ИЗДАТЕЛЬСТВО

《МИР》

LECTURE NOTES IN MATHEMATICS

A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zurich Series: Mathematisches Institut der Universitat Bonn

Adviser: F. Hirzebruch

55

D. GROMOLL- W. KLINGENBERG • W. MEYER

RiEMANNSCHE GEOMETRiE IM GROfiEN

SPRINGER-VERLAG BERLIN • HEIDELBERG ・ NEW YORK

1968

Д. ГРОМОЛ, В. КЛИНГЕНБЕРГ, В. МЕЙЕР

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯВ ЦЕЛОМ

Перевод с немецкогоЮ. Д. БУРАГО

Под редакцией и с добавлением

В. А. ТОПОНОГОВА

ИЗДАТ ЕЛЬСТВО 《МНР»

Москва 197[

УДК 513.813

Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его учеников Д. Громола и В. Мейера посвящена основным вопросам римановой геометрии в целом.

Написанная на современном уровне, книга тем не меиее читается легко и может служить учебным пособием по римановой геометрии, что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы. Вместе с добавлением В. А. Топоиогова она дает обзор последних достижений и проблем этой области математики. Большое число задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятельное изучение предмета.

Книга представляет интерес для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников математических специальностей.

Редакция литературы по математическим наукам

2-2-3

25-71

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет расширенное изложение лекций по римановой геометрии в целом, прочитанных выдающимся немецким геометром В. Клингенбергом; книга написана с помощью его учеников Д. Громола и В. Мейера.

Отличительными чертами книги является современность ее содержания и языка. Иначе говоря, авторы занимаются прежде всего задачами геометрии в целом и, в частности, связями между геометрией и топологией римановых многообразий, изложение же построено на инвариантном исчислении Кошуля. Первые три параграфа книги (а правильнее — три главы, так как параграфы очень длинны) представляют современный учебник римановой геометрии, не предполагающий предварительного знания предмета, их можно рекомендовать начинающему геометру для ознакомления с языком и методами, вошедшими в геометрию приблизительно с 1950 г. и, следовательно, ставшими уже классическими. Надо отметить, что в книге Клингенберга и соавторов „языки развивается весьма умеренно, но зато на этом языке раскрываются действительно интересные вопросы. А именно, в конце книги доказываются два фундаментальных результата, стоящих в центре развития римановой геометрии за последние годы — „теорема сравнения" Топо- ногова и „теорема о сфере" Клингенберга.

При этом, как и во многих других случаях, выясняется замечательная связь всего наиболее содержательного в геометрии с „интегрирующими*4 синтетическими методами—древними „эле- ментарннмн" и современными топологическими; здесь нетрудно увидеть продолжение традиции, идущей от Эйлера и Коши и представленной в наше время работами А. Д. Александрова. Своеобразную особенность книги составляют „замечания" в конце каждого раздела. Задачи в узком смысле (которые читателю рекомендуется решить и на которые дальше имеются ссылки в тексте) тщательно отделены при переводе от более трудных результатов, а именно, эти последние снабжены либо ссылками на литературу, либо словами „можно доказать".

При переводе исправлены некоторые мелкие погрешности, а разделы 2.4, 2.5, 3.4 переработаны, причем переводчик воспользовался неопубликованной работой, любезно предоставленной ему А. И. Фетом.

6От переводчика

Добавление, написанное В. А. Топоноговым, содержит некоторые новые результаты глобальной римановой геометрии, в том числе исследование топологического строения некомпактных многообразий неотрицательной кривизны (Громол и Мейер) и структура многообразий, содержащих прямые (Топоногов). Вместе с добавлением книга подводит читателя вплотную к современной проблематике римановой геометрии в целом. В то же время она может служить и учебником, и своего рода сборником задач и примеров по этому предмету.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Проблемы дифференциальной геометрии в целом вызывают сейчас все возрастающий интерес. В римановой геометрии исследование связей между римановой и топологической структурами привело в последнее время к ряду интересных и неожиданных результатов. Мы имеем в виду прежде всего следующий круг вопросов: какие топологические инварианты можно охарактеризовать с помощью одного из важнейших изометрических инвариантов —кривизны? Цель этой книги состоит в изложении некоторых основных результатов в этой области.

В весеннем семестре 1961 г. В. Клингенберг прочел по приглашению Боннского университета курс лекций под тем же названием, что и книга. Слушатели этого курса Д. Громол и В. Мейер сделали его записи. Эти записи, изданные в 1962 г. Математическим институтом Боннского университета, вскоре разошлись. Предлагаемая книга представляет собой переработку этого издания. Первоначально было задумано значительно расширить его, но из-за недостатка времени это пока не удалось сделать. Мы надеемся, однако, что и в существующем виде книга будет полезна всем, кто хочет ознакомиться с актуальной и быстроразвиваю- щейся областью римановой геометрии.

Для чтения этой книги предполагается лишь знание простейших сведений из анализа, линейной алгебры и топологии. В первых трех параграфах мы излагаем локальную теорию дифференцируемых и римановых многообразий с линейной связностью в объеме, необходимом для применения к глобальным задачам. В последние годы были заполнены многие пробелы в литературе, однако подходящего для наших целей изложения основ дифференциальной геометрии пока нет. Таким образом, эта часть книги может также служить введением в дифференциальную геометрию.

В следующих двух параграфах рассматриваются экстремальные свойства геодезических и естественная метрическая структура риманова многообразия. После этого мы обращаемся к глобальным задачам, которым посвящены § 6 и 7.

В приложении изложены некоторые вспомогательные результаты, используемые в основном тексте. Мы старались сделать изложение материала как можно более элементарным и по возможности избегали ссылок на другие книги; вычисления прово-

88Предисловие

8

8

дятся везде простым инвариантным методом. С другой стороны, там, где это, на наш взгляд, необходимо, мы дополнили текст комментариями, содержащими дальнейшие результаты, а также рядом примеров и примечаний, предлагаемых в виде задач. Весь этот дополнительный материал помещается в конце каждого раздела в замечаниях.

Мы выражаем сердечную благодарность профессору П. Домбровскому (Кельн) за многочисленные указания, а также благодарим д-ра X. Кархера (Берлин) за ценные замечания при корректировании первоначального текста.

Наконец, мы весьма обязаны издательству Шпрингера, принявшему нашу рукопись для издания в серии „Lecture Notes".

Детлеф Громол, Вильгельм Клингенберг, Вольфганг Мейер

Беркли — Принстон — Бонн, сентябрь 1967 е.

Дифференцируемые многообразияи отображения

Определение дифференцируемого многообразия

Пусть R" — векторное пространство над полем действительных чисел R, состоящее из всех упорядоченных систем действительных Чисел (pi, ..., р厶)i)・ Пространство R1 мы отождествим с векторным пространством поля R и будем также обозначать через R.

Пусть G — открытое множество R". Отображение f: G ->Rft задается k действительными функциями — компонентами f. Если все компоненты f имеют частные производные всех порядков на G, то отображение f называется дифференцируемым. Отметим, что, если не оговорено противное, „дифференцируемость" в этой книге понимается в смысле существования производных любого порядка. , Хаусдорфово пространство М, обладающее счетной базой, называется n-мерным топологическим многообразием, если оно локально гомеоморфно R", т. е. каждая точка пространства М обладает окрестностью, гомеоморфной曰2).

Пусть М — n-мерное топологическое многообразие. Картой или системой координат на М называется гомеоморфизм х некоторого открытого подмножества М на открытое подмножество R'. Множество карт 班 называется дифференцируемым атласом на М, если выполнены следующие условия:

Каждая точка М принадлежит области определения некоторой карты尤三班.

Для любых двух карт %, у w 班 отображение у ° х"1 дифференцируемо з).

Пусть й — дифференцируемый атлас на М. Карта 工 на М называется согласованной с 班,если 班U｛尤｝ также составляет диф-

')Номера координат в этой книге, как правило, записываются в виде верхних индексов. Однако номера чисел 〃 записываются снизу, поскольку эти числа представляют собой выделенные координаты в R% служащие для определения пространства. — Прим, перев.

Последнее свойство называется также локальной евклидовостью топологического пространства М. — Прим, перев.

Композиция отображений имеет максимальную область определения, в которой она может быть построена; если х, у определены соответственно на U, V. то у。％-' таким образом, определена на х (J7 Q V). Это открытое множество Может быть пустым, в таком случае у°х~~г есть пустое отображение (естест- Ненно, рассматриваемое как дифференцируемое). '

ференцируемый атлас на М. Если 3)? — множество карт, согласованных с Я, то Я U 3W есть также дифференцируемый атлас на Mt 弘 называется дифференциальной структурой на М, если каждая согласованная с ?1 карта принадлежит 亚.Каждый дифференцируемый атлас однозначно определяет дифференциальную структуру, карты которой с ним согласованы, а именно множество всех согласованных с ним карт.

Дифференцируемое многообразие есть объект, состоящий из топологического многообразия и заданной на нем дифференциальной структуры. Если М — дифференцируемое многообразие, то картой на М называется карта дифференциальной структуры М.

В дальнейшем М всегда будет обозначать дифференцируемое многообразие размерности п. Под словом „карта*6 будет подразумеваться „карта дифференциальной структурыи.

Замечания

Пусть G — открытое подмножество дифференцируемого многообразия М с индуцированной топологией. Атлас из всех карт Mt области определения которых принадлежат G, составляет дифференциальную структуру на G.

Если М = Rn, то карта х = id (тождественное отображение) составляет атлас {х}, определяющий дифференциальную структуру на G; эта дифференциальная структура называется канонической.

Пусть р>0 и M = S£ = {p: peRn+1, ||р|| =(£ 内)’=р卜 Sp с индуцированной из Rn+1 топологией называется «-мерной сферой с центром 0 радиуса р; S“ = Sf называется также стандартной п-мерной сферой, или просто 孔-мерной сферой. Мы укажем две карты х, у на S£， составляющие дифференцируемый атлас и определяющие, тем самым, дифференциальную структуру. Обозначим через pN северный полюс сферы (0, ..., 0, р) и через ps южный полюс (0, 0, . .., — р); тогда на множествах U = Sp\ {р^ У = Sp \ {pj определены стереографические проекции %： UfR" из северного полюса и у: IZ -> Rn из южного полюса:

2=1, .. -, и. Отображения х, у суть гомеоморфизмы, и „замена карт"

дифференцируема, поскольку x(U (]V) = y(U П V) = Rn\ {о}.

Поскольку топологическое многообразие локально линейно связно, то в этом случае понятия связности и линейной связности

совпадают; компоненты связности М открыты и замкнуты в М, Вместо требования существования счетного базиса можно было бы ：более общим образом предполагать многообразие паракомпактными (см. разд. 8.2). Это адекватное понятие, позволяющее производить основные построения, такие, как „разложение единицы44 (см. разд. 8.3). Примером связного, но не паракомпактного многообразия (а следовательно, и без счетного базиса) является „длинная прямая" Q X [0, 1) \{(о X 0), снабженная топологией упорядоченности по отношению к лексикографическому порядку, где Q — вполне упорядоченное счетное множество с первым элементом ①, все отрезки которого не более чем счетны (например, так называемый второй порядковый класс Кантора). Известен также пример „поверхности Прюфера44 (см. Неванлинна Р., Униформизация, М，, 1955). Локально евклидово, но не хаусдорфово пространство можно получить „удвоением точки44 в R". Для этого берется точка g 三 R\ и в топологической сумме (R“ X {0})U(R“ X ⑴)точки (р, 0), (р, 1) отождествляется в том и только том случае, если р =。抬 д. Полученное таким образом пространство локально гомеоморфно Rn, но точки (q, 0), (q, 1) неотделимы.

(V) Покажите, что подпространство M = {p: р ^ R2, р2^ 0> Р](р： —砲=0} пространства R2 не локально евклидово, тогда как М\{0} и {р: р 三 М, Pi》0} локально евклидовы.

(vi) Пусть М, А/"—.топологические многообразия равной размерности dim М = dimN = п. Тогда, как можно доказать, непрерывное инъективное отображение f: M->N открыто; в частности, f(M) открыто в N н определенное на подаространстве f (Л4) обратное отображение 厂】непрерывно; таким образом, f есть гомеоморфизм М на f(M)・ Эта теорема вытекает (каким образом?) из соответствующего утверждения для частного случая М = N ^ Rn, которое нетривиально („сохранение областей при инъективных отображениях R"f R"“). Отсюда следует, что топологические многообразия разных размерностей не могут быть гомеоморфны. Таким образом, размерность многообразия есть топологический инвариант.

(vii) Пусть G — открытое подмножество Rn, г — один из символов 0, 1, 2, . .., оо, (о. Обозначим через C「(G, RA), r=l, 2, множество всех отображений f: G —>RA, для которых частные производные всех компонент до порядка г включительно существуют

и непрерывны; обозначим через С°° (G, RA) множество f|C「(G,k);

г=0

наконец, обозначим через С° (G, Rj множество всех аналитических отображений G в RA, т. е. таких, компоненты которых локально могут быть представлены степенными рядами. Элементы СГ(G, RA) называются также Сг-отображениямщ при этом С°-ото- Сражения суть непрерывные отображения.

Очевидно,

CJG, M)nCi(G, М)=> …=>C"G, M)nC，+YG, M) n … oC°°(G, M)nCs(G, Rs).

Покажите, что ни одно включение в этой цепи не является равенством. Дифференциальная структура на топологическом многообразии М в определенном выше смысле называется также С°°-структурой на М・ Аналогично определяется Сг-структура, как максимальный атлас ^-согласованных карт, а затем и ^-многообразие. Заметим, что С°-многообразия суть просто топологические многообразия; Сш-многообразия называются также аналитическими многообразиями»

Уитни доказал, что если на топологическом многообразии существует 0-структура, то на нем существует и Сш-структура; более того, из максимального С^атласа можно выбрать податлас Сда-согласованных карт (Whitney Н., Differentiable Manifolds, Ann. of Math., 37 (19 36), 645 — 680). Например, заданный в (iii) атлас на S^ есть (не максимальный) Сш-атлас. Таким образом, можно, не теряя общности, рассматривать сразу С°°-многообразия. Можно было бы рассматривать сразу аналитические многообразия, но делать это нецелесообразно, поскольку во многих рассуждениях и построениях требование аналитичности оказывается слишком жестким (поведение аналитической функции в целом, как известно, определяется ее поведением в сколь угодно малой окрестности одной точки!). ' .

Для всех размерностей /г^ 10 существуют топологические многообразия, на которых нельзя ввести никакой дифференциальной структуры. Первый пример такого рода был построен Кервером в 1960 г. Напротив, если размерность топологического многообразия М не больше 4, то на М существует дифференциальная структура,

Определение дифференцируемого отображения

Пусть М, ^ — дифференцируемые многообразия размерностей и, й и G — открытое подмножество М. Отображение f: G ->^ называется дифференцируемым, если для любых карт 尤 на М и у на ^ отображение у °f ° x~h R〃f R' дифференцируемо (при этом надо иметь в виду сказанное выше относительно области определения композиции отображений). При этом также говорят, что / „дифференцируемо в локальных координатах'1. Если Q —другое дифференцируемое многообразие размерности I м g： N f Q дифференцируемо, то и g о /: M->Q дифференцируемо. Для произвольного подмножества / иМ отображение ft A->N называется дифференцируемым, если / можно продолжить до дифференцируемого

отображения, определенного на некотором открытом множестве

Отображение f: MfN называется диффеоморфизмом М на М если f биективно и оба отображения 九厂】дифференцируемы. При этом ff также является диффеоморфизмом и композиция двух диффеоморфизмов есть опять диффеоморфизм; диффеоморфизмы М на М образуют группу. Карта х с областью определения U и М диффеоморфно отображает U на x(U)uR)

Пусть Л — подмножество М; обозначим через 咅 力 множество определенных на Л дифференцируемых функций с действительными значениями (если % не открыто, дифференцируемость на Л означает, как было указано выше, существование дифференцируемого продолжения f на открытое множество G Л). Функции [из 咅力 естественным образом складываются и умножаются на действительные числа: если f, g ^^ А, а е R, то для всех р е Л 篁меем (f+ g)(p) = f (p) + g(p) и (af)(р) = af (р) по определению. Тем 'самым 咅力 превращается в векторное R-пространство. Более того, обычное умножение (fg) (р) = f(p)g (р) для всех р е Л превращает 咅力 в алгебру над полем R (сокращенно в R-алгебру) и, в частности, в кольцо. Если х — карта с областью определения U9 то координатные функции d (Z-е компоненты х) принадлежат, очевидно,咅 U・

Для открытого подмножества G и М н точки р ^ G рассмотрим идеал gp G всех функций из алгебры 咅 G, которые обращаются в нуль в некоторой (зависящей от функции) окрестности р.

Рассмотрим факторалгебру ^PG = g G^ G; ее элементы называются ростками функций, заданных в G, в точке р. Каждый такой росток есть класс функций из 咅 G; при этом две функции из g G считаются принадлежащими одному ростку в р, если существует такая окрестность точки р, в которой эти функции совпадают. Далее, ограничение функций нз 咅 М на G канонически индуцирует изоморфизм х: ^РМ ->5PG; в самом деле, для каждой f w^G существует такая gw^M, что g н f совпадают в некоторой окрестности р. Чтобы это доказать, возьмем,согласно разд. 8.3, функцию qp ^gM, равную 1 в некоторой окрестности р, носитель которой лежит в G; тогда можно положить g (q)=屮(q) f (q) для qwG н g(q) = 0BHe G. Заметим, что на аналитические функции зто утверждение не распространяется (см. замечание (i)).

Замечания

Пусть М, N — С5-многообразия, sw{0, 1,…，8, (о}, и G — открытое подмножество М, тогда естественно рассматривать Для r&s класс Cr(G, N) всех Сг-отображений f: G->^, таких,

что у ° f q 广、есть Сг-отображение евклидовых пространств при любых картах %, у из С5-структур М, ^. Таким образом, опять возникает цепь собственных включений С。(G, N) п С (G，N) п …

nC“G, N).

Как уже было сказано, мы рассматриваем везде случай г = =s = оо, чтобы по возможности упростить формулировки.

Покажите, что карты ;q = id и %?： Rf R, заданная формулой & (/) = £, определяют на R различные дифференциальные структуры, однако полученные дифференцируемые многообразия диффеоморфны. Вообще если на топологическом многообразии М существует хотя бы одна дифференциальная структура (см. 1.1, замечание (vii)), то их существует бесконечное множество, но соответствующие дифференцируемые многообразия большей частью диффеоморфны, как и в предыдущем примере. (Для любого гомеоморфного, но не диффеоморфного отображения tp: М -^М и любого дифференцируемого атласа 51{" на М можно построить атлас 班1{%。屮}, х е= $1, определяющий новую дифференциальную структуру на М, но дифференцируемое многообразие, диффео- морфно исходному.) Милнор впервые обнаружил, что существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные дифференцируемые многообразия. Например, как он показал, существует в точности 28 дифференцируемых многообразий, гомеоморфных S7, но попарно не диффеоморфных друг другу (Milnor J., Differentiable structures on spheres, Am. J. Math., 81 (1959), 962 — 972). Однако если dim M = dim ^ ^ 3 и дифференцируемые многообразия M, N го- меоморфны, то они диффеоморфны.

Дифференцируема ли функция f: Sp->R, заданная фор- 1

мулой f(p)=工 р»? Покажите, что отображение Л： Sff S$, за- (=i

данное формулой 力(р)=—рр, есть диффеоморфизм.

Касательные векторы и касательные пространства

Пусть М. —/г-мерное дифференцируемое многообразие и р s Л1. Касательным вектором к М в точке р называется отображение V： gAff R, обладающее следующими свойствами:

。(М + Bg) = a。(力 + в。(g),(1)

。(fe) = v(f)g (р) + f (р) и (g),⑵

где а, 0wR, f, g

Точка p называется начальной точкой вектора и. Таким образом, касательный вектор к Л1 в точке р есть, согласно (1), линейный функционал на векторном R-пространстве § М, обладающий свойством дифференцирования (2). Если определить для касательных векторов с начальной точкой р сложение по правилу

(и + 5)(力=и (f) + 5 (f) и умножение на числа по правилу (av) (f)= ₽av (f), то множество всех таких касательных векторов Мр превращается в векторное R-пространство, называемое касательным пространством к М в точке р.

Абстрактное определение касательного вектора можно мотивировать следующим образом. Каждому „классическому вектору" и в R延 соответствует функционал и (f), удовлетворяющий (1), (2), который сопоставляет каждой дифференцируемой функции на R" ее производную в начальной точке и в направлении и. Если с: [0,1] —> R延 дифференцируемое отображение, для которого с (0) = и, то только что упомянутый функционал представим в виде и (f)= = D(f ℃) |0, где D\o — обычная производная в точке 0. Таким образом, D(f ос) не зависит от выбора с при фиксированном v. Назовем дифференцируемым путем на М дифференцируемое отображение с: J^ Mt где / — невырожденный интервал R. Назовем дифференцируемые пути q： [0, 1] —> Л4 (月=1, 2) эквивалентными, если у них общая начальная точка q (0) = %(0)=卩 и для некоторой (а следовательно, и для любой) карты х, область определения которой содержит р, имеет место D ⑴。cJb = D(xl ° c2)|0 (z = 1, ..., n).

Пусть v — некоторый класс эквивалентности по этому отношению. Тогда, как мы покажем ниже (разд. 1.4), для эквивалентных с〔 с2 справедливо D (f ° cJIq = D(f о с2)|0, и можно определить функционал V формулой v(f) = D (f о c)|Oj cw и. Как мы увидим, полученный функционал обладает свойствами (1), (2), т. е. является касательным вектором к Л4 в точке, и любой касательный вектор может быть получен таким образом.

Для функции 1 wgM (тождественной единицы) из (2) следует и (1) = и (i • 1) = и (1) + и ⑴，так что и (1) = 0. Поскольку и линеен, для любой постоянной функции а^^ М имеем v (а) = 0.

Лемма 1

Усл. f, g принадлежат одному ростку из gp(M), v Mpt Утв. u(f) = u(g).

Док. Пусть f и g совпадают в некоторой окрестности U точки р, тогда h = f — g обращается в нуль в U. Достаточно показать, что и (力)= 0. Построим, как и в разд. 1.2, функцию (pw/M, обращающуюся в 1 в некоторой окрестности V точки р, причем носитель ф лежит в U. Тогда фй = 0 ^ 5Л4, откуда в силу (2) имеем г(Ф)й (р) + ф (р) V (Л) = 0, или, что то же самое, и (力)= 6.

В силу доказанной леммы функционал и принимает постоянное значение на каждом ростке 守卩〃，и его можно было бы сразу определить как функционал, заданный на 吕卩〃，причем свойства (1) и (2) относились бы к росткам f, g. Если G — открытое подмножество М? содержащее р, то канонический изоморфизм

х： 8卩MfgpG (см. разд. 1.2) позволяет установить изоморфизм Мр и Gp (вектор и ^ Мр рассматривается как функционал на 晋卩М и переносится на ^PG с помощью формулы % = 0。乂一1). Тем самнм мы получаем некоторый касательный вектор и0 к дифференцируемому многообразию G (см. замечание (i) разд. 1.1) в точке р, который мы для краткости будем обозначать снова через и. Итак, можно определить действие векторов из Мр на функции f из 舌G, где G — любая окрестность р; в дальнейшем мы будем пользоваться записью и (/) в этом смысле.

Пусть % —карта, определенная в окрестности р (т. е. такая, область определения которой содержит р). Определим касательные векторы ~^у| «= 1,…，п) в точке р по формуле

(力=口("*1儿(/.

Проверка свойств (1), (2) не представляет затруднений. Вместо 1 (/) мы будем писать также ・

дх I卩дк1 |р

Лемма 2

Усл. р ^= М, х — карта, определенная в окрестности р.

У"俞。У"俞。Утв. Каждый касательный вектор и 三 Мр однозначно представим 8 виде линейной комбинации

У"俞。

У"俞。

⑶⑶V =

⑶

⑶

где £=0年).

Таким образом, касательные векторы —^1 составляют базис касательного пространства М卩.В частности,

dim Мр = dim М = nt

Док. Пусть U — открытый шар с центром в 0 м R". Если(pw^U и 屮(0) = 0, то существует п функций 也三晋。，таких, что

п

<р (〃)= £ 储必(〃).⑷

Их можно построить по формуле 也(〃)=j D/(tu)dt, тогда, о

очевидно, 口屮 1产 屯(О). При этом существенно, что наши функции ~ класса С°°, иначе бы терялся один порядок дифференци-

D Di означает частную производную по № в R". В случае 拉=1 обычная производная обозначается большею частью через Р.

руемости. Можно считать, что 尤(р) = 0. Если fw^Af, то в шаре U можно представить "厂\ согласно (4), следующим образом:

"尤т (%) = 2 〃冠(〃)•

Тогда, обозначая координатные функции карты х через х\ имеем

*т (U)*т (U)

*т (U)

*т (U)

дхдх(尤『) = 6| (символ Кронекера) получается однозначность пред-(尤『) = 6| (символ Кронекера) получается однозначность пред-ставления. Тем самым лемма доказана.ставления. Тем самым лемма доказана.

дх

дх

(尤『) = 6| (символ Кронекера) получается однозначность пред-

(尤『) = 6| (символ Кронекера) получается однозначность пред-

ставления. Тем самым лемма доказана.

ставления. Тем самым лемма доказана.

Из (1) и (2) теперь следует

О (f) = О (f (т(S)=工 О (公)电(0)=斗 W)鼎［(f).

Касательные векторы —г дх1Касательные векторы —г дх1линейно независимы, так как из

Касательные векторы —г дх1

Касательные векторы —г дх1

Если х, у — карты, определенные в окрестности р ^ М, то касательные векторы, вообще говоря, имеют различные представления относительно этих карт; докажем следующее правило преобразования базисных векторов:

訊="訊言訊="訊言, г = 1, ..., п., г = 1, ..., п.(5)(5)

訊="訊言

訊="訊言

, г = 1, ..., п.

, г = 1, ..., п.

(5)

(5)

Для этого представим вектор к функции xk доказано.Для этого представим вектор к функции xk доказано.^|рввиде|；а/^_|р(々=1, ..., л); получаем^|рввиде|；а/^_|р(々=1, ..., л); получаеми применим этот畤=醬 L，и(5)и применим этот畤=醬 L，и(5)

Для этого представим вектор к функции xk доказано.

Для этого представим вектор к функции xk доказано.

^|рввиде|；а/^_|р

(々=1, ..., л); получаем

^|рввиде|；а/^_|р

(々=1, ..., л); получаем

и применим этот

畤=醬 L，и(5)

и применим этот

畤=醬 L，и(5)

Замечания

Покажите, что отображение Cr (М, R) —> R, обладающее свойствами (1), (2), тождественно равно нулю при г = 0, тогда как при 0 < г < оо соответствующее векторное R-пространство бесконечномерно,

Чем отличается множество U Мр от множества всех ото- р^м

бражений ^Mf R, удовлетворяющих условиям (1), (2) при любой р^М?

Рассмотрим на S% карту у (см. разд. 1.1, замечание (iii)). Отображение 工(卩)=(仍，…，prt) задает другую карту на верхней полусфере 〃+ = {р: ре Sp, prt+i>0). Выразите для pwH± касательные векторы —г через ―г и обратно.

р ду1 |р

Индуцированные отображения

Фундаментальное свойство дифференцируемых отображений состоит в том, что локально они могут быть линеаризованы. Рассмотрим дифференцируемые многообразия Mt N размерностей п,瓦 Пусть G — открытое подмножество 兩；f: G —> TV — дифференцируемое отображение. Для каждой точки "®G отображение f индуцирует линейное отображение М касательного пространства Мр в касательное пространство 妆切 по формуле

(力初@)=0(中。f),⑴

о е Mpj (pw/N. В литературе вместо f*p употребляются также обозначения %, Df | Jh Tpft

Пусть х — карта, определенная в окрестности р; у —карта, определенная в окрестности f(p)・ Согласно (3) разд, 1.3, имеем

=2。(J。力3 •⑵

М ду f(p)

Если и = £а'^у| , то 。(八 f)= ?? У；')I ^то значит» что линейное отображение 儲 по отношению к выбранным бази-

д Iд I丄и

сам —г , соответственно —г, задается функциональной

0炉 以0" If (p)

матрицей (матрицей Якоби) отображения у。/。％-】в точке х(р).

Тождественное отображение id: М-> М индуцирует для каждой точки р тождественное отображение Мр, так как из (1) вытекает G“)(f) = J("id) = z(f):

id*pd = d・(3)

Если Q — другое дифференцируемое многообразие размерности / и g: ATf Q дифференцируемо, то из (1) следует цепное правило:

(g°f\p = g.f(p)°f^⑷

Если f: M~^N диффеоморфизм, из (3) и (4) вытекает, что f^p: Afpf М(р) биективно и (f^)"1 = (f^^fp)» В частности, dimAfp = =dimATf(p), откуда dimAf = dim TV.

Если А — произвольное подмножество М р ^ A, f: A^N дифференцируемо и все векторы v ^ Мр определены на 咅4 (см. разд. 1.3), то мы получаем индуцированное линейное отображение Mp^Nf(Р).

Каждое n-мерное действительное векторное пространство обладает естественной дифференциальной структурой, порождаемой атласом всех изоморфизмов векторных пространств Ef RL Для каждого и wE можно и в этом случае рассматривать касательное пространство Е^ к Е в точке v. Мы построим канонический изоморфизм

几：EfE° (5)

(„отождествление посредством параллельного сдвнга"), который, естественно, будет также диффеоморфизмом. Для каждого вектора aywE рассмотрим прямую 九：Rf Е, заданную формулой 九(£)=? +/з, н положим Ivw = K^D |0, где D ^ — базисный вектор касательного пространства R к R в точке £ относительно карты id. Тогда для изоморфизма х:启―R' векторных пространств имеем, согласно (2),

/開=九* Ь = £ Q (炉。九)Ь今I =

=£0(储⑻ + /? (w)) I。今 L = £ d (妨君。, так что инъективно и R-линейно.

Если E = R* то l^ei = Dt |у, где е, есть г-й вектор канонического базиса R", a Dt |u = ~f| соответствует карте х = id, т. е. является 厶й частной производной в точке zwR".

Если с: [0, 1] ^ А/ — дифференцируемый путь, и с (0) = р, то в силу (1) для Dq = D\q имеем

(^ \QDQ)f^D(foC) |0.

Следовательно, для любого с формула и (f) = Q (f。с)卜 определяет вектор из Мр (см. разд. 1.3). Если q, с2 — эквивалентные пути, то по определению эквивалентности имеем

(S* b °о)尤"=(匕2* b °о) %", г = 1, ..., м,

и из (3) разд. 1.3 вытекает, что с[л |0 DQ = ^ 1о ^о или, что то же самое, Q (f。q) Ь = Q (f。c2) Io- Наконец, любой вектор v ^ Мр может быть представлен в виде v = с+10 DQ. Так как. х~Ч x(U)^ [7 —диффеоморфизм и для любого пути с: [0, l]f R" выполняется (工-1。我=(工7)*霓,достаточно рассмотреть случай М = R； Если

то путь c = (pi + а'/, ...» Рп + а? удовле-

творяет нашему требованию:

("* b А) 〃‘ = D (〃/0 c) Io = a厶/ — 1, ..., м.

Таким образом, мы проверили корректность геометрической интерпретации касательного вектора, приведенной в разд. 1.3.

Замечания

Зададим спираль с: R->R3 при р, a >0 формулой c(f) = = (pcosf, р sin /, а/). Найдите с/ и Iclt^^t относительно канонической карты id. ,Пусть G — открытое подмножество М, pwG и fw/G. Линейная форма dfp на Мр> заданная формулой (dfp) (v) = v (f) для v ^ Mpj называется дифференциалом f в точке р. Покажите, что dfp = I心。％р. Каков смысл в случае Af = R записей %, Df \Р-Г(Р\ 端？Пусть р^ М, х — карта на М, содержащая р. Покажите, что отображение х: М。一* R\ заданное формулой х (v)=Зададим спираль с: R->R3 при р, a >0 формулой c(f) = = (pcosf, р sin /, а/). Найдите с/ и Iclt^^t относительно канонической карты id. ,Пусть G — открытое подмножество М, pwG и fw/G. Линейная форма dfp на Мр> заданная формулой (dfp) (v) = v (f) для v ^ Mpj называется дифференциалом f в точке р. Покажите, что dfp = I心。％р. Каков смысл в случае Af = R записей %, Df \Р-Г(Р\ 端？Пусть р^ М, х — карта на М, содержащая р. Покажите, что отображение х: М。一* R\ заданное формулой х (v)==(V (х1), ..., V (хл)),^сть карта векторного пространства Мр, пере-=(V (х1), ..., V (хл)),^сть карта векторного пространства Мр, пере-водящая базисный векторводящая базисный векторотображает —? дх1(/ = 1, ..., и).отображает —? дх1(/ = 1, ..., и).割,割,g三R*g三R*И что /0: Мр -> (Мр)0И что /0: Мр -> (Мр)0ррв базисный векторв базисный векторд0#д0#пространства (Мр%пространства (Мр%

Зададим спираль с: R->R3 при р, a >0 формулой c(f) = = (pcosf, р sin /, а/). Найдите с/ и Iclt^^t относительно канонической карты id. ,

Пусть G — открытое подмножество М, pwG и fw/G. Линейная форма dfp на Мр> заданная формулой (dfp) (v) = v (f) для v ^ Mpj называется дифференциалом f в точке р. Покажите, что dfp = I心。％р. Каков смысл в случае Af = R записей %, Df \Р-Г(Р\ 端？

Пусть р^ М, х — карта на М, содержащая р. Покажите, что отображение х: М。一* R\ заданное формулой х (v)=

Зададим спираль с: R->R3 при р, a >0 формулой c(f) = = (pcosf, р sin /, а/). Найдите с/ и Iclt^^t относительно канонической карты id. ,

Пусть G — открытое подмножество М, pwG и fw/G. Линейная форма dfp на Мр> заданная формулой (dfp) (v) = v (f) для v ^ Mpj называется дифференциалом f в точке р. Покажите, что dfp = I心。％р. Каков смысл в случае Af = R записей %, Df \Р-Г(Р\ 端？

Пусть р^ М, х — карта на М, содержащая р. Покажите, что отображение х: М。一* R\ заданное формулой х (v)=

=(V (х1), ..., V (хл)),^сть карта векторного пространства Мр, пере-

=(V (х1), ..., V (хл)),^сть карта векторного пространства Мр, пере-

водящая базисный вектор

водящая базисный вектор

отображает —? дх1

(/ = 1, ..., и).

отображает —? дх1

(/ = 1, ..., и).

割,

割,

g三R*

g三R*

И что /0: Мр -> (Мр)0

И что /0: Мр -> (Мр)0

р

р

в базисный вектор

в базисный вектор

д0#

д0#

пространства (Мр%

пространства (Мр%

Теоремы об отображениях

Согласно предыдущему разделу, дифференцируемое отображение может быть линеаризовано в окрестности любой точки. Из алгебраических свойств индуцированного отображения часто можно вывести свойства самого заданного отображения.

Пусть М, N — дифференцируемые многообразия размерностей п и k, О — открытое подмножество М, f: G -^N — дифференцируемое отображение. Рангом f в точке р называется ранг линейного отображения f*p： MpfNf(p), т. е. размерность образа f#p.

Из элементарного анализа известна следующая

Теорема (Обращения)

Усл. О — открытое подмножество R“； f: G —>Rn — дифференцируемое отображение.

Утв. Если f имеет максимальный ранг (= п), то существует такая окрестность U точки р, что f |口 есть диффеоморфизм U на некоторую окрестность точки f(p).

Напомним, что все отображения здесь принадлежат классу С°°. Для дифференцируемых многообразий отсюда следует

Лемма 1 (Теорема обращения на многообразиях)

Усл. М, У — дифференцируемые многообразия равной размерности n; G — открытое подмножество М; f: G —> У — дифференцируемое отображение,

Утв. Если f имеет в точке р максимальный ранг (= п), то существует такая окрестность U точки р, что f 必 есть диффеоморфизм U на некоторую окрестность точки f(p).

Док. Достаточно рассмотреть карты х и yf определенные соответственно в окрестностях р и f (р), применить теорему обращения к у °f °х~! и воспользоваться тем фактом, что х, z/ —диффеоморфизмы.

Лемма 2 (Теорема о неявных функциях)

Усл. G — окрестность точки OwR"; f: G ->Rk — дифференцируемое отображение f (0) = 0; i: R“一>R' (n^k) есть инъекция, т. e. отображение, заданное формулой i(〃* ..., 〃“)= =(u1, ..., un, 0, ..., 0); л: Rn-> Rk (孔》月)есть проекция, г. е. отображение, заданное формулой л (и1,..,, 〃门)= =(〃1 • • •,必).

Утв, (а) Если 孔&月 и f имеет максимальный ранг ( = п) в точке 0, то существует такая карта g в R*, содержащая 0 в области определения, что в некоторой окрестности 0 三 R"

g。『(〃) = "〃)・

(b) Если 孔》月 и f имеет максимальный ранг ( = k) в точке 0, то существует такая карта А в Rn, содержащая 0 в области определения, что в некоторой окрестности 0 三 R"

f о h(u) = л (и).

Док. (а) По предположению rang (D^ (q)^；^ = п. Пусть det(D/［o)［《j /《门#=0; продолжим f до дифференцируемого отображения 尸：G 义 RWi->R* по формуле

尸(办，ufe) =/(«', • • •> "") + (0,…，0, ""+1,/?).

Тогда det (。尸［/у /у= det(£> j|o)y.H“，O и по теореме обращения локально существует обратное отображение g для 尸, причем

g of (〃)= g。尸。&(〃)= &(〃)・

(b) Предположим, что det (D,/7 卜｝*,,,《玄у=0, и определим дифференцируемое отображение 户：G -> Rn по формуле

尸(屈，”)= (尸(以….，产(叫d+i, 吟.

Тогда det^D.F1 ^)^； /&及*° и по теореме обращения локально существует обратное отображение h для F, причем

f ° h(u) — л ° F ° h(u) = л (〃).

Подмногообразия

Часто дифференцируемые многообразия не задаются абстрактно, а лежат в других объемлющих многообразиях, например в евклидовых пространствах, как сфера Sp в R"。Это может быть существенно во многих вопросах. Рассмотрим дифференцируемые многообразия М, N размерностей п,月. Дифференцируемое отображение f: М f N называется погружением, или иммерсией, если при всех р^М индуцированное отображение ；р： 乂卩―介〃р)инъективно. Таким образом, / может быть погружением лишь при n《k・ Дифференцируемое вложение М в N есть погружение, гомеоморфно отображающее М на некоторое подпространство М Если М компактно („замкнуто** в старой терминологии; иногда некомпактные многообразия не очень удачно называют также „открытыми^), то каждое инъективное погружение есть вложение. Отображение f: М ~> N является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда f есть сюръективное вложение, как это вытекает из лемм 1 и 2 разд. 1.5.

Лемма 1

Усл. f: М f N есть погружение (при этом, конечно, п Wk), pwM. Утв. Существует такая окрестность U точки р w такая карта у на N с областью определения V^f (р), что

(1)夕+1 (g)= ... = у气g) = 0 для всех gwU Af 3),

flu есть дифференцируемое вложение.

Таким образом, каждое погружение локально является дифференцируемым вложением. Если М — топологическое многообразие, N — дифференцируемое многообразие и f: MfN, то существует, как это следует из леммы 1, не более чем одна дифференциальная структура на М, для которой f является погружением.

Док. Пусть г R" f R' — инъекция и n: R‘ f R" — проекция, определенные в лемме 2 разд. 1.5. Построим карту х, определенную в окрестности р, на М, такую, что х (р) = 0, и карту у, определенную в окрестности f(p), на N, такую, что 歹。f(p) = O・ Тогда y°f ° х"1 имеет в точке 0 максимальный ранг ( = п); в саМОМ деле, отображение (у °f ° x~l\x{p) = ^f (р) ° fip о х~^р) инъективно, поскольку f*p инъективно и 鳩户 ^(р)~" изоморфизмы векторных

пространств. Согласно лемме 2 (а) разд. 1,5, существует такая карта g на Rfe, определенная в окрестности 0, и такая окрестность точки OwR", что g ° y°f ° х'11^ = l |^. Положим U =

х""1 (W). Карта у = g° у определена в окрестности У = f。х""1 [W) точки f(p)wR*. Очевидно, выполнено (1), а (2) справедливо, так как f\u=^y~lotox\u.

Если множество точек М содержится во множестве точек N и включение i: MuN есть дифференцируемое вложение, то М называется дифференцируемым подмногообразием N, (М снабжено при этом топологией, индуцированной N. Часто отказываются от требования, чтобы подмногообразие имело индуцированную топологию, :требуя лишь, чтобы включение было погружением, ср. замечание (iv) разд. 1.7.)

Если М — подмногообразие N, то для каждой точки pwM существует карта у на N с областью определения У^эр, такая, что

У“+‘(9)= … =y'(q) = 0 Для всех gwb П ЛЕ (3)

Это утверждение следует из (1). Так как М снабжено индуцированной из N топологией, то существует такая окрестность U точки р в М н такая окрестность V точки р в N, что U = Uf]".

Пусть М — дифференцируемое подмногообразие М Q — еще одно дифференцируемое многообразие и f: ^ -^Q — дифференцируемое отображение. Тогда f |初 дифференцируемо по отношению к дифференциальной структуре М, так как для вложения 储 Mf N имеем f [и = f。L.

Пусть f: M f N — дифференцируемое вложение. Множество f (М), как подпространство N> является гомеоморфным образом М, т. е. топологическим многообразием. Обозначим через 立 дифференциальную структуру на М, тогда {х。/-】：％三吸} есть дифференциальная структура на f(M) и легко видеть, что f (М) становится при этом дифференцируемым подмногообразием N.

Пусть f: М->Л^ — дифференцируемое отображение. Точка р^М называется регулярной точкой f, если f#p: Mp-^Nf{p} сюръективно, в противном случае р называется критической точкой f. Отображение f может иметь регулярные точки лишь при n^k. Далее, q ^N называется регулярным значением f, если каждая точка pwf7({g}) является регулярной точкой f, в противном случае q называется критическим значением f. Ясно, что каждая точка q wN, не принадлежащая f (М), является регулярным значением f (так как ее прообраз пуст).

Как мы видели в (3), каждое подмногообразие локально может быть представлено как множество нулевых точек некоторого отображения в евклидово пространство. Обратно, прообраз точки (подмногообразия) при дифференцируемом отображении есть снова

дифференцируемое подмногообразие, если наложить на отображения надлежащие требования регулярности. Заметим, что именно прообразы, а не образы дифференцируемых многообразий оказываются в предположениях регулярности опять дифференцируемыми многообразиями. Это не только важно для построения новых многообразий, но и часто облегчает доказательство того, что известные пространства имеют структуру многообразия. Для этой цели служит

Лемма 2

Усл.Утв.Усл.Утв.f: М — N — дифференцируемое отображение', dim М ^ п, dimA/" = ^ и q ^f (М) есть регулярное значение f (так что и^й).

Усл.

Утв.

Усл.

Утв.

Множество /-i(q) с индуцированной из М топологией

есть топологическое многообразие Л размерности и — й. Далее, на Л существует однозначно определенная дифференциальная структура, относительно которой Л оказывается дифференцируемым подмногообразием М.

Док. Возьмем карту у с областью определения V ^ qt такую, что у (q) = 0. Для произвольной точки р^А = f~l (q) возьмем карту х с областью определения U m р, такую, что х (р) = 0. Отображение y°f ° х"1 имеет в точке 0 максимальный ранг ( = й); в самом деле, отображение 仅。f。%_1歳⑵=玖")。嚼。%工%)сюръективно, так как，*卩 сюръективно и х#р, у^(р) — изоморфизмы векторных пространств. Рассмотрим естественные проекции и инъекции

炉 X R"f

/ \\/冗I冗2W3/ \\/冗I冗2W3

/ \\

/冗I冗2W3

/ \\

/冗I冗2W3

заданные формулами

冗1(z?,一.，〃") =(储，..〃*),冗2(J以"),

12 (储^-^, ...,0,风…，/?书.

Согласно лемме 2(b) раздЛ.5, существует такая карта Л на R" с областью определения 呼三0, что

У ° f ° x 1。力品=冗1应

Выберем окрестность 诊 и 收 W) точки 0 三 戸一*; тогда

У。f。％Т О 力 О % 标=% о % Е = 0 匾

Отображение 2: W -> М, заданное формулой z = х"1。力。％ |r, отображает W гомеоморфно на некоторую открытую окрестность

точки р в Л. Множество Л с индуцированной топологией есть, таким образом, топологическое многообразие размерности n — k. Если построить подобную параметризацию 之 в окрестности каждой точки pw4, то карты 2T порождают на Л дифференциальную структуру. При этом включение i: AczM становится дифференцируемым вложением.

Замечания

Лемниската с: R—>R2, определенная формулой с(/) = =(sin f, sin 2/), есть погружение, равно как и с |(0,2л). Оба эти отображения не являются вложениями, хотя с|(о, 2冗)инъективно; в противоположность этому с 1(0, п) есть вложение.

Каждое открытое подмножество GuM с индуцированной естественным образом дифференциальной структурой есть (см. замечание (i) разд. 1.1) дифференцируемое подмногообразие М. При 孔&々 отображение (и1, ..., 〃")—>(£?, ..., 〃", 0, ..., 0) есть дифференцируемое вложение R尼.

Сфера S； есть дифференцируемое подмногообразие Rrt+I, так как 0 есть регулярное значение функции f: Rrt+I —> R, заданной формулой f (а) = а| + ... + а«+1 — р2, и Sp = f~[ (0). Покажите, что полученная таким образом дифференциальная структура совпадает с ранее определенной. Покажите, что замечание (iii) разд. L2 тривиально следует из результатов этого раздела.

Пусть f: М —>^ — дифференцируемое отображение и Q — дифференцируемое - подмногообразие N. Если i: QczN — включение, то можно отождествить касательное пространство Qq (q^Q) с линейным подпространством i^Q^ с: ^. Ф акторпррстранство NqIQq называется трансверсальным к Q пространством в точке д; естественная проекция обозначается лд: NqfNqQ* Отображение f называется трансверсально регулярным к Q в точке p^f~[ (Q), если продолженное отображение л/(р)° /*р (в трансверсальное к Q пространство в точке f(p)) сюръективно или, что то же самое, f*pMp и Qf(Р)вместе порождают Nf(p).

Докажите следующее обобщение леммы 2:

Если f трансверсально регулярно к Q во всех точках pw尸(Q), то 尸(Q) есть дифференцируемое подмногообразие М той .же коразмерности, что Q в ^> при f~[ (Q)#= 0.

Пусть М, ^ — дифференцируемые многообразия, Л — дифференцируемое подмногообразие М. Можно показать, что отображение £ Л—>^ в том и только том случае дифференцируемо по отношению к дифференциальной структуре Л, когда f дифференцируемо в смысле разд. 1.2, т. е. может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторого, содержащего А, открытого множества G (если при этом Л замкнуто в М, то можно взять в качестве G все М), Докажите это утверждение

в случае ^ = R, пользуясь (3) и надлежащим разложением единицы (см. разд. 8.3). Вместо определения, данного в разд. 1.2, можно использовать также следующее, более общее:

f называется дифференцируемым на произвольном множестве 4 и М, если для каждой точки р е Л существует такая окрестность U и такая функция gwgU, что g bnA^f Iuda-

Оба определения равносильны в случае, когда Л — дифференцируемое подмногообразие М. Заметим еще, что производные функций из 普4 в направлениях, касательных к Л, не зависят от способа продолжения на открытые в М множества.

Рассмотрим в заключение следующий случай. Пусть подмножество GuR" содержится и открыто в полупространстве

R+ = (р： pwR\ Рп》о}・

Легко видеть, что отображение Gf R* дифференцируемо в смысле разд. 1.2, если все частные производные его компонент существуют и непрерывны в G, причем в граничных точках (рп = 0) надо брать всегда правосторонние производные по р〃. При этом мы получаем также критерий дифференцируемости отображения G->N. Топологическое пространство называется n-мерным дифференцируемым многообразием W с краем dW, если оно локально гомеоморфно открытому подмножеству R： вместе с заданным на нем полным атласом, карты которого согласованы друг с другом. Край dW есть однозначно, определенное (л — 1)-мерное дифференцируемое многообразие без края, точки которого переводятся картами в точки Rrt-1 =(3R+， Если теперь Л — подмногообразие с краем в М той же размерности, что и М, то каждое дифференцируемое отображение f: Af N можно продолжить на некоторое открытое в М множество, и дифференцирование по локальным координатам в точках Л не зависит от способа продолжения.

Если Л — множество более общего вида, то вопрос о дифференцировании в граничных точках должен рассматриваться в каждом случае особо.

(V1) Уитни доказал в 1936 г.,、что каждое n-мерное дифференцируемое многообразие может быть вложено в R2rt+I как замкнутое подмногообразие. Тем самым класс „абстрактных11 дифференцируемых многообразий оказывается не шире класса дифференцируемых подмногообразий евклидовых пространств, и можно было бы ограничиться такими подмногообразиями. Это, однако, нецелесообразно. Многие внутренние задачи о многообразиях, т. е. такие, для формулировки которых не требуется объемлющее пространство, проще и лучше решаются внутренними методами, хотя иногда вложимость в другое многообразие может при этом оказаться полезной. Обратно, при решении относительных задач, в которых речь идет об отношениях между многообразием и

подмногообразием, иногда лучше забыть про объемлющее многообразие и рассматривать подмногообразие как абстрактное многообразие.

Произведение многообразий

Пусть М, ^ — дифференцируемые многообразия размерностей п,尼.Определим на прямом произведении пространств М X N дифференциальную структуру. Для этого рассмотрим сначала для карт 尤 на М и у na. N с областями определения U и М н V и N соответственно отображение 尤 X у: U XV -> R'十匕 заданное формулой (尤 X у)(р, 7)= (х (р), y(q)). Ясно, что х X у есть гомеоморфизм U XV на 尤(U) X y(V) и Н十匕 Для двух карт 尤' и / на Л1 и ^ соответственно имеем (Z X у')。(尤 X У)~'=(尤，。尤 *。У-4), следовательно, замена карт дифференцируема. Если 21 и 23 — дифференцируемые атласы на М, N соответственно, то 以 X 23 = {尤文 у:尤三扎 У 三 23} есть дифференцируемый атлас на М X N; таким образом, М X .V становится дифференцируемым многообразием, которое называется произведением многообразий М м N. При этом dim (М X N) = dim М 4- dim М

Естественные проекции 冗]и л2 на оба множителя

М X N

М N

определяются формулами Я] (р, q) = р, л2(р, q) = q. Проекции П), л2 дифференцируемы с максимальными рангами п,月 соответственно. В самом деле, для карт х na М и у na N отображения %0冗1。(尤 X у)-4, ^。冗2° (尤 X У)~' являются естественными проекциями на Rn, R* соответственно, которые дифференцируемы с максимальным рангом; остается применить (4) разд. 1.4 н простые соображения о рангах линейных отображений (尤，у и (х X 矿'一диффеоморфизмы).

Для р ^ М, q 三力 определены инъекции 户屮 /р

MXN

М

по формулам 力(“)= (；/, q) (/ ^ М), /р(/) = (р, /) “三“). Инъекции fq, /р дифференцируемы с максимальным рангом и тем Самым являются дифференцируемыми вложениями. В самом

деле, для карт х, у на М, N отображения (% X у)。»д。尤一‘, (хХ у)о jpo у~х суть естественные инъекции Rtt,-Rfe в R"** и, следовательно, дифференцируемы с максимальным рангом; таким образом, утверждение следует из (4) разд. 1.4 и простых соображений о рангах линейных отображений. Образы %(М), /р (Л^) суть замкнутые дифференцируемые подмногообразия М. X N、

Замечания

Цилиндр Sn~}xR диффеоморфен Sn с выколотыми полюсами.

Укажите явно этот диффеоморфизм, а также диффеоморфизм цилиндра и R"\{0}・

Покажите, что дифференцируемое отображение f: MfN индуцирует дифференцируемое вложение F: MfMXN по формуле 尸(р) = (р, f (р)). Дифференцируемое подмногообразие F(M) в М X 介 называется графиком f. Вложение 尸 трансверсально регулярно к каждому „слою** /р (N) и M X N во всех точках р^ М (см. замечание (iv) разд. 1.6). Таким образом, график дифференцируемого многообразия оказывается „гладким** (этот термин часто применяют и к дифференцируемым отображениям).

Напротив, образ f(М) в ^ может иметь „вершины**, ”ребра" и гораздо более сложные особенности, если f не дифференцируема с максимальным рангом. Образ погружения лишь локально „гла- доки, а в целом же может иметь „самопересечения**. Приведите соответствующие примеры.

Объект, состоящий из дифференцируемого многообразия и заданной на нем групповой структуры, называется группой Ли, если групповая операция совместима с дифференциальной структурой, т. е. отображение 卩：G X G G, заданное формулой 卩碌，且2)= &纭* дифференцируемо. Например, R" есть абелева группа Ли с векторным сложением. Представьте общую линейную группу GL (n, R) всех автоморфизмов векторного пространства R" каноническим образом в виде открытого подмножества R献 и получите отсюда, что GL (n, R) есть п2-мерная неабелева группа Ли. Покажите, что S1 с: R2 == С (здесь С — поле комплексных чисел и равенство означает изоморфизм векторных R-npo- странств) есть группа Ли относительно умножения комплексных чисел, по модулю равных I, и что Тп = Sl X …X S1 (п множителей) есть компактная абелева n-мерная группа Ли (зта группа называется n-мерным тором). Укажите каноническое вложение

в R叫

Покажите, что для любого ctwR отображение /: R-> 尸, заданное формулой f(/) = (e% 卅)，есть погружение, но не вложение; f инъективно тогда и только тогда, когда а иррационально; в этом случае образ f плотен в Г2.

Если а = plq и р, q — взаимно простые целые числа, то f „пе- риодично4* и образ f есть компактное дифференцируемое подмногообразие Г2, называемое торовым узлом типа (р, q). Каков его вид и что означают числа р, q?

(V)Важным обобщением произведения многообразий являются дифференцируемые расслоения, имеющие лишь локально структуру произведения.

■ Пусть Р, М, N — дифференцируемые многообразия. Сюръективное дифференцируемое (следовательно, с максимальным рангом) отображение л: Р—^М называется дифференцируемым расслоением расслоенного многообразия Р над базой М со слоем N, если для каждой точки р^ М существует такая окрестность U и такой диффеоморфизм х: л-1 (U)^ U X ^ („карта расслоения" или „локальная тривиализация"), который диффеоморфно отображает каждый слой л"1 (q) на {(7} X ^ (q 巨 U). Обозначая естественную проекцию U X 府 на U через 冗^， имеем л |л~1 ({/) = л^ о х; так как х — диффеоморфизм, а л^ дифференцируемо с максимальным рангом, то л дифференцируемо с максимальным рангом на L(U) и, следовательно, во всех точках Р. Если существует карта расслоения с U = М, то расслоение называется тривиаль- йым, Р диффеоморфно М X N, а л при этом диффеоморфизме переходит в естественную проекцию на М. В общем случае, однако, расслоение лишь локально тривиально, а в целом „закру- дено". Очевидно, dim Р = dim М + dim

Пусть 双— атлас карт расслоения и х, у w 双 имеют областями определения 冗-】(U), л-1 (V). Тогда для каждого р е (7 П V определен диффеоморфизм У。％—%*川 и, значит, диффеоморфизм слоя ^ на себя. Всевозможные такие диффеоморфизмы порождают некоторую подгруппу G联 группы Diff ^ всех диффеоморфизмов слоя N на себя. Объект, состоящий из дифференцируемого расслоения л и группы G, называется расслоением со структурной группой G и Diff ^, если существуют атласы 双 расслоения л, для которых G?i есть подгруппа G; такие атласы называются допустимыми по отношению к структурной группе. Чем „проще*4 может быть выбрана структурная группа G, тем „прощеu устроено расслоение; в частности, если можно в качестве G выбрать группу из одного элемента id, мы возвращаемся к тривиальному расслоению.

В дифференциальной геометрии структурной группой обычно является группа Ли (чаше всего подгруппа общей линейной Группы), а описанные выше отображения U Г) I/f G дифференцируемы. В качестве типичного примера можно привести Касательное расслоение n-мерного дифференцируемого многообразия (см. разд. LI0) с канонической структурной группой GL (n, R). ,

Дифференцируемым сечением дифференцируемого расслоения л называется такое дифференцируемое отображение s: М-^ Р, что л о s = id.

Пусть S2 cz R3 — стандартная сфера, л: S2 X S2 —> S2 — естественная проекция на первый множитель. Рассмотрим функцию f: R3 X R3-^R, заданную формулой 『(卩，〃，Рз，41，％，4з) = =。闯1 +「2% + Рз4з，где (pi, % Рз) —точка первого множителя, (41， 42， 4з) — второго. Покажите, что Р = (f Isexs?)」】(0) есть дифференцируемое подмногообразие S2 X S2, а 九 |р： Р —> S2 — дифференцируемое расслоение.

Покажите, что из существования сечения 冗 |р вытекает возможность непрерывной деформации тождественного отображения id: S2fs2 в отображение (р“ р2> Рз) —(—Pi, — Р2, — Рз)・ Так как по классической теореме топологии такая деформация невозможна, расслоение л |Р не имеет сечения.

Если G — группа Ли и Н — замкнутая подгруппа Ли, то можно доказать, что множество левых классов смежности G/H с фак- тортопологией, индуцированной G, естественным образом получает структуру дифференцируемого многообразия, так что проекция 九：G -> G/H есть дифференцируемое расслоение со слоем Н (и структурной группой 〃). База G/Н называется однородным пространством (см. замечания (iv) и (v) разд. 7.5).

Ввиду важности введенных здесь понятий приведем еще два примера дифференцируемых расслоений, первый из которых позволяет получить еще один тип стандартных пространств геометрии —проективные пространства. Пусть 々 означает одно из трех тел: R (действительные числа), С (комплексные числа) и Н (кватернионы), R и С и Н, a 々" = R", Сга, Hrt — соответствующие векторные пространства над 々.Тогда имеем канонические изоморфизмы С“4&2", H" =(C2"4lR4" над R; например, в первом случае (〃【，...，〃注)一>(Re〃〔，..., Re〃注，lm〃[, ..., Im zzj, где 〃力 w(C, i= 1, ..., n. Условие „и 〜 v тогда и только тогда, когда существует такое 九三 々,что и = Xv" определяет отношение эквивалентности на ^+1\{0}. Классы эквивалентности суть одномерные линейные подпространства над /г; множество их 尸"(/г) является образом факторизации 九：kn+[ \ {0}-> Pn(k) и тем самым получаем фактортопологию. Как мы сейчас покажем, Рп (k) обладает естественной структурой дифференцируемого многообразия размерности п, 2/г, 4/г в случаях 々 = R, С, Н; Рп (/г) называется /г-мерным действительным, комплексным или кватернионным проективным пространством соответственно.

Рассмотрим, например, случай 々 = С. Представим точку Рп (С) одним из ее прообразов и = (zz0, ..., zz„) €= Crt+i \ {0} при отобра- ткении л, тогда по крайней мере одно 々 声 0, Отображение

(%, 勿)f*So，・・・，“，勿)С означает пропуск ⑺ индуцирует отображение некоторой окрестности л (и) относительно Рп (С) в векторное пространство Сп, которое можно принять за карту на Рп (С), определенную в окрестности л (и). Все такие карты, очевидно, определяют дифференцируемый атлас и тем самым дифференциальную структуру на Рп (С). Установите диффеоморфизмы Р1 (R) ^ S1, Р1 (С) = S2, Р (Н)啓 S久

Заметим, что при доказательстве транзитивности отношения 〜 используется ассоциативность 々.Алгебра октав Кели Са не ассоциативна, поэтому из нее нельзя получить проективных пространств описанным выше способом. Другим путем, однако, удается определить 16-мерное дифференцируемое многообразие Р2 (Са) — плоскость Кели. „Прямая Кели(< Р (Са) есть S8.

Проективные пространства (или, более общим образом, грас- мановы многообразия линейных подпространств 々"+i более высоких размерностей) представляют собой также примеры однородных пространств, на чем, однако, мы здесь не будем останавливаться.

Покажите, что ограничение проекции л индуцирует на любой сфере в 々"+1 (рассматриваемом как векторное R-пространство) дифференцируемое расслоение: л: S，-> Рп (R),冗：S2n+I -» Рп (С), л: S4"+3f Р"(Н), со слоями соответственно S°, S1, S3 (расслоения Хопфа). Отсюда следует также, что проективные пространства компактны, как образы компактных пространств при непрерывных отображениях. Пространства Р"(归)связны, а при k = C, Н также односвязны. Все расслоения л не тривиальны, в противном случае при 々=R сфера S" не была бы связна, а при fe = С сфера S2ft+1 (n^ 1) не была бы односвязна. В случае 々=Н доказательство более сложно.

Если слой N дифференцируемого расслоения 冗：Р-» М есть дискретное 0-мерное многообразие (состоящее не более чем из счетного множества точек, поскольку все многообразия имеют счетную базу), то л называется дифференцируемым накрытием М над М, а число точек в слое называется ^числом листов'' накрытия. Например, л: Sn -»Pn (R) есть двулистное накрытие; 冗：R"-» Т\ заданное формулой 冗(九...,九)= (е"】，е"71), есть бёсконечнолистное дифференцируемое накрытие над п-мерным тором. Оба накрытия универсальны, т. е. накрывающие пространства S"(〃〉l) и R，односвязны.

Пусть f: М ->N — погружение, dim М = dim iV, М связно и компактно, N связно. Покажите, что，(М) замкнуто и открыто в ^; выведите отсюда, что f сюръективно. Проверьте, что f есть конечнолистное дифференцируемое накрытие. Пример Sn->Pn(R)

показывает, что из предыдущих условий не вытекает инъективность f. Если, однако, добавочно потребовать, чтобы N было односвязно, то f становится диффеоморфизмом. Если же отказаться от условия компактности М, сохранив все остальные условия, то легко построить пример, когда f не сюръективно и не инъективно, даже при односвязном N.

{(г?, и2)三 диффеомор- продолжите{(г?, и2)三 диффеомор- продолжитеПусть теперь Q — квадрат в R2, заданный неравенствами 0< и\ г/2< 1, с дифференциальной структурой, индуцированной канонической дифференциальной структурой R2. Постройте сюръективное, но не инъективное погружение f: Qf Q.

{(г?, и2)三 диффеомор- продолжите

{(г?, и2)三 диффеомор- продолжите

Покажите, что если f = id на множестве е Q ： I ц1 — ~ I >-g-, J ц2 — ~ I > ~I, то f оказывается физмом (для этого постройте вложение <р: Qf S? н (pofo(pT до отображения F: S2fs?).

Векторные поля

Пусть М — дифференцируемое многообразие, G — открытое подмножество М. Дифференцируемым векторным полем на G называется такое отображение X: Gf U〃p， что Хр = X (р)三 Мр для

всех р и для всех fwJG функция Xf, заданная формулой

(Xf)(p) = Xp(f),⑴

дифференцируема.

Обозначим через 23G множество всех дифференцируемых векторных полей на G. В 23G можно ввести сложение и умножение на функции из JG, полагая (X + У)р = Xp + Yp и (<рХ)р = <р (р) Хр для всех р ен G, <pwJG・ Множество 23G превращается при этом в 咅G-модуль, или в векторное R-пространство, если брать в качестве множителей постоянные функции. Векторное поле Xw/G, как видно из его определения, порождает R-линейное отображение JG JG по формуле f~>Xf. Для функций f, g wJG в силу (2) разд. 1.3 имеем „правило дифференцирования произведения*'

X(fg) = (#)g + f(Xg)・X(fg) = (#)g + f(Xg)・⑵⑵

X(fg) = (#)g + f(Xg)・

X(fg) = (#)g + f(Xg)・

⑵

⑵

Для карты х с областью определения U построим л дифференцируемых векторных полей -^- на U по формуле

Каждое век-Каждое век-представитьпредставить(3)(3)(/ = 1, ..., м)(/ = 1, ..., м)Поле ~^у называется i-м базисным полем карты х. торное поле Xge/U, согласно (3) разд. 1.3, можно в виде

Каждое век-

Каждое век-

представить

представить

(3)

(3)

(/ = 1, ..., м)

(/ = 1, ..., м)

М дх

где(р' = Хх'м®(?・ Таким образом, векторные поля ^~ составляют базис 8[/-модуля 泄U・

Лемма

Усл. N — k-мерное дифференцируемое многообразие; М —• п-мерное дифференцируемое подмногообразие N; X — векторное поле на М.

Утв. Существует такое открытое подмножество GuN, содержащее М. и такое векторное поле X е 83G, что для всех р ^М и fwgN выполняется Xpf = Xp(f ° t), где t: MfN— включение. Если М замкнуто в N, то в качестве G можно взять М

X называется продолжением векторного поля X с М на G н соответственно на А\

Док. Пусть р ^М. Построим на N карту у с областью определения Ртр и окрестность U точки р относительно М, как в лемме 1 разд. 1.6. Обозначим 冗‘：R'f R厶 композицию отображений I, л (см. лемму 2 разд. 1.5). Тогда в R厶 существует такая окрестность U точки 0, что [у~{ □ л-1 (U)] П М и U. Продолжим векторное поле X на окрестность Wp = у~х。л-1 (U) по формуле XWp(q) = (уТ)р。4。/》° 弘q，° Jq，Xq” где v = у(q), w = ^ (v), qr = y-\w) (qw 步「)• Окрестности Wp, построенные для всех точек р ^ М, составляют открытое покрытие некоторого открытого подмножества G ^ М. Построим соответствующее этому покрытию разложение единицы {(рр}, согласно теореме разд. 8.3.

Тогда

есть искомое продолжение X на G.

