнутой формулы А теории ZFL. Докажем, что теория ZFL^ является консервативным расширением теории ZFL.

Для доказательства возьмем теории Т и Т\ как в лемме, и пусть Тг, получается из теории Тг добавлением аксиомы 8 = 0. Тогда все аксиомы теории ZFL力 будут доказуемы в теории Т", поэтому достаточно будет показать, что теория Тп является консервативным расширением теории ZFL.

Предположим, что А — некоторая формула теории ZFL, доказуемая в теории Т". По теореме дедукции В = 0-^А доказуема в теории Т и» следовательно, в теории Т. По теореме дедукции и теореме о константах формула Trans (6) & 6 = 0 -> 4 доказуема в теории ZFL, Подставляя О вместо А видим, что А доказуема в теории ZFL.

Мы можем показать, как и раньше, что Л есть 三-ин- терпретация теории ZFL в теории ZFL^. Таким образом, мы имеем счетную транзитивную е-интерпретацию теории ZFL в ее консервативном расширении ZFL再.

9.8. Вынуждение

Теперь мы опишем один метод построения интерпретаций теории ZFC, которые будут применяться для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума ).

Мы будем строить расширение теории ZFL, в котором будет даваться эта интерпретация. Предположим, что фиксирована константа CD теории ZFL такая, что |—zfl 0 eCD. (Фактический выбор CD будет зависеть от приложения.) Элементы множества CD называются условиями. Мы считаем, что областью изменения р, q п г являются условия. Если pug, то мы говорим, что условие q есть расширение условия р.

Каждому условию будет соответствовать некоторое (частичное) описание интерпретации /. Кроме того, описание, соответствующее любому расширению условия р, будет содержать описание, соответствующее условию р. Однако не все эти описания будут корректными описаниями интерпретации I, Мы будем отличать некоторые условия, которые будем называть корректными условиями, и строить /, соединяя описания, соответствующие корректным условиям.

Чтобы обеспечить существование по крайней мере одного корректного условия, потребуем, чтобы 0 было корректным условием. Чтобы обеспечить непротиворечивость описаний, соответствующих двум корректным условиям, мы требуем, чтобы условие pjg было корректным, если только условия р и(7 корректны.

Имеется еще третье требование, которое выражает намерение обеспечить, насколько это возможно, чтобы каждое множество содержало некоторое корректное условие. Ситуация, в которой это оказывается невозможным, состоит в следующем: мы выбрали р в качестве корректного условия, но не существует условия q в множестве х такого, что р U 9 является условием. Это наводит на мысль, что это требование должно состоять в следующем: для каждого множества х существует корректное условие р такое, что либо р находится в х, либо никакое расширение условия р не находится в

Строим теорию ZFLcor из теории ZFL, добавляя унарный ^предикатный символ Сог и четыре новые нелогические аксиомы:

Corx. Cor (р)->р e CD.

Cor2. Cor (0).

Сог3. Cor (р) & Cor (g) — Cor (p U g)・

Cor4, Bp (Cor (p) & (p 三 x\J Yq (p uq & q 三CD f gU%))).

Заметим* что мы не добавили аксиом подмножеств и замены, содержащих новый символ Сог, поэтому мы не можем применять наши результаты об образовании множеств к формулам, содержащим этот символ.

Наша первая задача — доказать, что если теория ZF непротиворечива, то теория ZFLcor непротиворечива. Из непротиворечивости теории ZF следует непротиворечивость теории ZFL и, следовательно, ее консервативного расширения ZFL厶.Более того, Л есть интерпретация теории ZFL в теории ZFL力.Мы расширим эту интерпретацию до интерпретации языка L (ZFLcor)> определяя Сог^ в теории Z户L』.Затем мы докажем интерпретации всех новых аксиом, показав тем самым, что мы имеем интерпретацию теории ZFLcor в теории ZFL貝.Это даст нам требуемый результат.

Пусть область изменения р, ^ и г в теории ZFL^ есть CDa. Подмножество с множества CD貝 будет называться генерическим, если оно удовлетворяет следующим трем требованиям:

Owe,

”pwc&qwcfpUqwc,

Vx (% е Л -> Эр (р е с &

&(PRx\J Yq(puq&q 三 СОЛ q U x)))).

Вначале докажем, что генерическое множество существует. Пусть все элементы Л расположены в последовательности %о, %i, ••• Определим индуктивно последовательность г。, pi， элементов множества CD貝.Пусть ро=О. Теперь предположим, что рп уже выбрано. Если существует q такое, что /^ и g и g 三 尤孔,то пусть "孔+工 будет таким q. (Чтобы точно указать % мы можем считать, что это q имеет наименьший порядок.) Если такого q не существует, то пусть р哈尸 рм Ясно, что множество [рл | n е s] генерическое.

Определим константу G с помощью аксиомы, утверждающей, что G — генерическое множество, имеющее наименьший порядок. Затем определим

Согл 伪)ср 三 G.

Так как CD^ 三 4 и Л транзитивно, то каждый элемент множества CD^ находится в 力.Используя это и абсолютность 0, U н и, находим, что интерпретации Cori — Сог4 эквивалентны формулам

Согл (р)тpwCDa,

Согл (0),

'CorA (р) & Cor』⑷-> Согл (р U 9),

х е Л Зр (Согл (р) &

& (pRx\/ Yq(puq&q 三 CDA f g 侬 ％)))・

А эти формулы следуют из того, что G генерическое.

Теперь возвратимся к построению нашей интерпретации теории ZFC в теории ZFLCor. Вначале мы должны точно определить описание /, соответствующее условию р. Мы определим, что означает для каждого предикатного символаQтеории ZFC выражение: р вынуждает^ (也,…・,％%)・ Тогда описание, соответствующее условию ", будет по определению утверждением, что Qj(%i,...,工九) истинно, в случае, когда р вынуждает Q(/*公)・

Сначала рассмотрим случай, когда Q есть е. Мы хотели бы иметь возможность строить множество у так, чтобы для каждого условия р множеством всех таких х, что р вынуждает х eyt было бы заранее определенное множество Zp. Мы можем сделать это, взяв в качестве у множество всех пар〈х* р〉таких, что х 三之中 а затем определить, что 《р вынуждает х е у》 означает (х, р) w у.

Это определение должно быть изменено так, чтобы описание, соответствующее любому расширению условия р, включало описание, соответствующее условию р. Поэтому мы определяем

xWp^Q Vg(p и 〈х, ф Е у).

Ясно, что

XWpy&puqfXRqU(1)

x 三词 f х g Ra 仅).(2)

Мы хотим, чтобы р вынуждало xeyt как только 尤已卩//・ Естественно также считать, что р вынуждает х^у, когда р вынуждает x = z для некоторого г такого, что

Опишем последовательный отбор корректных условий, где каждое корректное условие будет расширением всех предыдущих. Если q выбрано и г е дх, то г должно будет находиться в х. Если никакое расширение условия q не вынуждает г е у, то мы не сможем никогда вынудить, чтобы г находилось в у. Поэтому л* и у будут неравными. То ясе выполняется, если г е 9у и никакое расширение условия q не вынуждает zwx. В обоих случаях мы говорим, что q препятствует х=у. Тогда мы хотим, чтобы р вынуждало х=у, если никакое расширение условия р не препятствует 尤

Таким образом, мы приходим к следующим определениям*

А. Условие р вынуждает х w у, если для некоторого z имеем zw「y, и р вынуждает x~z.

Б. Условие р вынуждает х = у, если для каждого z и каждого расширения g условия р выполняется следующее:

если г 三 /, то некоторое расширение условия q вынуждает г е у;

если 之至小 то некоторое расширение условия q вынуждает г е %*

Мы должны показать, как можно устранить порочные круги в этих определениях. Будем рассматривать А как определение множества | х w g | условий, вынуждающих % еу, и Б как определение множества \х = у\ условий, вынуждающих х — у. Тогда Б определяет |х = у| в терминах [zw%| и |z 巨д|, где

mq(z』x\Jzw 期.⑶

Если мы заменим | г ^ х | и |zwg| на их определения в соответствии с А, то мы получим определение В' для \х = у[ в терминах jz = W，гДе

ТеперьИз посылки так както мы имеемТеперьИз посылки так както мы имеем三g(з三/V^w初，(4)

Теперь

Из посылки так как

то мы имеем

Теперь

Из посылки так как

то мы имеем

z 三 Ra (x) f Od (г) V Od (x).(5)

следует, что (г, w) ex для некоторого W]

z 告{z} и {z}三 <г, ш>,

Od (г) < Od (х) по лемме 1 из § 9.6. Из (2),

(3), (4) и (5) получаем

Max (<0d (г), Od (ш))) < Max ((Od (х), Od(y)〉)・

Поэтому мы можем рассматривать В' как определение с помощью индукции по Max ((Od(x), Od®)〉)・ Для этого мы должны доказать

Set^ у (Max «Od (х), 6d®)〉)vo),

но это следует из

Max(〈Od(x), OdG/)〉)W。—х, ^wC*(S(。)).

Поэтому мы можем принять В' в качестве определения х=у\. Если мы затем примем А в качестве определения %三沙|，то мы можем доказать Б из Б' и А.

Теперь определим р вынуждает Q(Xi, ..,, *〃) индукцией по предикатным символам следующим образом.

Если Q (石,.…,хл) ^ X/ е х「 то р вынуждает Q(;q,公),если р вынуждает х, елу..

Если Q(xn ..., Xn) ^ Xi=xj, то р вынуждает Q(%l Хп), если р вынуждает х尸义卜

Если Q (石,...,хл) ^> ~| 7? (х^办),то р вынуж

дает Q(Xi,，一, xj, если никакое расширение условия р не вынуждает 欠(石,...,х孔).

Если

Q (/，. . •，X也) R (*1，一、》xQ\/R (无[, …r X用)， то р вынуждает Q (xlf..., хл), если р вынуждает R (石，尤丿 или р вынуждает Rr (хп /)・

(V)Если Q (xi, ...» хл) 3yR (у,勺，&), то р вынуждает QGl ..., %%), если для некоторого у условие р вынуждает R回 汇i,Х门)。 .

Если эти определения давать формально, то «р вынуждает Q (Xi, …，打)》будет (zz+ 1)-местным предикатным символом от аргументов р, х19 хп. Заметим, что эти определения не используют новый символ Сог, поэтому мы можем применять наши результаты о существовании множеств к предложениям о вынуждении*

Скажем, что Q (хъ ..,, хл) вынужденно, если некоторое корректное условие вынуждает Q(xi, ..., хл). Теперь определим нашу интерпретацию следующим образом:

к 三也 с к 三 у вынужденно, x = ij q х = у вынужденно, Ui (%) q% = x.

Мы иногда будем говорить, что р вынуждает —; это означает, что р вынуждает 0｛制，...,xj, где Q определяется следующим образом:

Q (%i, а) с•

Мы интерпретируем — вынужденно аналогичным путем.

Лемма 1. Если р вынуждает Q (х1т •…, &), то каждое расширение условия р вынуждает Q (хъ ..., хп).

Доказательство проводится индукцией по предикатным символам, используя (1), когда Q есть 三.Детали оставляются читателю.

Лемма 2. Если Q(/,/) a R(*l 左)вынуж

денны ^ то существует корректное условие р, которое вынуждает Q(xi, ..., ")以 左(修,%Л).

Доказательство. Выбираем корректное условие д, вынуждающее Q3,…，力)，и корректное условие г, вынуждающее R(Xi, ..., xj Тогда p = q[jr корректно по Со/, р вынуждает Q (犬工,・…,&) и R (хь ..,, х^) по лемме 1.

Лемма об истинности. Для каждого предикатного символа Q теории ZFC

Q；(ri, •…,打)тогда и только тогда,

когда Q (打,...,хл) вынужденно.

Доказательство. Используем индукцию по предикатным символам. Если Q (х* 工丸)с %i w q или Q (Xi, ..., xJc%£ = a/ to результат следует из определений W/ н =厶 а также пунктов (i) и (ii) определения.

Предположим, что Q (х1#厶)—~|R(Xl ..•,羯).

Тогда по индуктивному предположению

Q,(冷，kQ <~> 口 R/ (%i， • • • 9 л)

R(Xi, …，kJ не вынужденно.

Следовательно, нам нужно показать только, что в точности одно из R(*i,厶)и 1R (х1т хл) вынужденно. По Сог4 существует корректное условие р такое, что либо р вынуждает R (xi, ..., хл), либо никакое расширение условия р не вынуждает R(x^ …・,％〃)*}• Отсюда следует, что по крайней мере одно из R (хх>..., 今)и ~] R (xi, ... ,хл) вынужденно. Теперь предположим, что они оба вынужденны. По лемме 2 некоторое условие р вынуждает R(x^ ..., хл) и "|R(Xl .・•， /)・ Это невозможно в силу пункта (iii) определения.

Если Q(/,…，力)с RS,…，xQVR’g …，&)， то по индуктивному предположению и пункту (iv) определения

Qj (^i> • * • > Х/i) Ri (-^1» * ■ • > ^л) V R/ (*1，•…〉"%) qR (石，…，当)вынужденно или R‘ {Xi, xj вынужденно qQGl ..・,%л) вынужденно.

Если Q(Xl …,хЛ) <^ 3yR (у,不,…,хЛ), то по индуктивному предположению и пункту (v) определения

Q/ (力,今)m^Rf (g」xi, • * ・，^п)

—m〃 (R (у,勺一 •・，хл) вынужденно)

, хл) вынужденно.

Ясно, что

р вынуждает х = у-^р вынуждает у = х. (6) Докажем

zRpXf р вынуждает z 三 х(7)

и

р вынуждает х=х(8)

индукцией по Od (х). Если г 三 рх, то Od (z) VOd (х) по (2) и (5), поэтому р вынуждает z = z по индуктивному пред-

положению; следовательно, р вынуждает 之三犬.Теперь, если pug и zw^x, тогда, как только что было доказано, q вынуждает zwx, поэтому р вынуждает х = х.

Далее мы докажем, что

р вынуждает х=у и р вынуждает y = z~^p

вынуждает х = г, (9) индукцией по Od (г). Ввиду симметрии достаточно показать, что если pug и aw/, то некоторое расширение условия q вынуждает a 三 z. Так как р вынуждает х=у, то некоторое расширение г условия q вынуждает。三 у. Тогда г вынуждает 〃 =瓦 где 6 е гу. Так как р вынуждает*!/—г, то некоторое расширение f условия г вынуждает 石 wz・ Тогда условие 产 вынуждает Ь=с* где 。三,，z. По (2) и (5) Od(c)VOd(z), а по лемме 1 условие г' вынуждает а = Ь. Следовательно, по индуктивному предположению условие 『'вынуждает a=a Отсюда следует, что условие 尸 вынуждает a w z.

Теперь перейдем к доказательствам интерпретаций аксиом теории ZFC. Интерпретация аксиомы тождества есть x=jx. Так как 0 корректно по Сог2 и 0 вынуждает х — х по (8), ТО Х = /Х.

Интерпретация аксиомы равенства для = есть

Х =【у fZ = i3fX = iZfy=iW.

Это легко доказать из

x = iyfy = ix(Ю)

и

х =【у &д =伍 + х =任・(11)

Но (10) следует из (6). Чтобы доказать (11), допустим x — iy и у = /г. По лемме 2 существует корректное условие р, вынуждающее м=у и y = z. По (9) условие р вынуждает х=г; следовательно, х=^.

Интерпретация аксиомы равенства для е есть

X = iy z = jW X ^ jZ у ^ jW.

Эта формула следует из

x=ij&х w 亿 + 目三 口(12)

и

无=%&z 之三心.(13)

Чтобы доказать (12), допустим, что 工=也 и *三必・ По лемме 2 существует корректное условие р, вынуждающее х—у и xwz. Следовательно, для некоторого ш имеем, что р вынуждает х = ® и ⑪ w pN. По (6) и (9) р вынуждает у=⑪；следовательно, р вынуждает у е г; таким образом, у е ；г.

Чтобы доказать (13), допустим, что х—jy и г е ；х, и выберем корректное условие р, вынуждающее х = у и г ^ %. Тогда для некоторого w имеем, что р вынуждает z~w и 侬 W/. Для каждого расширения q условия р имеем ⑵ Е 三 / и, следовательно, некоторое расширение условия q вынуждает w е у. Это показывает, что условие р вынуждает 】］侬 w у). Следовательно, "П® 三必)по лемме об истинности. Таким образом, w 三叱 Так как имеем также z=『叫 то zei/y в силу (12).

Так как мы уже доказали интерпретации аксиом тождества и аксиом равенства, то мы можем сделать заключение, что интерпретация теоремы равенства выполняется. Таким образом, мы имеем

%=『ут(Q/(x,勿，％)cQj®,％))・ (14)

Интерпретацией аксиомы объемности является

Vz(z 三/»zw/y)f 尤=由・(15)

Пусть а будет множеством всех условий р таких, что

Эг ((г е рХ&р вынуждает z^y)\J(z^ оу&р вынуж-дает z0元)).

Сначала предположимt что а содержит некоторое корректное 丿 условие р. Тогда существует г такое, что, например, z 三 рХ и р вынуждает z 卒 у. По (7) и лемме об истинности z 三 к& 1 (z 三 川)；поэтому левая часть (15) ложна. Теперь предположим, что а не содержит корректных уело- вий. По Сог< существует корректное условие р, не имеющее расширений в а. Тогда р вынуждает х=у\ следовательно, % ^^ 心.

Имеем

х 三初~>mz(x=/Z & ?三 Ra (у)).(16);

Действительно, выберем корректное условие р, выну-. ждающее № //. Тогда р вынуждает x=z и ze ру для некоторого 2. Следовательно, %=/N&N 三 Ra®)・

Лемма 3. Пусть р — некоторое корректное условие, вынуждающее Зу (у w л*). Тогда существует у 〃 корректное расишрение q условия р такое, что q вынуждает у ^ х и g вынуждает z 卒 х для каждого г такого, что Od ⑵ V VOd (/

Д ок аз ател ьство. Пусть а ——множество расширений g условия р таких, что—

三歹(q вынуждает z/ex& Vz(Od ⑵ V Od (у) -> q выну

ждает z 卒 %)).

Мы хотим показать, что а содержит некоторое корректное условие. Предположим, что это не так. По Сог4 существует корректное условие д, не имеющее расширений в а. По Сог3 условие рU 9 корректно и по лемме 1 p\Jq вынуждает у 巨 х для некоторого у. Таким образом, множество таких у, что

土(pUgur &г вынуждает ye %),

непусто. Пусть у — элемент этого множества, имеющий наименьший порядок, и пусть г — расширение для pU% вынуждающее у ех. Так как『苗 а, то существует г такое, что Od (z) VOd (у) и условие г не вынуждает z ^ х. Поэтому некоторое расширение условия г, а значит, и условия " U g вынуждает z 三 х. Это невозможно по выбору у.

Интерпретацией аксиомы регулярности является

.Зу ® W К) f 3» (у 三 /% & 1 三2(N W * & Z 三初).

Предположим, что Зу (уе ;х). По лемме об истинности существует корректное условие р, вынуждающее Зу (у е х).

Выберем g н q, как в лемме 3. Тогда у 已必.Предположим, что z 三『у; мы должны показать, что ](zw#. По (16) и (14) можно предположить, что zwRa®), поэтому Od (г) V Od (у) по (5). Таким образом, q вынуждает z 柒尤； следовательно, ^| (г е /%) по лемме об истинности.

Лемма 4. Если

%=[〈〃，Р〉1〃 w Ra(y)&p вынуждает и^у&р

вынуждает Q (创 vn ••・，％)], то для всех % XRlZfX 三也&QMx， s,.一，%).

Доказательство. Параметры опускаем. По лемме

и^ pz^ (и, р) е г.

14 Дж, Шенфилд

Следовательно,尤三『z эквивалентно

ЗрЗм (Сог (р) & р вынуждает % = 〃&〈％ р) е г),

а значит, и

ЗрЗи (Сог (р) & р вынуждает х = и& u ^ Ra (у) &

& р вынуждает Q (〃)& р вынуждает 〃三 у).

По лемме об истинности и лемме 2 это эквивалентно

Зи (% = /〃&〃 w Ra (у) & 〃三 /У &Q/ (〃))•

По (14) это эквивалентно

Эи (%=м&〃 三 Ra®)&% 三」y&Q/(x))・

Но это в силу (16) эквивалентно xw/y&Q,(x)・ Интерпретация аксиомы подмножеств имеет вид

壬Vx(x三必qxw%&Q/(x,力，勿))・

А это следствие леммы 4.

Имеем

хе『(ухCD) q^z(z 三 y&*=/z).(17)

Импликация слева направо следует из (16). Теперь предположим, что

z wy&x=/2,

и выберем корректное условие 卩 вынуждающее % = z・ Тогда zgp(yxCD), поэтому р вынуждает xw(gxCD); следовательно, %w『(gxCD)・

Интерпретация аксиомы замены имеет посылку '

\fx3u\/y (y^fU^ Qz (х, р))(18)

и заключение

3z^y(3x (xezay&Q/ (х, y))f ywQ. (19)

(Здесь мы опустили все параметры.) Пусть 尸(х, р) будет множеством и наименьшего порядка таким, что

р вынуждает Vp(y 三〃— Q(%, у)),(20)

при условии, что такое и существует. Допустим (18). Тогда для каждото х существует и такое, что Vz/ [у е 三招 cQ『(爲 у)), поэтому по лемме об истинности существует корректное условие р такое, что (20) выполняется. Отсюда следует, что (20) выполняется для 〃=尸(看 р). Таким образом, используя снова лемму об истинности,

получаем

^хЭр^у (у е /F (х, p)cQ/(x, у)).- (21)

Для данного w положим

2 = Un ([Ra (尸(居"))I x w Ra (⑵)l,?)xCD.

Чтобы доказать (19), мы должны показать, что хм 曲&Q/(x, у) —у 至".

По (16) и (14) мы можем предположить, что 尤每 Ra(^). Выбирая р по (21), мы имеем у 三 7F (х, р). По (16) у『у' для некоторого уг из Ra (尸(х, р)), поэтому у ^ jz по (17).

Интерпретацией аксиомы степени является

' 3w Vx(Vz(zI价—х 号 №).

Пусть w=P (Ra (//) xCD) xCD. Допустим, что Vn(zw 三 /X f N 三 №), И ПОЛОЖИМ

。=[(u, p〉I 〃 三 Ra (у) & р вынуждает и 三 у&p внну・ ждает u е х].

По лемме 4 мы имеем для всех z

z ^ iV ^ Z ^L1У & Z ^ [X

Q N 三 /%.

Ввиду интерпретированной аксиомы объемности х=7у.Так как uuRa®)xCD, то 汇三涇 по (17).

Пусть ZF0 —теория, полученная из теории ZF опусканием аксиомы бесконечности.

Лемма 5. Пусть J — некоторая интерпретация теории ZF0 в теории ZFLcor w О — функциональный символ такой, что в теории ZFLcor

^Uj(O^(22)

1 х ^ jO (а) Зт (т < а & х=/)(т)).(23)

Тогда J — интерпретация теории ZF. Более того, интерпретацией формулы % = s относительно J является 尤=j。(со).

Доказ ательство. Определим (в теории 2F0)

Zei■⑶ с Vy 匂争 х),

Sue (%, у) C Vz(z 三 Л*С 2 三 yVz = y).

Из (23) имеем

Zerj(O(0)),(24)

Sucj(O(S(u)), 0(g)).(25)

Используя эти формулы, а также (22) и (23), получаем 3t/(Uj(y)&y^ jO (w)&Zer7(у)),(26)

Yy (Uj@&y w jO(3)-> 壬(Uj ⑵ & z 三 jO (to) & Sucj(z, g))).

(27)

Аксиома бесконечности есть формула

Эх (By ® wx&Zer(y))& V// (у е x^Bz (z ^ х& Suc (г, у)))).

Ее интерпретация легко следует из (26), (27) и (22).

Теперь определим

Nn (犬)— хе со.

В теории ZF мы можем доказать 3y(y^w& Zer (//)) & Vy (у 三⑪->3г (z w 切 & Sue (z, у))) &

& Nn“)一>%w w. Если мы возьмем интерпретацию этой формулы, подставим O(s) вместо ш и применим (26) и (27), то мы получим

Uj(犬)&Nn」(x)f х w j。®)*(28)

Мы можем также доказать в теории ZF формулы

Zer (х) -> Nn (х), Nn (х) & Sue (у, Nn(g)・

Беря их интерпретации и применяя (24) и (25), получим

NnJ(0 (0)),(29)

Nnj(0 (о)) т Nm(。(S (a))).(30)

Теперь допустим, что

Зх (〃 (％) & л•三 jO (s) & ~| Nnj (x)).(31)

В теории ZF в силу аксиомы регулярности мы можем доказать 士 (％ w g & 1 Nn (х)) f

-> Зх (% e t^ & ~| Nn (x) & Уг (г e x & г e Nn (г))). Беря интерпретацию этой формулы, подставляя О((о) вместо ш и применяя (31), получим, что существует л* такое, что

Uj (X)&XGjO (й))&~| Nny(x), и такое, что для всех г

Uj(z)&n Wj*&zMjO®)f Nn」⑵.(32)

По (23) x = jO (а) для некоторого натурального числа о, поэтому ввиду интерпретированной теоремы равенства мы можем предположить, что х есть О (о). Из ~| Nn；(O (а)), (29) и (30) получаем, что g = S(t), где ^ Nny(0 (т)). Полагая О (т) вместо z в (32) и используя (22) и (23), получаем №1 丿(。(力 Итак, мы получили противоречие с (31). Из этого и (28) получаем

Uj (%) f (Ntij (五)—x w jO®))・(33)

В теории ZF формула x = co эквивалентна Vy(ywxc —Nn (x)). Отсюда следует, что интерпретация формулы х = з эквивалентна

' 打(Uj ®) f ® 曰 к — Nn」(%))).

По (33) это эквивалентно

V 孙(Uj (у) f ® 三 К Q У W /О ®)))・

А это эквивалентно x^jO (о)) в силу интерпретированных аксиом равенства и объемности.

Чтобы применить лемму к нашему случаю, определим трансфинитной индукцией по о

0(о) = [0 (t)|t<q]xCD.

Тогда (22) очевидно, а (23) следует из (17)*

Аксиомой мультипликативности называется следующее утверждение: если 0 挙 z и если каждые два различных элемента множества г не пересекаются, то существует множество у, имеющее в точности один общий элемент с каждым элементом множества г. В теории ZF- из этой аксиомы следует аксиома выбора. Действительно, пусть % дано, для а и х пусть

^a~[{b9 а)\Ь^а\.

Пусть г = [га I а е Р (х) — {0}] и множество у таково, как утверждается в аксиоме мультипликативности. Тогда y[\z является функцией выбора на х.

Отсюда следует, что нам нужно только доказать интерпретацию аксиомы мультипликативности. Пусть, следовательно, нам дано г такое, что

w е 12^Эа(ае 政)(34)

и

- w е [Z&ae jw&wf е jz&ae jwf f 切=修/.(35)

Мы собираемся найти у такое, что

侬三 痉 f"3a (а 三世)& a w jj)(36)

и

w^jz&a^1w&.ae1y&be：『⑦&匕三心一> a=/b・ (37) Возьмем в качестве у множество всех пар〈〃，р) таких, что для некоторого *w условие р вынуждает w ^ z и a ^w, а также р вынуждает b ^w для всех 匕 таких > что Od (&) V V Od (а). Тогда q 已 рУ — @ Р)^У по лемме 1.

Вначале докажем (36). Пусть w е ；г. По (34) и лемме об истинности существует корректное условие р, вынуждающее ©wn и 三。(仪三侬)・ Следовательно, по лемме 3 существует а и корректное расширение q условия р такое, что q вынуждает ae.w ц q вынуждает 6 ^ш для всех 6 таких, что Od (6) <Od (〃). Тогда @ g〉w у. поэтому ае дУ； отсюда условие q вынуждает awy、 Поэтому а е

Теперь докажем (37). Допустим, что посылка верна и выберем корректное условие р, вынуждающее а^у. Тогда длй некоторого с условие р вынуждает а = с и 〈с, р〉е у. Поэтому для некоторого з* условие р вынуждает o/wz, с и d 争切' для всех d таких, что 6d (d)vOd(e), откуда

a=fc&wr м е & с 三 /⑪，& Vd (Od (d) vOd (c)f 1(dwm'))・

По (35) имеем 酬==冲< поэтому

a=w&c 三 m & Vd (Od (d) VOd (c)f I (d e 曲))•

Подобным образом найдем d такое, что

K = jd&d w /&у & Vc(Od (с) VOd (d) ->~| (с е /©))•

Из этого мы получаем Od (с) —Od (d), поэтому c = d・ Так как a = ic и Ь = & то отсюда следует, что а—[Ь.

9*9* Доказател ьст в а независимости

Теперь мы переходим к доказательству двух следующих теорем Коэна.

Теорема 1・ Если теория ZF непротиворечива, то гипотеза континуума не является теоремой теории ZFC.

Теорема 2. Если теория ZF непротиворечива, то аксиома выбора не является теоремой теории ZF.

Для доказательства теоремы 1 мы хотим выбрать надлежащим образом константу CD, а затем показать, что выполняется интерпретация отрицания гипотезы континуума. В действительности мы докажем интерпретацию предложения, из которого следует отрицание гипотезы континуума. Определим (в теории ZFC)

Im (厶 х, у) с (у, х) w /,

Sur(tz, b) с m『Yу (у 三 b f"3x (х 三 а & Im (L х, у)&

& ¥г (Im (Д х, ?)f % = У)))・ Тогда Sur ((7, b) означает, что существует сюръективное отображение из а на Ь. Имеем

&=# 0 & Card (6) Card (cz) -> Sur (a, b)・(1)

Действительно, из посылки следует, что существует биективное отображение из некоторого подмножества множества о на Ь; это отображение может быть расширено до сюръективного отображения из а на 6. Теперь допустим, что выполняется гипотеза континуума, и пусть

О W а и % и А (со).

Если Card (а) V No, то Sur (w, а) по (1). Если No V Card (а), то

№ V Card (а) v Card (力)v Card (P (з)) = 2& =出.

Следовательно, Card (а) = Card 位),поэтому Sur(〃， b) no (1). Таким образом, из гипотезы континуума следует

VaVb (a W 0&а и 匕 &Ь и Р (s)->Sur (з, а) VSur (а, Ь)).

Поэтому отрицание гипотезы континуума следует из

ЗаЗЬ (〃WO&au6&buP((o)&"| Sur (<й, а) & 口 Sur (а, b)).

Перепишем это так:

Чатьте (с—(о& Зх (х е а) &а cz & & Vx(x е & ->х с= с) &

&~|Sur(c, а) & "I Sur (а, Ь)).

Беря интерпретацию этой формулы и применяя лемму 5 из § 9.8, получаем

ЗаЭЬЭс (с =/Q®) & 三犬(х М/а) & а и/b &

&Vx(№Zb->xcS/C)&П Sur/ (с, а) & 1 Sur； (a, b))・

Используя интерпретированную теорему равенства, видим, что достаточно определить константы 力 и В и доказать

Эх (х ^/Л).

Б. А и/В.

xWjBf х UiO(s).

Г. ~] Sur； (0 (о)), 4).

Л・[Sur/(4 В).

Пусть CD — множество всех отображений из конечных подмножеств из зх№ в {О, 1}. Пусть область изменения i и / составляют натуральные числа. Определим

N9)= [〈0(i), р> I р< <(, о〉=1], Д=[^ (a)|o<Ki]xCD, B = [N (o)|oV№]xCD.

Тогда А и Б следуют по (17) из § 98

Чтобы доказать В, мы должны показать 义三iB & у RXfy 曰О (со).

По (17) из § 9.8 и интерпретированной теореме равенства можно предположить, что x=N (а). По (16) из § 9.8 у =；О(0 для некоторого i; так как О (Z) ^；0 (со) по (17) из § 9.8, то yw/0®)・

Чтобы доказать「и Д, нам будут нужны несколько лемм.

Лемма 1, Пусть х — множество условий такое, что для всех ридизх из p^q следует, что p[)q не является условием. Тогда х счетно.

Доказательство. Определим индуктивно последовательность %。, %!, ... конечных подмножеств множества х. Пусть ал — множество 〈厶 z〉из {О, 1}Х®Х&2)таких, что 〈1—厶 г) находится в некотором условии из х0U ・・• U^-i- ! Так как каждое условие — конечное множество- и х0 U • •- .-.U ^п^ — конечное множество условий, то ап конечно. Мы можем, следовательно, выбрать конечное подмножество хп множества % такое, что для каждого р w х существует q wx几 такое, что p(]an==qC\an.

