Д.П. Желобен

Представление редуктивных алгебр Ли

Д.П. Желобенко

Представление редуктивных алгебр Ли

Содержит развернутое введение в современную теорию представлений редуктивных алгебр Ли. В основу изложения положены новые конструктивные методы, основанные на изучении некоторых (нестандартных) обертывающих алгебр над алгебрами Ли. Основное внимание уделяется конечномерным алгебрам Ли над полем комплексных чисел.

Для научных работников, аспирантов и студентов, интересующихся теорией представлений алгебр Ли и ее приложениями в математической физике.

Редуктивные алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли, теорию симметрических пространств, теорию специальных функций, некоммутативный гармонический анализ, квантовую механику и квантовую теорию поля.

В 20-х годах Э. Картаном были обнаружены замечательные геометрические объекты — конечные корневые системы, в терминах которых описывается структура конечномерных полупростых алгебр Ли над полем комплексных чисел. В свою очередь, структура корневых систем определяется некоторым набором инвариантов (матрицы Картана, схемы Дынкина и т. д.), геометрия этих систем определяется некоторыми конечными группами, порожденными отражениями — так называемыми группами Вейля.

Существуют различные обобщения конечных корневых систем, с помощью которых удается конструировать некоторые классы редуктивных (или псевдоредуктив-ных) бесконечномерных алгебр Ли, а также их модификаций, к которым относятся супералгебры Ли и квантовые оболочки редуктивных алгебр Ли. Среди бесконечномерных алгебр Ли такого рода особенно известны алгебры Каца—Муди. Для этого класса алгебр Ли существует содержательная теория, включающая ряд приложений, в том числе к конструктивной квантовой теории поля.

Идея редуктивности относится к числу фундаментальных алгебраических концепций и сводится в некотором смысле к избавлению от радикала. Редуктивные алгебры Ли суть тривиальные центральные расширения полупростых алгебр Ли. Тем самым теория редуктивных алгебр Ли сводится к изучению простых или полупростых алгебр Ли.

Теория представлений алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представлений групп Ли (в топологических векторных пространствах). Интересно, что в этой последней теории, представляющей собой сложный синтез алгебраических, аналитических и топологических методов, постепенно проявился процесс алгебраизации, в результате которого выяснилось, что многие задачи теории представлений групп Ли допускают полное сведение к чисто алгебраическим задачам в рамках теории представлений алгебр Ли.

Например, классификация вполне неприводимых представлений вещественных связных редуктивных групп Ли сводится к классификации простых модулей Хариш-Чандры над соответствующими редуктивными алгебрами Ли. Последняя задача тесно связана с исследованием экстремальных g-модулей (или модулей со старшим весом) над комплексными редуктивными алгебрами Ли.

Интересно отметить, что конструкция представлений «основной серии» Гельфанда, Наймарка и Хариш-Чандры, сыгравшая фундаментальную роль в

теории представлений редуктивных групп Ли, основана на некоторой двойственности с экстремальными g-модулями, определенными в 'классе обобщенных функций. В дальнейшем эта идея также была алгебраизована и нашла свое выражение в теоремах двойственности между модулями Хариш- Чандры и экстремальными g-модулями.

Проблема классификации неприводимых представлений вещественных редуктивных групп Ли была решена к концу семидесятых годов в результате исследований ряда математиков, от Ленглендса до Вогана. Комплексный случай был рассмотрен ранее в работах Наймарка и автора. Несмотря на то что есть прекрасная монография Вогана [6], посвященная этому вопросу, плюс известная литература учебного и справочного характера

[8, 9, 10, 14, 22], изложение этого материала, связанное с нетривиальным техническим аппаратом, доступно в настоящее время лишь узкому кругу специалистов.

Написание этой книги в значительной мере было стимулировано желанием дать простой алгебраический подход к классификации Ленглендса—Вогана. Для этой цели были использованы новые конструктивные методы теории представлений редуктивных алгебр Ли, основанные на рассмотрении некоторых обертывающих алгебр и ассоциированных с ними трансляторных алгебр — так называемых алгебр Микельсона. При этом было получено развитие структурной теории алгебр Микельсона посредством некоторых дуальных (проекционных и резольвентных) методов.

Следует отметить, что проекционные методы полностью исключаются в стандартной теории представлений алгебр Ли, основанной на рассмотрении универсальных обертывающих алгебр. Действительно, универсальные обертывающие алгебры не имеют делителей нуля, но потому и не имеют проекционных элементов, за исключением 0 и 1. В то же время обертывающие алгебры, определяемые в данной книге (и состоящие из некоторых формальных рядов над редуктивными алгебрами Ли), содержат счетные разложения единицы, состоящие из проекционных элементов.

Среди таких элементов особую роль играют так называемые экстремальные проекторы, сводящиеся к проектированию на «экстремальные подпространства» в некотором классе «регулярных» g-модулей.

По мнению автора, систематическое использование этих методов позволило бы с единой точки зрения осветить традиционные вопросы теории представлений редуктивных алгебр Ли, включая их супераналоги и квантовые деформации. Существенно также, что алгебры Микельсона имеют широкий спектр приложений — от задач редукции (с алгебры на подалгебру) до классификации модулей Хариш-Чандры.

Реально в данной книге осуществляется лишь часть намеченной программы, что сводится к изложению указанных выше методов в классическом случае конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем комплексных чисел. Для иллюстрации этих методов рассматривается ряд приложений, в том числе к задачам редукции и к описанию особых векторов модулей Верма. Дается

классификация алгебраических дискретных серий, что составляет существенную часть общей классификации Ленглендса—Вогана.

Желая сделать изложение по возможности замкнутым, мы начинаем с элементарного введения (глава 0), обзора структурной теории (глава 1), изложения общей теории экстремальных g-модулей (глава 2). Эти три главы составляют, по существу, развернутое введение в данную книгу.

Основной материал излагается в главах 3, 4, 5 (обертывающие алгебры, экстремальные проекторы, алгебры Микельсона). Глава 6 сводится, главным образом, к описанию дискретных серий. В главе 7 рассматриваются отдельные приложения и обобщения (на некоторые супералгебры Ли).

В главе 8 основные результаты теории экстремальных g-модулей обобщаются на симметризуемые алгебры Шевалле. В главах 9, 10 рассматриваются квантовые аналоги обертывающих алгебр над алгебрами Каца— Муди.

В книге принята стандартная система нумерации разделов. Например, нумерация 2.3.6 означает «глава 2, § 3, пункт 6». Ссылка 2.3.6 (9) означает «формула (9) в 2.3.6» и т. д.

Библиография, собранная в книге, далека от претензий на полноту. Во всяком случае, здесь лишь в малой мере представлена обширная литература по «фольклору» теории представлений в рамках математической физики.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Редуктивные алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли, теорию симметрических пространств, теорию специальных функций, некоммутативный гармонический анализ, квантовую механику и квантовую теорию поля.

В 20-х годах Э. Картаном были обнаружены замечательные геометрические объекты — конечные корневые системы, в терминах которых описывается структура конечномерных полупростых алгебр Ли над полем комплексных чисел. В свою очередь, структура корневых систем определяется некоторым набором инвариантов (матрицы Картана, схемы Дынкина и т. д.), геометрия этих систем определяется некоторыми конечными группами, порожденными отражениями — так называемыми группами Вейля.

Существуют различные обобщения конечных корневых систем, с помощью которых удается конструировать некоторые классы редуктивных (или псевдоредуктив- ных) бесконечномерных алгебр Ли, а также их модификаций, к которым относятся супералгебры Ли и квантовые оболочки редуктивных алгебр Ли. Среди бесконечномерных алгебр Ли такого рода особенно известны алгебры Каца—Муди. Для этого класса алгебр Ли существует содержательная теория, включающая ряд приложений, в том числе к конструктивной квантовой теории поля.

Идея редуктивности относится к числу фундаментальных алгебраических концепций и сводится в неко-

тором смысле к избавлению от радикала. Редуктивные алгебры Ли суть тривиальные центральные расширения полупростых алгебр Ли. Тем самым теория редуктивных алгебр Ли сводится к изучению простых или полупростых алгебр Ли.

Теория представлений алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представлений групп Ли (в топологических векторных пространствах). Интересно, что в этой последней теории, представляющей собой сложный синтез алгебраических, аналитических и топологических методов, постепенно проявился процесс алгебраизации, в результате которого выяснилось, что многие задачи теории представлений групп Ли допускают полное сведение к чисто алгебраическим задачам в рамках теории представлений алгебр Ли.

Например, классификация вполне неприводимых представлений вещественных связных редуктивных групп Ли сводится к классификации простых модулей Хариш-Чандры над соответствующими редуктивными алгебрами Ли. Последняя задача тесно связана с исследованием экстремальных g-модулей (или модулей со старшим весом) над комплексными редуктивными алгебрами Ли.

Интересно отметить, что конструкция представлений «основной серии» Гельфанда, Наймарка и Хариш- Чандры, сыгравшая фундаментальную роль в теории представлений редуктивных групп Ли, основана на некоторой двойственности с экстремальными g-модулями, определенными в классе обобщенных функций. В дальнейшем эта идея также была алгебраизована и нашла свое выражение в теоремах двойственности между модулями Хариш-Чандры и экстремальными g-модулями.

Проблема классификации неприводимых представлений вещественных редуктивных групп Ли была решена к концу семидесятых годов в результате исследований ряда математиков, от Ленглендса до Вогана. Комплексный случай был рассмотрен ранее в работах Наймарка и автора. Несмотря на то что есть прекрасная монография Вогана [6], посвященная этому вопросу, плюс известная литература учебного и справочного характера

[8, 9, 10, 14, 22], изложение этого материала, связанное с нетривиальным техническим аппаратом, доступно в настоящее время лишь узкому кругу специалистов.

Написание этой книги в значительной мере было стимулировано желанием дать простой алгебраический подход к классификации Ленглендса—Вогана. Для этой цели были использованы новые конструктивные методы теории представлений редуктивных алгебр Ли, основанные на рассмотрении некоторых обертывающих алгебр и ассоциированных с ними трансляторных алгебр — так называемых алгебр Микельсона. При этом было получено развитие структурной теории алгебр Микельсона посредством некоторых дуальных (проекционных и резольвентных) методов.

Следует отметить, что проекционные методы полностью исключаются в стандартной теории представлений алгебр Ли, основанной на рассмотрении универсальных обертывающих алгебр. Действительно, универо- сальные обертывающие алгебры не имеют делителей нуля, но потому и не имеют проекционных элементов, за исключением 0 и 1. В то же время обертывающие алгебры, определяемые в данной книге (и состоящие из некоторых формальных рядов над редуктивными алгебрами Ли), содержат счетные разложения единицы, состоящие из проекционных элементов.

Среди таких элементов особую роль играют так называемые экстремальные проекторы, сводящиеся к проектированию на «экстремальные подпространства» в некотором классе «регулярных» д-модулей.

По мнению автора, систематическое использование этих методов позволило бы с единой точки зрения осветить традиционные вопросы теории представлений редуктивных алгебр Ли, включая их супераналоги и квантовые деформации. Существенно также, что алгебры Микельсона имеют широкий спектр приложении — от задач редукции (с алгебры на подалгебру) до классификации модулей Хариш-Чандры.

Реально в данной книге осуществляется лишь часть намеченной программы,, что сводится к изложению указанных выше методов в классическом случае конечно мерных редуктивных алгебр Ли над полем комплексных чисел. Для иллюстрации этих методов рассматривается ряд приложений, в том числе к задачам редукции и к описанию особых векторов модулей Верма. Дается

классификация алгебраических дискретных серий, что составляет существенную часть общей классификации Ленглендса—Вогана.

Желая сделать изложение по возможности замкнутым, мы начинаем с элементарного введения (глава 0), обзора структурной теории (глава 1), изложения общей теории экстремальных g-модулей (глава 2). Эти три главы составляют, по существу, развернутое введение в данную книгу.

Основной материал излагается в главах 3, 4, 5 (обертывающие алгебры, экстремальные проекторы, алгебры Микельсона). Глава 6 сводится, главным образом, к описанию дискретных серий. В главе 7 рассматриваются отдельные приложения и обобщения (на некоторые супералгебры Ли).

В главе 8 основные результаты теории экстремальных д-модулей обобщаются на симметризуемые алгебры Шевалле. В главах 9, 10 рассматриваются квантовые аналоги обертывающих алгебр над алгебрами Каца— Муди.

В книге принята стандартная система нумерации разделов. Например, нумерация 2.3.6 означает «глава 2, § 3, пункт 6». Ссылка 2.3.6 (9) означает «формула (9) в 2.3.6» и т. д.

Библиография, собранная в книге, далека от претензий на полноту. Во всяком случае, здесь лишь в малой мере представлена обширная литература по «фольклору» теории представлений в рамках математической физики.

Автор пользуется случаем поблагодарить А. А. Кириллова, Б. Л. Фейгина, А. В. Луцюка, В. Н. Толстого за полезные советы при работе над материалом данной книги,

ГЛАВА О

ВВЕДЕНИЕ

Содержание этой главы — общие сведения об алгебрах Ли и родственных объектах (ассоциативные алгебры, группы Ли). Читатель, знакомый с этими понятиями, может начать чтение с гл. 1.

Известно, что группы возникают обычно как группы автоморфизмов алгебраических структур. Подобно этому, понятие алгебры Ли ассоциируется с «дифференцированиями» или «локальными автоморфизмами» некоторых (алгебраических или аналитических) структур.

Несколько более подробно мы рассматриваем в этой главе понятие алгебры симметрии (трансляторной алгебры) системы линейных уравнений. Для иллюстрации этого материала в главу включен краткий очерк теории гармонических полиномов от п переменных.

§ 1. Алгебры Ли '

0.1.1. Напомним, что алгебра А над полем F— это векторное пространство над F, наделенное билинейной операцией АхАЭ(х, у) >-> хубА, называемой умножением.■

Алгебра А называется ассоциативной, если (xy)z= = x(yz) для всех х, у, гбА.

Алгебра А называется коммутативной, если ху=ух для всех х, у^А.-

Примеры. 1. A = EndV— алгебра всех эндоморфизмов (линейных преобразований) векторного пространства V. 2. A=Mat„F — алгебра всех пХп-матриц над полем F. (Обе эти алгебры ассоциативны.)

0.1.2. Алгебра А называется алгеброй Ли, если х2=0, x(yz)+y(zx)+z(xy)=0 для всех х, у, z^A, ’

Пример. Всякая ассоциативная алгебра Л есть алгебра Ли относительно нового умножения

[х, у]=ху—ух.(1)

По аналогии с этим примером умножение в произвольной алгебре Ли принято обозначать символом [х, у]. Аксиомы алгебры Ли принимают вид:

[х, х]=0,

[х, [у, г]] + [у, [г, х]] + [г, '-[х, у]] = 0

для всех х, у, гбЛ.

Элемент [х, у] называется коммутатором элементов х, уёЛ.

Применяя (а) к элементам х, у, х+у, находим [х, у] = —[у, х] для всех х, у^А. Другими словами, умножение в алгебре Ли антикоммутативно.

Отсюда следует, что алгебра Ли g коммутативна лишь в том случае, когда 2[х, у] = 0 ([х, у]=0 при char F =/=2) для всех х, убЛ.

Тождество (Ь) называется тождеством Якоби.

Примеры. 1. Алгебра Ли End V с коммутатором (1) обозначается дЦУ) (полная линейная алгебра Ли в пространстве V). 2. Алгебра Ли MatnF с коммутатором (1) обозначается gl(n, F) или, кратко, gl(n).

Замечание. Традиция обозначения алгебр Ли малыми готическими буквами заимствована из теории групп Ли (см. 0.1.4).

0.1.3. Дифференцирования. Пусть Л — произвольная алгебра. Линейное преобразование deEndA называется дифференцированием, если

d(xy)=dx-y-f-x-dy(2)

для всех х, у6А.

Множество Ь(Л) всех дифференцирований алгебры А есть алгебра Ли (подалгебра gl(A)).

В частности, пусть А — ассоциативная алгебра или алгебра Ли. Тогда для каждого абА линейное преобразование

' ах=[а, х](3)

есть дифференцирование алгебры А. Такие дифференцирования называются внутренними дифференцированиями алгебры А. ..

0.1.4. Связь с группами Ли. Пусть F = R или С (поле вещественных или поле комплексных чисел). Группа G называется группой Ли (над F), если G наделена структурой аналитического многообразия (над F), относительно которой групповые операции аналитичны.

Под групповыми операциями понимаются умножение ху и инверсия х-1 в группе G. Обе эти операции включаются в функцию Цх, у)=ху~1. Таким образом, функция /: GXG^G аналитична.

Пусть G— группа Ли, и пусть g = LieG— касательное пространство к многообразию G в единичной точке 16G. Векторное пространство g снабжается структурой алгебры Ли (над F) и каноническим отображением exp: g^-G со следующими свойствами:

отображение ехр определяет аналитический гомеоморфизм некоторой окрестности нуля 06g на окрестность единичной точки 16G;

для каждого хбд имеет место равенство х = = dfdt (ехр/х)/=0 (т. е. х есть касательный вектор к однопараметрической подгруппе exp tx ^F^y,

для элементов достаточно малой окрестности точки 16G умножение определяется равенством exp х-ехр у=ехр z, где

z = x + y + -^-[x, у] + о(х, у).(4)

Здесь [х, у] — коммутатор элементов х, убд. Символ о(х,у) означает бесконечно малый вектор в д, стремящийся к нулю быстрее ||х||-||у|| (||х||— евклидова норма элемента хбд).

Алгебра д называется алгеброй Ли группы G.

В действительности правая часть (4) может быть записана в виде явного ряда (ряд Кемпбелла — Хаусдорфа) по кратным коммутаторам [... [хь Хг],..., хп], где х( = х, у 0=1иУ

Определение алгебры g = LieG переносится также на поле р-адических чисел F=QP-

Пример. Пусть G = GL(n, F) — группа всех невырожденных пхп-матриц над полем F. В. этом случае g = gl(n, F) (см. 0.1.2), и отображение ехр совпад*ает с обычной матричной экспонентой.

Более детальное изложение этих вопросов можно найти, например, в [3, 21, 23].

0.1.5. Идеалы, ф а к т о р а л геб р ы. Пусть вначале Л — ассоциативная алгебра.

Подпространство 1с:А называется левым (соответственно правым) идеалом алгебры А, если ахб/ (соответственно хаб/) для всех абА, хб/. Если оба эти условия выполняются одновременно, то / называется двусторонним идеалом или просто идеалом алгебры А.

Для каждого идеала /сЛ факторпространство А// естественно снабжается структурой алгебры: умножение классов х=х+/, у=у-\-1 определяется по правилу ху—хуА-1.

Определенная таким образом алгебра Л// называется факторалгеброй алгебры А по идеалу I.

Аналогично определяются идеалы и факторалгебры для алгебр Ли. В этом случае, ввиду антикоммутативности умножения, нет различия между левыми и правыми идеалами, т. е. каждый идеал — двусторонний.

Примеры. 1. Пусть А — ассоциативная алгебра. Для каждого подмножества есЛ множество /е = Л-е (линейная оболочка всех ах, где абА, хбе) есть левый идеал алгебры А. 2. Аналогично, множество J„ = e-A есть правый идеал алгебры А.

0.1.6. Центр. Элемент z^A называется центральным, если z=0, т. е. [z, х] = 0 для всех хбА. Множество всех центральных элементов есть подалгебра алгебры А, называемая центром алгебры А.

Аналогично определяется центр g(g) алгебры Ли д. В этом случае, как следует из тождества Якоби, а(д) есть идеал алгебры д.

Пример. Центр алгебры gl(n, F) есть Fe, где е — единичная пХп-матрица.

0.1.7. Прямое произведение. Пусть Ль Л2 — две алгебры над полем F. Прямая сумма Л]ФЛ2, снабженная покомпонентным умножением (т. е. (хь у0 (х2, у2) = (Х]Х2, У1У2)), называется прямым произведением алгебр Ль Л2 и обозначается Л]ХЛ2.

Аналогично определяется прямое произведение Л1Х ... ХАп (а также прямое произведение произвольного семейства алгебр).

Подалгебра Л, (естественно вложенная в Л]Х... ...ХАп) есть идеал в А\Х.-.ХАп. Таким образом, Л1Х...ХЛ„ есть прямая сумма идеалов Л( (1=1,... , .,п).

0.1.8. Системы образующих. Для каждого подмножества есА пусть А(е)— наименьшая подалгебра алгебры А, содержащая е. Очевидно, А(е) есть линейная оболочка всевозможных слов ait ... atk прй e={ai)ieJ. Множество е называется системой образующих алгебры, А(е). '

В частности, множество ес:А называется системой образующих алгебры А, если А=А(е). В этом случае также говорят, что множество е порождает алгебру А.

Алгебра А называется конечно порожденной, если она обладает конечным числом образующих. '

Примеры. 1. Для каждого множества е пусть 91(e) —векторное пространство над F с базисом из формальных слов at, ...й к, где а^е. Пространство 9(e), снабженное естественным умножением (определенным для каждой пары слов), называется свободной алгеброй над F с системой образующих е. 2. Для каждого подмножества бс:91(е) пусть /(6) —наименьший идеал, содержащий 6. Факторалгебра А(е, 6) =91 (е)//(6) называется алгеброй, порожденной множеством е и системой соотношений 6.

0.1.9. Категории. Ассоциативные алгебры (соответственно алгебры Ли) над полем F образуют категорию ^(F) (соответственно $ (F)).

Морфизмы этих категорий суть алгебраические гомоморфизмы, т. е. отображения <р: А-*В алгебры А в алгебру В, со следующими свойствами:

(а) ф(Ах + цу) = ;1(р(л:) + цф(у),

(Р) Ч^У^Ч^Ч^У)

для всех х, убА и всех X, цбР.

Алгебры А, В называются изоморфными, если существует изоморфизм (т. е. биективный морфизм) между А и В.

Изоморфизмы алгебры А на себя называются ее автоморфизмами. Множество AutA всех автоморфизмов алгебры А есть группа (группа автоморфизмов алгебры A). s

Изоморфизм двух объектов А, В (той или иной категории) мы будем обозначать вимволом А «В.

. Пример, gl(Fn) «gl(n, F). . .

0.1.10. Инволюции. Среди других преобразований ф: А-*В отметим антигомоморфизмы (условие ((1) заменяется условием (у): ф(ху) =ф(</)ф(х)).

Преобразование ф: А-+А называется инволютивным, если ф2=1. Каждый инволютивный антиавтоморфизм <р: А-*-А называется инволюцией алгебры А. .

Пример. Пусть g—алгебра Ли. Преобразование х = —х (хбд) есть (каноническая) инволюция алгебры fl. .

Иногда, над полем С, рассматриваются также анти- линейные преобразования (числа X, ц в правой части £а)_ заменяются комплексно сопряженными числами к ц).

Аналитические инволюции называются также эрмитовыми (пример: эрмитово сопряжение в MatnC).

0.1.11. Алгебраические группы. Пусть F= = R или С. Подгруппа GcGL(n) называется алгебраической, если она выделяется (как алгебраическое многообразие) системой 6(G) алгебраических уравнений в Matn F.

Всякая алгебраическая группа есть группа Ли. В качестве примера отметим следующие классические группы. (Соответствующая алгебра Ли обозначается малыми готическими буквами.)

Группа G

0(g)

8=UeG

0(0)

Унимодулярная группа

detg=l'

9l(n)

trx=O

SL(n)

Ортогональная группа О (л )

g'sg=s

o(n)

x's+s*=0

Симплектическая группа Sp(n),

g'og = o

9y(n)

х'о+дх=0

Унитарная группа U(n)

g*g=e

U(«)

x*4-x=0

Здесь GcGL(n), g^G— произвольный элемент, 6(fl)—система линейных уравнений, выделяющих gcMatn/7, штрих означает транспонирование, звездочка — эрмитово сопряжение, s (соответственно о) — невырожденная симметрическая (соответственно кососимметрическая) матрица (п четно в случае Sp(n)).

Можно положить s = e (единичная матрица порядка п). В дальнейшем мы выбираем следующие канони-

ческие матрицы: ■

V''0/

Положим также SO(n)=O(n)f]SL(n). Заметим, что SO(n) —связная компонента единицы в группе О(п). Поэтому 50 (п) = о (п).'

Представления, модули .

0.2.1. Пусть А — ассоциативная алгебра (соответственно алгебра Ли). Представлением алгебры А в векторном пространстве V называется всякий гомоморфизм алгебры А в алгебру End V (соответственно gl (V)).

Представление л в пространстве V иногда обозначается символом (л, V).

Множество кегл всех элементов а^А таких, что л(а)=0, называется ядром представления л. Заметим, что кег л — идеал алгебры Л.

Представление л называется точным, если кегл = 0. Заметим, что всякое представление (л, V) алгебры А можно рассматривать как точное представление фактор- алгебры Л/ker л.

Аналогично определяются представления других алгебраических структур. Например, представлением группы G в векторном пространстве V называется всякий гомоморфизм G-*Aut V (здесь Aut V — группа всех автоморфизмов векторного пространства V).

0.2.2. Пусть А — ассоциативная алгебра. Векторное пространство V называется (левым) A-модулем, если на декартовом произведении ЛхУ определена билинейная ассоциативная операция AxV9(a, v) и- аибУ, называемая умножением. Ассоциативность означает, что

(afc)u = a(fcu) (1)

для всех а, ЬбА и всех у€У.

. Аналогично, пусть А — алгебра Ли. В этом случае в определении левого Л-модуля условие (1) заменяется условием '

[a, 6]у = д(6у) — b(av) (2)

для всех a, bGA и всех у£У.

Существует очевидная связь (биекция) между представлениями алгебры А и левыми A-модулями. Эта связь определяется равенством

л(а)и = аи(3)

для элементов абА, ибУ.

Иногда соотношение (3) используется также для определения левых G-модулей (абО, где G — произвольная группа). В этом случае умножение (3) линейно только по элементу ufiV.

0.2.3. Аналогично определяется понятие правого A-модуля V— с умножением AxV9(a, у) >-»- иабУ.

Если векторное пространство V наделяется структурой левого (правого) A-модуля, то также говорят, что алгебра А действует слева {справа') в пространстве V.

Пространство V называется А-бимодулем, если в нем определены перестановочные структуры левого и правого A-модуля. Перестановочность означает, что

a{vb) ={аи^Ь(4)

для всех а, ЬбА и всех ибУ.

0.2.4. Подмодули, фактормодули. Пусть V — левый A-модуль. Подпространство VocV называется подмодулем модуля V, если оно инвариантно относительно действия алгебры А, т. е. AVocVo-

Здесь символ АУо означает линейную оболочку элементов аи, где ай A, u6V0.

Семейство Lat V всех подмодулей модуля У образует решетку (относительно включения). Действительно, операции Vi + V2, v,nv2 определяют, соответственно, супремум и инфимум для каждой пары подмодулей Vi, V2.

Пример. Пусть А — ассоциативная алгебра. Очевидно, А есть А-бимодуль (относительно умножения в А). Если рассматривать А как левый (правый) А-мо- дуль, то Lat А совпадает с решеткой левых (правых) идеалов алгебры А.

0.2.5. Категории. Пусть V,, V2 — два левых А-мо- дуля. Отображение ф: У^Уг называется гомоморфизмом модулей Vb V2, если фбНот (Vb V2) (гомоморфизм векторных пространств) и

ф(аи)=Сф(и)(5)

для всех айА и всех y€Vi.

Множество всех гомоморфизмов модуля Vt в модуль Г2 обозначается HomA(Vb V2).

Левые Л-модули образуют категорию J? (Л), морфизмы которой суть гомоморфизмы V]->-V2.

Заметим, что в терминах теории представлений соотношение (5) принимает вид

фЛ1 (а) =л2(а)ф,

где л, — представление алгебры Л в пространстве V, (7=1,2).

Линейный оператор ф называется в этом случае сплетающим оператором пары (ль л2).

Соответственно определяется понятие изоморфизма модулей Уь У2 (обозначение Vi«V2).

0.2.6. Редуктивность. Модуль Г^О называется простым, если его решетка Lat V тривиальна (т. е. состоит из элементов 0 и V).

Представление (л, V) называется в этом случае неприводимым (иногда и модуль V также называют неприводимым).

Модуль V называется полупростым (или редуктив- ным^, если его можно представить в виде прямой суммы простых подмодулей:

(6)

гВ1

где / — некоторое множество индексов суммирования.

Подмодули V, (16/) называются простыми компонентами модуля V.

Разложение (6), вообще говоря, неоднозначно. Оно становится однозначным, будучи записанным в виде

(7>

36J

где простые модули Е, попарно неизоморфны и П] (кардинальное число) определяет кратность вхождения Ej в разложение (7).

Подмодули n,Ej называются изотипическими компонентами модуля V.

Модуль (7) называется финитно редуктивным, если dimE/<oo для всех /б/.

0.2.7. Композиционные ряды. Говорят, что модуль V обладает композиционным рядом (или рядом

Жордана—Гельдера), если он содержит конечную цепочку подмодулей

0= VqcVic: ... cVn=V (8)

с простыми фактормодулями Vi/Vw (i=!,...,«).

Модуль V называется артиновым (соответственно нётеровым), если в нем всякая убывающая (соответственно возрастающая) цепочка подмодулей стабилизируется <Vi=Via при/^/о).

Если модуль V одновременно артинов и нётеров, то он обладает композиционным рядом (8).

0.2.8. Системы образующих. Подмножество VqCzV называется системой образующих A-модуля V, если V=AV0 (линейная оболочка элементов аи, где абА, u6Vo).

При этом также говорят, что система Vo порождает Л-модуль V. Модуль V называется конечно порожденным, если он имеет конечное число образующих.

Модуль V называется циклическим (с образующей ио), если V=/fo при некотором u0GV.

Примеры. 1. Пусть V — простой Л-модуль. В этом случае Лио = О, V для каждого u0GV. 2. Пусть Л— алгебра с единицей. В этом случае простота Л-модуля V^O равносильна V=Au0 для каждого ио#=О. 3. Модуль V называется свободным, если он обладает системой образующих е={е,}1е/ такой, что У=фАег. Система е называется в этом случае базисом A-модуля V.

0.2.9. Лемма Шура. Если Vb V2— простые A-модули, то каждый морфизм србНотд (Vb V2) либо равен нулю, либо биективен.

Это утверждение легко получить из рассмотрения подмодулей кегфбКь imcpGV2 (ядро и образ морфизма ф). Из условий простоты находим кегф = 0, Vb 1тф = 0, V2, что возможно при ф#=0 лишь в том случае, когда кегф=О, 1тф=У2, т. е. ф— изоморфизм.

Следствие. Если поле F алгебраически замкнуто, то Нотл (V, V)=F1 для каждого простого конечномерного A-модуля V.

Здесь l = id (тождественное преобразование пространства V).

Последнее утверждение обобщается на бесконечномерные Л-модули следующим образом (лемма Квиллена).

Если поле F алгебраически замкнуто и размерность алгебры А конечна или счетна, то Нотл (V, V)=F-1 для каждого простого A-модуля V.

Доказательство можно найти, например, в [14, 72].

0.2.10. При мер. Пусть А — коммутативная алгебра конечной или счетной размерности. Тогда для каждого простого Д-модуля У^О имеем dim У=1.

Действительно, согласно лемме Квиллена имеем аи=Х(а')и для каждой пары элементов а^А, убУ, где X: A->F (гомоморфизм в поле F). Исключая тривиальный случай Х = 0, находим V=Au0 = Fy0 для каждого UoV=O.

0.2.11. Топологические модули. Пусть G — топологическая группа. Левый G-модуль V называется топологическим, если V — топологическое векторное пространство с непрерывным умножением СхУэ 9 (g, и) gue V.

Соответствующее представление n(g')u=gu группы G называется непрерывным.

В категории jtt(G') топологических G-модулей все морфизмы предполагаются непрерывными, все подмодули — замкнутыми.

Пример. Пространство C(R) непрерывных функций на R (с топологией равномерной сходимости па компактах) есть топологический R-модуль относительно операторов

n(a)f(x) =f(x+a), (9)

где a, x6R (R — аддитивная группа).

0.2.12. Дифференциал. Пусть G — группа Ли, g = LieG, V — топологический G-модуль. Вектор ибУ называется дифференцируемым, если вектор-функция n(g)v дифференцируема на G. Последнее условие равносильно существованию «инфинитезимальных операторов» '

л'(а)=-^ л (exp to)y,<=01 (1°)

для каждого абд (л — представление группы G в пространстве У).

Аналогично определяется кратная дифференцируемость. Операторы (10) порождают представление (л', V”) алгебры g в подпространстве У°° всех бесконечно дифференцируемых векторов пространства V.

Представление (л', V”) называется дифференциалом представления (л, V).

Отображение (л, V) >->- (л', Vе”) есть точный ковариантный функтор из категории J^HG) в категорию ^(й).

Этот функтор становится изоморфизмом категорий в классе конечномерных модулей (V=V°°), если G— односвязная связная группа Ли.

См., например, [14, 23].

Обертывающие алгебры

0.3.1. Пусть g — алгебра Ли. Ассоциативная алгебра А называется обертывающей алгеброй алгебры д, если д вложена в А как подалгебра Ли (при этом А рассматривается как алгебра Ли согласно 0.1.2).

Операция умножения в алгебре д сводится теперь к коммутатору в алгебре А:

[х,у]=ху—ух .(1)

для элементов х, убд.

Пример. Матричная алгебра Mat„F есть обертывающая алгебра классических (линейных) алгебр Ли gl(n, F), 5l(n, F), o(n, F) и т. д. (см. 0.1.11).

0.3.2. Пусть g—алгебра Ли с базисом {e(}(e/ и соотношениями коммутации

[^. ^] = 2С*А<2)

Универсальной обертывающей алгеброй алгебры fl называется ассоциативная алгебра U(й) с единицей, порожденная образующими е; (№1) и соотношениями

(3)

6

При этом й вкладывается в U(й) как линейная оболочка базисных элементов е, (А7).

Нетрудно видеть, что это определение не зависит от выбора базиса в алгебре fl. Соотношение (1) для элементов х, у€д вытекает из билинейности умножения и соотношений (3).

Числа с^ называются структурными константами, алгебры д.

Пример. Всякое векторное пространство g есть алгебра Ли с коммутатором [х, у]=0. В этом случае U (д) совпадает с симметрической алгеброй S (д). Соотношения (3) принимают вид

eiej = eiet (i, jGl).

В дальнейшем мы будем рассматривать элементы хбд как линейные формы над дуальным пространством д*, полагая.

х(у) = <х, у>=у(х) (хбд, убд*), где <•, •> —каноническая билинейная форма на дХд*. Соответственно алгебра 3(g) отождествляется с алгеброй полиномов Р(д*).

Замечание. Пусть 7(g)—тензорная алгебра над д (т. е. свободная алгебра с единицей, порожденная элементами е^. Тогда имеем.

где /(g)—идеал 7(g), порожденный элементами вида fc у\— (ху—ух), где х, убд.

0.3.3. Пусть А — ассоциативная алгебра. Семейство подпространств Ап (n = 0, 1, 2,...) называется градуировкой алгебры А, если.

(а) А==ФАп, (b) ArtAmcArt+m, п=0

для всех п, m = 0, 1, 2,. .. Возрастающее семейство подпространств Ап (п = 0, 1,2,...) называется фильтрацией алгебры А, если

(а) А = U Ап, (р) АяАтсАл+т л—0..

для всех п, m = 0, 1, 2,. . .‘

Алгебра А с градуировкой Ап называется градуированной (или 2+-градуированной). Число deg а—п называется степенью элемента абА„ при а^О.

Ясно, что каждая градуированная алгебра А допускает фильтрацию А” = А0® . .. ®Ап. Обратно, для каждой фильтрации А” положим.

gradA= ® (А^А""1),(4)

■ ■л=0

где А-* = 0. Пространство (4) естественно наделяется структурой алгебры: ху=ху, где хбА"/А"-1— класс элемента хбА".

Алгебра grad А называется градуированной алгеброй, ассоциированной с алгеброй А.

Пример. Пусть А = /'1X1 х„]—алгебра полиномов от переменных хь ..., х„, и пусть Ар — подпространство однородных полиномов степени р. Ясно, что Ар (р = 0, 1,2,...) — градуировка алгебры А.

Замечание. Аналогично рассматривается градуировка Ар (рбР), где Р— произвольная аддитивная полугруппа.

0.3.4. В частности, пусть A = U^> и пусть Ар = = Lrp^— линейная оболочка всевозможных мономов eit... е1р, где et — базис д (A0=F-1, где 1 —единица алгебры U (д)).

Очевидно, семейство Up^ (р=0, 1, 2,...) образует фильтрацию алгебры U (д). Соответствующая градуированная алгебра изоморфна симметрической алгебре 5(g):

grad [/(g) «5(g).(5)

Последнее утверждение известно как теорема Пуанкаре—Биркгофа—Витта (см., например, [8, 10]).

0.3.5. Отметим ряд интересных следствий из теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта. При этом будем считать, для простоты изложения, что алгебра g конечномерна (dimg = n) и натянута на базисные элементы etе„.

Алгебра U (д) как векторное пространство обладает базисом из мономов.

е^^е^.-.е^,(6)

где к = Уцг..., ^„) — мультииндекс. При этом отображение т: SfoH^eL ставящее в соответствие моному е (Л) 65(g) одноименный моном в U^, есть изоморфизм векторных пространств 5 (д),' U (д).-

Заметим, что //р(д) натянуто на мономы (6) при ]Л|^р, где положено |Л| = кД- . .. 4-А„. Соответственно, Зр(д) ~//р(д), где Sp(g)— аналогичное подпространство в S (д).■

Другой естественный изоморфизм a: 5(g)->-//(g) однозначно определяется соотношением а(хп)=хп для всех хбд и всех показателей n=0, 1, 2,...

Отображение а называется симметризацией S(g) в u^Y1

Например, а(ху) = ^(ху-^-ух) для произвольных эле. ментов х, убд.

Пусть ф — подалгебра алгебры д. Алгебра U(д) есть свободный (левый или правый) (/([>)-модуль.

Действительно, пусть et (l^i^n)—базис алгебры g такой, что et (l^i^i'o)—базис подалгебры I). Для построения базиса левого (/([))-модуля (/(g) достаточно использовать мономы (6), содержащие сомножители е< только при i0+l^i^n.

В частности, имеем

(/(g) =£©[>(/(д)=£Ф(/(д)[>,(7)

где £ — линейная оболочка мономов (6), содержащих е{ только при z0+l^i^n.

Алгебра (/(g) нётерова (следует из нётеровости алгебры 5(g)).

Алгебра U(д) не имеет делителей нуля.

Замечание. Фильтрация (/Р(д) удовлетворяет рекуррентному соотношению

(/р(д) = (/р_1(д)фд(/р_1(д).(8)

Более подробно о строении алгебры U(д) можно прочесть в монографии [10].

0.3.6. Присоединенное представление. Пусть g— алгебра Ли. Операторы adx = x (см. 0.1.3), т. е.

(adx)t/=[x, у] (х, z/6g)-(9)

образуют представление алгебры g в пространстве д, называемое присоединенным (adjoint) представлением алгебры д.-

Оператор (9) однозначно продолжается до дифференцирования алгебры (/(g), с использованием общего правила дифференцирования 0.1.3 (2) и рекуррентного соотношения (8). '

Соответственно представление (ad, g) продолжается до представления (ad, U(g)) алгебры g в векторном пространстве (/(g).■

Аналогично определяется представление (ad, 5(g)) в симметрической алгебре S(g). При этом отображение

а: 5(й)-^(7(й) осуществляет изоморфизм соответствующих g-модулей.

0.3.7. Алгебра 7(0). Для каждого 0-модуля V подпространство

1/<М®бИ0®=О}(10)

называется (по аналогии с теорией групп) подпространством инвариантов %-моду ля V.

В частности, рассматривая в S (g), U (0) присоединенное действие алгебры 0, получаем подалгебры инвариантов'

Г(0) = 5(0)8, 2^ = иШ(П)

Очевидно, 7(g) есть центр алгебры (7(g). Согласно 0.3.6, отображение о определяет изоморфизм векторных пространств У(д), 7(g).

0.3.8. Принцип соответствия. Легко проверить, что всякое представление (л, V) алгебры 0 продолжается (единственным образом) до представления (л, V) алгебры (7(g).

Искомое продолжение определяется для элементов (7Р(д) (Р=1, 2,...) при помощи рекуррентного соотношения (8).

Полученное соответствие определяет изоморфизм категорий ^(0), J?((7(0)).

При этом изоморфизме сохраняется решетка подмодулей, сохраняется семейство морфизмов для каждой пары модулей Vu V2 и т. д.

Исходя из этого соответствия, мы в дальнейшем не делаем различия между категориями v#(g), ^((7(0)).

0.3.9. Связь с группами Ли. Пусть G — группа Ли, 0 = Lie G.

В этом случае алгебра 0 изоморфна (см. 0.7.1) алгебре левоинвариантных векторных полей на G. х Соответственно, алгебра (7(0) изоморфна алгебре левоинвариантных тензорных полей на G.

Трансляторы и котрансляторы

0.4.1. Пусть А— ассоциативная алгебра, L(A)—решетка ее левых идеалов.

Определение. Для каждой пары идеалов /, J6 бЬ^А) введем обозначение

У,, —{аеА|/ас7}.

(1)

Элементы а6Ты называются трансляторами типа (7, I) в алгебре А.

Легко проверить выполнение следующих соотношений:>

T.^czV1, TuTjkCzT.k(2)

для каждого (левого) Л-модуля V и каждой тройки идеалов 7, 7, K^L(Л). Здесь

У'=(убУ|7у=0).(3)

В частности, из (2) следует, что ТП есть алгебра (для каждого идеала 7). При этом

TnV'aV1.(4)

Алгебра Тп называется трансляторной алгеброй (типа 7) или алгеброй симметрии (пространства V1).

0.4.2. Нормализатором левого (правого) идеала IczA называется наибольшая подалгебра Norm/czA, содержащая 7 как двусторонний идеал.

Легко проверить, что Тц = Могт7. Положим

Trans (Л, 7) = 7^7.(5)

Используя (4) и равенство IV1=0, заключаем, что алгебра Trans (Л, 7) также действует в пространстве V1.

0.4.3. Аналогично, пусть R(Л)—решетка правых идеалов алгебры А. -

Определение. Для каждой пары идеалов 7, /6 67?(Л) введем обозначение

С1}= (абЛ |a/cz/}.(6)

Элементы абСн называются котрансляторами типа Ц, J) в алгебре 4.

" По аналогии с 0.4.1, можно дать интерпретацию ко- трансляторов в терминах правых Л-модулей. Мы предпочтем интерпретацию в терминах факторпространств

V,= V/IV,(7)

где V — произвольный левый Л-модуль.

Пусть абСи, тогда имеем a(JV)czIV, поэтому aVjCZ czVj. Соотношения (2) заменяются соотношениями

CjjVjCzV(, С $JC j^clCiki(8)

для каждого (левого) А-модуля V и каждой тройки идеалов /, J, KgR(A).

В частности, C„=Norm7 есть алгебра (для каждого /). При этом

C„V,cV,.(9)

Алгебра Си называется котрансляторной алгеброй (типа /) или алгеброй симметрии (пространства У/).

Полагая

Cotr(A, 7)=Си/7,(10)

заметим, что 7У/=0. Поэтому алгебра Cotr(A,7) действует в пространстве V^

0.4.4. Для каждого подмножества есА пусть 7е= —Ае (аналогично J6 = eA}—левый (правый) идеал, порожденный множеством е.

Условимся использовать сокращенные обозначения Те», Trans (А, е), ... вместо Tie,iy Trans (А, 7е), ...

В дальнейшем мы предполагаем, что А — алгебра с единицей. В этом случае система уравнений 7еи = 0 (в пространстве У) равносильна еи = 0.

Соответственно мы будем рассматривать Те = Т„ (или Trans (А, е)) как алгебру симметрии системы уравнений еи = 0.

0.4.5. Пример. В пространстве полиномов Р = = С[х,,.. ., хп] действует алгебра Вейля А, т. е. алгебра с единицей и с образующими

^.д,=^ (^=1")•(И

Здесь х< рассматриваются как операторы умножения в пространстве Р (соответственно Р есть подалгебра в А).

Нас будут интересовать операторы симметрии урав- п

нения А/ = 0 в пространстве Р, где A = 2<9Z2 (опера

тор Лапласа). пп

Введем обозначения х2 — 5 хм e = ^1xid1 {оператор

Z = 1Z-1

Эйлера}.

Предложение. Трансляторная алгебра Tt, где е = {А}, содержат операторы

dt, е, у4=сх<—хгд< (/=1,...,п),(12)

?де с=2е-}-(п—4),

Доказательство — непосредственная проверка, с использованием соотношений коммутации [д<, х,] = бл (i, /=1,..., и), где 6ц — символ Кронекера. Отсюда

[А, d,J=O, [А, е]=2А, [A, yJ] = 4xfA.

Записывая эти соотношения в виде Аа = 6А, где а — один из операторов дъ е, у,, находим абТе.

Замечание. В дальнейшем мы увидим (см. 7.3.6), что алгебра Trans(А, {А}) порождается элементами (12).

0.4.6. Алгебра Diff М. Пусть Af = Alt — алгебраическое многообразие в С", определяемое системой полиномов eczP:

М= {хбС"|/(х) =0 для всех /бе}.(13)

Элементы факторалгебры F(M)=P/eP называются регулярными функциями на многообразии М. Согласно общей схеме 0.4.4, алгебра Diff M = Cotr(A, е), где А— алгебра Вейля, действует в F(M):

. (Diff M)F(M)aF(M).(14)

Мы будем называть элементы алгебры Diff М дифференциальными операторами на многообразии М.

Замечание. Здесь мы рассматриваем есР как подмножество в алгебре А. Аналогично можно рассматривать обобщенные многообразия (алгебраические схемы), определяемые множествами eczA.

0.4.7. Пример. Полагая е={х2}, получаем алгебру дифференциальных операторов на конусе К= = {хбС"|х2 = 0}. Повторяя рассуждения 0.4.5, находим, что алгебра Diff К содержит операторы

хЙ е, Ь< = д4е—хД (i=l,...,n).(15)

Замечание. Алгебра Diff К получается из алгебры Trans (А, {А}) инволюцией алгебры А, определяемой по правилу х<* =di (<=l,...,n).

Гармонические полиномы

0.5.1. Для иллюстрации методов § 4 рассмотрим более детально пространство гармонических полиномов

,//= {/6Р| Д/=0}.. (1)

Условимся рассматривать алгебру Вейля Д в С" как градуированную алгебру, относительно стандартной Z-градуировки, определяемой на образующих по правилу degx(=l, degd,=—1 (i=l,...,n). В частности,

Р=®Рт> Н=®Нт, .(2)

т=и •

где Рт — подпространство однородных полиномов степени т, Нт = Н^Рт. Второе равенство (2) легко получить из первого с учетом соотношения degA = —2 (откуда АРтСРт-г) .

Заметим также, что условие а^Ат (т. е. dega = m) может быть записано в виде [е, а\ = та, где е — оператор Эйлера (см. 0.4.5). Последнее условие иногда удобно записывать в виде

f(e)a=af(eA-m'),(3)

где f — произвольный полином (или рациональная функция) от одной переменной.

0.5.2. В пространстве Р мы будем рассматривать стандартную билинейную форму

tLgM'gW,(4)

где f'=f(db ..., д„) — дифференциальный оператор, получаемый из полинома f (хь ..., х„) подстановкой

Xi •-►di(i= 1,..., n).

Полагая x(£) = xi.. .х*п, где & = (&!,...,&„) — мультииндекс, легко проверяем, что

<х(А), х(г)> =&!бк„(5)

где k\ = kY\ .. . &„!, 6tr — символ Кронекера. Отсюда следует, что форма (4) симметрична и невырожденна в пространстве Р. Соответственно форма

(/,£)=</,£>.(6)

где g — полином, полученный из g комплексным сопряжением коэффициентов, есть скалярное произведение в пространстве Р.

Пусть сна*— эрмитова инволюция алгебры А, определяемая на образующих по правилу x* = dt (i = = l,...,n). Исходя из определения (4), непосредствен-

но проверяем, что <xtf, g> = (f, d<g> для всех i= 1,..., п. Отсюда <

(af, g) = (f, a*g) (7)

для всех абА и всех f, g6P. Другими словами, эрмитова инволюция а^а* совпадает с эрмитовым сопряжением относительно скалярного произведения (6).

0.5.3. Пусть Уь У2 — конечномерные гильбертовы пространства. Заметим, что для каждого линейного оператора a: Vi->V2 имеет место стандартное разложение Vi = ker a®im а*, где а*: У2->-У, — сопряженный оператор. .

Применяя это правило к оператору А: Рт-+Рт_- получаем

. Рт=Нт®хгРт_2. (8)

Применяя это правило рекуррентно, получаем разложение Картана

Рт = ^Нт_гк. (9)

Другими словами, каждый полином есть линейная комбинация гармонических с коэффициентами x2,t (разложение (9) конечно, поскольку Нт=0 при т<_0У

Замечание. Соотношение (9) может быть записано в виде Р = С[х2]®Д, где ® — символ тензорного произведения (см. 0.6.3).

0.5.4. При п = 2 теория гармонических полиномов тривиальна: пространство Нт есть линейная оболочка мономов

x±m= (x1±ix3)m. (10)

В дальнейшем полагаем п^З. Вместо операторов симметрии уь введенных в 0.4.5, мы будем рассматривать операторы 2i=c-ly<=yi(c+2)-1:

2<=Х{—хМ{(с+2)-1. (11)

Напомним, что с=2е+(п—4). Если п^З, то оператор (с+2)-1 определен в пространстве Р. Поэтому формула (10) действительно определяет операторы 2, (i= = 1,..., п).

Легко проверить, что операторы у< взаимно перестановочны. Отсюда следует также перестановочность операторов 2f (i= 1,..., п).

0.5.5. Предложение. Для каждого полинома f&Pm его гармоническая проекция в (8) совпадает с Цг)1 (оператор f(z) ~f(zlt... ,z^ применяется к полиному 1):

f-f^Wg(12)

при некотором g6Pm_2.

Действительно, ztHc~H (для всех i— 1,. .., п), откуда f(z)16H. Используя (11) (индуктивно по степени degf), легко проверяем, что f—f(z)l делится на №. Отсюда следует (12).

Следствие 1. Каждый гармонический полином f^H получается из 1 применением оператора f (z):

M(z)l.(13)

Следствие 2. Пусть Н'с?Н — подпространство гармонических полиномов, зависящих только от переменных хь..., Хл-ь Тогда имеем

© упкН' . = ®..(14)

Действительно, представим оператор f(z) в виде

/(z) = 2г«V^(2:,), где z'=(zv .... z^). »~о.

Используй (13), заметим, что fk£Hm_k. Отсюда следует (14). . '

0.5.6. Лемма. Разложение (14) ортогонально (относительно скалярного произведения в Р). При этом

<Уп/> Уп^=.

= 2*A!dArnA^m4--^- — 2^nA(2/n-|-n — k — ^Xf, g) (15)

для каждой пары f6Hm_h, g6Hm_T, где

л*(х) = х(х— 1) .. . (х—^+1).

Действительно, левая часть (15) есть (f, yn**yng). Заметим, что уп*~дпс—х„К Используя инвариантность Н относительно Уп, с, уп, а также индукцию по к, получаем

(!/?/> ynrgl=(/. (дпС? ynrg).

Заметим также, что cdn = dn(c—2). Отсюда, индукцией по к, получаем

<дпсУ=2кдМ<е-^-2у

Применение этого оператора к полиному Упё^Рт приводит к появлению сомножителя лй ^т + -у — 2^ в (15).

Ввиду симметричности скалярного произведения, можем считать, что k^r. Используя соотношение коммутации [д„, уД = с-\-^ находим dnynr ^ry;-' (с + г + 1), где = означает сравнение що<1Лди. Отсюда при к>г

дпгУпк = г!дйглг(^ + г +1).

Применение этого оператора к полиному g^Hm-r сводится к подстановке cg= (2m—2r+n—4)g. В результате получаем (15).

Замечание. Доказанная лемма сводит изучение полиномов f^Hm к изучению полиномов /к^Н'т_к от переменных ..., хп_х.

кк

0.5.7. Положим ®* = 2х(2, вк = ^1х1д1 (оператор

Z=1Z=1

Эйлера по переменным хх, ..., хк). Положим также ск=2екД- (k —4). Соответственно определяем следующие аналоги операторов ур.

tk = скхк—шкдк (S^k^n).

Для каждого мультииндекса v = (v2,..., vo) определим гармонические полиномы

Л=^л...^(^±),(16)

где х” определяется равенством (10).

Напомним также обозначение |v |=v2+. • • +v„. В нашем случае deg/± = |v|.

Теорема. Полиномы (16) при |v|=m образуют ортогональный базис пространства Нт. При этом

п

II /± || = 21v|v! I~I nV/ (m,i + "2— 2^ лУ£(2т£ + » —v£ 3), Z=3'..

где mi=v2+.. -pv,..■,

Доказательство сводится к индуктивному применению леммы 0.5.6.

0.5.8. Замечание. Легко проверить соотношение коммутации [Д, у^ — (c+2)6ti—2ец, где

е^=хД—Xjdt (i, j =1,. . ., n).(17)

Отсюда следует, что трансляторная алгебра уравнения А/ = 0 содержит операторы (17).

В действительности, как легко проверить, операторы (17) перестановочны с оператором А.

. Операторы (17) суть инфинитезимальные операторы ортогональной группы О(п), действующей в Р:

&(g)f)(x)=f(xg),(18)

где f6P, х— (хь..., хп) — вектор-строка, xg — результат умножения этой строки на матрицу ^60 (п).

Стандартная теория гармонических полиномов (см., например, [5]) сводится к использованию специальных результатов из теории представлений ортогональной группы О(п).

Предложенный здесь подход основан только на использовании трансляторов (11).

Как показано в [73], полиномы (16) можно представить как произведения полиномов Гегенбауэра.

Элементы формальной алгебры

0.6.1. Пусть Л— кольцо с единицей. Подмножество бсЛ называется множеством знаменателей, если д не содержит делителей нуля кольца Л и выполняются следующие условия:■

(а) 166, (Ь) б2сб, (с) Лб = бЛ.

Здесь символ еб (для пары подмножеств е, бег Л) означает множество всех произведений ху, где хбе, убб.

Например, условие (с) означает, что для каждой пары хбА, убб произведение ху (соответственно ух) представимо также в виде у'х' (соответственно х'у') при некоторых х'бЛ, у'бб.

В этом случае ([10], гл. 3) кольцо Л естественно вкладывается в кольцо

(1)(1)Л^Лб-^б-’Л,

(1)

(1)

состоящее из всех формальных дробей xzc1, где хбЛ, убб, представимых также в виде у'-'х', где х'бД, у'бб. Пример. Пусть Л — коммутативное кольцо без делителей нуля. В этом случае множество б=Л\{0} есть множество знаменателей. Соответствующее кольцо Л6 есть поле. Оно обозначается Ргас1Д и называется полем частных кольца А.

Замечание. Определение Ргас!Д обобщается также на кольца с делителями нуля ([28], гл. 3). В этом случае Ргас!Д может содержать нильпотентные элементы.

0.6.2. Пусть В — кольцо. Для каждого правого В-мо- дуля X и каждого левого В-модуля У их тензорное произведение

Z = X®BY(2)

определяется как факторгруппа аддитивной группы IF, порожденной парами xXy6XXY, по подгруппе Wo, порожденной элементами вида

ti = (x,+x2)Xy — xt Ху — х2ХУ.■

■и = хХ(У1^У2) — хХУх — хХУ2. (3) ■зв=хЬХ У — хХ by,

С произвольными X, Xt, x26X, у, yv, y^Y, Ь^В.

В дальнейшем мы используем обозначение х®у для класса в Z, содержащего хХу. Согласно (3), операция х®у биаддитивна, и также xb®y=x®by, для каждого ЬбВ.

Примеры. 1. Частный случай определения (2)—■ тензорное произведение X®Y векторных пространств X, Y над полем F (в этом случае мы опускаем символ кольца В = ру 2. Другой частный случай — индуцированный (левый) А-модуль

IndМ=А ®ВМ,(4)

где А — кольцо, В — его подкольцо, М — левый В-мо- дуль. При этом умножение в модуле Ind М определяется естественным равенством

a(b®m) — ab®m -(5)

для всех а, ЬбА и всех пгбМ.

0.6.3. Пусть А — кольцо с единицей, В — его подкольцо, содержащее единицу.

Предположим, что множество 6czB есть множество знаменателей в А (в частности, в В). Отметим связь между кольцами А6 и В6.

Предложение. Отображения a^a®b) = ab, ^(.аЬ) = = Ь®а определяют следующие изоморфизмы:

а 0

А ® в В^А^Вй ® в А.

Соответственно тензорное произведение А ®вВ6~В6®вА наделяется структурой кольца («Ае), содержащего А и Ве.

Доказательство тривиально.

0.6.4. Кольцо А6 в 0.6.3 допускает простое описание в том случае, когда А есть свободный В-бимодуль. Последнее означает, что каждый элемент абА допускает два однозначных разложения:

a=26zez = 2ey,6/,) (6)

с коэффициентами Ь{, Ь^В и базисными элементами ei, е/бА. Переход от А к А6 сводится в этом случае к расширению кольца коэффициентов (т. е. к подстановке в (6) произвольных элементов bt, Ь/бВ6).

Пример. Пусть g — алгебра Ли, ()— ее коммутативная подалгебра. Условие (6) следует из теоремы Пуанкаре— Биркгофа—Витта (см. 0.3.5 (С)).

Напомним также, что UQ)) не имеет делителей нуля. Поэтому U (()) расширяется до поля частных D^) = = Fract t/(()). Соответственно U^) расширяется до алгебры

иЦ6)=и^®итО^. (7)

Замечание. Пусть A (g) = U(q) 0/>(ф), В(д) = = D(\>) 0t/(g). Алгебра (7) может быть записана в виде

^(9)=Л(д)/А«В(д)/Л4, (8)

где N (соответственно Л1) — подпространство, натянутое на элементы вида uv®f—u^vf (соответственно ^ии—/и0ц), с произвольными u6U^, u6U^), f6D$).

0.6.5. Пусть А, В — ассоциативные алгебры над полем F. Тензорное произведение A0B снабжается струк-

турой алгебры с покомпонентным умножением:

(а^Ь^ (а2®Ь2) = а1аг®Ь1Ьг(9)

для каждой пары щ, а2бД и каждой пары bt, Ь2^В.

Соответственно пусть V— левый Д-модуль, W— левый В-модуль. Тензорное произведение У®1У снабжается структурой левого А®В-модуля по правилу

(a®b) (v®w) = av®bw(10)

для каждого набора абА, ЬбВ, ибУ, шб1У.

0.6.6. Пусть G— группа, и пусть У,, У2— два (левых) G-модуля. Тензорное произведение КОУг снабжается структурой (левого) G-модуля по правилу

g(Vl®V2) =^1®^2(П)

для каждого g6G и каждых щбУ{ (i=l, 2).

Для каждого (левого) G-модуля V его дуальное пространство V* снабжается структурой (левого) G- модуля следующим образом:

<gu, ^и*> = <У) у*>(12)

для каждого g^G и каждой пары ибУ, и*бУ*. Здесь <•, ■> означает каноническую билинейную форму на УХУ* (т. е. <и, и*> — значение функционала и*бУ* на элементе ибУ).

0.6.7. Пусть 0—алгебра Ли, и пусть Уь У2 — два левых g-модуля. Левый 0-модуль У,®У2 определяется следующим образом:

а(и,®и2) =aui®u2+ut®au2(13)

для каждого аб0 и каждых u^Vj (i=l, 2).

Аналогично, левый 0-модуль У* определяется следующим образом:

<аи, и*>+<и, аи*> = 0(14)

для каждого аб0 и каждой пары ибУ, и*бУ*.

Замечание. Определения (13), (14) согласованы с (11), (12) таким образом, что действие алгебры 0 = = LieG совпадает с дифференциалом действия группы G в VtXV2, У*.

Дополнений, упражнения

0.7.1. Пусть Л1— многообразие класса Cr (l^r^oo), Р(М)—алгебра r-гладких функций (с поточечным умножением) на М. Алгебра Ли

VectM=b(A(M)) (1)

(т. е. алгебра дифференцирований в F(M)) называется алгеброй векторных полей на многообразии М.

В частности, пусть G — группа Ли. В векторном пространстве р(С) определены операторы левых и правых сдвигов:

(L(g)f) (х) = f(g~'x), (R(g)f) (х) =f(xg), (2) так что отображения g^L^g), g^R(g) суть представления (соответственно левое и правое регулярное представление) группы G в пространстве F(G).

Инфинитезимальные операторы левого регулярного представления, т. е.

(£(а)/)(х)=4 /W(-ta)x)\t=0, (3) где a6g=Lie G, образуют алгебру Ли L(g)c=VectG, изоморфную алгебре д.

При этом алгебра L(g) может быть охарактеризована как алгебра всех правоинвариантных (т. е. перестановочных с R(g), g^G) векторных полей на G.

Аналогично д*Я(д), где К(д)— алгебра всех левоинвариантных (перестановочных с L(g), g^G) векторных полей на G.

См., например, [20].

0.7.2. Пусть P=R или С. Подгруппы GcGL(n) (подалгебры gcgl(n)) называют обычно линейными группами (алгебрами Ли).

Для каждой линейной алгебры Ли gcgl(n) пусть ехр g— подгруппа GL(n), порожденная экспонентами ехр х (хбд). Группа ехр д не обязательно замкнута (см., например, [11]).

С другой стороны, каждая замкнутая линейная группа есть группа Ли (см., например, [8], (6.1.3)). При этом, если G связна, G=exp g.

В частности, пусть g— конечномерная алгебра Ли. Подгруппа AdgcAutg, порожденная экспонентами expadx(x6g), называется присоединенной группой алгебры, д. .

Преобразования группы Ad g называются внутренними автоморфизмами алгебры д.

Пример. Группа GL(n) действует в gl(n) автоморфизмами a(g')x=gxg-1 (^6GL(n), x6gl(n)). Легко проверить, что дифференциал этого действия совпадает с присоединенным представлением (ad а)х=[а, х] алгебры gl(n). Отсюда, в свою очередь, можно вывести, что

Ad gl(n) = a (GL (n)) ~ GL (n) /Cn,

где C„ —центр группы GL(n) (состоящий из матриц Хе, кратных единичной матрице е порядка п).

0.7.3. Пусть G— группа Ли, V — отделимый локально выпуклый полный G-модуль.

В этом случае подпространство V°° всех бесконечно дифференцируемых векторов u^V (см. 0.2.12) всюду плотно в V (теорема Гордин г а).

Вектор v^V называется аналитическим, если вектор- функция gv аналитична на GXV.

Если V — банахов G-модуль, то подпространство V" всех аналитических векторов также всюду плотно в V (теорема Хариш-Чандры).

Пример. Пусть dimV<oo. В этом случае y« = V~ = V.

Таким образом, всякое непрерывное представление группы G в конечномерном векторном пространстве аналитично (теорема Картана).

См., например, [21].

0.7.4. Пусть Лп — ассоциативная алгебра с единицей, порожденная 2п элементами ab at* (i=l,...,n) и соотношениями

[а„ аД=[а,*, а/] —0,

[аД а,]=6^ (i,/= 1,..., п),(4)

где — символ Кронекера.

Условимся считать, что Г=С. Отображение а^а* продолжается (единственным образом) до эрмитовой инволюции алгебры Ал.

Алгебра Ал допускает точное представление а,—х,, a* = dt (i=l,...,n) в пространстве Р=С[х,,..., х„]. Соответственно алгебра Ап изоморфна алгебре Вейля (см. 0.4.5) в пространстве С”.

Упражнение. Проверьте, что алгебра Вейля в С” есть алгебра Diff Сп всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в С”,

0.7.5. Пусть V — простой Л „-модуль. Предположим, что V содержит вектор уо^О, для которого а,*уо=О (1=1,..., п). В этом случае У=Лпу0 есть линейная оболочка векторов вида

®(A)=af>... а^®0, (5)

где к= (kt, . .., к^ — мультиндекс. Другими словами, V=Cnu0, где С„ — коммутативная подалгебра в Л„, порожденная элементами щ (1=1,. .. , п).

Замечание. Операторы а,, а* называют соответственно операторами рождения и уничтожения. Вектор у0 называется вакуумным вектором Лп-модуля V. Легко проверить, что этот вектор есть единственное, с точностью до скалярного множителя, решение уравнений а^уо=О (1 = 1,..., п).

Пример. Пусть У„ = С[х1,. . ., х„]у0, где у»(х) = = е~х'/г (в обозначениях 0.4.5). Алгебра Л„ действует в У„ операторами

a2 = -^(x2 —<?2), a*=-^=(xl-Vdi\ (6)

так что а2*Уо = О (1 = 1,. .., п).

Можно показать (см., например, [7]), что всякий простой Л„-модуль с вакуумным вектором изоморфен модулю У„.

Замечание. Инволюция а^а^ совпадает с эрмитовым сопряжением операторов в гильбертовом пространстве L2(Rn) (относительно естественного вложения y„cL2(R")). ■

0.7.6. Алгебра полиномов P=^i,. .. , хпА есть подалгебра алгебры Q=F[[x1,. . ., x„]J всех формальных рядов

f^^bx^ (7) . V

где ^v = ^‘.. .х^п, v = (vp .... v„) —мультииндекс. Умножение f = gh (g, h^Q) определяется равенством

A+M=vA+M=vЛ= 2 §^-

A+M=v

A+M=v

Векторное пространство Q дуально пространству Р относительно билинейной формы

<L g>=f'gW,(8)

где ffeP, g6Q, g'=g(dt, ...,д„).

Упражнение. Пусть R„clQ— подпространство формальных рядов с коэффициентами fv=0 при |v|^n. В пространстве Q определяется топология, в которой множества R„ (n=0, 1, 2,...) образуют базу окрестностей нуля. Проверьте, что каждый формальный ряд (7) сходится в этой топологии.

В частности, Р всюду плотно в Q.

0.7.7. У п р а ж н е н и е. Пусть х^-* х' — дифференцирование ассоциативной алгебры А. Предположим, что [д', д]=2Хд при некотором MF. Проверьте, что

(дп),=пд"-1(д,+Х(п—1)).(9)

0.7.8. Упражнение. Пусть g— алгебра Ли с базисом а, Ь, с и соотношением коммутации [а, Ь]=с, где с — центральный элемент ^алгебра Ли — Гейзенберга). Проверьте (используя 0.7.7), что

апЬп=п'.с modt/(g)n(10)

для каждого п— 1, 2,...

Замечание. Из формулы (10) следует, что в пространстве формальных рядов от элементов а, Ь, с умножение не всегда определено. Достаточно рассмотреть формальные ряды

и=0л=0

0.7.9. У п р а ж не н и е. Пусть А=А4— алгебра Вейля с образующими а, b и соотношением [а, 6]=1. Проверьте, что формальный ряд

Р^Чт^(п)

л=0

удовлетворяет уравнениям ap=pb=Q. При этом р2=р.

Замечание. Пусть О— категория Д-модулей V со следующим свойством: для каждого ибУ существует п>\ такое, что апи = 0. Ряд (11) можно рассматривать как оператор в модулях категории О.

0.7.10. Упражнение. Проверьте, что всякий простой модуль категории О (см. 0.7.9) изоморфен модулю М с базисом ф„ (n=0, 1, 2,...) и действием

a^n = V^^n-\, b4n = V ft-V^nw(12)

Замечание. В квантовой механике соотношения (12) описывают «гармонический осциллятор» с вакуумным вектором ф0.

0.7.11. Упражнение. Проверьте (в обозначениях 0.7.9), что категория О полупроста, т. е. каждый ее модуль полупрост.

Указание. Используйте оператор (11).

0.7.12. У п р ажнение. Проверьте, что алгебра Ли si (2) определяется базисом е_, е0, е+ и соотношениями коммутации

[е+, e-J=e0, [е„, е±] = +2е±.(13)

Пример. Операторы А, е, х2 (в обозначениях0.4.5) порождают алгебру Ли, изоморфную si (2).

0.7.13. Упражнение. Пусть д=аФЬ— алгебра Ли, представленная в виде суммы идеалов а, Ь. Проверьте, что

(7(д) = (7(а)(7(b) «(/(а)®(7(b)

(изоморфизм векторных пространств), относительно естественного вложения U^, U^ в 77(g).

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пуанкаре—

Биркгофа—Витта.-

0.7.14 Упражнение. В условиях 0.7.13 пусть Ind7W = 77 (д)®у(Ь)7И —индуцированный g-модуль (см. 0.6.2).

Проверьте, что Ind М« 77(a) ®М (изоморфизм векторных пространств) относительно естественного вложения 77(a) ®А1 в IndAf.

Указание. Используйте 0.7.13.

0.7.15. Упражнение. Пусть д —алгебра Ли, Ь — ее подалгебра, Ind 7И = Т7 (д)®у(^)Л1. Проверьте, что 'IndAI»r®M, где Г= 77(g)/77(g)!)

(изоморфизм векторных пространств).

ГЛАВА 1

РЕДУКТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

Редуктивные алгебры Ли выделяются в классе алгебр Ли некоторым условием регулярности решетки идеалов.

Конечномерные редуктивные алгебры Ли есть наиболее изученный класс алгебр Ли. Основной результат в этой области — классификация Э. Картана всех редук- тивных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

В бесконечномерном случае отсутствует (в данное время) сколько-нибудь содержательная теория редук- тивных алгебр Ли. Известны только некоторые конструктивные приемы, среди которых мы останавливаемся на общей конструкции алгебр Шевалле.

Материал этой главы носит обзорный характер. С доказательствами изложены только специальные результаты по корневым системам и группам Вейля по- лупростых конечномерных алгебр Ли.

Основные определения

Пусть g— алгебра Ли над полем F. Мы будем рассматривать g как присоединенный g-модуль (см. 0.3.6) относительно представления

(ad x)z/=[x, у] (х, уб^.

Напомним, что подмодули этого модуля суть не что иное, как идеалы алгебры g.

Определение. Алгебра g называется дедуктивной, если она редуктивна как присоединенный g-модуль, т. е.

0 = ®0i- (1)

где g, — простые подмодули в g.

Для каждой пары подмножеств a, beg пусть [а, Ь]— линейная оболочка коммутаторов [х, у], где хба, z/6b. Очевидно, в разложении (1)

[&, &]=0 при i^j.(2)

Используя тождество Якоби, легко проверить, что для каждой пары идеалов а, b их коммутатор |[а, Ь] есть также идеал алгебры g. Поэтому ,

[0о 0.1=0 или о,.(3)

Соответственно каждый идеал gj либо коммутативен, и тогда совпадает со своим центром, либо не коммутативен, и тогда j(ge) =0.

Отсюда, используя разложение (1), легко получаем, что центр 8(g) алгебры g есть сумма всех ее коммутативных идеалов gj. В результате

0=0'®8(0),(4)

где 0' =[g, g].

Определение. Алгебра g называется простой, если она проста как g-модуль и не коммутативна (т. е. 0'^=0). Алгебра g называется полупростой, если она представима в виде суммы (1) простых идеалов.

В последнем определении удобно считать, что сумма может быть тривиальной, т. е. 0=0.

Согласно (4), каждая редуктивная алгебра Ли есть сумма своего центра и полупростой подалгебры g'.

Подалгебра g'=[g, g] называется производной подалгеброй алгебры g.

Пример. Алгебра gl(n) есть сумма своего центра Fe (здесь е — единичная пХи-матрица) и простой подалгебры з!(п).

О п р е д е л е н и е. Алгебра g называется псевдоредуктивной, если ее факторалгебра по центру полупроста.

В этом случае алгебра g называется также центральным расширением полупростой алгебры s=g/$(g).

Известно (см., например, [8, 21]), что в конечномерном случае всякое центральное расширение тривиально, т. е. 0«®Ф$(0).

Таким образом, для конечномерных алгебр Ли псев- доредуктивность совпадает с редуктивностьк?.

Разрешимые алгебры Ли. Идеалы д' = = [д, д], • • • , д(”+1)=[д(п)]' называются производными идеалами алгебры д.

Алгебра д называется разрешимой, если цепочка ее производных идеалов обрывается, т. е. g(n)=0 при некотором п.

Наименьшее из таких чисел п называется высотой разрешимости алгебры д. Разрешимые алгебры высоты 1 —это абелевы алгебры Ли.

Пример. Алгебра Ли Ь+ (п) всех верхних треугольных дХи-матриц есть разрешимая алгебра Ли ранга п.

Геометрическая сумма разрешимых идеалов есть разрешимый идеал алгебры д. В частности, всякая конечномерная алгебра Ли содержит наибольший разрешимый идеал т(д), называемый радикалом алгебры д.

Если charf=0, то алгебра д допускает разложение

д=5Фг(д) (5)

(разложение Леви — Мальцева), где алгебра 0 полупроста.

Алгебра д полупроста (соответственно редуктивна) тогда и только тогда, когда т(д) =0 (соответственно Т(0) =8(0)) -

См., например, [8, 21].

Нильпотентные алгебры Ли. Идеалы 01~[0» 0], ■ • ■, 0n+i=[0, 0п] называются центральными идеалами алгебры д.

Алгебра д называется нильпотентной, если цепочка ее центральных идеалов обрывается, т. е. д„=0 при некотором п. Другими словами,

[... [х,, х2],. .. , хп+1]=0

для каждого набора хп ..., хп+1бд. _

Наименьшее из таких чисел п называется высотой нильпотентности алгебры д. Нильпотентные алгебры высоты 1 —это абелевы алгебры Ли.

Пример. Алгебра п+(п) всех верхних строго треугольных дХд-матриц есть нильпотентная алгебра Ли высоты п — 1.

Здесь строгая треугольность означает треугольность с нулями на главной диагонали.

Если алгебра g разрешима, то ее производная подалгебра д' нильпотентна. .

В общем случае, нильпотентный идеал п(д)=д'Пт(й) называется нильрадикалом алгебры д. •

Предположим, что dimgCoo, charB=0. .В этом случае алгебра g редуктивна тогда и только тогда, когда n(g)=O.

См., например, [10], предложение 1.7.3.

Билинейные формы. Пусть g—алгебра Ли. Билинейная форма В: йХй~*Р называется инвариантной, если

В(х', д^В^х, у')=0 (х,у^)(6)

для каждого внутреннего дифференцирования х' = =[а, х], где абд.

Примеры. 1. Пусть л — конечномерное представление алгебры д. Форма

'В„(х, у)=1гл(х)л(у)(7)

инвариантна. 2. Пусть dimgCoo. Форма

KU. z/)=tr ad x-ad у(8)

инвариантна. Инвариантная форма (8) называется формой Киллинга алгебры д.

Форма В называется невырожденной, если каждое из равенств В(х0, х)=0, В(х, хо)=О для всех хбд влечет хо=О.

Пример. Форма В (х, у) =tr ху невырожденна на алгебре gl(n).

Пусть dimg<oo, charB=0. В этом случае выполняются следующие два критерия Э. Картана (см„ например, [10], теорема 1.5.2, предложение 1.7.3).

Алгебра g полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырожденна.

Алгебра g редуктивна тогда и только тогда, когда на ней существует невырожденная симметрическая билинейная форма.

Замечание. Для построения такой формы достаточно в разложении (4) продолжить форму Киллинга алгебры д' произвольной симметрической невырожденной формой в 8(g).-

Пусть g— полупростая конечномерная алгебра Ли над полем F характеристики 0..

В этом случае каждый конечномерный g-модуль полупрост (теорема Г. Вейля; см. например, [10], теорема 1.6.3).

Указанное свойство называют обычно принципом полной приводимости (для полупростых алгебр Ли).

Простое доказательство этой теоремы будет изложено в § 2.3.-

Замечание. Для коммутативных алгебр Ли полная приводимость не имеет места (возможны «жордановы клетки»). Именно это обстоятельство побудило исключить коммутативные алгебры из числа простых (см. 1.1.2).

Пусть G— вещественная группа Ли. Группа G называется редуктивной (соответственно простой, полупростой'), если ее алгебра Ли g=LieG редуктивна (соответственно проста, полупроста).

Заметим, что для каждого замкнутого нормального делителя Goc:G его алгебра Ли g0=Lie Go есть идеал алгебры д. Если группа G проста, то каждый ее замкнутый нормальный делитель Goc:G дискретен (т. е. до=О).

Пример. Классические группы SL(n), О(п), Sp(2n) просты соответственно при 2<Д 3^п^4, 1^п.

§ 2. Алгебры Шевалле '

Пусть а=(а,Д"^ —комплексная матрица порядка п.

Если матрица а невырожденна (rankа=п), то ее элементы всегда можно представить в виде

а<, = </г<, a,>=az(/ii) (i, j= 1, ..., n),(1)

где ht (i=ln)—базис векторного пространства 5, а,- (/=1, •.., п)—базис дуального пространства I)*.

Действительно, достаточно положить А, = 5°</ео 'i

где az(eA) = 6ZJb (символ Кронекера).

В общем случае пусть rank а=г^п. Тогда представление (1) по-прежнему возможно при diml)=2n—г, с, условием, что векторы /г., а,- образуют линейно независимые системы в I), I)* (см. [13], предложение 1.1).

Представление (1) называется реализацией матрицы а (см, [13]), Две реализации называются изоморф-

ными, если они получаются друг из друга некоторым автоморфизмом фбАиЦ (так что векторы а< преобразуются сопряженным автоморфизмом ф*бАи![)*). Две матрицы а, b имеют изоморфные реализации лишь в том случае, когда они получаются друг из друга подстановкой индексного множества {1, ..., п) (см. [13]).

