АМ. Воан 叩

ВЕТВЯЩИЕСЯ

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Д.И. Боднар

Ветвящиеся цепные дроби

Д.И.Боднар

ВЕТВЯЩИЕСЯ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Киев: Наук, думка, 1986.— 176 с.

Монография посвящена аналитической теории многомерных цепных дробей. Изучены свойства и установлены признаки сходимости числовых и некоторых типов функциональных ветвящихся цепных дробей. Перенесены на многомерный случай основные классические признаки сходимости непрерывных дробей —— критерий Зейделя, признак Ворпитского, теорема Слешинского-Прингсгейма, признак Ван Флека, параболические теоремы и др. Рассмотрены многомерные аналоги положительно определенных дробей, «7-дробей, g-дробей, С-дробей и др. Исследованы области сходимости и области устойчивости.

Для научных сотрудников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области теории функций, вычислительной математики и математической физики.

В последнее время интерес к цепным (непрерывным) дробям значительно возрос, о чем свидетельствуют многочисленные международные конференции, посвященные непрерывным дробям или тесно связанным с ними аппроксимациям Паде, а также выход нескольких монографий по данной тематике [56, 73, 75, 77, 81, 90 и др.].

Пожалуй, наиболее близким к цепным дробям является раздел теории приближения функций, где рассматриваются рациональные приближения со свободными полюсами. Здесь получены интересные результаты о связи структурных свойств функций со скоростью стремления к нулю наилучших рациональных приближений [23, 26 и др.], установлены скорости сходимости аппроксимаций Паде (см., например, [24, 25, 46. 53]), исследованы рациональные и наилучшие рациональные приближения некоторых функций или классов функций [21,31,51,54,63, 72 и др ]. Подробный библиографический обзор по аппроксимациям Паде изложен в [74]. Однако тесной взаимосвязи между цепными дробями и рациональными приближениями в настоящее время еще не установлено.

Говоря о непрерывных дробях, мы сравниваем их с такими средствами представления аналитических функций, как ряды или бесконечные произведения. Если степенной ряд, представляющий аналитическую функцию, сходится в круге, радиус которого определяется расстоянием до ближайшего полюса, и расходится вне этого круга, то разложения основных элементарных функций в цепные дроби, как правило, сходятся во всей комплексной плоскости за исключением полюсов функции. Однако общих теорем в этом плане еще не установлено. Непрерывные дроби представляют не только теоретический интерес, но и являются хорошим аппаратом вычислительной математики, обладающим свойством малого накопления погрешности в процессе вычислений. Разработаны эффективные алгоритмы для подсчета коэффициентов цепных дробей и их подходящих дробей.

В теории непрерывных дробей существуют два направления: теоретико-числовое и аналитическое. Первое направление занимается изучением регулярных цепных дробей, которые образуются при разложении действительных чисел по алгоритму Евклида. Здесь, главным образом, изучается степень приближения с помощью n-й аппроксиманты, рассматриваются приложения цепных дробей для решения диофантовых уравнений. Большой раздел представляет метрическая теория непрерывных дробей.

Второе направление занимается изучением таких вопросов, как разложения функций в цепные дроби, установление оценок погрешности приближения с помощью n-х аппроксимант, исследование свойств функций, представимых соответствующими типами непрерывных дробей, установление признаков сходимости и вычислите льной устойчивости. Кроме того, здесь рассматриваются различные применения цепных дробей в анализе для аналитического продолжения функций, при исследовании устойчивости полиномов, для установления связей с проблемой моментов, с ортогональными полиномами и т. д..

Подробный исторический обзор, посвященный цепным дробям, изложен в работе [81], где отмечается большой вклад русских математиков П. Л. Чебышева [68, 69], А. А. Маркова [40] в создание аналитической теории непрерывных дробей.

В теоретико-числовом направлении для целей теории чисел были построены многомерные обобщения непрерывных дробей. Если цепные дроби применялись при решении линейных диофантовых уравнений с двумя переменными или уравнений Пеля, то усложнение диофантовых уравнений или рассмотрение систем диофантовых уравнений естественно приводило к более общим, чем цепные дроби, конструкциям. Одним из наиболее удачных обобщений является алгоритм Якоби—Перрона [79, 86], который можно применить также и в анализе для приближения вектор-функций одного переменного (см., например, [48]).

Используя интерпретацию цепной дроби в виде графа и рассматривая более общие графы типа дерева, В. Я- Скоробогатько дал определение многомерного аналога непрерывной дроби, который в первой публикации получил название ветвящейся цепной дроби (ВЦД). Некоторые частные случаи ветвящихся цепных дробей встречались и ранее: например, в работе [88] периодическая ВЦД возникла как композиция мно「омерных отображений Жуковского.

Фундаментальное значение в теории цепных дробей имеют рекуррентные формулы для числителей и знаменателей подходящих дробей. Поэтому вполне естественно, что первые шаги в теории ВЦД были направлены на поиски аналогичных формул для ветвящихся цепных дробей. Разные варианты таких формул были установлены в [19]. Однако из-за своей громоздкости они оказались малоэффективными при исследовании сходимости ВЦД, хотя несколько первых признаков сходимости были установлены именно таким путем (см., например, теорему 3.1). Вопрос сходимости долгое время оставался открытым. В то же время велись разработки по применению аппарата ВЦД в теории чисел ——для представления алгебраических иррациональностей высших степеней [19, 49], для решения диофантовых уравнений [39], в теории вероятностей — для изображения выходных вероятностей дискретного марковского процесса [19], в вычислительной математике ——для решения систем линейных алгебраических уравнений [44], для разработки нелинейных численных методов решения дифференциальных уравнений и их систем [20, 38, 50 и др.], в анализе — для приближения функций многих перемен

ных [19, 27, 34, 56], для решения проблемы моментоз [18], в технике

построения математическойпостроения математическойдля синтеза многополюсников [28, 76], для

построения математической

построения математической

модели транзисторов [30]. Многие из этих результатов изложены в монографиях [19,56], а также статьях, опубликованных в журнале «Вестник Львовского политехнического института» (см., например, № 141, 150, 169, 173, 182).

Данная монография посвящена аналитической теории ветвящихся цепных дробей. Главное внимание уделяется вопросам обоснования аппарата ВЦД, исследованию сходимости числовых и некоторых типов функциональных ветвящихся цепных дробей. В начале каждой главы приведена аннотация изложенного в ней материала. Поэтому на характеристике содержания останавливаться не будем. Во введении и при ссыл-

ках на введение применяется одинарная нумерация.

Основные результаты, изложенные в монографии, докладывались на разли чных семинарах и конференциях, многие из них публикуются здесь впервые. Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность всем участникам семинаров, принявших активное участие в обсуждении результатов работы, что, конечно, способствовало улучшению изложения материала. Особенно хотелось бы отметить ценные замечания и пожелания, высказанные С. М. Никольским, Л. Д. Кудрявцевым, В. К. Дзя- дыком, А, И. Степанцом, А. И. Янушаускасом, А. А. Гольдбергом. Автор выражает также глубокую благодарность В. Я- Скоробогатько за постоянное внимание к работе и Н. С. Боднар за помощь при подготовке рукописи к печати.

ВВЕДЕНИЕ

Ветвящиеся цепные дроби являются многомерными обобщениями цепных или, как их еще называют, непрерывных дробей. Литературы на русском языке, посвященной цепным дробям, очень мало, более того, это книги старо го издания, представляющие в настоящее время библиографическую редкость. Имеющийся здесь пробел должен восполнить готовящийся в издательстве «Мир» перевод на русский язык монографии известных специалистов в этой области Уильяма В. Джоунса и В. Дж. Трона [81]. Мы приведем некоторые сведения из теории цепных дробей, далеко не претендующие на полноту или систематичность, но в какой-то степени необходимые для удобства читателя.

Непрерывную дробь определим с помощью композиций дробно-линейных отображений

，o(z) = &o + z, tk (z) = ak(bk +z)-1 (k=\, 2, ...), (1) где a- bj (i = 1, 2, . . . T j = 0, 1, 2, ...) — комплексные числа; z — комплексная переменная, причем at =#0 (i=l, 2, ...). Пусть

7Jz) = %(z),乙(z) = 7Yi%⑵)但=1, 2,…).(2) Цепной дробью называется предел последовательности Тk (0) при >оо, т. е. выражение вида

耳 +^ (3)

丄.2.

Для удобной и экономной записи (3) будем в дальнейшем применять сокращенные обозначения, предложенные Роджерсом

%+^+*+・・・ +豈+(4)

Существуют, но, к сожалению, многочисленные, обозначения цепных дробей (3), сходные с обозначениями, применяемыми

для рядов, например：

Мы же, следуя монографии В. Я. Скоробогатька [56], для записи дроби (3) будем применять обозначение

%+2 号.()

Конечные непрерывные дроби

九 ^b0^ P,~i = b<> + ^ 5 = 1，2,…)(6)

называются n-ми подходящими дробями или n-ми аппрокси- мантами цепной дроби (5).

При изучении цепных дробей, как правило, ограничение а『у=0 (i = 1, 2, . . .) снимается. В этом случае может возникнуть неопределенность: fn = 0/0. Тогда будем говорить, что fn не имеет смысла.

Цепная дробь сходится, если все ее подходящие дроби имеют смысл или лишь конечное число подходящих дробей не имеет смысла и существует конечный предел последовательности fn при п-> оо.

Каждую п-2 аппроксиманту можно предс тавить в виде отношения

⑺

причем для вычисления Ап и Вп — n-го числителя и знаменателя справедливы рекуррентные формулы [65, 67]

ную дробь, эквивалентную (5), можно записать в виде [87]

瓦+2贤''a。)

где р(- — некоторые отличные от нуля комплексные числа, Ро = 1. Если обозначить Cni Dn ——n-й числитель и n-й знаменатель дроби (10), то справедливы соотношения [67]

Сп = Р1Р2'' -РпЛ» Dn = PiP2-' -9пВп (и = 1, 2, ...). (11)

Для цепных дробей с положительными членами справедливо свойство вилки, выраженное системой неравенств

f2龙 V f2*+2 V 厉+1 V Л/-Ь(1 2)

где 財 / — произвольные натуральные числа. Вопрос сходи- мостн таких дробей полностью решается следующим критерием.

Теорема 1 (Зейдель [92]). Непрерывная дробь

% + 3 专，(13)

элемен щами которой являются действительные положительные числа, сходится тогда и только тогда, когда расходится ряд

S % (14) /=1

К числу наиболее употребительных классических признаков сходимости цепных дробей относятся, кроме критерия Зейделя, необходимый признак сходимости Коха [82], достаточные признаки сходимости Ворпитского [ Ю1]т Слешин- ского — Прингсгейма [58, 89], теорема Ван Флека [97] и параболические теоремы [81]. Кроме перечисленных существует огромное множество других признаков сходимости (см., например, [81 т 87, 100], а также [66, 78т 96] и др.). Собственно, большая часть всех работ по цепным дробям посвящена вопросу их сходимости.

Следуя [81], дадим определение области элементов, области значений и области сходимости цепной дроби (5), где, не ограничивая общности, положим % = 0. Последовательности непустых множеств {QQ и {%}, таких что 0 龙и и С X С 0 = % и© (k= I, 2, . . . , i = о, 1, 2, . . .) называются последовательностями областей элементов и областей значений цепной дроби (Срасширенная комплексная плоскость)

если

或£VП一1 n/h①小ьП)ga (zz = 1, 2,..J (16) и

GWJ 三 для "〉£Q” (П - 1, 2, ,. .).(17)

Многие из существующих признаков сходимости цепных дробей с комплексными элементами являются признаками типа областей сходимости. Последовательность областей элементов {Qrt} (п=1, 2, ,,.) называется последовательностью областей сходимости дроби (15), если условия (anf Ьп)^п (п=1, 2, ...) обеспечивают сходимость этой дроби. Чаще других рассматриваются случаи: & =。(拉=1, 2, ...) (простая область сходимости), *2々一i=Qi， q2々=q2 (&=1， 2,…)(спаренные области сходимости). В частности, ответ на вопрос о наибольшей круговой области сходимости с центром в начале координат дает следующая теорема.

Теорема 2 (Ворпитский [101]). Если для цепной дроби

(1 + Д-^-)-1,(18)

где с龙(？) 一 комплексные функции, заданные s области 0 и С，выполняются условия

&(z)|w= 3 = 2, 3, ...),(19)

то

а) дробь (18) равномерно сходится 6 D;

0 областью значений является круг ”4/з]《2/з；(20)

в) константа i/$ s (19) и область (20) являются наи~ лучшимиу т. е. константу нельзя увеличить, а область уменьшить.

Следующая теорема в литературе именуется теоремой Прингсгейма [89], хотя была установлена Слешинским [58] на 10 лет раньше. Аналогичная теорема была установлена также А. А. Марковым [40] для действительных элементов.

Теорема 3 (Слешинский — Прингсгейм [58, 89]). Цепная дробь (5) с комплексными элементами сходится, если

w/>ai +1 (几=1,2,…).(21)

Для n-х аппроксимант справедливо неравенство

I館 V1 (%=1, 2,…).(22)

Теорема 4 (Ван Флек [97]). Пусть для элементов цепной дроби (13) выполняются условия

〃，0, largb/V专一е (/= 0, 1, 2, ...),(23)

где е ——произвольное как угодно малое действительное чис~ 4。(0 V Е V -у").

Тогда

п-я аппроксиманта fn дроби (13) удовлетворяет условию

iwo，largEV专一е (i = 0, 1, 2,...);

существуют конечные пределы четных 〃 нечетных аппроксимант;

для сходимости цепной дроби (13) необходимо 〃 достаточно, чтобы расходился ряд

NlbJ(24)

/=1

Подробный обзор по одному из очень важных направлений в исследовании сходимости цепных дробей, так называемым параболическим теоремам, изложен в монографии [81]. Мы сформулируем первый, полученный в этом направлении результат.

Теорема 5 (Скотт — Уолл [91 ]). Множество точек S и & симметричное относительно действительной оси, является областью сходимости цепной дроби

(1+2 千厂(25j

тогда и только тогда, когда S — ограниченное множество^ принадлежащее параболической области

P = {z£C:|z| — Rez« 1/2}.(26)

Более того, если ak^P (й = 2, 3, ...), то дробь (25) сходится тогда и только тогда, когда

существует индекс р, такой что а* = 0;

все 〃卩工0 〃 ряд (24) расходится, где

瓦=1, a*+i = (%b"+i)T (р = 1, 2, 3, ...).(27)

Теорема 6 (Кох [82]). Если ряд (24) сходится, то цепная дробь (13) с комплексными элементами расходится.

более того,

lim 42A =尸。，Hm 4&+i = Л.(28)

在f в在f 8

lim 当九=G(p lira 8%“т =伍

и выполняется соотношение 自备一尸?1=1.(29)

Теорема 7 [100]. Периодическая цепная дробь а а а

Т + V + Т +

сходится для каждого &£©, за исключением точек а = =1/4 ——с, где с ——произвольное действительное положительное число.

При доказательстве сходимости цепных дробей существенно используются два фактора: во-первых, наличие рекуррентных соотношений (8), во-вторых, то, что совокупность дробно-линейных отображений образует группу. Заметим, что ни первое, ни второе не имеет места для ветвящихся цепных дробей.

Одним из методов доказательства сходимости цепных дробей является метод, основанный на применении фундаментальных неравенств. Так, были (см., например, [100]) доказаны теоремы 2, 5 и многие другие. Будем говорить, что непрерывная дробь (25) удовлетворяет фундаментальным неравенствам, если существуют такие действительные числа гр > 0, что для элементов дроби ар выполняются неравенства

*1% 十勺+i + 11 > гргр_2\ар\ + \ар+1\ (р = 1, 2,・・.)， (30) где 4 =『о = г.】=0・

Теорема 8 [100]. Если для цепной дроби (25) выполняются фундаментальные не равенства t то все п-е знаменатели Вп^0 и справедлива оценка

\fn~fm I…(31)

k=m

Существуют две интерпретации фундаментальных неравенств.

I интерпретация: если для дроби (25) выполняются фундаментальные неравенства и ряд

сходится, то цепная дробь (25) сходится.

II интерпретаци я: если для дроби (25) выполняются фундаментальные неравенства (30), где первые два неравенства строгие, то существуют пределы четных и нечетных подходящих дробей.

Пример 1. При выполнении условий теоремы Ворпит* ского цепная дробь (25) удовлетворяет фундаментальным неравенствам (30), где rp = р(р + 2)-1, при выполнении условий параболической теоремы г* = 1.

Рассмотрим некоторые типы функциональных цепных дробей.

Непрерывная дробь

Ь(32)

\1=2 加 + Zf /

где at, 瓦—комплексные числа, zz — комплексные переменные, называется положительно определенной, если неотрицательно определены действительные квадратические формы

工阮/ — 2 £ а疋店左+i》。(〃 =1, 2, ...),(33)

A=1左=1

где В在= Imb在，аА = ImaA,自在(々=1, 2, ...) — произвольные действительные числа.

Теорема 9 (Уолл—Венцель [100]). Цепная дробь (32) положительно определена тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Ра > 0 (々=1, 2,...);

существуют действительные числа g^ ： 0《g『《1 (i = l, 2, ...) такие, что 成=仇阮+i(1 — gj)g* 优=1, 2,...).

Теорема 10 [100]. Если цепная, дробь (32) положительно определена, тогда п-е знаменатели Вп (z) #= 0 (〃 = 1, 2, ...) в области Imzr>0 (i= 1, 2,...).

Цепная дробь (32) называется 7-дробью, если все 2炉=С (i = l, 2, ...), где С ——комплексная переменная. Подробный обзор, посвященный положительно определенным дробям и 7-дробям, изложен в монографии [100]. Большое внимание езучению действительных J-дробей уделяли П. Л. Чебышев [68, 69] и А. А. Марков [40].

Непрерывная дробь вида

+方色二片一i)g庐厂,(34)

V A=11/

где 0wg^《1, z£C，называется g-дробью.

Теорема 11 [100]. Цепная дробь (34) равномерно сходится на каждом компакте области

G = {z£C：z，一 1, |arg(z+l)|Vn}.

Нам будут необходимы некоторые сведения о цепных последовательностях, более подробно изложенные в монографии [100].

Последовательность действительных неотрицательных чисел {а^ называется цепной, если существуют такие действительные числа

0《以《1 5 = 0，1，2,…)，что ak = (1 —gk^gk(々=1, 2,...).

Числа g门(zz = 0, 1, ...) называются параметрами цепной последовательности. Параметры определяются неоднозначно. Однако для каждой цепной последовательности {&在} всегда существуют так называемые минимальные параметры тп (и — 0, 1, 2, …)и максимальные параметры Мп (и = 0, 1, 2,...) такие, что аА = (1—mA-1) mA,必=(1—疝^QM左(々=1, 2, ...) и тп ^: gn с Мп (л = 0, 1, 2, ...) для всех других значений параметров данной цепной последовательности. Минимальные и максимальные параметры определяются однозначно по формулам

八/ 0, если mD = 1/〔 с 、

(35)

此=1 —册 _*_J^L(p = o, 1, ...). (36)

Если {oA} — цепная последовательность, у которой а在 >0 (々=1, 2, ...), то mp = Мр (р = 0, 1, 2, ...) тогда и только тогда, когда расходится ряд

I t=l

Последовательность {а^} является цепной тогда и только тогда, когда для всех действительных значений & (i = 1, 2,...) неотрицательно определены квадратические формы

лл—1

£ 鏡一2 £ %Е.Е.+1》0 (〃 = 2, 3,...). р—1Р=1

Если {а» — цепная последовательность и 度《戰(々=L 2, ,.,), то {卩^} — цепная последовательность.

Регул ярной С-дробью называется дробь вида

1 + 6 * ,(37)

где о在=/=0 (々=1, 2, ,,.) — комплексные числа, zg©.

S-дробью называется дробь (37), где о在 >0・ Очевидно, что g-дробь является частным случаем S-дроби.

Наиболее характерными и употребительными признаками сходимости С-дробей являются теорема Ван Флека о предельно периодических цепных дробях, когда существует lim ak при fe-> оо, и кардиоидная теорема [81].

Для S-дробей характерной является следующая теорема.

Теорема 12 (Стилтьес [601). Для цепной дроби (37), где &在 >0 (々=1, 2, ...), z£©, справедливы следующие утверждения:

а) четные и нечетные подходящие дроби (37) равно* мерно сходятся на каждом компакте области

G = {z £ С： I arg z IV п}

& функции, голоморфной в G;

цепная дробь (37) сходится & голоморфной функции 8 G тогда и только тогда, ко ед а расходится ряд (14), ad? М (£ = 1, 2, ...) определяются согласно (27);

если цепная дробь (37) сходится в какой-либо точке области G, то она сходится в каждой точке области G.

Кроме перечисленных существуют и другие типы функциональных цепных дробей, например Т-дроби [81], дроби, у которых разлагаются функции класса Герглотца [64, 100] и др.

Глава 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

Существуют два подхода к определению ветвящихся цепных дробей. Хронологично первым был подход, который предложил В. Я. Скоробогатько [56, 57]. Он основан на применении геометрических понятий типа графов. Второй подход, предложенный П. И. Боднарчуком [19], использует композиции многомерных дробно-линейных отображений.

Мы дадим определение ветвящихся цепных дробей с N ветками ветвления (TVg №)， следу я второму подходу. В § 1 рассмотрен также алгоритм разложения натурального числа 々 по ст-епеням ^ с отличными от нуля коэффициентами, который используется для определения одного важного для дальнейшего изложения типа фигурных подходящих дробей.

В § 2 обоснованы (формулы для числителей и знаменателей подходящих дробей в виде определителей, которые будут существенно использоваться в гл. 4 для определения и изучения свойств многомерных положительно определенных дробей. Поэтому возникла необходимость в их строгом обосновании. Ранее аналогичные соотношения были предложены В. И. Шмойловым [32], правда, без указания формул для общих членов определителей.

В § 3 установлена формула разности двух не обязательно соседних подходящих дробей (3.3), которая существенно используется при исследовании сходимости ветвящихся цепных дробей. Первый вариант формулы типа (3.3) предложил И. Я. Олексив [15]. Дальнейшее ее усовершенствование было осуществлено Д. И. Боднаром и Н. А. Недашковским.

Четвертый параграф посвящен эквивалентным преобразованиям ветвящихся цепных дробей, П. И. Боднарчук [19, с. 55—56] доказал, что ВЦД (4.2) эквивалентна (L9), Однако, как показывает пример, произвольное эквивалентное преобразование дроби (1.9) нельзя записать в виде (4.2). Установлены необходимые и достаточные условия, чтобы в виде (4.2) можно было записать произвольное эквивалентное преобразование ВЦД (1.9),

В § 5 изложены результаты, посвященные областям элементов и областям значений для ветвящихся цепных дробей. Теоремы 1.12—1.14, 1.20, 1.21 были установлены Е. А. Бол- таровичем. В соответствующих разработках оказалась применимой методика исследования аналогичных вопросов в теории цепных дробей [80, 81].

Определение ветвящейся цепной дроби.

Подходящие дроби

Еслн &,厶，• • • , Ц ——некоторый набор индексов (^ =^ 1, А\ р = 1, fe), то с целью сокращения записи в дальнейшем бу» дем применять мультииндекс

Rh) = t3(LI)

Пусть by bf仅),0“在)(fe = 1, 2, . . . , г a = 1, N) — комплексные числа, 2“用(々 н 1, 2, .. , , 〃 = 1, N) — комплексные переменные, причем а^ =# 0 (々=1, 2,...,厶=1, %) и пусть

片(乙，马，・••，Zn)= M + Zi+Z2H+^,(1.2)

套色)(2"切1，勿同2, .一，乙优)N)=々他)(瓦&) + 2"冷1 + ' * ' +

+ 2“左)№尸(^ — 1, 2, . . . , iA = 1, N)

есть некоторая совокупность А^-мерных дробно-линейных отображений. Обозначим ?兄)вектор из С" (р = №,『£№) вида

嗯)=(4的11…U乙a)1…12，ZfUONN…N)，(1。3)

в частности,

где компоненты вектора (1.3) “灯〃”(厶=L М s = 1, г) естественным образом упорядочены, т. е. z“左)厶(「)Tz«#m(r), если n (r)^m (г) и n {r)-^m (г), если %<% или существует такой индекс s (1 < s< г), что % = / (р = 1, s) и 〃S+I V ^S+l*

Пусть

9/同П育他)(2名))(厶=1, m 々=1, 2,..)(1.4)

Определим 9% согласно (1.3). Тогда по аналогии с (2)

рассмотрим композиции Ммерных дробно-линейных отображений

TQ(z^)^tQ(z(^ Л^^Л-И^) (^= Ь 2,…)(1.5) и последовательность {丁々(0)}, где 0 берется из соответствующего пространства. Вычислим явные выражения для 7\(0) (々 = 0, 1, 2, .. .). Имеем

Т。⑼= z°(0)=瓦，

TA^)-tQ^(i)) = ^(id^〃(哨))・

Поэтому川

Tn0) = %怡(0)-，・，缄(0))=%+ £ 把♦

Далее

T.^^TA^^tM^> 〃(然)))=

—% (% (£ II (z；?), • • • , ^1^(Z1^))^ • • • » % "n】(z£[)‘ • •・，tNN (硯卜)))•

Поэтому

T2 (。)= % 0 I aII (0)' •一,匕n(0))，，• •，/N (f Д4(0)，" ， ，)

心N (0)))二% + 工.

и т.и т.д., используя обозначения (1.1), имеем

и т.

и т.

7М0)=m+工27М0)=m+工2%D%D(1.6)(1.6)%（i）+£%（i）+£

7М0)=m+工

2

7М0)=m+工

2

%D

%D

(1.6)

(1.6)

%（i）+£

%（i）+£

-勿伐)

/=1

Считаем, что Tk (0) имеет смысл, если в процессе сворачивания дроби (1.6) у нас не возникнет неопределенность 0/0. Мы предполагаем, что 1/0 = оо, 1/оо = 0 и 号 + 卷 + • • • + + 岩=等,если 孔>1. Если существует такой набор индексов 『1，i2,...,厶，что Ь*汾=0, то, для того чтобы дробь (1.16) имела смысл, необходимо, чтобы

仇d)/=/=0 (/ = 1, М j 用 3・

Ветвящиеся цепной дробью с ^ ветками ветвления называется выражение

々⑴々⑴которое покоторое по力⑴+工f尸1力⑴+工f尸1аналогиианалогииe⑷e⑷(1*7)(1*7)"⑵+"⑵+0" 2)+ £0" 2)+ £%（万）+、%（万）+、и (5) компактно запишеми (5) компактно запишем++$ ^£Q) V1 0*2)4〃⑴+▲"⑵■(—$ ^£Q) V1 0*2)4〃⑴+▲"⑵■(—/仅)%0)h—/仅)%0)h—в виде(1・8)в виде(1・8)

々⑴

々⑴

которое по

которое по

力⑴+工

f尸1

力⑴+工

f尸1

аналогии

аналогии

e⑷

e⑷

(1*7)

(1*7)

"⑵+

"⑵+

0" 2)

+ £

0" 2)

+ £

%（万）+、

%（万）+、

и (5) компактно запишем

и (5) компактно запишем

+

+

$ ^£Q) V1 0*2)

4〃⑴+▲"⑵■(—

$ ^£Q) V1 0*2)

4〃⑴+▲"⑵■(—

/仅)

%0)h—

/仅)

%0)h—

в виде

(1・8)

в виде

(1・8)

или в виде

…工%=1…工%=1%在） 勿同%在） 勿同(1.9)(1.9)

…工

%=1

…工

%=1

%在） 勿同

%在） 勿同

(1.9)

(1.9)

Замечание /./. Определяя ВЦД с N ветками ветвления, как композицию TV-мерных дробно-линейных отображений (1.2), мы естественно предполагали, так же как это делается в одномерном случае [81], что все

^z(a)* 0 ⑴=1, М 々=1, 2, . . .).(1.10)

Впредь, рассматривая ВЦД (1.7), будем допускать и вырожденные случаи, когда ограничения (1.10) снимаются.

Бесконечную ВЦД (1.7) следует понимать как предел выражений (1.6) при ^ -> оо. Поэтому предполагаем, что, начиная с некоторого номера kQt все последующие Тд(0) имеют смысл.

Элементы дроби (1.7) 〃/仅) называются fe-ми частными числителями, Ь【(出 ——fe-ми частными знаменателями, Ьо —— свободным членом; отношен и я &«月)/力“左)называются 々-мн частными звеньями. Совокупность всех &・х звеньев образует 々•访 этаж ветвящейся цепной дроби (1.7). Конечные ВЦД вида (1.6)

% = %+5e* (n = 1, 2, ...) (1.11)

называются л-ми подходящими дробями или л-ми аппрокси- мантами дроби (1.9).. 一

Пусть {ift}——фиксированный набор индексов (fe = 1, 2, ...,厶=1, N、. Обычная цепная дробь

6 々的.=S⑴ °" 2)a k扮

/；=1 bW 一 力⑴ + 勿 2) HН 勿S) H называется (&, i2, . . . , fft, . . .)-веткой ветвящейся цепной дроби (1.9). Под длиной конечной ветки, т. е. конечной цепной дроби, подразумеваем количество ее этажей.

Характерной особенностью л-й подходящей дроби (1.11) ВЦД (1,9) является то, что все ее ветки имеют п этажей. Подходящие дроби можно конструировать и так, чтобы ее различные ветки имели не обязательно одинаковую длину. Такие аппроксиманты называются фигурными подходящими дробями ВЦД (1.9). Фигурные аппроксиманты можно конструировать по-разному. В некоторых задачах они возникают вполне естественно [1, 34].

Пример 1.1, Предположим, что каждая новая фигурная подходящая дробь образуется добавлением последующего звена в естественной записи ВЦД (1.7), т. е.

加=瓦+2端木+L瓦+^右+2箫，…^1=1匕11х\=2

Легко проверить, что в этом случае 々-я фигурная аппро- ксиманта fk ——это s-я обычная подходящая дробь, в которой все s-e частные звенья, следующие за аг^1Ьг{^, заменены на 0/1, где индексы rn г2, .. . , rs определ яются из разложения числа 々 по степеням N с отличными от нуля коэффициентами

к = г^5-{ + r2Ns~2+ • • • + rs (1 < гр < А^, р=隔・(1.12) Действительно, рассмотрим множество /& наборов индексов i(p), где ip = \, N, р = \, 2, .. . , и упорядочим его следующим образом:

i(P)T/(q)，если p<q,

f储)-^储)，если ；!</1，(1.13)

i(P)T/S)，если существует г (1 < г < р), что

tk = i卜(卜='‘ г) и ir+iV/r+「 Пронумеруем элементы множества /% с учетом введенного выше порядка и вычислим, какой номер получит элемент г(s). Количество элементов /(р), где pVs будет 汽 + 心十 + … +7Vf Множество элементов /(s), предшествующих

r (s), разделим на группы: I группа — это r(s) = г (s—l)/s, где /s<rs, II группа —это r (s) = г (s — 2) j^j^ где %_】< V『s-u is произвольное и т. д. s-я группа — это /(s), где "V%，а все остальные Д произвольные. Количество элементов в каждой группе будет соответственно (々一1), A^(rs_j— 1), .. . , "$7(%— 1). Следовательно, элемент с индексом г (s) получит номер

"%+№+・•• + MT+(q-l) + %(*-1) + …++ №-1(r1-l)+ 1 =r1№-1 + r2№-2+ ••■ +rs.

Мы приходим к разложению (1.12). Таким образом,

°"s-i) V а ( 5 s) %S—D + ~\ 匕⑻

(1.14)(1.14)C=1

(1.14)

(1.14)

/々S) \ — /的(S)/瓦(S), если i(s)然 r(s)I 0/1, если i(s)^-r(s),

число s, индексы rlt r2, . . . , rs определяются по алгоритму (1.12), а порядок на множестве индексов — согласно (1.13).

Докажем, что коэффициенты 『口 г?， ••・，rs разложения числа k по алгоритму (1.12) находятся однозначно. Доказываем от противного. Пусть число 々 имеет два представления

々=г】№т + г?%"? +••・+( (1《г*《М Р = 1， s), 々=Г\№'-\ + %№'-?+ …+ г? (1《г；《М р = 1, s').

Предположим, что s>s', тогда, исходя из первого представления, получим оценку 々 > №-1 + М"十…+ 1, а из второго — оценку 々《№' + № J + …+ М Мы приходим к противоречию + А^—2 十...十］《 印，十 №「' + • —^ + 少 с условием s>s'・ Следовательно, s = s'. He ограничивая общности, считаем, что гт> г；. Тогда, повторяя аналогичные соображения, получим 々 > 仆№-】4* №~2 + №"3 + + ・・• + 1,々《г^№-1 + №-1 + "г + .・・ + %, что противоречит условию %>『；・

Так как для произвольного натурального числа 々 суще ствует элемент г (s) множества /%, имеющий порядковый номер 々 или, как было показано ранее,——порядковый номер г/т+『2“5-2 + ・…+仆，то отсюда следует, что 々= =『№"1 4- г2№~2 + … 4~ 厶・ Эт° доказывает существование разложения (1.12) для произвольного 々£№・

Пример 1.2. Определим ft-ю фигурную подходящую дробь Fk ветвящейся цепной дроби (1.9) как конечную ВЦД, содержащую все те элементы а“*), &«*), сумма индексов которых J * & + …+ J < 々，т. е.

(1.15)(1.15)

(1.15)

(1.15)

/ 4(*)\ =[ 〃貝*)他9)，если 厶 +%+，—+%《々，

息' 勿В)' 1°/1' если Ч + /г 4~ * * * + '* > 区

Дроби /д и Fk имеют смысл, если в процессе их сворачивания не возникнет неопределенность 0/0.

Формулы для числителей и знаменателей подходящих дробей

Так как подходящие дроби (1.11) и (1.14) ветвящейся цепной дроби (1.9) связаны соотношением

гдегде/^^ + ^2^——+№,/^^ + ^2^——+№,(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)

где

где

/^^ + ^2^——+№,

/^^ + ^2^——+№,

(2.1)

(2.2)

(2.1)

(2.2)

то с целью избежания громоздких формулировок под 々-й подходящей дробью ВЦД (1.9) в данном параграфе будем понимать фигурную подходящую дробь “•

Сначала опишем алгоритм сворачивания дроби (1.14). Впредь запись ^■三号 будет обозначать равенство двух дробей и выполнение условия а — с, b = d. Тождество

ПbkЛ=1

запишем в сокращенном виде

£三源+纟子.(2.4)

f=l

Процесс сворачивания дроби (1.14) производится по следующему рекуррентному алгоритму;

(2.5)

где

(2.6)

и

(2-7)(2-7)%) = V々(т+1)用(т+1)

(2-7)

(2-7)

%П)厶勿例+1必m+1) +④的+1)

仇+1=1

(%=1, M m = s — 2, s — 3, .. . , 1),

「0/1, если z (s — 1)^- r (s—1),

%—i)%—i)〃(s-l)〃(s-l), если f(s—l) = r(s—1), %(s), если f(s—l) = r(s—1), %(s)(2.8)(2.8)

%—i)

%—i)

〃(s-l)

〃(s-l)

, если f(s—l) = r(s—1), %(s)

, если f(s—l) = r(s—1), %(s)

(2.8)

(2.8)

■^^- , если i(s — 1)T『(s — 1). %(s)

Индексы J, г?，、…，rs определяются из разложения числа k по алгоритму (1.12).

Фактически алгоритм (2.5)—(2.8) вычисления подходящей дроби (1.14) эквивалентен тому, что мы выполняем постепенное сворачивание дроби (1.14) снизу—вверх таким образом, что никакое из отношений а^т)/Ь1{гп) или ai{s)/bi(s) при этом не заменяем ему соответственно равным отношением ра；(т)/(р%(т)) или ра,(5)/(р^к5}), где р ^0, 1, m = 1, s — 1, 厶=1, TV,々=1, /и, i(s)T『(s)・ Если же при вычислении ВЦД (1.14) по алгоритму (2.5)—(2.8) вместо а^ и Ь^т) (или а*® и Ь(($)) взять ра/(依)и р勿削(или ре® и pR($)) при одном допустимом наборе индексов, а все остальные элементы оставить без изменения, то окончательно получим

Числитель отношения (2.6) Ak называетсяfe-м числителем, знаменатель ВА — fe-м знаменателем фигурной подходящей дроби (1.14). Лд является полиномом от переменных 60, a£(P)t b^p), а 瓦一полиномом от переменных а『®, Ь^, за исключением a*i)(ц = 1, N), где i (p)-^r(s).耳济 числитель Ak и Ай знаменатель Bk подходящей дроби (1.11) соответственно равны ЛА — Л/, В% =瓦,где I определяется согласно (2.2).

Установим формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей ВЦД (1.9). Предварительно рассмотрим аналогичный вопрос для цепной дроби

% + $?•(2.9)

A=1 °k

Утверждение 1.1 [100]. п-е числители и п-е знаменатели непрерывной дроби (2.9) вычисляются по формулам

(=А2)，区=

△? (〃= 1, 2,.

•),

(2.Ю)

где А?

—0, 1

и = 1, 2,

...)—трехдиагональные

опре-

делители,

составленные из элементов дроби (2.9):

bk

00

0• • •

0

—1

* 0

0• • •

0

0

—1

'月+2 a月+3

0•・・

0

•

(2.П)

0

0

・••

°—1 ^n-l

%

0

0

•••

00—1

九

Доказательство. Раскрывая определитель А? по последнему столбцу, получим рекуррентное соотношение

Д^> = Ьп^ + ап^г 3 = 0, 1, 〃 = 3, 4, ...). (2.12) Если положить

△Yj, 圜=1,母) = 1, М? = 0,(2.13)

то, как легко проверить, соотношения (2.12) будут выполняться и при 々 = 0, 1, и = 1, 2. Сравнивая формулы (2.12) и начальные значения (2.13) с (8) и (9), соответственно убеждаемся в справедливости (2.10). Я

Установим для ветвящейся цепной дроби (1.9) формулы типа (2.10). Здесь возникают некоторые трудности в связи с отсутствием для ВЦД рекуррентных соотношений вида (8).

Рассмотрим матрицы

Cii Ci Z+1• • • Cik

Cf= Q+ifG・+M+1 • • • G+1&(i = o, 1, 6 = 1, 2,...),

ckiCki+1 • • • Ckk

(2.14)

элементы которых связаны с компонентами ВЦД (1.14) следующим образом. Если р — произвольное натуральное число,

такое что 1cp w^ и индексы /р /2, .. . , /т определяются из разложения числа р по алгоритму (1.12)

р = /3*1 + j/*2 + • .. + 〃( 1 «/“《 м 〃 = гт^),

(2.15)

ТО

Срр = b«т、 (Р = 1, k)t(2.16)

cpq =的(向G+j если р = 1,財 q — pN + im+i， ^m+i = 1, Л\ —(2.17)

&0 =，0' C°q = Qq (7 = L "),(2.18)

Cq^ = ■ 1 (q 1, N), Cqp =1, если p = 1,也

q = pN + ?\+1，% = 1，M(2.19)

cpq = 0 во всех остальных случаях.

Пример 1.3. В качестве иллюстрации рассмотрим случай 府=2,々 = 7. Тогда по алгоритму (1.12) находим 々= =1 ・ 22 + 1 ・ 2 + 1・ Следовательно, с77 = 6П1 и

魂

°1

&

0

0

0

0

0

—1

4

0

。12

0

0

0

—1

0

%

0

0

。22

0

0

—1

0

瓦1

0

0

0

а111

0

—1

0

0

匕12

0

0

0

0

0

—1

0

0

力21

0

0

0

0

—1

0

0

0

匕22

0

0

0

0

—1

0

0

0

^111

Отметим некоторые конструктивные особенности матриц Cq, непосредственно следующие из определения.

Свойство 1. Каждый(?-й столбец матрицы С： (q = 1,应) среди всех элементов, расположенных выше главной диагонали, содержит самое большее один отличный от нуля элемент cPQ, который определяется согласно (2.18), если р = О, или согласно (2.17), если р》1, где р находится из разложения

4 ~ pN + tm+i， 1《im+i《М(2.20)

Таким образом, определяя р из (2.20), имеем

“ = 0, если 0 < r<p, pV『Vq・ (2.21) Действительно, из условия г V Р следует, что г + 1《р и Nr * N《Np. Поэтому q = pN + im^》％「+ % + 院+1> >Nr + N и согласно определению матрицы С^ элемент

crq = 0. Аналогично, если pV『V% то per—1 и pN с < rN — N. Поэтому q = pN + 卜+i《『％ — % + G+i < rN + + 1 и так как q>r, то согласно определению матрицы (2.14) Crq = 0.