Если М замкнуто в N, то построим для каждой точки p^N\M окрестность Wp, не пересекающую М, положим XWp = О в такой окрестности и повторим предыдущее построение для полученного покрытия N.

Замечания

小 ттdfd с W. д / д Л

Часто пишут вместо —и ―вместо —

•дх1дх1 ду* дх1dyR \ дх1 /

(где х, у — карты с областью определения U и fwgU). Приве-

d2fd2t

дите пример, показывающий, что —-——г и —, вообще го- dyR дх1 dW dg衣

воря, различны. Однако —~-т = ―г-™-. Вычислите вторые про- дх1 дх1 дхя

изводные 訴丁w и 衣鼻^ функции f из замечания (iii) в разд. 1.2 на Sp относительно карты х, введенной в замечании (iii) разд. 1.1, в области Sp без северного полюса. Отметим, что базисные поля карты id в Rn мы обозначаем через D” а в случае R — символом D

Для обозначения сумм мы придерживаемся, если это не вызывает затруднений, обычного правила: если базисные векторы имеют нижний индекс, как это принято, например, для касательных векторов и векторных полей („контравариантныХ*4, а в современной функторной трактовке „ковариантных4' объектов), то коэффициенты получают верхний индекс; в противном случае (для форм и других „ковариантных**, а по существу “контрава* рнантных" объектов) поступаем наоборот. Для наглядности мы почти всегда суммируем по одному верхнему и одному нижнему индексу, при этом, однако, мы не пользуемся так называемым „правилом суммирования Эйнштейна4*, требующим суммирования без употребления знака суммы во всех случаях, где ймеется пара одноименных индексов в разном положении. Такое правило вряд ли необходимо в инвариантном исчислении.

Векторные поля в старой терминологии назывались „инфинитезимальными преобразованиями4, смысл этого термина выясняется в разд. 8.4 — 8.6.

Излагаемая в этих разделах связь между векторными полями („полями направлений*', „полями скоростей4*) и системами обыкновенных дифференциальных уравнений („динамическими систе- мамик) имеет основополагающее значение для дифференциальной геометрии, и мы рекомендуем читателю уже теперь ознакомиться с этими разделами, чтобы понять наглядную и логическую стороны вопроса.

Дифференцированием на R-алгебре называется эндоморфизм ее векторного пространства, удовлетворяющий по отношению к мультипликативной структуре условию (2). Все дифференцирования, очевидно, также образуют векторное R-пространство. Покажите, что дифференцируемые векторные поля на G допускают следующую алгебраическую характеризацию: векторное R-пространство 23G всех дифференцируемых векторных полей

на G изоморфно пространству всех дифференцирований на R-алгебре ^G дифференцируемых функций на G.

Лемма этого раздела о продолжении векторных полей может быть следующим образом обобщена. Пусть N — дифференцируемое многообразие; М — дифференцируемое подмногообразие М X: M->TN — дифференцируемое отображение !). Покажите, видоизменив доказательство леммы, что существуют открытое подмножество GuN, содержащее М, и дифференцируемое векторное поле Х\ G f TG, для которых X “ = Х. Покажите, что если М замкнуто в N, то в качестве G можно взять N,

(V)Найдите интегральные пути (см. 8.5) линейного векторного поля X на R2, заданного формулой

Х“ = u2Dt |u -屈£>2 lu-.

Векторное поле полно и порождает однопараметрическую группу вращений (см. приложение).

•id.•id.cos / sin /—sin/ cos /

•id.

•id.

Произведение Ли векторных полей

Произведение (или скобка) Ли на векторном R-пространстве Е есть отображение [, ]: Е X Е f Е, обладающее следующими свойствами:〜

а⑵⑶4)а⑵⑶4)[аХ + В冗 У] = а[Х, У]+В [无 Y],

а⑵⑶4)

а⑵⑶4)

[Х,аУ + рР] = а[Х, У] + В[Х, Г],

[X, У] = — [У, X],

[X, [У, Z]] + [Z, [X, Г]] + [Г, [Z, Х]]=0,

где X,匕 У, К Z r Е н а, В 三 R. Согласно (1) и (2), отображение [,] билинейно, а согласно (3), — антикоммутативно, причем (2), очевидно, вытекает из (1) и (3). Циклическое соотношение (4) называется тождеством Якоби. Объект, состоящий из векторного R-пространства и заданного на нем произведения Ли, называется действительной алгеброй Ли. Например, векторное (внешнее) произведение на R3 есть произведение Ли, превращающее R3 в алгебру Ли.

Пусть М — дифференцируемое многообразие, a G — открытое подмножество М. Зафиксировав точку р g= G, определим для векторных полей X, Yw/G отображение XPY: ^PG -> R по формуле (Х"У)(/) = Хр (У/ Легко проверить, что XpY — YPX есть картельный вектор к М в точке р, хотя XpYt вообще говоря, не

Относительно определения касательного расслоения TN см. разд. 1.10. — Прим, перев.

является касательным вектором. Построим по заданным X, Y ^ 23G

векторное поле [X, Y] ^ 33G, полагая

[X, У]р = /У-УрХ・⑸

Определение (5) превращает, как легко видеть, векторное R-пространство 33G в действительную алгебру Ли. Записывая для краткости X(Yf) в виде XYf, f 巨杳G, имеем

[^ Y]f = XYf-YXf.⑹

Докажем следующие соотношения:

[X, /У] = /п, У]+и/)У,⑺

[fxt Y]=f[Xf У]-(П)^.⑻

В самом деле, [X, fY]^ = X (疗①)一 fY (^Ф) = (X/) У(р + fX (УФ) 一 -fY(^ф) == W) У(р + /И, У]Ф, где ф^ §G; (8) следует из (7) ввиду антисимметричности произведения Ли.

Пусть х — карта с областью определения U. Рассмотрим базисные поля Xi = ®С/, f = 1, ..., п. Из соотношения Х^ = =2(屮。％7)。％ и перестановочности частных производных в R" следует

[儿看]=0. (9)

В частности, для канонических базисных полей в R" имеем [Dh Dj] = 0. Для векторных полей X, У 巨 33U получаем представления X = 2ф% и у = Хр'х, с дифференцируемыми- функциями (р( = Хх1 и 2‘ = y%'・ В силу (7), (8) и (9) отсюда вытекает локальное представление

[X, У]=》(X^-Y^) Х, = ? W 号-м 瑞)X,. (10)

Замечания

Пусть G — открытое подмножество n-мерного дифференцируемого многообразия М X, У е 33G. Если [X, У] = 0, то говорят, что векторные поля X, У коммутируют на G, так как в этом случае операторы XYt YX совпадают. Равенство [欠,У] = 0 является условием интегрируемости. Как можно показать, X и Y коммутируют на G тогда и только тогда, когда для каждой точки "巨 G существует окрестность U и G, где локальные потоки Ф,屮 (см. разд. 8.5) векторных полей X, У коммутируют для достаточно малых интервалов времени, т. е. [X, У] = 0 равносильно 屮J ①力=①力。中； Геометрически это значит, что мы приходим в одну и ту же точку, двигаясь из точки % 三。яо каждому из следую-

щих двух путей: (а) сначала вдоль „линии тока" (интегральной кривой) X в течение времени f до ^3, затем по проходящему через ^з интегральному пути У в течение времени s; (b) сначала вдоль интегрального пути У в течение времени s до ^2» затем по проходящему через ^2 интегральному пути X в течение времени f・ На этом простом обстоятельстве основана принадлежащая Фробениусу теория инволютивных распределений, в которой, обобщая понятие векторного поля (соответствующего обыкновенным дифференциальным уравнениям), задают в каждой точке р ^ М jfe-мерное линейное подпространство касательного пространства Мр (jfeV/z) и ищут интегральные многообразия, т. е.々-мерные дифференцируемые подмногообразия М, касательные пространства которых во всех точках совпадают с заданными подпространствами. Если потоки Ф,屮 коммутируют, можно построить с помощью формулы h(tt s) = ^ оф^ такое отображение окрестности 0 w R? в М, что в этой окрестности Ыий\ |u = Xh(u)и h*uD2 lu = Yh(u), т. e. коммутирующие векторные поля локально являются образами стандартных полей 5 евклидова пространства при дифференцируемых отображениях. Обратное также верно (см. замечание (iv)).

Пусть X], ..., Хп — дифференцируемые векторные поля на G, произведения Ли которых попарно равны нулю, причем Хх |р,... •…,^尸卜 линейно независимы, тогда, как можно показать» в некоторой окрестности р существует карта, базисными векторными полями которой являются Хь ..., Хм Это утверждение можно рассматривать как обратное (9) в локальном смысле. Тем самым мы получили геометрическую характеристику обращения в нуль произведения Ли [X, У].

Само же произведение [X, Y] можно истолковать как „производную Ли" £аУ векторного поля У относительно X, а именно, чтобы вычислить [X, У] в точке pw G, надо найти предел разностного отношения в Мр, причем для сравнения векторов, лежащих в разных касательных пространствах, их переносят в р с помощью локального потока Ф/ векторного поля X, т. е.

[X, У] |р = 7 Ip = lim 七叫。％".

Постройте такое дифференцируемое векторное поле без нулевых точек в некотором открытом подмножестве G и R2, которое не может быть базисным полем никакой карты х: G ->R2 (это совсем легко сделать для неодносвязного G и несколько труднее для односвязного).

Покажите, что для линейных векторных полей X, У на R2, заданных формулами Хи =工 ^ulDk |ц1 九=£ В"久 |“，спра-

ведливо разложение [X, У]и = 2 Y?〃力小，где у = [а, р] = ар — Ра

есть коммутатор матриц а,仇 X, У коммутируют одновременно с матрицами а, р.

Несколько слов по поводу замечания (Ш) разд. 1.8. Дифференцирования на некоторой алгебре образуют алгебру Ли, если положить [X, Y] = XY — YXt

Действительная алгебра Ли 530 дифференцируемых векторных полей на G канонически изоморфна алгебре Ли всех дифференцирований на R-алгебре SO.

(iv) Дифференцируемое отображение f: MfN, вообще говоря, не индуцирует никакого отображения векторных полей 33Л1 в векторные поля %N, даже если f инъективно. Поля X ^ 23Л1 и У ^ ^&N называются f-связанными, если %Xp = Yf ⑺ для всех р М. Покажите, что если 储 三 23Al н 匕 三 S3N f-связаны (/ = 1, 2), то [X], &],[九 ％] также f-связаны. В частности, если Хь Х2 коммутируют, то [Уь Уг] ° f = О-

Если f — диффеоморфизм, то получаем изоморфизм векторных пространств f#: 23Л1 —> ^8^J где f^X есть однозначно определенное в этом случае векторное поле, /-связанное с X е 23Л1. При этом [f#Xp f#/] = f#[Ар/], т. е. f# есть изоморфизм алгебр Ли. Например, для карты х в М диффеоморфно отображающей область своего определения U на %(U)uR" имеем к*~^ = D*。х = д

二理奇。".

Ли и 厶：О —> О, Л ^ О — левый формуле L/1g = 〃g. ПреобразоваЛи и 厶：О —> О, Л ^ О — левый формуле L/1g = 〃g. ПреобразоваПусть О — n-мерная группа сдвиг на О, определяемый по

Ли и 厶：О —> О, Л ^ О — левый формуле L/1g = 〃g. Преобразова

Ли и 厶：О —> О, Л ^ О — левый формуле L/1g = 〃g. Преобразова

ние Lh дифференцируемо, Le = id для единичного элемента е ^ G

厶也厶也= L也。Lh^, таким образом, Lh — диффеоморфизм.

厶也

厶也

Векторное поле X е 23G называется левоинвариантным, если X является Ай-связанным с самим собой для любого h^G, т. е. Lh*X = X。Lh・ Покажите, что для v ^ Ge формула gfXg = Lg*u определяет все левоинвариантные векторные поля X на О. Эти векторные поля образуют действительную алгебру Ли д, поскольку произведение Ли двух левоинвариантных векторных полей есть снова левоинвариантное векторное поле. Таким образом, в алгебре Ли 2?0 всех векторных полей на группе Ли О выделяется п-мер- ная подалгебра Ли левоинвариантных векторных полей, обычно называемая просто алгеброй Ли группы О. Очень многие свойства группы Ли можно описать с помощью алгебраических свойств ее алгебры Ли. Постройте инвариантные векторные поля на абелевых группах R， и 7fl. Их алгебры Ли абелевы (т. е. [J = 0), иначе говоря, они изоморфны R' с тривиальным произведением Ли.

Алгебра Ли gl(n, R) общей линейной группы GL(n, R) изоморфна алгебре Ли всех эндоморфизмов векторных пространств a: R“f R" с произведением Ли [а, р] = а₽ — ₽а. Приведем в этой связи еще дднн пример. Рассмотрим группу Ли Н* = R4 \ {0} с кватернионным умножением. Включение i: S3c= Н* индуцирует на S3 умножение кватернионов с единичным модулем, тем самым S3 превращается в группу Ли Spin(3), называемую трехмерной спинорной группой.

Пусть S,出，备，е4 — обычный базис R-алгебры Н, е = е{ — единичный элемент Н* и /и: Н -> Ни — канонический изоморфизм, для которого I^i = Di |u. Для а мН формула Yu = 1ииа определяет левоинвариантное векторное поле У на Н*, причем Ye = 1еа. Для a =匕 получаем базис 匕 левоинвариантных векторных полей, описываемый формулами

Y{ = Z?£)1 + t^D2 + 〃3£)з+ U^D^ 丫2 =—"叨1 + 〃力2 + /ЛОз — 〃3。4，

У3 = - "301 — "402 + "103 + 济D4, 九=-"401 + "302 一庐03 + "‘0г Произведения Ли базисных полей удовлетворяют равенствам

[匕，％]=[匕，Уз] = [%』] =0，

[%,匕]=2九，卜3,九]=2%,[九，%] = 2уз・

На S3 существуют векторные поля X” Х?, Хз, i-связанные с %, Уз,匕・ Поля % левоинвариантны и образуют базис алгебры Ли группы S3, изоморфной введенной в начале этого раздела алгебре Ли R3 с векторным произведением. Этот изоморфизм имеет вид Х{ —> 2С[三 IR3.

Касательное расслоение дифференцируемого многообразия

Как мы виДели в разд. 1,3, дифференцируемое многообразие может быть локально „линеаризовано**, а именно каждой его точке сопоставляется действительное векторное пространство — касательное пространство в этой точке. Очень существенно, что это сопоставление не произвольно, а зависит от точки „дифференцируемым** образом в том смысле, что множество всех касательных векторов может быть естественным образом снабжено структурой дифференцируемого многообразия,

Касательное расслоение ТМ дифференцируемого многообразия М есть 2п-мерное дифференцируемое многообразие, множество точек которого есть объединение всех касательных векторов U 乂户 а топология и дифференциальная структура вводятся описываемым ниже способом.

Для карты х на Af с областью определения U построим отображение х: (J Afpf R厶 XR" по формуле

x(v) = (x(р), v(x!), и(%〃))，(1)

где V е Л1р; таким образом,元«и) = %，(р) и xn+i(v) = v (xf). при /= 1, ..., и. Ясно, что х есть биективное отображение TU = (J Мр ре U

на x(U) X R"・ Назовем 无 картой расслоения ТМ. ассоциированной с картой х. Если у —другая карта на Mt с областью определения V, то для (a, b) y(U [\V) XRn (см. (5) разд. 1.3) имеем

Таким образом, х ° у-1 дифференцируемо и вследствие обратимости является диффеоморфизмом. Поэтому можно ввести в U Мр (однозначно определенную) топологию, для которой карты р^М

расслоения х становятся гомеоморфизмами. По отношению к этой топологии множество всех карт расслоения х составляет дифференцируемый атлас, задающий дифференциальную структуру на ТМ.

Естественная проекция л: ТМ^ М^ сопоставляющая каждому касательному вектору к М его начальную точку, т. е.

几(и) = р для uwAfp,几(и) = р для uwAfp,(3)(3)

几(и) = р для uwAfp,

几(и) = р для uwAfp,

(3)

(3)

дифференцируема с максимальным рангом. В самом деле, для карты х с областью определения U m р 必 ассоциированной карты расслоения 土 на TU имеем

Л(V)= %Т ° Л1 °Х(V),

где V ^TU, а л, — проекция R厶 X R，на первый множитель Rt Как видно из последнего равенства, л — открытое отображение, так как 冗】открыто. Если р^ Mt то Мр = л~1(р) называется слоем ТМ над р. Поскольку каждый слой является и-мерным действительным векторным пространством, точки ТМ можно умножать на действительные числа, а в случае, если они принадлежат одному слою, также складывать. Для каждой точки р 巨 М слой Мр с канонической дифференциальной структурой есть дифференцируемое подмногообразие ТМ; это можно установить непосредственно или с помощью леммы 2 разд. 1.6S так как р есть регулярное значение проекции л. Касательное расслоение ТМ называется тривиальным, если существует такой диффеоморфизм

/： 7Л1 -> Л1X Rrt („тривиализациян)> который для любой точки р^М изоморфно отображает слой Мр ш р X Rrt. В общем случае ТМ не тривиально.

Сечением ТМ над подмножеством / и Л1 называется отображение s: А-^ТМу обладающее свойством

тс о s = id力.(4)

Сечения sb ..., s& расслоения ТМ называются линейно независимыми, если для каждой точки р е= Л векторы s{ (р), ..., sk (р)三 е Мр линейно независимы.

Нулевое сечение 0: М->ТМ, заданное формулой 0(卩)=0卩 (нуль Mp)t есть дифференцируемое вложение М в ТМ.

Пусть G — открытое подмножество М, а X: G — ТМ — некоторое отображение. Как мы покажем, X является дифференцируемым векторным полем тогда и только тогда, когда X — дифференцируемое сечение. Для этого достаточно рассмотреть случай, когда G — область определения некоторой карты х. Каждое отображение X: G —>ТМ9 удовлетворяющее условию л о X = id0, записывается в виде п

Х【р = £ 展(P)W|,(5)

где ^(р) = Х |р (ху)- Пусть х — карта расслоения ТМ, ассоциированная с х, тогда

尤。X。《г"4 = (х, (р1, ,(ptt) ° 力-I(6)

Если X — дифференцируемое сечение, то отсюда следует дифференцируемость функций ①土 и X w%G в силу (5). Обратно, если X есть дифференцируемое векторное поле, то X представимо в виде (5) с(pf е§G. Поэтому из (6) следует, что X: G ->ТМ дифференцируемое сечение.

Многообразие М называется параллелизуемым, если существует п линейно независимых сечений ТМ над М, т. е. существуют такие векторные поля Хь .,., Хп е 23Л1 („параллелизация11), что Для каждой точки р^М векторы XJ р> .,Хп\р составляют базис Мр, Если М параллелизуемо, то на М существует векторное поле без нулевых точек. Многообразие М параллелизуемо тогда и только тогда, когда ТМ тривиально.

Пусть М9 Л/- — дифференцируемые многообразия размерностей пу A; f: M->N — дифференцируемое отображение. Тогда формула (I) разд. 1.4 задает индуцированное отображение f*: TMfTN, а именно

九。=м，⑺

где V ^ТМ, р = л(и). При этом получается коммутативная диаграмма

TM』TN

4 k⑻

М N

т. е. f。л =冗。

По определению f* 1^ = f^ а это значит, что f* линейно на каждом слое. Если дано еще одно дифференцируемое многообразие Q размерности / и дифференцируемое отображение g: Nf Q, то в силу (4) разд. 1.4 имеем

(g。f). = g*。3(9)

Лемма

Усл.f: М^>N — дифференцируемое отображение.

Утв.f*: TMfTN дифференцируемо.

Док. Пусть U — область определения такой карты х на М, что f(U) принадлежит области определения V некоторой карты у на N. Обозначим через х, у ассоциированные карты расслоений. В силу (2) разд. 1.4 имеем f*v = V v (^ °f) -Д-, где р = л(и),

a uwTU. Для заданных на TU функций(р'(и) = и (勿。『)из (1) следует

У \ти =(У ° f ° 1ти，中I中“)’

Остается доказать, что 中工三咅TU. Это следует из более общего утверждения: если g 合咅U, то отображение qp: TU—> R, заданное формулой 中(u) = u(g，дифференцируемо. Чтобы доказать последнее утверждение, заметим, что для (a, b)^ х (U) X R" из (1) вытекает

<р。L (а, 6)=工尸萼。х-1 (а).

J дх1

Рассмотрим касательное расслоение произведения двух дифференцируемых многообразий М н N. Пусть (р, q)三 MxN、Естественные инъекции ^: М-> (М X N), jp： M->(MxN) индуцируют линейные отображения %*: Mpf (M X N)(p*q), /р*:爲-> (М X N)g,力 Так как 曲。% = id, л2 ° /р = id, имеем л^。i# = id, л2*。%* = id; следовательно, iq*、厶弟 инъективны. Из соотношений л2。%=q, Щ° jp = Р следует, далее, что образы /^ (Мр), /р* (^) пересекаются лишь по нулевому вектору. В самом деле, если бы эти подпространства имели общий вектор г, то было бы л^г = 0, л2*г = 0 и г обращался бы в нуль на всех координатных функциях х1 ль ，/。冗2 стандартной карты х X у, определенной в окрестности (р, q)

(см. разд. 1.7), следовательно, было бы Л]*г = 0, л2*г = 0. Так как dim М + dim N = dim (М X N), формула

(0(U, 5)= %*? + jp*5

задает изоморфизм векторных R-пространств MpXNq-^(MxN)(Pt ^). С помощью этого изоморфизма мы будем канонически отождествлять (М X N)(p,g)с Мр X Ng, записывая касательные векторы к М X N в точке (р, q) в виде (и, ну), где и е Mpj w wNg・

Замечания

Если U — открытое подмножество параллелизуемого многообразия, то ТU тривиально. TR" получает тривиализацию с помощью канонического изоморфизма /и: R'f R2; именно, тривиа- лизацией является 厂七 TRn —>Rn X Rn, где / (u, ?) = (〃，/“)• Можно также утверждать, что R" параллелизуемо, поскольку на R" существует « линейно независимых векторных полей。八 Более того, каждая группа Ли параллелизуема, так как базис параллелизации можно составить из левоинвариантных полей.

Можно показать, что касательные расслоения четномерных сфер S?" не тривиальны. Более того, на них не существует даже векторного поля без нулевых точек. В самом деле, согласно одной из старых теорем топологии, для существования такого векторного поля на компактном дифференцируемом многообразии М необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика %(М) была равна нулю, в то время как %(S2") = 2・ На З?”"4 при любом п существует дифференцируемое векторное поле без нулевых точек, например векторное поле X, с которым i-связано линейное век- 2/1 — 1

торное поле W (—1)'产""匕+i |« на R2n, где i: S2n-1 cz R2n — включение. Новый результат состоит в том, что единственные парал- лелизуемые сферы суть S1, S3, S7 (как мы видели, S1 и S3 есть группы Ли; S7 не является группой Ли, но ее параллелизация легко получается с помощью октав Кели). Из всех проективных пространств в замечании (v) разд. 1.7, как можно доказать, параллелизуемы только Р1 (R) ^ S[, P3(R) и Р7 (R). Обычный метод доказательства нетривиальности касательного расслоения состоит в том, что каждому расслоению ставятся в соответствие алгебраические инварианты („характеристические классы когомоло- гийм), обращающиеся в нуль для тривиальных расслоений, а затем доказывают, что в рассматриваемом случае эти инварианты отличны от нуля. Однако упомянутая только что теорема о сферах требует более глубоких средств.

Для погружения f: М fN индуцированное отображение Л： TMfTN есть, также погружение; если f — вложение, то и 力一вложение.

Как было отмечено в замечании (vi) разд. 1.6 каждое дифференцируемое многообразие диффеоморфно некоторому подмногообразию евклидова пространства.

Пусть М — n-мерное дифференцируемое подмногообразие Rfe и I： Л1 cl Rfe — включение. Опишите образ 屮 TS1 -> TR2 ^ R4, где I： S1 —> R2 — естественное включение. В общем случае назовем L (или, что то же самое, 2 = 1。％一】)локальной параметризацией М, если х есть карта на М, определенная в окрестности р. Тогда (см, разд, 1.4) векторы-столбцы (D^ |p)z=1< ( fe, где 1, .,., п, порождают n-мерное линейное подпространство Ер и Rfe, которое при каноническом изоморфизме /р переходит в Мр, В старой дифференциальной геометрии изучали главным образом Ер или аффинное подпространство p + EpuT, которые и рассматривались в качестве касательного пространства к М в точке р; р + Ер как подмногообразие М имеет в р то же абстрактное касательное пространство, что и М, т. е. ”касается" М в точке р.

Для абстрактных многообразий такая трактовка невозможна, так как в них нет линейной структуры и, тем самым, канонического параллельного сдвига и отождествления. Заметим также, что линейные или аффинные подпространства Ер или р + Ер пространства Rfe, построенные для разных р^ Mt могут иметь общие точки в противоположность касательным пространствам Мр,

Касательное расслоение можно построить как дифференцируемое многообразие лишь после того, как касательные пространства „сделаны непересекающимися**.

Для дифференцируемого многообразия ТМ можно в свою очередь построить касательное расслоение ТТМ, которое представляет собой 4п-мерное многообразие. Если задано векторное поле X w 23M т. е. дифференцируемое сечение X: М ->ТМ, то X индуцирует дифференцируемое отображение X*: ТМ ->ТТМ, Более общим образом можно рекуррентно определить для каждого k 2'м・мерное итерированное касательное расслоение TkM> полагая Т^М = Mt Т^[М = ТТ1М. Значение этих расслоений в том, что геометрические задачи, в которые входят производные высших порядков, часто могут быть сведены к задачам первого порядка для надлежащего TkM. Этот прием аналогичен сведению обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков к системам уравнений первого порядка. В § 2 мы рассмотрим типичный пример, в котором для исследования геодезических на многообразии М с линейной связностью используется векторное полена ТМ.

Нам понадобится нижеследующее построение. Рассмотрим множество ТМ㊉TM = {(u, w): и,⑪巨 ТМ, л(и) = л(5)}・ Пусть х — карта на М с областью определения U. Отображение

f: TU X TU f R% заданное формулой f (и,⑫)=尤。л (и)—尤。冗(®), имеет регулярное значение 0. Так как (Г^фГЛ!) П (TU X TU)匸 ==f" (0), из леммы 2 разд. 1-6 следует, что TMQTM есть Зп-мерное замкнутое подмногообразие ТМ X ТМ („сумма Унтнн"). Проверьте, что отображение ТМ ㊉ ТМ ->ТМ, заданное формулой ®, g)f f <w +昵，дифференцируемо при любых a, 0wR

(V)Касательное расслоение представляет важный пример дифференцируемого расслоения (см, замечание (v) разд. 1.7). Это дифференцируемое векторное расслоение (т. е. слой есть векторное пространство) и структурная группа, как это непосредственно видно из построения, есть общая линейная группа. Из касательного расслоения можно построить другие расслоения. Естественные геометрические объекты, которые сопоставляются векторному пространству (например, тензоры, т. е. полилинейные функции на векторном пространстве, или проективные пространства), обычно соединяются в дифференцируемое расслоение над М, если построить их для каждого слоя Mpt Для этой цели существует универсальная конструкция (см, Стинрод Н., Тапология косых произведений, М., 1953, или Атья М., Лекции по К-теории, М., 1967, гл. 1).

Приведем два примера, особенно часто встречающихся в дифференциальной геометрии. Первым примером является „фазовое пространство*4 Т*М над М, т, е. векторное расслоение, возникающее, подобно ТМ, из объединения всех сопряженных пространств Мр, где Мр — пространство, сопряженное Mpt всех линейных форм на Мр. Второй пример — ассоциированное с ТМ главное расслоение РМ, слоем которого является группа всех изоморфизмов векторных пространств R"f Мр, а структурной группой — GL (n, R), действующая на самой себе посредством левых сдвигов.

(vi) Отметим в заключение, что в большинстве основных определений и рассуждений § 1 предположение конечномерности многообразий не является необходимым. В последнее время все большее значение приобретают бесконечномерные многообразия. Они „моделируются*4 по банаховым пространствам, т. е. локально гомео- морфны открытым подмножествам банаховых пространств, в которых, подобно R', вводится понятие дифференцируемости. По этому поводу см. Eells J., Л setting of global analysis, Bull. Am. Math. Soc., 72 (1966), 751—807, а также Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, М., 1967,

Касательные векторы должны быть при этом определены несколько иначе, чем это сделано в разд. 1.2. Мы рекомендуем читателю для лучшего усвоения основных понятий посмотреть, как эти понятия вводятся в разных изложениях. Что касается материала этой книги, то бесконечномерные многообразия важны

в теории Морса (§ 7), где пространство Q.q путей риманова многообразия, соединяющих фиксированные точки р, д, имеет каноническую структуру гильбертова многообразия.

Существенные определения и понятия этого параграфа можно найти в современных книгах по дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии. Приведем лишь общие источники, где указана дальнейшая литература:

М u n к г е s J. R., Elementary differential topology, Annals of Mathematics Studies, 54 (1961), Princeton University Press.

Kob a у a s h i S., N о m i z u K.t Foundations of differential geometry 1, Interscience Publishers (1963), New York— London.

§ 2. Линейные связности

2.L Определение линейной связности

Введем теперь на дифференцируемых многообразиях дополнительную структуру, которую геометрически можно описать как параллельный перенос. Начиная с этого места, собственно, речь идет уже не о дифференциальной топологии, а о дифференциальной геометрии.

В действительном векторном пространстве имеется естественное понятие параллельности. Однако для произвольного п-мер- ного дифференцируемого многообразия М еще не имеет смысла вопрос, параллельны ли два касательных вектора к М, если они йе имеют общей начальной точки.

Если М параллелизуемо, то каждая параллелизация Х【,・..

Xn^SSM определяет некоторое связанное с ней понятие параллельности, а именно, касательные векторы v^Mp и w ^ Мд называются параллельными, если они имеют одинаковые координаты относительно базисов параллелизации в соответствующих точках. Вообще говоря, многообразие М не параллелизуемо, а понятие параллельности может быть введено следующим образом: вектор у ^ Мр переносится параллельно вдоль пути, соединяющего peg, в касательное пространство Mq. При этом результат переноса, как правило, зависит от выбора соединяющего пути. От естественного понятия параллельного переноса, далее, надо требовать, чтобы каждому дифференцируемому пути с в М, соединяющему peg, соответствовал изоморфизм векторных пространств Мр->Мд, чтобы композиции путей отвечала композиция изоморфизмов, а пути, пройденному в обратном направлении, —обратный изоморфизм. Кроме того, должны быть еще выполнены некоторые условия дифференцируемости, а соответствие не должно меняться при переходе к другой параметризации пути. Таким образом можно построить геометрическую аксиоматику параллельного переноса или „линейной связности** на М.

Оказывается, однако, что такое наглядное понятие менее удобно в обращении, чем эквивалентное формальное описание при помощи „ковариантной производной**. Дифференцируемым векторным полям X, У на М можно сопоставить новое дифференцируемое

векторное поле Vxy, производную У в направлении л, таким образом, что значение V“ в точке р ^ М зависит лишь от вектора Хр, причем зависимость линейная. Для этого У параллельно переносится в Мр вдоль любого пути с начальным направлением Хр и находится предел обычного разностного отношения (см. замечание (ii) разд. 2.6). С другой стороны» полученная таким способом „ковариантная производная** может быть определена простыми свойствами, которые и будут перечислены ниже. Затем, используя это понятие, обратным путем можно определить параллельный перенос (см. разд. 2.6). Развиваемое ниже исчисление введено Кошулем и оказалось весьма плодотворным.

Часто параллельный перенос обосновывается с помощью общего метода, использующего главные расслоенные пространства (см. замечание (v) разд. 1.10), но чаще всего достаточны менее общие конструкции. Соответствующие понятия можно найти в литературе, указанной в конце этого параграфа.

Пусть М ~ дифференцируемое многообразие. Линейной связно* стью или ковариантной производной на М называется отображение V: ЙЗЛ1 X ®Л4->23Л4 (записываемое в виде V(X, У) = VXK), обладающее следующими свойствами:

о ^ ^ ^,о ^ ^ ^,外(%+ %)=外匕+*%,

о ^ ^ ^,

о ^ ^ ^,

▽х(『У) = (Х『)У + 〃хУ,

Vx,+&y = VxJ + Vx¥,%хУ = 〃хУ，

где f 三咅М. Векторное поле VrK называется ковариантной производной У в направлении X по отношению к линейной связности V. Согласно (3) и (4), V ведет себя по отношению к первому аргументу 咅М линейно („тензорно<(); по отношению же ко второму аргументу V ведет себя как производная, согласно (1) и (2).

Замечания

Если М параллелизуемо и Хь ..., Хп — параллелизация то отображение V: /М X SSMf 処М, заданное формулой VXK = = 2(X(p')Xf, где y =，q/Xf, есть линейная связность на М; в частности, имеем VxX； = 0. На группе Ли G существует каноническая линейная связность V, определяемая с помощью парал- лелизации этой группы 孔 линейно независимыми левоинвариант- ньши векторными полями. Эта линейная связность не зависит от выбора левоинвариантных векторных полей. В частном случае G = R", Xi = Di отображение V называется канонической линейной связностью на R"，

Пусть f: М -> У — диффеоморфизм и V — линейная связность на М Тогда формула 十工丫 =(см・ замечание (iv)

разд. 1.9) задает линейную связность на М. Если q ^ М и Uq — область определения карты xq на М, то отображение xq индуцирует из канонической линейной связности на R' некоторую линейную связность V? на Uq. Пусть (ф^)^ е м — дифференцируемое разложение единицы, для которого Supp(p? с Uq (см. разд. 8.3). Тогда V = £ (pffVff есть линейная связность на Л1. Таким обра- зом, на каждом дифференцируемом многообразии существует линейная связность. В § 3 мы получим этот результат другим способом, используя риманову метрику на М, которая определяет на М линейную связность специального вида — связность Леви- Чивита.

Тензор кручения и тензор кривизны

Положим S3°M =咅М и ЗЗ'М = S3M X ... X 53M 伍 множителей), где ^ = 1, 2,^ikM каноническим образом является gM-модулем.

Пусть г》1 и s = 0, 1. Тензорным полем на М типа (г, s) называется r-линейное отображение В: S3rM -> Й^М над кольцом 咅М: В (%!, ..., Х/—1, X/+ У, Х/+1, X)=

=В (Xlt ..., Xf—i, Х〃 Xf+i, Xr) +

+ B(X1,・・・，Xj, У, к,…，X) (1) В (Х[,…,X.i, fXj, Xf+i,・一,x「)=

= fB(X〔, Xi Xh X,+1, XJ ⑵ где 1 &i《r, Xh У b2JM, f w晋M)

Пусть V— линейная связность на М. Определим отображение Т: S32M ->S3M формулой

Т(Х, y)= Vxy-VrX-[X, Y](3)

и отображение R: №М->ЭЗМ формулой

R (X, Y)Z= V%VyZ — VyVxZ — V[x, y]Z.(4)

Тогда Г есть тензор типа (2,1), a R —тензор типа (3,1). Это следует непосредственно из правил (1) — (4) разд. 2.1 и свойств произведения Ли (разд. 1.9). Следует заметить, что отдельные члены в (3) и (4) не обладают свойством gM-линейности по отношению ко всем аргументам, так что тензорный характер Т, R обеспечивается лишь надлежащей комбинацией членов. Легко проверить, что Т н R антисимметричны по X, Y:

Т (X, У) = - Т 亿 X), R{Xt Y)Z=-R (У, X) Z. (5)

При s>l тензорные поля определяются иначе. См. литературу, указанную в конце параграфа. — Прим. ред.

Тензор Т называется тензором кручения, a R —тензором кривизны линейной связности V.

Замечания

Если М параллелизуемо, то для линейной связности V, полученной из параллелизации Хь ..., Х^ 巨 23 Л1 (см. замечание (i) разд. 2.1), имеем Т(Х/, Х/ = —[力，У,] и /? = 0.

Если М есть группа Ли и Xt левоинвариантны, то Т есть не что иное, как взятое со знаком минус произведение Ли в алгебре Ли группы М. Для М = R" н канонической линейной связности V имеем Т = 0, R = 0. Покажите, что на одномерном многообразии Т н R равны нулю при любой линейной связности.

3,

Определим на R3 для векторных полей х=£М,

3

У = £ ”2, принадлежащих 23R3, векторное произведение

з

X X У = £ 3"屮+2 __ ”i + lq)i+2) Q,

где индексы приводятся по модулю 3. Произведение X XY есть антисимметрический тензор типа (2,1). Из канонической линейной связности V построим новую линейную связность V на R3, полагая

Проверьте, что для V тензор кручения задается формулой Т (X, У) = X X У, а тензор кривизны — формулой R (X, У) Z = =}(Х X У) X Z.

Каждый из тензоров Г, R формально можно истолковать как меру отклонения от перестановочности соответствующих производных. Это очевидно в случае, когда X, У — базисные поля некоторой карты и, следовательно, [X, У] = 0. Обратите внимание на то, что произведение Ли не является тензором, а ведет себя по отношению к обоим аргументам как дифференцирование. Нам не известно вполне удовлетворительное геометрическое истолкование тензора кручения. Напротив, тензор кривизны имеет очень ясный геометрический смысл, как мы увидим в разд. 2.6 в связи с параллельным переносом. Этот тензор используется во многих важнейших задачах дифференциальной геометрии.

Покажите, что для линейных связностей V, V на М разность V — V есть тензорное поле типа (2,1) на М, и обратно, для любого тензорного поля S типа (2,1) V + S есть линейная связность. Тем самым можно (по крайней мере, теоретически) описать

всевозможные линейные связности на М. Если S симметричны (т. е. S(X, Y) = S (У, X)), то V и V имеют один и тот же тензор кручения.

Локализация тензорных полей и линейных связностей

Мы определим тензорное поле типа (г, s) как полилинейное отображение, сопоставляющее г глобально определенным дифференцируемым векторным полям на М функцию или векторное поле. Тензорное поле может быть локализовано, т. е. его значение в точке р ^М зависит лишь от значений аргументов в р.

Лемма

Усл. L:歹М-> 泌'М есть ^М-линейное отображение (г ^ 1, s = 0,1). Утв. L (XX「)|p = L (X” • ••，Х「)|р, если X, |「= X, |р, еОе z = 1,…，г. Док. Можно принять г = 1, так как общий случай легко получается по индукции.

Пусть х — карта с областью определения U m р. Построим функцию 屮 w §Л1, такую, что 屮(р) = 1 и носитель 屮 принадлежит U (см. разд. 8.3). Зададим векторные поля X[t ..., Хп ^ 23Л1 формулой Xi\q = ^ (^) -^- при 〃rU, X/q = 0 в остальных точках, \q〜

а /=1, ..., п. Тогда при X, Xw/Al получаем представления

^X=^^Xit ^Х= 2 if%,

где 此 ^ е= §Л1, причем

£ (X) \p = ^(p)L (X) |р = (ФЛ (X))\P^L @Х) |р = 2 ・(")£(X J соответственно L (灭)Ip = 2 屮'(")丄(匕)卜・ Поскольку Хр = Xpj имеем 屮'(") = &("), откуда L(X) |р = £ (灭)|р, и лемма доказана.

Пусть Л1р = R и Мр = Мр X X Мр (k множителей). Согласно лемме, тензорное поле В типа (г, х) на М индуцирует для каждой точки р^ М r-линейное отображение В*: Мр-^Мр по формуле

Вр (иь ..., %) = 8 (X], •・・，Хг) |р,(1)

где X], . • •, Х「w 23Л1 и ^ |р = ub г = 1, ..., г. Вместо Вр мы будем, как правило, писать В. Обратно, если каждой точке р^ М поставлено в соответствие r-линейное отображение Вр： Мр-^ Мр (или, что то же самое, „построено сечение расслоения всех г-линейных

отображений Мр-> М^), то получаем тензорное поле на М при условии, что соответствие „дифференцируемо**. Это, по существу, и означает, что подстановка дифференцируемых векторных полей приводит к дифференцируемым функциям или векторным полям.

Линейная связность V на А4 ^ЛЬлннейна по первому аргументу. Согласно лемме, при X, У е 23А4 и р^ М линейная связность (Vxy)p зависит при фиксированном У лишь от Хр. Поэтому для V Мр можно положить

%У = “")р, ⑵

где X е53А4 — любое векторное поле, принимающее в точке р значение Хр = V, Это рассуждение неприменимо ко второму аргументу V, так как V ведет себя по отношению к У, как дифференцирование. Подобно обычной производной, (VxY)p зависит лишь от ростка У в точке р. Это означает, что если векторное поле У е= 23А4 совпадает с У в некоторой окрестности U точки р, то для всех V е Мр имеет место \VY = VDy. В самом деле, возьмем функцию qpqgM обращающуюся в нуль вне U9 такую, что Ф (р) = 1, тогда фУ = фУ. Поэтому % (屮У) = % (屮Р) и, следовательно, qp (р) VDy + (vqp) Ур = Ф (р) VDy + (vqp) Ур. Так как Ур = Ур и Ф (р) = 1, утверждение доказано.

Если О — открытое подмножество Mt то для векторного поля Z 三 23G можно положить VDZ = V^y, где и ^Mpt р 三 G н Yr 23Л1 — векторное поле, совпадающее с Z в некоторой окрестности р (как мы видели в разд. 1.3, такое векторное поле У всегда существует). Следовательно, линейная связность V на А4 позволяет определить для любого открытого подмножества G(^ М линейную связность

V: SG X SG->SG, (3)

такую, что для X, УеЗЗМ имеем (VXK) |0 = Vx |0 У |0.

Полагая X尸品wRU,Полагая X尸品wRU,Пусть U — область определения карты %, содержащая реМ.

Полагая X尸品wRU,

Полагая X尸品wRU,

получаем представление

⑷⑷办斤宫以，

⑷

⑷

где lt = (VxjX/)d 三芯U. связности относительногде lt = (VxjX/)d 三芯U. связности относительноФункции Г1% называются компонентами карты х, Если V „не имеет кручения**,Функции Г1% называются компонентами карты х, Если V „не имеет кручения**,т, е. Г = 0, то Vx/Х/— Vx/Xf = [X/, X/] = 0, поскольку Хг — коорди-т, е. Г = 0, то Vx/Х/— Vx/Xf = [X/, X/] = 0, поскольку Хг — коорди-ллллнатные поля. Отсюда 2 吟爲=X ^分爲 и, следовательно,「％ = Гр.натные поля. Отсюда 2 吟爲=X ^分爲 и, следовательно,「％ = Гр.(5)(5)

где lt = (VxjX/)d 三芯U. связности относительно

где lt = (VxjX/)d 三芯U. связности относительно

Функции Г1% называются компонентами карты х, Если V „не имеет кручения**,

Функции Г1% называются компонентами карты х, Если V „не имеет кручения**,

т, е. Г = 0, то Vx/Х/— Vx/Xf = [X/, X/] = 0, поскольку Хг — коорди-

т, е. Г = 0, то Vx/Х/— Vx/Xf = [X/, X/] = 0, поскольку Хг — коорди-

л

л

л

л

натные поля. Отсюда 2 吟爲=X ^分爲 и, следовательно,「％ = Гр.

натные поля. Отсюда 2 吟爲=X ^分爲 и, следовательно,「％ = Гр.

(5)

(5)

Обратно, из условия (5) вытекает, что линейная связность не имеет кручения на U.

Замечания

Карта х определена на U М, Xi = -^- е 23Покажите, дх1

что в разложениях

7(匕，x了)=上窗爲，

R(X,, X/)必曲

функции

//=1胃_1m，

у，=礬一譬十£(г"г^ -耳*3•

Векторные поля Х“ Х2 ^ ®R2, заданные формулами

Xi 廿=cos ulD{ |ц + sin 屈。2 L, Х2\и= - sin 办Qi 1“ + cos 屈。2 L образуют параллелизацию на R2. Пусть V — соответствующая линейная связность (см. замечание (i) разд. 2.1). Найдите [Xb Х2], 「务，R%/ относительно карты id. Покажите, что V имеет кручение.

Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной связностью V, X w ЗЗМ, В — тензорное поле типа (г, s) на М, s = 0, 1 (в дальнейшем это последнее ограничение не оговаривается). Построим отображение VXB: ЗУМ —53sAi по формуле "m)(匕，…，匕)=

=VxB (匕，…,匕)-e 8 (匕,…，匕T,网匕，匕+1，…，％)，

где в случае s = 0 следует понимать V" как Xf. Проверьте, что VXB есть снова тензорное поле типа (г, s), называемое ковариантной производной В по Х・ Тем самым каждому тензорному полю В типа (г, s) ставится в соответствие тензорное поле VB типа (г 4-1, s), заданное формулой

"8)(%,匕)=(%8)(匕，...，匕).

Докажите, что в случае 7 = 0 тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бьянки:

(VxR) (У, Z, U) + (VyR) (Z, X, U) + (VzR) (X, у, и)= 0.

Достаточно проверить это соотношение для базисных полей произвольной карты (почему?).

Тензорное поле типа (г, 0) называется также дифференциальной формой степени г или, кратко, r-формой. Пусть f w^M. Полагая df(X) = Xf, получаем 1-форму на Л4, называемую* дифференциалом f (см. замечание (ii) разд. 1.4). Для карты х вокруг pwM получаем дифференциалы df, для которых d,~^y) = K так что d%‘|р образуют базис пространства Л4； линейных форм на Мр, двойственный базису -~ | .

Для тензорного поля В типа (г, 1) и l&j&r определим свертку с В как тензорное поле типа (г—1,0), построенное по правилу

(с#)*】，•••，"，・・.，％) |p = tr(u^B(yI,...,y/_I,vjy/+b ...,Уг)|р), где р ^ М, V е Мр, tr — след эндоморфизма Mpt записанного в скобке (причем отображение строится для фиксированных векторных полей У】, У/+ь ..У)・ Для карты х с областью определения U и базисными полями Х^ = -^ имеем на U

дх1

(с#)(匕，爲，Y^=^dxi(B(YiУ,)).

Покажите, что Vx(С/В) = cz (VXB) и Vcz = ci+y, т. e. свертывание и ковариантное дифференцирование коммутируют.

Пусть В — антисимметрическое тензорное поле типа (г, s). Это значит, что при перестановке любых двух его аргументов, при неизменных остальных, значение В меняет знак (такие тензорные поля называются еще кососимметрическими или альтернирующими). Тогда внешней производной (или производной Картана) dB называется антисимметрическое тензорное поле типа (г + 1, s), определяемое формулой:

®В)(匕,...，匕)=环―1У Vr.B (УоК, ..., Yr) +

+ £ (-l)z+/B([yi( У/L Уо,у,-%,•••,%)• 0<i<J^r

Проверьте тензорный характер и антисимметричность dB. Пусть / — тензор типа (1,1) тождественного эндоморфизма 53ЛГ f 2Ш, тогда di = Г. Если Г = 0 и VB = 0, то также dB = 0. При s = 0 справедливо соотношение ddB = 0; при s=l это верно в предположении, что R = 0. Антисимметрическая дифференциальная форма (о, для которой ds = 0, называется замкнутой или точной.

Очевидно, ds всегда замкнута. Обратно, если антисимметрическая форма ① замкнута, то локально она является, как можно показать, внешней производной некоторой антисимметрической (г — 1)- формы. В целом это неверно, так как могут возникнуть топологические препятствия. Мерой таких препятствий служит (в случае компактного М) r-я группа когомологий де Рама Hr (М, R) — фак- торпространство векторного R-пространства всех замкнутых антисимметрических r-форм на М по подпространству тех форм, которые являются внешними производными антисимметрических г — 1)-форм на М,

Отображение связности

Векторное поле, как дифференцируемое сечение М -> ТМ, индуцирует отображение У*: ТМ-> ТТМ, так что каждому вектору V Мр соответствует Y^v е (ТМ)Ур, Опираясь на этот факт, мы хотим указать другое, эквивалентное описание линейной связности V на М, представляющее интерес не только в техническом отношении.

Вектор %У (и е= Мр, У 曰 ЗЗМ) строится по новому определению в два шага: сначала находится естественный образ Y^v е ТТМ, а затем этот вектор „проектируется44 в вектор слоя Мр с помощью некоторого отображения К： ТТМ f ТМ, геометрический смысл которого состоит в следующем. Для каждого слоя Мр определено отображение включения i: MpfTM, образы касательных векторов к Мр при отображении % называются вертикальными векторами ТТМ, Все касательные векторы к Мр (и их образы при ij могут быть при помощи канонического изоморфизма 厶 (см. (5) разд. 1.4) отождествлены с векторами Mpt Заданию линейной связности на М, как мы увидим, равносильно задание способа однозначного разложения векторов a g^ (TM)W в сумму а = ан + av, где ау — вертикальный вектор, а ан — горизонтальный, определяемый этим разложением. Образ К (а) по определению есть вектор Мп他),канонически отождествленный с 。卩 Линейная связность получается теперь в виде VJuKku).

Приступая к этому построению, предположим, что на М задана линейная связность V. По этой связности мы сначала построим К (а) для векторов а вида У*и, где у w ТМ, У 已 ЗЗМ. Представление в этом виде вектора и, конечно, неоднозначно; из Y^ = Р*力 не следует, что Y =Y (хотя, очевидно, следует YP = Yp и, как мы увидим ниже, и =方).Тем не менее справедливо следующее предложение.

Лемма 1

Усл. V — линейная связность на М, ЭИ — множество всех векторов ТТМ вида (У 已 ЗЗМ, и 已 ТМ).

Утв. Существует такое отображение К：叽—> ТМ9 что для каждого вектора а = Y^v

K(a) = VJ⑴

Тем самым V^Y однозначно определяется вектором У*и, т. е. если Y.v = Y.v, то %У = V 5 У.

Док. Мы выведем требуемое утверждение из локальных представлений.

Пусть V 已 Мр； х — карта с областью определения U m р; х — ассоциированная с х карта ТМ на TU. Положим Х± = -^-^23(7 дх1

(/ = 1,...,九)，八卜=~^ 三沦 TU (й = 1, ..., 2/г). Тогда получаем представления

и = £а'Х/р, У=£<р%,⑵

.,/=1

где а е R, ф7 е gU.

2п

В силу (2) разд. 1.4 имеем У*и = N и (屮。У)/也。У }• Учитывая 逐。У =井。冗。У =炉 и 土计々 о У = Yxk = q)fe 但=1,・..，/г), нз (2) получаем

2п

Ytv = ^akAkoY\p；⑶

出=az, an+z = 2 aZ (^/фО Ip (/ = 1,…，/i)・

Далее, из (2), учитывая (4) разд. 2.3, находим

Н = 0 / 卜触 + 2 Ха |р⑷

fe=l \/ = 1/

или в обозначениях (3)

可=玄(宀+ e為Т%)x4.⑸

Так как в (5) входят лишь координаты вектора a = У*", то %У зависит лишь от а, что и доказывает лемму. Отображение К (а) при этом может быть задано формулой

К (а) = £ [an+k + , ^а1хп+1 ®)「力 Х^ |р,⑹

где а е= (TM)W9 р = п®)・

Из (3) видно также, что равенство ^VY = V^K возможно лишь при и = 6. В самом деле, ясно, что и и В принадлежат одному слою Mpi и в силу (3) имеем(?=出=屋.Далее, из (3) вытекает, что при надлежащем выборе v ^= Мр и Y е 53f/ можно представить в виде У*и все векторы ТТМ, за исключением тех, у которых @尼=0 (论=1, ..., п). Ниже приводится геометрическая интерпретация таких векторов.

Пусть q = £ akAk ^(TM)wt найдем %q. Согласно (2) разд. 1.4, имеет место л*a = £ Q (%尼。九)X尼卜$ где р = л (Оу). Далее, а(%尼。九)= =』@Л4/(%尼。几),а эта сумма, как видно из определения векторных полей 力/ = —равна Итак,

丸*Q =2^ Q”Xfe Ip* (7)

Векторы а е ТТМ, для которых л*а = 0, называются вертикаль- ними. Из (7) следует, что в виде У*и представимы все невертикальные векторы и только они.

р по формулам 炉(оу)=р по формулам 炉(оу)=Все вертикальные векторы ТТМ можно получить следующим образом. Рассмотрим произвольный слой Мр и включение I： MpCzTM. Пусть & е(Alp)w — касательный вектор в точке w к дифференцируемому многообразию Мр. Пользуясь обозначе-

р по формулам 炉(оу)=

р по формулам 炉(оу)=

=土计‘®) (i= 1,.…,л). Тогда=土计‘®) (i= 1,.…,л). Тогдаполучаем разложениеполучаем разложениениями леммы I, построим карту на ”

=土计‘®) (i= 1,.…,л). Тогда

=土计‘®) (i= 1,.…,л). Тогда

получаем разложение

получаем разложение

откуда

I» = g*&+, I®.

Ясно, что вектор i*b вертикален, и каждый вертикальный вектор может быть однозначно представлен в таком виде. Поэтому на множестве 耽丿 всех вертикальных векторов ТТМ определено обратное отображение

Г：耽yf и（тм）Р・

Далее, для каждого слоя Мр определен канонический изоморфизм /酬.Положим

К (а)=撐。；％ (а w 叫 П (ТМ)^.(8)

Тогда в TU имеем представление К (а) = У a^^i。л; отсюда i = !

видно, что и для вертикальных векторов отображение К может быть задано по отношению к карте К той же формулой,(6).

Таким образом, К определено на всем ТТМ |а и из (6) следует, что К — дифференцируемое отображение ТТМ в ТМ, линейное на каждом слое (ТМ)酬.

Отображение К называется отображением связности, соответствующим заданной линейной связности V на М. Эта линейная связность может быть, в свою очередь, получена из К по'формуле

%У = К(УМ(9)

Запишем еще действие отображений 冗*, К на векторные поля 4 三沿(TU) (а не на отдельные векторы). В силу (6), (7) имеют место соотношения

冗*。4 = 2 а'Х总。л,(10)

fe=i

К ° A = ^(an+k + 2 出元。冗)爲。冗.(11)

fe=l \л / = i/

Мы выделили в каждом 2孔-мерном пространстве [TM)W «-мерную плоскость Vw вертикальных векторов; отметим, что при этом не была использована линейная связность V. Напротив, выделение горизонтальных плоскостей, к которому мы приступаем, зависит от заданной линейной связности на М (и эквивалентно ее заданию). Подчеркнем, что задание одних только вертикальных векторов еще никоим образом не определяет разложения на горизонтальные и вертикальные составляющие, о котором шла речь в начале этого раздела.

Изучим действие отображения К на слое (ТМ)酬.Пользуясь опять картами х, 土, из (6) легко получить, что условие К(а) = 0 определяет в слое {TM)W n-мерную плоскость, а именно, задав произвольно 优(i=l,.…,п), можно найти, пользуясь (6), остальное координаты а. Векторы awTTM, для которых К (а) = 0, называются горизонтальнымиИтак, в каждом слое (747)侬 выделяется n-мерная плоскость Hw, состоящая из горизонтальных векторов.

Покажем, что пересечение Vw П Hw состоит только из нулевого вектора. В самом деле, если а вертикален, то, согласно (7), а' = 0 (々=1, ..., п). Если же а, кроме того, горизонтален, то из (6) следует an+k = 0(k= 1, ..., n).

Итак, (ТМ)м есть прямая сумма n-мерных подпространств VW9 Hw. При этом, согласно (6) и (7), л* переводит Vw в нуль и биективно отображает Hw на Мл м, тогда как К переводит Hw в нуль и биективно отображает Vw на Mrt ^wy Следовательно, л*ХК изоморфно отображает каждый слой (ТМ)陋на Мл (陋)义乂口(陋)• Отметим еще, что образом отображения

л, X К: ТТМ-^ТМ X тм

является Зп-мерное подмногообразие ТМ^ТМ (см. замечание (iv) разд. 1,10), в то время как ТТМ 4п-мерно; таким образом,冗* 乂 К не является диффеоморфизмом. Заметим, что вертикальные и горизонтальные плоскости Vw9 Hw в силу (6), (7) образуют дифференцируемые распределения на ТМ, это означает, что в некоторой окрестности каждой точки w ^ТМ на ТМ существует п линейно независимых дифференцируемых векторных полей, состоящих из вертикальных и соответственно горизонтальных векторов (см, замечание (i) разд. 1.9).

Кроме линейности на каждом слое ТТМ, отображение К обладает еще и другим свойством линейности; чтобы сформулировать это свойство, введем на ТТМ некоторые операции.

Лемма 2

Усл. 53 = {(а, 6): а, b ^.ТТМ,冗也=冗力}.

Утв. (а) Существует такое отображение Л: R X ТТМ f ТТМ, что для любых и w ТМ, У w 23ЛГ

Л(а, У*и) = (аУ), “(12)

(b) Существует такое отображение s: 33 -^ ТТМ, что для любых v^TM. У, Y^^BM

s(}>,匕и) = (У + »* “(13)

Док. Воспользуемся опять картой х с областью определения [/ з р = л (и) и соответствующей ассоциированной картой х. Тогда 2n

из (2) и (3) следует, что для вектора У*и = X а'4也。У 卜 имеет место

n2n

(аУ)*и = 2^4°аУ|р+а 2 akAkoaY\p.(14)

k=lfe=n+1

Таким образом, (аУ)* и зависит лишь от а = У*и, и требуемое в (а) отображение построено для не вертикальных а. Определим Л для вертикальных а, полагая

h® а) = %。/^。。/^。「。(。三耽yfl(TM)5)・ (15)

Легко проверить, что и в этом случае й(а, а) задается над* U правой частью (14). Для доказательства (Ь) воспользуемся разложениями над U: 2n2n

у.а = 2 akAk о У |р, у.а = 2йМйоУ|

Так как 又(У*и) = л4(У*и), из (7) вытекает, что afe = 5fe (й = 1, ..., п), из (2), (3) следует, что

(Y + Y),v=^akAko(Y + Y)\p + 2 (儀+ 滋)儿。(У + » 匾(16) fe=lfe=rt + l

Поэтому (У + Р)* V зависит лишь от Y^v, Y^v и требуемое в (Ь) отображение построено для. не вертикальных векторов а, а.

Определим s (а, а) для вертикальных векторов а, й по формуле s(a,a)= 1*。/5+而。(/5。/a+/位 。% a),(17)

где а ^ЭИ^ГКГМ)^, G 三 货旷 Г1 (ТМ%,冗*。=冗*@・ Легко проверить, что и в этом случае $(а, а) задается над U правой частью равенства (16). Доказательство леммы этим завершено.

Заметим, что отображение Л (а, а) можно получить еще и другим способом. Определим отображение гомотетии Ла: R X ТМ -^ТМ. формулой

ha(w) = aw.(18)

Тогда, как легко проверить, Л (а, а) = Ла(а).

Положим теперь а • а = й(а, a) (a w R, а^ТТМ), а + а = s(a, а) (а, а ^ ТТМ, л+а = л^а). Над U эти операции описываются формулами, вытекающими из (14) — (17):

п2п

a • a = 2 law + a X(19)

Г k=\fe=rt + l

где a^(TM)w. rt2rt

a + 2=Wd4丄+应+ 2 (ak + ak)Ak\w+w,(20)

Г fe=lfe=n+1

где aw(TM)5, @w(TM%・

Из (6), (19), (20) следует, что отображение К обладает свойством линейности по отношению к Г-операциям:

К(а • a) = аК (а),(21)

К(а$е) = К(а) + К(2).(22)

В качестве приложения изложенного в этом разделе построения линейной связности покажем, как по заданным линейным связностям Vi на М н V2 на N строится некоторая линейная связность V на произведении М X N, называемая произведением линейных связностей Vb V2. Пусть на М X N задано векторное поле У, тогда определено индуцированное отображение 匕：М 乂 N f f Т(М X N), так что для каждой точки (р, q) ^ М X N и каждого вектора (и,⑫)巨(М X №)(卩“)задан вектор У*(и, з)е gT(M X N)y(p 疗 Пусть а» л2 — естественные проекции MxN на М, N соответственно (см. разд. 1.7). Обозначим через ^I, % отображения связности для М, N, соответствующие линейным связностям Vb V2. Тогда, как мы покажем, формула

v(o, ®)у = (К1。小*工(и,⑫)，^2。也工(и,⑫))(23)

задает линейную связность V на М X N, которая обозначается через V\ X V2. Проверка линейности V сводится к использованию линейности Ki，К? на каждом слое ТТМ, TTN соответственно. Чтобы изучить поведение V относительно У, заметим сначала, что из (20) и стандартного способа построения карт на М X N (см. разд. 1.7) легко следуют соотношения

а • (а, 6) = (а • а, а • Ь\ (а, 6) + (а, 5) = (а + G, b + 5Y

где а се R, (а, Ь), (а, 5) ^ТТ(М X N), если предполагать, что сумма в левой части второго из них имеет смысл. Докажем аддитивность V относительно У. Если Z, У, У е 53 (М X Л^) и Z = У + У, то в силу леммы 2

Z*(u, з) = У*(и, 5)+ i\(u,⑫).

Следовательно,

%“Z*(u, w)^Щ^.^,侬)+ 几1/(0,⑫).

Аналогично доказываем и для второй проекции. Остается воспользоваться соотношением (22) для Ki，^2■ Проверим, что Vg, ^)У ведет себя как дифференцирование по отношению к У. С помощью формул (2), (3) легко доказывается соотношение

(ф^)* и = и 3)・ U<p (р) Ур (Ур) +ф(р)-y.v,(24)

где ф w /М, У w 53М, V w Мр. Применяя (24) к М X N (вместо М), требуемое свойство получаем из (21), (22).

Наконец, для любого векторного поля X s 53М определим V^Yw 沿М, полагая

(VJ) lg“)= W” 如匕 где

(U, W)= Х(р, д)・

Из (23) сразу же следует, что VXK — дифференцируемое векторное поле на М X

Замечания

Пусть 0: М->ТМ — нулевое сечение, р^ М. Покажите, что 0*Мр есть горизонтальная плоскость в точке 0р w ТМ для любой линейной связности V. (Таким образом, в точках 0(Л4) горизонтальные плоскости могут быть определены независимо от задания линейной связности.) Каждый горизонтальный вектор ш в точке 0 (р) представим в виде 侬=0*。冗*侬.Горизонтальные векторы в точках 0 (Л4) можно охарактеризовать еще следующим образом: вектор 侬 wO(M) горизонтален в том и только том случае, если для всех f 三 普ТМ имеет место 侬(f)=侬(f。0。л). Вертикальные векторы на ТМ можно охарактеризовать так: вектор w вертикален в том и только том случае, если для всех f 三普М имеет место 侬(f。л) = 0.

Рассмотрим в обратном порядке процесс, изложенный в разд. 2.4. Пусть в каждом слое (TM)Wi наряду с вертикальной плоскостью Vw, задана n-мерная плоскость Hw, трансверсальная к VWi т. е. пересекающая Vw только по нулевому вектору. Предположим, что плоскости Hw образуют дифференцируемое распределение на ТМ. Назовем вектор а^ТТМ горизонтальным, если для некоторой точки w^TM выполняется а е Hw.

Предположим, что распределение горизонтальных плоскостей удовлетворяет следующим условиям: если а горизонтален, то а • а горизонтален при всех а w R; если а, b горизонтальны й определена их Г-сумма (т. е. л*а = п*Ь), то и а + b горизонтален. Определим отображение К： ТТМ ->TMt полагая К(а) = 0 при а ^Hw и. К (а)=兀1。if !а при a^Vw (w^T М). Легко показать, что отображение К Г-линейно, т. е. обладает свойствами (21), (22). Определив далее Voy по формуле (I), проверьте, что V — линейная связность на М・(Воспользуйтесь Г-линейностью К и соотношением (24).) Покажите, что отображение связности, соответствующее V, есть исходное отображение ^.

Формула (23) принимает простейший вид для векторных полей У = Kj х Г2 (匕三沿М，%三沿储 Y^^(MX N)), определяемых по формуле У (р,,) = (匕(р), %('))・ Для такого векторного поля и связности V = V] X V2 имеем

vy = M匕，V2y2).

Кроме того, при У = У] X К2> ? = ?i X У2 имеет место 忆竹=(餡，zj, [%,厶])•

(Это легче всего проверить, применяя обе части к координатным функциям стандартной карты на М X N.) Поэтому, для вектор-

ных полей типа произведения можно найти значения тензоров кручения и кривизны линейной связности V через соответствующие значения для Vb V2:

Т(Х, У) = (&(%, Y^TA^ %)),

R(X, y)Z = (R(X],匕)4, &(%, Y^Z^

где X = % 义工2, ¥ = Yi X Y2, Z = Zi X Z2- Выведите отсюда, пользуясь леммой о локализации (см. разд. 2.3), что для любых век

торов (⑴，叫)三т (m 义 N),力=1, 2, 3,

T(S1,如1), (?2,g))= (71 (01,力)，？2®1,叱))，

R(S1，g), (?2,如2))(?3,如3)=(R1(01,?2)?3, &(叫，如2)如3)■

Пользуясь стандартной картой х X у на М X N, выразите компоненты 「% линейной связности V через компоненты линейных связностей Vb V2.

Векторные поля вдоль отображений

Мы введем теперь важное обобщение понятия векторного поля. Пусть М, N — дифференцируемые многообразия, f: N М — дифференцируемое отображение. Дифференцируемое отображение X: N fTM, обладающее свойством 冗。工=九 называется дифференцируемым векторным полем вдоль /. Точно так же, как в разд. 1.10, проверяется, что отображение X: N fTM есть дифференцируемое векторное поле вдоль / в том и только том случае, если Хр w Mf ⑺ и функция Х(р: Mf R, заданная формулой (Хф) |р = Хр (<р), дифференцируема при всех 屮 w §Л1.

Обозначим множество всех дифференцируемых векторных полей вдоль / через 23f. Пусть G — открытое подмножество М, V = f~[ (G), Хн/ и г|)^ §G. Определим Хг|)^§V формулой (Х2)|. = Х評(pwP).

