Д.П. Желобенко

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИИ ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Д.П. Желобенко

Компактные группы ЛИ и их представления

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

8

часть /

ВВЕДЕНИЕ

「лаваI. Топологические группы. Группы Ли15

Определение группы15

Топологические группы19

Параметрические группы и группы Ли 25

Теория Ли28

Локально изоморфные группы Ли 34

Инвариантные формы на группе Ли 40

Метрика. Мера Хаара42

Г' л а в а II. Линейные группы 46

§§§§§§Полная линейная группа. Экспоненциал . . . . . 46

§§§

§§§

Полная линейная группа. Основные разложения 48

Линейные группы, связанные с формами второго порядка 53

Кватернионы 57

Вопросы односвязности ....62

Вопросы комплексификации.. . 66

Преобразованиявклассетензоров68

Глава III. Основные задачи теории представлений ♦74

§ 15.Функции на однородном пространстве74

§ 16.Терминология теории представлений78

§ 17.Редукция основной проблемы84

Элементарные гармоники 86

Алгебры и группы, связанные с уравнением...91

Лемма Шура 94

Теорема Бернсайда99

Групповые алгебры и их представления.....103

Формулировка основных задач г ,106

часть 〃

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

Глава IV. Компактные группы Ли. Глобальная теорема . . 111

Определение компактной группы111

Формулировка глобальной теоремы114

Прием усреднения116

Свойство ортогональности119

Аппроксимационная лемма для линейнойгруппыG120

Ряды Фурье на линейной группе G122

Завершение доказательства для линейнойгруппыG124

Завершение доказательства в общем случае . ..127

Гармоническнй анализ на однородном многообразии129

Характеры 132

Теория представлений конечных групп134

Универсальность группы U(〃)139

Глава V. Инфинитезимальный метод в теории представлений 142

Дифференциал представления ,.142

Неприводимые представления группы SU(2).,.147

Матричные элементы группы SLJ (2)157

О некоторых группах, связанных с SU(2) ....164

О некоторых проблемах инфинитезимальногометода170

Глава VI. Аналитическое продолжение176

Обилий принцип аналитического продолжения . . 176

Надкомпактные группы Ли. «Унитарный трюк» Г. Вейля.182

Бикомплексные группы и алгебрыЛи185

Комплексная оболочкаU(м). Весаикорпи...191

Модель неприводимыхпредставленийгруппыSU (3)196

8370361 11 112222228370361 11 11222222Глава VII. Неприводимые представления группы U (п) ・

837036

1 11 11

222222

837036

1 11 11

222222

Существование старшего веса , § 47. Единственность старшего вектора § 48. Различные модели d(a} .... § 49. Индуктивные веса

Произведение Юнга

Глава VIII. Тензоры 冃 диаграммы Юнга220

Описание /-инвариантов 220

Диаграммы Юнга224

Симметризаторы Юнга227

Характеристика неприводимых тензоров н терминах симметрии . 231

Принцип взаимности237

Реализация d(a) на прямоугольных матрицах . . 241

Гармонический осциллятор244

2502500 5 95 5 52 2 20 5 95 5 52 2 25 9 2 2626275 9 2 262627Глава IX. Операторы Казимира

250

250

0 5 9

5 5 5

2 2 2

0 5 9

5 5 5

2 2 2

5 9 2 262627

5 9 2 262627

Универсальная обертывающая алгебра

Операторы Казимира для группы GL(n) . . . »

Собственные значения операторов Сй.

Разделение точек спектра и алгебраическое доказа* тельство полной приводимости

Полное описание центра для группы GL (九) ...

Правило циклов

Глава X. Индикаторные системы и базис Гельфанда — Цейт

лина 282

Операторы левого сдвига на группе Z282

Индикаторные системы ..... 287

Алгебра Z-мультиплнкаторов и задача о сужении с группы на подгруппу293

Вазнс Гельфанда ——Цейтлина300

Понижающие операторы в инфинитезимальной форме 305

Нормировка базисных векторов315

Дифференциал d(a) 320

Матричные элементы d(a)325

ГлаваXL Характеры331

Инвариантная мера на группеU ⑺ 331

Примитивные характеры II(п)335

Весовая диаграмма 力(а)338

Вторая формулаВейля345

■ Г л а в а XII. Тензорное произведение двух неприводимых пред■ Г л а в а XII. Тензорное произведение двух неприводимых предЗаключительныезамечания 349

■ Г л а в а XII. Тензорное произведение двух неприводимых пред

■ Г л а в а XII. Тензорное произведение двух неприводимых пред

ставлений группы U (〃) . . 351

§ 77. Метод характеров351

§ 78. Метод / инвариантов . 356

§ 79, Частные случаи*361

§ 80. Детерминанты Вейля366

ЧАСТЬ ///

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

3 3571595827 7778889903 3333333343 3571595827 7778889903 333333334Глава XIII. Основные типы алгебр и групп Ли ..,,

3 357159582

7 777888990

3 333333334

3 357159582

7 777888990

3 333333334

Присоединенное представление алгебры Ли .

Идеал и нормальный делитель

Основные типы алгебр Ли

Разрешимые алгебры Ли

Нильпотентные алгебры Ли

Разложения Фиттинга

Билинейная форма Киллинга — Кортана ...

Основные типы групп Ли

Теорема Леви — Мальцева

Глава XJV. Классификация компактных и редуктивных алгебр Ли406

Компактные алгебры Ли■. . 40b

Подалгебры Картана410

Базис Картана — Вейля414

Простые корни417

Структурная матрица Картана421

Простые комплексные алгебры Ли425

Вещественные формы полупростых комплексных

алгебр Ли 431

Завершение классификации434

Глава XV. Компактные группы Ли в целом439

Инвариантные полиномы. 439

Алгебраические группы442

Разложение Гаусса446

Разложение Ивасавы .. . . 452

Максимальные торы456

Фундаментальная группа ицентр462

Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли466

Группа Вейля . . . 469

Существование комплексной оболочки474

Некоторые дополнительные результаты . . . . 480

Глава XVJ. Описание неприводимых конечномерных представлений 486

Основная теорема486

Старшие веса и сигнатуры490

Нормально вложенныеподгруппы494

Полиномы на группе Z496

Завершение классификации501

Симплектическая группа ,. 506

Ортогональная группа514

Теория спиноров521

Вещественные формы526

Произвольные связные группыЛи529

Несколько замечаний 532

Глава XVII. Инфинитезимальная теория (характеры, веса, операторы Казимира)539

Разложение Картана ——Вейляв универсальной

обертывающей алгебре539

Представления со старшимвектором542

Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X .54G

Формула Фрейденталя 550

Формула Вейля для характеров556

Следствия из формулы Вейля563

Полиномы на картановской подалгебре, инвариант-.

относительно группу Вейля565

Операторы Казимира 569

О вычислении собственных значении операторов Казнмира573

Глава XVIII. Некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений ........ 579

Общая схема сужения с группы на подгруппу . . 579

Сужение SO(n)/SO(n—1) 582

Сужение Sp(n)/Sp(n — 2) 587

Тензорное произведение двух неприводимых представлений 590

Сужения SU (伍十 3/SU(m) X SU⑻ и SU(//zn)/SU(m) X SU(n) 592

Сужение SU(")/SO(")596

Сферические функции в n-мерном евклидовом пространстве 601

О представлениях группы движений гг-мерного евклидова пространства 606

Добавление 1. О бесконечномерных представлениях полупростой комплекснойгруппы Ли .,..611

Элементарные представления 611

Пространство элементарногопредставления...613

Дифференциал элементарногопредставлен"兄...614

Вопросы неприводимости616

Аналог формулы Планшереля617

Теоремы типа Пэли—Винера 619

Минимальные представления620

Классификация неприводимыхпредставлений...621

.§ 9. О полуприводимых представлениях622

Добавление II. Элементы общей теории унитарных представлений локально компактных групп . . 623

Коммутативные группы623

Теорема Стоуна — фон Неймана625

Индуцированные представления628

Полупрямые произведения631

Нильпотентные группы Ли633

Разложение унитарных представлений на неприводимые 635

Добавление III. Унитарная симметрия в классе элементарных частиц638

Инвариантность и законысохранения638

Элементарные частицы. Изотопический спин . . . 641

Унитарнаясимметрия вклассеадронов643

ОткрытиеQ-частицы647

Некоторыепроблемы648

Литература650

Предметный указатель . , . 660

ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержание этой книги несколько отличается от традиционного понимания темы «Компактные группы Ли и их представления». Прежде всего, имея в виду читателей-физиков, автор стремился сделать изложение по возможности более элементарным. Это, в частности, привело к тому, что пришлось опустить ряд интересных и глубоких вопросов, связанных с топологией компактных групп Ли, а также с общей теорией соответствия между группами и алгебрами Ли. В то же время сравнительно подробно рассматриваются вопросы, имеющие приложение к современным задачам теоретической физики. Стремление к элементарности изложения сказалось также и в самом расположении материала (книга разбита на три части, в значительной степени независимые друг от друга, с постепенным возрастанием сложности изложения) .С другой стороны, помимо компактных групп Ли в этой книге рассматриваются также группы иной топологической природы (которые связаны с компактными группами некоторым «соотношением родства»). Это прежде всего редуктивные комплексные группы Ли (в том числе полупростые), получаемые из компактных групп Ли путем аналитического продолжения, а также их вещественные формы (редуктивные вещественные группы Ли). Развивается теория конечномерных представлений для указанных классов групп, причем повсюду, где возможно, автор стремится подчеркнуть «компактную порожденность» этих представлений, т. е. их аналитические связи с представлениями компактных групп Ли. Рассматриваются также бесконечномерные представления полупростых комплексных алгебр Ли (гл. XVII). Некоторые аспекты теории бесконечномер-

ных представлений групп Ли излагаются в виде краткого обзора в добавлениях I и II.

Указанный подход к изложению данной темы в то же время, конечно, не является совершенно новым; он следует традициям известной монографии Г. Вейля «Классические группы, их инварианты и представления» (в которой автор, оставляя в стороне «горные массивы топологии», в значительной степени ориентируется на проблемы развивающейся квантовой механики). Название нашей книги выбрано не случайно; оно отражает преемственность и стремление автора дать современные комментарии хотя бы к некоторым разделам классической книги Вейля. Действительно, с момента выхода этой книги (1939 г.) прошло уже около 30 лет. С тех пор достигнута известная завершенность как в структурной теории компактных групп Ли, так и в общей теории их линейных представлений. Это, в частности, позволяет подходить к теории представлений не инфинитезимально, как это делалось в первоначальных работах Э. Картана и Г. Вейля, а глобально, т. е. с точки зрения группы в целом.

Понятие группы существенно связано с понятием симметрии, будь то симметрия фигуры относительно некоторых геометрических преобразований или симметрия уравнений относительно функциональных преобразований в классе переменных. Первоначально простейшие (конечные) группы были введены в математику Эваристом Галуа (1832 г.) в связи с вопросами симметрии алгебраического уравнения относительно подстановок его корней. Софус Ли имел своей целью построение аналогичной теории для дифференциальных уравнений с непрерывными группами преобразований; в результате возникла специальная теория определенного класса непрерывных групп, называемых теперь группами Ли. Геометрическим группам преобразований отводится принципиальная роль в знаменитой «Эрлангенской программе» Ф. Клейна. Известные работы Э. Картана и Г. Вейля посвящены классификации геометрических объектов (тензоров, спиноров) относительно некоторых групп преобразований; этими работами, по существу, завершается классический этап в развитии теории групп Ли и их

представлений. В дальнейших исследованиях, с одной стороны, уделялось особое внимание топологии группового пространства (Р. Брауэр, Г. Вейль, Л. С. Понтрягин, К. Шевалле, А. И. Мальцев и др.), что позволило дать законченную классификацию важнейших типов групп Ли и их конечномерных представлений. С другой стороны, с начала 50-х годов, после известных работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка, происходит интенсивное развитие теории бесконечномерных представлений (не только групп Ли, но также более широкого класса локально компактных групп). Эти вопросы в свою очередь связаны с вопросами симметрии в современной квантовой теории поля.

Теория групп Ли в современном понимании в значительной степени связана с теорией линейных представлений. Понятие представления, или «обобщенной экспоненты», позволяет проследить глубокую связь между такими, казалось бы, различными вопросами, как теория тензоров и гармонический анализ (ряды и интегралы Фурье). Алгебраические основы этой теории были заложены Г. Фробениусом на рубеже XX века; уже тогда было ясно, что эта теория имеет тесную связь с теорией ассоциативных алгебр, которая постепенно занимает одно из главнейших мест в современной математике. Современная теория представлений в значительной степени может быть интерпретирована как абстрактный гармонический анализ. Если ограничиться компактыыми группами Ли, то мы получаем замечательное обобщение классической теории рядов Фурье, где «обобщенные экспоненты» специального типа (неприводимые представления) играют роль элементарных гармоник. В настоящее время хорошо известно, что таким путем может быть получена универсальная теория специальных функций математической физики. Дальнейшее развитие этой теории, несомненно, будет происходить под влиянием квантовой теории поля.

Несмотря на то, что с момента создания теории относительности (А. Эйнштейном) принципиальная роль теории групп в теоретической физике стала очевидной, физики долгое время игнорировали общую теорию групп Ли, ограничиваясь рассмотрением некоторых конечных

групп (кристаллография), группы движений трехмерного евклидова пространства и группы Лоренца. Положение резко изменилось за последние годы благодаря замечательным успехам теоретико-группового подхода в классификации элементарных частиц. Классификация адронов и предсказание Q-частицы на основе этого подхода показали, что методы теории групп позволяют установить определенные закономерности в 《хаосе》 элементарных частиц, т. е. в той области, где даже неизвестны уравнения динамики (но известны некоторые свойства симметрии). Более подробному обзору этих результатов посвящается в нашей книге добавление III.

Эта книга возникла из курса лекций, прочитанных автором для физиков-теоретиков Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна) в январе ——феврале 1965 г. (Однако идея написания книги появилась еще в 1961 г., когда автору удалось предложить некоторое законченное описание для неприводимых представлений связных групп Ли в конечномерных векторных пространствах, по аналогии с индуцированными представлениями Гельфанда — Напмарка.) .Автор отдает себе отчет в том, что лекционный характер изложения в значительной степени сохранился в этой книге; соответственно эта книга ни в коей мере не претендует на роль учебника или систематической монографии. Автор считал бы свою задачу выполненной, если бы эта книга подготовила читателя к чтению более специальной математической литературы.

Относительно вопросов, лишь частично затронутых в этой книге, мы сошлемся на известные монографии Л. С. Понтрягина [38], К. Шев а л ле [46], Н. Джекобсона [19], Ж. - П. Серра [40] по общей теории групп и алгебр Ли, на книгу С. Хелгасона [42] по теории симметрических пространств, а также на недавно вышедшую книгу Н. Я. Виленкина [14] по групповой теории специальных функций. В нашем тексте мы почти не затрагиваем теорию специальных функций; однако алгебраический аппарат, развив-аемый в этой книге, может быть положен в основу этой общей теории.

Несмотря на то, что физиков в первую очередь интересуют не доказательства, а сводки результатов, автор

всюду стремился проследить внутренние связи развиваемой теории. Более того, местами мы используем «многоплановое» изложение, т. е. получаем один и тот же результат различными способами. Здесь сказалось убеждение автора в том, что для творческой работы с аппаратом теории групп необходимо знакомство не только с результатами, но и с методами зто访 теории.

Автор пользуется случаем выразить благодарность проф. М. А. Наймарку и А. И. Штерну, критические замечания которых значительно содействовали улучшению рукописи этой книги.

Москва,1 марта 1968 г.Москва,1 марта 1968 г.Д. Желобенко

Москва,1 марта 1968 г.

Москва,1 марта 1968 г.

ЧАСТЬ Z

ВВЕДЕНИЕ

8 этом введении, состоящем из трех глав, помимо основных определений^ соглашений о терминологии и т. д. дается краткий обзор теории групп 〃辽,а также излагается сравнительно элементарный круг вопросов, связанный с линейными группами и линейными представлениями абстрактных групп. Читатель, знакомый с этими вопросами, может непосредственно перейти к следующим частям // и /// («.Элементарная теориям, Юбщая теория»).

Изложение могло бы выиграть s систематичности, если начать его непосредственно с теории линейных групп и линейных представлений, не затрагивая общей теории групп Ли. Однако теория групп Ли (главным образом теория соответствия между группами и алгебрами Ли) дает во многих случаях наиболее естественный подход к теории представлений. Поскольку теория групп Ли систематически s этой книге не излагается, мы стремились пользоваться результатами этой теории 〃о возможности иллюстративно. (Однако s части // теория групп Ли существенно используется при доказательстве линейности компактной группы 〃〃.) В то же время для класса линейных групп важнейшие вопросы теории групп Ли будут изложены с доказательствами в части ///.

Большинство определений, касающихся общей топологии и общей теории групп Ли、излагаются s части / также без соблюдения всех деталей ^математической строгости» (однако с таким расчетом, чтобы математически образованный читатель мог без труда заменить их ^строгими» определениями). В конце каждой главы указывается литература, где читатель при желании может найти подробное изложение всех отмеченных здесь вопросов.

ГЛАВА I

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. ГРУППЫ ли

Понятие группы первоначально возникло при изучении конкретных «операций», связанных законом «умножения», или «композиции». Группа относится к числу основных алгебраических структур (алгебра, поле, кольцо и т. д.), наделенных бинарной операцией умножения. Частные случаи этого понятия — главным образом группы преобразований — играют принципиальную роль во многих задачах геометрии и физики.

Определение группы

Абстрактное множество G называется группой, если:

для любой пары его элементов gi, g? определено произведение g&, ассоциативное ) и, вообще говоря, некоммутативное;

существует единица е, т. е. элемент, обладающий свойством eg = ge = g при любом g 三 G;

для каждого g ^ G существует обратный элемент

ggi = g~'g = е.

Нетрудно видеть, что единица е определяется аксиомой (2) однозначно. Действительно, если &,出——единицы, то их произведение должно совпадать как с eif так и с е2, откуда е【—е2. Далее, поскольку умножение некоммутативно, можно было бы вместо (3) отдельно ввести понятия левого и правого обратного элемента; однако если уравнение xg = е разрешимо при любом g 三 G, то, умножая его справа на х и слева на у, для которого ух = е, находим gx = е; следовательно, элемент 尤

является также и правым обратным для g. При том же предположении легко проверить, что левая единица является также и правой единицей, а также что g-】определяется однозначно. Действительно, если xg = е, yg = е, то также gy = е, откуда

х = xgy = У-

С конкретными примерами групп мы часто встречаемся в приложениях, особенно в геометрии. Обычно элементами группы являются некоторые однотипные операции, а произведение gig2 состоит в применении операции g2 и затем операции gi； единица е соответствует состоянию неизменности.

Пример ы.

Группа вращений окружности. Каждое вращение g'(cc) задается углом а,——л ^ ос < л; g(0) = e・

Группа сдвигов и а прямой. Каждый сдвиг g(/) задается вещественным числом /,——оо < / < оо； g(0) = е.

Группа вращений сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Каждое вращение может быть задано, например, тремя углами Эйлера. В отличие от первых двух групп, эта группа некоммутативна (проверьте).

Группа всех унитарных операторов в гильбертовом пространстве Н.

Группа всех подстановок над п эле

ментами.

Последняя группа конечна, т. е. содержит лишь конечное число элементов. Первые две группы коммутативны, или абелевы. Если dim Я = оо (размерность пространства Я бесконечна), то группа в примере 4 не может быть естественным образом параметризована с помощью конечного числа вещественных параметров. Подобные группы, как правило, мы в этой книге рассматривать не будем.

Становясь на абстрактную точку зрения, мы интуитивно интерпретируем группу как некое точечное множество, конечное или бесконечное, иногда допускающее аналитическое описание. Групповая операция умножения дает нам при этом возможность рассматривать в

самой группе О естественные преобразования, порождаемые элементами из О. Мы приводим ниже основные типы таких преобразований; при этом, как уже было сказано, группа О одновременно выступает в качестве преобразуемого множества и также в качестве группы преобразований.

Левый и правый сдвиги (трансляции):

gf gog，gf ggo・

Замечательным свойством группового сдвига (левого или правого) является его транзитивность. Это означает, что с помощью сдвига можно любую точку gi ^ G перевести в любую точку g2 ^ О. Действительно, это следует без труда из аксиомы (3).

Инверсия: g->g—L Заметим, что инверсия меняет местами левые и правые сдвиги. Действительно, (ab)-^ = 6-дт.

Внутренние автоморфизмы:

gf goggU

Автоморфизмом группы G называется всякое взаимно однозначное преобразование множества О, сохраняющее умножение. В частности, если положим @ = g№gj* то имеем ab = Ж, т. е. преобразование а действительно является автоморфизмом. Такой автоморфизм называется внутренним, поскольку порождается элементом g° 三 О.

Если группа О коммутативна, то в ней, очевидно, отсутствует различие между левыми и правыми трансляциями, а внутренние автоморфизмы вырождаются (т. е. а = а для всякого а ^ G). Для записи закона умножения в коммутативной группе иногда используется знак сложения ( + ); при этом символ единицы заменяется символом 0. Примером является обычная группа действительных чисел по сложению.

Всякое подмножество /7и G, замкнутое относительно умножения и взятия обратного элемента, называется подгруппой в группе О. Иначе говоря, если g, о, b 三 Н, то также g-【三//, ab 三". Отсюда легко заключить, что е ^ Я. Следовательно, если рассматривать умножение

только в пределах множества ", то это множество само оказывается группой.

Если Л, В ——произвольные подмножества в G, то условимся использовать обозначение АВ для множества всех произведений вида ab, а ^ Л, b 三 В. Символом Л-1 обозначим инверсный образ множества Л, т. е. совокупность всех элементов а-1, 〃三4 Наконец, если go^G, то символами g^A и AgQ обозначим «левоконгруентное» и «правоконгруентное» множества в G, получаемые из Д с помощью левого и правого сдвига на go соответственно.

Подгруппа Н и G называется инвариантной, если она инвариантна по отношению ко всем внутренним автоморфизмам в G, т. е. если^0Я^~! с Я для всякого go^G. Умножая обе части слева на g~l и справа на go, получаем обратное включение: gQHg~l =5 Н для всякого go 三 G. В результате имеем )

Инвариантные подгруппы в G называются также нормальными делителями в G.

Замечание 1. В примерах 1 и 2, приведенных в этом параграфе, группа G как множество идентична преобразуемому пространству. В примере 3 это не так, поскольку число углов Эйлера превосходит число параметров на сфере (широта и долгота); это является выражением того обстоятельства, что каждая точка на сфере может быть получена бесконечным (но однопараметрическим) числом способов из некоторой фиксированной точки, скажем из северного полюса е. Более подробный анализ таких соотношений будет изложен ниже, в § 17.

Замечание 2. Наличие трансляций позволяет нам заключить, что группа как множество обладает важным свойством «однородности». Это свойство, которое в дальнейшем будет описано более точно, используется обычно при внесении в группу G различных алгебраических или аналитических конструкций (метрика, объем, понятие

производной). При этом, имея в виду трансляции, оказывается достаточным вести основные построения в какой-либо одной фиксированной точке, скажем в единичной точке 仇

Упражнения

Проверить, что определение подгруппы символически . может быть записано в виде НН 1 = Н.

Пусть G — группа всех движений в евклидовом пространстве Е и Н — подгруппа параллельных переносов. Проверить, что Н является нормальным делителем в G.

Топологические группы

Очень часто встречаются группы, в которых помимо алгебраических операций определяется также естественная топология, т. е. понятие близости (окрестность, предельный переход)). Группа G называется топологической, если в ней определена топология, относительно которой элементы gig? и g-i непрерывно зависят от (gi，g2) и g. Желая сделать это определение несколько более строгим, мы рассматриваем функцию

f(g|，g2)= g£U

определенную на множестве всех пар (gi,g2), т. е. на квадрате G X G, и сочетающую в себе обе групповые операции (уможеиие и взятие обратного элемента). Как обычно, в G X G вводится естественная топология, определяемая окрестностями вида U X V, где U и V ——окрестности в G. Тогда мы можем сказать, что группа G является топологической, если функция f(gi,g2) непрерывна на G X G.

Существенно отметить, что трансляции (левые и правые) переводят окрестность s окрестность (это следует из свойства непрерывности умножения). Отсюда следует также, что система окрестностей единичной точки е порождает после сдвига систему окрестностей произвольной точки 或三 G.

С топологической точки зрения в первую очередь важно изучить вопросы дискретности и связности. Топологическое пространство называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей данному пространству ). Топологическое пространство называется дискретным, если все его точки изолированные.

Произвольное топологическое пространство распадается, очевидно, в теоретико-множественную сумму своих связных «листов», называемых также связными компонентами. Если каждый такой《лнст》рассматривать как отдельный элемент, то полученное множество листов естественно топологизируется (см. стр. 62). При этом во многих важных случаях оказывается, что все листы изолированы друг от друга, т. е. пространство листов оказывается дискретным.

Наличие групповой структуры позволяет сразу заключить о наличии простой и общей связи между связными листами топологической группы; в частности, мы увидим, что все эти листы конгруэнтны.

Теорема 1. Пусть G ——произвольная топологическая группа и Н ——ее связная компонента, содержащая единицу. Тогда множество Н является в G инвариантной подгруппой и всякий связный лист з группе G {лево- 〃 право-) конгруэнтен //.

Доказательство. Если а н 6 непрерывно связаны с е путями а(/), Ь(/), 0《/《1, то произведение ab также связано с е непрерывным путем &(/)«(/); точно так же Q—I связано с е непрерывным путем о(0-1. Следовательно, "является подгруппой. Нетрудно видеть, что Н инвариантна (каждый путь &(/) заменяется путем goa (/) g^1). Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть Gx ——связный лист, содержащий точку х. Легко проверить, что имеет место равенство Gx = =%" = Нх, т. е. что Gx получается (левой и правой) трансляцией из множества G^ = Н. Следовательно, G^ конгруэнтно " н все такие листы конгруэнтны между собой.

Замечание 1. Отдельные связные листы G^u G могут быть «занумерованы» точками х при условии, что из каждого такого листа выбирается по единственной точке. При этом, очевидно, только лист Ge = Н содержит единицу; следовательно, только этот лист является подгруппой.

Замечание 2. Если точка с в группе G является изолированной, то лист G& = " состоит из единственной точки е. В этом случае каждый лист Gx состоит из единственной точки % и эта точка изолирована в G, т. е. группа G дискретна.

Перейдем к рассмотрению примеров, иллюстрирующих теорему 1. Для этого нам будет удобно ввести в рассмотрение важный класс групп, называемых линей- ними или матричными группами.

Пусть Е ——линейное пространство размерности 拉 над фиксированным полем Ф. Обычно в. качестве Ф мы будем рассматривать поле вещественных чисел R либо поле комплексных чисел С. Символом

G = GL (п, Ф)

обозначается группа всех невырожденных аффинных преобразований пространства Е. Группа G называется полной линейной группой (general linear group). Всякая подгруппа в группе G называется линейной или матричной группой. '

Последнее определение не вызовет неясностей у тех, кому знакома теория матриц. Действительно, пусть Re = {白,©2,…•，&J ——фиксированный репер в пространстве Е. Любое преобразование gwG вполне определяется репером Rg = {get, ge2, . . ., gcj в который оно переводит репер Re. Раскладывая каждый вектор g/ по базису 凡，мы получаем матрицу

8н gi? ё\п г — I Sin

ёп\ Sn2 ■ ■ • ёtin

где каждый столбец с номером / содержит координатную запись вектора ge, (в строке с номером i располо-

жена if координата вектора ge» При этом, как известно, обычное произведение двух матриц равносильно про* взведению соответствующих преобразований из группы G.

Пусть М — совокупность всех квадратных матриц 〃 X 及 над полем Ф. Полная линейная группа G выделяется из М единственным условием невырожденности: detg 声 0.

Рассматривая М как евклидово пространство размерности 齡 мы вносим в М обычную топологию и тем определяем, в частности, топологию в группе G. Нетрудно видеть, что при этом G становится топологической группой.

Пример 1. Группа G = GL(1, Ф). Если ①=R, то эта группа совпадает с группой вещественных чисел по умножению; если ①=С, то эта группа совпадает с группой комплексных чисел по умножению. В первом случае имеем

G = G_ + G+

(теоретико-множественная сумма), где G_ содержит только отрицательные и G+ — только положительные числа. Точка 0 «выкалывается» из условия невырожденности. Ясно, что G_ и G+ — связные листы группы G.

Во втором случае группа G как множество представляет собой комплексную плоскость с выколотой точкой 0. В этом случае группа связна.

Пример 2. Группа G = GL(〃,①)при произвольном п. Положим сначала ①=R. Нетрудно про* верить, что два произвольных репера могут быть непрерывно переведены друг в друга только в том случае, когда они имеют одинаковую ориентацию. В частности, репер Rg непрерывно связан с Re только при detg〉O. В результате

G =+ G+,

где G_, G+ — связные листы, выделяемые условиями detg<0, detg〉O соответственно. Лист О+ является связной компонентой единицы. Лист G конгруэнтен G」 G_ =々G+ = G+〃，где а — произвольное преобразование с отрицательным детерминантом.

Если ①=С, то группа G оказывается связной. Читателю предлагается проверить это утверждение индукцией по п.

Пример 3. Группа всех ортогональных преобразований вещественного е в к л идо- в а пространства размерности п. Условие ортогональности накладывает на матрицу g ограничение g'g = е, где штрих означает транспонирование. Отсюда следует:

(det g)2 = 1, det g = ± 1.

Повторяя рассуждения предыдущего примера, заключаем, что группа G по-прежнему распадается на два связных листа, выделяемых условиями detg =——1, det g = + 1. Второй из этих листов содержит «собственно ортогональные» преобразования и является связной компонентой единицы.

Пример 4. Группа всех ортогональных преобразований псевдоевклидова пространства с метрикой

%2=-总 + £ + .…+ Xn-

Пусть Re = {в。，Ci, •…，。尊}——фиксированный репер, по отношению к которому числа %$ являются координатами вектора %, и пусть Rg = {ge。，geu ge^. Если i = = 1,2, то векторы ge± имеют единичную длину, т. е. скользят своими концами по поверхности связного «однополостного» гиперболоида:

r+: - * + *+ +号=1.

В то же время вектор geQ имеет квадратом длины число ——1, т. е. скользит своим концом по поверхности «двуполостного» гиперболоида:

「一：一鹿 + %；+ +耽=-L

Гиперболоид Г- несвязен и распадается на два связных листа соответственно условиям х0 < 0, %。〉0. Подставляя х = ge0, получим неравенства goo V 0, goo > 0, где gij ——элемент матрицы g в репере 欠卩 Даже если репер Rg имеет одинаковую ориентацию с Ret он не может быть непрерывно совмещен с Re, если goo < 0

В результате заключаем, что группа G распадается на четыре листа:

O = O- + Gt + G7 4-G+,

где каждый лист Ge выделяется одной из возможные комбинаций знаков E = sgndetg, d = sgn goo- Мы предоставляем читателю самостоятельно проверить (индукцией по /1), что лист G J является связным. Следовательно, остальные листы Ge, когруэнтные G^, также являются связными. Лист Oj является связной компонентой единицы.

Желая построить еще несколько более общий пример, введем предварительно следующее определение. Пусть F и Я 一 произвольные группы. Рассмотрим множество G = F X Н, состоящее из всевозможных пар (f,九)，f 三 F,九三〃，и введем операцию умножения в множестве G по правилу

(",九1)仇，九2)=什/2,九1九2)，

Полученное множество G при этом становится группой, которая называется прямым произведением F и Я. Если F и Н — топологические группы, то множество G снабжается обычной топологией топологического произведения. При этом, как нетрудно видеть, О является топологической группой.

Пример 5. Если в предыдущем построении группа F является дискретной и группа Н связной, то мы получаем топологическую группу G, в которой Я является связной компонентой единицы.

Замечание. Элементы f 三 F в примере 5 могут быть использованы для нумерации связных листов группы G. Соответствующие пары вида (/, е) образуют подгруппу в группе G, изоморфную F； такие преобразования условимся называть отражениями. Нетрудно видеть, что некоторые примеры 1——4 являются частными случаями примера 5 (так, в примере 1 отражения задаются числами ± 1).

Упражнение

Показать, что группа всех унитарных матриц порядка л является связной.

Параметрические группы и группы Ли

Мы значительно приблизимся к обычной ситуации анализа, если вместо общих топологических групп введем специальное понятие параметрической группы. Группа G называется параметрической или локально евклидовой, если она параметризуется (хотя бы локально, т. е. в окрестности каждой точки) некоторой системой вещественных параметров

g = g(f) = g(九必tn)

и если при этом закон умножения и взятия обратного элемента выражается непрерывной функцией от набора параметров t. Записывая обе групповые операции в виде мы имеем

g(/)g(s)T = g(f (/, s)),

где f(/,s) — непрерывная вектор-функция от совокупности переменных / ns. Говоря о том, что множество G параметризуется, мы имеем в виду, как обычно, что G является топологическим или локально евклидовым многообразием.

Таким образом, параметрическая группа представляет собой топологическое многообразие, наделенное групповой структурой, причем эта структура определенным образом согласована с топологией в множестве G (непрерывность f(t, s)).

Если мы желаем охватить даже простейшие важные случаи некоммутативных матричных групп, то нет никакой надежды, что параметризация будет глобальной, т. е. единой на всей группе G. Так, если группа G состоит из всех матриц второго порядка

с определителем, равным единице, то многообразие G выделяетсяиз четырехмерного евклидова пространства уравнением аб — By = 1・Выбирая а, В，у в качестве независимых параметров, мы находимб = ^-(1 +Ру),

откуда ясно, что полученная параметризация справедлива лишь в тех областях группы G, где а#0. Закон умножения в этом случае задается рациональными функциями от а, В，у.

Как увидим в дальнейшем, ситуация рассмотренного примера является достаточно общей, т. е. в большинстве практически важных случаев удается вложить группу G в объемлющее евклидово пространство и записать закон умножения с помощью рациональных функций. Тем не менее мы должны при развитии общей теории иметь в виду обычные трудности, связанные с локальной параметризацией, т. е. с наложением «евклидова атласа» на многообразие G.

Замечание 1. Если уже известно, что группа G является параметрической, то наложение «евклидова атласа» можно осуществить с помощью (левых или правых) трансляций в группе G. Действительно, выбирая независимые параметры в некоторой окрестности точки е, мы разносим эту окрестность во все остальные точки с помощью сдвигов. Нетрудно проверить, исходя из определения параметрической группы, что мы получаем таким путем непрерывное согласование параметров в тех местах, где карты «атласа» взаимно пересекаются.

Замечание 2. Согласно определению параметрической группы всякая такая группа является локально связной, т. е. любая ее точка обладает связной окрестностью. Отсюда следует, в частности, что группа G = = GL(〃, Q) над полем рациональных чисел Q не является параметрниеско访.Согласно общим концепциям анализа мы придаем особое значение полю R вещественных чисел.

Сделаем теперь небольшое отступление в область произвольных топологических групп. Множество SuG называется системой образующих в группе G, если степени S% 几= 0,1,2,… аТе}), покрывают всю группу G. Следующая теорема подчеркивает роль окрестности в связной группе G.

Теорема 2. В связной группе G всякая окрестность единичного элемента является системой образующих.

Доказательство. Фиксируем окрестность U точки е, и пусть Go ——объединение всех степеней t/m, т. е. множество всех элементов, представимых (вообще говоря, неоднозначно) в виде 〃【〃2 • • • 〃ш при некоторых 〃匕〃2, . •. , 〃т 三 ° и при сколь угодно высоком т. Очевидно, Go — открытое связное множество в G. Мы покажем, что Go = G.

Действительно, пусть g0 — точка, лежащая па границе G . Выберем точку 厶 настолько близкой к единице, чтобы 厶-igo содержалось в Go и в то же время h содержалось в окрестности U. Тогда имеем h~lgQ = щи2ит, откуда

Sq = %〃i〃2 • • • 〃т

при 厶,〃i, 〃2, • • • ) 〃т ^^ U. Следовательно, go €= Go вопреки предположению о том, что go лежит на границе Go. Полученное противоречие показывает, что Go = G. Теорема доказана.

Наконец, введем еще одно фундаментальное определение. Группа О называется группой Ли, если она параметрическая и если функция f, задающая закон умножения, вещественно-аналитична ).

Можно было бы ввести понятие группы, несколько раз дифференцируемой, однако существует следующая замечательная теорема: всякая параметрическая группа 8 действительности является группой 〃〃. Эта теорема является решением знаменитой V проблемы Гильберта. Мы не можем в рамках данной книги останавливаться на доказательстве этой теоремы (см. [36]). Смысл ее состоит в том, что групповая структура позволяет получить замечательные следствия в терминах анализа: непрерывность функции f оказывается достаточной для ее аналитичности.

Простейшим аналогом такой ситуации является решение функционального уравнения

f G + y) = f G)fS)

в классе непрерывных функций на числовой прямой. Как известно, это уравнение имеет лишь экспоненциальные решения:

f(x) = Сеах, которые аналитичны. Аналогичный результат имеет место и в классе непрерывных матричных функций f(尤).

Существенно важными объектами в теории групп Ли являются, естественно, лишь связные группы Ли. Такие группы называются также аналитическими группами.

Аналитическая группа представляет собой аналитическое многообразие, наделенное групповой структурой, при условии известной согласованности этой структуры со структурой аналитического многообразия (аналитичность /(/, s)). Более подробное определение аналитической группы и группы Ли можно найти в монографиях [38], [45], [46].

Теория Ли

Как уже отмечалось во введении, первоначальные результаты по теории групп Ли принадлежат норвежскому математику Софусу Ли. Однако в действительности Софус Ли изучал лишь некоторые группы диффеоморфизмов (гладких точечных преобразований) и все рассмотрения проводил локально. С современной точки зрения результаты Ли естественно формулируются для так называемых локальных групп Ли、определение которых будет дано несколько ниже.

Не имея возможности сколько-нибудь подробно остановиться на систематическом изложении теории Ли, мы ограничимся лишь кратким ее обзором и иллюстрацией следующего основного положения: теория Ли устанавливает замечательное соответствие между группами Ла и значительно более простыми алгебраическими объектами——так называемыми алгебрами Ли.

Коль скоро в группе есть понятия дифференцируемости и даже аналитичности, мы можем изучать строение группы локально, пренебрегая малыми величинами того или иного порядка; при этом в силу свойства однородности достаточно рассматривать окрестность единичного элемента е. Согласно общим принципам анализа мы прежде всего осуществляем линеаризацию, т. е, рассматриваем касательное пространство к многообразию G в точке е (конструкция касательного пространства становится особенно наглядной, если G является гиперповерхностью в объемлющем евклидовом про странстве)*). Полученное линейное пространство X яв・

ляется объединением всевозможных касательных прямых в точке е. Его размерность равняется п, где 几—— число параметров в группе G.

С каждым вектором х 三 X мы связываем семейство дифференцируемых кривых, проходящих в G через точку е и имеющих х своим касательным вектором. Желательно было бы выделить из этого семейства простейшую линию ——аналог прямой в евклидовом пространстве. Естественно воспользоваться следующим эвристическим рассуждением.

Для любой точки gwG существует серия gn, 几=0, ± 1, ±2,. .. Если точка g допускает неограниченное извлечение квадратного корня (g%, g%, •••), то эта серия включается в семейство вида g\ где г ——произвольное двоично-рациональное число, причем имеем

gr,gr, = ^,+r:) gO = e.

Если gr^e при Ff 0, то gr, g「' неограниченно сближаются при \г — rz^0. В этом случае возможно построить непрерывное однопараметрическое семейство g% где 九——произвольное действительное число, причем

g也u = g° = e.

Любое однопараметрическое семейство, удовлетворяющее этому мультипликативному соотношению и непрерывно зависящее от вещественного параметра 入，называется однопараметрической подгруппой в группе G, Мы будем считать однопараметрические подгруппы аналогом прямых, проходящих через точку е. В теории групп Ли доказывается следующее важное утверждение.

Теорема А. Единичная точка в группе Ли всегда обладает окрестностью Q, через каждый элемент которой проходит одна и только одна однопараметрическая подгруппа g% аналитически зависящая от X.

Проиллюстрируем эту теорему на примере матричной группы G. Как известно, если матрица g достаточно близка к единичной матрице е, то g представима в виде матричной экспоненты:

g = e* = e + x+涼 + …+~у + …

Поскольку экспоненциальный ряд в свою очередь сходится всюду, т. е. для произвольной матрицы х, мы получаем возможность заменить х на 九匕 В результате получаем семейство

которое аналитически зависит от 九，проходит через е при 九 = 0, через g при 九=1 н для которого выполняется мультипликативное соотношение

Замечание 1. Пусть ||х|| — норма вектора х в 几-мерном пространстве Е, ||^|| — соответствующая норма матрицы g, определяемая по правилу

II IH sup II gx ||.

Тогда мы имеем I! gx || ^ I! ^ !l II x li и || ab )| ^ || а |) |} Ь || для произвольных двух матриц а и Ь. Отсюда по индукции имеем Ha"llW ^ ||а||л. В частности, отсюда следует, что экспоненциальный ряд е1 мажорируется по норме числовым сходящимся рядом е""", и мы заключаем о сходимости ех при произвольном г. Далее, если g = е — а, то мы положим

м = In g = Е (е — а) = — (а + 勺 + ... + -^- 4- .. J.

Полученный ряд мажорируется рядом —1п(1—[[а[[) и, следовательно, сходится при |【а|| < L Как легко проверить, е!п ^ = ^. Мы показали, что искомая окрестность Q в группе G может быть выделена условием ||е — g|| < 1.

Замечание 2. Покажем другим способом, используя аналитичность по 九，что всякая однопараметрическая матричная группа имеет вид е九工 при некотором х. Действительно, из равенства g%+£ = g^g2 при малом е легко находим

(” =Xg\

где положено х = (gz')l=o* Продолжая дифференцирование, находим, что m-кратная производная функции g% в точке 九=0 равняется хт. В результате

g' = ё十九尤+%尤2十...+ 普хn +

Наряду с теоремой А справедлива также следующая

Теорема В. Пусть X — касательное пространство к группе G 6 единичной точке е. Тогда для каждого % 三 X существует единственная однопараметрическая подгруппа, имеющая % своим касательным вектором. Семейство этих подгрупп g^ = g(%%) может быть выбрано таким образом, чтобы

g& x) = g(x)&

Полученная функция g(%) обозначается ехр х по аналогии с матричной экспонентой. Векторы %wX определяют при этом систему параметров в некоторой окрестности 0 точки е. Такие параметры называются каноническими.

Выясним теперь, как выражется закон умножения при помощи канонических параметров в группе G. Если ограничиться малыми первого порядка, то мы имеем для случая матричной группы

m工eм/ = (e+ 入% + ...)3 + 入P+ ….)=? + 入(%+ g) + ...

Следовательно, кривая ^入工^入^ имеет своим касательным вектором х + у. То же верно и для произвольной группы Ли. Однако мы теряем информацию о некоммутатив- ности (поскольку сложение векторов коммутативно). Заметим также, что

(小工产=em入х

т. е. возведению 小工 в степень m соответствует (на этот раз уже точно) 加-кратное растяжение касательного вектора х.

Для того чтобы восстановить утраченную информацию о некоммутативности, построим из произвольных двух элементов g,hwG элемент

k=ghg-lh-\

называемый их коммутатором ). Если g = 8工，A = еХу, то мы находим, пренебрегая малыми выше второго

порядка,порядка,归=/г (九)=е + 九2 (ху — ух) + •・・

порядка,

порядка,

Выражение [х, у] = ху — ух называется в алгебре коммутатором двух матриц хну. Если рассматривать 九？ в качестве параметра на кривой 々(九)，то касательным вектором к этой кривой оказывается вектор [х,у].

Введем аналогичное определение для произвольной группы Ли. Тогда в касательном пространстве X возникает бинарная операция [%,у], по-прежнему называемая коммутатором и обладающая следующими свойствами:

1° 回 ％] = — [х, у] (антикоммутативность); ， 2° [九x + |iy, %]=九[%, %] +卩[у, %] (линейность);

3° [ [х, у], %] + [[//, %], %] + [[%, %],川=0 (тождество

Якоби).Якоби).Произвольное линейное пространство, наделенное такой структурой, называется алгеброй 〃〃. В частности, касательное пространство к м-мерной группе Ли оказывается n-мерной алгеброй Ли. Важнейшее значение этой связи показывает следующая

Якоби).

Якоби).

Теорема С. Пусть g = exp &九=exp у ——два произвольных элемента из группы G, выраженные через канонические координаты. Если их произведение gh также может быть записано в виде ехр г, то вектор % выражается через векторы х и ус помощью операций сложения и взятия кратного коммутатора.

Заметим, что 之=In ехеу, где символ ех означает для краткости групповую экспоненту. Известно даже явное выражение функции % = /(%,у). Пусть скобка 伍他… … ап] означает кратный коммутатор вида 旧[& … … [ап_ь an]...]]. Тогда имеем

f(x, y) = x + y + [x, y] +，

(—1)2 [?yi …jyH(—1)2 [?yi …jyH^ 2(Pi + ?；)Il p^i1^ 2(Pi + ?；)Il p^i1где суммирование ведется по всем неотрицательным целым значениям 〃，％; i = 1, 2, ..., m; /и = 1, 2, 3,...; Pi + 4不 # 0， за исключением простейших случаев при /и = 0, 1, которые выписаны отдельно в виде первых трех слагаемых. Полученный ряд называется рядом Кеме

(—1)2 [?yi …jyH

(—1)2 [?yi …jyH

^ 2(Pi + ?；)Il p^i1

^ 2(Pi + ?；)Il p^i1

белла — Хаусдорфа (ввиду его сложности он редко используется в приложениях).

Следствие. Операция коммутирования в алгебре X определяет закон умножения в некоторой окрестности группы G.

Пусть с】，％ e?i — произвольный базис в алгебре X. Ввиду билинейности операции [尤,у], для ее определения достаточно знания парных коммутаторов [q, е/ Поскольку каждый такой коммутатор снова является элементом из X, то мы имеем

邑，ef\ = cijek

(сумма по ^ от 1 до 〃)，где с^ — коэффициенты разложения, называемые структурными константами. Ясно, что эти константы удовлетворяют некоторым соотношениям, вытекающим из антикоммутативности и тождества Якоби. Знание этих констант вполне определяет закон коммутации в алгебре X.

Следовательно, структурные константы вполне определяют также закон умножения в некоторой окрестности группы G.

Завершая обзор теории Ли, остановимся кратко на вопросе о связи между подгруппами в группе G и подалгебрами в алгебре X. Множество У и X называется подалгеброй, если оно линейно и замкнуто относительно операции коммутирования.

Пусть Н — замкнутая подгруппа в группе G. Тогда легко проверить, что касательное пространство Y к многообразию Н в точке е является подалгеброй в алгебре X. Обратно, всякой подалгебре УиХ отвечает (однако, вообще говоря, незамкнутая) подгруппа Н в группе G, называемая аналитической подгруппой. Замыкание Н может иметь размерность, большую размерности И. Это означает, что связь между подалгебрами в X н подгруппами в G не является взаимно однозначной ).

Упражнения

Показать, что если алгебра Ли X коммутативна, то [х, у] = О для всех х, у w X.

Показать, что трехмерное евклидово пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Показать, что операторы р = q = х (умножение на х), г = 1 и их линейные комбинации образуют алгебру Ли.

Показать, что группа GL(n, ^) является группой Ли.

Показать, что группа О(п) является группой Ли.

§ 5. Локально изоморфные группы Ли

В этом параграфе мы займемся вопросом о возможности восстановления всей группы Ли по соответствующей алгебре Ли. Предварительно остановимся на некоторых общих определениях.

Пусть Л и В — две произвольные группы. Отображение 力=f(a), а^ А, b ^ В, называется гомоморфизмом группы Л в группу В, если

/(а,а2) = /(а1)/(а2),

т. е. если f(a) «сохраняет умножение». Пусть е, е‘一 единичные элементы в А н В соответственно. Покажем, что f(e) = е‘. Действительно,

f (e) = f(ee) = f(e)f (е);

умножая обе части на левый обратный элемент к f(e), получаем f(e) ~ е‘. Нетрудно также видеть, что ，(尤7) = f (х)*1 для всякого % е Л.

Если группы 4 В топологические, то предполагается также, что функция 力=f(a) является непрерывной. Если гомоморфизм f накрывает всю группу В, то говорят, что f является гомоморфизмом группы Л на группу В. Если при этом отображение / взаимно однозначно и взаимно непрерывно, то оно называется изоморфизмом, Изморфные группы не считаются существенно различными.

Остановимся несколько подробнее на алгебраических свойствах гомоморфизма. Пусть Е — множество всех 尤三 4, для которых f (х) = е‘； множество Е называется ядром гомоморфизма f. Покажем, что знание

ядра определяет «степень вырождения» гомоморфизма f во всякой точке a w 4

Теорема 3. Пусть f ——гомоморфизм группы А 8 группу В 〃 Е——его ядро. Множество Е является инвариантной подгруппой в А. Далее,

尸（Ь） = аЕ = Еа

для всякой точки b ^ В, где а — произвольно фиксированный элемент, для которого /（а） = Ь.

Доказательство. Первое утверждение легко проверяется. Далее, если а, а!——произвольные элементы из 尸（Ь）, то /（La'） = ", откуда атха! е Е. Следовательно,

а' = ах,

где а фиксировано и 尤 пробегает Е, Очевидно, эта формула дает общий вид элементов 〃，三/一“力）.Точно так же а' = уа, где у пробегает £. Теорема доказана.

Следствие. Гомоморфизм f является изоморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро состоит из еда- ницы.

Пример 1. Пусть А — аддитивная группа векторов （х,у） на плоскости и В — аддитивная группа чисел на прямой. Отображение

f（x，U）= *

является гомоморфизмом 4 на В. Ядро такого гомоморфизма определяется условием 尤=0, т. е. совпадает с осью Оу. Всякое множество f~i（x。） есть прямая линия, параллельная Оу.

Пример 2. Пусть А — аддитивная группа чисел на прямой и В ——мультипликативная группа комплексных чисел, лежащих на единичной окружности. Отображение

f（x） = е^

является гомоморфизмом А на В. Ядром такого гомоморфизма является множество всех чисел вида 2лп, где п ——произвольное целое число.

Пример 3. Конструкция примера 2 легко обобщается на случай, когда группа А изоморфна произвольному векторному пространству конечной размерности.

В частности, пусть А двумерно и состоит из векторов （%,у）. Положим

II门О'（X, = | о 史

Тогда отображение f является гомоморфизмом 4 на группу В диагональных матриц второго порядка с собственными значениями, по модулю равными единице. Ядро гомоморфизма f составляют пары （2冗几1, 2冗他）, где П], п2 ——произвольные целые числа.

Замечание 1. Группа 8 в примере 3 изоморфна двумерному тору и как группа совпадает с группой движений этого тора.

Замечание 2. Если группы Л и В являются векторными пространствами, то понятие гомоморфизма совпадает в этом случае с понятием аддитивного оператора.

Вернемся теперь к теории групп Ли. Две топологические группы 4 H 8 называются локально изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение / между окрестностями единичных элементов Uu 4, У и 8, которое переводит единицу в единицу и сохраняет закон умножения внутри окрестностей U, V. Последнее означает, что

f （a]出） =，3）〃出），

если 〃！, 〃2, 〃i〃2 三 U, и то же верно для обратного отображения 『7, определенного на окрестности V. В частности, если группы Л и В изоморфны, то они и локально изоморфны, в то время как обратное, вообще говоря, неверно. Две группы Ли, очевидно, могут быть локально изоморфны только в том случае, когда они имеют одинаковую размерность.

Примерами локально изоморфных групп являются группы Л и В, рассмотренные в этом параграфе в примерах 2 и 3. Группы 4 H 8 в примере 1 не могут быть локально изоморфными, поскольку имеют разную размерность.

Если две группы Ли локально изоморфны, то они имеют, очевидно, одну и ту же алгебру Ли. Обратно, если группы Д и 5 имеют одну и ту же алгебру Ли, то,

согласно теории Ли, они локально изоморфны. Следовательно, можно заключить, что алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локального изоморфизма.

Замечание. Множество Q назовем локальной группой Ли, если оно топологически отождествляется с некоторой окрестностью «-мерного векторного пространства и если в нем введена групповая операция gh^r, аналитическая в параметрах Q и определенная для точек g н %, достаточно близких к единице. Вся теория Ли может быть переформулирована для локальных групп Ли; при этом локальная группа Q уже однозначно определяется своей алгеброй X.

В дальнейшем мы условимся рассматривать лишь конечномерные алгебры Ли, опуская для краткости слово «конечномерные^». Если X — такая алгебра, то мы введем обозначение(о(Х) для множества всех аналитических групп, имеющих X своей алгеброй Ли. При этом две группы считаются одинаковыми, если они изоморфны. Согласно сказанному выше все группы класса (о(Х) локально изоморфны. Проблема состоит в описании класса (о(Х).

Прежде всего, возникает вопрос, является ли класс ®(Х) непустым для произвольной алгебры X. Ответ является положительным, но его доказательство слишком сложно. Мы наметим идею доказательства в § 107. Далее, имеет место

Теорема D. В каждом классе ①(X) существует ^максимальная» группа S, определяемая однозначно. Максимальность означает, что всякая группа Gwm(X) является гомоморфным образом @:

G = f(®).

Идея доказательства этой теоремы состоит в построении «накрывающего многообразия» для каждой группы Gwm(X). Понятие накрывающего многообразия в топологии основано на той же идее, что и понятие римановой поверхности в теории функций комплексного переменного. Мы не станем воспроизводить подробности этого определения, отсылая читателя к руководствам по общей топологии либо к книге Ш е в а л л е [46] (т. I, стр. 61). Известно, что если G — связное многообразие, каждая точка которого обладает базисной системой связных окрестностей, то среди многообразий, накрывающие

G, существует максимальное многообразие ® (см. [46]). Максимальность означает при этом, что всякое накрытие ® гомеоморфно ®. Если G — группа, то многообразие ® также наделяется структурой группы, причем группа G является гомоморфным образом ®. Если группы Gi, G2 локально изоморфны, то их накрывающие оказываются изоморфными.

Указанное выше многообразие ® может быть также однозначно охарактеризовано свойством односвязности. Это означает, что всякий замкнутый цикл в многообразии S может быть стянут в точку непрерывной деформацией в S. (В частности, прямая односвязна, а окружность неодносвязна, причем прямая является накрывающим многообразием для окружности.) Таким образом, группа S из теоремы D является односвязной. Она называется универсальной накрывающей класса з(Х).

Следствие 1. Существует взаимно однозначное соответствие между алгебрами Ли 〃 односвязными группами Ли.

Следствие 2. Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда^ когда они имеют одну и ту же универсальную накрывающую.

Рассмотрим в качестве простейшего примера тот случай, когда алгебра X одномерна. Очевидно, в этом случае X коммутативна. Роль универсальной накрывающей класса(о(Х) играет аддитивная группа вещественных чисел (группа сдвигов на прямой). Элементом класса (о(Х) является также мультипликативная группа комплексных чисел е，屮(группа вращений окружности). Если рассматривать каждую группу с точностью до изоморфизма, то легко показать (см. упражнение 2 в конце параграфа), что указанными двумя группами исчерпывается в данном случае весь класс(о(Х).

Таким образом, теорема D в известном смысле завершает теорию групп Ли. Мы сделаем, однако, еще одно простое замечание, которое позволит уяснить структуру формул ы

G = И@),

указанной в теореме D. Пусть S ——произвольная группа. Всякий элемент z е S, перестановочный со всеми элементами из S, называется центральным. Множество всех центральных элементов называется центром группы S.

Теорема 4. Ядро гомоморфизма 厶 указанного s теореме D, является дискретным и содержится в центре группы S.

Доказательство. Пусть Е — ядро гомоморфизма Д Из непрерывности，следует замкнутость Е. Подгруппа Е, как замкнутая подгруппа в группе Ли, сама является группой Ли. Однако Е не может содержать ни одной однопараметрической подгруппы, поскольку / взаимно однозначно в окрестности точки е. Следовательно, Е дискретно.

Далее, для каждого х 三 Е введем 《орбиту》 Ох как совокупность всех элементов вида gxg〕gw® тогда О* и 瓦 поскольку Е инвариантно относительно внутренних автоморфизмов. Всякая орбита является связной в силу связности S и в то же время дискретной ввиду дискретности Е. Это может быть только тогда, когда Ох состоит из единственной точки х. Следовательно, gxgT =尤 при всех g 三⑥ и всякий элемент х 三 Е является центральным. Теорема доказана.

Следствие. Для перечисления всех групп класса з（Х） достаточно перечислить подгруппы^ лежащие в центре группы S.

Дискретные подгруппы, лежащие в центре группы S, мы будем также называть дискретными делителями группы S. Если О = f®）,尸（с）= Z, где S — односвязная подгруппа и Z — ее дискретный делитель, то Z называется фундаментальной группой или группой Пуанкаре многообразия О. Фундаментальная группа показывает «степень неодносвязности^ многообразия О.

Упражнения

Пусть 夕一векторное пространство размерности 几 Показать, что всякая дискретная подгруппа в группе 夕 имеет вид дискретной решетки n^i + п2^2 + • .. + 枕丸＜?左,где ?卜 е% . ■ •, ek ~ линейно независимые векторы （々 & 打）и пь 打2, ..., Пд — произвольные целые числа.

Показать, что всякая коммутативная связная группа Ли изоморфна прямому произведению /г-мерного тора на (п — /г) -мерное векторное пространство. (Указан и е: воспользуемся результатом упражнения 1.)

Инвариантные формы на группе Ли

Пусть G — группа Ли с локальными параметрами /2,...,产)в окрестности точки е. Мы будем рассматривать правые сдвиги g-> ggo как аналитические преобразования этих координат при условии, что точки g, go, ggo достаточно близки к единице. Если о, т — соответственно параметры этих точек, то мы имеем т = ф (/, а), где ф ——аналитическая функция от / и а. Далее,

dx = Л (т, t)dt、

где Л (т, /) — матричная функция, составленная из частных производиых dtp，(厶 o)/d/&; при этом мы считаем т, t независимыми переменными, подбирая о из соотношения между т, / н о. Очевидно, матрица Л (т, t) аналитически зависит от своих переменных. Далее, она невырождена, поскольку ее детерминант совпадает с якобианом взаимно однозначного преобразования g—►ggo. Повторное применение операции сдвига приводит нас к формуле

t)Л(t, /) =4亿方)，

справедливой при достаточно малых значениях входящих в нее параметров. Матрицу Л (т, /) мы будем называть трансформационной матрицей правого сдвига. Аналогично можно было бы рассматривать левые сдвиги на G.

Пусть a(Z) =(Qi«), &«), …，ап (^)) ~ векторная функция на группе G, т. е. векторное поле, выраженное через локальные координаты. Векторное поле a(f) мы будем называть ковариантным, если

а (т)4 (т, t) = а «)(<>)

для всякого правого сдвига на G. Хотя такое определение является локальным, его нетрудно при помощи атласа перенести на всю группу G. (Аналогично можно

определить контравариантное векторное поле по правилу Л (т, /)”/) = ^(т).)

Пусть a(t)—произвольное векторное поле на G. Записывая q(/) как вектор-строку и dt как вектор-столбец, мы рассмотрим свертку

(о(/, d/) = a(t)dt, которая дает нам общий вид линейной дифференциальной формы на многообразии G. Форма со(/, dt) называется правоинвариантной, если

①(т, dr) =(о(/, dt),где т — координаты новой точки, получаемой при сдвигеgg> Легко проверить, что форма з инвариантна тогда итолько тогда, когда поле q(/) является ковариантным.

В результате мы приходим к эквивалентному определению понятия ковариантности. Аналогично можно было бы рассмотреть левые сдвиги на G. Докажем теперь следующий основной результат:

Теорема 5. На группе Ли размерности п существует ровно и линейно независимых правоинвариантных и ровно и линейно независимых левоинвариантных форм. Коэффициенты этих форм являются аналитическими функциями на G.

Доказательство. Для определенности рассмотрим правые сдвиги. Условимся, что / = 0 соответствует единичной точке е. Согласно определению ковариантности имеем, в частности,

q(/) — а(0)Л (0, /).

Заменим множитель а (0) произвольным постоянным вектором с и покажем, что полученное векторное поле является ковариантным. Действительно, согласно свойствам трансформационной матрицы мы имеем

q(t)4 (т, /) = сА (0,т)4 (т, /) = сА (0, t) = a(t).

Мы показали, что общий вид ковариантного векторного- поля на группе G дается формулой

а(/) = с А (0, /),

где с ——произвольный постоянный вектор. Отсюда, в частности, следует аналитичность функции а(/). Поскольку вектор с пробегает "-мерное пространство и матрица А (О, Z) невырождена, мы действительно получаем ровно п линейно независимых решений. Теорема доказана.

Замечание. Идея доказательства вкратце сводится к тому, что произвольный фиксированный вектор с = о(0) «разносится» определенным образом по группе G. В действительности наше доказательство требует большей строгости при рассмотрении《атласа〉〉на группе G.

Для иллюстрации рассмотрим случай матричной группы и независимо получим в этом случае результат теоремы 5. Если g—произвольная матрица, то символом dg мы обозначим матрицу, составленную из дифференциалов всех элементов матрицы g. Положим

s(g，dg) = dg・g-L

Рассматривая правый сдвиг, положим h — gg°. Тогда dh = dg -go, откуда dh • hrx = dg・g」. Следовательно, матрица co(g, dg) является правоинвариантной. Заметим, что элементами этой матрицы являются дифференциальные формы на G. Число линейно независимых среди этих форм, очевидно, равно числу параметров в группе О.

Аналогично матрица 齿(g, dg) = g^dg является левоинвариантной и содержит нужное число линейно независимых дифференциальных форм.

До сих пор мы рассматривали лишь дифференциальные формы первого порядка, однако наши рассмотрения, очевидно, без труда переносятся на формы любого порядка. Соответственно мы получаем описание ковариантных и контравариантных тензорных полей на группе G.

Метрика. Мера Хаара

Используя идеи предыдущего параграфа, мы получаем, в частности, что справедлива следующая )

Теорема 6. На группе Ли всегда существует положительно определенная риманова метрика

ds2 = а订 Q) dtl dt^

(сумма no г, /), инвариантная относительно правых сдвигов (то же верно для левых сдвигов). Метрический тензор 。订(力)аналитичен на G.

Доказательство строится по той же схеме, что и доказательство теоремы 5. Если записывать исходиый тензор в виде матрицы а(/), то мы находим

а «)7 (0, /)а(0)Л(0, О,

где штрих означает транспонирование. При этом в качестве а(0) выбирается произвольная положительно определенная матрица порядка п (где п ——число параметров в группе G).

Следствие. Всякая группа Ли является римановым пространством.

Если g и h — произвольные точки в группе G, то мы определяем расстояние между ними по формуле

p(g, /г) = inf f ds,

где inf берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим g н 瓦 Полученная метрика p(g,力)обладает следующим свойством инвариантности:

p(ggo,九go) = p(g,/i),

т. e. не меняется при правых сдвигах в группе G. Точно так же может быть построена метрика, инвариантная при левых сдвигах.

Пример. На матричной группе G мы можем использовать форму з = з(© dg), построенную в предыдущем параграфе, и положить

ds2 = sp зо/ = 2 确，

где штрих означает транспонирование, sp — след и. з订——элемент матрицы з. Очевидно, эта форма является положительно определенной.

Замечание. Связь между теорией групп Ли и геометрией римановых пространств впервые была плодотворно использована Э. Картаном. В частности, важно отметить, что однопараметрические подгруппы в группе G оказываются геодезическими относительно введенной римановой метрики ). Это свойство мы исследуем ниже (§ 102) для отдельного частного случая групп Ли.

Точно так же, применяя 《правило трансляции» к кососимметрическому тензору ранга п (где п — число параметров в группе О), получаем следующий результат:

Теорема 7. На группе Ли размерности п существует элемент объема, инвариантный относительно правых сдвигов и представимый в виде

如(g) = й (/) * d伊…dtn,

где Q (/)——аналитическая функция на группе G, определяемая однозначно с точностью до постоянного множителя.

Действительно, элемент объема задается в единичной точке е посредством обычного определителя, составленного из линейно независимых касательных направлений. Этот элемент может быть записан также в виде кососимметричной полилинейной формы порядка п. Применяя правило трансляций, указанное в § 6, заметим также, что кососимметрический тензор порядка п определяется в /г-мерном пространстве однозначно с точностью до постоянного множителя.

Условие инвариантности элемента dji(g) можно выразить формулой d卜i(ggo) =d(i(g), понимая под заменой переменных обычное правило вычисления якобиана. Иное выражение условия инвариантности дается формулой

J f (ggo) d“ (g) = J f (g) du (g)，

где f(g) —произвольная функция на группе G, интегрируемая с весом dji(g). Элемент d(i(g) называется пра-

воинвариантной мерой на группе G. Аналогично строится левоинвариантная мера.

Пусть А — произвольное измеримое множество в группе G, т. е. такое, для которого интеграл

“(4)= J ^Ц (g)

существует. Полученный интеграл называется мерой или объемом множества А. Инвариантность этого объема относительно правых сдвигов выражается очевидной формулой:

“(4go) = “(4)

для любого g()wG. Функция ц(/1) называется также мерой Хаара по имени математика, который доказал ее существование (для класса групп более широкого, чем группы Ли).

В этой главе был приведен лишь краткий обзор теории групп Ли. Подробное изложение этой теории можно найти в монографиях [38], [45], [46]. Оригинальное изложение первоначальной теории Ли содержится в трактате Л и и Энгеля [32]. Связь с геометрией римановых пространств приводится в [24], [47]; см. также [42]. Решение пятой проблемы Гильберта — [36] ). Относительно инвариантного интегрирования на группе см. [9], [10]. [35], [118], [134].

В следующей главе мы рассмотрим несколько более подробно линейные (матричные) группы. Ряд результатов теории групп Ли будет в дальнейшем изложен с доказательствами для ^того частного класса групп.

ГЛАВА II

ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ

Мы уже ввели понятие линейной группы в предыдущей главе. Л инейные группы являются важнейшим объектом изучения в теории групп Ли. Оми имеют принципиальное значение также в геометрии и теоретической физике.

Полная линейная группа. Экспоненциал

Абстрактное множество Л называется алгеброй, если оно является линейным пространством с ассоциативным умножением, причем сложение и умножение связаны обычным дистрибутивным законом. Говорят, что алгебра А является алгеброй с единицей, если в ней существует элемент е, для которого еа = ае = а при любом а^ А. Множество всех обратимых элементов в алгебре Л с единицей, очевидно, является группой. Если, в частности,- Л ——алгебра всех матриц n-го порядка, то таким путем возникает полная линейная группа GL (п, Ф).

В качестве поля Ф мы обычно условимся рассматривать R или С. Если ясно, о каком поле идет речь, то мы условимся для краткости обозначать полную линейную группу символом GL(n). Под топологией в GL(几) мы будем всегда понимать топологию объемлющего линейного пространства А.

Мы уже использовали в гл. I понятие матричной экспоненты. Эту экспоненту условимся обозначать символом ех или ехр х. Имеем

ехр 尤• exp у = exp (尤 + у),если матрицы х, у перестановочны (в общем случае этоне так). Доказательство легко получить перемножением

двух рядов. Функция g = expx доставляет нам канонические координаты в группе GL(n).

Теорема 1. Экспоненциальное отображение g = ==exp х, х^ А, накрывает всю группу GL(n) над комплексным полем С.

Доказательство. Воспользуемся нормальной жордановой формой матрицы g. Согласно теории элементарных делителей матрица g в некотором базисе может быть приведена к диагонально-блочному виду с блоками вида

gi =九必厶

где 九t ——диагональная матрица с единственным собственным значением и 力一треугольная матрица с единицами на главной диагонали. Ограничившись отдельным блоком, мы запишем его в виде

g =九 z,

где матрица % кратна единице и матрица г описана выше. Заметим, что 之 =е + 自 где матрица | нульсте- пенна (^т = 0 при достаточно большом т). Отсюда следует, что логарифм матрицы г может быть определен в виде конечного степенного ряда. В результате

2 = ехр т,

где матрица т нульстепенна. В то же время матрица 九 также может быть записана в виде экспоненты exp h. Поскольку матрица 九 кратна единичной, она перестановочна с т. В результате имеем

g ехр 九• ехр т = ехр (Л + т).

Мы показали, что всякая матрица g 巨 GL (几,С) может быть записана в виде экспоненты. Теорема доказана.

Замечание. Над вещественным полем подобная теорема неверна, поскольку даже диагональная матрица 九 с отрицательными собственными значениями, вообще говоря, не может быть записана в виде экспоненты. Экспоненциальное отображение накрывает лишь некоторую область в GL(&/?).

В дальнейшем иногда мы будем использовать хорошо известную формулу Якоби:

det ех = е‘Р х.

Здесь sp х означает след матрицы х, т. е. сумму ее диагональных элементов. (Поскольку детерминант и след не зависят от выбора базиса, то достаточно проверить справедливость этой формулы в том базисе, где матрица х треугольна. Существование такого базиса хорошо известно из теории матриц.) В частности, если det е^х = 1, —оо < X < оо, то мы имеем

sp х = 0.

Множество всех матриц порядка п с детерминантом, равным единице, обозначается символом SL(n). Это множество является группой и носит название унимо- дулярной группы порядка п ).

Согласно общим конструкциям гл. I мы можем заключить, что алгебра Ли GL (п) совпадает по запасу элементов со всей алгеброй А квадратных матриц п X п Очевидно также, что алгебра Ли SL (п) выделяется единственным условием spx = 0. Мы обозначим эти алгебры строчными символами gl (n), si (п) соответственно

Согласно общей теории групп Ли всякая замкнутая подгруппа в GL(п) снова является группой Ли. Если X — соответствующая алгебра Ли, то Nu4 и коммутатор в X выражается обычной формулой [х, у]=ху ——ух. Различные алгебры Ли отличаются в этом случае лишь по запасу элементов. Такие алгебры иногда называются также линейными алгебрами

Полная линейная группа. Основные разложения

Мы отметим в этом параграфе некоторые способы параметризации полной линейной группы G = GL (n, С). Все они связаны с некоторыми мультипликативными разложениями в группе G. С соответствующими изме-

нениями результаты остаются верными также и для вещественного поля.

Полярное разложение. Введем операцию эрмитова сопряжения по формуле а* = 2‘, где штрих означает транспонирование матрицы а и черта — комплексное сопряжение. Заметим, что

(ab)* = 6*о七

Матрица h называется эрмитовой или самосопряженной, если Л* = h. Матрица и называется унитарной, если 〃* = w1. Матрица р называется положительно определенной, если форма

Р(Е) = Pij^lj

положительно определена. Эрмитова матрица является положительно определенной в том и только том случае, когда все ее собственные значения положительны.

Теорема 2. G = RU, где R ——множество всех положительно определенных эрмитовых матриц и U = U(n)—— группа всех унитарных матриц порядка п. Индивидуальное разложение g = ru, г w R, и U, однозначно.

Доказательство. Если матрица g обратима, то матрицы g* и р = gg* также обратимы (ибо detg* = = detg). Легко проверить, что р w R. Следовательно, р =严，где rwR (достаточно использовать тот базис, в котором р диагональна). Полагая в = Lg, находим

ии* = Egg* 厂' =е.

Следовательно, матрица и унитарна и g = гм Если матрица g допускает какое-либо иное разложение такого типа, скажем g = гхи^ то по-прежнему r； = gg* = р, от куда следует, что г} = г, ввиду однозначности извлечения корня в R. Следовательно, также В] = и. Теорема доказана.

Разложение g = г以，г 三 R, и^ U, называется полярным разложением. Оно обобщает разложение комплексного числа в произведение модуля на унитарное число вида е№ При переходе к вещественному полю эрмито- вость заменяется симметричностью и унитарность —— ортогональностью.

Разложение Гаусса. Пусть D = D (п)— множество всех диагональных матриц из G (относительно фиксированного базиса):

О

6“6“о

6“

6“

Пусть Z_ = Z_(/t), Z+ = Z+(/t) —соответственно множества всех нижних и верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали:

...О ...О...О ...О之！2 •• •之1几之！2 •• •之1几о 1 …о 1 …

...О ...О

...О ...О

之！2 •• •之1几

之！2 •• •之1几

о 1 …

о 1 …

О 01

Все эти множества являются группами. Далее, пусть А% ——диагональный минор матрицы g, составленный из первых i строк и первых i столбцов. Докажем, что имеет место

Теорема 3. Если миноры А», i = 1, 2,….,/г, матрицы g отличны от нуля, то g разлагается^ причем единственным образом, в произведение вида

g = ^ CwZ_, 6wD, zwZ+・

Элементы сомножителей 工 6, г выражаются рационально через элементы матрицы g. Множество Go = Z^DZ+ открыто и всюду плотно в группе G.

Доказательство. Умножим матрицу g справа на х ^ Z+ и выпишем систему уравнений (gx)ij = 0 при У：

2 Sikxkj = 0>1 & i V j & 九,

которые выражают нижнюю треугольность матрицы gx. Легко проверить, что детерминант такой системы при фиксированном i совпадает с Аз Следовательно, эта система разрешима, и, заменяя х на 之一* мы имеем

где матрица 々 является нижней треугольной. Очевидно, всякая такая матрица может быть записана в виде 白6, где 白 w 6曰 D.

Далее, пусть g；中二卜 означает минор матрицы g, составленный из строк с номерами и, &, ..., ip и столбцов с номерами /ь /2, ..., /р. Легко находим по правилу умножения миноров

& 1 2 …р— 1 q dpQpq,

где Ар =也1亀2 …kpp = 66 . . . др. Отсюда, в частности, при р ~ q получается выражение для собственных значений др и при р < q ——выражение для элементов zpg. Обозначая минор, стоящий слева, через A「q, находим

Аналогично вычисляя g, находим ^pq = Д^^, где для краткости положено % = g£ ：Т二]； Заметим также, что

°р = "д ~， Р — 1, 2, . . ., м,

где положено Ao = L

Остается доказать единственность полученного разложения. ЕСЛИ g =々iW]=々2W2, то 々「1々2 =之庐$1, что возможно только в том случае, когда 也 = 局，& = 电 Впрочем, единственность следует также из приведенного выше явного вычисления параметров g, 6, 2.

Множество Go = Z__Z)Z+ получается выбрасыванием из G многообразия меньшей размерности (это многообразие определяется как объединение гиперповерхностей А?・=0, ，= 1, 2, ..., и ——1). Следовательно, 60 открыто и всюду плотно в G. Теорема доказана.

Разложение теоремы 3 мы будем называть разло- э/сением Гаусса (Гаусс использовал его для рекуррентного решения системы линейных уравнений). Заметим, что Gg содержит единичную точку е, а потому и некоторую окрестность точки е. Всякую точку g ^ Go мы будем называть регулярной и множество G。обозначать также символом Greg.

Разложение Грама. Пусть Е означает совокупность всех диагональных положительно определенных матриц. Докажем, что имеет место

Те о р е м а 4. G = Z_EU. Индивидуальное разложение g = ^eu, е 巨 Е, С w Z_, и 巨 U, однозначно.

Доказательство. Согласно критерию Сильвестра всякая положительно определенная матрица содержится в Gy В частности, матрица р = gg* допускает разложение Гаусса: р = ^dz, причем из эрмитовости р и единственности разложения Гаусса следуют равенства

С = * д = д*, г = f

Кроме того, матрица д является положительно определенной. Следовательно, д = е2,七巨 R. Полагая / = ^е, мы запишем матрицу р в виде 〃* и положим и = t~}g. Тогда имеем

= /Tgg*z*T = е,

откуда следует, что матрица и унитарна. В результате g = tu =白£儿 Единственность этого разложения устанавливается таким же способом, как при доказательстве теоремы 3. Теорема доказана.

Разложение теоремы 4 мы условимся называть разложением Грама. Оно выражает процесс «ортогонализации» произвольной матрицы gwG при помощи треугольного сомножителя / = ^е. Пусть Т—множество всех таких треугольных матриц (с положительными собственными значениями). Тогда мы имеем

GL(n)= Т・ U(zi)

Заметим также (это ясно из доказательства теоремы 4), что соответствие между матрицей g и тройкой (С, & и) является взаимно непрерывным. Следовательно, группа G как топологическое множество изоморфна прямому произведению Z^X Е X U.

Последнее замечание весьма существенно для уяснения топологической структуры группы G. Действительно, множество Т изоморфно евклидову пространству. Следовательно, вся сложность топологической структуры «сосредоточена» в группе U(n).

Упражнения

Показать, что GL (%,①)=①「SL (〃，①)，「де группа Ф1 изоморфна мультипликативной группе поля Ф. (Указание: элементы ф[ диагональны с единственным собственным значением, отличным от единицы.)

Показать, что U (гг) — Фо • SU(n), где группа Фо изоморфна окружности и группа SU(n) определяется как пересечение U(〃) с SL(n.C).

Показать, что GL(n) — UEU. (Указание: положить g = pk (полярное разложение) и привести матрицу р к диагональному виду.)

§ 10. Линейные группы, связанные с формамивторого порядка

В приложениях часто встречаются линейные группы, которые выделяются из GL(n) условием сохранения некоторой формы второго порядка, подобно тому как группа вращений сохраняет скалярный квадрат. Мы займемся в этом параграфе классификацией и описанием простейших свойств таких линейных групп.

Пусть Е ——исходное n-мерное пространство. Для упрощения записей условимся рассматривать вектор как координатный вектор-столбец и записывать всякую билинейную форму над Е в виде

f(x,y) = xffy, х, у^Е,

где f — постоянная матрица, определяющая эту форму, и штрих означает транспонирование. Заменяя транспонирование эрмитовым сопряжением, мы можем рассматривать также эрмитовы или полуторалинейные формы вида x*fy (которые линейны по у и антилинейны по х).

В дальнейшем мы всегда предполагаем, что форма f (х, у) невырождена, т. е. det f =# 0. (В противном случае форма f «содержит только часть переменных», определяющих % и у.) Равенство.

f(gx，gy) = f(x, у)

означает, что форма f остается инвариантной при преобразовании g. Множество G/ всех линейных преобразований, оставляющих форму f инвариантной, как увидим,

образует группу. Действительно, имеем x'g'fgg = /%.

Поскольку это равенство имеет место для всех значений X, у Е, то мы заключаем, что матрицы g'fg и f равны. Равенство

g'fg = f (*)

необходимо и достаточно для инвариантности формы f. В частности, это равенство является определяющим для G/. Вычисляя детерминанты обеих частей этого равенства, находим

(detg)2 det f = det f.

Поскольку мы условились, что det f W0, отсюда находим det g = +1- В частности, матрицы gwGj всегда невырождены. Отсюда ясно, что G； образует группу.

Отметим вначале простое правило для вычисления алгебры Ли группы G户 Записывая g в виде ехр /х, мы подставляем эту экспоненту в (*). Дифференцируя по / при / = 0, находим

х7 + /х = 0.

С другой стороны, предположим, что матрица х удовлетворяет этому условию. Дифференцируя функцию 屮(/) = =exp tx/ • f • ехр /х, с заменой / на —fxf~l находим, что ф/(г) = 0. Следовательно, равенство

< =—fxf^{ (**)

необходимо и достаточно для того, чтобы матрица х содержалась в алгебре Ли группы G/. Иными словами, условие (*^) является определяющим для искомой алгебры Ли.

Замечание. В частности, мы получим ортогональную группу О (п), если положим f = е. Условие (■»*) принимает вид / = —х, и мы заключаем, что всякая матрица х, касательная к группе вращений, является кососимметрической. Этот результат, в частности, хорошо известен в аналитической механике.

Перейдем к вопросу о классификации групп О/. Ограничимся тем практически важным случаем, когда форма* / симметрична или кососимметрична. За счет опреде-

ленного выбора базиса мы можем всегда привести форму f к одному из принятых в алгебре «канонических» видов. Особенно легко проводятся эти построения над полем комплексных чисел.

Классификация групп G； над полем С. Если форма симметрична, то она, как известно, приводится в некотором базисе к виду

Следовательно, в этом случае группа G『изоморфна ортогональной группе, обозначаемой О(〃, С) («комплексно ортогональная группам). Если форма f кососимметрична, то она, как известно, может быть невырожденной только в случае четной размерности 〃 = 2v и приводится к виду

[%, у] = Х\Уп + Х2Уп~\ + •…+%V%+1 — %v+l% — • • • —ХпУк

Полученная группа обозначается Sp(/t, С) и называется (комплексной) симплектической группой. Эта группа встречается в геометрии при изучении комплексов прямых и в аналитической механике при изучении касательных преобразований. Заметим, что в случае О(〃，С) форма f может быть также приведена к виду

{%, у} = х、уп + Х2уп-\ + ■ • ■ + Xnjl,

по записи сходному с [х, у]. Последний способ записи действительно часто оказывается удобным при изучении группы 0(〃, С).

Классификация групп G『над полем R. Над вещественным полем вместо формы (%, у) мы получаем целую серию канонических форм:

(匕 у) pq = %1У1 + • • • + ^рУр — %а+1У@+1 — • • - — %0+дУр+д, р + q = 〃, которые отличаются друг от друга числом коэффициентов, равных ± 1. Группа G/, сохраняющая форму (х, y)pq, обозначается 0(р, q) и называется псевдоортогональной группой. Форма

(X, у) = (Х，4)а,0

определяет ортогональную группу 0(п) =0(п, R) над полем вещественных чисел. В кососимметрическом

случае мы по-прежнему получаем единственную группу Sp(rz, R), выделяемую из Sp (几,С) условием вещественности.

Классификация G『 для полуторалинейной форм ы Д В полуторалинейном случае различие между симметричными и кососимметричными формами несущественно, поскольку умножение всех координат на / = У— 1 сводит эти случаи друг к другу. Каноническая запись формы『(％,//) имеет вид

《"，У〉pq =修力 + . . . + 尤р% —' 尤р + 1% + 1 — • • • — ^p + qUp+qy p + q = п. Линейная группа, сохраняющая эту форму, обозначается U(p, q) и называется псевдоунитарной группой. Если g = 0, то мы имеем форму

〈％, у)=尤必 + 尤2呢 + • . . + Хпуп.

Линейная группа U(〃)， сохраняющая эту форму, нам уже известна. Группа U(〃)состоит из всех унитарных матриц порядка п и называется полной унитарной группой.

Пересечения с группой SL (几).Пусть Gj — пересечение группы G『с унимодулярнон группой SL (几). Подгруппа G^ выделяется из G/ условием detg = 1. Символ этой группы принято образовывать из символа Gf приписыванием слева буквы S (special). Так возникают группы SU(〃)，SOS), SO(p, q), SU(p, g). Группа SO (几)называется иногда собственно ортогональной группой.

Пересечения с группой U(п). Представляют интерес линейные группы, получаемые из комплексной группы Gf пересечением с U(n). При этом полученная группа сохраняет уже две формы второго порядка, одна из которых билинейна, а вторая полуторалинейна.

Начнем с рассмотрения 0(几)=0(几，С). В дальнейшем мы увидим, что если исходную билинейную форму записывать в виде {尤，у}, то пересечение 0(几，С) с U(n) дает новую группу, отличную от {е} и от обеих исходных групп. Эта группа обозначается 0U (п) и называется ортогонально-унитарной группой.

Аналогично, пересечение Sp (“，С) с унитарной группой U(〃) приводит к рассмотрению новой линейной группы. Для этой группы мы введем обозначение SpU(〃) и назовем ее симплектически-унитарной группой.

Символику, введенную для групп, дополним соответствующей строчной символикой для алгебр Ли: so (/г, С), sp (佐/?) и т. д.

Упражнения

Согласно результатам этого параграфа матрицы 1| 0 000 0 10 -1 0

(2j = 0 0 -1 , 02 = ООО, dj = 1 о о

II 0 10-10 0О 0 0

образуют базис в алгебре so(3, R). Проверить, что закон коммутации в этом базисе имеет вид

[生，Q〃 =0总,

где /, /, k — циклическая перестановка индексов 1, 2, 3. Полученная алгебра называется алгеброй векторных произведений.

Найти закон коммутации для матриц

ill- -ilJil-

образующих базис в алгебре su (2).

Пусть pt,⑺——линейно независимые символы в некоторой ассоциативной алгебре, подчиненные закону коммутации:

[%，勺1 = %，[%，用]=[%，"]=0，

где б,；——символ Кронекера. Проверить, что линейные комбинации этих символов удовлетворяют таким же соотношениям коммутации только в том случае, когда матрица преобразования симплектична.

. Кватернионы

Все линейные группы, рассмотренные в предыдущих трех параграфах, принято называть классическими. Мы покажем, что простейшие из этих групп тесно связаны с геометрией кватернионов.

Пусть Е — четырехмерное пространство над полем комплексных чисел с базисом 伞，句,&,备.Введем в

пространстве Е следующую таблицу умножения:

备=细 e^i = &е()— eif i=l,2, 3;

e； = —e。， i = 1,2, 3;

/ej = —e^i = ekf

где I, /, k в последнем равенстве образуют циклическую перестановку чисел 1,2,3. Тогда пространство Е превращается в ассоциативн^^ю алгебру, называемую алгеброй кватернионов.

Для каждого кватерниона х = хоео + 修白 + х2е2 + х3е3 введем сопряженный кватернион по правилу %+ = =%0。0 ——л?© ——％2。2 —%з&； тогда, как легко проверить, хх+ = х+х =(珞 + %；十用十岩)％*(*)

Кватернионы вида 九с。мы будем называть скалярами, кватернионы, для которых х0 = 0, — векторами. Нетрудно проверить, что закон умножения кватернионов сочетается из скалярного и векторного произведений трехмерных векторов.

Мы построим алгебру, изоморфную алгебре кватернионов, если рассмотрим систему матриц Паули:

которые удовлетворяют закону умножения о： = е,

=—必，「не множитель ' (в отличие от индекса ') означает умножение на' |/—1. Положим также о。= =——ie, где е — единичная матрица, и рассмотрим линейные комбинации

II х0 + ix3 Xj + 沃2

х = I (х0о0 + x^i + х^2 + х3о3)=

II —修十 1Х2 %о — 1Х3

Множество полученных матриц совпадает с алгеброй 4 всех комплексных матриц 2X2. Формулы Е = 〃，А = =0, 1, 2,3, устанавливают изоморфизм между Е и А. Заметим также, что

det % = 端 + * +卷十 后，

Пространство Е и алгебру Д мы наделяем структурой комплексного евклидова пространства, считая сумму квадратов координат скалярным квадратом вектора % Пусть а и Ь ——произвольные унимодулярные матрицы 2X2. Преобразование

工(а, 6) х = axb~x

сохраняет det х, т. е. сохраняет скалярный квадрат вектора % Следовательно, 工(а,方)и О(4, С). Поскольку матрицы а, Ь непрерывно связаны с единицей, то в действительности т(«, b) cz SO (4, С).

Используя определение 工(а,方)，легко проверить, что эта функция осуществляет гомоморфизм

® X ®->G,

где положено для краткости ⑥=SL(2, С), G = SO(4, С). Покажем, что имеет место

Теорема 5. Функция т(а,厶)определяет гомоморфизм ⑥ X ⑥曲 всю группу G = SO (4, С). Ядром гомоморфизма т являются пары (е, е) и (——е,—е), где е — единичная матрица порядка 2.

Доказательство. Согласно результатам предыдущего параграфа алгебра si (2, С) имеет размерность 3 и алгебра so (4, С) имеет размерность 6. Следовательно, группы S X ® и G обе имеют размерность 6.

Далее, найдем ядро гомоморфизма т. Если axb~{= 居 то ах = xb для всех комплексных матриц х. Легко проверить, что это возможно только при .а = b =入е. Из свойства унимодулярности матриц а и b следует 九2 = 1. В результате искомое ядро состоит из элементов (е, е) и (—е, —е).

Поскольку ядро дискретно, размерность т(@ X ®) по- прежнему равна 6. Следовательно, мы имеем вложение т(⑥ X ⑥)uG двух связных групп одинаковой размерности. Согласно теореме 2 главы I мы можем заключить, что эти группы совпадают. Теорема доказана.

Следствие 1. Группы & X ® и G локально изоморфны, причем первая группа двукратно накрывает вторую.

При помощи теоремы 5 нетрудно получить еще несколько подобных следствий. В частности, положим & = 阮 тогда получим систему операторов

%(а)х — аха^х, которые сохраняют не только детерминант, но и след матрицы х. Равенство 工口 = 0 выделяет в алгебре Е подпространство £*0, инвариантное относительно t(a). Ядром гомоморфизма х(а) являются матрицы е и ——е. Имеем Следствие 2. Группа ® локально изоморфна SO(3, С) и дважды накрывает ее.

С другой стороны, рассмотрим группу U = SU (2) как подгруппу в группе @ и ограничим функцию т(а) на значения w е U; посколькуто мы имеем

т(«) X = ихи^.

Условие вещественности координат хь х2, %з и равенство А = 0 делают матрицу 工 произвольной эрмитовой; трехмерное пространство таких матриц инвариантно относительно т(〃). В результате имеем

Следствие 3. Группа U локально изоморфна SO(3,R) 〃 дважды накрывает ее.

Заметим, что функция т(“) дает чрезвычайно удобную параметризацию группы SO(3, R), поскольку т(«Е«2) = t(zzi)t(u2). Параметры 〃wU называются параметрами Кэли — Клейна. В отличие от углов Эйлера, эти параметры позволяют наиболее просто выразить закон умножения в 扌0(3, К).

Перейдем теперь к рассмотрению вещественных кватернионов. Полагая все 'координаты х0, %ь х2, %з вещественными, мы получаем з алгебре 4 подалгебру К, элементы которой называются вещественными кватернио- шми.

Если 尤次 0, то согласно формуле (歸)尤 имеет обрат* ный в алгебре К. Всякая алгебра, обладающая этим свойством, называется телом. Следовательно, алгебра вещественных кватернионов является телом.

Функция р = У х+х = |/ хх+ называется нормой кватерниона х. Используя формулу (察)，легко получаем, что всякий кватернион х е ^ может быть представлен в виде

% =w SU (2),

Полученную формулу условимся называть полярным разложением в алгебре К. Заметим также, что сопряжение в К совпадает с эрмитовым сопряжением в классе матриц 2x2.

Всякое линейное преобразование в К, сохраняющее умножение и сохраняющее норму, называется автоморфизмом тела К. Множество всех автоморфизмов тела ^, очевидно, образует группу.

Теорема 6. Всякий автоморфизм тела кватернионов задается формулой т(«)х = ихи^,辽三 SU(2). Груп- 〃а всех автоморфизмов тела ^ изоморфна SO(3,/?).

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 5, заключаем, что всякое собственно ортогональное преобразование тела К может быть записано в виде uxv~\ 辽,и 三 SU (2)). Если это преобразование сохраняет умножение, то имеем

uxv~xuyv~l = uxyv~}

для произвольных 尤,у 三 К. Сокращая обратимые множители 辽,尤，у, заключаем, что v~xu = е, откуда и = и. Следовательно, наше преобразование сводится к т(е).

Далее, всякое несобственное ортогональное преобразование получается из собственного умножением на единственное отражение в теле К, в качестве которого мы выберем сопряжение х —%+. Следовательно, искомое преобразование имеет вид х^ ux+v~\ 辽,и 三 SU(2). Как и прежде, имеем

■ ux+v~[uy+v~} = и (ху)十 У1.

Заметим, что (ху) + = у+х+ согласно правилу эрмитова сопряжения. Полагая, в частности, х = у, находим, как и выше, что V = и. Однако подстановка v = и приводит к противоречию: х+у+ = y+尤十. Следовательно, группа автоморфизмов тела К содержит только собственные преобразования. Теорема доказана.

В заключение рассмотрим векторное пространство размерности v над телом кватернионов и для каждой пары векторов а =(〃h 傲,aJ, b =(仇也bj

положим

a+b = a^b{-Va+b2-V …4- a+bv.

Пусть G ——группа всех линейных преобразований dff gijdj (сумма по /) над телом кватернионов, сохраняющих форму d+氏 Легко проверить, что группа G изоморфна SpU(zr) при /г = 2v.

В частности, группа SpU(2), сохраняющая норму в теле кватернионов, изоморфна SU(2).

Упражнение

Доказать локальный изоморфизм между SO(3, К), SU⑵ путем сравнения соответствующих алгебр Ли (см. упражнения 1 и 2 в конце предыдущего параграфа).

12. Вопросы односвязности

В этом параграфе мы исследуем вопрос об односвязности некоторых классических групп. Вначале напомним некоторые простейшие сведения из общей топологии.

Пусть вначале М — произвольное множество, представимое в виде суммы непересекающихся подмножеств М伊 В этом случае говорят, что семейство М^ образует разбиение множества М, и множество В всех индексов В называется фактор-пространством множества М относительно этого разбиения. Переход от пространства М к фактор-пространству В равносилен «склейке» всех точек, лежащих в одном и том- же подмножестве М^. Если все такие подмножества эквивалентны одному из них, скажем Л, то для обозначения фактор-пространства используется символ

В = М/А.

Далее, пусть М — топологическое пространство. Множество Р индексов § назовем открытым (замкнутым) в В, если объединение всех подмножеств М^ Р 三 Р, открыто (замкнуто) в М. Всякое открытое множество, содержащее точку В，называется окрестностью этой точки. Тем самым в В определяется топология, называемая фактортопологией.

Топологические множества Р и Q называются гомеоморфными, если между ними существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение. Если

В = М/А

и если все слои Мр гомеоморфны слою Л, то мы условимся говорить, что пространство М является расслоением со слоем Л и базой В.

Пример 1. Лист Мёбиуса является расслоением с базой окружность и со слоем отрезок.

Пример 2, Двумерный тор является расслоением с базой окружность и со слоем окружность.

Пример 3, Прямое произведение А 乂 В произвольных топологических пространств можно рассматривать как расслоение со слоем А и базой В,

Далее, пусть О ——произвольная группа и Н ——ее подгруппа. Каждому gwG поставим в соответствие слой g后,называемый правым классом смежности по Н. Нетрудно видеть, что таким путем возникает разбиение с фактор-пространством 尸 = G/H. Если О —— топологическая группа и Н — ее замкнутая подгруппа, то мы имеем расслоение со слоем Н.

Понятие расслоения обычно используется для индуктивного изучения топологических множеств и топологических групп. В частности, мы будем использовать следующие общие утверждения (см., например, [46]):

1° Пусть О ——связная группа Ли и Н — ее замкнутая связная подгруппа. Если Н и G/H односвязны, то группа О также односвязна.

2° Пусть Л4 = 4 X 8, где А и В — топологические пространства. Пространство М односвязно тогда 〃 только тогда, когда односвязны А и В.

В дальнейшем мы условимся, что термин «односвязность» будет применяться только к связному топологическому множеству; иначе говоря, под этим термином мы будем иметь в виду одновременно связность и односвязность. Такое соглашение удобно, поскольку мы, как правило, будем рассматривать только связные топологические группы. Изучение классических линейных групп нам будет удобно начать с изучения группы SU ⑺.

Теорема 7. Группа SU{〃) односвязна.

Доказательство. Связность SU(〃)легко вытекает из рассмотрения соответствующего множества реперов. Для доказательства односвязности рассмотрим единичную сферу S в исходном векторном пространстве и фиксируем на ней произвольную точку, скажем е = (0, 0,. . ., 0, 1). Пусть Н ——стационарная подгруппа точки е, т. е. множество всех преобразований, оставляющих е на месте. Положим

F = G/H, где G = SU(/z). Нетрудно видеть, что группа Н изоморфна SU(n——1). В то же время фактор-пространство 尸 гомеоморфно сфере S. Действительно, пусть Go —— множество всех преобразований в G, переводящих е в а. Если gi, gzwGa T0g『g2W”，откуда ясно, что

Gg = gH, где g — произвольно фиксированный элемент из Ga. Если 6 片。2, то GOi 片 Ga,. Следовательно, мы получаем взаимно однозначное соответствие между точками owS и правыми классами смежности, входящими в F. Нетрудно видеть также, что это соответствие взаимно непрерывно.

Теперь мы можем применить критерий односвязности Г. Заметим, что единичная сфера х}х{ + х2х2 + ... ...+ хпхп = 1 изоморфна вещественной сфере S2n^1 размерности 2n——1. Вещественная сфера Sh односвязна при 々力 2 (это утверждение легко проверяется по индукции) .Согласно 1。из односвязности SU (几——1) следует односвязность SU (几)при 几力 2, и мы получаем возможность индукции по п. Остается заметить, что SU (1) состоит из единственной точки и потому односвязна. Теорема доказана.

Теорема 8. Группа SL (小 С) односвязна.

Доказательство. Согласно разложению Грама (§ 9) группа SL(几,С) гомеоморфна прямому произведению евклидова пространства на SU(n). Согласно критерию 2° группа SL (п, С) односвязна вместе с SU(m). Теорема доказана

Теорема 9. Труппы U (n), GL (n> С) с&兄зн% но неодносвязны.

Доказательство. Достаточно заметить (см. упражнения 1 и 2 в конце § 9), что U(n), GL(n) гомео- морфны соответственно прямым произведениям U ⑴义 X SU(n), GL(1) XSL (n). Согласно критерию 2° группы U(м) и GL(м) неодносвязны вместе с U⑴，GL(1). Теорема доказана.

Значительно более сложно исследуется случай ортогональной группы SO (и). Группа SO (2) неодносвязна. Оказывается также, что SO (九)неодносвязна при любом п, и ^ 2. Доказательство достигается путем непосредственного построения универсальной накрывающей.

Изложим схему построения в общих чертах ). Пусть Е — n-мерное пространство с базисом 已卜 做，…，已小 Пространство Е включил! б ассоциативную алгебру К, в которой парные произведения е® связаны единственным условием:

е円+ е円= 26〃， (*)

где 6 订一символ Кронекера. Положим ео==1,外, …, ^ ei е^ ... ...е, . Пусть ^—линейная оболочка таких одночленов. Согласно (*) достаточно рассматривать лишь те одночлены, для которых iiWhW—Wfm； кроме того, если два индекса совпадают, то возникающий множитель е? заменяется единицей. Следовательно, одночлены

6!^2... 1m- \<^< ••• <Zm' °w他кa,

образуют базис в алгебре К. В частности, ^ конечномерна. Полученная алгебра К носит название алгебры Клиффорда.

Введем скалярный квадрат в пространстве £ как сумму квадратов координат относительно базиса 5], е2, еп. Если Е и К, то мы имеем

/ =(无[g] + 无262 + …+% cj =":+城 + …+ xn-

Следовательно, квадрат элемента 无巨七 в алгебре ^ является скаляром и совпадает со скалярным квадратом в пространстве £.

Рассмотрим в алгебре К преобразование вида т(у)无= у^у1 где у — произвольный обратимый элемент из К. Пусть @ ——максимальное множество таких преобразований, сохраняющих Е и непрерывно связанных с единицей. Если г — т(у)х> у ^®, то мы имеем

力2 = у无%2,

ибо х2 является скаляром. Следовательно, т(у) и 0("). В силу связности группы @ имеем t(y)uSO(〃). Дальнейшие действия мы

излагаем сокращенно. Проверяется, что @ и 50(几)имеют одинаковую размерность. Проверяется, что ядро гомоморфизма дискретно. Следовательно,

т 網)= sog).

Более точно, ядро гомоморфизма т состоит из двух элементов: 士е& Это означает, что группа @ двукратно накрывает 50(几)).

В дальнейшем мы увидим, что группа @ односвязна. Эта группа называется спинорной группой и обозначается Spin («).

Для каждого случая неодносвязной группы, рассматриваемого в этом параграфе, нетрудно вычислить также соответствующую группу Пуанкаре. В частности, группа Пуанкаре для SO (м) при 几〉2 оказывается изоморфной конечной группе, состоящей из чисел ±1 (по умножению).

Упражнения

Проверить, что алгебра Клиффорда имеет размерность 2n.

Используя конструкцию предыдущего параграфа, показать, что SU (2) является универсальной накрывающей для SO(3, R).

Доказать, что группы SpU(«), Sp (п, С) односвязны при произвольном ".

Вопросы комплексификации

Группа Ли называется комплексной, если она допускает комплексную параметризацию, относительно которой закон умножения задается голоморфными (комплексно-аналитическими) функциями. Как следует из этого определения, если @ — комплексная группа Ли, то ее алгебра Ли допускает комплексную структуру, т. е. является алгеброй Ли над полем комплексных чисел. Комплексная структура сообщает алгебре Ли специфические свойства, обусловленные, как правило, тем обстоятельством, что над комплексным полем всякое линейное преобразование обладает собственным вектором.

Если J ——комплексная алгебра Ли, то иногда в ней удается выделить вещественную подалгебру X, имеющую те же структурные константы, что и J. Очевидно, это возможно тогда и только тогда, когда структурные константы алгебры J в некотором базисе вещественны.

В этом случае имеем

X^X + iX

и вещественная размерность алгебры X совпадает с комплексной размерностью алгебры £. В этом случае говорят, что X является вещественной формой алгебры £, а I ——комплексной оболочкой алгебры X. Если @ ——комплексная группа Ли с вещественной подгруппой G, то G называется вещественной формой @, при условии, что алгебра Ли подгруппы G является вещественной формой в алгебре Ли группы в.

В последнем случае также говорят, что группа в является комплексной оболочкой или комплексификацией группы G. Поскольку всякая вещественная алгебра Ли допускает комплексную оболочку и поскольку всякой алгебре Ли соответствует хотя бы одна группа Ли, то можно предположить, что и всякая вещественная группа Ли допускает комплексификацию. Однако в действительности это не так. Противоречащий пример будет указан в конце § 104. Тем не менее в данной книге указанная гипотеза будет проверена для класса компактных групп Ли, которые являются основным объектом изучения этой книги.

Поскольку комплексная алгебра Ли может допускать вещественные структурные константы в различных базисах, то комплексная группа Ли может иметь несколько, вообще говоря, неизоморфных вещественных форм. Простейшие примеры мы рассмотрим в этом параграфе.

Пример 1, Мультипликативная группа комплексных чисел является комплексной оболочкой мультипли^ кативной группы вещественных чисел и в то же время комплексной оболочкой группы чисел 级Q по модулю равных единице.

Пример 2. Группа GL(〃,C) является комплексной оболочкой группы GL(/i, R) и в то же время комплексной оболочкой группы U(/г). (Достаточно проверить, что алгебра X антиэрмитовых матриц имеет размерность 歩 и X IX = £, где I — алгебра всех комплексных матриц порядка п.)

Пример 3. Группа GL(/i, С) является также комплексной оболочкой групп U(/?i q), р + q = %,

Пример 4. Группы 0(п, С), Sp(rz, С) являются соответственно комплексными оболочками 。(％ К), Sp (п, /?). Они являются также комплексными оболочками OU(n), Sp U(п).

Пример 5. Группа SL(n, С) является комплексной оболочкой SL(72,A) и также комплексной оболочкой SU(〃, q), 〃 + g = тг. В частности, SL(n, С) является комплексной оболочкой группы SU (п).

Пример 6. Группа SO(n, С) является комплексной оболочкой SO(〃, А).

Замечание. Подчеркнем, что группы U(n), U(〃,g), SU(〃, q) не являются комплексными группами Ли, хотя их определение и дается над полем комплексных чисел. Например, алгебра и (п) состоит из всех матриц й, для которых а* =——а. Это свойство нарушается при умножении матрицы а на произвольный комплексный множитель. Следовательно, u(n) не является комплексной алгеброй Ли. В качестве другого объяснения можно заметить, что закон умножения в U (几)не задается голоморфными функциями, ибо эти функции зависят не только от комплексных параметров в U (п), но и от их комплексно сопряженных.

В дальнейшем мы увидим, что соотношения между вещественными и комплексными группами Ли играют сушественную роль в общей теории.

Преобразования в классе тензоров

С каждой линейной группой Q тесно связана серия геометрических преобразований, порождаемых этой группой в классе тензоров. Для полноты изложения мы напомним в этом параграфе основные свойства тензоров и условимся в некоторой системе обозначений.

Пусть Е и Е/ — два линейных пространства одинаковой конечной размерности п; векторы из Е мы будем обозначать латинскими буквами 招，…；векторы из Ег ——греческими буквами ^, т],.. . Фиксируя в каждом из пространств произвольный линейный базис, мы отождествляем векторы %, у,自 т],….с соответствующими столбцами координат. Билинейная форма

/怎％) =『*,

где штрих означает транспонирование, является одним из важнейших объектов в линейной алгебре и геометрии. Если рассматривать Е как основное векторное пространство, то функции gx являются линейными формами на £ и уравнения 力=0 определяют всевозможные гиперплоскости, проходящие через начало координат. Пространства Е, Е‘ называют сопряженными, дуальными или двойственными.

Пусть векторы %,占 подвергаются линейным преобразованиям g, h (каждый в своем пространстве). Преобразования g, h называются дуальными или контрагре- диентными, если их совместное применение не изменяет формы f (自 х):

，侬，gx) = f& x).

Поскольку gf Л то указанное правило сохранения переписывается также следующим образом: g%'gx = 力, откуда ввиду произвольности ^ и х заключаем, что матрица h'g совпадает с единичной: h'g = е. В результате имеем

Эта формула дает явное выражение преобразования, контрагредиентного к g. Заметим, что это преобразование является автоморфизмом группы G при условии, что G сохраняется при транспонировании.

Пусть х =炉巳一координатная запись вектора xwE в базисе е；・ Преобразование g в пространстве Е можно рассматривать как переход к новому базису 為 с координатами £?. Равенство 炉巳=花嗝 показывает, что символы 刍 преобразуются по тому же закону, что и координаты дуального вектора 三三 Е： По этой причине преобразование h = g'T называется ковариантным (преобразование по закону базиса).

В дальнейшем мы условимся использовать обозначение g вместо gT Векторы 占三日 будут называться ковариантными, векторы %wE ——контра^йриантными.

Напомним определение тензорного произведения двух линейных пространств X к У. Для каждой пары элементов xwX, ywY вводится формальное произведение х ® у, которое предполагается дистрибутивным по обоим

сомножителям. Очевидно, имеем

Х0 у = ^ykeiki

где х‘ ——координаты х относительно базиса е$, yh ——координаты у относительно базиса &目 и е^ = е» & &伝 Пространство Z = X X У определяется как линейная оболочка всевозможных векторов % ® у, xwX, у ^Y. Из этого определения следует, что векторы е^ образуют базис в 2.

Согласно этому определению произвольный вектор из Z имеет вид /泊/丸，где tih — произвольные числа. Следовательно, Z имеет размерность пт, где n = dim X, m = dim У. Векторы вида х ® у представляют собой лишь частный случай элементов из Z. Действительно, всякий минор матрицы 小/ равен нулю, за исключением миноров порядка 1.

Пусть векторы х, у подвергаются линейным преобразованиям а, Ь (каждый в своем пространстве). Тогда произведение х ® у также подвергается линейному преобразованию, которое обозначается символом

с = а ® b

и называется тензорным произведением операторов а и Ь. Если а = || 叫，力=|財 II, то легко проверить, что матрица с имеет элементы с^ = а\Ь^ относительно базиса с氾.Основное свойство тензорных произведений выражается следующей формулой: если сх = аг 0 %, с2 = =02g历，T0

С]С<2 。]。2 ^S^ d°2*

Иначе говоря, композиция двух преобразований s, с2 равносильна композиции компонент а〔，& в пространстве X и одновременной композиции 仇，62 в пространстве У.

В частности, пусть Е。一тензорное произведение р экземпляров пространства Е. Каждому линейному преобразованию g в пространстве Е отвечает преобразование

。(g) = g ® g ® …® g (P сомножителей).

где кратное произведение определяется индуктивно. Как следует из основного свойства тензорных произведений, матрица a(g) удовлетворяет условию мультипликативности: 〃(gig2)= &(gi)o(g2)； кроме того, о(е) = е@, где ер ——единичный оператор в 七凡 Следовательно, a(g) является гомоморфизмом группы G в группу линейных преобразований пространства Е@. Точно так же в пространстве мы имеем преобразование

6 (g) = g 纟 G 纟…•纟 £ S сомножителей),

которое является гомоморфным образом преобразования g. Наконец, при произвольных р и мы можем рассматривать гомоморфизм

c(g) = a(g) ® 6(g),.

причем преобразование c(g) действует в Gq = Е@ >< ЕЧ Векторы пространства Е^ называются контравари-

антными тензорами ранга р, векторы пространства E’Q — ковариантными тензорами ранга q. Наконец, векторы пространства 七户？ называются смешанными тензорами, р раз контравариантными и q раз ковариантными.

Наряду с символикой 《строка ——столбец» мы будем также пользоваться обычной символикой индексов. Координаты векторов из Ер9 будут записываться в виде

［尸.Закон преобразования при этом записывается следующим образом:

где 々=g~L Здесь мы считаем, что нижний индекс у матрицы является индексом суммирования; поэтому матрица g в действительности встречается в транспонированном виде.

Таким образом, с каждым преобразованием gwG связана целая серия тензорных преобразований. Хорошо известно, какую роль играют эти преобразования в геометрии и физике.

Вместо тензоров иногда практически удобно бывает рассматривать полилинейные формы. Заметим вначале,

что если t е Er, т wER то свертка = D也…t%

является инвариантом группы G. Если, в частности, тензор / является произведением векторов х,弟…，w 三 Е, то мы получаем общий вид ковариантной полилинейной формы.

中(х, у,…,5)=忆内...%卢卢… wlp.

Нетрудно видеть, что коэффициенты этой формы могут быть выражены в свою очередь как значения формы на соответствующем наборе базисных векторов & 三 Е:

q也％)•

Допустим, что векторы х, у, …，w подвергаются преобразованию g и тензор т подвергается соответствующему преобразованию 6(g). Пусть В (g)q)— новая форма с коэффициентами 6(g)t. Свойство инвариантности свертки может быть выражено формулой

в (g) ф (gx, gy, gw)=中(％, у, ..., w).

Отсюда в свою очередь следует явный вид преобразованной формы:

в(g)Ф(%,/Л 5)= cp(gT%, g-力，gTw).

Очевидно, рассмотрение полилинейной формы с законом преобразования 8(g) равносильно рассмотрению тензора т. Точно так же вместо контравариантного тензора t мы можем рассматривать контравариантную форму f(& ", ..., со) с законом преобразования

4 (g) f % П, • • •，з) = f (Wg，ng，…，sg)・

Форма q)(% у, 一.，5) называется симметричной (кососимметричной) по паре аргументов, скажем 尤 и у, если она не меняется (меняет знак) при перестановке этих аргументов. Соответствующий тензор также является симметрическим (кососимметрическим) при перестановке соответствующих тензорных индексов. Приме-

ром формы, кососимметричной по всем переменным, является детерминант:

修场…叫

/ yft

Более того, как известно, эта форма определяется условием кососимметричности однозначно, с точностью до числового множителя. Мы уже однажды воспользовались этим свойством в § 7,

Подобно тому как произвольный тензор ранга т может быть заменен полилинейной формой, произвольный симметрический ковариантный тензор % . . может быть заменен полиномом

от единственного вектора х ^ Е. Действительно, числовые значения полинома вполне определяют симметрический тензор коэффициентов. Формула

т (g) Р (%) = Р (g』)

определяет соответствующее преобразование в классе полиномов. Точно так же можно рассматривать полиномы р⑴ с законом преобразования T(g)p化)=p(gg)・

Данное нами определение линейной группы исключает, согласно традиции, «бесконечномерные линейные группы», т. е. группы линейных преобразований в бесконечномерных векторных пространствах. Тем самым получаем специальный класс групп Ли, поддающийся сравнительно простому описанию. Более подробно с некоторыми свойствами классических групп и тензоров можно ознакомиться в монографии Вейля [9].

Линейные группы, сохраняющие квадратичные формы, являются частным случаем так называемых алгебраических групп. Теория этих групп развита главным образом в работах Шевалле ([46], т, II); для этих групп удается независимо получить ряд глубоких результатов, дублирующих «аналитическую» теорию. К этому вопросу мы еше вернемся в гл. XVI.

ГЛАВА III

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В предыдущей главе при рассмотрении тензоров мы видели, что одна и та же линейная группа G допускает гомоморфные отображения в полные линейные группы других размерностей. Представляет интерес изучение таких гомоморфизмов также и в том случае, когда G — произвольная абстрактная группа; этим занимается теория представлений. Прежде чем начать формальные определения, мы рассмотрим один из важнейших примеров линейного представления.

Функции на однородном пространстве

Большинство прикладных задач, решаемых с помощью теории групп, может быть сведено к следующей общей задаче.

Пусть дано некоторое множество X, называемое пространством, в котором действует группа G как группа преобразований. Результат преобразования точки xwX элементом g ^ G обозначим символом xg. Таким образом, имеем:

1° %glg2 = (%gl)g2・

2° хе = х.

Изучение такой ситуации в общем виде является слишком сложной задачей. Если мы желаем получить несколько большую аналогию с группой движений в евклидовом пространстве, то естественно наложить еще одно дополнительное условие:

XXG WWW XueXXG WWW Xue3° Условие транзитивности: всякая точка может быть переведена в любую другую точку при помощи хотя бы одного преобразования

XXG WWW Xue

XXG WWW Xue

Если выполняется последнее условие, то говорят, что X является однородным пространством с группой движений G. Если группа G и пространство X топологические, то предполагают также, что xg непрерывно зависит от пары (х, g)^X X G.

Далее, пусть L ——линейное пространство, составленное из функций на множестве X. Допустим, что L вместе с каждой функцией f(x) содержит также функцию fg(X)= f (xg)

при любом значении g 三 G. Тогда преобразования точек в пространстве X порождают семейство линейных преобразований

в линейном пространстве L. Как следует из этого определения, операторная функция Тё обладает мультипликативным свойством Tglg2 = Tg]Tg2t т. е. отображение gf Tg является гомоморфизмом группы G ).

Естественно попытаться разложить пространство L в геометрическую сумму «минимальных компонент», инвариантных относительно 7g, т. е. классифицировать функции f(x) относительно преобразований группы G. В дальнейшем такая постановка задачи будет уточнена. При этом мы условимся говорить, что эта задача является «основной проблемой» теории представлений.

Простейшим примером является классификация функций на окружности по отношению к вращениям окружности:

TJ3) = f 3 + а), где а, ф — угловые параметры (сложение которых понимается по mod2л либо, что то же самое, функции ^(ф) считаются периодически продолженными, с периодом 2л, на всю числовую ось). Приемами теории групп легко удается установить, что единственными «минимальными компонентами^ являются «элементарные гармоники»

еп (ср) = ein^, п = 0, ± 1, ±2,...» для которых

где Кп (а) = е^а. Отсюда в свою очередь нетрудно получить, что «всякая» функция f (ср) разлагается в ряд по этим гармоникам. Мы приходим к известной теории Фурье. Вопросы сходимости решаются обычными аналитическими способами.

Изложенная схема построения теории рядов Фурье в действительности может быть обобщена на многие практически важные классы групп Ли. При этом роль элементарных грамоник играют специальные функции, простейшие из которых уже давно играют фундаментальную роль в математической физике. Теория групп позволяет объединить разрозненные данные об этих специальных функциях в единую общую теорию.

В этой книге, как правило, мы не будем заниматься детальной разработкой конкретных вопросов, связанных со специальными функциями ). Нашей целью является проследить глубокие алгебраические закономерности, лежащие в основе теории линейных представлений. Линейным представлением (или просто представлением) абстрактной группы G называется ее гомоморфное отображение в группу обратимых линейных операторов произвольного линейного пространства. Примерами являются преобразования в классе тензоров или построенные выше операторы Tg в классе функций на однородном пространстве. ,

Заметим, что с изложенной выше точки зрения теория рядов Фурье есть спектральный анализ коммутативного семейства операторов %. В общем случае операторы Tg, как правило, некоммутативны, и это приводит к установлению новых замечательных закономерностей. Вместе с тем вскрываются алгебраические основы теории рядов Фурье, обычных и «обобщенных»; оказывается, что в значительной степени эта теория «алгебраична».

В заключение заметим, что иногда приходится рассматривать пространства, не являющиеся однородными

(преобразования в которых не транзитивны). Иногда удается расслоить такое пространство на транзитивные слои, подобно тому как евклидово пространство расслаивается на концентрические сферы под действием группы вращений. Точнее, мы имеем в виду такое расслоение, при котором каждый слой является замкнутой гиперповерхностью в X. Можно подумать, что такое расслоение всегда возможно; однако в действительности это не так. Примером являются так называемые «эргодические движения», к числу которых относится «иррациональная обмотка тора».

Разворачивая тор на плоскость, мы получим прямоугольник вида 0^х<(7, 0^-у < b с отождествленными противолежащими сторонами либо, что то же самое, всю бесконечную плоскость с отождествлением по решетке па + mb, где п, m — произвольные целые числа. (Два вектора на плоскости отождествляются, если их разность содержится в этой решетке.) Рассмотрим на плоскости однопараметрическую группу преобразований

xt = xQ + tu,协=% + 方〃

где и, и — фиксированные числа, и затем перенесем ее на тор. (Если точка (&,勿)достигает границы выделенного прямоугольника, то она отождествляется с противолежащей точкой и движение продолжается.) Если числа 〃/и, а/b несоизмеримы, то нетрудно показать, что искомого расслоения не существует. В этом случае траектория каждой точки (工山 у°) никогда не возвращается в эту точку и обматывает тор «всюду плотно», т. е. проходит в произвольной близости от любой наперед заданной точки. Следовательно, замыкание этой траектории совпадает со всем двумерным тором.

Описанная конструкция впервые была предложена, по-видимому, Кронекером. Она легко переносится на тор произвольной размерности. Соответствующая группа движений называется иррациональной обмоткой тора.

Наиболее легко изучается тот случай, когда искомое расслоение не только существует, но также порождает «разделение переменных》в параметрическом многообразии X. Последнее означает, что пространство X

допускает такую параметризацию, при которой часть переменных образует параметры внутри слоя и другая часть переменных (непрерывно или гладко) параметризует семейство слоев. В этом случае задача, очевидно, сводится к изучению однородного пространства, роль которого играет каждый отдельный слой.

Терминология теории представлений

Как уже было сказано, представлением группы G в линейном пространстве V называется гомоморфное отображение этой группы в группу обратимых линейных преобразований пространства V. Следовательно, каждому элементу g 三 G ставится в соответствие линейный оператор Tg, действующий в пространстве V, причем

где / ——единичный оператор в V. Если группа G топологическая, то при этом требуют также, чтобы операторная функция Тё непрерывно зависела от g. Если V бесконечномерно, то в этом определении необходимо уточнить, какая именно топология в пространстве операторов имеется в виду. О важнейших примерах представлений было сказано в предыдущем параграфе.

Заметим, что определение операторной функции Tg естественно рассматривать как обобщение функционального уравнения для экспоненты. Некоторые группы обладают числовыми экспонентами, например, Ts = det g для полной линейной группы GL (п). Однако если в этой группе рассмотреть подгруппу SL ⑺，для элементов которой detg = 1, то, как увидим, такая подгруппа уже не имеет числовых экспонент, за исключением тривиального случая Tg ^ 1. Однако у этой группы имеется серия матричных экспонент (тензоры), с рассмотрения которых исторически и началось развитие теории представлений. Кроме того, у этой группы имеется серия бесконечномерных представлений, не сводящихся к тензорам.

Размерность пространства, в котором действует представление, называется также размерностью этого представления. Поскольку в этой книге мы преимущественно будем рассматривать представления в пространствах конечной размерности, то для краткости нам будет удобно понимать под словом «представление» только «конечномерное представление». Это соглашение связано с традицией, но не всегда приемлемо в современной литературе, где часто рассматриваются бесконечномерные представления. Все случаи бесконечномерных представлений нам придется оговаривать особо.

Два представления 7/, Sg считаются эквивалентными, если существует взаимно однозначное линейное соответствие, переводящее Ts в &, т. е. если

Sg = AT gA~[, где А——линейный обратимый оператор, отображающий пространство представления Tg на пространство представления Sg. Очевидно, эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Если оба они определены в одном и том же пространстве, то матрицы Tg1 Sg переходят друг в друга при замене базиса.

Вектор %三1/ называется инвариантным, если TgCo = е° для всех g ^ G. Подпространство 及 называется инвариантным, если векторы из 1/0 переходят в векторы из 几，т. е. если TgVoU 1/0. Заметим, что последнее условие можно также записывать в виде Tgl/口 = 1/0 (ввиду обратимости Tg). Подпространство Vo называется нетривиальным, если оно отлично от (0) и от пространства V.

Если имеется инвариантное подпространство % и и 1/, то существенно выяснить, допускает ли оно инвариантное дополнение, т. е. можно ли представить V в виде прямой суммы

где V2 также инвариантно. В этом случае произвольная матрица Tg может быть записана в виде двух независимых блоков:

т 0

@0雷’

если испэльзовать базис, приуроченный к Vi, V2. Операторы Т^ определяют соответственно представления в 1Л,丿2，называемые компонентами представления Тё. Представление Тё называется в этом случае прямой суммой представлений Т「，丁貝 В общем случае Tg может быть приведено только к квазитреугольному виду

относительно базиса, приуроченного к Vi,丿2， где Vi инвариантно и V = Vi + V2. При этом звездочка означает прямоугольный матричный блок, элементы которого являются функциями от g.

Представление называется приводимым, если хотя бы одно нетривиальное инвариантное подпространство существует. Представление называется вполне приводимым, если всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение. Представление называется неприводимым, если инвариантны только (0) и V.

Не представляет труда проверка следующих простых утверждений. В пространстве всякого представления содержится хотя бы одно неприводимое подпространство. Отсюда заключаем (путем последовательной редукции), что всякое представление может быть записано s квази- треугольном виде с неприводимыми диагональными блоками. Представление вполне приводимо тогда и только тогда, когда оно записывается в виде прямой суммы конечного числа неприводимых представлений.

Представление Tg называется кратным представлению q, если оно может быть записано в виде прямой суммы конечного числа представлений, эквивалентных tg. Символически пишем Т = Н, где k — кратность вхождения т. Заметим, что это разложение существенно неоднозначно. В то же время, если Т =瓦s + й2т2 +... ...+йптп, где плюс означает прямую сумму, и если М ——неприводимые взаимно неэквивалентные представления, то такое разложение на компоненты й^т^ уже является однозначным. Доказательство всех этих утверждений предоставляется читателю,

Два представления Tg, 7g, действующие в пространствах 匕 V, называются контрагредиентными, если существует невырожденная билинейная форма （х,三）, х 三匕 己三 К, инвариантная по отношению к совместному действию этих представлений:

（Т/,曜） = （х,自）.

Невырожденность означает, что для любого х W 0 найдется ^ ^ V такой, что （х,三）¥= 0, я то же верно, если поменять местами х и ^. Пространства V и V имеют в этом случае одинаковую размерность и их возможно отождествить. При подходящем выборе базиса форма （х, £） диагонализуется и условие контрагредиентности принимает вид

Здесь штрих означает переход к транспонированной матрице по отношению к выбранному базису. Если интерпретировать V как пространство гиперплоскостей пространства V （проходящих через начало координат）, то принадлежность вектора х гиперплоскости 三（（х, ^） =0） равносильна принадлежности вектора Тёх гиперплоскости 北貝（Тм，т±） = 0）.

Примером контрагредиентных представлений являются преобразования в классе ковариантных и в классе контр авар иантных тензоров одного и того же ранга т.

Представление Тё называется тензорным произведением представлений Аё и Bgi если

Tg = Ag® Bg

для всех g w G （определение символа ® было дано в § 14）. Заметим, что тензорное произведение двух линейных пространств X н У изоморфно пространству прямоугольных матриц размерности лт, где 〃 = dimX, m = dim У. Если х и у — координатные столбцы из X и У, то вместо х@у мы можем формально писать z = xy\ где штрих означает транспонирование. Отсюда ясно, что

Tg2 = A^zB^.

Полученная формула при произвольной матрице z размеров 几 义 т дает явный вид представления Тё, который часто оказывается удобным для вычислений.

В дополнение к введенным выше основным понятиям теории представлений мы введем еще некоторые термины, которые будут иногда использоваться в дальнейшем. Если представление Tg неприводимо в пространстве 匕 то также говорят, что V неприводимо относительно Tg. Если 4Tg = Sg/4, где А — линейный оператор из пространства представления Tg в пространство представления Sg, то А называется переплетающим оператором для пары Тё> Sg. В частности, если А обратим, то Sg = ATgA^, и представления Tg, Sg эквивалентны. Представление Тё называется унитарным, если операторы Tg унитарны при каждом g.

Следующее простое утверждение будет играть принципиальную роль во многих дальнейших построениях.

Теорема 1. Всякое унитарное представление вполне приводимо.

Доказательство. Пусть (х, у) — скалярное произведение, относительно которого Tg унитарно. Тогда (%%, У)~ (^> Тё у) для всякой пары векторов х, у Покажем, что если V\ — инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнение % также инвариантно. В самом деле, если 尤三 ％, //曰 16, то имеем

(Т&%, У)= (%, Tgi//) = 0,

ибо Т£、у содержится в & вместе с у. Мы видим, что для всякого 尤 wV? вектор Tgx также содержится в 丿2・ Следовательно, % инвариантно. Следовательно, всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 (вместе с доказательством) сохраняет силу также для бесконечномерного представления Тё.

В заключение рассмотрим несколько простых примеров приводимых представлений.

Пример 1. Всякий тензор /订 однозначно записывается в виде суммы симметричного и антисимметрия-

кого тензоров:

Подпространства этих тензоров инвариантны. Следовательно, g 区 g всегда разбивается в прямую сумму двух представлений.

В дальнейшем мы увидим, что для группы GL(n) и группы SL(n) такие два представления уже неприводимы (для произвольной линейной группы это не так).

Пример 2. Смешанный тензор второго ранга /j преобразуется по представлению g 区倉，которое может быть записано с помощью явной формулы, указанной в этом

параграфе:

TgN = gNg~'・

Здесь z ——произвольная матрица n X п. Пространство Z всех таких матриц запишем в виде суммы подпространства Z。，состоящего из матриц с нулевым следом, и одномерного подпространства Z], натянутого на единичную матрицу е:

Z = Z。+ Z].

Нетрудно видеть, что Z。，Z】инвариантны. Следовательно, g^>g также записывается всегда в виде суммы двух представлений.

Заметим, что пространство Z】неприводимо (ибо одномерно) .Для группы GL(n) мы докажем в дальнейшем также неприводимость Z»

Пример 3. Любопытно сравнить следующие два представления аддитивной группы вещественных чисел матрицами второго порядка:

z(f) = |：；・

— sinf COS / II 0 1

Первое из этих представлений неприводимо над полем R, но распадается в прямую сумму двух представлений над полем С:

где тильда означает эквивалентность. В то же время второе представление приводимо, но, как легко проверить, не вполне приводимо.

Для бесконечномерных представлений многие из приведенных определений нуждаются в дополнениях и уточнениях; в частности, для таких представлений существует много различных определений неприводимости и эквивалентности.

Редукция основной проблемы

Поскольку правые (и левые) трансляции в группе действуют транзитивно, группа G как множество сама является однородным пространством. Нашей ближайшей целью является показать, что это пространство является в известном смысле универсальным в классе всех однородных пространств с группой движений G.

Идея доказательства основана на свойстве транзитивности однородного пространства X. Действительно, всякая фиксированная точка ewX может быть переведена в любую другую точку 尤三 X путем хотя бы одного преобразования g 三 G. Следовательно, запас элементов в группе G в известном смысле больше запаса точек в пространстве X. Для более точного построения естественно поступить следующим образом.

Пусть Я — совокупность всех преобразований, оставляющих точку е на месте; тогда, очевидно, Я является подгруппой; такая подгруппа называется стационарной подгруппой точки е.

Рассмотрим теперь произвольный класс смежности 〃g, где g — произвольный элемент из G. Нетрудно видеть, что все преобразования этого класса переводят точку е в одну и ту же точку х = eg. Более того, используя стандартные рассуждения, неоднократно применявшиеся выше, легко получаем, что множество Hg содержит все преобразования, обладающие указанным свойством. Следовательно, множество X находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех левых классов смежности, которое, как и в § 12, обозначим G/Л.

Перейдем к рассмотрению функций f (х),尤三 Х・ Заметим вначале, что всякая функция на G, постоянная на каждом листе 〃g, может рассматриваться как функция на X. Обратно, всякую функцию на X мы можем рассматривать как функцию на G, постоянную на левых классах смежности по Я.

Выясним закон преобразования пространства X в терминах G/H. Если множество Hg переводит е в х, то множество "ggo переводит е в точку у = х^0- Отсюда очевидно, что в терминах G/H мы получаем правые сдвиги g->ggo・ В результате приходим к рассмотрению операторов

R/(g) = f(gg°).

Представление gfRg называется правым регулярным представлением группы G. Более точное его определение зависит от указания класса функций, в котором действуют операторы &. В частности, можно говорить о всех, о всех непрерывных, о всех дифференцируемых и т. д. функциях на О.

Представление Tgf(х) = f(xg) мы условимся называть квазирегулярным представлением на однородном пространстве X. Результаты нашего исследования можно выразить следующей теоремой.

Теорема 2. Всякое квазирегулярное представление вкладывается в регулярное представление группы G. При этом однородное пространство X отождествляется с G/H, где Я ——стационарная подгруппа произвольной точки £ w X.

Замечание. Если вместо точки е рассматривать точку £go, то подгруппа Я заменяется подгруппой 且「〃氏. Отсюда следует, что все стационарные подгруппы сопряжены между собой относительно внутренних автоморфизмов. Если вместо записи xg рассматривать запись g-】x, то мы получаем вложение в левое регулярное представление группы G.

Примеры. 1. Пусть G = GL(/z) и х ——п-мерная строка, умножаемая справа на матрицу gwG Фиксируя в переменной матрице a w G какую-либо строку, мы можем рассматривать ее вместо вектора х. Очевидно, преобразование XfXg заменяется преобразованием

a^ag. Вместо функций / (х) можно рассматривать функции f(a), зависящие только от параметров выделенной строки.

Пусть G = SO(〃)и х — «-мерная строка в евклн， довом пространстве Е. Желая получить однородное пространство, мы ограничиваемся в Е рассмотрением единичной сферы S. Если 尤 пробегает S, то, рассуждая, как в § 12, получаем, что S эквивалентно G/H, где Н изоморфно SO(n— 1).

Проиллюстрируем несколько иначе результат предыдущего примера для случая п = 3. Используя углы Эйлера, запишем произвольную матрицу из SO(3) в виде g =/и〃力2, где 小，九2 ——повороты вокруг оси Oz и 〃——поворот вокруг оси Ох. Пусть 8 ——северный полюс; тогда подгруппа Н состоит из поворотов вокруг оси Oz. Записывая вращение в виде gxt мы обнаруживаем, что g£ =九1〃£. Параметры /и и 〃 можно рассматривать как параметры на сфере (широта и долгота).

В заключение заметим, что левое регулярное представление необходимо записывать в виде Lj (g)= = f(g「g)； только при таком определении отображение g->Lg является гомоморфизмом. Подстановка gf g^ в классе функций f(g) осуществляет, как легко проверить, эквивалентность Lg, Rg.

Упражнения

Пусть G — конечная группа и Н — ее подгруппа. Показать, что порядок Н (число элементов в Н) является делителем порядка G.

Пусть G — конечная группа преобразований, Gx ——стационарная подгруппа точки % и Ож — орбита точки х. Показать, что число элементов в Ож равняется отношению порядков G и G*.

Показать, что п! делится на «И п^ ...几左！, если n = «i + + 几2 + • • • + 几左 и n, «£ — натуральные числа.

Элементарные гармоники

Согласно результатам предыдущего параграфа мы можем ограничиться рассмотрением функций f(g) на «универсальном однородном пространстве» G. Задача состоит в классификации этих функций по отношению к

правому сдвигу:

Rgj (g) = f (gg°)・

Имея в виду аналогию с рядами Фурье, постараемся прежде всего ответить на вопрос: какие функции f(g) естественно считать «элементарными гармониками» на G? Согласно той же аналогии мы можем исходить из определяющего уравнения элементарных гармоник

Rgj (g) = Т (go) f (g),.

где функция t(g) является аналогом собственного значения Кп = eina теории рядов Фурье. При этом, очевидно, функция t(g) является гомоморфизмом, или «обобщенной экспонентой», на G.

Если считать t(g) числовой функцией, то мы далеко не на всякой группе получим достаточно богатый запас элементарных гармоник. Действительно, выше отмечалось, что некоторые группы вообще не имеют числовых экспонент, кроме T(g)三 1. Поэтому естественно считать, что T(g)—произвольное неприводимое конечномерное либо даже бесконечномерное представление группы G.

Встав на эту точку зрения, мы можем сразу же отметить следующее очевидное обстоятельство. Согласно общей формуле

T(ggo) = T(g)T(go) операторная функция t(g) сама является «собственной функцией» оператора Rg、. Желая вместо операторной функции рассматривать числовые, мы положим

屮(g) = (p(g)x, у),(*)

где х ——произвольный вектор из пространства представления t(g), у — произвольный вектор из сопряженного линейного пространства и скобка (х, у) означает билинейную форму между этими пространствами.

Функции (喙) называются матричными элементами представления T(g). Матричные элементы всевозможных неприводимых представлений группы G называются для краткости также матричными элементами группы G. Естественно ожидать, что всякая элементарная

гармоника является матричным элементом или линейной комбинацией матричных элементов группы G.

Замечание. Пусть t(g)—конечномерное представление и с】， 出，• • •, 。冗 ——фиксированный базис в пространстве представления. Тогда имеем

Т (g) 3 = X 吃• (g)佝・

1 = 1

Если fi ——линейный функционал, равный единице на 启 и нулю на всех остальных базисных векторах, то мы имеем

T〃(g) =(T(g)e/，А-), где скобка в правой части означает применение функционала ff. Следовательно, функции т訂(g) являются матричными элементами группы G*

Изложенная выше гипотеза о матричных элементах легко доказывается в том случае, когда «собственное значение» t(g) является конечномерным представлением. Действительно, пусть 6(g), ?2(g), …，^n (g)— базисная система элементарных гармоник, преобразующихся согласно t(g). Тогда имеем

S (ggo) = 2 т〃 (go) е( (g),

где т订(g)—соответствующая матрица оператора r(g). Полагая, в частности, g = е н опуская индекс 0 у элемента go, мы находим

s(g)= £ %胞)

Здесь Ci = ei (e). Согласно сделанному выше замечанию функции т仃(g) являются матричными элементами группы G. Мы видим, что элементарные гармоники。储) являются линейными комбинациями матричных элементов.

С другой стороны, естественно предположить, что всякое неприводимое представление содержится в регу~ лярном. В частности, если t(g) = ||Тг； (g) II ~ конечномерное представление, то, полагая e)(g) =Tfj(g) при фик-

сированном г, мы имеем

S] (т) = 2 G(g)q/(go).

Следовательно, функции e)(g) преобразуются по закону r(g), и для конечномерных представлений наше утверждение доказано. Желая исследовать случай бесконечномерных представлений, мы вначале уточним определение неприводимости.

Представление Tg в линейном топологическом пространстве V называется топологически неприводимым, если в V не существует замкнутого инвариантного подпространства, отличного от (0) и V. При этом мы предполагаем, что функция Tg непрерывна на V хотя бы в смысле слабой топологии пространства V ).

Теорема 3. Всякое топологически неприводимое представление группы G может быть вложено s правое регулярное представление группы G, определенное в классе непрерывных функций на G.

Доказательство. Фиксируем ненулевой линейный функционал f из сопряженного пространства Vz. Каждому х 三丿 поставим в соответствие числовую функцию

X(g) = (〃х，f)

на группе G. Тогда элементу Тёйх соответствует функция x(ggu). Пусть L ——множество всех получаемых таким образом функций x(g)* Если 尤o(g) 三 0 на группе G, то мы имеем

(?0, f) = 0.