Теперь достаточно будет показать, что каждое р нз % находится в некотором хл. Так как р конечно н а% и。汽+工,. то можно выбрать п так, чтобы рП%=рП@/1・ Выберем ' q^xn так, чтобы p[\an = q[\an. Если〈厶 г) есть в д, т。

〈1 —% z〉есть в ап^ — q. Так как

РА^+1 = 7П^э

то отсюда следует, что〈1—i, 2〉卒 р. Из этого следует, что р U(7 — некоторое условие; следовательно, по предположению р = д.

Лемма 2. Если р вынуждает Q“,力……，vn) a Vz(Q(z, Vj, ...» v^^ z = y), то p вынуждает x=y.

Доказательство. Параметры опускаем. Пусть q — расширение условия р. Тогда q не вынуждает Зг "] (Q (z) -> 2=») и, следовательно, не вынуждает ~| (Q(x)-> т 尤『^), поэтому некоторое расширение г условия q вынуждает Q(x)-^x^y. Это означает, что г вынуждает либо ~| Q (%), либо х = у. Первое невозможно, потому что условие г, как расширение условия р, вынуждает Q (х). Поэтому условие г вынуждает х=у.

Чтобы доказать, что условие р вынуждает x—yf допустим, что pug и, например, zgqx. Выберем условие г, как и раньше. Так как условие г вынуждает х = у и ?三厂 ％, то существует некоторое расширение условия г, вынуждающее z w у. Поэтому некоторое расширение условия g вынуждает z^y.

Множество а называется отделимым^ если

VpVxVf/ (х, у ^а & р вынуждает х = у + х = у).

Лемма 3. Если Sur7 (tzxCD, bxCD), где Card (а) бесконечен. а множество & отделимоt то Card (力)V Card (а).

Док азате льство. По предположению и (17) из § 9.8 существует / такое, что для каждого у^Ь существует х такое, что'

хe；tzxCD&Im7(/, х, у)&Х/з(1т『(厶 x, 5)—®=『g)・

Отсюда следует, что существует % м а такое, что

Im『(厶 %, y)&V5(Im/(/\ х,侬)т 陋=『力

Тогда по лемме об истинности существует корректное условие р такое, что

Р вынуждает Im (f,爲 у) и Vu> (Im (Д х, з)т 酬=勿・(2) Для х ^а пусть Ьх — множество всех у ^Ь таких, что (2) выполняется для некоторого условия р (не обязательно корректного). Мы показали, что 6 = Un ([bx | х 三 а]). Пока-

жем, что Ьх счетно, из этого будет следовать, что Card (&) v ^Card (а) ■ со=Card (tz). Для каждого у ^Ьх пусть ру будет такое р, что (2) выполняется. Предположим, что у, z^bx и

P = PylPzесть условие. Тогда р вынуждает

Im 亿 х, g) и Vg(Im(厶 / ⑦)->侬=砧

По лемме 2 р вынуждает у —г; следовательно, y = z, так как множество b отделимо. Это показывает, что ру = рг-^ — У = z, поэтому чтобы показать, что Ьх счетно, достаточно показать, что [ру | у 三九]счетно. Но это следует из леммы 1 и только что доказанного результата.

Докажем теперь трансфинитной индукцией по т, что и V е -> р не вынуждает О (и) = 0 (т).(3)

Так как а <т, то 0 (а)三卩 0 (т). Если р вынуждает О (и)= = °(т), то отсюда следует, что некоторое расширение q условия р вынуждает О(а)еО(а). Тогда q вынуждает О (а) = 0 (р) для некоторого р V，Но это противоречит индуктивному предположению.

Из (3) имеем

р вынуждает 0(т) = 0 (о)->т = о.(4)

Используем это, чтобы показать, что

р вынуждает М (тг) = N (и) т = и.(5)

Действительно, предположим, что т W и. Выберем i таким большим, чтобы ни одна пара (г, р) не находилась в области определения условия р. Пусть g — расширение условия р такое, что 〈％ т) и (/, о) находятся в области определения условия g и

G ", t〉=L а) = 0.

Из первого следует, что 0(t) eQN (т). Поэтому некоторое расширение 尸 условия q вынуждает О (i) ^ N (о). Отсюда следует, что для некоторого / условие г вынуждает 6 (i) = О (/) и О (/) еЛ N (а). По (4) i = j, поэтому 尸〈i,o〉=L Это невозможно, так как г — расширение условия д.

Из (4) и (5)

т ^： а -^0 (х) ^ О (а) & N (х) J^ N (а).

Следовательно,

Card ([0 (г) I iVs]) = №, Card([M(o)"V№]) = №, Card(屮 9) ”<№]) = №•

Кроме того, множества |W(u)|oV№] и [^ (а) | а < ^2] отделимы по (5). Вспомнив, что

О (<в) = [О (t) 11 G о] х CD,

видим, что Г и Д следуют из леммы 3.

Заметим, что многие обобщения теоремы 1 могут быть доказаны этим же методом. Например, мы можем доказать, что теория ZFC остается непротиворечивой при добавлении аксиом 2& = Ni и 2“i = №・

Теперь перейдем к доказательству теоремы 2. Пусть CD — множество всех отображений из конечных подмножеств множества сохсо в {0, 1}, Тогда строим /, как и раньше. Построим новую интерпретацию J теории ZF в теории ZFLcor так, чтобы выполнялась интерпретация отрицания аксиомы выбора.

Под перестановкой мы понимаем любое биективное отображение из ю на со. Пусть областью изменения fug будут перестановки. Применяем следующие обозначения: /^ для композиции fug (так что (/。崑)'i = f'(夕⑴)，产 для обращения f (так что /** (0=/ тогда и только тогда, когда /7 = 0 и / для тождественной перестановки (так что /Y = i)・ Скажем, что f есть k-перестановка, если f'i = i ДЛЯ i ::二瓦

Положим

П/(") = «，•/，f%〉K‘，j，々〉wp]・

(Таким образом, л — бинарный функциональный символ, один из аргументов которого записывается в индексе.) Ясно, что Лу (р) — условие; мы имеем 冗卜且(夕)=冗/5g(p)) И 顷(〃) = 〃

Определим

П/(%) = №(</), Л/ (р)〉I {у, Р〉三灯.

Это определение индукцией по Od(x). Имеем П『°^(х) = = П/(Щ(х)).

Говорим, что % инвариантно, и записываем Iv (х), если существует такое А, что Пу (х)=х для каждой А-переста- новки f. Отсюда, очевидно, следует, что П;(х)=х.

Если х инвариантно, то 口了 (х) инвариантно. Действительно, выберем А так, чтобы П^ (%) = % для каждой А-пере- становки g, и выберем k! так, чтобы i£々->尸》0勿・ Предположим, что g есть ^'-перестановка. Тогда f* °g°f есть ^-перестановка, поэтому

П/* (Щ (Пу (х))) = х.

Применяя к обеим частям П『,получим Щ(П； (х)) = Пу(х). Определим Uj индукцией по Od (х) следующим образом:

S (%) q Iv (х) & V^ (у 三 Ra (尤)f Uj ®)).(6)

Теперь завершим определение интерпретации J, взяв 二 такое же, как и е/, н = j такое же, как н =「

Для каждой открытой формулы А формула Д/ такая же, как н 4j； следовательно, если 卜 4"), то 卜 А^}. Из этого получаем интерпретацию аксиом тождества и равенства относительно J. Тогда легко доказать

x = jy->(Qj(%, %,…，勿)—Qj回 力，•一, %))(7)

индукцией по предикатным символам. По (16) из § 9.8 и (6) получаем

Vj(у) &х е jу ^3z {Uj (z) &х-= jz)t(8)

Интерпретация аксиомы объемности относительно 丿 есть Uj (х) & Uj (у) & Va (〃(z) ->(2 三 / — z 三 j 力)-> % =/у. Предположим, что посылка выполняется, а заключение ложно. Применяя интерпретацию аксиомы объемности относительно /, находим, что существует N такое, что ](z w К с N m у у). По (8) и (7) это г может быть выбрано так, чтобы Uj(z), а это противоречит посылке.

Интерпретация аксиомы регулярности относительно J есть

Uj w & By (Uj (у)&у^ 户)f:

f my (Uj (yy&y^jx&^z (Uj (?) & n WjX & n 三」〃))• _ Допустим посылку. По интерпретации аксиомы регулярности относительно / существует у такое, что y^jx 国 "]三2 (z Wjx& z 三丿9)・ Но по (8) и (7) мы можем такж предположить, что Uj(у).■

Теперь введем понятие J-вынуждения. Определим р J-вынуждает Q Ui, ..., хл) точно так же, как р вынуждает；'

QUi, хл), за исключением случая, в котором

Q(不公)cm"R®,尤1,，一,xj

В этом случае р J-вынуждает Q (xls . _, хл), если для некоторого у имеем Uj (у) и р J-вынуждает R (у,网，…，xn). Скажем, что Q(%i, •••, %%) является J-вынужденным, если некоторое корректное условие 7-вынуждает Q (х2, ..., %〃).

Леммы 1 и 2 последнего параграфа выполняются для 7-вынуждения. Лемма об истинности также выполняется: Qj (勺,• •・,％j q Q (Xi,...,尤汽) является /-вынужденным.

Докажем, что

S (吁 Uj(U/(x)),(9)

индукцией no Od(x). Если у w Ra (Пу (%)), то у=П『(2) для некоторого г е Ra (х). Тогда 力丿⑵，поэтому Uj(у) по индуктивному предположению. Как было доказано раньше, П； (х) инвариантно, поэтому 〃(!!/(%)).

Теперь докажем, что

р J-вынуждает Q (石，...，儿)с 吟(р) J-вынуждает Q(U/(%i),П； (хл)),(10)

индукцией по предикатным символам. Для атомных формул мы должны доказать, что

р J-вынуждает х 三 у с 〜(р) J-вынуждает 口了 (%)三口了 (у)9 (11)

р J-вынуждает х=ус%(р) J-вынуждает 口了(%) = !!/(у).

(⑵

Допустим, что (12) выполняется, когда Od (犬)V и и Od (у) V а. Покажем, что (11) выполняется, когда Od (х) V и, Od (力 V и По определению р J-вынуждает х е у эквивалентно

3z(p J-вынуждаеt Х=2&2三pР).(13)

Имеем z ер у -> Od (z) V Od (у) V а. Поэтому по предположению и определению 巨卩(13) эквивалентно

三2 (叱(р) J-вынуждает U (х) = П/ (z) & П/ (г) w я(р) П; (х)).

(14)

Теперь, если z' е9 П； (у), то z'三 Ra (口,(у)), и поэтому

гЛ = П/ (г) для некоторого z. Таким образом, (14) эквива- лентно

壬'(呵(р) J-вынуждает П/(¥)= %'&/已呼切 П/(у)), а поэтому эквивалентно

Л/ (р) J-вынуждает Пу (х)三 П/ (у).

Теперь покажем, что при тех же предположениях, (12) выполняется для Od(x)vo и Od (у) ст. Тем самым (12) будет доказано индукцией по Max ((Od (%), Od (у))), а (11) будет следовать из ранее доказанного.

По определению р 7-вынуждает х—у тогда и только тогда, когда

VgVz (р и q & %』х f0r (q и г & г J-вынуждает 協三 у)), ”(15)

и такое же выражение выполняется, если хну поменять местами. Из только что доказанного следует, что (15) эквивалентно

VqVz (% (р) и 旳(幻 & Щ(г) a* «)П7(х)—

-> Эг (吗(g) и Л/ (г) & л； (г) J-вынуждает Пу (z) е П/ (р))).

(16) Теперь, если q принимает все условия в качестве значений, то Лу (д) принимает все условия в качестве значений (так как д = лу(п尸(q))). Поэтому, как и раньше, (16) эквивалентно

VgVz'(吗(р) и 夕 & г； w@ П『(%) f m『(qur&r J-вынуждает г' е Пу (у))). (17)

Из эквивалентности (15) и (17) и соответствующего результата, когда х и у меняются местами, получаем (12).

Теперь вернемся к (10). Случай, когда Q — отрицание или дизъюнкция, совершенно простой. Теперь предположим, что Q {Xi, ..., а) с 3yR (у, Xi, 务).Тогда «/? /-вынуждает Q (хх, ..., х/》эквивалентно

Зу (Uj (у) & р J-вынуждает R® 小，&)), которое по индуктивному предположению эквивалентно 3y(Uj(y)&nf(p)

J-вынуждает R (П;①)，И/ (打)，…，П, (&))). (18)

Мы хотим показать, что это эквивалентно

三“(Uj (У) & 呵(р) /-вынуждает R ®‘，П『(修)，…，内(х„))).

(19)

Теперь по (9) из (18) следует (19). Если (19) выполняется для некоторого у\ то положим у = П7* (yf). Тогда Uj(у) по (9) и И/®) = %&)=“，потому что yf инвариантно. Поэтому (18) выполняется.

Лемма 4. Пусть у, vlt ..., v^ — Uj-множества^ положим

z~[(w, p〉|〃wRa(y)&p J-вынуждает и 三y&p J-вынуждает Q (u,力,…,％)].

Тогда г есть U^множество и для всех х

х ^jZ^xejy&Qj(х,勿).

Доказательство. Доказательство эквивалентности, если использовать (7), такое же, как в лемме 4 из § 9.8. Так как Ra (г) и Ra (р), то каждый элемент множества Ra (г) есть Uj-множество. Поэтому нам нужно лишь показать, что г инвариантно.

Выберем^ так, чтобы nf(y)=yt П/®])^%,.…，11/(%) = ^ для каждой /г-перестановки f. Тогда для ^-перестановки / Пу (n) = K“/(〃)，冗/ (〃)〉丨〃三 Ra (у) & р J-вынуждает 〃三 у & р /-вынуждает

Используя (10), получаем

П/ (г) =[〈Н/ ⑷，冗/(Р)〉] w s Ra (у) &出(卩)J-вынуждаетlb (〃)三 И, ®) & 冗/ (p) J-вынуждает Q (И『(a),

П/8),П『(〃))]•(20)

Если область изменения р состоит из всех условий, то область изменения 冗/(р) состоит из всех условий. Если область изменения 瓦 состоит из всех элементов множества Ra (у), то область изменения 口/(〃) состоит из всех элементов множества

[П/ 侬)I КУ 三 Ra (z/)] = Ra (口『(g)) = Ra (у).

Поэтому (20) показывает, что П/ (2) = 2.

Интерпретация аксиомы подмножества относительно J есть

ао/)&и」(％)&…&〃(％)+

f 士(Uj⑵&Vx(Uj(x)f(X三"cxwjg&Qj(u,力％)))).

Она следует из леммы 4.

Определим'

$ (n) = ип[Пу (г) I /— перестановка]. Тогда

Uj(尤)&х MjZf х 三用(z)・(21)

Действительно, по предположению существует корректное условие р такое, что р J-вынуждает х е г. По (10)

л； (р) /-вынуждает Л/ (х) е П； (г).

Так как х инвариантно, это означает, что р /-вынуждает х ^ П； (г). Поэтому для некоторого у условие р /-вынуждает %=у и у ^РП/ (г). Тогда у ^р3 (г); следовательно, р J-вынуждает х 三 $(z); таким образом, xw#(z)・

Теперь

ПИЗ(г)) = [<ПИх), лИр)> |<^ р>еЗЖ,р =[〈Hg (х), % (р)〉|〈х, р〉е И/ (z)]*,pj =[〈Rg。/ (х)，Hgof(Р)1〈Х，Р〉三 z]*,p./ ^«ПДх), nf(p)\(x, Р>ег]х,Р1/ = 3(г).

(Здесь мы использовали то, что если область изменения / состоит из всех перестановок, то область изменения g^ состоит из всех перестановок.) Поэтому 3 (^) инвариантно. Из этого

Vp (у w Ra (г) — Uj (у)) -> Uj 好(z)).(22)

Действительно, если х е Ra (3 (г)), то х ^ Ra (Пу (г)) для некоторого /; поэтому х=П； (у) для некоторого gw Ra (г); следовательно, Uu(x) по (9).

Интерпретация аксиомы замены относительно J имеет посылки Uj®) и

Vx (力(х) f Зи (力(“)& Vy (Uj ®) -> ® ejU — Qj (x, g)))))

(23) и заключение

3z (〃 (z) & Py(Uj(y)f 士(Uj (%) & x ^jW & Qj (x,乡))->

—9三卢))(24)

(здесь опущены параметры). Пусть F (х, р) равно элементу и наименьшего порядка такому, что Uj{u) и р 7-вынуж« дает У у (у ^ и <->Q(x, "), если такое и существует. Как и б предыдущем параграфе,

Y X (U J (х) f3ppy(Uj(y) f (у WjF (х, Р)—Qj(x, g)))). (25) Положим

z = $(Un([Ra(F(x,卩))|х w Ra®)]#,/ x CD).

Так как Uj(尸(爲 p)), то каждый элемент из Ra (尸(х, р)) есть Uj-множество. Из этого и (22). имеем Uj(z). Остается показать, что

lh@ & Uj (х) & х ejW & Qj (%, y)^y 三必

Допуская посылки, выберем условие р, как в (25). Тогда у ejF (х, р). По (16) из § 9.8 y=j“ где д'三 Ra (尸(x, р)). По (17) из § 9.8 и (21) yr ^jz; следовательно, y^jz.

Интерпретацией аксиомы степени относительно J является

Uj (у) f 3w (Uj (w) & Vx (Uj (%) f

f Vz([/j(z)f Z 三户->2(=jy)^X ^jW)). Пусть

⑫=^([矶 Uj(S&u и Ra (у) x CD] x CD).

Тогда Uj (w) no (22). Предположим, что Uj(x) и z 三/-> f для каждого LZj-множества %. Пусть

v = [(u, p) I u e Ra (y) & p J-вынуждает 〃三 у & p J-вынуждает и 三 х],

Имеем Uj (以)по лемме 4, и для каждого Uj-множества г

-г三jX.

Таким образом,。=户 ввиду интерпретированной аксиомы объемности. Так как uuRa(y) 乂 6D, то 0三丿@ по (17) из § 9.8 и (21); поэтому х ^уш.

Имеем

冉(。3)) = [П；(О ⑴)Iт Vи] X CD・

Из этого легко получаем

П; (О (о)) = 0(о)(26)

трансфинитной индукцией по а. Поэтому 0 (о) инвариантно. Используя это, докажем

Uj ①(о))(27)

трансфинитной индукцией по а. Каждый элемент из Ra(O (и)) есть О(т) для некоторого tVG и поэтому есть [/7-мно- жество по индуктивному предположению. Поэтому О (и) есть Uj-множество. Интерпретация аксиомы бесконечности еле- дует из (27) и леммы 5 из § 9.8.

Остается доказать интерпретацию отрицания аксиомы выбора. В действительности мы докажем интерпретацию формулы

BaCF (г, Р®))・(28)

(Отметим, что в противоположность этому ±CF (г, з) является теоремой теории ZF. Действительно, чтобы получить функцию выбора z на з, положим г*х наименьшему натуральному числу в х для х^Р(со) —{0}.)

Лемма 5. Пусть р — некоторое корректное условие 〃左Vi. Тогда существует k-перестановка / такая, что 产iy=t 〃 л； (р) имеет корректное расширение.

Доказательство. Пусть rz —множество всех расширений условий Пу (р), где / есть 々-перестановка такая, что /*/Ф i. Мы хотим показать, что а содержит некоторое корректное условие. Предположим, что это не так. Тогда по Со、существует корректное условие q, не имеющее расширений в а. По Сог3 р U g есть условие. Выберем / таким большим, что z < / и никакое (х, /) не находится в Do (р) U Do(g); пусть jf— перестановка, меняющая местами z и / и оставляющая на месте все другие натуральные числа. Ясно, что 冗丁 (р) U g — условие. Это противоречит выбору q, так как f есть ^-перестановка и 广i^i.

Если CF (г, Р (о))), то

〃 и Р ®) & 〃，0三尤(л•三 а & Im (為 а, х) &

& Vz/(Im (г, 〃，y)f у』％)). Поэтому (28) следует из

УгЭа (а и Р ®) & а * 0 & "I 三％ (汇三 а & Im ⑵ а, х) & &Vy(Im(z, а,少f У = х)))・

Тем самым нам нужно лишь доказать интерпретацию этого ■ предложения. Если мы строим эту интерпретацию с помощью методовг уже применявшихся в этом параграфе, то мы

видим, что для каждого U/-множества z должны построить t/j-множество а такое, что

Uj(x) &х WjdfX и」。®),(29)

Эх (Uj (x)&x^ja)t(30)

и такое, что не существует Г/7-множества 爲 для которого х ^ja&Inij(z, a, x)&yy(Uj(y)^lmj (г, а, у) + у=2・ (31) Определим

N(i)=[〈o(j), р〉|р‘б 0 = 1].

Как и -раньше, из того, что р J-вынуждает N (i) = N (/), следует i = /; поэтому

N(MN(iH(32)

Кроме того, применяя (26) и определение 冗尸(q), получаем

5(N(f)) = K。(力呵(Р)〉16〈/, i〉=l] =[〈0(/)，q>\^i〉= i] =K。⑺，9〉丨 g'G f'，〉= i];

поэтому

Л/(%(，)) = Ng).(33)

Отсюда следует, что ^ (г) инвариантно. Из этого и (27) получаем Uj(N (Z)).

Для данного U7-множества z выберем k так, чтобы Пу (г) = г для каждой ^-перестановки 厶 и положим

a^[N(i)\k<i] х CD.

Каждый элемент из Ra (а) есть некоторое N (г) н, следовательно, U /-множество. Применяя (33), видим, что П/(а) = а для каждой ^-перестановки /, поэтому а инвариантно и, следовательно, является U/-множеством. Доказательство (29) подобно доказательству Б. Так как N (S(i))wj& то мы имеем (30).

Теперь допустим, что существует U/-множество х, удовлетворяющее (31). В силу 尤 WjQ имеем x = jN (Z) для некоторого г > А. С таким же успехом мы можем предположить, что х есть N"). По лемме об истинности выберем корректное условие р так, чтобы р /-вынуждало Vy (Im (г, & y)^y = N (i))t Выберем 力 как в лемме 5, н пусть q — корректное расширение для л^ (р). Так как

И/(2)= z，И/(〃) = а и Пу (N (i))=^N (/*/), то по (10) имеемq вынуждает Vy(Im(z, а, у) f у = Af (尸i))*

Следовательно, по лемме об истинности

Vy(Uj(//)f 1т」(2, 〃，У)—У =亦仔乜))・

Подставляя N (/) вместо ^ и применяя (31), получаем N (i) = jN (ft). Так как ig/Z это противоречит (32).

9.10. Большие кардиналы

Так как аксиомы теории ZFC не решают гипотезу континуума и аксиому конструктивности, естественно поискать аксиомы, которые делают это. И гипотеза континуума и аксиома конструктивности ограничивают число множеств. Так, недоказуемая часть гипотезы континуума утверждает, что число подмножеств множества о)не превосходит №. Поэтому если мы надеемся доказать эти результаты, то мы должны найти новые аксиомы, которые ограничивают число множеств.

Аксиома объемности показывает, что индивид определяется своими элементами и поэтому может быть отождествлен с семейством, членами которого являются эти элементы. Еще одно единственное ограничение, которое мы бы хотели ： сделать, относится к тому, что индивиды должны быть множествами, т. е. должны встречаться на некотором шаге. нашей конструкции. Но мы покажем, что это может быть в действительности доказано в теории. ZFC.

Напомним, что на каждом шаге строится ровно один новый ординал. Пусть S^ —шаг, на котором строится о, и пусть Stg (а) — множество всех множеств, которые могут 1 быть построены на шаге 3「Мы можем определить Stg в теории ZFC трансфинитной индукцией следующим образом:：

Stg (а)=Р (Un ([Stg (т) I т < о])).(1)

Результат, который мы хотим доказать, состоит тогда в следующем:

BCT(x^Stg (ст)).(2)

Сначала докажем, что существует транзитивное множество, содержащее х. Определим трансфинитной индукцией

F(or)= Un[Un(F(T)) J {х}|т<а].:

Ясно, что х е F(со). Если zwF(s), то z w Un(尸(/)) U {%} для некоторого Z. Тогдаге^(5(/)), поэтому г с= Un (户(S«)>); следовательно, zu/7®). Это показывает, что F (о)) транзитивно.

Теперь докажем ⑵.Пусть а — некоторое транзитивное множество, содержащее х, и пусть b — множесто элементов множества а, которые не принадлежат ни одному из Stg (а). Если b пусто, то доказательство закончено. В противном случае пусть у — минимальный элемент множества Ь. Если w 巨 у, то 如 w а в силу транзитивности а, но w фЬ по выбору у. Следовательно,酬 w Stg (о融)для некоторого aw. Пуст;ь и больше, чем любой ординал в [о^ \ w ^ у]. Из (1) следует, что у 三 Stg (и), а это противоречит тому, что у ^Ь.

Ввиду этого, по-видимому, остается мало надежд доказать гипотезу континуума или аксиому конструктивности, не изменяя нашего понятия множества. Если же мы пытаемся опровергнуть гипотезу континуума и аксиому конструктивности, то ситуация оказывается многообещающей. Ведь для этого нам нужны аксиомы, гарантирующие существование большого количества множеств. Но аксиомы существования из теории ZFC в некоторых отношениях являются совершенно недостаточными для этого. Например, аксиомы подмножеств в действительности не гарантируют ■ существования всех подмножеств множества х, а только тех подмножеств, которые могут быть описаны в теории ZFC (используя параметры). Если бы мы ввели символы для новых операций, которые не могут быть определены в теории ZFC, то у нас возросла бы возможность описывать множества и, следовательно, возросла бы сила аксиом подмножеств (и аксиом замены). По-видимому, это очень естественный подход, но до сих пор никто не смог предложить подходящих операций.

Более обещающим в данный момент является следующий подход — более полно использовать наш принцип существования шагов: если мы можем представить ситуацию, когда все шаги некоторого семейства выполнены, то должен существовать шаг после шагов из этого семейства. В теории ZFC мы использовали лишь некоторые специаль-- ные случаи этого принципа. Но существование дальнейших шагов эквивалентно существованию больших ординалов или, так как для любого ординала существует больший кардинал, существованию больших кардиналов. Поэтому ，

мы должны поискать аксиомы, гарантирующие существование кардиналов, больших чем те, существование которых может быть доказано в теории ZFC. Такие аксиомы будут называться обобщенными аксиомами бесконечности,

Рассмотрим, как мы можем получать кардиналы в теории ZFC. Мы получаем No из аксиомы бесконечности. Получив бесконечный кардинал а, мы можем получить больший кардинал, переходя к 2°. Другой метод состоит в том, чтобы взять Un (х), где х — некоторое множество кардиналов. Конечно, это может рассматриваться как метод получения нового кардинала только тогда, когда Un (%) больше, чем каждый элемент из х, и больше также, чем Card (х). Так может случиться; например, х может быть [乩 | и 三 s], так что Un (%) = №)・

Скажем, что кардинал недостижим, если он не может быть получен этими методами. Точнее кардинал о недостижим, если

(i)①Vo；

tVCf 2。Vo для каждого кардинала т;

Card (х) < о Un (х) < о для каждого подмножества х из а.

Нашей первой обобщенной аксиомой бесконечности будет аксиома недостижимости, утверждающая, что существует недостижимый кардинал. Сразу не ясно, что это действительно новая аксиома; может быть, мы можем доказать ее в теории ZFC, используя конструкции, отличные от рассмотренных выше. Однако мы докажем, что это не так: если теория ZFC непротиворечива, то аксиома недостижимости не является теоремой ZFC. Чтобы доказать это, строим интерпретацию теории ZFC в теории ZFC, для которой выполняется интерпретация отрицания аксиомы недостижимости.

Рангом множества х назовем первый ординал о такой, что х 三 Stg (а)：

rk (%) = ца (х w Stg (и)).

Тогда

xei/->rk(x)<rk(z/).(3)

Имеем у RStg(rk(y)), поэтому если х w д, то по (1) xwStg(o) для некоторого oVrk®. Следовательно, rk(x) V。Vrk®). Кроме того, Set# (rk (х) V о), так как

rk (х) 三 Un([Stg(т) Iте。]).

Таким образом, мы можем давать определения индукцией по rk (х).

Мы пишем Inac (о) для обозначения того, что а — недос- тижимый кардинал. Скажем, что множество х достижимо, если Card (х) меньше, чем каждый недостижимый кардинал:

Ас (х) — Va(Inac (а) Card (х)<а).

Затем определяем М индукцией по rk (х) следующим образом:

М (х) о Ас (х) & Vz/ (z/ е х ^> М (у)).(4)

Ясн。,, что М (0), поэтому ЗхМ (无)и, следовательно, М есть е-интерпретация. М транзитивно по (4). Так как подмножество достижимого множества достижимо» то из (4) следует, что М супертранзитивно.

Лемма 1. Если х достижимо 〃 каждый элемент множества х достижим, то Un (%) достижимо.

Доказательство. Пусть Inac(а). Тогда Card(х)<а и Card (у) V и для каждого элемента у множества %. Отсюда следует, что

Card (Un (х)) v и ・仃=и.

Поэтому мы можем предположить, что Un (%) — подмножество кардинала о. Если у 巨 х, то у ио и Card (у) С а, поэтому Un (у) < а. Так как Card ([Un (у) | у 巨 x]) V V Card (х) V о, то

t = Un ([Un ®) I у w х]) < о.

Если pwUn(x), то pwy для некоторого у ех, поэтому р V Un (у) V т. Отсюда следует, что Un (х) и S (т); следовательно,

Card (Un (х)) V Card (S (т))=

=Card (т) + 1 ^ Max ((Card (t) , co»<o.

Теперь докажем интерпретации всех аксиом теории ZF посредством лемм из § 9.5. Интерпретации аксиом объемности и регулярности выполняются, потому что М транзитивно. Для аксиом подмножеств мы должны показать, что если у, v19 ..., vn являются Л4-множествами, то

z = [x\x^y&QM (х,％)]

есть М-множество. Так как zug, то это следует из супертранзитивности М・

Для аксиом замены достаточно показать, что если F является Л4-инвариантным и ш, vx,vn являются тИ-множествами, то

z = Un([尸(х, vu%)|л:三叫)

есть Л4-множество. Из транзитивности М и Л1-инвариант- ности 尸 находим, что каждый элемент множества г есть Л1-множество. По лемме 1 множество г достижимо. Поэтому 2 является Л4-множеством.

Для аксиомы степени мы должны показать, что если у есть 714-множество, то

г = [х I М (х) &х и у}

есть Л4-множество. Очевидно, что каждый элемент множества г есть Л4-множество, поэтому нам нужно только показать, что г достижимо. Пусть о — недостижимый кардинал. Тогда Card (у) V 6 поэтому

Card (г) V Card (Р (у)) = 2Card ⑼ V а.

Если и меньше, чем каждый недостижимый кардинал, то и есть Л4-множество; это легко доказывается трансфинитной индукцией. Поэтому М (со). Это дает интерпретацию аксиомы бесконечности.

Так как CF абсолютно, то интерпретацией аксиомы ； выбора является

Vx (М (%) — Зу (М ®) & CF 回 ％))).

Так как CF полно (для супертранзитивных интерпретаций),, то эта формула эквивалентна:

Vx (М (х) f SyCF 匂，x)).

Но это — следствие аксиомы выбора.

Мы должны еще доказать интерпретацию отрицания * аксиомы недостижимости. Определяющей аксиомой для , Inac является

Inac (о)Cd (<г) & со С о & Vt (т < а & Cd (т) т 2弋 V 6 &

& Vx (х с: а& Card (х) V о f Un (х) V ст).

Используя результаты из § 9.5, выводим, что Inac абсо- • лютно для супертранзитивных интерпретаций. Так как отрицание аксиомы недостижимости есть

"]Зх Inac (х),

то интерпретация этой формулы эквивалентна

"I Эх (М (х) & Inac (х)).

Это очевидно, так как если М (х) & Inac (х), то х= =Card (х)<х.

Аксиома недостижимости, хотя и недоказуемая в теории ZFC, удовлетворяет нашим общим принципам, так как мы можем, конечно, представить ситуацию, в которой операции, описанные выше для получения новых кардиналов, были проделаны до тех пор, пока новые кардиналы не перестанут получаться этим способом. Мы . можем даже надеяться доказать непротиворечивость этой аксиомы. Точнее, мы можем надеяться доказать, что если теория ZFC непротиворечива, то такова же и теория ZFI, полученная из ZFC добавлением аксиомы недостижимости4 Однако такое доказательство не может быть проведено в теории ZFC по причинам, которые мы теперь кратко обсудим.