Приведем два важных примера построения векторных полей вдоль 厶 Пусть Xw33M, тогда отображение X。/: N fTM или, что то же самое, p-^Xf(р), есть дифференцируемое векторное поле вдоль

Если дано векторное поле А ^ ^SN, то f*4: N fTM или, что то же самое, р -*Л (^р) есть дифференцируемое векторное поле вдоль /; оно называется касательным векторным полем вдоль /. Множество всех касательных векторных полей вдоль / обозначим через 23%

Естественно, 23f является gN-мопулем, §Л1-модулем, а также, конечно, векторным R-пространством: если Xw23/ и ф ^ §Л\

отображение срХ, заданное формулой (срХ) (р) = (фХ)р = ср (р) Хр\ принадлежит 23/； если же X 三 23fH 屮个咅乂，то 屮。f 三彩 N, и поэтому (屮。/)犬个23卜 Очевидно, 23f есть подмодуль 23尸

Пусть pmN и U — область определения некоторой карты х на М (Umf(p)). Тогда, полагая Х± = -^-н V = f-1 (U), получаем дх1

представление для У 个 沿产

где

<fl = Yxl^V.

Теперь мы обобщим понятие линейной связности на многообразии, введя для векторных полей вдоль /-операцию, аналогичную ковариантному дифференцированию. Пусть f: N -^М^ дифференцируемое отображение, V — линейная связность на М} которой соответствует отображение связности К： TTM-^TMt Линейной связностью вдоль 力 или ковариантной производной вдоль 厶 называется отображение %: 23Л/'义 /-> % определенное формулой

Н(4 У) = КУ*4

Для краткости мы будем опускать индекс f и писать V乂У вместо V (Д, У). Это не приведет к недоразумению, если помнить, что У е 23р В этих обозначениях

3 = КУ*4

Если ^ = Л4 и f = id, то, очевидно, Vg тождественна с V. Таким образом, введенное только что понятие действительно обобщает понятие линейной связности на многообразии.

Следующая лемма показывает, что при таком обобщении сохраняются свойства линейной связности (1) — (4) разд. 2.3.

Лемма 1

Усл. Л, Л е 23.V; У, У е 23f;①三咅乂* У тв.

D 但(3(4D 但(3(4办(y + P) = vp + vj,

D 但(3(4

D 但(3(4

Q+# = v/ + v“^фД = /У*

Док* Мы сведем доказательство этих соотношений к аналогичным соотношениям для некоторой линейной связности V на N X М・ Введем на N произвольную линейную связность % (см. замеча-

ние (ii) разд. 2.1) и положим V = Vo X V согласно определению (23) разд. 2.4. Пусть У 三 Э3『, обозначим через У любое векторное поле на N X М, связанное с У соотношением

冗2*。У。尸=У,

где 冗 2一 естественная проекция N X М на М, a F: N ->(N X М) задается формулой 尸(р) = (р, f(p)) (см. замечание (ii) разд. 1.7). Докажем существование такого векторного поля Y. Для этого обозначим через 严 отображение N в 户(N), заданное той же формулой, что и F. Тогда У получается продолжением отображения (ОХ У)。(尸)т：尸(N)-> Т(N X Af) до дифференцируемого векторного поля на N X Af (см. замечание (iv) разд. 1.8),

Покажем, что для vwTN, У 三 纷『выполняется

%У =冗 2* 凡 М(5)

Очевидно,尸*и = (и, f*u)・ В силу (23) разд. 2.4 и определения У имеем

冗2*办卩丫 = К冗2**У* (и, f*u) = К冗2**У*尸*и = К (з。У。尸)* v = KY^v = VvYt

что и доказывает (5).

Доказательство свойств (3) и (4) легко получается непосредственно из определения V力У.

Для доказательства (1) положим У + У = У + У, тогда из (5) следует

(У + У) = т%*。(р + % = n2.Vf.J + 畋*%*。歹= v„r + V„y.

Для доказательства (2) можно положить (рУ = @У, где ф = Ф о Пр Тогда для ueNp имеем

V и з/)=冗2*寸尸卩(@y)=冗2* ((尸<)0。y尸(卩)+ 0。尸(p)寸尸卩了)=

=U(0。尸)K^YF{p} + ^oF(p) Voy = V (中)Ур +ф(р)儿匕

В следующей лемме доказываются так называемые структурные уравнения Картана, выражающие значения тензоров круче* ния и кривизны М „вдоль отображения f“・

Лемма 2

Усл.4 Be/N, У e=23f.

Утв.т (ЛД, f.B) = ^AftB - VMM -ЛИ, В],(6)

R (fМ, f*8) У =雹必丫 -- %4 В]У•(7)

Док. Воспользуемся обозначениями леммы 1. Заметим сначала, что для любого векторного поля В 至 23N можно построить поле В

на N X М, F-связанное с В (см. замечание (iv) разд. 1.9). Для этого достаточно продолжить на N X М векторное поле Е*В 巨 沿(F(N)).

Для доказательства (6) выразим сначала Va/.B с помощью линейной связности V. Так как f*B =冗2*0 F*B = л2*0 S □ F, то можно положить f*B = B. Согласно (5), ▽力八鸟二冗勿。©。尸；ДВ^Л выражается аналогично. Далее, согласно замечанию (iv) разд. 1.9, имеем

f」％, 8]=冗2*。尸」4 В] = Л2* ° [А, В] ° F.

Итак,

V"乃一连力4一川4 в] = л2^т(а,д)。尸=冗力。尸(死4 £8), где Т — тензор кручения связности V. Чтобы получить (6), остается воспользоваться замечанием (iii) разд. 2.4.

Переходим к доказательству (7)* Согласно (5), имеем

▽вУ = Л2* 0 寸尸*вУ ==几2* 0 十竺У 0 F.

В таком случае можно положить VBK = VBK, и поэтому

“4^В^ = Л2* 0 Vf^A (VfiУ) — Л2*。寸尸*力寸旦У =冗2* 0 网停bY F.

Аналогично выражается ?5?4/. Далее, согласно замечанию (iv) разд. 1.9, имеем

%4 В]У =冗2*。0% [А, В]У =冗2*。V[A( B)Y。E

Таким образом,

\^BY- VbV# - V[A, В]У = л2*°^(Л, B)Fof = Л2.。R(%4,尸乃)了。F и остается воспользоваться замечанием (iii) разд. 2.4.

Замечания

Дайте полное доказательство свойств (3), (4) линейной связности вдоль отображения.

Пусть В — тензорное поле типа (г, s) на М,匕，…，Yr ^ 三阶"f: N -^ М — дифференцируемое отображение. Покажите, что В (Уь ...» У) дифференцируемо, т. е. принадлежит ^^ и соответственно %

Пусть f: TV -> Rft — дифференцируемое отображение. Рассмотрим каноническую линейную связность V на RA, векторное поле /: 2 〃'。/"曰沿0 и „поле радиусов-векторов*4 / □/ вдоль f.

i = 1

Покажите, что ?л/ □ f = ^Л для любого векторного поля 力三沿N. Полагая d = &Q, вычислите ковариантные производные ^Dc и VqVqG для параметризованной окружности с: R->R2, заданной

формулой с (/) = (р sin /, pcos /), где V — линейная связность, введенная в замечании (ii) разд. 2.3.

Если /: ^ -> М — дифференцируемое отображение, uwTW н У w %М, то，&иУ = КУ：*и = Е(У。丹卩=% (У。力，так что V^0K = 匸，0(丫。力.Следовательно, для f-связанных векторных полей А 三叭№ Xw%“ (т. е. таких, что f^A = X of) имеем (，》丫)°f = =，A(hf)・

Если f: ^ -> M — дифференцируемое отображение, то во множестве Р пар {(р, и): pwM uwMf(#} можно ввести структуру дифференцируемого многообразия таким образом, что отображение л: Pf М заданное формулой л(р, и) = р, является дифференцируемым расслоением с базой ^ и слоем Мр. Это расслоение называется расслоением над N, индуцированным отображением f. Векторные поля вдоль f суть дифференцируемые сечения индуцированного отображением f расслоения, а линейная связность вдоль отображения f определяет понятие линейной связности на векторном расслоении л. По поводу этого обобщения мы отсылаем читателя к литературе, приведенной в конце параграфа.

Параллельный перенос

Ковариантная производная, как будет показано ниже, определяет понятие параллельного переноса вдоль дифференцируемых путей.

Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности п, с: / -> М — дифференцируемый путь на М (интервал JuR предполагается, как обычно, не вырожденным, т. е. концы его не совпадают).

Пусть V — линейная связность на М. Векторное поле X ^ 33tf называется параллельным (относительно V), если

%Х = 0・ (1)

Для параллельных векторных полей X】，Х2 вдоль с и действительных чисел а, 0 векторное поле qXi*BX2 также является параллельным вдоль с. Таким образом, параллельные векторные поля образуют подпространство векторного R-пространства 2c.

Для каждого Xw*c определено отображение X*: TR-^TTM и формула X (/) = X, (£)/) задает дифференцируемый путь X: / f ТТМ, при этом 冗*。X = с*, где л — проекция касательного расслоения ТМ, Условие (1) означает, что X (/) есть горизонтальный вектор слоя (ТМ)х(力 при всех fw/・ Тогда X определяется однозначно, так как горизонтальная плоскость изоморфно отображается на соответствующий слой Мр отображением связности К. Из этих соображений можно было бы доказать теорему существования парал-

лельных полей, однако мы применим другой метод, использующий локальные представления.

Теорема 1

Усл. V — линейная связность на М; с: / -> М — дифференцируемый путь; /ое /; owMc (令

Утв. Существует одно и только одно параллельное векторное поле X вдоль с, удовлетворяющее условию Х% = о.

Док. Возьмем такие числа av е /, av<av+b что /=(J [av, av+1] V

и c([av, av+i]) принадлежат области определения некоторой карты на М. Достаточно доказать утверждение теоремы для случая, когда с(/) лежит в области определения U некоторой карты х, так как общий случай получается затем по индукции. Пусть X w 3%, ^z = ~у ^^U — базисные поля карты. Тогда

х=£ (X/)爲。％

откуда

%х =3 [О (X/) X…+ (X/) % 後。с)]. 々==1

В силу замечания (iv) разд. 2.5 имеем V/)(Xk ° с) = Vc#DXfe. Так как

c*Q = 2 Q (工‘。e)看。0,

имеем

Vd(爲。С)= х q(У。0)以?爲=S Q W。c)T厶。。)Х/。С, / ==ii, /=i

откуда получаем локальное представление

YdX = £ О (Хл?) + $(X/) О (У °с) Г%。с Х& °с.⑵

k=\ Lл/=1.

Функции ak = Xxk,冴=—£ (?方。c) Q (f。с) принадлежат §/, и

соотношение VnX = 0 равносильно

Dd=工b汨,左=1,…，小(3)

Тем самым утверждение теоремы сведено к теореме существования и единственности для систем обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений первого порядка. Пусть и = / 〃工乂尼。с |力,где 。工三 R. Тогда существует одна и только одна система функций ak е ^70, удовлетворяющая условиям /(%) =若，где JQ с= 7 — открытый интервал, содержащий 仇(см. разд. 8.4). В данном случае важно, однако, что (3) является линейной системой (как известно, в этом случае локальное решение ak может быть однозначно продолжено до глобального решения ak 三咨/).

Если q: [а, р] -> М, &： [₽, у] -> М — дифференцируемые пути на М, такие, что у —р = р —а и % (В + т) = S(В — 工)(0 & 工《В — а), то С] и с2 называются взаимно обратными. Путь, обратный с, обозначается через с~{. Как легко видеть, для параллельного поля вдоль пути c~i получаем уравнения, аналогичные (3):

Da = 2 ^а!,々=1, 九，(4)

где В： (t) = — В； (20 — t) (В 忘 f《Y)・ Поэтому из всякого решения 〃*(/) (а《/《В) системы (3) получается решение /(/) = а*(20 —/) (pVf&Y)системы (4). Отсюда следует, что если Xt — параллельное векторное поле вдоль с, то X^-t ~ параллельное векторное поле вдоль с」Поставим теперь в соответствие каждому вектору V е Мр, р = с(а), вектор 今/&) = /, где Xt — параллельное векторное поле вдоль с, удовлетворяющее условию Ха = v. В силу линейности уравнений (3) 0^ есть линейное отображение Мр в М『 а из указанного выше свойства параллельных путей вдоль взаимно обратных путей вытекает, что ^-i«^ = id. Итак, ^: Мр -> есть изоморфизм векторных R-пространств, он называется параллельным переносом вдоль дифференцируемого пути с.

Размерность векторного пространства всех параллельных полей вдоль с равна, очевидно, п.

Покажем теперь, как можно выразить ковариантную производную с помощью соответствующего ей параллельного переноса (см. введение к этому параграфу).

Теорема 2

Усл. V — линейная связность на М; с: J -> М —дифференцируемый путь. Для Хе%? обозначим X{t} — однозначно определенное параллельное векторное поле вдоль с, удовлетворяющее условию X?)= Xf.

Утв. Для 力 氏 J

办関*m(5)

Док. Пусть и尼，左=1, ..., n — линейно независимые векторы из М°, р = с(%), и Yk — параллельные поля вдоль с, удовлетворяющие условиям Yk |Zo = vk. Тогда Yk линейно независимы при всех f е 7, и по ним можно разложить X:

X = $ фТр⑹

= 1

Покажем, что 屮‘巨 $丄 Воспользуемся картой г, определенной в окрестности р, тогда п

Xy =?(匕/)0,⑺

и в силу линейной независимости У/ имеем det (Y^). .=#0.

Решая систему уравнений (7) относительно q/, устанавливаем дифференцируемость (р‘. Из линейности параллельного переноса видно, что X* = 2 屮'«) У/纣 С другой стороны, согласно (6), имеем

(幻匕|給

Следовательно, предел в правой части (5) равен 戶 D(p( \tYt |f/ Из (6) вытекает по правилам ковариантного дифференцирования, что VPX принимает то же значение при / = /0, Это завершает доказательство.

Замечания

Найдите для заданной в замечании (ii) разд. 2.2 линейной связности с кручением V параллельные поля вдоль прямых t f at + b、а, 6 €Е R3. Например, параллельное поле У вдоль прямой f-> %з，удовлетворяющее условию У (0) = D] |0, имеет вид У (/) = cos у О] |fe3 + sin у D2 |fe3. Таким образом, при параллельном переносе вектор У (0) „вращается вокруг путии.

Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной связностью V, f: N М — дифференцируемое отображение, У w SSf, V е TN. Пусть, далее, с: J -> N — произвольный дифференцируемый путь, для которого с "о) = и "о w 7), и № — однозначно определенное параллельное векторное поле вдоль^ о с? для которого У「= Уос"). Получите из теоремы 2, что

V у = lim 曙二沖、

Объясните эту формулу в частном случае N = М и f = id. Получите соответствующую формулу для ковариантной производной VXB тензорного поля В типа (г, s) на М относительно векторного поля X е ^М в точке pwM (см. замечание (iii) разд. 2.3).

Результат параллельного переноса из Мр в Mq вдоль дифференцируемого пути % соединяющего р с q, зависит, вообще говоря, от выбора соединяющего пути. Однако, если R = 0, и только в этом случае, результат параллельного переноса локально не зависит от пути, как это видно из рассуждения, приведенного ниже. В этом случае линейная связность V и многообразие М с этой связностью называются плоскими.

Пусть J — невырожденный замкнутый интервал, Н: [а, р] X X / -* М — дифференцируемое отображение („гомотопия**), такое, что Н (a, s) = р,方(В，sj = q для всех sw/;方 задает, тем самым, дифференцируемое семейство дифференцируемых путей, соединяющих р с 0. Пусть V w Мр н У w 23H такое векторное поле, что /-> У (/, s) параллельно вдоль t -> Н (t, s) при каждом фиксированном sw/ и У (a, s) = v при всех sw/. Тогда V^K 1^ s = 0 и %JL,s = 0・ Так как при этом \dNdX b>s = 0 и [£\, А】=6, то из (7) разд. 2.5 в случае R=0 вытекает ^d^dJ \t $=0・ Это означает, что f-> £>2丫〔£ $ параллельно вдоль /->//(/, s) и, следовательно, ^оУ lt s = 0» поскольку это поле обращается в нуль при / = а. В частности, Vd2y 卜，$ = ° ° У (В，$) не зависит от s. Заметим ^теперь, что каждая точка М имеет окрестность в М, диффеоморфную Rn. Пути в такой окрестности, соединяющие peg, можно деформировать друг в друга описанным выше способом.

Очевидно, в случае R = 0 параллельный перенос локально не зависит от пути. Обратное утверждение легко получается обращением предыдущего рассуждения. Нахождение топологических условий, при которых на М существует в целом нетривиальная плоская линейная связность, представляет трудную задачу. Обратная задача так же трудна даже при дополнительном предположении Т = 0 (V называется в этом случае аффинной связностью).

В общем случае тензор кривизны есть мера зависимости параллельного переноса от пути в окрестности данной точки. Точный смысл этого утверждения виден из следующего построения. Пусть р^ М, и, и, w е Мр. Возьмем в R2 квадрат Q{— 1 < щ, и2< 1} и построим такое дифференцируемое отображение f: Q->М, что f (0) = р, f*£>i Io = 〃J力2 lo = J・ Для (/, s) w Q обозначим через wttS вектор из Мр, который переходит в w ^ Мр в результате последовательных параллельных переносов: сначала из р в f(t, 0) вдоль пути т->/ (т, 0), затем из / (/, 0) в / (/, s) вдоль пути а -*/(/,吟

затем из f (厶 s) в f (0, s) вдоль пути т—>f (т, s) и, наконец, из f (0, s) в р вдоль пути о—>f (0, о). Вектор wt>s получается из з параллельным переносом в обратном направлении. Рассмотрим векторное поле У 三 23" такое, что о —> У (0, о) параллельно вдоль о—>f (0, о), У (0, 0) = ш и т—> У (т, о) параллельно вдоль т—>f (о, т). Тогда в силу (7) разд. 2,5 имеем R (〃，и)如=VqVd2yb. Выведите отсюда, что

R 3 и) 9 = lim ,

если / н s одновременно стремятся к нулю таким образом, что отношение их заключено между двумя положительными числами. Запись тензора кривизны подсказывает, что каждой паре векторов и, г е Мр соответствует эндоморфизм R (〃，и)： Mpf Мр, геометрический смысл которого мы только что выяснили.

Тензорное поле 3 типа (г, s) на М называется параллельным, если VB = 0. Функции fw^Al можно рассматривать как тензоры типа (0, 0), тогда под Vf следует понимать 1-форму d%, а параллельные функции на М суть постоянные. Для векторных полей У тензорное поле V/ имеет тип (1,1) и задается формулой Xf ▽〃(К У 三沿Л1). В общем случае на М не существует параллельных векторных полей, но если выполнено „условие интегри- руемостн" R = 0, то, согласно (iii), локально существует п линейно независимых параллельных векторных полей. Для канонической связности V некоторой параллелизации на Л/ в качестве таких полей можно взять поля, образующие параллелизацию. Покажите, что в случае канонической линейной связности на группе Ли, заданной левоинвариантной параллелизацией, тензор кручения Т параллелен.

Если подставить в параллельный тензор параллельные векторные поля на М, то получается снова параллельное векторное поле или постоянная функция. Докажите аналог этого утверждения для случая, когда подставляются векторные поля, параллельные вдоль некоторого пути на М (см. замечание (ii) разд. 2.5).

(V)Параллельный перенос вдоль кусочно дифференцируемого пути (см. разд. 3.3) определяется естественным образом как последовательный перенос вдоль дифференцируемых отрезков пути. Введем с помощью этого определения глобальную меру зависимости параллельного переноса от пути. Пусть pwM, каждой кусочно дифференцируемой петле с началом и концом в р сопоставляется посредством параллельного переноса автоморфизм Мр—> Мр, и композиции путей отвечает композиция автоморфизмов. Все такие автоморфизмы образуют подгруппу полной линейной группы GL(Л/р) всех автоморфизмов Мр, которая называется группой голономии М в точке р и обозначается через Ф(р). Пред-

положим, что М связно. Покажите, что для всех q^M группа ①(е) изоморфна Ф(р). Если зафиксировать р и отождествить GL (Мр) с GL (м, R), то Ф(р) становится, как можно показать, даже подгруппой Ли группы GL (м, R) (вообще говоря, незамкнутой). Значение группы голономии состоит в том, что структурная группа касательного расслоения может быть сведена к Ф(р) (см. замечание (V)разд. 1.7 и разд. 1.10), это означает, что вместо GL (n, R) можно принять группу Ф (р) в качестве структурной, если при построении ТМ (см. разд. 1.10) пользоваться вместо ассоциированных карт расслоения картами, возникающими естественным образом при параллельном перенесении. В общем случае Ф(р) есть общая линейная группа GL (n,.R) или ее подгруппа GL+ (n, R), состоящая из автоморфизмов R' с положительным определителем. Если Ф (р) = 1, то в силу (iii) связность V плоская и ТМ тривиально. Обратно, если линейная связность V плоская, то в силу (iii) параллельный перенос из р в q зависит лишь от гомотопического класса петель, т. е. мы приходим к „гомоморфизму голономии" <р: щ (М, р) f GL (Мр)丝 GL (м, R) фундаментальной группы М в общую линейную группу, образом которой является группа голономий Ф(р). Если М плоско и односвязно, т. е.冗】(〃, р)=1, то Ф (р) = 1 и М параллелизуемо.

Геодезические

Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности м; J — невырожденный интервал; с: J ^ М — дифференцируемый путь. Касательным полем пути с называется касательное векторное поле с вдоль с, определенное формулой

” c*D (1)

Путь с называется регулярным^ если с: / ^ М — погружение, т. е. если d(f)啜 0 для всех t J. Пусть / — замкнутый интервал [а, В]・ Путь с называется периодическим, если отображение с можно продолжить до дифференцируемого периодического отображения Rf М с периодом § —

Пусть V — линейная связность на М. Дифференцируемый путь с на М называется геодезической^ если его касательное поле d параллельно, т. е. удовлетворяет условию

VW = 0・ (2)

Пусть теперь х — карта на М с областью определения U; ПОЛОЖИМ Xf = —г.

Так как

с (xfe) = {c^D) {xk)=(戶 D (d ℃)XiOc^xk = D (d。c),

то в силу (2) разд. 2.6 имеем

VDC (f) = i DD (炉。c) + , ^,停。c) Q ⑴。c)喝。c ,爲 h力 при c(f)wU. Поэтому локально (2) равносильно уравнениям QQ 停。с) + ^D (xl о с) D (xJ о С)Г^ о с = Qt 々=1,…，儿 (3) Это классические дифференциальные уравнения геодезических.

Согласно известной теореме теории дифференциальных уравнений, для заданных р^ М, v ^ Мр и /0 е R локально существует геодезическая, удовлетворяющая условиям с(/0) = р, с(/0) = и. Эта геодезическая однозначно определена с точностью до области определения.

В следующих двух разделах мы получим геодезические как проекции интегральных путей некоторого глобально определенного на ТМ векторного поля S, что приведет нас сразу же к однозначно определенным максимальным геодезическим. При этом будет существенна глобальная „дифференцируемая зависимость решений от начальных значений**, с помощью которой мы сможем доказать дифференцируемость так называемого экспоненциального отображения, соответствующего линейной связности.

Подчеркнем, что система дифференциальных уравнений (3) нелинейна. Решения таких систем, вообще говоря, не могут быть неограниченно продолжены. В то время как параллельный перенос вдоль дифференцируемого пути возможен до тех пор, пока этот путь определен, геодезическая часто не может быть продолжена за пределы некоторого интервала (a,p)eR, даже если М компактно (см., например, замечание (vi)). Линейная связность V на М называется полной, если каждая геодезическая на М, определенная на некотором интервале, может быть продолжена до геодезической, определенной на всей R. Отличительная черта связности Леви- Чивита V на римановом многообразии М (см. § 3) состоит именно в том, что из компактности или (в более общем случае) метрической полноты М вытекает полнота V..

Замечания

Для канонической связности V на R" н карты х — id имеем Г务=0. Поэтому, согласно (3), все геодезические с: /-> R" суть прямые c{t) = at + Ь (% 匕巨 R"),

Если для векторного поля X 巨 53Л1 выполнено условие у*Х = 0, то каждый интегральный путь с поля X (см. разд. 8.5) есть геодезическая связности V. В самом деле X。с = i = c*D, так что D и X являются с-связанными, поэтому из замечания (iv) разд. 2.5 имеем 0 = (VxX) ^c^\D(X^c) = \Dc. В частности, интегральные пути параллельного векторного поля суть геодезические. Если М параллелизуемо и V — каноническая линейная связность параллелизации X】，…，Хп^^М, то все геодезические на Л1 —интегральные пути векторных полей вида 2 ^^ь a'wR. В этом случае линейная связность V = V + S, где S — антисимметрическое тензорное поле типа (2,1) на М, имеет те же геодезические, что V, так как SDc = 0. Поэтому геодезическими связности V на R3, введенной в замечании (ii) разд. 2.2, являются те же прямые, что и в замечании (i). Вообще если V — линейная связность на М и S — тензорное поле типа (2,1) на М, то геодезические V совпадают с геодезическими V + S тогда и только тогда, когда S антисимметрично. В частности, для каждой связности V существует связность без кручения с теми же геодезическими, а именно,

Для связности V на R2, введенной в замечании (ii) разд. 2.3, дифференциальные уравнения геодезической с: /-> R2 относительно карты х = id имеют вид

力 + "U = 0, 0 — "2 = 0, где и, V — компоненты с н 〃 обозначает Du. Для любой геодезической сумма "2 + и2 постоянна. Если и постоянна, например а(/) = 〃о，т0 прямая 〃 = 〃о, V = а/ + р, параллельная оси и, представляет решение предыдущей системы; и постоянна только для тривиальной геодезической. Используя замечание (ii) можно найти некоторые геодезические. Например, геодезическими являются интегральные пути Х2, удовлетворяющие дифференциальным урав-

нениямнениямzi = — sin и, v = cos и.zi = — sin и, v = cos и.

нениям

нениям

zi = — sin и, v = cos и.

zi = — sin и, v = cos и.

Некоторые решения этих уравнений можно выразить простыми формулами. При 〃 = 0, например, получаем прямые 〃(/) = fen, u(f) = (-l)"f+ 6，при 〃方0 можно указать семейство решений, зависящее от одного действительного и одного целочисленного параметра: &

u(/) = 2arctge(-1)ft( +^л, й(/) = 2(-1)*—Ц；,

где k — целое и §wR. Координаты и (/), и (/) связаны при этом уравнением

и = — -^ log sin2 и + р, и ^= fen.

Пусть с: J М — дифференцируемый путь. Тогда касательное поле с есть дифференцируемый путь на ТМ, ё — дифференцируемый путь на ТТМ, и т. д.,々-кратная итерация касательного поля с^ — дифференцируемый путь на Т^М. Путь с периодичен в том и только том случае, если М замкнуты при всех 々》0; с является геодезической в том и только том случае, когда ct горизонтален при всех / ^ /. Геодезическая с периодична тогда и только тогда, когда с (а) = с (р) и с (а) = с (Р) (/ = [а, р]).

По традиции периодические геодезические часто называют „замкнутыми геодезическими44, хотя замкнутость означает обычно лишь с (а) = с (Р).

(V)Рассмотрим на группе Ли G каноническую связность V относительно левоинвариантной параллелизации. Эта связность не зависит от выбора левйинвариантных полей, задающих параллелизацию, поэтому мы будем называть ее просто левоинвариантной связностью на G. Согласно замечанию (ii), все геодезические связности V суть интегральные пути левоинвариантных полей. Если X — такое поле, h^H и с: /->М — интегральный путь X, то L九。с также есть интегральный путь X по определению левоинвариантного поля. Обозначим через е единицу G. Если с — интегральный путь поля X, определенный в некотором открытом интервале /, содержащем 0, причем с(0) = е, то при 力力”力 + 乙三/ путь с удовлетворяет функциональному уравнению c(t{ + /)= = c«i)c(f). В самом деле, пути /-> с (九+ /) и /-> с (幻 с ⑺ суть интегральные пути поля X, совпадающие при / = 0, а поэтому и везде. .

Пусть с — максимальный интегральный путь, удовлетворяющий условию с (0) = е. Покажем, что его область определения / = R. Действительно, если, например, / = (% В), где р< оо, то при 0<Л<₽ путь з： (а + % § + ")-> G, заданный формулой Q«)= =с(п)с« —П), есть интегральный путь X. Так как %(叫=。(哂 то с может быть продолжен вправо от §, вопреки предположению. Итак, все геодезические группы Ли G могут быть продолжены на R и левоинвариантная связность группы Ли всегда полна.

Одновременно мы установили, что каждая геодезическая с: R—> G, удовлетворяющая условию с(0) = е, есть гомоморфизм R в G и, естественно, также инъективное погружение (но, вообще говоря, не вложение; см. замечание (iv) разд. 1.7). Образ с есть одномерная подгруппа Ли группы G, такие подгруппы называются также однопараметрическими. Обратно, каждая однопараметрическая подгруппа G является образом некоторой геодезической.

Образ геодезической с: Rf G, удовлетворяющей условию c(0) = g, есть левый класс смежности gH подгруппы Н = Л^1。с (R). Изучите геодезические групп Ли, приведенных выше в качестве примеров.

(vi) Покажите, что каноническая связность V на R" полна на непустом открытом подмножестве GuR тогда и только тогда, когда U = R". Если V — любая линейная связность на R, то для любых sb §2三口 существует геодезическая с： [a, §]f R, удовлетворяющая условиям с (а) = sb с (р) = s2. Однако на R существуют неполные линейные связности, например заданная формулой VdD = D. Рассмотрим дифференцируемое накрытие л: Rf S* заданное формулой л (/) = (cos Z, sinf). Касательное поле 。三 23R, очевидно, л-связано с некоторым векторным полем D{ е SS1. Формула VdR = Di задает линейную связность V на SL Никакая нетривиальная геодезическая с1 этой связности не может быть определена на всей R. В самом деле, с1 = л □ с, где с — геодезическая заданной выше связности V на R, и с не может быть продолжена на R. Таким образом, существуют компактные многообразия с неполной линейной связностью. Сфера S】и прямая R являются даже аффинными многообразиями: для любой связности на них R = 0 и Г = 0.

Постройте пример неполной линейной связности на двумерном многообразии.

Экспоненциальное отображение струи °

Пусть М — дифференцируемое многообразие размерности п. Векторное поле S на касательном расслоенном пространстве ГМ называется струей на М, если оно удовлетворяет следующим условиям：

冗* о S = id,(1)

s。力а = а (力 J。S (ct w R),(2)

где йа — гомотетия, определенная в разд. 2.4, т. е.力° (и) = as

Таким образом, для всех v^TM, awR имеем 冗*Sg = u, Sao = a (力 J Su* Оказывается, что интегральные пути струи удовлетворяют некоторому функциональному уравнению.

Лемма 1

Усл. S — струя на М; имТМ; Фо: J-^TM — однозначно опреде* ленный максимальный интегральный путь векторного поля S, удовлетворяющий условию Фо (0) = v (см. разд. 8.6).

1)В литературе термин „струя" часто используется для обозначения объектов иного рода (в подлиннике — spray) — Прим. ред.

Утв. ①° удовлетворяет соотношениям'.

① s°(f) = S ①u(sf) (swR),. (3)

冗。①и = Фо.(4)

Док. Чтобы доказать (3), рассмотрим путь 屮：J->TMt заданный формулой 屮(/) = 5①° (sf). Тогда 屮")=屮*力=(s①J (sDQ = =s (s① J 2f = s 仇。① J Dst = s (A)*。(①J* Dsi = s (/zj* 必(sf)= = s(hs\So(^v(st) = SoW(t),

Таким образом, 屮 есть интегральный путь S. Так как при этом 屮(0) = s① JO) = so = Ru(0), то 屮 и Ф50 совпадают. Соотношение (4) доказывается следующим образом： л ° Ф^ = л+ ° S о Фо = Фо.

Пусть S — струя на М. Согласно лемме из разд. 8.6, существуют такое открытое множество 呼 uRxTAf и такое дифференцируемое отображение ①(f, и)： W -> ТМ, что для каждого V w ТМ множество /° = {f: (f, и) в W} представляет собой открытый интервал и отображение Ф(^, и) \j^ Jv -> ТМ есть максимальный интегральный путь Фо векторного поля S, удовлетворяющий условию ① и(0) = и:■

①亿и)=①Kf)・(5)

Обозначим через W подмножество М состоящее из всех точек (/, и), для которых Jv =5 [0, 1]. Обозначим через рг естественную проекцию W на второй сомножитель и положим ТМ = pr(lV), TMczTM. Ясно, что ТМ — открытое подмножество ТМ, Покажем, что вместе с каждым вектором v ТМ содержит все векторы то, 0&T&L В самом деле, согласно (3), при 0《т苍 1 интегральный путь ①g может быть определен, во всяком случае на интервале 7Р, с помощью равенства

①в (/) = т①口 (tf) (t 三 /J・

В частности,

⑹⑹предстапредстат① и(т) = 0)а(1)

⑹

⑹

предста

предста

при и ^ТМ, 0《т&1.

Мр = ТМ[\МрМр = ТМ[\МрИз только что доказанного вытекает, что

Мр = ТМ[\Мр

Мр = ТМ[\Мр

вляет собой звездообразную окрестность нулевого вектора Qp^Mp для каждой точки р^М.

Определим теперь экспоненциальное отображение exp： ТМ~^ М струи S по формуле

⑺⑺ехр(и) = лоф(1, и),

⑺

⑺

где V ^ ТМ. Очевидно, это отображение дифференцируемо, поскольку дифференцируемы л и Ф. Часто рассматривают также отображение ехрр： Мр -> М, заданное формулой

ехрр = ехр %;(8)

таким образом, ехря(0)(v) =ехр v для v^TM. Отображение ехрр называется экспоненциальным отображением в точке р и дифференцируемо вместе с ехр.

Теорема 1

Усл. S — струя на М\ ехр — экспоненциальное отображение струи S. Утв. Для каждой точки р^М справедливы следующие предложения*.

ехр имеет в точке 0р е ТМ максимальный ранг (= п);

ехрр имеет в точке р максимальный ранг (= п) и обратимо в некоторой окрестности точки 0р^Л1р;

отображение л X ехр： ТМ -> М X М имеет в точке Ор максимальный ранг и обратимо в некоторой окрестности точки Ор относительно ТМ.

Док. Пусть и Мр с= ТМ — включение. Построим для v^Mp дифференцируемые пути ф： /0-> Мр и с: Jv^ М по формулам

屮(/) = tvf с = ехр ° I ° <р.(9)

Тогда имеем

〃0) = ехр*。％。^Do = ехр*。厶。/у,(Ю)

где /()〃: Мр -> (-Мр)0^ — канонический изоморфизм (см. (5) разд. 1.4). Обозначая по-прежнему через Фо максимально определенный интегральный путь поля S, удовлетворяющий условию ①口(0) = ^, с помощью (6), (7) и (9) получаем, что

0(/)=冗。①。⑴(11)

для t^JVi откуда

с (0)=冗*。Фо (0) = %S。Фо (0) = Фо (0) = и.(12)

Сопоставляя (10) и (12), получаем

ехр, ° i$ ° IQv = V(13)

для V ^Мр.

Доказательство утверждения (а) сразу же следует из (13).

Для доказательства (Ь) заметим, что (ехр) = (ехр。i)* = ехр*。％, поэтому из (13) следует, что ехрр имеет максимальный ранг

в точке Ор. Так как dim Мр = dim Mt утверждение следует из теоремы обращения.

Переходим к доказательству (с). Пусть х — карта, определенная в окрестности р, х — ассоциированная карта расслоения на ТМ, Положим X/ =(/ = 1, ..., п), /总=(й = 1, .»., 2п). Введем

произведение карт z = хХ х на М X М в окрестности точки (р, р) = (л (0р), ехр(Ор)) (см. разд. 1.7). Полагая

2左=二他=1,2*

д2к

с помощью (2) разд. 1.4 получаем

2п

(冗 X exp)* Ak |Ор =百 4 I Op (J。(к X exp)) Z,丨(〃 p).(14)

Очевидно, а/° (xtXexp) = %，° 冗 и 2比+，° (xtXexp) = %，°ехр (/= 1,..., n). В силу (1) разд. 1.10 имеем %丿。冗=元丿(/= 1, ..., п), а поэтому

4 lop (%' ° л) = б{ (/ = 1 > * • •» 孔，厶=1, • • •, 2л.).(15)

Как мы покажем далее, имеет место

4+左h (М。exp)=网(/, k = 1n).(16)

В самом деле, рассмотрим пути ⑶左：R—>Л1Р, заданные формулой 队 «) = /Х/|р. Тогда(L о(pft), ^0 = Ij ^0 (^У 010 <Р*)л/ Up = Лп+* I ор> так как 元/。I。<р/ (/) = х1 (р) и

Хп+1010 <Pft (0 = txk |р %/ = /б{ (/= 1п).

С другой стороны, (i°(pft). D0 = itoI0Xk\p, откуда An+k\Qp = =%。/0内1内 и получаем из (13)

exp, An+k |()р = Х/|р.(17)

Более того, согласно (2) разд. 1.4, имеем

п

exp* An+k Io = 2 Л„+А I о (/。exp) Xt\p

и, сравнивая с разложением (17), получаем утверждение (16). В силу (14) — (16) матрица линейного отображения (л X ехр)*Ор от-

носительно базисов Ах \Qpi ・・・,Д2л 1ор соответственно Z】|(p,卩),・・・

・・・，Z2rli(р,р)，имеет вид

-1 о —

О ' 1о [о i。

и поэтому имеет наивысший ранг (= 2п). Для завершения доказательства (с) остается применить теорему обращения.

Из (17) опять же следует, что ехр имеет максимальный ранг в точке 0р・

В следующей теореме рассматривается „глобальное^ поведение отображения л X ехр в окрестности подмногообразия 0(М)и7м.

Теорема 2

Усл. S — струя на М; ехр — экспоненциальное отображение струи S； 0: Af т ТМ — нулевое се%е〃〃е・

Утв. Существует такая окрестность U иТМ дифференцируемого . подмногообразия 0(М)иТМ, что отображение (лХехр) 1^： Uf ~^М X М есть диффеоморфизм U 〃а некоторую окрестность диагонали в М X М.

Док. Доказательство получается из теоремы 1 и простых топологических соображений. Согласно утверждению (с) теоремы 1, у каждой точки 0р^ТМ найдется окрестность GpczTMf на которой отображение л X ехр гомеоморфно. Тогда открытое множество G = (J Gp содержится в ТМ9 содержит 0 (М), и л X ехр |0

локально гомеоморфно, в то время как л X ехр |0(м) инъективно. Представим Mt как и в доказательстве теоремы 8.2, в виде объединения возрастающей последовательности компактных мно* жеств & (/=1, 2, ...) так, чтобы С^ состояло из внутренних точек &+i・ Положим 4 = 0(&) (z = 1, 2,・・) До = 0, В/ = ^= С{ ХС^ М X М (z = 1, 2, ...). Построим цо индукции после-

довательность открытых множеств с компактными замыканиями Ui^G (I = 0, 1, 2, ...), обладающих следующими свойствами：

UqS

5"・

Множество :rt(UJUexp(Uj состоит из внутренних точек &+”

Отображение л X ехр |^и0(м) инъективно.

Положим и°=0・ Пусть U、，…,U, уже построены и обладают свойствами (а) — (d). Поскольку SU4+2 компактно, в силу доказываемой ниже леммы 2 существует такое открытое в G множество 匕+1二)((7内 4+2), на котором л X ехр инъективно. Далее, (л X exp)(Q U А”) и В^{.(18)

Следовательно, компактное множество, стоящее в левой части (18), состоит из внутренних точек Bz+2. Поэтому существует такое открытое в G множество К», что 吃+【компактно, (лХехр)”》) состоит из внутренних точек В^ и W iJr{^(U t\] Xz+I). Положим Uf+[ = У\+[ П ^i+i- Тогда л X ехр инъективно на Ui+iU4,+2, причем значения отображения на этом множестве не могут совпадать с его значениями на 0(Л1) \ Л/+2. Поэтому л X ехр инъективно на Uf+iUO(Af) и построение по индукции окончено. Требуемая в теореме окрестность U подмногообразия 0(М) есть (J и『.

Лемма 2

Усл. М, ^ — хаусдорфовы, пространства со счетной базой} М локально компактно} f： М ^N локально гомеоморфно; А<^М — компактное подмножество; f |л инъективно,

Утв. Существует такое открытое в М множество УпА, что f|^ инъективно.

Док. Построим убывающую последовательность открытых множеств с компактными замыканиями У„, n = 1, 2, ..., пересечением которых является Л. Предположим, что ，|丿也 не инъективно ни при каком п. Тогда для каждого п существуют такие различные точки р„, qn^Vni что f (pf = f (q)，Для некоторой подпоследовательности {п^ получаем предельные точки р, gw 4. Если р 丰 q, то в силу инъективности fU имеем f (р) #= f (^), отсюда при достаточно большом п получаем Ю 上 f (qj, что невозможно. Если же p = q, то существует такая окрестность V (р) точки р, что fM(p) инъективно в силу локальной гомеоморфности f. Но тогда при некотором п имеет место pnt 夕耳巨 U(p), 耳丁0 также ведет к противоречии?,

Таким образом, для некоторого п отображение f |Vn инъективно, что и доказывает лемму.

Замечания

Покажите, что л X ехр имеет максимальный ранг (=2拉) в точке v^TM, если ехрл(1)) имеет максимальный ранг (=拉) в точке и.

Покажите, что окрестность U в теореме 2 может быть построена так, что при всех реМ множество U Q Мр будет звездообразно. Тем самым Л = (л X ехр) (17) есть окрестность диагонали в МХЛ!, ретрагируемая „по радиусам44 на диагональ.

2.9. Геодезическая струя линейной связности

Мы получим теперь геодезические линейной связности на М проектированием интегральных кривых некоторой струи.

Теорема

Усл. М. — дифференцируемое многообразие, V — линейная связность на М с отображением связности К・

Утв. На М существует одна и только одна горизонтальная струя S, т. е. такая, что

К% = 0“ ⑺ для всех V ^ТМ.

S называется геодезической струей линейной связности V.

Док. Согласно 2.4, отображение л* X К： ТТМ ->ТМ X ТМ индуцирует для каждого вектора w w ТМ изоморфизм (TM)w f 〃几(陋)>< X Mn(w). Поэтому для каждого uwTM существует один и только один вектор Sv е (TM)VJ удовлетворяющий условиям

冗*= и, KS。= 0几®.(1)

Определенное таким образом отображение S: TMfTTM есть, очевидно, сечение расслоения ТТМ. Ниже мы проверим, что это сечение дифференцируемо. Покажем сначала, что S удовлетворяет условиям (1) и (2) разд. 2.8. Условие (1) выполнено по самому построению S. Чтобы доказать (2), достаточно в силу разд. 2.4 проверить соотношения

%。(S。Аа) = л, ° (а Sa)*S),⑵

Ko(So/U = Ko(aS)S).(3)

Доказательство (2). Так как л ° йа = л, то для v^TM имеем

л.а (Аа), S。= ал, (Аа), SB = а (л ° Аа),5в = an,SD = аи = л,5ав ='

=%(5。色8)).

Доказательство (3). В силу (1) левая часть (3) равна

К (S ° Йа) 口 = Од (аи) = Од ⑴；

правая же часть (3), согласно (21) разд. 2.4, равна

К (a(% J S) 口 = а(К。(ZzJ) Sv = a”(KSJ = 0冗®.

Остается проверить, что S дифференцируемо. Для этой цели мы построим локальное представление S, Пусть U — область определения некоторой карты х на М> х — ассоциированная карта расслоения на TU、X]=丄(Z = 1, ..., zz) и Лй = —(/г = 1, ..2п).

dx1

Для 口 н S。 получаем представления .

пп2作

。=牛 W) X丄⑻=W (。) X] ®, S。= N d (и) 41”1 = 1; = 1尼=1

где v e TU, Так как n*Su = v, из (10) разд. 2.4 следует, что а1 = =元几i=l, ..., п. Далее, в силу условия К5и = 0^9) из (11) разд. 2.4 следует

^+左=一 S ^+‘^+T%。现n.⑷

Таким образом, имеем

S\Tu = ii xn+kAk- $ (产‘岁+t方。")4+忌，⑸

fe = lL九尼=1

откуда, очевидно, следует дифференцируемость S.

Геометрический смысл геодезической струи выражается следующей леммой.

Лемма

Усл. V — линейная связность на М; S — геодезическая струя связности V.

Утв. Г[尹ь с: J-> М тогда и только тогда является геодезической, когда существует такой интегральный путь qp: 7-> ТМ геодезической струи S, что

с = л ° qp(6)

^ = Ф-(7)

Док. Пусть с: 7 -> М — геодезическая. Тогда, согласно определению линейной связности вдоль пути (см. разд. 2.5) и (2) разд. 2.7, имеем

(8)(8)V4K&£)) = 0・

(8)

(8)

Так как 冗。@ = & имеем, кроме того,

冗* (厶D) = (л。d)*D = c*D =之(9)

По определению геодезической струи из (8) и (9) следует c^D = = So@, т. е. с есть интегральный путь S. Поскольку с = п^ с, первая часть утверждения доказана.

Пусть, обратно, tp: J->ТМ — интегральный путь S, тогда

Лоф — Л4оф = Л4о5о(р =(р, и поэтому

Vp (л ° ф) = Vq(p = К<р刀—К亩=KS(p = о, т. е. л ° ф есть геодезическая.

Согласно разд. 8.6, для каждой точки и 巨ТМ и каждого Z0^R существует один и только один максимальный интегральный путь Ф： /f ТМ, удовлетворяющий условию 屮(/()) = и. Тогда, согласно лемме, для каждой точки pwM, v^Mp и 友三^ существует одна и только одна максимальная геодезическая с: J ~> М, удовлетворяющая условиям с«о) = рн @«о) = и (возьмите интегральный путь ср, для которого ф (友)=и, н положите с =冗。ф)*

В дальнейшем exp: ТМ-> М везде означает экспоненциальное отображение геодезической струи некоторой линейной связности на М, Поскольку это отображение однозначно определяется связностью V, оно называется также экспоненциальным отображением связности V. Следующие три высказывания эквивалентны: V полна; S полна; отображение ехр определено на всем ТМ (см. разд. 2.7 и 8.8). Из (6) и (7) разд. 2.8 следует, что

exp (tv) = л о Фо (/),(Ю)

где v^TM и Фо: J->ТМ — максимально определенный интегральный путь S, удовлетворяющий условию Фо (0) = V. Тогда путь с: J f М, заданный формулой

c(f) = exp(W),(П)

есть, согласно лемме, однозначно определенная максимальная геодезическая, удовлетворяющая условиям с (0) = л (v) и с (0) = v. Таким образом, экспоненциальное отображение позволяет „линеаризировать ** все исходящие из точки pwM геодезические.

Замечания

Экспоненциальное отображение канонической линейной связности V на R" задается формулой ехрр v = р + at где и =« =2 ^Di |р.

1=1

Термин „экспоненциальное отображение*1 объясняется следующим характерным частным случаем.

Пусть G — группа Ли с единичным элементом е и левоинвариантной связностью V. Согласно замечанию (v) разд. 2.7, определено отображение exp©: Ge-> G, являющееся на каждом одномерном подпространстве Ge гомоморфизмом, т. е. удовлетворяющее для всех v^Get /, /^R функциональному уравнению exp ((/1 ¥ /) и)= =exp(fiu)exp(fu). Однако, в общем случае ехр© не является гомоморфизмом на всем Ge (рассматриваемом как аддитивная группа). Обозначим через 叱(R) векторное R-пространство всех действительных м-рядных матриц, тогда G = GL (zz, R) есть открытое подмножество 叱(R)dR吃 и тем самым, Ge канонически изоморфно 叱(R). Обычное экспоненциальное отображение % (R) f f GL(/z, R) определяется для матриц a^3Wn(R) формулой 6。= = 2 石，поэтому мы получаем дифференцируемое отображение Ggf G, удовлетворяющее на каждом одномерном линейном подпространстве тому же функциональному уравнению, что и ехрр. Согласно замечанию (v) разд. 2.7, оба отображения должны совпадать, т. е. exp© на полной линейной группе задается экспоненциальной функцией от матрицы. В случае п = 1 группа G есть мультипликативная группа R* действительных чисел, не равных нулю, Gj = R, а функция ехри Rf R* есть обычная действительная показательная функция expi(f) = e‘, изоморфно отображающая R на мультипликативную группу положительных чисел. Таким образом, ff i есть геодезическая на R.

Найдите \dD для инвариантной связности V на R*.

Экспоненциальное отображение ехрр линейной связности V на М для точки р, вообще говоря, не инъективно, а также не везде имеет максимальный ранг. Даже если М связно и V полна, так что Мр = Мр, отображение ехр^ не обязательно сюръективно. Сюръективность не является обязательной даже в случае, если V — левоинвариантная связность связной группы Ли. Например рассмотрите компоненту связности единицы GL+ (2, R) в группе GL(2, R) и покажите, что матрица

0、

I, 0<a< 1,

не принадлежит образу ехр©.

Можно, однако, показать, что если группа Ли G связна и компактна, то exp©: G©f G сюръективно.

ЛИТЕРАТУРА К § 2

Dombrowski Р., On the geometry of the tangent bundle, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 210 (1962), 73—88.

Kobayashi S. and N о m i z u K., Foundations of differential geometry I, Interscience Publishers (1963), New York — London.

Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, М., 1967.

Н о м и д з у К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, М” 1960.

§ 3. Римановы многообразия

3.1. Определение риманова многообразия

Предположим, что на дифференцируемом многообразии М определено тензорное поле g типа (2, 0), т. е. билинейное отображение g: 23Л1 X 83М-> 咅М над кольцом 咅М・ Если g удовлетворяет условиям

g(x, y)= g(K X),(1)

g(X,X)|p>0(2)

для всех X, У 三 23М и для всех р, где Хр 关0, то g называется основным тензором, или метрическим тензором на М. Римановым многообразием называется объект, состоящий из дифференцируемого многообразия и заданного на нем метрического тензора. Условие (1) выражает симметричность метрического тензора, условие (2) — его положительную определенность. Вместо g(X, У) мы будем большею частью пользоваться записью〈X, У). Согласно (1) разд. 2.3, для каждой точки р ^ М мы получим билинейную форму ( , ) на векторном R-пространстве Мр) полагая (и,侬〉= =〈X, У%, где и, w^Mp и X, У е 23Л1 — такие векторные поля, для которых Хр = V, Ур = w. В силу (1) и (2) этим задается внутреннее (скалярное) произведение на Мр. В частности, мы получаем на Мр норму II II： Mpf R н евклидову метрику р:此 X X Мр -> R с помощью формул |向=〈？，и)2, р(и, 侬)=||?—侬 ||. Касательное пространство Мр с заданной на нем метрикой р есть евклидово векторное пространство. Метрический тензор g на дифференцируемом многообразии М называется также римановой метрикой касательного расслоения ТМ, так как g индуцирует евклидову метрику на каждом слое Л1Р. Метрический тензор на М называется еще римановой метрикой на М, Существенно при этом, что „риманова метрика касательного расслоения" не есть „риманова метрика на расслоенном пространстве ТМ“； ее задание равносильно заданию римановой метрики на М, Ниже мы увидим, как на дифференцируемом многообразии ТМ может быть построена риманова метрика, исходя из метрического тензора на М. Важно отметить, что внутреннее произведение „дифференцируемым образом зависит от р“，т. е. отображение

р->(Хр, У" дифференцируемо для любых дифференцируемых векторных полей на М, что вытекает непосредственно из определения тензора. Риманова геометрия есть обобщение евклидовой геометрии, так как задание римановой метрики означает задание на дифференцируемом многообразии дифференцируемым образом зависящей от точки евклидовой структуры.

Для каждой точки р определим функцию 今：AfpX Мр f [0, л], где М； = Мр\{0}, формулой

cos 今(и, ш)н •(3)

、/ II d II • II 侬II一

Функция 今(и, ш) называется (не ориентированным) углом между и, з三М^* Векторы и, t^wMp называются ортогональными, если (и, 5〉= 0, или, что то же самое,今(и, 5)= ^- (и,⑪三死).Если q, 3： Af — дифференцируемые пути,

/0^7, С[ (/0) = с2 (/0) и G(/())=#0,處偽)，。，

то угол 今(4 (力)，@2(/。)) называется углом пересечения путей сь с2 В

Пусть х — карта на М с областью определения U н Х^ = =-^7三沿。・ Тогда векторные поля X, Y^^SU представляются

в виде Х = У 屮*Х±,У = У "Х/’где q/,Mw^U. Из билинейности g i = l/=1

вытекает представление 〈X, У〉= X Vgm функции g“ =

==〈Xf, X/〉三哲。называются компонентами тензора g относительно карты х.

Определим для тензоров(оь(о2 типа (г, 0) и (s, 0) соответственно тензорное произведение coj ®(о2, т. е. (г + 5)-форму, заданную формулой

&1 ® 则)(X],・• •，X力 Kj, ..., У§) = co】 (X],..・，Хг) о)2 (匕，♦…，匕)，Х±, Yу^23Л4, / = 1, ..., г, / = 1, • > >, s.

Тогда, обозначая тензорное поле gL через ds2, можно представить его в виде

曲2 =е £ g“dW ® dW・

Обозначение ds2t все еще употребляемое, указывает на то, что вдоль дифференцируемого пути g равно квадрату дифференциала

длины дуги (см. разд. 3.3), что связано, таким образом, с фундаментальным для всей римановой геометрии понятием. Тензор g называется также „первой основной формой** риманова многообразия М (есть еще „вторая основная форма", определяемая, однако, не внутренним образом, а как характеристика погружения в некоторое другое риманово многообразие, см. разд. 3.7).

Замечания

Пусть М есть п-мер ное параллелизуемое многообразие, Xi,Хп^&М — параллелизация. Тогда условие g(X±, Ху) |р = =М/ (для всех р) задает на М риманову метрику g. Если М— группа Ли, то для левоинвариантной параллелизации получаем левоинвариантную риманову метрику- В частном случае М = = R", X尸 D$ такая метрика называется канонической,

Пусть М, N ~ римановы многообразия с метрическими тензорами g】，&• Тогда на дифференцируемом многообразии MXN естественным образом вводится метрический тензор g, определяющий на нем произведение римановых метрик g〔，&• Положим для этого

g(X, Y) = gl(^x,冗i*y)+ g2 m2金，

где 冗i, л2 — проекции на М, N н X, УеЗЗ (М X N). В силу канонического изоморфизма (М X N)(p q}~ МрХ Nq метрика g индуцирует в (М X N)^p q, произведение евклидовых метрик, заданных тензором gi в Л1р и тензором & в Nq. Метрика g обозначается также через g】X

3・2・ Изометрические отображения

Рассмотрим теперь соответствующие классу римановых многообразий отображения, согласованные с римановой структурой. Пусть М, N — римановы многообразия, f: M~>N — дифференцируемое отображение; f называется изометрическим отображением, если для всех р^М и всех (и, w)^.Mp имеет место

3 ш) = <^, ftw}. (1)

Очевидно, каждое изометрическое отображение является погружением. Если множество точек М содержится во множестве точек N и включение i: М и N есть изометрическое вложение, то М называется римановым подмногообразием N* Изометрический диффеоморфизм называется также изометрией^

Пусть f: M-^N — дифференцируемое отображение и В — тензорное поле типа (г, s) на N. Тогда f индуцирует на М тензорное поле 广В того же типа по формуле

где X], Xr е SM. Если g — метрический тензор на ^ и f — погружение, то fg — однозначно определенный метрический тензор на М, по отношению к которому отображение f изометрично. В самом деле, fg симметричен по определению, а положительная определенность f*g следует из соответствующего свойства g в силу инъективности f” для любого рмМ; f*g называется римановой метрикой на М, индуцированной отображением f.

Если М, N — римановы многообразия с метрическими тензорами 爲 g н отображение f: М f N изометрично, то p = f*g・Bqa・ стности, на дифференцируемом подмногообразии М риманова многообразия ^ существует одна и только одна риманова метрика, превращающая М в римановб подмногообразие.

Теорема

Утв. На каждом дифференцируемом многообразии М существует метрический тензор g.

Док. Для каждой точки q М построим карту xq с областью определения Uq m q; xq есть вложение UQ в R" н, следовательно, индуцирует из канонической метрики R" некоторый метрический тензор gq на Uq. Теперь локально определенные метрические тензоры gq „склеиваются14 с помощью разложения единицы в глобальную риманову метрику. Пусть (ф^)^ м — дифференцируемое разложение единицы, для которого Supp q)fl cz Uq (см. разд. 8.3). Определим gj ХШх*М —苦Af, полагая g/X, Л|Р = Ф?(Р)^ (Xp, Yp) при pMt/q н gq(X, У)|р = О в остальных точках. Положим, наконец, g= £ gq. Как легко видеть, g есть метрический тензор (7 ем

на

Замечания

Рассмотрим Rfe с каноническим метрическим тензором〈,) и n-мерное дифференцируемое подмногообразие М с включением I： MuR'. Тогда I индуцирует метрический тензор g на М. Пусть х: UfR" —карта на М и z = х"1 = i о х-1 — локальная параметризация Х± = ^^, gu — компоненты g относительно карты х.

Тогда g〃 =〈1*Х『，％Х/〉н, согласно (2) разд. 1.4,= £ Х± (£) Q。1,

k

а значит, и %Х/о2=2 “仇。2・ Так как ⑵，D^ = SIm> имеем gij°z = ^D^DfZ1,

Например, в случае i: Sp ci Rrt+1 мы получаем каноническую риманову метрику на Sp. Для карты на верхней полусфере 〃+，заданной с помощью формулы 尢(屈，...,〃“+i) = (* ..., ип) (см. замечание (iii) разд. 1.3), имеем

gij0 г (и) = dz/ + p2^v||2 или g仃(〃)=6订 + 苗占戸，

Рассмотрим римановы многообразия М, N с метрическими тензорами g】，g2 и дифференцируемое отображение f: М f М Вложение 尸：М М X Nf определенное формулой 户(р) = (р, f(p)), индуцирует метрикой gi 义 g2 на М 义 N (см. замечание (ii) разд. 3.1) новый метрический тензор на М:

g(X, Y) = g】(X, y)+ g2o,疗)，

где X, У w93M;尸 по отношению к§ есть изометрическое отображение М на график f, т. е. на риманово подмногообразие 尸(М) czMx N (ср. замечание (ii) разд. 1.7). Если, в частности, N = Rn g2 — каноническое отображение, то g(X, У) = gT (X, Y) + Xf • Yf\ если, кроме того, М — открытое подмножество Rn с канонической метрикой, то для карты № id имеем gtj = 6卄 + Dj • DJ (см. замечание (i)).

Пусть М — риманово многообразие с метрическим тензором g. Предположим, что на М задана, кроме того, линейная связность V с отображением связности К. Рассмотрим расслоенное пространство ТМ с естественной проекцией 冗：ТМ -> М. На ТМ можно определить метрический тензор

g (Л, В) = g (冗*4,冗*8) + g (M, KB),

где Д, В s 23 (ТМ) (см. разд. 2.4). При этом оказывается, что горизонтальное подпространство Hv и вертикальное Vv ортогональны в (ТМ% при всех V s ТМ. Пусть р М. Включение i: Мр с ТМ индуцирует из g метрический тензор 〈 ,〉 на Мр. Для v s Л1р и векторов а,匕三(乂卩)口，очевидно, 〈а,匕〉= g(K%a, К%方).В силу (8) разд. 2.4 имеем К%а = //%, и, таким образом,

(а，ь〉=g (//%, /]"

Форма〈 , ) называется каноническим метрическим тензором на Мр\ как видно из последнего равенства, она не зависит от V. При отождествлении всех (Мр% с Мр при помощи параллельного сдвига〈 , ) переходит в евклидово скалярное произведение, определенное на Мр метрикой g. Теперь и МР->ТМ становится изометрическим вложением, т. е. Мр с каноническим метрическим тензором〈 ,〉оказывается римановым подмногообразием ТМ, какова бы ни была линейная связность V.

Изометрии n-мерного риманова многообразия М на себя образуют подгруппу группы Diff М всех диффеоморфизмов М

на себя. В общем случае на М не существует изометрий, кроме тождественной. Чем больше существует изометрий, тем „симметричнее" устроено М. Как показали С. Мейерс и Н. Стинрод, группа изометрий М с компактно-открытой топологией имеет естественную структуру (не обязательно связной) группы Ли размерности h I.

Пусть f: М^ N — изометрическое отображение, dim М = dim М М связно и компактно, а ^ односвязно. Тогда (см. замечание (v) разд. 1.7) / есть диффеоморфизм и, следовательно, изометрия. Это утверждение становится неверным, если отказаться от требования односвязности N, сохранив все остальные условия. Примером служит накрытие S"f P"(R)c канонической метрикой на Sn и с однозначно определенной требованием изометричности накрытия метрикой на P〃(R). Утверждение становится неверным и в том случае, если отказаться от требования компактности М, сохранив все остальные условия; при этом, как видно из следующего примера, / может быть сюръективным, но не инъективным изометрическим отображением. Возьмем в качестве / отображение открытого квадрата Q на себя, построенное в замечании (v) разд. 1.7. В качестве N возьмем Q с метрикой, индуцированной включением в R2, а в качестве М — Q с метрикой, индуцированной отображением /.

Покажите, что изометрическое отображение f: Rn—>Rrt относительно канонической метрики линейно, т. е. имеет вид

f (u) = аи + а, где и, а w R〃一 столбцы, а а w ЗЛп (R). Покажите, что а — ортогональная матрица, т. е. а'а = е, где za — транспонированная матрица с элементами (G)仃= а“. Таким образом, все изометрии Rn порождаются группой трансляций и ортогональной группой О (п) и с= GL (n, R). Обозначим через 耽^(R) линейное подпространство симметрических матриц в векторном R-пространстве всех действительных п X n-матриц 耽〃 (R)vR〃* тогда легко проверить, что е ^ Эйд (R) есть регулярное значение дифференцируемого отображения Л: ^rt(R)—>9^n(R), заданного формулой Л (a) = aza. Согласно лемме 2 разд. 1.6, О (п) = Л"1 (е) есть замкнутое дифференцируемое подмногообразие ЗЛп (R) размерности (；); так как, кроме того, это — ограниченное подмножество R出,то О (п) есть компактная подгруппа Ли группы GL (n, R).

Ортогональное отображение а ^ О (п + 1) индуцирует изометрию на сферах S£uR〃+i (с канонической метрикой подмногообразий R 1).

Если р, g w В£ и ®}, соответственно {侬 J — ортонормированные базисы касательных векторов в точках р, g („ортонормированные

п-реперы11), то существует а ^ О (п + 1), для которого а,и; = wh х = 1, ...» п. Евклидовы сферы Sp обладают максимальной возможной симметрией, их группа изометрий действует в указанном смысле транзитивно на множестве всех ортонормированных касательных п-реперов.

(V)Пусть G — группа Ли. Тензорное поле В типа (г, s) на G называется левоинвариантным, если В (Хь ..., Xf) постоянно в случае s = 0 н левоинвариантно в случае s = 1 для любых левоинвариантных полей X" •. •, Х「巨 SG. Поле В левоинвариантно в том и только том случае, если VB = 0, т. е. если В параллельно относительно левоинвариантной связности V на G (см. замечание (iii) разд. 2.3). Левоинвариантное тензорное поле полностью определяется поведением в одной точке G. Для каждого г-линейного отображения Ве\ G^—>R (s = 0) или 凡：G；—>G& (s = 1), где G^ — произведение г экземпляров пространства Ge, существует одно и только одно левоинвариантное тензорное поле 8 на G, совпадающее с Ве в точке е. Метрический тензор на G левоинвариантен тогда и только тогда, когда Lh является изометрией при любом hE G. Таким образом, по отношению к левоинвариантной метрике G действует на себе как группа изометрий, посредством левых сдвигов. Если G не абелева, то правые сдвиги R力:G —> G, определенные формулой Rhg = gh, вообще говоря, отличны от левых и не являются изометриями © по отношению к левоинвариантной метрике. Для групп Ли особую роль играют биинвариантные метрики, для которых как левые, так и правые сдвиги являются изометриями. Можно показать, что на компактной группе Ли всегда существует биинвариантная риманова метрика. Например, метрика на группе S3, индуцированная канонической метрикой R4, как легко проверить, биинвариантна (см. замечание (iv) разд. 1.9). С помощью биинвариантной метрики на G можно построить на однородном пространстве G/H левых классов смежности по замкнутой подгруппе Ли Н так называемую нормальную риманову метрику, так что G действует на G/H как группа изометрий посредством левых сдвигов (см. замечание (v) разд. 1.7).

(vi) Доказательство теоремы существования римановой метрики в этом разделе можно было бы сделать тривиальным, сославшись на упомянутую в замечании (vi) разд. 1.6 теорему Уитни о вложении. В самом деле, вложение f: Mf М индуцирует риманову метрику на М из канонической метрики Rfe. Обратное утверждение, согласно которому любое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство Rfe, лишь недавно доказано Нэшом (Nash J., The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. 63 (1956), 20 — 63). Таким образом, класс всех римановых многообразий не шире класса ри-

мановых подмногообразий евклидовых пространств. Тем не менее, часто целесообразно рассматривать римановы многообразия как абстрактные многообразия (см. замечание (vi) разд. 1.6).

3・3・ Длина дифференцируемого пути

Пусть М — риманово многообразие, с: [а, р] —> Л1 — дифференцируемый путь. Действительная функция ||с||, заданная на [а, р], непрерывна, но вообще говоря, не дифференцируема, если с обращается в нуль. Рассмотрим ^-отображение Lc: [а, р] —> R, заданное формулой

LAt)=\ IIс (т) II Л.(1)

а

Действительное число L(c) = Lc (р) называется длиной пути с. Если с — погружение, т. e. V 耍 0, то путь с называется регулярным.