Замыкание линейной оболочки векторов TgxQ инвариантно относительно Tg и отлично от V (поскольку ортогонально f). Ввиду неприводимости Tg это замыкание содержит только вектор 0. Следовательно, хо ~ 0.

Мы показали, что отображение между V и Л взаимно однозначно. Кроме того, при этом отображении операция Tg。переходит в Rg0. Теорема доказана.

Замечание. Для конечномерных представлений рассуждения, изложенные выше, позволяют получить следующий более точный результат. Неприводимое представление t(g) содержится в регулярном столько раз, какова его размерность. Действительно, пусть L» ——линейная оболочка всех функций e“g) =tfj(g) при фиксированном [.Выше было показано, что всякая элементарная гармоника, преобразующаяся согласно t(g), содержится в геометрической сумме подпространств L「 В конце этой главы будет показано, что подпространства & линейно независимы. Их число равно размерности t(g), и в каждом из них представление Rg сводится к t(g).

Все изложенные выше построения, разумеется, играют роль наводящих рассуждений. Остается еще фундаментальный вопрос о разложимости Rg на неприводимые представления. Мы опишем сейчас один из наиболее естественных путей решения этого вопроса.

Пусть 4(g)—правоинвариантная мера Хаара на группе G. Как мы видели в § 7, такая мера существует, во всяком случае на произвольной группе Ли. Положим

"俨卄(g) M“(g),

где интеграл понимается в смысле Лебега. Множество % = £2(G), состоящее из всех измеримых функцийf(g), для которых \\f\\ < оо, является гильбертовым пространством. Формула

(f,哂=1 f (g) ?7i)办(g) определяет скалярное произведение в этом пространстве. Используя правую инвариантность меры d卩(g), сразу получаем, что (Rgj Rg°<P)= (f,①)，т. е. правое регулярное представление унитарно.

Согласно теореме 1 мы можем теперь заключить о том, что представление R& вполне приводимо. Отсюда появляется надежда, что Л^ разлагается на неприводимые представления.

Обращение к классическим примерам прямой и окружности показывает, однако, что при этом могут

встретиться дополнительные аналитические трудности. Действительно, на окружности элементарные гармоники е2ktp содержатся в гильбертовом пространстве и образуют его ортогональный базис. В то же время на прямой элементарные гармоники е汉化 неинтегрируемы с квадратом модуля. Тем не менее хорошо известна процедура, приводящая к интегралам Фурье. В следующей главе мы сумеем выделить группы, ситуация для которых сходна с ситуацией окружности, и построить для них обобщение гармонического анализа.

Алгебры и группы, связанные с уравнением

Существует несколько иной аспект рассматриваемых вопросов, особенно важный для приложений, но в настоящее время еще недостаточно разработанный. В математической физике, как известно, часто приходится решать уравнения на собственные значения:

厶2)=入取 (*)

где L ——линейный оператор, как правило, интегральный или дифференциальный (оператор Лапласа, оператор Гамильтона). Если F ——оператор, перестановочный с 厶， то его изучение дает обычно глубокую информацию о собственных векторах оператора 厶.Мы рассмотрим в этом параграфе лишь элементарную алгебраическую схему такого подхода.

Если Fi,尸2 перестановочны с 厶,то этим же свойством обладают их произведение и произвольные линейные комбинации. Следовательно, множество всех операторов, перестановочных с 厶 образует алгебру. Эта алгебра носит название коммутаторной алгебры оператора 厶.Если F ——элемент коммутаторной алгебры и 屮一решение (*), то имеем

L (F屮)=FL^ =九(F屮).

Следовательно, вектор 尸屮 является по-прежнему собственным вектором относительно 厶,с тем же собственным значением, что и 屮.Иначе говоря, пространство 厶 всех собственных векторов с собственным значением i

инвариантно относительно F. Следовательно, оно инвариантно также по отношению ко всей коммутаторной алгебре оператора L.

Если Н — оператор Гамильтона в квантовой механике и Г — оператор физической величины, зависящей от времени, то эволюция оператора Г описывается уравнением =~ HF. Следователь-

dF

но, если F перестановочен с Н, то = 0. Такие физические величины играют роль сохраняющихся «интегралов движения» (энергия, заряд, момент количества движения) н играют, как известно, принципиальную роль в изучении физической системы.

В приложениях иногда встречаются случаи, когда пространство U% конечномерно и операторы коммутаторной алгебры порождают полную алгебру матриц в пространстве 厶.Ясно, что в этом случае всякое решение 屮三 может быть получено из единственного решения 1|)о ^ Vx， 屮о 次 0, при помощи преобразований коммутаторной алгебры.

Примером является уравнение 厶屮=入屮，где А — оператор Лапласа, в классе функций на сфере в трехмерном евклидовом пространстве. Решения такого уравнения существуют, как известно, только при X = /(/ + 1), где / — целое число, и являются линейными комбинациями сферических функций У%, т = —I, —/+1,...

степени /. Число таких функций равно 2/ + 1. Специалистам по математической физике хорошо известны (см. [18]) дифференциальные операторы /_ и /+ такие, что

(правая часть заменяется нулем, если 丨疗z ± 1 | превосходит /). Операторы /_, /+ содержатся в коммутаторной алгебре оператора А, и их рассмотрение позволяет легко установить ряд замечательных свойств сферических функций. Аналогичная ситуация имеет место в теории системы n-мерных гармонических осцилляторов (в квантовой механике). Эта задача будет рассмотрена нами в § 57.

Пусть G — множество всех обратимых преобразований из коммутаторной алгебры оператора L. Множество G образует группу, которую условимся называть полной группой симметрии оператора L. Особенно интересен тот случай, когда группа G является группой Ли, т. е. зависит аналитическим образом от конечного числа параметров. Иногда удобно рассматривать G как пред-

АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ. СВЯЗАННЫЕ С УРАВНЕНИЕМ 93 ставление некоторой абстрактной группы @. Элементы из G записываются при этом в виде Tg, g е @.

В приведенном выше примере с оператором Лапласа роль группы @ играет группа SO(3). Для системы п- мерных гармонических осцилляторов в аналогичной роли выступает GL (п).

С другой стороны, из элементов коммутаторной алгебры можно сконструировать алгебру Ли, ибо F\F2 — —户2尸[содержится в коммутаторной алгебре вместе с 尸[,尸2・ В рассмотренных выше примерах эта алгебра конечномерна и совпадает с алгеброй Ли некоторой группы симметрии G. В частности, описанные выше операторы /_, /+ содержатся в алгебре Ли группы симметрии оператора А, изоморфной so(3).

Если в уравнении (*)九=0, то наряду с представлением Tg можно рассматривать пару представлений Tg, Sg, для которых £ играет роль переплетающего оператора: LTg = SgL. В этом случае, если 2 — решение (*), то, как легко проверить, вектор Г^-ф снова является решением (*).

Мы уже отмечали в § 15, что теория представлений групп является основой для общей теории специальных функций. Напомним теперь, что специальные функции обычно возникают как решения уравнений вида (决).На связь теории представлений с теорией специальных функций впервые обратил внимание еще Э. Картан. В настоящее время известно (см. [14]), что все основные классы специальных функций математической физики могут быть получены в рамках групповой схемы; при этом для них единообразным способом выводятся свойства ортогональности и нолноты, дифференциальные и интегральные соотношения.

Рассмотрения, связанные с коммутаторными алгебрами, могут быть положены в основу самой теории представлений； в частности, они позволяют раскрыть основные закономерности, связанные с понятием неприводимости. В следующем параграфе мы переходим к рассмотрению таких закономерностей. Прежде всего мы докажем так называемую лемму Шура, которая является основным «ключом» к теории конечномерных представлений.

Лемма Шура

Условимся рассматривать линейные (конечномерные) пространства только над полем комплексных чисел. Следующая простая лемма принадлежит одному из основателей теории представлений, немецкому алгебраисту И. Шуру:

Лемма Шура. Допустим, что два неприводимых представления Tg, Sg группы G связаны соотношением 4〃 = Sg4(*)

где Л—линейный оператор. Если эти представления неэквивалентны, то 4 = 0; если они эквивалентны, то А определяется однозначно с точностью до умножения на число.

В частности, если Tg = Sg, то А = Z/, где /—единичный оператор.

Доказательство. Пусть X, У ——линейные пространства, в которых действуют представления Г, S; тогда мы имеем отображение

А X —У.

Пусть Ло, У。——ядро и образ оператора Л (т. е. совокупность всех векторов 尤三 X, для которых Ах = 0, и совокупность всех векторов Ах,尤 мХ). Ясно, что Хо инвариантно в X и Уо инвариантно в У. Если Л =А 0, то равенства X。= X и Уо = (0) исключаются. Следовательно,

X产⑼，У。=У

в силу неприводимости 7 0 s. Полученные равенства означают, что оператор А взаимно однозначно отображает X на У. Следовательно, Л-1 существует и

Sg=ATgA-\

т. е. представления 7, S эквивалентны. Докажем единственность оператора А. Поскольку 7 и S эквивалентны, мы можем отождествить X о У. Если Д и 5 удовлетворяют условию (*), то оператор С = В —入4 удовлетворяет этому условию при любом %. Как мы видели выше, либо С = 0, либо С-1 существует. Но если 九一корень уравнения det (В—L4) в 0, то оператор С вырожден.

Следовательно, в этом случае С = 0 и В = ЛЛ. Лемма доказана.

Последнее утверждение леммы самостоятельно формулируется следующим образом:

Если линейный оператор А перестановочен со всеми операторами неприводимого представления Tg, то он кратен единичному ).

Отметим теперь несколько следствий из леммы Шура.

Следствие 1. Если группа коммутативна, то все ее неприводимые представления (над полем комплексных чисел) одномерны *：1：).

Действительно, каждый оператор Tg0 перестановочен со всеми операторами 県 и потому кратен единичному. Следовательно, Tg = X(g)/. Но в этом случае всякое одномерное направление инвариантно. Следовательно, размерность пространства равна 1.

Следствие 2. Пусть Tg, Sg ——два неприводимых представления группы G. Тензорное произведение

Tg ® Sg содержит ненулевой инвариант только s том случае, когда представления Tgf Sg контрагредиенты, и этот инвариант определяется однозначно с точностью до множителя.

Действительно, как мы видели в § 16, тензорное произведение % — Tg0Sg может быть реализовано формулой

Ug% = TgNSg с классе прямоугольных матриц z. Условие инвариантности (%£ = г) может быть переписано в виде

7声=之%，

где Sg = Sf^1 — представление, контрагредиентное Sg. Следовательно, согласно лемме Шура либо 2 = 0, либо

7g, Sg эквивалентны, и искомый инвариант определяется однозначно с точностью до множителя.'

Замечание. Если отождествить Tg, Sg, то представление Ug записывается в виде

Usz = TgzT~\

откуда ясно, что искомым инвариантом является матрица, кратная единичной. Если вместо Ug рассматривать дуальное представление, реализованное в классе линейных форм /(г), то ясно, что искомым инвариантом является форма

/о (а) = sp г,определяемая с точностью до множителя.

Для формулировки очередного следствия введем вначале следующее определение. Пусть М — произвольное множество матриц в векторном пространстве V. Совокупность состоящая из матриц, каждая из которых перестановочна со всеми матрицами из М, называется коммутаторной алгеброй множества М (действительно, как следует из этого определения, множество № является алгеброй).

Следствие 3. Пусть Тg ——вполне приводимое представление в пространстве V, V = Vi + Уг +... + где / = 1,2, ..., т, —— неприводимые подпространства. Тогда коммутаторная алгебра представления Tg состоит из всех операторов А, имеющих вид

где оператор С仃 обращается s нуль на всех подпространствах 厂储々次 /, и отображает Vj на V\, а 厶仃， j, j = I, 2, ..., m, — произвольные числа. При этом оператор C{j осуществляет отображение эквивалентности между неприводимыми представлениями s У； 〃 У,. Следовательно, если эти представления неэквивалентны, то 0力・=0.

Для доказательства достаточно представить все операторы (A, Tg) в блочном виде, соответствующем разбиению 1Л, 1^2,.…,Ут, и применить лемму Шура.

В частности, если представление Tg кратно неприводимому представлению q, то оно при подходящем выборе базиса может быть записано в виде

о

g

о

где tg ——диагональные блоки матрицы 7g. Ясно, что в этом случае все операторы С订 записываются в виде единичные матриц (если 匕 отождествляется с 匕)н оператор Л принимает вид

где е ——единичная матрица порядка n, п ——размерность представления т и 九订——произвольные числа. Заметим, что после перенумерации базиса эта матрица становится блочно-диагональной с п одинаковыми блоками А = =||Xij||,厶 j = 1, 2, •• •，九 Коммутаторная алгебра имеет в этом случае размерность т2.

В общем случае мы группируем эквивалентные компоненты /= 1, 2, ..., s, и получаем запись оператора Л в блочно-диагональном виде:

где каждый блок 4, i = 1, 2, ..., s, имеет структуру, описанную выше. Коммутаторная алгебра имеет в этом случае размерность zn；+zn；+..・ + zn^ , где mt — кратность, с которой встречается неприводимое представление 17”

Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что коммутаторная алгебра Mz несет в себе большую информацию о структуре представления Tg. Зная Аг, мы можем легко определить все подпространства, неприводимые относительно 7g, найти их число и размерность. В частности, коммутаторная алгебра М7 диагонализуется тогда и только тогда, когда представление Tg не содержит ни одной пары эквивалентных компонент; представление 戏 неприводимо тогда и только тогда, когда коммутаторная алгебра состоит из матриц, кратных единичной (обращение леммы Шура)

Анализируя проведенные рассуждения, мы видим, что они нигде не опираются на специальные свойства представления, а оперируют с понятиями приводимости и полной приводимости, которые можно перенести на произвольные множества матриц. Эта точка зрения будет несколько подробнее изложена в следующем параграфе.

Упражнения

Пусть неприводимое представление Тё сохраняет ненулевую билинейную форму %»у, где штрих означает транспонирование. Показать при помощи леммы Шура, что: 1) матрица / невырождена; 2) матрица f симметрична или кососимметрична; 3) матрица / определена однозначно с точностью до скалярного множителя.

Пусть (а: т) означает кратность вхождения неприводимого представления а во вполне приводимое представление т. Показать, что (а : т) = (1 : а ® т), где 1 означает единичное представление и а означает представление, контрагредиентное а.

Показать, что (а: § & у) = (0： у ® а) = (у： а 验 6), где а, §, у — неприводимые представления и тензорные произведения р ® у, у ® а, а ® р предполагаются вполне приводимыми.

Показать, что всякое неприводимое (конечномерное) представление группы вращений окружности определяется формулой е"“中，где п — целое число и ср — угловой параметр в группе вращений с периодом 2л.

Показать, что всякое неприводимое (конечномерное) представление группы сдвигов на прямой определяется формулой где А——произвольное комплексное число и 尤一аддитивный параметр группы (—оо < х < оо) ),

§ 21. Теорема Бернсайда

Результаты, связанные с коммутаторной алгеброй, станут значительно более симметричными, если вместо представления Тё рассматривать множество всех линейных комбинаций операторов Tg. Это множество замкнуто относительно линейных операций и операции умножения, т. е. является матричной алгеброй. Мы приходим к вопросу об изучении матричных алгебр и их коммутаторных алгебр в связи с вопросами приводимости и полной приводимости.

Множество матриц в пространстве V называется приводимым, если существует нетривиальное подпространство 匕)，инвариантное относительно всех этих матриц (т. е. относительно линейных операторов, определяемых этими матрицами). Соответственно вводятся понятия неприводимости и полной приводимости. Нашей основной целью будет изучение неприводимых матричных алгебр. Остановимся вначале на двух основных критериях неприводимости. Условимся рассматривать толь* ко алгебры с единицей.

1° Правило цикличности. Матричная алгебра А неприводима тогда 〃 только тогда, когда каждый вектор & w V, Е W 0, является циклическим в пространстве V относительно 4, т. е. если V совпадает с совокупностью векторов вида 吟 qw4

Действительно, пусть V^ = Л^ — циклическая оболочка вектора W относительно А, т. е. множество всех векторов вида 晦 а^А. Очевидно, % всегда инвариантно относительно А. Следовательно, если А неприводима, то V^ = V для каждого W W 0. С другой стороны, если последнее условие выполняется, то ни один из векторов g ¥= 0 не может содержаться в нетривиальном инвариантном подпространстве; следовательно, А неприводима.

2° Правило двойственности. Матричная алгебра неприводима тогда 〃 только тогда, когда неприводима алгебра Z, составленная из всех транспонированных (относительно некоторого базиса) матриц а', а w 4

Действительно, операция транспонирования 己一＞ У, где вектор 昌 рассматривается как вектор-столбец, ото-

ждествляет V с пространством Н всех линейных форм: f隽)=%怎 己三 匕 x^V. Если %иУ — инвариантное подпространство относительно Л, то его ортогональное дополнение "инвариантно относительно Z"^ определяется как совокупность всех линейных форм, равных нулю на Уо). Для доказательства нашего утверждения достаточно теперь заметить, что нетривиальность % равносильна нетривиальности Vo".

Докажем теперь одну из основных теорем в теории матричных алгебр ):

Теорема Бернсайда. Всякая неприводимая матричная алгебра в комплексном векторном пространстве представляет собой полную матричную алгебру, (алгебру всех линейных операторов) в данном пространстве.

Доказательство. Пусть 〃t ——г-й столбец матрицы а. Если а пробегает Л, то вектор 必 пробегает циклическую оболочку 4&・, где 片——i-й базисный вектор в пространстве V. Следовательно, если Л неприводима, то каждый столбец а^ пробегает все n-мерное пространство V.

Пусть уже доказано, что прямоугольная матрица [%, составленная из первых р столбцов матрицы а, пробегает рп-мерное пространство У&, которое определяется как прямая сумма р экземпляров пространства К Рассмотрим отдельно следующие две возможности:

Из равенства [〃]& = 0 следует ар+х = 0 для всякого элемента 〃三4

Существует хотя бы одна матрица aw 4, для которой [% = 0, но 〃p+i + 0.

Если выполняется условие а), то лр+] является однозначной функцией от вектора [矶卩三 Vp. Поскольку эта функция является линейной, то мы имеем

=== + * • • + С pap,

где С?, i = 1, 2, ..., р,——линейные операторы в пространстве V. Заменим а на %а, где % — произвольная матрица из Л; тогда каждый столбец 〃t заменяется на

%а厶 и мы имеем р р

Поскольку мы предполагаем, что матрица [а]р принимает произвольные значения из % то, очевидно, имеем отсюда

%С； = С/

(Действительно, все векторы, кроме 〃厶 мы можем положить равными 0; при этом / пробегает пространство К) Следовательно, каждый оператор Ct перестановочен со всеми матрицами из А. Согласно лемме Шура заключаем отсюда, что С\ =九汜，где е ——единичная матрица в пространстве V. В результате получаем

—九〔а】+ 九2a2 + . • • + 九

Полученное равенство означает, что ни одна из строк матрицы а не пробегает n-мерного пространства (поскольку между координатами строки существует линейная зависимость). Согласно правилу двойственности это невозможно, ибо алгебра А неприводима. Полученное противоречие показывает, что случай а) не может иметь места.

Итак, мы показали, что выполняется условие б). Пусть / — множество всех элементов из А, для которых выполняется условие [〃]р = 0. Тогда мы имеем 4/и/, т. е. / инвариантно относительно левых умножений на элементы а ^ А ^). Отсюда следует, что для каждого 三三 V циклическая оболочка /^ инвариантна относительно А. Положим, в частности, Vo = /ер+1. Согласно б) % 次(0). Следовательно, % = К Поэтому, если а пробегает /, то вектор-столбец ар+\ пробегает пространство V. Но это означает, что [%+i пробегает 叫+卜

В результате мы имеем возможность индукции по индексу р = 1, 2, ..., и, и это доказывает теорему.

Следствие 1. Если Tg ——неприводимое представление группы G s комплексном пространстве V, то линейная оболочка операторов Tg совпадает с алгеброй всех линейных операторов пространства К

Следствие 2. Матричные элементы rij(g) неприводимого представления Tg образуют систему линейно независимых функций на группе G.

Действительно, условие линейной независимости может быть записано в виде sp СТё = 0, где С — постоянная матрица коэффициентов. Заменяя множество {Tg} его линейной оболочкой, заключаем, что sp СХ = 0 для всякой матрицы X. Отсюда С = 0.

Следствие 3 (принцип в з а и м н о стм *)). Если А — вполне приводимая алгебра с единицей, то Af — также вполне приводимая алгебра с единицей, 〃 при этом

4〃 = А,

г. е. коммутаторная алгебра коммутаторной алгебры Af совпадает с самой алгеброй А.

Несложное доказательство этого утверждения предоставляется читателю. Следствие 3 дает чрезвычайно ценную информацию о структуре вполне приводимой ал- г

гебры А. Действительно, пусть < = £ т£А£ (прямая сумма), где <?——неприводимая алгебра порядка 孔好 входящая с кратностью т；. Тогда всякий элемент а^А может быть записан следующим образом:

а = S (а； ® 勺)，

где й{——произвольная матрица порядка 孔胃 и е^ ——единичная матрица порядка ^з Согласно принципу взаимности всякая матрица b 三 А' имеет следующий вид:

г

® 九)，f=l

где вг — единичная матрица порядка %% и bi — произвольная матрица порядка 俏加 В частности, мы видим, г

что алгебра Л имеет размерность £用 я алгебра 4

имеет размерность 5 欣 Если алгебра А неприводима,

*) Эта теорема принадлежит Веддербёрну (см. [10]).

то она имеет размерность м?(催 一 размерность пространства V) и коммутаторная алгебра /V имеет размерность 1 (что уже известно нам из леммы Шура). Очевидно также, что лемма Шура в свою очередь может быть получена как следствие теоремы Бернсайда.

Упражнения

Пусть &, & —два вектора в пространстве представления Тё, g 0 G, циклическая оболочка каждого из которых неприводима. Положим Е =九 1Е1 十九2&・ Выяснить условия, при которых циклическая оболочка вектора g также неприводима. (Указание: отдельно рассмотреть те случаи, когда неприводимые представления, содержащие 无 &, эквивалентны и неэквивалентны.)

Пусть 4 — полная матричная алгебра п X 几.Показать, что всякое неприводимое (конечномерное) представление этой алгебры имеет размерность 他 т. е. изоморфно алгебре А. Показать, что это представление может быть задано формулой f (х) = аха~х, х ^ А, где а ——фиксированный обратимый оператор.

Пусть Л — вполне приводимая матричная алгебра и ,4'—— ее коммутант. Показать, что в 4 содержатся проекторы на все подпространства, неприводимые относительно А, Показать, что в А1 содержатся все переплетающие операторы для неприводимых компонент алгебры А. Когда то же верно при перемене ролей А' и А?

§ 22. Групповые алгебры и их представления

В предыдущих рассмотрениях настоятельно чувствовалась необходимость «расширения» группы до алгебры, т. е. введения дополнительных линейных операций ). Эта процедура может быть осуществлена весьма различными способами.

1° Свободная линейная оболочка. Если G — абстрактная группа, то мы можем рассматривать формальные линейные комбинации

^ = S Ctgh gqG,

i = l

где ^ — произвольное число (ограниченное, если группа конечна). Это равносильно построению линейного пространства С, в котором элементы группы G играют роль (алгебраического) базиса. Избавляясь от индекса /, мы можем записывать линейные комбинации х в виде

суммы

” 5 %(g)g,

g^G

где функция %(g) принимает ненулевые значения лишь в конечном числе точек группы G. Если % = £% (g)g, 9 = £//(g)g, то для элементов х, у естественно рассматривать произведение

砌=2 х 依)у(%)g/i = £ z (g) g,g,厶g

и линейное пространство С становится ассоциативной алгеброй, которая называется свободной линейной оболочкой группы G. Если заменить под знаком двойной суммы обозначение g обозначением gh~\ то g по-прежнему пробегает группу G при каждом фиксированном Л. Приравнивая коэффициенты, находим

z{^ = ^x{gh~')y{h).h

Полученная формула может быть интерпретирована как «свертка» функций на группе G и определяет закон умножения в алгебре С. Заметим также, что

h

Если g-> Tg — представление группы G, то формула

g

позволяет продолжить представление 戏 до представления Тх алгебры С. Эта конструкция часто оказывается удобной. Если группа G конечна и имеет порядок и (т. е. содержит п элементов), то алгебра С имеет размерность п. В этом случае алгебра С называется групповой алгеброй группы G.

2° Групповые алгебры функций. Если группа G обладает мерой Хаара d]i(g)t то мы можем рассматривать свертку

ху (g)= J x^gh^y (Л) dg (Л)

двух произвольных функций %(g), y(g), для которых такой интеграл существует. Если X — линейное пространство функций на G, для всех элементов которого свертка существует и содержится в X, то X становится алгеброй, которая также называется групповой алгеброй группы G. Если gfTg — представление группы G, то формула

= J x(g)Tgd|x(g)

позволяет перейти от представления Tg к представлению Тх алгебры X. Действительно, как легко проверить,

Txy-TJy

при условии, что мы имеем право осуществлять перемену порядка интегрирования в данном классе функций.

Если G ——группа Ли, то подобная конструкция возможна не только для обычных функций, но также для мер и обобщенных функций на группе G, однако на этом сейчас останавливаться не будем.

3° Ассоциативная оболочка алгебры Л и. Алгебра Ли является по определению линейным пространством, но не является ассоциативной алгеброй относительно умножения. Иногда чрезвычайно удобно бывает расширить ее до ассоциативной алгебры 级，вводя умножение ху со следующим правилом коммутации:

ху _ ух = [х, у],

где [х, у\ — коммутатор в алгебре Ли. В частности, это означает, что для каждого базиса е2, ..., еп в алгебре Ли выполняются тождества

е円一ejei =吟.％,

где 吟一структурные константы алгебры Ли.

Если x-^D(x)—некоторое представление алгебры Ли, т. е. если отображение D(x) линейно и сохраняет закон коммутации, то ясно, что функцию D(x) можно продолжить по правилу

D(%g) = D(%)Q(g)

до представления всей ассоциативной оболочки Я. Ассоциативная оболочка Я называется также универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли ).

Интересно отметить, что алгебра Я оказывается изоморфной алгебре обобщенных функций на группе G с носителем в точке е.

Все эти конструкции, чрезвычайно интересные для теории представлений, мы вводим пока лишь формально, в виде общих определений. Некоторые из них, например групповая алгебра конечной группы и универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, будут существенно использованы в дальнейшем

Формулировка основных задач

Из вышесказанного можно заключить, что основная задача теории представлений состоит в их 《спектральном анализе», т. е. в разложении произвольных представлений на неприводимые. Однако в действительности эта задача обладает более разнообразными аспектами. Прежде всего, выделяются следующие самостоятельные задачи:

Описать все неприводимые представления (с точностью до эквивалентности) данной группы G.

Выяснить вопрос о возможности полной приводимости (в том или ином классе групп и их представлений) .

Описать (если они существуют) представления приводимые, но неразложимые, т. е. неразложимые в прямую сумму хотя бы двух представлений.

Далее, если ограничиться более простым классом вполне приводимых представлений, то естественно ожидать, что они разлагаются (в конечную сумму или абстрактный интеграл) по неприводимым представлениям. Это действительно так в конечномерном или унитарном случае. Изучение вполне приводимых представлений сводится при этом к спектральному анализу и изучению

отдельных непризодимых компонент. Здесь в свою очередь особо выделяются следующие задачи:

Разложение регулярного представления группы G.

Сужение неприводимых представлений с группы на подгруппу (дано неприводимое представление группы G, вполне приводимое относительно погруппы ”； требуется разложить его на неприводимые по отношению К方).

Описание алгебры неприводимых представлений по отношению к тензорному произведению.

В действительности некоторые из этих задач взаимосвязаны. В частности, поскольку регулярное представление является, как мы знаем, «вместилищем» всех неприводимых представлений группы G (§ 18), спектральный анализ этого представления может явиться источником для решения задачи 1. Далее, если перейти к проблеме классификации функций на однородном многообразии, то возникают следующие вопросы:

Аппроксимация функций на группе G и многообразии X ^элементарными гармониками^ группы G. Описание специальных функций, связанных с этими гармониками.

Вопросы комплексификации (группы Ли、ее пред* ставлений, однородных многообразий).

Симметрия уравнений, в частности дифференциальных и интегральных, по отношению к группам и алгебрам Ли. Аналоги операторов Лапласа для группы Ли,

Специально отметим также следующую классическую задачу:

Разложение произвольных тензоров по отношению к данной линейной группе G.

Гармонический анализ на группе тесно связан с изучением групповых алгебр относительно свертки на группе G, Особый интерес представляет изучение «двойственности» между группой G и множеством G, составленным из элементарных гармоник на G. Если G — коммутатнвт ная группа, то между G и G существует своеобразная симметрия, которая проявляется, в частности, в аналогии между прямым и обратным преобразованиями Фурье. В общем случае ситуация является значительно более сложной. Возникает задача：

Изучение групповых алгебр относительно свертки на группе G. Построение общей теории двойственности ).

Заметим, что решение последней задачи, несомненно, открыло бы ряд новых закономерностей в теории представлений. Наконец, в общей теории групп важное значение имеет следующая задача:

Выяснить, допускает ли данная абстрактная группа G точное линейное представление^ т. е. возможна ли ее изоморфная реализация 仔 виде группы матриц.

В настоящее время известно (см., например, §§ 31, 104), что для «большого числа» важных классов групп Ли проблема 12 решена положительно. Пример отрицательного решения приводится на стр. 469.

Более точная постановка и решение некоторых задач для отдельных классов групп будут изложены в этой книге.

Доказанные в этой главе фундаментальные результаты теории конечномерных представлений (лемма Шура, теорема Бернсайда) сохраняют свой вид над произвольным алгебраически замкнутым полем (заметим, что при доказательстве леммы Шура использовалось существование корней векового уравнения det (В —簿1)=0), но требуют иной формулировки в общем случае, найти которую можно, например, в книге Г. Вейля [10].

После того как эти результаты получены, можно наиболее просто построить теорию представлений для произвольных конечных групп. Однако в следующей главе мы сразу перейдем к рассмотрению значительно более широкого класса групп, так называемых компактных групп Ли, изучение которых и является основным предметом этой книги.

ЧАСТЬ II

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

В этом разделе, состоящем из девяти глав, дается прежде всего доказательство классической «глобальной теорем”》для произвольной компактной группы Ли. Глобальная теорема дает принципиальное решение всех вопросов, касающихся линейных представлений для указанного класса групп. Доказывается, е частности, что всякая компактная группа Ли может рассматриваться (в смысле изоморфизма) как подгруппа s группе унитарных матриц U (/?) при достаточно высоком п. Все дальнейшее содержание этого раздела имеет прикладной характер 〃 посвящается детальному изучению группы U(n) 〃 ее неприводимых представлений.

Читатель, желающий возможно быстрее получить информацию о запасе неприводимых представлений U(n)t может пропустить гл. V и VI и приступить непосредственно к чтению гл. V7/, изложение s которой, по существу, независимо от всех предыдущих глав. Для решения указанной задачи о классификации всех неприводимых представлений U (孔)достаточно вместо U (п) рассматривать более широкую группу GL(/i) 〃 классифицировать все ее неприводимые комплексно-аналитические представления. При решении этой задачи s свою очередь существенно используется разложение Гаусса s GL(n)t которое доставляет систему параметров со специальными алгебраическими свойствами. Однако за доказательством того результата, что мы не пропустим при этом ни одного неприводимого представления U (п), придется вернуться к началу гл. VI.

Все дальнейшее изложение (гл. VIН—XII) посвящается более детальному изучению неприводимых представлений U(n)t GL(n).

ГЛАВА IV

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ.ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

В настоящей главе мы вводим основные объекты, изучаемые в этой книге,——компактные группы Ли. Применение специального метода «усреднения» позволяет для данного класса групп получить замечательное обобщение теории классических рядов Фурье. Получаемая теория имеет дело с «элементарными гармониками», т. е. неприводимыми представлениями группы G, и содержит в себе основную информацию о строении этих представлении.

Определение компактной группы

В абстрактной топологии важную роль играет различие между компактными и некомпактными множествами. Множество К в метрическом пространстве называется компактным, если оно замкнуто и может быть покрыто конечным числом шаров радиуса е при сколь угодно малом & По образному выражению Г. Вейля, все «жители» области К находятся под охраной конечного числа «милиционеров» (центры шаров) при условии, что каждый милиционер имеет радиус действия е. Оказывается, что условие компактности равносильно выполнению любого из следующих двух утверждений, которые лежат в основе многих результатов классического анализа.

Лемма Больцано—Вейерштрасса. Из всякого бесконечного подмножества множества К можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в К.

Лемма Гейне — Бореля. Из всякого бесконечного покрытия множества К системой открытых множеств можно выбрать конечное подпокрытие.

Поскольку эти утверждения не опираются на понятие метрики, они используются для определения компактности в топологических пространствах, более общих, чем метрические. Наконец, как легко видеть, если множество К расположено в евклидовом пространстве (с обычной топологией), то требование компактности равносильно замкнутости и ограниченности множества К.

Топологическая группа G называется компактной, если она компактна как топологическое пространство. Примеры:

Ортогональная группа О(п) в вещественном пространстве компактна. Действительно, элементы gwO(〃) выделяются среди п-мерных матриц условием

g'g =仇 которое равносильно ортогональности репера, соответствующего матрице g. Следовательно,

L /=1 J

и группа O(fz) является подмножеством на сфере радиуса )/^ в евклидовом пространстве размерности п2. Следовательно, множество 0(") ограничено и, кроме того, оно замкнуто, поскольку условие g'g = е сохраняется при предельном переходе.

Унитарная группа U (п) компактна. Доказательство аналогично предыдущему, с заменой прежнего условия условием g*g = е для матрицы g ^ U(n). Впрочем, U(M)u0(2〃)(замена комплексных координат вещественными) и 6(〃)uU(办

Группы 0(n, С), 0(р, q), U(0, q) при р, q 次0 некомпактны. Действительно, все эти группы наряду с обычными поворотами содержат также систему гиперболических поворотов вида

II ch / sh t II

которые действуют в двумерных плоскостях. Поскольку такая подгруппа u(f) гомеоморфна неограниченной пря-

мой, то и каждая из данных групп неограничена как множество.

Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с компактным замыканием. Соответственно вводится понятие локально компактной группы. Очевидно, для локальной компактности группы достаточно, в силу принципа однородности, существования окрестности с компактным замыканием хотя бы для точки е.

Если ограничиться классом групп Ли, то в силу их локальной евклидовости они всегда локально компактны.

Наконец, если группа не компактна и даже не локально компактна, то она может быть названа существенно некомпактной. Группа унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве является примером такой группы ).

Одним из основных результатов теории групп является установление принципиального различия между представлениями компактных и некомпактных групп Ли. В частности, мы увидим, что гармонический анализ на компактной группе Ли сводится к рядам, в то время как на локально компактной группе Ли — к обобщенным интегралам Фурье. В основе этого различия лежит следующее очевидное свойство:

1° Всякая компактная группа Ли имеет конечный объем (относительно меры Хаара).

Мы предоставляем читателю детальное доказательство этого утверждения. Отметим еще одно свойство меры Хаара, которое является следствием свойства 1°:

2°. На компактной группе Ли всякая мера Хаара является двусторонне инвариантной и инвариантной по отношению к инверсии.

Действительно, если du(g) — левоинвариантная мера Хаара, то мера d[L(gg0) снова является левоинвариантной и поэтому в силу принципа единственности отличается

от 如® лишь умножением на константу:

办(ggo) = С 如(g)

(константа с зависит от go). Интегрируя обе части этого равенства по группе G, заметим, что точка h ='ggo пробегает (при фиксированном go) также всю группу G, откуда ясно, что，d卩(6)=，d卩(g) = P, где V — конечный объем группы G. Следовательно,

V = eV

и с= 1; но это и означает, что мера d卩(g) является правоинвариантной. Далее, мера 8 卩(g-〔)снова является инвариантной, откуда ^ц(§-1) = kd^i(g), где R —— константа, и прежний прием позволяет заключить, что 九=

Двусторонне инвариантную меру Хаара на группе G мы условимся ради краткости обозначать просто символом dg. Условие

J W(g)Fdg<oo

выделяет гильбертово пространство числовых функций на группе G, которое принято обозначать d(G)・ Если группа G компактна, то для меры Хаара мы будем использовать нормировку

которая означает, что полный объем всей группы полагается равным единице.

Формулировка глобальной теоремы

Для компактной группы Ли удается в принципе решить все основные проблемы, связанные с теорией представлений. Окончательный результат мы сформулируем в виде перечня законов, называемого здесь «глобальной теоремой».

Теорема 1 (гл об альная теорема). Если G ——компактная группа 〃", то она обладает следую^ щами свойствами:

G имеет точное линейное представление.

Все неприводимые ) представления группы G имеют конечную размерность 〃 содержатся в классе тензоров {над тем линейным пространством, где G имеет точное представление).

Все конечномерные представления группы G эквивалентны унитарным 〃 обладают свойством полной приводимости ).

Число неприводимых представлений группы G (определяемых с точностью до эквивалентности) конечно или счетно ^^), причем конечно только в случае, когда группа G конечна.

Всякая непрерывная функция f(g) на группе G может быть равномерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов

办g),

где индекс / означает нумерацию всевозможных неприводимых представлений, а индексы 厶 / ——обычные матричные индексы относительно произвольного базиса ).

Если матрица 七丄(g) = ||畤(g)( записана в базисе, относительно которого она унитарна, то система матричных элементов 吟(g) представляет собой полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве Н = 1^{G). Все элементы 七} (g) при фиксированном I имеют одинаковую норму, равную где 汽=汽(/)— размерность представления т<

Если функция f(g) содержится в L2(G), то ее ряд Фурье

f(g)~ £ с1 Xltl (g),

где с|/ = л(厶 т；，, сходится к этой функции s среднем квадратичном.

Замечание. В действительности мы увидим (добавление I, § 2), что ряд Фурье сходится равномерно, если функция f(g) достаточное число раз дифференцируема (по параметрам группы G), и тем быстрее, чем выше степень гладкости функции £

Напомним, что символ (f, <р), использованный в формулировке теоремы, означает скалярное произведение двух произвольных функций из Н:

(f, Ф)= / f(g)^(g)dg.

Ортогональность понимается также по отношению к этому скалярному произведению. В § 32 мы опишем также переход к произвольному однородному пространству с группой движений О.

Доказательство теоремы будет разбито на несколько частей.

§ 26. Прием усреднения )

В основе доказательства глобальной теоремы лежит операция усреднения произвольной непрерывной функции——числовой, операторной или векторной ——на груп* ne G. Этот прием в теорию представлений был введен, по-видимому, Гурвицем. Если функция f(g) непрерывна на компактном множестве К, то она ограничена (аналог известной теоремы Вейерштрасса) ); следовательно, среднее значение

где IGI = f dg, существует. Используя нормировку |G|=1, рассмотрим, в частности, произвольное линей

ное представление Tg группы G в векторном пространстве V. Для каждого х е V мы получаем возможность построить вектор

%0 = [T闵，

который является «центром тяжести» множества всех точек Tgx. Нетрудно видеть, что вектор %о является инвариантом группы G. Действительно, центр тяжести множества точек TgQgx совпадает с центром тяжести множества точек Тёх. Более формально,

Т g/o = [Tgog 灯=[Tg%]=尤。

в силу левой инвариантности меры Хаара, и наше утверждение доказано ). Отсюда следуют:

Лемма 1. Если в пространстве V не содержится ни одного ненулевого инварианта, то

[Tg] = 0.

Лемма 2. В общем случае линейный оператор Р = [Tg] является оператором проектирования на подпространство Ь()иУ, состоящее из всех инвариантов пространства V.

Доказательство леммы 1 очевидно. Для доказательства леммы 2 достаточно заметить, что постоянный вектор х можно вынести из-под знака интеграла, откуда

%о = [「/] = [Tg]尤=Рх,

где Р = [Tg]——постоянный линейный оператор. Поскольку

产=J J Tg®"& dg?= J dg J Tgh dh = j Pdg = P,

то оператор P действительно является проекционным н область его значений совпадает с подпространством % (в частности, Рх0 = Р2х = Рх = %о, т. е. преобразование Р тождественно на %). Леммы 1 и 2 доказаны.

Рассматривая, в частности, преобразование

Ugf(X, у) = f (TgX,樓外，

порожденное представлением Tg в классе билинейных или в классе полуторалинейных форм f(x, у), и применяя к нему прием усреднения, находим форму /0(х, у)= = [Ugf(x, у)], обладающую следующим свойством инвариантности;

%(TgX，Tgy) = fo(x，У)

для любого gwG и любых х, у. В частности, пусть пространство V комплексно и форма f(x, у) положительно определена. Если квадратичная форма f(x, х) положительно определена, то форма %(х, х) также обладает этим свойством; действительно, ясно, что %(х, х)》0; кроме того, если

%(х, х)= j f (Tgx, Tgx) dg = 0,

то в силу неотрицательности подынтегральной функции она тождественно равна нулю, откуда, в частности, при g = е находим f(x, х) = 0, что возможно только при х = 0. Поскольку в конечномерном линейном пространстве положительно определенная эрмитова форма f(x, у) всегда существует, то мы получаем, что имеет место

Лемма 3. В пространстве любого конечномерного линейного представления компактной группы G всегда существует инвариантная положительно определенная эрмитова форма.

Выбирая эту форму в качестве скалярного произведения (х,у), находим, что представление Тё относительно (х, у) унитарно. Поскольку всякое скалярное произведение диагонализуется в некотором базисе, то матрица '

Tg~^ij (g) II,

записанная по отношению к этому базису, унитарна. Наконец, как мы видели в § 16, следствием унитарности является полная приводимость. Следовательно, Тё вполне приводимо^ и мы доказали свойство 3 из глобальной теоремы.

Свойство ортогональности

Пусть Tg, Sg — два неприводимых представления группы G, матрицы которых

Tg = im(g)IL Sg = IEv(g)||,

j = 1, 2,/г; к，v = 1, 2, ..., m, записаны по отношению к тем базисам, в которых они унитарны. Рассматривая тензорное произведение

Ug = Ts0

где 3 = 5广— представление, контрагредиентное Sgy напомним следствие 2 из леммы Шура, согласно которому, если 〃 и Sg неэквивалентны, то представление Ug не содержит ненулевых инвариантов. Следовательно, в этом случае

[Ug] = 0.(*)

Подставляя выражения отдельных матричных элементов представления Ug через матричные элементы представлений Tg, Sg, заметим, что ^ = S； = Sg, где черта означает комплексное сопряжение каждого элемента матрицы Sg. В результате матричное равенство (*) заменяется системой числовых равенств

J т订(g)%v (g)dg = 0,

которые в совокупности означают ортогональность между матричными элементами Tg, Sg.

Положим теперь Sg = Tg и реализуем представление Tg в классе прямоугольных матриц (§ 20):

UgN = ТgZTg \

Поскольку в классе этих матриц имеются лишь инварианты Ае, где 厶——произвольное число, то усредненная матрица N° = [UgZ] должна совпадать с одним из таких инвариантов:

[Ugz]=入 е

для любого г. Для определения 入=入(之)произведем вычисление следа левой и правой части, учитывая, что

spUgN = spz; в результате находим

sp г = X • sp е = Хп,

где п ——размерность матрицы е. Следовательно, 入= ^ spz, и мы получаем окончательно

【UgZ] = ：(spz)e.

Полагая, в частности,之=е^・, где матрица е订 содержит единицу на пересечении 厶負 строки с /-м столбцом и нули на остальных местах, находим, что матрица U gz = TgzTfi = ТёгТё состоит из элементов xpi (g) % (g), p, 7=1, 2, ..., n. Следовательно,

J T” (g) %/ (g) dg = ^ (sp e;/) 6Pq = ； 6〃6pg,

где 6 订， 6pg ——символы Кронекера (действительно, spctj = 6汕 f, / = 1, 2, ..., n). В результате мы видим, что имеет место

Лемма 4. Матричные элементы двух неприводимых неэквивалентных представлений группы G взаимно ортогональны. Матричные элементы каждого неприводимого представления группы G ортогональны между собой 〃 все имеют одинаковую норму, равную 几-%, где п ——размерность данного представления.

Аппроксимационная лемма для линейной группы G

Мы желаем пока миновать самую сложную часть теоремы, которая касается точной линейной представимости группы G. Поэтому будем считать, что группа G линейна, и докажем все остальные утверждения теоремы.

Лемма 5. Пусть t，(g)——система всевозможных неприводимых представлений, которые встречаются при разложении тензоров, преобразуемых группой G. Тогда всякая непрерывная функция f(g) может быть равномерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов p/(g)・

■ Наиболее просто лемма 5 может быть доказана с помощью теоремы Стоуна ——Вейерштрасса, известной из функционального анализа ). Утверждение этой теоремы состоит в следующем. Допустим, что 觐——некоторое множество непрерывных функций на компакте X, обладающее свойствами:

1° 觐 является алгеброй (по отношению к обычному сложению и умножению функций);

2° 氧 содержит единицу (т. е. функцию % (%) 三 1);

3° вместе с каждой функцией /(%)觐 содержит функцию /(%);

4° 觐 «разделяет точки» компакта X в том смысле, что для любой пары точек 修，％2 найдется функция / 三觐,принимающая в хь %2 различные значения.

Тогда любая непрерывная функция(р(х) на компакте X может быть равномерно аппроксимирована элементами алгебры 誣.

Предположим теперь, что множество 觐 определяется, согласно условиям леммы, как линейная оболочка матричных элементов т%, и докажем, что в этом случае свойства 1°——4° выполняются. Действительно, если перемножить два матричных элемента, то мы получаем матричный элемент представления Y ® тг，, которое снова содержится в классе тензоров и, следовательно, разлагается по некоторым неприводимым представлениям di, с",工厶 (правило полной приводимости), но тогда изучаемый матричный элемент является линейной комбинацией матричных элементов этих неприводимых представлений, т. е. содержится в множестве 觐.Следовательно, 觐 является алгеброй. Поскольку в число тензоров включаются и тензоры нулевого ранга (скаляры), то 觐 содержит единицу. Далее, функция т^ (g) является матричным элементом представления tz (g) = ^(g)7"1, которое контрагредиентно Y(g) и поэтому также содержится в классе тензоров. Наконец, поскольку группа линейна, то сама матрица g (преобразующая тензоры первого ранга, т. е. векторы) разделяет точки группы. Лемма доказана.

Впрочем, поскольку G содержится в евклидовом пространстве, при доказательстве этой леммы можно было бы воспользоваться и классической теоремой Вейер- штрасса.

Ряды Фурье на линейной группе G

Каждой квадратично интегрируемой функции /(g) на группе G поставим в соответствие набор ее «коэффициентов Фурье»:

=(力国力，

где 叱=疗飼卜 —система нормированных матричных элементов из леммы 5 (нормированных таким образом, чтобы ||е^.|| = 1, где Ц/ll—норма в пространстве Н), Упрощая обозначения, запишем это определение в виде

где V означает сложный индекс, составленный из индексов /, z, /. Поскольку значения этого индекса пробегают счетное множество, мы можем осуществить перенумерацию таким образом, чтобы v = 1, 2, ... Пусть Ln — линейная оболочка векторов ^v, v = 1, 2, ..., п. Выражение = min ||f— т II представляет собой «среднее квадратичное отклонение» функции f от линейного подпространства Ln. Если т = £ 仪^屮 то мы имеем)

V=1

ппп

" —=£dWv+ 2l«vl2 =

V= 1V= 1V = 1

="1|2— £& |2+ £|% — CvF・ V=1V=1

Поскольку llfll и коэффициенты cv зависят только от функции f, то ясно, что min ||f ——т|| достигается в точности при av = cv, v = 1, 2,/г, откуда pn = ||/ — sKI,

п

где 5rt = 5 cvev — частичная сумма ряда Фурье, и, V=1

кроме того,

Р〃=|| 川 2-》|с/.(*)

Допустим вначале, что функция f непрерывна, и выберем п настолько большим, чтобы max \f(g)~ т^ (g) | < е при

G

некотором тп 三 Ln (возможность такого выбора следует из аппроксимационной леммы); тогда мы имеем

р“= min ||f-T|K||f ~т„ ||<е.

Следовательно, ||f — sn|| < е при найденном п и f = =lim sn. Кроме того, переходя к пределу в (*), полу・ %-> ОО

чаем равенство Парсеваля:

l2 = llfll2-

V=1

Наконец, если f ——произвольная функция из Н, то для всякого е > 0 существует, как известно, непрерывная функция ср, квадратичное отклонение которой от f не превосходит s; следовательно,

II f - Т„ IK II f - ф II + II ф - т„ II < 2е,

и все предыдущие рассуждения снова можно повторить. В результате получена

Лемма 6. Если G ——линейная компактная группа, то для каждой функции f w L?(G) ее ряд Фурье сходится к этой функции 8 среднем квадратичном:

f = X

и при этом выполняется равенство Парсеваля:

"F=自& I2.

V—1

В заключение заметим, что если /,屮一произвольные элементы из Н, то из равенства Парсеваля следует обычное равенство для скалярных произведений：

(f,屮)=2 CvYv>v-1

где %, — коэффициенты Фурье функции ф. Заметим также, что, как следует из проведенного построения, разложение в ряд Фурье определяется однозначно.

Завершение доказательствадля линейной группы G

Возвращаясь к первоначальным обозначениям для матричных элементов, получаем сокращенную запись ряда Фурье:

f(g) = 2spcl(g),

где с1 = ||cj.|| • п1/г — матрица, составленная из коэффициентов Фурье функции f с фиксированным номером /. Непосредственное выражение для матрицы с1 дается, очевидно, формулой

Cz = n(f, T‘(g)'),

где штрих означает транспонирование. Если в группе G происходит правый сдвиг go, то каждое слагаемое в этой сумме заменяется выражением

sp С* (ggo) = sp с屮(g) Tz (go) = sp 丿(go) c* (g), откуда ясно, что преобразованная функция f(g) = f(ggo) имеет коэффициентами Фурье матрицы

* =丿(go)/

Полученный результат естественно интерпретируется как разложение правого регулярного представления на неприводимые. Действительно,

(прямая ортогональная сумма), где каждое слагаемое Н1 конечномерно н изоморфно пространству всех ма-

триц поскольку каждый столбец такой матрицы преобразуется по закону тг, мы заключаем, что представление 工！ содержится в 〃，с кратностью 几(2)*).

Замечание. Нетрудно видеть, что из рассмотрения левых сдвигов возникает то же самое разложение пространства Н. Далее, если рассматривать Н как алгебру относительно свертки, то важно отметить, что свертке двух функций из Н соответствует умножение соответствующих блоков d при каждом фиксированном /; следовательно, алгебра Н изоморфна (дискретной) сумме полных матричных блоков размерностей n(/) X п(/).

Поскольку, как мы видели в § 18, всякое неприводимое представление группы G, конечномерное или бесконечномерное, содержится в регулярном, интуитивно ясно, что имеет место

Лемма 7. Линейная компактная группа G не имеет иных топологически неприводимых ) представлений, кроме представлений тг, действующих в классе тензоров.

Изложим строгое доказательство этой леммы. Пусть Tg — топологически неприводимое представление группы G в линейном топологическом пространстве V (произвольной размерности), и пусть t(g) — одно из представлений тг, действующее в пространстве Е Заметим, что всякий линейный непрерывный оператор V~^E имеет следующий вид:

S fi(x)e{,

= 1

где Q — фиксированный базис в пространстве £ и 后“)一 непрерывные л-инейные функционалы над V. Если оператор А переплетает представления Tg, t(g), то мы находим после несложных вычислений

ft {Тsx) = 2 // (%) т订(g),

где ||т订(g)ll — матрица оператора r(g). Это означает, что в сопряженном линейном пространстве 丿‘ существует

конечномерное инвариантное подпространство (относительно предстабления 7g, контрагредиентного 7\). Если V бесконечномерно и неприводимо, то отсюда заключаем, что Л = 0. Если же 4 =# 0, то V конечномерно и, согласно лемме Шура, Tg эквивалентно t(g).

Допустим теперь, что 4 = 0 для всякого переплетающего оператора Л и всякого Y. Рассмотрим произвольный функционал f(x), x е V, и положим

Ax = f(x)^,

где Е ——произвольный фиксированный вектор из Е. Применяя к оператору Л процесс усреднения по правилу )

Л = / <ёГх ATgdg,

получаем переплетающий оператор Ло (#oTg = t(g)#o)； следовательно, 4° = 0. Замечая, что t(g)-i= t(g)*, находим

Полученное равенство означает, что числовая функция 屮(g) = f(Tg%) ортогональна всем матричным элементам т^ (g1). Следовательно, (p(g)=O в силу полноты системы этих элементов:

"樓х) = 0, gwG.

Поскольку f ——произвольный элемент из V', это возможно (в силу теоремы Хана ——Банаха [5]) только при условии Тёх = 0. Поскольку % ——произвольный вектор, мы получаем противоречие. Лемма доказана.

Тем самым доказывается п. 2 ■ глобальной теоремы, откуда следует также и п. 4 (число элементарных гармоник конечно только в том случае, когда пространство "конечномерно, т. е. группа G конечна). В результате для случая линейной группы глобальная теорема доказана полностью.

§ 31. Завершение доказательства в общем случае

Имея дело с абстрактной группой G, мы вместо тензорных преобразований рассматриваем множество всех (абстрактно определенных с точностью до эквивалентности) неприводимых конечномерных представлений группы G. Пусть Ф — линейная оболочка матричных элементов всех таких представлений. Повторяя рассуждения § 28, заключаем (из принципа полной приводимости), что множество Ф является алгеброй относительно обычного умножения.

Лемма 8. Алгебра Ф разделяет точки группы G ).

Доказательство. Пусть Ф — равномерное замыкание алгебры Ф. Покажем, что Ф содержит произвольную непрерывную функцию 尤(g) на группе G, для которой х (д'4)=尤(g)・ Действительно, сопоставим функции 尤(g) интегральный оператор левой свертки

xf(g)= J xigh-^fWdh.

Как известно, такой оператор вполне непрерывен (это следует из компактности множества G). Из условия x(〃gT) = x(g 力 Т) следует также, что X — симметричный оператор Гильберта — Шмидта. Согласно известным результатам теории интегральных операторов ядро x(gh^) представимо в виде равномерно сходящегося ряда с элементами вида Z5qps (g)^s(h), где qps — собственные функции оператора X и 入§ — соответствующие собственные значения. Полагая, в частности,用=е, мы находим

%(g)= X Cs<Ps(g),

где сходимость ряда равномерная. Покажем теперь, что собственные функции (ps(g) при 入§ W 0 содержатся в алгебре Ф. Действительно, пусть Н* — пространство всех собственных функций с собственным значением

厶声 0. Поскольку оператор X вполне непрерывен, пространство "九 конечномерно. Поскольку оператор X порождается левыми сдвигами, пространство "入 инвариантно относительно правых сдвигов. Пусть ei(g),… • ••,e?x(g)——произвольный базис в пространстве 〃九・ Рассуждая, как в § 18, получаем, что

в/ (g) = 2 J・T" (g),

1 = 1

где T(g)—конечномерное представление, действующее в %. Следовательно,"入 u(D, и отсюда следует, что x(g)三①.

Поскольку функции x(g) указанного вида разделяют точки группы G, то же верно и для алгебры Ф. Лемма доказана.

Замечание. Всякая непрерывная функция 屮(g) на G может быть записана в виде x(g) + %(g), где % и у—функции такого же класса, как рассмотренные в доказательстве леммы 8. Следовательно, Ф = C(G), где C(G) — пространство всех непрерывных функций на G, и мы получаем доказательство аппроксимационной теоремы для любой компактной группы G.

Заключающим элементом нашей конструкции является

Лемма 9. Если алгебра Ф разделяет точки группы G, где G — компактная группа 〃〃, то G допускает точное линейное представление.

Доказательство. Если алгебра Ф разделяет точки группы, то для каждой точки g 声е найдется конечномерное представление 6 такое, что g не содержится в его ядре. Следовательно, g w G^ = G — N6i где N^ — ядро 6. Следовательно, система открытых множеств G6 покрывает группу G с выколотой точкой е. Следовательно, эта система покрывает также всякое замкнутое множество вида G — где U — окрестность точки е.

Согласно лемме Гейне ——Бореля множество G—U покрывается конечной системой множеств G6l> G62,... ...,G6m. Но это означает, что подгруппа

NfflM2n ... П^т

целиком содержится в окрестности U. Заметим, что N является ядром представления 瓦=济 + 包 + …+ От (прямая сумма).

Предположим теперь, что окрестность U ограничена и допускает канонические координаты. Если gz — произвольная однопараметрическая группа, то она гомеоморф- на окружности либо прямой, в то время как пересечение gA с U гомеоморфно ограниченному открытому множеству на прямой. Следовательно, g九 целиком не содержится в U. Следовательно, U не содержит ни одной параметрической подгруппы, но тогда и вообще ни одной подгруппы, кроме точки е. В этом случае N = {е} и представление до является точным. Лемма доказана.

Комбинируя леммы 8 и 9, получаем в результате, что всякая компактная группа Ли допускает точное линейное представление.

Глобальная теорема полностью доказана.

Упражнение

Пусть G — компактная группа Ли и Н—ее замкнутая подгруппа. Показать, что если всякое неприводимое представление группы G остается неприводимым при сужении на Н, то G = Н. (Указание: проверить, что среднее значение всякой функции /(g) по группе G совпадает со средним значением по пощ руппе 斤 В частности, если f(g) —расстояние от точки g w G до подгруппы Н, то отсюда следует, что f(g) = 0, т. е. G = 〃.)

§ 32. Гармонический анализ на однородном многообразии

Теперь мы можем перейти к рассмотрению произвольного однородного многообразия X с компактной группой движений G. Применяя конструкцию § 17, условимся сразу рассматривать X в виде фактор-простран- ства G/Н, где " — стационарная подгруппа некоторой фиксированной точки из X. Напомним, что в этой конструкции каждая точка xwX рассматривается как гиперповерхность вида Hgx, где gx — фиксированный элемент из G. Всякую функцию f(x) на пространстве X мы можем рассматривать как функцию f(g) на группе G, инвариантную относительно левых сдвигов на элементы

из Н. Условие

в этом классе функций выделяет гильбертово пространство функций /(х), которое мы обозначим "(X) (можно было бы также по мере Хаара dg построить соответствующую меру dx на X ) и определить пространство /2(Х) независимо). Следующее утверждение, получаемое как следствие из глобальной теоремы, решает задачу гармонического анализа в классе L2(X):

Теорема 2. Пусть t(g)——произвольное неприводимое представление группы G, унитарное в базисе ej, е^... ...,епу первые d элементов которого (d《『z) образуют базис а подпространстве всех инвариантов относительно подгруппы Н. Определяя матричные элементы 工订(g) = =(t(g)ej, ?t) относительно этого базиса, введем обозначение ST для множества всех элементов

吃（g）吃（g）, d, / ~ 1, 2, .. ., /1,

吃（g）

吃（g）

соответствующих первым d строкам матрицы t(g). Пусть S ——объединение всех S^ по всевозможным неприводимым т (определяемым с точностью до эквивалентности) .Тогда система S является полной ортогональной системой в пространстве L2(X) 〃 элементы из St имеют одинаковую норму, равную 孔一％ (孔夕辽 условии, что мера dg нормирована соотношением J dg= 1).

Доказательство. Достаточно проверить, что коэффициенты Фурье функции f(g)：

Q/= J f<g)^g}dg,

получаемой как продолжение функции f(x) на группу G, равны нулю при i = d + 1, d + 2, ..., п. В силу инва-

риантности функции f(g) и меры dg относительно левых сдвигов на элементы из Н имеем

С" = J f (g) Т"(力g) dg = £ J f(g)T/(3%/(g) dg.

Поскольку система 矶，е2,…，？d состоит из инвариантов группы 〃， то линейная оболочка дополнительных элементов ?壮+卜 ?d+2， • • •, еп инвариантна относительно Н (инвариантность ортогонального дополнения); следовательно, в данном базисе матрица т(/г) имеет вид

1 О

ОО1

О

О

О ' I

ООт(» =

О

О

0（九）

где разбиение на блоки соответствует разбиению базиса на элементы с номерами《d и >d. Следовательно, если i = d + 1, d + 2, …，и, то получаем

Сц =工 <JikW j f(g)^k/(g)dg =工 aik (h) ck/, k=d+\ 2=d+l

где Gih一матричные элементы представления <r(/z). Интегрируя обе части полученного равенства по мере Хаара на группе ", замечаем, что

J 仃泣(h)dh = О,

ибо представление o(/z) не содержит инвариантов группы Я (все такие инварианты относятся к базису еь с?, …，Cd)・ В результате с^ = 0.

Теорема доказана.

Таким образом, существует универсальная конструкция для классификации функций на произвольном однородном многообразии X с компактной группой движений G (очевидно, X в этом случае также компактно). В частности, всякая непрерывная функция на X допускает разложение в «ряд Фурье». Привлекая дополнительные построения (см. добавление I, § 2), нетрудно также показать, что чем сильнее гладкость функции f(x), тем быстрее сходится соответствующий ряд Фурье.

Характеры

Если G ——компактная группа, то для каждой пары функций 尤(g), y(g)三 £2(g) их свертка

Z(g)= j xigh^^yi^dh

снова квадратично интегрируема, т. е. z(g) е A2(G). Следовательно, пространство $ = £2(G) является алгеброй относительно этой свертки. То же самое можно сказать о пространстве C(G) всех непрерывных функций на группе G. Представляет интерес, с точки зрения теории представлений, найти центр 3 алгебры $, т. е. совокупность всех функций, перестановочных (относительно свертки) с произвольными функциями из $. Производя несложное вычисление, получаем, что условие

2 (g()gg「) = 2 (g),(*)

выполняемое при всех go 三 G, необходимо и достаточно для принадлежности функции z(g) центру 3- Всевозможные точки gogg「，получаемые внутренними автоморфизмами из точки g, называются сопряженными между собой; совокупность всех таких точек (при фиксированном g) называется классом сопряженных элементов. Таким образом, условие (•：：•) можно выразить, сказав, что функция z(g) постоянна на каждом классе сопряженных элементов.

Примером функции такого типа является функцияz(g) = sp Tg,

где 玛一произвольное (конечномерное) представление группы G. В частности, если Тё ——оператор неприводимого представления 6, то для соответствующей функции z(g) введем обозначение x§(g).

Функция Хб(g) называется характером представления 6. Следствием глобальной теоремы является

Теорема 3. Всякая функция z(g), постоянная на классах сопряженных элементов, разлагается в ряд Фурье по характерам неприводимых представлений группы G.

Доказательство. Условие (•*) мы можем представить в виде

厶/‘2 (g) = Rg訳(g),

где Lg и Rg — соответственно левое и правое регулярное представление группы G. Применяя это условие, получаем, что каждая матрица 8, состоящая из коэффициентов Фурье функици 2(g), удовлетворяет тождеству

' (go) / = У (go),

т. е. с' перестановочна с операторами неприводимого представления т‘； но тогда по лемме Шура эта матрица кратна единичной, и ряд Фурье для функции ?(g) принимает вид

2(g) = £a/SpT‘(g)

(см. общий вид такого ряда в § 30). Теорема доказана. Кроме того, из ортогональности матричных элементов получаем следствие:

/j 0, если

J %6(g)%6，(g)df ], если 6 =》，

т. е. система 2 всех характеров /6 является ортонорми- рованной системой.

Характеры /б играют замечательную роль в теории представлений группы G. Действительно, как мы видели в § 22, со всяким представлением Tg группы G связано представление

J x(g)Tgdg

групповой алгебры группы G, в частности алгебры $ (или C(G)). Если при этом 2三8, то ясно, что оператор Tz перестановочен со всеми операторами представления а потому и со всеми операторами Tg. Следовательно, если Tg неприводимо, то оператор Tz кратен единичному, а если Тё вполне приводимо, то Г2 диаго- нализуется в соответствующем базисе. В частности, если положим

尸6 = & J %б(g) Tgdg,

то операторы %, как легко проверить (доказательство предоставляется читателю), являются проекционными операторами, каждый из которых проектирует все пространство V представления Tg на максимальное подпространство представление в котором кратно 6. При этом, очевидно, Р^Р^ = 0 при 3 次 6’ и

』Р<5 = /》

где / — единичный оператор в пространстве 1/. Следовательно, операторы & осуществляют разложение представления Тё на представления, кратные неприводимым.

Несмотря на то, что практическое вычисление проекторов Р& далеко не всегда является легким, мы получаем (в сочетании с принципом полной приводимости) универсальное решение проблемы спектрального анализа.

Теория представлений конечных групп

Всякая конечная группа, очевидно, является компактной; следовательно, вся предыдущая теория применима к этому частному случаю. (Все доказательства, лежащие в основе этой теории, можно было бы повторить применительно к этому случаю, заменяя интегралы суммами.) Однако теория конечных групп и их представлений обладает и своими ин ди в иду а льн ы ми «арифметическими» особенностями.

Прежде всего, из глобальной георемы непосредственно вытекает

Теорема 4 («1-я теорема Бернсайда»). Если конечная группа G имеет порядок N, то имеет место равенство

N = Еi = l

где "з / = L 2, ..., /п,——размерности всех неприводимых (попарно неэквивалентных) представлений группы G.

Действительно, групповая алгебра ⑥ представляет собою в этом случае линейное пространство размерности и разложение

1=1

дает искомое выражение для размерности, поскольку dim •&£ = 〃； (5t заменяет обозначение Н1 из § 30). В действительности это разложение содержит значительно большую информацию об изоморфизме между групповой алгеброй $ и вполне приводимой «блок-алгеброй», состоящей из полных матричных блоков размерностей lit X %. Далее следует

Теорема 5 («2 - я теорема Бернсайда»). Если hi ——число всевозможных попарно неэквивалентных неприводимых представлений группы G, то

где 乂 ——число всевозможных классов сопряженных элементов е группе G (G ——конечная группа),

Для доказательства этой теоремы рассматривается центр групповой алгебры 8, который, как мы знаем, состоит из всевозможных функций, постоянных на классах сопряженных элементов, т. е. представляет собой в данном случае линейное пространство размерности х. Поскольку всякая такая функция разлагается по характерам 加，/= 1,2, ..., m, то

з =

где одномерное пространство 3t натянуто на характер /г, и мы заключаем отсюда, что т = х. Теорема доказана.

В дальнейшем мы увидим, что все такие «арифметические» закономерности сохраняются в известном смысле и для произвольной компактной группы Ли, однако при этом они приобретают «аналитическое» содержание (вместо числа элементов группы или классов сопряженных элементов рассматриваются размерности соответствующих аналитических многообразий).

Пример. Симметрическая группа S(n). Введенное обозначение мы будем использовать для группы всех подстановок, производимых над п «предметами». Условимся считать, что данные предметы размещены на п занумерованных местах и символ

\ /1/2 ♦ ♦ • /е\ /1/2 ♦ ♦ • /е‘々，j々=1, 2,….，〃,‘々，j々=1, 2,….，〃,

\ /1/2 ♦ ♦ • /е

\ /1/2 ♦ ♦ • /е

‘々，j々=1, 2,….，〃,

‘々，j々=1, 2,….，〃,

обозначает подстановку, которая состоит в перемещении предмета с места 灰 на место /\ (движение вниз); из этого соглашения следует, что порядок расположения пар (4, /&) в символе s для нас не имеет значения, а закон умножения в группе S (п)

/1/2 …• je )01 h • • • ^п\ (厶力2

电 々2 • • • ^п / \ /1 /2 * • • /п /\ ^1 々2 • * •

напоминает закон умножения матриц (все индексы Д, встречающиеся сверху и снизу, «сокращаются»). Известно, что всякая подстановка допускает разложение в произведение циклов

s = (kI,々2, • • • ^ ^ш() (^^；4~1» • • • » 々m?) • • • ( • • •々几)，

где каждый цикл (Zj, i^ ..., zm) определяется как частичная подстановка

/ Ч 力21 ^m ]

которая производится над предметами, стоящими на местах Z], 必 ..•,厶心 Всякий внутренний автоморфизм

s()ss丁 в группе S(/i) перемещает, очевидно, номера 自，стоящие в отдельных циклах, но не меняет длину циклов и их число. Условившись считать, что длины циклов расположены в порядке убывания：

团1》团2》》团f， 小1 + m2 + • • • + mf = n

(f — число .циклов), мы можем заключить, что всякий набор таких чисел однозначно нумерует произвольный класс сопряженных элементов S/% …也了 в группе S(n). Следовательно, число таких классов совпадает с числом всевозможных разбиений числа п в сумму невозрастающих натуральных чисел. Следовательно, согласно второй теореме Бернсайда, каждое неприводимое представление группы S(/i) может быть однозначно занумеровано указанным набором чисел ть т?, mf. К более подробному рассмотрению таких представлений мы еще вернемся в § 55.

Заметим, что группа S (几)допускает точное линейное представление с помощью преобразований sx в линейном пространстве размерности п, которые определяются по правилу

阳也=%球 ％厶=I, 2,・・.，п,

в произвольном фиксированном базисе с】，已2,с?? (здесь использовано одинаковое обозначение для подстановки

\ /1 /2 • * • 1п /

и соответствующего ей линейного преобразования s). Очевидно, при этом матрицы swS(〃)могут быть охарактеризованы как всевозможные матрицы, у которых в каждой строке и в каждом столбце содержится по единственному элементу, равному единице, а все остальные элементы равны нулю.

Теорема о точном линейном представлении для конечной группы доказывается тривиально, поскольку уже регулярное представление этой группы (левое или правое) является конечномерным и точным. Однако, анализируя

это представление, мы получаем в действительности более сильное утверждение:

Теорема 6. Всякая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе в симметрической группе S (/г).

Действительно, записывая элементы xw$ в виде линейных комбинаций

х= X x(g)g,

мы рассматриваем точки gwG как базисные векторы в пространстве £ Следовательно, правые сдвиги

gfggq

мы можем рассматривать как преобразование базиса в пространстве $ и продолжить их до линейного преобразования

во всем пространстве ⑥.Поскольку точка h = ggo пробегает (при фиксированном g°) все элементы группы G точно по одному разу, то полученное линейное преобразование является оператором подстановки. Теорема доказана.

Предлагается в качестве упражнений доказать самостоятельно следующие утверждения:

Если все неприводимые представления конечной группы G одномерны, то группа G коммутативна ). (Указание: использовать вторую теорему Бернсайда.)

Всякая коммутативная конечная группа изоморфна прямому произведению нескольких циклических групп (циклическая группа порядка п определяется как группа корней 〃-й степени из единицы).

В частности, первое из этих утверждений замечательно в том отношении, что является примером информации, даваемой системой всех неприводимых представлений группы G относительно структуры самой группы G (идея двойственности, см. § 23).

Универсальность группы U(n)

Подобно тому как симметрическая группа S(〃) является, согласно теореме 6, «универсальной» в классе конечных групп, мы получаем (из глобальной теоремы), что унитарная группа U (п) обладает аналогичным свойством «универсальности» в классе компактных групп Ли:

Теорема 7. Всякая компактная группа Ли изоморфна некоторой подгруппе s группе U(〃) (при достаточно большом п).

Действительно, всякая компактная группа Ли обладает точным линейным представлением и всякое ее линейное представление унитарно (свойства 1 и 3 из глобальной теоремы). Полученная теорема делает значительно более доступной задачу о классификации (с точностью до изоморфизма) всех компактных групп Ли; действительно, для этого достаточно перечислить все возможные замкнутые подгруппы в группе U (п). Однако такая задача еще является достаточно сложной. К вопросу о классификации мы перейдем только е гл. XVI. В настоящее время нас в первую очередь будет интересовать сама унитарная группа U(〃), ее структура и структура всех ее неприводимых представлений. (Ограничение этой задачей естественно не только с точки зрения универсальности U(п), но и с точки зрения сравнительной простоты в работе с этой группой.)

В заключение этой главы перечислим без доказательства некоторые свойства компактных групп.

1° Всякая компактная топологическая группа имеет лишь конечное число связных листов. В частности, всякая дискретная компактная группа конечна.

Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.

2° Всякая коммутативная связная компактная группа Ли изоморфна группе движений п-мерного тора. В частности, всякая однопараметрическая замкнутая подгруппа s любой компактной группе Ли изоморфна группе вращений окружности.

См. по этому поводу более общее утверждение на стр. 40.

Замечание. Существенно отметить, что компактная группа Ли может содержать некомпактные подгруппы. Типичным примером является иррациональная обмотка тора (§ 15). Такая подгруппа является бесконечной однопараметрической подгруппой g«), ——оо < < / < оо, в группе движений тора. Замыкание g(f) совпадает со всей группой движений тора. Заметим, что последнее верно также, если вместо g (才)рассматривать дискретную подгруппу элементов g⑺=gn, где g = g(l)・ Всякий элемент g w G, степени которого образуют всюду плотное множество в G, мы условимся в дальнейшем называть иррациональной образующей группы G. Согласно сказанному выше всякая коммутативная связная компактная группа Ли обладает иррациональной образующей. Однопараметрическая подгруппа g«) в компактной группе G является замкнутой только в том случае, когда функция g«) периодична с некоторым периодом /о； в этом случае группа g«) изоморфна окружности.

3° Универсальная накрывающая всякой компактной группы Ли с дискретным центром снова является компактной группой Ли. Центр этой группы конечен.

Это утверждение, принадлежащее Г. Вейлю [61], доказывается наиболее сложно (см. § 103). Как следствие из 3° можно получить, что существует лишь конечное число компактных связных групп Ли, локально изоморфных между собой.

К перечисленным свойствам ограиичеииости и конечности мы могли бы добавить еще замечательные свойства конечности и дискретности, содержащиеся в глобальной теореме. В ряде случаев из этих общих свойств удается получить практический критерий дискретности спектра некоторых линейных операторов, допускающих компактную группу симметрии, а также утверждение о конечной кратности их собственных значений. В частности, унитарная группа U (/г) как группа симметрии встречается в некоторых важных задачах теоретической физики.

Нашей ближайшей задачей является несколько более подробное изучение системы элементарных гармоник группы U(/г).

Исторически первым классом групп, для которых была по* строена теория представлений, явились конечные группы. Перенос этой теории на компактные группы Ли (в определенном смысле 《наиболее близкие к конечным») был осуществлен в работе Ф. П е- т е р а и Г. Вейля [124]. Первоначальное доказательство «основной аппроксимационной теоремы», данное этими авторами, существенно использовало интегральный оператор свертки па компактной группе G. В том варианте доказательства, который дается в этой главе, мы используем такой оператор лишь однажды (§ 31), при доказательстве линейности группы 6. Более подробное изложение теории конечных групп и их представлений можно найти в [3]( [27], [31], [34], [41]. Общие вопросы изложены в [9], [10], [46], [61].

ГЛАВА V

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ МЕТОДВ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

С точки зрения глобальной теоремы представляет особый интерес детальное изучение структуры неприводимых представлений. Если речь идет о связной группе Ли, то для решения этой задачи и других задач теории представлений часто используется инфинитезимальный метод. Этот метод сводит рассмотрение группы Ли к рассмотрению соответствующей алгебры Ли.

Иллюстрацию метода мы изложим на примере SU (2) и SO (3). Напомним, что эти группы локально изоморфны, т. е. имеют одинаковую алгебру Ли. В дальнейшем мы увидим, что всякая компактная связная группа Ли содержит хотя бы одну подгруппу, изоморфную SU⑵ или SO(3). Поэтому изучение этих групи интересно также с точки зрения общей теории.

Дифференциал представления

Пусть G — группа Ли и g->7g — ее представление в векторном пространстве V, вещественном или комплексном. Как правило, мы будем рассматривать только конечномерные пространства. Все отступления от этого правила будут специально оговариваться.

Рассмотрим вначале тот случай, когда группа G представляет собой аддитивную вещественную группу чисел /,——оо < / < оо. В этом случае речь идет о произвольной однопараметрической матричной группе Л(/), непрерывно зависящей от

F(t + s) = F(t)F(s), F(0) = /,

где /—- единичная матрица в пространстве 1Л Пусть ||F|| означает норму матрицы 戶 в пространстве V и Q означает окрестность единичной матрицы, выделяемую

условием IIF ——/|| < 1. Изменяя, если нужно, нормировку параметра /, мы можем считать, не ограничивая общности, что 戶(E)wQ при |/|《1. В частности, отсюда следует, что F(l) = exp А при некотором А. Покажем, что

戶(/) = exp Ы

для всех значений 厶——оо < / < оо. Действительно, это равенство должно иметь место для всех целых значений t. Далее,尸(1/2) совпадает с ехр 1/2А, как единственный квадратный корень в области Q из оператора 戶(1) = =ехр А. Следовательно, наше равенство сохраняется также для всех полуцелых значений £ Рассуждая индуктивно, проверяем справедливость этого равенства для всех двоично-рациональных чисел £ Но тогда оно справедливо и на всей оси ввиду непрерывной зависимости F(t) от /.

Полученный результат имеет принципиальное значение во всей теории представлений групп Ли. Прежде всего, мы видим, что функция £(/) аналитична. Заметим, что оператор А может быть определен как касательный вектор к кривой F(/)). Этот оператор называется производящим оператором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы 尸(力.Существенно, что значение инфинитезимального оператора полностью определяет всю группу F (t). Это замечание лежит в основе излагаемого ниже общего «инфинитезимального метода».

Пусть теперь G — произвольная группа Ли. Рассматривая в ней произвольную однопараметрическую подгруппу g(/)= ехр /х, мы положим

D ⑺=('ехр ^)^о*

Здесь х ——произвольный элемент в алгебре Ли X группы G. Семейство операторов О(х) мы называем дифференциалом представления Тё.

Теорема I. Пусть G ——группа Ли, Тё ——ее конечномерное представление и °(х)——еао дифференциал. Тогда О(х) является представлением алгебры Ли X группы G. Если g = expx, xwX, то Tg — exp D (jc). Функция Tg является аналитической функцией на всей группе G.

Доказательство. Пусть х, у — произвольные элементы из алгебры X. Напомним, что вектор z =入尤 + + "У является касательным вектором к кривой

а (/) = ехр /九工• exp ®

в единичной точке е. Образом этой кривой в представлении Tg является Д (t) = exp ZW (х) • exp t[iD (у). Касательным вектором к 4(/) в свою очередь служит XD (х)十 jiD (у). Следовательно, D (г)=入力(х)十卩力(у). Аналогично рассматривается коммутатор г = [х, у] п проверяется, что ^(г) = [Z)(x), D(y)], Следовательно, отображение x-^D(x) является представлением алгебры X. Далее, если х =户勺 по отношению к некоторому базису &• в алгебре X, то мы имеем )

Ts = exp D (х) — exp tlEb

где положено Е^ = D©)、Следовательно, функция Tg аналитична в той окрестности точки е, где определены канонические координаты g = ехр%.

Применяя сдвиги в группе G (левые или правые), заключаем, что функция ?<>■ аналитична также в окрестности каждой точки go 三 G. Теорема доказана.

Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме i группа G рассматривается как вещественная и имеется в виду вещественная аналитичность функции Т*. Если группа G комплексна, то представление 〃 аналитично по вещественным параметрам в G. Однако если функция Т& удовлетворяет условиям Коши — Римана по отношению к этим параметрам, то функция Тё является комплексно-аналитической на G. В этом случае — exo VE；, где 7/ ——комплексыые параметры в алгебре X.

Замечание 2. Пусть V бесконечномерно. Вектор 自 называется дифференцируемым, если вектор-функция Tgg дифференцируема на G. В частности, если x(g) — дифференцируемая функция, равная нулю вне компактного множества на G, то вектор Е = J 尤(g) TgEo dg является дифференцируемым для любого Eq Е V (проверьте). Пусть Vo — множество всех таких векторов g. Если функционал f равен нулю на Ко, то f(Tg^) = 0 и, в частности, f(g0) = О для любого Ео 三 V. Следовательно, / = 0. Как следует из теории линейных топологических пространств, в этом случае Vo всюду плотно в V. Отсюда можем заключить, что дифференциал Ь(х) допускает определение на всюду плотном множестве в V.

Мы предоставляем читателю проверить следующие свойства дифференциала:

Г Если 三——инвариант представления Г& то g аннулируется всеми инфинитезимальными операторами D (х;.

2° Если Ьо ——инвариантное подпространство относительно то Vq инвариантно также относительно D (х).

3° Если два представления Т；, Т‘[ эквивалентны, то их дифференциалы Dr(х), D"(х) также эквивалентны.

4° Если представление Tg является тензорным произведением представлений Т；, Т；, то на векторах вида 三纟刀мы имеем

q(%)倡®哨=q'(尤)自з9 + 自® Q"(x)巾

5° Если представление Т§ контрагредиентно представлению Т& то мы имеем

(0(х)&,哨 +倡，D (х) г]) = О,

где D(x), D (х) — дифференциалы 〃，北，а скобка (自,П)означает билинейную форму, входящую в условие контрагредиентности.

В частности, если北=г一 ,то согласно 5° 力(％) = =——D{x) \ Такое представление в дальнейшем мы будем называть представлением алгебры X, контрагре- диентым D (х). Аналогично свойство 4° может быть использовано для определения тензорного произведения двух представлений алгебры X.

Если G ——связная группа 〃и, то согласно теореме 1 see эти утверждения допускают обращение. Действительно, в этом случае функция 丁后 порождается произведениями операторов вида exp D(х).

Далее, пусть 启一произвольно фиксированный базис в алгебре X со структурными константами 吟.Положим Ei = D(6i). Тогда согласно теореме 1 имеем

[ЕР El] = cnEk(*)

(сумма по 归).Заметим, что между операторами 旦 могут существовать линейные соотношения.

Пример 1. Пусть X — алгебра Ли группы SU ⑵. Согласно общим результатам § 10 алгебра Ли группы su(2) состоит из всех антиэрмитовых матриц 2X2. Матрицы

/ I о 1 I / I 0 i II "10 II

о|' 5玛一 о|' % = Ro

образуют базис в su (2). Несложное вычисление показывает, что элементы 。卜 о2, Оз подчиняются следующим соотношениям коммутации:

где &ijii — полностью антисимметрический тензор, для которого &12з= 1, и в правой части имеется в виду суммирование по k. Следовательно, если 4 = Q(o?) для некоторого представления su(2),to мы по-прежнему имеем

[4，4]=a注4.

Пример 2. Пусть О — группа всех треугольных матриц 3 X 3 с единицами на главной диагонали. Не ограничивая общности, будем говорить о верхних треугольных матрицах. Положим

р =

0

0

1

0

0

0

，q =

0

0

0

0

0

1

, г =

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Тогда [р, q] = г н все остальные коммутаторы равняются нулю. Элементы р, q, г образуют базис в алгебре Ли группы О. Если 户，Q, R — образы р, q, г при некотором представлении, то мы по-прежпему имеем .

仍，Q] = R・

Легко проверить, что в условиях примера 1 оператор « =尚 + 尚 + 北 перестановочен со всеми операторами А^ А2,~ Л3. Этот оператор мы в дальнейшем используем при описании представления D (х). Условимся называть его оператором Казимира представления D(x).

Упражнения

Показать, что если матрицы D (х) кососимметричны (или косоэрмитовы) ,то представление D(x) вполне приводимо.

Пусть F(g)x = gxgT для квадратных матриц% и g. Показать, что всякий инфинитезимальный оператор группы F(g) имеет вид = [а, х].

Положим Вi = кi© циклической перестановкой

индексов »,/,/? = 1, 2, 3. Показать, что линейные комбинации этих операторов образуют представление алгебры su(2).

§ 37. Неприводимые представления группы SU(2)

В этом параграфе мы займемся частным вопросом об описании неприводимых представлений алгебры su (2). Мы не знаем пока, всякому ли представлению алгебры Ли отвечает представление соответствующей группы Ли. Однако согласно результатам предыдущего параграфа, перечисляя неприводимые представления алгебры su ⑵，мы не пропустим, в частности, ни одного неприводимого представления группы SU (2).

Согласно построениям предыдущего параграфа наша задача сводится к рассмотрению всевозможных троек линейных операторов Ль А^ Л3, удовлетворяющих соотношениям коммутации

с циклической перестановкой индексов /, j,々=1, 2, 3. (Коммутаторы, взятые в обратном порядке, отличаются знаком.) При этом данная тройка предполагается неприводимой. Вместо базисных элементов 4, 4,』з удобно рассматривать их комплексные линейные комбинации

£_ = j (А —，4), Dq = 1А^ £十=/ (А + 丄4),

которые удовлетворяют следующим соотношениям коммутации:

[Ео, £+] = £+, [&, Е」= — Е—, [Е+, Е_] = 2Е0*

Преимущество этих соотношений коммутации состоит, формально говоря, в том, что операторы Е+, Е_ оказываются «собственными векторами» относительно преобразования Ео： Л [£о, Л]. Следствием этого условия является

Лемма 1. Если вектор 自 является собственным вектором з пространстве V относительно £о с собственным значением X, то векторы

Е-Н&-, Е+& = &+

также являются собственными относительно Ео с собственными значениями соответственно 入一1, 九 十1.

Доказательство. Заметим, что EQE+ = E^EQ + 十[Ео, =七+（七0 + 1） • Отсюда имеем

&）自+ =当七+自=e+ （上0十1）自=（九十1）自+.

Аналогично рассматривается вектор J Лемма доказана.

Поскольку пространство V предполагается конечномерным, то существует максимальное собственное значение оператора Ео, которое обозначим /. Пусть & — соответствующий собственный вектор, тогда «повышающий» оператор J обращает этот вектор в нуль. В результате имеем

e+自0 = 0,e0自0 =偌0，

Применяя к вектору Ео «понижающий» оператор Е_ и его всевозможные степени, получаем цепочку элементов 贏=七匕畠，々 = 0, 1, 2, ..., каждый из которых является собственным относительно £о с собственным значением / ——k. Ввиду конечности числа собственных значений эта цепочка должна оборваться:

上上+底=0.

Пусть Vq — линейная оболочка полученных векторов Wo, Ei, ..., &m・ Покажем, что VQ является циклической оболочкой вектора 无 относительно алгебры 夕 всех полиномов от операторов Е_, Ео,七+・ Действительно, ис-

пользуя соотношения коммутации, мы можем всякий одночлен от этих операторов привести к виду

蜕绍珏

с точностью до слагаемых, имеющих меньшую общую степень. Этот одночлен может быть отличен от нуля на векторе go только при условии г = 0. Операция £0 сводится к растяжению вектора 2о, операция ЕС переводит этот вектор в вектор, коллинеарный 己卩.Следовательно, Vo = Zgo・ Но тогда VQ = V ввиду неприводимости И. Поскольку векторы 尿 имеют различные собственные значения, то они линейно независимы. Следовательно, они образуют базис в пространстве V.

Нам уже известны правила действия операторов Е_, £0 в выбранном базисе. Остается определить действие оператора £+. Для этого удобно использовать оператор

A=4(E)++qE_) +弟

который, как легко проверить, отличается лишь множителем ■—1 от оператора Казимира К, введенного в конце предыдущего параграфа. Отсюда следует, что Д перестановочен со всеми операторами Ео, £+.. Мы по- прежнему будем называть оператор А оператором Казимира. Заметим, что

А - Е-Е十 + 瓦(& + 1) = EQ + 旦(£0-1)

в силу соотношений коммутации между операторами £ _, £0, Е十.Согласно первому из этих выражений мы имеем

纯о = /(? + 1)2о・

Поскольку А коммутирует с Е_, мы, очевидно, имеем также А& =，(/+1)^ для каждого 々 = 0, 1, 2, …，m. Следовательно, Д является скалярным оператором на всем пространстве К (Это следует также из леммы Шура.) Согласно второму из указанных выражений мы имеем

Е±Е_ = Д — £0 (£0 — 1),

и это тождество дает нам способ для вычисления оператора £*+• Действительно, применяя обе части этого тождества к вектору находим

E+^ = (A-Eo(El l))ki.

Отсюда, заменяя каждый оператор в правой части соответствующим собственным значением, находим после несложных вычислений, что имеет место

Л е м ^f а 2. Оператор Е+ в базисе ^ = Е^^ k = = 0,1,2, .一，пг, выражается следующей формулой:

?+自儿=⑵一归十 1)脸

Между числами I и tn существует соотношение 疗z — 2/, т. е. / является целым или полуцелым. Число ——/ является минимальным собственным значением оператора

Для доказательства последнего утверждения достаточно рассмотреть вектор “ = ^т, на котором Е_ обращается в нуль. Если вектор “ имеет собственное значение / относительно £0, то, согласно указанным выше формулам для оператора А, мы имеем

/(/+1)= 1Г-1).

Подставляя значение 〃 = / ——疗2, мы находим после несложных вычислений (учитывая, что m ^ 0) равенство m = 2/. Отсюда следует также равенство ，= ——厶

Следствие. Спектр оператора Ео симметричен относительно начала координат. Пространство V имев! размерность 2/ + 1.

Для окончательной записи полученного результата удобно вместо нумерации k = m, m— 1,0 использовать нумерацию 卩=——/,——/ + 1, ..., L Для этого мы полагаем 卩=/ + 力 н вводим обозначение 工乩 для базисного вектора с собственным значением ц.

Теорема 2. Всякое неприводимое представление алгебры su(2) 8 пространстве конечной размерности оп~ ределяется однозначно, с точностью до эквивалентности, числом /, полуцелым или целым. Существует базис хц, 卩=一l, —•I +1,...,厶 относительно которого операторы Е_, £0, J задаются формулами

^охи =卩 4，

e一打К(/ + ")%-1, E+4 =(/-N)4u+i■

Здесь операторы Е-, Е^ £+ являются указанными выше комплексными линейными комбинациями базисных операторов /Л,力2,力3・ 8 частности, Ео = 1А^ и, следовательно, s данном базисе оператор Л3 диагонализуется. Пространство представления имеет размерность 2/ + I. Каждый из операторов А\, А2,，з диагонализуется s некотором базисе.

Доказательство. Формула Е°尤口 = 卩力口 следует из определения вектора хм. Формула 巨一尤口 = (/+卩)％口~1 равносильна нормировке базисного вектора 尤口； прн этом автоматически учитывается условие Е_%т = 0. Формула для £+ легко вычисляется отсюда с помощью леммы 2.

Не представляет труда проверить, что полученное представление действительно неприводимо. В самом деле, если 尤#0 — произвольный вектор в пространстве представления, то, применяя к нему достаточно высокую степень повышающего оператора Е+, получаем, с точностью до множителя, базисный вектор 修.Применяя теперь понижающий оператор Е_, получаем все остальные базисные векторы 尤屮 卩=—2, —/ + 1, ..., /. Следовательно, циклическая оболочка 勿尤 относительно алгебры 彳，порожденной Е_, Е°,七十，совпадает со всем пространством V. Но это н означает, согласно правилу цикличности, неприводимость К

Наконец, последнее замечание относительно днагона- лнзацни операторов /1Ь /12, /1з вытекает непосредственно из симметричности коммутационных соотношений по отношению к циклической перестановке таких операторов. Теорема доказана.

Каждое собственное значение оператора Е° принято называть весом данного представления. Максимальный вес I называется обычно старшим весом, а соответствующий базисный вектор 勺一старшим вектором. (Аналогично вводятся понятия младшего веса и младшего вектора представления — заменой / на —厶)Неприводимое представление со старшим весом / мы условимся обозначать символом d(l).

Выясним теперь вопрос о возможности перехода к группе SU (2). Поскольку каждое неприводимое представление этой группы реализуется в классе тензоров, то естественно попробовать для каждого старшего веса /

отыскать соответствующее представление в классе тензоров. Исходя из нумерации т = 2/, естественно исследовать в первую очередь симметрические тензоры. Действительно, симметрические тензоры ранга т над двумерным пространством имеют размерность m + 1 = -2Z+ 1.

Вместо симметрических тензоров 户" …удобно рассматривать соответствующие полиномы f (%) =产1々…力修J% .… 修加 где индексы й,必• 一， пробегают значения 1, 2. Вводя обозначения %, у вместо %1,尤2 и располагая эти координаты в виде строки, приходим к рассмотрению следующих преобразований:

Tgf U, у) = f(ax + уу,胱 + 饱).(*)

Действительно, указанная операция под знаком полинома равносильна умножению строки (%, р) справа на матрицу

g = |； J gwSU(2).

При этом f(x, у)——произвольный однородный полином степени т, т. е. линейная комбинация одночленов %m, %т-1у, . , У叫 Используя СВОЙСТВО ОДНОРОДНОСТИ, МЫ можем положить f (х, у) = у叫⑵,где положено г = х/у и f (г) = f(2, 1). После несложного пересчета получаем следующую формулу в классе функций f(w):

Tj(z) = (盟+ 6)吗(^).(**)

Здесь мы по-прежнему используем символ Тё для нового закона преобразований в классе полиномов f(г). Очевидно, f (г) является полиномом степени не выше т, т. с. линейной комбинацией одночленов 1, г, г2, . . ., о? Следовательно, пространство представления имеет размерность т + 1.

Т е о р е м а 3. Всякое неприводимое представление группы SU (2) определяется однозначно с точностью до эквивалентности числом /, полуцелым или целым. Это представление может быть реализовано формулой (*)

н классе однородных, полиномов степени m = 2/ либо формулой (**) в классе полиномов f(z) степени <т. Соответственно данное представление реализуется также 6 классе ковариантных симметрических тензоров ранга ш.

Доказательство. Найдем дифференциал представления (). Строго говоря, мы должны построить в SU(2) систему трех однопараметрических подгрупп с касательными векторами а「а2, @з и вычислить затем соответствующие инфинитезимальные операторы Дь Л2,，з в пространстве представления (*). Однако удобнее вместо этого непосредственно отыскивать операторы Е°, £+. Для этого достаточно заметить, что формула (*) задает представление не только группы SU (2), но также группы SL(2), которая является ее комплексной оболочкой *). Очевидно, комплексные линейные комбинации Е_, Е°, Е_(_ являются инфинитезимальными операторами по отношению к SL ⑵.При этом существенно отметить, что формулы (*) задаются комплексно-аналитическими функциями от параметров SL(2). Следовательно, при вычислении инфинитезимальных операторов мы можем рассматривать однопараметрические подгруппы с комплексным аддитивным параметром. Положим

где Z — аддитивный параметр (комплексный или вещественный). Тогда мы получаем систему трех однопараметрических подгрупп с касательными векторами

==ООООООО1О1ОООО

=

=

О

О

О

О

О

О

О

1

О

1

О

О

О

О

Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям [е0, ?+] = ?+，&, с—] = —с-,宙七，？」=2细 Нетрудно также видеть, что е0 = ш3) е± =，(内 ± Ш2), где а】，а^ аз — касательные векторы для SU(2). Переходя к операторам представления, положим F+ (/) = Тё ±(/), Fo(/) = Tgo(t).

В результате имеем

尸一⑴ f(x, g) = f(x, tx + у),F+(f)f(x, y) = f(x + ty, у),

Fo«)f(x, 5=f(e-〃2招 e%).

Производя дифференцирование по / и полагая f = 0, получаем следующую систему инфинитезимальных операторов Ео,

е一 = К e。=彳^历 7而),E+一济.

Вычислим закон преобразования для элементов базиса *卩=/~"式+"，快=一A 一2 + 1, - ■ •,厶 Имеем

E-"卩=(? +快)"卩一1,七十*卩=(/一卩)*u+1，

^0Хц =快尤以，

Следовательно, мы получаем те же основные формулы, что и в теореме 2. Это означает, что для каждого представления d^l) алгебры su (2) найдено соответствующее представление группы SU(2) (имеющее d(/) своим дифференциалом) .Это означает также, что группа SU(2) ие имеет более (с точностью до эквивалентности) никаких иных неприводимых представлений. Действительно, группа SU (2) является связной и всякое ее представление определяется, с точностью до эквивалентности, своим дифференциалом.

Теорема доказана.

Неприводимое представление группы SU(2) со старшим весом / = т/2 мы условимся обозначать символом dm. В результате получена полная классификация неприводимых представлений этой группы.

Указанное выше построение является классическим образцом применения инфинитезимального метода. Отметим несколько добавочных возможностей, заложенных в этом построении.

Замечание 1. Пусть пространство V конечномерно, ио ие обязательно неприводимо. Применяя указанный процесс построения, мы можем начать с рассмотрения старшего вектора 自(七十自=0,瓦自=偌)и построить шаг за шагом цепочки вида 七空，七士匕 ...,отвечающие старшим весам /》/'》.・. Нетрудно видеть, что та-

ким путем удается построить базис в пространстве представления. Но это означает, что V вполне приводимо. Таким путем мы получаем алгебраическое доказательство принципа полной приводимости (для SU(2)).

Замечание 2. Если бы мы с самого начала использовали соответствие между представлениями sii (2) и SU⑵，то доказательство теоремы 2 можно было бы несколько упростить. Действительно, рассмотрим в SU(2) подгруппу диагональных матриц

eт屮eт屮ОО

eт屮

eт屮

О

О

Соответствующее семейство операторов Т 丫 унитарно и коммутативно; следовательно, существует базис, в котором операторы Ту диагонали- зуются. Но это приводит сразу к заключению о диагонализации оператора £о> который является ин ф ин и тез и м а льным оператором однопараметрической группы Ту.

Далее, всякое собственное значение оператора Ту имеет вид ет屮,где п ——целое число. Сравнивая с определением оператора Е°, данным при доказательстве теоремы 3, заключаем, что собственные значения Е。могут быть только целыми или полуцелыми. Наконец, полагая

О -1

замечаем, что преобразование sys- = у*! сводится к перестановке собственных значений матрицы у, т. е. к замене ср на —q). В то же время Tjy _3 — Т~ \ откуда легко заключить, что оператор Тs переводит каждый собственный вектор Ту с собственным значением. е'“屮 в новый собственный вектор с собственным значением ^一‘"① Отсюда следует симметрия в классе собственных значений оператора Е»

Замечание 3. Нетрудно видеть, что sgs~[ — g/-1 для каждого g w SL (2). Отсюда следует, что всякое представление SL(2) эквивалентно своему контрагре- диентному. (Отсюда ясно также, почему все неприводимые представления SU ⑵ удалось реализовать в классе только ковариантных тензоров.) Элемент s мы будем иногда называть элементом Вейля.

Замечание 4. Отбросим условие конечномерности, но потребуем взамен выполнения следующих двух условий: 1) существования старшего вектора go ： E+go = 0, £о^о = &； 2) цикличности этого вектора по отношению к алгебре 俨，порожденной операторами Е , £0, Е+. Повторяя почти без изменения предыдущие

построения, получаем существование весового базиса & =七匕 Е k = 0, 1, 2( ..., по отношению к которому операторы представления имеют следующий вид:

E一区=^+1»综厶На Г厶)晶,e+晶:^2上一左+1)发显_1.

Последняя формула аналогична указанной в лемме 2. Однако старший вес / может быть теперь произвольным комплексным. Полученное представление неприводимо всегда, за исключением случая 21 = т при некотором целом неотрицательном ш. Действительно, в этом случае мы имеем

Следовательно, вектор gm+i снова является старшим по отношению к Е+. Его циклическая оболочка Vo является инвариантным подпространством в пространстве V. Нетрудно видеть, что Vo неприводимо. В то же время фактор-пространство V/Vo конечномерно и в нем действует уже известное нам конечномерное представление d(N).

В результате мы можем заключить, что алгебра su(2) допускает бесконечномерные неприводимые представления (которые, однако, не могут быть продолжены до представлений группы SU(2)).

Замечание 5. Неприводимое представление 加 группы SU(2) является симметризованной частью тензорного произведения d密飞 где d = tf — двумерное представление (исходное представление SU(2)) и ®т означает m-ю тензорную степень. В представлении d = dx роль базисных векторов играют линейные функции х,", введенные выше. Если рассматривать х, у как некоммутативные символы, то базисный вектор 工卩，построенный при доказательстве теоремы 3, возникает при симметризации одночленов вида х. х. . . . х. , х} = х, у, где х встречается / — ц раз и у встречается / + ц раз. Введем в пространство тензоров ранга m обычное скалярное произведение, при котором все одночлены 工厶％£ - - - xi взаимно ортогональны и имеют единичную норму. Отсюда следует, что

II Хм li(—)!" + □)!, где с°——константа, не зависящая от ц. Действительно, (/—ц)! (/ +(1)! есть число одночленов указанного вида и в то же время скалярный квадрат суммы таких одночленов. В силу вышесказанного вектор хи отличается

лишь множителем & = 1/т! от этой суммы. Следовательно, если положим

)!(ТТЖ，

то мы получим ортонормированный базис в пространстве представления. Легко проверить, что

£』=U(/ + “) (/ 一 口 + 1)仆，

£ + % = U(/ - ") (/ + " - 1) 2口+1，

В реализации 卜改)следует заменить хц на одночлен df,卩=—厶—/ + 1, . , . , /. Операторы группы SU ⑵ являются, очевидно, унитарными относительно выбранного базиса. Операторы 力卜儿,4з антиэрмитовы, операторы Е_, Е+ взаимно сопряжены, и оператор Ео самосопряжен.

На примере группы SU(2) в значительной степени намечаются черты более общей теории *).

§ 38. Матричные элементы группы SU(2)

Для дальнейшего изучения неприводимых представлений группы SU(2) нам будет удобно записывать эти представления с помощью дробно-линейной подстановки:

?"⑵=餃+旷f (諳I).

Здесь z—произвольное комплексное число, и подпространство 猊厶 в котором действует представление dm, I =团/2, натянуто на базисные векторы

2ц. = 2”匕 卩=—/, — /+1,

Напомним, что / — полуцелое или целое число, т. е. m = 2/ является целым. При помощи указанной формулы нетрудно вычислить матричные элементы представления dm. Действительно, матричные элементы ^］丫 (g)

определяются следующей формулой:

T『v= N %v(g)Z“・

Следовательно, T^v(g) есть коэффициент полинома Tgzv при степени z^ = zl~^. Указанный коэффициент вычисляется с помощью обычной формулы Тейлора:

小(g)=」? 2r [(昵+ ""з+ Y尸

Действительно, выражение в квадратной скобке есть развернутая запись для полинома TgZv. Полагая 〃 = =М + 6, и = а% + % замечаем, что а〃 一 р^ = 1. Следовательно, если вместо переменной z ввести переменную / = а〃，то |3и = / — 1, и после подстановок и = ~t, и=——^- (1 — /), ^ =口，糸 получаем следующий результат:

厶(必=^?a+v尸+У肺严★1 一尸]中.

Действительно, / = ссд при z = 0. Введем обозначение

РЗ(/) = ^гН + Т(1—/)'7]・

Полиномы PgV (/) отличаются лишь несущественными множителями от хорошо известных полиномов Якоби. В результате получаем

До сих пор мы нигде не использовали унитарность матрицы g. Следовательно, полученный результат справедлив для SL(2) (и даже для GL(2)). Предполагая теперь унитарность (g*g = с) и унимодулярность (det^ = 1), получаем следующую систему соотношений на параметры матрицы g:

6 = «, 丫=-0, I a I2 + I р р = 1.

Следовательно, gwSU ⑵ вполне определяется элементами а, р, расположенными в первой строке, для которых |а|2+|р|2=1). Мы положим | а |2 = /, arg а = = —黄屮+ “)，a「g§ = }(屮一巾).В результате получаем в SU(2) систему независимых параметров /, ф,屮，для которых 0 1, —2冗《屮V2冗，0总中<2冗). В этих параметрах имеем

%v(g)= ^5^ е‘ i V%— M+v)(1 _ /产(…项(/).

Мы теперь имеем право рассматривать / под знаком полинома К (/) как независимый параметр в нашей группе (£ = |а|2 = а6). В результате получена следующая

Теорема 4. Матричные элементы 工^(且) выражаются указанной выше формулой через полиномы Якоби. Эти элементы нормированы условием t^v (е) = бг,ц. Полагая

4V (g) = / 忆明方二器 厶(g)，

получаем систему элементов, которые имеют одинаковую норму 8 乙2(占)几р〃 фиксированном старшем весе /:

J 14V(g"dg = ^7r.

Последнее утверждение вытекает из замечания 5 в конце предыдущего параграфа (переход к унитарному базису в пространстве иредставления) и выражения для нормы 几一％, и = 2/ + 1, даваемого глобальной теоремой.

Замечание 1. Мера Хаара в условиях теоремы 4 нормирована так, что мера всей группы SU⑵ равна единице. В параметрах /,屮，屮 эта мера, как легко

проверить, имеетпроверить, имеетследующий вид：следующий вид：

проверить, имеет

проверить, имеет

следующий вид：

следующий вид：

dg = *〃 t/(p d^.

Замечание 2. Общая формула для 《Jg) хороша своей общностью и компактностью записи. Однако при малых / = 0, ”2, 1, . для нахождения матричных эле

V по базисным =1 таким путемсф Р2 Iаз + 3у 2即.yd 6? JV по базисным =1 таким путемсф Р2 Iаз + 3у 2即.yd 6? Jвычислять элементам легко по-вычислять элементам легко по-ментов несравненно проще непосредственно

V по базисным =1 таким путем

сф Р2 I

аз + 3у 2即.

yd 6? J

V по базисным =1 таким путем

сф Р2 I

аз + 3у 2即.

yd 6? J

вычислять элементам легко по-

вычислять элементам легко по-

разложение полинома Tgz 无=d屮 Например, при / лучаем

а2

T“g)= 2ау

Столбцы этой матрицы являются коэффициентами при z2, z, 1 в разложении по степеням z полиномов (аг + у)2, (аг + у) (Pz + д),(股 + 6产 Аналогично при / = 3/2 по

лучаемлучаема3а2рар2俨T%(g)=За2уа2д + 2«Р\2(1段+俨y3院За、*2ау6 + §у2ад2 + 28Y63陇уЗу2дуб263а3а2рар2俨T%(g)=За2уа2д + 2«Р\2(1段+俨y3院За、*2ау6 + §у2ад2 + 28Y63陇уЗу2дуб263

лучаем

лучаем

а3

а2р

ар2

俨

T%(g)=

За2у

а2д + 2«Р\

2(1段+俨y

3院

За、*

2ау6 + §у2

ад2 + 28Y6

3陇

уЗ

у2д

уб2

63

а3

а2р

ар2

俨

T%(g)=

За2у

а2д + 2«Р\

2(1段+俨y

3院

За、*

2ау6 + §у2

ад2 + 28Y6

3陇

уЗ

у2д

уб2

63

Отсюда легко получить выражения матричных элементов через параметры 厶 屮，ip. Элементы ojv(g) получаются перенормировкой.

0 1 II

Замечание 3. Рассматривая матрицу = |°

и вычисляя Те。на базисных элементах, легко находим厶国)=唯氏)=%7，

где 篇” означает символ Кронекера. Отсюда вытекают соотношения симметрии, которые имеют одинаковый вид для матриц d(g), o'(g)・ В частности, если условимся записывать Y(a, В，у, 6) вместо d(g), то мы найдем

《v(Y, 6, а, р) = Ttg v (а, В, 丫，6),厶(8, а, 6, Y)= %,—(а, 8, 丫，6).

Указанные равенства выражают в параметрах а, В，у, 6 следующие соотношения: r4sog) = ^ (s0)Tz(g), T“(gSo) = = T，(g”(So)・ Аналогично, если вместо матрицы s0

-1 0|

рассмотрим матрицу а =° 〔，то получим

%(% -Р，Y, -6) = (-1)‘7小3, В, у, 6).

Комбинируя полученные соотношения, можно выписать еще другие свойства симметрии для матричных элементов %v(g)・ Кроме того, представляет интерес рассмотрение элемента Вейля s = as0, для которого, как мы знаем, sgs~~i = gf Вычисляя матрицу P(g'T), с одной стороны, как Mg)'-4 и, с другой стороны, как i/(s”(g)i/(s)T, находим

%v(6, -р, -Y, а) = (-1)"+%', f (а, В，V. 6).

До сих пор мы не учитывали унитарности матрицы g. Если g унитарна, то g— = g, где черта означает комплексное сопряжение. Следовательно,

%V® 3 Y> 6) = (-1严г」,f(a, В, Y, ◎•

Если заметить, что 小(金)=小(目)(это очевидно из рассмотрения тензоров), то последнее равенство можно записать также в следующей форме:

%v(g)=(-l)F^7^・

Отсюда для g е SU (2) получаем еще одну дифференциальную формулу )：

小(Q =号許e№W+w±…1 -犷…PL - «)•

Выясним теперь связь полученных функций с представлениями группы вращений SO(3). Заметим, что введенная нами параметризация группы SU(2) равносильна

следующему разложению:

g = %3)go(8)%(qp),

где Л(ф) означает диагональную матрицу с собственными значениями е~»屮〃,е»屮枕 и gQ (0) означает матрицу

вида

I COS sin…Е eosAI COS sin…Е eosA/2= cos~, оме Mm/2= cos~, оме Mm

I COS sin

…Е eosA

I COS sin

…Е eosA

/2= cos~, оме Mm

/2= cos~, оме Mm

Используя правило соответствия между SU(2), SO(3) (§ 11), легко проверяем, что *ф, 0, ф являются обычными углами Эйлера. Условившись записывать трехмерные векторы в виде строк, мы получаем преобразования gwS0(3) в виде R, где 自一трехмерный вектор. Полагая

f=皆+豈+醞

мы можем, в частности, рассматривать сферу S: / =[. Как мы видели в § 17, эта сфера отождествляется с фактор-пространством G/H, где G = SO(3) и Н — подгруппа поворотов вокруг оси 统=(0, 0, 1). Для перехода от G к G/H достаточно положить 屮=0. Согласно теореме 2 гл. IV мы получаем следующий результат:

Следствие. Функции У] = о^(g) можно рассматривать как функции на сфере S в трехмерном евклидовом пространстве. Эти функции образуют полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве L2(S).

Действительно, матричный элемент a^v (^) не зависит от параметра 屮 только при ц = 0. Заметим, что мера Хаара dg может быть записана в виде

dg = * "з • ± d叩’

где dw = sin0d0dqp—обычная (инвариантная) мера на сфере S. Пространство L2(S) определяется по отношению к этой мере. При этом согласно теореме 4 мы имеем

%=冷・

Этим однозначно, с точностью до множителя, по модулю равного единице, определяется нормировка функций У厶. Нетрудно видеть, что функции У厶 являются обычными сферическими функциями.

Функции 小(g) также бывают полезны при изучении векторных полей на сфере S ([1], [71]). Эти функции называются шаровыми функциями на S.

В заключение этого параграфа покажем, как при помощи теории представлений можно непосредственно построить теорию сферических функций на сфере S. Пусть Е — трехмерное вещественное евклидово пространство с метрикой х2 = х^ + х^ + Х3. Положим G = SO(3, R) и рассмотрим представление

Т" (%) = f (%g)

группы G в пространстве полиномов f (х) = f (工卜工2,尤з) • Здесь, как и выше, вектор х =(打，匆 ％з) записывается в виде строки и умножение xg означает умножение строки х на матрицу g. Выбирая в группе G однопараметрические подгруппы, соответствующие вращениям вокруг осей Oxi, 0%2, 0%з, находим соответствующие инфинитезимальные операторы представления Tg：

■ д . д d л д д

4=巧箱-Х3京'4 =心丽丽'4 = M丽-也丽■

Из этих операторов Ль Л2,力з составим оператор Казимира: С = — А^ — А^ — Л3,

который перестановочен со всеми операторами Ль Л2, Л3. Путем несложных вычислений (учитывающих некоммутативность %厶 S/S%<) находим для этого оператора следующее выражение:

6= 一炉А+上(丄+1).

Здесь А — операторЗдесь А — оператороператор Эйлера %】оператор Эйлера %】тт/ д2Лапласа——丁 +h %2 ~5— + %зS%13乃2тт/ д2Лапласа——丁 +h %2 ~5— + %зS%13乃2оператор умножения на 尤;+ 工^ + х§.оператор умножения на 尤;+ 工^ + х§.S \к— I. символомS%3丿Покажем, какS \к— I. символомS%3丿Покажем, какL означает丫2 обозначен при помощиL означает丫2 обозначен при помощиоператора Казимира можно произвести спектральный анализ представления Tg.Рассмотрим подпространство Р всех однородных полиномов степени /. Это пространство инвариантно относительно Ts. Поскольоператора Казимира можно произвести спектральный анализ представления Tg.Рассмотрим подпространство Р всех однородных полиномов степени /. Это пространство инвариантно относительно Ts. Поскольку это подпространство конечномерно, то оно вполне приводимо относительно Tg. На каждом неприводимом подпространстве оператор С, согласно лемме Шура, должен быть кратен единичному: С =九/. С другой стороны, в силу однородности оператор Эйлераку это подпространство конечномерно, то оно вполне приводимо относительно Tg. На каждом неприводимом подпространстве оператор С, согласно лемме Шура, должен быть кратен единичному: С =九/. С другой стороны, в силу однородности оператор Эйлера

Здесь А — оператор

Здесь А — оператор

оператор Эйлера %】

оператор Эйлера %】

тт/ д2

Лапласа——丁 +

h %2 ~5— + %з

S%13乃2

тт/ д2

Лапласа——丁 +

h %2 ~5— + %з

S%13乃2

оператор умножения на 尤;+ 工^ + х§.

оператор умножения на 尤;+ 工^ + х§.

S \

к— I. символом

S%3丿

Покажем, как

S \

к— I. символом

S%3丿

Покажем, как

L означает

丫2 обозначен при помощи

L означает

丫2 обозначен при помощи

оператора Казимира можно произвести спектральный анализ представления Tg.

Рассмотрим подпространство Р всех однородных полиномов степени /. Это пространство инвариантно относительно Ts. Посколь

оператора Казимира можно произвести спектральный анализ представления Tg.

Рассмотрим подпространство Р всех однородных полиномов степени /. Это пространство инвариантно относительно Ts. Посколь

ку это подпространство конечномерно, то оно вполне приводимо относительно Tg. На каждом неприводимом подпространстве оператор С, согласно лемме Шура, должен быть кратен единичному: С =九/. С другой стороны, в силу однородности оператор Эйлера

ку это подпространство конечномерно, то оно вполне приводимо относительно Tg. На каждом неприводимом подпространстве оператор С, согласно лемме Шура, должен быть кратен единичному: С =九/. С другой стороны, в силу однородности оператор Эйлера

тоже кратен единичному: L = 〃，где / — степень однородности. Следовательно,

для каждого вектора Д лежащего в неприводимом подпространстве. Следовательно, каждый такой вектор f является собственным относительно опер атора 尤2A.

В частности, пусть Hi ——подпространство всех гармонических полиномов степени однородности Z. Если f w ^, то Af = 0, н в этом случае 九=/(/+ 1). Отсюда следует, что представление в //{ может содержать неприводимые представления только со старшим весом /. Поскольку, как легко проверить, dim Ht — 21 + 1, то Я/ в действительности неприводимо.

Замечание 4. Мы показали, что всякое неприводимое представление группы SU(2) с целым старшим, весом / = 0, 1, 2, ... может быть реализовано в классе гармонических полиномов f(x)= =八十1,尤2,无3).

Далее, в пространстве Р/ существуют подпространства вида 尤2/7/_2,尤4斤2一4, ... Нетрудно проверить, что все они по-прежнему неприводимы и содержат старшие веса / ——2, Z ——4, ... Из сравнения размерностей получаем следующее тождество:

Р[ = Hi + х^Н^т + x"H it + •…

Это означает, что всякий однородный полином f ^ Pi разлагается по гармоническим полиномам с коэффициентами, зависящими от х2. Полагая х2 = 1, заключаем, что всякий полином. /(%) разлагается на сфере S по гармоническим полиномам. Значение гармонического полинома на сфере S называется сферической функцией.

Мы получили теорему полноты для сферических функций в классе полиномов на S. Отсюда обычным образом следует теорема полноты в классе непрерывных функций на S, а также теорема полноты в классе L2(S).

§ 39. О некоторых группах, связанных с SU(2)

Здесь имеются в виду следующие группы: SO(3), SO (4), SL (2), U (2), GL(2). Все эти группы, за исключением U (2), могут определяться как над комплексным, так и над вещественным полем. Мы покажем, что существует определенное соответствие между представлениями всех этих групп и группы SU(2).

SO(3, /?). Поскольку SU (2) является двукратным накрытием S6(3, R) с ядром из матриц е,——е, то всякое представление SO(3, R) можно также рассматривать как представление SU(2), удовлетворяющее условию четности'. Тг = Т@ В этом случае также

для всякого gwSU(2). Обратно, если представление Tg удовлетворяет условию четности, то его можно рассматривать как однозначное представление SO(3, R). Для неприводимых представлений dm условие четности равносильно четности т, т. е. целочисленности / = т/2. В предыдущем параграфе мы видели, что все такие представления могут быть реализованы в классе гармонических полиномов (или, что то же самое, в классе сферических функций) в трехмерном евклидовом пространстве.

Если представление группы SU(2) не удовлетворяет условию четности, то его по-прежнему можно рассматривать как «двузначное представление» SO(3, /?). В частности, двумерное представление SU(2) (/=1/2) относится к числу таких представлений. Это представление обычно называется спинорным.

SL(2, С). Как мы видели при построении неприводимых представлений SU(2), всякое такое представление может быть продолжено до представления

7V⑶=但+旷М訂J), g三SL⑵C),

операторы которого являются комплексно-аналитическими функциями от параметров в SL (2, С). Заметим теперь, что в группе SL(2, С) существует комплексное сопряжение g-> g- (В SU (2) такая операция сводится к g'-L) Поскольку комплексное сопряжение является автоморфизмом, то операторы 北=Tg по-прежнему определяют представление группы G. Иначе говоря, мы получаем новую серию неприводимых представлений:

?j(z)=(eFU・

Здесь по-прежнему мы пишем символ f⑶，однако теперь этот символ означает полином от комплексно сопряженной переменной г. Операторная функция Тё является теперь антианалитической и поэтому не может быть эквивалентна ни одному из представлений dm (за исключением тривиального случая m = 0). Полученное представление обозначим символом dm. Обе серии

представлений включаются в следующую общую серию:

В этом случае пространство представления зависит от двух чисел 俏，mz и определяется как множество всех полиномов степени не выше т по г, не выше mz по г. Обозначим это представление dmdm . Как следует из данного определения, такое представление совпадает в то же время с теазорным произведением ® dm.

Покажем, что такое представление в действительности неприводимо. Для доказательства нам будет удобно воспользоваться формальными дифференциальными операторами

五=

Как известно, в классе полиномов (и даже в классе степенных рядов) эти операторы действуют как обычные частные дифференцирования по формально независимым переменным г, z. Нетрудно видеть, что операторы д д丄

k‘ "^содержатся среди инфинитезимальных операторов группы SL(2, С). Действительно, полагая

&+(/)=「1

с комплексным параметром /, мы получим две вещественные однопараметрические подгруппы при Im / = 0, Re / = 0. Операторы -^, -~- являются инфинитезимальными операторами этих подгрупп. Следовательно, если ® — класс комплексных линейных комбинаций инфинитезимальных операторов dmdm, то i »誥三4 Далее, полагая

Мы получим следующее семейство операторов представления:

1 +以丿.

Если нас интересуют элементы класса $, то мы можем непосредственно производить дифференцирование по /,工 полагая затем / = 0. В результате получаем следующие два оператора:

= mz — z= т z —・

dz 'dz

Вернемся теперь к поставленной выше задаче. Пусть f (г)金 0 ——произвольный полином из пространства представления. Применяя к нему нужное число раз операторы 万算，получаем константу, отличную от нуля. Следовательно, функция fo(2)三 1 содержится в циклической оболочке f (г). Далее, применяя к этой функции нужное число раз операторы £_, £_, получаем все базисные одночлены 2眩3 0&々&/71,Следова

тельно, dmdm неприводимо.

Замечание 1. Существенно отметить, что представления dm ® dm , %m 纟 d^ , как правило, приводимы. Например, 出纟 d】означает преобразование в классе тензоров второго ранга, откуда легко получить, что d1 ® d1 = d2 + d。 (симметричные и антисимметричные тензоры))._

Замечание 2. Представление d? суженное на подгруппу SU⑵，совпадает с (dm)^ (контрагредиент- ное представление); но это представление, как мы знаем, эквивалентно dw Следовательно, сужение dm ® d^ на

подгруппу SU⑵ эквивалентно тензорному произведению dm ^ dm • Такое представление неприводимо только при m = 0 либо при т, = 0.

За мечание 3. Представления dm ® dm при /л'* 0 характеризуют, в сущности, группу SL(2, С) как вещественную группу Ли удвоенной размерности. В то же время dm сохраняет комплексную структуру этой группы. Дифференциал такого представления линеен над комплексным полем: О(Хх) =W(x). Дифференциал dm антилинеен над комплексным полем: О (Хх) = W (х). Более подробно о классификации таких представлений будет сказано в гл. VII.

В гл. VII мы увидим, что серия исчерпывает все (с точностью до эквивалентности) неприводимые представления SL(2,C),

Группа Лоренца. Пусть L — связная компонента единицы в группе всех псевдоевклидовых вращений, сохраняющих форму —岩+ £ +芯+ £ (координаты 修 вещественны). Как мы видели в § 11, Л ^ SL(2, С)/М где N состоит из матриц вида е, —е. Представление а а является однозначным представлением группы Лоренца L тогда и только тогда, когда число m + mz является четным.

SL(2, R). Алгебра Ли этой группы имеет базис е_, 备，芬 с соотношениями коммутации &, е+] = е+, ®, е_]= =——е_, [е+, е_] = 2е> Следовательно, в данном случае можно непосредственно использовать алгебраический результат теоремы 2. Формула

TJ⑶=侬 + 6))(年J),

где а, р, у, б, г вещественны и /(г) — полином от г степени не выше т, определяет все неприводимые представления SL(2,R) с точностью до эквивалентности.

U(2). Как мы видели в § 9, U(2) « U(l) ®SU(2). Проекция на U(l) определяется отображением g -> detg. Поскольку операторы из U(l) перестановочны со всеми операторами U(2), то они являются скалярами (согласно лемме Шура) в любом неприводимом представлении

U (2). Полагая detg = е'в, замечаем, что указанное скалярное отображение должно с необходимостью иметь вид е'пв = (det g)", где п ——целое число (это условие вытекает из однородности представления). Формула

az + у Рг + д

определяет общий вид неприводимого представления группы U (2). Здесь m — неотрицательное целое число и п ——произвольное целое число. Если сделать 门 нецелым, то соответствующая функция Тё станет неоднозначной.

GL(2, С). То же рассуждение можно повторить и в данном случае. Поскольку det g = ре叱 р > О, то скалярный множитель в формуле для представления может иметь вид (detg)"(detg)“，где разность п ——/г' обязательно является целой. (Действительно, (dH g)"研而"'=р"+%〃 )

Замечание 4. Отсюда очевидно существование не вполне приводимых («полуприводимых») представлений

,где р = | detg |.,где р = | detg |.I 1 In р GL(n). Примером является ° 〔

,где р = | detg |.

,где р = | detg |.

GL(2, R). Рассуждения остаются прежними. Если ограничиться связной подгруппой G+, выделяемой условием det ^ = р > 0, то получаем всевозможные степени (detg)% где X — произвольное комплексное число. Если же рассматривать всю группу G, то скалярный множитель в операторе представления может иметь либо вид рх, либо рх sgn р, где р = det g * 0. Соответственно получаем две различные серии неприводимых представлений группы G. Можно показать, что этими сериями исчерпываются все неприводимые (конечномерные) представления данной группы.

До сих пор мы рассматривали группу SO(3) только над вещественным полем. Если поле становится комплексным, то все неприводимые представления SO(3, 7?) аналитически продолжаются на SO(3, С). Более подробно процесс аналитического продолжения будет рассмотрен в следующей главе.

О некоторых проблемах инфинитезимальногометода

Желая исследовать структуру группы Ли или свойства ее линейных представлений при помощи инфинитезимального метода, мы должны постоянно иметь в виду некоторые сложности, связанные с процессом «интегрирования», т. е. с переходом от алгебры Ли к группе Ли.

Прежде всего, естественно возникают следующие вопросы:

Вопрос 1. Пусть G ——группа Ли и X ——ее алгебра Ли. Верно ли, что всякому линейному представлению алгебры X соответствует линейное представление группы G (по отношению к которому данное представление является дифференциалом) ?

Вопрос 2. Пусть G — группа Ли и X ——ее алгебра Ли. Верно ли, что всякой подалгебре Х°иХ соответствует замкнутая подгруппа Gf)u G (имеющая X。своей алгеброй Ли) ?

Ответ на первый вопрос является отрицательным, даже если группа G является связной и представление D (х) конечномерно. Действительно, операторная функция Тё определяется посредством экспоненциального отображения лишь на некоторой окрестности единицы в группе G. Используя трансляции, можно продолжить Тё и на всю группу G, но полученная функция Tg может оказаться неоднозначной. (Пример: если G = {e"*, 0 ^ х < 2л}, то представление D (х) ==, Хх может быть продолжено на группу G только при целом X.) Однако если G односвязна, то функция Tg не может быть многозначной, Действительно, в противном случае многообразие {Tg} накрывало бы группу G. Следовательно, в этом случае первый вопрос решается положительно.

В дальнейшем мы для краткости условимся считать, что термин ^односвязностью включает в себя также и предположение о связности. В частости, под термином ^односвязная группам условимся понимать односвязную связную группу.

Ответ на второй вопрос также является отрицательным, как показывает иррациональная обмотка тора. Действительно, пусть G ——двумерный тор, порожденный

всеми унитарными диагональными матрицами второго порядка. Положим

Б=н0 "卜

где отношение 〃/6 иррационально и числа а, b вещественны. Поскольку матрица е эрмитова, то матрица exp its унитарна при всяком % —оо < / < оо. Однопараметрическая подгруппа

g(f) = exp z/e

является иррациональной обмоткой тора G (§ 15). Замыкание этой подгруппы совпадает со всем тором G. В этом случае одномерной подалгебре Хо = {/е} не соответствует замкнутая однопараметрическая подгруппа в группе G.

В дальнейшей! мы увидим тем не менее, что во многих важных случаях ответ на второй вопрос все-таки является положительным. Один из указанных частных случаев описывается следующей теоремой:

Теорема 5. Пусть G — компактная группа Ли и X — ее алгебра Ли. Тогда для всякой подалгебры Х()и X с нулевым центром существует замкнутая подгруппа Go и G, для которой X。является алгеброй Ли.

Доказательство. Нам будет удобно использовать линейность группы G. Более того, согласно глобальной теореме можно считать, что GuO(zi). Поскольку в условиях теоремы группа G играет роль объемлющей группы, мы можем также считать (хотя это и не обязательно), что G = О (п). Все построения ведутся над полем вещественных чисел. Алгебра X состоит в этом случае из всех вещественных кососимметрических матриц порядка и.

Пусть 爲一фиксированная подалгебра в X. Мы получим «первое приближение» к искомой группе GOj если рассмотрим в О(м) подгруппу G〔, состоящую из всех матриц gi, для которых gZg” = N())・ Согласно этому определению группа G^ выделяется из О(п) некоторой системой полиномиальных соотношений; как увидим

в гл. XV (теорема 4), всякая такая группа является группой Ли. Пусть Xi — алгебра Ли группы Тогда, очевидно, Хо и X，

Нетрудно видеть, что билинейная форма (х, у)= =——sp ху является скалярным произведением в области кососимметрических матриц (т. е. в алгебре Ли О (п)). Пусть У ——ортогональное дополнение X。 до X】 относительно этого скалярного произведения. Заметим, что

sp [招 y]z - sp [乙 x]y.

В частности, если х, z w X。и у w У, то мы заключаем, что правая часть тождественно равна нулю (X。丄 У). Следовательно, вектор [%, у] одновременно содержится в Хо и ортогонален 爲.Следовательно, [%, у] = 0, и мы заключаем, что элементы из Хо У взаимно перестановочны.

Далее, мы получим «второе приближение» к искомой группе Go, если рассмотрим в Gi подгруппу G2, состоящую из матриц 禽，перестановочных с алгеброй У*): g2yg^1 = У для всякого у Y> Рассуждая, как и выше, заключаем, что G2 — группа Ли. Пусть X? — ее алгебра Ли. Тогда, очевидно, XouXzuX】. Пусть Z — ортогональное дополнение X。до X?.

Элементы множества Z перестановочны со всеми элементами Хо и в то же время со всеми элементами У (согласно определению &). Следовательно, Z содержится в центре X?. В то же время согласно условиям теоремы центр подалгебры X。равен (0). Отсюда следует, что Z является центром в Х2. В свою очередь X。 может быть охарактеризована как фактор-алгебра X2/Z либо как производная подалгебра в алгебре Х2.

Теперь естественно определить искомую группу Go как производную подгруппу в группе G2. При этом группа Go оказывается группой Ли с алгеброй Ли X» Теорема доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы 5 мы считали очевидным следующее утверждение: пусть Gi с G — две группы Ли и Х[ и X — соответствующие алгебры Ли; тогда ехр /х е G[ для

всякого х е Хь Действительно, это утверждение доказывается в общей теории групп Ли и составляет один из существенных моментов в соответствии между группами и алгебрами Ли. Приведем для полноты изложения доказательство этого утверждения в линейном случае G = GL(/z).

Напомним, что алгебра Х〔 определяется как касательное пространство к многообразию G】в точке е. Если g 三 Gi, то gX】является касательным пространством к многообразию Gi в точке g. Иначе говоря, если &, g2,…，gm — локальные параметры точки g (достаточно близкой к е), то

для всякого 汇三 Xi, где функции ft(±, %) непрерывно зависят от 自=(自“ и 汇三 Xi. Заметим теперь, что однопараметричес：кая подгруппа g(/) = exp /х является решением дифференциального уравнения

g'(/) = g«)居 汇三 Xi,

с начальным условием g⑼=е. Если функции ±» = ±»(/) определить как решения дифференциального уравнения &(/)=%(&(/), х) с начальным условием ^(0) = 0, то функция g (t) g (| (^)) будет решением указанного выше уравнения (при достаточно малых /) с начальным условием g (0) = е. В силу теоремы единственности g (Q = g (^)- Это показывает, что g(/)三 8【при достаточно малых Л Далее, пусть /0 — точная верхняя грань тех，，для которых g(/)三 G】. Положим f (t) = g (^o + 0- Тогда полученная функция f(/) является решением дифференциального уравнения

『⑴=f⑴x

с начальным условием f (0) = g 仇)三 Gi・ Повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что /(/)三 Gi при достаточно малых /. Но это противоречит определению 加 Следовательно, g(/)三 Gi при —оо < / < оо, и наше утверждение доказано.

Отсюда также легко получить, что если Xq — подалгебра в X】 и Gq ——замкнутая связная подгруппа в G с алгеброй Ли Хо, то в действительности Gq и Gi (это утверждение мы также считали очевидным при доказательстве теоремы 5, полагая G ~ О (/:, R)).

В теории групп Ли доказывается следующая общая теорема. Пусть G — группа Ли и X — ее алгебра Ли. Тогда для каждой подалгебры Х()иХ существует локально замкнутая подгруппа G()u G, называемая аналитической подгруппой. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между подалгебрами s алгебре Ли и аналитическими подгруппами s группе G.

Если ограничиться некоторой достаточно малой окрестностью единичной точки, то мы получаем множество, называемое локальной группой Ли. Это множество однозначно покрывается экспоненциальным отображением, и в нем существует также взаимно однозначное соответствие между подалгебрами Ли и локальными подгруппами. Отметим еще один важный вопрос:

Вопрос 3. Пусть G — группа Ли и X ——ее алгебра Ли. Верно ли, что каждому разложению X = =X] + Х2, ade Xi, Х2 ——подалгебры, отвечает разложение G = С«2, где Gf, G2 — соответствующие аналитические подгруппы^

Если заменить группу G локальной группой Ли, то ответ является положительным (см., например, [46], т. III, стр. 180). Глобальное утверждение также имеет место для некоторых частных случаев: а) группа G односвязна, Gi (или G2) инвариантно в G относительно внутренних автоморфизмов; б) группа Gf является максимальной компактной подгруппой в G, и подгруппа G2 односвязна. См. по этому поводу, например, [108], [128]. Некоторые случаи таких разложений мы будем рассматривать далее (гл. XV). Там же будет рассмотрен пример разложения («разложения Гаусса》), когда множество Go = G1G2 не заполняет группы G, но всюду плотно в G.

Хотя, как мы видим, ответ на последний вопрос является отрицательным, существует несколько более слабая положительная формулировка. Напомним (§ 3), что если группа G является связной, то всякая окрестность единицы определяет в этой группе систему образующих. Следовательно, если U ——такая окрестность, то G является объединением возрастающего семейства окрестностей Uq m = 0, 1,2, ... Если U = Q", где 〃卜 U2 — локальные группы в Gf, G2, то мы находим в результате, что всякий элемент g 三 G может быть представлен в виде конечного произведения gibg^hz ■ ■ ■ gmhm, где gi, g2,…三 3 и小，仇，一三U2.

В заключение вернемся к вопросу 1 в связи с теорией бесконечномерных представлений. В этом случае проблема является еще более сложной, хотя бы потому, что exp D (х) не всегда существует. Более того, если даже

представление Tg определено, то оно не обязательно аналитично. В частности, если g(t) = exp /х, то не обязательно Tg{t)= exp tD (х).

Каждый вектор 匕巨 У для которого вектор-функция Tgg аналитична, называется аналитическим. Если V—банахово пространство, то множество всех аналитических векторов всюду плотно в V ([75], [98], [100], (119]). В классе аналитических векторов соответствие между представлением Tg и его дифференциалом взаимно однозначно. В общем случае мы не можем даже утверждать, что из неприводимости Tg следует неприводимость D(%) (и также что из приводимости 0(%) следует приводимость Tg). Действительно, возможно существование линейных многообразий, инвариантных относительно D(x), замыкание которых не инвариантно отвосительно Tg ([98]). .

Вместе с тем мы видим, что если ограничиться конечномерными представлениями и односвязными группами Ли, то применение инфинитезимального метода не вызывает препятствий. Рассмотрение неодносвязной группы также не вызывает особых сложностей ввиду наличия универсальной накрывающей.

ГЛАВА VI

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Идея аналитического продолжения, столь плодотворная в общей теории функций комплексного переменного, играет принципиальную роль также и в общей теории представлений. Этот метод в теорию представлений был впервые введен в работах Г. Вейля. В частности, он оказывается особенно эффективным при рассмотрении компактной группы Ли и ее комплексной оболочки.

Если G—компактная группа Ли ненулевой размерности, то ее комплексная оболочка всегда является некомпактной. Этот результат, который мы в дальнейшем сумеем строго доказать, является следствием того простого замечания, что вместе с каждым «тригонометрическим поворотом» комплексная оболочка содержит также и некоторый «гиперболический поворот». Следовательно, в наше рассмотрение включается существенно новый класс некомпактных групп Ли, которые в этой главе будут названы «надкомпактными».

Заметим, что метод аналитического продолжения можно развивать локально и «в целом»; первый путь, по существу, уже использовался нами при введении «понижающих» и «повышающих» операторов для SU (2). В этой главе мы изложим основы аналитиче- ■ ского метода《в целом».

Общий принцип аналитического продолжения

Метод аналитического продолжения состоит в продолжении операторной функции Tg (Tg — представление группы G) на комплексные значения параметров группы, т. е. на комплексную оболочку группы G. Разумеется, при этом мы полагаем, что G ——группа Ли и Tg~ ее вещественно-аналитическое представление, которое задается локальными рядами Тейлора в окрестности каждой точки g()wG. Прежде чем перейти к более точным

ОБЩИЙ ПРИНЦИП АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ [77 определениям, мы рассмотрим следующие простые примеры.

Пример 1. Комплексная плоскость с выколотой точкой 0 является комплексной оболочкой группы чисел e^Q Всякое неприводимое представление ein^ (и целое) однозначно продолжается до представления гп, где 2 = ре师——произвольный элемент комплексной оболочки.