Условимся в этом случае говорить, что матрицы а, b эквивалентны.

Используя равенство (1), определим расширение a^=(alJ)2"j^l исходной матрицы а.

Полученное расширение будет использовано для построения некоторой (вообще говоря, бесконечномерной) длгебры 0(a).

Алгебра 0(a). Пусть 0(a)—алгебра Ли, порожденная элементами е,, Д (t=l, ••■, и), /г,- (/= = 12п—г) и соотношениями

' («)[е„ ^ = ^г^

(Р)^лд-о,

Pb, еД=ауех, [Л,, М=—а^,

где ati (i, /'=1, ..., 2n—г) — расширение исходной матрицы а, описанное в 1.2.1.

Пространство I) вкладывается в 0(a) как линейная оболочка элементов ht (/ = 1, ..., йп — гУ При этом () —коммутативная подалгебра в 0(a) и также

[MJ-a^e., [Л, Д]=-а( (Л) А(2)

для всех Лб^.

Среди идеалов алгебры 0(a), имеющих нулевое пересечение с I), имеется наибольший идеал m(a). Положим-

0(a) = 0~(a)/m(a).(3)

Условимся говорить, что 0(a) —алгебра Шевалле со структурной матрицей а.

Поскольку №m(a)=0, мы можем рассматривать I) как подалгебру в 0(а)\ Подалгебра 1) называется карта- новской подалгеброй алгебры 0(a).

Условимся также отождествлять элементы е,, ft с их образами (классами) в 0(a). Элементы е,-, ft, ht называются обазующими Шевалле алгебры 0(a).

Положим также 0'(a)=[0(a). 0(a)].(4)

Корневые разложения. Пусть Q = п

— 5 Zaz — аддитивная решетка, порожденная векторами

az (/ = 1, ..., /г). Для каждого a6Q пусть

0a={^6g|[/i, x]=a(/i)x для всех h,6$.(5)

В частности, ^60^. Лб0-аг, Ai60o- Отсюда легко получить, что подпространства (5) образуют Q-градуировку алгебры g(a):

0(a) = ®0a. [0a. 0₽]еда+₽(6)

для всех a, 06Q.

Полагая Q+= 2 ^а^ где Z+={0, 1, 2, ...}, при-

Z = 1

ведем разложение (6) к виду

д=П-®Ь®п+,(7)

где п+ — сумма подпространств g±a при a6Q+.

Элементы 0^a6Q, для которых ga^0, называются корнями алгебры g(a) (относительно $). Элементы 0=# ^хб^ называются корневыми векторами (веса а). Разложение (7) называется треугольным разложением алгебры д(а).

Число multa=dimga называется кратностью корня а. В частности, mult а<= 1 (i= 1, ..., п).'

Корни a, (i=l, •и) называются простыми корнями алгебры д(а).

Замечание. Централизатором подмножества «сд называется множество 3 (д, «) всех элементов z6g таких, что [z, х]=0 для всех х^а. Согласно (8), имеем 3(0> Ъ) = =0.

Инволюция Шевалле. Используя структурные соотношения (а), (0), (у), легко проверить, что преобразование e/ = /z, ft' = ei, hi=ht продолжается единственным образом до инволюции алгебры g(a).

Очевидно, т(а)'=ш(а), поэтому инволюция х ►* х' переносится на алгебру 0(a). Инволюция х*-* х' называется инволюцией Шевалле алгебры д(а).

Соответственно х=—х' есть автоморфизм (авгомор- физм Шевалле) алгебры д(а).

Аналогично преобразование е* = fv f*=et, h*— =hl продолжается до эрмитовой инволюции х*=х', где черта означает комплексное сопряжение в базисе из одночленов (кратных коммутаторов) от образующих Шевалле et, ft, hb

Идеалы алгебры g(а). Приведем без доказательства основные результаты [13] об описании идеалов алгебры д(а).

Центр а (а) алгебры д(а) имеет вид

4(а) ={/i6[)|aj(/i) =0 для всех 1=1п).

Матрица а называется разложимой, если она эквивалентна (см. 1.2.1) матрице ai®a2, где аь аг^О. Разложимость матрицы а равносильна разложимости g(a) в прямую сумму идеалов g(ai)®g(a2), где g(ai), g(a2)#= #=0.

Матрица а называется связной, если для каждой пары индексов й / существует цепочка индексов й, ... ...,/, такая, что

Qiudiiii • • • dlsJ Т^О.

Алгебра g(a) проста тогда и только тогда, когда матрица а невырожденна и связна.

Если матрица а связна, то факторалгебра g(a)/$(a) проста.-

Предположим, что матрица а удовлетворяет следующему условию симметричности:

а<5=0 влечет ац = 0.(8)

В этом случае связность матрицы а равносильна ее неразложимости.

Соответственно каждая матрица а, удовлетворяющая условию (8), эквивалентна сумме ai® ... ®a„, где матрицы а< (i=l, ..., п) связны.

Отсюда следует, что алгебра g (а) с условием (8) псевдоредуктивна.

МатрицыКартана. Целочисленная матрица а называется (обобщенной) матрицей Картана, если

ян=2 для всех Z = 1п,

atj<0 для всех i=f=j,

а«=0 влечет 0^=0.

В этом случае идеал т(а) порождается элементами еч=^е^аЧе? f^^f^fj IW\

Соответственно алгебра д(а) определяется соотношениями (а), (Р), (у) и добавочным условием Серра [20]

eti=k = 0 №)•(9)

Алгебра д(а) конечномерна тогда и только тогда, когда матрица а положительно определена и невырожденна.

Замечание. В этом случае g(а) =д' (а).

Алгебры Каца—Муди. Алгебра й'(а), где а—матрица Картана, называется алгеброй Каца— Муди. ■.

Алгебры Каца—Муди разбиваются на следующие три непересекающихся класса

(Fin). Матрица а положительно определена и невырожденна.

(Aff). Матрица а положительно определена и вырож- денна.

(Ind). Матрица а индефинитна.

Алгебры класса Fin конечномерны. Алгебры класса Aff называются аффинными. Алгебры класса Ind называются индефинитными.

Алгебры класса Fin исчерпывают, с точностью до изоморфизма, класс всех полупростых конечномерных алгебр Ли (над полем С).

З а м ё ч а н и е. Последний результат есть следствие классической теории Картана—Вейля (см., например, [8, 11, 20]). Алгебры Шевалле возникли как обобщение классической конструкции на бесконечномерные алгебры Ли [13].'

Симметризуемость. Матрица а называется симметризуемой [13], если a=eb, где e = diag (ei,... .е„) при е<^0 (1=1, ..., п) и матрица b симметрична. В этом случае в g(a) существует невырожденная симметрическая инвариантная форма (•, •) такая, что (0a. Йи) =0 при а+Р^О, (Л,, х)=е,а,(х) для всех хбф и всех i=l, ..., п.

Если dimg(a)<oo, то в качестве этой формы можно выбрать форму Киллинга алгебры g(а).

Конечномерный случай. Пусть д—по- лупростая конечномерная алгебра Ли над полем С.

В этом случае картановская подалгебра [)czg характеризуется, с точностью до внутренних автоморфизмов, как максимальная коммутативная подалгебра с диагональным (присоединенным) действием в g. См., например, [20].

Пусть Д=Д(д, [))—система корней алгебры б относительно [). В данном случае multa=l для всех абД. Соответственно в д существует базис из элементов /г61), еа6да (абД) с соотношениями коммутации

[A, Са]О* ^И^ ва, [ва, в—а]Ла,

(10) [^а, ^р]^ар^а+р

для всех А61) и всех а, рбД. Здесь N^—рациональные константы, ^р^О тогда и только тогда, когда а+рбД. Корневые векторы еа можно нормировать так, чтобы а(А«)=2 для всех абД. При этом константы Na6 целые, еа' = е_а для всех абД.

Используя (10), легко проверить, что подпространства п± (см. 1.2.3) суть нильпотентные подалгебры алгебры д. При этом п+'=П-относительно инволюции Шевал- ле алгебры д.

Ввиду невырожденности формы Киллинга (-,-), дуальное пространство д* отождествляется с д по правилу (х, У)=У(-к). где хбд, z/бд*..

В частности, форма Киллинга невырожденна на подалгебре ^. Более того, она определяет скалярное произведение в вещественной линейной оболочке КД системы Д.

Элементы йа из (10) записываются в виде ha=

=2а/(а, а) (при отождествлении (), [)*). Соответственно матрица Картана принимает вид

а^=2(а„ а,)/(а,-, о^).а^=2(а„ а,)/(а,-, о^).(П)(П)

а^=2(а„ а,)/(а,-, о^).

а^=2(а„ а,)/(а,-, о^).

(П)

(П)

Изложенные результаты тривиально обобщаются на редуктивные алгебры Ли 0—0'®з(0).

В частности, каждая картановская подалгебра f)C0 имеет вид ()=()/®3(0), где У— картановская подалгебра в д'.

Пусть G— комплексная полупростая связная группа Ли. Группа G алгебраична (т. е. изоморфна алгебраической линейной группе).

Полагая 0=LieG и используя треугольное разложение (7), положим Н=ехр1), W±=expn±. Все эти группы замкнуты, группы N± односвязны. Множество

(12)(12)G0=N_HN+

(12)

(12)

всюду плотно в G (относительно исходной топологии в G и также относительно топологии Зарисского). Отображение N-XHXN-№ у, z) w-хугбС0 есть аналитический гомеоморфизм.

Разложение (12) называется треугольным разложением (или разложением Гаусса) в группе G.

Аналогичные результаты справедливы также для комплексных редуктивных групп Ли. См., например, [П, 19].

Пример. Группа G=GL(n) имеет разложение Гаусса (12), где Н (соответственно АГ+, N_)—подгруппа диагональных матриц (соответственно верхних, нижних треугольных матриц с единицами на главной диагонали).

Системы корней

Пусть Е— конечномерное евклидово пространство над полем R со скалярным произведением (•, •). Для каждого аб£ преобразование

есть отражение относительно гиперплоскости Еа, ортогональной вектору а.

. Конечное множество Ас£ называется системой корней, если

52M. i. редуКтийные алгебры ЛИ

Д не содержит 0 и порождает £,

ГаЛсД для всех абД,

2(а, {})/({}, £)GZ для всех а, ^6Д.

Размерность n = dim£ называется рангом системы Д.

Группа всех автоморфизмов пространства Е, сохраняющих Д, обозначается Аи1Д. Эта группа конечна и содержится в ортогональной группе О(£). Подгруппа этой группы, порожденная отражениями га (абД), обозначается F=F(A) и называется группой Вейля системы Д.'

Здесь О(£)— группа всех автоморфизмов евклидова пространства Е (т. е. подгруппа в Aut£, сохраняющая (•, •))•

Замечание. Системы корней можно определить над произвольным полем F. Однако все они в известном смысле изоморфны системам корней над полем £ (см. [2], гл. VI).

Для каждого абД пусть а'=2а/(а, а). Множество Д' = (а'|абД} также есть система корней в пространстве Е.-

Система Д' называется дуальной к Д.

Очевидно, Д" = Д.

Подмножество Л = {аь ..., а„}сД называется базисом системы Д, если каждый корень абД записывается в виде a=miai+ ■ ■ ■ +mna„, где m^Z (t=l, ... ..., и), причем т(^0 для всех i=lп либо т^О для всех i= 1, ..., п.

Для каждой системы корней Д базисы существуют. Множество всех базисов просто транзитивно относительно группы W.

Последнее означает, что для каждой пары базисов А, В существует единственное преобразование W6W такое, что A = wB.'■

При этом A=WB для каждого базиса В, т. е. каждый корень абД имеет вид а=ыф при некоторых w6W, ^6В.

Дополнение в £ к объединению всех гиперплоскостей Еа (абД) есть открытое множество, связные компоненты которого называются камерами Вейля-

Для каждого базиса ЛсД множество

■ С(Л) = {хб£| (х, а) >0 цри абЛ)

есть камера Вейля, граница которой составлена из «сте-

нок» Еа (абД). Замыкание С(Д) имеет вид

С(Д) = {хб£| (х, а)^0 при абД}.

Отображение Д |-*С(Д) есть биекция множества всех базисов Д<=Д на множество всех камер Вейля. Соответственно группа W действует просто транзитивно на множестве камер Вейля.

Отсюда следует также, что группа W порождается элементами го (абД), где Д — фиксированный базис системы А.■

Элементы хбС(Д) при фиксированном А называются доминантными. Соответственно С(Д) называется доминантной камерой Вейля.

Если абД, то включение ХабД (где X6R) возможно только при Х=±1/2, ±1, ±2.'

Система Д называется приведенной, если 2а$Д для каждого абД. В этом случае включение ХабД возможно только при Х=±1.

Пусть Д = (аь ..., а„} — базис приведенной системы Д. Матрица а, составленная из чисел

ао= («<,«/),(2)

есть матрица Картана в смысле 1.2.6. Матрица (2) называется матрицей Картана системы Д.

Заметим, что матрицы Картана, отвечающие двум базисам A, BclA, эквивалентны в смысле 1.2.1. Заметим также, что.

(а<, а,)^0 при /=#/.(3)

Каждая матрица Картана определяется, с точностью до эквивалентности, набором целых чисел

nij=auaji=4cos20i, = O, 1, 2, 3 (i^h, где 6^— угол между векторами а,-, а,-. При этом

По=1Ы2/1Ы2. если П^КЦаЛ. (4)

Здесь ||х|| = (х, х)1/2—норма вектора х в евклидовом пространстве Е.".

Каждой матрице Картана (2) сопоставляется граф (схема Дынкина), вершинами которого служат корни а^А. Две вершины at, а,- соединяются п^ линиями (ntj = =0, 1, 2, 3) и стрелкой, идущей от «большего» корня а, к «меньшему» а< (ЦосиЦ <||aj|).

Условие Пц = 0 означает, что корни а„ а5 ортогональны. В этом случае вершины а,, а, не связаны между собой.

Соответственно каждая схема Дынкина распадается на связные подсхемы. Схема Дынкина связна тогда и только тогда, когда матрица а неразложима (см. 1.2.5).

Две системы корней Дь Д2 называются изоморфными, если они получаются друг из друга автоморфизмом cpeAutf, сохраняющим скалярное произведение с точностью до гомотетии (т. е. ф=Хф, где Х>0, фбО^)).

Каждая приведенная система корней определяется своей схемой Дынкина с точностью до изоморфизма.

П р и м е р. Схемы Дынкина =о, 0==^, с.:

соответствуют матрицам Картана

/ 2 -П / 2 — 2\ / 2 -3\а==\-12/’ \-12/’ \-12/

Все связные схемы Дынкина описываются следующей таблицей (нижний индекс означает ранг).

Бесконечные серии Л„ (п>1), Вп (п^2), Сп («^3), ^п-^^ попарно неизоморфны и называются классическими. Остальные схемы называются исключительными.

Приведем описание базиса АсА для классических серий. Символы е( означают ортонормированный базис.

Л„. в,— б/+] (i=l,...,n).

Вп. е, —е,+1 (z = 1, ...,/г—1), ел.

С'„. в, —е,+] (z=l, ...,/г—1), 2е„.

Dn.(z = l, ....п — 1), е^ + бп.

Простые алгебры Ли. Согласно 1.2.9, каждой схеме Дынкина сопоставляется полупростая комплексная алгебра Ли 0(a).

Алгебра 0(a) проста тогда и только тогда, когда ее схема Дынкина связна. Разложению схемы Дынкина на связные компоненты соответствует разложение алгебры 0(a) в сумму простых идеалов.

Все простые алгебры Ли над полем С исчерпываются, с точностью до изоморфизма, таблицей 1.3.7.

Классические серии Лп, В^ Сп, Dn соответствуют классическим алгебрам Ли й(п+1), о(2п+1), зу(2а), о(2п).

Алгебры Ли, отвечающие схемам Еп (6^п^8), называются исключительными. Относительно их описания см. [9].

Пусть А — приведенная система корней с базисом A = (ai, ..., aj. Элементы a, (i=l, ..., и) называются простыми корнями.

Пространство Е снабжается частичной упорядочен* п

ностью следующим образом: А>ц, если Л —ц = 2п/аР /=1

где п1=0, 1,2,... (z‘= 1п\ В частности,

A = A+LIA-,.(5)

где А+ (соответственно А-)—подсистема положительных (соответственно отрицательных) корней. При этом А-——А+.

Корень а€Д+ прост тогда и только тогда, когда его невозможно представить в виде суммы двух положительных корней.

Частичная упорядоченность ^ может быть также продолжена до полной (лексикографической) упорядоченности пространства Е-

См., например, [20].

Пример. Все связные схемы Дынкина ранга 2 перечислены в конце 1.3.6. Соответствующие системы Д+ имеют вид:

Л2. а, а+Р, Р-

В2. а, а4"Р, ос4~2р, р.

G2. ос, сс—{—р, 2сс—{—3^, сс—{—2^, а-рЗР, Р

Для каждой пары неколлинеарных корней а, рбД множество корней 7 = ^+^» (£6Z) называется a-серией корней (содержащей р).

Каждая ос-серия имеет вид ч = Р+&а (—Р^^7)> так что числа ^а=2(а, 7)/(а, а) принимают значения —т, —т+2, .. -, т, где т=рЦ-ц. При этом каждая ос-серия инвариантна относительно отражения га.

Число т+1=р+7+1 называется длиной а-серии Р+^а. Если Д — приведенная система, то она содержит только a-серии длины ^4 (даже ^3, если Д не имеет подсистем типа G2)._

Если р=0 (соответственно 7=0), то (а, р)^0 (соответственно (а, р)^0).

Группа Вейля №=№(Д) может быть охарактеризована как абстрактная группа с образующими r< = ra/ (t=l, - - -, «) и соотношениями

rz2=l, (r(ry)^=L(6)

где Шц = 2, 3, 4, 6 при n,j=0, 1, 2, 3 соответственно.

Пример. Группа Вейля типа Л„ есть симметрическая группа Sn (группа подстановок над п предметами).

Системы корней (продолжение)

Всюду в этом параграфе Д — приведенная система корней с базисом Л, Д+=Д+(Л) — подсистема положительных корней, и/=У7(Д)—соответствующая группа Вейля.

Напомним, что группа W порождается отражениями га (абЛ), т. е. каждый элемент weW имеет вид

ХУ = Г1...ГЬ(1)

где г1=Га1, а,- (t=l, •••> /)— конечная система (возможно, с повторениями) элементов а,бА.

Разложение (1) называется приведенным, если оно имеет наименьшую возможную длину j=l(w).

В частности, /(1)=0, где 1 — единица группы №, Цг») = 1 при абД.

Для дальнейшего исследования разложений (1) отметим два вспомогательных утверждения.

. Отражение га (абД) действует в Д+\{а>.

. Если а=шр (а, рбД, шбЦ7), то raw=wr^.

Действительно, если абД, рвД+, то р—а либо не корень, либо содержится в Д+. Поэтому а-серия р+^а содержится в Д+. Отсюда следует (А). Соотношение (В) легко проверяется.

Для каждого w6W положим

Дш={а6Д+| ш-1а<0}.(2)

Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [2]).

Предложение. Дш={уь ..., уД где корни у<6 6Д+ (i=l, ..., j) попарно различны и определяются равенствами

у(==ш<_1а(, w^ri-.-Ti (ш0=1)(3)

относительно разложения (1). В частности, l(w) = = cardAw.'

Действительно, при ш=1 это утверждение тривиально: Д1 = 0. В общем случае покажем, что

Aw={ai)UriA„(4)

где и=Г2...гь причем а^Г1Д„. Отсюда будет следовать индукция по j=l(w).

Записывая условие а6Д„ в виде у-1 (/уа) <0, находим, что оно возможно либо при ла-СО, т. е. a=ai (согласно (А)), либо при Г1а6Д„. Поэтому Д„ содержится в правой части (4).

С другой стороны, применяя допущение индукции к элементу и, находим, что Д„={Рг, ..., рД где корни р< = =Г2.. .rt-\at попарно различны. Но тогда Г1Д„= = {у2, • • •, уД где корни у<=Г1Р, = Ш1-1а( попарно различны.

Покажем, что ai6Aw. Если это не так, то w~*ai = =—У“‘а1>0, откуда ai6A„, т. е. ai = Pi=r2 • • • Л-1«г при некотором i=2, .... b Применяя К этому равенству

правило (В), получаем

Г1(Г2...Г,-1) = (Г2...Г<-1)ГЪ

откуда ri... г(=Г2. •. г<-ь что противоречит приведение- ' сти разложения (1). В результате ai = 7iGAM.

В то же время из доказанного неравенства «i^^t (Z=2,..., /) следует 7<=Г1Р(>0. И также 1сН^ = = ylpi<0, т. е. 7;СДВ (Z=2, ...,/).

Остается заметить, что ai^riAe (так как ri«i<0). В результате Дв={71, .•., 7J, где корни 7, попарно различны. В частности, card A„=/=Z(tw).

Замечание. Применяя правило (В) последовательно к элементам ^i=Wi_\au получаем

®=rYr..rY1(5)

наряду с разложением (1). .

Разложение (5) имеет простой геометрический смысл: переход от камеры Вейля С (А) к камере Вейля пуС(А) = = C(tyA) с пересечением ровно / стенок камер Вейля (/ = Z(ll))).

Группа U7 содержит единственный элемент ну максимальной длины Z(iu) =m=card Д+. Действительно, этот элемент определяется равенством wA =—А. Полагая w=rt.. .гт, получаем

Д+=Ь1Тт}>(6)

где корни 7, определяются равенством (3) при ]=т.

Условимся говорить, что порядок (6) множества Д+ индуцирован приведенным разложением (1) элементам.

Определение. Порядок (6) называется нормальным [77], если для каждого разложения 7;=7,+71, суммарный корень 7, расположен между 7,, 7^ (т. е. i<.j<_k либо A</-<Z).

Предложение. Порядок (6) нормален тогда и только тогда, когда он индуцирован некоторым приведенным разложением элемента tw. Соответственно формула (3) определяет биекцию между нормальными порядками (6) и приведенными разложениями элемента w.

Действительно, пусть порядок (6) определяется ра- ренством (3) и пусть ‘у,=1.+^, где i<jt. Если i<Zk<zj,

то при w = wk имеем .0<w-1aj = w-1ai4-w-1afl<0,

что невозможно. Аналогично, случай j<.i<.k невозможен (полагаем w = Wj). Поэтому порядок (6) нормален.

Обратно, пусть порядок (6) нормален. Покажем, индукцией по /=1, ..., т, что элементы дао=1, wt= = ri...rit где г4=гО/ при ’Yi = wi-iai, удовлетворяют условиям a^A, /(Wi)=i (при /=1 это очевидно).

Предположим, что наше утверждение уже доказано при i^j—1. Полагая w = Wj-i, допустим, что a,=a+P, где а, рбД+, т. е. 7> = wa+wp.

Если оба слагаемых положительны: даа=7ь 1^^=^^, то из неравенств да-17<>0, w-17A>0 находим i, k^j- В то же время 7, = 7i+7ft> что невозможно ввиду нормальности порядка (6).

Если wa=—71, дар = 7А, то i^/^^. В то же время 7*=71+7й что также противоречит условию нормальности.

Таким образом, а,- — простой корень (а;бА).

Заметим, что /(да,)^/. С другой стороны, имеем (из соображений индукции) (Wj-J-^-cO (t=l, ...,/—1). В то же время (Wj-i)-1^^—а, (в противном случае 7,=—^j, что невозможно). Применяя отражение г,-, получаем w,-17,-<0 (t=l, . .., /—1). В то же время да,-17,=г,а,<0. В результате /(да,)=/.

Таким образом, каждый нормальный порядок (6) определяется формулой (3) при ] = т.

Из приведенного рассуждения следует также, что разложение (1) однозначно определяется порядком (6). Поэтому формула (3) определяет искомую биекцию между (1) и (6).

Пример. Если А ранга 2, с базисом А = = {«1, аг), то все приведенные разложения элемента да суть W12, дагь где

^=7-//^. . . гк (к=1 или /).(7)

Здесь Г(=га1 (i=l, 2). При этом /(да) =2, 3, 4, 6 (соответственно) для алгебр AiX^i, А2, В2, G2.

Соответственно Д+ имеет в этом случае ровно 2 нормальных порядка, получаемых друг из друга инверсией ряда Д+. Для алгебр А2, В2, G2 один из таких порядков указан в 1.3,10,'

Определение. Порядок Ди=(ть .. , yJ называется нормальным, если он совпадает с начальным отрезком некоторого нормального порядка в Д+.

Из предложения 1.4.5 получаем

Сл едствие. Формула (3) определяет биекцию между приведенными разложениями (1) и нормальными порядками Дш.

Действительно, каждую цепочку (1) можно продолжить до приведенного разложения элемента w, так что w=ww' при некотором w' = rj+i... rm. Отсюда следует наше утверждение.

Определим упорядоченность в группе W, полагая u^w при Ди<=Д„.

Разложение w = uu (и, uGUZ) условимся называть приведенным, если /(ty) =/(ы)+^(и)-

Используя предложение 1.4.2, находим следующее «правило коцикла»:

Д«=Дии«Д^(8)

для каждого приведенного разложения w=uu. Отсюда следует также, что u^w.

Предложение. Отношение u^w равносильно приведенности разложения w = wu (где v — u-xw^, т. е. равенству•

/(ty)=/(u)+/(u).(9)

Действительно, пусть u^w, т. е. ДисД„. Полагая w=uv, покажем, что uAu<=Aw. Рассматривая корень а=м^, где рбД„, находим

ty-1a=o-1p<0,(10)

и также а>0 (в противном случае —а6Дц<=Д„, откуда ty-1a>0, что противоречит (10)). Следовательно, а6Ди.

Таким образом, обе компоненты разложения (8) содержатся в Д„. Дизъюнктность этих компонент следует из включений и-1ДисД~, и-1(иД„)сД+. Отсюда /(ty)^ ^/(м)+^(и)- Обратное неравенство очевидно. В результате /(ty) = /(u) -(-/(и)^

Пример, l^ty^ty для каждого w6W.

Замечание. Упорядоченность, введенная в этом разделе, эквивалентна (относительно инверсии w •-* ty-1) известной упорядоченности Брюа [37]. См. также [10, 35].

Лемма. Для о/презка \t)=^u i.., чД нормального ряда Д+ следующие три условия эквивалентны.

Отрезок ^ состоит из всевозможных линейных комбинаций n^^k^j^.

Отрезок Д^ состоит из линейных комбинаций n4iA-k4p причем Ti — Tj^k. '

Существует корневая подсистема (ранга 2) Д^сД, для которой ^ — подсистема положительных корней, с базисом {7,, 7Д.

Действительно, импликация (а)=>(Ь) следует из нормальности Д+. Предполагая (Ь), находим (71, ^J^O. Отсюда, индукцией по п, А^1, легко получить, что вектор a=n^t—£75 не является корнем. Действительно,

(а, ъ)=п(^, 7,)—£(7,, 7,)>0.

Поэтому абД влечет а—7,6Д (см. 1.3.11), что невозможно из соображений индукции при п>1. Аналогично, (a, 7J <0, поэтому а^Д при &>1. В результате отрезок Д^ содержит корни ^+£75 только при п, k^O. Подобное рассуждение показывает, что все такие корни содержатся в At. Поэтому (Ь)=>(с). Импликация (с)=>(а) очевидна.

Определение. Отрезок Д^ нормального ряда Д+ назовем отрезком ранга 2, если он удовлетворяет хотя бы одному из условий (а), (Ь), (с). Каждую инверсию отрезка ранга 2 Д^ сД„ назовем инверсией ранга 2 в Д».

Очевидно, каждая инверсия ранга 2 в Д, сохраняет свойство нормальности отрезка Д„.

Лемма. Формула (3) определяет биекцию между инверсиями ранга 2: ^j*-*^ в Д+ и соотношениями тождества

ЧВ =118,40 ti—-ТВ ^J^ (11)

где символ wtl определяется в 1.4.6.

Действительно, преобразование (И) индуцирует инверсию Д^>-*Д^ цепочки (3). Обратно, пусть Д^ь+Д^ — инверсия ранга 2. Используя правило коцикла (8), можем считать, не ограничивая общности, что 1=1,

т. е. А^ = АИ, —начальный отрезок нормального ряда А+. Поскольку А^ — подсистема ранга 2, имеем ^у = а2 (простой корень), w = to12 в обозначениях 1.4.6. Инверсия Отрезка Aw порождается тождеством w = toa2 = w2v

Теорема, (i) Пусть а6А„ — простой корень. Тогда для каждого нормального порядка \w существует композиция инверсий ранга 2 в А„, переводящая а на первое место.

Каждые два приведенных разложения (1) получаются друг из друга композицией базисных тождеств W(i = Wit.

(Ш) Каждые два нормальных порядка А„ получаются друг из друга композицией инверсий ранга 2 в отрезке А».

Заметим вначале, что (ii)<=>(iii) по лемме 1.4.11. При /(ш) = 1 все утверждения тривиальны. В общем случае — индукция по Цго).

Пусть а=^. Достаточно рассматривать случай w=Wj. Заметим, что все положительные корни, порожденные корнями "fl, ч,, содержатся в А„, откуда АисА„, где и — аналог элемента ту для корневой системы ранга 2 с базисом ^р '(у. Отбрасывая корень '(у, находим Au-cAw-, где и', w' определяются приведенными разложениями u = u's, чв=чв'г1, s = rak. гдеА = 1или j (см. 1.4,6). Используя лемму 1.4.9, получаем приведенное разложение чм' = и'*и.

Заметим, что ^i—u'a^w'aj, откуда ак=иа.х. Согласно (8), имеем зи = иг5. Преобразование .

w = w'Г, = и' (vfj) =.и' (sv) = ии

сводится к композиции базисных тождеств (допущение индукции для (ii), с учетом /(и')^1 для корневых систем ранга 2). Соответствующее преобразование в А„ переводит Аи в начальный отрезок ряда А„. Остается применить инверсию этого начального отрезка.

Согласно (i), достаточно рассматривать приведенные разложения с одинаковым первым корнем, т. е. w=rxu = r\U. По допущению индукции равенство и=и сводится к композиции базисных тождеств (11). Отсюда следует (ii).

Замечание. Утверждение (ii) представляет собой уточнение теоремы 1.3.12.

В действительности из утверждения (ii) можно вывести также доказательство теоремы 1.3.12.

Вещественные формы

Пусть g—алгебра Ли над полем С. Вещественная подалгебра доС0 называется вещественной формой алгебры д, если

0=0о® 10о.(1)

Здесь i= V — 1. Очевидно, всякий базис алгебры 0о есть также базис алгебры g (над полем С). В частности, dime g=dimRg0.

Алгебра g называется комплексной оболочкой алгебры д0.

Обратно, для каждой вещественной алгебры Ли до определена комплексная оболочка

0 = 0o®rC(2)

(см. 0.6.4)._

Отображение z=x-\-iyw z=x—zy, где х, у^й, называется комплексным сопряжением алгебры g (относительно д0). Очевидно, это сопряжение есть антилинейный автоморфизм алгебры д.

Подпространство фед условимся называть симметричным, если Ъ=Ь, т. е. ()=()о®/1)о где ()о=()П0о.

П р и м е р. з(0) =3(д0) ®z’3 (0о) •

Отображение фо'-* М& $о определяет биекцию между идеалами фосдо и симметричными идеалами ф<=д. Однако не всякий идеал фед симметричен.

Пример. Пусть g=giX0i, где gi — комплексная алгебра Ли. Перепишем это равенство в виде суммы двух идеалов:

д=аФЬ,(3)

где a«gi (соответственно 6«gi)—множество всех пар (х, 0) (соответственно (0, х)) при х6дь Пусть х^х— комплексное сопряжение в дь Равенство

(хТу) = (у, х)(4)

определяет комплексное сопряжение в алгебре д, относительно которого а=Ь-

Замечание. Вещественная форма алгебры (3) относительно сопряжения (4) есть

0о={С*, я) |л:681}, (5)

так что 00^81 (над полем R). Таким образом, комплексная оболочка алгебры 01 (как алгебры над полем R) совпадает с 01Х01.

Иногда такие алгебры (вида 0iX0i) называются [11] бикомплексными алгебрами Ли.

Предложение, (i) Если алгебра 0О проста, то ее комплексная оболочка 0 либо проста, либо изоморфна 0оХ0О.

Если алгебра 0о полупроста (соответственно ре- дуктивна), то алгебра 0 полупроста (соответственно ре- дуктивна). '

Доказательство. (1) Если ^=^0®i^0 — симметричный идеал алгебры 0, то ^о — идеал алгебры 0О, откуда ^о = О или 0о, т. е. ^ = 0 или 0. Поэтому, если все идеалы алгебры симметричны, то она проста.

Предположим, что ^—несимметричный идеал алгебры 0. Идеалы [) + [), ^П^ симметричны, поэтому каждый из них есть либо 0 либо 0. Варианты [)-[-[) = О, 1>П1) = 0 отпадают (в этих случаях ^ = 0 или 0). Остается случай d+F=0, ^П^=0, т. е.

0 = W (6)

Заметим, что [^, MV=0 (в противном случае [0, 0] = О, что невозможно, поскольку [0о, 0о]¥=О). Если [и— идеал алгебры ^, то из равенства (6) следует, что (и — идеал алгебры 0. Случай [)i = 0 исключается равенством (6). Поэтому либо ^!=0, либо 0=[)1®[)1, откуда ^i=^. Следовательно, 1) — простой идеал.

Остается заметить, что равенство (6) равносильно (3), т. е. 0^0оХ0о (где 0о~[) наделяется комплексной структурой алгебры [)).

Это утверждение следует из (i).

Замечание. Аналогично проверяется, что из псев- доредуктивности 0О следует псевдоредуктивность 0.

Пусть 0о — вещественная алгебра Ли, 0 = = 0o®rC. Для каждого 0о-модуля Vo его комплексная оболочка V=Vo®rC естественно снабжается структурой 0-модуля.

Предложение, (i) Если Уо — простой ^-модуль, то модуль V либо прост, либо есть прямая сумма двух простых изоморфных ^-модулей.

(ii) Если модуль Ко редуктивен, то модуль V также редуктивен.

Доказательство — по аналогии с 1.5.3.

Компактные формы. Вещественная алгебра Ли д0 называется компактной, если в ней существует инвариантное (см. 1.1.6) скалярное произведение.

Компактная вещественная форма goczg (0 — комплексная алгебра Ли) называется компактной формой алгебры д.

Примеры. 1. Алгебра u(n) есть компактная форма алгебры gl(n, С) (со скалярным произведением (х, У) “tr ху*). 2. Алгебра Ли компактной группы Ли компактна (см., например, [11]).

Предложение. Всякая конечномерная редуктив- ная алгебра Ли обладает компактной формой.

Достаточно рассматривать случай, когда алгебра g полупроста. Пусть х х* — эрмитова инволюция Ше- валле алгебры g (см. 1.2.4). Положим

Ио(0) = {х6д|х+х* = 0}. (7)

Легко проверить (см., например, [11]), что форма Кил- линга отрицательно определена в Uo(g). Поэтому (х, у) =—К^х, у) есть инвариантное скалярное произведение в u0(g).

Ясно также, что g=u0(g)®iu0(g). Поэтому и0(д) есть компактная форма алгебры д.

Автоморфизмы К а рта на. Пусть д — конечномерная редуктивная алгебра Ли над полем С. Фиксируем компактную форму Uo(g), совпадающую с (7) на полупростой подалгебре g' = [g, д].

Определение. Автоморфизм 6 алгебры g называется автоморфизмом Картана, если он инволютивен (т. е. 62=1) и сохраняет компактную форму u0(g).

С каждым автоморфизмом Картана связана Z2-rpa- дуировка алгебры д: д=1Фу, где

f = (хбд| 0х=х}, j = {хйд 16х= —х}. (8) Разложение д=1Фр называется разложением Картана алгебры д. Очевидно,

[t, t]d, [I, ticv, [у, pjczf. (9)

В частности, t есть подалгебра (называемая инволютивной подалгеброй алгебры д), р есть 1-модуль.

Полагая 1о=1ПИо(д), Po=Vf]iUo(fl), получаем разложение Картана в tt0 (fl):

Uo(fl)=to®i)»o.(Ю)

Используя (9), легко проверить, что

flo = to®?o(И)

есть (вещественная) алгебра Ли. Очевидно, до есть вещественная форма алгебры д.

Таким образом, с каждым автоморфизмом Картана связана вещественная форма до=до(9).

Обратно, каждая вещественная форма дос=д имеет вид flo (0) при некотором 6 (достаточно положить to= =0оПИо(0), ро = доПШо(д) и определить 1, р как комплексные оболочки t0, Ро) •

Соответственно задача описания всех вещественных форм 0о<=0 сводится к задаче описания всех автоморфизмов Картана 06Autg.

Симметрические пары. Условимся говорить, что (0, t) — симметрическая пара, если

(а) 0 — комплексная редуктивная алгебра Ли конечной размерности,

(Р) t — инволютивная подалгебра алгебры д, т. е. множество неподвижных точек некоторого инволютивного автоморфизма 0,

(у) автоморфизм 0 сохраняет некоторую компактную форму Uo(g)<=g.

Алгебра g в этом случае также называется симметрической алгеброй Ли [10].

Две пары (gi, ti), (дг, Гг) считаются изоморфными, если существует изоморфизм fli«02, относительно которого ti«t2.

Согласно 1.5.6, классификация вещественных редук- тивных алгебр Ли сводится к классификации симметрических пар (g, !) (определяемых с точностью до изоморфизма)..

Замечание. Условие (у) можно вывести из (а), (0). См. 1.7.14.

Алгебры внутреннего типа. Вещественная алгебра до=0о(6) называется алгеброй внут-

реннего типа, если 6 — внутренний автоморфизм алгебры й (см. 0.7.2).

Каждая полупростая алгебра Ли внутреннего типа есть прямая сумма простых идеалов внутреннего типа.

Результат классификации всех простых алгебр Ли внутреннего типа содержится в следующем списке соответствующих пар (fl, f). При этом мы исключаем известный случай йо=Но(0). Детали классификации можно найти в [8].

Классические пары.

Ап1 (/г>1). (А„, С X Аг-1 X А„_г),

Bni <п>=1\ (Вп, DtXBn_t), i = \,...,n.

Cni (n>3). (Cn, CtXC^,

1 = 1[^J+ n (Сл-СХА^).

Dnl (n>4). (D„, D^D^),

/ = i.[-^J; №.cxAn_a.

Здесь имеются в виду следующие вырождения: Ао = = Во = О, D. = C, D2=A.XA\.

Исключительные пары.

(Е6, CXD^, (Е6, А^Аз),(Е7, СХДб), (Д?, A.XD6), (Е7, А7),(Е8, А .ХЕ,), (Ев, D6),(F4, В4), (F4, А.ХСз), (G2, А.ХА.).

Алгебры внешнего типа. Вещественная простая алгебра йо=во(О) называется алгеброй внешнего типа, если 6 — внешний автоморфизм алгебры fl. ■ . .

К алгебрам внешнего типа относятся комплексные простые алгебры Ли (рассматриваемые как алгебры Ли над R). Соответствующие пары (g, I) бикомплексны: fl=giXfli, ! —диагональ в giXfli (см. 1.5.2).

Во всех оставшихся случаях простая алгебра до имеет простую комплексную оболочку. Результат классификации простых симметрических пар (д, !) внешнего типа содержится в следующем списке.

Классические пары.

АВП. (А2п, В„). АСп. (Агп-i, Сп). ADn. (Агп—ь DnV

DBnV (Dn, BtXBn-^, i=Q, \,...Ant2\.

Исключительные пары.

Симметрические пары■

В дальнейшем нам понадобится несколько более детальная информация о симметрических парах (картановские подалгебры, корневые системы и т. д.).

Пусть g—алгебра Ли. Подалгебра leg называется редуктивной в д, если ее присоединенное действие в g редуктивно (т. е. g есть редуктивный 1-модуль).

Если g — компактная алгебра конечной размерности, то в ней всякая подалгебра редуктивна (см. упражнение 0.7.10).

Применяя это правило к компактной форме u0(g) и пользуясь принципом комплексного продолжения (см. 1.5.4), находим, что для каждой симметрической пары (g, 1) подалгебра 1 редуктивна в д.

В частности, 1 — редуктивная алгебра Ли.

Предложение. Пусть (g, I) — симметрическая пара. Тогда для каждой картановской подалгебры food ее централизатор 5=8 (б, 5о) есть картановская подалгебра алгебры д. При этом

5=5o®5i,(1) .

где 51=5^1?.

Доказательство. Ясно, что 5 есть комплексная оболочка алгебры а=8(и0(д), а0)> где а=5оЛио(д). Из ре- дуктивности алгебры а (см. 1.6.1) следует, что ее производная подалгебра а'=[а, а] полупроста.

С другой стороны, подалгебра а0 совпадает со своим централизатором в !0 (см. 1.2.3). Поэтому а = а0®а1, где ai=aniy0. Из равенства [a0, ai]=0 находим а'с с[аъ ajczao, т. е. алгебра а' коммутативна, что возможно только при а' = 0.

Следовательно, алгебра а коммутативна, и также а = =j(u0(g), а), т. е. a — максимальная коммутативная подалгебра в u0(g). Но тогда и b—максимальная коммутативная подалгебра в д.

Из редуктивности а в u0 (й) следует редуктивность (т. е. диагональность) действия b в алгебре д. Следовательно, 1) есть картановская подалгебра алгебры g (см. 1.2.9).

Разложение (1) есть комплексификация разложения a = a0@ai.

Фиксируем картановскую подалгебру (1) алгебры д, и пусть Д = Д(д, Ь) —система корней алгебры д относительно Ь-

Разложение (1) индуцирует соответствующее разложение дуального пространства:

- = (2)

где bi* множество всех элементов ХбЬ*, равных нулю на Ь,- (i^=h. .

Соответственно элементы Х6Ь* мы будем записывать в виде пар Х = (Хо, М, где Х<6Ь,* (i=0, 1). Автоморфизм Картана действует на элементы Х6Ь* сопряженным образом, так что 0 (Хо, X,) = (Хо, — X,).

Далее мы будем рассматривать скалярное произведение (’•, •) в вещественном пространстве £=RA (см.

, индуцированное формой Киллинга алгебры д.

Пусть До = Д(1, Ьо), Д1 = Д(р, Ьо) —системы корней (ненулевых весов) алгебры Ьо в подпространствах 1, р соответственно.

Предложение. Каждая из систем kt (i=0, 1) однократна и состоит из компонент а0, где а= (а0, а^&Д. Соответствующие корневые векторы 6 1, р имеют вид

^а# ==^а “Н 0^а> ^ав==::^а О^а» (3)

где еа — корневой вектор алгебры д, отвечающий корню а (так что ва^. ёаобР).

Если ai = 0 (т. е. a=9a), то один из векторов (3) равен нулю. Если ai^O, то векторы (3) линейно независимы (т. е. аобАоЛА,).

Доказательство. Ясно, что векторы (3) удовлетворяют соотношению [/г, х] = а0(/г)х для каждого йб^0. Равенство ао=О означало бы, что eaeg(g, ^о) 47 0 невозможно. Ясно также, что хотя бы один из векторов еао, ёао отличен от нуля. Поэтому а0 есть корень алгебры 5о хотя бы в одном из подпространств !, у.

Из однократности системы А (см. 1.2.9) следует, что 6еа=Хаева, где ХабС. Если а=т^0а, то векторы (3) линейно независимы (т. е. отличны от нуля). Если а=9а, то Аа2= 1 (ибо 92 = 1). В этом случае 9еа = ±ба, т. е. один из векторов (3) есть нуль.

Покажем теперь, что системы А< (i = 0, 1) однократны, т. е. ао#=Ро при а=#р. В противном случае, заменяя, если надо, а на 9a, можем считать, что ao = Po, («i, PJ > >0. Отсюда (a, Р) = ||а0|12+(аь Pi)>0. Следовательно, а—рбА (см. 1.3.11). Но это невозможно, ибо а0—Ро = О.

Замечание. Элементы Д0\Д1 называются компактными корнями, элементы ДАД»— некомпактными корнями, элементы ДдПД, — комплексными корнями алгебры g (относительно $0).

Пары внутреннего типа. Симметрическая пара (g, !) есть пара внутреннего типа тогда и только тогда, когда гапкд = гапк! (см. {8], (8.5.2)).

Последнее означает, что каждая картановская подалгебра ^<=t есть также картановская подалгебра алгебры g (т. е. ()1 = 0 в обозначениях 1.6.2). В этом случае

д=доид,(4)

есть дизъюнктная сумма (т. е. ДоЛД1 = 0). Разложение (4) в этом случае связано с некоторой 22-градуировкой алгебры д, которая может быть описана следующим образом..*

Корень ^еД+ называется старшим корнем системы \, если 7+а$Д для всех абД+. Если g проста, то старший корень 7 единствен (см. 2.2.3). Положим

7 = т,а!+. ..+тпап,(5)

где ai,..., an — простые корни в Д+. Здесь mt = (7, PJ, где Pi — дуальная система в ^, т. е. (a^ Pj)=6ij> где Oij — символ Кронекера..

Индекс i0= 1,..., п назовем допустимым, если т,-0 = 1 или 2. Фиксируем допустимый индекс t0, и пусть

Д; = {«6Д | (a, р,-,) —/ mod 2}.(6)

Здесь / = 0, 1. Соответственно положим

1 = ^®2Сеа, р=2Се- (7) абД0a6Aj

Если 0 проста, то все внутренние пары (g, t) получаются указанным образом (см. [8], (8.5.3)).

При этом базис Ао^До можно выбрать следующим образом:

А0 = А\(а,о}, если /nio=l,

A0 = (A\{azJ)U{e}, если mio = 2, где корень есД удовлетворяет соотношению (е, р/о) = + 2.

В частности, можно выбрать е таким образом, чтобы Д+(А0)сД+(А).

Замечание. Корни а0, «1,..., ап> где а0= —Т, образуют расширенную схему Дынкина Г(Д). Для алгебр типа II можно выбрать е = а0 (так что До получается из Г(Д) вычеркиванием корня а<0).

Пусть (g, t)—симметрическая пара внутреннего типа. Согласно 1.6.5, базис Ао^Ло можно выбрать в виде

,А0= (A\B)UA.,

где А.= (еп ..., ег) — дополнительная подсистема корней, порожденных простыми идеалами типа II.

Условимся считать, что Д+(А0)сД+(Д) (см. 1.6.5), и пусть Дг±=Д1ПД± (t = 0, 1). Отметим следующие свойства системы Д,+.

Если абД^, ебА., то a+еФД, (ос, е)^0.

Если ос, р, "гбД^, то а+Р+^Д.

Действительно, пустьg проста. В условиях (А) имеем (а>₽/о) = Ь (е>к)=2> откуда (« + е, р/о) = 3, что невозможно при a-j-ебД. Поэтому а есть старший корень е-серии корней, откуда (а, е) > 0. В условиях (В) имеем (а + Р + Т, Р/„) = 3, что невозможно при а + р + ^бД.

Замечание. Если g содержит только компоненты типа I, то (В) выполняется даже для пары корней a, p6At+.

Разложение И в а с а в ы. Другой стандартный подход к построению картановских подалгебр

состоит в выделении максимальных абелевых подалгебр а<=р. '

Подпространство а<=р называется подпространством Картана, если а — абелева подалгебра в д, редуктивная в g и максимальная в р (последнее означает, что а = =3(р, а)). Для всякой симметрической пары подпространства Картана существуют (см., например, [10], 1.13.6).

Пусть а — подпространство Картана в р, f=j(g, а) — централизатор а в д. Подалгебра f редуктивна в g и имеет вид f = a®m, где m=$(t, a) —централизатор а в подалгебре I. Для каждой картановской подалгебры Ь<=ш алгебра 1)=аФ1> есть картановская подалгебра алгебры g (см. [10], 1.13.7).

Пусть п — нильпотентная подалгебра алгебры д, натянутая на векторы еа (абД+) с ненулевыми проекциями а | . Алгебра g представляется в виде прямой суммы

д=1ФаФп. (8)

Соответственно, пусть g0 = t0®p0 — вещественная форма алгебры д, ассоциированная с парой (д, I) (см. 1.5.6). Разложение (8) индуцирует соответствующее разложение алгебры д0:

до=1о®<1о®По, (9)

где ао=аПйо, по=пПдо.

Разложения (8), (9) называются разложениями Ивасивы (алгебры д, подалгебры д0).

Пусть G— линейная связная группа Ли с алгеброй Ли g0 = LieG. Тогда существуют связные подгруппы К, A, N в группе G с алгебрами Ли t0 = LieK, a0 = Lie A, n0 = LieA, для которых

g=kan«kxaxn.

При этом изоморфизм (10) означает аналитический изоморфизм, определяемый отображением (к, а, п)^ *-*kan, где к^К, абА, пбИ.

Разложение (10) называется разложением Ивасавы в группе G. См., например, [11], [19].

Замечания. 1. Подгруппа К есть максимальная компактная подгруппа группы G. 2. Подгруппы А, И односвязны, каждая из них изоморфна евклидову пространству. 3. Разложение Ивасавы можно также запи. сывать в инверсной форме: G = NAK,

Дополнения, упражнения

Если матрица а = (ац)"/=1 целочисленна, то расширенная матрица • (1.2.1) также целочисленна (см. [13], § 1.0). В этом случае алгебра Шевалле д(а) может быть определена над произвольным полем F.

В частности, все полупростые комплексные алгебры Ли конечной размерности допускают модификацию над полем F.

Классификация Э. Картина полупростых комплексных алгебр Ли переносится на случай произвольного алгебраически замкнутого поля F характеристики нуль. См., например, [8, 10].

Отметим следующие стандартные примеры бесконечномерных алгебр Ли.

Алгебра Витта too определяется базисом в; (г'б2) и соотношениями коммутации

1е5, eA=U-i)ei+j (i, j^Z).

Алгебра Вирасоро го определяется как центральное расширение го = ГОо®Ег с соотношениями коммутации

к/, ^^(/-^^^^-(уЗ-уЗбг.^г (i, /eZ), где г— центральный элемент.

Упражнение. Алгебра го0 проста (соответственно алгебра ГО псевдоредуктивна). Алгебра ГО есть нетривиальное расширение алгебры Гоо.

Пусть д'(а) —алгебра Каца—Муди (см. 1.2.7), Д— ее система корней. Группа Вейля 1^=1^(Д) определяется как группа, порожденная отражениями

пх=х—x(/i1)a, (i=l,...,n)(1)

в пространстве ()*. Корень абД называется вещественным, если он содержится в множестве ДГе = №А, где Л={аь .... ал). Остальные корни называются мнимыми. Таким образом,

Д = ДгеиА1т,(2)

где Д1т — множество мнимых корней.

Если g'(a) =g(a) — конечного типа, то Д1т=0.

Если g'(а) — аффинная алгебра Ли и матрица а неразложима, то существует единственный корень б>0

такой, что

Д1т = (дб| и=±1, ±2,...}.(3)

Пример. Аффинная алгебра Ai(l) определяется следующим образом [13]:

АР^АДб Г^ФСеФСг,(4)

где ДД/, С-1}— алгебра бесконечных рядов Лорана от переменных t, Z-1 с коэффициентами в алгебре Д1 = =sl(2), z — центральный элемент. Заметим, что

ДДЛМ^Д,.(5)

Пусть е — оператор Эйлера в С{/, /-1} (т. е. e=tdldt), и пусть <•, •>— билинейная форма в С{/, Z'1}, определяемая равенством

</, g>=2/ig-i(6)

для элементов /=2 /^> g— ^gi^1- Умножение ii

в алгебре Др определяется следующей таблицей коммутации:

tf®x, g®yl = fg®lx, y]+<ef, g>(x, у)-г,(7).

[е, f®x] = ef®x.

Здесь f, g&C{t, /"’}, х, y6Ai, (•, •) —форма Киллинга в алгебре Дь

Заметим, что в данном случае a=lg gl A={ap a2}, d=a1 + a2. Система положительных вещественных корней алгебры Д^ имеет следующий вид:

Дге+ = {(/Ч~1)®1+/а2, /ai-h U + 1)«2|/6Z}- (8)

По аналогии с 1.2.6, можно определить матрицы Картана бесконечного порядка. Счетные матрицы Картана с положительными главными минорами исчерпываются следующими схемами Дынкина ([13], упражнение 4.14): '

Пусть g— комплексная редуктивная алгебра Ли, dimg<Coo. Элемент хбд называется нильпотентным, если оператор adx нильпотентен ((adx)n=0 при некотором п).

Пусть Adeg— подгруппа в Adg (см. 0.7.2), порожденная операторами expadx, где х — нильпотентный элемент. Отметим без доказательства следующие результаты (см., например, [10], 1.10.19, 1.10.20).

Фиксируем картановскую подалгебру ]>czg и систему Д=Д(0, Ь). '

Пусть №=Ц7(Д)—группа Вейля алгебры д. Для каждого w^W существует элемент aw6Adeg, действие которого сохраняет 1) и индуцирует оператор w в пространстве 1)*.

W«N^[Z^, где A^(b)c:Adeg — нормализатор 1) (множество всех a6Adeg таких, что а1)=^), Z(^) — централизатор 1) (множество всех a6Adeg таких, что ах=х для каждого хб1)).

Максимальные разрешимые подалгебры Ьсд называются борелевскими подалгебрами алгебры д (пример: Ь+=1)®п+ в обозначениях 1.2.3). Все борелев- ские подалгебры Ьсд сопряжены относительно группы Ade д.

Соответственно все картановские подалгебры алгебры д сопряжены относительно Ade g.

Пусть до — вещественная редуктивная алгебра Ли, dimgo<oo. Картановский подалгеброй алгебры до называется максимальная абелева подалгебра Ьосдо, редуктивная (т. е. диагональная) в комплексной оболочке g=go®igo-

Соответственно 1)=1)о®Л)о есть картановская подалгебра алгебры д. ■ .

В отличие от комплексного случая, картановские подалгебры алгебры до не обязательно сопряжены относительно группы Ad до. Однако существует лишь конечное число классов сопряженности картановских подалгебр алгебры до относительно Adg0. См., например, [21].

Если д0 компактна, то все ее картановские подалгебры сопряжены относительно Ad до.

Симметрические пространства. Пусть G — линейная связная редуктивная группа Ли, К—ее максимальная компактная подгруппа, определенная в 1.6.7.

Однородное пространство GfK относится к классу симметрических римановых пространств (см., например, [29]), причем пространства вида GfK исчерпывают, с точностью до изоморфизма, все связные симметрические римановы пространства.

Заметим, что пространство ро, определенное в 1.5.6, естественно отождествляется с касательным пространством к многообразию GfK.

Упражнение. Пусть А — система корней в евклидовом пространстве Е, dimECoo. Пусть

а>0

— полусумма положительных корней оСбА+ (относительно фиксированного базиса AczA).

Проверьте, что числа ра = 2(р, а)/(а, а) равны 1 для всех об А.

Указание. Воспользуйтесь формулой отражения 1.3.1 (1) и правилом 1.4.1 (А).

Проверьте, что pa6Z+ для всех «6А+, ра> >1 при аФА. ■

В условиях 1.7.9 фиксируем подмножество AqCzA, и пусть Ао = А(Ао) —подсистема в А, порожденная множеством Ао, Ао+ = А+(]Ао. Проверьте, что существует нормальный порядок А+ с начальным отрезком Ао+.

Пусть 1Г=1Г(Д)—группа Вейля, определенная в 1.3.1. Групповая алгебра группы W определяется как векторное пространство С[1Г] над полем С с базисом из элементов w'eW и с умножением этих элементов как элементов группы W.

В частности, положим

5=4'2®’’ ^=4’2e(a’)®’’<1°)

где n = card№, е(ьу) = (—l)z(№) и сумма берется по всем weW.

Упражнение. Проверьте, что элементы (10) суть идемпотенты в С[1^] (т. е. s2 = s, а2 = а), причем

sw = ws = s, aw = wa = e(w)a,(11)

для каждого u№W.1

Замечание. Элементы (10) называются соответственно симметризатором и альтернатором в группе W.

Упражнение. Фиксируем приведенное разложение w = rx...rm (см. 1.4.4). Построим следующее семейство элементов в С[№]-'

f(O = (l+/1r1).-.(l+/mrm),(12)

с параметром /б£, где

^=2(/,7а/(уъуа.(13)

с корнями yi=tyi_1aJ, определенными в 1.4.2 (3).

Проверьте, что элемент (12) не зависит от приведенного разложения элемента w.

Указание. Достаточно выполнить проверку для систем ранга 2 и воспользоваться теоремой 1.4.12.

Упражнение. Проверьте, что элементы (10) выражаются через произведения (12) следующим образом:

S=~/(P). *=~/(-р),О4)

где р — полусумма положительных корней (см. 1.7.9), л=р,... рп, в обозначениях (13).

Указание. Используя теорему 1.4.12, проверьте тождества (11) (достаточно положить w=rty Элементы s, а однозначно определяются этими тождествами и условием нормировки: коэффициент при базисном векторе 16Ц7 есть 1.

У п р а ж н е н и е. Докажите предложение 1.6.2 без использования компактной формы u0(fl) по аналогии с теоремой 1.13.6 в [10].

Замечание. Отсюда следует импликация (а), (0)=>(у) в обозначениях 1.5.7.

Упражнение. Постройте расширенные схемы Дынкина Г (А) классических типов Д„—Д„ (пп. 1.6.5). Какие корни at следует вычеркнуть из Г (А) для построения классических пар Д„,—О„, (см. 1.5.8)?

Упражнение. Пусть некоторый элемент w^W сохраняет гиперплоскость НаЕ. Проверьте, что w=ra, Н=Еа при некотором абА. (См. также [2].)

Упражнение. Проверьте, что (a) Aiy-i = = — ^’Ац,, (b) wA+= — AroU wAk,-, где w=ww'.

Замечание. wAro- = А+\АТО.

ГЛАВА 2

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ g-МОДУЛИ

С каждой алгеброй Шевалле 8=8 (а) естественно ассоциируется некоторое семейство «экстремальных 8-модулей», порожденных «старшими векторами» (или векторами старшего веса).

Всюду в этой главе, для простоты изложения, а — конечномерная полупростая (или редуктивная) алгебра Ли над полем С.

Основное содержание главы сводится к традиционным вопросам (конечномерные представления, модули Верма, характеры и т. д.). Несколько более специальные вопросы изложены в § 5—7.

Предварительные сведения

Алгебра Ли sl(2). Мы начинаем с рассмотрения простой комплексной алгебры Ли g=3l(2) (типа Ai).

Пусть е_, е0, е+ — образующие Шевалле алгебры а с соотношениями коммутации

[е+, е_]=е0, [е0, е±]=±2е±(1)

(см. 0.7.9, 1.2.9). Заметим, что алгебра а имеет линейное представление дд дд

е_=уз—, e0=x-sу -—-, е+=х-д-(2)

3 дх и дх 3 ду + оу ' ' в пространстве полиномов £=С[х, у\.

Пусть Е (m) clE — подпространство однородных полиномов степени т. Элементы Д(х, у) =х1+чу1~'1, где l=m!2, n=—/,...,/, образуют базис пространства £(т). При этом

e-/v= (/+,v)fv-b e0fv=2vfv, e+fv=(/—v)fv+1.(3)

Легко проверить (см. также 2.1.2), что Е^т) есть простой g-модуль. Из сравнения размерностей (dim £(/п) =/п+1) заключаем, что модули Е(т) попарно неизоморфны.

Предложение. Всякий простой конечномерный ^-модуль изоморфен одному из модулей Elm).

Доказательство. Пусть V — простой конечномерный g-модуль, и пусть иобУ — собственный вектор оператора е0 с собственным значением X. Записывая второе соотношение (1) в виде е0е±=е±(е0+2), находим

e0(e±v0)= (Х±2)е±и0- (4)

Поэтому либо е±ио=О, либо е±и0 есть собственный вектор оператора е0 с собственным значением Х±2. Ввиду конечности числа собственных значений, найдется собственное значение X такое, что Х+2 уже не является собственным значением, т. е. е+ио=О.

Положим в этом случае ип=е_пио(п=О, 1, 2,...). Применяя (4) рекуррентно, получаем соответствующие собственные значения Х„=Х—2п. Ввиду конечности числа собственных значений, эта цепочка обрывается. Оставшиеся векторы un=e-nv0 (п=0, 1,..., т) линейно независимы. При этом

е_ип=ип+ь eovn= (X—2n) vn. (5)

С другой стороны, из правила дифференцирования 0.7.7 находим [е+, е_п] =пе_"-1 (е0—п+1). Применяя этот оператор к элементу v0 (e+vo=O), получаем

е+ип=п(Х—п+1) Un-,. (6)

Согласно (5), (6), линейная оболочка Vo элементов ип (п=0, 1,..., т) есть ненулевой подмодуль модуля V. Поэтому V0=V.

Напомним, что vm+1=0, Vm^O. Поэтому из (6) при n=m+l получаем Х=ш.

Полагая fv= (/+v)!vZ-v, легко проверяем, что формулы действия (5), (6) сводятся к формулам (3). Отсюда V^E(m). '

Замечание. Базисные векторы fv ортогональны относительно скалярного произведения 0.5.2 (6) в пространстве Е. При этом

IIMIz=(/+v)l(Z-v)lIIMIz=(/+v)l(Z-v)l(7)(7)

IIMIz=(/+v)l(Z-v)l

IIMIz=(/+v)l(Z-v)l

(7)

(7)

согласно 0.5.2 (5). Операторы е± действуют на элементы ортонормированного базиса gv=||MI_Vv следующим образом:

^+^v ^v^v+1, 6—^v Я—v^v—i,(8)

где положено av= ]/(/—v) (Z+v+Д).

Пусть по-прежнему g=sl(2). Левый g-модуль У назовем экстремальным, если он порождается циклическим вектором ио^О таким, что е+ио=О, еоио=Хио при некотором ХбС.

При этом вектор и0 называется экстремальным (или старшим) вектором модуля У. Собственное значение X называется старшим весом модуля V.

В частности, пусть У(Х)—экстремальный д-модуль с базисом из элементов и„ (n=0, 1, 2,...) и действием (5), (6). Легко проверить, что при X— = 0, 1, 2,... У(Х) содержит нетривиальный подмодуль jV(X), натянутый на элементы и„ при п^Х+1.При этом

У(Х)/^(Х)«Д(Х).(9)

Предложение, (i) Модуль V(X) прост при Х^=0, 1, 2,... и содержит единственный нетривиальный подмодуль N (X) при Х=0, 1,2,... .

Всякий экстремальный ^-модуль изоморфен либо модулю V (X), либо его фактормодулю Е (X).

(Hi) Всякий простой экстремальный ^-модуль изоморфен одному из модулей (9), где ?V(X)=0 при Х^О, 1, 2,...

Доказательство, (i) Пусть V— подмодуль модуля У(Х). Вместе с каждым вектором х= 2 х„и„ под.п

модуль V содержит векторы

^o^jc = ^^ Xn*jcnen,(Ю)

л

где Х„=Х—2п. Обращая это линейное соотношение (с определителем Вандермонда), заключаем, что V содержит все векторы х„и„, т. е. содержит ип при х„^=0.

Если У^О, то и„бУ хотя бы при одном значении п. Если У=#У(Х), то существует m=0, 1, 2,... такое, что O^Vm+^V, e+um+1=0. Из формулы (6) следует, что это возможно только при X—т. Таким образом, в этом случае Х=0, 1, 2 причемV=N(X)—единственный

нетривиальный подмодуль модуля У(Х).

. Пусть У —экстремальный g-модуль. Повторяя рассуждения 2.1.1, находим, что V есть линейная оболочка векторов и„=е_пи0 с формулами действия (5), (6). Если цепочка и„ не обрывается, то V«V(X). В противном случае dim V<oo, У«Е(Х).

. Пусть V— простой экстремальный д-модуль. Согласно (ii), изоморфизм V«V(X) возможен только при X+0, 1, 2,... В противном случае dim У<оо, Е«Е(Х).

Следствие 1. Всякий простой экстремальный д-модуль определяется своим старшим весом Х&С с точностью до изоморфизма, так что V«E^.

Из сравнения старших весов следует также, что Е^ «£(ц) только при Х=ц.

Следствие 2. При Х=0, 1, 2,... имеем N^X)» «У(—X—2). Иначе говоря, выполняется (гомоморфное) вложение

V(— X—2HV(X).

Замечание. Положим Л1(Х) = У(Х—1). Тогда последнее соотношение принимает вид

М( — Х)-*М(Х), где X—1, 2, 3,...

Весовая градуировка. Пусть А— ассоциативная алгебра, ()— ее коммутативная подалгебра. Для каждого Д-модуля V положим

V^={u6У|Аи=Х(/г)и для всех НУ)), (11) где Х6(>* (линейная форма над ()). Модуль V мы будем называть ^-градуированным (или ^-диагональным), если

Элементы 0^u6Vx называются весовыми векторами веса X (относительно алгебры ()).

В частности, рассматривая А как присоединенный Д-модуль (с операторами a=ada: xi->[a, х]), положим

Дх~{хбД I (ad й)х=Х(й)х для всех йб()}, ■ (13)

где Х€ф*. Тривиально проверяется следующее «правило сложения весов»:

ЛхЕцсУх+н,(14)

для каждой пары весов X, рб^*. В частности,

(15)(15)ЛИрС^л+и,

(15)

(15)

что также нетрудно вания 0.1.3 (2).Соответственнованной, есличто также нетрудно вания 0.1.3 (2).Соответственнованной, есливывести из правила дифференциро- алгебра А называется fyzpadyupo-

что также нетрудно вания 0.1.3 (2).

Соответственно

ванной, если

что также нетрудно вания 0.1.3 (2).

Соответственно

ванной, если

(16)(16)А = ® А^.к

(16)

(16)

Замечание. Здесь мы допускаем расхождение с терминологией 0.3.5 (строго говоря, алгебру (16) следовало бы назвать ^-градуированной).

Предложение. Всякий подмодуль fy-zpadyu- ванного модуля ^-градуирован.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (частный случай ^=Се0 рассмотрен в начале доказательства предложения 2.1.2).

Ал г е б р a U^. Пусть 9=й(а) — алгебра Шевалле, с картановской подалгеброй I). Напомним (см. 1.2.2), что алгебра £7(д) порождается весовыми образующими. Поэтому

^(9) = ®^х(9), (]7)

где £7Дд)—подпространство, натянутое на весовые элементы веса Хб^*. Заметим, что Ux^ может быть отлично от нуля лишь при X6Q (в обозначениях 1.2.3).

В дальнейшем полагаем, для простоты изложения, что dimg-<oo. Соответственно можем считать, что g — произвольная конечномерная редуктивная алгебра Ли над полем С.

Используя треугольное разложение алгебры g и теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта, находим

£7(д)==£7(П-)£7(^)£7(п+), (18)

причем подалгебры Z7(n_), 17(1)), ^(п+) содержат весовые элементы веса X6Q соответственно при Х<0, Х=0, Х>0.

Условимся рассматривать U(д) как свободный (левый или правый) £7(1))-модуль. Положим

еД^ = ^ ...еь-, (19)

где et,...,em— весовой базис п+, к= ^ь ..., km) — мультииндекс. Соответственно пусть е_(^)==е+(^)* — образ еДк) относительно инволюции Шевалле. Равенство (18) означает (см. 0.7.13), что элементы

е(£, г) =е_(£)е+(г)(20)

образуют базис (/(f))-модуля (/(g).

Заметим, что элемент (20) имеет вес ц(г)—ц(^), где ц(^) —вес монома еДку

В частности, U(^)с(/0(д). Подпространство (/0(д) натянуто на элементы (20) при ц(^)=ц(г). Отсюда получаем:

U0^=U(^®M,(21)

где положено

М=и0 (д) ЛпД/ (д) — (/0 (S) П (/ (8) П+.(22)

Для каждого хб(/0(д) пусть х0— проекция элемента х на первое слагаемое суммы (21). Нетрудно видеть, что отображение х^х« есть гомоморфизм алгебры (/0(д) в алгебру (/(f)).

Отображение х*-*-х0 называется гомоморфизмом Хариш-Чандры в t/0 (д).

Пример. Z(g)c(/„(g).

Элемент Казимира. Фиксируем в д невырожденную симметрическую билинейную форму (•, •), совпадающую с формой Киллинга на подалгебре д'= = [д, д] (см. 2.1.9).

Нормируем (временно) корневые элементы еа условием (ео, е_а) = 1. Заметим, что [еа, е_а]=а (при условии отождествления f), f)* относительно формы (•, •)).

Предложение. Пусть u\,...,uN— ортонормиро- ванный базис алгебры д. Элемент

N

г^и^(23)

i-i

централен (z6Z(g)) и не зависит от выбора базиса ut,, uN. В частности, п

2 = ^^ <Z/2-h^^ (баб_а ф-б_аба),(24)

Z=1а>0

где а{ — ортонормированный базис в f).

Доказательство. Отождествляя д, д* (см. 2.1.9) и рассматривая отображение симметризации Р(д)«

*S(g)->-t/(g), находим, что (23) есть образ квадратичного полинома

Ап

(х, л) = 2 х^=2 х 2 + 2 2 х»х-»-(25)

j-li = lа>0

где х4 (соответственно х4, ха) — координаты вектора хбд относительно базиса ut (соответственно а„ еа), причем суммирование ведется по всем абД+.

При этом центральность элемента (23) следует из инвариантности формы (•, •) относительно присоединенного действия алгебры д.

Следствие. Образ элемента (23) относительно гомоморфизма Хариш-Чандры есть

п

г0 = 2^2 + 2Р’(26>

2 = 1

где р — полусумма положительных корней а6Д+.

Определение. Элемент (23) называется элементом Казимира алгебры д.

В дальнейшем мы отождествляем элементы Аб^' с линейными формами над ()*. Соответственно U^ отождествляется с алгеброй полиномов Р (()*).

В частности, элемент (26) (т. е. «главная часть» элемента Казимира) совпадает с квадратичным полиномом

£о(Х) = (Х, Х+2р), где Хбф*.

Экстремальные модули

Начиная с этого момента, если нет специальных оговорок, g— редуктивная алгебра Ли над полем С, dimgCoo..

Фиксируем картановскую подалгебру ^сд и подсистему положительных корней Д+=Д+(Л), где Л = {аь ... .а„) — фиксированный базис корневой системы Д =

=Д(0Л).•: '

Определение. Модуль V над алгеброй g называется экстремальным типа (Л, X), где Хбф*, если существует вектор 0=#ПобК такой, что

еа®0 = 0 Для всех а^Л,

к-и^Ц^-ио для всех h^,

. V=t/(g)y0. . •

Заметим, что условие (а) выполняется также для всех абД+. Вектор у0 называется старшим вектором, X — старшим весом модуля V.

Пример. Простой конечномерный модуль V экстремален для каждого базиса ЛсД.

Действительно, из правила сложения весов (2.1.3) при A = U^ находим eaVucVu+a для каждой пары абД, р,6(>*. Поскольку dimV<oo, найдется XG6* такое, что К=/=0, ^+а = 0 для всех абЛ. Соответственно для каждого вектора О^Уоб^х выполняются условия (а), ([}). Условие (у) следует из простоты g-модуля V.

Модули Верма. Фиксируем Хб^*, и пусть /(X)—левый идеал ^7 (д), порожденный элементами еа, h—X(h), где абД+, Лб^:

п

I (X) = и (д) п+ + 2 и (g) (Az - X (AJ),(1)

где hi (t=l,..., n) — некоторый базис в t).

Определение. Фактормодуль

V(X) = W(g)//(X)(2)

называется модулем Верма со старшим весом Хбф*.

В дальнейшем (см. замечание 2.1.2) нам будет удобно использовать обозначение

М(Х)=У(Х—р),(3)

где р —полусумма положительных корней абД+.

Предложение, (i) V(X) есть экстремальный д- модуль типа (Л, X).

Любой экстремальный fl-модуль V типа (Л, X) изоморфен фактормодулю модуля V(X) ;•

V«V^!N,(4)

где N -— некоторый подмодуль в V (X).

Доказательство. '(1) Имеем V(X) = t7(д) 1 х, где 1х=1+^(Х) —образ единичного элемента 1б[/(д) в фак- торпространстве (2). При этом

п+1х=0, /1Лх=Х(/1<) lx (i=l, •п)

согласно (1). Следовательно, V(X) есть экстремальный g-модуль с экстремальным вектором 1х.

Имеем V=t7(g)u0«U ^]А, где А— аннулятор вектора ио- Отсюда

где Д(Х) =А/1(Х) —подмодуль У(Х).

Следствие. Для каждого X6^)* существует единственный, с точностью до изоморфизма, простой экстремальный модуль £(Х) типа (Д, X):

£(X) = V(X)/tf(X),(5)

где N (X)—наибольший подмодуль У(Х), не содержащий 1Х.

Замечание. Свойство (ii) называется свойством универсальности модулей Верма (в классе экстремальных g-модулей).

Весовая градуировка. Используя теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта, находим U^ = = <7(п_)Ф/(Х). Поэтому

V=U^yo=U(u-')o0(6)

для каждого экстремального g-модуля V со старшим вектором v0.

Предложение, (i) Отображение <7(П-)Эхи- хЦ определяет изоморфизм векторных пространств U (п-) я» ~V(X).

(ii) Подпространства

УДХ) = ^(п-)1^и-Дп-)(7)

образуют весовую градуировку 1)-модуля V (X). При этом УИ(Х) =#0 только в случае ц=Х—v, где v6Q+.

Доказательство, (i) Из равенства U(п_)П/(X) = = 0 следует инъективность отображения х~х\,, Утверждение (ii) следует из 1)-градуированности U(п-) и правила сложения весов 2.1.3 (14).

Следствие 1. Алгебра U(п_) действует в У(Х) без делителей нуля.

Следствие 2. Каждый экстремальный ^-модуль градуирован подпространствами

V^=U^-)v0 (v6Q+),(8)

где v0 — старший вектор модуля V.

Следствие 3. Пусть р^) — число представлений т

вектора ^* в вуде v^^k^t, где А44={у1?„},

Z=1

к^Х (1 = 1, .... т\ Тогда имеем

dim K-V^p(v)((9)

причем оценка (9) достигается для всех v6Q+ только в случае V« V(X).

В частности, dim К= 1 (т. е. старший вес всегда однократен) .

Функция р называется функцией разбиений (или функцией Костанта) в Q+.

Предложение. Пусть V — экстремальный д- модуль типа (А, X). Тогда для каждого 267(g) и каждого убУ

2V = 2q(X)u,(10)

где 2^20— гомоморфизм Хариш-Чандры (см. 2.1.5).

Действительно, при у = Уо равенство (10) следует из (4). В общем случае равенство (10) следует из (у) и центральности элемента 2:

zuy0 = uzy0=z0(X)uy0

для каждого иб[/(д).

Числовая функция %(z)=z0(X) называется центральным характером модуля V.'

Определение. Пусть К — кольцо, порожденное элементами ех (X6I)*) и соотношениями

е°=1, eMll=e>'e11(11)

для всех X, цб!)*. Пусть V= ф Ец—градуированный I)- модуль, dim Уц<оо для всех цб!)*. Характером модуля V называется формальный ряд

ch И = 2 (^m Vp)^(12)

над кольцом К.

Заметим, что символы ек можно интерпретировать как функции eKW, где хб^. Отсюда следует, что К не имеет делителей нуля. Поэтому определено поле частных

'<D = Fract7<..

Условимся говорить, что V — допустимый ^-модуль, если ch Убф.

Пример. l-j-ex+e2x+... = (1—ех)~‘6ф для каждого W.‘

Легко проверить, что характеры (12) обладают следующим свойством аддитивности:

ch V=ch Vo+ch V/Vo,(13)

для каждого подмодуля VqczV.

Характеры допустимых модулей обладают следующим свойством мультипликативности:

ch(Vi® У2) =ch Vi-ch V2.(14)

В дальнейшем мы рассматриваем К как левый JF-модуль относительно действия wek=ewb (даб№, яе^*).

Предложение. Пусть Хбф*. Тогда Л4(Х) = = V (X—р) есть допустимый модуль с характером

chM(X) =£~‘е\(15)

где g^K определяется равенством

g = П (еа/2 — е-а/2) = ^ e(70)ewp.(16)

аед+u-ew

Здесь е(да) = (—1)/(и,).

Доказательство. Используя первое равенст" во (16) в качестве определения, находим g=e» П (1—е-“), откуда '. абД+

г‘= П P^e-p-v,(17)

V6Q4.

где р — функция Костанта. Умножая это равенство на е\ получаем chM(X) (см. 2.2.3, следствие 3).

Для доказательства второго равенства (16) заметим, что обе его части антисимметричны относительно группы Вейля. Разность этих элементов не содержит экспонент с доминантным показателем. Поэтому (в силу антисимметричности) эта разность равна нулю.

Пример. Пусть g=sl(2). Отождествляя вектор XGty* с числом X(/it), заметим, что p=p(/i1) = l. Отсюда

chЛ4(X)=^-,(l-e-a)-,.. .(18)

Пусть V — экстремальный fl-модуль. Особым вектором модуля V называется всякий весовой вектор О^обЕ такой, что п+у=0.

Предложение. Для каждого особого вектора обМ^Х) циклический подмодуль C/(fl)o изоморфен М(ц), где ц—р — вес вектора и.

Доказательство. Очевидно, U(fl)и есть экстремальный fl-модуль типа (А, р—р). Согласно 2.2.1, имеем U ^u^M^^JN. Заметим, что п=аД-р при некотором аб(/(п-). Поскольку алгебра £/ (п—) действует без делителей нуля (см. 2.2.3), отображение С/(п~)Эх и- xalx-p инъективно. Но это означает, что C/(g)v«(7(n-), с отображением весовых градуировок (см. 2.2.3). Отсюда ch 17 (g)v=chM(p), что возможно только при N<=0.