Путь с называется нормальным, если

||с(/)|| = 1 при всех / s [а, р].(2)

Каждый нормальный путь регулярен. Если с регулярен, то Lc дифференцируемо и инъективно. Если с нормален, то Lc (/) = / — а, и говорят, что ,,с параметризован длиной пугн". Пусть 7V — другое риманово многообразие и f: M-^N — изометрическое отображение, тогда L(c) = L(f ° с). Важный класс более общего вида путей, для которых можно определить длину по формуле (1), образуют абсолютно непрерывные пути. Если путь с: [а, р] —> Л1 абсолютно непрерывен, то с существует почти всюду, т. е. за исключением множества меры нуль, и интеграл (1) существует на [а, р] в смысле Лебега.

Пусть / — компактный интервал в R, ср: / —> R — дифференцируемое монотонно возрастающее отображение, / =屮⑺(монотонно возрастающим мы называли такое отображение, для которого из »1<»2 следует 屮仏)忘屮«2))； если случай равенства исключается, мы называем отображение строго монотонным). Тогда дифференцируемому пути с: Jf М соответствует путь „с новой параметри- занней" с ° ср: 了一> М. При этом, как мы сейчас покажем,

£со(р = Lc ° ф и, в частности, L(c) = L(c ° ср).

В самом деле, пусть / — [а, р]; тогда / = [ф (а), ф(р)], и поэтому

厶с呻(/)=J II Соф(т)||б?т = J ||с°ф(т)|| • <pZ(T)t/T=> аа

Ф(О

=J 1忆(叫同？=厶。①(f)。

Ф(а)

Непрерывный путь с: [а, 0]-> Л1 называется кусочно дифференцируемым, если существует такая конечная последовательность действительных чисел у。, •••, yki что а = Yo< Yi < ... < Yfe = Р，и что для всех v = 1, ..., k отображения cv: с| [yv-i, Yv] суть дифференцируемые пути. Длиной пути с называется

丄(с)=£"с)(3)

причем нетрудно проверить, что сумма в (3) не зависит от выбора чисел yv, удовлетворяющих предыдущим условиям. Так как функция ||с(/)|| для кусочно дифференцируемого пути определена везде, кроме конечного множества, и ограничена, то (1) задает непрерывное отображение. Путь с называется кусочно регулярным (нормальным), если cv регулярны (нормальны) при v= 1, •••,々.

Пусть /, / — компактные интервалы в R. Кусочно дифференцируемые пути с: /-> М, с: J f М называются совмещенными, если существует такое дифференцируемое монотонно возрастающее отображение <р интервала 7 на /, что 彦=6。中,или такое же отображение ф； /—>/, причем 6 = *。@・ Если с, с — совмещенные пути, то их образы, длины, начальные и конечные точки, а также „направления обходан совпадают.

Лемма

Утв. Для каждого кусочно дифференцируемого пути с： [а, р] —> Л1 существует совмещенный с ним дифференцируемый путь с： [% р]->Л1.

Док. Существуют такие действительные числа а = у0 < Yi < • • • …<Н = В, что % = с|[у* 卜w есть дифференцируемый путь при V = 1,…，瓦 Мы построим дифференцируемое строго монотонно возрастающее отображение ср: [a, p]->R, такое, что <р(yv)— =Yv(v = 0, ..., й) и в точках yv производные Dr ^ всех порядков г》1 обращаются в нуль. Располагая таким отображением, можно построить путь 2 = 6。中；остается только показать, что с дифференцируем в точках yv. Для этой цели достаточно рассмотреть карту х, определенную в окрестности точки c(yv), и проверить, что функции х^ о с === х^ о с о(р (г = 1,.・・,孔)имеют в точках yv равные нулю левые и правые производные всех порядков. Что касается функции ср, то построим (в соответствии с разд. 8.1) такие дифференцируемые функции %: [a, p]-*R, что(pv (/) = 0 при /《丫…, <pv (0 = 1 при / ^ yv и(pv строго возрастает на [Yv-b yj・ Тогда

屮W = Yo + £(Yv~ Yv-^Tv(0 удовлетворяет поставленным выше V=1

условиям.

Заметим, наконец, что каждый регулярный путь может быть параметризован с помощью длины дуги. А именно, пусть с： [а, р] -> М — регулярный путь. Тогда, как мы сейчас покажем, существует нормальный путь q： [0, y]-*M совмещенный с с. Положим Y = Lc(B) = L (с)・ Так как с регулярен, существует строго возрастающее дифференцируемое отображение £>': [0, Y]f R, отображающее [0, у] на [а, р]. Положим

Cj = с ° Lc ■

Тогда Ls = 4°「1 =厶。廿=id, и поэтому

II厶(f) II = L/(f) = L

Из этих рассуждений вытекает также, что для кусочно регулярного пути существует совмещенный с ним кусочно нормальный путь.

Замечания

Цепная линия с: [а, р] ->R2, заданная формулой c(f) = =(f, chf) = (f, « 三§—j, есть регулярный путь. Найдите функцию Lc для этого пути и параметризируйте с с помощью длины дуги, т. е. укажите явно нормальный путь, совмещенный с с

Отметим, что „функция длины дуги" Lc для дифференцируемого пути с: J ^ М измеряет абсолютную длину пройденного при изменении параметра / пути и, таким образом, /Дс). зависит не только от образа с(/)иЛ1. Приведите примеры дифференцируемых, а также регулярных путей с одним и тем же образом, но с разными длинами.

Пусть W ~ компактное 々-мерное дифференцируемое многообразие (возможно с краем), М ~ n-мерное риманово многообразие и f: W ^ М — дифференцируемое отображение, тогда в качестве обобщения длины дуги можно определить понятие ^-мерного абсолютного объема с помощью интеграла от некоторой антисимметрической й-формы по W. Этот вопрос, однако, в книге не рассматривается.

3・4・ Риманова связность

На римановом многообразии, естественно, представляют интерес те линейные связности, которые в некотором смысле совместимы с римановой структурой. Линейная связность V на М называется римановой связностью, если для каждого дифференцируемого пути с: J ^ М и любых двух параллельных векторных полей X, У вдоль с функция 〈X, У〉 постоянна. При этих условиях параллельное перенесение из Мс (fl) в Мс(f2)(/ь /2 ^ /) есть изометрическое отображение, в частности постоянна функция

II XII =〈X, X〉％. Если с — геодезическая, то для /三/ постоянно внутреннее произведение〈X, С〉и тем самым угол 4 (X (/)"(/)) (Х=А0, с=А0), так как с параллельно вдоль с. Если || с (/) ||= 1, хотя бы для одного /三/, то геодезическая с римановой связности нормальна.

Теорема

Усл. М — риманово многообразие; V — линейная связность на М. Утв. Связность V является римановой s том и только том случае, если для любых векторных полей X, У, Z 三沿А4 справедливо равенство ■

z〈x, y〉=〈VzX, у〉+《х,5・(1)

Соотношение (1) есть „правило дифференцирования*4 для скалярного произведения, оно называется также тождеством Риччи. Согласно замечанию (iii) разд. 2.3, соотношение (1) равносильно условию Vg = 0, т. е. параллельности метрического тензора g относительно линейной связности V (см. замечание (iv) разд. 2.6).

Мы докажем сначала следующую лемму.

Лемма

Усл. М — риманово многообразие, V — линейная связность на М, удовлетворяющая условию (1), N — дифференцируемое многообразие, f: N -> М — дифференц ируемое отображение.

Утв. Для векторных полей А 三沿N, X, У 三沿f выполняется 4〈X,y〉=〈QX, У〉+〈Х,%У〉・⑵

Док. Достаточно проверить, что (2) выполняется на открытом множестве f~} (U), где U — область определения произвольной карты 尤 на М. Так как при фиксированном 4 отображение 4〈Х, У〉-〈QX, У〉-〈X, 3〉

есть билинейное отображение 23fxs3,-> 芯N над кольцом gN, то достаточно проверить (2) для полей X, У вида X/。％ где Хг — базисные поля карты х, и тем более для полей вида X = X °f, У = У о /, где X, У 三沿U・ Наконец, достаточно проверить, что для каждой точки р 三尸(U) и каждого вектора v ^Np

0虞。f, p。f)=(% (亍。f), %)+(%,vD (/。f))，

где q = f(p)・ В силу замечания (iv) разд. 2.5 это равносильно выполнению

⑺)(X, У)= “仙匕 ％〉+ &, %*/〉，

что вытекает непосредственно из (1).

Доказательство теоремы. Пусть выполнено условие (1). Покажем, что внутреннее произведение не меняется при параллельном переносе. Рассмотрим дифференцируемый путь с: J М и параллельные векторные поля X, У вдоль с. Тогда в силу леммы имеет место равенство

Q〈x,y〉= CM，у〉+〈х,&у〉・(З)

Поскольку \DX = ^dY = 0, имеем D (X, Y) = 0. Это означает, что 〈X, У〉 постоянно, т. е. V — риманова связность.

Обратно, пусть теперь V — риманова связность и X, У, Ze 53M. Покажем, что выполнено условие (1). Достаточно проверить это условие в произвольной точке р^ М. Построим дифференцируемый путь с: [0, §]-＞ М, такой, что с (0) = р и с (0) = Zp (например, интегральный путь поля Z, удовлетворяющий условию с(6) = р). Тогда

Z。〈X, У〉= с (0)〈X, У〉= (®〈X, У〉= Q (〈X, У〉о。) |0.

Поэтому

Zp〈X, У〉= hm；・(4)

Построим для каждого t с= [0, р] однозначно определенные параллельные векторные поля Х“),У")三23G удовлетворяющие условиям Х? = Хс«), У? = Ус*)・ Тогда, принимая во внимание риманов характер связности, имеем

〈内),沙〉=〈理脸，

используя (4), находим

=lim＜用，｝f〉一＜Xp,吧〉+〈X。, M〉-〈x。，％〉=

Согласно теореме 2 разд. 2.6, имеем

Zp〈X, У〉=〈V。(X。с) |0, Ур〉+〈Хр, VD (У о С) |0).(5)

Наконец, из замечания (iv) разд. 2.5 следует VD (X ° с) |0 = =^с^Л = Vc(o)X = ^zpX = (VzX)p и соответственно для V^ (У о с) |0； поэтому (5) равносильно доказываемому утверждению.

Замечания

Пусть М — л-мерное параллелизуемое многообразие и Xi, .. ., Хп — параллелизация; тогда соответствующая линейная связность V (см. замечание (i) разд. 2.1) является римановой по отношению к канонической римановой метрике на М, заданной условием 〈Х『, Х/〉= 6〃. Связность, определенная в замечании (ii) разд. 2.2, является римановой по отношению к канонической римановой метрике R3.

Определим понятие тензорного поля вдоль дифференцируемого отображения f: N -> М.

Пусть г》0, s = 0, 1, тогда тензорным полем типа (г, s) вдоль отображения f называется r-линейное над кольцом 3 отображение В:鸣->呼

В случае N = М, f = id мы получаем снова тензорные поля на Л/.

Пусть теперь на М задана линейная связность V. Обобщая определение, данное в замечании (iii) разд. 2.3, назовем ковариантной производной V^B тензорного поля В относительно векторного поля А 三沦N тензорное поле типа (г, s) вдоль /, заданное формулой

(工力)(匕，…，%)=

=办8 (匕，y) -X 8(匕，匕 7, ^AYh 九+i，匕), 1 = 1

где опять в случае s = 0 под 7л(р подразумевается Л ср,① 巨 gN. Если В — тензорное поле типа (г, 5) на Л/, то В °/ — тензорное поле того же типа вдоль f.

Покажите, что

%出。力=%口8

для и wTN (см. замечание (iv) разд. 2.5). Покажите, что последнее соотношение содержит в себе как частный случай лемму этого раздела (см. также замечание (iv) разд. 2.6).

Пусть М — n-мерное риманово многообразие. Тогда функция ①：ГМ —> R, заданная формулой (р(и) = (и, и), дифференцируема с максимальным рангом везде, кроме нулевого сечения. Поэтому пространство так называемого сферического расслоения Т]М =(р7 ⑴ есть дифференцируемое подмногообразие ТМ размерности 2п — 1. Если М компактно, то и ТХМ компактно. Покажите, что геодезическая струя S римановой связности V на М является касательным полем вдоль ТХМ. Получите отсюда, что в случае компактного М риманова связность V полна (см, разд. 2.9 и 8,7).

Для римановой связности V на п-мерном римановом многообразии М группа голономии в любой точке р ^ М есть подгруппа ортогональной группы.

Так как римановы связности на М существуют, согласно разд. 3.5, то структурная группа касательного расслоения ТМ может быть сведена к О (п) (см. замечание (v) разд. 2.6 и замечание (iv) разд. 3.2).

3.5. Связность Леви-Чивита

Среди всех римановых связностей на римановом многообразии выделяется единственная, не имеющая кручения.

Лемма 1

Усл. М — дифференцируемое многообразие; з: 53Л1 —>§Л1 — 1-форма М, т. е. ^М-линейное отображение 53М в /“；〈，〉— невырожденное тензорное поле типа (2,0) на М, т. е. 2-форма, обладающая тем свойством, что если (и,酬〉=0 для фиксированного и 三 Мр 〃 всех w ^ Мр, то и = 0, какова бы ни была точка р w М.

Утв. Существует одно и только одно векторное поле 4 w 53М； сопряженное форме з относительно〈,〉, т. е. такое, что

s(Z) =〈4Z〉(1)

для всех Z 三 23А4.

Док. Достаточно доказать существование и единственность Л в окрестности произвольной точки р ^ М. Построим карту х на М вокруг р с областью определения U и положим Х^=^у・ п

Тогда для каждого AwSBU имеем представление Л == 2 ^^ь

где ^U,

Соотношение (1) равносильно з(Х) =〈4,ХЗ или

3 (X)=工旦订中‘，gi/ =〈Xf, Xj〉， f = 1, ..., n.⑵

Так как внутреннее произведение〈，〉не вырождено, для всех gw U имеем det| gti |^#=0, так что из (2) однозначно определяются (р\ Они выражаются через дифференцируемые функции з(Х), gi] и, следовательно, дифференцируемы. Но тогда однозначно определяется и векторное поле 4三泌°, удовлетворяющее условию (1).

Теорема

Усл. М — риманово многообразие с метрическим тензором g =〈,〉・ Утв. На М существует одна 〃 только одна линейная связность^ удовлетворяющая условиям

Z<X, n = <Vz^ Y) + {X^ZY\(3)

Vxy = VrA +[А, У], т.仇 Т(Х, У) = 0(4)

для всех X, У, Z 三泌М, где Т — тензор кручения для V.

Тождество Риччи (3) означает, что V — риманова связность, т. е. g параллелен Vg = 0. Условие (4) означает, что V —связность без кручения. Такая связность V называется связностью Леви-Чивита^ а определенный ею параллельный перенос — параллелизмом Леви-Чивита. Каноническая связность на R* определенная в замечании (i) разд. 2.1, есть связность Леви-Чивита по отношению к канонической римановой метрике.

Док. Доказательство однозначности. Из (3) следует

X〈y,Z〉=〈VxRZ〉+〈y,VxZ〉，⑸

1Z,X〉=〈VyZ, X〉+〈Z,VyX〉，(6)

а из (3), (5) и (6) с помощью (4) получаем

z〈X, У〉=〈VxZ, У〉+〈[Z, X], У〉+〈X, WZ〉一〈X, [У, Z]〉，(30

У〈Z, X〉=〈WZ, X〉+〈Z, VxD -〈Z」X, У» 6)

Вычитая (3‘) из (5) и прибавляя (6‘)，получаем после деления на 2

ВхУ, Z〉= ^ [X〈У, Z〉+ У〈Z, X〉- Z〈X, У〉+

+〈Z,[X, y]〉+〈y,[Z, X]〉一〈Xjy,Z]〉].⑺

Пусть- теперь V — другая линейная связность, удовлетворяющая условиям (3), (4), тогда из (7) вытекает〈十乂匕 Z〉=〈\\匕 Z〉, откуда (Vxy — Vx7, Z) = 0 для всех ZwSSM и Vx7 = Vxlz.

Доказательство существования. Рассмотрим при фиксированных X, ywJBM отображение со: 23Л4 —>^Л4, ставящее в соответствие каждому Z w 23Л4 функцию из gM, стоящую в правой части (7). Мы утверждаем, что отображение со gAf-линейно. Аддитивность со относительно Z очевидна. Однородность доказывается следующим образом:

0 зZ) = 4"[X〈y,絃〉+ У〈絃，X〉一 <pZ〈X, y〉+

+ &Z, [X, У]〉+ <У, [<pZ, X]〉一〈Х」у, <pZ]>]=

=<ps (Z) +1 [(X<p)〈У, Z> + (Уф)〈z, X〉- (x<p) 6 z〉- ^(Уф)<х>г>] = фЮ(г).

Согласно лемме 1, существует одно и только одно такое векторное поле Л е ЙМ, что(o(Z) =〈4,Z〉для всех Z ez 23Л1. Положим Vx7 = Л. Определенное таким способом отображение V:吩Мх 吩М —吩М, как мы покажем, удовлетворяет условиям (1) ~ (4) разд. 2.1. Аддитивность относительно X и Y очевидна, однородность относительно X доказывается аналогично однородности относительно Z. Остается проверить правило дифференцирования (2) разд. 2.1:

2〈^(рУ, Z^X^Y, Z〉+ q)y〈Z, X〉— Z〈X, ФУ) +

+〈Z, [X,絃])+〈* [Z, X])一〈X, [* Z])=

=2〈МхУ, z〉+ (Х(р)〈У, Z〉一 (Z(p)〈X, У〉+ (X(p)〈Z, У〉+ (Z(p)〈X, У〉=

=2 КМхУ, z〉+ ((Хф) У, Z〉] = 2〈МхУ + (Хф) У, Z〉.

Следовательно, (Vxqp7 —①旷乂丫 — (Хф) У, Z〉= 0 для всех Zw23M, а поэтому %紋=亦\歹 + (Х(р) У.

Связность V удовлетворяет также условиям (3) и (4); (3) получается сразу же, если сложить вычисленные по формуле (7) выражения для (VZX, У〉 и 〈VzY, X〉. Чтобы доказать (4), проверяем с помощью (7), что〈VxY, Z〉=〈VyX, Z〉+〈Z, [X, У», откуда следует 〈VxY + VyX —[X, У], Z〉= 0 для всех Z е 23Л1, что равносильно (4).

Пусть 尤一карта на Л1 с областью определения U и Xf = -^y. Выведем соотношения между компонентами связности Леви-Чи- вита F% и компонентами метрического тензора g订 относительно карты X. Поскольку [Х^ Х/] = 0, из формулы (7) получаем

｛々К/, XQ = 1 [X,〈X/, XQ + X/〈Хе，X» - Xft〈儿 X,〉].

Так как ^x^j = 2 ^i^i и〈Xj, X/〉= g订，получаем

Определитель det(g^)p*O для всех pwU, следовательно, система уравнений (8) имеет единственное решение, состоящее из 〃з функций Г/； w 咅U.

Компоненты связности Леви-Чивита суть классические „символы Кристофеля второго рода**.

Пусть N — дифференцируемое многообразие, М — риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V, f: N -^ М — диффе-

ренцируемое отображение. Тогда для любых векторных полей Л, В, С w 沦N справедливо соотношение, аналогичное (7):

В/в, f© = 1 [4 58 J© + В〈f.C, f⑷一 С <ЛЛ, ЛВ) +

+ <ЛС, Л [Л, В]) + <f.B, Л [с, Л])-<М, Л [В, С» ⑼

Доказательство (9) аналогично доказательству (7) и опирается на тождества

4 53 f© 上 H/в J© + 53 %© и

V/в - VMM - f」4 B] = T 亿4 f出)=о

(см. (2) разд. 3.4 и (6) разд- 2.5).

Теперь мы покажем, что связность Леви-Чивита в известном смысле инвариантна при изометрических отображениях. Для этого сделаем сначала следующее предварительное замечание. Пусть М — риманово многообразие, i: М~^М — погружение. Согласно лемме 1, для векторного поля X w 沿^ вдоль i существует такое однозначно определенное касательное векторное поле 户 вдоль ц что Хт = I*/, Л 巨 25Af и《*/, i*C〉=〈X, ^С) для всех С w ЖЛ1. Поле X^w531r называется касательной компонентой X, X丄=X—Х^ — ортогональной компонентой X относительно и Отображения Т, JL:沿*f S3(, т. е, проекции, дающие касательную, соответственно ортогональную компоненту относительно l, суть тензорные поля типа (1, 1) вдоль I (см. замечание (ii) разд. 3.4). Они индуцируют во всех точках i (р) s ЛГ (р s Af) проекции касательного пространства 后у) на i^Mp соответственно на ортогональное дополнение этого подпространства в 同(р)・ Вообще если f: Л^ —>Af — дифференцируемое отображение и X е 931О/ — векторное поле вдоль I。/, то и в этом случае определены касательная и ортогональная компоненты Хт, Xх w 沿丄。/ векторного поля X относительно ц а именно (犬丁% = (/)丁 и(X丄)р = Хр — (х) для pwM В случае dim М = dim 衍，очевидно, имеем Хт = X, X丄=0.

Лемма 2

Усл. Af, М — римановы многообразия Со связностями Леви-Чи* вита V, V и отображениями связности К, К; i: Aff 而― изометрическое отображение] N — дифференцируемое многообразие} f: N ~^М^ дифференцируемое отображение.

Утв. Справедливы следующие соотношениям

1人6 =(总.力a(Ю)

для всех b wTTM и

1yly =(力⑺ т(11)

для всех A w S3^, У w 83f.

В случае dim М = dim М имеем, таким образом, коммутатиВ' ную диаграмму

ТТМ^ ТТМК,卜,

ТМ р ТМ т. е.

.。k=穴。1.. И 1卩"У = %.У.

Док. Поскольку I изометрично, из сравнения (7) и (9) вытекает, что для всех X, У, Z е JBM имеет место

СхУ, Z〉=〈％1.у, I.Z〉

И, значит,〈УхУ, Z} = ^xY, i.Z), откуда <i.Vxy - Vxi.y, i,Z) = 0. Поэтому (i.VxK — Vxi,K)T = 0 или, что то же самое, i.VxK = =(VxiAK)T; тем самым (11) доказано в частном случае, когда N = М и f = id. Но в таком случае для всех р ^ М имеем 1*КУ*Хр = (К%*У*Х")Т, откуда (см. разд. 2.4) получается равенство (10), а из (10) вытекает общий случай формулы (11) (см. разд. 2.5)

Соотношение (11) леммы 2 было исходным пунктом' открытия Леви-Чивита, который в знаменитой работе, написанной в 1917 г., показал, как на произвольном римановом многообразии можно внутренним образом ввести понятие параллельного переноса, теперь называемое связностью Леви-Чивита. На римановом подмногообразии евклидова пространства R^ (такие многообразия главным образом до тех пор и рассматривали) он ввел ковариантную производную, построив, согласно (11), касательную компоненту тривиальной ковариантной производной в Rft. При этом оказалось, что соответствующий этой ковариантной производной параллельный перенос вдоль кривых, выражаемый формулами (1) и (2) разд. 2. 6, не зависит от объемлющего пространства, так как в силу (8) полностью определяется индуцированной римановой метрикой /И. Благодаря этому оказалось возможным ввести параллельный перенос на абстрактных римановых многообразиях. (Levi-Civita Т., Nozione di parallelismo i〃 una variety

qualunque е consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana, Rend. Palermo, 42 (1917), 173—205.)

Укажем еще некоторые следствия леммы 2. Пусть dim М = =dim М. Если с: J ^ М — дифференцируемый путь и X — параллельное векторное поле вдоль с, то itX— параллельное векторное поле вдоль I。& так как в силу (11) 0 = l4VdX = VDi*X. Таким образом, параллельный перенос Леви-Чивита коммутирует с изометриями. Можно еще выразить это, сказав, что отображение % горизонтально, т. е. изоморфно отображает горизонтальные подпространства ТТМ на горизонтальные подпространства ТТМ. Если, в частности, с: J М — геодезическая М, то i。с: J f М есть гео： дезическая М. Соответственно этому экспоненциальные отображения ехр, ехр связностей V, V удовлетворяют соотношению

I ° ехр = ехр。(12)

Для тензоров кривизны R, R связностей V, V и X, У, Zw/M из (7) разд. 2.5 и (11) получаем

М?(х, y)z=Asx,、y)iZ(13)

Читатель без труда построит примеры, свидетельствующие о том, что последние утверждения неверны при dim М< dim М.

Замечания

⑴ Обобщите теорему этого раздела: если Т — антисимметрический тензор типа (2,1) на М, то существует одна и только одна риманова связность на М, для которой Т является тензором кручения.

Доказательство аналогично приведенному выше, с той лишь разницей, что вместо (7) получается формула

ВхУ，Z〉= 4"【X〈У, Z〉+ У〈Z, X〉一 Z〈X, У〉+

+ (Z, [X, У]) + (У, [Z, X]) 一〈X, [У, Z]〉+

+ (Z, Т{Х, У)〉+〈У, Т (Z, X)〉一〈X, Т (У, Z»].(7)

Если V — связность Леви-Чивита на М, то

Bxy,z〉=〈*y,z〉+

+1 [〈Z, т (X, У)) +〈У, Т (Z, X)〉-(X, Т (У, Z))]. (14)

Пусть f: N ^ М — дифференцируемое отображение. Покажите, что для векторных полей У, Z 三 23f имеет место

СаУ, Z〉=〈必匕 Z〉+

+ % KZ, т (f*4, У)〉+〈У, Т (Z, f*4)〉- (f,A, Т (У, Z)〉］. (15)

Обратите внимание на то, что У здесь не обязательно имеет вид f*B (В 三 ^B^). Последнее соотношение, ввиду его тензорного характера, может быть доказано аналогично лемме 3.4.

Пусть М — риманово многообразие со связностью Леви- Чивита V. Пусть, кроме того, на М задана риманова связность V, тензор кручения которой Т ортогонален, т. е. {Т (X, У), У) = О или, что то же самое, 3-форма (Г (,), ) антисимметрична по всем трем аргументам. Тогда V и V имеют одни и те же геодезические, В самом деле, если с: J ^ М — геодезическая V, то, согласно (15), для всех Z 三 23r имеем

〈V。處 Z〉= CM, Z) + | KZ, Т 9 с)) + GT (Z, с)) — G T 9 Z)〉］ = 0.

Рассмотрим в римановом многообразии М римановы подмногообразия М］, 乂2 равной размерности. Предположим, что на всех многообразиях введена связность Леви-Чивита. Пусть с: J^ М — дифференцируемый путь, вдоль которого Мн М2 касаются друг друга, т. е. с (/) с Л^! П М2 и (МО^ (0 = (М2)с(о для всех t 三 J> причем TMh / = 1, 2, канонически отождествлены с подпространствами ТМ. Тогда по лемме 2 векторное поле, параллельное вдоль с на М1} также параллельно вдоль с на М2г так что параллельные переносы вдоль с на М】н М2 совпадают.

Рассмотрим сферу S?=S； как риманово подмногообразие евклидова пространства R3 со связностью Леви-Чивита. Пусть с: R -> S2 — параметризованная параллель радиуса а, заданная формулой с (Z) = (acos f, asinf, р), где 0<а^1, — 1 <р< 1, а2 + р2= 1. Положим X = у с е 23с, т. е.

X (f) = — sin tD、℃\t + cos tD2。с |f.

Далее, пусть У — направленное к северному полюсу поле длины 1, касающееся S вдоль с и ортогональное X:

У (f) = — 0 cos tDx。с |力一0 sin tD2。c If + a£)3c 卜

Из соотношения (11) (лемма 2) видно, что векторное поле на S2 вдоль с, заданное формулой

Z(f)=九［cos(Yo - 0f) X (0 + sin(Yo - P0 У (切，

есть параллельное поле вдоль с, удовлетворяющее начальному условию

Z (0) = A [cos Y°X (0) + sin у0У (0)], A, Yo 三 R.

В самом деле, для канонической связности Леви-Чивита V в R3 имеем V^Z = Z = — Ха cos (у0 — р/) / ° с, где /℃ есть поле радиусов- векторов вдоль с (см. замечание (iii) разд. 2.5) и (/ ℃)т = 0.

Таким образом, при параллельном переносе вдоль параллели сферы векторы вращаются „вокруг пути перенесения**, если р=#0. При р = 0 образ с есть большой круг сферы и с — нормальная геодезическая, так как с — параллельное поле. В силу замечания (iv) разд. 3.2 все геодезические на S периодичны, а их образы — большие круги. Этот пример можно также рассмотреть наглядным способом, пользуясь замечанием (iii), а также замечаниями (iv) и(V)разд. 3.8, при этом в случае 0 声 0 надо рассмотреть конус, а в случае р = 0 — цилиндр в R3, касающийся S? вдоль с. Конусы и цилиндры плоски, а именно, согласно результатам разд. 3.8, они локально изометричны R2, так что можно, „разрезав их вдоль образующей**, совершить параллельный перенос вдоль с на R2. Подобная геометрическая интерпретация параллельного переноса может быть распространена на более общий класс кривых, если воспользоваться „соприкасающимися развертывающимися поверх- ностями((.

(V)Пусть М — п-мерное риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V, f: Л1 -> R — дифференцируемая функция. Согласно лемме 1, дифференциалу df этой функции соответствует сопряженное векторное поле V/ 三 /М, удовлетворяющее соотношению (V/, X〉= Xf = df(X) для всех X w/ЛГ Это поле называется градиентом f. Иногда оно обозначается также через gradf. Для открытого подмножества U и М и линейно независимых векторных полей X】,...,Хп е ^QU получаем локальное представление

2и= 2 g"(X/)Xj,

где g1^ е ^U — элементы матрицы, обратной матрице компонент метрического тензора g" = 〈%f， Х,〉・ Точка р ^ М является критической точкой f (или, как еще говорят, f стационарна в точке р) тогда и только тогда, когда V/ |Р = 0. Если а = f(Р)— регулярное значение /, то, согласно лемме 2 разд. 1.6, мы получаем (п — 1)- мерное дифференцируемое подмногообразие ^ = р1 (а) („поверхность уровня"). Покажите, что отображение df |р обращается в нуль в точности на касательном пространстве Nр и что V/ |р ортогонален Np в Л10. Если V/ L #= 0, т. е. f не стационарна в р, то есть направление скорейшего роста, а ——— на-

причем равенство возможно только для и = 土причем равенство возможно только для и = 土IIV/ IIIIV/ IIправление скорейшего убывания 厶 т. е. для всех v е Мр, ||и||= 1 имеем

причем равенство возможно только для и = 土

причем равенство возможно только для и = 土

IIV/ II

IIV/ II

p часть предыдущего неравенства, например, можно доказать следующим образом:

Тензором Гессе называется тензорное поле на М типа (1,1), заданное формулой HfX = Vx?f, формой Гессе, или гессианом — соответствующая 2-форма h“X, У) = (VXV^, У). Покажите, что Hf самосопряжен относительно римановой метрики, т. е. hf симметрична.

Проверьте, что в критической точке р функции f имеем %(Х? У)р = XpYf = YpXf. Если, обратно, для векторного поля Z w ЗЗМ форма (VXZ, У〉симметрична относительно X, Y, то Z локально является градиентом некоторой дифференцируемой функции.

(vi) Свертка, т. е. след тензорного поля типа (1,1) на М, заданного формулой X -> VXZ, есть дифференцируемая функция на М, обозначаемая через div Z. Она называется дивергенцией Z (по поводу определения свертки см. замечание (iv) разд. 2.3). Положим

Af = div Vf = tr Hf^M.

А называется оператором Лапласа по отношению к заданной римановой метрике. Покажите, что

div cpZ = ср div Z + Z(p, А (ф-ф)=屮 Аф + 屮 A(p + 2 (V(p, Vi|)) для ф,屮巨 gAf, Zw/Af. Вычислите div Z, Af в локальных координатах.

Метрические тензоры g, g на n-мерном дифференцируемом многообразии М называются конформно эквивалентными, если существует такая дифференцируемая функция cpwgAf, что g=^g (откуда, в частности, следует ф>0). В этом случае в каждом касательном пространстве Мр отношения длин и углы обеих метрик g, g совпадают. Покажите с помощью (7), что

%У = ^XY + ^ [(XW) У + “屮)х -〈X, У) W],

где 屮=logcp.

Проверьте следующее соотношение между тензорами кривизны R, А связностей V, V:'

R(X, Y)Z=R(X, Y)Z + ^[%(X, Z)Y-h^Y, Z)X +

+ (X, Z〉H^Y - (Г, Z) H^X] +1 {[(%)%)-«」〉IIW 胤 X -

T(xp)(zp)-〈X, z〉iiViH]y + [(xp)w,z〉一(№)〈x, z〉]V2}. Как легко проверить, для градиента имеем ^f = ^f. Полагая 2 = log 恥 получаем

位Z = divZ + ?Z5 <рД/ = Д/+(|-1)(?Л W〉，

где fw 宕Л! и ZwS3Af・ В частности, при и = 2 получаем <рД/=Д/.

Пусть М, ^ — римановы многообразия с метрическими тензорами g, g. Дифференцируемое отображение f: MfN называется конформным, если / — погружение, и индуцированная метрика f4g конформно эквивалентна g.

Таким образом, при конформных отображениях отношения длин дуг и углы пересечения путей, исходящих из данной точки, остаются неизменными. Очевидно, изометрические отображения конформны. Конформно также отображение Sn-> Sp, заданное формулой р-> рр. Любое голоморфное отображение открытого подмножества С в С есть конформное отображение евклидовой метрики на С = R2, если его комплексная производная отлична от нуля.

3・6・ Тождества для кривизн и скалярные кривизны

Пусть R —тензор кривизны связности Леви-Чивита V на п-мер- ном римановом многообразии М.

Лемма

Утв. Для векторных полей X, У, Z, U w53Af справедливы следующие соотношения:

d2)3 9d2)3 9R(X, Y)Z=-R(八 X)Z;

d2)3 9

d2)3 9

R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R (Z, X)Y = 0;

〈R(X, Y)Z, U〉= -〈R(X, У)。，Z〉；

〈R(X, Y)Z, U〉=〈R(Z, U)X, Y〉・

Заметим, что (1) выполняется в силу определения R для любой линейной связности; (2) — только для связности без кручения; (3) — лишь для римановой связности. Свойство (3) можно сформулировать также эквивалентным образом: отображение кривизны

Z->R(X, Y)Z антисимметрично относительно римановой метрики для любых фиксированных X, У. . Обратите внимание в связи с этими соотношениями на тождество Бьянки, см. замечание (iii) разд. 2.3.

Док. Достаточно доказать соотношения леммы для базисных полей произвольной карты и тем более для векторных полей с нулевыми произведениями Ли.

Прежде всего 0 = Т(Х, У) = VXK — VyXf так как V — связность без кручения. Поэтому

=(5)

R (X, Y)Z = VxWZ- *内2・(6)

Из (5) и (6) сразу же следует тождество (2). Антисимметричность по двум последним аргументам в (3) равносильна тождеству 〈R(X, X)Z, Z〉= 0 для всех Z 巨/М. Так как V — риманова связность, что

CxVyZ, Z〉= X〈VyZ, Z〉-〈VyZ, VXZ),(7)

〈VyZ, Z〉=^y〈Z, Z〉.(8)

В силу (7) и (8), а также учитывая, что по предположению [X, У] = XY — YX = 0, имеем

2〈R(X, У) Z, Z) = XY(Z, Z〉—YX〈Z, Z〉= 0.

Тождество (4), позволяющее переставлять обе пары аргументов, является чисто алгебраическим следствием предыдущих. В самом деле, из (1) и (2) следует

〈R(X, Y)Z, S=-(R(Y, X)Z, U〉=

=〈R(X, Z)匕 U〉+〈R(Z, Y)X, U〉，(9)

а из (3) и (2) следует

〈R(X, Y)Z, U〉= -〈R(X, Y)U, Z〉=

=〈R(R U)X, Z〉+〈R(U, X)匕 Z〉・(10)

Складывая (9) и (10), получаем

2〈R(X, Y)Z, U〉=〈R(X, Z)匕 U〉+〈R(Z, Y)X, U〉+

+〈R 亿 U)X, Z〉+〈R(U, X)匕 Z〉・(11)

Меняя местами X c Z, У c U в (11), получаем

2〈R(Z, U)X, Y〉=〈R(Z, X)U, Y〉+〈R(X, U)Z, Y〉+

+〈R(U, Y)Z, X〉+〈R(R Z)U, X〉.(⑵

Так как правая часть (11) переходит в правую часть (12), еслн к каждому ее члену применить (1) и (3), то (4) доказано,

С помощью тензора кривизны R можно определить другие характеристики кривизны М. Рассмотрим сначала „биквадратич- ную форму"龙：ЗЗМ X SM ->§М, определенную с помощью формулы 龙(X, К) = (R (X, К) К, X). Заметим, что 龙(Х + У, У)= =k (X, Y) = k (К, X). Оказывается, что тождества (I) — (4) позволяют однозначно восстановить R, зная форму k. Чтобы доказать это, выразим сначала R(X, Y)Z с помощью (1) и (2) через векторные поля вида R(X, У) У:

R(X, Y + Z)(Y + Z) =

= R(X, Y)Y+R(X, Y)Z + R(X, Z)Y+R(X,Z)Z;

R(X + Z, Y)(X + Z) =

= R(X, Y)X + R(X, Y)Z + R(Z, Y)X + R(Z, Y)Z;

0 = R(X, y)Z + R亿 X)Z・

Складывая эти равенства и снова пользуясь (2) и (1), имеем

3R(X, Y)Z = R(X, Y + Z)(y + Z) —R(X, У)У —R(X, Z)Z-

—R(Y, X + Z)(X + Z) + R(Y, X)X + R(Y, Z)Z. (13)

Если co — симметрическая билинейная форма, то 2s (X, У)= =s(X + У, Х+ 竹一s(X, X) —(о(У, У). В силу (1), (3) и ⑷ форма 〈R(X, Z) Z, У〉симметрична по X и К, откуда

2〈R(X, Z)Z, Г) = Й(Х+Г, Z)—龙(X, Z)—龙(У, Z).(14)

Из (13) и (14) непосредственно вытекает

6〈R(X, Y)Z, U〉=龙(X + U, У + Z)-龙(X+U, У)—龙(Х+ U, Z)- —龙(X, У + Z) —龙(U, Г + 2) + й(Х, Z) + /s(U, У) — —々(У + U, X + Z) +龙(У + и, Х) + к(¥+и, Z)+'

+ 龙(У, Z + X) +龙(U, Z + X) —龙(匕 Z)—龙(U, X). (15)

Итак, тензор кривизны, действительно, выражается через 龙(X, У). В частности, R = 0 одновременно с 龙=0. Введем теперь тензорное поле типа (3.1) по формуле

R(X, y)z =〈y, Z〉X —〈X, Z〉Y,

а также биквадратичную форму 龙】(Х, Y) =〈R(X, У) У, X〉= =IIX||2II К||2 — (X, У〉2. Эта форма называется определителем Грама по отношению к римановой метрике〈，〉• Можно показать, что она равна квадрату площади параллелограмма, образованного векторами Хр, Yp в Мр. Легко проверить, что тензор R удовлетворяет тем же тождествам (1) — (4), что и R. Для любой точки pwM н линейно независимых векторов ut v е Мр из неравенства Коши — Шварца следует kx (v, w) > 0, поэтому имеет смысл действительное число К (о, w) = k (у, w)/k} (v,⑵).Если обозначит^

через о двумерное линейное подпространство Мр порожденное и и wf то для другого базиса v, w в а имеем б = апи + а12ш w = a2iV + а22^* Полагая

( 口11口12)

〈a21a22 丿 находим

k(vt w) = (det a) (7? (u, w) w, u) = (deta)2fe(u, w),自®, tS) = (det a)2 kx (v, w)t

поскольку〈R(X, y)Z, U〉и〈R(X, Y)Zt U〉антисимметричны no Xt Y и Z, U соответственно. Поэтому K(B,血)= K(u, w) и, в частности, К (и, w) = k(v, w)t если и,侬 ортонормированы.

Предположим теперь, что dim Л4 ^ 2; обозначим через Gp „многообразие Грассмана" всех двумерных линейных подпространств Мр и через Gw объединение (J Gp, построенное для 昨犷

произвольного подмножества IFuM Каждой плоскости о 曰 G^ можно сопоставить действительное число Ки, выбирая линейно независимые векторы и, w е а и полагая

k。 = к(。,出=L需。\；弓、J •(16)

° v *' kx (и, w) у и II2 II w II2 — (и, w)2' '

К(у называется римановой кривизной М по отношению к о или „кривизной в двумерном направлении**, поскольку при dimM>3 функция К。измеряет кривизну М. в каждой точке р по „двумерному направлению** о в Мр. Это понятие введено Риманом. В случае dim Л4 = 2 каждая касательная плоскость Мр содержит единственное двумерное линейное подпространство, риманова кривизна Ки = К совпадает с гауссовой кривизной из теории поверхностей (см. разд. 3.7). В этом случае К есть дифференцируемая функция из §Л1. Из (15) и (16) видно, что тензор кривизны и риманова кривизна взаимно определяют друг друга.

М называется пространством постоянной кривизны или пространственной формой, если существует такое число ymR, что Kg = x для всех о w G^; М называется в этом случае эллиптическим, если х>0, гиперболическим, если х<0, и плоским (локально евклидовым), если х = 0. Существуют простые стандартные пространства, служащие образцами пространств постоянной кривизны (см. замечание (iv)). Геометрические свойства этих пространств хорошо изучены; они играют фундаментальную роль в общей римановой геометрии в качестве объектов сравнения (см., например, § 6).

Найдем тензор кривизны для пространства постоянной кривизны. Более обще, пусть 尤 зависит только от точки р, но не от двумерного подпространства о и Мр, т. е. К『К ⑺,где К ⑺, естественно, дифференцируема.

Тогда, как мы докажем,

R(X, Y)Z = KRi(X, r)Z = ^«r, Z〉X-〈X, Z> Г).(17)

В самом деле, полагая Rq = R — KR* и обозначая через й0 биква- дратичную форму, соответствующую R。(т. е.鳥=々一К®), получаем, что R。удовлетворяет одновременно с R н R】 тождествам (1) — (4), и из (16) следует й0 = 0. Тогда аналогично выводу (15) заключаем, что 儿=0, откуда R = KR*.

Если dim Л1 = 2, то тензор кривизны любого двумерного риманова многообразия имеет вид (17). В случае dim Л1 ^ 3 функция К в (17) должна быть локально постоянной. Это означает, что связное риманово многообразие, кривизна которого в любой точке не зависит от двумерного направления, есть пространство постоянной кривизны. Этот факт впервые был отмечен Шуром (см. замечание (V)этого раздела).

Тензором Риччи на М называется свертка cxR тензора кривизны R, т. е. 2-форма на М, заданная формулой

(gR)®, w) = tr [u->R(u, v) w],

где и, v, w Мр, р М (см. замечание (iv) разд. 2.3).

Рассмотрим также квадратичную форму 〃->(gR)®, v). При v^Mpt v =/= 0 число r(v)=^Y^—^ называется кривизной Риччи М в направлении 〃. Это число сопоставляется, таким образом, каждому одномерному линейному подпространству Мр. Выберем в Мр ортонормированный базис 〃卜...,〃広 Тогда

(jR)(u, 5)=Х (R (ui, v) w, а»

и, следовательно, тензор Риччи симметричен относительно v, w. След тензора Риччи по отношению к метрическому тензору《〉,

т. е. число s (р) = ? г (〃/), называется скалярной кривизной М в точке р.

Если 5；(2=1, ..., n— 1) —нормированные векторы, ортогональные к г и друг к другу, то, очевидно,

Г®)= X к®, и).(18)

i = \

Отсюда

$(р)= У「(〃/)= S К(修，〃/) = 22 К(修，〃/)・(19)

/=iг, /=i•5

Замечания

Пусть pwM, owGpH% — почти нормальная карта вокруг р, т. е. такая, что g订(р) = 0〃， 「%(「)= 0,尤(р) = 0 (существование таких карт доказывается в замечании (ii) разд. 3.8). Положим Л\ = —- и выберем в о ортонормированный базис х,侬.По раз-

ложениям V = 2 ^l^i 1р> оу = 2 Р'Х/р из (16) с учетом (7) разд. 3.6 находим из условия(ух.Х^р = 0, что

k。= * /呻%‘〈R (爲 X,)爲，%〉=

/ 拓 £=1

=!S 舞伊a"X上〈匕，%〉一 XtXt〈X/, XQ - X/乙〈m，X) +

+ X/%〈X„ XQ]|p,

откуда, объединяя крайние члены и повторно используя соотношения [Х〃 Xk] = 0, получаем формулу

В частном случае dim M = 2 имеем

力一/ 02gl2 1 d2g22 I ^U \|К(P)— — — 丿 ・

Практически вычисление римановых кривизн М. по этой формуле слишком громоздко и редко оказывается целесообразным даже в случае поверхностей. Вообще говоря, явное вычисление кривизн в конкретных случаях может оказаться весьма трудным, даже если М. в некотором смысле „симметрично** (см. замечание (vii)) или задано простыми уравнениями как риманово подмногообразие евклидова пространства (см. разд. 3.7).

Многообразие М называется многообразием положительной (отрицательной) кривизны^ если /Са>0 (соответственно K(jV0) для всех owGm； это означает, что самосопряженный эндоморфизм кривизны Мр-^ Mpt заданный формулой и-> R(u, w) w, при всех w ^ Mpt ^ =/= 0 является положительно определенным (соответственно отрицательно определенным).

Если W — компактное подмножество М, то К^ ограничена при всех а е G^r. В самом деле, отображение k: ТМ X ТМ -> R, заданное формулой (и, 5)f 々(и,酬),непрерывно, а множество орто- нормированных реперов (и, w) в точках множества W компактно (см. замечание (iii) разд. 3.4). Поэтому для компактного подмножества многообразия положительной (отрицательной) кривизны

существуют такие положительные числа х,九，что для всех о 三 Gw имеет место x&K(j&% (—入 &儿& —х)・

Пусть М — риманово многообразие со связностью Леви- Чивита V, dimM = /i》2・ В дальнейшем для некоторых случаев будет показан геометрический смысл римановой кривизны (см., например, § 4 и 6), пока же приведем без доказательства одно ее фундаментальное свойство.

Пусть Q — замкнутый квадрат в R2, f: Q -> М — дифференцируемое отображение. Число F = J ]/^i(f*Qi， f*DJ dt ds называется площадью „параметризованной поверхности** f в М. Фиксируем р ^М н найдем, согласно 5.2, такое действительное число д0>0,- чтобы для всех д ^ (0, д0) экспоненциальное отображение ехрр диффеоморфно отображало шары U§ = (v: v ^ Mpi || v || < 6} на строго выпуклые шары Вб = exp U^ в М. Тогда три произвольные точки из 当 определяют геодезический треугольник в 当 (см. разд. 6.4). Как можно доказать, существует такое число Ко〉0, зависящее от д0, что для любого геодезического треугольника △ в 5б с углами у0, уи у2 при вершинах р0,卩匕 р2 справедливо неравенство

I斎一篇]0通， (21)

где £ = у。+ Yi + 丫2—几 есть „угловой избыток" △, F—„площадь" △, т. е. в случае п^З нижняя грань площадей всех натянутых на △ параметризованных поверхностей, а ^ — кривизна М „в направлении △ “，т. е. соответствующая двумерной плоскости a d Mp.t содержащей касательные векторы к пересекающимся в рг сторонам △ , i = 0, 1, 2. В классических геометриях на стандартных моделях римановых многообразий постоянной кривизны соблюдается в точности равенство 产=尤・

Вследствие (21) на римановом многообразии положительной (отрицательной) кривизны сумма углов достаточно малого геодезического треугольника больше (соответственно меньше) л; обратно, если для всех треугольников сумма углов не меньше (не больше) л, то для всех ow GM имеет место К。》。(К(,&0) (по этому поводу см. также разд. 6.4 и замечание (iii) разд. 2.6). Вывод неравенства (21) нетруден, он приведен, например, в разд. VII гл. X цитированной в конце этого параграфа книги Э. Картана.

Пусть М — n-мерное дифференцирумое многообразие (п > 2), Ф е gM — положительная дифференцируемая функция и g,宜=①g— конформно эквивалентные римановы метрики на М. Рассмотрим связности Леви-Чивита V, V для g,金・ Если ow GM — касательная плоскость и v} w составляют ортонор мированный базис ст, то из

замечания (vi) разд. 3.5 получается следующее соотношение между римановыми кривизнами Kot Ко метрик g, g:

Ф^a = ^a-| [气(。，О) + % ®, 3)十 R""嚟匕(殲)[,(22)

где 屮= log(p. В случае 孔=2 отсюда вытекает 屮穴=к 一 } △ log в

Таким образом, если, например, умножить каноническую метрику на открытом подмножестве UuR^Ha 屮=е", где 屮三咅U — гармоническая функция (т. е. △ ф = 0), то полученная метрика снова имеет нулевую гауссову кривизну.

Пусть теперь g — стандартная метрика на R", х — действительное число и UK есть R" при 乂 >0, соответственно шар {а: а w R\ ]]а俨 Vу^у } при х<0. Положим для а е UHi

中⑷=@馬。俨戸,g = Wg，(23)

Проверьте с помощью (22), что риманово многообразие UH с метрикой g имеет постоянную кривизну 欠。=乂； в частности, тензор кривизны для V задается формулой (17), что, впрочем, видно и непосредственно из замечания (vi) разд. 3.5.

Найдем теперь тензор кривизны риманова подмногообразия $£и*К"+[ Из замечания (iv) разд. 3.2 прежде всего следует, что S$ есть пространство постоянной кривизны. В самом деле, для любых двух касательных плоскостей о^ и М^, а2 с Мрг существует такая' изометрия <х 巨 0(孔+1) сферы S$ на себя, что 。2 = &。1，а риманова кривизна инвариантна при изометриях.

Таким образом, тензор кривизны Sp имеет вид (17), и остается вычислить постоянную риманову кривизну К・ Рассмотрим отображение f: R"f S£ и R"+* обратное стереографической проекции х с северного полюса (см. замечание (iii) разд. 1.1). Очевидно, для a w R"

f ⑷=」/ + 决(2ра, И а |р - р2).

Вычислив производные компонент D；产⑷ (i=l, ..., п, k= I,...,孔+1), легко проверить, что

〈fQi, f*。/〉= Ф〈A, D/〉=礎订， где

(1 + ^|| а II2)2(1 + ^|| а II2)2屮(а) =

(1 + ^|| а II2)2

(1 + ^|| а II2)2

Следовательно, f является конформным отображением по отношению к евклидовой метрике на R" и изометрией по отношению к метрике g = ^g на R". Согласно (23), имеем ^ = -~г для всех касательных плоскостей а сферы S；, а в силу (17) тензор кривизны Sp есть

R(X, Y)Z = ^ ((У, Z〉X —〈X, Z〉У). (24)

В разд. 3.7 мы получим формулу (24) более простым путем.

Таким образом, мы имеем стандартные пространства классической геометрии в виде римановых многообразий: сферу S工 постоянной кривизны х > 0 (сферическая геометрия; отождествление диаметрально противоположных точек на сфере приводит к эллиптической геометрии); R" с постоянной кривизной 孔=0 (евклидова геометрия); открытый шар U^ cz Rn с метрикой (23) как многообразие постоянной отрицательной кривизны х < 0 (гиперболическая геометрия). Метрики (23) были введены Риманом.

С помощью (22) строится другая модель гиперболической плоскости постоянной кривизны К= — L Возьмем в качестве двумерного дифференцируемого многообразия верхнюю полуплоскость R+, т. е. открытое подмножество точек а + /^ ^ С,. для которых ^ > 0. Введем на R+ метрику g=/g, где g — метрика, индуцированная канонической метрикой R2. По отношению к карте id имеем Гц =乜=『％ =因=0, Гц = у ,儿二以=Г^2= —у.

Геодезические / —> R+ с компонентами и, и удовлетворяют,

таким образом,таким образом,2 дифференциальным уравнениям и ———йй = О,

таким образом,

таким образом,

5 4~у (w2 — V2) = 0, и все они могут быть продолжены на всю прямую R. Максимальные нормальные геодезические R—>R+, удовлетворяющие очевидному соотношению ——= 1, задаются (с точностью до сдвига и перемены знака параметра) уравнениями

и (/) = a th / + р, и (/) = 0,или

0")=前，u(f) = i,

где а,蚱 R, а>0.

Образы этих геодезических в R+ суть полуокружности с центрами в точках (0, 0) и радиусами а или же полупрямые, параллельные оси и. По существу, т. е. с точностью до несущественных замен параметра, для каждых двух точек 2Р &rR： есть одна

соединяющая их нормальная геодезическая. Найдите ее длину. Покажите, что отображение 2 —> - есть изометрия риманова многообразия R： на U-i. Найдите вид геодезических на 。乂・ Преобразования единичного круга в себя 2 —е"^^, где v действительно и I 201 < 1, являются изометриями U—i・ Можно показать, что ими исчерпывается вся группа изометрий Uf.

(V)Пусть М — связное риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V, и dim М = п^3. Если Ке не зависит от о в каждой точке р^ Mt тензор кривизны М имеет вид (17), где К 巨 咅М. Докажем теорему Шура, утверждающую, что К постоянна. Для этого заметим, что тензор g параллелен, т. е. Vg = 0, поэтому VR = 0. Из (17) и тождества Бьянки (см. замечание (iii) разд. 2.3)

(XK)R^Y，Z, U) + (YK)R(Z, X, U) + (ZK)R(X, У, U) = 0

для всех X, У, Z, U 巨 ЗЗМ. Отсюда уже легко выводится утверждение теоремы Шура (причем существенно используется предположение dimAl》§)・ Докажем теорему, аналогичную теореме Шура: если кривизна Риччи в каждой точке постоянна, то она постоянна вообще. Для доказательства заметим, что в условиях теоремы тензор Риччи gR пропорционален метрическому тензору, т. е. gR = ^g, где X е^М. Но в таком случае из тождества Бьянки и замечания (iv) разд. 2.3 следует, что 九 постоянна.

Римановы многообразия с постоянной кривизной Риччи называются также многообразиями Эйнштейна. Покажите, что связное трехмерное многообразие Эйнштейна есть многообразие постоянной кривизны.

(vi) Пусть М，М2 —римановы многообразия, Mi X М2—их риманово произведение (см. замечание (ii) разд. 3.1). Покажите, что связность Леви-Чивита на М1ХМ2 есть произведение соответствующих связностей на М1 и М2 (см. разд. 2.4). Докажите формулу, связывающую тензоры кривизны A* R2, r многообразий 府㈠ М2, Mi X m2：

〈R (X, У) Z, U〉=〈* (乂匕)Z|, Q〉+〈戸(力，％) Zz,力〉，(25)

где X, У, Z, U 巨 53 (財由財2), Xj = л»*Х,匕=л»*У, Z/=n^Z, Ui = rc^U — векторные поля вдоль естественных проекций л», т. е. компоненты X, У, Z, U по отношению к ТМ (i= 1, 2) (см. замечание (iii) разд. 2.4). Выведите из (25), что риманова кривизна 凡 обращается в нуль в каждой точке (р, q)^ М}Х М2 для всех плоскостей owGg 力 „расположенных касательно к Мх и 財2“， т. е. таких, что dim лиа = dimn2*a = 1. Если Мь М2 — многообразия положительной (отрицательной) кривизны, то 附〔X М2 имеет неотрицательную (неположительную) риманову кривизну, причем Кд = 0 в каждой точке (р, д)巨附【X М? для тех и только тех

плоскостей а, которые касательны к М[ н М2. Вычислите для Sp, X S^ риманову кривизну и кривизну Риччи. Скалярная кривизна в этом случае постоянна, s = ―~-Н— „—- . Кривизна Р1Р2

Риччи г всегда положительна при n, fe> 1; если Sp,, S& имеют одну и ту же кривизну Риччи г =——5—=——, то г постоянна Pi Р2 на их произведении.

(vii) Еще один класс римановых многообразий, для которых кривизны вычисляются относительно просто, образуют симметрические и однородные пространства. Пусть М — связное риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V. Многообразие М называется локально симметрическим пространством, если для каждой точки р^ М существует такая окрестность V и такая изометрия 1Р этой окрестности на себя, что tp+u = — и для всех и е Мр или, что эквивалентно предыдущему, все проходящие через р геодезические отражаются в точке р, т. е. для геодезической с: [— а, а] —> Му удовлетворяющей условию с (0) = р, справедливо соотношение 1卩 ° с(£) = с (— £)• Таким образом, ip есть отражение в точке р, для которого ip ° ip = id, а точка р является (локально) единственной неподвижной точкой. Если при этом для каждой точки р^ М можно взять в качестве V все М, то М называется глобально симметрическим, или просто симметрическим пространством. Например, R" и Sp, очевидно, симметрические пространства (см. замечание (vi) разд. 3.8). Известна теорема Э. Картана, по которой односвязное локально симметрическое пространство глобально симметрично, если его связность Леви- Чивита полна 1). Покажите, что, с другой стороны, на глобально симметрическом пространстве все геодезические могут быть продолжены на R.

Из леммы 2 разд. 3.5 следует, что если М — симметрическое пространство и X — параллельное векторное поле вдоль геодезической с: Rf М, то для 厶，tfR p = c(j) имеем (力 + f)= =—X (厶一t). Согласно (13) разд. 3.5, отсюда следует, что 〈R(X, У) Z, U) постоянно для любых параллельных вдоль с полей 文,У, Z, U. Поэтому R параллельно, т. е. V/? = 0 (предполагается лишь локальная симметричность М). Как мы увидим в замечании (ii) разд. 6.3, верно и обратное: если V/? = 0, то М локально симметрично. Таким образом, М локально симметрично тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен. Например, любое пространство постоянной кривизны симметрично, так как из (17) следует V/? = 0, см. замечание (v).

1)Доказательство, см., например, в книге С. Хелгасона «Дифференциальная геометрия и симметрические пространства», М” 1964. — Прим, перед.

Покажем теперь, что каждая связная группа Ли G с биин- вариантной метрикой 〈 , 〉 есть глобально симметрическое пространство (см. замечание (v) разд. 3.2), если определить отражение %: G -> G относительно точки g ^ G формулой tgh = gh~lg. Так как te=Lg-i。j。Rg-i, то %*: Gg f Gg-i есть изометрия. В самом деле, левые и правые сдвиги суть изометрии G, и %*и = — и для и w G^ поскольку % производит отражение в однопараметрических подгруппах G (см. замечание (v) разд. 2.7), Следовательно, i© есть изометрия G на себя, а значит, н tg = Lgotgo Lg-\\ далее, %*力=—и для и 三 G©・ Пусть V — связность Леви-Чивита биинвариантной метрики ( , ) и с: R -> G — геодезическая связности V, удовлетворяющая условию с(0) = е. Для любого 匕 w R отображение ip отражает с относительно точки p = c(f) откуда c(fj 6(乙 + £尸 с (幻= =с(/[ — /). Из этого соотношения индуктивно получаем c{mt^ = =6(幻"для любого целого числа т, а затем доказываем, что c(t{ + /) = с(/!)с(/), сначала для рациональных Zb /, а затем, в силу непрерывности & для всех действительных. Таким образом, с есть гомоморфизм R-> G, и образ его есть однопараметрическая подгруппа G, иними словами, интегральный путь левоинвариантного векторного поля X на G, удовлетворяющего условию Хе = с(0). Мы видим, что геодезические V совпадают с геодезическими канонической левоинвариантной связности на G. Следовательно, они являются интегральными путями левоинвариантных векторных полей. В частности, для левоинвариантного поля X, согласно замечанию (ii) разд. 2.7, имеем VAX = 0.

Пусть теперь X, У, Z, U — левоинвариантные поля на G. Получите из (7) разд. 3.5 и VxX = °，что〈[X, У], У) = 0; поэтому 〈[X, У], Z〉антисимметрична по всем трем аргументам. Тензор кручения Т левоинвариантной связности G оказывается, таким образом, ортогональным по отношению к биинвариантной метрике (см. замечание (ii) разд. 3.5). Далее, поле VAy = у [X, У] левоинвариантно. Теперь легко проверить, что

R(X,Y)Z=-^[[X,Y],Z],1(26)

〈R(X, Y)Z,У], [Z, U]〉.

Отсюда следует, что риманова кривизна группы Ли с биинва* риантной метрикой неотрицательна. Для некоторых плоскостей она может обращаться в нуль, например в случае G = R°. С помощью (26) вычислите еще раз тензор кривизны и риманову кривизну группы Ли S3uR4 с индуцированной биинвариантной метрикой (см. замечание (iv) разд. 1.3). Рассмотрите более общий случай, когда на трехмерном дифференцируемом многообразии

заданы векторные поля Хн Х2, Х3, образующие параллелизацию и удовлетворяющие соотношениям [Xh Xg+J = 2X^+2 (индексы считаются по модулю 3), и покажите, что если с помощью этой параллелизации ввести каноническую риманову метрику (в которой X], Х2, Хз ортонормированы), то получается пространство постоянной кривизны 1.

Другие примеры компактных симметрических пространств можно получить, введя на проективных пространствах Pn(С), Р"(Н), р2(Са) (см. замечание (v) разд. L7) естественную метрику, возникающую из их представления в виде однородных пространств. Их кривизна положительна и при надлежащей нормировке принимает в каждой точке значения, заполняющие интервал [扌，1]. Эти пространства входят в более общий класс рима^овьрс многообразий —однородных пространств некоторой группы Ли G по ее замкнутой подгруппе Ли //, снабженных инвариантной метрикой.

Так как G действует на G/H как группа изометрий посредством левых сдвигов, кривизны в произвольной точке q могут быть определены, если их вычислить в единственной точке р. В самом деле, существует изометрия l пространства G/H, переводящая р в q. Более того, тензор кривизны нормальной метрики на G/H задается относительно простыми выражениями, аналогичными формуле (26) для групп Ли, и вычисляется с помощью алгебраических операций по алгебрам Ли д, 5 групп G, // с помощью инвариантного скалярного произведения на д. Несмотря на это, уже, например, выяснение точной области значений скалярных кривизн может оказаться для таких пространств затруднительным. Если О компактна, то G/H с любой нормальной метрикой есть пространство неотрицательной римановой кривизны, однако пространства этого типа со строго положительной кривизной весьма немногочисленны (см. разд. 7.9 и замечание (iv) разд. 7.5).

Относительные кривизны

Очень часто приходится иметь дело с римановыми многообразиями, изометрически вложенными в другие римановы многообразия, например с подмногообразиями евклидовых пространств, заданными с помощью уравнений. В таких случаях так называемый второй основной тензор измеряет, насколько вложенное многообразие искривлено по отношению к объемлющему. Замечательно, что при этом определенный внутренним образом риманов тензор кривизны вложенного многообразия может быть выражен через второй основной тензор и тензор кривизны объемлющего многообразия. Для случая поверхностей в R3 это было впервые обнаружено Гауссом в его „Theorema egregium**. Второй основной тензор, как правило, легче поддается вычислению в конкретных случая^,

чем риманов тензор кривизны; тем самым мы получаем ценное средство для вычисления скалярных кривизн, в особенности в случае обращения в нуль тензора кривизны объемлющего многообразия, например, евклидова пространства.

Рассмотрим несколько более общий случай. Пусть М, М —римановы многообразия, dim М = п и i: М —> М — изометрическое отображение (тем самым погружение). Обозначим через V, V связности Леви-Чивита и через R, R тензоры кривизны М, М.

Определим для векторного поля У вдоль i „перемещенную обратно" касательную компоненту 丁丫三 23M с помощью соотношения

〈ту, Х〉=〈У, “X〉 для всех Х^^М(1)

(см. лемму 1 разд. 3.5). Из разд. 3.5 ясно, что『У = 丫丁 и 丁 (丫丁) = 丁工 Отображение S: ®М X 23^ —> 23М, заданное формулой

S(X, N) = T(%N),(2)

называется вторым основным тензором изометрического отображения I) Отображение S билинейно над кольцом 彩М, что проверяется без труда. Докажите, например, однородность по второму аргументу. По лемме 2.3 тензор S (X, 乂儿 зависит лишь от значений Np и Хр.

Таким образом, мы получаем отображение S: v X TM->TMf где V — нормальное расслоение i (см. замечание (iii) разд. 3.8).

При фиксированном поле нормалей N w■呪 отображение S(X, N、обращается в тензорное поле SN типа (1,1):

SM = S(X, N).(3)

С помощью этого тензора определяется билинейная форма

Покажем, что эта форма симметрична. Прежде всего из равенств (1) — (4), соотношения ортогональности {N, 14У) ^ 0 и тождества Риччи (2) разд. 3.4 имеем

(X, У) = GxM ⑺=-〈М %)〉•(5)

Так как связность V не имеет кручения, то из (6) разд. 2.5 следует'

一〈М Vxi*y〉= —〈M %1*Х + 1」Х, Y]} = -{N, \YitX} = lN(Y, X).

Приведенное здесь изложение теории второго основного тензора принадлежит П. Домбровскому, см. цитированную в конце замечания (vii) работу.

SN называется вторым основным тензором, а 2%(Х, У) — второй основной формой по отношению к нормальному векторному полю ^. Для р ^ М и и, и w Мр, w е Мр обычным образом определяются S^(u) и lw(ut V) (здесь Мр — ортогональное дополнение к ^Мр в “1(卩))・ При этом S®: Мр -^ Мр оказывается самосопряженным по отношению к метрике Мр эндоморфизмом. Если || ш || = 1, то инварианты этого эндоморфизма называются относительными кривизнами М в точке р в направлении нормали ш. Из них важнее всего п (действительных) собственных значений S^, которые называются главными кривизнами М; соответствующие собственные векторы задают прямые, называемые направлениями главных кривизн. Из главных кривизн составляются средняя кривизна Hw и кривизна Гаусса — Кронеккера Gw на М по отношению- к ш: "羽匚 j-trS羽,Gw — det Sw.⑹

Для ортонормированного базиса и” .・.,vn на Мр имеем G^ = =det (為(б，V/)).