Свойство 2. Каждый (?-й столбец матрицы С*, содержащий на главной диагонали частные знаменатели последы их тупиковых звеньев 々-京 подходящей дроби (1.14), имеет ниже главной диагонали все элементы, равные нулю. Если

k =『山1 + r2№~2 + …+ q

разложение числа k по алгоритму (1.12), то, исходя из определения 々•访 фигурной подходящей дроби (1.14), заметим, что частные знаменатели последних тупиковых звеньев будут иметь согласно (1.13), (1.14) порядковые номера q, удовлетворяющие оценке

Г#г +『/+ — + j V 7 < Г『+『2*7 + …+〃• (2.22)

Тогда с“ = 0, если q<Zr «h, q удовлетворяет неравенствам (2.22). Действительно, учитывая ограничения на q, получим

7》ri№"2 + “т + …+ J + 1.

Поэтому

Nq + im > СМ-】+ qMr + • • • + jd + 〃 + N>財(2.23) где 1 c fm c jV. Так как согласно (2.19) crq = —1, если q <r ^.k, r = Nq + imf 1 c im c jV, и crQ = 0 в противном случае, где gv『《&, то в силу (2.23) имеем с“ = 0 для всех q V г W 々.

Теорема 1.1.々・е числители Ak и k-e знаменатели В k-й фигурной подходящей дроби (1-14) ветвящейся цепной дроби (1.9) вычисляются 〃о формулам

Лл = det С^ 瓦=det Cj 但=1, 2, . . .),(2.24)

где C* (i = 0, 1) — матрицы вида (2*14)*

Доказательство теоремы проведем методом математической индукции по k.

При 々=1,2 имеем

彳1一坛比+ 4一 I —1后1

Л 靠 оа|

Предположим, что 篇=det С： н 瓦=det С； для п ^k. Докажем справедливость соответствующих формул для п == =^ + 1. Разложим число 山 по алгоритму (1.12)

々=Г山'1 + г2“"2 + ••• +『s(1&Гр《М P=l, S).

Тогда

а)々 + 1 =厶№-1 + 々“г + …+ q + 1, если q V N;

6)々 + I = qM-i + %M-2 ++『*山55+1 +(% + 1) x

X"5一m+%5-/7：-1+A.5一m-2 + …+], если существует /и (m= 1,5—1), такое, что % = М (р = m+TTs), rm<N] в) А + 1 = М + №-工+ . ..1, если % = N (р = 1, s).

Пусть 4+1,知1 方 0, Доказательство во всех трех случаях проводится аналогично. Для определенности рассмотрим случай а).

Введем обозначение

^*s—i)= %5丁1)+ 丁'-)" ".(2.25)

"г(1)%+1

Заметим, что согласно'предположению 匕不_i)%+i = cMt д+1 方 0. Рассмотрим ветвящуюся цепную дробь (1.14), у которой br(s^ заменено на 匕：(s—i), а все остальные элементы оставлены без изменения, и обозначим через Л* и В* ее 炉访 числитель и знаменатель соответственно.

Аппроксиманту /д+1 можно записать в виде (1.14), если вместо дроби

分(1)

взять ей равное отношение

"r(s—l)%(s-l)q+l

丄 В "“ s—1)产r(s—l"s+l 小一忆+I十厶 瓦

Это сразу следует из алгоритма (2.5)—(2.8) сворачивания ВИД (1.14) и замечания после формулы (2.8). Поэтому

^ а+1 = %$—1)%+1力月，&+1 =办s—1)%+18炉(2.26)

Определитель detCj+1 запишем в виде

力。 •

• 0

detC” =

0..

0

0

0 '

♦ °r(s—1)

"s-2%_[+1 •.

0

b

0 *

• 'r(S—1)

• ar[S)

"(S一忆+1

0 •

• 0

%s-2)q_]+l • •

.0

0

0 '

0::

•%S)

6

0 •

.-1

0・・

・0

〃(s—l)q+l

(2.27)

Из свойств 1, 2 матрицы О+1 следует, что последний сто』・ бен содержит самое большее два отличных от нуля элемента 〃r(s—i)q+i и 屏(S—i)q+i. Это же самое относится и к последней строке. Вынесем из последнего столбца отличный от нуля множитель Ь®—т +】• Если к столбцу, содержащему элемент ，(s-i)，добавить последний столбец, предварительно разделенный на 匕/•($—1)%+1, то согласно предположению индукции получим ，(s-i)%+iN， что равно Лд+1 в силу (2.26).

Если же %5_%+1 = 0, то, сворачивая дробь

"r(S—l)

+ L

尸1

по алгоритму (2.5)—(2.8), получим

00 ■ %(s l)j+l J I] %s-l)/

"r(s—l)r +1 П %S—1)/1 * "r(s—М+1 П "r(s—I)/

s /=1s /=1

(2.28)(2.28)Предположим, что

(2.28)

(2.28)

°r(s—D—+1 П b(s—1)/ 并 0・

S /=1

Пусть m = k —厶.Рассмотрим m-ю фигурную подходящую дробь ВЦД (1.9) в смысле определения (1.14), в ^которой звено。厂(1)/%1)заменено на 0/1, и обозначим Ст и Dm

ее m-e числители и знаменатели соответственно. Тогда согласно замечанию после формулы (2.8) имеем

(%〜

<片(2.29)

8左+i ~。《一i)q+i ]~~J Ьг(5—1уОтл

Строка определителя (2.27), содержащая 6r(s_i), имеет справа от этого элемента все нули, за исключением, возможно, последних 々 + 1 элементов。《一屮,。“$_1)2, • • • , а，"一1)%+1・ Каждый из последних rs + 1 столбцов согласно свойствам матрицы С” имеет самое большее два отличных от нуля элемента.〜

Для m-го числителя Ст согласно предположению индукции справедлива формула 以= detCf, где вместо。小一1) и 6«5—1)взято 0 и 1 соответственно. Раскрывая определитель detC^1 по столбцу, содержащему br(s-i)= 1, убеждаемся в том, что он равен в случае, когда 匕厂仆一1)々+1 = °， определителю (2.27), деленному на выражение (2.28), если определитель (2.27) предварительно раскрыть по последнему столбцу, последней строке и оставшимся последним л# столбцам.

Учитывая (2.29), получим N屏i = detC泞.

Если

+i П 匕r(S-1)/ = о，

то, как легко заметить ВЦД 九】не имеет смысла, т. е. Ам = О, Вм = 0. В этом случае из (2.27) следует, что det СТ тоже равен нулю.

Если k + 1 определяется по алгоритму б) или в), то доказательство проводится совершенно аналогично, даже немного проще.曜

Утверждение /.2. Ветвящаяся дробь /А (1.11) имеет смысл тогда и только тогда, когда

(detC；)2 + (detC；)2：#0, где / = %+№ + ・・・+ Nk.

Утверждение /.5. Ветвящаяся цепная дробь/д (1.14) имеет смысл тогда и только тогда, когда

(detCj)2 + (detCj)a^0.

§ 3. Формула разности двух подходящих дробей. Свойство вилки

Установим формулу разности двух подходящих дробей % — Дп, которая в дальнейшем будет существенно использоваться при изучении сходимости ВЦД.

Введем рекуррентно сокращенные обозначения

Q/(s)=匕 t⑶,Q/(s)=匕 t⑶,Qf(p)=仇⑺ +Qf(p)=仇⑺ +中 々9+1)二 Q 能+D中 々9+1)二 Q 能+D(3.1)(3.1)

Q/(s)=匕 t⑶,

Q/(s)=匕 t⑶,

Qf(p)=仇⑺ +

Qf(p)=仇⑺ +

中 々9+1)二 Q 能+D

中 々9+1)二 Q 能+D

(3.1)

(3.1)

где s = 1, 2,・・•，夕=1, s— 1,厶=1, Л\ 々=1, s・

Пусть п>т, тогда, учитывая (3.1), на первом шаге получим

瑞一仆+ £端)=

\=1%=1

4=1

Аналогично для произвольного г<т устанавливается соотношение

N'

Q然）_Q將一］Q然）_Q將一］4(叶i)Q^+o^+d4(叶i)Q^+o^+d(Q^+i)-Q^D).(3.2)(Q^+i)-Q^D).(3.2)

Q然）_Q將一］

Q然）_Q將一］

4(叶i)

Q^+o^+d

4(叶i)

Q^+o^+d

(Q^+i)-Q^D).(3.2)

(Q^+i)-Q^D).(3.2)

Последовательно применяя соотношение (3.2) и учитывая, что

N

J ^i(/n+l)

после (m + 1)-го шага окончательно получим

九— 九=(一1)。 У 布尸 m—• (3.3)

При выводе формулы (3.3) естественно предполагается, что все Qf(!)К。(丄，3 N$ г = 1, s, s = л, /и).

Утверждение 7.4. Пусть элементами ВЦД (1.9) являются положительные действительные числа. Тогда справедливо свойство вилки, выраженное системой неравенств

/2а</2а+2</2/+1 </2/-1, (3.4)

где k, / — произвольные натуральные числа.

Доказательство. Так как все а^г)>0, Q%>0 (ir = 1, М『=1, s, s = п, /и), то, положив в формуле (3.3) n = 2fe + 2, m = 2k или и = 2/ + h = 2/ — 1, убеждаемся в том, что четные подходящие дроби монотонно возрастают, нечетные монотонно убывают. Если в (3.3) положить п = =2j + 1, т = 2k или п = 2k, /и = 2j+ 1 в зависимости от того 2/ + 1 >2山 или 2/ + 1 V2山，то убеждаемся в том, что ^2/4-1 > ® для произвольных натуральных j н 々.■

§ 4. Эквивалентные преобразования ветвящихся цепных дробей

Преобразование ВЦД, не изменяющее величин подходящих дробей, называется эквивалентным. Ветвящиеся цепные дроби, у которых все соответствующие аппроксимации совпала ют, называются эквивалентными.

Напомним, что произвольное эквивалентное преобразование цепной дроби (5) можно записать в виде [87]

%Р^-1Р月ь乱%Р^-1Р月ь乱(4-1)(4-1)

%Р^-1Р月ь乱

%Р^-1Р月ь乱

(4-1)

(4-1)

где р0 = 1, pft ^ 0 (fe = 1, 2, . ..) — произвольные комплексные числа.

Легко проверить, что ВЦД

N

4=14=1"f 仅)p?(左一1)P" 团%S)P?S)"f 仅)p?(左一1)P" 团%S)P?S)(4.2)(4.2)

4=1

4=1

"f 仅)p?(左一1)P" 团%S)P?S)

"f 仅)p?(左一1)P" 团%S)P?S)

(4.2)

(4.2)

где р“о)= 1, р,优)干 0 応=1, М 々=1, 2, . ..) — произвольные комплексныэ числа, эквивалентна ветвящейся цепной дроби (1.9). Если обозначить n-е подходящие дроби (1.9) и (4.2) через /л и % соответственно, то выполняются тождества

fn = fn (门==0, 1, 2,・• •). (4.3)

Но не всякое эквивалентное преобразование ВЦД (1.9) можно записать в виде (4.2), если требовать только выполнения тождеств (4.3).

В качестве контрпримера достаточно рассмотреть цепную дробь

а а а

Т + Т + Т 十

где а 卡 0. Если каждое а расписать в виде суммы а =»

1, 21, 3

=»§а + $а или。=彳。+ 彳。，получим две эквивалентные ветвящиеся цепные дроби с двумя ветками ветвления

111 + г+--111 + г+--23 а1 + •23 а1 + •21у а】 + тТ—т21у а】 + тТ—т2з а1 + •2з а1 + •

1

1

1 + г+--

1

1

1 + г+--

2

3 а

1 + •

2

3 а

1 + •

2

1у а】 + тТ—т

2

1у а】 + тТ—т

2

з а

1 + •

2

з а

1 + •

14a1+т+—14a1+т+—34 аТТГ34 аТТГ++3彳а1 +7T—т3彳а1 +7T—т3彳а1 + •3彳а1 + •

1

4a

1+т+—

1

4a

1+т+—

3

4 а

ТТГ

3

4 а

ТТГ

+

+

3

彳а

1 +7T—т

3

彳а

1 +7T—т

3

彳а

1 + •

3

彳а

1 + •

Ни одну из этих дробей нельзя преобразовать в другую, используя эквивалентные преобразования (4.2). Действительно, в этом случае должны выполняться, например, противоречивые равенства

11( 11

а = j apf(0)Pi, или I 4。= W аР“о)Р1‘

1 = 1 • Pi,I 1 = 1 • Рр

где р,(0)= 1, а * 0.

Вместе с ВЦД (1.9) рассмотрим произвольную ей эквивалентную ветвящуюся цепную дробь

NN% +2 S% +2 S〃=1〃=1喩喩А*%8)А*%8)(4.4)(4.4)

N

N

% +2 S

% +2 S

〃=1

〃=1

喩

喩

А*

%8)

А*

%8)

(4.4)

(4.4)

и обозначим /*, /* по (1.11) и (1.14) лентности следует,и обозначим /*, /* по (1.11) и (1.14) лентности следует,

и обозначим /*, /* по (1.11) и (1.14) лентности следует,

и обозначим /*, /* по (1.11) и (1.14) лентности следует,

ее fe-e подходящие дроби, определяемые соответственно. Из определения эквива- что должно выполняться равенство

厶=成 伍=0, 1，2,...).

Но этого еще не достаточно, чтобы дробь (4.4) приняла вид (4.2) при некоторых значениях p/(ft) (i^= 1, N,々=1, 2,・・.).

Утверждение 1.5. Произвольное эквивалентное преобразование ВЦД (1.9) можно записать в виде (4.2) тогда и только тогда, когда у данной и ей эквивалентной дроби совпадают все фигурные подходящие дроби вида (1.14), т. е.

fk = fk 伍=0, 1, 2, ...). (4.5)

Доказательство. Предположим, что произвольную дробь, эквивалентную ВЦД (1.9), можно представить в виде (4.2). Тогда, поеледовательно сокращая fe-ю фигурную подходящую дробь 7^ ВЦД (4.2) на отличные от нуля числа Р«р)(Р = К~Х i(p)W『(s)，s，厶，％，・••， G определяются согласно (1.12)) легко убеждаемся в справедливости (4.5).

Докажем обратное, т. е. что существуют отличные от нуля числа р(.(л), такие, что

碍(用=%仍，(1門，田，:伏)=bi(k)^i{ky (4・6)

где ift = 1, N, fe = 1, 2, ... , p«o)= 1. Действительно, из равенства ^ = 7* следует, что %/匕i = a；/匕；или а^® = =匕;/匕 1 = рР Если а： = 0 и 6* Ф 0, то необходимо а】=О и 匕1 W 0. Тогда Pi =匕:/仇 * 0. Если а； = 0,匕：=0, то рх— произвольное, отличное от нуля число. Если же 匕；=0» а：*0, то Pi = a；/ai*0. Поэтому а； =/р®⑼，6* = 61Р1> где р«о)= 1, Pi*0・ Из равенства /2 = /* и уже доказанного следует, что а* = Р2Рг.(0)^2> ” = %Р2，где р2^：0 и т. д. Таким образом, формулы (4.6) при 々=1 справедливы.

Предполагая, что соотношения (4.6) верны при h w п> докажем их справедливость при fe = и + 1. Пусть m~N-\- + № + •••+ Nn, I(Щ) = 11... 1. Рассмотрим фигурную подходящую дробь 忆+1 и перепишем ее компоненты с учетом (4.6), где h《п. Выполняя постепенное сокращение сверху — вниз на отличные от нуля числа р*°)(р = 1, и, % = 1, N、 и используя равенство (4.5) при 々 = /и+1, получим

j⑺)

b丄，(切+1)

°I(m)十力 "(m+1)

a b/(m) +

玄切+l)/P/(m) b続+1)

откуда

fl/(m+l)

"混+l)/P/(m)

"%?+1)

b/(m+l)

P/(m)"/(m+l)

力(m+D Pe・

Поэтому

°J(/n+l) —。〃/n+l)Pj{/n)P〃/n+l)， "/(m+1) — P/(m+l)"/(/n+l)，

где p/w+i)*。。Учитывая равенство /т+2 = /^+2 и уже доказанные соотношения для а* ... и 6* ... аналогичным образом устанавливаются формулы

。:⑺ 2 = °"m)2p/m)p/m)2，b：g)2 = ^ l(m)2^ Um)2

и т. д. Легко завершаем доказательство теоремы, убедившись в справедливости (4.6), где k = т -\- \. ■

Учитывая замечание после формулы (2.8), несложно доказать справедливость соотношений вида (11) для ветвящихся цепных дробей. Пусть Л*, В* —々•甘 числитель и 耳甘 знаменатель дроби /*. Тогда справедливы формулы

/4； = р⑴р⑵• * • p(s)/l月，5* = p(Dp⑵ * • • p(s)8总(々=1, 2,...), где

р,р)= П р“р)(р = 1，л)，p(s) = П p«s)f(p) (s^r(s) I J

произведения берутся по всевозможным допустимым наборам индексов, s, J, ", rs определяются согласно (1.12), 工炉 Bk — согласно (2.6). В частности, из (2.2) следует, что 人=pu)p⑵•・• р⑷4，В* pU)p(2)• • • р仅)当 但=1, 2,..・)， где р(Р)= Ц р/(р) (р = О).

Если в (4.2) числа р『*)подобрать специальным образом, то дробь (1.9) можно привести к более простому виду, не изменяя величин ее аппроксимант.

Так, если все 的仅)#=0 (ift = 1, 2V, fe = 1, 2, . ..), то, подставляя в (4.2) p/优)，последовательно найденные из системы уравнений

aiW^i(k-^i{k) =(〃 = 1，М 々=1，2,p*s = 1), (4.7)

получим ВЦД, эквивалентную (1.9), все частные числители которой равны единице [19]. Решение системы уравнений (4.7) запишется в виде

Р,&)= Д (砒)尸№+1 d = 6 = 1, 2, . ..). (4.8)

Следовательно, если все а^ =/： 0, то, подставив в (4.2)「,(左户 вычисленные по формулам (4.8), получим ВЦД, эквивалентную (1.9)

Х£ 詣，(4.9)

где

%)=瓦ОВ^З⑺尸产К (九=Е，6 = 1，2,…).(4.10)

Если же все 历(騎嶼 0 (iA = 1, 2V, fe = 1, 2, . ..), то, подставляя в (4.2)

Р«6 =(%))Т (" = О/, 6= 1, 2,…)，(4.11)

преобразуем (1.9) к эквивалентной ВЦД с частными знаменателями, равными единице [19],

，+ 方 £(4.12)

где

仃⑸=a“/d)瓦Li)(厶==1,",々=1, 2,…，瓦(①=1). (4.13)

§ 5. Последовательности областей элементов и областей значений

Рассмотрим последовательности непустых множеств {◎«»} и {匕同} (fe = 0, 1, 2, .. . , % = 0,、九=i〃M 々 a 1), где все 0#=匕⑸三© и 0=#0®*6хС，I； —расширенная комплексная плоскость.

Последовательность {S2ha)} называется последовательностью областей элементов, {厂貿力)}——последовательностью областей значений, соответствующих {Rf^)}, для ВЦД

%例+方£号厂，%例+方£号厂，(5.1)(5.1)

%例+方£号厂，

%例+方£号厂，

(5.1)

(5.1)

если

(5.2)

А』я《а?（枷 勿优）〉£ ^ца） （^ = 0, 1, 2, . * .,『о = 0, 〃 = 1, N, 々 A 1）,

£匕信）（5.3）

для произвольных &а+1）£ %+1）н〈砌枷 瓦而0（粉（々=0, 1, 2, . . . , to = 0,厶=1, TV,々 а 1）・ Условие （5.3） с учетом обозначений （1.2）, （1.3） в дальнейшем будем записывать в виде

力他）（厂弘）三匕s）.

Если {V\@）}——последовательность областей значений, соответствующих последовательности областей элементов {и?®}, и если для каждой последовательности {У/（А）} областей значений, соответствующих 攸?优）}, имеем

匕з）三匕（騎（々=0, 1,2, 厶=0,厶=1, Л\ 々 а 1）, то {U*用} называется наилучшей последовательностью областей значений.

Аналогично {R?他）} называется наилучшей последовательностью областей элементов, соответствующей последовательности областей значений {У^}, если для произвольной последовательности областей элементов {◎；&）}, соответствующих {匕仿）}, выполняются условия

£2%力）三 Qf&）（々 = 0,1, 2,・・・，？0 = 0,厶=1, Л\ 々 а 1 ）•

Теорема 1.2. Пусть {R?（力）}——некоторая последовательность областей элементов и {V\（»}——некоторая последовательность соответствующих областей значений. Тогда

для произвольного m》k

3凿-£匕S)(々 = 0，1，2,・・•3凿-£匕S)(々 = 0，1，2,・・•，o = 0, " = 1, Л\ 々 A 1）,（5・4），o = 0, " = 1, Л\ 々 A 1）,（5・4）

3凿-£匕S)(々 = 0，1，2,・・•

3凿-£匕S)(々 = 0，1，2,・・•

，o = 0, " = 1, Л\ 々 A 1）,

（5・4）

，o = 0, " = 1, Л\ 々 A 1）,

（5・4）

если〈а"p），瓦⑷〉£r寅p）（々 < p w 加，‘0 = °' ％ = 1, N、р - =々，т） и（2^）определяются согласно （3.1）, причем Q^（o）= %;

（5.5）（5.5）последовательность

（5.5）

（5.5）

：（砌刀,加⑺）£Rf（» Р = kt m, i

（々=0, 1, 2,・・・,to = 0, ^ = 1, Л\ 々 а 1, т > k — произ-

вольное) является лоследовательностью наилучших областей значений, соответствующих {Rfa)}・

Доказательство. 1. При m = k согласно (3.1) Q馭)=历⑷ и (5.4) совпадает с (5.2). Для доказательства (5.4) используем метод математической индукции по р = =加—瓦 Пусть a*「)/Q馭)£匕(力 для произвольных наборов индексов, таких, что s — гср. Тогда a?5)/Q盅)£匕⑺，где индексы произвольные и / — m = p+L Действительно, согласно (3.1) имеем

4⑷,,▼气什i)

J 心(什1)

Остается учесть предположение индукции и свойство (5.3) областей значений.

То, что последовательность {取『仅)} является последовательностью областей значений, сразу следует из (5.3) и (3.1). Если {匕伐)} — произвольная последовательность областей значений, соответствующих {Q?@)}, то из (5.4) следует, что

^(А)写匕仅"

Поэтому {取“力)} — наилучшая последовательность областей значений..

Обозначим К множество

К = {VW 三©, V—замкнутое множество, dV —окружность либо прямая).

Теорема 1.3. Пусть {а“м} —последовательность областей элементов, {厂“切}——соответствующая последовательность областей значений и введены обозначения

储=T〃(H〃+D)5 = 0, 1, 2,・・•)，где Тп определяются по рекуррентной формуле (7.5),

力"⑴)=% (耳 + Vi + V2 + …土么)r,%а)"眩))(厶=1, M 々=1,孔)

определяются согласно (1.2)，厂必)вводятся аналогично (1,3). Тогда

DКт三協三吟5 = 1, 2,・・・)；(5.6)

пусть 匕⑷£К (々=0, 1, 2,・.・，％ = 0,厶= ТГ^,

佗 a 1), причем для каждого набора индексов 厶,%,••・,Z^i выполняется одно из условий:

все 匕(力)(点=1, N)—замкнутые круги,

если существует i力,что V\(騎——внешность круга, то есе остальные 厂“力一切 (j = l, N, j # 〃) обязательно замкнутые круги, причем

N

г映)> £^(A-D/>

/=1, /卢厶

где 々w — радиусы кругов в соответствующих областях в) Vi{k)(【%= 1’ N) либо круг, либо полуплоскость, причем угол наклона всех, полуплоскостей к действительной оси один и тот 宛е.

Если при некотором 孔。множество К% является замкнутым кругом, то все 储 (几 > /г0) — замкнутые круги.

Пусть R〃 и Сп обозначают радиус и центр круга Кп, тогда существуют пределы

lim R〃 = R, lim Cn = C. Cf8〃f8

К〃” = 7用(Н"+2)) =а("+1)К〃” = 7用(Н"+2)) =а("+1)=4=4Доказательство. 1. Используя обозначения (1.3) и (1.5), имеем

К〃” = 7用(Н"+2)) =а("+1)

К〃” = 7用(Н"+2)) =а("+1)

=4

=4

b5+1)_(_出(计1)+2仆+1)Hh#仆+D/'

где M"+D—вектор вида (1.3) с фиксированным последним индексом 々，т. е.

=(匕丄;出г上二师，.一，乜竺二纱).

门+ 1门+'l几+1

Для каждой компоненты вектора

65+1)+ yS+i)十？了(叶i) _(_)"#С"+1)

в силу (5.3) выполняется условие

勿(计1)十也什1)?+ %什i)2+二:十也计1)n一

откуда следует (5.6).

Выполнение условий а), б), в) гарантирует то, что A\£K. Из (5.6) следует, что Rn монотонно убывает для па%. Из неравенства

I &+т — Сп I W R〃+m — Rn

следует, что существует limC〃 при пт 8.

Следующая теорема указывает, как построить {Q『依)} по заданной последовательности {厂“田}, когда все 丿“舟—— круги.

Теорема 1.4. Пусть {匕他)]—последовательность кругов 匕3)= {侬£ С ： I 侬一「肉 I w Р『з)}, I Г?з)IV р?з) (5.7) =0, 1, 2,・・.，z； = 0, 〃 = 1, M 々》1)

и

Qi向={〈4肉，瓦肉〉：I ^(ik)(瓦肉 + r*Л))—

—「依)(I 瓦3) + Г*А) I2 - P:i))l + I aw I p高 < P"b (I 瓦他)++ 1?依)|2-p誘)但=°，1，・・•，‘。= 0, eZ = E/>1),

(5.8)

e°e Г*А)= 工 П仅+i), P*a)= £P№+i)・

厶+1=1鹽+i=i

Тогда {1Л，仅)} меняется последовательностью областей значений, соответствующих последователъности областей элементов {Qf仅)}・

Доказательство. Все £2*衿 次 0, так как в силу второго неравенства в (5.7) неравенство (5.8) выполняется при 必伍)=0. Из (5.8) следует, что необходимо |加(田 +「脑|》 а р脑.Если ai(^ =# 0, то

也3)+單3)1>Р；(»・.(5.9)

Область S?肉=bi{k)+ £ 匕*Gfe+i), где рассматривается арнф- %+i=i

метическая сумма множеств K(a+i), является кругом с центром в точке 勿但)+ Г*а)и радиусом р髙.Условие (5.9) гарантирует то, что 0《§№), если 公仇)片0・

Следовательно, множество 1/5『但)является кругом. Если ?з)= arg ®開)+「髙)，то точки

仃關)=瓦优)+ Г* А)— Р*а)exp (iyi{k^&•他)=灰(力)+ Г 标)+p/)exp (£»”))

являются концами диаметра круга S“^)и поэтому в силу конфорнссти дробнс-линейного отображения, точки 1/4”)， l/d((A)являются концами диаметра круга 1/5((а).

Рассмотрим круг а『(力)/S“力)и обозначим р«力)и q^k) его радиус и центр соответственно. Учитывая значения для c^k) и 九)，имеем

IIр方力)_ 々S) (后伍)+ 手詼))

"“ I %s)+ 暗)I2 —Р/Д) *"“ 饱仅)+ г*(а)Is — Р* А)

Для выполнения условий (5.3) необходимо, чтобы

I 口⑷—qt⑺ I + Pw w pfs)・

После несложных вычислений отсюда получаем (5.8)..

Теорема 1.5. Пусть {厂火力)}——последовательность полуплоскостей

匕a) = {侬：Re (w exp (一呐))》一竺必川出> О

(々=0, 1, 2,.・・，％ = 0,厶=1, Л\ 々 а 1)(5.10)

Q&)= {〈S”)，big ： |。“力)I — Re @ю exp(—i (屮力 + 恥+i)) «《2卩&)[Re (历S)exp (—i^a+O) — P**)]

(々=0, 1,・・・，％ = 0,厶=1, Л\ 々》1),(5.11)

aOe pi(k)= £ P“/+D， 冗 V 屮力 w 冗(fe = 0, 1, 2,..

Тогда {1Л&)} является последовательностью областей значений, соответствующих последовательности областей элементов {QZ-(A)}.

Доказательство. Условия

Re (历出exp (—/恥+i)) а成力)(々 = 0, 1,・・・，

九=0, ^ = E, 々Al)(5.12)

являются необходимыми для того, чтобы область (5.11) имела смысл. Если справедливо (5.12), то неравенства (5.11) выполняются, когда а^ = 0 и поэтому QZ(A)=/= 0.

Пусть

Re (瓦(6exp (-i电中))=成6).(5.13)

Тогда

6-(« "以))=也：Re(5exp i (必+i — arg&(疝 > 0}. (5.14) При выполнении равенства (5.13) область (5.11) будет непустым множеством лишь в том случае, если @吆恥)=恥 + 丄恥+i・ Выполнение последнего равенства с учетом (5.14) гарантирует включение (5.3). Так как 0 g V^+d，то отсюда следует справедливость (5.2).

Пусть

Re (瓦・® exp (—i 恥+i)) > 盛).

Легко посчитать, что в этом случае

〃а)(У*Ь) = {侬ЕС ： I 侬一с“》| v p，a)},

где

""2 [Re （%的exp （一叫+卩）一啖）]'C，s）= P，•⑷ exp U （arg а，м）—恥+》.

Тогда условие （5.3） будет выполняться, если с^ £ V^ и для расстояния от точки с«» до границы области 匕⑶ справедливо неравенство min（|a&）—%从 力优代。匕&）） > р（）・ Подставляя значение для Ci（k）в （5.10）, получим

—Re [ai（k） exp （—i （必 + 恥+D） << PKk） [Re ®&）exp（—№+i））—成力

Это неравенство следует из （5.11）. Обозначим 山的 точку из °匕（也力 для которой

I d®} — Ci（^ = min （I Ci（k）— vi（k）|,勿优）£。匕”））・

Несложно проверить, что

办同=exp C恥）[一小a）+1 Im （q优）exp （一叫力）] и

I 山也）-Gu）I = p?的 cos （arg 必优）一^a+i -屮力）+ 0a）•

Неравенство |d“对 ——сц^ | > р*（А）эквивалентно （5.11）.・ Области элементов для ВЦД

«+2* 产）（5.15）

обозначим £\&）, т. е. предположим, что

ai（k）^Ei（k）^（L （々=0, 1, 2,, J = 0, ^ = 1, N,々 а 1）.

Аналогично через 6“騎 будем обозначать области элементов ВЦД

Приведем некоторые следствия теорем 1А и 1.5. Следствие ". Множества

У £（也）={侬：I I < 2y^ （々=0, 1, 2, •..,办=о,厶=L M 々A 1）,

E，a)=(5：|w|《田(々 = 0，1, 2,…，

to = 0,厶=GV,々 > 1)

являются соответствующими областями значений и областями элементов ВЦД (5.15).

Следствие /・2・ Множества

Qf® = {©优)，仇阳〉：I bfS) I a N 14s)l + D

(々=0, 1, 2,・ * ・，％ = °,厶=1, M 々 a 1)

являются соответствующими областями значений и областями элементов ВЦД (5.1).

Следствие 1.3. Множества

匕&) = {д:|з| <р抬)},

&(»=w：|w|> 工 p，a+i)+^・

优=0, 1, 2,・・ * , t0 = 0,灰=1, М А > 1)

являются соответствующими областями значений и областями элементов для ВЦД (5.16).

Следствие 1.4. Множества

Vi^ = U(a) = {侬：Re (侬exp(—ia) > —-^ cosaj,七依)=E (a) = {侬：I 侬 I — Re (w exp (—2ia)) < £ cos2 a

(々=0, 1, 2,, % = 0, & = 1, M A a 1),

где —号 V a V ^ , являются соответствующими областями значений и областями элементов ВЦД (5.15).

Множество Е (а) является параболической областью, ограниченной параболой, проходящей через точку ——呑 с осью вдоль луча argoy = 2a и фокусом в точке —^ х Xcos2aexp(t2a).

Рассмотрим вопрос о наилучших областях элементов.

Теорема 1.6. Пусть {卜貝力）} — заданная последовательность областей из ©, удовлетворяющая условию: если

—1 € Е 匕а+1）, то 8£ 匕（*）“ если s£ 工 匕（厶+i）,%+日%+日

mo °£匕他），где рассматривается а ри фметическая сумма областей.

Пусть

8%）= П {（1 + 5）%1）：碇U箍）旦

旦 S 1 匕a+i）\{—1, 8}} Г）匕&”（5J7）

где 々=0, 1,2, .. . , i0 = 0, 〃 = I, М 々 а 1, {—L 8}— множество, состоящее из двух точек ——1 и оо.

Если все f*А）丰 0, то

последа вате льност ь {匕⑸} является последователь^ ностъю областей значений, соответствующих последовательности областей элементов {皮（Q для ВЦД （5,15）;

{七方力）}——наилучшая последовательность областей элементов, соответствующая последовательности областей значений {Vw}.

Доказательство. Условие 戌（切 片 0 является необходимым для областей элементов. Из определения £》力）следует, что £扌力）三 厂“力）.Таким образом, условие （5.2） выполняется.

Пусть 研力）£皮色），a*炒#0, то для пPоизвольного д£Р% существует 〃侬 £廿*切,что 。*切=〃侬（1 上 ®）・ Следовательно, ДЛЯ произвольных 侬“力+D £ UfGt+l） таких, что

з=£з?仅+1） *-1，8，

厶+1=1

имеем

+ £叫.+1） 5+1=1

С учетом условий теоремы получим inkAV^k））^^^ Таким образом, пункт 1） доказан.

Докажем пункт 2）. Пусть {£7仅）} — произвольная последовательность областей элементов, соответствующих областям

значений ｛厂“力）｝. Тогда согласно （5.2） имеем Е心 uV\s）・ Из （5.3） следует, что для произвольного сц（必 £Е心 и произвольНЫХ Wi^x^V 1^\）

+£%+i）

*+1=1

Следовательно, Е 认必三 Е%® для всех наборов индексов..

Теорема 1.7. Пусть ｛廿*力）｝——заданная последовательность областей из ©, удовлетворяющая условию, если

8£ £ Уi｛k+^ то °£ 匕优）勿+1=1

и пусть

N

6如=2|/—w.w^v*^ df £ v^+n—｛о©｝］（-）-гД-

【У*左）=,1丿 У"左）

樓+1=1

（々 = 0, 1, 2,・・・，八=0,厶=匸后，々А 1）. （5.18）

Если все G*a）丰 0, то

последовательность ｛厂“力）｝ является последователь- ностъю областей значений, соответствующих последовав тельности областей элементов ｛G加）｝ для ВЦД （5.16）;

｛G?G — наилучшая последовательность областей элементов^ соответствующих последовательности областей значений ｛厂寅力）｝.

Доказательство проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Действительно, из определения （5.18） следует, что G高三 1/匕&）, поэтому \lbi^^Vi｛k）и, таким образом, выполняется （5.2）,

Пусть 瓦s）£G乳），тогда для произвольного 侬 £ 厂林 существует uw^ Vt^, что 历优）= （1/〃J —侬.

Следовательно, для произвольных 侬*力+1）£ 匕（々+i）, таких, что

з=£ 恥+1）*8，

имеем ^\—1

bi（^ +£ 叫优+d）=（历仅）+侬广1 = "切£匕仅）.

Поэтому办）（厂限））三匕妙

Пусть {G；a)}——произвольная последовательность областей элементов, соответствующих последовательности областей значений j匕优)}・ Тогда согласно (5.2) имеем G&)三 1/匕仅卜 Из (5.3) следует, что для произвольного 加(力)£6血)и произвольных ОУ((А+1)€^(А+1)

历仅)+ \|侬"叶1)£ V- •4+1=1

Следовательно, 6浓)三 G”#.・

Следствие /.5・ Для того чтобы последовательность {У((А)}, удовлетворяющая условиям теорем 1.6 или 1.7 была последовательностью областей значений, соответствующих последовательности областей элементов {七“力)} для ВЦД (5.15) или {6*也)} для ВЦД (5.16), необходимо и достаточно, чтобы все 云加)* 0 или все G%)* 0 соответственно, где 反编，G%) определяются в терминах {匕(力)} согласно (5.17) или (5.18).

Глава 2

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СХОДИМОСТИ ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

Проблема сходимости цепных или ветвящихся цепных дробей заключается в том, чтобы на основании информации о коэффициентах дроби сделать вывод о ее сходимости или расходимости. Используя особые свойства сходимости голоморфных функций [22], эту задачу можно несколько упростить. Если, например, подходящие дроби являются голоморфными функциями в области D, то для доказательства равномерной сходимости дроби внутри D достаточно доказать равномерную ограниченность внутри этой области и исследовать сходимость на некотором подмножестве D. У Стилтьеса [60] в качестве подмножества рассматривается круг, у Витали [99] — бесконечное множество точек, имеющее предельную точку внутри области D. Дальнейшим развитием вопросов сходимости голоморфных функций является введение Монтелем так называемого нормального семейства аналитических функций [42].

Методика исследования сходимости последовательности голоморфных функций одного переменного в принципе переносится и на функции многих переменных. Трудности, которые здесь возникают, в основном связаны с теоремой единственности. Монтель [42] исследовал нормальные семейства аналитических функций двух переменных.

В работах А. А. Гончара и Е. А. Рахманова (см., например, [53]) эти результаты получили дальнейшее развитие. Из сходимости по емкости внутри области делается заключение о равномерной сходимости последовательности голоморфных или мероморфных функций внутри области. А. А. Гончар в работе [24] установил принципиальный результат: из голоморфности диагональных аппроксимаций Паде внутри области, удовлетворяющей некоторым дополнительным ограничениям, следует их равномерная сходимость внутри этой области. Эти соображения переносятся и на некоторые типы функциональных цепных дробей, например на дроби Чебышева, присоединенные цепные дроби. Однако в общем случае аналогичное утверждение для цепных дробей неверно; из голоморфности

еще не следует сходимость. В качестве контрприм ера достаточно взять S-дробь

%+ Ь f,力=1 °k

где b力 >0 (々=1, 2,.・・),г принадлежит произвольному компакту области G = {z£C; z #= 0, |argz| V»} и ряд 工 bk сходится. Тогда для этой дроби существуют конечные пределы четных и нечетных подходящих дробей.

Следовательно, общие методы исследования сходимости последовательности голоморфных функций упрощают, но не снимают проблему сходимости цепных или ветвящихся цепных дробей. Поэтому задача исследования сходимости, по крайней мере локальной, цепных дробей или их многомерных обобщений с учетом структурных особенностей этого аппарата является актуальной. Кроме того, условия голоморфности подходящих дробей тоже желательно формулировать на языке эпементов цепных или ветвящихся цепных дробей.

При исследовании сходимости непрерывных дробей существенно используются линейные рекуррентные соотношения для числителей и знаменателей подходящих дробей и тот факт, что дробно-линейные отображения, лежащие в основе построения дроби, образуют группу, если в качестве групповой операции рассматривать композицию отображений.

Для ВЦД рекуррентные соотношения, аналогичные (8), несправедливы. Совокупность многомерных дробно-линейных отображений тоже не образует группы. Таким образом, разработка общих методов исследования сходимости ВЦД является актуальной задачей.

В работе С. Б. Стечкина и П. Л. Ульянова [59] изложены результаты, посвященные сходимости рядов, где по поведению подпоследовательности частных сумм на некотором подмножестве £ делается заключение о поведении на этом подмножестве или на всем £ всех частных сумм. Эти исследования представляют для нас большой интерес, так как условия сходимости или расходимости ветвящихся цепных дробей, как правило, формулируются на языке расходимости или сходимости рядов, составленных определенным образом из элементов дроби.

В § 1 определены различные виды сходимости ВЦД, доказаны две теоремы о взаимосвязи безусловной и фигурной сходимости с обычной сходимостью для ВЦД с положительными членами.

В § 2 дано определение и рассмотрены примеры макси- мантной и мажорантной ВЦД, дано определение аналога

фу н дамен та ль н ых неравенств. Эти методы будут применяться при исследовании сходимости ветвящихся цепных дробей с комплексными компонентами.

При исследовании сходимости ВЦД с положительными элементами используются некоторые специальные неравенства, доказательству которых посвящен § З.Эти неравенства представляют также самостоятельный интерес. В работах Р. И. Михальчука для них установлены континуальные аналоги.

В § 4, используя схему доказательства теоремы Монтеля, изложенную в первом издании учебника Б. В. Шабата [70, 71], приведено доказательство многомерного аналога этой теоремы.

Различные виды сходимости ВЦД

Рассмотрим ВЦД с числовыми комплексными элементами

耳+3£殍. (i.i)

I t勿仅)

Впредь будем всегда предполагать, говоря о различных видах сходимости ветвящихся цепных дробей, что все их подходящие дроби имеют смысл или лишь конечное число подходящих дробей не имеет смысла.