Следствие. Каждый ненулевой гомоморфизм <р: М^)-*М^Х) есть вложение. Отображение ср н- I-* ф(1ц-Р) устанавливает биекцию между такими гомоморфизмами и особыми векторами модуля М(ху

Действительно, <р(1ц_р) есть особый вектор модуля М(Х). Обратно, из предложения 2.2.7 следует, что каждый особый вектор ибМ^Х) имеет вид о = ф(1ц_р), где Ф — инъективный гомоморфизм.

Пример. Положим Х,=Х (hi), где й/б^ — элементы Шевалле. Если Х/=1, 2,... при некотором i, то М(Х) содержит подмодуль, изоморфный М(г,Х) со старшим вектором

(19)

Достаточно проверить, что (19) есть старший вектор модуля М^Х). При этом используется тождество

ра, <о] = (Аа — П + 1У (20)

Конечномерные д-модули

Начнем с доказательства теоремы Г. Вейля о полной приводимости (см. 1.1.7).

Вектор Хб^* называется целочисленным, если Xi= =X(hi),6Z для всех i=l,..., п. Вектор Хбф* называется доминантным, если Х,^0 для всех i=l,..., п.

В дальнейшем мы используем обозначение А (соответственно А+) для множества всех целочисленных (доминантных целочисленных) элементов Хбф*.

Предложение. Все старшие веса конечномерных ^-модулей доминантны и целочисленны.

Действительно, если X есть старший вес, отвечающий старшему вектору и0, то Xi есть старший вес д,-мо- дуля U^i)u0, где д,— простая подалгебра с базисом е,, f<, hi. Применяя предложение 2.1.2, находим X/6Z+ (i= 1,..., п).

Лемма. Пусть X, цбАъ Х>ц (относительно упорядоченности, определенной в 1.3.9). Тогда ||Х||>||ц||.

Действительно, это следует из равенства

(X, X) —(р, ц)=2(ц, е) + (е, s),

где е = Х—p6Q+\{0}.

Следствие. В условиях леммы имеем Zo(X)>Zo(p), где z0 — главная часть элемента Казимира, определенная в 2.1.7.

Действительно,

z0(X) — z0(p) = ||Х+р||2— ||ц+р||2>0.

Теорема. Пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли (dimg<oo). Тогда всякий конечномерный ^-модуль полупрост.

Доказательство. Пусть WcV — максимальный подмодуль с простым фактормодулем V0=W^. Исходя из соображений индукции (по dimV), можем считать, что

117=^® . . .®Ут

с простыми компонентами Vt (i= 1,. . ., m).

Пусть Xi — старший вес простого модуля У,- (i= = 1,..., m). Предположим вначале, что выполняется одно из следующих условий: (а) Х(>Х0 для всех 1 = = \,...,m, (р) Х,<Х0 для всех i=\,...,m. Согласно лемме 2.3.1, имеем в этих случаях

V = N0®W,(1)

где No — собственное подпространство элемента Казимира 2 с собственным значением z0(Xo). Из центральности элемента z следует, что No есть подмодуль модуля V (очевидно, ^«Уо).

Таким образом, в случаях (а), (0) теорема доказана. В общем случае пусть и0 mod W — старший вектор модуля Ко, т, е. вектор веса Ао, удовлетворяющий уело-

виям f0W, п+и0бП7. Заметим, что

п+у06Ц7о,(2)

где И70 — сумма компонент Vi, входящих в W с весами ^Ж,. Действительно, модуль К< может содержать вес Ло+а, где а6Д+, только при А^Хо+а, откуда Xj>X0.

Положим W=W0®W!. Поскольку фактормодуль V,Wt удовлетворяет условию (а), он полупрост. Поэтому вектор и0 можно выбрать так, чтобы n+VoGWY Но тогда, согласно (2), имеем п+ио = О.

Используя 2.2.3 (6), находим, что модуль Мо = = Щб)ио удовлетворяет условию (р) и потому полупрост. Более того, каждый его старший вектор коллинеарен и0, т. е. M0«N0 в разложении (1).

Теорема доказана.

Замечание. Используя метод комплексного продолжения (см. 1.5.4), находим, что теорема остается справедливой для вещественных алгебр Ли.

В действительности приведенное доказательство переносится на произвольные поля характеристики 0 (см. 1.7.1).

Классификация. Напомним (см. 2.2.2), что всякий простой экстремальный 0-модуль изоморфен одному из модулей

E(X)=V(X)/N(X). (3)

Для описания простых конечномерных 0-модулей остается выяснить, когда dim £(Х) <оо.

Теорема, (i) Каждый простой конечномерный 0-ло- дуль определяется своим старшим весом с точностью до изоморфизма (У«£(Х)).

(и) Множество старших весов простых конечномерных ^-модулей совпадает с множеством А+ (см. 2.3.1). ' (Hi) Аннулятор в t/(n_) старшего вектора е(Х)бЕ(Х) порождается элементами

^ = 6^ = (4) где Xt=X(hi).

Заметим, что (i) непосредственно вытекает из 2.2.2, включение АбЛ+—из леммы 2.3.1.

Дальнейшее доказательство (см. 2.3.6) основано на следующих леммах.

;>Лемма. Пусть et (/(V) — система образующих алгебры Ла д, и пустрь аЭД—элеменщ, удовлет-

воряющий соотношениям (ada)"i+1 е, = 0 для всех 161 при некоторых nt>0. Тогда имеем*.

(а) Оператор ad а локально нильпотентен в д, т. е. (ada)"+1x=0 для всех хбд при некотором n6Z+ (зависящем от х). .

({}) Из нильпотентности оператора aGEnd V на образующих щ (j6J) g-модуля V следует локальная нильпотентность оператора а во всем модуле V.

Действительно, (а) вытекает непосредственно из формулы Лейбница для дифференцирования ad а алгебры д:

(ada)”pc, z/] = 2 cnk [(ada)*x, (adaPt/j, (5) где C„6 —биномиальные коэффициенты (при этом (5^ применяется рекуррентно к кратным коммутаторам в алгебре д).

Для проверки (Р) воспользуемся следующим тождеством (справедливым для каждой ассоциативной алгебры с единицей и легко проверяемым индукцией по п):

апх = 2 Сп8 ((ad а)* х) an^k, (6)

»=0

где а, x6End V. Полагая хбд и применяя (6) к элементам вида хи, (убУ), получаем a"+1v = 0 для всех ибУ при некотором n6Z+ (зависящим от и).

Лемма. Пусть et (i6/) — система образующих алгебры Ли g, dim д<°°, удовлетворяющая соотношениям вида

(ad ei)no+*ey = 0 (7)

для всех i^j, где ny6Z. Тогда из локальной нильпотентности операторов e^End V следует локальная финит- ность д-моду ля V, т. е.

dim £7(д)и<оо для всех ибУ. (8)

Действительно, для каждого локально нильпотентного (относительно присоединенного действия) элемента абд оператор

a(t) =ехр ^(adа), (9)

где /6R, определен (как конечный ряд) на элементах хбд. Соответственно действие

A^w = a^wa^—0,

где wCEndg, содержится в группе автоморфизмов алгебры Endg. Вычисляя дифференциал этого действия на элементе w = adx, где хбд, получаем

A (/)ad x=ad[a(/)x].

Отсюда ясно, что оператор (9) сохраняет свойство локальной нильпотентности элемента хбд. Соответственно оператор

(ada)x=-^- a(t)x\t=0

сохраняет линейную оболочку д0 всех локально нильпотентных элементов алгебры д.

Таким образом, д0 есть подалгебра алгебры д. Согласно (7), д0 содержит систему образующих алгебры д, откуда д0=д.

Используя теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта, находим, что U(д) натянуто на мономы вида

x(k)=xtkl ...хпкп,

где n = dim g, xt — локально нильпотентные элементы алгебры д. Отсюда, применяя лемму 2.3.4, получаем (8).

Замечания. 1. Если алгебра g нильпотентна, то условия леммы 2.3.4 выполняются для всех абд. 2. В лемме 2.3.5 достаточно требовать локальную финитность операторов ad е,, e,6End V.

До к а з а т ел ь ст в о теоремы. Пусть А6А+. Согласно 2.2.9, модуль У (А) = М (А+р) содержит подмодуль А (А) 1Х, где

п

л (А) = 2

(напомним, что р<=1 для всех i=l,...,n). Отсюда ^+^0 = 0 (г = 1пу

где и0 — образ вектора 1Х в фактормодуле Е0(А) = = V(A)M(A)1X. ■-

Согласно лемме 2.3.4, находим, что операторы е_а локально нильпотентны в Е0(М- Согласно лемме 2.3.5' и равенству Ео (X) = U(g)v„ находим

dim £о(Х) <оо.

Применяя теорему Г. Вейля к модулю £0(Х), заметим, что £0(Х) не содержит старших векторов веса р^Х (случай (^) в 2.3.6). Поэтому £0(Х) =f(X).

Отсюда следует (ii). Кроме того, Л(Х) есть аннулятор вектора и0 = е(Х) в 1/(п_). Отсюда следует (iii). Теорема доказана.

Отметим некоторые следствия из теоремы 2.3.3.

Следствие 1. Аннулятор в U^ старшего вектора е(Х)б£(Х), где Х6А+, есть Л(Х)Ф/(Х).

Действительно, это следует из разложения U (д) = = [/(п_)Ф] (X).

Следствие 2. Для кратностей n(X, p)=dim£(X)^ справедлива асимптотическая формула

п(Х, р)=р(Х—р)(10)

при достаточно больших значениях Х^Хо, где ХобА зависит от рбА.

Действительно, если A(X)_vy=0, где v6Q+, то Х,+ 1^ ^Vj хотя бы при одном значении 1= 1,..., п. Поэтому A(X)-V = O при X.-^Vi (i=l,...,n), откуда следует (Ю).

Следствие 3. Аннулятор в U^ всех старших векторов е(Х)б£(Х), где Х6Д+ есть 17(g) П+.

Действительно, ввиду разложения 17(g) = U(П-ФЮ Ф Ф1/(д)п+ достаточно рассматривать элементы об б[/(п_Ф1>), имеющие вид

а=2а,»„ где а^ (п-)’ b^U^W i

При этом элементы а^ можно считать линейно независимыми. Условие ае(Х)=0 означает, что

^ЬДЦа^А^,

i

откуда Ь,(Х)=О при Х^Хо (согласно следствию 2). Но тогда Ь,=0 (i= 1, • • •, п), т. е. а—0,

Теорема о полноте. Пусть лк — представление алгебры 17(g) в пространстве £(Х).

Теорема. Для каждого ненулевого вектора u€(/(g) существует А6Д+ такое, что п,Ди^=/=0. Другими словами,

П кеглх = 0(И)

хед+

в алгебре U^.-

Наметим схему доказательства этой теоремы. Присоединенная группа G = Adg действует в алгебре (7(g) следующим образом;

U^ (x) = u(g-*x) (geG), где u6[/(g) отождествляется с полиномом и(х) (хбд) относительно отображения симметризации ((/(д)» ^5(д)«Р(д)).

Если ибкег л?, для всех К, то u6[/(g)n+ (следствие 3 в 2.3.5). В то же время guGker лх для всех g6G, откуда следует, что включение u6G(g)n+ выполняется для каждого базиса ДсА.

Последнее означает, что полином и(х) обращается в нуль на каждой борелевской подалгебре Ь = 1)Фп+. В то же время для каждого хбд существует gfcG такое, что gxeb. Отсюда .

uU')=g^(gxy=0.

В результате и(х) =0.

Замечания. 1. Детали доказательства этой теоремы можно найти в [10], 7.4.5, где рассматривается частный случай u6Z(g). 2. Соотношение (11) остается справедливым при замене А+ на произвольное подмножество Мс?Ь*, всюду плотное в 5* относительно топологии Зарисского.

Следствие. Гомоморфизм Хариш-Чандры в алгебре Z(g) инъективен.

Действительно, пусть z€Z(g). Согласно 2.2.4, равенство 2ro(X) = O для всех AgA+ равносильно z€ 11 кегл^, т. е. 2 = 0.

Характеры

В этом параграфе доказываются следующие классические теоремы: о характерах конечномерных g-модулей (Г. Вейль), о центральных характерах модулей Верма (Хариш-Чандра), о строении центра Z(g) (Шевалле).

Доказывается также теорема о существовании конечных композиционных рядов модулей Верма.

Во всех этих вопросах существенную роль играет группа Вейля W.

Напомним (см. 1.2.9), что g«g* (относительно формы Киллинга). Соответственно S(g)«P(g). Кроме того, группа 117 действует в пространстве ^~^*.

Лемма. Характер каждого конечномерного ^-модуля V симметричен относительно группы W, т. е.

dim Vo^dim Vu(1)

для каждого цЕ^* и каждого w^W-

Достаточно проверить (1) при w = r; (i=l,..., и). Пусть gz— простая алгебра Ли с базисом е,, fi, hi, и пусть д.Фз; — ее центральное расширение с центром & = = кег% (аннулятор корня а4 в алгебре I)). Полагая

V(i, ц) = {u6V|/iu = p(/i)u для всех h^, заметим, что V Ц, ц) инвариантно относительно gz и содержит подпространства Уи, Vr.y.:

Vn = {»6V(i, ц)|Л/'О = ц(Л/)'о}, ^=={■061^(1, p)|Azy = — p(Az)»}.

Согласно 2.1.1 и теореме Г. Вейля о полной приводимости, собственные значения ±p(Az) имеют одинаковые кратности в V(Z, р). Отсюда dim 1/ц = д1т У^.

Следствие. Пусть т(ех)= 2етХ- Тогда имеем

w^W

ch Е (X) = т (ех) + 2 № <Х - ^)т ^-(2)

и<х

где п^К, ц) =dim£(X)y, щбЛ+.

Лемма. Алгебра полиномов Р^т над д, инвариантных относительно группы W, совпадает с линейной оболочкой полиномов

Pxm(x) =trnx(x)m,(3)

где хе^, Х6Л+, т=0, 1,2,...

Доказательство. Подпространство РтоР^, состоящее из однородных полиномов степени т, натянуто на полиномы Xm(x) =[Х(х)}т, где ХеДи.. Поэтому

^тП^С^)1^ натянуто на полиномы тХт, где

(т/)(л:)= ^JWY

С другой стороны, используя равенство (2), находим, что полиномы (3) записываются в виде

рг=тм+2и(1,д)тиР<Х

Ввиду рекуррентности этого соотношения, элементы tV суть линейные комбинации полиномов р№т, где ц^Х. Но тогда P^w есть линейная оболочка полиномов (3).

Следствие. Всякий полином. fo^PWw продолжается до полинома ffeP^0, инвариантного относительно присоединенной группы G=A.A g.

Действительно, это верно для полиномов (3), определенных при хбд и инвариантных относительно группы G.

2?4.4. Лемма. Центральный характер ^x(z) = —2q(X—р) модуля М(Х) (см. 2.2.2) симметричен относительно группы Вейля, т. е.

Xk^Xw* для 8сех ^** w6W' (4)

Действительно, хД2) есть полином от X6I)*, поэтому достаточно проверить (4) при Х6Л+. В этом случае (см. 2.2.9) имеем М(г,Х)сЛ1 (X), откуда Хи = Х</Х для всех i=l,..., п. Следовательно, х^Х®* Для всех а)бИ7.

Теорема. Образ алгебры 2(g) при отображении 2(g)9z ь* z+6P(()), где z+(X) =z0(X—р), совпадает с P^V-.

2^^=Р^. (5)

Доказательство. Пусть У(д)—прообраз центра 2(g) при отображении симметризации о: S(g)-* ->C7(g) (см- 0.3.7). Полагая f6T(g), представим f как линейную комбинацию мономов

(7)(7)e(k, г) = е_(А)е+(г) (6) (см. 2.1.5 (20)), с коэффициентами из 11^. Заметим, что свободный член f0 этого разложения (т. е. коэффициент при е(0, 0)) совпадает с сужением полинома f 65(g) «P(g) на подалгебру (). Отсюда

(7)

(7)

Wlo^fo+A»

где fi есть линейная комбинация элементов бе^к, г) при ^¥=0 либо г=#0. Заметим, что f — элемент нулевого веса, поэтому последнее условие равносильно к, r^Q.

Рассматривая элементы ое^к, г) при к, г^О и приводя их к базису (6) в алгебре Щй), заметим, что преобразования коммутации понижают степень полинома в U^y Поэтому degfi<degf0 в равенстве (7).

Применяя подстановку X нА—р, перепишем равенство (7) следующим образом:

(of)+=fo+r. (8) где degf<degf.

Согласно 2.4.3, для каждого рб/э(5) ^ существует элемент f6Y^) такой, что fo=p. Согласно (8), находим р = = (of)+-\-q, где q=—f'—элемент Р(^)®', deg(/<degp. Исходя из соображений индукции, можем считать, что q6Z^+. В результате p6Z^+. Отсюда следует (5).

Следствие 1. Для центральных характеров Xx(z)=z+(X) следующие условия эквивалентны:

(а) Хх=Хи> (Ь) Х=пуц при некотором. w^W.

Действительно, (а) означает, что f(X)=f(p) для всех f^Pf^w- Согласно теории конечных групп, порожденных отражениями (см., например, [2]), алгебра P^w разделяет орбиты группы W. Поэтому точки X, р лежат на одной орбите группы W.

Следствие 2. Модуль Л4(Х) имеет лишь конечное число линейно независимых особых векторов, причем веса этих векторов содержатся в множестве Wk—р.

Действительно, если М(Х) содержит особый вектор веса ц—р, то х^Хш откуда рб^Х. При этом все особые векторы модуля Л4(Х) содержатся в конечномерном пространстве

^(Х) = ®7ИМ_Р(Х),

где сумма берется по конечному множеству ТУХ. Отсюда следует конечность числа линейно независимых особых векторов модуля Л4(Х).

Теорема. Модуль М (К) обладает конечным композиционным рядом:

О=УосУ1С...<=Ул=Л4(Х)

с простыми фактормодулями У1/У/-1 (i=l,..., п), каждый из которых изоморфен одному из модулей L^Y=E^—»Ynpu^WX.

Доказательство. Из нётеровости алгебры (/(g) следует нётеровость модуля М^Х). Поэтому либо модуль ЛЦХ) прост, либо он содержит максимальный подмодуль ^i с простым фактормодулем M(X)/Nx. Рассуждая индуктивно, получаем цепочку убывающих подмодулей М(X) =NoTdNxTd ... с простыми фактормодуля- ми Ni/Ni+i.

Пусть Xi—р (i —О, 1,...)—старший вес простого модуля N{/Ni+i, и^М4— соответствующий прообраз старшего вектора (щ4-А^+1). Поскольку модуль ЛЦХ1) обладает центральным характером %м имеем ^М = Хм откуда XiGW'X (i=0, 1,...). Ввиду конечности орбиты WX и конечномерности весовых подпространств Л4(Х)х,-р. содержащих векторы щ, число этих векторов конечно, т. е. цепочка Ni обрывается: Nn = 0.

Остается положить Vi = Nn_u

Замечание. Попутно доказано, что модуль М(X) артинов.

Следствие 1. Существует рекуррентное соотношение между характерами chM(X), chL(X):

chM(X) = ch£(X) + 2^chZ(p),(9)

и<х

причем суммирование ведется по конечному множеству ^хш-Q+V

Следствие 2. Характеры простых модулей L(X) выражаются через характеры модулей Верма:

chZ(X) = chM(M + 2^chM(p).(Ю)

и<х

причем суммирование ведется по конечному множеству WU-Q+)-

Теорема (Г. Вейль). Характер простого конечномерного модуля £(X)=L(X+p) имеет следующий вид:

chE (Х)=§~1^ е (w)ew&+<>),(11)

в обозначениях 2.2.6. В частности,

MWMW.g=2e(®,)ewp-

MW

MW

Доказательство. Соотношение (11) означает, что

g-chF(X) = 2Е(^)5а’(Х+р)-(12)

wew

Согласно (10) и 2.2.6, левая часть (12) есть линейная комбинация экспонент e*=g ch М (ц), где цб№(А,4-р).

Согласно лемме 2.4.2, левая часть (12) антисимметрична относительно группы W. То же верно для правой части (12). Из сравнения коэффициентов при слагаемом е1+р находим, что разность этих двух выражений не содержит экспонент с доминантными показателями. Поэтому (в силу антисимметричности) эта разность равна нулю.'

До сих пор мы не пользовались теоремой о полноте 2.3.5. Применение этой теоремы позволяет уточнить результаты 2.4.5.

Теорема (Хариш-Чандра). Отображение z>-* z+ определяет изоморфизм -алгебр Z(g), P(I))W.

Действительно, это отображение есть гомоморфизм (см. 2.1.5), инъекция (теорема 2.3.5), сюръекция (теорема 2.4.5).

Следствие. Всякий характер алгебры Z(g) (т. е. всякий ненулевой гомоморфизм Z(g)->C) совпадает с одним из характеров ^ (А.6^*).

Действительно, это следует из теории конечных групп, порожденных отражениями [2], для алгебры Р^Г-.

Аналогично рассматривается отображение / >-*/о в алгебре S(g)«P(g) (сужение полинома f на подалгебру 1>). Напомним, что T(g)czS(g)—подалгебра всех полиномов, инвариантных относительно присоединенной группы G=Ad g.

Теорема (Шевалле). Отображение f <->■ fo определяет изоморфизм алгебр У(д)- P(6)w.

Действительно, пусть /6У(д)—однородный полином. Из равенства (7) и включения a/6Z(g) следует /обР^))^. Отсюда же следует инъективность отображения fi-> fo (равенство /о=О влечет of=0, откуда /=0). Сюръективность доказана ранее (следствие 2.4.3).

Следствие. Алгебра Z(g) (аналогично, У(д)) есть алгебра полиномов от п однородных образующих:

Z(g)«C[z!z„], где n = dim I)=rank д.

Действительно, это верно для алгебры P(^w (см., например, [2]). Остается заметить, что изоморфизмы Z(g) « У(д) «P$)w сохраняют степень однородности.

Пример. Пусть g=gl(2). В этом случае Z(g)« «С[г], где г — элемент Казимира алгебры д.

Модуль Ind V. Заметим, что семейство модулей Верма содержится в следующем семейство индуцированных д-модулей.

Пусть b=f)®n+ — борелевская подалгебра алгебры д. Для каждого конечномерного ^-градуированного Ь-моду- ля V положим

Indl/ = ^(g) ^V.(13)

Используя равенство U^ = U ^-^U^^U^xv-^U^ (см. 0.7.13), находим, что Ind V обладает базисом из элементов и® и, где иб[/(п_), убУ. Отсюда

1пбУ«^(п_)®У(14)

(изоморфизм векторных пространств). Легко проверить (см. 0.7.15), что элементы н®и рекуррентно выражаются через элементы и(1®и). Отсюда

Ind У=[/(п_) (1®У).(15)

Замечание. 1®У«У есть b-подмодуль модуля Ind V.

Пример. У(Х) «Ind Сх, где Сх— одномерный Ь- модуль, порожденный старшим вектором ио (n+Uo=O) веса X..

Повторяя рассуждения 2.2.3, 2.2.6, находим, что модуль Ind V обладает весовой градуировкой, причем

ch Ind V=e~'g ch V.(16)

В частности, пусть V=U(V)vo, n+Uo=O, ио—весовой элемент веса X—р. Тогда Ind У=[/(п_) (1®Уо). Отсюда следует (см. 2.2.4), что модуль Ind V обладает центральным характером хи- Повторяя рассуждения 2.2.5, находим, что модуль Ind V артинов и нётеров. В частности, Ind V обладает конечным композиционным рядом.

Фильтрация Шуберта

В этом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с формулой Вейля для характеров ch£(X).

Заметим вначале, что формула Вейля 2.4.7 (11) может быть записана следующим образом:

ch £(%) = e-pqeK*p,(1)

где <7 — аддитивный оператор в кольце К (см. 2.2.5), определяемый равенствами

q = g-4, е =8 (эд) эд(2)

с правилом действия weK=e”K (эдбЦ7).

Напомним (см. 2.5.2), что Ф = Ргас!К.

Определение. Пусть Ф[№]— свободный Ф-модуль с базисом из элементов w6W, т. е. множество элементов вида

а= ^а^ио^

w£W

с коэффициентами а(т)бф. Определим умножение в Ф[иП» полагая wf=fww, где /бф, f и- fw — автоморфизм поля Ф, определяемый равенством (ек)“=екК.

Соответственно Ф[№] есть кольцо, содержащее Ф = = Ф-1 в качестве подкольца (1 — единица группы IF).

В частности, для каждого абД в кольце Ф[№] определен элемент

qa = ga~4^—Га). ГДС ga= 1—в““.(4)

Заметим, что wra=rwaw (см. 1.4.1 (В)). Отсюда

wqa=qtoaW (абД, w6W).'(5)

Заметим также, что qa2—qa.

Теорема. Пусть ^€®[U7J — элемент,, определяемый равенством (2), и пусть -w^W — элемент максимальной длины. Для каждого приведенного разложения эд=гО1.. ,гат имеет место факторизация

•q = qa,...qam.(6)

Здесь а.бЛ (i=l, ..., m). В частности, произведение (6) не зависит от приведенного разложения элемента w.

Доказательство. Для алгебр ранга 2 формула (6) непосредственно проверяется и сводится к тождеству q = qX4=q^. где ^z/=^z^z... (^z = ^z) —аналог разложения тв=1Вх<1=и)й, определенного в 1.4.6.

В общем случае пусть а, b— два произведения, (6), отвечающие двум приведенным разложениям элемента w. Согласно теореме 1.4.12 (Hi), существует цепочка соотношений a=x0=xY= ... =хп = Ь, где равенство х6=хА-1 (^=1п) есть следствие одного из соотношений qn = qn (i, /=1m). Таким образом, а=Ь.

В частности, для каждого абЛ существует приведенное разложение да с корнем at=a. Отсюда гаа =—а (абЛ). Следовательно, •

даа=е(да)а для всех w6W.(7)

Остается заметить, что каждый элемент абф[№7], удовлетворяющий (7), имеет вид a=fe при некотором /бф. Сравнивая в (6) коэффициенты при базисном элементе w6W, находим f=g~l. В результате a = q.

Следствие. Для каждого приведенного разложения w = гв1.. .гат имеет место равенство eh£^) = da1. • .damek.(8)

где положено da = e~pqaep (абД).

Здесь мы рассматриваем Ф[1Г] как кольцо операторов в пространстве Ф, относительно действия группы W, определенного в 2.5.1. Заметим, что

da==(l-e-»)-i(l-e-Va).(9)

Соотношение (8) есть модификация формулы Вейля, предложенная Демазюром [45]. Операторы da мы будем называть операторами Демазюра.

Функтор Va. Ниже будет получена интерпретация операторов Демазюра (9) в терминах индуцированных модулей.-

Пусть b=I)®n+ (борелевская подалгебра алгебры fl). Для каждого абЛ пусть pa=Ce_a®I) (параболическая подалгебра алгебры д). Положим

IndaF=P(pa) ®ищР,

где F— конечномерный D-градуированный b-модуль. Согласно 2.4.11, модуль IndaРартинов. В частности, IndoP обладает наибольшим конечномерным фактормодулем

VaP=(Indan/^a,(Ю)

где Na — наименьший подмодуль конечной коразмерности В IndaP,' .

Легко проверить (см. 2.7.11), что фактормодуль VaF однозначно определяется структурой IndaF как да-модуля, где 0а=Се_аФСйа®Сеа (fla«3l(2)—простая алгебра Ли).

Отображение F-*IndaF определяет ковариантный функтор из категории 9" конечномерных 1)-градуирован- ных li-модулей в категорию 9"а конечномерных ^-модулей (соответственно да-модулей).

Лемма [46]. Для каждого F из категории У и каждого Е из категории 2Га

Va(F®£)«Va£®£.

Если F содержится в Е (как Ъ-подмодуль), то

chVa£=dach£,

Va£ = 0 только при F=0.

Здесь dtt — оператор Демазюра (9).

Доказательство. Согласно замечанию, сделанному в 2.5.4, достаточно рассматривать Va£ как да-модуль. Поэтому мы полагаем g=pa=ga (так что Ь= = C/ia®Cea).

Согласно 2.7.8 и принципу полной приводимости, достаточно положить £=СХ (одномерный b-модуль с весом A=A(/ia)6C), £=£(/п) (простой g-модуль, определенный в 2.1.1). Ввиду рекуррентного правила 2.7.6, достаточно положить пг=\. При этом (см. 2.7.7, 2.7.9)

IndaC*= V(X),

Inda(Cx®£(l)) = V (А) ® £ (1) = V (А — 1) Ф V (A+1), если X#=—1. Соответственно

VaC^=£ (X),

Va(C,®£(l))=£(X)®£(l)=£(X—1)Ф£(А+1),

где £(X)=0 при XV=0, 1, 2, . .. Отсюда следует (а).

Согласно 2.7.8, достаточно рассматривать циклические модули F = Cv®Е (т), где v, т=0, 1, 2, .... В этом случае левая часть (Ь) есть

ch(£(v)®£(m))=d^ev+m+ev+m~2+ ...+elv~^ (11) согласно 2.7.6 и формуле Вейля для алгебры д=Л|. В то Же время правая часть есть-

(/„ch (Cv®£(m)) = da(ev+m-|-ev+m-2-|- ... -|-em-v). (12)

Напомним, что da=e~xqaex (р=1 для алгебры Л1). Согласно (4), <7а(1+га)=0. Отсюда следует, что оператор qa аннулирует симметричную (относительно г») часть суммы е1 (ev+m+ ... +em~v). Поэтому (11) совпадает с (12). .

Как следует из доказательства (Ь), отображение F ь* \7aF инъективно при £=С„®£(т). В общем случае достаточно разложить модуль F (см. 2.7.8) в прямую сумму модулей вида Cv®£(m).

Фильтрация Шуберта. Для каждого ву6 б№ пусть e^w^EE^— старший вектор (веса дал) относительно базиса даЛ в системе Д. Положим

£(да) = [/(Ь)е(ш) = [/(п+)е(цу).(13)

Согласно (13), £(да) есть циклический (7(b)-модуль, порожденный вектором е(ш).

В частности, £(1)=Се(1), £(да)=£(л). Предложение. Если w=raw' — приведенное разложение при некотором а^А, то F(w')aF(w) и

.F^w^U^F^'^U^F^ud'),(14)

где ша=Се-а.

Доказательство. Заметим, что абД„ (см. 1.4.2), откуда —«6—ДюсдаД+. Поэтому e-ae(ny)=0.

Заметим, что (ad e_a)[/(n+)c(7(n+). Отсюда e_aF (w) с F (да),

т. е. £(да) есть ра-модуль. Заметим также, что hae (ш) = =—те(да), где

m=—W (ha) = (ш'Х) (/ia)>0.

Согласно теории представлений алгебры да^91(2), £(да) содержит вектор еате^ =/=0 веса даХ+ща=да'Х. Ввиду однократности этого веса в £(Х), имеем е(а/) = еа”е(ш) (при надлежащей нормировке).

Таким образом, е(да')с:£(йу), откуда £(ау')с£(ау).

С другой стороны, е(йу)б1/(Ша)е(ау'), откуда

£(&У)с(7(Ра)е(Щ/)с(7(Ра)£(&У/).

В результате £(щ) = £/(Ра)£(щ/)- В то же время bF(yy')cF(m/), откуда F(да) = U(ша)F(щ').

Следствие. Если ы-’^иу-1, то F\u}<~F(w}-

Действительно, ты =га1.. .raju — приведенное разложение (см. 1.4.8) при некоторых а^Д (г = 1j\ Отсюда (индукцией по /) получаем F(u)^F(w).

Определение. Семейство b-модулей F(w), где к>бП7, называется фильтрацией Шуберта g-модуля Е(К).

Предложение 2.5.6 можно интерпретировать следующим образом.

Предложение. Линейное преобразование фа: ^(Va)®F(w')-^F(w), определяемое равенством фа(и® ®и)=ии, индуцирует сюръективный гомоморфизм ра- модулей VaF^w'), F(w). В частности,

FW=<paVeF(w').(15)

Действительно, фа тривиально на элементах вида ub^v—u^bv, где b^U(I)), т. е. может рассматриваться как отображение Inda/7^')-*-/7^). Ввиду конечномерности F(w), фа тривиально на подмодуле Na, входящем в определение (10). Следовательно, фа можно рассматривать как отображение VaF(w')-^F(w).

Сюръективность этого гомоморфизма следует из равенства (14).

Следствие 1. Для каждого приведенного разложения w=ra. ...rai имеет место равенство

F^=^„CX,(16)

где фта=фа/..-Фар Vw = Var .. Va,. При этом Фга рассматривается как гомоморфизм Ь-модулей.

Следствие 2. Для каждого приведенного разложения ти=гат.. .rai имеет место изоморфизм Ь- модулей

Е(Х)^ат...^а£к.(17)

Действительно, равенство (16) при тг = то означает, что £'(^)=фvCл, где ф = ф^, V = V^- Применяя индуктивно лемму 2.5.5 (6), находим

ch vQ = dam • • • da,ex = ch E (X),

согласно теореме 2.5.2. Отсюда следует кегф = 0, т. е. ф есть искомый изоморфизм (17).

Замечание. Композиция функторов VpVa понимается в том смысле, что VaF рассматривается как Ь- модуль (т. е. «забывается» его структура как Ра-модуля).

Теорема. Для каждого приведенного раз ложения w=raj.. .rai. где а^Д (/ = 1. ...,/), имеет место гомоморфизм ’^-модулей

F^)^^,(18)

где Vw=Vay' .. Vaj*

Доказательство. Частный случай чв — чв содержится в формуле (17). В общем случае —убывающая индукция по ) = Цчв\

Положим чв = гачв', где чв'=ra)_v. .га1. Предполагая (18) доказанным, будем доказывать аналог (18) для элемента чв' (/(ту')=/(ту) — 1). Введем обозначение F=x7W'Cx. Соотношение (15) принимает вид

^F-^^'F,(19)

где ф^Ф™^.. .фа,. Вычисляя характеры обеих частей этого равенства при помощи леммы 2.5.5 (Ь), находим

dach F=da(chF—ch F')—ch Fa,

где F'=ke^', Fa=ke^e. Отсюда dach F'-j-ch Fa = 0, t. e. ch(VaF'®Fa) =0, что возможно только при VaF' = = ^=0.

Заметим, что F'c:Fc2VttF есть Ь-подмодуль уа-модуля ^aF. Поэтому из леммы 2.5.5 (с) получаем F'=0.

Таким образом, кегф' = 0. Напомним, что ф'/^ =F(w,')1 В результате

F (tb'^F = \7w'CK..

Теорема. Оператор dw = daj.. .dai не зависит от приведенного разложения w = raj.. .raj. При этом

ch ^(ty) =d„eK.(20)

Действительно, (20) следует из (18) и леммы 2.5.2 (Ь). Отсюда, в свою очередь, следует независимость dw от приведенного разложения элемента чв.

Замечание. Теорема 2.5.9 была предложена Демазюром [45] для обобщения и независимого вывода формулы Вейля 2.4.7 (11). Впоследствии оказалось, что доказательство Демазюра требует сложной коррекции [46].'’

Напротив, приведенное доказательство теоремы 2.5.9 основано на формуле Вейля.

Интересное приложение теоремы 2.5.9 будет отмечено в 2.7.2.

Конечномерные G-модули

Пусть G— комплексная полупростая связная группа Ли с алгеброй Ли g=LieG. Пространство гладких функций на G естественно использовать для конструкции представлений группы.

В частности, все простые конечномерные G-модули реализуются в пространстве функций на группе G или на «основном аффинном пространстве» GjN.

Аналогичная конструкция возможна и для связных редуктивных групп Ли.

Предложение. Для функции fo^C(G) следующие два условия равносильны:

Циклическая оболочка функции fo относительно правых (аналогично, левых) сдвигов в группе G конечномерна.

Функция fo есть линейная комбинация матричных элементов.

nti(x) = <n(x)eh ft>,(1)

где (л, V) — конечномерное представление группы G с базисом e^V (/=1, ..., п) и дуальным базисом ft6V* (i= 1, ..., п), так что

<е<, fj> = 6(j (i, /=1п),

где 6ij — символ Кронекера.

Доказательство. (а)=>(Ь). Пусть n(g)Hx) = =f(xg)—представление группы G в пространстве V. определяемом как линейная оболочка функций n(g)fo (g6G). Имеем

ej(xg) = 2 ntj(g)et(x)

для каждого фиксированного базиса e56V (j=l,... ,п). Полагая в этом равенстве х=1, получаем

ЛeAg^^c^^g),.<-1

с константами с<=е< (1),.

Импликация (Ь)=>(а) очевидна.

Следствие. Всякая функция fo, удовлетворяющая условию (а), аналитична. .

В дальнейшем мы рассматриваем только комплексно аналитические (голоморфные) представления группы G.

Пусть F(G) —пространство всех голоморфных функций на группе G, удовлетворяющих условию (а).

Согласно (Ь), каждая функция f6F(G) есть линейная комбинация голоморфных матричных элементов (1). В силу принципа полной приводимости (см. 2.3.1) достаточно рассматривать элементы вида

л^(л:)= < лх(х)еу> /2 > ,(2)

где (лх, Е^)—неприводимое представление группы G со старшим весом Х6Л+. Другими словами, (лх, Е(Х)) — представление группы G, дифференциал которого совпадает с одноименным представлением алгебры д.

Если G односвязна, то всякое конечномерное представление алгебры g интегрируется на группу G (см., например, [21]). В этом случае матричные элементы (2) определены для всех Х6А+.

Пусть FX(G) —линейная оболочка функций (2) с фиксированным старшим весом Х6А+. Согласно 2.6.2, имеем

F(G)=©f^g\(3)

Легко проверить (см.,.например, [11]), что Ex(G) неприводимо относительно двустороннего действия, группы GXG (левые и правые сдвиги на группе G).

В частности, пусть во (соответственно [о) — вектор веса X (соответственно —X). Пространство ^(б) есть циклическая оболочка функции

fx(x) = <xe0, f0>(4)

относительно группы GXG.

Предложение. Функция (4) есть единственное решение системы уравнений■

/(ах) = /(хй) = /(л) при a^N„, b^N*,

J (ex) = / (хе)<=Xx(c)f(х) при. <?€Н, /(1)=1

в обозначениях 1.2.10, где Хх (ехр й) =ехр Х£й) для всех НО) (характер группы Н).'

Действительно, из данной системы уравнений функция f (acb) =х*(с) однозначно определяется на всюду плотном подмножестве N_HN+ в группе G (см. 1.2.10), но тогда и на всей группе G.

Следствие 1. Функции fx удовлетворяют системе соотношений

(X, иел+).(5)

Следствие 2. Подпространства FX(G) образуют градуировку алгебры F(G). Более того,

FX(G)F*(G)=F^(G) (Л, ИеЛ+). (6)

Замечание. Если рассматривать G как алгебраическую группу, то алгебра Е(С) совпадает с алгеброй всех регулярных функций на G. См., например, [25].

Пусть X = GjN— однородное пространство, состоящее из смежных классов Nx (x€G). Положим П—П_. Алгебра регулярных функций на X отождествляется с подалгеброй

F(X) = {f^F(G) |f (ах) =f (х) при a6N).(7)

Для каждого ЛЕЛ+ пусть Fx(X) — подпространство функций f£F(X), удовлетворяющих условию однородности f(cx) =xJc)f(x) при с^Н.(8)

Следствие 2. Подпространства Fx(X) образуют градуировку алгебры F(X). Более того,

Ех(Х)ЕДХ)=Е^(Х).(9)

При этом Fx(X)«E(X) —простой G-модуль относительно действия n(g)f(x)=f(xg).

Действительно, Fx(X) есть линейная оболочка функций f,(x) = <хе,-, f0>,

где е,- (1^1^щ)—базис Е(Х). Отсюда очевиден изоморфизм Fx(X) «Е(Х).

Соотношения (9) проверяются по аналогии с 2.6.3.

Следствие 1. Каждое неприводимое представление Ла группы G содержится однократно в алгебре F(X). ' Следствие 2. Если G односвязна, то все представления Ла при Х6Л+ содержатся (однократно) в алгебре F(X).

■ Пространство X называется основным аффинным пространством группы G.

Алгебра F(X) называется универсальной алгеброй группы G (см. [11]).

.2.6.5. Ввиду разложения Гаусса G0=N-HN+ (см. 1.2.10), каждая функция f6Fk(X) однозначно определяется своим сужением на подгруппу Z=N+.

Пусть Fx^—образ Fk(X) при указанном отображении (т. е. при сужении функции f6Fk(X) на подгруппу ZY Представление (лх, A(Z)) определяется следующим образом:

nx(g)f(*)=f (**£),(10)

где y — x*g определяется разложением Гаусса xg = nhy при n^N, h6H, y^Z.

Пусть a>->Z.(a)—инфинитезимальные операторы левого регулярного представления группы Z, т. е.

А(л)/(х)=-^/(ехр( —ta)x)|<=0>(11)

где x6Z, a6Lie Z.

Пусть Н^ — алгебра всех голоморфных функций на группе Z.

Теорема. Пространство Fk(z) выделяется в H(z) следующей системой уравнений:

D^'/ (л:) = 0 для всех i = L ..., п, (12) где 2)t = Це-»), a2 (Z = l, .... п) — простые корни алгебры n+=L i е Z.

Доказательство этой теоремы можно найти в [11].

Замечания. 1. Односвязная связная группа Z= = ехрп+ изоморфна евклидову пространству Rm, где m = cardA+. При этом элементы ^Fk^ суть полиномы от канонических координат х6п+. См. [11]. 2. Теорема 2.6.5 следует также из теоремы 2.2.3.

Пример. Пусть g=sl(2, С). В этом случае формула (10) принимает следующий вид:

я(^)/(г) = (рг + б)х/(^уу).(13)

гДе ^=(“ б)’ *eZ+-

Пусть К — максимальная компактная подгруппа группы G с алгеброй Ли и0(й) (см. 1.5.5). Группа К связна. Если G односвязна, то К также односвязна. См., например, [21].,.

Ввиду разложения Ивасавы G = NAK (см. 1.6.7) функции fGF(X) однозначно определяются своими сужениями на подгруппу К. Интеграл Хаара

(/p/2)=J A^J^dx,(14)

где dx— дифференциал инвариантной меры (меры Хаара) группы К, определяет скалярное произведение в F^.

Представление группы К в пространстве F(X) унитарно относительно этого скалярного произведения. Соответственно элементы вида a+a*6u0(g), где абд, анти- эрмитовы. Отсюда .

(«А, А) = (А, а*М,(15)

для каждого абд. Здесь ан*а*— инволюция Шевалле алгебры д.

Фундаментальные веса. Согласно 2.3.1, Л+ есть свободная (аддитивная) полугруппа с образующими 8, (i= 1,..., п) такими, что ■

8i(/lj)=6,j(i, / = 1, . . . , П).

Элементы 8f называются фундаментальными весами алгебры д.

В частности, пусть G — односвязная группа Ли. Положим для краткости /А(Х) =Fei (X). Согласно (9), имеем

п

/ч(^)=Гк1(^(16)

1=1 для каждого ХбЛ+.

Пример. Пусть G = SL(n+l). В этом случае можно определить лер как представление в пространстве поливекторов ранга р (р=1, 2, ..., п) над векторным пространством £' = СП+1.

Дополнения, упражнения

Пусть <3— категория g-моделуй, каждый из которых порождается конечным числом старших векторов (относительно п+), весовых относительно 1).

Используя методы 2.4.6, легко проверить, что каждый модуль V категории О артинов и нётеров. В частности, V обладает конечным композиционным рядом.

При этом модуль V может обладать бесконечным числом подмодулей. В частности, это верно для модулей Верма (см., например, [10]).

Согласно 2.5.7, модуль Z?(X) = Vam • • • Va.Q обладает базисом из векторов вида

^(/2) = /”™.../^(О),(1)

1 т

где Jl = e_ai (образующая Шевалле), п = (пхn„^ —

мультииндекс, у(0) — старший вектор модуля Е (X).

Базис (1) называется базисом Верма, если его показатели подчиняются условиям вида 0<^</Пр где mt зависит от пхп^. В этом случае векторы (1) при пнх= .. .=пт = 0 образуют базис подмодуля Шуберта F (ив), где чи = ива1 •.. wai.

По-видимому, для каждого модуля Е(Х) существуют базисы Верма (определенные при некотором приведенном разложении w = ra т ... rai). Большое число таких примеров рассмотрено в [82].

Пример. Пусть й=Л2, с простыми корнями аь аг. В этом случае £(Х) обладает базисом Верма

*/^№(0),

где rrii=Xi, т1 = Х1+п1, m3 = min(X2, п2). Здесь Х,= =X(ht), i=l, 2.

Для линейной группы GcGL(n, С) универсальная алгебра F(X) естественно вкладывается в пространство полиномов Р = С[хо- (i, j = 1,..., n)].

В частности, пусть G = SL(n). В этом случае

F (X) = {feP|f (ах) —f (х) для всех абМ)

в обозначениях 2.6.4(N=N_). Соответственно Fk(X)

выделяется условием однородности

Нех) = xHc)f (х) для всех сбН, где хк(с) = с^1 ... с^п для диагональной матрицы c = diag(cP ..., сп), Xl = ml — ml+x (i = 1, ..., п— 1).

Замечание. Пространство Fk(X) состоит из полиномов f6P, имеющих степень однородности ХР по минорам ранга р, составленным из первых р строк матрицы кхц) -

5 ?. Дополнения, упражнения115

Аналогичное описание Е>.(Х) для классических групп Ли SO (/г), Sp(n) можно найти в [55].

Согласно 2.6.5 (12), инфинитезимальные операторы модуля Л (г) имеют следующий вид:

п

лл(а) = 2ХА+ло(°)’^

.<=i

где X,=X(/i,), а( — оператор умножения на полином а^ 6P(z), Ло (а) —дифференциальный оператор первого порядка (не зависящий от X).

Равенство (2) позволяет определить операторы лх(о): P(Z)^-P(Z) для всех значений Х61>*.

Пример. Пусть й = з!(2). Инфинитезимальные операторы представления 2.6.5 (13) имеют следующий вид:

е+=д/дх, во=Х—2е, е-=х^К—е),(3)

где е=хд]дх (оператор Эйлера).

Упражнение. Пусть g = sl(2), 7(Х)=С[х] с операторами (3). Проверьте, что Т (X) есть модуль категории О, дуальный модулю Верма V(—X).

У и р а ж н е н и е. Пусть g = sl(2). Проверьте, что

£(Х)®5(1) = £ (X—1) ®£ (Х+1),

где X = О, 1, 2,.. ., Е(—1) =0. Отсюда следует общее правило

E(m) ®Е(п) =£(т+») ®Е (m+n—2)® ... ®ЕЦт—п|).

Упражнение. Пусть g = sl(2). Проверьте, что

У(Х)®£(1) = У(Х—1)®У(Х+1)

при Х#=—1. Найдите все подмодули У(—1)®£(1).

Указание. У(Х)®£(1) обладает базисом из элементов вида a±n = e_n(l®f±), где f± — базисные векторы £(1) с весами ±1. Рассмотрите векторы

Ь„ = а_п— (Х-(-1)— ‘Cn+i.

Упражнение. Пусть g=sl(2), 6 = Се0, 6= =1)®Се+. Проверьте, что:

Всякий конечномерный ^-градуированный 6-модуль есть прямая сумма циклических модулей Е^, где Fwv определяется однозначно, с точностью до изоморфизма, своим старшим весом р,бС и малдшим весом _убС, с добавочным условием ц—v62Z+.

£^«Сх®£(п), где Х= (p+v)/2, п= (ц—v)/2, Сх — одномерный Ь-модуль со старшим весом X (п+Сх = 0). При этом 0-модуль Е(п') рассматривается как Ь-модуль.

F^ есть подмодуль £(р) лишь в том случае, когда p+v6Z+.

Указание. Оператор е+ разлагается на жордановы клетки, с базисными векторами, собственными относительно е0.

Упражнение. Пусть д=Ль Проверьте, что Ind(Cx®£) = У(Х)®£ для каждого конечномерного д- модуля Е (рассматриваемого как Ь-модуль).

Указание. Достаточно положить £ = £(1). См. также 0.7.16.

Упражнение. Проверьте, что Va£ есть наибольший фактормодуль модуля Inda£, в котором оператор е_а действует локально нильпотентно.

Упражнение. Пусть a, (Z = 1, 2)—простые корни алгебры Аг, a3=a]-Ha2. Положим г^ = га., /,= =(1— е°1у. Проверьте, что

f 1 (1 — Г.) f 2 (1—Г2) f. (1—г,) = f е,

где / = /1/2/3, е определяется в 2.5.1. Проверьте аналогичные тождества для Вг, G2 (см. 2.5.2).

Упражнение. Пусть у!^т— нормальный порядок в Д+. Проверьте, что

йГю = щг^¥/... ?Y1,

в обозначениях 2.5.7.

ГЛАВА 3

ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ

Материал предыдущей главы иллюстрирует роль универсальной обертывающей алгебры £7 (д) в теории представлений алгебры д.

Для дальнейшего исследования g-модулей нам понадобятся следующие расширения алгебры Е7(д).

(а) Расширение £7'(д) алгебры U^Y над полем D^) = Fract U$Y

(Р) Расширение F(g) алгебры Е7(g), состоящее из некоторых формальных рядов над U' (д).

(-у) Расширение W'(g) алгебры t/(g) над кольцом С(д), где С(д) —расширение Галуа центра Z(g).

В частности, в алгебре F(g) существует «достаточно много» проекционных элементов (идемпонентов алгебры F(g)). Один из таких элементов, играющий особую роль в теории экстремальных g-модулей, мы называем экстремальным проектором алгебры F(g).

В § 5 рассматриваются также некоторые «матричные» расширения алгебры t7(д).

Алгебра U' (д).

Всюду в этой главе д — комплексная редуктив- ная алгебра Ли (dimgCoo), с фиксированной картанов- ской подалгеброй I). Положим

U'^^U^^y^D®.(1)

Согласно 0.6.3 (см. также 0.6.4), t/'(g) есть алгебра над С, содержащая Е7(д), £)(д) в качестве подалгебр. При этом

t/'(g)=®^(g)(2)

И

(весовая градуировка б/Дд)), где U/ (g) — расширение t/„(g) над /)(()). Элементы хби/ (д) выделяются весовым условием

Ах=х(А+р,(А)) для всех Ае^.(3)

В дальнейшем мы отождествляем алгебру (/(()) с алгеброй полиномов Р(5*) (см. 0.3.2). Соответственно D0) отождествляется с алгеброй рациональных функций R$*) над V- Заметим, что условие (3) равносильно

fx=x^ для всех f6D0),(4)

где f ^ fy—автоморфизм поля 0(f)), определяемый равенством Мё)=П£+ц) Для всех ёеЬ*.

' Инволюция (аналогично, эрмитова инволюция) Ше- валле алгебры 0(g) продолжается также до инволюции алгебры U' (д).

Замечание. Умножение в U'(д) обладает следующим свойством однородности над полем 0(b):

(ах)у=а(ху), х(уа) = (ху)а,

где Q6D0), х, y6U'O). Соответственно, допуская вольность речи, мы будем иногда говорить, что U' (д) есть алгебра над полем DOV

Согласно 2.1.5, мономы е(А, г) =е_(А)е+(г) образуют базис векторного пространства U' (д) над полем DO).

Используя весовое правило (4), мы будем записывать элементы x^U'OO в виде конечной суммы

x='2ie_0')Xfere+^')(5)

6,г

с коэффициентами ХкгбОО).

Легко проверить, что свободный член этой суммы, т, е. элемент xQ06DO), не зависит от порядка в А+ (входящего в определение мономов е±(А)).

Замечание. Для элементов x6t/0(g) отображение х |-* Хоо совпадает с гомоморфизмом Хариш-Чандры (см. 2.1.5).

Форма Шаповалова. Для каждой пары элементов х, y^U' (g) пусть

А(х, у) = (х'у)оо,(6)

где х-* х'— инволюция Шевалле алгебры U'O). Ана-

логично, пусть

В(Х, у) = (у*х)00-(7)

где хнх* — эрмитова инволюция Шевалле.

Форма (6) есть продолжение на U'^ билинейной формы в (/(g), введенной в [40] и детально исследованной в [95]. Форма (7) есть эрмитова версия формы (6).

Форма А (в алгебре (/(g)) называется обычно формой Шаповалова.

Заметим, что форма А (соответственно В) билинейна (полуторалинейна) над полем £>(^). Форма А (соответственно В) симметрична (эрмитово симметрична). При этом

А(ху, z) =А (х, y'z), В(ху, z) =В(х, y*z),(8)

для каждой тройки х, у, z^U'^- Разложение (2) ортогонально относительно формы А.

Предложение, (i) Форма А (форма В) вырождений на левом идеале $+=и' (g)n+.

(п) Форма А (форма В) невырожденна на подалгебре U(xv-Y

Доказательство. Утверждение (i) очевидно. Для доказательства (п) рассмотрим действие алгебры (/(g) в пространстве В(X).-

Пусть (•, ■)—скалярное произведение в В(Х), определенное в 2.6.6. Имеем

(хи0, yv^ = (y*xv0, v0)=B(x, у)(к),

где о0 — старший вектор В(Х), нормированный условием ||о0|| = 1- Полагая в этом равенстве х=у, получаем

В(х, х) (%) = ||хи0||2.

Согласно 2.3.4, аннулятор вектора и0 в U (п_) тривиален при Х^Хо- Соответственно В(х, х)#=0 при 0=# #=х6(/(п_).

Аналогично, А(х, х)#=0, где черта означает комплексное сопряжение в g (такое, что х*=х').

Таким образом, формы А, В невырожденны в (/(п_).

Следствие. Форма А (форма В1) невырожденна на пространстве ■

М(0) = (/'(0)/Л-(9)

Действительно, t/'(g) =0(1)) t/(n_) ®7+, в силу теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта. Отсюда

М(0)«О(^)[7(п_) = [7(п_)О^).(10)

Невырожденность Л на Al (д) следует теперь из билинейности (над /)(())) и невырожденности на Щп,_).

Модуль М(д). Условимся рассматривать М(д) как левый [/'(g)-модуль.

Заметим, что идеал J+ сохраняется при правом умножении на О (()). Соответственно можно рассматривать М(д) как правый О ($)-модуль.

В частности, М(д) есть свободный 0(f))-бимодуль с базисом из элементов еДЦ и с весовой градуировкой

Л4(д)=ФЛМд).(П)

V

где М,(д) —образ UY (д) в М(д). Используя равенство (10), находим также М,(д) «О(())[/,(п_).

Предложение. Весовое подпространство Мо(0) = =/)(!)) совпадает с подпространством

М(д) + ={хбМ(д)|п+х = О}.(12)

Действительно, включение хбМ0(д) равносильно x_Ln_M(g) (относительно формы Л). Согласно (8), последнее условие равносильно п+х = 0.

Алгебра 0(g). Введем обозначение Е'(д) для алгебры всех эндоморфизмов пространства М(д), перестановочных с правым умножением на элементы D^Y Положим

Е^ = {ае£'(б) |[т(А)>с, a] = p(/i)a при h.6t)Y (I3)

где т — представление алгебры U' (д) в пространстве М(д) (т. е. т(х)у=ху при х6[/'(д), y^M^Y Заметим, что

5Дд)М,(д)сЛ1ц+,(д).(14)

Оператор а^Е' (д) условимся называть финитным, если он разлагается в конечную сумму операторов йцбЕц^. Соответственно пусть

Д(д)= фДц(д)(15)

и

— алгебра всех финитных операторов аб£'(д). Разложение (15) (алгебраическая сумма) есть весовая градуировка алгебры 5(g)..

В частности, все операторы т(х), где хбП'^, финитны. Поэтому отображение х►-* т(х) определяет гомоморфизм алгебры U' (д) в алгебру £(й).

При этом, как нетрудно видеть, отображение т сохраняет градуировку, т. е.

т: ^(д^Дд).(16)

Алгебра £(д)

Определение. Пусть £(д)—векторное пространство над полем £(!)), имеющее вид алгебраической суммы

Р(б)= ®£ц(0)>(1)

где £Дд)—пространство всех формальных рядов 3.1.2 (5), имеющих вес у относительно 1).

Согласно этому определению, каждый элемент x6F(д) есть конечная сумма рядов л^бТ'Дд). Весовое условие хбОДд) означает, что коэффициенты Xt, в 3.1.2 (5) могут быть отличны от нуля только в случае р(г)—р(&) = р, где т

р(А) = 2бЛг(2)

(вес монома е+(/?)).

Ниже будет показано (теорема 3.2.3), что F^ есть алгебра относительно умножения формальных рядов.

Определим билинейную операцию £(g) хМ(д) Э Э(х, у) <-* хубМ^ следующим образом.

Напомним, что Ж(д)=О при v>0. Отсюда ясно, что e+(r)Afv(g) =0 при достаточно больших значениях г (таких, что p(r)+v>0). Поэтому почленное умножение формального ряда хб£(д) на элемент убМ^ сводится к конечной сумме, т. е. к однозначно определенному элементу хубЩ&У

Положим т(х)у = ху. Согласно 3.1.5, включение хб£ц(д) влечет т(х)б£Дд). Отсюда

т: £(д)-£(д)(3)

(гомоморфизм векторных пространств).

■ 3.2.3. Теорема. Пространство £(д) есть алгебра относительно умножения формальных рядов (с градуи-

ровкой (1)). Отображение (3) есть изоморфизм градуированных алгебр, т. е.

(4)(4)•Д^Дв)) =£Да) для всех ц6()*.

(4)

(4)

Следствие 1. Определение F^ не зависит от выбора порядка в zV (входящего в определение формальных рядов 3.1.2 (5)).

Следствие 2. Подпространство /*o(fl) есть алгебра (подалгебра F^Y

Следствие 3. Подпространство ^(fl) есть Fq^- бимодуль (для каждого рб^*).

Заметим также, что левый (правый) Fo(fl)-модуль ^(fl) порождается подпространством U^y.

(5)(5)^(fl)=^o(fl)(/.(fl)=(/.(fl)/7o(fl).

(5)

(5)

Доказательство этой теоремы, излагаемое в 3.2.4— 3.2.6, сводится к установлению изоморфизма (4) и к проверке тождества т(ху) =т(х)т(у) для всех х, y^FM.

Инъективность. Пусть Q+= {Xi, Ха,---}- Представим х^Дд) в виде формального ряда xt + + хг+ ..., где Xt определяется как сумма слагаемых 3.1.2 (6) с фиксированным весом p(r)=Xz (так что p(^)=Xz—р). Имеем (вА1(д)):

О при Xt > p(s),

Xje_(s) J e_(k)xkra(r, s) при Xz = p(s),(6)

где

a(r, s) = (e+(r)e_(s))00=X(e_(s), e+(r)Y (7) причем суммирование в (6) ведется по конечному множеству индексов к, г, для которых p(r) =Xt (так что pW=Xi—р).,

Условимся считать, что О=Хо<Х1-< ... (относительно лексикографической упорядоченности в Q+). Согласно (6), с заменой i на i-H, имеем■

xe_(s) = (хо+*1+ • • • +xz)e_(s) при Xz^p(s). (8) Предположим, что xe_(s)=0 для всех s. Покажем (индукцией по iY что Xz = O для всех I, т. е. х=0.

Действительно, пусть уже доказано, что х0= .., ,.. =Xz-i=O. Тогда, согласно (6), (8), имеем

№,r

для всех к, г, s таких, что ц(г) =ц(з) =hi. Отсюда, ввиду невырожденности матрицы (7), имеем хкг = Ь для всех к, г, т. е. Xi = 0.

Таким образом, т(х)=0 влечет х = 0, т. е. отображение т: /?(8)^-£(д) инъективно.

Сюръективность. Пусть ^б£Дд). Воспользуемся матричной записью

t/e_(s) = 5e_(A)P(A, s)(9)

'к

с коэффициентами ^(к, s^eD^).

Заметим, что суммирование в (9) при ц(з)=Х ведется по индексам к, для которых ц(^)=Х—ц.

Пусть х = х;бР11(^ —конечный ряд с коэффициентами Xtr = 0 при ц(г)=#Х/. Определим оставшиеся коэффициенты хкг из системы уравнений

^хкга^г, s) = P(A, s).(10)

k, г

Разрешимость этой системы следует из невырожденности матрицы (7). Сопоставляя (6) и (9), находим (х—-i/)e_(s) =0 при ц(з) =Хь

Предположим дополнительно, что i/e_(s)=0 при ц(5)<Хь Согласно (6), имеем также xe_(s)=0 при p(s)<^i- Поэтому (х—i/)e_(s)=0 при ц(з)^Х<.

Применяя это рассуждение индуктивно к элементам yt = y—х0—Xi—...—хг-1 (x-i = 0), где у — произвольный элемент из Е^У получаем последовательность элементов х^ЕД^ таких, что

(у—-х0—-... —-x,)e_(s) =0 при |t(s)^X,-,(11)

причем Xt есть сумма слагаемых 3.1.2 (5) с фиксированным весом ц(г)=Х(. Отсюда (х—z/)e_(s)=O для всех s, где х=х04-Х1+ ... б^Дд). В результате г/ = т(х).

Таким образом, отображение т: /?(д)^-£(д) сюръективно.■

Мультипликативность. Пусть х, убЕ^У Ввиду доказанного изоморфизма между Е^У Е^> существует единственный элемент хубЕ^) такой, что. _ ,.

t(xz/)=t(x)t(i/),

Заметим, что коэффициенты 2кг формального ряда 2=ху вычисляются по формуле (10):

2 ^Га(г, s^^^k, s), ь,г

где у(&, s) —аналог р(&, s) для элемента г- Заметим также, что хуи = хпути при п, т^пй для каждого и = = ей^, где хп, ут— частичные суммы формальных рядов х, у. Таким образом, при вычислении zhT достаточно заменить ху на хпут при п, т^щ. Но это означает, что z=xy совпадает с произведением формальных рядов х, у.

Теорема 3.2.3 доказана.

Инволюция Шевалле х х' (аналогично, xi-*x*) продолжается с алгебры U' (д) на алгеб- РУ^(б)-'

Форма Шаповалова Л (аналогично, В) также продолжается, по определению 3.1.3, на алгебру ^(д).

Предложение. Алгебра ^(д) содержит единственный элемент р, удовлетворяющий уравнениям,

еар=ре_а = 0 для всех абД+(12)

со свободным членом Роо=1- При этом рб/^д), рг= —р=р' = р* (г. е. р— эрмитов проектор в ^(д)).

Доказательство. Оператор рб£(д) однозначно определяется уравнениями (12) и условием нормировки Роо=1 как оператор проектирования в М(д) на подпространство M(g) + = M0(g).

При этом оператор р сохраняет весовую градуировку в М(д), откуда рб£0(д).

Элементы х=р\ р', р* удовлетворяют уравнениям (12) и условию нормировки х00=1. Поэтому х=р.

Определение. Элемент рбЛ(д), определенный в 3.2.8, называется экстремальным проектором алгебры F (д).

Замечание. Элемент рбЕ^ однозначно определяется системой уравнений еар=0 (аналогично, ре_а = 0) для всех абД+ включением рбВДд) и условием нормировки Роо=1-

Действительно, из данной системы уравнений следует рМ (g) czM (д)+. В то же время рб£0(д) сохраняет градуировку, откуда pA4v(g)=0 при v^O. Из условия роо=1 следует рх=х при хбЛ10(д).

Предложение. ДлякаждогоF(fl)-

модуляVоператор р проектирует Vнаподпространство

V+ = {veHn+v=0}.(13)

При этом кегр=п_/. Соответственно

У=У+Фп_К(14)

Действительно, рУсгУ* согласно (12). С другой стороны, У+сгрУ, поскольку рх=р00х=х для каждого хбу+. Поэтому рУ=У*. Аналогично, П-Ускегр согласно (12). С другой стороны, кегр=(1—p)Vcn_V. Поэтому ker р=п-У.

Определение. Подпространство (13) называется экстремальным подпространством д-модуля V.

Соответственно система п+и=0 называется экстремальной системой уравнений в пространстве V.

Замечание. Иногда, по аналогии с 0.7.5, подпространство (13) называется «вакуумным подпространством» g-модуля У.

Регулярные д-модул и. Условимся говорить, что g-модуль V регулярен, если выполняются следующие условия.

Алгебра U^) действует в V без делителей нуля.

Элементы еа (абД+) действуют в У локально нильпотентно (т. е. еапи = 0 для каждой пары абД+, ибУ, с показателем п, зависящим от а, и).

Согласно условию (а), алгебра U' (д) действует в пространстве V.

Согласно условию (Ь) (см. 3.2.2), действие алгебры U' (д) продолжается до действия алгебры F(g) в пространстве У.

В частности, для каждого регулярного д-модуля справедливо предложение 3.2.10.

Пусть д« — простая алгебра Ли с базисом Ше- валле е_а, ha, еа и условием нормировки a(fta)=2. Введем обозначение

Ра ^ = 2 ^ /-" (^Va"( 15)

п=0

для семейства элементов pa(/)6F(ga), зависящих от параметра /бС, с коэффициентами

■ п‘

= П(^ + г + /).. (16)

/=1

Предложение. Элементы (15) удовлетворяют соотношениям

е„р„(/) = (/—1)р„(/—1)е„^-‘,(17)

где положено fa=fa(/)=Aa+/+l. Аналогично,

pa (t)e^ U-^fa^e-aPa (/-1 ) .(18)

Доказательство. Воспользуемся правилом дифференцирования [еа, е^_а] = п (па 4- ti — 1) е^ и весовым соотношением eaha = ha^ea — 2), откуда еа/ё\=g”^, где положено /„.„ = /„,„(/), ga,n = f^At — 2). Имеем

е»Ра (0 = 2 Sr ti le-^a + п ^а + п~ 1) еП-Л е" = п-0

■ =2Srfc"(Aa+n)^Me^ . п=0

^-П.мг-гг’м*-!) (=>(17)).

Соотношение (18) получается из (17) с помощью инволюции Шевалле.

Следствие. Элемент р=ра(1) есть экстремальный проектор алгебры F (да).

Действительно, еар=рв-а = 0, согласно (17), (18) при /” 1, и также р00= 1.■

Экстремальные проекторы

В этом параграфе будет получено явное описание экстремальных проекторов p^F^ путем факторизации по элементам Pa^F^Y

Фиксируем нормальный порядок Д+={а1,..., ат) (см. 1.4.5). Для каждого Хвф* пусть

P^ = PaA4.--Pam^m).(1)

где Xt=Xai (Xa=X(ha) для всех а€Д+), ра (£)6F (ga) — элементы, введенные в 3.2.11.

Напомним, что р=у 2а —-полусумма положитель- а>0

ных корней «бД*. Согласно 1.7.9, имеем ра = 1 при aQA.

Теорема. Произведение (1) не зависит от выбора нормального порядка в А+. Элемент р=р(р) есть экстремальный проектор алгебры ^(д).

Пример. Пусть д — алгебра ранга 2 с нормальным порядком Д+, определенным (однозначно, с точностью до инверсии) в 1.3.10. В этом случае рбР^) имеет следующий вид:.

Л^Лр р=рвр».

Л2.p=papa^Pf.

Вг-р = рара+?ра+26р6.

G2-Р = РаРаНРЧаА-З^РаА-^РаД-З^Р^.

Здесь а, 0 — простые корни в А+, ра=ра(ра). Соотношение р=р'=р* равносильно независимости элемента (2) от инверсии нормального порядка в А+.

Излагаемое ниже доказательство теоремы (3.3.3—

сводится к проверке соотношений (2) и к последующей индукции, с использованием теоремы 1.4.12.

Заметим, что для алгебры AtXAt равенство (2) очевидно. Остается проверить это равенство для простых алгебр Ли Л2, В2, G2.

Случай А2. Положим у=а+0, р=рар1р6. Согласно 3.2.12, имеем еар=0.

С другой стороны, [ео, ер]=ет для алгебры Л2«з1(2). При этом [еа, ет]=0, откуда

[ер, еа"]= —пеа"-*ет.

Воспользуемся также весовыми соотношениями e^ha= = (fta+l)ep, hae_a=e_a(h;—2) и равенством 3.2.12 (17) при /=2. Имеем:

ецРа = 2 ^Г~ ^“-п(2)'1 е--— Пе^Х е^ =

л=0

= ра(2)вр-|- fa (2) *6—арабу =Ра (2) (бр-J-6—абу). (3)

Аналогично проверяется соотношение (еР+б-ает)рт=рт(1)ер,(4)

где рт=рт(2). Комбинируя полученные соотношения, находим ерРаР1=Ра(2)р1(1)бр. Отсюда, умножая на р», получаем е^р=0.

Таким образом, еар=е6р = 0. Ясно также, что РеА(д), Роо=1. Отсюда следует, согласно 3.2.9, что р=р' — экстремальный проектор алгебры Д2.

Замечание. Соотношение (4) следует из (3) посредством инволюции х=грх'(х6д), переводящей еа в ет. Здесь га (абД) —элемент группы W, действующей в алгебре g (см. 1.7.6).

Случай В2. В этом случае р=ра(1)рт(3) рб(2)рр(1), где 7=»+^, 6=а+2р.

Очевидно, еар=0. С другой стороны, проверим выполнение следующих тождеств:

е₽Ра(1) = Ра(2)(е₽ + а),■(5)

(^P + ^)^Y (3) = /?v (3) (^р 4-6),(6)

(ев+&)Вб(2) = /М1)е₽,(7)

где а=е-аеъ Ь= —е_теб. При этом мы пользуемся соотношениями коммутации

[ер, eTnJ=2neTn-'e6, [ер, e_Tn];=2ne_ae_Tn-'

в алгебре B2«so(5), а также весовыми соотношениямиep/iT=/iTep, /iTe_T=e_T(/iT—2), /iTe_a = e_a(/iT—2).

Заметим, что тождества (5), (7) аналогичны (3), (4) (и получаются друг из друга инволюцией х=г^х'\ Проверим (6).

е^РУ (3) = 2А.д (ЗГ1 (е^е"гр + п=0

+ 2/ге1^"-'е6 + 2/w_ael-’e") =

= Вт (3) ер — 2 А (3)-1e_YjpY (2) еб — 2 А (З)-1 е_а ру (2) еу =

= РУ (3)(е^ + Ь)-ару (3), согласно 3.2.12 (18) при /=1. Полученное равенство совпадает с (6).

Комбинируя (5), (6), (7) и умножая на Рр(1), получаем ерр = 0.

Таким образом, еар=ерр=0, откуда р=р'— экстремальный проектор алгебры В2.

3.3.5. Случай G2. В этом случае pi = l, 4, 3, 5, 2, 1 соответственно для корней a( = a, a2=a+P, a3=2a+3p, a4=a+.2p, «5=a+3p, ae=p.

Аналоги тождеств (5), (6), (7) из 3.3.4 имеют следующий вид:

(ер+а<)р<=р< (еР+а<+1) г(8)

где Pi=Pai(Pi). Pi=Pai(pi'), /'-*/' —инверсия ряда Г, 2, 3, 4, 5, 6,

^ = а^ = О,

a2=Xe_aiea,, a3=це_а1еа<+veia Д, -а4 = 1х'е_а1еа1 + т/е_оД/ a5 = X'e_aieai.

Здесь X, ц, v, X', ц/, V — константы, зависящие от нормировки векторов eai.

Отсюда, как и прежде, получаем, что р=р'—экстремальный проектор алгебры С2.

Лемма. Пусть аь ..., am — нормальный порядок в Д+. Элементы

6 kk. Н-е^Д*, ... е^Д(9)

выражаются рекуррентно, с рациональными коэффициентами, через мономы е (k, г). При этом

е^к, r)^e{k, г)mod Еп_{,(10)

где Еп— линейная оболочка (над R) одночленов e(k,r) при |£|+,И^Д

Действительно, из соотношений коммутации в алгебре g следует сравнение (10), коэффициенты которого суть полиномы с рациональными коэффициентами от переменных ha (абД). Покажем, что эти полиномы суть константы.

Для каждого / = 1пг пусть о.у (соответственно by) —линейная оболочка элементов еа, при Kj (соответственно е_ач при / > JY Из нормальности порядка в Д+ следует, что ay, by, а;ФЬу суть алгебры Ли. Поэтому

^7(ay)^(by) = 77(by)i7(ay)

согласно теореме Пуанкаре —Биркгофа —Витта для алгебры СуФЬу. Применяя это правило индуктивно к элементам е1... еу, где 6i=ek2tte^, получаем

8i... 6}6U(и_уикп4\

для всех /=1, ..., т. В частности, при j=m это равенство означает, что элемент е(£, г) 6U(n_) t/(n+) разлагается по базисным мономам е(к, г) с постоянными (не зависящими от h^ коэффициентами.

Замечание. Если x^F^ разлагается по элементам (9), то свободный член этого разложения совпадает с элементом х00 (см. 3.1.2). '

Действительно, если |/г | +1 г | ^ 0, то в (к, r)GiuE(g) + +^(б)п+, откуда в (к, г)оо=О.

Лемма. Пусть р(X)hT6D(I))—коэффициенты элемента р(Х) относительно базиса e(k,r) (для произвольного порядка в Д+). Тогда имеем

р^Ы^МьД^У (11)

где ^kT^D(^ и обе части (11) рассматриваются как рациональные функции от переменной g€^*.

Действительно, изменение порядка в Д+ сводится к линейному преобразованию коэффициентов р(ХУт (над полем R). Поэтому можем считать, что порядок в Д+ нормален.

В этом случае равенство (11) следует из определения (1) и леммы 3.3.6.

Следствие. Пусть g— ранга 2 (см. 3.3.2). Тогда р(ХУ =р(Х^ (инволюция Шевалле') для всех X6I)*. Другими словами, р(Х) не меняется при инверсии нормального порядка в Д+.

Действительно, искомое равенство равносильно следующему соотношению для коэффициентов (11):

fir (Х+£) =и/ (Х+£),

где fh/ — аналог fh„ для элемента р(ХУ. Согласно 3.3.2, это равенство доказано при Х=р. Но тогда оно справедливо и для всех Х6()*. ■

Таким образом, теорема 3.3.2 доказана для всех алгебр ранга 2. '

Общий случай. Согласно теореме 1.4.12, каждые два нормальных порядка в Д+ получаются друг из друга композицией инверсий ранга 2, каждая из которых сводится к инверсии некоторого Отрезка Д/+ с:Д+.

Для каждого такого отрезка Д/4} пусть рч (X) — соответствующий отрезок произведения (1). Согласно следствию 3.3.8, имеем р<ДХ)=р<ДХ)', Производя компози-

цию таких инверсий, заключаем, что элемент р(Х) не зависит от выбора нормального порядка в Д+.

В частности, пусть абД. Фиксируем нормальный порядок Д+ с первым корнем ai = a. Напомним, что ра=1. Из равенства (1) при Л=р находим еар=0.

Отсюда, используя 3.2.9, включение p6F0(g) и нормировку роо=?1, заключаем, что р есть экстремальный проектор алгебры F(g).

Теорема доказана.

Квазирегулярные g - м о д у л и. Условимся говорить, что g-модуль V квазирегулярен, если выполняются следующие условия:

(а) Элементы Ла+ра+/, где абД+, / = 1, 2, ..., действуют в V без делителей нуля.

(0) Элементы еа (абД+) действуют в V локально цильпотентно.

В этом случае, согласно определению (1) при Л=р, экстремальный проектор р можно рассматривать как оператор в пространстве У

При этом выполняется аналог предложения 3.2.10: оператор р проектирует V на V+ параллельно П-У.

' Замечание. Конечномерные g-модули не относятся к классу квазирегулярных. Тем не менее, определение экстремального проектора допускает модификацию [33, 34], при которой он действует в конечномерных д-мо- дулях.

Аналог теоремы 3.3.9 в конечномерном варианте доказан в [34] (доказательство содержит пробел, который можно восполнить леммой 3.3.6).

Изложение в этой главе следует [51, 62, 63].

Конструктивные модули

В этом параграфе предлагается другая конструкция экстремальных проекторов, основанная на действие алгебры F(g) в некоторой категории «конструктивных» д-модулей.

Определение. Левый g-модуль V назовем конструктивным (или модулем категории ®’), если он снабжен дополнительной структурой правого ((-модуля со следующими свойствами.

Левое действие алгебры g перестановочно с правым действием алгебры }.

Модуль V диагоналей относительно присоединенного действия ad 5 алгебры i>:

(ad h)v=hv—vh,(1)

где /i65, хб V.

Элементы е„ при «6Д+ действуют в пространстве V локально нильпотентно.

■ Условие (а) позволяет ассоциировать с модулем V следующее семейство левых д-модулей:

Vm = V®UwM,(2)

где М — произвольный левый 5-модуль.

Условие (Ь) означает, что ad 5-модуль V обладает весовой градуировкой:

1/=®1/д,(3)

и

где Уц — весовая компонента веса цб5*. Напомним, что включение ибУ„ равносильно соотношению

ки = икц для всех /i6(/(5),(4)

где h Ац—автоморфизм 1/(5), определенный в 3.1.1.

Заметим также, что в условии (с) достаточно рассматривать простые корни абЛ. При этом (см. 2.3.4) алгебра п+ действует в пространстве V локально нильпотентно и потому локально финитно, т. е. dim t/(n+)u<oo для всех ибУ.

В дальнейшем мы используем конструкцию (2) в следующих случаях: М=О(5), М = СХ при некотором >,65*..

Модуль У'. В частности, для каждого конструктивного g-модуля V определена его «рациональная оболочка»

У' = У®и^О^.(5)

Согласно этому определению, V' есть правый D(5)- модуль. Используя равенство (4) при h6D^), мы также наделяем V' структурой левого D (5) -модуля.