Пусть теперь коразмерность 1 погружения равна 1, т. е. dim 府=тг+ 1, и оба многообразия М. М ориентируемы (см. разд. 7.4), тогда, как мы сейчас покажем, можно построить поле единичных нормалей N вдоль i глобально на всем М. А именно, в каждой точке р^М подпространство Np выбирается таким

образом, чтобы для любого положительно ориентированного базиса и” ..., vn в Мр векторы ^р, i^Vj, .. ., 1*口口) составляли положительно ориентированный базис в 〃【(办 В этом случае можно обозначить второй основной тензор и вторую основную форму относительно N просто через S, соответственно / (впрочем, остается еще зависимость от выбора ориентаций, так что S и Z определяются с точностью до знака). При этом S называется

просто вторым основным тензором, а I — второй основной формой погружения I, а инварианты S — относительными кривизнами i. Средняя кривизна Н = —tr S и кривизна Гаусса — Кронеккера погружения I суть дифференцируемые функции на М, причем G

для четного п, как легко видеть, не зависит от выбора ориентаций М, М. Регулярный путь с: Jf М, нормированное касательное

поле которого -~- в каждой точке / е / имеет направление глав

ной кривизны, называется линией кривизны.

Перейдем к соотношениям, связывающим тензоры кривизны М, М и второй основной тензор. Эти соотношения содержатся в следующих равенствах, представляющих обобщение классической гауссовой „Theorema egregium". При этом, как мы уже говорили,

разность между внутренними кривизнами М н М выражается через относительную кривизну М в М.

Лемма （Уравнения Гаусса）

Усл. I： М-^ М — изометрическое отображение, dimXl》2, коразмерность погружения dim М — dim М = т. Для р^ М векторы, и, и, wt z^ Мр и М, …，^m— ортонормированные базисные векторы 6 Мр, Для каждого N» определены эндоморфизм Sj = S“j пространства Мр и вторая основная форма % = // относительно "厶 Через k,后 обозначаются соответствующие R, Л биквадратичные формы （разд. 3.6）.

Утв.

R （〃，v）w- 丁（友（、〃，i*u） i,w）= £ & （и, w） S"〃 - % （〃，и＞） S"t）］;⑺

R （〃，。）吗 2〉一〈员（、〃，1.0）l,W, 1卩〉=

=£ &（0，@）%3, 2）一 厶3, @）%（0，Z）］； （8）

N "口（〃，〃）儿（〃，？）\

月存det Vn（«. 0）厶（°, J ⑼

Тензор, стоящий в левой части （7）, называется „тензором разности крнвнзн" погружения и

Док. （8） и （9） есть тривиальные следствия （7）.

Для доказательства （7） продолжим ^］, Nm локально до ортонормированных векторных полей в 碍，обозначив их также через М,…，Nm. Продолжим 〃，и, w локально до векторных полей X, У, Z 三 23А1. Тогда 5И и /и канонически продолжаются до тензорных полей.

Разложим %4*Z на касательную и нормальную составляющие и применим лемму 2 разд. 3.5:

▽儿Z = （%1*Z）T + （▽人Z）丄=i.VyZ + 卫］〈％, %i.Z〉N".

Ковариантно дифференцируя по X, находим

VxVrl,Z = VxltVrZ + S［y«^（力1幺〉）必 +〈％, %i*Z〉％NJ

отсюда

（▽x%*Z）T = i*VxVyZ+ £〈必，％、Z〉«xNj・

Перемещая обратно касательные составляющие, получаем из (3) и (5)

Tgx%i*Z) = Vx%i*Z = Vx%Z- 2 % (У, Z)SM.

Меняя местами X н У, получаем аналогичное выражение для 丁(十川犬1*2), а в силу T(V(x, yji.Z) = V(xf y)Z из определения тензора кривизны и (7) разд. 2.5 следует

R(X, y)Z-T(R(i*X, i))i*Z)=E 几(У，^S^X-l^X, Z)SJ],|Л=1

что и доказывает лемму.

В частности, при dim Л1 = 2 и М = R3, т. е. для поверхности в R3, из (9) сразу же вытекает, что риманова и гауссова кривизны М совпадают.

Замечания

Геометрический смысл второго фундаментального тензора проще всего уяснить себе в случае изометрического вложения I： М и 病 коразмерности 1. Если АГ — нормальное поле постоянной длины, то 0xN везде каеательна. При этом 厶5鹏=%" выражает „скорость отклонения** нормального поля N от параллельного поля при смещении в направлении X. При более высокой коразмерности это истолкование неприменимо, поскольку VxX может иметь нормальную составляющую для нормального поля N постоянной длины. Однако заданный единичный нормальный вектор Np в точке р ^ М всегда можно локально продолжить до единичного нормального поля N таким образом, что для всех v ^ Мр вектор ▽亦 будет касательным. Такое поле можно построить, например, следующим способом. Пусть У — векторное поле вдоль вложения I, полученное из Np параллельным переносом в М вдоль

У丄

исходящих из р геодезических М. Положим W = jyy в некоторой окрестности р. Тогда 十炉丫丄= —十“丫丁; легко проверить, что 卡“丫丁 и тем самым V^K1 — касательный вектор. Так как ?||丫丄口 = у丄у丄)~у丄

=~Нг丄=0, то вектортоже касательный.

II У 丄 IIF ° II У 丄 II

Приведем другое геометрическое истолкование второго основного тензора. Для вектора v ^ Мр и нормального вектора 侬 w Мр рассмотрим дифференцируемый путь с: [0, р]—>Л1, удовлетворяющий услобию с (0) = и, а также параллельное относительно V

векторное поле У вдоль с, для которого У (0) = w. Легко проверить (см. теорему 2 разд. 2.6), что

Sg。= т&»У丄儿=-T(Vc/T) |0= - lim ^>.

/->0「

Следовательно, = — lim——；—есть скорость, с которой У отклоняется от нормального к М положения при смещении в направлении и. Эта интерпретация могла бы мотивировать противоположный выбор знака в определении S.

Рассмотрим риманово многообразие 京 размерности п^ 2, возьмем точку р^ М. Пусть а — двумерное линейное подпространство Mpi U — некоторая окрестность 0 в а, которую экспоненциальное отображение exp: ТМ -> М диффеоморфно вкладывает в М. Тогда Af = exp(U) с индуцированной из М. метрикой становится двумерным римановым подмногообразием М, причем М" = о. Покажите, что риманова кривизна Кр = ^0 подмногообразия М в точке р совпадает с римановой кривизной 穴° многообразия М в двумерном направлении о. Для этого достаточно заметить, что при и 三 о

In3 и) =〈％(о)М 6(0)〉= <%(汽。力 г) \0 = D{Nocic) |о = О, где с(/) = ехр(® и ^ — произвольное нормальное поле в окрестности р на М.

Риманово подмногообразие М риманова многообразия М. называется вполне геодезическим в А4, если все геодезические М являются также геодезическими М, Покажите, что М является вполне геодезическим тогда и только тогда, когда его второй основной тензор равен нулю.

Рассмотрим изометрическое погружение i： М-> 府 коразмерности 1 и единичное нормальное поле ^ вдоль М. (которое существует глобально, если М п М ориентируемы). Пусть S — второй основной тензор относительно N или, как мы его назвали выше, второй основной тензор погружения i. Рассматривая тензорное поле S типа (1,1) как антисимметрическое, применим к нему дифференцирование Картана (см. замечание (iv) разд. 2.3)； таким образом, мы получаем антисимметрический тензор dS типа (2,1). Докажите уравнение Кодацци: dS (X, У) = 'А(1*Х, i^N. Из этого соотношения вытекает, что

ss (Х, У), z〉= —〈R ал, %〉，

т. е. 〈dS(X, У), Z〉 есть взятая со знаком минус нормальная компонента R(i*X, i,y)i+Z.

Если, в частности, R = 0, как, например, в случае М = R", то dS = 0, или, что то же самое, тензор VS симметричен.

(V)Укажем геометрический смысл кривизны Гаусса — Кронек- кера.

Пусть М — ориентированное n-мерное риманово подмногообразие R"+* т. е. ориентированная гиперповерхность (можно доказать ориентируемость любого подмногообразия ^“十丨 коразмерности 1). Тогда, Очевидно, вдоль М можно построить глобальное поле единичных нормалей Пусть S — второй основной тензор относительно ^^ 冗°： TR"+i Rn+1 — проекция, на каждом слое TR"+i обратная каноническому изоморфизму. Гауссово сферическое отображение у： Mf S" определяется формулой 丫 =冗()。乂, оно называется также „отображением посредством параллельных нормалей". Покажите, что щоу^^=щ° S (допуская некоторую неточность, можно сказать, что Y* = S после параллельного сдвига. Кривизна Гаусса — Кронеккера det Sp == dety*p есть тем самым мера растяжения о.бъема М в точке р при гауссовом сферическом отображении.

Рассмотрим поверхности вращения в R3. Пусть qp： J ^^ — регулярный путь с компонентами 屮“ 屮?， причем ф] (/)>0 для t^J. Поверхностью вращения, полученной вращением 屮 вокруг второй координатной оси, называется образ „периодического** погружения f: JxRf К', заданного формулой

f (厶 s) =(6 (/) cos s, <Pi(/)sins, ф2(0)-

Поле единичных нормалей N вдоль f имеет вид

NQ» s) = (<i)f + ф|)~2 [ф2 (Z) cos sD^f^, s) +

+ @2 (0 sin sD2。f(t, s) - S(/) A ° f (/, s)].

Пусть S — второй основной тензор относительно N. Пока-

жите, что

<Р1 (Ф1 + 喲厶<Р1 (Ф1 + 喲厶f*4・f*4・25 =出,7=脅一鱒5, f.S02 = NWV = 跳+複

<Р1 (Ф1 + 喲厶

<Р1 (Ф1 + 喲厶

f*4・

f*4・

Двумерный тор Г2 посредством вращения пути qp ==(/? + г cos /, г sin /) погружается в R3 при R, г>0 и вкладывается в R3 при R>r>0・ Легко найти для погружения тора главные кривизны

л _ 1 лсоз /

1 ~ Г *2 一 R + Г COS t '

среднюю кривизну

"1 м , л X R + 2r cos t"=万(儿+A2)= 2r 依 + rcos/)

и гауссову (риманову) кривизну

G = К =储九 2 =…/р :sf~тт •1 г (R + г cost)

Укажите на торе области положительной и отрицательной кривизн. В качестве второго примера возьмем поверхность вращения цепной линии (p(/) = (chf, ?), называемую катеноидом. В этом случае главные кривизны равны

九尸一备，"2 = 备•

Катеноид есть, таким образом, поверхность нулевой средней кривизны (Н = 0); такие поверхности называются „минимальными**. При этом его гауссова кривизна G = K=—言^ везде отрица

тельна.

Постройте поверхность вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны.

Покажем, как можно вычислять кривизны многообразий, заданных уравнениями. Пусть 府—(孔+ 1)-мерное риманово многообразие (в большинстве встречающихся примеров М = Rn+I), f: Af -> R — дифференцируемая функция и 0 — регулярное значение f. Тогда М = f~{ (0) с индуцированной римановой метрикой есть n-мерное риманово подмногообразие 府. Поле N = TWirL есть единичное поле нормалей вдоль М. Пусть S — второй основ

ной тензор, I — вторая основная форма, Н — средняя кривизна и G — гауссова кривизна М по отношению к М Покажите, что для р^М и и, w ^Мр

SuSu(10)(10)

Su

Su

(10)

(10)

(И)(12)(И)(12)/(и, s)= t^V%9, 5)，

(И)

(12)

(И)

(12)

~^т\1 rw-/

Выведите отсюда формулу, связывающую римановы кривизны Ко Кд многообразий М, М в направлении двумерного подпространства оиМр с ортонормированным базисом и, w.

(13)(13)х d U)%(U，⑵)八。一八ae貝 11f (v, w) hf (w, w)

(13)

(13)

Чтобы получить явную формулу для гауссовой кривизны, напомним некоторые понятия линейной алгебры. Пусть £ — действи-

тельное векторное пространство размерности п, А： £->£ — эндоморфизм, % (Л) — характеристический полином А со свободным членом (—1)" det 力.Определим полином р (九)тождеством 九р (九)= =det4 —( —1)"х(九).В силу известного тождества % (4) = 0 имеем 4р(4) = det 4 • id. В любом базисе Е эндоморфизм Л^ = р (Л) изображается матрицей, элементы которой суть алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы эндоморфизма А,

Если в Е введена евклидова метрика〈，〉н 尸 есть (п — 1)-мер ное подпространство Е, то с помощью ортогональной проекции Р: EfF получаем эндоморфизм Р A: F fF. Покажите, что

det (р О Л)=(4С叫 5〉， (14)

G = ^S = -^(H^f,^G = ^S = -^(H^f,^(15)(15)где w — единичный вектор, ортогональный к 尸. В силу (10) отсюда вытекает формула для кривизны Гаусса — КронеккЬра подмногообразия М:

G = ^S = -^(H^f,^

G = ^S = -^(H^f,^

(15)

(15)

Если М описывается более чем одним уравнением, т. е. является прообразом регулярного значения 0 дифференцируемого отображения /：兩 f R^1, то градиенты V^, ..., Vfm составляют базис нормального расслоения подмногообразия М = /-1(0). После ортогонализации из них получается т ортонормированных нормальных полей вдоль М, с помощью которых можно получить из (9) формулу для вычисления кривизн, аналогичную (13). Явные формулы и их подробное обсуждение см. в работе П. Домбровского (Dombrowski Р., Krummungsgrdpen gleichungsdefinierten Untermannlgfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkelten, Jahres- bericht der DMV, 1967).

Рассмотрим в качестве примера симметрическую билинейную форму Ф на R"+i. Пусть В — самосопряженный относительно (,〉эндоморфизм, для которого (Bp, q) = Ф(р, «), / — соответствующая квадратичная форма / (р) = Ф (р, р). Для регулярного значения р2 функции / получаем риманово подмногообразие М = }^г (р2) в Покажите, что

Vf |р = 2Вр, Hf = 2Bt 瓦=2R

К0=-、det①(力山))

IIW lip I ①(0,5)①(叫 w)j

после канонического отождествления касательных пространств к R"" с R"】 (здесь риМ, а — плоскость в Л1р с ортонормиро- ванным базисом и,⑪).Формула для Ка показывает, что М является пространством положительной кривизны в том и только том случае, если форма Ф положительно определена; в этом случае М —

эллипсоид. Например, М есть сфера при Ф = (, ) и, как легко видеть, ||Vf|L = 2p, Ка = Д-.

青+方+2= 1青+方+2= 1Пользуясь методами этого раздела, выведите заново формулу (24) разд. 3.6. Поскольку для поверхностей в R3 гауссова и риманова кривизны совпадают, формула (15) оказывается в этом случае удобным средством вычисления римановой кри- ■ визны. При этом нет надобности явно находить какие-либо каса-

青+方+2= 1

青+方+2= 1

тельные векторы. Проверьте, что эллипсоид

имеет кривизну К = [abc 信' + % + *)] , гиперболоид 糸 + + = 1 — кривизну К = —парабо

лоид ^ + -^-2z = Q- кривизну K-=\ab[^ + ^+ 1)].

3.8. Различные замечания

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения и примеры экспоненциального отображения; в частности, мы введем специальные виды координат, полезные при изучении ряда вопросов. Вначале сделаем общее замечание по поводу римановой метрики.

Многие понятия и результаты этого параграфа дословно переносятся на более общий случай, когда на дифференцируемом многообразии определена симметрическая и невырожденная, но не обязательно положительно определенная форма g. В общем случае можно определить на М связность без кручения, по отношению к которой тензорное поле g параллельно. Например, в основе общей теории относительности лежит четырехмерное многообразие М с симметрическим основным тензором〈，〉，индуцирующим в каждом касательном пространстве Мр „лоренцово скалярное произведение** ( , ): в Afp существует базис из векторов и” S，S，？4，Для которых

<S，6〉=〈u2，u2〉=〈？3，？3〉= 1，(？4，禽〉=一 1，

а попарные произведения равны нулю.

Нормальные координаты, почти нормальные координаты, координаты Ферми.

Пусть Af — риманово многообразие с метрическим тензором g и связностью Леви-Чивита V, exp： ТМ-^М экспоненциальное отображение для V.

Пусть р^М. Карта х с областью определения Ump называется нормальной в точке р, если существуют такой открытый

шар UgUR" радиуса е с центром в 0 三 R" и такая линейная изометрия I： Rn-> Мр, что ехр ° t диффеоморфно отображает U& на [/ и % =律卩。1|%尸・ В этом случае U называется „е-шароми М с центром в р, а функции %» называются римановыми нормальными координатами. Так как ехрр имеет в точке Q^ Мр максимальный ранг, то в каждой точке М существует нормальная карта.

Покажем, что если х — нормальная карта в точке р^ М с областью определения U, то компоненты g订 тензора g и компоненты связности Г% относительно х удовлетворяют условиям

g彳(p)= 6中喝(p)=。， ⑴

z, /, ^ = 1, ..., п. Чтобы доказать (1), рассмотрим геодезические 4： (— е, е)-> U, заданные формулой q (/) = ехр。i (fej = ехр(九е) где е — достаточно малое число. Очевидно, 底(0) = 1句.С другой стороны, q(/) = %t(®), откуда с.(О) = х~1£).|о = -^-| . Так как I изометрично, отсюда следует первое из соотношений (1).

Для доказательства второго из этих соотношений построим для каждого а 三 R" геодезическую с： J->U по формуле с(/) = =ехр(/ш). Тогда х ° c(t) = /а, и вследствие (3) разд. 2.7 имеем

2 (Г*/ ° с) а1 а1 = 0; в частности, ，Г%(р)а'а' = 0 для всех а, откуда吟(р) = о.

Нормальными координатами и инвариантностью экспоненциального отображения по отношению к изометрическим отображениям ((12) разд. 3.5) можно воспользоваться для доказательства следующей теоремы единственности: если Mf М — римановы многообразия одинаковой размерности и f, g： М-> М — изометрические отображения, М связно и в некоторой точке р имеет место f(p) = g(p), f*p = g.p, то f = g. Для этого надо проверить, что множество точек, в которых f,九 совпадают с g, g^ открыто и замкнуто в М.

Пусть р^М. Карта х вокруг р с областью определения U называется почти нормальной, если справедливы равенства (1) и х (р) = 0. Таким образом, нормальная карта также является и почти нормальной. Для локальных вычислений почти нормальные карты часто так же удобны, как и нормальные, построение же их проще (см. замечание (vi)).

Пусть J — открытый интервал в R и с: J -> М — нормальная геодезическая. Рассмотрим сначала отображения t: Rn~{XJ-> ГМ, обладающие следующими свойствами:

При / = 1, ..., п — 1 отображения Х『7—> ТМ, заданные формулой X； (/) = I (е〃 /), суть параллельные векторные поля вдоль с.

Для каждого f 巨/ отображение i линейно отображает каждый слой R”"*/ на Мс w, причем векторы Хх (/), ..., Х^т"), d(f) образуют ортонормированный базис Мс(；).

Отображения с требуемыми свойствами существуют; достаточно взять для некоторой точки tQ^ J векторы s,..., vn^} Мс^, составляющие вместе с с (幻 ортонормированный базис, затем построить однозначно определенные параллельные векторные поля Xi вдоль с, удовлетворяющие условиям X； (Zo) = vh и положить i(a, f)=』〃'％(/) ((а, /) е Rn-1 X 7). Карта 尤 с областью i = l

определения U называется картой Ферми вдоль с, если существуют такой открытый е-шар UE в R^-1 с центром в 0 и такое отображение i： Rn-1 X J^TMt обладающее свойствами (а) и (Ь), что ехр ° I диффеоморфно отображает цилиндр UBX J на U и 尤= (expoi|u х,-〔 В этом случае U называется „е-цилиндроми вдоль с, а функции 尤'называются координатами Ферми.

Докажем существование координат Ферми в окрестности инъективной нормальной геодезической с： J^ М. Построим сначала отображение i： Rn-1 X J ~>ТМ, удовлетворяющее требованиям (а), (Ь). Тогда ехр。i(a, f) = ехр(戸儲％(/)} отображение ехр о i дифференцируемо, а из соотношений expo t(seh /) = exp(sXf(/)), ехр ° I (0, t) = c (/) следует

(ехр。D* Di\^t = Xi (/), (ехр o^Dn\Qti = c (f),⑵

где i=l, ..., n — 1. Поэтому при всех f° 巨/ отображение expo(, имеет максимальный ранг в (О, /0) и, следовательно, диффеоморфно отображает некоторую окрестность [/口。/。точки (О, /0) на некоторый е0-цилиндр вдоль с |厶・ Из леммы 2 разд. 2.8 вытекает теперь, что для каждой геодезической с |八,где /!(=/ — компактный интервал, существует окрестность c(JJ, в которой можно построить координаты Ферми. Легко показать также, что в некоторой окрестности с (7) существует карта х, которая является картой Ферми на каждом е-цилиндре, содержащем с (7J, где J}^J — произвольный компактный интервал, а е зависит от 乙 (см. теорему 2 разд. 2.8). Если, наконец, с не инъективна, то существует отображение G ^М, где G п(0 X/) —открытое подмножество R"~ X 7, локальное обращение которого является картой Ферми в окрестности каждой точки c(f), £巨/・ Координаты

Ферми обладают следующими свойствами. Если х —карта Ферми с областью определения U вдоль геодезической с, то для компонент g订 тензора g и Г% связности: V относительно х справедливы соотношения

gj『oc(f) = 4j, Г%ос = 0 ® i, h=\,…，п, t 巨4(3)

Первое из этих соотношений получается из (Ь) и (2), так как

為L=tPk=x,(a ‘=1,…，"i,^4" = *「DJ" = d(')・

Рассмотрим теперь геодезические с® /) = ехр ° t (sa, /), где а^е Rn-1, f 已/・ Как и в доказательстве (1), находим, что 2 吟。c(f) а%'= О (k = 1, ..., п), откуда Г%。с = 0 при 厶 / = 1,・・・,孔一1,々=1, . •・,м. Наконец, Г*по с = Г„7 о с = 0 при j,々=1,・,,,м, так как в силу замечания (iv) разд. 2.5 имеем

，鼎許卜⑺=也(,)言=①陽。С),а -^7= X, (/ = 1, ..., n — 1) и о с = ё — параллельные век-

торные поля вдоль с.

В окрестности произвольного нормального пути с можно построить координаты, аналогичные координатам Ферми, но в случае i = j = nt вообще говоря, уже не будет выполнено условие「%。с = О (см. по этому поводу замечание (iii)).

Экспоненциальное отображение подмногообразия.

Специальные координаты, введенные в (ii), являются в некотором смысле частными случаями более общей конструкции. Пусть М — n-мерное риманово многообразие, N — ^-мерное подмногообразие Mt I： N ^ М — включение. Естественная проекция л: ТМ -> М дифференцируема с максимальным рангом, поэтому прообраз л"4 (府)есть дифференцируемое подмногообразие ТМ размерности п + k (см. замечание (iv) разд. 1.6). Покажите, что проекция f: л-1 (У) -> TN, заданная формулой f (о) = от, трансверсально регулярна к нулевому сечению N расслоения ТМ, н поэтому нормальное расслоенное пространство v = f-1 (У) подмногообразия N есть дифференцируемое подмногообразие л-1 (У) размерности п. Пространство v естественным образом является пространством векторного .расслоения, слоем которого над 卩巨乂 служит ортогональное дополнейие. Np касательного простраМ

ства Np в Мр； это расслоение называется нормальным расслое- наем N в М. Нормальное расслоение (обозначим его также через V)не обязательно тривиально, т. е. может не быть произведением N X R"'"也 в том смысле, что над ^ существует n—k линейно независимых сечений v. Например, нормальное расслоение v диагонали в М X М изоморфно касательному расслоению ТМ (изоморфизм индуцируется проекцией ль： Г(М X M)f ГМ)н, следовательно, не тривиально, если не тривиально ТМ,

В общем случае, для любого погружения i: Nf М можно определить нормальное расслоение погружения i, как расслоение над N, слоем которого в каждой точке р ^ ^ является ортогональное дополнение ^p к линейному подпространству i*Np в Al^p)； структура дифференцируемого многообразия получается так же, как вишу, поскольку локально i является вложением.

Рассмотрим экспоненциальное отображение exp: ТМ-^ М для М, и положим v = v Q ТМ. Экспоненциальным отображением подмногообразия N в М называется отображение ехрд^:中—► М, заданное формулой ехрм=ехрЬ Если, в частности, ^ есть точка р, то мы возвращаемся к отображению ехрр. Ясно, что ехр^ дифференцируемо и отображает исходящие из 0 лучи Np в исходящие из N геодезические М, ортогональные М Покажите, что ехр^ имеет на нулевом сечении Nuy максимальный ранг. Выведите отсюда (см. теорему 2 разд. 2.8), что если ^ замкнуто, то некоторая окрестность ^ в v диффеоморфно Отображается с помощью ехр“ на некоторую окрестность N в М,

Таким образом, ехр^ позволяет естественно ввести параметризацию окрестности N в М, если дана параметризация М это обобщает специальные конструкции координатных систем, приведенные выше.

Экспоненциальное отображение цилиндра.

Рассмотрим функцию F: R3—► R, заданную формулой F(a) = = а； + а^—1; 0 является ее регулярным значением, так что по лемме 2 разд. 1.6 цилиндр С = F~l (0) есть двумерное дифференцируемое риманово подмногообразие R3, Накрывающее отображение и 呼一＞С, заданное формулой i(s, f) = (coss, sins, f), изоме- трично, потому что для р = (so,幻 三 R и g = i(p)qi векторы ⑦i = i*Qilp, w2 = 1,^2 Ip составляют ортонормированный базис Cqt Из (12) разд. 3.5 и замечания (i) разд. 2.9 видно, что для о = =S3i + 的2 三&

expg (о) = (cos (s + s0), sin (s + s0), f + %).

Отображение exp^ определено на всем касательном пространстве % сюръективно и везде дифференцируемо с максимальным рангом,

но в целом не инъективно. Все непостоянные геодезические суть винтовые линии, за исключением периодических накрывающих окружностей s ->expg (s的)；все остальные нетривиальные геодезические инъективны. Каждую пару точек q, qf ^ С можно соединить геодезическими сколь угодно большой длины.

(V)Экспоненциальное отображение конуса.

Рассмотрим на R： = {awR3： &>0} функцию F (а) = а^ + + 礎-尤2占 哆 где х> 1; 0 является регулярным значением F, и полуконус С = F~l (0) есть тем самым двумерное риманово подмногообразие R3. Полагая R+ = {г: г>0} и U = R+ XR, построим погружение /к U->R по формуле А (г, ф) = (г cos ф，г sinqp). После этого можно задать на надрезанной плоскости V = R2 — {(sv /)： / = 0,' s》0} отображение i: V -> G, удовлетворяющее соотношению

I о А (г, ф) = ^-—cosxqp, ^ sinxqp,I о А (г, ф) = ^-—cosxqp, ^ sinxqp,(г, ф) ^ R+ X (0, 2л). (4)(г, ф) ^ R+ X (0, 2л). (4)

I о А (г, ф) = ^-—cosxqp, ^ sinxqp,

I о А (г, ф) = ^-—cosxqp, ^ sinxqp,

(г, ф) ^ R+ X (0, 2л). (4)

(г, ф) ^ R+ X (0, 2л). (4)

Отображение i сюръективно, а также изометрично, потому что <(1 о h\ Di |р, (i о Л)ф Dy |р) = {hfii |р, hfij |p) для всех точек р из области определения i о ^. В случае, если х> 1 — натуральное число, формула (4) задает даже накрытие i: R2 — {0} -> С (при этом под (г, ф) понимается любая точка U\ При х = 3, например, имеем

i(s, f) = (-s +等t-^^-p，~^~Vs2+ f2).

Для 夕= (So, %)三 R2 —{0} И 9 = 1(р)вС векторы 叫= %£>/", ш2 = i^D2 |р образуют ортонормированный базис Cq. Так же, как и в замечании (iv), для вектора у = sw} + /ш2 С^ имеем ехр。(и) = (- (s + s。) + 暂否+ ^眾后产'

/ + /。- 暂戸胃十+少，，哗"Ms + So)2 + (f + fo)2 ),

за исключением случая и = Х(— s0W! — ^^2),九》L Область определения ехрр есть, следовательно, Cqj из которой выброшена полупрямая. Исходящая из q геодезическая в направлении — ^。⑪！ — /0^2 есть образующая конуса, подходящая к вершине, не принадлежащей С. Отображение ехр^ сюръективно и является погружением. Геодезические С, вообще говоря, не инъективны; например, полагая s0 = 0, /0 = 1_и определив с: R->C формулой с(入)= =ехрр (ХиУ1), имеем с(伏3 ) = с(—伏3 ), 6 (伏3 ) =/=貝一)/3 ), так что геодезическая с пересекает сама себя под ненулевым углом.

Изучите поведение геодезических С, рассматривая их как образы прямых R2 \ {0}. Покажите, что на С нет периодических геодезических.

(vi) Экспоненциальное отображение сферы.

Рассмотрим риманово подмногообразие М == Sp cz Rrt+1. Для любой пары ортонормированных векторов с, 々wRE построим путь с: [0, 2лр] -> Sp по формуле

с (/) = pc cos V + р& sin % (5)

Путь с периодичен и нормален. Образ с, называемый меридианом или большим кругом, проходящим через ре и ре, есть пересечение Sp с порожденным % е двумерным подпространством R'。 Из леммы 2 разд. 3.5 сразу же следует, что с есть геодезическая на М, так как ковариантная производная в Rrt+I касательного векторного поля к с ортогональна М (см. замечание (iv) разд. 3.5). В северном полюсе р = (0, ..., 0, р) w М векторы 1*叫=力|卩 (力=1, ..., п) образуют ортонормированный базис в Мр. Теперь экспоненциальное отображение ехрр: Мр -> М находится с помощью следующей формулы (где v = a)w{ 4- ... -\-anwn ^ Мр):

expp(o) = pcos* + p鳥 sin*(6)

при и =# О, ехрр (0) = р.

В самом деле, при и w % путь с(/)=ехр卩(加)есть геодезическая на М, удовлетворяющая условию с(0) = р, с (0) = v, как мы видели выше. Отображение ехр「определено на всем касательном пространстве и, согласно общей теории, имеет максимальный ранг в некоторой окрестности точки 0 ^ Мр. Легко проверить, что ехрр не имеет максимального ранга при n> 1 в том и только том случае, когда II V || = vnp и v>0 —целое число. При n = 1 отображение ехрр есть погружение и накрывающее отображение. Для и 巨 Мр, II V || = vnp, имеем

ехррО=(00, (-1『р), rangехрр |0 = 1.⑺

Ядро эндоморфизма ехрР+: (Mp)v -> Мехрр v есть подпространство Лр, состоящее из всех таких b ^(Mp)v, для которых (expj* b = 0. В силу (6) имеем

dimAp = n— 1 при || v || = vnp, v = 1, 2, ...,(8)

dim Лр = 0 в остальных случаях.

Отображение ехрр наматывает исходящие из 0 лучи Мр на большие круги М. При этом (п— 1)-мерные сферы Мр радиуса vnp

с центром 0 отображаются попеременно в северный и южный полюсы М. Отображение ехрр сюръективно, а на множествах

{v： V е Мр, II V ||<лр}, {и： V е Мр, vnp<|| V ||<(v + 1) лр}

также инъективно.

Чтобы построить экспоненциальное отображение в любой точке q R М, воспользуемся изометрией а е О (n + 1), для которой ар = q. Тогда, согласно (12) разд* 3.5, имеем exp^7^aoexppoa-\ в частности, вей геодезические R -> Л1 либо постоянны, либо периодичны, причем образами их являются большие круги.

В разделах 3.6 и 3.7 мы вычислили различными способами тензор кривизны сферы. Найдем теперь R еще раз, прямым вычислением в локальных координатах. Хотя в этом случае такой метод не очень удобен, он дает представление о более общей ситуации, когда требуется найти кривизны абстрактно заданного риманова многообразия. Мы найдем R в северном полюсе р, применив для этого почти нормальные координаты в р; нормальная карта (т. е. обращение экспоненциального отображения) привела бы к более сложным выкладкам.

Определим на множестве V=^b ^ R": —у Р< ^ь • • •> 匕〃一1 < —р, —лр<6П<лр^ отображение 2： Pf М с помощью формул

А— 1п

г* (ft) = р sin—jjcos —(1 &々&九)，2"+l(b)up JJ cos —.

Отображение 2 есть вложение, и 尤=2一1 есть карта на сфере М с областью определения U, состоящей из всех таких точек а^ М9 для которых либо ап =# 0, либо art+1 >0 (или то и другое вместе); иначе говоря, U есть сфера, „надрезанная** вдоль (п— 1)-мерной полусферы {。" = 0,。"+1&0}・ Функции х; называются сферическими или „географическими** координатами. Учитывая замечание (i) разд. 3.2, находим

ёп о z (ft) = б0 JJ cos2 容

Отсюда видно, что

g〃(P)H6".

Согласно (8) разд. 3.5, имеем

откуда

^j°z(b)= - Mg ^- Q&Yji&ii),"/°zS)=-?g^ Q&j<i = h《必

r%oz(6) = ^sin^cos* H(cos^y (1 <^<i = /^n),X=fe+1

「％0 之(b) = 0 в остальных случаях.

Таким образом, в северном полюсе р = (0, ・・・,0, р), действительно, 「％(р) = 0 (厶厶也=1,・・.，/г), и карта х почти нормальна в р. Положим X月也=1, ..., п, тогда Xk L образуют орто- нормированный базис в Мр. Компоненты тензора кривизны в точке р задаются равенством R (Xf, Xj)Xk\p = ^ R^k |р X ； |р. Согласно замечанию (i) разд. 2.3, имеем

R%月 Ip =(XI儿一^/Г^)|р =(DiPljk。之一D^lik0 ^) Io = "^- (6北6口 一 ％6〃). Отсюда R(Xh X 7) Xk\p = -^ (б/йХ； |р - dikX ； |р). Следовательно, для всех 〃，口，5 已 Мр имеет место

R(utv)w = -^ (〈и, S 〃-〈％ ш) и), поскольку последнее соотношение достаточно проверить для векторов, принадлежащих ортонормированному базису Мр. Зная тензор кривизны в северном полюсе, мы легко получаем формулу (24) разд. 3.6 для любой точки, ввиду однородности сферы и формулы (13) разд. 3.5. В случае общего риманова многообразия аналогичные вычисления приходится выполнить, вообще говоря, для каждой точки в отдельности.

ЛИТЕРАТУРА К § 3

С а г t а п Е., Lemons sur la geometric des espaces de Riemann, Gauthier — Villars (1946), Paris. (Имеется русский перевод предыдущего издания.)

Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, М., 1948.

Хелгасон С.» Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М., 1964.'

Kobayashi S. and N о m i z u K., Foundations of differential geometry I, Interscience Publishers (1963), New York — London.

Singer I. and Thorpe J., Lectures on elementary topology and geometry, Scott — Foresman Co. (1967), Glenview.

W i 11 m о г e T. I., An introduction to differential geometry, Oxford University Press (1959).

Экстремальные свойства геодезических

Вариации геодезической

Со времен возникновения римановой геометрии (а для поверхностей—еще раньше) известно, что геодезические риманова многообразия М локально минимизируют длину дифференцируемых путей; это означает, что для достаточно близких точек* р, q w М существует геодезическая с концами р, q, которая короче всех других путей, соединяющих peg. Именно эта вариационная задача и привела впервые к геодезическим. Но гораздо позже развилось вариационное исчисление в целом. Морс первым отметил последствия того факта, что геодезические, соединяющие peg, суть экстремали (или „критические точки(<) функционала длины на пространстве Qpci всех кусочно дифференцируемых путей [О, 1] -> Л4 с концами р, q (см. книгу Морса, указанную в конце этого параграфа). В теории Морса показывается, что топология £2西 и, значит, в известном смысле топология М определяются геодезическими, соединяющими р с (/, и их вторыми вариациями, если только М полно и р, q выбраны надлежащим образом (см,, например, разд. 7.6). Основная формула для второй вариации содержит риманову кривизну, и на этом обстоятельстве прямо или косвенно основываются сильнейшие известные результаты о связи между топологией и кривизной.

В этом параграфе через М обозначается n-мерное риманово многообразие со связностью Леви-Чивита V.

Пусть с: [а, р]->Л1 —дифференцируемый путь, / — открытый интервал в R, содержащий 0. Вариацией (или дифференцируемой гомотопией) с называется дифференцируемое отображение V: [а, р] X 7->Л4, такое, что V (/, 0) = c(f) для всех f w [а,可.Отображение V называется собственной вариацией, если V (а, е) = с (а), V (р, е) = с (р) при всех € 三丄

Пути 7е: [а, §]-> М, заданные формулой 匕 «) = У (九 е), называются соседними с с по отношению к вариации 7. Введем еще функцию L(e) ^ L (Уе), сопоставляющую каждому пути 几 его длину.

Формула (2) для второй вариации, содержащаяся в следующей теореме, была впервые получена Сингом.

Теорема (Первая и вторая вариации длины дуги)

Усл. с: [а, §] -> М — нормальная геодезическая, V: [а, р] X / -> Л1 — вариация с; X, У е= 23г — векторные поля вдоль R, заданные формулами X =匕Qi, Y =匕Q» Векторное поле У е 23г определяется формулой Y = Y — (Y, X〉X.

Утв. Длина пути Л (е) (е w J) есть дифференцируемая функция от е, при этом

U(0) = “, X〉koR,(1)

厶"(0) = j (CdR 无у〉-〈R (У，X), X, У〉儿 0山 + 仇工 X〉к(X•⑵

Если V — собственная вариация, то

(3)⑷(3)⑷Г (0) = 0,

(3)

⑷

(3)

⑷

厶〃 (0)= j (〈VdP,年了〉—〈R (У, X) X, У〉儿,о dt.

геодезической ком-геодезической ком-Так как X巨沿卩нТак как X巨沿卩нГеометрически У |f 0 есть нормальная к понента векторного поля Y вдоль с.

геодезической ком-

геодезической ком-

Так как X巨沿卩н

Так как X巨沿卩н

Док. По определению Л (е) = J || X (/, е) || d/・

компактном интер-компактном интер-IIX (/, 0)|| = || с (/)||= 1, а II X И непрерывна на

компактном интер-

компактном интер-

вале [а, р], то существует такая окрестность нуля J。и/, что || X |] не обращается в нуль на [ct, р] X 丿山 Тогда функция Л дифференцируема на JQ, и для ем/。в силу тождества Риччи (см. (2) разд. 3.4)

а ■а

Далее, пользуясь тем, что у связности V нет кручения!), получаем из (6) разд. 2.5 и [£\, £)2] = 0 соотношение V^V^i = V^V^, или, что то же самое, V^X = V/?^. Отсюда

厶®⑸

а

В доказательстве используется лишь ортогональность тензора кручения т. е. условие {Т (Д, В), В) =0. В самом деле, из этого условия вытекает 〈％2匕5，匕D)=〈％У/2，У (п0 атому поводу см. замечание (И) разд. 3.5).

По определению геодезической

Vq]X 1力0 = Vqd 1/=0(6)

н, следовательно,〈必工 X〉卜 ° = Q〈У, X〉〔九。.Так как для нормальной геодезической || 厶 || = || X «, 0) ||= 1, имеем U (0)= =〈У, Х〉|/ og = O, что и доказывает утверждение (1).

Переходим к доказательству (2). Из (5) получаем Lrr (е) =J £>2 ( "б?J>) J 由・ Вычислим производную под знаком интеграла, применив снова тождество Риччи:

力/〈%J，X〉) _〈%2匕у X)+〈%了，%#〉〈匕гxy2\一ш——m•

Найдем эту производную при е = 0, пользуясь соотношениями 弘％ =弘丫 и ||Х|||/,о=1:

〈弘%了，X〉h 0 +〈出工 必г〉If, 。 -〈办工 x〉2 k 0.

В силу (6) имеем

〈出工 X〉^DdY, X〉I,,。-〈匕必用底=7〈匕 X〉L 。,〈出二 Ху 1力 。 =〈Q〈匕 X〉X, D. (Y, X〉X〉I,,

Теперь можно записать два последних члена интересующей нас производной в виде

〈弘工 ^^-(D^Y, Х〉Х, D^Y, Х〉Х〉， и подставить вместо У в первое слагаемое У + (У, Х〉Х; применив снова (6), получаем

〈VqR 办了〉卜,0+2〈出y，d(y9X)Х)\^

Поскольку (У, X} \t о = О, то из тождества Риччи и (6) имеем 〈弘片 X) |/>0 = 0, и остается лишь〈VqR 弘了〉卜 о・ Таким образом,

L" (0)= J (〈V。％工 X〉+〈必忆 VBiy))|/ odL а

Введем в это выражение тензор кривизны. Так как [£>и О2] = 0» из (7) разд. 2.5 имеем К(Х, У) У = V^y^y — V^Vn/» а в силу ⑹ и тождества Риччи〈必у“，元>1/ 。 =-01(弘工 X〉> 0> о?куда

L" (0) = J (<VB1F,办乎〉-〈R (X, У) У, X〉) |厶 ° dt +〈必工 X〉|厶 ° R. а

Чтобы получить отсюда (4), остается применить тождество (4) разд. 3.6. В случае собственной вариации при всех ее/ имеем

V (а, Е)= с (а), V (Р，Е)= с (р), откуда V*D2 |а> е = К (а, е) = 0, V^D2 卜,е = = У(В，е) = 0. Следовательно, \Dy |а( 0 = V^K 0 = 0, что доказывает (3) и (4).

Пусть / = [а, р] и с: I-> М — дифференцируемый путь. Кусочно дифференцируемый путь У: /-> ТМ, удовлетворяющий условию я о у = с, называется кусочно гладким векторным полем вдоль с. Существует, следовательно, такое конечное множество /0 внутренних точек I, что на / \ /0 векторное поле У дифференцируемо.

Определим отображение У7: /-> ТЛГ, полагая 旷'(/)=(卡曾丫)(/) при t ^1 \ Iqh доопределив У' в точках /0 так, чтобы отображение было непрерывным слева. Ясно, что если У w 班公 то У' = ▽；)¥ 三沿叁 Множество всех кусочно гладких векторных полей вдоль с образует векторное R-пространство, подпространством которого является 23c.

Пусть с: I -> М — дифференцируемый путь, / — открытый интервал в R, содержащий 0. Непрерывное отображение V: I X /->М называется ломаной вариацией с, если существуют такое натуральное число k и такие действительные числа a = Yo<Yi< ...<уА = Р， что для V == 1, ..., k и /寸=[丫寸_”丫小 отображения VI/ х/ суть вариации соответствующих путей с |『• Соседние с с пути 嗔：/—► М ломаной вариации вследствие непрерывности V кусочно дифференцируемы. Пусть Lv(e) — функция длины пути, соответствующая вариации V |7 义」；тогда функция длины L(e) =

ности нуля в /, если все с |『—регулярные пути, так как в этомности нуля в /, если все с |『—регулярные пути, так как в этом=2 Ly(e) для вариации V дифференцируема в некоторой окрест- V=1

ности нуля в /, если все с |『—регулярные пути, так как в этом

ности нуля в /, если все с |『—регулярные пути, так как в этом

случае каждое слагаемое Lv(e) обладает тем же свойством.

есть кусочно гладкое вектор-есть кусочно гладкое вектор-Так как (V %><,(%, e) = (V 义,(％，• (v = 1, ..k-l), то отображение V^D2： /Х/-> TM, заданное формулой V^D2 lz>e == =(V |j 义 /) D2 卜 e для / w /v, непрерывно, а отображение Y: I ~>TM,

есть кусочно гладкое вектор-

есть кусочно гладкое вектор-

заданное формулой У (/) = V^D21/>0,

九=（叫）/2,九=（叫）/2,ное поле вдоль с. Положим 乙=(1/|/)爲,

九=（叫）/2,

九=（叫）/2,

У у == Kv — <yv, XJX* (v^ 1, ..., k), тогда в силу (1), (2) для нормальной геодезической с

L‘(0) = 2〈九,X>厶心，

V= 1YV_j

k -

厶"(°)= 2J (BdFv,办品〉一〈R Wv, Xv) Xv,八〉)L, о dt +

+〈VG\, Xv〉) o|：]・ YV-1J

Введем теперь обозначение У± = У 1^ 0 — (У |^ 0, «〉« (вспомните геометрический смысл У). Тогда V^pv |九。=У； (/) для / [yv-i, Yv] нХ」° = ©(/)・ Далее, имеем Yv\ 邑％+人 е (v = l, Ai-1), откуда 弘2八|丫 £ =弘2八+1卜 - вследствие этого мы приходим к обобщению формул (1) и (2) на ломаные вариации нормальной геодезической с:

ие)=〈у"〉е，⑺

『(0) = J (〈У；，У；〉一〈R (У, с) с, Y^^dt + а

+〈％丫 月 |р)о，«(В)〉一〈Vj i %, o> © (a)〉， (8)

где 匕 означает, что Y следует брать при е = 0. В случае собственной вариации V имеем У (а) = У (§) = 0 и ^DX\ la)0 = ^D2Yk |р)0 = °> что приводит к обобщению формул (3), (4):

U (0) = 0,(9)

『(0) = J (〈匕，匕〉一〈R (У, С) d, У〉儿 Л. (10) а

Из свойств тензора кривизны сразу же вытекает, uto〈R (У, с) с, У〉= =〈R(Y丄,с) с, У丄〉. Это значит, что на значение интеграла „второй варнаннн" (8) и соответственно (10) влияет лишь ортогональная к с компонента У.

Заметим еще, что каждое гладкое векторное поле Y вдоль дифференцируемого пути с: [а, §]->財 соответствует в указанном выше смысле некоторой ломаной вариации с. Канонический способ получения вариации с с заданным „вектором вариации*4 У состоит в следующем. Для каждого / 三[а, р] строится геодезическая, исходящая из с (/) в направлении У (/). Так как [а, р] компактно и У непрерывно, существует такой содержащий 0 открытый интервал j и R, что при всех (/, е) ^ [а,固 X J вектор еУ (/) принадлежит области определения отображения ехр: ТМ -> Mt Полагая

V (Л е) = ехр (еУ (/)),(11)

получаем ломаную вариацию У: [a, p] X 7—> Л1, для которой 匕5 )о = У(/)・

Замечания

Пространство Qp« кусочно дифференцируемых путей [0, 1]—> 財,соединяющих точки р, q ^ М, можно после надлежа-

щего пополнения превратить в бесконечномерное многообразие Тогда для дифференцируемого пути с е Qpq кусочно гладкие векторные поля вдоль с суть „касательные векторы** в точке % а собственная вариация V пути с есть „дифференцируемый путь" в Qpg, исходящий из точки с, причем У*О2 |上 0 есть „касательный векторu в начале этого пути. В окрестности регулярного пути с wQpq длина пути L: Qpgf R дифференцируема, и U (0),厶"(0) — не что иное, как первая и вторая производные L вдоль пути V в точке с (см. разд. 7.6).

Для кусочно дифференцируемых с: [а, р] -> Л1 можно определить функционал Е (с) = J || СI，df, называемый энергией пути с. а

Пусть с дифференцируем и V: [а, р] X /->Л1 —ломаная вариация с. Рассмотрим аналогичную L (е) функцию Е (е), равную энергии пути 几. Функция Е (е) всегда дифференцируема, в отличие от 厶(£), которая дифференцируема лишь при дополнительных предположениях (например, при регулярности с). Вычислите Е'(0), Е"(0) для собственной вариации V геодезической с. Покажите, что если путь с дифференцируем (соответственно регулярен) и если для любой собственной вариации с имеет место Е'(0) = 0 (//(0) = 0), то удовлетворяются „уравнения Зйлера" VDc = 0 и с есть геодезическая (для этого найдите общие выражения ^ (0), Lf (0) и примените (11)). Тем самым длина пути и энергия имеют одни и те же экстремали, а именно геодезические.

Пусть с: [а, р] -> М — нормальная геодезическая. Покажем, что если М — пространство отрицательной кривизны, то 厶"(О)>0 для каждой собственной вариации V пути % а значит, все достаточно близкие к с соседние пути вариации длиннее с. Рассмотрим параллельное поле У вдоль с, для которого〈У, С〉= 0, ||У||=1, и вариацию с в направлении V, построенную по формуле (11). Обозначая через а(/) плоскость в Мс(/), порожденную У (/), С«), получаем из (7) и (8)

厶'(0) = 0,厶"(0) = - Jk°(12)

а

откуда и следует сделанное выше утверждение. Таким образом, при параллельном смещении геодезическая в пространстве отрицательной кривизны растягивается (а в пространстве положительной кривизны сокращается).

Пусть Л!】，М2—римановы подмногообразия М, с: [а, §]->〃一 дифференцируемый путь, с(а)三 М】,c(g)三 乂2・ Ломаная вариация V пути с называется вариацией вдоль М】и М2, если для всех соседних путей 几 выполнены условия Уе (а)三 齒，几 ⑹ 三 М2. Покажите, что если с регулярен и является экстремалью по отно-

шению к таким вариациям, т. е. если U (0) = 0 для всех вариаций вдоль М[ и Л(2，то с — геодезическая, ортогональная в своих концах к М[, Л(2・ Пусть теперь с — нормальная геодезическая, c(a)wM[, с(р)еМ2 и <с (a), о) = <с (р), з〉для всех。^(乂必口)， 侬三(Л(2)с(в)， ^ ~ ломаная вариация с вдоль М[ и М2. Тогда U (0) = 0 и для любого кусочно гладкого поля У вдоль с из (8), как мы покажем, следует

丄〃 (0) = J (〈匕，У。一〈R (Г, с) с, У〉)\tdt + a

+ 厶(У (а), У (a))(У (В), У(В)), (13)

где А，/2 ~ вторые основные формы Л4Ь М2 в с (а), с(0) по отношению к нормальным векторам с (а), с(р) (см. разд. 3、7). Для доказательства (13) рассмотрим, например, локальное нормальное поле N к М2, для которого Nc «з)= с(Р). Из тождества Риччи имеем

〈YdVA, N)1р,о=-〈匕必,必册 b,o= 一 ?2(у 偉),У ⑥)，

аналогичное выражение получается в левом конце. Как мы видим, вторая вариация длины пути в этом случае зависит от предельных членов (13), которые выражают относительную искривленность М[, М2 в направлении вектора вариации.

42 Поля Якоби

Теперь мы займемся „дифференциальными уравнениями Якоби** для заданной экстремали рассматриваемой вариационной задачи о длине пути; при этом выделим векторы вариации, для которых вторая вариация обладает в некотором смысле экстремальными свойствами..

Условимся обозначать ковариантную производную VDK векторного поля У вдоль дифференцируемого пути с:М лерез У'・

Пусть с: 7 —> Л4 — геодезическая. Полем Якоби вдоль с называется векторное поле У 三沿©, удовлетворяющее уравнению

У" + К(У, с)с = 0.(1)

Множество Jc полей Якоби вдоль с есть подпространство векторного R-пространства &・ Заметим, что для awR поле ас есть поле Якоби вдоль с, так как VDc = 0 и /?(с, с) с = 0. Если XtY 〃, то〈У', Х〉=—〈У, X'〉 постоянно, поскольку (см. разд. 3.6)

D «Г, X)一(y, X》=(y", X〉+〈匕 X〉-(匕 Г) 一(У, X"〉=

= -〈К(У, d)d, X〉+〈R(X")d, У〉= 0.

В частности, для X = с оказывается, что 〈У', с) постоянно. Если

существуют такие а, 0е/, что (У, с) 1а = 0 и〈F"〉Q = 0, то 〈У"〉= 0, так как из предыдущего рассуждения следует 0 = (У/, с)= =D (У, с). Точно так же, если для различных чисел а, р е J справедливо (У, с) ^ = (У, с) |0 = 0, то (У, с) = 0. В самом деле, D〈У, с) =〈У', с) есть постоянная и (У, с) — линейная функция от t・

Покажем, что (1) локально эквивалентно линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Лемма (Существование и единственность полей Якоби)

Усл. с: J -> Л! — геодезическая^ 奇 w/; и, w ^Мс(^).

Утв. Существует одно и только одно такое поле Нкоби Y вдоль % что

у (力。) = U, V (幻=也(2)

Док. Возьмем такие числа avе J, av<av+i, чтобы было / = =(J[av, av+1] и чтобы каждое множество c([av, av+1]) принад- V

лежало области определения некоторой карты на М. Достаточно доказать утверждение для случая, когда с(/) лежит в области определения U некоторой карты х; после этого общий случай получается по индукции (см. доказательство теоремы 1 разд. 2.6 и в особенности замечание в конце этого доказательства).

Положим Х±=-^7 三沿U. Тогда для любого векторного поля дх1

У w 沿° имеем разложение У =工 ^^ь d = У%', откуда R (У, с) с = пп

=S 屮'R (匕。с, с) с. Далее, R (Х±。с, с)с = У 叫Х^。% где а* =

= (R(X±oc, с) с)лй e gj; в этих обозначениях имеем

п

R(Y, с)с=工 <pb"jc.(3)

feel

Теперь вычислим У". Очевидно, Г = ^(СМ,°с + <р%Х,°с),⑷

у〃 =工[с (У'х‘) X/。с + (产屮)VDX,。с].(5)

Учитывая, что (X. ° с)х^ = б{, и полагая (VDX^ ос^х1 = 6^, получаем ИЗ⑷，⑸

n

у〃= 2 {[£> (^£>ф9 + ьЫ +(D&0 ф4] X/ о с +

+ [б仍0 + 瓦屮4 VdX/ о с}・

Так как VOX；。с = £ b^Xk。с, имеем окончательно /г=1

爲。6.爲。6.⑹⑹у" = £ DD/ + 20 庇Dqt + £ (bb^+ £ Ь^ <рг

爲。6.

爲。6.

⑹

⑹

fe=l Li = lг = 1 \/ = 1/.

В силу (3) и (6) уравнение (1) равносильно однородной системе из 几 линейных дифференциальных уравнений второго порядка

пп /п\

DD/ + 2 工 b纪<р‘ +h Db^ + ^ 尻厅 + 4 Ф/ = О 伏=1,…，n).

⑺

Как обычно, систему (7) можно свести к системе из 2п линейных дифференциальных уравнений первого порядка, введя функции у十左= Q(p在.Согласно (2), должны соблюдаться условия 1色)=乜， У'(幻=ш, откуда V (炉)=状(％), а из ⑷ следует ш (л?) = (Qq?)(%) + + X中"(力)b?(%).Мm получаем для системы дифференциальных уравнений первого порядка, к которой сводится (7), начальные значения

屮'(%)="(d),中'+'(%)=⑪(d)- 2 "(%)"(尤")(々=1,n). i=0

На некотором интервале 厶 и/, содержащем /0, существует единственная система функций (pfe, q/1 十崑三晋厶，удовлетворяющая системе уравнений первого порядка и этим начальным условиям (см. разд. 8.4). Так как уравнения линейны, q?, q)n+k однозначно продолжаются до решения, определенного на 7, что и доказывает теорему.

Всевозможные поля Якоби вдоль геодезической с: J -> М образуют векторное R-пространство Jc размерности 2п; это непосредственно вытекает из только что доказанной леммы. При этом множество полей Якоби, обращающихся в нуль в точке t^J, образует n-мерное подпространство Jc.

Замечания

Обобщите следующим образом теорему существования и единственности этого раздела и разд. 2.6. Пусть М — дифференцируемое многообразие с линейной связностью V, с: 7->Л1 —дифференцируемый путь, В。, В], ..., Вг — тензорные поля типа (1, 1) на М (или вдоль с), такие, что (det Вг) о с=#0, X е 25с — векторное поле вдоль с. Тогда для "三 / и 乜°, vr_{ е ^с(/0)существует одно и только одно векторное поле УеЭЗс, удовлетворяющее уравнению

BrY{r} + Br-.Y^ + ... +BlY，+ B0Y = X

и начальным условиям『(％)=虫(i = 0, ..., г — 1). При этом У” означает i-ю ковариантную производную У.

В случае M = R" вследствие R = 0 все поля Якоби вдоль произвольной геодезической с: Jf R" удовлетворяют уравнению У" = 0. Пусть 厶wJ；力 5三Л1с〃、・ Найдем такие векторы a, b^Rn, чтобы параллельные векторные поля вдоль с, заданные равенствами А = 2 c^Di о с, В = 2 blDi о с, удовлетворяли условиям {(%) = &, 3(友)=5・ Тогда поле Якоби У вдоль с, для которого У(%) = и, у，«о)=5, линейно выражается через Л и В:

У (/) = (/-%) В (/) + /(/)• (8)

Этот же случай можно описать несколько более общим образом. Пусть Е — n-мерное действительное векторное пространство с евклидовой метрикой, V, w^E. Тогда исходящий из точки ОеЕ луч (Р： [0: р]->Е, заданный формулой(p(f) = tv, есть геодезическая в Е, а линейное векторное поле В вдоль <р

B(t) = tItvM (9)

есть поле Якоби, удовлетворяющее условиям В (0) = 0, Вх (0)= =/ow; здесь /ы: Е-> Еи — канонический изоморфизм (см. (5) разд. 1.4). Поле tfjw параллельно.

Пусть dim М = 2t с: J -> М — нормальная геодезическая, X — параллельное поле вдоль с, нормированное (||Х||=1) и ортогональное с(〈Х, с) = 0). Для любого поля Якоби У вдоль с, ортогонального с, имеем У =(рХ, где ф = (У, Х)е§/, так что уравнение (1) в этом случае равносильно классическому уравнению Якоби для геодезических на поверхностях:

<р〃 + К(р = О, (10)

где /С (0 — гауссова (или риманова) кривизна М в точке с (/). Уравнение (10) есть уравнение свободных колебаний, его решения при К^к>0 имеют осциллирующий характер, а при /С^0 — неосциллирующий. Найдите общее решение уравнения (10) для поверхностей постоянной кривизны.

Рассмотрим теперь поля на n-мерной сфере: Л1 = S$. Пусть с: [0, р] -> Л1 — нормальная геодезическая, с(0) = р, с (0) = и. Возьмем в Мр два произвольных вектора vt w и найдем поле Якоби Z вдоль с, удовлетворяющее условиям Z (0) = v, 7/ (0) = w. Построим параллельные поля X, У вдоль с, такие, что Х(0) = и, У (0) = w. Предположим сначала, что (v, 〃〉=〈叫 〃〉= 0, и покажем, что в этом случае искомое поле Якоби имеет вид

Z(/) = py(/)sin^ + X(/)cos^. (11)

В самом деле, так как Х' = У' = 0, имеем

7(f) = y(f)cos^-"(f)si*,Z〃⑴=-"(f) si吟-土 X (f) cos 善，

и из (24) разд. 3.6 следует Z/z + R(Zt с)с = 0. Далее, Z(0) = = Х(0) = и, Z (0) = У (0) = 5. Переходя к общему случаю, разложим и, w на касательные к и компоненты ?т, шт и ортогональные компоненты и丄,切丄：

?т =〈и, 〃〉〃, wr = (wt u) u, ?丄=? —?丁, ш1 — w — шт.

Для начальных значений ?丄,切丄 поле Якоби Z1 находится по формуле (11). Так как формула 2丁(。=〈叫 и) tc(t) + (у/ u)c(t) определяет поле Якоби вдоль с, для которого ZT (0) = ит, 2丁'(0)= =切丁, то решением исходной задачи является 2 = 2丄 + 2丁・ Заметим, что в дальнейшем играют роль лишь поля Якоби* ортогональные к с.

(у) Простота вычисления полей Якоби в примерах (ii), (iv) связана с тем, что R и 5р — симметрические пространства (см. замечание (vii) разд. 3.6). Пусть теперь М — любое локально симметрическое пространство, т. е. R параллельно, или, что то же самое, VR = 0. Тогда, как мы сейчас увидим, для нормальной геодезической с: Jf М система дифференциальных уравнений (1) распадается на п обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть р^М; и, w^Mp; тогда, как мы знаем, эндоморфизм и f R (и,切)⑫ самосопряжен относительно римановой метрики (это вытекает из тождеств разд. 3.6). Зафиксируем "в/ и положим р = с(%), w = c{t^. Выберем для р, ш ортонормированную систему собственных векторов v[9 …，％ эндоморфизма кривизны, принимая с (/0) за vn. Пусть соответствующие собственные значения будут 九匕...,九尼(причем 九尼= 0). Построим параллельные поля X» ..., Хп вдоль с, удовлетворяющие условиям Xf(fo) = Uj・ Так как тензор R параллелен, то поля R (Xh с) с параллельны вдоль с, следовательно, R (Х^, d) е = Л^Х〔 Представив любое векторное поле У вдоль с в виде У = X 屮"X?, где Ф^ = (У, X»wgJ, мы видим, что У является полем Якоби тогда и только тогда, когда

(q/)〃 +九＜р‘ = о (/=1п)(12)

(см. уравнение (1)).

Собственные значения 儿 есть не что иное, как римановы -кривизны К、⑴，где и?⑴一плоскость» порожденная векторами

Хг(/), @(f) вМс⑴，»=1，•…，n — 1, t^J. Фундаментальная система решений (12) состоит из функций sh У\ 儿[/, ch ^\^ \ i при 儿 <0 и sin]/A7/, cos V^I?f при %>0, а также 1, f при 儿=0.

4・3・ Сопряженные точки

В этом разделе мы установим важную связь между полями Якоби и экспоненциальным отображением. При этом поля Якоби вдоль геодезической с будут получены с помощью специальных вариаций, для которых все соседние с с пути являются геодезическими.

Лемма

Усл. с: [0, р] -> А1 — геодезическая} р = с (0); и, w^Mp; и = с (0) (так 4To с(/) = ехр(/и))・ Для и^Мр отображение /ц: Mpf f (Мр)“ есть канонический изоморфизм.

Утв. Отображение У: [0, §]f ТМ, заданное формулой

У(/) = ехрр*(〃^®)),(О

есть поле Якоби вдоль с, удовлетворяющее условиям У (0) = =О, У (0)=侬.

Док. Рассмотрим для достаточно малого открытого интервала J, содержащего 0, вариацию V: [0,田 X Jf М пути с вида

V (/, 8)= ехр (/ (и + £侬)).(2)

Построим вдоль V векторные поля X = VtDlt У = Vfi2. По цепному правилу и по определению канонического изоморфизма имеем У (/, е) = V^D2 |/<е = ехрр*7/(и+ем,)(tw)t откуда

У(/) =z仏0)=匕4小 (金[0, В1).⑶

Далее, поскольку (A, D^ = 0, имеем R 亿 X)X = NdNd、X — —比包2工 Так как 匕：[0, §]f М есть геодезическая при всех е巨/, то Vd^ = 0, откуда 卡厶十аХ = 0. Пользуясь тем, что V не имеет кручения, получаем, кроме того,

УоУоаХ = Уо%2 匕，=VdVqVA = ^D^D^,

а следовательно, 70yoy+ R (К Х)Х = 0・ Из (3) и условия Х(/,0) = @ вытекает, что У есть поле Якоби. Ясно, что У (0)= =vA|o,o = O- Наконец, (0) = VD V,Z)2|0 0 = Voy,Z), |0>0)и из

yPi\t, е = ехр/pe+ew)(U + ез),匕 5 |0> е = ехРр*/°(и + ез) = и + 83 следует У^ (0) = w, что и доказывает лемму.

Пусть с: 7 -> М — геодезическая. Точки /0,力三」 называются сопряженными относительно с, если существует не равное тождественно нулю поле Якоби У вдоль % для которого У(%) = 0 и У (ZJ = 0. Покажем, что если /0, t^J ' различны и не сопряжены относительно с, то для любых векторов v^Mc(tQ)t ⑪三乂^色)существует одно и только одно поле Якоби У вдоль с, удовлетворяющее условиям У«о) = и, У«1)= ®. В самом деле, линейное отображение 2： J^f 乂£(幻 X ^C{t^ заданное формулой 2y = =(У 佑)，厶(幻)，инъективно, поскольку ни для какого ненулевого поля У не может быть У (") = 0, У (ZJ = 0. В таком случае из. соображений размерности видно, что -ф — изоморфизм.

Если /0 = а, 7 = [а, р], то все точки 力三」，сопряженные /0, называются просто сопряженными точками с. ‘

Как вытекает из следующей теоремы, сопряженные точки геодезических могут быть охарактеризованы с помощью экспоненциального отображения.

Теорема

Усл. с: [0, р] -> М — геодезическая^ р = с (0); /^(0, р]; и = \с (0) е= ^Мр. Символ J? обозначает векторное ^-пространство всех полей Якоби У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (0) = =У (力)=0; Др обозначает ядро отображения ехрр* в точке 〃, т. е. подпространство всех таких векторов Ь^(М^и, для которых ехрр* 匕=0.

Утв, Справедливо равенство

dim /g = dim Л^.(4)

Док. С помощью канонического изоморфизма 7И: Мр -> (Мр)и можно построить линейное отображение Ф: Jg-> А匕 по формуле ①У =乙У’(0). В самом деле, в силу (1) имеем 0 = У (幻=ехрр/乙У (0) и /『(0)三片 при Zi=#0. Отображение Ф инъективно; из теоремы существования и единственности полей Якоби, как мы сейчас увидим, следует, что Ф сюръективно, что и доказывает теорему. Пусть йеАр. Построим поле Якоби У вдоль с, удовлетворяющее начальным условиям У(0) = 0, У7 (0) = 1й[ (6). Тогда вследствие (1) имеем У (/) = exp»JW =厶 exp^ft = 0, откуда У wJg, причем ①У = Ь.