Суть заключается в том, что непротиворечивость теории ZFC может быть доказана в теории ZFI. Пусть в теории ZFI и означает первый недостижимый кардинал. Тогда гк (х) < о* для каждого Л1-множества х, что легко доказать индукцией по гк (х). Отсюда следует, что Set/Й (%). Это означает, что в теории ZFI мы можем построить структуру теории ZFC, универсум которой есть [% | М (х)] и е-отношением является обычное е-отношение. Мы можем по существу использовать только что данное доказательство, чтобы доказать, что эта структура является моделью теории ZFC. Затем мы можем доказать теорему истинности в теории ZFI и вывести, что ZFC непротиворечив а.

Предположим, что утверждение если теория ZFC непротиворечива, то теория ZFI непротиворечива доказуемо в теории ZFC или даже в теории ZFI. Тогда непротиворечивость теории ZFI была бы доказуемой в теории ZFI; тогда отсюда по теореме о доказательствах непротиворечивости следовало бы, что теория ZFI противоречива.

Следующий и наиболее важный вопрос состоит в следующем: могут ли гипотеза континуума и аксиома конструктивности быть доказаны или опровергнуты в теории ZFI? К сожалению, ответ отрицательный. Доказательство в основном такое же, как и для теории ZFC. Новым является

лишь доказательство аксиомы недостижимости, а для этого не требуется ничего существенно нового.

Имеется много обобщенных аксиом бесконечности подобного типа. Например, мы могли бы предположить существование двух недостижимых кардиналов. Можно доказать, как и раньше, что эта аксиома недоказуема в теории ZFI. Мы могли бы предположить более сильные аксиомы; например, что кардинал множества недостижимых кардиналов сам недостижим. Однако никакая из таких аксиом не годится для решения вопроса о справедливости гипотезы континуума или аксиомы конструктивности.

Теперь мы введем одну аксиому, которая приводит к опровержению аксиомы конструктивности. Перед тем, как привести эту аксиому, нам будут нужны некоторые определения.

Под измеримым идеалом на множестве х мы понимаем подмножество у из Р (х) такое, что

⑴ для каждого подмножества г множества у такого, что Card (г) < Card (х), выполняется Un ⑶ е у;

для каждого подмножества г множества х либо 2 三 у, либо х — z w；

Un(g) =尤；

x^y.

Можно считать, что измеримый идеал на х разделяет подмножества множества х на маленькие и большие подмножества: подмножества из измеримого идеала являются маленькими, а оставшиеся подмножества являются большими.

Множество х называется измеримым, если оно несчетно и существует измеримый идеал на х. Ясно, что каждое множество, подобное измеримому множеству, измеримо, поэтому мы можем рассматривать только измеримые кардиналы. Аксиома измеримости утверждает, что существует измеримый кардинал.

Сразу неясно, что аксиома измеримости является обобщенной аксиомой бесконечности. Однако мы увидим, что измеримые кардиналы чрезвычайно большие, значительно больше, чем любой из кардиналов, которые мы до сих пор рассматривали. С другой стороны, исследования не выявили противоречий или даже неправдоподобных результатов, следующих из этой аксиомы. Это по крайней мере наводит на мысль, что аксиома измеримости является просто очень

сильной обобщенной аксиомой бесконечности. А если это так, то было бы разумно допустить эту новую аксиому.

Пусть ZFM —теория, полученная из ZFC добавлением аксиомы измеримости. Пусть ZFM* — теория, полученная из ZFM добавлением двух констант % и V и аксиом, утверждающих, что % — несчетный кардинал и V — измеримый идеал на %, По теореме о функциональном расширении теория ZFM* является консервативным расширением теории ZFM. Докажем теперь некоторые результаты в теории ZFM*.

x^V&yczx-^yeV.(5)

Действительно, если 乡用匕 то ^~ у ^ V по (ii); поэтому ^=(^^у)Ux е V по (i), что противоречит (iv).

х и % & Card (х) V % f х 巨 V.(6)

Если а<х, то 付｝巨 У по (iii) и (5). Тогда (6) получаем из (i).

xu%f (%三 У — % —х 柒 У)・(7)

Ввиду (ii) нам нужно лишь вывести противоречие из х е V и % —х е V. Но из них следует %е V по (i), что противоречит (iv).

xux&yu%f(xAgwV —xwUVpwU)・(8)

Если хе V или ум К то x[\y^V по (5). Теперь предположим, что * f] У 巨匕 犬哄廿 и у 学匕 По (7) и (i) X=(-V ni/) U(X--v) и(X - i/) ^ I7> ЧТО противоречит (iv).

Теорема Банаха —Улама. Кардинал х недостижим.

Доказательство. Пусть g — некоторый кардинал такой, что а<х; мы должны показать, что 2а<%. Предположим, что %V2% Тогда существует инъективное отображение /из % в Р (а). Для tvu положим

Zr = [p]p VX&tw广 р]・

Пусть Ух = ^> если 説巨匕 и y：z工 в противном случае. Тогда 玄巨 У по (7), Так как Card (о) ^ а < X, имеем Un ([yt | т < а]) е V по (1). Покажем, что самое большее один элемент из % не находится в Un ([^т I т< а])- Вместе с (6) и (i) это дает % 巨匕 что противоречит (iv).

Предположим, что р не принадлежит ни одному “『 Тогда для каждого т

tе广р е ре线

Следовательно, /<р=[т|т<о,&гг ^ V]. Это определяет 广р и, следовательно, р.

Теперь пусть хи% и Card (х) <х； мы должны показать, что Un (х) <%. Каждый элемент из % есть некоторый ординал, меньший %, и поэтому является подмножеством из х, кардинал которого меньше %. По (6) каждый элемент из % лежит в V; следовательно, Un (х) е V по (i). Тогда Un(x)W% по (iv). Так как ясно, что Un (尤)V%, то мы имеем Un (尤)V 力

Теперь обратимся к определению интерпретации теории ZFM в теории ZFM*. Интерпретация / определяется так:

xw/p — [o|uV% & х*а 哄 у'и]巨 V, х =/р — 口| О v%&x'o w*uj 巨匕 Ui (x) c*=x.

Вначале докажем, что для каждого предикатного символа Q теории ZFM

Q/(® …，xrt)<^[a|a<x&1Q Wa,解о)] w К (9) Используем индукцию по предикатным символам. Если

Q(%i, 左)e勺三勺 или

Q (-V1» • • • » Х/г) 修

то результат следует из определений е； и =/. Предположим, что

Q (%1,尤理)~l R (尤 1, •…，-^л) •

Тогда по индуктивному предположению и (7)

Q, (*^1, • • •, Х/i) *"*■ ~1 R/(Х1, ..., х 几)

—[g|gV%&1R (/",…，爲 и)]争 V

—ieuvx&iQa",

Если Q — дизъюнкция, то доказательство аналогично, только используется (8) вместо (7). Теперь предположим, что

Q(xi，хя) 3yR (у,修尤 J

Тогда

Q/ (犬1,…, ^п) m“R/ ®, Xi, • • *, -^л)

С 巾([и|0 v%&qR (“，尤"，…，巨 V). Положим

肉=1>9Vx&QR匂5 尤2,元6],« = [а|а<х&ПЗг/?(г, Ru,х^а)].

Мы должны показать, что 刃(〃营 巨 V) тогда и только тогда, когда 〃三 V. Так как а и а^ для всех у, то

^/(旬三 У)->а® У

по (5). # Теперь предположим, что 〃三 К Если а<% к 6 学 а, то существует % такое, что R (而，尤о, ..., х^а). Пусть у таково, что у^ = г^ для а<х и и 学 а. Тогда ау с: а, поэтому 巨丿 по (5).

Из (9) следует, что

Q/({h}x%{&}х%) — [6。v%&[Q(%i务)]wk

Теперь [а|а<%& ~|Q(^i> хл)] есть 0 или % в соответствии с тем, выполняется ли Q &匕 …хл) или ] Q (石,…・ ...,хл). Так как 0 GV ну 争 У по (iv) и (7), то

Q/({*i}x%,{x/x%)cQ(/,厶)・(10)

В частности, отсюда следует, что Q/ — Q для 0-wcTHoroQ. Кад мы видели в § 9.7, отсюда следует, что / — интерпретация теории ZFM.

Теперь мы собираемся показать, что / изоморфна транзитивной е-интерпретации. Ввиду результатов из § 9.5 достаточно показать, что / изоморфна интерпретации J, где =j есть = и существует ординальный функциональный символ Н такой, что Setx (Я (х)^а) и xRjgf ^Н(х)<Н{у).

Имеем

х —/ х,(11)

х у —^-у =iXi(12)

Х~[У&у—[Z —>X =/ Z.(13)

Действительно, этиформулы являются интерпретациями

теорем теории ZF. Хотя =【имеет свойства отношения эквивалентности, мы не можем использовать классы эквивалентности в их обычном смысле, так как они не являются множествами. Поэтому мы определяем класс эквивалент-

ности ЕС (х) как множество всех у 三 Stg ⑺ таких, что 尤=/D， где о — первый ординал такой, что Зу (у w w Stg(o) &х =『｛/). (Такой ординал существует в силу (11).) Используя (11)——(13), легко доказать основное свойство классов эквивалентности:

ЕС (%) = ЕС (у) с х =i у.(14)

Теперь определим интерпретацию J так:

х Wj, с 3хг3уг (х = ЕС (/) & у = ЕС (“)&/ 三『夕)，

к =』У с х=у,

Uj(x) с Нг' (х = ЕС (£)).

Мы утверждаем, что ЕС — изоморфизм между / и J. Ввиду (14) и определения Uj для этого необходимо лишь доказать

汇巨/9~ЕС(х) MjEC(y).(15)

Импликация слева направо очевидна. Предположим, что ЕС (х) GjEC (у). Тогда ЕС (х) = ЕС (хЛ), ЕС (г/) = ЕС (/) и fw『y'・ По (14) *=『％' и у=/У・ Поэтому нам нужно доказать только

Но это интерпретация теоремы теории ZF.

Мы должны еще определить Н, Сначала определим трансфинитной индукцией

Z(a) = [x|xe Stg (о) & Vy (у 巨/ -^Зт (x<(y&y^Z (т)))].

Мы покажем, чю каждое множество принадлежит некоторому Z (о). Тогда определим

И (х) = ца (х 三 Z (о))・(16)

Тогда Set%(" (х) VQ), потому что

Н (х) Vuт% 三 Un ([Z(七)I т V S (а)]);

и 彳三」у"(汇)V" @) следует из определения Z.

Допустим, что х не находится ни в одном из Z (а), и придем к. противоречию. Если ~\Uj (х), то Yy(y %» и поэтому 汇巨 Z (rk (х)). Таким образом, Uj (х); следовав тельно, х = ЕС(у) для некоторого у. Выбираем о большим каждого кардинала в [rk (г) | г е Ra (г/)]. Тогда если г s w Ra (у), то г е Stg (rk (г)) и Stg (а). Поэтому, если 旷 =

=УП (Stg(o)x%), то мы имеем уг =[у и, следовательно, х=ЕС〃)・ Это показывает, что множество

а = [ЕС(以)|〃 и Stg(o)X%]

содержит элемент, не находящийся ни в одном из Z (а).

Далее мы заметим, что если pwa и г ^jyt то zwa. Действительно, мы имеем у = ЕС(〃)， где 〃 и Stg (о)义 ％. По (15) 2 = ЕС ®), где V 巨山.Пусть vf — множество (t/Ч, т), где TV у и Ut 巨儿‘工・ Ясно, что у' =；v, поэтому г = = EC(『j. По (3) и' с Stg(а)х%； следовательно, z ^а.

Если ywa н у не находится ни в одном из Z(t), то существует ?三〃 такое, что z 巨电 н z не находится ни в одном, из Z (т). Действительно, предположим, что это не так. Тогда для каждого zw^y имеем z 三 &, и поэтому г ^ Z (tz) для некоторого т^. Выберем т большим каждого ординала в \%z\z^jy&.z^d\ и большим rk(y). Тогда y^Z (т), что противоречит предположению.

Применяя доказанные результаты и аксиому выбора, найдем последовательность pj, у；,элементов из а таких, что 找 не находится ни в одном из Z (т) и 期⑶ 三」у. Тогда, если у£ = ЕС(у», то по (15)

ys[i)贝 и

m IР V % & 庙 8 Р 哄勿р] W к

для всех г. Так как со V %, то объединение этих множеств находится в V и, следовательно, не равно %. Поэтому существует pV% такое, что у&(»)р 巨у}р для всех L Это означает, что множество 回р | i 三 ® не имеет минимального элемента. Таким образом, мы добились требуемого противоречия.

Мы делаем вывод, что существует транзитивная ^-интерпретация М и изоморфизм G между I и М. Определим

尸(盼= G({x}x%)・

Тогда из (10) и того, что G — изоморфизм, имеем

Q附伊(上)f(/)) —Q"i,务).(17)

尸(％i), 一.，戶(当)являются М -множествами, поэтому, когда Q абсолютно для М, мы можем опускать индекс М・ В частности,

尸(х)三F (у) —х 巨財(18)

Ord (F (x))^Ord (у),(19)

Имеем

G (у)巨尸(х) & Card (%) V У f 圭(z 三尤 & G (у)=尸⑶)• (20) ■ В самом деле, допустим посылку. Так как G —изоморфизм, то

у/{х}Х%,поэтому:

[а I а < % & То 三灯卒 У:

по (7). Но

[оI <у V%&夕и ех] = Un[^I г е х], где：

&=В" <Х&р'а = 4

Так как Card (%) V у, то из (i) следует, что для некоторого、 2 三％ имеем аг ^ V. Из этого и (7) имеем g=/{z}xy.- Применяя изоморфизм G, имеем G(y) = F(z).

Используем это, чтобы доказать

Card (%) V%& Vz(z 三% +尸(z)=z)一>戶(%)=%・ (21)

Допустим, что посылка верна. Если z 三 ％, то 尸(z) = z по предположению и 尸(2)三户(х) по (18); следовательно, z 三’ еА(х)・ Это доказывает, что xcF(x). Теперь пусть 北三； 巨尸，6・ Так как имеет мёсто М (F(х)) и М транзитивно, ■ то и есть Л1-множество, поэтому 〃 = G (у) для некого」 рого у* По (20) u=F(z) для некоторого г ех. Но F (г)=; =N по предположению, поэтому 〃三工 Следовательно,J F(X)UX・r

Из (21) мы легко доказываем трансфинитной индукцией, что

о尸 9) = 5(22).

С другой стороны, мы докажем, что『

%VF(%)・(23)

Действительно, пусть i = [〈u, u〉|uV%]・ Тогда ясно, что i 巨/{у}х%・ Применяя G, получим G(i) eF(x). Так как F (х) — ординал по (19), то G (i) — ординал и

G(i)V 尸(%)•(24)

Теперь предположим, что oV%. Тогда

[т I т < % & а ^ iF = oU ⑺：

и о U {硏巨 У по (6) и (i). Следовательно, {и}ху 三頂 При-： меняя G, получим 户(u)wG(». Используя (22), получаем?>

。V G (i)・ Таким образом, и V % f о V G (Z). Подставляя G(t) вместо о, видим, что %wG(i)・ Из этого и (24) получаем (23).

Лемма 2. Пусть М — транзитивная интерпретация теории ZFC. Тогда

М (а) & Inac (а) т Inac附(и).

Доказательство. Взяв интерпретацию определяющей аксиомы для Sm и используя наши результаты об абсолютности, получаем

Sm附(х, у) q Эг (М (г) & IFunc ⑵ & Do ⑶=х & Ra ⑵=у)

для М-множеств % н р. Поэтому

М (х) &7И (y)&Sm附(％, g)-> Sm (匕 у).(25)

Взяв интерпретацию теоремы

Ord (Card (х)) & Sm (Card (х), х)

и используя (25), получаем

М (х) f Ord (Cardyn (х)) & Sm (Card附(x), x), поэтому

M (彳)—Ord (Car% (x)) & Card (x) < Card^ (x).(26)

Интерпретация теоремы и v Card (ст) f Cd (о) дает

и V Car% (о) + С% (о)

для Л1-множества о. Если Cd (а), то

и = Card (а) V Card附(а)

по (26); следовательно^

М (а) & Cd (а) -> Cd加⑹.(27)

По (10) из § 9.5 и абсолютности и имеем

рm(Х) = (>[mд)&д uх]

для 7И-множества х; следовательно,

М(х)-^Рм (х)сР(х).(28)

Интерпретация определяющей аксиомы для Inac утверждает, что для 2И-множества и

Inac附(и) — Cd財(о) & co V 仃

& Vt (Cdm (тг) & т V cr f Card附.(Рм ⑺)< о)

& Vx (/И (尤)& % и и & Card掰(х) V и т Un (х) < а).

15 Дж. Шенфилд

Мы должны показать, что если и недостижимо, то правая часть выполняется. По (27) Cd附(и) и ясно, что со<а. Предположим, что Cdjw (т) и т V о. Тогда Card (т) V о, поэтому

Card (Р (т)) = 2Card<^ V и.

Следовательно, по (28) Card (Рм ⑼ V5 Из этого и (25) следует, что

三乡(М ®) & 9 и Рм (т) &.Sm^ (о, у)).

Если мы возьмем интерпретацию теоремы

~\Эу(у ^Р (т) & Sm (с, у)) & Cd (о) — Card (Р (т)) V 5

то мы получим, что Cardjw (Р附(т)) V и.

Наконец, предположим, что М (х), % и о н Card附(犬)V < а. По (26) Card (х) < а; следовательно, Un (х)<а.

Теорема Ханфа —Тарского. Кардинал множества всех недостижимых чисел, меньших 兀 есть %.

Доказательство. Определим Q так:'

Q(t, а)с Vu(Inac(u)&G Vtf и 巨 〃)•

Из (17) имеем

Qm(F(^,尸(a))—Q(%, а), т. е.

Vo (М (а) & Inacji (а) & а < F (%) ->а е F (а)) *->

с Va(Inac 9) & и V%->и 巨 а)*

Взяв в качестве а множество всех недостижимых кардиналов, меньших %, находим, что правая часть, конечно, выполняется, поэтому левая часть также выполняется. Подставляя % вместо ст, получаем

М(X)& Inac附(％) & % V 尸(％) f % 三尸(办

Теперь по (23) имеем yV尸(％). Так как М (F (х)) и М транзитивно, то из этого следует М (%). Также Inac^ (х) по лемме 2 и теореме Банаха — Улама. Таким образом, мы имеем % 三尸(а). Но %^а; следовательно,尸(a)W。. Если 尤三 а, то х — кардинал, меньший 霜 следовательно, F (х)= =х по (22)・ Из этих фактов и (21) заключаем, что %V ^Card (а). Так как аиу, то мы имеем Card (^) = х.

Вышеприведенная теорема является обещанным результатом, показывающим, как велики должны быть измеримые кардиналы. В действительности, теми же методами были

доказаны еще более сильные результаты в этом же направлении.

Теорема Скотта. Отрицание аксиомы конструктивности является теоремой теории ZFM.

Доказ ательство. Добавим к теории ZFM* аксиому, утверждающую, что % — первый измеримый кардинал. Это будет всё еще консервативным расширением теории ZFM, поэтому вышеприведенные результаты остаются справедливыми.

По (19) Ord (尸(и)) для всех и. Кроме того, uv 尸(о) для Bcdx а. Так как иначе существовал бы первый ординал а такой, что 尸(и) Си По (18) F (F (a))<F(a). Это и 尸(&)V。противоречат выбору и. Из ov尸(и) и транзитивности М. выводим, что М (а) для всех а. Далее, С является абсолютным и, следовательно, М-инвариантным, поэтому М (С (о)) для всех а. Это показывает, что каждое конструктивное множество является 7И-множеством.

Поэтому достаточно будет получить противоречие из предположения V%M(x). Из этого предположения следует, что Qm (尤)qQ(x) для всех Q и х. Следовательно, по (17) имеем 々(尸(尤))cQ(x) для всех Q и х. Если Q(r) будет означать, что х— первый измеримый ординал, то Q (F (х)) <-> cQ(x) для всех х; следовательно, Q{F (x))<-^Q(x). Но Q(X) истинно, хотя Q (尸(%)) ложно по (23). Это и есть требуемое противоречие.

Так как измеримые кардиналы являются очень большими, можно было бы предположить, что неконструктив* ные множества, полученные с помощью аксиомы измеримости» должны были бы очень далеко отстоять от множеств, обычно используемых в математике. Однако Роуботтом доказал в теории ZFM, что существуют неконструктивные множества натуральных чисел; в действительности доказано, что существует только счетное число конструктивных множеств натуральных чисел. Известно несколько дальней- ших обобщений теоремы Скотта в этих направлениях.

Теперь можно было бы надеяться получить решение гипотезы континуума с помощью аксиомы измеримости. Однако Леви и Соловей показали, что гипотеза континуума и ее отрицание недоказуемы в теории ZFM (при условии, что теория ZFM непротиворечива).

Имеется несколько других известных обобщений аксиом бесконечности и для некоторых из них доказаны резуль- 15*

таты, подобные вышеприведенным. Однако ни одна из них не решает гипотезу континуума.

В настоящее время ситуация в этой области может быть описана следующим образом. Мы имеем некоторые аксиомы, из которых следует отрицание аксиомы конструктивности. Имеются некоторые основания, что эти аксиомы истинны, хотя это еще открытый вопрос. Но мы не имеем разумных аксиом, которые решали бы гипотезу континуума.

Хотя эти результаты могут показаться несколько ограниченными, ситуация, в действительности, весьма многообещающая, в особенности при сравнении ее с ситуацией, имевшейся несколько лет назад. Мы знаем, что гипотеза континуума не может быть решена на основе имеющихся сейчас аксиом, но мы имеем некоторую идею, какого сорта новые аксиомы нужно искать. Оптимист хотел бы надеяться, что гипотеза континуума, которая не поддается математикам почти в течение века, будет доказана в течение нескольких ближайших лет*

Задачи

(а) Пусть теория ZR получается из теории ZF опусканием аксиом подмножеств и замены и добавлением аксиомы

Set*mz (# w w g)и всевозможных аксиом

VxlsVy (А -> у=z) — 3®Vy (у 三 и — mx(x 三 со & Л)), где xt у, г, ^ и w различны и г, ® и w не встречаются в А. Показать, что теория ZFj эквивалентна теории ZF.

Пусть теория ZF2 получается из теории ZF опусканием аксиомы бесконечности и добавлением аксиомы

三尤 «у (у 三 ％) & Vg (у 三 л： -> mz (z м % & у и z & g * z)))・

Показать, что теория ZF2 эквивалентна теории ZF- [В теории ZF2 определить натуральное число как ординал, который меньше, чем каждое предельное число. Доказать трансфинитной индукцией, что никакое натуральное число не подобно меньшему натуральному числу. Пусть х таково, как в последней аксиоме. Доказать, что множество всех натуральных чисел, подобных подмножествам элементов множества 招 существует, и это множество содержит все натуральные числа.]

Пусть теория ZF' получается из теории ZF опусканием аксиомы регулярности. Множество а называется регулярным, если каждое непустое подмножество множества а имеет минимальный элемент.

Определим х как ординал, если х транзитивно и регулярно и каждый элемент из х транзитивен. Показать, что все результаты из § 9.3 могут быть доказаны в теории ZF'.

Показать, что если теория ZF' непротиворечива, то теория ZF непротиворечива. [Пусть М (х) За (х е Stg (ст)). Показать, что М—интерпретация теории ZF в теории ZF'*]

Пусть Е —некоторый бинарный предикат теории ZF такой» что

(-尤*0 - тg® 巨尤 & -]壬(2 h尤 & zEy)) и

I Set* (хЕу).

Показать, что существует ординальный функциональный символ Я такой, что 1 Set* (Я (х) ^ст) и н хЕу -^ Я (х) < Я (у)* [Аналогично методу, который используется в § 9.10 для 曰厂]

Множество а называется цепью, если VxVy (х, у 已 а — # и ид V у и #). Множество а называется индуктивным t если Un (b) w а для каждой непустой цепи Ь, содержащейся в а. Максимальным элементом множества а называется элемент множества а, не входящий ни в один элемент из а. Лемма Цорна утверждает, что если а ——непустое индуктивное множество, то а имеет максимальный элемент.

Доказать лемму Цорна в теории ZFC. [Предположим, что а — непустое индуктивное множество, не имеющее максимального элемента. Показать, что а не является цепью* Затем показать, что существует функция выбора g на в такая, что если b и а н b — цепь, то Un (6) с^ (а—Ь). Пусть / таково, как в замечании после теоремы о вполне упорядоченности. Показать, что а < т -> pG с: /*т для а, т е Do (/), и прийти к противоречию.]

Доказать в теории ZFC лемму Тейхмюллера ——Тьюки. [Применить (a)J

Показать, что в теории ZF аксиома выбора следует из леммы Тейхмюллера —Тьюки, [Для данного множества х пусть г— множество функций /, где Do (方 и Р (х) и f*y е у для у 三 Do (/). Выбрать максимальный элемент из nJ

5. Пусть у — некоторое подмножество из ххх, будем писать aVgb вместо (a, b〉wy. Если zu%, то у-первым элементом из г называется элемент а из г такой, что а <^Ь для всех b ^ г—{а}. Скажем, что у вполне упорядочивает х, если j (а V^a) для всех а и каждое непустое подмножество из х имеет ^-первый элемент.

Пусть у вполне упорядочивает х. Показать, что если atb ^ xt то выполняется в точности одно из a Vgb, а = Ь и Ь V/ Показать, что если а<УЬ и Ь<^% то ас/. Показать, что каждое непустое подмножество из х имеет единственный у-первый элемент.

Пусть / — отображение из и в L такое, что т V р V 0 -> /*т V < /*р. Показать, что т^/(т для т < а. [Использовать трансфинитную индукцию.] Доказать, что uwgL

Пусть у вполне упорядочивает х. Показать, что существует единственное биективное отображение f ординала о на 尤 такое, что t V р V и — f'T Vgf'p. [Использовать замечание, данное после теоремы о вполне упорядоченности, и (б).]

Убывающей у-последовательностью в х называется последовательность а0, av ... элементов х такая, что 。$«)Vy。* для всех г.

Доказать в теории ZFC, что подмножество у из 尤义尤 вполне упорядочивает х тогда и только тогда, когда у является линейным порядком х и не существует убывающей //-последовательности в х.

6. (а) Показать, что Card* можно определить в теории ZF так, чтобы Card* (х) — Card* (у) —Sm (х, g). [Подобно определению ЕС из § 9.Ю.]

Определим xw'y — За^б (尤= Саг(Г (в) &y = Card‘(Ь) & а и Ь). Доказать (в теории ZF), что

За (% = Card' (а)) г 尤х W'y & у w'z х w'z*

Доказать в теории ZF, что если существует инъективное отображение f из а в b и инъективное отображение g из Ь в а, то а подобно Ь. [Пусть

d= [с I с и а & Vx (х 已 6 &g也巨 с —为(у 三 c &x = f'g))]・

Пусть ax = Un(d), a2 = a — alt ^1 = [fx j xe ^], Ь$ = Ь — Ь、Показать» что 做 已 d, и вывести, что g отображает 员 в &, Пусть е —множество элементов из а, не представимых в виде g'x, где х 三 Ь2. Показать, что с 三 d, н вывести, что g отображает 邑 на OaJ Вывести, что х W'g &у W'xf * = g・

Показать, что для каждого множества % существует множество ординалов, подобных подмножествам множества х. [Заметить, что существует множество множеств, вполне упорядочивающих подмножества множества х, и применить 5 (в).]

Показать, что формула

Vx Vy (За (х = Card' (а))& 割 ®=СаЕ(Г (b)) т # W 丁 V gW‘尤) эквивалентна аксиоме выбора. [Допустив эту формулу, применить (г), чтобы доказать теорему о вполне упорядоченности, и вывести аксиому выбора.]

7- В теории ZFC определим 0T как кардинал множества отображений из т в ст.

Доказать, что 2° при этом определении имеет такое значение, как и при старом определении.

Для кардиналов a, t и р показать, что

аг+р — qT * аР,

0^^= (Ер,

(а • т)р=(тр • тР.

Показать, что

a W o' & t W 丁 — В W

Показать, что

а ^т->證= 2*・ [Использовать (б) и (в).]

Для кардинала ст пусть cf (и)—первый кардинал т такой, что т* (х и и & Un (#) = ст & Card (х)=т)*

Кардинал о называется регулярным, если cf(<y) = o, и сингулярным, если cf(cr)va・ Кардинал ^а называется слабо недостижимым, если он регулярный, и а —предельное число.

Показать, что cf (ст) ^ ст.

Показать, что Ns р) — регулярный кардинал.

Показать, что каждый недостижимый кардинал является слабо недостижимым. Показать, что из обобщенной гипотезы континуума следует, что каждый слабо недостижимый кардинал является недостижимым.

Показать, что если теория ZF непротиворечива, то утверждение о том, что слабо недостижимый кардинал существует, не может быть доказано в теории ZFC. [В теории ZFL определим М как в (4) из § 9.10, только недостижимость заменим на слабую недостижимость. Использовать (4) из § 9.7, чтобы доказать интерпретацию аксиомы степени.]

Показать, что

[Допуотим, ЧТО T = cf (ст) И No = N^. Пусть

X и “с， Card (x) = T, Un (尤)=“仃，

и пусть р f fp —биективное отображение из № на множество отображений из х в ^а. Для каждого v w х выберем f(v в 代0 ——[小* | р < v]. Показать, что / не является /р.]

Показать, что

{Использовать (n)J Вывести, что 2^°#： Кш-

(а) Доказать в теории ZFL

s W р & Q и С* (р) & р V Card (т) г a w С* (т).

[Пусть Card (р) = “о； применить (8) из § 9.7 к b = C* (p)U {а}.]

Доказать в теории ZFC

厶(а) &аиС* (Ns(o))&Card(a)wNof awC* (Ns ”))•

[Взять интерпретацию теоремы из (а) относительно L и применить (26) из § 9.10 и 8 (б).]

Доказать в теории ZFC, что каждое конструктивное подмножество из со и каждое конструктивное отображение из и на со имеет счетный порядок. [Применить (б).] Вывести, что из формулы V% " и s -> L (х)) следует гипотеза континуума.

(а) Показать, что существует арифметический предикат Р такой» что для любого дерева Л

Р(к厶，м ，)一4 0)&114加=人

Показать, что существует арифметический предикат Р такой, что если Д — дерево, то Р (К月，а) неявно определяет〈Kr月〉，где

Ra (G /, 6)-4 (i) & A (/) & 4 (田 & К (М旧 И) = <|| Лу] II，И 4固 ».

Вывести, что существует гиперарифметическое отношение Q такое, что для любого дерева А

Q(K/, К 力 &)—R』(i, j，初

Показать, что существуют арифметические отношения Рх — Р4 такие, что если Л есть дерево и Сд определяется следующим образом:

q за ①&a ⑴ & 。 Q4订 II)三 e (I: II)， то

々(七，〈心力 i, j)一力⑴&A(j)&C(Mu市= C(Mum，

Pz (К月，《M〉，i, j, 2)-力⑴ & A (j) & / 但)& C @ 4図 » =

={C(产 U]|> c(il々加)}，

%(心，〈底月〉，i，j，e)一4 ⑴&/(/)&/但)&C(Mu31) =

(Pm ID1 с (II Aw ll)> * 匕(心&М九用，加)一

(1)&Д (/)&Л (田&4 (加)&e(1/[订 И)=

=〈0(品加，e a 4加)，c(Mmd1)〉■

Показать, что существует гиперарифметическое отношение Р такое, что для дерева А и。月,как в (в),户(К月,а) неявно определяет ^с^у [Применить (а), (б) и (в).]

Показать, что существует арифметическое отношение Р такое, что если / есть дерево, то для С月，как в (в),

p(心，(&dмj)-A⑴&5他订1|)刁.

Показать, что существует гиперарифметическое отношение Р такое, что для дерева Л

Р(К/, а, /)^Л(1)&С(||Дт||)=а.

[Применить (г) и (д).]

Показать, что класс конструктивных множеств натуральных чисел является множеством рода Е^. [Применить (е) и 9 (в),]

Показать, что если аир конструктивны, то либо а имеет род А； в М либо 6 имеет род Д^ в а. [Предположим, что Od (а) < VOd(B). Пусть Р таково, как в (е). Применить 9 (в) и теорему уни- формизации, чтобы найти 丫 такое, что Тг (у) & З/Р (у, 0, i) и у имеет род Д| в р. Показать» что а гиперарифметическое в *.]

П. Допустим аксиому конструктивности. Пусть а < Lp означает, что Od (a) <Od р.

Доказать, что v^—(2, 0)-местное отношение рода А^. [Применить 10 (е) и 9 (в).]

Доказать, что для 枕三2 класс функций рода ДпН-i является базисом для семейства функциональных классов рода П^. [Если Р имеет род И^ и непусто, то пусть а— элемент из Р наименьшего порядка; применить (а).]