При этом алгебры (/(g), D^ определяют одно и то же (левое} действие подалгебры (/(5). Поэтому их совместное действие равносильно действию алгебры U'(д^ в пространстве V'.

Более того, из условия (с) следует (см. 3.2.2), что это действие продолжается до действия алгебры F(g) в пространстве V'*

Таким образом, V' есть левый D^ -модуль.

Заметим, что V' наследует весовую градуировку (3):

У'=®У'^(6)

где положено У^=УЦ ®u^D^\

Заметим также, что fl-модуль V' регулярен в смысле 3.2.11. В частности,

V' = im n_®ker n+.

При этом kern+=pV', где р— экстремальный проектор алгебры F(g).

Модуль SuV. С другой стороны, для каждого конструктивного fl-модуля V определено семейство левых fl-модулей

5>У = У ®щ^Ск,(7)

где Хбф*.

Мы будем называть S^V специализацией модуля V в точке Х6()*.

Пример. Универсальный модуль Верма

К8) = ^(0)М(Оп+

есть конструктивный fl-модуль. Его рациональная оболочка совпадает с модулем

M(g) = l/'G№'(0)n+,

определенным в 3.1.4. В то же время его специализация &У(б) совпадает с модулем Верма:

SJ40) = V(M=M(H-p).

в обозначениях 2.2.2, 2.2.6.

Модуль Ind F. Для каждого п+-модуля F пусть .

IndF = U^®[/wF,(8)

где положено для краткости п = п+.

Условимся говорить, что модуль F фундаментален, если:

(а) Алгебра f) действует в F дифференцированиями h ь*6(/1) модуля F, т. е.

ЦПИпП=ЦН)п.Нп.ЦНП,(9)

где 6(/i)n= (ad h)n, для всех h6fy, n€n, f^F.

' (0) Модуль F диагоналей относительно 6(6), т. е.

F = ®F11.

Модуль F локально нильпотентен относительно алгебры п, т. е.

dim 17 (n)f<oo■

для всех fEF..

Если модуль F фундаментален, то действие 6(6) продолжается до дифференцирования модуля Ind F-.

6(/i) (u®f) =6(/i)u®f+u®6(/i)f,(10)

где 6(й)ы= (ad h)u, для всех A66, ueU^, f^F. Действительно, операторы (10) аннулируют элементы вида их® ®f—u®xf, где хЕи^, т. е. могут рассматриваться как операторы в Ind F.■

Полагая vh=hv—6(A) v, мы наделяем IndF структурой правого 6-модуля, с присоединенным действием ad6=6(6). При этом, согласно (10), IndF есть ad6- диагональный модуль. Таким образом IndF удовлетворяет условиям (а), (Ь) определения 3.4.1.

С другой стороны, из условия (7) и равенства .

П(и®П = nu®f,

где пбп, находим, что IndF удовлетворяет условию (с).

Таким образом, для каждого фундаментального 11- модуля F индуцированный fl-модуль IndF конструктивен.

В дальнейшем мы будем использовать обозначение ad 6 вместо 6(6).

Покажем, что семейство Ind F обладает некоторым свойством универсальности в классе конструктивных д-модулей.

Пусть V=I7(g)uo—конструктивный g-модуль, порожденный весовым (относительно ad 6) вектором Uo6^- Полагая F=U (п)ио- заметим, что F—фундаментальный n-модуль, dimF<oo.

Предложение. Отображение 7: и® f >-* uf определяет изоморфизм ^Х^-модулей

.V« (Ind F)/ker 7.(11)

Действительно, 7 аннулирует элементы вида ux®f— —u®xf, где xEU(xf), т. е. может рассматриваться как отображение IndF на V. Соответственно (11) есть изоморфизм g-модулей.■

С другой стороны, для каждого дифференцирования и' = (ad А)и имеем

l^u^fy^u'f+uf^Xufy.

Поэтому

y((u®f)A)=Auf—(uf)'=u/A.

Соответственно (11) есть изоморфизм правых 6-модулей.

Предложение. Отображение u®f*^- u(l®f) определяет изоморфизм U (п_®6)- моду лей

IndF=U<xi_®^y®F')«U^_®^®F.(12)

См. по этому поводу 0.7.15.

Следствие 1. Ind/7 есть свободный U(п_®6)-модуль с системой образующих F«1®F.

Следствие 2. Для каждого подмодуля FocF имеем естественное вложение IndFocInd/7. При этом .

'IndF/IndFo^Ind^/Fo).

Ясно также, что Ind F как U (д) -модуль порождается подпространством F«Y®F.

В частности, из конечной порожденности [/(п)-модуля F следует конечная порожденность U (д) -модуля JndF-

В дальнейшем полагаем dim/^oo.

Пр и мер. Положим

U7(|1)=lndC,,(13)

где цбб*. При этом Си рассматривается как одномерный ad 6-модуль с дифференцированием

(ad А)х=ц(А)х(14)

для всех Абб, хбСц.

Согласно (12), имеем'

W^»U(n_®^«U^yU^n.

Отсюда следует, что Ц7(ц) как левый (/(g)-модуль не зависит от ц и совпадает (при изоморфизме и®1 •-► ь* и mod [/(g) п) с универсальным модулем Верма, определенным в 3.4.2..

Заметим также, что модуль И7(ц) универсален в классе конструктивных g-модулей V=(/(g)vo, порожденных экстремальными векторами иобУц+г

V»iF(n)/kerf(15)

в обозначениях (11),■

Весовая фильтрация. Пусть P(F) = = {цо, Ць ■••. Р»} — множество всех попарно различных весов ad ^-модуля F, расположенных в порядке их неубывания (т. е. p<<Pj влечет t</). Имеем

'F=Fo=>Fx=>...^Fk+1=O,(16)

где Ft — линейная оболочка весовых компонент F^ при i<у. Поскольку действие алгебры п повышает вес, цепочка (16) есть композиционный ряд модуля F с компонентами

FV Fи\~ ^Р/Сц^

где пц=д!т/•'ц — кратность веса ц в модуле F.

Соответственно Ind F обладает композиционным рядом'

Ind F=Ind F0=3lnd F^ ... =Dlnd Fk+1=0(17)

с компонентами

Ind^/Ind/^,»/^^)

в обозначениях 3.4.6.

Предложение. Рациональная оболочка Ind'/^ модуля Ind F есть прямая сумма

\n6'F^®U'{^P(.\®FXk)~®nvW'\p),(18)

ии

где р— экстремальный проектор алгебры F^), W" (р) — рациональная оболочка модуля Н7(ц).

Действительно, согласно 3.4.6,элементы вида a(l®f), где абС/(п_), f6F, образуют базис Ind'F над полем Д(6). Заметим, что

Р^®П = (l®f)mod Ind'Fj+i

для каждого f6Ft. Умножая это равенство на элементы абЩп.-), получаем рекуррентное соотношение между элементами ap(l®f), a(l®f). Отсюда следует (18).

Следствие. При переходе к рациональной оболочке ряд (17) расщепляется в прямую сумму (18).

Определение. Последовательность элементов un6FQ^ назовем локально- финитной, если ип+хип .. .ихи = ип ... ихи для каждого z^eAf (д) при п^ ^по(и). В этом случае формальное произведение

.y=...Un...uv(19)

определено как оператор в Л4(д). Соответственно (см. 3.2.3) можно рассматривать (19) как элемент алгебры ^(б).

В том случае, когда элементы ип взаимно перестановочны, условимся записывать (19) в виде

«=Пы-(20)

•л.

Пусть 262(g)—элемент Казимира, и пусть 2M(g)=20(g + p) (1,^*),

где Zo(£) = (B, В+2р) —главная часть элемента 2, определенная в 2.17.

Заметим, что разности вида 2М—2V (ц, v6I)*) суть аффинные функции над ()*. В частности,

2е—20= (е, е) (Ае+р«+,1),(21)

для каждого е(ф* при (е, е)^0, где

■Ле = 2е/(е, е), ре = р(ЛЕ).(22)

Теорема. Экстремальный проектор p^F (g) имеет вид бесконечного произведения

/’^П (^0 —2е)-1(2 —2е),(23)

8

где 0^e6Q+ (Q+=Z^ — множество линейных комбинаций элементов а^А с неотрицательными целыми коэффициентами).

Доказательство. Достаточно проверить (23) в применении к произвольному весовому элементу uoeM(g). Согласно (11), достаточно рассматривать действие F (д) в модуле Ind'f, где положено f=t/(n)uo.

Пусть Ind// — весовая 'компонента Ind'f, где ц = = цо — вес элемента По- Заметим, что

Ind/f=Cpu®Ind/ (п/7),(24)

согласно (18), так что ри0 есть проекция элемента и0 на первое слагаемое (24).

С другой стороны, применяя оператор Казимира к циклическому элементу иоб^(р) (см. (13)), находим 2Uo = 2oUo=Uo2w откуда

2у=у2и для всех уб!Г(р),

ввиду центральности элемента г. Заменяя в этом равенстве р на р + е, получаем

zw=yzg+.=zey при и6^(ц+е)ц.

Согласно (18), оператор z диагоналей в (24) с собственным значением z0 на ри0 и с собственными значениями z, (0#=e6Q+) во втором слагаемом (24).

Отсюда puo=PfVo, где pF— оператор, определяемый правой частью (23) при p+e6P(F).

Из равенства zpF=zopF следует локальная финит- ность последовательности

и. = (Zo—z,) ~* (z—z.)(25)

(действительно, u,pFvQ=pFv0 при p + e$P(F)). Поэтому puo=PooVo, где Рос — бесконечное произведение в правой части (23).

Теорема доказана.

Замечание. Оператор p6F(g) действует по формуле (23) в каждом конструктивном fl-модуле.

Действительно, это следует из доказательства 3.4.10.

Аналогичное утверждение справедливо также для регулярных (квазирегулярных) fl-модулей, в которых произведение (23) локально конечно.

Например, для квазирегулярных fl-модулей локальная конечность может быть доказана по аналогии с 3.4.10 (в этом случае Уо6^, где Уи— весовая градуировка относительно левого действия алгебры ф).

См. по этому поводу также 3.7.1.

Условимся рассматривать модуль Ind'F как свободный левый £)((>)-модуль с базисом из элементов U^SF.

Согласно 3.1.1 (1) при Х=р, жаждый элемент рх при 0#=x6F есть рациональная вектор-функция над f>* со знаменателем вида

та

МУ = ПП(ир.+Л(26)

а ел+ 7=1

Теорема. Для каждого а6А+ показатель пга в (25) совпадает с числом

па(х) =тах{п|еапх#=0).(27)

Другими словами, та+1 есть длина a-серии весов ц+ + )абР^ЕУ

Доказательство. Линейные формы (21) содержатся в произведении (26) только при Е=/а, где абД+,/=1, 2, 3,....

?/«—£о=/(а, а) (/i«+po+/), с заменой ha на £а (относительно соответствия между EW иР(ПУ

Заметим, что p+ja^fF) только при 0^.j^.na(xy откуда ГПа^Па^ХУ

С другой стороны, ДЛЯ каждого СЙ€Д + пусть tak^ = = lime/(£) означает предельное значение ■ функции / при £--♦ оо на гиперплоскости ge = const. Согласно 3.3.1 (1), имеем

ЦП!» РХ = РаХ = 2 ^ /а>П_аеаХ’

причем элементы еапх линейно независимы при О^п^ ^па^хУ Отсюда следует, что лж(£) делится на У«,п(§«) при п = па^хУ Поэтому na(xXma.

Теорема доказана.

Замечание. Мы видим, что неустранимые особенности рациональной функции рх при x6F могут лежать только на ребрах /a (O^j^na(/)) конуса Q+. См. по этому поводу 3.7.6.

Алгебра Ее^

При исследовании 0-модулей вида Ve=V®E, где Е — фиксированный модуль, удобно рассмотреть следующее расширение алгебры Е^У-

E£^ = E^№ndE,(1)

с покомпонентным умножением в (1). При этом покомпонентное умножение

(и®а) (и®е) = ии®ае,(2)

где ибЕ^У aGEndE, ueV, ебЕ, определяет в пространстве VE структуру ^(0)-модуля.'

Положим, для простоты изложения, dim£'<oo, и пусть et (t = l,..., и)—базис векторного пространства Е. Элементы e^eEnd Е, определяемые равенствами

в//е»=6/»в/, где 6,/— символ Кронекера, образуют базис End£.■

Заметим, что умножение элемента 11=^11^® е1}

Ы на вектор у = 2'0/ ® et сводится к действию матрицы

и = (И/у)на вектор-столбец у=(у,). Аналогично, умножение в алгебре Ue (fl) сводится к умножению матриц ^и1}\

В этом смысле алгебру ££(д) можно рассматривать как «матричное расширение» алгебры U^.

Существуют два естественных вложения алгебры U^ в алгебру I/£(g).

Отображение au = u®l, где u6[/(g), 1 — единица алгебры End£.

Отображение 6: U(g) U£ (д), определяемое на элементах хбд по правилу

6х=х® 1 + 1®х,(3)

где х во втором слагаемом рассматривается как оператор в пространстве Е.

Заметим, что элементы аи (»6[/(д)) отождествляются с матрицами вида (ибу). Отсюда, в частности, легко получить, что центр алгебры Ue^Y совпадает с aZ(g).

С другой стороны, отображение 6 связано с действием (2) алгебры Ue^ в пространстве VE следующим образом: ■

х = л(6х) (хби^).(4)

Здесь х в левой части рассматривается как оператор в пространстве V£=V®£, л— символ действия (2) алгебры иЕ^.

Действительно, из равенства (3) следует равенство (4) при хбд. Но тогда (4) справедливо и для всех x6U^Y,

Предложение. Семейство модулей Е(Х)®Е, где Х6А+, образует полную систему для алгебры Ue(q) (т. е. равенство и(Е(Х)®Е)=0 для всех Х6А+, где u6U(g), возможно только при и=0).

Доказательство очевидно из теоремы 2.3.6.

В дальнейшем мы предполагаем, что Е — конечномерный ^-градуированный g-модуль, с неубывающей системой весов А(£) = (pi,..., pj.

Пусть nll=dim£|i— кратность веса ц в ^-модуле Е.

Предложение. Пусть Х6(>*. Модуль ¥Д^ = = V ®Е, где У(Х) —модуль Верма, обладает композиционным рядом

О=Уо<=У1с...с:^ = Ув(Х))(5)

где Vi/Vi-^n^.V^pt).

Доказательство — по аналогии с 3.4.4.

Следствие. Пусть Х6А+. Тогда имеем

к

Е (X)® Е « ф пцЕ (^ + ц/)>(6)

i=i

где O^m^n^ (i= !,...,&).

Действительно, левая часть равенства (6) есть фак- тормодуль УЕ(Х), в то время как правая часть при т< = = п№1 (i= !,...,&) есть прямая сумма всех конечномерных подфакторов, содержащихся в композиционном ряде (6). Применяя принцип полной приводимости, получаем равенство (6).

Фиксируем 267(g) и определим следующее семейство полиномов над Ь*» зависящих от параметра t".

кк

РД^ М = П М^Дг))^#,(7)

i=i1 i-o

где хх—центральный характер М(Х), at6P^*).

Ввиду инвариантности ch Е относительно группы Вейля (см. 2.4.4), имеем ai6P(()*)w' (i=l,..., й). Согласно теореме Хариш-Чандры 2.4.8, а<(Х) =Хх(2<) при некоторых z(6Z(g) (i=l,. ..,£). Положим

кpjo=2az^z-<8>

i-0

Согласно этому определению, p,(/)6«Z(g) для всех значений параметра Л При этом

Pz(O=Pz(tX) в пространстве Уд,(9)

где Уе=У®£, У— произвольный g-модуль, обладающий центральным характером Хх (т. е. (z—Хх(г)).У=0 для всех z6Z(g)J[..

Теорема. Для каждого 2GZ(g) имеет место равенство (характеристическое уравнение в UE(^))

РД62)=О.(10)

Доказательство. Полагая в (9) V=£(X+p), воспользуемся определением (9) с заменой t на бг. Заметим, что для каждой компоненты в (6) найдется сомножитель в (7), равный нулю на этой компоненте. Поэтому-pz (6г) = 0 на Е(Х)®Е для всех XGA+. Согласно предложению 3.5.3, отсюда следует рг(б2) =0.

Следствие 1. Пусть V— произвольный ^-модуль с центральным характером Хх. Тогда имеем

П (2 —хх+11/(2)) = 0 в пространстве VE (И)

(характеристическое уравнение в V£). Соответственно имеем

ГЬ-хЖ=0 в пространстве Ve, (12)

V

где d4— число элементов Х+\л< (/=!,...,£), принадлежащих орбите группы Вейля W, содержащей vGIj*.

Действительно, воспользовавшись формулой (4), находим рг(з)=л[рг(б2)]=0.

Следствие 2. Пусть V — произвольный ^-модуль с центральным характером хх. Тогда Ve—V®E обладает композиционным рядом

O=VocV1C...cV4=V£,(13)

где Vt/Vi-i имеет центральный характер xx+1.z (1= = 1,Е). Кроме того,

уЕ = ФХч,(14)

где X^=(x^VE |ZvV=0}, Zv = ker Xv — ядро характера Xv в алгебре Z(s).

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. См. также [76].

Замечание. Содержание этого параграфа представляет собой упрощенное изложение основных результатов работы (76].■

Полином р„ входящий в характеристические уравнения (10), (11), (12), естественно назвать характеристическим полиномом элемента zG2 (g).

Алгебра W (g)

Полезно рассмотреть еще одно расширение алгебры U^), содержащее корни характеристических уравнений 3.5.6.

Определение. Условимся рассматривать Р(6*) как 2(g)-модуль с операторами

zf(X)=z0(X)f(X),"(1)

где z62(g), f6P(^*). Положим

W^=U^®Z ^Р^У(2)

Согласно 0.6.3, №(0) есть алгебра над полем С, содержащая U^, РУ)*') в качестве подалгебр.

Заметим, что алгебра Р^*') порождается линейными образующими Х<61) (!=1,..., п). Соответственно 2(g) порождается п однородными полиномами

Zi=z<(X„... Д„),(3)

где zG2(g) отождествляется с полиномом z0(X) = = z(Xb ... Дп). Расширение (2) сводится к добавлению новых элементов Xt, связанных с элементами г,- соотношениями (3).

Легко проверить, что центр алгебры IF(g) есть С(д) = 1®Р(6*)«Р(6*).

Согласно 3.5.5, характеристический полином р,(/) в алгебре IF(g) допускает разложение на простые сомножители:

ргю=Гк-са,(4)

i=i

где e<(X) = xWj(z) —элемент С(д).

Замечания. 1. Ввиду изоморфизма Z(g)«C(g)w (см. 2.4.5), алгебра С(д) есть-расширение Галуа алгебры 2(g). 2. В терминологии [40] элементы С(д) называются «виртуальными операторами Лапласа». ■

Заменяя в определении (2) алгебру Р(Ь*) алгеброй рациональных функций R$h» получаем расши-

рение.

^(й) = ^(й)®2(й)^^*)-(5)

Наконец, по аналогии с 3.5.1 можно рассматривать матричное расширение алгебры (5):

WV(g) = W'(g)®End£,(6)

где Е — конечномерный ^-градуированный д-модуль. При этом WB' (g) есть расширение алгебры UB(fl).

Предложение. Пусть 6: U^)^-wB (g) — продолжение отображения 6, определенного а 3.5.2. Элементы

Р^П^-^ГЧбг-^)(7)

№

образуют разложение единицы в алгебре U7^.(g): к

PiPj=bi}Pb ^Pi = 1-(8)

i=i

При этом'

к

- бг=^1Рь(9)

i=i

Доказательство. Достаточно проверить, что элементы ^ (i=l, ...,&) попарно различны (см. 3.7.8). Соотношения (8), (9) есть стандартное следствие ха-, рактеристического уравнения pz(6z)=0 (см. 3.5.6) в коммутативной алгебре ^бг], где F=FractC(g).

Замечание. Элементы (8) можно рассматривать также как операторы проектирования в 3.5.6 (14), при условии, что числа ^(Х) попарно различны в точке Хбф*.

Реплика. Пусть z6Z(g)—элемент Казимира. Определим ассоциированный элемент (или реплику) а= —aB(z)&UB(Q) следующим образом:

dz=z® l+2a+l®z.(10)

Предположим, что Е=Е(р) (простой g-модуль). Рассматривая действие элемента (10) в пространстве 3.5.4 (6), находим■

гб(Х+.ц<) =Zo(X)+2ai+zo(n),(И)

где си — собственное значение оператора а в простран-

стве £(Х+щ). Отсюда

■af= (X, щ)+е,-,(12)

где e^-Lfzo^-Zo^)].

Отсюда следует, что реплика а=ав^ удовлетворяет характеристическому уравнению

й

П(а-а<)=0.(13)

Повторяя рассуждение 3.6.2, получаем спектральное разложение

к

. а = 2“г°<’(14)

<=i

где операторы pi определяются формулой (7), с заменой ^t на а,- (1= !,...,&).

Замечание. Аналогично определяется реплика a = a£(z) для каждого квадратичного элемента z6Z(g).

Пример. Для каждого хбд пусть хц— (хе/, ei) —матричные элементы оператора х в базисе е^Е (i=l,..., п). Определим элементы a,/6g из равенства

1г(хай)=х,ч для всех хбд.(15)

Заметим, что trx2 есть инвариантный элемент в S(g). Соответственно

п

2 аиа11(16)

есть элемент Z(g). Соответствующая реплика a = as(z) имеет следующий вид:

п

а=^ ам®ец.(17)

Пример. В частности, пусть g=gl(n). В этом случае элемент Казимира записывается в виде (16), где ai( — стандартный базис в gl(n) (матрица а,/ содержит единицу в позиции (t, /) и нули в остальных позициях).

Полагая Xi=X(aa), заметим, что разложение (17) соответствует простому g-модулю Е со старшим весом (О, О,..., О, —1). При этом формула (12) определяет следующие собственные значения а< оператора (17) (см. [44]):.

а/=Лг+п—i (i.—1 n).(18)

Дополнения, упражнения

Пусть д=Л1 с образующими Шевалле е_, е0, е+. Напомним (см. 3.2.12), что экстремальный проектор p6F(g) есть ряд с частичными суммами

п

где f^fa.k (в обозначениях 3.2.12). Легко проверить, что

ej^Pn =/-'е^1 е^х.

Поэтому частичные суммы (1) удовлетворяют рекуррентному соотношению "

= п(е0+п + 1) )P"-v(2)

■ е_е+n(e0 + n+ 1)■ е_е+n(e0 + n+ 1)где положено ро=1- Отсюда получаем выражение элемента р в виде (формального) бесконечного произведения

■ е_е+

n(e0 + n+ 1)

■ е_е+

n(e0 + n+ 1)

(3)

Выражая в этом равенстве произведение е_е+ через элемент Казимира z=4e_e+ + e0 (е0+2), получаем

Л=1Л=14п (е0 + n + 1) ’4п (е0 + n + 1) ’(4)(4)

Л=1

Л=1

4п (е0 + n + 1) ’

4п (е0 + n + 1) ’

(4)

(4)

где zn= (e0+2n) (е0+2п+2)..

Легко проверить, что полученное выражение есть частный случай 3.4.6 (12) для алгебры g=^t.

Сохранив обозначения 3.7.1, перейдем к расширению 1^(6). Согласно 3.6.1, это расширение сводится к добавлению элемента X, связанного с элементом z соотношением z=Z (Х+2).

У во + 71 + 1У во + 71 + 1Удобно сделать подстановку Х=2/, е0 = 2т. Положим также х=1—т, у=1+т+1. Легко проверить, что (4) принимает следующий вид:

У во + 71 + 1

У во + 71 + 1

(5)

Используя известные соотношения для гамма-функций,

получаем

(6)(6)„'г (во+ 2)

(6)

(6)

Р Г(1—х)Г(1+у) '

Замечание. Аналогично в общем случае ряд 3.4.6 (12) можно выразить через многомерные гамма- функции.

Приведем еще одно выражение для экстремального проектора р в индуцированном модуле Ind F.

Пусть z6Z(g) —элемент Казимира. Запишем действие оператора z на вектор и0бРц следующим образом:

zuo = uo+ciuo,(7)

где a: Cu0->Ind/ (nF)—линейный оператор, определяемый равенством (7). Покажем, что

ри0 = и0+(zo—z^-^Uo,(8)

где z' — сужение оператора z на Ind/(nF).

Действительно, пусть х — правая часть соотношения (8). Легко проверить, что zx = zox, откуда следует, что х=Хри0. В то же время ри0—Uo6lnd/(nF), откуда Х=1.

Согласно 3.4.8, вектор (8) есть рациональная вектор-функция над ()* с особенностями вида zt—z0 при e=ja (/=1, 2, ...).

Замечание. Весовая фильтрация 3.4.4 приводит оператор z к треугольному виду с собственными значениями гц; (i=l,..., k). Резольвента (8) вычисляется итеративно, в виде ряда с частичными суммами щ = = PiU0, где Ui — старший вектор веса ц, в фактормодуле Ind'F./Ind'Fi+i..

Пусть SXV — специализация конструктивного 0-модуля V в точке XG^* (см. 3.4.3). Напомним, что SxU7(p) = У(Х+ц), где V(X)—модуль Верма со старшим весом X.

Заметим, что каждый особый вектор (8) определяет ненулевое вложение

Ти(Х): VtX+n)-^ IndF

при условии, что (8) не имеет полюсов в точке Х+ц.

Покажем (независимо от 3.4.6), что особенности элемента (8) устранимы при е=#/а (абД+).

Согласно 3.7.3 (см. также [71]), особенность 2,—20 неустранима лишь в том случае, когда

Нотд(У(Х+цо), V(X+n))^0(9)

при некотором ц = ц0+е (0^e6Q+), для точек X, лежащих на гиперплоскости 2е—20=0.

В этом случае модули (9) имеют одинаковые центральные характеры, т. е. существует элемент ш = = w(X)GU7 такой, что

w(X+ цо+р) =Х+ц+р.(Ю)

Рассматривая точки общего положения (для которых левые части (10) различны при wGl^), находим, что (10) выполняется при фиксированном wGW в некоторой окрестности точки Хо. Но тогда (10) выполняется тождественно при w = w(Xo) на гиперплоскости 2,—2о=О.

В частности, ||Х+цо+р|| = 11>-+.11+р!1, поэтому w сохраняет гиперплоскость (X, ц—цо)=О, т. е. (X, е)=0. Отсюда следует (см. 1.7.16), что w = ra при некотором абД+.

Но тогда, согласно (10), ц = ц0+/а при некотором /= 1, 2т. е. е = /а.

Замечание. Подобное рассуждение имеется в [71], где также получена оценка сверху для показателей па в 3.4.8 (26).

Упражнение. Пусть Л (д) =/)([)) ® {/(g), так что {/'(д) =Л (д)/АЦд), где N^fl) натянуто на элементы вида fh®x—f®hx при f6d(^, h^U(^), xGU(g).

Проверьте, что умножение в алгебре U' (д) индуцируется следующим «подкрученным» умножением в Л(д): (7®х) (g®y) =fg-^xy,■

для элементов хб(/ц(д).-

Упражнение. Для каждого /в/7,^), представимого в виде ряда'

/-S/^-^)^). ап к,г

определим оператор в Л(0):

f=^fkr®e_^eM(12)

к, г

где e+(r)= ade+(r).

. Проверьте, что оператор (12) сохраняет N(ц) и поэтому может рассматриваться как оператор в U' (ц).

. Проверьте, что оператор (12) сохраняет /+ и поэтому может рассматриваться как оператор в Л1(0).

При этом /=т(/) в обозначениях 3.2.2.

Упражнение. Проверьте, что функции £/, определенные в 3.6.2, попарно различны.

Указание. Воспользуйтесь рассуждениями 3.7.5.

Упражнение. Предположим, что числа

5ДХ) = хл+^(г) (/=1, .. ., А) попарно различны. Проверьте, что. в этом случае

кV®E=®Vi/=1■

в обозначениях 3.5.6, где подмодуль Vi обладает центральным характером Хх+ц;-

При этом оператор Pi, определенный в 3.6.2, проектирует V®E на Vi.■

Пусть 0 = 0l(n) — алгебра Ли, определенная в пространстве Е=Сп. Проверьте, что в этом случае

к

Е^ ® Е = фД^+е,),1=1

где 8/ (i=l,..., п) —система весов (i-модуля С".

При этом мы полагаем £(Х)=0, если Х$А+.

ГЛАВА 4

АЛГЕБРЫ МИКЕЛЬСОНА

Предмет этой главы — трансляторные алгебры, ассоциированные с редуктивными парами алгебр Ли (точнее, с экстремальными подпространствами относительно ре- дуктивной подалгебры).

Систематическое изучение этих алгебр было начато в 1973 г. Микельсоном [84] в связи с задачами редукции (с алгебры на подалгебру) в конечномерных д-модулях. Позднее, в работах Микельсона и ван Хомберга, выяснилась роль этих алгебр в теории модулей Хариш-Чандры.

Дальнейшее развитие теории алгебр Микельсона связано с их характеризацией в терминах экстремальных проекторов (4.1.8). В следующей главе будет предложена другая (дуальная) характеризация алгебр Микельсона.

Алгебра S(g, I)

Условимся говорить, что (0,1)—редуктивная пара, если g— комплексная алгебра Ли конечной размерности, I — ее подалгебра, редуктивно вложенная в g (см. 1.6.1).

В частности, f — редуктивная алгебра Ли.

Всюду в этой главе мы используем обозначения гл. 1 для алгебры I. В частности, I)— картановская подалгебра в I, Д = Д(1, 1)) —система корней алгебры I относительно 5 и т. д.

Для каждого g-модуля V мы будем рассматривать его экстремальное подпространство относительно f:

у+={иеУ|еаи=0 для всех а6Д+).(1)

Здесь еа (абД)—корневые векторы алгебры f относительно 1), Д+сД — подсистема положительных корней.

Заметим, что в (1) достаточно рассматривать образующие еа (абД) подалгебры п+, натянутой на векторы еа (а6Д+).

Определение. Пусть /+= U(д)п+ — левый идеал алгебры U^, порожденный элементами еа (аб :6Д+). Положим

V(g,t) = t7(g)//+,(2)

и пусть 5 (0, !)=И(0, I)*—экстремальное подпространство левого 0-модуля (2).

Очевидно, 5(0, t) = 7’(0, t)//+, где

Т (0, !)={aet7 (0)|eatzsO для всех ябД+}. (3) Здесь s означает сравнение mod/+. Согласно 0.4.1, Т (0,!) есть трансляторная алгебра типа /+. Соответственно

.S(0,!)=Trans(l/(0),n+)(4)

в обозначениях 0.4.4.

Согласно 0.4.1, для каждого 0-модуля V имеем

S(0, !)7+<= V+.(5)

Другими словами, 5(0,!) есть алгебра симметрии пространства 7+.

Следуя [62, 92], мы называем 5(0,!) алгеброй Микельсона- ассоциированной с парой (0,!).

Замечание. В [84] использовался термин «step algebra», что также ассоциируется с действием (5).

Определение. Пусть О'(0)={7(0)^® 0(1))— расширение U (0) над полем D(f)) = Fractt7(’()). Положим

мм = и'Шк.(6)

где /+=[/'(0)п+.

Соответственно пусть Z(0,!) =М(0,!)+ — экстремальное подпространство в М(0,!). Повторяя рассуждения 4.1.2, находим

'Z(0,I)=Trans([/'(0), п+).(7)

При этом Z(0,!) есть расширение алгебры Микельсона S(0,I).

Предложение. М (0,!) есть конструктивный 1-модуль в смысле 3.4.1.

Действительно, из инвариантности V+ относительно правых умножений на D^ следует, что М(д,!) есть

правый £>(!))-модуль. С другой стороны, заметим, что e„£>(l))=0, eax=(adea)xmod/+, где «6А+, x6t/(g). Из разложения U' (g) =D^ U^ и редуктивности adl-модуля t/(g) следует, что операторы е„ (абД+) действуют в Al (g, I) локально нильпотентно. Кроме того, M(g, t) порождается весовым вектором 16t/'(д) и потому обладает базисом из весовых векторов (относительно ad I)).

Следствие 1. М (g, I) есть регулярный 1-модуль в смысле 3.2.11.

Следствие 2. М (g, I) есть F (I) -модуль (определенный согласно 3.2.11).

В дальнейшем нам понадобится явный вид весового базиса в Al(g, I).

Из редуктивности I в g находим g=I®p, где у — ре- дуктивный 1-модуль. В частности, у есть 1)-градуирован- ный модуль.

Фиксируем весовой базис ег (i=lп) 1)-моду- ля у, и пусть

e^ = eV...efenn(8)

для каждого мультииндекса k=(k\, . ..,&„). Используя теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта, находим

U'^=Z^®N,(9)

где Z (р) — линейная оболочка одночленов (8) над полем ЩУ), N=n-U' (g) + (g)n+. Соответственно

Af(g,t)=Z(p)®n_Af(g,t).Af(g,t)=Z(p)®n_Af(g,t).(Ю)(Ю)

Af(g,t)=Z(p)®n_Af(g,t).

Af(g,t)=Z(p)®n_Af(g,t).

(Ю)

(Ю)

Аналогично, используя разложение U' (g) = U (П-) D (I)) © ®/+, находим

М (g, I) = U(n_)Z (р) « U(n_) ®Z(р).(11)

Соответственно А4 (д, I) как векторное пространство над D(y обладает базисом из элементов

т(£, г) =в-(£)е(г)(12)

в обозначениях 2.1.5.

Теорема. Экстремальный проектор рбР^) проектирует М (g, t) на Z (д, I) параллельно хтМ (д, I). В частности, •

M(g,t)=Z(g,l)®n_Af(g,!).(13)

При этом р определяет изоморфизм векторных пространств Z(p), Z(g, I) над полем /)(!)). В частности,

Z(0,!)=pZ(P).(14)

Действительно, первая часть утверждения есть частный случай предложения 3.2.11. При этом из включения рбВо(0) следует pf—fp для всех f6D$), т. е. р есть морфизм над полем D^. Из равенства (10) находим Z(p)riker р=0. Поэтому р определяет изоморфизм Z(p) HaZ(0,l)..

Следствие 1. Каждый элемент z6Z(0, f) однозначно записывается в виде-

г=рх=2 е- (к) Р^е* (г) х

А,г

при некотором xGZ(p), с коэффициентами pkr, определенными в 3.3.8 (при А,=р).

В дальнейшем, изменяя обозначения коэффициентов, мы будем записывать это равенство в виде

z = ^iPkre-We+W-(I5)

Следствие 2. В разложении элемента z=px&Z(Q, f) по базису (12):

z='21zferm.(k, г)(16)

коэффициенты zkT^D^ имеют общий знаменатель

па

ЛХ = П П(^а + ра + /)-(17)

аед+ /—1

Следствие 3. Каждый элемент z^Z (0, t) однозначно определяется свободным членом tz=zOo разложения (16).

Действительно, tz=x при z=px. Поэтому tz=0 влечет z=0.

Замечание. Согласно следствию 2, все элементы s(x)=5x,x-px (хбУ(0,!))(18)

содержатся в S(0,1).

Условимся говорить, что лх есть левый знаменатель рациональной функции рх (хсУ(0,!)).

Заметим, что Z(ji) “=P(5)S (р), где S(p)—линейная оболочка одночленов (8) над полем С.

Теорема. Если 0=/=x6S(|p), то левый знаменатель элемента рх имеет вид (17), где

nas=max{n|eanx#=O)(19)

для каждого абА+.'

Доказательство. Согласно 3.4.3, px^U'^x, и циклический модуль U' (!)х накрывается модулем Ind'F при F=U(п+)х. Применяя теорему 3.4.7, находим, что л, есть делитель правой части (17) с числами па, определенными в (19).

С другой стороны, повторяя заключительную часть доказательства теоремы 3.4.7, воспользуемся линейной независимостью элементов еапх (0^п^па) при хб5(у). Отсюда заключаем, что лх совпадает с правой частью (17).

Для каждого x6S(p) пусть S,— подпространство элементов z6S(g, I) со свободными членами zggfeU^x.

Предложение. Sx=U(^)s (х)—свободный U(ty- модуль, порожденный элементом (18).

Действительно, пусть zgg=fx при некотором f6U$). Имеем (z—fpx')gg=O, откуда z=fpx, согласно 4.1.5. В частности, / делится на лх: f=gnx при некотором g6 66/(5). В результате z=gs(x).

Согласно 3.7.8—3.7.10, оператор р поднимается до оператора в алгебре Л (fl) =/)(!)) ® 67(g) следующим образом:

р = 2 Ры®е_ (k) е+ (г)(20)

к,г

в обозначениях 3.7.8 (с той разницей, что мы отождествляем р и р).

Согласно 3.7.9, оператор (20) может рассматриваться как преобразование в алгебре 6/'(д). В частности, действие р: 6/(g)->6/'(д) определяется следующим образом:~

jD=2^A(A)e+(r).(21)

к,г

Пример. Пусть д=з!(3), со стандартным базисом еч (i, / = 1, 2, 3), t=fll(2)®Се3з, где fll(2) — подалгебра, натянутая на элементы eti (i, /=1, 2),

В этом случае алгебра Z(g, I) содержит элементы Z4=pet (‘=±1, ±2), где ei=ei8, e_t==e3t (i=l, 2). Применяя (21), получаем соответствующие элементы

zx=ev z2=e2—f-*eeb

.(22)

z-, = e-1+f~1ee-2, z_2=e_2,

где е=е2Ь f=exx—е22+2.

При этом мы отождествляем элементы (22) с их классами в Z(g, I).

Элементы структурной теории

Покажем, что алгебра Z(g, I) порождается (над полем/)($))) образующими

z4=pet (i=l, ..., n),(1)

где е,— весовой базис 1)-модуля р.

При этом будет получена характеризация алгебры Z(g, 1) в терминах образующих (1) и квадратичных соотношений между ними.

Вначале выясним связь между операцией умножения в алгебре U^) и «деформацией» р: U^-*Uf (g), определенной в 4.1.8.

Пусть А- (соответственно Д+) — множество линейных операторов adx: U^-^U (g), где х пробегает п-6/(п~) (соответственно n+t/(n+)).

' Предложение. Для каждой пары элементов х, y6U (д) имеет место равенство (в Z (д, I)):

PUy^PX-py-V-’Sifi-PXrpyi,(2)

где fi6D(t)), xt6A_x, ytGA+y.

Доказательство. Пусть ~ означает сравнение mod N, где ^=n_t/, (g) + t/'(g)n+. Имеем рх/ру~ ~х-ру. Используя 4.1.8 (21), заметим, что xz~— [х, z] при z6n_. Отсюда

px-py~x-py~xy-V^h,lxlyt,(3)

где М£>(1)), х<бА-х, у^А^у. Соотношение (3) —рекуррентного типа (по убывающим весам х< или возрастающим весам у^. Обращая это соотношение, находим:

xy~px-py+'2lfi'PXl-pyi,(4)

с коэффициентами f^D^.'

Применяя к обеим частям (4) оператор (20), заметим, что pN=O mod /+, п+рх=О, откуда п+рх- ру=О. Соответственно- р(рх-ру)эрх-ру. В результате (заменяя сравнение mod/+ равенством в Z(g, !)) получаем (2).

Пусть pi — вес элемента е, (Z=l, ..., п). Условимся считать, что эти веса расположены в неубывающем порядке, т. е. ц,<ц, влечет i<_j. Положим _

.z(^) = z**... z*«(5)

для каждого мультииндекса ^= (&ь ..., ^„).

Теорема. Элементы (5) образуют базис векторного пространства Z (g, f) над полем D (I)).

Доказательство. Определим упорядоченность мультииндексов k следующим образом. Пусть | А | = = ^i+...+^n. Положим k'<k, если |£'|<|£| либо \к' | = | А|, но k'u>ki,, где Zo = max(Z |&/=£&,} (инверсная лексика). Заметим, что

A^e^c^U (u_^)e(r)U (n+)(6)

г <6

(достаточно проверить это включение для (adn+)e(&), используя соотношения коммутации в алгебре д). Кроме того, пусть ^=(0, ..., 0, kj, .... kn). Заметим, что правая часть (6) инвариантна относительно умножения слева на et при Z^/. Отсюда

е^е^а^и (в_е^)е(г)и (п+).(7)

г<4

Покажем, что для всех мультииндексов k справедливо сравнение.

pe(k)=z(k) mod Ri„.(8)

где Rk— линейная оболочка элементов ре (г) при г<£, над полем £>(!)).

Действительно, пусть (8) уже доказано для всех мультииндексов г<_к, где &= (0,. „ , О, кь ...,кп). Используя (2) для элементов x=eio, где io^/, y=eW, получаем

ре1ае\к^ = гиг^кП^/^1РУн(9)

Ki,

где f^D^), ytQA+y. Заметим, что каждый элемент ztpyt содержится в (7). Применяя оператор р к правой части (7), получаем элементы, лежащие в Rk.

Отсюда следует аналог (8) для элемента е<0 е^к). Повторяя индуктивно это рассуждение, заключаем, что (8) справедливо для всех к.

Согласно 4.1.5, элементы ре^к) образуют базис Z (g, I) над полем D^), Согласно (8), то же верно для элементов z(k').

Замечание. Полученный результат можно рассматривать как аналог теоремы Пуанкаре—Биркгофа— Витта для алгебры Z(g, I).

Напомним, что р есть морфизм над полем D^). Отсюда следует, что элемент zt имеет вес р< (/=1, ... ..., п):

[A, zi]=p,i(/t)ziпри h.9).(10)

Теорема. Алгебра Z (д,!) порождается (над полем О(^)) весовыми образующими z( (i=lп) и соотношениями вида

zlzj = ^ialjrtzrzt-,r^i^tjlizh-\-4lj’UU

r<tк

где Oj, с коэффициентами из D^).

При этом равенство (11) однородно по весам, суммирование ведется с ограничением г<Л (так что t>j), коэффициент ccijrt может быть отличен от нуля лишь в том случае, когда элементы er, et содержатся в объединении adU^et,adU^ei.'

Замечание. Говоря о весовых образующих, мы имеем в виду дополнительные весовые соотношения (10).

Доказательство. Пусть вначале t</. Согласно (2), имеем рекуррентное соотношение

ZiZj — etpej— 2 ' ^ij^i^i(I2)

k<Kl<l

с коэффициентами аО1; = 1. Обращая это соотношение, получаем при к «С. к

eket~ 2 ak[Ttzrzt,(13)

r<k<Z<t.

с матрицей а = а_|. Аналогично, если i>/, имеем ZiZ,~ ~hi, где fy— линейная комбинация элементов ekei при ^^i, /^/. Если к>1 (в частности, i>j), мы изменим порядок сомножителей, используя соотношение коммутации [ек, е11 = хк1+ук1, где хк£р, укМ. В результате, при 1>/

z^i~ 2 ^n^gAgr + cljkek -\-dtj, (14) к<1 к

где dij^k и суммирование ведется с ограничением к<_1 (так что />/).

Подставляя (13) в (14) и применяя к обеим частям полученного соотношения оператор р, получа»м (11) с матрицей а = Ьстх.

В результате Z(g, I) «А[1, где А — алгебра, порожденная образующими zt (i=l,...,n) и соотношениями (10), (11), I— некоторый идеал алгебры А. Остается показать, что 7 = 0.

Покажем вначале, что А есть линейная оболочка мономов (5) над полем D^). Достаточно проверить, исходя из соображений индукции, что ZiZ^ разлагается по мономам (5).

Предположим, что k= (0,..., 0, кр ..., кпУ Если i^j, наше утверждение тривиально. Если i>/, причем kj^O, воспользуемся тождеством (11). Полагая к'= = (0,. .., 0, kj—1, ki+x,..., кпу находим, что z.z(^) разлагается по мономам zrztz\k'y где r<i, />/, плюс слагаемые меньших степеней (относительно |£|). Исходя из соображений индукции по r<i, можем считать, что эти элементы содержатся в линейной оболочке мономов (5). Но тогда это верно и для элемента ZtZ^ky

Пусть AndA, ZnaZ^, 0—линейные оболочки мономов (5) при \к\^.п. Из линейной независимости мономов (5) в Z(g, I) имеем dimAn^dim Zn.

С другой стороны, ZnKAjln, где положено 1п = =1^\Ап. Отсюда dimZn<dimАп. Следовательно, dimZn = dimAn, /л = 0 для всех п. В результате /=0, т. е. A«Z^,!).

■ Теорема доказана.

Очевидно, вместо образующих Zt можно рассматривать «полиномиальные» образующие st = n,iZi, где л; — левый знаменатель рациональной функции zt (см. 4.1.6).

Соотношения (И) принимают вид

SiSj — ^iO'ijrtSrSfV^ bцк8к^- сц,(15)

r<tк ■

с коэффициентами из D^, причем условия суммирования те же, что в (11).

Замечание. Элементы s, (i=l,..., п) были построены другими методами в работе [92].

Пример. Пусть д=Д1Х^1 с диагональным вложением !=Дь

В этом случае t-модуль р обладает базисом из элементов х0, *± с весовыми условиями еохо = О, еох±= = ±2х± и с правилами действия

е+х_=У 2х0,е+х0=У2х+, е+х+ = 0

(при этом оператор е_ сопряжен оператору е+ относительно базиса Х-, х0, х+).

Соответственно элементы z0=px0, z+=px+ порождают алгебру Z(g, f) над полем D^). Здесь ^=Се0.

Нормируем базисные векторы добавочным условием [х+, х_] = е0. Применяя оператор р, определенный в

получаем элементы

z+=x+,

z0 = х0 — У2 /~1ех+,

г„ = х_ —]/2/"]ех0 + УУ"Ч?х+, где е = е_, / = е0+2, f = e0+3.

При этом мы отождествляем полученные элементы с их классами в Z(g, I).

Умножая эти элементы на соответствующие знаменатели, получаем новую систему образующих s+=z+, $o = fzo, s_=ff'z_. Покажем, что для этих элементов структурные соотношения (12) принимают следующий вид:.

SqS j- = s ± s0,

/2s+s_-g2s_s+ = v(2s0 + /2^2),

где положено g=eQ) ф = ео+1.

Заметим, что [х0, х+]~0 (mod^). Отсюда

$+$о ~ б^о + ^+ ~ /хох+- .

В результате sos+=s+so. Аналогично, SoS-=s_so.

Напомним, что [х+, x_] = g. Отсюда z_z+~x_x+, z02~x2 + 2/-’x_x+,.

z+x_ — (1 + 2£-,дгJ) x_x+ + 2g-42 + g.

Комбинируя эти соотношения, находим

z+z_ = <$>-4"1gf'z_z++2g-1zo2+g, что равносильно (b).

Замечание. Алгебра Z(g, I) содержит ad {-инвариантный элемент ю = х02—(х_х++х+х_). При этом s02—2s_s+=f2 (ю+g), s02—2s+s_=g2 (co+f).

Комбинируя эти соотношения, получаем другое доказательство тождества (Ь).

Категория 36

Введем обозначение 36=36^ 0 для категории g-модулей, финитно редуктивных при сужении на I.

Таким образом, для каждого f-модуля V категории 36 имеем

Н=®НХ,(1)

к

где К—изотипическая компонента 1-модуля V со старшим весом XGA+:

Vx«nkE^.(2)

Здесь Е (X) — простой конечномерный 1-модуль с представлением Ли (Х6А+).

Кардинальное число пх называется кратностью представления Ли (или старшего веса X) в модуле V.

Категория 36 инвариантна относительно следующих операций: переход к подмодулю и к фактормодулю, сложение (произвольного семейства модулей), умножение V®f, где Е— конечномерный ^-градуированный g-модуль.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Экстремальное подпространство V^cV имеет следующий вид:

у+=фу+(3)

А

где V/cK— экстремальное подпространство в Ух.

В то же время разложение (3) совпадает с весовой градуировкой ^-модуля У+:

V^V^tW-(4)

Пусть V — объект категории 36. Определим дуальный объект V' категории 36 следующим образом.

Пусть V* — векторное пространство, сопряженное к V. Каноническая билинейная форма <•, •> на VxV* может быть записана в виде

( о, о* ) =2 < ух, у; ) .(5)

X

где у = 5 ^а (конечная сумма компонент Уа^Иа)» у* =

А

= 2 ^х (формальный ряд элементов УхбИх). При этом V* А

наделяется структурой g-модуля (см. 0.6.7):

<и, хи*’> + <хи, и*> = 0(6)

для каждой тройки хбд, об У, и*бУ*.

Предложение. Подпространство У'с У*, состоящее из конечных сумм и*=5их*, есть подмодуль ^-модуля V*."

Доказательство. Условимся рассматривать д как присоединенный f-модуль. Имеем

где Nx — ядро гомоморфизма gOV^xQo ^хобдУх. Согласно 3.5.4, находим

gl/xC^l^A+n,.(7)

где ji, (t=l,..., &)—множество весов ^-модуля д. Отсюда, используя (6), получаем

<Ум fl Vu*>=<gK, V>=0

при A+pi=#p- В результате

к

дИцсФИц—и,(8)

1=1'

откуда flV'clV'.•

Следствие. V' есть объект категории 36.

В дальнейшем вместо формы (5) мы будем рассматривать «полуторалинейную» форму

(■У.^*) = 2(^’(9)

где (•, -)х — продолжение на КХ К* скалярного произведения в Е(Х), определенного в 2.6.6.

Функтор Ф. Мы будем рассматривать отображение Ф: V -> V+ как функтор из категории g-модулей в категорию S-модулей, где S = S(g, t).

Предложение. Функтор ф ковариантен и точен.

Действительно, для каждого гомоморфизма д-моду- лей <p: Vi-*-V2 его сужение <p: 1Л+->У2+ есть гомоморфизм S-модулей. Аналогично, для каждого подмодуля VocV определен подмодуль Уо+= У0П V+cz У+. При этом функтор ф отображает точную последовательность О-*- Va-*-V-»- Vi->0 (где Vi = V/Vo) в точную последовательность О-^Уо"1"-^^-* У1+-*0.

Пусть 5И (p6Q) — весовая градуировка алгебры S (относительно действия алгебры 6) - Имеем

S^cW+ц(Ю)

для каждой пары весов X, р.

В частности, пусть хбиДб), и пусть Х+рбА+. Заметим, что действие элемента s(x)GSM, определенного в 4.1.5 (18), на векторы пбК+ записывается в виде

з(х)у = лх(А+р)ри,(11)

где рбР^)—экстремальный проектор, действующий в пространстве xV\+.

Действительно, пространство xW содержит только векторы веса А+р, на которых лх(А+р) =#0, т. е. оператор р определен в пространстве xW.

Теорема. Функтор Ф инъективен в категории 36, т. е. каждый ^-модуль V категории 36 определяется, с точностью до изоморфизма, действием алгебры S в подпространстве V+.

Доказательство. Пусть V, UZ — два объекта категории 36, для которых V+r; W+ (изоморфизм S-mo- дулей). Покажем, что V«W (изоморфизм д-модулей).

Заметим, что V = U (n_) V*, откуда ^ = ^7(0)1^*» т. е. каждый вектор тбУ записывается в виде -у = ^1а1-у1, i

где а^Щй), vleV+. Аналогично, у* =2^^* для i

элементов дуального модуля V'. При этом

(y,y*)=2(^*a1yi, у/) = 2(pb*atVt, -у,*) = им

—^v^skbfa^-Db V)’ И2) и

где х^х* — эрмитово сопряжение относительно формы (9) (в частности, р=р*), л;/—знаменатель элемента p(b/*, ai). Здесь мы пользуемся формулой (11) для элементов xW(g).

Пусть ,у1^та1 (соответственно -uj*^™*') относительно изоморфизма V*->W* (соответственно 1//+-> -> U7/+). Полагая та* = 2 Ь]та*, получаем из (12)

(у, y*)=(w, №*).(13)

Действительно, правая часть (12) зависит только от структуры S-модуля V+»W+.

Согласно (13), отображение V->W однозначно определено и обратимо (действительно, и=0 равносильно w = 0). Очевидно, это отображение гомоморфно. Поэтому V^UZ (изоморфизм д-модулей).

Замечание. Пусть У = Д(д)и0— циклический Д(д)-модуль, порожденный элементом и0бУ+. Тогда имеем

V+=S(g, f)u„.(14)

Действительно, Уц+=рД|1(д)ио=5|1ио.

Дальнейшее содержание этого параграфа связано с уточнением равенства (14).

Условимся рассматривать мономы е(й) как элементы V(g, I), и пусть

^ = 2^(Ч-®Ю^(г)(15)

г <6

относительно упорядоченности, введенной в 4.2.3.

Напомним, что Si=mpei (см. 4.2.5), и пусть ti = ntei; Положим

s^s^.-.s^, t(k) = ik'(16)

Лемма 1. Для каждого ml гьтииндекса k = = (^ь..., £„) имеет место сравнение

s(k) = t (&)mod Nk.(17)

Доказательство — по аналогии с 4.2.3, с той разницей, что все коэффициенты линейных комбинаций содержатся в 17(g) (вместо Д(1))).

Лемма 2. Пусть ц(^) —вес монома e(k), и пусть Х+р,(^)бЛ+ при некотором Х6Л+. Тогда имеем

e(k)v^Nkv для каждого y^V^.(18)

Доказательство. Согласно 4.2.3, имеем п+Л\<= cNt. Ясно также, что (п_ФЬ) Л1*с=Л\. Поэтому Nk есть подмодуль f-модуля V(g, I). Полагая

. Mk = U^e^+Nkl(19)

заметим, что xue(k^c:Nk. Соответственно Yi+e(k^uc:Nhu, т. е. е^и определяет старший вектор 1-модуля Mhv/Nhv. Из финитной редуктивности 1-модуля MkucV следует, что все старшие веса t-модуля MkujMku доминантны. Поэтому из условия Х+р,(^)^Л+ следует e(k)v6Nkv.

Теорема. Пусть V = 17(g)u0— циклический U^-модуль, порожденный элементом u06V+. Тогда имеем:■

V=17(n_)2(V)v0, (ii) V+=Z(v)vo, (20) где 2(p) —линейная оболочка одночленов s(k) над полем С.

Доказательство, (i) Ввиду разложения 17(g) = = 17(n_)S(p) 17(п+) достаточно проверить, что

e(^)u0617(n_)2 (р) v0(21)

для всех мультииндексов 1г. Исходя из соображений индукции (по г<&), можем считать доказанным, что П^ос^Щп-Уа^ио.(22)

Отсюда, используя лемму 1, получаем

1(^)и0б17(п_)2 (р) и0■(23)

для всех мультииндексов 1г.

Условимся считать, не ограничивая общности, что y06Vt. Полагая t(k) = tim ... ttl, где !„<:...</,, рас. смотрим две возможности.

^ + Н/1+ ■ • ■ +^56Л+ для всех 5 = 1пг. В этом случае t(k)vQ = ce (Д)у0, где с^О. Поэтому (23) влечет (21).

X + pZ1+ ... +р/^^Л+ при некотором 5 = 1, ..., tn. Согласно лемме' 2, находим eieXh'^D&Nw-o», где положено e(k')=eisi ... etv Умножая последовательно на et Ц=1,*\Zm) и используя 4.2.3 (7), получаем в (k) ftfcN кт>0. Поэтому (22) влечет (21). '

) Заметим, что V = V+ Ф п_1Л Поэтому (1) влечет (11).

Замечание. Доказанная теорема получена в (92] как ответ на вопрос, поставленный в работе Микельсона [84].

Функтор Фй

Мы будем рассматривать отображение Фй: У|-*Уц+ как точный ковариантный функтор из категории g-модулей в категорию 50-модулей, где SocS(g, I) — нулевая компонента весовой градуировки алгебры S (g, I).

Из технических соображений вместо алгебры S(g, I) удобно рассматривать ее подалгебру S(g, I), порожденную элементами 17(6) и элементами Si (i=l,...,n). Положим

2о=5оП2(д,1).(1)

Для каждого g-модуля V мы будем рассматривать Уй+ как левый 20-модуль:

2о^с^ц,(2)

для каждого цбб*.

Ниже будет показано, что Фй есть инъективный функтор из категории простых g-модулей V, для которых Уй=#0, в категорию простых 20-модулей.

Категория 36». Пусть 36»— категория циклических 17(g)-модулей вида V=17(g)vo, где О^ЧобУ/"» р,6Л+..

Предложение. 36»^36, т. е. каждый модуль категории 36» есть также модуль категории 36.

Доказательство. ИмеемV= 17(g) v0 = 17(g) Е,

где £= 17(f) Уо«£(ц). Отсюда следует изоморфизм

1-модулей v»yu^№;Ro,(3)

где Ro — ядро гомоморфизма f/(g)®£9(x, е)н+хебУ. При этом (7(g) рассматривается как присоединенный t-модуль.

■ Из финитной редуктивности f-модуля f7 (д) следует теперь финитная редуктивность 1-модуля V (см. 4.3.1).

Модуль И7(ц). Мы будем рассматривать следующую цепочку идеалов алгебры f/(g):

/+ = L7(g)n+,

п

^ = ^ + 2^(6)(А,-цМ.

1=1

где цбА+, А — система простых корней (алгебры I относительно fy), hi (t=l,...,n) —базис (). Положим

WW = IW(4)

Заметим, что ^(ц) = ^(д) 1ц, где 1ц— образ элемента lGfJ(g) в пространстве (3). Заметим также, что /№=f7(g)^, где К»—аннулятор старшего вектора е(ц)6 б£(ц) (см. 2.3.5). При этом

Отсюда следует, что ^(ц) есть модуль категории 36»-

Предложение. Модуль ^(ц) универсален в категории 36», Более точно, каждый модуль V категории 36» изоморфен фактормодулю модуля М7(ц):

V«W^]H,

где Н — некоторый подмодуль W(ц), не содержащий циклического вектора 1ц.

Действительно, пусть V = f7(g)v0, где O^uo6Vp+. Аннулятор N вектора и0 в алгебре t7(д) содержит J». Поэтому

VkuwinkVw

где положено H=N[J»..

Пусть Wrxn = W(n)x—изотопическая компонента t-модуля УГ(ц). Соответственно

.1Г(^=Ф1Г+>(5)

Л

где WahcWah- Весовая градуировка (5) поднимается в алгебру U(д) следующим образом: U^i = ^i/A’ где

^={«€^(9)|7л«с/Д(6)

Заметим, что элементы (6) суть трансляторы типа М^ 7ц). Соответственно £7ДУцСУл для каждого g-модуля V. Отсюда

W^cHt(7)

относительно индуцированного умножения (определенного ВВИДу УСЛОВИЯ /цУц+ = 0).

Замечание. W^=Trans^(д), 7ц).

Связь с алгеброй Ми кельс он а. Определение (4) можно переписать следующим образом:

где N11 = J+(I11. Отсюда

Г(и)+=5(д, 1)/^.(8)

Предложение. Весовая градуировка алгебры S= =S(g,i) связана с градуировкой (5) следующим образом:

^ц=5л-ц/5л-цПуУц(9)

для каждой пары Х6Л+, цбЛ. При этом также

Wt^K-^K-^N^.(10)

где 2ц=2п5ц (в обозначениях 4.4.1). В частности, алгебры W^ совпадает с множеством.

^МоПАТ,,.(11)

Доказательство. Весовое условие s6Sx-n равносильно соотношению

(h—X(/i))s = s(/i—p(/i))=0 mod^

для всех Agl), т. e. s€V. Отсюда следует (9), что равно сильно ^^ = 5^ц1цГ

В то же время, применяя теорему 4.3.8 к циклическому модулю !/=Н7(р,), получаем W,(ji)+=21|l. В результате

1^=2;^,(12)

откуда следует (10). Следствие 1. Факторизация (11) определяет в %» структуру ассоциативной алгебры (в частности, SoHA^— двусторонний идеал алгебры So).

Следствие 2. Действие алгебры So в пространстве Уй+ (для произвольного модуля V) определяет в V/ структуру левого %»-модуля.

Условимся рассматривать Фй как функтор из категории 36» в категорию Яй-модулей.

В частности, пусть ‘36» — категория простых д-моду- лей, для которых IV-=#0..

Теорема, Функтор Фй: V '-* Уй+ определяет изоморфизм категории ‘36» с категорией простых, ^-модулей.

Доказательство. Согласно (4), изучение простых модулей V='W^Щ сводится к изучению максимальных подмодулей HcW^p,) (не содержащих 1й).

Заметим, что для каждого подмодуля HcW^ его пересечение Н»+=Н(А%» есть левый идеал алгебры Яй. Действительно, что следует из (7) при V=H, Х = ц.

При этом если H=/=W(p?) (т. е. Н не содержит 1й), то Н»+=/=%».

С другой стороны, для каждого левого идеала Lc%» пусть Н(L)—алгебраическая сумма всех подмодулей HcW(y'), для которых H»+cL. Покажем, что

Н(Ц »+ = L.

Действительно, H(L)»+<=L. Обратно, для каждого x»6L имеем (17(g)xo)M+=9tMxocZ. (согласно (12)). Отсюда Щ^ х»с Н . В частности, х0бН(Ц»+. В результате ЬсНЩ»+.'

. Ясно также, что ЗЦ1?) есть наибольший среди подмодулейтаких, что H»+cL. При этом

если Ltc2L2, то И(L^ сН(Л2),

если L^L2, то И(L^ =#Н(L2).

В частности, мы видим, что отображение Н<-+Н»+ определяет биекцию между максимальными подмодулями H^W^ и максимальными левыми идеалами L^%».

Пусть V, W — два fl-модуля категории *36», порожденные (соответственно) элементами УоеК+, woe^+- Предположим, что V»+«W»+ (изоморфизм Яц-модулей). Полагая (для упрощения записи) КЙ+=1Г11+ и используя простоту этого модуля, можем считать, не ограничивая общности, что и0 = щ0. Отсюда

V«F(p)/M, WtoW^fN, .

где М=Х]1», N=Y(J», X (соответственно У)—аннулятор вектора у0 в Щд) относительно действия U^) в пространстве V (соответственно IT).

Очевидно, M»+ = N»+ = L, где L— аннулятор вектора у0 в алгебре 21и. Отсюда, ввиду максимальности М, N, получаем M=N.

В результате V« W.

Замечание. Подмодуль //(£), определенный в процессе доказательства, можно представить следующим образом:

Н (L) = (vfcW (у,) \ (U ($ и) »+сЕ^, (13) где ((7(д)и)и+—множество всех проекций щи+ = ли+и (016^(0)0), лц+—проекция №(|л) на 2(^=U7W+ относительно разложения (6).

Следствие. Функтор фи: УН+КЦ+ определяет вложение категории *36» в категорию простых ^-модулей. -

Следствие. Для каждого простого ^-модуля Е существует единственный, с точностью до изоморфизма, простой fl-моду ль V категории 36» такой, что V»+=E (изоморфизм ^-модулей). '

Действительно, пусть Ес:^ — аннулятор фиксированного вектора О=#иобЕ. Полагая

У=Ф(лЕДН(Д, (14)

заметим, что V»+=%JL« Е. - Единственность (с точностью до изоморфизма) модуля V следует из теоремы 4.4.6.

Замечание. Изложение в этом параграфе следует [30, 87]. . .

Алгебра AZn

Конструктивные методы § 2 позволяют в ряде случаев непосредственно вычислять структурные коэффициенты алгебры "Z (fl, I),

Мы рассмотрим, для иллюстрации метода, классические пары типа (Ап, Дп-1), точнее, их центральные расширения, содержащие gl(n).

Другой, более краткий метод вычисления структурных коэффициентов будет изложен в 5.6.7.

Пусть gn = gl(n, С), где п=1, 2,..., со стандартным базисом etj (i, j = l,..., n). Имеем

[^ijl ®*ll= ^jx^il ^il^xjf(1)

где 6(, —символ Кронекера. Картановская подалгебра Ьп натягивается на элементы еи (i=l, ..., п). При этом ец (i^/) —корневой вектор веса в,—в,, где

' е((е,-,-)=д(,- (i, /=1,... ,n).(2)

Система положительных корней алгебры gn относительно bn выбирается следующим образом:

Дп+= {е(—8j| r<t</<n}.

Определение. Мы будем рассматривать редук- тивную пару (д„+ь !„), где fn=g„eCen+i,n+i. Соответственно введем обозначение

AZ„=Z (8п+1, !„).(3)

Заметим, что gn+i=In®bn, где рп — линейная оболочка элементов ^=^,n+i, ^-i—£п+м. Соответственно элементы

zi=pei (i=±l,..., ±п)

порождают алгебру AZn над полем Dn+l=D$n+1).

Заметим также, что е, (соответственно z.) — весовой вектор веса е, относительно Ь„, где 8-.= —в, (1= = 1,..., п).

Отсюда следует, что структурные соотношения 4.2.4 (11) имеют следующий вид:

(a) z1zj=atJzjzl при Z+ 7=^=0,

(Р)z1z_l = ^^ijz_jzj-^'1i при 4=1п-

где a<j, Pij, t<6Dn+v.,

В дальнейшем мы используем следующие обозначения:

Фъ = ^—hj+i—i,(4)

где hi=en (i= 1,. .., n+1)..

Иногда, для сокращения записи, мы также будем использовать символы ф,,± = ф1';±1. Положим " ±

г-у-И-ф.,)-'.- П ^.(5)

6=i+l

Предложение. Алгебра AZn порождается (над полем О„+1) весовыми элементами 2; (i=± 1±n)

и соотношениями (а), (Р), где a,j=l при sgni^sgn/, ао=а-5,-<=ф<3+/ф^ при l^t</^n,(6)

Ро = бП<Д-+, Т<=6<~Ф<~п+1-(7)

Доказательство. Заметим, что е,^ = e^e-j = О, если k^j. Отсюда (выбирая надлежащим образом нормальный порядок в Дп+), получаем

2г = р^, i... риео 2_t=pb <+1... p^e_b (8)

где рц=ра при а=е,—83- (l^i</^n).

В частности, z1 = e1, z_1=e_1.

(а) Согласно общей схеме § 2, мы будем рассматривать отношение х~у, т. е. х=у mod N. Заметим, что е,е,к~е^еу^О при 15^ А Отсюда, согласно (8):

ZiZj-etZj-eiPtjep z_jZ_ t — e_jZt — e_jPt j6_ i, где l^i</^n. Имеем также е^~в{, e^e^~—ер Отсюда

ZtZj -et^j — ^е^е^- etCj-V^ejCt,где ^=ф<3+1 (так что еДИ=^Ие^. В то же время г5г4~~е^. Заметим, что [е,, е3]=0. В результате

z,zj~(l+v<j-|)zjz„

что совпадает с (а) при i, j>Q. Аналогично рассматривается случай I, /<0.

Ясно также, что a,j= 1 при sgn i^sgn j.

(Р) Пусть z+z_ (соответственно е+е_) — формальный вектор-столбец с компонентами 2tz_t (соответственно

е<е-^, где i= 1, .. ., п. Имеем

■z^z-^ae^e-,(9)

где символ ~ переносится на векторы-столбцы, а — верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали и элементами

аи=— Ф/J+i • •• ^m+i • • • Фм-i при 1</. (10)

Аналогично, пусть Z-Z^ (соответственно е_е+) — формальный вектор-столбец с компонентами z~tzt (соответственно e-jE,), где i=l, ..., п. Имеем

z_z+~6e-e+,(11)

где b — нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали и элементами

ЬУ/ = —ФГУ* • • • ФТк/РГ+и • • • Ф7-1.У ПРИ l<j" <12>

Заметим, что е+в-=в-е++^, где f — вектор-столбец с компонентами ft=hi—/in+i (t=l, . .., п). Подставляя это выражение в (9) и комбинируя с (11), получаем (Р) с коэффициентами

Р = а6-1, y = af.(13)

Здесь р=(ро), Ч=М-_

Легко проверить (индукцией по и), что b = b-x— нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали и элементами

Ьц =Ф7/+1 • • • Фо'Фм+i • • • Ф/7У-1 ПРИ 1 < Ь (14>

Отсюда, при помощи несложных вычислений, получаем формулы (7).

Пример. При п=3 матрицы а, Ь~х имеют следующий вид:'

Z1 —Ф121 -Ф^Ф^'Ф^Х а = 01-ФГз'

\о°1 у

/ 1° * 1\

6-1 = 1ФЙ110 к

дафй'фй фг3' МЯ

Перемножая эти матрицы, получаем (бз±=1):

61 412^2 бГ»? Фз"^61 412^2 бГ»? Фз"^/ dftf

61 412^2 бГ»? Фз"^

61 412^2 бГ»? Фз"^

0 = 1 Й2 Чг!^\ 431^

Пусть л<— левый знаменатель элемента zt (t=±l, ..., ±п). Используя (8), находим ( непосредственно либо с помощью теоремы 4.1.6)

1—1п

(15)(15)^FU л_,= П Ф/ег=16=1+1

(15)

(15)

где 1 = 1п..

В дальнейшем мы используем обозначения

Pi— П Ф16>6=1+1Pi— П Ф16>6=1+1(16)(16)1-1

Pi— П Ф16>

6=1+1

Pi— П Ф16>

6=1+1

(16)

(16)

аг = Пфг1.

Г=1

и пусть «А р^—аналоги ai( ^<( в которых каждый сомножитель фР9 заменен на фр^ (в частности, Л1=а,+, л_< = ^+). Положим

а^аД^г, Ь,=а,^, ci=a<_^,+.(17)

Следствие. Алгебра Д7„ порождается весовыми элементами s, = nizi (i±l±п) и соотношениями

sisj=sjsl при i-\-j=£0, п

8^,1 = ^ fijS_jSj-\-afti при 1=1п,

м

где fu = ai-tub7x, т^ф,?^.

Доказательство сводится к пересчету коэффициентов (а), (Р) с использованием весовых соотношений в алгебре 8„.

Замечание. Знаменатель элемента Ча сокращается с одним из сомножителей произведения л,- (входящим в а4+ при 1>/, в рг при i<j).

Метод, изложенный в 4.5.3, позволяет также вычислить обратную матрицу ^=Ьа-1 с элементами Ро= = 81-^,че,+, где'

,ei±=ai±/a< (t=ln).(18)

Соответственно соотношение (Ь) может быть записано в инверсной форме:

.п

(с) S-lS^X^S/S-j+W "Ри 1=1,..., п,

■л-1

где g^c^bf1, c^h^—hi-Vi—X.

Замечание. Равенство $ = Ьа-1 есть разложение Гаусса (с диагональной компонентой 1). Поэтому явный вид р (соответственно р) можно вывести из формул Гаусса.

В частности, первая строка (соответственно первый столбец) матрицы р совпадает с первой строкой матрицы а-1 (соответственно с первым столбцом матрицы Ь).

Пример. При п=3 матрица р . имеет следующий вид:

/ 1 Фк Чз^ \р= -Фы 6?4 4Wt L

\ КГГ13 63-72362+ б-е+ /

Пусть 36=36(g„+i, 1„). Рассмотрим структурные соотношения алгебры AZ„ в пространстве V+, где V — объект категории 36.

Предложение. Для каждого ибГ+ элемент S{S-{v есть линейная комбинация элементов v, S-jSjV, где i, j> >0. Аналогично, s-iSiX есть линейная комбинация элементов V, SjS-jV.

Действительно, это вытекает непосредственно из соотношений (Ь), (с), коэффициенты которых не имеют полюсов в точках Х6А+ (при замене ht на Х^ХЦЦУ См. замечание в конце 4.5.5.

Пусть 2=S(fln+i, !„).

Предложение. Для каждого ибГ+ пространство Su есть линейная оболочка элементов

ti1^а? ... апЧ),(19)

где ti = s±i, ai = s-iSi (t=l, ..., и). Аналогично, Su есть линейная оболочка элементов вида

/?■... &Ь? ... b^-o,(20)

где bi = sis_t (i=l,...,n).

Доказательство. Согласно теореме 4.3.8, пространство 2и натянуто на элементы

-у (А, Г) = $1" . . . S^, 5р . . . S^V.

Используя перестановочность $ъ Sj при i+/¥=0, представим этот вектор в виде

•о (А, г) = s^s'” .;. s^,s[‘У.(21)

Пусть m = min(AP г,). Покажем индукцией по т = 0, 1,2, ..., что сомножитель s^sf* в (21) можно заменить на /ГаГ (либо /^Г), где v = |A, —г,|, с добавлением слагаемых вида (21), для которых min (АР п) < т.

Действительно, при т=0 это утверждение тривиально. В общем случае, используя предложение 4.5.7, можно заменить сомножитель s^sp линейной комбинацией элементов sf1-1, SyS^sf'-1. Отбрасывая слагаемые, для которых min(Ар rj<т, получаем единственный член s^^s^1-1.

Повторяя этот процесс, можно переставить каждый сомножитель s~i вправо на любое число шагов. Применяя то же рассуждение к индексам 2, ..., п, получаем разложение вектора (21) по элементам вида (14) или (20).

Условимся говорить, что модуль V категори- 36 обладает максимальным (соответственно минимальи ным) t-типом p6V> если Иц^=0, 1/ц+8/ = 0 (соответственно 1/ц_8,=0) для всех 1 = \п.

Предложение. Пусть V — простой модуль категории 36 с максимальным (минимальным) 1-типом р. Тогда модуль V определяется своим 1-типом р с точностью до изоморфизма. При этомх

dim К+^1 для всех Х6()п*,

(п) Если р— максимальный (соответственно минимальный) t-тип, то V содержит лишь 1-типы Х=р—v (соответственно X=p+v), где

п

^=2^, ki^ (1 = \, ..., п).(22)

i=l

Доказательство. Пусть р — максимальный 1-тип. Согласно предложению 4.5.8, пространство У+=2о0 (при

некотором ио=#О) натянуто на векторы вида

у (Д) = 5^ . . . S^o-

При этом и(й) имеет вес Х=ц—v (см. (22)), откуда следует (i), (ii).-

В частности, dimV^+=l. При этом StuV/^t/^) Уц+, и действие алгебры U^) в пространстве Им+ однозначно определяется типом р (/iu=p(/i)u при Нб^. Согласно теореме 4.4.6, вес р определяет модуль V с точностью до изоморфизма.

Замечание. Симметрия между минимальными и максимальными f-типами— специфика алгебры AZ^. В общем случае аналог предложения 4.5.9 для минимальных t-типов справедлив лишь для «невырожденных» t-типов р (см. 6.3.6, 6.4.6).

Редукция 0п+Д0п

Для иллюстрации методов § 5 рассмотрим задачу редукции в конечномерных дл-модулях для серии 0« = 0l(«)-

Условимся рассматривать элементы Х6^П* как финитные векторы Х= (Xi,..., Хл, 0, 0,,..), где Х,=Х(/1,) (i=l,..-, п). Принадлежность ХбА+ (относительно дл) означает, что числа X,—X;+i (i=l,..., п—1)—целые неотрицательные. В частности, Xi^ .. . ^Хл.

Пусть е (X) бЕ (X) — старший вектор веса X. Мы нормируем этот вектор условием ||е(Х)|| = 1, где И = = (х, х)1/2— норма вектора хбЕ^ относительно стандартного скалярного произведения в £(Х) (см. 2.6.6).

Заменяя п на п+1, напомним (см. 4.5.9), что пространство Д(Х)+ натянуто на векторы

^Н6Л... sl"e(X).(1)

Предложение. Векторы (1) взаимно ортогональны, причем и(й)=+0 только в случае

Xl^Spi^SX2^S . . . ^^Хл^^Цл^^ХЛ4-1,(2)

где gi=Xi—kt (i=l,..., п), так что ц=(ць.... цл, О, О,...) — вес вектора и (к) относительно [)л.

Соответственно векторы (1) при условии (2) образуют. ортогональный базис пространства Е^+.- ■

Доказательство. Ортогональность системы (1) следует из однократности ее весов (относительно ^„). Условие Az>pz очевидно (£z > 0). С другой стороны, воспользуемся взаимной перестановочностью операторов (1) и подействуем оператором s^ непосредственно на вектор е(Л). Заметим, что v = A—Дгег есть вес вектора $1<е(Л). Если pz=Az+P то vz=vz+P откуда V — ez€A+, $^+1е(Л)=0. Поэтому условия (2) необходимы для г>(А)^=О.

Для доказательства достаточности воспользуемся операторами г,=ре( (определенными в £(Л)+). Заметим, что (г,—е^х_Е£(Л) + для каждого хб£(Л)+. Отсюда

(z,x, у) = (егх, у) = (х, e-ty) = (х, z^y),(3)

для каждой пары х, уб£(Л) + и каждого i=±l,..., ±п. Полагая, в частности, х=у = е(^, получаем

II z^x||2 = ^z^x, x) = ^im (Л),(4)

где у,т (Л) —собственное значение оператора zzmz”z на векторе х = е(Л). Соответственно

||5Д~< = 1Р/^)]^(Ч(5)

где р = Х—те, (вес вектора s_jmx),

m—1m—1

Pim W = П РЛ (И + rej = П P. (Л - ГЕ а(6)

г=0г=0

в обозначениях 4.5.2.

Для вычисления коэффициентов (4) воспользуемся структурными соотношениями 4.5.2 (коэффициенты которых не имеют полюсов в точках рбЛ^.).

При т=1 имеем (согласно 4.5.2 (0) и равенству z/x = 0 при />0) уы (Л) =V< (М • В общем случае покажем, что имеет место равенство

z1z”1x=m."(t(X—(т — 1)еах(7)

для всех, т=1, 2,... Действительно, считая (7) доказанным, заметим, что ZjZ_imx=0 при i^=j>0. Поэтому

(

п\

7-1/

= ^llZ-lZ^X + W^X■ = / (A) z"lX, где

f(A) =тРи(р)у;(А— (m— 1)еО+т<(А—mei + men+i) =

= (т+1)у,(А—/пе<).

Отсюда следует (7) для всех т=1, 2,...