Для геодезической с: [0, §]->М, с(0) = р, с(0) = и, имеем представление(?(/) = ехр (/и). Согласно теореме, /1^(0, р] является сопряженной точкой с в том и только том случае, если ранг экспоненциального отображения ехрр в точке и = /也 не максимален, т. е. и есть критическая точка ехрр. В некоторой окрестности точки OwMp по теореме из разд. 2,8 ехрр имеет максимальный

ранг. Поэтому существует такое число ц>0, что ни на одной исходящей из р нормальной геодезической [0, ц] М нет сопряженных точек. В частности, любое не тождественно равное нулю поле Якоби вдоль с имеет конечное число нулей; в противном случае нули имели бы предельную точку У[。，₽] и было бы у (/) = о, что противоречит только что полученному результату в применении к точке с(?) (см. замечание (iv)).

Таким образом, на каждой исходящей из р геодезической сопряженные точки расположены изолированно, соответственно изолированы на каждом луче Мр критические точки ехрр, которые могут, однако, иметь предельную точку на границе области определения ехр#.

Если /1 — сопряженная точка с, то число dim/g = dim А片& 《孔一1 в (4) называется кратностью /и

Замечания

(5(5В предположениях леммы вместо вариации (2) можно воспользоваться любой вариацией V: [0, 0]X/f М вида V (/, е)=

(5

(5

=ехр=ехргде J — достаточно малый открытый интервал,

=ехр

=ехр

содержащий 0, а 屮：J -> Мр — дифференцируемый путь. Пусть 屮(0) = 0〃 -ф(О) = 7ро(₽^). Для такой более общей вариации без

труда доказывается, что VtD2 |Л 0 = exppJItv (w) = У (/), где У (/)

соответствует специальному выбору пути 屮(е) = 0(и+е侬),сделан

ному в лемме.

Заметим еще, что луч qp: [0, р] -> Мр, заданный- формулой qp(/) = tv, есть геодезическая по отношению к канонической связности Леви-Чивита на Мр. Формула Ф(/, е) = / 屮 fL определяет вариацию Ф: [0, 0] X / ~> Мр геодезической ф, а соответствующее поле Якоби В вдоль qp имеет вид 8 (/)=①*。？ ко = 〃打(侬)(см.⑼ разд. 4.2). При экспоненциальном отображении qp переходит в геодезическую с = ехр □ qp; вариация Ф, при которой все соседние с qp пути суть геодезические на Мр> переходит в вариацию Р = ехр。① геодезической с = ехр ° ф, при которой все соседние с с пути суть геодезические на М, а поле Якоби В вдоль qp — в поле Якоби У = ехрр*В вдоль с = ехр ° qp.

Покажите, что если V: [0, р] X 7 М — собственная вариация пути Уо и все Уе (ее/) — геодезические, то длины всех путей 几 равны. Если, кроме того, при некотором /ое[О, р] имеет место 丿*°2友，£，° (е^7), то 0 является сопряженной точкой каждого пути Уе.

Покажите, что геодезические в R" не имеют сопряженных точек. Пусть М = S；, р = (0, ..., О, р) — северный полюс н к —

натуральное число, тогда, согласно замечанию (vi) разд. 3.8 или (11) разд. 4.2, при п> 1 на геодезической с: [0, ^лр]->Sp, с(0) = р, сопряженными точками являются vnp, v = 1,...,々, причем кратность каждой из них равна п — 1. Сопряженные точки отображаются геодезической с последовательно на южный и северный полюсы. При п = 1 геодезическая с не имеет сопряженных точек. Докажите с помощью замечания (v) разд. 4.2 более общее утверждение: пусть М — симметрическое пространство, С: R-> Л1 —нормальная геодезическая, тогда /0, ^eR сопряжены относительно с в том и только том случае, если существует такое положительное собственное значение 九 эндоморфизма кривизны Xf R(X, @)d (X — параллельное поле вдоль с), что — tQ = ^=t v#=0 — целое число,

Если с: J -> М — геодезическая и /0,乙三/ сопряжены относительно с, то образы р = с(%), g = c(f]) часто также называются сопряженными точками с. Так как может быть много геодезических, соединяющих р с q, такой способ выражения можрт привести к недоразумению, если не указать, по отношению к какой геодезической понимается „сопряженность**; эта ситуация встречается, например, когда с периодична.

Поля Якоби, как и геодезические, инвариантны при линейных заменах параметра, т. е. если / и / — интервалы в R, q)(f) = af + 0 (a, p^R) и ср (/) = /, то для каждого поля Якоби У вдоль с: J М векторное поле У。屮 вдоль с。ср есть также поле Якоби. При а<0 ориентация геодезической, конечно, меняется. Точки /0,乙三/ тогда и только тогда сопряжены относительно с, когда 旷】(州，L (幻 сопряжены относительно 。。屮・

Множество критических точек ехрр в Mpi р^М, называется сопряженным множеством М в Мр. Образ этого множества при отображении ехрр, т. е. множество критических значений ехр” называется сопряженным множеством в М относительно р. Осо^ бую роль играет так называемое первое сопряженное множество М в Мр — множество всех таких критических точек и отображения ехрр, что tv является регулярной точкой ехрр при всех fw[0, 1). Покажите с помощью леммы и уравнения (10) разд. 4.2, что сопряженное множество двумерного риманова многообразия М в Мр не содержит изолированных точек, но на каждом исходящем из 0 луче Мр сопряженные точки расположены изолированно.

Рассмотрим более общим образом риманово подмногообразие N в М с нормальным расслоенным пространством v с: ТМ и экспоненциальным отображением ехр% (см. замечание (iii) разд. 3.8). Множество критических точек ехр# в v называется фокальным множеством отображения ехр# в 犷,а образ этого множества при

экспоненциальном отображении, т. е. множество критических значений ехрм, — фокальным множеством N в М, Пусть и 三 1V и с： [0, р] -> Af — ортогональная ^ геодезическая в М вида с(/) = =ехр (/и), тогда /】三[0, §] называется фокусом с по отношению к ^, если 仙 принадлежит фокальному множеству ехр^ в v. В случае когда ^ — точка, фокусы с относительно ^ суть сопряженные точки с.

Рассмотрите отдельно случай М = Rrt, || и || = 1. Получите из замечания (i) разд. 2.9 и из разд. 3.7, что 乙 三[0, 0] является фокусом с относительно N в том и только том случае, если —— есть отрицательное собственное значение второго основного тензора Su подмногообразия ^ относительно нормали и. Таким образом, фокусы с есть в точности те главные радиусы кривизны ^ относительно и, для которых ^ по соответствующему главному направлению обращено вогнутостью в сторону и.

Естественно, понятие фокуса подсказано поведением световых лучей, концентрирующихся вблизи фокуса зеркала или линзы.

Пусть ^ — первый фокус с по отношению к М Тогда, как можно показать, при 0《/<乙 все достаточно близкие к с кусочно дифференцируемые пути, соединяющие ^ с с(/), длиннее с |[0 屮 если они не совмещены с этим путем. Однако после прохождения каждого последовательного фокуса /v появляется, в определенном смысле, все больше близких к с путей короче с |[0 ^ (/>/v), соединяющих ^ С С(/)・

4・4・ Лемма Гаусса и ее следствия

В следующей лемме содержится важное свойство экспоненциального отображения.

Лемма 1 (Лемма Гаусса)

Усл. Пусть р^ М; V ^ Мр лежит в области определения ехрр 〃 Ф： [0, 1] -> Мр — луч, описываемый формулой q)(/) = tv, В Мр введена каноническая метрика (см, замечание (iii) разд, 3.2).

Утв. Для векторов &, а 三(乂卩)口, где а = 0(1), справедливо соотношение

〈Ь, а〉=〈ехрр*Ь, ехрр* а).(1)

В силу (1) можно сказать, что отображение ехрр „радиально изометричнои. Компонента касательного к Мр вектора в точке и в Направлении луча, содержащего и, при отображении ехрр* сохраняет длину.

Если, в частности, дифференцируемый путь 屮 в Мр ортогонален к ф в точке у, то ехр。屮 ортогонален геодезической ехр о ф

в точке exp v. Ядро Ар отображения ехрр* в точке v е MPj таким образом, ортогонально к ф(1), т. е. к радиальному направлению.

Док. Пусть У — поле Якоби вдоль геодезической с = ехр。中，У (0) = и И у7 (0) = а> = №(&)> где /^: Мр —> (M^}v — канонический изоморфизм.

Согласно (1) разд. 4.3, имеем

⑵⑵У (1) = ехрр* (几5)= ехрр* Ь.

⑵

⑵

Так как D (У, d〉=〈Y', 6〉постоянна, (Y, с) есть линейная функция. Вследствие У (0) = 0 имеем

〈У, " = /〈『，d〉b = f〈5, и〉，У [0,1],

откуда〈У, d〉h =〈5, ?〉• Поскольку с (1) = ехрр, а, из (2) получаем 〈5, и〉=〈ехрр*Ь, ехрр*а〉・ Но из определения канонической метрики в Мр следует (w, ?〉=〈//, Ivv) = {b,吟 что и требовалось доказать.

Из леммы Гаусса вытекают следствия, выражающие экстремальные свойства геодезических.

Лемма 2

Усл, Пусть р^ М, на Мр введена каноническая метрика]府р — область определения ехрр; v^Mp. Далее, пусть <р: [0, 1] f 肃卩一 путь вида (p(Z) = tv; 2： [0, Ц—>2ЙР — кусочно дифференцируемый путь, для которого 2(0)=屮(0), 2(1)=屮(1) = v.

Утв. Справедливо неравенство

L(exp °г|))>А(ехр о(р);(3)

более того, если существует такое /0 е (0, 1], что ортогональная к радиальному направлению компонента вектора 屮(友)не переводится в нуль отображением exppt, то

L (ехр。2)> L (exp。9).(4)

Таким образом, луч <р, являющийся кратчайшим путем между 0 и и, переходит при отображении ехрр в путь, обладающий таким же свойством.

Док. По лемме из разд. 3.3 каждый кусочно дифференцируемый путь совмещен с некоторым дифференцируемым путем той же длины, поэтому можно считать путь 2 дифференцируемым. Далее, можно ограничиться случаем, когда и 声 0 и 2(f)声 0 при f е(0,1].

Идея дальнейшего рассуждения состоит в следующем. Пусть 屮 радиально проектируется на луч <р, при этом получается путь, образ которого при отображении ехр заведомо не короче ехр ° ф.

но, с другой стороны, и не длиннее ехр。屮，так как длина каждого касательного вектора к ехр о *ф по лемме Гаусса не меньше длины радиальной компоненты соответствующего касательного вектора*ф.

Построим для /е(0,1] ортонормированные векторы 瓦 仪曰財山⑴, где а =儿 ⑴( |j^；)' a b выбран таким образом, чтобы существовало разложение *ф (/) = (*ф (/), Ь) & + @(£), а〉а. Так как

||expo2lP =〈expp*o@, ехрр*°@〉，из (1) получаем

II ^^"^ (f) IF =〈小 «), ЬУ〈expp也 expp* b} +〈小(f),吟》〈@ ⑴，疗.⑸ Покажем, что при />0 справедливо

〈@(f), a〉= O|W 以⑹

В самом деле, при />0, как мы предположили, *ф (/) #= 0 и

СII屮 h С@，屮№ =州产卜 &(/)，儿(О ( и (ОН ))

仲 рассматривается здесь как векторное поле вдоль тривиального пути /—>р).

Из (5) и (6) следует

111

丄(ехро@)= J Иexp°ip(/)||d/> j\D^^^t\dt^ j D||ip||fdt. (7) оо0

Так как ip (/) непрерывна при / = 0 и *ф (0) = 0, имеем

I СII2 %df = I"⑴ II = || и ||= L(expo<p),(8)

о

и из (7), (8) вытекает неравенство (3).

Если в (5) хотя бы при одном значении / =# 0 исключается равенство, то соблюдается неравенство (4), что и завершает доказательство леммы.

Заметим, что предположение, при котором мы доказали (4), выполнено, например, в том случае, когда ехрр имеет максимальный ранг в точке 巾(幻 и Q (幻 не направлен радиально. Покажем, что если образы *ф и qp не совпадают, то существует значение /0 > 0, при котором @(幻 отличен от нуля и не направлен радиально. В самом деле, в противном случае при />0 имеет

место 屮=*, где у: (0, 1] —► R — некоторая функция. При / >0, следовательно,

Шl 丿-- W -

一加屮『一屮(叭 t) _ Yt IItII2-Yt(也 t) _ Л откуда

[21%錢⑴II。，叭。mi "屮也・

Но в таком случае образ 屮 совпадает с образом ф, вопреки предположению.

Наконец, рассмотрим случай, когда образы -ф и ф совпадают. В этом случае при />0 имеем 2 = 6и, где 6е§([0, 1]). Поэтому

L (ехр。2)= JII ^^)(/) \\dt = J И ехрр* 6’ ⑺厶。(S \\dt = оо

=J II sz (/) exppJ6v (и) II 山=J I * (О III ехрр*，6。(и) II" оо

Так как вектор I^v (и) направлен по касательной к ф, то по лемме Гаусса || ехрр< /бР (и) || = || /б0 (и) || = || и ||. Следовательно,

L(exp。屮)=|| и II J I 6Z (t)\dt = L (exp ° <p) J |6Z [f)\dt.оо

Теперь видно, что равенство L (ехр о -ф) = L (exp ° ф) возможно лишь

при условии J I 6Z [f)\dt= 1 = j 6z(Z) dt, т. е. если 6’(0》0, а это оо

значит, что пути 也 ф совмещены (см. разд. 3.3).

Из сопоставления предыдущих замечаний с леммой 2 вытекает, что если, в дополнение к условиям леммы 2, ехрр имеет максимальный ранг во всех точках 2(t), / ^ [0, 1] и пути 也 ф не совмещены, то справедливо неравенство (4).

Если даны топологические пространства At Et F и непрерывные отображения

т. е.力。g = f, то говорят, что отображение f „поднимается** посредством Л в отображение g: Af 尸，или „поднимается** в F.

Геодезическая с: [0, р]-> Л4, с (0) = р, с⑹=«, очевидно, может быть поднята посредством ехрр в касательное пространство MPt так как для луча <р: [0, р] -> Mpt заданного формулой(р(/) = /с(0), справедливо соотношение ехрро(р = с. Если с: [0, р]-> Л4,— кусочно дифференцируемый путь, с (0) = р, с(р) = ^, и если с может быть поднят посредством ехрр в кусочно дифференцируемый путь 2： [0, §]f Мр, такой, что ф(О) =(р(О), ф(Р) = <р(Р), то, согласно лемме 2, имеем L(c)^ L(c). Конечно, не каждый путь в М, соединяющий peg, можно поднять посредством ехрр в Л1р и тем более таким образом, чтобы поднятый путь соединял 0 с(р(р). Подъем может оказаться невозможным, например, по той причине, что ехрд не обязательно сюръективно. В случае Л1 = Sp отображение ехрд сюръективно, но исходящие из 0 лучи Mpt не имеющие в Мр других общих точек, переходят при отображении ехрр в пересекающиеся геодезические, так что невозможно удовлетворить условию <р⑹=2 ⑹.

Теорема

Усл. с: [0, р] -> Л1 — геодезическая без сопряженных точек и V: [0, р] X / -> М — собственная ломаная вариация с.

Утв. Существует такой открытый интервал Jo cz J, содержащий 0, что для всех е w J。справедливо неравенство L (е)》L (0), а если пути V (е), V (0) = с не совмещены, то L(e)>L(0).,

Док. Положим р = с (0) и рассмотрим луч <р: [0, §]-> Мр,(р(/)= = /с(0). Так как на с нет сопряженных точек, то ехрр для всех / е [0, р] имеет максимальный ранг в точке (р(/) и по теореме обращения существует окрестность(р(/) в Мр, которую ехрр диффеоморфно отображает на некоторую окрестность c(f) в М. Из компактности множества (р([0, §]) следует существование таких чисел 0 = ^о< ^ < ... < ^ = р и открытых множеств t/v zd(р( [^-f, fj) (v = 1,・・・,々),что Лу = ехрр |ц есть вложение. В силу непрерывности V существует, далее, такое tjv>0, что Р ([%_】，fJ X X (— %, %)) и expp(t/v)(V = 1, ..., ^.Положим」=minin，・•.,%}, /0 = (—", Л)* Собственная ломаная вариация V |[0 р] X /0 геодезической с может быть поднята посредством ехрр в некоторую собственную ломаную вариацию Ф геодезической <р в Mpt а именно Ф: [0, §]Х J()f Мр задается формулой Ф(/, e) = h^ 0 V (Л е) при (f, е)三卩ут, fj X /0. После этого утверждение теоремы вытекает из леммы 2 и следствия этой леммы.

Как показывает пример S$, утверждение теоремы может не выполняться, если на с есть сопряженные точки; ниже будет по-

казано, что оно неверно во всех случаях, когда сопряженные точки лежат в открытом интервале (0, р).

Замечания

Теорема может быть усилена в случае, когда геодезическая с： [0, §]-> М, не имеющая сопряженных точек, инъективна. В самом деле, пусть с(0) = р, ф： [0, р] -> Л1р — луч ф(/) = tc (0), тогда в силу леммы 2 разд. 2.8 существует такая окрестность U =э ф( [0, р]), которую ехрр отображает диффеоморфно на окрестность G n с([0, pj). Для любого кусочно дифференцируемого пути Е в G, имеющего общие концы с с, справедливо неравенство L(E)》L(c), а если с не совпадает с % то L(c)> А (с). Это утверждение вытекает непосредственно из леммы 2, поскольку с можно поднять в U с помощью (exp^Ju)」1，

Если отображение ехрр \^ U -> G лишь локально диффеоморфно, то в G могут существовать пути с концами р, с 偉)，которые короче с. Так обстоит дело, когда с не инъективна (см. примеры на цилиндре и конусе в замечаниях (iv) и (v) разд. 3.8). Однако в пространстве 第。всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1]->М с концами р, q существует такая окрестность геодезической без сопряженных точек с, что для любого пути с в этой окрестности выполняется неравенство Lic)^ L(c)t а если с и с не совмещены, то L ⑹ > L (с) (предполагается, как обычно, что в Qpg введена компактнооткрытая топология).

Для каждой точки pwM существует такое 6>0, что ехрр диффеоморфно отображает открытый шар 九={夕 0已此/|0口<6} в Мр с центром 0 радиуса С на некоторую окрестность Вб точки р (см. теорему 1 разд. 2.8). При gw仇 существует единственная геодезическая с: [0, 1] -> Вб с концами с(0) = р, c(l) = q; любая другая геодезическая [0, 1] -> Л1 с теми же концами, как мы покажем, не может целиком содержаться в Вб. Пусть Л = ехрр |^6, 0 =九-1(9), с(/) = h(tv). Если q: [0, 1 ] -> Вб — другая геодезическая, для которой q(0) = p, q (l) = q, то с{ (0 = ехрр (/Vi), Vi = Ci (0). Множество {/: fw[0, 1], h~l ° cx (/) = /vj, очевидно, открыто и замкнуто в [0, 1], не пусто и, следовательно, совпадает со связным множеством [0, 1]. Поэтому v{ = Л-1 ° (1) = V и с* = с. Покажем, что для. каждого кусочно дифференцируемого пути с: [0, 1]-> Л1 с концами Е(О) = р, c(\) = q выполняется неравенство L(c)^ L(c)t а если с, с не совмещены, то L(c)> L(c). Если с целиком лежит в Вб, то, как и в замечании (i), это следует непосредственно из леммы 2, достаточно поднять с, с в t/^ с помощью ехрр. Если с не полностью расположен в Вб, возьмем P = sup{/: с ([0, /]) с= Вб}; тогда существует такое 仇 三(Ь, р), что для v0 = h~l ° с (/0) выполнено неравенство |[ v01|>|| v II. Построим луч 屮：[0,1]-> Мр,屮(/) = /%；

тогда из леммы 2 получаем £修 |位加》£ (九。屮)，откуда L(c)^ ^L(c Q 加》£ (九哪)=II u° II > II и |【=L (г).

Пусть с: [0, 1]-> М — кусочно дифференцируемый путь, с(0) = р, с ⑴=д. Если в Qpq существует такая окрестность пути с, что для всякого пути с в этой окрестности L(c)^ L (с), то с совмещен с некоторой геодезической; если при этом с — кусочно нормальный путь, то с — нормальная геодезическая.

Для доказательства надо воспользоваться замечанием (ii), в силу которого с локально совмещен с некоторой геодезической. Заметим, что, вообще говоря, не каждые две точки связного риманова многообразия можно соединить путем кратчайшей длины, как это видно на примере R2 \ {0} (см. § 5).

4.5# Индексная форма геодезической

Рассмотрим теперь экстремальные свойства геодезической с сопряженными точками.

Пусть Е — векторное R-пространство (не обязательно конечномерное).

Ограничение на диагональ симметричного билинейного отображения ft £ X £-> R называется квадратичной формой на Е・ Отображение f, а также соответствующая квадратичная форма, называются положительно определенными (соответственно, неотрицательными), если f(X, Х)>0 (f (X, Х)》0) при всех X #= 0; аналогично f (и квадратичная форма f) называются отрицательно определенными (неположительными), если f(X, X)V0 (f (X, Х)^0) при всех X #= 0.

Пусть с: [а, р] —> М — нормальная геодезическая и SB^ — векторное R-пространство всех кусочно гладких векторных полей Z вдоль с, ортогональных с, т. е. удовлетворяющих условию (Z, с) = 0. Естественно „билинеаризировать** формулу Синга для второй вариации (4) и соответственно (10) из разд. 4.1. Другими словами, построим отображение /:沿；X/；->R по формуле

в

1(Х, У) = J «Г, Г> - <7? (X, с) с, У» L dt.(1)

а

Отображение / билинейно и симметрично; оно называется индексной формой геодезической с. Для дифференцируемых векторных полей XtY^^c из (1) и тождества 力〈X', У〉=〈Х", У〉十〈X', У'〉 получаем

/(х, у)=〈х',у〉е-J〈x〃 + R(x,d)e, y〉"f,⑵

а

а вследствие симметричности / имеем также

/ (X, У) =〈X, У'〉е - J〈x, У" + R (匕 с) с) I, dt. (2，) а

Если X, У R 23； — дифференцируемы и У — поле Якоби, то, как видно из (2,), имеет место

/(X, У)=〈Х, г〉В・(3)

Но тогда с помощью предельного перехода нетрудно распространить (3) на случай, когда Хе23； не дифференцируемо.

Соответствующая индексной форме / геодезической с квадрантичная форма /(X, X): 23с fR сопоставляет каждому кусочно гладкому векторному полю У 三沿；вторую вариацию длины L"(0) по отношению к канонической ломаной вариации Р: [а,司 X / f М геодезической с с вектором вариации У (см. (8) и (11) разд. 4.1). При этом, принимая во внимание (7) разд. 4.1, имеем

U (0) = 0,1(0) = /(У, У),⑷

где

V(t, е) = ехр(еУ(0), VM^=Y{t).

Обозначим через S3： векторное R-пространство всех ортогональных с кусочно гладких векторных полей вдоль с, удовлетворяющих условиям У (а) = У (р) = 0. Ясно, что 23^ — подпространство 23： и поля из 23； суть векторы собственных ломаных вариаций с, ортогональные с. Если для YrSS； выполнено неравенство / (У, /)<0, то в силу (4) существует такая собственная ломаная вариация /: [a, 0]X/f М геодезической % что для достаточно малых е=/=0 имеем L (е) < L (0). Отсюда вытекает следующая лемма:

Лемма 1

Усл. Пусть с: [а, р] ^ Л1 — нормальная геодезическая с сопряженной точкой Zi е (а, р).

Утв. Существует такая собственная ломаная вариация /: [а, 0] X X J —^ М геодезической с, что при достаточно малых е=/=0 выполняется неравенство L(e)< L(0).

Док. По определению (см. разд. 4.3), существует ненулевое поле Якоби У вдоль с, для которого У(а) = У (厶)= 0. Мы построим с помощью У такое кусочно гладкое векторное поле /三% что 7 (У, Р)<0; тогда утверждение леммы получится из непосредственно предшествующих ей рассуждений. Согласно разд. 4.2, имеем (У, ^) = 0, откуда〈F"〉= 0. Так как У=/=0,

должно быть 丫'(厶)=/=0; построим такое векторное поле Zw23；, что Z(f)= — У，(»1). Для этого достаточно взять параллельное поле Zj вдоль с, удовлетворяющее условию Z〔(厶)=—У，(幻，и положить Z = 4Zb где 巾一дифференцируемая действительная функция на [а, р],巾3，=巾偉)=0, 4 (Л) = 1 (см. разд. 8.1). Определим для каждого т] >0 кусочно гладкое векторное поле 丫刀(£)三23； по формуле Ул (/) = У (/) + r]Z (/) при / е [a, /J, и по формуле % (D = "Z (f) при / е [/и р]. В силу (1) и (3) имеем

/(%,%) =〈У, У'〉I九 + 2似Z, Г)必 + 卄7 (Z, Z)・

Так как 丫仏)=0, Z(f) = — У'仏)，отсюда следует, что для до статочно малых т)>0 выполняется

/ 明，％) =-2Л (Г, Г) |九 + 植(Z, Z) < 0, и лемма доказана.

В следующей лемме подпространство полей Якоби в пространстве векторов собственных вариаций геодезической характеризуется как пространство вырождения индексной формы.

Лемма 2

Усл. с: [а, 0] —> М — нормальная геодезическая.

Утв. Для У w 23f следующие утверждения равносильны:

У есть поле 8ко6〃 вдоль с;

для всех Z 三 23^ имеет место / (У, Z) = 0.

Если при У=/=0 выполняется (Ь), то говорят, что индексная форма вырождена для вектора У.

Док. Согласно (3), из (а) следует (Ь).

Чтобы вывести (а) из (Ь), возьмем такие числа а = 丫° V % V … • • • V у在=0, что У比=У 1[Уу_г yv] суть дифференцируемые векторные поля(V = 1, ..., А). Положим % = с|(%_],%], тогда (Kv, cv) = 0, откуда легко следует〈У；,(\〉= 0,〈У；,几〉=0 (v = 1,...,々).По- троим дифференцируемые функции 4V: [yv_], Yvl^^» удовлет- оряющие условиям 2V (丫屮一1)=巾屮(丫屮)=0 и 4v>0 в остальных )ш<ах (V = 1,...,协 Определим Z^ = %(У? + А (У»М) М) вдоль эдезической % и Z(f) = Zv(f) при / е [yv_b yv], тогда Zw23；・ i силу (2) имеем

fek vv

=/ (У, Z) = £〈匕,Zv〉|；二 一 £ J〈匕 + R (Yv, Cv) dv, Zv〉I, dt, vTv-1 У.】

откуда

工 J 也(f) <У； + R (%,询)* У + R (九，理)图〉I, dt = 0.

SI Yv_!

Следовательно, У； + К(Уу,询)理=0 и Kv есть поле Якоби при V = 1, ..., &• Пусть теперь г — одно из чисел 1,...,左―1. Построим векторное поле 2 三 53(, такое, что 之(丫)= У；+【(Y)— У；(Y) и 2(yJ = 0 при 寸=#几 Учитывая (3), получаем

0 = /(У，2)=1 КП(Yv), Z(y^-(Y^(y4_^ 2(Yvt)〉] =

= —〈y；+i(Yr) — y；(Y), ^(Yr)>=-<K；+1(Yr)-r；(Yr), У"") —"(У)〉, так что y；(Y)= У；+1(Y，・ По теореме единственности для полей Якоби У дифференцируемо в точках Yv，чт0 и доказывает утверждение (а).

При помощи индексной формы можно охарактеризовать геодезические без сопряженных точек.

Теорема

Усл. с: [а, р] —► Л1 — нормальная геодезическая,

Утв. Следующие утверждения равносильные

на с нет сопряженных точек;

индексная форма / геодезической с положительно опре~ делена на 23(.

Док. Из (а) следует (Ь).

Если выполнено (а), то /(У, У)》0 для всех У 三 ％；, потому что в противном случае (4) с последующими рассуждениями было бы несовместимо с теоремой из разд. 4.4. Остается показать, что если У 三 53] и /(У, У) = 0, то У = 0. Для Zw 猊 и любого П и R имеем 0 & / (У — "Z, У — r)Z) = — 2т)/ (У, Z) + т)2/ (Z, Z). Поэтому I (Y, Z) = 0 при всех Z 三 S3； и У есть поле Якоби согласно лемме 2. Но на с нет сопряженных точек, следовательно, У = 0.

Из (Ь) следует (а).

Пусть t{ ^ (а, р) — сопряженная точка с. Тогда существует ненулевое поле Якоби У вдоль с, для которого У (а) — У (/0 = 0. Положим Z(t) = Y (/) при / ^ [а, /J и Z(f) = O в других точках; точка ZrSSZ, и /(Z, Z) = 0 при Z*0.

Из последней теоремы вытекает важное экстремальное .свойство полей Якоби.

Пусть с: [а, ^\-^ М — нормальная геодезическая без сопряженных точек и У е ®с — поле Якоби, тогда, как мы сейчас покажем, для всех векторных полей X 三沿]удовлетворяющих условиям X (а) = У (а), X (р) = У (р), справедливо неравенство

/(Х,Х)>/(У, У) при X^Y.(5)

В самом деле, X —У f 处：и X — Y^Qt откуда / (X — У, X — У) >0・ В силу (3) имеем

I(X-YfX-Y) = I(Xt Х)-2/(Х, У) + /(У, У)=

= /(Х,Х)-2(Х, Г)匕+〈匕 F〉* =

=/ (X, X) -〈У, Г)已=/ (X, X) - / (У, У), и (5) следует из

I(X-YtX-Y) = / (X, X) - /(У, У).⑹

Отметим, что из полученных результатов видна связь между сопряженными точками геодезической и ее свойством минимизировать длину. Из замечания (i) разд. 4.4 следует, что геодезическая без сопряженных точек короче всех достаточно близких путей с теми же концами, С другой -стороны, как следует из леммы 1 этого раздела, для геодезической с: [а, р] -► М, содержащей внутреннюю сопряженную точку 力,aVAVR, существуют сколь угодно близкие к ней пути с теми же концами, которые короче с.

Замечания

Если М — пространство неположительной кривизны, J — компактный интервал в R и с: J -> М — нормальная геодезическая, то в силу (1) индексная форма / положительно определена на 弘 и по теореме этого раздела на с нет сопряженных точек. Учитывая разд. 4.3, отсюда следует, что для каждой точки pwM экспоненциальное отображение ехрр имеет максимальный ранг во всей области своего определения.

Пусть М = S? и с: [0, р] -> Af — нормальная геодезическая, 叫，^2 至 Me(о),〈51" (0)〉— (w2, с (0)) = 0. Тогда для полей Якоби У1, Уз^®с, удовлетворяющих условиям Y{ (0) = У2(0) = 0, Y\ (0)==wi, 丫；(0)=旧2， из (3) имеем, учитывая (11) разд. 4.2,

/(匕，%)=小也?仙，g〉.(7)

Вследствие (5) индексная форма / при 0<В<子 положительно определена на подпространства всех полей Xw53；, для которых

У (0)« 0. Но, например, I отрицательно определена при ^- < р< лр на подпространстве всех полей Якоби У 三 33；, для которых У (0) = 0.

Пусть 0 < р < лр и и^ Мс(&), (н, с(р)) = О, найдите поле Якоби У 三 23с, удовлетворяющее условиям У (0) = 0, У (р) = 〃, н покажите, чт。/(y,y)=^ctg^・

Пусть с: [а, р] -> М — геодезическая. Покажите, что индексная форма I неотрицательна, но не положительно определена на 33с в том и только том случае, когда р —единственная сопряженная точка с (при этом в (5) выполняется /(X, Х)》/(У, У)). В каком случае здесь возможно равенство?

Вернемся еще раз к замечанию (i) разд. 4.1. Если с — невырожденная геодезическая, т. е. критическая точка функционала длины 厶：Qpq—>R (или функционала энергии) в пространстве путей Q”，то индексная форма I есть не что иное, как гессиан функционала L в точке с (см. замечание (v) разд. 3.5 и разд. 7.6), т. е. дифференциальный оператор второго порядка на 01Pq от L, который полностью определяет возрастание и убывание L в окрестности с, если / не вырождена.

4・6・ Теорема Морса об индексе

Введем теперь меру, позволяющую судить, „как много" близких путей меньшей длины может быть у геодезической с сопряженными точками.

Пусть £ — векторное R-пространство (не обязательно конечномерное), f — квадратичная форма на Е. Назовем индексом (соответственно квазииндексом) f точную верхнюю границу размерностей всех подпространств £, на которых f отрицательно (соответственно неположительно) определена.

Рассмотрим для нормальной геодезической с: [а, р] —> Л1 пространство 33； всех ортогональных с кусочно гладких векторных полей У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (а) = У (р) = 0 (см. разд. 4.5).- Индекс (квазииндекс) квадратичной формы 7: 33с X 33с —>К называется индексом (квазииндексом) геодезической с Индекс с мы обозначим через Ind с, квазииндекс с — через Indoc; очевидно, Ind с《Ind。с.

Следующие дальше результаты принадлежат Морсу.

Лемма

Усл. с: fa, р] -^ Л1 — нормальная геодезическая] У? — подпространство всех полей Я^оби § 学；.

Утв.Утв.Док.ностьДок.ностьInd с, Ind。。конечны, причем

Утв.

Утв.

Док.

ность

Док.

ность

(1)(1)Ind0 с = Ind с + dim /R

(1)

(1)

Согласно теореме 2 разд. 2.8, существует такая окрести множества 0(М) в ТМ, которая диффеоморфно отобра-

жается с помощью л X ехр на некоторую окрестность диагонали в М X М. Так как 0 (с ([0, р])) компактно, существует такое число д>0, что для любого / ^ [0, р] шар U& ± = {о w 展 ⑴，|| о || V 6} принадлежит U. Поэтому ехр^ ⑴ ％ , имеет в каждой точке максимальный ранг ( = п) и, следовательно, есть диффеоморфизм для всех f w [а, 0].

Поскольку с( (f — 6, f + 6)) и ехрс Н)([/& 0, из теоремы 4.3 следует, что на геодезической с I卜什色]нет сопряженных точек (/ ^ [а, р]). Выберем числа 0 = /0 < /( < ... <〃 = 0, чтобы было Zv — Zv_] < -j (v = 1,...,炒，тогда геодезические с l[/v_r /v] не имеют сопряженных точек. Согласно 4.3, для каждого v = 1,...,左 и любых векторов。w "一％ 力 齿三 ”。А) существует одно и только одно поле Якоби Zv вдоль с l[#v_r /v]> удовлетворяющее условиям Zv(fv—i) = 〃 Zv(fv) = 5. Обозначим через /Г конечномерное подпространство таких полей У w 33(, что для каждого v У|[%_[,%] есть поле Якоби; очевидно, dim/：=(几一1)(左一1).

Построим для каждого X w 53： такое векторное поле ①X вдоль с, что ①Х|[%_], %] есть поле Якоби Yv вдоль 叫一卜厶],удовлетворяющее условиям Kv (Zv_!)= X (/v-j), Yv(fv) = X(fv) (v = 1, . . ., R). Отображение Ф: 53f->/； является линейным, причем ФХ = X тогда и только тогда, когда X 三 /；. В силу (5) разд. 4,5 при X w 53с, X 豆 /с имеем

/(X, Х)>/(①X,①X). (2)

Обозначим теперь через А произвольное подпространство S3：, на котором / отрицательно (неположительно) определена, тогда Ф |д инъективно. В самом деле, в противном случае существует XwA, Х#=0, для которого ①X = 0, а это значит, что X g/： н вследствие ⑵ имеем /(X, Х)>/(①X,①X) = 0 вопреки определению А. Поэтому Ind с и Ind0 с конечны： dim А & dim /； = (% — 1) (В — 1). Если обозначить через Ind7 с (indo с) индекс (квазииндекс) ограничения / на /：, то получаем также неравенства Ind с《Ind'с, Ind0 с ^ Indg с. Так как обратные неравенства очевидным образом следуют из включения /； и % имеем Indc = Ind'c, Indoc =

=Indot. Итак, /； является конечномерной „аппроксимацией4* %；, достаточной для вычисления индекса и квазииндекса с.

Выберем новую систему чисел 0 = s0< Sj < ... Vsg = B， удовлетворяющих неравенствам % —5门<^ (卩=1, …，/), таких, что {邑,...,sz_]} Г) {Л, ..., /fe-i) = 0. Обозначим через 7；' подпространство полей У 三沿：，для которых У 1卜卩_],$卩]есть поле Якоби вдоль 6|瓦_],§川(卩=1, ••・，/)• Тогда /；「％ = /% и (2) выполнено для всех X е Jc \ /с. Применив к 了； те же самые рассуждения, построим подпространство 与° и %, на котором / неположительна и размерность которого равна Indoc. В силу (2) Ф| 瓦 инъективно. Положим Во = ФВ0, тогда dim Во = dim Во = Ind0 с. Пусть В — дополнительное к /? подпространство Во, т. е. Во есть прямая сумма В и /£:

& = 5㊉燈(3)

Из (2) следует, что / отрицательно определена на В. Теперь для доказательства (1) остается проверить, что dim В = Ind с. По доказанному выше, существует такое подпространство 5’и/；, для которого dimB' = Indc, и на котором / отрицательно определена. Если бы было dim ВЛ > dim В, то было бы также

dim(8’㊉甫 > dim(8 ㊉鑑=Indoc.

Но это невозможно, так как из (3) разд. 4.5 следует, что / неотрицательна на 5’㊉ 方・ Итак, dim В = dim В = Ind с, что и доказывает лемму.

Докажем теперь следующую очень важную теорему.

Теорема (Теорема об индексе)

Усл. с： [0, р] -* Л1 — нормальная геодезическая] /g(tw(0, 0]) — векторное пространство всех полей ”ко6〃 У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (0) = У (В) = 0.

Утв. Число сопряженных точек геодезической с конечно, причем справедливы соотношения

Indc= 2 dim/；, Indoc= £ dim 以(4)

e三(0, 6)金(0, BJ

Если Yj,…，уг — сопряженные точки с 中 (0, Р), а кратности их равны соответственно /л” …，тг, то Indc=2 恤.Таким об- i = 1

разом, индекс с равен числу сопряженных точек в (0, 亂 считая каждую с ее кратностью.

Док. Пусть уь …，у产(О, Р] — некоторые попарно различные сопряженные точки с. Точка 厶三(0, р] является сопряженной точкой с в том и только том случае, если dim Jc^ 1 (см. разд. 4.3). Построим линейное отображение i： /?->/(, полагая (i/^ = Yt при fw[0,厶]и (iy)f = O в остальных точках; ясно, что i инъективно. Далее, рассмотрим при z = 1, ..., г подпространства 4 = 1/)и53；・ В силу (3) разд. 4.5 для всех Zw%㊉ …фЛг имеем /(Z, Z) = 0; следовательно, Indoc^ dim 4 + • • • + dim Ar^r. Из предыдущей леммы известно, что Ind0 с конечен, и поэтому на с может быть лишь конечное число сопряженных точек.

Рассмотрим теперь следующие функции ф, фо： (0, p]->Z (Z — множество целых чисел с дискретной топологией):

ф(0 = Ind с |(0> 小 Фо (0 = Ind。с |(о, 〃•

Пусть у】< ...< уг — все сопряженные точки с в (0, р]. Тогда вследствие (1) имеем

Фо«)-Ф(/) = О при /^(0, В]\{»,…，yj,

так что

2 [<Ро (0 - Ф (01 = 2 [фо(¥,)-<₽(¥/)]• 餐(О, Р11=1

Как мы покажем ниже, ф непрерывна слева, а ф0 — справа, пока же докажем, что этого достаточно для доказательства теоремы. В самом деле, в любом открытом интервале, не содержащем сопряженных точек с, ф)(/) = ф(/), и, следовательно, обе не： прерывны. Так как эти функции принимают лишь целочисленные значения, то обе постоянны в таком интервале. Далее, так как ф непрерывна слева в точке 皆+匕 а ф0 непрерывна справа в точке %,

ТО Фо(Y)= <P(Y,+1) (г = 1Г - 1); поэтому 2 [<Ро(V/) ~ Ф(V;)]=

=Фо(Y)— Ф(%)・ Кроме того, ф непрерывна слева в точке уь и из теоремы разд. 4.5 следует, что Ф(%) = 0, ф0 непрерывна справа в точке 丫厂 и потому постоянна в [уг, р]. Пользуясь снова соотношением (1), имеем

Фо (Р) = X [фо (0 - Ф (0] = X dim Дfw(0,囹fw(0, В]

что и доказывает (4), поскольку первое из соотношений (4) непосредственно следует из второго.

Остается доказать, что ф непрерывна слева, а ф0 — справа. Прежде всего заметим, что ф, фэ — неубывающие функции. Действительно, если 3 芍三(0, В], А 久勾，q = cl[o/]，& = с|[о/], то можно построить инъективное линейное отображение i: %—>立,

полагая (iK)^ = Yt при / е [0, fj, (1丫)力=»0 в других точках, причем /(К У) + /"К iV).

Пусть ?е(0, р]; выберем, как в лемме, такие числа 0 = /0 < < Л < ... < /ь = ?0, что % — %7<.『 и, следовательно, на с j ., нет сопряженных точек / \(V = 1,Л). Пусть 7 — ин-

/* \. .тервал, содержащий ? н

* \ "'丿открытый В (0, р], столь 、\*4 малый, что 〃—] Е/ и I /—'

\\^、i***-у — 〃一1 丨 < у При f 三 丄 Поло-

\/л^ 加'жим Cf = c|@f]・ Для каж-

дого f 三/ рассмотрим /^仕0(% — 1)(々一1)-мерное под-

d。пространство / £и% всех

吸：J& a Mqt. X…X.. XMc(tK-f) таких векторных полей У

Рис. 1.вдоль Q, чтоГ|[ч)м (v =

=1,・・・，々)н У b”i，q суть поля Якоби. Как видно из доказательства леммы,(p(f) есть индекс, а фо(/) — квазииндекс ограничения I на /；, У/. Построим изоморфизм

ф/ = 1С *■ ^C^t^ X ♦・・ X Me (^_j) = ^ по формуле

М = (У(4), ・・・，У(*))

и билинейную форму Qt на Е по формуле Qt(ut ^二八①丁〃，①厂％) тогда(p(f) равна индексу, а <р0(/) — квазииндексу Qf (fw/)・ Отображение Q： EXEX/f R, заданное формулой Q(«, и, i) = Qf(必 и), как мы сейчас покажем, непрерывно. Обозначим через 8 векторное пространство всех полей У【口 ％ 『где У 三/£，тогда Ф2 = = (Z(j)，•…Z(加—J) есть изоморфизм Ф： 8->Е, и в силу (3) разд. 4.5 имеем

Q(«, и, 0 = /(ФГ'«. ФГ1и) = /(Ф-1«, Ф-'u)+ /(%„,,,九.,) =

где Хи, i = ^Xu\tk ]屮 九.力=①厂％I隔 v q — поля Якоби. Так как отображение («, и)—>/(①~ 〃，①一 и) есть билинейная форма на £, то (и, и, /)->丿(①-|汉,①-’и) непрерывно. Заметим теперь, что векторное поле Z вдоль любой геодезической [0, у]-> 兩 является

полем Якоби тогда и только тогда, когда поле Z_, Z_ (f) = Z(y —/), есть поле Якоби вдоль обратно ориентированной геодезической. Поэтому из (1) разд. 4.3 следует непрерывность отображения (〃，и, t)f〈Xu,t, У：,〉а тем самым и Q(修 и, /).

Теперь можно без труда доказать требуемые свойства непрерывности <р, <р0> рассматривая непрерывное семейство Q квадратичных форм на фиксированном векторном пространстве Е. Так как Е есть произведение евклидовых пространств Мс(#.), на Е определена евклидова метрика. Пусть Л — подпространство Е размерности <р(?), на котором Q? отрицательно определена, т. е, QJ〃，u)<0 при и^А, 〃 #= 0. Рассмотрим множество S = ={〃： 〃三4 ||〃||=1}. Так как отображение Q непрерывно и S компактно, существует такая окрестность 厶 точки ? в 7, что Q(〃，и, f) = Q/(〃，u)<0 для всех 〃三 S, / е 70; тем самым Q/(〃，〃)<0 для всех и^ А, 〃声 0, / е 70. Таким образом, при /三厶 имеем <р(/)^(р(?). С другой стороны, как было показано, <р(/) — неубывающая функция, поэтому при /三/°, / ^ ? должно быть <р (f) = @(f) и <р непрерывна слева в точке ?.

Пусть, наконец, 近三工 ％>? и lim s^ = ?. Покажем, что

Ц->оо

lim <Ро(5и) =(Ро(?)> откуда и будет следовать, что(р0 непрерывна справа в точке ?. Так как <р0 не убывает и принимает лишь целочисленные значения, можно считать, что <р0 (s^) = k при всех ц, где k — некоторое неотрицательное целое число. Тогда <р0 (?) ^^. Возьмем в Е такие ^-мерные подпространства &, что J неположительна на Ли> т. е. Qsj(〃, 〃)&0 для всех и^А. Пусть ац1> ….，аИй — ортонормированный базис в Ли. Выбирая в случае надобности п о ^in ос ледов а те ль н ости, можно считать, что существуют пределы lim а^ = а0/ (/ = 1, ..., А); векторы а^ составляют орто- Ц->оо

нормированный базис некоторого ^-мерного подпространства Д)иЕ. Для 〃о = У ci&fW/o имеем ц)= lim 〃中 где ” = У аЦн； из непрерывности Q следует поэтому, что

Qr («о- %) = \史,Q (% % sj & о.

Итак, Qf неположительна на Ло, откуда получаем неравенство ①о(?)》左=lim <p(s J завершающее доказательство теоремы. От- JX-> ОО

метим еще, что, согласно последней теореме, критические точки экспоненциального отображения ехрр, риМ, на каждом исходящем из 0 е= Мр луче расположены изолированно.

Замечания

Для нормальной геодезической с： [0, §]f S$ в силу теоремы об индексе и замечания (iii) разд. 4.3 имеем

Ind с = V (n— 1) при v^p < р ^(V + 1) др,

Ind0 с = V (п — 1) при vnp^p<(v + 1)лр,

где V 0 — целое число.

В R" все геодезические имеют нулевой квазииндекс (и индекс).

Пусть с: [0, р]-> Л1 — нормальная геодезическая, с(0)=.р, с(Р) = q. Индекс с есть некоторая мера множества тех близких к с путей с концами р, д, которые короче с (см. замечание (v) разд. 4.3). В самом деле, если В w 沦[一 линейное подпространство, dim В = ind с = m и / отрицательно определена на В, то каждому полю Y ^ В, согласно (4) разд. 4.5, соответствует каноническая вариация с, и, таким образом, получается „m-мерное веретено" близких к с путей с теми же концами, которые все короче с. Заметим в дополнение к замечанию (iii) разд. 4.5, что индекс с есть не что иное, как индекс критической точки с функционала длины L (или энергии £) на пространстве путей Qpqt т. е. размерность максимального линейного подпространства касательного пространства к Qpqt состоящего из таких векторов, в направлении которых L убывает, т. е. имеет строгий относительный максимум в точке с (см. также разд. 7.6).

Если Ind с》1, то существуют сколь угодно близкие к с пути с теми же концами р, д, которые короче с. Поэтому для кратчайшей на М геодезической % соединяющей peg, Ind с = 0, так что с не имеет сопряженных точек в (0, р). Однако § может быть в этом случае сопряженной точкой, как показывает пример полумеридиана на S*

Пусть с: [а, р]->М—нормальная геодезическая, с_: [а,р]->Л1 — обратно направленная геодезическая, заданная формулой с_ (f)= =с(а + р— /). Покажите, что Indc_ = Indc, Indoc_ = Indoc, Докажите для а < ?<р, д = с|[а 中。2 = с % в】 неравенства

Ind s + Ind с2 & Ind с, Ind0 с{ + Ind0 с2 0 Ind0 с.

Обобщение теоремы об индексе на фокальные точки (см. замечание (v) разд. 4.3) также принадлежит Морсу. По этому поводу см. его книгу и статью Амброза (Ambrose W., The index. theGrem in Riemannian geometry, Ann. of Math. 73 (1961), 49—86).

В случае периодических геодезических с рассматривается индекс на подпространстве всех замкнутых полей в 23c. Для этого случая Ботт доказал теорему об индексе, показывающую, что индекс произвольной периодической геодезической, накрывающей “простую" периодическую геодезическую с, определяется по'веде-

нием полей Якоби вдоль с, т. е. „вдоль первого оборота**, см. Bott R., On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersection theory. Comm, on Pure and Applied Math. IX (1956), 171 — 206.

ЛИТЕРАТУРА К § 4

Бишоп P. и Криттенден Р., Геометрия многообразий, М” 1967.

В о 1 z а О., Vorlesungen uber Variationsrechung, В. G. Teubner (1909), Leipzig und Berlin.

Милнор Дж., Теория Морса, М., 1965.

Morse М., The calculus of variations in the large, AMS Colloquium Publications, XVIII (1934), New York.

3 e й ф e p т Г. и Трельфалль В., Вариационное исчисление в целом, М., 1947.

Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, М., 1970.

Римановы многообразиякак метрические пространства

Функция расстояния риманова многообразия

Рассмотрим естественную метрическую структуру, которую можно ввести на римановом многообразии..

Пусть £ — произвольное множество. Отображение р: £х£->R называется функцией расстояния на £, если для всех р, «, г е £ выполнены условия:

Р(Р，G = P(«, р) (симметрия);

р(р, q)^p(pt г) + р (г, q) (неравенство треугольника);

р(р, «) = 6 тогда и только тогда, когда p = q*

Пусть £ — топологическое пространство и р: £ -> £ — функция расстояния на £. Функция р называется совместимой с топологической структурой £, если шары Вй (р) = {^: q wE、р(р, ^)<д) с центрами в точках р ^Е радиусов 8>0 составляют базис топологии £. Объект, состоящий из топологического пространства £ и определенной на Е функции расстояния р, совместимой с топологией £, называется метрическим пространством.

Рассмотрим теперь связное риманово многообразие М. Обо： значим через Qpq множество всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1] -> Л4 с началом р и концом q. Поскольку М связно, Q” не пусто. Построим отображение р: М X Л4 ->R с помощью формулы

р(р, 0 = inf {L (с): С W Qpg},⑷

где Л (с) — длина пути с* Тогда справедлива следующая

Лемма

Утв. М вместе с р составляют метрическое пространство. р называется функцией расстояния риманова многообразия Л4.

Док. Свойства (1) и (2) непосредственно вытекают из определения; заметим для этого, что если с — путь из Q^q, то формула (f) — с (1 — f) определяет путь с_ w Q7P, причем Л (с_) = Л (с); если же qwQ”，с2 Qrq, то путь с: [0, 1]-> М, заданный формулами c(f) = с】 (2/) при f 巨[о, }] н ° (0 = 3(2f — 1) при t w [^, 1], принадлежит QP7, причем L(c) = L (с) + Л(с2). Переходим к до-

казательству (3). Ясно, что р (р, р) = 0. Надо показать, что из р(р, «) = 0 следует р = д. Возьмем для этого е-шар иг с центром 0 в Mpt который диффеоморфно отображается экспоненциальным отображением ехрр связности Леви-Чивита на некоторую окрестность точки р. Согласно замечанию (ii) разд. 4.4, любой исходящий из р путь, не лежащий в exp(t/e), длиннее е и дляе7^ехр([/е) соединяющая р с q геодезическая с: [0, !]—>ехр([/е) есть кратчайший на М путь с концами р, д・ Так как L (с) = 0 лишь в случае, когда с постоянен, то из р(р, «) = 0 следует р = «.

Надо еще показать, что б-шары Вб(р) с центрами р^ М составляют базис топологии М, т. е. что шары Вб (р) открыты, и любая окрестность точки pwM содержит б-шар с центром в р. Для этого заметим сначала, что функция р непрерывна. В самом деле, для последовательности точек (pv, q^ ^ М X М из lim pv = р, V->oo

lim qv = q с помощью неравенства треугольника и условия сим- метрии получается, что

p(Pv, 〃v)&p(p, g) + p(p, Pv) + p(g, а),pg, %)Ap(p, G-p(p, Pv)-p(g, %)•

Достаточно поэтому показать, что для последовательности точек /\ 巨 М, сходящейся к р, lim р (р, pv) = 0. Рассмотрим опять шар U V->oo

с центром в OwAfp, на котором ехрр является диффеоморфизмом. В силу замечания (ii) разд. 4.4 имеем

р(р, g) = II (ехр lu)T (g) II для всех gwexp(U). (5)

Поскольку для всех v, за исключением конечного множества, точки 网 принадлежат ехр (/7), из (5) вытекает непрерывность р, так как непрерывно отображение (ехр 卜尸.Из непрерывности р следует, что б-шары В6(р) открыты. Наконец, как мы сейчас покажем, каждая окрестность V точки р содержит б-шар с центром в р, являющийся диффеоморфным образом открытого б-шара /и Мр с центром в 0 при отображении ехрр. Для этого выберем б таким образом, чтобы ехр* было диффеоморфизмом и ехр (t/6) содержалось в заданной окрестности К, тогда Вб (р)= =ехр({/б). В самом деле, положим /б = ехр (t/Д тогда в силу (5) имеем /uBNp). Далее, 九 открыто в М, а следовательно и в Вб (р). С другой стороны, О。также замкнуто в Вб (р). Действительно, если qv^ Кб и lim qv = q ^ S6(p), то существует пре-

—V->8

дельная точка v ^ U6 последовательности ov = (exp 1уб)-1 (^v)- Согласно (5), выполняется р(〃, e?v) = || vv ||, и в силу непрерывности'р

имеем lim || vv|| = р(р, ^). Следовательно, || v || = р (р, q) < б, и и/, V-> ОО

и ввиду непрерывности ехр получаем exp v = q. Итак, Уб открыто и замкнуто в Вб(р), и равенство 九 = &(Р)будет вытекать из связности Вб(р)・ В действительности шар В式р) даже линейно связен, так как для любой точки q и Вб(Р)существует путь с 三 Qpq длины 厶(c)V6, т. е. целиком лежащей в В^(р). Этим завершается доказательство леммы.

Покажем еще, что функция р2 дифференцируема в некоторой окрестности точки диагонали (р, р) ^ М X М, какова бы ни была точка р^ М. Для этого заметим, что по теореме I разд. 2.8 отображение л X exp: ТМ-> MX М обратимо в некоторой окрестности W точки Ор 三 ТМ. Построим е-шар 凡(р), такой, что Ве (р) X В式р) и и (тс X ехр)(呼)；тогда для любой точки q产 В^зН) отображение ехр% обратимо в --шаре % с центром 0三吃」

Из (5) получаем

Р(41, %) = ||(ехр*)т(%)|| =1(# Xexp)lv)T(〃i，02)1 ⑹ для «1, «2 и Ве (р), откуда и следует дифференцируемость р2. Сама функция р также дифференцируема в Be (р) X Bg (р), кроме точек диагонали, так как при «〔 =# «2, очевидно, ((тс X exp) W"1 (^ь^)^0* Вне достаточно малой окрестности диагонали в M X М функция р2, вообще говоря, не дифференцируема (например, в случае М = S； функция р2, как и р, не дифференцируема, когда р, ^ — диаметрально противоположные точки).

Замечания

Если N и М — связное риманово подмногообразие и р — функция расстояния на ^, то, очевидно, 0(р, «)》р(р, q) для всех Р，q wN・

Приведите пример, в котором функции р и р не совпадают, хотя dim М = dim^. Более общим образом р и р могут не совпадать, когда N — вполне геодезическое (см. замечания (iii) разд. 3.7 и (iii) этого раздела) подмногообразие М. Если dim^ < dim М, то при этом N может быть даже полным (см. разд. 5.3).

Пусть ^ — связное риманово многообразие, р — функция расстояния ^ и f: ^ —> Л4 — изометрическое дифференцируемое отображение. Тогда для всех р, q 三 N выполняется неравенство 0(р, q)》p(f(p), f(«)). Если f — изометрия, т. е. изометрический диффеоморфизм N на М, то верно и обратное неравенство, так что справедливо равенство

0(р, «) = р(/(р), f(q)) для всех р, q^N, (7)

т. е. f является изометрией также и в смысле расстояния. Обратно, пусть dim ^ = dim М и f — изометрия в смысле расстояния, т. е. выполнено (7). Покажите, что в этом случае f открыто и инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом (см. замечание (iv) разд. 1.1). Более того, как можно доказать, f дифференцируемо (см. Palais R., On the differentiability of isometries. Proc. AMS 8 (1957), 805 — 807). Предполагая, что f дифференцируемо, покажите с помощью нормальных координат (см. замечание (ii) разд. 3.8), что / есть изометрическое отображение в смысле римановой метрики.

Покажите, что изометрическое отображение R"+】 на себя в смысле расстояния есть аффинное отображение, а именно композиция ортогонального отображения и сдвига. Отсюда следует, что изометрия в смысле расстояния стандартной сферы S" и R“+i на себя есть ограничение ортогонального преобразования Rft+I.

Пусть N и М — связное риманово подмногообразие с функцией расстояния 0. Покажите, что N является вполне геодезическим в М тогда и только тогда, когда у каждой точки pwN существует окрестность VuN, такая, что р |ГхГ = р |r х г (см. также (1)).

5・2・ Выпуклые множества

Рассмотрим связное риманово многообразие М с функцией расстояния р и связностью Леви-Чивита.

Пусть G — открытое подмножество М; G называется простым^ если для любых двух точек р, q 巨 G существует не более одной геодезической с: [0, 1] -> G с концами с (0) = р, с(1) = д. Каждое открытое подмножество G является простым вместе с G.

Множество G называется выпуклым, если для любых двух точек р、q r G существует геодезическая с с концами р, q длины 厶(с) = р(р, д), целиком лежащая в G. Множество G называется сильно выпуклым, если G выпукло и, кроме того, все д-шары Зб(Р)иС? выпуклы. Если G сильно выпукло, то любое выпуклое открытое подмножество G также сильно выпукло.

Мы покажем, что у каждой точки pzM существует сильно выпуклая окрестность. Следующие ниже предложения в основном принадлежат Дж. Г. К・ Уайтхеду, который впервые рассмотрел соответствующий вопрос для общей линейной связности (см. Whitehead J. Н. С., Convex regions in the geometry of paths. The Quraterly J. of Math. 3 (1932), 33-42).

Для нормальной геодезической с: [0, р]->М обозначим через 1С ограничение индексной формы на подпространство полей Якоби вдоль с, удовлетворяющих условиям 〈У, с) = 0, У (0) = 0.

Лемма

Усл.

Утв.

Док.

Пусть &(р) есть 6心ар с центром в точке р^ М9 такой, что для всех q w В^ (р) открытый 2д-шар в Mq с центром в Ое Mq диффеоморфно отображается на B2fi (q) отображением ехр?. Для каждого v е Мр> || и ||= 1, обозначим через %： [0, д] —► Л1 нормальную геодезическую cv (/)= =ехр (/и). Предположим, что для каждой из таких геодезических индексная форма 1% положительна определена. Шар Вб(Р)есть простое выпуклое множество.

Прежде всего из замечания (ii) разд. 4.4 сразу же следует,

что &(р) есть простое множество и что каждая геодезическая в Вб(р) является кратчайшей в М. Остается доказать, что Вб(р) — выпуклое множество. Для этого рассмотрим для любой фиксированной точки q 三 Вь(р、непустое множество Л тех точек &(р), которые можно соединить с q геодезической, лежащей в Вб(р). Так как &(р) связно, то лемма будет доказана, если мы проверим, что % открыто и замкнуто в &(р)・

А открыто. Пусть qf ^ А и с — геодезическая, соединяющая q с д' в Вб(р). Поднимем с посредством ехр^ в исходящий из 0 луч ф пространства Mq. Тогда существует окрестность компактного образа ср, которую ехр^ диффеокгорфно отображает на окрестность образа с в Вб (р).

Л замкнуто в &(р)・ Пусть / е Вб (р) — предельная точка Л и

q^ — последовательность в Л, сходящаяся к д'. Так как ехр 卜

диффеоморфизм, последовательность 人

к 〃 = (ехр %)т (寸)W Uq. Тогда,

(ехр %尸(gj

СХОДИТСЯ

как мы покажем, геодезическая

с: [0, 1]—>В2б((7), заданная формулой с(/) = ехр(/и) и соединяющая q с д', целиком принадлежит Вб (р), а именно, убедимся, что если с имеет общую точку с границей Вб(р), то существует /0 е (0, 1), для которого с (幻 巨殳(р) (поскольку все точки q^ е Л, требуемое утверждение будет тогда следовать из соображений непрерывности). Если для некоторого 电三①，1) имеет место р(р, с®))』， рассмотрим нормальную геодезическую %, где и = ^ (ехр 広卩尸 0 с (е), и построим в достаточно малом интервале /0, содержащем нуль, вариацию V: [0, д\Х JQ^ М геодезической % по формуле V (/, е) = ехр 信(ехр 広卩尸 ℃ (е + 圖).Обозначая, как обычно, функцию длины пути для вариации V через L (е), имеем L (0) = д. Если Л7 (0) =/= 0, то наше утверждение доказано. Если же //(0) = 0, то У (/) = V^D2 |ло есть поле Якоби вдоль q, У (0) = 0, (У, с0) = 0, У =й= 0 и по предположению £〃(0) = /%(У, Л > 0. Следовательно, L имеет в точке 0 строгий относительный минимум и утверждение доказан。 полностью.

Из леммы вытекает следующее важное предложение.

Теорема

Утв. Для каждой точки реМ существует такое д>0, что шар Вб(Р)— сильно выпуклое множество.

Док. По теореме 1 разд. 2.8 отображение 冗 X ехр: ТМ М X М диффеоморфно отображает некоторую окрестность 0р в ГМ на окрестность G точки (р, р) в М Х“М. Возьмем такое 6">0, чтобы было Вм ⑺义 By (р) и G, и положим дх = — . Тогда для каждой точки q 曰 В&(р) шар В2б，(д) есть диффеоморфный образ 2д/-шара в Mq с центром в 0 при отображении ехрд. Построим для о, з R L (Ву(р))，л(у) = л(г^), геодезическую 分：[0, 61fAi по формуле са(/) = ехр (tv) и поле Якоби Yvw вдоль cvt удовлетворяющее условиям Yvw (0) = 0, Yvw (0)=5. Заметим прежде всего, что отображения (и,叫 t)^Yvw(t)t (и,叫 /)-> 匕齿(f), (и,叫 /)-> У禽(f)= = —R(Yvwt 6Jcv If непрерывны, как это видно, например, из леммы разд. 4.3, поскольку отображение (и, 叫 /, е)—>/(d + e5)дифференцируемо (см. замечание (iv) разд. 1.10). Но тогда непрерывна и функция (и, ш, /)-> D(XVWt Yv^ L； ввиду Yvw (0) = 0 имеем D(YVWi 匕〉I。=〈匕, Yvw) |o = II ^『，и из ком пакты ости множества Л = {(и,如)：力 w ^ТМ,冗(и)=冗(ну)三 В& ⑺，И V ||=|| w ||= 1} следует существование такого числа 己三(0, 0[, что для всех / ^ [0, д], (〃，w) ^А выполнено неравенство D(YVW) У：о；〉|>0. Поэтому (YVWt Yow) строго возрастает на [0, д], и в силу (3) разд. 4.5 для всех (и, w)^ А имеем ICv^vwy Yvw) =(YVWi Y^ |б>0. Утверждение теоремы следует теперь из предыдущей леммы, с только что определенным значением 6.

Обозначим через R двухточечную компактификацию числовой прямой, т. е. «числовую прямую R, обычным образом пополненную точками — оо, оо. Для любой точки р ^М обозначим через г(р), г(р)巨 R, точную верхнюю границу тех чисел д, для крторых шар Вб (р) — сильно выпуклое множество; г (р) называется радиусом выпуклости М в точке р. Согласно последней теореме, г (р) > 0 для всех р^ М, Покажем, что отображение г: М—>R, при котором каждой точке р^М ставится в соответствие г (р), непрерывно. Если существует такая точка p°w М, что 厂(网))=8, то все шары в М выпуклы, и г (р) = оо для всех р ^ М. Если же г(р) конечна для всех р мМ, то, как мы сейчас покажем, имеет место неравенство

|r(p) — r(g)|&p(p, q)|r(p) — r(g)|&p(p, q)(1)(1)

|r(p) — r(g)|&p(p, q)

|r(p) — r(g)|&p(p, q)

(1)

(1)

для всех q w Вг⑺(р)・ В самом деле, вместе с В「⑺(р) шар Br(p)-p(p, G (е) является сильно выпуклым множеством; следовательно, Г (е)》г(р)-р(р, е), откуда Г(р)-г(е)《р(р, е). в случае r(q)^r (р) этим все доказано. В случае r(q)>r (р) имеем 卩三当⑷(q) н, значит, г(е) — г (р) Кр(〃 Q), что и доказывает (1). Из неравенства (1) и непрерывности функции расстояния вытекает непрерывность г.

Рассмотрим для точки р G.M множество всех чисел д, для которых отображение ехр |% определено и инъективно (% —тар радиуса 6 с центром в 0 е Мр). Точная верхняя граница dp чисел 6 называется радиусом инъективности отображения ехрр или радиусом инъективности в точке р. Пусть U — шар в Мр с центром 0 радиуса dp и В (р) —шар в 財 с центром в р радиуса &・ Как мы увидим ниже (лемма разд. 5.3), р можно соединить с каждой точкой q w В (р) кратчайшей геодезической. Отсюда следует, что кратчайшие геодезические из р в q^ В(р) определяются однозначно и имеют вид с: /—>exp/v, где и w U.

Пусть А — подмножество 財.Число dA = inf {dp: р е Л) называется элемент арной длиной А ъ М. Каждую точку р е Л можно соединить с gw財 единственной кратчайшей геодезической с: [0, 1] —> М, если р(р, q) < dA. Для компактного множества Л имеем 2』> 0; в самом деле, для всех р^ М выполняется г (р) & dp, а непрерывная функция г принимает на компактном множестве положительный минимум.

Замечания

Для 財=R“ имеем & = 8 при всех pwR\ следовательно, 応=8 при всех Л и R".