Доказать, что для 枕三3 семейство подмножеств рода SA из Nm,在 удовлетворяет принципу редукции. [Подобно задаче 25 (б) из главы 7, применяя (а).]

12- (а) Пусть М — транзитивная ^-интерпретация теории ZF; Q и Q7 — предикатные символы, абсолютные для М; 7? —предикатный символ такой, что

—马)，

Показать, что R абсолютно для М. [Взять интерпретации этих двух теорем.]

Пусть We (у, х) означает, что у вполне упорядочивает х. Показать, что We абсолютно для всех транзитивных ^-интерпретаций теории ZF. [Применить (а) и 5 (в).]

Показать, что существует интерпретация J теории Р в теории ZF такая, что для каждого определимого предикатного символа Q нз Р для всех транзитивных е-интерпретаций теории ZF Q)абсолютно, Вывести, что каждый рекурсивный предикат может быть представлен в теории ZF предикатным символом, абсолютным для всех транзитивных е-интерпретаций теории ZF< Обобщить этот результат на арифметические отношения. [Использовать метод из за* дачи 11 (а) главы 8,]

Показать, что любое (2, 1)-местное отношение рода П] может быть представлено в теории ZF предикатным символом Q, определенным следующим образом:

Q(a, р, i) —We (尸(а, 0, i), G (а, 0, i)),

где 尸 н G абсолютны. [Применить задачу 19 (е) главы 7.J Вывести, что Q абсолютно. [Применить (б).]

Показать, что если Q такое же, как в (г), и R определяется следующим образом:

R(a, ») —mRQ(cz, ₽, i),

то R абсолютно для L. [Применяя 5 (в), получим

R (а, /) — Зр 3/ За (IFunc (f) & Do (f) = s & Ra (/) и о &

& V/ Vk 3 hwG (а, % i) т ((/,抄三尸(a,舀 i)-円 < f ®))・

Пусть f 卜 / — ограничение f на /; перепишем эту формулу так:

R (а, 0 —耳 За (Func (f) & Do (/)=

= co&Ra(f)uoxs & V/R'(扑 j, 6 a, i)), где R‘ абсолютно. Используя идею из доказательства (г) и вполне упорядоченность g X s, доставляемую К, перепишем эту формулу так;

R 似，i) 3a 1 We (% (и, а, 0> 厅2 9, a, Z)),

где Нг и Я2 абсолютны, и применим (б), не забывая, что VoL (a).)

Показать, что каждый предикат рода 20 или Щ конструктивен. [Определить R, как в (д), опуская а; использовать абсолютность R/

Ординал о называется ординалом рода 厶事，если он конечен или существует биективное отображение / из со на а такое, что /^ < /7 — предикат рода Л|. Показать, что порядок всякого преди-

ката рода Д| представляет собой ординал рода Д^. [Применить следствие к теореме униформизации.]“

13* Пусть теория ZF” получается из теории ZF добавлением константы У и аксиом У и со н 口 L (У). Определим CY подобно С, за исключением того, что добавляется новая операция ®10 (х, у)= = хПр； определим С*г и L” аналогично. Пусть теория ZFL^ получается из теории ZF” добавлением аксиомы VxLY (х).

Показать» что если теория ZF непротиворечива, то теория ■； ZF“ непротиворечива. [Применить теорему 1 из § 9.9 и 9 (в).]

Показать» что Ly —интерпретация теории ZF в теории ZFy и имеет место VoL”(o).

Показать, что L абсолютно для LY и L (%)— 厶"(汇).[Заметить, что С абсолютно для LY и, следовательно, Аг-инвариантно,』 и применить (6)J Вывести, что L”(P) имеет место. [Применить аналог леммы 2 из § 9.6.]

Если М есть ^-интерпретация теории ZF в теории ZF，такая, что имеет место М (У), то мы расширяем М до интерпретации языка L(ZF，), беря У附 вместо У. Показать, что М ——интерпретация теории ZFr. Определим абсолютность для М нелогическях символов теории ZF?，как раньше. Показать, что У абсолютно к что если М транзитивно, то С” абсолютно.

Показать, что Lv абсолютно для LY. Вывести, что 上丫一нн・: терпретация теории ZFL" в теории ZF，.

Доказать аксиому выбора в теории ZFLy.，

Доказать в теории ZFL”

У 巨 b & Trans (&) & Card (b) ^^a^b ^C*Y (“$ ⑷).

[Подобно (8) из § 9.7. В доказательстве леммы заметить, что 尸(у)=у」

Доказать обобщенную гипотезу континуума в теории ZFL*., [Подобно теореме 2 из § 9.7. В доказательстве аналога для (4) из § 9.7 взять 力= C*(No)U{a}U{y}UsJ

Пусть теория ZFC' получается из теории ZFC добавлением : обобщенной гипотезы континуума. Показать, что если теория ZF. непротиворечива, то Vx (х er со f L (х)) не является теоремой теории ZFC< [Применить (а), (д), (е) и (з).]

b-идеалом на множестве 尤 называется подмножество у нз Р (х), удовлетворяющее условиям (ii), (iii) и (iv) определения измеримого идеала и дополнительному условию: (i‘) Un (г)曰 у для каждого счет-; ного подмножества z множества у. Предположим, что у есть кардинал, у есть 6-идеал на % и не существует никакого о-идеала на любом кардинале, меньшему. Показать, что у—— измеримый идеал. [Допустим, что это не так. Пусть ст —первый кардинал такой, что Card (z) = q для некоторого подмножества 2 множества g к Un (2)壬 у. Показать, что это z может быть выбрано таким, что Un (г) =х* Пусть / — биективное отображение из а на г и w — множество всех подмножеств у из а таких, что Un ([f*r | т 三 矶)陆弘 Показать, что 侬. есть б-идеал на ст.]

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРОБЛЕМА ТОЖДЕСТВА СЛОВ

Мы собираемся рассмотреть одну проблему разрешимости, возникшую в теории групп. Мы будем предполагать, что читатель знаком с группами, заданными образующими и соотношениями, и со свободными произведениями. Напомним нужные нам понятия.

Единичный элемент любой группы обозначается через е. Мы называем {е} единичной подгруппой и называем элемент неединичным, если он отличен от е. Через {А} мы обозначаем подгруппу, порождаемую множеством 4 Если ф — отображение, то ф | Л означает ограничение отображения 中 на множество Л. Если G — группа, то G工 будет обозначать изоморфную копию группы G при изоморфизме, отображающем g в gi； образ множества А при этом изоморфизме будет обозначаться через Аъ

Свободная группа [Л] над множеством Л есть группа, содержащая множество А и обладающая следующим свойством; каждый элемент из [Л] может быть единственным способом записан в виде

吁与f…限，

где а$ принадлежат Л и никакое а не является смежным с аг1. (Мы допускаем случай /г = 0; это дает выражение для е.) Такие выражения называются словами в Л. Мы можем рассматривать их как элементы группы [Л]. Два слова мы умножаем, выписывая их последовательно, а затем вычеркивая выражения вида аат' и ат^ до тех пор, пока не получим слово; этот процесс вычеркивания называется сокращением. Справедливо [/] = {/}. Более общо, если В и 4, то {В} состоит из слов в В и может быть отождествлена с [В].

Если ср является отображением из Л в группу G, то существует и единственно продолжение (pz отображения ф до гомоморфизма [А] в G, и <р' сюръективно тогда и только тогда, когда <р (Л) порождает G. В частности, если Л — порождающее множество группы G, то существует един-

ственный гомоморфизм [Л] в G, тождественный на А, и этот гомоморфизм является сюръективным. Таким образом, G естественно изоморфна некоторой фактор-группе : группы [Д]. Отсюда следует, что каждая конечно порожденная группа изоморфна некоторой фактор-группе свободной группы над конечным множеством.

Подмножество Л группы G свободноу если гомоморфизм : [Л] в G, тождественный на Л, инъективен. В этом случае _ мы можем отождествить подгруппу {А} группы G с [Л].

Пример. Если z ^ 4, то множество всех ХгХ-1 из [Л, z], где X — слово в Л, свободно.

Соотношением на Л называется выражение X = Y, где X и У — слова в А. Это соотношение истинно в фак-: тор-группе [А]/К, если X и У находятся в одном и том же смежном классе по К, или, что эквивалентно, если хут 巨 К.

Пусть R — некоторое множество соотношений на Л. Соотношение на Л называется следствием множества R, если оно истинно в каждой фактор-группе группы [Л], в которой истинны все соотношения из R. Множество следствий множества R обозначается через С (R)* Существует лишь одна фактор-группа [用/Kr группы [Л], в ко-, торой все истинные соотношения являются следствиями множества R; Kr является нормальной подгруппой, порожденной ХУт для X = Y из R. Мы называем [4]/Kr группой с множеством образующих А и множеством опре- деляющих соотношений R и обозначаем ее через [4; А]・!

Обобщим обозначение [Л; R], допуская несколько об-： разующих или множеств образующих перед точкой с за-； пятой и несколько соотношений или множеств соотношений после точки с запятой. Так, [Л, /; R, Х = У] имеет множество образующих A U {£} и множество определяющих соотношений 为 U{X = Y}・ При этом подразумевается, что ни одна из образующих не повторяется; таким образом в приведенном выше примере должно быть f 卒/♦ Если А, находится перед точкой с запятой, а а —после точки с запятой, то подразумевается, что областью изменения для ， служит Л; аналогично для других букв. Например, в [Л, f; at = td\ определяющими соотношениями являются вс at = ta для а из Л.

Так как [Л] является подгруппой группы [Л, В], a Kr является подгруппой группы Krus， то существует

естественный гомоморфизм из [Л; R] в [Л, В; R, 5], отображающий смежный класс ) из [Л; R], содержащий некоторое слово в Л, в смежный класс из [4 в- R, S], содержащий это же слово. Если этот гомоморфизм биективен, то мы отождествляем эти две группы. Это наверняка произойдет в следующем случае: S состоит из соотношений вида Ь = Х, где X ™ слово в А, по одному для каждого & из В.

Напомним, что каждая группа G естественным образом отождествляется с фактор-группой группы [G] н, следовательно, с группой [G; R&], где RQ — множество всех соотношений на G, истинных в этой фактор-группе. Если G находится перед точкой с запятой, то подразумевается, что соотношения из R& принадлежат множеству определяющих соотношений, даже если они не появляются в явном виде после точки с запятой.

Пример. Группа [G, //; gh=hg] является прямым произведением групп G и Я. (Мы предполагаем, что G и Н не пересекаются, в противном случае их вначале следует заменить на изоморфные группы.)

Пусть G и Gf — группы, и пусть <р — изоморфизм подгруппы Н группы G и подгруппы Н‘ группы G'. Рассмотрим группу

G ^(pGr = [G,й =(р (Л)].

Естественные отображения групп G и G' в G’^G' инъективны, поэтому мы отождествляем G и G' с их образами при этих отображениях. Тогда Н 口 Н‘ отождествляются посредством изоморфизма <р. Мы имеем G*g)Gf = {G, G'} и G[\Gr^=H ==Я\ Группа G*^С называется свободным про- введением групп G % G' с объединенной подгруппой G П G\ Пусть Т содержит по одному элементу из каждого правого смежного класса в G по Н, отличного от самой Н, и пусть Г сформировано аналогично при помощи Нг и G'・ Слово в G U G' находится в нормальной форме» если оно имеет вид htj2 • • где h^H,九 勾，tn^T\}Tr и ti^T тогда и только тогда, когда tM 三 Тг при 1 ^i<in. Тогда теорема Шрайера утверждает, что каждый смежный

класс из G^^G' содержит в точности одно слово, находящееся в нормальной форме.

Пусть К и К — такие подгруппы групп G и Gr соответственно, что

Ф(ЯПК) = Ф(//)П^

(Это означает, что в С*ФС подгруппы К н К имеют одно и то же пересечение с объединенной подгруппой.) Тогда ограничение 屮=中 | (// П К) является изоморфизмом между ^П^ и <р(//)Г|К・ Таким образом, мы можем образовать группу К*”К\ причем существует естественное отображение % группы К 本屮氏‘ в G * 屮G「 при котором образом является {К, К'}・ Мы покажем, что % инъективно. Так как элементы из разных смежных классов по Н ]К в К находятся в разных смежных классах по // в (7, то мы можем предполагать, что Т содержит по одному элементу из каждого смежного класса по Я П X в /С, отличного от 〃ПК・ Также можно предполагать, что 7V выбрано , аналогично. Тогда слова в KUK1 находящиеся в нормальной форме, содержатся в множестве слов в G U G', находящихся в нормальной форме. Так как % отображает смежный класс, содержащий некоторое слово, в смежный класс,. содержащий то же самое слово, то по теореме Шрайера % инъективно.

Таким образом, мы можем отождествить К*2К\ clK'K^uG^^C. Тогда

GR{K, К'}=К.(1)

Для доказательства достаточно показать, что левая часть 5 содержится в правой. Нормальной формой элемента g из G является h или ht, где t ^Т. Если это является также : нормальной формой элемента из {/f, ТС}, то 九三 HR К и t wK, поэтому g нК・

Если 屮 является изоморфизмом единичных подгрупп, то вместо G * 屮G' мы пишем G^Gr и называем G^d сво~ бодным произведением групп G и G'. Таким образом/ G 本 G' = [G, G] Нормальные формы становятся пронзве- ： дениями неединичных элементов, выбранных поочередно в G н в G' (если мы опустим начальное е)・ Тогда описанные ранее К н К' могут быть любыми подгруппами групп G и G\

Пусть G и Gr — подгруппы группы L. Пусть H = G[\Gr и ф — тождественное отображение из Н на Н. Тогда сущест-

вует единственный гомоморфизм группы G^ ^G' в L, тождественный на G и G'; при этом образом является {G, G'}. Если этот гомоморфизм инъективен, то мы отождествляем G * ^Gr и {G, G'} и говорим, что {G, G'} является свободным произведением групп G и G' с объединенной подгруппой Н (не упоминая об Н, если Н — единичная подгруппа).

Пример. Если А — неединичный элемент из Я, то в группе G*H подгруппа {G, hGhr1} является свободным произведением групп G и hGhr1; это легко следует из теоремы Шрайера.

Группа называется конечно определенной, если она изоморфна ^группе [Д; R], где А и R конечны. Прямое произведение двух конечно определенных групп является конечно определенной группой, так как

[Д; R]x[8; S] = [4 В; R, S, ab = ba]. Свободное произведение двух конечно определенных групп с конечно порожденной объединенной подгруппой является конечно определенной группой. Действительно, пусть произведением будет [Л; R]* 中[5; S], причем область определения отображения ф содержит конечное число образующих 九】,... ...,九汽.Пусть Xi — слово в Д из смежного класса, содержащего 鱼，и пусть У/ — слово в В из смежного класса, содержащего 屮(財)・ Тогда

М； RhJB; S] = [4 В; R, S, & =匕，…，Xn=Yfll

Пусть R — некоторое множество соотношений на конечном множестве Д. Проблемой тождества слов для R называется проблема разрешимости для C(R). Так как С (R) является множеством соотношений, истинных на [4; R], то эту проблему мы называем также проблемой тождества слов для [Л; R].

Чтобы перевести эту проблему на язык теории рекурсии, мы отождествим символы а и аг1 (а е А) и символ = с натуральными числами. Тогда каждое слово в Л и каждое соотношение на Л становятся конечными последовательностями натуральных чисел, и потому имеют некоторый номер (последовательности). Множество Р слов или соотношений называется рекурсивным (или рекурсивно перечислимым) ^ если множество номеров элементов множества Р рекурсивно (или рекурсивно перечислимо). Легко проверить, что это определение не зависит от выбора чисел, с кото-

рыми были отождествлены символы, поэтому проблема тождества слов для R разрешима тогда и только тогда, когда С(R) рекурсивно.

Соотношение X = У принадлежит множеству С (R) тогда и только тогда, когда ХУ」】 принадлежит Kr, а X при-' надлежит Kr тогда и только тогда, когда Х—е принадлежит множеству C(R). Отсюда следует, что подгруппа Kr : рекурсивна (рекурсивно перечислима) тогда и только тогда,, когда множество С (/?) рекурсивно (рекурсивно перечислимо). Кроме того, если R рекурсивно перечислимо, то С (R)； рекурсивно перечислимо. Действительно, множество J таких ХУ—' что соотношение Х = У принадлежит R, рекурсивно перечислимо. Мы получим все слова из К&, сокращая выражения Х^Х-^.-.-Х^Х-^ где У. принадлежит J. Отсюда следует, что подгруппа Kr рекурсивно перечислима, и потому множество C(R) рекурсивно перечислимо.

Группа называется рекурсивно определенной, если она изоморфна группе [Л; R], где Л конечно, a R рекурсивно перечислимо. Очевидно, каждая конечно определенная, группа является рекурсивно определенной. (Как известно,； обратное неверно.)■

Предположим, что [Л; R] вложена в [В; S] (где Л и 3 конечны). Выберем для каждого а из А такое слово Уа в В, что смежные классы, содержащие а и У。，соответствуют друг другу при этом изоморфизме. Для каждого ； слова X в 4 пусть X’ будет словом в В, полученным из X, заменой а на У。н аг】 на У/ н последующим сокращением. Тогда при упомянутом изоморфизме смежные классы, содержащие X и X', соответствуют друг другу, поэтому； Х=У истинно в [Д; R] тогда и только тогда, когда X'= =у，истинно в [5; S]. Первым следствием этого явля-； ется то, что если проблема тождества слов разрешима для； [В； S], то проблема тождества слов разрешима и для [Л; R]. Вторым следствием является то, что если С (S рекурсивно перечислимо, то и С (7?) рекурсивно перечне' лимо. Так как [Д; Л]=[Л; С (7?)], то отсюда следует, чт каждая подгруппа рекурсивно определенной группы буд рекурсивно определенной.

Если G — конечно порожденная группа, то G изоморфн ' группе [Л; R], где Л конечно. Мы говорим, что проблем тождества слов для G разрешима или неразрешима, в за висимости от того, будет ли разрешимой или неразреши

мой проблема тождества слов для [Л; R]. Согласно только что доказанному утверждению это не зависит от выбора представления [Л; R]・

Нашей основной целью является доказательство следующего утверждения.

Теорема Новикова. Существует конечно определенная группа, для которой проблема тождества слов неразрешима.

Мы получим рекурсивно определенную группу с неразрешимой проблемой тождества слов следующим образом. Пусть Л — рекурсивно перечислимое множество, а Н — подгруппа группы G = [а, &], порожденная элементами 壊1)0~弋 где п еА. Пусть <р——тождественное отображение из Н на Н. Тогда G 本 @G есть -

[а, b, а】，％； anba~n = aibtaTn для п Л],

и потому она является рекурсивно определенной. Далее, соотношение а^Ьа—п = а；Ь内"истинно в G^^G тогда и только тогда, когда пе А. Действительно, если это соотношение истинно> то апЬа~л принадлежит объединенной подгруппе Я; так как множество {атЬа~т} свободно, то отсюда следует, что п^ А. Таким образом, проблема разрешимости для Л сводима к проблеме тождества слов для G * 屮G. Если мы выберем множество Д нерекурсивным, то отсюда будет следовать, что б$фС имеет неразреши* мую проблему тождества слов.

Для того чтобы доказать теорему Новикова, достаточно вложить группу (?*фС в какую-нибудь конечно определенную группу. Мы сделаем это с помощью следующей теоремы.

Теорема X игмена. Конечно порожденная группа еложима 6 конечно определенную группу тогда и только тогда, когда она является рекурсивно определенной.

У теоремы Хигмена имеется одна замечательная черта. Назовем группу группой Хигмена, если она является конечно порожденной и вложима в некоторую конечно определенную группу. Это является чисто алгебраическим понятием. По теореме Хигмена оно совпадает с понятием рекурсивно определенной группы, которое определено с помощью теории рекурсии.

Утверждение «только тогда» в теореме Хигмена тривиально. Каждая группа Хнгмена изоморфна некоторой

16 Дж, Шенфилд

подгруппе конечно определенной, а потому и рекурсивно определенной группы, поэтому она рекурсивно определенная. Оставшаяся часть этого приложения посвящена доказательству обратного утверждения.

Лемма 1. Если G u Н — группы Хигмен^ то GxH — группа Хигмена.

Доказательство. Очевидно, Gx/7 = {G, Н} является конечно порожденной группой. Если G и Я вложимы в конечно определенные группы L и 7И, то GxH вложима в LxM, которая является конечно определенной группой.

Лемма 2* Если G и G'~группы Хигмена, q ф — изоморфизм некоторой конечно порожденной подгруппы группы G 8 G\ то G * фСг — группа Хагмена,

Доказательство. Очевидно, группа G * 屮(7 = ={G, G'} является конечно порожденной. Если G н G' вложимы в конечно определенные группы К и К', то G^^Gr вложима в К靄①К\ которая является конечно определенной группой.

Изоморфизмом в группе G называется изоморфизм некоторой подгруппы Н группы G в G. Пусть <р — такой изоморфизм, полежим

G^[G, f;统分1 =屮(m].

Чтобы изучить G屮,мы вложим ее в большую группу, В группе [G, r] = G^ [г] подгруппа {G, r/fr1} является свободным произведением групп G и гНг1. Аналогично, в группе [Gl s] подгруппа {&, sep(H)xS-1} является свободным произведением групп G* и s(p(Н)№ Следовательно, существует изоморфизм * между {G, гНг1} и {Gi, scp^JiS-1}, определенный следующим образом:屮(g) = gi,屮(К厂')= =s(p (Л)х s'1. Тогда

[G, rj*中[Gi, s] = [G, Gi，r, s; g=^i, rhr^^s^ih^iS-1]

= [G, r, s; rhr1 = s^> (ft) s-1]

= [G, r, s, /; rhr 1 = s(p (A) s1, t^s~xr]

= [G, /, s, r; tht^^cp (h), r = s/]

= [G( t, s; tht^ = ф (/i)] = бф * [s].

Таким образом, существует изоморфизм из группы G(p в [G, г]*@® s], отображающий смежный класс, содержащий g, в g, п отображающий / в S-".

Отсюда следует, что различные элементы из G лежат в различных смежных классах в Оф, так что естественное

отображение нз G в G屮 инъективно. Поэтому мы отождествляем G с некоторой подгруппой группы G^. Мы также отождествляем / с содержащим его смежным классом из Сф и называем / ^-элементом. Тогда G屮 порождается G и Л и tht~r = fp(h) для h^H.

Так как {G, rGr1} является свободным произведением групп G и rGr1, то вследствие (1) мы имеем

{G, rHr^^rGr-^rHr-1.

Аналогично,

{Gl s屮("h s-i} П sG©r = s(p (切工 s L

Отсюдд следует, что подгруппа {rG厂匕 sGxs ^{^{rGr1, sGs % является свободным произведением групп rGr1 и sGs-1 с объединенной подгруппой гНг~1. Применяя внутренний автоморфизм, определенный элементом г1, и вспоминая, что 厂叮=力 мы видим, что {G, t~rGt] является свободным произведением групп G и "Gt с объединенной подгруппой Н. Отсюда

G Q i^Gt = Н.(2)

Пусть G, ф и Л такие же, как и ранее. Подгруппа К группы G инвариантна относительно 屮，если ф (// П /<)— = 屮(Н) П ^. (Это означает, что 力三 К с 屮(九)三 К для 力三 方.) Если ^ инвариантна относительно 屮，то q/= =<р I (方 П К) является изоморфизмом в К・ Покажем, что естественное отображение из К@‘ в 6Ф является вложением. Для этого достаточно показать, что естественное отображение из [^,厂]*2“Kl s] в [G, г]*屮[Gl s] является вложением (здесь 4^ определено так же, как и гр). Это отображение является вложением [^t г] в [G, г] как {К, г}, a [Ki, s] в [Gi, s] как {Ki, s}. Следовательно, мы должны проверить, что {Х\ г} и {/Ci, s} имеют одно и то же пересечение с объединенной подгруппой. Однако

{К, "n{G, f"L} = {K, .НПК)6}・(3)

Чтобы доказать это, заметим, что нормальная форма любого элемента из свободного произведения {G, гНг^1} имеет вид 能也厂七仙2厂 1 •…Это является также нормальной формой в свободном произведении [G, г], и этот элемент принадлежит {К,尸} = [К, г] тогда и только тогда, когда все gi и 九 принадлежат К・ Отсюда следует (3). Аналогично,

{кЬ 5} n {G, s(p (h)" l}=阳，s (中(//h n K0 尸}.(4)

16*

Так как <р (Я П К) = ф (Я) Г) К, то правые части в (3) и (4)： соответствуют друг другу при отображении 屮，как и требовалось.

Таким образом, мы можем отождествить К^ с подгруппой {К, t} группы G屮 Из (1) также следует, что

{К/7ПШК,(5)；

Применяя (1) к {К, г}=К*[г], рассматриваемой в качестве подгруппы группы G # [г], мы получаем, что

{К,广} W=K・

Отсюда и из (5) следует, что {К,人 s}f|GuK, и потому в бф

{К, f}RG = K・⑹

Предположим, что мы задали множество 屮，屮……изо- ” морфизмов в G. Тогда

G(p,也…[G,，屮 t^9 * * • > %包屮 Ф (八)

Существует естественное вложение G в G$, ®,….Действительно, если это не так, то найдется некоторое соотноше- ' ние g=g[ истинное в G$,也…，но ложное в G, причем оно должно быть следствием конечного числа определяющих соотношений. Таким образом, нам надо рассмотреть лишь случай, когда существует только конечное число изо- \ морфизмов. Этот случай легко доказывается индукцией, потому что

G%,, (Ра” =(6%,%)q>“+i，

Если К является подгруппой группы G, инвариантной относительно всех ф, ip, ..., то

{К, %,...}nG = ^.(7)-

Правая часть содержится в левой. Так как любой элемент из {К, /屮 /“，••・} порождается подгруппой К и конечным : числом элементов вида t, то нам надо доказать лишь : обратное включение для конечного числа изоморфизмов. ' Мы сделаем это индукцией по числу изоморфизмов п. Слу- j чаем n= 1 является (6). Если м>1, то по индуктивному предположению

{К, ^ii • • •» ^л-i} fl G — K.

Отсюда следует, что {К, Zrt-i} инвариантна относи-； тельно 屮打,поэтому вследствие (6)，

{k 厶，^П} П G%,1PziТ= {k,厶力-上}.

Рассматривая пересечение обеих частей с G и снова пользуясь индуктивным предположением, получаем

{k,厶词 nGuK.

Если 屮 является тождественным отображением из Я в Я, то вместо Gcp мы пишем G* Тогда любая подгруппа К группы G инвариантна относительно ср и Кн^к вложима в G/九

Пусть G — группа Хигмена. Изоморфизм <р в G называется мягкимf если 6Ф — группа Хигмена. Подгруппа Н группы G называется мягкой, если G^ — группа Хигмена, т. е. если тождественное отображение из Я в Я является мягким. Заметим, что Сф и Gh ——обязательно конечно порожденные группы (потому что такова G).

Лемма 3. Если G~группа Хигмена, а ф — изоморфизм некоторой конечно порожденной подгруппы Н группы G в G, то является мягким s G.

Доказательство. Группы [G, г] и [Gj, s] являются группами Хигмена по лемме 2. Так как группа [G, гНг1] конечно порожденная, то [G,厂]*$[Gl s]— группа Хигмена по лемме 2, и потому ее конечно порожденная подгруппа G屮 является группой Хигмена.

Следствие. Каждая конечно порожденная подгруппа группы Хигмена G является мягкой 8 G.

Лемма 4. Пусть К — группа Хигмена, a G — под- группа Хигмена группы. К. Тогда изоморфизм 屮 8 G является мягким 8 G тогда а только тогда, когда он мягкий 8 К, поэтому подгруппа группы G является мягкой 8 G тогда и только тогда, когда она является мягкой 8 К・

Доказательство. Предположим, что ^Cp — группа Хигмена. Тогда G^ вложима в.К屮 и потому является группой Хигмена. Теперь предположим, что Сф — группа Хигмена. Если p(g) = gi, то Сф *^i —группа Хигмена по лемме 2. Далее, если Н — область определения изоморфизма ф, то

6中*2代=回 f, Ki； tht l = ^)(h)t g = gi] = [G, t, %;他尸=(p (血，g = gj

Мы будем часто неявно использовать лемму 4, не оговаривая особо, в какой именно группе Хигмена изоморфизм или подгруппа являются мягкими.

Лемма 5. Если Н 以 ^ — мягкие подгруппы группы Xизмена G, то "ПК 〃 {〃, К} являются мягкими в G.

Доказательство. Предположим вначале, что одна из подгрупп, например К, является конечно порожденной и, следовательно, группой Хигмена. Тогда ^нn^ вложима в G" н потому является группой Хигмена, поэтому подгруппа Н (]К мягкая. В Gh подгруппа {G,广唱仆 является свободным произведением групп G и t^Gt с объединенной подгруппой 方=尸1"丄 Так как {//, К} и t 'Gt включают объединенную подгруппу, то вследствие (1) мы имеем

{", К, t1Gi}(]G = {Ht К}, откуда следует, что

{k,尸a}仙=网k}.(8)

Обе группы слева конечно порожденные, поэтому их пересечение К} мягкое.

В общем случае имеем G []t~lGt = H в GHf поэтому

."ПК=6П(尸 @ПК)・

Так как G и /^GZ — конечно порожденные и потому мягкие группы (согласно следствию из леммы 3), то два рас- смотренных частных случая показывают, что Н П 女一 мягкая группа. Равенство (8) все еще выполняется. Согласно рассмотренному частному случаю {К, HG/} — мягкая группа. Таким образом, {Я, К} является пересечением двух мягких подгрупп и, следовательно, сама мягкая.

Лемма 6* Пусть <р — гомоморфизм группы Хигмена G 8 группу Хигмена Н, Если L — мягкая подгруппа группы G, то ср (L) — мягкая подгруппа группы Н. Если М — мягкая подгруппа группы Я, то 屮一i (М) — мягкая подгруппа группы G.

Доказательство. По лемме 1 GxH ~ группа Хигмена. Пусть Q — подгруппа группы GxH* состоящая из всех (g, <p(g))・ Тогда Q изоморфна G (при отображении (g,屮(g))f g)・ Таким образом, группы G, Н и Q конечно порожденные и, следовательно, мягкие в GxH. Так как

屮а)={{厶 H}RQ, G}n% L(M) = {{M G}RQ, H}QG, то утверждение леммы следует из леммы 5.

Лемма 7. Если ср — изоморфизм группы Хигмена G е G и Я — мягкая подгруппа группы G, то ф! Я 九兄击 кий 8 G.

回[G'[G[G>7=7”回[G'[G[G>7=7”Доказательство. По лемме 3 ср является мягким в G~ поэтому бф — группа Хигмена. Отсюда следует, что Н — мягкая группа в G@ н потому (ОФ)я — группа Хигмена. Однако

回[G'[G[G>

7=7”

回[G'[G[G>

7=7”

s, t,尸；sg$T = cp(g), stht~1s1 = ^ (h), F = st] 厶 s,力 rhr^^^ih), sgsT =(p(g), / = $-1不 尸，s； k厂1 =屮他)，sq-1 =屮證)]=8口1h)w

Таким образом, бф|н вложима в группу Хигмена и, следовательно, сама является группой Хигмена.

Множество ср,屮，… изоморфизмов в группе Хигмена G называется мягким, если (?屮，屮，…может быть так вложена в некоторую группу Хигмена ", что {/屮,£屮,..J является мягкой подгруппой группы Н. Любое конечное множество мягких изоморфизмов в G является мягким, так как мы можем ввести Н = СФ, ”，... и воспользоваться следствием из леммы 3.

Лемма 8. Пусть G — группа Хигмена, Н — мягкая подгруппа группы G,屮,屮,...—мягкое множество изоморфизмов 8 G, /С — наименьшая подгруппа группы G, содержащая Н 〃 инвариантная относительно 屮，屮，… Тогда К является мягкой.

Доказательство. Вложим Сф, -ф,., в группу Хигмена L так, что {/(Р，^, ...} является мягкой. Покажем, что

K=G%,力，…}・

Тогда лемма будет следовать из леммы 5. Очевидно, правая часть инвариантна относительно <р, гр, ... и потому включает К. Вследствие (7)

GH{H,脸 ％,…} uGfl{K，力，布・一}=K・

Пусть Л — конечное множество, выберем элемент г, не принадлежащий Д. Если Р — множество слов в Л, то через Ер обозначим подгруппу группы [Л, z], порожденную словами XzX~i, где X принадлежит Р. Так как слова XzX-1, где X — слово в Л, образуют свободное множество, то Xz^t 巨 Ер тогда и только тогда, когда X w Р.