Говорят, что ВЦД (1.1) сходится, если существует и конечен предел последовательности ее подходящих дробей (1.11) гл. 1. Величину этого предела будем называть значением бесконечной дроби (1.1). Ветвящаяся цепная дробь (1.1) расходится, если бесконечное число ее подходящих дробей не имеет смысла или не существует единого конечного предела последовательности {%}, или lim /А = оо при 々f 8. Из свойства вилки (3.4) гл. 1 следует предложение.

Предложение 2.1 [57]. ВЦД (1.1) с. действительными положительными компонентами сходится тогда и только тогда, когда

丿而(/2也+1 一加)=0.

Иногда удобно рассматривать более общее понятие сходимости ВЦД, которое, следуя О. Перрону [87], назовем сходимостью в широком смысле. Будем говорить, что ВЦД (1.1) сходится в широком смысле, если существует предел последовательности (1.11) гл. 1 при 〃f 8 (возможно, равный бесконечности)

Ветвящиеся цепные дроби вида

门(т)=仇(т) + Ь V 产) %=1门(т)=仇(т) + Ь V 产) %=1(1-2)(1-2)

门(т)=仇(т) + Ь V 产) %=1

门(т)=仇(т) + Ь V 产) %=1

(1-2)

(1-2)

(m = 1, 2, ... , im=\, N) называются m-ми остатками ВЦД (1.1).

Ветвящаяся цепная дробь (1.1) называется безусловно сходящейся, если сама дробь (1.1) сходится и все ее т-е остатки (1.2) сходятся (m = 1, 2, ... , J = ', N). Если ВИД (1.1) сходится, а некоторые ее остатки расходятся, то она называется условно сходящейся.

Теорема 2.1 [5]. Для ВЦД (1.1), у которой элементами являются действительные положительные числа, безусловная сходимость эквивалентна обычной сходимости.

Доказательство. Необходимо только доказать, что из сходимости ВЦД (1.1) следует сходимость всех ее т-х остатков (1.2), где m = 1, 2,...,底= 3 N, h = \, т.

Рассмотрим ветвящуюся цепную дробь

历⑴+Г 衿(h = O) (1.3)

и обозначим ее n-е аппроксиманты /]?. Из свойства вилки (3.4) гл. 1 для ВЦД (1.3) следует, что существуют конечные пределы

Пт 附= G“i), Нт^+1, = Л(1) ZHf 8Ef8

и выполняются неравенства

G,(i)《戶“1)(&=1,")・(L4)

Так как ВЦД (1.1) сходится, то

瓦+』醬= м + £*・

Следовательно, в силу (1.4) для произвольного 厶(匕= =1, N) 戶“I)= Gf(i), что эквивалентно сходимости ВЦД (1,3). Аналогично доказывается сходимость ВЦД (1.2) для произвольного натурального m и произвольного набора индексов J；, ^2 > • • • , »т・

Будем говорить, что ВЦД (1.1) сходится абсолютно, если сходится ряд

£ 1/>н-1 — /а!»(1*5)

составленный из ее подходящих дробей (1.11) гл. 1.

Пусть {Ф^}——некоторым образом упорядоченная последовательность произвольных фигурных подходящих дробей ВЦД (1.1). Возможно, 6 = % или ФА = Fk (см. (1.14), (1.15), гл. 1), но не обязательно. Обозначим тА и Mk минимальную и максимальную длины ветвей подходящей дроби Ф^. Предлагается, что оо при оо.

Будем говорить, что ВИД (1.1) сходится фигурно, если все ФА (й = 1, 2,…)имеют смысл или лишь конечное число 近左 не имеет смысла, минимальная длина mk веток й-й фигурной подходящей дроби стремится к бесконечности при 厶 f 8, существует и конечен предел последовательности ФА при 々f 8.

Остановимся вкратце на взаимосвязи фигурной и обычной сходимости для ветвящихся цепных дробей с положительными членами.

Теорема 2.2 [3]. Если ВЦД (1.1) с положительными действительными компонентами сходится, то она сходится фигурно и к тому же пределу.

Доказательство. Рассмотрим конечную ВЦД

2р+1 f2p+l=b0+ D(1.6)

где 匕加)=瓦娥)(左 & 2р) и ”“2p+i)a b«2p+i)也=\ , N,"= 匸 1, 2p + 1).

Для ВЦД (1.6) по аналогии с (3.1) гл. 1 введем сокращенные обозначения «片幺)14)， Методом математической индукции легко проверить, что

或得出)> Q,得珀)但=^).

Поэтому %р+1《,2p+i・ Из свойства вилки (3.4) гл. 1 следует, ЧТО，2р《，2р+1・

Для произвольного сколь угодно большого номера 々 существует такой номер р, зависящий от k, что для всех и а > 々 справедлива оценка

(1-7)(1-7)f 2P V fn《『2p+I・

(1-7)

(1-7)

Число р выбираем из условия

2р + 1《min(mn :《 2р + 2.

Так как тп^ оо при п-> оо, то и pf 8 при и-> оо.

Оценка (1.7) следует из предыдущих рассуждений, если ввести соответствующие переобозначения таким образом, чтобы fn = /2р+1- Поэтому из обычной СХОДИМОСТИ в силу предложения 2.1 вытекает, что ВЦД (1.1) сходится фигурно и к тому же пределу. ■

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В качестве контрпримера достаточно взять ВЦД с положительными действительными членами, фигурные подходящие дроби которой совпадают с четными или нечетными подходящими дробями. Пределы четных или нечетных подходящих дробей всегда существуют, сама же дробь может сходиться или расходиться.〜

Замечание 2.1. Если ФА = /А (々=1, 2, …)，где /А-я фигурная подходящая дробь определяется согласно (1.14) гл. 1, то в силу теоремы 2.2 и соотношений (2.1) гл. 1 сходимость ВЦД (1.1) с положительными членами эквивалентна обычной сходимости.

Пусть %(z), a，a)(z), bi(k)(г) (ik= \ , N, k= \ , 2,...)— некоторый набор комплексных функций, определенных в области Dcz^n, z =(之1,之2， •・・，2%)・ Рассмотрим функциональную ВЦД

〃(z)+$£ 縹(1.8)

I %s)()

и обозначим fk(z) ее 々・ю аппроксиманту, Ak(z), Bk (г) — Ай числитель и знаменатель соответственно.

Будем говорить, что ВЦД (1.8) равномерно сходится на множестве Еи0, если начиная с некоторого номера п0 всюду на Е Bk(z) ^= 0 (左 > %) и для произвольного е>0 существует такой номер их > п^, что для всех 〃，加 >〃] и произвольного z£E выполняется неравенство

|fn(z) —/т(г)|<е..

Если все сказанное выше справедливо для произвольного множества Е D, то говорят, что ВЦД (1.8) равномерно сходится внутри области D. Здесь символ Е £ D означает, что Еи0, где £ — замыкание Е.

Метод мажорант. Аналог метода фундаментальных неравенств

Для того чтобы убедиться в естественности приведенных ниже определений, изложенных в работе [10], вспомним, что мажорантным рядом для функционального ряда

Е &(z), (2.1)

где fA(z) (々=1, 2, . . .) — комплексные функции комплексного переменного г, заданные в некоторой области D, называется числовой ряд

(2.2)(2.2)Xi秋, fe=l

(2.2)

(2.2)

где 色》0 (々=1, 2, …)，такие, что

\fk^)\^ak (k= 1, 2, . ..).(2.3)

Если обозначить Sn и sn п-е частные суммы рядов (2.1) и (2.2), то условие (2.3) можно переписать следующим образом:

15* — Si I < I 战一sA_11 (й = 1, 2, . . .).(2.4)

Определение (2.4) естественно обобщается и на ветвящиеся цепные дроби, если под Sk и 5Л подразумевать 々-е подходящие дроби данной и мажорантной ВЦД соответственно.

Ветвящаяся цепная дробь

4+3 工押(2.5)

5

с числовыми комплексными элементами называется максимантой (минимантой) ВЦД (1.1) или (1.8), если для произвольного неотрицательного целого числа k справедливо соотношение

lAI^I^I(1Л1 >1^1)(2.6)

или 1fMz)1《Ml (|%(z)|》|g3),(2.7)

где "i£№, не обязательно равное N, и Д, /А(г), gk ——й-е аппроксиманты ВЦД (1.1), (1.8) и (2.5) соответственно.

Пр имер 2.1. Несложно проверить, что максимантами ВЦД

являются(2.9)(2.Ю)(2.11)(2.12)являются(2.9)(2.Ю)(2.11)(2.12)с действительными положительными элементами цепные дроби, т. е. Л\= 1, вида

являются

(2.9)

(2.Ю)

(2.11)

(2.12)

являются

(2.9)

(2.Ю)

(2.11)

(2.12)

力 丄 TV TV TV

°。十瓦+ £ + &, +瓦+…

ИЛИ

ь 也 TV TV TV

"0+ 6 + 司+6 + 反+ а минимантами — цепные дроби вида

匕 TV TV TV TV

0十反+焉+论+圆+… или

/?丄丄 乜 丄 也

° Pi + 0 + pg + 0 + • • • >

где N — число веток ветвления ВЦД (2.8) и

% = min (勿仅):ip = TTW, p = ГД),也=max 也他)：J = 1, TV, p — 1, k)——соответственно минимальный и максимальный элементы ВЦД (2.8) на 々-м этаже, минимум и максимум берутся по всевозможным наборам индексов &, /2,...,厶, каждый из которых независимо пробегает значения от 1 до N.

Из сходимости максиманты ВЦД (1.1) или (1.8) еще не следует сходимость данной дроби.

Ветвящаяся цепная дробь (2.5) с комплексными числовыми элементами называется мажорантой (минорантой) ВЦД (1.1) или (1.8), если существуют такое неотрицательное число ri。 и положительная константа Af, что для всех целых и, m > п0 справедливо соотношение

I fn — fm\<M\gn — gm |(| fn — fm | > M \ gn — gm |) (2. 13)

ИЛИ

\fn {^ — fm(Z)\《M|g“一gm|(|AJz) —

—fm(Z)| > M I gn gm |),⑵ 14)

где M£№ не обязательно совпадающее с N, и %, /п(г), ^гп —n-е подходящие дроби ВЦД (1.1), (1.8) и (2.5) соответственно.

Очевидны следующие утверждения.

Празложение 2.2. Если, мажоранта (2.5) ВЦД (1.8) сходится, то сама дробь (1.8) равномерно сходится в области D.

Предложение 23 Если мажоранта (2.5) ВЦД (1.8) сходится абсолютно, то сама дробь (1.8) сходится абсолютно и равномерно.

Пример 2.2. Покажем, что мажорантой ВЦД (1.1) с комплексными компонентами, удовлетвор яющими условиям |М)|砒)丨+1 (厶= Г^, 々=1, 2, ...), (2.15)

является ВЦД

屏+6工(2.16)

Действительно, если для ВЦД (2.16) по аналогии с (3,1) гл. 1 ввести рекуррентно сокращенные обозначения

0热)=I力心)I，0能)=I仇(卩)I - e )"爲(2/7) %+日 Qfm+i)

(s = 1, 2, . . . , p = 1, s — 1, 1且=\、N、A = 1, s), то методом математической индукции легко проверить, что к熱1>魂)>n研)| (E = s,

s — 1,, 1, i\ = 1, A^).(2.18)

Действительно, при k = s имеем

IQ鴉 II I = Q!-(s)> " II + 1 > " 14(s)

Предполагая, что неравенство (2.18) справедливо при и = =А + 1, докажем его справедливость при п = k. Имеем

IQ显)I =IQ显)I =bi{k) +bi{k) +A I 瓦")I -A I 瓦")I --£%+l=l-£%+l=lI 05+1) II 05+1) II o(s)1 «№+DI o(s)1 «№+D^a也8)1 -工%+l=l^a也8)1 -工%+l=lI 々S+l) I旣+DI 々S+l) I旣+D=0隈)>I加肉I - 1 > N|a"同卜=0隈)>I加肉I - 1 > N|a"同卜

IQ显)I =

IQ显)I =

bi{k) +

bi{k) +

A I 瓦")I -

A I 瓦")I -

-£

%+l=l

-£

%+l=l

I 05+1) I

I 05+1) I

I o(s)

1 «№+D

I o(s)

1 «№+D

^

a也8)1 -工

%+l=l

^

a也8)1 -工

%+l=l

I 々S+l) I旣+D

I 々S+l) I旣+D

=0隈)>I加肉I - 1 > N|a"同卜

=0隈)>I加肉I - 1 > N|a"同卜

Следовательно, Q爲 中 0, @爲 >0. Поэтому для разностей двух подходящих дробей ВЦД (1.1) и (2.16)加一％, g“一 — gm где и > m, можно воспользоваться формулой (3.3) гл. 1. Имеем

\fn — fm I《

m+1m

□ IQ鵲lEQ瑞I

m+l

П I 々S) I 也=1

n(一]。汝)1)

《(—1 产+1 Z 盖茂：=-(gn~ gm).

+ 1 I A=1

Второй метод, который мы будем использовать при исследовании сходимости ВЦД, хотя и тесно примыкающий к методу мажорант, все же в идейном отношении ближе к известному в теории цепных дробей методу фундаментальных неравенств (см. (30)). Его достоинством является то, что он дает возможность оценивать скорость сходимости ветвящихся цепных дробей.

Будем говорить, что для ВЦД (1.8) выполняются фундаментальные неравенства, если

Q加 #0 (々=1, s,厶=1, М s = 1, 2, ...) (2.19)

и существуют положительные константы рА 仅=1, 2,...) такие, что

(2.20)(2.21)(2.20)(2.21)£ [閔^ I w Pl(S = 1, 2,…),

(2.20)

(2.21)

(2.20)

(2.21)

%s+】)(z)/).，力丄 V1 &S+1)C

而j W Pa+1 “S) (z) + 乙 T^j—

4+1=14+1=1乜u+1)t“i=i Q，s+1)

4+1=1

4+1=1

(L8)(L8)выполня-D, если,выполня-D, если,(ik = 1, М 々=1, s, s = 1, 2,...).

(L8)

(L8)

выполня-

D, если,

выполня-

D, если,

Предложение 2.4 [37]. Пусть для ВЦД

ются фундаментальные неравенства (2.19)—(2.21).

Тогда (1.8) равномерно сходится в области

PJ рА = 0, более того,

m+l

|f(z)-fm(z)|w 口 p^(2.22)

где /⑵一значение бесконечной ВЦД (1.8), fm (г) — ее m-я аппроксиманта.

Доказательство. Учитывая обозначения (3.1) гл. 1, условия (2.21) запишутся в виде

Так как Bce.Q,%)wO, то для разности двух подходящих

дробей fn — fm ВЦД (1.8) (п>т) воспользуемся формулой (3.3) гл. 1. Записав произведения, стоящие в знаменателях формулы (3.3) гл. 1 в виде

Q留 口(Q修)Q：欧+D)П(Q】卷)т)Q線)， 瓦=1瓦=1

если m = 2r, или в виде

Q!u)П(Q队-i)Q縊)П(Q艰 Q>風+d)，

если 加=2r— 1, после несложных выкладок с учетом (2.23) и (2.20) имеем

т+1|f“(z) —% ⑵I《П Ра.

откуда предельным переходом при п-> оо получим (2.22).

Неравенства типа средних гармонических

Пусть 欠牛 ——множество и упорядоченных действительных положительных чисел, т. е.

欠+ == {尤 * 尤 ^ ("1，尤2，• ♦ ♦，尤п), 修 > °, i ^ 1 , и}.

Введем на 欠工 покомпонентно арифметические операции х +//, Хх, где Х^/?+，

Средним гармоническим и действительных положительных чисел %i， ха,..・,%п или элемента х£ 欠工 называется число

%р = п (к】1 + 城 1 + • • • + %U)T.

Теорема 2.3 [6]. Пусть % у£ 欠工，тогда справедливо неравенство

尤ср + pep《(X + У)£р，которое можно записать в эквивалентной форме

(£疔厂+(£川尸《(S+故尸尸 (3.1) /=1j=lfssl

Доказательство. Используем метод математической индукции. При л = 1 неравенство (3.1) очевидно, при и = 2 оно проверяется непосредственно с помощью элементарных вычислений.

Введя обозначения £= = %乙 + х；\ y~Lx = у^х + у】】 и используя предположение индукции, получим

псс—2

(S хг1)-1 +(S川尸=(S к+ 码尸 +

j=li=li=l

n-2n-2

+ (S 犷+ g3尸 < (S (/ + W)T + (第-1 + 行I)T尸《

《(S (%- +为尸尸.

Последнее неравенство следует из (3.1), где и = 2 и вместо 尤1，％2，弘，“2 положено хп-ь 尤小 уп~\, Уп соответственно.

Последовательно применяя (3.1), приходим к основному неравенству [6].

Теорема 2.4 (основное неравенство). Пусть х⑺=(打/, х2/, . . . , хп/) (/ = 1,田——некоторая совокупность элементов 爵.Тогда

S ^ср с (S X⑺)СР /=1/=1

или 8 эквивалентной форме

S (S 右尸=(Е (S х〃尸尸. (3.2) /=1 ЛW=1 /=1

Утверждение 2.1. Пусть х£/?*； тогда имеет место разложение единицы

「£通г (3.3)

/=1 ，=1

Теорема 2.5. Пусть х, б£/?*・ Тогда справедливо неравенство

К» +纟穽《飙•(3.4)

Доказательство. В основном неравенстве (3.2) заменим на л, л на л + 1 и введем обозначение

(i,，=К，Х"+】,/ = б/ (j =匸7).

Используя неравенство (3.2) и разложение единицы (3.3),

получим

лпЛ с+1л+1 , П一

Следствие 2.1 [15]. Пусть 尤£欠？ и 6—неотрицательное действительное число; тогда

£卜 + 2打《子•(3.5)

Рассмотрим теперь вопрос об установлении оценки сверху для выражений

1卜+£3 飞+1 犷，(3.6)

j=l f=li=l

где 6, 丫一 действительные неотрицательные числа; х, у£К^・ Трудности, которые здесь возникают, хорошо прослеживаются уже для п = 2.

Теорема 2・6・ Справедливо неравенство

(1 +6 + х)т(1 +? + у)т + (1 +6+%т)т(1 +у+ут)т《

V max {(1 +6)т(1 +у)т, 2(2 + 6)t(2 + y)t}, (3.7)

где 6 а 0, у а 0,尤>0, У>0 ——произвольные действительные числа.

Доказательство. Очевидно,

шах{(1 + 6)7(1+?)т, 2(2 + 6)t(2 + y)t} =f (1 + 6)т (1 + 丫尸，если бу с 2,

—(2 (2 + 6)т (2 + у)"1, если бу а 2.

При выполнении условия 6? а 2 неравенство (3.7) с помощью элементарных вычислений легко приводится к виду

(现 + 广切т- 2) (g — 2) + 2(尤夕 1 + х^у-2)(1 +6)х

X (1 + у) + (х + х-1 - 2) [2 (1 + Т) + (1 + 6) (6Т-2)1 +

+ 5+ 尸一2)[2(1 +6)+(1 +Y)(6Y一2)] a0.：

Если же бу с 2, то (3.7) преобразуется к очевидному неравенству

(尤yт + %一" - 2)(1 +Y)(1 +6) + (尤+尤7 - 2)(1 +6) ++ (// + Г1-2)(1 + 7)+(2+ 6)(2+Т)(2-бу) >0. ■

Неравенства типа (3,7) будут применяться в следующей главе для получения оценки разности между подходящими дробями ветвящ ихся цепных дробей с действительными положительными элементами. Они рассчитаны на многократное применение. Вид параметров 6, у очень громоздкий, и установлен ие неравенств бу > 2 или 6?《2 для наших целей не представляется возможным. Поэтому двузначность правой части (3.7) для нас совершенно не приемлема. Следовательно, необходимо углубить правую часть (3.7), не усложняя очень ее вида, с целью добиться единого аналитического выражения. Так как

(6 + 1尸(у + 1尸=(6 + у + 1 + 6T 尸，

2 (2 + 6)-i (2 + ? 尸=e + 什2 + ^ 6T 厂，

то, полагая 6y = z, 6 + y = b и обозначая обратную величину к левой части (3.7)①，неравенство (3.7) запишем в виде

(b + 1 + z, если 0 < г < 2,

А , 1о(3.8)

[b + 2 + е z, если 2 < г.

Если в плоскости (г, w) начертить область (3.8), то исходя из геометрических соображений ясно, что наиболее простой областью, имеющей единое аналитическое выражение и содержащей (3.8), является угловая область

① >b + l+^z, г > 0.(3.9)

Тогда неравенство (3.7) запишется в виде

(1 +6 + х)т(1 +丫 + 幺尸+(1 +6 + %т尸(1 +? + уТ)т《 с(1 + б + т + ^бТ)-1.(3.10)

Можно установить и более точное неравенство, чем (3.10), если ограничивать w снизу гиперболой Г, проходящей через точку (0,匕+ 1) в плоскости (г, w) и имеющей в качестве асимптоты прямую w = b + 2 + Тогда получим неравенство.

(1 +3 + х)т(1 +у + у)т +(1 +6 + %т)т(1 + 丫 + 夕1)7 .

<(6 + y+ M^62y2 + 2g+ 1「，

которое имеет сложный вид, не пригодный для многократного применения.

Теорема 2.7. Для произвольных неотрицательных действительных чисел 6, у 〃 элементов х, y£R^ справедливо неравенство

< (1 + 6 + 丫 +. (3.11)< (1 + 6 + 丫 +. (3.11)

< (1 + 6 + 丫 +. (3.11)

< (1 + 6 + 丫 +. (3.11)

Доказательство. В основном неравенстве (3.2) заменим fe на п, п на 4 и введем обозначения

х”=ЕгсЙ厂(/•=、). It=lх”=ЕгсЙ厂(/•=、). It=l

х”=ЕгсЙ厂(/•=、). It=l

х”=ЕгсЙ厂(/•=、). It=l

Используя неравенство (3.2) и разложение единицы (3.3), получим

спппп

J=1f=l/=1/=1

门 4ллл

S (£ G尸< [(£f尸+ (e初尸+ (£砌尸+

/=1 ^^l/=1/=1/~1

+ £尸尸『V傳+ 6 + Y + 1厂

с учетом

лл псп л

£%=2(2Т(Е 犷 <£(£》，

/=1/=1 i—\f=l/==1 Ml

Знак v в неравенстве (3.11) следует заменить знаком строгого неравенства V, если м>1.

Повторяя доказательство теоремы 2.7, получим более общее неравенство» которое будет применяться при установ-

лении признака сходимости ВЦД с положительными компонентами, эквивалентного достаточности критерия Зейделя.

Следствие 22 Для произвольных неотрицательных действительных чисел 6, у,卩 и элементов х, y£R* справедливо неравенство

f=l/=1 '/=1 //Т J j=l /

W耳+3 + Y +中.(3/2)

Теорема 2.8. Пусть 6, у,卩一произвольные действительные не отрицательные числа и х, y£R&, такие, что выполняется одно из условий:

%1 « %2《・..W %п 卫 //1 > //2 > ''' Уп или

хх > х2 > • • • > хп и /Л W У?《•…W У小

Тогда справедливо неравенство

псслп

][』2尹注尹心：引£涉<

f=l/=1 //=1 //=1 / /=1 /

《(；+6 + ? +门卩)•(3.13)

Доказательство. Заметим, что неравенство (3.13) является усилением неравенства (3.13) при введении дополнительных ограничений на параметры.

Для определенности предположим, что выполняется условие а). Покажем, что в этом случае имеет место неравенство

几工4瓦w （£厶）（£ь）,几工4瓦w （£厶）（£ь）,(3.14)(3.14)

几工4瓦w （£厶）（£ь）,

几工4瓦w （£厶）（£ь）,

(3.14)

(3.14)

где Of = 1/尤厶 bf = 1/pf. Из условия а) теоремы следует, что существует такой номер г (1 < г < п), что

(3.15)(3.15)па* — S «г> 0 {k = ITr),

(3.15)

(3.15)

па«—工 а«《0 (fe = г + 1, п).

Неравенство (3.14) запишем в эквивалентной форме еил

-工玩("* —£ s) V £ 瓦(Е а{ — па^}.

Так как

ГССП

£ (九—£%)= £ (Е at — na^ ,

то из условия 瓦 w 几《… W bn немедленно следует (3,14). Повторяя доказательство предыдущей теоремы с учетом неравенства (3.14), легко убеждаемся в справедливости неравенства (3.13). ■ •'

Замечание 22 Как видно из доказательства теоремы 2.8, условие монотонности последовательности 瓦 в предположении, что последовательность а( монотонно убывает, можно заменить более слабым условием, а именно

max (力：f = 1, г) w min (瓦：i = г + 1, n),

где г определяется таким образом, чтобы выполнялось неравенство (3.15).

Из приведенного доказательства заключаем, что если последовательности о-瓦 одновременно монотонно возрастают или убывают, то неравенство (3.14) следует заменить на противоположное.

Теорема 2.9 [8]. Пусть 6 — неотрицательное действительное число, xg /?+， Тогда справедливо неравенство

£(з + £м)"》(з+1)т.(3.16)

f=l 7=1 ‘'

Доказательство. Сначала непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости неравенства

(1 + 6 + Ах + -yj + (1 + 6 + 4у + ^) А

»{1 +6 +』^^) ,(3.17)

где 6 а 0, 4 > 0, х>0, у>0 — произвольные действительные числа. После несложных вычислений (3.17) приводится к виду'

62+26 + 26Л^>0.

Неравенство (3.16) докажем методом математической индукции. При п = 1 это неравен ство очевидно, при % = 2 оно следует из неравенства (3.17), где 4 = 0. Вводя обозначения x^li = x^ii .-р %7\ т. е. *i = Л_, используя неравен-

^n-i~г хп

ство (3.17), где Л = xf1 + %7' + • • • + 妃2, % = x„_b у = ^ 尤小 и предположение индукции, получим

nnп— 2п—2

£卜+邕『 = £(з + £>/『+ i=l/=1 ' f=l/=1 / I

m-2n—2

+卜+ £"+ 1 +器厂+卜+e^+宇 + i

м—2 м—2д—22В+孕.+訂厂+(3 + |^+汨，'> (6+ !)-!.■ 7м—2 м—2д—22В+孕.+訂厂+(3 + |^+汨，'> (6+ !)-!.■ 7片1J/=1 J

м—2 м—2д—2

2В+孕.+訂厂+(3 + |^+汨，

'> (6+ !)-!.■ 7

м—2 м—2д—2

2В+孕.+訂厂+(3 + |^+汨，

'> (6+ !)-!.■ 7

Многомерный аналог теоремы Монтеля

Пусть D — некоторая область в ©". Будем говорить, что множество К компактно принадлежит области D (К(^ О), если К и D, где К — замыкание К. Рассмотрим последовательность 尸={院(2), z^Dt m = 1, 2,..・} голоморфных функций в D. Последовательность F называется равномерно ограниченной внутри D, если для произвольного множества К, компактно принадлежащего D, существует константа М.= = М(К), такая что

\fm(z)\<M

для всех z£K и всех fm^F,

Семейство функций F называется равностепенно непрерывным внутри О, если для произвольного действительного е> 0 и произвольного множества К 隹 О найдется такое 6 = =6(е, К) >0» что

\fm(zr)-fm(z")\<e

для всех z', z", таких что |廿一z"|v6, z', z"£K и всех jm^F, где

т】 =（己旧ТУ

Семейство функций F называется компактным в О, если из последовательности функций этого семейства можно выделить подпоследовательность {〃J, равномерно сходящуюся на произвольном множестве К R D.

В случае п = 1 справедливы следующие классические результаты, установленные соответственно в 1894, 1903, 1907 гг.

Теорема 2.10 (Стилтьес \^Ъ\), Пусть 尸={厶(2), z£D, m = 1,2,...)——семейство голоморфных функций в области D и ряд

(4.1)(4.1)苴 Jm (Z)

(4.1)

(4.1)

равномерно сходится для всех г, принадлежащих замкнутому кругу КоЕ D.

Если последовательность частных сумм ряда (4.1) равномерно ограничена внутри D, то ряд (4.1) равномерно сходится на каждом множестве К 叁。 к функции, голоморфной 8 D.

Теорема 2.11 (Витали [99]). Если последовательность F функций, голоморфных в области D, компактна и сходится на некотором множестве АиО, имеющем, по крайней мере, одну предельную точку, принадлежащую D, то эта последовательность равномерно сходится на каждом множестве КиО.

Теорема 2.12 (Монтель [41]). Для того чтобы множество функций 尸，голоморфных в области О, было компактным, необходимо w достаточно У чтобы оно было равномерно ограниченным внутри D.

В настоящее время широко применяется следующая интерпретация этих теорем (см. [81]).

Теорема 2.13 (Стилтьес— Витали). Пусть F = {/т (г), z^D, /тг=1, 2, …} — семейство голоморфных функций 8 области О и ©, таких, что /т (г) # а, /т (г) # b для всех z^D, /тг = 1, 2, . .. , где а и b — комплексные числа (а # Ь).

Пусть АиО — бесконечное множество точек, имеющих по крайней мере одну предельную точку, принадлежащую D.

Если последовательность F сходится к конечному зна~ чению для всех %£△, то она равномерно сходится на каждом компакте области D к голоморфной функции в D.

Рассмотрим вопрос о многомерном аналоге теоремы о компактности семейства голоморфных функций. При этом будем использовать методику доказательства теоремы Монтеля, предложенную в первом издании работы [70].

Теорема 2.14. Если семейство функций F = {/т(г), z£D, m= 1, 2, ...}, голоморфных в О и©* равномерно ограничено внутри О, то и семейство функций

Е = {^^, z^D, т=\, 2, ...} (i= 1,п)равномерно ограничено внутри D.

Доказательство. Пусть U — произвольный поликоуг такой, что UО“у '

U= {z ".\Zi — a(\<i Tit i = 1,叫

Тогда построим поликруг

У = {2 :旧一4 IV R, i = L~n),

такой, что V ^ D и 凡 >门(i = 1,孔).

Согласно интегральной формуле Коши [71] для произвольных z^V и % £ 尸 имеем

°% (z) _] f f % (占1自2，EQ 吨]…华八 //_

r ⑵一⑪口勉一^)

где Г — остов поликруга V. Пусть z£U. Так как |爲(&)|《 < М (V), то

M(V)f\2nRk

I 需1《Ч=也(U).

(2n)" (勺一小 口(a 一 0

A—1

Следовательно, доказана равномерная ограниченность Fi в поли кругах. Пусть К 丘 D Покроем К поликругами. Из этого покрытия выделим конечное подпокрытие {/7v)v=i- Пусть

Mi (К) = max (Mi (U^); v = 1, s).

Тогда для всех z£K и произвольной fm^F имеем

I響^ «“(К) (f = T77).

Теорема 2.15. Если семейство функций 尸 голоморфных 6 О и©" равномерно ограничено внутри О, то оно также и равностепенно непрерывно внутри D.

Доказательство. Пусть К(^ D. Обозначим через 2р расстояние между замкнутыми множествами К и GD, т. е.

2р = inf{| z—&|:z£冗 &€。。}, а через

К⑺=U {г:|г —г0|<р].

Очевидно, К⑺① D・ Из теоремы 2.14 следует» что сущест

вует константа М, что для всех z£K⑺ и произвольной

/ Пусть z', z" — произвольные точки из К, такие, что | г'— —z"|Vp. Соединим их отрезком прямой. Если z£[z', z"], то» очевидно» z£K(p). Так как

f £窘dz,・ = %e)—量⑵)，

TO

i/u^)-l(hi< 1f £|筹|mz,・|wM£jzfT|.

Согласно неравенству Буняковского — Шварца

S I—苏 I《Уп I /

Таким образом,

\fm(Z")~-fm(Z')\^MVn\Z"-Z'\.

Если 6 = min {彳А，р}, то отсюда следует равностепенная непрерывность. ■

Теорема 2.16. Если семейство функций 尸，голоморфных 8 О и©", равномерно ограничено внутри О, то оно компактно 8 D.

Доказательство. Докажем сначала, что если последовательность /т (г) сходится в каждой точке некоторого множества Е и D, всюду плотного в О, то она равномерно сходится на каждом К^ D. Фиксируем е> 0 и множество Ke D. Используя равностепенную непрерывность семейства 3 выберем разбиение D на гиперкубы с гранями, параллельными координатным плоскостям и настолько мелкими, чтобы для произвольных z', z"£K, z', z" € qр, где qp — один из пронумерованных гиперкубов, выполнялись условия

\fm(z")-fm(z')\<l 5=1, 2, .„).

Множество К покроем конечным числом гиперкубов %(,= —1, s). Так как Е всюду плотно в Z), то в каждом qp

найдется точка z^^E. Так как /А (г) сходится на Е, то существует такое число М что

для всех г, % >/V и каждого △巧 £Е (р = 1, s). Пусть г — произвольная точка из К・ Существует точка z(°)££, которая лежит в том же гиперкубе, что и г. Тогда для всех rt п > N имеем

I % (Z)-^„(2)1 «| % (z) - fr (z。)) I + $(Z。)) - /“ (z。)) I + + l/"(Z<"))—%(Z)|<

Отсюда следует, что последовательность /т (г) равномерно сходится на К.

Теперь докажем, что из произвольной последовательности 工€尸 можно выделить подпоследовательность, которая сходится в каждой точке множества £ и D, всюду плотного в D. В качестве Е выберем множество точек г = (гп г2,..., гп)^D,zk = xk + iyk (々=Г?%), таких, что хъ yk — рациональные числа. Пусть Е = {叫门 Очевидно, Е счетно и всюду плотно в D. Числовая последовательность /切(①i) огра' ничена, так как з】и D. Из нее выделим сходящуюся под' последовательность

脑(2)= /小々(2)(々=L 2,

Числовая последовательность 觴(叫)ограничена. Из нее выделим сходящуюся подпоследовательность 加⑶=储1(2). Последовательность %2(z) сходится по крайней мере в точках ①1 и 吗 и т. д. Построим последовательность функций fkn(Z)(瓦 /2=1, 2,...).

Диагональная последовательность

fll(Z)‘ f22 (^)> * * • > /лл (^)> • • •

сходится в каждой точке 畋 £Е, так как по построению все члены этой п ос ледовател ьн ости, начиная с fe-ro, сходятся в точке 畋.■

Замечание 2,3. В обычной формулировке, как известно, одно из важных свойств голоморфных функций — теорема единственности не переносится на многомерный случай. Например, функция /(г) = гп обращается в нуль в (2% — 2> мерном множестве {zg©"g = 0}, но не равна нулю тождественно.

Однако верно такое утверждение [71].

Пусть /(г) — голоморфная функция в области О и ©", Zq^D. Тогда f(z) = O для всех z£O, если f(z)=O в неко-

торой 2п-мерной окрестности точки г0 или f(z)mO в некоторой n-мерной действительной окрестности точки г0, т. е. на множестве {zix + SgDu©", |х —%|<г, у = %}, или /(г) = 0 в некоторой мнимой окрестности точки г0, т. е. на множестве {z:x0iy€Ou©\ 尤=/, |у — %|<，.

Теорема 2.17. Пусть F = {fm{z\ z£O, m = 1, 2, ,..} — последовательность голоморфных функций в области Du и©", равномерно ограниченных внутри D.

Если An(z) сходится s каждой точке множества АиО, являющегося 2т-мерной окрестностью, т-мерной действа* тельной или т-мерной комплексной окрестностью точки z0£Dt mo /т (г) сходится равномерно на произвольном множестве К ^ D к голоморфной функции в D.

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что из последовательности /т (г) можно выделить подпоследовательность /小左⑵，равномерно сходящуюся на произвольном множестве К ^ D, Согласно многомерному аналогу теоремы Вейерштрасса [71] /(г) = Иш/тА(г) является голо морфной функцией в D. Для произвольной точки г Д в силу условий теоремы имеем

Jim/m(z) /(г).

Пусть S — произвольное множество, такое, что S ^ D и SnK (J △・ Введем обозначение

6р = sup {I /р (г) — / (г) I, z£S}, 6=而6。.

Если мы докажем, что 6 = 0, то сможем заключить, что fm (г) равномерно сходится к / (z) на S. Пусть 必 V р2 V …— последовательность индексов, таких, что

б = lim 6р .tf 8

Из последовательности {瓦⑶} выделим подпоследовательность, равномерно сходящуюся на каждом К'^ D в частности и на S, к аналитической функции в D、Пусть /* (г)— предел этой последов ательности. Так как /*(г) = f(z) для произвольного г£ Л, то /*(г) = / (г) для произвольного z^D в силу теоремы единственности для голоморфных функций многих переменных [71].

=6 = sup(I/* (г) — / (г)I, z^S) = 0. ■=6 = sup(I/* (г) — / (г)I, z^S) = 0. ■Таким образом, 6 = 0, так как

=6 = sup(I/* (г) — / (г)I, z^S) = 0. ■

=6 = sup(I/* (г) — / (г)I, z^S) = 0. ■

нm 6Q

Глава 3

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ с ПОСТОЯННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

С учетом методов, изложенных во второй главе, здесь будут установлены признаки сходимости ВЦД, элементами которых есть действительные или комплексные числа и которые являются в основном дальнейшим развитием аналогичных результатов, изложенных в [56].

Первые признаки сходимости ВЦД приведены в монографии [19], где установлено несколько достаточных признаков сходимости ВЦД с положительными элементами общего вида, ранее изложенных в [55], доказана сходимость периодической ВЦД с положительными членами, исследована сходимость ВЦД специальной конструкции, являющейся разложением логарифмической производной решения одной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (см. также [52]). Первые признаки сходимости ВЦД общего вида формулировались очень громоздко. Они свидетельствуют о сложности самого объекта исследований. В качестве примера рассмотрим ВЦД с положительными компонентами вида

弘=1

Пусть (см. (2.4) гл. 1)

Рассмотрим (и + 1)-ю аппроксиманту ВЦД (1.1) и упорядочим согласно (1.13) гл. 1 ее частично свернутые звенья

а1Ь..1°1 …12611…1近…12а1Ь..1°1 …12611…1近…12(1.2)(1.2)

а1Ь..1°1 …12

611…1近…12

а1Ь..1°1 …12

611…1近…12

(1.2)

(1.2)

Пусть г — произвольное целое число ° w г w Nn и /左(々= =]^7)一произвольный набор натуральных чисел, таких, что \《hVj2V …V .《Nl если г > 1. Рассмотрим фигурную подходящую дробь ВЦД (1.1), совпадающую с ее п-ой аппроксимантой, у которой n-е звенья l/加伍)заменены на а((п)/Ьцп} соответственно (iA = 1, ^,巾=1,及)и звенья, имеющие в (1.2) порядковые номера /】,/2, ... , /г, заменены на 0/1. Обозначим через '〃(/]/ У.. / ) 口 бл ^ j °..方)ее п-е числители и знаменатели.

Теорема 3.1 [55]. ВЦД (1J) сходится, если

П 勿⑺ > 1 + ^； £ 区 См °..介)П ⑺ s = i,2,...), t(n) /(г) 〃л)

где произведения берутся по всевозможным наборам индексов i\, i2, ..., 1Л, суммирование производится по всевозможным 0 w г《"〃 〃九 у；’ 3 c«f =曲⑺,если f (n) 6 (1.2) имеет один из порядковые номеров /2, ... t jr и Gg = 3m)6 противном случае^ Вп ——п-й знаменатель дроби (1Л工

При исследовании сходимости ВЦД возникли большие трудности, в связи с отсутствием для них линейных рекуррентных соотношений типа (8). Все поиски в это время были направлены на установление таких формул. Разные их варианты были предложены В. Я- Скоробогатько [57], И. Ф. Клюйником, И. П. Пустомельниковым (см. [19], с. 51——55). Однако из-за большой громоздкости их применение для исследования сходимости ВЦД оказалось затруднительным. Автор в работе [1] показал, что отношение двух линейно независимых решений линейных рекуррентных уравнений

Уп = ^пУп—1 + Ь^у 凡一2 + 6 пУ n—3 (L3) является ветвящейся цепной дробью с двумя ветками ветвления специального вида. Следовательно, для подсчета числителей и знаменателей подходящих дробей общего вида ветвящихся цепных дробей формулы типа (1.3) несправедливы.

Обозначим а^ и Ра минимальный и максимальный А-й частный знаменатель ВЦД (1.1), т. е.

а丸=min (&@): % === \ > N> р = 1,巾)，也=max (力“舟：ip =

=1, M p = 1,巾)， (1.4) где экстремумы берутся по всевозможным наборам индексов 68

沁力2，• • • $ 厶，каждый из которых независимо пробегает значения от 1 до М

Новый подход при исследовании сходимости ВЦД, использующий формулу типа (3.3) гл. 1, предложен в работе Д. И. Боднара и И. Я- Олексива [15], в которой было установлено, что ВЦД (1.1) сходится, если ряд расходится, где а^ определяются согласно (1.4).

В работе [8] было установлено, что ВЦД (1.1) расходится, если сходится ряд

где Ра определяются согласно (1.4).

Возникла задача: будет ли условие

£ & = ОО

достаточным для сходимости ВЦД (1.1)?