Пример 2. Та же комплексная плоскость является комплексной оболочкой связной группы положительных чисел р > 0. Всякое неприводимое представление рх (入 комплексное) продолжается до функции гл, которую можно рассматривать как «многозначное представлением комплексной оболочки. Эта функция однозначна только при целом 儿

Пример 3. Та же комплексная плоскость является комплексной оболочкой несвязной группы всех вещественных чисел % ¥= 0. Существуют представления этой группы, например sgn%, которые не продолжаются до аналитических функций на комплексной оболочке. (Действительно, если аналитическая функция равна единице при г = % > 0, то она тождественно равна единице.)

Анализ этих примеров показывает, что при формулировке метода аналитического продолжения приходится соблюдать известные предосторожности. Прежде всего, согласно примеру 3 естественно требовать, чтобы различные связные листы исходной вещественной группы G оставались изолированными друг от друга также и в комплексной оболочке. (В противном случае локальные ряды Тейлора, определенные на этих листах, могут привести к различным аналитическим функциям.) В результате мы приходим к следующему определению:

Определение 1. Комплексную группу S мы будем называть правильной комплексной оболочкой вещественной группы G, если S является комплексной оболочкой G и если в каждой связной компоненте S содержится лишь одна связная компонента группы G・

В частности, если @ является связной, то и подгруппа G согласно этому определению должна быть связной. Таким，образом, группа комплексных чисел по умножению является правильной комплексной оболочкой группы положительных чисел по умножению, но это уже

неверно, если вместо последней группы рассматривать группу всех вещественных чисел по умножению. Далее, согласно примеру 2 естественно также обобщить само понятие представления.

Определение 2. Пусть @ — комплексная группа Ли. Операторная функция 7g будет называться аналитическим представлением группы @, если:

функция 7g является комплексно-аналитической (возможно, многозначной) функцией на G;

для каждой пары значений Tglt 7室 найдется такое значение что Tglg2 = TglTg2-,

всякое значение Те обратимо, и одним из значений Те является единичный оператор в пространстве представления.

Аналогичное определение с заменой условия аналитичности условием вещественной аналитичности (или непрерывности) приводит также к понятию многозначного представления произвольной вещественной группы Ли. Если представление Тё конечномерно, то условие аналитичности функции Тё равносильно условию аналитичности всех матричных элементов т订(g) (относительно любого фиксированного базиса в пространстве представления) .Если представление бесконечномерно, то необходимо указывать топологию в классе операторов, по отношению к которой вводится понятие аналитичности. Мы, однако, будем рассматривать, как правило, только конечномерные представления.

Пример 4. Матричная функция

f⑶4；

является аналитическим (счетнозначным) представлением мультипликативной группы комплексных чисел.

Прежде чем перейти к изложению общей теории, сделаем несколько простых замечаний.

Замечание 1. Поскольку аналитические функции всегда являются комплекснозн^чными (за исключением тривиального случая f(г) =1), то процесс аналитического продолжения может привести к окомплексиванию пространства представления. Чтобы не заботиться об

этом, мы условимся пространство V заранее предполагать комплексным. (Если исходное пространство VQ было вещественным, то всякий линейный оператор Л, и в том числе Tg, переносится на V = Vo + 仇 по правилу линейности: Л (х + iy) = Лх + iAy.)

Замечание 2. Если комплексная группа @ является односвязной, то ее аналитическое представление Тё не может быть многозначным. Это утверждение является следствием известного принципа《монодромнн》и может быть легко доказано посредством «триангуляции^* многообразия @. (Напомним, что согласно условию, принятому в предыдущей главе, под термином «односвязность» подразумевается также и связность.) Следовательно, в этом случае аналитические представления группы @ являются также ее представлениями в обычном смысле. Это замечание мы будем иногда использовать в дальнейшем.

Замечание 3. Пусть 7工一аналитическое представление группы G и % — множество значений функции Тё в точке g. Тогда очевидно, что множество Те является группой. Согласно известным свойствам аналитических функций все они не более чем счетнозначны. В частности, Те является дискретной группой. Далее,

丄 g е л el

т. е. множество Тё получается из группы Те путем умножения (слева или справа) на одно из значений Tg в точке g. Следовательно, Те является инвариантной подгруппой относительно отображения А -^ TgATg\ Если группа G является связной, то отсюда, как и в § 5, легко получаем, что множество Те содержится в центре представления Tg. Следовательно,

TeTg-TsTe

для каждой пары индивидуальных значений Те, Tg. Если представление Tg неприводимо, то отсюда согласно лемме Шура следует скалярность операторов Те. Заметим, что в этом случае закон композиции в представлении Tg может быть записан следующим образом:

=入(е) Tg®,где 入(е)——один из возможных скаляров, к которым

сводится оператор Те. Такие представления иногда называют проективными. Множество {九(е)} представляет собой дискретную абелеву группу комплексных чисел. В частности, если Tg конечнозначно, то множество {九(е)} конечно и сводится к прямому произведению некоторого числа циклических групп ).

Заметим также, что множество Те всегда определяет степень многозначности данного представления (согласно формуле Tg = TgTe, отмеченной выше). В частности, Тё однозначно тогда и только тогда, когда множество Те состоит из оператора /.

После этих предварительных замечаний сформулируем и докажем следующий общий результат:

Теорема 1. Пусть @ —— правильная комплексная оболочка вещественной группы G. Тогда всякое конечномерное представление группы G может быть продолжено до аналитического (вообще говоря, многозначного) представления группы

Продолженное представление неприводимо, приводимо или вполне приводимо тогда 〃 только тогда, когда соответствующим свойством обладает исходное представление группы G.

Если группа @ односвязна, то продолженное представление однозначно.

Доказательство. Пусть Tg — представление группы G и тот же символ 7g означает аналитическое продолжение этой функции иа комплексные значения параметров в группе @. Существование такого продолжения следует из вещественной аналитичности функции Тё.. Прежде всего, локальный ряд Тейлора 「ехр/е・ = =ехр 尸旦 продолжается на некоторую окрестность Uu ⑥ (параметры /' полагаются комплексными). Далее, поскольку степени окрестности U покрывают всю группу @, то ясно, что функция 7g продолжается на всю группу @, т. е. ни одна из точек g е ® не является особой. Мультипликативное свойство функции 7g вытекает из принципа сохранения алгебраических соотношений (при аналитическом продолжении). Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Далее заметим, что свойства приводимости и полной приводимости могут быть выражены в терминах обращения в нуль некоторых матричных элементов 七订(g) (при соответствующем выборе базиса). Если такой элемент обращается в нуль на @, то он, в частности, равен нулю и на G. Обратно, в силу принципа единственности аналитического продолжения, если этот элемент равняется нулю на G, то он обращается в нуль также и на всей группе в. Тем самым наше утверждение доказано для свойства приводимости и полной приводимости, но тогда и для свойства неприводимости (как отрицания приводимости).

Наконец, если в односвязна, то согласно замечанию 2 («принцип монодромии») представление Tg должно быть однозначным.

Теорема доказана.

Мы условимся называть теорему 1 общим принципом аналитического продолжения. Разумеется, это название условно, хотя бы потому, что в условиях теоремы 1 рассматриваются только конечномерные представления. Однако нетрудно обобщить эту теорему на случай, когда представление 7/ бесконечномерно и вещественно-аналитично. Отметим два очевидных следствия из этой теоремы:

Следствие 1. Существует взаимно однозначное соответствие (определяемое сужением @ -> G) между неприводимыми аналитическими представлениями группы @ 〃 неприводимыми, вообще говоря^ многозначными представлениями группы G.

Следствие 2. Спектральный анализ s классе вполне приводимых представлений группы G расносилен спектральному анализу в классе 〃尤 аналитических продолжений.

В заключение заметим, что если группу S рассматривать как вещественную, то ее комплексно-аналитические представления далеко не исчерпывают всех вещественных представлений группы 做

Пример 5. Всякое неприводимое конечномерное представление группы комплексных чисел по умножению одномерно и задается формулой

f ⑶=zp^,

где разность р ——q является целой (условие однозначности представления). Это представление аналитично только при д = 0.

Другие примеры мы видели в § 39 при рассмотрении групп SL(2, С), GL(2, С). Более подробно о вещественных представлениях комплексной группы будет сказано в § 43.

Таким образом, мы видим, что аналитическое продолжение естественно приводит нас к изучению определенного класса многозначных представлений комплексной группы ®

Упражнение

Пусть gfTg ——неприводимое представление группы G в вещественном пространстве V и f8 — линейное продолжение Tg на комплексное пространство V == V + /V. Показать, что представление Tg либо неприводимо, либо распадается в прямую сумму двух неприводимых представлений, комплексно сопряженных друг другу.

Надкомпактные группы Ли.«Унитарный трюк» Г. Вейля

Нам будет удобно использовать следующее определение:

Определение 3. Правильная комплексная оболочка компактной группы Ли будет называться надкомпактной группой Ли.

Условимся рассматривать конечнозначные, но, вообще говоря, бесконечномерные аналитические представления надкомпактной группы Ли. Множество таких представлений обозначим символом ^.

1' е о р е м а 2. Пусть К—- совокупность всех конечнозначных аналитических представлений надкомпактной группы S. Тогда всякое неприводимое представление класса К неприводимо при сужении на вещественную форму G с: S. Всякое представление класса К вполне приводимо. Всякое неприводимое представление класса К конечномерно.

Доказательство. Допустим вначале, что представление Tg однозначно. Пусть % — инвариантное подпространство в пространстве представления V относительно подгруппы G. Тогда для всякого линейного

функционала 厶 равного нулю на %, мы имеем

"依) = 0,自m几，gmG.

Ввиду аналитичности то же равенство верно и для всякого gw® Но тогда линейная оболочка векторов TgE, g 三閔 E 三 ％, не может быть шире %. Действительно, в силу теоремы Хана — Банаха [5] для всякого т]任 Uo существует линейный функционал, равный нулю на Vo и отличный от нуля в точке т]. Следовательно, Vo инвариантно также и относительно всей группы @. Следовательно, % = (0) или Vo = V ввиду неприводимости исходного представления группы ®

В частности, положим G = U, где U — компактная вещественная форма в S. Поскольку всякое неприводимое представление Tg остается неприводимым при сужении на подгруппу U, то оно конечномерно.

Далее, используя предыдущие рассуждения при G = U, получаем, что всякое представление класса К вполне приводимо. (Более того, всякое подпространство, неприводимое относительно ®, остается неприводимым при сужении на U.)

Отбросим теперь условие однозначности; тогда Тё — конечнозначное представление группы U. Многообразие {〃} является конечным накрытием группы U и, следовательно, может рассматриваться как точное представление группы U, которая является конечным накрытием группы U. Как следует из этого определения, группа U является компактной. Следовательно, для нее по-прежнему верны использованные выше следствия глобальной теоремы (принцип полной приводимости, конечномерность неприводимых представлений). Заменяя в предыдущих рассуждениях группу U на U, получаем прежние результаты. Теорема доказана.

Замечание 1. Покажем, что ограничение конечнозначными представлениями для нашей цели существенно. Действительно, представление

f 3)=

11п г II

о 1 I

мультипликативной группы комплексных чисел не относится к классу К н в то же время не является вполне приводимым ).

Замечание 2. Если ограничиться классом конечномерных представлений, то теорема 2 является тривиальным следствием теоремы 1 (и глобальной теоремы для компактных групп).

Следствие 1. Если группа ® односвязна, то существует взаимно однозначное соответствие между неприводимыми аналитическими представлениями группы ® 〃 неприводимыми представлениями ее компактной вещественной формы U.

Здесь предполагается, как и выше, что ® ——правильная комплексная оболочка группы U. Если ® неодносвязна, то же утверждение остается в силе для конечнозначных представлений группы ® (и подгруппы U).

С л едств и е 2. Если надкомпактная группа @ линейна, то всякое ее неприводимое представление реализуется в классе тензоров ).

В дальнейшем мы увидим (гл. XV), что всякая надкомпактная группа Ли (связная или несвязная) имеет точное линейное представление. Таким образом, следствие 2 в действительности справедливо для произвольной надкомпактной группы Ли.

Таким образом, мы видим, что сужение ® -> 11 позволяет использовать для комплексной группы ® ряд следствий из глобальной теоремы. Этот замечательный прием впервые был применен Г. Вейлем и носит название «унитарного трюка》Вейля. Одним из основных следствий является принцип полной приводимости для группы ®

В дальнейшем мы увидим, однако, что комплексная группа @ обладает, как правило, значительно более простой алгебраической структурой, чем группа U. Это позволяет использовать принцип Вейля «инверсным» образом, получая для группы U информацию из рассмотрения ее комплексной оболочки @. Можно было последовательно провести эту точку зрения и даже полностью игнорировать глобальную теорему, развивая независимую теорию для некоторого класса комплексных групп Ли («редуктивные группы», § 88). Мы еще остановимся на этом в дальнейшем.

Бикомплексные группы и алгебры Ли )

В § 39 мы встретились с ситуацией (довольно обычной в анализе), когда комплексные переменные z, z (черта означает сопряжение) естественно рассматривать как независимые. Логический анализ этой ситуации нетрудно провести для произвольной группы или алгебры Ли. При этом мы получаем эффективное средство для изучения вещественных представлений комплексной группы (или алгебры) Ли.

Определение 4. Пусть X — вещественная алгебра Ли, I ——ее комплексная оболочка и 至 ——комплексная оболочка алгебры I, которая снова рассматривается над вещественным полем (с удвоенным числом параметров). Алгебру I мы будем называть бикомплексной оболочкой алгебры X.

Пусть & — произвольный базис в алгебре X; тогда векторы е&,『左=了—1 ek образуют базис в вещественной алгебре I. Если с力一структурные константы X, то мы имеем

邑，ё卜哈%，回f^^t，е卜理3，(*)

[u' 3 = 一 咯%.

Полученные формулы определяют также закон коммутации в бикомплексной оболочке I при условии, что

рассматриваются всевозможные комплексные линейные комбинации независимых символов 6左,卜.

Пример. Пусть X == su(2). Тогда формулы () определяют закон коммутации в вещественной алгебре J, которая является алгеброй Ли группы Лоренца. Переход от J к J означает попросту, что допускаются комплексные линейные комбинации базисных элементов.

Всякую бикомплексную оболочку вещественной алгебры Ли мы будем называть бикомплексной алгеброй Ли. Соответствующие определения будем использовать для группы Ли.

Определение 5. Пусть G — вещественная группа Ли, ® — ее комплексная оболочка и ® — комплексная оболочка группы ®, рассматриваемой над полем вещественных чисел (с удвоенным числом параметров). Группу ® мы будем называть бикомплексной оболочкой группы G.

Если ® является правильной комплексной оболочкой группы G и @ является правильной комплексной 。6。・ лочкой вещественной группы ®, то условимся также говорить, что ® является правильной бикомплексной оболочкой группы G.

Условимся также в следующей терминологии. Скажем, что алгебра X является прямой суммой двух идеалов Хь Х2, если X = Xj 4- Х2» где X】,Х2 — две взаимно перестановочные подалгебры в алгебре X *). Скажем, что группа G является локально прямым произведением двух подгрупп Gi и G2, если G локально изоморфна прямому произведению G】X G. Если G — группа Ли, то очевидна связь между этими определениями, вытекающая из общей связи между группами и алгебрами Ли.

Теорема 3. Пусть 至一бикомплексная оболочка вещественной алгебры X. Тогда 亲 является прямой суммой двух идеалов, каждый из которых изоморфен комплексной оболочке J алгебры X.

Аналогично, если @ ——бикомплексная оболочка вещественной группы G, то ® является локально прямым

произведением двух подгрупп, каждая из которых 〃зо- морфна комплексной оболочке ® группы G.

Доказательство. Вещественная алгебра I распадается в прямую сумму двух линейных подпространств X н У, где Y = iX (умножение на » понимается в смысле комплексной оболочки 養).При этом, очевидно, существует изоморфное линейное отображение y = f(%),尤 w wX, ywY (заменяющее умножение на i=]/—1), для которого

[尤1，f (尤2)]=什(尤1),无2]=f (尤3)，什(尤1), f (尤2)]=-无3

при условии, что [xi, x2] = хз, xb 工2,尤3wX. Если вместо I рассматривать 至，то в этом случае допускаются всевозможные комплексные комбинации векторов хь f(%2)・ Для каждого х I положим

a(x) = ~(x-if (х)),& (х) = ^ (尤 + 讨(х)),

где символ f(х) продолжается на I по линейности (f(九尤)=九，(尤)для любого комплексного 2J. Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что элементы a (xj, а (х2) перестановочны при любых xb х2 ^ X, и если [打，х2] = %з, то мы имеем

[a(/)，a(尤2)] = а (尤з),伍(修)，万(尤2)]=值(尤3)■

Следовательно, множества Л, Л, состоящие из всевозможных элементов а(х),万(尤),являются подалгебрами в I. При этом, как нетрудно видеть, а(х,) + а(х2), хь х2^Ж, пробегает всю алгебру 至.Из сравнения размерностей следует также, что сумма S = Л + Л является прямой. Следовательно, первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части теоремы достаточно рассмотреть тот случай, когда группа ® односвязна. Пусть 〃, И ——односвязные группы Ли с алгебрами Ли А, А соответственно. Группа Н X Н односвязна и потому изоморфна ® Переход к общему случаю осуществляется, как обычно, факторизацией по центральному дискретному делителю. Теорема доказана.

Замечание. Запишем всякий элемент zeS в виде a (%i) + а (%2)= у (xj + х2) + у/(%! — х2). Условимся также отождествлять такой элемент с парой (хь х2). Если хь & вещественны, то мы получаем, очевидно, подалгебру 覆о, изоморфную алгебре 覆.Если Xi = Х2, то также получаем подалгебру, изоморфную 覆(которая может быть определена как «диагональ» из элементов вида (х, х)). Соответственно группа ® может быть реализована как «диагональ» в группе 必^⑥ X 俄

Идеалы А и At построенные при доказательстве теоремы 3, мы будем называть соответственно аналитическим и антианалитическим идеалами в S.

Пусть х ->т(х) — вещественное представление алгебры 覆.Допуская комплексные комбинации операторов т(х), мы можем продолжить это представление до представления алгебры 袞 Положим

С (х)=千(т (х) - /т (民))，D(x) = у(Т (х) + /т (氏)).

Здесь мы используем символ /х вместо f(%), поскольку это не может вызвать недоразумения. Как и в доказательстве теоремы 3, легко проверить, что символы Q(%), D(x) осуществляют разбиение данного представления в прямую сумму двух идеалов. Иначе говоря,

[D(x),D(y)] = Q _

для всех х, yw此 и каждый из символов D(x), D(x) определяет представление алгебры 覆.Представление алгебры 覆 мы называем аналитическим {антианалитическим), если D(x) =0 (Q(%) = 0). Иначе говоря, в этих случаях мы имеем соответственно

т “％)=九(х), т (/х) = — /т (х).

В первом случае т(九％)=九т(х) для любого комплексного 九.Следовательно, т(%) является в этом случае комплексным представлением алгебры 覆.Во втором случае мы имеем т (Хх) = Хт (х).

Если т(%) возникает как дифференциал представления Tg группы ®, то операторы Q(%), D(x) можно рас-

сматривать как инфинитезимальные операторы бикомп- лексной группы ®. Кроме того, эти операторы могут быть определены с помощью формальных производных:

° ⑶=凉 Техр Хх ° (х)=而 Техр Хх 1Х=О,

где 九 ——произвольное комплексное число (и ехр 2.x—■ однопараметрическая комплексная подгруппа в комплексной группе S). Следовательно, использование формальных производных означает, по существу, переход к бикомплекснон группе 座.

В заключение исследуем важный вопрос о структуре неприводимых представлений группы S. Докажем вначале следующую общую лемму:

Лемма. Пусть алгебра X является прямой суммой двух идеалов А и В. Тогда любое ее неприводимое представление является тензорным произведением неприводимых представлений А и В, т. е. двух неприводимых представлений алгебры X, одно из которых обращается в нуль на В и второе обращается в нуль на А.

До казательство. Пусть V—пространство представления и Vi ——подпространство, неприводимое относительно подалгебры 4 Пусть |3—■ произвольный полином от инфинитезимальных операторов подалгебры В. Тогда либо pVi = (0), либо ”i инвариантно относительно Л, с представлением, эквивалентным представлению в 匕・ Действительно, из перестановочности |3 я А следует, что |3 переплетает представления в Н,廿匕; остается применить лемму Шура. Из цикличности V по отношению к алгебре всех инфинитезимальных полиномов следует, что V = 2₽vP Ввиду конечномерности V достаточно рассматривать лишь конечное число слагаемых. В результате

V = % +%+ …+乙

(прямая сумма), где 匕=也％, i = l, 2,儿 Мы видим, что сужение данного представления на подалгебру А распадается в прямую сумму п одинаковые

неприводимых представлений. Пусть 巳——базис в под- простанстве %; тогда векторы е订=6问 образуют базис во всем пространстве V. (В частности, пространство V имеет размерность пт, где т = dim Vj.) Легко проверить, что в найденном базисе представление алгебры X имеет структуру тензорного произведения двух указанных в лемме неприводимых представлений. Лемма доказана. .

Применяя эту лемму к представлениям алгебры 看 и группы ®, получаем согласно теореме 3

Следствие 1. Пусть ® ——комплексная оболочка вещественной связной группы Ли. Тогда всякое неприводимое конечномерное вещественное представление группы ® является тензорным произведением двух неприводимых, представлений группы ®, одно из которых аналитично, а другое антианалитично.

Действительно, достаточно проверить аналог этого утверждения для представлений алгебры J, где 看——алгебра Ли группы ®. Каждое такое представление продолжается по линейности до представления комплексной алгебры J = А + А, где 4 и А ——аналитический и антианалитический идеалы. Применяя лемму, получаем нужное утверждение.

Замечание. Даже если исходное представление группы ® было однозначно, его аналитическая и анти- аналитическая компоненты могут оказаться неоднозначными (см. пример GL(2, С) в § 39).

Отметим еще одно важное следствие теоремы 3.

,Следствие 2. Пусть ® ——правильная комплексная оболочка компактной группы Ли. Тогда для всех, ее вещественных конечномерных (не обязательно комплексно-аналитических} представлений сохраняется принцип полной приводимости.

Мы докажем это утверждение только в том случае, когда ® односвязна. В этом случае ® ^： ® X ®. Вместо представления группы ® мы можем рассматривать его аналитическое продолжение на ®. Заметим, что если U — компактная форма в ®, то U U X U — компактная форма в @. Следовательно, группа @ является над-

компактной, и принцип полной приводимости выполняется для всех ее аналитических представлений.

Из результатов гл. XV в действительности будет следовать, что всякая бикомплексная оболочка компактной группы Ли является надкомпактной. Отсюда вытекает доказательство следствия 2 в общем случае.

Комплексная оболочка 1)(л). Веса и корни

Проиллюстрируем метод аналитического продолжения на примере группы U(a). Поскольку эта группа неодносвязна, нам будет удобно рассматривать вначале ее подгруппу Go = SU (и), которая получается удалением всего лишь одного вещественного параметра. При этом односвязная группа ®о = SL(n, С) является правильной комплексной оболочкой группы Go. Ввиду односвязности все рассматриваемые ниже представления будут однозначными. Мы также не оговариваем особо, что все изучаемые представления являются конечномерными. Из обоих результатов, полученных в этой главе, для нашего случая вытекают следствия:

1° Все аналитические неприводимые представления группы ®о конечномерны (и однозначны).

2° Для описания всех неприводимых представлений группы Go достаточно перечислить все аналитические неприводимые представления группы @0-

Мы займемся решением последней задачи. В этом параграфе будет дано лишь предварительное исследование инфинитезимальной структуры представления. Мы убедимся, что инфинитезимальный метод приводит в данном случае к значительным трудностям ). Полное решение задачи будет получено в следующей главе совершенно иначе (глобальным) путем. Тем не менее инфинитезимальная трактовка является чрезвычайно наглядной, и это побуждает нас изложить ее достаточно подробно.

Положим X = gl(小 С), X()= sl(小 С). Напомним, что X состоит из всех комплексных матриц пХ п и

подалгебра Хо выделяется условием sp х = 0. Элементы

образуют базис в алгебре X, элементы е订，Z =/= /,九:= =ец — ei+lt z+i образуют базис в подалгебре Хо. Поскольку e^e^i = ^fkeib т0 мн имеем следующие соотношения коммутации:

[е订，以力=^jken —

Мы представим эти соотношения значительно более наглядно, если выделим отдельно элементы е^, для которых г > /, i = /, t < /. Получаемые системы элементов обозначим символами

Пусть X—, Я, Х+ ——линейные оболочки базисных векторов из е_, &, е+ соответственно. Как нетрудно видеть, для элементов системы е+ единственными нетривиальными соотношениями коммутации являются соотношения

[е小 е^] = е^ч iV/VM

Отсюда, в частности, следует, что Х+ является подалгеброй. Точно так же Х_ является подалгеброй. Множество Н является абелевой подалгеброй. Полагая % = *&右 мы имеем также

也叨]= (/ — ")%.

Это означает, что каждый вектор е?」・ является собственным относительно линейного оператора Dhx = [h, х]. Собственные значения 仪仃=咒——力 мы условимся называть корнями алгебры X. Все сказанное остается в силе также и для алгебры Х(), если положим ^1 + /2 + ... + " = 0.

Перейдем к изучению аналитических (конечномерных) представлений группы S = GL (п, С) и ее подгруппы So = SL (n, С). Пусть Tg ——такое представление и

D(x)——его дифференциал. Положим

E" = D(e〃)・

В частности, операторы Ei = £^ и их линейные комбинации являются инфинитезимальными операторами дп- агоиальиоп подгруппы в S(®0)• Используя принцип аналитического продолжения, легко получаем отсюда:

Операторы £； 〃 〃工 линейные комбинации одновременно диагонализуются s пространстве представления.

Действительно, пусть Vпространство представления. Пространство V вполне приводимо относительно подгруппы Г всех диагональных унитарных матриц, и каждое неприводимое подпространство одномерно ). Производя аналитическое продолжение, получаем то же утверждение для подгруппы D всех диагональных матриц из S(@o)- Но тогда то же верно и для иифииите- зимальиых операторов этой подгруппы. Наше утверждение доказано.

Собственное значение оператора D(h) = t® является линейной формой &о алгебре Н:入(/»=#左.

Доказательство очевидно (D(x) лииейио зависит от х). Каждое собственное значение /.(/г) называется весом представления D(x). Иногда, если это ие будет вызывать недоразумений, мы будем называть весом набор коэффициентов 九高 i = L 2, ..., 〃. Вектор W w U, собственнып относительно всех операторов D(h), называется также весовым.

Ш. Если вектор 自 является весовым с собственным значением 九,то вектор g- = E^W также является весовым с собственным значением 九订=九 + а^ (где соответствующий корень).

Доказательство проводится так же, как и в случае группы SU(2). Замечая, что £>(")£\?・=Е订(〃(力)+ &> получаем D(力)三仃=(入(用)+ &仃(九))£?- Заметим, что если рассматривать &j как вектор коэффициентов формы a仃(九)，tо мы имеем

a打=的-еь

где означает 厂ii базисный вектор в n-мерном векторном пространстве Н. При этом мы имеем 仪订(九)—(а仃，用)， где в правой части имеется в виду обычное скалярное произведение в пространстве Н\ (入,也)= 储〃 =△(%)*)• Мы получаем значительную информацию о спектре представления D(h).

Пусть s ——произвольная матрица подстановки о группе @. Если вектор 自 является весовым с собственным значением X, то вектор 己§ — rs^ также является весовым с собственным значением Xs — s兀

Действительно, если s — подстановка, то sh = Tis для всякой диагональной матрицы ", где 方 означает также диагональную матрицу с переставленными собственными значениями. Следовательно, также SD (h) = D gS, где положено S = Ts. Применяя это соотношение, легко получаем нужное утверждение. Заметим, что оператор S (в отличие от EQ всегда является обратимым, и отсюда вытекает, что собственные значения 入，入$ всегда имеют одинаковую кратность. Действительно, отображение S сохраняет размерность подпространства собственных векторов с фиксированным собственным значением.

С учетом замечания о кратностях сформулируем полученный результат в несколько иной форме. Заметим, что множество всех подстановок образует конечную подгруппу ® в группе S (симметрическую группу порядка 〃！). Эта группа будет называться группой Вейля. С другой стороны, пусть А ——множество всех весов представления О(х) с соответствующими кратностями, т. е. график функции 门九,где 〃九——кратность веса X. Нами доказано следующее утверждение:

Весовая диаграмма А инвариантна относительно группы Вейля.

Следующий важный шаг состоит во введении лексикографической упорядоченности в множество весов. Заметим вначале, что всякий вес 入=(入【,入2，• • ■,入齊)имеет вещественные координаты. Действительно, если А содержится в алгебре Ли унитарной подгруппы Г, то ко

ординаты Л в разложении Л =户公？ должны быть чисто мнимыми и показатели 九百 в экспоненте ехр 九(力)= =ехр 储户 должны быть вещественными ). Для каждой пары вещественных векторов 九，卩 полагаем X > ц, если либо 储 > (if, либо 猫 =代1, но 九2 > Н? н т. д. Конечное множество весов в диаграмме 丄、становится при этом вполне упорядочеыным.

Заметим, что корни = е^ ——е〕 также имеют вещественные координаты в базисе {ej. Используя для этих корней понятие лексикографической упорядоченности, получаем следующий результат:

а订 <0 при I > /, а订〉0 при / < /.

Кроме того, а?) — 0 при г = /. Таким образом, разбиение корней на отрицательные, нулевые и положительные соответствует разбиению базиса ®} на подсистемы 细 ％. Соответственно мы видим, что

大订V九при f > /,九">入при К /.

Здесь 九订 = 九 +仪仃 ——собственное значение весового вектора 占仃=Ei^. Оператор £汀 мы будем теперь называть понижающим, если г > /', и повышающим, если г < /.

Пусть а = (〃Zi, т2, .. ., mri) — максимальный из весов 8 диаграмме А. Тогда m、》Соответствующий вектор W обращается в нуль всеми повышающими операторами Е仃.

Действительно, если бы вектор а не обладал указанным свойством упорядоченности, то, применяя преобразования группы Вейля, мы получили бы вес 5а, удовлетворяющий этим свойствам, При этом nsa = па=^= Q и sa > а, что противоречило бы условию максимальности веса а. Очевидно, также, что 田患=0, г < /, так как повышение веса невозможно.

Полученный результат делает естественным следующее определение. Если D (х) неприводимо, то скажем, что а является старшим весом и соответствующий

вектор 自——старшим вектором этого представления. В силу правила цикличности все пространство V является циклической оболочкой вектора 盲 относительно полиномов от операторов Е?> Из соотношений коммутации ясно также, что достаточно рассматривать полиномы от понижающих операторов 百仃(поскольку повышающие операторы аннулируют 自).С помощью таких операторов можно построить базис в пространстве V; однако эта задача имеет нетривиальное решение.

В дальнейшем мы увидим, что старший вектор в неприводимом представлении определяется однозначно с точностью до множителя и старший вес а характеризует это представление с точностью до эквивалентности.

§ 45. Модель неприводимых представлений SU⑶

В этом параграфе будет рассмотрена простак модель неприводимого представления группы SU(n), которая при /2 = 3 содержит все неприводимые представления этой группы (определяемые с точностью до эквивалентности) .

Пусть Е — n-мерное пространство и (吗一пространство тензоров над £, q раз ковариантных и р раз кон- травариантных, т, е. тензоров вида t^... ；Л По аналогии со случаем SU (2) мы можем ограничиться рассмотрением тензоров, симметричных по 介，必…，》g и симметричных по /1, /2,jq. В этом случае вместо тензоров можно рассматривать полиномы

где % =(修)一ковариантная строка и 自= (&) — контра- вариантный столбец. Очевидно, пространство этих тензоров все еще приводимо. Действительно, свертка по любой паре индексов 九，九 перестановочна с преобразованиями в классе тензоров. В частности, тензоры, для которых эта свертка дает нулевой результат, инвариантны относительно любой аффинной группы G.

Пусть Rg — пространство тензоров из ①* симметричных отдельно по нижним, отдельно по верхним индек-

сам и таких, что свертка по индексам 八，厶 обращается в нуль. В силу условия симметричности свертка по любой паре индексов 4, R при этом также обращается в нуль. Пусть dvq — представление группы G = GL(n) в этом классе тензоров. Покажем, что dpq неприводимо.

Найдем все элементы со w R；, которые аннулируются повышающими операторами. Заметим, что в классе полиномов f(x, ^) преобразования группы G задаются следующей формулой ):

Tgf(X, 9 = f (xg, g-圖.

Вместо повышающих операторов % мы можем рассматривать соответствующие однопараметрические подгруппы:

(здесь имеется в виду, что все остальные координаты Хй,々次 j, &,々次 i, остаются неизменными.) Если со аннулируется операторами 七仃,i < /, то со является инвариантом относительно этих подгрупп. Полагая, в частности, i = 1, j = 2, 3,…，几，подбираем параметры каждой ИЗ ЭТИХ ПОДГруПП ИЗ УСЛОВИЯ Xj + txi = 0. Это возможно сделать при 修次 0. Поскольку со вполне определяется своими значениями при 修次 0, то мы находим из условия инвариантности

з(х,自) = СО((Х1，0, 0, .. ., 0); £),

где £ отличается от 占 только первой координатой (которая может быть найдена из условия инвариантности свертки х^). Полагая, далее, i=l, 2,门 ——1, j =门, мы добиваемся аналогично обращения в нуль всех координат вектора g, кроме последней координаты 占九；при этом, как легко видеть, все координаты первого вектора (xi, 0, 0, ..., 0) остаются неизменными, за исключением последней. В результате имеем

①(修自)=со ((修,0,0,. . (J 0, т); (0, 0, ..., 0,蟲)),

Значение t определяется из условия инвариантности свертки 尤自.Следовательно, со(尤,±) является полиномом от 尤h gn и т =尤Е/Еп・ Поскольку в то же время (о является полиномом от х и Е, то ясно, что(о является полиномом от 尤ь ^п и а = xg. В результате

3(х, 9=Р(/,乙，0)，

где Р — полином,

До сих пор мы не использовали равенство нулю всех сверток в пространстве R?・ Заметим, что взятие свертки равносильно, с точностью до множителя, применению дифференциального оператора

А = —(свертка по z).

Таким образом, Af = 0 для всех элементов / s R^. Нетрудно проверить, что из всех полиномов от 尤卜 自九,о этому условию удовлетворяют только те полиномы, которые не зависят от а. Среди таких полиномов пространству R? принадлежит лишь единственный (с точностью до множителя) одночлен

①=%鄢.

Используем теперь принцип полной приводимости. Как мы видели в § 44, каждое неприводимое представление группы G обладает старшим вектором. Если бы представление в Rq было приводимо, то решение з определялось бы неоднозначно. Следовательно, dvq неприводимо.

Замечание 1. Если использовать координаты

то свертка 雄 записывается в виде суммы квадратов этих (комплексных) координат. Соответственно оператор А, введенный выше, отождествляется с оператором Лапласа в комплексном евклидовом пространстве размерности 2п. Следовательно, R^ отождествляется с пространством, гармонических полиномов степени однородности р по х, степени однородности q по &

Замечание 2. Можно показать, что все полиномы f w R/ однозначно определяются своими значениями на конусе К：您=0. Действительно, если / = 0 на К, то, заменяя векторы х, | линейными комбинациями вида ??£ + 九"х" + ...,卩官 + 卩空"+ ... и варьируя коэффициенты 入，ц, получаем, что полилинейная форма с коэффициентами $//二尸 обращается в нуль на всяком наборе векторов х‘，х",…，匕 Е",…，попарные свертки между которыми равны нулго. Фиксируя все переменные, кроме х = х\ ^ = ?, приходим к рассмотрению формы второго порядка:

中(元,自)=寸х达‘，

для коэффициентов которой выполняется условие т- = 0 (свертка по 0. Приравнивая нулю дифференциал этой формы и пользуясь условием 壮尤広匕広 + х?・壮匕，=0, легко находим, что т| = 0 при f#j и т- = const (не зависит от t). Согласно условию о свертке ) находим, что т； = ° при каждом г. Следовательно, т； = 0. Применяя то же рассуждение к форме т； по переменным х = х", | = Е" и продолжая этот процесс, получаем после конечного числа шагов равенство 4?=0.

Следовательно, dpq может быть реализовано 6 классе полиномов на конусе К, Это утверждение можно также получить как тривиальное следствие результатов следующей главы.

Замечание 3. В приведенном выше построении старший вектор ①=工7自? представления dpq был найден явно. Для определения старшего веса введем диагональную матрицу 6 = diag{6i, 62, • ■ •> 6力 м найдем собственное значение Х(6) из условия 76(0 — Х(6)со. Поскольку 看一>修6厶 高-> 七，то мы имеем

厶⑹=6；犷.

Полагая теперь * = J' и вычисляя производные по 厶 при ti = 0, получаем искомый старший вес:

九=(р, 0, 0, . . ., 0, — г?).

Если рассматривать только подгруппу SL⑺，то из

условия detg= 1 следует, что всякие два веса X, X + е} е = (1, 1,..., 1), можно отождествить (они определяют одно и то же собственное значение Х(6)). В частности, при 几=3 вместо веса 入 можно рассматривать вес

а = (mi, m2, m3), mj > m2 > m3,

где положено гщ = p + h, m? = h, g =々一q с произвольным слагаемым 財 Следовательно, при % = 3 в нашей конструкции встречается произвольный старший вес относительно подгруппы SL(3). Отсюда естественно

Рис. 1.

предположить, что данная конструкция содержит все неприводимые представления SL (3). Действительно, это будет следовать из результатов следующей главы.

В силу принципа аналитического продолжения то же верно для подгруппы SU(3).

В заключение рассмотрим несколько более подробно простейшие представления dg d(n, d^. Первые два из этих представлений трехмерны, последнее восьмимерно. Построим весовые диаграммы этих представлений. Условимся рассматривать только подгруппу SL(3) (или SU(3)). Тогда всякий вес 九=(储，九2,九з) определяется, как мы видели выше, с точностью до общего слагаемого у координат 储，九2,九з・ Нормализуем этот вес условием 3 + 九2 + 九з = 0 и будем на этой плоскости рассматривать ортогональную проекцию трехмерной системы координат. Тогда для представлений di = t/ю, d? = dg получаем графики, изображенные на рис. 1.

Действительно, в случае di пространство Ro натянуто на базисные векторы 尤卜 尤2, х3, которым отвечают веса (1, 0 ,0), (0, 1,0), (0, 0, 1) изображенные на первой диаграмме. Точно так же в случае d2 пространство R； натянуто на базисные векторы F, У, Т с весами (0, 0,——1), (0, —1, 0), (—1,0, 0). Единицы, стоящие у точек весовой диаграммы, означают, что каждый вес содержится в данном случае с кратностью 1. Точно так же для представления du получаем следующий график (рис. 2):

Система весов в этом случае имеет вид (2, 1,0), (1,2,0) (0,2, 1), (0,1,2), (1,0,2), (2,0,1), (0,0,0). Последний вес содержится двукратно. Система весов распадается на две орбиты относительно группы Вейля.

Представления 八 rf2 могут быть охарактеризованы с геометрической точки зрения как преобразования вектора и бивектора над трехмерным пространством £ («кварк» и «антикварк» в терминологии физиков). Представление d” («октет») будет в дальнейшем охарактеризовано как «присоединенное представление» SL

Как уже было сказано во введении к этой главе, принцип аналитического продолжения в теорию представлений был впервые введен Г. Вейлем. Этот принцип позволил использовать для надком* пактных групп богатую информацию, даваемую глобальной теоремой.

В дальнейшем мы покажем, что комплексные группы допускают независимое изучение благодаря простой алгебраической структуре. (Можно было бы провести эту точку зрения последовательно, но мы не ставили подобной цели в этой книге). Следовательно, принцип аналитического продолжения можно использовать «в обратную сторону» — для получения информации о структуре представлений компактной группы.

Примеры, приведенные в этой главе (представления SU (п), SL(n)), следует рассматривать как иллюстративные. В них принцип аналитического продолжения комбинируется с ин ф ин итез им ал ьн ы м методом. В дальнейшем, как уже было сказано, мы предпочтем глобальный метод; однако инфинитезимальную конструкцию желательно все время иметь в виду вследствие ее наглядности.

ГЛАВА VII

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯгруппы и(〃)

В этой главе будет получено полное описание неприводимых представлений группы U("). Следуя идее аналитического продолжения, мы рассматриваем эти представления аналитически продолженными на GL("). Тем самым возникает также полное описание неприводимых аналитических представлений GL(n). Полагая det g = 1, получаем те же результаты для SU("),SL("). В действительности метод, применяемый при решении этой задачи, позволяет столь же просто получить описание и всех вещественных (конечномерных) неприводимых представлений комплексной группы (SL(m), GL(/i)). В дальнейшем условие конечномерности специально не оговаривается.

Глобальный метод решения, предлагаемый в этой главе, совершенно не зависит от всей предыдущей теории. Иногда мы пользуемся инфинитезимальными построениями, но это делается лишь из соображений наглядности. Что же касается теории компактных групп Ли (глобальная теорема), то мы лишь однажды — при описании пространства представления——пользуемся принципом полной приводимости. В действительности этот принцип может быть непосредственно доказан для комплексной группы SL(几)(при помощи инфинитезимального метода).

Таким образом, теория конечномерных представлений комплексной группы может быть построена независимо от теории компактных групп Ли. Мы будем использовать лишь элементарные методы линейной алгебры («разложение Гаусса》，описанное в § 9).

Существование старшего веса

Положим G = SL(n, С). Элементы группы G предполагаются записанными в виде матриц относительно фиксированного базиса @1, @2，・••, е% Упорядоченность этого

базиса позволяет выделить в группе G специальные подгруппы, входящие в разложение Гаусса:

Greg = Z_ DZ + ,

Здесь Z_, D и Z+—подгруппы в группе G, составленные соответственно из всех нижних треугольных с единицами на диагонали, диагональных и верхних треугольных с единицами на диагонали матриц gwG. Множество Greg состоит из всех произведений

Как известно из линейной алгебры (см. § 9), множество Greg всюду плотно в G. Если Др — главный диагональный минор, составленный из первых р строк и первых р столбцов матрицы g, то g е Greg тогда и только тогда, когда Ар W 0, р = 1, 2, , п.

Пусть gf Tg — представление группы G в векторном пространстве V, Вектор J 三 У мы называем весовым, если он является собственным относительно всех преобразований подгруппы D:

• 7点=卩(0)自，

Собственное значение 卩(6) называем весом (относительно подгруппы D). Очевидно,卩(6) является одномерным представлением («характером») группы D. Если представление Тё аналитично, то ц (д) = д^1^2 где 6i — собственные значения матрицы BwD

Определение 1. Вектор g мы называем старшим вектором представления Т& если он является инвариантом группы Z = Z+ н весовым относительно D.

Заметим, что группа G является односвязной; следовательно, все ее представления однозначны. Из условия однозначности следует, в частности, что показатели “к,团2，.…，团普 всякого веса 卩(6) являются целыми ). Вектор 卩=(疗", /п2, .,., mn) мы будем называть инфинитезимальным весом представления Тё. Вес а (6), отвечающий старшему вектору, будет называться старшим

весом. Если в определении 1 рассматривать Z_ вместо Z*, то аналогично вводятся понятия младшего вектора и младшего веса.

Заметим также, что Z является связной (и односвязной) подгруппой, алгеброй Ли для которой является подалгебра Х+, введенная в § 44. Следовательно, старший вектор Е удовлетворяет системе уравнений

Е透=0, У/.

Как мы видели в § 44, всякое аналитическое представление группы G обладает таким вектором. Однако при этом мы пользовались «унитарным трюком》Вейля (диагонализация операторов подгруппы D). Здесь будет предложено иное независимое доказательство, которое пригодно также и для вещественных представлений группы G

Теорема 1. Всякое {конечномерное) представление группы G = SL(〃，С) (или G = GL(〃，С)) обладает хотя бы одним (ненулевым) старшим вектором.

Доказательство. Положим Т = DZ. Группа Г состоит из всех треугольных невырожденных матриц fwGL(%C). Нижеследующая лемма является частным случаем одной общей теоремы, принадлежащей Софусу Ли. Эта лемма допускает глобальное доказательство (§ 88), однако из соображений наглядности мы докажем ее инфинитезимальным способом.

Лемм а. Всякое неприводимое представление группы Т в комплексном векторном пространстве одномерно.

Доказательство лемм ы. Вместо группы Т будем рассматривать ее алгебру Ли L = 〃 + Х+, где Н натянуто на диаго^ нальные матрицы е& и Х+ натянуто на верхние треугольные матрицы 已訂，I < /. Пусть D(x) — неприводимое представление алгебры L в пространстве V и Е^ = D (^^), / < /■

Пусть Vo — подпространство, неприводимое относительно Х+. Заметим, что оператор Е!л перестановочен со всеми операциями Х+・ Следовательно, согласно лемме Шура Е\п кратно единице на 丘： Ein ^ 入/. Из соотношения ［七【2,七2门］=Ein при п > 2 заключаем, что 入=0, Действительно, след коммутатора равен нулю. Заменяя оператор Е|П нулем, замечаем, что теперь оператор 畠，兀一 перестановочен со всеми операциями алгебры Х+. Если 忆一1 > 2, то, рассуждая, как и выше, получаем, что 七1,窗一【=0. Продолжая это построение, заключаем, что все операторы 七〔用,也 S 2, обращаются в

нуль на Vo и оператор Е* кратен единичному. Точно так же поступаем с элементами E2k,力》3, Ез储 力 ^ 4, ii т. д, В результате получаем, что операторы Di = &,寸 + 厶 / = 1, 2,...,几 一 1, являются скалярами на Vo и все остальные операторы £\j, / ——/ > 1, обращаются в нуль на Vo. Поскольку скаляры О,= 入// взаимно перестановочны, то отсюда заключаем, что 17о одномерно. Мы доказали аналог нашей леммы для подалгебры /+.

Далее, вернемся ко всему пространству V. Пусть е\ -— собственный вектор относительно Х+ с собствешЕым значением А, = Х(х), 尤三 Х+・ Согласно сказанному выше такие векторы всегда существуют (и 入=九(尤)，очевидно, является линейной формой над Х+). Цепочку векторов 巧，&,…，。团 назовем присоединенной к вектору еь если

0(尤)%三入(尤)ek (m°d q, %，•••，气一i)，

t. e. если применение D(x) к вектору ek сводится к умножению на Л(х) с точностью до некоторой линейной комбинации предшествующих векторов。卜 с?, ..., ей-]. Пусть еь 貶 …，е;и — максимальная присоединенная цепочка и 匕一линейная оболочка векторов «1， 。2， ..., е?п・ Очевидно, V'i инвариантнз относительно Х+. Несложная проверка убеждает нас в том, что Vi инвариантна также относительно всей алгебры L Следовательно, У = Vi ввиду неприводимости 匕

Заметим теперь, что всякий оператор Е仃，/ < /, может быть записан в виде коммутатора [Ец, Eij]. Поскольку след коммутатора равен нулю и след Eij пропорционален ^(eij) с ненулевым коэффициентом пропорциональности ( = dini V), то ^(е门)=0 для всех значений / < /. Следовательно,大(无)=0 па подалгебре Х+. Наконец, операторы 4； = О(е*) перестаповочР1ы между собой, н согласно лемме Шура пространство V одномерно. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть вектор 三 определяет направление, неприводимо инвариантное относительно подгруппы Т. Тогда, как мы видели при доказательстве леммы, £订己=0, г < /. Кроме того, вектор Е является собственным относительно всей подгруппы Т и, в частности, относительно подгруппы D. Следо- вательно,乙占=Е, z w Z, r6g = |i(6)g, 6wD

Теорема доказана.

3 а м е ч а н ие. При доказательстве теоремы 1 мы получили также значительную информацию относительно представлений треугольной группы Т. Мы видим, что всякое неприводимое представление этой группы одномерно. Следовательно, в пространстве всякого представления содержится вектор, собственный относительно всей группы Т. Следовательно, также всякое представление группы Т приводится в некотором базисе к треуголь-

ному виду. Последнее утверждение легко доказывается обычным методом индукции ).

Следовательно, свойство треуголыюсти восстанавливается в каждом (конечномерном, комплексном) представлении группы Т.

Единственность старшего вектора

Покажем теперь, что из теоремы 1 вытекает чрезвычайно простое построение для каждого неприводимого представления группы G.

Пусть g — Tg — неприводимое представление группы G в комплексном векторном пространстве V, и пусть V — дуальное пространство, т. е. множество всех линейных форм над К Фиксируя линейную форму 厶 мы можем каждому вектору х е V поставить в соответствие функцию

Таким путем, как мы видели в § 18, получается вложение Tg в правое регулярное представление группы G. Действительно, пусть Я ——множество всех полученных функций и Vo ——множество всех векторов xw V, для которых f(g) = O. Очевидно, VQ инвариантно относительно Tg и Vo ^, откуда 1% = (0)・ Следовательно,沢 изоморфно пространству К Заменяя 尤 на у = Т^х, получаем новую функцию

爲丿(g) = f (m)-

Следовательно, представление Tg эквивалентно представлению Rg в классе 9t При этом в нашем распоряжении имеется выбор линейной формы I.

Используя теорему 1, выберем вектор х。, который является старшим в пространстве V. Используя

теорему 1 для контрагредиентного представления, выберем форму /о, которая является младшим вектором в пространстве V. Тогда всякая функция /(g) w 歌 удовлетворяет следующим соотношениям:

f 亿g) = f (g), f (6g)="⑹ f (g),

где gwZ_, 6м Q н r(6)—характер группы D Функция a(g) =，o(Tg%o) удовлетворяет, помимо этого, также следующим соотношениям:

a(gz) = a(g), a(g6) = a(g)A(6),

где г ее Z+, д е £> и 九(6)——характер группы D. Полагая, в частности, g = е, получаем, что a(g) = a(z)=a(e) и а(6)=卩(6)a(e) = а(е)九(6). Равенство а(е) = 0 означало бы, что а(6) = 0. Но тогда ввиду разложения Гаусса функция

a(g) = a(^ 6z) = a(6) (*)

так?ке равнялась бы нулю на всюду плотном множестве Greg и G. Ввиду непрерывности отсюда вытекало бы, что a(g)三 0; но это невозможно. Следовательно, а(е)#6・ Нормируя векторы /0, %о условием /о(%о)=1, получаем отсюда

a 也) = a(z)=l, a (6) == н (6) = ^ (6).

Второе из этих условий показывает, что старший вес 九(6) определяется однозначно. Действительно, он совпадает с весом 卩(6), который мы фиксировали в дуальном пространстве Р. Равенство (鸵)показывает также, что функция a(g) определяется однозначно при условии, что a(e)= I. Но это означает также, что старший вектор %ом b определяется однозначно с точностью до множителя, ибо равенство /o(Tg%o) = a(g) совместно с условием /о(%о)=1 определяет вектор %о однозначно. В результате получена следующая

Теорема 2. Если представление Tg неприводимо, то его старший вектор определяется однозначно с точ~ ностью до множителя. Соответствующий старший вес a (6) определяет это представление однозначно с точ~

ностью до эквивалентности. Положим

a (g) = а 也 6z) = а (6)

с непрерывным продолжением на всю группу G. Такое продолжение действительно существует, и представление Tg может быть реализовано с помощью правых сдвигов в циклической оболочке 9?а функции a(g).

Действительно, a(g)三猊々.В силу правила цикличности 9?а совпадает с линейной оболочкой функций Rg„a (g) = a (gg^, g0^ G.

Неприводимое представление группы G со старшим весом а мы условимся обозначать символом d(tz). Если использовать принцип полной приводимости, то из теорем 1 и 2 вытекает также практически важное

Следствие 1. Представление Tg неприводимо тогда и только тогда, когда оно обладает единственным^ с точностью до множителя, старшим вектором.

Действительно, если Tg содержит хотя бы две неприводимые компоненты, то существует хотя бы два линейно независимых старших вектора.

Следствие 2. Если Tg приводимо, то для его разложения на неприводимые достаточно найти семейство Q всех векторов, инвариантных относительно подгруппы Z, и выделить среди них весовые. При этом кратность веса 卩(6) совпадает с кратностью вхождения s Т& соответствующего неприводимого представления d (卜(,).

Мы видим, что следствие 2 дает непосредственный практический метод спектрального анализа представлений группы G. Этот метод мы условимся в дальнейшем называть методом Z-инвариантов. (Заметим, что принцип полной приводимости гарантирует также полную приводимость ◎ относительно подгруппы D и содержание в Q только тех весов, которые являются старшими относительно всей группы G.)

Замечание. До сих пор мы полагали G = SL(/z, С). Однако теоремы 1 и 2 остаются верным；! (вместе с доказательствами) также для полной линейной группы GL(n, С), В последнем случае необходимо соблюдать известную осторожность в формулировках следствия 1 и следствия 2. Действительно, как мы видели в гл. VI, принцип полной приводимости выполняется, вообще

говоря, лишь для конечнозначных аналитических представлений группы GL(n, С)*). Во всяком случае, следствия 1 и 2 справедливы для вполне приводимых представлений этой группы.

Различные модели d(a)

Прежде чем завершить классификацию всех непри- ВОДИЛ1ЫХ представлений группы G, остановимся на вопросе о различных функциональных реализациях неприводимого представления.

Реализация н а группе Z. Поскольку все функции из пространства 况々 удовлетворяют соотношениям

/■也恒) = a ⑹/1(z),

то они вполне определяются своими значениями на Z. Действительно, зная f(e), мы знаем значения f(g) на множестве Greg, но тогда по непрерывности также и на всей группе G. Заменим f(g) на 『(g) = f(ggo)； тогда мы имеем

『(z) = f (zgo) = f 隽 5习=а (8) f (z),

где элементы 3, z определяются из разложения 之旣= =^Зг. Положим сс (3) = сс (г, g^ и г = г^0. Заметим, что a(dgo) совпадает со значением «производящей функции» a(g) на элементе 2go. В результате получаем следующее преобразование в классе функций f(z):

Tgf(z) = a(z, g)f(zg).

При 几=2 получаем, как легко проверить, известную нам реализацию с помощью дробно-липепной подстановки. Таким образом, преобразование z-*2g является обобщением такой подстановки. Полученную нами модель условимся называть реализацией ка группе Z.

Мультипликативное свойство операторов представления равносильно следующим тождествам (которые так-

*) Более подробно об условиях полной приводимости для GL(%C) см. конец § 61. Более общее утверждение см. также в § Н8.

же легко проверить и непосредственно):

Zg® =(2gJ 飲，

a© gig2)= a(& gj・a (也，g2).

При этом очевидно также, что ге = г и а(г, ^) = 1. Кроме того, а (乙之о)= 1 для любого 之о 三 Z и а(а, 6)= = а(6) для любого 6 三 D Следовательно, мы получаем чрезвычайно простые 巾ормулн:

%f(z) = f(zz。)，T&f(z) = a^f^]z6).

Действительно,今。=之乞。и 之吞=谷一七邑 Этими формулами мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Однако при g 三 Z_ функция а(а, g) выглядит уже довольно сложно.

Всякий старший вектор % (а) должен удовлетворять условию fo(^o) = fo(^),之，а。ее Z. Отсюда fQ(z) = const, и мы еще раз получаем единственность старшего вектора. Кроме того, мы видим, что роль старшего вектора в реализации на группе Z играет функция %(之)三 1.

Реализация н а группе Т. Вместо предыдущих построений мы могли бы использовать разложение g =頂，^rZ_, / 三 Т, и заметить, что всякая функция fw 猊《 вполне определяется своими значениями на Т. В результате получаем оператор

&f(U),

где точка 厶 определяется из разложения Гаусса tg = ^tgi 白三 Z_,储三 T. При этом функции из пространства представления удовлетворяют условию f(6/)= a(6)f(t). Роль старшего вектора играет функция а(/). Это представление мы называем реализацией на группе Т.

Реализация н а группе U. Вместо разложения Гаусса мы могли бы воспользоваться разложением Грама: g = 乩〃 (§ 9). Из этого разложения очевидно, что всякая функция f 三猊《 вполне определяется своими значениями на унитарной подгруппе U = SU(n). Формула представления принимает следующий вид:

Т/Р ⑷=а (&')屮(〃J

Здесь матрицы £‘, ug определяются из разложения Грама ug = £%〃g. Функции из пространства представления удовлетворяют соотношению ср(уи) = а(у)(р(и), где 丫 пробегает «диагональную» подгруппу Г, состоящую из всех диагональных матриц у 三 U. Роль старшего вектора играет функция а(〃). Заметим также, что

Т〃押(〃)=屮(〃〃о), 〃о W&

т. е. действие элементов u0 ^ U сводится к правому сдвигу на U.

До сих пор мы рассматривали произвольные вещественные представления группы G. Если ограничиться аналитическими представлениями, го они остаются неприводимыми при сужении на унитарную подгруппу U. В результате получаем описание всех таких представлений.

Теорема 3. Всякое неприводимое представление группы И = U (门)определяется однозначно, с точностью до эквивалентности, некоторым характером а (у) диагональной подгруппы Г. Это представление может быть реализовано с помощью правых сдвигов

几。屮(〃) = <р(〃〃о)

в конечномерном пространстве ®а, состоящем из функций 屮(〃)на группе It Пусть а(0)——аналитическое продолжение а (у) на группу D 〃 а (g)——соответствующая функция на группе G. Полагая а (u) = a(g) |^=«,川〃 можем охарактеризовать пространство $а как циклическую оболочку функции а(и). То же верно для группы SUS).

Напомним, что матрица е, входящая в разложение Г рама, является диагональной положительно определенной матрицей. Отсюда следует, в частности, что 〃gg*〃T = £‘瓜*/ и а(£”) = a(ugg*〃"). Извлекая квадратный корень, заключаем, что множитель а(£‘) может быть записан следующим образом:

а 侬)= {a(〃S)}%,

где положено f = gg*. Практически реализация на группе U является довольно сложной ввиду отсутствия простой параметризации для группы U. В то же время

многообразие Z изоморфно евклидову пространству и легко параметризуется. Поэтому неприводимое представление группы U обычно бывает удобно рассматривать также в реализации на группе Z.

Упражнение

Пусть диагональные матрицы е, е' связаны разложением Грама 〃е = е窜.Пусть 力，/г,…，fn, Ti, 3,…，Tn — логарифмы собственных значений матриц £, е', причем 厶》办》•…》f 小 Показать, что

t] + T2 + ... +%=『1+?2+ * * ' + '也，

Tg】+ т% + . • • + 工％ & f ] + % + *' * + 〃丿 k — \ , 2, /г — 1,

при любом выборе матрицы 辽三 U5). Здесь R. ь, ..., (Л — произвольный набор индексов, принима?ощих значения 1, 2, ..., п. Сравнить с результатом упражнения 2 на стр. 345.

Индуктивные веса

Для полного решения задачи классификации осталось перечислить все характеры а (5), которые являются старшими весами неприводимых представлений группы G. Такие характеры мы будем называть индуктивными.

Пусть Ль А?，.. •, An — главные диагональные миноры матрицы g 巨 G. Если g = 6, то эти миноры являются мультипликативными параметрами матрицы 6. Следовательно, всякий характер а(6) мы можем также записывать в виде

а⑹=П А?・

Здесь мы рассматриваем для простоты только комплекс- нО'аналитические характеры. В общем случае необходимо добавить сомножители △?• в некоторых степенях. Заметим, что А龍=det g = 1 для элементов группы SL(/z), однако мы сохраняем множитель А〃 для обобщения на GL(/z). Существенно, что все миноры Д? обладают следующим свойством: Д1 (^6г) — Дг-(д). Следовательно, имеет место также фор гл ул а

a (g) = II А},

где Af на этот раз означает главный диагональный минор матрицы g. Заметим, что параметры 片 связаны с п

параметрами ш^ в разложении а⑹= Цб? следующими соотношениями:

==Ш^ — tTti^\ j2=1,2,..*, Al,

где положено для общности записи тп^\ = 0. Если параметры г» являются неотрицательными целыми числами, то функция a(g) является полиномом на группе G. Отсюда следует, что в данном случае 吼 конечномерно, и мы получаем серию неприводимых представлений группы G. Поскольку Ап является инвариантом, тот же результат получается при произвольном целом гп. Заметим, что полученные условия г?》0, £ = 1, 2, ..., /г——1, равносильны следующему свойству упорядоченности:

^1 ^^2^Ш3^ ・・•戸

Теорема 4. Характер 々(6) является старшим весом тогда и только тогда, когда для его показателей выполняется соотноиление упорядоченности т】》恤^ … …》те Иначе говоря, все разности ri = m；——тИ1, z = 1, 2, ..., п— 1, доложены быть неотрицательными целыми.

Замечание!. Мы рассматриваем здесь только аналитические характеры а(6). Отсюда непосредственно вытекает целочисленность т^ для GL(几)и целочисленность разностей mi ——"〃+i для SL(/z). Вещественные характеры а(6) будут рассмотрены ниже.

Доказательство. Необходимость условий упорядоченности была уже доказана в § 44 путем рассмотрения симметрии относительно группы Вейля. Если мы желаем получить независимое доказательство, то можно поступить следующим образом.

Заметим, что если Go — подгруппа в группе G, сохра， няющая все базисные векторы, кроме е?, ем, то Go изоморфна SL(2) и разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в Go. Если g 三 Go, nwZCGo, то формула

7V(z) = a(z,g)f(Zg)

определяет неприводимое представление SL(2) в циклической оболочке старшего вектора『).Следовательно, если характер а(6) индуктивен по отношению к группе G, то его сужение на подгруппу Dq = D Г\ GQ является индуктивным по отношению к Go. Заметим теперь, что

а&) =严』+1,

где Х= ди ——единственный мультипликативный параметр в группе Do :|:). Как следует из теории представлений группы SL(2), показатель mi ——niw должен быть целым неотрицательным ). Следовательно,恤》т?》

Достаточность этих условий доказана в начале настоящего параграфа.

Теорема доказана.

Замечание 2. Если G = SL (《С), то параметры т2,团沱 определяются с точностью до общего слагаемого (ибо det g = 1); следовательно, такие параметры могут быть и нецел ыми. Они становятся целы ми, если ввести нормировку тп = 0 (вообще если хотя бы одно из чисел /п； выбрать целым).

Замечание 3. Если рассматривать вещественные представления группы G, то общий вид характера а (6) дается следующей формулой:

a⑹=串?必.

Если мы желаем рассматривать только однозначные представления, то разности ——/； необходимо выбрать целыми для группы GL(rz). Повторяя доказательство теоремы 4, получаем следующие ограничения:

左1》&2》* • •》左〃，/]》%2 2 • • ■》/〃*

При этом числа к» ——^г-+ь /< —— 及+i обязательно должны быть целыми при 1=1, 2, . . . , п——1. Однако числа ^п, /п не обязаны быть целыми в случае GL(/z) и не обязаны быть положительными.

Замечание 4. Всякое неприводимое представление GL(〃)может быть построено по формуле неприводимого представления SL(zz) с добавочным скалярным множителем вида (det g)"“det g)%.

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать только аналитические представления GL(n). Всякий вектор а = (/л；, т2, . . . , mn) с целочисленными координатами, удовлетворяющими условиям упорядоченности ту ^ т^^ . . .^ тп, мы будем называть сигнатурой. В случае SL(n) эта сигнатура определяется с точностью до общего слагаемого у всех координат g, m2,…，也几.

Произведение Юнга

Условимся использовать наряду с обозначением а = (mi, т2, шп) также обозначение а = [гь г2, • • • ...,г „-J для сигнатуры SL(n), где положено г^ = =mi — mw. При этом все параметры 匕,，=1, 2, ...,п—1, являются целыми неотрицательными. Следовательно, множество всех сигнатур порождается векторами

g = [0, 0, ..., 0, 1,0, ..., 0]

(с единицей на i-м месте) относительно сложения. Неприводимые представления d； = d(a, мы условимся называть базисными представлениями группы SL(〃)). Выясним геометрическую структуру каждого из этих представлений.

Пусть t1^2 *■* zp — антисимметричный тензор ранга р. В силу условия антисимметричности мы получим полную систему независимых координат, если положим Л < /2 < .. • < ‘卩・ Пусть е. .. — соответствующий ба-

《2

зисный вектор (т. е. тензор, у которого отлична от нуля только одна независимая координата 尸丿2 …"=]). Вектор е.；『 является весовым с весом

「屮2 1р

В силу условия й < ^2 < •. • < ^р все такие веса различны. Следовательно, всякий старший вектор должен совпадать с одним из элементов е； ,. . Однако условию

упорядоченности сигнатуры удовлетворяет лишь единственный вес ДР = Hi 2... р：

Ар = ^1^2 • • • Зр»

Соответствующая сигнатура определяется равенствами Гр = 1, rh = 0 при 々 # р, т. е. совпадает с символом Др, определенным выше. Следовательно, тензор 尸#2’…'卩 неприводим и соответствующая сигнатура совпадает с Ар.

Антисимметричные тензоры ранга р называются поливекторами. Очевидно, поливектор ранга р определен только при 1《р《几(Если р > п, то тензор 尸山 обращается тождественно в нуль в силу условий антисимметрии.) Таким образом, базисное представление dp отождествляется с поливектором ранга р ).

Из строения произвольной сигнатуры ясно, что всякое представление d(a) может быть определенным образом построено из базисных представлений d【，d2, • • • ...,Ясно, что искомая конструкция не сводится к тензорному произведению, ибо тензоры, как правило, приводимы. Для ответа на поставленный вопрос мы используем операцию умножения в классе функций на группе G (либо также на подгруппах Z, Т, U).

Пусть 员《 — пространство неприводимого представления в одной из функциональнЕях реализаций, описанных выше. Введем обозначение 猊《猊В для линейной оболочки всех произведений видав(尤)屮(工)，屮 w 猊a，"三 猊日. Докажем, что имеет место

Теорема 5.猊а十8=猊a猊6

Доказательство. Рассмотрим, например, реализацию на группе G (во всех остальных случаях доказательство аналогично). Тогда пространство 猊《猊卩

натянуто на функции

fg@ = a(ggJP(gg2), gi, g?MG・

Отсюда очевидно, что оно инвариантно относительно &"(頂厶但=fgg, д&)・ Ясно также, что 9JaSJ?p конечномерно. В то же время 先+日 натянуто на функции

fg° = a(ggo)B(ggo)

и потому является подпространством в 猊仪猊即 Осталось доказать, что последнее пространство неприводимо. Поскольку все функции из этого пространства удовлетворяют соотношениям

f 也 g) = f(g), f(3g) = a(3)B(3)f(g),

то они вполне определяются своими значениями на Z. Поскольку операция 7?^。 сводится к правому сдвигу на Z, то единственной функцией f(z), удовлетворяющей условию RZJ (2) = / (г), является (с точностью до множителя) fo(z)三 1. Из единственности старшего вектора заключаем, что 訳аЭ?в неприводимо. Теорема доказана.

Полученный результат показывает, что операция умножения в классе функций на группе G является искомой операцией, заменяющей тензорное произведение.

Определение 2. Представление d(a + 0) мы будем называть произведением Юнга представлении d(a), d(B) и использовать для этого произведения символ d(a)d(^).

Абстрактное множество, удовлетворяющее всем аксиомам группы, кроме наличия обратного элемента, принято называть полугруппой. В терминах произведения Юнга результат произведенной классификации можно выразить следующим образом:

Следствие. Множество всех неприводимых анали- таиесках представлений группы G = SL (и, С) является полугруппой с образующими di, d2, dn—i, где dp —— поливектор ранга р:

d (a) = d^d^ ... d；^i.

Заменяя SL(п) на GL(/t), мы должны добавить две образующие: dn и dZ[ ибо показатель гп может быть положительным и отрицательным. Если рассматривать

вещественные представления SL(m), то число образующих удваивается за счет добавления комплексно сопряженных представлений d】,d?, .. ., dn^. Если рассматривать вещественные представления GL(m), то полугруппа представлений перестает быть дискретной, ибо множители det g, det g входят необязательно с целыми показателями.

В дальнейшем мы увидим, что представление d(a) содержится в тензорном произведении dq g d% g ... ...®dfm, где множитель d^ встречается /■? раз. При этом d(a) содержится в таком произведении однократно н сигнатура а является старшей среди всех остальных сигнатур, входящих в это произведение (относительно лексикографической упорядоченности). Отсюда вытекает возможность иного определения произведения Юнга.

Упражнение

Сформулировать результат классификации неприводимых представлений U (/г) в «инвариантных» терминах (не зависящих от выбора базиса, в котором группа D диагопальпа.) Указан и е: использовать орбиты в классе эрмитовых матриц п X п относительно присоединенного представления U (/г) (каждой такой орбите с целочисленными собственными значениями ставится в соответствие неприводимое представление U(п)) ).

Глобальный метод, которому мы следовали в этой главе, впервые был предложен Р. Г о д е м а н о м [74]. Однако функциональна》】 реализация представлений (на группе Z, на группе U) была введена еще раньше в фундаментальной работе Н. М. Гельфанда и М. А. Н а й м а р к а [68] по теории бесконечномерных представлений. Изложение в этой главе следует статье автора [84], где развивается метод Р. Годемана. Свойство мультнплнкатнвностн пространств 肌а было впервые отмечено автором в работе [85],

В дальнейшем мы значительно уточним описание канонической модели представления d(a) (гл. X) и обобщим эти результаты на конечномерные предстаоления произвольной соязной гр)гппы Ли (гл. XVI). В следующей главе будет изложена классическая конструкция представлений d(a) в классе тензоров; там же будут указаны еще и другие модели d(a).

ГЛАВА VIII

ТЕНЗОРЫ И ДИАГРАММЫ ЮНГА

Изучение тензоров является классической задачей теории представлений. Речь идет о спектральном анализе, т, е. о разложении тензоров на неприводимые компоненты. Исторически решение этой задачи впервые позволило Г. Вейлю [10] дать явную модель неприводимых представлений группы GL(n) и других классических групп. Мы приступим к решению этой задачи, уже имея информацию о запасе неприводимых представлений. Для простоты мы будем рассматривать только контравариантные тензоры для группы G = GL(〃).

В конце главы по аналогии с тензорами изложим также две другие конструкции неприводимых представлений группы G.

Описание Z-инвариантов

Вместо тензоров 『也…％ нам будет удобно рассматривать соответствующие полилинейные формы Ф(Х, у, ....皿)=八也…'т%%2 …wim, где х,у, ..., W — система tn независимых ковариантных векторов-строк. Согласно общим замечаниям, сделанннм в конце § 14, мы можем вместо тензорного закона преобразований рассматривать операторы

Tg(p (х, Уз) = Ф (xg, yg, wg), определенные в классе полилинейных форм. Пусть Ф означает полную алгебру (контравариантных) тензоров и Фт — конечномерное подпространство тензоров ранга т. Мы отождествляем тензоры с соответствующими формами. Таким образом, операторы Tg образуют представление группы G в пространстве Фт. Очевидно, это пред-

ставление имеет вид

лт = d] ® dj ® . . . ® dx

(ш сомножителей), т. е. совпадает с m-й тензорной степенью неприводимого представления m = dj. Поскольку представление пт аналитично, оно вполне приводимо. Следовательно, мы можем поставить задачу о разложении лт на неприводимые представления.

Следуя методу Z-инвариантов, мы решаем вначале систему уравнений 屮(尤N,yz, ..., wz) =(p(x,y, ..., 5), где г пробегает группу Z всех верхних треугольные матриц с единицами на главной диагонали. Отметим вначале следующее легко проверяемое утверждение*

1° Миноры

XI x2 ■ ■ ( X p

1 & р & %1 & р & %У\ У2 • * * Ур

1 & р & %

1 & р & %

〃 1〃 9 ♦. ♦ И л

являются Z-инвариантами.

Далее, если <р и 屮 являются Z-инвариантами, то это верно также для 九<р + 卩屮，屮屮.Иначе говоря, имеет место

2° Множество Q всех Z-инвариантов является подалгеброй в алгебре Ф.

Заметим, что умножение в алгебре Ф некоммутативно. Действительно, в терминах полилинейных форм умножение двух тензоров ср,屮 задается равенством 屮屮(х, у, ..., W, х', к, ..., о/) = <р (х, 9,...,⑫)W (х‘, у,... ...,w、и произведение, взятое в другом порядке, отличается перестановкой аргументов. Для наших целей существенно также следующее замечание:

3° Алгебра Q инвариантна относительно всевозможных подстановок s(p (%, у, . .., 5)=①(％', у\ ..., 5‘), где N,wf ——подстановка %, у,w.

Комбинируя 1° — 3°, мы получаем в алгебре Q следующий запас одночленов:

о (a, s) = ss?o)?・.・

где символ а отождествляется с набором неотрицательных чисел г】,「2， ..., г и и символ § означает произвольную подстановку.

В теории инвариантов доказывается ([10]), что одночлены вида со (a, s) образуют линейный базис в пространстве Q. Это утверждение сразу решает вопрос о полном запасе Z-инвариантов. В действительности это утверждение мы не будем использовать (и даже получим его независимое доказательство из общих результатов спектрального анализа). Тем не менее для более удобного обзора ситуации мы можем вначале иметь в виду этот общий результат, который сформулируем в виде следующей леммы:

Лемма 1. Миноры ①卜 ①2,...,①龍 являются образующими в алгебре Q

Выясним действие диагональной группы D на миноры о)р. Если 6 = diag{6i，必6), то положим Ар = =6162др. Очевидно, ЗрТЗрАр под действием оператора Ту Следовательно, всякий одночлен о)(а, s) является весовым с весом

a⑹ = 3：%2… 覧“=灯灯 …А).

Здесь числа g》т?》…》тп неотрицательные целые и числа ri, 「2, •.., Гц связаны с ними обычными соотношениями гл. VII: г： = nil — f = 1, 2, .. ., n; mn+i = 0. Очевидно, числа совпадают с показателями одночлена ①(a, s). Заметим, что при этом

m = mj + т2 + ... +/л门=门 + 2j ++ nrn,

где m — ранг тензора w(cc, s). Как и в гл. VII, мы полагаем а = (/пь т^ .. ., ^п) = Гь 「2， . . ., гп]. Для краткости введем обозначение !仪| для суммы mi + т2 + ... …+ тп. Из леммы 1 непосредственно находим

Следствие 1. Всякий старший вектор сигнатуры а=(/П1, "%2, mn) содержится & линейной оболочке одночленов о)(а, $) с фиксированным а.

Указанную линейную оболочку обозначим символом Ra = RmMg ... m • ТоГДа Q — 士 Qa・ Кроме ТОГО, —』Qa，

2〃|a|=m

где Qm означает множество всех Z-инвариантов ранга т.

Соответственно Фт = £ Фа, где Фа — циклическая обо- 1 а I

лочка йа относительно группы G.

Следствие 2. Кратность вхождения неприводимого представления d(cc) совпадает с числом линейно независимых одночленов среди з(а, s).

Результат нашего исследования может быть записан в виде 口切= 2 2(a)d(ct), где k(a) — кратность вхож

дения d(cc) в ①山 а также и во всю алгебру Ф.

Пример 1. Л] = ri,. Представление 冗i неприводимо.

Пример 2. л2 = d^ -F d2. Действительно, при 〃？ = 2 имеются только старшие векторы

叫= 3|(x)3j(g), tt>2 = tt>2(x, у)

и векторы, получаемые из них перестановками аргументов %, у. Поскольку эти перестановки сохраняют з： и меняют знак з?, то мы получаем коллинеарные векторы. Следовательно,

а = [2, 0, .. ., 0], р = [0, 1, 0, ..., 0]

являются единственно возможными сигнатурами и каждая из ннх встречается однократно.

Пример 3.冗з = d； + 2d]d? + &з・ Действительно, в данном случае имеются три вектора:

3：= 3j (元)3] (y)3j (之)，①]吗=j(尤)吗(夕 2)，% = %(%，协 2)，

а также векторы, получаемые из них путем всевозможных подстановок аргументов х, у, 2. Эти подстановки не меняют з；, сохраняют зз с точностью до знака и переводят форму со 10)2 с точностью до знака в три формы т, ■/, т", для которых т Т~ ■/ + т" = 0 (циклическая подстановка 尤,〃,г). В то же время нетрудно видеть, что формы т, V линейно независимы; отсюда ясно, что 山,必 встречается двукратно.

В общем случае легко проверить, что имеют место следующие закономерности:

Представление d「,/?г = 0, 1, 2, ...» встречается в Ф однократно (симметричные тензоры ранга т)・

Представление d&, 1《р《几,встречается в Ф однократно (поливекторы ранга р).

Остальное представления требуют значительно более глубокого изучения. В игру вступает симметрическая группа S — S (т) всех подстановок m аргументов х, у,… ...,w. (На языке тензорных индексов это означает подстановку 八,「2, . - -, bn.) К рассмотрению группы S, действующей в пространстве Фт, мы сейчас и переходим.

Диаграммы Юнга

Для более глубокого изучения симметрии в классе тензоров мы займемся вначале более подробным изучением симметрической группы S = S(/n). Нам будет удобно рассматривать эту группу как группу преобразований в классе чисел f = 1, 2, . . ., т. Каждый элемент s w S определяется при этом системой чисел st = si, s2, .. ., sm, которые принимают те же значения в другом порядке. Обычно в этом случае используется запись

12— (si s212— (si s2smsm

12

— (si s2

12

— (si s2

sm

sm

причем порядок размещения каждой пары (幺 sk) считается несущественным. Закон композиции в группе определяется по правилу sal = s(oi). Обратное преобразование мы также будем обозначать символом s'). Поскольку обратное преобразование сводится к инвер-

сии пары 的 sk), тосии пары 的 sk), тоs =s =мыMlмыMlимеем

сии пары 的 sk), то

сии пары 的 sk), то

s =

s =

мы

Ml

мы

Ml

М2 ... s'm

2 … m

Ясно, что операция s' удовлетворяет тождеству (so)'= =o's'. Допустим теперь, что У = {L,必...,厶??} 一 упо-

рядоченная схема, заполненная т «предметами^ 介,/2» < • • im (природа этих предметов несущественна*)). Мы определяем действие подстановки s на схему У по правилу

{“，％，.…，^m)s = &1， 厶2，• • •» hm\*

Иначе говоря, в схеме У$ на месте с номером А располагается предмет, который в схеме У был расположен 〃а месте с номером sk. При этом, как нетрудно видеть, выполняется следующий закон композиции:

『(心

Существенно заметить, что действие подстановки опре- леляется не номерами предметов, а номерами тех мест, на которых они расположены：i：*). Вслед за Г. Вейлем мы можем повторить, что «весь этот на вид чрезмерный педантизм оказывает серьезную помощь r уяснении порядка, в котором выполняется композиция подстановок».

Рассмотрим теперь произвольное разбиение пг = = mi -h zn2 + • • • + ^/ числа m в сумму f невозрастающих натуральных слагаемых: /т^》勿2》•…》加戶 Всякому такому набору чисел сопоставим индекс а, называемый сигнатурой. Дополняя эти числа нулями, можем считать, не ограничивая общности, что f = m, В классе

*) В приложениях, которые нас интересуют, роль предметов И, i2l ..., tm будут играть тензорные индексы (принимающие значения 1, 2, ..., /и) либо векторные аргументы х, у, ... t w.

**) В то же время предмет с номером 為 располагается в схеме 匕 на месте с номером『电

Эта таблица содержит т\ клеток в первой строке,恨 клеток во второй и т. д. Если положим 门=g —人+八 i = 1, 2,…，力 Ш/+1 = 0, то rp означает число столбцов длины р. На чертеже указана фиксированная нумерация полей, которую условимся называть стандартной. Всякая таблица такого типа называется диаграммой Юнга. Если эта таблица заполняется предметами и, 〃, • • •, tm, причем предмет ih располагается на месте с номером “, то такое заполнение будем называть стандартным и обозначать тем же символом У(а). Символом У$(а) будет обозначаться схема, получаемая из У (а) по указанному выше правилу подстановок.

С каждой сигнатурой а мы свяжем следующие подгруппы в группе S. Подгруппа Р состоит из всех «горизонтальных движений» в схеме У (а) (движение внутри строк). Подгруппа Q состоит из всех «вертикальных движений» (движения внутри столбцов). Положим также

R = QP

Элементы этого множества (которое, вообще говоря, не является группой) условимся называть элементарными подстановками. Если s = or, re/?, то условимся говорить, что s элементарно выражается через о. В заключение этого параграфа докажем простую комбинаторную лемму, которая будет играть принципиальную роль во всех дальнейших построениях:

Лемма 2. Если а〉а', то при любых подстановках s, о существует пара предметов, расположенных в одной и той же строке диаграммы /(а) и d одном и том же столбце диаграммы y0(az). То же верно, если а =" но s не выражается элементарно через о.

Доказательство. Положим У = 匕(а), У'= =Уа”). Условие 忆&叫 означает, что число столбцов диаграммы У' не превосходит числа предметов, расположенных в первой строке диаграммы У. Следовательно, если все такие предметы попадают в различные столбцы диаграммы Yf, то обязательно 他］=^；・ Отбрасывая эти элементы, получаем то же заключение для всех остальных строк. Следовательно, если все предметы, находившиеся в одной строке диаграммы У, попадают в

разные столбцы диаграммы У', то а = а'. Производя в диаграмме У' вертикальное движение q, мы можем поставить каждый предмет в ту строку, где он был расположен в диаграмме У. Производя затем горизонтальное движение р, мы отождествляем У и У；卩* Но это означает, что s = or, где г = qp. Лемма доказана.

Очевидно, лемма 2 является качественным выражением того обстоятельства, что с понижением сигнатуры «повышается роль столбцов》. Отсюда вытекает также

Следствие. Если а > а', то для любых подстановок s, о существуют горизонтальная транспозиция р0 s У (а) и вертикальная транспозиция до в У(а'), для которых

sp^s-1 ^oqofj-1.

То же верно, если а = а', но s не выражается элементарно через о. в частности, если s не элементарно, то существуют транспозиции р0, «о для которых

Действительно, пусть 厶 / ——номера предметов, указанных в лемме 2; тогда эти предметы расположены на местах s", s'j в таблице У$(а) и на местах o't, o'j в таблице У0(а,). В качестве ро, qo мы выбираем транспозиции этих пар. При этом равенства spadt = /, GqEi = / означают, что w = sp()s' = о«о『 есть транспозиция пары (/, /).

Симметризаторы Юнга

Мы будем рассматривать формальные линейные комбинации элементов swS, т. е. групповое кольцо, состоящее из элементов % = £%(s)s. Каждой стандартной диаграмме Юнга поставим в соответствие элемент

С =』± qp,

называемый симметризатором Юнга. Здесь р пробегает Р, 7 пробегает Q и знак определяется четностью или нечетностью подстановки «• Если данная диаграмма состоит из одной строки, то оператор с определяет усреднение по группе S; если диаграмма состоит из одного

столбца, то этот оператор определяет альтернирование по группе S. Очевидны следующие тождества:

q^c = ± с, сро = с,(*)

где знак ± определяется четностью или нечетностью подстановки ^0 (т. е. числом транспозиций в этой подстановке) .Если вместо нумерации 1, 2,…，m считать стандартной нумерацию si, s2,…，sm (нумерацию предметов на полях диаграммы YJ, то вместо оператора с получаем оператор

с' = scs~\

который будем называть эквивалентным оператору с Положим также с = с(У), d = с(К). Покажем, что сим- метризаторы Юнга обладают рядом замечательных коммутационных соотношений.

Лемма 3. Положим с = с(У5(сс)), сг = €(¥0(^)). Тогда имеем-.

с? = где константа 卩 зависит от сигнатуры а (но не зависит от s);

cd = 0, если либо а> а', либо а = а', но s не выражается элементарно через о;

сс‘ = 土卩(sqoT), если а = о/, o~ls = qp; при этом с。= с(У(сс)) w знак определяется как sgn q.

Доказательство. Положим х = с2, s = е. Как следует из ⑺，элемент х удовлетворяет тождествам qx = 土х, хр =尤.Записывая х в виде 2x(s)s, находим отсюда, что функция x(s) удовлетворяет следующему тождеству:

x(qsp)= ± x(s),

где знак определяется как sgnq. Если s не элементарно, то, как мы знаем (следствие из леммы 2), существует пара транспозиций р& 伙)таких, что 伙)spo = s. Следовательно, в этом случае

%(s)= — x(s),

ибо транспозиция ^0 нечетна. Следовательно, в этом случае x(s) = 0 и функция x(s) может быть отлична от нуля только при s элементарном, s = qp. Но тогда имеем

x(qp)= ± х (е),

где по-прежнему знак определяется как sgn q. Полагая 卩=%(е), мы находим, что х = цс. Свойство 1) доказано. Для доказательства свойства 2) достаточно использовать транспозицию т0 = spa-】=Ш7о(г~1 для которой согласно ⑺ мы имеем сто = % to^z = —с'. Элемент у= удовлетворяет при этом соотношению

cd =cT0工时' =一cd.

В результате cd = 0. Наконец, свойство 3) получается непосредственной проверкой. Лемма доказана.

Докажем, что константа ц отлична от нуля. Пусть X — групповое кольцо группы S (т. е. линейное пространство размерности т!). Всякий элемент а^Х, рассматриваемый как оператор левого умножения х->ах, х 巨 X, задается квадратной матрицей ||a(sf-i)||, где s, / пробегают S. Следовательно,

sp а = /п! а (е),

где слева имеется в виду след оператора левого умножения. Положим а = с = £ 士 qp, и пусть XG = cX ——область значений оператора а Поскольку след любого оператора совпадает со следом на области значений, то для вычисления sp с достаточно рассматривать подпространство X» Но согласно 1) на X。 оператор с сводится к умножению на ц. В результате sp с = 卩〃。,n0 = dim Х°, и мы имеем

цп0 = т!,

откуда ц # 0. В результате получаем

Следствие. Всякий оператор & = /， является проекционным (с/2 = d), и два проектора d = -~ с,

= -~ с7 взаимно ортогональны (dd'=0), если выпол

няется условие 2) из леммы 3.

Если фиксировать симметризатор с0 = с(У(а)) и усреднить выражение srL по группе S, то мы получаем элемент, перестановочный со всеми элементами из S. Положим

8 = j 工 5绮「

где сумма берется по всем подстановкам swS. Полученный элемент, зависящий только от сигнатуры а, мы будем также обозначать символом е(сс). Нетрудно проверить, используя лемму 3, что

се = с(**)

для всякого симметризатора с = scos-1, отвечающего данной сигнатуре а. Оператор е мы будем называть центральным симметризатором Юнга.

Лемма 4. Центральные симметризаторы £ = £(а), &' = £(“') являются взаимно ортогональными проекционными операторами:

(е (а) а

£ (а) е (а，) = { п, /

[0 при а=#а .

Доказательство. Если использовать тождество (**), то мы находим

Далее, поскольку операторы е,絃 взаимно перестановочны, то можем считать, не ограничивая общности, что а > а'. Тогда согласно свойству 2) имеем

― - J 2 £ °

mу▲

(здесь сумма берется по всем элементам с ^ sc^s^1, с'= = ос»1 邑 ow S). Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть е ——единичный элемент в группе S 〃 е, £‘，...一совокупность всевозможных центральных симметризаторов Юнга. Тогда е = £ + / + …，т. е. проекторы е, £‘，... осуществляют разложение единицы в групповом кольце группы S.

Доказательство. Пусть X—групповое кольцо и 3 — его центр. Элементы е, £‘，... содержатся в 3 и линейно независимы в силу свойства ортогональности. Число таких элементов равно числу всевозможных сигнатур mi >т2> ... >т/, mi + т2 + ... + т/ = т. С другой стороны, если z = Wz(£)£ содержится в 3» TQ функция 2(£) должна удовлетворять следующему

тождеству:

Z（SoSS[l） = 2（S）

для всякого So w S. Следовательно, размерность линейного пространства 3 равняется числу классов сопряженных элементов в группе S. Как мы видели в § 34, число таких классов также равняется числу сигнатур. Действительно, если использовать преобразования s-> 瓦^丁： то всякая подстановка s может быть приведена к «нормальной форме》 вида

（У = OQ2 > > • Gf,

где Oh означает цикл длины mkt т、》т^》…》т扌 и числа 1, 2, . .., т расположены под знаком этих циклов в нормальном порядке. В результате мы видим, что элементы 8, У, .. . образуют базис в пространстве 3- Поскольку е w 8, то мы имеем е =九& + Vez + ... Умножая последовательно на 8, ..., получаем, что X=V=... ...=1. Лемма доказана.

В заключение заметим, что проекторы d, d‘, .... являются минимальными проекторами в X. Это означает, что если d = di + d?, где d〔, d? — взаимно ортогональные проекторы, то либо d = di, либо d = d?. Действительно, согласно определению проекторов ^, t = 1, 2, мы имеем di = ddid. С другой стороны, повторяя доказательство пункта 1） из леммы 3, получаем, что всякий элемент %о = dxd коллинеарен элементу d. В частности,

Поскольку df ——проектор и d ——ненулевой проектор, то числа 九？ могут принимать только значения 0 и 1. Поскольку также d = di + 壮2 =（九1 + 入2）d, то 九i + 九2 = L Сьчедовательно, d = di либо d = d^

§ 54. Характеристика неприводимых тензоровв терминах симметрии

Вернемся теперь к рассмотрению тензоров для группы G = GL（n）. Роль симметрической группы в изучении тензоров обусловлена тем очевидным фактом, что преобразования этой группы перестановочны с действием

группы G. Отсюда следует, что свойства симметрии по отношению к группе S являются инвариантами по отношению к группе G и могут быть использованы для характеристики инвариантных подпространств. Нашей целью является показать, что этих свойств достаточно также для характеристики неприводимых подпространств.

Условимся записывать 屮(У) вместо 屮(居 у, w) w 广 вместо /中2，，"巾 Здесь У означает упорядоченную схему, которая заполнена в первом случае аргументами х, у, . . . , w, а во втором случае ——индексами 厶,i2,...

im. Для каждого s w S положим

5ф(У) = ф (%s), St* = Fs.

Нетрудно видеть, что эти определения эквивалентны, т. е. stY является тензором коэффициентов преобразованной формы s(p(X). При этом мы используем одно и то же обозначение для элемента swS и линейного оператора в Фт. Соответственно положим

& = X ± 4Р

для симметризатора с。= с(У(а)). Здесь с。уже является линейным оператором в Фт. Операторы с = sqs— называются эквивалентными симметризатору с。. Операторы d, d\ . . . ; с, s', . . . вводятся так же, как и в § 53.

Докажем теперь, что имеет место следующая основная

Теорема 1. Каждый симметризатор Юнга d = ==-^ scQs~l проектирует пространство фт на неприводимое подпространство со старшим вектором

® = S П ^, а = [Г]，Q，…，г/，

ствоствогде миноры (0左 расположены б порядке убывания индексов 电 Если сигнатура a=("Zi, 小2, 团/) имеет 6。- лее п ненулевых координат, то йФт = (0). Подпростран-

ство

ство

①а = Е(а)①m

является максимальным подпространством в фт, представление в котором кратно % (а). Нормировочный множитель ц = ц(а) и кратность 々(а), с которой d(a) содержится s фт, связаны следующим соотношением'.

ц (а) • ^ (а) = т!.

Доказательство. Фиксируем сигнатуру а = =(mi, т2, .. ., т/). Назовем такую сигнатуру допустимой, если，久儿 Каждой допустимой сигнатуре а поставим в соответствие старший вектор

ио = з?з:碎，

где, как обычно, положено 乙=加/一恤+1, г= 1, 2,...,九, mrt+1 = 0 (если f <п, то числа 加升卜...,mn заменяются нулями). Покажем, что вектор со。 может быть записан в виде

5 = d0 伙,

где d0 = — с0 = — ± qp и ср0 ——некоторая форма из пространства Фт. Для этого вычислим сначала тензорные коэффициенты формы соо.

Напомним, что для всякой формы ср (%, у, ..., w) коэффициенты 才八"■■■ lm вычисляются по правилу "К …％z =中(分，分，….，g у Положим X = [е. , е.,...

Рассмотрим сначала следующую схему:

Cl

Cl •

..С]

X』.

出

• • ♦

.С"'

где базисные орты е】,е?, е^ размещены в соответствии со схемой Юнга (и где 九'久九).Подставляя эти аргументы в указанном порядке в форму (оо, находим, что

5(х°)= I.

Если к схеме Х° применить подстановку типа р, то она не изменится. Если к этой схеме применить подстановку

типа е, то одночлен(оо умножается на sgn q. В результате

8o(X%) = sgnq.

Нетрудно видеть, что во всех остальных случаях зо(Х)= =0. Действительно, если X = X^-i, где подстановка s не элементарна, то согласно лемме 2 схема X содержит в некотором столбце два одинаковых орта и соответствующий минор обращается в нуль. Тем более это верно, если X #= Xs ни при каком s wS. В этом случае ко* личественное содержание ортов е^, е2, еп в схеме X отлично от случая X。и непременно найдется хотя бы один столбец, содержащий два одинаковых орта.

С другой стороны, рассмотрим вспомогательную форму фо» определяемую равенствами(ро(Х)= 1 при X = Х°, (ро(Х) = О во всех остальных случаях. Применим к этой форме симметризатор Юнга &:

Q9o (X) = 2 ± Фо (Xg”

Ясно, что полученная форма может быть отлична от нуля только при Х = Х&, где s — некоторая подстановка на S. При этом

•，死(к)=丫±%0凯).

Согласно определению формы qp0 в правой части может встретиться отличное от нуля слагаемое только в случае, когда Х%р = Х°. Но это означает, что sqp 三 R т. е. 's = Ро4о， q° = q-* р()三 R

(Действительно, только в этом случае схема Х° остается инвариантной.) Наконец, в последнем случае отличны ог нуля только те слагаемые, для которых q~l = qQ. Суммируя по группе Р, получаем в результате

Co<₽o(X%) = 4sgn%

где 九——ненулевое число (порядок подгруппы Р). В результате имеем д =十％伙. Выбирая другую нормировку для формы q)o, получаем требуемое равенство: 仰=厶w.，

Теперь уже нетрудно завершить доказательство теоремы. Поскольку d^ = d(), то do(oo = doq)o = ю0. Полагая d =(r-ido(r, (о =「iso, получаем, что вектор (о неподвижен относительно d. Далее, согласно пунктам 2) и 3) из леммы 3 мы имеем

/ 0, если о 陆 R, ［士(%, если о w R・

Но это означает, что проектор do проектирует все пространство Qa на одномерное направление ю0* Следовательно, также оператор d проектирует Qa на одномерное направление ю. Далее возможны следующие два варианта завершения доказательства.

Пусть е— -центральный симметризатор Юнга, отвечающий сигнатуре а. Поскольку ed = d, dm = ю, то мы имеем также ею = ю. Но это означает, что е = е(а) является единичным оператором на Qa. Если а ¥= о/, то мы имеем согласно лемме 4

eQ(r = ^Qar = (0).

Следовательно, е(а) является проектором на ◎« во всем пространстве Qm. Отсюда следует также, что d является проектором на направление вектора (о во всем пространстве Qm. Действительно, при d* d имеем

dQo/ = deQa，= (0)*

Наконец, согласно свойству полноты, даваемому леммой 5, все пространство。承 является прямой суммой подпространств Qa, отвечающих всевозможным^, сигнатурам а = (т^ Ш2, ..., /Пу). Если f > п, то тензор 屮=d(p должен быть антисимметричен по набору индексов, большему п, откуда 屮 = 0. Следовательно, в этом случае Qa = (0). Наконец, из перестановочности d, е с операторами Tg следует, что d проектирует Фт на циклическую оболочку вектора(о и е(а) проектирует Фт на циклическую оболочку Qa.

Вместо леммы 5 мы можем воспользоваться леммой 1, которая независимо дает условие полноты в классе старших векторов. При этом автоматически

учитывается, что следует рассматривать лишь допустимые сигнатуры. Все остальные рассуждения остаются неизменными.

Мы опустили пока соотношение между 々(а), ц(а). Заметим, что оператор с = sc05-1 имеет в пространстве Qa единственное отличное от нуля однократное собственное значение 快(на векторе з). Следовательно, sp ® (а)=表工 sp с =/тг!/|1. С другой стороны, поскольку Е(а) — единичный оператор на Qa, то spE(a) = ^(a). В результате 卩⑷汽⑺=mL Теорема доказана.

Замечание 1. Циклическая оболочка вектора m относительно группы G может быть определена как совокупность всех тензоров 屮，для которых

d(p — ср,

где а = — с = — scos 1 — соответствующий проектор Юнга. (Соответственно сер —快屮.)Этим свойством характеризуется неприводимое подпространство в Фт ф).

Замечание 2. Циклическая оболочка подпространства Qa относительно группы G может быть охарактеризована как совокупность всех тензоров 屮，для которых

е(а)ср = ср,

где Е(а)—центральный проектор, отвечающий сигнатуре а. Этим свойством характеризуется максимальное подпространство Фа, представление в котором кратно d(a)・

Пример. Положим m = 3 и рассмотрим диаграмму Юнга

1 3

1, тензоры данного неприводи- свойством антисимметричности: Q = sQoS「где Qo — подгруппа1, тензоры данного неприводи- свойством антисимметричности: Q = sQoS「где Qo — подгруппа2

1, тензоры данного неприводи- свойством антисимметричности: Q = sQoS「где Qo — подгруппа

1, тензоры данного неприводи- свойством антисимметричности: Q = sQoS「где Qo — подгруппа

*) Как следует из замечания мого подпространства обладают qq = ±屮——по отношению к группе вертикальных движений в У (а).

В этом случае подгруппы 尸 н Q содержат, кроме единичного элемента, лишь по одной транспозиции:

р =(1, з), е =(1,2).

Множество R = QP состоит из четырех элементов: е, q、 р, др, из которых первый и третий четны, а второй н четвертый нечетны. Оператор do имеет вид

do = £(e — g + p- 9Р)・

Для вычисления ц напомним, что 卩々=3! = 6. В нашем случае 々=2 (см. конец § 51). Следовательно,卩=3. Применяя d() к произвольному тензору /, получаем тензор

工川也="^ (/九厶九-#2九厶 + "也九一

Заметим, что при вычислении qpt мы меняем местами «предметы» i3t 逼,стоящие на местах с номерами 1, 2 (7 = (1,2)). Полученный тензор преобразуется по неприводимому представлению с сигнатурой а = (2,1).

Мн оставили еще нерешенной задачу о явном вычислении кратностей 左 = 々(а). В гл. XII будет дана простая рекуррентная формула для вычисления этой кратности.

§ 55. Принцип взаимности

Аппарат симметризаторов Юнга позволил нам разложить пространство Фт на подпространства, неприводимые относительно группы G. Тот же аппарат позволяет решить аналогичную задачу и для самой симметрической группы S, если вместо неприводимых подпространств рассматривать максимальные подпространства, кратные неприводимым. Более глубокий анализ этой ситуации позволяет установить замечательное свойство взаимности, существующее между представлениями G и S.

Заметим вначале, что центральные симметризаторы £(а), будучи перестановочны со всеми элементами группы S, определяют в любом представлении этой группы проекторы на инвариантные подпространства. Если

представление неприводимо, то лишь один из таких проекторов может оказаться отличным от нуля и сводится в этом случае к единичному оператору в пространстве представления. Если представление группы S обладает этим свойством по отношению к е(а), то скажем, что ему соответствует сигнатура а.

В частности, пусть, как и прежде, Фт — пространство всех тензоров ранга m над некоторым пространством размерности п и Фа— область значений в Фт проектора е(а):

Фа = г(а)Фт.

Как следует из теоремы 1, Фа является максимальным подпространством, инвариантным относительно G = = Gt(〃)，представление в котором кратно неприводимому представлению d(a). Докажем теперь, что имеет место

Теорема 2. Пространство Фа является максимальным подпространством в Фт, 8 котором представление группы S кратно неприводимому с сигнатурой а. Пространство Фа изоморфно тензорному произведению

фа яа ® Q©

где Qa ——подпространство, натянутое на старшие векторы, группы G (с сигнатурой а), и Яа — пространство неприводимого представления d(a). Подпространство Qa неприводимо относительно S. Пространство Фа неприводимо относительно G X S.

Наконец, если @ w ⑨一обертывающие алгебры операторов Tg и s в пространстве Фт, то мы имеем

@Л = 0,⑨'=@,

где штрих означает переход к коммутаторной алгебре.

Доказательство. Начнем с доказательства последнего утверждения. Согласно теореме 1 алгебра ⑨ содержит проекторы d, d', … на подпространства, неприводимые относительно ® и в сумме дающие Фт. Достаточно рассматривать только те проекторы, которые линейно независимы. Кроме того, алгебра ⑨ содержит переплетающие операторы (s 三⑨)для эквивалентных проекторов d, d', ... (d' = sds-i), т. е. для эквивалент-

ных неприводимых представлений алгебры @. Отсюда согласно следствию 3 из леммы Шура заключаем, что S = @7. Но тогда согласно принципу взаимности (§ 21), который мы установили как следствие из теоремы Бернсайда, мы также имеем @ = О'.

Перейдем к рассмотрению пространства Фа. Выберем в Qa базис из векторов ⑵，о)2, . . . , сог и натянем на ка*дм访 из этих векторов циклическую оболочку 9?^ относительно алгебры @, i = 1, 2, ..., г. Тогда Э?, изоморфно Э?а и подпространства Э?( линейно независимы. Следовательно,

①t九㊁a»

В каждом подпространстве 沁 выберем базис так, чтобы действие алгебры ® было идентично в каждом из этих базисов. При этом в силу единственности старшего вектора мы можем считать, что со является одним из базисных векторов в 沁. Допустим, что Q« приводимо относительно S. Согласно равенству @ — 6х оператор проектирования на инвариантное подпространство является элементом из @. Ввиду идентичности действия такого оператора на векторы 皿 мы заключаем, что он равняется нулю или единице. Следовательно, Qa неприводимо.

Теперь мы можем заключить, что представление груп二 пы S в пространстве Фа кратно неприводимому представлению, действующему в Qa. Действительно, при каждом gwG пространство rgQa неприводимо инвариантно относительно S (ввиду коммутативности G и S) и оператор Тё переплетает представления в Qa, 7gQa. Отсюда очевидно также, что Фа неприводимо относительно G X S.

Остается доказать свойство максимальности Фа. Поскольку ①加 распадается в прямую сумму подпространств Фа, то достаточно проверить, что при а 声 а' неприводимое представление в ◎«，неэквивалентно представлению в Qa. Но эквивалентность таких представле- нн访 противоречила бы равенствам е(сс) = 0 на ◎«，， £(а)= 1 на Qa (действительно, с (а) является линейной комбинацией операторов представления). Следовательно, ①а есть максимальное подпространство, представдение

в котором относительно S кратно неприводимому представлению с сигнатурой а. Теорема доказана.

Следствие 1. Среди линейных комбинаций операторов Tg содержатся все проекторы на подпространстваf неприводимые относительно S.

Следствие 2. Среди линейных комбинаций операторов Tg содержатся все переплетающие операторы для эквивалентных подпредставлений группы S.

Аналоги этих утверждений при перемене ролей G и S нам известны уже из предыдущих построений.

Замечание 1. Аппарат сим метризаторов Юнга позволяет также получить каноническую реализацию всех неприводимых представлений группы S с помощью (правых) сдвигов в классе функций на группе S. Действительно, полагая

£(ct)x(s) = x(s),

где и(а) интерпретируется как оператор, порожденный левыми сдвигами в групповом кольце функций x(s), мы получаем, как легко проверить, максимальное подпространство 儿，представление в котором кратно неприводимому с сигнатурой а. Аналогично, полагая

dx (s) = х (s),

где d——симметризатор, «подчиненный» £(а), мы получаем более дробное разбиение пространства Ха на подпространства, неприводимые относительно правых сдвигов. Из сравнения числа неприводимых представлении (§ 34) с числом симметризаторов £(а) заключаем, что таким путем получаются действительно все неприводимые представления группы S.

Подробности доказательства предоставляются читателю ).

Замечание 2. До сих пор мы рассматривали только контравариантные тензоры относительно G. Тем не менее нам удалось получить сигнатуры, для которых

g》俏2》• • •》俏也》0・

Для группы SL(孔)такие сигнатуры исчерпывают все возможные сигнатуры. В случае группы GL(m) для получения всех неприводимых представлений достаточно использовать умножение на скалярные представления (det g)m. Заметим, что в классе смешанных тензоров положение затрудняется наличием свертки

工自=工意1 +工2自2 + . . . +工点:

где х——ковариантный и 三——контравариантный векторы. Однако, в классе чисто ковариантных векторов все построения, по существу, ничем не отличаются от изучения алгебры Ф.

§ 56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах

Опишем еще одну модель неприводимого представления d(a), которая в некотором смысле является промежуточной между реализацией в классе тензоров и реализацией на группе G. Положим G = GL(m), Н = = GL(m), где обе группы рассматриваются над полем комплексных чисел. Пусть X — линейное пространство всех комплексных матриц т X 几 и 犷——пространство всех полиномов，(尤),尤三 X. Положим

т/(X)= №'xg),

где h пробегает "ng пробегает G. Операторы 7就 определяют представление группы G 义 Н в пространстве 歹.Поскольку однородные полиномы образуют инвариантное подпространство относительно Tgh, то, в сущности, нам приходится иметь дело с конечномерными представлениями G 乂 Н.

Заметим, что всякое неприводимое представление группы G Х " определяется сдвоенной сигнатурой вида (а| В), где а — сигнатура G и р — сигнатура Н. Поставим задачу о разложении Tgh на неприводимые представления. Полагая f = шах(м,т), мы условимся записывать каждую сигнатуру в виде (恤，т?, ..., ги^), дополняя, если нужно, недостающие координаты нулями. Положим также z*(a) = Докажем, что имеет место

Теорема 3. Представление 8 пространстве 3r является однократной суммой представлений G Х 〃

с сигнатурами вида (aja), г(а)》0. Вектор

fa(x)= H，rz = mz -mz + i

/ = 1 尤川• • •

является старшим вектором, отвечающим сигнатуре (а|а), а = (mi, m2, .... mht 0, 0,0),々=min (л, m), 加1》加2分…》Ek》0.

Доказательство. Заметим, что для матриц хмХ имеет место следующий аналог разложения Гаусса:

尤=“快爲

где у е Z(m), nmZ(m)——верхние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали и ц = diag {快】,ц2> • • • • • • > Hfe} — диагональная прямоугольная матрица m X л. Такое разложение справедливо, если

Мр 声 0, р = 1,2,..., kt

где Мр — главный диагональный минор матрицы х, составленный из первых р строк и первых р столбцов. Доказательство ничем не отличается от случая m = п, рассмотренного в § 9. При этом имеем

Мр

快р = “ ~， 卩=1,k,附о — L

Найдем теперь все старшие векторы группы G X // в пространстве 歹.Если ；(尤)——такой старший вектор, то он является инвариантом Z(/n)XZ(n) и мы имеем

f(x) =fill).

Следовательно, f является полиномом от параметров Ур = Мр/Мр-ь Поскольку вектор f должен быть также весовым относительно D(m) X D(n), то он является одночленом от ЛЬ, М2, ..., Mfe:

〃х) = ЦМ?, ri=zmi-mi^,t = l

где а = (ть * ..., гпп)—сигнатура как относительно левых, так и относительно правых сдвигов на элементы 6 巨 О (/тг), 5 鼻 D (п). Согласно общим условиям, нало-

женным на сигнатуру, в пространстве 歹 содержатся лишь такие одночлены, для которых г^ > 0, £ = 1,2,... ...,々；но тогда ^i ^ ^2 ^ • • • ^ ^/ ^ 0 ). Теорема доказана.

Пусть 歹《 — циклическая оболочка старшего вектора /а(х), т. е. пространство неприводимого представления группы G X Я. Согласно общей теории представлений (см. § 43) мы имеем

где 飕，9ia — пространства неприводимых представлений 〃 н G, отвечающих сигнатуре а. Следовательно,歹竄 может быть также составлено из прямоугольных матриц М X N、M = dim朮3, ^ = dimfffg. Из полученной конструкции очевидно

Следствие 1. Пусть ® 〃 ^ — линейные оболочки операторов Rg = Tge. Lh = Тек соответственно. Тогда мы имеем 血/ = $, & = ®.

Отсюда, как и в предыдущем параграфе, мы можем заключить, что в алгебре ® содержатся все проекторы на неприводимые подпространства относительно $ н в алгебре $ содержатся все проекторы на неприводимые подпространства относительно ®. Аналогичные утверждения верны и для переплетающих операторов.

Отсюда ясно, как произвести сужение на подгруппу, изоморфную G (либо на подгруппу, изоморфную Н). Пространство 歹& кратно неприводимому относительно Я с кратностью ^ и кратно неприводимому относительно G с кратностью М. Здесь, как и выше M = dim 汾К ^ = dim SRq. Рассмотрим специально случай m ~ п.

Следствие 2. Если m = п, то пространство 歹《 может быть охарактеризовано как линейная оболочка функций

т.Дх), 厶 1, 2,м

где 唠(％) означает полином над X, совпадающий при det % 4 0 с матричным элементом группы G сигнатуры а.

Действительно, матричные элементы неприводимого представления т«(g) получаются левыми и правыми сдвигами из производящей функции

看.gn …git '

a(g) = ]] , rz = mz-m/+I

л g〃 •・• ён

(см. общую конструкцию таких представлений в гл. VII). Вместе с функцией a(g) все эти матричные элементы продолжаются до полиномов над X. Ясно, что линейная оболочка этих элементов совпадает с пространством 歹《・

Следствие 3. Матричные элементы аналитических неприводимых представлений группы G образуют линейный базис в классе всех полиномов над X, где X ——множество всех матриц п X п.

Аналогичное утверждение нетрудно также получить для полиномов от вещественных параметров в пространстве X (т. е. полиномов от 尤爾，而仃)；однако при этом приходится рассматривать все вещественные неприводимые представления группы G. Привлекая теорему Вейер- штрасса, получаем также свойство полноты в классе непрерывных функций над X: всякая непрерывная функция над X может быть аппроксимирована линейными комбинациями матричных- элементов равномерно на каждом компакте К и X* В частности, поскольку U = U(/i) является компактом, то мы еще раз получаем аппроксимационную теорему Петера ——Вейля для U (/?)・

Если рассматривать полученную конструкцию как построение модели d(a), то ясно, что при tn < п мы находим не все возможные представления группы G, при т> п возникает избыток параметров, в то время как случай m = п является оптимальным. Таким образом, мы снова возвращаемся к реализации на группе G.

§ 57. Гармонический осциллятор

В заключение этой главы изложим еще одну замечательную алгебраическую конструкцию, которая первоначально возникла в теоретической физике. Вместо группы G мы будем рассматривать ее алгебру Ли x = gis,c).

Пусть 口产 а?,.…,a,/ a^t a^, •・・,口^ 一 образующие в некоторой абстрактной алгебре 8 с соотношениями коммутации

回叫=竹,a打=0,［叫朗=%,

где djj — символ Кронекера. Предполагается также, что алгебра 8 содержит единицу. Коммутативные подалгебры, порожденные элементами а> а；, обозначим соответственно 级и级+.

Элементы %, at называют в теоретической физике операторами Бозе. Операторы а^ называются операторами рождения, операторы aj——операторами уничтожения ^). Квадратичный элемент

к = ata+ + а2а+ + ... + а 川

называется оператором числа частиц. Подобная система операторов описывает квантовомеханическую модель, называемую п-мерным гармоническим осциллятором. Положил! теперь

Е〃 = 4。j, it / = 1, 2, ..., п.

Нетрудно проверить, что операторы Е^ удовлетворяют стандартным соотношениям коммутации алгебры X = 工 gl(几，С). Таким образом, алгебра X может быть вложена в 8 **).

Далее, пусть & — бесконечномерное векторное пространство, в котором действует циклическое представление алгебры 8. При этом предполагается, что роль циклического вектора играет вектор fo, для которого

£Z^/q = 0, »=1, 2,п»

Иначе говоря, вектор fo аннулируется всеми операторами уничтожения. В физике вектор fo называется

*) Наши обозначения отличаются от общепринятых транспозицией «(, а^.

**) Полученная запись отвечает интуитивному представлению об операторах £门 как «операторах перехода из „состояния /'* в „состояние 『'》. Очевидна также аналогия с представлением di@di (шляпка означает контрагредиентное представление).

вектором вакуума (состоянием вакуума). Условие цикличности записывается следующим образом:

5 =财о・

Нетрудно видеть, что 8 = О+. Иначе говоря, при помощи соотношений коммутации можно каждый элемент 6^8 разложить по одночленам, у которых все множители 生 сгруппированы слева и множители ① сгруппированы справа. Но тогда очевидно, что

8 =明.

Следовательно,屯 является циклической оболочкой вектора % по отношению к полиномам а 已必,содержащим только операторы рождения. При этом существенно, что алгебра ?1 является коммутативной.

Как следует из последнего замечания, представления указанного типа действительно существуют. В самом деле, мы можем заранее положить 屯 = 襲%, предполагая, что между векторами

не существует никаких говоря, пространство 8не существует никаких говоря, пространство 8линейных зависимостей. Иначе отождествляется с алгеброй 必

не существует никаких говоря, пространство 8

не существует никаких говоря, пространство 8

всех полиномов от коммутативных символов аь &, … ...,ап. Действие операторов ар at определяется оче

видным образом. В дальнейшем мы будем иметь в виду именно указанные представления. Поскольку Хи89, то получаем также представление алгебры X.

что каждый сек-что каждый сек-Займемся разложением этого представления на не

что каждый сек-

что каждый сек-

приводимые. Прежде всего, заметим, тор f「fhh 片 является весовым:

Eiifk = ^ifk-

Несложная проверка предоставляется читателю. Далее, покажем, что вектор fk может быть старшим только при условии ^2 = ^3 = .. .=^п = 0- Действительно, если 友 содержит хотя бы один сомножитель 0力 j XI, то он не аннулируется оператором Е.. = afl^. С другой стороны,

если положим

=哂，

то вектор сот аннулируется всяким повышающим оператором Е?〃 i < /. Далее, пусть 8m ——подпространство всех векторов 九 для которых 自 + & + ...+ 耳=ги. Нетрудно видеть, что 8m инвариантно относительно алгебры X. Поскольку 8??i конечномерно, то оно вполне приводимо *). Поскольку &т содержит лишь единственный (с точностью до множителя) старший вектор сот> то оно неприводимо.

Таким образом, мы получаем, что в пространстве 8 содержатся, причем однократно, все неприводимые представления алгебры X с сигнатурами (т, 0, 0, 0), ап = 0, 1, 2, ... Этим завершается спектральный анализ пространства 林 Заметим также, что оператор

k = eu+e22+ - - ■ + епп

сводится в подпространстве Sm к умножению на т. Оператор К интерпретируется также как ^массовый оператора или《оператор массы ——энергии».

Если сопоставить этот результат с рассмотрениями предыдущего параграфа, то не должно показаться удивительным, что мы получили в спектре только представления вида d『. Действительно, реализация в пространстве & равносильна реализации в классе полиномов от одной числовой строки 汇=(%i, х2) ..., mJ. Если мы желаем получить все остальные сигнатуры, то придется рассматривать по крайней мере 及 строк (впрочем, для получения сигнатур вида (团卜 m2 . • • , 0, 0, ..., 0) достаточно рассматривать k строк).

Исходя из последнего замечания, мы приходим к следующему обобщению нашей конструкции. Будем считать, что алгебра 8 содержит 2п2 образующих 。订， а拼 厶 / = 1, 2, ..., п, с соотношениями коммутации

[%，%] = [%，唱]=о,[吟，％] = 4科，

*) Для применения принципа полной приводимости достаточно заметить, что в ®щ существует скалярное произведение, относительно которого инфинитезимальные операторы подгруппы U(n) антн- эрмитовы. (См. упражнение 1 в конце § 36.) См, также § 61.

Алгебра X состоит в этом случае из операторов п

Е“ = X %飞砧・ При этом, как и прежде, S9 = О+, где 霞 и 旣+ порождаются соответственно только элементами @订，а・ Массовый оператор определяется формулой

Повторяя почти дословно предыдущие построения, получаем бесконечномерное представление алгебры 93 в пространстве S = 93% с циклическим вектором %, для которого 吗％ = 0, Л / = 1, 2, .. ., п. Спектральный анализ этого представления уже не производится столь элементарно, однако достаточно воспользоваться результатом теоремы 3.

В результате получаем новую реализацию всех неприводимых представлений а = (mb т2, . . . , mn), mi m2 ...》恤》0 (也一целые числа). Хотя такая реализация вполне аналогична реализации предыдущего параграфа, она в отдельных случаях может оказаться более удобной для символической записи действия инфинитезимальных операторов Е^. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. X.

Изложенная нами символическая конструкция допускает также весьма простую функциональную реализацию. Для этого достаточно положить

аи = ^{хиаи = ^{хи

аи = ^{хи

аи = ^{хи

где 尤仃，1, / = 1, 2, . . ., п,——независимые вспомогательные переменные. Определяя вектор вакуума по формуле

%(х) = е (=1

мы отождествляем пространство S с пространством всех функций вида f(x) = р (尤)%(%), где р(х)——произвольный полином от 尤仃 *)• При этом массовый оператор К ото

ждествляется с оператором Гамильтона

для системы из п n-мерных гармонических осцилляторов.

В заключение отметим, что массовый оператор перестановочен со всеми операторами Е订 и потому согласно лемме Шура кратен единице в подпространстве каждого неприводимого представления. Однако в общем случае этот оператор уже «не разделяет точек спектра》，т. е. принимает одно и то же числовое значение на подпространствах с разными сигнатурами. Действительно, можно показать, что этот оператор сводится к умножению на 『孔=々I 十 /712 + .. • + тп во всем пространстве однородных полиномов степени т. Фундаментальным вопросом о разделении точек спектра мы займемся в следующей главе.

Диаграммы Юнга первоначально возникли в связи с непосредственным изучением группы S ([148]). Г. Вейле м [10] показана роль симметризаторов Юнга в изучении тензоров для GL(n). При этом существенно используется «принцип взаимности» между G н S, при помощи которого получаются основные результаты (включая свойство полной приводимости для тензорных преобразований GL (п)). Маше изложение отличается явным использованием старших векторов, что позволяет получить достаточно ясную картину разложения без помощи группы S (§ 51); однако, лишь привлечение группы S позволяет построить проекторы на неприводимые подпространства. Использование метода Z-инвариантов и доказательство теоремы 3 излагаются согласно [84]. Алгебраическая схема с опера- горами Бозе была предложена в работах В. Б а р г м а н а л М. М ош и некого [149], М. Моши некого [155]. См. также [154J.

ГЛАВА IX

ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА

Мы уже не раз встречались с приложениями леммы Шура к теории представлений. В этой главе исследуем еще одну возможность такого приложения — в рамках инфинитезимального метода. Речь будет идти о построении операторов, которые могут быть выражены как полиномы от инфинитезимальных операторов Ег； группы GL(fz) и которые перестановочны с каждым из операторов £\/. Пока изучим лишь простейшие свойства таких операторов. Предварительно рассмотрим общую алгебраическую схему для произвольной алгебры Ли.

§ 58. Универсальная обертывающая алгебра

Пусть X — произвольная алгебра Ли с базисом 01， «2， .. •, ^п и структурными константами

邑,用=с^ек.

Будем рассматривать символы е】,е?， • • • , еп как образующие некоторой ассоциативной алгебры, в которой

«円一e.ei —哈气(*)

и в которой между образующими нет иных соотношений, независимых от (*). Иначе говоря, пусть 養一линейная оболочка всевозможных одночленов вида

С ассоциативным умножением и пусть

4/ = e円一勺勺一哈%.

Мы будем считать, что элемент 2^1 равен нулю тогда и только тогда, когда его возможно представить как сумму элементов вида 〃8订仇 где а и b ——произвольные элементы из 方.В частности, 6订=0. Соответственно два элемента х,，/三落 считаются равными, если их разность г = х ——у есть нуль (иначе говоря, если они приводятся друг к другу с помощью соотношений коммутации ⑺).

Полученная алгебра 義 называется универсальной обертывающей алгеброй или ассоциативной оболочкой алгебры X. В алгебре I естественно использовать обычное определение коммутатора:

[х, у] = ху- ух, X, у 三&

которое согласно ⑺ совпадает с определением коммутатора в X в том частном случае, когда х, у — линейные комбинации с】,^2，• • • , еп. Следовательно, можем считать, что Xujf н коммутатор любых двух элементов %, ywX записывается в обычной альтернативной форме. Положим также

D(x)y = [x, у], х, у 三囂.

Если х, у — два произвольных элемента из X и А, ц — произвольные числа, то получаем следующие тождества:

1。D 仇％ + 卩у) = AD (х) + 卩D (у);

2° D([x, y\}-\D^D(y^

первое из которых очевидно, а второе является следствием тождества Якоби в алгебре X. Оба эти тождества в частности означают, что отображение x-^D(x) является представлением алгебры X, действующим в самой алгебре X. Это представление принято называть присоединенным представлением алгебры X.

Если 芻 а, b ——произвольные элементы из J, то имеет также место следующее тождество (《правило дифференцирования»):

3° Р (х) ab = (D (х) a)b-Va(D (х) Ь\

которое, в частности, при хмХ позволяет заключить, что D (х) удовлетворяет тождеству 2°, т. е. является представлением алгебры X во всей алгебре 1 ).

Докажем теперь, что имеет место

Теорема 1. Всевозможные одночлены

°£ i i = S °i °i% l2

при 厶《，2《• • • V im образуют базис в алгебре 善.То же верно для элементов

e(3%，)=p｛分山J， ‘不% 《 •••《&

где символ Р означает симметризацию по индексам

где s ——произвольная подстановка индексов й,必im.

Доказательство. Пусть х —- произвольная линейная комбинация одночленов е. .. , k^.m, и [х]—

/2

ее старший член, содержащий все слагаемые с h = т. Положим

w2…仇

где предполагается свертка по и,必...,im- Ясно, что с помощью соотношений коммутации мы можем расположить сомножители %,气，…，％ в произвольном порядке, изменяя лишь слагаемые с меньшей степенью однородности. В частности, можем считать, что [х] разлагается лишь по одночленам 色 … 于 при

& …К 2加・ Но тогда по индукции то же верно и для всего элемента 尤 с заменой m на А ^ т.

Заметим, далее, что если тензор / антисимметричен по отношению к хотя бы одной паре индексов, то существует (ввиду соотношений коммутации) такая запись

полинома 居 при которой [х] = 0. Действительно, не ограничивая общности, можем считать, что этими индексами являются й, % Используя тождество

气气=4(气先+%%)+：№ j小

замечаем, что под знаком [х] второе слагаемое можно отбросить (оно имеет меньшую степень однородности). Следовательно 印=0, как свертка симметрического тензора с антисимметрическим.

Рассмотрим теперь оператор симметризации Р и положим /0 =尸厶 Используя диаграммы Юнга, мы можем заключить, что

% -%0 =力 + %2+ • • • + ^,

где каждый тензор 力，/ = 1, 2, . . . , ^J является антисимметрическим по отношению хотя бы к одной транспозиции индексов и, ，2, .. •, 1т *). Согласно сделанному выше замечанию все эти тензоры дают нулевой вклад в 印，?. е.

Но в этой свертке, очевидно, можно заменить% z f на . То же верно и при

(%, %，…，1гп)г

Теперь остается доказать, что элементы е(...,

линейно независимы при 厶 W，2《.…V ‘心 Пусть % = 0; тогда согласно определению алгебры 费 х представляется как сумма элементов вида &8订6, а, b 三変 Напомним, что 8“ = е.е. — е% — с$е走. Заменяя в этом выражении элементы е& ej вспомогательными числами 自厶 g$, замечаем, что [0^] обращается в нуль. Следовательно, и [х] также обращается в нуль при подстановке вместо 。1,…，On коммутирующих символов 占1,占2,…，Еа

Но если

при всех числовых значениях 自厶 то симметрическим тензор /о также обращается в нуль. Следовательно, мы заключаем, что если у элемента 尤 все тензоры коэффициентов записаны в симметричной форме, то равенство 工=0 равносильно обращению всех этих тензоров в нуль. Следовательно, элементы

《灰，k ^т, образуют линейный базис в пространстве Jm, составленном из всех полиномов степени к<т.

Наконец, поскольку наше утверждение доказано для с。 . … .у то оно также верно и для е. z . при

乙&为W •… W，m (из соображений размерности). Теорема доказана.

Следствие 1. Запись каждого элемента х е $ в симметризованной форме однозначна.

Следствие 2. Алгебра J как линейное пространство изоморфна алгебре всех полиномов от числовых переменных £1, &,...,三小

Пэ ^Пэ ^Последнее утверждение (равносильное теореме известно под названием теоремы Биркгофа — Витта

Пэ ^

Пэ ^

Замечание. Соответствие между алгеброй J и ,

геброй полиномов р(Е),三=(&, &, . . . , ^), не является мультипликативным, т. е. умножению двух таких полиномов не соответствует умножение соответствующих элементов х е J. Однако нетрудно видеть, что этому умножению соответствует перемножение старших членов [х], введенных при доказательстве теоремы 1.

Следствие 3. Если X ——алгебра Ли группы О, то алгебра J изоморфна ( уже как алгебра) алгебре всех дифференциальных операторов на G, порожденных левыми сдвигами на О. То же верно для правых сдвигов.

Доказательство предоставляется читателю.

В ближайшее время нас будет интересовать не вся алгебра 療，а только ее центр, который мы обозначим символом 3- Множество 3 по определению состоит из всевозможных элементов г е J, каждый из которых перестановочен со всеми элементами из 篇 Такие элементы называются центральными или операторами Казимира. Условие центральности можно также выразить форму-

*) См., например, [128].

лой 0(x)2 = 0 для всех элементов х w 薔.Множество 3, очевидно, является подалгеброй в алгебре J.

Если х—>t(x) — представление алгебры X, то всякий оператор т(х) является линейной комбинацией операторов 邑=т®), i = 1, 2, ..., п. Полагая для краткости

Е,•也im = EiE^ ... Eim,

мы ставим в соответствие каждой линейной комбинации элементов е. . z $ линейную комбинацию операторов £^/2... im с теми же коэффициентами. Полученное соответствие обозначим по-прежнему символом

х—> т(х),

где, однако, уже х w 薔.Если nw& то оператор т(з) условимся называть оператором Казимира представления т(х); ясно, что всякий такой оператор перестановочен со всеми операторами т(х). Если т(х) неприводимо, то в силу леммы Шура

t⑵=入(之)/,

е. оператор Казимира кратен единичному. Это свойство операторов Казнмнра особенно существенно для многих вопросов теории представлений.

§ 59. Операторы Казимира для группы GL(n)

Пусть, в частности, X — алгебра всех комплексных матриц п~го порядка, т. е. алгебра Ли группы 6 = =GL(n, С). Выбирая в X стандартный базис из элементов 。刃,j, / = 1, 2, ..., п, напомним прежде всего, что оператор

=еm +e22+ …+^nn

является (как отмечалось в § 57) одним из операторов Казимира. В этом случае Ci ^ X и оператор С\ является (как легко проверить) единственным (с точностью до множителя) оператором Казимира, принадлежащим самой алгебре X.

Для построения иных операторов Казимира допустим вначале, что в 薔 содержится некоторая система элемен-

тов 尤仃，г, / = 1, 2, ..., п, которые преобразуются подобно элементам е订 по отношению к присоединенному представлению О(х), т. е. таких, что

[с订，xkl\ = ^jk^il — ^il^kf*

Тогда, очевидно, сумма диагональных элементов Хц будет оператором Казимира в X. Далее, пусть %订，у^, г, / = 1, 2, ... , 〃, — две такие системы элементов. Положим

2 订=XihUhi，

где предполагается суммирование по индексу 电 Нетрудно проверить, что 2订 снова образуют систему указанного типа, и это позволяет нам построить целую серию подобных систем, исходя из базиса системы 2仃：

q(询еер

Свертывая далее по индексам z, /, получаем серию операторов Казимира:

где предполагается суммирование по каждому индексу 3, %,…，im = 1, 2,…，几 Полученную формулу можно рассматривать как формальное выражение следа для матрицы ет, где е = |®/| — матрица из (некоммутирующих) базисных элементов.

Заметим, что если бы матрица е была числовой, то все степени 加+1, еп+2, .. . линейно выражались бы через е°, е* ..., еп с коэффициентами, полиномиально зависящими от &, 6, ..., сп (следствие формулы Кэли —— Гамильтона). В этом случае мы могли бы заключить, что cn+i, Сп+2, • -. полиномиально выражаются через с0, Ci, . .., сп. Однако в нашем случае мы не можем сразу заключить о выполнении подобного соотношения.

Отметим также очевидные обобщения использованного нами приема для произвольной алгебры X с универсальной обертывающей алгеброй 方.Прежде всего, имеет место

Правило 1. Пусть представление D(x) сводится в некоторых инвариантных конечномерных подпространствах Vb V2 с 3f к кон- трагредиентным друг другу представлениям 0(%), 0(%) Фоомула

где ец е Vi, eUR V2 — дуальные базисы по отношению к д, 8, определяет 8 этом случае оператор Казимира е алгебре 養.Здесь предполагается суммирование по ц от \ до N, еде N — dim 匕=dim l%・

Действительно, используя «пгавило дифференцирования», находим

D (尤)с = (д (х)咽 * + % (3 (尤)е”)=伍卩(х) + 3川(х) ) %册=0

в силу равенства д = —df, выражающего контрагредлентность д а д. Следовательно, с — центральный элемент.

С другой стороны, согласно определению алгебры 養 представление D(x) является частью представления л0 + Л] + ... + лт + ..., где я()(х) = 0 и

лт л ® л ® .…® л

(〃2 сомножителей), причем л：! = л означает сужение 0(%) на подпространство X. Следовательно, для описания всех операторов Казимира достаточно перечислить все инфинитезимальные инварианты в представлениях Яш, m = 1, 2, ... Отсюда, в частности, получаем

Правило 2. Если представление 冗〔неприводимо, а лт вполне приводимо при /71 = 2, 3, .. ., то всякий оператор Казимира 6 алгебре 需 есть линейная комбинация операторов вида

с = У气

(сумма по k от 1 до п), где е互一произвольный базис 6 алгебре X и ей совокупность элементов, преобразующихся контрагредиентно ед 〃о отношению к D (х).

Действительно, лт — лт_! ©л；, и для перечисления всех инфинитезимальных инвариантов в лт достаточно выделить из Hm-i все неприводимые компоненты, контрагредиентные 冗卜

В частности, если G = SL (n, С), то представление Л1 является дифференциалом представления

х~> gxg~l

группы G, действующего б классе всех матриц с нулевым следом. Предоставляем читателю доказать (используя, например, метод /-инвариантов), что это представление неприводимо. Кроме того, лт вполне приводимо (как аналитическое представление надкомпактной группы), Следовательно, правило 2 в этом случае применимо. Если G = Gi(n, С), то, очевидно, в этом случае

冗1 = % + Vb

где Ло——сужение Л] на подпространство матриц с нулевым следом. Слагаемое 丫1 соответствует найдешюму ранее оператору Казимира с】.

Используя правило 2, можно было бы (для случая GL (л, С)) показать, что найденные выше операторы Казимира с】,Q,сп являются образующими в центре алгебры 養；однако мы это сделаем иным путем в § 61.

Рассмотрим теперь произвольное представление алгебры X и продолжим его до представления всей

алгебры 3f (см. конец § 58). Если оператор Е^ соответствует базисному элементу。仃，i, j = 1, 2,...,冷，то оператор

Ck = El I Ei t ... El i

(суммирование по и,七,• ■ •, t\) является оператором Казимира, соответствующим центральному элементу % w 8 Если, в частности, рассматривать неприводимое представление d(a) с сигнатурой а = (mi, m2, .. ., mn), то находим в этом случае

&亡=% (а) /,

где символом сА (а) обозначена константа, к умножению на которую в данном случае сводится оператор С片.Таким образом, каждому c^wg ставится в соответствие числовая функция 匕々(竄)=2冗(簿1, m2>т^).

Поскольку оператор Ch кратен единичному в d(a), то для вычисления с立(а) достаточно применить Ch к любому фиксированному вектору & из пространства представления d(a). Мы можем, в частности, в качестве & выбрать старитй вектор, для которого

Е欣о =簿击0,，= 1, 2, .. ., м,

旦衣о = О при /</, /, J= 1, 2, .. п.

Отсюда непосредственно получаем значение 以(竄)= =mi + ш2 + . . . Н- шп. Для вычисления с2(^) запишем оператор 金 в виде суммы трех слагаемых:

i = li < /I > /

Последнее слагаемое этой суммы обращается в нуль на векторе 团.Второе слагаемое с помощью соотношений коммутации может быть приведено к тому же виду с добавочным членом

2Е〃] = 2 (品 一 Е〃)・

Заменяя каждый оператор E；g умножением на т^, получаем следующий результат:

(a) = М⑷+ 3 (铀-m/.

При помощи подобных построений легко находим, что ср (ос) является полиномом от т^ "圾,...,m^ степени р со старшим членом 2 岬 однако остальные его коэффициенты вычисляются сравнительно сложно.

Поставим теперь задачу о полном описании всех полиномов С/е(а), Заметим, что существенную роль в постановке этой задачи играет то обстоятельство, что все операторы Ck в различных представлениях имеют одинаковую полиномиальную структуру, определяемую символом с^ ge 3； следовательно, и ck (ос) зависит только от с^. Поэтому решение данной задачи дает нам также информацию о возможных значениях спектра С目 в произвольном конечномерном представлении алгебры X.

§ 60. Собственные значения операторов СА

Пусть 七仃——инфинитезимальные операторы представления d(cc). Вводя обозначение

Тч = Е歹=… 品/ докажем вначале, что имеет место

Лемма 1. Если g0 ——старший вектор представления d(a), то

7订电0 =。/ <С /,厶 j=l, 2,也，

7£也0=艙0,2,м,

где константа % зависит от сигнатуры а.

Доказательство. Напомним, что операторы Т”； обладают теми же трансформационными свойствами по отношению к присоединенному представлению, что и Е诏. Отсюда следует, как и в § 44, то если 自一весовой вектор с весом 入，то Т订Е ——также весовой вектор с весом

入+ а订，

где а仃 ——корень алгебры X, введенный в § 44. Поскольку ац > 0 при z < /, то равенство Т^ = 0 вытекает из максимальности старшего веса ). Поскольку сс北=0, то

равенство Г^^о = /总о следует из единственности направления старшего вектора. Лемма доказана.

Поскольку Cfe = sp Г = 2 Л/> то для вычисления ch （а） достаточно вычислить все собственные значения 匕 операторов Тц. Представим каждый такой оператор в виде

где для краткости положено 女订二七犷".Если t > /, то слагаемое этой суммы обращается в нуль на векторе g0- Если t < /, то тот же эффект достигается （в силу леммы 1 для Re， при перестановке сомножителей R仃，Е^; в результате этой перестановки возникает добавочный член

Следовательно, если каждый диагональный оператор заменить соответствующим собственным значением, то мы получим равенство

ti = rimi+ 2 （门一门），

К!

которое выражает собственные значения 友 операторов Тц = E^i через собственные значения г； операторов R" = E%-°. Проводя индукцию по 也 сформулируем окончательный результат в виде леммы:

Лемма 2. Если матрица а определяется равенством

的了 =（仆 +几一‘）6订-8订，?，/=1，2, ..., n,

где 6订 ——символ Кронекера 〃 6订=где 6订 ——символ Кронекера 〃 6订=1 при z < /,

где 6订 ——символ Кронекера 〃 6订=

где 6订 ——символ Кронекера 〃 6订=

n. то соб-

0 при 2 > J,

^твенное значение % имеет вид

т. е. является суммой матричных элементов, расположенных 6 t-й строке матрицы а".