Для Af = R“\{0} выполняется ^р = || РII, откуда 壮4 = 0 при 4 = R” \ {О}.

Для 財=S$ справедливо равенство dp = лр, какова бы ни была точка р; поэтому dA = лр для всех подмножеств 4uS$.

Приведите пример двумерного риманова многообразия М, для которого dp = 8 в одной и только одной точке р^ М, Получите из замечания (i) разд. 4.5 значение радиуса выпуклости для pwS$ (г(р) =子).Покажите, что на S； любое отличное от S； выпуклое открытое множество содержится в некоторой полусфере. Очевидно, г (р) = оо для R" и г (р) = II р II для R" \ {0}.

Пусть М — связное риманово многообразие размерности п с функцией расстояния р, р^ М. Пусть г0>0 выбрано таким образом, чтобы ехрр диффеоморфно отображало шар Ura с центром в 0三財卩 на шар ВГа (р) в 財.Тогда, согласно (5) разд. 5.1, функ-

ция ф： Bro(p)^R, заданная формулой Ф(«) = р(р, q), дифференцируема при q =# р н все rw (0, г。) являются регулярными значениями ф, так как производная ф в радиальном направлении, очевидно, не равна нулю. Поэтому определены (п— 1)-мерные компактные римановы подмногообразия Sr (р) = ф-1 (г) и 財，называемые сферами М с центром в точке р. По лемме Гаусса вектор градиента Vq) |? есть касательный вектор нормальной геодезической с, соединяющей р с q в ВГо (р), в ее конечной точке q; следовательно, || Vq) || = 1. Рассмотрим вторую основную форму I подмногообразия Sr (р) с М по отношению к полю единичных нормалей Vq)； для q ^ Sr (р) и векторов и, w ^ Mqi касательных к S/p), имеем / (v, w) = (VpVq), оу) (см. разд. 3.7). Покажите, что /(V, w) = (Х\ Y)\r = I (X, У), где X, У — поля Якоби вдоль с, удовлетворяющие условиям X (0) = У (0) = 0, X (г) = и, У (г) = w. В случае когда ехрр диффеоморфно отображает шар U2r на 82r(Р), согласно лемме, получаем, что Вг (р) — простое выпуклое множество, если вторая основная форма положительно определена во всех точках сферы Sr (р). Пусть теперь а — двумерное линейное подпространство касательного пространства к Sr (р) в точке q(n>2), а V, w — ортонормированный базис в о. Тогда, согласно (9) разд. 3.7, риманова кривизна 冗 многообразия М в направлении о и соответствующая кривизна Кд сферы Sr (р) связаны соотношением

Ko = K°+det(/(x, у) /(у, ⑵

Выберем и н оу так, чтобы было 2®, w) = 1 (X, У) = 0 (это можно сделать в силу симметричности /). Тогда, подставляя в формулу (2) значения /(X, X), / (У, У), вычисленные согласно определению индексной формы (1) разд. 4.5, получаем выражение, в котором при г f 0 главными членами являются интегралы от〈X', X，〉, (У7, У，〉. Исходя из этого, покажите, что при достаточно малых г > 0 существуют такие функции х(г),九(г), для которых 0 < х (г) ^ ^ ^ Л (г) при всех о, касающихся Sr (р), причем

tim 产乂 (г) = lim 产九(г) = 1. (3) r->0 r — 0

Равенство (3) означает, что при малых г сферы Sr(p) риманова многообразия М имеют асимптотически ту же постоянную кривизну 3，что и в евклидовом пространстве

Пусть N ^ М — риманово подмногообразие коразмерности I в М; p^N] и^ Мр~ единичный вектор нормали к М так что II «11= 1 и〈〃, V)= 0 при всех V 三 Np； / — вторая основная форма N по отношению к и. Существует такое гэ>0, для которого из условия г ^ (0,大]следует, что Вг (р) —простое выпуклое множе-

ство и Br(p}\N распадается на две компоненты связности бЛ GI (причем через GI обозначена та компонента, в сторону которой направлен 以 При достаточно малом г множество Gt выпукло, если форма I положительно определена. Обратно, если G[— выпуклое множество, то / — неотрицательна.

Пусть Л — компактное подмножество связного риманова многообразия Л1; dA — элементарная длина Л. Получите непосредственно из теоремы 2 разд. 2.8 положительность dA, не пользуясь радиусом выпуклости (см. также разд. 54).

Рассмотрим связные римановы многообразия М, N равной размерности с функциями расстояния р, р и пусть f: ^ -> Л! — дифференцируемое изометрическое отображение. Покажите, что f локально является также изометрией в смысле расстояния, т. е. у каждой точки p^N существует такая окрестность V в N, что для точек 41,力三丿 имеем 0 (⑺，依)=Р (f(9i), f (%)) (см. замечание (ii) разд. 5.1).

5.3. Полные римановы многообразия

Метрическое пространство Е называется полным, если каждая последовательность Коши в Е сходится.

Пусть М — связное риманово многообразие с функцией расстояния р, оно называется полным, если М полно как метрическое пространство с метрикой р. Если М компактно, то М полно. С другой стороны, Rrt, например, является полным римановым многообразием, хотя и не является компактным. Мы приступаем к доказательству теоремы Хопфа — Ринова, имеющей фундаментальное значение для всей римановой геометрии в целом; эта теорема устанавливает эквивалентность метрической полноты М и полноты связности Леви-Чивита на М, т. е. полноты соответствующей геодезической струи. Идея доказательства, излагаемого ниже, принадлежит де Раму, его существенная часть содержится в следующей лемме:

Лемма

Усл. М — связное риманово многообразие с функцией расстояния р и связностью Леви-Чивита. Точка р ^ М; U6(д>0) — открытый шар радиуса 6 8Mpe центром в 0; Вб (р) — открытый шар радиуса Ь в М с центром в р.

Утв. Если для е>0 шар Ue целиком принадлежит области определения экспоненциального отображения ехрр, то р можно соединить с каждой точкой q ^ Въ (р) кратчайшей геодезической с, т. е. такой, что L(c) = р(р, д). В частности, отображение expp： Ug->4&(р) сюръективно. Наконец, для любого д е= (0, е) замкнутый 6-шар В6 (р) компактен.

Док. Для 6 w (0, е) обозначим через & множество точек q w Вб(р), которые можно соединить с р геодезической cq длины L(%) = = р(р, 4). Мы покажем, что С6 компактно, и что при всех 6w(0, е) имеет место С6 = Вб(р), откуда и будет следовать утверждение леммы._

Так как С6 содержится в компактном множестве ехр (t/6) с: иВз(р), то для доказательства компактности С6 достаточно проверить, что Сб замкнуто в В6(р). Пусть q е В6(р)~ предельная точка С6, qv — последовательность точек Сб,_сходящаяся к q. Для каждой точки q、существует такой uv ^ t/6, что ехрр (uv) =qv и II uv || = р(р, q^. Последовательность % имеет в компактном множестве и^ предельную точку и. Вследствие непрерывности ехрр и р, для геодезической с^: [0, 1] -> Л1, cq (/) = ехр (/и), имеем L(c/ = = р(р, 4), что и доказывает замкнутость & в Вб (р), а значит, и компактность С6.

Рассмотрим множество Л тех чисел 6 w (0, е), для которых С6 = В6 (р). В силу разд. 5.1 (см. доказательство утверждения (3) леммы) Л содержит некоторый интервал с началом 0, таким образом, Л не пусто. Докажем, что Л замкнуто и открыто в (0, е), тогда из связности (0, е) будет следовать, что Л = (0, е), что равносильно утверждению леммы.

Покажем, что Л замкнуто в (0, е). Пусть д0 е (0, е) — предельная точка А. Тогда существует последовательность 6寸三力,сходящаяся к д0. Для всех V выполняется Сау = Вау (р), откуда следует Вбо(р)иСбо, а так как См замкнуто в Ва0(р), имеем С* = В&(р), до

Покажем, что Л открыто в (0, е). Пусть д0 е А. Непрерывная функция г: Л1 -* R (см. разд. 5.2), сопоставляющая каждой точке р^ М радиус выпуклости М в точке р, имеет на компактном множестве См = Вбо(р) положительный минимум rf.

Если 0 < т] < min (т]7, е — д0), то, -как мы покажем, Сбо+л = Вба+^ (р)； отсюда и будет следовать, что Л открыто. Так как См+刀 замкнуто, достаточно доказать включение 5&+刀(р) и С“+1b более того, Вб. (р) и Сбо+л, и достаточно показать, что Вбо+л (р) \ В& (р) и Сбо+л. Итак, пусть q е Вб0+л(Р)\ В^(Р)- Существует последовательность путей cv: [а, р]-> 兩 с началом р и концом д, для которой iim Л (cv) = р (р, д)・ По теореме о промежуточном значении, суще- V->oo

ствуют такие числа fv е= [а, р], что р (р, cv (fv)) = д0. Последовательность q、= c、(tj имеет в компактном множестве В*(р)\ Вб0(р) предельную точку @, причем, выбирая в случае надобности под-

последовательность, можно считать, что qv сходятся к q. Покажем, что

р(р, g) = p(p, G) + p(g, <?)•(О

В самом деле, р(р, 4) + р (旅 q)^L (cv), и при v —8 в силу непрерывности функции р отсюда следует р(р, ^) + р (q, q)Wp(p, q), что вместе с неравенством треугольника приводит к (1).

По построению точки q, справедливо р(р, 7)= б0- Поэтому существует нормальная геодезическая с: [0, 8。] —М, соединяющая peg. Так как р(р,(/) < д0 + т], из (1) следует р(^, q)Vri； тем самым q принадлежит сильно выпуклому шару 以(办 и существует единственная нормальная геодезическая с: [6°, y]f М длины р(^, е), соединяющая ? с q. Геодезические с, " вместе составляют кусочно нормальный путь с с началом р и концом д; длина этого пути L(E) = p(p, е), и из замечания (iii) разд. 4.4 вытекает, что с — нормальная геодезическая. Таким образом, (0, д0 + т]) <= Л и Л открыто, что и завершает доказательство леммы.

Мы воспользовались в доказательстве леммы радиусом выпуклости, но можно было бы обойтись без этого понятия, построив вокруг каждой точки //w 5仇(р) \ 5仇(р) шар, являющийся диф- феоморфным образом при ехрр，(см. разд. 5.1), и взяв нижнюю границу радиусов таких шаров в качестве т/.

Теорема (X. Хопф, В. Ринов)

Усл. М — связное риманово многообразие с функцией расстояния р и связностью Леви-Чивита.

Утв. Следующие три утверждения равносильные

М полно}

для каждой точки р ^ М экспоненциальное отображение ехрр определено на всем Мр；

каждое ограниченное по отношению к расстоянию р замкнутое множество 4 и Л1 компактно.

Далее, следующее утверждение является следствием каждого из утверждений (а), (Ь), (с):

любые две точки р, q ^ М можно соединить на М гео* дезической длины р (р,(/).

Первоначальное доказательство этой теоремы (Hopf Н., Rinow W., Ober den Begriff der vollstdndigen differentialgeomet- rischen Flache, Comm. Math. Helv., 3 (1931), 209 — 225) относилось к случаю dim M = 2, но почти в той же форме распростр анялось на римановы многообразия любой размерности. См. по этому поводу также статью де Рама (de Rham G., Sur la reductibilite (Tun espace de Riemann, Comm. Math. Helv., 26 (1952), p. 341).

Док. Прежде всего импликация „из (с) следует (а)" очевидна, так как последовательность Коши ограничена и поэтому содержится в замкнутом ограниченном подмножестве М, которое, по предположению, компактно; на компактном же множестве сходится каждая п ос ледов атель н ость Коши.

Покажем, что из (а) следует (Ь). Достаточно доказать, что при и е Мр экспоненциальное отображение ехрр определено на всем луче {加：/ е R+). Согласно (10) разд. 2.9, ехр (加)=几。① Jf), где Фр — максимальный интегральный путь геодезической струи S, удовлетворяющий условию Фо (0) = и. Поэтому достаточно показать, что все / е R+ принадлежат области определения Фо. Область определения Фр есть некоторый открытый интервал 7, содержащий 0. Покажем, что 7 f] R+ замкнуто в R+. Пусть [0, ?) и 7, тогда Фр определен в точке ?. Для доказательства этого утверждения построим последовательность /ve[0, ?], сходящуюся к Л Тогда p(exp(/vu), ехр (/uv))^| /v—/ц |*|| и II и образы pv = ехр (/vu) образуют последовательность Коши в Л1. В силу (а) эта последовательность сходится к некоторой точке q ^ М. Последовательность uv = Qv(/v) имеет в ТМ по крайней мере одну предельную точку, так как || uv || = || v ||, и для компактного замыкания окрестности W точки q ^ М множество я~х (W)[\{w:w ^ТМ, || оу || = || и ||} также компактно (см. замечание (iii) разд. 3.4). Согласно теореме о продолжении (разд. 8.7), пусть Фр определен в точке ?, поскольку Фо — максимальный интегральный путь.

Остается доказать, что из (Ь) вытекают утверждения (d) и (с). Так как ехрр определено на всем Мр, из леммы следует, что каждую точку q ^ М можно соединить с р геодезической длины р(р, q), т. е. справедливо (d).

Какова бы ни была точка pwM, каждое ограниченное замкнутое множество А и В§(р) для достаточно большого 6. Согласно лемме, Вб(р) компактно, а потому А и В§(р) также компактно. Тем самым, теорема доказана.

Отметим еще, что утверждение (Ь) равносильно следующему, формально более сильному:

(Ь‘) существует точка р w М, для который экспоненциальное отображение ехрр определено на всем Мр.

Выведем из (У) полноту М. Пусть ^v — последовательность Коши в М, тогда последовательность р(р, д^) ограничена. По лемме для каждой точки ^v существует геодезическая cv, соединяющая р с 9v， длины L(cJ = P(P，9v)・ Далее, существует такой вектор ?vWMp，что |] vvH = P(P, 9v) и ехр (uv) = ^v. Последовательность % содержится в ограниченном множестве Мр и имеет тем самым предельную точку и в Мр. Поэтому последовательность q、 сходится к ехр (и). Итак, М полно, а отсюда, согласно теореме, следует (Ь).

Замечания

Пусть М — связное полное риманово многообразие, N и М — связное риманово подмногообразие. Покажите, что если ^ замкнуто в М, то ^ полно. График функции R+ ->R, заданной формулой f -> sin } , есть полное, но не замкнутое подмногообразие R2.

Из теоремы вложения Уитни (см. замечание (vi) разд. 1.6) и (i) следует, что на каждом связном дифференцируемом многообразии можно ввести структуру полного риманова многообразия.

Из леммы этого раздела вытекает такое утверждение:

если М — риманово многообразие, р е М и ехрр определено и инъективно в шаре Us cz Мр радиуса е с центром 0, то ехрр имеет во всех точках этого шара максимальный ранг.

В самом деле, пусть с: [0, р] -> М — нормальная геодезическая с началом р и р<е. Тогда, обозначая с(р) через д, имеем Р(Р，4)《В<е，н по лемме существует кратчайшая геодезическая, соедииняющая р с ^. В силу инъективности ехрр эта кратчайшая есть с. Согласно лемме 1 разд. 4.5, на (0, р) нет сопряженных точек с, и ввиду произвольности числа р<е и с наше утверждение доказано.

Заметим, что доказанное свойство специфично для инъективного экспоненциального отображения н, конечно, не распространяется на любые инъективные дифференцируемые отображения.

С помощью методов алгебраической топологии и теории Морса можно усилить утверждение (d) этого раздела. Пусть М — полное риманово многообразие, которое не ациклично, т. е* по крайней мере в одной размерности z>0 группа гомологий с целочисленными коэффициентами Ht(Mt Z) =# 0, тогда каждые две точки р, q 曰 М можно соединить геодезической сколь угодно большой длины. Следовательно, существует бесконечное множество геодезических, соединяющих р с q* Условие „не ацикличностиu М равносильно требованию, чтобы М „нельзя было стянуть по себе в точку**. По этому поводу см. Serre J.-P., Homologie singuliere des espaces fibres, Ann. of Math., 54 (1951), 425-505. 八

Пусть M, М—связные римановы многообразия и л:启一>Мт- риманово накрытие, т. е. дифференцируемое изометрическое накрытие (см. замечание (v) разд. 1.7). Покажите, что если М полно, то М полно, и обратно.

5.4. Множество раздела риманова многообразия

R означает в этом разделе, как и выше, двухточечную компактификацию R.

Пусть М — полное риманово многообразие с функций расстояния р. Рассмотрим касательное сферическое расслоенное про

странство ТХМ = {и: и 三 ТМ, ||'и || = 1} над М, как в замечании (iii) разд. 3.4. Определим функцию s: 7幽-> R формулой

s(u) = sup{f: р(л (и), exp (tv)) = /}.

s(v) есть, таким образом, наибольшее значение параметра 力 при котором исходящая из л (и) нормальная геодезическая с^: [0, оо)-»Л1 является кратчайшей между точками cv (0) и %(/), или, иными словами, cv перестает быть кратчайшей после f = s(u).

Две кратчайших геодезических могут иметь не более одной общей точки; это видно из замечания (iii) разд. 4.4.

Множеством раздела называется множество Cp = {s(v)v:Мр[\ТхМ}.

Образ этого множества С(р) = ехрр Ср и М также называется множеством раздела М по отношению к р (это понятие восходит к Дж. Г. К・ Уайтхеду (cut locus) и Пуанкаре (ligne de partage). Лемма (Клингенберг)

Утв. Отображение s: Т^ -> R непрерывно.

Док. Пусть V ^=ТХМ и uv Т]М — последовательность, сходящаяся К V. Положим Л (и*) = Ру, л (и) = р, t = S (и), Tv = s (uv); можно считать, выбрав подпоследовательность, что существует lim rv=t.

V-> оо

Предположим, что т< т, возьмем такое число п>°，чтобы было т + т]<т, и рассмотрим геодезические CuJ[o,iy+%, соединяющие 八 с q产 &у(т\ + п)・ 口。определению s и rv, с% —не кратчайшие. Так как М полно, существует, согласно разд. 5.3, кратчайшая геодезическая ，％|[о, р(р*, «*)]， соединяющая pv с qv, где uv ^ ТХМУ uv ^= uv. На кратчайшей геодезической с/д р нет сопряженных точек в [0, т), поэтому л Хехр диффеоморфно отображает некоторую окрестность луча {tu： 0《t V$} при 元 +qVg之t в M X M (см. замечание (i) и лемму 2 разд. 2.8). Отсюда видно, что не существует подпоследовательности векторов vvt сходящейся к и, так как в этом случае из точки pv (при достаточно большом V)исходили бы два луча пространства М%, лежащие в построенной выше окрестности, концы же этих лучей имели бы один и тот же образ при отображении ехр. Можно, следовательно, считать, что векторы vv сходятся к некоторому вектору 0，и, и ^ Мр. При этом lim р (о*, qj = р(р, сб + п))=元 + П，так как

V->oo

с 1ю, х^ — кратчайшая, и существует еще одна кратчайшая Сб|ю,亏+^ с теми же концами, что невозможно ввиду t + t]<t = s(u).

_ Пусть теперь т> т. Возьмем такое число п>°，чтобы было т>т + т], и рассмотрим геодезические &J[o,计仆 Все они — кратчайшие, и вследствие непрерывности р геодезическая cJo i+m также должна быть кратчайшей, что противоречит определению числа t = s (и).

Следствие

Утв. Отображение d: ЛГ —> R, ставящее в соответствие каждой точке р ^ М радиус инъективности в этой точке, непрерывно.

Док. В самом деле, dp = inf {s(u): v ^ ЛГР П Т{М}\ в силу непрерывности s(v), замечания о пересечении кратчайших (сгр. 187), леммы разд. 5.3 и так как Т{М локально имеет структуру произведения, остается сослаться на следующую общую теорему: если N【，N?— хаусдорфовы пространства со счетной базой, причем N? компактно, и f: N{XN2^R — непрерывная функция, то функция р-> inf f (р, gj непрерывна на М・

Отметим, что радиус инъективности dp есть не что иное, как расстояние р(р, С (р)) от точки р до соответствующего этой точке множества раздела С(р)иЛГ, т. е. dp = inf р(р, g). Если М компактно и р Mt то непрерывная функция ^ —>р(р, q) ограничена на М. Следовательно, ограничена и s |5л-1, где Sn-I = Afp П Т[М. Тем самым множество раздела Ср с= Мр оказывается компактным топологическим подмногообразием Мр, а отображение v—>s(v) v — гомеоморфизмом 5"一 на Ср. Ясно, что Ср ограничивает компактную звездообразную окрестность W = {/v: uwS“t, 0&&s®)} точки 0 в Мр, гомеоморфную «-мерному шару Dn = {и: v ^ Mpt ||и||&1}. Согласно разд. 5.3, ехрр сюръективно отображает W на М, причем ехрр \w\Cp есть дифференцируемое вложение, но ехр |Ср не инъективно. Функция s: S"~i->R, вообще говоря, не дифференцируема, так что Ср не является дифференцируемым подмногообризием Мр (даже в случае, когда ехрр имеет максимальный ранг везде на Ср, как можно показать на соответствующем примере).

Из только что приведенных рассуждений, между прочим, следует, что любое «-мерное компактное дифференцируемое многообразие можно получить из «-мерного шара с помощью надлежащего отождествления граничных точек.

Замечания

Для р^ М множество раздела Ср в Мр ограничивает максимальную связную окрестность №\Ср точки 0 в Мр, обладающую тем свойством, что каждый луч, соединяющий 0 с и ^ W\Cpt переходит при отображении ехрр в единственную кратчайшую геодезическую М, соединяющую р с ехр и.

Образ каждого исходящего из 0 луча в Мр, пересекающий Ср, встречается в некоторой точке после Ср с более короткой исходящей из р геодезической, как это видно из теоремы Хопфа —— Ринова, Этим объясняется термин „множество раздела**, применяемый к Ср и С (р).

Первое сопряженное множество ехрр в Мр (см. замечание (v) разд. 4.3) характеризуется более слабым условием: каждый исходящий из 0 луч ф и Мр, не пересекающий первого сопряженного множества, переходит при отображении ехрр в геодезическую ехр ° ф, которая короче всех достаточно близких к ней кусочно дифференцируемых путей с теми же концами р, ехр〃. Луч ф пересекает Ср не раньше, чем первое сопряженное множество ехрр. Как видно на примерах, первое сопряженное множество может совпадать с Ср; каждое из этих множеств может оказаться пустым.

Можно показать, что на любом компактном дифференцируемом многообразии М, не гомеоморфном S?, можно ввести такую риманову структуру, что для некоторой точки р множество раздела Ср и сопряженное множество ехрр в Мр не имеют общих точек; это значит, что экспоненциальное отображение ехрр имеет везде на Ср максимальный ранг (см. Weinstein A., The cut locus and conjugate locus of a Riemannian manifold. Thesis, University of California (1966), Berkeley). Если же M гомеоморфно S?, то по одной теореме Мейерса, для любого р^М множество раздела содержит по крайней мере одну критическую точку ехрр. Дальнейшее изучение сопряженных множеств, в частности глобальные результаты, можно найти, например, в работах: Warner F. W., The conjugate locus of a Riemannian Manifold、Am. J. Math., 87 (1965), 575 — 604 и Warner F. W., Conjugate loci of constant order, Ann. of Math., 86 (1967), 192-212.

Если M компактно, то структура множества раздела Ср(= Мр известна в том смысле, что Ср всегда гомеоморфно S”】и ограничивает звездообразную окрестность точки 0 в Мр, как было указано выше. О множестве раздела С(р) = ехр (Ср) <= М известно очень мало (см. замечание (iii)). При dimM = 2 удалось выяснить локальное строение С (р), а именно С(р) является одномерным полиэдром, т. е. линейным графом (см. Mayers S., Connections between differential geometry and topology I, Duke Math. J., 1 (1935), 376-391).

Покажем, что q ^C(p} в точности в том случае, когда р^С(д). Для этого рассмотрим кратчайшую нормальную геодезическую с: [0, р]—> Л1 с началом р и концом д. Если р — не сопряженная точка с, то существует отличная от с нормальная геодезическая с той же длины, с тем же началом и концом (см.

доказательство леммы). Если же р — сопряженная точка с, то утверждение следует из замечания (iv) разд. 4.3 и замечания (i) этого раздела.

Покажите, что множество раздела С(р)иМ в случае компактного М есть строгий деформационный ретракт множества Mt = М \ {р}, т. е. существует непрерывное отображение Н: М*Х X / М* (/ =【0, I), такое, что Н (q, 0) = g, Н (q, 1) ^С (р) для всех q RM* и Н (q, t) = q для всех q ^С (р), t±L При этой ретракции М^ стягивается в С(р) по исходящим из р геодезическим. В частности, М* и С(р) гомотопически эквивалентны (см. разд. 7.6).

Пусть М — связное риманово многообразие (не обязательно полное) с функцией расстояния р. Построим функцию a: Af->R следующим образом. При р^ М значение а(р) есть точная верхняя граница всех таких чисел е>0, для которых открытый шар 77е радиуса е с центром в 0 ^ Мр принадлежит области определения ехрр. Покажем, что а(р) непрерывна.

Достаточно проверить, что при р^ М и q ^ Ва(р)(р) выполнено неравенство a(g)>a(p) — р(р, е). Непрерывность а получается после этого так же, как непрерывность радиуса выпуклости в разд. 5.2. Пусть U6 — открытый шар радиуса 6 в 乂卩 с центром в 0. Область определения ехр^ открыта; поэтому множество А тех чисел S, для которых ехр^ определено на U& есть непустой открытый интервал с началом 0. Остается показать, что Л замкнуто в (0, а (р) — р (р, е)). Пусть для некоторого 6^(0, а (р) — р (р, д)) отображение ехр^ определено на “. Тогда прежде всего 瓦(д) принадлежит шару радиуса р(р, д) + 6 Va(p) с центром в р, замыкание которого по лемме из разд. 5.3 компактно; значит, и &(е) компактно. Рассмотрим для и ge Mpt || и || = 1 луч Если %f，/v<6, то exp (%。)есть последовательность Коши в Вб(е), сходящаяся в М, так как Вй (q) компактно. Далее, как в доказательстве теоремы Хопфа — Ринова, показываем, что максимальный интегральный путь Фо геодезической струн, для которого ①& (0) = 0, определен в точке S, а тем самым ехр^ определено в точке 8и. Итак, непрерывность а(р) доказана. Если inf а(р)>0, то М полно, и а (р) = оо для всех р 三 М. Если М не полно, то и в этом случае можно определить функцию s: Т^М-* R, но s уже не обязательно непрерывна. Покажите, что отображение

R, ставящее в соответствие точке р ее радиус инъективности 處，непрерывно для любого М.

ЛИТЕРАТУРА к § 5

Бишоп Р. и Криттенден Р., Геометрия многообразий, М., 1967.

Kobayashi S. and N о m i z u K-> Foundations of differential geometry, 1, Interscience Publishers (1963), New York — London.

Теоремы сравнения

Теорема сравнения индексов

В дальнейшем в центре нашего внимания будут находиться связи между кривизной и топологическими свойствами полных римановых многообразий. Во всех применявшихся до сих пор подходах к этой проблеме решающим шагом была ее релятивизация, а именно, пользуясь соотношениями между кривизнами, сравнивают соответствующие дифференциально-геометрические или топологические свойства двух римановых многообразий, а затем, выбирая в качестве одного из них стандартное простг ранство, например одну из моделей пространства постоянной кривизны, применяют различные конструкции в этих хорошо изученных пространствах.

Полученные таким образом результаты естественно называть теоремами сравнения, они приобрели самостоятельное значение в римановой геометрии. В этом параграфе излагаются некоторые важные теоремы сравнения. В их доказательствах существенную роль играет теория краевых задач и теоремы сравнения для полей Якоби, обобщающие классическую теорию Штурма — Лиувилля для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

В этом параграфе везде рассматриваются римановы многообразия одной и той же размерности м》2 с .линейной связностью Леви-Чивита.

Пусть М — риманово многообразие, с: / f М — нормальная геодезическая. Обозначим через G^f, / е /, множество всех двумерных линейных подпространств а е Мс（/）, для которых с（/） е а; положим С = （J G%t・ Пусть теперь М, М — римановы многообразия равной размерности п; с: [0, р] —► М; с: [0, р] —► М — нормальные геодезические; i: Mc（q）-^Mg（Q）— линейное изометрическое отображение, причем ic （0） = с （0）. Построим для всех / е [0, р] отображение

①％ f： Мс⑴f 海⑴ （1）

следующим образом: вектор и^ Мс（/） параллельно переносится вдоль с в точку Мс（о）, затем отображается с помощью i в Meioj

и, наконец, параллельно переносится вдоль с в точку с (/). Тогда при любом / е 7 отображение Фь^ есть линейная изометрия. Построение Ф1Л по заданному t можно изобразить в виде коммутативной диаграммы, где значок || означает параллельное перенесение:

Мс^—^> Mc{t)

Теорема

Усл. М,府—римановы многообразия равной размерности п; с: [О, В]-> М; 2: [0, р] -> Л4 — нормальные геодезические. Кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль V, т. е. существует такая линейная изометрия i: Мс^)= Ms^, что для всех, / ^ [0, р], и 巨 G%t выполнено неравенство

KZKu,(2)

где & = а\, "о)и G5tt^

Утв. Для индексов (квазииндексов) с и с справедливы неравенства

Ind с Ind с, Indoc Indoc.(3)

Док. Рассмотрим векторные R-пространства 3%, 3% ортогональных к су с кусочно гладких векторных полей вдоль с,乙 Тогда формула (ФХ^ = ФtXt (XwS%), где мы для краткости опустили индекс L, задает отображение

Ф：吗-> 观，⑷

причем Ф переводит дифференцируемые векторные поля вдоль с в дифференцируемые векторные поля вдоль V. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить вдоль с 传)параллельные векторные поля Zf (/) (Zi (/)), для которых Zf(O) = Uj образуют ортонормиро- ванный базис Мс(0), Zf (0) = vf образуют ортонормированный базис Мс(о)и 1力=vh где z = 1, ..., п. Тогда из разложения Х = ? ^Z^ ф( =〈X, Z》следует

①X = £ ф%.(5)

f = i

Ясно также, что Ф есть изоморфизм векторных пространств 猊 и %£, при этом равенство 〈X, V〉=〈①^, ФУ) выполняется для всех X, У 三沿么 Далее, из (5) имеем

Ф(Г) = (ФХ)\(6)

Покажем, что индексные формы удовлетворяют неравенству

/ (X, X) > / (①X,①X), X w 沿](7)

В самом деле, обозначая через R, R тензоры кривизны М,后, имеем при X (/) = О

《R (Х, г) г, х〉I尸(Л (ФХ,力 г,①х〉|, = о.

Если же X (/) =# 0, то в силу (16) разд. 3.6 имеем

〈R(X")г, х〉|/=^(X, г)〈х, х〉|, &к(① х, А〈① х,①х〉q

=〈反(① x, g) ?,① x〉L Но тогда, согласно (6), получаем'

/ (X, X) = J «Г, X，〉—〈R (X, О с, X〉)I, dt >

В

> 卜<(①ху,(①ху〉一〈R (①x, e) i,①Х〉) 1@ = /(①X,①X). ⑻ 0

Рассмотрим теперь подпространство 53； векторных полей X巨沿二 для которых Х(0) = Х(8) = 0, и соответствующее подпространство 53? и 53；. Тогда ①53；=圆2 н ① |沿么 есть изоморфизм. Пусть 4и53； — подпространство максимальной размерности, на котором индексная форма / отрицательно (соответственно неположительно) определена. Тогда Ф (А) с= 53^ — подпространство той же размерности, что Л, и в силу (7) форма / отрицательно (неположительно) определена на Ф (Л), что и доказывает неравенства (3).

Теорему можно формулировать также следующим образом: если кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль с, то (см. теорему об индексе в разд. 4.6) число сопряженных точек вдоль с, считая каждую с ее кратностью, не больше соответствующего числа для с. В частности, первая сопряженная точка на с появляется не раньше, чем на с.

62 Теорема сравнения Морса — Шенберга

Применяя соображения, изложенные в разд. 6.1, к случаю, когда второе из многообразий М, М — сфера, приходим к следующей теореме.

Теорема (М. Морс, И. Шенберг)

Усл. М — риманово многообразие размерности п; с: [0, 0]->М — нормальная геодезическая,”

Утв.Утв.Если Ко《А(А>0) для всех а е Gc u L {с) < (v + 1)

Утв.

Утв.

соответственно L (с) ^ (v +' 1) —^ , где v ^ 0 — целое число^ то Ind с & Indo,《夕(?г — 1), соответственно Ind(? ^ v (п — 1);

если L(c)V^^, то на с нет сопряженных точек.

(а‘) Если для всех и 三 G^ выполняется Ko《0, то на с нет сопряженных точек, Ind с = Ind0 с = Q,

соответсоответЕсли О 乂 >0 для всех о ^ Gc и L {с)^

соответ

соответ

ственно L(с)>~= , где v ^ 1 — целое число, то Indo，》

^v(n— 1), соответственно Ind0(?^ Ind(?^v(n— 1), причем на с существует по крайней мере одна сопряженная точка 8 интервале (0, р], соответственно 8 (О, В),

Док. Согласно замечанию (i) разд. 4.6, для нормальной геодезической с: [0, ₽] -> Sp имеем

Indc = v(/x— 1) при vnp<₽^(v + 1)лр,Indoc = v(/i— 1) при vnp ^₽< (v + 1) яр,

где v^ 0 —целое число.

Для доказательства (а) рассмотрим S\ с постоянной кривизной, равной 入(см. разд. 3.6).丿入

Если с: [0, р]-> S\ — нормальная геодезическая, то Indo^《

《夕仇一1),《夕仇一1),соответственносоответственноInd с ^ V (п — 1),Ind с ^ V (п — 1),при ₽<(v4- 1)力при ₽<(v4- 1)力

《夕仇一1),

《夕仇一1),

соответственно

соответственно

Ind с ^ V (п — 1),

Ind с ^ V (п — 1),

при ₽<(v4- 1)力

при ₽<(v4- 1)力

соответственно ₽^(v + 1)соответственно ₽^(v + 1)FT'FT'и утверждение (а) следует из тео

соответственно ₽^(v + 1)

соответственно ₽^(v + 1)

FT'

FT'

ремы разд. 6.1.

Утверждение (а‘)непосредственно вытекает из (а), так как в этом случае можно взять Z > 0 сколь угодно малым.

Для доказательства (Ь) рассмотрим сферу S'〔 постоянной

кривизны х. Если с: [0, §]-> S'i — нормальная геодезическая, то

Indoc^ V (п— 1), соответственно Indc^v(n— 1), при 卩戸也一^, Их

соответственно p>v и утверждение снова получается из

теоремы разд. 6.1, в которой надо поменять местами 雨，М.

Пусть с: [0, ₽] -> М — нормальная геодезическая и при всех и w Gc 0Vy《Ko《儿 Если на с есть сопряженные точки

это верно при L(c)》t^^), то, обозначая через 乙 w (0,团]пер-

вую сопряженную точку с, получаем из (а) и (Ь):

⑴

Эточемная нойЭточемная нойзначмт, что если кривизна М вдоль с не меньше (не больше), у сферы S£ постоянной кривизны 表，то первая сопряжен- точка на с появляется не позже (не раньше), чем на нормаль- геодезической Sp. Ясно, что неравенства предыдущей теоремы

Это

чем

ная ной

Это

чем

ная ной

в общем случае не могут быть усилены.

Замечания

(i) Пусть М. — риманово многообразие размерности п; с: [0, р]-> М — нормальная геодезическая. Обозначим через г (^) (t ^ [0, р]) кривизну Риччи многообразия М в точке c(f) в направлении единичного вектора 6(f) (см. разд. 3.6). Тогда, как заметил Мейерс, можно доказать следующее предложение, аналогичное утверждению (Ь) теоремы Морса — Шенберга:

если г (/)》(九一1) 乂 > 0 для всех t w [0, §], то при L (с)》w

(V ^ 1 — целое число) имеет место неравенство Ind0 с ^ v, а при Л (с) > V -—=• — неравенство Ind0 с》Ind с》w. В силу замечания (iii) разд. 4.4 и теоремы об индексе достаточно показать, что если 乙, 芍三[0, в],乙V/2 m 勾一乙=^^，то с Iв 働 содержит по крайней мере одну сопряженную точку. Поэтому можно ограничиться случаем В = —^. Согласно теореме из разд. 4.5, достаточно проверить, что индексная форма / не положительно определена на векторном пространстве 咚

Построим ортонормированные поля Zi, ..., Z^—iwSSc и определим ПОЛЯ Xi w К по формуле X» (0 = sin ^х Z,(f) (1 Qi《九一1). Тогда получаем

п —1п —1п— 1 В

п —1

п —1

工八尤，Xj =工 J (x cos21 /x - sin2 / U^〈R (Z,・，c) c, Z» D dt =

/=1Q

=J ((n — l)x cos21 У% —rt sin21 ]/x) dt ^ 0

^(n — l)x [ (cos21 V^ —sin2 f y%)dt = (n — l)x [ cos 2f Y^dt = 0, 06

Следовательно, для некоторого i должно быть I (Х“ XJ ^0.

6・3・ Теорема сравнения Рауха

Опираясь на соотношения между кривизнами, можно сравнивать поля Якоби по их длине.

Теорема (Г, Е. Раух)

Усл. М, М — римановы многообразия равной размерности^ с： [0, р] М, с: [0, р] -> Л1 — нормальные геодезические] Y, У — поля Якоби вдоль с, 5, удовлетворяющие условиям У (0) = 0, Р (0) = 0,〈V, е〉1о =〈匕 5>h = 0, II Г(0)11 = П，(0)1|. с не имеет сопряженных точек в (0, р).

Утв. Если кривизна М вдоль с не больше кривизны М вдоль с, т. в. KuWKg для всех а е GCtii GRG^*f(fR[0, р]), то

П(011>П(011 (/巨[0, р])・⑴

Эта теорема содержится в работе Rauch Н. F., Л contribution to Riemannian geometry in the large, Ann. of Math., 54 (1951), 38 — 55. В случае dim Л1 = 2 теорема Рауха сводится к классической теореме сравнения Штурма для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (см. замечание (iii) разд. 4.2). Заметим, что неравенство (1) после первой сопряженной точки с может нарушиться.

Следствие

Усл. М, М — как в теореме^ р^ М; р ^ М^ i: Мр-^ Мр — линейная изометрия. Векторы и е МР9 ш е Мр принадлежат области определенияехрр, соответственно ехр^. Лучи qp: [0,р]-> f Мр, @： [0, р]->Л1р(р = || и^) заданы формулами ф(/)= =f〃/B，ф (i) = iqp (/); нормальные геодезические — формулами с = ехрр。①，不=ехрд。ф.

Утв. Если ^ не имеет сопряженных точек в (0, 0), т. е. в образе луча ф только ф(р) может быть критической точкой ехрр, 〃 если К。《Ко для всех а е GCtii а е G^ /, / е [0,同,то для всех b 三(Мр). выполняется неравенство

II ехрр*6 II > II ехр“/1|.(2)

Док. Предположим, как обычно, что на Мр, М^ введена каноническая метрика.

Если 〃 = 0 н, таким образом, 6 е (Л1р)0, то ехрр山=/丁(匕)и ехррл*6 = I^t^b, откуда ||ехрр+6 II = || b II = || exp^i/ ||. Пусть теперь и #= 0 и 6 е (Мр)и. Согласно лемме Гаусса (см. разд. 4.4), достаточно рассмотреть случай, когда 〈% /斗〃〉=0, Построим поля

Якоби Y, У вдоль & с, удовлетворяющие условиям У (0) = 0, 卜(0) = /丁信)，К (0) = 0, Г (0) = 7^(1.|). В силу (1) разд. 4.3 для / w [0, р] имеем

У «) = ехр。*(4), у (0 = expo* 卜/ I"),(3)

причем 〈У', @〉Ь = 0, (F, е〉Ь = О・ Так как с не имеет сопряженных точек на (0, р), (2) получается из (1) и (3) при / = р.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем важное геометрическое приложение. Пусть М, М — римановы многообразия равной размерности; pwAf; р^ М; i: Мр->Мр — линейная изометрия. Рассмотрим на компактном интервале такой кусочно дифференцируемый путь *ф: J->МР, что образы 巾 н i。屮=樓 принадлежат, соответственно, областям определения ехрр, ехр万. Пусть ехрр имеет максимальный ранг на звездообразном множестве {蟀(sj： /®[0, 1), sw/}・ Тогда выполняется неравенство

L(exppoi|>)>L(exppO^),⑷

если Ко < Кз для всех о 三 G«,打 G w GSs, h f w [0, %], s w /, где 叁，以：[0, §Jf AI, M — нормальные геодезические, заданные формулами q (f) = ехрр « 2『),cs = ехрд 卜 ^⑹)• В самом деле, достаточно доказать (4) для дифференцируемого пути 屮・ По опре-

^^^

делению длины пути надо показать, что || ехрр。屮(s) ||》||ехр/。吨⑸ ||, а это равносильно неравенству

II ехрр*。巾(s)|| > И ехрр*。屮(s) || (s w /),

и поэтому следует из (2). Меняя местами М и М, получаем

L (ехрр。屮)《£ (ехр®。樓)，если Ku》Ku(5)

для тех же о, а, что и в (4).

Неравенства (4), (5) выражают геометрический смысл теоремы Рауха: если отождествить Мр с Мр при помощи линейной изометрии, то один и тот же путь в Мр переходит при отображении ехрр в более длинный путь на том из многообразий, кривизна которого меньше. Как это видно на примере сфер разных радиусов, такое соотношение может нарушиться вне некоторой окрестности р.

Доказательство теоремы. Согласно разд. 4.2, имеем (У, d〉= =(У, с) = 0. Если У = 0, то вследствие условия || Yf (0) II = || У^ (0) (| имеем У = 0, и утверждение теоремы становится дчевидным.

Итак, пусть У — ненулевое поле. Зафиксируем %е(0, р) и построим параллельные поля X, X вдоль с, с, удовлетворяющие условиям Х(/()) = У (%), %(幻=沙(幻・ Поскольку % не является

Рис. 2.

сопряженной точкой с по условию, а по теореме Морса — Шенберга — также и сопряженной точкой с, то Р(%)方 О, У (^0) =/= 0. Тогда существует такая линейная изометрия i: Мс^)-* Мсф), для которой it? (0) = с (0) и I [ *(°)—)=—/ ⑼ . Как и в разд. 6.1, Р」 皿⑼ II 丿 11X(0)11、

изометрия I определяет изоморфизм векторных пространств Ф: 23；23g Далее, построим, как и в разд. 4.3, поле Якоби Z вдоль с, удовлетворяющее условиям Z(0) = 0, Z(£()) = (①У)%. По построению I поля Z(%), Z(%) линейно зависимы, следовательно, поля У, Z линейно зависимы (над R), откуда

?〈z,z〉修*, z〉|；/;山

⑴，力欣'

и тем самым

〈Z, 7〉％ G,力 ％ =〈z, z〉L〈K 勿〉％.

Так как〈Z, Z〉|力=〈①У,①у〉％ =〈у, У〉|力，получаем

〈Z, z，〉L〈P, У〉|：=〈у, У〉|：〈Р, Г) L,⑹

С другой стороны, как мы покажем, выполняется неравенство

〈У, X〉L》〈Z, 7〉|纣⑺

Действительно, для с0 = с |[0 切，с0 ="1[0, /о] имеем вследствие (7) разд. 6.1

〈У，У'〉「/(У1с°，УIJ2 / (①У к，①У1/ а из (5) разд. 4.5

/®У%，①y%)》/(z%，z%)=〈z, Z，〉|“，

(8)(8)Да-Да-(9)(9)Так как У, теоремы.ЗамечанияТак как У, теоремы.ЗамечанияУУнепрерывны в [0, р], из (9) следует утверждениенепрерывны в [0, р], из (9) следует утверждение

(8)

(8)

Да-

Да-

(9)

(9)

Так как У, теоремы.

Замечания

Так как У, теоремы.

Замечания

У

У

непрерывны в [0, р], из (9) следует утверждение

непрерывны в [0, р], из (9) следует утверждение

поскольку на с0 нет сопряженных точек. Так как 小三(0, 0) произвольно, то, сравнивая ⑹ и (7), получаем

D 52]》0

для t 三(0, р]. Поэтому отношение -^уу не убывает в (0, р). лее, дважды применив правило Лопиталя, найдем предел

lim= lim乌)2k+竺JR="出世，

―0 亿 У〉I, so 亿 y")I, +〈匕『〉1(IIf (0) II2

откуда, сопоставляя с (8), имеем

卫旦|=1W》1 (У(0,В))・

亿 У〉If IIУ (О II2

Докажите с помощью (2) следующую теорему. Пусть М, М — римановы многообразия равной размерности и одинаковой постоянной римановой кривизны; тогда М, М локально изометричны, .т. е. для любых точек р^ М, р ^ М существует изометрия f: 7 -> 7, где 7, V — некоторые окрестности р, р ^ М, М. Для доказательства постройте линейную изометрию i： Мр^ Мр и положите f = ехр/。I oexp^i |у, где окрестность V достаточно мала. Заметим, что при тех же условиях, вообще говоря, не существует глобальной изометрии М п М, даже если оба многообразия полны; это видно на примере М = Rn, М = Гп, где Гп —n-мерный тор, метрика которого индуцируется стандартной метрикой S】(см. по этому поводу § 7). ■

Рассмотрим в этой связи еще раз риманово многообразие М с параллельным тензором кривизны R, т. е. для которого VR = 0, и покажем, что М локально симметрично (см. замечание (vii) разд. 3,6).

У (0) = 0. Отсюда Ут = ("*У)£ (t е (— е, е)), и из замечанияУ (0) = 0. Отсюда Ут = ("*У)£ (t е (— е, е)), и из замечанияПусть р^М и I： Мр-^Мр — изометрия вида iu= —и. Для достаточно малого е>0 изометрия i* = ехр.。i。ехр,"§()есть, как мы покажем, изометрия открытого шара Вг(р) на себя. В самом деле, из леммы разд. 4.3 следует, что для каждой нормальной геодезической с: (— е, е) -> М, с(0) = р, вместе с полем Якоби У вдоль с поле ip*V также является полем Якоби вдоль с, если

У (0) = 0. Отсюда Ут = ("*У)£ (t е (— е, е)), и из замечания

У (0) = 0. Отсюда Ут = ("*У)£ (t е (— е, е)), и из замечания

,по,поразд. 4.2 вытекает изометричность "声厶 при всех q 三 BJp)

,по

,по

скольку при условии V/? = 0 поля Якоби явно выражаются через параллельные поля вдоль с. Если М полно и односвязно, то,

объединяя предыдущие рассуждения с простыми топологическими соображениями (см. замечание (v) разд. 1.7), приходим к классической теореме Э. Картана, согласно которой для такого многообразия из локальной симметричности вытекает глобальная (см. замечание (vi) разд. 3.6, а также замечание (iii) разд. 7.3).

Р и с. 3,Р и с. 3,6.4. Теорема Топоногова о сравнении углов

Р и с. 3,

Р и с. 3,

На теореме сравнения Рауха основан очень сильный глобаль? ный результат об углах треугольника в полном римановом многообразии. Напомним сначала замечание (iii) разд. 3.6. Как там. было отмечено, избыток достаточно малого геодезического треугольника на М по существу определяется римановой кривизной М. Оказывается, что этот результат в известном смысле может быть распространен на треугольники любых размеров, а также уточнен: вместо суммы углов треугольника можно оценить каждый угол в отдельности.

Пусть М — связное риманово многообразие с функцией расстояния р, для краткости расстояние р(р, q) между точками р, g w М мы^будем обозначать также через pq.

Рассмотрим попарно различные точки pi^ М (/= 0, 1, 2) и кратчайшие геодезические 3： [0, 1]-> М с началом р〔 и концом 卩2； 3： [0, 1] -> Л! с началом р2 и концом 「о；[0, 1] -> М с нача

лом ро и концом б. Для краткости мы будем записывать концы q: [О, 1]->М в виде Cj (0) = pz+I, юдятся по модулю три, тогда (3, с” з) называется треугольни

S ⑴=Pi+2，где и ндексы 丄力.Тоойк;S ⑴=Pi+2，где и ндексы 丄力.Тоойк;ком в Л1 со сторонами с^ вершинами pz и углами у； = л — ^(cf+I(l), &-i(0))w[0, л] при вершинах 内(рис. 3). Таким образом, yf суть углы, дополнительные к углам пересечения сторон в соответ-

S ⑴=Pi+2，где и ндексы 丄力.Тоойк;

S ⑴=Pi+2，где и ндексы 丄力.Тоойк;

ствующих вершинах рР

Очевидно, выполнено неравенство треугольника

L(q) + L(Cj+i)》L(Cj+2)・(О

Если в (1) имеет место равенство, то %+2 =冗・ В самом деле, при Yi+2 啜几 композиция путей Q, а+1 не может быть кратчайшим путем, соединяющим pi+[ с р「 Заметим, что в случае 丫1+2 =几 углы уь Yj+i могут быть отличны от нуля, как это, например, видно в случае треугольника △ на 5р, у которого ^+2~ полуме-

р иди ан. Далее, 丫±+2 =几 не обязательно влечет за собой равенство в (1) (соответствующие примеры легко построить на сфере или на цилиндре). Композиция q, q, с2 ~ кусочно дифференцируемый замкнутый путь в М; если при этом м+2=/=0, то композиция путей &, с”】一инъективный путь. Если же yi+2 = 0, то либо Yi+i = 0, Yi = л, либо Yt+i = л» Yi = 0, и все вершины треугольника △ расположены на образе самой длинной его стороны.

Если М полно, то для любых трех попарно различных точек р0, Pi, р2 существует треугольник △ с вершинами в этих точках. Может существовать много различных треугольников с заданными вершинами; например, на Sp можно в качестве двух из вершин взять северный и южный полюсы. Поэтому в ряде случаев для задания треугольника приходится указывать не только его вершины, но и стороны.

В следующей теореме углы треугольника в полном римановом многообразии неотрицательной кривизны сравниваются с углами треугольника на сфере или в евклидовом пространстве с теми же длинами сторон.

Теорема (В. А. Топоногов)

Усл. М — полное риманово многообразие размерности л^ 2; Ко》£》0 для всех касательных к М двумерных плоскостей о; △=(%, q, с2) ~ треугольник в М с углами Yo> Yi，y2.

Утв. Если х>0 (乂》0), то существует треугольник, △ = (с0, сь с2) в М = Sn I (соответственно в M = R“)с углами Vo> Yn 6, для которого

L{c^ = L^⑵

где i = 0, 1, 2.

Для случая, когда М — двумерное риманово многообразие, гомеоморфное S2, эта теорема была впервые доказана А. Д. Александровым (Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, 1948). В общем случае теорема была доказана В. А. Топоноговым (Свойство выпуклости римановых пространств положительной кривизны, ДАН СССР, 115, № 4 (1957); Римановы, пространства кривизны^ ограниченной снизу положительным числом, ДАН СССР, 120, № 4 (1958); Римановы пространства кривизны,^ ограниченной снизу, УМН, XIV, № 1 (85), 1959). См. также Berger М., An extension of Ranch's metric comparison theorem and some applications, Illinois J. of Math., 6 (1962), 700—712. Первоначальное доказательство Топоногова, некоторые идеи которого исходят от А. Д. Александрова, в существенном месте (в нашем изложении пункт (Ь)) наталкивается на трудность, которая обходится ценой серьезного усложнения исходной конструк-

ии. Мы следуем методу Топоногова, с некоторыми видоизменениями, позволяющими сократить доказательство.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем к ней некоторые замечания и отметим простейшие следствия. Ясно, что треугольник △ принадлежит двумерному вполне геодезическому подмногообразию Nu 宙，изометрически диффеоморфному S? i

(соответственно R2), так как все кратчайшие в N являются также кратчайшими в М (см. замечание (iii) разд. 5.1). Поэтому можно было бы равносильным образом формулировать теорему, считая △ треугольником в S2 i (соответственно в R2). Пусть 乂 >0. В силу (2)

имеем 0 <. Согласно теореме косинусов сферической

тригонометрии, углы aj = Уи L (с；) связаны с 科 соотношением

cos。］ = cos&i+i cosa»+2 + sina；+i sinа^+2cos斤厶 (4)

Покажем прежде всего, что L(c^ + 厶(詳+i) + 厶(以+2)&-т^ • В самом Их

деле, если Ис^<~=г « = 0,1,2) и по крайней мере один из углов уг < л, то мы построим в S2 1 треугольник строго большего

периметра,периметра,чем △, одна из сторон которого имеет длину —?L-.

периметра,

периметра,

А именно, предполагая, что 生 <冗,„продолжим44 &+】за вер

шину 瓦д0шину 瓦д0точки 瓦 так, чтобы было р(瓦十?,网尸声г, и рассмо-

шину 瓦д0

шину 瓦д0

трим на S2 1 треугольник с вершинами 而，瓦+乂 pi+^ Так как для этого треугольника 厶(*+i) = -p^, то из (4) следует cos/ = =—cosaj+2, откуда 厶传J +厶(頂+2)= ^^, и мы получаем требуе-

мую оценку для периметрамую оценку для периметра△ . Остается рассмотреть случай,

мую оценку для периметра

мую оценку для периметра

когда Yo= Yi = 72 = л- В этом случае композиция 2°, сь с2 совме-

,т. е. периодической геодезической,т. е. периодической геодезическойщена с большим кругом S? i

,т. е. периодической геодезической

,т. е. периодической геодезической

длины —.

В силу (2) и (3) получаем оценку периметра треугольника в М:

21T厶©)+2+№)F21T厶©)+2+№)F(5)(5)

21T

厶©)+2+№)F

21T

厶©)+2+№)F

(5)

(5)

Из предыдущего рассуждения видно, что равенство в (5) достигается лишь в двух случаях: (а) для одной из сторон q выполняется L(c) = —и тогда 丫『=冗(в этом случае △ есть „геодезический двуугольник*4, составленный из двух кратчайших равной длины —^); (Ь) имеет место равенство 丫()= 丫1 = 丫2 =冗,в этом случае △ совмещен с периодической геодезической длины —т=г.

⑹⑹⑺⑺В силу (5) для любых точек р, q, rwM имеем р (р, е) + р (е, г) + р к р) &•

⑹

⑹

⑺

⑺

Из (2), (3) и (4) следует

cos 的》cos %] cos а* + sin %i sin 矶2 cos 丫厶

где @[ = ]/乂 L(cJ=]/乂 L("J・ Из (7) видно, в частности, что

если L{ci+^^~, L{ci+^-~^ и Yw&^, то Л(с；)^у^；

”"(8)

если 乙(Q+J& 2，,^ , А(с;+2) ~2Ук н Yi^y > то L(c^ ^ ^^―.

Пусть 乂》0. Положим 匕^ = L (3) = L (с). По теореме косинусов прямолинейной тригонометрии b； = b]+i + &；+2 — 2&i+i&^+2 cos 号^ и из (3) следует

龙《戍+1 + 区+2 — 2九+也+2 cos ". (9)

Лемма 1

Усл. М — риманово многообразие} А — компактное подмножество М; е>0 выбрано таким образом, что дл凡 каждой точки q ^ А замкнутый шар Uq,&u Mq с центром в G^ Mq радиуса е принадлежит области определения ехр^.

Утв, Существует такое число ^>0, что для q ^ At d ge (0, е] и любого кусочно дифференцируемого пути 屮：[а； р] —> Uq, б I L (ехр。屮)一 L (屮)I《廿分l 仲).(10)

Неравенство (10) дает равномерную относительно q ^ А оценку изменения длины путей Mq при отображении ехр^, если задано их расстояние от 0 w Мр.

Док. Пусть q^A, 6^(0, е], 〃已 U^uMg, 〃片 0, Y = l|〃ll, v = у и, aw (MgK II a II = 1 и 侬=/『1 (а) (следовательно, || ⑫ || = 1). Согласно (1) разд. 4.3, вдоль нормальной геодезической [0, у]—>М,

заданной формулой /->exp(/v), определено поле Якоби Yvw(f)= = ^q<t(tltv (aw)), причем Yvw (0) = 0, Y^w (0) = w и Yvw(x) = expq4ya). Из (1) разд. 4.2 сразу же следует, что D (Yvw, У^) |0 = =£)з〈％加 у。©〉卜=о. Так как, далее, <У^, У»») |0 = II aw 1|2 = 1, то по формуле Тейлора

(Xvwy V^\y =，^ Л^-^ DA(У vw,几陋〉卜丫，

где 仆 ^(0, I).

Так как

丫2〈ехр/ а, ехр/ а〉=〈几加 几陋〉|Y, отсюда получается

eXр户а |р 一 1 =器IЛ(九陋,几陋〉匾.

Отображение (и, w, £)—>^£И〈у&®, 丫皆陋〉|力 непрерывно на компактном множестве

{(и, w, £)三 ТМХ ТМ X [0, е], л (и)=几侬)三 Л, || и || = || 5 11= 1} и принимает на нем наибольшее значение й (см. доказательство теоремы из разд. 5.2).

Так как 丫三(0, б), имеем

|||expg*a|p— 1 Кб2^, IIIехр,*а ||- 1 | &仇

II ex%* а II 十 1

Поэтому для любого 匕三的就 справедливо неравенство

|||ехр^ ||-||6|||<д2й||6||,(II)

в частности 11| ехр^* ^ (s) || —1| -ф (s) || | < 62й || -ф (s) || для всех з ^ [а, р], откуда непосредственно следует (10).

Приведем два простых следствия из леммы 1.

* Пусть М — риманово многообразие с функцией расстояния р, р 三府 н qv — последовательность точек М, сходящаяся к р. Если векторы 〃仍 ％三此卄 принадлежат области определения ехр и сходятся в ТМ к 0 ^Мр, то, как мы покажем, существует такая последовательность действительных чисел t]v, стремящаяся к нулю, что

(12)(12)гдегдер (ехр (%), ехр (%)) = J % 一 ％ II +、％,

(12)

(12)

где

где

6V= max(|| uv||, И wv||).

Обозначим через Л объединение всех точек qv и точки р, очевидно, множество Л компактно. Поэтому существует такое е>0, что для каждого v отображения ехрд^ определено на замкнутом

шаре UVtEcz Mqv радиуса е с центром в。^〃《旷 и диффеоморфно отображает UVtR на сильно выпуклый шар Bv>e с центром в qv (см. разд. 5.2). Для достаточно больших v, очевидно, и» t\ 巨 Пусть q)v — кратчайшая в U* %, соединяющая wv с yv, cv — кратчайшая в 8% %, соединяющая exp (〃J с ехр (%), и x|)v = (exp 归 б )一。％. Так как L (q)v) ^ L (x|)v), L (exp »<pv) ^ Л (exp о x|)v), из (10) следует

I L (exp。也)一 £ (%)区咿上仲 J(13)

Наконец, lim £(%) = 0, откуда lim £(г|\) = 0, и из (13) получаем (12). V->ooV->oo

Важным шагом к доказательству теоремы является следующая лемма, представляющая и самостоятельный геометрический интерес.

Лемма 2

Усл. М — полное риманово многообразие с функцией расстояния р; р, q、г — различные точки в М\ Ь, с: [0, 1 ] —> Л4 — кратчайшие геодезические, соединяющие per, соответственно р с q, причем г не принадлежит образу с; «旷一последовательность точек в образе с, сходящаяся к р, q#P； &v： [0, l]f М — кратчайшая геодезическая, соединяющая q、с г; а — угол пересечения b с с в точке р; gv — угол пересечения av с с в точке 0V.

Утв. Последовательность 自九 сходится, и предел а = lim 自旷 удо- V->oo влетворяет неравенству а ^а.

Док. Если доказать неравенство &&а в предположении, что последовательность 自九 сходится, то отсюда будет следовать общий случай леммы. В самом деле, для двух сходящихся подпоследовательностей a” Wyf &2 можно считать соответствующие кратчайшие а а 〃 сходящимися к некоторым кратчайшим а', соот- ветственно а" (для этого, возможно, придется снова выбрать из них подпоследовательности); а', а" соединяют р с г и образуют в точке р углы а1( а2 с геодезической с. Тогда, считая неравенство &忘а доказанным для сходящихся последовательностей gv, имеем &1&&2 н &2&&1，т. е. 斫=義，что и доказывает лемму в общем случае.

Итак, можно считать, что ^л сходятся. Далее, можно, очевидно, предположить, что геодезические 0V сходятся к кратчайшей геодезической б: [0, 1]—> М, соединяющей р с г, а углы а, а удовлетворяют неравенствам 0 < а < л, 0 < а ^ л； тогда при всех v выполняются неравенства gv< л.

Пусть для некоторого v имеет место pqv<pv< Рг^ тогда существуют точки /v,又，принадлежащие соответственно образам Ь, а”, для которых p/v = psv = pv (см. рис. 4а).——

В основе доказательства леммы лежит неравенство qvtv^qvsVJ которое мы и выведем сначала. Из неравенства треугольника получаем psv + 5vr^ pr ^p/v + t^r, откуда sj》"r. g Другой стороны, имеем qvtv + tvr》q« = qvsv + svr, откуда tj》svr + + 92” 3八，так что s”r》tvr》又r + qvsv — qvtv и, следовательно, qvtv^qvsv. Дальнейшие рассуждения относятся_к „малым** треугольникам pqvtVJ pq、s『 Если pv->0 так, что -~- ->0 (т. е. оба малых треугольника становятся „сколь угодно узкими"), то неравенство а>а несовместимо с только что выведенным неравенством qvtv^qvsVJ поскольку в малых треугольниках соотношения между сторонами и углами почти такие же, как в^рямолинейных.

Исходя из этой идеи, положим qvsv = xpqv, где т>0 — произвольное фиксированное число. Выберем 8>0, как при выводе (12), таким образом, чтобы экспоненциальные отображения exppj expq” диффеоморфно отображали шары U&u М?, и、,&и Mq радиуса 8 с центрами 0 е МР1 0三〃伺 на сильно выпуклые шары в М. Тогда, при достаточно большом v, U* & содержит треугольник (0, 〃屮 ％), для которого exp^(uv) = р, ехрд”(％) = 5”. Из (12) и теоремы косинусов прямолинейной тригонометрии имеем

欣=/^ + 縞-2WV- qvsv cos (л -舗 + 碩％,

где 小 f 0, откуда

P^V = w^ (1 + т2 + 2т cos gv + nv), %f0・(")

Аналогично, применяя (12) и теорему косинусов к треугольнику (0, uVJ 几)в Ug и Мр, для которого ехрр Sv = q” ехрр vv = %, получаем

女=球 + /^ 一 2p/v * pqv cos a + (max (浜屮 图"))2 八，

где fjv->0. Так как pt、= ps、&pq、+q、s、= Q + * pq、、отсюда следует

^Л = P^ + W^ - 2pFvWv COS a + w2n；,《f0.(15)

Теперь используем неравенство q、t、>q、s、, из которого следует q君》dpq%・ Учитывая (14), (15), имеем

<7^/2 = р^(1+t2 + 2tcos^v + t]v) +

+ PQv - 2 砒 Ul +p2 + 2TCOSgv + % cos a + 蕾・或 > ^砒, откуда

1 + т cos ?v — ]/1 + т2 + 2т cos^v + % cos a + 呜》0,「； f 0.

Выполнив предельный переход при v —> оо и разделив на т, приходим к неравенству

三 + cos a — ~^/ 1 + — cos a + cos a》0.(16)

Так *как т > 0 — произвольное число, то можно совершить в (16) предельный переход Tf 8, что дает cos a ^ cos a,五 &a.

Доказательство следующего предложения сводится к простым рассуждениям элементарной геометрии и предоставляется читателю (см. также Rinow W., Die innere Geometrie der metrischen Raume, Springer — Verlag (1961), вторая часть теоремы 2 на стр. 314). Содержание леммы 3 иллюстрируется на рис. 4(6).

Лемма 3

Усл, Обозначим pqs, qrs — треугольники в Sp, соответственно 8 R2, причем pq + qr&rs+sp; przs — треугольник, у которого prf = pq + qr, rfs = rs. Сумма углов треугольников pqs, qrs в точке q не больше л.

Утв. Четырехугольник pqrs выпуклый, т. е. сумма углов треугольников pqst qrs при вершине s также не больше л, и углы pqrs при веришнах р, г соответственно не меньше углов треугольника pr's при р, г'.

Доказательство теоремы. Приведем доказательство для случая х>0, однако все рассуждения распространяются и на случай х = 0, если отбросить некоторые лишние в этом случае части текста, отмеченные скобками „(х>0)*\ Основная идея доказательства состоит в том, что соотношения между углами надлежащим образом сводятся к соотношениям между длинами кратчайших, которые вытекают из следствия теоремы Рауха.

В пунктах (а) — (с) теорема доказывается при дополнительном предположении, что L (с°) + L (cj + L (с2) V (乂 > 0). В пункте (а) показывается, каким образом можно получать соотношения между углами из соотношений между длинами. В пункте (Ь) утверждение теоремы доказывается для „узких44 треугольников, т. е. таких,

одна сторона которых достаточно коротка по сравнению с другими. При этом мы встречаемся с трудностью, состоящей в том, что на длинных сторонах могут быть сопряженные точки. В пункте (с) результат пункта (Ь) „глобализуется** посредством процесса продолжения, опирающегося на леммы 2 и 3. Наконец, пункты (d) и (е) относятся к случаю L (с0) + L (q) + L (с?)который сводится

к ранее рассмотренному.

Все пути, участвующие в доказательстве, определены на интервале [0, 1].