Умножая (7) на Zim-1, получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов yzm(A), из которого следует

m—1

Т1т(^) = т1 Пт1(^—rez).(8)

'г=0

Подставляя (6) и (8) в равенство (9) при m=ki, замечаем, что правая часть этого равенства отлична от нуля при условиях (2).

Следствие. Модуль Е(Х) при сужении 0n+i|0n распадается в однократную сумму простых ^п-модулей, изоморфных Е(р), с весами ц€1)п*, удовлетворяющими условиям (2).

Замечание. Последний результат хорошо известен в теории конечномерных представлений. См. [11, 19, 55].

Предложение. Норма вектора (1) имеет следующий вид:

1М&)112=

П

(А; —ну +/ —7)!ГТ (Az —Ху + /—7—1)1

(щ — Н/ + 7— 7)1(Hz — А; + j—i—1)1-

1</</<пi<z<y<n+i

Доказательство. Воспользуемся первой частью равенства (4) при i=l, x=z^2.. .z^e^X). Переставляя элементы z±i, z_} при помощи структурного правила 4.5.2 (а), подействуем оператором z^z^ непосредствен-

но на вектор е(Х). Получаем

||z-4mx||2 = aim(p)7im(X)M2, где а^Ш (f)n) определяется из равенства

z_iz_2.. .z_" =almz_2.. ,z_"z_i-

Последовательно повторяя этот процесс, получаем норму вектора ^(A^zi'i.. .^пе (X):

IW) ||2 = а*(ц)с*(X), где ак (соответственно с*) —произведение сомножителей а,^ (соответственно чик^. В результате

||‘о(А)||2=а* (ц)Ми) СккЧ

где Ьк — произведение сомножителей 0/,^ (/=1, ...,nY Несложная проверка показывает, что это равенство совпадает с (9).

Пусть Х = (Xi,.... Ап, 0, 0,.. ) — старший вес алгебры ()„. Условимся считать, для простоты изложения, что Хп — неотрицательное целое (откуда Xi — неотрицательные целые для всех i= 1,..., п).

Таблица целых чисел ц=(цЛ/), где l^t^^, называется схемой Гельфанда—Цеглина, подчиненной весу X, если

Цкг^Цк-ь >^ц*, Z+1 для всех I, к, (10)

где ^ni=Xi (i = lп).

Пусть Sni—аналог элемента s~i (i=lп—1) в редукции gn|gn-i. Положим

и—1

сМ^П^ГЧ (11)

1=1

где Пк; = Цк1—ц*,/+1. Положим

и(ц) =d2(n) •.. dn(p,)e(X).(12)

Применяя предложение 4.6.2, находим, что векторы (12) образуют ортогональный базис д„-модуля Е(Х). Соответственно векторы е(ц) = Л^|1-*о(р.), где Л^|1= в11^(н)11. образуют ортонормированный базис (базис

Гельфанда—Цетлина).--,

Замечание. Используя 4.6.3 и 4.7.13, легко описать действие алгебры gn а базисе Гельфанда—Цетли- на. См., например [11] или [55], теорема 3.5.

Дополнения, упражнения

Пусть (g, Г)—симметрическая пара (см. 1.5.7). Модуль V категории 36=36 (g, Г) называется модулем Хариш-Чандры, если dimK<oo для всех Х6А+.

Изучение модулей Хариш-Чандры инспирируется теорией представлений вещественных редуктивных групп Ли следующим образом.

Пусть G — вещественная связная линейная редук- тивная группа Ли, К—ее максимальная компактная подгруппа. Положим g0 = LieG, t0 = Lie/C, и пусть (g, Г)—комплексификация вещественной пары (д0, Го). Пара (д, Г) есть симметрическая пара над полем С.

Пусть Е — локально выпуклый полный топологический G-модуль. Пространство Е содержит всюду плотное, подпространство .

Ек = ®Ех, (1)

где Ех — изотопическая компонента /(-модуля Е со старшим весом Х6А+. Элементы хбЕк, называемые К-финит- ными векторами, характеризуются условием dim U(Г)х<оо.

Пространство Ек инвариантно относительно алгебры д. Из разложения (1) следует, что Ек есть модуль категории 36=36^4, Г). .

Модуль (£, л) называется вполне простым [12], если линейная оболочка операторов л(д), g'6G, всюду плотна в алгебре непрерывных эндоморфизмов пространства Е относительно слабой операторной топологии.

Если Е — вполне простой G-модуль, то dim £^<оо для всех X (см. [22]), т. е. Ек есть модуль Хариш- Чандры.

При этом g-модуль Ек определяет исходный G-модуль Е с точностью до «инфинитезимальной эквивалентности». Поэтому классификация всех вполне простых G-модулей сводится к классификации всех простых модулей Хариш-Чандры.

Замечание. Для банаховых G-модулей последний результат допускает более простую модификацию. (вме-

сто вполне простых можно рассматривать так называемые «квазипростые» G-модули). См., например, [12, 22].

Первоначальный метод Хариш-Чандры состоял в рассмотрении функтора V Уц из категории модулей Хариш-Чандры, для которых ^#=0, в категорию U(fl)f -модулей, где G(g)8 — централизатор множества t в алгебре U (д). Как показано Хариш-Чандрой (см., например, [10]), этот функтор инъективен в категории простых модулей.

Недостаток этого метода состоит в отсутствии конструктивной структурной теории алгебр G(g)t.

Рассмотрение функтора Фм: V i-* V/ (т. е. метод Микельсона — ван Хомберга) есть модификация метода Хариш-Чандры. При этом, как было показано в этой главе, соответствующая алгебра 51м допускает конструктивное описание, связанное с общей структурой теорией алгебр Микельсона.

Теорема 4.3.8 может быть сформулирована в терминах алгебры S(g, t) следующим образом: каждый элемент алгебры X(g, I) есть линейная комбинация мономов s(&) по модулю левого идеала G(g)n+ (точнее, его пересечения с X(g, t)).

Последний результат можно получить из теоремы 4.3.8, если воспользоваться следующим результатом (см., например, [92]): G(g)n+ есть аннулятор в G(g) семейства всех старших векторов t-модулей Е^, где ХбА+.J

Аналогично в условиях 4.5.8 можно показать, что алгебра 91й порождается каждым из наборов образующих Qi, bi (t= 1,..., n).

Структурные соотношения в алгебре AZ„ можно представить следующим образом:

wiWj = eijwjw1 при / + У=#0,

Л

WzW_z = 2t</w-/w; + t< ПРИ ^=1> - - ..п,7=1

где положено Wi=fyZi (i=±l, • •,, ±п), ^-(—рГ1, ец = = (а,, -/)-1, для всех i, / = ± 1,..., ±п.

Замечание. По-видимому, впервые алгебра AZ„ была рассмотрена в 1961 г. в [47],

Аналоги алгебр AZn для других классических серий рассмотрены в [52]. Это алгебры

BZ„=Z(B„, D„), CZ„=Z(C„+1, С„хСа,

DZn=Z^Dn, Вп_ххСу.

В частности, алгебры BZn, DZn можно использовать для построения базисов Гельфанда—Цетлина в ортогональном случае..

См. также [44, 55], где рассмотрены более элементарные методы построения базисов Гельфанда—Цетлина.

Небольшая модификация методов § 6 позволяет рассматривать аналоги базисов Гельфанда—Цетлина в бесконечномерных д„-модулях. См., например, [88].

В [30] рассмотрено приложение алгебры AZ^ к структурной теории модулей Хариш-Чандры. См. также [93].

Пусть g— редуктивная алгебра Ли (dimg< <оо), I) — ее картановская подалгебра. Заметим, что пара (g, I)) редуктивна. В этом случае g-модули категории 36 суть g-модули, диагональные при сужении на I).

Заметим, что S(g, ^) = [7(g), S0=[70(g) (так называемая алгебра циклов). Теорема 4.4.6 означает в данном случае, что действие алгебры (70(д) в произвольной компоненте У^О определяет модуль V категории 36 с точностью до изоморфизма.

Частные случаи такого рода рассматривались в ряде работ. См., например, [78].

Упражнение. Рассмотрим редуктивную паРУ (fl, 0 = (gl(2), Се0). Покажите, что в этом случае So=C[z, е0], где z— элемент Казимира в (7(g). -

Соответственно ам»qz]»Z(g).

Упражнение. Пусть g = sl(2). Для каждого Х^С пусть А'(Х) = ©^^ц с операторами е0, е±:

^оЦц 2pUy, e±Vy (Х-Гц)Цц±2-

При этом Х(Х) = Х0(Х)ФХ,(X) —прямая сумма д-моду- лей, где Х((Х) натянуто на векторы у^ при p=i mod 2. Проверьте, что:

Х<(Х) есть простой g-модуль при X^imod2. При этом ХДХ) «ХД—X—1).

Если 0^X=tmod2, то Х<(Х) содержит простой конечномерный модуль Е(Х). При этом

где D_^X) (соответственно ВДХ)) натянуто на векторы им при |р|^Х+1, р<0 (соответственно р>0).

Каждый простой fl-модуль категории ^ изоморфен одному из модулей ХДХ) при X^tmod2, Е^, ОДХ).

Замечание. Модули Z)±(X) называются модулями дискретной серии алгебры 0 (т. е. пары (0, Се0)).

У пр аж не н ие. Рассмотрим редуктивную пару ^,X^i, А) (см. 4.2.6). Проверьте, что в этом случае алгебра 20 порождается элементами г, ей, s0= =рх0, где 26/(0) —элемент Казимира.

Отсюда также au«C[z, s0],

Упражнение. Проверьте, что элементы sni, определенные в 4.6.4, имеют следующий вид:

Sni = 2 fin (АIsVnl^UU- •

где сумма берется по всем наборам п>1\> ... >ts>t, ^„(iiis)—произведение сомножителей <р^+ по индексам t</Xn, j^hi,.

В частности, пустому набору соответствует «главный член» л„;е„4, где л„< — произведение всех фО+ (i</^n).

У п р а ж н е н и е. Проверьте (используя 4.7.12) рекуррентное соотношение

Sn+Ll = Sn-t-l.nSnlWin — Фм5л^л+1, п.

Упражнение. Пусть а4бЦ7({)—элементы, введенные в 3.6.6. Проверьте, что 2±i=[ai( e±i] (i= = 1,.. ., п), в обозначениях 4.5.2.

ГЛАВА 5

ДУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

В предыдущей главе мы использовали характеризацию алгебры Микельсона в терминах экстремального проектора p6EndМ, где M=M(g, t). С другой стороны, как будет показано в этой главе, алгебра Микельсона допускает «дуальную» характеризацию в терминах некоторого оператора <7бНош(М, М), где М— некоторое вспомогательное векторное пространство.

Дуальность между операторами р и q сводится, грубо говоря, к дуальности между операторами левого и правого умножения в алгебре (7(g). В действительности операторы р, q связаны некоторой инволюцией алгебры ^(9).

Согласованное использование этих дуальных методов позволяет получить более содержательную структурную теорию алгебр Z(g, I).

Случай f=sl(2)

Пусть вначале (g, 1)—редуктивная пара с подалгеброй f типа А,.

Напомним, что оператор p6F(t) допускает интерпретацию как оператор в алгебре U^):

Рх = ^-Т fn'e- (б^)’(О

л=0

где xGt7(g), ax=(ada)x (присоединенное действие в (7(g)), с коэффициентами

п

Л = П(е0 + 7 + 1),(2)

7=1

При этом р удовлетворяет соотношениям однородности:

Р^=рх-Ь p(fx)^f-px,(3)

для каждой пары xGU($y fef7(^), и также

р(хе+)^0,(4)

где = означает сравнение в алгебре [7(g) по модулю левого идеала U^)e+.

Повторяя рассуждения 4.1.8, находим, что оператор (1) индуцирует действие p6EndМ, совпадающее с действием экстремального проектора рбР^ в пространстве М=ЛЦ& О-

Соответственно будем рассматривать экстремальное уравнение

е+х=0, хе[/'(д),(5)

где = означает сравнение mod [/'(g) е+. Согласно 4.1.5, каждое решение системы (5) однозначно записывается в виде

х=ру-Уг,

где t/6Z(p), zGU' (g) е+.

С другой стороны, рассмотрим в алгебре [7(g) следующий формальный ряд (со значениями в U'^у.

= 2Шг ^"^ e-gn’’(6>

п=0

где х6[7(д), с коэффициентами

^л=П(е0-/ + 1).(7)

.7=1

Предложение. Оператор (6) удовлетворяет следующим соотношениям для каждой пары xGU (g), fGU (1)):

<i-(jce.) = O,

qkxA=<q^f’

e+qx = qe+x=Q,

где f' (e0)=f(e04-2) для полинома f^U^) « С[е0].

Доказательство. Для проверки (i) воспользуемся правилом Лейбница

е" (хе_) = (е"л:) e._-Vn (^"“’л) е0 —

—пкп—^ (^+-2л) е+. (8)

Подставляя это выражение в (6), произведем замену п ►-►п+1, пн*п+2 в рядах, отвечающих соответственно второму и третьему слагаемому (8). Воспользуемся тождествами

eQe_n = е_п (е0—2л), е+е_"=пеТх (е0—п +1).

Заметим также, что e+f=O для каждого feD^. В результате получаем:

<7 (хе_) = 2 ЦтГ ^ч"^ ^ti [^о - ”) - л—0

— (е0 —2л —2) —(л+2)] = 0.

Аналогично проверяется (и) при f(e0)=e0:

q W = 2 Цг (^ ^Л^’ 1^0 - 2л) + 2 (л +1)1 = л=0

=дхкейл-^.

откуда следует (ii) для всех ffeU^. Аналогично проверяется (iii).

Замечание. Соотношение (ii) может быть также записано в виде qkfx^f'qx, где xe7/(g), fe[/(b)..

Условимся рассматривать (6) как оператор q: и (0)—>-V(й, 1). В этом случае сравнения (i), (ii), (iii) превращаются в равенства.

Продолжим оператор q до оператора q: U'(0)-> -*M(fl, I), полагая q^xh-1) = (^x)/iz—1 для каждой пары хбЩй), НбЩУ)\{0}. Согласно (ii), это определение корректно (т. е. сохраняется при замене xh-^ на (^)(йг)-‘,где ge7/(D)\{0}).

При этом равенство (ii) остается справедливым для каждой пары x^U'k^, 1^6^. В этом смысле оператор q есть «подкрученный гомоморфизм» правых D^V модулей U' (fl), M(0, I).

В то же время равенство (i) остается справедливым для каждого x^U'\^. Оно означает, ЧТО q аннулирует

левый идеал J,-=U'(£)e_ в алгебре (7'(д). Соответственно можно рассматривать q как оператор М-*М, где положено

.M=U'^/I-, M=U'^/J+(9)

(т. е. Af=Л1 (g, I)).

Согласно (i), (Hi), оператор q; U'($-*M аннулирует пространство

^=^(//(g) + (/'(g)^.(10)

В то же время образ оператора q содержится в алгебре 2=Z(g, 1)._

Оператор q-. М-*М удовлетворяет следующим соотношениям:

. (a)qU/^^qxH'»

(Р)e+bx = qe+x=0,

pqx=qx,.

для каждой пары х^М, ^D^,

Соотношение (а) означает, что q есть «подкрученный гомоморфизм» правых 0(1))-модулей М, М. Соотношение (Р) означает, что q аннулирует е+М и образ q содержится в алгебре Z, Отсюда следует (у).

Замечание. Для оператора q; U(^-*U'(^ имеем qx—x6J_ (при хбО(д)). Применяя «повторно» оператор q: U'(д)-*Л4, получаем q2x=x (равенство в Л1).Вэтом смысле

q2x=qx для всех хбО(д).

Условимся рассматривать 0(g) как присоединенный 1-модуль, и пусть 0х (соответственно U^ — изотопическая компонента этого модуля со старшим весом X6Z+ (соответственно весовая компонента с весом H&Z) относительно алгебры £= С^о. Положим

^их=^хП^н (X6Z+, p6Z).

Предложение. Пусть x^U^ , и пусть fn, gn^U(t)) определяются равенствами (2), (7). Тогда имеем

fm • рх= qx-gm, где т=Х—р,(11)

(равенство в (7(g)).

Доказательство. Ввиду однократности весов простыхf-модулей,имеем 5_*^”л: = Хпй5+-*л: при

п>к (Xnft6R). Используя это замечание и производя коммутирование в (6), находим к

qx-gm = 2апе- Ve*xY

с коэффициентами an^U(^, ат#=0. Применяя к обеим частям оператор р; U ^)-*U' (д), заметим, что pqx= = qx, pe-U(8)—0. Отсюда

qx-gm=айрх+у=2(j^ МпХе_п ке*х^ + У.л=0

при некотором y^U^e^. Используя теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта, легко проверить, что элементы е_"(е+"х), где О^п^тп, линейно независимы mod С7 (д) е+. Поэтому

Дл=^р^а0/71 (0<n<zn)-

В частности, как следует из (6), ат= (—l)m/m! Следовательно, a0=fm. В результате у=0, qx-gm=fm-рх.

Замечание. Элемент fm есть левый знаменатель рациональной функции рх. Соответственно gm есть правый знаменатель рациональной функции qx.

Следствие 1. Для элементов x6t7/(g) справедливо равенство px=q^axy qx=p(^x),(12)

где а, р — «подкрученные» изоморфизмы векторного пространства U' (д).

Действительно, это верно для- элементов x^U^. Например, ^x=hm~^mx при хб!7/, где т=Х—у, йт(ео) = ==gm (бО Ц) •

Следствие 2. Для операторов р, q: U' (g)-*Af справедливо равенство imp=im q.

Рассматривая алгебру U' (д) как векторное пространство над D(^ с базисом е+"е(А)е_г, находим

M=C[e+]Z(v)=Z(v)®e+M,(13)

в обозначениях 4.1.4. Аналогично, рассматривая базис е^к)е_пе+т, находим

. M=Z (р) C[e_]=Z (р) ®Z (р) Со[е_],(14)

где Со[е_]—алгебра полиномов без свободного члена от элемента в—

Пусть о (соответственно о) — проекция на первое слагаемое Z^ в разложении (13) (соответственно (14)). Для каждого хбМ пусть deg х=deg ох — степень элемента х относительно градуировки в Z(p) по степеням dege(&) = |£|.

Предложение. Для каждого хбМ имеет место равенство

oqx=ox+x', где degx'<degx. (15)

Доказательство. Достаточно рассматривать элементы x6Z(p). Заметим, что ох=х есть свободный член ряда (6). В общем случае элемент х„— (е+пх)е-п есть линейная комбинация элементов

^вг,.. .е1$^ е_п при s = degx.(16)

Приводя (16) к базису e(k)e_me+\ заметим, что (16) может внести ненулевой вклад в проекцию (15) лишь в том случае, когда соответствующее разложение элемента et^.-et содержит моном е(А)е_те+л. Если п + О, то |&|<$. Поэтому элементы х„ при п^=0 вносят вклад в слагаемое х', где deg х' < degх.

Предложение. Оператор qx М-*М отображает М на Z с ядром. е^М. При этом, q определяет (.подкрученный.» изоморфизм векторных пространств Z (р), Z над полем D№\

Доказательство. Согласно 5.1.4, оператор q аннулирует е^М. Если qx = 0 при x6Z(^, то х = 0 согласно (15). Поэтому оператор q инъективен на Z(p), ker q = e*M."

В то же время, согласно 5.1.5 (следствие 2), im q=Z.

Следствие. Каждое решение уравнения (5) записывается единственным образом в виде

x=qy-Vz,(17)

где y6Z^,z^U' ^e+.

В заключение отметим «формулы обращения» для преобразований (1), (6)..

Предложение. Для каждого x6U(g) имеет место равенство

^=51 Рхп>(18)

л=0.

где хп = е+"х. Аналогично,

*=2-h4--(19)

.л=0

Доказательство. Равенство (1) определяет рекуррентное соотношение между элементами хп, рхп (п=0, 1,2, ...). Отсюда

х=2 е?апохпп=0

при некоторых a^JD (I)). Применяя к обеим частям этого равенства оператор ре^, где р-. U'^-^М, заметим, что "e+kx=xk. С другой стороны, имеем е+*е_л ~ n!6n)ign, где ~ означает сравнение modTV, N=e_U(g) + (7(g)^+. Напомним также, что e+(imp) = 0, pN = 0. Отсюда

pxk=k'.gkahpxh

для всех ^=0, 1, 2, ... Соответственно аА= (AlgJ"1 при рхк=£0. В результате получаем (18).

Аналогично доказывается (19). Можно также заметить, что (6) получается из (1) преобразованием 6: D (ф) 0 U (g)->-t7(g)0 D^, порожденным канонической инволюцией в (7(g) (xi-*—х при хбд) и автоморфизмом е0 •-♦ —е0—2 поля D^. Соответственно 6 переводит (18) в (19).

Операторы qw

Пусть (g, I)—редуктивная пара, 1)—картанов- ская подалгебра в I, A=A(f, $) —система корней алгебры t относительно 1), А+=А+(А)—подсистема положительных корней с базисом А.

Для каждого абД+ пусть

9^=2 ^^^х)^^(1)

Л—о

— линейный оператор (/(g)->(/' (g) с коэффициентами

ga,n— П $а J + !)•/==1ga,n— П $а J + !)•/==1(2)(2)

ga,n— П $а J + !)•/==1

ga,n— П $а J + !)•/==1

(2)

(2)

Повторяя рассуждения 5.1.3, получаем, что оператор (1) индуцирует оператор q: U' (g) — М (g, I). При этом для каждого хб(/'(д)

(a)eaqaX = qaeaX = qa(xe_a) = O,

(Р)^а(хвр) = 0 при Р6А+, а —р$А+,

(Т)qa(x/)=(qax)/a при /eDW,

где f fa — автоморфизм поля Д(()), определяемый равенством.

tam=m<^ при ^*.(3)

Действительно, (а) и (7) проверяются по аналогии с 5.1.2, (р) очевидно из (1).

Пусть W=W(,^.')—группа Вейля системы А. Напомним (см. 1.7.6), что W«NfZ, где N — подгруппа присоединенной группы K=AdeL

Рассматривая действие группы К в алгебре д, мы вкладываем группу К в группу автоморфизмов алгебры U (д). При этом N (нормализатор 1) в группе К) действует в (/(g). Соответственно можно рассматривать N как подгруппу в группе автоморфизмов алгебры U' (д).

Пусть х^х" означает действие автоморфизма n^N на элемент x^U' (g). Заметим, что

(ео)"=Л„(а)епо,(4)

где абД, Хп(а)бС, а >-> па—сопряженное действие группы N в пространстве 6*. Ясно также, что (/io)"=/ino. Из равенства [еа, e-a]=/io находим

Х„(а)Х„(—а) = 1(5)

для каждого абД и каждого n6N.

Соответственно, группа N действует в End U' (g): onxn_(ox)n для каЖдой тройки a6End(/'(g), хб(/'(д), nfcN. Используя (1), (4), (5), находим (^a)" = ^na для каждой пары абД+, n6N. Заметим, что na=wa, где w —

соответствующий класс в W. Соответственно можно считать, что группа Вейля W действует на операторы qa'

(6)

для каждой пары абА+, w6U7..

Для каждого шб1Г пусть nw — линейная оболочка элементов еа при абшА+. Пусть Jw= (J+)W=U' (g)nw. Положим

MW=U4№.(7)

Мы будем рассматривать Mw как левый U' (д) -модуль и правый £>(!))-модуль. В частности, пусть

М=МЬ М=М^,(8)

где 1 — единица группы W, w6W — элемент наибольшей длины.

Заметим также, что M=M(g, I) в обозначениях 4.1.3.

Предложение. Для каждого приведенного разложения raw, где абЛ, w6W, имеем

qwa.Jraw^-Jw(9)

Соответственно можно рассматривать q^a. как оператор MraW-+Mw. При этом

qwaixfy^^^qwaXjfwa(10)

для каждой пары х£.МГа™, feD^Y

Действительно, из (а), (^) следует qaJTad+. Применяя к этому соотношению автоморфизм w6W, получаем (9). Соотношение (10) непосредственно вытекает из (7).

Следствие. Для каждой возрастающей последовательности wt=rx.. лъ где гх—г^. при а;бЛ, имеем

q^^ Mi®^—*-М™^_^(И)

где ^х — вох-ха.1 (см. 1.4.2).

Определение. Фиксируем нормальный порядок А+=(,у1, . ..> у™} и для каждого w = w56W положим

^а, = ^1...^г(12)

При этом, согласно (11), мы будем рассматривать q„ как оператор Mw-*-M,

В дальнейшем будет показано (см. 5.3.7), что q„ не зависит от выбора нормального порядка в Д„.

Для каждого w6W пусть / !-*-/„— автоморфизм поля О((>), определяемый равенством

fw^=f^+p-wpY(13)

где р — полусумма положительных корней.

Напомним также, что

Ди,= {абД+|да-1а<0}.(14)

Предложение. Операторы qw: МШ->М удовлетворяет следующим соотношениям:

^(^/) = (^)Лприлгб^, /62) №

eaqw = qwea = 0приабДи»

eyqw = qweyпри7 = ^0,

где еа — оператор левого умножения (в М или Мю), 06Л, l^wr^ =/(щ/) + 1 (т. е. у=у/+1 в обозначениях 1.4.2).

Доказательство, (а) Достаточно применить правило «подкручивания коэффициентов» (10) к произведению (12) и заметить, что

р—дар= (р—ayj_!p) +ty,-i (р—тур) =71+ ... +7^.

Будем считать (из соображений индукции), что (Ь) уже доказано для корней a=7i7,-1, (с) доказано с заменой 7 на «=7,-, w на ау' = ^-1. Тогда имеем при а=у/:

баУ^у = eaqiu* q»=: qw’^aqa^^»

и также

qw^a == Яи^ЧаРа = 0.

Отсюда следует (b) для всех абД^,..

Заметим, что qw — qa^vY0-, где a=0i=yi, v= = r1...ri. Используя определение (1) и вычисляя коммутатор [ет, <?а], получаем

Ь+ Ча\ у = 2 Ч-:^^U5)

для каждого y6U($y, где qa, г — оператор получаемый из ряда (1) формальным (некоторой кратности «^ дифференцированием по символу г=еа (т. е. заменой zn на П2п-1 И Т. Д.).

. Продолжая тождество (15) на элементы у^и'ХдУ положим у=(дтуа х, где x6U(fly Заметим, что Д„= = {р2РР, где -Yt=rapt (i=2/). Применяя допу

щение индукции (Ь) к элементу и, находим eSi qyU'^c: cJ+ (i=2,..., j). Отсюда, после применения автоморфизма га, получаем

е,1уУГа(1 = 2,..„Л.(16)

Легко проверить (по аналогии с 5.2.1), что qa, Jra cz cz/+. Поэтому из (15), (16) следует'

К. ?J1/^O mod/+.

Полагая y=rap и применяя допущение индукции (с) к элементам р, и (вместо у, ш), получаем, что оператор ет перестановочен с оператором q'=(qoya. В результате

' k, qw]x=[eI, qa]y+qa[e7, q']x=0,

т. е. [ет, ^w]=0 в пространстве Mw.

Следствие. Оператор q = q—\ М-уМ удовлетворяет соотношениям

q(xJ^ = (qxVдлявсех х^М,J^D^Y

(П)ettq = qea,=0длявсех «6Д+,

pq = q,

где f^=f^—2р) (автоморфизм D(^y peEndAl— экстремальный проектор алгебры F(t).

Условимся рассматривать q™ (шб1Г) как оператор U'(^—►М. Тогда имеем qroN„=0, где

Nw=xiwU' (fl)-\-U' №,(17)

nw — линейная оболочка элементов еа при а6Д„. В частности, qN = 0, где

^n+t/'^ + t/'^n-.(18)

Используя правило «подкручивания» (у), можно так же рассматривать qw как оператор в U'(д). В частности, qx—х6(/'(д)п_ Отсюда

q2x=qx mod/+,(19)

для каждого xGU' ^.

Резольвенты р, q

В этом параграфе рассматривается связь между операторами рб End М, q'^ Hom (Л4, Л1).

Напомним (см. 4.1.4), что

M = Z(p)®n_Af.(1)

Согласно 4.1.5, оператор p6EndA4 инъективен на Z^ и аннулирует п-М. Если x6Z^, то

px=x-y'^ialui^'U^x,(2)

i

где a£D$), и; (i=l, 2,...)—весовой базис п-{7(п_), 0,6(7(п+)п+. В частности,

трх = х(3)

для всех хбЛ1, где т — проекция на первое слагаемое Z^) в разложении (1).

Заметим также, что разложение (2) однородно по весам (т. е. вес и/4-вес и, = 0).

Согласно (3), оператор р сохраняет градуировку компоненты Z(p) (по степеням dege(^) = |^|).

С другой стороны, используя теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта (см. 5.1.6 в частном случае 1 = = 51(2)), находим

M = Z(p)en+.M.(4)

Аналогично,

M=Z(p)®Z(p)(7(n_)n_.(5)

Оператор ^бНот(Л1, М) аннулирует п+Л1 (см. 5.2.5 (ii)) и действует на элементы x6Z(p) по правилу

qx=x-V ^^((adwt)^)»,^,(6)

i

где biti)^ wi^U^y, вес^+вес^=О. 1

• Пусть о (соответственно о) — проекция на первое слагаемое Z^ в разложении (4) (соответственно (5)).

Определим фильтрацию

/Др) ={x6Z()p) |degxs$n},(7)

где degx—старшая степень элемента xfcZ^ по одночленам е(^) (dege(^) = |^|).

Перенесем фильтрацию (7) на пространства М, М, полагая deg х = deg ox, degy = degoz/ при хбМ, убМ.

Теорема, (i) Оператор q: М->-М отображает М на Z=Z($, Г) с ядром n+Af.

(и) Оператор q сохраняет фильтрацию (7), т. е. deg yx=degx для всех хбМ. При этом

oqx = ox+x', где degx'cdegx.(8)

Кроме того, х' = 0 при хб^.

(Hi) Оператор q определяет подкрученный изоморфизм (см. 5.2.5. (ii)) векторных пространств Z^), Z($, t) над полем D(1)).

Доказательство излагается в 5.3.4—5.3.6.

Фильтрация. Пусть x,6Z(^). Воспользовавшись равенством (6), заметим, что ох = х. Поэтому первое слагаемое (6) совпадает с первым слагаемым проекции (8).

С другой стороны, элемент (adty1)x есть линейная комбинация элементов вида et, •••els, где s^degx. Приводя эти элементы к базису Z^) U (П-) U(n+), заметим, что (adw,)x может внести ненулевой вклад в проекцию (8) лишь в том случае, когда в процессе приведения возникают слагаемые вида e^ab, где аб(/(п-), bfeU(nV), вес 6 + вес «, = 0. Последнее возможно лишь в том случае, когда |&|<s. Таким образом, все слагаемые (6), стоящие под знаком суммы, вносят вклад во второе слагаемое (8), для которого degx'<degx.

Если хбр, то разложение (6) не требует приведения (т. е. есть разложения по базису Z(p)(/(n-) в пространстве М). Поэтому х' = 0.

Описание kerq. Напомним, что q аннулирует n+AL

В то же время из равенства (8) следует инъективность оператора q в Z^, Действительно, qx=0 при

хбХ(р) влечет aq=x-\-x' — О, откуда х—0 (поскольку degx'<degx).

В результате ker 7 = п_М.

Описание im q. Пусть ^Z^Y Приводя разложение (6) к базису (1), получаем

дх = Ьх^^и.Хи(9)

где бх, x^Z(YY 1=1, 2, ...

При этом б: Z(v)^-Z(y) есть подкрученный эндоморфизм, сохраняющий фильтрацию (7).

Заметим, что 6x=Tqx. Если бх = 0, то qx=0 (поскольку т инъективно в Z(g, I)). Отсюда х=0. Таким образом, б инъективно в Z(^Y

Отсюда следует, ввиду конечномерности Z^^Y чт0 б биективно в Zn(VY Следовательно, б есть подкрученный автоморфизм Z(vY сохраняющий фильтрацию (7).

В частности, для каждого z = px6Z(g, I) существует единственный y6Z(vY для которого ipx=iqy. Отсюда

z = px = qy.(10)

В результате imy = imp.

Теорема 5.3.3 доказана.

Следствие 1. Каждый элемент z&Z(g, t) однозначно определяется своей проекцией az.

Действительно, oz=0 при z = qy влечет у = 0, т. е. z = 0.

Следствие 2. Каждое решение в U' (д) системы экстремальных уравнений eaz^0 mod/+ (для всех абД+) однозначно записывается в каждом из следующих видов:

z=px+a = qy+b,

где x,y6Z(^, а> bU+.

Замечание. В § 5 будет предложено другое доказательство теоремы 5.3.3 (без использования экстремального проектора p^F^Y

Теорема. Оператор qw (щбЦ7) не зависит от выбора нормального порядка в Аш. В частности, q=q- не зависит от выбора нормального порядка в А+.

Доказательство. Пусть q = qai...qam» q' = = 9р, • • • 9pm—Два оператора q-, отвечающие двум нормальным порядкам в А+. Имеем aqx=x = aq'x для каждого x^Z^Y откуда qx = q'x, В результате q = q'.

Аналогично, пусть qm, qm' — операторы, отвечающие двум нормальным порядкам в Д„. Приводя эти порядки друг к другу цепочкой инверсий ранга 2: Д,-,+|-*Д;4+ и пользуясь тождествами Ц^Ц^ для операторов q с корневой системой Д{;, получаем qw=qw'.

Следствие. Операторы qw (®6И7) удовлетворяют уравнению «приведенного коцикла»

(Н)(Н)q^qAq.YS

(Н)

(Н)

для каждого приведенного разложения w = uu в группе W.

Замечание. Семейство qw (®6U7) называется в [61] экстремальным коциклом на группе W. -

Операторы р, q называются соответственно левой и правой резольвентой системы экстремальных уравнений eM(g, I).

Пусть Out V — группа всех подкрученных автоморфизмов векторного пространства V над полем D^-

Применяя к (9) оператор р, напомним, что pq = q. Поэтому

qx—pbx, px = q^xqx—pbx, px = q^x(12)(12)

qx—pbx, px = q^x

qx—pbx, px = q^x

(12)

(12)

для каждого x6Z(p).

При этом 66Out0Z(p), где Out0Z(p) —подгруппа элементов OutZ(p), сохраняющих весовую градуировку и фильтрацию (7).

Соотношение (12) обобщается на элементы х6[/(д) следующим образом.

Для каждого х€^(0) пусть 7?x = ad U (t)x, R* = =RX ®u^^^ ~ соответствующее подпространство В U' V%\

Преобразуя равенство (6) с использованием соотношений коммутации в алгебре 17(g), получаем

^х = 6х + 2 Ctui (advjx,^х = 6х + 2 Ctui (advjx,(13)(13)

^х = 6х + 2 Ctui (advjx,

^х = 6х + 2 Ctui (advjx,

(13)

(13)

где seOuto^x', c^D^, v^U^, i=l, 2, ... При этом (9) выводится из (13) приведением к базису (1).

Заметим также, что для каждого <%6Д+ выполняется следующий аналог равенства (13):

qaX^baX-V^dne^Xn,(14)

л=0

где e^Out,/?/, du£D$V xn^R.x'.

Предложение. Автоморфизмы d, da связаны соотношением

(15)

для каждого нормального порядка А+= {аь ..., am).

Доказательство. Положим q = qam •. • q^. Проверим, индукцией по / = 1,..., , выполнение следующего равенства:

^...?11X=Xy + i Zy(16)

с компонентами

Х^Ь^ ... Иа1Х, y^Rx',

где Пу—линейная оболочка элементов еа. при i = 1, ..., j,

ZyEker qam... q»v

Действительно, при / = 1 (16) совпадает с (14), где a=ab z, = 0.

Полагая (16) доказанным и применяя оператор qa при а=а,+1, находим

'q»Xi-хж+a;,

где aj6n*L^(na*)^x', na = Cea. С другой стороны, имеем (ad е±а)п/сп;*®Ш;+1 (ш,— линейная оболочка элементов eaj при t=/+l,..., т). Отсюда

УаУз = ЬзА-с5 с компонентами

bj6A)+xU (Ч;+1) Rx* сj№HRx' скет qam ... qajrt.

Ясно также, что ^aZy6ker q$m ... qaj+t.

В результате получаем аналог (16) для индекса /+1 с элементами

#ж=аН"^> ^-ы^О-Н^а^.

Следовательно, равенство (16) выполняется для всех /=1, ..., т.

Полагая j=m, заметим, что mm = 0. Отсюда zm = = ^’am2:m_1 = 0. В этом случае (16) совпадает с (13). Таким образом, d = dam...dai.

В заключение поднимем операторы р, q до операторов в алгебрах_

A^=D^®U^, B^=U^®D^.(17)

Определим изоморфизм А^~В^, полагая [®ХА5Х®^ при хбЕ/Дд),(18)

где Mg)=fd+p) при feD((j).

Заметим (см. 3.7.7), что U' (д) ~ А (g)/M(g)« «B^)IN' (g), где N' (g) —образ ^(g) при изоморфизме (18).

Поднимем оператор р = ра1...рат до оператора

в Л(д), полагая (см. 3.7.7)

рД/® х^ = ^-^^ J;\J ® еп_гД^ (19) п=0

при /6D(^), xgt7(g). Напомним, что

п

/а,л=П (Aa+Pa + 7).(20)

7=1

С другой стороны, пусть /'(£) = /( —£~2р)—автоморфизм поля D(^). Определим оператор р' = р' ... р’ в 5(g), полагая

Р'^х® /) = 2^1Ив1а® /Л"1,Д21)

л=0

где хеа = [х, ва].

Заметим, что (раа)' = ра'а' для всех абД(д), где а^а'— изоморфизм Л(д) на В(д), определяемый равенством (f®x) ' = x'®f', х^х' — инволюция алгебры С/(д), определяемая на образующих хбд по правилу х'= ^= —х, . ' . ' , '

Предложение. Оператор р' сохраняет Af'(g) и индуцирует оператор q в алгебре C7(g) «1 ® 67(g). Соответственно

q=p'(l®e)

в алгебре U' (g) =S(g)/W' (д), где ef (I) =f (£+2р) при f6D^.

Доказательство сводится к легкой проверке, с использованием правил «подкручивания коэффициентов» 5.2.4 (а).

Образующие в ^(0, I)

Дуальная характеризация алгебры Z(g, f), полученная в § 3, позволяет построить в этой алгебре новую систему образующих с квадратичными соотношениями типа 4.2.4 (11).

Пусть et ((=!,...,«)—весовой базис 1)-модуля у с неубывающими (см. 4.1.3) весами щ (t=l,...,«). Положим

z/= — qe{ (i= 1, . . ., п).(1)

Теорема. Алгебра Z(g, t) порождается весовыми образующими (1) и соотношениями вида

2/2^ = ^ ^/«Urt + S^'^ + T^ (2) t>rк

для каждой пары i<Zj. Коэффициенты (2) связаны с коэффициентами 4.2.4 (11) инволюцией, определенной в 5.3.10. При этом одночлены

=(3)

образуют базис векторного пространства Z (g, 1) над полем £)(!)).

Доказательство. Пусть ж означает сравнение mod N' в алгебре U'^), где П'=т‘ц U' (g) + П(д)п^. Заметим, что qN' = 0 для оператора q: U' (g)—*-Л4 (д, t).

Имеем qx• qy«qx• у для каждой пары х, убП(д). Отсюда получаем, по аналогии с 4.2.2:

. q(xy) «qx-qy-V^gvqXrqyt,(4)

i

где g^D^), х^А+х, у^А—у. При этом используется тождество 5.2.6 (19),■'

Заметим, что е/ = —е<, поэтому г/— образ zt относительно инволюции 5.3.10. Имеем z/z/ «qe^e^ для всех i, /=1,..., п. Полагая Oj и повторяя первую часть доказательства теоремы 4.2.4, получаем z/z/«f</, где

Jij==^ieterbijrt-^-'X-ij-(5)

t>r

Здесь х</ — линейная функция от элементов е,, а коэффициенты b’ijrt получены инволюцией (см. 5.3.10) из аналогичных коэффициентов 4.2.4.

Меняя местами г/, г/, получаем рекуррентное соотношение

z/z/e(era’iJrt,‘(6)

Or

с коэффициентами а'цТ1, получаемыми инволюцией f^f' из аналогичных коэффициентов 4.2.4.

Обращая рекуррентное соотношение (6) и подставляя полученные выражения в (5), получаем

^1^г*« 2 zi'z/aUrt + х1Г(7)

t>r

где a' = b'a'~l— матрица, получаемая из матрицы а= = (aijr<) инволюцией 5.3.10.

Применяя к обеим частям соотношения (7) оператор q: U' ^->Z^, t), воспользуемся тождеством 5.2.6 (19). Напомним, что ^' = 0. Отсюда, заменяя сравнение (7) равенством в Z^ 0. получаем искомое соотношение (2).

Остальная часть доказательства дублирует соответствующие рассуждения в 4.2.3—4.2.4. При этом вместо предложения 4.2.2 используется его аналог, определяемый формулой (4).

Сопоставляя выражения 5,3.1 (2) и 5.3.2 (6) при хбу, находим, что правый знаменатель элемента qx получается инволюцией f •-* Г из левого знаменателя элемента рх.

В частности, правый знаменатель элемента (1) есть я/, где л.— левый знаменатель элемента z4=pet (1= = 1,..., п). Положим

Si'=Zi'ni' (i=l,...,n).(8)

Из теоремы 5.4.1 получаем

Следствие. Алгебра Z(g, I) порождается весовыми образующими (8) и соотношениями вида

S/Si' = '2is/s/aljrl + 2(9)

<>гА

коэффициенты которых связаны с коэффициентами 4.2.5 (12) инволюцией 5.3.10.

Рассуждение, примененное в начале 5.4.2 к элементам хбр, непригодно для произвольных элементов хбСГ(д).

Тем не менее, имеет место следующий аналог теоремы 4.1.6.

Теорема. Если 0#=хб5(р), то правый знаменатель л, элемента qx имеет следующий вид1.

^=П П Qla^Pa-n,(Ю)

ctGA+ j=l '

где числа па определяются равенством 4.1.6 (19), т. е. па = па^, где

па (х) =тах{я | е^х#^ 0}.

Доказательство. Сопоставляя 5.3.1(2) и

5.3.2 (6), напомним, что (рх)' = qx'. Поэтому слагаемые, входящие в разложение 5.3.2 (6) элемента qx', имеют общий правый знаменатель nx\ где лж— левый знаменатель элемента рх, вычисленный в теореме 4.1.6: лг(^)=лж(-^-2р).(11)

В процессе приведения суммы 5.3.2 (6) к базису 2(р)(/(П-) в М(д, !) возможно сокращение некоторых слагаемых. Поэтому правый знаменатель элемента qx' имеет вид (10), где п^пДх). Заметим, что па(х) = = па(х/). Заменяя х' на х, получаем выражение (10) с числами па^па(х).

С другой стороны, повторяя заключительную часть доказательства теоремы 3.4.7, воспользуемся линейной независимостью элементов е"х (0^па^па (х)) при хб£(р). Отсюда получаем па^па(х). В результате па = = па(х) для всех абА+.

3 а м еч а н ие. Согласно (11), имеем лж = ( —l^n/, где N — суммарная степень полинома .(10),:

Согласно 5.3.8, образующие z, (i=ln) связаны с новыми образующими z/ (i=l, ..., n) соотношениями вида

2/ = ^ 9tjZj,(12)

где 6цбО^.

При этом соотношение (12) однородно по весам (т. е. правая часть (12) содержит лишь те элементы z,-, для которых р, = ру)._

Положим s(x) = л*-рх, r(x) =qx-nx, где знаменатели л*, л* определяются соответственно равенствами 4.1.6 (17) и (10).

Предложение. Пусть x6Uu(^> причем вес р однократен в adt/(f)x. Тогда имеем

s(x)=r(x).(13)

Доказательство. Повторяя рассуждения 5.3.9 с заменой элемента qx полиномом г (x^ = qx-ut = Kt-qx, где л,(^) = л,(^ — р), получаем

r(x) = /x+2 CitttXi’(14)

где feOuto^x', с^и^, x;6Rx'. При этом, ввиду однократности веса р, в пространстве R/ (над полем /)(())), имеем /6[/(()).

Для вычисления полинома f воспользуемся предложением 5.1.5 (см. также следствие 1 в 5.1.5). Получаем

ГП

/и)=П /пДа^лгу

Z=1

В результате, применяя к обеих частям (14) оператор р, получаем r(x) =f-px = s(x).

Следствие. Предположим, что р,- — однократный вес в пространстве р. В этом случае имеем

Si' = ±Si (i=l,...,n).(15)

Экстремальные системы

Покажем, что операторы qw (wCiW) позволяют получить решение системы экстремальных уравнений в пространстве A4(g, f) последовательно, по сегментам Дш (W6W),

Для каждого w€W пусть ZWC2M— подпространство всех решений системы уравнений

еах=0 для всех a€Aw.(1)

Теорема. Оператор qw: Mw-+M отображает Mw На Zw С Ядром Пт-М®.

При этом qw определяет подкрученный (см. 5.2.4) изоморфизм векторных пространств Mw/ximMw, Zw над полем D$).

Доказательство излагается в 5.5.2—5.5.4.

Дополнительные подпространства. Пусть ш» — линейная оболочка элементов еа при а6Д+\Да,. Покажем, что

Mw — /?a)^Bw^Vfai,(2)

где

Rw=Z(^) U(ни»*).(3)

Действительно, напомним, что MW = U'(й)/!™, где Jw=U'(g)nw. Заметим (см. 1.7.17), что пю=пю*®шю. В частности, У?№П^ = О. Поэтому можно рассматривать Rw как подпространство в Mw.

При этом разложение (2) означает, что U'(^) = = Rw®Nw в обозначениях 5.2.6. Последнее равенство вытекает из теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта.

Замечание. Условимся рассматривать qw как оператор U'(&)-*M. В этом случае, согласно теореме 5.5.1, имеем

ker qw =— Hw.

При этом оператор qw определяет подкрученный изоморфизм векторных пространств Rw, Zw над полем DW-

Описание kerqw. Согласно предложению 5.2.4, имеем qw^wMw = 0. Покажем, что оператор qw инъективен на подпространстве Rw, откуда будет следовать, ввиду разложения (2), что ker qw = 'RwMw.

Допустим, что это утверждение уже доказано при данном w6W. Проверим его справедливость для элемента w' = wra, где l(w') = l(w) + 1.

Пусть x6Rw-- Полагая qw-x=qwqaX=0, находим qax6Nw. С другой стороны, имеем

q^=x-V^ ^^)x)en_ag~l.(4)

n=l

Заметим, что agn^'. Поэтому (adеа) m^,, cnw Ф ш^,,. Применяя это правило к элементам (3), с заменой ту на ту', находим

■ow^x=* + 2 х^^^х',' (5)

где Ош — проекция Mw на Rw относительно разложения (2), x^Rw- (п=1, 2,...), x'6Rw', с добавочным условием

deg™,' х' < degw - х.(6)

Здесь degw—старшая степень разложения элемента x^Rw по базисным одночленам е(А)е_(г) в пространстве (3) с коэффициентами из 0(f)), так что degu>e(^)e_(r) = | А: | + |г|.

Заметим, что условие q^Nw означает бшЦах=й. Используя (5) и (6), находим отсюда х=0.

В результате ker qw = nwMw для всех ty6U7.

Описание im<?w. Сохраним обозначения 5.5.3 и заметим, что ZW'dZw. Исходя из соображений индукции, можем считать доказанным, что Zw=\mqw. Включение г^ш- означает, что z = qwx при некотором хбМш с добавочным условием

eaz=qweax = O

(см. предложение 5.2.4(c)). Применяя 5.5.3, получаем eax6Nw.

Согласно (2) и включению n^Al^cker qw, можем считать, не ограничивая общности, что x^Rw.

Заметим, что тщ, = ш1У- Ф Сеа. Отсюда,

Rw' = RW^ Iе—а]-.

Представляя x^R-» в виде суммы слагаемых хпепха (n = 0, 1, 2, ...), где x„6R№'. предположим вначале, что хо = О. В этом случае

х = ае^_а, при некотором А>1, где a^R™- не делится (справа) на е_а.

Условие eax^Nw равносильно (ad ea)xGNw, откуда а'е^+кае^ (йа-к + l)6Ww,(7)

где положено а'=. (ad еа) а..

Если а=/=0, то включение (7) возможно лишь в том случае, когда в процессе приведения элемента а'е‘в к базису RW®NW возникают ненулевые слагаемые вида beae^_tt. Однако в этом случае deg 6<deg а относительно фильтрации по степеням базисных одночленов в RW'. Поэтому включение (7) возможно только при а = 0, т. е. х=0.

В общем случае, применяя полученный результат к элементу х—qaxti, получаем х=^ах0. Отсюда

2 = ^'tyX = ^'ty ' Xq.

В результате im^„=Z„ для всех av6U7.

Теорема 5.5.1 доказана.

Замечание. Теорема 5.5.1 представляет собой альтернативный подход к теории экстремальных уравнений в пространстве Af=Af(g, t), без использования экстремальных проекторов p^F^Y

В частности (при w= •), мы получаем новое доказательство теоремы 5.3.3.

Дополнения, упражнения

Методика, изложенная в § 5, пригодна также для описания особых векторов в «обобщенных модулях Верма»

М(Х) = 1/(д)/7Х-р,(I)

где п

k-U^V^U (д)(А, - X (А,))(2)

(А, — базисные элементы картановской подалгебры ()<= <=1).

Семейство (I) совпадает с семейством модулей Верма при д=1.

Пусть х=х+7х_р — класс элемента хб7/(д) в фактор- пространстве (I). Элемент 0=/=хбМ(Х) есть особый вектор веса ц—р6$* при условии 7p-pxcz7x-p, т. е. х есть транслятор типа (7И_Р, 7Х_Р) в алгебре U^Y

Заметим, что условие I^xclIx-p для весового вектора хФ7х_р равносильно выполнению условий:

(а)еах=Ото07л_р для всех абЛ+, -

(Р)^е^-л(в).

Действительно, условие /р-рх=0 mod/x-p сводится к условию (а) и дополнительному соотношению

(А—Ц (А) +р (А) )х=х (й—р' (А) +р (А)) бА_р,для каждого йб^, где ц' = ц—v при x6Uv(^- Отсюдаx^W— ц'(А)) бД-р,

для каждого йб^, что возможно при х$Д-Р только при р/=Х, т. е. v = p—X.

Таким образом, описание особых векторов модуля М (X) сводится к описанию весовых решений системы (а).

В свою очередь, система (ос) может быть решена последовательно, по сегментам Д„ (w6W) по аналогии с § 5.

В частности, пусть гапк&=1. В этом случае система (а) сводится к одному уравнению

еа№0 mod/а, t,(3)

где (при /6С)

IM = U^ea^U^Qia-WY(4)

Упражнение. Проверьте, что каждое решение уравнения (3) имеет вид

Х = даХо-\-^аУо^е-а1-\-2О(5)

при некоторых х0, е/обД(д), z06la,t.

При этом-оператор qa определяется равенством 5.2.1 (1), с заменой ha на t—1. Второе слагаемое в (5) определяется только при 1=1, 2, ...

Указание. Ввиду разложения

Д(0)=5(р)С[е_а]©Д-р

достаточно рассматривать элементы вида х= У хпе_ал, п

где xn6S(p). Вычитая qttxQ, можем считать, что х0—0. Соответственно

х=ае-ак■

при некотором ^^1, где a6S (р) С[е_а] не делится (справа) на е-a. Отсюда (по аналогии с 5.5.3) находим а=0 при k^t.

Если k=t, вычитаем ^ах^е-а. Повторяя предыдущие рассуждения, находим а=0. В результате каждое решение уравнения (3) есть линейная комбинация вида (5), где y0=xt.

В общем случае положим 9«,<x=(q'ax)e_a<,'(6)

где t= 1, 2, ..., и пусть

Qw^ — fl'Vi.et • • • ЧчрЕ;(7)

по аналогии с 5.2.4, где е = (еь ..., е,).

Упражнение. Проверьте; что каждое решение системы (а), где а пробегает Д„, есть сумма слагаемых вида х(е) =9„(е)х0(е)

плюс слагаемое z06A_p, где х0(е)б(/(д), е,=0 либо е,= =Х(/г7,), причем в последнем случае е«=1, 2, ...

Указание. Индукция по приведенным разложениям w'= wra, с использованием тождества

^a^w(e)ti ^w(^)^a^ modI^—р, для каждого a6[/(g). При этом индукция следует общей схеме 5.5.3, 5.5.4.

В частности, для каждого абД+ из условия ^(Ла) = 1, 2, ... следует существование ненулевого гомоморфизма

М(гД)->М(Х).(8)

Упражнение. Проверьте, что каждый ненулевой гомоморфизм (8) есть вложение. Найдите (используя 5.6.4) кратность вложения (8).

Замечание. Пусть g=t. В этом случае все вложения (8) однократны.

Согласно 5.6.4, каждый ненулевой гомоморфизм М(ц)->М(Х) есть композиция вложений (8).

Последний результат совпадает с известной теоремой [10, 35] о модулях Верма. При этом утверждение 5.6.4 дает явный вид вложений (8).

Мы вернемся к этому вопросу в § 7.1.

Отметим краткий вывод структурных соотношений 4.5.5 (6) в алгебре AZn, с использованием соотношений двойственности 5.4.6.

Применяя инволюцию х н* х' к соотношениям 4.5:2 (Р) и обращая эти соотношения, получаем п

где 6 = р-1 = Ьа-1 (в обозначениях 4.5.3). Согласно замечанию 4.5.6, первая строка (первый столбец) матрицы б совпадает с первой строкой матрицы а-1 (с первым столбцом матрицы 6).

Соответственно нам известны первая строка и первый столбец структурной матрицы f, входящей в 4.5.5 (6).

В то же время, согласно 4.5.3, усеченная матрица / = Vftj^,j=i получается из матрицы / заменой п на п — 1 и подстановкой <PiZ^<pi+1>y+1.

Последнее замечание сводит вычисление матрицы f к тривиальной индукции по п. .

Упражнение. Проверьте, что оператор q можно рассматривать как оператор в пространстве V®Af (f), полагая

i=0

в обозначениях 5.3.2 (6), где u,6, рассматривается как оператор в М(f) « U (n_) D (()), wo=uo=bo=L

Указание. Пространство p®Af(f) вкладывается в Al (g, f), где g=f®p определяется как полупрямое произведение относительно присоединенного действия f в р.

Замечание. Элемент r(x')=qx-n можно рассматривать как элемент $®V(t), где U (f) ]U (f)n+.

Упражнение. Пусть хб 17(g) удовлетворяет системе уравнений

е£а+1л:=0 для вс!ех а^А.

Проверьте, что s(x)6/x, где JX=U (g) Лх, /Схс 17(f) — аннулятор старшего вектора е (X) 6Е (X).

Указание. Воспользуйтесь равенством sa(x) = =га(х) при абД (см. 5.1.5), где

Sa (*) = ЛараХ, raM=qaX-K,a

с соответствующими знаменателями ла, ла.

ГЛАВА 6 ''

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПАРЫ

В этой главе исследуются структурные соотношения в алгебрах Микельсона над симметрическими парами (g, I). Полученные результаты используются для классификации простых «невырожденных» модулей категории 36. Дается, в частности, классификация (алгебраических) дискретных серий над симметрическими парами внутреннего типа.

Идея классификации-состоит в использовании некоторых экстремальных свойств 1-спектра (т. е. спектра сужения g|t) в категории 36. Оказывается (и это требует особого доказательства), что минимальные Ьтипы цбД+, определяемые относительно некоторой упорядоченности, содержатся в простых g-модулях категории 36 с единичной кратностью. Более того, в этих случаях алгебра Яц (см. 4.4.5) коммутативна.

Соответственно каждый модуль категории *36» определяется, с точностью до изоморфизма, своим минимальным t-типом |16Д+ и ассоциированным характером алгебры Яц.

Структурные матрицы

Пусть (g, f) —симметрическая пара, 66Autg — соответствующий автоморфизм Картана, д=1Фр— разложение Картана.

Фиксируем картановскую подалгебру f)oct. Согласно 1.6.2, ее централизатор t)=t)0®t>i, где 1)4=0, есть кар- тановская подалгебра алгебры д. Согласно 1.6.4, элементы вида

^,61)!. ?а=-^(До-0До) (1)

с весами Х< = 0, a06Ai (относительно ф0) образуют базис векторного пространства р. Соответственно

р^-Ф^Фр-ь(2)

где р± — линейная оболочка элементов е±а при абД^. Здесь At+сД, — подсистема положительных корней, определяемая относительно некоторой упорядоченности В ()о*.

В дальнейшем мы фиксируем некоторую полную (лексикографическую) упорядоченность в системе весов A^V- Иногда (см. 6.4.4) мы будем рассматривать также некоторую частичную упорядоченность в £0*.

Пусть S = S(g, I) — алгебра Микельсона, Z = =Z(g, f) —ее расширение, определенное в 4.1.3. Согласно 4.2.4, алгебра Z порождается над полем D^) элементами

Zi = phi, za=pea (aGAj.(3)

Аналогично вместо элементов (3) можно рассматривать полиномиальные образующие.' ■

Si=n.tzi, sa=naza (абД,),(4)

где л6 лаб(/(())—соответствующие левые знаменатели элементов (3).

Предложение. Элементы z(—ph( взаимно перестановочны1.

[Zi, z,] = 0 при Х< = Х) = О.(5)

Соответственно

[Si, Sj] = O при Xi = lj = O.(6)

Доказательство. Условимся считать, что е* = = et, Еа* = Е_а (относительно эрмитовой инволюции Ше- валле в алгебре д). При этом еа* = е_а. Согласно 4.2.2, имеем

zlzj~elpej~elejJr'^ie_a/aea,(7)

где «дбД^, 1а=1а*£ЩЮ, ~ означает сравнение mod N (см. 4.2.4).

Заметим, что N*=N. Применяя иволюцию Шевалле ко второй части соотношения (7), находим

z Zi — ejpet-ejet-Y^e-af^a, * .

откуда [z,, z,]~0, поскольку [е<, еД=О. Соответственно [zf, z,]=0 в алгебре Z.

Остается заметить, что для элементов нулевого веса соотношение (5) равносильно (6).

Для исследования структурных соотношений в общем виде нам будет удобно переобозначать элементы (1) в виде последовательности е^ (i=l,...,n) с неубывающими весами kt (t= 1,... , n).

Соответственно элементы (3), (4) записываются в виде Z,, s< (t = 1,..., n).

Перепишем структурные соотношения 4.2.5 (15) в матричной форме следующим образом. Пусть s+s_ (соответственно е_е+, s_s+) — формальный столбец с компонентами s,Sj при i^j (соответственно е,^, stSj при i^jy Согласно 4.2.4, имеем

s_s+~ae_e+, s+s_~be_e++d,(8)

где а, b — квадратные матрицы с элементами из U (6о), d — вектор-столбец, содержащий линейные члены соотношений 4.2.5 (15). Ввиду включения [р, p]ct, d есть вектор-столбец с коэффициентами из U(^0). Отсюда

s+s_=cs_s++d(9)

с квадратной матрицей c = bcrV'

При этом все соотношения (8), (9) однородны по весам, т. е.

а = @ах, b = Sbx, с = ©сх,(10)

АЛА

где ах, Ьх — сужения операторов а, b на компоненты е^, при Х,+Х3=Х, сх=Ьхах-\

Фиксируем корень абД0+. Производя в соотношениях (8), (9) предельный переход Пта, определенный в 3.4.8, заметим, что Итагг = г^=рае( в обозначениях 3.4.8. Соответственно пусть Si°*=Tx,tazC) где л,абС[^а] — левый знаменатель рациональной функции zf. Предельная форма соотношений (8) есть

s_as+a ~аае_е+, s+as_a,~bae_e+-\-da, (11) где s_as+“ (соответственно s+as_a•) — вектор-столбец с компонентами sfsf при i^/ (соответственно i^j), aa=limart, 6a=lima6. Аналогично

s+as_a = cas_a-s+a+da,(12)

где са = b*(aa)-1.

Напомним, что £а = £(/?„), где £6^*. Соответственно с”* есть рациональная матричная функция переменной £а.

Пусть £>0 — множество рациональных функций вида

/(g)=constn П. (13)

где njaeZ.

Теорема. Пусть (g, f)—симметрическая пара, с = = Фсх — структурная матрица (9). Тогда имеем det c^Do

для всех X. Кроме того,

det ск = const [~[ det с®,(14)

. аел0+

где ска— аналог ск в соотношениях (12). Для функции detcx“, записанной в виде (13) с показателями njaK, справедливо соотношение

2^=0.(15)

Доказательство. Рассмотрим, наряду с образующими sf, дуальные образующие s/ (см. 5.4.2). Согласно 5.4.4, имеем з/=з< (Х^О) при надлежащей нормировке знаменателей и также

s/ = 2Т'75/ пРи ^1=^=0'(16)

j

с квадратной матрицей т=(т^), для которой бе!тб£)0.

Пусть s_'s+' (соответственно s+'s_')—формальный вектор-столбец с компонентами svs,' при i^/ (соответственно i^j). Преобразование (16) индуцирует матричные соотношения

s-'s+' = as-s+, s+'s_' = ps+s_,(17)

где a, р — квадратные матрицы с элементами из D$o). С другой стороны, образующие s,' связаны структурными соотношениями

s_'s+' = cs+'s_'+d.(18)

При этом матрица с = ®с>, связана с матрицей о=®Ск

соотношением сх^ = с'х^ — X), где штрих означает поэлементную инволюцию в D $0), определенную в 5.3.10.■.

Обращая соотношение (18) и подставляя полученное выражение в (9), получаем коммутативную диаграмму

сs_s^^-s+s_а | |рs.'s/^s/sjс-1

Другими словами, с-1а=рс. Отсюда det с-det с = = det a/det р. Аналогично, для каждого X

detcx-detcx = detax/detPx,(19)

где ах, Рх — весовые компоненты матриц a = @ax>

р = Фрх.'

х

Заметим, что матрицы а, 0 допускают биградуировку по весам, так что

a = Ф a^y, p = ®pMV,(20)

H,vn,v

где a^ (соответственно puv) — сужение оператора а (соответственно р) на элементы SjS,- при Х< = ц, X,=v.

Из однократности корней в Ai+ (см. 1.6.4) следует, что матрицы auv, puv одномерны при ц,v=#0. Более того, из равенства $/ = ±$4 (Xt=0) следует avv=Pnv= 1 при ц, v=#0. Ясно также, что Оох=т®1 при Х>0, Рох = т®1 при Х<0. Аналогично, ахо=1®т при Х<0, 0хо=1®т при Х>0, где т(£)=т(£—X). Наконец, из предложения 6.1.2 следует аОо=Роо— симметрический квадрат матрицы т.

В результате получаем, что функция (14) содержится в Do. Более того, записывая detax, det рх в виде (13) с показателями n'/ax, n"jax соответственно, находим

'2injaX = ^injaX1J1

Заметим также, что detax€Z)0 для треугольной мат рицы Ох (см. 4.2.4). Поэтому detcx=№. где fx^o gn€ U (^о) — полином, не делящийся на биномы |а—

при абД0+, /6Z. Аналогично detcx=fxgx. Согласно (19), имеем gxg^Do, что возможно только при gx = const. В результате detc^Do. При этом из (19), (20) следует

2 п3«х — 2 п]ак 2 nj«K = О*

УУj

Применяя предельный переход lima, находим limodet сх = det сха. Отсюда следует (14).

Теорема доказана.

Замечание. Легко проверить, что при надлежащей нормировке знаменателей л, (г=1,..., п) все константы в (13), (14) при f=detcx можно выбрать равными единице.

Инверсия структурных матриц

Цель этого параграфа — исследование структурных соотношений 6.1.4 (9), записанных в инверсной форме:

s_s+=fs+s_+g;(1)

где положено f = c~\ g = —c-1d. Иногда нам будет удобно располагать коэффициенты матрицы f справа от элементов s+s_, что запишем символически в виде

s_s+ = s+s_/ + g-.(2)

Здесь матрица /=®/х связана с матрицей /=®/х _ хх

соотношением /xU) = /x(5 + ^)-'

Нас будут интересовать особенности, т. е. полюсы рациональных матричных функций /х(£),/х(£)> особенно в точках £6А+.

Из равенства fx=axbx-1 следует, что особенности матрицы fx содержатся среди особенностей числовой рациональной функции det bx.

Согласно теореме 6.1.5, исследование det bx сводится к исследованию сомножителей det b^, где абД0+.

Таким образом, исследование особенностей матрицы fx сводится к рассмотрению матричных преобразований Ьха, определенных в 6.1.4.

.Пусть ga — простая трехмерная алгебра Ли (типа Ai) с базисом Шевалле е-», И», е».■

Фиксируем базис пространства у, составленный из a-серий u=(u,)*='_6 с каноническим действием 2.1.1 (3).

Для каждой пары a-серий <о=(и, и) пусть е(а) — часть вектора е_е+, содержащая только мономы e,ej (i^j), где е,, е/ — элементы множества uU°- Согласно 4.2.4, преобразование Ька разбивается на блоки вида

s(to) =Z>^(to)e(to),(3)

где s(со) —часть вектора s+s_, содержащая только мономы SjSi такие, что etej содержится в е(а). Соответственно det Ь^“ есть произведение сомножителей detbi(to) для всевозможных пар to=(u, и), входящих в преобразование Ька. •

Таким образом, исследование особенностей матрицы fx сводится к рассмотрению блоков bx^toY

Классификация блоков. Условимся говорить, что ЬДа) —треугольный блок, если е(а) содержит лишь мономы вида щир где и^=и.

Остальные (т. е. нетреугольные блоки) назовем инверсными при и^и, вырожденными при и = и.

Условимся также говорить, что Ьк^—блок ранга miXm2, если он ассоциирован с парой to=(u, и), где и, и—a-серии длин mi^m2.

Выделение треугольных блоков связано с тем обстоятельством, что в этом случае матрица Ьх^ треугольна (см. 4.2.4). Соответственно det ЬДю) = det ^(ю), где dx(to')—диагональная часть матрицы ЬДа). ■

Инверсные и вырожденные блоки легко перечислить, если заметить, что пространство р содержит только a-серии длин ^5.

Более того, если отбросить исключительные случаи, то достаточно рассматривать a-серии длин ^3.

Начнем с рассмотрения инверсных и вырожденных блоков. Условимся использовать (при фиксированном а6Д0+) следующие сокращенные обозначения:

ф = 1;а+,ра, фя=ф + «, фп = фП (^>0).(4)

Положим также u= (и_, и», и+), и=(и_, и+) для «-серий длин 2, 3, так что векторы и± (соответственно и0, и±) имеют вес ±1 (соответственно 0, ±2) относительно ha.

Заметим, что блоки ранга ХХт треугольны. Поэтому в дальнейшем mi ^2..

Блоки ранга 2x2. Существует единственный вырожденный блок Do(2,2) ранга 2X2. В этом случае е(©) состоит из единственного элемента и_и+. Имеем

и+раи_~ и+и_+ф“'щщ+= (1 + ф-1) V—V++/i,'(5)

где A=[v+, У-]б^0. Соответствующее преобразование (3) получается из (5) умножением на ф. В результате

М®) =ф(1+ф-1) = фЬ

Имеется также инверсный блок /0(2,2) ранга 2X2, для которого е(©) состоит из элементов и_и+, и_и+ при и^=и. В этом случае

Ы®)=(£ ij' det^(w) = w

Блоки ранга 2X3. Возможны два инверсных блока, для которых е(со) состоит из следующих пар:

7+=(«ои+, у-и^, /_ = (и_и+, и_и0).

Обозначим соответствующие блоки символами /+(2,3). Рассуждая по аналогии с 6.2.5, получаем следующие результаты:

/ф 1 \-

/+(2,3). ^(ш)=- , detM®) = ф2ф1.

Ф1/

/_(2,3). 6х(о)) = ф1/'Ф 2 У det»x(to) = ^^№.

\1 Ф1 /

Блоки ранга 3x3. Возможны три вырожденных блока, для которых е(®) имеет следующий вид:

D+=(uou+), D_=(u_u0'), D0=(u-u+, u02).

Обозначим соответствующие блоки символами D<(3,3), где i = 0, ±. Имеем:

D+(3,3). det^(o))=T.

D _ (3, 3). det Мю) = Ф?Фз-

АО, 3). W-(X0 °)(Ф1Ф2+2 2фУ

\и ф!/ \ Z Ф1 /

ае16^(о))=ф12ф1ф3.

Возможны также три инверсных блока, для которых е(со) имеет следующий вид (здесь и= (и_, и0, ^+)):

/+=(uov+, VoM. 1-=<и_и0, и_и0),/о=(и_и+, UqVq, u_u+).

Обозначим соответствующие блоки символами //(3,3), где /=0, ±. Имеем:

/+(3,3). М®)^' ^, detMco)=№

Л (3,3). 6х(со) = ф2№ У det &х (со) = ф,ф2Фз-

/о(3, 3)./о(3, 3).М®) = ОМ®) = ОФ^ 2ф 2Ф^ 2ф 2Ф12 2ф,Ф12 2ф,\ 2 2ф ф,ф det bx (со) = Ф2Ф12Ф]2Ф2-\ 2 2ф ф,ф det bx (со) = Ф2Ф12Ф]2Ф2-

/о(3, 3).

/о(3, 3).

М®) = О

М®) = О

Ф^ 2ф 2

Ф^ 2ф 2

Ф12 2ф,

Ф12 2ф,

\ 2 2ф ф,ф det bx (со) = Ф2Ф12Ф]2Ф2-

\ 2 2ф ф,ф det bx (со) = Ф2Ф12Ф]2Ф2-

Исключительные блоки. Отметим исключительные случаи, когда в пространстве у содержатся a-серии длины 4.

Если (g, I) — пара внутреннего типа, то это возможно лишь в том случае, когда (g, t) содержит компоненту типа (G2, Л1ХЛ1).

Если (g, I) —бикомплексная пара, то это возможно лишь в том случае, когда (g, I) содержит компоненту типа (G2X G2, G2).

Для пар внешнего типа возможны также а-серии длины 5. Например, для пары (Л2„, В„) имеются блоки рангов 3X5, 5x5.

Анализ особенностей. Условимся говорить, что матрица fx имеет особенность по корню абД0+, если det6>.(co) при некотором со обращается в нуль в точке £6А+, с добавочным условием £—Х6Л+.

Аналогично для матрицы М£)=М£+.М соответствующий блок бДсо) обращается в нуль в точке £6Л+ с добавочным условием ^+А.6Л+.

В частности, пусть Tn(m1, т2)—треугольный блок ранга msXm2 с суммарным весом п=2(Х, а)/(а, а). Согласно 6.2.4, det К (со) есть произведение сомножителей вида ЛцЛ, для элементов s^ (i^j), входящих в преобразование (3), где д</(^)=л1#(^+Л/).

Заметим, что лД^^О при ^6Л+. Поэтому достаточно рассматривать сомножители вида

.£а+р«+^«+* (6=1,2,...),(6)

входящие в л,ь где Xja=2(X,, a)/(a, а). При этом добавочное условие £+ХбД+ означает, что £а+Ха>0.

Пусть ть т2^2. В этом случае |Xja|^l для всех a, det бД®)^ на Л+.

Пусть m.^ m2^3. В этом случае [Xja|^2 для всех а. Сомножитель (6) может обратиться в нуль при ^«=0, если ра=1 (т. е. а — простой корень), Xja=—2, к=\. При этом из условия Xa=Xict+Xja^0 следует Xia=2. Поэтому 6Х(®) —блок типа То (3,3).

Пусть mb m2^4. В этом случае |Xja|^3 для всех а. Повторяя предыдущие рассуждения, получаем два сингулярных блока типов Т0(4, 4), Т_ДЗ, 4).

Аналогично рассматривается случай т2=5.

Перейдем к рассмотрению инверсных и вырожденных блоков. Согласно 6.2.5—6.2.7, det 6х(со) содержит множитель <р1=^а+ра—1 в следующих случаях:

/0(2, 2), /+(2, 3), РДЗ, 3), /ДЗ, 3), /Д2, 3).

При этом det 5х(а>)=0 лишь при ga = 0 (т. е. на границе камеры Вейля С+) при условии, что ра=1 (т. е. а — простой корень)._.

Аналогично, det ЬДсо) содержит множитель ср2 для блоков типа I- (2, 3), /0(3, 3). В этих случаях det6x(to)=0 при £а = 0 (р«=2) либо при £а=1 (Ра=1)- Наконец, det 6х(со) содержит множитель <р3 для блоков типа /-(3, ЗУ. Равенство detbx(co)=0 возможно лишь при ga=0, 1, 2 (соответственно ра=3, 2, 1).

Регулярные веса. Условимся говорить, что X — регулярный вес, если существуют дизъюнктные множества I, /с(1,...,п) такие, что разложение Х;+ +Х,-=Х, где i<j, выполняется только при 161, j6j.

Очевидно, в этом случае матрица ЬК треугольна. Действительно (см. 6.1.3), преобразование Ьк получается перенормировкой из разложения вида

6,рв i ~ С jCi-\-^^ f I jhTCТСь^^

'r>k

(с коэффициентами из Р((>о)), где i, k6I, j, гб]. При этом разложение (7) рекуррентно по весам (Xi<XA и также ХГ<Х,).

Предло ж е н и е. Пусть X — регулярный вес. Тогда для каждой пары 161, j6J и каждого вектора w06V+ (V — произвольный fi-модуль) выполняется соотношение вида-

SiSiT)0='2iclJi,rsrsli'Oo-Vclj'Oo(8)

r>k

с коэффициентами cth cijhr6Q.

Действительно, левая часть может быть разложена по элементам вида pe^e^Vo, где i'61, j'6J. Для приведения этих элементов к виду (8) достаточно повторить рассуждения 4.3.8 (с использованием дизъюнктности множеств I, J).

Пары внутреннего типа

Пусть (д, I) —пара внутреннего типа. В этом случае ^=0, т. е. алгебры g, I имеют общую картанов- скую подалгебру f)=f)o.

Соответственно алгебра Z порождается образующими sa (абД,).

Согласно 1.6.6 равенство вида а—р=у + б для корней а, р, у, 66Д,+ невозможно. Поэтому структурные соотношения алгебры Z распадаются на следующие две подсистемы:

SaSp = ^у^бУаруб (® < Р)>(1)

Т>6

$- aSp = J^ SyS— б^аРуб -j-6ag^ra(2)

Т,б

с коэффициентами из О (6), где корни а, р, у, б положительны в равенстве (2) и имеют одинаковый знак в равенстве (1), б^— символ Кронекера.

Соотношения (1) и (2) мы называем соответственно структурными соотношениями 1-го и 2-го рода.

Напомним также, что матрицы f, g градуированы по весам: f=®fx, g=®gx.

Напомним (см. 1.6.5), что система простых корней ЛосДо подалгебры t получается из системы простых корней ЛсД алгебры g вычеркиванием некоторых корней и добавлением некоторой новой подсистемы Л.= {ei,..., ее} (ассоциированной с простыми подалгебрами II рода).

Условимся говорить, что А— сингулярный вес, если он не регулярен в смысле 6.2.10.

■. Теорема. Пусть (g, I) — симметрическая пара внутреннего типа, А — сингулярный вес. В этом случае матрица gK в (2) не имеет особенностей {см. 6.2.9) в камере Вейля С+.

Более того, матрица gK может иметь на границе камеры С+ только особенности типа /0 (2, 2) по дополнительным корням ебЛ*.

Доказательство излагается в 6.3.3—6.3.5.

Исключение инверсных блоков. Покажем, что матрица gK не имеет особенностей, отвечающих инверсным блокам, по корням ^Л..

Случай ре=1. В этом случае ебЛ0\Л.— простой корень алгебры д. Инверсные блоки 6.2.5—6.2.8 могут возникнуть лишь в том случае, когда р—е = —а при некоторых а, p6A!+. Но тогда е = а + р, что невозможно.

Случай ре = 2, 3. Условимся считать, не ограничивая общности, что g— простая алгебра Ли. Согласно 6.2.9, достаточно рассматривать инверсные блоки ранга М|ХЩ2, где гиг^З. Очевидно, в этом случае е — короткий корень (т. е. HellcHyll для е-серии длины ^3 со старшим корнем у).

Полагая (как и в предыдущем случае) е = а + р, где a, рбД!+, заметим, что е+а, е + р не могут быть корнями, согласно 1.6.6. Следовательно, а, р— старшие корни соответствующих серий. Поэтому (а, а) ^ (е, е), (Р, Р)^(е, е) со строгим неравенством в одном из этих случаев.

Напомним также, что Ai+ содержит лишь один простой корень системы А. Поэтому либо ра^2, либо рр^ ^2. Из равенства

(a, ay , (р. Р)рЕ (8. 8) Р“Че, 8) р₽

находим ре>3 (т. е. ре^4).

Таким образом, все инверсные блоки с корнями е$Л* исключаются из рассмотрения.

В то же время, если ебЛ., то е не может быть коротким корнем (см. 1.6.5). Поэтому остается лишь случай /о (2, 2), в котором все корни имеют одинаковую длину.

Исключение вырожденных блоков. Согласно 6.2.5—6.2.8, вырожденные блоки могут возник-

нуть лишь в том случае, когда а—0 = 2у при некоторых а, р, y€Ai+- .

Согласно 1.6.6 (при 7 = 6) такое соотношение невозможно. Поэтому все вырожденные блоки исключаются из рассмотрения.

Исключение треугольных блоков. Согласно 6.2.9, нас интересуют только блоки типа То (3, 3), а также исключительные блоки для пары (G2, Д1ХЛ0.