Подмножество 尸 группы [Л] называется мягким в [Л], если ЕР является мягкой в [/, 2]. Отсюда получается два определения мягкости, если Р является подгруппой группы [Л]; мы должны показать, что они совпадают. Предположим, что множество Р мягкое как подгруппа, тогда по лемме 5 {Р9 г} является мягкой в [Д, z]. Далее, Е[用 является наименьшей подгруппой, группы [Л, z], содержащей z и инвариантной относительно внутренних автоморфизмов, определенных элементами из А, Вследс^ъие лемм 3 и 8 На] является мягкой. Покажем, что Ер — {Р, <г}Г|Е[闵， тогда из леммы 5 будет следовать, что ЕР мягкая. Очевидно, £р и {Р, г}(\Е[лу Далее, ЕР содержит z и инвариантна относительно внутренних автоморфизмов, определенных элементами из Р, поэтому она является нормальной подгруппой группы {Р, г}. Так как z 三 Ер, то естественное отображение из F в {Р, z}/EP сюръективно. Следовательно, если 尤巨{Р, z}, то х = ру, где реР, yw Ер. Гомоморфизм ф группы [Л, г] в [Л], определенный равенствами 屮(〃)=以，(р(2)=% отображает Е^а] в единичную подгруппу. Поэтому если х=ру принадлежит £[在卜 то е = =ф (х) = ср (р)(р (у) = ф (р)=р. Отсюда х = у, поэтому xs£p.

Теперь предположим, что Ер мягкая; мы должны дока-, зать, что Р — мягкая подгруппа. Пусть с и d — новые элементы и для каждого слова X в Л пусть фх — изоморфизм , между {с} и {dX}t определенный следующим образом: 屮х(с) =々丈.Мы хотим показать, что множество всех(рх$ где X принадлежит Р, является мягким. Если это так, то наименьшая подгруппа содержащая с и d и инвариантная : относительно(рх, где X принадлежит Р> является мягкой. Этой подгруппой является {Р, с, d}・ Так как

Р = {Р, & d}PlG,

то Р является мягкой по лемме 5.‘

Пусть Я = [Л, с, d]q)Xf Фг,... (здесь использованы все слова в Л). Тогда

Н ~ [4, с, d, fx, /у,…*; tx，t xdX, .

Для доказательства достаточно вложить Н в такую группу Хигмена, в которой подгруппа, порожденная элементами 厶， где X принадлежит Р, является мягкой. Предположим, что А = {аъ ..., &}. Определим автоморфизм 屯 группы

[Л, & d, fx, /у一…]следующим образом:电(а) = а,电(с) = с, ipj(d) = da〃 ^i (/x) = /azx. Применяя 屮工 к соотношению txct^ = dX, получаем ta.xcta^x =dd.X. Таким образом,屮》 переставляет определяющие соотношения группы 〃 и по- тому индуцирует некоторый автоморфизм группы Н. Следовательно, мы можем вложить Н в группу К с образующими Л, с, d, всеми tx ^ ^{, ^ ч ^п ^ с определяющими

соотношениями

厶皮胃= dX,(9).

山QQ； ' = 〃，(10)

*а^саГ^с,(П)

風 da『' = dai,(12)

〃》x〃j i=：fqx・《(13)

Пусть t = te9 и пусть для слова X в А слово X’ является словом, полученным из X заменой каждого а* на 山.Вследствие (13) ХУХ「‘ = tx・ Из леммы 6 и из предположения, что Ер мягкая, мы видим, что подгруппа к, порожденная XNX' 1 = /х Для X wP, является мягкой. Равенство Х〃Х‘-' = /х показывает, что мы можем исключить образующие tX9 отличные от /, заменяя (9) на

(X'fX，T)c(X?X'T)T = dX (9，) и опуская (13). Мы хотим показать, что (9‘) является следствием из (10), (11), (12) и tetr = d; отсюда будет следовать, что К — конечно определенная группа и потому является группой Хнгмена, Из (10), (11) и (12) мы получаем Х%Х‘т=с, X’ dX‘ I 二 dX, Поэтому, применяя внутренний автоморфизм, определенный X', к %fr = d, мы получаем (9‘)：

Основная лемма. Если Л конечно, 〃 Р — рекурсивно перечислимое^ множество слов в А, то Р мягкое.

Сначала посмотрим, каким образом основная лемма позволяет нам завершить доказательство теоремы Хигмена. Рекурсивно определенную группу можно записать как G/瓦 где G — свободная группа над конечным множеством, а К — рекурсивно перечислимая нормальная подгруппа группы G. По основной лемме подгруппа ^ мягкая, поэтому мы можем вложить Gk в конечно определенную группу Я. В GK подгруппа {G, t~rGt} является свободным произведением

групп G и 尸G/ с объединенной подгруппой К = t、“Kt. Естественное отображение из G в G/К и отображение из t rGt в единичную подгруппу группы G/К согласовано с объединенной подгруппой, поэтому мы имеем гомоморфизм <р подгруппы {G, t^Gt} в G/К такой, что ф lg) = gK, ф (fTg£)=eK. Определи^ гомоморфизм 屮 подгруппы {G, t^Gt} B HxGlK, полагая 屮(元)=(/ 中(尤)). Тогда " является изоморфизмом в Я X G//C* Так как G/К вложима в (HxG/K)p, то для доказательства достаточно показать, что последняя группа является конечно определенной.

Группа Н имеет конечное число образующих и определяющих соотношений. Добавляя, если это необходимо, новые образующие, мы можем предполагать, что это множество образующих включает t и множество образующих группы G. Чтобы получить образующие для (方xG/K)p, мы присоединим к нему конечное число образующих группы Gi и какой-нибудь 屮-злемент s. Кроме определяющих соотношений группы ", нам нужны в качестве определяющих соотношений группы (〃 xG/K)p соотношения, утверждающие, что элементы из Ki равны % соотношения, утверждающие, что образующие группы Н перестановочны с образующими группы &, и соотношения, которые дают значения shs L где h ~ образующая группы {G, t^Gt}. Мы покажем, что соотношения, утверждающие, что элементы из Ki равны е, излишни; тогда мы будем иметь дело с конечным числом определяющих соотношений.

Пусть Xi — слово в множестве образующих группы G1T представляющее некоторый элемент из К» Равенства для значений shs^ дают sXs *=X・Xi и st^Xts ^^X. Так как X принадлежит К, то соотношения в Н влекут t *Xt = =X. Из этих трех равенств мы получаем, что Х± = е.

Теперь мы докажем несколько лемм о мягких множествах слов. При этом предполагается, что 4 и В конечны.

Лемм а 9. Каждое конечное подмножество элементов из [А] является мягким в [Л].

Доказательство получается из следствия к лемме 3.

Лемма 10. Если Д с:В u Р — множество слов 8 Л, то Р является мягким в [А] тогда и только тогда, когда 尸 является мягким в [В].

Доказательство по лемме 4.

Лемма И. Если Р 〃 Q-~мягкие подмножества элементов из [Л], то PHQ 玄 PUQ мягкие.

Доказательство. Так как XzX 1 свободны, то Ep^q^Ep Q£q и Ep^Q = {EPt Eq}. Теперь воспользуемся леммой 5.

Спутником отображения 屮 группы [А] в [В] называется такой гомоморфизм 2 группы [Л, г] в [В, г], что 屮(XnXt)=(p (X) z(p (Х)т, где X — слово в Л. Если ср — гомоморфизм, то он имеет спутника. Действительно, мы можем продолжить 屮 до гомоморфизма 屮 группы [Л, г] в [В, г], полагая 屮(n)=n, и тогда 屮 является спутником гомоморфизма ф.

Биективное отображение группы [А] в [А] называется точным, если оно имеет спутника, являющегося автоморфизмом группы [А, г]. Очевидно, композиция двух точных отображений является точным отображением. Всякий автоморфизм ф группы [А] является точным; действительно, <р можно продолжить до автоморфизма 屮 группы [Д, z], если положить 屮(£)= z, и гр является спутником отображения 屮.

Для каждого слова У в 4 мы определяем отображения £у и Ry группы [А] в [Л] следующим образом: L/X) = Y・X, Ry(N) = X ・K Эти отображения являются точными. Действительно, определенный У внутренний автоморфизм является спутником отображения Lr, а спутник 屮 отображения Ry определен следующим образом:屮(а) = 〃， 屮⑶= У2「.

Лемма 12. Пусть <р — отображение группы [А] в [В], имеющее спутника. Если Р — мягкое подмножество элементов из [4], то ф (Р) — мягкое подмножество элементов из [В].

Доказательство. Если г|)— спутник отображения ср, то £叭卩)=屮(Ер). Теперь воспользуемся леммой 6.

Пусть Р и Q ~ подмножества элементов из [Л], и пусть ф — отображение группы [А] в [А]. Мы говорим, что Р является (<р, Q) - инвариантным, если для каждого X из Q имеем X 三户 тогда и только тогда, когда <р (X)三 Р. Если Q = [#], то вместо (% (^-инвариантно мы говорим инвариантно относительно <р.

Лемма 13. Пусть Р, Qi, ..., Qrt — мягкие подмножества элементов из [Л], Ф1, •…,q>„ — точные отображения группы [Л] 8 [Л], R — наименьшее подмножество элементов из А, включающее 尸 w являющееся (屮订 Q^-инвариант- ным при i= 1, ..., п. Тогда R мягкое.,

Доказательство. Пусть 取一автоморфизм группы [Д, г], являющийся спутником отображения ф/. По лемме 7 отображение 屮^IEq? мягкое. Следовательно, по лемме 8 наименьшая подгруппа, включающая Ер и инвариантная относительно 屮》| 方q* является мягкой. Мы покажем, что этой подгруппой является Er. Элемент g из Eq^ является произведением слов Х^Х1, где X принадлежит Qf. Чтобы получить 电(g), заменим каждое X на % (X). Тогда g^E^ ； тогда и только тогда, когда 电(g)三启欠・ Таким образом, Er инвариантно относительно ^ | Eq,. Далее, всякий эле-: мент из R получается из элемента из Р многократным применением <р» и 屮U с соблюдением условия, что(pz применяется только к словам из Q±, а фГ1 применяется только к словам из фг (Qf). Отсюда следует, что если XmR, то XzX「i принадлежит каждой подгруппе, включающей Ер > и инвариантной относительно 屯 | Eq厂 Отсюда следует нуж-' ное утверждение.'

Так как [А] является мягкой в качестве подгруппы, а следовательно, и в качестве подмножества, то в лемме 13 ； мы можем заменить (屮〃 Q^)-wнвариантно на инвариантно ' относительно 屮卜

Лемма 14. Пусть 仇=匕％片\ % пусть Р — множество всех таких слов Ь%Ь%.…Ь%, что О V 厶 V i2 V•• • V 乙. Тогда Р — мягкое гк^множество элементов из [а, &].

Доказательство. Пусть % Н+ и Я'—подгруппы, порожденные соответственно всеми 九，всеми 瓦，для которых iS。, н всеми 仇,для которых t^ 0. Покажем, что эти подгруппы мягкие. Так как Н является наименьшей под-. группой, содержащей а и инвариантной относительно внут- * реннего автоморфизма, определенного Ь, то по лемме 8 она ； мягкая. Далее, Hr = {Н+, 〃j, поэтому вследствие леммы 5 достаточно рассмотреть Н+.:

Определим гомоморфизмы ср и % группы [а,匕]в [а, Ь]:; следующим образом::

屮⑷=0, % (a)=力必叫 中(b)=X (右)= &2-；

Легко заметить, что 屮 н % инъективны, поэтому по лемме 7 ФI Н и % IН мягкие. Следовательно, по лемме 8 достаточно ； показать, что Я+ — наименьшая подгруппа, содержащая &г ； и инвариантная относительно ф | Н и х | Н, Имеем 屮(瓦)= : =匕2九，У (勿)=匕訳+1・ Индукцией по i легко проверить, что :

любая подгруппа, содержащая Ь* и инвариантная относительно ф |Я и % IН, должна содержать 仇，где i>0. Любой элемент х из /У равен произведению элементов 瓦 и обратных к ним, н х 三 Н^ тогда и только тогда, когда для всех использующихся bi имеем i>0. Отсюда мы видим, что х 三 Н+ q 屮（％） е: Н+ с % （х）三"+・ Это доказывает, что "+ инвариантна относительно ф ]Я и %|Н.

Пусть теперь гр — автоморфизм группы [а, 6], определенный следующим образом:

4 （а） = bab-1,屮（力）=氏

Тогда 屮（九）=&+工.Принимая во внимание лемму 13, достаточно показать, что Р — наименьшее подмножество, которое содержит е и является （〃，Я+）-инвариантным и （2, Я'）-инвариантным. Покажем, например, что Р является （厶，Я+）-инвариантным. Элемент h из //+ есть 匕鞏…b負 где 力 положительны. Тогда La （h） есть bQb^... b£. Вспоминая, что bi свободны, мы видим, что они оба принадлежат 尸， если все показатели равны 十1 и h<,..<tn> и оба не принадлежат Р в противном случае.

Слово в / позитивно, если оно не содержит 口一丄 ни для какого а из А.—

Лемма 15. Множество всех позитивных слов в Д является мягким.

Доказательство. Пусть А = {аъ а/. Определим автоморфизм ф группы [Л, г] следующим образом:

屮（〃£）= 〃;+1 для iCn,屮（◎） = %,中 ⑵=z.

Тогда по лемме 3 [Л, z]屮一группа Хигмена. Пусть / — Ф-элемент, а -ф — гомоморфизм из [а, Ь, г] в [Л, г]ф, определенный следующим образом:

屮（〃） = %,叩（ь）= /, 2 ⑶=2.

Если Р то же, что и в лемме 14, то легко заметить, что 屮（Р） совпадает с множеством Q позитивных слов в Л. Тогда 小（£p） = £q, и потому £q мягкая вследствие лемм 14 и 6.

Отождествим каждую 力-ку натуральных чисел с по зитивным словом в {а, Ь}, отождествляя хъ ,.., xk с а^ЬЕЧ） .々.ba*牝 Тогда можно говорить о том, что ^-местный предикат мягкий. Мы изучим некоторые свойства мягких

предикатов. Обозначим через W множество позитивных слов> а через Wb множество слов из W, начинающихся с Ь. Из лемм 15 и 12 следует, что эти множества мягкие (потому что Wb = Lb (W)). Везде далее предполагается, что число /&

целое, а числа тип натуральные.

Предикаты ®+ w ®. мягкие.

Док азател ьство. Наименьшим множеством, содержащим & и инвариантным относительно LaRa, является множество всех с^Ьс^. Его пересечение с W является множест- ' вом всех апЬап9 а это множество есть предикат =. Наименьшим множеством, содержащим &( = ) и инвариантным относительно LaRa，является множество всех afbanba^^л; пересечение этого множества с W есть 吼.

Наименьшим множеством слов в {а, 6, с}，содержащим 6 и инвариантным относительно LR, является множество всех с^Ьс1. Если мы возьмем пересечение этого множества с 场 н рассмотрим его образ при 厶占，то получим множество Q всех cbanbcn. Пу^ть <р — автоморфизм группы [а, Ь, с], определенный следующим образом:，

屮(а) = 〃，中仅)=瓦 <р (с)=са.

Если мы возьмем пересечение наименьшего множества, включающего Q и инвариантного относительно <р, с W9 то получим множество Р всех cambanb (с〃加产.Если гр — гомоморфизм группы [q, br с] в [а, Ь}, определенный следующим образом: 屮(a) = a, g(6)=力，屮 © = 3 то 屮(р) = & .

Б. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен следующим образом'. Q(l 尤)一尸(％, а} то предикат Q мягкий.

Док аз ател ьство. Мы можем предполагать, что а непуста, так как в противном случае Q совпадает с Р. Наименьшим множеством, включающим & (尸)и инвариантным относительно LlRs является множество всех а^^ЬХЬа1. где апЬХ принадлежит Р. Если мы возьмем пересечение этого множества с 必 н рассмотрим его образ при 厶т, то получим Q.

Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен : следующим образом: Q (х, а)оР(а), то Q мягкий.

c呼.c呼.тельнотельноДоказательство. Взять пересечение наименьшего множества, включающего Lb (Р) и инвариантного относи

c呼.

c呼.

тельно

тельно

Г. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен следующим образом'. Q (а) ЭхР (х, а), то предикат Q мягкий.

Доказательство. Взять пересечение наименьшего множества, включающего Р и инвариантного относительно 厶。，с 步力 и рассмотреть его образ при А&-1.

Д. Если предикат Р мягкий, а предикат Q определен следующим образом:

Q(x, a) —V%vxP®, а), mo Q мягкий.

Доказательство. Множество всех а мягкое; это доказывается индукцией по числу переменных- в % используя В. Применяя 5* мы получим, что предикат R、определенный следующим образом: R (尤,а) о х = 0, является мягким. Тогда Q ~ наименьшее множество, которое включает R и является (厶。，Р) - ин в ар и антным. .

Теперь мы покажем, что некоторые явные определения предикатов дают мягкие предикаты. Предположим сначала, что в определении используются только переменные и символы мягких предикатов. Тогда оно имеет вид

尸(^i, ■ ■ •» /) j Q (Xj；, 巧卩)，

где Q мягкий. Мы можем переписать его следующим образом: Р (^ъ • • ■ > /) 一

—m比…三经(% = %&…&纭=尤力&(2(弘发)).

Чтобы показать, что Р мягкий, достаточно доказать, ввиду леммы 11 и Г, что yr = xjr и Q (勿，...,у^ являются мягкими предикатами от yl9 ..., ур, х19 ….,хй. Однако это легко следует из Б и В, так как = и Q мягкие.

Вследствие леммы И, Г и Д в явных определениях мягких' предикатов мы можем применять V，&, кванторы существования и ограниченные кванторы всеобщности. Мы можем также применять константы. Например, мы можем заменить . .,0.на 三尤(尤=0&.…％.…)，а затем отметить, что по лемме 9 х = 0 —мягкий предикат.

Лемма 16. Если F — рекурсивная функция, то ⑨戶 мягкий.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по рекурсивный функциям. Если F есть /* то утверждение следует из А, Б и В. Если F есть + или •, то оно еле-

дует из А. Далее, предикат 犬*0 мягкий, потому что он является образом предиката х = х при Lat Отсюда и из ， явных определений

XV，一義⑨ + (и 然 у), х<у —(2=^=0 &&+(х, у, г))

мы видим, что V н V мягкие. Следовательно, если F есть К<, то мы имеем явное определение

⑨尸(X，У, 2)—(尤 vy&z = 0) V (“v#&2=l)・

Предположим, что F определена следующим образом::

尸(о) = G (% (а),Нк (а)),:

где G, "1, ..., Hk мягкие. Тогда ①尸 имеет явное опре- ：? деление ⑨尸(а, %) —

一必1…刃М①/(a,弘)&…&(b/(储%)&6(?(九…，%，不)).:； Предположим, что F определена следующим образом:

尸(0)=卩尤(0(/尤)=0),；

где G мягкая. Тогда ⑨尸 имеет явное определение

慘尸(а, 6 —⑨& (а，%，°)&^Уу<хЗг{z^0&®Q (а, х, г)).:

Лемма 17. каждый рекурсивно перечислимый предикат мягкий.』

Доказательство. Вследствие Г достаточно рас-； смотреть рекурсивный предикат Р. Так как Р (а)о%°(а, 0)〉 то 尸 мягкий по лемме 16.

Лемма 18. Если Q — рекурсивно перечислимое множество позитивных слов в А, то Q мягкое.、；,

Доказательство. Пусть Р такое же, как в лемме 14,- а 屮 такой же, как в доказательстве леммы 15. Так как ^ (Р) ； является множеством позитивных слов в 4, то.:

W2"(Q)nP)=Q；

и потомуW

屮(£『&)”)= Eq・；

Поэтому достаточно показать, что 屮」(Q)riP мягкое. Так : как очевидно, что 屮《 (Q) П Р рекурсивно перечислимо, то ； достаточно доказать, что каждое рекурсивно перечислимое ：； подмножество R множества Р мягкое.

Пусть ф ^ гомоморфизм группы [q,之]в [а, г], определенный следующим образом: <р (й)=«2, ср (г)=г. Тогда отображение 屮 инъективно. По лемме 3 [a, z]屮一группа Хигмена. Пусть 方 является ф-элементом, а % является естественным отображением группы [а,力,г] в [а, г]ф. В обозначениях леммы 14 имеем % (九)=〃犷 при /^0. Следовательно, если Х = Ь^.. .bift является словом в 尸,то % (X) = 〃*, где х = 2乙十…+ 2%, поэтому у (XzX-1) = axza~x. Теперь число х может быть записано в виде 2々 + .一 + 2% где О W % V - • V 4i, только одним способом. Вследствие. этого у инъективно на Ер, поэтому ER=EP f) %"1 (х (£^)). ТакнМ образом, достаточно показать, что % (£^) мягкое. Далее,义(七应二七兀低),где x(R) является множеством позитивных слов в {а}. Так как R рекурсивно перечислимо, то % (R) рекурсивно перечислимо. Это означает, что %(R) является рекурсивно перечислимым унарным предикатом. Следовательно, по лемме 17 % (R) мягкое.

Теперь мы можем доказать основную лемму. Пусть Р — рекурсивно перечислимое множество слов в Л. Пусть А1 состоит из элементов а! для каждого элемента а из Л, и пусть ср~гомоморфизм группы [Л, 4‘] в [Л], определенный следующим образом:(р(а) = а,(р(а') = 〃т. Пусть, наконец, .Рг — такое множество позитивных слов X в Л U ^\ что ф (X)三 Р・ Тогда множество Рт рекурсивно перечислимое и в силу леммы 18 мягкое. Так как P = ^(Pr)t то Р мягкое по лемме 12.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

НЕРАЗВЕТВЛЕННОЕ ВЫНУЖДЕНИЕ)

L Введение

Метод вынуждения был придуман Коэном для решения некоторых классических проблем независимости. Как только стало ясно, что сам метод применим в гораздо более общих случаях, специалисты по теории множеств упростили и обобщили этот метод. Одним из результатов таких попыток являются булевозначные модели, исследуемые в статье Скотта и Соловея ).

Характерная черта булевозначного подхода состоит в том, что использование разветвленной иерархии конструктивных множеств становится ненужным. Так как модели вынуждения могут быть получены из булевозначных моделей, то очевидно, что эта иерархия не нужна также и для моделей вынуждения.

Одна из целей настоящей статьи — дать прямую 咏онст- рукцию моделей вынуждения, не использующую разветвленную иерархию. В дополнение к этому я попытался дать сводку некоторых упрощений и обобщений теории вынуждения, упомянутой выше. Многие из этих результатов в настоящее время содержатся лишь в малодоступных источниках.

Было бы невозможно перечислить всех лиц, добившихся каких-либо продвижений в этой проблематике. Наши исторические справки будут по крайней мере указывать, кем были получены основные результаты. Общая картина заимствована из заметок Скотта и Сильвера**) и лекций Роуботтома в Калифорнийском университете, прочитанных осенью 1967 г. Беседы с Чжаном и Роуботтомом были также очень полезны.

2. Предварительные сведения

Здесь мы перечислим основные результаты теории множеств, которые нам нужны.

Обозначим через ZF аксиоматическую систему Цермело —Френкеля (аксиомы объемности, регулярности, бесконечности, объединения, замены и степени), а через ZFC систему ZF с аксиомой выбора. При рассмотрении функций как некоторых множеств упорядоченных пар мы считаем, что значение функции есть первая > а аргумент функции —вторая компонента упорядоченной пары. Таким образом, областью значений (областью определения) / является множество первых (вторых) элементов упорядоченных пар из /. Обозначения: U (х) — объединение всех множеств из х, S (х) — множество степени множества х,〈¥, у〉一 упорядоченная пара, Ra (х)——область значений множества х, Do(x)—— область определения множества х, ху — множество всех отображений из множества х в у.

Мы отождествляем ординал с множеством предшествующих ординалов, а кардинал с наименьшим ординалом, имеющим заданную мощность (таким образом, ^а = соа). Греческие буквы используются для обозначения ординалов, а готические ——для обозначения бесконечных кардиналов (или бесконечных мощностей моделей). Через | х\ будем обозначать мощность (кардинал) множества х и через ш+ ——следующий за m кардинал. Напомним, что cf (а) означает наименьшее 卩 такое, что существует отображение 卩 на кон- финальное подмножество из а. Бесконечный кардинал m называется регулярным^ если cf(m) = m, и сингулярным^ если cf (in) < ш. В любом случае cf (а) всегда равно 1 или является регулярным кардиналом. Если m ——регулярный кардинал, то объединение V ш множеств, мощность каждого из которых Vm, имеет мощность Vm Через S1U (х) обозначаем [у\у х&.\у\< ш].

V(а) (иногда используется обозначение R (а)) определяется трансфинитной индукцией следующим образом:

V(a)= (J S(V(₽)).

Рангом множества %, обозначаемым через rk(x), называется наименьшее а такое, что * w V(a-j- 1). Это понятие всюду

определено и нз 尤 三 у следует гк (х) < гк (у). Более того, ； гк (а) = а.:

Мы предполагаем известными некоторые факты элементарной арифметики кардиналов. Напомним, что?

1*1 = 1川也|S(x)| = 2 印.：

Теорема Кёнига утверждает, что cf (2m) > m. Обозначим через GCH обобщенную гипотезу континуума: Vn (2п = п+). ■ Слабые степени определяются следующим образом:

mn)= 2 m* •

p<n

(Здесь мы допускаем случай, когда р конечны, но эти- члены могут быть опущены, если п >«()•) Тогда mn+)=mn. Так как каждое подмножество множества х мощности » является областью значений некоторого элемента из *х, то мы имеем 0(х)У|х『・

Имеем

п < cf (m) & Vv < m (2^5 ^ in) ->mn = m.(2.1)

Действительно, из nVcf(m) следует "m= |J na. Однако a<m

I na |_| a |n^ 2!ai*n ^ m по предположению, поэтому Mv Vm・tn = m. Если GCH выполняется, то утверждение (2.1) сводится к n<cf (m)->mll = m. Из (2.1) следует, что ，

m регулярное &У» V m (2卜 Vm)-> m^Lm.

Так, например, если m есть ^0, то mm)= rn является сильно ' недостижимым, и если GCH выполняется, то т1П)= тдля всех регулярных т.

Обратимся теперь к моделям теории множеств. Модель называется транзитивной, если ее универсум является транзитивным множеством и ее предикат принадлежности 千 является обычным предикатом принадлежности, ограниченным 卜 до ее универсума. Метод сжатия Мостовского [8] показы-: вает, что каждая вполне фундированная модель аксиомы : объемности изоморфна транзитивной модели. В дальнейшем ： под моделью мы будем понимать транзитивную модель и ： будем отождествлять модель с ее универсумом.

Пусть М — некоторая модель. Чтобы отметить, что ка-： кой-то объект рассматривается в модели М, мы будем до-；

бавлять фразу «в 7И» или верхний индекс М, Так, если Ф — предложение (возможно, содержащее имена . элементов из Л4), то будем сокращать фразу «Ф истинно при интерпретации в М》до «Ф выполняется в /И» или просто до Фм. 9

Кардиналом 8 М называется элемент а ^з М такой, что 《а есть кардинал» выполняется в М. Через(о^ мы обо- значаем элемент а из 7И такой, что ①(а)м, где Ф (х)— предложение теории множеств, утверждающее, что х есть со1в Подобным же образом интерпретируются и другие примеры.

Классом в М называется множество [а\ае Л4&Ф (а)м], где Ф (х) содержит только символы языка теории ZFC и символы для множеств из М. Каждое множество из М есть класс в Л4. Если М — модель теории ZFC, то каждый класс в Л4, который включается в некоторое множество из Mf сам является множеством из М. Функционалом в М на- зывается функция 尸 такая, что для некоторой формулы ①(招 У) описанного выше типа 尸(а) = 6 тогда и только тогда, когда afb ^ М и Ф (а, Ь)м . Если М — модель теории ZFC, то образ множества из М относительно функционала в М есть множество из /И.

Лемма 2.1. Каждое транзитивное множество М, удовлетворяющее следующим четы рем условиям, является моделью теории ZF.

(а)(о w М

Каждый класс s М9 который включается 8 некоторое множество из М, сам является множеством из М.

Для каждого функционала F в М и каждого множества а из Л4, включенного в область определения функционала 尸,множество U ([F (&) | & ^ а]) включено в некоторое множество из М.

Для каждого множества а из М множество S (а) А Л4 включается в некоторое множество из М.

Предикатный символ Р, определяемый в теории ZFC, называется абсолютным, если для каждой модели М теории ZFC предикат рм совпадает с Р на аргументах из М. Подобное определение вводится для функциональных символов (в том числе и для констант как функциональных символов с нулевым числом аргументов). Большинство символов, введенных при изучении ординалов, абсолютны, за исключением S. Детали смотри в [9] или в данной

книге. Если F абсолютный, то F принимает значения из М (так как FM таков)* Из абсолютного предиката « ... есть ординал» следует, что ординалы в М являются настоящими ординалами, принадлежащими М.

Аксиома конструктивности (см. [5]) утверждает, что каждое множество конструктивно. Отсюда следует, что существует определяемое вполне упорядочение универсума и что выполняется GCH. Если М — модель теории ZFC, то конструктивные множества в М образуют модель теории ZFC с аксиомой конструктивности. Каноническая функция, отображающая ординалы на конструктивные множества, абсолютна, поэтому конструктивные множества в некоторой модели М теории ZFC являются образами ординалов в М относительно этой функции. Таким образом, если М и N имеют одинаковые ординалы, то они имеют и одинаковые конструктивные множества.

3・ Понятия вынуждения

Предположим, что М — модель теории ZFC и a, b е. М. Мы хотим расширить М до модели ^, в которой существует отображение 尸 множества й на Ь. Чтобы избежать очевидных трудностей, допустим, что а бесконечно и 6 W 0.

Пусть С — множество всех отображений всевозможных конечных подмножеств множества а Ь. Тогда С ^ М в силу абсолютности. Множество G всех конечных подмножеств множества F будет подмножеством множества С, но оно не обязательно будет в М. Наша идея состоит в том, чтобы, во-первых, подобрать G, а затем, используя G, построить М

Каждое р wC дает некоторое условие, которому должно удовлетворять £ чтобы р было в G, а именно, мы должны иметь р и尸.Если pug, то условие q дает больше информации, чем условие р. Тогда мы говорим, что q есть расширение р, и пишем gVp. (Такое обозначение должно намекать на то, что q допускает меньше моделей М чем р.) Тогда С является частично упорядоченным множеством с наибольшим элементом 0.

Имеются три очевидных условия, которым должно удовлетворять G: (а) 0 三 G; (б) если р 三 G м р Vq, то q wG; (в) любые два элемента из G имеют общее расширение в G. Если G удовлетворяет этим условиям, то F = U (G) будет

отображением некоторого подмножества множества а на некоторое подмножество множества Ь.

Для того чтобы получить Do(F)=a и Ra(F) = b, множество G должно, кроме того, пересекаться с некоторыми множествами, а именно, с каждым множеством [р | * 三 D。(р)] для х^акс каждым множеством [р | у 三 Ra (р)] для у е 6. Эти множества являются множествами в /И и имеют следующее свойство: каждое условие из С имеет расширение в каждом таком множестве. Поэтому мы будем требовать, чтобы G пересекалось с каждым множеством в М, имеющим это свойство.

Теперь обобщим эти понятия. Понятие вынуждения есть частично упорядоченное множество С, имеющее наибольший элемент. Мы обозначим этот порядок через Wc или а наибольший элемент через 1с или 1. Элементы множества С называются условиями. Обычно условия будут обозначаться через р, g 区 г. Если p^q, то мы скажем, что р есть расширение q. Подмножество D множества С назовем С-плотным (или просто плотным), если каждое условие из С имеет расширение в

Пусть С — некоторое понятие вынуждения, а М — некоторое множество. Подмножество G множества С называется С-генерическим над М (или просто генерическим), если справедливы следующие утверждения:

(Gl) IwG;

(G2) для каждых р wG и д^р имеем 夕三 G;

(G3) для каждых р, q 三 G условия png имеют общее расширение в G;

(G4) для каждого плотного множества О в М имеем G П。W0・

Теорема существования. Пусть С — некоторое понятие вынуждения, М — счетное множество. р^С. Тогда существует С-генеричежое над М множество G, содержащее ".

Доказательство. Пусть a。，alt ... — элементы М. Выбираем рп индуктивно следующим образом: р()=р, рп+1 — некоторое расширение условия рп из 仪也,если такое расширение существует, и рп+1 = Рп в противном случае. Тогда множество G = [q\Bn (рЛ^Ч)] имеет требуемые свойства.