Доказательство. Индуктивное соответствие между /； =/? и ° = /尸)может быть переписано в виде

где а =||а订II, i, / = 1, 2, . . . , п, — матрица, определенная в условиях леммы. Мы можем использовать это соответствие также и при 々=1, считая, что /；0) = 1. Понижая степень 电 выражаем 仆 через /?:

что и совпадает с указанной выше формулой. Лемма доказана.

п

Следствие. %(а) =

Заметим, что матрица а является верхней треугольной и имеет вид

乙-1 -1 ... -1

о

где собственные значения 厶,/2, •••，/« связаны с параметрами ть /〃2, • . • г т?г сигнатуры а формулой

/] = /П] + (п — 1), /2 = т2 + (п — 2), ..., /а = шп.

Окончательное выражение для с&(а) мы можем также записывать в виде

% (а) = spdE,

где Е ——квадратная матрица? все элементы которой равны единице.

Полученная формула дает уже достаточно простой алгоритм для вычисления собственных значений cft(а). При помощи этой формулы мы сумеем также получить и несколько более явное выражение для ch(a).

Теорема 2. Собственное значение ch(a) оператора Казимира Ck 8 представлении d(ct) имеет вид

ck (а) = sp 0kЕ,

где матрица а задается формулой (•*) и Е — постоянная матрица, все элементы которой равны единице. Функция 以(а) может быть также выражена через параметры 〃=恤 + (几一/), i = 1, 2, …，几，с помощью формулы

Q (а) = 2 Y?t，

где коэффициенты у? выражаются рационально через 乙：

Доказательство. Первая часть теоремы нами уже доказана. Далее, заметим, что матрица а имеет различные собственные значения. Следовательно, она может быть приведена к диагональному виду:

где диагональная матрица I имеет элементы 〃 = =Ш| 4-(几一i). Положим у = хЕх~\ тогда имеем

(а) = sp 产Y = 2 Y脩

где Yi = ун — диагональные элементы матрицы 丫. Для явного вычисления этих коэффициентов достаточно выписать преобразующие матрицы х, х-1.

Запишем матрицу а в следующей блочной форме:

о dr

где Ь — аналогичная матрица порядка 几——1 с собствен- HbjNjH значениями，,"，…с—стрлбеп нз одина-

ковых чисел, равных —1, и % = /п. Пусть матрица у приводит b к диагональной форме:

ybyT =，，

где Г — диагональная матрица с элементами /% =乙, i= 1, 2, . .., п—1. Тогда нетрудно проверить, что искомая матрица 尤 может быть представлена в виде

у （Г-КГ ус I

ХОДИМХОДИМгде предполагается, что оператор {Г —九）-】у применяется к вектору с）. В частности, если г? = 2, то мы на-

ХОДИМ

ХОДИМ

1

尤］2 =一—-

В общем случае замечаем, что результаты вычисления при п = j—1 сохраняют силу также и при 〃 = j для столбцов с номерами 1, 2,/ — 1 （именно эти столбцы входят в матрицу у）. В то же время столбец с номером j выражается через предыдущие столбцы по формуле

工订=一厶_ /, （1十修，十必，£+2十• • •十%，）7），

где i = 1, 2, . .., / ——1;尤簿=1; Xk-j = 0 при k> j. Вводя для краткости обозначение о订=（厶一/；）-1, замечаем, что сумма 1 十 к», г+1 + . .. + %i,〉一2 отличается лишь множителем от 修,г，Отсюда находим

=（1 —“ ］）, /</.

Начиная с элемента xi} ,+i = —0窘小+i и продвигаясь вдоль строки направо, получаем в результате

尤订=—5/ П （1—5*р）， 1W，V/W亿p = i+\

При этом матрица 尤 является верхней треугольной с единицами на главной диагонали.

Вычисление матрицы %"1 можно несколько упростить, если заметить, что

尤—i = у-' —(6—九)1 с- 01

Теперь уже путем элементарных вычислений нетрудно получить искомую формулу для коэффициентов w・

Теорема доказана.

Из найденных формул для с目(а) первая непосредственно приводит к полиному, вторая—лишь к рациональной функции от "21,团2, ■ . ■,他公 Однако вторая формула содержит замечательную информацию о структуре функций ck (а):

Следствие 1. Все собственные значения с&(а) являются симметрическими полиномами от 乙，/2, . . . , 1п.

Действительно, всякая перестановка этих чисел ведет к одновременной перестановке степеней /? и соответствующих коэффициентов 丫力 Отсюда в свою очередь нетрудно получить

Следствие 2. В классе собственных значений операторов Казимира для группы GL(/i) содерэ!сатся все симметрические полиномы от 乙，勾,■ ■ ■ , /л.

Действительно, достаточно доказать это утверждение для степенных сумм Ньютона

Sfe (а) = 2 倉

2 = !

через которые, как известно, всякий симметрический полином выражается полиномиально. Записывая матрицу д из теоремы 2 в виде / 4- р, где / ——диагональная часть с собственными значениями /1, /2, • • ■ , /« и р — постоянная матрица, находим, что разность

Cfe (a)- sk (а) = sp (/ + рУ Е — sp lkE

есть симметрический полином степени <й. Следовательно, рассуждая индуктивно, заключаем, что s儿(а) выражается через cft(a) полиномиально (и рекуррентно). Следовательно, sft(a) содержится в классе собственных значений операторов Казимира.

Следствие 3. Если k > п, то оператор Казимира Са выражается полиномиально через с】,с^ ... , с^.

Действительно, суммы Ньютона s&(a), /г ^ л, а вместе с ними и функции с〃(а), 々《％ являются образующими в классе симметрических полиномов. Следовательно, существует такой полином 九(引,г2, . . ., гп), что оператор

6 =醯一/% (q, з, . . ., cj обращается в нуль на всех неприводимых представлениях d(a). Но тогда он обращается в нуль и в правом регулярном представлении, определенном в классе полиномов на G. Поскольку это представление является точным для алгебры 北 ), то 6 = 0.

В заключение отметим, что 以(а) есть коэффициент при 之方 в разложении функции

по степеням вспомогательной переменной г. Вводя обо» значение

口⑵ а)=П(1-т^)

и разлагая это произведение в сумму простых дробей, легко находим, что оно совпадает с выражением 1—zc(z, а). Следовательно,

c(z, а) = ；(1 - л (z, а)).

Из полученной формулы особенно отчетливо видна симметрия собственных значений по /1,厶,...,ln-

§ 61. Разделение точек спектра и алгебраическоедоказательство полной приводимости

В предыдущем параграфе было показано, что функции б(а), С2(а), ... , сп (а) образуют полиномиальный

базис в классе всех симметрических полиномов ог /】，%, ..., 1п- Отсюда легко вытекает следующее утверждение:

Теорема 3. Собственные значения Ci (а), с2(а),... ...,сп(а) характеризуют сигнатуру а однозначно, т. е определяют неприводимое представление d(a) однозначно с точностью до эквивалентности.

Доказательство. Если нам известны числа 九 1 = б (а),...,九梵=сп (а), то известны также значения всех симметрических полиномов от 厶，/2,4・ Следовательно, числа /】,勾,..■, In определяются однозначно с точностью до перестановок ). Однако, если эти числа соответствуют сигнатуре а= (ms, m2, . . ., mn), то между ними существует соотношение порядка

/] > 勾 > * • *〉* 1沱,

которое следует из их определения (/； = тг- + (/г ——t), / = 1, 2, . . . , п,) и неравенств m、》in?》…》mn. Следовательно, в этом случае числа 厶,勾,.■ • , /« определяются уже однозначно.

Теорема доказана.

Основное содержание теоремы 3 сводится к тому, что если сигнатуры а,卩 различны, то найдется хотя бы одно значение k = 1, 2, …，п, при котором %(а)次以(卩). Коротко можно сказать, что операторы Казимира «разделяют» неприводимые представления группы G.

До сих пор мы рассматривали только аналитические представления группы GL(〃); очевидно, те же результаты имеют место и для всех неприводимых конечномерных представлений этой группы; однако набор операторов Казимира «удваивается», поскольку наряду с аналитическими приходится рассматривать также и антианалитические инфинитезимальные операторы. Переход от GL(/i) к SL(/i) сводится к исключению линейного оператора с【(вместе с ci в вещественном случае ));

остальные операторы Казимира, очевидно, по-прежнему разделяют неприводимые представления этой группы.

«Разделяющее свойство» операторов Казимира может быть использовано для алгебраического доказательства полной приводимости, разумеется, в случае группы SL (м). Сформулируем этот результат как следствие теоремы 3:

Следствие. Всякое конечномерное представление группы SL (几)вполне приводимо.

Мы наметим только схему доказательства этого утверждения. Если в состав представления т входят два неприводимых представления а и Ь, то матрицы т по отношению к некоторому базису принимают квазитре- угольную форму:

т=1о

Если а не эквивалентно Ь, то существует оператор Казимира А, разделяющий а н 6; в данном базисе матрица этого оператора имеет ту же квазитреугольную форму с заменой а на 九亡1, b на A2c2, где ?i, е2 ——единичные матрицы соответствующего порядка. Поскольку 九i 片九2, оператор А диагонализуется:

А =А =储О储ОО九2О九2

А =

А =

储

О

储

О

О

九2

О

九2

(九g =九？&, t = I, 2), причем замена базиса осуществляется таким образом, что матрицы т имеют прежний ква- зитреугольный вид. Поскольку

Ат — тА =Ат — тА =

Ат — тА =

Ат — тА =

н 九1 片 九2, мы заключаем, что с = 0. Если а эквивалентно Ь, то операторы Казимира не дают никакой информации; однако, используя инфинитезимальную технику и единственность старшего веса, легко находим, что и в этом случае представление т вполне приводимо. Переход к произвольному количеству неприводимых компонент осуществляется теперь без труда (по индукции).

Замечание 1. Для группы GL(n) подобное рассуждение не проходит лишь в том случае, когда а эквивалентно Ь. Действительно, в этом случае представление т может отличаться от а = 6 тензорным множителем вида

I о ；［' / = ln|detg|,

и свойство Рассуждая ставление т из которых видаи свойство Рассуждая ставление т из которых видаполной приводимости уже не выполняется, индуктивно, разбиваем произвольное пред- в прямую сумму отдельных блоков, каждый отличается лишь тензорным множителем

и свойство Рассуждая ставление т из которых вида

и свойство Рассуждая ставление т из которых вида

О100О I

ехр/%ехр/%?=?=/ = 1п| detgl,/ = 1п| detgl,О01оо

ехр/%

ехр/%

?=

?=

/ = 1п| detgl,

/ = 1п| detgl,

ООО1 .. ■ О

ооооо

от неприводимого представления GL(n) ). Иначе говоря, все «жордановы клетки» группы GL(n) обусловлены наличием одномерных представлений g—*detg, g—*detg, которые, в сущности, являются представлениями абелевой фактор-группы GL(〃)/SL(〃j ).

Замечание 2. Располагая инфинитезимальным методом изучения полной приводимости, мы могли бы вместо GL(n), SL(n) рассматривать их алгебры Ли gl(n), sl(n). При этом нет необходимости использовать явную модель неприводимых представлений, достаточно лишь знать ), что существует взаимно однозначное соответствие между этими представлениями и сигнатурами а = (mi, Ш2, • • •, тп), mi > т2 ^ • • ■ ^ 他小

«Разделяющее свойство» операторов Казимира может быть, очевидно, использовано также для спектраль-

ного анализа конечномерных представлений, точнее, для перечисления всех неприводимых компонент, входящих в данное представление. Однако практически этот метод слишком сложен ).

§ 62. Полное описание центра для группы GL(n)

Если нас интересует задача о полном описании центра 3 в универсальной обертывающей алгебре f, то удобнее всего обратиться к симметризованной форме записи элементов х 三 玄 Положим

ч l2I 1 ‘2 …z川

где P — оператор симметризации по индексам 九 房，… ...,im, введенный в § 58. Полученный символ уже не зависит от порядка расположения индексов 厶,i?, .. . , im- Напомним, что такие элементы образуют базис в f.

Умножение с кружочком можно по правилу дистрибутивности продолжить также на любые элементы х ^ f ). Очевидно, это умножение коммутативно. Если поставить в соответствие каждому элементу 〃。/『。例切 числовое произведение 氐自厶・・・а?切,где Ei,己2,...,己乳—вспомогательные независимые переменные, то мы получаем взаимно однозначное соответствие между 北 и алгеброй 夕 всех полиномов от &, &, . • •,己乳. Для того чтобы это соответствие не зависело от выбора базиса, достаточно предположить, что &, ^2,號一-

ковариантные координаты в самой алгебре X. В этом смысле будем писать 俨=俨(X).

Заметим, что введенное соответствие между 壬 i-i 夕(X) является мультипликативным, если под умножением в 壬 понимать умножение с кружочком.

Выясним теперь, какой подалгебре в 0(Х) соответствует центр 8 и 壬.Для регпения этого вопроса нам будет удобно отказаться от чисто инфинитезимального рассмотрения и считать, что X ——алгебра Ли некоторой группы G.

Если в группе G осуществляется внутренний автоморфизм 力—g厶g-* то этот автоморфизм вызывает также преобразование %->p(g)x в классе касательных векторов х е X. В частности, если G ——матричная группа, то

p(g)x = gxgT,

Подставляя в это выражение g = exp ty, gwX, н разлагая правую часть в степенной ряд по 厶 получаем, что

р (exp ty)^\ tD (г/) 4- •・・，

т. е. представление 〃(у) является главной линейной частью (дифференциалом) p(g). Представление p(g) называется присоединенным представлением группы G.

Если Е = {gj — ковариантные координаты в алгебре X, то представление p(g) вызывает также преобразование g —► в классе этих координат. Формула

TgP (^) = P(U

определяет представление группы G в алгебре 0(Х)・ Если рассматривать только линейные формы р(2), то они преобразуются контравариантно и представление Tg совпадает в данном случае с представлением p(g). Следовательно, Tg продолжает p(g) на алгебру 0(Х).

Вычислим дифференциал представления Tg. Если р(2)——линейная форма, то, как мы знаем, этим дифференциалом является D(x). В общем случае мы вычисляем инфинитезимальные операции представления Tg по индукции как производные в точке g = е от произведения некоторого числа линейных форм. В силу «правила дифференцирования», введенного в § 58, это приводит к тому же результату, что и определение D(x)日 алгебре f. Следовательно, D(x) в алгебре 壬 является дифференциалом Тё.

Замечание. Из полученного результата, в частности, следует что представление D(x) совпадает с представлением

冗0 + 冗I + О (冗2)+ • • ■ + О (冗；72)+ ■ ■ •,

где о(лш) — симметризованная часть представления лт = л®л®... ...®л (т сомножителей). Эта запись уточняет замечание, сделанное в § 59.

Напомним теперь, что 3 состоит по определению из всех инфинитезимальных инвариантов О(х). Следовательно, 3 есть совокупность всех инвариантов представления Tg. Сформулируем полученный результат в виде следующей общей теоремы:

Теорема 4. Взаимно однозначное соответствие между алгеброй $ и алгеброй 乡(X) всех полиномов р(^) от ковариантных координат s алгебре X приводит к соответствию между центром 3 〃 алгеброй всех полиномов. инвариантных относительно присоединенного представления в X.

В частности, если X — алгебра Ли группы GL(/z), то всякий элемент х 三 X записывается в виде х^е^, где е 仃 ——стандартный базис, и всякая линейная форма р 三 0(Х) записывается в виде p(g)=炉电仃=sp 工自 где матрица 三=1店仃山 乙 j = 1, 2,.…，/г, составлена из вспомогательных переменных, заменяющих базис е订.Преобразование х—>gxg-4 контрагредиентно преобразованию 三―>g-%g в классе переменных 自 Следовательно,

в классе всех полиномов 卩(三)от переменных 自=|陪门||, i, /= 1,2, к. При этом рассматриваются только «аналитические» полиномы р (^) (зависящие от 自仃，но не от£»).

Задача описания центра 3 сводится теперь к задаче описания всех решений системы уравнений

p(g 飞 g) = р(а)

в классе полиномов 卩(Е). В частности, такими полино* мами являются элементы

km (Ю sp ^m, m = 0, 1, 2,...

Известно ), что любой инвариантный полином p(g) является в этом случае полиномом от 々卜 й2, . . . , kn. Иначе говоря,々1,々2,…，hn являются образующими в алгебре 俨о всех инвариантных полиномов.

Возвращаясь от переменных 自灯 снова к базисным элементам 公力 получаем

Следствие 1. Операторы Казимира

% 小卩脚°。m - 1, 2, . . п,

являются образующими центра 3 е случае группы GL(n).

Заметим теперь, что полиномы 电沱 и ст имеют одинаковую старшую компоненту:

[々ml = [^/т1]т

где символ [х] был введен в § 58 для элементов 工三普. Действительно, оба эти полинома принимают одно и то же значение при формальной подстановке 自订 вместо е订.Отсюда ясно, что системы km, cm, m = 0, 1,.…，〃， выражаются друг через друга полиномиально и рекур- рентно. В результате получаем также

Следствие 2. Операторы Казимира cm, m — 1, 2,...,几,также являются образующими центра 3 s случае группы GL (п).

Последнее утверждение представляет для нас интерес хотя бы в том отношении, что свойства симметрии, найденные нами в § 60, переносятся теперь на произвольный оператор Казимира z 三 8：

Следствие 3. Собственное значение г(а) всякого оператора ■ Казимира z 三 8 является симметрическим полиномом от параметров /1,厶К (厶="修 + (п —，)， i=l,2, . . . , /i).

Правило циклов

В заключение этой главы предложим еще один метод вычисления собственных значении операторов Казимира, который, в отличие от метода теоремы 2, специально

приспособлен для работы с симметризованными операторами Казимира. Развитие нового метода представляет интерес по той причине, что явная связь между изученными ранее операторами сь с2, . . . , сп и симметризован- ными операторами 々卜々2, • • •,々冷 практически является довольно сложной. Впрочем, вместо операторов 也，局，… ...,kn нам будет удобнее рассматривать иную базисную систему операторов Казимира.

Используя снова вспомогательную числовую матрицу 占=口三订山 /, j = 1, 2, .. ., n, мы рассмотрим ее характеристический полином

j(%,a=det(l-箧)=1一m十丐2—… ,

коэффициенты которого выражаются хорошо известными формулами через диагональные миноры матрицы J:

Ут焦)=工4 <，2 <…<匕Ут焦)=工4 <，2 <…<匕т = 1, 2,п.т = 1, 2,п.

Ут焦)=工

4 <，2 <…<匕

Ут焦)=工

4 <，2 <…<匕

т = 1, 2,п.

т = 1, 2,п.

Полином /(%,?, а вместе с ним и его коэффициенты jm^) являются инвариантами относительно присоединенного представления 三今 g~%g； более того, как известно, полиномы /i(g), /г(^), • ■ • , jm(E) являются образующими в алгебре 死.Следовательно, мы получаем возможность рассматривать новые операторы Казимира:

1m1mS< ..S< ..^； ；• * • ° 才 £^； ；• * • ° 才 £m = 1, 2, ..., n,m = 1, 2, ..., n,

1m

1m

S

< ..

S

< ..

^； ；• * • ° 才 £

^； ；• * • ° 才 £

m = 1, 2, ..., n,

m = 1, 2, ..., n,

которые являются образующими в алгебре ^0. Кружочек над знаком детерминанта означает при этом, что отдельные одночлены, возникающие при раскрытии детерминанта, вычисляются как коммутативные произведения с кружочком, например:

3102°21©223102°21©22=С" ° °22 — 02 ° ©21・=С" ° °22 — 02 ° ©21・

3102

°21©22

3102

°21©22

=С" ° °22 — 02 ° ©21・

=С" ° °22 — 02 ° ©21・

В дальнейшем мы укажем простую явную связь между образующими /1, /2, . *., /п и образующими 也,局,... ...,kn. Наряду с операторами 九,/2, . . . , /п мы можем рассматривать также их линейную комбинацию

/(М =/(М =1 -九@1 一 九612 •.. _ 九6[〃一九e21 1 i ae22 ' • •-九e2几

/(М =

/(М =

-九%1-九拆2 • • • I""九备厶

Полином /(Z) будем называть производящим полиномом операторов Казимира. Переходя от абстрактных опера

торов к операторам представления, заменяем символы е仃，jm, j(A) соответствующими заглавными символами Etj, /щ,，(九)•

Полагая, в частности, т — п, мы рассмотрим оператор Казимира

£\i 旦2 . . • £\〃 °

/ =e2]e22 • • •e2门

E〃1 七厶2 • • • E*

от которого оператор /(А) отличается лишь несущественной заменой Е仃 на 6仃 —— 入Е^ Раскрывая этот детерминант, замечаем, что каждое его слагаемое имеет вид

土 Ен】。£"2%。・・・° E%

где (厶,‘2, ..., tn)——произвольная подстановка индексов 1,2, .. ., п (знак определяется четностью или нечетностью этой подстановки). Поскольку умножение коммутативно, мы можем сгруппировать сначала сомножители вида Ei厶七厶厶….E〃i, затем сомножители вида Es/iE/j? ... E〃s, где s — один из индексов, не содержащихся в первой цепочке, и т. д., что равносильно разбиению исходной подстановки на отдельные циклы. Введем теперь

Определение. Произведение вида

%也...％ = Е，也。Е%%。... °Е%，1，

где среди индексов и,必 …，ip нет одинаковых, назовем циклом. Число р назовем длиной этого цикла ).

В частности, мы видим, что всякий детерминант Казимира является полиномом от циклов по отношению к умножению с кружочком; при этом перемножаемые циклы никогда не содержат общих индексов и потому взаимно перестановочны. Для наших целей существенно, что в произвольной ассоциативной алгебре 至 имеет место следующее

Правило умножения. Если базисные элементы, входящие в два разных одночлена

й = 1, 2, ..., т, взаимно перестановочны, то эти одночлены также перестановочны, причем

А[ о А2^ «.. 。Am =

Иначе говоря, для одночленов Ль Л2» 4m умножение с дружочками равносильно обычному умножению.

Действительно, согласно определению умножения с кружочком имеем

4 "2。。 4 = J? (ё屮2 ……),

где f =九 + % + …+ fm. и сумма распространяется на все f! перестановок сомножителей е, , е, , ..., е, . Условимся считать два слагаемых в этой сумме эквивалентными, если они получаются друг из друга перестановкой лишь тех сомножителей, которые входят в один и тот же одночлен А^. Ясно, что каждый класс эквивалентности имеет V = /i!… /т! слагаемых и число раз

личных классов есть /!/v. При вычислении суммы слагаемых каждого класса мы можем воспользоваться перестановочностью сомножителей, входящих в разные одночлены 4, и расположить на первых 九 местах

сомножители из 4, на следующих % местах — сомножители из А2 и т. д. При этом согласно определению эквивалентности на каждом из этих отрезков встречается по одному разу всякая возможная перестановка сомножителей данной группы. Следовательно, искомая сумма S может быть записана в виде произведения S&…S；,” где

Следовательно, каждый класс эквивалентности дает один и тот же вклад, равный S, и общая сумма вкладов есть f\/v • S = f\ДИз • г*Ат. Производя деление на 儿 входящее в символ Л i оЛ2 о . . о Лт, получаем нужный результат. Отсюда, в частности, имеем

Следствие. Всякий детерминант Казимира является полиномом от циклов по отношению ^ обычному умножению,-

Фиксируя некоторый цикл и применяя его к старшему вектору 三о, замечаем, что действие цикла добавляет к каждому весу слагаемое вида а. . + а. . + ... Т- 屮 2

+ а, ； = 0. Следовательно, вес не изменяется и, в частности,

ZWo =入 Wo

для каждого цикла Z. Покажем теперь, что собственное значение 入 для каждого цикла Z может быть сравнительно просто выражено в явном виде

Условимся считать, что р = (G, 必...,%)—циклическая система индексов, т. е. такая, в которой номер р считается предшествующим номеру 1, и пусть р‘ ——линейная цепочка тех же индексов, распределенных в новом порядке. Фиксируем целое число 力 и будем использовать символы а, В для чисел《々 и >А. Скажем, что р‘——инверсная цепочка порядка 々,если

гю^а)пгю^а)пдля каждой пары соседних индексов в р вида индекс i встречается в р‘ ранее р；

гю^а)п

гю^а)п

для каждой пары соседних индексов в р вида индекс а встречается в р‘ ранее /.

1И этом индексы i, / могут быть как типа а, так и

типа В. Из этого определения, в частности, следует, что

всякая цепочка из р вида (рь р2, • • •, В$) сохраняет свой порядок следования в р‘, а цепочка вида (ai, аг, ..., at) меняет порядок следования на обратный ). Пусть 〃片—— число всех инверсных цепочек порядка 兑.

Докажем теперь, что имеет место

Теорема 5. Собственное значение каждого цикла Z на старшем векторе представления d(a) есть линейная функция от сигнатуры а. Если 2 = 2厶％ …%, 丁。 собственное значение этого цикла имеет вид

乙也-% = 7! K~V2m/2 + %田％ — • • •土 田/J，

где /1, /2, ..., /р ——расположение индексов 加,办，•••, ，口 в порядке возрастания, а = (mi, m2, . .., mn), р ^п и коэффициента Vk вычисляются по формуле

^ = “т + 4,

где nh ——число инверсных цепочек порядка 6, построенных по системе (и, 12, Л

Доказательство. Пусть N ——произвольное слагаемое в цикле Z; докажем, что собственное значение ^ на старшем векторе go является линейной функцией от а. Действительно, это верно, если цикл имеет длину 1. В общем случае заметим, что среди сомножителей одночлена N всегда содержится хотя бы один повышающий оператор £ = £\j. Записывая N в виде МЕМ, где N{, ^2 — дополнитепь- ные сомножители, переставим местами £ и 必：

А' -^1^2£ + ^1 [£, М].

Очевидно, первое слагаемое этой суммы аннулирует старший вектор go. Далее, нетрудно видеть, что второе слагаемое всегда представляется в виде разности двух одночленов, имеющих степень однородности р — 1 и содержащихся в некоторых циклах длины р—1 "*). Следовательно, наше утверждение доказывается по индукции.

Ввиду доказанного свойства линейности мы можем для каждой сигнатуры a = [г；, г2,...,厂几]представить искомое собственное значение в виде

где %h—такое же собственное значение в базисном представлении dh, k = 1, 2, ..., п. Реализуем представление dk в классе функций от k вектороВ'Строк х = (хь •. •, хп), у = (pi, У2, • • ■, Уп) и условимся использовать сокращенное обозначение

[м,必♦ • •, G]=[м,必♦ • •, G]=乜У% 也乜У% 也

[м,必♦ • •, G]=

[м,必♦ • •, G]=

乜У% 也

乜У% 也

忆忆…%

для произвольного минора 论-ro порядка, составленного из этих строк. В частности, минор ①卜=[1, 2,...,内]явчяется старшим вектором представления d&. Поскольку преобразования группы G сводятся к умножению векторов х, у, ..., « справа на g 三 G, легко находим, что в этом случае

”£ дх.力 3%』ди}

Применение такого оператора к минору [厶，为，• ■ ■, %] равносильно замене индекса j под знаком минора на индекс 2 (либо обращению в нуль этого минора, если / не содержится среди индексов 厶，i2t ...

ik). Мы получаем удобную схему для применения инфинитезимальных операторов Ец

Рассмотрим теперь систему операторовГ^ = Е? ^ , Fj = £j / ‘ ・•・ i , входящих в определение цикла 2, и вычислим действие на вектор ①卜 произвольного одночлена вида

Л^ = г Г ... г

где р，= (si, S2, ..., S?)——подстановка индексов р =(必 i2, ip) Нетрудно видеть, что Az(o?t ^ 0 только в том случае, когда pz — инверсная цепочка порядка k. Действительно, допустим, что прлменение операторов Г5 в указанном порядке приводит после некоторого числа шагов к ненулевому минору ш. Пусть символы а, р относятся соответственно к числам &々 и ＞々.Дальнейшее применение оператора Г； = Е\ ； может привести к нулевому результату только в сле- 1т 1 т1т + \

дующих случаях: 1) пара (im, /m + i) имеет вид (р, |У), и оператор Ру стоит левее Р^ (т. е. индекс рЛ еще не появился на схеме 侬)；2) пара «т,厶也 + i) имеет вид (艮 а), и оператор F. стоит правее Гр (т. е. индекс а уже смещен со схемы ш); 3) пара (tm-j, im) имеет вид (i, а), и оператор「стоит левее Га (в этом случае индекс а еще не смещен со схемы ш и применение Га приводит к появлению двух одинаковых столбцов под знаком минора ш). Но все эти случаи исключаются, если pz ——инверсная цепочка. Применение оператора ^ к вектору юА приводит в этом случае к циклической перестановке

всех индексов аь аг, .,. & а„ входящих как в цепочку 仏，А …，办工 так и в схему ①八.Следовательно,

7(Т)°т

Z 吗=一- nkak>

где функция «а и функция q = q(k) имеют, очевидно, скачки только в точках 厶，办,•••, »р (причем д(Е) меняется ровно на единицу). Заметим также, что пт = nM-i = 1, где т — min(rb 12,..., /р) и Л/ ^ =max (“，％,…，ip), и также «м+б = 0 при 6 > 0; кроме того, g(加)—1. Располагая индексы 儿 ％,...,£「 в возрастающем порядке /ь /2,..., /р, находим, что zZjZ2 ^ разлагается только по функциям вида

Г/ + Г/ +[ + .♦♦ * г『0 tn j — т『、

где / = /а, f = jk+ь 由《= 1, 2, t..,卩一1. Отсюда легко получается формула, указанная в условиях теоремы. Теорема доказана.

Пример 1. Если р = 1, 2 и 3, то соответствующее собственное значение не зависит, как легко проверить, от порядка индексов и имеет вид гг = mz; z 订=у (的一tn》 i</；马法=4(g- 2团/ + mfe), / V jv々.

Пример 2, Если Z = Z12 …「+ь то числа 1, 2, …，々 относятся к типу а, аА+1,р+1 — к типу 0. Под

становка р‘ является инверсной, если 々 стоит на первом, р + 1—на последнем месте, а остальные р—1 чисел распределяются между ними как угодно, но с убыванием чисел типа а и с возрастанием чисел типа 仇 Ясно, что в этом случае п「С\二、、где С[ — число сочетаний из 々 по 厶 и мы находим

Z"…0+1= (pligg-吵 + "^-^тз- • •• ±тр+^.

Полученное выражение есть конечная разность р~го порядка, построенная из чисел ть m2, ..., тр+1.

Пример 3. Для вычисления собственного значения /2(а) мы раскрываем миноры под знаком оператора 厶：

厶2谓含［』

и заменяем каждый цикл Z^, Z订 соответствующим собственным значением (пример 1); в результате получим

，2 3)=工色乃 一 £ £ (% -

I < /i < /

Аналогично вычисляем также и функцию /з(а):

/3 3)= 工 m期期h—{(wi _ m/)"注 +

i < / < Ai < /

+ (ml-mk)ml + (mk-ml)m/j + -^ 工 (m; - 2m； + mfe).

i < j < k

В общем случае естественно сразу рассматривать /п. Если п не слишком велико, то «правило циклов», даваемое теоремой 5, позволяет легко подсчитать функцию /п (а). Если в операторе /п заменить каждый цикл Zi длины 1 оператором 1——AZ? и каждый цикл Z. г …/ длины р > 1 — оператором (—入)夕 2八才 …, то отсюда непосредственно получаем собственное значение /(а, А) производящего полинома 〃А), Отсюда разложением по Л находим все остальные функции jm, т ~ I, 2, ..., п.

В заключение заметим, что между характеристическим полиномом числовой матрицы 己 и следами ее степеней существует хорошо известное соотношение, перефразируя которое на язык операторов Казимира получаем тождество 叫

К；]=电 + 九局 + • • • + h^k1m + ...,

где 『(九)一производная no Z и в правой части стоит формальный степенной ряд. Отсюда, умножая на /(Z)= =1 ——Z/i + .. . ± ^njni находим рекуррентные формулы

厶=月，

—2,2= — A^I + 局，

З/з =—为財一/1^2 + ^3» ' *

Те же формулы имеют место при замене элементов /(X), /т, km соответствующими собственными значениями /(а, X), jm(L), ^m(X). В частности, зная /(а, X), мы находим значения 細(а) как коэффициенты аналитической функции -广(% 入)"(a,九).

Очевидно, величины К(а), m = 1, 2, . . ., м, равно как и 々m(a), /" = 1, 2,...,他《разделяют» систему неприводимых представлений группы GL(〃).

Квадратичные операторы, перестановочные с элементами универсальной обертывающей алгебры 落，были впервые введены К аз и м и р о м [93] для чисто алгебраического решения вопроса о полной приводимости конечномерных представлений. В дальнейшем подобные операторы, уже не обязательно квадратичные, стали называть «операторами Казимира» или «операторами Лапласа》. Общий метод описания алгебры этих операторов в терминах полиномов, инвариантных относительно присоединенного представления, был предложен И. М. Гельфандом [64]. Мы приводим все эти конструкции в общем виде (с иллюстрацией па примере GL(忆))； полученными результатами воспользуемся в дальнейшем при изучении произвольной компактной группы Ли.

При вычислении собственных значений операторов Казимира мы используем традиционный метод (применение к старшему вектору), который неоднократно применялся математиками и физиками. В изложении § 60 мы следовали результатам недавней работы А. М. П е- реломова и В. С. Попова [122]; заметим, что эта работа была стимулирована вниманием физиков-теоретиков к операторам Казимира. Симметрия относительно перестановок возникает при этом несколько неожиданно (следствие 1 из теоремы 2). В дальнейшем будет указано иное доказательство свойства симметрии (§ 126). Рассмотрение детерминантов Казимира и «правило циклов» были предложены (без доказательства) в лекциях автора [21]; здесь мы излагаем этот метод несколько подробнее, с исправлением неточностей, допущенных в [21]. В § 126 будет описан еще один общий метод вычисления собственных значений операторов Казимира.

ГЛАВА X

ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ И БАЗИСГЕЛЬФАНДА— ЦЕЙТЛИНА

В предыдущей главе мы слегка отклонились в сторону от задачи изучения неприводимых представлений d(a); вернемся теперь к этому вопросу. Среди известных нам моделей d(a) мы отдаем предпочтение реализации на группе Z, которая включает минимальное число независимых параметров; однако эта реализация страдает пока существенным недостатком, поскольку для пространства представления мы имеем лишь малоэффективную характеристику (циклическая оболочка старшего вектора). Желательно было бы и в этом случае построить аналог симметризаторов Юнга.

Решение этой задачи дается в § 65. В дальнейших параграфах полученная информация используется для изучения «внутренней структуры» и построения базиса в пространстве представления d(a). При этом мы выписываем явную формулу для инфинитезимальных операторов в найденном базисе. Дается также общая формула для матричных элементов d (а).

Операторы левого сдвига на группе Z )

Нам будет удобно начать с реализации на группе G. Напомним, что при выборе этой реализации мы осуществили специальное вложение d(a) в правое регулярное представление группы G; при этом векторы в пространстве представления оказываются функциями на группе G и, в частности, роль старшего вектора играет функция

gn …ga "

J gi\ …Su

которую мы будем называть производящей функцией представления d(a). Если к этой .функции применять только правые сдвиги, то мы получим (после взятия линейных комбинаций) все векторы пространства представления. Если применять всевозможные левые и правые сдвиги, то мы таким же путем получаем все матричные элементы представления d(a).

Из перестановочности левых сдвигов с правыми естественно ожидать, что при помощи операторов левого сдвига можно получить описание пространства представления d(a). В частности, соотношения

f^g) = f(g), f 俗 g) = a(6)f(g), JwZ_, 6三£),

справедливые для a(g), справедливы также и для всех ее правых сдвигов, а отсюда и для всех f(g) из пространства представления d(a). Нам будет удобно записывать эти тождества в инфинитезимальной форме. Прежде всего имеем

1О 厂7證)=0,

где L~——произвольный инфинитезимальный оператор группы Z_, порожденный левыми сдвигами на группе G. Очевидно, достаточно в этом равенстве рассматривать операторы L仃，отвечающие базисным элементам е订, i > 厶 Полагая для краткости 厶=&；, мы имеем также равенство

2° Lif(g) = mtf(g), z= 1, 2, .. ., n- 1,

где mi ——координаты сигнатуры а = (ть т2).. •, mn) *). Однако условия 1° и 2°, очевидно, не дают еще полной характеристики пространства представления, поскольку пространство всех совместных решений 1° и 2° бесконечномерно.

Если X ——алгебра Ли группы G, то мы имеем для нее стандартное разложение

X = X — + Х° + Х+,где Х_, Хо, Х+ соответственно натянуты на базисные век-торы 。订，/ > j, i = j, i < j. Как легко проверить,

*) Напомним, что г, в т,—外,十卜 i = |, 2；・一,几一L rn = m”

элементы

являются образующими в алгебре Х_. Действительно, всякий базисный вектор из Х_ может быть представлен в виде кратного коммутатора от еГ• Точно так же элементы

"=气 z+p '=1，2, •…，п- 1,

являются образующими в алгебре Х+. Очевидно, условие 1° равносильно системе условий

L『f(g) =。，力=1, 2, 〃一1,

где ЛГ— инфинитезимальный оператор, отвечающий элементу «厂• Выясним теперь, как действуют на функцию a(g) образующие алгебры Z+.

Пусть Ltj ——инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе G, отвечающий базисному вектору «订巨 X. Вычисляя этот оператор по известному правилу, находим

/ д

где в последней сокращенной записи имеется в виду скалярное произведение векторов g/ = (g〃, g/2，•••， g/门) и d/dg£ = (d/dgib d/dgi2i d/dg^. Нестрого говоря, L订 есть оператор подстановки j-й строки на место(-Й строки. В частности,

Lt = gi + i ,2=1, 2, . . .,1,

где Lt = Lit i + i ~ инфинитезимальный оператор, отвечающий элементу ej. Применяя этот оператор к минору

gii gip

Ар ‘

gpi •一 gpp

е. +1е. +1при 号瓦при i=瓦являются констан-при 号瓦при i=瓦являются констан-получаем следующий результат ): О % = 0, где 勺=j ]

е. +1

е. +1

при 号瓦

при i=瓦

являются констан-

при 号瓦

при i=瓦

являются констан-

Иначе говоря, миноры Др при р

тами по отношению к дифференцированию 厶广 и минор Дг ведет себя как линейная функция по отношению к этому дифференцированию. Отсюда непосредственно следует тождество

3° (厶：)"%(g) = o,Z=l, 2,«-1,

которое справедливо для a(g), а потому и для всякой функции f(g) из пространства представления d(а). Остальные операторы £+, отвечающие алгебре Х+, мы пока рассматривать не будем. Введем обозначение SRa (G) для пространства всех решений системы 1°——3°.

Переход к реализации на группе Z сводится к автоматическому учету условий 1° и 2°. Вместо функции a(g) мы рассматриваем теперь функцию «двух переменных»

a(z, g) = a(zg), zwZ, g^G, где Z cz Z+. Оператор представления d(a) задается формулой

Tgf(z) = a(z, g)f(.zg),

и пространство представления 8?а определяется как линейная оболочка всевозможных функций ^(г) = a(a,g). Существенно, что левые сдвиги на Z не перестановочны со всеми преобразованиями % однако мы по-прежнему рассмотрим операторы

纫w=Q+i"^p，=1, 2, . .., /г—1,

и заметим, что функция а(2, g) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

几：勿？+¥(2) = 0,1= 1, 2,/1-1.

Это вытекает непосредственно из формулы 3° для функции a(g). Следовательно,

吼US，

где Фа — пространство всех решений системы /а. Естественно исследовать связь между этими пространствами. В частности, если /г = 2, то Яа, как мы знаем, натянуто на векторы l,w, ”，..., w? Ti е совпадает с Фа.

В общем случае пока докажем, что имеет место

Лемма 1. Пространство Фа инвариантно относительно операторов Tg.

Доказательство. Нетрудно видеть, что любая матрица w w Z допускает однозначное представление в виде

Z = Zi(/)X, где zz (/) = exp te^ и матрица х^ Z выделяется дополнительным условием 修，计『О. Если рассматривать / и % как параметры в группе Z, то имеем

2V (/,盼=备 "/, x).

Следовательно, если Fi — совокупность всех решений уравнения 勿?+' f (之)=0 с фиксированным индексом с (i = 1 2, ...» п——1), то F& состоит из всевозможных функций от /, х, которые являются полиномами от t степени не выше △•

Выразим теперь оператор Tg в параметрах /, х. Используя транспонирование, запишем каждую матрицу CwZ- в виде ^г(X), где £+i,w = 0 и J(t) = expte” Если матрица g допускает разложение Гаусса, то матрица 三一唁尤一1 при подходящем выборе сомножителей 三 и х, очевидно, приводится к виду

о

где awGL ⑵ преобразует базисные векторы с номерами I, i + L Заменяя в этом рассуждении матрицу g произведением xg, получаем разложение

%g=自2区

где 自£+1, f = 土九 f+] = 0・ Рассматривая теперь произвольную матрицу f = 2；(/)自，замечаем, что，= £/(/), где по- прежнему Q+1, j = 0. Следовательно,

Zg = £ (& (/) gj 无.

Поскольку функция a(g) не меняется при левых сдвигах на и правых сдвигах на z, мы находим отсюда a(z, g) = a ⑵(/), g,) = [x(au+ 打21)〃，

где коэффициенты р, и а^ выражаются только через х и g. Действительно, если Ар, Ар ——диагональные миноры матриц 必=zMQgt и gf, то Ар = Ар при p*i, и & = = Ai-i ("н +/^21), где 〃歹 —— коэффициенты матрицы awGL⑵.Наконец, мы имеем

TJ«，x)= a(z，g)乂箒箒，4

Действительно, разложение Гаусса элемента g?wGL(2) приводит к дробно-линейной подстановке для параметра /.

Из полученной формулы очевидно, что пространство Fj инвариантно относительно Тg. Но тогда это верно и для пространства Фа, которое является пересечением пространств 尸1,尸2,尸注一i・ Лемма доказана.

Операторы 况i,况2,…，纱е мы условимся называть главными сдвигами на группе Z, а систему /а — индикаторной системой для сигнатуры а.

Индикаторные системы

В предыдущем параграфе мы ввели понятие индикаторной системы лишь для аналитических представлений d(a). Заменяя а двумя сигнатурами а,自 мы рассмотрим теперь более общую индикаторную систему 厶日：

勿，+1/⑵=0,页沖/(z)=o, i=l, 2, a—1,

где 勿£, 勿£ ——аналитические и антианалитические операторы левого сдвига на группе Z, отвечающие элементам е? = % /+г 2 = 1, 2, ..., п——1. Неприводимое вещественное представление группы G, определяемое сигнатурами а, р, мы условимся обозначать d(a, р):

d(a, 6) = d(a) ® rf(p).

Теорема 1. Пусть 猊女廿 ——пространство полиномов на группе Z, в котором действует неприводимое представление d(a,0). Тогда 猊々^ совпадает с совокупностью всех решений индикаторной системы 1^.

Доказательство. Займемся сначала сравнительно простым алгебраическим вопросом. Лииейныи оператор Л называется ну ль степе иным, если 才办=0 при некотором натуральном п. Если А и В нульстепенны, то это не обязательно имеет место для суммы Л + В и коммутатора [X, В]. Покажем, однако, что выполняется )

Лемма 2. Пусть Л, 8 ——линейные операторы 6 векторном пространстве V (без топологии) и операторы Д, В являются нульстепенными на некотором подпространстве %:

8% = 0.

Если коммутатор С = [Л, В] перестановочен с А и В, то он также является нульстепенным на Vo- 〃少〃 этом всякая линейная комбинация операторов 4, В, С также является нулъстепенной на Vq.

Доказательство. Заметим, что по условию леммы подпространство Vo не предполагается инвариантным относительно А и В. Положим 乙 =*%, 々=0, 1, 2, тогда 厶=(0) при k > m, и мы в действительности получаем конечное число подпространств. Покажем, что оператор 8 по-прежнему является нуль- степенным на каждом из этих подпространств. Для этого достаточно использовать следующее общее тождество:

п"х = 2сМп"Т (*)

которое справедливо для любых двух операторов D, X (и вообще для любых элементов абстрактной ассоциативной алгебры). Здесь положено Х(М = [О」。,...

[О, X] ... ]] (коммутатор кратности 依 Х(6 = 1), и Сп — биномиальные коэффициенты. Полагая, в частности, X = A, D = В、получаем, что X" = X"' = . 一 = (0); следовательно, в правой части (袋) остается лишь два слагаемых, содержащих Вп и Вп~]. Следовательно, 8萱十/]/о = О, т. е. 8叶1力=(0). Точно так же 5几+〃力= = (0). Следовательно, оператор В является нульстепен- ным также на геометрической сумме подпространств 力厂 В этом случае определен также конечной степенной ряд

8(/)=評=1+出 + 子+ ...

Рассмотрим теперь оператор VX =乩風.Применяя этот оператор к функции В (/) и пользуясь равенствами V8 = С, VC = 0, легко получаем, что VB (/) = tB (/) С. Для наших целей достаточно рассматривать случай /= 1. Применяя оператор V повторно, получаем в результате следующее равенство:

С" = е-Ву"еВ, п = 0, 1, 2,...

Применяя обе части этого равенства к векторам 自三 ％, замечаем, что мы не выходим за пределы геометрической суммы Vk (поскольку УВ = АВ一8总)；следовательно, ев является полиномом от В и VyVeB = 0 при достаточно высоком N. Следовательно, С" = 0 на Vq.

Далее, используя соотношения коммутации между А, В, С, легко проверить следующее тождество, в котором каждая экспонента рассматривается как формальный степенной ряд по переменной

exp t(A + В) ехр (— tA) — ехр / (В — /С).

Это равенство следует понимать как равенство всех операторных коэффициентов при степенях переменной Л Поскольку 5 п С перестановочны, мы можем записывать правую часть также в виде ехр (—/2С)ехр /В.

*) Эта формула является частным случаем формулы Кемпбелла —— Хаусдорфа при [Л, В] = С, [Л, С] = [В, С] = 0.

В результате имеем

exp t (А + В) = ехр (— /2С) • exp tB ■ exp tA.

Применим обе части этого тождества к элементам 己已 К). Тогда, как и прежде, мы не выйдем за пределы геометрической суммы подпространств Vk при действии exp tA. Следовательно, exp tB • exp tA является полиномом от / на 匕).Поскольку С перестановочно с А и В, то ехр (—产С) можно применять непосредственно к элементу gw V(). Следовательно, ехр t{A + В) является полиномом на К). Но тогда (Л + В)м = 0 при достаточно высоком М. То же верно для лЛ + ц5 + vC. Лемма доказана.

Следствие. Пусть х—>т(х) — представление алгебры Х+ в векторном пространстве V (без топологии) 〃 операторы

Ef=T(ef,£+i),2 . .., м — 1,

ну ль степенны на некотором подпространстве ^о- Тогда 〃 все операторы т(х) нульстепенны на ^0 с показателями 〃(х), равномерно ограниченными по х.

Доказательство. Согласно лемме 2 из нуль- степенности Е% Е&) следует нульстепенность Е〃, I < k < j. Проводя индукцию по 6 = j — г, заключаем, что всякий оператор Е仃 является нульстепечным на ^о- Полагая, далее,

(сумма по Z от 1 до / — 1), замечаем, что все слагаемые этой суммы взаимно перестановочны; следовательно, существует показатель * = 〃(/), для которого {； = 0. При фиксированном / операторы А^ и

В/ = </+i + 4 + 2 + …・+儿

удовлетворяют условиям леммы 2 (проверку опускаем). Следовательно, из нульстепенности В, вытекает нуль- степенность Bj—i = 4j + 8力 Понижая / от м до 1, получаем наше утверждение. Следствие доказано.

Докажем теперь, что имеет место

Лемма 3. Пространство всех решений система /ар конечномерно.

Доказательство. Пусть 之互 ——произвольная матрица из Z, у которой над диагональю все элементы равны нулю, кроме элементов £访,расположенных в 々-м столбце. Тогда, как легко проверить, произвольная матрица zeZ может быть однозначно записана в виде

2 = Z2Z3 •…Zn・

Заметим, что множество Z^ всех матриц вида 之在 является абелевой подгруппой в Z и координаты 才沽 являются аддитивными параметрами в Z坛 Мы будем рассматривать числа tik, 1 ^i< k^n. как параметры во всей группе Z. Фиксируем матрицу 2。 = 22胃3 之在一i и рассмотрим в группе Z однопараметрическую подгруппу вида

z(£) = Zo(exp®Jz(TL

Пусть Lik ——инфинитезимальный оператор левого сдвига на Z, порожденный этой подгруппой. Пусть Lik ——соответствующий антианалитический оператор. Тогда, очевидно,

dtik '在 dtik

Вводя обозначение 丿。для совокупности всех решений индикаторной системы /ар, замечаем, что согласно следствию из леммы 2 любой инфинитезимальный оператор левого сдвига является нульстепенным на VQ: Lm = 0. При этом можем считать, что показатель гп не зависит от L. В частности,

丄聂=0, Li^1 = 0,

и это означает, очевидно, что всякая функция f(z)三 丿。 является полиномом по tifi степени не выше т. Следовательно, Vo состоит из полиномов ограниченной степени. Лемма доказана.

Теперь уже нетрудно завершить доказательство теоремы 1. Мы имеем

丸 В и /,

где Vo ——совокупность всех решений индикаторной системы 厶伊 Согласно лемме 3 Vo конечномерно. Кроме того, перефразируя лемму 1 на случай системы /&仇 заключаем, что Vo инвариантно относительно операторов Tg：

Т J ⑵=а(2, g) 6(2, g) f(zg).

Поскольку эти операторы являются рациональными функциями от g, нам надлежит еще показать, что они не имеют полюсов на 匕).Действительно, если элементы г и g достаточно близки к единице, то 2g 三 Greg, т, е. элемент Ng допускает разложение Гаусса, и выражение Tgf(г) определено. Поскольку Tgf(z) удовлетворяет индикаторной системе /яр вместе с f(z), то Tgf(z) является полиномом на Z н потому определено всюду на Z. Следовательно, оператор Tg определен в Vo для g, достаточно близких к е, но тогда в силу связности G также и на всей группе G). Следовательно, эти операторы определяют представление в Vo.

Из единственности старшего вектора 仇⑶三 I) следует, что представление 7g в пространстве Vo неприводимо ). Следовательно,猊仪廿=Vo- Теорема доказана.

Замечание. До сих пор мы не уточняли, в каком пространстве функций рассматривается система /&伊 Однако ясно, что допустима любая традиционная постановка задачи — либо в классе достаточное число раз дифференцируемых функций f(z), либо даже в классе обобщенных функций. При этом мы показываем, что все решения в действительности являются полиномами на группе Z ).

Обращаясь к реализации на группе G, из теоремы 1 легко получаем

Следствие. В реализации на группе G пространство неприводимого представления d(a, 6) = d(a)@d(0) совпадает с совокупностью всех решений системы 1°—3° § 64, дополненной аналогичными соотношениями для антианалитических операторов.

Действительно, если f(g) ^ Vo, где Vo ——множество всех решений указанной системы, то f(z), очевидно, удовлетворяет системе /«В， т- е. f(z)三况《6， Поскольку Vo инвариантно относительно правых сдвигов на G, образ этого пространства при сужении на Z инвариантен относительно операторов Tg. Ввиду неприводимости 先в этот образ совпадает с 先&

Если нас интересуют только аналитические представления группы GL(〃), то мы полагаем Si = s2 = • • • …=Sn = 0 н получаем, что пространство % в котором действует представление d(a), выделяется индикаторной системой /а с дополнительными условиями

勿1 =勿2 = • • •=纱"7 = 。,

которые означают, что полином f(z) зависит только от 乞仃，но не от Иначе говоря,紀& выделяется системой /а в классе всех аналитических функций на группе Z. Система (*) может рассматриваться как аналог уравнений Kotuu — Римана для группы Z.

Алгебра Z-мультипликаторов и задачао сужении с группы на подгруппу

Реализация на группе Z позволяет нам использо^ вать новую алгебраическую операцию — умножение в классе полиномов f(w) — для изучения структуры неприводимого представления d(a). Так, в частности, еще в гл. VII мы доказали следующее мультипликативное свойство:

先十日 =先紀В,

для пространств Яа, составленных из полиномов f(z), в которых реализуются неприводимые представления d(a). Здесь сигнатура а + р вычисляется по правилу сложения векторов аир. Линейные связи между

функциями из Э?аЭ?и автоматически учитывают структуру произведения Юнга.

Однако, даже если фиксировать сигнатуру а, операция умножения на группе Z приводит к новому естественному методу изучения внутренней структуры d(a). Действительно, напомним, что в 9?а всегда содержится вектор fo(z)三 1, который является старшим вектором с весом а(6). Записывая всякий полином f(z) е 9?а формально в виде

f(Z)= f ⑵• /0 (z),

мы получаем, что операция умножения на f(z) может рассматриваться как «понижающая» операция. Действительно, эта операция аналогична применению некоторого полинома от инфинитезимальных операторов алгебры X-, понижающих вес. Оператор умножения на f(z) мы условимся называть Z-мультипликатором.

Рассмотрим, в частности, мультипликатор 之订，где 之仃——один из матричных элементов матрицы г е Z. Пусть полином (p(z) имеет вес 九(6). Согласно общей формуле для d(a) мы имеем

76Ф (z) = a (d)(p(d~Izd) = Z (д) Ф (z).

Иначе говоря, функция ф(г) удовлетворяет следующему тождеству:

<р (б-^б)=器<р(Z).(*)

Заменим функцию (p(z) функцией tp(z) = 2^ф(и). При умножении матрицы z слева на 尸 и справа на 6 элемент z仃 заменяется элементом 6丁'之订6/. Следовательно, функция ip (z) также удовлетворяет тождеству (*) с заменой веса 九(6) весом

入(6) = 6尸6加(6).

Если записывать вес 九(6) в виде б：%} ... 6：", то соответствующий вектор показателей

мы будем называть инфинитезимальным весом. Умножение на 6厂① равносильно добавлению к этому вектору хорошо известного нам《корня》алгебры X:

—а?? = (0, ..., 0, 一1, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)=⑦一修・

Пол)^ченньш результат сформулируем в виде следующего правила:

Правило 1. Мультипликатор а” в классе полиномов f(z) приводит к добавлению корня

—a订=g一S

к каждому инфинитезимальному весу 々=(々％ 々2, .. -, kn), т* е. к умножению веса 入(6) на множитель 6厂‘6广

В общем случае мы условимся называть мультипликатор f(z) весовым, если ，(6一1之6) = ц(д)/(г); множитель 卩⑹ условимся называть весом этого мультипликатора. В частности, согласно правилу 1 мультипликатор Zij является весовым с весом 6丁‘М・ Очевидно, это определение не зависит от старшего веса а(5); однако, если мы находимся в пространстве 紀®， надо следить, чтобы умножение на f(z) не выводило за пределы этого пространства; в результате получаем

Правило 2. Границы действия мультипликаторов z仃 〃 полиномов от них 6 пространстве 盥® определяются индикаторной системой /а.

Так, в простейшем случае GL (2) мы имеем единственный мультипликатор е = %12 (с весом 叮®)，口 его применение к старшему вектору /о 曰 1 приводит к базисной цепочке одночленов

г, z2, ..

которая ограничена индикаторной системой /а:

В общем случае, разумеется, не исключено, что применение мультипликатора Ztj или одночлена от этих мультипликаторов запрещается, но возможно применение некоторых полиномов /(z). Так, если с/(а) = dk — базисное представление GL(n), то допустимыми

являются только мультипликаторы

2% …4%

и их всевозможные линейные комбинации. Короче говоря, значение всех допустимых мультипликаторов равносильно очисанпю пространства 9?а. Однако терминология /-мультипликаторов оказывается удобной при построении весового базиса в пространстве 9?а.

Прежде чем рассматривать весовые базисы, мы займемся решением следующей более легкой задачи. Пусть дано неприводимое представление d(a) с сигнатурой а= (mi,团2， ..., mn), т*》m2》…》т?； Рассмотрим в группе G = GL(/i) подгруппу Go, изоморфную GL(/i——1) и составленную из матриц вида

&= о&= оa w GL (л — 1).a w GL (л — 1).

&= о

&= о

a w GL (л — 1).

a w GL (л — 1).

Если рассматривать операторы Tg только при g = go, то мы получим представление группы Go, которое обозначим d (a) jGo и назовем сужением d(a) на подгруппу Go- Ясно, что это представление уже не обязано быть неприводимым, и, естественно, возникает задача о его разложении на неприводимые.

Для решения этой задачи мы используем стандартный метод Z-инвариаптов. Пусть Z。——пересечение Z с Go, т. е. совокупность всех матриц вида

% ОО 1% ОО 1% w Z(/i— 1).% w Z(/i— 1).

% О

О 1

% О

О 1

% w Z(/i— 1).

% w Z(/i— 1).

Нетрудно видеть, что всякая матрица из Z единственным образом записывается в виде произведения г^о, где Wo w Z。 и ?'——матрица из Z, имеющая следующий вид:

где е ——единичная матрица порядка п——1 и t——произвольный вектор-столбец с координатами 九,勾，...,^n-i-

Мы можем рассматривать координаты f и 尤 как параметры во всей группе Z.

Согласно общей схеме Z-инвариантов всякий старший вектор для Go является решением следующего уравнения:

f Зо) = f (z),

где Zo пробегает подгруппу Zo. Используя введенную параметризацию в группе Z, мы получаем отсюда

〃z) = f(z%) = f3),

т. е. всякий Zo-инвариант зависит только от У. Очевидно, и обратно, всякая функция, зависящая только от zz, является Zo-ннварнантом. Докажем теперь, что имеет место

Лемма 4. Всякий старший вектор относительно Go в пространстве Э?а, а =历，力，•••，％], имеет вид

Wv") = G?:夕，

где vi, V2,Vn-i ——произвольные неотрицательные целые показатели, удовлетворяющие ограничениям vk rk,々=1, 2,几一1.

Доказательство. Заметим, что 勿=z^; следовательно, мультипликатор /^ имеет вес

国=6/6小

Но тогда мультипликатор 自丫(/) имеет вес

鸠⑹=5宀广…汇L.心+3…

и все такие веса различны. Следовательно, всякий искомый старший вектор может отличаться лишь скалярным множителем от одного из этих одночленов. Если 勿？——главный сдвиг на группе Z, то мы, очевидно, имеем

敍(2)

Поскольку умножение на g перестановочно с дифференцированием по /й индикаторная система 7 a

принимает вид

(备门3)=。.

Если f(z) = &v(f)，то 9To равносильно ограничениям Vk ^ гй для одночлена ”(£)• Лемма доказана *).

Полагая dn = 1 (случай группы Go) и умножая старший вес а ⑹=6；唠2 ….6：气 на вес мультипликатора gv, находим, что старший вектор £ имеет вес

%俗)=(1俗)\,俗)=6,7%2T2 …6^［「%Т.

При доказательстве леммы 4 нам было удобно записывать сигнатуру а в виде ［门,「2, ■ ■ •, г„］, где г?=『期一 —mi+ll тп^\ = 0. Подставляя эти выражения в ограничения 0 ^ V; <^ Г1, приходим к условиям

忆》忆一"》仍+1, i= 1, 2, .. ., п- 1,

для показателей найденного веса av(d). Иначе говоря, записывая этот вес в виде 6：脸…6：2丁，мы приходим к цепочке соотношений

/и】》財》加2》偽》■ ■ •》тп.

Сформулируем окончательный результат в виде следующей теоремы:

Теорема 2. Сужение d (а) 1^。 содержит ровно по одному разу все неприводимые представления группы Go с сигнатурами § =(也,局,...,近汽一i), где ki —произвольные целые числа, заключенные в пределах

Шу 2拓》g2局》...》3—1 2 mn.

Подпространство N&, s котором действует d(B), может быть определено как циклическая оболочка своего

старшего вектора

乳(z) = z『喏F…

Если e 91a введено скалярное произведение, относительно которого представление d (а) |и (rt) унитарно, то подпространства N§ взаимно ортогональны относительно этого скалярного произведения.

Доказательство. Первая часть теоремы уже доказана. Для вычисления явного вида старшего вектора еь (г) = &у(/) при \\ = "% — ki достаточно заметить, что

т. е. что столбец параметров 右 совпадает с последним столбцом матрицы z. Наконец, если рассматривать аналитическое представление d(a) только на компактной подгруппе U(/z), то оно унитарно, и из однократности каждой неприводимой компоненты для U (л——1) следует взаимная ортогональность подпространств ^^ ). Теорема доказана.

3 а м е ч а н ие. Если бы вместо подгруппы Go мы рассматривали подгруппу матриц вида

а 0

g= ° 入卜 а GL (/г — 1),九=# О,

то, очевидно, результаты остались бы прежними, с той разницей, что каждому старшему вектору е/г(г) приписывался бы вес вида

0(3) = n 优"侬，

где r(k) = (ш{ + ш2 + ^. ^ ++ тп)—(拓 + 局 + ...

...+ kn-^) = s(m) — s(k). Здесь s(zn)=±g, $(々)= n-l2=1

—2 々厂 Это очевидно из предыдущих построений.

Упражнения

Пусть а — эрмитова матрица с собственными значениями «1 а2 ... ^ ап ^ 0 и b = рар, где р — произвольный ортогональный проектор размерности п——1. Показать, что собственные значения 6【,62, •“， 6”一1 матрицы b в соответствующем пространстве размерности л— 1 удовлетворяют неравенствам сц》仇 N。2 力 2 62 扌а3 ^ …> ct n — 1 > P n—] ^5 a М.

Сформулировать правило сужения U(")/U("—1) в терминах орбит относительно присоединенного представления (см. упражнение в конце § 50).

§ 67. Базис Гельфанда — Цейтлина

Рассмотрим в G цепочку вложенных подгрупп

G/2G/2TG门一2二^ G9 二^ G1,

где Gi изоморфна GL (/) н G^ = G. При этом нам будет удобно считать, что G< преобразует первые i базисных векторов, оставляя остальные неподвижными. Следовательно, Gn_i состоит из матриц вида

g = 1；：|，awGLS—1),

и подобным образом G— вкладывается в G^

Как мы видели в § 66, если d(a)——неприводимое представление группы G = Gn, то спектр сужения на Gn-i является простым, т. е. каждое неприводимое представление Gn-\ содержится в d(a) однократно. Точно так же, если d(a。——неприводимое представление подгруппы G?・，то спектр сужения на G— является простым. Мы можем использовать это свойство для построения базиса в пространстве 九

Действительно, сужая d(a) последовательно на Gn -, Gn—z， ・.・,Gj, получаем на каждом шаге все более дробное разбиение 9?а в ортогональную прямую сумму подпространств, неприводимых относительно G?, причем подпространства, получаемые на последнем шаге, одномерны (подгруппа G] абелева). Выбирая в каждом из этих одномерных подпространств по ненулевому вектору, получаем ортогональный базис во всем пространстве 釈打 Очевидно, каждый из этих векторов однозначно

определяется следующей таблицей целых чисел:

团1门 团2门 т3rz .. . m^—i," trtnn

/孔i, n—i "2?, n—\ • • • т^т, i

W =

/72 ] 9 /7^29

где каждая строка а?・ = ("213 m2岂...,mQ означает сигнатуру того неприводимого представления подгруппы G?：, в пространстве которого данный вектор содержится. При этом мы положили для общности записи а и = а, т. е. заменили обозначение т； на 门匕气(m^ ——параметры сигнатуры а), /冗1几》门？2汴》•…》团圧几・ Согласно теореме 2 mhi ——произвольные целые числа, удовлетворяющие ограничениям

mki》mk~\, z "〃，"卜

Следовательно, каждое из этих чисел в таблице 卩 изменяется в пределах между двумя вышестоящими числами ). Соответствующий базисный вектор обозначим символом ел.

Нетрудно видеть, что базисные векторы е^ являются весовыми относительно подгруппы D. Действительно, вместо Gn—i мы могли бы рассматривать подгруппу матриц вида

q 0 II

g = пк I, о 三 GL (/? — 1), б?崂 0,

изоморфную Gn_i X А, где А = GL(1) — мультипликативная группа комплексных чисел; при этом преобразования подгруппы Л перестановочны с каждым dla^—i), т. е. сводятся к умножению на число в пространстве этого представления. Продолжая редукцию по размерности, получаем вместо Gi подгруппу, изоморфную Лп, т. е. группу D. Вычисляя веса, получаем как следствие теоремы 2 следующий результат:

Теорема 3. В пространстве неприводимого пред- ставленая d(a), а =(疗订,m2, ..., mn), существует ортогональный базис е^, где 科 означает описанную выше таблицу целых чисел m沮，1 式 t《■比

При этом каждый вектор ец является весовым с весом

где sfe = S ^ik — сумма чисел, расположенных в fe-u строке таблицы 科，况 so = 0.

Доказательство. Согласно замечанию, сделанному в конце § 66, старшему вектору представления d(an—i) приписывается собственное значение 或厂％т относительно подгруппы Л; следовательно, то же собственное значение имеют и все остальные векторы 6口 с фиксированной строкой a^—i. Аналогичную роль для сигнатуры & играет множитель 6；厂兄―i 依产。).Теорема доказана.

Полученный базис е^ называется базисом Гельфанда ——Цейтлина.

Замечание 1. Вектор е^ является старшим вектором относительно подгруппы G% тогда и только тогда, когда для каждого i 总，° строка a「_i получается из а^ вычеркиванием последнего параметра т^; в этом случае строки ап, ап_ь .. ., а/0 вполне характеризуют вектор ец. В частности, старший вектор d(a) вполне характеризуется исходной сигнатурой а.

Замечание 2. Нетрудно выписать явный вид базиса ец в реализации на группе Z, хотя окончательные выражения получаются достаточно громоздкими. Л1ы рассмотрим для простоты только случай 几=3, т. е. группу G3 = GL(3). В этом случае схема 卩 имеет внд

(

皿 m2 S ek2

где g, m2i g — параметры, задающие представление, и 伍】学瓦己： ^ m? ^ М ^ тз,立1 ^ s > 々2・ Напомним, что старшими векторами относительно G2 являются в данном случае векторы 屮府(z) ^

==Z]3【|之2^ 2，где k =(也，厶2). Применим к этим векторам пре

образование

Tg = exptE_, — оо < т < оо,

где £_ = £2i — понижающий оператор группы G2, и заметим, что Е匕 переводит вес д^'д^2 в вес 心^一卩心贯 + 匕 Координата s, входящая в схему ц, должна совпадать с k\—р; следовательно, вектор е» может быть получен (с точностью до множителя) как коэффициент при t^-s в разложении Г^ср^ по степеням т. Положим

1 0 0

g = т 1 0 = exp T^2i；

0 0 1

тогда Tg — ехртЕ_. Согласно общей формуле для d(a) мы имеем

где Ah——диагональный минор матрицы 之g,之 w Z, g w G?, н A23 — минор этой матрицы, составленный из первых двух строк и столбцов с номерами 1, 3 ). В нашем случае △[ = 1 + гг⑵ Аг = 1, △23 =之23 + т21з, где положено £【з =之【2之23 —之 1з・ Следовательно,

樓^⑶=噌一岛(1 +%2产一小(包+吟3尸厂"

Раскрывая произведения биномов и вычисляя суммарный коэффициент при В-', приходим к следующему результату:

,、之13212213之23

"e1! £2!(財 ~ 加2 - £i)!(e2 -片2 - 82)!

Ei -g=左1 - S

В общем случае подобная процедура позволяет получить рекуррентное соответствие между базисами Гельфанда — Цейтлина для Gn и Gn — i. Однако мы в дальнейшем укажем эту связь в иной форме, не зависящей от реализации на группе Z.

Из однократности спектра сужения вытекает еще одно замечательное следствие, которое мы также сформулируем в виде теоремы:

Теорема 4. Пусть 。左心 1 ^ k ^ i ^ п,——базисные операторы Казимира для подгруппы G^, изоморфной GL(i). Тогда операторы Chi одновременно диагонали-

зуются в базисе е^ и каждый индекс ц может быть однозначно занумерован совокупностью всех собственных значений операторов Cki.

Доказательство. Операторы С\汴 являются скалярами на d（a）, и их совокупные собственные значения характеризуют, как мы зиаем, сигнатуру а, т. е. первую строку в схеме ц. Точно так же С\, n_i являются скалярами иа 壮（九_〔） и, следовательно, диагонализуют- ся в базисе ец; при этом их собственные значения характеризуют вторую строку схемы ц. Продолжая этот процесс, приходим на последнем шаге к оператору Си, который является единственным инфинитезимальным оператором G【и собственное значение которого совпадает с параметром 团口，входящим в схему ц. Теорема доказана *）.

Следствие. Всякий оператор, диагональный s ее- совом базисе ец, может быть представлен в виде полинома от операторов С^；.

Действительно, пусть ⑥——алгебра всех полиномов от операторов С^- Всякий оператор 。三⑨ диагонали- зуется в весовом базисе: Сец = с （卩）е^, и функции с （卩） «разделяют» точки ц, т. е. для каждой пары 卩〕片卩2 найдется функция с（卩）такая, что c（jii） ^（Ц2）- Заменяя с（卩）на ac（|i）+ Р，подбираем а, р таким образом, чтобы полученная функция 人口 принимала значение 1 в точке щ и значение 0 в точке ц2- Полагая ,九（卩）= =[[以"（卩），получаем символ Кронекера: 以（科）=3入w V

Следовательно, в алгебре ⑥ содержится проектор на каждый базисный вектор е%. Отсюда следует наше утверждение.

Пользуясь терминологией физиков, можем сказать, что элементы алгебры ⑥ образуют «полную систему наблюдаемых» в пространстве представления d（a）.

Замечание. Если представление Г группы GL（几） содержит неприводимые составляющие d（a） однократно,

то операторы &? образуют《полную систему наблюдаемых» также и в пространстве представления Т (действительно, подсистема Ckn «разделяет» d (а)).

§ 68. Понижающие операторыв инфинитезимальной форме

Мы установим в этом параграфе явную связь между мультипликаторами г^, Z < /, и понижающими операторами £\j, i > j, откуда, в частности, будет следовать явное выражение для базисных векторов Гельфанда — Цейтлина.

Условимся говорить, что линейный оператор 尸 в пространстве представления является весовым с весом ОГ^О/, если он перестановочен со всеми диагональными базисными операторами, кроме Ец, Ejj, и если

lElh F] = [Ft E£ = F;

очевидно, в этом случае оператор 尸 переводит всякий весовой вектор в весовой с умножением веса на 0厂'廿・ В частности, этим свойством обладают операторы 之普 и Ejt, поэтому для достижения большего единообразия мы условимся изменить обозначение 胃仃 на Z^.

Лемма 5. В применении к старшему вектору /0 представления d(a) выполняется следующее тождество:

2 EkjZjt = 小 + /г — i — I) Z屉，⑺

где k> i и где положено Z^ = 1, Г = 1, 2, ...» п.

Доказательство. Рассмотрим вначале частный случай i = l, k = п. Поскольку в реализации на группе Z понижающие операторы действуют довольно сложно, мы используем реализацию на группе G и положим

Е订=j = 1, 2,.

dxJ

где хг = {x/jJ — Ли столбец квадратной матрицы х и выражение в правой части означает свертку векторов л , ——г (при этом не обязательно считать, что

detx ¥= 0). Согласно общим формулам разложения Гаусса мы имеем

где [и, ‘2, . • •, '&] — минор, составленный из первых р строк матрицы х и столбцов с номерами 厶,厶，ip. При этом старший вектор % представления d(a) записывается в виде

% = [1「[1, 2门[1, 2,小“.

Применяя к этому тим, что E\j[l, 2,.. ^[l,2, / — 1,Применяя к этому тим, что E\j[l, 2,.. ^[l,2, / — 1,операторы 邑?・必!，мы заме- если / > t и £ПД1,2,..., 〃 = ...,i], / 久，；следовательно,

Применяя к этому тим, что E\j[l, 2,.. ^[l,2, / — 1,

Применяя к этому тим, что E\j[l, 2,.. ^[l,2, / — 1,

、^nj^jifo - E,ifo + £ Em 昔"fo =

/=2

5 [ 1, 2,…，/ - 1,几，j + 1,订 КГ [1, 2,二・，j-1, j, j+1,…，i]5 [ 1, 2,…，/ - 1,几，j + 1,订 КГ [1, 2,二・，j-1, j, j+1,…，i]л~1

5 [ 1, 2,…，/ - 1,几，j + 1,订 КГ [1, 2,二・，j-1, j, j+1,…，i]

5 [ 1, 2,…，/ - 1,几，j + 1,订 КГ [1, 2,二・，j-1, j, j+1,…，i]

—(n — 2) -^-/0 +、片

При этом мы воспользовались легко проверяемым тождеством

』1/Ш, 2, 一 ・，j- 1, & j + 1, •「订一岡[1, 2,〃 =0, /=1

которое означает, что определитель [1,2, . . ., i], окаймленный при помощи первой строки и последнего столбца матрицы х, равен нулю. Наконец, заметим, что

2 厶=2 3 一〃"+J = «1 - тп.

1=1i=l

В результате получаем

п —1

X Е/"о = («1 -+ (п - 2)) Z“Js

/И1

т. е. в нашем случае () доказано. В общем случае достаточно заметить, что все операции, входящие в (*), порождаются подгруппой G/, которая преобразует только базисные векторы с номерами i, i+ 1,…，々.Старший вектор % имеет сигнатуру р = (niit俏互)

относительно этой подгруппы, и представление d(0) естественно реализуется в классе квадратных матриц п/ X п* где 几'=々——г 4- 1. Следовательно, мы получим общий случай, если заменим ть тп на 加厶 тк и п ——2 на 几‘ 一2 =々一t — 1. Лемма доказана.

Если вместо параметров 俏小 определяющих представление, использовать параметры 厶 = 俏？ + (几——i) *), то А > 丄2 > ・・・ > /?г н (若)записывается в виде

N =(厶一厶一1) Z^・()

f = i

Полученное соотношение является соотношением рекуррентного типа и может быть поэтому использовано для вычисления мультипликаторов 2冗仆 Домажем, что имеет место

Лемма 6. В применении к старшему вектору /0 представления d(cc) мультипликатор Zki может быть представлен следующей формулой:

Z«= П (h-1, -^1k>i,

где V\t ——полином от понижающих операторов Е*, / > /, и диагональных операторов Lj = Е^ + (几——/):

0$ =. £ c/也…(以/円也*…?/$"々> ‘；▽毋1，

厶 > %%

Здесь сумма берется по всем возможным наборам индексов ji, /2, • •・,Л, расположенных между 財 / (т. е.

s = 1, 2,...,々—/1— 1),辽

也%…/产归丛4/，*/ = 厶-L/•

Доказательство. Умножая обе части (窮*) справа на оператор *)

&ТI/

必7,，= IJ (厶s-l)= II a；s-l)ll (Lis-D = NkiMlb $=i+l$=j+ls=i+1

замечаем, что Z^Ng = C幻Z“，где Ck； = Ц £拈，и опе- ратор С\)перестановочен с 七至力 В то же время Z^M^ = = V" в применении к старшему вектору %. Следовательно, переписывается в виде

где положено Xfij =拆品力 Поскольку это уравнение

имеет матричную структуру, введем формальные мат-

рицы

1 00000

X?!0000

Х=爲 /32000

，

J°

100 ...00

Ml 100 о

V= % V321 . .. о 0

1 ^nl V%2 \%3 • • • V",1

и запишем уравнение в виде

+XV = V,

где 1 ——единичная матрица п X п. В действительности следует рассматривать такое уравнение отдельно для каждого столбца матрицы V (поскольку определение Xkj зависит от индекса z), но вместо этого мы можем считать, что вектор fo заменяется формальным столбцом из

*) Мы полагаем Мц = 1 (в этом случае нижний предел произведения превосходит верхний предел).

элементов 0, ..., 0, %, 0, ... , 0 с % на r-м месте. Очевидно, матрица

V = I + X + X?+ .. . +Х"Т является решением этого уравнения. Действительно, Хп = 0, и мы имеем

I+XV=I+X(I+X+ ... +Х"Т) =

= 1+Х + Х?++X"T=v.

Расшифровывая каждый элемент полученной матрицы V, получаем V?„. Лемма доказана.

Замечание I. В процессе доказательства мы получили следующее символическое выражение для матрицы V с знементамн %*:

где Xkj = Cj^Ekj при й > / и Xhj = 0 при 々《j. При 9ToM С^/= [[ Lis и обе части равенства применяются к вектору (0, ..., f0, 0, ..., 0) с f0 на r-м месте *).

Замечание 2. Условимся рассматривать 以 как символическое произведение где х» ——«оператор рождения» и 心 一«оператор уничтожения»; тогда операторы V/；.! мы можем записывать следующим образом:

"£ = "'8先2 ■ • •吕 + [&, (*不市) где 8j =山力十乙仃 и где величины 厶订 рассматриваются как независимые коэффициенты, перестановочные с N, di при / Ф i, / ¥" /. Действительно, подставляя биномы 丛 и раскрывая скобки, получаем сумму всевозможных одночленов вида

x^j^'d^ ... x^di = &/]£// ... Elsi

*) Отсюда очевидно также рекуррентное соотношение V = 1 十 + А V, т. е.

с коэффициентами 仏厶 …/『 Нетрудно видеть также, что биномы Bj в формуле (•*•*) можно считать взаимно перестановочными.

Мы будем теперь рассматривать операторы 办寸 не только на старшем векторе %, но во всем пространстве представления d(a).

Лем м а 7. Операторы \hi взаимно перестановочны при фиксированном k.

Доказательство. Заметим вначале, что всякий операторный полином, содержащий только понижающие (либо только повышающие) операторы £订，можно заменить полиномом от 炉，dj, располагая эти операторы в произвольном порядке, но снабжая х\ 0厶 входящие в один и тот же элемент £订，каким-либо общим индексом, скажем 炉⑶，心($)，При этом мы используем соотношение коммутации

[& (s), xl(t)] = 6(s, /),

где символ 6(s, t) означает символ Кронекера пары s, f (и операторы 心⑶，炉(f) взаимно перестановочны при »#/). Кроме того, выражение, полученное после перестановки символов х* 6〃 подлежит следующему правилу расшифровки: оператор £：； располагается левее (правее) £汴，если Oj стояло левее (правее)

Условимся также рассматривать 厶订 как независимые символы, взаимно перестановочные между собой и удовлетворяющие следующим соотношениям коммутации:

[^ift d/1 = [%,厶"]=。八[厶小x’]=[X‘，L"] = 一 M

(Эти правила вытекают из прежнего определения 厶仃= =Е” 一Е方 + (/ — »)*)•) Тогда операторы V^i мы можем рассматривать как полиномы от понижающих операторов с коэффициентами, зависящими от 厶仃.При i > / имеем

%№, = (/п田瓦1 &瓦[n瓦]

lj = i+I 丿 3 = 2+1 )

Действительно, все сомножители взаимно перестановочны, за исключением пар (当，当)и (5Л 5；), где Bj =-■ =д/$ + Lij, Sj = djX^ + Lij. Снабжая символы х\ входящие в эти выражения, индексами 1, 2, 3, 4, мы имеем

必瓦= d；W)2 —6(2, 3) % ⑴/⑷+

где многоточие означает сумму членов, не зависящих от порядка умножения Bj, 3介 В то же время

月向= ^W)2 — 6(1, 4)力⑶屮⑷+

В первом случае расшифровка приводит к произведению 6 (2, §)£「/：•屮 где р > / > 7； во втором случае — к произведению 6(1,4) Ep'jEjq', где р‘〉j > q‘• Однако и в первом и во втором случае под знаком Vki^ki предполагается суммирование по р, q(p‘，д'). Следовательно, В； и Bj можно менять местами. Аналогично рассматривается пара (&,力» ). В результате %№版=Лемма доказана.

Лемма 8. Между операторами V^- имеет место следующее рекуррентное соотношение:

ki = e&, h-Mh_3 £L九 k- \ 一L九在一I'7左一1,£七在，比一1，(****)

Доказательство. Вычисляя коммутатор [£\,互_1, Vn—i,d, где V〃一l 寸 определяется согласно лемме 6 находим, что

[е在,а-h V在—1d e了也 …％e叫'了也Ej/

Действительно, [Е^ /г-ь £\一1门」=£\厶 и все остальные коммутаторы равны нулю. Полученное выражение отличается от %, поскольку индексы 〃, /2, ... , /3 принимают лишь значения f + 1, z + 2, .. . , ft ——2. Однако, умножая этот коммутатор слева на L31 и добавляя Ek, k-i^k-\, г, получаем Следовательно,

Vjfei = Lit A-i [Eki 左V左-i, 〃 + Е拓左_]V左—i,办

что является лишь другой формой записи (*•***).

Лем м а 9. Операторы V々修 оставляют инвариантным подпространство V\_], натянутое на старшие векторы относительно подгруппы Gh—i.

До казательство. Рассмотрим повышающий оператор Р$ = Ej-i,『и докажем вначале, что■

Pj^ki = ХР「

где /#々 и X — полином от операторов Epq, зависящий от 厶 /, k. Не ограничивая общности, можем считать, что t = 1. Очевидно, Pj перестановочен с %i при 々=1,2,… ...,/ — 2, т. е. в этом случае наше тождество доказано (X = V/ti). Остальные коммутаторы мы можем вычислить рекуррентно прн помощи тождества (若公戈а-). При этом [戶力 %一1, J = 0, но при 々=/ имеем

尸/V/i = ^Р/ + 〃М—1,厂

Тем не менее при й = / + 1 наше тождество снова восстанавливается (несложные преобразования мы опускаем), и дальше уже без труда проходит индукция по々.

Пространство Vfi^ может быть охарактеризовано как нуль-пространство операторов Р§ при / = 2, 3, ..,, й— L Если 自三 V\_i, то мы имеем

修 V/ = XP 声=0,

т. е. %也三 県_j・ Лемма доказана.

Следствие. Оператор

отличается лишь скалярным множителем от Z-мультипликатора

Zv = Uz*・，0<v;<r()

в применении к старшему вектору f0 представления d(a).

Действительно, оба эти оператора являются весовыми и имеют одинаковый вес; следовательно, оба они переводят /о в старшие векторы подгруппы Gn„] с одним и тем же весом. Но тогда

ввиду единственности этого веса (теорема 2), Константу 九V нетрудно вычислить при помощи леммы 6.

Действительно, ввиду коммутативности операторов 「* = ▽；『 мы можем применить их к вектору % в порядке возрастания индексов г

При этом все возникающие множители вида

являются константами по отношению к последующим дифференцированиям Гр, р > i, которые согласно лемме 6 порождаются только операторами E/小 А > / > /. Cлeдoвaтev^ьнo, можно применять Гр непосредственно к вектору /о, и мы получаем, что

где ye ——собственное значение Г； на /о- Для вычисления Yt мы снова пользуемся леммой 6, согласно которой

Y尸 2 (4-勺一 D при % = 1.

Поскольку минор, стоящий в числителе zini является константой по отношению к дифференцированию Vnt, дальнейшее применение этого оператора равносильно его применению к вектору

/о - 11, 2,……

который снова является старшим с сигнатурой (mi, т2, ..., mi-ь mi — 1,"方十i, ..., 〃％)• Понижая

⑵一勿一 1)!& — // — 1)!⑵一勿一 1)!& — // — 1)!последовательно mz- до =团》——*厶 заключаем, что

⑵一勿一 1)!

& — // — 1)!

⑵一勿一 1)!

& — // — 1)!

『II n (4 - 5 - 5)=][

6=1 /= г +1/ = / +1

где 3 =厶——Vv Перемножая эти велнчнны при /= 1,2,.… ...,п——1, получаем окончательную формулу:

(Ц)!兀二/ - 1)!(Ц)!兀二/ - 1)!п— 1 п

(Ц)!

兀二/ - 1)!

(Ц)!

兀二/ - 1)!

“и п

/=1 /^Z+l

В частности, мы видим, что 九旷次 0 при 0<壮《勺.Следовательно, операторы Vv порождают (при действии на fo) все подпространство Vn_i, состоящее из собственных векторов относительно 〃一入

Теперь открывается возможность индукции по п, и мы заключаем, что имеет место

Теорема 5. Всякий базисной вектор Гельфанда —— Цейтлина может быть представлен в виде

电=合旦儿

旦，旦，где ”口 ——нормируюищй множитель и оператор йц является полиномом от понижающих и диагональных операторов 上订：

旦，

旦，

где явный вид оператора V/^ дается леммой 6 и где оператор ▽&£ расположен левее V/；, если 丸 < / (при 右=/ такие операторы перестановочны).

Замечание 1. Поскольку операторы V〃j коллинеарны Zkj, вообще говоря, лишь при h = п、нам остается неизвестным явный вид полиномов 0卩(之)в реализации на группе Z.

Замеианне 2. При доказательстве теоремы 5 мы пользовались явными моделями неприводимого представления d(a). Однако полученный результат выражается в терминах инфинитезимальных операций и, следовательно, универсален в том отношении, что не зависит от частной реализации d(a).

§ 69. Нормировка базисных векторов

Условившись считать, что старший вектор % имеет единичную норму, мы подберем коэффициенты N@ таким образом, чтобы векторы

% =嘉九=£宀%

оказались ортонормальными (в частности, ?о = %). Иначе говоря, мы полагаем

嵋= (%，％) = (◎/()，Q/o)

Для вычисления этих коэффициентов нам придется рассматривать операторы V^, сопряженные V^i при 々〉Л Напомним, что в пространстве представления d(a) мы рассматриваем скалярное произведение, по отношению к которому d(ct)lu(") унитарно *). Следовательно, антиэрмитовым элементам алгебры X отвечают антиэр- митовы операторы в пространстве представления. Отсюда легко получить, что

Е〃 = Е“， i，j=l, 2, • • ■,几.

Действительно, ввиду аналитичности d(a) эрмитовым элементам алгебры X отвечают также эрмитовы операторы в d(a). Условие е% = с* означает, что сумма е订 + Cjf является эрмитовой, а разность е订—— е^ —— антн- эрмитовой; но тогда то же верно и при замене е^ на Е^. Докажем теперь, что имеет место

Лемма 10. Оператор V氾，сопряженный V^, k > i, может быть записан следующим образом:

V/ = . / 2!sEhkEis-\!s 必庐％，

где условия суммирования и коэффициенты 色山…厶 丁。 же, что и g лемме 6.

Доказательство. Мы получим нужные соотношения сопряжения для операторов Е^, если положим

по определению

= dh (&) = У

для операторов рождения и уничтожения. Используя соотношения коммутации (上订。^ =。^(乙仃——1)), мы можем представить оператор Vsi следующим образом:

"i = @瓦-1 瓦-2 瓦+1%*,

где положено 瓦=G/'+ 厶/ — 1 = %'山 + L小 Поскольку каждый бином Bj является самосопряженным, мы имеем отсюда

%也=以瓦+ 1瓦+ 2瓦

Окончательное выражение в терминах Е?? получается отсюда по правилу расшифровки, указанному в § 68 (см. доказательство леммы 7). Лемма доказана.

Следствие. 8 применении к старшему вектору подгруппы мы имеем

廿厶/п 亿"+i)y.

I /"+1 丿I / = i+lJ

Действительно, в этом случае обращаются в нуль все остальные слагаемые в V^. Положим теперь

%=q務

= 1

Лемма 11. В применении к старшему вектору g подгруппы Gh мы имеем

▽М = Р(%т，%),

где правая часть означает оператор умножения на число-,

Р (а 左—1»Р (а 左—1»afe)=afe)=П—L 1)1т г1)|11П—L 1)1т г1)|11①-万一力一й二加①-万一力一й二加

Р (а 左—1»

Р (а 左—1»

afe)=

afe)=

П—L 1)1т г

1)|11

П—L 1)1т г

1)|11

①-万一力一й二加

①-万一力一й二加

Здесь厶= mi -厶 厶= 能一力，a在=(斤"，m2, ...»m友)一 инфинитезимальный вес вектора 自 относительно подгруппы Gk и a”i =(团卜团2, ..., m/i-i)—— инфинитезимальный вес вектора £ = VvW относительно Ga-l

До казательство. Не ограничивая общности, можем считать, что k = п. Используя коммутативность Vi», расположим эти сомножители под знаком оператора:

в порядке убывания индексов i (при чтении слева направо). Согласно следствию из леммы 10 индукцией по степени находим, что

”£П-1

S = I 7 = z+l

Перемножая эти операторы, заметим, что 丄仃 перестановочно со всеми сомножителями Epni расположенными правее в Vv (р < / < /); следовательно, все произведения, содержащие 丄订，переносятся без изменения направо. В результате имеем

п—I л-1 vz п — 1

v;=ii^n п

i = II = I s「I j == 1

в применении к старшему вектору подгруппы Gn_卜 В частности, таким вектором является £ = Vv^} и сомножитель 丄订 в этом случае можно заменить на 厶 —— 厶. Заметим также, что 〃 + м =厶一1. Следовательно,

R= II片不党

в применении к j. Реализуем теперь неприводимое представление d(a) на группе Z и напомним, что согласно следствию из леммы 9 в этом случае

g=Vv* = ^vU*

1-1

（厶—〃 —1）1 伉―»— 1）!（厶—〃 —1）1 伉―»— 1）!где константа %v имеет вид

（厶—〃 —1）1 伉―»— 1）!

（厶—〃 —1）1 伉―»— 1）!

з П

1《f V j《％ — 1

В то же время оператор Еп задается формулой

где 2’ означает i-й столбец матрицы z. Производя дифференцирование, находим, что

% —1f п— 1 1 % — !п— 1

口党口喲="%! = 卩（“ 力

/ = 1I 1 = 1丿 1 = 1/ = 1

Действительно, Еы = , и применение этого опера- тора *） в степени 屮 уничтожает множитель zu, заменяя его на 屮!. Поскольку полученное выражение уже не за- висит от 之!п, мы можем заменить 七2n на — и т・ д.

Теперь остается перемножить все полученные константы. Лемма доказана.

Следствие. IIRE俨/I同* =尸（a1,以），где e一 старший вектор подгруппы Gk с сигнатурой 仪在 〃 Vv^ — старший вектор G在一1 с сигнатурой 仪在一卜

Действительно, （V任，又，§ =储、；％§ = Р（%т，%）怎自） Теперь уже без труда получаем окончательный резуль

тат:Теорема 6. дующую норму:тат:Теорема 6. дующую норму:Базисный вектор ^ = Q^fo имеет сле-Базисный вектор ^ = Q^fo имеет сле-м— 1IIА=2 I 1&$ </&耳м— 1IIА=2 I 1&$ </&耳（/* — /汴—1）!（厶々Т -仇-1）! "X n（/* — /汴—1）!（厶々Т -仇-1）! "X n（% — 〃,々т）! ]% （厶,”i 一 //, rt）1 J（% — 〃,々т）! ]% （厶,”i 一 //, rt）1 J

тат:

Теорема 6. дующую норму:

тат:

Теорема 6. дующую норму:

Базисный вектор ^ = Q^fo имеет сле-

Базисный вектор ^ = Q^fo имеет сле-

м— 1

II

А=2 I 1&$ </&耳

м— 1

II

А=2 I 1&$ </&耳

（/* — /汴—1）!

（厶々Т -仇-1）! "

X n

（/* — /汴—1）!

（厶々Т -仇-1）! "

X n

（% — 〃,々т）! ]% （厶,”i 一 //, rt）1 J

（% — 〃,々т）! ]% （厶,”i 一 //, rt）1 J

где ||%||= 1 以 числа /消 связаны с параметрами схемы 卩 соотношениями

?/=加泣一乙

Доказательство. Согласно определению вектора 九 он является старшим относительно G] с сигнату-

рой &卜=(内1). Кроме того, этот вектор получается понижающим оператором из вектора f^, старшего относительно G? с сигнатурой 々2 = 〃孔!2,俏22) • Следовательно,

\\U?-P^ «2)Hf^ Г

Выражая аналогично 『卩，через вектор ，中 старший относительно G3, и т. д., мы приходим после конечного числа' шагов к вектору %, старшему относительно Gn. В результате

口九『=П р®, %+i),

причем а?г,々=1, 2, . . . , п— 1, — строки схемы ц. Применяя лемму 11, заменяем обозначение 厶 на 厶力 и обозначение 1х на 4, Теорема доказана.

Замечание. Поскольку в выражение для ^u входят только разности чисел 厶，мы могли бы также положить liu = mik + п — Л С другой стороны, если мы желаем получить параметры, через которые в гл. IX выражались собственные значения операторов Казимира для G&, то следует положить 厶％ =俏加十伍一i) с соответствующей поправкой в формуле для 乂以).

В заключение отметим некоторые соотношения между функциями Р(сс『2—!,а%), которые легко проверяются непосредственно:

Р(%т, % + %•)—

Р(%г%)—

=TI"l 厶-D I I (厶一乙)JJ ("厶-；

t = 1i = / + li = l

[[(4 -厶-1) U 亿乙)[[亿-7j + 1)7 .

£=1i = /4-l上 = 1

Здесь Е； = (0, ...» 0, 1, 0, ...» 0) с единицей на /-м месте и 厶，禽 определяются так же, как и в лемме 11. Заменяя в 2° a^—i на а—十 £力 находим также

Р* + », %)=

В частности,尸(а, а) = 1, и мы имеем

3° Р (а, а + е?) = II (乙一厶)II (^ — I/ + О-1 ,

Z=/+li=/+l

где а = (/?；［, тъ ...,团)а 十£,=(『©, m2, . . ., m； +

+ 1, . . .,0).

§ 70. Дифференциал d(a)

Мы можем теперь установить явные формулы для инфинитезимальных операторов Е” в базисе Гельфанда—• Цейтлина. Для диагональных операторов такая формула дается уже теоремой 3:

巴卢"= (s； — Si-i)e“，

где Sj = ± 恤厂 сумма чисел, расположенных в

г-й строке таблицы 卩(s()=0). Из сопряженности операторов Eij следует, что достаточно изучить, например, подсистему повышающих операторов Е”, ，＜ /, среди которых в свою очередь достаточно выделить подсистему образующих Eif i+1, г = 1, 2, ...» п—1. Наконец, из соображений индукции по цепочке Gn n Gn_i п .…n Gi достаточно рассмотреть единственный оператор

p =七\_1, n*

Лемма 12. Оператор Р действует “о базисный вектор ец по формуле

Р& = 2 & М)九

/ = 1/

где 立 означает вектор (0, ..., 0? 1, 0? ..., 0) с единицей на j-儿 месте, добавляемый к строке a展一】.

Доказательство. Согласно определению вектора fu он содержится в подпространстве ^(竄月)，неприводимом относительно G^ с сигнатурой а». Поскольку оператор Р перестановочен со всеми преобразованиями группы Gh при h《n — 2, он может отображать V(а^) только в себя (ввиду однократности а» в спектре d(a))・ Следовательно, строки 竄儿 при 儿《孔一2 остаются неизменными. Далее, положим

R = X EinV(an-i) — N V (%_]),

где E…означает линейное пространство с базисом Е^, t = 1, 2, . . ., п— 1. Вектор f^ содержится в 忆 Формула

ЕpqE｛沱=MgEp" + EfnEpq,1 & P，e & 孔—1，

показывает, что Р инвариантно относительно Gn-i и инфинитезимальные операции этой группы получаются по правилу дифференцирования в тензорном произведении di ® d(an_i), где 必一преобразование (几一1)-мер- ного вектора в 七….Мы покажем в гл. XII, что

必 N d (a) = N d (а +е,-), а =

(где в правой части допускаются лишь те слагаемые, для которых a + £) является сигнатурой). Следовательно, 尸九 разлагается по базисным векторам с сигнатурами

+ ⑦，/ = 1, 2, .. . , п ——1. Лемма доказана.

Мы можем теперь перейти к вычислению коэффициентов 勾(卩).Представим вектор f^ в виде

где понижающий оператор 火口囱 содержит все операторы VA<, k < п— 1, в соответствующих степенях и

П一1几=%%=卩”油.

Согласно лемме 12 применение оператора 戶 к вектору fg равносильно его применению к вектору /Цг ), т. е.

a/(n)=a/(网)•

Поскольку вектор % является старшим относительно подгруппы Gn-i, схема цо имеет вид

(

m】 他2 团3…俑7 тп

где т^ = min,饱=п?л и все остальные строки получаются усечением из а^т. Следовательно, наша задача свелась к вычислению 的(卩о). Используя снова лемму 12, находим

а! (&)崎о+Е/ = (%-】‘/%"%+£/)=

=(f%, £小1】f% + E/) н (f%, Entn-} V v/f%)・

Согласно лемме 8 мы имеем

£%/ = 4"仇*7,咼,П-1 + V"

в применении к весовому вектору f=v訂九， где X — значение оператора Lj, n-i на векторе f:

九=7,—厶it — 1,

и явный вид константы N нам не нужен. Поскольку Еп, п-i = Vn, п-ь то первое слагаемое при умножении на 『дает вектор, ортогональный ，凤,и его можно отбросить. В результате

а/(&) ”+е/=-*%' А) = } ” •

Следовательно,'

J 喩Р(а“г，％) 的同呢+eJ 尸(％-1, an-1 + ^)-P(an-l + ^I, %)'

Пользуясь тождествами 2’ и 3°, приведенными в конце § 69, находим окончательно, что

立(Т)

а1 (Во)=壬 •

П(7Т/)

= 1

Переходя к ортогональному базису £口，имеем

= X с/(ц)еи+

Для вычисления коэффициента сДц) достаточно умножить 的(乩) на отношение ^^, где N =巾口 и № = №卩+泞 Согласно тождествам 1°, 2’ имеем

N* — P(a”2, a%7 + £/) Р (ct"7 + £/, an)— № 一 P(a…，an_i) P (an-i, 口圧)

n—2 〜n—1

—n — 1" — 1'

П(〃一7/)[[ (Z--//-D i=i/ = i

где штрих означает, что исключается сомножитель при г = /, и знак 土 подбирается так, чтобы выражение справа было положительно. Ввиду сопряженности Еп_^ п, Еп,п-\ имеем также

Q 3) = (£〃—1, "%, %+€/) =(C|i，Е",1С|1+8/)，

т. е. оператор En)n-i имеет отличными от нуля лишь коэффициенты

(%-叩 Е", n-i^|i) = С/(N — е/)*

Отсюда с помощью перенормировки можем также вычислить действие Еп, п^ в базисе /屮 Результатом является

Теорема 7. Инфинитезимальные операторы Ep-i, р, Ер,「г действуют s базисе f^ = Q Jo 门。формулам

р《^ II (毎Jр《^ II (毎J

р

《^ II (毎J

р

《^ II (毎J

2

弋^ 卩(4,Р-2-/加

Ep, p-ifu / I %—i~'fu』97),

六 1 И' (/"т -坛卩т)

?de lip = mjp — i w 8j (p — 1) тора (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) к (р — l)-w строке схемы 卩. е^ имеем?de lip = mjp — i w 8j (p — 1) тора (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) к (р — l)-w строке схемы 卩. е^ имеемозначает добавление зек- с единицей на j-м месте В ортонормальном базисеозначает добавление зек- с единицей на j-м месте В ортонормальном базисе

?de lip = mjp — i w 8j (p — 1) тора (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) к (р — l)-w строке схемы 卩. е^ имеем

?de lip = mjp — i w 8j (p — 1) тора (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) к (р — l)-w строке схемы 卩. е^ имеем

означает добавление зек- с единицей на j-м месте В ортонормальном базисе

означает добавление зек- с единицей на j-м месте В ортонормальном базисе

Ерт/и =

р-1S /=1р-1S /=1°U + £/ (p —D, +°U + £/ (p —D, +n (hp -",0-1)JJ (/"-2 -，人07 - D

р-1

S /=1

р-1

S /=1

°U + £/ (p —D, +

°U + £/ (p —D, +

U (4, p-】—— 1)U' (4, p-1 — /7) /=!i=l

£p, р-1^ц =

р-1

S

А】

Во всех этих формулах штрих означает, что s произведении исключается нулевой сомножитель (z = j), /^ = О при i > /, 〃 фигурные скобки со знаком 《+》заменяют знак модуля.

Замечание. Обычно в литературе используются только формулы для операторов Е^ в ортонормальном базисе. Между тем мы видим, что в базисе ^ эти формулы выглядят значительно проще.

§ 71. Матричные элементы d(a)

В заключение этой главы укажем простую общую формулу для матричных элементов d(a). Мы определяем эти элементы из разложения

Tg% = ^JXV (g) ^ц.»

где £小——ортонормальный базис Гельфанда ——Цейтлина. Нетрудно видеть, что производящая функция a(g) является одним из таких элементов:

a(g) = (7>o, %,

где индекс 0 нумерует старший вектор d(a). Действительно, условие Ец = Ел означает, в частностиv), что эрмитово сопряжение переводит преобразования группы Z_ в преобразования группы Z+; следовательно, (Vo» eo) = (r6rA» Г£ео) =(Гбео» eo) = c^6) = a(g). Условие

a 也gz) = a (g)

показывает, что функция a(g) является старшим вектором относительно двусторонних сдвигов/" (g) -> f (g[gg2) на группе G. Поскольку линейная оболочка функций Tuv(g) неприводима относительно этих сдвигов, то ясно, что всякая такая функция может быть получена из a(g) посредством понижающих операторов.

Нам будет удобно ввести несколько необычные обозначения для инфинитезимальных операторов левого и правого сдвигов на G. Условимся операторы левого сдвига записывать слева, а операторы правого сдвига —— справа от функции /(g), полагая соответственно, что в записи fAB оператор А действует раньше В. Положим

Eikf (g) = g,・六 f (g), f (g) Eki = f(g)~ g'，

*) Для операторов Tg это условие означает, очевидно, что Tg = Tg*, т, е. Т〔 = Т曰,где штрих означает транспонирование в базисе Гельфанда — Цейтлина. .

где gi означает ью строку и g' — i-й столбец матрицы g (элементы этой матрицы рассматриваются как независимые переменные). Тогда операторы 合诘,Ehi являются, образно говоря, «операторами подстановки» индекса i вместо индекса k. Для выяснения вопроса, какие из этих операторов являются повышающими и какие понижающими, удобнее всего использовать явный вид а-функции:

« gii …"a (g) = 口

I g“ …gii

откуда видно, что операторы Е；店,Eki аннулируют эту функцию при I < k. Следовательно, операторы, «понижающие индекс», нам приходится рассматривать как повышающие ). Положим теперь

々 > 厶々 > 厶

々 > 厶

々 > 厶

Ul NE"円办••• %А• С/也…b YG，

где коэффициенты J也…厶 в же ):2 s

обеих формулах одни и те

n厶"•

i</<k

Напомним, что Л^ = Л：—— 厶办 где 厶寸= 七注 ——i. Для каждой схемы 卩=｛团久｝ рассмотрим всевозможные разности г/н = mAi ——mh^t ^ и положим )

7' е о р е м а 8. Произвольный матричный элемент Tjv(g) представления d(a) может быть выражен s виде

jv (g)=耳瓦；尸眼(g)尸V，

где a(g)——производящая функция d(a) 〃 ^м, ^v ——нормировочные множители, явный вид которых дается теоремой 6,

Доказательство, Формула

jv (g九)=£ Т(а (g) TAv (/г)

показывает, что каждая строка матрицы Hr^H преобразуется согласно d(a) при правых сдвигах g->gA В частности,

a(g")= Етоц (g) Зо(3，

откуда ясно, что функции e@(g) = том(^) преобразуются по закону ортонормального базиса в d(a). Следовательно,

Тон (g) = a (g)尸中

и функции тц0 (g) = тОм (g‘)) выражаются аналогичным образом через операторы левого сдвига:

加0(8)= 亡户w(g)■

В свою очередь каждая из этих функций является старшим вектором для строки Тцу(^). Следовательно,

%v(g) = ^； &a (g) Pv.

Теорема доказана.

Напомним, что согласно глобальной теореме функции tjiv(g) взаимно ортогональны по отношению к скалярному произведению

(f, Ф)= / f (〃)両)d〃，

где интеграл берется только по подгруппе U(m). Операции gf〃og, g—*g〃o, 〃。三 U(〃), унитарны по отношению к этому скалярному произведению. Если считать, что мера Хаара d〃 нормирована условием j = 1, то

llт11V(g)ll=^-，/^1

где ^ = ^(a)—размерность представления d(a). Однако при фиксированном а мы можем перенормировать эту меру таким образом, чтобы ||тИУ(§) || = 1.

Полученная формула для тИ¥(§) является дифференциальной формулой типа формулы Родрига для полиномов Лежандра. Мы можем записывать эту формулу несколько иначе. Прежде всего, имеем

Следствие 1. Если выбрать в группе G параметры (на всюду плотном множестве) при помощи《инверо ного разложения Гауссау> g = wOC, то

" (叽)=a屮(叽)九,

где операторы 否冗高 力=А i, действуют только на параметры z 〃 операторы Eiki =А i, действуют только на параметры 以

Действие диагональных операторов 厶仃=Е^ ——Е力 + + (/ — i) проще всего учитывать, не выполняя дифференцирования, но вычисляя вес вектора, к которому они применяются. Если принять такое соглашение, то мы получаем также

Следствие 2. Значение функции 111V(g) в произвольной точке gR G может быть вычислено следующим образом:

%v(g) = ^^Ц &а (zgD % J=е，

где Рц, Pv рассматриваются соответственно как дифференциальные операторы по параметрам zu*

Наконец, поскольку в этой формуле дифференциальные операторы применяются только в точке е, естественно попытаться заменить Eji, £fj на их значения в единичной точке, г. е. на -чу.,

соответственно. Заметим, например, что оператор Vki может быть переписан в виде

VG G д д ~

= 厶 幻陷2g厶^瓦耳丁瓦一期勺也…b

/!>/2>->/,厶 2$

Такая запись была получена нами при доказательстве леммы 10 (через биномы В；). Теперь, поскольку все операторы умножения собраны слева, мы можем без труда положить g = е, т. е. заменить 幻 на G = (0, ..., 0, 1, 0 0).В результате получаем оператор

/1>为>厶/1>为>厶

/1>为>厶

/1>为>厶

который по-прежнему может быть переписан в виде

ЗдесьЗдесьЛ>/2>—>^Л>/2>—>^коэффициентыкоэффициентыdsk!i dgtif2 标dsk!i dgtif2 标легколегковычисляются из 《весовых»вычисляются из 《весовых»соображений (они отличаются от с, // заменой каждого мносоображений (они отличаются от с, // заменой каждого множителя Lij на Lij + 1). Подобную операцию можно произвести п над всем произведением 尸从(Р”). Однако останавливаться на этом подробно не будем.жителя Lij на Lij + 1). Подобную операцию можно произвести п над всем произведением 尸从(Р”). Однако останавливаться на этом подробно не будем.

Здесь

Здесь

Л>/2>—>^

Л>/2>—>^

коэффициенты

коэффициенты

dsk!i dgtif2 标

dsk!i dgtif2 标

легко

легко

вычисляются из 《весовых»

вычисляются из 《весовых»

соображений (они отличаются от с, // заменой каждого мно

соображений (они отличаются от с, // заменой каждого мно

жителя Lij на Lij + 1). Подобную операцию можно произвести п над всем произведением 尸从(Р”). Однако останавливаться на этом подробно не будем.

жителя Lij на Lij + 1). Подобную операцию можно произвести п над всем произведением 尸从(Р”). Однако останавливаться на этом подробно не будем.

Мы уже видели в гл. V, что функции rgv(g) при и = 2 выражаются через полиномы Якоби. Несомненно, представляет интерес исследование этих функций при произвольном п в терминах классической теории специальных функций.

В этой главе мы собрали основную информацию о строении неприводимого представления d(a). Ключом к получению этих результатов являются для нас индикаторные системы, построенные автором в 1961 г. ([83], [84]). Однако выбор базиса в пространстве d(a) и явные формулы для инфинитезимальных операторов в этом базисе были предложены И. М. Гельфандом и М. Л. Цейтлиным [72] еще в 1950 г. Эти авторы предлагают готовый ответ на задачу, справедливость которого может быть проверена, например,

путем непосредственного вычисления соотношений коммутации. Редукция с группы на подгруппу не указана в этой работе явно, но достаточно очевидна из структуры параметров, определяющих базисные векторы. Наш подход состоит в предварительном доказательстве теоремы о редукции, откуда удается получить не только матричные элементы инфинитезимальных операторов, но и структуру операторов понижения.

Понижающие операторы были найдены первоначально также в статье [84]. Вслед за тем в работе [142] эти операторы были выражены через операторы рождения и уничтожения, и также найдена нормировка базисных векторов. Мы использовали символику, предложенную в [142], при вычислении соотношений коммутации между операторами Vhi и также частично следовали этой работе при вычислении нормирующих множителей (§ 69). Близкие результаты были получены в [155]. Формула типа Родрига для матричных элементов была получена в [84]. Недавно И. М. Гельфанд н М. И. Граев [66] получили выражение для матричных элементов через обобщенные «бета-функции».

Заметим, что индикаторные системы действуют далеко не в полную силу при доказательстве теоремы о редукции. В действительности в этом доказательстве достаточно было бы использовать гораздо более простой критерий (см. сноску на стр. 298). Однако в следующих двух главах мы укажем дальнейшие приложения индикаторных систем. В гл. XVI дается построение индикаторных систем для каждой надкомпактной группы Лн.

ГЛАВА XI

ХАРАКТЕРЫ

Пусть G — произвольная группа. Каждому ее конечномерному представлению Тё поставим в соответствие числовую функцию

%(g) = spTg.

Эта функция называется характером представления Tg； среди линейных комбинаций матричных элементов Tg она играет особую роль. Прежде всего, очевидно, что функция %(g) инвариантна относительно внутренних автоморфизмов:

% (g「ggo) = % (g). (*)

Иначе говоря, %(g) постоянна на классах сопряженных элементов в группе G. Далее, если G — компактная группа Ли, то согласно глобальной теореме множество всех характеров, отвечающих неприводимым представлениям, образует полную ортогональную систему в классе функций, удовлетворяющих условию (*).

Характер обладает также и другими замечательными свойствами, некоторые из них мы отметим в конце главы. Основным содержанием этой главы является прямое вычисление характеров %a(g) неприводимых представлений d(a) группы U(n). С этой за■ дачей тесно связана также еще одна задача, допускающая геометрическую интерпретацию, — построение весовой диаграммы представления d(a).

§ 72. Инвариантная мера на группе U(n)

Пусть du ——инвариантная мера Хаара на группе U(и), нормированная так, что объем всей группы равен единице. Ввиду соотношения (录)нас будет интересовать разложение

и =

приводящее произвольную матрицу zzwU(n) к диагональной матрице у. Выясним, можно ли рассматривать

параметры ину как параметры в U⑺.Если это так, то естественно будет записывать d〃 в виде

du = ^dv dy,

где(о — соответствующий якобиан.

Пусть Г — множество всех диагональных матриц в группе G = U(zt). Вводя угловые параметры, запишем произвольную матрицу у ^ Г в виде

О

Если фиксировать у, то преобразующая матрица и в искомом разложении определяется неоднозначно. Произвол в определении этой матрицы выражается соотношением

—1— 1

Ui YS = U2 丫也

Иначе говоря, матрица w = v2v~[ должна коммутировать с матрицей у. Если у имеет различные собственные значения, то это возможно только в случае 5 w F.

Пусть Го—подмножество в Г, выделяемое условием Фг ¥= ф；, I, j = I, 2, ... t п. Поскольку это подмножество получается из Г выбрасыванием конечного числа поверхностей вида фг ——ф； = 0, оно имеет полную размерность в Г. Если у ^ Го, то мы видим, что преобразующая матрица V определяется с точностью до произвольного левого диагонального множителя:

Следовательно, можно считать, что множество преобразующих матриц отождествляется с множеством й = G/Г. В дальнейшем ввиду произвольности диагонального множителя мы определенным образом специализируем преобразующую матрицу и.

Далее, если фиксировать и w G, то диагональная матрица у определяется с точностью до перестановки собственных значений. Следовательно, Го разбивается на /г! областей, в каждой из которых имеется «представитель» % отвечающий матрице и. Полагая

Г^ = (уеГ, ф! <ф2< . •. <Ф„},

мы получаем одну из таких областей. Все остальные получаются из нее с помощью подстановки. Если у пробегает Г^ и и пробегает й, то мы получаем, очевидно, в группе G многообразие полной размерности. В этом смысле можно говорить, что пара (у, и) параметризует U(n).

Найдем соотношения между дифференциалами всех рассматриваемых матриц. Дифференцируя обе части равенства ин = уи, находим, что

dv * и • du = dy • V у * dv.

Умножим полученное равенство справа на а-1 у1 = =и для каждой матрицы % положим 6% = dx* х~х\ в результате получим

би + и • •厂】=6丫 十 у • би • уТ.

Заметим, что ввиду унитарности матрицы и матрица дифференциалов du является косоэрмитовой: duik = =—dUhR однако при вычислении якобиана переменные е而 uik можно, как известно, считать формально независимыми. При этом переход от матрицы du к матрице du = у • du • V-1 имеет единичный якобиан. Следовательно, искомый якобиан (о совпадает с якобианом следующего преобразования:

6е = бу + у • би • у-' — би.

Запишем это преобразование в матричных элементах. При этом используем произвол в выборе преобразующей матрицы у. Нетрудно видеть, что за счет подбора диагонального (левого) множителя можно добиться выполнения условия dfji = 0 для всех диагональных элементов матрицы V. Выписывая отдельно диагональные

и недиагональные матричные элементы, получаем, что наша система уравнений распадается:

6〃“ = 6丫"= М-1 dtp” z = 1, 2, . .., п;

6"〃 =(Y〃Y/— 1)6。“，i, j, = 1, 2, ..., /г; i=^j.

Для вычисления якобиана достаточно найти модуль произведения всех выражений, стоящих в круглых скобках. Заметим, что при транспозиции индексов i, / это выражение заменяется сопряженным. Положим

А = II (Vz - Y/)-

При умножении круглых скобок 丫"匕一1 = (у, — у；)/у； знаменатели можно не учитывать, поскольку |川=I. В результате получаем окончательное выражение для якобиана со:

(о = ДА,

где черта означает комплексное сопряжение. Множитель dv мы нормируем таким образом, чтобы J da = 1.

f (〃)=『®туи) = /(у).f (〃)=『®туи) = /(у).Рассмотрим теперь произвольную функцию f(и), постоянную на классах сопряженных элементов, т. е. такую, что

f (〃)=『®туи) = /(у).

f (〃)=『®туи) = /(у).

Для краткости такие функции мы будем называть функциями классов. Имеем

J f d〃 = J du J До dcp =扌 J f(o dcp, dcp = dq)d ① 2^屮小

где ^o一нормирующий множитель. Для вычисления этого множителя положим f = 1; тогда левая часть обращается в единицу ввиду условий нормировки, и, следовательно, М)= Jcodcp. Заметим, что функция f(у) симметрична относительно перестановки собственных значений. Следовательно, оба интеграла по dcp можно рассматривать (одновременно) либо по множеству Г^9

либо по всей группе Г. Окончательно имеем

где оба интеграла берутся по n-мерному тору Г: (Ж(р/< V 2л\ / = 1, 2,.…,ti.

§ 73. Примитивные характеры U(n)

Характеры неприводимых представлений принято иногда называть примитивными характерами. В этом параграфе мы найдем примитивные характеры группы и(%).

Для решения этой задачи достаточно использовать соотношения ортогональности для примитивных характеров, даваемые глобальной теоремой *):

Здесь Ха — характер неприводимого представления d(a) и баб — символ Кронекера для пары сигнатур а, р. Поскольку подынтегральная функция есть функция классов, мы можем использовать для нее полученную в предыдущем параграфе формулу интегрирования. В результате получаем

где /V。——нормирующий множитель, равный J AAdcp, и где положено

Ха — %а • А・

Для нас существенно, что функция %a(Y)= spT\ является полиномом от yi, 丫2, • • •, Yn (как сумма весов)( кроме того, полином ха симметричен относительно всех подстановок (как функция классов). В то же время функция А является антисимметрическим полиномом.

*) В действительности мы используем только условие нормировки при а = р.

Следовательно, и Х^ является антисимметрическим полиномом 0т yi, Y2,…，Yn-

Расположим все одночлены, входящие в полином Х& в лексикографическом порядке и заметим, что 儿= = 4儿；где А — оператор антисимметризации. Следовательно, Ха разлагается в сумму однородных антисимметрических слагаемых вида

Sr =』± 丫标埶■ ■ • УМ,

где сумма берется по группе подстановок (над элементами у% 丫2， ■.., Yn) и знак ± выбирается в зависимости от четности или нечетности подстановки. При этом слагаемое S^ входит с целой кратностью с^. Действительно, Ха н А имеют только целые коэффициенты; следовательно, то же верно и для функции Х^. Интегрируя по группе Г, получаем, что функции S^ удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности:

『S^S/ dtp = (2冗广•献必，

где 6左七——символ Кронекера для символов

=(Е,色，...,左也)，/ = (L, b ..., 1п)- Заметим, что, в частности, А является антисимметрической суммой вида S^, где 々0 = (м—1, п ——2, ..., 1, 0). Следовательно,

m = (2冗尸.川.

Далее, записывая функцию Х« в виде Xc^Sh и используя соотношения ортогональности, находим (сокращая на М), что

Поскольку числа Ch являются целыми, это возможно лишь в том случае, когда все они равны нулю, за исключением одного, который равен ± 1.

Пусть yRY* .., Y片〃—старший член характера 履, 他1力他2力.…)mm где mh "2, - •., шп - параметры сигнатуры а. Тогда старшим членом Х^ является 丫卜丫夕...丫3 где положено

〃="总十m一々)， 々 = 1,2, п.

Поскольку этот старший член входит с положительным коэффициентом, мы заключаем, что q= +1, и окончательно

Xa=S/・

В результате получена следующая

Теорема 1. Всякий примитивный характер группы, U (и) имеет вид

履(")=需"，

где X优——антисимметрический который может быть записангде X优——антисимметрический который может быть записанполином от уь ?2，・・・，Уп， s виде детерминанта:полином от уь ?2，・・・，Уп， s виде детерминанта:

где X优——антисимметрический который может быть записан

где X优——антисимметрический который может быть записан

полином от уь ?2，・・・，Уп， s виде детерминанта:

полином от уь ?2，・・・，Уп， s виде детерминанта:

XJy) =XJy) =竹件…屮Y0 $2…曲竹件…屮Y0 $2…曲厶 > “2 > • • • > I在,厶 > “2 > • • • > I在,

XJy) =

XJy) =

竹件…屮

Y0 $2…曲

竹件…屮

Y0 $2…曲

厶 > “2 > • • • > I在,

厶 > “2 > • • • > I在,

〃 A = Xg。 соответствует сигнатуре а。= (0, 0, •••, 0) ). Параметры Ik связаны с параметрами сигнатуры а соотношениями

〃=你用+ (北一々)， 々=1, 2, n,

и у】,丫2, Ул — собственные значения матрицы

и 三 U(〃).

Замечание. При доказательстве теоремы 1 мы не пользовались классификацией, изложенной в гл. VII. Более того, теорема 1 сама может быть использована для классификации неприводимых представлений группы U (п). Действительно, формула ⑺ показывает, что функция Xa(Y)содержит старший вес

Y：唱2 …y",/ = 4 +(〃 _ 同，

с кратностью 1. При этом 农》加2》・・・》俑，и мы снова приходим к понятию сигнатуры. Поскольку в

силу глобальной теоремы различным представлениям должны отвечать линейно независимые характеры, мы получаем, что сигнатура определяет представления с точностью до эквивалентности.

Все изложенное построение принадлежит Г. В е й- л ю [10]. Формулу (*) мы будем называть первой формулой Вейля для характеров.

В заключение заметим, что значение характера %(g) позволяет также вычислить размерность представления .V =： ^(е). Подстановка 6 = е в первую формулу Вейля приводит к неопределенности 0/0, для раскрытия которой удобно положить 屮1 =(枕——l)q),屮2 =(枕——2)q),... ...,q)n = 0 ■ ф. При этом числитель (*) превращается в определитель Вандермонда чисел Е^ = е"目、 который, как известно, равен произведению разностей ⑺一勿, р < q. Устремляя ф к нулю, замечаем, что еР ——&g i(lp ——/力屮.В результате

И (%-%)

АГ _ 1<Р<

N— 0!1!2! ... (п- 1)!'

Действительно, выражение в знаменателе есть произведение разностей /； — /% р < q, где /^ =枕—R, R = 1, 2,... > 枕.

Полученная формула является одним из наиболее важных следствий теории характеров. Действительно, знание размерности обычно существенно для приложений.

§ 74. Весовая диаграмма d(a)

Мы уже отмечали при вычислении характеров, что функция %а (у) = spTy представляет собой сумму всех весов представления d(a), записанных мультипликативно:

Ха(Y)= S «А • ^(Y)・

Здесь 枕入——кратность вхождения веса X. Если X не содержится в спектре d(a), то мы полагаем 枕& = 0, Положим

九(Y)= Y扌吋2…Y3

Таким образом,孔入=f (入!，入2, • • •, Ап) есть неотрицательная целочисленная функция, отличная от нуля только в точках спектра d(a). Мы называем эту функцию (см. § 44) весовой диаграммой d(a).

Вместо группы U(n) удобно рассматривать SU(п), поскольку «геометрические свойствам спектра при этом, в сущности, не меняются. Полагая 九i + 入2 + • • •丄 入n = c。, мы получаем систему параллельных гиперплоскостей в n-мерном пространстве. Для группы SU (п) весовая диаграмма не зависит от с。при условии параллельного переноса

入比一*入比 + f, 左=1,2, 小

В частности, мы можем положить 方=0 и рассматривать весовую диаграмму только на этой гиперплоскости.

у~* = у, мы имеему~* = у, мы имеемПервая формула Вейля дает нам непосредственный способ для вычисления весовой диаграммы, однако, к сожалению, слишком сложный. Действительно, деление в (*) § 73 практически легко производится в общем виде лишь при /г = 2. Полагая для группы SU(2) 丫】=

у~* = у, мы имеем

у~* = у, мы имеем

ла = Y?i - »一厶.

Заметим, что 乙——/2 = mi——m2 + 1> где mi, m2 ——параметры сигнатуры а. В гл. V мы положили т、一恤=2【, где / ——полуцелое или целое число. Следовательно, 厶一/2 = 2/ + 1. Заметим также, что А = у —尸.В ре-

зультатезультатеY2"+1 Y(2;+1)_ sin (2/+ 1)(PY2"+1 Y(2;+1)_ sin (2/+ 1)(Pгде положено угде положено уY-Y-1 е". ДляY-Y-1 е". Дляграммы достаточно заметить, Ха = Y-2Z + Y~2(Z-1) +граммы достаточно заметить, Ха = Y-2Z + Y~2(Z-1) +sin ср * вычисления весовой диа・ что+产"1)+ Y丝sin ср * вычисления весовой диа・ что+产"1)+ Y丝

зультате

зультате

Y2"+1 Y(2;+1)_ sin (2/+ 1)(P

Y2"+1 Y(2;+1)_ sin (2/+ 1)(P

где положено у

где положено у

Y-Y-1 е". Для

Y-Y-1 е". Для

граммы достаточно заметить, Ха = Y-2Z + Y~2(Z-1) +

граммы достаточно заметить, Ха = Y-2Z + Y~2(Z-1) +

sin ср * вычисления весовой диа・ что

+产"1)+ Y丝

sin ср * вычисления весовой диа・ что

+产"1)+ Y丝

Мы снова получаем хорошо известный результат (гл. V): весовая диаграмма отлична от нуля только в точках —厶 —/ + 1, ..., / (при соответствующем выборе масштаба) ,и в этих точках она равна единице. Очевидно, что, и обратно, знание весовой диаграммы позволяет

в данном случае получить выражение для характера элементарным способом, без привлечения теории интегрирования.

Рассмотрим теперь случай 〃 = 3, т. е. G = SU (3). Весовую диаграмму d(a), а =(①卜团2,团3), мы будем рассматривать на плоскости 九i + 九2 + 九з = const. Спро

ла. Действительно,ла. Действительно,ектируем на эту плоскость оси 。九 1,。九2,。九з так, чтобы их положительные направления расположились под углом 120°. Тогда вся плоскость разбивается на шесть секторов с вершинами в начале координат и с углами 60° (рис. 3).

ла. Действительно,

ла. Действительно,

Пусть 61, е2, е3—проекции единичных векторов, направленных вдоль 0入 1, 0九2, 0九з соответственно. Всякий вес изображается точкой вида 〃i6 + п2е2 + 几3&3, где 勿，&,

/гз — произвольные целые чис- всякий вес есть проекция на нашу

плоскость трехмерного вектора с целочисленными координатами 九 1,九2, Аз- Заштрихованный сектор выделяется условием 九 1》九2》九з； только в этом секторе могут рас

полагаться старшие веса.

Напомним теперь, что всякий вес представления 2

d(a) может быть записан в виде а —』財⑴打 где

S = ei — 22 и(02 = 62 — &з—корни в алгебре si (3) и 々1,左2—неотрицательные целые числа. Вычитанию вектора (01 соответствует горизонтальное движение налево на нашей диаграмме, и вычитанию вектора (02 соответствует движение по направлению * ——З

Напомним также, что диаграмма весов должна быть симметрична относительно группы Вейля. В нашем случае группа Вейля порождается отражениями относительно осей 0九Ь0九2,оаз.

Для построения весовой диаграммы мы используем реализацию d(a) на группе Z. Согласно общим резуль-

татам гл. VII пространство представления натянуто на векторы

Ь‘ с' — неко-на группе Z,Ь‘ с' — неко-на группе Z,а (г, g) = (а + Ьх + су)р (а‘ + Ь'£ + с%')*

Ь‘ с' — неко-на группе Z,

Ь‘ с' — неко-на группе Z,

где р = mi — m2, q = т? — гпз, а, Ь, с,优, торые константы и х, у, л/, у'——функции связанные соотношением

(*) обозначениях(*) обозначенияху + к£ + у，= 0.

(*) обозначениях

(*) обозначениях

Действительно, мы полагаем (в

n=||z灯||)尤=Z⑵ u = Z13,尤‘=一223,旷=一巧3 +z12之23， Полином а(г, g) разлагается по одночленам от х, у, х\ у，при этом, учитывая формулу (*), мы можем понижать степени этих одночленов, заменяя 尤尤‘ на —у——у'. Следовательно, а (乙 g) разлагается по одночленам вида

6ws = yky，Q± (s),

где положено (p+(s) = х3, 屮一(5)=尤飞. Действительно, указанная выше операция понижения приводит к одному из этих одночленов. Для одночленов 6- мы имеем следующие ограничения на показатели:

0&左&〃 0 ^1 + s ^q.

Точно так же для одночленов 0+ мы имеем ограничения

0《^ + s《口，0&/《4.

С другой стороны, используя индикаторную систему (гл. X), легко проверяем, что все одночлены с такими ограничениями сами содержатся в пространстве представления d(a). Поскольку эти одночлены линейно независимы, мы получаем базис в пространстве представления d(a).

Теперь остается найти веса всех базисных одночленов. Отнесем одночлен 0± к серии 5°, если s = 0, и введем для него в этом случае обозначение

% = &"•

Одночлены 0~, s ¥" 0, и 0+, s ¥" 0, отнесем соответственно к сериям S- и S+. Заметим, что

眩="嘅，%=/%

Одночлены х, у, л/, у' являются мультипликаторами на группе Z в смысле гл. X. При этом первым двум из них отвечают соответственно мультипликаторы Y”％, УТ】％

в классе весов, а последним двум отвечает один и тот же мультипликатор Yf'Va* Иначе говоря, умножению на 尤,л/ отвечает вычитание векторов (01, (02 (соответственно), в то время как умножению на у, yf отвечает

вычитание одного и того же

вектора 电 +(02 =当一？з・

Используя все эти правила и ограничения на показатели А, /, з, нетрудно завершить наше построение. Фиксируем точку а = (mi, m2, т3) в заштрихованном секторе на рис. 3 и построим шесть точек sa, где s ——элемент группы Вейля. Соединяя все эти точки прямыми линиями, получаем, как

показано на рис. 4, выпуклый шестиугольник. Умножение на у, д' соответствует дви

жению вдоль пунктирной линии в направлении от а к р. Умножение на 嗚 равносильно вычитанию вектора т (^] — ?з), где tn = h + L Полагая 加=0, 1, 2 ...,

получаем соответствующие кратности весов:

1, 2, 3, • ♦ ♦,々о — 1,品，々о, * ♦ ♦,々о, 々о ~' 1, • • •» 3, 2, 1.

Действительно, для вычисления этих кратностей достаточно найти число мультипликаторов 9} с фиксированной суммой т = k + I. При этом учитываются ограничения 0《々《夕，OWZWg. Отсюда легко получить, что т()= р + q (максимальное из чисел, для которых точка Р = а ——т0(в]——？з) еще является весом) и k0 = =min(p, g) + 1. Аналогично производится вычисление весов для всех остальных мультипликаторов 0±. При этом сериям S+, S~ отвечают на рис. 4 точки лежащие в областях /, // соответственно.

Окончательный результат выглядит следующим образом. Соединим вершины (а, §), (從串)， (а", §"), объединенные попарно, отрезками прямых линий. Тогда

в пересечении образуется треугольник, который обозначим А・ Кратность «х равна единице на границе всего шестиугольника, возрастает линейно (с шагом единица) при движении к центру и принимает максимальное постоянное значение на треугольнике А (внутри и на его границе). Это максимальное значение есть

fe0 = min(p, 4)+ 1.

Нетрудно также выделить линии уровня 九入=const; они представляют собой систему вложенных шестиугольников, которые, начиная с некоторого момента, вырождаются в треугольники и (в некоторых случаях) даже в точку. Для доказательства достаточно заметить, что движение от а к о/ осуществляется мультипликатором х и движение от а к а" осуществляется мультипликатором лЛ Применение таких мультипликаторов не изменяет кратности.

На рис. 5 приводится весовая диаграмма в случае а = (7, 2, 0). В этом случае Н =⑵ 7, 0), §" = (0, 7, 2), Р = (0, 2, 7), Р' = (2, 0, 7), а"=(7, 0, 2). Кратности 以 указаны цифрами у линий постоянства. Эти кратности равны 1 вдоль внешнего шестиугольника, 2 вдоль следующего шестиугольника, 3 вдоль треугольника и 3 в начале координат.

В общем случае нетрудно показать, что линии постоянства выделяются уравнениями вида ||%|| = const, где положено

II х И = max 修一II х И = max 修一①1 +加32~①1 +加32~

II х И = max 修一

II х И = max 修一

①1 +加3

2~

①1 +加3

2~

для вектора х = x^i + х2е2 + х3е3 *). В той части, где кратность 九入= /(△) меняется линейно, она задается формулой

Здесь а = (т^ m2, т3)——сигнатура представления. Максимальное значение кратности в области постоянства было приведено ранее.

*) При этом должно соблюдаться условие 尤i + 尤2 + 尤3 = =mi + m? + тз・ В частности, Ц х Ц = max | х< | ( если сигнатура а нормирована условием ms + — 0.

Предлагается в качестве упражнения получить описание весовой диаграммы для SU(3) другим способом, используя сужение на SU(2) (см. § 66).

Тем самым в случае л = 3 мы получаем окончательный результат. Характер ха и кратности пк вычисляются

элементарным способом. Разумеется, и в общем случае метод Z-мультипликаторов дает известную информацию о весовой диаграмме, но структура этой диаграммы является значительно более сложной.

Мы вернемся к данному вопросу в гл. XVII, Пока займемся описанием еще одного аналитического выражения для характера %а произвольной группы U (п).

Упражнения

Пусть Л(а)—весовая диаграмма d(ct). Показать, что Л(а) содержится в выпуклом множестве, натянутом на точки sa, где s — произвольная перестановка координат вектора а.

Показать, что указанное выше выпуклое множество выделяется в п-мерном пространстве Еп следующей системой соотношений:

尤I+尤2+• • •+尤% = S+a2+• • • + a加

/]十/2 + …+/★ 《 5 + a2 + ... + a也， ^ = 1, 2, ..., n - 1,

где ti, t2, ...» （д — произвольная система индексов, принимающих значения 1, 2, ..., л, и a： ^ а2 ^ ... ^ an — параметры сигнатуры а. Иначе говоря, если у\^ У2^ ... ^ уп — перестановка чисел 工卜 х2, …，хп, то а 十 夕2 十...十 9冗 W ai 十 仪2 十...+ ад со знаком равенства при k = п.

§ 75. Вторая формула Вейля

Вернемся к общей формуле для примитивных характеров U（〃）. Введем систему вспомогательных чисел 2〔, z2, ..., 2П и заметим, что имеет место следующее тождество:

det|T4srl = S^（Y）x«（2）'a

которое получается разложением слева каждого матричного элемента в геометрическую прогрессию. Здесь Х« задается тем же детерминантом, что и в условиях теоремы 1, и суммирование ведется по всем сигнатурам a = （mi, m2, • • •, шп）, для которых числа т? неотрицательны. С другой стороны, в теории матриц известно следующее тождество Коши *）:

det|—.

Здесь, как и в условиях теоремы I, Д есть определитель Вандермонда и произведение в знаменателе берется по всем значениям i,々=1, 2, ..., п. Сравнивая оба тождества и вспоминая, что %а = Ха/Д, получаем следующую формулу для характеров:

Xa（Y）Ха（2）= т ] / [ Г •

U]] （1 - у 咨尼）

Выражение, стоящее справа, можно было бы назвать производящей функцией для характеров. Заметим, что Н(1 -»2)= det(e —丫之)есть характеристический поли

ном диагональной матрицы у 三 F. При этом

丽号帀=。。+ 52 +讶+

где к есть сумма всевозможных одночленов вида e信 … Y? степени однородности 也 十局-(-…+々n=厄 Иначе говоря, 0丸 есть характер симметрического представления df, где di ——n-мерное представление группы U (и) с сигнатурой (1,0,0, 0). Полагая 2 = 21, 22, ..., 2П и перемножая полученные ряды, мы запишем производящую функцию в виде ряда, коэффициентами которого ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛИНОМЫ ОТ Оо, О1, 02，.；・ Умножая эту функцию на 厶(乞)，мы получим новый ряд, коэффициенты которого должны совпадать, согласно приведенной выше формуле, с характерами /а(у). Путем несложного вычисления получаем отсюда

0K-in-l) °人一(几一2)

Уa (y) = °厶一(几-1) "厶-(几-2) * * * °厶

Oj-(几-1)0g 一(几—2)…. 0g

Полученная формула выражает характер произвольного представления d(a), а =(的 恤，…，/тг^), g》 ^ т2^ .. .^ тп^0, через характеры 以，内=О, 1, 2, ... При этом для общности записи мы полагаем % = 0 при ^ < 0. Выражая параметры 厶 через параметры mt сигнатуры а (厶=恤一(и — /)), получаем следующий результат;

Теорема 2. Характер неприводимого представления d(a), а = (mb т2,..., mn), mi > m2 > ... > mn > О, может быть найден по следующей формуле-.

%0g十 1• • • °m+("1)

Ха(У)= ^1 。生,(*)

amrt-(n-l) атл-(п-2) * * * 0mAi

где Gfe, / = 0, 1, 2,...,——характер симметрического представления df:

% =》Y%Y；2 Y%,

причем сумма берется по всевозможным показателям ki》0, для которых 拓 + 局 + • • • + 瓦 =/• При этом полагается。冗=0 при й < 0.

Полученную формулу () мы называем второй формулой Вейля. Она представляет характер %« уже непосредственно в виде полинома от уь у2,…，уп *).

Вторая формула Вейля допускает замечательную интерпретацию в терминах спектрального анализа представлений. Для получения этой интерпретации напомним основные свойства матричного следа.