В настоящее время эта задача еще не решена и все те признаки, которые приведены в § 1, являются отдельными этапами ее решения. В частности, для цепных дробей установлена теорема, эквивалентная критерию Зейделя.

В § 2 рассмотрены признаки сходимости ветвящихся цепных дробей с неотрицательными элементами. Заметим, что теорема Зейделя для таких цепных дробей уже не справедлива.

В § 3 исследована сходимость ветвящихся цепных дробей с комплексными числовыми элементами. Установлены многомерные аналоги теорем Ван Флека [97, 98], Ворпитского [101], Прингсгейма [89], Слешинского — Прингсгейма [58, 89], Коха [82], параболической теоремы [81] и др.

В § 4 дано определение областей сходимости для ВЦД. Исследован вопрос об окрестностях и поликруговых окрестностях сходимости для ВЦД. Рассмотрен контрпример, построенный Е. А. Болтаровичем, указывающий на то, что, казалось бы, в естественной формулировке признак сходимости Лейтона ——Уолла [83] о спаренных областях сходимости не переносится на ВЦД. В § 5 рассмотрены области устойчивости ВЦД.

§ 1. Признаки сходимости ВЦД с положительными членами

На языке сходимости или расходимости рядов, составленных определенным образом из элементов (1.4), сформулируем признаки расходимости или сходимости ВЦД (1.1).

Необходимые признаки сходимости

(1.5)(1.5)Теорема 3.2 [8]. ВЦД (77) с положительными членами расходится t если ряд

(1.5)

(1.5)

сходится, где 卩々 определяются согласно (1.4).

Доказательство. Из формул (3.3) и (3.1) гл. 1 следует, что

『2т+1 — %m =

= t謁帀П (Q鬻飞航d)T广i(Q艷bQ脇)T=

N工N工112m+l/V1-|(Rd)Q馭)+ ?々=2/=12m+l/V1-|(Rd)Q馭)+ ?々=2/=1Q觀『Q显一1，Q觀『Q显一1，

N

工

N

工

1

1

2m+l/V

1-|(Rd)Q馭)+ ?

々=2/=1

2m+l/V

1-|(Rd)Q馭)+ ?

々=2/=1

Q觀『

Q显一1，

Q觀『

Q显一1，

где

s = 2/п + k — 2 彳](々=2, 2m + 1).(1.6)

Пусть s определяется согласно (1.6) и

^а ~ max (力t优—i)Qf(jfe)：工口 = I, N、p = 1,左)，々=2, 2m + 1,

При оценке снизу выражений

воспользуемся неравенством (3.16) гл. 2. Последовательно применяя это неравенство, получим

2m+1

方小+1 —f2mAe 口 (1 -|-(1 .7)

府—2

где С — положительная константа, такая, что

С《2(Q窖+")т.

В частности, как следует из свойства вилки, в качестве С можно взять вторую подходящую дробь ВЦД (1.1) без свободного члена.

Легко проверить, что максимантой (см. (2.10) гл. 2) для ВЦД Q係)является цепная дробь

也 + ^ + ^^2 + ^ + …+ /=也 + 能+2 + ' ' ' + Ps-

Так как

20+12m+l

£ Mk W £ Pa—1+ 也+2 +…+ Ps),

々=2А—2

то из сходимости ряда (1,5) следует, что

2т +〔

lim £ Л1а< оо.

Ef 8 左=2

Поэтому в силу неравенства

2m+l2т+1

口(1 + Mk) < exp ( £ 此) £2々=2

и оценки (1.7) заключаем, что ВЦД (1.1) расходится.窮

Теорема 3.3. ВЦД (1J) с положительными членами расходится, если

2т+1

lim V 也-1 (也 + ——- + g^—F^- + * • • + ^)< °°> d ・8) …8 ▲〈 练Pa+2 弘+3Ps/

力=2

где ^ ——число веток ветвления дроби (1」)，а在 и 卩丸 опре- деляются согласно (1,4), s — согласно (L6)t

Доказательство. Повторяя доказательство предыдущей теоремы, более точно вычислим максиманту для ВЦД Qi(l), где s определяется согласно (1.6). Имеем

Q^=九阳+ £ W)+…+£亡)у

v p龙 瓦+2 + к =取+1=1 〃+2=l 抬=1

Остается только заметить, что предел (1.8) всегда существует, так как с учетом свойства вилки (3.4) гл. 1 все члены, стоящие под знаком суммирования в (1.8), с ростом т монотонно возрастают. .

Достаточные признаки сходимости

Теорема 3.4 [9]. ВЦД (1J) с деист вит ел ьными положи^ тельными элементами сходится, если

2т+1

£巴工以一收+亏+亏+次+...+^ = 8, (1.9)

左=2

где ^ ——число веток дроби (U), аА, рА on ределяются со* гласно (1.4)t s — согласно (1.6).

Доказательство. Повторяя начало доказательства теоремы 3.3, получим

/2^+1 — /2 加 V/2^+1 — /2 加 V

/2^+1 — /2 加 V

/2^+1 — /2 加 V

где s определяется согласно (1.6) и

恤=min 传*”i)Q，爲:rp = 1, ^( р = 1, ^),々=2, 2m + 1. При оценке сверху выражений

^^NN

^

^

N

N

воспользуемся неравенством (3.5) гл. 2. Последовательно применяя это неравенство, получим

2т+1

々=2

N

где С — положительная константа, такая, что С^> £ (Q；得+")т.

В частности, как следует из свойства вилки, в качестве С можно взять первую подходящую дробь ВЦД (1.1)без свободного члена.

Вычислим миниманту ВЦД Q,；% (s определяется соглас но (L6))

Q指=仇⑷ + V F * • * + V J >娱+1=1Is=i

丄n丄 丄n 》以+自+后

Если ввести обозначение

/一1 (s) - aт(跺 + 饪—F r- +…+ 釣 ?(1.1。)

то для разности двух подходящих дробей ВЦД (1.1) получим оценку

2р+1

%т+1 —『2m «С П^ТТ^Т^Г (LU)

々=2

Рассмотрим два возможных случая:

существует бесконечное количество членов последовательности r^_i(s), ограниченных снизу некоторым числом г;

lim гА_! ($) = 0. Sf 8 А-*" 8

В случае а) имеем

/ V \"т)%m+l —%т V С (^~^)‘

где /(т)-> 8 при 加 + оо. Следовательно, ВЦД (1.1) сходится.

В случае б) последовательность 尸々_1 (s) ограничена сверху некоторым числом R, так что

"_ ] _ %一1 (s)] _(s)

N +人⑶N +Г上._1 (s) *" + R

《exp n + r j •

Таким образом,

2m+I

f2m+i — /2m « C exp {—工"⑹}.

左Н2

Из условия (1.9) следует сходимость ВЦД (1.1). Как и при доказательстве теоремы 3.3, заметим, что предел (1.9) всегда существует.

Теорема 3.5 [9]. ВЦД (7」)с положительными компонентами сходится, если расходятся ряды

А=1А=1(1.12)

А=1

А=1

(1-13)(1-13)S/ N N N

(1-13)

(1-13)

\^4-1 + «左+2 + Ра4-з + • • •

А=2

Доказательс тво. Условие (1.12) в силу критерия 3 ей дел я (теорема 1) является достаточным для того, чтобы члены ряда (1.13) имели смысл. Покажем, что расходимость ряда (1.13) эквивалентна выполнению условия (1.9). Для этого введем сокращенные обозначения

g = aj 0+危 +矗 + 悬+ .一)(2 = 2,3,...).(1.14)

Пусть выполняется условие (1.9). Так как с учетом обозначений (1.10)

2m十1

£1(S)=

2m 4-1S/. N N N^ \

后+京+后+…+云)

ССm-pl£叩左=2m-pl£叩左=2(々 + 0 + 外+2 + 0 +…+(々 + 0 + 外+2 + 0 +…+

С

С

m-pl

£叩

左=2

m-pl

£叩

左=2

(々 + 0 + 外+2 + 0 +…+

(々 + 0 + 外+2 + 0 +…+

2m+l2m+l££

2m+l

2m+l

£

£

aA -1(0tA + 以+2 + ， …+ %),

то ряд (1.12) расходится и поэтому члены ряда (1.13) имеют смысл. Из свойства вилки следует, что %—i(s) Сль-М^ = =2,2m——1) и, следовательно, ряд (1.13) расходится.

Наоборот, из расходимости ряда (1.13) следует, что для произвольного индекса s0 и положительной константы М существует такой номер п^ что

Из сходимости цепных дробей r^.i (々=s0,孔。)следует, что для произвольного е>0 существует номер s, такой, что

гл—i(s)Ve (k = s0,/z0)^

Таким образом,%〃 о八 о

£ Cfe—l(s)= £ 片—1— £ [Га-1—〃—1(5)]>

> М — е(по — so) > 2，

если e необходимо взять достаточно малым. Поэтому выполняется условие (1.9). g

Рассмотрим непрерывную дробь

+ D L(1.15)

где bk (k = 1,2, ...)——действительные положительные числа. Применяя для дроби (1.15) теоремы 3.3 и 3.4, получим критерий сходимости, эквивалентный критерию Зейделя.

Следствие 3J [11]. Цепная дробь (1.15) с положительными членами сходится тогда и только тогда, когда

2т+1

lim V 力I(bk + 歹L^― I 丄占=8，(L16)

…8 J\°A+1 + "+2 + • ' ' + °s；

£=2

где s определяется согласно (1.6).

Учитывая критерий Зейделя и следствие 3.1, получим утверждение.

Следствие 3.2. Расходимость ряда

с действительными положительными членами эквивалентна выполнению условия (1.16).

Теорема 3.6 [6]. ВЦД “」)е пол°^ителъными членами сходитсяt если расходится ряд

£(1.17)

аОе а左 определяются согласно (1.4) 〃

5々=0^+n70^_2+心七「4+ •…+n一[仅-1)図0^一2[伊一1)/2].(1 * 18)

Дока зател ьство. Учитывая формулу разности двух подходящих дробей (3.3) гл. 1 для ВЦД (1.1), имеем

/2^+1-f2m=£( 口 Q腐+RQ躋尸•(1.19)

“》"••■，2m+Ll ИЛ

Предполагая, что везде в дальнейшем 厶,为，• • • > ?2m+i 一 произвольный фиксированный набор индексов (厶=1, 乂，々= =1,2m + 1), введем сокращенные обозначения

Q鴇+" = Q節 Q^‘ = Q%，加3)= %，Q鴇+" = Q節 Q^‘ = Q%，加3)= %，(1.20)

Q鴇+" = Q節 Q^‘ = Q%，加3)= %，

Q鴇+" = Q節 Q^‘ = Q%，加3)= %，

(1.21)

(1.22)

Используя метод математической индукции, докажем, что 2s+l

произведения 门 Q% (1 <: s < m) являются полиномами от

переменных 瓦(々=1, 2s + 1) и параметра Q伍+】вида 2s+l

П Q4 =+ Ri(s = i,m),(1.23)

ГДеЛ25 = Л25(^8,玩，…，&2S)，®2s+1 = R/2s+1(&3,玩 取2s+A полиномы от соответствующих переменных, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям

As =(如s-1% + 自2)Р公一2 + b%R& _ i，

'#3 + 1 = &2s+l (如 i%t + ®21)(L24)

. (s = 1, m)

при начальных условиях

& =0, Ло = 1.(1-25)

Действительно, при s = 1, учитывая (3.1) гл. 1, получим

Q&Qn = kg + E^)Q，3 =

=(bi>bi^ + Ей Q% + 如 £ 标

=(仇也, +%)Q% +也自a =尸№匕+ Rb

Предполагая, что соотношения (1.24), (1.25) выполняются для произвольного s《п, покажем их справедливость при

s = n + 1. Имеем

2m+32n+l

П = П Q%Q%+2Q3+3 =(尸％Q%+i + R3+1)*

X Q&n+2Q%+3 = (2%瓦2叶。3+2 + 03自%+2 +

+ R%+lQ3+2)Q*3 =[(瓦2〃+1 瓦2计2 + 品中)巳2〃 +

+ ^/2n+2^2n+J ^2n+3 + &2几+3(%2m+1*/+ 82叶1)==*3+2q3+3 + ^Z2n+3,

Аналогично можно доказать, что

2s+2

П Q4 =々2s+lGi'2s+2 + &2S+2 (S = 1,加一1 ), (1.26)

「Дe 尸5+1= 尸£+1(原9,玩，…疋z"2s+lb &2s+2 =兄2叶2 (&4，a” …，

,W&s+2)— полиномы от соответствующих переменных, удовлетворяющие рекуррентным соотношениям

^^s+l =(瓦2s+也2s + a2叶1)*/一1 + 忆s+l®2s，,1 。小

'R^-^AV^ + R^ (s = TJ^i) (h 7)

при начальных условиях

尸％ =Ri2 = 0.(1.28)

Пусть pik и г% это те же Р^ и R/炉 для которых в рекуррентных соотношениях (1.24) и (1.27) вместо каждого b[s взято соответственно as (5 = 1, 2m + 1), где

а§ min (匕/⑶ * jn == 1, N,孔=1, s).

Имеем

〃 2s =(a2s—la2s + &2s)02s—2 + &2s 乙 2s—U(1 ・29)

Г%+l = &2s+l 似25—1卩％—2 + 门2s-l)，S = 1, /И, r£i = 0, рц= 1

И

{ Pi2s+\ =(a2s + №s + ^-25+1)^25-1 +*$+"%,(1.30)

j A2s+2 =装 2s+2 925p2-1 + r/)，S - lf m — 1, % = 1,rg=0.

Тогда, учитывая формулу (3.1) гл. 1, имеем

2т+1

П Q以 > P^2ma2m+1 + %m+h

П Q% > 卩2m—1 a2m + Г Г2m

ft=2

и, следовательно*

%巾+1 —/2т《 工(Qf：尸 3?〃8"+ +

十 〃2m+l)T (以2m-~2。+ "2m)T =

,S .,(QZ)T (&2m—02。+ 飞。尸.£ [Phma^+l +

G ，*2/71=1‘2/n+l=l

+ E‘2m+1 (a^m—lpt2m一2 + 飞皿一JI '

Если распишем ^2m+P используя обозначения (1.21), и к последней сумме применим неравенство (3.5) гл. 2, то получим

『2m+l —f?m V S .N (Q；;)7 (也巾_卩2切 +

+ &尸[m2/2小+1 + N 3А1卩2小一1 +九5吁)「1 или, раскрыв скобки,

/2т+1 - Am W 工N (Qi)T (a2m+ta2mpi2mpsm+

厶” 2 '*2m=1

+ N a2ma2m—l P$2m—lPi 2m—2 + а2т+1^2тГ/2т +

+ 2a2m_i〃2m_2%m + 2a2m〃2m—“2m-l + N Г ^тГ hm-У(h31>

Выражение, стоящее в правой части неравенства (3.31), обозначим Ф2т. С целью избежания громоздких записей формализуем алгоритм получения оценки сверху для разности двух соседних подходящих дробей /2m+i——力小・ В Ф2т выделим последнюю сумму по i2g Используя рекуррентные формулы (1.29), (1.30), запишем выражение для р(2т и 尸万皿 и применим к выделенной сумме неравенство (3.12) гл. 2, предварительно расписав значение для переменных &2m и 眾2巾 соглао но обозначениям (1.21) и (1.22). Выражение, в которое преобразуется Ф2т)при этом обозначим ①2m-i・ Формально переход от Фгт к ①2m-i заключается в следующем: отбрасываем суммирование по последнему индексу ^^ выражения /&2т + 绕£+。显『以 + 2 стоящие в знаменателях ①2m заменяем выражениями А + В + С + N~lD, т. е. подставляем &2巾 =眾'2巾=1, а свободный член в ^ раз уменьшаем. Далее повторяем эту же процедуру и при переходе от ①2m-1 ДО ①2m—2 И Т. Д., ОТ Ф2 ДО 力】ВКЛЮЧИТвЛЬНО. ОкОНчательно получим оценку

/2m+l /2m《СР，(0&工0&?, . •・，Ct2m-|-1)>( L 32)

где С — константа; Р(а1( а» . . . > a2m+i) — полином от переменных %, «2，• • •，а2m+1. Установить явное выражение для 戶(а】, а?, . .. , a2m+1) трудно. Поэтому ограничимся более грубой оценкой, оставляя в 尸(电，电，，电皿+1) только члены не выше второй степени относительно переменных СЬ], а?, • • • ) Ctzm+L

Проследим, как будут изменяться слагаемые в правой части неравенства (1.31) при переходе от Ф2т к Фг с учетом описанного выше алгоритма и в предположении, что все слагаемые, являющиеся полиномами выше второй степени относительно переменных а】, а?, * . . , а2т+ь отбрасываются. Для этого достаточно получить формулы, в которые преобразуются при переходе от ①々 к ①々一i выражения

где /, п — произвольные натуральные числа, не превосходящие 2m + 1. Пусть

Е^, если 々 четное,自工，если 々 четное,

"県— Е%，если 々 нечетное,刀次— 自融，если 々 нечетное.

Тогда при переходе от ①々 к ①々_i выражение

а 乃戸県一-% = аМггРНтКаРкт + П%) Р^_2 + «^^^1 преобразуется к виду

а/а〃，续一2〃々-1， а выражение

а歩％_2% = а*%—2巾无(аА-2/^_з + г%—?)

к виду

电期亠2〃々一3亿% T + a必%_2"々一2，

Выражения

a/0*/= a/[(атл+т]浦 p£ft_2+ a"厶一]哈々(以7/^7+r小7) и

а『а“厶X% = afanrlk^ (ak_2p£ft^ + &_)倂々.

соответственно преобразуются к виду

а 产卜0? р I』?р I 卜_3 + ° 曲左7r 夂 т + а/а“/л%т и

aPnrik^rik_v

Теперь нетрудно посчитать, совершив 2m—1 переход от ①2m к Фгт-Ь ОТ ①2т-1 К ①2е-2 И Т. Д., ОТ Ф2 ДО Фх С уЧв- том начальных значений для р% и 尸以,что выражение

〃2m%m+产 2m+】a2m + "妆田?^—l〃2m—必 2m-2 преобразуется к виду

a2m+l«2m + a2^2?17, а выражение

a2m+l%"f2m + N “ 2rn—l р i 2m—2「£ 2m + "*2门卢‘2m—J&m—1 к виду

a2mz〈Nfgm-? + N~2a2m一4 十・• •十 ^-m+1a2） ++ a2m—l （a2m_2 + "一匕2m_4 + ^~2a2m-6 + •…+ "一m+2&） +

+ a2m （"-以如一3 + N-2a2m一5 + ' - • + "一计1%） и, наконец, последнее слагаемое

преобразуется к виду

电皿―2s2m—1 + «2т—3^2m—2 +…•+ &S1，

где Sk （々匸 1,2m—1） определяются согласно （1,18）.

Следовательно, окончательно получим оценку

N2гн+12т+1

Лт+1 一 /2т《

где С — произвольная константа, такая, что

（в частности, из свойства вилки следует, что в качестве С можно взять первую подходящую дробь ВЦД （1.1） без свободного члена, умноженную на ^）. И

Замечание ЗЛ, Теорема 3.6 является многомерным аналогом достаточности критерия Зейделя. Действительно, при ^ = 1 частные суммы ряда （1.17）, как легко посчитать, преобразуются к виду

2mmm

£ %S^-1 = （£ a2『1） （£ a2人），

饱=2々=1饱=1

2m 4-1m+1m

£ 外S〜I = （ £a2々-1） （£改也）

肥=2饱 u=lA—1

и поэтому расходимость ряда (1.17) эквивалентна в случар ^ = 1 расходимости ряда (1.12). '

Следствие 5.5. ВЦД (1.1) с положительными членами сходится, если существует такое целое неотрицательное число п, что ряд

А=1А=1аАа4+2п—1аАа4+2п—1(1.33)(1.33)

А=1

А=1

аАа4+2п—1

аАа4+2п—1

(1.33)

(1.33)

расходится.

Доказательство следует из теоремы 3.6, если предварительно члены ряда (1.17) перегруппировать по степеням N. ■

Установим интегральный признак сходимости ветвящейся цепной дроби (1.1) с положительными элементами. Для этого предварительно дадим определение континуального аналога ВЦД — интегральной цепной дроби [56,62].

Пусть 瓦 £©, ar(tr)t br (/г) (г = 1,2, ...) — непрерывные комплексные функции в r-мерном гиперкубе Кг = [а,匕匕 /「= (/】，'2， ••‘， /г)・ Бесконечную интегральную цепную дробь определим как предел выражений

=仇+

仇+

b

h

J AS)%

优 A (/1) _J_ f(Г?) d%

61(G + Jxpr+

! bh 5

(1-34)

при 々f oo. Для записи бесконечной интегральной дроби будем использовать обозначение

цепной

(1.35)

Дробь (1.35) сходится, если существует и ко нечен предел

последовательности ее подходящих дробей (1.34) при 々f оо.

В работе [41] установлен необходимый признак сходимости интегральной цепной дроби

■1

(1.36)

с положительнымис положительнымиэлементами 仇 > 0, br(tr) > 0 (г = 1, 2,...), аналогичный теореме 3.2 для ВЦД.

с положительными

с положительными

Теорема 3.7. Если ряд

S max(br(〃):"£Kr)(1.37)

сходится, то интегральная цепная дробь (1.36) с положительными компонентами расходится.

Теорема 3.8 [11] (Интегральный признак сходимости). Пусть Кг = [0, N]r — r-мерный гиперкуб и 〃(")，* = (&, »2, . . ‘ /「)(г = 1，2, . . .) — положительные непрерывные функции в Кг, такие, что

瓦(厂)=b〃r)(J = 1, М г = 1, 2,…)

Шп max(br (") :〃£К「) max(b> (〃):，£ Кг) <оо. (1.38)

Тогда ВЦД

仇+$£—(1-39)

r=Z=] “Г)

с положительными элементами сходится, если интегралъ^ ная цепная дробь (1.36) сходится.

Доказа тельство. Из условия (1.38) следует, что существует костанта М > 0, для которой выполняются неравенства

шах (屏(〃)："£ Kj w Mmin(br("): 〃£ Кг) (г = 1, 2,...),

Если аг, 0г определяются согласно (1.4), то, очевидно, max 电(”):tr £ Кг) > 阮 min (小(“)г tr £ Кг) v ® и, следовательно,

Rr W Ma, (r = 1, 2….)•

Пусть интегральная цепная дробь (1.36) сходится. В силу теоремы 3.7 ряд (1.37) расходится. Поэтому ряд (1.12) расходится. Так как 卩「> &, то и ряд. (1.5) расходится. Сходимость ВЦД (1.39) следует из теоремы 3.9.

Необходимые и достаточные признаки сходимости

Теорема 3.9 [I I]. Если для ВЦД (1J) с действительными положительными компонентами существует коне* танта М > 0, такая, что

也《М& (』1,2,...),(1.40)

ede а* и 也 определяются согласно (1.4), то эта дробь схо дится тогда и только тогда, когда расходится ряд

S限S限论=1论=1(1・41)(1・41)

S限

S限

论=1

论=1

(1・41)

(1・41)

Доказательство. Расходимость ряда (1.41) является необходимым условием сходимости ВЦД (1.1) в силу теоремы 32 Остается доказать достаточность. Из неравенства (1・40) следует, что для произвольных натуральных чисел п и I (л > I)

а 、 N N NN

阳+汇+际；+石耳+…+ку

《Ma2f +《Ma2f +M MММ

《Ma2f +

《Ma2f +

М МP2(+1 + a2t+2 + 阮上+3М МP2(+1 + a2t+2 + 阮上+3(1.42)(1.42)=М la2[ +=М la2[ +В2/+1/М + М"2/+2 + В2/+3/М + * * * + Ma2ft

М М

P2(+1 + a2t+2 + 阮上+3

М М

P2(+1 + a2t+2 + 阮上+3

(1.42)

(1.42)

=М la2[ +

=М la2[ +

где в последнем равенстве используются эквивалентные преобразования (4.1) ГЛ. 1 И Р2^+1 = Al, Р2注+2 =附-1 伏=f，孔一1), P2i= 1.

Цепная дробь

右丄/V ^^^

° ai + ₽2 + a3 + ₽4 + '''

в силу условий теоремы и критерия Зейделя сходится. Учитывая следствие 3.1, имеем

/[£a2j(® +就+盡+…+总+

+ V 卩2々(a2H4+ " I . I a'…口 =°°(L43)

1'%+2十出论+3十 ,十"2m+1」

Из неравенств (1.40) и (1.42) следует, что выражение, стоящее под знаком предела (1.43), оценивается сверху выражением

2т+1

"£ *心 + 隔 + 帀2+，

где s определяется согласно (1.6). Поэтому из условия (1.43) следуют условия (1.9) и в силу теоремы 3.4 сходимость ВЦД (1.1).

6*83

Теорема 3.10 [9]. Если для ВЦД (1.1) с положительными действительными элементами существует константа М > 0 такая, что

Ра W M%+i, Mi с Mak (々=1, 2,・.)(1.44)

где а* и 卩々 определяются согласно (1.4), то ВЦД (1J) сходится тогда и только тогда, когда ряд (141) расходится.

Доказательство. Необходимость следует из теоремы

Доказательство достаточности основано на применении теоремы 3.28 (см. § 5), Рассмотрим последовательности

"=%+^: + 力+^；3+七+(L45)

имеющие смысл в силу условий теоремы и критерия Зейделя сходимости цепных дробей.

Возможны два случая: lim 〃 = а > 0, lim ik = 0. В пер- 左f8々f 8

вом случае последовательность {/А} ограничена снизу. Учитывая условие (1.44), заключаем, что расходимость ряда (1.41) эквивалентна расходимости ряда (1.12). Из ограниченности снизу последовательности {f丸} и расходимости последнего ряда следует выполнение условия (1.13). Поэтому в силу теоремы 3.5 ВЦД (1.1) сходится.

Покажем методом от противного, что второй случай в условиях теоремы не имеет места. Пусть lim ^ = 0 и {/々〃} —

подпоследовательность, стремящаяся к нулю. Поэтому для произвольного как угодно малого действительного числа е > 0 существует номер д0, что для всех п > nQ имеем tkn & е. Так как

, то lim Лп+1 =°°・

丽+ 1%f 8

Следовательно, для произвольного как угодно большого действительного числа К > £ существует номер nlf что 7\〃+i > К для всех п > 以> Пусть д2 = max (以°, 〃J и kn： = s, тогда для всех п》п^ имеем

IT配+1 一 2配 I > k 一 g,

в частности,

IТs+i — ％ I > К — в.(1.47)

Обозначим через 厶(2р),兀+i (2р) — 2р-е аппроксиманты цепных дробей (1.45) и (1.46) соответственно. В силу сходи- 84

мости (1.45)и(1.46) для уже выбранного е существует такоер, что

厶一厶(2р) V £, Ts+i — Ts+i (2p) V e-

Таким образом,

I Ts+i — 厶1 « Ts+i — Ts+i (2p) + 厶一厶(2p) + I 北+i (2p)——厶(2p) I《2e + I Ts+i (2p) — ts (2p) |.

Учитывая утверждение теоремы 3.28, где ^ = 1,%, Л'~1р5+1, %+2, 心1隹+3,%+2衣-точные, а 仪用，代％?, Ps+з,

N^a^, .. ., Ps+2p+i 一 соответственно приближенные значения частных знаменателей цепной дроби, имеем

IЛ+1 (2р) 一 /s(2p) I « G (2р) max 屮+彳匸。，垃,

I "тaS+2m - ^-1?s+2m_1 1心a+2m 一 心*+2。一1个1 .

心叭+22十 心％… I П

《厶(2") max "+1+2厂%+2",因吐22-%+2,叫《 e(M +1). 0<Л<Р (%+2々％+2m)

1VEV0

С учетом (1.47) приходим к противоречивому неравенству

К —IТs+1 —厶1 «£(М + 3).

Признаки сходимости ВЦД с неотрицательными элементами

Установим признаки сходимости ВЦД общего вида

b。(2.1) 々==1J

с неотрицательными компонентами а^ >0, bi^ > 0 (i丸= =1, N,々=1, 2,… J. Заметим, что для цепных дробей (1.15) с неотрицательными членами критерий Зейделя уже не справедлив. Так, цепная дробь

丄 丄 丄 丄 а

。十厶十0 +b4 + 0 +

с произвольными 匕2丸 > 0 (々=1, 2, . . J расходится.

Теорема 3.11. Пусть компонентами ВЦД (2.1) являются неотрицательные действительные числа 瓦極)а 0, a£[k) > 0 (i = 1, N,々=1, 2, . . J, удовлетворяющие условиям:

существует номер %, такойf что для каждого набора индексов 1Р 厶，…，£ 5 = \，N, р = 1,々，左 > й0), при котором bi(^ = 0, справедливо неравенство bi(k—ifj > О (/ = 1, ^, / * 〃)；

расходится ряд

2 6厶，(2.2)

где

= min (: % = О, р =+ .(2.3)

\ &Г+1)/

Тогда ВЦД (2.1) сходится.

До казательство. Из расходимости ряда (2.2) следует, что существует подпоследовательность {々/}, такая, что б^.力 О (/=1,2,.. .). В дальнейшем, предполагая индекс / фиксированным, будем использовать обозначение 几=々『.Поэтому при каждом фиксированном / все 加⑻ * Q,匕〃…)力 0 仇= =1, ^, k = 1,几 + 1). Так как ai{k)* О (/^ = 1, ^, й = 1, 2, . . .), то, используя эквивалентные преобразования (4.2) гл. 1, ВЦД (2.1) приведем к виду (4.9) гл. 1, где &*々)определяются согласно (4.10) гл. 1.

Подходящие дроби /s ВЦД (4.9) гл. 1 имеют смысл и принимают конечные значения, если s> 々〔》々и. Действительно, при 几 =々I все di(n)> 0. Формально вводя для ВЦД (4.9) гл. 1 обозначения типа (3.1) гл. 1, а именно:

Qi-% = di(n)i Q^) = dt^ + V 7^厂，(2・4)

. W+D

где (ц = 1, ^,々=1,几)и используя метод математической индукции, убеждаемся в том, что все Q怨)отличны от нуля и принимают конечные значения, т. е. Qf^)£(O, оо). Следовательно,

fn = bQ+^ 福 £ (0, oo).

Так как все d/(n)> 0, d“n+i)> 0, то, учитывая условие а), являющееся необходимым для того, чтобы подходящие дроби %(5>自)имели смысл, получим

Qz(n)e (0，8)(［卩=1, yv, p = 1,几，几 ^ 々I，s》几).

Учитывая, что

NNNN

%⑵ нF 乙 d“n-D + J Q爲

и повторяя предыдущие рассуждения, приведенные для подходящей дроби /小 заключаем, что /$£(0, оо)} если s > 々「

Вместе с ВЦД (4.9) гл. 1 рассмотрим ВЦД

%+空⑵5) gl /и ai{k) + е

戢и

где е > 0 — произвольное действительное число и обозначим ее s-ю подходящую дробь в смысле (1.11) гл. 1 через /5 (е). Так как элементами ВЦД (2.5) являются действительные положительные числа, то для этой дроби справедливо свойство вилки (3.4) гл. 1

%丸⑻ V/2丸+2 ⑻ < /2/+1 (е)</2/—1 (е)(^, /G И)-

Поскольку существуют конечные пределы lim fk (е) = /Л, то 0

для подходящих дробей ВЦД (4.9) гл. 1 справедливо свойство вилки

%丸 W %丸+2 w /2/+1 w /2/-1 (^» /Е №)•(2・6)

Отсюда следует, что для доказательства сходимости ВЦД (4.9) гл. 1 достаточно доказать, что /^+1—f“fG при too. Учитывая (3.3) гл. 1, ранее принятое обозначение п = "и то, что Q；；} > 0 (% = 1, М р = 1,財々=1, s, s =几, 几 + 1), имеем

(一屮

厶2(2-7)

Запишем произведения, стоящие в знаменателях (2.7) в виде

Q『6H)П(Q£ 爲"Q%#d) П (Q 队-1) Q观))，左=1ft=l

если п = 2m, или в виде

Q%R П (Q%)Q队+D)П (Q跋21)Q㈱))，

если л = 2m + 1. Учитывая обозначения (2.4), для$ =几, 几+1 и произвольного набора индексов i1} i^，・・• ， i，+i (г + 1 w £)имеем

Q% Q历+1) = d“r)Q貌+D + 工黑十 D >

> min (山⑺d“r+i):% = 1, N, p = 1, r + 1) +

Из (4.10) гл. 1 следует, что d.nd^ =哈也.

Таким образом,

^п+1^

隔+1 Tn I « 工(Q%)尸「}卜I + 工 o^~)，

Л» G仇+1=1£=2/—1 '(% —1)〃

где

—[几 + 1, если 几 + 々 нечетное, $ = I几,если 几 + 々 четное.

Последовательно применяя неравенство (3.5) гл. 2, как и при доказательстве теоремы 3.4, получим оценку

Ifn+i—fn I W С ]] “十 6丸，

откуда с учетом расходимости ряда (2.2) заключаем, что ВЦД (2.1) сходится.

Теперь рассмотрим общий случай, когда некоторые &*丸)=0.

Теорема 3.12. Пусть компонентами ВЦД (2.1) являются неотрицательные действительные числа b“用 > 0, 〃寅丸)> 0 (i丸=1, N, й = 1, 2, .. .), удовлетворяющие условиям:

&(用 + 瓦(用 * 0 (八=1, М 々=1,2,.・ J;

если существует такой набор индексов ~, i2,...厶 (ip = 1} Nt р = 1} й, k >2), что 瓦的=0, то предполагается, что все остальные b—)j #= 0 (j = 1, N, / * i^

6)瓦⑴ >0(4= MV).

Тогда ВЦД (2.1) сходитсяt если выполняется одно из двух условий: либо существует такой номер 々，что все а,® = 0 (ip = 1, N, р = 1,々),либо расходится ряд

2“

где 6丸 определяются согласно (2.3), причем те наборы ин・ дексов, при которых &〃丸+1)= 0 при минимизации (2.3) не учитываются.

Доказательство. Легко проверить, учитывая условия а)—в) теоремы, что все дроби (3.1) гл. 1 Q/^I имеют смысл и Q，芻 € [0, оо](厶=h^V, й = 1,2,. . . } m > й). Так как 加⑴ > >0(, = 1,М), то Q網£(0, оо]. Поэтому m-е аппроксиманты /т (т = 1} 2, . . .) ВЦД (2.1) имеют смысл и принимают конечные значения.

Рассмотрим ВЦД

t(2.8)

А=1 Т-. 十 е

где е — произвольное действительное положительное число, и обозначим ее s-ю аппроксиманту в смысле (1,11) гл. 1 через /5 (е). Как и в предыдущей теореме, предельным переходом по е} стремящемся к нулю, для ВЦД (2.1) устанавливаем свойство вилки (2.6).

Если при некотором наборе индексов 初总 =0, то согласно условиям теоремы 历标)#= 0 и поэтому Q矗 g(0, +oo](s > 田. Следовательно, Qt<总 1敏壮=0($ > 々)и s-ю подходящую дробь ВЦД (2.1) можно записать в виде

"他一1)

%=% + 6 £ 智，(2-9)

左二1"，(左)

где 0 w 几/优一1)v N, a/仅)卉 0, причем предполагается, что если верхний индекс суммирования больше нижнего, то сумма равна нулю. Числа 几〃丸_1) не зависят от s.

Если при некотором m все a“m)= 0(ip = 1, М р = 1, т), ТО ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО 5 > m /$ = /т-1 и сходимость ВЦД (2.1) очевидна.

Пусть при каждом 々=1, 2, . . . существует набор индексов 11} »2,・•・，£丸,что 几“々)> 1. Тогда обозначения (2.3) имеют смысл, так как набор индексов, по которым происходит минимизация, является непустым множеством, s-ю аппроксиманту ВЦД (2.1) запишем в виде

s 仪I).

厶=瓦+ D у(2.10)

I A

где d(^ определяется согласно (4.10) гл. 1. Из расходимости ряда (2.2) следует, что существует подпоследовательность

伏/}, такая, что 6Л/ #= 0 (/=1,2,...). Пусть т = к「Тогда 山⑺)> 0, d*m+i)>0 (4 = 1, %仅一》й = 1, m + 1). Поэтому Q馭)> 0， гДе s = m} m + 1 и рассматриваются допустимые наборы индексов 厶，厶，'炉 Тогда

初0) n(( О伙m)

—/m = V ' 工 ~~*g gП^ Q”" 口 Q於

Повторяя доказательство предыдущей теоремы с учетом неравенства (3.5) гл. 2 и неравенства

S(6+S

где 几 w N, Xi > 0, 6 > 0, получим оценку

i%+i —%1« cR n； sr

откуда с учетом расходимости ряда (2.2) следует сходимость ВЦД (2.1).

§ 3. Признаки сходимости ВЦД с комплексными компонентами

Рассмотрим теорему, которая переносит достаточные признаки сходимости ВЦД

(3.1)

с положительными элементами Ь(^ > 0 (й = 1,2, .. . , 1Л = =1,N) на тот случай, когда все частные знаменатели (3.1) являются комплексными числами, принадлежащими области

G& = {z£©:z*0, I arg z I < -^—ej }(3.2)

где е — произвольное как угодно малое положительное действительное число 0<е<у . Она является многомерным аналогом теоремы Ван Флека (теорема 4).

Теорема 3.I3. Пусть все частные знаменатели ВЦД (ЗА) принадлежат области (3.2). Тогда

каждая tn-я аппроксиманта fm (m = I, 2, ...) ВЦД (3./) принадлежит области (3.2);

существуют конечные пределы четных /2〃 и нечетных /2п+1 подходящих дробей при п ->оо；

ВЦД (3." сходится, если при введении обозначений а丸=min (I 瓦(悶 I ： ip = 1, ", p = 1,々)，

也=max (I bi^}\: ip= ltNt p = 1,々)

выполняется одно из условий:

а) расходится ряд

где Sk определяется согласно (1.18);

竺）=8,竺）=8,dI2"

竺）=8,

竺）=8,

/=2

где s = 2m + 々一2 伏/2];

в) интегральная цепная дробь

А=1А=1Г dtk ' b〃")Г dtk ' b〃")(3.3)(3.3)

А=1

А=1

Г dtk ' b〃")

Г dtk ' b〃")

(3.3)

(3.3)

сходится, где %("), * = (&,%，•••，〃)(^ = Н 2, . . .) —ке- прерывные положительные функции в гиперкубе К，= [О, N『 такие, что

耳(")= 1 瓦 glr=l,2,

而 max(屏(*): 〃£ Kr)max(bL (〃)：，£勺)<оо・ (3.4)

1)+ £ 小 G и т. д.1)+ £ 小 G и т. д.Доказательство. Если bi^^G^ то, очевидно, l/bz(m)g

1)+ £ 小 G и т. д.

1)+ £ 小 G и т. д.

Следовательно, пункт 1) выполняется при произвольном

Рассмотрим ВЦД

2£為，(3.5)

где

历 a)(z) = I 加a)|exp(i»&)z), ?/(*)= arg bi{k}, /£©, i = У^Т.

Пусть

I Rez I V 1 + е(л— 26)"1.(3.6)

Тогда

|arg b!M (z)| = I%® Re z I V (^ — e) (1 + ^^) = f—1 =

Следовательно, b貝丸)(z)£G6, где б = у, если z принадлежит области (3.6). Поэтому в силу пункта 1) заключаем, что все m-е подходящие дроби ВЦД (3.3) /m(z)(m= 1, 2,...) являются голоморфными функциями г.

Рассмотрим область

。= "£©" Re 2 1Vl + е(л — 2е)т, | Imz | < 1}.

Для z£D н последовательности голоморфных функций {fm(z)} выполняются условия теоремы Стилтьеса—Витали (см. теорему 2.13), где, например, а = —1, Ъ ==—2.

Пусть z £ А и Д = {w\ Rea? = 0, | Im и? | <； 1}. Тогда ВЦД (3.5) запишется в виде

N

6 £ j(3.7)

у е 4м)

где 瓦仅)=I 瓦® I ехр(—匕泣)【mz)>0・ Из свойства вилки (3.4) гл. 1 следует, что для ВЦД (3.7) всегда существуют пределы четных и нечетных подходящих дробей. Поэтому в силу теоремы Стилтьеса—Витали существуют пределы /2т (1) и /2т+1(1), т. е. выполняется пункт 2) теоремы.

Докажем пункт 3) в предположении, что выполняется условие а).

Пусть z£A фиксировано и

&左=пнп (屏(用 * lD = 1} Л^, p = 1}々)，瓦—max (6«用：£p =

=1, M P = 1,々)・

Так как ak > exp (—л/2) aA} p^ <?ехр(л/2) pA, to

a2s《6яа^1(柒 + W%- H+ №"1-~^ 匸2尸口

и в силу теоремы 3.6 и условия а) ВЦД (3.5) сходится для каждого zG Д. Из теоремы Стилтьеса—Витали следует, что ВЦД (3.5) сходится на каждом компакте области Q, в частности в точке 2=1, что равносильно сходимостиВОД (3.1).