Замечание. Это единственное место, где мы прямо используем счетность М, Очевидно, достаточно было бы предположить, что М П 5 (С) счетно.

Пусть Яш (Д； В) — множество всех отображений р всевозможных элементов множества S】n ⑷ в В. Если р, q 至 三％(/; В), то мы пишем pVg вместо дир. Тогда //m (Л; В) есть понятие вынуждения с наибольшим элементом 0. Мы пишем Н (Л; В) вместо Я^о(Л; В). Заметим, что// (Л; В) абсолютно.；

Теперь предположим, что М — модель теории ZFC, 、 a, b ^ Mt b W 0, m — бесконечный кардинал в М такой,: что mv|a| в М, С = //个(а; &), G — С-генерическое над М множество и 尸=U (G). Тогда замечания в начале параграфа показывают, что F — отображение из а на 氏(Нам нужно mv|a| в М для того, чтобы гарантировать, что для каждого у ^Ь множество jp |р 巨 Ra (р)] плотно.) Таким образом, если мы можем построить расширение 川 модели М, содержащее G, то мы получим расширение, в котором суще-- ствует отображение из а на Ь.+

Замечание. Это показывает, что если а счетно и бесконечно и b несчетно, то не существует С-генерического множества над М. Поэтому требование счетности в теореме 」 существования не может быть опущено.

Историческая сп р авка. Основные идеи этого : параграфа принадлежат Коэну [1], [2]. Понятие плотного ' множества принадлежит Соловею.

Построение модели

Теперь предположим, что С — понятие вынуждения )'； в некоторой счетной модели М теории ZFC и G —С-ге- нерическое множество над М. Мы собираемся построить : расширение модели М, содержащее G.$

Вначале определим структуру, универсумом которой ； является М. а отношение принадлежности 三& определяется следующим образом: 。三日力—三。м G (〈а, р〉s b) (здесь и в дальнейшем a, bf с и d обозначают элементы множества /И). Теперь мы применим метод сжатия, чтобы ‘ переделать 〈而,三&〉 в транзитивную модель. Сначала за-: метим, что

а 三 Ra (&)(4.1)

и, следовательно,

а 三о 匕гк (а) V гк (6).(4.2)

Затем мы определяем

Ко (b) = [KG (a)\a^Gbl

По (4.2) это есть правильное определение индукцией по гк (6). Наконец, определим

М [G] = [Kg (а) ] а е М]・

Г л а вн а я теорема. Пусть М — счетная модель теории ZFC, С — некоторое понятие вынуждения в М, G —— некоторое С-генерическое над М множество. Тогда М [G]— счетная модель теории ZFC, расширяющая М и содержащая G, и это есть наименьшая такая модель.

Доказательство этой фундаментальной теоремы будет дано здесь и в следующих двух параграфах. Мы предполагаем, что всюду дальше в этой статье М, С и G удовлетворяют условиям основной теоремы, за исключением специально оговоренных случаев. Мы будем писать а вместо Ко (а).

Начнем с некоторых простых замечаний. Из определения М [G] и счетности М видно, что М [G] счетно и транзитивно, Теперь определим

b=[(a, l)\a^b]

индукцией по гк (6), Это определение может быть дано в М, поэтому отображение, переводящее а в а, есть функционал в М. В частности, а^ М, Простая индукция (использующая (G1)) показывает, что KG(》)= b； таким образом, М cz М [G]. Теперь положим (обозначая несколько неправильно)

G = [<P，р>\р^С].'

Тогда ОмМ и K&(©) = G・ Следовательно, G ^ М [G]. Итак, М [G] — счетное транзитивное множество, расширяющее М и содержащее G. Проверка того, что это есть модель теории ZFC, требует одного нового понятия, к которому мы сейчас и переходим.

Вынуждение

Введем язык, называемый языком еынуждения, подхо- дящий для исследования М [G]. Символами языка вынуждения являются символы теории ZFC и все элементы ) множества М. Каждый элемент а множества М считается константой, которая отмечает элемент а мз М [G]; мы называем а именем элемента а. Если Ф — предложение языка вынуждения, то [—G Ф означает, что Ф истинно в М [G].

Пусть р wC и Ф — предложение языка вынуждения. Скажем, что р вынуждает Ф, и записываем это р |]—①， если pG Ф для каждого множества G, являющегося С-ге- нерическим над М и содержащего р：

Наша первоочередная задача — доказать три леммы о вынуждении.

Лемма определимости. Если ①(修，&)— формула теории ZFC, содержащая только указанные свободные переменные, то

[〈. @,…，a”〉「p 11 ①(a1,…，&)]

является классом 8 М.

Лемма о расширении. Если р ||—① u gVp,优。 91①.

Лемма о б истинности. Если G генерическое, то —о ① тогда и только тогда, когда "Эр wG (р |—①).

Наш метод состоит в следующем. Мы определим видоизмененное понятие вынужденияt обозначаемое через р Ц* ①. Затем докажем, что эти три леммы выполняются при замене ||- на 11 *・ Далее мы покажем, что

р 卜① с р II*①.(5.1)

Затем, беря эти три леммы для Ц* м заменяя Ф на 1~] Ф, получим леммы для Ц •

Вначале укажем неопределяемые символы языка вынуждения. Считаем, что 】и V — неопределяемые пропозициональные связки и В — неопределяемый квантор. В качестве неопределяемых символов отношений мы берем е и ^.

Конечно,尤卒у определяется как 1(尤巨 у), х = у определяется как j(x声у).

(а) р |~* а 三 b, если (б) р ||~* а 工仇 если или(в) р 一 1 ①，если (г) р |~*С)V 屮，если (д) p【L*m犬①(％), если(а) р |~* а 三 b, если (б) р ||~* а 工仇 если или(в) р 一 1 ①，если (г) р |~*С)V 屮，если (д) p【L*m犬①(％), еслиТеперь определяем р ц* ① с помощью следующих пяти пунктов.

(а) р |~* а 三 b, если (б) р ||~* а 工仇 если или

(в) р 一 1 ①，если (г) р |~*С)V 屮，если (д) p【L*m犬①(％), если

(а) р |~* а 三 b, если (б) р ||~* а 工仇 если или

(в) р 一 1 ①，если (г) р |~*С)V 屮，если (д) p【L*m犬①(％), если

ЗсЗд^р^с, q}^b &р^-^а = с). 3c3q^p ((с, q^^a&p^c^b) ЭсЭд^р ((с, 7)е &&р^с ^ «). Vgv/И m二* ①).

р II* Ф или р 11* 4r.

3bд4*①(b)).

Снйчала мы должны убедиться, что в этом определении нет порочных кругов. Если мы проанализируем определение р \t-^ a^bt то найдем, что оно определяется в терминах р* |н* о! фЬ1 и pf |Н* bf ^а\ где rk (аг) < гк (а) и гк (b‘)V гк(Ь). Тем самым мы можем определить р〕~*〃岳力 индукцией по max(rk(a), rk(b)). Затем мы применяем (в) для определения р IH* « = Ь, (а) для определения р\\-^а^Ь и (в) для определения р^-^а^Ь. Тогда мы можем получить (б). Это определяет р|—* ① для атомных формул Ф. Затем применяем (в), (г) и (д) для определения р ||—* Ф для всех Ф индукций по длине Ф.

* Лемма определимости для ||—* тривиально доказывается индукцией по длине Ф(%1? ..., хп) (замечая, что область действия кванторов в (а) — (д) есть М или множество С в М). Конечно, определение класса [〈р, а, Ь) | р^ а^Ъ} должно быть проведено трансфинитной индукцией в М так, как описано выше.

Мы докажем другие две леммы, доказывая их для предложений в левых частях (а) — (д) при предположении, что эти леммы являются истинными для предложений в правых частях; как мы видели выше, это правильный метод доказательства. Лемма о расширении совсем тривиальна, поэтому мы рассмотрим лишь лемму об истинности.

Вначале покажем, что если лемма об истинности выполняется для Ф, то

а 巨об & роФ <->

—Зр ^ G3q^p((a,夕〉三 b&p]—* ①).(5.2)

Если левая часть выполняется, то существуют g, fwG такие, что 〈а,夕〉三力 н г ||—* ф. Выбирая общее расшире-

ние р для 7 и г в G по (G3), получаем рЦ* ① ввиду леммы о расширении. Обратно, пусть правая часть (5.2) выполняется для р 丛 q. Тогда pG Ф ввиду леммы об истинности. Также qwG ввиду (G2), следовательно, a^Gb."

Теперь обратимся к пяти случаям леммы об истинности.

\- Qaeb эквивалентно Зс(с^сb &\—Qa = с) по определению Ъ. По предложению и (5.2) это эквивалентно

ЭсЭр м G3q^p《с, q〉wb & р а = с)

и, следовательно, эквивалентно Эр ^ G (р ^^ а ^ Ь).

Ясно, что 一0〃*力 тогда и только тогда, когда или Зс (с ^о а & [—о с ^ Ь), или Эс (с ^G b & Gc ф а).； По предположению и (5.2) это эквивалентно 3c4p^GBq^p (〈％ g〉巨 а&р 11* с 卒匕)V

V тсПр 三 G3q ^ р (〈с,哈三b &р1 с 丰G : и, следовательно, эквивалентно Эр ^G (р^^ а^ Ь).

По предположению J—G ~1 Ф тогда и только тогда, когда 1 Н 三 G (р II* ①). Поэтому мы должны доказать, что выполняется в точности одно из двух: Bp ^ G (р |Н* ①) или Зр е G (р IH* 1 ①). Чтобы доказать, что по крайней : мере одна из формул выполняется, по (G4) достаточно показать, что D=[p\p IH* Ф или pH①]является ； плотным множеством в М. По лемме определимости мно- ‘ жество D является множеством в М, поэтому мы должны ■- лишь показать, что каждое р имеет расширение в D.』 Но либо р имеет расширение q такое, что д||—* ① и, следовательно, qwD, либо р |Н* П Ф и, следовательно, р само находится в D.

Теперь предположим, что существуют р, q w G такие,； что р]|—* ① и q 卜①.По (G2) р и q имеют общее рас-; ширение г, а по лемме о расширении г IH* Ф. Это проти-： воречит тому, что q 1 "| S

Легкие доказательства (г) и (д) оставляем читателю.

Теперь докажем (5.1). Предположим, ”то р Ц* ] ~| ①. Если множество G генерическое и р е G, то по лемме об % истинности Л 1 ①，поэтому }-оФ. Таким образом, р IH Ф.: Теперь предположим, что 1(р11*~И ①).Тогда g ：*]<!> . для некоторого q^p. Выберем такое генерическое мно-- жество G, что q ^G. Ввиду леммы об истинности I—G "I Ф> . а по (G2) p^G, Следовательно, 1 (р |Н Ф).:

Таким образом, мы показали все наши леммы. Подставляя 】1 ① вместо Ф в (в), получаем

р|~~| ① тогда и только тогда, когда V« vp 1 (q 卜①).

(5.3)

Заменяя Ф на 1Ф и замечая, что р lb 1 ~] Ф эквивалентно р 11Ф, получаем

pl① тогда и только тогда, когда Vg V" [ (д |~ [①).

(5.4)

Историческая справка. По существу понятие вынуждения Коэна есть наше Ц*・ Часть (в) определения, которая упрощает определение Коэна, введена Скоттом. Наше понятие вынуждения введено Феферма ном [4], который назвал его слабым вынуждением. Все три фундаментальные леммы доказаны Коэном.

Завершение доказательства

Покажем, что М [G] — модель теории ZF, доказав, что М [G] удовлетворяет всем условиям леммы 2.1. Так как т ^М а М [G], то условие (а) выполняется.

Лемма 6.1. Пусть А — класс в М [G] такой, что / и а. Тогда А ^ М [G] и А имеет имя с такое, что с и Ra (а) X С

Доказательство. Существует формула ①(%) языка вынуждения такая, что

5r4cFgO)s)(6.1)

для всех Ь. Положим

с=[〈瓦 р〉I 力三 Ra(a) &р 卜①(b)].

Ввиду леммы определимости с есть класс в М. А так как си Ra(a)xC, то сеЛ4.

Мы должны показать, что

5三C 一方三力.

Если 万三 С, _т。 мы можем предположить, изменив Ь, но не изменяя 瓦 что & ^qC. Тогда для некоторого р е G имеем 〈仇 р) е с и, следовательно, р II ①(&). Таким образом,. |—о ①(6), поэтому b ^А в силу (6.1), Пусть теперь b ^ А, Тогда 5 三窃,поэтому мы можем предположить, что 匕至0。・ Ввиду (4.1) 力三 Ra (а). Ввиду

① 他)，поэтому по лемме об истинности некоторое pwd вынуждает ①(匕).Тогда〈仇 p〉wc, поэтому 匕三仃％ таким образом, b с.

Из леммы 6.1 следует, что утверждение (б) леммы 2.1 выполняется.

Лемма 6.2. Если х(^ М [G] и каждый элемент из 尤 имеет имя s а, то 尤 включается s некоторое множество в М [G].

Доказательство. Пусть Ь = а义{1}. Любой элемент из х есть с для некоторого cwa. Но cw@b в силу (G1), следовательно, с ^Ь. Таким образом,尤 и 5.

Теперь докажем, что утверждение (в) леммы 2.1 выполняется. Пусть F —функционал в М [G] и а — множество в М [G], входящее в область определения для F. Суще- / ствует формула Ф (х, у) языка вынуждения такая, что для всех Ь, с имеем

尸(6) = 2 —〜①© с).

Выберем множество d в М со следующим свойством: для каждого р rC и каждого b 巨 Ra (а), если существует с такое, что pF ①(Ь, с), то существует такое же множество в d. Заменяя d его транзитивным замыканием, мы можем ,， предполагать, что d транзитивно.

Теперь покажем, что каждый элемент х из U([F(b)\b^ 三 а]) имеет имя в d; ввиду леммы 6.2 на этом наше дока-； зательство будет закончено. Имеем 尤三尸(方),где 方 w е.: Мы можем предположить f что bw^a. Пусть с будет име-； нем 尸(方)・ Имеем 卜行①(R с), поэтому некоторое р е G ; вынуждает Ф (&, с). Следовательно, для некоторого_cz е d . имеем pH ①(儿 с) Тогда ^~ОФ (&, с'), поэтому F(b) = cr. Следовательно,尤三守,откуда х = аг для 〃'三仃炉,а поэ- ” тому a'wRa(c'). Так как с'wd и d транзитивно, то аг 三 d, что и требовалось*

Наконец, докажем, что утверждение (г) леммы 2.1 выполняется. Пусть a ^M[G], и пусть & sS (a) QAf [G]. Ввиду леммы 6.1 & имеет имя с такое, что cuRa(a)xC и, значит, с wS〃(Ra (а) хС). Требуемый результат теперь следует из леммы 62 Тем самым М [G] является моделью теории ZF.

Лемма 6.3. Если ^ — модель теории ZF, расширяющая М и содержащая G, то существует функционал в N. ограничением которого на М является Kq*

Доказательство. Определим (в N)

хе* y^>3p^G{(x, Р〉му),К* {у} = [К^ [х)\х^у]

(индукцией по rk(y))・ Легко видеть (используя транзитивность А4), что 三* и К* совпадают соответственно с w(j и Ко для аргументов из М.

Из леммы следует, что К» (仪)巨％ для всех ае М, так что М [G] и N. Поэтому М [G] является даже наименьшей моделью теории ZF, расширяющей М и содержащей G. Далее, можно применить лемму 6.3 к М [G]. Мы получим функцию К в М [G], ограничение которой на М есть Лс，

Пусть теперь а^ M\G]. Тогда в М и, значит, в 7И [G] существует отображение некоторого ординала на Ra (а). Комбинируя К с этим отображением, получим в М [G] отображение некоторого ординала на

[К(х) |xw Ra(^)] = [5| & 曰 Ra (а)].

Но ввиду (4,1) это множество включает М. Поэтому в М [G] выполняется следующее: Хля каждого х существует отображение некоторого ординала на некоторое множество, содержащее %. Из этого следует, что аксиома выбора выполняется в М [G]. Итак, мы завершили доказательство главной теоремы.

Историческая справка. Большинство идей этого параграфа принадлежит Коэну. Доказательство того, что аксиома степени выполняется в М [G], по существу принадлежит Соловею; оно проще, чем доказательство Коэна.

Аксиома конструктивности

Для наилучшего применения фундаментальной теоремы нам нужна информация про отношение между М и M\G]. Следующий простой результат часто бывает полезен.

Лемма 7.1. М u M\G\ имеют одинаковые ординалы^

Доказательство. Так как М <^M\G\, то нам нужно лишь показать, что каждый ординал а из М [G] есть в М. Простая индукция показывает, что rk (а) ^ rk («) для всех а. Пусть а будет именем а, тогда a = rk(a)V Vrk(q). Так как rk абсолютно, то гк(а)тЛ1, поэтому а三痴 в силу транзитивности М.

Сл едств и е. М u М [G] имеют одинаковые конструк^ ； тивные множества.，

Пусть теперь М — счетная модель теории ZFC, и пусть С = /7 (со; 2). В силу абсолютности, С лежит в М.: Возьмем G генерическим над М и положим F=U (G).: Как мы видели в § 3, F —отображение из(о на 2. Очевидно,: 尸三 M[G]; мы утверждаем, что 尸芋 М. Чтобы показать : это, допустим, что^ — произвольное отображение из ① на 2,: лежащее в М. Тогда [р\ 3n со (n е Do (р) & р (n) S ^/(п))]— множество в Mf которое является, как легко видеть, плотным. Поэтому оно содержит некоторое р w G, * а отсюда следует, что F ^f..：

Поэтому множество Л, характеристическая функция : которого есть 尸，лежит в М [G] — М. По следствию Л не - является конструктивным в М [G]. Поэтому М [G] — это модель теории ZFC', где теория ZFC'—теория ZFC с ： дополнительной аксиомой: существует неконструктивное : подмножество множества (о.

Мы показали, как построить модель теории ZFC' из счетной модели М теории ZFC. Существование М может ； быть показано следующим образом. Мы начинаем с любой модели N теории ZFC. Применяя теорему Левенгейма — Скулема для того, чтобы получить счетную подмодель, и применяя технику сжатия, мы получим счетную модель М теории ZFC.

К несчастью, существование (транзитивной) модели ^ теории ZFC не может быть доказано в теории ZFC даже в предположении, что теория ZFC непротиворечива.: Поэтому, если мы хотим иметь финитное доказательство \ относительной непротиворечивости теории ZFC' по отно-; шению к теории ZFC, то мы должны сделать небольшие изменения. Добавим к теории ZFC константу N и аксиомы, ' f которые утверждают, что ^ транзитивно и непусто и каждая аксиома теории ZFC выполняется в М Принцип отражения (см. [6]) показывает, что это будет консервативным расширением теории ZFC. Затем определим М и ■ М [G], как раньше. Наше доказательство будет тогда * показывать, что каждая аксиома теории ZFC' выполняется , в М [G]. Немного другой метод изложен в данной книге. &

Мы можем получить более сильный результат с помощью «сжатия» кардинала в М. Допустим, что М удовлетворяет ? аксиоме конструктивности. (Мы можем получить такую ..

модель из любой счетной модели ^ теории ZFC, взяв множества, конструктивные в 而.)Возьмем С~Н (Ко； «,)• Тогда в М [G] существует отображение из № на NT； таким образом, К? счетно в М [G]. Существует одно-однозначное соответствие между SM (со) и Nf, которое лежит в М, и, следовательно, в М [G], поэтому SM ®) счетно в М [G]. Но в силу следствия каждое подмножество множества(о, которое конструктивно в М [G], есть в Л4 и, следовательно, в S" (со). Таким образом, в М [G] существует только счетное число конструктивных подмножеств множества со.

Историческая справка. Независимость аксиомы конструктивности была доказана Коэном. Кардинальное сжатие введено Леви.

Произведения

Пусть Ci и Cz ——некоторые понятия вынуждения в М. Мы будем снабжать индексами 1 или 2 все ранее введенные понятия, чтобы отличать, что относится к Ci, а что к С2； например, рг некоторый элемент из Clr G2 — некоторое С2-генерическое множество. Будем писать M[GU G2] вместо (MIG^IG^

Определим частичный порядок на ^ X С2 следующим образом:

Фь p2〉V〈g, q》cp*Vq工&PzVq2・

Ясно, что CiXC2 является понятием вынуждения в М с наибольшим элементом〈卜，12).

Теорема о произведении. Пусть С\ w С2 — произвольные понятия вынуждения в М. Если G工 является Сх-генерическим над М, a G? — С ^генерическим над М [GJ, 加。GiXGg является (Сх х С^генерическим над М, 〃 М [G1xG2]=7W [&, G2]. каждое множество, являющееся (Ci X С^-генерическим над М, получается таким путем.

Доказательство. Легко проверить (Gx), (G2) и (G3) длй- G1xG2- Пусть D — произвольное (^ хС2)-плотное множество в М. Мы должны показать, что 伤 xGz) П。于=0, т. е. что G2n£>2 #=0, где

02 =历2日见三g工(〈九p^.^D)].

Так как D2^M [GJ, то достаточно показать, что А является С3-плотньш.

17 Дж. Шенфилд

Пусть 依三 С* мы должны найти .V% н %三6 такие, что (рь р2) D. Другими словами, мы должны показать, что © П 4*。，где

2 = [Pll HzW % (〈Р1, 02〉М。)]・

Так как D丄三 М, то достаточно показать, что D* является Сх-плотным. Пусть 必三 С】，и выберем〈〃，°2〉V〈％,依〉 так, чтобы〈Qi,小〉三 D. Тогда 必 V % н 网三 D>

Равенство М [GxxG2] = A4 [GH G2] выполняется, потому что оба множества являются наименьшими моделями теории ZFC, расширяющими М и содержащими G】и G2.

Пусть теперь G будет (Сх XС2)-генерическим над М, a Gx и G2 — проекции G на Сх и С2 соответственно. Ясно, что Gu @1乂匾・ Чтобы доказать, что G = GiX% допустим,' что 〈〃, 〃〉三 GiXGz・ Для некоторых % и % имеем 〈九 ％〉，〈％,次〉三 G. Поэтому они имеют общее расширение 〈％ %〉в G. А так как〈小 尸2〉=〈九 冷，то получаем p2〉三 a

Проверка (Gl), (G2) и (G3) для G，и G2 совсем легкая. Чтобы проверить (G4) для Glt допустим, что Ох является Ci-плотным множеством в М. Тогда D1xC2 является (Сх X С2)-плотным множеством в М. Поэтому GQ (^хСг) ^ 0; таким образом, Gi ] D工声 0.

Чтобы проверить (G4) для G2, допустим, что Р2 —С2- плотное множество в М [GJ. Пусть а —имя О2> и пусть Ф — предложение языка вынуждения, утверждающее, что а является С2-плотным.:

Покажем, что

D = [3,p2〉I p1 a ① f 62 三可：

плотно. Пусть дано〈g, %〉• Выберем Gj Ci-генерическое : над М так, чтобы %三解・ Если Кг^ {^) является С2-плот- ■ ным, то выберем р2Vq2 так, чтобы p2^KG^ (^)» в против-: ном случае положим 厶=夕2・ В любом случае имеем . рс，ф -^ р2 三". Поэтому некоторое % 巨 Gj вынуждает ； ① 4 力2 巨 a, a no (G3) и лемме о расширении мы можем , предположить, что /hV%・ Тогда〈円，P2〉V〈％ %〉и

Так как D М, то отсюда следует, что G Q О 0. Пусть〈Pl р» 巨 G h D • Поскольку p^wGi и 必 IH ① f

-> p2 三 а, то мы имвем |■"- g± ①-■^Р2 三 a。 Но 卜 色 ①, поэтому pa 三 а = °2・ Но р?三 G* следовательно, G2 Q D2^=0.

Следствие. Пусть Ci w C3 — произвольные понятия вынуждения в М. Пусть б2 — С^генерическое множество над М, a G2 — Сидерическое множество над М [GJ. Тогда G* является С^генерическим над М [G2] 〃 М [G?, GJ = = M[Gl GJ

Доказательство. По предыдущей теореме GxxG2 является (Ci X С3)-генерическим над М. Применяя очевидный изоморфизм между Сх хС2 и C2xCi, получаем, что G2xG1 является (С2XCJ-генерическим над М. Снова применяя теорему, получаем, что G工 является ^-генерическим над М [G2]. Имеем

М[5, G1\ = M\Gli G2],так как оба эти множества являются наименьшими моделямитеории ZFC, расширяющими М и содержащими G* и G2.

Рассмотрим только один пример бесконечных произведений, так называемую слабую степень. Если С — понятие вынуждения, а / — произвольное множество, то С7 — множество всех отображений р множества / в С таких, что множество [t I / ^ /& р(f) =# 1] конечно. Пусть pvq означает Vi 三 / (р (讣 V g 〃))・ Ясно, что С1 一 понятие вынуждения, наибольший элемент которого —функция, тождественно равная 1с. Если Си/ принадлежат модели М теории ZFC, то и С1 принадлежит модели М; именно для этого мы ограничиваемся конечностью.

Если J н К — не пересекающиеся подмножества множества / такие, что J|JK = /, то С1 изоморфно CJ хСк естественным образом. В частности, если iw / и / = / — —{»}, то С1 естественно изоморфно CJ хС, В обоих случаях мы можем применять теорему о произведении.

Аксиома выбора

Под автоморфизмом понятия вынуждения С мы понимаем автоморфизм частично упорядоченного множества С.

Лемма 9.1. Пусть л: — некоторый автоморфизм понятия вынуждения С, который находится в М. Тогда л (G) является С-генерическим над М и M\G\=M [jt(G)].

Доказательство. Так как л отображает множества из Л4 в множества из Мг то первое утверждение тривиально.

17*

Поскольку М [G] содержит Сил, оно также содержит и л [G], поэтому в силу фундаментальной теоремы М [л (G)] и с: М [G], Подставляя n(G) вместо G и 冗口 вместо л, получаем M\G\(^ М [л (G)]. Таким образом, М \G\ = M\n (G)].

Пусть 8( — некоторое множество автоморфизмов С такое, что ?1 三〃.Элемент а множества М называется ^-инвариантным, если Kg (а) = Кл(а)(^), Для каждого л ^ 5(. Например, каждое а инвариантно, так как Kg(〃)= =氏靠(0)(〃) = 〃• Предложение Ф языка вынуждения называется -инвариантным, если каждая константа в Ф является 3(-инвариантной.

Пусть 21 — некоторое множество автоморфизмов С. Скажем, что С является ^[-однородным, если для каждых р, g 三 С существует 冗三 31 такое, что 冗"(р) и q имеют общее расширение. Если ?[ — множество всех автоморфизмов С, то мы говорим об однородности вместо ^-однородности.

Если Л — бесконечное множество, то Н (Л; В) однородно, Для данных р, q 三 Н (А; В) мы выбираем перестановку о множества Л такую, что о (Do (р)) Q Do (^) = 0, и определим автоморфизм л так:冗(尸)=尸 ° <т. Тогда л^1 (р) U ^ — общее расширение для (р) и q.

Лемма 9.2. Пусть 21 — некоторое множество автоморфизмов С такое, что ^ ^ М и С является ^-однородным. Пусть Ф — некоторое предложение языка вынуждения, являющееся ^-инвариантным. Тогда 卜行 ① тогда и только тогда, когда 11|— Ф.

Доказательство. Так как 1 ^ G, то из 1 ||— Ф следует [—оФ. Теперь предположим, что 一а①，но ~1 (1 |[—①). В силу первого некоторое р вынуждает Ф, а в силу последнего и (5.4) некоторое q вынуждает ~] Ф. Выберем л е 21 так, чтобы Е (р) и q имели общее расширение. Ввиду теоремы существования и (G2) существует генерическое множество G', содержащее л: 1 (р) и д. По лемме 9.1 冗(£') генерическое. Так как pwn(G') и q е G\ получаем 一冗① и ①.Ho M^iG'^^MiG'} по лемме 9.1, а константы в Ф представляют одинаковые множества в этих двух моделях. Поэтому |—л(бо Ф тогда и только тогда, когда ~，①；получили противоречие.

Мы предполагаем, что читатель знаком с OD (ординально определимыми) и HOD (наследственно ординально

определимыми множествами )). Мы нуждаемся в небольшом обобщении этих понятий.

Скажем, что и OD через 力，...,vkt если существует а такой, что vu vk^V (а) и и определимо в (V (а), 三 力，…，以〉.Скажем, что и OD над 叫 если и OD через %, ..., V*, w для некоторых 力,...,vk е w. Скажем, что 〃 HOD над ш, если и OD над w и каждый элемент из u HOD над 侬.Это определение индукцией по rk (и). ”

Основные результаты про OD и HOD множества переносятся на эту ситуацию. Так, например, каждый ординал OD через любые ^工,vk и, следовательно, OD над любым w. Если им ит OD над 力,.…,以(или над w), то |i(〃i,...,以)такое же (где 卩一терм, определимый в теории ZFC). Класс всех множеств HOD над w является моделью теории ZF (но не обязательно аксиомы выбора). Также ясно, что каждый элемент из 侬 OD над w*

Лемма 9.3. Пусть ?[ — некоторое множество автоморфизмов С такое, что 吸三〃,и- предположим^ что С является ^однородным.. Пусть и OD через %, ..., % в M[G] и 力，・・・,％ имеют ^-инвариантные имена. Тогда и(]М еМ.

Доказательство. Существует формула Ф(х) языка вынуждения, содержащая только имена для ?工,...,vk и некоторое а е /И [G] такое, что

а 三 ％ с —G ①(а) (9.1)

для всех а. Так как а ^ /И по лемме 7.1, то а является 81-инвариантным; поэтому мы можем предположить, что каждое имя в Ф (х) является 21-инвариантным. Тогда, полагая а вместо а в (9.1) и применяя лемму 9.2, получим

0三〃 е ①(金) - 1卜①(2).

Таким образом, и[\М = [а\\^- Ф («)]—■ класс в М. Но если 0 = гк(〃)，то 以 П 府 и ^ (0)["]从=卩乂(卩)；следовательно, и ПЛ4 — множество в М.

Теорема 9.1. Пусть С — однородно 8 М. Если и OD в M[G], mo и(]М^М; если 〃 HOD 8 М [GJ,加。и^М.

Доказательство. Первое утверждение есть специальный случай леммы 9.3. Второе легко следует из первого индукцией по гк (и).

Пусть теперь М удовлетворяет аксиоме конструктивности, и пусть С = Н (з; 2). Применяя теорему 9.1, следствие леммы 7.1 и тот факт, что каждое конструктивное множество HOD, мы видим, что в М [G] конструктивные множества совпадают с HOD множествами. Как мы видели в § 7, существует подмножество множества з, не являющееся конструктивным в М [G]. Так как каждый элемент из со HOD, то отсюда следует, что такое множество не OD в М [О]. Из этого следует, что в М [G] не существует OD отображения какого-либо ординала на S (со), ибо если бы F было OD, то таким же было бы каждое F (а).

Теперь предположим, что С = /7 (со; 2)°. Пусть G? — множество Ах координат элементов из G, и пусть Н = = [G/1 i 巨 со]. Пусть ^ — множество всех множеств, являющихся HOD над Н в М [G]. Тогда ^ — модель теории ZF.二 Сейчас мы покажем, что ^ не является моделью аксиомы выбора; в действительности мы покажем, что в TV не суще-； ствует отображения какого-либо ординала на S((o).

Предположим, что такое отображение F существует. Тогда 尸 OD через Go, Gi, ..., Gn^, H для некоторого п : (в М [G]). Каждый элемент из W(s)n" есть 尸(а) для некоторого а в М [G] и, следовательно, OD через Go,

Рассмотрим С как произведение С' X С", где С' = Н (со; 2尸 и С" = 〃 ®； 2)s—4 Пусть Gr и Gw — проекции G на С7 и С" соответственно. По теореме о произведении G' является С-генерическим над Л4, G" является Сг/-генерическим над ; Mr = М [Gz] и Mr [Of/] = M[G]. Снова применяя теорему о произведении, получаем, что Gn будет Н (со; 2)-генериг ческим над 7И\ Поэтому множество 4, имеющее V (G„) своей характеристической функцией, является подмноже-: ством множества s, не лежащим в АГ. Так как 4и з и ЛГ, то 4^44' = /; следовательно, А[\МГ не лежит в М\

Завершим доказательство, применив лемму 9.3, чтобы показать, что Л П Л4^ е М". Для каждой перестановки л ； множества ^ — п определим автоморфизм л* множества С" следующим образом: (n* (p))z = pn⑴.Пусть 2( — множество : всех л* для л из М・ Ясно, что 班三 ЛГ. Заметив, что каждая перестановка множества ①——孔,которая передвигает

только конечное число элементов, содержится в ЛГ, мы видим, что С" будет ^-однородным. Теперь Л OD через G" и, следовательно, лежит в N. Таким образом, Л OD через Go, Gi,…，Gj Н в М IG^M' [Gw]. Поэтому нам нужно лишь показать, что G^ G^ ... >" имеют 戰-ннва-

риантные имена в ЛГ.