Поскольку след является аддитивной функцией по отношению к сумме матриц, то он аддитивен также по отношению к прямой сумме матриц разных размерностей. Кроме того, как известно, след является мультипликативной функцией по отношению к прямому произведению. В результате получаем

儿® & = % + %&，儿® 6=%а%”

где %а, %力 —— характеры представлений % Ь, символ о ㊉ В означает прямую сумму и символ а ® b ——пря-

мое (тензорное) Если а = b @ с. Тогда имееммое (тензорное) Если а = b @ с. Тогда имеем—'儿а—'儿а凡・凡・произведение представлений а, 6. то мы положим также с = а ㊀ 6.

мое (тензорное) Если а = b @ с. Тогда имеем

мое (тензорное) Если а = b @ с. Тогда имеем

—'儿а

—'儿а

凡・

凡・

Полученные правила очевидным образом переносятся на произвольные конечные системы представлений. При этом сложению, вычитанию и умножению в классе представлений отвечают такие же операции в классе

характеров. Иначе говоря, если х = ^ atQ ^ bh то мы 2=1/=1

имеем

Далее, всякое конечномерное представление U (п) определяется своим характером однозначно с точностью до эквивалентности. Следовательно, указанные выше правила допускают обращение, и мы заключаем, что всякое алгебраическое соотношение между характерами равносильно соответствующему соотношению между представлениями.

В частности, вторая формула Вейля равносильна следующему тождеству:

^Е d^ + l^т, + (п —1) ®

&(а)=必- &е…dE+("2)

~т〃_(а_2) .mn

При этом символ d； заменяется нулем, если /г < 0. Знак тензорного произведения над детерминантом означает, что этот символический детерминант раскрывается по обычному правилу ), но каждое слагаемое понимается как тензорное произведение соответствующих сомножителей:

d (а) = X ± 刁+气 ® d^^ ®

Здесь 61 принимает значения 0, 1, 2, ..., п——1, е2 принимает значения —1, 0, 几一2 и т. д.

Пример. п = 3, а = (7, 2, 0).

d\ fd\ f=di ® di — dj ® d：.=di ® di — dj ® d：.笛/濟® d(a)= d； f d；

d\ f

d\ f

=di ® di — dj ® d：.

=di ® di — dj ® d：.

0 0 1

Заключительные замечания $

В заключение остановимся несколько подробнее на общей теории характеров конечномерных представлений. Мы видели в § 73, что примитивный характер группы U (几)определяет . неприводимое представление однозначно с точностью до эквивалентности. Покажем теперь, что это свойство не связано со спецификой группы U(〃), а является универсальным.

Теорема 3. Пусть G — произвольная группа и X(g)——ее примитивный характер. Тогда существует лишь одно (с точностью до эквивалентности) неприводимое (конечномерное) представление группы G, имеющее своим характером %(g).

Доказательство. Пусть Л — свободная групповая алгебра группы G, т. е. совокупность всех конечных сумм вида а = ^Uigi с произвольными комплексными коэффициентами ait Всякое представление Тё группы G мы продолжаем до представления алгебры Л по формуле Та = 2 aiTgr Соответственно всякий характер X(g)=spTg продолжается до характера %(&) = =sp Та.

Пусть Ло — ядро представления Та, т. е. совокупность всех элементов & 三4 для которых Та = 0. Тогда фактор-алгебра В = Л/Ло изоморфна алгебре всех операторов Та. Мы считаем, что представление Tg действует в конечномерном пространстве V. Допустим, что Tg неприводимо. Тогда алгебра В, согласно теореме Бернсайда (см. § 21), изоморфна полной матричной алгебре в пространстве V.

Далее, пусть %(g) — характер представления Tg. Покажем, что условие принадлежности элемента а А ядру Ло можно выразить в терминах характера %(&). Действительно, равенство

X(ax) = spTaTx = 0

тождественно no х w 4 означает в силу теоремы Бернсайда, что sp ТаС = 0 для всякой матрицы С в пространстве Е Но это равносильно равенству Та = 0, т. е. а 三 Aq.

■ Допустим теперь, что два неприводимых (конечномерных) представления группы G имеют одинаковые характеры. Тогда согласно сказанному выше оба они имеют одинаковое ядро Ло. Следовательно, оба эти представления можно рассматривать как точные представления полной матричной алгебры В. Как мы видели в § 21, все такие представления эквивалентны между собой. Теорема доказана.

Таким образом, общее свойство характеров, выражаемое теоремой 3, является следствием теоремы Бернсайда.

Из последнего замечания следует также, что вместо свободной групповой алгебры 4 мы могли бы рассматривать и другие алгебры, связанные с группой G, например универсальную обертывающую алгебру U (см. § 22). Характер каждого конечномерного представления алгебры U определяется по-прежнему формулой Х(х) = sp Гх, х ^ U. Из доказательства теоремы 3 ясно, что заключение этой теоремы остается в силе также и для алгебры U.

Понятие характера (для конечных групп) впервые было введено ① робеннусом [40z] в 1896 г. Вычисление примитивных 'характеров группы U(〃)мы приводим в этой главе по оригинальным работам Г. Вейля [10], [61], В гл. XVII мы укажем еще один метод вычисления характеров. Весовая диаграмма для SU(3) («шестиугольник») была описана впервые, вероятно, Вигнером в 1937 г. См. также [52]. Метод, принятый в этой книге, был предложен автором в [21]. Свойства весовой диаграммы для U(n) и других компактных групп мы будем еще рассматривать в дальнейшем (гл. XVII). По поводу дальнейших свойств производящей функции см. монографию Вейля [10] (гл. VII).

ГЛАВА ХИ.

ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХНЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ГРУППЫ U®

Среди различных задач спектрального анализа для представлений группы G одной из основных является следующая задача. Даны два неприводимых представления т и сг группы G. Требуется разложить представление т ® сг на неприводимые. Эта формулировка является корректной, во всяком случае, если т® сг вполне приводимо- В данной главе последнее условие всегда будет выполнено, поскольку в качестве G будет рассматриваться компактная группа U(п).

Первым шагом в решении указанной задачи является обычно составление «списка» неприводимых представлений, входящих в т 8 и, т. е. перечисление соответствующих кратностей вхождения (кратность является натуральным числом либо нулем). Более сложной является задача описания инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые компоненты ). Мы приводим решение этой задачи для U(n) только в простейшем случае 几=2, однако и для общего случая намечаем путь решения.

Для группы U(〃)более подробная формулировка задачи приводится в начале § 77. Мы приводим в этой главе несколько методов отыскания спектральных кратностей: метод характеров (§ 77), метод Z-инвариантов (§§ 78, 79) и сочетание последнего метода с методом детерминантов Вейля (§ 80). Из этих методов лишь метод Z-инвариантов может быть использован также для отыскания неприводимых подпространств (см. § 79).

Метод характеров

Положим G = U (и) и фиксируем два неприводимых представления этой группы с сигнатурами а н 艮 Пусть ту ——кратность, с которой встречается d(y) в тензорном

произведении d(a)gd(§). Тогда имеем спектральную формулу

d (ct) g d (6) = £ m^i (у)

(mv = 0, если d(y) не содержится в данном представлении) .Требуется вычислить неотрицательную целочисленную функцию mY = Шу (а, р). Для решения этой задачи естественно попытаться использовать метод характеров. Действительно, вычисляя характеры обеих частей спектральной формулы, мы находим

%a⑹融⑹=§m%(6).

Поскольку характер есть функция классов, достаточно рассматривать только диагональные матрицы 6wU(〃). В результате получаем систему числовых уравнений для определения кратности mY.

Поскольку для характеров х&(6) нам известна явная формула (гл. XI), естественно попытаться найти решение этой системы в явном виде. Положим 6 = ехр й и запишем произвольный вес 九(6) в виде ехр(^, h), где 九 ——тг-мерный вектор и (九，无)——скалярное произведение векторов 九，h. Положим

%а⑹=IX exp (九，/г).

Здесь 〃入一весовая кратность, или весовая диаграмма в терминах гл. XI. Умножим обе части нашей системы уравнений на полином А(6); тогда %卩，加 заменятся соответственно полиномами /,储，определенными в § 73. Левая часть спектральной формулы принимает вид

2 秋 exp (九，h) 2 (det s) exp (s (0 + d), /i).

Здесь § — сигнатура, отвечающая второму сомножителю d(B), вектор d имеет координаты (п—1, п — 2,...

0); соответственно полином Хв выражается через вектор / = § + d, для которого /1 > /2 > • * • > %, и s означает произвольную подстановку координат

厶，勾，...,Zn ). Поменяем местами суммирование по 厶 и s. Поскольку 以=&稲 мы можем при каждом фиксированном s заменить exp (X, Л) на exp(sX, h). В результате получаем

，(det s)，砍 exp (s (А + 0 + d), Л).(*)

sX

С другой стороны, правая часть спектральной формулы имеет вид

，(det о)工％ ехр (о (у + d), Л).(++)

ОV

Здесь о — произвольная подстановка и у — произвольный п-мерный вектор; однако функция т、 отлична от нуля только в том случае, когда вектор у является сигнатурой, входящей в произведение d(a) ® d(p). При этом имеем

(*) = (+*).

Сравним обе части полученной формулы. Заметим вначале, что вектор 〃 = 丫 牟 d удовлетворяет условию Р\ > Р2> • • •> Рп и ни один из векторов ар не удовлетворяет этому условию. Назовем вектор % доминантным, если %i》尤2》..•》％п・ Таким образом, можем сказать, что показатель в («■#) является доминантным только при о = е.

С другой стороны, найдем все доминантные показатели в (*)• Вектор 7 = X 4- Р + d не обязан быть доминантным. Однако при некоторой подстановке s мы можем получить доминантный вектор р:

s仇+ 04~d) = p.(+ + *)

Если р не содержится в (芸*), то соответствующая экспонента в (%) содержится с суммарным коэффициентом 0, и этот случай нас интересовать не будет. С другой стороны, если р содержится в (*«■), то р удовлетворяет условию «строгой» доминантности р、> р?> ... ...> рп, откуда очевидно, что подстановка s в определяется единственным образом. (Действительно,

если Si, S2 ——две такие подстановки, то р = р, откуда s^"1 = е и Si = s2.) Для этой единственной подстановки введем обозначение s^(入).Она определяется тем условием, что ее применение к вектору 入 + § + d переводит этот вектор в доминантный вектор, равный у + d.

Соберем теперь все слагаемые в (*•), которые приводят указанным выше способом к одному и тому же значению р. Тогда окончательно получаем, что

% = J " det 5、 (入).

Действительно, экспоненты exp(厶，九)при различных 九 линейно независимы, и равенство (*)=(*岑) означает равенство коэффициентов при каждой экспоненте. Окончательный результат формулируется следующим образом:

Теорема 1. Пусть пх——весовая диаграмма пред- ставленая d(a) и ^丫 ——спектральная кратность представления d(aj 8 d(0). Тогда имеет место формула

』以 det 5丫 (Л), ede подстановка s^ (入)определяется тем условием, что она переводит вектор 九，§ + d в вектор 丫 十 d. Здесь d = (п ——1, n ——2, ..., 1, 0) и det s = ± 1 в зависимости от четкости или нечетности подстановки s.

Таким образом, вычисление кратности mY можно описать в геометрических терминах следующим образом: 1) рассматривается орбнта OY+d точки y + d относительно группы подстановок; 2) рассматривается множество 5« + В + 4 получаемое из спектра S^ представления d(a) путем параллельного переноса на вектор Р + d; 3) определяется пересечение Ру этих двух множеств, при этом искомая кратность шу получается из кратности пх знакопеременным суммированием по конечному множеству PY.

Пример. Даны две сигнатуры: a = (7,2,0), 8 = (9, 4,1) группы U (3). Положим у = (14, 7, 2). Требуется найти кратность вхождения d(y) в d(a) ® d(p).

В нашем случае d = (2,1,0), р + d = (1 Г, 5, 1), у + d = (16, 8, 2). Орбита OY+d состоит из шести точек,

получаемых из (16,8,2) перестановками координат. Вместо вычисления 5仪 + В + % мы рассмотрим множество О"! — В — d. Оно состоит из следующих шести точек: (5,3,1), (-3,11,1), (—3,-3, 15), (—9,3,15), (—9, 11,7), (5,—3,7). С другой стороны, спектр Sa приведен в § 74 (рис. 3). Из данных шести точек лишь точка (5, 3, 1) содержится в 叉，причем с кратностью 2. Следовательно, искомая кратность равняется двум.

Упражнение

Найти (достаточные) условия на сигнатуры а, р, при которых пересечение орбиты Оу+d с множеством S。十 В 十 d содержит лишь единственную точку 入+ p + d = Y + d. Заметим, что в этом случае ГП、н п а , где у = X + р.

Сформулируем полученный результат в несколько иной форме. Определим при фиксированном 0 функцию 厶 следующим образом. Назовем вектор х = =(хь %2,. • •, ^п) вырожденным, если хотя бы две его координаты совпадают. Назовем вектор х четным (&е・ четным), если он невырожден и преобразуется к доминантному виду с помощью четной (нечетной) подстановки. Положим

' 0, если вектор 九 + 6 + d вырожден,

自入= +1, если вектор 九 + B + d четный,

—1, если вектор 九 + 0 + d нечетный.

Заметим, что всякий вектор 尤 при помощи некоторой подстановки может быть сделан доминантным; при этом, если он невырожден, то такая подстановка s° определяется единственным образом. Следовательно, наше определение корректно и ^ = dets。. Покажем, что имеет место

Теорема 2. Спектральная формула тензорного произведения для группы U (л) может быть записана в виде

d (a) 8 d 偉)=三 嘔d(V (九))•

Здесь y(%) = s0(% 4- р 4- d) — d, а функция 氐 〃 подстановка so определяются、как выше. При этом |х = 0, 土 I

8 зависимости от вырожденности или невырожденности вектора 九 + § + d.

Доказательство. Соберем в сумме (#) все слагаемые с одинаковым доминантным показателем ° = s(^ + B + d). Соответствующий суммарный коэффициент есть 2 〃入8九р, где сумма берется лишь по тем значениям 九，для которых справедливо указанное равенство, и

加=3 det s,

где сумма берется по множеству NKP всех подстановок, удовлетворяющих тому же равенству с фиксированными 儿 р. Очевидно, Nьр =迎・ Nк где So ——произвольный элемент из N\p и Х\ ——группа всех подстановок, сохраняющих вектор 九 + В + d. Соответственно

8九р = det 50 • 0^,

где 0х = 5 del о, н последняя сумма берется по группе Nx. Если вектор 人 + B + d невырожден, то N九 состоит из единичного элемента и 8九=1. Если вектор 九+ § + d вырожден, то группа W九 содержит хотя бы одну транспозицию s (перестановка одинаковых координат). В этом случае

8九=X det so = det s * 8九=—8九，

ибо det 5 = —1. Следовательно, в этом случае 0Х = 0. Полагая 夕=丫(人)+ 壮，6九「=三入，получаем нужную формулу. Теорема доказана.

Метод Z-инвариантов

Попробуем теперь применить к решению нашей задачи метод Z-инвариантов. Если каждое из представлений d(a), d(§) записывать в Z-реализации, то их тензорное произведение .запишется в классе полиномов от двух матриц х, у wZ:

Tj(x, S = a(x, g)0Q/, g)/(*g, %).

При этом пространство представления 歌。6 выделяется из пространства всех полиномов с помощью двух индикаторных систем: системы /а по переменным х (при каждом фиксированном у) и системы /^ по переменным у (при каждом фиксированном х).

Следуя общей схеме метода, мы сужаем представление на подгруппу Z и решаем задачу нахождения инвариантов операторов Л,之三 Z. Иначе говоря, решаем систему уравнений

f (xz, yz} = f (х, у), z w Z.

(Напомним, что a(x,之)=&(у,之)=1, хг = xz, yz = yz) Полагая z = у-* находим, что

f(x, y) = f(.xy-\ e),

где e ——единичная матрица. Полагая f(w е)=屮(乞)，мы запишем полученное решение в виде

〃Х, У)= ЧР(хдТ).(*)

Следовательно, всякий Z-инвариант выражается через функцию от одной матричной переменной. Обратно, всякая функция вида (*•), принадлежащая 歌《В， является Z-ннвариантом.

Т еорем а 3. Пусть а = [п,「2,…•/J 6 =回,立,s J Пусть L$ ——инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе Z, отвечающий элементу eit f+1, i=l, 2,... ,..,п——1 *), и ——инфинитезимальный оператор правого сдвига на Z, отвечающий тому же элементу. Обозначим ①《В пространство всех решений системы уравнений

Л^+1ф = О, R："'中=0, i=l, 2, ..., м — 1,

Формула f (%, у) =(p(xy-i) осуществляет взаимно однозначное отображение между старшими векторами 歌女^ 辽 решениями q)(z) этой системы, для которых выполняется добавочное весовое условие

Ф 俗7乞6) = ц (6) ф (%),6 巨 D.

*) Матрица et, t +【имеет единственный отличный от нуля и равный единице элемент на пересечении f-й строки с (/ + 1)-м столбцом.

При этом старший вектор / (%, у) имеет вес

Y (6) = а (6) § (6)* (6).

Доказательство. Согласно сделанному выше построению достаточно выписать условия принадлежности вектора (*) пространству 紀口^ и выделить затем среди таких векторов весовые. Согласно определению индикаторных систем пространство 紀口© выделяется следующей системой уравнений:

灯+仅招 g) = 0, Y^'f^x,切=0.

Здесь Хз 匕一инфинитезимальные операторы левого сдвига, действующие только на % н только на у (соответственно) и отвечающие матрице е^ = е. —^ В применении к вектору (*) оператор Х^ равносилен 厶「 (Действительно, инфинитезимальные левые сдвиги перестановочны с умножением справа на уТ) В то же время оператор

У/匂)=等/(eхр (-，哨刀к。

при подстановке а = у~} переходит в оператор &. Действительно, полагая O = g(〃)， замечаем, что ехр(—ta) - у = ехр(—ta)- w1 = (а • exp 山尸；следовательно, 匕/®) м R?g(〃)・ Таким образом, мы действительно получаем систему уравнений, указанных в условиях теоремы. Вектор (о = f(x, у} является весовым, если Г^ = = у(6)⑴.Вспоминая правило действия диагональных операторов 〃 находим, что

' а (6) В (6) <р (尸整/一抬)=V (5) ф (аг〉

Заменяя ху~х на z, видим, что это условие равносильно соотношению

Ф(д-12д) = ц(д)(р(2),

где *(6) = у(0)/а(6)6(0). Таким образом, старший вес у(6) вычисляется по формуле у(д) = а(б)Р(6)ц(6). Теорема доказана.

Замечание 1. Пусть г< ——t-я строка матрицы г; тогда оператор & может быть сокращенно записан в

виде

厶=2f+1 Gzj ‘ i=l, 2, m — 1, где имеется в виду формальная свертка векторов 2计1 =(Zi+\t ь) и d/dzi = (d/dzik). Точно так же

凡=叱，+「,力=1, 2n- 1,

где 父 означает i-й столбец матрицы г.

Замечание 2. Запишем весовое условие в терминах показателей или «инфинитезимальных весов》. Положим a=(ai,邈出1,B = (Bi，p2, 医)и введем вектор £ =(£i, £2, ... , £п) такой, что 卩(5) = ехр(——е, Л) при d = ехр ft. Тогда сигнатура у = (уь у2, уп) вычисляется по формуле

Y = а +р — £.

Знак минус, выбранный в этой формуле, соответствует тому соображению, что мультипликаторы 屮⑶ должны понижать веса (в терминах лексикографической упорядоченности). Сигнатура а + В является самой старшей в猊аВ・

Полученный критерий дает нам способ описания всех старших векторов, откуда непосредственно могут быть найдены также все сигнатуры, входящие в d(a)Zd(B)・ Желая получить такую информацию в более явном виде, введем следующее определение. Пусть V(а) — пространство неприводимого представления d(«) и 1\(а)—подпространство всех весовых векторов со старшим весом X. Мы имеем

耿=dim УЛ (а)

в соответствии с обозначением § 77 для весовой диаграммы d(a). Определим теперь в 1\(а) подпространство К入(а, В) с помощью следующей системы уравнений:

驾屮①=0, В = [$и ^2, sj. (**)

Здесь 2% — инфинитезимальный оператор представления d(a), отвечающий элементу ei( i+i (^^ = £工；十】

в обозначениях гл. VI). Заметим, что это определение не зависит от реализации d(a).

Теорема 4. Кратность т? с которой неприводимое представление d(y) содержится в d(a)@dj6), мо~ жет быть выражена формулой.

dim 力(а, 0),

zde пространство ，入(а, 0)и，入(а)и /(а) определяется выше 〃 вес 入，входящий в d(a), связан с сигнатурой у соотношением 丫 =九 + 0.

Доказательство. В реализации на группе Z пространство /(а) выделяется индикаторной системой /а； следовательно, согласно теореме 3 пространство “В можно рассматривать как подпространство в /(а). При этом ①аВ выделяется в /(а) второй подсистемой уравнений из теоремы 3, где оператор 火厶 как оператор правого сдвига, может быть заменен на 55/ ). Следовательно, ①а8 выделяется в /(а) системой ()• Если вектор 屮三①аб имеет вес 卩(6), то это означает, что в представлении d(a) он имеет вес 九(6) = а(6)卩(6). В то же время соответствующий старший вектор (о = /(х, у) имеет вес у(6) = а(д)р(6)ц(д). Сравнивая эти формулы, находим, что 丫(6)=入⑹3(6). В терминах инфинитезимальных весов мы имеем у =入 + 0. Теорема доказана.

Следствие 1. my ^ nKl где у =入 + 0.

Следствие 2. 俏丫 = 以, если условие (**) выполняется тождественно на 丿入(а).

Заметим, что в реализации на группе Z все полиномы из /(а) имеют старшую степень 门 + 2戶 + ••• +〃％ = =ctf + ct2 + •…+0€九. Если S｛》cti + “2 + * • * + а”, I = 1, 2, ...» гг — 1, то условие (*•*) выполняется тождественно на всем /(а), и в этом случае наша формула принимает наиболее простой вид:

= 〃储 V == а + p, для всех весов 入 из представления d(a).

Частные случаи

Покажем, что критерий предыдущего параграфа, несмотря на некоторую сложность формулировки, действительно дает эффективный способ решения задачи. В этом параграфе мы рассмотрим лишь простейшие частные случаи.

Пример 1. Группа SU (2). Ввиду того, что обозначения, принятые нами для группы SU(2), несколько отличаются от общих обозначений для U(/2), нам будет удобно повторить все построение с самого начала. Пусть /1, /2 = 0, %, 1,3/2, ... — два произвольных старших веса для SU ⑵.Формула

Tgf(x, y) = ^x + ^^ + ^f(^±l，諾

определяет тензорное произведение d(l\)区认1公 при условии, что f(x,y) — произвольный полином степени не выше 2/1 по х и не выше 2/2 по у. Здесь х, у ——произвольные комплексные числа и а, 0, % 6 — параметры матрицы gwSU(2) (см. § 37). Уравнение для /-инвариантов имеет вид

f(x + z, y + z) = f(x, у).

Очевидно, общее решение такого уравнения есть произвольный полнном от 尤——у. Действительно, вводя обозначение ф(г) = /(г, 0), находим f (х, у)= ф(х ——у). Среди таких векторов весовыми являются только степени

①々=(% — У)*， 々 = 0, 1, 2,%.

Из условия принадлежности к пространству представления вытекает, что йо = min(2/i, 2/2). Остается вычислить сигнатуру, отвечающую вектору ①储 Если g — диагональная матрица, у которой 丫 = 6 = °， 6 = а-1 = 入， то из формулы представления вытекает, что вектор ①女 имеет вес 九2(厶+厶~冠. Следовательно, искомый спектр содержит только старшие веса / =厶 + 为一財 々 口 =0, 1, 2, ..., %. Минимальным весом является /0 = =［厶一为1，Окончательно

厶+

d(L) ® d (/2)= 汇 d (/).

Мы получили для группы SU(2) хорошо известную формулу. При этом, поскольку каждый старший вектор данного веса определяется однозначно (с точностью до множителя), каждое неприводимое представление d(/) содержится в спектре однократно.

Замечание 1. Следуя этому методу, мы не только находим спектральную формулу, но легко получаем и всю остальную информацию о структуре базиса в пространстве представления (см. [84]), в том числе и коэффициенты Клебша — Гордана.

Пример 2. Положим d(a) = % (векторное представление группы U(zi)), и пусть d(6)—произвольное неприводимое представление U(〃). Представление 必 реализуется в классе линейных форм от вектора-строки

Действие диагональной группы: х： — %?§•, где % ——i-e собственное значение диагональной матрицы 6wU⑺. Следовательно, каждая координатная форма х： является весовым мультипликатором с весом 6：. Соответствующий инфинитезимальный вес есть Ei = (0, ..., 0, 1, О, ...» 0) с единицей на i-м месте. Следовательно, 必 砂 d(6) может содержать только сигнатуры

Y = 6 + %, 々 = 0, 1, 2,…，п.

Пространство %(а) всегда одномерно, если 九=%. Однако подпространство V\(a, р) может быть нульмерно. Действительно, пусть р — 回 臾，…，s?J. Напомним

d 力%/ ^7 . В частности,d 力%/ ^7 . В частности,Если s& ¥= 0, то опеЕсли s& ¥= 0, то оператор 宏含+' аннулирует все линейные формы 尤】，冷，...ратор 宏含+' аннулирует все линейные формы 尤】，冷，...(§ 68), что оператор 七仃 имеет вид оператор 烈=J+ есть 修 ^у.

d 力

%/ ^7 . В частности,

d 力

%/ ^7 . В частности,

Если s& ¥= 0, то опе

Если s& ¥= 0, то опе

ратор 宏含+' аннулирует все линейные формы 尤】，冷，...

ратор 宏含+' аннулирует все линейные формы 尤】，冷，...

...,хп. Однако если Sk = 0, то форма 工在+】не аннулируется. Следовательно, Vx(a, Р) = 0, если 九 =£丸+1 и S^ = 0-

Полученный результат станет гораздо яснее, если мы запишем сигнатуру § с помощью круглых скобок: р= (ть т2» ..., mn). При этом sh = ть — ^冗+入 Равенство sft = 0 означает, что nth = т)+> Прибавление к сигнатуре р вектора е衣十】=(0, .,. ； 0, 1, 0, .. t, 0) с еди-

ницей на (А + 1)-м месте нарушает в этом случае свойство доминантности ((^ + 1)-я координата становится больше ^-й). Естественно, что такие слагаемые в спектральной сумме должны отсутствовать. Окончательно получаем следующий результат:

d}® d(m,,m2，=

=d (Wj + 1,m2, ，…，m几)+ d(团1，团2+1, ，…，mrt) + ...

...+ d(mb ・・.,团几 + 1), причем в правой части необходимо вычеркнуть те слагаемые, для которых нарушается условие доминантности (т i> ni2> …》тп) • Если в исходной сигнатуре все разности mh ——m^+i были отличны от нуля, то ни одно из слагаемых не вычеркивается.

Замечание 2. Полученный результат позволяет легко получить формулу для кратностей в тензорном произведении 冗加=di ® di ® ... &d] (m сомножителей), которое изучалось в гл. VIII. Действительно, мы имеем ^m =^]々(m1，团2，•一，^n) d (m]，m2，m北)，

勺+加2+ ,' -^^-m

где 女(团1,团2, …，％)—искомая кратность. Заметим, что 冗壮=di 唸冗^一卜 Разлагая представление 冗加一]на неприводимые, мы умножаем каждое из них на d】,пользуясь полученным выше правилом. В результате находим рекуррентную формулу:

Ai (m],m2，• • •)m/1)=

=女(m1一1,m2，…m%) +左(m1，团2-1， •…，m几)+ • • • ...+ k (mb 加2，— 1).

Действительно, представление d(mit m2).…，тп) может содержаться в лт лишь за счет того обстоятельства, что в dm—i встречались представления d(Ш1 — 1,团2， m?i)， • • <) d(mi，m?, . •.)团九—1) с соответствующими кратностями.

Пример 3. Положим d(a) = dp (поливектор ранга р, 1《р《п), н пусть d(0)——произвольное неприводимое представление группы U(и). Пространство пред-

364 гл. XII. произведение неприводимых представлений

ставления dp мы можемставления dp мы можемсчитать натянутым на миноры

ставления dp мы можем

ставления dp мы можем

打也…7打也…7Z] V z? V ■ • • V ‘Р，Z] V z? V ■ • • V ‘Р，%Н[ “1»2 * * * Xlip

打也…7

打也…7

Z] V z? V ■ • • V ‘Р，

Z] V z? V ■ • • V ‘Р，

X叫尤明. • .工％

где Xi =(工次),工2 =(工2儿),・.・,x「 = (%「/!) — независимые векторные аргументы. Каждый такой минор является весовым вектором с весом 6^6% • • * ^(р' Соответствующий инфинитезимальный вес ecTbZ/^2/ =£&+£%+・・・ ...+ е^. В силу условия упорядоченности 乙<»2<・・・ …V % все такие веса различны. Отсюда получаем возможные значения спектра:

Yi&…％ ="也…％ +民

Поскольку все веса 入=入九%・・・£ различны, соответствующие подпространства V*(a) одномерны. Выясним, когда 丿*(竄，В) нульмерно. Операторы 宏厶 входящие в индикаторную систему, в данном случае имеют вид

где х‘ означает Z-й столбец прямоугольной матрицы х, составленной из строк %, х2, ..., х?. Минор х/^?... % не аннулируется оператором 砂;左十丨 только в том случае, когда $к = 0, индекс k + 1 содержится среди индексов L,为，...,%, а индекс 力 среди этих индексов не содержится.

Как и в предыдущем примере, перейдем к обозначению с помощью круглых скобок; р = (mi, т2, ^鏡)・ Равенство 办=0 означает, что ш^ = m^\t Добавление вектора z = е^ + е/2 + + е(р в этом случае невозможно (нарушает условие доминантности), если среди индексов 厶,»2，・・・,»р содержится индекс 々+一 I

и отсутствует индекс 电 В результате

&Nd(/ni, тъ m,)=

=2+ 1, ..пц + 1, ..., тп

причем в правой части следует вычеркнуть все слагаемые, не имеющие смысла (т. е. такие, для которых вектор в круглых скобках не удовлетворяет условию доминантности).

Замечание 3. Может показаться, что для получения спектра d(a)艺 d(|3) достаточно умножить характер Ха(5) на старший вес р(д) и в полученной сумме вн- меркнуть все слагаемые, для которых нарушается условие доминантности. Следующий пример покажет, что в действительности это не так.

Пример 4. Пусть d(a) = df (симметрическая степень векторного представления %), и пусть 4(卩)一произвольное неприводимое представление U (м). Пространство представления d『натянуто на базисные одночлены 九国...v„ =叶吟…X；"， v, + V2 + ... +v„ = m.

Каждому такому одночлену отвечает инфинитезимальный вес 入=vie； + V2&2 + …•十 Vn^n- Поскольку все такие веса различны, то соответствующие подпространства Vx(a) одномерны. Операторы 纨，входящие в индикаторную систему, имеют тот же вид, что и в примере 2. Условие

возможно только в том случае, когда s^ < ㈠丸十，В результате получаем следующую спектральную формулу: d『区d (В)=』 d (团】+ V], m2 + v2i mn + %)•

Здесь положено § = ("“, m2, . .. , mn), sk = mk~- mk^ 々=1,2, .. ., n.

Замечание 4. В последней формуле индексы v(, V2, . .., vn оказываются недопустимыми, если хотя бы

один из векторов а^ = (mi,团2,・♦•, ^й-+ v^, ..., mn) не является сигнатурой.

Пример 5. Найдем произведение двух поливекторов dp, dg, Т《р《q《п. Заметим, что эта задача является частным случаем задачи, рассмотренной в примере 3. Правило умножения, сформулированное в этом примере,. перефразируем следующим образом. Пусть Ер — характер представления dp:

Ер = X .6；.

Умножим эту функцию на старший вес представления % равный 6待2 …6q・ Показатели каждого из полученных одночленов удовлетворяют условию доминантности только в том случае, когда первые р ——龙 индексов среди /ь，2,・・•, J принимают значения 1, 2, ..., р ——月 (月《夕《9), а остальные принимают значения ^ + 1, g + 2,・.,,q + k, В результате получаем

dp ® dq =左Wo dpfdq+h (p & g)・

При этом следует отбросить те слагаемые, для которых р ——й < 0 или q + k> п. Индуктивно применяя эту формулу, получаем также следующее простое тождество:

для произведения Юнга двух базисных представлений dp, dg ).

§ 80. Детерминанты Вейля

Все примеры, рассмотренные в предыдущем параграфе, относятся к случаю однократного спектра. Перейдем

к рассмотрению общего случая. Мы предложим простой символический метод, основанный на второй формуле Вейля.

Для каждого m = 0, 1, 2, ... мы введем «мультипликатора Гщ, определяемый формально следующим образом:

^т^ (f 1，^2» • • •» 九)= ， "(f 1 + "1，% + “2，…” fn + %)，

где положено s& =灰一九川，々 = 1, 2, ...» n—1. Как мы видели в § 79, получаемая формула дает разложение тензорного произведения d, ® d(f[, f?, ,,., /口｝

Далее, пусть сигнатура а имеет вид (mi,仇2,mn). Поставим в соответствие этой сигнатуре следующий мультипликатор ):

Га =Га =• • • I\ni+(n—1)

Га =

Га =

• • • F 加 2+( 口亠 2)

F 加口—(n —1)^тп—(п—2) • • • 『加口

Здесь элементы Гт рассматриваются как'взаимно перестановочные операторы и детерминант раскрывается по обычному способу. Роль мультипликаторов Га объясняется следующей теоремой:

Теорема 5. Для вычисления спектра представления d(a)®d(B) достаточно применить мультипликатор Га к символу d(f). При этом мы имеем

Г館(₽) = 5 myd (Y)，

где my — спектральная кратность d(a)®d(0). Иначе говоря, выражение 『《^(6) совпадает с правой частью спектральной формулы для d(a) ® d(0).

Доказательство. Достаточно напомнить (см. конец § 75), что для представления d(a) имеет место

формула

d (а) = 2 土冲@冲㊁…® d%,

где показатели 月〔,月2,…•，月几 распределяются в соответствии со второй формулой Вейля. Умножение d(a)Nd(B) сводится, таким образом, к последовательному умножению на d), d；3 ・・・,** При этом порядок сомножителей не имеет значения, поскольку тензорное умножение двух представлений коммутативно.

Теорема доказана.

Пример. Положим а= (3,2,0), 0=(9, 8, 7). Мультипликатор Га имеет вид

г3 г4 г5

го= Г, f2 r3 =賁=Г3Г2-*.

0 0112

Теперь построение спектральной формулы сводится к следующей цепочке вычислений:

Г2(9,8,7) = (11,8, 7)+(10,9, 7) + (10, 8, 8) + (9, 9, 8).

口(11，8, 7) = (14,8, 7) + (13,9, 7) + (13, 8, 8) +

+ (12, 10, 7)+ (12, 9, 8)+ (11, 11, 7) + (11, 10, 8);

Г3(Ю, 9, 7) = (13,9, 7) + (12, 10, 7)+ (12, 9,8) +

丄+(11,10,8) + (11,9,9) + (10,10,9);

Г3(10, 8, 8) = (13,8, 8) + (12,9, 8) + (11, 10,8);

Г3( 9, 9, 8) = (12,9, 8) + (11,9, 9).

Г, (9, 8, 7) = (10, 8, 7) + (9, 9, 7) + (9, 8, 8).

Г4(10, 8, 7) = (14,8, 7) + (13, 9, 7)+ (13, 8, 8) +

+ (12,9, 8) + (12, 10, 7) + (11, 10, 8);

Г4( 9, 9, 7) = (13, 9, 7)+ (12, 9, 8) + (11,9, 9);

Г4( 9, 8, 8) = (13, 8, 8)+ (12, 9, 8).

Здесь мы опускаем символ d и действуем мультипликаторами Гт непосредственно на сигнатуру а. Сум-

мируя правые части I, мы вычеркиваем все слагаемые, входящие в правые части II. В результате получаем

(3, 2, 0)®(9, 8, 7) = (12, 10, 7)+ (12, 9, 8) + (11, 11,7)+'

+ 2(Н,10,8) + (Н,9,9) + (10, 10, 9).

Заметим, что правило, даваемое теоремой 5, можно выразить также следующим образом. Положим

V] + %+ ... +vn=mV] + %+ ... +vn=m6:中…W6:中…W

V] + %+ ... +vn=m

V] + %+ ... +vn=m

6:中…W

6:中…W

где символ 6й рассматривается как оператор умножения на б/i, заменяемый нулем в том случае, коада он нарушает условие доминантности. Условимся также, что F^ выражается через Гт указанной выше формулой. Тогда, как нетрудно проверить, имеем

几。⑹=X%Y(3)・

Действительно, достаточно проверить эту формулу при d(a) = d『； для этого в свою очередь достаточно воспользоваться примером 4 из § 79. При этом мультипликаторы 5& согласно их определению некоммутативны-, однако операторы % оказываются коммутативными.

Если ® — ассоциативная алгебра, порождаемая мультипликаторами М,々=1, 2, . . ., п, то Га можно рассматривать как «упорядоченный характер» 沦，определенным образом вложенный в эту алгебру. В этом виде удобно сравнить первоначальный метод характеров (§ 77) с полученным методом детерминантов Вейля. Если в первом случае нам приходилось перемножать два характера %& и Хв， то теперь ввиду условия «упорядоченности» достаточно умножить характер Ха на старший вес р(6).

В заключение напомним, что метод Z-инвариантов позволил также найти все старшие векторы представления d(a) ® d(6). Знание понижающих операторов (§ 68) позволяет получить из этих векторов все остальные базисные векторы в компонентах d(y). Поэтому

370 ГЛ. ХП. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ можно надеяться, что на этом пути удастся получить общие формулы для коэффициентов Клебша — Гордана.

*

Метод характеров принадлежит Р. Брауэру и Г. Вейлю [10]. Формулировка результата с помощью функции 自九(теорема 2) была предложена А. У. Климы ком [104]. Метод Z-инвариантов применялся автором [84]; в этой же статье было предложено правило детерминантов (теорема 5). Первый метод обладает тем преимуществом, что он легко переносится на произвольные компактные группы Ли. Второй метод может быть перенесен на классические группы О(п), Sp(n). При этом практически он, по-видимому, более удобен. См. также [2], [33], где рассматриваются модификации метода характеров. См. [18], [34], [84] по поводу вычисления коэффициентов Клебша — Гордана для SU(2).

ЧАСТЬ III

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

В этом разделе, состоящем из шести глав, излагается общая теория компактных групп Ли, которая, основана на детальном изучении их алгебр Ли (компактных алгебр Ли). Мы изложим картановскую теорию классификации всех компактных алгебр Ли и их комплексных оболочек (редуктивных комплексных алгебр Ли). Отсюда 8 свою очередь в гл. XV будет получена классификация всех компактных групп Ли и классификация их комплексных оболочек.

Читатель-физик может при желании опустить гл. XV, где собраны наиболее специальные математические построения, касающиеся компактных групп Ли 《8 целом». Однако следует иметь с виду, что результаты этой главы используются с гл. XVI при глобальной классификации всех неприводимых представлений.

Картановская теория устанавливает замечательное соответствие между классами компактных групп Ли и комплексных редуктивных групп Ли. Это соответствие, осуществляемое путем аналитического продолжения, переносится также на неприводимые представления в конечномерных векторных пространствах. Кроме того, аналитическое продолжение позволяет классифицировать полупростые вещественные алгебры и группы Ли, а также их неприводимые конечномерные представления. Отсюда 8 свою очередь может быть получена классификация неприводимых конечномерных представлений произвольной связной группы Ли (гл. XVI).

В гл. XVII мы приводим чисто алгебраическое построение теории неприводимых (не обязательно конечномерных) представлений полупростой комплексной алгебры Ли. В гл. XV7〃 решаются, некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений.

ГЛАВА Х1Н

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ

От рассмотрения группы U(〃)мы переходим теперь к произвольным компактным группам Ли. Однако прежде чем сделать это, займемся в данной главе еще более общим вопросом. Постараемся уяснить местоположение компактных групп среди произвольных групп Ли. С этой целью мы займемся вначале инфинитезимальной характеристикой, т. е. рассмотрением произвольных алгебр Ли.

Ключом к первоначальной классификации является рассмотрение присоединенного представления, с которым мы уже встречались в гл. IX. Напомним, что алгебра Ли есть касательное пространство к группе G в единичной точке е. Внутренний автоморфизм g^gg^ переводит всякую однопараметрическую подгруппу g = g(/) в новую однопараметрическую подгруппу 金=点(彳). Соответствующее преобразование касательных векторов есть линейное представление группы G, действующее в алгебре Ли этой группы. Такое представление называется присоединенным.

При рассмотрении алгебр Ли достаточно рассматривать дифференциал такого представления, т. е. представление алгебры Ли, действующее в самой алгебре Ли (§ 81). Первоначальная классификация алгебр Ли основана на простейших свойствах такого представления.

§ 81. Присоединенное представление алгебры Ли

Пусть X ——алгебра Ли. Линейный оператор D в про* странстве X называется дифференцированием, если

D [%, у] = [Dx, у] + [%, Dy].

Если Qi, D?——дифференцирования, то всякая их линейная комбинация и коммутатор D =[D\, D^ также являются дифференцированиями. Следовательно, множество всех дифференцирований в алгебре X также образует алгебру Ли.

Каждому элементу амХ отнесем линейный оператор а в пространстве ? следующим образом:

ах = [а, х].

Как следует из тождества Якоби, оператор Da = а есть дифференцирование. При этом

D^] = 匕卜

Операторы Da называются внутренними дифференцированиями ). Как показывает последнее тождество, отображение a f Dq является представлением алгебры X.

Пример. Как мы знаем, в алгебре Ли su(2) существует базис а【，@, %, относительно которого выполняются следующие соотношения коммутации: [ai,a2】 = =аз,[傲，аз] = [аз, а】]=причем все остальные ком\тутаторы либо равны нулю, либо получаются из

указанных изменением знака.

Если рассматривать опе-

раторы 仇，@2, @з в базисе а】，

&, аз, то мы получаем

0 0 0 |0

0 10 -1 0|

@1=0 0 — 1 , d2 =0

00,&з=10 0 .

0 1 о|- 1

0 000 0

Нетрудно проверить непосредственно, что эти операторы образуют базис трехмерного представления алгебры su(2). Если рассматривать su(2) как алгебру Ли SL (2), то данное представление может быть продолжено до трехмерного представления группы SU(2). Очевидно, это представление задается ортогональными матрицами. В результате получаем известный нам локальный изоморфизм SU(2)f SO(3).

Если X ——алгебра Ли связной группы G, то представление Da всегда может быть продолжено до представления группы G, действующего в X как в линейном пространстве. Это представление мы обозначаем 冗(g) и называем присоединенным представлением группы G. Исходя из общей теории групп Ли, легко проверить, что л (go) совпадает с преобразованием касательных векто-

ров х 巨 X относительно внутренних автоморфизмов goggQ1 • Следовательно, всякое внутреннее дифференцирование есть главная линейная часть внутреннего автоморфизма б группе G.

Идеал и нормальный делитель

Теперь мы можем ввести одно из самых основных понятий в теории алгебр Ли (имеющее также аналог и в теории ассоциативных алгебр )) — понятие идеала.

Идеалом в X называется всякое линейное подпространство, инвариантное относительно присоединенного представления в X.

Иначе говоря, линейное подпространство УиХ является идеалом, если для всякого амХ и всякого ум У мы имеем ［。，川三 У. Поскольку это условие выполняется, в частности, при。三 У, то всякий идеал является подалгеброй в алгебре X. Поэтому можно определить идеал как инвариантную подалгебру.

Аналогом этого понятия в теории групп (не обязательно групп Ли) является понятие нормального делителя. Подгруппа /7 и G называется нормальным делителем, если она инвариантна относительно внутренних автоморфизмов. Иначе говоря, если h^ Н и gwG, то g/ig-i е Н.

Если G группа Ли и Я — ее нормальный делитель, то алгебра Ли подгруппы Н является, очевидно, идеалом в алгебре Ли группы G. Обратное также верно: всякому идеалу в алгебре Ли отвечает аналитическая подгруппа в группе G, которая является нормальным делителем в G. Однако такое соответствие взаимно однозначно лишь для связных подгрупп в группе G. В общем случае число нормальных делителей в группе G «превышает» число идеалов в алгебре X, поскольку связные нормальные делители могут быть иногда расширены до несвязных. В частности, группа G может содержать дискретные нормальные делители, для которых алгебра Ли состоит из единственного элемента 0.

Пример 1. Пусть X — трехмерная алгебра Ли, состоящая из матриц

О о с {х= 0 0 b L

О О О I '

где о, Ь, с — действительные (или комплексные) числа. Показать, что подалгебра У, выделяемая условием о = 0, является идеалом в алгебре X.

Пример 2. Показать, что алгебра X = su(2) не содержит ни одного идеала, кроме (0) и всей алгебры X. Однако группа SU(2) содержит дискретный нормальный делитель, состоящий из матриц

е = |о ；||」=「；

Если У — идеал, то линейное фактор-пространство X/Y наделяется структурой алгебры Ли. Действительно, если 左(х)—класс эквивалентности (mod У), то мы полагаем по определению

快(々)，й(х2)］ = й(［х1,修］).

Если У — идеал, то легко проверить, что это определение корректно, т. е. коммутатор ［之卜 逐］содержится в единственном классе, если / пробегает 左(打)и z2 пробегает k(x2).

Точно так же, если Я ——нормальный делитель в группе G (не обязательно группе Ли), то фактор-пространство G/Н наделяется структурой группы. В этих случаях X/Y и GfH называются соответственно фактор-алгеброй и фактор-группой.

Предлагается в качестве упражнения найти фактор- алгебру и фактор-группу в примерах 1 и 2.

Одним из наиболее важных частных случаев идеала является центр алгебры X. Центром Z называется множество всех элементов zwX, каждый из которых перестановочен со всеми элементами из X.

Точно так же множество С называется центром группы G, если оно состоит из всех элементов с 三 С, каждый из которых перестановочен со всеми элементами нз G.

Если G — группа Ли и С — ее центр, то алгебра Ли подгруппы С совпадает с центром ZuX (где X — алгебра Ли группы G). Однако по алгебре Z непосредственно восстанавливается лишь связная компонента единицы &и С, в то время как весь центр может быть значительно шире. В частности, может случиться, что Z= (0), в то время как С ——дискретная подгруппа в группе G.

Пример 3. Группа G = SL(n,C). Элементами центра могут быть только матрицы Ае, кратные единице. Условие det У.е = 1 означает, что 2严=1, т. е.入 является произвольным корнем п-й степени из 1. Следовательно, центром является циклическая группа порядка 几.

С точки зрения присоединенного представления алгебра Z есть максимальное подпространство в X, на котором все операторы &, а 三 X, обращаются в нуль. Следовательно, Z является идеалом в X.

Предлагается в качестве упражнения найти центр в алгебре z⑶，т. е. в алгебре N из примера 1.

Основные типы алгебр Ли

Рассмотрение присоединенного представления естественно приводит к основной классификации групп и алгебр Ли. Мы начнем с рассмотрения алгебр Ли.

Определение 1. Алгебра X называется редуктив- ной, если ее присоединенное представление вполне приводимо.

Если алгебра X редуктивна, то X = Xf+X2 + . • - + (прямая сумма), где Х& ——неприводимые подпространства относительно присоединенного представления. Условие инвариантности Хк может быть выражено следующим образом:

[X, Х"и 爲，

где символ [Д, В] означает линейную оболочку всех коммутаторов вида [а, 6], а, b ^ А. Но это означает, что Xh — идеал. Следовательно, все подпространства Х& являются идеалами в алгебре X.

Условие редуктивности значительно упрощает изучение алгебры X. Действительно, заметим, что [Хд,兄]

378 ГЛ. XIII. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ содержится одновременно в Х〃 н в X/. Следовательно,

[X女，Х[] = 0 при 々=# /

и в то же время [Х^, Х/J и X九.Отсюда заключаем, что закон коммутации в алгебре X вполне определяется структурными законами в подалгебрах X储 ^ = 1, 2,… ...,п. Иначе говоря, прямое разложение

X = X1 + Х2 • • • + Xm

является в то же время разложением алгебры X в прямую сумму (минимальных) идеалов.

Каждый идеал Хк обладает тем свойством, что его присоединенное представление неприводимо. Следовательно, изучение алгебры X сводится к рассмотрению таких идеалов.

В дальнейшем мы увидим, что целесообразно специально выделить тот сл^^чап, когда подалгебра Xk коммутативна. Поскольку X九一идеал, то мы имеем также [X, Хь] = [Xft, Xk\ = (0). Но это означает, что Xk содержится в центре алгебры X. (Следовательно, 6 редуктив- ной алгебре всякий коммутативный идеал является центральным.) Из минимальности Xh получаем в этом случае, что dim Х^ = 1. Желая исключить подобные слагаемые, приходим к следующему определению:

Определение 2. Алгебра X называется полупростой, если она редуктивна и центр ее равен (0).

Если алгебра X полупроста, то она не содержит ни одного коммутативного идеала (кроме (0)). В частности, алгебра X не содержит ни одного одномерного идеала. Обратно, если выполняется хотя бы одно из этих условий, то алгебра X не содержит центральных элементов (кроме 0); следовательно, алгебра X полупроста ). Если алгебра X полупроста, то все ее неприводимые идеалы удовлетворяют условию dim X九〉1.

Определение 3. Алгебра X называется простой, если ее присоединенное представление неприводимо и, кроме того, dimX > 1.

Таким образом, коммутативные (абелевы) алгебры Ли выделяются в особый класс. Отметим очевидные связи между выделенными классами алгебр Ли:

1° Всякая редуктивная алгебра Ли есть прямая сумма своего центра и полупростой подалгебры.

2° Всякая полупростая алгебра Ли есть прямая сумма простых идеалов.

Пример 1. Алгебра gl (n, С) является редуктивной с одномерным центром.

Пример 2. Алгебра si (и, С) является простой, если п > 1.

Пример 3. Алгебра $1 (〃】, С) + si (〃2, С) является полупростой, если © # 1, п2 1-

До сих пор мы рассматривали только редуктивные алгебры. В общем случае мы можем привести присоединенное представление только к квазитреугольному виду. Это означает, что алгебра X по-прежнему разлагается в прямую сумму подпространств Л\, ^ = 1, 2, ..., т, но мы имеем

[X, Х"иХ】 + Х2++爲・

Все операторы &, & 三 X, задаются в этом разложении квазитреугольными матрицами с диагональными блоками Пк X где Пк = dim

*

Da =••

0.

Эти диагональные блоки D壊、^ = 1, 2, ..., т, мы называем компонентами присоединенного представления. Разложение

Х = М + Х2十...+Xmназывается максимальным, если все диагональные блокиD”? являются неприводимыми представлениями ал-гебры X. Очевидно, максимальное разложение всегдарозможно. Компоненты D^ мы называем в этом случае

неприводимыми компонентами присоединенного представления.

Заметим, что пространства 厶=X】+ Х2 + …+ 爲 являются идеалами. Максимальность разложения алгебры X означает, что фактор-пространство YJY^ неприводимо при каждом й = 1, 2, ..., т, где положено Yq = (0), Ym = X. Подпространства X互,вообще говоря, не являются идеалами. Если это так для всех /г = 1, 2, ..., т( то алгебра X является редуктивной. С другой стороны, представляет интерес выделение следующего частного случая:

Определение 4. Алгебра X называется разрешимой, если все неприводимые компоненты D(a\ й = 1, 2,…，m, коммутативны ).

Если алгебра X рассматривается над комплексным полем, то в силу леммы Шура все неприводимые компоненты в этом случае одномерны, т. е. dim Xft = 1. (В вещественном случае dim Xk ^ 2.) Следовательно, в комплексном случае все операторы Da одновременно приводятся к треугольной форме.

Среди разрешимых алгебр Ли специально выделяется еще один подкласс.

Определение 5. Алгебра X называется нильпа- тентной, если 。禦=0, й = 1, 2, .... m.

В этом случае все операторы Da одновременно приводятся к треугольному виду с нулями на главной диагонали.

В последующих параграфах мы рассмотрим несколько подробнее соотношения коммутации во всех указанных типах алгебр Ли и сформулируем для этих типов иные определения, эквивалентные вышеизложенным.

Упражнения

Положим Р =~"^，« =尤，尸=L где q рассматривается как оператор умножения на независимую переменную 尤 в некотором классе функций f(x). Показать, что р, q, г н их линейные комбина-

ции образуют нильпотентную алгебру Ли. Выписать операторы Dp, Dq, Dr в базисе р, д, г.

Сделать то же самое по отношению к операторам р = д/дх, qm = хт, m = 1, 2, ..., л, г = 1, с некоторым фиксированным 〃穆 L

Положим Р = ~^~，九=е". Показать, что операторы р, й и их линейные комбинации образуют разрешимую алгебру Ли.

q = \ — к г = 2х — хПока-q = \ — к г = 2х — хПока-Положим р =

q = \ — к г = 2х — хПока-

q = \ — к г = 2х — хПока-

зать, что операторы р, q, г н их линейные комбинации образуют простую алгебру Ли. Выписать операторы Dp, %, DT в базисе Р，q, г.

Показать, что операторы 6 =京^，0=х,「=1 и их линейные комбинации не образуют алгебры Ли. Каким оператором необходимо дополнить эту систему для получения алгебры Ли?

§ 84. Разрешимые алгебры Ли

Пусть X — алгебра Ли. Введем обозначение X’ для множества [X, X], составленного из коммутаторов [а, Ь], а, b 三 X, н нх всевозможных линейных комбинаций. Нетрудно видеть, что X’ является подалгеброй и даже идеалом в алгебре X. Алгебра X’ называется производной подалгеброй алгебры X. По индукции вводятся также определения:

Х" = (Х), X〃‘= (Х")‘，・・・，X的= (Х/т))'・

В этом параграфе мы примем за основу следующие два определения:

Определение 4‘. Алгебра X называется разрешимой, если цепочка ее последовательных производных обрывается после конечного числа шагов, т. е. если Х5)= (0) при некотором р.

Определение 4". Алгебра X называется разрешимой, если в ней существует .цепочка вложенных подалгебр

(0) = 4 и 4 и 4 и . . . и 4吋1 и 4m = X

таких, что Д/i-i является идеалом в』左 н фактор-алгебра AhIAh-i коммутативна.

Докажем, что эти определения эквивалентны. Действительно, как следует из определения производной

подалгебры X', фактор-алгебра Х/Х' коммутативна. Следовательно, цепочка

(0) = Х(")и Х(1 и и X’ и X® = X

удовлетворяет условиям определения 4,х, еслн Х(р)=(0). С другой стороны, если выполняются условия определения 4", то X и X и Ат_\ и Ат-2 и т. д., откуда Х(р)= (0) при некотором р.

Заметим также, что в силу условия коммутативности цепочку подалгебр 4 в определении 4〃 можно при желании считать максимальной, т. е. такой, что dim ЛлМд-1 = 1. Предлагается самостоятельно доказать следующие утверждения:

Всякая подалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима,

Всякая фактор-алгебра разрешимой алгебры Ли разрешима,

Если идеал У и фактор-алгебра Х/Y разрешимы^ то алгебра X также разрешима.

Принимая указанные в этом параграфе определения разрешимости, мы докажем теперь следующую фундаментальную теорему, принадлежащую Софусу Ли.

Теорема Л и. Пусть X ——разрешимая алгебра Ли. Тогда всякое неприводимое представление алгебры X коммутативно.

Доказательство. Условимся вначале рассматривать представления только в комплексных пространствах. Если dim X = 1, то алгебра X коммутативна, и утверждение теоремы вытекает из леммы Шура, причем в данном случае пространство представления одномерно. В общем случае согласно определению разрешимости мы имеем

X = X。 + {吐

где Хо ——разрешимый идеал в алгебре X и {е}——одномерное направление, натянутое на элемент е ^ 0. Пусть р(х)—неприводимое представление алгебры X в пространстве V и % — подпространство, неприводимое относительно подалгебры 凡.Поскольку dim Хо < dim X, то можем считать по допущению индукции, что для ал-

гебры Хо теорема уже доказана; но тогда dim Ио = 1, и мы имеем

Р (%)自0=九(％)自О

для всякого хеХо и всякого go ^ Vo. (Здесь 九(％)——линейная форма над алгеброй Х0-) Далее, рассмотрим оператор р(е) и положим Ji = p(e)g0,自2 = p(e)^i... Пусть Ve ——линейная оболочка этих векторов; тогда подпространство 兀 инвариантно относительно р(е). Покажем, что Ve инвариантно также относительно р(х), xwX> Действительно, имеем

Р (х) & = Р (х) Р (е) &т = р (е) Р (х) &-1 + Р ⑶氐一卜(*)

где положено г = [х, е] е Хо- Если 々=1, то р(х) и р(г) в правой части (*) мы можем заменить числовыми множителями 九(％),九(z). В общем случае индукцией по 々 получаем следующее равенство:

Р (%)以=九(%)& + • • •>

где многоточие означает линейную комбинацию векторов 自о, &,氏-i・ Инвариантность Ve доказана. Но тогда

мы имеем 几=U ввиду неприводимости V. Если kQ — максимальный из номеров, для которых векторы go, &, &,...,氐 линейно независимы, то векторы 渝，&, &,...

氏0 образуют базис в пространстве V. Относительно этого базиса матрица р(х),尤 Е 凡，является треугольной с одинаковыми диагональными элементами А,(х). Следовательно,

sp р (х) = Z72九(х),

где m = dim V( = kQ + 1). Если у = [хь 冷],то sp р(у) = 0 (след коммутатора равен нулю). Следовательно, в этом случае 入(у) = 0. В частности, если х е Хо и z = [х, е], то X(z) — 0. Возвращаясь к формуле (*), мы можем уточнить получаемый результат:

Р (%) & =九(%)自尼， 々 = 0, 1, 2)...,鳥・

Но это означает, что оператор р(х), х е Хо, является скалярным оператором на V. Если т]——собственный

вектор оператора р(е), то направление т] инвариантно относительно всей алгебры X. Следовательно, V = {т|}, и V одномерно.

Итак, для комплексного случая теорема доказана. В вещественном случае полагаем 7 = V + /V и продолжаем р(%) на Р по правилу р(%)(自 + 5) =р(%)Е + ?р(%)4 Согласно доказанному выше всякое неприводимое подпространство в Г одномерно. Если вектор g0 +，"о определяет такое одномерное направление, то линейная оболочка векторов К т|0 в пространстве V инвариантна относительно р (汇)• Следовательно, dim!/《2, и представление в пространстве V коммутативно *). Теорема доказана.

Как уже отмечалось при доказательстве теоремы, привлечение леммы Шура позволяет получить дополнительные ограничения: dim V = 1 в комплексном случае, dim У《2 в вещественном случае. Если ограничиться комплексными пространствами, то теорема Ли допускает одну из следующих трех эквивалентных формулировок:

1° Всякое неприводимое представление алгебры X одномерно.

2° В пространстве любого представления алгебры .X существует хотя бы один вектор、собственный относительно всей алгебры X.

3° Всякое представление алгебры X приводится s некотором базисе к треугольной форме.

Подчеркнем, что речь идет о конечномерных представлениях. Для доказательства эквивалентности заметим, что среди логических следствий 1°=ф 2°=^> 3°=ф 1° требует проверки только 2° 今 3°. Но выполнение 2° означает приводимость р(%) к блочному виду:

Р(х)= Г『 р%|，

*) Действительно, если 玩 小 коллинеарны, то dim V = 1, и наше утверждение доказано. Если же Ео, п。 линейно независимы, то мы имеем р (х) (£о + £%) = Л (尤)(瓦 + й]о), откуда р (х) (g0 一 й]о)= u Р (%) (Wo + 5о)=入(％) (Wo -，По), и представление р(х) в базисе &, По коммутативно.

где 厶(х)—собственное значение и р'(х)—представление алгебры X в пространстве меньшей размерности. Применяя индукцию по размерности, получаем 3°.

Для произвольного поля (вещественного или комплексного) получаем из теоремы Ли

Следствие 1. Если р(х) —неприводимое представление разрешимой алгебры X, то р(х) тривиально на производной подалгебре X': р(г) =0 при 胃三 XI

С другой стороны, применяя теорему Ли к присоединенному представлению алгебры X, получаем дополнительную информацию о структуре этого представления:

Следствие 2. Алгебра X разрешима тогда 〃 только тогда, когда существует цепочка вложенных идеалов

(OioUhu/U ... и Утти Ут = Х,

где Yk — идеал во всей алгебре X 〃 фактор-алгебра YjJYi коммутативна для всех 々=1, 2, ..., m.

Действительно, если X — комплексная алгебра, то указанная цепочка возникает при приведении Da к треугольному виду, причем dim У/jy丸一1 = 1. В вещественном случае доказательство предоставляется читателю.

Наличие цепочки идеалов, указанной в следствии 2, равносильно определению 4, данному в § 83). Таким образом, условия этого определения являются формально более сильными, чем условия определения 4". Однако мы видим, что в действительности эти условия эквивалентны.

В результате получаем, что определения 4, 4‘，4〃 взаимно эквивалентны. В комплексном случае определение разрешимости может быть также сформулировано следующим образом. Алгебра X называется разрешимой, если в ней существует максимальная цепочка вложенных идеалов с возрастанием размерностей на единицу.

§ 85. Нильпотентные алгебры Ли

В этом параграфе мы намерены исследовать различные определения нильпотентной алгебры Ли. Предварительно докажем следующую классическую теорему.

Теорема Энгеля. Пусть X ——линейная алгебра Ли), для каждого элемента которой выполняется условие нульстепенности (хт = 0). Тогда все матрицы xwX приводятся 8 некотором базисе к треугольной форме с нулями на главной диагонали. ；

Доказательство. Если dim X = 1, то теорема Энгеля верна. Мы будем вести доказательство индукцией по dimX, т. е. по числу линейно независимых элементов в алгебре X. Допустим, что теорема Энгеля уже доказана для всякой линейной алгебры У такой, что dim У < < dimX, и покажем, что в этом случае имеет место

Лемма. Всякая собственная подалгебра УиХ может быть расширена до подалгебры Z и X такой, что У — идеал в Z и dim Z/Y = 1.

Доказательство леммы. Заметим вначале, что для линейной алгебры X оператор Da может быть записан в виде Dax = ах ——хо,尤三 X. Рассуждая индуктивно, получаем отсюда следующую формулу ):

D^x = 1)'с/т%а‘，

где Ср — биномиальные коэффициенты. Если йт = 0 и р > 2т, то либо / >，孔，либо р ——Z > m, откуда Q^ — 0. Следовательно, алгебра ⑥ операторов Da также удовлетворяет условиям теоремы Энгеля.

*Вд*ВдПусть ум У, тогда С^У и У, откуда следует, что при всяком разложении Х = У + S (S ——дополнительное подпространство) оператор Dy может быть записан в блочном виде:

*

Вд

*

Вд

где 4 — преобразование в У и & — преобразование в S. Из нульстепенности Dy следует также нульстепен- ность Ау и Ву*

Заметим теперь, что размерность алгебры {Ву} не превосходит размерности алгебры У). Используя допущение индукции, мы можем считать, что теорема Энгеля верна для алгебры {By}. В частности, существует вектор So ^ S такой, что BysQ = 0. Иначе говоря, [从 s()]三 У для всех у Y. Положим Z = У + {期}. Тогда имеем

[У, Z]u 匕[N, ZjuZ.

Следовательно, Z — подалгебра в X н У — идеал в подалгебре Z. Лемма доказана.

Если й]—произвольный элемент подалгебры X, то пространство {«1} — Л i является одномерной подалгеброй в X. Расширяя эту подалгебру до двумерной подалгебры Л2, затем расширяя Л2 до трехмерной подалгебры 小 и т. д.} получаем в X цепочку вложенных подалгебр

(0) =儿 и 4 и 儿 и . . . и и 4足=犬 таких, что /4〃т является идеалом в Ak. Следовательно, алгебра X разрешима. Применяя теорему Ли, заключаем, что все операторы 尤三 X одновременно приводятся к треугольному виду. Нульстепенность х означает, что все его собственные значения равны нулю. Теорема доказана.

В нижеследующих утверждениях мы предполагаем, что алгебра X удовлетворяет условиям теоремы Энгеля. Тогда из этой теоремы получаем

Следствие 1. Алгебра X содержит нетривиальный центр.

Действительно, пусть n—такой элемент из X, который является собственным вектором с собственным значением 0 относительно всех операторов Dai a 三 X. Тогда [г, а]= 0, и 三 X, н z содержится в центре алгебры X.

Следствие 2. Существует натуральное число р, для которого %3%2 • • • хР = 0, где %卜 х2> ...,工卩 一 произвольные элементы из X.

Этот результат непосредственно следует из треугольной структуры операторов 修，陋，…，％р (с нулями на

диагонали). Указанное равенство, во всяком случае, верно, если р — размерность линейного пространства, в котором действует X.

Исходя из полученных результатов, мы естественно приходим к следующим двум определениям. .

Определение 5'. Алгебра X называется нильпотентной, если хп = 0 для всякого х 三 X (при некотором натуральном и, которое можно считать не зависящим от х).

Определение 5". Алгебра X называется нильпотентной, если [工1[工2, . • •, [/, Xg+i] ...]] = О для всякого набора элементов 修，&, …，工什1 三 X (при некотором натуральном q, которое можно считать не зависящим оt 修).

Заметим, что последнее условие можно также записывать в виде 元 1 元2 • • •尤g = 0・ Применяя следствие 2 к линейной алгебре операторов 尤=。算，заключаем, что условия определения 5" могут быть получены как следствие из условий определения 5‘. С другой стороны, условия определения 5' представляют собой частный случай условий определения 5". Следовательно, оба эти определения равносильны.

Далее, согласно теореме Энгеля условия определения 5 (§ 83) могут быть получены как следствие из условий определения 5'. В то же время обратное утверждение очевидно. В результате получаем, что все определения 5, 5‘，5" эквивалентны.

Определение нильпотентности может быть сформулировано также следующим образом. Пусть X — произвольная алгебра Ли. Положим

Zjfe/i = [X, Zj Zq = X.

Тогда Z&+i при любом значении 々 является идеалом не только в Zq, но и во всей алгебре X. Цепочка идеалов Zr называется центральным рядом в алгебре X. Определение 5" формулируется теперь следующим образом:

Алгебра X называется нильпотентной, если ее центральный ряд сходится к нулю, т. е. Z/( = (0) при некотором 也

В заключение отметим связь между центральным рядом алгебры X’ и рядом последовательных производны/

алгебры X. Пусть Zj ——центральный ряд алгебры X’ п =[X, X]. Тогда имеем

Г- [X, X] = Z：,

Х〃 = [К, Г] = [Г, z，] = 4，

Х〃 = [Х〃，Х〃] и [Г, Х〃] = [Г, zq = ZQ • • • Рассуждая индуктивно, заключаем, что Х&)и Z，一i. Если, в частности, алгебра X’= Z[ нильпотентна, то Х(「)= (0) при некотором р, т. е. алгебра X разрешима. Обратно, если X разрешима, то все неприводимые компоненты D{a коммутативны (§ 83) и потому обращаются в нуль для a w X'. Следовательно, если a w X', то °а ——нульстепенный оператор. Следовательно, алгебра X’ нильпотентна. В результате получаем следующий важный результат:

Алгебра X разрешима тогда и только тогда, когда ее производная подалгебра X’ нильпотентна.

Упражнения

Показать, что всякая нильпотентная алгебра Ли размерности 2 коммутативна.

Показать, что всякая нильпотентная алгебра Ли размерности 3 либо коммутативна, либо задается единственным нетривиальным соотношением коммутации [亿 q] =，между базисными элементами р, д, г (алгебра Ли группы Z(3)j.

Пусть X — нильпотентная алгебра Ли размерности п. Показать, что всякая ее подалгебра размерности п — 1, содержащая центр, является идеалом в X. (Указание： рассмотреть присоединенное представление как фактор по центру и воспользоваться леммой на стр. 386.)

§ 86. Разложения Фиттинга

В этом параграфе мы изложим один из общих методов изучения законов коммутации в произвольной алгебре Ли. Этот метод допускает формулировку как в комплексном, так и в вещественном случае. Однако ради простоты мы будем рассматривать только алгебры Ли над полем комплексных чисел.

Пусть а ——линейный оператор в пространстве £ и Е% — максимальное подпространство, натянутое на собственные и присоединенные векторы этого оператора с

собственным значением 九：

斗=｛自：自三 七,(a一九广 2 = 0, 〃 = 0, 1, 2,…｝.

Тогда, как известно (из теории элементарных делителей), пространство £ может быть представлено в виде прямой суммы подпространств

где суммирование ведется лишь по конечному множеству чисел А, которые являются собственными значениями оператора а. Оказывается, что этот результат переносится также на нильпотентные алгебры линейных операторов в пространстве Е.

Пусть X ——линейная алгебра Ли, определенная в пространстве £ Функция 九=夕.(尤)，％ 三 X, называется собственным значением или весом алгебры X, если %自=九(％)己 для некоторого вектора 自三 Е, g =# 0; очевидно, 九(％) является линейной формой от хмХ. Пространство

七丸=｛自：М R Е, (% — А (%))飞=0,几=1, 2, ..., х X] называется весовым пространством алгебры X, отвечаю щим весу X. Иначе говоря, Ех есть пересечение всёх собственных пространств Е&(х), определенных для отдельных операторов х ^ X. При этом мы считаем, что Е入=(0), если 九 не является весом алгебры X.

Докажем, что имеет место

Теорема 1. Если X ——нильпотентная алгебра Ли, то пространство £ разлагается в прямую сумму

Е=』Ек,

где суммирование ведется лишь по конечному множеству линейных форм 九=九(尤),которые являются весами алгебры X.

Доказательство. Используя индукцию по 几, легко проверяем тождество

апЬ = £ С紡7v

й=0

где 6^ = dkb, справедливое для .любых линейных операторов а, b в пространстве Е & — биномиальные коэффициенты) .Если а, 6 三 X, то 匕但)=0 при достаточно большом значении k. Заменяя а на а —九(а), применяем обе части этого равенства к вектору 己三 Б\®. Поскольку среди чисел 々，挽——k хотя бы одно превосходит 挽/2, то при достаточно высоком п мы получаем

(а-к (й)尸 ^ = 0.

Но это означает, что 以⑷ инвариантно относительно 6 при любых a, b X.

Пусть с】,。2， • • •, 5П — базис в алгебре X. Пространство Е есть прямая сумма подпространств ЕЛ(, где %j — произвольное собственное значение оператора ^i. В свою очередь ЕХ1, будучи инвариантно относительно ⑦，есть прямая сумма подпространств 七储册=(£\)^, весовых относительно &, и т. д. Следовательно,

(прямая сумма), где каждое из слагаемых инвариантно относительно всей алгебры X. Поскольку алгебра X нильпотентна, то в силу теоремы Ли все матрицы х в подпространстве Е^% …кп одновременно приводятся к треугольной форме. Отсюда ясно, что единственным собственным значением в этом подпространстве является линейная форма 九(工)=九冰匕 и Е%% …“ = £\・ Теорема доказана.

х = ^ха,х = ^ха,Теперь предположим, что X — произвольная алгебра Ли и N—ее нильпотентная подалгебра. Применяя теорему 1 к линейной алгебре N = {^；工三 N}, получаем разложение алгебры X в прямую сумму весовых подпространств:

х = ^ха,

х = ^ха,

где а = а(х)——произвольный вес, определенный на линейной алгебре №. Такие веса называются корнями, н пространство Х^ называется корневым подпространством в алгебре X.

Разложение () называется разложением Фиттинга алгебры X (по отношению к нильпотентной подалгебре ^). Мы исследуем в этом параграфе основные свойства такого разложения.

1°【爲，XJuX』.

Для доказательства этого утверждения достаточно проверить (индукцией по п) справедливость следующего тождества *): п

(D-a-рГ [х,刘=£ £ [(D -疗 x, (D — 份…疝

где D ——произвольное дифференцирование в алгебре X. Полагая, в частности, D = D% 之三 2, а = а(г), р = р(г), получаем в правой части нуль при достаточно высоком 几,если х 三 X* у 三 Xg.

2。【X" X/u 几，[Х。, Х。] u Х。.

Эти равенства являются частным случаем 1°. Они показывают, что корневое пространство 先，отвечающее корню 0, само является подалгеброй в алгебре X и каждое пространство Х« инвариантно относительно Х°.

3。N и Хо.•

Действительно, если г е ^, то г имеет только нулевое собственное значение на ^ ввиду нильпотентности N. Следовательно, N и Х(). В частности, мы видим, что нуль всегда содержится среди корней алгебры X (это следует также из равенства [2, г]= 0).

Для получения более дробного разложения в алгебре X естественно N выбирать по возможности максимальной. Особенно интересен случай ^ = Хо. В этом случае разложение Фиттинга называется регулярным.

Выясним, когда возможно регулярное разложение. Элемент хвХ назовем регулярным, если оператор £ имеет минимально возможную кратность нулевого собственного значения в пространстве X. Очевидно, такие элементы всегда существуют. Пусть h — регулярный элемент nN — максимальная нильпотентная подалгеб-

ра, содержащая этот элемент. Условимся в этом случае говорить, что алгебра ^ является регулярной.

Теорема 2. Если ^ ——регулярная подалгебра, то разложение Фиттинга является регулярным,

Доказательство. Рассмотрим вначале разложение Фиттинга по отношению к единственному оператору % где А ——регулярный элемент:

Х = Хо + %

Здесь X — прямая сумма подпространств с ненулевыми собственными значениями. Согласно свойству 2° полученное разложение инвариантно относительно всех операторов 尤 х 曰 X» Положим х =力 + ех0| и пусть Р(е)— детерминант преобразования х на подпространстве X:

户⑹=det%仅+叫).

Тогда Р(е)—полином от е и 0(0) W0; поэтому _Р(£)#0 при достаточно малых значениях е. Следовательно, в этом случае все нулевые собственные значения оператора 尤 содержатся в подпространстве Х0- Поскольку их число не может быть меньше размерности XQ (согласно определению регулярного элемента), то ^ — нульстепенное преобразование в X» Пусть

р0仇，e) = det% 仇一盼

—характеристический детерминант оператора £ в подпространстве Хо. Тогда Ро(А, £) является полиномом от 九 н £ и Ро (九，8)= Zn°, /Iq = dim Хо, для достаточно малых значений е. Следовательно, Р° (九，е)三九聞，н это означает, что для любого %еХо преобразование 元 нульстепенно в Хо. Следовательно, X。——нильпотентная подалгебра.

Далее, пусть ^ — максимальная нильпотентная подалгебра, содержащая h. Равенство hmN = (0) (при достаточно большом т) означает, что ^ и Хо. Ввиду максимальности ^ в классе нильпотентных подалгебр мы имеем ^ = Хо- Алгебра ^ не может иметь нулевых корней в X (поскольку /ieN); следовательно, подпространство Хо совпадает также с нулевым подпростран-

ством в разложении Фиттинга относительно N. Теорема доказана.

Следствие. В произвольной алгебре Ли существует регулярное разложение Фиттинга:

X = N+ £ х“.

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие разложения.

В заключение этого параграфа рассмотрим специальные элементы вида 2= [%, х__а], 凡三元出 Х—а^Х—а， которые, как следует из регулярности, содержатся в алгебре N. Следовательно, для 2 определено понятие корня 九=九（2）. Подпространство У = 2 ^+^ инвариантно относительно 兄口，兄一《, а потому и относительно 2 Поскольку след коммутатора равен нулю, то мы получаем соотношение

£ nk {К ⑵ + ka（2）} = 0.

Здесь tik一размерность корневого подпространства Х%+&а，отличная от нуля лишь для конечного числа значений 々 = 0, 士 1, 士2, ... , и выражение слева, очевидно, равно spy倉 для треугольной матрицы z. Поскольку

X nk #= 0, то это уравнение можно разрешить относительно 九（之），откуда получаем 九（z） = га（2）, где г —— рациональное число （зависящее от 九 и а）. Суммируя по всем корням, мы получаем также равенство

sp^m = Pma ⑵死

с рациональным коэффициентом 9^ = 2^, где = = ——N囱几儿/』"r для каждого корня 儿 Если а?。， то существует хотя бы один корень 九（например,九= 0）, для которого А/ = 九 + с также является корнем. Равенства гл = rv == 0 приводят к противоречию, и6ог&,—厂九=1. Следовательно, 「％ 千 0, и отсюда pm 胃 0 при четном ш.

§ 87. Билинейная форма Киллинга—Картана

Пусть X — произвольная алгебра Ли, комплексная или вещественная. Для любых элементов 工，у 三 X положим

(х, y) = sp DxDy.

Полученная билинейная форма называется формой Киллинга ——Картана. Она обладает следующими свойствами:

1°(X, у) = (у, х)；

2° ([х, у], г) = (х, [у, г]);

3° (х, у)% = (х, у%，если X。— идеал в X их, у w X。

Мы не станем останавливаться на несложной проверке этих соотношений. Заметим, что свойство 2° может быть также записано в виде

2’(С/, г) + (х, Dyz) = 0.

Следовательно, операторы Dy являются кососимметричными относительно этой формы.

Пусть X1—пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору из X. Если вектор х обладает этим свойством, то согласно 2’ тем же свойством обладает Dyx. Следовательно, X1 является идеалом в X.

Особый интерес представляют два крайних случая: X1 = X н 乂丄=(0). В первом случае (%, у) = 0 тождественно на всей алгебре X, и это условие равносильно более частному условию (%,%)= 0, х ^ X. Во втором случае форма называется невырожденной ). Докажем вначале, что имеет место

Теорема 3 (Критерий Картана). Если (%, х) = б на всей алгебре X, то алгебра X является разрешимой.

Доказательство. Ввиду возможности комплексного расширения (Х->Х + »Х)мы можем считать, не ограничивая общности, что алгебра X является комплексной. Докажем вначале, что X’ * X.

Действительно, если X = X’ = [X, X], то для всякого разложения Фиттинга мы имеем Хо = ^ [^а» ^-а1 Следовательно, подалгебра X。 является линейной оболочкой коммутаторов вида z = [ха, х_а]. Согласно замечанию, сделанному в конце § 86, мы имеем

(2, 2)= sp 毋=Р2a 3)2 = О,

где р2 =А 0. Следовательно, &(之)=0 для всех коммутаторов z, а потому и для всех элементов из X» Но это означает, что все корни относительно X。нулевые, т. е. Х~ Xq. Следовательно, алгебра X нильпотентна и X今X вопреки допущению.

Итак, X'# X. В силу свойства 3° формы Киллинга — Картана (х, х) = 0 также на подалгебре X： Следовательно, X" =А X’ и т. д. Следовательно, Х(р)= (0) при достаточно высоком р, т. е. алгебра X разрешима. Теорема доказана.

Как легко убедиться на простых примерах, обратное утверждение неверно, т. е. (х,х) не обязательно равно нулю для всякой разрешимой алгебры X *). Однако имеет место

Теорема 4. Алгебра X разрешима тогда 〃 только тогда, когда (X, X') ^ 0 для производной подалгебры X'.

Доказательство. Если (%, у) = 0 для xwX- у 三 X, то, в частности, (х, х) = 0 для х 三 X'. Следовательно, алгебра X’ разрешима. Поскольку фактор-алгеб^ pa XX коммутативна, то она также разрешима. Следовательно (см. § 84), алгебра X также разрешима.

С другой стороны, если алгебра X разрешима, то подалгебра X’ нильпотентна (§ 85). Приводя операторы Daj а^ X, к треугольной форме (в вещественном случае ——к коазитреугольной), замечаем, что собственные значения (диагональные блоки) оператора Dx равны нулю, если xwX'. Следовательно, (а, л) = sp DaDx = 0. Теорема доказана.

Покажем теперь, что в терминах билинейной формы Киллинга — Картана можно также дать независимую характеристику полупростых алгебр Ли.

Теорема 5. Алгебра X является, полупростой тогда и только тогда, когда билинейная форма (х, у) невырождена.

Доказательство. Если алгебра X проста, тоХ не содержит ни одного идеала, кроме (0) и У; в частности, [X, X] = X, и алгебра X не может быть разрешимой. Если алгебра X полупроста, то всякий ее идеал является суммой простых подалгебр. Следовательно, алгебра X не содержит ни одного разрешимого идеала, кроме (0). В то же время, если положим У = X1, то на У форма Киллинга — Картана обращается в нуль, откуда следует, что У—разрешимый идеал (теорема 3). Следовательно, У = (0), и форма Киллинга — Картана невырождена.

С другой стороны, предположим, что билинейная форма (х, у) невырождена, и покажем, что присоединенное представление в алгебре X вполне приводимо. Если У — идеал, то его ортогональное дополнение У丄 в виду 2’ также является идеалом. Следовательно, Z = У А У丄 также является идеалом. Полагая a, b w Z, получаем из тождества Якоби, что [а,可 丄X, откуда [а, Ь] = 0, т. е. Z — абелев идеал. Если 2fZ, %wX, то оператор DXDZ переводит X в Z, Z в (0), откуда следует, что (居 2)= =sp DXDZ = 0, т. е. Z±X. В результате Z = (0). Отсюда X = У + ▽丄(прямая сумма). Действительно, если вектор г ортогонален У + У1, то 2fZ, откуда 2 = 0. Мы показали, что алгебра X редуктивна. Если Z — центр алгебры X, то 2 = 0,之巨 Z, откуда, как и выше, заключаем, что Z = (0). Следовательно, алгебра X полупроста. Теорема доказана.

Следствие 1. Алгебра X полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит ни одного разрешимого идеала, кроме (0).

Следствие 2. Алгебра X полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит ни одного коммутативного идеала, кроме (0).

Следствие 3. Условие полупростоты можно также записывать s виде [X, X] = X.

Доказательства (несложные) предоставляются читателю, Каждое из приведенных условий может быть выбрано в качестве независимого определения полупростой

алгебры Ли. В заключение этого параграфа получим еще один результат как следствие теоремы 5:

Теорема 6. Если алгебра X полупроста, то всякое ее дифференцирование является внутренним.

Доказательство. Пусть S) — алгебра всех дифференцирований и I — подалгебра, образованная внутренними дифференцированиями D%,尤三 X. Поскольку алгебра X имеет нулевой центр, то представление Dx является точным, и алгебра I полупроста. Далее, если D — дифференцирование и у = Сх, то легко проверить формулу

〃』=%,

из которой следует, что 覆 является идеалом в ®. Но тогда ортогональное дополнение 覆丄 к идеалу 覆 относительно скалярного произведения (Д, В) = sp АВ также является идеалом в ®. Из невырожденности формы в идеале 覆 следует, что уравнение d ——〃丄覆 разрешимо относительно 〃三覆 для любого d ^ ®. Следовательно, Q =覆 + 护.Пересечение 3 =覆 П 覆丄 ортогонально к J во всей алгебре ⑥，но тогда и в идеале 3F Двойство 3° формы Киллинга — Картана); следовательно, 8 = (0) (ибо 覆 полупроста). Оператор Q^ = [Q, QJ содержится как в идеале 覆，так и в идеале 覆丄，если Q 三嚣丄；следовательно, Dy 胃 § и Dy = 0. Но тогда также у = Dx = U для всякого 尤三 X, откуда Q = 0. В результате 覆丄=(0) и © = J. Теорема доказана.

Упражнение

Выразить условие полупростоты алгебры Ли в терминах струк- турнзх констант с”.

Основные типы групп Ли

Если рассматривать только связные группы Ли, то для получения их классификации можно непосредственно воспользоваться результатами классификации для алгебр Ли. Связная группа Ли называется редуктивной, полу простой, простой, разрешимой, нильпотентной или абелевой, если ее алгебра Ли относится к одному из перечисленных типов. Однако в случае несвязных групп такой подход уже нежелателен, поскольку свойства

дискретной фактор-группы G/Ge, где Ge——компонента единицы, при этом совершенно не учитываются. Так, в предельном случае, когда группа G сама дискретна (т. е. алгебра Ли равна (0)), мы вообще не получаем информации о структуре группы G. Кроме того, определения разрешимости, нильпотентности и коммутативноети естественно формулируются не только для групп Ли, но вообще для произвольных групп.

Пусть G — произвольная группа. Множество К и G называется коммутаторной подгруппой, если К состоит из всевозможных коммутаторов вида k = аЬа~1Ь~\ а, b ^ G, и их произведений в любом (конечном) числе. Если G ——топологическая группа, то вместо К рассматривают обычно замыкание этого множества в топологии G. Полученное множество снова является группой; оно обозначается G' и называется производной подгруппой в группе G.

Определение 1. Группа G называется разрешимой, если G(0)= {е} при некотором р.

Здесь G^ ——кратная производная группы G, определяемая рекуррентно: G^ = [G(0-D, G(pt)], где квадратные скобки заменяют обозначение производной. Аналогично можно ввести понятие центрального ряда группы G. Мы полагаем Go = G, G〔 = ©'. Далее, подгруппа Gp определяется как [G, G@_J, т. е. как замкнутая подгруппа в Gp_i, порожденная коммутаторами вида k = =aba~}b^\ a^G. b e Gp-i. Нетрудно видеть, что Gp является нормальным делителем не только в Gp„i, но и во всей группе G.

Определение 2. Группа G называется нильпо тентной, если Gp = {е} при некотором р.

В частности, группа G является абелевой, если Gi = G' = {е}, т. е. если ab = Ьа для всех а, b 三 G. Следовательно, определения нильпотентности и разрешимости являются естественными обобщениями понятия коммутативности. Как следует из данных определенна, G(0)u(G')0—> Отсюда нетрудно получить следующее утверждение: группа G разрешима тогда и только то- гда^ когда ее производная подгруппа нильпотента.

Для разрешимой связной группы имеет место также аналог фундаментальной теоремы Ли;

Теорема Л и. Если G ——разрешимая связная группа, то всякое ее неприводимое представление в комплексном пространстве одномерно ）.

Доказательство. Минимальное из чисел р, для которых G（@）= {е}, назовем рангом группы. Если ранг равен единице, то теорема верна. Далее будем вести индукцию по рангу.

Пусть V — пространство представления Tg группы G и Vo 一 подпространство, неприводимое относительно Tg. Нетрудно видеть, что G' вместе с G является разрешимой связной группой. Поскольку ранг G' меньше ранга G, мы можем считать по допущению индукции, что % одномерно. Следовательно,

Т 启о =入（3 Ео

для ft 巨 G' н 玩 三 VQ. Применим к вектору & произвольный оператор Tg и выясним действие оператора 7\ на каждый элемент орбиты Eg = Т^. Поскольку G' является нормальным делителем в G, то мы имеем hg = =g（g-Sg） = g万，где 五三 Н. Следовательно,

及=TJ戒。=大伍）%•

Следовательно, всякий вектор Eg снова является собственным вектором относительно 7\ с собственным значением ^g（h）=入（gf g）. Далее существенно используется конечномерность V и связность группы G. Из первого условия следует, что функция 入g（应）при переменном g может принимать значения лишь из конечного множества А, где А = {ц（h）］ — множество всех 《весов》 представления Th. Из второго условия следует, что 入g непрерывно зависит от g. Сопоставляя эти утверждения, заключаем, что 入g не зависит от g, т. е. 九（gT〃g） = ^ （力）для всех gwG. Положим

厶={自至匕?底=大他闻，

где 九=九（力）фиксировано. Мы видим, что 丿入 инвариантно в V относительно всей группы G; следовательно,

Vx = К Если h является коммутатором, /i = aba~{b~{^ то det Th = 1, откуда заключаем, что

厶(fi)" =1, п = dim 匕

для всех коммутаторов hw G', но тогда и для всех элементов из G： Из связности О и непрерывности 厶(/i) заключаем, что 九(/i)= 1. Следовательно, 7\ 曰/, где / — единичный оператор в V, и представление Тё коммутативно. Но тогда по лемме Шура V одномерно. Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что для связных групп Ли определения 1 и 2 равносильны определениям в терминах алгебры Ли. В то же время определения простоты, полупростоты и редуктивности, данные в начале этого параграфа, принято переносить на произвольные (не обязательно связные) группы Ли. Мы сформулируем эти определения также в глобальной форме.

Определение 3. Группа Ли называется простой, если она не содержит ни одного замкнутого связного нормального делителя.

Определение 4. Группа Ли называется полупростой, если она не содержит ни одного замкнутого связного разрешимого нормального делителя.

Определение 5. Группа Ли называется редуктивной, если ее фактор-группа по центру полупроста.

Эквивалентность этих определений определениям, данным в начале параграфа, не очевидна. Действительно, мы видели в § 40, что некоторым подалгебрам в алгебре Ли не соответствуют замкнутые подгруппы в соответствующей группе Ли. Однако можно показать, используя некоторые результаты А. И. Мальцева [109], что в определениях 3, 4 вместо слов «замкнутый нормальный делитель» можно использовать термин «локально замкнутый нормальный делитель» (замкнутый хотя бы в окрестности единицы). В такой формулировке определения 3, 4, очевидно, эквивалентны определениям, данным в начале параграфа. Это следует из взаимно однозначного соответствия между локально замкнутыми подгруппами и подалгебрами в алгебре Ли.

Заметим, что в определении 4 вместо разрешимого нормального делителя можно ограничиться коммутатив-

ными нормальными делителями (см. следствие 2 из теоремы 5). Заметим также, что всякий нормальный делитель в простой связной группе Ли является дискретным и центральным. Действительно, дискретность следует из определения 3; в то же время мы видели в § 5, что в связной группе G всякий дискретный нормальный делитель централей.

Ясно также, что простые и полупростые группы Ли могут иметь только дискретный центр.

Теорема Леви — Мальцева

Проведенная выше классификация ие является полной в том смысле, что существуют груплы (алгебры) Ли, которые не относятся ии к одному из выделенных классов. В частности, это верно даже для такой классической группы, как группа движений евклидова пространства (включающая повороты и трансляции). Оказывается, одиако, что любая группа (или алгебра) Ли может быть (в известном смысле) составлена из отдельных подгрупп, каждая из которых уже относится к перечисленным выше классам.

Рассмотрим вначале алгебры Ли. Пусть X — такая алгебра и R ——ее максимальный разрешимый идеал. Подалгебра R называется радикалом в алгебре X). Очевидно, фактор-алгебра Х/R уже не содержит разрешимых нормальных делителей. Следовательно, алгебра X/R полупроста.

Теорема 7 (Леви ——Мальцев). Всякая алгебра Ли может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала R и полупростой подалгебры S:

X = R + S.

Подалгебра S является максимальной полупростой подалгеброй в алгебре X. Она определяется однозначно с точностью до автоморфизма.

Мы ие будем приводить доказательства этой теоремы, поскольку оио является достаточно сложным и это

увело бы нас в сторону от основного направления данной книги. Отметим только соотношения коммутации:

[S, S] и S, [R, R] и R, [R, S] и R.

Последнее соотношение является следствием того, что алгебра R является идеалом. Таким образом, вообще говоря, [R, S] W (0), т. е. разложение Леви—Мальцева не является прямой суммой двух идеалов.

Таким образом, основным содержанием теоремы 7 является результат о существовании в X подалгебры S, дополнительной к радикалу R (отсюда уже вытекает, что алгебра S является максимальной полупростой). Отсюда, очевидно, вытекают аналогичные результаты для произвольной связной группы Ли.

Пусть G — связная группа Ли, X = R + S — разложение Леви ——Мальцева для ее алгебры Ли, Я и © —— аналитические подгруппы, отвечающие подалгебрам R и S. Тогда мы имеем

G = JR©.

При этом 猊 является нормальным делителем в G и группа © является максимальной в классе полупростых связных подгрупп в группе G. Кроме того, Я и © являются замкнутыми подгруппами.

Полученное разложение, вообще говоря, неоднозначно; однако ЯП©, очевидно, дискретно (действительно, алгеброй Ли такой подгруппы является (0)). Если G — односвязная группа Ли, то полученное разложение однозначно и подгруппы 况 © являются односвязными ([108]).

Пример. Пусть G ——группа движений п-мерного евклидова пространства. Если g ^ G и 尤一произвольный вектор этого пространства, то действие группы определяется по формуле

g% = а尤 + t,

где а — поворот и f — трансляция. Вместо вектора л удобно рассматривать (几 十 1)-мерный вектор г = (х, 1), (п + 1)-я координата которого равна единице. Тогда

группа G может быть записана как группа матриц:

g = |； ； , О仇).

Подгруппа поворотов ® выделяется условием f = 0; подгруппа трансляций 猊 выделяется условием a = е, где е — единичная матрица порядка п. Нетрудно показать ), что всякая ортогональная группа является полупростой. Следовательно,猊 является радикалом в группе О. Разложение G = SRS в данном случае очевидно.

Замечание 1. Группа G из этого примера не является связной. Однако мы получим связную группу, если ограничимся связной компонентой единицы. (Для этого достаточно наложить ограничение deta=L)

Замечание 2. Если группа G допускает однозначное разложение в произведение двух подгрупп, G = АВ, причем одна из этих подгрупп является нормальным делителем в G, то говорят, что G является полупрямым произведением Л, В. В частности, группа движений является полупрямым произведением своих подгрупп 91 и ®.

Таким образом, теорема Леви — Мальцева показывает, что всякая связная группа Ли конструируется из разрешимой и полупростой примерно по тому же правилу, как группа движений евклидова пространства составляется из трансляций и вращений.

Как мы видели в этой главе, существует много вариантов естественного определения для основных типов алгебр Ли. Мы попытались унифицировать эти определения, прибегая к терминам присоединенного представления. Однако получаемые таким путем определения иногда недостаточно эффективны для проверки. Например, теорема Энгеля дает гораздо более простой критерий нильпотентности алгебры X. В литературе наиболее употребительными являются определения простоты и полупростоты, заключенные в следствиях 1 и 2 из теоремы 5. С. Хелгасон [42] принимает в качестве определения полупростоты непосредственно условие невырожденности формы Киллинга — Картана (теорема 5). Для раз^ решимости и нильпотентности наиболее употребительными являются

§ 89. ТЕОРЕМА ЛЕВИ - МАЛЬЦЕВА 405 определения в терминах последовательных производных и центральных рядов.

Невырожденность формы Киллинга — Картана является, по- видимому, наиболее существенной информацией, необходимой для дальнейшего изучения простых и полупростых алгебр Ли. Напомним, что этот результат в свою очередь является следствием критерия разрешимости Э. Картана (теорема 3). При доказательстве этого критерия мы воспользовались, следуя [77], разложением Фиттинга в алгебре X. Однако существует еще и другой вариант доказательства —при помощи так называемых《реплнк» линейного one* ратора ([128]). Доказательство теоремы о дифференцированиях (теорема 6) мы заимствуем из книги С. Хслгасона [42]. Теорема Ли в глобальной формулировке, по-видимому, впервые была доказана Р. Г о д е м а н о м [74].

Существование разложения X = А + S для произвольной алгебры Ли было впервые доказано Э. Леви [106]. Единственность полупростой подалгебры S доказана А. И. Мальцевым [НО] и также независимо Хариш-Ча ндрой [136]. Доказательства см., например, в [19], [46], [113], [125].

ГЛАВА XIV

КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПАКТНЫХИ РЕДУКТИВНЫХ АЛГЕБР ЛИ

Теперь мы возвращаемся к первоначально поставленной задаче об описании всех компактных групп Ли. Классификация, изложенная в предыдущей главе, имела своей исходной точкой чисто алгебраические соображения и потому, естественно, не включала компактных групп, ибо понятие компактности существенно топологическое. Тем не менее (и это является любопытной особенностью групп Ли), как увидим в начале данной главы, существует возможность дать характеристику класса компактных групп Ли в терминах алгебры Ли.

Если G — компактная группа Ли, то ввиду глобальной теоремы ее присоединенное представление вполне приводимо. Следовательно, всякая компактная группа Ли редуктивна. Поэтому ее комплексная оболочка также редуктивна. Поскольку над комплексным полем задача классификации решается технически проще ' (примеры этого мы видели в предыдущей главе), естественно начать с классификации комплексных редуктив- ных алгебр Ли. Отбрасывая центр, мы можем также ограничиться рассмотрением полупростых комплексных алгебр Ли. Во всяком случае таким путем мы не пропустим ни одной ^компактной» алгебры Ли.

Задачу можно было бы несколько упростить, если заранее воспользоваться условием компактности. Однако интересно выяснить также местоположение компактных групп Ли среди редуктивных, и поэтому естественно решать сразу более общую задачу. При этом мы увидим (a posteriori), что все редуктивные группы (алгебры) Ли в известном смысле «порождаются» компактными.

Компактные алгебры Ли

Начнем с алгебраической характеристики компактной группы Ли.

Определение 1. Вещественная алгебра Ли X называется компактной, если на X существует скалярное

произведение {尤,у}, относительно которого операторы Da кососимметричны:

{&х, S + {x, Day} = 0, а, X, у^Х.

Напомним, что скалярное произведение есть симметричная билинейная форма, которая является строго положительно определенной, т. е. {х,尤} > 0 при 尤呈 0. Исследуем связь введенного определения с понятием компактной группы Ли.

Пусть X — компактная алгебра Ли и Z — ее центр. Нетрудно видеть, что алгебра X редуктивна (действительно, всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное ортогональное дополнение); следовательно,

х = У㊉ Z,

где алгебра У полупроста (см. § 83). Пусть Gy — группа всех невырожденных линейных преобразований в пространстве 匕 для которых

1° {gx, gy} = {х, у}, X,

2° [gx, gy] = [х, у], х, у^Х.

Здесь {х, у} — скалярное произведение и [х, у] — коммутатор в алгебре У. Как следует из условия 1°, группа Gp является подгруппой в группе О (У) всех ортогональных преобразований пространства У. Как следует из 1° и 2°, группа Gy является замкнутой подгруппой в О(У). '

Найдем алгебру Ли группы Gy. Согласно условию 2° всякое инфинитезимальное преобразование этой группы является дифференцированием в У. Согласно теореме 6 (§ 87) это дифференцирование является внутренним. Следовательно, алгеброй Ли группы GY является У, где У — множество всех операторов у = % У w У. Поскольку алгебра У полупроста, ее представление Dy является точным. Следовательно, У изоморфно У.

Заметим теперь, что Gy является компактной группой Ли (как замкнутая подгруппа компактной группы О (У))). Следовательно, мы показали, что существует

компактная группа Ли, алгебра Ли которой изоморфна алгебре У.

Далее, пусть /и — размерность центра Z н Gz — m-мерный тор, т. е. прямое произведение /и экземпляров группы вращений окружности. Тогда коммутативную алгебру Z мы можем рассматривать как алгебру Ли группы Gz Положим, наконец,

Gx = Gy X Gz・

Группа Gx является компактной группой Ли, алгеброй Ли которой является У + Z, причем как У, так и Z являются идеалами в этой алгебре. Следовательно, алгебра Ли группы G изоморфна алгебре X.

С другой стороны, пусть G ——произвольная компактная группа Ли и X ——ее алгебра Ли. В силу глобальной теоремы алгебра X редуктивна. Положим снова

X = У + Z,

где Z ——центр алгебры X и алгебра У полупроста. Пусть (х, у) ——билинейная форма Киллинга ——Картана на подалгебре У, (х, у) = sp DxDy. Положим для краткости А = Dx при фиксированном х. Тогда мы имеем

(%, х) = sp л2 = 2 4/力修=—_2 片/ & о*

Здесь Aij——матрица оператора Л относительно некоторого фиксированного базиса в У; А^ = ——4幫 в силу кососимметричности оператора Л ^Dx. Равенство (х, х) =0 возможно в алгебре У только при х=0 *). Следовательно, форма Киллинга ——Картана является отрицательно определенной в У. Положим {х, у}()= — (х, у) и дополним скалярное произведение {х, y}Q до скалярного произведения {х, у} во всей алгебре X, добавляя к {х, y}Q произвольную симметричную положительно определенную билинейную форму на алгебре Z. В результате получим, что алгебра X является компактной. Суммируя вышесказанное, мы приходим к следующему утверждению:

Алгебра X является компактной тогда и то/ько тогда, когда она является алгеброй Ли некоторой компактной группы Ли.

Таким образом, определение 1 действительно дает искомую алгебраическую характеристику компактной группы Ли.

Замечание. Термин «компактность», примененный в определении 1, разумеется, должен пониматься в совершенно независимом смысле по отношению к обычной топологической терминологии. (Во всяком случае, алгебра X как линейное пространство не является компактной.)

В заключение этого параграфа заметим, что если алгебра проста, то скалярное произведение {尤,у} определяется однозначно с точностью до множителя. Действительно, мы видели в § 20, что скалярное произведение, инвариантное по отношению к некоторому представлению (в нашем случае exp Dx), определяется однозначно с точностью до множителя, если представление неприводимо. Следовательно, в этом случае

{%,力=归(％, g),

где k отрицательно (действительно, если алгебра X компактна и полупроста, то, как мы видели выше, форма Киллинга ——Картана является отрицательно определенной) .Следовательно, если алгебра X полупроста, то скалярное произведение {х, у} определяется однозначно (с точностью до множителя) на каждой простой компоненте в X.

Теперь мы можем поставить задачу о дальнейшей классификации компактных алгебр Ли. Как отмечалось в начале главы, вместо этой задачи естественно рассматривать задачу о классификации всех полупростых (или даже простых) комплексных алгебр Ли. К решению этой задачи мы теперь переходим.

Упражнение

Показать, что алгебра X является компактной тогда и только тогда, когда при некотором выборе базиса структурные константы с，, кососимметричны по всем трем индексам it jt k ~ 1, 2, ..., n

Подалгебры Картана

Решающим шагом в нашем построении является диагонализация некоторого семейства операторов Dx для полупростой комплексной алгебры X. Введем вначале следующее.

Определение 2. Пусть X—полупростая алгебра Ли и "о ——регулярный элемент ) в этой алгебре. Пусть Я—максимальная коммутативная подалгебра, содержащая Ло- Алгебра Я называется картановской подалгеброй в алгебре X.

Теорема 1. Если X — полупростая комплексная алгебра Ли и Н ——ее картановская подалгебра, то все операторы 。九，力三"，одновременно диагонализуются в некотором базисе алгебры X.

Доказательство. Рассмотрим разложение Фиттинга алгебры X по отношению к подалгебре Я:

Х = Х°+ 2 Ха, "их。， а 0

где Хд — корневое подпространство, на котором все операторы Dh,力 巨 "，одновременно приводятся к треугольной форме с единственным собственным значением на- диагонали, равным Положим

^А ~ ^Л + Nh

где Ah ——диагональная часть оператора 0九(Ahx = а(Л)х для всякого Xj Заметим, что для всякой пары векторов %wXa, ^三猫 имеет место равенство

Ah [居 у] = [4% у] + [居 Ahy].

Следовательно, Ah является дифференцированием на всей алгебре X. Согласно теореме 6 (§ 87) это дифференцирование является внутренним, т. е. Ah = Dz при некотором awX. Поскольку Dz коммутирует с Dx, %三〃 (это вытекает непосредственно из определения 4九)，и

поскольку представление Dx является точным, то 之 коммутирует с 〃 в алгебре X. Следовательно,之三 〃 ввиду максимальности ". Элемент 之一h имеет только нулевые корни. Следовательно,

(х,之一/г) = sp DxDz_fl =》/гиа (x)a Q — /г) = О

для каждого 工三". (Здесь па — dim Ха.) Следовательно, г — /г = 0. Отсюда в свою очередь 汽九=0, и операторы Dh одновременно диагонализуются. Теорема доказана.

Замечание. Если бы мы предполагали дополнительно, что X — комплексная оболочка компактной алгебры Ли, то утверждение теоремы 1 можно было бы получить из унитарности присоединенного представления в X для компактной группы Gх, построенной в §90).-

В дальнейшем мы будем постоянно иметь дело с разложением Фиттинга в алгебре X по отношению к кар- тановской подалгебре Я. Заметим, что ввиду теоремы 1 операторы Dh обращаются в нуль на подпространстве X» Следовательно,[瓦 х()] = 0 для всех h 三 Н、尤。三 X» Следовательно, Н = XG ввиду максимальности алгебры Н. Разложение Фиттинга мы будем теперь записывать в виде

Х = Н+ 2 凡.(*)

a户0

Докажем, что полученное разложение обладает следующими замечательными свойствами:

1° Если |3 #—а, то Хд 丄 Х|з.

2° Форма Шиллинга — Квартана невырождена на паре (Х", X。).

Для доказательства этих утверждений достаточно напомнить соотношение [Х^, X』и Х», доказанное в § 86. Следовательно, О«Х入 иХ%+а， если х е Ха. Следовательно, также

DxDyXK и X 九+а+|3，

если х 三 Ха， у 三 Хр. Если В + а ¥= 0, то все диагональные блоки оператора DxDy нулевые (по отношению

к разложению (-^)). Следовательно, в этом случае (х, у) — sp DxDy — 0, и 1° доказано.

Свойство 2° непосредственно, вытекает из 1° и невырожденности формы Киллинга — Картана на паре (X, X). Действительно, если вектор хмХ^ ортогонален к Х—а，то согласно 1° он ортогонален ко всей алгебре X, откуда следует, что % = 0. Согласно известным результатам линейной алгебры из свойства 2° мы получаем также следующее утверждение:

3°. Пространства Х«, Х—& имеют одинаковую размерность.

Следовательно, вместе с корнем а обязательно встречается также корень —а, причем оба эти корня встречаются с одинаковой кратностью.

Из результатов 1° и 2° мы заключаем также, что алгебра % = 〃 ортогональна ко всем подпространствам Х& a W 0, и форма Киллинга — Картана невырождена в Н.

Поскольку система корней допускает симметрию по отношению к замене а на ——а, нам будет удобно выделить среди этих корней «положительные» и «отрицательные». Для этого выберем в Н произвольный вещественный базис и положим •

a(/i) = +0С2/2 +…+ ссщбп,

где т/2 ——комплексная размерность 〃 и 厶，必 乙八 —— вещественные координаты элемента h 三 Н. Назовем корень а положительным, а > 0, если первая из ненулевых координат ai,々2, ..., am положительна. Соответственно мы считаем, что а > р, если а — р > 0. Следовательно, мы ввели в систему корней лексикографическое упорядочение. В результате

Х = Х_+ 〃 + х+,

где Х _(Х+)—прямая сумма всех корневых подпространств Х«, для которых а < 0 (а > 0). Подпространство Н ~ Xq соответствует нулевому корню.

П р и м ер. X == gl(n, С), Докажите, что элемент 力。 является регулярным тогда и только тогда, когда все

его собственные значения различны *). Следовательно, йо диагонализуется в некотором базисе и Н состоит из всех матриц, диагональных в этом базисе. Положим

Х = Х- + " + Х+,

где Х_(Х+)—совокупность всех нижних (верхних) треугольных матриц с нулевыми элементами на диагонали. Пусть е^ — стандартный базисный элемент в алгебре X; тогда мы имеем

也e订]=(儿一九了)e"，

где 脑——собственные значения матрицы й. Следовательно, всякий ненулевой корень имеет вид 仪订=无一九力 ，* j, и соответствующее корневое подпространство одномерно. Запишем всякий корень в виде а (Л)=々1储 + + 々2^2+ …・ + ап九п； тогда коэффициенты а» являются целыми числами (= 0, ± 1) и мы имеем

az/ < 0, если z > /, aif >0, если Kj.

Следовательно, указанное выше разложение совпадает с тем стандартным разложением, которым мы постоянно пользовались при изучении алгебры gl (п, С). Налагая дополнительное условие sp х = 0, мы получаем тот же результат для X = si (м, С).

Заметим теперь, что если X = si (n, С), то [X, X] = X, и алгебра X является полупростой. (Действительно, [Х,Х] содержит все элементы е订=а~' [А, е“],力方 /, а следовательно, и элементы е^ — е万= [&),'J) Кроме того, представление 又 неприводимо, т. е. алгебра X является простой. Сопоставляя этот пример с общим

*) Достаточно проверить, что если hi =入》& + &/, i = 1, 2,... ..., т — жордановы клетки оператора Л с проекторами е,» то спектр оператора h содержит собственное значение 九》—% с кратностью Jiifijt 几在=dim £好 Формула

乂 = N 底+ 2 nini奄Н 1 %j=入/

определяет суммарную кратность нулевого собственного значения оператора h. Эта сумма минпмизируется только в том случае, когда ли = п2 H ••■ = п„._ = 1 (откуда п = т) и 左户% для всех значений (,/ == 1, 2, ..., гл.

построением данного параграфа, мы отметим следующую специфику этого частного случая:

Все ненулевые корни различны, т. е. соответствующие корневые подпространства одномерны.

Корни со； = аг-, i+i, i = 1, 2, ..., п — 1, порождают путем сложения все остальные положительные корни &仃.

Корневые векторы е； = &, Z = 1, 2, п——1, порождают при коммутировании всю алгебру Х+・

Важно заметить также, что корни а：； имеют целые координаты относительно некоторого базиса. В следующем параграфе мы исследуем аналогичные вопросы в общем случае.

§ 92. Базис Картана — Вейля

Если выбрать базис в алгебре Н и корневых подпространствах Ха， а W 0, то мы получим базис во всей алгебре X. Найдем соотношения коммутации между элементами этого базиса. Прежде всего докажем, что имеет место.

Теорема 2. Пусть X ——полупростая комплексная алгебра Ли. Тогда-.

1° Все корневые подпространства Х^, а ¥= 0, одномерны.

2° Линейная оболочка 0 трех векторов crX^, f^X—^, k = [сJ], (сJ) ¥= 0, образует в алгебре X трехмерную подалгебру, изоморфную si (2).

3° Если нормировать векторы е, / условием (е, /)=1, то а (/г)=(幺力)для всякого h 三 Н.

Доказательство. Поскольку форма Киллинга — Картана невырождена на паре (X© X—J то существует пара векторов емХ^, 仪，для которых (e,f)石 0. Нормируем эти векторы условием (е, /) = 1 и положим

也=® f]・

Докажем, что /г ¥= 0. Для этого рассмотрим произвольный элемент h Н и заметим, что (в силу теоремы 1) [h, е] = а (/г) е. Следовательно,

(九 k)=(力，0 J)= -(0人 f) = a (力)(q f) = a (初

Поскольку корень а ненулевой, то существует вектор hwH, для которого а(Е) #= 0. Следовательно,々 #= 0. Далее, в силу теоремы 1 векторы е, f являются собственными относительно &:

肉 е] = “， [k, f]= - J,

где 卩=а依)一значение корня а на векторе k. Если ц = 0, то согласно общей формуле, полученной в конце § 86, мы имеем 入(归)=0 для каждого корня 入.Отсюда, как и на стр. 394, следовало бы, что 々=0. В результате |i ¥= 0. Полагая

еkf

Mf/2'° f加/2'

получаем, как легко проверить, закон коммутации в алгебре si (2). Следовательно, алгебра 8 = ｛伉力々｝ изоморфна si (2). Далее, рассмотрим линейное пространство

2=8 + Ха + Х2а + Хза+ ...,

где X： — дополнение в X® к направлению вектора е w Xq Подпространство Z инвариантно относительно k, и след оператора k в этом подпространстве есть М% + 4а + /а+ •••)， гДе % = dimX；, n(3 = dimX₽. С другой стороны, след коммутатора равен нулю, откуда п^ = п2а = п3а = =0. В частности,

dim 猫=1,

и если а #= 0 является корнем, то 2а, За, ... уже не являются корнями алгебры X. Теорема доказана.

Замечание 1. ГТомнмо утверждений, включенных в формулировку теоремы, мы доказали еще следующее утверждение:

4° Единственными кратными корня а в алгебре X являются корни 0, ±а. Если а #= 0, то (а, а) ¥= 0.

Следствие. В алгебре X существует базис из элементов hwHu корневых векторов е«, а * °, 2。。^а —— произвольный ненулевой вектор из

Полученный базис называется базисом Картана — Вейля. В нем мы можем непосредственно выписать все соотношения коммутации. Коммутатор 々《 = [^а> е-а], для

416 гл. xtv. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТЙВНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ которого имеет место тождество а (А)=(儿々&)，мы условимся отождествлять с корнем а и обозначим тем же символом а. Тогда имеем

[%, е—а] = а, [Л, %] = (А, а) %,[%,气]~ "a6分十г

Последнее равенство вытекает из общего правила коммутации между Х&, Xg с учетом одномерности Xa+g. При этом, разумеется, N&* = 0, если а + р не является корнем. Для окончательного описания законов коммутации достаточно найти коэффициенты N&b・ Мы докажем пока только следующее утверждение:

5° Если а + 6 является корнем, то %&0 W。・

Для доказательства достаточно заметить, что N^ является матричным элементом трехчленной алгебры 0 = {j, а, %}• Точнее, пусть р и g — минимальное и максимальное из целых чисел 几,для которых 0 + /га является корнем, и У — линейная оболочка корневых векторов eg+s pW〃Wq. Тогда подпространство У инвариантно относительно От, х 三 0, и вектор ер+па является собственным вектором относительно 力& с собственным значением (р, а) +«(а, а). Заменяя, как при доказательстве теоремы 2, а на е0 = а/(а, а), получаем цепочку собственных значений вида c + 几，р《n《q, с = =(3, «)/(а, а). Согласно теории представлений алгебры si(2) это возможно только в том случае, когда такая цепочка симметрична относительно нуля и представление в пространстве У неприводимо. При этом все веса с -\- п должны встречаться без пропусков и «повышающий» оператор 3« должен быть отличен от нуля на каждом весовом базисном векторе, за исключением старшего. Поскольку З^ев = "абСа+в， мы получаем нужное утверждение..

Замечание 2. Отметим некоторые свойства сим， метрии коэффициентов N通 Прежде всего 心= —N^ за счет антисимметричности коммутатора 瓦，關.Далее, пусть а, В，у — ненулевые корни, для которых а + 0 + у= =0; тогда из тождества Якоби для элементов еа, % находим

%0渺 + %YCtP + "apY = °・

С другой стороны, а + 6 + у = 0, т. е. корни а, 6，у лежат в пересечении двух плоскостей. Если эти плоскости не совпадают, то корни а, р, у коллинеарны, откуда ввиду условия a + 6 + 丫 = 0 н свойства 4° заключаем, что хотя бы один из корней обращается в нуль. Поскольку этот случай исключен, то N做=2丫々="аВ・

Замечание 3. Из свойства симметрии для цепочки с + /2, построенной при доказательстве утверждения 5°, заключаем, в частности, что с + р = —-(с + д), т. е.

(*)(*)2 (а, В)

(*)

(*)

Здесь р и q—- минимальное и максимальное из целых чисел, для которых р + па является корнем. Мы существенно воспользуемся этим замечанием в дальнейшем.

§ 93. Простые корни

Пусть г ——размерность картановской подалгебры Я. Как следует из определения этой подалгебры, число г является инвариантной характеристикой алгебры X (не зависящей от выбора Я). Это число называется рангом алгебры X. Покажем вначале, что имеет место следующее утверждение:

1° Среди корней подалгебры Я имеется ровно г линейно независимых.

Действительно, если w 丄 а для всех значений а и w 三〃，то a(w) = (а, г) = 0 для всякого корня а, откуда (г, h) =0, % 三"，т. е. г = 0 (поскольку форма Киллинга—Картана невырождена на подалгебре Н). Следовательно, линейная оболочка всех корней а三〃 совпадает со всей алгеброй Я.

Исследуем несколько подробнее геометрические свойства системы корней.

2° Пусть Но ——вещественная линейная оболочка системы всех корней. Тогда форма Шиллинга ——Картана является (строго) положительно определенной на "° и (а, Р) рационально для каждой пары корней а, р.

Действительно, если а 关 0, то 仪=[?8，？一江]и скалярный квадрат элемента а может быть вычислен по

общему правилу, указанному в конце § 86:

(а, а) = sp С% = р2 (а, а)2.

Здесь в правой части этого равенства скалярное произведение (а, а) рассматривается как значение линейной формы а на векторе awH. Поскольку (а, а) ¥^ 0, то мы имеем

(а, а) = ^->0.

Следовательно, (а, а) есть положительное рациональное число. Далее, если [3 — корень, то (|3, а) =|3(а) = = г・а(а) =г(а,а), где г — рациональное число (см. конец § 86). Следовательно, значение (а,р) является рациональным для каждой пары корней а, |3. Отсюда также заключаем, что форма Каллинга ——Картана является вещественной на Но, Наконец, если хе Н^, то мы имеем

(х,尤)= spQ； =』(ct,尤)2》0.а

Равенство (х, х) =0 возможно только при х = 0. Следовательно, форма Каллинга ——Картана является {строго) положительно определенной на HQ.

Введем теперь следующее

Определение 3. Положительный корень(о называется простым, если его невозможно представить в виде суммы двух положительных корней.

Теорема 3. Простые корни образуют базис в кар- таковской подалгебре И, Всякий корень а однозначно

записывается в виде 2 ^гСОг, ede ①^ 一 простые корни “ 俏£ ——целые числа одинакового знака.

Доказательство. Если а — положительный корень, то возможность его представления в виде суммы простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами очевидна. Действительно, если корень а не простой, то а = р + у, где |3 и у — положительные корни, причем, очевидно, |3 < а, у < а (относительно лексикографической упорядоченности в Н). Следовательно, наше утверждение доказывается путем конечной индук-

ции. Остается проверить, что простые корни линейно независимы.

Согласно замечанию, сделанному в конце § 92, для каждой пары корней а,卩 имеет место следующая фор-

где р и q — минимальное и максимальное из целых чисел п, для которых р + па является корнем. Допустим, в частности, что а, В — простые корнн. Тогда нх разность В — а = у не может быть ни положительным, ни отрицательным корнем (в противном случае один из данных корней оказался бы непростым). Следовательно, в этом случае 卩=0 н мы получаем

(а, Р)= - у (а, а)《0.

Следовательно, если соь со2> …，з『一 простые корни, то их попарные скалярные произведения либо равны нулю, либо отрицательны. Рассмотрим теперь произвольное линейное соотношение между этими корнями:

九‘例=0.

Здесь 九'一произвольные комплексные числа. Умножая скалярно на <о；, получаем систему числовых уравнений для определения коэффициентов АЛ

# (例，(Оу) = 0.

Поскольку матрица этой системы действительна, то вместе с числами А/ числа Re Х\ Im 九'также являются решениями этой системы. Следовательно, можем рассматривать только решения в классе действительных чисел. Запишем исходное уравнение в виде

。‘包=b's:,

где числа 办，加 неотрицательны и корни, входящие слева и справа с ненулевыми коэффициентами, различны. Пусть % — общее значение обеих частей этого уравнения, Поскольку х 三 ％, то мы имеем (%, х) > 0,

С другой стороны, (g, д)《0 при i К/,出力》0, а^Ь» = 0, откуда имеем

(х,尤)=出勿(g, 3j)《0.

В результате 尤=0. Поскольку о% > 0, заключаем отсюда, что а'=匕‘ =0. Следовательно, наша система допускает только нулевые решения. Теорема доказана.

Специально отметим важное геометрическое свойство простых корней, полученное при доказательстве этой теоремы:

3° Все простые корни алгебры X расположены в вещественном евклидовом пространстве 儿 попарно под прямым или тупым углом-, (а, 0)《О при а К 0.

Для всех элементов из HQ и, в частности, для всех корней понятие лексикографической упорядоченности можно рассматривать по отношению к базису g, i = 1, 2, ..., г ).

4° Всякий положительный корень либо является простым, либо может быть представлен в виде суммы положительного 〃 простого корней.

Действительно, пусть В ——положительный корень, р = 2 ^г^й 加£》0. Если (0,д)《О для всех простых

корней д, то 偉，Р) = 2 mi (Р» °\) & 0， откуда р = 0.

г = 1

Следовательно, если р не простой корень, то (р, а) > 0 хотя бы для одного простого корня а = зз Тогда из равенства 卜注)§ 92 находим, что р -^ q <0. Поскольку q не может быть отрицательно, то р < 0. Следовательно, вектор Y=(3 ——сог- является корнем. Так как корень з? простой, то корень 丫 не может быть отрицательным. Следовательно, 0 = 丫 + з?・,Y〉0.

5° Если известна система П всех простых корней, то по ней однозначно может быть восстановлена система А всех ненулевых корней алгебры X.

Действительно, рассмотрим вначале систему А+ всех положительных корней. Запишем всякий корень aw А*

в виде а = £ 加问 и назовем число m = 2 т/ поряд- ^=1г=1'

ком этого корня. Множество всех корней порядка 1 совпадает с системой П. Пусть Пт—множество всех корней порядка т. Если система Пт уже описана, то для описания П切+1 достаточно, согласно свойству 4°, перечислить все пары 0 三 Пт, а = 皿 三 II, для которых вектор у = В + а является корнем. Отбросим тривиальный случай В = а. Тогда мы имеем 0= X m/со； + mzcoz, где хотя бы одно из чисел 也 положительно. Следовательно, вектор 6 + ла является корнем только при 团》+ 几》0. Если 〃М0, то корень 0 + ла имеет порядок т + п^.т, и такие корни нам уже известны. Следовательно, нам известно число р = min (/2), где min берется по тем значениям п, для которых В + 〃а является корнем. Тогда из равенства (*) § 92 находим q = max(/i). Вектор р + а является корнем только при q》L

§ 94. Структурная матрица Картана

Пусть П = {coi, со2, • • •, сог}——система простых корней алгебры X. Множество целых чисел

2(吗，〜),、

несет в себе информацию о геометрии системы П. Матрица с = ||q/| называется структурной матрицей Картана.

Теорема 4. Если две полупростые комплексные алгебры Ли имеют одну и ту же структурную матрицу Картана, то они изоморфны.

Доказательство. Пусть X, У—две полупростые комплексные алгебры Ли. Из совпадения структурных матриц Картана следует, в частности, что эти алгебры имеют одинаковый ранг. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между подсистемами простых корней в X и У. Заметим, что знание чисел (■：：■) позволяет определить длины векторов s? с точностью до общего множителя 九 > 0. Далее, согласно свойству 5° из

предыдущего параграфа существует также взаимно однозначное соответствие между системами корней в X и У. Очевидно, это соответствие является изометрией с точностью до множителя 九.Пусть а, р ——произвольные корни алгебры X. Тогда имеем

（а”） = sp DaD^ =鼻（а, 丫） （丫，0）.

Такое же соотношение должно выполняться для алгебры У. Нетрудно видеть, что это возможно только при 九=1. Теперь мы попросту можем отождествить системы корней в X и У. Используя базис Картана — Вейля, заключаем, что X н У изоморфны как линейные пространства. Далее, условимся, что корневые векторы с。三 X, fa 三 У нормированы одним и тем же соотношением （ea, e-a） = （fa，f-a） = 1； тогда [ea, e_J = [fa> f_a] = a, и остается исследовать соотношения коммутации вида [%,СВ]=熊8%+8、[九，九尸僞就十于

Покажем, что за счет перенормировки базиса fa можно добиться выполнения равенства N嗚=N/ для всех а, В 三 А. Заметим, что множество А вполне упорядочено. Введем обозначение Др для множества всех ненулевых корней а, для которых ——р < а < р, р 三 А+. Если корень о непосредственно следует за р, то мы имеем

Ао = {— р}+ Ар + {р}・

Следовательно, в нашем распоряжении имеется возможность конечной индукции по возрастающему индексу р. Допустим, что равенство 乂廿=解廿 уже доказано для всех корней а, р таких, что а,匡 a + В 三 Ар. Добавляя корень р, мы приходим к рассмотрению троек a, р, а 4- р Да, у которых хотя бы один из элементов совпадает с ±р. Полагая а + § = —у, приходим к рассмотрению троек a, р, у Да, а 4- р 4- у = 0, у которых хотя бы один из элементов совпадает с 士р. Ясно, что этим свойством может обладать лишь один из элементов а, р, у. Рассмотрим отдельно следующие возможные случаи.

Корень р невозможно представить в виде суммы a + В，а, р ^ Ар. В этом случае корень р вообще невозможно представить в виде суммы двух по*

ложительных корней (т. е. он является простым), и для векторов f_p, % мы выбираем произвольную нормировку с учетом равенства (/р, /_р) = 1.

Существует единственная пара векторов а, р ^ Др, для которых а + р = р. Ввиду соотношений симметрии %аВ = ”By = ПРИ Y = —Р，доказанных в § 92, мы можем ограничиться рассмотрением констант Na% %；『Вычисляя коммутатор [fa, fp], мы нормируем вектор % так, чтобы выполнялось равенство

卄а，/0】=^ар/р*

Следовательно, в этом случае Na§ = N/ Нормируем теперь f_p, исходя из условия (fp, f_р) = 1, и покажем, что при этом выполняется также равенство N_口, -в = %—а, -р- Для этого заметим, что

1^—а> [^а> ?|3〕] ~ "ар"—а, — 丫气=—"ав^—а, ―口气，

где ——丫 = а + 仇 Действительно, в силу условия а + § + + у = 0 мы имеем -y = "-В,-а = —"-а,-В・ Разделим обе части этого равенства на (а, а)/2; тогда элементы с” ％ мы можем заменить нормированными элементами е_, е+, введенными при доказательстве теоремы 2. Тогда полученное равенство запишется в виде 2_C+f = 九力 где f = е^. Собственное значение 九 не зависит от нормировки вектора f и определяется только законами представлений трехчленной алгебры si (2). Следовательно,

N“rN—а,= N/N’—l -у

и отсюда вытекает наше утверждение, В результате получаем равенства Na§ = Ng, N_a, -р = Л^_а, -р

Наряду с рассмотренной парой корней а, р су ще ствует также другая пара о/, &, для которой а' + 6' = р, с/, 6'wAp. Нормировку векторов f_p, % производим, как и выше (по отношению к паре а, р). Положим у = —а', 6 =—兴 Тогда а + § + + Y + 6 = 0, и ни одна из попарных сумм этих корней не обращается в нуль. Применяя тождество Якоби к

элементам %，。仇。山 легко получаем равенство

N ар^уб + ' §、'аЬ + "yaNgb = О

Такое же равенство должно иметь место для N^, N\§, … Заметим, что р + у, а + 6, у + а， Р + 6 е Др. Следовательно, в последних двух членах получаемой суммы штрихи можно опустить. В результате А%зМ，б = МфМ‘б (напомним, что Na§ = N’Q, и отсюда N『=N気.Аналогично, N7、-6 =『£ -д.

Теорема доказана.

Следствие. Всякий автоморфизм ^:) подалгебры //, сохраняющий систему корней, может быть продолжен до автоморфизма всей алгебры X, т. е. до линейного отображения /(%), при котором [/(%), f(y)] = / ([%, i/]).

Замечание 1. Пусть М = || (сс, р) || — матрица скалярных произведений всех корней а, р е А. Как мы видели при доказательстве теоремы 4,

М = MfM,

где штрих означает транспонирование (и также Л1 — Л12, поскольку А4 = Л4‘). Поскольку М вещественно, то отсюда вытекает, что матрица М является положительно определенной.

Замечание 2. Применим следствие из теоремы 4 к автоморфизму /(〃)=——h в алгебре Н. Пусть f(x)—— продолжение этого автоморфизма на алгебру X; тогда, очевидно, /(eq) = £口0_口. Поскольку форма Киллинга — Картана должна сохраняться при автоморфизме, то мы имеем

(f (ej f (С—а))= (Са, С—)

откуда @с_а = L Полагая еа= Vсаёа, получаем новые корневые векторы Q, для которых /(еа) = е_а. Следовательно, векторы % можно с самого начала считать нормированными так, чтобы отображение

а-*—а, 6口 —с。

определяло автоморфизм всей алгебры X. Иначе говоря, при указанном выборе базиса мы имеем N矶=N一必一® Полагая еа = / ]/^备，мы можем также добиться выполнения равенства Na^ =—汽一色一伊

Замечание 3. При доказательстве теоремы 4 мы видели, что N3_§ =-九-(警),где к — собственное значение оператора 6_@+ на векторе ер. Обращаясь к теории представлений алгебры si (2), легко находим, что 九=(/ ——v) (/ + v + 1), где / = v + g = — (v + p)——старший вес неприводимого представления si (2) в базисе ер+^а, р《n《q. Следовательно,

%= --—f — (а, а),

если условиться считать, как выше, что ^ap = —N-a； _р. Поскольку рМО, д》0, то мы заключаем, что N^ ^ О, т. е. 2^0 — рациональное вещественное число. Известно также ([145]), что при некоторой нормировке базиса все константы Мв могут быть сделаны целыми *).

§ 95. Простые комплексные алгебры Ли

Резюмируем вначале результаты проведенного исследования.

Теорема 5. Во всякой полупростой комплексной алгебре X существует базис из элементов 储・，еа, где элементы 坛，i= 1, 2, ..., г, порождают максимальную коммутативную подалгебру Н 〃 остальные соотношения коммутации имеют вид

仇，е』= (力，а)е(”

[%, С—(J = а, [%, %] = Л^а^а+р*

Здесь индексы а {корни алгебры X) отождествляются с векторами aw", для которых а(А) = (А, а), 〃 А пробегает Я. /в#。тогда 〃 только тогда, когда а + р является корнем. Базисные векторы еа можно нормировать так, чтобы константы “。8 были вещественными.

Далее, пусть П = {on,(02,..., з/ — система всех простых корней алгебры X. Простые корни образуют базис 冃 картановской подалгебре Н. Система П определяет алгебру X с точностью до автоморфизма.

Перечислим также некоторые дополнительные свойства алгебры X, не включенные в теорему 5.

1° Алгебра X может быть представлена 8 виде прямой суммы

Х = Х_+〃 + Х+,

где Х_, Х+ ——нильпотентные подалгебры в X, натянутые соответственно на корневые векторы, %, а < О, а > 0.

Действительно, [е“ [е%,..., [еап_еаД ...]] = 0 при некотором п, если все корни аь а2> ..., ап отрицательны или все положительны. Следовательно, Х_ и X* нильпотентны.

2°. Мс兄ка" корень а однозначно представляется в виде 士 ш^ь где 团三——целые числа одинакового знака.

£ = 1

Если а — корень, то (а, а) > 0.

Далее, напомним, что картановская подалгебра Н определялась нами как максимальная коммутативная подалгебра, содержащая регулярный элемент й0. Однако теперь нетрудно получить другую характеристику этой подалгебры, более удобную для приложений:

3° Картановская подалгебра Н может быть охарактеризована как максимальная коммутативная подалгебра в X, все преобразования которой (Dhx = [й, х]) в алгебре X диагонализуются.

Действительно, если алгебра Н обладает указанными свойствами, то для нее возможно повторить построение базиса Картана ——Вейля, Пусть 力о w " обладает тем свойством, что (力，д)*0 при i = 1, 2,…，г (очевидно, такой элемент существует). Тогда нетрудно видеть, что 力0 регулярен, т. е. Н является картановской подалгеброй.

4° Если алгебра X проста, то для каждого ее линейного представления р(х) мы имеем

(% 外=Ср Sp р (х) Р (д),

где (х, у) = sp DxDy — билинейная форма Шиллинга — Картина и коэффициент ср не зависит от х, у ^ X.

Действительно, билинейная форма /(х, у)= = spp(x)p(y) обладает свойством ,(%х，У)+ f(% 力励= =0. Поскольку алгебра X проста, то ее присоединенное представление неприводимо. Отсюда в силу леммы Шура следует, что форма f(x, у) определяется однозначно с точностью до множителя. Следовательно, / (х, у) = ^ (х, у), и мы полагаем с = ср.

Рассмотрим, наконец, систему П всех простых корней алгебры X. Скажем, что система П распадается, если И = IT U 口"，где корни подсистемы IT ортогональны корням подсистемы П". В качестве несложного упражнения предлагается доказать следующее свойство, выделяющее класс простых комплексных алгебр Ли:

5° Алгебра X является простой тогда и только тогда, когда система П не распадается.

Рассмотрим теперь структурную матрицу Картана: Qj = 2(s,⑴j)/(g, coj, где g, ，= 1, 2,…，г, — простые корни алгебры X. Заметим, что

4((о.,(о.)2=％)(3/$)=4cos2 8",

где 0,；——угол между векторами з^ со； (которые рассматриваются в вещественном евклидовом пространстве "о с базисом 电，》= 1, 2,…，г). Поскольку числа Q? являются целыми, то мы заключаем, что

ctjcji = 0, 1, 2, 3

либо CijCji =4, но тогда cos2 01； = 1, т. е.⑨=g. Условимся каждый корень символически изображать кружочком. Если g, g — два различных простых корня, то соответствующие два кружочка мы соединяем одним, двумя или тремя отрезками прямой линии в зависимости от числа 孔订=CijCji；

о°2)匸

Если 孔仃 = 0, то кружочки вообще не соединяются. В этом случае cos 0<； = 0, т. е.①？丄①力 В случаях 1), 2), 3) мы имеем соответственно 8订=120°, 135°, 150°. Действительно, угол между простыми корнями должен быть тупым.

Полученный способ чрезвычайно удобен для символического изображения структурной матрицы Картана. Этот способ был предложен Е. Б. Д ы н к и н ы м [77]. Если все простые корни алгебры изобразить графически указанным способом, то в результате возникает конечная схема, называемая схемой Дынкина.

Поскольку ортогональные корни не связываются линией, то мы получаем наглядную характеристику простых алгебр Ли. Алгебра X является простой тогда и только тогда, когда ее схема Дынкина не распадается на две подсхемы. В этом случае каждые два кружочка соединяются между собой хотя бы одной ломаной линией, состоящей из отрезков схемы. Такая схема называется связной.

Для классификации всех простых комплексных алгебр Ли достаточно теперь перечислить всевозможные связные схемы Дынкина в r-мерном евклидовом пространстве. Мы не станем заниматься решением этой задачи. См. по этому поводу [128]. Ограничимся иллюстрацией полученных результатов на примере классических алгебр Ли.

Пример 1. Алгебра si (^). Мы видели в § 91, что корнями этой алгебры являются линейные формы

a订(力)=((4 一e力，力)=儿一九,,

где ^f — (0, ..,, 0, 1, 0, .,., 0) с единицей на i-м месте и скобка (х,у) означает скалярное произведение в евклидовом пространстве Еп размерности п. Следовательно, векторы a?j = е?——е^ мы можем отождествить с корнями si (п). Корень а?」 является положительным при I < / и отрицательным при / > /. Корни

电= i= 1, 2,n- 1,

являются простыми. Число 尸=几 ——1 является рангом алгебры sl(几).Воспользуемся теперь замечанием 4°, согласно которому вместо формы Киллинга ——Картана

в Н мы можем рассматривать скалярное произведение в Еп. 11етрудно видеть, что 9Л = 120° и 日仃=90° во всех остальных случаях. Следовательно, схема Дынки- на в данном случае имеет вид

Г~~ /

Единицы, стоящие под кружочками, указывают относительную длину (относительно некоторого масштаба) всех простых векторов он, «2,(оп_ь Действительно, все эти векторы имеют одинаковую длину.

Пример 2. Алгебра so(m). Вместо суммы квадратов нам будет удобно рассматривать в Еп квадратичную форму (sx, х), где скобка означает обычное скалярное произведение и

Тогда элементы из X = so(m) выделяются условием s%'s = —х, т. е. являются кососимметричнылти относительно второй диагонали. Положим 几=2у или 几= 2v+l в зависимости от четности или нечетности размерности /2 и условимся, что базис нумеруется целыми числами —V,—胃 + 1,v, причем индекс 0 пропускается, если п четно. Тогда транспонирование 兄=sx's относительно второй диагонали задается формулой 冗尸-- =%т,т для матрицы х = I民仃仙，_/=一，…，屮 Элементы

，订=e订一ё7, T， j< -

где &仃一стандартный базис в классе матриц 几 X 几，образуют базис в алгебре X. Далее, пусть 〃 ——совокупность всех диагональных матриц из X. Полагая

% = W 九_改赤，замечаем, что 九》=—九—е в силу условия j = — V

кососимметричности; следовательно, также /г = £ ^ihif г н 1

где hi = f-it _{ и собственные значения 九厶 i = 1, 2,... v, независимы. Имеем

仇，力/]=(%一九/)%/•

Следовательно, вектор f灯 является собственным вектором относительно оператора й = Dh. Если j =А 八 / >—i, то линейные формы 。仃(左)=斯——九方 не обращаются тождественно в нуль и попарно различны. Отсюда заключаем, что алгебра Н является максимальной коммутативной подалгеброй в X. Согласно 3° алгебра 〃 является картановской подалгеброй в X.