Напомним, что каждый блок То (3, 3) ассоциирован с некоторой парой е-серий

а—е, а, аД-е, Р—е, Р, Р+,е, (3) где а, р, е — короткие корни, а±е, р±е — длинные корни.

При этом, согласно 6.2.9, е — простой короткий корень. В частности, ебЛ0\Л,.

Отбрасывая корневые системы, у которых все корни имеют одинаковую длину, приходим к рассмотрению следующих пар:

(в„, ^x^n-j, (сп, с,хсп_а,

а также исключительных пар (F4, ^4), (Л, Л1ХС3), (G2, Л]XЛ]).

Случай (5„, DleXBn-i.Y Пусть е„ е,±еу (К Z < <у<п) — система положительных корней алгебры Вп. Подсистема Ао+ для подалгебры Di? X Bn-i0 состоит из указанных корней, для которых i^=i0.

Соответственно Ai+ состоит из корней е,, е<±е/, для которых Z^Z0</. Подсистема Ао содержит единственный короткий корень е = ел.

Полагая в (3) е = еп, находим, что е-серии вида (3) возможны только при а=±е,, 0 = ±е*, где Z, k^io. Соответственно Х=±е(±е*.

Очевидно, последнее разложение (в сумму двух коротких корней) единственно. Но в этом случае X — регулярный вес, что исключается условиями теоремы.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Теорема доказана.

Фиксируем полную (лексикографическую) упорядоченность в пространстве RAc()* (так что а>0 при абА+). '

Условимся говорить, что простой g-модуль Уесть модуль дискретного типа, если он обладает минимальным гипом р, т. е. . -

Ф^, где ^=^0, (4)

причем выполняется следующее условие регулярности:

(р, е) ^0 при ебЛ,.

Теорема. Пусть (g, f) — симметрическая пара внутреннего типа. Тогда для каждого рбЛ+ с условием (») существует единственный, с точностью до изоморфизма, модуль дискретного типа Д(р) с минимальным Ттипом р.

Доказательство. Пусть V—модуль дискретного типа с минимальным t-типом р. Заметим (см. 4.4.2), что V есть модуль категории 36. Следовательно, V есть модуль категории s36№. Поэтому модуль V определяется, с точностью до изоморфизма (см. 4.4.6), ассоциированным действием алгебры 21ц в пространстве V/.

Согласно 4.3.8, Уц+ есть линейная оболочка элементов вида ■

T) = Sa,. .. з^-Оо. (5)

где aiC ... ^a*, ai+ ... +a* = 0. Покажем, что хбСи0+70и0, (6)

где Z0=ZnS0, I — левый идеал алгебры S, порожденный элементами s-a при абД0+.

Соответственно из минимальности f-типа р следует 1оио = О, т. е. Уц+ = Си0.

Пусть i — наибольший из индексов 1,..., ^, для которых а(<0 (очевидно, i=^ky Положим Х=а,+ ... . . . +аА, р' = а<+2+.. .+аь+ц. Если и^О, то р'бА+.

(а) Пусть X—регулярный вес. Согласно предложению 6.2.10, можно заменить произведение $azSaz+1 линейной комбинацией произведений svS-6, где 4, б^Д]*, с добавлением слагаемых вида (5) с длиной мономов, равной А —1. Отсюда заключаем (индукцией по i, k), что вектор и удовлетворяет соотношению (6).

(Р) Пусть X — сингулярный вес. Согласно 1.6.6 имеем (а,-, е)^0 для каждого ебЛ., Поэтому р' — невырожденный вес. Используя теорему 6.3.2, заключаем, что структурная матрица gx не имеет особенностей в

точке р. Отсюда, применяя структурное соотношение (2), приходим снова к соотношению (6).

Таким образом, д1шУц=1. Кроме того, действие алгебры Яц в пространстве Уц определяется действием алгебры £/(f)): (А —р(А))У+ = 0 при Ag^. Следовательно, УжО(р), где /)(р) определяется конструктивно при доказательстве теоремы 4.4.6.

Теорема доказана.

Условимся говорить, что модуль дискретного типа есть модуль дискретной серии, если его минимальный t-тип невырожден, т. е. (р, е)=#0 для всех ебЛ0.

Выделение дискретной серии связано с теорией представлений вещественных редуктивных групп Ли. Каждый модуль дискретной серии допускает «интегрирование» до неприводимого унитарного G-модуля, где G — вещественная связная линейная группа Ли такая, что g0=LieG, где g = go®igo (см. [96]).

Определение дискретной серии может быть обобщено на произвольные симметрические пары (g, I) следующим образом.

Условимся говорить, что g-модуль V категории ^^ есть модуль дискретной серии, если (а) (р, е)=#0 для всех ебЛо, (Ь) все модули категории ^ц изоморфны между собой.

Легко проверить (см. по этому поводу 6.4.6), что алгебра g обладает модулями дискретной серии лишь в том случае, когда пара (g, I)—внутреннего типа.

Бикомплексные пары

Мы будем рассматривать бикомплексные пары to(t) = (g, I), где t — комплексная полупростая алгебра Ли, отождествляемая с диагональю алгебры g=lxt. _

Напомним, что р состоит из всевозможных пар х = = (х, —х), где x6L Соответственно алгебра Z = = Z(g, t) порождается элементами

5а~5^ва^, ta = S(ha),

где еа (ссбД), htt (абЛ) —канонические базисные элементы алгебры L

Соотношения коммутации в алгебре Z условимся записывать в следующем виде:

SaSp—^j 5у5о^ар^б (®<Р)>(1)

Т>6

^Ai = 2 svs<^H~ Wp (0-(2)

Y > 6-'

s—aSp = ^j SyS^ha^y^ -|- 6apAa (Z),(3)

V>6

S-a^P — 5у5б^аруД -|- ^aP (0 S—a. (4)

Здесь a, P>0 в (2), (3), (4); a, p — одинакового знака в (1): ga^Wi ha(t), feaP(<)—линейные комбинации (над D^)) элементов te (ебЛ).

Заметим также, что суммирование в (3), (4) ограничено соответственно условиями у + 6 = ₽, у+6 = —а.

В.дальнейшем мы называем (1),..., (4) соотношениями 1-го, .. . , 4-го рода.

Анализ особенностей. Согласно общей схеме § 2, соотношения (1),..., (4) получаются инверсией из основных структурных соотношений типа 6.1.3 (9).

Инверсные блоки. Дословное повторение рассуждений 6.3.3 позволяет исключить из рассмотрения все инверсные блоки, для которых е(со) содержит лишь мономы еаер (а, ₽6А).

Остается рассмотреть инверсные блоки, в которых одна из a-серий со= (ы, и) имеет вид и=(е_л, ha, е^ при некотором а,6Д+, в то время как ы=и (вырожденный случай), либо и содержит элементы eP+fta при некотором рбД. Для анализа особенностей в этих случаях достаточно ограничиться подалгеброй ранга 2, для которой система корней порождается корнями а, р.

Положим 1=Л2, с простыми корнями а<р (относительно полной упорядоченности в Д). В этом случае возможны лишь инверсные блоки ранга 2x3, по корням р, у=а+р, определяемые следующей таблицей. .

Алгебра AiXAi

блок

корень

элементы s.$+

/+(2, 3) /-(2, 3)

U (2, 3) /-(2, 3)

Р (Ре=1)

t (Рт=2) >>

SasP, iesT (e=a, g) S-pS-a, S-vtg

S-csT, tes6 (e, 6 = a, p)

Инверсный блок /+(2, 3) по корню р встречается в соотношениях 1-го и 2-го рода, имеющих вид

5aSp = SpSa/+(^vai + ^v^)>(5)

Ц = 5^е + (<.Ме + *йМ'(6)

где e = a или р, с коэффициентами из D^), имеющими полюс при £р = 0 (см. 6.2.9).

Для разрешения особенностей в этом случае изменим полную упорядоченность в А, полагая а>р. Соответствующие формулы имеют полюс при £а=0.

В особом случае ^ = ^ = 0 имеем также ^ = 0. Легко проверить (см. 6.6.5, 6.6.6), что в этом случае соотношения (5), (6) принимают следующий вид:

(7)(7)^e^^Vg—^e^aSpUg ^e5pSaVg,

(7)

(7)

где

uoeVt*, с„ d.#=0.

Аналогично рассматривается инверсный блок /_(2, 3) по корню р.

Инверсный блок /+(2, 3) по корню у исключается из рассмотрения, поскольку рт = 2.

Инверсный блок /-(2, 3) по корню у исключается дополнительным условием ^Ч-Х^О (см. 6.2.9). Действительно, в этом случае ^=0, Х=—е, откуда Хт=—1.

Положим k = B2, с простыми корнями а, р, где а — короткий корень ((р, р)=2(а, а)). В этом случае возможны лишь инверсные блоки ранга 3X3 по корням

Y^a+p, 6=2a+p,определяемые следующей таблицей.

\

Алгебра Bt

хв.

блок

корень

элементы s_s+

/-(3, 3) /о(3, 3)

/+(3. 3)

/-(3,3) >>

- -г <Рт=3) > >

6 *рд=2) >>

>»

s_Tsa, s_pt6 (e = a, P)

5—fSp, S— a^e> S—flSy S_pSy, tgSa, S—fSfl S—flSa, S—y^e (e=a, p)

S—ySp, tgSa

Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что блоки /0(3, 3), /+(3,3) регулярны, блоки /-(3,3) исключаются условием Л,+|,>0, где е=у, 6.

Случай l=G2 предоставляется читателю в качестве упражнения.

Заметим, что при переходе от алгебр ранга 2 к общему случаю (т. е. к подалгебрам ранга 2 в алгебре I) условия ра=рр=1 заменяются условиями ра, рр^1. При этом число сингулярностей может только уменьшиться.

Таким образом, все инверсные блоки исключаются из рассмотрения, за исключением блоков типа /±(2, 3) по простым корням а, р в подалгебрах типа Д2.

Вырожденные блоки. По аналогии _с 6.3.4, исключаются вырожденные блоки с мономами еаер.

Остаются вырожденные блоки типа £)0(3, 3), для которых е((о) = (е_аеа, haV Такие блоки встречаются лишь в соотношениях 3-го рода при Х=0:

S— aS<x — SpS—р/^ар "Ь ^а (/) (8)

Р>0

с коэффициентами из /)(!)). Согласно 6.2.7, соотношения (8) имеют (неустранимые) особенности по корням еС4 при £е=0 (т. е. на границе камеры Вейля С+).

Треугольные блоки. По аналогии с 6.3.5, проверяем, что все треугольные блоки либо регулярны, либо соответствуют регулярным весам, т. е. не вносят особенностей в структурные соотношения (1) — (4).

Условимся говорить, что цбЛ+ есть минимальный 1-тип ^-модуля V (0=1X0, если ^#=0, Vg_a=0 для всех абД+.

Используя полную (лексикографическую) ' упорядоченность в Л+, заметим, что элементы Х,6Д+ неотрица-

тельны относительно этой упорядоченности. Отсюда следует, что каждый g-модуль V обладает наименьшим 1-типом (относительно полной упорядоченности в Л+). Но тогда этот модуль обладает и минимальным 1-типом в смысле исходного определения.

Условимся говорить, что простой g-модуль V категории 36 есть модуль регулярного типа, если его минимальный !-тип регулярен, т. е. (ц, а)=Л0 для всех абЛ.

Фиксируем ряд Д+=(а1,. . . , ат}, неубывающий относительно частичной упорядоченности 1.3.9, с добавочным условием; Л = {аь . . . , а„}, где п=гапкД (т. е. первые п корней системы Д+ суть простые корни).

Теорема. Пусть V — простой ^Хй-людуль регулярного типа с минимальным t-типом ц. Тогда пространство V+ натянуто на элементы вида

43 = 5^. . .эга\/^чзй, (9)

где O=^yo6VM+ {фиксированный вектор), Д+= ={а1(. .., ат} — неубывающий ряд, f(t) —моном, от элементов t, (ебЛ).

Доказательство. Начнем со стандартного представления элементов убУх+ (Х6Л+) в виде u = su0, где s— моном от элементов sa, t* (абД, ебЛ). Пусть /(s) —длина этого монома. При /(s) = l утверждение теоремы очевидно. В общем случае — индукция по /(s).

Заменяя /(s) на /(s) + l, положим u=xsv», где x=sa или te, s определяется формулой (9).

Случай x=sa(a6A+). Достаточно положить s=sps', где l{s')=l{s)—1. Если а<р, следует применить структурное соотношение (1). При этом а Су (см. 4.2.4), поэтому возможна (убывающая) индукция по а6Д+.

Согласно 6.4.3, соотношение (1) имеет особенность ПРИ Вр—О, если рбЛ. В этом случае моном s содержит только корни ебЛ. Возможность приведения sas к виду (9) следует из 6.6.7.

Случай x=ta (абЛ). Согласно 6.4.3, применение структурных соотношений (2) всегда возможно. Дальнейшее приведение к виду (9) следует пункту (а).

Случай x=s-a (а6Д+). Согласно 6.4.3, соотношения (3) регулярны, (4) имеют только устранимые особенности при а=лр. Дальнейшее приведение — индукция по корням у>—а, с применением (а) и (Ь).

Остается рассмотреть векторы вида u=s_asau1, где u1 = sanSe^o, о^О, а#=0. Предположим, что п^О. Если вес вектора ut лежит на границе камеры Вейля С+, то дальнейшее применение sa выводит за границу камеры С+, т. е. 5аи4=0. Отбрасывая этот тривиальный случай, применяем структурное соотношение (8).

Особый случай п=0 рассмотрен в 6.6.8.

Замечание. Пусть (•, •)—каноническая форма в VXV', определенная в 4.3.3. Заметим, что

(рхи0, щ) = (ц0, рх*и^ '

для каждой пары u06V+, ut6V'+ и каждого хЫДй) (х-*х* —эрмитова инволюция Шевалле). Отсюда

(s(x)u0, щ) =const(u0, s(x*)u4)(10)

для каждой пары весовых векторов u06V+, Ui6V'+ и каждого весового элемента хб[/(д).

Используя правило (10), заметим, что вектор и= =su06VV однозначно определяется набором чисел (щщ), где Uj пробегает К/+. Поэтому случай (с) сводится к случаю (Ь) посредством инволюции Шевалле.

Следствие. Пространство Ец+ в условиях теоремы 6.4.4 совпадает с Тп0, где Т — алгебра с единицей, порожденная элемента, и te (ебД).

Замечание. Алгебра ; порождается также дуальными образующими t„'^Цк^, где ебД. Действительно, соотношения 6.1.5 (16) между образующими t„ t,' не имеют полюсов в регулярных точках ц6Л+.

Теорема. Каждый простой %Х%"м°дуль регулярного типа с минимальным t-типом ц определяется, с точностью до изоморфизма, элементом цбЛ+ и вектором X6I)* таким, что

./аи=Хаи при абД, ибУ/,

где Ха=2(Х, а)/(а, а).

Доказательство. Согласно следствию 6.4.5, дей- ствйе алгебры 91и в пространстве Уц+ порождается действием алгебры Т. Согласно 6.1.2, алгебра Т коммутативна. Поэтому модуль V определяется, с точностью до изоморфизма, своим минимальным t-типом ц и характером х алгебры Т, действующим в Уц+:

/и=х(^)и при №Т, ибУ/.

При этом характер % однозначно определяется своими значениями на образующих /а, т. е. числами Ха=х(У, где абЛ. -

Теорема доказана. ■

Основные серии

Отметим общую схему функциональной реализации простых дХй-модулей, определенных в теореме 6.4.6.

Напомним (см. 1.5.2), что бикомплексная пара Ю(0) = (0Х0, 0) есть комплексификация вещественной пары (0о, to), где 0О~0 (над полем R), f0 — фиксированная компактная форма алгебры д0. -

Соответственно с парой ю(0) ассоциируется пара вещественных групп Ли (G, К), где G—■ односвязная связная группа Ли с алгеброй Ли go = Lie G, К — ее подгруппа с алгеброй Ли t0- При этом К связна, односвязна и максимальна среди компактных подгрупп группы G.

В то же время группа G имеет комплексную структуру, т. е. есть комплексная группа Ли с алгеброй Ли 0=Lie G.

Группа G содержит картановскую подгруппу Н=Н0Н4» Н0ХН1, где /71 = ехр ^я» R" (односвязная абелева группа Ли), Я0=ехр ^0 («-мерный тор). Здесь n=rank 0.

Заметим, что каждый характер (т. е. непрерывное одномерное представление) группы Н имеет вид

Хг»(ехр (*+*/)) =ехр т(х) ехр а(у), (1)

для каждой пары x6f)0, t/б^, где аб^*, тбЛ (целочисленный вектор в 1>о*) -

Продолжим характер (1) до характера борелевской группы B=HN, где N=exp п— нильпотентная подалгебра в 0X0, натянутая на пары вида (еа, е_е) при а, Р6А+.

При этом полагаем Хта(«) —1 для всех n^N.

Определение. Для каждой пары векторов тбЛ, об)),* пусть 8„— векторное пространство всех функций f6C"(G), удовлетворяющих условию

f(^)=Xr.a-P Wf((/) (2)

для каждой пары хбВ, g6G. Пространство ^т0 наделяется структурой (левого) G-модуля относительно правого регулярного представления в C“(G).

Соответствующая серия представлений (лТа, ^и) называется основной серией представлений группы G.

Ввиду разложения Ивасавы (см. 1.6.7), операция сужения на подгруппу К определяет изоморфизм векторного пространства с пространством функций ё^аС" (К), удовлетворяющих условию

/(^)=хЛ^)П1/)(3)

для каждой пары хбН0, дбК, где %т(ехр х) =ехр т(х) (характер группы Но).

При этом ^t^^^ наделяется структурой G-модуля, изоморфного ^и.

Применяя разложение Фурье по матричным элементам группы К (см. [11, 12]), находим, что ^т есть топологическая сумма подпространств Пк^Е^, где ПкМ —кратность веса т в представлении Е(Х) №Л+). Подпространство

X„=®nx^E^)(4)

(алгебраическая сумма, т. е. подпространство всех конечных рядов Фурье) совпадает с подпространством всех 7(-финитных векторов (см. 4.7.1) G-модуля ^т~

При этом Хтя инвариантно относительно алгебры 0О —Lie G. Соответственно Х„ есть 0Х0-модуль категории 36. Ввиду конечности кратностей (4), Хтя есть также модуль Хариш-Чандры для пары ю(д).

В частности, Лц(т) = 1, где р=|т| —доминантный образ вектора тбА относительно группы Вейля W.

При этом р=|т| есть минимальный t-тип 0Х0-моду- ля (4).

В пространстве 8 ^, сопряженном к 8 w определяется дуальное действие группы G.

В частности, пусть W-8-J — сужение 6-функции 66 6(G°°(G))/ на подпространство 8та. Легко проверить, исходя из определения (2), что 6™ есть старший вектор относительно борелевской подалгебры Ь=1)©п:

1пбта = О,(5)

(х —/та(х))бта = 0 для всех х(<1),(6)

где /„— дифференциал характера хГ|Я-р.

При этом, как легко проверить, <6„, о0>^0, где иое 6УЦ+— базисный вектор одномерного пространства УД при р= ]т| .

Как известно (см., например, [12]), модуль Х„ обладает конечным композиционным рядом. В частности, ввиду однократности минимального f-типа ц=|т|, композиционный ряд Х„ содержит единственную простую компоненту У„ с минимальным f-типом ц.

Теорема. Каждый простой ^><^-модуль регулярного типа с минимальным 1-типом ц изоморфен модулю УЦ1) при некотором цб^о*.

Доказательство. Согласно 6.4.6, достаточно проверить, что семейство модулей УД, где аб50*, обладает «достаточным» запасом характеров алгебры 91ц.

Ввиду регулярности веса цб^о*, можно считать, что алгебра 91ц порождается элементами xa—qha (абАу

в^в—Др(7)

Р>0

с коэффициентами с^ из 0(5) (не имеющими полюсов в точке ц). Ввиду однократности f-типа р, имеем

xaUo=XaUo при ссбА,(8)

где ио — базисный вектор УД. При этом

Ха=<6„, хии0> = <Ха'6™, и0>,(9)

где ха' — операто , сопряженный к ха относительно формы <•, • >.

Заметим, что es=es+«s, где ns6n. Поэтому из равенств (5), (6), (9) находим

■‘ка = ааОа + Ьа,(10)

с константами аа, ЬабС, причем ОаД=0. Поэтому для каждого набора Ха (абД) существует набор оа (абЛ), удовлетворяющий (10).

Отсюда следует, что каждый модуль V категории а5^ц изоморфен одному из модулей УД.

Замечание. Известно (см. [12]), что УД,ЮО« «¥„ при тб!У. При этом существует тб!У, для которого УД11М есть подмодуль в Xwt(Wq,

Поэтому каждый простой дХб-модуль регулярного типа изоморфен одному и?, подмодулей У„ при |т|=ц.

Известно также [12], что в точках общего положения а6[>* модуль Хто прост, т. е. Хто= Y„.

Дополнения, упражнения

Определение основной серии естественно обобщается на произвольную вещественную связную линейную редуктивную группу Ли (см., например, [22, 49]). "

При этом роль борелевской подгруппы B=HN играет минимальная параболическая подгруппа P=MAN (см., например, [22]).

Существует также чисто алгебраическое определение основных серий. См., например, [10, 96].

Как показано Хариш-Чандрой [10, 80], каждый простой g-модуль Хариш-Чандры (относительно пары (0, I)) с некоторым условием целочисленности 1-типов изоморфен одному из факторов композиционного ряда, определяемого представлениями основной серии. Дальнейшее уточнение этого результата приводит к классификации Ленглендса—Вогана [6, 17, 39].

Покажем на примере алгебры Аь как можно освободиться от условия регулярности минимального 1-типа в теореме 6.5.6.

Пусть 0=Аь В этом случае векторы Хб[>* отождествляются с числами Х=Х(/га), где А = {а}. Вектор % регулярен при %=^0 (т. е. Х(/га)^О).

Пусть V— простой 0Х0-модуль с минимальным 1-типом ц = 0, и пусть Е—постой двумерный 0Х0-модуль, тривиальный на подалгебре 0X0. Используя правило 3.7.9, находим

V<8>£=V1®V2, (1)

где V< (t= 1, 2)—компоненты V®E, отвечающие центральным характерам xi^X2-

Из несложного вычисления этих характеров следует, что каждый из модулей Vt (i=l, 2) есть конечный композиционный ряд, содержащий лишь факторы регулярного типа. Соответственно то же верно для модуля (1), причем, согласно теореме 6.5.6, все факторы этого модуля изоморфны У™ при некоторых т, о.

Умножая равенство (1) на дуальный модуль Е', напомним (см. 3.7.10), что Е®Е'=Е6®Е^ где Ее— одномерный g-модуль с тривиальным представлением (дДр^

=0). Соответственно произведение V®E®E' содержит компоненту V. .

С другой стороны, Y„®E' содержит, как легко проверить, лишь факторы вида УХ при некоторых ц, v. Поэтому V« yMV при некоторых ц, v.

В общем случае подобные рассуждения позволяют показать, что теорема 6.4.6 справедлива для произвольных простых дХб-модулей категории 36.

Замечание. Согласно теореме 6.5.6, каждый простой дХ0-модуль категории 36 есть модуль Хариш-Чанд- ры. -

В действительности это верно для всех симметрических пар (g,t).

Пусть G— вещественная связная линейная ре- дуктивная группа Ли внутреннего типа.

Описание дискретных серий группы G было впервые получено Хариш-Чандрой путем классификации соответствующих характеров (центральных обобщенных функций на группе G). В работах [90, 96] развит алгебраический подход к описанию дискретных серий. Существует также обширная литература по функциональным реализациям представлений дискретной серии. См., например, [32, 90, 91].

Исследование дискретных серий с использованием алгебр Микельсона было предпринято в работе [86]. Результаты этой работы представляют собой частный случай теоремы 6.4.6.

В [87] рассматриваются также аналоги дискретных серий для некоторых классических супералгебр Ли.

Общий метод классификации простых д-моду- лей категории 36 с использованием алгебр Микельсона намечен в [53, 54]. Этот метод требует более тонкой техники, связанной с рассмотрением левых идеалов алгебры 91и, аннулирующих УД где ц—минимальный t-тип g-модуля V.

Интересно было бы использовать алгебры Микельсона для исследования унитарных модулей Хариш-Чанд- ры. Модуль V называется унитарным, если V«V', где V' — дуальный модуль. Относительно проблемы классификации простых унитарных модулей Хариш-Чандры см., например, [6].

Упражнение. Проверьте, что соотношение 6.4.2 (6) принимает вид 6.4.2 (7) при ^« = ^=0 для алгебры Аг. ■

Упражнение. Проверьте аналог соотношения 6.4.2 (7) для произвольной* подсистемы АосА, имеющей тип Л2.

Упражнение. Воспользуемся обозначениями 6.4.4, и пусть моном s = sp1...sp& содержит только элементы рг€Л. Проверьте, что для каждого а^Л произведение SaS^o разлагается по векторам 6.4.4 (9).

Указание. Достаточно рассмотреть корневые системы типа Л3, В3, Сз, D^ с разрешением особенностей по правилам 6.4.2.

Упражнение. Проверьте, что векторы вида и= (s-asa)s6s'uo при а^=р (случай п = 0 в обозначениях 6.4.4) разлагаются по векторам вида 6.4.4 (9).

Указание. Достаточно рассмотреть корневые системы, определенные в 6.6.7.

ГЛАВА 7

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

В этой главе собраны отдельные примеры для иллюстрации общих методов, изложенных в главах 3, 4, 5. Рассматриваются также обобщения этих методов на некоторые супералгебры Ли.

В § 1 используются операторы ра, введенные в 3.2.12, в § 2 — операторы q = q-. В § 3, 5 рассматриваются некоторые аналоги алгебр Микельсона в (супер)алгебрах Вейля Лп, Апк.

Особые векторы модулей Верма

Пусть g — полупростая конечномерная алгебра Ли над полем С, 1)— ее картановская подалгебра, М(Х)— модуль Верма со старшим весом X—р (см. 2.2.2).

Особым вектором модуля М (X) называется всякий экстремальный вектор 0#=ибМ(Х), весовой относительно 6- Согласно 2.2.8, описание особых векторов веса ц—р равносильно описанию ненулевых гомоморфизмов М(ц)->М(Х).

Как следует из теории модулей Верма ([10, 35], см. также 5.6.6), каждый такой гомоморфизм есть композиция вложений

М (X—na)->M (X), (1)

определенных при а6Д+, Ха=п = 0, 1,... Каждое вложение (1) однократно, т. е. связано с особым вектором Ua,n6Af(X) веса X—па—р, определенным с точностью до умножения на ненулевую константу. При этом

Vam = 9a,n Ik—. (2)

где 6а,п — однозначно определенный весовой элемент алгебры П(п_).■

Ниже будут предложены различные варианты явного описания особых векторов иа,п.

Теорема. Для каждого нормального порядка А+ = (т 1,..., 7m} имеет место равенство

0T,n = const •pT1--pT/e_Tn,(3)

где 7 = 73+1, const — ненулевая константа, ра=Р<Дра'), в обозначениях 3.2.12.

Замечание. Оператор Pw=Pn‘"Pij есть начальный отрезок экстремального проектора р (см. 3.3.2), отвечающий начальному отрезку АДА+.

Прежде чем доказывать теорему, дадим иное описание элементов 6а,п.

Для каждого x6U^ мы будем использовать обозначение 8ах = ка,х-РаХ, где ла,х— левый знаменатель рациональной функции рах.

к

В дальнейшем соотношение х=у для элементов х, уб 617(g) означает сравнение по модулю левого . идеала АсЙ(д), определенного в 2.2.2.

Лемма. Пусть щ= (ad е-а^Уо (О^^т)—базис простого ^-модуля Е{т) со старшим вектором v06U(q). Тогда имеем

(4)

При этом правая часть (4) понимается как полином, однозначно определяемый формулой (4) при Ха= =0, 1, 2,... (см. (5)).

Доказательство. Легко проверить, индукцией по n = 0, 1, 2,..., выполнение следующего равенства:

"гп

'Uoen_a = ^—\ycnhen^4)k,(5)

s=o

с биномиальными коэффициентами Cnh. С другой стороны, из равенства eayh=k^m—^4-1)щ_! (см. 2.1.1 (6)) находим индукцией по & = 0, 1, ..., т:

^-(^i^»(6)

(сравнение modt/(8)ea). Заменяя в (5) индекс к на

т—к и воспользовавшись равенством (6), получаем

е1-пч)Оеп_а=к - \ГСпт 2(-^ Ь Wx е^Ли^ (7) s=o '

где

/Дп) = (п—m+l) ... кп—w+&)-

Сравнивая (7) с определением раит (см. 3.2.12), заметим, что х

(Аа + Ра) X = X (Аа + ра — т) = (А-а — М) X, для вектора х= &_aekav т. Заметим также, что /т(/г) = = т!/(«—т)! Отсюда при п = ’Ка

е™;^^ = ( - IF Сптрач)т = 2=122 Sa4)m.

Последнее равенство совпадает с (4).

Определение. Для каждого вектора и0б 6f7(g), экстремального относительно еа (adeavo = O), веса р, относительно 5, положим

V^o^^^o^(8)

в обозначениях 7.1.3.'

Теорема. В условиях теоремы 7.1.2 имеет место равенство■

Оу,л — const• \7а,,V, • • • Vарvje^_ai(9)

где at — простые корни, связанные с корнями ч< (i= = 1,. ..,/+1) соотношениями 1.4.2 (3), aj+i = a, v,= = wt_rlX.

Доказательство. Согласно (8), (9), имеем

0у,л = const-е\ ...eui (еп \еп> ... еп* ,(10)

где п1=^1)а1 (nj+1 = n), ki-^n^^i^p р; — вес вектора e1=Va1+1,v,41... va/via.(11)

При этом для корректности определения (9) требуется, чтобы вектор (11) был экстремален относительно adea;. Помимо этого требуется проверить, что вектор (10) л отличен от нуля и удовлетворяет уравнениям (ades)x=0 для всех реЛ. ■-

Заметим, что действие оператора ad ер на вектор (10) сводится к почленному дифференцированию экспонент х1=^*2а или yi=eb2a , для которых az = 0. При этом возникают произведения вида

Xi k^ai— ^i “Н1)2z=a:/Zi ((X + oz)a/— п^,(12)

где Zt — произведение сомножителей (10), стоящих правее Xj, at — вес вектора Z{ (при этом мы используем равенство paz = l для простых корней а,). Согласно (10), имеем

о, = —га,»!-— . . . —n<_1a(-1=v<—X(13)

(последнее равенство легко проверяется индукцией по i). Напомним, что n,= (v()a . Поэтому скобка в правой части (12) обращается в нуль. Аналогично,

yt' <ha. -ht + l)zz =yi'Zi ((X + TiXt — kt), (14) где tz = pz + oz+1 — вес вектора zt (стоящего, правее yz). Согласно (10), последняя скобка в (14) имеет вид

(X +O;+1 +vz)az = (vz+1 + Vz) = 0, поскольку VZ+1=riVf.

Таким образом, все векторы (10), (11) удовлетворяют соответствующим экстремальным уравнениям. Используя равенство (7) и производя предельный переход Х->оо, находим, что произведение (10) имеет ненулевую асимптотику 0a,„ « const -Ла^е-а”, где ла,„ — произведение соответствующих биномиальных коэффициентов. Поэтому 0а,п^О.

Замечание. Произведение (10) может быть ассоциировано с разложением гт = щ/3-+1щ3-_1 для корня 7 = &yza:

г^г^..., Г5Г5+1Г),..., г,.(15)

Полагая ri+2 = rj,..., гг^ = Г1, перепишем разложение (10) следующим образом:'

0V,«= const-е\к ... еп2а? £ = 2/ + 1.(16)

При этом легко проверить, что показатели п; имеют следующий вид:

nz = (m)-11X)az = XVz (i=l, ....h),(17)

где wi = rx,..., ru yi—w^ai (/=1,..., h).

Доказательство теоремы 7.1.2. Достаточно воспользоваться равенством (4), которое может быть переписано в виде'

PoOq1 == Са Va.m'Oo. (18)

с ненулевой константой са, где га означает оператор группы Вейля (см. 5.2.2). Полагая в этом равенстве а = а,,..., ап и0 = е_а’п, находим, что композиция (10) совпадает с композицией (4):

Р™еп_^ = с^шеп_а,(19)

ГДе V® = Vai,v, ••• Vay.vy

Теорема. В условиях теоремы 7.1.2 имеет место равенство

0Y,„=const-^Y1 ... qNje^a.(20)

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения, по аналогии с 7.1.6. Другое доказательство может быть получено из 5.6.5.

Замечание. Символическая запись (4), (10) совпадает с исчислением комплексных показателей, предложенным в [83]. Формула (10) получена в [83] для отдельных классов алгебр Ли.

В нашем контексте формула (10) рассматривается как удобное представление для проверки экстремальных соотношений.

Упражнение. Проверьте, что Oo,n=[0a,i]". См. также [63].

Основное аффинное пространство

Пусть G— связная односвязная полупростая комплексная группа Ли, X=G/N— основное аффинное пространство, определенное в 2.6.4. В отличие от 2.6.4, положим

X=^|x6G}.(1)

Соответственно X есть левое G-пространство (относительно левых сдвигов в группе G).

Нас будет интересовать алгебра дифференциальных операторов D^X), действующая в пространстве регулярных функций F(X').-

Под дифференциальным оператором n-го порядка (п = 0, 1,2,...) на алгебраическом многообразии М понимается всякий оператор a6End/?(М), удовлетворяющий соотношениям вида

(...[[а, М, М,...,М=о(2)

для всех f^F^M) (i"=0, 1,...,п), где F(M)—алгебра регулярных функций на многообразии М, причем элементы f6F(M) отождествляются в (2) с операторами умножения в F(M).

Легко проверить, что каждый дифференциальный оператор нулевого порядка есть элемент из F(M). Множество D(M) всех дифференциальных операторов на М есть алгебра (подалгебра в EndF(M)).

Условимся, что алгебра g = Lie G отождествляется со своим образом /?(д) относительно правого регулярного представления в F(G). При этом.

E(X) = {WG)|n+f = 0}(3)

отождествляется с экстремальным подпространством F(G)+. Согласно 2.6.4, имеем

Р(Х) = ®РЦХ),(4)

где FAX')—циклическая оболочка вектора fx6F(X), определяемого в 2.6.3, относительно левого регулярного представления группы G.

Введем обозначение

A(X) = {/6.0(G) |n+a<=Z)(G)n+}.(5)

Согласно 0.4.1, Д(Х) есть трансляторная алгебра, ассоциированная с системой уравнений (3). Соответственно

Д(Х)Р(Х)СР(Х).(6)

Отсюда следует, что Д(Х) есть подалгебра алгебры ЩХ).

В частности, для каждого f6F(G) определены дифференциальные операторы

ЦГ)=лгр1, r(f)=qf-nt,(7)

где р, q — соответственно левая и правая резольвенты экстремальной системы (3).

Действительно, записывая оператор р в виде ряда 5.3.1 (2), полагаем

s(f) = ^lalul(Dl/),(8)

z=0

где a^U(()), u^U(п-), vzGad U(п+). Аналогично,

г(/) = 2(®'^).(9>

z=0

в обозначениях 5.3.2 (6), где ЬМЦУ), да,Gad U^+).

Заметим, что действие (8) можно поднять до действия в IndF (см. 3.4.3), где F = ad U(n+)f— циклическая оболочка элемента f. Аналогично, действие (4) поднимается до действия в F®A4(g) (см. 5.6.8), где F= = adU(t)f. Отсюда следует, что элементы (7) удовлетворяют уравнениям (5), т. е.

s(f), r(f)GA(X).

Наряду с элементами fx (XGA+), определенными в 2.6.3, рассмотрим элементы

KW = (e0, xfoy(10)

Положим

Тх = ЦКУ(11)

Теорема. Операторы Тх (Х6Л+) удовлетворяют следующим, соотношениям:

TJ^b^(12)

для каждой пары К, цвЛ+, где ЬЦ(Х) =я/(Х+ц). При этом ЬДХ)¥=0.

Доказательство. Достаточно проверить равенство (12) на всюду плотном подмножестве Go = =N_HN+ (см. 1.2.10). Поскольку обе части (12) содержатся в FIX'), достаточно ограничиться подмножеством B=N-H. Ввиду соотношения P^nh) =Р(Ь) для каждой пары n6N_, НбН имеем

^п/шо^Дпп^^Д/г^Дп/г)

для каждого n06N- (где ni = hnoh~lGN-). Отсюда следует п_Д|в = 0. Заменяя в этом равенстве X на Х + р,

напомним, что u^U (п-)п- при i^O. Поэтому действие ряда (9) при /=/м сводится к действию его свободного члена bo—nf^ :

Т^Цх^Ь^т

для каждого хбВ. Следовательно, это равенство справедливо для всех x6G.

Согласно теореме 5.4.3, Ь^^ есть произведение сомножителей вида-

РаРа™1

П (^аН-Ца + Ра /) = П (Ха + Ра + &), 7=1б=о

где абД+. В результате Ь^^^О для каждой пары X, рбЛ+.

Следствие. F(X') есть простой \(Х)-модуль.

Действительно, пусть V — ненулевой подмодуль А (X)-модуля F(X'). Поскольку Д(Х) содержит L^, V содержит /“ при некотором рбД+. Применяя равенство (12) при Х=0, находим, что V содержит /“=1. Но тогда из равенства 2.6.3 (9) следует, что V содержит /х для всех Х6Д+. Применяя действие L^U^), заключаем, что V = F^Xy

Замечание. Отсюда следует также, что F(X) есть простой D (X) -модуль.

Лемма. Каждый дифференциальный оператор п-го порядка определяется своими значениями на множестве Еп (п^1), где Е— система образующих в F(X).

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема. Трансляторная алгебра А(Х) совпадает с D(X).

Доказательство. Согласно 2.6.7, алгебра F (X) имеет конечное число образующих. Поэтому, как следует из леммы 7.2.5, каждый оператор a6Z)(X) определяется своими значениями на конечном числе элементов fi (i= 1,..., m).

С другой стороны, используя известную теорему плотности (см., например, [9]) и простоту A (X)-модуля

FIX'), заключаем о существовании элемента Й6Д(А) такого, что afi=bfi (t=l,..., m). Но тогда имеем а = Ь.

В результате A (A) = ЩХу

Обобщенные алгебры Микельсона

Пусть I — дедуктивная конечномерная алгебра Ли над полем С, А — ее обертывающая алгебра (см. 0.3.1). Предположим выполнение следующих условий.

Алгебра А порождается конечным числом образующих в( (t = l,..., п), линейная оболочка которых инвариантна относительно присоединенного действия алгебры I. '

Элементы е,— весовые относительно картанов- ской подалгебры Ijgz!. Алгебра А есть линейная оболочка мономов

e(ft) = ^...^. (1)

Алгебра [/(()) действует в А слева и справа без делителей нуля. Иначе говоря, каждое из равенств af=O, fa—0, где абА, f^U(g), влечет либо а = 0, либо f=0.

Пусть Е— линейная оболочка образующих е, (i= = 1,..., п). Согласно (В), Е есть ^-градуированный (следовательно, редуктивный) конечномерный {-модуль.

Согласно (С), алгебра А допускает расширение А^АС/^-^С/^-М (см. 0.6.1). ■

В дальнейшем мы считаем, что элементы е, (i= = 1,..., п) занумерованы в порядке неубывания их весов.

Определение. Пусть п+ — подалгебра алгебры f, натянутая на корневые векторы еа (абА+), 7+ = Ап+ — левый идеал, порожденный элементами п+. Введем обозначение

5(А, п+) = Т(А, п+)/7+, (2)

где Т (А, п+) сдА трансляторная алгебра, состоящая из всех решений системы уравнений n+a=0mod/+ для элементов абА. - ■ ■

Алгебра (2) называется обобщенной алгеброй Микельсона [62], соответствующей паре (А, п+).

Заменяя в этом определении алгебру А расширенной алгеброй А', получаем расширение

Z(A, п+)=Т(Л/, п+)/7+(3)

алгебры (2), где положено J_ = A'n+.

Заметим, что алгебра (3) совпадает с экстремальным подпространством регулярного д-модуля

М(А, п+)=А'//+.(4)

Отсюда

7(Л, п+)=рМ(А, п+),(5)

где р — экстремальный проектор алгебры F(f).

Заметим также, что можно рассматривать р как оператор A^-Z(A, п+). При этом

ker p = N = n_A-vAn.+.(6)

Частный случай алгебры Микельсона вкладывается в эту схему при Л = 77(g), где (g, I) —редуктивная пара алгебр Ли.

Теорема. Алгебра Z^A, п+) порождается образующими z;=pei (i=l п). При этом Z(A, п+) есть линейная оболочка мономов

2^ = 2^ . • • г^' (7)

над полем D^).

Доказательство — по аналогии с 4.2.3, 4.2.4.

Следствие. Алгебра Z^A, п+) порождается образующими Si = niZi, где nfiU (ft)—левый знаменатель элемента Zi (i=\,...,n).

Пусть 3)=3)^А, п+)—категория Л-модулей, V, обладающих следующими свойствами:

модуль V ^-градуирован и порождается своим подпространством V+ : V=AV+,

элементы /га+ра + ^ (^=1, 2,...) не имеют нулей в подпространстве У+.

Замечание. Согласно условию (а), алгебры п+ действует в пространстве V локально нильпотентно. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Мы будем рассматривать отображение Ф: V->V+ как точный ковариантный функтор из категории Л-модулей в категорию 5(Л, п+)-модулей.

Теорема. Отображение Ф: V-*V+ есть вложение категории D в категорию S(A, п+) -модулей.

Доказательство — по аналогии с 4.3.4. Заметим, в частности, что условие (Ь) позволяет использовать формулу 4.3.4 (11) для элементов i'6VV.

Следствие. Если V— простой A-модуль, то V+ есть простой S(A, п+)-модуль.

Замечание. Вместо алгебры S достаточно рассматривать подалгебру 2, по аналогии с 4.4.6.

Заметим, что оператор q=q^, действует в алгебре А' по правилу 7.2.2 (9). При этом каждый элемент z^Z (X, п+) можно представить в виде z = qx при некотором хбА' (отождествляя qx с соответствующим классом в Z(A, п+)).

Соответственно алгебра Z порождается дуальными образующими Zi' = qet (i=l,..., п). Доказательство— по аналогии с 5.4.1. При этом алгебра Z натянута на мономы

z-kh^z>...zxb\(8)

Пример. Пусть А=Ап— алгебра Вейля с образующими xi, dt (i=l,..., п). Согласно 0.7.9, элементы

Inп1 .

в_ = -^ X , Cq в2~, е^ ^ \,

где е — оператор Эйлера, порождают подалгебру Ли f«sl(2). Полагая п+=Се+, находим, что алгебра Z=Z(A, п+) порождается элементами

s (d.) =di, yi = —2s (х/) = cxi—x2di, где c = 2e+ (n—2).

Пространство Pn = C[xixn] есть простой Ап-мо- дуль категории 3) при п^З. Соответственно пространство гармонических полиномов есть простой S-модуль (и также 2-модуль), где S = S(A, п+).

Отсюда очевидна естественность конструкции § 0.5 в теории гармонических полиномов.

Супералгебры Ли

В последние два десятилетия в математике развивается идеология, называемая «суперматематикой». Суть этого направления состоит в расширении матема-

тического анализа посредством добавления «антикоммутирующих» переменных.

В алгебраическом аспекте суть этой идеи сводится к обобщению известных алгебраических структур при помощи специальной 22-градуировки (разделение на четные и нечетные переменные).

Существенность этого подхода была первоначально осознана в квантовой физике в связи с понятием четности в теории элементарных частиц.

Векторное суперпространство над полем F — это векторное пространство V над полем F с фиксированным разложением V=V0®Vi в сумму двух подпространств. Элементы пбУ0 называются четными, элементы v^V\ — нечетными.

Размерностью векторного суперпространства V=V0® ®Vi называется пара По|^ь где n^dim V( (4=0, 1).

Супералгебра А над полем F—это алгебра Л=Л0® ®Д1 с 22-градуировкой:

AtAjC=Ai+j,(1)

где сложение 4'+/ определяется по модулю 2. Соотношение (1) может быть записано следующим образом:

ху=х-\-у,(2)

где А3х>—х— функция четности, равная 0 при хС40, 1 при xC4b' "

В частности, пусть А — ассоциативная супералгебра. Выражение

[л, у] =ху — (— 1)* у ух(3)

называется (супер) коммутатором элементов х, убАг (/=0, 1).

Коммутатор (3) продолжается по линейности на все элементы х, убА.

Супералгебра А называется коммутативной, если [к, у]=0 для всех х, у^А. В этом случае х2=0 для каждого нечетного элемента хбА.

Пример. Пусть Рпь — коммутативная супералгебра, порожденная п четными переменными хь ..., хп, k нечетными переменными |ь ..., ^ и соотношениями

[хй X,] = [£«, |6]= [*Ь М=0

для всех I, j= 1, ..., п и всех а, р — 1, ..., к. .

Согласно этому определению, Рпк^Рп®Ак, где Р„= = C[xi, ..., х„], А*—грассманова алгебра с образующими ii, .... ^.

Супералгебра g=go®fii называется супералгеброй Ли, если в ней выполняются следующие аксиомы:

[х, у] = (— 1)*у[у х],

' [х, [у, г]] = [[х, у], г] + (-1)*~у~[у, [х, z]] для всех х, y^i (1=0, 1), z6g.

' Здесь [х, у] — произведение элементов х, убд, называемое также (супер) коммутатором элементов алгебры д.

Соотношение (Ь) есть супераналог тождества Якоби.

Замечание. Подалгебра до, состоящая из четных элементов, есть алгебра Ли. При этом gi есть д0-модуль с добавочным условием [gb gjcgo.

. Приме р. Ассоциативная супералгебра А есть супералгебра Ли относительно коммутатора (3).

Пусть А — ассоциативная супералгебра. Векторное суперпространство V называется (левым) А-моду- лем, если V есть /г-градуированный A-модуль, т. е.

И„ VJcV<+„(4)

где сложение i-Vj определяется по модулю 2.

Аналогично, пусть g— супералгебра Ли. В этом случае, наряду с условием (4), предполагается следующее условие:

[х, у]у =х (уу) — ( — !)* у (ху)(5)

для каждой пары х, усАги. каждого ибУ.

Примеры. 1. Ассоциативная супералгебра А есть (левый) A-модуль относительно умножения х >-> ах, где а, хбА. 2. Супералгебра Ли g есть g-модуль относительно присоединенного представления

(ada)r=[a, х], где а, хбд.

Последнее следует из тождества (3).

Аналогично определяются правые A-модули и бимодули.

. Подпространством векторного суперпространства V=Vo®Vi называется всякое градуированное подпространство EaV. Градуированность означает, что Е= =Е№, где E(=Ef\Vt . (*=0, 1).

Соответственно все подалгебры, идеалы, подмодули предполагаются градуированными.

Модуль V называется простым, если все его подмодули тривиальны (=0 или У). Супералгебра Ли й называется простой, если она проста как присоединенный Й-модуль (см. 7.4.4) и некоммутативна.

Аналогично определяется понятие редуктивности. В частности, редуктивная супералгебра Ли есть сумма своего центра и полупростой супералгебры Ли.

Все простые конечномерные супералгебры Ли над полем С классифицированы в [68]. Каждая такая алгебра й обладает картановской подалгеброй I) и разложением на корневые подпространства Сеа (абА), где А — некоторая корневая (супер)система: A = AoIJAi> где элементы А< называются четными при t=0, нечетными— при (=1.

Соответствующие корневые векторы еа четны при абА0, нечетны при абАь

В отличие от классического случая алгебр Ли, система А не является приведенной (т. е. может содержать корни вида 2а при абА).

Простая супералгебра й называется контраградиент- ной, если в ней определена инволюция Шевалле (еа н*

В дальнейшем мы предполагаем, что алгебра й конт- раградиентна.

Пример. Существует простая супералгебра Ли с корневой системой А+={а, 2а}. Эта алгебра обозначается символом Л(1) или одр (2, 1). См. [1, 15, 18].

Приведем корневые системы А+ ранга 2 для простых супералгебр Ли. Исключая известные случаи алгебр Ли, получаем следующий список.

Д(2).а,2а,2а+ р,а + р,р.

5(2).а,а + 0,2а [-20,а+ 20,0.

С(2).а,а + р,2а+ 20,а+ 20,20, 0.

Здесь а,0— простые корниалгебры й-

Определение нормального порядка непосредственно переносится на корневые суперсистемы.

Для каждой простой контраградиентной алгебры Ли нормальный порядок существует. Для систем ранга 2 нормальный порядок единствен с точностью до инверсии и определяется таблицей 7,4,7, В общем случае все

нормальные порядки А+ получаются друг из друга инверсиями элементарных отрезков ранга 2.

В частности, для каждого простого корня, «6А+ существует нормальный порядок А+ с элементом а на первое место.

Замечание. Все эти результаты можно получить по аналогии с 1.4.5. Однако в суперслучае нет достаточно хорошего аналога группы Вейля.

Понятие универсальной обертывающей алгебры естественно переносится на супералгебры Ли. При этом в U(д) выполняется аналог теоремы Пуанкаре— Биркгофа—Витта.

Столь же просто обобщаются конструкции главы 3, связанные с расширениями U^ cU' (g) czF (g). Аналогично доказывается теорема о существовании экстремальных проекторов рб/Дд).

Явный вид экстремальных проекторов для простых контраградиентных алгебр Ли вычислен в [89]. В этом случае по-прежнему

p = pai.. .Рат(6)

относительно нормального порядка А+=(аь ..., ат}, где ра — формальный ряд, порожденный элементами е±а.

Ситуация значительно упрощается, если а—нечетный корень. В этом случае еа2=0. Соответственно ;

^=1-/-'^а,(7)

где

/а = Аа -}- ра 4* -g" ^ (^а)»

Для четных корней сохраняется прежняя формула 3.2.12 с той разницей, что

' fa ^а4~Ра4~ 8а»($)

где ба = 0 при а/2^А, еа= 1/2 при а/2бА.

При этом р=р°—р1, где р'— полусумма корней, лежащих в АД (i = 0, 1).

Результаты § 7.3 также легко переносятся на редуктивные супералгебры Ли gczA, где А — ассоциативная супералгебра Ли.

В заключение главы мы рассмотрим два примера, связанные с супералгебрами Вейля,

Уравнения Дирака

Пусть Вп— ассоциативная супералгёбра с единицей, порожденная 2п четными образующими х,, д{ (t=l, . ..,ц), п нечетными образующими -^ (1=К ••• ..., и) и соотношениями вида

[di, Х,] = бЪ> [«Yi, ^]=2б.Ъ (1)

где 6О — символ Кронекера, с добавочным условием равенства нулю остальных коммутаторов между образующими.

При этом, ввиду нечетности элементов ч<> второе соотношение (1) содержит антикоммутатор руъ 'YJ]='Yi'YJ-+

Соответственно для линейных комбинаций х= п■ л

= '2iXl4i> ^ = 5 ^Н f выполняются равенства

' i=iz=i

Лл

Х^^^Д д2 = ^д2(2)

1 = 11^1

Мы условимся рассматривать Вп как алгебру дифференциальных операторов в пространстве Qn=Pn®r„, где Pn=C[xi,..., х„], Г„— линейная оболочка мономов Yi‘---Y^" (rz=0, 1 для всех i = l, ...,п). При этом полагаем д1 = д/дх1, Yi —оператор умножения в пространстве Гл.

Заметим, что ВП=Д„®Г„, где Д„ — алгебра Вейля, определенная в 0.4.5.

В дальнейшем полагаем F=C.

Пусть Dn — подпространство всех решений уравнения

df=O(3)

в пространстве Q„.

Уравнение (3) есть n-мерный аналог однородного уравнения Дирака (определяемого при п=4).

Предложение. Операторы х, д порождают супералгебру Ли д, изоморфную osp (2, 1),

Доказательство сводится к тривиальной проверке. Алгебра g натянута на элементы х, д, х2, д2, е=-^-[х, с?] (оператор Эйлера). Полагая

, х , idт

d-~VTe±~d±'

получаем следующую систему соотношений (супер)коммутации:

[d+, дД = — ie0, [е4, еД = е0, ]e0,d±]=±d±, [е0, е±]= ±2е±, [d+, e_] = id_, [е+, d_\ = id*, ■ где е0=—е—п/2.

Как следует из полученных соотношений, алгебра g есть простая супералгебра Ли с картановокой подалгеброй ^=Се0 и нильпотентными подалгебрами n±=Cd±® ®Се+.

При этом d+=e+a, е±'=е±2а, где а — единственный простой корень алгебры д. Соответственно д^озр(2, 1). См., например, [15, 18].

Следствие. Уравнение (3) есть экстремальная система для алгебры g«osp(2, 1).

Действительно, (3) равносильно n+f=O.

Алгебра Z. Элементы 24=рхъ di=pdi, et= =p"(i (i=L •••> и) порождают алгебру Z=Z(Bn, n+) над полем D^). При этом

Zi = xt+^2"Yo(4)

ei = 1i +"2" ^p^^

где t= (во+l)"1.-

Предложение. Элементы (4), (5) удовлетворяют следующим соотношениям коммутации в алгебре Z; [2О Zj]=[di, дД=О,■

[ео zJ=TZjey, [^, eJ = T+zjdv,

[е„ e;] = 26J;. + T(z;<?7 + zy<?J), где т+=(е0+2)-1, т_=ео-1..

Доказательство. Пусть ~ означает сравнение mod (хВ„). Имеем, например,

Ztdj-Xtdp

ZjBl-X^b ' eizj~-ttxj + TXidj.

Отсюда следует [е„ гД~тггд5 в алгебре В„, что заменяется равенством классов в алгебре Z.

Остальные соотношения проверяются аналогично. Например, [z,, 2^]~[хй х^]~0.

Используя 7.5.3, легко получить следующий аналог теоремы Пуанкаре—Биркгофа—Витта для алгебры 2=2 (В„, п+):

2=S„7„A„,(6)

где S„, T„, An — соответственно подалгебры с единицей, порожденные элементами st = (е0+1)2,-, т.= (е0+1)е,-, д< (i= 1, ..., п).

При этом алгебры Sn, А„ коммутативны, алгебра Т„ натянута на мономы Т]1.. ,т^ (или xhnn.. . т?‘).

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема. Пространство Dn всех решений уравнения (3) имеет следующий вид:

D„=Sn^n')(7)

(действие S„ на Г„).

Действительно, 9„=В„(Г„), откуда Д„=2(Г„) (см. 7.4.10). Применяя (6), заметим, что Т„АП(Г„) =Г„. Отсюда следует (7).

Замечание. Можно показать, что мономы вида Si1.. .■$„" ("fl1-• •"(„") образуют (при некоторых ограничениях на показатели) ортогональный базис (относительно естественного скалярного произведения) в пространстве Dn.

Уравнения Максвелла

Пусть Anll— ассоциативная супералгебра с единицей, порожденная 2п четными образующими Х{, д, ^1=1,..., п), 2^ нечетными образующими ga, da (a=

= \,... ,к) и соотношениями вида

[<?,-, Х,] = дО', [да, ^]=5а?,(1)

где 6,7, бар — символы Кронекера, с добавочным условием равенства нулю остальных (супер) коммутаторов между образующими.

Мы будем рассматривать Апк как алгебру дифференциальных операторов в пространстве Рпь, определенном в 7.4.2. При этом полагаем di = dldxi, Ьа=д1д1а (с естественным определением производных в пространстве полиномов).

Заметим, что РПк~Рп ® 3*. где Sft —линейная оболочка мономов ^i1...^" (rz = 0, 1 для всех а = — 1к\ Аналогично, Апк ж Ап ® hk, где ?1к порождается элементами £„, да (а=1, . ..,к\

По аналогии с алгеброй Ап мы называем Ахк супералгеброй Вейля.

В дальнейшем полагаем F=C, n = k.

Замечания. 1. Алгебра Апк допускает инволюцию ^а*, определяемую на образующих по правилу xt* = = dit £a* = da. 2. Алгебра Вп вкладывается в Апп по правилу Ц = ^+6; (t=l,...,n).

Рассмотрим следующие элементы алгебры Апп:

пппп

e_=^xfit, d_ = ^x^b d+ = ^bidt, e+=2^d<-Z = 11=11=11=1

Пусть Mn — подпространство всех решений системы уравнений

e+f = d+f=O(2)

в пространстве РПп-

Г. Вейль отметил (в 1918 г.), что система (2) при п = 4 в подпространстве квадратичных функций /= = 2 ^ij(x) £f£y есть не что иное, как система однородных уравнений Максвелла.

Соответственно (2) есть n-мерный аналог системы однородных уравнений Максвелла.

П р е д л о ж е н и е. Операторы eV, d± порождают супералгебру Ли д, изоморфную о^ (2, 2).

Доказательство. Полагая е0 = е + е, d$ = e — пп■

—г-\-п, где е =^Xidi, е=2£Д (операторы Эйлера), получаем соотношения коммутации, из которых следует, что 0 есть простая супералгебра Ли с картановской подалгеброй ^ = Ce0®CtZ0. В частности,

[е+, е_] = е0, [d+, d_] = d0.

Соответственно алгебра п± натянута на корневые векторы

^+а^±,^+р ^ t/+,^ч^^'^^, ^±],

где а, р — простые корни алгебры 0, у=а+р.

Отсюда следует изоморфизм 0«озр(2, 2). См., например, [15, 18].

Следствие. Система (3) есть экстремальная система относительно алгебры 0=оз))(2, 2).

Замечание. Элементы е+, d+ (аналогично е_, d_) получаются друг из друга посредством инволюции Ходжа:(i=l,..., и).

Алгебра Z. Образующие Zi=pxt, ^г = Р^<, 9< = =р6ь д< = рд< (i=l, ..., и) алгебры Z = Z(Ann, п+) имеют следующий вид:

zt = xi — ae_^t—ad_bl—^-di,(3)

^i = ^z bd_dp(4)

91 = 6г—се_др(5)

где а= (е+2)-1, b = d0-1, с = е0-‘.

П редложение. Элементы (3), (4), (5) удовлетворяют следующим соотношениям коммутации в алгебре Z: [zi, 2.>]=[[;<, ^•]={9i, 0}]=Р,-, dj]=O, и также

[zt, 9j]=aZj6t, [^i, £j] = Zj£it, [Zp d^z^a, [б/, еД = б1;- — г^т—г;дга, [^,дД = а^др [0/, ^] = т07^, где т= (e0+l)-1, g= (do+,1)-1.

Доказательство — по аналогии с 7.5.3.

Из предложения 7.6.3 легко получить следующий аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта:

2 =SnSn7'nAn,

где Sn, Sn, Tn, Дп — соответственно алгебры с единицей, порожденные элементами s, = s(x1), o1=s(^i), тг=в(б(), di (t= 1,..., n).'

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема. Пространство Мп всех решений системы ^ имеет следующий вид:

Mn = Sn(Bn)(6)

(действие Sn на В„).

Доказательство — по аналогии с 7.5.5.

Замечания. 1. В [74] показано, что мономы «?'.. .s„" (?[*•• •?„") образуют (при некоторых ограничениях на показатели) ортогональный базис в Мп. 2. В [59] намечено обобщение изложенной схемы на неоднородные уравнения Максвелла. 3. В [24] имеется обширная библиография по Симметрии уравнений Максвелла.

ГЛАВА 8

АЛГЕБРЫ ШЕВАЛЛЕ

Покажем, что ряд основных сюжетов, изложенных ранее для алгебр конечного типа (гл. 2—4) переносится без существенных изменений на симметризуемые алгебры Шевалле.

В частности, для алгебр Каца—Муди мы излагаем теорию интегрируемых модулей [13], которые в данном случае играют ту же роль, что конечномерные модули для алгебр конечного типа.

Категория интегрируемых модулей будет использована далее в гл. 9.

Алгебра g=g(a)

Пусть a=(a,j)—квадратная матрица над полем С с нумерацией i, j6l, где /—конечное множество индексов. Положим

ai5=<hi, а,->(1)

(см. 1.2.1), где hi9), а;€[>* — линейно независимые системы (в векторном пространстве 1) и дуальном пространстве [>*).

Пусть й = й(а)—соответствующая алгебра Шевалле, т. е. алгебра Ли, порожденная элементами е., ft (№1), НЯ) и фундаментальными соотношениями вида

[А, А'] = 0 для всех А,А'€ф,(2)

[е», fj] = 6ij€[) Для всех t,/6/,(3)

[А, е,]=<А, а,>е,-, [A, fj=—<h,aj>fb■(4)

pa(e)=p/(f)=O.(5)

Здесь ра, ро' (а€2)—полиномы от переменных е=(е<), f=(M, выбранные так, чтобы алгебра g не имела не-

тривиальных идеалов, имеющих нулевое пересечение < картановской подалгеброй ф.

Напомним, что алгебра g обладает весовой градуировкой ф, ga (абД), где Д— система корней алгебры g (относительно ф) и инволюцией Шевалле х-*х' (см. 1.2.4), относительно которой ф' = t>, ga' = g-a. В частности, д = п'Ф()Фп(6)

(треугольное разложение), где п — подалгебра д, порожденная образующими е< и соотношениями pd(e)=0. При этом

п = ® 0a.(7)

■aGA+

где Д+<=Д — подсистема положительных корней, порожденная простыми корнями a; (i67) .-

Напомним также, что подалгебра g'(a) = = [g(a), 0(a)] порождается элементами е,-, ft, h{ и соотношениями (2) — (5), в которых h, h' заменяется на ht, h5.

Условимся говорить, что алгебра g=g(a) сим- метризуема, если матрица а симметризуема, т. е. а = = еЬ, где е — диагональная матрица с собственными значениями е,=#0 (ZeZ), 6=(6О)—симметрическая матрица.

Легко проверить ([13], § 2.1), что симметризуемость матрицы а равносильна ее представимости в виде ao=e4(a4, а,),.(8)

где (•, •) — невырожденная симметрическая билинейная форма в пространстве [)*.

Используя эту билинейную форму, определим изоморфизм Х»-+Х* пространства [)* на 1), полагая

а*, ц> = (X, ц)(9)

для всех X, цб[>*. Соответственно равенство

(X*. р*) = (Х, и)(10)

определяет невырожденную симметрическую билинейную форму в пространстве [).

Согласно [13] (теорема 2.2), эта форма продолжается до невырожденной инвариантной симметрической формы в алгебре д, со следующими свойствами:

' («) (0а, &1=0 при а+р^О, .л

(Р) форма (•, •) невырождена на 0аф0_а при абД, (т) к 1/1 = к У^* ПРИ *б0а, У^-а-

Заметим также, что /1< = е,а1* для всех 161.

В дальнейшем мы рассматриваем стандартную упорядоченность в 6* (по аналогии с 1.3.9), полагая А^ц, если А—|i6Q+ (Q+ есть сумма Z+a< по всем №IY

В частности, пусть 0—алгебра Каца—Муди (см. 1.2.7), т. е. а — целочисленная матрица с условиями 0,4=2, а,^0 при i^j, «0 = 0 влечет ац = 0 (обобщенная матрица Картана).

В этом случае можно считать ([13], § 2.3), что (а,, а<) — положительные рациональные числа для всех 161. При этом е,=2/(а<, а,). Отсюда

<h<, А>=2(ай А)/^, а.)(11)

для всех i6l, №^*.

Согласно [13] (теорема 9.11), соотношения (5) в этом случае сводятся к условиям Серра

тг/(е)=т;/([)=О при i^j,(12)

где

T/y(x)=(adx/)*xy=2 (— 1)л ^^yx)6-"*,(13)

л=0

для элементов Xt=eb JAl^IY При этом

x^=xlR/nX.(14)

Пусть 0 — симметризуемая алгебра Шевалле. Фиксируем дуальные базисы xtl yt6^, xta60a (абД): (хР </j) = (xia, х„-а)=бц, где 6«— символ Кронекера. Положим

Z — Sp^'-V^iXith-V^Xi.-aXia,(15)

Ii,a

где суммирование ведется по а6Д+, рбф* — фиксированный вектор, удовлетворяющий условиям

<hi, p>=a,-,/2 для всех 16L(16)

При этом выражение (15) понимается как формальный ряд над алгеброй 0 (с частичными суммами из t/(0)).

Следуя [13], мы будем рассматривать (15) как оператор в «ограниченных» 0-модулях. При этом модуль V

называется ограниченным, если для каждого О^убУ соотношение flay=#0 выполняется лишь для конечного числа корней абД+.

В этом случае zu — конечный ряд для каждого вектора ибУ.

Легко проверить [13], что (15) не зависит от выбора дуальных базисов в пространствах I), 0а. При этом имеет место

Предложение ([13], теорема 2.6). Оператор (15) перестановочен с действием алгебры g для каждого ограниченного ^-модуля V.

Относительно доказательства этого утверждения см. также 8.6.7.

Следствие. Пусть V — экстремальный q-mo- дуль (относительно Д+) со старшим весом A6I)*. В этом случае

zv=(X, А + 2р)у для всех убУ. (17)

' Покажем вначале, что каждый экстремальный fl-модуль ограничен. Действительно, все веса этого модуля удовлетворяют неравенству р^А. Полагая ро^р^А, получаем

р=А—^ ^«t = Po+S mi4h

где nt, m^Z^ (IGI). Отсюда

^(nt-y т^ ai=X—р.i

Следовательно, число весов р, удовлетворяющих неравенству ро^р^А, конечно. В частности, число корней О06Д + , для которых ЙаУцо У=0, конечно.

Для доказательства (17) достаточно, в силу предложения 8.1.4, применить оператор z к старшему вектору у0 веса А.

Определение. Оператор (15) называется (обоб- и^енным') элементом Казимира алгебры fl.

Пусть fl — симметризуемая алгебра Каца—Муди. Фиксируем в пространстве 1)* решетку Р со следующими свойствами: а^Р, hfeP* для всех №1, где Р* — дуальная решетка:

Р*={Лб^<Л, P>czZ}.(18)

Положим -

Р+= (АбР|(hi, А>^0 для всех /б/}.(19)

В дальнейшем условимся считать (нормируя (•, •)), что (а,, си) — целые положительные для всех i6/. Согласно (11), имеем

(Р, Q)cz2Z, (Р+, Q+)cz2Z+,(20)

где Q — подрешетка в Р, порожденная корнями at (i'6/), Q+ — сумма Z+a, по всем 16/. Ясно также, что (a, a)6Z+ для всех a6Q+.

Предложение. Для каждой пары X, цбР таких, что Х>ц, имеем (X, X) — (ц, p)6Z+. При этом (X, X) — = (ц, ц) только при Х=|Х.

Действительно, это следует из равенства

(X, X) —(ц, ц)=2(ц, е) + (е, е)

при Х = ц + е (e6Q+).

Пусть U=U^—универсальная обертывающая алгебра алгебры д. Согласно (6), имеем .

u=imw«u-®uq®u\

где UQ=U^, и+ = и^, U~=U(n').

Пир этом U* (П-) порождается элементами е, (f.) и соответствующими условиями Серра.

Инволюция Шевалле продолжается также до инволюции (инволютивного антиавтоморфизма) алгебры U.

Категория О

Пусть g = g(a)—алгебра Шевалле. Сохраним обозначения § 1. Для каждого ((-диагонального модуля V пусть P(V) —множество всех весов (j-модуля V.

Определение. Пусть О — категория всех ((-диагональных g-модулей с конечномерными весовыми компонентами Уц (цб(,*) и с добавочным условием

P(K)=U A(XJ,(1)

где

Д(Х) = {нб()*|ц<Х}(2)

относительно упорядоченности, введенной в 8.1.2.

Заметим, что 'категория О замкнута относительно перехода к подмодулю и фактормодулю, а также относительно конечных композиций в классе ((-диагональных д-модулей.

Последнее означает, что если О-*- Vo-*" V->-Vj->0— точная последовательность ф-диагональных g-модулей, где Vo» Vi — модули категории С, то V есть также модуль категории О.'

П р и м е р. Для каждого %б[>* пусть V (X) — соответствующий модуль Верма, определяемый по аналогии с 2.2.2. Повторяя рассуждения 2.2.3, находим, что V(X) есть свободный U(n')-модуль с образующей 1Х, причем весовая градуировка (/(п') индуцирует весовую градуировку V(X):

УДХ^^-Дп') lx«lVx(n').(3)

Отсюда ^(У(Х)) = А(Х), dim VJX) =р(Х—ц),(4)

где р — функция Костанта, определяемая с учетом кратностей: р^) есть число разбиений вектора v6[>* в сумму положительных корней абА+, где корень а встречается с кратностью, не превышающей mult а (кратность а в ga).

В результате, V(X) есть модуль категории О.

Аналогично, пусть V — экстремальный g-модуль относительно А+, порожденный (относительно t/(g)) старшим вектором и0 веса Хбф*. В этом случае

P(V)cA(X), dim V^p^—р).(5)

В частности, для каждого Х6[)* существует простой экстремальный g-модуль Е^ со старшим весом X:

.£(X) = V(X)^(X),(6)

где ^(X) — наибольший подмодуль V(X), не содержащий циклического вектора 1Х.

Предложение. Каждый простой Q-модуль категории О изоморфен одному из модулей Е ^, где Хбф*.

Действительно, из условия (1) следует (см. 8.1.5) существование хотя бы одного максимального веса X6P(V). Соответствующий весовой вектор Uq6Vx экстремален (nvo=O).

При этом, если V — простой g-модуль, то V=I/(g)vo, откуда V«E(X').

Условимся говорить [13], что вектор 0^=Vo6V примитивен, если он экстремален mod Vo для некоторого подмодуля VgcV (т. е. nu9czVo). Заметим, что к#ж-

дый модуль V категории О порождается семейством П всех своих примитивных векторов, т. е. У=дП.

Действительно, если Ут^дП, то У/дП обладает экстремальным вектором, т. е. существует примитивный вектор ио^йП. Отсюда gvo^gll, что противоречит определению П.

Пусть д,- — подалгебра алгебры д, натянутая на элементы ей ft, hi (при фиксированном i6/). Очевидно, Й-«51(2).

Определение. Модуль V над алгеброй g называется интегрируемым [13], если он 1)-диагонален и элементы et, fi локально нильпотентны для каждого 161, т. е.

^+^ = ^+^ = 0,(7)

для каждого ибУ, при некоторых kt, ri6Z+ (зависящих от у).

Пример. Пусть g— алгебра Каца—Муди. В этом случае присоединенный g-модуль g интегрируем (соотношения (7) следуют из условий Серра).

Предложение. Каждый интегрируемый ^-модуль У финитно редуктивен при сужении на д; (для каждого 161).

Действительно, для каждого 161 подпространство

^ДУ) = 5С/^/®(8)

если д,-подмодуль, причем dim L, (v)-<оо, ввиду локальной нильпотентности элементов е,, ft.

Применяя теорему Г. Вейля, находим, что модуль Li^u) полупрост.

Соответственно пусть Mt — наибольший финитно ре- дуктивный д,-подмодуль модуля У (существование М, следует из леммы Цорна). Предыдущее рассуждение показывает, что Mi содержит каждый вектор ибУ, т. е. Mi= V.

Замечание. Если модуль Е(Х) интегрируем, то ХбР+.■

Действительно, полагая в (8) и = и0, где Uq — старший вектор Е(Х). находим Li^Vo) « Ei^X), где Е-^Х^ — простой g,-модуль со старшим весом Xi=<ht, ХУ. Отсюда X;6Z+ для всех 161, т. е. ХбР+.

О п р е д е л е н и е. Пусть g— Симметризуемая алгебра Каца—Муди, и пусть б/int — полная подкатегория в О, состоящая из интегрируемых модулей.

Лемма. Каждый экстремальный ^-модуль категории 0int изоморфен Е^ при некотором Х^Р+.

Доказательство. Пусть У=Д(д)и0 — интегрируемый модуль, пио=О, у06Ул. Согласно 8.1.5, имеем z= = z0(X) в пространстве V, где z0(X) = (X, Х + 2р). Отсюда z0(X) =z0(p) для каждого старшего веса p6P(V). Согласно предложению 8.1.6, это возможно только при р = Х. Ввиду однократности веса ХбР(У), находим, что и0 — единственный (с точностью до числового множителя) старший вектор модуля V. Поэтому V — простой g-модуль, т. е. У«Е(ХУ

Теорема. Категория Oim полупроста (т. е. каждый модуль категории 0int полупрост).

Доказательство. Пусть V—модуль категории iTint. Полагая

У+= {ибУ|пи = 0}, (9) заметим, что У+ есть ^-подмодуль. Поэтому У+ есть сумма весовых компонент УД (Х6&*).

Согласно лемме 8.2.5, каждый модуль U (д) и0, где 0=т^иобУД, изоморфен Е^ при некотором ХбР+. Отсюда следует, что модуль W = U(^V+ есть прямая сумма простых компонент Е^, где Х6Р+.

Если V^W, то найдется примитивный вектор ио^ТУ. для которого nuo^iy. Отсюда пу0<=1У0 (см. 2.3.2), где Wo — сумма компонент Е(Х), входящих в W, с весами Х>Х0, где Хо — вес вектора и0.

Согласно определению (1), имеем также Xo<X^Xi при некотором ХубР. Согласно 8.1.5, число таких весов конечно. Поэтому существует лишь конечное число старших весов, входящих в 1Уо.

Отсюда следует, что оператор Казимира z диагоналей в Wo с конечным числом собственных значений z0(X) =#zo(Xo) (из условия Х>Х0 и предложения 8.1.6).

Повторяя рассуждения 2.3.2 (случай (а)), находим, что вектор v0 (mod 1У0) можно выбрать так, чтобы пио=О. Но тогда иоб!Уо. Полученное противоречие показывает, что V=W.

Теорема доказана.

Теорема. Простые модули категории 0№t суть модули Е (X) при Х&Р+.

При этом подмодуль N (к) в определении (6) при 1бР+ порождается элементами

*Oi=Al*xXx, где kl=(hlA')l (10)

Доказательство. Пусть Х6Р+ и пусть NoM — подмодуль У(Х), порожденный элементами (10). Из равенства

/^+’-о0=0,

где у0= lxmodA^0(M> находим, согласно лемме 2.3.3, что фактормодуль £о(Х) = V(X)/M>(X) интегрируем.

Согласно лемме 8.2.5, Ео(X) ~Е(к). Отсюда также АЦХ) = А^(Х). Теорема доказана.

Для модулей категории Oint существует также аналог теории характеров (см. § 2.4). В частности, сЬ1/(Х) = 2р(^-ц)^.

Для характеров модулей £(Х) при ХбР+ выполняется следующий аналог формулы Вейля:

ch£(Х) = л-1 2 e(w)e“’<x+p)~p,(11)

wew

гдех

л=П (1— ^—=)muit™#(12)

абД*

Здесь W — группа Вейля алгебры 6, определенная в 1.7.3.

См. [13], теорема 10.4.

Модули Верма

Сохраним обозначения § 1, и пусть

V^ = U^[U^n(1)

— универсальный модуль Верма над алгеброй й=й(а)- Для каждого Хбф* мы отождествляем модуль Верма У(Х) с фактормодулем У(й) по подмодулю, порожденному элементами к—X(Л) 1 + U(fl)п, где Аб^.

Изучение модулей Верма тесно связано с рассмотрением соответствующего аналога формы Шаповалова Л: U^XU^U^.

Определение. Положим

Д(х,у) = (х'#)0,(2)

где х, уби^), х^х'— инволюция Шевалле, х^Хд— проекция U(й) на U^ параллельно подпространству

N=n'U^) + U^n.(3)

Нетрудно видеть, что для случая dimg<oo это определение равносильно данному в 3.1.3.

Непосредственно из этого определения следует, что форма А симметрична ((х')0=х0 для всех хб[7(й)), билинейна над 17(1)) (относительно правого умножения в 17 (й)) и удовлетворяет условию контравариантности;

А(ах, у)=А(х, а'у),(4)

для всех а, х, y^U^.

Ясно также, что ядро формы А содержит подпространство t/(fl)n. Поэтому можно рассматривать А как билинейную форму в пространстве (1).

Для каждого Х6^* пусть

Д(Х)(х,у)=Д(х, у)(Х)(5)

— значение элемента А(х, y)6U(V) «Р(У) в точке

Поскольку кегД(Х) содержит элементы (7(g) (/г— —X(/i)l), мы можем рассматривать Д(Х) как симметрическую билинейную форму в пространстве Е(Х). При этом

А (К) (ах, у) =Д(Х) (х, а'у)(6)

для всех х, y^V(К).

Заметим также, что весовая градуировка V(fl) (соответственно Е(Х)) ортогональна относительно формы Д (соответственно Д(Х)).

Предложение. Ядро формы А (X) совпадает с наибольшим подмодулем N(X) czV(к), не содер- жаш,им 1*.

Действительно, из равенства (6) следует, что кегД(Х) есть подмодуль V(X). При этом МкегД(Х), поскольку Д(1, 1) = 1. Поэтому кегД (Х)сД^(Х).

Если кегД(Х)^Л^(Х), то существует примитивный вектор УобЕДХ) при ц^Х, для которого ЛУ0бкегД(Х). Из равенства.

А (К) (у0, п'У(Х)) =А (X) (пу„ Е(Х)) =0

следует ио-*-п'К(Х). В частности, ио-ЬУДХ), откуда ио=О.

Полученное противоречие показывает, что kerA(X) = =N^.

Следствие 1. Форма А ^ индуцирует невырожденную симметрическую контравариантную форму в простом фактормодуле £ (X) = V (X) /N (X).

Следствие 2. Модуль V(X) прост тогда и только тогда, когда форма А (X) невырожденна в V (X).