Пункт б) доказывается аналогичным образом с учетом теорем 3.4, Стилтьеса—Витали и неравенства

味№.+膈+帀+后+ ...味№.+膈+帀+后+ ...2т+1 £2=22т+1 £2=22^+12^+1е也+i+e а左+2十е也+i+e а左+2十=£々=2=£々=2VV+ 工_瓦+1 + 鼠+2+8龙+3+ … +公+ 工_瓦+1 + 鼠+2+8龙+3+ … +公

味№.+膈+帀+后+ ...

味№.+膈+帀+后+ ...

2т+1 £

2=2

2т+1 £

2=2

2^+1

2^+1

е也+i+e а左+2十

е也+i+e а左+2十

=£

々=2

=£

々=2

V

V

+ 工_

瓦+1 + 鼠+2+8龙+3+ … +公

+ 工_

瓦+1 + 鼠+2+8龙+3+ … +公

Из сходимости интегральной цепной дроби (3.3) следует в силу теоремы 3.7, что расходится ряд (1,37), Условие (3.4) эквивалентно тому, что существует константа /И>0, такая, что .

шах(“(У): Ug /С) w /И min (》(У):产£Kr).

Так как

max(〃(*) if WК') > 瓦 > e~ 2 历，mjn(b,(/) ：/g十)《. Л

wave 2^,

to 0r < Мелаг. Из расходимости ряда (1.37) следует расходимость ряда

，沙

Учитывая теоремы 3.9 и Стилтьеса—Витали, завершаем доказательство теоремы.嚴

Следующая теорема является многомерным аналогом теоремы Ворпитского (теорема 2).

Теорема 3.14 [4, 7]. Если для ВЦД

1 + 51 + 5ЕМ%=1ЕМ%=1(3.8)(3.8)

1 + 5

1 + 5

ЕМ

%=1

ЕМ

%=1

(3.8)

(3.8)

где с*同—комплексные числа, выполняются условия

匕加 wa = N-"(l-/), 0 < / с 4 (г； = О, 々 = 1,2,…),

mo(3.9)

ВЦД (3.8) сходится;

справедливы оценки скорости сходимости

I fn 一 /ml《I fn 一 /ml《(1 —2/) tm (1 — /产[(1 — t)ri~^—"-『 [(1 — /产+1 一 "可[(1 -})m+l _ "什 1J，

I fn 一 /ml《

I fn 一 /ml《

(3.10)(3.10)(З.П)(З.П)если 0 < / < у ,

(3.10)

(3.10)

(З.П)

(З.П)

или

\f^ — fm\ W S 十 1]■加十 D ' еСЛИ = Т

где 几>团 и fk — й-я подходящая дробь ВЦД (3.8);

значения дроби (3.8) и всех ее подходящих дробей принадлежат области

|z — (l—f2)」w"l—伊尸;|z — (l—f2)」w"l—伊尸;(3.12)(3.12)

|z — (l—f2)」w"l—伊尸;

|z — (l—f2)」w"l—伊尸;

(3.12)

(3.12)

предельные константа a = 1 /(4 N) и соотвествующая область значений являются наилучшими, т. е. константу нельзя увеличить, а область уменьшить.

Доказательство. Покажем, что при выполнении условия (3.9) мажорантой ВЦД (3.8) является периодическая непрерывная дробь

kllL^ — tlL^ —… (3.13)

Обозначим 尸小，Qm, gm соответственно m-й числитель, m-й знаменатель и m-ю аппроксиманту дроби (3,13). Используя метод математической индукции с учетом рекуррентных формул (8), легко доказать, что

Qm =(l—y+f(l—『】+/2(l—『2+_

• • • + fm (ш = 1} 2, . . .)}(3.14}

Рт = Qm—1 (m= 1, 2, .. .).(3.15)

Из (3.14) следует, что Q^〉0 для 0 w f w ^ • Поэтому подходящие дроби (3.13) являются положительными числами, Т. е. gm>° (团=1， 2,・・.)•

Если для ВЦД (3.8) ввести обозначения, аналогичные (3.1) гл. 1, и в предположении, что все Q$% 卉 0 (s = m—1, n — 1), применить методику, приводящую 「прн установлении формулы разности двух подходящих дробей л-го и m-го но-

рядков (几 >/и), то, как легко проверить, в нашем случае получим

九一" >,F——為——，(3.16)

где

Qz(o)= Q"，= 1 + 工 ^^ (s = m — 1, n — 1). (3.17)

Используя метод математической индукции, докажем, что при выполнении условий теоремы для произвольного набора индексов |т, »2，・•.，，丸 н произвольного натурального £ >々

IQ 鼠)| > 瓦一片伍《£, £= 1, 2,…)，(3.18)

где hm ——m-я аппроксиманта цепной дроби

1一^_^_屮(3.19)

Фиксируем s. Проводим индукцию по k. При k = s имеемq£L)= 1 = %

При k = s— 1 получим

IQJ(LdI= ]1 + 工罕1-22-"(1一)=生.

Пусть неравенство (3.18) выполняется при k = п + I. Докажем его справедливость при k = п. Имеем

%=卜+н翁T…产U=jJ Qj(n+b|8-1

G+i=i

так как 儿=g#〔 > 0 (々=0, 1, 2,…).

Запишем формулу типа(3.16) для непрерывной дроби (3.13)

gn — gmgn — gm/m(1 一产ft==0々=0/m(1 一产ft==0々=0

gn — gm

gn — gm

/m(1 一产

ft==0々=0

/m(1 一产

ft==0々=0

Учитывая неравенство (3.18), получим

П ' I\fn~fm\< 〉-^一Jq

后==0月=0

v方=gn - gm•

ЛП-А—1 П %—I

A—o左=0

Так как периодическая цепная дробь (3.13), где 0《f《, сходится (см. теорему 7), то заключаем, что ВЦД (3.8) также сходится и справедлива оценка

力 I w ■吗工"—•(3.20)

П 1 П !lm—k—l

月=0А—0

Учитывая, что hk = g^{ = Qa+i/Qa» получим

«丝与響g，(3.21)

При /= 1/2 имеем Qp = 2^р (р + 1) и оценка (3.21) преобразуется в (3.11). При 0 < / < 1/2 в (3.14) сделаем замену / = %т, тогда

(% 1)叶1 — 1 / (% — 2)(% 1)叶1 — 1 / (% — 2)

(% 1)叶1 — 1 / (% — 2)

(% 1)叶1 — 1 / (% — 2)

где х> 2. Возвращаясь к переменной 厶 получим

Qp = [(l — f)°+i —尸+i】(1 — 2f尸・ (3.22)

Подставляя (3.22) в неравенство (3.21), получим оценку разности двух подходящих дробей, совпадающую с (3.10). Оценки (3.10) и (3J1) точные. Они достигаются для ВЦД (3.8), у которой q传)=—N~rt (1 —/) (й = 1, 2,….,〃 =1, N).

Справедливо неравенство

《（1-f户*1,《（1-f户*1,(3.23)(3.23)(1 — 2Г)[(1 — /)n-m — /П-m]

《（1-f户*1,

《（1-f户*1,

(3.23)

(3.23)

{Ц _ /)п+1 — ”+1] [(1 — /产+J — /т+1]

OwfV 1/2,

которое легко устанавливается, если ввести замену у = =/(1 — О"1 н учесть, что OwyvL Действительно, в /том случае (3.23) сводится к очевидному неравенству

(1 —У)(1 —勿-m) w(1 —*+1)(1—寸+1)，几>团，о < //< 1.

Из (3.23) следует более прозрачная, но и более грубая оценка

\fn—fm\<^ —,厂*"叫(3.24)

Докажем пункт 3). /n-ю аппроксиманту ВЦД (3.8) запишем в виде

z=(i+E毋厂=(5门

Из (3.18) и (3.9) следует, что

N

⑴丨 /(1 - /)

W 啞-2 =‘(1 -')gm一,■

Обозначим g значение бесконечной цепной дроби (3.13). Последовательность {g^} монотонно возрастает. Действительно, так как Qrn> 0 (m = 1, 2, . . .), то, учитывая (8), имеем

А 0.А 0.

А 0.

А 0.

Следовательно, | и?| с /(1 — /)g. Так как g = [1 — /(1 — f)gL то, учитывая, что при / = 0 g= 1, решая квадратное уравнение относительно g, получим g = (l—/尸・ Поэтому

откуда после несложных вычислений следует (3.12).

Докажем п. 4). То, что константа а = 1/(4N) является наилучшей, следует уз условия, что ВЦД (3.8), где q仇)= =.—c(ik = 1, М^ = 1, 2,…)и c>l/(4N), согласно теореме 7 расходится.

Область I z — 4/31 с у является наилучшей, так как значение ВЦД (3.8), у которой а⑴=с (& = 1, М)а®=—1/(4N) ( J = 1, M p = 1,岛 a > 2), равно (1 + 2Nc)~L Если | с |《 《1/(4N), то наилучшей областью значений данной ВЦД является область |z — 4/31 <

Замечание 3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.14. Из оценок (3.11), если / у, или (3.24), если 0 < / < 1 /2, следует сходимость ряда

£ I 7+1 — fn

Следовательно, если для ВЦД (3.8) с комплексными частными числителями выполняются условия (3.9), то она абсолютно сходится.

Теорема 3.15. Пусть для ВЦД

N

% + Е 工翠’(3.25)

где 拆,％丸)(々=1, 2, . . . , %= 1, N) — комплексные числа, выполняются условия

I а® I < ” 'a秋)(1 —°)(々=1, 2,...,，々=1, M %=0),

(3.26)

g“丸)£ R °《ёi(k)V L gf(o)= go = ° (々=1, 2, .. .,= 1, ^)

(3.27)

или

gf (依 E R ° V gj(屯《1 > gf(o)= go = ° (々==1, 2,

….，& = 1, ^).(3.28)

Тогда ВЦД (3.25) абсолютно сходится и ее областью значения является круг: | г — % | w 1.

Доказательство. Покажем, что мажорантой ВЦД (3.25) явл яется ВЦД

1%1+方 工一匕抄二М.(3.29)

Для ВЦД (3.29) введем сокращенные рекуррентные обозначения, аналогичные (3.1) гл. 1

11N%+1=1N%+1=1—"Т&(叶 1)(1 — gj(p))—"Т&(叶 1)(1 — gj(p)),(3.30),(3.30)

1

1

N

%+1=1

N

%+1=1

—"Т&(叶 1)(1 — gj(p))

—"Т&(叶 1)(1 — gj(p))

,(3.30)

,(3.30)

где (s = 1, 2, . .. , р = 1, s — 1, 〃 = 1, М 々=1, s). Методом математической индукции докажем справедливость неравенств

IQ晶 I > О挑(s = 1, 2h = d = ITW) (3.31)

и

0偽>8，出(s= 1, 2, . . . , й = 177 勿= T^), (3.32) если выполняются ограничения (3.27);

0$Ь А&®(5=1, 2,々=1, S,厶=1, "), (3.33) если выполняются ограничения (3.28).

При k — s неравенства (3.31) — (3.33) очевидны. При k = s — 1 имеем

I сй-1)1 >1 — S I q・(s)l » 1 — Е N-\gi0 хts—1(S=l

X(1 —g4s-l)) = 0限_1)

Заменяя ^.(s) единицей, получим (3.32) или (3.33), где k =« =s — 1.

Пусть неравенства (3.31) — (3.33) выполняются при k = =р + 1 w s. Докажем их справедливость при k = р. Имеем

NN

l= l+ *> 1 ~ \ I Q 俄+i)| >

"+曰‘p+1T

., V -"Tg“p+I)(l -g,(p))

A 1力

У(р+1)

%+1=1

Учитывая, что в силу оценок (3.32), (3.33) @能+i)*0, и заменяя gi{p+{} на Qz(p+i)> получим (3.32), (3.33) при k = р.

5) и (3.29) /п-/т и

Л

‘2，‘2，•••,仇 + 1

gn — gm где n>m, получим

\П 1 1

\m+1 A 1 mW

m+1

(一1尸+1口 gj(肋(1-Wi(i))

m+1m

=1 Mm” fl 0闕 П 翩

Следовательно, все Q^l)=И= О, Q眾)>0. Воспользовавшись формулой (3.3) гл. 1 для разностей подходящих дробей ВЦД

Таким образом,

力一AJw£一以，":电(3.34)

Последовательность gn монотонно убывает и в силу неравенств (3.32), (3.33) ограничена снизу

以二也|+工-^^ > Po I - •

Поэтому предел g=lim 区 существует и конечен.

Абсолютная сходимость (3.25) следует из неравенства (3.34). Учитывая (3.32) или (3.33) и условия (3.26), имеем

(3.35)

Л=1

Поэтому область значений ВЦД (3.25) принадлежит кругу |z — 4丨《 L Покажем, что она совпадает с этим кругом. Пусть с ——произвольное комплексное число, такое что | с j V 1 • Тогда первая аппроксиманта /\ ВЦД (3.25), у которой с.(1)= =^~1^ (J = 1, ^)J а все остальные с.{^ ——произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условиям (3.26), принимает значение 匕口 + c. Если же |с|二；1, то ВЦД (3.25), у которой %|)= (2М)Тс (厶=ТТН),力但)=—1/(4М)仏= =1, ^, s = 1, й, й > 2) удовлетворяет ограничениям (3.26), где g“i)= ^ 丨 с I = ^，g，M)= 4 位='^，左》2) и принимает значение &0 + с. ■

В качестве следствий теоремы 3.15 получим два признака сходимости, которые можно и нтерпретировать как многомерные обобщения теоремы Слешинского—Прингсгейма (теорема 3).

Теорема 3.16. [43]. Ветвящаяся цепная дробь

7/覺7/覺(3.36)(3.36)

7/覺

7/覺

(3.36)

(3.36)

е комплексными числовыми элементами, удовлетворяющими условиям

абсолютно сходится и ее областью значений является круг

\z — b0\^N.(3.38)

Д о к аз ател ьст во. Из условия (3.37) следует, что 历⑷ #： 0 (j左=1, AZ,々=1, 2, . . .). Используя эквивалентные преобразования (4.2) гл. 1 приведем ВЦД (3.36) к виду (3.25), где

"依勿（盼%s—1）"依勿（盼%s—1）(々=1, 2,...(々=1, 2,...ik = i, M 历(o)= 1).ik = i, M 历(o)= 1).

"依勿（盼%s—1）

"依勿（盼%s—1）

(々=1, 2,...

(々=1, 2,...

ik = i, M 历(o)= 1).

ik = i, M 历(o)= 1).

Пусть

当"）=4向+ n.

Тогда 0 W g/(幻 V 1 и в силу (3.37)

I (1%а)1+2)(а(1)1 + м)= N ig，(4)(1 _g,・(D)，

если ^ » 2 или I с,# I w g,# = NN^g，m{\ — g,©), где gim = = gQ.= 0・ Поэтому ВЦД (3.36) абсолютно сходится и ее область значений содержится в круге (3.38). В такой формулировке теорема 3.16 была установлена Н. А. Недашков- ским [43].

Докажем большее, а именно, что область значений дроби (3.36) совпадает с (3.38). Пусть с ——произвольное комплексное число, такое что |c|vM тогда первая аппроксиманта /1 ВЦД (3.36), у которой 乙⑴=Nc(jV —|с|，7,历⑴= = N\c\(N-\c\)^ + N (九=17^) g(幻，m出3=丽 p = =1,山,k > 2)——произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условиям (3.37), принимает значение 匕。+ с. Если же с = N匿 (—nV<pw п), то рассмотрим ВЦД, удовлетворяющую соотношениям (3.37),

万丄SJ exp a中)

° 十厶—，(3.39)

"=1e1十2十D \ C为

где с左 >0 (々=1, 2,… J. Она эквивалентна цепной дроби

% +券—(3.40)

у которой g« = ck(ck + N— и значение которой согласно [ЮО] равно

%+с[1-(1 +ЕПт^) Т (3・41) Так как

士 П 占,=£ м fl % 也==1 f=l左=1f=1

то ВЦД (3.39) принимает значение 匕。+ о, если ряд 工П с( расходится. ■

Теорема 3.17. ВЦД (3.36) с комплексными числовыми элементами, удовлетворяющими условиям

心wlA旧出1m+1 S=G，R=l, 2,…)，(3.42) абсолютно сходится и ее областью значений является круг 12 — bQ I <: 1.(3.43)

Доказательство. Повторив начало доказательства теоремы 3.16 и взяв

= М (" I a({k} I + I)"1,

убедимся в тсь , что 0 v g«献 V 1 и

I = ^^ w M ；：：；')下 i = "Tg，(1 — &(。))，

где g*o)= g。= °，а также

I °’(舟 W(M|a,*,|+ 1)((3 a,j)l+ D = “г gig(1 — &(「】))•

Поэтому согласно теореме 3.15 ВЦД (3.36) абсолютно сходится и в силу (3,35) ее область значений содержится в круге (3.43). Докажем, что она совпадает с этим кругом.

Если с — произвольное комплексное число,такое, что | с |V1, то первая подходящая дробь /\ ВЦД (3.36), у которой

4⑴=[Г二:С »"，"⑴П亡|* + 1 Ui = L "b

al{k}i 勿(舟(jp = 1, N, p = 1, R, R >2) — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условиям (3.42), принимает 102

:%+。Пусть с = 8© (—л<ф«л). Рассмот- рИМ DI (J〈

% +竺4，(3.44)

^i+1+Д S л^ТТ

где 0由>0 (々=1, 2, . . .). Она эквивалентна цепной дроби (3.40), у которой g^= Nck(Nck 4- I)'1. Значение ВЦД (3.44) равно (3,41).

Так как

8 左8/1，

£П』5>!Ъ， 左 s=s[ f=I々rI( = 1

то ВЦД (3.44) принимает значение bQ +ot если ряд

£ N‘ ["J Cj расходится. ■ fe=l z=i

Ниже мы приведем некоторые следствия теорем 3.15—3.17.

Следствие 3.4 [45]. ВЦД (3.36) абсолютно сходится, если существуют такие действительные числа р氏心 >N (厶=1, ^> ^ — 1, 2, .. .), что выполняются неравенства

I 6ла-1А(а)I 6ла-1А(а)WW4⑴ 勿⑴4⑴ 勿⑴々S) — N々S) — N\句⑴\句⑴仏=1, N),仏=1, N),(3.45)(3.45)Pt(A-lA(A)Pt(A-lA(A)(% = 1, N、p = 1,比 k > 2). (3.46)(% = 1, N、p = 1,比 k > 2). (3.46)

I 6ла-1А(а)

I 6ла-1А(а)

W

W

4⑴ 勿⑴

4⑴ 勿⑴

々S) — N

々S) — N

\句⑴

\句⑴

仏=1, N),

仏=1, N),

(3.45)

(3.45)

Pt(A-lA(A)

Pt(A-lA(A)

(% = 1, N、p = 1,比 k > 2). (3.46)

(% = 1, N、p = 1,比 k > 2). (3.46)

Вместе с ВЦД (3.36) рассмотримВместе с ВЦД (3.36) рассмотримДоказательство, ей эквивалентную ВЦД

Вместе с ВЦД (3.36) рассмотрим

Вместе с ВЦД (3.36) рассмотрим

以+方 £ 2竺"I向出,(3.47)

°1，勿(舟Р；а)

где Р*о)= 1, Р/伍)#=0 (ik = Ц N, k^ \, 2t 11 .). Если положить Pj*)=ad々仅)(厶=17"^, 々=1, 2, . . .) и к дроби (3.47) применить признак абсолютной сходимости, изложенный в теореме 3.16, убеждаемся в том, что условия (3.37) в этом случае эквивалентны условиям (3.45) и (3.46)..

Следствие 3.5. ВЦД (3.36) абсолютно сходится, если существуют такие действительные числа %*)>】(& = 1,",

々=1, 2, . . .), что выполняются неравенства

々肉々肉分（I色（以"分（I色（以"/⑴ 匕⑴/⑴ 匕⑴(3.48)(3.48)%（左）-1%（左）-1"%8-1）%（加"%8-1）%（加(j = 1,(j = 1,天，p= 1,財々 > 2). (3.49)天，p= 1,財々 > 2). (3.49)

々肉

々肉

分（I色（以"

分（I色（以"

/⑴ 匕⑴

/⑴ 匕⑴

(3.48)

(3.48)

%（左）-1

%（左）-1

"%8-1）%（加

"%8-1）%（加

(j = 1,

(j = 1,

天，p= 1,財々 > 2). (3.49)

天，p= 1,財々 > 2). (3.49)

Доказательство. Если в (3.47) положить Pf® = =%(切也5)⑷=17 M 々=1, 2, .. .), то условия (3.42) теоремы 3.17, записанные для ВЦД (3.47), эквивалентной дроби (3・36), преобразуются к виду (3.48), (3.49). ■

Замечание 3.3. Следствия 3.4 и 3.5 легко устанавливаются непосредственно из теоремы 3.15, если ВЦД (3.36) с помощью эквивалентных преобразований привести к виду (3.25) и положить

соответственно (厶=1, N, /г = 1, 2, .. .). Если же в следствиях 3.4, 3.5 положить

то получим условие, эквивалентное (3.26) с ограничениями (3.28) относительно g*田.Следовательно, теоремы 3.15——3.17 в некотором смысле эквивалентны.

Следствие 3.6 [10]. ВЦД

(3.50)

с числовыми комплексными элементами bi{^ (厶二 1, %,々= = 1,2, .. .) абсолютно сходится, если

(3.51)(3.51)(3.52)(3.52)а號L + (ЛЧ尤尸 & N~\k =1,2,...),

(3.51)

(3.51)

(3.52)

(3.52)

где ^——число веток ветвления ВЦД (3.50) и

а左=min (I 仇(左)11 ip = 1, Л/, p == 1» ^).

Доказательство. Неравенство (3.51) следует из условий (3.48), (3.49), если положить

%(2左一1) =0(2肉=电左，％回=1 (% = 1, М 々=1, 2, .. .). g.

Следствие 3.7. ВЦД (3.50) с числовыми комплексными элементами b^k)(〃 = 1, Л\ 々=1,2, ...) абсолютно сходится, если

a£i + (Л%左+1尸 w "7 但=0, 1, 2,・・・)，(3.53)

где а左 определяются согласно (3.52), % = %.

Доказательство. Неравенства (3.53) следуют из (3.48) и (3.49), если положить

%(2左+1)=%佛)н а浜+1，%()= %, %(幻=1“％ = 1, М 々=1, 2, . . •). ■

Рассмотрим ВЦД

(1+а£ 卷厂 ©а)

где с“粉(/А = 1, ^> й = 1, 2,...)——комплексные числа, удовлетворяющие условиям (3,26) и ограничениям (3.27) или (3.28) относительно g*田. Так как согласно теореме 3.15 значение дроби, обратной к (3.54), может быть равно нулю, то без дополнительных ограничений можно лишь говорить о сходимости в широком смысле ВЦД (3.54).

Теорема 3.18. ВЦД (3.54) с числовыми комплексными элементами Q仅)必= \ , N、左=1, 2, . . .) абсолютно сходится, если справедливы, условия (3.26), где OVg*o)= =gq W 1, 0*^ gf(左｝ W 1 (厶=1, tV,々=1, 2, • • •) или 0 w <gf(左｝ V1 W = 3 N, й = 1, 2, ,. .) и областью значений этой дроби является круг

I Z — g尸(2 — g°)7 I W (1 — g°)^'(2 -备尸.(3.55)

Доказательство. Аналогично, как и при доказательстве теоремы 3.15, легко устанавливается, что мажорантой ВЦД (3.54) является ВЦД

.(3.56).(3.56)Л I у £ —мт a—gf(i卩g『(川

.(3.56)

.(3.56)

Если бесконечную ВЦД (3.56) или ее п-ю аппроксиманту записать в виде

Z = (1 — (1 — g。)侬)7,侬=、- д?,

41 -中27(1一gf⑴%)

то в силу утверждения теоремы 3.15 | 叫《1 и поэтому 11 — у I < 1 —gm откуда с помощью элементарных вычислений получаем (3.55). Абсолютная сходимость ВЦД (3.54) следует из того, что аппроксиманты ВЦД (3.56) образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху последовательность. ■

Рассмотрим числовую последовательность {а^}, где ak = =N max (I а® I ：办=1, M p = 1,田，c£{k) — элементы ВЦД (3.54). Предположим, что {а左}——цепная последовательность и тл (и = 0, 1,2,...)——ее минимальные параметры (см. (35)). Рассмотрим цепную дробь

丄 色 (1 — mom? (1 —巾"巾3(3 57)

Теорема 3.19. Пусть элементами ВЦД (3.54) являются комплексные числа q仅)(ik = 1, ^,々=1, 2, . . .), такие, что последовательность

%= A^niax( I c.{k}\:ip = 1, М р = 1?^) (й = 1, 2, ., .) (3.58) является цепной по еле дователъ но стью с минимальными параметрами тр (р = 0, 1, 2, . . .), удовлетворяющими условиям

о < mp < 1 (р = 1, 2, . . .).(3.59)

Тогда ВЦД (3.54) абсолютно сходится, если сходится ряд 8 k

7= 1 + £ n皿(1一忆尸.(3.60)

左=1 t = I

Значение бесконечной ВЦД (3.54) и всех ее подходящих дробей принадлежит области

|z —Т(2Т — 1)т|«Т(Т—1)(27—1 尸， (3.61)

где Т — сумма ряда (3.60).

Доказательство. Покажем, что мажорантой ВЦД (3.54) является цепная дробь (3.57). Если для дроби (3.57) ввести рекуррентно сокращенные обозначения, аналогичные обозначениям (3.1) гл. 1

• • • » Р = °, s 1)?

то методом математической индукции по аналогии с доказательством неравенств (3.31), (3.32), легко проверяется, что

IQ隔I > Qas, {k — б, s,厶=0,存=1, M p = 1,山)，(3.62)

。£}> 叫(k^~s).(3.63)

Следовательно, Q,北 y=0, 0£)>O (々 = 0, s). Если обозначить 々~е аппроксиманты ВИД (3・54) и цепной дроби (3.57) через /左,рА и учесть формулу разности двух подходящих дробей (3.16), то для п>т получим оценку

I fn — fm I & Pn 一 Pm-(3.64)

Абсолютная сходимость ВЦД (3.54) следует из того, что последовательность {“ монотонно возрастает и ограничена сверху.

Пусть 4% и Bk ——й-й числитель и знаменатель дроби

(3.65)(3.65)皿 一(1 - m2)m3 — (1 - m3)m4 一

(3.65)

(3.65)

1jj

Используя рекуррентные соотношения (8), методом математической индукции легко проверим, что (см. [100])

Bk = (1 —^)(1 —m.2)…(1—叫)+ 恤(1 —加2)…

.,.(1 —mj + m^ (1 —m3) . . . (1 —т^ -|+ m1m2...mk.

4 = Bk - (1 -加i) (1 -①2)"…(1 -恤)，

Поэтому 力 P

矣1 - (1 + > 口恤.(1 -加尸):

Так как в силу оценок (3.62)

附—ь营開4俞7，

то, записав бесконечную ВЦД (3.54) или ее аппроксиманту в виде

z = (1 + 侬)т, где w = / wj 1 i—

имеем I 侬 J v 1 — Г"1 или | 一1 | « 1 — T~L откуда с помощью элементарных вычислений получаем оценку (3.61)..

Теорема 3・20・ Пусть для ВЦД (3.54), где а(肋(厶= =1, ^,々=1, 2,...)——комплексные числа, выполняются условия

m方田|Va的(1二^-1))

(々=1, 2Т , ik= 1, М А)= 0),(3.66)

g“》£R，0wgz”}Vi, g“o)= go =。

俏=i, 2,…，〃=E).(3.67)

Тогда ВЦД (3.54) сходится, если существует такое натуральное число и и набор индексов 厶,厶，• • • ， ^ (ik = 1, N、々=1, и), что g“用=0 или

Nq・(“产一g"n)(l-g“i3(3.68)

Доказат ел ьс тво. ВЦД

= 1 + D S

左=р+1 厶=11

S = o, 1, 2,, 4 = o, % = T77Z, i) (3.69)

согласно теореме 3.15 сходятся и принимают значения, при надлежащие кругу \г ——1丨《1——gi{p}. Элементы с“^ запишем в виде

С"© = NTg“6(l —g“JD)X，电

где I xz(a)I < 1 в силу условия (3.66).

Если ВЦД (3.54) расходится, то необходимо

q = 1 +』竺弊"》=0.(3.70)

Так как 丨抬⑴丨 < 1 и согласно (3,32) |Q,・⑴丨 > g『⑴，то равенство (3.70) равносильно тому, что

(3.71)

Из условия |Q〃d—11 < 1 —g“D и (3.71) следует, что

Q"D = gj(D，*(1) = 一 1 (厶=1，")，(3.72)

Поскольку

Q«l) = ] + (1 _g“D)У 上務产?，

то, учитывая (3.72), имеем

£4=1£4=1心1&⑵々⑵Q*2)心1&⑵々⑵Q*2)+ 1=0,+ 1=0,

£

4=1

£

4=1

心1&⑵々⑵Q*2)

心1&⑵々⑵Q*2)

+ 1=0,

+ 1=0,

откуда, повторяя те же рассуждения, получим Qz(2)= g^t 修⑵=—1 (li = 1, M 々=1,2) и т. д.

Расходимость дроби (3.54) эквивалентна выполнению условий

Qi伍)=g讷)，芻伊)=-1(373)

при всех возможных наборах индексов. Поэтому выполнение условия (3.68) гарантирует сходимость ВЦД (3.54). Так как Qua 声0 (々=0, 1, 2,・八=0, 1% = 1, Nt 々 a 1), то условия (3.73) не будут выполняться, если при некотором наборе индексов % %, . . . , in g*⑴==0. ■

Теорема 3.21. ВЦД (3.54) с комплексными частными числителями 仅舟 山=1, Л\ 々=1, 2,…)абсолютно схо“ дате я, если для произвольного натурального п 〃 произвольного набора индексов &, (2, ... , in выполняются условия

工 I &*(右)I V‘M7 (厶=1, M 々=1, nt и = 1, 2, ...). (3.74)

Доказательство. Покажем, что существуют такие действительные числа 0 < gi{k} < 1 (厶=1, ^, й = 1, 2,...), &(о)= go = 3 что

Id 他/ = "Tg«田(1 —g/ц))，(3.75)

Действительно, так как |^(i)I < ^^1> то можно положить М&・(1)| =g*]). Тогда 0«g.(|)< 1(i； =1, ^). Пусть

g“叫(厶=1, ^, k = 1, и) уже найдены. Учитывая (3.74), имеем

” I 叶 1)|< 1 — Sj Л^1^(л)1 = 1 — 21 g『他)(1 — gi(I))=

=1 — g;⑴一巨冃** d — g"D)"

=(1 — g幻))(1 — g“2)) —£ g,•伍)(1 一 g,p_l)) V

v a — g“2))—巨 g“© a — g*f)=

=(I — g，⑵)(1 — g"3>)— &W g«局('—g*D)V

W( 1 — g"3>)— g g*岛(1 — g"D)W …

« & —g“〃—l))(l —g"〃J « С — g"卩

Поэтому существует такое действительное число 0 w wg«“十 1)V 1, ЧТО Mc，s+I)l = g,.(〃+I)(l-g,0))・

Если некоторые с*切 равны нулю, то, значит, g寅汽)=О и сходимость ВЦД (3.54) следует из теоремы 3.20. Пусть все &(同 力 0 (〃 = 1, N,々=1, 2,・・・)• Тогда, положив

g/肉=1 — sup(纟 УI ci{p)I: ip = MV, k + \) (3.76)

(々=0, 1, 2,…・,I； = 0,厶=1, M 左 > 1), имеем

(1—)g,・肉= (sup 纟 М&з1)(1 — sup s NIci(p I) >

'''P=k0=^+1

> (^ I Ct(k)I + sup E NI ci(p)I) ( 1 — sup E NI СцР) I) >

> ^ I ci(k} I + sup E Ms⑺ 1(1—sup £ 仲 a・(₽)|)》/V|q(a)|. pu 也 T-lP~k

Учитывая (3.76), получим 0 < g.(0) = g0 < 1, 0 < g.^ < 1 鱼=1「N, k=\, 2, . ..). Поэтому |c“i)I w N~i (1 — go) X X g“i)"i = l, N), I С1ф)I <1 AZ"1 (1 —g『候—1)) g “舟(々=2, 3,.,,

ip = T7W, p = П ^)- Если gn >0, то ВЦД (3.54) сходится согласно теореме 3.18. Если же g()= 0, то сходимость ВЦД (3.54) следует из теоремы 3.20.

В заключение отметим, что теоремы 3.15—3.21 являются многомерными аналогами признаков сходимости цепных дробей, в частности теорема 3.15, следствия 3.4, 3.5 —— обобщение признаков сходимости Перрона [87], теорем 3.16, 3.17 — признаков сходимости Слешинского — Прингс- гейма [58, 89|, теорема 3.19 ——многомерный аналог признака Ван Флека [98], теорема 3.20 — признака Уолла — Пейдона [85], теорема 3.21 —обобщение признака сходимости Коха [82].

Следующие две теоремы являются многомерными аналогами параболической теоремы. Подробный обзор по этому вопросу изложен в [81].

Теорема 3.22. Пусть элементы ВЦД (3.54) s (舟(乙= =1, ^, й = 1, 2, ...) принадлежат области

А = {z£ © " z I — Re z w (2")т (1 — в)},(3.77)

где е ——как угодно малое действительное число (0 Ve V 1), N ——число веток ветвления ВЦД (3.54).

Тогда

существуют конечные пределы четных %〃 〃 нечетных f2n+i подходящих дробей;

ВЦД (3.54) сходится, если выполняется одно из двух условий: либо существует такой номер k, что все &伊)=О (/р = 1, ^, р = 1, k) либо расходится ряд

纟九(3.78)

ede 源=min (1/| с*舟］:% = 1, N, p = 1,山)，причем те наборы индексов, при которых с“» = 0 при минимизации не рассматриваются;

область значений ВЦД (3.54) принадлежит кругу

|г— 11< 1.(3.79)

Доказательство. Заметим, что границей области Ре является парабола с фокусом в начале координат с осью вдоль луча arg г = 0 и с вершиной в точке.

Каждый отличный от нуля элемент &・(舟 ВЦД (3.54) представим в виде

Ct〈k、= I &传)I exp (fa“Q,где ——л <!«/(*)< л и i = К——1. В области

% = {z£ С I Imz IV 6,丨 Rez丨 V 1 + 6},(3.80)

где 6 — произвольное действительное число, такое, что

(1 + б)2ехр(лб)<(1 — £尸，(3.81)

рассмотрим функции

(0, если 方同=0,

8伊)(z) = X 明.⑹ I exp (i%肉z), если a伐)#= 0

(?%= 1, ^, k= 1, 2, . . .). Покажем, что &肉(z)£P(), когда z£Qg, где PQ определяется согласно (3.77), если положить е = 0. Если %伊)=0, то» очевидно, C№}(z)£P()・ Пусть

oc/伐)* 0 и z ^ х ^ iy. Тогда, опуская индексы с целью сокращения записей, получим

I с (z) I — Re с (z) = I с I е-а“ (1 — cos ах).

Так как Jc|(l—cos а) < -^^> то |c(z)| — Rec(z)w

1 — в 几° 1 — cos ах

& 2/V *1 — cos а '

Исследуем на экстремум выражение

М (а, %)=М (а, %)=1 — cos ах1 ——cos а1 — cos ах1 ——cos аsin2 2 ахsin2 2 ах

М (а, %)=

М (а, %)=

1 — cos ах

1 ——cos а

1 — cos ах

1 ——cos а

sin2 2 ах

sin2 2 ах

где —л <а < л, а #= 0, |х| < 1 + б. Достаточно ограничиться случаем OVawn, 0 < х < 1 -|- б. Если 0 之aV < л (1 + 6)т, то функция \/ М (а, %) по аргументу х монотонно возрастает и поэтому

sin а(1 + 6)VМ (а, %) w j= М (а),sin у а

М (а)——монотонно убывающая функция по а, так как cos 今 cos ^а(1 十 6) /

必⑺=j -/ .。——(1 + 6) tg jsin T

-tg| (I +6))vo,если 0<а<п(1 + б)"1. Следовательно,sup(M (а): О Vа V冗(1 + б)"1)=sin 工 a (1 十 6)=lim：= ] + 6.

X sin у а

Если же л (1 + б)"1 w a w л, 0 w % w 1 + 6, то sin 万 ах/sin 万 а《sin"1 ?(】斗飞)《1+6,

так как sm а где 0 w % w 1.

Таким образом, выбирая б согласно (3.81), имеем J с (z) J — Re с (г) < (2儿尸・

Рассмотрим ВЦД

厶=1厶=1%无）（力%无）（力(3.82)(3.82)

厶=1

厶=1

%无）（力

%无）（力

(3.82)

(3.82)

Учитывая следствие 1.4, где а = 0, убеждаемся в том, что область значений ВЦД

“ё(m+2 2¥厂

принадлежит полуплоскости

Rez> —(2М)7, откуда следует, что областью значений ВЦД, обратной к (3.82), является полуплоскость

Rez> j .

Поэтому значения подходящих дробей ВЦД (3.82) принадлежат области

J z — 1 ] V 1 •

Обозначим fn(z) — n-ю аппроксиманту ВЦД (3.82). Очевидно, fn(z)(几=1, 2, ...) —голоморфные функции в области Qg・ Для этой поеледовател ьно ст и выполняются условия теоремы 2.13, где, например, а = — 1, b = — 2.

Пусть z£A и A = {z£©: Re г = 0, | Im г | <б}. Тогда ВЦД (3.82) запишется в виде

NN

N

N

где

с [0, если с®、= О,

c’s) = 11 cw I ехр(— 0s)y), если ci{k) * 0.

Для установления сходимости ВЦД

1+?£ 竿，(3.84)

1 е

обратной к (3.83), воспользуемся теоремой 3.12. Условия а)——в) этой теоремы выполняются очевидным образом.

Если существует такой номер 山，что все а伊} = 0 (厶= =1, ^, р = 1, k)t то все 2nk)= 0 (J = 1, ^, р = 1,由),

8 5-534ИЗ

поэтому ВЦД (3.83) сходится и принимает отличное от нуля значение. Поэтому ВЦД (3.82) сходится.

Так как

& = min (сед： ip = 1, ^, р = 1,左)》源 exp (— лб), то в силу условия (3.78) ряд

расходится и в ВЦД (3.83) сходится.

Из теоремы Стилтьеса—Витали следует, что ВЦД (3.82) сходится на каждом компакте области (3.80), в частности в точке г = 1, что равносильно сходимости ВЦД (3.54). Из свойства вилки (2.6) следует, что всегда существуют конечные пределы четных и нечетных подходящих дробей ВЦД (3.83). Как и раньше, применяя теорему 2.13, легко убеждаемся в справедливости пункта 1). ■

Следующая теорема является обобщением только что доказанной на случай повернутой параболической области.

Теорема 3・23・ Пусть элементы ВЦД (3.54) с^ (^ = =1, ^,々=1, 2, ...) принадлежат области

P%v = {z£C： |г| — Re(zexp(—2у/)) с

<(2N)T(1—e)cos2 у},(3.85)

где^VYV^, е ——как угодно малое действительное положительное число (0 V е V 1), N — число веток ветвления дроби (3.54). Тогда

существуют конечные пределы четных и нечетных подходящих дробей ВЦД (3.54):

ВЦД (3.54) сходится, если выполняется одно из двух условий либо существует такой номер 山，что все а(同=0 (ip = 1, ^, р = 1,山),либо ряд (3.78) расходится;

область значений ВЦД (3.54) принадлежит кругу 卜 一 у ^1 — у cos у) exp (—，Y)I W 乂 1 — у cos Y)・

(3.86)

Доказательство. ВЦД (3.54) запишем в виде

(1+2 £ 傘厂，(3.87)

т. е. положим Ci(k)= а^ (厶=1,必 々=1, 2,・・・)•

С учетом того, что |г3| —Re(z2) = 2(1тг)2, область (3.85) в терминах 侬，где г = w2t преобразуется к виду

&у =［侬£С "Im (侬 ехр(—iy))J w | l/^^cosy^. (3.88)

Каждый элемент 〃“无)ВЦД (3.87), принадлежащий области (3.88), представим в виде 仪“尉=厶肉 exp (勿)+ i由肉,где 仇⑶，d“幻 £ 呎 и I 必V)I с I "|/^^ • Фиксируемy：IyIv£. Пусть 6 — действительное положительное число (OVbVl) такое, что ［丫±6|<：胃• В области

Sg = {z£(D：1 - bVjzJVl + б,

—Y —bVargzVb, если у > 0,1 /鼻呵

—б < arg г < — y+Ь, если у< 0, |(' )

определим функции

内泣)(г) = гйед ехр (勿)+ idak) (ik = F^V,々=1, 2,・• •)・ Очевидно, ai{k} (г) £ Ge, v*, где у* = у + arg г и | у* I < -^ .