Для вложения корней в картановскую подалгебру Н достаточно выразить все корни*) через значения Х<,九j с положительными индексами i, / = 1, 2, ..., v. При этом мы имеем а仃 =储一九方=((由一内)，力)， i < /; «г, -j =儿 + 九j =((由 + 修)，h), go = 3 = (%, h). Следовательно, корни разбиваются на следующие подгруппы:

3订=々一内，i</；0订=马 + 匕， i, /= 1, 2, v;

包。=先，‘==1, 2, V

(последнее в случае, когда имеется индекс 0). Согласно замечанию 4° мы можем вместо билинейной формы Кил- линга ——Картана в Н воспользоваться обычным скалярным произведением в % Если п нечетно, то простыми корнями ЯВЛЯЮТСЯ корни G), = St, f+i, i = 1, 2, ..., v — 1, cov = gm. В этом случае схема Дынкина имеет вид

N N 22 Z 1

Если п четно, то в качестве простых корней мы выбираем G), = (й^ 计 1, 1 = 1, 2, ..., V — 1, g)v = 0V. В результате получаем схему Дынкина

*) В силу соотношения —九一十=九式 здесь мы вписываем только положительные корни.

Из рассмотрения этих схем непосредственно очевидно, что алгебра so (/г), /г = 2v + 1, п = 2v, имеет ранг v и является полупростой при /г > 2. Если 〃 = 3, то схема Дынкина содержит единственный кружочек; отсюда снова получаем, что алгебра so (3) изоморфна sl(2)). Если 〃 = 4, то схема Дынкина распадается и so (4)〜si (2)㊉ si (2). Следовательно, алгебра so (4) не является простой. Если п > 4, то алгебра so(n) является простой.

Пример 3. Алгебра sp(〃). Эта алгебра состоит из всех комплексных матриц /г X 〃，кососимметрических относительно билинейной формы (sx, у) с матрицей

n = 2v.n = 2v.О

n = 2v.

n = 2v.

Полагая п = 2” н повторяя почти без изменения построения предыдущего примера, получаем схему Дынкина следующего вида:

§ 96. Вещественные формы полупростых комплексныхалгебр Ли

Прежде чем заканчивать классификацию, сделаем небольшое отступление. До сих пор мы рассматривали алгебры Ли только над полем комплексных чисел. Однако возможность комплексного продолжения позволяет свести вещественный случай к комплексному. Следовательно, для перечисления всех вещественных полупростых алгебр Ли достаточно найти все вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли.

Одна из таких вещественных форм определяется наиболее просто в базисе Картана ——Вейля. Действительно, мы видели в § 94, что при некоторой нормировке

этого базиса константы "«В становятся вещественными. Кроме того, (а,卩)вещественно для двух произвольных корней а, р. Следовательно, в данном базисе все структурные константы вещественны. Пусть 厶】 ——вещественная линейная оболочка векторов а, ^а, где а пробегает систему всех корней алгебры X. Тогда 厶i является алгеброй Ли над полем вещественных чисел. Поскольку dim/?厶]=dime X, алгебра 厶 i является вещественной формой алгебры X.

Однако в нашем распоряжении имеется еще один универсальный способ выделения вещественной формы. Идея этого способа состоит в аналогии с известным включением su(〃)u sl(〃)，Условимся нормировать базис Картана ——Вейля таким образом, чтобы константы МхВ подчинялись соотношению %。= —乂_«, -Р (см.

§ 94). Каждому вектору % = £ Qg + 士 ％% поставим в соответствие вектор

i = iа

Здесь сой / = 1, 2, …，г, — простые корни алгебры X и черта означает комплексное сопряжение. Операцию х назовем эрмитовым сопряжением в алгебре X. Как нетрудно проверить, [%, //]* = [//*, х*] и (Ах)* = Хх*, т. е. эрмитово сопряжение является «антиинволюцией» в алгебре X. Отсюда следует, что множество 厶о всех косоэрмитовых элементов (х* = ——х) из алгебры X является вещественной подалгеброй в алгебре X. Элементы

^^А1 »('а + С—а)，«а '—а，

где Z = Vе — 1,々=1, 2, …，г, а > 0, образуют веще

ственный базис в алгебре 厶о， Отсюда следует, что dim；?厶。=dime X, т. е. алгебра 厶о является вещественной формой в алгебре X.

Напомним, что "丄 е^， 《а 丄《В при а ¥=—卩 и (%,«_&)= L Положим

，а = jy (% 十 е-J Sa =汴.)(% - e_J

и выберем среди вещественных линейных комбинаций корней ⑴左 ортогональную систему элементов 九注，^ = 1, 2, . . ., г. Тогда элементы £耳注，必《， △« образуют ортогональную систему элементов, и норма каждого из этих элементов равняется ——1. Следовательно, форма Кнл- лннга ——Картана является отрицательно определенной на Lq .Отсюда заключаем, что алгебра L。 является компактной.

В результате мы находим, что имеет место следующая замечательная

Теорема 6. Любая редуктивная комплексная алгебра Ли содержит компактную вещественную форму.

Действительно, это верно для случая полупростых алгебр Ли, но также верно и для абелевых алгебр Ли (комплексных векторных пространств).

Следовательно, при комплексном продолжении компактных алгебр Ли мы получаем все комплексные ре・ дуктивные алгебры Ли.

Мы находим замечательное соответствие между классами компактных и комплексных редуктивных алгебр Ли. Алгебру L° мы будем называть компактной формой Вейля.

В заключение отметим (уже без доказательства), как можно получить классификацию всех вещественных редуктивных (главным образом простых или полупро- стых) алгебр Ли. Пусть X ——комплексная полупростая алгебра Ли и & — ее компактная форма Вейля. Пусть 0 ——произвольный автоморфизм этой формы:

0 (入％ + ну) = Z0x + 卩8//, 0 [х, у] = [0х, 8у]・

Автоморфизм 0 является инволютивным, если 02 = 1. Заметим, что всякий автоморфизм сохраняет форму Киллинга — Картана: (0х, By) = (%, у). Следовательно, 0 является ортогональным преобразованием в алгебре Lo. Из условия 02 = 1 следует, что 0 имеет только собственные значения ± 1. Следовательно, все линейное пространство L。 может быть представлено в виде прямой ортогональной суммы

где Aj(Л^~)— максимальное подпространство в Lo, на котором Ох = х (8х =——х). Изменяя обозначения, мы положим К = К, Р =辽鼠 В результате

Lo = К 十 /,

где пространство Р уже не содержится в 厶》Нетрудно видеть, что [К, К] и К, [К,尸]и Р, [Р, Р] и &. Следовательно, если положим

L = К + Р, то получим подалгебру L в алгебре X. Из вещественности структурных констант в 厶。следует также (ввиду указанных законов коммутации) вещественность структурных констант в алгебре L. Кроме того, dim& L = =dimcX. Следовательно, алгебра L является вещественной формой в алгебре X.

Оказывается, что таким путем могут быть получены все вещественные формы s алгебре X). Разложение L = К 屮 Р называется разложением Картана. Таким образом, знание 厶 и перечисление всех возможных инволютивных автоморфизмов в 厶。позволяют также перечислить все вещественные формы в X. См. по этому поводу, например, [96]. Более подробное исследование, включающее полную классификацию вещественных форм, содержится в работе Ф. Р. Г а н т м а х е р а [63].

Завершение классификации

Теперь мы вернемся к комплексному случаю. Как мы видели в § 95, задача классификации всех простых комплексных алгебр Ли свелась к задаче описания всех допустимых связных схем Дынкина. Такая задача решается путем несложной комбинаторики, которую за недостатком места мы не будем сейчас воспроизводить. См., например, [128], стр. 152—162 или [19], стр. 144— 152. Результатом является

Теорема 7. Всякая простая комплексная алгебра Ли определяется одной из следующих схем Дынкина:

ВпВп

Вп

Вп

При этом получаем все неизоморфные простые алгебры, если условимся считать, что %》1 для серии 〃:>2 для серии 8几,％》3 для серии Сп, %》4 для серии Dn.

Алгебра Ап есть алгебра Ли группы SL(% + 1). Алгебры 8n, Dn являются алгебрами Ли группы SO(m) при /и = 2% 十 1, пг = 2п соответственно. Алгебра Сп есть алгебра Ли группы Sp(2n). Все эти алгебры носят название классических.

Как видим, согласно теореме 7, кроме бесконечных серий Ап ——Dn классических простых алгебр Ли, существует еще лишь пять отдельных алгебр: Еб, £7, £e, F* G2. Эти алгебры носят название исключительных или особых алгебр Картана.

В книге [19] можно найти эффективное построение алгебр Ли &2,尸％ Еб и доказательство существования

&, Е8- Мы приведем лишь частичную инфрмацию об этих алгебрах ). Начнем с таблицы корней.

Тип

Корни

Простые корни

力п

е/ — е后 t,左=1, 2, ,,., n + I

G —改 + i，i = 1, 2，…，几

Вп

±е/, 土е『土e居 i,万=1,2,…・,〃

е/ — e? + i，i = 1, 2,.…，/г — 1; еп

以

±2e?, 土e《士e熊 j,々=1, 2, 一 .，к

е/ — e/+b z = I, 2, . .п ~ 1; 2еп

Dn

±е/土е左，z, G = 1, 2n

et — e/ + i, / — 1, 2, ..., n — I;

e也一]+ en

現

改一e熊 f,左=1, 2, . .. 6;

G — e/+i. i = 1, 2, ..., 5;

土於力；у (±e1±e2±e3±

I ,

万(一ё1 一ё2 一 ё3 +e4 +

±e4±e5±^6)± j|^

+ ?5 +。6)+ J^

/

拆一e務j,万=1, 2,.…7;

G — G + i, i = L 26;

I ,

歹(±ej ±e2±e3±e^±e5±e±

-白-& - M - G +

±ё7±ё8)

+e5 + ё6 +e7 +ё8)

4

±е/土e岳 f,万=1, 2,…，8;

勺一改+1, 2=1, 2,7;

万（±ё]±ё2±e3±土建士

万(一⑦一e2 — ё3 - ё4 +

士％±？7土08）

+ ?5 + ё6 +e7 + g)

匕

士先，土内±ё岳 /,々=1, 2, 3, 4;

当一电；？2 -ё3； ?3；

I ,、

彳(±白±02±ё3±％)

歹（一白一e2 +e3 + ej

g2

±ej, ± 1/3 次；

3, /3

1)^3

g；一万 0 + 一^-&

土 万%± -2~62:

亠3 мм

± 0°]± -3

Здесь с】, ？2, ..., еп ——ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства. В случаях Е6, Е7, Е8

на суммы, заключенные в круглых скобках, накладываются следующие ограничения. В случаях Еб,七7 такая скобка должна содержать одинаковое количество плюсов и минусов. В случае Eg количество плюсов (и минусов) должно быть четно. Отсюда путем несложного вычисления получаем число корней; если к этому числу добавить ранг, то получаем, очевидно, размерность данной алгебры. Результатом является следующая таблица：

Тип

Вп

Dn

斗

3

仇

Размерность

几(八+ 2)

/2 (2几 + 1)

/2 (2几 + 1)

/г (2п — 1)

78

133

248

52

J

14

В заключение рассмотрим все возможные простые алгебры ранга 2. Таких (неизоморфных) алгебр только 3 ——это zb, 82, G2. Вот их системы корней (см. рис. 6):

Рис. 6.Рис. 6.

Рис. 6.

Рис. 6.

Символы (01, со? указывают возможный выбор простых корней (относительно некоторой лексикографической упорядоченности). Заметим, что корни алгебры G2 могут быть также вложены в трехмерное пространство следующим образом: ег — 〃，，，应=1, 2, 3; ± (3勺一％)> где с。= Ci + е2 4- ?з. Отсюда, в частности, следует, что алгебра G2 содержит подалгебру, изоморфную А2.

Особый интерес представляют алгебры %? и G2. Алгебра А2 является алгеброй Ли в группе всех автомор-

физмов тела кватернионов (см. § 11). Алгебра G2 является ([19]) алгеброй Ли в группе всех автоморфизмов чисел Кэли ).

Существует несколько париантов определения компактной алгебры Ли; однако все эти определения близки друг другу. Так, в [128] рассматриваются только полупростые алгебры Ли и требуется, чтобы форма Киллинга — Картана была отрицательно определена. В книге [42] требуется, чтобы матрицы присоединенного представления образовывали компактную группу. Наше определение следует работе [38].

Классификация простых алгебр Ли над комплексным полем была начата Киллингом и завершена Э. К а р т а н о м [94]. Ряд существенных упрощений был внесен Г. Вейлем [61]. Окончательная классификация корневых систем принадлежит Б. <П. В а н - дерВар д е н у [60] и Е. Б. Д ы н к и н у [77]. В частности, Е. Б. Дынкин предложил общепринятую в настоящее время систему классификации в терминах простых корней. Теорема о вещественных формах была получена Э. Картавом. Доказательство, изложенное в тексте, принадлежит Г. Вейлю [61].

Теорема 7 является кульминацией картановской теории. Вместе с тем она принадлежит к числу наиболее удивительных открытий в математике. Любопытно, в частности, что наряду с четырьмя бесконечными «правильными» сериями существует всего лишь пять исключительных алгебр Картана. В заключение заметим, что в классе разрешимых (и даже в классе нильпотентных) алгебр Ли до сих пор не получена полная классификация.

ГЛАВА XV

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ)

После детального изучения компактных алгебр Ли естественно перейти к задаче описания компактной группы «в целом». Мы опишем в этой главе некоторые структурные свойства компактных групп Ли, вытекающие из картановской теории. Кроме того, остановимся несколько более подробно на общетеоретических вопросах, которые в начале книги намечались лишь конспективно.

Одним из замечательных свойств компактной группы Ли, позволяющим решать глобальные вопросы, является ее линейность (§ 31). Иначе говоря, компактную группу Ли мы можем рассматривать как замкнутую подгруппу в 0(拉).Помимо линейности мы установим в начале этой главы еще более сильное свойство компактной группы ——ее ^алгебраичность».

Для доказательства этого свойства нам будут нужны некоторые сведения из теории инвариантов.

Инвариантные полиномы

Пусть G ——линейная группа, действующая в векторном пространстве % Формула

TgP (х) = р (xg),

где xg ^ V ——вектор, получаемый из 尤 преобразованием gwG, переносит действие группы на алгебру полиномов р(х). Полином р (х) называется инвариантным, если

Р (xg) = Р (х)

для всех g 三 G. Множество / всех инвариантных полиномов является подалгеброй в алгебре 夕 полиномов р(х). Докажем, что имеет место )

Теорема 1. Если G — компактная группа, то алгебра / имеет конечное число образующих.

Доказательство. В основе доказательства лежит классическая теорема Гильберта об идеалах в алгебре полиномов. Множество 夕 uG называется идеалом, если 力夕=夕，т. е. если р(х)/ (х) ^ ^ для всякого 〃(％)三夕 н всякого /(%)三夕.Согласно теореме Гильберта ([7], [22]) для всякого идеала 夕 существует конечное число элементов 九(％)三夕，~ 1, 2, ..., т, таких, что всякий элемент /(%)三夕 может быть записан в виде

/ (х) = Р] (х) /] (х) + р2 (х) /2(X)+ . . . + pm (х) /т (х), где рМ%)三夕，归=1, 2, 一т. Элементы /ь 卜/т называются образующими идеала %

В частности, пусть / — алгебра полиномов, инвариантных относительно группы G. Пусть /р 一 множество всех инвариантных полиномов степени р, р = 0, 1, 2,…Положим

夕=彳/1+俨/2++口/А+ ..

тогда, очевидно, ? является идеалом в 夕.Образующие Гильберта 九，/2,…，兀 можно в данном случае, очевидно, считать инвариантными и однородными.

Докажем, что элементы ji, /2, ..., /ш являются также образующими в алгебре /. Пусть j — однородный инвариантный полином,тогда мы имеем /У 夕,

и, следовательно,

/ (х) = 〃(х) /1 (х) +。2 (х) /2 (х) + . . . +рт (х) /т (х),

где 卩在(％)三夕，々=1, 2,…т. Применим к обеим частям этого равенства оператор Tg. Ввиду инвариантности /(х),九(％) преобразование Tg сводится к замене

каждого коэффициента 卩礼“)на р式xg). Используем теперь процесс усреднения по компактной группе G. Интегрируя по G, получаем

/ (х) = 6 (х)力(х) + 6 (х)，2 (х) + • • • +фт(X)/е (х),

где cpfc(x)— результат усреднения 卩在(％) по группе G. Согласно свойству усреднения (§ 26) cph(x) является инвариантным полиномом относительно G,屮宜(％)三/. Заметим теперь, что степень каждого из полиномов срМ%)，办(％) Должна быть строго меньше степени / (х) (в противном случае либо /%(%) = 0, либо р^М = 0). Применяя индукцию по степени, заключаем, что /(х) является полиномом от /1(%), ,2(%),...,厶“(％)：

• /(%)=尸(厶(х), /2 (х), /т(х)).

Теорема доказана.

Пусть х — фиксированная точка из К Множество xG, состоящие из всех элементов xg, g 三 G, называется орбитой элемента х (относительно группы G). Орбиту элемента х мы будем иногда обозначать Ох. Очевидно, две орбиты Ох, Оу либо совпадают (у = xg), либо не имеют общих точек. Докажем, что имеет место

Теорема 2. Если G — компактная группа, то для каждой пары орбит Ох, Оу, Ох Оу, существует инвариантный полином cp(z)三/, принимающий на этих орбитах разные значения.

Доказательство. Из компактности группы G следует также компактиость каждой орбиты Ох *). Если Ох ¥= О}/, то функция

6(z) = p(z, Oj — p(z, О J,

где р (а, В)—расстояние от точки а до множества 3, положительна на Ох и отрицательна。俨 Из компактности 。工，Оу следует, что |6(z) | > д > 0, где 之三。4 Оу. Действительно, непрерывная функция на компакте достигает своего минимального значения,' следовательно, равенство min |д (г) | = 0 невозможно. Да;ьее, по гео-

реме Вейерштрасса существует полином р(х) такой, что

I 6 (z) - р (z) I < 6

для г 三 0工,Оу. Очевидно, р(г) > 0 при г е Ох и р(г) < О при z ^ Оу. Применяя к p(z) оператор усреднения по группе G, получаем инвариантный полином ф(г), положительный на Ох и отрицательный на Оу. Теорема доказана.

Заметим, что инвариантный полином является константой на каждой орбите Ох. В то же рремя согласно теореме 2 алгебра таких полиномов «разделяет» отдельные орбиты.

Пример. Алгебра полиномов в трехмерном евклидовом пространстве, инвариантных относительно поворотов, содержит единственную образующую / (х)= =尤;+ 尤^ + 尤* Каждая орбита Ох есть сфера радиуса I % 丨=У/(х). Отсюда непосредственно видно, что /(х) принимает различные значения на каждой паре различных орбит. Иначе говоря, орбиты 0驚，Оу совпадают тогда и только тогда, когда /(х) = j(y).

Алгебраические группы

Множество Z и У называется алгебраическим многообразием, если оно выделяется из V некоторой системой полиномиальных соотношений

Ра(х)= 0, а €= Л.

Здесь Л — произвольное множество индексов. Соответствующее множество полиномов ра называют иногда определяющей системой многообразия Z.

Пусть У — совокупность всех полиномов р(х), обращающихся в нуль на многообразии Z. Тогда, очевидно, 夕 является идеалом и, следовательно (по теореме Гильберта), порождается некоторым числом образующих ji (х), )2(%)，・-，/т(х). Следовательно, можем считать, не ограничивая общности, что определяющая система является конечной.

Линейная группа G называется алгебраической, если она выделяется из GL(孔)некоторой системой полино-

миальны^ соотношений

Pa(g) = °, CtR 4

Иначе говоря, если М (и) — множество всех матриц п X п, то группа G является пересечением GL(/i) с некоторым алгебраическим многообразием в М(/г).

Докажем, что имеет место

Теорема 3. Всякая компактная линейная группа является алгебраической.

Доказательство. Если рассматривать группу G как группу преобразований a-^ag в линейном пространстве М(л), то G совпадает, очевидно, с орбитой единичной точки ееМ(л). Следовательно, G выделяет ся из М(л) системой полиномиальных соотношений

P(g)~P (е) = О,

где р(а) — произвольный инвариантный полином (т. е. такой, что p(Qg) = p(Q), g ^ G). Действительно, группа G компактна, и поэтому к ней применима теорема 2: две точки g и е лежат на одной орбите тогда и только тогда, когда p(g) = р(е) для всех инвариантных полиномов р(а). Теорема доказана.

Замечание. Как следует из доказательства теоремы, компактная группа G может быть непосредственно определена как алгебраическое многообразие в М(/г) без дополнительного ограничения о невырожденности матрицы g. Впрочем, это ясно также из известного нам включения GuO(/i).

Поскольку всякая компактная группа Ли изоморфна линейной, то из теоремы 3 получаем также

Следствие. Всякая компактная группа Ли алгеб- раична (с точностью до изоморфизма).

С другой стороны, оказывается, что в классе линейных групп предположение о том, что компактная группа является группой Ли, излишне. В Действительности имеет место

Теорема 4. Всякая алгебраическая группа является группой Ли *).

Доказательство [15]. Пусть 夕一идеал, составленный из полиномов, равных нулю на G, и /( (v), /2(х), ... , jm (%) — система образующих в этом идеале. Рассмотрим матрицу 尸(％), составленную из частных производных dj^^fdxij,左=1, 2m; t, / = 1,2,..., м. Если г ——ранг этой матрицы в точке х ~ е, то мы условимся считать (не ограничивая общности), что первые г строк этой матрицы содержат минор А, отличный от нуля в точке е. Тогда А壬0 также в некоторой окрестности точки е. Систему уравнений /а (х)=貳, 々=1,2厂，можно разрешить в некоторой окрестности точки е относительно тех переменных 修；，индексы которых содержатся в миноре А. При этом получаемые функции выражаются аналитически через 自九，左=1, 2,...,厂，н остальные d = п2 ——г координат %仃.Следовательно, мы получаем локальную систему координат

% = % (自 1，自2，自了； "]‘"d)

в некоторой окрестности точки е, где Wi. U2, .. . , u(i ——дополнительные координаты, в качестве которых можно, например, взять координаты Xij, индексы которых не содержатся в миноре Д. Полагая 自[=自2 = ... = Е「q 0, получаем в М (几) некоторое алгебраическое многообразие @, которое, очевидно, содержит группу G. Каждая точка этого многообразия, достаточно близкая к е, допускает аналитическую параметризацию

# =％).

При этом, очевидно, если %, у, ху ^ @, то параметры матрицы ху аналитически выражаются через параметры % н у.

Покажем, что в действительности оба многообразия G и 您 имеют общую окрестность точки е. Иначе говоря, существует окрест ■ ность UuM(〃)такая, что U П G = U П ®. Отсюда будет следовать, что G—группа Ли.

Заметим вначале, что при каждом gwG множество ji(xg), j2(xg)， •••, /〃？ (xg) также является системой образующих в идеале У. Следовательно,

厶("g)= N 幻 aik (幻，

/ = 1

где Q/&(x)—некоторые полиномы от матрицы 尤.Поскольку р(х) —О на группе G, то мы имеем также

吗(Xg) _ у 3( (х)

—~ 2 дх.. %(X)'

для каждой точки х ^ G. Отсюда заключаем, что ранг 尸(xg) не превосходит ранга 尸(％). Заменяя х на х^1, заключаем, что ранг 尸(х) постоянен на всей группе G. Следовательно, если А — построенный выше минор, то всякий минор, окаймляющий А, обращается в нуль тождественно на все& группе G. Следовательно, он содержит-

ся в идеале 3. Отсюда следует, чтося в идеале 3. Отсюда следует, чтовсякая производнаявсякая производнаяможет быть выражена через первые г мулеd加(х)1 +0人(х)дх., — A Z дхпможет быть выражена через первые г мулеd加(х)1 +0人(х)дх., — A Z дхптаких производных потаких производных поbtk (х)十...btk (х)十...дхифор-дхифор-

ся в идеале 3. Отсюда следует, что

ся в идеале 3. Отсюда следует, что

всякая производная

всякая производная

может быть выражена через первые г муле

d加(х)1 +0人(х)

дх., — A Z дхп

может быть выражена через первые г муле

d加(х)1 +0人(х)

дх., — A Z дхп

таких производных по

таких производных по

btk (х)十...

btk (х)十...

дхи

фор-

дхи

фор-

где bih (х)——полиномы от х и многоточие означает слагаемое, принадлежащее идеалу «7. Далее, пусть %(/)——кривая в многообразии ®, проходящая через точку е при / = 0. Поскольку вдоль этой dj.

кривой переменные 】，*2,…，*『постоянны, то -^~ = 0，/== L 2,…

...,г, и мы имеем

d几(х)1 у d/Jx)

= 2■士 一^- 6庞(x) +…

где многоточие означает элемент из ?. Следовательно,

—^2〃(%)県("

ибо полиномы //(х), / = 1, 2, ..., m, являются образующими в ?. При этом 加(0) = 0, ибо точка е содержится в группе G. Согласно теореме единственности заключаем из полученного уравнения, что /А (%) ~ 0,厶=1, 2m, в некоторой окрестности вида @ П ^ Следовательно, & П U и G, т. е.⑨ П 〃 = G П ^. Теорема доказана.

Покажем теперь, что свойство алгебраичности сохраняется при переходе от компактной группы G к ее (правильной) комплексной оболочке.

Теорема 5. Пусть G ——компактная линейная группа и G ——ее правильная *) комплексная оболочка. Тогда G является алгебраической группой Ли над полем комплексных чисел.

Доказательство. Условимся считать, что G, G действуют в одном и том же комплексном пространстве V (если с самого начала это было не так, то G выделяется условием вещественности всех ее матриц в

некотором базисе пространства V). Согласно принципу аналитического продолжения группы G, G обладают одинаковым запасом инвариантов в классе (аналитических) полиномов. В то же время при переходе от G к G число орбит может только уменьшиться. Следовательно, для G имеет место аналог теоремы 2; но тогда и доказательство теоремы 3 переносится без изменения. Теорема доказана.

В заключение отметим без доказательства следующий критерий связности алгебраической группы G над полем комплексных чисел ([46], т. 2, стр. 239): группа G является связной тогда и только тогда, когда из равенства 〃(％)«(%) = 0 (для любых полиномов р, q) на группе G следует^ что либо р(х) = 0, либо (х) = 0 на группе G.

Упражнения

Докажите, что группа вещественных диагональных матриц с диагональными элементами 九,九m, где X > 0 и m — фиксированное положительное число, не является алгебраической. Найдите минимальную алгебраическую группу, в которой эта группа содержится (отдельно при m рациональном и m иррациональном).

Пусть Z == Z(〃)一группа всех (верхних) треугольных матриц n X п с единицами на главной диагонали. Показать, что всякая замкнутая связная подгруппа в группе Z является алгебраической. (Указание: использовать экспоненциальное отображение; проверить попутно, что указанная подгруппа является группой Ли.)

Разложение Гаусса

При изучении структуры полупростой комплексной алгебры Ли была обнаружена замечательная симметрия, позволяющая выделить в этой алгебре, наряду с карта- новской подалгеброй, также аналог «понижающих» и «повышающих» операторов, т. е. нильпотентные подалгебры Х_, Х+ с определенными соотношениями коммутации. Выясним, как отражается эта информация на структуре соответствующей группы Ли.

Вместо полупростой комплексной алгебры Ли мы можем сразу рассматривать алгебру редуктивную, т. е. произвольную комплексную оболочку компактной алгебры Ли. Пусть X — редуктивная комплексная алгебра, X’一 ее полупростая компонента и 3 — центр. Выделяя в

X’ картановскую алгебру Н и подалгебры Х_, Х+, мы находим также, что

Х = Х— + Х°+Х+()

(прямая сумма), где Хо — прямая сумма Н и центра 3- Подалгебру Хо мы будем называть картановской подалгеброй в алгебре X, подалгебры Х_, Х+ ——корневыми подалгебрами в X. Разложение ⑴ назовем разложением Картана ——Вейля. Поставим целью выяснить вопрос об «интегрировании» этого разложения.

Докажем, что имеет место

Теорема 6. Пусть G ——редуктивная связная комплексная группа 〃〃. Тогда, исключая подмногообразие меньшей размерности, мы получаем множество Greg, всюду плотное e G, для которого выполняется следующее однозначное разложение-.

Greg ~ Z-DZ+.()

Здесь D ——максимальная абелева подгруппа в G с алгеброй Ли Хо, Z_ и Z； — максимальные нильпотентные односвязные подгруппы с алгебрами Ли Х_, Х+. Если группа G является алгебраической связной группой, то 力,Z_, Z+ также алгебраичны и группа D является связной *).

Доказательство. Достаточно провести доказательство в том случае, когда группа G односвязна. (Действительно, поскольку D — максимальная абелева подгруппа, то D содержит центр группы G. Следовательно, разложение (■：：■■：?) в общем случае может быть получено факторизацией D по центральному дискретному делителю.) Далее, пусть G‘，С — односвязные группы Ли с алгебрами Ли X', 3- Если G односвязна, то она изоморфна G‘ X С (ввиду односвязности последней и однозначности универсальной покрывающей). Отсюда заключаем, что разложение 卜**) достаточно поверить в том случае, когда группа G полупроста.

Итак, пусть алгебра X полупроста. Мы рассмотрим вначале тот случай, когда группа G является связной

компонентой единицы в группе всех автоморфизмов алгебры X. При этом существенно будет использована алгебраичиость группы G.

Лемма. Пусть S ——алгебраическая связная подгруппа s GL(/t) и группы Z~, D, определяются как пересечения этой группы с Z_(m), D(/t), Z+(/z) соответственно^ где Z_(n), D (п), Z+ (п)——компоненты разложения Гаусса s GL (п). Пусть Sreg — множество всех элементов из S, допускающих разложение Гаусса в GL(/t). Предположим, что Sreg и Z_DZ+ имеют общую окрестность единичного элемента в S. Тогда ⑥^円=Z_OZ+, и подгруппы Z_, Z+ односвязны.

Доказательство леммы. Предположим, что g е SrCg, т. е. g допускает разложение Гаусса в объемлющей группе GL(/t):

g = ；bz, ^eZ_(«), 6rD(〃)， zrZ+(〃).

Покажем, что zrZ+. Пусть p(g) — одни из полиномов определяющей системы группы S; необходимо проверить, что p(z) = 0. Согласно общим формулам разложения Гаусса (§ 9) элементы матрицы z рационально зависят от элементов матрицы g, т. е. функция R(g) = = P(z(g)) есть рациональная функция в линейном пространстве М(/г), определен пая для всех «регулярных» точек из М(/г) (допускающих разложение Гаусса). По условию леммы R(g) = 0 в некоторой окрестности Uo на многообразии S. Но тогда R(g)=0 на ® ввиду связности S Следовательно, 〃(之)=0 и z е @. Аналогично доказывается, что ?； е ®. Но тогда и бе® В результате

g R Z_, 6 三 D、之 R Z + *

Следовательно, %? = Z_OZ+. Заметим теперь, что z = =е + х, где матрица х иульстепеииа (действительно, z —— треугольная матрица с единицами иа главной диагонали). Отсюда следует, что z одиозиачио записывается в виде ехр а, где матрица а также иульстепенна. Заметим также, что группа Z = Z$ алгебраичиа (как пересечение алгебраических групп ® н Z+(n)). Если p(z)——одни из определяющих полиномов группы Z, то мы имеем

9(f) = Р(ехр 历)=0 при t = 0, ± 1, ±2,…

(поскольку 之71 三 Z, /г = 0, 土 1, ±2,. . .). Следовательно, (р(/) = 0 и exp ta^ Z при любом комплексном /. Экспоненциальное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между группой Z и ее алгеброй Ли. Следовательно, группа Z односвязна ). Следовательно, обе группы Z_, Z+ являются односвязными. Лемма доказана.

Если группа @ в условиях леммы несвязна, то результат остается прежним, с той разницей, что множество Sreg всюду плотно в связной компоненте единицы Gu® В частности, применим это замечание к алгебраической группе @ всех автоморфизмов алгебры X. Согласно (芸)и общему критерию, указанному на стр. 174, разложение Гаусса имеет место в окрестности единицы группы @. Следовательно, теорема 6 имеет место для связной компоненты единицы G и О.

Рассмотрим теперь общий случай, когда группа G является связной полупростой; тогда разложение (若•：：•) доказано для присоединенного представления jt(G) группы G. Следовательно, (*•.<-) выполняется также и для самой группы G, где Z_, Q, Z+ определяются как полные прообразы соответствующих подгрупп в л(С). Поскольку ядром представления n(G) является дискретный центр группы G, то группы Z_, Z) и Z+ являются накрывающими для 九(Z_), n(Q), л(Z+). Но, как мы видели выше, группы 九(Z_), л (Z+) односвязны; следовательно, они изоморфны Z_, Z+ и центр группы G содержится в подгруппе D.

Наконец, рассмотрим тот случай, когда группа G алгебраична. Как увидим в дальнейшем (§ 104), всякая комплексная редуктивная связная группа Ли является надкомпактной. Отсюда, в частности, следует, что преобразования картановской подалгебры Н диагонализуются в некотором базисе. Собственные значения алгебры Н суть линейные формы над Н. Вводя для этих форм такое же лексикографическое упорядочение, как и для корней над ", мы можем заключить, что существует базис, в котором преобразования из Х_(XQ

являются нижними (верхними) треугольными. Подгруппы Z_, D, Z+ могут быть в этом случае непосредственно определены как пересечения группы G с Z_(n), D(n), Z+(n) соответственно. Следовательно, они являются алгебраическими.

Пусть р(6), «(6) — такие полиномы на группе D, что р(6) д(6)=0 при 6 三 D Полагая g =白6之，замечаем, что 6 = 6(g) является рациональной функцией на группе G. Подставляя 6(g) вместо 6 в полином p(6)q(6), получаем рациональную функцию, тождественно равную нулю на группе G. Умножая эту функцию на некоторые степени диагональных миноров Ai(g), Az(g), …，An(g) (см. § 9), получаем также равенство вида P(g)Q(g)= =0, где Р, Q ——полиномы на всей группе О. Отсюда следует (см. замечание в конце § 99), что либо Р = О, либо Q = 0, т. е. либо р = 0, либо q = 0 на группе D. Отсюда в свою очередь следует, что группа D является связной ).

Теорема доказана.

Разложение (*-：+) мы будем называть разложением Гаусса в группе G; индивидуальное разложение g = =己6之——разложением Гаусса элемента g 三 Greg・ Заметим, что элементы 白，6, г являются аналитическими функциями от g; следовательно, соответствие между g и тройкой (&6,а) является аналитическим гомеоморфизмом. Тройку (《，6,а) мы можем рассматривать как систему параметров в множестве Greg.

Разложение Гаусса может быть обобщено следующим образом. Пусть П° ——произвольная подсистема простых корней алгебры X и Х° ——линейная оболочка кар- тановской подалгебры Х° и всех корневых векторов е^, где з представимо в виде линейной комбинации корней из П°. Тогда, как нетрудно видеть, Х° является редук- тивной алгеброй, и алгебра X может быть записана в виде прямой (ортогональной) суммы:

X = L_+X° + L+，

где 厶_, L+ ——ортогональные дополнения в Х_, Х+ до корневых подалгебр алгебры Х°(厶—，厶 + натянуты на те кор

невые векторы е©, со < 0, со > 0, где ① непредставимо в виде линейной комбинации корней из П°). Нетрудно видеть, что 厶一 и 厶+ являются идеалами в Х_, Х+・ Алгебру Х° мы будем называть центральной редуктивной компонентой или треугольным усечением алгебры X. В частности, если П° = 0, то X。= Хо； если П° = П, то X。= X.

Пусть Я ——линейная оболочка корней алгебры X и 〃° ——линейная оболочка корней подалгебры Х°. Положим 〃 ="° ㊉ 〃'и введем в пространство Я «относительное упорядочение (mod//。)》，т. е. будем считать, что "1 относительно меньше /万,если ортогональная проекция 九 1 на Н，меньше ортогональной проекции 九2 (относительно лексикографической упорядоченности во всем пространстве Я). Заменяя в доказательстве теоремы 6 обычную упорядоченность относительной и рассматривая вместо упорядоченных матриц соответствующие блок-матрицы, получаем следующее разложение:

Greg = N -G^egN (***)

Здесь N_、N+ ——односвязные нильпотентные подгруппы в группе G с алгебрами Ли 厶L+ и G?eg—множество всех регулярных элементов из замкнутой подгруппы G° с алгеброй Ли X。 (существование этой подгруппы получается в процессе доказательства, равно как и существование диагональной подгруппы D). При этом N七 оказываются инвариантными подгруппами относительно G0. Разложение (*•*•*) мы условимся называть обобщенным разложением Гаусса. Группу G° мы будем называть центральной компонентой или треугольным усечением группы G. В частности, если П° = 0, то G° = D; если П° - П, то G°=G.

Группу D из теоремы 6 мы будем называть карта- новской подгруппой в группе G; эта группа может быть охарактеризована как максимальная абелева подгруппа в G с алгеброй Ли

Пример. Рассмотрим в 小мерном пространстве произвольную блочную запись матриц g ^К(п). Пусть N_、 G°, 少+ ——совокупность всех нижних треугольных 6лок~ матриц с единичными блоками, совокупность всех невы~ рожденных блочно-диагональных матриц и совокупность

всех верхних треугольных блок-матриц с единичными диагональными блоками. Тогда имеет место (齿к・*) для группы G = GL(〃), и группа G° является треугольным усечением в GL(〃).

Замечание. Если G присоединенная группа полупростой комплексной алгебры X, то подгруппа G° в (-：t＜：•＜：•) может быть охарактеризована как совокупность всех преобразований из G, оставляющих неподвижным ортогональное дополнение в картановской алгебре Я до линейной оболочки Я° системы П°. (Соответственно алгебра Х° есть централизатор //㊀//2)

Упражнение

Пусть G — редуктивная связная комплексная группа Ли и 0°——подалгебра в алгебре Ли X группы G, натянутая на секторы С—з，h, Cg, где h пробегает картаповскую подалгебру X» Показать, что в группе G существует замкнутая подгруппа 0° с алгеброй Ли 0W и ®^g=№QN?, где «2, iV^J. — однопараметрические подгруппы с касательными векторами е_д, еш. (Указание: рассмотреть вначале тот случаи, когда группа G является присоединенной группой алгебры X, и воспользоваться приведенным выше замечанием для определения 0°.)

Разложение Ивасавы

В этом параграфе мы опишем еще одно замечательное разложение, которое является аналогом разложения матрицы в произведение треугольного и унитарного сомножителей. Мы могли бы, как и в предыдущем параграфе, рассматривать сразу общий случай редуктивной связной группы Ли. Однако предпочтем отдельно исследовать тот случай, когда группа G полупроста.

Теорема 7. Пусть G ——произвольная связная полу- простая комплексная группа Ли. Тогда эта группа допускает однозначное разложение вида

G = Л1,

где U — максимальная компактная подгруппа 日 группе G и Т ——максимальная односвязная разрешимая подгруппа в G.

Доказательство, Рассмотрим вначале тот случай, когда группа G имеет тривиальный центр. Если X — алгебра Ли группы G, то О в этом случае изоморфна присоединенной группе алгебры X, т. е. связной компоненте единицы в группе всех автоморфизмов алгебры X. Согласно теореме 6) группа G допускает разложение Гаусса:

о =二£乙 В R Creg-

Мы условимся отождествлять группу G с присоединенной линейной группой, действующей в пространстве X. Рассмотрим в X эрмитово сопряжение, введенное в §96, и определим компактную форму Вейля /(и X, как совокупность всех косоэрмитовых матриц (х* = —х). Заметим, что если а ——произвольная положительно определенная матрица, то все ее диагональные главные миноры положительны и, следовательно, а допускает разложение Гаусса. Если матрица о эрмитова, то мы имеем для нее

Поскольку эрмитово сопряжение меняет местами Z_, Z+ и поскольку разложение Гаусса единственно, мы находим отсюда w = g*, 6 = 6*. В частности, 6 является дна- гональной положительно определенной матрицей. Сле^ довательно, все ее собственные значения положительны. Множество всех диагональных положительно определенных матриц из G мы обозначим Е Докажем, что Е является односвязной абелевой группой с алгеброй Ли "о, где "о ——вещественная оболочка всех корней а е Я.

Заметим вначале, что матрица е^Е сохраняет соотношение коммутации [Л, еа] = a(h)ea. Если Л и ц—собственные значения s на элементах /г, е^ соответственно, то мы находим отсюда Хц = ц, т. е.入= 1). Следовательно, алгебра И неподвижна относительно преобразования е. Далее, пусть еа — собственное значение преоб-

разования е на векторе %• Тогда, используя соотношение коммутации [%, ер] = %0%+0，находим еаер = %+В・ Следовательно, матрица е вполне определяется своими собственными значениями еш, где со — произвольный простой корень. Положим ц(о = In £ш; поскольку простые корни образуют базис в Яо> то существует вектор А 三"о, для которого 卩(0 = 仇 со). Следовательно, £(o = eS，s)и % = ed，a)员刀只 всех корней а. Следовательно, е = ехр А, и наше утверждение доказано.

Рассмотрим теперь произвольную матрицу g 三 G н положим & = gg; тогда получаем эрмитову положительно определенную матрицу а. Согласно сказанному выше а =誠*, где 6 三 Е, gRZ_. Далее, положим

〃 =£ g g,

где е = Мб. Поскольку матрица 6 положительно определена, то радикал существует и е также является элементом подгруппы Е. Имеем

ии = г gg e = e бе = е・

Следовательно, матрица 以 является унитарной. В результате мы имеем

g = g£〃・

Искомое разложение получено. Положим Т = Z_E и обозначим символом U пересечение группы G с унитарной группой U(m); тогда имеем

G = ГН,

причем индивидуальное разложение g = 包 2 三 Г и 〃三 И, однозначно. Таким образом, в нашем случае теорема доказана.

Заметим, что односвязная группа Т не содержит ни одной унитарной матрицы, кроме единицы. Следовательно, U является максимальной компактной подгруппой в группе G*).

Перейдем к рассмотрению общего случая. Утверждение теоремы доказано для группы G‘ = n(G), где л означает присоединенное представление. Следовательно,

Gf = PW, где V ——односвязная разрешимая подгруппа и II’ максимальная компактная подгруппа в G'. Следовательно, также

G = ГЕ”)，

где Т ——связная компонента единицы в л-1 (Tf). Действительно, из дискретности центра С (ядра представления л) следует 冗(Г) = Т‘ (в противном случае 7V несвязна); далее, при л(g) =%'〃'，/'三厂，优三 IV, выбираем 看三 Г ИЗ условия Л (/) = L Н находим, ЧТО 17g = и е Я"1 (Uz). Поскольку связная группа Т накрывает односвязную группу 厂，то Т гомеоморфно TL В частности, Г^')C^{в}, разложение g = /〃，/ е Г, 〃三 U, однозначно и / = /(g) аналитически зависит от g. Следовательно, также 〃 =〃(g) аналитически зависит от g. Отсюда имеем

G = Л1,

где U ——связная компонента единицы в л-1 (Uz) (действительно, 〃(g) непрерывно стягивается к е). В частности, Cull, Uz = U/C. Отсюда следует (§ 103) компактность U и конечность С. Наконец, поскольку Т не содержит компактных подгрупп (кроме {е}), заключаем, что U —— максимальная компактная подгруппа в G. Теорема доказана.

Следствие 1. Всякая редуктивная связная комплексная группа G допускает разложение вида П1, где Г ——разрешимая подгруппа 〃 U ——максимальная компактная подгруппа в группе G.

Действительно, G = G’^V, где G'——полупростая компонента и ^ ——связная компонента центра группы G.

Следствие 2. Пусть X — полупростая комплексная алгебра Ли、厶一——разрешимая вещественная подалгебра, натянутая на векторы е© ie^,九。，а < 0,九。三"°, 〃 Lo — компактная форма Вейля. Тогда мы имеем

X = L_ + 厶

(прямая сумма). Аналитическая подгруппа Г, порожденная подалгеброй L_, замкнута 〃 односвязна. Аналитическая подгруппа U, порожденная подалгеброй L。, замкнута 〃 является максимальной компактной подгруппой в G.

Из прямого разложения X — L_ + Lq следует локальная однозначность отображения (t, u)f tu группы Г X U на группу G в каждой точке g ^ G. Отсюда следует, что сответствие между Г X U и группой G является аналитическим гомеоморфизмом. Отсюда, в частности, получаем

Следствие 3. Полупростая связная комплексная группа Ли как топологическое пространство изоморфна произведению Т X U, где Т ——евклидово пространство 辽 U ——компактная связная полупростая комплексная группа Ли.

Согласно следствию 3 топологическая структура группы G сводится, по существу, к топологической структуре группы U. В частности, G и U могут быть односвязными только одновременно.

Разложение теоремы 7 носит название разложения Ивасавы. Заметим, что группа G в этом разложении выступает фактически как вещественная полупростая группа Ли (с удвоенным числом параметров). В действительности теорема 7 легко обобщается ([85], [92], [128]) на произвольную полупростую вещественную связную группу Ли.

Максимальные торы

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые свойства торов (коммутативных связных подгрупп) в произвольной компактной связной группе Ли. Докажем вначале, что имеет место

Теорема 8. Всякий элемент компактной связной группы Ли содержится 6 некоторой однопараметрической подгруппе. .

Следствие. Если G ——компактная связная группа 〃辽，то экспоненциальное отображение накрывает всю группу G.

Доказательство. Ради сокращения текста воспользуемся некоторыми результатами из теории римановых пространств. Рассмотрим группу G как замкнутую подгруппу в U (几)и введем в линейное пространство матриц п X п метрику

ds2 = sp dx • dx*,

где dx означает дифференциал переменной матрицы %wM(几)и звездочка означает эрмитово сопряжение. Если u е U(n), то мы имеем

sp (dx • 〃)(d% • u) = sp dx • dx*,

и то же верно при умножении dx слева на и. Следовательно, метрика ds2 является двусторонне инвариантной на U(几)и, в частности, на группе G. Поскольку группа G является вещественным дифференцируемым (и даже аналитическим) многообразием в М(п), то G является римановым пространством. Функция

р(а, b) = inf s(L),

где s(L)——длина спрямляемой линии L и inf берется по всем таким линиям, соединяющим а, 6, определяет метрику в пространстве G. G является относительно этой метрики компактным метрическим пространством.

Как известно *), в компактном римановом пространстве через любые две точки можно провести хотя бы одну геодезическую. Если р (а, 6) < 6 при достаточно малом 6, то геодезическая, проходящая через а, 6, определяется однозначно. Рассмотрим теперь преобразование

a = &a一1。0

с фиксированной точкой а。. Согласно свойству двусторонней инвариантности и равенству doH = —a~xda а~[ переход от а к @ сохраняет метрику. В частности, точка а。 остается неподвижной, откуда р(@,。°) = р(а(), а). Преобразование а^ а называется симметрией относительно точкиа0.

Если а достаточно близко к а°, то все три точки а, а。，5 лежат на одной геодезической.

Приступим теперь к доказательству теоремы. Фиксируем точку g 次 е н проведем геодезическую у, соединяющую g н е. Покажем вначале, что существует однопараметрическая подгруппа g(£), содержащая все точки отрезка у, достаточно близкие к е.

Пусть gi 三 у настолько близко к е, что через gi проходит однопараметрическая подгруппа g(/), и у является

единственной геодезической, соединяющей gi и е. Если уже доказано, что пара точек p = g(L), 9 = g(%) содержится в % то мы рассматриваем точку г = =g[~2~ I и замечаем, что имеет место формула

rg^ty' r = g(t{ + t2-t).

Полагая, в частности, / = /ь /2, заключаем, что симметрия относительно г переставляет р и q. Следовательно, г лежит на геодезической, проходящей через р и ^. Следовательно, г е у. Нормируем теперь параметр / таким образом, чтобы e = g(0), g[ = g(l). Применяя индуктивно предыдущее рассуждение, заключаем, что у содержит все точки g«), 0&/W1, где / двоично-рационально. Ввиду непрерывности у) у содержит также весь отрезок g«), 0&%Wl. Наше утверждение доказано.

Заметим, что точка g~l симметрична точке gi относительно е. Продолжая кривую g(f) и геодезическую у на отрицательные значения /, заключаем, что у содержит также отрезок вида g(f), —1《Y 1.

Далее, рассмотрим множество всех точек, принадлежащих одновременно у и g«), 0 总/总7, где Т — достаточно большое число ). Поскольку это множество замкнуто (как пересечение двух замкнутых множеств), то его связная компонента у*, содержащая точку е, имеет вид отрезка g«), 0《/《h при некотором %. Положим go = g(%)・ Если go = g, то теорема доказана. Если go 次 # g, то мы осуществляем левую трансляцию g「 во всей группе G. Поскольку всякая трансляция переводит геодезическую в геодезическую, то, в частности, кривая g?Y является геодезической, проходящей через точку е. Выбирая на этой кривой точку h^ достаточно близкую к е, заключаем, как и выше, что g『Y содержит отрезок некоторой однопараметрической подгруппы 九⑴，一1《 《т《1. Поэтому у содержит отрезок кривой go%(T),

——1《t《1. Следовательно,

g«) = go"(t)

при достаточно малых t, —iWtWO, и при некоторых значениях /, to — s^t^ /0- В частности, go = g(A)), откуда заключаем, что h(x) = g(t——力).Следовательно, h{x) совпадает c g(f) с точностью до замены (аддитивного) параметра. Поэтому go не является крайней точкой множества у, что противоречит определению g°. В ре* зультате заключаем, что g0 = g. Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 8 мы получаем также замечательное соответствие между геодезическими и однопараметрическими подгруппами в группе G. Всякая однопараметрическая подгруппа есть геодезическая, проходящая через точку е. Всякая геодезическая получается (левой или правой) трансляцией из однопараметрической подгруппы в группе G.

Замечание 2. Теорема 8 может быть доказана непосредственно, без использования свойств симметрии, если показать, что длина кривой, соединяющей точки е и у, минимизируется только на однопараметрической подгруппе. См., например, [15].

Рассмотрим теперь произвольные торы в группе G. Напомним, что тором называется всякая связная коммутативная компактная группа Ли. Тор Г в группе G называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом торе из G (отличном от Г). Докажем, что имеет место

Теорема 9. Пусть G——компактная связная группа Ли и Г ——ее максимальный тор. Тогда для любого элемента g^G найдется элемент и w G, для которого u-^gu w Г.

Доказательство. Согласно теореме 8 g = ехр х, х w X, где X — алгебра Ли группы G. Рассмотрим произвольный элемент uwG и положим *)屮(〃)=(х, ауа-】)， где у — фиксированный элемент из X и скобка означает скалярное произведение в X, относительно которого операторы Dax = [а, х] кососимметричны. Положим

〃 = 〃о ехр tz и заметим, что

<Р (")= (%, екр 坛•少 ехр (- ⑵)，

где х0 = u~lxuQ, Действительно, операторы л(и)х = ихи~[ ортогональны относительно формы (х, у), и оператор 冗(〃о) можно перебросить налево, заменяя “° на 辽jL Далее, имеем

■^^Ч一o =(/Jz‘ 刘)=(厶Fo], z).

Заметим теперь, что функция (p(w) является дифференцируемой (и даже аналитической) на G. Поскольку группа G компактна, то q)(w), согласно теореме Вейерштрасса, достигает максимума на G. Если 〃о — точка максимума, то dq)(〃) = 0 при 〃 = 〃о. Следовательно, в этом случае ([у,%о],2)= О тождественно по zwX. Следовательно,

[协％о] = 0・

Пока еще в нашем распоряжении имеется произвол в выборе элемента у ^ X. Выберем у таким образом, чтобы однопараметрическая подгруппа ехр /у = 0 была всюду плотной в торе Г. Тогда мы имеем

Y-工Y = /

для всех у 三 F. Следовательно, также [у, х0] = 0 для всякого у И, где Я — алгебра Ли тора Г. Поскольку Г — максимальный тор, алгебра Я является максимальной коммутативной подалгеброй в X. Следовательно, х0 三". Следовательно, также gowF, где g0 = ехр х0 = u~xgu^. Теорема доказана.

Следствие 1. Любые два максимальных тора сопряжены s группе G.

Действительно, пусть Го — максимальный тор и уо —— его иррациональная образующая ), т. е. элемент, степени которого образуют всюду плотное множество в Го. Тогда элемент w-^o^ является образующей в максимальном торе 〃一1『0〃. Поскольку для всякого максимального

тора Г найдется такой элемент и, что и~{у^и 三 Г, то 〃一〔Го" = Г\ и любой максимальный тор сопряжен Го- .

Следствие 2. Любые две максимальные коммутативные подалгебры s компактной алгебре X сопряжены относительно внутреннего автоморфизма.

Доказательство вытекает из очевидного соответствия между максимальными торами и максимальными коммутативными подалгебрами в X, Всякая такая подалгебра в компактной алгебре X называется подалгеброй Картана. Соответственно всякая максимальная коммутативная (не обязательно связная) подгруппа в компактной связной группе G называется подгруппой Картами.

Следе 1'вие 3. Всякая подгруппа Картана является связной и определяется однозначно с точностью до сопряженности.

Действительно, пусть Г——подгруппа Картана н Го―■ ее связная компонента единицы. Если у е Г, то уп 三 Го при некотором натуральном 〃 (поскольку группа Г/Го конечна). Если п—минимальное из таких чисел, то элементы у, у2» уп содержатся в различных связных листах группы Г. Рассмотрим элемент

е0 = ехр ； 2°,

где 2。 определяется тем условием, что упехр г0 является иррациональной образующей в Го. Тогда нетрудно видеть, что ус。 является образующей в группе Г(, порожденной элементами Го и у. Если Г — максимальный тор, содержащий 丫£力，то Г)и Г. Следовательно, Го и 1\ и Г, откуда Го = Г1 = Г ввиду максимальности тора Го. Следовательно, у е Го и Го = Г.

Замечание 3. Из связности картановской подгруппы в компактной подгруппе U и разложения Ива- савы G = TU мы получаем также связность картанов- скоп подгруппы D в произвольной связной полупростой (и также редуктивной) группе G. Действительно, 力=ЕГ, где Е——максимальная односвязная подгруппа в Т с алгеброй Ли "о (см. § 101) и Г ——максимальный тор в подгруппе U. Следовательно, мы получаем иное доказательство заключительной части теоремы 6.

Заметим также, что всякая подгруппа Картана содержит центр группы G; следовательно, центр содержится 6 любом максимальном торе.

Фундаментальная группа и центр

В этом параграфе мы займемся вопросом об описании класса со(Х) всех локально изоморфных групп Ли с данной алгеброй Ли X. Алгебра X предполагается компактной. Рассмотрим вначале тот случай, когда алгебра X полупроста.

Пусть S——односвязная группа Ли с алгеброй Ли X. Далее, пусть - ®0 ——присоединенная группа, т. е. связная компонента единицы в группе всех автоморфизмов алгебры X. Группа ®о компактна. Поскольку алгебра X предполагается полупростой, то группа ®0 имеет X своей алгеброй Ли, т. е.恤三 со(Х). Группы ® и являются «максимальной» и «минимальной» группами в классе со(Х). Действительно, если 3 — центр группы то @о изоморфна @/3*

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 10. Пусть X — полупростая компактная алгебра Ли. Тогда односвязная группа S с: со (X) компактна и центр этой группы конечен.

С л едствие 1. Существует лишь конечное число локально изоморфных связных групп Ли с полупростой компактной алгеброй Ли X.

С л е дств и е 2. Универсальная накрывающая полупростой компактной группы Ли компактна.

Следствие 3. Центр полупростой компактной группы Ли конечен.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем следующее замечание. В комплексной оболочке X + 2Х выберем базис Картана ——Вейля a, eat где а ——произвольный корень. Напомним, что алгебра X натянута на векторы ico, ica, isa, где

Са = у Sa + е—а), Sa = ± (% - е_)a > 0

и со ——произвольный простой корень. Линейную оболочку векторов 而 обозначим X# 凡 есть максимальная

коммутативная подалгебра в X. Далее, рассмотрим в X + IX множество всех преобразований

Y,(a) = a, Y, &) = М 佃"&,

где t — npoH3BOvTbHbiH вектор из Н° = tX° (корень a рассматривается также как вектор из 儿).Нетрудно видеть, что эти преобразования сохраняют алгебру X. Следовательно, мы получаем коммутативную связную подгруппу F и % где ®0 一 присоединенная группа для X.

Поскольку алгеброй Ли подгруппы Г является максимальная коммутативная подалгебра Х°, мы можем заключить, что Г является максимальным тором в ®0 )• Применяя теорему 9, получаем, что всякий элемент g е ©о может быть представлен в виде g = 比一勺比，у е r.

Иначе говоря, всякая матрица из % может быть приведена в X + iX к диагональному виду с диагональной матрицей у е Г. Очевидно, отображение (以 Y)f g является аналитическим. Разложение 公丫〃 можно в известном смысле (§ 72) рассматривать как выбор параметров в группе ®о-

Заметим, что собственными значениями матрицы у являются 1,% где a ——корень и / ——набор канониче

ских координат элемента у Го. Поскольку вектор /三％ вполне определяется своими проекциями на корни а, то матрица 丫 определяется собственными значениями матрицы g однозначно с точностью до перестановки этих собственных значений. Следовательно, при фиксированном g мы получаем лишь конечное число разложений с различными диагональными элементами у. Это замечание будет существенно использовано при доказательстве теоремы 10.

Напомним, что вектор / 三 Яо называется регулярным (§ 91), если оператор f имеет ровно г нулевых собственных значений, где г = rang®0 = dim HQ. Соответственно элемент g 三⑥о назовем регулярным, если матрица g имеет ровно г единичных собственных значений.

Доказательство теоремы 10. Исходя из группы So, мы можем непосредственно вычислить центр 3 односвязной группы S. Действительно, согласно общему определению односвязной накрывающей центр 3 изоморфен фундаментальной группе (группе Пуанкаре) многообразия %

Пусть 方一множество всех нерегулярных элементов из ©о- Покажем, что 6 является объединением конечного числа многообразий размерности п ——3, где п——размерность многообразия S0- Действительно, фиксируем корень а и обозначим Га множество всех матриц у = = exptf, /三/У。，для которых (а,/) = 0. Далее, пусть 孔一множество всех элементов вида trr\u, где у пробегает Га. Ясно, что

dim 6g = dim Га + dim So/®oa,

где Soa — подгруппа в группе So, перестановочная с Га. Если (а, /) = 0, то элемент / перестановочен не только с 仇，но также и с %, s^ Отсюда ясно, что алгебра Ли подгруппы ®о(х натянута на X。= Г"。, с^, s^. Следовательно, dim SO(Z = г + 2. В результате

dim 孔=(厂一1) + {几一(『+ 2)}=几一3.

(Действительно, dim Га = r——1.) 6 является объединением всех 6а, а > 0，

Рассмотрим элемент у0 ^ Г, достаточно близкий к единице и регулярный. Рассмотрим произвольный замкнутый путь, проходящий через у» В силу предыдущего замечания мы можем рассматривать (зо счет небольшой деформации) только пути, обходящие сингулярное множество S. Используя разложение и~^уи как параметризацию в ®, запишем данный путь в виде

8(/) = "(/尸Y(/)a(/),0</<1.

Положим 丫1 = 丫(1) и покажем, что возможно неравенство 丫0片『，т. е. путь у(/),。式/М1, может оказаться незамкнутым. Действительно, поскольку g*(O) = g(l), то элемент s = и(1)г/(0)-1 удовлетворяет соотношению

SY/T = Yi.

Если s переставляет собственные значения матрицы у°, то это равенство возможно. Следовательно, в этом слу-

чае путь 丫«) не может быть непрерывной деформацией стянут в точку (при условии закрепления концов).

С другой стороны, если путь у«) является замкнутым, то он может быть стянут в точку 丫。 внутри тооа Г. Действительно, матрица у(/) имеет собственные значения е(а‘ ①⑴)， 屮(力)三 方о, где 屮(t)——непрерывный путь в "о. Путь 屮(％), 0《力《1, может быть незамкнутым в Но только в том случае, когда (а,中(0))—— ——(а,屮(1)) = 2々々口， где fea V= 0 хотя бы при одном значении а (々口一целое число). Нетрудно видеть, что в этом случае путь у (%) проходит через сингулярный элемент, что исключается. Следовательно, путь 丫(力) может быть непрерывной деформацией переведен в путь

f(t) = u(t)~iyQu(t).

положим теперь 九(方)= 〃(方)T y『％〃(0 • "(0)一‘ y?"(0), где уо — одиопараметрическая подгруппа, проходящая через у。，с аддитивным параметром 九.Полагая 九=0, 1, заключаем, что %(%)=/«), в то время как путь 九(力)вырождается в точку и(О)-1уо«(О) = g(0). Следовательно, путь f (/) непрерывной деформацией переводится в точку.

Сопоставляя пункты 2 и 3, мы видим, что в пространстве ®о существует лишь конечное число классов путей, где пути из каждого класса гомотопны между собой (т. е. переводятся друг в друга непрерывной деформацией) .Следовательно, фундаментальная группа 3 конечна. Поэтому группа S компактна. Теорема доказана.

С другой стороны, если X——коммутативная алгебра Ли, то односвязная группа ⑤三 о)(Х) изоморфна векторному пространству. Следовательно, в этом случае аналог теоремы 10 не имеет места. В этом состоит одно из основных различий между полупростыми и коммутативными алгебрами Лн *)・

Теорем а 11. Всякая компактная связная группа Ли может быть записана следующим образом'.

G^ (呼 Х4)/С

где ® ——односвязная связная полупростая компактная группа Ли, Л ——коммутативная связная компактная группа Ли 〃 С ——конечный центральный делитель такой, что А П С = {е}.

Доказательство. Пусть X — алгебра Ли группы G, X = X’+ У, где X’= [X, X] и У — центр алгебры X. Пусть @л — односвязная компактная группа Ли с алгеброй Ли X’ н 尸 есть ш-мерное векторное пространство, где m = dim У. Группа ®л X F является односвязной группой с алгеброй Ли X. Всякая группа Gw(o(X) может быть записана в виде

G = ф(@л X 尸)，

где qp — гомоморфизм, ядром которого является дискретный центральный делитель N. Для каждого gwG мы имеем

§ = Ф(^, Л = Ф(^> е)ф(е, Л>

где g‘ пробегает @z и / пробегает F. Следовательно, также g = W(g‘, а), где а =(р(е, f) и 屮一гомоморфизм, определяемый формулой 屮(g‘，а)=屮(g‘，е)а. Множество А элементов вида a =(p(ej) изоморфно F/F П ^ и потому является связной подгруппой в G. В результате

G =屮(® X /4) *

Если G компактна, то подгруппа Л также должна быть компактной. Кроме того, элемент 屮® а) ~ а обращается в единицу только при а = е. Следовательно, если С—ядро гомоморфизма ip, то С П Л — {е}. Теорема доказана.

Теорема о линейности полупростойкомплексной группы Ли

Исходя из принципа аналитического продолжения, естественно предположить, что для полупростых комплексных групп Ли сохраняется свойство линейности, справедливое для компактных групп Ли. Покажем, что

это действительно так. Отметим вначале следующее свойство:

1° Полупростая комплексная связная группа G является правильной комплексной оболочкой своей максимальной компактной подгруппы U.

Это утверждение вытекает из теоремы 7. Действительно, алгеброй Ли группы U является компактная форма Вейля в алгебре Ли группы G. Далее, имеем:

2° Центр группы G конечен " содержится в подгруппе U.

Действительно, мы видели при доказательстве теоремы 7, что центр содержится в подгруппе U. Следовательно, этот центр конечен. Теперь докажем, что имеет место .

Теорема 12. Всякая полупростая связная комплексная группа Ли допускает точное аналитическое линейное представление.

Доказательство. Если G односвязна, то всякое линейное представление группы U продолжается аналитически (§ 41) до однозначного представления группы G. Следовательно, в данном случае теорема доказана. Далее, пусть S ——односвязная группа и G 弋 ®N、 где А/ ——конечный центральный делитель в S. Тогда максимальной компактной подгруппой в группе G является U/^ (напомним, что ^ содержится в U). Пусть р — точное линейное представление U/М Мы можем рассматривать это представление как представление группы U, ядром которого является N. Продолжим представление р до однозначного представления группы S. Тогда ядром такого представления по-прежнему является /V), т. е. оно является точным для S/M. Теорема доказана.

Следствие. Всякая связная полупростая комплексная группа Ли является алгебраической.

Это утверждение вытекает из теоремы 5.

Приведем (без доказательства) также некоторые свойства сопряженности, имеющие аналоги в компактном случае.

3° Максимальная компактная подгруппа в пол у простой комплексной связной группе G определяется однозначно с точностью до сопряженности.

При доказательстве этой теоремы (см., например, [42]) многообразие G/U рассматривается как односвязное риманово пространство (отрицательной кривизны). Используется теорема Э. Картана, согласно которой всякая компактная подгруппа в группе движений такого пространства имеет неподвижную точку. Рассмотрим в качестве такой подгруппы максимальную компактную подгруппу U]. Пусть 尤——элемент из G, для которого класс смежности xU неподвижен относительно 出. Тогда имеем Мх ихИ, откуда дНИ^и 注 Из максимальности U] следует, что x~}U^x = U.

Следовательно, всякая максимальная компактная подгруппа в группе G является связной.

4° Любые две подалгебры Картана в полупростой комплексной алгебре X сопряжены относительно присоединенной группы So.

Это утверждение можно получить как следствие 3°, однако известно и независимое доказательство (см., например, [128]). Более того, можно утверждать, что искомый автоморфизм из So может быть выбран в виде expQz, где Dz — нульстепенный оператор в X.

Далее, скажем, что точка gwG является регулярной, если оператор присоединенного представления n(g) содержит собственное значение 1 с кратностью г = =rang G ). Максимальная коммутативная подгруппа в G, содержащая регулярный элемент, называется подгруппой Картона.

5° Любые две подгруппы Картана сопряжены в группе G относительно внутреннего автоморфизма.

Отсюда, в частности, следует, что всякая подгруппа Картана изоморфна подгруппе D из теоремы 6; следовательно, она является связной.

Можно также показать ([116]), что любые две максимальные разрешимые подалгебры сопряжены & алгебре X, соответственно любые две максимальные разрешимые подгруппы сопряжены в группе G. Разложе-

ние Гаусса (теорема 6) и разложение Ивасавы (теорема 7) определяются однозначно с точностью до сопряжения ([85], [92], [113]).

Таким образом, любая полупростая комплексная связная группа Ли имеет структуру, во многих отношениях сходную со структурой группы SL(/z, С). Заметим, что в случае классических групп все указанные выше утверждения легко проверяются непосредственно. Поэтому новая информация получена, в сущности, для особых групп Картана с алгебрами Ли Q —丛・ В частности, все эти группы допускают точное линейное представление.

Существенно, что в классе вещественных полупрост ых групп Ли аналог теоремы 12 не имеет места. Существуют группы этого класса с бесконечным (дискретным) центром; все такие группы не допускают точного линейного представления. (Предлагается в качестве упражнения показать, что этим свойством обладает универсальная накрывающая группы SL(2,R)).)

§ 105. Группа Вейля

При изучении структуры полупростой комплексной алгебры Ли и ее линейных представлений важнейшую роль играет симметрия в классе корней и корневых векторов, существование которой было установлено в гл. XIV. Более детальное изучение этой симметрии позволяет связать с каждой комплексной полупростой алгеброй Ли некоторую конечную группу симметрий, называемую группой Вейля. В случае алгебры si (/г, С) эта группа определяется как группа подстановок п базисных векторов.

Пусть X ——полупростая комплексная алгебра Ли и Я ——ее фиксированная картановская подалгебра. Для каждой пары векторов a, h w Н преобразование

,, 2 (а, /г)

а, а

является зеркальным отражением относительно гиперплоскости На，ортогональной вектору а. Мы будем называть такое преобразование отражением по направлению лектора а.

Введем обозначение ⑨ для группы, порожденной отражениями 5々，где а пробегает систему всех простых корней алгебры X. Группа ⑨ называется группой Вейля.

Теорема 13. Группа Вейля сохраняет систему корней и содержит все отражения sa> где a ——произвольный корень алгебры X.

Доказательство. Если а, 0 — корни, то, как мы видели в § 92, —2(a, 0)/(a, a) = р + g, где p н g — минимальное и максимальное из целых чисел 〃，для которых § + 〃а является корнем. Следовательно, вектор

«а₽ = ₽ +(Р + <7)а

является корнем (действительно, р《0, д》0, откуда pW〃 + g《g). Отсюда следует также, что группа Вейля сохраняет вещественное подпространство Но, натянутое на корни алгебры X.

Выбросим из Но все гиперплоскости "口，ортогональные корням; тогда оставшееся множество распадается на конечное число связных областей; каждая такая область называется камерой Вейля.

Положим, в частности,

К十={% 三"°, (%, g)〉0, Z = I, 2, . . ., г),

где (оi — простые корни алгебры X. Очевидно, это множество является связным. Если h 重 К. то (Л,(о^)^О хотя бы при одном значении / = 1, 2, . .., г. Это означает, что либо hw 口必廿 либо Л отделено от К+ гиперплоскостью Н®「Следовательно, К+ является камерой Вейля.

Лемма. Всякая камера Вейля может быть получена из камеры К* некоторым преобразованием группы Вейля.

Доказательство леммы. Заметим вначале, что группа ⑨ является конечной (действительно, эта группа состоит из перестановок корней, число которых конечно). Фиксируем точки 乞三尺,乞十三氏十 и среди ко-

нечного множества точек sz, s 三 ®, выберем точку 备, ближайшую к %+• Заметим, что sz 書//% ни при одном значении » = 1, 2, . . ., г. Действительно,

(sz, д) = 0=ф(2, s-^^^O,

что невозможно, ибо является корнем. Следовательно, либо No 三 К+, либо 2о отделяется от К+ хотя бы одной гиперплоскостью //叫.Но в последнем случае отражение sw. приближает г0 к г+. В силу выбора г0 это невозможно, т. е. г0 ^ К^- Следовательно, sKu К± при некотором s 三⑨(поскольку К связно). Из максимальности К следует равенство sK = К+. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь произвольный корень а и выберем камеру К таким образом, чтобы ее граница пересекалась с гиперплоскостью На по многообразию размерности 〃а・ Если sK = К+, ТО, очевидно, S〃a = 〃吗，при некотором i = 1, 2, .. . , г. Отображение sSs является зеркальным отражением относительно гиперплоскости 〃а・ Следовательно, s~lSiS = S&, и отсюда следует, что Sa 三 S. Теорема доказана.

С л едств и е 1. Группа S конечна.

Следствие 2. Каждый корень а может быть получен некоторым преобразованием s ^ S из простого корня со；.

Действительно, если sHq = Н®「то sa = 士①小 Поскольку SgS» = — со；, то одно из преобразований s, s^.s переводит а в(ог.

Заметим теперь, что всякий автоморфизм s ^ S может быть продолжен (§ 94, следствие из теоремы 4) до автоморфизма всей алгебры X. Уточнением этого утверждения является

Теорема 14. Пусть Go — присоединенная группа для алгебры X и Uo ——максимальная компактная подгруппа в Go, порожденная компактной формой Вейля. Тогда для каждого s 三⑨ существует преобразование 辽(s)三 Но, совпадающее с s на картановской подалгебре Н.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай s = Sq. Докажем, что в этом случае 辽(s) = exp2,

где положено

Действительно, если й w "疗，то [й, ?竄]=[й, e_ J = 0, и отсюда следует, что хЯа = (0), т е. 〃(s) оставляет гиперплоскость "竄 неподвижной. Остается применить 〃⑸ к элементу а 丄 "竄.Заметим, что трехмерное пространство инвариантно относительно и оператор х в этом пространстве может быть записан в виде матрицы £ =卩а, где 卩=Е н

относительно базиса а, V(а, а) еа, ]/(а, а) е_а. Заметим, что 〃з = о; следовательно, ехрца = 1 + (sin冗)а + (cos冗一 —1)絞=1 — 2a2, откуда

-10 0

exp ца = 0 0 1.

0 1 0

В частности, отсюда следует, что 以(s)a = —а. В результате 〃(§)= % на картановской подалгебре Н. Остается заметить, что 尤 содержится в компактной форме Вейля. Теорема доказана.

Рассмотрим более подробно некоторые свойства группы Вейля, которые часто используются в приложениях. Для краткости положим s^ = s^. Всякий элемент s 三 ® запишем в виде

5 — S/ S； . . ■ S； ♦12 1т

Цепочку s назовем несократимой, если s невозможно представить в виде s^s% . . . $力,где 九 /2, ji — подпоследовательность индексов 厶，必 …，im н / V m.

1° Рефлексия s? переводит о)?・ в ——①》и переставляет все остальные положительные корни между собой.

Доказательство. Если ос——положительный ко

рень, а = £曲(0〃 то все коэффициенты & должны быть неотрицательны (§ 93). Имеем

б” — 2 々№/ + (电一孔)(о,・

Если хотя бы одно из чисел 电・，j ¥=', отлично от нуля, то все остальные коэффициенты неотрицательны и sot > 0. Если же &/= 0 при j # i, то а = g н %сс = —а.

2° Если элемент s w ® переводит всякий положительный корень в положительный, то s = е.

Доказательство. Положим s siisi2 • • • sim и условимся рассматривать только несократимые цепочки. Доказательство будем вести индукцией по т.

Если 僞=1, то 2° непосредственно следует из Г. Если 小〉1, то положим

S =(Sf・ Si . . . S, ) Sf = S S： •

Очевидно (ввиду Г), что s' переводит ①仇 в отрицательный корень (и переставляет все остальные положительные корни между собой). Разобьем цепочку s' следующим образом:

s' = (s“s& s，j)s,S*—) = 0S/.

Если k — 1 (团= 1), то полагаем(у = е (t = e). Подберем номер k таким образом, чтобы vcoZm>O, HOs^tg^V < 0. В этом случае непременно 弋9团=仰旷 Исходя из определения рефлексий, находим отсюда, что

Следовательно, xslm == si}x и s'=仃酊左工=仃工邑团. Значит, s sfSim = ат, и цепочка s сократима, вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что s = e.

Наше утверждение доказано. В иной формулировке оно выглядит следующим образом:

Теорема 15. Группа Вейля действует просто транзитивно на совокупности камер Вейля.

(Говорят, что группа G действует просто транзитивно на множестве М, если для каждой пары точек mi, т?^ М существует одно и только одно преобразование группы G, переводящее 巾 в 团2・)

Действительно, как мы видели при доказательстве теоремы 13, группа Вейля действует транзитивно на совокупности камер Вейля. В частности, s^ = К+ для каждой камеры Вейля ^. Если 邑长二长十 и &К = К+，то s}s~]K+ = К+^ Согласно 2° отсюда заключаем, что S]S£i = е, т. е. » = 52.

Система Ф, состоящая из корней, называется фундаментальной, если каждый корень а однозначно представляется в виде 曰々/Ф〃 ф/в ①， где числа ^ одновременно либо положительны, либо отрицательны. Из теоремы 15 вытекает

Следствие. Группа Вейля просто транзитивна на совокупности всех фундаментальных систем ).

Доказательство предоставляется читателю. (Достаточно установить соответствие между фундаментальными системами и камерами Вейля; см. также [128].) В заключение отметим еще одну замечательную характеристику группы Вейля：

3° Группа Вейля изоморфна Л/Ло, где А~ совокупность всех внутренних автоморфизмов, сохраняющих картановскую подалгебру Я, и Ло — подгруппа всех автоморфизмов вида ехр Dh, h ^ Н.

Доказательство см., например, в [128}, стр. 182— 187.

Существование комплексной оболочки

До сих пор мы откладывали решение принципиального вопроса о существовании комплексной оболочки у произвольной компактной группы Ли. Теперь приступим

к решению этого вопроса. При доказательстве будем опираться только на глобальную теорему (гл. IV).

Пусть G — произвольная компактная группа Ли. Поскольку G допускает точное линейное унитарное представление, мы будем считать, что G линейна, и записывать каждый элемент gwG в виде унитарной матрицы II gu II. /=1 2%• Функцию f(g) мы назовем полиномом

на группе G, если она представима в виде полинома от переменных g仃，公力 jJ = 1,2,. . ., n0.

Лемма 1. Функция f(g) является полиномом на группе G тогда и только тогда, когда она представима в виде линейной комбинации матричных элементов группы G.

Доказательство. Напомним, что матричные элементы группы G суть матричные элементы ее неприводимых представлений. Согласно глобальной теореме каждое такое представление содержится в классе тензоров; следовательно, его матричные элементы являются полиномами на G. С другой стороны, каждый одночлен от g订,日订 является матричным элементом тензорного произведения вида g®g®...®g®...®g, где g = g'^ = =g ——контрагредиентное представление G. В силу принципа полной приводимости этот одночлен раскладывается в сумму матричных элементов группы G. Лемма доказана.

Условимся записывать каждое неприводимое представление группы G в виде матрицы

俨®』喰(g儿

где а ——дискретный индекс, нумерующий представление, и ^ = dim та. Между матрицами ra(g) существуют следующие соотношения:

т。(g) ® 丿(g) = L (т% (g)㊉...Ф Ta™ (g)) C, с постояными матрицами С (зависящими от a, p). Действительно, каждое из этих соотношений выражает разложение pa®t0 на неприводимые компоненты. Для матричных элементов соответственно имеем

(g)呜(g) = £ 窑” (％ в； p，q； k> /)唸“(g)・

Мы условимся называть такие соотношения соотноше паями Клебша — Гордана. Если выразить каждый из матричных элементов в виде полинома от gt〃 gq, то получаем систему алгебраических соотношений

噂电（g〃，（）

которым удовлетворяют все матрицы g 三 G. Условимся называть такие соотношения фундаментальными соотношениями для группы G. Докажем, что имеет место

Л е м м а 2. Система чисел 自;^ удовлетворяет соотношениям Клебша ——Гордана

臨北=N В； 〃 夕；A /间"

тогда и только тогда, когда эта числа могут быть представлены в виде^）

自"q = %q（x订，У%），

где числа 工仃，у仃 удовлетворяют фундаментальным соотношениям （-：：-）с заменой g\j на х仃，g叮 на у订.

Доказательство. Заметим вначале, что если исходное представление группы G неприводимо, то параметры gij, g订 сами входят в число матричных элементов группы G. В общем случае мы положим

g〃 = X 九订（а, р, <?）啮（g）, g〃 = £ 卩〃 （a, p, q）脸（g）.

Здесь суммирование ведется по tz, р, q н обе суммы конечны. Если числа 自^^ удовлетворяют соотношениям Клебша ~ Гордана, то мы положим

ХИ = X\/（а，Р，<7）瑜，У“ = N 匕/ （а, Р，q）瑜.

Тогда эти числа, очевидно, удовлетворяют соотношениям （*）. Фиксируем теперь индекс а = а。и рассмотрим представление в классе тензоров, содержащее та°; тогда

мы имеем

(g ㊁ g ㊁...® g ® ... g) и =^(g)® •

Разлагая в свою очередь представления g и 息 на неприводимые, получаем в левой части формальный полином (относительно операций & Q). Соответствующие соотношения между матричными элементами являются следствием сотношений Клебша ——Гордана. Следовательно, они не изменятся, если вместо т% (g) сделать подстановку чисел 聪.В результате

蹤=*(х",У订)'

где числа 尤叮，у仃 выражаются указанными выше формулами через ^ - С другой стороны, если числа 尤订,у订 удовлетворяют соотношениям (*), то для чисел 自力 автоматически выполняются соотношения Клебша — Гордана. Лемма доказана.

Замечание. Если матрицы % = Пх^-Ц, у ="勿j|| удовлетворяют фундаментальным соотношениям, то 尤旷=е, где штрих означает транспонирование.

Действительно, в число фундаментальных соотношений для матрицы gw G входит условие унитарности:

gg* = е，

которое выражает тот факт, что в тензорном произведении g ® g содержится единичное представление. Заменяя g на х и g на у, получаем нужное соотношение.

Введем теперь обозначение 加(G) для множества всех пар х, у, удовлетворяющих системе фундаментальных соотношений

①(%, 9)= 0,

где Ф — один из полиномов системы ⑺.Тогда 加(G) является алгебраическим многообразием в М (2п0). Поскольку у = х‘т, то 百(G) мы можем рассматривать вложенным в группу GL(n0, С):

M(G)uGL(%, С).

Лемма 3. Многобразие 必(G) является группой.

Доказательство. В силу леммы 2 достаточно проверить, что если два набора 三={自力}, " = {"%} удовлетворяют соотношениям Клебша——Гордана, то «произведение» 白=三“，составленное из чисел

/V产и №

также удовлетворяет соотношениям Клебша ——Гордана. Положим ^а = ||^ II，1f =(噹/|,泸=|對/|; тогда 厂=旷限, и согласно известному правилу тензорных произведений мы имеем

产8^ =(醉8的3a8哂.

Используя соотношения Клебша ——Гордана для наборов 昌 ”，заключаем, что 18心=L1戸㊉宀㊉...㊉R)c. Кроме того, согласно замечанию на стр. 477 матрицы из ^(G) обратимы в 加(G). Лемма доказана.

Согласно построению группа G содержится в 加(G). Следовательно, G содержится также в 加(G)A U(%)•

Лемма 4. Группа G совпадает с совокупностью всех унитарных матриц из 加(G).

Доказательство. Положим Gi =^ (G) П U (%). Поскольку группа Gi линейна, всякий ее матричный элемент является полиномом от 尤订,尤订，i, / = 1,2, ..., и; последние переменные в свою очередь могут быть разложены по матричным элементам i^q (尤〃，尤订)(см. доказательство леммы 2). Из равенства таких полиномов нулю на группе G следует их равенство нулю на Gi ). Следовательно, всякое неприводимое представление группы G] остается неприводимым при сужении на G. Как мы видели в § 31 ), отсюда следует равенство Gi = G. Лемма доказана.

Лемма 5. Группа 加(G) является правильной коти- плексной оболочкой группы G.

Доказательство. Заметим, что группа 加(G) вместе с каждым элементом g содержит также g*. Дей

ствительно, матрица С в соотношениях Клебша — Гордана унитарна, и это позволяет заменить каждый элемент R на (廿产 Следовательно,垓(G) содержит также элемент р? = gg*・ Покажем, что 成(G) содержит матрицу р.

Пусть р ——произвольная положительно определенная эрмитова матрица из 垓(G); положим р = х-^х, где матрица е диагональна. Если f(g)——один из определяющих полиномов для 垓(G), то f(pm) = 0 для всех значений m = 0, 1, 2,.. . Следовательно,

f (%-ь""尤)=0,m = 1, 2,

Поскольку левая часть является полиномом от собственных значений матрицы е, то отсюда следует также, что f(х"^^) = 0 для любого комплексного А. Следовательно, матрица р九 содержится в 垓(G) при любом комплексном А. Полагая, в частности, р = р2, заключаем, что р九 содержится в 加(G) при любом комплексном А. Следовательно, унитарная матрица и в полярном разложении

g = P〃

также содержится в 垓(G). Поскольку р и и непрерывно зависят от g, то отсюда получаем, что многообразие 垓(G) изоморфно прямому произведению：

加(G»ZXG,

где 纟—совокупность всех положительно определенных матриц из ^ (G). Если р 三 夕,то 綻三垓(G) при всех комплексных А; в частности, содержится в G при всех вещественных ср. Следовательно, dim 纟《dim С другой стороны, если erG, u = exp ih, то аналогичное рассуждение показывает, что ехр 访三垓(G) при любом вещественном 力 Следовательно, dim 纟 = dim G. В результате, если X — алгебра Ли группы G и 垓(X)— алгебра Ли 垓(G), то мы имеем разложение в прямую сумму:

加(Х) = Х +，Х・

Следовательно,垓(G) является комплексной оболочкой группы G. Кроме того,垓(G) = 2 X G, где 2 является

евклидовым пространством. Следовательно, каждая связная компонента группы ^(G) содержит лишь одну связную компоненту группы О. Лемма доказана.

В результате получена следующая фундаментальная Теорема 16. Всякая компактная группа Ли имеет правильную комплексную оболочку.

Нетрудно показать, что эта оболочка определяется однозначно (с точностью до изоморфизма). С другой стороны, как показано в § 101, всякая связная редуктив- ная комплексная группа Ли содержит компактную вещественную форму. Комбинируя с теоремой 16, получаем

Следствие. Множество всех надкомпактных связных групп Ли совпадает с множеством всех редуктив- ных связных комплексных групп

Заодно мы получили еще одно доказательство алге- браичности компактной группы Ли. Кроме того, мы видим, что ее комплексная оболочка также алгебраична.

Упражнение

Показать, что всякая полупростая комплексная связная группа G допускает разложение вида UEU, где подгруппы И н Е те же, что и в разложении Ивасавы. (Указание: привести положительно определенную матрицу q = gg к диагональному виду с помощью унитарного преобразования 〃 е И *).)

Некоторые дополнительные результаты

Остановимся вкратце на некоторых вопросах, близких к тем, которые рассматривались в этой главе. Прежде всего, в предыдущем параграфе, помимо доказательства основной теоремы, мы получили еще значительную информацию о свойствах компактной группы Ли. Этот круг идей известен под названием теории двойственности.

Пусть О — компактная группа Ли и индекс а нумерует все ее неприводимые представления (рассматриваемые с точностью до эквивалентности). Введем линейное пространство В как линейную оболочку формальных символов ej, р, q=L 2, . . ., N&, где Na — размер-

ность представления с номером а. Тогда мы имеем

где 5a — линейная оболочка символов е% с фиксированным индексом а （все эти элементы считаются линейно независимыми）. Введем в пространство 5 билинейную операцию х*у следующим образом:

dJcTQ%㊉е%㊉...㊉е%）С.

Здесь еа = ||е^Ц ？ 川 и матрица С является матрицей Клебша — Гордана для группы G. Указанное символическое правило расшифровывается следующим образом:

纥 * 成2 cvja.p; р, q- k, l）e^n

с коэффициентами, введенными в § 106. Операция х у называется кронекеровским произведением 8 5. Алгебра В называется блок-алгеброй, ассоциированной с группой G. Иногда эту алгебру называют также дуальным объектом или дуальной системой для группы G.

Определим инволюцию в алгебре 5 как эрмитово сопряжение в каждом блоке 6。； при этом

（%）*=%•

Характером алгебры 5 назовем произвольный линейный функционал 自（Ь）, обладающий свойством мультипликативности:

自（仇*b2）=自（d）自（%）•

Унитарным характером алгебры 5 назовем произвольный характер, удовлетворяющий дополнительному свойству унитарности:

Пусть X—множество всех характеров алгебры 8 Заметим, что каждый характер 自三犬 однозначно определяется набором чисел 百% =自觴） Положим

占=k"/lp, g=l,2,…，川口・

Как следует из определения характера, числа 己力 удовлетворяют соотношениям Клебша ——Гордана. Отсюда следует (см. § 106), что матрица 尹 обратима. Кроме того, если W, г| — два характера, то матрица

также определяет характер CwX. Следовательно, множество X является группой. Множество X。всех унитарных характеров является подгруппой в группе X.

Теорема 17. Множество Хо всех унитарных характеров алгебры 8 изоморфно группе G. Множество X всех характеров алгебры В изоморфно комплексной оболочке & (G).

Доказательство. Согласно лемме 2 из § 106 система чисел 己力 тогда и только тогда удовлетворяет соотношениям Клебша — Гордана, когда

阻 f (g)

для некоторой точки g 三況(G). Согласно лемме 4 gw G тогда и только тогда, когда все матрицы 己力 унитарны. Но это равносильно унитарности характера 己. Теорема доказана.

Иногда вместо блок-алгебры В рассматривают систему Д всех неприводимых представлений группы G. Всякий характер алгебры В называют представлением системы А. Тогда группа G отождествляется с совокупностью всех унитарных представлений системы А.

Пример. Пусть G — группа вращений окружности; тогда каждое ее неприводимое представление нумеруется целым числом п,——оо < п < оо (и имеет вид где Ф ——угловой параметр в группе G). Алгебра В натянута на базисные элементы еп с законом умножения

2母 * 2m ~ ^n + w

Найдем характеры алгебры В. Положим ^ — 6(^п) ； тогда мы имеем систему уравнений

Отсюда, в частности, следует, что & = 1. Далее, если & = г, то Еп = г71 для всех значений п. Здесь г ——произ-

вольное комплексное число. Налагая уеловие унитарности, получаем характер

匕(ф) = е‘吗0<(р<2л.

Отсюда очевиден результат теоремы 17 для группы G. В частности, множество всех унитарных характеров изоморфно группе G.

Аналогичная структура всегда имеет место для произвольной коммутативной компактной группы G. В этом случае система Л также состоит из характеров группы G. Теорема 17 в этом частном случае была впервые доказана Л. С. Понтрягиным и именуется понтрягинским принципом двойственности.

Далее, вернемся к вопросам структуры самой группы Ли. Если G — разрешимая связная группа Ли, то оказывается ([92], [113]), что она разлагается в произведение своих однопараметрических подгрупп:

G = G[G2 .. . Gm

При этом существует такое разложение, при котором каждая подгруппа Rh = G^Gh+\ ... G^ является нормальным делителем в Ri (Ro = G). Если G односвязна, то указанное разложение g = gig2 .…gm однозначно и взаимно непрерывно *).

Далее, используя теорему Леви ——Мальцева и разложение Ивасавы, получаем следующий результат:

Теорема 18. Всякая односвязная группа Ли. может быть разложена следующим образом'.

G A-U,

где Т ——разрешимая односвязная подгруппа, Л——односвязная абелева подгруппа 卫 U ——компактная подгруппа в G. При этом индивидуальное разложение

g = tan, / 三 Т, A, u е U, однозначно и взаимно непрерывно (т. е. элементы 厶 о, а являются непрерывными функциями от g).

Этот результат был получен независимо А. И. Мальцевым [113] и К. Ивасавой [92]. См. также [128]. Отсюда, в частности, следует, что G гомеоморфно 2 X U, где 2 ——евклидово пространство. Следовательно, топология связных групп Ли сводится,几。существу, к топологии компактных групп Ли.

Заметим, что конструкция группы G в теореме 18 может быть получена непосредственно из алгебры Ли этой группы [128]. Иначе говоря, на этом пути получается доказательство существования группы Ли с заданной алгеброй Ли.

Отметим еще одно доказательство этого утверждения, пригодное в случае полупростой комплексной алгебры X. По алгебре X определяется система всех ее неприводимых конечномерных представлений, затем соответствующая блок-алгебра В, по которой в свою очередь строится двойственная группа G. Очевидно, G — группа Ли с алгеброй Ли X, Поскольку 6 и X обладают «одинаковым запасом» неприводимых конечномерных представлений, то отсюда нетрудно заключить, что группа G односвязна. Кроме того, из этой конструкции непосредственно вытекает алгебраичность группы G. Аналогичная конструкция пригодна в случае компактной алгебры X.

Наконец, остановимся на одном весьма частном вопросе из теории инвариантов. Следующая теорема принадлежит К. Ш е в а л л е [144].

Теорема 19. Пусть G ——конечная линейная группа, порожденная рефлексиями 8 п-мерном евклидовом пространстве. Тогда алгебра / всех полиномиальных инвариантов содержит п независимых образующих.

Таким образом, в данном случае мы получаем значительное з^точнение теоремы 1 из § 98.

Теорема 1 принадлежит Д. Гильберту (см. [10]) и является одной из классических теорем теории инвариантов. Обобщения этой теоремы можно найти, например, в [128], стр. 91. См. также [76], стр. 26. Доказательство свойства алгебраичности компактной группы Ли (теорема 3) заимствовано автором из /екш擋 Э. Б. В и н- б е р г а [15]. (Заметим, что в этих лекциях вместо усреднения по группе используется усреднение по векторному пространству, в котором действует группа.) Теория алгебраических групи разработана главным образом в работах К. Ш е в а л л е [46] (том. II); мы касаемся здесь лишь простейших вопросов этой теории.

Разложения Гаусса и Ивасавы (§§ 100, 101) относятся к важнейшим разложениям полупростой (и редуктивноп) группы Ли, используемым в теории представлений ([68], [85]). В этой книге мы рассматриваем такие разложения только для комплексных групп Ли. Разложение Гаусса было в общем виде, по-внднмому, впервые получено в работах Хариш-Чандры. Здесь мы приводим доказательство, данное в статье [85], и получаем разложение Ивасавы из разложения Гаусса (см. доказательство теоремы 7). Первоначальное доказательство принадлежит К. И в а с а в е [92] и А. И. М а л ь- ц е в у [113]. См. также [85], [92], [113] по поводу обобщения на вещественный случай.

Связь между геодезическими и однопараметрическими подгруппами была впервые отмечена Э. Картаном. Более подробно этот вопрос был рассмотрен К. Н о м и д з у [120]. См. также [42], [128]. Теорема о сопряженности максимальных торов принадлежит Г. Вейлю [61]. Здесь изложено простое доказательство, предложенное Дж. Хантом [135].

В этой главе мы впервые затронули «глубокие》вопросы топологии (§ 103, «Фундаментальная группа и центр»). Основная теорема о компактности универсальной накрывающей принадлежит Г. Вейлю; в настоящее время известно несколько вариантов доказательства этой теоремы ([128]), из которых мы предпочли наиболее непосредственное построение (Л. С. Понтрягин [38]). Теорема о линейности полупростой комплексной связной группы Ли получается отсюда как простое следствие (см. § 104). Группа Вейля была введена Г. Вейлем [61] при изучении структуры полупрост ых комплексных алгебр Ли. Более подробное изложение свойств этой группы можно найти в [19], [128].

Существование правильной комплексной оболочки для произвольной компактной группы Ли является одним из основных результатов этой главы. Как отмечалось в тексте, этот результат мог бы быть изложен непосредственно вслед за глобальной теоремой, т. е. он не опирается на классификационную теорию. Наше изложение является упрощенным вариантом изложения К. Ш е в а л- л е [46] (том I, стр. 273—293).

Теория двойственности была впервые построена Л. С. П о пт р я г и н ы м [38] для произвольных локально компактных абелевых групп. Ее обобщение на произвольные компактные группы принадлежит Т. Т а н н а к е [131]. В работе М. Г. Крейна [105] дается аксиоматическое описание блок-алгебр, т. е. объектов, двойственных к компактным группам Ли. По поводу обобщения этой теории на некомпактные группы Ли см. [131'].

Относительно более детального описания компактных групп Ли в целом см. также [46], [81], [128].

ГЛАВА XVI

ОПИСАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В этой главе будет построена глобальная теория неприводимых (конечномерных) представлений произвольной связной группы Ли. Мы увидим, что решение этого вопроса сводится, по существу, к рассмотрению компактных групп Ли. В свою очередь, если ограничиться компактными группами Ли, то основная техническая сложность приходится на долю полупростых (в действительности на долю простых) связных групп Ли. Используя аналитическое продолжение, мы можем ограничиться рассмотрением полупростых комплексных групп Ли.

Теория неприводимых представлений полупростой комплексной группы Ли может быть построена с помощью инфинитезимального метода (подобно тому как в гл. V мы рассматривали группу SU(2)). Однако глобальный подход обладает преимуществом большей завершенности, поскольку каждое представление строится эффективно в виде чрезвычайно простой «канонической модели». Некоторые вопросы инфинитезимальной методики будут рассмотрены в следующей главе.

Основная теорема

Мы будем рассматривать в этой главе произвольную комплексную редуктивную связную группу G. Согласно результатам гл. XV эта группа надкомпактна (и потому алгебраична). Кроме того, она обладает разложением Гаусса, которое мы будем записывать в виде

G = Z—DZ+.

Здесь черта означает замыкание множества Greg = = Z^DZ^. Напомним, что множество Greg получается удалением из G некоторого «сингулярного» подмногообра-

зия, размерность которого меньше размерности G. Здесь D ——«диагональная» (картановская) подгруппа, Z_, Z±—- «корневые» подгруппы, которые порождаются касательными векторами е^, ещ, со > 0. Z_ и Z+ односвязны и нильпотентны.

Мы условимся рассматривать представление группы G только в комплексных векторных пространствах. Если использовать замечание, сделанное в конце доказательства теоремы 6 в гл. XV, то нетрудно заключить, что во всяком линейном представлении группы G существует базис, относительно которого элементы из Z_, D, Z+ становятся нижними треугольными (с единицами на диагонали), диагональными и верхними треугольными (с единицами на диагонали). Однако этим замечанием мы сейчас не будем пользоваться.

Займемся систематическим описанием всех неприводимых представлений группы G.

Определение 1. Пусть g Tg — произвольное конечномерное представление группы G в (комплексном) векторном пространстве V. Вектор g ^ У мы называем старшим вектором этого представления, если

для всех элементов г ^ Z+ и если, кроме того, вектор 自 является собственным относительно картановской подгруппы

7点=a⑹自(自，0),

где 6 三 D. Функция а (6) (которая, очевидно, является характером группы D) называется старшим весом данного представления.

Заметим, что группа R+ = DZ+ является разрешимой связной группой Ли и группа Z+ является ее производной подгруппой. Согласно теореме Ли (§ 88) в любом конечномерном представлении группы R+ существует вектор, собственный относительно Л+. Всякий такой вектор автоматически является инвариантом подгруппы Z+. Следовательно, всякое конечномерное представление группы G обладает хотя бы одним старшим вектором.

Теорема 1. Всякое неприводимое представление группы G обладает единственным (с точностью до

множителя) старшим вектором. Соответствующий стар- ьиий вес определяет данное неприводимое представление с точностью до эквивалентности. ，

Пусть а(6)—старший вес данного представления 汉 a(g) — значение функции а (6) на. диагональной компоненте 6 8 разложении Гаусса g =白6之，之 三 Z_, 6 三 Q, г ^ Z+. Тогда a(g)——аналитическая фнукция на группе G и представление может быть реализовано следующей формулой:

Tj(z) = a(z, g)f (%).

Здесь а (乙 g) = a(zg) 以 элемент zg ^ Z+ определяется как правая компонента г в разложении Гаусса zg = =匕8%. Пространство представления состоит из полиномов на группе Z = Z^) и является линейной оболочкой всевозможных функций fg(z) = а(%, g), g 三 G.

Старшим вектором в данной модели является функция 3(N)三 1 на группе Z. Всякий матричный элемент данного представления является линейной комбинацией функций 中(g) = a(gigg2), ede g】，g? пробегают G.

Доказательство. Пусть T — неприводимое представление группы G и fo(g) = (^g-^o, Уо)一一 его произвольный матричный элемент. Согласно теореме Ли мы можем выбрать векторы хОт Уо таким образом, чтобы они были собственными относительно DZ+, DZ^ соответственно. Тогда имеем

fo (С 品)=а ⑹(％0, %) = В ⑹(％о, Уо),

где а(6) — собственное значение оператора Т6 на векторе %о и |3(6)—собственное значение сопряженного оператора Тб на векторе у» Если (%о,Уо)=О, то (Т“о, Уо) = О тождественно на группе G, и это означало бы, что циклическая оболочка вектора %о ортогональна вектору у。. Из неприводимости Т вытекало бы в этом случае, что либо %о = 0, либо Уо = 0, что исключается теоремой Ли. Следовательно, а(6)= В(6), и мы имеем

/о (甘 6z) = а (6),

если нормировать векторы №, yQ таким образом, чтобы (%о, Уо)= 1. Если Xq ——какой-либо другой старший вектор представления Т, то мы по-прежнему имеем』(6)=0⑹, и вектор %q можно нормировать так, чтобы (%, %j= L Отсюда следует равенство az(d) = а(д) и также

((*о - /)' %)=。・

Поскольку вектор / — % по-прежнему имеет собственное значение а(6), то либо он равен нулю, либо также является старшим вектором представления Т. Последнее, как мы видели выше, невозможно ввиду ортогональности % —% и уо. Следовательно,珞=%• Единственность старшего вектора доказана.

Пусть ①丁 ——линейная оболочка всех матричных элементов представления Т. Тогда ①丁 инвариантно и неприводимо относительно двусторонних сдвигов:

T&J(g) = f(g”gg2)・

Следовательно,①丁 является циклической оболочкой функции a(g) = fo(g)・ Если два неприводимых представления Т, Т‘ имеют одинаковый старший вес а(5), то St — Вт, откуда заключаем, что Т эквивалентно Тг.

Рассуждая, как в гл. VII при построении «канонической модели》，мы реализуем представление Tg в классе функций на группе Z = Z+. При этом пространство представления состоит из всевозможных функций вида

f (z) = (7>, %),

где х пробегает исходное пространство представления Т. Поскольку Z = Z+ ——односвязная нильпотентная группа, то всякий элемент z wZ однозначно записывается в виде 2 = ехр а, где а — элемент алгебры Ли группы Z. Следовательно,

42

Гг = ехр Л = 1 + Л + -2р+

где Л — инфинитезимальный оператор группы Z. Поскольку Л — треугольная матрица с нулями на главной диагонали, то Ат = 0 при некотором т. Полагав

А = 2 力А (относительно некоторого базиса в алгебре

Ли), заключаем, что Т2 является полиномом относительно канонических координат 査.Теорема доказана.

Реализацию неприводимого представления, указанную в теореме 1, мы будем называть канонической моделью или реализацией на группе Z.

Функцию a(g), введенную в условиях теоремы 1, мы будем называть производящей функцией данного представления. Имеем:

1° a(ggz) = a(g)；

2°。(6g) = а (g。) = а (g) • а ⑹

для всех значений gwZ_, zwZ+，bwQ, g ^ G. Соответствующая функция двух переменных а(乙g) = a(zg) обладает следующими свойствами:

3° a (z, g]g2)= a(z, g])a(z&, g?)；

4。а(2, г0) = 1;

5° а ⑵ 6) = а ⑹.

Здесь, z, Zq пробегают группу Z = Z十 и BwD. Первое условие очевидно ввиду соотношений мультипликативности для операторов Tg. Из остальных двух условий мы получаем в свою очередь чрезвычайно простые правила действия для преобразований из Q и Z：

- т J (z) = f Зо), 76f (г) = а ⑹ f(6嗔6).

Мы будем существенно использовать эти правила в дальнейшем.

Старшие веса и сигнатуры

Назовем характер а(5) группы D индуктивным, если он является старшим весом одного из неприводимых представлений группы G. Пространство канонической модели обозначим У?а и само неприводимое представление со старшим весом а(6) обозначим символом d(a). Для полного описания всех возможных неприводимых представлений группы G осталось перечислить все индуктивные характеры. Отметим пока только их простейшие свойства.

Г Если характеры а'(6), а"(6) являются индуктивными, то характер а(6) = с/(6) а〃(6) также является индуктивным^ причем

吼=%猊*

где правая часть означает линейную оболочку всевозможных функций вида f (之)=产(z)f"(z), 产三济。，, 片三宽环

Доказательство. Достаточно заметить, что пространство 9f1а丹%〃 конечномерно и инвариантно относительно системы операторов

Tj(z) = a(z, g)f(%),

где положено a (z, g)=』(z, g) а〃(z, g); кроме того, единственным старшим вектором в этом пространстве является функция %(z)三 1. Используя принцип полной приводимости, заключаем, что ^'^^ неприводимо. Очевидно, старшим весом в этом пространстве является а(6) = а'(6)а〃(6).

Следствие. Неприводимые представления группы G образуют полугруппу относительно умножения старших весов.

Неприводимое представление d(a), отвечающее характеру а = а'а〃，назовем произведением Юнга представлений d(a'), d(a〃) и условимся писать

d(a) = d (az) d (a/z).

Замечание. Как видно из Г, представление d(a) содержится в тензорном произведении d(a')^d(a〃). Как увидим в дальнейшем (§ 131), оно содержится в этом произведении однократно и является «старшим» относительно некоторой лексикографической упорядоченности. Отсюда вытекает возможность иного определения произведения Юнга.

Условимся вначале рассматривать для простоты только (комплексно) аналитические представления группы G. Запишем произвольный аналитический характер a (6) в виде экспоненты:

a (6) = exp (/, Л) = exp “，

где 6 = ехр А и 片——координаты вектора А относительно некоторого фиксированного базиса в картановской подалгебре 〃). Если характер а(6) является индуктивным, то' вектор I 三 Н мы называем сигнатурой, а линейную форму (/, А)——инфинитезимальным старшим весом представления d(a).

Заметим, что (/, А) является собственным значением (на старшем векторе х0) инфинитезимального оператора D (А), отвечающего произвольному вектору 用 三〃. Очевидно, умножению Юнга отвечает сложение соответствующих сигнатур.

Пусть 0° ——редуктивная связная подгруппа в группе О и разложение Гаусса в группе О индуцирует разложение Гаусса в подгруппе G0, т. е.

Ст reg = L —D Z + ,

где D°, Z)— пересечения группы 0° с подгруппами Z_, D, 2十 соответственно. Сужение всякого характера а(0) на подгруппу D°(a°(d) = а(д) при 6 三 D。) назовем проекцией характера а(6) на подгруппу D0.

2° Если характер а(д) индуктивен для группы G, то его проекция а°(6) индуктивна для, подгруппы 0°, причем

沢з =猊а I?三z。’

где правая часть означает совокупность всех сужений 扑(z) = /(z) при г^г0, f e84a(z° = z + ).

Доказательство. Достаточно заметить, что пространство Жаи инвариантно относительно 0° и единственным старшим вектором в этом пространстве является функция fe(z)三 1. Отсюда следует, что 脏а。 неприводимо. Очевидно, старшим весом в этом пространстве является а0. .

Представление d(a°) мы условимся называть проекцией представления d(a) на подгруппу 0°.

Замечание. Как видно из последнего доказательства, d(a°) содержится в сужении d(a) на подгруппу 0°.

В дальнейшем мы увидим (§ 128), что d(a°) содержится в d(a) однократно и является «старшим» в этом разложении относительно некоторой лексикографической упорядоченности. Отсюда вытекает возможность иного определения проекции.

Определение проекции удобно сформулировать также в терминах алгебры Ли. Пусть X—редуктивная комплексная алгебра Ли и X。一ее редуктивная подалгебра, причем разложение Картана ——Вейля в алгебре X индуцирует разложение Картана — Вейля в подалгебре X。: X。= Xt +/У。+ X，где Xt, "°, Х[—пересечения алгебры Х° с подалгебрами Х_, ", Х+ соответственно (Я означает картановскую подалгебру).

3° Если вектор / является сигнатурой для алгебры X, то его ортогональная проекция на 〃° является сигнатурой для подалгебры Х°.

Доказательство. Достаточно заметить, что старший вектор J представления d(a) является также старшим вектором относительно подалгебры X。и при 用。三 HQ мы имеем (/, ft0) = (/°, h°) где /° — ортогональная проекция вектора / на подалгебру "°. Пространство представления d (а0) является циклической оболочкой вектора 三 относительно инфинитезимальных операторов подалгебры

В частности, пусть 8s ——трехчленная подалгебра в алгебре X, натянутая на векторы з, ею, где з — произвольный положительный корень в алгебре X. Проекция /° в этом случае одномерна, и индуктивность /° по отношению к алгебре 0 0 накладывает определенные ограничения на сигнатуру /.

Действительно, положим 统=со/(w, w); тогда, как мы видели в § 92, соответствующий инфинитезимальный оператор О (с。)может принимать на старшем векторе только полуцелые неотрицательные значения. Отсюда получаем:

4° Если вектор / является сигнатурой, то для любого положительного корня з число 几 =2(/, з)/(з, з) должно быть целым неотрицательным.

В частности, пусть з — один из простых корней 31,32, • • •, Зг алгебры X. Проекции Ц = /<0. мы будем называть числовыми отметками вектора 厶

5° Если вектор / является сигнатурой, то все его числовые отметки должны быть целыми неотрицательными.

Если алгебра X полупроста, то числовые отметки являются координатами вектора / относительно некоторого базиса в алгебре Н (дуального к векторам ^ = =2(Di/((Di, со»). В этом случае, как увидим в дальнейшем, условие 5° является не только необходимым, но и достаточным для индуктивности характера а(д).

§ ПО. Нормально вложенные подгруппы

Прежде чем приступить к окончательному описанию всех возможных сигнатур, остановимся несколько подробнее на некоторых свойствах канонической модели.

Пусть 0° — треугольное усечение группы G, т. е. ре- дуктивная подгруппа, алгебра Ли которой порождается некоторым набором простых корней из алгебры Ли группы G (см. § 100). Как мы видели в § 100, множество G^g и О может быть в этом случае записано в виде

G「eg = N-G?egN + , (*)

где N—、^+ ——односвязные нильпотентные подгруппы, инвариантные по отношению к О0. В этом случае мы будем также говорить, что группа G0 нормально вложена в группу О. Соответствующее разложение (*) мы назвали в § 100 обобщенным разложением Гаусса.

Теорема 2. Неприводимое представление d (а) группы О может быть реализовано s классе вектор- функций на подгруппе N = N+ следующей формулой:

TgfW^AJ(ng).

Здесь Xgo — оператор неприводимого представления группы О0 со старшим весом а, элементы ng и g0 определяются из обобщенного разложения Гаусса ng = =Cgo 几 g, gw N_, g0 e O°, ngW N±. Функции f(n) являются полиномами на группе N и принимают значения 8 пространстве представления Аёа.

Доказательство. Положим Z = Z+, Z° = Z+, где Z+ — корневая подгруппа в группе О и Z】一ее пересечение с группой О0. Поскольку всякий элемент из Z

допускает обобщенное разложение Гаусса, то мы имеемz = zw

и группы N, Z° пересекаются только в единичной точке. Условимся писать f(z) = f(2。孔)=f (z°, n), т. e. будем рассматривать элементы z° 三 Z°,孔三 N как параметры во всей группе Z. Пусть элементы 白，go, ng определяются, как в условиях теоремы. Тогда мы имеем

Zg = Z°ng = z%g0ng =貝 Z°go) %,

где J = z0tz0-1 三"一 (действительно, группа инварианта относительно G0), В результате мы видим, что z°go является центральной компонентой в разложении Гаусса элемента zg. Следовательно, a(zg) = cc(2°go), и мы имеем

九)=a(z。, g°)f (唯,nJ.

Если рассматривать f(z°,孔)как вектор-функцию от п, то мы получаем формулу, указанную в условиях теоремы. Теорема доказана.

Иногда говорят ввиду теоремы 2, что представление d(cc) индуцируется представлением /帥 подгруппы G°.

Теорема 2 дает нам удобное правило индукции при изучении канонической модели. Нам достаточно сейчас рассмотреть тот случай, когда группа G0 имеет в качестве своей алгебры Ли подалгебру

ез = {е-з, 〃‘ ej,

где(о ——произвольный простой корень алгебры X. В этом случае G° нормально вложена в G и подгруппа Z° = =Z П G° совпадает с однопараметрической подгруппой ехр /ew. Группа G0 является редуктивной связной *) группой с полупростой компонентой 6s где 0Л имеет трехчленную алгебру Ли и потому изоморфна SL(2) либо SL(2)/C> где С ——центр в SL(2), состоящий из матриц е,——е. Применяя теорему 2, получаем

樓№)=大(g。)(他+旷川舒34),

*) Связность G° доказывается так же, как связность картановской подгруппы D в теореме 6 § 100,

где / ——аддитивный параметр в Z。，九(go)——одномерное представление редуктивной группы G0 и коэффициенты а, р, у, 6 зависят от параметров & g, но не зависят от параметра /. При этом нетрудно проверить, что m = =/(о = 2(厶 з)/(з, з), т. е. m ——числовая отметка сигнатуры / на простом корне о. Из полученной формулы высекает следующие важные следствия:

Следствие 1. Положим г = (ехр tew)z\ где со — простой корень и 2’ пробегает подгруппу в группе Z, порожденную касательными векторами еи^ о/ > 0, (о. Тогда все функции /(г) ^ 9fa являются полиномами от t степени не выше 厶力

Следствие 2. Пространство §ш всех функций на группе Z, которые являются полиномами от параметра / степени не выше /ш, инвариантно относительно операторов Tg представления d(a).

Следствие 3. Пусть 勿^ — аналитический инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе Z, отвечающий корневому вектору еш., где 3f ——простой корень, / = 1, 2, . . . , г. Пусть 疗:一пространство всех решений системы дифференциальных уравнений

况？+if(z) = O, ，=1, 2,…，，， (**)

в классе всех комплексно-аналитических функций на группе Z. Здесь положено /z = /О/, i = 1, 2, . . ., г. Тогда 9ia инвариантно относительно операторов Тё представления d(a).

Действительно,诡=

£ = 1

Систему (若■») мы будем называть индикаторной системой на группе Z с сигнатурой / = (/J.

Полиномы на группе Z

Как мы знаем), все комплексно-аналитические неприводимые представления надкомпактной группы конечномерны. Этот критерий можно было бы взять за

основу при описании множества всех сигнатур. Очевидно, характер а(д) индуктивен тогда и только тогда, когда соответствующая функция a(g), первоначально определенная на множестве Greg, может быть продолжена до функции, аналитической (и однозначной) на группе G. Однако непосредственное изучение такого продолжения представляется затруднительным, и мы предпочтем окольный путь.

В основу будет положено рассмотрение индикаторных систем на группе Z. При этом мы одновременно будем рассматривать не только комплексно-аналитические, но также и вещественно-аналитические (т. е. все конечномерные вещественные) неприводимые представления группы G.

Пусть 纱厶 勿?•——аналитический и антианалитический инфинитезимальные операторы левого сдвига на группе Z, отвечающие вектору i = 1, 2,,,・,г, где ⑴吊— простой корень. Систему уравнений вида

纽户f⑵=0,纺户f(z) = 0, i = 1, 2, , г,

мы будем называть индикаторной системой на группе Z. В частном случае ki = 0, i = 1, 2, . .., г, мы получаем равенство нулю не только операторов 勿高 но и всех их коммутаторов, т. е. всех антианалитических операторов левого сдвига на Z. Отсюда, очевидно, следует, что функция f(w) является комплексно-аналитической целой функцией от канонических параметров в группе Z. Оставшаяся система уравнений

致户伙z) = 0, /=1, 2,

совпадает с индикаторной системой в классе аналитических функций, введенной в предыдущем параграфе. Удвоенную систему параметров / = (/г),力=(自)(厶，自 —— неотрицательные целые числа) мы по-прежнему будем называть сигнатурой.

В основе всех дальнейших построений лежит следующая теорема:

Теорема 3. Пространство решений любой индикаторной системы конечномерно и состоит из полиномов на группе Z.

Доказательство. Докажем вначале самостоятельное утверждение, которое является обобщением леммы 2 из § 65. Пусть L — нильпотентная алгебра Ли, U ——производная подалгебра и е「 е2, . .. , ег— система элементов, дополняющих базис в U до базиса в алгебре L. Нетрудно видеть, что е【，出，诊 являются образующими в алгебре L, т. е. их коммутаторы порождают U ). Элементы е】, 出，・・・,诊 назовем каноническими образующими в L.

Основная лемм а. Пусть L ——нильпотентная алгебра 〃堂 с каноническими образующими е^ е2, ..., % Пусть x—>D{x)——представление алгебры L s пространстве V (возможно, бесконечномерном)堂 Vo ——подпространство, на котором

D®)/+=0, i= 1, 2/,

где 皿2,...,皿七——неотрицательные целые числа. Тогда операторы D (х), х н L, нульстепенны в Vq с показателем нульстепенности^ равномерно ограниченным по х: r)(x)m+1 = 0, xwL.

Доказательство лемм ы. Пусть п—размерность алгебры. Доказательство будем вести индукцией по п. Фиксируем одну из образующих, скажем е^, и пусть 厶1——линейная оболочка элементов е2,...,㈢

и коммутаторов всех элементов е「Q,％ тогда, очевидно,

l=L0 +厶，

где Lo = {е/ и Li является идеалом в L размерности п——1. Среди элементов вида

е订=對分， / — 2, 3, . . ., /, / = 0, 1, 2,...,

содержится система образующих подалгебры &, (Здесь Е означает, как обычно, оператор ах = [а, х].) Соответственно среди операторов 纱书=D (eQ содержится система образующих алгебры。(厶i). Далее, пусть А = =。(0), В ~ D(6i) при фиксированном L Вместо элементов 勿нам будет удобно рассматривать их линейные комбинации

F (0 = емВе~м = 1 + 勿,•] + ^■勿,2 +

Оператор 尸(/) определен как конечный степенной ряд на подпространстве Vo- Действительно, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 2 в § 65, получаем, что оператор А нульстепенен не только на Vo, но также на В Vo- Аналогично, рассматривая BkV0, k = 0, 1, 2,..・, получаем оператор

F (t) = e ,

определенный всюду на Vo- Если k достаточно велико, то 尸(/)丸=0 на Vo (ввиду нульстепенности В на Vo) Л Vo, ^42VOf .. .). Следовательно, оператор 尸(/) является нульстепенным с показателем нульстепенности, равномерно ограниченным по /. Среди операторов 尸(/) содержится, очевидно, система образующих алгебры 力(厶])). Поскольку dim L\ < dim Л, мы получаем в результате, что операторы。(尤)нульстепенны на Vo для всякого х三Ль

Наконец, используя формулу Кемпбелла — Хаусдорфа ), мы можем представить всякий элемент ехр х, 尤三厶 в виде ехр /б] • ехр у, ywLi, причем если х = =加1 + 2, 2 ^ L\, то у выражается с помощью кратных коммутаторов от 2, ®; следовательно, у является полиномом от Л Соответственно имеем

ехр D (х) = ехр tD (е) • ехр D (у).

Оператор ехр D(y) является полиномом от D(y) на 几 и, следовательно, является полиномом от £ Далее,

используя обычные рассуждения (§ 65), получаем, что Z)(ei) является нульстепенным не только на R。, но также на D(i/)hV0, 々 = 0, 1, 2, Следовательно, exp D(x) является конечным рядом на Vo- Заменяя х на Хх} получаем, что exp W(x) является полиномом от X. Следовательно, D (х) нульстепенен на %. Очевидно также, что показатель нульстепенности равномерно ограничен на Лемма доказана..

Напомним теперь, что в алгебре L существует цепочка вложенных идеалов L = & п 3 п …п Ln = (0), где dim = 1, i = 1, 2, . . . , /г (см. § 85). Отсюда легко заключить, что односвязная группа Z с алгеброй Лн L допускает однозначное разложение в произведение односвязных однопараметрических подгрупп Z^, i = =1,2,/7, причем R? = ZfZf+i • • • Z^ является нор

мальным делителем в R— ). Полагая

2(/) = %(幻22伍)...2„ (/„),

где {?*(/)} = Z», мы можем рассматривать 介，勾，• .. , tn как параметры в группе Z. Нетрудно видеть (из формулы Кемпбелла — Хаусдорфа), что эти параметры связаны с каноническими параметрами в группе Z рекур- рентно и полиномиально. Введенные параметры мы будем называть нормальными параметрами в группе Z. Используя нормальные параметры, из основной леммы получаем

Следствие. Пусть 勿》= D (с。——инфинитезимальный оператор левого сдвига 〃а группе Z, и пусть Fm —— пространство всех решений системы дифференциальных уравнений

勿；"+¥(z) = 0,，・=1, 2,

в классе (обычных или обобщеных) функций на группе Z. Тогда для любого набора неотрицательных целых чисел m「f = 1, 2, . .., /, пространство Fm конечномерно и состоит из полиномов 〃а группе Z ).

Действительно, согласно основной лемме всякая функция

(p(，)= f (z(/)z), f 三 Fm,

где a(f)—произвольная однопараметрическая подгруппа, является полиномом от переменной / с равномерно ограниченной степенью (по f, а н 2(/)). В частности, положим

а = azi (乙)b, г (/) = aZi (/)

где a = 2]22 • • • 2f_i, b =之？+1之£+2 • • • 2n — фиксированные элементы н % — нормальный параметр в группе Z с номером (;тогда мы получаем, что функция(р(/) является полиномом от параметра £ Следствие доказано.

Остается применить полученное следствие к корневой подгруппе Z = Z+. Поскольку эта группа должна рассматриваться как вещественная, то мы рассматриваем «удвоенную» систему образующих 烈，勿з Теорема доказана.

В заключение заметим, что все построения предыдущих двух параграфов повторяются почти дословно для вещественного характера a(6) группы D. В частности, мы внднм, что пространство 猊а всех решений нн- днкаторнон системы инвариантно относительно Тё. Из конечномерности 9t； н непрнводнмостн мы сможем в дальнейшем заключить (§ 112), что »% = ：心 т. е. пространство представления совпадает с пространством всех решений ннднкаторнон системы.

Завершение классификации

Теперь мы можем доказать следующую основную теорему:

Теорема 4. Пусть G — односвязная полупростая комплексная группа Ли. Тогда вектор / 三 〃 является сигнатурой s том 〃 только в том случае, когда все числовые отметки 厶，i= 1, 2, . . . , г, являются целыми неотрицательными.

Доказательство. Необходимость условны уже доказана (§ 109). Докажем достаточность. По данному характеру а(6) определяем функцию a(g) с помощью

формулы

a (g) = а & 6г) = а (6)

в некоторой окрестности единицы группы G (где справедливо разложение Гаусса). Далее определяем функцию двух переменных а (乙 g)= a(zg). Эта функция пока определена только на множестве вида Zi X Gi, где Z【—— окрестность единицы в Z и G]—окрестность единицы в G. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2, получаем, что

a (z, g) = а (г°, gj = (§/ + 6)&

где г° = ^°(0 一однопараметрическая подгруппа с направляющим вектором /ш, со = coy, t = 1, 2, . .. , г, и параметры В，6 не зависят от t. Если /ш — неотрицательное целое число, то заключаем отсюда, что функция a(z, g) удовлетворяет дифференциальному уравнению

勿尸a(z,g)=0,4 =厶厂

Если все числовые отметки Ц, t = 1, 2, . . ., г, неотрицательны и целочисленны, то функция fg(z) = a(z, g) содержится в конечномерном пространстве 此 где 況4 определяется как совокупность всех решений индикаторной системы. Следовательно, fg(z) является полиномом и потому однозначно определяется на всей группе Z.

Далее, воспользуемся формулой 3° § 108, которая вытекает из определения функции a(g) и справедлива при значениях gi, g2, достаточно близких к единице. Эта формула позволяет определить операторы

TJ(z)=a(z, g)f (年)

для достаточно малых g в линейной оболочке 8?а функций % (г). Действительно, ввиду конечномерности 記а и 記: существует конечное число функций 厶(z)= = Q(2), образующих базис в 記&，и оператор Tg определяется для всех элементов g таких, что все произведения ggi достаточно близки к единице:

Следовательно, в 乳 определено представление локальной группы Ли, соответствующей группе G. Ввиду односвязности G это представление однозначно продолжается на всю группу G. Следовательно, вектор / действительно является сигнатурой. Теорема доказана.

Теорема 4 доставляет замечательные следствия не только для описания неприводимых представлений более широкого класса групп Ли, но также и для изучения структуры самой группы G.

Следствие 1. Пусть G ——односвязная полупро- стая комплексная группа Ли. Тогда для каждого корня ш в группе G существует односвязная подгруппа Ли GM с алгеброй Ли 0м = {j, со, е©}.

Действительно, если корень ① простой, то группа GM, построенная в § 110, должна быть изоморфна SL(2) (в противном случае проекция /Q оказалась бы четной). Поскольку всякий корень ① может быть сделан простым относительно некоторого упорядочения (§ 105), то наше утверждение верно для любого со.

Следствие 2. Пусть G ——односвязная полупро- стая комплексная группа Ли. Тогда ее картановская подгруппа D разлагается s прямое произведение

D = D\D?Dr

однопараметрических замкнутых подгрупп D^ = = {exp2Gj, w = 2(о/(ш,(о), где 0 Im / < 2л. Полагая 6 = ехр 户亩厶 0《Im 户 < 2л, получаем однозначную параметризацию группы D.

Действительно группа Di является подгруппой Картана в G^^ и потому ее параметр Л должен нормироваться условием 6 W Im 户式 2r. Разложение Q = =D[D2. . . Dr вытекает из связности D и перестановочности подгрупп D《очевидно также, что £\ Л 〃• = {е} при i ¥= j. Это следствие может быть также записано следующим образом:

Следствие 3. В группе D существуют мультипликативные координаты X； = ехр 户.Всякий комплексноаналитический характер группы D записывается 6 этих координатах следующим образом', xg =心启 ...九;L ^de 孔i, м2» ..., nr ——целые числа.

Перейдем теперь к рассмотрению редуктивных групп Ли. Если G ——односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то, очевидно, G разлагается в прямое произведение G'C, где G' — полупростая связная подгруппа и С — связная компонента единицы в центре группы G ). Поскольку С является комплексной оболочкой тора, то в С существуют некоторые мультипликативные координаты 入入幵 2,Отсюда получаем

Следствие 4. Если G — односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то всякий ее старший вес имеет вид 厶；】厶；2 ...厶7〃， где числа л? являются целыми неотрицательными при i = 1, 2, . .., г и произвольными целыми при t = г + 1, г + 2, . . . , т.

Переход к неодносвязной группе осуществляется, как обычно, путем факторизации по центральному нормальному делителю. Поскольку этот делитель ^ содержится в D, то представление d(a) оказывается однозначным на G/N тогда и только тогда, когда характер а(0) обращается в единицу на М Особенно просто решается этот вопрос в случае полупростой комплексной группы (см. § I®

Следствие 5. Если G ——полупростая комплексная односвязная группа Ли, то полугруппа ее неприводимых представлений имеет ровно г образующих di, d?,... , d^ (где г — ранг группы G). Всякое представление d(a) однозначно записывается s виде

d (а)=小а?…d；「，

где /i, /2, ..., lr-—числовые отметки сигнатуры (под умножением имеется s виду произведение Юнга). Если G редуктивна, то к образующим di, d?,.・.,</「 добавляются еще 2(т ■—г) образующих dt, d[) 2 = г + 1,m (б обозначениях, следствия 4).

Далее, рассмотрим вещественные неприводимые представления группы G. Очевидно, всякий веществен-

нып характер а(6) группы G может быть записан в виде а (6) = n 大"1

(=1

где 厶，电一комплексные числа, для которых, однако, разности 厶一ki должны быть целыми. Как и прежде, условимся считать, что параметры 九卜 Х2, .. ., Хг относятся к полупростой компоненте (остальные — к центру группы G).

Следствие 6. Вещественный характер а(6) индуктивен тогда и только тогда, когда индуктивны отдельно его аналитический и антианалитический сомножители, т. е. когда 厶,々力一целые числа, неотрицательные при 力=1, 2, . . . , г. Представление d(a) является тензорным произведением аналитического и антианали- тического неприводимых представлений.

Подчеркнем, что в этом следствии речь идет об односвязной группе G. В общем случае следствие 6 в осно£з- ном сохраняет силу, но аналитический и антианалитиче- ский сомножители могут быть неоднозначны (даже если а(6) однозначно, см. § 43). Наконец, уточним описание канонической модели.

Теорема 5. Пусть G — односвязная комплексная редуктивная группа Ли и а ——ее старший вес. Тогда пространство 釈々,в котором действует неприводимое представление d(a), состоит из всех решений индикаторной системы

勿?+lf(2)= 0,勛 + Т(2) = 0.

Здесь 厶,々з г = 1, 2, .. ., г, — неотрицательные целые числа такие же, как в следствии 6. Пространство 猊々 состоит из полиномов на группе Z. Тот же результат имеет место, если группа G неодносвязна (но представление d(a) может быть конечнозначным).

Доказательство ничем не отличается от частного случая SL(n), рассмотренного в § 65 (стр. 291) *).

Симплектическая группа

Рассмотрение классических групп можно было бы провести независимо от изложенной выше общей теории ([84]). Тем не менее эта теория дает нам универсальный подход и универсальную терминологию (корни, их метрические свойства и т. д.), что позволяет рассматривать все частные случаи с единой точки зрения. Мы начнем рассмотрения с симплектической группы G = Sp(n, С), которая устроена несколько проще, чем ортогональная /t-мерная группа. Положим

[%, у\ = %1 У" + ^^Уп~\ + • • + %v//v+ 1 — %v + l//v — • • • — ^пУ\ •

Напомним, что группа G состоит из всех линейных преобразований комплексного векторного пространства размерности /2 = 2v, сохраняющих кососимметрическую форму [х, у]. Условие принадлежности матрицы g группе G записывается в виде =o^go, где о ——матрица формы [居 у]:

01

° = 一 С , S —••

Отсюда, в частности, следует, что матрица g имеет детерминант, равный ± 1; в действительности можно показать, что этот детерминант равен +1. В частности, группа Sp(2) изоморфна SL(2). Группа G связна и односвязна *). Ранг этой группы равен v, и схема Дынкина имеет вид

Покажем, что при указанном выше определении фундаментальной формы [х, у} (т. е. при определенном

выборе базиса в n-мерном пространстве) разложение Гаусса в GL(几)индуцирует разложение Гаусса в группе G. Действительно, пусть g = o^g^. Записывая матрицу g в блочной форме (и = V + V), находим, что

II a b II II sd's — sb's IIg = = sa's

где штрих означает транспонирование. Отсюда следует, что преобразование g сводится к транспонированию по отношению ко второй диагонали с изменением знака некоторых матричных элементов. Очевидно, такое преобразование сохраняет подгруппы Z_(几),D(n), Z+(n). Отсюда легко заключить, что разложение Гаусса элементов g w G происходит внутри G. В результате

где Z_, D, Z+ ——пересечения группы G с подгруппами Z_(几)，D(〃)，Z+(几)(и черта означает замыкание). Действительно, множество Greg = Z_0Z+ содержит окрестность единичной точки в группе G, и отсюда следует, что множество «сингулярных» элементов является подмногообразием меньшей размерности в G. Следовательно, Greg всюду ПЛОТНО в G.

С другой стороны, заметим, что группа G содержит подгруппу G0, изоморфную GL(v). Эта подгруппа состоит из всех диагонально-блочных матриц в G(6 = c = 0))・ Согласно условию g = g”l мы находим при этом, что S = а-* а = где тильда для блоков порядка V означает преобразование атsa's. Следовательно, общий вид матрицы go 三 G° есть

оо00a w GL(V).a w GL(V).

о

о

0

0

a w GL(V).

a w GL(V).

Отсюда, в частности, следует, что группа D состоит из всех диагональных матриц 6 三 G°. Заменяя в этом случае произвольную матрицу а диагональной матрицей

九=diag {九i,九2、...,九v}, замечаем, что 入―={九九Ui,...

九”}• Следовательно, если расположить в нормальном порядке собственные значения матрицы 6, то всякие два числа, симметрично расположенные относительно центра, являются взаимно обратными. Параметры А],九2, . • •，入V являются независимыми мультипликативными параметрами в картановской подгруппе D.

Условимся рассматривать только комплексно-аналитические представления группы О. Записывая характер а(6) группы D в виде 九：】九;2 九：”，выясним условия индуктивности этого характера. Очевидно, разложение Гаусса в группе О индуцирует разложение Гаусса в подгруппе 0°. Следовательно, характер а(6) должен быть индуктивен также при сужении на 0°. Это немедленно приводит к ограничениям

团[)团2》• * •》

на параметры сигнатуры а = (m^ т2,mv). Кроме того, в группе G содержится подгруппа Hv, преобразования которой сохраняют все базисные векторы, кроме ?v，Cv+i, и сводятся к произвольным унимодулярным преобразованиям координат xv, xv+i. Из индуктивности характера а(6) по отношению к Hv вытекает еще одно ограничение: 『人》0. При этом все параметры 小i,"，2 ...,门4，очевидно, должны быть целыми. Переписывая характер а(6) в виде А?А,...厶；寸, где г； = т» — mi+i (mv+i = 0), мы находим, что указанные выше условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Действительно, при выполнении этих условий все разности r「， р= 1, 2, v, являются целыми неотрицательными и характер а(6) однозначно продолжается до функции ct(g), аналитической на всей группе О:

a (g) = А, (gP & (g)~ • • • % (g)'” (*)

Здесь A卩(g)——главный диагональный минор матрицы g, составленыый из первых р строк и первых р столбцов. При этом, как нетрудно видеть, действительно выполняются условия a(ggz)=a(g), g 巨 Z_, z 巨 Z+. В резуль-

тате получаем полную классификацию неприводимых представлений группы G:

Теорема 6. Всякое неприводимое аналитическое представление группы G = Sp (n, С) однозначно определяется (с точностью до эквивалентности) сигнатурой а =(加1,仞2,mJ с целочисленными параметрами mb m2, .. ., mv, для которых

爪1》加2》・一》团V)°, y =冷/2，

Производящая функция этого представления определяется формулой (%). Реализация на группе Z определяется стандартной формулой, 〃 индикаторная система имеет вид

纪，+ if(z) = O, i=l, 2, v,

где 门=m，i —加计卜，=1, 2, . . ., v, mv+i = 0. При этом оператор 抄^ является аналитическим оператором левого сдвига на группе Z, порожденным однопараметрической подгруппой

& (力)=1 + =(еь /+1 ~ ei-\, /),，= 1, 2, . .V — 1;

21V (/) = 1 十 te& v+ь где e^ ——обычная «матричная единицам 〃 / ——дополнительный индекс-, j = п — z + 1 *).

В этой теореме остается пока недоказанным лишь последнее утверждение. Для доказательства достаточно найти простые корни и соответствующие корневые векторы (см. § 93). Однако гораздо проще убедиться в ТОМ, что векторы 厶=万(勺，,・+丨 一 е—ь 力，外=е” v+i являются образующими в алгебре Ли группы Z = Z+ и операторы ⑦?• удовлетворяют следующим соотношениям:

Р[ 0 при后

纪产気(z, g) = 0, где e/fe = | 】11PH

Отсюда следует также, что функция а(а, g) содержится в пространстве решений соответствующей индикаторной

*) Оператор 无 отвечает простому корню g на схеме Дьш， кина, / = I, 2, ..., V.

системы. Повторяя стандартные рассуждения (§ 49), связанные с конечномерностью и инвариантностью пространства решений, заключаем, что это пространство совпадает с пространством канонической модели. Заметим также, что /? = 0, откуда 2?«) = ехр % = 1 + 叫.

Ввиду практической важности индикаторной системы мы приведем выражения операторов 纱》в двух различных системах параметров на группе Z (такие системы представляются на первый взгляд наиболее естественными) . Операторы 勿？ мы будем называть главными сдвигами на группе Z.