Так как Go, Gi( …，Gn_i лежат в М\ то они имеют St-инвариантные имена Go> Glt ..., G^_lt Положим

а, = G±,если z VI%

at=[(Ph Р) \p^Cf,], если

е со]х{1}.

Легко видеть, что а» —имя J, я а —имя Н. В Мг [л* (G^)] &? есть имя а, если iV 九，и имя 冗* (6")2 = 6口*0，если iN 孔;таким образом, а —имя Я. Это показывает^ что а будет ^[-инвариантным.

Историческая справка. Независимость аксиомы выбора доказана Коэном. Модели теории ZFC, в которых нет OD отображений никакого ординала на S(co), были впервые построены Феферманом [4]. Теорема 9.1 принадлежит Леви [7].

Сохранимость кардиналов

Теперь обратимся к исследованию отношения между кардиналами в М и кардиналами в М [G].

Лемма 10.1. Каждый кардинал 6 М [G] является кардиналом 6 М.

Доказательство. Пусть m — некоторый кардинал в М [(?]. По лемме 7.1 m — ординал в М. Если m не является кардиналом в М. то существует отображение некоторого ординала^ меньшего ш, на 叫 которое лежит в /W и, следовательно, в М [GJ. Но это невозможно.

Так как 0, 1, ..., со абсолютны, то они являются кардиналами как в М, так и в М [G]. С другой стороны, несчетные кардиналы в М не обязаны быть кардиналами в M[G], как мы видели в предыдущем параграфе.

Если а —ординал в М, то, так как М ^ М [G], имеем

cfM⑹(a) VcfM (а).(10.1)

Равенство выполняется, когда cfM (a) ^w, так как свойства «быть предельным ординалом» абсолютно. И опять- таки предыдущий параграф показывает, что равенство может нарушаться, когда cf (а) несчетно в М.

Теперь мы получим некоторые достаточные условия для того, чтобы достигалось равенство.-

Пусть С — понятие вынуждения и р, g 三 С・ Будем говорить, что р и q совместны, если они имеют общее расширение; в противном случае называем р и g несовместными. Будем говорить» что С удовлетворяет условию т-цепи, если каждое множество попарно несовместных элементов в С имеет кардинал < ш.

Лемма 10.2. Пусть m — регулярный кардинал s М такойt что С удовлетворяет условию т-цепи в М. Тогда

если а 三 Л4 〃 mWcfM(a), то cf^ (a) = cfM ⑹ ©);

каждый кардинал 8 М, который ^ т, есть карди- ! нал 8 M[G].

Доказательство, Пусть x(y) = z — формула теории множеств, которая утверждает, что х —функция, значение которой для аргумента у равно г. Будем говорить, что у есть возможное значение а в р, если некоторое р ； вынуждает а(8) = £. Мы утверждаем, что множество возможных значений а в 卩 имеет кардинал < ш.- Для каж- ‘ дого такого возможного значения у пусть pY вынуждает a(6)=Q・ Ясно, что достаточно показать, что если у=#6, то ру и % несовместны* Предположим, что они имеют общее расширение q, Выберем генерическое G' такое, что q 告 G，По лемме о расширении q вынуждает а (8) = $ и 。(8) = 8； тогда по лемме об истинности Hg^($)== V и 工 Hg^ cl (Р)= б. Следовательно, у = й (₽) = б.；

Теперь пусть а таково, как утверждается в (а). Пусть 』 n = cfM [叫а). Тогда и — некоторый кардинал в М [G] и, следовательно, в М, Пусть а ~ отображение из и на конфи- нальное подмножество множества а. Пусть д — множество возможных значений 〃 среди ординалов Vn. Ясно, что 二 Ь е М. Если а< п и а(а) = т, то некоторое р е G вынуж- * дает а(о) = т; таким образом, т — возможное значение а в а. Поэтому Ra(g)ub; таким образом, b конфинально ' в а. Следовательно, cf(ajv|b| в М.》

В силу вышеприведенного результата, & — объединение н множеств в М кардинал каждого из которых Vm.

Если nVni, то 161Vm в М (так как in регулярен в М). Это невозможно, так как inVcf(a)v|M в М. Таким образом, mv% поэтому |b|vm・n = n в М. Следовательно, cf(a)V|b|VH в т. е. dM (а) cf^[G] (а). Применяя (10.1), получаем равенство.

Пусть теперь п — кардинал в М такой, что mV、.

Если (п)=Если (п)=工 с» (n) = n по (a);工 с» (n) = n по (a);M[G].M[G].Покажем индукцией по % что п — кардинал в М п — регулярный в Л4, то cf^ (n) = н N т, тогда cf」

Если (п)=

Если (п)=

工 с» (n) = n по (a);

工 с» (n) = n по (a);

M[G].

M[G].

Если n сингулярный в M, то пЕсли n сингулярный в M, то пточная верхняя граньточная верхняя граньследовательно, п — кардинал в

Если n сингулярный в M, то п

Если n сингулярный в M, то п

точная верхняя грань

точная верхняя грань

множества кардиналов » в А4 таких, что mwpVn. Так

как все они являются кардиналами в М [G], а точная

верхняя грань множества кардиналов является кардиналом, то п — кардинал в М [G].

Следствие. Если С удовлетворяет условию ^-цепи 8 М, то cfM=cfM〔5, а М и M[G] имеют одинаковые кардиналы.

Мы хотим применить эти результаты к Ят (Л; В). Сна

чала заметим, что для каждого » V ш (включая конечные р) существует самое большее |Л^ подмножеств D множества Л таких, что I DI = > и для каждого такого D существует |В|» отображений из D в В. Поэтому

田 m(4 В)£ £ MW 历卩;

AVm таким образом,

(Ю.2)(Ю.2)i^rn (Л； В)|^(|ЛМВГ).

(Ю.2)

(Ю.2)

Лемма 10.3* Если m 叫=m u |3|wm, то % (А； 8) удовлетворяет условию т+-цепи.

Доказательство. Пусть / — множество попарно несовместных элементов из Нт (Л; В). Индуктивно определим подмножество 74a множества Л для каждого а. Пусть Ло = О; для предельного числа а положим Ла= U /р. Пусть те-

перь 4a выбрано. Для каждого р 三〃川(4仪；В) выберем ^ е /, ограничение которого до Ла есть р, при условии, что такое q существует. Пусть Ла+1 будет объединением 4a и областей определения всех таких q.

Докажем индукцией, что \ Аа\^ m для avm. Случай тривиален, когда а —0 или а — предельный ординал.

Предположим, что | Ла | ^ т. По (10,2)

I Нт (Ла; В)|1^(1П|В|)，1，)-=>ПШ)= Ш. (10.3) Теперь ясно, что

14计11 V141 1 % (4； В)| • m V m + m • m = т.

В частности, 向/Vm; таким образом, | % (4巾；8) | V m по (10.3).

Завершим доказательство, показав, что 1 о Яш (Лт; В), Пусть р w I. Так как | Do (/?) | <； ш, то существует а < m такое, что-Do (р) П 4* = Do(pj Q 力“工.Выберем q 三 / так, чтобы р и q имели одинаковое ограничение до Ла и Do (g) и u/仪+工. Если 尤三 Do(p) Г) Do(g), то 无三力仪+工；тогда х e Do (р) П 4&+1<=4仪,поэтому p (x) = q (x}・ Отсюда еле- ' дует, что р и q совместны. Так как р, q 三 I, то p = q. Поэтому Do (р) и 力仪+工 с: Лт и, следовательно, р м : е//т(Лт;В).

Условия, при которых выполняется 巾帆)=口1, см. в § 2.

Подмножество D множества С называется сечением, если каждое расширение условия из D лежит в D.

Лемма 10.4. Пусть D — сечение в М. Если D (] Gr ^0 для каждого G「являющимся С-генерическим над М, то D плотно.

Доказательство. Для данного р выберем G' генерическим так, что 卩巨 G'. Выберем q 三 D R G\ и пусть , г — общее расширение р н q. Тогда r^p и г eD. '

Понятие вынуждения С называется ^-замкнутым, если для каждого а<т и для каждой убывающей последовательности {рв}в<* условий в С существует р е С такое,, что р^р^ для всех RV®・ Например, если m регулярно, то Нт (Л; В) будет m-замкнутым; действительно, мы можем , взять р= U Ру1

Лемма 10.5. Если С ^является ^замкнутым в 7ИГ а V m и {Dp}p<a, — последовательность плотных сечений 8 М, /по П 力卩 плотно.

Доказательство. Для данного р мы можем опреде-； лить индуктивно в М убывающую последовательность : {Рв}в<а такую, что рв 三 D§ и р^^р. (Мы должны использовать предположение о том, что С является ш-замкнутым :

в случае, когда 卩一предельный ординал.) Выбирая q так, чтобы q^p^ для всех ₽ < а, получаем q^p н gw [ Dp.

Лемма 10.6. Пусть С является ^-замкнутым в М 〃 aV 九 Тогда (々严=(%产⑹ для каждого ae Mt а также SM (a) = SM^ (a).

Доказател ь ство. Ясно, что (&〃)乂 и (a^)MiG\ Пусть теперь 6м(%)м[б] Пусть ①(х, у) будет

三2 (? w G & (г, у〉三 Ь) т〈х, у) е Ь,

и для каждого.卩 V а положим

“A=[p|mc(pii(2,6))].

Тогда D^ — сечение в М. Применим лемму 10.4, чтобы доказать, что оно плотно. Пусть G' генерическое. Тогда для некоторого cwa имеем 卜①(2, 6); таким образом, по лемме об истинности % П Gf ^ 0,

По лемме 10.5 множество D= Q Dp плотно. Поэтому

существует q ^G {] D. Если g〕一①(i, 6), то с = 5(§)・ Следовательно, й (0) — единственное с такое, что

g 卜 ①(2, 6)・ Отсюда легко следует, что 5 w М.

Последнее утверждение доказывается, если взять a = 2 и использовать соответствие между множеством и его характеристической функцией.

Следствие. Пусть С является т-замкнутым в М. Тогда

если a 三 М 〃 cfM (a) mt то с[м (a) = cfMtGi (a),

каждый кардинал и в М, который Vm, есть кардинал 8 M[G].

Доказательство, (а) Если утверждение ложно, то с№ EG] (a) < cf〃 (a) V m. Пусть / — отображение из сМ ⑹(a) на конфинальное подмножество а в 714 [G]. По лемме f ^ М; таким образом, cf^ ^Ца) ^cfM (а), и мы получили противоречие. (б) Если утверждение ложно, то существует отображение / ординала < и на 口 в М[д]. По лемме f М, а это невозможно.

Отметим, что во всех утверждениях этого параграфа, если мы доказали, что М и M[G] имеют одинаковые кардиналы, то всегда оказывалось, что cfM = cfM ⑹.В связи с этим возникает одна проблема: можно ли выбрать С так,

чтобы М ^ M\G\ имели одинаковые кардиналы, но cf"方 千 cf財⑹？ Прикри показал, что это возможно, если существует измеримый кардинал в М.

Историческая справка. Результаты о т-замкну- тых понятиях принадлежат Соловею, а остальные результаты принадлежат Коэну.

Гипотеза континуума

Вначале исследуем величину множества степени в М [G]. Лемма 11.1. Пусть С удовлетворяет условию т-цепи s М. Тогда для каждого бесконечного кардинала п в М

Доказательство. Для а е М и а<п пусть фа (а) = [р I р II а 巨 а]. Тогда

а с п & & о п & фа —фй й = ^.

Ввиду симметрии достаточно показать, что &и5・ Пусть а 三 & . Тогда некоторое р 包 G есть в g (а) и, следовательно, в 中匕(а); таким образом, J-Ga Ь, а поэтому aw瓦 Отсюда следует, что

岀的口⑹^伸泊^三因叫

Далее,(ра — отображение из п в Q, где Q — множество всех множеств [р I р IH Ф]. Поэтому достаточно будет доказать, что IQI I СI叫 в М.

Пусть awQ. Применяя лемму Цорна, выберем максимальное подмножество b множества а, состоящее из попарно несовместных элементов. Тогда а может быть восстановлена из & с помощью следующей эквивалентности:

р 三 а с Vq V рЭг 三匕 (^ и г совместны).

Импликация слева направо выполняется в силу леммы о расширении и максимальности Ь. Предположим 卩啰 а. Если а = [р|р |Н■①工 то по (5.4) существует gVp такое, что gllQ ①. По (5.3) и лемме о расширении элемент г, совместный с q, не может вынуждать Ф, поэтому такого 广 не может быть в Ъ.

Отсюда следует, что | Q | равно самое большее числу подмножеств & из С, состоящих из попарно несовместных

элементов. Так как 16 | <： m для каждого такого 6, то &|Е 丨 Sm(C)gCT).

Пусть теперь m и п — кардиналы в М. Можно ли выбрать С так, чтобы М и M\G} имели одинаковые кардиналы и 21П = п в М [G]? Если это можно сделать, то 俨=(2吗m = 2m = n

в М [G]. Так как ("%)" и (叫1尸[6, @ М и M[G] имеют одинаковые кардиналы, то мы имеем (俨)“ V (怔")“⑹. Следовательно, ifn = n в М.

11оэтому предположим, что пш = п в М. Для того чтобы получить 2巾= 11, нам необходимо ввести п подмножеств ш. Фактически мы введем отображение F из n х ш в 2 и возьмем [0| 尸(а, 0) = 0] в качестве а-го подмножества из т. Пусть С = Н (пхш; 2). Положив 尸= U р, видим, что F — отображение в М [G] из nxm в 2. Для а<п положим 4a =[卩丨卩 V m &F (а, Р) = 0]. Тогда Ла — подмножество m в М [G], Кроме того, а ^ а'-> Ла ^ Ла-; это следует из того, что

[р I ЗР (р (а, 0)&р(а', Р) определены и не равны)]

—плотное множество в М.

По лемме 10.3 й следствию к лемме 10.2 cfM = cfMLG] и, кроме того, М и М [G] имеют одинаковые кардиналы. В частности, m и п являются кардиналами в М [G]. Так как мы указали п различных подмножеств m в М [G], то 2m ^s п в М [GJ. По лемме 11.1

(2т)м ⑹ v((| с |No))m 产.

Подсчитывая в М, имеем по (10.2)

|С| W(m・n)No)=n

(так как из 俨=п следует m <п); поэтому (15也)尸=1(?产v俨=九

Отсюда 2m = п в М [G]. Это доказывает следующую теорему.

Теорема 11.1. Пусть m u п — бесконечные кардиналы б М такие, что nm = п в М. При подходящем выборе С

имеем cfM=cfM[G〕； М и М [G] имеют одинаковые кард凯 налы и 2m = п в М [G].

Теперь предположим, что мы определили константу Г в теории ZFC и доказали в теории ZFC, что Г — кардинал. Мы хотели бы показать, что 2^° = Г совместно с теорией ZFC. В силу теоремы Кёнига мы требуем, чтобы cf (Г) > со было доказуемым в теории ZFC. Допустим это и возьмем М удовлетворяющим аксиоме конструктивности, а значит, и GCH. Из *GCH и cf (Г) > со мы можем доказать pNo =「，ПОэТОМу (р“о)м = рм. Выбирая С, как в теореме 11.1, имеем 2^° —Гм в M\G}t Затем мы получим требуемый результат, если докажем, что ГМ=ГМ["]. Вспоминая, что М и М [G] имеют одинаковые кардиналы и одинаковые функции cf, мы видим, что равенство выполняется, если Г, скажем, Кг или Kwi или первый слабо недостижимый кардинал (при условии, что существует слабо недостижимый кардинал в 714).

Предположим теперь, что GCH выполняется в М. Если 2m = п в М [G], то 2»^п для р^т, поэтому GCH может быть ложной в М [G] выше т. Покажем, что можно сохранить GCH ниже т, если ш регулярно в М.

Теорема 11.2. Пусть GCH выполняется в М. Пусть шип — бесконечные кардиналы из М такие, что ш регулярно в М и cf (п) > ш 6 М* При подходящем выборе С имеем。£附=色川[也 М и М [G] имеют одинаковые кардиналы, 2n1 = п е М [G] 〃 Vp (» V т-> 2口 = р+) выполняется в M[G].

Доказательство. Возьмем С = Н^ (m X п ; 2). Условия теоремы показывают, что mm)= m в М. Поэтому леммы 10.2 и 10.3 и следствие к лемме 10.6 показывают, что cfM = cfM ⑹，а Л1 и М fG] имеют одинаковые кардиналы. Доказательство того, что 2n^н в М [G], по существу такое же, как раньше (отметим, что из cf (n) > m и GCH следует, что пш = п). Если pVm, то S^ (p) = SM® ⑺ по лемме 10.6. Так как М и M[G} имеют одинаковые кардиналы и 2» = р+ в 7И, то мы видим, что 2』р+ в M[G].

Неизвестно, выполняется ли теорема 11.2, когда ш сингулярна в М. Простейшей нерешенной проблемой является

следующая: будет ли совместным с теорией ZFC предположение, что Vn (м <(о 2^л = Kn+i) и 2^ш 7^ К(он?

Историческая справка. Теорема 11.1 принадлежит Коэну, теорема 11.2 принадлежит Соловею.

Вынуждение с классами

До сих пор мы предполагали, что С —множество в М. Но иногда мы можем строить модели вынуждения и тогда, когда С■— просто класс в М. Так как общая ситуация еще не исследована полностью, рассмотрим лишь одну частную прочему.

Эта проблема является обобщением результатов предыдущего параграфа. Предположим, что Н — отображение множества бесконечных кардиналов из М в себя, которое является функционалом в М. Мы хотим выбрать С так, чтобы М ^ М [G] имели одинаковые кардиналы и чтобы для каждого бесконечного кардинала m в Л4 было 2m = // (ш) в Af [G] Очевидно, мы должны иметь

m Vn»" (m) V" (п).(12.1)

Кроме того,

ш < cf {Н (ш))(12.2)

должно выполняться в М・ Действительно, это выполняется в М [G] по теореме Кёнига, а потому и в Л4 по (10.1). Будем предполагать дополнительно, что М удовлетворяет аксиоме конструктивности ). В этом случае мы покажем, что М и М [G] для подходящего С имеют одинаковые кардиналы, с[м =ciM[G] и 21tt =/7 (гл) в М (G) для каждого регулярного кардинала m в М.

Замечание. Снова не очень много известно про сингулярные кардиналы. Ясно, что на Н должны быть наложены дополнительные условия, если бы мы хотели включить в рассмотрение и этот случай. Например,

Ум м з ( 2*” = Кш+1) -> 2"з = &#

Действительно,

72^® = 22^« = n2^=n合 1 =(2№)"。= 2也=Ka+i.

Теперь опишем С. Пусть областью изменения m и n '1 будут регулярные кардиналы из М. Положим

Qm = K% &, Р) I п ш & а < Я (п) & Р < и].

Пусть С — множество всех функций р в М таких, что Ra (р) и 2, Do (р) и UQm и [Do (р) П QmI <111 в М Для каж- дого m.二

Для р, 7 еС пусть pVg означает q up. Очевидно, что С — понятие вынуждения, которое является классом в М.

Естественно потребовать, чтобы генерическое множество г пересекалось со всеми плотными классами в М. Поэтому : мы выбираем G С-генерическим над ЛГ, где Mf — множе- 々 ство всех классов в М. Так как ЛГ счетно, то это может ； быть сделано по теореме существования.：

Теперь определим M\G\t как раньше. Точно так же, как и раньше, мы доказываем, что М [G] счетно и транзи- тивно и М и Al [G]. При попытке обобщить результаты § 5 возникают трудности: индуктивное определение р ца W ； Н Ь уженеможет быть дано в М. Поэтому мы будем дей- 上

ствоватьпо-другому.:

Пусть

Cm = [p IP wC&Do(p) uQm],■

0 =卩0 wC&Do(p)AQm = 0].*

Как С、〉так и Cm содержат 1 и, следовательно, являются 口 понятиями вынуждения. Кроме того, Сш является множе- ^ ством в 7И; функция, которая переводит m в Ст, — функ- ционал в /И, а Ст — класс в М..

Для р rC пусть рт будет ограничением р до Q^殳

и пусть рт = р — рт. Легко проверить, что р->〈р川,口①〉—|

изоморфизм между С и Сш хСш, обращение которого пере- , водит © л) в gU 几 Пусть Gm = [pm\p eG]r Gm = [p 叫夕三 e G]. Тогда по теореме о произведении *) Gm является Сш-генерическим над М, a Gm ~ Ст-генерическим над Л4[бт].“

Кроме того, G соответствует G^xGe при этом изоморфизме, т. е.

G = [p\Jq\p^ Gin &q^ Gm].(12.3)

Отсюда следует, что

GACm = Gnt.(12.4)

Заметим, что С — объединение всех Ст, тогда мы можем определить А (Ь) в М индукцией nb rk (b) следующим образом: Д (&) есть наименьшее m такое, что А (а) V m для каж- дого а 三 Ra (Ь) н р 三 ％ Для каждого р w Do (b). Докажем индукцией по rk (b), что

△ 0)Wtttf Ka(b) = KGm(，)・(12.5)

Если 〈а, р〉三瓦 то A(a)vA0)Vm, rk (а) < rk (6), поэтому ^0 (а)~Кот (а) по индуктивному предположению. Кроме того, р е Ст, поэтому р е G <^ р е Gm по (12.4). Отсюда Ка(Ь) = Кст (&).

Теперь определим

а(т) =[〈&(% р〉|〈ь, р) е а & р е С1П].'

Опять это есть функционал в М. Докажем

К0{а^ = ^ (а)(12.6)

индукцией по rk (а). По индуктивному предположению и (12.4)

Kg (鹼))=[Kg (Mm)) I Эр e G((6, p〉三 a & p w %)] =

=【&Jm (b)丨 H M Gg (〈仇 p〉e a)] =

=&1n (我、

Простая индукция показывает, что

А(а(")) Vm・

(12.7)

Из (12.5)

и (12.6) получаем

(12.8)

Кроме того,

m V it fM[Gm]uM[Gj.

(12.9)

Действительно,

《^⑷二&储⑺尸代式小))

по (12.6), (12.7) и (12.5).

Все Ст имеют такой же язык вынуждения, как и С. Определим р В—木① для Ст, как раньше. Затем положим А (а, &) = max (А (а), А (Ь)) и определим

р^* ае Ь, если р%д,扮 11太侬,ь)а^Ь9 pll^aW仇 если "а《&协卜Xg,力а W氏

Лемма определимости и лемма о расширении тривиальны. Чтобы доказать лемму об истинности, скажем для。w 仇 мы имеем для т = А(〃,匕)：：

三be ^田三匕 п0 (12.5)

—± 三 Gm (" IT】。三 b) q R м G(RK f а м b) —3p 已 G (p <h* aeb).

Теперь можно определить p ||—* ® для неатомных Ф и доказать все три леммы о вынуждении, как раньше..

Далее мы заметам, что Ст удовлетворяет условию ш+-цепи (в М). Действительно, по лемме 10.3 Ит (Qm; 2) удовлетворяет условию т+-цепи. Но Стс:Нт (Qm; 2) и элементы (нз С1П), совместные в Нт (Q^； 2), являются 演 совместными и в Ст, так как их объединение лежит в Ст,' Это дает требуемый результат. Также отметим, что Ст будет т+-замкнутым в М.

Будем говорить, что |Dp}(J<m есть последовательность классов в М, если множество пар〈р, Р) таких, что р 巨 ％，， является классом в М. Отметим, что лемма 10.4 обобщается на классы в М, а лемма 10.5 обобщается на последовательности классов в М.

Лемма 12.1. Пусть ^Dp|p<)u — последовательность, классов в М такая, что каждое Dp — плотное сечение в С. Тогда суи^ствует q w Gm такое, что

Va< mBp е G^ (р U 9 三 Da).

Доказательство. Для q е Сш положим

Достаточно выбрать q w G"，так, чтобы О^ было С^-ллот- ным для каждого а<ш. Поэтому, полагая

Da = [q\q^Cm&Dl является С1П-плотным^, достаточно будет показать, что Q О^ плотно. Ввиду вышеприведенных замечаний нам нужно лишь показать, что % плотно.

Пусть qr s Сп\ Выберем Гр индуктивно в М так, чтобы 布 V q', r§ w D& и для всех 丫 V В имело место неравенство (却)“ v (尸丫严 и (厂卩)川 и (z\)1n были несовместны.

Если существует много таких 布，то используем определимое вполне упорядочение на Da, имеющееся вследствие аксиомы конструктивности, для того чтобы выбрать одно такое Гр； если такого Гр не существует, то г^ не определено.

Так как Ст удовлетворяет условию ш+-цепи в М, то мы видим, что наименьшее 卩 такое, что Гр не определено, существует и удовлетворяет 101Vm в М. Поэтому существует g 三 С111 такое, что g V (rY)m для всех у< Р и q^qr. Мы должны показать, что q 三 力工 т, е. что D^ плотно.

Пусть рsСт. Тогда pUg имеет расширение г в Da. Так как г не является возможным значением для 厂口, то г中 совместно с некоторым (rY)in. Пусть рг — общее расширение для 尸巾 и (尸丫)巾・ Тогда pr^rm^p и р' UqV V {r\)m U (厂7)"1 =厂丫, поэтому pz (J 9 ^ ^а и, следовательно,

Лемма 12.2. Пусть F — функционал s М [G] такой, что ш содержится в области определения F. Тогда ограничение / функционала F до m находится 8 М [G]. Если [尸(а) I а 之 m] содержится 8 некотором множестве из М j Gm], то / находится e М [Gm].

Доказательство. Пусть Ф (х, у) — формула языка вынуждения такая, что

尸⑷= 6с1а① Q b).(12.10)

Для каждого а V m положим

Da=[p I 36 (р IH ЗхФ (а, 6 f ①(G, b))]・

Тогда {Оа} — последовательность классов в М. Применяя * лемму 10.4, мы видим, что D^ — плотное сечение. Поэтому ： по лемме 12.1 существует ^ е Gm такое, что

Va < m3p w Gm (р U 9 三 D^.(12.11)

Для а<т и р ^ Ст пусть А^р — множество всех таких Ь, что

р U 9 IH 3%Ф (а, %)->ф (а, 6).(12/2)

Пусть g —функция в М, область определения которой 丨 представляет собой множество пар (а, р〉из m хСт таких, что 4%»#0 и g ((а, р)) е АагР для каждой такой пары • 〈а, р〉.’'

Покажем, что:

/ = [〈кg(端 蛉1h三6中(%=8(а p〉))]. (12.13):

По (12.11) для каждого а<т существует такое р е Gnb 1 что А^р ^ 0, и, следовательно, такое, что д(〈а, р〉)определено. Поэтому мы должны показать, что если р 三 Gm и b=g ((а, р〉)， то Ка(Ь)=/(а)・ Так как (12.12) выпол- няется и pUq 三 G по (12.3), то |—0ВхФ(а, %)->Ф(а, 6). J Отсюда и из (12.10)尸(а) = Ка 而，поэтому [(а) = Ко(Ь). f

Выберем п так, чтобы m ^ п и А (Ь) ^ п для В 三 Ra (gj.

По (12.4) и (12.5) мы можем записать (12.13) следующим 立 образом:;：f

/=[(Коп(Ь), a>|3peGn(6 = g((a, р)))]_

Так как Gn е М [Gn] и существует функционал в М [GJ,: совпадающий с Коп на аргументах в М, то отсюда следует,: что f^M [Gn]. Следовательно, f^M[G].

Теперь предположим, что [尸(а) | а V m] и Кот (а)； мы хотим показать, что можно взять n = m. Переделаем Da на множество таких р, что

mb 三 Ra (а(т))[р 卜 土 (х 三 а"”)&① R, х))-> ①®, b)].

Для доказательства того, что оно плотно, мы должны отметить, что каждый элемент из Kg (^т0 имеет имя в Ra (〃(")) по (4.1).

Из того, что

一 G3x (х 三 a(m) & ①(a, x))-> ①(a, b), получаем

尸(a) = Ke(b)・

Далее используется (12.6).

Мы можем теперь предположить, что каждое & в Ra(g) содержится в Ra (а®)) и поэтому имеет вид bf^n\ Но A(Z/W))vm； таким образом, действительно можно взять n = m.

Лемма 12.3. Если а^ M\G} и a W 0, то существует m такое, что а^М [G^, w отображение / из ш на а, которое содержится в М [Gm]

Доказательство. Выберемн по (12.8) так, чтобы a 三 三 М [6П], Выберем ш так, чтобы п^ши|а|^твЛ1 [GJ Тогда существует / в М [Gn], отображающая m на а, н at f М [Gin] по (12.9).

Теперь проверим, что М [G] удовлетворяет условиям леммы 2.1. Так как(о е М с: А4 [G], то (а) выполняется. Пусть теперь а^М [G], а^О и выберем m н 厶 как в лемме 12.3, Предположим, что Л — класс в М [G] такой, что 4 и а и Л 7^ 0. Так как f ^ M[G]t то легко определить функционал 尸 в М [G] с областью определения m и областью значений 4 По лемме 12.2 F ^М [Gm]; таким образом А^ М [Gul] с= /И [G]. Это доказывает (б). Это также показывает, что каждое подмножество нз 〃 в М [G] содержится в М [Gm] и, следовательно, в множестве степени для а в М [Gm]. Это доказывает (г).

Пусть теперь F — функционал в М [G], и пусть а — непустое подмножество области определения F. Снова пусть щи/ таковы, как в лемме 12.3, и 爲一функционал, определенный следующим образом: Л (a)=F (/ (а)). Тогда А 三 М [G] по лемме 12.2. Поэтому для некоторого п имеем R w M \G^t а также U (Ra (尸工))w М. [Gj и М [G]. Но U (Ra (Fx)) = U ([F (х) | х s а]). Итак, мы доказали (в).

По лемме 2.1 М [G] — модель теории ZF. Используя лемму 12.3, получаем, что М [G] — модель теории ZFC.

Теперь покажем, что cfM = cf"[e]. Если это не так, то мы имели бы No Vcf^ ⑹ @) Vcf^ (а) для некоторого а. Положим m = cfM[G](a). Это есть бесконечный кардинал в М, а так как m = cfM[G] (m) Vcf" (m) Vm, то он регулярен в М・ Пусть f — отображение из m на конфиналь- ное подмножество из а такое, что f ^ М [G], По лемме 12,2 f 三 М [Gm], Следовательно, cf*'*"' (a)vm. С другой стороны, из mV cfM (а) следует m+ W cf" (а), поэтому cfM (a) = cfM (а) по лемме 10.2. Таким образом, mV VcfM(a) = cf 111 (a)vm； получаем противоречие.

Из cfM = cfM[G〕следует, что М и М [G] имеют одинаковые кардиналы; доказательство этого подобно доказательству леммы 10.2 (б).

Каждое непустое подмножество на m в М [G] есть образ m относительно некоторого функционала в Л4 [G] и поэтому по лемме 12.2 содержится в М [Gm]. Тем самым S”[G1 (in) = S ”'°巾]仲)，поэтому, чтобы доказать 2* = Н (т) в М [0]т достаточно доказать это в М [Gni]. Полагая F = =U W) и

Ла = [Р IP<m&F(m, а, 0) = 0]

для а<Н(т), мы доказываем, как и раньше, что все 4a дают " (т) различных подмножеств ш. Используя (12」)* имеем в М

Vm・//(m)・m = "(m)

(так как (12.2) дает т<Н(т)). Так как СтсНт (Qni;2)> получаем

|&n|W"(m)m)= "(m)

по(Ю.2) и (12.2) *). Тогда по лемме 11,1

IS (ш)产®』V (Я (т尸• m)M = // (м).

Таким образом, 2* = /7(巾)в М [Gm]-

Историческая спр авка. Все результаты этого параграфа принадлежат Истону [3].

*) И по (2.1), так как это можно вычислять в М, а в М выполнена GCH.—' Прим. ред.

ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ II

Р. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, Parts I, II, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 50(1963), 1143—1148; 51 (1964), 105—110.

P. J. Cohen, Set theory and the continuum hypothesis, Benjamin, New York, 1966. (Русский перевод: П. Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969.)

W. Easton, Powers of regular cardinals, Thesis, Princeton, University, 1964.

S. Feferman, Some applications of the notion of forcing and generic sets, Fundam. Math. 56 (1965), 325—345.

К. Gode 1, The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory, Ann. of Math. Studies, No. 3, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1940. (Русский перевод: К. Гёдель, Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, УМН 3, № I (1948), 96—149.)