Учитывая следствие 1.4, убеждаемся в том, что область значений ВЦД

принадлежит полуплоскости

У = {⑪£(D： Re(侬ехр(— ty*)) >(2A^)~1cosу*}. Отсюда следует, что область значений ВЦД, обратной к (3.87), принадлежит области

W = {⑪£(［；: Re(侬exp(—ty*)) >1 — — cosy*}.

Поэтому значения подходящих дробей ВЦД (3.87), как легко подсчитать, принадлежат кругу

丨吁乂 l—^cosy*) iexp(TY*)|v^(l—^cosY*)； (3.90)

Обозначим /m(z) — n-e аппроксиманты ВЦД (3.87). Для последовательности 仇⑶} голоморфных функций в области Хе выполняются условия теоремы Стилтьеса — Витали, где,

8*8*115

8*

8*

например, а = — 1, b = —2 и А = {г С So： arg г = —у}・ Если г£ А, то a&)(z)£&, где Ре определяется согласно (3.77). Расходимость ряда (3.78) эквивалентна для каждого z£A расходимости ряда

' (min -—^ ■--— : ip = \, N, р = 1 > А)•

喜、 I々住)⑵I丿

Так как г = 1—компакт области So, то сходимость ВЦД (3.54) следует из теоремы 2.13.

§ 4. Области сходимости ВЦД

Последовательность областей элементов {□(■(*)} (й = 0, 1, 2,... …，% = 0 = 1, Л\ 々》1) (см. § 5 гл. 1) называется последовательностью областей сходимости ВЦД

если условие〈％&),勿冏〉£Qf® 但=0, 1, 2, ... , i0 = 0, ik = =1, ^, ^ > 1) обеспечивает сходимость ВЦД (4.1) Аналогично определим последовательность областей сходимости {Е/⑹} для ВЦД вида (3.54) или последовательность областей сходимости {Gf皖)} для ВЦД вида

(4.2)

Можно, естественно, рассматривать и дроби, обратные к (4.1), (3.54) или (4.2).

Если。“舟 = ◎ (или £\® = £\ или 仇切 = G) при всех возможных наборах индексов, то назовем ◎ (или Е, или G) простой областью сходимости. Если же Q^k)= Ц, °*2无一i)= =Q1 (или ?碓盼=e2, 足以2万一1)=e1，ИЛИ Gf侬)=G2, G*汴一I)= =Gi) при всех возможных наборах индексов, то назовем области %, & (или Еъ 旦，или Glt G2) спаренными областями сходимости.

Например, в силу теоремы 3.13 простой областью сходимости ВЦД (4.2) является произвольный компакт К области

卜 £ ©: z 力 О, I arg z|V^—- e, °VeV 千} •

Простой областью сходимости ВЦД (3.54) является круг {z £ С : I z [ w 呑},

что следует из теоремы 3.14.

Круг

K = {z£(C：|z-a|《r}

называется окрестностью сходимости точки а£©, если К—■ простая область сходимости ^ЦД (3.54) или (4.2). Из теоремы 7 следует, что если а^。，где

D =卜£©, z R ^ , ； arg(z + 詣)| v" ,(4.3)

то ВЦД (3.54), где все 方用=а, расходится. Поэтому для ВЦД (3.54) есть смысл рассматривать окрестности сходимости только точек a£D, где D определяется согласно (4.3).

Теорема 3・24・ Если а ——комплексное число, такое, что

largalVn « |а|>^,(4.4)

то область

Е = «£©: |z —а| с г V 志口а|+ Rea产j(4.5)

является окрестностью сходимости ВЦД (3.54).

Если хе

丨"1 < 4у»(4.6)

то круг

E==(z£C： 12-a1<Y卜 + 孟；}(4.7)

является окрестностью сходимости ВЦД (3.54).

Доказательство проводится по схеме, предложенной в работе [81], и основано на свойствах парабол н утверждению теоремы 3.23. Если а = 0, то утверждение теоремы следует из многомерного аналога признака сходимости Ворпитского (теорема 3.14). Если же а 力 0, то, взяв у = = ^arga, построим параболическую область РОт вида (3.85), где е = 0. Остается отыскать радиус круга, касающегсся границы dPov, с центром в точке а, используя методику, рассмотренную в [81]. Утверждение теоремы 3.23 гарантирует сходимость в каждом компакте К области 夕屮 Поэтому учитывая произвольность е, возьмем несколько меньшими радиусы полученных кругов, ■

В дальнейшем нам понадобится теорема о поликруговой окрестности сходимости. Поликруг

= {z £ ©% z = & а2, , . , , гу),\zi — ai\<.门，i = 1, 2}

назовем поликруговой окрестностью сходимости ВЦД (3.54) или (4.2), если условие

I а〃)— а厶 I с & или I 仇工閉—а厶 | с &

(々=1, 2, ... , 〃 = 1, /V)(4.8)

гарантирует сходимость ВЦД (3.54) или (4,2).

Из многомерного аналога признака сходимости Ван Флека (теорема 3.13) следует такая теорема.

Теорема 3.25. Если а == (а1т а2, ... , ам)£(С" такие, что

Re & > 0 (々=1, N),(4.9)

то область

Gn = {z£ ©% 忆一内| < г/ < Re ab i = 1, Л^} (4.10) является поликруговой окрестностью сходимости ВЦД (4.2).

Из теоремы 3.23 следует теорема.

Теорема 3・26・ Пусть а = (av а2, . . . , а^} — некоторая точка 〃з ©" такая, что существует угол 丫《丫丨<曰) что область

Роу = {z£ С " zI — Re(z exp (—2iy)) < (2^)~1 cos2 у} (4.11)

содержит точки ак(Л = 1, ^).

Тогда множество

En = {z£©% |z『一а 八《ri < min (\a( — w\ \w^ dP^ (4.12) является поликруговой окрестностью сходимости ВЦД (3.54).

Одним из первых результатов, касающихся спаренных областей сходимости для непрерывных дробей, является следующая теорема Лейтона — Уолла [83].

Теорема 3,27. Цепная дробь D ^ с комплексными чис- ловима элементами сходится, если

I做左]《彳，["2々I a 4 (々=1, 2,一)

В естественной формулировке, а именно

|的(2左一1) I《J 1&(2&)I > 例(々=1, 2, , . , 〃 н 1, ^)t(4.13)

где е>О, М>0 — некоторые действительные положительные числа, эта теорема не переносится на ВЦД вида (3.25). Для произвольных как угодно малого е и как угодно большего М можно построить пример расходящейся ветвящейся цепной дроби вида (3.25), элементы которой удовлетворяют условиям (4.13). Ниже приведем пример такой дроби, построенный Е, А. Болтаровичем.

Пример 3,1. ВЦД с двумя ветками ветвления

6 £¥，(4.14)

где R =%2々)1 = F, G = Ci^k)2 = - "I" , a(2々一1)1 = m, %2々)12 =

=q2 = 1 一 m @2切22 = a2 = - y — m “ = I m 々=1, 2, . . .), расходится. Действительно, легко подсчитать, что все четные аппроксиманты ВЦД (4.14) равны оо. Тем не менее элементы удовлетворяют условию (4.13), где вместо М. необходимо взять min (М, |М— 1 |),

§ 5. Области устойчивости ВЦД

много- устой- посвя- работ, напри-много- устой- посвя- работ, напри-(5.1)(5.1)Одним из важных свойств непрерывных дробей и их мерных обобщений является свойство вычислительной чивости. Наряду с многочисленными публикациями, [ценными сходимости, имеется сравнительно немного где излагаются результаты по данному вопросу (см., мер, [19, 29, 56, 81], а также [2, 43, 45, 47] и др,).

много- устой- посвя- работ, напри-

много- устой- посвя- работ, напри-

(5.1)

(5.1)

Рассмотрим конечные ВЦД

N

『g卜。+6£殍厂

и

"%例+g£沙，(5.2)

для которых область Q и С х © является областью элементов, т. е.

(々=0, 1, 2一 ・・,八=0,務=f^V,々 a 1).(5.3)

Пусть компоненты ВЦД （5.1） и （5.2） связаны соотношениями

的（々）=（1+ %&））内（々“ b（{k} = （14- Р*（а））九S）（5.4）

или

①（用=（1 +a"々））飮々），m（用П（1 + 6f（用）历（用，（5.5）

где （ft = 0, 1, 2,, f0= 0,几=1, M k > 1）. Дробь （5.2）

будем интерпретировать как приближенную или возмущенную относительно ВЦД （5.1）, Числа а〃枷 限々）или а“切，脈々） называются относительными погрешностями, а числа

aа*/» = "*々）一&（々*A儿（内9仇（左）一戻（々）（5.6）

абсолютными погрешностями элементов 〃上（用 и Ь^ соответственно. Мы, естественно» предполагаем, что в соотноше- ниях^（5.4） все 〃曲切力 0 и 勿（々）我 0, а в соотношениях （5.5） всев（々）女0 n区（用#= 0.

Пусть

毋=/一『，『=（1+6）/, /=（1 +"（5.7）

с естественными ограничениями / ^ 0 или『我 0, где это необходимо.

Пусть

А = max （I As®|, | 厶九偌）I:

「々 = 0, /г,，о = 0, i°= 1, М р= 1,左‘）,

Y = max （I⑥僞И阮公I，II母（力: ,

:左 ^。，及，^ о ^о， ，0^: 1, N, p = 1,也）.

Область элементов Q называется областью абсолютной （от* носительной） устойчивости ВЦД （5,1）, если существует действительная положительная константа С, зависящая от Q и не зависящая от л, что

山[《СА （|6|<Су）.（5,9）

Теорема 3.28 [5[. Область G= （0, + оо） является об- ластью относительной устойчивости ВЦД

（…1廿（5」。）

причем

|6|《max(IB"2^)|, I 闕2什1)［注=°, ［/2/2］；

io = 0, ip = 1, Nt p = 1, k)(5.11)

〃 S"2s+i)= О, если n = 2s.

Доказательство. Сначала отметим некоторые известные свойства относительных погрешностей. Для удобства их формулировки обозначим относительную погрешность числа а через 6(a) или 6(〃), т. е. 6(a) = а или 3(а) = а (см. (5.4), (5.5)). Справедливы соотношения

I 3( £ 的)丨《 max (I 6(m) I: i = 1, n),

|6(S ^)1《max (I 6 (af) I： i =1； /i),(5.12)

8⑷=— 6(〃)(1 + 6⑷尸，6(a) = —6(a)(l 十^⑷尸，

(5.13) б (у) = 6(a) + (1 + 6(a)) 6(ft),

б(|) = 8(") + (1 + 6 (a)) 6 (ft),(5.14)

где предполагается, что a>0, ft>0, af>0, a>0, ft>0, W> 0 (f = 1, n).

Действительно,

1II -Iv

< V I б (^f) I <： max (I 6 (af) I: I =匚万.

Аналогично проверяется второе неравенство в (5.12). Далее

л з — ° — ° — а — а (1 + 6 (а)) — — 6 (а)

3 — 一。(1+6(a))=，

= е + + =6(а)+ ^8(Ь) =

= 6(а) + (1 十6 (а)) 8(b),

в частности,

6俱=8(b), 6(|) = 6(Й).(5.15)

Относительную погрешность при вычислении ВЦД Q將) (см. (3.1) гл. 1) обозначим 6“々).Тогда последовательно применяя соотношения (5.12), (5.13), (5.15), получим

|6| = IМ(о)I w max (I ВоI，I 6(-(1)I)《

« max(|p0|, |p,-(i)|, |6/(2)1 с

w 严,ах, (iBo I,丨切(I)I，區⑵ I，|6f(3)I) c …v

c max(IРг(2й I, lPf(2*+i)|:fe = 0, [n/2], i0 = 0,

% = 1, M " = 1,初

Теорема 3.29. Область

£= {z£C：|z|wNT，(l—/), 0V/<2(5.16)

является областью абсолютной устойчивости ВЦД

/=(1 +Д £ 曹厂，(5」7)

一厶i причем

C《N(1—f)-2(i—2/)т.

Доказательство. Используя рекуррентные обозначения типа (3.1) гл. 1 для ВЦД (5.1), (5.2) и предполагая, что все Q牆 #= 0, 0鵠 ^0 (k ~ 0, п, i0 = 0, ^ = 1, ^I k = =1, л), установим формулы для абсолютной погрешности А/. На первом шаге имеем

乖-丽-QP需)-

— 厶篇 — у а。а(1)07?)~~ 4⑴Q必)

Последовательно применяя рекуррентное соотношение &(汾0體一"“々)Q鵠=а""々07% -々经)А仇m)一

一 Va"々)伍"々+1)0斯1) - a*bH)Q嘱+D)

Q 像h)Q 瑞+i)

с учетом того, что

"fm)0必一аf⑺Q爆)=Aafm)Q偽-内⑺a仇(用,

окончательно получим

NNm—1 i[, ^j» • ■• * 工力一1m—1 i[, ^j» • ■• * 工力一1В частности, для7В частности, для7/Q,)Q,)m—1(_l)m [Q饴△%)—&m)A〃(m)】П 喩 ^X- .(5.18)/Q,)Q,)m—1(_l)m [Q饴△%)—&m)A〃(m)】П 喩 ^X- .(5.18)ВЦДВЦДn哪歌)々=0(5.17) эта формула примет видn哪歌)々=0(5.17) эта формула примет вид』.J产讖nm=l Z1( *2im=l"向 々=0』.J产讖nm=l Z1( *2im=l"向 々=0ahk)ahk)Q薦砒’Q薦砒’(5.19)(5.19)

N

N

m—1 i[, ^j» • ■• * 工力一1

m—1 i[, ^j» • ■• * 工力一1

В частности, для

7

В частности, для

7

/Q,)Q,)

m—1

(_l)m [Q饴△%)—&m)A〃(m)】П 喩 ^X- .(5.18)

/Q,)Q,)

m—1

(_l)m [Q饴△%)—&m)A〃(m)】П 喩 ^X- .(5.18)

ВЦД

ВЦД

n哪歌)

々=0

(5.17) эта формула примет вид

n哪歌)

々=0

(5.17) эта формула примет вид

』.J产讖n

m=l Z1( *2im=l"向 々=0

』.J产讖n

m=l Z1( *2im=l"向 々=0

ahk)

ahk)

Q薦砒’

Q薦砒’

(5.19)

(5.19)

Применяя оценку (3.18) для Q必 и Q爲，учитывая условие (5.16) и соотношение hk = Q^-i/Q^> имеем

|Af|w A|Af|w Anmn-m+1 严一1(] f产一1々=0nmn-m+1 严一1(] f产一1々=0= NAe/mT(l -屮-q-《-+心而.= NAe/mT(l -屮-q-《-+心而.(5.20)(5.20)

|Af|w A

|Af|w A

nmn-m+1 严一1(] f产一1

々=0

nmn-m+1 严一1(] f产一1

々=0

= NAe/mT(l -屮-q-《-+心而.

= NAe/mT(l -屮-q-《-+心而.

(5.20)

(5.20)

Используя легко проверяемое неравенство (1 — Z)^Qp«Qp+々 и углубляя последнюю оценку» получим | Af | « 乂(1 — ^)-2 х X (1 — 22)-5.

Если же / = -^ , то, подставляя в (5.20) Q° = 2~р(р + 1), получим оценку | Д/| < (4/3) ^ л (л + 1)(枕 + 5) (п + 2)'2 А.厚

Формула типа (5.18) сначала была установлена Т. Н. Одно- воловой [47] для интегральных цепных дробей. Первый вариант такого типа формулы был предложен в работе [2]. Более подробно этот вопрос рассмотрен в [56].

Глава 4

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ

ВЕТВЯЩИХСЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

В данной главе введены различные типы функциональных ветвящихся цепных дробей, рассмотрены их свойства и установлены признаки сходимости. Методика исследования числовых ВЦД переносится и на функциональные ВЦД.

В § 1 установлены признаки равномерной сходимости функциональных ВЦД общего вида, в частности получено усиление действительного аналога параболической теоремы, ранее установленного в работе |37[ (см. условие (1.8)).

С учетом формул для числителей и знаменателей подходя щих дробей в виде определителей во втором параграфе дано определение и рассмотрены свойства положительно определенных ВЦД. Здесь удалось перенести на многомерный случай многие результаты, установленные в монографии Уолла [100], в частности введены многомерные J-дроби, изучены свойства и установлены признаки сходимости ограниченных и действительных многомерных /-дробей.

В продолжение исследований числовых ВЦД (см. теоремы 3.15—-3.21) в § 3 дано определение и установлены признаки сходимости многомерных ^-дробей.

В § 4 рассмотрены многомерные регулярные С-дроби и S-дроби, установлен принцип соответствия и доказаны некоторые признаки сходимости.

Одним из возможных способов разложения функций, заданных кратными степенными рядами, в ветвящиеся цепные дроби является построение так называемых соответствующих ВЦД. Такие дроби были установлены X. И. Кучминской [34], Марфи и О. Донохоэ [84]. Несколько другая структура соответствующих ВЦД была предложена В. Семашко [93, 94]. В § 5 рассмотрены признаки сходимости соответствующих ветвящихся цепных дробей.

Признаки равномерной сходимости функциональных ВЦД

Предметом наших обсуждений будут ВЦД вида

N

M(z)+ £ £ 察 (1.1)

или вида

。。("山)+ 2£ 需計， (1.2)

где 〃"冷(z),加优)(z)伍=0, 1, 2,...,『о = 0, i力=1, Л\ 月 1) • некоторый набор комплексных функций, определенных в области О и (j/, z = (zi,马，，z/・ Обозначим 加(z), Л^ (2), Bk (г) — ^-ю аппроксиманту, ^-й числитель или ^-й знаменатель ВЦД (1.1) или (1.2).

Методика исследования сходимости числовых ВЦД в принципе переносится и на общие функциональные ветвящиеся цепные дроби. Установим лишь некоторые достаточные признаки равномерной сходимости ВЦД (1.1) или (1.2), используя определение равномерной сходимости, данное в конце § 1 гл. 2.

Теорема 4.1. Пусть компонентами ВЦД (1.1) являются неотрицательные действительные функции 〃*例(2),九同(z) {ik = \, N ,k = 1,2, . . .), заданные в области Dd^n и удовлетворяющие условиям;

существует, такая положительная константа Ь, что для всех z^D b{^ (г) > ft>0 h\ = 1, ^|;

а『(力)(z) + ^aid (z) R。(ip \, N, p = 1,居々 ^ 2, 3,... zgO);

8)если существует точка г0 g D 〃 набор индексов &, %，•••，〃(ip = О^ 夕=ТД,内 > 2), что 仇•(&)(%) = 0, то предполагается, что все остальные 仇位一力八％)力 0 (/ = 1, ^, / ^ (左)。

Тогда ВЦД (/」) равномерно сходится в области D, если выполняется одно из двух условий: либо существует такой номер А, что все 〃同(z)三 0 (办 =1,々，夕=1,幺 z £。)，либо расходится ряд

(1・3)

где

6L infe吗z) 4.喟)(z) . j。=匸w p= 1,也 + 1, z 切， \优+1)(Z)/

причем те наборы индексов 〃 те значения переменной г, при которых а»优+i)(z) = 0 при минимизации не рассматриваются.

Доказательство. Из условий а)—в) следует, что й-е подходящие дроби /力(z) имеют смысл, т. е. не вырождаются

в отношение 0/0, если их вычислять по алгоритму (2.6)— (2.8) гл. 1.

Следуя схеме доказательства теоремы 3.12, приходим к оценке

I (Z)— An (z) I «万 口 N 下瓦•

Поэтому, учитывая свойство вилки

hk(2)< /2^+2 (г)《/2/+1(2)《/2/-1(2),

где й, / — произвольные натуральные числа, заключаем, что ВЦД (1.1) равномерно сходится в области D, если ряд (1.3) расходится. ■

Следующая теорема была установлена в работе [37] в предположении, что 0 с f V 1/2.

Теорема 4.2. Пусть элементами ВЦД (/./) являются действительные функции、заданные в некоторой области £)u[R”〃 удовлетворяющие условиям:

а) существует, неотрицательная константа М^О, что для всех, z W D

押噜《MCE； (1.4)

。“1)(Z)

6)加(必⑶力。(也=1, ^ tik=lt N, z eDY (1.5)

существует неотрицательная константа / (0《Z « «1/2), такая, что для всех. z£D

出3+1)(2)+w-/(1-/)>0 (々=1, 2,, 〃 = 0Т).(1.6)

Тогда ВЦД (1J) равномерно сходится в области D, если выполняется одно из двух условий: либо существует, такой номер k, что все 的他)(z)三 0 (J = 1, ^, р = 1, k, z£ D), либо расходится ряд

либо

где

S &卜，если O&ZV%，

(1.7)

lim £ ~Гь = 8, если t = 1/2,(1.8)

m- 00加一尼

A==l

6* = inf (I 山31)⑵ I ； % = 1, M p = 1,々 + 1, z £ D)

d*+)(z)

勿他+1)(z)勿冏(z)

(Й = 1, 2, ... , 〃 = 1, M，

причем те наборы индексов и те значения переменной г, при которых ai(k^)(г) = 0, при минимизации не рассматриваются.

Док азат ел ьст во. Покажем, что при выполнении условий теоремы для ВЦД (1.1) выполняются фу ндаменталь- ные неравенства (2.19)——(2,21) гл. 2. Сначала убедимся в том, что

Q3)]bt (心(z) > hR-k > 0 (lk = lf ^,々=1, s, s = 1, 2,…)，

(1.9) где hm ——m-я аппроксиманта цепной дроби

1"1一,) f 0一) f (1一？)

Используем метод математической индукции no 々(々 = s, s —— —1, . . . ,1) при каждом фиксированном s. Неравенство (1.9) при k = s очевидно. Пусть оно выполняется для всех 孔, так их, что 々 + 1 «孔 с s; тогда при п = k имеем

N加他)(z)乙 Q隴+1)/勿3+1)(z)厶+1=1N加他)(z)乙 Q隴+1)/勿3+1)(z)厶+1=111f(l-/) "6-A- 1f(l-/) "6-A- 1=hs—k~=hs—k~Оценим сверху выражениеОценим сверху выражениеNN

N

加他)(z)乙 Q隴+1)/勿3+1)(z)

厶+1=1

N

加他)(z)乙 Q隴+1)/勿3+1)(z)

厶+1=1

1

1

f(l-/) "6-A- 1

f(l-/) "6-A- 1

=hs—k~

=hs—k~

Оценим сверху выражение

Оценим сверху выражение

N

N

NN

У 卜/⑴(Z) I = у 1々(1) (Z) I 1 空_出

21 Q綜丨 £ I(z) I Q%/〃・(i)(z)' * - 1 - /'

так как hs ——монотонно убывающая последовательность и lim 用$=用=(1 — /) (см. доказательство теоремы 3.14). Следовательно, Pi = MN/(l — /), Остальные рА(й = 2, 3,..,) ищем в виде р力+i = £ (L + 机厂二 Тогда неравенство (2.21( гл. 2 эквивалентно неравенству

%+尸1%+尸14(z?+i)(z)Qf悬+i)4(z?+i)(z)Qf悬+i)NV 厶(d&)(%) + £%+日NV 厶(d&)(%) + £%+日%S+1) (z)Q*+D%S+1) (z)Q*+D-.Si%~H=1-.Si%~H=1々8+1) (z)Q融1)々8+1) (z)Q融1)(LIO)(LIO)

%+尸1

%+尸1

4(z?+i)(z)Qf悬+i)

4(z?+i)(z)Qf悬+i)

N

V 厶(d&)(%) + £%+日

N

V 厶(d&)(%) + £%+日

%S+1) (z)Q*+D

%S+1) (z)Q*+D

-.Si

%~H=1

-.Si

%~H=1

々8+1) (z)

Q融1)

々8+1) (z)

Q融1)

(LIO)

(LIO)

Выражение, стоящее слева, оценим сверху, стоящее справа — снизу. Сравнивая полученные выражения, найдем формулу для L.

В случае, когда все а?伪+i)(z) #= 0, имеем

%优+1）（Z）Q殿+D%优+1）（Z）Q殿+D6у】N6у】Nа*8Н）（Z）勿仅+1）（?）々的 G）а*8Н）（Z）勿仅+1）（?）々的 G）Qf%+1) "(ArH)⑵Qf%+1) "(ArH)⑵紀，豐手紀，豐手сс

%优+1）（Z）Q殿+D

%优+1）（Z）Q殿+D

6у】

N

6у】

N

а*8Н）（Z）勿仅+1）（?）々的 G）

а*8Н）（Z）勿仅+1）（?）々的 G）

Qf%+1) "(ArH)⑵

Qf%+1) "(ArH)⑵

紀，豐手

紀，豐手

с

с

力的（z）力的（z）NY%簡+D⑺ 厶 Q%~i)NY%簡+D⑺ 厶 Q%~i)NN l&S+D ⑵△I Q伙+DNN l&S+D ⑵△I Q伙+DAA

力的（z）

力的（z）

N

Y%簡+D⑺ 厶 Q%~i)

N

Y%簡+D⑺ 厶 Q%~i)

N

N l&S+D ⑵

△I Q伙+D

N

N l&S+D ⑵

△I Q伙+D

A

A

> I 勿8) (%) I ( 1 +> I 勿8) (%) I ( 1 +2"+日2"+日df仅+D("Q£K+D例S+D("df仅+D("Q£K+D例S+D("丨 &U+i）⑶ I ） Q歌+1）/%也+1）⑶丿丨 &U+i）⑶ I ） Q歌+1）/%也+1）⑶丿>1历5)⑵I>1历5)⑵I112f (1 一 力2f (1 一 力

> I 勿8) (%) I ( 1 +

> I 勿8) (%) I ( 1 +

2

"+日

2

"+日

df仅+D("

Q£K+D例S+D("

df仅+D("

Q£K+D例S+D("

丨 &U+i）⑶ I ） Q歌+1）/%也+1）⑶丿

丨 &U+i）⑶ I ） Q歌+1）/%也+1）⑶丿

>1历5)⑵I

>1历5)⑵I

1

1

2f (1 一 力

2f (1 一 力

откудаоткуда厶也 a)(z)|(l厶也 a)(z)|(l2/(1 —/)\ _ 也w(z)]N"s一力—1 丿"6一力一12/(1 —/)\ _ 也w(z)]N"s一力—1 丿"6一力一1ИЛИИЛИ

откуда

откуда

厶也 a)(z)|(l

厶也 a)(z)|(l

2/(1 —/)\ _ 也w(z)]N"s一力—1 丿"6一力一1

2/(1 —/)\ _ 也w(z)]N"s一力—1 丿"6一力一1

ИЛИ

ИЛИ

L^N(hs^-2t(l-t))~\L^N(hs^-2t(l-t))~\(LU)(LU)

L^N(hs^-2t(l-t))~\

L^N(hs^-2t(l-t))~\

(LU)

(LU)

Если же некоторые a^+i)(z) = 0, то. так как все Q隈+口 声 О, заменяем выражения ai{k+i} (z)/Q^+lv где ai{k+X} (z) = 0, нулями и, перегруппировывая оставшиеся отношения, получим (1.10), где вместо N необходимо взять ^1 < ^. Если ^1 = 0, то суммы в (1.10) исчезают и это неравенство остается справедливым при L = 0. В общем случае в качестве L достаточно взять выражение (1.11).

Если при некотором 々 и произвольном z^D все ai{^ (z)= 三 0 (% = 1, М Р = 1, %)，то так как Q* =/= 0 (s =々，左 + + 1, . . . ), имеем fs(z) ±=加一(z) (s =总々丄 1, .. .) и сходимость ВЦД (L1) в этом случае очевидна>

Пусть 0 ^ /< 1/2. Тогда, учитывая, что hm —монотонно убывающая последовэтельность и Inn hm ^ (1—f), в качестве 厶 достаточно взять число

L = N(1 -f)T(l-2f)7. (1.12)

Равномерная сходимость ВЦД (1.1) в этом случае следует из предложения 2.4 и оценки

\fn ⑵一fm (z)| < p^^ П L ； 6左(孔 < m),(1.13)

если учесть, что L определяется согласно (1.12) и ряд (1.7) расходится.

Пусть / = 1 /2. Учитывая (3.14), (3.15) гл. 3 и то, что hk = Q^+i/Qz，, выражение (1.11) для L преобразуем к виду

L =厶融=2N (s — k).

Если т = 2г, то, повторяя доказательство предложения 2.4, получим

[т/2]

\^-fm⑵I < 2〃F所*缘君戰-X

[m/2]

xg%翡，(口4)

если же т = 2г — 1, получим

[т/2]e2^[_|龙=1[т/2]e2^[_|龙=11Al ⑵ Tm ⑵ I V1Al ⑵ Tm ⑵ I V2^ (加一2舟2川(加-^г) + 62ft2^ (加一2舟2川(加-^г) + 62ftГ(т4-1)/2]пА=1Г(т4-1)/2]пА=12N (几一2^—1)2川(几_2宓_1)+621・2N (几一2^—1)2川(几_2宓_1)+621・Условие (1,8) эквивалентно одного из двух условий:[т/2]lim £ ；Условие (1,8) эквивалентно одного из двух условий:[т/2]lim £ ；(1.15) выполнению, по крайней мере,(1.15) выполнению, по крайней мере,621小一2宓工1621小一2宓工1(Мб)(Мб)

[т/2]

e2^[_|

龙=1

[т/2]

e2^[_|

龙=1

1Al ⑵ Tm ⑵ I V

1Al ⑵ Tm ⑵ I V

2^ (加一2舟

2川(加-^г) + 62ft

2^ (加一2舟

2川(加-^г) + 62ft

Г(т4-1)/2]пА=1

Г(т4-1)/2]пА=1

2N (几一2^—1)

2川(几_2宓_1)+621・

2N (几一2^—1)

2川(几_2宓_1)+621・

Условие (1,8) эквивалентно одного из двух условий:

[т/2]

lim £ ；

Условие (1,8) эквивалентно одного из двух условий:

[т/2]

lim £ ；

(1.15) выполнению, по крайней мере,

(1.15) выполнению, по крайней мере,

621小一2宓工1

621小一2宓工1

(Мб)

(Мб)

ИЛИ

[(m-.l)/2]

J™ § 各=8

(1.17)

Пусть для определенности справедливо соотношение (1.16). Тогда, взяв т = 2г, из оценки (1.14) в силу произвольности п сможем заключить, что ВЦД (1.1) равномерно сходится в области D. Действительно, если s и и ——произвольные натуральные числа, такие, что п> т, то

Ifn ⑵ 一 ％ (%) IIfn ⑺-^(2)|+| Л(2)一 ％ ⑵ I ・■

Теорема 4.3. ВЦД (L2)t где ai(k} (z), bi(k} (г) (й = 0, 1, 2, , ,, , r0 == 0, t力=1,汽,々>1)——комплексные функции, заданные в области Du©% равномерно и абсолютно сходится в области D, если

b«#(z)力 0 (й == 0, 1, 2,"° = 0, ik = lt N, 1,

")；

существуют действительные константы Л! > 0 и 0 <： W f《1/2, что

г：；*电/ \ I « а = N-M (1-0"出(z)脸一)'

(月=L 2, •・.，〃=1, М b*o)(z) = % (z), z£ D),I需z£D

Доказательство следует из оценок (3.10), (3.11) гл. 3, если предварительно ВЦД (1.2) привести к виду (3,8) гл. 3, используя эквивалентные преобразования (4,2), (4,11) гл. 1.

§ 2. Положительно определенные ВЦД. Многомерные /-дроби

Рассмотрим ВЦД вида

d + z。 + 力工厂二"一，(2.1)

人=1 J%外十Z*/)

где %,勿⑷,ai(k)(〃= 1, Nf 々=1, 2, .. . ) — фиксированные комплексные числа z^(脸"%= 1, Л\ 々=1,2,)—вообще

говоря, независимые комплексные переменные. Пусть z = (z0, zv z2,. >,, z#, гп,. . z*用,..・)обозначает бесконечномерный вектор, Ап (z), Вп (z), /〃(％)——n-й числитель, n-й знаменатель, n-ю аппроксиманту ВЦД (2.1) соответственно.

Рассмотрим симметричные матрицы

С НС±* w+i > « * С0

Q+1" с‘+1，+ …а+1，4(i = о,［，尼=1, 2,…)，(2.2)

т. е. матрицы, удовлетворяющие условию cpq = cqp(p, g = =i, k), элементы которых связаны с компонентами ВЦД (2.1) следующим образом:

С。。=瓦 + Zq, Срр = Ь/(т) + Z/(m) (Р = 1,々)‘(2*3)

Со& =—气，％д= —а*р)%+1(Р= 1，財 9 = ”Р + fm+1 V 財

1 W 厶，rm+i w M,(2.4)

где индексы /lf /2> . . . /т определяются из разложения числа р по алгоритму (1.12) гл. 1

р = /1"тТ + 厶2一2+ …+ /т (1《九《 М 孔=С^), (2.5) с°д=0 во всех остальных случаях, когда g > р. (2.6) Лемма 4,1.孔-e знаменатели Вп (z) и п-е числители Ап (г) ВЦД (2./) вычисляются по формулам

Bn(z) = det COs, Ап (z) = det CJs,(2.7)

где C(s (i= 0, 1) — симметричные матрицы вида (2.2), элементы которых определяются согласно формулам (2.3)—— (2.6) 〃

s= (№+】一 1)(%— 1尸・(2.8)

Доказательство. Из теоремы 1.1 следует, что

Вп ⑵=det Со, 4 (z) = det С；,

где s определяется согласно (2.8), а в матрицах (2.14) гл. 1 вместо каждого а^тЬ 勿(向 положено —吟向 и ЬКт} + г/(т) соответственно. Элементы матриц С； (i = 0,1) обозначим 脸. Покажем, что

det COs = det Со.(2.9)

Пусть cpq ——произвольный фиксированный элемент матрицы COs (OcpVqcs). Если q ^Np + im^ ни при каком im^ (1 « im+i « %), то, согласно определению матриц COs и Cj имеем с” = cqp = cpq =恥—0. Пусть cpq ^ 0 — частный числитель последнего тупикового n-го звена fn(z), В этом случае Nq + fm+2>S ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО »m+2 (1《»m+2 V %)• УмНОжив 7-й столбец и разделив д・ю строку матрицы COs на ——6困，получим матрицу Dos, для элементов которой d〃 справедливы соотношения d?/ = с?/ при всех наборах индексов, кроме ^pq == Cpq, dqp сqp л detCo$ detDo$. Если Cpq ^= 0 и Nq + tm+2 « S при каждом zm+2 (1 « im+2 < M，то рассмотрим числовую последовательность

『1 = Nq + im+2,『2 ="『1 + im+З,=N〃一l + Zm_j_^,..

(2.10)

где % ——произвольный фиксированный набор индексов 1 v 《ip « М р》^ + 2. Так как {%} — монотонно возрастающая последовательность, то выберем индекс 々 таким образом, чтобы 〃《 s V 〃+1 при всех iv= 1, ^> v = m + 2, й + 1,

Разделим д・ю строку и умножим 7-й столбец, а также разделим все rv строки и умножим все rv столбцы (v = 1,々, %= 1, 7V) матрицы Cos на ——crq. При этом получим матрицу Dos, определитель которой равен det COs и элементы которой 山/ совпадают с соответствующими элементами матрицы CCs： djj ■—1 С“, За ИСКЛЮЧеНИеМ dpq — Cpq\ dqp — qp•

Если же при некотором р в q = Np + i^+i (1 v Cn+i « N) Cpq= cqp = 0, то, положив в COs вместо cpq и Cqp некоторое число % * 0, получим матрицу С05(х), определитель которой непрерывно зависит от г. Поэтому

det&sH limdet COs(x). (2.11)

Для Cos(^) повторяя предыдущую процедуру, получаем матрицу Dqs (х), у которой da н с” для всех г, / кроме dpq = = ——х2, dqp = ——1. Устремляя %f 0, получим dpq = CpQf dqp = =Cqp. Если соответствующую процедуру проделать для каждого элемента cpq (0 < р <7 < s) матрицы COs, то легко убеждаемся в справедливости (2.9). ■

В качестве иллюстрации запишем det С0А (N = 2,孔=2, 々 = 7)

%+%

—а1

0

0

00

^1+21

0

—Ml

一勾2

00

一旬

0

%+%2

0

0

-%1-旬2

С（）7 =

0

~ап

0

仇丄+人丄

0

00

0

—fl12

0

0

忆+"

00

0

0

—а21

0

0

b21 + 2210

0

0

一&22

0

0

0%2+222

Пусть

х =(

小，打，

х n，• • •，

*(〃)，•

•，X竺:*)~ век-

тор из ©$, элементы которого упорядочены согласно (1.13]

гл. 1, а $ = (№+】一1) (^—1)т. Рассмотрим систему линей

ных алгебраических уравнений

C0sX = 0.(2.12)

Каждое р-е уравнение системы (2.12) умножим на х/(т), где индексы Д, /2, ... , /т определяются из разложения числа р

по алгоритму (2.5), x；(m)= х0( если р=0. Просуммировав все уравнения, получим

nNnN

£ e ®s) + z"加 I *|2-工 £ .a"力)X

^^=0 j[, jg,,,., ^^1左 S=1 “，^J f • « • I 1左^1

X 8*)r(左一1)-元8)，y"d) = 0,(2.13)

где *s)= %. Положим

'自(力)=Im 瓦注)，yi{k)= Im 方仅)(й ^= 0, 1, 2,, /0 _ 0, ik =

= Е/》1),—(2.14)

,%h)= Im 49)匾=1, M 々=1, 2,…).

Предположим, что при условиях

(2.15)(2.15)'У“а)> 0 (々=0, 1, 2,，io = 0,(% = 1, М 々》1),

(2.15)

(2.15)

'££ |хад|2>о

.z?=o 厶，к3®】

выполняется неравенство

nN门川

£， (М片)+ 协他))I1 加，(小 X

龙==0&,〃=1А=1 4，i3,f^=l

X (芻(目元p-1)+ 元(外*5_1)) > 0.(2.16)

Лемма 4.2. При выполнении условий (2.15) неравенство (2.16) эквивалентно неот, ри цате ль ной определенности действительной квадратической формы

п/V

@（E） =£，自"）寻出一

左=0 &,4=1

(2.17)(2.17)2，\ .加⑷&（力疋"力-I）》0,

(2.17)

(2.17)

где &«o)= &o，&伐)——произвольные действительные числа.

Доказательство. Пусть выполняется (2.16) для произвольных комплексных чисел х^, что удовлетворяют соотношениям (2,15), В частности, неравенство (2,16) выполняется и тогда, когда 尤“幻=g“切' Подставив в неравенстве (2,16) вместо 羽S)действительные числа &肉 So = 0,厶=1, TV,々= ==1, и) и перейдя к пределу в обеих частях неравенства при JAw т。伉=0,厶=1, М 々=1, и), получим (2.17).

Пусть выполняется условие (2.17) и пусть %寅力)=〃“出 + + 沁力注)Uo=°，九=I,", ^ = 1,孔)，Тогда левую часть неравенства (2.16) можно записать в виде

①(〃)+ ①(и) + £ .£ . yi{k} I 修⑷ I2,

откуда в силу условий (2.15) следует справедливость (2.16).窗

Ветвящаяся цепная дробь (2.1) называется положительно определенной, если для всех натуральных и и действительных ^(А) (^ = 0, 1, 2(, г0 = 0, ^ = 1, ^,^^ 1) неотрицательно

определены квадратические формы (2.17).

Теорема 4.4 [11]. Если ВЦД (2.1) положительно определена, тогда все Вп (z)0 в областях Im 2^)>0 (г0 = 0,

ik =。，^ = 1, М 々=1, и).

Доказательство. В лемме 4.1 было установлено, что Вп (z) =^ detCos. .Определитель det Cos 力 0, если система (2.12) имеет только нулевое решение. Равенство (2.13) является следствием системы уравнений (2.12). Если мы покажем, что (2.13) в условиях теоремы выполняется тогда и только тогда, когда все 爲&)= 0 (% = 0, 3 = 1, 7V,々=1, и), тогда, очевидно, что система алгебраических уравнений (2.12) имеет только тривиальное решение. Если выполняется (2.17), то в силу леммы 4.2 выполняется (2.16) при каждом натуральном и. Следовательно, равенство (2.13) может выполняться тогда и только тогда, когда

Теорема 4.5[11]. ВЦД (2.1) является положительно определенной, если выполняются условия

а)阮力)^0 (й = 0,1,2, ,ro = O, r\=MV,^>l);

(2.18)

существуют такие действительные числа 0 v g^ < 1 (々=1, 2, • • • , iz； = 1, N), что

a；伊)="10"力一i)限力)(1gws—1)) gf®，(2.19)

ade '力=1,Л\4 = 1,2,, Iq = 0, g0 = 0, a”力卜 В*力)опре

деляются согласно (2.14).