Ввиду ортогональности весовой градуировки в пространстве V(g), форма А однозначно определяется своими сужениями на подпространства V(g)6« [/(п')^ где geQ- (=—Q+).

■ Соответственно форма Л(Х) определяется набором конечномерных форм А(Х), где AV(X)—сужение Л(Х) на V(X)^-v (v6Q+).

В частности, невырожденность формы А (X) равносильна невырожденности всех форм AV(X) при v6Q+.

Следующая теорема, доказанная Кацем и Кажданом [ЮЗ] как обобщение теоремы Шаповалова [95] на алгебры Шевалле, дает критерий невырожденности формы А(Х).

Теорема. Пусть g — симметризуемая алгебра Шевалле. В этом случае

detAW-П П fr+P-^. «Г""’ Р

«ед* п=1 '*

с точностью до ненулевого постоянного множителя, где р— функция Костанта (см. 8.2.1).

Следствие. Модуль К(Х) прост тогда и только тогда, когда 2(Х+р, а) ¥=«(«, а) для всех абД+ и всех п=\, 2,...

Доказательство излагается в 8.3.6—8.3.10.

Лемма. Старший член полинома detAv(X) имеет следующий вид;

/v(X) = const.n П (A- a)p(v~na)- (8)

а6Д+ Я=1

Доказательство. Пусть n'(v)—прямая сумма подпространств 8—о, где 0<a^v. Фиксируем в n'(v) базцс 6,68-0, (i = l,2,..., dim n' (v)), где а, — последо.

вательность с повторениями. Соответственно мономы xt = etl ... et$, ■(9)

где t=(iiisY /,<... <i5, aZl + ...+az, = v, образуют базис в пространстве U(n')_v. Условимся считать, не ограничивая общности, что (е/, e^ = ^tp где х^х'— инволюция Шевалле, тогда [в/, eJ = 6Z;a* при az = = az = a, согласно 8.1.2 (у).

При вычислении Л(хь xj = (х/х,)0 требуется привести элемент х/х5 к виду U-IPU+ с использованием соотношений коммутации в алгебре 0. При этом вклад в Л(хь х^ дают лишь члены вида [е/, ej при az=az. Отсюда получаем:

(а) degЛ(xi, xj^min (nz, nJ, где ni=degxi,

(Р) если ni=nb то равенство в (а) достигается ТОЛЬКО при Х;=Х;,

(у) диагональный элемент Л(Х)(х,, х;) имеет старший член вида

л,(Х) = П(^.%).(Ю)

*=i

для элемента (9).

Поэтому для вычисления старшего члена (8) достаточно перемножить мономы (10), по всем диагональным элементам матрицы ЛУ(Х).

Фиксируем абД+. Число разложений v= = a<, + ...-|-а^, содержащих а однократно (двукратно и т. д.) есть p(v—a)—p(v—2a) (p(v—2a) — —p(v—3a) и т. д.). Поэтому степень вхождения (X, a) в произведение (8) есть

ООоо

2 m [Р (v — ma) — Р ^ — (т, +1) а)] = 2 Р (v ~ ^V m«lп=\.

Вектор ре>* называется квазикорнем, если Р=/а при некотором а&Д+, где /— положительное рациональное число.

Лемма. Полином det Лv (X) есть произведение линейных сомножителей вида

тР(Х)=(Х+р—|-, Р),(П)

где p6Q+ — квазикорень, с точностью до ненулевого постоянного множителя.

Доказательство. Если модуль У(Х) содержит старший вектор веса X—0 (06Q+), то из рассмотрения элемента Казимира следует (Х+2р, X) = (X—0+2р, X—0), откуда т6(Х)=0. Следовательно, det ДДХ) *0 всюду кроме объединения гиперплоскостей т6(Х)=0, где O*06Q+. Поэтому detДv(X) есть произведение сомножителей (11) с точностью до ненулевого постоянного множителя.

При этом, согласно лемме 8.3.6, сомножитель (11) может содержаться в этом произведении лишь в том случае, когда 0=/а— квазикорень (/=1*2,...).

Следствие. Форма А невырожденна в V(д).

Действительно, det Д^О для всех v6Q+.

Дальнейшее доказательство основано на рассмотрении следующего расширения алгебры (7(g):

t/(g) = t7(g)®C[Z],

где С[/]—алгебра полиномов от независимой переменной t. Соответственно положим.

V(X) = t?(g)/7(X),

где J (X)—левый идеал в U (д), порожденный элементами п®1, h ® 1—Х(А), Аб^, Х=Х-)-/е при некотором фиксированном eg^*.

При этом условимся считать, что (е, 0)*О для всех O*06Q+..

Отождествляя t/(g), t7(g)® 1, будем рассматривать У(Х) как левый t/(g)-модуль. При этом специализация в точке /=0 определяет эпиморфизм У(Х)->У(Х).

Продолжим инволюцию Шевалле на алгебру t/(g) тривиально по С[/] (т. е. полагая /' = /). Определим по аналогии с 8.3.2 билинейную форму Д в U(д) со значениями в алгебре

_ uw=u^®cvtA, _ и пусть Д(Х)—соответствующая форма на У(Х), со значениями в С[/]. Введем обозначение Mt для множества всех хбУ(Х) таких, что Д(Х)(х, у) делится на /‘ для каждого t/6V(X).

Очевидно, Mt есть подмодуль У(Х), причем AftZD zdM2zd ... Соответственно пусть Nt — образ Mt при эпиморфизме на У(Х). Тогда N4 есть подмодуль У(Х), причем N^N^ ... ^фильтрация Янсена),‘

«Лемма. Пусть $=ja— квазикорень, (а, а)^0. Тогда существует Х6^*, для которого Nt есть прямая сумма конечного числа подмодулей, изоморфных К(Х-Р).

Действительно, из условия (а, а)=^0 вытекает непротиворечивость следующих соотношений: (а) 2(Х+р, Р) = = (Р, Р), (b) 2(Х—р+р, у)* (у, у) для всех 0^y6Q+, у#=0, (с) 2(Х+р, у^Су, у) для всех y6Q+, у#=0, р.

Согласно (а) и лемме 8.3.7, модуль V(X) содержит подмодуль, изоморфный V(X—Р). Согласно (Ь), модуль V(X—Р) прост. Поэтому сумма W всех подмодулей V(X), изоморфных V(X—Р), есть конечная прямая сумма таких подмодулей. Согласно (с), фактормодуль V(X)/№ прост, откуда W=Nt.

До к а з а те л ьст в о теоремы. Пусть абД+. Если (а, а) =0, то степень вхождения та(Х) в произведение (7) определяется непосредственно из леммы 8.3.6.

Предположим теперь, что (а, а)^0, и пусть р= =/a6Q+— квазикорень. Согласно лемме 8.3.9, каждый из подмодулей Nt есть прямая сумма &, подмодулей (^(<оо), изоморфных V(X—Р). Полагая

д(р)=2д„

заметим, что ^(P)p(v—Р) есть степень нуля полинома detAv(X) в точке /=0 (см. 8.3.8), т. е. степень вхождения тр(Х) в det Л„(Х).

Поэтому степень вхождения (X, а) в старший член (8) есть сумма чисел ^(P)p(v—Р) по всем p=/a6Q+. Из линейной независимости функций p(v—р) (см. 8.6.5) вытекает, что эта степень определяется равенством (8).

Теорема доказана.

Алгебра F(,ft)

Покажем, что ряд основных результатов, изложенных в главах 3, 4, естественно обобщается на алгебры Шевалле.

Всюду в этом параграфе fl—fl (а)—симметризуемая алгебра Шевалле, U' (fl) — рациональная оболочка алгебры U (fl): '

^-t/te)®^)5^)’ (1>

Соответственно мы будем рассматривать рациональную оболочку универсального модуля Верма:

MfoWti/UW(2)

При этом Af(g) рассматривается как левый U' (д)- модуль и правый D(ф)-модуль. Форма Шаповалова естественно продолжается до формы в Af(g) (со значениями в D^y

Заметим, что базис в [7(g) можно составить из упорядоченных мономов вида

е^=еи ... е1$, /,<...</.,(3)

где еД/е/) —фиксированный базис в g, J — счетное множество индексов с фиксированным (линейным) порядком.

В частности, пусть е+(г) — базисные мономы вида (3) в алгебре U (п), с элементами Е;-бда^, так что Е+(г) имеет вес р (/) = «,,+ ... + а^. Полагая е_ (k) = e+ (ку, находим, что элементы вида е_(^)е+(г) образуют базис U' (д) над полем D$\

Соответственно элементы е_(£) образуют базис Л4(д) над полем D$).

Для каждого рб(>* пусть ^(д) —векторное пространство всех формальных рядов

/=2е-(А)/»А(г)(4)

к,г

с коэффициентами fhf^D(^, где суммирование ведется по мономам веса р (т. е. р(г)—р(£) = р). Положим

F(0)-©^(8)-(5)

и

Легко проверить, по аналогии с 3.2.3, что F(g) есть алгебра относительно умножения формальных рядов. При этом F(g)«£(g) (изоморфизм градуированных алгебр), где £(д) определяется по аналогии с 3.2.3.

Действительно, доказательство теоремы 3.2.3 повторяется дословно с использованием невырожденности формы Шаповалова в Д4(д) (следствие 8.3.7).

По аналогии с 3.2.8, определим экстремальный проектор pSFto) как единственное решение системы уравнений

flaP=P6«=0 для всех а6Д+,(6)

с нормировкой Роо=1, где fOo — свободный член формального ряда (4).

Другими словами, f00 есть проекция элемента (4) на D^) параллельно подпространству n'F(0)+F(0)n.

Заметим, что p6Fo(fiV Очевидно, для оператора р (в регулярных g-модулях) выполняется аналог предложения 3.2.10.

Обобщенный элемент Казймира 2, определенный в 8.1.4, можно рассматривать теперь как элемент алгебры Р(0).

Заметим, что z6F0(g).

Теорема. Экстремальный проектор рб/^д) разлагается в бесконечное произведение 3.4.6 (22), где 26^0(0) —элемент Казимира алгебры 0.

При этом оператор р действует по формуле 3.4.6 (22) в каждом конструктивном 0-модуле.

Здесь имеется в виду определение конструктивного 0-модуля по аналогии с 3.4.1. Доказательство сводится к дословному повторению изложенного в 3.4.6.

Замечание. Для алгебр Шевалле «конечного роста» получена также факторизация оператора р по нормальным порядкам в Д+ (см. [116]). В общем случае этот метод оказывается неэффективным, ввиду необозримости корневых систем.

В то же время теорема 8.4.4 имеет универсальный характер (для всех симметризуемых алгебр Шевалле).

Теорема 3.4.8 о знаменателях также обобщается на симметризуемые алгебры Шевалле. Заметим, что аффинная функция аг=2г—2» имеет следующий вид:.

ае(Х)=2(Х+р, е) + (е, е).(7)

Теорема. Левый знаменатель л, элемента рх^У, где V—конструктивный ^-модуль, хбУ„, имеет следующий вид:

Лл(А) = П ае№\(8)

eGQ(x)

где т(е)=0, 1, Q(x)— множество всех квазикорней г=па (овД+, п=1, 2,...), для которых р+ебР(1/(п)х).

Доказательство (схема). Достаточно рассматривать модуль V=Ind У7, где F=U(xi)x. '

Согласно 3.7.5, функция аЕ (0^e6Q+) может определять неустранимую особенность элемента рх лишь в случае, когда

Нотд(1/(Л + ц), 1/(Х + Ю)^0

для точек общего положения на гиперплоскости at(X+p.) =0, где е = ц/—ц. Поскольку е=#0, отсюда следует, что модуль К^Х+Ю не прост, т. е. X лежит в объединении гиперплоскостей а_т(Х+р') =0, где у — квазикорень (см. 8.3.5). Заметим, что 1

ае (Х+р) = а_Е (Х+р/)

при е = р'—р. Отсюда следует, что е=7— квазикорень. Согласно 3.4.6, имеем также ц+ебР (F).

Более детально это доказательство изложено в [101].

Отметим одно интересное следствие из теорем 8.3.5, 8.4.5.

Пусть П — множество всех К^Р, таких, что 2(Х+р, а) ^п(а, а) для всех а6Д+, n6Z. Условимся говорить, что модуль У категории О примитивен, если р(У) с <=П, и пусть O’prim—подкатегория всех примитивных модулей категории. О.

Теорема. Категория Oprim полупроста и все ее простые объекты суть примитивные модули Верма К(Х), где Х6П.

Действительно, если Х6П, то V (X) — простой модуль (следствие 8.3.5). Более того, каждый циклический модуль, порожденный старшим вектором веса ХбП, изоморфен К(Х) (ввиду максимальности V(X)). С другой стороны, пусть V— примитивный g-модуль. Полагая

w=u^v+,

находим, что W есть прямая сумма модулей К(Х), где ХбП. Если V^W, то существует вектор Уо^!^, для которого пУоб^- Применяя к этому вектору экстремальный проектор р (что возможно в силу теоремы 8.4.5), получаем pvo— Уоmod W, т. е. pv^W, что противоречит определению W.

Полученное противоречие показывает, что V = W, т. е. V — полупростой g-модуль.

Замечание. Категории C^mt, б^нт не пересекаются (поскольку ППР+=0).■

Вложение gcg, где g—алгебра Ли, назовем редуктивным, если g=g®f, где f — дополнительный g-jwo- дуль, ad I) — диагональный и локально нильпотентный относительно adn.

Для каждого редуктивного вложения gcg естественно определяется алгебра Микельсона S (д, д) и дается ее характеризация в терминах экстремального проектора.

В частности, из теоремы 8.4.5 следует теорема о знаменателях для алгебры S(g, g).

Контравариантные формы

Пусть g— симметризуемая алгебра Каца—Муди. Отметим некоторые свойства контравариантных форм в пространствах д, £(Х), где АбР+.

Мы будем рассматривать эрмитовы формы в пространствах д, £(Х), определяемые следующим образом. Пусть (•, ■) — инвариантная форма в алгебре д, определенная в 8.1.2. Полагая

(х, у^=(х, у*),(1)

где х, y^Q, х *-* х* — эрмитова инволюция Шевалле (см. 1.2.4), получаем эрмитову форму в алгебре д. Аналогично, для каждого Хб^* пусть

(х, УК= у*) М(2)

в обозначениях 8.3.2, где х, y6U(g). Повторяя рассуждения 8.3.2, находим, что форма (2) определена для элементов х, у modZ(X), т. е. может рассматриваться как эрмитова форма в пространстве £(Х).

Очевидно, формы (1), (2) обладают следующими свойствами контравариантности:

(ах, у)*=(х, a*W, (ах, у)х=(х, а*у^х (3)

для всех а, х, y6U(g) и всех х, убЕ (X).

Замечание. Форма (1) однозначно определяется условием контравариантности (3) и своими значениями на подалгебре I). Форма (2) однозначно определяется условием контравариантности (3) и своим значением (равным 1) на старшем векторе е (X) б£ (X). См. по этому поводу 8.6.4.

Ниже будет доказана следующая теорема (Каца—Петерсона) об эрмитовых формах (1), (2).

Теорема (i). Форма (1) положительно определена в пространстве n'®n. (п). Форма (2) положительно определена в пространстве £(Х) для всех Х6Р+-

Замечание. Если dim д<оо, то форма (1) положительно определена во всей алгебре д. В общем случае форма (1) обладает изотропными векторами. Например, (а*, а*) =0 при (а, а) =0.

Доказательство изложено в 8.5.3—8.5.6.

Пусть z6F(^ —элемент Казимира, определенный в 8.1.4. Положим z=zo+2z+, где zq6(/(()) определяется равенством 20(Л) = (X, Z-j-2p) для всех Х6(>*. Согласно этому определению,

2^. =а^/.а)

в обозначениях 8.1.4, где суммирование ведется по корням «6А+.

Лемма. Для каждого хб^/Дд) имеем

[z+, х]=х(т_Д0) — ц*),(4)

в обозначениях 8.1.2, 8.3.7.

Доказательство легко получить из равенства [z, х]= =0 (см. 8.1.5). Непосредственное вычисление приводится ниже (см. 8.6.7). Оно основано на следующем тождестве:

2[^, — ,+[^6> <1 = 0(5)

ii

в алгебре g®g, где хбдо_р. См. также [104], лемма 1.1.

По аналогии с 8.5.3 определим следующий оператор в пространстве п':

Zi^’^adXi.-aad' Xt.a,(6)

i,a

где суммирование ведется по корням «6А+, (асГа)х= =[а, х]0, х ^х0— проекция элемента хбд на п' относительно треугольного разложения 8.1.1 (6).

Лемма. Для^аждого абА+ имеем

z1 = 2to(0)-1(7)

в пространстве д_о (1 — единичный оператор).

Доказательство. Проверим равенство (7) в применении к элементу xlo, где хбд_о, 10 — старший вектор

V(0). Отсюда будет следовать (7), поскольку алгебра и^п') действует в У(0) без делителей нуля.

Используя, (4) при р=—а{, находим

2т„ (0) х!0 = 2г+ (х10) = 2 2 ^i,-p^ip(^1о) =

i.P

= 2 2 х<,_p[xjp, х] 1о = 2' [^.-р> 1^Р> *П 10 = 21 (х) 10

*,рi.p

где суммирование ведется по корням 06Д+ и штрих над знаком суммы означает ограничение суммирования условием 0<а.'

При этом доказательство последнего равенства основано на тождестве (5). См. по этому поводу 8.6.9. См. также [104], лемма 2.1.

Доказательство (i). Достаточно проверить, что форма (1) положительно определена на fl-a, где абД+. Полагая

|a| = Sl«il ПРИ а = 2Я/а<’(8)

Ii

мы будем использовать индукцию по |а|. При |а| = 1 утверждение (i) следует из равенства (ей f<)=e< (см.

8.1.2). В общем случае, исходя из соображений индукции, можем считать утверждение (i) доказанным для всех корней р<а.

Отсюда следует, что для каждого ^<а существует ортонормированный базисх(-,_рв пространстве gJ^. Воспользовавшись этим базисом в определении элемента Казимира, можем считать, что xfp=x*_p. Отсюда, согласно (7), имеем для каждого хбд_а

2г„(0)(х, х)*=(г1х, х)* = 2'([*<.-«, fap, ^П> ^)* =

= 5(faiP’ ХЬ fap> *])>

i.P

где суммирование ведется по корням 0<£<а. Согласно допущению индукции (для корней Р<а), правая часть этого равенства неотрицательна. Следовательно, (х, х)*^ ^0 для, всех x6g_a.

Здесь мы воспользовались равенством т„(0) = = (р, а)^-(а, а), откуда та(0)>0 при условии a^aj (i6/), т. е. |а|>1.. .

Поскольку форма (1) невырожденна и (х, х)*^0 для всех х6д_а, находим, что (х, х)* = 0 влечет х=0.

Доказательство (ii). Достаточно проверить, что форма (2) положительно определена в Ex-vW для каждого v6Q+. При v=0 это следует из условия нормировки (е(Х), е(Х))х=1. В общем случае — индукция по |v|,rAe |v| определяется согласно (8).

Полагая v=^0 и применяя оператор z+ к вектору и=х\к, где x6^7_v(n/), заметим, что

z+u=x(t,(0)+v*) П=т,(Х)и,

■ согласно лемме 8.5.3. Отсюда

Tv(X)(t>, г>)х = (г:+г>, г>)л = 2(^='у’ xi»'°')(9)

при условии, что л:(а=л:*, как в доказательстве (I).

Заметим, что xtax имеет вес —v+a. Отсюда xiau=0 при a<v. Полагая a<v, находим |v—a|<|v|. Поэтому заключаем, из допущения индукции, что правая часть (9) неотрицательна. Следовательно, (и, и)х^0 для всех иб бЕх-4М-

Здесь мы воспользовались неравенством t,(Z)>0 при 0*v6Q+, Х6Р+.

Из невырожденности формы (2) следует также, что (и, и)х=0 влечет и=0.

Теорема доказана.

Дополнения, упражнения

Пусть g—симметризуемая алгебра Шевалле, и пусть Laty* — объединение гиперплоскостей, определяемых равенствами те(Х+ч) = 0, где peQ+— квазикорень, t^Q. В [103] рассмотрено следующее расширение алгебры U (д):

1Ш = Щй)®и^Р№),(1)

где Е^)—алгебра комплекснозначных функций на t)*\L. В [103] показано, что алгебра (1) обладает достаточно большим центром, разделяющим точки Х6Р+-

Отсюда следует еще одно доказательство теоремы 8.2.6 о полупростоте категории бЛы (см. [103], Sect. 8, Corollary 2).

Замечание. Фактически в [103] рассматривается следующее «голоморфное расширение» алгебры U(д):

Uh^ = U^®uWH^,(2)

где Н^—алгебра функций, голоморфных во внутренности следующего конуса:

X=WC++iE.(3)

Здесь Е — вещественное подпространство в Ь*, определяемое условиями <Х, aj>6R для всех №1, C+clE — камера Вейля, определяемая неравенствами <Х, сй’^О для всех №1.

В [103] установлен следующий аналог теоремы Бернштейна, Гельфанда и Гельфанда для симметризуе- мых алгебр Шевалле.

Теорема. Для вхождения 5(g) в качестве подфактора в V(X) необходимо и достаточно выполнение следующего условия; X—ii=niYi+ . . . +п^к, где ^\+, п{= = 1, 2, . .. связаны соотношениями

2(Х+р—RiYi—«.-П<-ь Ч^=пАЧ» Ч^ (4)

для всех i=l, 2, ..., к.

Доказательство основано на использовании фильтрации Янсена (см. 8.3.8) и теоремы 8.3.5 относительно формы Шаповалова в U(д).

Отметим явный вид операторов модуля V(X). Пусть Х(Х)—свободная алгебра с единицей над полем С, порожденная образующими xit где №1. Положим

'flxtl...xln=xlxil...xtn,(5)

Ьхи ...xin = Xll^xi„)xtl ...Xin,(6)

n

... xt=^ xu... htU) • ..Xin, (7) 7=1

где №P*, ХДц in) = <h, ait )+.,.+ < h, ain ) и где символ hi{j) означает подстановку оператора ht вместо сомножителя х^.

Легко проверить, что операторы (5), (6), (7) удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры д, т. е. наделяют Х(Х) структурой g-модуля. Положим

r(X)=X(X)/F(X),.

где У (X)—идеал алгебры Х(Х), порожденный элементами Ti, (x), i^j. .

Предлагается проверить в качестве упражнения, что У(Х) инвариантно относительно операторов (5), (6), (7). Поэтому U7(X) есть g-модуль..

Отображение Xi w- ft (16/) определяет изоморфизм W'(X) « &(n'). Поэтому 1$7(Х)«У(Х) (модуль Верма со старшим весом X).

Упражнение. Проверьте, что форма А в пространстве V (д) (аналогично, А(X) в пространстве У(Х)) однозначно определяется условием контрава- риантности 8.3.2 (4) и условием нормировки А(1, 1) = = 1.

Докажите также существование формы А, исходя из условия контравариантности. .

Указание. Воспользуйтесь тождеством

A (ftx, у) =А (х, ety^ индуктивно по | § | относительно весовой градуировки У(д)ь где№ (=-Q+)..

Упражнение. Проверьте, что функции Д (v) = =p(v+X) линейно независимы.

Указание. Воспользуйтесь линейной независимостью характеров ch V (X). См. 8.2.8.

Упражнение. Пусть g — симметризуемая алгебра Каца—Муди. Фиксируем а6да_р, где а, ^€Д, и рассмотрим внутреннее дифференцирование х=[а, х].

Проверьте выполнение следующего тождества в пространстве g®g:'

2^.-а® ^а + 2^-“® х'₽ = 0,(8)

где xio— элементы, определенные в 8.1.4. Отсюда также

'^Xi.-aX « + 2^.-Р® Хф = 0(9)

в алгебре U (д).

■ Указание. Воспользуйтесь невырожденной билинейной формой в g®g, определяемой равенством

(х,®х2, у,®^) — ^,#,) (х2, у2),(10)

где х<, гдбд- (t=l, 2). Соотношение (8) достаточно проверить, спаривая его с элементами вида е®/, где ебд,, feg_p относительно формы (10).■

Упражнение. Используя (2), докажите лемму 8.5.3..

Отсюда следует также доказательство предложения 8.1.4.

Указание. Если утверждение леммы справедливо для весовых элементов х, у, то оно справедливо и для ху. Поэтому достаточно рассмотреть случай x=et) y=f<.

Упражнение. Проверьте, используя (7), что для каждого разложения а^+у в Д+ выполняется следующее тождество в U (д) :

Xi,—p^zp 4* XlyXi,— у = 0,(11)

i)

где положено х=[а, х] при фиксированном абд_а.

Проверьте, что для каждого абД+ выполняется следующее тождество в 17(g):

2(-^,чзЯр-Мг,-р^р) = 0,(12)

ьр

где суммирование ведется по корням 0<р<а.

Указание. Достаточно рассматривать слагаемые, для которых а—^бД, т. е. а=р+у при некотором убД+.

ГЛАВА 9

КВАНТОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Содержание этой главы относится к недавним исследованиям «квантовых деформаций» алгебр 1/(8), где g — алгебра Каца—Муди. Эти деформации, введенные (в 1985 г.) как содержательные примеры «квантовых алгебр Хопфа», оказались полезным инструментом в теории представлений «классических» алгебр U(8).

Помимо общих построений (относительно категории C^int), мы обращаем в этой главе особое внимание на теорию «кристальных базисов» Люстига—Кашивары.

Общая схема использования этих базисов в категории tfmt будет намечена в гл. 10.

Алгебра (/,(8)

Пусть 8=й(а) — алгебра Каца—Муди, определенная над некоторым полем F характеристики 0, и пусть F^q)—соответствующее поле рациональных функций от независимой переменной q.

Всюду в этой главе мы сохраняем обозначения главы 8, с той разницей, что символы е,-, fa будут рассматриваться как элементы некоторой новой (квантовой) алгебры над полем F(q).

Напомним, в частности, что Р*^, Р<=^* — дуальные решетки, определенные в 8.1.6.

Определение. Пусть Uq(8) — ассоциативная алгебра с единицей над полем F^qfa порожденная элементами et, fa (i6/), qk (h$P*) и следующими фундаментальными соотношениями:

qhqh' = q*+h', ^о = 1,(1)

qheiq-h = q<h.»0eii qhjiq-h = q-<.h.»0 j^(2)

(3)

T#/(e)=rz/(/) = 0 при Z^y.(4)

для всех Л, h'6P*, I, ]61, где использованы следующие сокращенные обозначения:

9i=qt—qrx-(5)

ql = q^i-ai\ f^q^i’^i,(6)

п

-TZ/ (л) = 2 (— 1)" xWXjX\b-n\(7)

л=0

Здесь /i,Gf) — элементы, определенные в 8.1.1, х=(х,) с подстановкой xt = eit fi в равенствах (4),

xi(") = xi"/[n]il,(8)

[n],!=[l]i---[n]i — «квантовый факториал», определяемый «квантовыми целыми числами»

Н^ОгЧ^-^Г").(9)

Кроме того, мы полагаем х/п) = 0 при п<0.

Алгебра Uq (g) называется квантовой деформацией (или квантовым аналогом) алгебры 17(g). Соотношения (4) называются квантовыми условиями Серра.

В дальнейшем (начиная с § 7) полагаем F = Q, R или С.

Замечание. При желании можно рассматривать символ qh как формальный (экспоненциальный) ряд от переменной hGP*. В этом смысле Uq (g) порождается (в ^-адической топологии) элементами е<, ft (№1), h6P* и фундаментальными соотношениями (1) — (4).'

Полагая O^q^F, можно также рассматривать 17, (д) как семейство ассоциативных алгебр над полем F, зависящих от параметра q. Случай q=\ требует предельного перехода в равенствах (1) — (4), после чего эти равенства превращаются в фундаментальные соотношения для алгебры 17(g) (см. 9.3.4).'

В этом смысле U^^U^). В дальнейшем мы будем рассматривать также предельные переходы у->0, оо.

Инволюция Шевалле обобщается на . чгебру 17,(д) следующим образом: ei'=ft, f/ = ei, (q <' = qh, q' = q (последнее означает, что инволюция х^х' F(q) — линейна).

Алгебра Uq(g) обладает автоморфизмом х^х, определяемым на образующих по правилу et = et, fi—fi, qh~.

==^“\ q = q~x (в последнем случае имеется в виду автоморфизм поля F(q')').

Иногда мы будем рассматривать также инволюцию х*-*х*, определяемую равенствами et* = ei, ft*=ft, (qh)*=q-h. q*=q.

Заметим, что предельные переходы <?—>-0, оо сопряжены друг другу относительно автоморфизма х>-*х.

Поскольку соотношения (4) вырождаются при qn=l, мы в дальнейшем предполагаем, что q не есть корень из единицы. См. также 9.10.2.

Элемент 0V=x6t7,(g) называется весовым, веса ХбР, если

qhxq-h=q<h>v>x для всех йбР*.(10)

Согласно 9.1.2, алгебра (/д(й) порождается весовыми образующими веса 0, ±а, (iG/). Поэтому

Uq^ = © ^(0)м(П)

№Q

где Uq(g)x —- весовое подпространство, натянутое на весовые элементы веса X.

В частности, пусть 17д*(й)> ^9° (в) > Uq (й)—подалгебры Uq(й), порожденные соответственно элементами в» qh, ft. Заметим, что эти подалгебры наследуют весовую градуировку (11) соответственно при Х^О, Х = 0, Х^О. При этом'

и,^о=и;^о=р^.

Предложение. Умножение в алгебре Uq(й) индуцирует следующий изоморфизм векторных . пространств:

и, (й) ~ и; (й) ® U, (й) ® ии^ -(12)

Мы опускаем доказательство этого утверждения, предоставляя его детали в качестве упражнений 9.10.8, 9.10.9. См. также [114].

Разложение (12) называется треугольным разложением в алгебре Uq(^..

Замечание. Иногда определяют алгебру Uq(й) как алгебру с образующими et, ft, t{, tr1 k^IV что равносильно замене й(а) на й'(а).

Категория О

Пусть V— левый C7g(g)-модуль. Элемент О^ибУ называется весовым веса цбР, если

qhu = q<h,rtu для всех h&P*(1)

Модуль V называется Р-диагональным, если

И=®ИЦ,(2)

и

где Уц—весовое подпространство, натянутое на весовые элементы веса ц.

Заметим, что L/g(g) хV^cz:Ух+ц (стандартное правило сложения весов).

Определение. Пусть О — категория Р-диаго- нальных L7g(g)-модулей с конечномерными весовыми подпространствами Уц (ц.бР) и добавочным условием

Р(Ю=иА(Ха,(3)

1=1

в обозначениях 8.2.1, где P(V)— множество всех весов модуля V.

Пример. Для каждого Х6Р пусть ЦХ)—левый идеал Uq^, порожденный элементами е^ (i67), 9*—q<k-x4 (АеР*). Положим

у^=1штм.(4)

Модуль V(X) называется модулем Верма над алгеброй C/g(g). Согласно треугольному разложению 9.1.5, имеем

V(M = CV(g)k~tV(g),(5)

где к — образ единичного элемента leC/g(g) при факторизации (4).

Очевидно, изоморфизм (5) согласован с градуировкой, откуда, как и в классическом случае, находим

Р(У(Х))=А(Х), dim У(Х)и=р(Х—ц),

где р— функция Костанта.

Отсюда следует, что V(X) есть модуль категории О.

Повторяя рассуждения 2.2.2, находим также, что для каждого Х6Р существует единственный, с точностью до изоморфизма, простой C7g(g)-модуль категории О:

E^ = V^IN^,.

где ^(X)—наибольший подмодуль V(X), не содержащий 1х.'

Замечание. Относительно явного вида операторов V(X) см. 9.10.4.

Случай g=5l(2). Алгебра (/,(51(2)) порождается образующими е, f, t, t-1 и соотношением

Ve, n=e-4t—t-^,(6)

где 0 = 9—9-i (плюс весовые соотношения для е, f).

Модуль £(Х) над алгеброй (7, (51(2)) определяется равенствами

e£v = [X—v]^v+2, fBv=U+v]^v-2, ^v=9vBv, (7)

где X6Z+, £v (v= —X, —X+2,... Д) — базис векторного пространства £(Х) над полем F(q).

Простота £(Х) легко проверяется, по аналогии с 2.1.2.

Предложение. (1) Каждый простой конечномерный U,(51(2)) -модуль категории О изоморфен одному из модулей Е(Х) при X6Z+.

Категория 3"0=3"V\O, где 3" — категория конечномерных Ug(dl(2))-модулей, полупроста.

Доказательство. (1) По аналогии с 2.1.2 находим, что каждый модуль V категории 3"0 обладает старшим вектором O#=vo6V, для которого еио = О, tu0= = qxu0 при некотором X6Z. Если V— простой модуль, то он натянут на векторы

v„ = f(n)v06Vx_2n (n=0, 1, 2, ...).(8)

При этом цепочка (8) обрывается, ввиду dim V<oo, т. е. um#=0, ит+]=0 при некотором т. Далее воспользуемся тождеством (легко проверяемым индукцией по п):

п+1],(9)

где

[/i+n]=9-1 (q4—q-4-1).(10)

Применяя это тождество к элементам (8), получаем

еи„=[Х—n+llvn-ь(11)

откуда также

efvn ={n+l][X—n]v„.(12)

Полагая в последнем тождестве n = m, получаем [X—т]=0, откуда Х=т. Полагая gv = Vm-v, получаем после несложной проверки соотношения (7).

Легко проверить, что следующий «элемент Казимира» содержится в центре С7,(з1(2)):

г—^+^Ч-’+б^е—2.(13)

При этом действие z в пространстве f(X) сводится к умножению на число

z0(X)=?x+i-2+^-1.(14)

Заметим, что zo(X)#=O при X6Z+. Дословно повторяя доказательство 2.3.2 с использованием элемента (13), получаем (ii).

Замечание. Категория 3" несколько шире категории З-». См. по этому поводу 9.10.5.

Категория Ушь Модуль V над алгеброй Uq^ называется интегрируемым, если он Р-диагонален и выполняется еще одно из следующих двух (эквивалентных) условий:

Операторы еь f, локально нильпотентны в пространстве V.

Модуль V финитно редуктивен при сужении на подалгебру Uq^t), порожденную элементами е^, fi, t{, tr1 (при фиксированном t).

Эквивалентность условий (а), (Ь) проверяется так же, как в 8.7.4.

Определение. Пусть C^mt — полная подкатегория в 0, состоящая из интегрируемых ид($)-модулей.

Предложение. Модуль Е^) над алгеброй (Л, (б) принадлежит категории C^mt тогда и только тогда, когда №Р+.

Доказательство. Необходимость условия Х6Р+ проверяется так же, как в 8.2.4.

Для доказательства достаточности проверим, полагая №?+, что операторы е,-, ^- нильпотентны на каждом векторе вида

x=fu ...fieQ-Y(15)

где е(Х) — старший вектор Е^.

. Нильпотентность оператора е^ следует из весовых соображений (если m достаточно велико, то вес вектора у = е™х не меньше X, откуда z/ = 0). Нильпотентность

оператора ft будет доказана индукцией по п в цепочке (15).

Пусть вначале п=0. Полагая Xt = (ht.X'y, легко проверяем, что у,= /^+’е(Я,) есть старший вектор Е(Х), откуда yt = 0 U^J) ввиду простоты Е (А).

Пусть теперь п=#0. Применим оператор fim к вектору (15). Если i=ii, наше утверждение сводится к допущению индукции (с заменой и на п—1). Если i^in воспользуемся условием Серра, согласно которому

/Гь/,=^ cljkmf*-k/,-/?+*(16)

Й = 1'

(с некоторыми коэффициентами cljlim) для всех zzt = O, 1, 2, ... Полагая j =1х и применяя обе части (16) к элементу фи ... fte (X), воспользуемся допущением индукции (с заменой п на п— 1). В результате получаем ут+б^ — о црИ достаточно большом значении т.

Пусть /(=Z[<7, </-1] — кольцо с образующими q, q~\ Для каждого x=ht-\-n (№1, m6Z) условимся использовать следующее обозначение:

Иг=0,-,(<7^-№)-(17>

Лемма. Для каждой пары целых чисел п, т и для каждого 161 выполняется тождество

е^/Г> = 2 /<т-й)е<л-й) ГЛ/ + ?-т1(18)

с коэффициентами из К (относительно t*, s6Z), где

П [х—А + 1],

в обозначениях (17).

Доказательство сводится к несложной индукции по п, m^l. См. 9.10.7.

Модуль Е (X)

Основная цель этого параграфа — показать, что модуль Е(Х) при Х6Р+ получается «квантовой деформацией» из одноименного модуля над алгеброй (/(0).

Предварительно рассматриваются некоторые арифметические свойства модуля Е^ относительно кольца q"^.

Определение. Пусть U к (g) — подкольцо Uq^, порожденное над К элементами е^, /^, t^ t~l, где 1бЕ /г>0. Положим'

£-K(X) = ^K(3)^W(1)

и условимся рассматривать Ек (А) как модуль над кольцом Uк (g).

Предложение. Пусть Uk. Uk> Ur—подкольца Uк (3)> порожденные соответственно элементами fin\ i?1, е\п\ где 1^1, п>д. Тогда имеем

UkU^UkU^U^.(2)

Доказательство сводится к последовательному использованию тождества 9.2.5 (18) для приведения элементов Uк (g) к виду (2).

Следствие. Для каждого ^Р^. имеем Ек^) = = UkC^ и также

Ек^ = Ке^^ЬЕк^\^

Замечание. При этом мы не пользовались предложением 7.1.5. Напротив, равенство (2) может быть использовано (см. 9.10.9) для доказательства 9.1.5.

Предложение. (1) Отображение а^х*-*ах определяет изоморфизм векторных пространств

E^wF^q^K ЕкМ-(4)

Модуль Ек^ градуирован весовыми подпространствами Ек^ц, где р.бР.

Доказательство. (1) Согласно следствию 9.3.1, отображение a®xi-+ax сюръективно. Докажем инъективность. Допустим, что

^at^x^d, "2iaixi==0,(5)

i=ii=i

где а^Е^, х^Ек(к). Условимся считать, что х^О, и пусть m минимально для всех соотношений типа (5).

Пусть р — проекция £х(Х) на Ке^ относительно разложения (3). Поскольку х^О, существует элемент

u=etl ...е^п, для которого рих^О. Применяя оператор ри ко второму равенству (5), получаем

'^ialb1 = 0,

1=1■-

где bt6K определяется из соотношений puxt = bie(^, так что bi^O. Полагая у4=Ьхх4—б^ь получаем

• тт

^а^у^О, '2*alyL = 0. ;=1i=i

При этом 1/1 = 0, что противоречит минимальности т.

Отсюда следует (4).

(й) Для каждого №1 и каждого цб%—Q определено бесконечное произведение

л(1-)-П[й'^;+"],(б>

п=#0.

как (локально финитный) оператор в £(%). Здесь n^Z, p4 = <hi, p>6Z.

Очевидно, оператор р<(р) проектирует Е(Х) на собственное подпространство оператора tt с собственным значением q*i. Поэтому оператор

р(ц) = Пр<(ц)(7)

проектирует Е^ на Е^». Согласно лемме 9.2.5, коэффициенты (6) содержатся в К. Поэтому р(ц) сохраняет £К(Х). В результате

Р (ц)£’к (X) = Ек (X) ^Ек (X)

для всех ц^Х.

Следствие. EkM» есть свободный К-модуль ранга п(Х, ц)^р(Х—ц).

Определение. Пусть J = (q—1)К, так что F«KJL Положим

Е^=Р^кЕк^,(8)

где А» ^/рассматривается как /(-модуль (с действием qx=x для всех хбЕ)..

Согласно 9.3.2, имеем

Д(Х) = ©Ё^,(9)

где Е^а — образ весового подпространства £к(Х)ц относительно специализации (7).

Ясно также, что

£к(Х)=£®^£(Х).(10)

Предложение. Пусть et, f{ (i&I) — линейные операторы в пространстве £(Х), индуцированные одноименными операторами в Ек^, и пусть НбР* — линейный оператор в £(Х), индуцированный оператором

где 9 = q—q-1. Тогда операторы е,, ft (i6/), h^P* определяют представление алгебры g=fl(а) в пространстве £(Х). При этом

£(Х)м=(хб£(Х)\hx=<h, ц>х для всех h^P*}. (И)

Доказательство. Напомним, что действие qh в пространстве £К(Х)М сводится к умножению на q\ где n=<h, ц>. Отсюда

[й]х=[п]х для всех хб£к(Х)м.

Производя в этом равенстве предельный переход при 7->1, получаем

hx=nx для всех хб£(Х)„.

Отсюда следует (11).

С другой стороны, имеем, согласно 9.1.1 (2): [/г]е;=е,[4+п;], где п< = </г, а<>.

Применяя это равенство к элементам хб£к(Х)„ и производя предельный переход при </->-1, получаем

/iei=e1(/i+n1) в пространстве £(Х).

То же верно при замене et на /,, п, на —п^. В результате■

[А, еД=п(ео [й, fA——nJt

в пространстве £(Х). В частности, пусть h=ht (№П. Применяя 9.1.1 (3) к элементам хб£к(Х)м и производя предельный переход при q-*-l, получаем

fa, tA™^^ в пространстве ЕрА» . ,

Ясно также, что квантовые условия Серра 9.1.1 (4) превращаются при предельном переходе в классические условия Серра для алгебры U (д).

Таким образом, Е(Х) наделяется структурой U^- модуля относительно операторов sif Y (i"6/), h^P*.

Теорема. Для каждого Х6Р+, Е (X) есть простой ^-модуль со старшим весом X. Соответственно

dimF(g)£K(X)p=dimF£(X)p,(12)

для каждого рбР.

Доказательство. Из локальной нильпотентности операторов е4, f{ в пространстве ЕК(Х) следует локальная нильпотентность одноименных операторов в пространстве E(XY Поэтому модуль Д(Х) интегрируем.

Согласно 8.2.6, модуль Е (X) полупрост. В то же время из равенства (3) следует

£г(Х) = Д6(Х)ф2/Л(Ч

Поскольку для каждого простого g-модуля справедливо аналогичное равенство, е(Х) есть единственный, с точностью до множителя, старший вектор Д(д). Следовательно, Е (X) есть простой д-модуль.

Соотношение (12) очевидно из (4), (10). При этом обе части (12) совпадают с п(Х, ц).

Следствие. Характер модуля Е(X) определяется классической формулой 8.2.8 (11).

В заключение отметим аналог конструкции

8.3.2 для алгебры Uq^Y

Предложение. Для каждого Х6Р+ существует единственная симметрическая билинейная форма (•, •) в пространстве E(XY удовлетворяющая следующим условиям контравариантности;

Vf1*- VW** qhyY(13)

{fiX, у) = (х, q-'t^y)(14)

для всех х, yGE^XY hGP*, iGl, а также условию нормировки'

(e(XY е(Х)) = 1.(15)

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. См. 8.6,4..

Категория ^mt

Как и в классическом случае, мы получим полное описание категории £Лпь

Теорема, (i) Категория Охп\ полупроста (т. е. каждый модуль категории 0\п\ есть прямая сумма модулей Е^ при X^P+Y'

Аннулятор старшего вектора е(Х)б£(Х) порождается элементами

et,qh-qWA, f^+\(1)

где 16/, h^P*, 'Ki = {hi, Х>.

Доказательство излагается в 9.4.2—9.4.6.

Лемма. Каждый циклический ич^%Умодуль, порожденный старшим вектором веса Х6Р+, изоморфен E^XY

Доказательство. Пусть V=Uq^v0, где и0— старший вектор веса Х6Р+. Полагая V^Uk^Vq и используя 9.3.1 (2), получаем

Полагая V=F ®к VK и повторяя рассуждения 9.3.4, 9.3.5, получаем VK~EK(X) . Соответственно V«E(XY

Доказательство (ii). Пусть 7(Х)—левый идеал Uq^, порожденный элементами (1). Повторяя рассуждения 9.1.4, находим, что модуль V=Uq^yi (X) интегрируем. В то же время V есть циклический Uq^Y модуль, порожденный старшим вектором 1Х. Согласно лемме 9.4.2, получаем V?sE(Xy

Определение. Для каждого Uq(g)-модуля V определим сопряженное действие в пространстве V* по правилу

<ах, у> = <х, а*у>,(2)

где аб/УДд), x6V, убУ* (а>->- а* — инволюция, определенная в 9.1.4). Подпространство У'сУ*, определяемое равенством

.w=®v;(3)

есть подмодуль V* (ввиду весового правила для элементов е{, fy

При этом форма (2) невырожденна на каждой паре

v», w &еру

Предложение. Отображение N^N1, где N — подмодуль модуля V, N3-— его аннулятор в V', определяет биекцию между Lat У, Lat V' в категории б?пп всех конечных композиционных рядов категории О.

Действительно, подмодуль N градуирован весовыми подпространствами Nu=Nf\Vu. При этом

(NiiL)-L=Nll для всех цбР, ввиду конечномерности подпространств Nu. Следовательно, (N-L)-L=N.

Аналогично, (N-L)-L=N для каждого подмодуля Пс сУ'. Отсюда следует биективность отображения N^N-*-.

Следствие. Если У=Е^, то V'=EVXY— простой U,(д)-модуль с младшим вектором yQ'6V-x* (n'tV =0).

Действительно, P(V') с—А (X), причем —X есть наименьший вес Р^У'У Отсюда п'уо=О для базисного вектора Уо'бУ-х*.

Лемма. Предположим, что для каждой пары X, цб£+ точная последовательность•

0->£(Х)->И->£(р)->0. (4)

раси^епима, т. е. У^Е(Х)®Е(ц). Тогда категория C^int полупроста.

Доказательство. Согласно 8.2.6, доказательство сводится к рассмотрению точной последовательности вида

0-+№0->У~>£(Х0)-И),(5)

где №о=®£(Х4)— полупростой t/g(g)-модуль, Xi6P+ для всех L Имеем

У=Л0®^0, '(6)

где Ло— дополнительное подпространство. Заметим, что всякое другое подпространство ХсУ, дополнительное к П^о, имеет вид Х= (1+А)Л0, где

h^hp h(: Х0->Е(Х^(7)

— линейный оператор из Ло в Wo. Ввиду расщепимости последовательности (4) при Х=Х<, ц=Хо, оператор ht можно выбрать так, чтобы аЛП£(Х<)=0 для всех аб 6t/g(g). Но тогда имеем

. оЛПИ7о=0 для всех a6t/g(g), т, е. X (жЕ(Хо))—дополнительный подмодуль.

Доказательство (i). Согласно лемме 9.4.5, достаточно проверить расщепимость последовательности (4) для всех X, р&Р+~

Пусть ц0бГ—примитивный вектор веса р (mod£(X)). Если поо=0, то Uq(g)uo«E(p), согласно лемме 9.4.2, т. е. последовательность (4) расщепима. В противном случае Х>р (см. 2.3.2).

Заменяя последовательность (4) сопряженной последовательностью, получаем

0^Д(ц),^Г-*Д(Х),-*0 в обозначениях 9.4.4.

Повторяя предыдущее рассуждение с заменой п на п', получаем расщепимость последовательности (8) во всех случаях, кроме —р-<—X, т. е. Х-<р.

В частности, при Х>ц последовательность (8) расщепима, откуда следует, согласно 9.4.4, расщепимость последовательности (4).

Таким образом, последовательность (4) расщепима для всех X, рбТ’+.

Замечание. Приведенное доказательство допускает упрощение в случае dimg<oo. См. 9.10.10.

Группа Wq(^

Определение. Для каждой' (обобщенной) матрицы Картана а пусть Г=Г(а)—группа с образующими rt (16/) и фундаментальными соотношениями вида wtj=wit, определенными для каждой пары индексов t^/ при |а<, |^3. Здесь

Юц-г^г^ . • ■. Цш^ = card А,/,(1)

(в обозначениях 1.4.10).

Группа Г называется группой кос, ассоциированной с матрицей а. Заметим, что группа Вейля W есть факторгруппа группы Г по нормальной подгруппе Го, порожденной элементами г,-2 (16/).

Определим преобразование rt (i6/) на образующих алгебры Uq(g) следующим образом:

rlel = -fit,, rj^—lte^ г^—д'1*1,(2)

г^-^-^д^еМе/Л(3)

Л

rt/j=l^-WWW^(4)

где qt = q7x, 1Х = 1Х\ i4=j, a=|aiy| и преобразрвание h^rji определяется действием группы Вейля в пространстве I).

При этом, ввиду соглашения £(") = //”>=0 при и<0, суммирование в (3), (4) ведется по индексам /г=0, 1а.

Предложение, (i) Преобразование rt продолжается единственным образом до автоморфизма алгебры Ug^y При этом ггх=гх*, где

гх*х= (г^*)* при x6Uq^y(5)

Формулы (2), (3), (4) определяют действие группы Г в алгебре ид^У

Следствие. Отображение rt>-* г> есть антипредставление группы Г (в группу Autt/g(g)).

Для доказательства (i) достаточно проверить, что формулы (2), (3), (4) сохраняют структурные соотношения алгебры Uq^V Для доказательства (ii) достаточно проверить тождества o/ij = a/ji при i^j для операторов гх.

При этом достаточно рассматривать случай card/= = 2, т. е. алгебры ранга 2.

Опуская детали вычислений, ограничимся отдельными примерами для алгебр типа Аг, В2.

Заметим, что в этих случаях (а также в случае 6г) алгебры Uq(^ порождается элементами ех, ft, tx-', где t= 1, 2.

Случай А2. Полагая (а(, а{) = 1, где /=1, 2, получаем qt = q2=q. Введем обозначения

etj=ete;—qe^,, fn-hh—qfih(6)

при i^j. Согласно 9.5.2, имеем eiX=rteb fa=r1fi. Заметим, что

_е<Нн+.(7)

где х+=х' — инволюция алгебры t79(8)- Имеем:

1е.Р /у] = et [Ау]-"q^ ez = ([Ау +1] --q [A J) ex = tsex, hy. Az] = [Az] ej — "qcj [Az]=6j ([Az — 1] — q [A,]) = — e^.

Отсюда (при 14 J)

ky. /jA = tjel/l — /jejtl + qejilfj-q/ltjel =

= tj [Az] + [Ay] tx = [A, + A2]

§ Б. ГРУППА W^tg)'29

где использован символ 9.1.5 (17) при x=/ti+/t2. В результате

[г«еь ^1=^11 при i^j.

Остальные соотношения проверяются аналогично. Заметим также, что

г4г5е4=еь rirjfi=fj при i#j.(8)

Случай В2. Полагая (ai, ai) = l, (a2, a2) =2, получаем q\=q, q2=q2- Введем обозначения

е^е^-сре^, к=Мг^2М< (9)

при l^j, и пусть

АГ112 = [2]-1[Х1, Х12], х211 = [2]-1[х21, *1],(10)

где символ х принимает одно из значений е, f. Согласно 9.5.2, имеем e2x=r2ex, ft2=r2ft, eU2=rxe2, f2u = rxf2. Легко проверяются следующие равенства:

et2 = r1e2t, /21 = г1/12’(И)

^211 =Г2ец2, fu2 = r2/2U-(12)

По аналогии с 9.5.3, находим

Р12> /г]^^!-1^21» /2]= —^1^2»(13)

Ра- /НШ р12,/1]=-[2]е271.(14)

Отсюда, используя перестановочность tv с 612, е, с /4г, получаем

Р112» Л]~—^12^1. Р112, /21] = Л^Ь

Отсюда следует

Р112- /211] — [Л^Р /11 = [/21- ^12^11 =

— ^/2 pj 4* Pi4" ^2] 7 — [2А14- h^-

В результате

[г 1^2, Г1/2] = Г1[А2].

Остальные соотношения проверяются аналогично. Заметим также, что

(г^)^^^, (г,г,)2/,=/, при i^/.(15)

Определение. Группа, порожденная операторами г, в алгебре Uq^, обозначается W4(g) и назы-

вается квантовой группой Вейля (ассоциированной с алгеброй д).

Замечание. Легко проверить, что Г«Wq(д).

Для каждого приведенного разложения rh...ift=f‘i1.. .rtk в группе Г условимся использовать то же обозначение для соответствующего произведения операторов в группе Wq($.

■ Теорема, (i) Оператор 1И=г11..дк в группе ^(д) не зависит от выбора приведенного разложения элемента ту6Г.

(п) Если wax—a, при некоторых I, /, го wet—ep wft=fi.

Утверждение (i) непосредственно следует из 9.5.2 (ii) и теоремы 1.4.12. Утверждение (ii) легко проверяется для алгебр ранга 2. См. (8), (15). В общем случае воспользуемся следующей леммой.-

Лемма. Если ша<6\+, где 1¥=юбГ, 161, то существует приведенное разложение

w=us, s6rih, .(16)

при некотором k^i, где Г<Ас:Г — подгруппа с образующими rt, rh. При этом 8=^1, т. е. Ци) </(ю).'

Действительно, существует кб1, для которого l\wrk^ < <Z(ty). Пусть и — элемент наименьшей длины в множестве гуГ^, тогда имеем равенство (16), где s^l. Поскольку tyriai<0, имеем l(wr{) >Цю), т. е. l*k.

Замечание. Если юа|=а,) то элемент s в (16) определяется из приведенного разложения iotk=srt (см. [101]). Отсюда sat=ak, иак=а5.

Доказательство (ii). Поскольку преобразование s в (16) порождается подсистемой ранга 2, имеем set= =ek, sft=fk. Применяя индуктивное предположение к элементу и (Ци) <Zl(w)), получаем uek=eb ufk=fj. В результате wet=eb wfi=fb

Определение. Положим dimg<oo. Фиксируем нормальный порядок в Д+, полагая

a(s) = ^,-ia^ (5 = 1п^,№>

где i0s=rll...ts — приведенное разложение для всех s = lт. Положим

ещ^-тв,^, f^-Ts^J^. -(18)

Элементы (18) называются корневыми векторами алгебры Uq^, отвечающими нормальному порядку (17).

Согласно 9.5.6 (ii), определение (18) корректно (т. е. не зависит от выбора приведенного разложения элементов w=waY

. Предло ж е н и е. Для каждого «6А+ корневые векторы (18) содержатся в Uk(^).

Действительно, это следует из явных формул для алгебр ранга 2. В общем случае — индукция по Цф); в разложении (16).

Замечание. ea=fa+ относительно инволюции х *-*х+, определенной в 9.5.3.

Фиксируем нормальный порядок (17), и пусть

W = ^)- • -^>> М=Ап...&(19)

для каждого мультииндекса k= (Аь ..., k„Y

Заметим, что e(k) =f(k)+.

Теорема. Элементы е(к) (соответственно f(k)) образуют базис Uk+(&) (соответственно UK"(.$Y

Доказательство. Для каждого v6Q+ пусть Sv— конечное семейство элементов f(A), имеющих вес —v, и пусть SV(X)—семейство элементов f(£)e(X) в модуле E(kY где Х6Р+. Имеем

'rankSv(Z,)^rankSv^p(v),

где р — функция Костанта. С другой стороны, при достаточно большом значении X имеем (см. 2.3.6)

rankSv(X)=p(v).

Поэтому rankSv=p(v). Но это и означает, что система Sv образует базис /(-модуля t/K-(9)-v

Таким образом, наше утверждение доказано для элементов HkY но тогда и.для элементов e(A)=f(A)+.

Примеры. 1. Тип А а- Нормальным порядкам т: a,, «14*02, «г; о* аъ «14*02, «1 соответствуют базисы

(FxY РрПгД*- W f^f^A'-(20)

Тип B2. Нормальному порядку т: «ь 2«i4*«2, «14* 4-ог, «2 соответствует базис

^YA’/^V^(21)

Инверсному порядку о: аг, ai+аг, 2а1+аг, ai соответствует базис

(^а): А'Л^Л^Л1-(22)

Алгебра 3^g(g)

Специфика квантовых алгебр проявляется при рассмотрении присоединенного действия алгебры Uq^- В частности, действие элементов е, в Uq-^ «поляризуется» относительно автоморфизма х*-*х (см. 9.1.4).

При этом естественно возникают некоторые ассоциативные алгебры «квантовых бозонов» [106] , действующие В Ug""^.

Предложение. Оператор ad е{ действует в алгебре Uq~ (g) следующим образом:

(абе,)л=0Г' ^а^х — tr'a^,(1)

где at, а<бЕп6 Uq~ (g)—операторы, удовлетворяющие соотношениям

aJj = qij//ii-Vtiip aj5=Уи/^1-^И.(2)

Здесь fj рассматривается как оператор умножения в Uq (g), qij=Qij>

qij = qW=q^ = qjb^

Действительно, (1) справедливо при х = 1 (так что а<(1) = оД1) =0) и при x—fs (так что сЩА = сЩ^ = = 6У). В общем случае достаточно рассматривать элементы х=/г, .. ,/i п.

Исходя из соображений индукции по п, будем считать, что (1) уже доказано, и перейдем к рассмотрению элемента y=fjX. Имеем (ad ei)y=fj(ad е^х+б^Ог1 (^ — —tr1')x=^i~4tiaiy—t^a^, где действие операторов tz„ а^ определяется (после перестановки );, t^ равенствами (2)._

Предложение. Операторы аь аг удовлетворяют соотношениям Серра

т<Да)=т«(а)=0,(4)

где 1*1, а=(а^, а=(а<), а также соотношениям

alai=qi)a)at,(5)

для всех i, j61.

Доказательство. Проверим, что оператор А^ = =Ti,(a) удовлетворяет соотношениям вида

Ajjfh ^-tikfhAii,(6)

для всех i, j, к (i^=j), при некоторых Xtjh6F(<q'). Отсюда и из равенства Ао(1)=0 следует Л,-,=0 во всем пространстве Uq-^.

Если k^i, j, равенство (6) очевидно из (2), поскольку б<*=б,6=0. Полагая k=j, находим

Лу/у = 2(~\у^Гпа^ №/АЛ-1) ^6-и) = п

= QijQl2 f j^i} + а^ Bi J, где использовано обозначение

6

в и = 2 (- 1)" [^ • ^ = П (1 -^Г^' Qi)Y(7)

п5 = 1

Здесь мы пользуемся легко проверяемым тождеством

т

(8)

Я^ = l

в котором q заменяется на qt. Полагая x=qlj=qib~i, находим, что (7) обращается в нуль. Отсюда следует (6) при k=j.

Аналогично рассматривается случай k=i. При этом используется тождество

aiWh="q^tiat№Vqi^a^\(9)

легко проверяемое индукцией по п.

Заменяя также а на а, получаем (4). Аналогично, из рассмотрения оператора С^=а,-^—^а^ следует (5).

Замечание. Операторы at, а{ переходят друг в друга при автоморфизме х*-*х. Поэтому в дальнейшем, как правило, мы ограничиваемся рассмотрением операторов at (161).

Определение. Пусть ^(^—ассоциативная алгебра с единицей над полем F(q), порожденная образующими Цц f< (^) и фундаментальными соотно-

нениями (2), (5), к которым добавляются условия 2ерра .

Tij(a)=Ti,(a)=0(10)

для всех i#=j.

Условимся говорить, что ^g(g)—квантовая алгебра Вейля (ассоциированная с алгеброй д).

Заметим, что отображение х^х', определяемое на образующих по правилу а/=1Й fi'=ait продолжается единственным образом до инволюции алгебры ^g(g).

Предложение. Отображение f®a>-^fa определяет изоморфизм векторных пространств

^qto~^q'UW^q+^,(И)

где sl><f (g) (соответственно s£q* (g)) — подалгебра с единицей, порожденная элементами ft (соответственно а{). В частности, ,

•^-(0)ГЖ+(0)=Л<7),(12)

где F(q) отождествляется с F(q)\.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (по аналогии с 0.7.4).

Следствие. Пусть 7+ — левый идеал s^q^, п0‘ рожденный элементами at (16/). Тогда имеем

^q^=^q-^®J+ = F(q)®N,(13)

где N=JV+J+ Ц+'— образ J+ относительно инволюции х*—>-х').

Согласно 9.6.3, алгебра ^,(д) действует в пространстве Uq" (g). При этом, согласно (13), имеем

^-(0)=^Г(0)1«^(0)//+.(И)

Предложение. Существует единственная симметрическая билинейная форма (•, •) в пространстве Uq" (g) такая, что

.(/<-«, г/) = (л:, агг/), (1, 1)=1(15)

для всех №1, х, y^Uq~(Q).

Действительно, пусть А — симметрическая билинейная форма в ^j(g), определяемая равенством

А(х,у) = (х'у)0,(16)

где х ** х8 — проекция x6^(g) на F(q\ относительно раз

ложения (13).. \

Очевидно, форма (16) удовлетворяет условию контра- вариантности (15) и ее ядро содержит J+. Поэтому можно рассматривать А как контравариантную форму в пространстве (14).

Остается положить А (х, у) = (х, у). Единственность этой формы легко проверяется по аналогии с 8.6.4.

Предложение. Экстремальное подпространство kera системы а= (а^ в пространстве Uq~(^ совпадает с F(q) А. При этом

Uq~ (fl) =im f®ker а, (17)

где im f — линейная оболочка подпространств fiLV(S) (по всем i&I).

Действительно, пусть Um (m=0, 1, 2,...)—градуировка алгебры Ц_(й), определяемая по правилу degfi=l. Легко проверить, что f71flkera=0. Пусть уже доказано, что (7m-inkera=0 при некотором т>1. Полагая хбУтПкега, заметим, что aiXGf/^^ker а согласно (5), откуда а,х=0 (для всех i6/). Отсюда (adei)x = 0 (для всех i6iy Следовательно,

е;хе(А) =хе,е(А) =0

для всех ХбР-ь №1- В результате хе(Х)=0 для всех А6Р+ (поскольку m>l). Отсюда следует х=0 (по аналогии с 2.3.7). В результате L/mflkera = O при m^l, т. е. ker а = U0=F(q) 1. Отсюда следует также (17) .

Предложение. Форма (•, •) невырожденна в пространстве U ,-(£). '

Действительно, пусть К — ядро формы (•, •) в пространстве t/,'(g), и пусть K™=KfMJm в обозначениях 9.6.6.

Из равенства (1, 1)=1 следует Ка = 0. Положим m^l, и пусть уже доказано, что Km-i = 0. Согласно (15), имеем aiKm^Km-i, поэтому aiKm=0 для всех №1. Отсюда получаем Кт=0 согласно предложению 9.6.6. В результате К=0.

Замечание. Uq~(fl) есть простой j^g(fl)-модуль.

Действительно, для каждого подмодуля 0#=Vcl/g~(fl) существует вектор О^убУ, для которого ау = 0. Согласно 9.6.6, это возможно только при у=А- 1, А^О. Но тогда v=ur^.

Базисы Люстига

Пусть dim0-<oo, и пусть МО(Д+).— множество всех нормальных порядков в системе Д+. Для каждого тбПО(Д+) пусть Ех, Fx—соответствующие базисы в U^ (й), Uq- (й), определенные в 9.5.8.

Мы будем называть Ех, Fx базисами Люстига [111] в Uq^V

Поскольку ЕХ = РХ*, мы ограничиваемся рассмотрением базисов Fx.

Условимся считать, что F = Q, R или С.

Пусть AcF(q') — алгебра функций, регулярных в точке <7=0. Для каждого тбМО(Д+) пусть

LX=AFX(1)

— линейная оболочка базиса Fx над алгеброй А. Положим также

Bx = nFx,(2)

где л — каноническая проекция Lx на факторпростран- ство Lx]qLx.

Теорема. (1) Пространство Lx не зависит от тб 6МО(Д+) и совпадает с множеством

Е=^ич-^\<х, x^AY(3).

Множество Вх всех элементов вида ±х, где х^Вх, не зависит от тбМО(Д+) и совпадает с множеством

В={хбЦ(х, х)0=1},(4)

где (х, у^о=^х, у)(|?=о для элементов х, убЬ.

Каждое множество Вх есть ортонормированный базис в L/qL относительно формы (•,•).

Доказательство, изложенное ниже, основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть В — базис векторного пространства (/,~(й), ортонормированный относительно формы (■, -)о- Тогда AB=L. В частности, L есть свободный A-модуль, (х, у^А для всех х, y^L. '

Доказательство. Пусть х^АВ, т.е. х=^ ofbt,где

а^А, Ь<6В. Согласно условию леммы, (Ь^, 5,)0=6о, откуда (Ь4, Ь^)бД для всех i, j. Поэтому (х, х)бД, т. е. x^L.

С другой стороны, ввиду существования ортонорми- рованного базиса, форма (■, •)» положительно опреде-

лена в AB/qAB при F=Q или R. То же верно над полем С, если рассматривать эрмитову версию этой формы.

Фиксируем x^L, и пусть п^О — наименьшее из целых чисел, для которых y=qnx^AB. Если п>0, имеем (у, У)6уЛ, откуда y6qAB, ввиду положительной определенности формы (•, -)0. Полученное противоречие показывает, что п=0, т. е. хбАВ.

В результате, L=AB.

Следствие. Если хби,-^ удовлетворяет условиям (х, х) = 1, (х, 6)62 для всех Ь^В, то +хбВ.

Действительно, пусть х=2 а4Ь^ где а{бЛ, Ь^В. Имеем ' i

(х, х)о = 2(^)о2= I.

(х, 6)о = (я,)об2 для всех I, откуда (аг)0 = ±6», при некотором i0, т. е. х— + 6io.

Согласно 9.7.3, имеем (iii)=>(i). Ввиду включения BxclUkTV^ (см. 9.5.8), имеем также (iii)=^ (ii). Поэтому для доказательства теоремы 9.7.2 осталось проверить ортонормированность базисов Bt.

Лемма. Пусть a, f, а, (i= 1,..., п) — элементы ассоциативной алгебры st- с единицей над полем F(q), удовлетворяющие соотношениям

af~q4a+k, а4~0,(5)

где ~ означает сравнение по модулю левого идеала I, порожденного элементами at (i=ln), X6F(y). Тогда имеем

_ n(n—1) a^JWRsbnmq 2 Kn при m>n,(6)

где » означает сравнению по мрдулю левого идеала АаЦ-/, fw=fn/n\

Проверим вначале, что при п^\

а^п ~ q^^aA-Kn^q"""1^-1.(7)

При п=1 это сводится к (5). В общем случае имеем индуктивное вычисление

а/я*1=а/п/~92п/п(?/а+^ + ИЧл-1 /п=

.=^2(л+1)/^]+х[пц-1]7л/л

поскольку "^"-Н"! ? = ["+*]• При этом (7) переписывается в виде.

- ajw — q2ny(n)a-j-^qn~1f(n~i\

Отсюда, индукцией по m^l, получаем (6).

Следствие. Пусть ХбД, Ao=A|g=o. Тогда имеем

а<т)Цп) «бптХо" при т^п, q=0.(8)

Действительно, это следует из (6) при делении на [м]!, поскольку

л(л-1)

№? 2 (1+^Д).

Пример. Пусть ^=^g(sl(2))—алгебра с образующими a, f и соотношением af = q2fa-\-\. В этом случае имеем (6) при А=1. См. также 9.8.1.

В условиях леммы 9.7.4 пусть алгебра ^ обладает инволюцией х^х', относительно которой f=a'. В этом случае соотношение (8) можно переписать в более симметричной форме:

• a(m)^(n) = gnm^on для всех т> П)(0)

где = означает сравнение в ^ по модулю подпространства N= (f^+Z') + (^a+Z). Мы будем использовать (9) для установления соотношений вида

. x'y=bxv при <7 = 0,(10)

где х, у£Вх, = означает сравнение modM для подпространства N, определенного в 9.6.4. Отсюда следует равенство.

(х, у)0= (1, х'у)0 = дЖ]„

т. е. ортонормированность базиса Вх.

Вначале рассматриваются алгебры ранга 2.

Случай Д2. Фундаментальные соотношения в алгебре ^=^g(fi) имеют вид

а.А = <72Ла<+:1, aif}=qf}a{ при i^j,

где i, j=l, 2. Положим также

,atj=ataj—qajai при iV=j,

так что аи=1а'. Легко проверяются следующие равенства при i^j:'

aiJt^qJijat — q^Jj, и Jn = qfJtat,(11)

aijfj^qfjaij — qQdb a4ft = Jiau.(12)

Заметим, что (11) и (12) сопряжены о носительно инволюции х^х’ (с транспозицией i, /). Отсюда также

aijJtj^q^Jtjatj-VQq1,(13)

aijjji ^fnaij-V^q^fiai—Bq.(14)

Соотношение (10) для базиса Fo (щ . 9.5.9) принимает следующий вид:

a^p<V^№=M^^^(15)

для всех i, j, k, г, s, t6Z+.

Заметим, что аг перестановочно С fl, f 12mod^a2, f2 перестановочно с аъ аИ mod f2^, с точностью до скалярного множителя. Применение (9) к элементам а=аг, f=fz (при Х=1) позволяет заменить произведение a2(ft)f2(r) символом Кронекера 6ЙГ.

Аналогично исключаются пары а2ь Аг (^= —70, т. е. Хо=1), щ, fi (Х=1). В результате получаем (15).

То же верно для базиса Ft (транспозиция 1, 2).

Случай Вг. Фундаментальные соотношения в алгебре <$^=^g(gl(2)) имеют вид

'0^ = 7^101+1, ^2=^202+1,-

dib^q^idi при t^j,

где I, /=1, 2. Положим также.

ai^ataj — q^ajat при i^=j,■

ац2 = [2]'Ч«1- «12]. азп^ГЧаа, aj,

так что aL]=f^, aljh — fkjv Легко проверяются следующие равенства при 14=}*.

. ajil="qw-x4iiat,■

difij—"q4l-xUijCii=— 6^/р

' di1fi1 — q1hP'4T=^’

. atjJ^—'q^Jji.at^^q^JiaiA-'^, .

308гл. 9. квантовые алгебры

где Х=—02<72 (так что Хо = 1). Отсюда также

^г/Ц2 = /112^2»

^21/112^2/112^21 = [2] 'бг2/^^!»

'^11/112 ^/цг^гп = ®/12а21 + ^/2^2+7»

где y = [2]“292V (так что 70=1).

Соотношение (10) проверяется по аналогии с 9.7.6.

Общий случай. Таким образом, теорема 9.7.2 доказана для всех алгебр ранга 2, не содержащих С2 в качестве идеала. Случай G2 рассматривается аналогично (вычисления мы опускаем).

В общем случае, пусть т, o6NO(A+). Ввиду теоремы 1.4.12, можно считать, что т, а связаны инверсией ранга 2. Используя теорему 9.7.2 для системы ранга 2, получаем LxczLB, Lac^Lx. В результате LX=LB.

Более того, матрица перехода от базиса Вх к базису Во ортогональна и целочисленна, откуда Вх=Вв.

Таким образом, Lx=LB, ВХ=В„ для всех т, o6NO(A+).

Оставшаяся часть доказательства излагается в § 8, где дается также некоторое уточнение теоремы 9.7.2.

Базис Кашивары

Алгебра ^=^/,,(51(2)). Напомним, что si— ассоциативная алгебра с единицей над полем F(q), порожденная элементами a, f и соотношением

а/=у2/аА-Х.(1)

Отсюда имеем (индукцией по п, mA

anyW = ^qs^-^ Г”1(2)

i-0J

где-

^(n, mA = — ^m, + i<n + mA — '"^y^-- (3)

П p e д л о^к e н и e. Формальный ряд

00 ■- л(л-1)

P = ^ ( — AYq ~ f(n}an(4)

n=0

удовлетворяет соотношениям

ap=pf=O, p2=p.(5)

Действительно, используя (2) при п=1 (с заменой т на п), получаем

°0п^п—1)

ар = 2 ( — 1)”^ 2 Yq^J^a^q^J^-^a^

• п—й

”л(л+3)

2 /(Л)^+’ +

л=0

”(л-1)(л+2)

+2("1)”^ 2 Йп-Х^=о.

л—1

Второе равенство (5) следует из первого, посредством инволюции х'. Отсюда также рг=р.

Пусть 0=0 Y^—категория ^-модулей V, удовлетворяющих следующему условию: для каждого y6V существует п^1, для которого апи = 0.

Мы будем рассматривать (4) как оператор в ^-модулях категории О.

. Предложение. В категории О выполняется соотношение

” л(л-1)

1=2*7 2 fwpan.(6)

л=0

Действительно, имеем

fWpa№='24Y—Wl"q "^["^J /(л+т)^л+т = tn (т—/г)(т—л—1)

т>п

= 2 (— 1)т+" ^(т-!)”-е(т)-8(л) I т I fWam, где положено е(/г)=-^-/г(/г—1). Суммируя эти выражения по т, воспользуемся тождеством tn

2 (-1)Ч™Ь(т"1)л = 0 при т^О, л=0

которое следует из 9.6.3 (8) при х=рт-\ Отсюда получаем (6).

Следствие. Каждый модуль V категории О допускает разложение в прямую сумму '

V=®f">kera.(7)

п

В частности,

V=imf®kera.(8)

Действительно, (8) непосредственно следует из (7)» При этом для каждого х = 2/(л)хп, где xngker а, имеем п

п(п-1)хп = q 2 рапх.

В частности, р проектирует V на kera параллельно imf.'

Алгебра ^ = ^9(д). Пусть д —симметри- зуемая алгебра Каца—Муди, О =О (Л) — категория ^-модулей V со следующим свойством: для каждого у^У существует п>1 такое, что at, ... а1(у = 0 для всех г,, ..., 1^1.

Согласно 9.8.2, для каждого модуля V категории О и каждого гУ справедливо разложение

■У = Ф /!л) ker ab(9)

п

Используя (9), определим операторы еи ft в пространстве V следующим образом:

etf^x = fMx, fj^x^f^x, (10) для каждого х^кет аь

В частности, f7,_(g) есть ^/-модуль категории С (см. 9.6.2). Заметим, что в этом случае ^ = 1. В то же время /,^ = 1—р,-, где р4 — аналог оператора (4) для пары ai, ft.-

Операторы (10) введены Кашиварой [106] для построения ортонормированных базисов в пространстве ^(8).

Определение. Пусть F— множество всех элементов вида

х = /и.../1п1(11)

в пространстве Ц_(д), где п>0 (х=1 при и=0). Положим.

L=AF, B = nF,(12)

где A<=F(q) — подалгебра, определенная в 9.7.2, л — проекция L на L/qL.

Теорем а. Пусть dimg<oo. В этом случае

L=LT для каждого r6NO(A+),

B=Bt для каждого r6NO(A+), где В — множество элементов ±х при хбВ. '

. (Hi) Множество В содержит ортонормированный базис С пространства L/qL, так что С=В.

. Условимся говорить, что пара (L, В) есть кристальный базис или базис Кашивары в пространстве Ug-^, Доказательство, изложенное ниже, основано на следующей лемме.

Л е м м а. Для каждого t6NO(A+) имеем

аа1^=1а^аа,(13)

где а=щ— первый элемент Д+, а^РбД+, при некотором fap6^K-(6) •

Доказательство. Для алгебр ранга 2 соотношение (13) следует из явных формул, приведенных в § 7. В общем случае, исключая подсистемы ранга 2, имеем

Р = даау, w=us, $6Г,А(14)

В Обозначениях 9.5.6, где индексы i, j, k попарно различны. Исходя из соображений индукции (Z(u)<Z(w))j можем считать (13) доказанным с заменой /р на /иау’ / иай..

В то же время ff, = rwfaj = usf^j есть полином от ufaj = faaj, Ufa^fua,. Отсюда следует (13) для элемента /р.

Следствие. Элементы базиса Fx записываются в виде

x=f^x0, где х0№етаь(15)

Действительно, х имеет вид (15), где x0 = f(l), f — моном от элементов fp при а^Р- Используя (13), получаем■

aix0=a{f(l)=gat(l) =0,-

при некотором g^UK-^).'.■

■ 9.8.6. До к а з а т ел ь ст в о теоремы 9.8.4. Согласно 9.7.8, множество X всех элементов вида ±х, где хбВт, не зависит от тбМО(А+). Согласно следствию 9.8.5, элементы хбХ записываются в виде (15), для каждого №1. Отсюда

~fiXcX, ~6iXc=XU{0} (16)

для каждого 16J. В частности, из первого включения (16) следует ВсХ, откуда LcLx для всех r6NO(A+).

Обратно, пусть хбХ. Достаточно рассматривать случай x=#±L В этом случае найдется /6/, для которого CiX^O, т. е. п=#0 в равенстве (15). Исходя из соображений индукции (по весу элемента х), можем считать, что х0бВ, откуда хбВ. В результате Х = В, L = LX для всех тбМО(А+).

Отсюда следует также, что В содержит ортонорми- рованный базис С пространства L/qL, причем С=В= =ВХ для всех r6NO(A+).

Теорема доказана.

9.8.7. Замечания. 1. В действительности В есть ортонормированный базис в L]qL. При этом справедлива следующая теорема единственности [106]. Пусть V^Uq-^—свободный Л-модуль, содержащий 1, Р — градуированный и инвариантный относительно операторов eif fi для всех 161. Пусть B'^LJqL — Р-градуирован- ный базис, инвариантный относительно операторов fi и такой, что gjB'czP'ufO} для всех 161. Тогда L' = L, В' = В. 2. Из явных формул для случая Л2 легко вывести (см. 9.10.12), что Вх = Ва. По-видимому, это верно для всех алгебр ранга 2, но тогда и в общем случае (при условии dim^Coo). '

§ 9. Фильтрация Шуберта

В заключении этой главы остановимся вкратце на несколько более специальном вопросе о фильтрации базисов Люстига.

Для каждого w6F, положим

Х„=^-(0)Пи>^-(б). (П

и заметим, что семейство Х„ (шбГ) образует убывающую фильтрацию пространства Z7,~(g). В частности,

X^U,-^, X-=F(q)l,(2)

где 1 — единичный элемент, из — элемент наибольшей длины в группе Г.'