Первый способ параметризации. Заметим, что группа Sp(n) содержит нормально вложенную ) подгруппу, изоморфную Sp (м — 2). Эта подгруппа выделяется условием сохранения координат %i и хп. Остальные координаты подвергаются произвольному симплектическому преобразованию на Sp(几一2). В частности, группа Z содержит подгруппу Z°, состоящую из матриц ，

1 0 0

2。= о % о ,

0 0 1

где х ——треугольная матрица (с единицами на главной диагонали) из Sp (м ——2). С другой стороны, рассмотрим в группе Z подгруппу Z', состоящую из матриц вида

1 t1 tтт0 е0 е0 00 011

1 t

1 t

т

т

0 е

0 е

0 0

0 0

1

1

где е——единичная матрица порядка м ——2, f ——произвольная строка из чисел 乙,^, %乳一2, т ——произвольное число и t линейно выражается через f (t ——столбец, состоящий из чисел /п_2, /v+i,——乙,...,—介，в порядке нумерации сверху вниз). Перемножая 20 и 2‘,

получаем матрицу2 =2户'=получаем матрицу2 =2户'=0 0 110 0 11

получаем матрицу

2 =2户'=

получаем матрицу

2 =2户'=

0 0 11

0 0 11

Нетрудно видеть, что таким образом может быть однозначно представлена произвольная матрица awZ. Следовательно, /, т и параметры матрицы 尤 составляют систему параметров в группе Z. Рассуждая индуктивно ), получаем, что в качестве независимых параметров можно выбрать следующие элементы матрицы 2：

212213214之1,”3之1," -221,畔121ь

1 223 2246,"3 22,"-2 22, "-1

1 23423,"-3 2.3, n-2

v+1

Здесь единицы (диагональные элементы матрицы а) □оставленья для сохранения симметрии в таблице параметров (параметры 2V)v+i, ..., 22, n-i, ^in расположены на второй диагонали матрицы 2). Все остальные элементы матрицы 2 могут быть записаны в виде полиномов от этих независимых переменных. Вычисляя в этих переменных инфинитезимальные операторы левого сдвига 勿р, находим, что они имеют вид

°Ny V+1

При этом, как видим, коэффициентами этих линейных дифференциальных операторов являются независимые

передоенные 马厶 за исключением z?% ^з, п-ь ・•・ Все такие элементы непосредственно примыкают снизу ко второй диагонали. Пусть 侬& означает такой элемент, расположенный в р-й строке. Повторяя разложение 2()Z[ легко определяем 侬2； отсюда, рассуждая индуктивно, находим, что

5P = [Zp, Zp_J, р = 2, 3, . . ., v.

Здесь Zp означает р-ю строку в таблице независимых параметров, дополненную с двух сторон нулями, и скобка [尤，у] означает фундаментальную билинейную форму для группы Sp(〃). В частном случае /г = 4 мы имеем

宏]=-_■ + 之23 b з 2 三7"，卷2 =--，

02120勺3°214°'23

52 =n1/23 一213。

Второй способ параметризации (бинарное разложение). Рассмотрим в группе G подгруппы G_, G。，G+, составленные из блочных матриц следующего вида:

Из условия принадлежности к группе G(,g= ^-1) заключаем, что т|, у — произвольные квадратные матрицы (v X v), симметричные относительно второй диагонали. Нетрудно видеть (исходя, например, из разложения Гаусса), что всякая матрица g 三 G, у которой Av®)#。，однозначно записывается в виде

g = g_g()g+・

Полученное разложение мы будем называть бинарным (ввиду разбиения матриц на блоки порядка п/2). В частности, каждая матрица из Z однозначно записывается в виде

Т М1"Н： .IТ М1"Н： .Iх е Z(V).х е Z(V).

Т М1"Н： .I

Т М1"Н： .I

х е Z(V).

х е Z(V).

Вычислим главные сдвиги в параметрах х, у. Нетрудно видеть, что первые V—1 из этих сдвигов в точности совпадают с главным и сдвигами на треугольной подгруппе Z(v):

ддр= 1, 2,…，v ~ 1,р= 1, 2,…，v ~ 1,

д

д

р= 1, 2,…，v ~ 1,

р= 1, 2,…，v ~ 1,

где Хр означает р-ю строку в довательно, явный вид такихгде Хр означает р-ю строку в довательно, явный вид таких

где Хр означает р-ю строку в довательно, явный вид таких

где Хр означает р-ю строку в довательно, явный вид таких

треугольной матрице %wZ(v). Сле- операторов значительно упрощается.

Для вычисления оператора 2V заметим вначале, что 2” (f) 2о2+= z(j2v (f)之+， где 5V (/) содержится в G+ вместе с Zv(&) ). Отсюда вытекает, что параметры х остаются неизменными, в то время как матрица у заменяется матрицей

О 0О

g + L ° °二° 方7-+/(用仇儿/ . 1,2，…，V, f оо

где положено для краткости а ~ х'1, 6 = & = 土1 Следовательно, оператор 勿” имеет вид

где сумма берется только по тем элементам 乡订 матрицы у (симметричной относительно второй диагонали), которые мы считаем независимыми. Очевидно также, что 仪沁 妃 являются минорами матрицы х. В частном случае 也=4 имеем

с 8cdд ,2 д

13男122列21 尊明11"办12

Заметим, что бинарное разложение позволяет чрезвычайно просто реализовать неприводимое представление d(a) в классе вектор- функций на подгруппе G+. Действительно, согласно теореме 2 представление d(a) индуцируется одноименным представлением подгруппы Go. Для получения явной формулы достаточно найти явный вид бинарного преобразования матрицы 之+g. В результате несложных преобразований получаем

Tgf (//)- Aa^yef( (а + ус)~} (Ь + “))・

Здесь, как и выше, матрица g считается записанной через блоки а, Ь, с, d; матрица у симметрична относительно второй диагонали, f — вектор-функция от у н оператор 4寿 есть оператор неприводимого представления группы GL(v) с сигнатурой (伍】，m2,mv). Таким образом, d(a) реализуется с помощью матричной «дробнолинейной подстановки».

В заключение заметим, что все неприводимые представления оказались однозначными на G. Отсюда следует, что G односвязна. Действительно, если @ ——односвязная накрывающая группа G и @ ^ G, то точное линейное представление группы @ (которое существует согласно теореме 12 гл. XV) было бы неоднозначным на G.

§ 114. Ортогональная группа

Перейдем к рассмотрению ортогональной группы G = SO (л, С) ). Эта группа связна и является связной компонентой единицы в группе линейных преобразований, сохраняющих симметрическую билинейную форму

(%, у) = ххуп + х2уп^1 + .. . + x^iy^ хпу{.

Мы естественно приходим к выбору этой формы, если желаем записывать разложение Гаусса с помощью треугольных матриц. Действительно, повторяя почти дословно рассуждения предыдущего параграфа, получаем, что разложение Гаусса в группе G индуцируется разложением Гаусса в объемлющей группе 6L(〃). В результате

G = Z_QZ+，

где компоненты Z_, Q, Z< определяются как пересечения группы G с подгруппами Z—(〃)，D(〃)，Z+(〃). В дальнейшем мы будем отдельно рассматривать случай четной (几=2v) и нечетной (n = 2v + 1) размерности. В обоих случаях ранг группы G равен v и схема Дынкина имеет вид

- о о— rr-"FО О О О <1^2

222/ / //

Зеркальный автоморфизм. Напомним, что полная ортогональная группа О(〃) состоит из двух связных листов: О+(〃)， 6一(〃)， первый из которых совпадает с группой G = SO(〃). Поскольку эта группа является нормальным делителем в О (п) (как связная компонента единицы), то g()gg「w G для всякой пары элементов gwG, gowO(n). Положим, в частности,

点= ogoT,

где матрица о определяется как перестановка базисных векторов с номерами v, v + 1 в случае четного п (几= 2”).

Переход от g к 我 мы будем называть зеркальным автоморфизмом в группе G. Заметим, что о ^ О~(п). В дальнейшем мы увидим, что зеркальный автоморфизм (при четном %) действительно является внешним, т. е. не сводится к внутреннему автоморфизму в SO(n). В схеме Дынкина этот автоморфизм осуществляет (при n = 2v) перестановку двух последних корней.

После этого (существенного) замечания перейдем к решению задачи об описании всех неприводимых представлений группы G.

Случай четного n, п = 2v. Рассуждая, как и в предыдущем параграфе, замечаем, что независимыми мультипликативными параметрами в картановской подгруппе D являются первые v собственные значений матрицы 0 三 О. Вводя для этих параметров обозначения 九卜 九2,..-,九”，положим

a⑹=*｝戏2…看"

Как и в предыдущем параграфе, группа G содержит подгруппу G0, изоморфную GL(v). Индуктивность характера а ⑹ по отношению к этой подгруппе приводит к ограничениям 〃力 > 俏2》•-》mv. Следовательно, характер а ⑹ может быть также записан в виде

а⑹=阡吋...a：v,

где числа r^ = т； — т^, i=l, 2, ..., v—1, неотрицательны и rv = mv. При этом Ар является диагональным минором матрицы 8, равным 九i九2 ... Хр. Заменяя Др на Ap(g), где A「(g)—соответствующий диагональный минор матрицы g, получаем производящую функцию a(g). Заметим теперь, что зеркальный автоморфизм сохраняет разложение Гаусса в группе G:

2_ = Z_, Ь = D, Z+ = Z+.

(Действительно, алгебра Ли группы G состоит из всех матриц, кососимметричных относительно второй диагонали, и отсюда легко получить, что зеркальный автоморфизм оставляет инвариантными алгебры Ли подгрупп Z_, D, Z+J Отсюда мы получим существенное свойство симметрии в классе енгнатур*

Каждому представлению Tg группы G поставим в соответствие зеркально сопряженное представление Тё = Т^. Это представление действует в том же пространстве, что и Tg. Если Е ——старший вектор представления Tg, то мы имеем

乎玄=Т龙> = g,于虑=Tsg = a(8)g・

Следовательно, вектор 自 является также старшим относительно 于g. При этом представление Тё имеет старший вес 近(6) = а(Ь). Поскольку для матрицы 6 преобразование 8 сводится к замене собственных значений 九у, Av ，то мы имеем

49)=中…冲宀V4

Отсюда заключаем, что если вектор а =(加卜 加2,…•, mv) является сигнатурой, то вектор а = (ть ..., mv_i,——mv) также является сигнатурой. Отсюда в свою очередь получаем добавочное ограничение на сигнатуру a： mv_i》 》——mv. Сопоставляя с найденными ранее ограничениями, получаем в результате

Существование двузначных представлений. Покажем вначале, что отрицательные значения параметра mv действительно допустимы. Для этого заметим, что все диагональные миноры Др> р= 1, 2,... …，V— 1, матрицы 6 совпадают с соответствующими минорами Ар, в то время как

Поскольку зеркальный автоморфизм сохраняет разложение Гаусса, то эти же равенства сохраняются при замене Ар на Ap(g). Следовательно, Av-i (g) делится без остатка на Av(g). В дальнейшем мы условимся использовать обозначение Др также для миноров матрицы g.

Введем в рассмотрение главные сдвиги на группе Z. Легко проверить, что образующими в алгебре Ли груп-

пы Z являются следующие матрицы:

'"=2(°Р，р + 1 — Cg7, g)‘ f + =万(％T, v+1 —v+2)*

Здесь р=1, 2, ..., v ——1, q = п——p+L Условимся также использовать обозначение /_ = /v-i：

f一=豆(气7, v -气+1, v+2)-

При этом очевидно, что зеркальный автоморфизм переставляет векторы J /+. Пусть 纱*, 纱一, 纱 + ——соответствующие главные сдвиги на группе Z.

Полагая Ap = Ap(zg), р=1, 2, …，и—1, мы легко проверяем, что имеют место следующие тождества:

砂了+1(%) = о, где ер.=砂了+1(%) = о, где ер.=О при р*厶1 прир=九О при р*厶1 прир=九

砂了+1(%) = о, где ер.=

砂了+1(%) = о, где ер.=

О при р*厶

1 прир=九

О при р*厶

1 прир=九

Действительно, операторы 纱卩 порождаются подгруппой G0, изоморфной GL(v), и миноры Ар зависят только от центрального множителя g0 в обобщенном разлсь жении Гаусса:

g = n-g°n+， ri-R N-, goWG°, n+三 N*.

(Это разложение вполне аналогично бинарному разложению Sp(/z), рассмотренному в предыдущем параграфе.) В частности, нас будет особенно интересовать следующее тождество:

Действительно, минор Av является константой по отношению к дифференцированию 纫—=纫”卩 и 勿L(Av-i) = 0・ Применяя к этому тождеству зеркальный автоморфизм, мы получаем

纱2b (U鼠)=0.

В совокупности с равенствами 叱(уЛ\*) = О, р = 1, 2, ..., V—1, это равенство означает, что характер а (6)= уЛДv является индуктивным по отношению к группе G, Действительно, функция S+ e ^Av удовлет-

воряет индикаторной системе и потому является полиномом на группе Z.

Полученное представление мы обозначим s+ и назовем спинорным представлением первого рода. Очевидно, это представление двузначно на группе 6 (т. е. является однозначным представлением универсальной накрывающей группы G).

С другой стороны, применяя к представлению $十 зеркальный автоморфизм, получаем представление «^определяемое характером а (8) =Это представле

ние назовем спинорным представлением второго рода.

Запишем теперь произвольный характер а(6) в виде

а ⑹=А?А?・.・ A；^2S)sT，

где положено S- = \V-J}^\^. Как легко проверить, показатели mv„i, mv связаны с показателями г_, г+ следующими соотношениями:

「+ = 俏*т + 俏V, г-= 俏 li — 俏屮

Очевидно, соответствующая 巾ункння a(zg) удовлетворяет некоторой индикаторной системе тогда и только тогда, когда все показатели 门,r2, ..., r_, г+ являются целыми неотрицательными.

В результате доказана следующая

Теорема 7. Всякое неприводимое представление группы SO (п) при п = 2v однозначно определяется сигнатурой a=(他1,他2, 他y),где 他1》他2》， ， ，》他V-1》 》|"几| н числа rrt\,疗，2, . ■ •, wv являются одновременно целыми или одновременно полуцелыми. Полугруппа неприводимых представлений имеет образующие 2卩 с сигнатурами

ар =(1, 1, . . ., 1, 0, 0, . . ., 0),

р

р = 1, 2, ..., V — 2, и двузначные (спинорные) образующие s_, s+ с сигнатурами

а_ = (1"，Т，—歹卜 a+=(q，q，* * ~2 * ~2)*

Если использовать символику произведений Юнга, го всякое неприводимое представление d(a) с сигнату-

записывать взаписывать врой а = (mb т2,..., mv) можно также виде

записывать в

записывать в

d (а) = d\'d^ ... d^sr~sr+,

где положено гр = тр —团「+1,『士 = mv^ ± mv и числа

Гр,厂士 являются ными. При этом лику а = {门，『2, •II. СлучайГр,厂士 являются ными. При этом лику а = {门，『2, •II. Случайпроизвольными целыми неотрицатель- иногда мы будем использовать симво- .,J； J Г+}.

Гр,厂士 являются ными. При этом лику а = {门，『2, •

II. Случай

Гр,厂士 являются ными. При этом лику а = {门，『2, •

II. Случай

нечетного 〃，拄= 2*+1. Этот слу

чай мы можем получить редукцией из предыдущего, рассматривая SO(n) как подгруппу в SO(〃+1), преобразования которой сохраняют xv+I + xv^ Поскольку для диагональных матриц 6 三 sO(/?+i) последнее

условие выполняется только при 九*+i = Xv+2 = 1, то при сужении на SO(az) мы получаем в качестве проекции

характер

a⑹=%:%;2…九:厶叫 ^ "% > … ^ mv^ 0.

При этом числа mi, т2» --.,团丫 должны быть одновременно целыми или одновременно полуцелыми. С другой стороны, нетрудно видеть, что других старших весов группа SO (п) не имеет. Действительно, сужая на SO (п) главные сдвиги группы SO(/?. + 1), получаем все главные сдвиги на SO(n). Вводя обозначение So = запишем характер а(6) в виде

a⑹=А？h2…А乃学。.

Тогда нетрудно видеть, что числа 门，г^ ...,々т, г0 являются произвольными целыми неотрицательными. Представление s0 с характером So является проекцией спинорных представлений s_, $+ группы SO(n +1).

Представление so мы называем спинорным представлением группы SO(/?) при нечетном 汽=2v + L

Теорема 8. Всякое неприводимое представление группы SO (п), /г = 2v + 1, однозначно определяется сигнатурой а =(团厶 m2,..., "zj, m》m?〉tn^》3 где числа 加卜 m2, ,.,, znv являются одновременно

целыми или одновременно полуцелыми. Сигнатуры ар = (1, 1, . . ., 1, 0, 0, . . ., 0), р = 1, 2, ..., V — 1,

определяют систему образующих 6 полугруппе неприводимых представлений группы SO(n). При этом всякое представление d(a) с сигнатурой а может быть записано 6 виде произведения Юнга:

d (a)= "为 …"归唠，

где числа r@ = mp ——m@+i, r0 = 2mv произвольные целые неотрицательные.

Замечание. Наряду с существованием двузначных представлений мы доказали приводимость некоторых диагональных миноров для ортогональной группы SO (п). Действительно, при n = 2v + 1 имеем

Av = So-

Отсюда, между прочим, следует, что поливектор dv содержится в тензорном произведении «о ® «о (см. замечание в § 109). Точно также при п = 2у имеем

Av-i = S-S+, Av = S+-

В свою очередь доказательство приводимости этих миноров (как полиномов на Z при Ар = ^p(zg)) равносильно построению спинорных представлений.

Специально отметим- частный случай /г = 4. В этом случае всякое неприводимое представление имеет вид s丁s丁 и представления s_, s+ зеркально сопряжены- Как следует из схемы Дынкина, SO (4) локально изоморфна квадрату группы Лоренца. Спинорные представления s_, s+ можно в этом случае рассматривать как однозначные представления группы Лоренца.

Итак, мы показали, в частности, что группа G = SO(n) при любом значении п допускает двузначные представления. Покажем, что G двусвязна ) (случай п = 2 исключается).

Действительно, положим ® = $+ при четном и и ^ = при нечетном п. Представления sr~sr^ (s；°) являются однозначными представлениями группы @ ). Поскольку ® накрывает G, то и все остальные представления d(a) также однозначны на S. Следовательно, S односвязна. При этом S двукратно накрывает группу G.

§ 115. Теория спиноров

В предыдущем параграфе было показано, что ортогональная группа SO(/z) двусвязна, и также была эффективно построена ее универсальная накрывающая S. Группа S обозначается Spin (и) и называется спинорной группой. В этом параграфе приводится ее классическое построение и рассматриваются симметрические тензоры для этой группы (называемые спинтензорами).

Кроме того, в конце параграфа намечается еще одно элементарное доказательство существования спинорных представлений, основанное на общей формуле «канонической модели».

1° Спинорная группа. Выберем в п-мерном пространстве Е базис ⑦，出，…，戏 таким образом, чтобы скалярный квадрат вектора х = x^i + 尤2& + ..・ ...+ хпеп задавался обычной формулой: (х, х) = х； + /+ …+ 总. Будем рассматривать символы е〔，… еп как образующие некоторой ассоциативной алгебры ® с соотношениями

S3 + e 円=26"，

где dij ——символ Кронекера. В частности, е© =——е)е^ / =# г, и d=l, f = 1, 2, ..., п. Тогда скалярный квадрат (х, х) совпадает с квадратом элемента 尤三贷：

(Х円 + /%+ ... +x“%)2 =九 + 名+ ... +球

Алгебра ® называется алгеброй Клиффорда. Ниже мы укажем матричную реализацию алгебры 金.

Рассмотрим теперь линейную оболочку X всех попарных произведений 自⑦=——е)&, i ^ /, и обозначим символом е 订 оператор коммутирования с элементом е»е):

e〃z = [де〃 z].

Здесь 之——произвольный элемент из алгебры Клиффорда и коммутатор [。，勿 означает ab ——ba. Нетрудно проверить, что X является алгеброй Ли относительно этого коммутирования, Кроме того, мы имеем

'0, если z#=^( ，#=財

е订е^=・2虫， если j = N

—2е〃 если i = k.

Отсюда заключаем, что 1) пространство Е инвариантно относительно алгебры X; 2) операторы 2订・ являются кососимметричесьсими в пространстве Е; 3) операторы Cij образуют базис в алгебре всех кососимметрических операторов пространства Е

Пусть Е^ означает оператор е仃，рассматриваемый только на пространстве £. Отображение е^ — Е订 является точным линейным представлением алгебры X. Отсюда, в частности, заключаем, что алгебра X изоморфна so(〃).

Покажем теперь, что алгебра 綵 имеет конечную размерность. Действительно, с помощью соотношений коммутации мы можем каждый одночлен от образующих & записывать в упорядоченном виде:

e"也…力=e"1°% , • •气絞 ‘1 《 ‘2 《 - • • 4，切*

Если т > п, то среди сомножителей в этом одночлене хотя бы один элемент е» встречается дважды; поскольку е；= 1, то степень можно понизить. В результате остаются только те одночлены егу2... гт, для которых Л < ^2 < • ■ • < ^т и 0《m W 〃 (ео = 1). Число таких одночленов равно

dim Я = 1 + и + С„ + ... +С『+ . .. +1 = 2".

Таким образом, алгебра Клиффорда имеет размерность 2п.

Каждый элемент a w * мы можем рассматривать как линейный оператор 之一之，之 w*. С этой точки зрения а является матрицей 2п X 2。 Таким образом, алгебра 船 имеет точное матричное представление. (Действительно, если az = bz для всех 之三貸，то, в частности, aeQ = beQ, откуда а = Ь.) Алгебру 船 мы будем теперь отождествлять с указанным матричным представлением.

В частности, алгебра Хи 船 получает точное матричное представление размерности 2п X 2七 Заметим, что линейное пространство 空 можно рассматривать как прямую сумму подпространств, составленных из всевозможных р-векторов над Е, р = 0, 1, 2, ..., п. Отсюда следует, что скалярное произведение из Е продолжается на всю алгебру ® так, что элементы из X остаются кососимметрическими. Согласно теореме 5 гл. V в группе SO(2Л) существует связная подгруппа S с алгеброй Ли X. Мы полагаем ⑥=Spin(〃).

Вернемся к /г-мерному представлению алгебры X. Поскольку оно задается формулой а—*[%, w], 尤巨 X, г ge £", то соответствующее представление группы S задается формулой внутреннего дифференцирования:

Поскольку дифференциал такого представления состоит из кососимметрических матриц, то само представление ортогонально, т. е. матрицы представления содержатся в SO(n). Мы получаем отображение группы Spin (п) на группу SO(n).

Упражнение

Сравнить с отображением SL (2, С) f SO (3, С), построенным в § П.

Поскольку отображение алгебры X является точным, то ядро отображения группы Spin(n) дискретно. Нетрудно проверить, что оно состоит только из матриц 土Со. Таким образом, Spin(n) является двукратным накрытием группы SO(n).

Замечание 1. Предыдущее построение справедливо как над вещественным, так и над комплексным поле% соответствующая

спинорная группа обозначается Spin (п, R) или Spin (п, С). Для группы Spin(M, R) мы укажем еще одну матричную реализацию, основанную на рассмотрении матриц Паули:

-Г о|-Г о|о-1о-1

-Г о|

-Г о|

о

-1

о

-1

Пусть 1 означает единичную матрицу 2X2 и у = [м/2]. Положим

((а3 ® а3 ® ... ® а3) ® Qi ® (1 ® 1 ® ... ® 1) при нечетном /\

((а3 ® ст3 ® ... ® а3) ® а2 ® (I ® 1 ® ... ® 1) при четном 乙

Здесь матрица а： или а2 встречается на месте с номером [//2] и общее число сомножителей равняется у. (При м нечетном, 几 =2у + 1, мы полагаем еп = а3®а3® ... ® а3.) Нетрудно проверить, что матр ицы е； удовлетворяют нужным ком мутационным со* отношениям и косоэрмитовы.

Следовательно, группа Spin (几,R) допускает также точное унитарное представление размерности 2V, где v = [м/2]. Группа Spin (n, С) является комплексификацией Spin (/г, /?).

2° С п и н т е н з о р ы. Вернемся теперь к стандартной методике построения неприводимых представлений. Метрический тензор мы выберем так же, как и в § 114. Положим /г = 2v и рассмотрим семейство сигнатур вида сс = (т, т,..., т); соответствующее представление d(a) имеет вид

d(a) = s『

т. е. является (в некотором смысле) симметрической степенью спинорного представления 5+. Если m является целым числом, то представление d(a) может быть реализовано как представление, индуцированное одномерным представлением Ago ~ (det а)^ подгруппы G。，составленной из матриц.

二 J，awGL(v).

Действительно, это утверждение является частным случаем теоремы 2. Для указания явной формулы представления мы вводим в группу G «бинарное разложение»:

北弋帮韭

где go пробегает G° и 刀，无——произвольные матрицы V X % кососимметричные относительно второй диагонали. (Подобное разложение с симметрическими матрицами -q, х мы рассматривали в § 113 для группы Sp(n).) После несложных вычислений получаем следующую формулу:

Tgf (у) = (A, det (е + 如)严 f ((а + 外厂，偉 + дб)).

Здесь у — произвольная матрица v X v, кососимметричная относительно второй диагонали, н 九=det а. Согласно результатам § 114 эта формула сохраняет силу также 〃 при полуцелом гп. Пространство представления sT есть линейная оболочка всевозможных функций вида

A)(^) = (det (e + z/л) Г-

В частности, мы видим, что спинорное представление s+ может быть реализовано с помощью матричной «дробно-линейной подстановки» в линейной оболочке функций

嘉匂)=/ИёЦТТ而'. (*) Следовательно, все эти функции являются полиномами от элементов матрицы у.

Замечание 2. Если фундаментальный метрический тензор выбрать в виде

0)-

где е — единичная матрица v X v, то матрицы % у в формуле (•：；•) становятся кососимметричными относительно главной диагонали.

Из полученной формулы вытекает возможность элементарного доказательства существования представления s+. Действительно, достаточно доказать, что для всякой пары кососимметрических матриц у,刀 функция (•*) является полиномом.

При м е р. Пусть V

=3. Положим

一 Л1

-n2

0 协

У?.

0

У =

—о

Уз

Л1

0

-Лз

_ У2 _ Уз

0

刀2

Лз

0

Тогда при помощи несложных вычислений получим det (е + ут]) = (1 + 协” + у^> + у^.

Следовательно, в этом случае представление s+ реализуется в четырехмерном пространстве, натянутом на базис 1,山，

В общем случае в пространстве представления s+ содержатся полиномы более высоких степеней.

Замечание 3. Поскольку s_ зеркально сопряжено s+, то нетрудно изучить также симметрические степени Кроме того, в § 129 мы увидим, что

s+ Q = s_ 10э = s0

для подгруппы Go, изоморфной SO(孔——1) (вложенной в SO (и), как указано в § 114). В частности, s+ остается неприводимым при сужении на Go； и отсюда получаем также явную формулу для s0.

Продолжая редукцию с группы на подгруппу, мы покажем в гл. XVIII, что

dim s_ = dim s+ = 2V~\ dim s0 = 2V.

Вещественные формы

В этой главе при изучении неприводимых представлений мы существенно пользовались принципом аналитического продолжения (действительно, при помощи этого принципа была изучена структура комплексных групп). Однако наиболее эффективным оказывается метод аналитического продолжения при изучении неприводимых представлений вещественных полупростых (редуктивных) групп Ли. Действительно, этот метод избавляет от необходимости исследовать структуру каждой вещественной формы в отдельности; все ее неприводимые представления уже содержатся в классе аналитических представлений комплексной оболочки.

Из общих результатов гл. VI непосредственно вытекает

Теорема 9. Пусть G ——полупростая вещественная связная группа Ли и @ ——ее комплексная связная оболочка. Всякое неприводимое конечномерное представле-

ние группы G определяется однозначно (с точностью до эквивалентности) одной из сигнатур группы ® и может быть реализовано с помощью формулы

Tgf (z) - а (г, g)〃Zg)

в классе полиномов 9?а на корневой подгруппе Z и 您. Здесь а (г, g) — производящая функция неприводимого представления d(a) 〃 g является произвольным элементом из G. При этом, однако, следует рассматривать также неоднозначные представления группы ® (т. е. представления ее универсальной накрывающей).

Пример 1. G = St) (р, е). Преобразования группы G сохраняют вещественную квадратичную форму

W +君+ … +货一名+L • • * 一疗+r

Если группа G несвязна, то обозначим символом G+ ее связную компоненту единицы. Если считать координаты xh комплексными, то мы получаем комплексную связную группу @ = SO(n, С), п = р + q. (Действительно, в комплексном поле допустима подстановка х^ —* ixkt н фундаментальная форма превращается в сумму квадратов.) Отсюда легко заключить, что группа в является комплексной оболочкой группы G. Следовательно, всякое неприводимое представление группы G+ задается сигнатурой а = (mi,恤，…，mJ, v = [n/2], причем

团1》团2》• • •》^ I mv I, если 胃=2v,

皿》团2》…》恤》0, если n = 2v + 1,

и числа mb m2, ..., mv являются одновременно целыми либо одновременно полуцелыми (в последнем случае получаем двузначные представления группы G+).

Пример 2. G — Sp(n,/?). Комплексной оболочкой группы G является ® = Sp(zz, С). Отсюда непосредствен* но вытекает, что всякое неприводимое представление группы G задается сигнатурой (т^ тг,..., mv), v = n/2 (п четно), причем

g?0

и числа mi, m2, ..., mv являются целыми. Формула представления группы G получается из формулы представления группы ® сужением на G.

Пример 3. G = Sp U(n). Группа G состоит из всех унитарных матриц u ^ Sp(n, С). Формулировка результата очевидна.

Примеры вещественных форм группы SL (n, С) при п = 2 были рассмотрены в гл. V.

Замечание 1. Если группа G несвязна (как в примере 1), то ее неприводимые представления могут быть получены, например, при помощи теоремы КлиффорДа ([Ю]).

Замечание 2. Вещественная форма может не иметь разложения Гаусса (например, SO (〃,&)). Максимальная диагональная подгруппа в линейной группе G может быть несвязной (например, в SL(n, R)).

В статье [85] предложен еще один метод изучения неприводимых представлений вещественной группы G, не использующий аналитического продолжения. Этот метод основан на《обобщенном разложении Гаусса》). Оказывается, что всякая вещественная связная полупростая (и также редуктивная) группа Ли может быть записана следующим образом:

G=N-FN]

Здесь N_、% — односвязные нильпотентные вещественные подгруппы,尸——редуктивная подгруппа, которая локально изоморфна прямому произведению некоторой компактной подгруппы Q и односвязной абелевой подгруппы Л; черта означает замыкание. При этом подгруппы N%+ являются инвариантными относительно F. Всякое неприводимое представление группы G задается формулой вида

7gЧ> («) = Aftfirig),

где ф(п)——вектор-функция на подгруппе ^ = ^+ и элементы 厶 пё определяются из обобщенного разложения Гаусса 孔g = g拉g, gw AL, f 三尸，％三"十.Существенно, что этот метод применим даже в том случае, когда группа G не имеет точного линейного представления (§ 104) ).

Если односвязная вещественная группа G не имеет точного линейного представления, то вместо нее удобно рассматривать так называемую универсальную линейную группу, введенную А. И. Мальцевым [111]. Оказывается, что в каждом классе со(X) всех локально изоморфных групп Ли с полупростой алгеброй X всегда существует максимальная группа G, допускающая точное линейное представление. Группа G накрывает всякую линейную группу из класса о)(Х). Иначе говоря, если Gwco(X), то всякое линейное представление группы G можно рассматривать также как представление G.

Линейная группа G допускает комплексную оболочку 必，и группа @ оказывается односвязной. Пусть U — максимальная компактная подгруппа в ® Тогда, как мы знаем (§ 101), группа U является связной и односвязной. В силу принципа аналитического продолжения мы можем заключить, что существует взаимно однозначное соответствие между неприводимыми представлениями всех трех групп G, ®, U.

Таким образом, всякое неприводимое представление вещественной связной редуктивнон группы Ли является в некотором смысле «компактно порожденным», т. е. вполне определяется структурой компактной группы U.

Произвольные связные группы Ли

Если использовать теорему Леви — Мальцева, то результаты предыдущего параграфа могут быть перенесены на произвольную связную группу Ли (комплексную или вещественную). Решающим шагом при этом является следующая

Теорема 10. Пусть G — вещественная связная группа Ли и S — ее полупростая (связная) компонента Леви. Тогда любое неприводимое представление группы G остается неприводимым при сужении на S,

Доказательство. Пусть R — радикал группы G, т. е. максимальный связный разрешимый нормальный делитель. Тогда по теореме Ли в пространстве представления Тё группы G существует хотя бы один вектор

Хо#О, собственный относительно подгруппы R:

Trx0 = ^(r)x0, rwR・

Поскольку R является нормальным делителем, то всякий вектор вида xg = Tgx0 снова является собственным для R:

Trxg = K(g~lrg)xg, с собственным значением ^(r) = ^(g~lrg). Из непрерывной зависимости 九且 от g, связности группы G и конечности множества собственных значений группы R вытекает (как при доказательстве теоремы Ли), что ^(г)= 三九(г), т. е. Xg не зависит от g. Следовательно,

九(gTrg) = %(r).

Ввиду неприводимости Tg инвариантная линейная оболочка векторов 汇g совпадает со всем пространством V. Следовательно, операторы 丁乃 rwR, являются скалярами на всем пространстве К Следовательно, если положим

入(g)=九(s「)=九(「)，

то получим одномерное представление всей группы G = SR. Представление 乙=九(gL〃 тривиально на радикале R(Tr = 1) и, следовательно, является неприводимым при сужении на подгруппу S. Теорема доказана.

Следствие 1. Всякое неприводимое представление группы G может быть записано следующим образом-.

Tg = K(g)tg,.

где 九(g) — одномерное представление группы G и Tg — неприводимое представление группы G, тривиальное на радикале R.

Заметим, что если группа G односвязна, то представление 九(g) тривиально на полупростой компоненте S. Действительно, в этом случае S П 及 ={е}, и натпе утверждение вытекает из конструкции характера 九(g), данного при доказательстве теоремы 10. В общем случае, если G неодносвязна, то представления 九(g), Tg могут быть неоднозначны на G (даже если 7g однозначно).

Следствие 2. Для всякой связной группы Ли существует универсальное комплексное евклидово пространство Z (корневая подгруппа, построенная по комплексной оболочке алгебры Ли группы S) такое, что всякое неприводимое представление группы G реализуется s классе полиномов над Z.

Действительно, это верно для представления 北，or которого представление Tg отличается лишь одномерным множителем %(g). Заметим, что при этом представление Tg задается стандартной формулой

Tgf ⑶=а (г, g) f(2g),

где функция。⑵ g) отличается лишь множителем 入(g) от соответствующей функции a(z, g), определенной для подгруппы S. Таким образом, форма индуцированного представления оказывается универсальной.

Следствие 3. Для перечисления всех неприводимых представлений произвольной связной группы G достаточно перечислить все неприводимые (возмож/w, многозначные) представления ее полупростой компоненты S.

Последняя задача решена в этой главе. Таким образом, можно считать, что мы описали неприводимые представления произвольной связной группы Ли.

В заключение введем понятие милътиплета. Мультиплетом мы будем называть всякое неприводимое — возможно, конечпозыачное — представление связной группы Ли в комплексном векторном пространстве V. При этом, если данное представление остается неприводимым при сужении с группы G на подгруппу Gb то условимся говорить, что G и Gi имеют один.и тот же мультиплет. Таким образом, понятие мультиплета относится к целому классу групп, замкнутому относительно аналитического продолжения, вещественного ограничения и факторизации по радикалу.

Поскольку мы рассматриваем также многозначные представления, то фактически речь идет о представлениях алгебры Ли или о представлениях односвязной накрывающей для некоторого класса групп Ли. Поэтому условимся говорить, что мультиплет относится к классу X если он является неприводимым представлением

некоторой алгебры Ли X. (Согласно нашему определению разные алгебры Ли могут иметь один и тот же мультиплет.)

В данной главе мы подробно изучили мультиплеты типов Ап, Вп, Сп, D»,七6,七7,七8,尸4 и G^ Было показано, что каждый из этих мультиплетов задается некоторым набором числовых инвариантов, называемым сигнатурой. (В теоретической физике эти числовые инварианты называют иногда квантовыми числами.) Дискретность набора квантовых чисел связана, как мы видим, с «компактной природой» мультиплетов.

Результаты нашего исследования можно в терминах мультиплетов выразить следующим образом. Все конечномерные мультиплеты произвольной связной группы Ли относятся м одному из классов Ап — G2-

Несколько замечаний

В заключение этой главы остановимся вкратце на некоторых вопросах, опущенных в основном тексте.

1° Обобщение теоремы Вейля о полной приводимости. Чрезвычайно простой результат, даваемый теоремой 10, объясняется тем, что мы ограничились рассмотрением неприводимых представлений. Действительно, в классе разрешимых связных групп Ли такие представления попросту одномерны. Однако тот же пример разрешимой группы показывает, что может существовать чрезвычайно много «полуприводимых» представлений, устроенных по типу «жордановой клетки». Природа таких представлений, очевидно, всегда заключается в наличии радикала. Действительно, имеет место

Теорема 11. Представление связной группы Л辽 вполне приводим тогда и только тогда, когда вполне приводимо его сужение на радикал.

За доказательством этой теоремы (хотя оно совсем несложно) мы отсылаем к статье [85], стр. 63. Заметим также, что в классе бесконечномерных представлений теряют силу как теорема 10, так и теорема 11, Действительно, разрешимые (и даже нильпотентные) группы имеют неприводимые бесконечномерные представления ([102]). С другой стороны, в классе бесконечномерных

представлений полупростой группы Ли теряет силу принцип полной приводимости. «Неразложимость» некоторых приводимых бесконечномерных представлений была впервые обнаружена автором на примере группы Лоренца (см. по этому поводу § 9 добавления I).

2° Различные реализации мультиплетов. Для группы SL(n) мы рассматривали подробно различные реализации мультиплетов в классе полиномов и тензоров (гл. VII, гл. VIII). Все эти построения могут быть почти без изменений перенесены на произвольную полу- простую комплексную связную группу G.

В частности, для группы G нетрудно построить реализацию d(a) на группе G, на подгруппе U (где U— максимальная компактная подгруппа в G)*). Последняя реализация задается следующей формулой:

Г# (и) = а (е‘) ср (а/,

где элементы е', иё определяются из разложения Ива- савы: 〃g = g'g〃g, g‘w Е, gwZ_, 〃g w U, где E — максимальная односвязная подгруппа в картановской подгруппе группы G. Такая реализация особенно удобна (см. добавление I, § 2) для перехода к бесконечномерным представлениям группы G.

Заметим, что переход от реализации на группе Z к реализации на группе U осуществляется следующей формулой:

(p(a) = a®f (z),

где матрицы 〃三 U, zwZ связаны разложением Иваса- вы: г = &g〃, g w Е, g 三 Z_. Для вычисления функции a (и) заметим, что zz = е^*е, откуда a(NN)= ajg)“ Далее, a(〃)= a(g-igTz)= а(Е)т. В результате

a (u) = ' J.

3*)

Эта формула в свою очередь может быть использована для обратного перехода от реализации на группе U к реализации на группе Z. Далее, если 2 =虱и, то, как

*) Относительно реализации в классе тензоров для SO(〃J* Sp(〃)см. также [10].

нетрудно показать, меры Хаара на Z и на U связаны следующим соотношением:

d〃 = ] 03) |2 dz.

Здесь ₽(§•) = Р(?6г) = р(б), и 0(6)——характер картаыов- ской подгруппы Q, сигнатура которого является суммой всех положительных корней группы G. Если для функций 屮(〃)рассматривать метрику 厶2(H), то для функций f(z) мы получаем метрику, определяемую нормой ):

疗俨="⑶产為忌『

Соответственно вводится скалярное произведение в классе функций на группе Z. Это скалярное произведение обладает тем замечательным свойством, что по отношению к нему сужение d(a)|口 унитарно. (Действительно, то же верно в L2(U).)

Пример. G = SL(2, С). Ортогонализация треугольной матрицы zwZ, очевидно, должна иметь следующий вид：

(l+|Zp)-%Z(1+|Z|2)-%(l+|Zp)-%Z(1+|Z|2)-%

(l+|Zp)-%Z(1+|Z|2)-%

(l+|Zp)-%Z(1+|Z|2)-%

где многоточием обозначены те члены, которые вполне определяются из унитарности последнего множителя. Используя параметры для группы SU (2), введенные в § 38, мы находим

1 出_ 2丨2 1dlz丨

Полагая dz = dx dy == р dp dq, где p = |z|, получаем меру Хаара на комплексной плоскости Z. В результате

""=(1 +%2产 ^'

где множитель с。подбирается в зависимости от нормировки мер Хаара на U и Z. Скалярный квадрат функ-

инн f(z) задается формулой

"T"(z)% + %+2‘

где т — показатель характера а(6) = бТ (сигнатура этого характера имеет вид (т, 0)). Действительно,

計；?НГТ,2 ：1

и a(zz*) = (1 + |z|2)叫 В то же время сигнатура характера р имеет вид (1,—1)〜(2, 0), т. е. р(6) = 6必丁 =秣

3° Общий метод отыскания центра. Существует простой общий метод отыскания центра односвязной полупростой комплексной группы G. Как мы видели в § 112, картановская подгруппа DuG параметризуется следующим образом:

6 = ехр 2 就(6% + 6鱼 + • • • +屮從 J

где 0《Re 中月 V 1,出=2⑴"(⑴以，⑴Q;⑴以一простой корень, k = 1,2,.. ., г. Искомый центр С содержится в подгруппе D и является ядром присоединенного представления группы G. Если %—оператор присоединенного представления, отвечающий вектору 2а/(а, а), то мы имеем

Наей =а в (а, а) В

Достаточно рассматривать только простые корни а, р, так как все остальные собственные значения определяются по ним однозначно. Для отыскания центра С достаточно найти все значения параметров 屮乩，O^Reqp/i < < 1, для которых оператор Т§ = ехр 2лг (qpi/7 +屮2〃2丄• •. …+屮典•)，где Hi = H^., обращается в единицу на векторах ®, j = l,2, …，几 В результате получаем систему уравнений вида

2 屮问/ = 0 (mod М，

где Qj = 2(g, Wj)/((0n «г) — структурная матрица Кар、 тана и N означает аддитивную группу всех целых чисел. Исследуя такую систему, получаем ([85]), что число линейно независимых решений (0^Нец)й < 1) в точности равно детерминанту структурной матрицы Картана ® =11 Сц 11г> /=1> 2,..., и Очевидно также, что все эти решения вещественны. (Действительно, матрица ⑥ вещественна и det ® ¥= 0, откуда следует, что числа Im ц)й удовлетворяют однородному уравнению с невырожденной матрицей коэффициентов.) Это еще раз показывает, что С содержится в максимальном торе FuQ・ В результате получаем, что имеет место

Теорема 12. Пусть G — односвязная комплексная полупростая группа Ли и С— ее центр. Тогда порядок, С равняется детерминанту структурной матрицы Картина. Группа С является циклической всегда, за исключением случая G = Spin (2m), когда эта группа изоморфна X Z?.

Более подробное доказательство см. в [81], [85]. Вычисляя центр для каждой простой односвязной группы Ли, получаем следующую таблицу:

Алгебра

В"

Сп

4

与

乙

det (J

п + 1

2

2

4

3

2

1

1

1

N (©)

e (几 + 1)

2

2

4

2

2

1

1

1

Здесь 7V(co) означает число неизоморфных групп в классе со(Х) всех связных групп Ли с данной алгеброй Ли X, а с(р)—число различных делителей целого числа р, включая 1 и р. (Действительно, с(р) есть число различных подгрупп в циклической группе Zp.) Классические линейные группы, разумеется, могут быть рассмотрены и независимо (хотя приведенное рассуждение доставляет новое доказательство односвязности SL(n, С), Sp(n, С), Spin(n, С)). Для особых групп Картана получаем следующие элементы центра в канонических ко-

ординатах 屮餡

&：吕：&：吕：% а, Ь,% а, Ь,е, а.е, а.Нумерация базисаНумерация базисагде а =где а =,0, 0,g,計,。,0,告,у^ •,0, 0,g,計,。,0,告,у^ •где а =传,0, у)0, ~^, 0, 0^.где а =传,0, у)0, ~^, 0, 0^.нумерацией простых корней:нумерацией простых корней:определяется при этом следующейопределяется при этом следующей

&：

吕：

&：

吕：

% а, Ь,

% а, Ь,

е, а.

е, а.

Нумерация базиса

Нумерация базиса

где а =

где а =

,0, 0,g,計,。,0,告,у^ •

,0, 0,g,計,。,0,告,у^ •

где а =传,0, у)0, ~^, 0, 0^.

где а =传,0, у)0, ~^, 0, 0^.

нумерацией простых корней:

нумерацией простых корней:

определяется при этом следующей

определяется при этом следующей

алгебрам Ли Е% 尸4, t?2 точностью до изомор-алгебрам Ли Е% 尸4, t?2 точностью до изомор-В то же время мы видим, что отвечает лишь единственная (с физма) связная группа Ли.

алгебрам Ли Е% 尸4, t?2 точностью до изомор-

алгебрам Ли Е% 尸4, t?2 точностью до изомор-

Упражнения

Сформулировать результат классификации неприводимых представлений компактной группы G в «инвариантных» терминах, не зависящих от выбора картановской подгруппы.

Пусть So — преобразование из группы Вейля, переводящее все положительные корни в отрицательные. Показать, что операция

/ = —s°2

переводит сигнатуру / в сигнатуру /, отвечающую контрагредиент- ному представлению группы G. Выписать условия контрагредиент- ности для алгебр Ли Ап, 3冗,Cn, Dn.

Показать, что все неприводимые представления алгебр Ли Вп, Сп, ?23 七7,七8,尸4, Ga самоконтрагредиентны. Показать, что условием самоконтрагредиентности для Лп, 。2儿 + 1, Еб является следующее симметричное расположение числовых отметок на схеме Дынкина;

Л/尢2% 几4九44?兄24

/ Оо' о-— • “ оо—0一i оо

Содержание этой главы в основном соответствует статье [85] (см. также [83]). Основным результатом является не только вложение неприводимого представления d(a) в класс полиномов на группе Z (теорема 1), но, главным образом, описание индикаторной системы, т. е. описание класса полиномов, в котором действует d(a) (теорема 5). «Каноническая модель» d(a), получаемая таким образом, универсальна в том отношении, что она описывает все представления не только самой группы G, но также и ее универсальной накрывающей.

Спинорные представления группы SO (л.) были впервые открыты Э. Картаном (см. [25]). Все представления полупростой комплексной алгебры Ли были также впервые классифицированы Э. Картаном [94]. См. по этому поводу замечания к следующей главе.

Глобальная теория, изложенная в этой главе, представляет интерес еще и в том отношении, что она совершенно элементарно может быть построена для классических групп Ли. Этим вопросам посвящается другая статья автора [84]. В частности, такой подход позволяет единообразно получить не только тензорные, но также спинорные и спинтензорные представления.

В § 117 мы показываем, как при помощи теоремы Леви — Мальцева получить обобщение всех этих результатов на произвольную связную группу Ли. Такое обобщение может показаться несколько неожиданным, но оно вполне объясняется тем, что действие радикала, по существу, тривиально (теорема 10). Доказательство этой теоремы основано на той же идее, что и глобальное доказательство теоремы Ли, предложенное Р. Годеманом (§ 88); инфинитезимальное доказательство здесь, по-видимому, было бы значительно сложней. Из теоремы 10 естественно вытекает также теорема 11, которая является обобщением теоремы Вейля о полной приводимости.

Описание центра полупростой односвязной комплексной группи Ли является хорошо известным результатом ([81], [128]). Здесь приводится формулировка, включающая детерминант матрицы Картана ([85]).

ГЛАВА XVII

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ(ХАРАКТЕРЫ, ВЕСА, ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА)

Если ограничиться изучением представлений полупростой комплексной алгебры Ли, то все основные результаты, касающиеся классификации неприводимых представлений, их внутренней структуры (в том числе симметрии относительно группы Вейля), собственных значений операторов Казимира и т. д., могут быть получены чисто алгебраически. На этом пути удается также получить независимое доказательство принципа полной приводимости (§ 61) и чисто алгебраический вывод формулы Вейля для характеров неприводимых представлений. Помимо вычисления характеров удается также получить некоторую (далеко не полную) информацию о весовой диаграмме неприводимого представления.

Естественно, что при решении этих задач основным инструментом является универсальная обертывающая алгебра, т. е. ассоциативная оболочка изучаемой алгебры Ли.

Разложение Картана——Вейля в универсальной обертывающей алгебре

Всюду на протяжении этой главы символом X будет обозначаться полупростая комплексная алгебра Ли и символом £ — ее универсальная обертывающая алгебра (§ 58), т. е. ассоциативная оболочка над полем комплексных чисел. В алгебре X раз навсегда фиксируются картановская подалгебра ^ и корневые векторы % с законом коммутации

［儿？/ = (儿 а)%,

В алгебре Н фиксируется лексикографическая упорядоченность и выделяются простые корни со^ Z = 1, 2,... ...,г (которые образуют базис в Н). Линейные оболочки векторов 2“ ％, а > 0, обозначаются соответственно символами 汇，Х+. Напомним, что Х_, Х+ — нильпотентные алгебры Ли с образующими е一吗，2吗，где со? — простой корень, i — 1, 2, …，г.

Разложение алгебры X в прямую сумму трех подалгебр X—, Н, Х+ мы называли в гл. XV разложением Картана ——Вейля в алгебре X. Следующая теорема обобщает это разложение на универсальную обертывающую алгебру 费：

Теорема 1. Универсальная обертывающая алгебра 费 полупростой комплексной алгебры Ли может быть записана 8 виде

费=费-5费+,

где 费_, $,费+ ——ассоциативные оболочки подалгебр Х_, Н, Х+ и произведение ассоциативных подалгебр понимается как, линейная оболочка всевозможных произведений элементов этих подалгебр (в указанном порядке умножения).

Доказательство. Достаточно проверить, что каждый одночлен от элементов й, е。，расположенных в произвольном порядке, может быть приведен с помощью соотношений коммутации к виду

2-%2-a2 …2fz52am+ 户加 + 2 …2%，

где сер > 0 и Ij е ^, с точностью до слагаемых меньшей степени однородности. Если базисные элементы 力，2a считать занумерованными в некотором порядке, то все одночлены от этих элементов также снабжаются естественной упорядоченностью, и наше утверждение легко доказывается методом конечной индукции путем понижения степени одночлена.

Теорема доказана.

Полученное разложение мы будем называть разложением Картана — Вейля в алгебре 费.Очевидно, это разложение является аналогом разложения Гаусса в группе G.

Замечание. Напомним, что алгебры Х_, Х+ инвариантны относительно картановской подалгебры Н. Отсюда также нетрудно заключить, что алгебры f_, £十 инвариантны относительно подалгебры $, т. е.

№, X」三重[Ь, X」三田+

для каждой пары элементов %_三£_, %+三£十(Ь®$)・ Следовательно, разложение Картана ——Вейля мы можем также записывать в одном из следующих видов:

£ = $£_£+ = £_$£+ = £—£+$・

Вместо элементов А, е^ мы будем рассматривать иногда образующие алгебры X, которые определяются следующим образом. Положим, прежде всего,

"(例，g)'

где ①厶 t = l, 2, ..., r,——простые корни алгебры X. Далее, заменим векторы e—叩凯 коллинеарными векторами /厶 е» так, чтобы выполнялись соотношения коммутации

[^» ft]=坛

Заметим, что если а, р — простые корни, то вектор а — р не может быть корнем (см. § 93). Отсюда следует, что [&,%] = 0 при i W j. Векторы 厶，,• являются образующими в подалгебрах Х_, Х+. Далее, имеем

[饱，《/I = caeh

где Си ——структурная матрица Картана. Аналогичное соотношение выполняется для пары h^ 力 с заменой с订 на —%. В результате получаем следующую систему соотношений для элементов 也厶 由，力：

[出，//] = 6订坛

[坛ёj]=a円，[坛 力]=一也力,

[力门%] = 0.

Заметим, что эти соотношения вполне определяют структуру алгебры X (поскольку они содержат структурную

матрицу Картана). Элементы 財，&,厶(и даже 已厶厶). являются образующими во всей алгебре X. Эти образующие мы будем называть каноническими.

Заметим, что элементы f{ (е^) являются образующими в ассоциативной алгебре 需一(需+)・ Кроме того, элементы hi являются образующими в алгебре .§.

Вещественную линейную оболочку всех векторов hi 三 Н, i = I, 2,.…г, мы будем иногда обозначать символом Но.

Представления со старшим вектором

В этом параграфе будут исследованы представления алгебры X, не обязательно конечномерные, которые обладают следующими свойствами:

1° В пространстве представления существует вектор 自 котор ый аннулируется всеми преобразованиями подалгебры Х_ и является собственным относительно подалгебры И.

2° Вектор g является циклическим в пространстве представления (т. е. все это пространство получается из g преобразованиями ассоциативной алгебры £).

Пусть V — пространство представления и р(%)— оператор представления, отвечающий элементу х е X. Тогда определение вектора g выглядит следующим образом:

P(G)g = 0, ，=1, 2,…，г, p(A)g = ^(A)g,力已〃・

Вектор g называется старшим вектором, и линейная форма 入(力)一старшим весом данного представления. Числа 九》=九(力。в этом определении могут быть произвольными комплексными.

Представление р(%), обладающее свойствами Г и 2°, мы будем называть циклическим представлением со старшим весом 兀 Иногда такое представление называют также представлением со старшим вектором.

Теорема 2. Пусть р(%)—циклическое представление алгебры X со старшим весом 儿 Тогда старший бек- тор определяется однозначно (с точностью до нормировки) и преобразования р(А), h^H, диагонализуются в пространстве представления. Всякий вес p.(ft) подал-

гебры Н при этом имеет вид

И (^) = ^ (А) - 士 叫®

1 = 1

где аДй) = (а^, А)——значение простого корня at на векторе h 〃 tit — неотрицательные целые числа. Каждый вес встречается в пространстве представления с конечной кратностью. Наконец, для каждой линейной формы k(h) над алгеброй Н существует единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление со старшим весом 九

Доказательство. Согласно свойству цикличности пространство V представления р(%) может быть записано в виде

丿=蔻，

где символ 费& означает множество всех векторов вида р(%)Е， %三 费.Согласно разложению Картана ——Вейля мы получаем также

V =看一5 曜=3U,

поскольку 费+自=｛九日 и 5Е = ｛入&｝. Иначе говоря, пространство U является циклическим также относительно подалгебры J_.

Пусть fi — канонические образующие в подалгебре 费_; тогда элементы вида % f. . .. /. образуют базис в 费—(вместе с элементом %= 1) и соответственно элементы вида

порождают пространство К Очевидно, каждый такой элемент является весовым с весом

一Ct - ■一 ct. ■一— Ct -.

4 l2

Следовательно, операторы p(/z), h^ H, диагонализуют- ся в пространстве 匕 и каждое собственное значение 卩 имеет конечную кратность (поскольку существует лишь конечное число одночленов от /\ с постоянной суммой Р = а. + а. + ・・・ +ctj у Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть 入——произвольная линейная форма на алгебре Н и 尢=入(力)i = 1, 2, ..., г. Определим пространство 纪 как свободную ассоциативную алгебру с единицей и с образующими zb г2,...,之％ Положим

p(矶=入(力)1,р (й) . г.=

=0 (/г) — а. (/г) —а. (/г)— . .. — а,(力))％• г. ... г., p(q) 1=0, р(А) 1 =/,

P(『i"乙乙2 * *,气"='円产% 2后

P (e J 乙产％ * * '乙7 = RP(S)“％ * * * “％ + “4 P ^^ Zi2 * *'马

В последнем соотношении мы исходим из равенства P(G)P(fj) = P(%)P(Q)+ 8仃Р(力t)，которое должно выполняться для всякого представления алгебры X. Это соотношение позволяет определить оператор р(е?) индуктивно для всех одночленов z. г. ... г. . В результате, как легко проверить, мы получаем представление алгебры X во всем пространстве 至.

Всякий одночлен г. z, ... г. является весовым вектором относительно алгебры Н с весом А — а. —а.—… ...—а. . Следовательно, среди таких весов вес 入 является старшим и содержится однократно в пространстве 纭 Кроме того, согласно определению оператора p(fi) вектор 1 является циклическим относительно алгебры $_. Следовательно, р(х) является циклическим представлением со старшим весом X.

Пусть 宏一произвольное инвариантное подпространство в ^ и х = 2 ^ц ~ разложение произвольного вектора хм” по весовым векторам %以 с различными весами ц. Принадлежность 尤三衫 можно рассматривать как линейную зависимость (mod ^z). Поскольку векторы с различными весами не могут быть линейно зависимы, то “三纣 при каждом 卩.Следовательно, преобразова-

ния pd),左三"，диагонализуются в 攵7). Пусть М — максимальный из весов, содержащихся в 生-Мы исключаем случай М =儿 когда 纪'=纪. Следовательно, V < А-. Пусть 生+ ——геометрическая сумма всех инва* риантных подпространств с максимальными весами V < X; тогда 生+ есть максимальное инвариантное подпространство в 毁 отличное от Z. Следовательно, 宏/生+ неприводимо. Мы доказали существование неприводимого представления со старшим весом X.

Докажем теперь единственность такого представления. Пусть рх ——неприводимое представление со старшим весом X и старшим вектором & Положим

Тогда, как легко проверить, операторы р%(%) действуют на векторы 自？ ？ . по тем же формулам, что и операторы р(х) в пространстве 纪 на векторы г. г; ... г.. Однако между 爲 j . , могут существовать нетривиальные линейные соотношения. Следовательно, пространство представления рх можно отождествить с фак- тор-пространством 纪/宓，где % — инвариантное подпространство, определяемое этими соотношениями ). Ввиду неприводимости рх, 宏° должно быть максимальным инвариантным подпространством, отличным от 宏 Но, как мы видели выше, такое подпространство определяется однозначно. Теорема доказана.

Замечание 1. Вместо свободной ассоциативной алгебры 宅 в доказательстве этой теоремы мы могли бы рассматривать алгебру 至 с образующими Zi, z2, ..., z- для которых выполняются соотношения

Е，Z/]==a%ZA，

где числа а определяются из соотношений коммутации для элементов е% ед （или //, /互）.Алгебра 勇 изоморфна, таким образом, алгебрам 王一 и 王+•

Замечание 2, Циклическое представление р（尤） со старшим весом 九 может быть построено также при помощи левых сдвигов в алгебре 至.Действительно, положим

I / = 1

Множество £九 является левым идеалом в X （芟三九=王入），и отсюда следует, что левые сдвиги в 工 индуцируют некоторое представление в фактор-алгебре 壬/壬九=金九.Нетрудно проверить, что 京九 изоморфна алгебре 交 из предыдущего замечания н представление в 気入 задается теми же формулами, что н в 宏

§ 121. Классификация конечномерных неприводимыхпредставлений алгебры X

В предыдущем параграфе мы получили классификацию всех неприводимых представлений алгебры X, обладающих старшими векторами и не обязательно конечномерных. Каждое такое представление определяется с точностью до эквивалентности своим старшим весом 九=九（〃）.Выясним, когда такое представление конечномерно.

1° Если представление р入 со старшим весом 九 конечномерно, то числа 储=九（自）должны быть целыми неотрицательными：

Доказательство. Если представление рк конечномерно, то циклическая оболочка старшего вектора 三 относительно трехчленной подалгебры А?・ ={厶，"з&} также конечномерна*）. Поскольку вектор 三 является старшим относительно 0ь то проекция 入市= 九（儿） должна быть целой неотрицательной.

2° Если представление р& со старшим весом 九 конечномерно, то множество всех его весов инвариантно относительно группы Вейля.

Доказательство. Пусть ц — произвольный вес представления рх. Положим

Ец = А?」и+4а, а = а〃

где 几 означает подпространство всех весовых векторов веса V. Тогда в действительности эта сумма является конечной и 后以 инвариантно относительно трехчленной алгебры 仇={力,也办 &}• Согласно теории представлений такой алгебры вместе с весом (卩，九力 пространство Е^ должно содержать также вес —(卩，九J относительно элемента h^ Следовательно, среди весов v =卩 + kai должен содержаться такой вес ц\ что сумма ц + ц^ ортогональна корню аз Но тогда рефлексия s? из группы Вейля переводит 卩 в 卩‘：

5怨=Ц^.

Следовате^чьно, множество всех весов представления р% инвариантно относительно s^, i= 1, 2, ,.., г, но тогда и относительно всей группы Вейля ©.

Отбросим теперь условие конечномерности и взамен предположим, что числа 入彳=入(九"，i = 1, 2,г, все являются целыми неотрицательными. Покажем, что по- прежнему имеет место аналог утверждения 2°.

3° Если числа 左 = 九(九。 являются целыми неотрицательными, то множество всех весов представления р% инвариантно относительно группы Вейля.

Доказательство. Пусть 厶十一циклическая оболочка старшего вектора g относительно трехчленной подалгебры 6f = {厶，自，q}・ Поскольку 九？=九(/ij)——целое неотрицательное число, то согласно результатам § 37 мы можем утверждать, что пространство 厶 конечномерно и неприводимо.

Далее, пусть 厶一произвольное конечномерное подпространство, инвариантное относительно 6外 Положим 工=XL. Если z 三 6储 то мы имеем

Р 3) р (х) Г] = Р (Е х])г] + р (х) р (z) Г]

для каждого вектора "三厶 н каждого элемента 尤三 X. Следовательно, £ также является конечномерным подпространством, инвариантным относительно 6厶

Пусть W ——линейная оболочка всех конечномерных подпространств, инвариантных относительно &. Тогда мы видим, что W инвариантно относительно всей алгебры X. Поскольку W содержит 厶，то W содержит также и старший вектор & Следовательно, W = V ввиду неприводимости пространства V представления рх.

Рассмотрим теперь произвольный вес 卩，и пусть “一 весовой вектор веса 卩.Согласно сказанному выше мы можем положить

где каждый вектор 通 содержится в конечномерном подпространстве, инвариантном относительно &. Следовательно, вектор г] также содержится в одном из таких подпространств. Повторяя те же рассуждения, что и в доказательстве утверждения 2°, получаем, что вес 卩'= =Si|i содержится в пространстве V. Утверждение 3° доказано.

Теперь уже нетрудно получить окончательный результат:

Теорема 3. Неприводимое представление рх со старшим весом 九 конечномерно тогда 〃 только тогда, когда все проекции 储=X(hj являются целыми неотрицательными. Множество всех весов в эгом случае инвариантно относительно группы Вейля, и для каждого веса ц число 2(卩，а)/(а, а) является целым, где а ——корень.

Доказательство. Согласно теореме 2 всякий вес представления р入 имеет вид 九—』几$口加 где числа i = 1

& неотрицательные целые. Если числа 尢=入(儿)вещественны, то это же верно для чисел 卩工=卩(用"；следовательно, в этом случае все веса представления р* содержатся в вещественном пространстве "о (вещественной линейной оболочке всех корней). Покажем, что при атом (ц,n)《(九 九).

Действительно, согласно 3° множество всех весов инвариантно относительно группы Вейля. Поскольку преобразования группы Вейля ортогональны, то они не изменяют скалярного квадрата (ц, ц). Согласно результатам § 105 мы можем подобрать преобразование Вей-

КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 549 ля таким образом, чтобы полученный вектор был доминантным, т. е. числа 快t = 卩(力力 были неотрицательны. Тогда при 0 =』〃◎ имеем

仙，6) = X “ 3, %) > о.

Следовательно, угол между векторами ц и |3 не может быть тупым. Но тогда скалярный квадрат вектора 九=м + § не может быть меньше скалярного квадрата вектора 快.Наше утверждение доказано.

Пусть R — дискретная решетка всех векторов вида г

九一』П/ам где числа 〃寸 неотрицательные целые. Мы видим, что множество всех весов представления рх содержится в пересечении решетки R со сферой радиуса U(九，九).Следовательно, это множество конечно. Поскольку ■

где Уц — весовое подпространство с весом 快 и dim Уц < оо (теорема 2), то пространство V также конечномерно. Теорема доказана.

Поскольку каждое конечномерное представление алгебры содержит (в силу теоремы Ли) хотя бы один старший вектор, то теорема 3 дает нам полную классификацию всех неприводимых представлений алгебры X.

Замечание 1. Из доказательства пункта 2° нетрудно заключить, что подпространства 九， 九， где 快' = £j快， имеют одинаковую размерность. Следовательно, если рх конечномерно, то весовая диаграмма этого представления инвариантна относительно группы Вейля.

Замечание 2. Можно показать ([121]), что неприводимое конечномерное представление рх алгебры X может быть реализовано с помощью левых сдвигов в фактор-алгебре 猊入= 爹/駅入，где 凯入 —— максимальный левый идеал, определяемый следующим образом: 耽入= £&е, + £电& —九"+ 士紂(ср・ с замечанием 2

в § 120). Этот результат имеет очевидную аналогию с индикаторными системами, построенными в гл. XVI.

Замечание 3. Назовем представление алгебры X экстремальным, если в пространстве этого представления существует вектор 自 такой, что

P(W。，P(33 = ；v (九)3

для некоторой фундаментальной системы корней а = =ссь а21 а「 (определение фундаментальной системы см. в § 105). Для экстремальных представлений, очевидно, имеет место аналог теоремы 2.

Конечномерное неприводимое представление экстремально относительно всякой фундаментальной системы корней (ввиду симметрии относительно группы Вейля). Более того, лишь конечномерные представления обладают этим свойством. Мы видим также, сколь «малую» часть занимают конечномерные представления в классе всех неприводимых (и даже в классе всех экстремальных) представлений алгебры X.

Формула Фрейденталя

Начиная с этого параграфа, мы будем рассматривать только конечномерные представления. Займемся исследованием весовой диаграммы неприводимого представления рх.. В этом параграфе будет установлена рекуррентная формула для кратностей весов в представлении рх, принадлежащая Фрейденталю.

Теорема 4. Пусть мц ——кратность веса 卩 в неприводимом представлении р九 со старшим весом 九.Toada

S工«ц+Аа (н + ^а, а).

а > 0 А=1

Здесь каждый вес рассматривается как элемент из ” 〃 скобка (&у) означает билинейную форму Каллинга —— Картана. Множитель с (卩)отличен от нуля для каждого веса 卩 w вычисляется мо формуле

с(А)= |М + 6『 — Н+6№

где ||^11 = (х, х) и 6 означает полусумму всех положительных корней 8 алгебре X.

Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении в рх квадратичного оператора Казимира

» = 1а0

Здесь положено Hi = р%.（小），Hi =卩儿（步），Е& = р（Са）, и базисные векторы 用厶 ^电 выбраны с таким расчетом, чтобы ковариантные числовые переменные образовывали квадратичный инвариант относительно присоединенного представления. Для этого, как обычно, достаточно положить

（е^, С—工）—1

и выбрать векторы Ы таким образом, чтобы они образовывали базис, дуальный к /%, т. е.（用才，足）=6订，где 6仃—— символ Кронекера. Тогда, как нетрудно видеть, оператор А перестановочен со всеми операторами представления р入.Заметим, далее, что

纯=YW,

где собственное значение у зависит от старшего веса Z. Поскольку А перестановочен со всеми понижающими операторами 卩儿（厶）,то А” = 丫“ для всякого вектора г] V, где V——пространство представления р储 Следовательно, А является скаляром на V*）. С другой стороны, положим

I = Х 乙，

где Уц означает весовое подпространство размерности 几口, отвечающее весу ц. Очевидно, R@ инвариантно относительно Е^Е—а，Вычисляя на этом подпространстве след оператора А, находим

y纵=% Z "（①）"（俏- 上sp旦乃一寸i = 1

Займемся вычислением отдельных слагаемых, входящих в правую часть.

1° Разлагая вес 卩 по базису hi и дуальному базису 九匕 находиm ц = 2 И (岳)儿=m卩(儿)岳，откуда (ц,卩)=

=X 卩(儿)卩(九')・ Следовательно, первая сумма в нашей формуле может быть заменена скалярным квадратом 加F).

2° Фиксируем корень а и найдем выражение sp ЕаЕ-а, где след берется только по весовому подпространству 九. Рассмотрим вначале тот случай, когда число

/ а)

a)

является неотрицательным. Тогда /0 является одним из возможных старших весов для трехчленной подалгебры операторов

尸 _ Е-а Р = 〃а р — Е(т 一， L (& a)，+ _，

где положено На = p>,(a). Кроме того, если Е 三匕丄，то 三 разлагается по базисным векторам с весами /0, содержащимся в неприводимых подпространствах относительно {Е_, Ео, EQ со старшими весами /о, ^о + 1, ^о + 2, . -. Следовательно,

九丛=х ("о) + х (/0 + 1) 4- х (/0 + 2^ + ..., где х(/) означает кратность схождения старшего веса / в подпространство 2 Vu+/a. Отсюда также следует, что

乂伍 + /)=九卩 + 加—^ц+(/+1)а-

Теперь мы воспользуемся явными формулами для неприводимых представлений трехчленной подалгебры si (2), найденными в § 37. Согласно этим формулам, если 自 является базисным вектором веса /о в неприводимом под” пространстве со старт и м весам /, то мы имеем

Полагая в этой формуле / = /° + / и умножая каждое собствен ное значение на х(/0 + /), получаем вклад неприводимого подпространства со старшим весом / в сумму spE+E_. В результате

sp Е+Е^ = W (几禺+/а — 〃禺+_+ i)a)(2/j + /) (/' + 1)= /==0

=N 几n + ja(2,o + /) (/ +1)~2 (2^0 + / — 1) /%丄+ /a・

Вторая сумма не изменится, если распространить суммирование также на / = 0. Приводя подобные члены, получаем

SP 七+七- =2』п^+ 加(/0 + /'),

Если умножить теперь обе части полученного равенства на —(a, а)/2, то мы найдем искомую формулу для sp Еа£__а. Напомним, что 厶=(卩，a)/(a, а), откуда 仇 +/) (a, a)=(卩十/a, a). В результате

spEa£._a--』/1+次(卩 + /或 a).(*)

3° Рассмотрим теперь тот случай, когда (ц, а) < 0. Пусть s 二 s“ 一 отражение из группы Вейля по направлению корня a II 卩‘=5卩. Положим

/ (К а)二—(F，а)

0 — (а, а) —(а, а)

и заметим, что всякий вектор & е У乩 имеет вес — /0 относительно оператора Еу. Все предыдущие построения остаются в силе, если заменить ц на цЛ и вес /0 на вес

—/0. В результате получаем следующую формулу:

SP EaE-a = - t /а(卩‘ +а), 卩‘ =S|l,

где след по-прежнему берется только по весовому подпространству Иц. Заметим, чго цЛ = ц + ma, где ш = =—2(卩，ct)(a, a) > 0. Следовательно, эга формула может

быть также записана в виде

SpEqE-— 』〃卩+ja（N + j%。）・

Покажем, что суммирование можно распространить на значения 卩 от 0 до оо. Действительно, если i + j = т, то сумма векторов ц + ia,卩 + ja ортогональна корню а и эти векторы сопряжены друг другу относительно рефлексии s. Поскольку в этом случае 〃卩+以=〃叶沁（весовая диаграмма инвариантна относительно группы Вейля） ,то мы имеем также

«и+/а（ц + /а, а） + 九“+加① + /а, а） = 0.

Отсюда, очевидно, следует, что сумма слагаемых 〃卩+ja（N + /а，а） по J от 0 до m обращается в нуль. Следовательно, формула （*） сохраняет силу для любого веса |i и любого корня а # 0.

Суммируя результаты Г, 2°, 3°, получаем следующее тождество:

Y% =九“（u, u） + X X 九u+/a（u +” а）.（**）

а*о ^^o

Преобразуем полученную формулу. Прежде всего, заметим, что слагаемые 〃卩（卩，а）, 〃卩（卩，一а） взаимно уничтожаются, так что суммирование в （•：：••：：•） можно вести по / от 1 до оо. Далее, из приведенных выше рассуждений относительно рефлексии 5а следует, что сумма слагаемых 几叶九（卩丄汝，а） по j от —оо до оо всегда обращается в нуль. Следовательно,

Л «ц-/а（Н-/а, а） = «ц（и, а） + 工 w+/a（|i +/а, а）.

/=1j=l

Используя это тождество, мы можем исключить в формуле （畸）все слагаемые с а < 0. В результате имеем

、％ = %（“，“）+ X %（“，а）+ 2 工 5 «ц+/а（Р + /«> а）.

а>0а>■ 0 /=1

Если использовать обозначение д = у ^ а, то эта фора > О

мула переписывается в виде

Y& = ”(“，“ + 26) + 2 £ 2 0+2 3 + /а, а).

а > о / = 1

Наконец, для нахождения множителя у достаточно в качестве ц взять старший вес 入.Тогда 〃入=1,以+汝=。при / > 0, и мы находим, что у =(兀 л + 26) = ||入 + д,|2 — —||д||2. Подставляя это выражение снова в общую формулу, получаем окончательно

(IIX + d II2 - II ц + d II2) «и = 2 2 £ «ц+/а(Н + /а，а).

а> 0 ; = 1

Осталось показать, что коэффициент при 孔卩 отличен от нуля. Для этого установим следующие два предложения, имеющие также самостоятельную ценность:

4° Пусть 6 ——полусумма положительных корней. Тогда все числовые отметки вектора 6 равны единице *):

4 = 6 (%) = ：\：爲=1, z = 1, 2, .. г.

Если s ——элемент из группы Вейля, отличный от единицы, то 6〉s6 (относительно лексикографической упорядоченности в Я).

Действительно, пусть s?——отражение относительно простого корня а「 Тогда, как мы видели в § 105, для каждого положительного корня а 丰 g корень Sia также положителен. Следовательно,

$力=^ £ s»a=—孑的+扌 工 a = 6 — a,. a > 0a 用 a,

a > 0

В то же время s® = b —山仪抬 согласно общей формуле для рефлексий. Следовательно, 6/ = 1, z = 1,2, ..., г. Аналогично, если s ——произвольный элемент из группы Вейля, то .

*) Иначе говоря, если Л( — базис, дуальны頁 用入 то все координаты вектора 6 в этом базисе равны единице.

где сумма берется по тем а > 0, для которых sa < 0. Если таких а нет, то преобразование s сохраняет доминантную камеру Вейля, откуда s = е （§ 105）. Следовательно, §6 — d < 0.

5° Если 卩——произвольный вес представления р入，ст- личный от старшего веса А, то ||ц 十 6||<||А + dlL

Действительно, если 卩次入，то 卩 < 九，и мы имеем

"厶十6仔一［仙十6『=［以俨一"从『十2（厶一邑d）.

Как мы видели в § 121, 口厶卩》打丄||. Далее, поскольку вектор 九 —— 以 является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными коэффициентами, не равными тождественно нулю, и （а厶 6）>0, то ||А + д||2—||ц + д||2>0. Теорема доказана.

Поскольку все веса в правой части формулы Фрей- денталя выше 卩（относительно лексикографической упорядоченности）, то эта формула действительно позволяет найти все кратности пц, исходя из кратности пх — L

Формула Вейля для характеров

В этом параграфе мы приводим чисто алгебраическое доказательство формулы Вепля, принадлежащее Фрей- денталю, для характеров неприводимых конечномерных представлений алгебры X. Если встать на алгебраическую точку зрения, то характер % представления рх может быть определен с помощью формулы

% = ±4e（卩），

где е （卩）——формальный символ, определенный в классе весов и удовлетворяющий мультипликативному соотношению

e （九）e （а）=e （九十ц）.

Иначе говоря, мы можем рассматривать % как элемент ассоциативной алгебры с единицей 1 = е（6） и образующими yz = е （Л9, у］ = е「吟、где 团 ——дуальнне векторы для 伝=2з丿（з“ 3», i = 1, 2, ..., г. Действительно, всякий вес имеет целые координаты в дуальном бз- зисе /г° （каждая из этих координат является «числовой

отметкой» (§ 109) на одном из простых корней з». Над полем комплексных чисел мы можем также положить

e(|i) = exp(|i, h),

где положено 卩=出他 А = ^hi и (|.i, А) = ц^/л Однако алгебраическое определение удобно в том отношении, что «формальная экспонента» е(“) может быть определена над произвольным полем.

Веса конечномерных представлений алгебры X мы будем также иногда называть целочисленными векторами. Заметим, что каждый корень является весом (весом присоединенного представления алгебры X). Положим

Q= П(е(а/2) —е(—а ⑵).

а> 0

Здесь мы нарушили предыдущие соглашения, поскольку а/2, вообще говоря, не является весом. Однако нетрудно видеть, что определение элемента Q может быть также дано в следующей корректной форме:

Q = e( —6) П (е(а)—1) = е(6) П (1—( —а)),а > 0а > 0

где д — полусумма положительных корней. Первое определение обладает тем преимуществом, что из него непосредственно очевидна кососимметричность по отношению к группе Вейля. Действительно, положим

se (|i) = e(s)i)

для каждого s из группы Вейля © и распространим определение оператора s по линейности на все линейные комбинации экспонент. Если s = s?——рефлексия по направлению простого корня со%, то оператор s меняет знак у скобки e(aJ2)—е(—а〃2) и переставляет все остальные скобки между собой. Следовательно, %Q = =——Q, и отсюда sQ = (det s)Q для всякого s ^ ©. Мы условимся записывать характер % в виде отношения 户/Q, т. е. вместо % введем новую искомую функцию

尸=xQ-

Из симметричности весовой диаграммы по отношению к группе Вейля следует симметричность характера 左 Из

симметричности % и антисимметричности Q следует также антисимметричность F.

Лемма 1. Q = 2 (dets)e(si), где 6 — полусумма положительных корней.

Доказательство. Рассмотрим вначале произвольную антисимметрическую функцию ，=汇玩6(卩)・ Скажем, что функция / является элементарной, если веса, входящие в ее разложение, лежат на одной орбите относительно группы Вейля. В этом случае среди таких весов имеется лишь один доминантный вес цо и все остальные веса получаются из него преобразованиями группы Вейля. Очевидно, в этом случае

/ = сйАе (и。)， с0 = const,

где А означает оператор альтернирования:А =

=丄 工(dets)s(^ ——порядок группы Вейля) ). Заме-

S三0

тим, что оператор А удовлетворяет тождеству А^{———Л для всякой рефлексии по направлению корня 3f. Следовательно, если 卩о(%)=О при некотором 厶 то Ле([10)== —Л5ге(ц0) =—^е(цо), откуда следует, что в этом случае / — 0.

Вектор 卩三"мы условимся называть строго доминантным, если все его числовые отметки 山=ц (h^ положительны. В результате мы видим, что всякая элементарная функция определяется (с точностью до множителя) своим единственным строго доминантным весом цо- Очевидно также, что всякая кососимметрическая функция / является линейной комбинацией элементарных ).

Покажем теперь, что функция Q является элементарной. Действительно, все веса, входящие в разложение Q, имеют вид 林=6 ——В， где § ——сумма некоторых поло-

жительных корней. Если вектор ц является строго доминантным, то

Pi V 山=1

(числовые отметки вектора 6 равны единице). Как следует из определения вектора р, его числовые отметки Рг = 2(6, б)/(з厶 r) являются целыми. Следовательно, Р； 0. С другой стороны, коэффициенты в разложении Р по простым корням неотрицательны и отличаются лишь положительными множителями от дуальных координат 俨= (6,/Р). Следовательно,(卩，廿)=仇伏&0, откуда 6 = 0. Мы показали, что вектор 6 является един^ ственным строго доминантным среди весов в разложении Q. Разность R = Q— 2 (dets)e(sO) кососимметрична и не содержит ни одного строго доминантного веса, откуда R = 0. Лемма доказана.

Пусть Е — алгебра всех функций, которые являются линейными комбинациями экспонент, и Е ——множество всех вектор-фуикций f =尸7i厶 где 产 м Е и 儿一фиксированный базис в картановской алгебре Я. Мы определим отображения Е—►应 и Е 一 Е, называемые соответственно градиентом и лапласианом в Е:

Ve (ц) = е(ц)ц, Де (ц) = (ц, ц) e (ji),

с линейным продолжением на всю алгебру Е. Из мультипликативного соотношения для экспонент е(ц) вытекает обычное правило дифференцирования 十(&6) = = (V&)6 + q(V6) и соотношение

・ А(&6) = (А&) 6 十 2 (Vq, V6)十 &(Ab),

где скалярное произведение двух элементов из Е определяется так же, как и в картановской алгебре Я, с заменой числовых коэффициентов коэффициентами из Е. Докажем теперь еще одну лемму, которая является основной для нашего изложения.

Лемма 2. Функция F = %Q удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

AF =(九十6,九十0) F.

Доказательство. Используем формулу (%*), полученную в предыдущем параграфе при доказательстве

формулы Фрейденталя. Умножая обе части этой формулы на экспоненту е(卩)и суммируя по ц, находим

Y% = A%+2 2 2 %+2(以 +旭，a)e(“).

ц а 耍》0 /хО

Умножим обе части этого равенства на функцию

р = П (е(а)- 1) = п Ра・а "/=0а：?ьо

Заметим, что если фиксировать корень а и положить Р = R』勿 те 凡=II (е(В)— 1), то общий член под

знаком тройной суммы принимает вид

RaW+ ia 3 + /а> а) (е (ц + а) - е (“)).

Суммируя по / от 0 до оо, заметим, что суммарный коэффициент при экспоненте е(卩 + а) равен

& X 二{恤+加(卩 + 沁，а)-Мц +(/-|)а(|л+(/-1)а, а)} =

=^ati^ (ц, а).

Суммируя теперь по а W 0, замечаем, что выражение £ 火跳(Q)совпадает с градиентом функции Р. С дру- а=?ьо

гой стороны, суммируя по ц, замечаем, что выражение £ п^е (卩)совпадает с градиентом характера 左 В результате имеем

ТУ •尸= (А%) • Р +(Vy, VP).

Из определения функций Р, Q следует, что P = ±Q2. Следовательно, V. = ±2QVQ, и скалярный множитель можно вынести за знак скалярного произведения. Сокращая на ±2Q, получаем следующее тождество:

mQ = (A%)Q + 2(V%, VQ).

Согласно отмеченному выше общему правилу для лапласиана выражение в правой части есть A(%Q)——x(AQ). Ilojiaian F = %Q, находим

冲=AF — % AQ.

Остается заметить, что AQ = (6,6)Q в силу леммы 1. Кроме того, в предыдущем параграфе было найдено следующее выражение для множителя у: у = (Х+6,九+ 6)—— —(б, б). Подставляя все эти выражения, получаем нужный результат. Лемма доказана.

Теперь уже нетрудно найти явный вид элемента F. Функция F = %Q является линейной комбинацией экспонент е(ц + sb), где ц ——произвольный вес представления Ра и s 三 ⑨.Каждая из этих экспонент является собственным вектором лапласиана с собственным значением (“ + §6, ц + s6). Ввиду линейной независимости собственных подпространств оператора А каждое слагаемое должно иметь то же собственное значение, что и вся функция F. Следовательно, ||s~!|_i + б|| = ||Х + б||. Как мы видели в конце § 122, это возможно только в случае §-1乩=九，т. е.卩=si Следовательно, F является элементарной функцией с единственным строго доминантным весом Х+б. Следовательно, F = cQ^ (dets)e(s(X + б)).

Сравнивая коэффициенты при е(Х), заключаем, что to = 1. В результате доказана следующая

Теорема 5. Характер % неприводимого конечномерного представления р入 может быть представлен в виде отношения двух элементарных функций:

2 (dets)e (s (九+ 6))

' N (dets)e(s6)'

где X— старший вес представления р入 и б — полусумма всех положительных корней. Преобразование s пробегает группу Вейля, и det s = ± 1.

Над комплексным полем мы можем заменить е(ц) настоящей экспонентой ехр(ц, h). Осуществляя, как и в § 73, предельный переход при /г -> 0, получаем следующую формулу для размерности:

[J (а, X + д)

Здесь № ——размерность представления р» Мы преобразуем эту формулу следующим образом. Каждый корень а представим в виде суммы простых корней. Каждый вектор Л, 6 разложим по базису 无彳 дуальному к векторам йг = 2д/(%,т):

Л =九也‘，6 = 6/.

Координаты 九з 6d являются числовыми отметками векторов Л и 6: 储=2(九，д)/(д, д), 6i= 1. Следовательно, числа Л； являются целыми неотрицательными. Далее, нормируем простые корни «纟 таким образом, чтобы числа Wi = (аз а» принимали значения 1, 2, 3. Поскольку az = -~ ht и базисы %?, %，дуальны друг другу, то мы имеем

0(%+收因

(t) 2 3thi

где числа k{ определяются из разложения 。= £財％・ и произведение берется по всем последовательностям 居， 拓》0, для которых а является корнем.

Замечание- Имея дело с классическими группами, гораздо удобнее пользоваться теми координатами старшего веса а =(〃“，〃电 『人)，которые были введены исходя из основного линейного представления этих групп (” = л для SL(n), *，=[几/2] для SO(n), Sp(〃))・ Например, для Sp(『z) мы имеем

山一Ye 怡一Y;2…心一Y/v

где /р = 〃Zp + (и — p), p = 1, 2, ..., v, и знаменатель Q получается из числителя подстановкой тр = 0. Соответствующая размерность 汽口 имеет следующий простой

вид:

爲=±пл n 传一4)，

где Qo получается из числителя подстановкой тр = 0. Более подробную информацию по всем этим вопросам можно найти в книге Г. Вейля [10], где вычисление характеров производится интегрально и где для каждой классической группы получается также аналог «второй формулы Вейля», доказанной нами для группы SL(n).

Следствия из формулы Вейля

Отметим некоторые простые следствия из формулы Вейля, которые относятся к нахождению кратностей весов и описанию спектра тензорного произведения двух неприводимых представлений.

1° Еще одна рекуррентная формула для кратностей весов. Умножим обе части формулы Вейля на знаменатель Q и приравняем полученные линейные комбинации экспонент:

22пц■ (det s) • е (快 + sb) =，(det s) e (s (九 + 6))・ s 出s

Рассмотрим произвольный вес ц, отличный от старшего веса 九；тогда, как мы знаем, ||ц + 6||<|伉 + 6||, и, следовательно, 快 + 5 не может совпадать ни с одним из значений s(九 + 6). Следовательно, суммарный коэффициент в левой части при е(" + 6) должен равняться нулю. Но этот коэффициент получается суммированием по тем весам 快‘，для которых 快'+ sb = 快 + & В результате

，〃卩+8-s8 (det s) = 0.

Поскольку, как мы знаем, 6 ——sb > 0 для всех значений $ 片 е, то эта формула является рекуррентной. Действительно, она может быть переписана в виде

% = — £ (det s)

где все веса, входящие в правую часть, строго больше 快. Эта формула значительно проще рекуррентной формулы

Фрейденталя. Эту формулу можно назвать рекуррентной формулой по «звездочке^ 8—— sb.

2° Ф о р м у л а Костанта. Попробуем разложить 1/Q в бесконечный (формальный) ряд по экспонентам e(R). Напомним, что Q = e(6) Ц (1—е( —а))・ Отсюда

а > О

ясно, что искомое разложение сводится к перемножению геометрических прогрессий:

И (1 -е(-а))т= П (1 +е(а) + е(2а)+ ...)= а > 0а > О

=Z Р(卩)e(и).

Здесь функция Р(ц) определяется следующим образом: 尸(0)= 1,尸(|л) при 以 #= 0 есть число различных разбиений вектора 卩 в сумму положительных корней ). Функция 尸(卩)называется функцией разбиения. Подставляя теперь полученное разложение в характер *入=FJQ, находим

Х%е(А)= 2 (dets)e(s3 + 6))XP3')e( — a — 6)・

Us w ®U'

Остается сравнить коэффициенты при каждом базисном элементе е(|л). Для каждого 乩 подбираем 卜J из равенства 卩=5口 + 6) — $ — д. В результате получаем следующую формулу:

士 (det s) (Р(5 (ц + 6) — (ц + 6))). S

Эта формула впервые была найдена Костантом ([19]), однако значительно более сложным путем. Указанный простой вывод был отмечен П. Картье [99] и Р. Штейнбергом [147]. Практическое применение этой формулы связано еще со значительными вычислениями.

3° Тензорное произведение двух неприводимых представлений. Вычисляя характер тензорного произведения р^ ® р%, с одной стороны, как произведение характеров сомножителей и, с другой сто

роны, как сумму характеров неприводимых компонент р九，входящих с кратностями『孔九,получаем следующее равенство:

S S %(det s)e (卩 + s (九2 + В) = ? 2 (dets)mxe(s (Z + d)). Us 九 $

Здесь мы предварительно умножили обе части на Q и заменили характеры 左,%入 соответствующими альтернированными суммами 尸儿，尸『 Символ пм означает весовую диаграмму представления р九. Рассуждая, как при выводе Г, получаем следующее равенство:

恤=£~ (dets)耿+6~■ S2 + б ) *

Это равенство выражает искомую кратность т^ через весовую диаграмму nu представления р储.Путем несложных преобразований получаем отсюда, как и в § 77, спектральную формулу для р^ ® рх:

p儿区Pk =审固自口+大2+旧u+储

Здесь суммирование ведется по всем весам представления р储；占” =0, если существует такое преобразование s 三 6, для которого 5v = V； gv = clet sv, если такого s не существует и sv переводит вектор v в доминантный вектор, обозначаемый |v|.

Заметим, что вышеуказанная формула для кратности /пх была получена еще Г. Вейлем [10]. Г. Вейль отметил также, что подобный прием пригоден всегда при разложении некоторого представления р на неприводимые при условии, что известен характер представления р. В частности, аналогичная формула может быть получена при исследовании сужений с группы на подгруппу.

Полиномы на картановской подалгебре,инвариантные относительно группы Вейля

При изучении характеров нам пришлось иметь дело с вопросами симметрии относительно группы Вейля. В этом параграфе будут рассмотрены близкие

вопросы, которые в свою очередь будут использованы в дальнейшем изложении. Мы рассмотрим полиномы иа картановской подалгебре Н, инвариантные относительно группы Вейля, которым в дальнейшем будут поставлены в соответствие операторы Казимира алгебры X.

Сделаем вначале одно небольшое замечание относительно алгебры Е, рассмотренной в § 123 и состоящей из функций f = £ 与田（卩），где 卩——произвольный вес. Как мы видели при построении характеров, всякий кососимметрический элемент этой алгебры является линейной комбинацией элементарных функций 尸九= =£ （det s） с （s （厶 + 5））, где ^― старший вес представления рх. Соответственно всякий симметрический элемент этой алгебры является линейной комбинацией примитивных характеров 冷「 Действительно, умножая данный элемент иа кососимметрическую функцию Q, мы разлагаем полученную функцию по Fx, что равносильно разложению исходной функции по Хх，

В действительности все эти утверждения могут быть сформулированы без привлечения алгебры Е, поскольку речь идет о функциях 自“,каждая из которых отлична от нуля лишь в конечном числе целочисленных точек [1 w ". В частности, мы видим, что всякая симметрическая функция 自“ （Ам =自乩） является линейной комбинацией конечного числа весовых диаграмм 〃炉 ..., отвечающих старшим весам 儿 2/,

Докажем теперь следующую теорему, принадлежащую К. Шевалле:

Теорема 6. Всякий полином 夕（用）на картановской подалгебре Я, инвариантный относительно группы Вейля, может быть продолжен до полинома р （х） на всей алгебре X, инвариантного относительно присоединенного представления.

Доказательство）. Пусть А+—множество всех домииаитиых целочисленных векторов А 三，.Очевидно, линейные комбинации элементов вида （厶，4）%

々 = 0,1,2,…，AwA+, содержат все одночлены относительно фиксированного базиса 小 w " и потому совпадают с алгеброй 俨(")всех полиномов иад ". Применяя к таким элементам оператор усреднения по группе Вейля, получаем элементы вида

畋八力)=工恭・(м,犷 k = 0, 1, 2,.... 九®а+, линейные комбинации которых порождают всю алгебру /(") полиномов, инвариантных относительно группы Вейля. При этом, очевидно, каждая функция &『)симметрична по индексу 卩.Используя замечание, сделанное в начале этого параграфа, мы разлагаем функцию Eg) по весовым диаграммам м《)со старшими весами 3•，力=1, 2, ^. Соответственно полином(рх)hW разлагается в линейную комбинацию полиномов

fik (%) = 2 础(№ 疗=sp P% (%)匕

Но каждый из этих полиномов допускает продолжение (с заменой h ^ И на х ^ X) до полиномов иа алгебре X, инвариантных относительно присоединенного представления в X. Теорема доказана.

С другой стороны, если р(х) инвариантен относительно присоединенного представления, то 〃(％) иива- риаитеи также относительно внутренних автоморфизмов, отвечающих группе Вейля (см. § 105). Следовательно, сужение р (Л) иа подалгебру Н инвариантно относительно группы Вейля в Я. В результате получаем

Следствие. Существует взаимно однозначное соответствие относительно сужения р(х)-> p(h) между алгеброй всех полиномов над X, инвариантных относительно присоединенного представления, и алгеброй всех полиномов над Я, инвариантных относительно группы Вейля.

Согласно другой теореме Шевалле, приведенной нами без доказательства в § 107, алгебра /(Я) всех полиномов иад Я, инвариантных относительно группы Вейля, имеет ровно г независимых образующих. Все образующие могут быть выбраны однородными. При этом, как показано К・ Ш е в а л л е [145], если 〃，р?, рг —

степени однородности образующих, то pg , t. рг — w4 где w — число элементов в группе Вейля. Иначе говоря, произведение степеней всех образующих равно порядку группы Вейля ).

Пример 1. Алгебра Лп. Картановская подалгебра Н имеет размерность м, однако удобно вкладывать ее в (几 + 1)-мерное пространство (пространство основного линейного представления 4П). При этом элементы из 〃 задаются наборами координат 九,/2, ..., /几+i таких, что 九 + 勾 + ….+ /п+1 = 0. Группа Вейля состоит из всевозможных перестановок координат 乙,友， и имеет порядок (几 + 1)!. Образующими алгебры /(〃) являются элементарные симметрические функции

%(/)=£ 厶丿％ %,«= 1, 2,...,几 + 1・

Степень такой образующей равняется 也 и произведение всех степеней есть 1 ・ 2 ・•・(几 + 1) = (м + 1)!. Вместо элементарных симметрических функций можно рассматривать также суммы Ньютона

“")= /； + 務 + ... +样+口 々=1, 2, n+ 1.

Алгебра / (//) состоит в этом случае от всех симметрических полиномов от переменных 乙，必 …，/n+i*

Пример 2. Алгебра В% Картановская подалгебра Н имеет размерность п. Если воспользоваться классическим базисом, который доставляется (2п + !)■ мерным представлением алгебры Bnt то группа Вейля порождается всевозможными перестановками координат 乙，%2， /п и зеркальными отражениями ti -> —^, z = 1, 2, ..., м. Порядок группы Вейля есть 2Л • п!. Образующие в алгебре / (〃)таковы:

s2A (/)=學 + /£+,,・ + 聲， 々=1, 2, ..., n.

Степень такой образующей есть 2左，и произведение всех степеней равно 2 * 4 * 6・・・2几=2" •几!.

Пример 3. Алгебра Сп. Результаты те же, что и в примере 2. Заметим, что условием доминантности

вектора (т^ т^ ..., тп) в указанном базисе является ⑺》，?2》...》切门》0.

Пример 4. Алгебра Dn. Исходя из 2п-мерного представления алгебры。小 вводим базис, относительно которого группа Вейля порождается перестановками координат /|, /2, . • • , /沱 и преобразованиями вида % т—九 при У/г. В этом случае каждое преобразование из группы Вейля допускает лишь четное число перемен знака. Порядок группы Вейля есть 2П~1 * п!. Образующие в алгебре / (/7) таковы:

§2总(/),丸=1, 2,...,几一1;冗(/) = /也J

Заметим, что в выбранном базисе условием доминантности вектора (Ш|, т2, тп) является 门乂》• д》… ...> mn_| ^ j i. Во всех примерах 1——4 формула Кил- лнн「а — Картана (суженная на Я) диагонализуется в выбранном базисе.

Пример 5. Алгебра G^ Порядок группы Вейля в ЭТ0А1 случае равен 12 ([19]), стр. 258). Поскольку среди образующих всегда имеется одна квадратичная (квадрат Картаыа — Киллинга), то в данном случае степени образующих равны 2 н 6.

Относительно остальных особые алгебр Картана см., например, [571. См. также конец § 127.

Операторы Казимира

11усть zY — полупростая комплексная алгебра Ли и J — ее универсальная обертывающая алгебра. Как мы видели в гл. IX, центр 3 алгебры 需 отождествляется с алгеброй /(X) всех полиномов над алгеброй X, инвариантных относительно присоединенного представления. Согласно теореме Шевалле, доказанной в предыдущем параграфе, мы можем также отождествить алгебру 3 с алгеброй / (〃) всех полиномов над /7, инвариантных относительно группы Вейля. (Оба эти соответствия 刀小 нейны, но не мультипликативны.) Элементы алгебры 3 мы будем называть центральными или операторами Кп- зимира алгебры X.

Если с—произвольный элемент из алгебры инвариантов /("), то соответствующий оператор Казимира мы

обозначим символом С. Построение оператора С по данному с производится следующим образом. Инвариантный полином с (А) продолжается (по теореме Шевалле) до полинома с (%) на алгебре X, инвариантного относительно присоединенного представления. Если е〔，。2,

еп — произвольный базис в алгебре X, то полином с(尤)выражается через ковариантные числовые координаты: с(х) — c(xi, Х2» . ■ -, %??), после чего полагается c = e(21,02,•

Пусть рк—произвольное неприводимое конечномерное представление алгебры X и С― оператор Казимира в этом представлении. Тогда, как мы знаем,

e = с (九)/,

т. е. оператор Казнмнра сводится к умножению на число 2(九).Функцию 賓九)мы называем собственным значением оператора Казимира; согласно построению она вполне определяется полиномом c(h). Н.

Теорема 7. Собственное значение всякого оператора Казимира является полиномом от 入三〃.Функции 2(入)а с (入)имеют один 〃 тот же однородный член старшей степени однородности'.

e (九)-c (九)+ . . ., k h,

где многоточие означает сумму слагаемых меньшей степени однородности. Функция 2(九)，как полином от'入 + 6 (6 ——полусумма положительных корней), инвариантна относительно группы Вейля.

Доказательство. Воспользуемся разложением Картана — Вейля в алгебре X (§ 119). Пусть m — старшая степень однородности в многочлене с(е) = =с(&, °2,.…，еп) н f(e)——произвольный одночлен нз с(е), имеющий степень т. Используя для f(e) разложение Картана ——Вейля, мы можем записать (с точностью до слагаемых меньшей степени однородности)

f (e) = e-af・ е-а"<Р (用邹f闻 ё用，

где корни ai, Pj положительны и ср (Л)——одночлен от базисных векторов в Я. Поскольку с (%) является инвариантом присоединенного представления, то, в частно-

сти, он является весовым вектором веса нуль относительно подалгебры Н. Следовательно,

Ct] + % + > > + ар = 61 + В2 + * * > + 6g.

Рассмотрим теперь произвольное конечномерное представление р^. Поскольку оператор С является скаляром в ру то для вычисления 不(九)достаточно применить оператор С к старшему вектору 自.Пусть 尸一оператор, отвечающий одночлену f(e). Тогда мы имеем 尸三=0, если g #0. Следовательно, ненулевой вклад вносят только те слагаемые f(e), для которых g = 0. Но тогда и р = 0 (в силу соотношения между корнями, указанного выше). Следовательно, если ст(К) —сумма собственных значений всех одночленов f(e) степени однородности т на векторе 自 то

^/и (九)=0m (九)，

где ст(К)——сумма собственных значений тех одночленов f(e), для которых р = g = 0. Для выделения этих одночленов достаточно символы ® заменить нулям и, что равносильно (ввиду ортогональности %，”)сужению полинома с(х) на подалгебру Н. Наконец, очевидно, что Ст (А) является полиномом от А, поскольку P入(用)自=(入，力)е, где (入，用)--линейная форма над н.

Продолжая эти рассуждения для всех остальных однородных компонент, заключаем, что 2(A) является полиномом от 入 и полиномы 3(A), с(入) имеют общий старший член 不加(入)=ст(К) *).

Для завершения доказательства осталось показать, что 不(入)=屮(入 + 6), где полином 屮(用)инвариантен относительно группы Вейля. Рассмотрим вместо р入 соответствующее представление d(a) односвязной группы G с алгеброй Ли X. Реализуя d(a) в классе матричных элементов на группе G, мы рассмотрим, в частности, характер %a(g)，который, как линейная комбинация матричных элементов сигнатуры а, должен быть собствен-

ным вектором оператора С с собственным значением с(Х):

С%。(g) = $ М) %а (g), где Ц = Л + 6.

Нам будет удобно далее сделать унитарное ограничение, т. е. считать, что g w И, где U — максимальная компактная подгруппа в группе G. Полагая g = 〃一^丫〃，где у пробегает максимальный тор, мы видим, что %a(g) зависит только от у (действительно, ха является функцией классов). Следовательно,

СХа (g) = СХа (g),

где С― дифференциальный оператор относительно канонических координат %, /2,…，tr элемента у *). Положим согласно формуле Вейля Ха ~ 尸仪/Q, гДе Fa и Q — кососимметрические функции от 介,勾,...,厶,и введем обозначение А = QCQ-1. Тогда мы имеем

\Fa(i) = <p(H)Fa(i).

Здесь А — дифференциальный оператор по параметрам t и 卩 =尢 + 6、Напомним, что 尸&= £ 土 exp (s% 力). Заменяя [л на S|i, мы сохраняем функцию Fa с точностью до знака. Следовательно, (p(s卩)=屮(卩).Теорема доказана.

Замечание 1. В формулировке теоремы предполагалось, что С — симметризованный оператор Казимира, т. е. полином с(е) выражается через базис е】，°2,…，е” с помощью симметричных тензорных коэффициентов. Однако в действительности это ограничение излишне. В самом деле, как мы видели в гл. IX, всякий полином с(е) и его симметризованная форма имеют одно и то же слагаемое старшей степени однородности.

Замечание 2. Если С—квадратичный оператор Казимира, то, как легко проверить, соотношение Д = QCQ-* использованное в доказательстве теоремы 7, устанавливает связь между радиальной частью С оператора С и формальным лапласианом А, введенным в

§ 123. Оказывается также, что в общем случае оператор А является дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами по £卜 g ..., £门 инвариантным относительно группы Вейля. Это позволило Ф. А. Березину [49] дать полное описание радиальных частей операторов Казимира ).

Следствие 1. Алгебра собственных значений с (X) изоморфна алгебре /(Я) всех полиномов над Я, инвариантных относительно группы Вейля.

В свою очередь отсюда получаем

Следствие 2. Алгебра 8 операторов Казимира изоморфна алгебре /(Я). В частности, алгебра 8 имеет ровно г независимых образующих.

Действительно, соответствие между оператором С и собственным значением с (X) является линейным и мультипликативным. Кроме того, если 不(九)= 0, то с (九)=0 (согласно теореме 7), и отсюда С = 0. Следовательно, это соответствие взаимно однозначно. Заметим, что образующие можно выбрать однородными, и для их степеней по-прежнему выполняется условие pg . . . pr = w, где w ——порядок группы Вейля. Отсюда легко получаем также )

Следствие 3. Собственные значения операторов Казимира определяют представление рх однозначно с точностью до эквивалентности.

Примеры, связанные с алгеброй si (п), мы уже рассматривали в гл. IX. В следующем параграфе остановимся на алгебрах so(n), sp(n).

О вычислении собственных значений операторов Казимира

В гл. IX мы воспользовались n-мерным представлением алгебры sl(n) для вычисления собственных значений ее операторов Казимира. Аналогичное построение нетрудно провести и для других классических алгебр Ли.

Условимся записывать фундаментальную билинейную форму для so(zi), sp(zi) в том же виде, как и в гл. XVI, и занумеруем все координаты числами —V, —v + 1, ...» v— 1, v, где v =仇/2], с пропуском нуля при четном м. Тогда соотношения коммутации в алгебре Ли записываются следующим образом:

so (初 sp (矶so (初 sp (矶(% дляI E步/6订 ДЛЯ(% дляI E步/6订 ДЛЯ[X订，Xkl] = (6注X" — MX^j) + (打 _,X財 т — e財 тХ-з ；), при соответствующем выборе базисных операторов Ху、 где положено

so (初 sp (矶

so (初 sp (矶

(% для

I E步/6订 ДЛЯ

(% для

I E步/6订 ДЛЯ

причем е/г = sgn k (0 при 左=0, 1 при 力〉0, —1 при й < 0). Нетрудно проверить, что при этом выборе базиса следующие операторы являются операторами Казимира:

Ср = £ 2 , X屮2*修3 …Х%2 Р = о, 1, 2,…

Из рассмотрений предыдущего параграфа нетрудно заключить, что среди таких операторов содержится система образующих центра для sp (п) и для so(zi) при нечетном п. В последнем случае при четном м достаточно добавить еще один оператор Казимира:

с； = £ ± х^’х%% • • • xiviv.

где сумма берется по всем наборам индексов и, ^,.・. …，У и их перестановкам 厶，/2,…，/v; при этом знак ± отвечает чётности или нечетности перестановки. Не останавливаясь на вычислениях, приведем окончательные результаты ([123]).

Условимся записывать старший вес в виде сигнатуры а == (mj, m2, ..., mv) с соотношениями порядка, указанными в гл. XVI. Введем в рассмотрение треугольную матрицу с элементами

а” =(4 + В) 6订 ~ B〃 + q 丫陋,_/

где ^ = ^/ + /^ — линейные формы от "厶 и все коэффициенты даются следующей таблицей;

Алгебра

В

4

so (2v + 1)

V - 1/2

1 + e；

Sp (2v)

V

一（1 + 京）

(〃+ 1) £j — t

so (2v)

V - 1

1 + е/

ле, — £

Кроме того, матрица 口仇/| определяется следующим образом: 9г； = 1 при г > /, 9叮=0 при i /. Нетрудно вгь деть, что если индексы i, / расположены в порядке возрастания (от —V до V), то матрица ||а?/| является ииж- ией треугольной.

Пусть Ор(а) означает собственное значение оператора Ср в неприводимом представлении d(a). Тогда имеет место следующая формула:

Gp (а) = sp арЕ, р = 0, 1, 2,

где а。一р-я степень матрицы а=||&/| и £—постоянная матрица, у которой все матричные элементы равны единице. Для собственного значения с/(а) оператора С； получается следующий результат:

v(v-l)

ох (а) = (-1) 2. 2V . vll^

Из полученных результатов (за исключением последнего) ие видна непосредственно симметрия собственных зиачеиип относительно группы Вейля. О диако по аналогии с § 60 можно получить следующий результат: Ср =工自厶缚，где 储=厶十 р — собственное значение матрицы о и где положено

1при / = 0.

При этом полагается также /о = 0, откуда 入о = 0 十 ％ (для алгебры so(2v + 1)). Умножая каждый оператор Ср на степень № вспомогательной переменной z и суммируя по р от 0 до оо, получаем «производящую

функцию》операторов Ср:

С ⑶=£ Cpzp = W 1•

Путем несложных преобразований можно привести эту функцию также к виду C(z) = (l——П(г))/г, где положено

n(z)=H(-f •

Из этих выражений становится уже очевидной симметрия собственных значений относительно группы Вейля.

Замечание 1. Замечательной особенностью п-мер- ных линейных представлений, использованных при получении указанных результатов, является простота весового спектра. Иначе говоря, каждый вес в таком представлении встречается с кратностью единица. Подобными представлениями обладают также алгебры G2, Е6 и Е7, Если взять за основу такое линейное представление полупростой комплексной алгебры X, то все указанные выше результаты легко обобщаются на этот случай.■

Замечание 2. Как мы видели в предыдущем параграфе, каждому оператору Казимира отвечают два полинома на алгебре Я: с«), ?(А). Первый из этих полиномов непосредственно определяет структуру оператора С второй означает его собственное значение в р*. Ф. А. Березину [51] удалось установить непосредственную связь между этими полиномами. Тем самым возникает еще один метод явного вычисления собственных значений.

В заключение этой главы приведем без доказательства (см. [57], [143]) порядки образующих операторов Казимира для исключительных алгебр Картана：

G2: 2, 6.

匕：2, 6, 8, 12.

Еб： 2, 5, 6, 8, 9, 12.

上7； 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18.

丛：2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30.

Отсюда легко вычисляется также порядок группы Вейля: w =夕]夕2 . •• Рг, где рм — порядок t-й образующей. Числа Pi тесно связаны ([143]) с важнейшими топологическими характеристиками соответствующей группы Ли (числа Бетти, полином Пуанкаре).

Упражнения

Пусть X — строго доминантный вектор из картановской подалгебры Н. Показать, что число точек на орбите Ох — ® • X равно порядку группы Вейля

Пусть X — доминантный вектор из Я и ⑨九一подгруппа в группе Вейля, состоящая из всех элементов s, для которых sX = X. Показать, что группа 臥 порождается рефлексиями sj относительно тех простых корней (о《，для которых (X,①十)=0.

Показать, что группа ⑨入 из упражнения 2 изоморфна группе Вейля для полупростой подалгебры X九，порожденной образующими

①八 е%, для которых (% д) = 0.

Пусть X — доминантный вектор из Н. Показать, что число точек на орбите 0^ = ® • X равно отношению порядков группы ® и подгруппы ®х—стационарной подгруппы точки X.' (Указание: использовать упражнение 2 на стр. 86.)

Пусть %—базисное представление алгебры & с числовыми отметками

(отсутствие цифры у простого корня(о« означает равенство нулю соответствующей отметки Xi). Показать, что множество всех весов такого представления состоит из единственной орбиты относительно группы Вейля. (Указание; воспользоваться упражнением 4 и проверить по формуле Вейля, что размерность данного представления равняется 56.)

Пусть %—базисное представление алгебры Еб с числовыми отметками

00о

Показать, что множество весов такого представления распадается на две орбиты относительно группы Вейля.

* * •

Независимое рассмотрение полупростой комплексной алгебры Ли позволяет, как мы видим, получать простые алгебраические доказательства многих фактов глобальной теории. Классификация

неприводимых представлений р^ была впервые по/уиена Э. Кар- таном [97] путем пересмотра в отдельности каждого типа простых алгебр Ли (Лп — G2). Общее доказательство было получено почти одновременно Хариш-Чандрой [138] и Шевалле (доказательство Шевалле не опубликовано). Здесь мы излагаем упрощенный вариант доказательства Хариш-Чандры, принадлежащий Н. Джекобсону [19]. Одним из преимуществ алгебраического доказательства является возможность рассмотрения также некоторых бесконечномерных (экстремальных) представлений алгебры Ли. Кроме того, на этом пути возникает также доказательство существования особых алгебр Картана ([19]). Остальные библиографические ссылки были сделаны непосредственно в тексте. Результаты упражнений 5 и 6 сообщены автору Э. Б. Випбергом.

ГЛАВА XVIII

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В этой главе будут рассмотрены несложные спек' тральные задачи, связанные с классическими линейными группами. Для группы SL(n) такие задачи были уже рассмотрены ранее. В общем случае компактных и надкомпактных групп Ли мы вправе рассчитывать на значительную аналогию со случаем SL(n) ввиду известной общности структуры. Однако сказываются также и различия в устройстве корневых систем. Практически для SO(n), Sp(п) и особых картановских групп конкретные вопросы спектрального анализа еще недостаточно разработаны.

Мы остановимся главным образом па задаче су- жепия с группы на подгруппу. Эта задача, по существу, является основной в спектральном анализе конечномерных представлений. К пей, формально говоря, сводится также н задача о тензорном произведении двух неприводимых представлений («диагональ» в G X G). К этой задаче сводится также и описание весовых диаграмм (сужение в (7(a) на картановскую подгруппу). Особенно существенную роль играет задача о сужении в теории специальных функций. Действительно, мы видели в гл. X (на примере базиса Гельфанда — Цейтлина), что сужение с группы на подгруппу доставляет нам систему «квантовых чисел», нумерующих базисные элементы в пространстве неприводимого представления.

§ 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу

Пусть G — редуктивная связная группа Ли и G0 — ее редуктивная связная подгруппа. Неприводимое представление d(a) группы G всегда является вполне приводимым относительно G0:

d (а) 1С„ = 2 mv о? (у),

где d(Y)означает неприводимое представление Go со старшим весом у. (Действительно, d(a) вполне приводимо по отношению к центру G°, который содержится в картановской подгруппе группы G, и также вполне приводимо относительно полупростой компоненты в &.) Следовательно, возникает задача о вычислении кратностей ту.

Мы будем рассматривать в этой главе только комплексные группы G, G0. (Вещественный случай сводится к комплексному с помощью аналитического продолжения.) В комплексном случае мы можем непосредственно использовать метод Z-инвариантов, общая формулировка которого очевидна из частного случая группы SL(/z).

Следующая теорема является формулировкой метода Z-инвариантов применительно к задаче сужения. Мы предполагаем, что разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в подгруппе G°. Символом Z обозначается фиксированная корневая подгруппа в группе G, символом Z° — ее пересечение с G0. Тогда Z° является корневой подгруппой в G0. Ради определенности мы считаем, что подгруппа Z порождается касательными векторами е(а), а > 0. Представление d(a) реализуется в канонической модели па группе Z. Пространство представления обозначается 9?а.

Теорема 1. Пусть С2a 一 совокупность всех функций из 9?й, которые являются инвариантами подгруппы

"勿。)="2).

Тогда Qa вполне приводимо относительно картановской подгруппы 0。и G° и каждый собственный вектор

八У必)=卩⑹貿Z), бе О0,

является старшим вектором подгруппы G0. Кратность собственного значения у, = 丫/a равняется кратности вхождения d(Y)в d(a).

Доказательство. Достаточно напомнить, что d(a) вполне приводимо относительно G0 и каждое неприводимое подпространство содержит лишь одно одномерное направление, неподвижное относительно Z。(на-

§ 128. ОБЩАЯ СХЕМА СУЖЕНИЯ С ГРУППЫ НА ПОДГРУППУ 581 правление старшего вектора). Это направление инвариантно также относительно Q°, и собственное значение 丫⑹ определяет сигнатуру данного неприводимого представления. Теорема доказана.

Следовательно, задача спектрального анализа в d(a) относительно G0 сводится к задаче спектрального анализа в Qa относительно абелевой подгруппы DQ. Обычно решение этой задачи не представляет никаких затруднений. Значительно большая трудность состоит в описании самого пространства Qa. Действительно, для описания элементов этого пространства приходится использовать довольно сложную индикаторную систему.

Заметим, что искомые 7°-инварианты являются фактически функциями на Z/Z。. Естественно выбрать в этом фактор-пространстве достаточно удобные параметры и выразить в этих параметрах главные сдвиги, входящие в индикаторную систему. Так, в большинстве практически важных случаев удается представить группу Z в виде

Z = Z0,

где Z' — некоторое многообразие в Z, изоморфное евклидову пространству и такое, что Z‘ A Z。= {е}. В этом случае индивидуальное разложение 乞=之'之°, г7 ^ Z\ •г。三 Z°, дает нам систему параметров в группе Z и пространство Qa состоит из всех решений индикаторной системы, зависящих только от /. Очевидно, индикаторную систему в этом случае также естественно выразить через параметры / *).

Упрощение индикаторной системы получается реально лишь в тех случаях, когда многообразие Z/Z0 имеет сравнительно небольшое число параметров (примерно того же порядка, что и ранг группы G). Это, во всяком случае, имеет место, если подгруппа G0《не слишком》 отличается от группы G. Отсюда естественно приходим к идее постепенного сужения с группы на подгруппу, т. е. к рассмотрению цепочки вложенных подгрупп.

*) Главные сдвиги 勿t в классе функций от 之‘ являются дифференциальными операторами первого порядка на Z' с коэффициентами, зависящими от z 巨 Z.

Упражнение

Показать, что при сужении &(а)& неприводимая компонента со старшим весом а(6), 6 曰 0°, входит однократно и является старшей относительно лексикографического упорядочения весов. (У к аз а н и е: проверить, что единственным весовым мультипликатором веса а является функция fo(z)= 1.)

Если корни подгруппы G° являются также корнями группы G, то такое вложение называется регулярным. Если то же имеет место для простых корней, то такое вложение называется нормальным (см. § ПО). В действительности первый случай можно свести ко второму внутренним автоморфизмом, однако на этом мы здесь останавливаться не будем. Если вложение нормальное, то, как мы видели в § 110, корневая группа Z всегда допускает указанное выше разложение, причем Z' является нормальным делителем в Z. В этом случае решение задачи значительно упрощается.

Очевидно, метод Z-инвариантов позволяет не только найти спектральную формулу, но также и определить все неприводимые подпространства (как циклические оболочки старших векторов).

После всех этих общих замечаний перейдем к рассмотрению отдельных примеров.

§ 129. Сужение SO(n)/SO(n — 1)

Рассмотрим вначале тот случай, когда размерность/г является нечетной,几=2v + 1. Подгруппу G° мы выделяем условием сохранения базисного вектора с номером V + 1. Тогда в силу ортогональности координата xv+1 = (х, Cv+】) также остается инвариантной. Здесь скалярное произведение выбирается в том же виде, что и в § 114. Все матрицы из G0 записываются с помощью четырех квадратных блоков v X v, разделенных нулями, с единицей на пересечении (v + 1) -й строки и (v+ 1) -го столбца. В частности, матрицы из Z° имеют следующий общий вид:

где Zij——квадратные блоки v X v, под диагональю стоят нули и блоки ?订 связаны также условиями принадлежности группе Z. Дополнительное многообразие Z' можно в этом случае составить из матриц

где е ——единичная матрица порядка v, а ——произвольный столбец и § ——строка, линейно выражающаяся через а: 0’=——sa, где s ——специальная матрица порядка V, введенная в § 113. Действительно, легко проверить, что матрица £ содержится в группе Z и произведение 之=z'zo пробегает по одному разу все элементы из группы Z*). При этом 之 имеет вид

где явное выражение блока Z12 через а,之腔,之22 нам не будет нужно. Искомые 2°-инварианты являются функциями только от чисел ai, аг,av, входящих в столбец а.

Найдем индикаторную систему в классе функций, зависящих только от а. Применяя к матрице z левый сдвиг, отвечающий i-му корневому вектору, i= 1, 2,...

V, находим, что это преобразование в классе параметров а сводится к замене на а《+ fou+i, где f — параметр сдвига и av+i = 1. В результате получаем ин* финитезимальные главные сдвиги

纱i =%+］舄", i= 1, 2,v.

*) Умножая произвольную матрицу zrZ на подходяще выбранный множитель Zq^, мы можем сделать диагональные блоки единичными; тогда полученная матрица необходимо имеет вид z‘. Кроме того, Z'「|Z° = ®, и отсюда следует, что полученное разложение z = z% однозначно.

Выписывая индикаторную систему в классе функций f (а) = f (а】, аг, • . • , av)> находим, что искомое пространство /°-инвариантов натянуто на следующий базис:

fk 3) = а：】а$ …力， 0 & 同 & rp

где г< = mf ——mi+i ——неотрицательные целые параметры исходной сигнатуры а = (mb g…，mv), mi^ т2^ ... …》/Hv》0, mv+i = 0. Применяя к такому вектору преобразование 丁6， d е D0, находим, что этот вектор является весовым с весом

%8)=中-勺吟F 看vF.

Введем обозначение р± = т* ——/г公 тогда в силу указанных выше ограничений на параметры ki получаем систему ограничений на параметры 〃： т、》р> 恤》 》。2》…•》^v》Pv》—mv. В результате доказана следующая

Теорема 2. Сужение SO(2v + l)/SO(2v) определяется при указанном выше выборе базиса следующей спектральной формулой-.

d(g, ш2, ..., niv) |G0~ N d(p], р2> • • •> Pv)»

где mv+i заменяется на ——mv. Здесь параметры 夕力 принимают одновременно целые или одновременно полу- целые значения в зависимости от целости или полуцелости параметров

Следствие. Каждое неприводимое представление подгруппы SO (2v) содержится в указанном сужении однократно.

Рассмотрим теперь тот случай, когда размерность п является четной, и = 2v. Подгруппа G0 выделяется условием инвариантности двух базисных векторов: %, ev+i. Ввиду ортогональности при этом сохраняются также координаты xv = (х, ^v+i), xv+1 = (х, ev). Многообразие Z' составляется из матриц

е а а 呻

где е ——единичная матрица порядка v——1, а — столбец, состоящий из независимых переменных, р — строка, которая линейно выражается через а. При этом переменные at, / = 1, 2, ...» v ——1, выражаются в разложении г = z'zo следующими формулами:

a； = }(4v + /,v+i), t = 1, 2, .. ., v- 1,

через параметры исходной матрицы 2. Заменяя пару переменных 2iv, гЛ V+1 их полусуммой «力 и полуразностью &, легко получаем, что главные сдвиги в классе функций, зависящих только от &, имеют следующий вид:

, 2, ..., V - 2,勿一=勿+ = •

В этом случае старшими векторами относительно G0 по-прежнему являются одночлены, и несложный подсчет сигнатур показывает, что в искомое разложение входят только сигнатуры (qi, q2,qz), для которых ^1>力)^2)，2》 ^ ^v-i ^ I mv I- Результатом является

Теорема 3. Сужение SO(2v)/SO(2v—1) определяется при указанном выше выборе базиса следующей спектральной формулой-.

(^1,次2，•一，加V)b()= ^J (0 1，, 2, • • • , ^V~l )>

где 加卄 заменяется на | mv |. Здесь параметры 夕^ принимают одновременно целые или одновременно полуцелые значения в зависимости от целости или полуцелости параметров 色.

Следствие. Каждое неприводимое представление SO(2v——1) содержится в указанном сужении однократно.

Теоремы 2 и 3 в совокупности позволяют получить в пространстве 吼 естественный базис из старших векторов цепочки вложенных подгрупп: SO 向二) zd SO (и ——l)n ... n SO(3) n SO (2). Каждый вектор базиса нумеруется системой чисел m^, i,々=2, 3, и, min = mu с определенной системой ограничений. При

нечетном п имеем.

》б1, Mт)^2n)б2, m-1> ■ • ■》бVП》бy，n-12 - ^vn> ^1, л —1》^1, л —2》加2, л — 1》* * *》^v—1 > л—2 2 ! "у, л— I j, 加1, л—2》^1, л—3》加2, л —2 2 • • • 2 ^v—1> л —3 > — ^V—1, л—2>

615)^14》б25 > ^24)一625， ^14>^13>1^24 I,

При четном п аналогичную систему можно получить, отбрасывая первую строку. Такое определение базиса было впервые предложено И. М. Гельфандом и М. Л. Цейтлиным [73]. При этом, как и в случае SL(n), были указаны явные формулы для инфинитезимальных операторов SO (п) в этом базисе. Однако внутренняя структура d(a) в этом случае еще плохо изучена. В частности, неизвестны «понижающие» и «повышающие» операторы.

Интересную информацию дают также теоремы 2 и 3 при рассмотрении спинорных представлений. Пусть $о ——спинорное представление SO (2v + 1) с сигнатурой (〃2, */г, • • •, 〃2)・ Согласно теореме 2 сужение So на подгруппу SO(2v) распадается в прямую сумму двух неприводимых представлений с сигнатурами (%,&,.--, ——％),

$0 lGu = £-+$+•

Иначе говоря, при сужении на G° ^ SO(2v) мы получаем два зеркально сопряженных спинора первого и второго рода. С другой стороны, сужая эти представления на подгруппу G°°qS0(2 夕 ——1), получаем согласно теореме 3, что оба они остаются неприводимыми и совпадают с представлением типа Sy Из соображений индукции отсюда, в частности, следует

dim % = 2V, dims_ = dim$+ = 2V-1.

Заметим также, что зеркально сопряженные представления SO(2v) становятся эквивалентными для под-

группы SO(2v—1). В свою очередь при сужении SO(2v + l)/SO(2v) вместе с каждым неприводимым представлением встречается также зеркально сопряженное.

§ 130. Сужение Sp(n)/Sp(n — 2)

В данном случае редукция нетривиальна ввиду того, что размерность приходится понижать сразу на две единицы. Правда, вместо подгруппы, изоморфной Sp(п ——2), можно рассматривать подгруппу, изоморфную Sp(/2 ——2) XSp(2) (о чем мы скажем ниже). Вместо этого мы рассмотрим сейчас несколько более легкую задачу, выделяя в Sp (2) ее диагональную часть.

Группа G = Sp (几)реализуется так же, как и в § 113. Напомним, что п четно, n = 2v. Подгруппа G0 определяется как совокупность всех преобразований из Sp(n), которые диагональны на координатах с номерами V, V + 1. При этом из условия симметричности вытекает, что мы вправе рассматривать только преобразования xv —* Xxv,尤”+1—* 厶Полагая X = 1, получаем подгруппу, изоморфную Sp (п — 2). Ясно также, что G0 изоморфна Sp (п ——2) X А, где А——мультипликативная группа комплексных чисел. Сигнатуру этой группы мы будем записывать в виде

(%, g，• • • 1 9*-1 Is),

где % 电，…，Qv-i — сигнатура подгруппы Sp(n — 2) и s ——целочисленный параметр, определяющий характер 厶$ подгруппы А.

Теорема 4. Сужение d(a) = d(mu m2,打zj *〃 подгруппу G° содержит в спектре все сигнатуры вида

Npq =(Q11 令2，•••，Qv— 1 I ^pq)i

где положено

Vv-lV

SL2巨产一 4gLz个

и где целочисленные индексы 夕力 pi принимают всевозможные значения в пределах

^1 > Pi > ^2 > Р2 > ^з > …2 PLi 2 恤》Pv2°,

Pi 2912P2》92》* • •》Pv—i 2q”-1》Pv・

Если v = 1, то символы 7 отсутствуют u 团1》卩》0.

Доказательство. Искомое пространство Z°-hh- вариантов состоит из полиномов, которые зависят только от элементов следующих двух столбцов:

之 之 1, v + 1

&V ^2, v + I

1 v+1

при условии, что параметры в группе Z выбираются так же, как и в § 113 (первый способ). Индикаторная система в пространстве Qa имеет вид

0?+lf = (/+1,v 叱V +2i + I,v+I %：+] ) f=0・

Здесь положено 2VV = 2v+I( V+It = 1,人十八=0 и параметры г； выражаются через параметры mi обычными формулами: п = mt ——团^+卜 /nv+i = 0. Решение такой системы довольно сложно, однако мы можем воспользоваться аналогией с полной линейной группой GL(v + 1). Действительно, точно такой же вид имеет индикаторная система при сужении GL(v+ l)/GL(v — 1). В этом случае мы можем производить сужение не сразу, а в два этапа, вставляя между данными группами еще одну подгруппу, изоморфную GL(v).

Для того чтобы получить соответствие с нашей задачей, мы рассматриваем неприводимое представление группы GL(v + 1) с сигнатурой (mb т2,..., mv> 0), 团1》团2》•…》团丫》°, где mi ——целые числа. Вместо GL(V — 1) рассматриваем подгруппу, изоморфную GL(v—1) X А2. Применяя результаты, полученные в § 66, находим следующий спектр сужения:

(^1, ^2> • * • > 加山 °) Ь = У (%, , %—I I Sg> S J m£^p[^mi+i

где индекс 0 означает сужение на указанную подгруппу и Si, $2 — целые числа, входящие в определение характера 九;况品 группы Л2. При этом мы имеем

Sp = 2 叫-£ 〃，Sg = W 〃 — W q,总=i i = ii = i / = i

согласно замечанию, сделанному в конце § 66. Теперь для перехода к нашему случаю достаточно положить 储 =九，九2 =九一* после чего характер 九;入^ переходит в 九SL》В результате получаем набор сигнатур, указанный в условиях теоремы. Теорема доказана.

Пользуясь полученным результатом, можно выписать в пространстве Э?а естественный базис, аналогичный базису Гельфанда — Цейтлина. Этот базис состоит из векторов Cpq, где

PlvР2VP3v • • •Pvv

n =P\, V—1 Pit v ~ I • • • Pv~l> V—1

Pll

91v92V93v• • •Qvv

^7b v —1^2, v— i • • •^7v—1> v—1

и где целочисленные параметры 〃?•储 q^ подчиняются следующим ограничениям: 》qt, i > Pi+i,冗, q〃》 》pt,—》q%, i, причем для общности записи положено ^zv = ^v и снмвол 夕厶 ли заменяется нулем. Интерпретация этих векторов как старших векторов цепочки вложенных подгрупп очевидна.

Замечание 1. Как видно из теоремы 4, спектр сужения Sp(n)/Sp(n — 2) не простой, т. е. возможны кратности, большие единицы. То же верно при замене Sp(n —2) на Sp(n —2) х Л.

Замечание 2. Положение не улучшится, если вместо Sp(n — 2) рассматривать подгруппу, изоморфную Sp (п — 2) X Sp (2). В этом случае к индикаторной

системе добавится еще одно уравнение:

44+ 22V 灵+ 22V 灵2 V+12 V+1дд=0.=0.

4

4

+ 22V 灵

+ 22V 灵

2 V+1

2 V+1

д

д

=0.

=0.

Такая же система уравнений встречается при рассмотрении тензорного произведения 成 ® d ф), где 必一бивектор и 0 ——произвольная сигнатура группы GL(v + l). Нетрудно видеть, что и в этом случае встречаются кратные точки спектра.

В этом случае, в отличие от SL(n), SO (и), мы уже не можем разделить векторы базиса с помощью собственных значений операторов Казимира вложенных подгрупп.

§ 131. Тензорное произведение двух неприводимыхпредставлений .

Эта задача уже была рассмотрена нами для группы SL(n). Ее обобщение на произвольную комплексную полупростую (или редуктивную) группу Ли рассматривается почти буквально так же.

Рассмотрим группу О X G, составляемую из всех матриц вида

0 J, a, b^ G.

Всякое неприводимое представление этой группы задается сдвоенной сигнатурой (а, В), где а, 0 ——сигнатуры группы G, Реализуем группу G как《диагональ、〉 в G X G, состоящую из матриц

g 00 gg 00 ggwG・gwG・

g 0

0 g

g 0

0 g

gwG・

gwG・

Тогда сужение d(a, 6)Ig совпадает с тензорным произведением d(a)®d(B).

Реализуя данное представление в классе функций на Z X Z, мы используем следующее очевидное разложение:

I0 ：но孤：卜…

для введения параметров в эту группу. Здесь х, у, г—■ произвольные матрицы из Z и е — единица в группе Z. Искомые Z-инварианты зависят только от %. Заметим, что умножение слева на матрицу с компонентами х0, у^ приводит к преобразованию

之 ^о^Уо * %，% 三 Z,

в классе параметров %. Отсюда следует, что искомая индикаторная система в классе функций f(г) имеет вид объединения двух индикаторных систем /а, /р, где /а —— индикаторная система пространства 9?а и /р получается из индикаторной системы /р заменой г на г-1.

Сформулируем полученный результат более подробно. Пусть %в — пространство всех Z-инвариантов, имеющих вид f(x, у) = f(^), т. е. зависящих только от г = ху~х. Тогда мы имеем:

а呻и紀а，

Qap и 9?р.

Здесь шляпка означает замену каждой функции f(г) на f(z~〔)・ Условие 2) удобнее сформулировать следующим образом. Выпишем индикаторную систему /р：

勿? + ^(2) = 0.

Замена г на г-1 равносильна тому, что операторы левого сдвига 2Di заменяются (с точностью до знака) операторами правого сдвига, которые обозначим X?:

X”f(z) = 0.

Но операторы правого сдвига являются инфинитезимальными операторами самого представления d(a). В результате получаем, что имеет место

Теорема 5. Пусть G ——полупростая связная комплексная группа Ли и d(a), d(§)——два ее неприводимых представления. Пусть V； — весовое подпространство 6 d(a) с весом ц и V^ (Р) — подпространство s V：, состоящее из всех решений системы уравнений

Х>7 = 0, z= 1, 2, г,

где X» ——инфинитезимальный оператор d(a), отвечающий корневому вектору е^. с простым корнем ①厶 г = 1, 2, . .., г, и 厶一параметры сигнатуры 0: li = 2(р,(Ог)/(о)г,(Ог). Тогда имеет место тождество

% (а, р)= dim 噸(₽), Ц = V - ₽,

для кратности mY(a, р), с которой неприводимое представление d(y) содержится в тензорном произведении d(a) ® d(p).

Доказательство. Вектор f^QaB как элемент пространства 猊口 имеет вес 卩,определяемый из уравнения

a⑹а6-必)="⑹f(z).

Тот же вектор как элемент пространства 歌&® 釈6 имеет вес % определяемый из уравнения

а ⑹ 6 ⑹ f (б%) = 丫 ⑹ f (z).

Переходя к аддитивной записи, получаем, что 卩 + 0=丫. Теорема доказана.

Следствие. ту (а, 0) &〃 ^_炉 где /г^ — кратность веса 卩 в представлении d(a).

Если G ——классическая группа, то при помощи теоремы 5 нетрудно, как и в случае SL(m), рассмотренном выше, получить простой алгоритм для вычисления спектральной формулы. При этом, как и в случае SL(n), удобно использовать для характера %口 аналог второй формулы Вейля [10].

Сужения SU(m + 〃)/SU(m) X SU(〃)и SU(mn)/SU(m) X SU(〃)

Заменяя каждую группу SU (г) ее комплексной оболочкой SL(r), мы можем использовать обычную схему Z-инвариантов.

Заметим, что индикаторные системы в этих задачах выписываются легко, но найти их общее решение довольно сложно. Поэтому мы рассмотрим подробно лишь представление d (а) = d^ которое является симметризо- ванной степенью вектора. Используя вторую формулу

Вейля (§ 75), мы можем свести общий случай к этому частному случаю.

1° Сужение SL(m + n)/SL(m) X SL(n). Запишем (т + п)-мерный вектор-строку в виде х = (х\ 尤〃),где xz —m-мерная строка и хн — n-мерная строка. Преобразования группы G° « SL(m) X SL(n) сводятся к независимым унимодулярным преобразованиям векторов х\ 尤〃.Рассматривая только преобразования корневой подгруппы Z°^Z(m) X Z("), мы можем привести вектор х к виду )х° = (х^р x^jQ, где 尤;,х^ ~ первые координаты векторов х\ 尤" и е) е^ — соответствующие базисные векторы. Отсюда ясно, что в представлении d? старшими векторами являются только одночлены:

%，，=Ю"'Ю""，р' + р"=р・

Здесь “，рц — неотрицательные целые числа. Если V, ^ — диагональные преобразования из SL(m), SL(n) соответственно, то вектору 8р，р〃 соответствует вес

*，，=1产

Здесь 九;，九：一первые собственные значения матриц 九，九 и Ai, Ai — соответствующие диагональные миноры первого порядка. Заменяя каждый минор А；, А〉 соответствующим символом представления d[ d7, получаем следующую спектральную формулу:

йГ|00= 2 й；Р"^Л(*)

Здесь 山一симметр изованна я степень вектора для SL(/?z) (сигнатура (р\ 0, 0,..., 0)) и £" — снмметрм- зованная степень вектора для SL( п) (сигнатура (〃 J 0, 0,…，0)). Иначе говоря,

(р,о,о,0儿产.，+3="",0,0,0m〃，0, о, ....0).

Здесь вертикальная черта в правой части разделяет сигнатуры SL(m) и SL(n) в сигнатуре группы G0.