Док азате льство. Пусть выполняются условия (2.18) и (2.19). Тогда (2.17) запишется в виде

п N

土(gww加加"2 &(疝 + ..£._ (1 —g*Q 廿5)Ws)> 0’"1，％=1

где «+» берем тогда, когда а*^ < 0, и «——», когда а*» > 0. &

Замечание 4./. Условие (2.18) является также и необходимым для того, чтобы ВЦД (2.1) была положительно определенной. Действительно, если в (2.17) положить &(川#0, а все остальные &@)= 0, то неравенство (2.17) преобразуется К виду 自^蜀向 > о, откуда следует (2.18).

Если же при некотором наборе индексов 0*用=0, то для выполнения условия (2.17) необходимо, чтобы «〃切=0 и а/注+1)= 0 (iz-4-i = 1, ^). Действительно, если в (2.17) положить &з)声 0, &&—1)* 0, а все остальные g；(m)= 0, то гюлу・ чнм 氏開―1)§37)—2а*切&&)&(『1)> 0. Отсюда в силу произвольности 士/qfi), &仅)следует, что необходимого^) = 0. Аналогично проверяется, что а^^и =0 (i^+i = 1, %)•

Конечно, можно сформулировать необходимые и достаточные условия положительной определенности ВЦД (2.1), используя критерий Сильвестра неотрицательной определенности квадратических форм. Однако эти условия будут очень громоздки.

Заметим также, что в случае ^ = 1 условия (2.18), (2.19) являются необходимыми и достаточными.

Теорема 4.6. Если при некотором натуральном п квадратическая форма (2.17) неотрицательно определена, то квадратическая форма

①)一

nN

-2 ££吗力)a(在忌(,1),(2.20)

/n1 "，jg,...，'左：=1

где I &з)I c | 加伊)| (々==1,孔，厶=1, TV) также является не* отрицательно определенной.

Доказательство. Фиксируем произвольный набор действительных чисел &(力)(々=0,孔,% = 0, ^ =： 1, N,々=

=1?п). В пространстве R s, где s определяется согласно (2.8), рассмотрим дискретное множество точек

с = {и：и = (%, %, %, •…，q”，•• •，刀“力)，• • •，нn/v…川}，

!1 砍)=± &(枷

Пусть

min (Ф (т]): т] g Q) = Ф (т]*), T]*gQ. (2.21) Методом от противного покажем, что для произвольного набора индексов гг, /2,・・・,% (修=1, Л\ р = 1, п)

电⑵嘀р)т]%_1)> 0.(2.22)

Пусть при некотором наборе индексов /г, /2, . . . , /р имеем 电(")嘀")脸p-i)V0.

Определим вектор r/gQ следующим образом:

T\i(p)ip-^\..Ar =嘀")%+1 …勿(f=p + 1,九，〃=1, ")，

D加)=嘀")，все остальные 刀湿)=—Т]矗).

Легко подсчитать, что тогда

①⑴')=Ф(П*) +4а/(р)П*Р)П/(р-1)>

что противоречит минимальности формы Ф(т]*). Рассмотрим квадратическую форму

◎⑶=££ 限唸)一

n N

-2 £.£I 自"幻3s_i).(2.23)

々=1 厶，Gг^=1

Нетрудно проверить, что

min {①(刀)：n€ Q} = min {①(叫：t]€Q}=①①)，可€Q.

Если, например, при некотором наборе индексов а/(р)<； 0, то 电3嗝")11 方 Р-1)= I 电⑺ I n*(p)(—Плр-d).

Далее, изменяя знаки в т]脑 по алгоритму, предложенному выше, а именно: заменяя т]*^ на т]加)，убеждаемся в том, что форма (2.23) принимает то же значение. Аналогичную процедуру делаем с каждьш а”例 V 0. Введем по аналогии с (2.23) квадратическую форму Ф'(己)，где Ф' (g) определяется согласно (2.20). Пусть

min(①'⑴)：」€Q) = min(*(ii), ^gQ) = Ф'(fj), rjgQ.

Так как

1%他)I Лпа)Л£(а-1)> 0, |а/)I 而&而他_1)> О и

也出=± &(切，加同=士&仅)， то

市(力)而力一1)=

при всевозможных наборах индексов. Следовательно,

①'⑶ > min (①'(哨：т]€ Q) = Ф' (г|) > Ф(7|) >> min (①⑴)，刀€ Q).■

Замечание 42 Условие (2.19) теоремы 4.5 можем теперь заменить условием

а；&)《“т%-1)Рт?)(1 — g"i)) gf&)，(2.24)

где g“o)= 0, 0《gw(力)W 1 (女=1,2, ««* ,i^=l, N).

Рассмотрим некоторые примеры положительно определенных ВЦД.

Пример 4.1. Рассмотрим ВЦД

11(2.25)(2.25)

1

1

(2.25)

(2.25)

с комплексными частными числителями. Используя эквивалентные преобразования (4.2) гл. 1, приведем ее к виду

m+2也中厂m+2也中厂(2.26)(2.26)

m+2也中厂

m+2也中厂

(2.26)

(2.26)

Пусть a{(k)= с；&). Так как I” I — Re(z2) ^ 2(Imz)2, то условие (2.24) в нашем случае запишется так:

I &“◎ I — Re 图优)w 27Vli (1 — g“D)gw仅)，

Если положить gt® = l/2(k = 1, 2,... , ik = 1, N), то приходим к параболической области: |z| ——Rez < (27V)"1,

Пример 4.2. Пусть частные числители ВЕЩ (2.25) являются действительными отрицательными числами. Тогда, если положить в (2.26) &“幻=(ic?优))？, то условие (2.19) в нашем случае запишется в виде а^ = —№г (1 ——^(^1))\ X g*炒，Мы приходим к ветвящимся цепным дробям, рассматриваемым в конце гл. 3.

Лемма 4.3. Пусть

9

f = d) ®心))=瓦S)+ 2w — 工(2.27)

J 叫(р+d

F+i=i

(p = 0, 1, 2,・・・，八=0,乙=1, Л\ p》1) — некоторая совокупность многомерных дробно-линейн ых отображений и пусть

% = Im 2。^> О, yi(k)= Im 2«力)> О,也伐｝ = Im 瓦依)》О,

для ctf仅)=Im о?仅)выполняется условие (2,24), где О《 gt优)w 1, кроме того,

Im ®fg+i)> p“*+i)g“*+D (i/t = \ , N, k = it p 4~ 1)- (2.28) Тогда

Im /》P〃*)gw(p)+(2.29)

Доказател ьс тво. Пусть все у®、>0 (р = 1, 2,... ・・・，ip = 1, N) и пусть М = N~1(1 — g£g)) р®) + %7勿*)・ Тогда, учитывая условия леммы, имеем

Im 叫(д+1)> M7a^p+i)・ Поэтому

~ 2M~2M—

ИЛИ

■^ h丽》厢，(上30)

Рассмотрим образ (2.30) при отображении w = z"1, получим

NNПоэтому

N

N

Im 6'(р)= Р/(р)+ Укр) — > 1m 石“"+'》gi(p)^i(p)-J叫"+D

Переходя в последнем неравенстве к пределу при у^р)-> 0, получим

Ps — 11nl •萨+"》g"*)P®)・J叫叶1)

Следовательно,

Im = Р((р)+ У"*)— > Im 俨把 > yi(p)+ gwg他(*)・■一叫(叶1)

Ё*+1=1

Легко проверить, что образом полуплоскости 1тз > % +

+ goPo>O ПРИ отображении /_х (оу) = оу-1 является круг

(2.31)(2.31)К-1 巾 +「2(4。十阮g。) I《2 (% 十阮g。) •

(2.31)

(2.31)

Обозначим Kp образ области

lmgg+i)》B“*+i)gMH)(^ = 1, р + 1,力力=1, N) при отображении

W叶D) = ^!—2，

М + Zo —、“2

2%⑴ +Z,⑴ 一g})_

"=1厶 0i(2)十 Z"2)一 ：

勺=1

(2,32)

2al(P)

%+1=1

где 3(*+d определяется согласно (1.3) гл. 1.

При выполнении условий леммы 4.3, учитывая (2.29), имеем

к-ткозк^тк2m …(2.зз)

Так как Тр(оо) = %(z), то fp(z)^Kp(p = 0, 1, 2….).

Теорема 4.7. Если для ВЦД (2/) выполняются условия (2.24), где

Pf(z?)> 0, goPo + yQ > 0, yi(k)>0(厶= 1,2,»卜=\, N

(2.34) то ее р-е аппроксиманты %(z) удовлетворяют соотношениям Im%⑵«0 |小叫《(% +自统尸S=1,2,...)，(2.35)

Теорема 4・8・ Если для ВЦД (2.1) выполняется условие

(2.24), где-

gi(p)P@)> 0 (р = 0, 1, 2,...,厶=0, i* = 1, М р > 1), (2.36)

то р-е знаменатели В°(2)(р= 1,2,.. .) ВЦД (2」) отличны от нуля а области

Im Z[(k)> О (女=О, 1, 2, . . . , ,0 = 0, /力=1, М 女 > 1). (2.37)

Доказательство. Покажем, что при выполнении условий (2.36), а также в предположении, что

nN

SS 鼠尸о (〃= 1,2, ...)(2.38)

А=оG, /3,.,.> 厶=1

квадратические формы (2.17)①患)>0. Пусть

(%®)2 = ₽г(А-1)₽ПА) (1 — g/伊—1)) gf仅)

(й = 1, 2,, i0 = 0 〃 = 1, N)・

Рассмотрим квадратическую форму (2.17), где вместо каждого cq优)взято а；@), и запишем ее в виде

①'(E) = goP(^+£ [O~~^pJ 己0 土(gf⑴田⑴尸竺寅1)] +

+ 工[(—^^也⑴)&⑴土(gw⑵也⑵产2 2(2) ] + - " +

+ £ [(刁0也…广飞…±

土 3⑺自⑷)"2 &s)F +£(1 - gws))Pfm)寻⑺.

Отсюда, учитывая (2.36) и (2.38), имеем ①'(&)>0，так как, если &同一первая отличная от нуля компонента вектора 三=(自0，£，•…，三?^^)€父，где s определяется согласно

.8), то выражение

[仔*&UT + 他也)g"Qi/2 & ⑷『> 0.

Повторяя конец доказательства теоремы 4.6, имеем

Ф(^) > min(Ф(т]): T]gQ) = min(①(叫：砧 Q)==①⑺ > ФЛ (n)>o,

где Q, т], Ф, т| определены при доказательстве теоремы 4.6.

Остается доказать, что в предположениях (2.37) справедливо неравенство (2.16). Если

%i(A) = 〃*А) + ’S")(^ = 0, 1, 2, ... , /0 = 0,厶=1,",厶 > 1),

то левая часть (2.16) запишется в виде п^

①(〃)+ ①(и) + ££ yw I 冷 |.

Это выражение больше нуля, так как ①(〃)>0 или ①(и)>0 и все слагаемые неотрицательны.

По аналогии с цепными дробями (см. (32)) ВЦД вида

分+。。+2e分+。。+2e2 \Т fS)) bKk) +Cj2 \Т fS)) bKk) +Cj(2.39)(2.39)

分+。。+2e

分+。。+2e

2 \Т fS)) bKk) +Cj

2 \Т fS)) bKk) +Cj

(2.39)

(2.39)

где С = (С], С?’ • • •，工川)€ С"， Ео — независимая комплексная переменная или функция от С (电=/(^, ^2, . .. , ^)), назовем многомерной /-дробью. Если существует такая действительная положительная константа М>0, что

I I I 瓦・s)I —竺k (2.40)

(^ = 1, 2, ,Z^=1, M /? = 0, 1, 2, . . . , z0 = 0, ip = 1, M p> 1), то дробь (2.39) назовем ограниченной, а минимальное число Mt при котором справедливо (2.40), определим как границу многомерной ограниченной J-дроби.

Теорема 4.9. ВЦД (2.39) ограничена тогда и только тогО% когда существует действительное число //>0, что

п^nN

££历—S .0"片)(以"庐"力一1)+

左00/[,'饱=1/=1 &, %,• • •, 〃=1

(2.41)(2.41)+ Ui(k—\)Vi^ 丨 w

(2.41)

(2.41)

k—Q tt/^=1左=0/[,...

для произвольных комплексных чисел 以“田，Uf伐)〃 произвольного натурального п.

Доказательство. Необходимость. Клевой части (2.41) применим неравенство Буняковского—Шварца. С учетом (2.40) получим

nNnN

^=0 ilt...,l^=\衣=0 j,..f力=1

n Nn—1^

+ $[(£ S喝」П£. £〔％广 +

n—1N〃 N

+ (儿£,/味俨(工，£,/喩M.

Мы приходим к (2.41), где Н с ЗМ (1 4- 2 "J/tV)'1.

Достаточность. Пусть выполняется неравенство (2.41). Если здесь положить 〃〃*)= и/g)= 0 при всех возможных наборах индексов, за исключением ilt i2, .. . , z%, то получим I bf候)I w H. Положив u〃*} = 0, за исключением 〃“力), и Uj(*)= 0, за исключением Ut他一i), получим | ai{k) | с Н. Поэтому справедливо (2.40), где 財=(1 +2]/W)〃. ■

Минимальное число Н, при котором справедливо (2.41), назовем нормой ограниченной многомерной J-дроби (2.39). Норма не обязательно совпадает с границей. Рассмотрим ВЦД (2.39), у которой все 〃*必=^ , bi{k} = 0. Тогда получим, что "=1,用=雪左.

Теорема 4.10 [11]. Многомерная ограниченная J-дробь (2.39) с границей М равномерно сходится е области |々| а a =中).

Доказательство. Используя эквивалентные преобразования, дробь (2.39) приведем к виду

где "。⑵=(瓦+ ?。二"⑷⑵=0d *]『色(厶十爾伊= = 1,2,, iA = 1, M 九=0).

В силу условий теоремы

丁1 +2/^1 +2/^

Следовательно,

лл 2 了后 (M2(l + 2 了耳)21

厶(2) 《 Л4 — , df肉(2) C 广—、2 八彳24 А7‘ ― Tv •

Утверждение теоремы следует из теоремы 4.3, где / = j . ■

Пусть 己=(^о» В1> * • * > En, • • « > &(&),•••, ^^^...^) W О?'

s определяется согласно (2.8) и

1图1=(££ 財

Пусть 0 < 0< 2л. Определим

-^о(0)= inf IS £ Im (瓦⑷№)%)_

^Ь,=1, n>1 Z?=Of[f 厶,...，厶=1"幻

一2 £.£Im(s仅)叫剧(2.42)

女=1么==1

Теорема 4.11. Многомерная ограниченная J-дробь (2.39) равномерно сходится на произвольном замкнутом огранит ценном, множестве из ©"+* расстояние которого до выпуклого множества

К。= {z：z = (%, 4,・・・,zn)£ C"+i, zk= xk+ iyk,

xk sin© + 勿cos® w Yo (0), 0 c 0<2n, k = 0, N\

(2.43) положительно.

Доказательство. Пусть a = е'®・ Рассмотрим ВЦД

/8 + _(".%的)2、7

a[ab()+ % + S > 叫⑷，(2.44)

эквивалентную ВЦД (2.39), где & = о口(f = 0, N)・ Нормы у ВЦД (2.39) и (2.44) одинаковы. Положим

Зсу (О) = Im (aa{(k))f 阮切(0) = Im (о瓦(加.

Тогда из того, что ВЦД (2.39) является многомерной ограниченной J-дробью, следует, что существует константа K(0)f для которой

££(₽««(©)+ г(0))^(й-

А=0 f[F fg,…，f力=1 n

一 2 ££a〃①(0) &s)> 0,

左

где n = 1, 2, .... a® — произвольные действительные числа. Соотношение (2.45) следует из неравенства (2.41), записанного для ВЦД (2.44), где 以“用=“何=&出 伍=0, 1,

. . . 5 ?o = 0,厶=1, Л\ 尼 > 1) и того, что |z I > ——Imz. Если вместо Y (0) взять —", то вместо (2.45) следует взять противоположное неравенство. Поэтому | У (0)|《Н, О <■ 0 <； 2л, где Н — норма многомерной J-дроби (2.39). Соотношение (2.45) будет выполняться, если вместо У (9) взять Уо(0), где У()(®) определяется согласно (2.42). Очевидно, I Yo (0)| < Н.

Сделаем замену переменных

质=>(0) + 加 3 = 0^).(2.46)

Из (2.45) следует, что ВЦД (2.44) является положительно определенной ветвящейся цепной дробью относительно переменных т]А. Из теоремы 4.7 следует, что, если б > 0 и Im 刀力> > б (й = 0, tV) (вполне достаточно, чтобы Im т]0 > б, 1тт^> >0 (i = l, %)), то для m-х аппроксимант ВЦД (2.44), совпадающих с т~мн аппроксимантами ВЦД (2.39), справедливо соотношение

1%(叫1w6。(2.47)

Условие Im т]力〉6 (k = О, N) эквивалентно условию Im ХА > > Y (О) + 6 или / sin О + 勿 cos 0 > У (0) + б, если 昼= =/ + 力鼓，° v @ V 2兀.

Определим множество

К = {z= (?0, ztzn)£ C"+i 〃 = / + i玖，

/sin® + 玖 cos О < Y (0), 0 < ©< 2л,女=0, N}.(2.48)

Легко проверить, что К——выпуклое множество. Нули всех знаменателей Вп© ВЦД (2.39) принадлежат множеству К. Подходящие ВЦД (2.39) равномерно ограничены на произвольном замкнутом ограниченном множестве, расстояние которого до К положительно. Если в (2.48) вместо Y (0) взять Yo (0), то получим множество К» Согласно теореме 4.10 ВЦД (2.39) сходится в области | ^ | > Af (i = 0,川). В силу (2.47) fm (；) (m = 1, 2, .. .) являются голоморфными функциями на произвольном замкнутом ограниченном множестве, расстояние которого до К。 положительно. Утверждение теоремы 4.11 следует из теоремы 2.17. ■

Следствие 4.1. Многомерная ограниченная J-дробь с нормой Н равномерно сходится на произвольном компакте области |5>N (i = б?耳).

Замечание 4.3. Пусть элементы 耳，历&), о*出伍=1, 2,...,厶=1, %) ограниченной многомерней J-дроби (2.39) являются действительными числами. Так как в этом случае 自&)(0)=历&)sin 0,加(力)=a£(k) sin 0, to 九(0)=九(л) = 0.

Учитывая ограничение (2.43), имеем у^ w 0 (й = ОГл^), если 0=0, и 玖 > 0 他=О, N), если 0 = л. Следовательно, у力=0 (k = 0, tV) и Ко— выпуклое множество точек т] £ ©收+i, для которых

Imr]Z= 0, |Re”|《〃 (i = 67W).(2.49)

Многомерная J-дробь (2.39) называется действительной, если коэффициенты 瓦,bi(k)t 内(片)(й = 1, 2, .. ., " = 1 闻 являются действительными числами. Действительная, многомерная J-дробь всегда положительно определена. Вместе с ВЦД (2.39) рассмотрим эквивалентную ей ветвящуюся цепную дробь 一(一方。一匕。+ 6 t，(2，50)

которая является тоже положительно определенной. Поэтому в силу теоремы 4.4 n-е знаменатели подходящих дробей ВЦД (2.39) Вп(0 #= 0 в области Im^>0 (i = 0? N) или в области Im^<0 (i = 0, N)・

Из замечания 4.3 и теоремы 4.11 следует такая теорема.

Теорема 4*12. Действительная ограниченная многомерная J-дробь (2.39) с нормой Н равномерно сходится е каждой ограниченной замкнутой области, из (С^1, расстояние которой до области (2.49) положительно.

Исследуем сходимость действительной многомерной J- дроби

?о + 5 S •(2.51)

Теорема 4.13. Действительная ограниченная многомерная J-дробь (2.51) имеет норму Н w 1, если

成用 & “т (1 — gf(z?-i)) gi(k)^(2.52)

zOe 0 & gw&)«1 仇=0, 1, 2,….，》о = 0, 〃 = 1, M 女 > 1), gf(O) = go =。・

Доказательств о. Если выполняются условия (2.52), то, учитывая замечание 4.2, имеем

nNnN

££ 显)—2 ££ I Of优)I &® &d) > 0

a=0 Gi G« ••■ f f^nl左=1 "，", •••，£々匸1

(2.53)

для произвольного натурального п = 1, 2, ... и произвольных действительных чисел &力)・ Отсюда следует, что

nNnN

注=1 f[, i” ... • £左・1幺u°• -* < ^=1

Поэтому nNnN

2|££1&依)&(*)&(—i)l w ££ I电I

a=i G* %, •••« ^=1片=0 G< G* ••• ，^=1

(2.54) для произвольных комплексных чисел &(冷.Подставляя в (2.54) &0y = и^ + 访砍)и предполагая, что ||〃||= 1, !|и|| = =1, получим

п

I ££ .I a"用 l(以fs)女3一1)+ 也(力-1)〃a)) I w 1

(2.55) или

l£ S .I Of(依 К修5) Ss-1) + 〃賞力亠1) Soy) I W

左=1 &, f” § i^=l

nn

<(S 工囁步〃(££。統严，

А=0 ", ♦.♦ • ^=1a=o1

где 〃fs), s® — произвольные действительные числа. В частности, можно взять все и^ >0, s 仇)>0 (女=0, 1,, г0 = 0,[卜=\, N、h > 1)・

Таким образом,

££ I &也)1(*а)| I %1)I + I 以(I)II 勿仅)I ) w II 〃 IIII и II，

откуда следует (2.41), где 瓦®』0,以“枷 S® 伊=0, 1, 2, ... , i0 = 0, ik = \. N, k >■ 1)—произвольные комплексные ч-исла и //=1.腐

Теорема 4.14. ВЦД (2.5/), где а^ (В = 0, I, 2,..., /0 = 0, ik = 1, tV,汽》1) — действительные числа, удовлетворяющие неравенствам (2.52), С£С"+* равномерно сходится на каждом компакте^ расстояние которого до области.

Im U = 0, I Re 号 I « 1 (i = 0? N) (2.56) положительно t 146

§ 3. Многомерные g-дроби

Рассмотрим ВЦД вида

или видаили вида瓦+ 6 E瓦+ 6 Eg“z?）（1 — gf伐一1））勺僚）g“z?）（1 — gf伐一1））勺僚）&a)° —&a)° —(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)

или вида

или вида

瓦+ 6 E

瓦+ 6 E

g“z?）（1 — gf伐一1））勺僚）

g“z?）（1 — gf伐一1））勺僚）

&a)° —

&a)° —

(3.1)

(3.2)

(3.1)

(3.2)

где 瓦 GC，g，a)(也=0, 1, 2, ... , i()= 0,厶=1, N,也》1)— действительные константы, такие, что

。《 §i(k)w 1 (女=0, 1, 2, ,.. , I о = 0, 1卜=\, N> h> 1),

(3.3)

z“内(汽=1, 2,・・・,i力=1, N)—вообще говоря, независимые комплексные переменные, в частности функции многих переменных.

Пусть z=(4，z2, .,. , zn)£C Дроби вида (3.1) или (3.2), у которых вместо каждого z* положено Zik соответственно, по аналогии с одномерным случаем (ем. (34)) будем называть многомерными ^-дробями.

Из теоремы 3.15 следует теорема.

Теорема 4.15. Пусть для ВЦД (ЗА) выполняются уо ловил

go =。，。W gf&)V 1 仇=1, 2, ... , ik = 1, N) (3.4) или

go = 0, 0 Vg*» W 1 (厶=1, Л\ 女=1, 2,…).(3.5)

Тогда ВЦД (3*1) абсолютно и равномерно сходится, если

匕&)| wN-】％= 6,也=1, 2, ...).(3.6)

Из теоремы 3.20 следует теорема.

Теорема 4.16* Пусть для ВЦД (3.2) выполняются условия (3.4) и (3.6).

Тогда ветвящаяся цепная дробь (3・2) сходится, если существует такое натуральное число л и набор индексов '1，％, •…，％(“1, N,尼 1,门)，4tno g“n)=。 или

^i(n) * —NT.

Из теоремы 3.18 следует теорема.

Теорема 4.17, ВЦД (3.2) абсолютно и равномерно сходится, если выполняются условия (3.6) 〃

°Vgo W 1, О W gts) V 1 или 0< gi{k) w 1

他=1, 2,ik = 1, N).(3.7)

Однако для указанного типа ВЦД можно установить и более общие утверждения.

Теорема 4.18. ВЦД (3.1), для которой выполняются условия (3.4) или (3.5), абсолютно сходится, если для произвольного набора индексов &, 厶，• • •， 厶一i (iр = L N、 p = 1 j k — 1)

£ |z«"|w 1 但=1, 2, 3, ...).(3.8)

4=1

ВЦД (3J) сходится абсолютно 〃 равномерно, если, кроме того,

门粤=о,(3.9)

где

团走=гл in (gi3): ip = 1, ", p = 1 j 女).(3.10)

Доказательство. Используя схему, предложенную при доказательстве теоремы 3.15, легко проверить, что ВЦД

也1+ О^=4也1+ О^=4£%=1£%=1—@3)(1 —g“〜1)"弓伍)—@3)(1 —g“〜1)"弓伍)(З.Н)(З.Н)

也1+ О

^=4

也1+ О

^=4

£

%=1

£

%=1

—@3)(1 —g“〜1)"弓伍)

—@3)(1 —g“〜1)"弓伍)

(З.Н)

(З.Н)

является мажорантой ВЦД (3.1), В частности, если ввести обозначения

0% = 1, <=1+ S 二 “"+'吗孝凉 4е+М

%+日 Q"p+i)

(s= 1, 2,p = s—l, s —2,…1, fp= IHV), (3.12)

то по аналогии можно установить неравенства (3.31) — (3.33) гл. 3 и убедиться в справедливости оценки (3.34) гл. 3, где 加,gk——女-e подходящие дроби ВЦД (3.1) и (3.11) соответственно.

Для 孔>加 справедлива формула

Nm+1

в П g，3)(I一&&一1))岡优)1

е 人\A=1

gn — gm = _/ ]m+l•

Л…—m+曰口瞅门歌

^1辰=1

(3.13)

Так как gn — монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность, то отсюда следует абсолютная сходимость ВЦД (3.1). Если в (3.13) применить оценки (3.8) и (3.32) или (3.33) гл. 3 и учесть, что

1 - 公9) V 1 -耿

то получим

gm — gr1V П —上,(3.14)

где mk определяются согласно (3.10)、■

Теорема 4.19. ВЦД (3.2) абсолютно сходится, если выполняются условия (3.7) и (3.8). ВЦД (3.2) сходится абсолютно w равномерно, если^ кроме того, выполняется условие (3.9)

Доказательство. Исходя из оценок (3.32) — (3.34) гл. 3, справедливых для ВЦД (3.1), где приняты обозначения (3.12), убеждаемся в том, что областью значений ВЦД (3.1) является круг |г —，|wl — go. Поэтому применима методика доказательства теоремы 3.18, откуда следует первая часть теоремы. Вторая часть теоремы следует из оценки типа (3.14；. Я

Рассмотрим вопрос о возможности расширения области сходимости ВЦД (3.2) путем использования теоремы 4.14.

Теорема 4.20. ВЦД

fl + D £一喩 丁一小):(3.15)

где 〃«而——действительные числа, удовлетворяющие условиям (2.52) равномерно сходится е каждой ограниченной замкнутой области из ©"+1, расстояние которой до области

1тн = 0, |ReZf| > 1 (i =戸) (3.16) положительно.

Если в теореме 4.19 положим g^ = 1/2 住=1, 2, ... v ik = 1, N), то получим обобщение теоремы 3.14.

Следствие 42 ВЦД (3.8) гл. 3, где 7*力—комплексные числа, сходится, если

工 I с*/ 丨《4 依=1, 2, •.. , ip = I, N, p —• 11 k 1).

(3」7)

§ 4. Многомерные регулярные С-дроби. Многомерные S-дроби

Ветвящиеся цепные дроби вида

(4.1)

или вида

(4.2)

где %同 #= 0 他=L 2,...,厶=1, N)——комплексные числа, z = (г15 г2, ... , 2川)£©", называются многомерными регулярными С'дробями. Если же 〃我々)>0 他=1, 2, ... , i& = =1, М，z£C", то дроби вида (4.1) или (4.2) будем называть многомерными S-дробями.

Пусть L ——формальный N-кратны甘 степенной ряд

8^

厶=1 + 工 厶小 Ln —£S｛切z& Z&….Zin

〃=1(1 > £?♦ -• • < G=1

(4.3)(4.3)

(4.3)

(4.3)

ВЦД (4.1) или (4.2) называется соответствующей степенному ряду (4.3), если.

"=々+1"=々+1f空厶= \ 厶小 А” =£^Z(n)2(jZts • . • Z%

"=々+1

"=々+1

(4・4)

т. e. каждая 汽-я аппроксиманта ВЦД (4.1) или (4.2) fk формально разлагается в степенной ряд вида (4.3), совпадающий с рядом (4.3) по формам до степени k включительно.

Для определенности рассмотрим ВЦД (4,1).

Теорема 4.21. Для многомерной регулярной С-дроби (4」) существует единственный формальный. N-кратный степенной ряд (4.3), для которого эта дробь будет соответствующей.

Д оказател ьство. Для ВЦД (4.1) определим, следуя (3.1) гл. 1, выражения Q將 他=1,门，ik= 1, Nt 门= =1, 2,..・).Дроби 1/Q瑞 формально разлагаются в N- кратные степенные ряды вида (4.3). Пусть ряды

L(a = 1 + S 〃”〃*'= £ c^)ZitZll ... Zin (4.5)

являются формальными разложен иями й-х аппроксимант ВЦД (4.1). Учитывая (3.3) гл. 1, для r>m имеем

fr — fm =fr — fm ="叶1

fr — fm =

fr — fm =

(_1 严 p] ^t{k)z£k

П Q陽П Q爲

^^ 1 x= 1

Следовательно, для прорззольного г > /л для коэффициентов (4.5) справедливы соотношения

с/(%)= &%)= с»т (iр = L N, р=1, л, /2=1, т)・

Поэтому ряд (4.3) является соответствующим дроби (4.1). Единственность следует из того, что коэффициенты ^缘 разложения 女~访 аппроксиманты 厶 ВЦД (4.1) в формальный

Л^-кратный степенной ряд (4.5) определяются однозначно. ■

Теорема 4.22. Пусть (4.J) — регулярная многомерная С-дробь, такая, что

巴饱=0,(4.6)

где

也=max(|s的I： i。= ГД\ p = ТД). (4.7)

Тогда

для произвольного положительного числа М существует номер и, зависящий от М, что ВЦД

(Т£ТЧ (4.8)

сходится равномерно к голоморфной функции 6 поликруге ⑵УМ(4 = 0)；

ВЦД (4.1) сходится к функции /(г), являющейся мероморфной или тождественно равной бесконечности.

Доказательство. Для заданного М существует номер п, что для всех h > п

I <з/ 伍)I《(4MtV)t (ip = 1, tV, p = 1,財女 > 门).

Пункт а) следует из теоремы 4.3. Для доказательства пункта б) достаточно заметить, что М — произвольное и функции, определенные в различных поликругах, являются аналитическим продолжением друг друга, g

Теорема 4.23. Пусть (4.1) ——регулярная многомерная С-дробь, такая, что комплексные числа ат ^ 0 (m = 1, N) являются соответственно единственными предельными точками последовательностей ｛&伍)万｝ 但=1,2, ...,厶= =1, //), m. 0.

lim (it(A)m = «m (m н 1, "),(4.9)

u пусть

尸% =尸用 X尸%了 X • • * X尸电打一(4」0)

декартовое произведение областей

%mr = ｛碇С ： I 侬 I - Re ® exp (arg am — 2y) f) < ”片工 J ,

(4.H)

где (m = 1, tV), 丫 ——произвольное действительное число, такое, что |у| < л/2.

Тогда

если К ——произвольный компакт 尸仪力 团。существует область СкиС", такая, что

KuQ/<u Лх»(4.12)

〃 номер п, зависящий от К, 4mo ВЦД (4.8) равномерно сходится на произвольном компакте Qk 汇 функции, голоморфной е Q^;

ВЦД (4.J) сходится к функции f(z), мероморрной 8 Рат или равной бесконечности.

Доказательство. Если множество К несвязно, то вложим его в связный компакт К'. Определим К' как множество точек отрезков, соединяющих точки К с началом координат.

Обозначим Ur (г) открытый поликруг

UJz) = ｛侬 £С":| 吗一z/Vr,,О｝.

Покроем К， поликругами Ur (г), где г, возьмем настолько малыми, чтобы все U3r(z)uRx「Выделим конечное подпокрытие

U「(z(D), ur(z^)t , UJz⑺),

где z⑶ £ К'(s = 1, Р)・ Обозначим замыкание множеств U2r(z«)) (s = 1, р) через UG).

Пусть

Pm = min(|®m —amzm|: wmG<5PT> |гт —г^|< 2%),

где РТ определяется согласно (4.11) гл. 3, т= 1,Л\ s = =1, р. Возьмем номер п настолько большим, чтобы для всех й > и—1 выполнялись неравенства

I ai (A) m — °% J V р$)(2rm + I 2貝 I 尸(团=1, ") •

Тогда при тех же значениях индексов

|a»(A)тгт —amzm|<p^, zfU”

Следовательно, U⑸ является поликруговой окрестностью сходимости ВЦД (4.8). Элементы %优+i)z奴十(ВЦД (4.8) принадлежат параболической области (4.11) гл. 3. Так как область значений (4.8) в этом случае содержится в круге (3.86) гл. 3, то утверждения а), б) следуют из теоремы 2.17.齧，

Теорема 4.24. Пусть (4.2)——многомерная S-дробь, так что

4 优)> 0 (〃 = 1, Л\ й — 1, 2, ...)(4.13)

〃 G——некоторая область из ©", содержащая действительную N-мерную окрестность

△ = {z £ С" ： Im Zf = 0, т ^^г(< Mti= 1, "},

(4.14)

где m, М ——действительные положительные числа.

Если в области G все подходящие дроби (4.2) равномерно ограничены^ то

четные и нечетные аппроксиманты сходятся равномерно на каждом компакте области G к голоморфной функции в G:

S-дробь (4.2) сходится равномерно на каждом компакте G к голоморфной функции s G, если расходится ряд

У minf-l-:ip= 1^, Р= \Л).(4.15)

々 \ °7(А)“

Доказательство следует из теоремы 2.17. Если а£А, то ВЦД (4.2) сходится согласно теореме 3.12. Я

Теорема 4.25. ВЦД

(4.16)

、包=11/

I

zdc z“ = 2窃=1, a,(A)> 0 “1,",= 1» 2, . •z=(?i，

?2,・• • , 2川)£©", равномерно сходится на каждом компакте области

Rez『>0 (i = 1：天)，(4.17)

если расходится ряд (4.15).

Доказательство. Используя эквивалентные преобразования, ВЦД (4.16) приведем к виду

NN

N

N

где Jo = I,已厶=iz^L Дробь (4.18) является положительно определенной многомерной J-дробью. Условие (2.35) теоремы 4.7 гарантирует равномерную ограниченность ее подходя щих дробей. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться утверждением предыдущей теоремы.

§ 5. Двумерные соответствующие ВЦД

(5.1)(5.1)Напомним, что ВЦД называется соответствующей кратному степенному ряду, если разложение ее n-й подходящей дроби в степенной ряд совпадает с исходным рядом до всех членов степени л включительно. Мы укажем некоторые специальные конструкции ВЦД, соответствующих двойному степенному ряду

(5.1)

(5.1)

Эти алгоритмы можно рассматривать как алгоритмы разложения функций, заданных в виде кратных степенных рядов, в ВЦД. В работах [34, 84] были установлены формулы для вычисления компонент ВЦД, соответствующей ряду (5.1), в виде отношения определ ителей, составленных из коэффициентов (5.1) Эти дроби имеют вид

1+①。+2^，s=2『+2 廿•（5.2）

Назовем /г-й аппроксимантой ВЦД (5.2) выражение

"1+鹤+营匸导， (5.3) где.

①W =方 %+：•产 + о '『+也伏=1, 2, . ..) (5.4)

[п/2] — целая часть 门/2,①£)= 0, т. е.门-я подходящая дробь является фигурной подходящей дробью вида (1.15) гл. 1. Она содержит все те элементы 。/ ВЦД (5.2), сумма индексов которых i + j《 儿

Другая модель ВЦД, соответствующей ряду (5.1), была предложена в работе [93], а именно;

1 + ^00 + О+ о,(5.5)

1=1 1 十 &0(=1 1 十广 Of

где

匕=66亠产 (t = 0, 1,2,

P=1 I0=1 I

(5.6)

Определим /г-ю аппроксиманту ВЦД (5.5) как конечную ВЦД, содержащую все те элементы b疗 ВЦД (5.5), сумма индексов которыхт. е.

九=1 + F^ +九=1 + F^ +(5.7)(5.7)为 勿产 丄n 妬也

九=1 + F^ +

九=1 + F^ +

(5.7)

(5.7)

1=1 1 + %D/2J 十（=1 7+ 琳"一力/2]＞，

где Fto, F^ ——瓦е подходящие дроби цепных дробей (5.6)

捲）=g . %■■产世，瑙=D捲）=g . %■■产世，瑙=Dbp, руху1bp, руху1(5.8)(5.8)

捲）=g . %■■产世，瑙=D

捲）=g . %■■产世，瑙=D

bp, руху1

bp, руху1

(5.8)

(5.8)

причем 尸，？=尸後=0, если k《厶

Ветвящаяся цепная дробь (5.2) или (5.5) сходится, если, начиная с некоторого номера и0 > 1, все ее подходящие дроби (5.3) или (5.7) имеют смысл и существует конечный предел последовательности аппроксимант.

По аналогии с (3.1) гл. 1 введем рекуррентно сокращенные обозначения

Qf*二 1 + ①尸 +「謔居:« = 0, 1, 2,..

Ч'+i 、

при начальных значениях

Q? =1 十①尸，Qf)= 1, /= [s/2],(5.10)

С учетом методики, изложенной в § 3 гл. 1, легко устанавливается формула разности двух подходящих дробей 九 и

f2r(门>2г) для ВЦД (5.2) [12]'

j=£ г=оj=£ г=оП磁2嚟-2用）也H 1П磁2嚟-2用）也H 1++++r+1(-l)r(xg)f qckkr+1(-l)r(xg)f qckkп Q?-询也=1п Q?-询也=1г+1 п^_ад А=1г+1 п^_ад А=1办办(5.П)(5.П)(_l)z (ф(п-2д _ 瞰—2D)(xg), p Ckk

j=£ г=о

j=£ г=о

П磁2嚟-2用）

也H 1

П磁2嚟-2用）

也H 1

+

+

+

+

r+1

(-l)r(xg)f qckk

r+1

(-l)r(xg)f qckk

п Q?-询

也=1

п Q?-询

也=1

г+1 п^_ад А=1

г+1 п^_ад А=1

办

办

(5.П)

(5.П)

где

4= {},4= {},если и = 2г + 1,если /г>2г + 1,

4= {},

4= {},

и произведения, у которых верхний индекс меньше нижнего, считаются равными единице. При установлении формулы (5.11) естественно предполагается, что все Qf)#=O.

Аналогично для ВЦД (5.5) устанавливается формула в предположении, что п>т

fn-fm^F^-F^ +т(咽1)/2»一嗜1)/叫力%

Д (Q犷舟• Q悠一"

(一 1)зe+1 q 勿0(_ 1)。L+1 p| i0A

+ 丽i巽一+ 而*——，(5.12)

П QSL • П Q訳期П QSL • n QSL)

厶=1A=1k~\也=1

где 尸债 и 尸贤 определяются с помощью рекуррентных соотношений (5.8), a QSV~用，Q第团 ——с помощью рекуррентных

соотношений

QL = I + 曲亍D +.<2^=1

%+1, 0

《 (也=0, s 1, s = 1, 2, . . . ),(5 13)

Q忆用=1 +从门])+里出),Q^)= 1

(女=0, s — 1, s = 1,2,...

При доказательстве формулы (5.12) предполагается, что все Q/"*0, Q忆**0.

Рассмотрим признаки сходимости соответствующих ВЦД.

Теорема 4.26 [12, 13]. ВЦД (5.2) с действительными числовыми коэффициентами с^ (i, / = 0, 1, 2, .. . , f + / > 1) равномерно сходится s каждой ограниченной области из R?, если

существует константа Р(0 < P<Z 1/8), что а+/, (Х + р > о, G,叶№ + р > О,

сцху + р > 0(i = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2,.・.)；(5.14)

коэффициенты с^^ /, 3,『+1 имеют не выше как полиномиальный рост при i-> оо, т. е. существует такое натуральное число р, что lim i~p max(Ci^t(;⑦，t+i) = 0;

для произвольного индекса t(f = 0, 1,2, . . . ) ряды

工 лп(I)расходятся, где п = 2

冗n (f) = max {I Cn+j f I，I c厶 n+工 |> I ^nn I}»(5,15)

k

причем 〃尤 частные суммы Е 冗口") при каждом i стре-п=2

мятся к бесконечности при Втоо не медленнее, чем (In Ву+е, где £〉0 ——произвольное действительное как угодно малое число.