По аналогии с § 2.5 мы называем семейство (1) фильтрацией Шуберта в пространстве Uq~^.

Замечание. Из технических соображений, в отличие от § 2.5, мы рассматриваем убывающую фильтрацию (относительно порядка 1.4.8).

Фиксируем нормальный порядок r6NO(A+), записанный в виде n<s^ = T3as^nts, где ^ = гг,,..^ в обозначениях 9.5.7. Положим -K3 = -K3j при некотором j, и пусть Fx,w — часть базиса Люстига

фх\ =(3)

определяемая условием ^= ... =^=0.

Заметим, что FT,W содержит корни a(s4*l) =wsa,i только при w.^w, Поэтому FXtWczXw.

. Предложение. Семейство Fx,ro образует базис векторного пространства Xw.

Доказательство. Пусть вначале Z(w) = l, т. е. w = r< при 1=1\. Переписывая элементы (3) в виде f^^f^rw,(4)

гДе /'(&)-^-произведение оставшихся мономов (3), находим

(5) где

Фиксируем x6Uq-^- Используя предложение 9.1.5, находим, что г,хб!7в-(д) лишь в том случае, когда разложение х по мономам (4) содержит эти мономы только при п = 0.■

Но это и означает, что Fx,ro образует базис Х„ при Z(ty) = l.

В общем случае — тривиальная индукция по Z(tyJ.

Операторы ga. Пусть тбМО(А+) —нормальный порядок, определенный в 9.1.2, и пусть fa («6Д+)—корневые векторы, определенные в 9.5.7.

Условимся рассматривать fa (абД+) как оператор умножения в U,-^). Заметим, что равенство a = w«i, где шбГ,"а&Д+, влечет- .

fa=wftw-\(6)

где w рассматривается как элемент группы H7g(g). По аналогии с (6), введем обозначение■

ga=wgtw-\ gi=a< (i6/)(7)

для оператора, действующего в Xw (если x6XW) то w~*xeUe-(g), т. е. определение (7) корректно).

При этом для каждого приведенного разложения w = uu имеем

ga = UgPU"1,-(8)

где р = Уа,, gp рассматривается как оператор в пространстве и-1ХмсХ„.

Предложение. Операторы (6), (7) связаны соотношениями вида

ga/p = /apga При « < 0,(9)

ga/a = gafaga + 1,(Ю)

где fap6L/K-(g), qa=q{ при a=wat (a<0 относительно порядка т).

При этом оператор ga однозначно определяется условиями (9), (10) и равенством ga(l) =0.

Действительно, соотношения (9), (10) получаются преобразованием х^таш"' из соотношений 9.8.5 (13), 9.8.1 (1) при a = ait f=fi.

Если ga' — другой оператор, удовлетворяющий (9), (10) И УСЛОВИЮ ga'(l)=0, ТО разность gaga' = b УДОВлетворяет соотношениям вида 6fp = faP6 для всех 0^а. Отсюда и из равенства 6(1) =0 находим 6 = 0 во всем пространстве t/g~(g).

Следствие. Элементы х$Хю удовлетворяют уравнениям

(Дю): g»x=0 для всех абД„.

Пример. Для алгебры типа Аг операторы ga содержатся среди операторов gi = a{ (i=l, 2) и операторов

■■- gih~^ (t^^))

где Х=6<72. Для алгебры типа Вг операторы ga содержатся среди операторов gi = ai (t= 1, 2) и операторов gik ^ ^iA> " gijk Ц O-tjki

где Х=02<74, р.=6162<76.

Определение. Пусть тбМО(А+)—нормальный порядок, определенный в 9.5.2. Для каждого w = Wj (/=1,..., m) положим

'Pw = Pa(j) • • • Ра(1),(11)

где ра — оператор, определенный в 9.8.1 (4) для пары a=ga, f = fa..

Теорема. Оператор (12) не зависит от выбора нормального порядка в А„={а(1)«(/)}и удовлетворя

ет следующим соотношениям: ■

(а)gaPw=Pwf»=0 при аеАш,

(0)Pw = Pw для 8сех ^Г.

Мы опускаем доказательство этой теоремы, которое сводится к проверке для алгебр ранга 2 (см. 9.10.13, 9.10.14) и применению структурных соотношений в группе Г..

См. по этому поводу [101].

Теорема. Оператор pw. проектирует Uq~ (g) на Xw параллельно подпространству

yw= ^faU^Y(12)

При этом Xw есть множество всех решений системы (Дш) .

Действительно, из рассмотрения базиса (3) следует

Uq-^=Xw©Ym.(13)

С другой стороны, имеем (согласно (8)) ^g~(6) = impU)®ker pw(14)

для проекционного оператора pw. При этом из соотношений (П), (а) следует

Xrac:Smc:impw, Уш cker pmr(15)

где 5Ш — множество всех решений системы (Дш). Поэтому (13) совпадает с (14), и также Х^Зц,. '

Замечание. Оператор р=рто, где w— элемент наибольшей длины, есть аналог экстремального проектора для алгебры ^=^(д).

§10, Дополнения, упражнения

Алгебра Uq^ была введена независимо Дринфельдом [100] и Джимбо [99] в связи с теорией вполне интегрируемых уравнений. Частный случай д = =51(2) рассматривался ранее в ряде работ (см. [99]).

Описание категории S"=^' (Uq^^ в случае dimg< <оо было получено Россо [114] и Люстигом [107]. Обобщение этого результата на категорию C^mt, приведенное в § 4, основано, в сущности, на тех же идеях. Квантовая группа Вейля ^(д) определена в работах Люстига [108], [ПО]. Там же рассматриваются некоторые арифметические свойства базисов FT (dimgCoo).

Общая теория кристальных базисов развита Каши- варой [105], [106]. В §§ 7, 8 мы излагаем «универсальную часть» этой теории, относящуюся к алгебре Uj^-

Разделение «универсальной» и «модульной» части (см. гл. Ю) для случая dimgCoo оказывается возможным благодаря использованию первоначальной конструкции Люстига [111], где рассматривались алгебры g типов Ап, Dn, Еп.

Особый интерес представляет рассмотрение квантовых алгебр Uq^ в случае, когда <7"=1 при некотором п>1 (т. е. ^ — корень из единицы). Как показано Люстигом [110], алгебра Uq(^ в этом случае содержит идеал конечной коразмерности, фактор по которому изоморфен обертывающей алгебре и^п), где д„ = = gn(a) — алгебра Шевалле над конечным полем Fn.

Алгебра Uq^ обладает двумя «коумноже- ниями» А±: Uq(6)->Uq^®Uq^, для которых следую-

щие диаграммы коммутативны:

(1)(1)^(0)— -Uq^®Uq^ л±^|д±®*

(1)

(1)

Uq (g) ® Uq (g) — Uq (g) ® Uq (0) ® Uq (0)

При этом A± есть гомоморфизм, определяемый на обра

зующих по правилу

А+(е;) = е;®1+^®е;, А+(/;)==/;®<Н + 1 ®/;, (2)

A_(ei) = e<®#rl4-l®e<, АД/;) = Л® 1 + ^®/<- (3)

Соотношение (1) называется законом коассоциативно- сти. Оно превращает (/„(й) в алгебру Хопфа [97] над полем F^q).

Наличие двух коумножений позволяет ввести две структуры тензорных произведений в категории ^(й)-модулей. Произведение M®+N двух модулей М, N определяется правилом действия

x(u®u) =А±(х) (и®и)(4)

в пространстве M®N- Здесь хб[/9(й), uFM, u6N и действие оператора А±(х) в правой части (4) определяется покомпонентно.

Алгебра Uq^) обладает также «коединицей» е, т. е. гомоморфизмом е: Uq^)-*F(q), определяемым на образующих по правилу

б(еа=е^)=0,8(^ = 1,(5)

и «антиподом» (т. е. инволюцией) о, определяемым на образующих по правилу

(Т(е,)=—qrxet, okh)=—qih, o{qh)=q~h. (6)

Упражнение. Проверьте, что явный вид модуля Верма У(Х) над алгеброй ^(й) получается из 8.6.3 подстановкой qh вместо h, q’*- вместо X, где Х= = ХнЦ\, ■ ■ ■, Y), [Ае] вместо hi.

Упражнение. Проверьте, что алгебра ^(й) имеет ровно 2" одномерных представлений, где n = card/, определяемых на образующих по правилу

(в(ег) =a(fi) =0, <в(/г) = ±1(7)

со всеми возможными комбинациями знаков в формуле (7).

Упражнение. Проверьте (по аналогии с

9.1.4), что каждый простой модуль категории ST (dimfl<oo) имеет вид <й®Е^), где ХбР+, о — одно из одномерных представлений, описанных в 9.10.5.

л-1) [А/л-1) [А/У п р а ж н е н и е. Проверьте (индукцией по п^О) выполнение следующего тождества:

л-1) [А/

л-1) [А/

\ei,OT = /V\ei,OT = /Vпп(8)

\ei,OT = /V

\ei,OT = /V

п

п

для каждого №1. Получите отсюда (индукцией по т^0) соотношение 9.1.5 (18).

Упражнение. Проверьте, что мономы /(а) = ^...^,(9)

где а= (аь ..., ап), /={1,..., п}, линейно независимы.

Указание. Пусть Sca/(a)=0 при некоторых a

ctt6F (д'). Применяя оператор (1®а)А-, получаем 2ca/(a) ®/(а)-1 = 0 в алгебре Uq^ ® ^(б), откуда a

' 2 <V («№)'-’= 0(10)

в алгебре End Uq(g), где /(a) (соответственно /(a)') — оператор левого (соответственно правого) умножения в ид^.

Применяя оператор (10) к базисным мономам е(£)б бТ^+(д), проверьте, что (10) влечет са=0 для всех а.

Замечание. Если dimg<oo, то мономы (9) образуют базис Uq0^-

Упражнение. Проверьте, что мономы ftWaW

линейно независимы (отсюда, согласно 9.3.1, следует предложение 9.1.5).

' 9.10.10. Упражнение. Докажите лемму 9.4.2 по аналогии с 9.4.6 (т. е. без использования элемента Казимира) .

Замечание. Тем самым доказательство теоремы 9.4.1 полностью освобождается от использования элемента Казимира.

См. по этому поводу замечание 9.4.6.

Упражнение. Проверьте следующие тождества для алгебры Д2:

W^^Z ^Лт}^Л‘\(И)

r,s,t

/^=2[S]| q^W^,(12)

где суммирование в (11) ведется при условиях а= = s-|-/, b = r-Vs.

Упражнение. Проверьте равенство Вх = = В0 для алгебры Д2, используя тождества (И), (12).

Упражнение. Проверьте, что экстремальный проектор для алгебры s^=s^q(^ при д=Л2 имеет следующий вид:

Р = Р1Р21Р2 — Р2Р12Р1, (13)

где ра — аналог оператора 9.8.1 (4) для пары a=ga, f = fa. .

Упражнение. Проверьте, что экстремальный проектор для алгебры ^=^(9) при 0 = ^2 имеет следующий вид:

Р — Р1Р211Р21Р2 — P2P 12Р112Р1»(14)

в обозначениях 9.10.13.

Упражнение. Проверьте, что оператор р=р- есть экстремальный проектор для алгебры ^= =^»(д) при dimgCoo.

ГЛАВА 10

КРИСТАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ

В этой главе дается краткий обзор теории кристальных базисов [106] в модулях категории 6\nt.

Поскольку описание кристальных базисов в общем случае связано со сложной комбинаторикой, мы ограничиваемся частным случаем dimgcoo.

Общая конструкция

Пусть й— симметризуемая алгебра Каца— Муди, ^(й) —соответствующая квантовая алгебра, определенная в 9.1.1..

Пусть V—интегрируемый ЦДй)-модуль. Согласно теории представлений алгебры 6/9(з1(2)), для каждого 161 имеет место разложение

V = ® f^ ker^f,(1)

п-

где суммирование в подпространстве V^nker в/ ограничено условием О^п^щ- (напомним, что p„=</ii, ц>). Заметим также, что

/["> (Vu П ker е^ = е^ (У-ц П ker j J, (2) где числа п, т связаны соотношением п + т = р,;.

Используя разложение (1), естественно ввести следующие операторы:

^/^/Мх, fJ^x=AnJrX4 (3)

для каждого хб ker е,.

Напомним, что AczF^q) означает подалгебру функций, регулярных в точке q = 0.

Определение. Пара (L, В) называется кристальным базисом [105] модуля V, если выполняются следующие условия:'

V=F^®AL. пространстваградуировкой,V=F^®AL. пространстваградуировкой,LaV есть свободный Д-модуль, (0) BaL/qL есть базис векторного L/qL.

V=F^®AL. пространства

градуировкой,

V=F^®AL. пространства

градуировкой,

(у) Пара (L, В) обладает весовой т. е.

L = ®U, B = USp,-(4)

рр

где LM=LnVu (весовое подпространство веса р), 8^= =B(}Lli/qLll.,

Пара (L, BU{0}) инвариантна относительно операторов (3), т. е. е^стЕ, и также

e,BczBU{0}, /;Вс=Ви{0},(5)

для всех 161.

Для элементов а, ЬбВ равенство а=е4Ь равносильно b=f,a..

Пример. Пусть g=0l(2) (см. 9.2.2). Элементы

6„=/(п)е(Х), где О^ге^Х,

образуют кристальный базис модуля Е (X) при X6Z+.

Для каждого Х6Р+ пусть L^—линейная оболочка над алгеброй А элементов вида

х=К ... jVQC),(7)

где п^О (х=е(Х) при м=0). Пусть F (X)—канонический образ семейства (7) в L(X) /qL(x}. Положим B(X)=F(X)\{0).

Теорема. Для каждого Х6Р^ пара (В(Х), В(Х)) есть кристальный базис модуля В(Х).

Доказательство для случая dimg<oo излагается в § 5. Общий случай рассмотрен в [106]. Простое доказательство для типов Ап, Вп, Сп, Dn имеется также в [Ю5]..

Следствие. Каждый модуль V категории (Лщ обладает кристальным базисом.

Действительно, если У=ф^ и каждый модуль У< обладает кристальным базисом' (£ъ В^, то пара

Е—ФЕр B = UBt(8)

ii■

есть кристальный базис модуля V.

Теорема. Пусть V— модуль категории d^t с кристальным базисом (L, В). Тогда существует изоморфизм V«® V,-, с простыми компонентами У<=Е(Х>), относительно которого пара (L, В^ изоморфна паре (8) с компонентами L^L^X^, В^В^).

Доказательство этой «теоремы единственности» будет изложено в § 2 при условии, что теорема 10.1.3 уже доказана.

-Напомним (см. 9.3.6), что в £(Х) фиксирована контравариантная форма (•,■).

Теорема. Для каждого ХбР+ имеем-. .

' (i) £(Х)=(хб£'(Х) | (х, х)бД}.

(П) ВМ есть ортонормированный базис относительно формы (х, у)0=(х, у)|д=0, определенной в L(X)/qL(X)._

Множество В(Х), состоящее из всех элементов ±х, где хбВ(Х), имеет следующий вид:

В(Х)={хе£(^)/у£(Х)| (х, х) = 1}.(9)

Доказательство для случая dimg<oo излагается в § 5.

Остановимся пока на некоторых элементарных свойствах кристальных базисов.

ю.1.6. Предложение. Пусть ^L, В)—кристальный базис модуля V. Тогда имеем

/^кегкви(10)

п '

где keriA=Bf]ker е^ При этом каждый элемент ЬбВ содержится (mod уЦ лишь в одной из компонент разложения (10).

Действительно, если х— 2 f^Xn, где хлбкегег, п

то etx= 2 f^^Xn, причем вторая сумма короче на п

одно слагаемое. Поэтому можем считать (индуктивно), что x„^L при п=£0. Но тогда и x0QL. Отсюда следует (10).

_ Если также xmodyAgB, то eiXmodyLeBUfO). Если etx^qL, tq x&qL при /1^0 (цо. аналогии с (10)), рткуда

§ 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 323 x=x0mod qL. В противном случае находим (индуктивно), что eix=f^^Xn при некотором п, откуда

x=Jlelx=J^xn.

Замечание. В дальнейшем равенство (10) будет доказываться индуктивно по компонентам весовой градуировки Лц=ЛП^ц. При этом (10) принимает вид ■

Л^Ф/^^^пкег^а. ' (И)

. Согласно 10.1.6, для доказательства (11) достаточно требовать, чтобы пара (Лц> Вц0{0}) была инвариантна относительно операторов ей f; с добавочным условием (е) для элементов а, ЬбВи.

Теорема единственности

Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что теорема 10.1.3 уже доказана, т. е. пара (^(Х), В(Х)) есть кристальный базис модуля £(Х) для всех Х6Р+.

При этом допущении будет доказана теорема единственности 10.1.4 (см. 10.2.4).

Поскольку теорема 10.1.3 справедлива при g=sl(2) )(см. 10.1.2), мы сможем воспользоваться теоремой единственности при 0=з1 (2).

Лемма. Пусть Х6Р+, хб£(Х)ц при ц#=Х. Тогда из условия etx6qnL(X) для всех 161 при некотором n^Q следует x6qnL(xy

Доказательство. Пусть вначале п=1, и пусть x£L(Xy Полагая x=^c(b) b -^-у. где c^b^F, yQqL(X), 6mod^Z(X)eB(X), находим ^cVb^etb=O для всех /6Л Поскольку р^Х, для каждого b существует i такое, что etЬ^О. Поскольку элементы etb=£O линейно независимы, находим с(Ь)=О для всех Ь. Поэтому x£.qL (X).

Отсюда, индукцией по п, находим, что из условий xGL(X), etx6qnL^ для всех 161 следует хбу’ЧДХУ

В общем случае имеем x6q-mL(X) при некотором т>0. Применяя предыдущее утверждение к элементу y=qmx6L(1Xl, получаем y6qn+mL ^К), т. е. x6qnL^X), .

Лемма. Пусть Lc^E (X) — A-модуль, обладающий весовой градуировкой, инвариантный относительно операторов eit ft для всех 161 и такой, что LK=Ae(X). Тогда Е=ЦХ).

Доказательство. Поскольку е^бЬ, ffL^L для всех 161, имеем L^c^L. Для доказательства обратного включения достаточно проверить, что Lllc^L(X')ll для всех Цт^Х.

Исходя из допущения индукции по | ц |, можем считать доказанным, что e^cL (X)ц+а z для всех №1. Отсюда, применяя лемму 10.2.2 (при п=0), находим Ли<щЕ(Х)и.

Замечание. Утверждение леммы остается справедливым для каждого модуля mE (X), где пг — кардинальное число, с заменой Е(Х) на mL^X).

Доказательство теоремы 10.1.4. Поскольку множество весов модуля V ограничено сверху, достаточно рассматривать случай, когда V=V'®W, где V'-mE^, U7x=0.

Используя лемму 10.2.3 (см. замечание в конце 10.2.3), находим, что V' обладает кристальным базисом (£', В'), где L' =mL(X), В'=тВ(Х) (объединение т, непересекающихся экземпляров базиса В(Х)). Более того, из рассуждений 10.2.3 следует, что L'=pL, где р—проекция V на V' параллельно W. Поэтому

L = L'^M, где M = L(\W. (1)

Остается проверить, что В=В' [ [ С, где C==B(\WlqW. Пусть x6Bv, x=y-\-z, где хбЬ', убМ, относительно (1). Если ц=Х, имеем 2=0. В общем случае — индукция по |ц|. Предположим, что у=^0. Согласно лемме 10.2.2, существует 161, для которого е4у=£0. Согласно допущению индукции, е4убВ', откуда х=}<е4убВ'.

Теорема доказана.

Отметим еще один вариант теоремы единственности.

Предложение. Пусть (L, В) —кристальный базис модуля V, и пусть (•, •) —контравариантная форма в V, относительно которой (L, L)c.A, (х, у)0=6ЗС1, для всех х, убВ. Тогда имеем:

L={x6V| (х, х)бД}.

(И) Для каждого разложения V=®Vt в прямую сум-

му взаимно ортогональных подмодулей имеем разложение 10.1.3 (8), где

Lt=LnVt, B^B^L/qU(2)

Действительно, (i) доказывается по аналогии с 9.7.3. Для доказательства (ii) положим M=®Lt и заметим, что■

М^\qnL = qnM для всех п^О.(3)

Достаточно проверить (3) при п=\. Полагая х= = ^x^M^qL, где x£Lt, находим

(л, х)о=2(х'’ Л/)о=0-

откуда (х,, Xi)о=О для всех I, ввиду положительной определенности формы (•, *)о- Поэтому x/qL для всех i, т. е. x^qM.

Предположим теперь, что x = 2xz6L, и пусть qniXiQ.L при некоторых п^О. Полагая n = maxnt, находим q^M П qnL, откуда х€;И, согласно (3).

В результате L = M.

Тензорное произведение

Пусть М®N=M®-N — тензорное произведение Uq (й) -модулей, определенное в 9.10.3.

Теорема. Пусть Ki, V 2 — интегрируемые модули, и пусть (Lf, Bt)—кристальный базис модуля V; (i=l, 2). Тогда имеем;

Пара (L, В), где L = LV®L^ B = Bi®B2 есть кристальный базис Vi®V2-

Для каждой пары абВ\, ЬбВ2 и каждого №1 выполняются следующие равенства:

/Да® Ь) =

(7\а® Ь, если/Да^/О, etnb=0 при некотором п, (a® Jib в противном случае, et (а® b) =

fa®etb, если /Да—О, е/Ь^О при некотором п, ~\eia®b в противном случае.

Доказательство. Утверждение (i) очевидно из определения кристальных базисов. Для доказательства (ii) достаточно, в силу теоремы единственности для 91(2), рассматривать частный случай 0=91(2).

Пусть 0=91(2). Положим вначале Vi=£(l), V»=E(X) при некотором X6Z+. Согласно 10.1.2, Vi обладает кристальным базисом из элементов «о, «ь для которых ейо= =fui=O, fuo=ui, eit\ = uo. Аналогично, Уг обладает кристальным базисом из элементов vk (£=0, 1X),для

которых

w»=[X—-£+lK-i, /и„=[^+1]ий+ь

где имеется в виду (для общности записи) и_1=щ+1=0. Полагая"

ао=ио®ио, Ь0=и0®ух—[M^i^Uo, получаем старшие векторы простых компонент, изоморфных соответственно £(Х+1), Е(Х—1).- Полагая а„= =fwa0, bn=fwbo, получаем кристальные базисы в этих компонентах:

an = uv ®4)n_x^rqnu9®'Un~uv ®v„_i,

bn = In+I] qn«o «»„+! — ^-n]qxux ®-и„~и0®г)п+х, \

где ~ означает сравнение mod qL. Отсюда

7 (Ио^Уо) ~ 7«o®^o- 7 (Uo®» n) ~ ио®Уоп при n > 1,JVu^4)nl~Ux^~j4)n при n>0,

где f—аналог ft для случая 0=gl(2). Формулы для в (аналог е,) выписываются аналогично.

В общем случае (0=91(2)). Пусть Vi=£(p.+ 1), V2= =£(Х), где ц^1. Выделяя компоненту £(ц+1) в тензорном произведении £(1)0£(ц) (см. 2.7.6) и используя теорему единственности для тензорного произведения £(1)0£(ц)0£(Х), получаем искомые равенства для операторов е, f.'.

. Замечание. Контравариантная форма в Е(Х)® ®Е(ц) определяется равенством

(xi0x2, r/i 0у2) = (^ь У1) (^2, Уг)(2)

для всех хь ух6Е1Х1, х2, угб£(ц).

Нам понадобится частный случай соотношений 10.3.1 для модуля £(Х)0£(р) над алгеброй Uq^).

Предположим, что теорема 10.1.3 уже доказана для алгебры д. Тогда имеет место

Предл о жен и е. Пусть X, ц^Р+- Тогда для каждого набора ii, ..., in выполняется следующая альтернатива-.■

(“)A... fie №L<K>),

(Р) K..Jin (е Щ®е (р)) -Х-Зе W>e (р), где ~ означает сравнение по модулю следующего подпространства;

W^qLWf^W-Y(3)

i

Для доказательства достаточно использовать формулу (1) или ее аналог для-произведения Е (X) ®Е (р) при 8=51(2)..

- 10.3.3. Определение. Для каждой пары X, рб£+ пусть Ф(Х, р) —вложение £(Х+р) в тензорное произведение £(Х)®£(р), определяемое равенством

Ф(Х, р)е(Х+р)=е(Х)®е(р).(4)

С другой стороны, определим отображение S (X, р): £ (X) ®£(р)(X), полагая

S(X, р) («®е(р))=ы, S(X, р) (u®f{v) =0,(5)

где ибЕ(Х'), иб£(р), №1. Положим теперь

Т(Х, р) =S(X, р)»Ф(Х, р).(6)

Напомним, что f,(u<8>u)=fiu<8>u+iiu<8>f,u для-всех и, о, i (см. 9.10.3). Поэтому S(X, p)f<=fiS(X, р) для всех №1.

Другими словами, S(X, р) есть (единственный) Uq~ (g)-гомоморфизм, отображающий £(Х)®£,(р) на £(Х) и переводящий е(Х)®е(р) в е(Х).'

Соответственно Т (X, р) есть (единственный) Uq~ (g) — гомоморфизм, отображающий £(Х+р) на £(Х) и переводящий e(X-j-p) в е(Х).

10.3.4. Предположим, что теорема 10.1.3 уже доказана для алгебры д. Тогда имеет место

, Предложение. Для каждой пары X, рб£+ имеем:

Т(Х, p)L(X+p)=L(X), Т(Х, p)B(X+p)=B(X)U U{0}.

Для каждой пары элементов х, уб£(Х+р) таких, что Х\ = Т^К, р)х¥=0, у\ = Т^’к,у^у¥=0, выполняется равенство■

(^ у)о=(А, У1)о.(7)

Действительно, отображение Ф (X, р) отождествляет пару (£(^+р), В(Х+р)) с кристальным базисом соответствующей простой компоненты в Е(К) ®Е(р). Полагая x=ftl ■•■!{„ (е(Х)®е(р)), получаем, согласно 10.3.2: x=xi®e(p)+x2(8)

при некотором X26IF. Отсюда следует (1), ввиду соотношения S(X, р)х=хь Аналогично, пусть

У=У1®е(р)+у2,(9)

где y^W. Заметим, что контравариантная форма в £(Х+р) совпадает с формой (2) в соответствующей компоненте Е(Х) ®Е(р) (ввиду единственности этой формы).

Вычисляя значение (х, у) для элементов (8), (9), заметим, что W содержится в ядре формы (■, -)о. Отсюда следует (7).

Асимптотика

Начнем с установления, ассимптотической связи между контравариантными формами в алгебре Uq- (д) и в модулях £(Х), где №Р+.

Лемма. Для каждой пары элементов х, уб[/д~(д)Е существует полином f от переменных т= (т;) с коэффициентами из K=Tvq, q~4 такой, что

(хе(Х\ ye^ = n^/W при т^д^Ц (1) где f (0) = (х, у) и где

л(^П(1- q?Tni при £= — 2«1“п(2)

Доказательство. При | = 0 утверждение очевидно. Если £=^0, то существует /б/, для которого y=fiZ при некотором z6i/g~(g)E+a.. Имеем:

(хе(М, ye(X)) = (qltielxe(X), ze(X^ =

= (л, у^щх—а,х)е(Х), ze^=--

= лД(агх)е(Х), ze^-n^^i^^^e^, ze^),

где л<= (1—?Л)-1. Заметим, что |^+а<| < |£|. Исходя из допущения индукции (по | £ |) для элементов atx, арс, получаем (1). При этом

/(0) = (а;х, z) = (x, ftz) = (x, у).

Следствие. При ограниченном |£|, где £6Q_, и при достаточно больших значениях К6Р+ имеем

(хе (К), уе(К))й=(х,у)й,(3)

для всех х, y^Uq-(^v

В дальнейшем полагаем dimg<oo.

Пусть B^Uq~(^—кристальный базис в пространстве ^л(й), определенный в 9.8.4. Положим

С(Х)=Ве(Х)\{0}.(4)

Заметим, что С(Х) обладает весовой градуировкой

С(Х)^=В6е(Х)\{0},(5)

где Ве=5П^е (£6Q-)-'

Лемма. При ограниченном |£| и при достаточно больших значениях Х6Р+ множество С(Х)ж есть базис £(Х)х+$, ортонормированный относительно формы (•, -)0.

Доказательство. Поскольку С(Х) порождает £(Х), множество C(X)x+j есть полная система в £(Х)х+?. Ортонормированность этой системы следует из равенства (3), поскольку В^ есть ортонормированный базис в Lt (см. 9.8.4). Поэтому система С(Х)ш есть базис в £(Х)х+е.

Следствие. В условиях леммы, имеем

AC (X) ь+& (х^Е (X) х+е | (^, ^) бД).(6)

Доказательство — по аналогии с 9.8.6.

■ 10.4.3. Лемма. Пусть xGUq-^t удовлетворяет уравнению afx=0 при некотором 161. Тогда для каждого модуля V над алгеброй Uq(^ “ каждого иб^Пкеге, имеем tlneinX4) = Q-nqcln ^гпх\ ч),(7)

где с„=2п(Х^^,)+п(Зп+1).

Доказательство. При п=0 утверждение очевидно. Полагая (7) доказанным при данном п, приведем индуктивное вычисление (в котором используется равенство aiainx=0 для всех п):■

t^e^x-u = q^1tleltlneinx4) =.

6=rn<n+2% ^г, atnx\ 4) = e7n-xqcl’t^ntl1 ^^х) v.

При этом действие ^2 сводится к умножению на q^i, где </n = 2(Xi4-gi)4-4(n4-l). Остается заметить, что

cn+2n+<Zn=cn+i.

Ле м м а. При ограниченном |£| и при достаточно больших значениях №Р+ имеем

С(Х)х+$=5 (Х)х+$.'(8)

Доказательство. Достаточно проверить, что (х, УЪ^О, 1 для каждой пары хбС(Х)х+$, убВ(Х)х+$. Отсюда следует (8), поскольку В(Х)х+Е— полная система в Е (Х)х+$.

При £=0 утверждение очевидно. Если ^0, имеем у~Ъг ПРИ некоторых №1, гбВ(Х)х+Е+сч. Исходя из допущения индукции (для веса g+ai) можем считать, что 2=^<п-1)Уо ПрИ некоторых п^1, иоекегье( (см. 10.1.7). С другой стороны, имеем х=//т,Хов(Х), где т^0, Хобкега(. Отсюда'

(х, уЪ-Ц^Хов^, //(")-По)о==6лт при т>п - по аналогии с 9.7.4. Остается рассмотреть случай п>пг. В этом случае имеем

(х, y^^Tt^e^Xoe^, -dq).

Применяя лемму 10.4.3 (при и=е(Х)), получаем (х, у)о= = 0 при достаточно больших значениях ХбР+.

Следствие. В условиях леммы, имеем

£(Х)х+Е=ЛВ(Х)х+Е=ЛС(Х)х+Е.(9)

Л е м м а. В условиях леммы 10.4.4, каждое из множеств L(X)*+$, ЩМжЩО} инвариантно относительно операторов et, f{, для всех <6/. При этом равенство а= — е^ для элементов а, 6бВ(Х)х+Е равносильно b=}ta.

Доказательство. Достаточно рассматривать множество В (X)x+$U{0}. Его инвариантность относительно операторов f< следует из определения. С другой стороны, проверим, что

(7л у)о=Цх,~е<у)о(10)

для всех x^L (Х)х+Е+а/, z/6L(X)x+$. Достаточно рассматривать элементы вида х=^^х0, y—f^yo, где х0, уое

,бкегге< (см. 10.1.7). В этом случае, согласно 9.2.2, обе части (10) совпадают с 6„+i,m. -

Полагая хбВ(Х)х+{+а Р У^В^х+ъ находим, согласно (10), что (х, е{//)о=О, 1. Поэтому ety содержится в S(A-)mU{0}. Ясно также, что у=ре{у при ety^0.

Основная теорема

Основной результат [106] в теории кристальных базисов состоит в установлении связи между базисом (L, В) в пространстве Uq-^) и кристальными базисами (L(X), В(Х)) в модулях Е^Х) при ХбР+.

Теорема. Для каждого Х&Р+ имеем

ЦХ)=Ее(Х), В (X) =Ве(Х) \{0}.(1)

Таким образом, элементы Ье(Х)¥=О, где Ь^В, образуют базис Е(Х), ортонормированный относительно формы X; *) о*

Мы приводим доказательство этой теоремы для случая dimg<oo. Попутно доказываются теоремы 10.1.3, 10.1.5.

Положим dimg<oo. Напомним обозначение С(Х) =Ве(Х) \(0}. Для доказательства теоремы 10.5.1 достаточно проверить, что равенство

С (X) х+г*= В (X)х+г(2)

выполняется для всех £6Q_, ХбР^.

Согласно результатам § 4, равенство (2) уже доказано при |^|^^ (для каждого N=0, 1, 2, ...) и при достаточно больших значениях Х^Хо (где Хо зависит от N).

В общем случае применяется «метод спуска» по весам ХбР+, с использованием стандартного гомоморфизма 7=7(X, ц), определенного в 10.3.3.

Рассмотрим векторное пространство W, определенное в 10.3.2 (3). Заметим, что весовая компонента №х+м-н есть сумма подпространств

qL (X) K+4®fiL (р) ц+с+Ор(3)

где сумма берется по индексам №1 и весам г], £6Q_, для которых £=т)4-£-

При этом случай £ = т] исключается, поскольку L (ц^+а, = 0 для всех 1^1.

Условимся считать, что равенство (2) уже доказано при |g|^^—1, для всех Х6Р+. Согласно 10.4.4, можем также считать, что равенство (2) доказано с заменой X на цХо, где Хо=Хо(М).

Соответственно, рассуждения 10.3.4 остаются справедливыми для элементов х, убВ^+р^+ц-ц. Отсюда

\х, yY= (xt, у^,(4)

в обозначениях 10.3.4, где Xi = Tx, У1 = ТубВ (XY+v

Отсюда следует, что В(Х)х+$ есть базис Е(Х)к+ъ ор- тонормированный относительно формы (•, -)о.

Но тогда и результаты § 4 остаются справедливыми для каждого ХбР+.-

Таким образом, теоремы 10.1.3, 10.1.5, 10.5.1 доказаны в случае dimgCoo.

Замечание. Метод доказательства, использованный в этой главе, основан, в сущности, на тех же идеях, что и метод Кашивары [106]. Упрощение в случае dimgCoo оказывается возможным благодаря использованию «универсальной» теоремы 9.8.4.

Сам термин «кристаллизация», предложенный Кашиварой, связан с использованием алгебры Uq (g) в термодинамических моделях, где квантовый параметр q играет роль температуры. При этом <7=0 есть температура, равная абсолютному нулю.

Идея кристаллизации сводится к изучению квантовых модулей в предельном случае q=0 с последующим использованием полученной информации для произвольных значений q.

См. по этому поводу § 6.'

Канонические базисы

Пусть х н* х—автоморфизм алгебры t/,(g), определенный в 9.1.4, и пусть и у — автоморфизм модуля £(Х), определяемый равенством хе (X) = хе (X) при x6U-^.

Теорема. Пусть (L, В) (соответственно (L(XY В (X)) — кристальный базис Uq~ (g) соответственно Е (X) при X^P+Y Тогда имеем:

Для каждого Ь^В (соответственно Ь^В(Х)) существует единственный элемент a—a(bY удовлетворяющий условию симметричности а=а и условию абик~(^ (соответственно абЕк(Х)). ■

Пусть А (соответственно А (X))—множество всех элементов а=а(Ь), где b пробегает В (соответственно В(Х)). Тогда для каждого ХбР+ выполняется равенство

A(X)=Ae(X)\{0}.(1)

Таким образом, элементы аеГД^О, где абА, образуют базис Е (X), для каждого Х6Р+.

Теорема 10.6.1 доказана Люстигом [111] для алгебр типа Л„, Dn, Еп и Кашиварой в общем случае (fl—симметризуемая алгебра Каца—Муди).-

Мы опускаем доказательство этой теоремы, поскольку известные автору варианты доказательства [111, 106] основаны на методах, не входящих в материал этой книги.

В терминологии Люстига, базис Лс1/д-(д) называется каноническим базисом в пространстве (7д~(д).

П ри мер. Для алгебры типа Лг канонический базис Лс£7д-(д) образован следующими элементами:

/(a, b, с) = Д^ДьЧ^>g(a, 6, с) = Д“)Д»Д=>,где b^a-Vc, причем выполняется равенство ^(а, Ь, с) ==g(c, b, а) при Ь=а-^с (тождество Верма).

Построение канонических базисов есть решение некоторой общей проблемы, существовавшей в теории представлений фактически с 50-х годов.

Замечательно, что решение этой проблемы основано на использовании квантовых методов, несмотря на то, что результат допускает независимую формулировку для классической алгебры U(д).

В [112] получены первые результаты по использованию канонических базисов в теории представлений алгебры £/(д).

ДОБАВЛЕНИЕ А.

КОНТРАГРЕДИЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ

Метод экстремального проектирования, систематически используемый в этой книге, имеет естественную область существования в некотором классе ассоциативных алгебр, называемых контрагре- диеитными. Первоначальный вариант аксиоматики этого класса алгебр предложен в [121] (возможность такого подхода отмечалась ранее в [51, 57]). В этом добавлении мы приводим другую, несколько более общую схему такого построения.

А1. Определение. Пусть Д — ассоциативная алгебра с единицей, определенная над некоторым полем Ф. Алгебра А называется локально треугольной, если она обладает Z-градуировкой А„ (/16Z) и порождается градуированным подпространством В, компоненты которого (ВП=ВПАП) удовлетворяют следующим аксиомам.

(Т0)В0 есть подалгебра, содержащая единицу алгебры А. (Т,-,) B<BjEBjBimodBi+j при i/XO.

При этом В называется базисным подпространством алгебры А. Алгебра А называется конечно порожденной, если dimS<oo.

Условимся записывать базисное подпространство в виде В= =ЕФНФЕ, где Н~В0, Е (соответственно В) — прямая сумма компонент Ви при п>0 (соответственно п<0), и пусть В+ (соответственно В_) —подалгебра с единицей, порожденная подпространством Е (соответственно F). Легко проверить, что

А=В_НВ+=В+НВ_.(1)

Условимся говорить, что каждое из разложений (1) есть треугольное разложение алгебры А. Алгебра А называется слабо треугольной, если она удовлетворяет следующему условию: .

(Wt)А«(В_®Д)®А£.

Здесь имеется в виду естественный изоморфизм X®Y«XY, определяемый для каждой пары подпространств X, УсА по правилу xc^ywxy при хбХ, y^Y. Алгебра А называется строго треугольной, если она удовлетворяет следующему условию:

(St)А~В_®Н®В+.

А2. Определение. Пусть А—слабо треугольная алгебра над полем Ф. Алгебра А называется контрагредиентной, если она обладает инволюцией aw-а' такой, что

(Со)h'=h для всех h^H,

(Ci)Ап'=А-п для всех n6Z.

Используя условие (Wt), находим А=H®N, где N—FA+AE.

Пусть л обозначает проекцию алгебры А иа Н относительно этого разложения, Для каждой пары элементов х, у^А пусть

ф(х, е/)=л(х'е/).(2)

Очевидно, q>: АхА-*Н есть Я-билинейная форма относительно правого действия алгебры Н в пространстве А. Форма ф симметрична. Градуировка Ап ортогональна относительно формы ф, т. е. Ап_1_Ат при п^=т..

Ясно также, что АЕ содержится в ядре формы ф. Поэтому ф можно рассматривать как (Я-билинейную) форму в фактормодуле М=А/АЕ (универсальный модуль Верма1).

Форма ф называется канонической билинейной формой в алгебре А. Алгебра А называется невырожденной, если кегф=АЕ, т. е. форма ф иевырождеина в пространстве М.

Если алгебра А невырожденна, то она, как легко проверить, удовлетворяет условию (St). Соответственно

М=В-НЛ«В_®Н, где 1GA (единичный элемент) отождествляется со своим образом в факторпространстве М.

АЗ. Пусть А — строго треугольная алгебра. Фиксируем однородные базисы Oi6B+, а/бВ_, и пусть А°—векторное пространство всех формальных рядов■

'х=21а<'хи<4.(3)

и

где хц^Н, удовлетворяющих следующим условиям финитности: '(F]) Суммирование в (3) ограничено условием |п,'+п2|^

^const, где n/ = degOi, п/ =deg а/.

(F2) Для каждого nGZ+ ряд (3) содержит лишь конечное число слагаемых с фиксированной степенью п, = п.

Очевидно, пространство Аа градуировано подпространствами Ар° (pGZ), где Ар° содержит элементы вида (6) при п/+п, = р. Ясно также, что условие (F2) выполняется автоматически, если dim В<оо.

Предложение. А” есть алгебра относительно умножения формальных рядов, наделенная Z-градуировкой Ар° (pGZ).

Доказательство сводится к несложной комбинаторике (достаточно проверить, что Ао° есть алгебра). Ясно также, что определение А° не зависит от выбора базисов at, а/.

Алгебра Аа называется первым каноническим расширением алгебры А.

А4. Пусть А—контрагредиентная алгебра. Инволюция а*-» а' и проекция л: А-+Н однозначно продолжаются на алгебру Аа. Соответственно, каноническая форма ф также продолжается иа алгебру А°.

С другой стороны, пусть End М — алгебра эндоморфизмов правого Я-модуля М. Для каждого pGZ пусть.

Lp = {aeEndMlaMnG:Mn+p для всех n£Z}, где Мл (n^Z)—градуировка модуля М, индуцированная градуировкой алгебры А. Положим

■1L = ®LP.■(4)

Р

Очевидно, L есть алгебра (подалгебра в End Af). Отображение /: A-*-L, определяемое равенством Ца)х=ах при абА, xGM, есть гомоморфизм градуированных алгебр, Более того, из локальной ко-

нечности действия Е в пространстве М следует, что I продолжается до гомоморфизма A°->-L.*

А5. Пусть Aut Н — группа автоморфизмов алгебры Н. Для каждого agAutW пусть

Aa = {aGA\ha=aha для всех кбН}.(5)

Определение. Локально треугольная алгебра А называется Q-оснащенной или алгеброй картановского типа, если выполняются следующие условия:

(СТо) Подалгебра Н коммутативна и не имеет делителей нуля.

(СТ^ алгебра А градуирована подпространствами (5) при a6Q, где Q — некоторая коммутативная подгруппа в Aut Н.

(СТ2) Каждая базисная компонента Вп наследует Q-градуировку В„е=В„ГИа.

При этом подалгебра Н называется картановской подалгеброй алгебры А.. "

В частности, пусть А —контрагредиентная алгебра картановского типа. Легко проверить, что Q-градуировка ортогональна относительно формы ф, т. е. Аа±А« при а^р.

Аб. Сохраним обозначения Лб, и пусть К — коммутативное расширение алгебры Н такое, что К не имеет делителей нуля и наследует все автоморфизмы a6Q. Пространство

AW=A®HK(6)

естественно наделяется структурой алгебры над полем Ф по правилу ха=аха при хбК, а£Аа. Очевидно, А(К) есть алгебра картановского типа с треугольным разложением А(К)=В—КВ+-

Соответственно М(К)=М®нК отождествляется с универсальным модулем Верма над алгеброй Л (К). Алгебра А°(Ю=А(К)° называется вторым каноническим расширением алгебры А.

Пусть L(K)—аналог алгебры L при замене А на А (К). Согласно А4, отображение /: А°(К)-*А(К) есть гомоморфизм градуированных алгебр.

А7. Теорема [121]. Пусть А есть невырожденная конечнопо- рожденная алгебра картановского типа. Тогда имеем:_

Гомоморфизм I: Aa-*-L инъективен, т. е. М есть точный Аа-модуль.

Если К содержит поле частных Fract Н алгебры И, то I есть изоморфизм (градуированных) алгебр Аа(К), L(K).

Доказательство — по аналогии с § 3.2.

Следствие. В условиях (11) существует единственный элемент рбАа(Д), удовлетворяющий системе уравнений

Ep=pF=0(7)

и условию нормировки п(р) = 1, При этом р2=р=р', р£Аоа(К). Более того, оператор р проектирует каждый Аа(К)-модуль V на экстремальное подпространство VB=kerE параллельно im F. В частности,

. v=ker£'@imF.

Оператор р называется экстремальным проектором алгебры А (относительно £).

Алгебра А называется регулярной, если ее картановская подалгебра Н удовлетворяет следующему условию:

(Re) Множество характеров А (Я) алгебры Н тотально в Н, т. е. равенство Х(й)=О для всех Х£А(Я) влечет А=0.- -

Нетрудно видеть, что условие (Re) эквивалентно следующему: алгебра Н изоморфна алгебре функций на некотором тотальном подмножестве РсЛ(Я).

Пусть 0=0 (Р)—категория A-модулей, определенная по аналогии с 8.2.1, 9.8.3. Нетрудно видеть, по аналогии с 8.4.6, что существует естественный подход к проблеме редуктнвностн в категории О, с использованием экстремального проектора рбА°(А).

Аналогично, экстремальный проектор применяется к исследованию других стандартных конструкций, рассматриваемых в этой книге (конструктивные модули, алгебры Микельсона н т. д.);

А9. Примеры. Алгебры Вейля (см. 0.4.5), алгебры Шевалле (см. 1.2.2), квантовые алгебры Яд(д) (см. 9.1.1), алгебры Кашн- вары J#g(fl) (см. 9.6.4) суть регулярные алгебры картановского типа.

При этом Я = Ф для алгебр Вейля и Кашивары, H=UVV) для алгебр Шевалле, Я есть алгебра экспоненциальных функций qh^h9)^ для алгебры Я9(д). Все эти алгебры невырожденны.

Другие примеры контрагреднентных алгебр картановского типа приводятся в добавлении В.

338

ДОБАВЛЕНИЕ В

КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ

Дрннфельд в 1985 г.— предложил перспективную программу исследования некоторого класса ассоциативных алгебр (алгебр Хопфа). Соответствующие двойственные объекты (спектры) алгебр Хопфа называются квантовыми группами. Категория коммутативных алгебр Хопфа изоморфна категории групп. В этом смысле категория групп вкладывается в категорию квантовых групп [100, 117—120].

В частности, процесс «квантования» У(й)1^" ^д(й) позволяет определить (двойственным образом) квантование группы G, для которой fi=LieG. Соответствующие алгебры Хопфа можно рассматривать как ^-аналоги стандартных групповых алгебр группы G.-

В более узком смысле термин «квантовые группы» применяется именно к этим квантовым аналогам классических групп Ли.

Положим U=Uq(,g'), и пусть О’—категория правых U- модулей, получаемая из модулей категории О посредством инволюции Шевалле а' (см. 9.1.4).

Заметим, что коумножение в алгебре U (см. 9.10.3) индуцирует операцию умножения в сопряженном пространстве U*. Более того, операция

ц: U*®U*-*U*

является (/-линейной относительно естественной структуры U-бимодулей в U*, U*®U* (в последнем случае структура [/-бимодуля определяется посредством коумноження в алгебре Й).

Определение. Пусть Лд(д)—подпространство элементов adU*, удовлетворяющих следующим условиям:

(a) Ua есть модуль категории 67mt,

(Р) лО есть модуль категории <7int'.

Здесь C7mt'—подкатегория в О', состоящая из интегрируемых [/-модулей.

Легко проверить, используя тензорные произведения в категориях 67mt, (7mt', что Лд(д) есть подалгебра в U*.

При этом структура алгебры Хопфа в L/?(g) индуцирует (сопряженным образом) структуру алгебры Хопфа в Лв(д).

Пусть Е' (Х) — простой модуль категории О' со старшим весом X. Легко проверить, что существует единственная инвариантная (С(д)-линейная) форма <•, •> на Е' (Х)®£(Х), удовлетворяющая следующим условиям:1

<е\(Х),е(Х)>=1,

<ха, у) = <х, ау),

для всех хб£'(Х), убЕ(ХУ абО, где е'(Х)б£'(Х)—старший вектор веса X. Определим отображение Фх: Е' (Х)®£(Х)^-Дд(д) следующим образом:.

<Фх(х®у), а> = <хц, у> при х6£'(Х), убЕ(ХУ абО. Нетрудно видеть, что Фх есть гомоморфизм СЛбимодулей.

Теорема [122]. Семейство отображений Фх(ХбР+) определяет следующий изоморфизм U-бимодулей:'

Дд(д)~©[£'(Х)®£(Х)].(1)

Доказательство сводится к рассмотрению предельного перехода q-W в категориях C^nt, t^mt'. При этом равенство (1) в предельном случае ^=1 сводится к 2.6.3 (3).

Таким образом, Дд(д) есть квантовый аналог структурной алгебры K(G), определенной в 2.6.2.

Соответственно равенство (1) можно рассматривать как квантовый аналог классической теоремы Петера—Вейля(см. § 2.6).

Как показано в [122], алгебра Дд(д) также обладает естественными аналогами кристальных и канонических базисов (см. § Ю.6).

Для классических алгебр Ли нетрудно получить явное описание квантовой алгебры Дд(д) в терминах образующих и соотношений между ними.

В частности, пусть g=gl(n). Положим

п

R=q 2е,ч®е// + 6 2 ец®еИ,(2)

1=1i>i

где e,j — стандартный базис в gl(n), 9=q—q-1. Мы будем рассматривать формальную матрицу Т=(1цУ где i, j=l, ..., п. Положим также Г[ = Т®1, Т2 = \®Т, где 1—единичная матрица порядка п.

Определение. Пусть Aq (Matn)—ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами tij (i, /=1л) и структурными соотношениями следующего вида:

RTYT2=T2TYR.(3)

Заметим, что Дд(Ма1„) есть биалгебра, в которой коумножепие Д и коединица е определяются следующим образом:

ДГ=Г®Г, т. е. A(/W) = 2^®^b(4)

е(Г) = 1, т. е. е(/о)=во.(5)

Предложение. Алгебра Дд(д1(л)) изоморфна Дд(Ма1п)Од-1, где Dq — подалгебра с единицей, порожденная элементом detgT= ^^ ( QV^toop • • Ла(п)п.

o^S п.

Здесь Sn—группа подстановок множества {1, .;., л}. .

Доказательство сводится к рассмотрению тензорных произведений в категории C'mt, порожденных фундаментальным представлением размерности п алгебры Дд(Ма1п). Заметим, что в классическом случае 9=1 соотношение (3) сводится к коммутативности образующих ftp’'.

Замечания. 1. Алгебра Ae(gl(n)) может рассматриваться как алгебра преобразований «квантового векторного пространства» С4[.г,хп], определяемого как алгебра с образующими Xi (l^i^n) и фундаментальными соотношениями XiX; = qX;Xi (1^</^п). Этот подход следует концепции некоммутативной геометрии, предложенной Ю. И. Маниным [123]. 2. Алгебра A«(gl(n)) может рассматриваться как «алгебра функций» на «квантовой группе» GL,(n). 3. Алгебры А,(д) для других классических алгебр Ли рассмотрены в [129]. Все эти алгебры представляют собой частный случай контрагредиентных алгебр (картановского типа), определенных в Добавлении А.

Алгебры Лд(д) естественно возникают в обратных задачах теории рассеяния в квантовой теории поля. См. по этому поводу [129]. В частности, матрица (2), называемая /(-матрицей, есть одно из решений так называемого уравнения Янга—Бакстера [100, 129].

Среди других контрагредиентных алгебр, определенных в [117], интересно отметить так называемые янгианы, ассоциированные с простыми конечномерными алгебрами Ли. В работах Ольшанского [128], Назарова и Тарасова [125], Молева [124] исследована связь янгианов с бесконечномерными алгебрами Ли, включая приложения к теории представлений этих алгебр Ли.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Монографии, обзоры

Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с некоммутирующими переменными.— М.: МГУ, 1983.

Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. IV—VI.— М.; Мир, 1982.

Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. I—III.— М.: Мир, 1976.'

Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.— М.: ИЛ, 1947.

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.— М/. Наука, 1966.

Воган Д. A. (Vogan D. A.). Representations of Real Reductive Groups.— Boston: Birkhauser, 1981.

Г л и м м Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики.— М.: Мир, 1984.

Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.— М.: Мир, 1981.

Джекобсон Н. Алгебры Ли.— М.: Мир, 1964.

Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры.— М.: Мир, 1977..

Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М.: Наука, 1970.

Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых

Кац В. Г. (Кас V. G.) Infinite-dimensional Lie algebras.— Cambridge Univ. Press, 1985.

Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— M.: Наука, 1978.

Лейте с О. А. Теория супермногообразий.— Петрозаводск, 1983.

Л ей г С. Алгебра.— М.: Мир, 1968.

Ленгледс Р. П. (Lenglends R. Р.) On the classification of irreduible representations of real algebraic groups. Mimeographed notes.— N. Y.: In-te for Adv. Study., 1973.

Манин К). И. Калибровочные поля и комплексная геометрия.— М.: Наука, 1984.

Най мар к М. А. Теория представлений групп,— М.: Наука, 1976.

Сер р Ж. П. Группы Ли и алгебры Ли,— М.: Мир, 1969.

Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар <Софус Ли»,— М/. ИЛ, 1962.,

У о р н е р Ф. (Warner F.) Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups. V. 1.— Berlin: Springer, 1972.

Уорнер Ф. Введение в теорию гладких многообразий и групп Ли,— М.: Мир, 1983.

Ф у щ и ч В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла.— Киев: Наук, думка, 1983.

Хамфри Дж. (Hamphreys J.) Introduction to the Lie Algebras and Representation Theory.— Berlin: Springer, 1972.

X а м ф p и Дж. Линейные алгебраические группы.— М.: Мир,

Харп (Harp de la). Classical Banach—Lie algebras and Banach—Lie groups of operators in Hiibert spaces.— Springer, . 1972.— (Lecture Notes Math.)-

Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия,— M.: Мир, 1981.

Хелгасоп С. Дифференциальная геометрия и симметричен ские пространства.— М.: Мир, 1964.-

Хом б ер г A. (Hombergh A. van den), Harish-Chandra modules and representations of step algebras. Thesis.— Katholic Univ, of - Nijmegen, 1976.

Журнальные статьи

Араки Ш. Корневые системы и локальная классификация неприводимых симметрических пространств // Математика (сб. - пер.)— 1963,— Т. 10, № 1,— С. 90—126.

Атья М., Шмид В. (Atiah М., Schmid W.) A geometrical construction of the discrete series for semi-simple Lie groups // Invent. Math.— 1977.— V. 42, N 1.— P. 1—62.

А ш e p о в a P. M., С м и p н о в Ю. Ф., Толстой В. Н. Проекционные операторы для простых алгебр Ли // Теор. мат. физ.— 1971,—Т. 8, № 2.—С. 255—271.

А ш е р о в а Р. М., Смирнов Ю. Ф., Толстой В. Н. Описание некоторого класса проекционных операторов для полупро- стых комплексных алгебр Ли // Мат. зам.— 1979.— Т. 26, № 1.— С. 15—26..

Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. Й. Структура представлений, порожденных векторами старшего веса // Функц. анализ и его прилож.— 1971.— Т. 5, № 1.— ' С. 1—9.

Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И.

. Об одной категории д-модулей // Функц. анализ и его прилож.— 1976.— Т. 10, № 2.— С. 1—8.

Бр юа Ф. (Bruhat F.) Sur les representations induites des gfou- pes de Lie // Bull. Soc. Math. France.— 1956.— V. 84, N 1.— P. 97—205.

Верма P. H. (Verma D. N.) Structure of certain induced rep

' resentations of complex semi-simple Lie algebras // Bull. Amer. Math. Soc.— 1968,— V. 74.— P. 160—166.-

Воган Д. A. (Vogan D. A.) Algebraic structure of the representations of semi-simple Lie groups, 1 // Ann. Math.— 1979 — V; 109, N 1.— P. 1—60.

Гельфанд И. M., К и p и л л о в А. А. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли // Функц. анализ и его прилож.— 1969.— Т. 3, № 1.— С. 7—26.

Гельфанд И. М., Цетлин М. С. Конечномерные представления группы унимодулярных матриц // Докл, АН СССР.— 1950.—Т. 71, № 5.—С. 825—828.,

Гельфанд И. М., Ц е т л и н М. С. Конечномерные представ:ления группы ортогональных матриц // Докл. АН СССР —

1950,—Т. 71, № 6,—С. 1017—1080.’

Гор ди нг Г. (Carding G.) Vecteurs analitiques dans les rep

- resentations des groupes de Lie // Bull. Soc. Math. France.— 1960.— V. 88, N 1.— P. 73—93.— Русский перев.: Математика (сб. пер.).— 1965,— Т. 9, № 5,— С. 78—94.

Гульд М. (Gould М.) On the matrix elements of the ШпУ generators // Journ. Math. Phys.— 1981,— V. 22, N L— P. 15—22.‘'

Дем аз юр M. (Demazure М.) Une nouvelle formule des cha- racteres // Bull. Sci. Math.— 1974,— V. 98,— P. 163—172.

Джозеф A. (Joseph A.) On the Demazure character formula. Preprint // Univ, de P. et M. Curie, Paris, 1985.

Желобенко Д. П. Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений // Успехи мат. наук.— 1962,— Т. 17, № 1,— С. 27—120.

Желобенко Д. П. К теории линейных представлений комплексных и вещественных групп Ли // Тр. Моск. мат. о-ва.— 1962,— Т. 12,— С. 53—98.

Желобенко Д. П. Операторы дискретной симметрии для редуктивных групп Ли // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1976.— Т. 40, № 5,— С. 1055—1083.

Желобенко Д: П. Универсальные модули класса 0 над по- лупростыми алгебрами Ли // Функц. анализ и его прилож.— 1980,— Т. 14, № 3,— С. 81—82.

Желобенко Д. П. S-алгебры и модули Верма над редук- тивными алгебрами Ли // Докл. АН СССР.— 1983.— Т. 273, № 4,— С. 785—788.

Ж е л о б е н к о Д. П. Z-алгебры над редуктивными алгебрами Ли // Докл. АН СССР.— 1983,— Т. 273, № 6,— С. 1301—1304.

Ж е л о б е н к о Д. П. Минимальные Д-типы и классификация неприводимых представлений редуктивных групп Ли // Функц. анализ и его прилож.— 1984.— Т. 18, № 4.— С. 79—80.

Желобенко Д. П. S-алгебры и модули Хариш-Чандры над редуктивными алгебрами Ли // Докл. АН СССР.— 1985.— Т. 283, № 6.— С. 1306—1308.,

Желобенко Д. П. (Zhelobenko D, Р.) On Gelfand-Zetlin bases for classical Lie algebras // Representations of Lie Groups and Lie Algebras. Acad. KiAdo.— Budapest, 1985.

Желобенко Д. П. Уравнения экстремального типа и их резольвенты над редуктивными алгебрами Ли // Функц. анализ и его прилож.— 1985.— Т. 19, № 4.— С. 88—89.

Желобенко Д. П. Трансвекторные алгебры в теории представлений редуктивнцх алгебр Ли // Докл. АН ■ СССР.— 1986,— Т. 288, № 1.— С. 592—595.-

Желобенко Д. П. Трансвекторные алгебры в теории представлений и динамические симметрии // Теоретико-групповые

• • методы в физике,— М.: Наука, 1986.— Т. 2.— С. 5—21.

Желобенко Д. П., Тодоров И. Т. (Zhelobenko D. Р., Todorov I, Т.) Invariance algebra of relativistic massless equations. Preprint Ц Internal report SISSA ICPT, 1986.

Желобенко Д. П. Аналог базиса Гельфанда—Цетлина для симплектических алгебр Ли // Успехи - мат. наук.— 1987.— Т. 4,.№ 6—С. 192—194.

Желобенко Д. П. Экстремальные коциклы на группах Вейля и Фу НКЦ. анал. и его прнлож,— 1987— Т. 21, № 3.— С. 11—21.

Ж е л о б е н к о Д. П. Экстремальные проекторы и обобщенные алгебры Микельсона над редуктивными алгебрами Ли // Изв.

' АН СССР. Сер. мат,— 1988,— Т. 52, № 4,— С. 758—773.

Желобенко Д. П. (Zhelobenko D. Р.) Ап introduction to the theory of S-algebras over reductive Lie algebras Ц Representations of Lie groups and related topics. Adv. Study in Con- temporaty. Math. V. 7,— N. Y.: Gordon and Breach, 1990.

Желобенко Д. П. Об экстремальных проекторах над редуктивными алгебрами Ли // Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии.— Обнинск, 1991.

Желобенко Д. П. О представлениях полугрупп Кокстера // Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии.— Обнинск, 1991.

Кассельман В., Осборн М. (Casselman W., Osborne М.) The n-cohomology of representations with an infinitesimal character Ц Compositio Math.— 1975,— V. 31, N 2,— P. 219—227.

Кац В. Г. (Кас V, G.) Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory Ц Invent. Math.— 1980.— V. 56, N. 1,— P. 57—92..

Кац В. Г. (Кас V. G.) Lie superalgebras Ц Adv. Math.— 1977,— V. 26, N 1.— P. 8-96.

Ka ц В. Г. (Кас V. G.) Laplace operators of infinite-dimensional Lie algebras and theta-functions // Proc. Nat. Acad. Sci. USA— 1984,— V. 81, N 6.— P. 645—647.

К а ц В. Г., Петерсон Д. X. (Кас V. G., Peterson D. H.) Unitary structure in representation of infinite-dimensional groups and a convexity theorem Ц Invent Math.— 1984.— V. 76, N 1. P. 1 — 14.

Кашивара M. (Kashiwara M.) The universal Verma module and the 6-function // Alg. Groups and Related Topics (Kyoto-Nagoya 1983).— North-Holland, 1985,— P. 69—81. '

Квиллен M. (Quillen M.) On the endomorphism ring of a simple module over an enveloping algebra // Proc. Amer. Math. Soc.— 1969,— V. 1, N L— P. 171—172.

Князев А. Г. Ортогональный базис в пространстве гармонических полиномов // Функц. анализ. Спектр, теория. Межвуз. сб. научн. тр.— Ульяновск, 1989.— С. 74—85.

Князев А. Г. Ортогональный базис в пространстве решений однородных уравнений Максвелла. Тезисы докл. // Изд-во УДН.— М,— 1991,— С. 100.

Конц М. (Conze М.) Algebras des operateurs differentieles et guotents des algebres enveloppantes // Bull. Soc. Math. France.— 1974,— V. 102, N 4,— P. 379-415.

Коста нт Б. (Kostant B.) On the tensor product of a finite and infinite dimensional representations Ц Journ. Funct. Anal.— 1975,— V. 20, N 3,— P. 257—285. -

Лезнов A. H., Савельев M. В. Об одной параметризации компактных групп // Функц. анализ и его прилож.— 1974.— Т. 8, № 4,— С. 87—88.

Лемайр Ф. (Lemire F.) Irreducible representations of a simple Lie algebras admitting a one-dimensional weight space // Proc. Amer. Math. Soc.— 1968.— V. 19, N 6,— P. 1161—1164.

Леповски Дж. (Lepowsky JJ. Algebraic results on герге- sentations of semi-simple Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc 1973,— V. 176, N L— P. 1—44.'

Леповски Дж., Мак-Коллум Ф. (Lepowsky J., McCollum F.) On the determination of irreducible module by restriction to a subalgebra // Trans. Amer. Math. Soc.— 1973.— V 176 N 1,— P. 45—57.

Леповски Дж., Уоллах H. (Lepowsky J., Wallach N.)

. Finite and infinite dimensional representations of linear semisimple groups Ц Trans. Amer. Math. Soc.— 1973,— V. 184, N 2,— P. 223—246.

Л и С., Муди P., Николе с ку H., Патера Дж. (Lie S., Moody R., Nicolescu N., Patera J.) Verma bases for representa-

. tions of classical simple Lie algebras // Journ. Math Phys.— 1986,— V. 27, N 3,— P. 668—677.'

M а л и к о в Ф. Г., Фейгин Б. Д., Фукс Д. Б. Особые векторы в модулях Верма над алгебрами Каца—Муди // Функц. анализ и его прилож.— 1986,— Т. 20, № 2.— С. 25—37.

Микельсон Ж. (Mickelsson J.) Step algebras of a semi-simple subalgebras of Lie algebras // Kept. Math. Phys.— 1973.— V. 4, N 4,— P. 303—318.

Микельсон Ж. (Mickelsson J.) On irreducible module of a Lie algebra wich are decomposed on finite-dimensional modules of a subalgebra / /Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I.— 1975.— V. 598, N 1.- P. 1—16.

Микельсон Ж. (Mickelsson J.) A description of discrete series using step algebras // Math. Scand.— 1977.— V. 41, N 1.— P. 63—78.

Микельсон Ж. (Mickelsson J.) Discrete series of Lie super - algebras // Rept. Math. Phys.— 1980,— V. 18, N 2,— P. 197—210.

Mo лев А. И. Базис Гельфанда—Цетлина для неприводимых унитаризуемых представлений и(/>, ?) со старшим весом // Функц. анал. и его прилож.— 1989.— Т. 233, № I.1— С. 76—77.

Толстой В. Н. Экстремальные проекторы и редукционные супералгебры над супералгебрами Ли // Теоретико-групповые методы в физике.— 1986.— Т. 2.— С. 46—54.

Уоллах Н. (Wallach N.) On the Enright—Varadarajan modules. A construction of the discrete series // Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 4e serie— 1976.— V. 9, N 1.— P. 81—102.

Хариш-Чандра (Harish-Chandra). Discrete series for semisimple Lie groups. I, II // Acta Math.— 1966.— V. 113.— P. 241—318; V. 116.

Хомберг A. (Hombergh A. van den). A note on Mickelsson’s step algebra // Invent. Math.— 1975,— V. 37, N 1.— P. 42—47.

X о p о ш к и н С. M. Неразложимые представления группы Лоренца // Функц. анализ и его прилож.— 1981.— Т. 15, № 2.— С. 50—60.

Цукерман Г, (Zuckerman G.) Tensor products of finite and infinite dimensional representations of semi-simple groups // Ann. Math.— 1978,— V. 106, N 2,— P. 295—308.

Шаповалов H. H. Об одной билинейной форме над универсальной обертывающей алгеброй комплексной полупростой алгебры Ли // Фуикц. анализ и его прилож.— 1972,— Т. 6, № 4,— Q.. 65—70._.

Энрайт Т., Варадарайаи В. (Enright Т., Varadarajan V.) On an infinitesimal characterization of the discrete series // Ann. Math.— 1975,— V. 102, N 1.— P. 1—15.

Дополнительная литература

Бахтурнн Ю. А. Основные структуры современной алгебры.— М., Наука, 1990.

Бейлннсон А. А., Люсти г Г., Макферсон Р. (Beilinson A. A., Lusztig G., MacPherson R.) A geometric setting for the quantum deformation of GL„ // Duke Math. Journ.— 1990.— V. 61.— P. 655—677.

Джнмбо M. (Jimbo M.) A q-difference analogue of 17(g) and the Yang—Baxter equation // Lett. Math. Phys.— 1985.— V. 10 — P. 62—69.

Дрннфельд В. Алгебры Хопфа н квантовое уравнение Янга—Бакстера // Докл. АН СССР.— 1986.— Т. 32.— С. 254— 258.

Желобенко Д. П. Конструктивные модули и экстремальные проекторы над алгебрами Шевалле // Функц. анализ и его прнлож.— 1993.— Т. 27, № 3.— С. 5—14.

Желобенко Д. П. Алгебра квантовых бозонов, фильтрация Шуберта и базисы Люстнга // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1993,— Т. 57, № 6,— С. 3—32.

Кац В. Г., Каждая Д. А. (Кас V. G., Kazdan D. A.). Structure of representations with highest weight of infinite dimensional Lie algebras // Adv. in Math.— 1979.— V. 24,— P. 97—108..

Кац В. Г., Петерсон Д. (Кас V. G., Peterson D. Н.) Unitary structure of representations of infinite dimensional groups and convexity theorem // Invent. Math.— 1984.— V. 76.— P. . 1—14.

Кашнвара M. (Kashiwara M.). Crystalizing the ^-analogue of universal enveloping algebras // Comm. Math. Phys.— 1990. — V. 122,— P. 249—260.

Кашнвара M. (Kashiwara M.) Cristalizing the q-analogue of universal enveloping algebras // Preprint RIMS— 728.— Kyoto, 1990.

Лю ст нг Г. (Lusztig G.) Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebras // Adv. in Math.— 1988 — V. 70 — P. 237—249.

Люстнг Г. (Lusztig G.) On quantum groups // J. of Algebra— 1990,— V.. 121.— P. 466—475.

Люстнг Г. (Lusztig G.). Finite dimensional Hopf algebras arising from quantized universal enveloping algebras // Journ. Amer. Math. Soc.— 1990 (to appear).

ПО. Люстнг Г. (Lusztig G.) Quantum groups at roots of 1 // Geom. Ded.— 1990 (to appear).

Люстнг Г. (Lusztig G.) Canonical bases arising from quantized enveloping algebra // Journ. of Amer. Math. Soc. (to appear).

Люстнг Г. (Lusztig G.) Canonical bases arising from quantized enveloping algebra // Preprint MIT Cambridge— 1990.

Meтью О. (Mathieu О.) Bonnes bases pour les G-modyles // C. r. Acad. Sci. Paris— 1990.— V. 2Ю.— Р. 1—3.- -

Россо М. (Rosso М.) Finite dimensional representations of the quantum analog of the enveloping algebra of a complex simple Lie algebra // Comm. Math. Phys.— 1988.— V. 117.— P. 581—593.

Россо M. (Rosso M.) Analogues de la forme de Killing et du theoreme d’Harish-Chandra pour les groupes quantigues // Ann. Ec. Norm. Sup.— 1990,— V. 23,— P. 445—457.

Толстой В. H. Экстремальные проекторы для контрагреди- ентных алгебр Ли и супералгебр Ли конечного роста // Успехи мат. наук.— 1989.— Т. 44, № 1.— С. 211—212.

Литература к добавлениям А, В

Д р и н ф е л ь д В. Г. Квантовые группы // Записки научных семинаров ЛОМИ.— 1986.— Т. 155.— С. 18—49.— (Пер. Ргос. Int. Congr. Math. (Berkely).— Acad.Press.— P. 798—820.)

Дринфельд В. Г. Новая реализация янгианов и квантовые аффинные алгебры // Докл. АН СССР.— 1988.— Т. 36.— С. 212—216..

Дринфельд В. Г. О почти некоммутативных алгебрах Хоп- фа // Алгебра и анализ.— 1989.— Т. 1,№ 2.— С. 30—46.

Д р и н фе л ь д В. Г. Квазнхопфовы алгебры // Алгебра и анализ.— 1989.— Т. 1, № 6,— С. 114—148.

Ж е л о б е н к о Д. П. (Zhelobenko D. Р.) Contragredient algebras // Journ. of Group Theory in Physics.— N. Y.— 1993.— V. 1, N L— P. 201—233.

Кашивара M. (Kashiwara M.) Global crystal bases on quantum groups // RIMS preprint.— 1992.

Манин Ю. И. (Manin Yu. I.) Quantum groups and non- commutative geometry // CRM Univ, of Montreal.— 1988.

Мол ев A. (Molev A.) Gelfand—Zetlin bases for representations of Yangians // Preprint SMS-57-93, CMA-MR.— 1993.

Назаров M., Тарасов В. (Nazarov M., Tarasov V.) Yangians and Gelfand—Zetlin bases // RIMS preprint.— 1993.

Hoy ми M., Умеда T., Вакаяма M. (Noumi M., Umeda T., Wakayama M.) A quantum analogue of the Capelly identity and elementary differential calculus on GL,(n).— Univ, of Tokyo.— Preprint.— 1991.

Ольшанский Г. И. (Olshanskii G. I.) Twisted Yangians and infinite-dimensional classical Lie algebras // Center for Math, and Computer Sci.— 1990,— Report AM-R 9021.

О л ь ш а н с к и й Г. И. (Olshanskii G. I.) Representations of infinite-dimensional Lie algebras and Yangians // Adv. in Soviet Math.— 1991,— V. 2 — P. 1—65.-

Pe ш e ти x ин H. К)., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантование групп и алгебр Ли // Алгебра и анализ.— 1989.— Т. 1, № 2 — С. 178—206.

Россо М. (Rosso М.) Algebres enveloppantes quantifiees, grb- upes quantiques compacts de matrices et calcul differentiel non commutatif // Duke Math. J.— 1990,— V. 61, N 1.— P. 11—40.

Автоморфизм алгебры 13

— внутренний 37

— Картава 65

Алгебра 9

— ассоциативная 9

— Вейля 26

— Вираеоро 73

— Витта 73

— внешнего типа 67

— внутреннего типа 66

— градуированная 21, 83

— групповая 76

— Каца—Муди 49

аффинная 49

индефинитная 49

— — конечного типа 49

— квантовая 282

— коммутативная 9

— компактная 65

— конечномерная 12

—контрансляторная 26

— Ли 9

бикомплексная 64

группы С 11

нильпотентная 43

полупростая 42

— — простая 42, 55

псевдоредуктивная 42

разрешимая 43

редуктивная 41

симметрическая 21

— Микельсона 150, 151

обобщенная 245

—нётерова 22

— обертывающая 20

— симметрии 24

—тралсляторная 24

— универсальная обертывающая 20

— фильтрованная 21

— Шевалле 60, 258

симметризуемая 259

Альтернатор 76

Антигомоморфизм 14

. Базис канонический 332, 333

— Кашивары 310

— кристальный 310

— Люстига 304

— системы корней 52

Бимодуль 16

Вейля алгебра 26

— группа 51, 73

квантовая 297

— камера 52

— теорема 44, 100

Вектор аналитический 37

— вакуумный 38

— весовой 82

— дифференцируемый 19

— доминантный 90

— корневой 66

в Ua(g) 299

— особый 90

— старший 81

— целочисленный 90

— циклический 81

— экстремальный 81

Верма базис 114

— модуль 86

— тождество 333

Вес алгебры НО

фундаментальный ИЗ

—модуля 110

старший 81, 85

Высота нильпотентности 43

— разрешимости 43

Гаусса разложение 51

Гомоморфизм алгебр 13

— модулей 16

—Хариш-Чандры 83

Градуировка алгебры 21

— весовая 82

Группа алгебраическая 14

— Вейля 51, 73

квантовая 297

— кос 295

— Ли 11

полупростая 45

присоединенная 36

простая 45

,редуктивиая 45

— линейная 36

Деформация квантовая 283

Знаменателей множество 32

Ивасавы разложение 71, 72

Идеал 10

— производный 43

Изоморфизм 13

Изотипическая компонента 17

Инволюция 14

— Шевалле 47

Казимира элемент 84

обобщенный 260

Картаиа разложение 65

Категория 13

— S 246

— 36 160

—зе» 165

— О 262, 285, 309

— С7т1 265, 287, 293

— С7рг1щ 274-

Квазнкорень 269

Квиллена лемма 18

Коассоциативность 315

Корень алгебры Шевалле 47

— компактный 70

— комплексный 70

— простой 4?

— старший 70

Корней система 47, 51

приведенная,53

Леви—Мальцева разложе-

. иие 43

Матрица Картаиа 49, 53

обобщенная 49

симметрнзуемая 50

Модуль 15

Модуль артинов 17

— Верма 86

—дискретного типа 223

— дискретной серии 225

— дуальный 35

— индуцированный 33

— интегрируемый 264

— конечномерный 17

— конструктивный 131

—иётеров 17

— ограниченный 260

— полупростой 17

— присоединенный 23, 41

—простой 17

— регулярного типа 229

— регулярный 125

—редуктивный 17

— свободный 18

— топологический 19

— финитно редуктивный 17

— Чариш-Чандры 180

— циклический 17

— экстремальный 79, 85

Нильрадикал 44

Нормализатор 25

Оболочка комплексная (алгебры Ли) 63

Образующие Шевалле 46

■ Оператор Демазюра 104

— инфинитезимальный 19

— рождения 38

— сплетающий 17

— уничтожения 38

Основное аффинное пространство 111

Подалгебра борелевская 75

— инволютивная 65

— Картаиа 46, 75

— производная 42

Подмодуль 16

Подпространство Картаиа 71

— экстремальное 125

Полином гармонический 27

Порядок нормальный 58, 60

Представление алгебры 15

точное 15

— группы 15

непрерывное 19

— неприводимое 17

— основной серии 232

—присоединенное 23, 41

Проектор экстремальный 124, 272 ■

Проекция гармоническая 30

Произведение алгебр прямое 12

тензорное 33

Радикал (алгебры Ли) 43

Разложение Ивасавы 71, 72

— Леви—Мальцева 43

— Картана .65

— треугольное 47, 51

— приведенное (в группе Вейля) 57

Расширение центральное 42

Резольвенты экстремальных уравнений 198

Ряд композиционный 17

Серра условия 49, 283

Система образующих 13

Симметризатор 76

Симметрическая пара (алгебр

Ли) 66

внешнего типа 67

внутреннего типа 66, 70

Структурные константы 20

Теорема Вейля 44, 100

— Хариш-Чандры 101

— Шевалле 101

Умножение (в алгебре) 9

— антикоммутативное 10

Умножение коммутативное 9

Универсальная алгебра груп

пы G 111

Упорядоченность в Д+ 55

— в группе W 60

Факторалгебра 12

Факториал квантовый 283

Фильтрация (в алгебре) 21

— Шуберта 106, 107, 312

— Янсена 270

Форма вещественная 63

— инвариантная 44

— Киллинга 44

— контравариантная 267, 275, 302

— компактная 65

— Шаповалова 118, 268, 270

Функция регулярная 27

Характер модуля 88

центральный 88

Хариш-Чандры теорема 101

Центр алгебры 12

Централизатор 47

Шевалле теорема 101

Шура лемма 18

Элемент Казимира 84

обобщенный 260