2° Сужение SL(m/i)/SL(m) X SL(/i). Условимся считать, что т> п* Разобьем вектор-строку х размерности тп на п частей размерности т: х =(尤⑴，工⑵， …，工3)). Подгруппа, изоморфная SL(m), подвергает все эти строки 工⑴，工⑵，...,工(砌 одному и тому же уни- модулярному преобразованию. Назовем эту группу внутренней группой и обозначим G^- Подгруппа, изоморфная SL(/i), подвергает унимодулярному преобразованию символы х⑴，к®,...,工⑴)：

Назовем эту группу внешней группой и обозначим G：. Подгруппа G0 является прямым произведением Gm X G；. Расположим теперь строки 工⑴，工⑵，...,х^ в виде следующей прямоугольной матрицы：

А1 а2 * * ' лт~\ 人m

Нам будет удобно считать, что повыпзающие преобразования внутренней группы Gm задаются верхними треугольными матрицами, а повышающие преобразования внешней группы G( 一 нижними треугольными матрицами. Тогда всевозможные повышающие операторы группы G0 действуют по правилу

где 2几 ——произвольная матрица из Z(/i), 2m——произвольная матрица из Z(m) и штрих означает транспонирование. Дополняя матрицу х произвольными строками до квадратной матрицы т X т, мы можем использовать разложение Гаусса, из которого очевидно, что всякий искомый /°-инвариант является линейной комбина-

цией одночленов

= 3?唠…3%,

где со；——i-й главный диагональный минор матрицы х, составленный из первых，строк и первых £ столбцов, i= 1, 2, ..., az. Пусть V,九"——диагональные преобразования из внутренней и внешней группы соответственно. Тогда, очевидно, одночлен 3Plp?…рп является весовым с весом

…% =(#6?)(产货•

Для того чтобы такой вес являлся старшим весом группы G°, необходимо, чтобы числа р〃 ，= 1, 2, ..., п——1, были целыми неотрицательными. Расширяя SL(p) до GL(〃)и учитывая, что все рассматриваемые представления реализуются в классе контр авар иантных тензоров, получаем также, что рп является целым неотрицательным числом ). В результате получаем следующую спектральную формулу:

01十2乙十••■ +"P"=P

() Здесь d[ df — обычные образующие (t-вскторы) в полугруппе неприводимых представлений G；, G： соответственно. Условие pi + 2/?2 + • • • + прп = р вытекает из вычисления степени однородности одночлена 3Plp? ... рп (эта степень должна равняться р). Иная форма записи: d (р, 0, 0, . .., 0) 1&о =

=£" («1，«2，•…，«л，°, °，•…，。| «1，02，•…，«")•

力+的+ •,• +д门9口

<71 ^ ^2■ ^g九^。

8Plp2 …Р„8Plp2 …Р„Здесь вертикальная черта разделяет сигнатуры Gm, G：・ Числа «i, «2， • • •, qn должны быть целыми.

8Plp2 …Р„

8Plp2 …Р„

В заключение напомним вторую формулу Вейля: 冷力，+(…®

/^2-1/М + (”2)

d(mi,恤，…，俑)=0di.

Для применения этой формулы к нашим задачам заменяем п на т + п и подставляем в правую часть вместо каждого члена d? его сужение на G0, даваемое форму* лой (衆)или (**).

Заметим, что если mft+i = mft+2 = ... = m^ = 0, то этот детерминант (в правой части формулы Вейля) можно заменить его усечением, составленным из первых / строк и первых 左 столбцов.

Пример, а = (2, 1,0, 0, 0, 0) для группы SU (6). Полагая G° SU(3) X SU(2), находим

d (a) |G„ = d''^ + d^df + d{d^ + /.

§ 133. Сужение SU(门)/SO(〃)

В этом параграфе будет рассмотрен лишь частный случай п = 3 *). Другой частный случай (d(cc) = d『 с произвольным п) будет рассмотрен в следующем параграфе **). Заметим, что задача, которая здесь рассматривается, относится к классу «нерегулярных» вложений.

Используя аналитическое продолжение, мы приходим к задаче сужения G/G0, где G = SL(〃，С) и G0 = =SO(n, С). В дальнейшем полагается п = 3. Ортогональная группа G° сохраняет квадратичную форму 2х_/+1+ 爵 Подгруппа Z。состоит из матриц

о 1 I

*) При изложении этого материала в лекциях [21] была допущена ошибка. Автор пользуется случаем выразить благодарность И. А. Малкину, отметившему эту ошибку.

**) Отсюда ввиду второй формулы Вейля будет следовать также и общий случай.

Дополнительное многообразие Z' нам будет удобно па- раметризировать следующим образом:

1 j

₽-а72||

У = 0 1

0 0

Перемножая эти матрицы,

получаем произвольный эле-

мент группы Z:

1

а + /

(а + /)2

В- 2

2 == 2 2。--

0

1

Ct — t

0

0

1

Следовательно, а, р, / являются параметрами в группе Z. Формулы а = 5(2]2 + 223), 6 = 213 + 号，Z = у(Z12 ~ Z23) выражают эти параметры через элементы матрицы 之 Напомним, что группа Z = 2(3) имеет два главных сдвига. Первый из них задается формулами

%2 -> 212 + е, 213 -> %3 + ^23, 马3 "> 马3,

откуда (с точностью до малых второго порядка по е) мы имеем в параметрах а, р, /

ct —> а + 另， 6 —> 6 + 2еа, t > 看 + "^ •

Отсюда возникает инфинитезимальный оператор 纪1 = ^"亲+ 2°* + ｝宗"Т。""。“к же, Рассматривая второй главный сдвиг, получаем оператор 纪zh^"^* —

—g%，Заметим теперь, что искомые 2°-инварианты не зависят от /. Следовательно, в классе этих полиномов мы имеем следующие два оператора:

纫1 =2百+2a 布，纫1 =2百+2a 布，纫2=4备，纫2=4备，

纫1 =2百+2a 布，

纫1 =2百+2a 布，

纫2=4备，

纫2=4备，

В частности, второе индикаторное уравнение сводится к ограничению на степень а.

Замечание. Может показаться странным, что нарушена симметрия между вектором и бивектором. Однако замена переменных 丫 = 0 — 2а2 приводит наши операторы к виду

Первое индикаторное уравнение сводится теперь при новом выборе переменных к ограничению на старшую степень а.

Мы можем упростить решение индикаторной системы, если сразу будем искать только весовые решения. Заметим, что группа D° содержит лишь один мультипликативный параметр 九： 6ц =儿 622 = 1, бзз = V. Произвольный вес мы запишем в виде 九勺 Переменные а, 6 условимся рассматривать как мультипликаторы в пространстве представления. Иначе говоря, всякий искомый старший вектор запишем в виде

f = f(a, В)凡

где 尸(2)三1 ——старший вектор исходного представления группы G. Нетрудно видеть ), что мультипликатору а отвечает вес ^-1 и мультипликатору 6 ——вес 九 Отсюда следует, что всякий весовой мультипликатор /(а, р) имеет вес V, где 力 неположительно. Условимся такой мультипликатор называть четным или нечетным в зависимости от четности или нечетности 々.

Исходное представление группы G запишем в виде d?d^ (di ——вектор, d2 — бивектор). Рассмотрим отдельно четные и нечетные мультипликаторы.

1° Четные мультипликаторы. Всякий четный мультипликатор разлагается только по 0, а? и, следовательно, может быть записан как полином от р, у, где у ——введенная выше вспомогательная переменная. Пусть 〃i, 〃2 — старшие степени этого полинома по переменным р, у. Поскольку В = 丫 + 2a2 и первое индикаторное уравнение в переменных а, 丫 имеет вид

Правило 1. Всякий четный мультипликатор явПравило 1. Всякий четный мультипликатор яв(苏) f = 0, то мы получаем ограничения 2Л[ -^ rlt Точно так же соотношение 丫 = § — 2а2 и второе индикаторное уравнение в переменных а, р приводят к ограничению 2九2《厂2・ В результате получаем

Правило 1. Всякий четный мультипликатор яв

Правило 1. Всякий четный мультипликатор яв

ляется полиномом от переменных

0[z：2г23

В = 21з + -^-， 丫 =马32~ *

где 21з = 21з — 212^23, степени не выше [г"2] по ^ и степени не выше 厶偿]по у.

2° Нечетные мультипликаторы. Всякий нечетный мультипликатор мы можем представить в виде /(а, р) =«Л (а, ₽), где Л (а, р)—четный мультипликатор. Повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что имеет место

Правило 2. Всякий нечетный мультипликатор может быть получен умножением переменной

~ _ 2i24-223а = --

на полином от §, у степени не выше [丄彳丄'] по ^ и степени не выше [" ； 1 ] по у

Для вычисления кратности n(k), с которой входит мультипликатор веса Vй, достаточно найти число одночленов вида о订=俨丫匕 i + j =々/2 (при четном k) или число одночленов вида 8订=as订，i + j =(山——1)/2 (при нечетном k). Здесь i, / — неотрицательные целые числа, ограниченные сверху значениями tmax =[门/2], /max = =也/2] (при четном k) или imax =((门一1)/2], /шах — =口2—1)/2] (при нечетном k). Искомая кратность n(k) равняется числу целочисленных точек (обе координаты целочисленны), лежащих на линии f + / = й/2 или i + j = (k——1)/2 внутри и на границе прямоугольника oNf&imax, 0《j《jmax・ Так, при четном 应 график кратностей имеет вид, изображенный на рис. 7. Параметры этой трапеции легко вычисляются из указанного выше прямоугольника. Точно так же при нечетном k график имеет вид трапеции с вертикальной

осью симметрии. При этом общий график кратностей получается наложением двух указанных трапеций.

Символически удобно использовать «суммарный мультипликатор» М =』/г (尼)九一上 Искомая спектральная формула получается применением этого мультипликатора к исходному старшему весу А?А$° = /+&

必遡 1。。= М/+3

Здесь в правой части каждое слагаемое 入m рассматривается как символ неприводимого представления группы SO (3) со старшим весом m =门 + 實一无 Выражение в правой части означает прямую сумму таких неприводимых представлений.

Рис. 7.

Пример 1. Положим 门=0,「2 = 5. В этом случае имеется три четных мультипликатора ①仃：сооо, з(и, Зо2・ Нечетные мультипликаторы отсутствуют. В результате 滤 |金=(1 + 九~~2 + 九-4)九5 = # + Y + 九.

Пример 2. Положим 门=1,「2 = 5. В этом случае имеются те же четные мультипликаторы, что и в предыдущем примере, и, кроме того, три нечетных мультипликатора 0ij = аз订：Soo, боь 6о2- В результате

dld^ 1g=九6 + 九5 + 九4 + 九3 + 九2 +九.

Пример 3. Положим 门=4,「2 = 4. Четные мультипликаторы Зоо； Сйю, tool； S20, toll» 302； ^21, 312； (。22・ Нечетные мультипликаторы: 0Оо； 6ю, боь 8н・ В результате

d昆 )G0 = (V + 2A6 + 3г + 2A2 + Лo) + (X + 2九5 + Л3).

Нетрудно выписать также и общую формулу для кратностей. Однако результат гораздо более нагляден из графика и рассмотренных примеров.

Сферические функции в л-мерномевклидовом пространстве

Как известно, теория сферических функций в трехмерном вещественном евклидовом пространстве тесно связана с гармоническими полиномами от трех переменных. Мы опишем краткую схему перенесения этой теории на произвольное число переменных ). Выбирая квадратичную форму в виде суммы квадратов, рассмотрим соответствующий оператор Лапласа:

Полином р(х) = р (xi, Хг» • • •, ^п) называется гармоничен ским, если Др(х) = 0.

Теорема 6. Всякий полином р (%) = р (修,％2, • • •, хп) может быть однозначно представлен в виде

р = % + Г2 ^ + 厂 4力 2 + . • •

(конечная сумма), где г2 = х^ + х^+ ... + х^ 〃 й0> 力1, 力2, . • • — гармонические полиномы. Линейное пространство Нт всех однородных гармонических полиномов степени m является циклической оболочкой единственного полинома

①曲=(% + %)т

относительно группы вращений SO(〃). Здесь х, у —— проекции вектора х на два произвольных взаимно ортогональных направления.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что х = xb у = х2- Введем в рассматриваемое п-мерное пространство Е «картановские» коорДинаты х± 左=(xik 士 ix^, % = /2 x* где 係，九)—раз- биение индексов 1, 2, . . ., п на пары (при четном и) с

дополнительным индексом /0 (при нечетном п). Тогда скалярное произведение в £ принимает вид

",9)= ^(X_v% + X-v+1%-1 + ••• + 4+1%-1 + %9-v)，V = [f]・

Аналогично может быть записан и оператор Лапласа (через формальные операторы дифференцирования по %土储工0)・ Отсюда, в частности, очевидно, что всякий полином вида 尤空左=(尤勿 ± 力尤/总)加 является гармоническим. Заметим, что всякий полином р{х) может быть однозначно продолжен на комплексные значения хь х2,... ...,хп- Переменные х土在(Хо) мы можем при этом считать независимыми.

Расположим переменные х+а(%о) в порядке убывания индексов от +v до ——v (с пропуском нуля при четном п). Не ограничивая общности, можем считать, что x±v ~ х ± iy. Рассмотрим в группе комплексных поворотов SO(n, С) однопараметрические преобразования

Ха—> %а+ ^X+v> X_v—> 尤-v— f尤一а，

где а принимает одно из значений —v + 1, ..., v—1. Если x+v^= 0, то с помощью таких преобразований мы можем обратить в нуль все координаты вектора х, кроме x±v. При этом координата x+v остается неизменной, а новая координата 克_# определяется из условия x+vx_v= (%, х) = г2. Если применить все указанные преобразования к произвольному полиному р(х), то получаем в результате полином от двух переменных x+vi 元一v・ Поскольку 产 не делится на x+v, то полученный полином является также полиномом от x+v, г2.

Пусть Рт — линейное пространство всех однородных полиномов р(х) степени т. Каково бы ни было инвариантное подпространство в 尸次,мы видим, что оно содержит полином, зависящий только от x+v, г2. В частности, всякое неприводимое подпространство является циклической оболочкой такого полинома. Воспользовавшись теперь принципом полной приводимости, мы можем заключить, что Рт есть прямая сумма неприводи-

мых подпространств, каждое из которых является циклической оболочкой некоторого одночлена от x+v, г2.

Пусть Ртк — циклическая оболочка одночлена 尤?J?什2^・ Мы видим, что Рт распадается в прямую (конечную) сумму:

Ртп = Р mO + Р?п1 + 尸 m2 + …•

В частности, Рто является циклической оболочкой одночлена wm = x^v. Из гармоничности этого одночлена и перестановочности оператора Лапласа с поворотами вытекает гармоничность всякого элемента h w Pm0- С другой стороны, если f е Ртк, А > 0, то f = 产. где р — однородный полином степени <т; нетрудно видеть, что такой полином является гармоническим только при f = 0 *). Если f =力 + 产р гармоничен, то р = 0, и мы заключаем, что Р^о = Нт. Отсюда также

Рmh =户Нт-如k = 0, 1, 2,...

Сопоставляя с найденным выше разложением, мы получаем оба утверждения теоремы. Теорема доказана.

Следствие l.Pm = Нт + r2Pm„2.

Следствие 2. Сужение всякого полинома р(х) на единичную сферу S (г2 = 1) разлагается по сужениям однородных гармонических полиномов.

Сужение однородного гармонического полинома на северу S называется сферической функцией,

Следствие 3. Всякая непрерывная функция на сфере S моо/сет быть равномерно аппроксимирована линейными комбинациями сферических функций.

Действительно, согласно теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция на S аппроксимируется сужениями полиномов р(х) на S. Остается воспользоваться следствием 2.

Пусть Lm ——пространство всех сужений h(o), о е S, h е Нт. Сферические функции из Lm назовем сфери-

*) Действительно, пусть f =戸6公 где s > 0 и q не делится на 产.Вычисляя Af, получаем после несложных преобразований выражение 入产($7)夕 +小 Ад,「де & # 0. Если Af 0. то ^ = — у г2 (Ад) вопреки предположению, что g не делится на г2. Следовательно. 2=0今/ = 0.

ческами функциями степени т. В пространстве функций на S рассмотрим обычное скалярное произведение

-(Л <р) =/Н^фТ^)^,

где do — инвариантная мера (относительно поворотов) на сфере S. Заметим, что da = dxlrn~2dr, где dx ——элемент объема в пространстве Е. В каждом конечномерном пространстве Lm выберем некоторый ортогональный базис.

Теорема 7* Сферические функции всевозможных степеней образуют ортогональный базис 6 гильбертовом пространстве U(S).

Доказательство. Рассмотрим вначале две сферические функции со飞 o/m , m > пг\ где co = % + %, о/ = £ + ty\ при произвольном выборе проекций х, £, у, у'. Выражая /, уг через х, у н некоторые добавочные ортогональные координаты, мы получаем

о/ = Х(о + ^ + цй,

где черта означает комплексное сопряжение и 自——линейная комбинация добавочных координат. Подставляя эти выражения в скалярное произведение /1 = (з^, ), произведем поворот на угол а в плоскости (%, у). Тогда (о —>(oe；a, G —> Ge-沁，откуда

Л -> eima ?以朋a.fe = -mz

С другой стороны, скалярное произведение в L2(S) не изменяется при поворотах, т. е. правая часть должна совпадать со своим значением при a = 0. Поскольку m > mz, то показатель 小 + 々 не принимает нулевого значения, откуда заключаем, что Ch = Q и Л = 0.

Мы показали, что (от 丄 о/" при m ¥= " Отсюда, очевидно, следует, что 丄巾 丄 Lm，, 小 戈 m\ Остается заметить, что согласно следствию 3 сферические функции образуют в L2(S) полную систему. Теорема доказана.

Доказанная выше теорема 6 позволяет также без труда вычислить все сферические функции степени т.

Действительно, рассмотрим в комплексной группе SO (п) всевозможные однопараметрические преобразования вида

Такие преобразования вместе с диагональными преобразованиями 尤友-＞九瓦尤丸(которые для наших целей несущественны) порождают всю группу SO(〃). Нетрудно видеть, что все указанные преобразования оставляют о?" неподвижным, за исключением случаев, когда й = v, Z = —v + 1, …，v—1. Все эти преобразования перестановочны между собой. Применяя их к вектору сот, получаем функцию

/ V-1 、加a加=/+ X 力修一р2工Т.

Величина р2 определяется из условия ортогональности матрицы поворота, первая строка которой имеет элементы 1, /_”+],..., %т，—р2. Напомним, что ортогональность записывается по отношению к картановскому базису х±Л(х0)- Отсюда получаем, что Р2 = у (/-v+i/v-i + + /7+办_2+ …+九,一1/一V+1) - скалярный квадрат вектора 力 Заменяя нумерацию от v—1 до —v + 1 нумерацией 1, 2, ..., п ——2, положим

Y^飞…= % d个心…d*2 = 。 '

где m = /Tii + m2 + ... + fnn^ Очевидно, среди этих функций содержится базис пространства L%. Для дальнейшего изучения базисных функций естественно использовать редукцию SO(/z)nSO(〃 一1) n ... n SO (2). При этом возникает ортогональный базис пространства L2(S). Дальнейшие вычисления предоставляются читателю.

Функцию Q2 естественно назвать производящей функцией степени 厶 Формула, определяющая Ymtm2тп_ 2, является формулой типа формулы Родрига для полиномов Якоби. Из этой формулы легко получить

выражения сферических функций через полиномы Геген' бауэра. Такое выражение найдено иным путем в [14].

Замечание 1. Результаты ортогональности и полноты могут быть получены также как следствие глобальной теоремы, если использовать отображение SO(〃) на S, описанное в § 17.

Замечание 2. Поскольку в пространстве Рт действует представление d『группы SU(〃)， то вся теория, изложенная в этом параграфе, может быть интерпретирована как сужение d『|行“ где G° = SO (п) ).

О представлениях группы движений «-мерногоевклидова пространства

В этом параграфе мы рассмотрим нетривиальные примеры полуприводимых представлений. Если расширить ортогональную группу S = SO (п) до группы движений 小мерного евклидова пространства £, то такие представления естественно возникают в классе полиномов над Е. Мы покажем, что метод старших векторов дает и в этом случае эффективный способ исследования представлений.

Определим группу G как совокупность всевозможных пар (5, /), s 三 S, t ^Т, где S = SO〃z, С) и Т изоморфно Е. Преобразования группы G в пространстве £ определяются формулой

gx = sx +

Элементам вида (5,0) отвечают повороты вокруг начала координат, элементам вида (е,/)—трансляции в Е. Соответствующие подгруппы мы отождествляем с S и Т. Закон умножения в G определяется очевидным образом. Группа G есть связная компонента единицы в группе всех движений пространства Е.

Условимся рассматривать 尤 как вектор-строку и записывать матрицу g справа от х. Пусть 乡一пространство всех полиномов от х. Формула

Ugp(x) = p(xg)

определяет в 彳 представление группы G. Подпространство Рт всех однородных полиномов степени m не инвариантно относительно этого представления. Однако подпространство 俨^ всех полиномов степени <т уже инвариантно относительно Ug.

Покажем, что представление в пространстве 俨m не является вполне приводимым. Для примера рассмотрим случай m = 1. Имеем 01 =「о + Pi, где Ро ——одномерное подпространство, натянутое на вектор р0(х) = 1, и Р\ есть n-мерное подпространство линейных форм, которое мы можем отождествить с пространством Е Оба эти подпространства инвариантны и неприводимы относительно S. В то же время для группы Т имеем

5р(х) = р (х + /).

Если р (х) — линейная форма, то р(х + /) = р(х) + + p(OPoU)- Преобразования группы Т в двумерном подпространстве {р (х), Ро(^)} задаются неразложимой жордановой клеткой

11 0

Отсюда ясно, что представление группы G в пространстве 处 также неразложимо, т. е. не может быть представлено в виде прямой суммы двух представлений. Действительно, каждое из этих представлений должно быть также представлением подгруппы S, т. е. совпадать с одним из представлений в Ро и Рь Но подгруппа трансляций действует неразложимо в паре {夕必 Pj.

Перейдем к рассмотрению общего случая. Заметим, что Рт инвариантно относительно S. Согласно рассмотрениям предыдущего параграфа единственными старшими векторами в Рт являются векторы вида %： (%, %)', й + 2/ = т, где Х\ — координата вектора % относительно некоторого фиксированного базиса. Введем обозначение Pih для циклической оболочки (%,%)'%： относительно подгруппы S. Докажем, что имеет место

Теорема 8. Условимся для подпространств 夕庙 использовать лексикографическую упорядоченность относительно пары (/,右).Тогда циклическая оболочка

подпространства Р山 относительно группы G содержит все подпространства Р?勿, подчиненные Р頂.

Доказательство. Пусть PQ означает линейную оболочку всех полиномов вида pq, р ^ Р, q 三 Q. Докажем вначале, что имеет место

Лемма. Подпространства P\Pik неприводимы относительно подгруппы S, за исключением Р\Рц = Р^ + + Р+1, о-

Доказательство леммы. Достаточно заметить, что умножение на Р отображает Рт на Pm+i： P\Pm = Pm+i，и при четном m число неприводимых слагаемых не повышается, а при нечетном ——повышается на единицу. При этом расщепляется именно PRi, поскольку среди линейных комбинаций р(х)хДх, х)1, где р(х) — линейная форма, содержится старший вектор (%, %)'+L Лемма доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы. Фиксируем старший вектор ^0 = (х,尤У %* и разложим 〃止。по степеням параметров t. При этом степень однородности m — 1 (m = А + 2,) имеют только члены, линейные по Л Таких слагаемых только два:

就 (/ %)2 + 2/；4(九 %) (%,%y」

Здесь первое слагаемое является старшим вектором в Pz,/t—1, в то время как второе слагаемое содержится в подпространстве P\Pi-\, ^, которое согласно лемме либо совпадает с Pz—i,左+i, либо распадается в сумму 7^_1,冗+1 + +Рц (mod ^m-2). Следовательно, циклическая оболочка ©& относительно группы G имеет вид

Gl0 = Pi^)k+\+Pi,k~\ (mod乡加一2)・

Заменяя (Z, k) на (/—I,月+1) или (Z, ^ — 1), мы получаем шаг за шагом все подпространства Р，〃, для которых (匕月')《(/,月).Теорема доказана.

Результат теоремы 8 удобно выразить графически. Пусть Гш ——представление подгруппы S в подпространстве Р^. Условимся, что стрелки, исходящие от символа Гik, направлены в сторону тех подпространств Р^, которые содержатся в циклической оболочке GP*. Тогда,

например, для представлений, содержащихся в 05, мы имеем

т = 5т= ат = 3т = 2勿=/т = 0

Здесь номер tn для каждого столбца {т = k + 2/) означает степень однородности. Циклическая оболочка каждого подпространства 尸欣 содержит все подпространства 尸/從，,символы которых расположены правее и выше символа F財 если движение «выше» понимать в смысле наклонных стрелок. В заключение докажем, что имеет место

Теорема 9. Всякое инвариантное подпространство в пространстве 俨加 является циклической оболочкой некоторого набора подпространств 尸加.

Доказательство. Пусть Q — инвариантное подпространство в ^т и Qo — его неприводимое инвариантное подпространство относительно S. Старший вектор в Qo обязательно имеет вид

瓦=冲依^ + %о J + ... + а") = xff (а),

где о=(居 ％). Действительно, g является инвариантом группы S, и потому сигнатура определяется только показателем 瓦 Докажем, что Q содержит все векторы “ = 冲出для которых /=#6 (i = 0, 1, 2,…，/). В самом деле, циклическая оболочка 丁无 содержит вектор

醤「吧 ^協(х + 吗)一 a。")} = 2冲+?(。).

Здесь &一一первый базисный вектор в разложении х = Xi^i + ... 4- хпеп. Наше утверждение доказывается теперь индукцией по степени полинома /(о), поскольку Х(о)—полином меньшей степени. Следовательно, Q содержит вместе с каждым старшим вектором 自° также все

его компоненты (х,尤У %* входящие с ненулевыми коэффициентами. Но тогда, очевидно, Q содержит также соответствующие подпространства 夕出 и является их циклической оболочкой. Теорема доказана.

Напомним, что согласно теореме 10 гл. XVI неприводимые представления группы G, по существу, не отличаются от неприводимых представлений подгруппы S. В то же время, как видно из рассмотрений этого параграфа, группа G имеет совершенно иные, «ступенчатые», структуры в классе приводимых представлений.

* * *

Как уже отмечено во введении к этой главе, здесь содержатся лишь фрагменты спектрального анализа конечномерных представлений. Одним из нерешенных в общем случае вопросов является вопрос о возможности разделения кратных точек весового спектра с помощью цепочки вложенных подгрупп. Представляет также несомненный практический интерес описание «понижающих» операторов неприводимого представления (см. § 68 для SL(%)) и более подробное изучение тензорных произведений d(a) ® rf(p).

Базис неприводимого представления SO(n) был построен И. М. Гельфандом и М. Л. Цейтлиным [73] в виде формальных схем с явным определением инфинитезимальных операторов на этих схемах. Ан алогичный базис для Sp(n) был указан в статье [84]. Отдельные примеры §§ 132一134 рассматривались в курсе лекций [21]. Общая схема Z-инвариантов и теорема о тензорных произведениях излагаются согласно [84]; в этой же статье были рассмотрены полуприводимые представления группы движений «-мерного евклидова пространства.

О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХПОЛУПРОСТОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ГРУППЫ ЛИ

В 1943 г. И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [70] показали, что всякая локально компактная группа (с мерой Хаара) обладает достаточно «богатым» запасом неприводимых унитарных представлений в гильбертовых пространствах. Если группа G некомпактна, то эти представления, как правило, бесконечномерны. С работы [70], по существу, берет свое начало теория бесконечномерных представлений группы G. С 50-х годов развивается также теория неунитарных представлений ). В этом добавлении приводится краткий обзор такой теории для случая полупростой комплексной связной группы Ли. Рассматриваются также некоторые вопросы гармонического анализа функций на G.

Элементарные представления

Пусть G — полупростая связная комплексная группа Ли н X ее алгебра Ли, Под дифференцируемостью функции f(g) на группе G мы будем понимать применимость инфинитезимальных операторов левого и правого сдвига на G. Пусть Е — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на G. Операторы правого сдвига

f(xg)， х, g^G,

образуют представление группы G в пространстве £ Разумеется, это представление приводимо. В частности, как мы видели в нашей книге, всякое неприводимое конечномерное представление группы (? содержится в инвариантном подпространстве пространства Е. Попробуем, по аналогии с этой конструкцией, использовать представление Rg для построения всех неприводимых представлений группы G.

Пусть Z_, D, Z+ — компоненты разложения Гаусса в группе G. Максимальная разрешимая подгруппа В — Z_D называется также иногда борелевской подгруппой в группе G ). Пусть

а — произвольный характер (одномерное представление) группы В и 品一совокупность всех функций из £, удовлетворяющих уравнению

f (bx) = а (6) f (х), 6 巨 В,尤巨 G.

В пространстве Е мы будем рассматривать топологию равномерной сходимости функций и их производных на каждом компакте в G. Тогда Еа—замкнутое подпространство в Е. Очевидно, Еа инвариантно относительно R&.

Определение. Сужение Rg на Еа называется элементарным представлением группы G с сигнатурой а.

Введем обозначение е(а) для элементарного представления группы G с сигнатурой а. Выясним, какими параметрами задается это представление. Прежде всего, a(z)= 1, n 巨 Z_ (поскольку Z_ — производная подгруппа в группе В); следовательно, для вычисления а(6) достаточно вычислить а(6),6 巨 D Далее, а (б) а (е) а (у) при б = еу, е е Е, у 三 F, где Г — максимальный тор и Е — односвязная подгруппа (изоморфная векторному пространству). Если г — ранг группы G, то dim Е = dim Г = г. Характер а(у) задается г целыми числами, характер а(е) —произвольными г комплексными числами. Следовательно, всякое элементарное представление группы G задается набором 2г чисел, г из которых являются целыми и г комплексыыми.

Рассмотрим подробнее тот случай, когда группа G является односвязной. Пусть St, i=L 2, ..., г, — мультипликативные координаты в группе D (§ 112). Тогда характер а(6) можно также записывать в виде

a⑹Нn 6》中，

где 储，山一произвольные комплексные числа, разность которых целочисленна. Нетрудно видеть, что это условие необходимо и достаточно для однозначности функции а⑹ на группе D. Напомним, что 6t = ехр 戸，где 户一координаты в картановской алгебре Н относительно базиса е： = 2o)i/(o)?・, о»), i = 1, 2, ..., г. Следовательно, также

In а (6) = (Л, х) + ((I, х), б^ехрх, .

где положено 九=左(?匕 / =卩住‘ (сумма по /), е ——дуальный базис для вг, и черта означает комплексное сопряжение координат £'. Следовательно, характер а(6) задается нарой векторов 九，卩巨"， разность которых целочисленна в базисе ег *).

Нам будет удобно несколько изменить введенные параметры. Положим Л = р — d,卩=q—d, где d — полусумма положительных корней в алгебре Н. Это равносильно подстановке Л； = pt —— 1, ц^ — =伙一1 для всех i = 1, 2,…".Пару векторов а = (〃, g), 〃, g 巨"，

разность которых целочисленна, мы будем называть сигнатурой. Таким образом, е(а)= е(р, q).

Как и в основном тексте (в случае конечномерных представлений), мы можем использовать разложения Гаусса и Ивасавы для получения иных моделей представления е(а), В частности, пусть U ——максимальная компактная подгруппа в группе G, порожденная компактной формой Вейля К и X, Пусть ® ——пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на U. Условие

屮(W)= a(v) Ф (и), Y 三「， 〃三叱

выделяет замкнутое подпространство в пространстве ®. Поскольку характер a(y), a = (p, q), зависит только от целочисленной разности * = р — q, мы обозначим это подпространство символом ®v- Вектор V мы будем называть индексом сигнатуры а. Представление е(а) может быть реализовано в пространстве ®v с помощью известной формулы:

Tg屮(u) = а (е‘)屮(tig),e'曰 E, tigEsU,

где элементы e', ug определяются из разложения Ивасавы ug = =е勺〃g, C w Z_. Заметим, что характер а(е) зависит только от сум мы р = р + q. Вектор р мы будем называть показателем сигнатуры а. Вектор р является произвольным вектором из Н.

В несколько ином варианте определення элементарные представления были впервые введены в работе И. М. Гельфанда и М. А. Н а и м а р к а [68], Наше определение следует статье [88].

Пространство элементарного представления

Пространство ® является топологическим векторным пространством относительмо топологии равномерной сходимости на U функций со всеми производными. Нетрудно видеть, что ® является мет- ризуемым полным пространством, т. е. пространством Фреше. Более глубокую информацию о топологической природе ® мы получим, если разложим представление е(а) на мультиплеты относительно компактной подгруппы U.

Заметим, что сужение е(а) на U сводится к правым сдвигам Ru(p(Y)==屮(工〃)на группе U. Разложение этого представления на неприводимые хорошо известно и сводится к разложению функции q?(«) в ряд Фурье по матричным элементам группы U. Однако существенно учесть бесконечную дифференцируемость функций <р(〃).

Пусть А — квадратичный оператор Казимира, порожденный правыми сдвигами на U (оператор Лапласа — Бельтрами на Н), Матричные элементы старшего веса 入 являются собственными векторами оператора А с собственным значением 々(А), причем 々(А) является полиномом степени 2 относительно 九：

k (九)=九认" + e (九)

(сумма по г от 1 до г), где 猫，V — взаимно дуальные координаты в алгебре Н и с(入)——линейная форма от 入(см. § 126). Таким образом, /?(Х)》С|1 入II для достаточно больших значений 兀

Из бесконечной дифференцируемости функции (р(и) следует, что ее ряд Фурье сходится в среднем квадратичном с любым весом (%(九))％ п = 0, 1, 2,....

ХХ(左 8)尸园 |2 0(大)<8,

где с^ — коэффициенты Фурье — Петера — Вейля функции ср(и) и (о (Л)—квадрат нормы матричного элемента. Отсюда, как и в обычном анализе Фурье, следует, что ряд Фурье функции ср(и) сходится к этой функции в топологии пространства Q, т. е. равномерно вместе со всеми производными. Коэффициенты Фурье функции ф(и) убывают быстрее любой степени &(九)：

I 南 I 式(优 0)尸，а = 0, 1, 2,

Отсюда следует, что пространство ® изоморфно пространству Кете быстро убывающих последовательностей ([115']). Согласно оценкам статьи [115‘] легко находим, что пространство ® является монте- левским и ядерным.

Как мы знаем, мультиплет d九 группы U со старшим весом 九 содержится в пространстве ® с кратностью 〃儿= dim d入* При этом нетрудно видеть, что на долю ®v приходится 〃九(v) таких мультиплетов, где 〃九(V)—кратность веса v в представлении 九 Тем самым определяется кратность вхождения 才入 в представление е(а).

В частности, минимальным из весов 九，для которых d% содержится в Q«, является вес 九o = 1v|, где 丨尤丨——доминантный вектор на орбите вектора х относительно группы Вейля (см. § 105). При этом л^о(V)= 1, т. е. d^ содержится в ® v однократно.

Дифференциал элементарного представления

Как следует из определения элементарного представления (§ 1), инфинитезимальные операторы группы G применимы к любому вектору из пространства представления е(а). Пусть е(а,尤)——инфинитезимальный оператор представления е(а), отвечающий элементу 无 w X. Полагая е(а, ху) = е(а, _г)е(а, у), продолжаем дифференциал е(а,无) до представления универсальной обертывающей алгебры £. Элементы е(а,无),无 и £, являются полиномами от инфинитезимальных операторов группы G.

Поскольку при дифференцировании оператора Т? (§ 2) приходится дифференцировать экспоненту а(е) = ехр (р — 2d, /), е = ехр /, инфинитезимальные операторы е(а,尤)，尤 w X, линейно зависят от показателя р сигнатуры а. Следовательно, также операторы е(а, х),无 w 重，являются полиномами от вектора р.

Пусть 2 ——линейная оболочка (множество конечных линейных комбинаций) матричных элементов группы U. Пусть 纟㈠——пересечение 纟 с %. Векторное пространство 纟㈠ мы будем называть основным линеалом в пространстве 4. Покажем, что основной линеал инвариантен относительно дифференциала е(а,无),х е i. Для этого достаточно рассматривать только элементы 尤 w X.

Действительно, пусть Vх" — линейная оболочка всех матричных элементов нз 2% с фиксированным старшим весом X. Пусть К — алгебра Ли подгруппы U. Если х w К，то е(сс, х)У'и V^ по определению У*. С другой стороны, рассмотрим билинейную функцию / (% 3) = е(а, %)自，х 三 X,自曰 Н как элемент тензорного произведения X® V\ Формула е(а,之)/(工疋)=f([z,x]，l) + /(%,“％%) |), z К, показывает, что f(x, g) преобразуется алгеброй К по закону тензорного произведения К 包d九,где Л — представление алгебры К в пространстве X, порожденное присоединенным представлением. Следовательно, е (а, х) I” и 工 V' , где 九' пробегает конечное семейство неприводимых компонент из тензорного произведения л ® d\.

При определении семейства элементарных представлений е(а) мы видели, формально говоря, что это семейство получается «аналитическим продолжением» (по сигнатуре) из семейства неприводимых конечномерных представлений d九卩 группы G. Теперь мы можем придать этому утверждению более точный смысл. Рассматривая индикаторные системы представлений d^, нетрудно показать (см. [88]), что пространство И^.ц такого представления выделяется следующей системой уравнений:

X*｝屮=0, 力=1,2,…，「，

где X±i — инфинитезимальные операторы левого сдвига на Н, отвечающие корневым векторам 廿心 ① = 士①厶 i = 1, 2, …，г, в комплексной оболочке алгебры /С При этом d^ действует в ①夕 только при X —— 卩 = г Отсюда следует, что каждое 纟丫 является объединением возрастающего семейства своих подпространств 力卩：

儿一gv

Фиксируем два произвольных матричных элемента е, е‘w 纟” и рассмотрим функцию /(а) = (е(а, х)е, е‘)， где (tp,(pz) — скалярное произведение в L2(U). Поскольку f(а) является полиномом, /(а) вполне определяется своими значениями на дискретном семействе представлений d^, X——卩=v. В этом смысле дифференциал е (а; является анал итическим продолжением семейства дифференциалов d ^ц.

Отметим простое, по важное следствие относительно операторов Казимира е(а, s), z 三 3, где 3 — центр алгебры £. Если е, е，— два матричных элемента из 纟”，то (е(сс, z)e, е‘)= с(а)6(е, е‘)，где 6(е,或)一символ Кронекера для пары е, е' и с(а)—числовой полином от а. Действительно, эта формула верна для семейства d入中 но тогда и для произвольных е(сс). Следовательно, оператор Казимира е(а.z) кратен единичному оператору для любого элементарного представления е(а).

Вопросы неприводимости

Исследование элементарных представлений на неприводимость проводилось многими авторами, начиная с первоначальных работ И. М. Гельфанда и М. А. Най марка [68], в которых исследовались унитарные представления «основной серии» для классических групп. Окончательное решение вопроса было получено в работе автора [88]. Поскольку в доказательстве используется сложная полиномиальная техника, мы ограничимся только формулировкой результатов.

Скажем, что сигнатура а = (р, д) имеет вырождение по направлению корня со, если числа "山= 2(", со)/(со,①), q^ = =2(g, з)/(①，①)являются целыми ненулевыми одинакового знака (т. е. p^q^ > 0). Скажем, что сигнатура а вырождена, если она имеет вырождение по направлению хотя бы одного корня. Результат исследования е(а) на неприводимость выражается следующей теоремой;

Элементарное представление е(а) топологически неприводимо тогда 〃 только тогда, когда сигнатура а невырождена.

Оказывается также, что топологическая неприводимость е(а) равносильна алгебраической неприводимости дифференциала е(а, ¥), 尤三 X, в линеале 2у、 Кроме того, для неприводимых представлений е(а) выполняется следующий аналог теоремы Бернсайда: всякий непрерывный линейный оператор в пространстве Фу может быть слабо аппроксимирован линейными комбинациями операторов 7g = = e(a,g), g 三 G. Всякое представление, обладающее таким свойством, принято называть вполне неприводимым [88]. Следовательно, е(а) вполне неприводимо тогда и только тогда, когда сигнатура а певырождепа.

Пусть 必——группа Вейля алгебры X. Определим действие группы Вейля на сигнатуру а= (", 4)по правилу аа — (sp, sg), sr 既 Оказывается, что если сигнатура а невырождена ), то представления е(а), е(ая) эквивалентны. В общем случае между е(а), е(&) существуют некоторые соотношения «частичной эквивалентности».

Рассмотрим для примера группу Лоренца, т. е. группу G = = SL(2,C). В этом случае сигнатура имеет вид а= (",«), где р и q — комплексные числа с целой разностью v = " — q. Представление е(а) в реализации на группе Z имеет вид

7V ⑶=(阳 + 6)1 ^ГПНГ (<g^|).

Здесь г — комплексное число. Класс функций f(z) описан в книге [16]. Представление е(а) неприводимо тогда и только тогда, когда числа р, q не являются одновременно целыми ненулевыми одинакового знака. Представления е(а), е(—а) в этом случае эквивалентны.

Назовем для краткости вырожденную сигнатуру а целой точкой. Точку а будем называть положительной (отрицательной)t если

р > 0, 4>0 (р < 0, gVO). Если точка а является целой положительной, то (а) содержит в инвариантном подпространстве конечномерное неприводимое представление d(ct). При этом оказывается, что оператор Q=(^^) осуществляет «частичную эквивалентность» между е(а) и е(р), р = (—р, д):

Qe(a, g) = е(^ g)D.

При этом оператор D аннулирует конечномерное подпространство представления d(a) и осуществляет эквивалентность фактор-пред- ставлеция e(a)/d(a) с представлением е(В). Точно так же оператор

D = I осуществляет «частичную эквивалентность» между

е(6) и е(—а), причем оказывается, что е(0) действует в инвариантном подпространстве е(—а), а е(—а)/е(р) эквивалентно d(a).

Соотношения эквивалентности такого типа были впервые обнаружены автором [86]. См. также [16], [82].

Аналог формулы Планшереля

Естественно предположить по аналогии с теорией Петера — Вейля, что элементарные представления е(а) должны играть роль «элементарных гармоник» в гармоническом анализе функций на G. Принципиальный результат в этом направлении бьм получен И. М. Гельфандом и М. А. Н а й м а р к о м [68], которые построили для классической группы G аналог Л2-теории преобразований Фурье *). Обобщение этих результатов на произвольную полу- простую комплексную связную группу Ли было сделано в работе X а р я ш - Ч а и д р ы [140].

Заметим прежде всего ([88]), что операторы Tg = e(a, g) ограничены относительно нормы в гильбертовом пространстве 舒=厶2(H). Следовательно, представление е (а) можно продолжить также до представления в гильбертовом пространстве 第”，где 第”一пополнение G”_B метрике 為.Далее, для каждой сигнатуры а = (р, q) положим а* = (—@,—/)• Оказывается ([88]), что для каждой пары функций ф, 2 三 箔V выполняется тождество

(е (a, g)①，е («*, g) W)=(①，W), где (屮，“)一скалярное произведение в 第v (заметим, что сигнатура а* имеет тот же индекс, что и а). В частности, если p = p + q — чисто мнимое число, то а* = а. В этом случае операторы е(а, g) унитарны. Пусть Aq—множество всех таких сигнатур. Соответствующее семейство унитарных представлений е(а) называется основной серией. Именно с рассмотрения основной серии началось развитие теории бесконечномерных представлений группы G.

Перейдем теперь к рассмотрению функций на группе G. Если функция %(g) локально интегрируема относительно меры Хаара dg

и достаточно быстро убывает на бесконечности (например, финитна) ,то имеет смысл операторный интеграл

X (а) = J % (g) е (а, g) dg.(1)

Здесь X(а), как и е(а, g), — лиггейный оператор в гильбертовом пространстве 非、,.Операторную функцию Х(а) мы будем называть преобразованием Фурье функции x(g). Если функция x(g) финитна и бесконечно дифференцируема, то рассуждения, аналогичные проведенным в § 2, показывают, что матричные элементы оператора Х(а) являются быстро убывающими в базисе Петера ——Вейля. Это убывание является настолько быстрым, что имеет смысл выражение для следа spX(a), где след выражается в виде абсолютно сходящегося ряда из диагональных матричных элементов. Оказывается, что (1) допускает формулу обращения, которая имеет вид

(g)= j sp{X(a)e(a, .§■)*} ^ц (a),(2)

где звездочка означает эрмитово сопряжение и djx(a) —некоторая мера на множестве сигнатур Ло, называемая мерой Плантереля. Таким образом, формула обращения содержит только представления е(а) основной серии. Для описания меры ^ц(а) положим а= (",，). Интеграл по мере ^ц(а) означает суммирование по индексу V и интегрирование по чисто мнимым значениям р с плотностью

О>0

где s ——произвольный положительный корень и d ——полусумма всех таких корней (константа с。 не зависит от сигнатуры а).

Положим» в частности, в формуле (2) g = е н заменим в полученном интеграле функцию x(g) сверткой вида J х (а) у (ag) da. Нетрудно проверить, что Х(а) заменяется при этом на Х(а) У(сс) *, где У (а) — преобразование Фурье функции g(g). В результате имеем

j 尤(g) Р (g) dg = J sp {X (a) У (a)*} dji (a).

В частности, при 尤(g) = p(g) получаем выражение для квадрата нормы функции %(g) в пространстве 厶2(G) через интеграл по & от следа sp X(a)X(a)* с мерой ^ц(а). Полученная формула нмеет смысл уже для произвольных функций из 厶2(G). Эта формула является аналогом классической формулы Планшереля из гармонического анализа на прямой.

Заметим теперь, что согласно результатам § 4 элементарные представления основной серии неприводимы *). Формула (2) может быть интерпретирована как разложение регулярного представления в U(G) на неприводимые унитарные представления.

Теоремы типа Пэли — Винера

Пусть ^ — пространство всех бесконечно дифференцируемых финитных функций x(g) на группе G. Особый интерес представляет описание образа 9i пространства ^ при преобразовании Фурье х(^) ->Х(а). Заметим, что ^ является алгеброй относительно свертки на группе G. Преобразование Фурье переводит свертку функций на G в умножение их образов Х(а). Таким образом, множество 贝 является алгеброй относительно произведения операторных функций Х(а).

Для каждого линейного оператора Л в пространстве 箔” положим II 4 II = {sp 44*} %. Оператор Л называется оператором Гильберта—Шмидта, если j| Л || < оо. В частности, все операторы Х(а)三现 являются операторами Гильберта — Шмидта. При этом Х(а) является слабо аналитической операторной функцией с оценками вида

1° II pn^x (а) A’ k С S, Е, /) еа 1 Re р\ п, k, 1 = 0, 1, 2

где р — показатель сигнатуры а и А — оператор Лапласа — Бельт- рамн на группе U, Кроме того, Х(а), как и e(ct, g), удовлетворяет соотношениям «частичной эквивалентности», о которых упоминалось в § 4. Если г — ранг группы G, т。существует 2r операторов %, S；, i = 1, 2, ..., г, зависящих от сигнатуры а, для которых выполняются следующие «соотношения симметрии»:

2° к/(а)=Х(%)«7” S/(a) = X(a0Sj； i= I, 2г.

При этом операторы Wi являются интегральными, а St — дифференциальными операторами в ®v- Все остальные соотношения эквивалентности и «частичной эквивалентности» между операторами Х(а) являются следствиями соотношений 2°.

Оказывается, что все перечисленные выше свойства описывают общий вид операторной функции Х(а)三 Э1. Этот результат принадлежит автору [89]. Полученные свойства позволяют описывать фи- нитность и бесконечную дифференцируемость функции х(^) в терминах ее преобразования Фурье.

Ан алогичное описание удается получ ить ([89]) для квадратично интегрируемых финитных функций x(g), для «быстро убывающих функций» x(g) **) и даже для всех обобщенных функций x(g)

*) Для случая классической группы G этот результат был полу^ чен еще И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком [68].

**) Для «быстро убывающих» функций близкий результат был также анонсирован И. М. Гельфандом и М. И. Г р а е в ы м [67].

с компактными носителями на G. Особый интерес представляет семейство обобщенных функций, сосредоточенных в единичной точке группы G. Это семейство изоморфно универсальной обертывающей алгебре St, построенной по алгебре Ли группы G.

Все перечисленные здесь результаты являются аналогами классических теорем типа Пэли ——Винера на прямой (см,, например, [15[). Эти результаты имеют принципиальное значение в теории бесконечномерных представлений группы G.

Минимальные представления

Элементарные представления группы G с невырожденными сигнатурами а являются важнейшим примером неприводимых бесконечномерных (не обязательно унитарных) представлений группы G. Другие примеры таких представлений мы можем получить, исследуя структуру инвариантных подпространств для представлений е(а) в вырожденных точках.

Фиксируем какой-либо ненулевой вектор е° 巨，'* где Хо -- минимальный из старших весов компактной формы Вейля в линеале 纟2 (§ 2). Назовем вектор е° минимальным вектором класса ”. Пусть 2(a)——циклическая оболочка вектора е° относительно е(а,尤),尤三田 (здесь а ——произвольная сигнатура с индексом v), Если сигнатура а невырождена, то 2(a) = 2\* В общем случае представляет интерес исследование циклической оболочки В(а).

Заметим вначале, что если р = а8, s м 1Г, то пиклпческие оболочки (а), (Р) связаны соотношением вида 9(8) = =Д (р, а) ^ (а), где 4(0, а)——некоторый «оператор симметрии», порожденный операторами 呼厶 / — 1, 2, .. ., г, из § 6 (см. по этому поводу [87]). Оказывается, что па орбите {а$, s w 1尸} всегда можно панти две точки а_ и а+ со следующими свойствами; 1)①(а_) = =必旷；2)必(а*) неприводимо, Представление в пространстве 2(а+) назовем минимальным представлением алгебры X с сигнатурой а+.

Пусть Ф(а) -- замыкание 2(a) в топологии пространства d Тогда ®(а) инвариантно относительно e(ct, g). Положим а = а+. Сужение е(а, g) на Ф(а) обозначим ц(а) и назовем минимальным представлением группы G с сигнатурой а. Если а= (a+)g, то положим, по определению, ц(а) = ц(а+).

Заметим, что если векторы 九=р ——d, U = g ——d являются старшими весами группы G, то минимальное представление ц(а), а = = (р, q), совпадает с конечномерным представлением rf? ц, рассмотренным в § 3. В этом случае, как мы видели в § 3, пространство Р\卩 представления d^ выделяется из ® некоторой системой уравнений, содержащих инфинитезимальные операторы левого сдвига на группе U.

В общем случае до сих пор неизвестно достаточно эффективное описание пространств Q(a) минимальных представлений ц(а). Известно только, что Ф(а+) является образом 沁у, где v—индекс а_,

относительно оператора симметрии Ло = Л (а+, а_). Весьма вероятно, что Ф(а), подобно 1\口，также выделяется из Ф с помощью инфинитезимальных операторов левого сдвига. (Эта гипотеза проверена авторомаслучае v = 0.)

Классификация неприводимых представлений

Вопросы классификации бесконечномерных неприводимых представлений группы G существенно зависят от аксиоматики в классе таких представлений. Действительно, даже если вместо группы G рассматривать аддитивную группу R вещественных чисел, то проблема классификации ее топологически неприводимых представлений равносильна до сих пор нерешенной проблеме классификации линейных непрерывных операторов (с точностью до эквивалентности) в топологическом векторном пространстве. Положение значительно упрощается, если вместо топологически неприводимых представлений группы R рассматривать ее вполне неприводимые представления (см. § 4). В этом случае ввиду выполнения теоремы Бернсайда можно утверждать ([88]), что вполне неприводимое представление группы R одномерно. Следовательно, оно имеет вид экспоненты к w R.

Однако при переходе от группы R к группе G возникает еще одна трудность. Действительно, как мы видели выше, операторы представления е(а) могут быть определены как в гильбертовом пространстве 第仍 так и в монтелевском пространстве 埶.При этом 允V всюду плотно в 第V, и представление е(а) в обоих пространствах вполне неприводимо. Естественно считать такие представления в некотором роде одинаковыми, т. е. использовать соответствующее определение эквивалентности. Такое определение было предложено М. А. Н а й м а р к о м [117]. Мы приведем несколько видоизмененный вариант такого определения.

Пусть 7g — представление группы G в топологическом векторном пространстве 厶，и пусть & — инвариантное векторное подпространство в L. Скажем, что представление Тg в 厶° является уплотнением представления 7g в L, если в & существует более сильная топология, по отношению к которой 厶° полно и операторы Тё непрерывны. Скажем, что два представления группы G слабо эквивалентны, если они имеют эквивалентные уплотнения.

Теперь мы можем сформулировать один из вариантов постановки задачи о классификации неприводимых представлений группы G. Требуется классифицировать все вполне неприводимые представления этой группы с точностью до слабой эквивалентности.

Окончательное решение этой задачи было получено в недавней работе М. А. Наймарка и автора [91] (см. также [90]) ). Оказалось, что всякое вполне неприводимое представление группы G слабо эквивалентно одному из ее минимальных представлений ц(п).

О полуприводимых представлениях

При исследовании элементарных представлений обнаружилась еще одна любопытная особенность бесконечномерных неунитарных представлений группы G. Оказалось, что в классе этих представлений теряет силу теорема Г. Вейля о полной приводимости.

Действительно, мы видели в § 4, что представление е(а) группы Лоренца с положительной целой точкой а содержит инвариантным образом конечномерное представление d(a) и фактор-представление e(a)/d(a) эквивалентно е(§) при некотором 0. Оказывается, что е(а) невозможно представить в виде прямой суммы представлений d(a) и е(р). Этот результат является частным следствием теоремы типа Пэли ——Винера, впервые полученной автором [86] для группы Лоренца (см. также [82], [87]).

Точно так же и в случае произвольной полупростой комплексной группы G элементарное представление е(а) в вырожденных точках имеет довольно сложную «ступенчатую» структуру. В пространстве такого представления существует лишь конечное число инвариантных подпространств. Если (0)=厶 и 厶 и …cz L„ = L — максимальная цепочка таких подпространств (определяемая, вообще говоря, неоднозначно), то представление в каждом фактор-про- странстве L^L^-x эквивалентно одному из минимальных представлений группы G.

В статье [87] была предпринята попытка исследовать все полуприводимые представления группы Лоренца, имеющие «конечную ступенчатую структуру», т. е. содержащие лишь конечное число неприводимых компонент. С помощью теоремы Пэли—Винера эта задача была сведена к некоторой задаче линейной алгебры, окончательное решение которой было получено в недавней работе И. М. Гельфанда и В. А. Пономарева [69].

Значительно более сложной является теория бесконечномерных представлений (даже унитарных) для полупростой вещественной группы Ли. Мы не имеем возможности в рамках данной книги остановиться сколько-нибудь подробно на обзоре этой теории.

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УНИТАРНЫХПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ

ГРУПП

В классе общих локально компактных групп существенно усложняются задачи теории представлений и, в частности, задача гармонического анализа на группе. Действительно, мы видели в добавлении I на примере полупростых комплексных групп, что неприводимые представления локально компактной группы не обязательно конечномерны. Вместо обобщенной теории рядов Фурье (теории Петера ——Вейля) возникает обобщенная теория интегралов Фурье (вообще говоря, не числовых, а операторных). В настоящее время в теории представлений локально компактных групп существенно разработана только теория унитарных представлений (при построении которой важнейшую роль играет основная спектральная теорема функционального анализа). Краткий обзор этой теории является целью настоящего добавления.

Коммутативные группы

Рассмотрим вначале аддитивную группу R всех действительных чисел. Унитарное представление этой группы есть произвольная однопараметрическая группа Ut, — оо < / < оо, унитарных операторов в гильбертовом пространстве И ). Согласно известной теореме Стоуна (см., например, [22х]) семейство операторов Ut может быть записано в виде

Ut = е"А,—оо </<8,

где А——самосопряженный оператор в пространстве Н. Оператор Л называется производящим оператором однопараметрической группы Ut. Применение к этому оператору классической спектральной теоремы функционального анализа ([39/х], [22х], [37х]) позволяет получить дальнейшую информацию о строении представления Ut・ Прежде

S =S =всего, операторная функция Ut может быть записана в виде интеграла:

S =

S =

()

где 戶(九)——семейство проекционных операторов, называемое разложением единицы и обладающее следующими свойствам и: 1)戶(九)戶(卩)=户(九)при 九m卩；2)戶(九)перестановочно со всяким непрерывным линейным оператором, перестановочным с 4； 3)尸(入)三 непрерывно слева по X при любом g w 〃； lim 尸(X)g = 0, lim P(X)g =

Z,-> —oo 九 一> +оо =g для всякого gw".

Формула (*) дает наиболее существенную информацию о представлении Ut. Очевидно, 〃 неприводимо только в том случае, когда спектральная мера dP(X) сосредоточена в единственной точке 九о и пространство Н одномерно. В этом случае S =е"脑 *). Формула (*) означает, следовательно, разложение Ut на неприводимые представления.

Из формулы (*) можно получить также другую интерпретаци10 спектральной теоремы для Ut. Предположим вначале, что в пространстве Н существует вектор go, циклический относительно производя щего оператора Л (т. е. такой, что Н есть замыкание линейной оболочки векторов 4空о, п = 0, 1, 2, ...). Положим о(А)= =(戶(九)Ео, &). Тогда пространство Н изоморфно гильбертову пространству числовых вектор-функций f(X),——оо < X < оо, с квадратом нормы J I / (X) |2 do (X) < оо Операторная функция Ut задается при такой реализации формулой

""大)=『优〃九)， ()

в то время как оператор Л сводится к умножению на X: Л/(X)= =“(入)**). Действие проектора Р(ц) сводится в этом случае к умножению на характеристическую функцию полуоси —оо < X < ц. В общем случае представление 01 разлагается на циклические (т. е. такие, для которых циклический вектор 三。существует). Формула (**) по-прежнему сохраняет силу, с той разницей, что f(九)теперь

является (вообще говоря, бесконечномерной) вектор-фупкцией от X ),

Заметим, что в реализации (•*) каждая д-функция 6(入一入о) является, формально говоря, собственным вектором семейства Ut с собственным значением е"” Хотя б-функция и не является элементом Н, такому утверждению можно придать строгий смысл, если воспользоваться аппаратом обобщенных собственных векторов по Гельфанду [17] и Костюченко.

Наконец, перейдем к случаю произвольной коммутативной локально компактной группы G. В этом случае имеет место теорема Наймарка [37']), обобщающая формулу (*). Пусть Ug — унитарное представление группы О в гильбертовом пространстве 〃，X— группа всех унитарных характеров группы G, т. е. одномерных унитарных представлений %:&->%(&). Тогда согласно теореме Наймарка

J % (g)dP (%),

где интеграл берется по группе X и dP(x) — спектральная мера, определенная на борелевских множествах в X Подробности см. в [37[, стр. 487. Отсюда нетрудно получить также и обобщение формулы (*+). Пространство И изоморфно реализуется в виде гильбертова пространства вектор-функций /(у) ( у е X, квадратично интегрируемых относительно некоторой меры. Представление Uё задается явной формулой

• Ug〃％) = %(g) 〃办

Как и прежде, в частном случае группы R, эти результаты означают разложение Ug на неприводимые представления. В частности, всякое неприводимое унитарное представление группы G одномерно и задается одним из характеров %(g).

Гармонический анализ на коммутативной локально компактной группе G является наиболее развитым в настоящее время обобщением обычного анализа Фурье. (Из гармонического анализа на G вытекает, в частности, теория двойственности Понтрягина, о которой мы упоминали в § 107.) На более подробном обзоре этой теории мы сейчас не имеем возможности останавливаться. Отдельные вопросы рассмотрены в монографиях [18], [35], [37[.

Теорема Стоуна — фон Неймана

До сих пор мы имели дело только с коммутирующими семействами унитарных или эрмитовых операторов в гильбертовом

пространстве Н. Одним из простейших примеров некоммутирующей системы является система эрмитовых операторов Р, Q, для которых

【R Q] = if,

где i = U— 1 и / ——единичный оператор в пространстве Н (операторы координаты и импульса в квантовой механике). Рассмотрение этого примера играет существенную роль также в развитии общей теории. Заметим вначале, что [Pn, Q] = in Рп^ для всех натуральных п, откуда следует общая формула

行(尸),Q] = £厂(戶)⑺

для произвольных полиномов f(z) с заменой г на Р, где штрих в правой части означает дифференцирование по z. Естественно предположить, что () сохраняет силу также для более широкого класса функций f(z). В частности, рассмотрим резольвенту R% = (Р ——九/)" в тех точках, где она определена. Имеем

他儿，Q] = Ra [Q, p-九"R*——唸,

что совпадает с формулой (*) при f (г) = (г ~ ^)-!, Но тогда формула (*) сохраняет силу также для всевозможных полиномов от Р, R入 и также для сильных пределов таких полиномов (при условии, что 厂(戶)имеет смысл). К последнему классу функций относится, в частности (【22[), однопараметрическая группа операторов U, = e"P*). Следовательно, [Utt Q] = —tUt, откуда имеем ).

。厂 lQ4=Q + 〃.(**)

Из формулы (* ♦) следует, что спектр оператора Q заполняет всю действительную ось. Воспользуемся для Q спектральной теоремой, т, е. реализуем этот оператор как оператор умножения на х в классе вектор-функций /(х), интегрируемых с квадратом по мере dcr(x):

Qf(%) ^ xf(x).

Из формулы (**) следует, что вектор-функция f(x) имеет одинаковую размерность во всех точках х и мера Jcr(x) совпадает с обычной лебеговой мерой. Следовательно, можно считать, что ，(х) принимает значения в некотором фиксированном гильбертовом пространстве ，о. Пространство Н состоит при этом из всех таких функ-

ЦИЙ /(幻，для которых J II / (х) Ио rfa (х) < оо, где || f ||0 означает норму в пространстве Н» Рассмотрим в Н оператор дифференцирования

P = i~ах

(определенный на всюду плотном множестве в Я). Тогда, как легко проверить, [Л Q] = ", т. е. операторы 户，Q удовлетворяют тем же коммутационньш соотношениям, что и пара Р、Q. Следовательно, оператор Р —户 перестановочен с Q. Но тогда, как известно из спектральной теории, Р — Р есть оператор умножения на некоторую функцию от переменной х; следовательно,

〜d

尸=尸+①(X) = 2右- +屮(X).

В силу эрмитовости Р и Р функция ср(х) действительна. В результате мы находим явное выражение для оператора 尸:Р ~ ^_^" + +(р (г). Рассмотрим унитарный оператор S = ^~l^^dx. Имеем SQS~{~ =Q, SPS~‘ = i-^. Следовательно, после унитарного преобразования S в пространстве Н мы получаем из пары Р, Q пару операторов

% ='备'Q° = x・

Следовательно, с точностью до унитарной эквивалентности всякие два эрмитовых оператора Р, Q, удовлетворяющие соотношению коммутации [Р, Q] = /, сводятся к паре Ро, Qo- Это и составляет содержание известной теоремы Стоуна ——фон Неймана. Разумеется, мы привели доказательство этой теоремы с некоторыми сокращениями). ■

Замечание. Нетрудно видеть, что уравнение [尸,Q] = 〃 не имеет никаких (эрмитовых или неэрмитовых) решений в классе конечномерных линейных операторов. Действительно, след левой части этого соотношения равен нулю, в то время как след правой части отличен от нуля.

Рассмотрим теперь группу Z(3) всех треугольных матриц 3X3 с единицами на главной диагонали. Легко видеть, что алгебра Ли этой группы натянута на три базисные элемента р, % г с единственным нетривиальным соотношением коммутации [р, q] == г. Элемент г является центральным. Пусть теперь Р, Q, R — образы элементов р, д,广 в некотором унитарном представлении Z(3). В силу унитарности этого представления можно считать (за счет умножения на

£ = М— 1), что операторы Р, Q эрмитовы. Если представление неприводимо, то оператор R оказывается кратным единичному, и мы получаем соотношение коммутации

[Л Q]=认1、

где / — единичный оператор в Н. Если А = 0, то [Р, Q] = 0, и представление коммутативно. (При этом в силу неприводимости оно

одномерно.) Если же 九 #0, то мы имеем, как и выше, Р =

Q = Ах с точностью до унитарной эквивалентности. Для соответствующих однопара метр ических подгрупп Ut = е^р, 匕=金"。получаем следующие формулы:

utf (^) = Их - /), V^ M = eitKxf(x).(***)

Таким образом, теорема Стоуна — фон Неймана позволяет получить описание всех, с точностью до унитарной эквивалентности, неприводимых унитарных представлений группы Z(3). (Действительно, однопараметрические подгруппы S, Vt порождают эти представления.) Мы видим, что всякое такое представление либо одномерно, либо бесконечномерно.

В первом случае представление задается двумя действительными скалярами а и р, к умножению на которые сводятся операторы Р н Q (R = 0). В этом случае Ui = е'，匕=е‘出.Во втором случае представление задается явными форм ул а ми (***), причем результат классификации зависит от действительного числа А#0. Нетрудно проверить, что представления с различными А при этом попарно неэквивалентны.

Геометрически множество всех неприводимых унитарных представлений группы Z⑶ можно отождествить с множеством всех плоскостей X = const ф 0 и множеством всех точек на плоскости X — 0 в трехмерном евклидовом пространстве с координатами А, а, 0.

Индуцированные представления

Прежде чем приступить к дальнейшему изложению теории, остановимся на рассмотрении специального типа представлений, называемых индуцированными. Пусть X — однородное пространство с группой движений G, причем действие элемента g w G на точку х е X обозначается символом xg. Рассмотрим линейный оператор Tg, действующий в пространстве функций на X по формуле

Tgf (х) =а(х, g)f(xg).

Для того чтобы семейство операторов Tg являлось представлением группы G, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

а (/ g®) = а (%, gi) а (上曰，禽)， а (叫 е) = 1.(*)

Найдем общее решение этого функционального уравнения. Фиксируем некоторую точку 工。w X и положим для краткости a(g) =а(х(), g).

Тогда согласно () функция a(g) удовлетворяет функциональному уравнению

a(gog) = a(g())a(g)、 a(e) = l,()

для произвольных элементов go 已 Go, g w G, где Go — стационарная подгруппа точки %о. Далее, выберем для каждой точки % 已 X элемент gx 已 G, переводящий %о в %. Тогда всякий элемент g w G однозначно запишется в виде gogx,寄已 G, и мы имеем в силу (*)

a (мо, gxg) = а (%о, g无)a (%, g)・

Отсюда видно, что функция a(x, g) люжет быть выражена через функцию a(g)：

a (%, g) = a (gx)T a (gxg).

Представим зле^ент gxg в виде gog甘,где go 已 Go, у в X. Тогда из последнего соотношения имеем также *)

a (爲 g) = a (gx)-1 a (寄)a (gv)-

Полученная формула дает общий вид решения a(x, g). Используя преобразование эквивалентности Af(x) = a(gx)f(x)f мы можем заменить представление Т g эквивалентным представлением Tg = =ATgA~\ При этом

北■『(%) = & (х, g) / (xg),

н функция a (%, g) удовлетворяет условию a(gQ = 1. Следовательно, в этом случае мы имеем a(x, g) = a(go), где go, как и прежде, опредеипяется разложением gxg = gogy.

Функция a(go) является, согласно (**), представлением группы Go. Принято говорить, что представление Ts группы G индуцируется представлением a(gc) подгруппы Go **). Все изложенные выше построения сохраняют силу также в том случае, когда /(%)— вектор-функции со значениями в некотором векторном пространстве L и a(爲 g)—линейные операторы в L. Представление Тg при этом по-прежнему называется индуцированным. Если dimL = l, то та~ кое представление иногда называют мономиальным.

Условие неприводимости a (go) необходимо, но недостаточно для неприводимости Tg. Действительно, в добавлении / мы и мели дело с элементарными представлениями полупростой комплексной группы G. Все они мономиальны, т. е. представление a(go) одномерно и потому неприводимо. Однако мы видели, что элементарное представление может быть приводимым. Заметим, кстати, что роль группы Go играет в этом случае максимальная разрешимая подгруппа в G.

Как мы знаем из основного текста (§ 17), однородное пространство X можно отождествить с фактор-пространством G/Go, где Go — стационарная подгруппа фиксированной точки %。w X. Можно также отождествить пространство X с множеством точек-представителей gx, % 三 X. Используя разложение g = gog» будем вместо функций /(%) рассматривать функции f(g) = f(gogx) = a(g0)f(^)- Все эти функции, очевидно, удовлетворяют соотношению

f(gog)=a(g°)f(g)

при любых значениях g0 е Go, gwG. Пусть Fа—множество всех таких функций на группе G. Преобразование правого сдвига Rgf(〃)= f(〃g) образует представление в Fa, которое, как легко проверить, эквивалентно исходному представлению &. Следовательно, мы получаем еще одну реализацию индуцированных представлений (которой уже неоднократно пользовались в основном тексте).

До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на пространство функций, в котором действует индуцированное представление. Однако в приложениях это постоянно приходится делать, причем произвол в определении такого пространства довольно широк (например, дифференцируемые функции или функции класса 厶？ в условиях добавления I). Если на X существует мера dx такая, что d(xg) =(о(х, g)dx с конечным якобианом (о(х, ^) (такая мера называется квазиинвариаптной), то условие

а (%, g) а"(х, g)=①(储 g), (***)

где черта означает комплексное сопряжение, позволяет построить унитарное представление группы G с помощью формулы индуцированного представления. Для этого надо ограничиться классом всех функций f(х), интегрируемых с квадратом по мере dx. (Несложная проверка предоставляется читателю.) Здесь мы предполагаем, что f(х)——числовая функция, однако если 厶——гильбертово пространство, то условие (*** ) этого добавления сохраняется, с заменой черты на эрмитово сопряжение. В этом случае

а (&) = 〃(go) Р (统)，

где 0(go)——нормирующий множитель и представление 〃(go) группы Go унитарно. Обычно, имея дело с унитарными представлениями, говорят, что представление Tg индуцируется представлением 〃(g°) (а не a (go), как принято в нашем тексте). Однако если мера dx инвариантна (d(无g) = dx), то 0(go) = 1.

Конструкция индуцированных представлений часто используется для построения явных моделей неприводимых предстаоленнн той или иной группы G ). Большинство известных математикам неприводимых представлений классических групп Ли являются индуцированными и даже мономиалы!ымп.

Полупрямые произведения

Рассмотрим практически важный случай, когда группа G может быть представлена в виде G = ST (однозначное разложение), где S ——подгруппа и Т ——нормальный делитель. Такое произведение двух подгрупп называется полупрямым. (Пример: группа движений G с подгруппой вращений S и подгруппой трансляций Т.) В этом параграфе мы ограничимся частным случаем, когда подгруппа Т коммутативна. Покажем, что знание неприводимых унитарных представлений подгруппы S позволяет перечислить также все неприводимые унитарные представления группы Т.

Пусть Ug — неприводимое унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Согласно результатам §i сужение этого представления на подгруппу Т может быть записано в виде прямого интеграла одномерных представлений по множеству X, где X — группа всех унитарных характеров группы G, Иначе говоря, пространство Н мы можем реализовать в виде пространства яектор-функций f(%), % w X, причем

U 小(х) = х (/"(%), (♦)

где %(/)—значение характера % 三 X на элементе t 三 Т. Напомним, что функции /(х) интегрируемы в квадрате по некоторой мере du(x). Знание этой меры существенно для описания представления.

Рассмотрим теперь преобразование U^ s w S. Поскольку Т является нормальным делителем в G, то, в частности, s"/s w Т. Положим f(s) — sFs. Тогда имеем

U 山 $ = UsUj(s”

С другой стороны, рассмотрим в пространстве Н преобразование Ve/(x) = f(%s), где характер xs определяется по формуле х$(/(5)) = = %(/). Тогда, как легко проверить, имеет место тождество

Сопоставляя последние две формулы, мы видим, что преобразование U^J^ перестановочно со всеми операторами G, f е Т. Но всякое такое преобразование, как известно ([37]), является оператором умножения на некоторую функцию от х. В результате UsV~l =^ =а (х, s), откуда имеем

UJ (х) н а (х, s) 〃心). (**)

Полученные формулы (*), (**) вполне определяют представление группы G. Мы видим, что такое представление может быть записано тю формуле индуцированного представления в некотором классе функций f"), х е X. Однако мы не можем, вообще говоря, утверждать, что пространство X является однородным *).

До сих пор мы не пользовались условием неприводимости представления U8. Очевидно, свойство приводимости существенно зависит

от структуры преобразования %f %$ в пространстве X, а также от меры %о(х). Может случиться, что преобразование х -> х8 является эргодическим (§ 17). Этот случай особенно сложен для изучения, и мы его исключим. Иначе говоря, предположим, что пространство X расслаивается на одЕюродные. При этом можно показать, что в силу неприводимости Ug мера do (х) сосредоточена лишь на одной однородной компоненте X и X.

Условимся теперь рассматривать функции f(x) только при % w X. Тогда согласно (), () мы получаем формулу индуцированного представления в классе функций / (х) на однородном пространстве X. Согласно результатам предыдущего параграфа представление Ug индуцируется некоторым представлением a (go) подгруппы Go и G, причем можно считать, что

UJ (%) ^ a (gj 〃％g),

где точка go определяется из разложения gxg — gt)gy. Подгруппа Go есть стационарная подгруппа некоторой фиксированной точки %o w X. Отсюда следует, что 仇 содержит Т (ввиду, коммутативности Т), Следовательно, мы имеем

仇=SqT ,

где So — некоторая подгруппа гр}-гшы S. Очевидно также, что ct(go) = a(so/) н а(50)х0(/), поскольку а(/) = №(/). Допуская вольность речи, иногда говорят, что представление Ug индуцируется представлением a(s°) подгруппы S。*). Однако в действительности представление Ug характеризуется следующими данными： 1) неприводимое представление cc(s0) подгруппы S。； 2) характер %о(/) подгруппы Т такой, что %o(/(s)) =%о(/); 3) мера do(x) на орбите %o(/(s)), s е

Пример. Пусть G — группа движений 几-мерного евклидова пространства с подгруппой вращений S и подгруппой трансляций Т. Символически удобно записывать элементы g ^ G в виде матриц порядка 几 + 1 следующего вида:

где seS и t ——n-мерный вектор, отвечающий трансляции t е Т. При этом мы отождествляем элементы s ^ S, t rT с матрицами

где е — единичная матрица п X п. Внднсл兄兄 s^ts, находим, что это преобразование сводится к замене вектора / на $-1/. Далее, всякий характер x(t) запишем в виде x(t) ~ exp i(a, /), где скобка означает скалярное произведение л-мерных векторов а, /. Отсюда следует, что преобразование %->%$ сводится к замене вектора а на Действительно,

xs (/ (s)) = exp i (s~}a, б^") = exp i (а, /) = х (/).

Всякая орбита преобразования a->s-】a есть сфера в 九-мерном пространстве некоторого радиуса г. Рассмотрим такую сферу X; тогда на ней существует мера d%, инвариантная относительно поворотов х -> sx. Искомое пространство функций f (х) составим из функции f(x), % w X, квадратично интегрируемых относительно dx.

Остается определить подгруппу Go. Фиксируем произвольную точку %。三 X. Подгруппа поворотов S。，сохраняющих эту точку, очевидно, изоморфна 0(〃 一 1). В результате G° = S°T, где 7 — подгруппа трансляций. Согласно изложенной выше общей теории нетрудно получить, что всякое неприводимое унитарное представление группы G задается следующими данными: 1) неприводимым (конечномерным) представлением группы 0(%—1); 2) неотрицательным числом г》0 (радиус орбиты). Мера dx при этом определяется однозначно с точностью до множителя ).

Результаты, изложенные в этом параграфе, принадлежат Г. Макки [107‘] [107“]. Мы опустили все сложные вопросы, связанные с теорией меры, в том числе рассмотрение эргодических движений.

Нильпотентные группы Ли

Пусть теперь G——нильпотентная связная группа Ли. В этом параграфе мы докажем следующую теорему А. А. Кириллова: всякое неприводимое унитарное представление группы G мономиально.

Доказательство будем вести индукцией по размерности группы G, т. е. по размерности соответствующей алгебры Ли, которую обозначим А. Этот метод позволяет считать, не ограничивая общности, что представление алгебры А является точным. (Действительно, в противном случае мы имеем дело с представлением некоторой фактор-алгебры, имеющей меньшую размерность.) Далее, пусть 夕一 центр алгебры А. Ввиду неприводимости операторы центра являются скалярами ). Ввиду предположения о точности мы можем отсюда заключить, что dim Z = 1. (Действительно, всякая нильпотентная алгебра содержит нетривиальный центр (§ 85); следовательно, dim Z V= 0; в то же время поле скаляров имеет размерность 1.)

Следовательно, можем считать, что алгебра Л имеет одномерный центр.

Если dim 4 = 1, 2, то в этом случае алгебра Л коммутативна (упражнение 1 на стр. 389) и теорема верна (всякое неприводимое представление одномерно, а потому мономиально). Если dim Л = 3, то, исключая коммутативный случай, имеем лишь единственную алгебру Ли ——алгебру Ли группы Z(3) (упражнение 2 на стр. 389). В этом случае утверждение теоремы следует из результатов § 2 этого добавления. Итак, при dim Л = 1, 2, 3 теорема доказана. В дальнейшем мы предполагаем, что dim Л > 3. Остальное доказательство разобьем на несколько шагов.

Согласно структурной теории нильпотентных алгебр Ли (§ 85) мы можем расширить Z до двумерной подалгебры У такой, что [А, У] с= Z. Пусть у, z — базис в 匕 причем z 三 Z. Тогда имеем

[a，川=屮(0)2 ()

для всех 。三4 (ввиду одномерности Z). Здесь (p(tz) — линейный функционал над алгеброй А, отличный от тождественного нуля, поскольку элемент у нецентрален. Следовательно, существует элемент 尤三/4, для которого(р(х) = 1. Отсюда имеем

[% у] = N

Мы показали, что в алгебре Л существует трехмерная подалгебра С, изоморфная алгебре Ли группы Z(3), причем ее центр совпадает с центром всей алгебры Л.

Введем обозначение Ло для гиперплоскости в Л, выделяемой условием (р(«) = 0. Покажем, что Ло является идеалом в А. Действительно, Ло состоит из всех элементов 。三 4, для которых йау = 0, где положено Day = [о, у]. В частности,

Dla, Ь]У = [^а- Оь]У^0

согласно (•) и центральности элемента z. Следовательно, всякий коммутатор содержится в Ло. В частности, [Л, Ло] и Ло, т. е. Ло является идеалом. Очевидно, Л = Ло + {х}. Поскольку Ло——идеал, то отсюда в свою очередь получаем разложение для группы:

с = ат

(полупрямое произведение), где положено Go = ехр 4°, Т ~ {ехр tx}. Теперь можно было бы воспользоваться результатами предыдущего параграфа, однако мы предпочтем видоизмененное построение, которое покажет, что представление группы G индуцируется представлением подгруппы Go.

Итак, пусть Tg—неприводимое унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Согласно теореме Стоуна —фон Неймана мы можем реализооать пространство Н в виде пространства вектор-функций /〃)，— оо < / < оо( интегрируемых с квадратом по мере Лебега, так, чтобы образы 7\, Ту> 7\ элементов х, у, z задавались формулами .

При этом 入 士0, поскольку представление является точным. Далее, пусть go е G°. Согласно определению Go оператор 丁欧 перестановочен с Ту. Следовательно, этот оператор при каждом g0 сводится к умножению на некоторую функцию от переменной t:

7gJ(/f (/，go) f (О-

В то же время TexpBxf(f) =f(f + %)・ Отсюда следует, что прямая Хо = {——оо < / < оо} является однородным пространством для G. Согласно разложению G= GoT формулы для 丁耿 и Гехр 5х вполне определяют представление Tg. Мы видим, что это представление индуцировано представлением

Ugo = # (£q, Aq)

подгруппы Go (здесь /о — произвольно фиксированная точка в Х。).

Остается воспользоваться следующим «правилом транзитивности» из теории индуцированных представлений ([102]): пусть G? и и Gi и G — цепочка вложенных подгрупп; если представление т группы G индуцировано представлением 口 подгруппы Glt которое в свою очередь индуцировано представлением т? подгруппы G2, то представление т индуцировано также представлением Q. Это открывает возможность для индукции. Постепенно понижая размерность, приходим к случаю dim А = 3, рассмотренному выше. Теорема доказана.

В статье А. Кириллова [102] дается дальнейшее уточнение изложенной конструкции. Мономиальное представление задается, очевидно, некоторым линейным функционалом f над алгеброй 4 (алгеброй Ли группы G). Оказывается, что представления, индуцированные функционалами А и 辰 эквивалентны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

〃 =Р (g) %, g 已 G, где p(g)—представление группы G, сопряженное присоединенному представлению этой группы в алгебре 4. Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между орбитами p(g) 〃 неприводимыми унитарными, представлениями группы G. Различные операции тензорной алгебры (тензорное произведение, сужение с группы на подгруппу) также получают замечательную интерпретацию в терминах орбит. Заслуживает особого внимания то обстоятельство, что «язык орбнт》 не зависит от структурной теории (которая для нильпотентных групп фактически не развита). Можно надеяться, что этот язык в известной степени окажется универсальным также в классе произвольных групп Ли (при описании всех неприводимых унитарных представлений).

§ 6. Разложение унитарных представленийна неприводимые

До сих пор мы рассматривали лишь отдельные типы групп и, главным образом, их неприводимые представления. Остановимся теперь на некоторых общих результатах в предположении, что G — произвольная локально компактная группа со счетной базой окрест-

ностей единицы. (Этому условию удовлетворяет, в частности, всякая группа Ли.)

Пусть Ug — унитарное представление группы G в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Заметим, что в классе таких представлений для сильной непрерывности операторной функции Ug достаточна ее слабая непрерывность ([37[, стр. 443). Д1ы уже отмечали в основном тексте, что для унитарных представлений имеет место принцип полной приводимости. Последовательное применение этого принципа позволяет заключить о разложимости представления Ug на неприводимые. Однако число неприводимых компонент может быть несчетно, и потому для строгого описания полученной ситуации приходится использовать специальное понятие прямого интеграла.

Пусть А ——компактное пространство с мерой do(A). Предположим, что почти каждой точке X е А поставлено в соответствие гильбертово пространство 〃入 размерности п(Х) = 1, 2, ..., оо. Предположим, что функция л(Х) измерима по мере do(A). Так как функция п(Х) принимает лишь счетное число значений, то пространство А разбивается в счетную теоретико-множественную сумму непере- секающихся подпространств А^, на каждом из которых л(Х) — const. Следовательно, при 九生 все пространства "九 можно отождествить с некоторым фиксированным пространством /А. Вектор- функцию f (X) е= Hk, X ^ Aft, мы называем измеримой, если числовые функции (f(X), ф) измеримы при каждом ср w Н&. Вектор-функцию f(九)三"入，、三 А, назовем измеримой, если 。匚а измерима на всех подпространствах %. Определим пространство Н как множество всех измеримых функций f(X)三"人，для которых

卄俨=f Ilf (Mil2 da(X)<oo.

Соответствующим образом вводится скалярное произведение двух функций f(九)，gW 三"• Функции f(X), для которых ii f ii = 0, отождествляются с нулем. В результате пространство И становится гильбертовым пространством. Это пространство называется прямым интегралом пространств 77入 и обозначается символом

j H^do (X).Л

Заметим, что Н^ вообще говоря, не является подпространством в пространстве Н (исключение составляет тот случай, когда мера точки X конечна). Если почти в каждом пространстве Н^ задан оператор /储 то оператор Л/(X) = 4；J(九)называется прямым интегралом операторов Л入.

Вернемся к рассмотрению унитарного представления Ug группы G. Основной результат формулируется следующим образом: представление Ug есть прямой интеграл неприводимых унитарных представлений Ug (X) по некоторой мере do(九).

Существенно, что полученное разложение, вообще говоря, не является однозначным. Более того, существуют такие группы, для которых неоднозначным является также спектр, т. е, «список» неприводимых представлений, входящих в разложение ([37']). Положение упрощается, если вместо неприводимых представлений рассматривать представления, «кратные неприводимым», точнее, так называемые «фактор-представления».

Представление Ug есть прямой интеграл взаимно неэквивалентных фактор-представлений ([37]). Такое разложение определяется однозначно. Известны условия, при которых всякий ограниченный оператор в Н, перестановочный с Ug, есть прямой интеграл скалярных операторов ft (Л) /^, где /九——единичный оператор на /7 и 卩(入)一число (континуальный аналог леммы Шура ([37，стр. 413)).

В частности, всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами неприводимого унитарного представления, кратен единичному (однако этот результат, конечно, доказывается независимо и значительно проще).

Если Uё — регулярное (правое или левое) представление группы G, то указанное выше разложение приводит к так называемой «абстрактной формуле Планшереля» (И. Сигал [129]). Однако для каждого конкретного класса групп проблема состоит в описании явного вида меры, входящей в разложение (так называемой меры Планшереля).

К значительно большим сложностягл приводит рассмотрение неунитарных представлений. Ввиду отсутствия принципа полной приводимости здесь не существует даже корректной постановки задачи о разложении. Неприводимые представления сравнительно подробно изучены только в случае полупростой комплексной группы Ли.

УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯВ КЛАССЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Мы уже упоминали во введении, что методы теории линейных представлений групп Ли позволили в последнее время получить значительные успехи в некоторых разделах теоретической физики, главным образом в вопросах классификации элементарных частиц. Целью этого добавления является вкратце проследить основные этапы логического развития идей, приведших к упомянутым результатам.

Инвариантность и законы сохранения

Напомним вначале основные постулаты квантовой механики, которые в известной степени сохраняются также и в квантооой теории поля,

Волновая функция. Согласно основным положениям нерелятивистской квантовой механики эволюция всякой физической системы во времени определяется уравнением Шредингера =• =牙屯 где Г — оператор энергии (гамильтониан, массовый оператор). Здесь 屮 является элементом некоторого гильбертова пространства Н, называемого пространством состояний. Вся информация о физической системе содержится в векторе 屮，который называется вектором состояния или волновой функцией. Важнейшую роль в теории играют квадратичные формы вида (4屮,屮)，где Д ~ линейный оператор в ". Обычно рассматриваются только эрмитовы операторы, которые соотносятся той или иной физической величине (импульс, координата, момент импульса, энергия, заряд). Выражение (4屮,屮)означает при этом среднее значение физической величины 4 в состоянии 屮.

Обычно используется та или иная функциональная реализация пространства Н. Всякая такая реализация связана с выбором некоторой системы коммутирующих эрмитовых операторов Дь Д2> ... ,..,Ат, которые «диагонализуются» в общем базисе в смысле § 1 добавления II. Иначе говоря, пространство Н реализуется в виде пространства вектор-функций f (%) = f (打，也，…，工m), квадратично интегрируемых относительно ^которой меры de(x), причем опера-

торы 4 действуют по формуле 4/(%) = %"(%), i=l, 2, ..., m. В качестве таких операторов иногда выбирают операторы координат, которые характеризуют пространственное положение отдельных частиц системы. В этом случае, если Л^ — оператор умножения на характеристическую функцию некоторой области s m-мерного пространства векторов х, то форма (Л^Д /) определяет вероятность локализации системы в области со.

Особую роль играют состояния с фиксированной энергией X. Для таких состояний 「屮 = 入屮.Точно так же, если вектор 屮 является собственным относительно некоторого эрмитова оператора Л: 4屮 = 从屮，то состоянию 屮 соответствует определенное значение r физической величины А.

Законы сохранения. Предположим, что оператор А перестановочен с гамильтонианом. Тогда соотношение #屮 = 从屮 не нарушается при эволюции вектора 屮 во времени. Действительно, “ =е^г яро, где яро — значение яр при / = 0, в предположении, что Г не зависит от времени (впрочем, это предположение несущественно). Следовательно, физическая величина Л является в этом случае интегралом движения. Иначе говоря, значение этой величины сохраняется со временем.

Законы сохранения играют в квантовой механике, пожалуй, еще большую роль, чем в механике классической. Действительно, они порождают «правила запрета», согласно которым система не может переходить из состояния {Л =卩】} в состояние {Л = ц2} при gi ф ц2- Таков закон сохранения энергии (действительно, Г коммутирует с Г), закон сохранения полного момента импульса (в некоторых случаях спина), закон сохранения заряда, четности и т. д.

Поскольку законы сохранения связаны, как мы видим, с инвариантностью уравнения Шредингера относительно той или иной системы операторов, то естественно возникают алгебры и группы таких операторов (см. § 19), оставляющих это уравнение инвариантным ). Здесь физики невольно сталкиваются с тем фактом, что структурные законы данной алгебры или группы играют существенную роль в классификации решений волнового уравнения.

Аддитивные квантовые числа. Если имеются две физические системы с состояниями 屮 и яр, то смешанная система определяется тензорным произведением векторов q? и ip. Физическая величина называется аддитивной, если ее значение в смешанной системе равняется сумме значений в состояниях 屮 н 屮.Используя произвол в выборе физической величины (состоящий в том, что вместо Л можно рассматривать некоторые функции /⑷)，физики обычно стараются выявить аддитивные величины, как наиболее простые. Такими величинами являются, например, энергия и заряд. Однако полный момент импульса L, связанный с законами инвариантности относительно группы вращений SO(3), не является

аддитивным. Его сложение подчиняется закону спектра старших весов при тензорном умножении неприводимых представлений SO(3), т. е. сложение Li и L2 приводит к возможным значениям вида 厶十厶，Li 十厶一1, .. ■,丨厶1 —厶2 L См., например, [31] ).

Здесь мы сталкиваемся с приложением в теоретической физике понятия тензорного произведения двух представлений некоторой группы G (например, группы вращений). Если волновые функции ср н 屮 преобразуются соответственно по неприводимым представлениям аир этой группы, то тензорное произведение ①屮 преобразуется по правилу и ㊁ 8 = w 十 丫2 十…+ Ym, где правая часть означает прямую сумму неприводимых представлений. Это означает, что смешанная система может с той или иной вероятностью находиться в состояниях 屮i,屮2, •••,屮m, преобразующихся согласно Yi, 丫2, . - -, Ym. Соответствующие вероятности по определенному правилу вычисляются с помощью коэффициентов Клебша — Гордана. Таким образом, групповая структура здесь играет существенную роль.

Если физическая величина Л является аддитивной, то ее собственные значения называются обычно аддитивными квантовыми числами.

Нарушение симметрии. Существенно отметить, что всякая симметрия в квантовой механике, как правило, является приближенной либо выполняется только в идеальных условиях. Так, симметрия относительно группы SO (3) возможна лишь в центрально-симметричном силовом поле. Пространственная симметрия молекул идеального газа возможна только при отсутствии силового поля. Наложение продольного магнитного поля изменяет форму гамильтониана и нарушает эту симметрию (сохраняя лишь симметрию поворота относительно выделенной оси).

Остановимся на последнем примере несколько подробнее. В отсутствие поля состояния молекулы газа могут характеризоваться неприводимым представлением группы SO (3) со старшим весом L. Всего, как мы знаем, имеется 2工 + 1 таких состояний. Все эти состояния отвечают одному и тому же собственному значению оператора Г, который в данном случае совпадает с оператором Казимира группы SO(3). Поскольку оператор Г является оператором массы- энергии ), то это означает также, что все 2L 十 1 состояний имеют один и тот же энергетический уровень (одну и ту же массу). Физики говорят в этом случае о «вырождении» (т. е. о кратности) собственного значения. Наложение магнитного поля приводит к тому, что все 2L 十 1 состояний уже становятся существенно различными. В частности, они находятся на разных энергетических уровнях. (Физики говорят в подобных случаях о «снятии вырождения».)

Описанный эффект известен под названием эффекта Зеемана и допускает наглядную иллюстрацию (расщепление спектральных линий в магнитном поле).

Элементарные частицы. Изотопический спин

Теория элементарных частиц имеет дело с простейшими из известных в настоящее время состояниями материи, из которых составляются более сложные образования (атомное ядро, атом, молекула) .Некоторые из этих частиц существуют стабильно (протон, нейтрон), некоторые обладают ничтожной продолжительностью жизни. В природе происходят постоянные изменения в состояниях элементарных частиц, причем эти частицы при столкновениях друг с другом уничтожаются и рождают новые частицы.

Основные типы элементарных частиц. Известные в настоящее время элементарные частицы распределяются по следующим основным типам в зависимости от их массы покоя. 1) Фотоны (частицы света) с нулевой массой покоя. 2) Лептоны (легкие частицы), к которым относятся электрон, мюоны (^-мезоны) ,нейтрино и соответствующие античастицы. 3) Мезоны (средние частицы). При классификации мезонов существенную роль играет аддитивная физическая величина S, называемая странностью. Известно, что эта величина (при определенной нормировке) принимает лишь целые значения, причем для мезонов S = 0, ± 1. Значению S = 0 отвечают л-мезоны, т]-мезоны, р-мезоны, 尸-мезон и т. д. Значению S = 1 отвечает ^-мeзoн. 4) Барионы (тяжелые частицы). Для барионов S = 0,——1, —-2. К барионам относятся нуклоны (протон р и нейтрон и), А-гиперон, 2-гипероны, 3-гипероны и т. д. 5) Античастицы барионов.

Существует также множество неустойчивых частиц, называемых резонансами, которые трактуются обычно как возбужденные состояния стабильных частиц. Эти частицы пока недостаточно исследованы даже экспериментально.

Основные типы взаимодействий. Наряду с массой покоя существенную роль играет распределение частиц по тем типам взаимодействий (ядерных реакций) ； в которых они могут принимать участие. Физики различают электромагнитноеt слабое и сильное взаимодействия. При эл ектр ом а гн итных взаимодействиях непременно участвуют фотоны. Слабые взаимодействия характеризуются наличием хотя бы одного из следующих двух признаков: а) участие нейтрино; б) несохранение странности (нарушение S-симметрии) .Все остальные взаимодействия называются сильными. Эти взаимодействия характерны главным образом для процессов в атомном ядре. Указанные типы взаимодействий различаются также по степени интенсивности (что отражается в их названиях, причем электромагнитное взаимодействие является наименее интенсивным) .

Среди указанных типов взаимодействий наиболее хорошо исследовано электромагнитное. Этому разделу соответствует классическая часть квантовой теории поля (включая теорию расходимостей). Наименее исследовано слабое взаимодействие. (К этой области относятся известные работы Ферми, а также работы Ли и Янга по несохранению четности.) В теории ядерных сил (сильные взаимодействия) роль переносчика энергии вместо фотона играют обычно л-мезоны или другие частицы.

В дальнейшем изложении мы будем рассматривать только частицы, принимающие участие в сильных взаимодействиях. Такие частицы называются адронами.

Изотопический спин. В теории ядра существенную роль играет так называемая изотопическая инвариантность между основными составляющими этого ядра ——протонами и нейтронами. Обе частицы имеют одинаковый спин (по отношению к пространственной группе вращений) и почти одинаковую массу. Если отвлечься от электромагнитных взаимодействий, в которых играет роль электрический заряд ( + 1 для протона, 0 для нейтрона), то обе частицы по существу оказываются идентичными. Возникает симметрия по отношению к перестановкам р^-^п (протон ——нейтрон) ).

Вместо симметрии по отношению к перестановкам мы можем рассматривать также более общие унитарные преобразования в двумерном пространстве со степенями свободы «протон» — «нейтрон». Пусть р——волновая функция состояния «протон» и м ——волновая функция состояния «нейтрон». Рассмотрим волновую функцию

ср - Ф(р)р + Ф(^)м, (*)

где ф(р), ф(м)——числовые коэффициенты. В квантовой теорнн существенную роль играют соотношения нормировки (|| р || = 1, !| м II — 1) и соотношения ортогональности ((р, п)=0). Поэтому из векторов ср мы также условимся выделять два ортогональных нормированных вектора:

ф = ар + уп, 屮=Вр + 6%

В силу условий ортогональности и нормировки матрица этого преобразования оказывается унитарной. Отбрасывая несущественные преобразования вида р + е'^р,几一＞^'°几)， мы приходим к группе SU(2), т. е. к группе всех матриц

и = а :卜 % det u = 1.

Согласно общим принципам симметрии (§ 1) состояния (♦ ) обладают теми же энергетическими свойствами, что и пара протон — нейтрон. При этом мы получаем простейшее (двумерное) представление группы SU(2).

В действительности в теории ядра приходится иметь дело со многими нуклонами (т. е. протонами и нейтронами). Рассматривая соответствующие волновые функции как тензорные произведения нужного чнсла сомножителей р, л (снабженных индексами), мы получаем приводимые представления группы SU(2). Разлагая их

на неприводимые, получаем волновые функции неприводимых компонент, которые характеризуются, с точки зрения SU(2), своим старшим весом и весом базисного вектора по отношению к диагональной подгруппе в SU(2). Эти характеристики называются полным изотопическим спином и его проекцией. В частности, проекция является аддитивным квантовым числом.

Заметим, что антинуклоны (антипротон р и антинейтрон л) преобразуются по дуальному представлению изотопической группы SU(2). Однако мы знаем из теории представлений SU(2), что оба эти представления эквивалентны.

Излагаемая теория становится содержательной лишь после того, как понятие изотопического спина приписывается всем остальным адронам (мезонам и барионам). После этого можно сформулировать принцип полного изотопического спина ) при сильном взаимодействии. Это дает реальные правила запрета при ядерных реакциях. Кроме того, коэффициенты Клебша — Гордана изотопической группы SU(2) определяют вероятности тех или иных процессов в ядерных реакциях.

Наряду с изотопическим спином существует еще ряд дискретных характеристик элементарных частиц. К их числу относится странность S (уже упоминавшаяся выше) и барионный заряд В, который попросту означает число барионов в системе. Очевидно, В является аддитивной величиной. При сильных взаимодействиях обе величины В и S сохраняются. Их сумма У = 8 + S называется гиперзарядом.

Заметим, что наличие дискретных инвариантов движения позволяет объяснить стабильность адронов при сильных взаимодействиях. Например, из закона сохранения гиперзаряда следует невозможность превращения протона в позитрон с излучением фотона.

Открытие изотопического спина явилось исторически первым шагом по установлению более сложных законов симметрии в классе элементарных частиц. К рассмотрению этих обобщений мы переходим в следующем параграфе.

Унитарная симметрия в классе адронов

После многочисленных попыток обобщения понятия изотопического спина М. Гелл-Манном и независимо И. Нейманом в 1961 г. была предложена, по-видимому, наиболее удовлетворительная модель, основанная на рассмотрении унитарной группы SU(3). В этой модели аддитивными квантовыми числами являются проекция изотопического спина и гиперзаряд. Кроме того, рассматриваются полный изотопический спин (старший вес подгруппы SU(2)) и так

называемый унитарный спин, задаваемый двумя целыми числами (старший вес группы SU(3)).

Начнем с рассмотрения барионов. Среди барионов выделяются следующие подсистемы частиц: 1) Л-гиперон (инвариант изотопической группы); 2) нуклоны р и 八(изотопический спин 1/2); S-частицы 日- и Е° (изотопический спин 1/2); 3) S-частицы X, S0 и Е+ (изотопический спин 1). По терминологии, принятой у физиков, мы имеем синглет, 2 дублета и один триплет. Иначе говоря, мы имеем следующее представление группы SU (2):

a = d(0) + 2d(%) + d(l),(*)

где d(Z) означает неприводимое представление со старшим весом /. Все указанные частицы обладают той замечательной особенностью, что их массы имеют близкое значение (но не равны). Внутри каждого неприводимого представления массы можно считать приблизительно равными (в рамках сильного взаимодействия). Приближенно мы имеем следующее:

н (А) =1115, m(N) = 939, н (日)=1318, н (2) = 1193

(в некоторых единицах), причем символ N отвечает подсистеме ну

клонов.

Сделаем теперь следующее важное допущение. Предположим,

что существует некоторое идеализированное «ультрасильное взаимодействие» ([150]), при котором массы всех указанных восьми частиц являются равными. Тогда представление а принадлежит одному и тому же собственному значению некоторого гипотетического гамильтониана 舒о. Заметим теперь, что формула (*) совпадает с сужением на SU(2) неприводимого представления d02 группй SU(3), т. е. присоединенного представления этой группы. Нельзя ли отсюда сделать вывод, что указанный октет (восьмерка) частиц обладает свойством SU(3)-симметрии? '

в классе матриц 尤=в классе матриц 尤=представление~ II Xi j II i J = 1, 2, 3представление~ II Xi j II i J = 1, 2, 3естественно реализоватьестественно реализоватьЗаймемся формальным анализом представления djd?. Это

в классе матриц 尤=

в классе матриц 尤=

представление

~ II Xi j II i J = 1, 2, 3

представление

~ II Xi j II i J = 1, 2, 3

естественно реализовать

естественно реализовать

со следом, равным нулю. Формула (х, у) = Sp ху*

определяет скалярное произведение векторов (матриц)尤,у, инвариантное относительно SU ⑶ *). При сужении на SU⑵，с дей-

九 о о II

1) матрицы вида

0 九0— синглет;

0 0 —2% II

0 0 0 1!Il 0 0 ' а 1

2) матрицы вида

0 0 О н вида 0 0 р — два дублета;

а 方 0 IIII 0 0 0 II

*) Преобразование

〃wSU(3) действует на матрицы 尤 по фор-

1,

2,

получаем следующие инвариантные

ствием на индексы t, j подпространства:

муле 尤-> ихи^,

хУ0II

3) матрицы вида3) матрицы вида2— х0—триплет.

3) матрицы вида

3) матрицы вида

ОООII

Все эти подпространства взазимно ортогональны. Кроме того, если все указанные координаты (入，а, Ь、а, В，х, у, г), кроме одной, положить равными нулю, то мы получаем ортогональный базис во всем пространстве представления. Этот базис станет ортонормиро- ванным (как легко проверить), если положить л = ■ ■ - о,

И 6

1D

х т, а все остальные координаты оставить прежними. В результате получаем следующую параметризацию произвольной матрицы X ):

Рассмотрим теперь инфинитезимальные операции группы SU⑶. Расширяя эту группу до U(3), имеем 9 «генераторов» Е^, i, j = =1, 2, 3 (базисные инфинитезимальные операторы, введенные в гл. VI). Особую роль играют диагональные операторы Ец, i => —1, 2, 3, образующие базис в картановской подалгебре. Вместо этих операторов нам будет удобно рассматривать следующие их линейные комбинации:

С =可(Е“ + 邑2 + Езз), 'о к Е (邑2 - Е“) У = Езз — С.

Используя тензорный аппарат для SU(3) (см. § 45), читатель без труда найдет веса всех базисных функций в пространстве матриц х, т. е. собственные значения операторов С, То, У. В частности, оператор То определяет веса для подгруппы SU(2), преобразующей индексы 1, 2. Оператор С является скаляром (оператор Казимира для U(3)). Оператор У принимает значение 0 для синглета и триплета и значения ± 1 соответственно на первом и втором дублетах.

Теперь мы получили формальную схему, при помощи которой волновую функцию октета можно отождествить с вектором х. Оператор То отождествляется с проекцией изотопического спина. Оператор У отождествляется с гиперзарядом (что соответствует экспериментальным данным). Оператор Q = С — £ц отождествляется с электрическим зарядом частицы. Мы получаем интерпретацию важнейших аддитивных физических величин в рамках группы SG(3).

Теперь принимается гипотеза об SG (3) -инвариантности (в действительности даже G (3) -инвариантности, но это различие несущественно) .Эта гипотеза приводит, в частности, к законам сохранения операторов Казимира группы SU(3). В частности, квадратичный оператор Казимира отождествляется (при некоторой нормировке) с гамильтонианом Го. Существенно, однако, что величина Го является инвариантом только в рамках SU(3)-симметрии, т. е. при идеализированном «ультрасильном» взаимодействии.

Мы переходим к важнейшему вопросу о «снятии вырождения» по массе, т. е. к объяснению реальной разницы между массами барионов. Будем искать реальный гамильтониан в виде Г = Го +ДГ. Подбор ДГ осуществляется по формуле

з — з

дг = е2 хз^+б2 V/з- (**) 1=1 (=1

где черта означает комплексное сопряжение. Таким образом, предполагается, что сильное взаимодействие, по сравнению с ультра- сильным, особым образом действует на индекс / = 3. Полагая в матрице х все координаты равными нулю, кроме одной, мы получаем для каждой элементарной частицы соответствующее приращение массы Дли. Несложное вычисление приводит к следующим результатам );

9

Nm (Л) = — (е + 3),卜т (^) = е,卜т (S) = 6, Nm (£) = 0.

Мы получили так называемую «массовую формулу Гелл-Манна — Окуб。》. Используя приведенную выше таблицу для масс, читатель легко проверит, что эта формула выполняется в хорошем приближении, если положить е = 125, 6 = —254.

Мы изложили классификацию октета барионов (Л, ^, Е, £) с точки зрения группы SLJ(3). Наряду с этим октетом мы имеем также соответствующий октет античастиц. Оба октета эквивалентны с точки зрения группы SG(3) **).

Совершенно аналогично классифицируются мезоны. Здесь выделяются два октета. I. Октет псевдоскалярных мезонов. С точки зрения изотопической группы SU ⑵ этот октет разбивается на сле-

дующие подсистемы: 1) трмезон (синглет), 2) ^-мeзoны и их античастицы (2 дублета), 3) л-мезоны (триплет). И. Октет векторных мезонов. С точки зрения SU(2) этот октет разбивается на следующие подсистемы: 1) (р-мезон (синглет), 2) К-мезонн и их античастицы (2 дублета), 3) р-мезоны (триплет) *).

Для мезонов по-прежнему выполняется формула Гелл-Манна — Окубо, с той разницей, что выражение вида (*♦) дает теперь поправку для квадрата массы, т. е. Л(Г2). Заметим, что мезонные октеты симметричны относительно перехода к античастицам. Отсюда следует, что е — б. Формула Гелл-Манна — Окубо дает хорошее согласие с экспериментом.

Открытие О-частицы

Помимо описанных выше октетов физикам были известны следующие подсистемы барионов, классифицируемые с помощью изотопической группы SU{2): 1) Е*-гипероны (дублет), 2) 5*-гипероны (триплет), 3) Д-гипероны (квадруплет). Все они образуют приводимое представление SU ⑵：

y = d(i/2)+ «l) + d(3/2)・

Попытка вложить это представление в рамки группы SU ⑶ привела к рассмотрению неприводимого представления этой группы 6 = d； (симметризованный куб вектора d【). Однако сужение б на SU ⑵ не совпадает с 6':

6==d(0) + d(%) + d(l) + d(3/2).

Естественно было предположить, что синглет d(0) является неоткрытой частицей. Изложенная выше схема соответствия между физическими величинами н генераторами группы SU(3) позволила высказать предположения об изотопическом спине, заряде и гиперзаряде этой неизвестной частицы Q. Кроме того, была предпринята попытка предсказания массы Q. На этом расчете мы остановимся несколько подробнее.

Декуплет 6 имеет чрезвычайно простую структуру как симметризованный тензор третьего ранга для SU(3). Пусть ?[, ?2, ?з —— ортонормальный базис в трехмерном унитарном пространстве. Тогда символы (ijk) = eie^k,厶 j,々匸 1, 2, 3, где сомножители е3 считаются перестановочными, образуют базис в пространстве представления 6. Расположим эти символы в виде следующей схемы, называемой «египетской пирамидой»：

(333)

(332)(331)

(322)(321)(311)

(222)(221)(211)(111)

Строки этой схемы отвечают неприводимым представлениям подгруппы SU (2). Вершина египетской пирамиды соответствует синглету, который обозначается символом Q. Поправка для массы

ищется по формуле ДГ = 3^ 』 | х..^ |2, где 尤门左——координаты t / = 1

симметрического тензора в базисе (tjk). Отсюда вытекают следую-. щие формулы:

Ан (А) = 6 A"z(2) = d, Am(E*)=2d, Am(Q) = 3d, т. е. «закон эквидистантности» для строк египетской пирамиды. Иначе говоря, поправка к массе пропорциональна числу индексов, равных 3, в символе (ijk).

Для известных ранее частиц закон эквидистантности выполняется с хорошим приближением. Экспериментальное открытие Q-гиперона в 1964 г. ([162]) также подтвердило все теоретические предположения. Таким образом, систематика элементарных частиц с точки зрения SU(3) сыграла здесь ту же роль, что и таблица Менделеева при открытии новых элементов.

Гипотеза SU (3) -симметрии позволила также объяснить ряд других закономерностей для адронов (соотношения между магнитными моментами барионов, интенсивность взаимодействия мезонов с барионами, вероятности ядерных реакций). За подробностями мы отсылаем читателя к специальной литературе. См., например, [150], [156], [157], [160].

Некоторые проблемы

SU (3) -симметрия не позволяет учитывать такие важные характеристики частицы, как барионное число (определяется только У = В + S), пространственный спин (группа SO(3, ₽)) и релятивистская инвариантность (неоднородная группа Лоренца). Все эти соображения привели к поискам более широких групп симметрии *). Рассматривались, в частности, компактная группа SU(6) и некомпактная группа SL(2, С) X SL(2, С). О трудностях, возникающих на этом пути, см., например, [156]. Однако и в рамках SU⑶ имеются некоторые неясности.

Тензорная алгебра группы SU(3) имеет две образующих —山 и ~2 (вектор и бивектор). Имеют ли эти представления реальный физический смысл? Если это так, то возникает гипотеза «прамате- рии», из элементов которой (по законам тензорных произведений) составляются известные элементарные частицы. Физики называют di и “2 соответственно «кварком» и «антикварком». Согласно общим формулам § 3 (этого добавления) эти частицы должны иметь дробные заряды и гиперзаряды (со знаменателем 3) по отношению к нуклонам. Экспериментально такие частицы до сих пор не о&на-

ружены. С математической точки зрения принятие SU(3) неизбежно влечет принятие di, (/2, однако возможно, что физический смысл нмеет только группа SU(3)/Z, где Z — центр SU(3). Тогда представления 山，&г автоматически исключаются ).

Теория унитарной симметрии возникла на базе незначительных экспериментальных данных, которые не позволяют пока судить о законах динамики элементарных частиц. Однако даже эти «неясные знаки» удалось подвергнуть расшифровке, основываясь на методах теории групп и их представлений. Это дает убедительный повод считать, что законы теории групп имеют глубокую связь с законами строения материи.

ЛИТЕРАТУРА )

А. Монографии

Ахиез ер А. И., Берестецкий В. Б.

Квантовая электродинамика, Гостехиздат, 1953.

Бернер (В о е г п е г Н.)

Group Representations, Berlin, 1955.

Бернсайд (Burnside W.)

The Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 1911. Бурбаки (Bourbaki N.)

Общая топология (основные структуры), Физматгиз, 1958.

Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959.

Elements de mathematique, XXVI: Groupes et algebres de Lie, Paris, 1960.

Ван- дер-Варден (Wae г den В. L., va n der)

Современная алгебра, тт. I, II, Гостехиздат, 1947.

Методы теории групп в квантовой механике, Харьков, 1939.

В е й л ь A. (Weil А.)

Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, 1950.

В е й л ь Г. (W е у 1 Н.)

Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ, 1947.

Gruppentheorie und Quantenmechanik, 1931.

Raum, Zeit, Materie, 5-е изд., Berlin, 1923.

Вигнер (W i g n e г E.)

Теория групп и ее приложения к квантовомеханическон теории атомных спектров, ИЛ, 1961.

Виленкин Н. Я.

Специальные функции и теория представлений групп, «Науках», 1965.

ВинбергЭ. Б.

Компактные группы Ли (учебное пособие), Изд-во МГУ, 1967.

Винер и Пэли (Wi епег N., Ра 1 еу R.)

[151 Преобразование Фурье в комплексной области, «Наука», 1964.

Гельфанд И. М,, Граев М. И., Виленкин Н. Я.

Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. «Обобщенные функции», вып. 5, Физматгиз, 1962.

Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я.

Некоторые применения гармонического анализа: оснащенные гильбертовы пространства, «Обобщенные функции», вып. 4, Физматгиз, 1961.

Гельфанд И. М” М и нл о с Р, А., Ш а п и р о 3. Я.

Представления группы вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.

Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е.

[18х] Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1960.

Джекобсон (Jacobson N.)

Алгебры Ли, «Мир», 1964.

Дьедонне (Dieudonne J.)

Основы современного анализа, «Мир», 1964.

ЖелобенкоД. П.

Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.

Зарисский, Самюэль (Z а г iski О., Samuel Р.)

Коммутативная алгебра, ИЛ, 1963.

И о с и д a (Y о s i d а К.)

Функциональный анализ, «Мир», 1967.

К а р т а н (С а г t a n Е.)

Oeuvres completes,' partie I, v. 1, 2, Gauthier-Villars, 1952.

Геометрия групп Ли и симметрические пространства, ИЛ, 1949.

[25 Теория спиноров, ИЛ, 1947,

Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1936.

Келли (Kelley J.).

Общая топология, «Наука», 1968.

Кириллов А. А.

[27z] Элементы теории представлений групп: I, II (учебное пособие), Изд-во МГУ, 1966.

Клейн (Klein F.)

Развитие математики в XIX веке, т, I, Физматгиз, 1958. Колмогоров А. Н., Фомин С, В.

Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», 1968.

К у р о ш А. Г.

Теория групп, «Наука», 1967.

Кэртис и Райнер (Curtis Ch. and Reiner I.)

Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, «Наука», 1968.

Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М.

[ЗГ] Квантовая механика, Физматгиз, 1963.

ЛииЭнгель (Li е S., Е n g е 1 F.)

Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, Bd. 1, 2, 3, 1893.

Л и т л в у д (Littlewood D.)

The Theory of Group Characters, Oxford, 1950. Любарский T. Я.

Теория групп и ее применение к физике, Гостехиздат, 1957.

Л ю м и с (Loomis L.)

Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, 1956. Монтгомери, Циппин (Montgomery D., Zip pin L)

[36] Topological Transformations Groups, Interscience, New York, 1955.

НаймаркМ. A.

Линейные представления группы Лоренца, Физматгиз, 1958.

[37х] Нормированные кольца, «Наука》，1969.

Понтрягин Л. С.

Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954.

Рака (R а с a h G.)

Group Theory and Spectroscopy, Reprint of the lectures delivered at the Inst, for Advanced Study, Princeton, 1951.

Рашевский П. K.'

Введение в риманову геометрию и тензорный анализ,《На- ука》，1968.

Рисе и Секефальви Надь (Ri е sz F., Nagy В. von Sz.)

[39/z] Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.

C e p p (Serre J.-P.)

Алгебры Ли и группы Ли,《Мир》，1969.

Фробениус (Frobenius G.)

[40х] Теория характеров и представлений групп, Харьков, 1937.

Хамермеш (Hamermesh М.)

Теория групп и ее применение к физическим проблемам, 《Мир》，1966.

Хелгасон (Не 1 ga s о n S.)

Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, «Мир», 1964.

Хейне (Heine W.)

Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.

Хуа Ло-ген (Hua L о - g еп)

Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях, ИЛ, 1959.

Чеботарев Н. Г.

Теория групп Ли, Гостехиздат, 1940.

Ш е в а л л е (С h е v а 11 е у С.)

Теория групп Ли, т. 1, ИЛ, 1948; тт. 2, 3, ИЛ, 1958.

Эйзенхарт (Е is е n с h а г t L. F.)

Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1948.

Б. Журнальные статьи по теории группи их представлений

Адо И. Д.

О представлении конечных непрерывных групп с помощью линейных подстановок, Из в. физ.-матем. о-ва, Казань 7 (1934/1935), 3—43.

Березин Ф. А.

* Операторы Лапласа на полупростых группах Ли, Тр. Моск, матем. о-ва 6 (1957), 371—463.

Письмо в редакцию. Труды Моск, матем. о-ва 12 (1963), 453—466.

Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли, Функциональный анализ и его приложения 1, № 2 (1967), 1—14.

Березин Ф. А., Гельфанд И, М,

Несколько замечаний к теории . сферических функций на симметрических римановых многообразиях, Тр. Моск, матем, о-ва 5 (1956), 311—356,

Березин Ф. А,, Гельфанд И. М., Граев М. И., Н а й- м а р к М. А,

Представления групп, УМН 11 (1956), 13—40.

Б и р к г о ф (В 1 г k h о f f G,)

Analytical groups, Trans. Amer. Math. Soc. 43 (1938), 61—101.

Representability of Lie algebras and Lie groups by niatrices, Ann. Math. 38 (1937), 526—533.

Lie groups simply isomorphic with no linear group, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 833—888.

Б 'ope ль, Ш e в а л л e (Borel A., Chevalley C.)

The Betti numbers of the exceptional groups, Mem. Amer. Math. Soc. 14 (1955), 1—9.

Б p ю а (В г u h a t F.)

* Работы Хариш-Чандры по теории представлений групп Ли, Математика (сб. переводов) 6 : 5 (1962), 43—50.

* Sur les representations induites ' des groupes de Lie, Bull. Soc. Math. France 84 (1956), 97—205.

Ван-дер-Варден (Wae г den В. L,, van der)

Die Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen, Math. Z. 37 (1922), 446—462, (Русский перевод: УМН 4 (1937), 201—274.)

Вейль Г. (W е у 1 Н.)

Theorie der Darstellungen kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch linear Transformationen, I, Math. Z. 23 (1924), 271—304; II, там же 24 (1925), 328—395 (непо/ннй русский перевод: УМН 4 (1937), 201—246).

Г а н т м а х е р Ф. Р,

Canonical representation of automorphisms of a complex semisimple Lie group, Матем. сб. 5, № 1 (1939), 101—144.

On the classification of real simple Lie groups, Матем, сб. 5, № 2 (1939), 217—250.

Гельфанд И. M,

Центр инфинитезимального группового кольца, Матем. сб. 26 (1950), 103—112.

*О структуре кольца быстро убывающих функций на группе Ли, ДАН СССР 124, № 1 (1959), 19—21.

Гельфанд И, М., Гр а е в М. И.

Конечномерные неприводимые представления унитарной и полной линейной группы и связанные с ними специальные функции, ИАН СССР, сер. матем. 29, № 6 (1965), 1329—1356,

[661* Аналог формулы Планшереля для классических групп, УМН 17, № 1 (1963), 27—76.

[67]* Преобразование Фурье быстро убывающих функций на комплексных полупростых группах Ли, ДАН СССР 131, № 3 (I960), 496—499.

Гельфанд И. М., НаймаркМ. А,

[68]* Унитарные представления классических групп, Тр, Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, XXXVI, Изд-во АН

СССР, 1950.

Гельфанд И. М., Пономарев В. А.

[69]* Представления группы Лоренца, УМН 23, №2 (1968), 3—60. Гельфанд И. М., Р айк о в Д. А.

[70]* Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп, Матем. сб. 13 (1943), 301—346.

Гельфанд И. М., Ш а п и р о 3. Я.

Представления группы вращений в трехмерном пространстве и их применения, УМН 7, № 1 (1952), 3—117, Гельфанд И. М., Цейтлин М. Л.

Конечномерные представления группы унимодулярных матриц, ДАН СССР 71, № 5 (1950), 825—828.

Конечномерные представления группы ортогональных матриц, ДАН СССР 71, № 6 (1950), 1017—1020.

Г одем ан (Godement R.)

* A theory of spherical functions, I, Trans. Amer. Math. Soc.

3 (1952), 496—556 (неполный русский перевод в сб. «Математика», 5 : 5 (1961), 55—87),

Г о р д и н г (G а г d i п g L.)

]* Vecteurs analitiques dans les representations des groupes de Lie, Bull. Soc. Math. France 88 (I960), 73—93. (Русский перевод: «Математика» (сб. переводов) 9 : 5 (1965), 78—94.) Д и к с м ь е (D i х m i е г J.)

]* Некоторые результаты Хариш-Чандры, «Математикам (сб. переводов) 6 : 5 (1962),23—32.

Д ы н к и н Е. Б.

Структура полупростых алгебр Ли, УМН 2, № 4 (1947), 59—127.

О представлении ряда log (ехеУ) для некоммутирующих х, у через коммутаторы, Матем. сб. 25 (1949), 155—162.

Нормированные алгебры Ли и аналитические группы, УМН 5, № 1 (1950), 135—186.

Максимальные подгруппы классических групп, Тр. Моск, матем, о-ва 1 (1952), 349—466.

10 (1955), 3—74.полупростых груп-27, № 6 (1963),10 (1955), 3—74.полупростых груп-27, № 6 (1963),целом, УМН функций на сер. матем.целом, УМН функций на сер. матем.Д ы н к и н Е. 6., О н и щ и к А. Л.

10 (1955), 3—74.

полупростых груп-

27, № 6 (1963),

10 (1955), 3—74.

полупростых груп-

27, № 6 (1963),

целом, УМН функций на сер. матем.

целом, УМН функций на сер. матем.

Компактные группы Ли в Желобенко Д. П.

* О гармоническом анализе пах Ли, I, ИАН СССР,

1343—1396.

Описание всех неприводимых (конечномерных) представлений произвольной связной группы Ли, ДАН СССР 139. № 6 (1961), 1291—1294.

Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений, УМН 17, № I (1962), 27—120.

К теории линейных представлений комплексных и вещественных групп Ли, Тр. Моск, матем. о-ва 12 (1963), 53—98.

* Описание некоторого класса линейных представлений группы Лоренца, ДАН СССР 121, № 4 (1958), 586—589.

* Линейные представления группы Лоренца, ДАН СССР 126, № 5 (1959), 935—938.

]* Симметрия в классе элементарных представлений полупростой комплексной группы Ли, Функциональный анализ и его приложения 1, № 2 (1967), 15—38.

* Анализ неприводимости в классе элементарных представлений полупростой комплексной группы Ли, ИАН СССР, сер. матем. 32, № 1 (1968), 108—133.

* Операционное исчисление и теоремы типа Пэли — Винера для полупростой комплексной группы Ли, ДАН СССР 170, № 6 (1967), 1243—1246.

* Аналог теории Картана——Вейля для бесконечномерных представлений полупростой комплексной группы Ли, ДАН СССР 171, № 5 (1967), 24—27.

Желобенко Д. П., Н ай ма рк М. А.

* Описание вполне неприводимых представлений полупростой комплексной группы Л% ДАН СССР 171, № 1 (1967), 25—28.

И в а с а в a (Iwasawa К.)

On some types of topological groups, Ann. Math. 50 (1949), 507—558.

Казнмнр, Ван-дер-Варден (Casimir H., Waer- d e n B. L., v a n d e r)

Algebraischer Beweis der vollstiindigen Reduzibilitat der Darstellungen halbeinfacher Lieschen Gruppen, Math. Ann. 11 (1935), 1—12.

К a p т а н (С а г t a n E.)

Sur la structure des groupes de transformations finis et con- tinus. These, Paris, Nony, 1894; 2-е изд., Vuibert, 1933.

Les groupes projectives qui ne laissent invariante aucune multiple plane, Bull. Soc. Math. France 41 (1931), 53—96.

Les groupes reels simples et continus, Ann. Sci. Ecole Norm. Sur. 31 (1914), 263—355..

Les tenseurs irreductibles et les groupes simples et semi- simples, Bull. Sci. Math. 49 (1925), 130—152.

Картье (С а г t i e г P.)

* Представления групп Ли (по Хариш-Чандре), «Математика» (сб. переводов) 6: 5 (1962), 33—41.

О формуле характера Г. Вейля, «Математика» (сб. переводов) 6:5 (1962), 139—141.

Картье, Д и к с м ь е (Cartier Р., D i х m i е г J.)

* Vecteurs analytiques dans les representations des groupes de Lie, Amer. J. Math. 80 (1958), 131—145.

Киллинг (Killing W.).

Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformation gruppen, I, Math. Ann. 32 (1888), 252—290; H, там же 33

(1889), 1—48; 111, там же 34 (1889), 57—122; IV, там же 36 (1890), 161 — 189.

Кириллов А. А.

* Унитарные представления нильпотентных групп Ли, УМН 17, № 4 (1962).

К л е й н (С 1 е i п F.)

Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлаыгенская программа»), Казань, 1896.

К л и м ы к А. У.

О кратностях весов неприводимых представлений полупростой комплексной группы Ли, ДАН СССР 177, № 5 (1967), 1001 — 1004.

Крейн М. Г.

Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры, ДАН СССР 69, № 6 (1949), 725—729. Л е в н (Levi Е.)

Sulla struttura dei gruppi finiti e continui, Atti Accad. Torino 40 (1905), 3—17.

Макки (Mackey G. W.)

* Бесконечномерные представления групп, «Математика» (сб. переводов) 6:6 (1962), 57—103.

* Induced represetations of locally compact groups, Ann. Math. 55, No. 1. (1952), 101 — 139.

] Imprimitivity for representations of locally compact groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 35, No. 4 (1949), 537—545.

Мальцев А. И.

Об односвязности нормальных делителей группы Ли, ДАН СССР 34, № 1 (1942), 12—151.

Подгруппы групп Ли в целом, ДАН СССР 36, № 1 (1942).

О разложении алгебры Ли в прямую сумму радикала и полупростой подалгебры, ДАН СССР 36, № 2 (1942), 46—50.

О линейных связных локально замкнутых группах, ДАН СССР 40, № 3 (1943), 108—110.

О полупростых подгруппах групп Ли, ИАН СССР, сер. ма- тем. 8 (1944), 143—174.

On the theory of the Lie groups in the large, Матем. сб. 16 (1945), 163—190.

О разрешимых алгебрах Ли, ИАН СССР, сер. матем. 9 (1945),329—356.

Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли, ИАН СССР, сер. матем. 9 (1946), 291—300.

Митягин Б. С.

[115'] Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах, УМН 16, № 4 (1961), 63—132.

Морозов В. В.

О нильпотентном элементе в полупростой алгебре Ли, ДАН СССР 36, № 3 (1942), 91-94.

Н а й м а р к М. А.

* Бесконечномерные представления групп и смежные вопросы, серия «Итоги науки》： Математический анализ, Теория ве роятностей, Регулирование, ВИНИТИ, 1964.

Нейман (Neumann J,)

[118] Zum Haarischen Mass in topologishen Gruppen, Comp. Math. 1. Nr. 1 (1934), 106—114. (Русский перевод: УМН 2 (1936), 168—176.)

Нейман, фон (N е um a n n J. v о п).

[118[ Die Eidentigkeit der Schrodingerschen Operatoren, Math. Ann 104, №. 3 (1931), 570.

Нельсон (Nelson E.).

[119]* Analytic vectors, Ann. Math. 70 (1959), 572—615. (Русский перевод: «Математика» (сб. переводов) 6 ： 3 (1962), 89—132.)

Н о м и д з у (N о m i d z и К.)

Invariant affine connections on homogeneous spaces, Amer. J. Math. 76 (1954), 33—65.

Партасарати, Ранга Pao, Варадараджан (Partasa- rath у К. P., Ra nga Rao V. S., Varadarajan)

* Representations of complex semisimple Lie groups and Lie algebras, Ann. Math. 85, No. 3 (1967), 383—429.

Переломов A. M., Попов В. С.

Операторы Казимира для групп U(〃) и SU(〃)， Ядерная физика 3, № 5 (1966), 924—931,

Операторы Казимира для ортогональной и симплектической групп, Ядерная физика 3, № 6 (1966), 1127—1134.

Петер, Вейль Г. (Peter F., W е у 1 Н.)

Die Vollstandfgkeit der primitiven Darstellungen einer ge- schlossenen kontinuierlichen Gruppe, Math. Ann. 97 (1927), 737—755. (Русский перевод: УМН 2 (1936), 144—160.)

Р а ш е в с к и й П. К.

О некоторых основных теоремах теории групп Ли, УМН 8, № 1 (1953).

Теория спиноров, УМН 10, № 2 (1954).

Ассоциативная сверхоболочка алгебры Ли, ее регулярное представление н идеалы, Тр. Моск, матем. о-ва 15 (1966), 3—54.

Семинар «С о ф у с Л и»

Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. ИЛ, 1962.

Сигал (Segal I.)

* On extension of Plancherel formula to separable unimodular groups, Ann. Math. 52, No. 2 (1950), 272—292.

Сирота А, И., Солодовников А. С.

Некомпактные полупростые группы Ли, УМН 18 (1963), 87—144.

Стоун (S t о 11 е М. Н.)

] Linear transformations in Hilbert space, Ш, Operational methods and group theory, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 16, No. 1 (1930).

] On one-parameter unitary group in Hilbert space, Ann, Math, 33t No. 4 (1932), 643—648.

T а н н а к a (T a n n a k a T.)

Uber Dualitatsatz der nichtkommutativen topologischen Grup- pen, Tohoku Math. 53 (1938), 1—12.

Т а ц у у м а (Т a t s u u m a Nobuhiko)

[13Г] A duality theorem for locally compact groups, Math. Kyoto Univ. 6, No. 2 (1967), 187—293.

T и т с (T i t s J.)

[131"] Классификация полупростых алгебраических групп, «Математика» (сб. переводов) 12 : 2 (1968), 110—143.

Фрейденталь (Freudenthal Н.)

Zur Berechnung der Charakter der halbeinfachen Lieschen Gruppen, I, II, 111, Indag Math. 16 (1954), 369—376, 487—492; 18 (1956), 511—514.

Октавные особые группы и октавная геометрия, «Математика» (сб. переводов) 1 ： 1 (1957), 117—133.

X а а р (Н а а г А.)

Der Massbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen, Ann. Math. 34 (1933), 147—169.

Хант (H u n t G. A.)

A theorem of Elie Cartan, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 307—308.

Хариш-Чандра (Harish-Chandra)

On the radical on Lie algebra, Proc. Amer. Math. Soc. 1 (1950), 14—17.

Lie algebras and the Tannaka duality theorems, Ann. Math. 51 (1950), 299—330.

On some applications of the universal enveloping algebra of a semi-simple Lie algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1951), 28—96.

9]* Plancherel formula for the 2X2 real unimodular group, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 38 (1952), 337—34.2.

0]* The Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups, Trans. Amer. Math. Soc. 76 (1954), 485—528.

Хелгасон (He 1 ga s о n S.)

Some results on invariant theory, Bull. Amer. Math. Soc. 68 (1962).

XyflH-io(HouPei-yu)

Orthonormal bases and infinitesimal operators of the irreducible representations of group Un, Scientia sinica 15, No. 6 (1966), 763.

Ш e в а л л e (C he v a 1 Ie у C.)

The Betti numbers of the exceptional Lie groups, Proc. Intern. Congr. of Math., Harvard, II (1950), 21—24.

Invariants of finite groups, generated by reflections, Amer. J. Math. 77 (1955), 778—782.

Sur certains groupes simples, Tohoku Math. J. 7, No. I (1955), 14—66.

Ille в а л л e, Эйленберг (Cheva Hey C., Eilenberg S).

Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85—12 4.

Шрайер (S c h г e i e г О.).

Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925), 15—32.

Штейнберг (Steinberg R.)

[147】A general Clebsh-Gordan theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961), 406—407. (Русский перевод: «Математика» (сб. переводов) 6 : 5 (1962), 142—143.)

Юнг (J о u п g А.)

On the quantitative substitutional analysis, Proc. Lond. Math. Soc. 33 (1900), стр. 97; 34 (1902), стр. 361.

В. Журнальные статьи по приложениямтеории групп в теоретической физике

Б ар г м ан, Мошинский (Bargmann V., Moshinsky М.) [149] Group theory of harmonic oscillators, I, II, Nuclear Physics 18 (I960), 697; 23 (1961), 177.

Берестецкий В. Б.

Динамические симметрии сильно взаимодействующих частиц, УФН 85, № 3 (1965), 393—444.

Вигнер (W i g п е г Е.)

Симметрия и законы сохранения, УФН 83, № 4 (1964), 729—736. '

Виленкин Н. Я., С мор одинс к ий Я. А.

Инвариантные разложения релятивистских амплитуд, ЖЭТФ 46, № 5 (1964), 1793.

Дайсон (Dyson F.)

Математика и физика, УФН 85, № 2 (1965), 351—364.

Малкин И. А., М а н ь к о В. И.

Симметрия атома водорода, Ядерная физика 3, вып. 2 (1966), 372—382.

Мошинский (Moshinsky М.)

Bases for irreducible representations of the unitary group and some applications, J. Math. Phys. 4, No. 9 (1962), 1128.

Сборники статей

Теория групп и элементарные частицы (сб. статей под ред. Д. Иваненко), «Мир», 1967.

Физика высоких энергий и теория элементарных частиц, сб. статей, изд-во《Наукова думка», Киев, 1967.

Элементарные частицы и компенсирующие поля, Сб. переводов под ред. Д. Иваненко. «Мир», 1964.

Д е С в а р т (S w а г t J. d с)

Октетная модель элементарных частиц, УФН 84, № 4 (1964), 651—692.

Смородинский Я. А.

Унитарная симметрия элементарных частиц, УФН 84, № 1 (1964),3—36..

Фок В. А.

Zur Theorie des Wasscrstoffatoms, Zeitschr. fur Phys. 98, Nr. 1 (1935), 145.

Фаулер, Сеймиос (Fowler W., S a m i о s N.)

Открытие омега-минус-частицы, УФН 85, № 3 (1965), 523

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм группы 17

——внутренний 17

— зеркальный в SO(/i) 515

—инволютивный 433

Алгебра (ассоциативная) 46

— групповая 105

—Клиффорда 65, 521

——коммутаторная 91, 96

-Ли 32

бикомплексная 186

——классическая 435

——коммутативная 34

компактная 406

комплексная 66

— — линейная 48, 386

нильпотентная 380, 388

——особая простая 435

полупростая 378, 397

——простая 378

一- 一разрешимая 380, 381, 385, 395

редуктинная 377, 401

Базис Гельфанда—Цейтлина 302

—Картана—Вейля 415, 426

Блок-алгебра 481

Вектор аналитический 175

—вакуума 246

—дифференцируемый 145

—доминантный 353

—инвариантный 79

——старший (младший) 151, 196, 487, 542

—строго доминантный 558

——целочис^ченгтый 557

Вектор ное поле и а группе Ли 40

ковариантное 40

Вес алгебры Ли 390

—индуктивный 213, 490

—инфинитезимальный 295, 492

—старший (младший) 151, 195, 205, 487, 542

Геодезические в группе Ли 44

——компактной группе Ли 457, 459

Гомеоморфизм 63

Гомоморфизм 34

Группа 15

■ абелева 16, 398, 399

— алгебраическая 442

—аналитическая 27

—вращений SO (3, /?) 16, 61, 164

—Вейля 194, 470

— дискретная 20

—коммутативная 16

—компактная 112

—комплексно ортогональная

О(л, С) 55

—конечная 16

—Ли 27

——бикомплексная 186

— — компактная 112

комплексная 66

——локальная 174

— — надкомпактная 398

— — нильпотентная 182

——полупростая 398, 401

——простая 398, 401

— —— разрешимая 398

редуктивная 398, 401

——связная 27

——линейная 21

——классическая 57

—локально евклидова 25

Группа локально связная 26

一 матричная 21

— нильпотентная 399

—односвязная 38

— ортогональная О(п) 23, 55, 112

—ортогонально-унитарная, OU(n) 56

— параметрическая 25

—полная линейная GL(n) 21, 22, 46, 64

——псевдоортогональная O(p,g) 55, 112

—псевдоунитарная U(p, g) 56, 112

—Пуанкаре (фундаментальная) 39, 464

—разрешимая 399

——симметрии оператора -92

— симметрическая S(n) 136

——симплектическая Sp (n)55,

506

—симплектически унитарная SpU(n) 57

—собственно ортогональная

SO(n) 56, 514

унитарная SU(几)56, 62, 63

—спинорная Spin(n) 66, 521

——унимодулярная SL(n) 48, 64

—унитарная U(n) 49, 56, 64, 112, 139

——циклическая 138

Делитель дискретный 39

— нормальный 18, 375

Детерминанты Вейля 366

Диаграмма весовая 194

—Юнга 226

Дифференциал представления 143

—d(a) 320

Дифференцирование в алгебре Ли 373, 398

— внутреннее 374

Идеал в алгебре Ли 375

ассоциативной алгебре

102, 440

Изоморфизм групп Ли 34

—локальный 36

SO(3】R), SU⑵ 60, 374

Индикаторная система 287 357 496, 497, 581'

Камера Вейля 470

Кватернион вещественный 60

—комплексный 57

——сопряженный 58

Класс смежности в группе 63

—сопряженных элементов 132

Коммутатор в алгебре Ли 32

ассоциативной алгебре 32, 48, 106, 251

группе 31

Комплексная оболочка (ком- плексификация) алгебры (группы) Ли 67

——правильная 177

Компонента единицы связная 20

—представления 80

Корень в алгебре Ли 391

—простой 418

Корневая система полупростой алгебры Ли 412, 420, 426

простой алгебры Ли 436

фундаментальная 474

Корневое подпространство 391

Коэффициенты Клебша — Гордана 108, 362

Критерий полупростоты 397

—разрешимости Картана 395

Лемма Больцано-Вейерштрасса

111

—— Гейне—Бореля 111,

—Шура 94

Матрица 21

—Клебша — Гордана 351, 481

—положительно определенная 49

—,след 43, 48