Доказательство. Воспользуемся формулой (5.11), Для этого сначала проведем некоторые оценки, чтобы убедиться в том, что все Q”羽次。.Из условия (5.14) следует, что

十①俨 >1— = ]/Г^*о

(/ = 0, 1,…，也=1, 2…(5.16)

Используя эквивалентные преобразования с учетом (5.16% дробь Q，~2" приведем к виду

Ql> = 1+0)1』普贵』

У+1 1 + ①扌 ""

=。+①尸）”仪屮），

где

С/(X, У) = сцху(\ + ①仁2/+2)尸(1 + ①广2/))7

(/ - i + 1, i + 2[|]).(5.17)

и оценки (5.16) имеем а=р(1—4р)~1<1/4, тои оценки (5.16) имеем а=р(1—4р)~1<1/4, тоТогда в силу условия (5,14)

и оценки (5.16) имеем а=р(1—4р)~1<1/4, то

и оценки (5.16) имеем а=р(1—4р)~1<1/4, то

С/(х, у) А —В(1 — 40)7. Так как

|Q1|> %匸R/1|Q1|> %匸R/1= ^”П=^ + /П=^) #=о.= ^”П=^ + /П=^) #=о.(5.18)(5.18)

|Q1|> %匸R/1

|Q1|> %匸R/1

= ^”П=^ + /П=^) #=о.

= ^”П=^ + /П=^) #=о.

(5.18)

(5.18)

Доказательство проведем по схеме, изложенной в теореме 4.2, используя метод типа фундаментальных неравенств (2.19) —(2.21) гл. 2,

Для оценки сверху выражений

воспользуемсявоспользуемсяI (J)*一2"一①TI (J)*一2"一①T7676формулойформулой

воспользуемся

воспользуемся

I (J)*一2"一①T

I (J)*一2"一①T

76

76

формулой

формулой

①严一2力_①?一2力=

¥2-2/+1¥2-2/+1=2二 f=2二 f2「—2/+12 г—2什|2「—2/+12 г—2什|П Q%L П Q^'2l> 7—1/=1П Q%L П Q^'2l> 7—1/=12-2中Ji 屮 П %，+/2r—2；2r—2/+1'n Q貰产П Q疗) 7—1/=12-2中Ji 屮 П %，+/2r—2；2r—2/+1'n Q貰产П Q疗) 7—1/=1(5.19)(5.19)

¥2-2/+1

¥2-2/+1

=2二 f

=2二 f

2「—2/+1

2 г—2什|

2「—2/+1

2 г—2什|

П Q%L П Q^'2l> 7—1/=1

П Q%L П Q^'2l> 7—1/=1

2-2中

Ji 屮 П %，+/

2r—2；2r—2/+1'

n Q貰产П Q疗) 7—1/=1

2-2中

Ji 屮 П %，+/

2r—2；2r—2/+1'

n Q貰产П Q疗) 7—1/=1

(5.19)

(5.19)

где введены рекуррентно сокращенные обозначения

<21^1 = 1 + 帯涉，Q爲召=1 + 第奈(5.20)

при начальных значениях

QkT-^t = Q2^^2i =L S = 2г, И.

Формула (5.19) устанавливается аналогично формуле (3.3) гл. 1 в предположении, что все Q^厂约 *0 (р = 1, 2).

Пусть

=^^ = Т^Г' ”" = тЙ7Г'(5.2"

если хс»+/, / =^ 0, УЗ,『+/ ^= °, хус；/ ^= 0 (t 0, г, /1, г)•

Тогда справедливы оценки

耳亍就产、L+阵+/, £耳亍就产、L+阵+/, £Q爲gQ行。-L+V小+ /， (5.22)Q爲gQ行。-L+V小+ /， (5.22)

耳亍就产、L+阵+/, £

耳亍就产、L+阵+/, £

Q爲gQ行。-L+V小+ /， (5.22)

Q爲gQ行。-L+V小+ /， (5.22)

гдегде_ f и, если s =(2r, еслиДействительно, неравенству_ f и, если s =(2r, еслиДействительно, неравенству/ нечетное, / четное,первое из/ нечетное, / четное,первое из厶=2(1 —40 + ]/匸祁)У厶=2(1 —40 + ]/匸祁)Унеравенств (5.22) эквивалентнонеравенств (5.22) эквивалентноw+j,/ Q 右 2D1 + Qfr” —丿'‘23》w+j,/ Q 右 2D1 + Qfr” —丿'‘23》которое следует из оценок11которое следует из оценок11WW22—1十一/亡曜，—1十一/亡曜，т+/,产 I 士 研严гт+/,产 I 士 研严г

где

где

_ f и, если s =(2r, если

Действительно, неравенству

_ f и, если s =(2r, если

Действительно, неравенству

/ нечетное, / четное,

первое из

/ нечетное, / четное,

первое из

厶=2(1 —40 + ]/匸祁)У

厶=2(1 —40 + ]/匸祁)У

неравенств (5.22) эквивалентно

неравенств (5.22) эквивалентно

w+j,/ Q 右 2D1 + Qfr” —丿'‘23》

w+j,/ Q 右 2D1 + Qfr” —丿'‘23》

которое следует из оценок

11

которое следует из оценок

11

W

W

2

2

—1十一/亡曜，

—1十一/亡曜，

т+/,产 I 士 研严г

т+/,产 I 士 研严г

<』…I n<』…I n2г—2«4-1+ g,£+也|「J/=22г—2«4-1+ g,£+也|「J/=2LLl十也，叶/l十也，叶/(5-24)(5-24)

<』…I n

<』…I n

2г—2«4-1

+ g,£+也|「J

/=2

2г—2«4-1

+ g,£+也|「J

/=2

L

L

l十也，叶/

l十也，叶/

(5-24)

(5-24)

Аналогично доказывается и второе неравенство в (5.22). Следовательно, в условиях теоремы справедлива оценка

I Ф『—29 _ фр—Х) I <

2r—2/+1

Теперь убедимся, используя аналогичные соображения, что

L* + v〃~ (/ = 2, 3, . . . , г),(5.25)

где 厶*= 2(1 —8р + ]/(1 — 8р)(1 — 40)т, V/； определяются согласно (5.21). Неравенство (5.25) следует из оценки (5.18) и неравенства

= /П^ /П^ = мт^^ж

если предварительно вынести за скобку множитель (1 + + ф^12/+2>) и воспользоваться оценкой (5.16), обозначениями (5.17) с учетом того, что а =0(1—4卩尸 и С/(х,у)》一а.

Поскольку ВЦД рассматривается в ограниченной области, то существует действительное положительное число М, такое, что |х|《Л1, \у\^. М. Пусть = max(|q+i,『|, Cit /.pi I). Тогда, учитывая (5.11), (5.24) и (5.25), приходим к оценке

r?2r-2什1

X工得v" ( n +小+f=0/=2/=2

2r-2什1叶1

丄 П L 、4- . 21cli |ЛР 口 L*

I L + vf, ?+/ / pr^ +1 1 L* + v// '

/=2/=2

(5.26)

Последнее слагаемое стремится к нулю при г->оо, так как

/=2/=2/=2

и ряд £ I сП11 расходится.

j=2.—

Из условия б) теоремы следует, что М{ с ^гр(/ = 0, г), где К】一константа, не зависящая от i.

Пусть К = min((L* ■ М)? (L • М)т)и у，обозначает последнее слагаемое в правой части неравенства (5.26). Тогда, угрубляя оценку (5.26), получим

品一层| «《2 Edexp(—К ]电(i)) + R«

где Л2，Л3 —константы. Из последней оценки следует, что \/п — /2r|f О ПРИ Ff ОО. Я

Теорема 4.27 [16]. ВЦД

(I +Фо+ Ь , Ф<= О ‘屮产 +

\4=1 ~Г 3/ /р=11

+ 5 妙,(5.27)

P=1 I

где с〃 (％, у)——комплексные функции, заданные s области D С @2，равномерно сходится s области D, если существует действительная положительная константа р (0 < С Р< 1/8), что

丨匂(％, у)|《В (i, j = 0, 1, 2,/ + />!). (5.28)

Значение дроби (5.27) и всех ее аппроксимант принадлежит кругу

|z-(1-R2)「《r(1-R2)t,

R= 1—^(/匸邛+ /匸爾. (5.29)

Док аз ате л ьство. Определим /г・ю аппроксиманту ВЦД (5.27) как величину, обратную к (5.3), где сделаны соответствующие переобозначения элементов. Используя методику вывода формулы (3.3) гл. I для разности двух подходящих дробей fn и 耳(л > 2г) ВЦД (5.27), получим

'（一1）中（吸，

-20—①产一绚）n縊（招力 k=\

£=0

片（Q£i）Q（L）） 女=0

+

(_l)r+l fj%№ 力

+-一匕Hi——%，力=n Q产-晒 П Q£f)

A=0论=0

0, если n = 2r + 1, (5.30)

1, если n>2r + 1,

где ①尸2", QfT" (s 匸 2r, n) определяются аналогично (5.4) или (5.9) и (5.10) с соответствую щи м и переобозначениями элементов дроби. Определяя для ВЦД (5.27) величины Q£7% 优=1, 2, ...) аналогично (5.20) и используя формулу типа (5.19) с учетом того, что в пред положен иях теоремы

|^2,',1> i-|_K ¥_•••=i+^F^(&=1，2),

имеем

|о)产i _ ①尸2,)I v 26(46)2(1)(1 + /厂祁厂WT>. (5.31)

Учитывая (5.18), (5.31), с помощью элементарных вычислений получим

\fn-f2r\<K [4р (у\^> + КГ^) ~гХ， (5.32) где ^ — константа, не зависящая от г и /г.

ВЦД (5.27) представим в виде

г= (1 +w)~\ w=Q+6

Л 1 十 9f

Так как

..2р2P

WI i ■ в — + jTY^^yf^^ =

1 —1 —

1 —

1 —

то с помощью элементарных вычислений получим (5.29). ■

Вопрос поточечной сходимости ВЦД (5.27) сводится к исследованию сходимости числовых ВЦД

（收+2（收+24?) ГТ^/4?) ГТ^/,ф(-=,ф(-=6 牛+ 6 牛，（5.33）6 牛+ 6 牛，（5.33）

（收+2

（收+2

4?) ГТ^/

4?) ГТ^/

,ф(-=

,ф(-=

6 牛+ 6 牛，（5.33）

6 牛+ 6 牛，（5.33）

где a” 一 комплексные числа.

Дадим определение аппроксимант дроби (5.33), используя композиции дробно-линейных отображений, а также построим четную и нечетную части ВЦД (5.33) и исследуем их сходимость. Рассмотрим дробно-линейные отображения

打侬)= (1+%7t叫т, twj,九 j = 0, 1, 2,…，(5.34) f 〃(乂 У, z) = (1 + а?,?』％ + 内一1,粗 4- &")т, i = 1, 2,...,

(5.35)

и композиции этих отображений

Тц = 〃+2,山+3, £ • • • 4-小(1),

7\ I =力・计2 tt, £+3 ...//, А_/ (1),

i = о, 14] — 1 ■ k>i, R >2.(5.36)

Тогда, определяя n-e аппроксиманты ВЦД (5.33) как дроби, обратные к (5.3), где х — у = 1, сц = ац (г, / = 0, 1,2,..., / + / > 1), получим

Лп = ^Ц (^2п, О» Т。，2п,厶2(丁2门一1,1, Tl,2n—1,

%n (Т门+L п—1’ Т〃—1, 〃+1‘ /п+1, п+1 (°, °, °))…)，(5.37) 及+1 = ^11 (Т2п+1, о, Т0, 2叶1 %2(丁2〃, 1’ П, 2е • * • *

/гт(Т\+2, п-1, 7\-1, п+2,厶+1,什1 (1, 1, °))…)，(5.38) где /г = 1, 2% = &(1, L °)・ Впредь формулы типа (5.36), симметричные относительно перестановки индексов, будем записывать в виде

ТI, z —乙+2,「力+з, £ …，i, f (1)・(5.36*)

Следуя Стилтьесу [60], построим четную и нечетную части ВЦД (5.33).

Дробь

6 輕吊=自,+ 6 产(5.39) 』“fp=l Pp+厶 £ p==l Pi, p-f-t

называется четной (нечетной) частью ВЦД (5.33), если для ее п-х аппроксимант gn

"2券，尸宀办+g設了"2券，尸宀办+g設了5'壮土) (5.40)P=1 Pf, f+p5'壮土) (5.40)P=1 Pf, f+p

"2券，尸宀办+g設了

"2券，尸宀办+g設了

5'壮土) (5.40)

P=1 Pf, f+p

5'壮土) (5.40)

P=1 Pf, f+p

справедливо равенство gn = f2n,(门=1, 2, ...) {gn ^ Лп+ь 5 = 0, 1, 2, ...)), где fn — /г-я подходящая дробь ВЦД (5.33).

Для получения явных формул для коэффициентов 仪行，財 в формулах (5.36*) вместо композиций отображений 份 рассмотрим композиции отображений §加，где

疆 2，侬)=Зт 2,3, 2,㈣=可 а]：Щ寿 + 1' sr, 2叶1 侬)=生，2/+"2Г+1, 2^+1 (^)=

fr, 2£+l1 1

k ^ 力 + 2, /2 — i,k ^ 力 + 2, /2 — i,1+。2八2?+l+。2「+1, 2计涇 ，

k ^ 力 + 2, /2 — i,

k ^ 力 + 2, /2 — i,

r = i + 2* n — l + l,

0<i«[" — l, (5.41*)

Если теперь в (5.37) вместо Tkp взять

Т2п-2х, 2£=，2『+2, 2i S』+2. 2f …Si, 2£ ( 1 ),

T2rl-2?—l. 2叶1 =/2计3, 2+'S计2, 2,+ 1 , ' ' ^n~i~\, 2+(1)

(0《i4[彳]-1,门=2, 3,…)，

то для четной части ВЦД (5.33) получим формулы

В〃 = 1, Рл-1, £ = 1 + S + 2,厶 а〃 = 〃〃，

а?+1, i = о叶 1, i, аоо = 1，(5 42,

^ki -- 一a2力一，一2,以2n "仇£ = ] +,

+ a2H £ + 〃2G—£, £，

где i > 0, k — / > 2.

Аналогично доказывается, что для нечетной части справедливы формулы

%。= 1, а〃 = ^, Р» = 1 + 〃叶1, t + 〃小+1，

■ а标=—〃2々一1-厶以2々一£，i Ра« — 1 + a2k-i, f + «2й+1-х, £ (5.43*) (々 > i, i = 0, 1, 2,...).

Установим признак сходимости четной и нечетной части ВЦД (5.33) типа второй интерпретации фундаментальных неравенств (см. замечание после теоремы 8).

Будем говорить, что для ВЦД (5.33) справедливы фундаментальные неравенства, если существуют такие действительные числа Г">0 (i, / = 0, 1, 2, ...), 0<у< 1/2, что

г〃 I 1 + a，+i, t + a,； z,+i | >2r“ max ”| а〃 |,

М 丨的+1, + I) + max (I I丨 d"+i |)；

〃+i,, I 1 + a，+2 /1I ay I +『〃+i,，I a%,, I ；

〃+2,，I 1 + a,+2, г + a，+3,, I > 2〃+2,, r“ | а；+2：, | +

+ I а<+з. < I ；(5.44*)

r) Tt+i. d 1 + at+i.i + a，+/+i,，丨 > 〃+/,，〃+/一2, ,]a叶/"| + + 丨%+/+1,，丨，/ > 3；

Д) I。加《 4 (1一2丫产，(i- 0, 1, 2, ...)•

Теорема 4.28 [14]. Если для ВЦД (5.33) справедливы фундаментальные неравенства (5.44*). то ее четная м нечетная части абсолютно сходятся.

Доказательство. Нечетная часть после эквивалентных преобразований приводится к виду

8 сОО Л/ОО п

D ，F^D+ D上产，(5.45)

^=0 1 + &0=11p^l 1

где

"oo = ( 1 + @10 + @01) L

&"= 〃"・(1 + 的，£-1 + 〃f-l, »7(1 + 4+1, f+ S"+1)T，

山+1, / = '&+1, i 〃£+2, £ ( 1 + %+l, f + ^, £+1)7 (1 + 〃f+2, t +

于 4+3,f)T,(5.46*)

必+p,( = — 〃2p+f-l, i〃2p+小(1 + a2p-\-i-2, t + 〃2р+Л, f)7 X

X (1 + 〃2p+t, £ + 〃2叶一1, f)~l

(p = 2, 3, . . . , f = 0, 1, 2,...)

Введем обозначения

痂=1 — max{|^+bf I，|^-,z+i|} [ru \ 1 + 仅+i,? + 〃小+i|L, gp+f, Z = 1 - I 〃2叶中(I ' k2p^it ? I 1 + a2叶厶 i + a2Р+叶1, "]7 (p= 1, 2,, i= 0, 1, 2,…).(5.47*)

< и о J< и о JИз фундаментальных неравенств (5.44*) следует, что g『f《1, 0《gp+九『《1 (р = 1, 2,….，，二二 0, 1, 2, что справедливы неравенства

< и о J

< и о J

l&o/Vqgoo，|&£f|V 彳gf—1,£—1g厶(i=l,2,…)，

I&+小 I《々/(1 — gf+/_i, t) g(+/, £(5.48*)

(/ = 1, 2,…，i = 0,1,2,…也=у ,力/ = L /》2).

Следовательно, существуют комплексные числа z〃，такие, что |z/|《1 & / = 0, 1, 2, ...) и что

&оо = у ^оогоо， &£ = ^gJj-igMZa (/ = 1, 2,.,.), а/+/, ^ = ^/(1—g?+/—i, £)&+/,%+/, f(5.49*)

(j = 1,2,, i = 0, 1,2,…也=^■，財=1,/ > 2).

ВЦЦ (5.45) можно записать в виде

,(5.50),(5.50)f (z) = 2 gooZo(l + 5尸0⑵+ 3 -]+丄尸.⑶

,(5.50)

,(5.50)

где

Л (z) = 6

P=1

" 一 金+j一1, d gp+九卢Р+lf

+

+2

(1 — gf, p + £-l)gf, P+产％ p+£

(5.51)

Обозначим через fn (z), Е")(z) — n-e аппроксима нты ВЦД (5.50) и (5.51) и введем рекуррентно обозначения

qL⑵=1 + ^尸尸⑵十言н岩，Q?⑵=1« = 0mК

(5.52)

С учетом (5.52) легко устанавливается формула разности двух подходящих дробей ВЦД (5.50) /п (г) и %"), где п>г

/п (z) — % ⑵=

k

，(_ 母+1(F?f (z)—尸尸硏z) pj匸 V -^H

白 R Q"T (z) • Q尸)⑶]

(—и'44 门 &“

+千尹——-(5-53)

n QL(z)dqL(z) Л=0£=0

Рассмотрим ВЦД / (― 1), т. е. ВЦД (5.50), у которой вместо каждого г(/ взято —1, и покажем, что она является мажорантой дроби (5.50). Учитывая свойства g-дробей [100] и формулу типа (5.19), установленную для разности 尸广"⑵一 —尸£-"(z), легко убеждаемся в том, что F{^~^ (—1) по п при каждом фиксированном 左 монотонно убывает и

I收—A⑵-尸厂冷(z)丨w F^ (-1)-尸夕出(-1). (5.54) Используя метод математической индукции, проверим, что

IQF"' (г) I》СГ0 (- 1) > I g"・> 0，(5.55)

И

1 +尸尸"(一1) >出*(5.56)

откуда с учетом (5.49*) имеем

丨 & ⑵一/г ⑵ I « /г (— 1) —/п (— 1).

Дробь /п (——1) с помощью эквивалентных преобразований приведем к виду

包 江生

7 + Т +Н Т *

Так как

f / i\ —1/2— 1/4— 1/4[

> -г-+-т- + -т-+ — 1,

то нечетная часть ВЦД (5.33) абсолютно сходится.

Введя обозначения

g?+i, / = 1 -期+2, / [门+1, ?1 1 + 勿+2,川—(5.57*)

■ gp+3= 1 - 1a2叶?+h"[Г2叶?一1, J 1 + 做叶?—1, ? + 做叶厶?仁1

.(P = 2, 3, . . . , i = 0, 1, 2,...)

и повторяя приведенные выше выкладки, четную часть ВЦД (5.33) запишем в виде

(l + ^o + Sr^) '(5・58)

где

ф.=g'+L'Z，+l, ' +

，]+ $ ° 一 g°+，，"弘+，+1,尸o+/+i,， gf,£+lZ/"+i

1 , 3 С — gf,p+#&,P+f+14,p+/+l

и 12z/1 < 1, o < gn < 1 (i, j = 0, 1,2,...,，片/), 0 VY ・ Нетрудно установить, что мажорантой ВЦД (5.58) является цепная дробь

|%"1(1-2Y)-2)7|%"1(1-2Y)-2)7

|%"1(1-2Y)-2)7

|%"1(1-2Y)-2)7

которая абсолютно сходится согласно теореме 2 и замеча* нию 3.20.

Наконец, сформулируем два признака сходимости ВЦД вида (5.5), установленные в работе [94].

Теорема 4.29. Ветвящаяся цепная дробь

8 В» °0 Ьм

1 + ^оо + D —, F + D 冃广；,f=l 1十厂m f=l 1十厂Of

где

Qo= Ъ尸o,= D (I = 0,1,2,

0«=11pF 1

b〃 (i + / > 1)——комплексные числа, сходится, если

I 匕川 I《X，I 勿+i, £ 丨《 W，^d+z, f I《彳(p = 2, 3,...夕

0, 1, 2,, /= 1, 2,(5.59*)

Теорема 4.30. Ветвящаяся цепная дробь

D т~:尸-,Fio = D ~— (/ = 1, 2,(5.60)

t=l %。十 Jop=l %+口，p

где 勿/ (i = 1,2, ... , / ™ 0, 1, ..., i > j) — комплексные числа^ расходится, если:

цепные дроби F^ (i = 1, 2, ...) сходятся;

модули п-х аппроксимант непрерывных дробей 尸依 равномерно по п ограничены, т. е. существуют положительные константы 仇，такие, что | 尸馭 |《勿(i= 1,2,..., 几=1, 2,…)；

сходится ряд 工 b(.

i= 1

Теорема 4.29 является аналогом признака сходимости Ворпитского, теорема 4.30 — первым необходимым признаком сходимости ВЦД с комплексными компонентами.

Кроме перечисленных существуют и другие признаки сходимости двумерных соответствующих ВЦД (см., например, [36, 61]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Боднар Д, 〃• Некоторые применения ветвящихся цепных дробей в вычислительной математике, В кн.: Науч. конф. «Вычислительная математика в современном научно техническом прогрессе. Вычислительные методы в алгебре, прикладной математике, в системах обработки данных и АСУ». Киев, 1974, с. 94—103.

Боднар Д. И. Оценка погрешности вычисления ветвящихся цепных дробей. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, № 12, с. 1059—1062.

Боднар Д. /. Абстрактний аналог г1ллястого ланцюгового дробу.— Ужгород, — с. 70—74. —Рукопись деп. в ВИНИТИ, 18.05.1976 г., № 1734—76 Деп.

Боднар 〃. И. Аналог признака сходимости Ворпитского для ветвящихся цепных дробей. —В кн.: Математический сборник, Киев, Наук, думка, 1976, с. 40—43.

Боднар Д. И. Исследование сходимости одного класса ветвящихся цепных дробей. ——В кн.: Цепные дроби и их применения. Киев: ИМ АН УССР, 1976, с. 41—44.

Боднар Д. И. Об одном обобщении признака сходимости Зейделя для ветвящихся цепных дробей. —В кн.: Математический сборник, Киев, Наук, думка, 1976, 44—47..

Боднар Д. /. Аналог ознаки зб1жност1 Ворп1тського для Г1ллястих ланцюгових дроб!в. —В кн.: Питания як1сно1 Teopi'i диференц1аль- них р!внянь та Тх застосування. К Л IM АН УРСР, 1978, с. 7—8.

Боднар Д. И. Необходимый признак сходимости ветвящихся цепных дробей с положительными компонентами.— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1979, вып. 10, с. 15—19.

Боднар Д. И. Необходимый и достаточный признак сходимости ветвящихся цепных дробей с положительными членами. — Там же, 1981, вып. 13, с. 12 —15.

Боднар Д. И. Признаки сходимости ветвящихся цепных дробей (1g，l/2…М)gfl $2…W%/2・• .2%Т

с частными звеньями вида ———-―~~———2. — Там же,

1982, вып. 15, с. 30—35.

Боднар Д. И. Признак сходимости ветвящихся цепных дробей.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, № 8, с. 3—7.

Боднар Д. Н., Кучминская X. И. О сходимости разложения функций двух переменных в соответствующую ветвящуюся цепную Дробь. —Мат. методы и физ.-мех. поля, 1980, вып. 11, с. 3—6.

Боднар Д. И., Кучминская X. И. О сходимости ветвящихся цепных дробей. — В кн.: Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики. М.: ИПМ АН СССР, 1981, с. 37.

Боднар Д, И., Кубинская Х・〃・ Абсолютная сходимость четной и нечетной части двумерной соответствующей цепной дроби. — Мат. методы и физ.-мех. поля, 1983, вып. 18, с. 30—34.

Боднар Д. 〃., Олексив И. Я. О сходимости ветвящихся цепных дробей с неотрицательными членами.——Укр. мат. *урн・， 1976, 28, № 3, с. 373—377.

Боднар 〃・ И., Шевчук С. П. Аналог теоремы Ворпитского для двумерных соответствующих ветвящихся цепных дробей. — Вести. Львов, политехи, ин-та, 1982, № 169, с. 7—9.

Боднарчук П. И. Некоторые преобразования ветвящихся цепных дробей. —Мат. методы и физ.-мех. поля, 1975, вып. 2, с. 153——155.

Боднарчук /7. И. О связи классической проблемы моментов для функций многих переменных с ветвящимися цепными дробями.— В кн.: Цепные дроби и их применения. Киев: ИМ АН УССР, 1976, с. 8—11.

Боднарчук /7. /., Скоробогатько В. Я. Плляст! ланцюгов! дроби та 1х застосування. —К.' Наук, думка, 1974. — 272 с.

Боднарчук Я. //., Слоневскил Р. В., Пустомельников И. Я. Дробно-рациональные численные методы решения «жестких» задач.— В кн.: Численные методы решения задач математической физики. М.: Знание, 1983, ч. 3, с. 4—6.

Буланов Л. П. О порядке приближения выпуклых функций рациональными. —Изв. АН СССР. Сер. мат., 1969, 33, № 5, с. 1132— 1148.

Го Лузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. —М.: Наука, 1966. —628 с.

Гончар Л. Л. О наилучших приближениях рациональными функциями. —Докл. АН СССР, 1955, 100, № 2, с. 205—208.

Гончар Л. А. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде. —Мат. сб., 1982, 118 (160), № 4, с. 535—556.

Дзядык В. К.,力илозоф Л. И. О скорости сходимости аппроксимаций Паде для некоторых элементарных функций. —Мат. сб.» 1978, 107 (149), № 3, с. 347—363.

Долженко Е. П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций. —Мат. сб., 1962, 56 (98), № 4, с. 403—432.

Др он юк /Л С. Розклад деяких функций в гзлляст! ланцюгов! дроби. —В кн.; Друга наукова конференц!я молодих математик1в Украсим. Киев: Наук, думка, 1966, с. 185—189.

Ерохов 〃. В. Возможность применения аппарата цепных ветвящихся дробей для электрических расчетов. —Теорет. электротехника, 1978, вып. 24, с. 46—51.

Иванов В. В., Бесараб Я. /Л, Данильченко Л. С и др. Оценки погрешностей округления для цепных и ветвящихся цепных дробей.— В кн.： Цепные дроби и их применения. Киев: ИМ АН УССР, 1976, с. 20—24.

Картузов В. ^. О построении математических моделей динамических процессов по конечному числу экспериментов: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук.——М.» 1983.——16 с.

Крупка 3. И. Приближение мероморфных функций рациональными и ускорение сходимости степенных рядов. —Докл. АН УССР. Сер. А, 1982, № 10, с. 23—27.

Кри"。3. И., Шмойлов Б. И. О параллельном вычислении алгоритмов, представленных ветвящимися цепными дробями. —В кн.: Многопроцессорное вычисл. структуры. Таганрог, 1980, вып. 2, с. 78—80.

Кудрявцев 刀.Д. О некоторых математических вопросах теории электрических цепей. —У МН, 1948, 3: 4 (26), с, 80—118.

Кучминская X. Я. Соответствующая и присоединенная ветвящиеся цепные дроби для двойного степенно го ряда. —Докл. АН УССР. Сер. А, 1978, № 7, с. 614—617.

Кучминская X. И. О приближении функций цепными и ветвящимися цепными дробями. —Мат. методы и физ.-мех. поля, 1980, вып. 12, с. 3—10.

Кучминская X. И. О достаточных условиях сходимости двумерных цепных дробей. — Там же, 1984, вып. 20, с. 19—23.

Кучминская Х・ И., ^Боднар Д. Я. Вычислительная устойчивость разложений функций многих переменных в ветвящиеся цепные дроби. —В кн.: Однород. цифровые вычисл. и интегрирующие структуры, Таганрог, 1977, вып. 8, с. 145—151.

Максымив Е.財.，Кутнив М. В. Нелинейный явный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений.——Вести. Львов, цолитехн. ин-та, 1980, № 141, с. 57—58.

Марко В. Ф. Решение некоторых нелинейных диофантовых уравнений методом цепных и ветвящихся цепных дробей. ——В кн.: Цепные дроби и их применения- Киев: ИМ АН УССР, 1976, с. 74—75.

Марков Л. Л. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. —М.; Л.: Гос- техиздат, 1948. —412 с.

Михальчук Р. /. Про одну ознаку зб1жност1 1нтегральних ланцю- гових дроб!в. — В кн.: Питания як1сно1 Teopii диференц1альних piBH^Hb та i'x застосування. К.: IM АН УРСР, 1976, с. 39—40.

Монте ль П. Нормальные семейства аналитических функций. —М.; Л.: ОНТИ, 1936.-240 с.

Недашк1вський М. О. Зб1жн1сть i обчислювальна ст1йк!сть г!лляс- тих ланцюгових дро61в з елементами, що задов1льняють умовам типу Пр 1нгсгейма. —В кн.: Питания hkicho'i Teopii диференц!аль- них р!внянь та ix застосування: К.: IM АН УССР, 1978, с. 43—44.

Недашкозский Н. Л. Прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений ветвящимися цепными дробями. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1980, № 8, с. 24—28.

Недашковский Н. А. О сходимости и вычислительной устойчивости ветвящихся цепных дробей некоторых типов. —Мат. методы и физ.-мех. поля, 1984, вып. 20, с. 27—31.

Никишин Е. М. О сходимости аппроксимаций Паде длн некоторых функций. —Мат. сб., 1976, 101 (143), № 2, с. 280—292.

Одноволова Т. М. Некоторые оценки погрешности вычисления интегральных цепных дробей. ——Докл. АН УССР. Сер. А, 1984, №7, & 19—22.

Парусников В. И. Алгоритм Якоби — Перрона и совместное приближение функций. —Мат. сборник, 1981, 114 (156), № 2, с. 322— 333.

Пасичняк Ф. О. О разложении алгебраических иррациональностей в ветвящиеся цепные дроби. —В кн.: Цепные дроби и их применения. Киев: ИМ АН УССР, 1976, с. 85—86.

Пелех Я- //. Решение квазилинейных уравнений параболического типа с использованием ветвящихся цепных дробей. — В кн.; Общая теория граничных задач. Киев: Наук, думка, 1983, с. 291 — 292,

Попов В. Л. Рациональная равномерная аппроксимация класса Vг и ее применения.— Докл. Болг. акад, наук, 1976, 29, № 6, с. 791—794.

Пустомельников /. П. Представления розв：язку одн!еТ крайово! задач! ланцюговим г1ллястим дробом. —Bich. Льв1в. пол1техн. iH-ту, 1970, № 44, с. 78—84.~

Рахманов Е. А. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде.—— Мат. сб., 1977, 104 (146), № 2, с. 271—291.

Русак В. ". Рациональные функции как аппарат приближения,'- Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1979. — 176 с.

Скоробогатько В. Я. Ознака зб1жност! гЕлястого ланцюгового дробу. — ДАН УРСР. Сер. А, 1972, № 1, с. 27—29.

Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике.——М.: Наука, 1983.——312.

Скоробогатько В.牙，Дронюк Н. С., Бобик О. /., Пташник Б. Й. Гмляст! ланцюгов! дроби. — ДАН УРСР. Сер. А, 1967. № 2. с. 131 — 133.

Слешинский И. В. О сходимости непрерывных дробей.——Зап. мат. отд-нля Новорос. о-ва естествоиспытателей, 1889, X, с. 201—255.

Стечкин С. Б., Ульянов 〃. Л. Подпосле до ва тель ности сходимости рядов. — Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, LXXXVI. М.: Наука, !965, с. 85

Стилтьес Т. И. Исследования о непрерывных дробях. — Харьков; Киев: ОНТИ, 1936. — 155 с.

Сусь О. Н* Сходимость к функции ее формального разложения в двумерную соответствующую цепную дробь, —Мат. методы и физ.- мех. поля, 1984, вып. 20, с. 23—27.

Сявавко М. С., Батюк Ю. Р. Деяк! ознаки зб!жност1 ланцюгових дробв для функц!онал!в. — BicH. Льв1в. пол!техн. 1н-ту, 1977, № 119, с. 144—146.

Туран П. О приближении кусочно- аналитических функций рациональными функциями: Современные проблемы теории аналитических функций. —М.: Наука, 1966, с. 296—300.

Филозоф Л. И. Приближение функций цепными дробями： Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. —Киев, 1979. — 11 с.

Хинчин А, Я. Цепные дроби. —М.: Наука, 1978. — 112 c.

Хлопонин С. С, Приближение функций цепными дробями —В кн.: Цепные дроби. Ставрополь, 1977, с. 3—102.

Хованский А, Н, Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. —М.: Гостехиздат, 1956. —203 с.

Чебышев П, Л. Полное собрание сочинений. — М,; Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — Т. 2. 520 с.

Чебышев П,刀.Полное собрание сочинений.— М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1948. — Т. 3. 416 с.

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. —М.: Наука, 1976, — Ч. I, 320 с.

Шабат Б. В, Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. —М.: Наука, 1976. —Ч, II. 400 с.

Шеремета М, ". Рациональная аппроксимация на [0, оо) целых функций произвольно го роста с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами. —Укр. мат. журн,, 1979, 31, № 3, с. 303—311.

Beker G. Л.» Graves-Morris Р. Ра de approximans. Part I: Basic Theory. —In: Encyclopedia of mathematics and its applications, 1981, vol. 13.—325 p.

. Bresinski C. A bibliography on Pade approximation and some related matters. —Leet. Notes Phys., 1976, 4 7, p. 245—267.

Brezinsk i C. Pade-type approximation and general orthogonal polynomials. —Basel etc.: Birkhauser, 1980. —250 p..

Cichochhi A. Generalized continued fraction expansion of mulidi- mensional rational functions and its applications in synthesis.— In: Europ. Conf, on Circuit Th. and Design, 1980, 2—5 sept. Warsaw, 1980.

Gilewicz J. Approximants de Pade. —Berlin etc.; Springer, 1978.— Bd 14. 511 S.^

Henrict P. Applied and Ccmputational Comlex Analysic. Vol. 2.— Special Functions, Integral Transforms, Asymptotics and Conti* nued Fractions, New York: Wiley, 1977. —662 p.

Jacobi К. G. T. Allgemeine Theorie der Keftenbruchahnlichen Algo・ rithmen in Welehen jede Zahe aus drei vorhergenenden gebildet wird. —Publ. von Heine, Tourn. f. d. reine und angen. Math 1849, Bd 69, S. 29—64.'

Jones William B., Thron W. J. Convergence of continued fractions.— Canad. J. Math., 1968, 20, r. 1037—1055.

Jones William 8r Thron W. J. Continued fractions: analytic theory and applications. —In: Encyclopedia of mathematics and its applications, 1980, vol, 11, —428 p,

Koch H. von. Quelques.Jheoremes concernant ja theorie generale des factions continues. — Ofversingt af Kongl. Vetenskaps-Akad. For- handlinder, 1885. —52 p,

Leighton 旣，Wall H. S. On the transformation and convergence of continued fractions. —Amer. J. Math., 1936, 58, p. 267—281,

Murphy J. 4, O' Donohoe M. R. A two-variable generalisation of the Stieltjes-type continued fractions.— J. Comp, and Appl. Math., 1978, 4, № 3, p. 181—190.

Paydon 丿.尸.，Wall H. S. The continued fraction as a sequence of linear transformations. —Duke Math. J., 1942, 9, p. 360—379.

Perron 0. Grundlagen fiir eine Theorie des Jacobicshen Kettenbruch- algorithmus. —Math. Ann., 1907, 64, s. 1 —76.

Perron 0. Die Lehre von der Kettenbriichen. —Stuttgart: Teubner, 1957. — Bd 2. 524 s.

Pratje Ilse. Iteration der Joukowski—Abbildung und ihre Strecken— Komplexe. —Mjtt. math. Semin. Giessen, 1954, № 48, S. 1 —54.

Pringsheitn A. Ober die Konvergenz unendlicher Kettenbriiche, Sb. Munchen, 1898, vol. 28, p. 295—324.

Saff E. B., Varga R. S. Pade and rational approximation. Theory and applications. —New York: Acad, press., 1977. —491 p.

Scott W. 丁.，Wall H. S. A convergence theorem for continued fractions. —Trans. Math. Soc., 1940, 47, p. 155—172.

Seidel L. Undersuchungen uber die Convergenz und Divergenz der Kettebriiche: Dokter. Diss. —Munchen, 1846.

Siemaszko W. Branched continued fraction for double power series.— J. Comp, and Appl,, Math., 1980, 6. № 2, p. 121 —125.

Siemaszko W. On some conditions for convergence of branched continued fraction. —Lecture Notes in Math., 1982, 888, p. 367—370.

Stieltjes T. J. Recherches sur les fractions continues. — Annales de la Paculte des Sciences Toulouse, 1894, 8, p. 1 —122; 1895, 9, p. 1 —47.

Thron K. J., Waadeland H, Modifications of continued fractions, a Survey. —Analitic theory of continued fractions, Leet. Notes. Math., 1982, 932, p. 38—67.

Van Vleek E. B. On the convergence of continued fractions with complex elements. —Trans. Amer. Math. Soc., 1901,2, p. 215—233.

Van Vleck £. B. On the convergence and character of the continued fractions ... —Trans. Amer. Math. Soe., 1901, 2, p. 476—483.

Vitali G. Sull serie di fnnzioni analitiche. —Rend del R・ ist Lombard, 1903, 2, vol. 36, p. 771—774.

Wall ". S. Analytic theory of continued fractions. —New York: Van Nostrand, 1948.—433 p.

Worpitzky J. Untersuchungen uber die Entwickelung der Monodromen und Monogenen Funktionen durch, Kettebriiche, Friedrichs- Gymnasium und Realsehule; Jahresbericht. —Berlin, 1865, S. 3—39.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Введение 5

Глава 1. Определение и элементарные свойства ветвящихся цепных дробей 14

Определение ветвящейся цепной дроби. Подходящие дроби • 15

Формулы для числителей и знаменателей подходящих дробей*20

Формула разности двух подходящих дробей. Свойство вилки 28

Эквивалентные преобразования ветвящихся цепных дробей29

Последовательности областей элементов и областей зна* чений 33

Глава 2.Методы исследования сходимости ветвящихся цепных

дробей 44

Различные виды сходимости ВЦД 48

Метод мажорант. Аналог метода фундаментальных неравенств 50

Неравенства типа средних гармонических. 54

Многомерней аналог теоремы Монтеля 61

Глава 3. Признаки сходимости ветвящихся цепных дробей с посто* яннымн элементами 67

Признаки сходимости ВЦД с положительными членами.70

Признаки сходимости ВЦД с неотрицательными элементами85

Признаки сходимости ВЦД с комплексными компонентами90

Области сходимости ВЦД116

Области устойчивости ВЦД119

Глава 4. Некоторые типы функциональных ветвящихся цепных дробей 124

Признаки равномерной сходимости функциональных ВЦД 124

Положительно определенные ВЦД. Многомерные /-дроби 130

Многомерные g-дробн147

Многомерные регулярные С・дро6н. Многомерные S-дроби 150

Двумерные соответствующие ВЦД154

Список литературы . • , • • , 169

4 = ^Ип-1 + %i4-2，然=^n^n-l + 生1当一2(几=1,2,...) (8) при начальных условиях

4 = %,人2=1, B—i = 0.(9)