A. Levy, Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory, Pacific J. Math. 10 (I960), 223—238.

A. Levy, Definability in axiomatic set theory. I. (Proc. 1964 Internat. Congr.) Logic, Methodology and Philosophy of Science, North-Holland, Amsterdam, 1966.

A. M о s t о w s k i, An undecidable arithmetical statement, Fundam. Math, 36 (1949), 143—164.

[9J J. C. Shepherdson, Inner models for set theory, Part I, J. Symbolic Logic *16 (1951), 161—190.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

239, 258239, 258

239, 258

239, 258

Автоморфизм (automorphism) 499

Аксиома (axiom) 11( 16

— бесконечности (axiom of infinity) 352

——обобщенная {generalized axiom of infinity} 438

—выбора (axiom of choice) 370

——выделения (comprehension axiom) 335

—замены {replacement axiom} 351

—нзмернмостн {axiom of measurability) 442

—— индукции (Induction axiom) 300, 335

—конструктивности (axiom of eon- structibiUty) 401, 486

— логическая {logical axiom) 40, 41

—мультипликативности (multiplicative axiom) 421

——недостижимости (axiom of inaccessibility) 438

——нелогическая (nonlogical axiom) 40, 42

—объемности (extensionaliiy axiom) 335, 350

—определяющая (defining axiom) 93, 95, 97

—подмножеств (subset axiom) 350

—подстановки (substitution axiom) 41, 316

—пропозициональная {propositional axiom) 41

—равенства (equality axiom) 41

— регулярности {regularity axiom) 350

— специальная (special axiom) 75

равенства (special equality axiom) 85

—степени {power sef axiom) 351

—тождества (identity axiom) 41

Аналитичность в {analitical in) 261

Арифметика второго порядка (second- order arithmetic) 334

—Пеано (Peano arithmetic) 301

Арифметичность в (arithmetical tn) 245

База (base) 210

Базнс (basts》277

Вариант (variant) 59

Вид квантора (kind of a quantifier}

Вложение {embedding) 113

Вхождение выражения (occurence of an expression) 15

—свободное (free) 29, 34

—связанное (bound) 29, 34

— символа (occurence of a symbol) 15

Выводимость по правилу 16

Вынуждение (forcing) 410, 412, 413,

490

—слабое (weak forcing) 493

Выражение (expression) 15

—,свободное от переменных (variable- free) 37

Выражения сравнимые (compatible expressions) 33

Высота (height) 32

Вычислимость (calculability) 165, 181,

215

Гиперскачок (tiyperjump) 294

Гиперстепень (hyperdegree} 294

Гипотеза континуума (continttum hypothesis) 378

——обобщенная generalized conii' пиит hypothesis} 378

—четырех красок (four-color conjecture) 149

Гомоморфизм (hofnomorphistn) 146

—негативный (negative) 146

—позитивный (positive) 146

График (graph) 219, 225

Группа (group) 43

—конечно определенная (finitely presented} 464

—полная {divisible) 145

—рекурсивно определенная (recurst- vely presented) 464

—свободная (.free) 459

— Хигмена (Higman's group) 465

Дерево (tree) 268

Дизъюнкт (disjunct) 104M

Дизъюнкция (disjunction) 36

Длина выражения (length of an expression) 15.；

Доказательство (proof) 18f

—индукцией (bp Induction}17,18,?

168, 381:工

— обозримое (ptsualize) 14；

——трансфинитной индукцией{by$

transfinite induction) 362:

—финитное (finitary) 13“

—формулы 184

Заключение правила (conclusion of a rule) 16

Замыкание (closure) 56

Значение возможное (possible value) 504

—истинностное {truth} 26

—отображения (value of a mapping) 24

Идеал измеримый (measure ideal) 442

Иерархия аналитическая {analytical hierarchy) 259

—арифметическая (.arithmetical) 240

Изоморфизм (isomorphism) 111, 151

—интерпретаций (of interpretations) 380

—мягкий (benign) 469

Импликация (implication) 36

Имя выражения (патё of ал expression) 20

— индивида (of an individual) 37

—элемента (of an element) 490

Индекс (index) 32, 235

—no (from) 249

—функциональный (functional) 250

Индивид (individual) 24, 37

Индукция по объектам {induction on objects) 18

— —предикатным символам (on predicate symbols) 381

——теоремам (on theorems) 17

Интерпретация опровержением контрпримера (no counterexample interpretation} 328

—простая (simple} 203

——теории в теории (of a theory in a theory) 99

—точная (faithful) 201

—транзитивная (transitive) 382

—формулы (of a formula) 99

—языка в теории (о/ a language tn a theory) 99

———языке {in a language) 98

Кардинал (cardinal) 371

—в M (in M) 485

—недостижимый (inaccessible) 438

——регулярный (regular) 454, 483

——сингулярный (singular) 454, 483

—слабо недостижимый (weakly inaccessible) 454

Категоричность (categoricity) 138

Квазитавтология (quasi-tautology) 80

Квантор {quantifier} 36

— всеобщности (universal) 36

—для бесконечно многих (for infinitely many) 286

—неограниченный (unbounded) 172

一 ограниченный (bounded) 172

—существования (existential) 36

Класс (class) 24, 348

—аксиоматизируемый 144

—в М (5 М) 485

—замкнутый (closed) 148

—обобщенно элементарный (generalized elementary) 144

—центрированный (satisfies the finite intersectian property) 159

— элементарный (elementary) 144

Константа (constant) 31, 318

—специальная (special) 75

Конъюнкция (conjunction) 36

Лемма бесконечности (infinity lemma} 279

—диагональная (diagonal lemma} 196

—интерполяционная Крейга (Craig, itilerpolation l&mtna) 126

—об истинности (truth lemma) 413. 490

— о диаграмме (diagram lemma} 116

——замене {replacement lemma) 246

——конечности (finiteness lemma} 246

—определимости (deflnabiliiy lemma} 490

— о проекции (projection lemma) 251

———расширении (extension lemma) 490

——транзитивности {transitivity lemma) 245

—Тарского (Tarski's lemma) 120

—Тейхмюллера — Тьюки (Teich- muller — Tukey lemma) 77

—Цорна (Zorn's lemma) 453

Матрица (matrix) 62

Метод (method) 164

——механический {mechanical) 164

——разрешающий (decision method)

163, 215, 216, 221. 224

—сжатия (collapsing technique) 484

Множества миого-односводимые (many-one reducible sets) 285

—одно-односводнмые (one-one reducible) 285

—подобные (similar) 369

—рекурсивно изоморфные (recursively isomorphic) 283

————неотделимые {recursively inseparable) 210

—таблично сводимые (truth-table reducible) 287

—эффективно рекурсивно неотделимые (effectively recursively inseparable) 286

Множество (sef) 24, 348

—автоморфизмов ^[-однородное (^[-homogeneous of automorphisms) 500

—бесконечное (infinite) 373

—вполне упорядоченное (well- ordered} 293

— — упорядочивающее (well-ordering) 453

——фундированное (welbfounded) 293

— вычислимое (calculable) 165

—гиперпростое (hypersimple) 288

— достижимое (accessible) 439

—измеримое (measurable) 442

—изоморфизмов мягкое (benign sef of isotnorphisms) 471

Множество инвариантное (inva~ riant) 427

—индуктивное (inductive) 453

—конечное (finite) 373

—конструктивное {con&tructible) 396

—креативное (creative) 284

— наследственно ординально определимое (hereditarilyordinal-

definable) 500

—одноэлементное (unit sef) 356

—ординально определимое (ordinal- definable) 500

—отделимое ^separated) 425

一 отделяющее {separating 210

—полное (complete) 287

—простое (simple) 284

— иустое (empty) 356

—регулярное (regular) 452

— реляционное (relational) 293

——гиперарифметическое (hyper- arithmeiical relational) 294

——рекурсивное (recursive relational) 294

—слов рекурсивное {recursive §еЕ of words) 463'

——рекурсивно перечислимое (recursively enumerable) 463

—степени (power se/) 355

—счетное (countable) 373

—транзитивное (transitive) 360

—чистое (pure) 349

—формул главное (principal set of formulas) 141

——инвариантное (invariant) 146

——регулярное (regular) 116

— — тавтологически непротиворечивое (tautologically consistent) 103

———полное {tautologically complete 104

———противоречивое (tautologically inconsistent) 103

— 尸-замкнутое {F-closed) 375

—Q-замкнутое (Q-closed) 295

Модель простая (prime model) 15

—регулярная (regular) 339

—стандартная (standard) 43, 307, 336

— теории {model of a theory) 43

—тотальная {total) 340

—транзитивная (transitive) 484

—элементарно простая (elementarily prime) 159

Мощность структуры (cardinal of a structure) 122

Мягкоеть (benign) 469, 471

Номер (number) 185

—выражения (expression number) 185

—последовательности (sequence number) 177

—символа (symbol number) 185

Обеднение {restriction) 71, 149

Область значений (range) 359

—изменения переменной (a variable varies through) 20

— определения (domain') 215, 216, 359

Обобщение (generalization) 36

Обогащение (expansion) 71

— несущественное (inessential) 212

—с помощью определений (expansion bg definitions) 202

Образ гомоморфный {homomorphic image) 147

Образующая generator} 142

Образующие группы (generators)

460

Объединение (union) 356

—теорий (of theories) 124

— цепн (of a chain) 119

Однородность (homogeneous) 500

Операция пренексная (prenex operation} 62

—эффективная (effective) 288

Определение истинности (truth definition} 208

—неявное (implicit) 237, 280

—обобщенное индуктивное (generalized inductive) 17

—разбором случаев (by cases) 173

—символа (of symbol) 19

—с помощью индукции (by induction) 367

—трансфинитной индукцией (by iransfinite induction) 356

— явное (explicit) 168

Оракул (oracle) 222

Ордннал (ordinal) 360

—бесконечный (infinite) 364

—дерева (of a tree) 270

—конечный (finite) 364

—миннмальный {minimal) 361

—первый (first) 362

—предельный (limit) 364

—— рекурсивный (recursive) 272

— рода Д1 (Д| ordinal) 457

Отношение (retatlon) 233

— аналитическое {analytical) 258

—арифметическое (arithtneiical) 239

—борелевское (Ror〃) 267

—всюду определенное {total} 223

—вычислимое (calculable) 224

——гипер арифметическое (hyperarith- meticaR 263

——в (E) 266, 267

——отделяющее (separating) 275

— перечисляющее (enumerating) 236

—позитивно вычислимое (positively calculable) 224

—проективное {projective) 261

—рекурсивное (recursive) 225

一 一частичное (recursive partial)

——в (in) 245

—рекурсивно перечислимое (recursively enumerable) 225

———в (fn) 244

— рода 239, 259, 261

—функционально арифметическое (functionally arithmetical relation} 250

————перечисляющее (enumerating) 251

— — рекурсивное (recursive) 250

——■ - в (£九)245

——рекурсивно перечислимое (recursively enumerable) 250

Отношение частичное (partial) 223

—FIJ-равномерное (П[ uniformly) 296

Отношения непересекающиеся (disjoint relations) 274

Отображение (mapping) 24

— биективное {bijective} 111

— взаимно однозначное 111

— всюду определенное (total) 215

— вычислимое (calculable) 165, 205, 215

— инъективное {injective) 111

— монотонное (monoton) 271

—на (ол/о) 111

— сюръективное (surjective) 111

—точное (nice) 475

—частичное (partial) 215

— 1 — 1 (one — one) 111

Отрицание (negation) 36

Оценка истинностная (truth valuation^ 47

Пара неупорядоченная (unordered pair) 356

—упорядоченная (ordered) 357

Парадокс Рассела (Russel paradox) 348

Параметр (parameter) 354

Перевод (translation) 93

Переменная (variable) 20, 28, 31, 318

—индивидная (individual) 28

— свободная (free) 34

—связанная (bound) 34

—синтакснческая (syntactical) 21

—функциональная (function) 223 ~

—числовая (number) 223

Пересечение (intersection) 356

Перестановка (permutation) 427

Подгруппа единичная (zero subgroup) 459

—инвариантная (itwarlani) 467

—мягкая {benign) 469

— объединенная {amalgam) 461

Подкласс вполне рекурсивно перечислимый {completely recursively enumerable subclass) 283

——рекурсивный (completely recursive) 288

—тотально рекурсивно перечислимый {totally recursively enumerable) 289

——рекурсивный (totally recursive) 289

Подмножество всюду определенное [total subset) 216

— вычислимое (calculable) 216

—генерическое (generic} 409, 487

一 инвариантное (invariant) 475

—мягкое (benign) 472

—плотное (dense) 487

—свободное (free) 460

—частичное (partial) 216

—С-геиерическое (C-generic) 487

—С-плотное (C-dense) 487

Подмодель (submodel) 113

Подструктура (substructure) 113

—порожденная множеством (generated by set) 145

—элементарная (elementary) 115

Подтверждекне {instantiation) 36

Поле алгебраически замкнутое {algebraically closed field) 134 — вещественно замкнутое (real closed 136

Понятие вынуждения (notion of a forcing) 487

——m -замкнутое (тп-closed notion of a forcing1) 506

—логическое (NogicaZ concept) 23

—нелогическое (nonlogical concept) 23

—основное (basic concept) 12

— производное {derived concept} 12

Порядок алфавитный (alphabetical order) 31

—— множества {order of q sef) 396

Последователь (successor) 17, 363

Последовательность классов (sequence of classes') 514

— специальная (special) 80

—убывающая (descending) 268, 293

Посылка правила (hypothesis of the rule) 16

Правило ассоциативности (associative rule) 41

——вывода (rule of the inference) 16

— — конечное (finite rule) 18

—дистрибутивности (distribution) 55

一 индукции (induction) 316, 336

—логическое (logical) 40

—— нелогическое (nonlogical) 40

—обобщения (generalization^ 54

—отделения (detachment} 49

—подстановки (substitution) 54

—расширения (expansion) 41

—сечения (cut) 41

— —слабое (weak cut) 105

—сокращения (contraciion) 41

— V-введения (\f-introduction) 54, 316

—з-введекия (з-introduction) 41

Праэлемент (urelement) 348

Предикат (predicate) 24

——бинарный (binary} 24

— всюду определенный (total) 217

—дизъюнктивно определенный (dts- iunctively definable) 152

—индивидный (indlulduai) 25

—определимый {definable) 203

—позитивно вычнслимый (positively calculable) 184

—— представимый {representable) 191

—примитивно рекурсивный {primitive recursive) 206

—равенства (equality) 25

一 рекурсивно перечислимый (recursively enumerable) 184

—рекурсивный (recursive) 168

——в (in) 244

——частичный (recursive partial) 220

—слабо представимый (weakly representable) 208

—унарный (unary) 24

—частичный (partial) 217

Предикаты эквивалентные (equivalent predicates) 252

—Н'Эквивалеитные (Н-equivalent) 294

Предложение ^-инвариантное (贫， invariant sentence) 500

Предположение и иду ктнвиое (indue- lion hypothesis) 17, 18f 362

Препятствует (prevents) 411

Принцип конфинальности (principle of cofinality) 350

—наименьшего чнела (least number} 302

—отделимости {separation principle} 297

—полной индукции (principle of complete induction) 301

—редукции (reduction principle) 297

—траисфннитной индукции (principle of transfinite induction) 362

Приставка (prefix) 62

—нормализованная (normalized) 259

Проблема Гильберта (Hilbert's problem) 163

—разрешимости (decision) 162, 163

—тождества слов (word) 463

———неразрешимая (unsolvable)

464、

一 一 —разрешимая (solvable) 464

—— характернзацни (characterization) 67

Программа Г ильберта (Hilbert's program) 14

Произведение декартово (Carte&ian product) 357

—свободное групп (free product of groups) 462

———一с объединенной группой (with fhe atnalgamaiion} 461

—прямое {direct producf) 147

Равенство определяющее (defining equation} 318

Разность множеств (sef difference)

356

Ранг (rank} 80

—множества (of a s") 438, 483

Расширение конечное (finite extension) 201

—консервативное (conservative) 68

—номера (of a number) 268

—простое (simple) 77

— рекурсивное (recursive) 303.,

— с помощью определений {by definitions) 97

—структуры (of a structure} 113

—теории (of a theory) 68

—условия (of a condition} 408, 487

—элементарное (elementary) 115

— языка (о/ a language} 68

Рекурсивность {recursive) 220

Род 261

Сандвкч (sandwich) 150

Свертка {contraciion} 178, 246

Свертывание кванторов (contraction

of quantifiers) 227

Селектор {selector) 284

Семантический (semantical) 14

Сечение (section} 506

Символ (symbol) 15

—абсолютный (absolute) 387, 485

Символ доминирует (dominaies) 345」

— логический (logical) 31

—нелогический (nontoglcal) 31

—определяемый (defined) 19

——в терминах (definable in terms of) 126

—ординальный функциональный (ordinal function) 363

—полный (complete) 388

—предикатный (predicate} 31

—равенства (equality) 31

—типовой (type) 317

— функциональный (functioni 31

——М -инвариантный (М-invariant) 383

Синтаксический (syntactical) 14

Система аксноматическая (axiom system) 12

——классическая {classical} 12

——современная (modern) 12

—формальная (formal) 14

Скачок (jump} 254

Следствие (consequence) 40, 460

—логическое (logical) 40

—тавтологическое (tautological) 47

Слово 他0也)459

—позитивное (positive) 477

Случай частный (instance) 38, 54

——численный (numerical') 309

Сокращение {reduction) 459

Соотношение (relation) 460

— истинное (hold) 460

—определяющее (defining) 460

Сочетание скобок правое (association to the right) 36

Спутник отображения (associate of a mapping) 475

Степень (degree) 252

—рекурсивной неразрешимости (of recursive unsolvability) 252

—рекурсивно перечислимая (recursively enumerable) 253

■— ~ — в (「九)253

—слабая (weak power) 484, 499

Структура (structure) 37

— каноннческая (canonical) 72

—конечно порожденная (finitely generates) 145

—насыщенная (saturated) 157

—неразрешимая (undecidable) 209

——однородная {homogeneous} 157

—определимая (definable) 204

—слабонасыщенная(weakly

saturated) 157

—строгонеразрешимая(strongly

undecidable} 202

—универсальная (universal) 157

Структуры изоморфные (isomorphic structures) 111

—элементарно эквивалентные (elementarily equivalent) 113

Тавтология {tautology} 47

Тезис Чёрча {Churcn thesis) 181

Теорема (theorem) 1 lt 16

— Арткна — Шрайера — {Artin —

Schreier iheorem} 155

— Банаха — Улама (Banach — Ulam

——theorem) 443

— Генкина — Ope (Henkin — Orey

Теорема iheorem) 341

—Гёделя (.theorem о/ Godel) 402

— Гильберта о корнях (Hilbert's

Nulhtellen&atz} 154

—главная (principal theorem) 489

—дедукции (deduction theorem) 56

—замыкания (closure iheorem) 56, 375

—нстнниости (validity iheorem) 44

— Кантора (Cantor's theorem) 376

—Кённга (&0Eg's theorem) 484

—Клини о базисе (Kleene basts theorem) 278

——компактности (compactness theorem) 108

—Крайзеля о базисе (Kretsel basis theorem) 280

— Лёве1Ггейма — Скулема (Lonyen- heim — Skolem iheorem) 123

—Линденбаума {Lindenbautn's theorem) 77

—Лося — Воота (£os — Vaught theorem) 139.

— Лося — Тарского(tos — T arski

theorem) 119

—Морли (theorem of Л1 orley) 141

—непротиворечивости (consistency theorem) 80

—Новикова 465

—о варианте (variant theorem) 59

——вполне упорядоченности (welb

——ordering theorem) 370

вхождения (occurence theorem) 33

——дереве (tree theorem) 268

——доказательствах непротиворечивости (theorem 。九 consistency

proofs) 314

——константах (theorem on constants) 57

——мощности (cardinality theorem) 123

—— 一 неполноте (incompleteness theorem) 199

— —— нормальной форме (normal form theorem) 235

——перечислении {enumeration theorem} 236

—— ——подста новке (substitution theorem) 232

———представимости (representabi- liiy theorem) 193

——произведенни (product fhec・ rem) 497

— 一 расширеиин модели (model ex- tension, theorem) 116

— — рекурсии (recursion theorem) 237

——совместной непротиворечивос

ти (切切? consis tency theorem} 124

—— 一 функциональном расширении (theorem on functional extension) 90 —об аналитической иерархии

{analiiical hierarchy heortem) 261

——аналитическом перечислении

ianalitical enumeration theorem) 261

——арифметической иерархия (arithmetical hlerarchi theorem) 243

Теорема об арифметическом перечислен нии {arithmetical enumeration theorem) 242

— — интерпретации {interpretation theorem) 100

——отрицании (negation theorem} 197, 244

——элиминации кванторов (quantifiers elimination, iheoremj 133

—огра и ичен но ст и (boundedness theorem) 274

—определимости (definability theorem) 127

—отделимости (separation theorem) 275

—подстановки (substitution theorem)

—полноты (completeness theorem) 70

— Поста (Posf's theorem) 249

——построения (formation theorem) 33

—равенства (equality theorem} 60

—редукции (reduction theorem] 68

————для непротиворечивости (reduction theorem for consistency} 70

— Россера (Rosser's theorem) 342

— Рылль-Нардзевского (Hyll-Nard- zie侬ski's theorem) 142

—симметрии (symmetry theorem) 60

—системы (theorem of the system) 18

—Скотта (Scoff's iheorem) 451

—Скулема (Skolem's iheorem) 92

一 существования (existence theorem) 487

— тавтологии (tautology theorem) 49

—уннформизации (uniformization theorem) 280

—Фридберга — Мучннка (Fridberg — Muchnik theorem) 254

—Ханфа — Тарского {Hanf — Tarski theorem) 450

— хара ктер нзацки(characierizatlo л

iheorem) 275

—Хигмена (HigmanTs theorem 465

— Чёрча (Church's iheorem) 197

— Чжана — Лося — Суш ко (Chang-

Los —Suszko theorem) 120

—Шрайера (Schreter's theorem) 461

—эквивалентности (equivalence theorem} 59

—Эрбрана (Herbrand theorem) 87

—Эренфойхта (Ehrenfeuchfs theorem)

Теории сиабо эквивалентные (weakly equivalent theories) 106

—совместимые (compatible) 209

— эквивалентные (equivalent) 68

Теория (theory) 42

——Генкина {Henkin theory) 73

—групп элементарная (elementary theory of grourps) 43

—,допускающая элиминацию кванторов (admits elimination of quan~ tifiers) 129

— интерпретируемая (interpretable) 103.

—категоричная (categorical) 140

— в мощности (categorical in power) 138

j in-категоричная (m-categorical) 138

formulas) 129Функции эквивалентные (equivalent functions) 252Функционал (functional) 223, 317—в М (in М) 485—всюду определенный (total) 223—вычислимый (calculable} 224—представляющий частичный (representing partial) 224—рекурсивного типа (type recursive} 328formulas) 129Функции эквивалентные (equivalent functions) 252Функционал (functional) 223, 317—в М (in М) 485—всюду определенный (total) 223—вычислимый (calculable} 224—представляющий частичный (representing partial) 224—рекурсивного типа (type recursive} 328——в (recursive in) 244Функция рекурсивная частичная(recursive partial) 220—сингулярная (singulary) 45—частичная (partial) 217Характер конечный (finite character) 76Цепь (chain) 119, 453—элементарная (elementary) 120Цифра (numeral) 191Часть теории (part of a theory) 108Число действительное рекурсивное (recursive real number) 206—натуральное (natural) 17, 359, 364Эквивалентность (equivaUnce) 36Элемент бесконечный {infinite element) 346 ,—— максимальный (maximal) 77, 272, 453—минимальный (minimal) 350——неединичиый (nonzero) 459—^-первый (y-firsi) 453Элиминация кванторов {eliminationof quantifiers) 130Язык (language) 14—вынуждения (forcing) 490— первого порядка (first-order) 31. 32——счетный {countable) 122——в (recursive in) 244Функция рекурсивная частичная(recursive partial) 220—сингулярная (singulary) 45—частичная (partial) 217Характер конечный (finite character) 76Цепь (chain) 119, 453—элементарная (elementary) 120Цифра (numeral) 191Часть теории (part of a theory) 108Число действительное рекурсивное (recursive real number) 206—натуральное (natural) 17, 359, 364Эквивалентность (equivaUnce) 36Элемент бесконечный {infinite element) 346 ,—— максимальный (maximal) 77, 272, 453—минимальный (minimal) 350——неединичиый (nonzero) 459—^-первый (y-firsi) 453Элиминация кванторов {eliminationof quantifiers) 130Язык (language) 14—вынуждения (forcing) 490— первого порядка (first-order) 31. 32——счетный {countable) 122

formulas) 129

Функции эквивалентные (equivalent functions) 252

Функционал (functional) 223, 317

—в М (in М) 485

—всюду определенный (total) 223

—вычислимый (calculable} 224

—представляющий частичный (representing partial) 224

—рекурсивного типа (type recursive} 328

formulas) 129

Функции эквивалентные (equivalent functions) 252

Функционал (functional) 223, 317

—в М (in М) 485

—всюду определенный (total) 223

—вычислимый (calculable} 224

—представляющий частичный (representing partial) 224

—рекурсивного типа (type recursive} 328

——в (recursive in) 244

Функция рекурсивная частичная

(recursive partial) 220

—сингулярная (singulary) 45

—частичная (partial) 217

Характер конечный (finite character) 76

Цепь (chain) 119, 453

—элементарная (elementary) 120

Цифра (numeral) 191

Часть теории (part of a theory) 108

Число действительное рекурсивное (recursive real number) 206

—натуральное (natural) 17, 359, 364

Эквивалентность (equivaUnce) 36

Элемент бесконечный {infinite element) 346 ,

—— максимальный (maximal) 77, 272, 453

—минимальный (minimal) 350

——неединичиый (nonzero) 459

—^-первый (y-firsi) 453

Элиминация кванторов {elimination

of quantifiers) 130

Язык (language) 14

—вынуждения (forcing) 490

— первого порядка (first-order) 31. 32

——счетный {countable) 122

——в (recursive in) 244

Функция рекурсивная частичная

(recursive partial) 220

—сингулярная (singulary) 45

—частичная (partial) 217

Характер конечный (finite character) 76

Цепь (chain) 119, 453

—элементарная (elementary) 120

Цифра (numeral) 191

Часть теории (part of a theory) 108

Число действительное рекурсивное (recursive real number) 206

—натуральное (natural) 17, 359, 364

Эквивалентность (equivaUnce) 36

Элемент бесконечный {infinite element) 346 ,

—— максимальный (maximal) 77, 272, 453

—минимальный (minimal) 350

——неединичиый (nonzero) 459

—^-первый (y-firsi) 453

Элиминация кванторов {elimination

of quantifiers) 130

Язык (language) 14

—вынуждения (forcing) 490

— первого порядка (first-order) 31. 32

——счетный {countable) 122

Теория конечно аксиоматизируемая (finitely axiomatized) 108

—множеств Цермело — Френкеля {Zermelo — Fraenkel set theory) 350 —модельно полная (modebcomplete) 153

—наследственно неразрешимая (hereditarily undecidable) 211

—непротиворечивая (consistent) 69

—неразрешимая (undecidable} 186

—открытая (open) 79

— первого порядка (first-order) 42

—— полей элементарная (elementary theory of fields) 109

—полная (complete) 74

—противоречивая {inconsistent) 69

—разрешимая {decidable) 186

—рекурсивно аксиоматизированная (axiomaiized) 189

——аксиоматизируемая (axioma- tizabie) 207

— структуры (of a structure) 128

—совместимая (compatible) 209

—строго неразрешимая (strongly undecidable^ 209

— существенно неразрешимая (es・ sentially undecidable) 209

— счетная {countable) 122

—■, удовлетворяющая подмодельному условию (satisfies submodel condition) 131

——условию изоморфизма {satisfies isomorpHistn conaition) 131

—упорядоченных полей элементарная (elementary theory of ordered 传 e/ds> 136

— численная (numerical theory) 208

Терм (term) 31, 318

—,допустимый для подстановки (sub- stitutible) 35

—представляет {represents) 191

—* сводимый {reducible) 332

Тип кванторов (type of quantifiers' 258

—尼-кн (fype of a n~tuple} 139

Указатель (designator) 32

У л ьтр а п роиз веден ие {ultraproduct') 160

Ультрастепень {ulirapower) 160

Ультрафильтр {ultrafilter) 159

Универсум (universe) 24, 37, 98

— интерпретации (of an interpretation) 98

Уровень специальной константы (level of a special constant) 75

Условие (condition) 408, 487

—единственности (uniqueness condi- .iion) 95

—изоморфизма (isomorphism) 131

—корректное (correct) 408

f подмодельиое (submodel) 131

—существования (existence) 95, 303, 354, 359

—ТП -цепи (n -chain) 504

Условия совместные (compatible conditions) 504

Форма дизъюнктивная (disjunctive form) 65

— конъюнктивная (conjunctive) 65

—пренексная (prenex form} 62, 64

——скулемовская (Skolem form) 107

Формула (formula) 15, 32. 319

—атомная (atomic) 32, 319'

—верная (valid) 323

——выполнимая (satisfiable) 107

—замкнутая (closed) 38'

—нстниная (true) 38, 43, 307, 319

—логически истинная (logically "% valid) 40

— Маккннси (McKinsey) 147二

—негативная (negative) 146

丁 неразрешимая (undecidable) 74

—обобщенная {generalized) 321

—определяемая (defined) 19/

—открытая (open) 62

—,относящаяся к специальной коне- ：； танте (belong to special constant) 79 g —позитивная (pos"询e) 146:餐

—представляет (represents} 191

—простая экзистенциальная {simply existential) 130工

—разрешимая (decidable) 74

—свертывания {coniraction)178、亚

—секущая {cut) 105飞

——слабо представляет (weakly represents) 208

— универсальная (universal) 91

—Хорна (Horn) 147

—экзистенциальная (existential) 85

— элементарная (elementary) 47

Формулы эквивалентные (equivalent

—рекурсивный частичный (recursive partial) 225

— — в (recursive In) 224

—типа г (of type г, 317

—функционально рекурсивный (fun- cilonally recursive) 250

—частичный (partial) 223

Функция (funciion) 24, 359]

—всюду определенная (total) 217

— выбора (choice) 369

—гиперарифметнческая (hyperarith- metical) 276

—t имеющая свойство (having property) 168

—индивидная (individual) 25

—инъективная {injective) 359

—нстинностн (truth) 26

—креативная (creating] 284

—определимая (definable) 44, 203

—,перечисляющая множество (enumerates a set) 207

一 представимая (representable) 191

—представляющая (representing) 166

——частичная {representing partial}, 218:

—примитивно рекурсивная ("，• < mi〃”e recursive) 206

— рекурсивная (recurs(vt) 167

/7-индекс (HYndex) 263

—по (H-index from) 266

J-вынуждение (J-forcing) 428

左-перестановка (k-permutafion) 427

Л4-множество (M-se£) 382

и-ка (n-tuple) 24

п-сандвич (n-sandwich) 150

几-тнп (n-type) 140

R-снмвол (R・symBo/) 343

R-формула (R-formula) 307

R氏индекс (RE-index) 236, 251

—no (RE-tndex from) 250

и-изоморфизм (и-isomorphism) 126

^-последовательность (у-sequence) 453

m-теория (m-theory) 122

ni-язык (nilanguage) 122

Г-диаграмма (Г-diagram) 116

Г-морфизм (Г-morphism) 145

Г-подструктура (^-substructure) 115

Г-расширение (Г-extension) 115

б-идеал (б-ideal) 458

口-оператор ^-operator) 167

—— неограниченный (unbounded) 171

— ограниченный (bounded) 171

(p-элемент {^-element) 467

о)-модель (a*model) 340

е-интерпретация (^-interpretation) 382

—транзитнвиая (transitive} 382

口-i-правнло (ПП-^и^) 105

lV-правило nV-ruZe) 105

"13'правило(Уз-rule) 105,；

V-правило [У-rule} 109

3-правило (^-rule) 105

Джозеф Шенфилд

математическая логика

(Серия: «Математическая логика н основания математики»)

М., 1975 г., 528 стр.

Редактор В. В. Донченко Техн, редактор С. Я. Шкляр Корректор Е. Я. Строева

Сдано в набор 27/ХП 1974 г. Подписано к печати 31/V1I 1975 г. Бумага 84хЮ81/зг- Физ. печ. л. 16,5. Условк. печ. л. 27,72. Уч.-изд. л. 27,48. Тираж 25 000 экз. Цена книги 2 р. 16 к. Заказ № 1815

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москаа, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно - техническое объединение «Печатный Двор» нмеии А. М. Горького Союз- полиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.