Пусть (а, Ь, с) — треугольник в М периметра (х>0). Тогда в М существует треугольник (й,瓦 с) с соответственно равными длинами сторон. Положим р = с(0), р = с (0). Рассмотрим в М другой треугольник (а‘，У,办 у которого L(b')=L(B) (5 — смежная с р сторона), а угол при вершине 0 равен углу а при вершине р треугольника (а,瓦 с). Обозначим через а угол при вершине р треугольника (а,瓦 с). Пусть U — звездообразное относительно точки 0 открытое множество Mpt содержащее точки 0, —б (1), с (0); I： Мр Мр — линейная изометрия, такая, что i(—6(1)) = — б7(1), i(c(0)) = с(0). Тогда справедливо следующее утверждение:

если ехрр имеет во всех точках U максимальный ранг

и если af принадлежит ехрр (it/), то а》6.(17)

В самом деле, по теореме Морса —Шенберга для всех векто

ров v^tU имеем || и ||< -^=, так что кратчайшая а' может быть поднята в Мр посредством отображения ехрд|1£/ (х>0). Поэтому

существует такой путь ф в С7, что ехрр о t-ф = ^, и в силу неравенства (5) теоремы сравнения Рауха имеем

Ца) = L (а) & L (ехрр。吻 & L (ехрр。гф) = L (а')・

Но тогда по элементарному свойству треугольников на сфере Sn i

(в R") имеем й ^а, что и требовалось доказать.

Предположим, что периметр треугольника (а,瓦 с) в М с вершинами р, д, г строго меньше -у=(х>0), и пусть р — с(0), q = а(0), г = Ь (0). Пусть г не принадлежит образу с. Рассмотрим сходящуюся к р последовательность qv точек с, q#p. Пусть av— произвольные кратчайшие, соединяющие qv с г; %— кратчайшие, соединяющие р с ^v; а, 0已 yv — углы треугольника (@v，瓦 ％) при вершинах 〃 q* г и dv, pv — соответствующие углы

треугольника с теми же длинами сторон в М (такой треугольник существует, поскольку периметр (〃”，Ь, %) меньше 丿=(х > 0)), тогда справедливо следующее утверждение:

для достаточно больших значений v выполняются неравенства

a^dv,a^dv,В” ^^ Bv・В” ^^ Bv・(18)(18)

a^dv,

a^dv,

В” ^^ Bv・

В” ^^ Bv・

(18)

(18)

Заметим прежде всего, что достаточно доказать (18) в случае, когда кратчайшие av сходятся к некоторой кратчайшей а。, так как из всякой подпоследовательности av можно в свою очередь выбрать сходящуюся подпоследовательность. Можно считать, что 〃° есть Ь~1 (пройденная в обратном направлении кратчайшая 6). В самом деле, в противном случае мы заменили бы в условии пункта (Ь) кратчайшую b на 〃「， а затем с помощью леммы 2 сравнили бы углы, образуемые Ь~\ й0, с с в точке р.

Если rzvсходятся к b~lt то — limdv(l) = V->oo =6(0).

Пусть д > 0 — элементарная длина компактного шара в М с центром в р с столь большого радиуса, что ему принадлежат все треугольники (&, Ь, %) (см. разд. 5.2 и 5.3). Выберем такое число "三(0, 1), чтобы для точки р，= /?(1—") выполнялось р(р, р')<6, тогда для всех V, за исключением конечного числа, будет р@”，90<6 где 丁V=叫5)。

Рассмотрим следующие треугольники в М: △” с вершинами pj, q；, г; △( с вершинами р‘, q”, г (причем стороной, соединяющей qv с г, является а”); △； с вершинами р, gj, г, причем стороной, соединяющей г с р, является Ь. Соответствующие треугольники с теми же длинами сторон в М, что у. △”，△；, △；, обозначим через Av, Aj, Av. Заметим, что две точки кратчайшей геодезической могут быть сопряжены относительно нее только в том случае, если являются ее концами (лемма 1 разд. 4.5). Так как р‘，gj — внутренние точки кратчайших 力，〃屮 то ни одна точка 力，av не может быть критическим значением отображения ехр*，，соответственно ехр /, и ни одна точка кратчайшей гр' (со- ставляющей часть Ь) не является критическим значением ехр「

Кроме того, точка г по условию не принадлежит образу с; поэтому кратчайшие b и 報 инъективны при достаточно большом v. Таким образом, существуют замкнутые отрезки В, 4v(v = 1,2,.. .), С, принадлежащие, соответственно, 44尸，М ，，МГ, на которых отоб- ражения ехру, ехр - ехрг инъективны и имеют максимальный ранг, причем ехрр^(В) = Ь, ехр ,(人)=每(* = 1, 2,…)，ехрг (С) ^= гр\ Поскольку множество B|JCU(q4)uTM компактно, существует его е-окрестность в ТМ, на которой соответствующие отображения expps ехр^/, ехрЛ имеют максимальный ранг (см. разд. 2.8); е-окрестностью множества называется объединение всех открытых шаров радиуса е с центрами в его точках, а шары понимаются в смысле канонической метрики на ТМ (см. замечание (iii) разд. 3.2).

Обозначим через ?”угол треугольника △”，соответствующий у”; тогда из (17) следует, что для пары треугольников AVT Av угол Yy》Yj, если V достаточно велико (и, значит, // gj достаточно мало). Аналогично, применяя (17) к ехру и треугольникам △”, А”, находим, что угол при вершине gj не меньше угла Av при соответствующей вершине для достаточно большого v. Так как lim p'q、忘 lim (“p + pgj = p'p < 3 q、q\ < 6, начиная с некоторого v, V->oo V-> oo

и lim р'е”，= 0, то из (17) опять следует, что все углы треуголь- V今8 '

ника p'q、q； не меньше соответствующих углов треугольника в М с теми же длинами сторон, при достаточно большом v. Обозначим через Yv угол треугольника Av, соответствующий у”，тогда, применяя лемму 3 к треугольникам △”，p'q、q；, получаем Y”〉?] Далее, применяя (17) к ехрр^ находим, что при достаточно большом V угол треугольника Av при вершине // не меньше соответствующего угла треугольника Av. Так как все углы треугольника pg", начиная с некоторого v, также не меньше соответствующих углов треугольника в М с теми же длинами сторон, то из леммы 3 следует, наконец, что а》а”， начиная с некоторого v. Совершенно аналогично, рассматривая последовательно треугольники pqf, затем △；, pq、q\ получаем В”》6”，начиная с некоторого v, что и доказывает (18).

Рассмотрим теперь треугольник △=(%, сь с2) в Af с углами н и предположим, что £ (%) + £(3)+ £ (与)V > 0).

Тогда в М существует треугольник △ =(с0, сь с2) с углами yit удовлетворяющий соотношениям (2). Мы докажем неравенство (3),

например, для у0.

Прежде всего можно считать, что р2 не принадлежит образу с?, так как в противном случае у0 = 0 и у0 = 0.^Рассмотрим подмножество /и(0, 1], состоящее из всех точек %, обладающих следующим свойством: при / ^ /0 в М существует треугольник с вершинами р】,62(f), р2> сторона которого, соединяющая р2 с ро， есть с” а в случае / = 1 сторона, соединяющая р0 с pi, есть с?, углы же при вершинах р0, с2(0 не меньше соответствующих углов треугольника в 府 с теми же длинами сторон. Согласно (18), множество / содержит некоторый интервал (0, У)・ Пусть f — наибольшее число, для которого (0, У)и/, покажем прежде всего, что /£/• Пусть tv ^/, tv->ft и Av — треугольник с вершинами р(), c2(/v), р2 и стороной Q, соединяющей р2 с р0, причем углы Ду при вершинах р0> &(%) не меньше соответствующих углов треугольника Av в 府 с теми же длинами сторон. Далее, пусть ДЛ — треугольник в М с вершинами %, бС), 〃, стороны которого суть кратчайшие, предельные для соответствующих сторон △*. Так как длины сторон А； стремятся к отличным от нуля длинам сторон треугольника ДЛ в Л1, стороны которого имеют ту же длину, что и соответствующие стороны △', а периметр

меньше -^^(х>0), то углы А； сходятся к соответствующим уг-

лам ДЛ. Поэтому углы треугольника △' при р0, ^(У) не меньше соответствующих углов ДЛ, и- f'w/. Покажем, что f'=L В самом деле, при f < 1 существует, согласно (18), число f"w(匕 1] и треугольник △” в М с вершинами &(/'), ^(f"), р2 и общей с △， стороной, соединяющей с2(?) и р?，углы которого при вершинах С2(У), зМ") не меньше соответствующих углов треугольника в М с теми же длинами сторон. Тогда, применяя лемму 3 к треугольникам △', △”，находим, что f" w/ вопреки определению ?. Итак, f = 1 и Yo>Yo-

Пусть теперь х>0 и 厶(的)+ L(q) + 厶(с?) = ^=・ Покажем,

что если для всех сторон выполняется неравенство L(c^ V-^=, точто если для всех сторон выполняется неравенство L(c^ V-^=, то丫0 = 丫[ = 丫2 =冗・ Рассмотрим, например, у0. Пусть f —точная нижняя граница всех чисел / ^ [0, 1], для которых р(ро, с2(0) +丫0 = 丫[ = 丫2 =冗・ Рассмотрим, например, у0. Пусть f —точная нижняя граница всех чисел / ^ [0, 1], для которых р(ро, с2(0) ++ Р(С2«), Р2)+ Р(「2，加=у^+ Р(С2«), Р2)+ Р(「2，加=у^Так как L (с0)<Так как L (с0)<ясно, что У>ясно, что У>> 0. Построим последовательность tv в интервале (0, У), сходящуюся к /', и треугольники △” в М с вершинами р0, c2(Q, Р2 и стороной q, соединяющей р2 с р0- По построению периметр Ду> 0. Построим последовательность tv в интервале (0, У), сходящуюся к /', и треугольники △” в М с вершинами р0, c2(Q, Р2 и стороной q, соединяющей р2 с р0- По построению периметр Ду

что если для всех сторон выполняется неравенство L(c^ V-^=, то

что если для всех сторон выполняется неравенство L(c^ V-^=, то

丫0 = 丫[ = 丫2 =冗・ Рассмотрим, например, у0. Пусть f —точная нижняя граница всех чисел / ^ [0, 1], для которых р(ро, с2(0) +

丫0 = 丫[ = 丫2 =冗・ Рассмотрим, например, у0. Пусть f —точная нижняя граница всех чисел / ^ [0, 1], для которых р(ро, с2(0) +

+ Р(С2«), Р2)+ Р(「2，加=у^

+ Р(С2«), Р2)+ Р(「2，加=у^

Так как L (с0)<

Так как L (с0)<

ясно, что У>

ясно, что У>

> 0. Построим последовательность tv в интервале (0, У), сходящуюся к /', и треугольники △” в М с вершинами р0, c2(Q, Р2 и стороной q, соединяющей р2 с р0- По построению периметр Ду

> 0. Построим последовательность tv в интервале (0, У), сходящуюся к /', и треугольники △” в М с вершинами р0, c2(Q, Р2 и стороной q, соединяющей р2 с р0- По построению периметр Ду

меньше ; пустьменьше ; пусть△ v — треугольник на S21 с теми же длинами

меньше ; пусть

меньше ; пусть

сторон, что △▽ Согласно пункту (с), 丫。не меньше соответствующего угла Av, а этот угол стремится к л, так как lim р(р0, c2(/v))<

〈若,р(р2, Ро)〈若.Но тогда и Уо = л.

Пусть теперь Л (с。)= у^, тогда Л (q) + 厶(с2) = j^= и тем са-

мым у0 = л. Утверждение

сразу же, так как можно построить на S3 тРе' угольник △, у которого Yo = л и 勺1 = ,2 = 0, а длины сторон те же, что у △.

Пусть, наконец, 乂 >0 и L (to) Н~ L ((?1) + + L (с?) > 瓷:. Покажем сначала, что отсюда следует у。= % =也=冗・ В самом деле, вследствие непрерывности функции расстояния р существует такое f w (0, 1), что для точек р[ = c2(f), р^ =С](1 — У) выполнено ра-

теоремы в этом случаетеоремы в этом случаеполучаетсяполучаетсявенство р(р°, Р0 + р(р[, рЗ + р(Р；，Ро) = у^. Построим в М треугольник △ с вершинами р0, р] р： Согласно (d), 丫。лишь

теоремы в этом случае

теоремы в этом случае

получается

получается

в том случае может быть меньше л, если 必"；=證^ или р°р； = =寸С другой стороны, в силу полноты М и теоремы Морса —

Шенберга расстояние между точками М не может быть больше /=• (см. разд. 5.3 и 6.2, а также теорему Мейерса в разд. 7.3). Отсюда popi<popi《百，PtXVpoPzW"^，и Yo =尼 Аналогично доказывается, что Yi = Уг^ л-

Пусть /"w[0, 1) — точная верхняя граница всех чисел /^[0, 1], ДЛЯ которых p(pOl C2(f)) + p(C2(f), "2) + Р(。2,"。)=搭.Возьмем

последовательность £電三(£", 1), сходящуюся к /", положим .qv = =。2(")，q = lim夕電=с?"") и рассмотрим треугольники Av с верши- V->oo

нами (ро, q” р2) и стороной р2> соединяющей р2 с р0. Периметр каждого треугольника Av больше и, по только что доказанному, все углы Av равны л. Поэтому (см. рис. 5) qvp{ + р{р2 = =狐卩2, откуда др】+ pm = qp?, следовательно, Л (分)+ Л (c^ + Lic^^ =PW +9Р1 + Р1Р2 + Р2Po = Род +qp2 + Р2Po = /，вопреки предположению. Доказательство теоремы окончено.

Замечания

Теорема о сравнении углов, доказанная в этом разделе, в той же формулировке распространяется на случай, когда Ко》х, где х отрицательно. В качестве М в этом случае берется п-мер- ное гиперболическое пространство, или, проще, двумерная гиперболическая плоскость постоянной отрицательной кривизны х (см. описание стандартной модели UH в замечании (iv) разд. 3.6). Покажите, что UH — полное риманово многообразие. Каждая исходящая из точки р w U“ максимальная геодезическая имеет бесконечную длину; ее образ U* есть часть евклидовой окружности или луча, ортогональная граница шара U乂 (см. замечание (iv) разд. 3.6). Для любых трех положительных чисел %, а^ &, удовлетворяющих неравенствам az + ai+i ^ а/+2, существует треуголь

ник △=（血，圆，薩）b m =ник △=（血，圆，薩）b m =11乂 со сторонами L(2j = ^^; обозна-

ник △=（血，圆，薩）b m =

ник △=（血，圆，薩）b m =

чим его углы через %. Треугольник △ определен с точностью

до конгруэнтности, т. е. до преобразования с помощью некоторой изометрии UH. Для любых трех точек 0°, ри 02 существует в точности один треугольник △ с вершинами в этих точках.

Справедлива теорема косинусов гиперболической геометрии

ch〃£ = chai+{ chа1+2 — sh ai+i shi+2 cos%.

Из теоремы Топоногова о сравнении углов при х<0 следует неравенство

ch 〃£ & ch 〃£+i ch 〃£+2 — sh az+1 sh 的+2cos 利，(19)

в предположениях и обозначениях предыдущей теоремы.

Утверждение (3) при х<0 доказывается так же, как и при х = 0.

Требование полноты М в теореме о сравнении углов можно несколько ослабить. Как видно из доказательства, достаточно предположить следующее: экспоненциальное отображение ехрр., где р/—вершина треугольника △, определено на открытом шаре MPl

с центром 0 достаточно большого радиуса г, и Ко》х для всех касательных плоскостей о в точках шара BJp). Если, далее, предположить, что Л (с0) + A (cj + А (с2) < 2г, то утверждение (3) теоремы справедливо для уг+1, у/+2 (см. по этому поводу лемму в разд. 5.3, замечание (iv) разд. 5.4 и замечание (ii) разд. 7.3). Только что указанное уточнение теоремы важно в ряде случаев. Если, например, М полно, но не компактно, и △ — треугольник .в М, то △ принадлежит достаточно большому шару М с компактным замыканием, на котором К。ограничено снизу, в то время как на всем М кривизна К。может быть не ограниченной. Даже если М компактно, это замечание позволяет, насколько возможно, усилить оценку (3) углов треугольника, так как нижняя граница кривизны может быть увеличена, если воспользоваться компактными шарами, величина которых того же порядка, что 乩 у рассматриваемых треугольников.

Обобщенным треугольником △ =Q, з, &) с вершинами р0, Pi,卩2 мн назовем систему из трех геодезических q (с началом р{ и концом р2)> G (с началом р2 и концом р0), & (с началом р0 и концом р) из которых две, например q и q, должны быть кратчайшими. При этом & может быть любой, геодезической с началом ро и концом рь и допускается случай р0 = рь но для всех i должно быть выполнено неравенство треугольника (1).

Докажем для обобщенных треугольников △ в М аналог теоремы о сравнении углов, в котором утверждение (3) высказывается лишь для примыкающих к с? углов уь у2, а в случае х>0 добавочно предполагается, что /.(саЖ-з^，Для этого сторона с? подразделяется на кратчайшие, предыдущая теорема применяется к полученным треугольникам, а затем применяется лемма 3, причем в случае х>0 вначале предполагается, что периметр △ меньше Затем, аналогично пункту (d), рассматривается случаи периметра, равного 丁=, и аналогично пункту (е) приводится к противоречию случай, когда периметр больше0). При

этом для обобщенных треугольников, конечно, справедливы лишь утверждения о двух углах, но рассуждения пунктов (d), (е) могут быть повторены с некоторыми очевидными изменениями.

Можно было бы ожидать, что если кривизна М ограничена сверху числом х, то углы треугольника △ на ЛГ оцениваются сверху соответствующими углами треугольника с теми же длинами сторон в пространстве постоянной кривизны, в предположении, что такой треугольник существует, т. е. периметр △ не слишком велик (х>0). Однако такое утверждение в общем случае невозможно: не существует глобальной теоремы о сравнении углов для

многообразий ограниченной сверху кривизны, аналогичной теореме Топоногова. Для достаточно малых треугольников, все стороны которых могут быть подняты в касательные пространства с помощью экспоненциальных отображений в вершинах, можно в ряде случаев получить оценки углов сверху с помощью теоремы сравнения Рауха, аналогично пункту (а) предыдущего доказательства. Для более общих утверждений требуются сильные добавочные предположения. Например, недостаточно предположить, что М односвязно. А именно, существует трехмерное компактное риманово многообразие М диффеоморфное S3, у которого 0 < Ка ^ 1, и периодическая геодезическая длины < 2л на М, которую можно превратить в треугольник с углами, равными л. Но любой треугольник на S? периметра <2л имеет по крайней мере один угол < л. По этому поводу см. замечание (iii) разд. 7.5 и замечание (vi) разд. 7.2, а также Tsukamoto Y., On a theorem of Л. D., Alexandrov, Memoirs of the Faculty of Science, 15(1961), 83—89, Kyushu University )

】)Работа Цукамото содержит необоснованную критику результата А. Д, Александрова (Acad. Wiss. Forsch. Math., № 1 (1957)). — Прим, ped.

§ 7. Связи между кривизнойи топологическим строением

Деформации геодезических

Мы обращаемся теперь к проблеме характеризации топологических свойств полного риманова многообразия с помощью его римановой кривизны. В частности, мы займемся вопросом, на каких дифференцируемых многообразиях существует полная метрика знакоопределенной кривизны, т. е. везде положительной или везде отрицательной. Сильнейшие известные результаты в этом направлении получаются посредством исследования геодезических на римановом многообразии и их экстремальных свойств, а именно из теории Морса в соединении с теоремами сравнения предыдущего параграфа.

Все используемые ниже топологические понятия можно найти, например, в книге Спеньер Э., Алгебраическая топология, М., 1971. При рассмотрении римановых многообразий всегда имеется в виду связность Леви-Чивита.

Пусть М — дифференцируемое многообразие; р, q ^ М; с0, с/ [а, 0] f М — ку84Ho дифференцируемые пути с началом р и концом д. Непрерывное отображение Н: [а, §] X [0, l]f М называется (р, д)-гомотопией, связывающей & с q, если отображение "s： [«, 0]f М, заданное формулой Hs (/) = H(t, s), является кусочно дифференцируемым путем с началом р и концом q при всех s 巨[О, 1], причем HQ = с0, Нг = сь Если М —риманово многообразие, то в этом определении дополнительно предполагается, что функция длины пути Sf L("s) непрерывна. Пути с。, с〔 называются (р, ^-гомотопными, если существует (р, ^)-гомотопия, связывающая % с С[・ Легко видеть, что „(р,办гомотопность" есть отношение эквивалентности на множестве Qpg всех кусочно дифференцируемых путей, соединяющих peg. Очевидно, (р, ^)-гомотопию ", соединяющую Ci wQpq, можно рассматривать как непрерывный путь в пространстве путей Q% с началом & и концом q (см. замечание (i) разд. 4.1 и разд. 7.6).

снизу длина пути при таких гомотопиях.снизу длина пути при таких гомотопиях.Вначале мы докажем предложение о гомотопиях, связывающих геодезические риманова пространства, в котором с помощью простых условий для экспоненциального отображения оценивается

снизу длина пути при таких гомотопиях.

снизу длина пути при таких гомотопиях.

Лемма

Усл. М — риманово многообразие, р ^ М; экспоненциальное отображение ехрр определено на открытом шаре U^ в Мр радиуса е с центром 0, и имеет везде в UE максимальный ранг; векторы и,侬三 Мр принадлежат области определения ехрр, v^w и expv =ехрш = г; /0 ^ [О, 1], д = ехр(%и)； 3： [О, \]^ М — геодезическая, заданная формулой с0 (/)= =ехр (//оу)> с началом р и концом g; д: [О, \]~^ М — ломаная геодезическая, также соединяющая р с q и заданная формулами з (/) = ехр (2/ш) при / 三[°, yj ,3 (/)=

=exp ([1 - (2/ -1)(1- /0)] г) при /三[J;l]; Н: [О, 1] X X [О, l]f М — (р, q)-soMOTonua, связывающая с0 с сх (рис. 7).

Утв. Существует такое s0 [О, 1], что

(1)(1)Если М полно к М плоскостейЕсли М полно к М плоскостейиикривизна К。忘九(九 >0) для всех касательныхкривизна К。忘九(九 >0) для всех касательныхтотоG,G,Рис.Рис.7.7.можно взять e = в самом деле, по теореме Хопфа — Ринова ехрр определено на всем Мр, а по теореме Морса — Шенберга ехрр имеет в открытом шаре Мр с центром 0 ра-можно взять e = в самом деле, по теореме Хопфа — Ринова ехрр определено на всем Мр, а по теореме Морса — Шенберга ехрр имеет в открытом шаре Мр с центром 0 ра-диусадиусавидновидночислочисломаксимальный ранг. Как на примере сферы 財= S“], е, вообще говоря, нельзямаксимальный ранг. Как на примере сферы 財= S“], е, вообще говоря, нельзявыбрать больше —?L. А именно, в качестве с0, с{ можно взять две различных геодезических, соединяющих северный полюс р с южнымвыбрать больше —?L. А именно, в качестве с0, с{ можно взять две различных геодезических, соединяющих северный полюс р с южнымполюсом г, qполюсом г, q+ L("s)V2e. Тогда в+ L("s)V2e. Тогда всуществует такое число 6, чтосуществует такое число 6, чтоДок. Предположим, что, вопреки утверждению леммы, для всех s 三[0, 1] имеет место £(%) + силу непрерывности функции SfL(HJДок. Предположим, что, вопреки утверждению леммы, для всех s 三[0, 1] имеет место £(%) + силу непрерывности функции SfL(HJL&) + L ("Q》2е.

(1)

(1)

Если М полно к М плоскостей

Если М полно к М плоскостей

и

и

кривизна К。忘九(九 >0) для всех касательных

кривизна К。忘九(九 >0) для всех касательных

то

то

G,

G,

Рис.

Рис.

7.

7.

можно взять e = в самом деле, по теореме Хопфа — Ринова ехрр определено на всем Мр, а по теореме Морса — Шенберга ехрр имеет в открытом шаре Мр с центром 0 ра-

можно взять e = в самом деле, по теореме Хопфа — Ринова ехрр определено на всем Мр, а по теореме Морса — Шенберга ехрр имеет в открытом шаре Мр с центром 0 ра-

диуса

диуса

видно

видно

число

число

максимальный ранг. Как на примере сферы 財= S“], е, вообще говоря, нельзя

максимальный ранг. Как на примере сферы 財= S“], е, вообще говоря, нельзя

выбрать больше —?L. А именно, в качестве с0, с{ можно взять две различных геодезических, соединяющих северный полюс р с южным

выбрать больше —?L. А именно, в качестве с0, с{ можно взять две различных геодезических, соединяющих северный полюс р с южным

полюсом г, q

полюсом г, q

+ L("s)V2e. Тогда в

+ L("s)V2e. Тогда в

существует такое число 6, что

существует такое число 6, что

Док. Предположим, что, вопреки утверждению леммы, для всех s 三[0, 1] имеет место £(%) + силу непрерывности функции SfL(HJ

Док. Предположим, что, вопреки утверждению леммы, для всех s 三[0, 1] имеет место £(%) + силу непрерывности функции SfL(HJ

⑵⑵

⑵

⑵

£(&)+ sup L(/7s)<26<2e,

и, в частности,и, в частности,L So) = L ("0) V 6・L So) = L ("0) V 6・(3)(3)S e [0, Ij

и, в частности,

и, в частности,

L So) = L ("0) V 6・

L So) = L ("0) V 6・

(3)

(3)

По предположению ехрр имеет максимальный ранг во всех точках Uz. Обозначим через /0 множество всех таких чисел t]w[0, 1], что "l[oi]x[o 川 можно поднять до непрерывного отображения ①：[0, 1]'х [0； ”->。6, так что ехр。①=〃 h 1] х [0, пг и что ф^(z)= =Ф (/, s) представляют кусочно дифференцируемые пути ①s： [0, 1] -> U^ соединяющие 0 с tQv. Из (3), точно так же как при подъеме вариации в доказательстве теоремы разд. 4.4, следует, что /о есть интервал с началом 0 и концом т]0. Если т]0 < 1 и принадлежит /0> то из того же рассуждения вытекает существование непустого интервала 仇一也 т]0 + ^)> в котором возможен подъем вариации, вопреки определению т]0. Итак, либо т]0 = 1, либо т]0 не принадлежит /.

С другой стороны, все предельные точки множества Ф( [0, 1] X [0, т]о))* принадлежат U^uUk следовательно, в этих предельных точках ехрр имеет максимальный ранг и путь 纟次 также может быть поднят в некоторый путь ①斗：[0, 1] -> U^. Покажем, что ①收 целиком принадлежит U》Предположим обратное, тогда существует такое /0 w [0, 1], что || Ф^Д/о) II = 6, но в таком случае в силу леммы 2 разд. 4.4 имеем L (с0) + L (Н^ 2d, что противоречит (2). Тем самым %= L Итак, мы показали, что гомотопия Н может быть полностью поднята в U》В частности, Нх = сх поднимается в путь ①” соединяющий 0 с 友？.

Так как пути в [/§ с начальными точками р, q, переходящие при отображении ехрр соответственно в q н в часть qr геодезической с0, определяются однозначно, то должно быть ①〔(f) = 2/⑦ при fw(0, у],①i(f) = [l-(2f-1)(1-幻]о при / е [у , 1]. При f = ^ получаем, в частности,①〔(g) = v = w, и полученное противоречие доказывает лемму.

Замечания

Пусть М — дифференцируемое многообразие. Кусочно дифференцируемые пути с0, q: [а, р] -> Л1 с началом р и концом q в том и только том случае (р, 7)-гомотопны, если они гомотопны в общем топологическом смысле при фиксированных начальной и конечной точках, т. е. если существует, как выше, связывающая сх с с2 гомотопия Н, предполагаемая лишь непрерывной, без дальнейших требований дифференцируемости. Чтобы это доказать, достаточно аппроксимировать непрерывное отображение Н: [а, р] X [0, 1]->М С Произвольной ТОЧНОСТЬЮ (р, 7)-ГОМОТО- пией Н, которая кусочно дифференцируема, т. е. для Н существуют такие числа 0 </()</! < . . . </fe= 1, O = so<si< . . . < s%= 1, "Г。” ％v-i"v] X[S"_「^дифференцируемо при 1&丫&自1&眸/

и р(后(厶 s),"(厶 s))<e для всех / е [а, р], $三[0, 1] по отношению к некоторой римановой метрике на М где е > 0 ~ произвольное число.

Пусть P = [q, р] X [0, 1] и еЛ>0 не превосходит нижнюю границу значений радиуса выпуклости г на компактном множестве

方(Р)иМ, кроме того, пусть е^ <~. Отображение Р X P->R, за

данное формулой (а, аЛ) -> р (Я (а), Н (аЛ)), равномерно непрерывно, поэтому существует такое д>0, что р(方(а), Н (аЛ)) < еЛ для всех а, U r Р, удовлетворяющих неравенству ^а — а^^< д. Выберем числа q = %< 匕 < ...< 〃 =р и 0 = s0< Sj < < sz = 1 таким образом, чтобы пути r 儲 / ,, / 】были дифференцируемы

И чтобы было (/v — /V-1)2 + (s^ — S^_J)2 < d2 при l《vW 財 1& 卩&厶 Построим кусочно дифференцируемые пути "$/ [а, р]->Л1, полагая “Sjl卩 f] равннм кратчайшей геодезической ["_】，/v] ~>МГ

соединяющей Я (^-h %) g 方(储，限)(0《卩《4 1《V《々). При

этом, очевидно, HQ = с0, "尸仃.Наконец, построим ", полагая

"lfx[s [$] равным кратчайшей геодезической 【s^-i, sj->М

с началом Hs^ (/) и концом Hs^(t) (/ е [а, р], 1&卩&2). В силу разд. 5.1 и 5.2, а также свойств отображения л X exp, Н обладает всеми требуемыми свойствами. В частности, пути s~>H (tt s) кусочно дифференцируемы и даже являются „ломаными геодезическими**.

Теорема Адамара — Картана

В этом параграфе выясняется топологическое строение полных римановых многообразий неположительной кривизны.

Связное дифференцируемое многообразие М называется односвязным t если любой замкнутый кусочно дифференцируемый путь %: J ~> М с началом и концом в pwM стягиваем в точку р, т.е. (р, р)-гомотопен тривиальному пути q: J~>Mt заданному формулой ^ (/) = р. Легко видеть, что М односвязно в том и только том случае, если любые два кусочно дифференцируемых пути с0, с^ J ~> М с началом р и концом q являются (р,(7)-гомотопными в М (см. замечание (i) разд. 7.1).

Точка р связного риманова многообразия М называется полюсом М, если экспоненциальное отображение ехрр определено на всем М и везде имеет максимальный ранг. Если на М существует полюс, то из утверждения (Ь‘) разд. 5・3 следует, что М

полно.

Лемма

Усл. М — односвязное п-мерное риманово многообразие, р — полюс М.

Утв. Экспоненциальное отображение ехрр： Мр-^ М есть диффеоморфизм, и, следовательно, М диффеоморфно

Док. Так как ехрР — локальный диффеоморфизм, сюръективный в силу полноты М, то остается доказать, что ехрр инъективно.

Предположим, что существуют векторы v, з w Мр, для кото- рыхехр V =ехр w = q^v ^= w. Положим в условии леммы разд. 7.1, что /0= 1, с0(/) = ехр (/??), C](f) = exp(2fay) при fw[。, }], с{ (/) = q при f w[}, 1]. Так как М односвязно, существует (р, д)-гомо~ топия ": [0, 1] X [0, 1]-* М, связывающая с0 с С]. Поскольку ехрр определено на всем Мр и везде имеет максимальный ранг, по лемме разд. 7.1 для любого е>0 и некоторого s0 三[0, 1] выполнено неравенство L (со) + L (Я5о) ^ 2е. Но отображение s-^L(Hs) непрерывно по самому определению (р,(у)-деформации на римановом многообразии, и, значит, функция L (Я5) ограничена при s ^ [0,1], а полученное противоречие доказывает лемму.

Следующая ниже теорема была доказана Ж. Адамаром для поверхностей, а позже обобщена Э. Картаном на римановы многообразия высших размерностей.

Теорема (Ж. Адамар, Э. Картан)

Усл. М — полное риманово многообразие размерности п^ 2; риманова кривизна 弋《0 для всех касательных к М плоскостей о.

Утв. Для каждой р^ М отображение ехрр： Мр—>М есть диффеоморфизм. В частности, М диффеоморфно Rn.

Док. Согласно предложению (а) (теорема Морса — Шенберга), отображение ехрр имеет максимальный ранг на всем Мр при всех р^ М. Следовательно, каждая точка М является полюсом и выполнены предположения леммы, откуда и следует требуемое утверждение.

Замечания

Покажите, что евклидово пространство Rn односвязно, также как сфера Sn при п^2 и проективные пространства Р"(С), Pn(Н), р2(Са) (см. замечание (V) разд. 1,7).

Пусть М — связное дифференцируемое многообразие н р^М. Классы эквивалентности по отношению „(р, р)-гомотопность** во множестве Qpp всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1]-*Л1 с началом и концом в р составляют группу Л](М, р)・ А именно,

композицией путей является их последовательное прохождение, а， обратным элементом — путь с противоположной ориентацией. Для другой точки q w М получаем группу 冗】(М, «); любой (p.q)- гомотопический класс кусочно дифференцируемых путей, связывающих р с «, определяет изоморфизм п{ (Mt р) -> щ (Mt q). Таким образом, группа 冗］(М) 4 冗］(М, р) не зависит от р, она называется фундаментальной группой М. В частности, М односвязно в том и только том случае, если 冗〔(М) = 1.

Покажите, что для связных дифференцируемых многообразий М, ^ имеет место щ (М X N)冗i (М) X 冗i (N).

С помощью фундаментальной группы можно классифицировать накрытия. Пусть 冗：М-> М — дифференцируемое накрытие (см. замечание (V) разд. 1.7). Дифференцируемое накрытие rt: М ->М называется эквивалентным л, если существует диффеоморфизм /: ^1 ->Mt сохраняющий слои, т. е. такой, что 冗。f =元.Если М = М, то 冗 называется преобразованием накрытия. Теорема о классификации накрытий состоит в следующем: для каждого класса сопряженных подгрупп Г фундаментальной группы щ (М) существует в точности один класс эквивалентных дифференцируемых накрытий М-> М, причем М связно,冗〔(府)=Г и слой над точкой р^ М находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов смежности л{ (Л1) по Г. Таким способом описываются с точностью до эквивалентности все дифференцируемые накрытия м-^м, для которых М связно. Если Г — инвариантная подгруппа 冗i(M), то соответствующее накрытие М-> Mt для которого 冗i(M) = I\ называется главным или регулярным. В этом случае группа 冗i(M)/F действует на М, как группа преобразований накрытия, и тем самым действует на слое (или, что то же самое, на самой себе), как группа левых сдвигов. Если「= %(Л1), то Л1 = Л1, а при Г =1 получаем универсальное накрытие 冗： 府一* с односвязным накрывающим многообразием М (по этому поводу см. также замечание (iii)).

Покажите, что если М компактно и щ (Л1)/Г конечна, то и Л1 компактно, и обратно.

Дифференцируемое накрытие R -* SU R/Z, заданное формулой / -> 6?冗扭,универсально, поэтому щ (S1) = Z, где Z — аддитивная группа целых чисел.

Следовательно, для n-мерного тора имеем щ (Гл) = щ (S1 X ... ...X S1)二 Z'T Двулистное накрытие Sn-> Рп (R) (замечание (v) разд. 1.7) при п^2 универсально, так как при этом условии Sn односвязна, поэтому

冗 1 (Р" (R)) ~ Z2 = Z/2Z (孔》2) и 冗 1 (Г】(R))=冗 1 (S】)空 Z,

Простыми примерами дифференцируемых многообразий с неабелевой фундаментальной группой являются компактные ориентируемые поверхности Mg рода g > 2. Фундаментальная группа такой поверхности 冗i(M^) порождается 2g элементами а】，…，％ %,..., bg с единственным соотношением 〃*№”匕丁％2b2asi匕《，…• … ％”纭竺 J L Пусть М ^ М^ —универсальное накрытие, тогда М диффеоморфно R2, потому что 冗](Л1^) — группа бесконечного порядка и, следовательно, М некомпактно и односвязно (см. также замечание (v)).

Покажите, что полюсы полного риманова многообразия образуют замкнутое множество, возможно пустое (например, на Л1 = Зр при 〃》2); может случиться, что все точки М — полюсы, как в предыдущей теореме (примером служит R"). Покажите, что точка 0 является единственным полюсом гиперболоида вращения f-1 (0) о R3, где f(%, у,胃)=妤 + 贸一2м

Часто полюсами называют те точки р е М, для которых отображение ехрр： Мр^ М инъективно, т. е. все исходящие из р геодезические с суть кратчайшие между р и любой точкой с. Полюсы в этом более сильном смысле (см. замечание (iii) разд. 5.3) суть точки р, для которых dp = 8, где d: Mf R обозначает, как в разд. 5.4, радиус инъективности, т. е. расстояние от р до соответствующего места раздела. Так как d — непрерывное отображение, то полюсы в этом смысле образуют замкнутое в М подмножество множества полюсов, определенного выше.

Пусть М — связное полное риманово многообразие. Покажем, что для любых точек р, q ^ М и любого (р, (/^гомотопического класса путей из Qpq существует геодезическая с： [0, l]f М, соединяющая pcq и принадлежащая этому гомотопическому классу. Если ц^О —точная нижняя граница длин всех путей заданного (р, 7)-гомотопического класса, то в нем существуют пути сь для которых lim Л (с() = ц. Существует такое £ > 0, что все с£ г > оо

принадлежат компактному метрическому шару 昕=5…(р) радиуса ц + £ с центром в р. Обозначая через %呼(>0) элементарную длину W^ найдем натуральное число 左 и такие числа 0 = =/? V ... <t\< ... V /? = 1 (/ = 1, 2, ... )> что L(Q |[ £厂1, “ ])= =丄 f"《6 Vdg для всех Z и j = 1, ..fe. Поскольку [0, 1] и U^ компактны, найдется такая последовательность 乙 индексов i, что числа /% сходятся при /f 8 к некоторым w [0, 1] и, следовательно, %(") —к некоторым точкам d三昕(j=l, …，々). Построим в。西 ломаную геодезическую с: [0, 1] f М, полагая “尸 /] (/ = 1, •••,々)равной однозначно определенной кратчайшей геоде-

зической [〃-* М, соединяющей с，т с сЛ Проверьте, что с принадлежит тому же (р, (у)-гомотопическому классу, в котором были выбраны q, и что £ (с) = ц. Отсюда нетрудно заключить, что с — геодезическая, так как в противном случае можно было бы найти близкий к с более короткий путь, принадлежащий тому же (р,(у)-гомотопическому классу.

Геодезическую с в (р,(у)-гомотопическом классе путей из Qpq можно проще получить с помощью абстрактной конструкции универсального накрытия л:麻 f М. В этой конструкции можно, зафиксировав р, взять в качестве слоя над q в М множество всех (р,(у)-гомотопических классов. Топология на М определяется следующими системами окрестностей для точек @ 三 府.Зафиксируем путь CR0 н окрестность U точки q = л(^). Рассмотрим всевозможные пути с' с началом в g н концом в qqU, целиком лежащие в U. Пусть сх — композиция с с таким путем с'; символом 仇, обозначим (р, (/^-гомотопический класс, содержащий д. По определению классы % соответствующие всевозможным с', составляют окрестность q в М. Меняя U н с, получаем полную систему окрестностей q. Покажите, что по отношению к этой топологии л является локальным диффеоморфизмом, канонически индуцирующим на М структуру связного полного риманова многообразия, причем л оказывается дифференцируемым изометрическим накрытием (см. также замечание (v) разд. 5.3). Далее, М односвязно, а потому накрытие 冗：府-> М универсально.

Обозначим через р класс гомотопных нулю путей, для которых 冗(夕) = р, т. е. путей, (р, р)-гомотопных тривиальному пути £-> р・ Тогда существует геодезическая 6: [0, 1] -> М, соединяющая ^с^, ис = ло^ есть геодезическая в М, принадлежащая @ и соединяющая peg.

В дополнение к предыдущему рассуждению покажем, что фундаментальная группа л】(М) 4 л】(М, р) действует на М как группа изометрических преобразований накрытия, а именно элемент f ^Щ (М, р) точке q ^М ставит в соответствие (р, ^-гомотопический класс композиции некоторого пути нз f с путем из ?. Действие л】(М) на М^ свободно, т. е. каждая точка q имеет такую окрестность V в М, что для любых двух различных элементов fi, f2 е щ (Л1, р) пересечение 九 ”)0%〃) = 0・ В частности, никакой элемент 冗】(М), отличный от единичного, не имеет неподвижных точек на М. Обратно, если на римановом многообразии М свободно действует некоторая дискретная группа Г, составляющая подгруппу группы всех изометрий М на себя, то множество М = Л4/Г всех орбит (f(p)： f 与『｝ с фактортопологией, заданной естественной проекцией л: М-> М, имеет структуру риманова многообразия,

при которой л оказывается изометрическим дифференцируемым накрытием. Если при этом М односвязно, то %(Л1)仝匚

Вообще говоря, в каждом (р, ^-гомотопическом классе путей в。西 существует более чем одна и даже бесконечное множество геодезических, как это видно на примере Л1 = S? (см. также замечание (iii) разд. 5.3). Если, однако, р — полюс М, то в каждом (р, ^-гомотопическом классе。网 существует в точности одна геодезическая. В самом деле, в доказательстве нуждается только единственность, а она получается либо аналогично рассуждениям леммы этого раздела, либо прямым применением той же леммы к построенному выше универсальному накрытию М-> М,

Отсюда получается другая, „конкретная"* конструкция универсального накрытия. Пусть Мр — касательное пространство Мр в точке р с индуцированной из М отображением ехрр римановой метрикой. Тогда, как мы сейчас покажем, для полюса р^ М отображение ехрр： МР->М есть изометрическое дифференцируемое накрытие. Для этого достаточно проверить, что прообраз exp"1 (С/) произвольной односвязной окрестности U и М распадается на компоненты связности, каждая из которых при отображении ехрр диффеоморфно отображается на СЛ Пусть U — такая компонента связности, vb v2 е U, и^声 и? и expp(U])=expp(U2)= g・ Обозначим через G, с2 пути в U, заданные формулами /—> 句打 / —> /v2, Z е [0, 1], и положим C]=exppodi，с2 == ехрр ° с2, тогда си с2 — геодезические в М с общим началом р и общим концом q wU、Построим в Мр дифференцируемый путь -ф, соединяющий точки и” и* и обозначим через % композицию путей &, -ф, сГ1, где Cf'(/) = = с2(1 — /), % 三[0, 1]. Тогда в силу односвязности Л1р.путь ехрр° х является (р, р)-гомотопным нулю в Л4, а в силу односвязности U путь ехрр-ф соответственно (д, ^-гомотопным нулю в С/. Поэтому геодезические с】,с2 являются (р, ^-гомотопными, вопреки доказанному выше. Итак, ехрр: Мр^ М есть накрытие. Так как 2Wp^Rn односвязно, ехрр есть универсальное накрытие, являющееся в то же время изометрическим отображением римановых многообразий МР—>М. Тем самым построена конкретная геометрическая реализация ранее указанной абстрактной конструкции.

Пусть Л1 — полное риманово многообразие размерности 也》2 c везде неположительной римановой кривизной. Так как универсальное накрывающее М по теореме Адамара — Картана диффеоморфно R' и, в частности, стягиваемо по себе, то М есть пространство Эйленберга — Маклейна типа К (л, 1), где n = п】(А!)— фундаментальная группа М. В этом случае группы когомологий М изоморфны группам когомологий тех же размерностей абстрактной

группы л, Н* (М, Z) ^ Н* (л, Z). Отсюда следует, что каждый отличный от единицы элемент %(М) имеет бесконечный порядок. Действительно, элемент конечного порядка порождает циклическую подгруппу Г с: Л] (М), которой в силу (i) соответствует изометрическое накрытие М—► М, для которого Л](М) ^ Г. Так как М — n-мерное многообразие, то "，(府,Z) = "'(「, Z) = 0 при всех z > п, что приводит к противоречию, поскольку последовательность групп когомологий конечной группы, как можно показать, не обрывается.

Тот же результат можно получить прямым геометрическим путем. Для этого рассмотрим риманово универсальное накрывающее М, на котором, согласно (i) и (iii), Л] (М) свободно действует как группа изометрических преобразований накрытия. Пусть существует элемент f ^щ (М) конечного порядка k, f ^ lt при этом существует нетождественная периодическая изометрия f: М—► М, для которой f* = id・ Возьмем точку р0 е М и положим р^ = fz (р0), 0&£《& —1, тогда множество {р0, …，p&_J инвариантно относительно f. Поскольку М — полное односвязное риманово многообразие неположительной кривизны, каждая точка ре М является полюсом, так что ехрр инъективно. Из леммы этого раздела с учетом замечания (ii) разд. 5.2 и сравнивая индексную форму, как в разд. 6.1, получаем, что все метрические шары в М выпуклы и просты. Для некоторого т]>0 и р е= А? точки р0, ..., р&_] принадлежат компактному шару Вл(р).「khm образом, множество Л всех точек д, для которых f'(g)已 8Tl(р) при z = 0, 1, ..., & —1, не пусто и компактно, и непрерывная функция gf p(g, f(q)) достигает минимума у》0 в некоторой точке ^0 е А. Мы покажем, что у = 0, а это будет означать, что ^0 — неподвижная точка 力 вопреки предположению, что щ (М) свободно действует на М. Из этого противоречия и будет следовать требуемое утверждение. Если ц>0, то угол треугольника с вершинами *, f(go),尸(％) прн вершине /(%) меньше л, потому что в противном случае все точки f'(go) лежали бы на некоторой нетривиальной периодической геодезической, что несовместимо с инъективностью ехр^. Возьмем точку q на кратчайшей, соединяющей ^0 с，(％), отличную от ее концов, тогда ввиду выпуклости всех метрических шаров имеем

р(@, f(?))<p 倚，f(qo)) + p(/(qo),"'(@)) = p(qo, f(9o)) = N, что противоречит определению 卩・

Пусть М — полное риманово многообразие размерности м》2 постоянной кривизны Ко = к^0. Рассмотрим для х<0 п-мерное гиперболическое пространство М = UKt а при к = 0 евклидово пространство М — Rrt (см. замечание (iv) разд. 3.6). Если М одно-

связно, р ^ Mt р ^ М и I： Мр-^ М^—линейная изометрия, то экспоненциальные отображения ехрр, ехр彳 инъективны и ехр百 ° i ° exp*1, согласно замечанию (i) разд. 6.3, есть изометрия М на М. Следовательно, риманово универсальное накрывающее М многообразия М всегда изометрически диффеоморфно (и, значит, изомет- рично в смысле расстояния) стандартному пространству той же кривизны, т. е. гиперболическому или евклидову пространству.

В случае если Л1 не обязательно односвязно, также известны некоторые результаты о строении М, по крайней мере при х = 0. Риманово многообразие нулевой кривизны называется плоским. Такое многообразие М имеет в качестве изометрического универсального накрывающего R" и может быть, согласно (iii), получено как пространство орбит Rrt относительно группы щ (М), элементы которой отождествляются с изометрическими преобразованиями накрытия Rrt, т. е. с евклидовыми движениями R" (см. замечание (iv) разд. 3.2). Так как при этом щ (М) действует свободно, то получаются движения без неподвижных точек.

Рассмотрим эндоморфизм голономии qp: Л! (М) -► О (п) (см. замечание (V)разд. 2.6). Если М компактно, то, как можно показать, образ qp в О (п), т. е. группа голономии Ф риманова многообразия М, конечен и ядро ф есть максимальная нормальная подгруппа Л] (М), изоморфная n-мерной целочисленной решетке Z“uR“. Таким образом, фундаментальная группа плоского риманова многообразия М есть конечное расширение свободной абелевой группы Zrt. Точной последовательности групп Of Z“f fji[(M)f ①f 1 соответствуют римановы накрытия R“f T“fM・ Итак, плоское компактное риманово многообразие всегда имеет n-мерный тор Т“ в качестве конечного изометрического накрывающего, причем группа голономии М действует на Тп как группа изометрических преобразований накрытия. Для любой конечной группы Ф существует плоское компактное риманово многообразие, имеющее Ф своей группой голономии. В каждой размерности существует лишь конечное число не гомеоморфных друг другу плоских компактных римановых многообразий.

Единственная компактная ориентируемая поверхность М, допускающая плоскую риманову метрику, есть тор 戸，как это вытекает из предыдущих соображений и замечания (i). Это также легко следует из теоремы Гаусса — Бонне, согласно которой для любой компактной ориентируемой поверхности М имеет место = = 2лу, где (о — форма площади и х — эйлерова характеристика поверхности М. Если К = 0? то и & = 0? поэтому поверхность М диффеоморфна К.

При х<0 фундаментальная группа 加(М) представляется как группа изометрических преобразований накрытий, свободно действующая на n-мерном гиперболическом пространстве U*，таким образом, М изоморфно факторпространству стандартного пространства [/к. Несмотря на такое достаточно явное описание гиперболических пространств постоянной кривизны, общей классификации всевозможных диффеоморфных типов таких пространств еще не существует. Ряд дальнейших сведений по этому вопросу можно найти в цитируемой ниже книге Вольфа (см. замечание (iii) разд. 7.3). Любая компактная ориентируемая поверхность М^ рода g》2 диффеоморфна пространству орбит некоторой группы изометрий, свободно действующей на гиперболической плоскости, как это доказывается в теории функций (см. замечание (iv) разд. 3.6). Поэтому на М^ существует риманова метрика постоянной отрицательной кривизны х, которая может быть задана произвольно.

Отметим в заключение одно свойство фундаментальной группы полного риманова многообразия, кривизна которого везде отрицательна.

Пусть М полно, dimM》2, Ко&х&О для всех касательных плоскостей а, и пусть М односвязно. Если △=(的,q, с2) —тРеугольник в М с углами yz при вершинах р凸 то существует треугольник △ (с0, 引，с2) с теми же длинами сторон L (rz) = L (cz) в гиперболической плоскости U* (при х<0) или в R2 (при х = 0) (см. замечание (i) разд. 6.4). Обозначим через 心 углы треугольника △ , соответствующие углам △. Так как ехрР/： MPi -> М есть диффеоморфизм, из теоремы сравнения Рауха непосредственно вытекает (как и в части (а) доказательства теоремы Топоногова), что у£^у( и, более того, Y±V①厶 если KoVx&O и треугольник △ — невырожденный, т. е. не все его вершины лежат на одной геодезической (см. замечание (iv) разд. 6.4). Сравнивая с R2, находим, что сумма углов △ не больше л, и притом строго меньше л. если KoVO и △ — невырожденный.

Четыре попарно различные точки р°,卩卜 р2> Рз определяют геодезический четырехугольник □ = (%, q, 3， ，з) в М, где G： [0, 1】一> М — геодезическая с ct (0) = pb q (i) = pi+h считая индексы по модулю 4. Угол у^ четырехугольника □ при вершине р, по определению равен л— -ЙС(сН1 (1), d±(0)). Покажем, что сумма углов □ не превосходит 2л и строго меньше 2л, если К。之 0 н □ — невырожденный, т. е. не все четыре его вершины лежат на одной геодезической. Для этого разобьем □ диагональю на треугольники с вершинами р°,卩卜 р2 и Р2， Рз，Р《，а затем примем во внимание, что для любых трех ненулевых векторов и, и, 9 wIR" справедливо неравенство 今(〃，酬)《耳(〃，d) + 4(d, w), как это следует из неравенства треугольника на сфере S"-L

Последнее рассуждение имеет следующее непосредственное приложение. Образ невырожденной геодезической с: R-> М назовем прямой в М; изометрию /: М->М назовем трансляцией, если на М. существует прямая С, остающаяся инвариантной относительно f, т. е. f (С) = С. Пусть везде на М выполняется /Са<0. Покажем, что каждая трансляция f оставляет инвариантной в точности одну прямую С, так что в М нет „параллельных** прямых. Допустим, что СЛ — отличная от С прямая, для которой f (СЛ) = С\ Возьмем точки pwC, р‘ rC‘ и положим q = f (р)^С, q，= f В) R С〈 В геодезическом четырехугольнике □ с вершинами (р, q,夕‘，р‘) углы при вершинах р, «, соответственно р* д', дают в сумме л, так как f — изометрия, а С и Сл инвариантны относительно f, поэтому сумма углов □ равна 2л, вопреки доказан

ному выше.

Пусть теперь Г — группа изометрий, свободно действующая на М (см. замечание (iii)). Если Г — абелева группа, содержащая трансляцию f, то Г есть бесконечная циклическая группа Z. В самом деле, если С — прямая в М, инвариантная относительно f и g w F, то g (С) = g (f (С)) = f (g (С)). Поэтому прямая g (С) также инвариантна относительно 力 откуда g(C) = C, поскольку мы доказали выше, что в М может быть не более одной прямой, инвариантной относительно f. Таким образом, все не тождественные изометрии группы Г суть трансляции с одной и той же инвариантной прямой С. На прямой С группа Г свободно действует как группа сдвигов, откуда и следует требуемое утвер

ждение.

Пусть теперь М не обязательно односвязно (но компактно) и имеет всюду отрицательную кривизну. Следующее утверждение вытекает из предыдущих рассуждений: каждая абелева подгруппа Г фундаментальной группы щ (М) — бесконечная циклическая. Для доказательства рассмотрим риманово универсальное накрытие М^ М\ согласно замечанию (iii), щ (Л4) свободно действует на М как группа изометрических преобразований накрытия. Мы покажем, что все преобразования накрытия суть трансляции, откуда и будет следовать сформулированное выше предложение.

Сначала сделаем замечание общего характера. Пусть М — дифференцируемое многообразие, %, з： [а, р -> Л4 — кусочно дифференцируемые замкнутые пути, с0 (а) = с0(р) = р0, с{ (а) = с{ (р) == Непрерывное отображение Н: [а, р] X [0, 1]^ М называется свободной гомотопией, связывающей & с Q, если отображение Hs: [а, р] -> М, заданное формулой Hs (/) == Н (/, s), — есть кусочно дифференцируемый замкнутый путь для каждого s е [0, 1] и, кроме того,儿=%, "1 = з，При этом в случае риманова многообразия М опять предполагается, что функция длины s f L (Н j

непрерывна (см. разд. 7.1). Пути с0 и сх называются свободно гомотопными> если существует свободная гомотопия, связывающая с。 с сР „Свободная гомотопность*4 есть отношение эквивалентности во множестве Q всех кусочно дифференцируемых замкнутых путей [0, 1]-> М. Если пути с0 и сх свободно гомотопны и Po = Pi, то q и з не обязательно (р0, р0)-гомотопны. Путь & в том и только том случае (р(), р())-п)мото пен тривиаль-

принадлежит тривиальному классупринадлежит тривиальному классуному пути /-> Ро, если с0

принадлежит тривиальному классу

принадлежит тривиальному классу

пути t f р 三 М. Покажите,пути t f р 三 М. Покажите,свободной гомотопии, т. е. свободно гомотопен тривиальному

пути t f р 三 М. Покажите,

пути t f р 三 М. Покажите,

что каждый класс эквивалентности

свободно гомотопных путей в Q содержит периодическую геодезическую минимальной длины, если М — компактное многообразие (рассуждения аналогичны (iii)). Следует заметить, что для полных, но не компактных римановых многообразий последнее утверждение, вообще говоря, неверно, как это видно на примере гиперболоида вращения х2 + z/2 — z2 = 1 в полупространстве R：.

Вернемся теперь к исходной ситуации. Зафиксируем pwM и отождествим щ (М) с щ (М, р). Если путь с。w R представляет отличный от единичного класс (р, р)-гомотопии из 冗】(М), то с0 свободно гомотопен нетривиальной периодической геодезической с w R. Прообраз с относительно проекции М —> М есть прямая в М. В силу конструкции универсального накрывающего в (iii) эта прямая инвариантна относительно индуцированного с0 преобразования накрытия f: М —> М. В самом деле, рассмотрим свободную гомотопию Н, связывающую с0 с с, положим д = с(О) = с⑴ и определим с+, с_ ^ йр^ по формулам с+ (s) = Н (0, s), с_ (s)= = Я (0, 1 — s). Тогда очевидно, путь с0 является (р, р)-гомотопным композиции путей с+, с, с_. Итак, каждое преобразование накрытия есть трансляция, и наше исходное предложение доказано.

Рассмотрим в качестве примера произведение М = Alg, X М|, двух компактных ориентируемых поверхностей 乂第 М^ родов gi，g2》2 с постоянной отрицательной кривизной (см. замечание (у) и определение произведения в замечании (vi) разд. 3.6). Метрика произведения имеет всюду кривизну К。《6, но из только что полученного результата следует, что на М не может существовать никакой метрики строго отрицательной кривизны, так как 冗1 (М) содержит подгруппу, изоморфную Z2 (см. (i) и (v)); Точно так же не может существовать метрики строго отрицательной кривизны на торе Т".

Покажите, что фундаментальная группа 冗】(М) компактного риманова многообразия строго отрицательной кривизны не может быть абелевой.

Пусть М, ^ — компактные дифференцируемые многообразия, покажите, что на MXN не существует метрики строго отрицательной кривизны.

По вопросам, рассмотренным в этом разделе, см. Preissmann А., Quelques proprietes globales des espaces de Riemann, Comm. Math. Helv., 15 (1943), 175 — 216. В этой же работе собран ряд известных к тому времени результатов глобальной римановой геометрии.

Кривизна и диаметр

Для полных римановых многообразий неположительной кривизны известно по крайней мере топологическое строение универсального накрывающего, которое диффеоморфно евклидову пространству. В случае положительной кривизны дело обстоит иначе, и мы подробно займемся этим вопросом в следующих разделах.

Пусть М — связное риманово многообразие н 4 — подмножество М. Число рл = sup р(р, g) называется диаметром А. Для р, q 告 <

компактного подмножества 力 и Л4 диаметр рл конечен и существуют точки Ро, qQ 三 4 для которых рл = р (%, *), поскольку р — непрерывная функция.

Следующая теорема является обобщением классического результата Бонне о выпуклых поверхностях.

Теорема 1 (Мейерс С. Б.)

Усл. М — полное риманово многообразие; ^a ^ х > 0 для всех касательных к М плоскостей а.

Утв. Для всех р, q w М выполнено неравенство

Р(Р，д)&Рм &"j^"・(1)

Согласно части (с) теоремы Хопфа — Ринова (разд. 5.3), отсюда следует, что М компактно. Так как риманово универсальное накрывающее М удовлетворяет вместе с М условиям теоремы, М также компактно и, следовательно, % (М) конечна (см. замечание (iv) разд. 5.3 и замечание (i) разд. 7.2).

Док. По теореме Хопфа — Ринова существует нормальная геодезическая с: [0, ^\~> М, соединяющая peg, для которой L(c) = = Р(Р，«)• В силу разд. 4.5 геодезическая с не имеет сопряженных точек в [0, р), и из теоремы Морса — Шенберга следует, что Р(Р，д) = 6《Т^? т. е. утверждение (1).

Пусть М — риманово многообразие, dimM》2 и S —действительное число, 0&6&L Кривизна М называется ^-ограниченной, если существует такое число ц>0, что

6从《瑞《卩⑵

для всех касательных к М плоскостей а.

Многообразия с 1-ограниченной кривизной суть пространства постоянной положительной кривизны 卩(„эллиптические пространственные формы").

При умножении метрического тензора g на положительное число X все значения римановой кривизны К。делятся на 九(см., например, (22) разд. 3.6), и 6-ограниченное многообразие переходит опять в 6-ограниченное. В частности, риманову метрику М можно всегда нормировать так, чтобы везде выполнялось 6& KKo《L Если М компактно и везде /Со>0, то кривизна М 6-ограничена, где 6>0 (см. замечание (ii) разд. 3.6).

Верхняя граница в неравенстве (1) достигается для сферы Af = S\ кривизны х, диаметр которой (в смысле внутренней

метрики) равен-^г. Для любого другого риманова многообразия, удовлетворяющего условиям теоремы Мейерса, диаметр меньше —^, как это видно из следующей теоремы:

Теорема 2 (В. А. Топоногов)

Усл. М полно] К。》乂>0 для всех касательных к М плоскостей и,

Утв. М изометрически диффеоморфно сфере S" i кривизны х.

Док. Зафиксируем точки р, q 三 М, для которых р(р, 9)=「川=声・

Покажем вначале, что каждая исходящая из р нормальная геодезическая с: [0, 0]-> ЛГ длины р = имеет конец в точке д. Возьмем значение /0 ^ (0, р), тогда для точки г = с(") имеем »о = р(р, г). Пусть, далее, с0 — нормальная геодезическая, соединяющая reg, для которой L (仇)=р(г, е)・ Тогда % + £(%) = =р(р, г) + р(г, д)》р(〃 g)・ С другой стороны, в силу (6) разд. 6.4 имеем р(р, r) + p(r, q) + p(q, p)Wy^, откуда р(р, r) + p(r, q)&

— р(р, д) = р(р, д). Поэтому " + £(Со) = р(р, е), композиция путей с % «] и & есть кратчайшая и, значит, нормальная геодезическая, которая должна совпасть с е. Следовательно, с(В) = д (см. замечание (iii) разд. 4.4).

Из утверждения (а) вытекает, что отображение ехрр обратимо на открытом шаре U и Мр радиуса 0 = уДг с центром в 0. В са-

мом деле, предположим, что ехр |у не инъективно, тогда существуют две различные нормальные геодезические %, с2: [0,例 f М, соединяющие р с д, н два числа /” /2 ^ (0» ₽)» для которых 5 〃i) =。2«2)・ Ясно, что /1 =，2, так как в противном случае либо композиция путей с{ |[0 州，с21[；2 р], либо композиция путей с21[0 切， с{ |[；[ I】 была бы короче ~~=г. Но тогда композиция с〔 |田川 и 匕21也 в〕 есть кусочно нормальная геодезическая длины § = р(р, д), соединяющая р с ^, и в силу замечания (iii) разд. 4.4 является нормальной геодезической. Итак, с{ и с2 совпадают, вопреки предположению. Заметим еще, что из инъективности ехрр |у следует, что ехрр |у есть диффеоморфизм (см. замечание (iii) разд. 5.3).

Пусть с: [0, р] -^ Af — произвольная нормальная геодезическая длины с началом р, покажем, что Кд = х для всех плоскостей а ^ Gc. Согласно (а), с есть кратчайшая, соединяющая peg, тогда из замечания (ii) разд. 4.6 следует

Indc = 0. (3)

Обозначим через р, q северный и южный полюсы сферы 自=S" i

кривизны х, через с — нормальную геодезическую в М, соединяющую р с ^. Построим, как и в разд. 6.1, изоморфизм Ф: 53^—>23^. Предположим, вопреки нашему утверждению, что существуют такие /0 ^ [0, 0] и и^Мс(/0), для которых || и || = 1,〈％ @ (/())〉= 0 и кривизна К (и, с(/0))>х, в силу непрерывности можно считать при этом, что 仇三(0, р). Тогда, согласно замечанию (i*v) разд. 4.2, существует поле Якоби У вдоль с, для которого У (0) = 0, У (р) = 0, У (/0) = й = Ф^1 (и). Из неравенства (7) разд. 6.1 следует прежде всего, что / (У, У)^/(ФУ, ФУ), поскольку в данном случае выполнено предположение (1) разд. 6.1. Так как

kЗ"(幻)=k(① У (幻"&))>>< = k (У (幻，貿幻)，

мы получаем в (8) разд. 6.1 вместо ”》“ строгое неравенство, т. е. /(У, У)>/(ФУ, ФУ). С другой стороны, /(У, У) = 6, так как с — кратчайшая, и из предыдущего неравенства получается Ind с>0, что противоречит (3). Этим утверждение (Ь) доказано.

южныйтром вюжныйтром вТеперь мы можем доказать, что М изометрически диффеоморфно сфере М = S" 1 кривизны х. Пусть р, q — северный и

южный

тром в

южный

тром в

цен- в 0.цен- в 0.полюсы М\ U а Мр — открытый шар радиуса -~ с 0; V и Л!, - открытый шар радиуса 声=• с центром

цен- в 0.

цен- в 0.

Построим произвольную линейную изометрию i: Мр-^ Мр и определим непрерывное отображение А: “-> М по формуле А (г)= =ехрр о I ° (expp ly)-1 (г) для г ^ q, h(q) = q. Согласно пункту (а), 也}\仞} есть Диффеоморфизм. Покажем, что этот диффеоморфизм изометричен. Пусть и е M?t положим b = (ехр户 l^)；】 и. В силу (2) разд. 6.3 имеем || ехр^* 6 || = || ехрр* цб ||, так как М имеет постоянную кривизну 乂 вдоль всех исходящих из р геодезических (см. пункт (Ь)). Тем самым || и || = || h^ || и /г* сохраняет норму. Из тождества 2〈и, 5〉= || и + 5 0 — II и |р — II 5 |Р видно, что 儿 сохраняет также скалярное произведение, так что h\M^ {q} есть изометрический диффеоморфизм.

Остается доказать, что h является также дифференцируемым и изометрическим отображением и в окрестности q. Для этого построим произвольную линейную изометрию t: Mq-^ М^ и определим отображение f: М-^ М по формуле f (г)=ехр^。t。(expq |丿尸(「) для г =# р, f (р) = р. Отображение f\M^ {р)оказывается изометрическим диффеоморфизмом, точно так же, как 也 I前、{用•

Нетрудно проверить, что F = f ° h: М-^ М есть диффеоморфизм сферы М на себя, сохраняющий расстояния. В самом деле, если rb r2 е М \ {q} и с, r2 е Л4 \ (р), то, очевидно,

Р (“，厶)= р(л (?!), /г(г2)), р(П,々)=Р (f (n), f (力))• (4)

Из соображений непрерывности равенства (4) распространяются все точки R, г2 三 М,门，г2 三 М, откуда получается р (尸(R), F (r2))= = P(h，产2) Для всех rb r2 M. Таким образом, f —ортогональное отображение евклидовой сферы на себя и, значит, изометрический диффеоморфизм, см. замечание (iv) разд. 4.2. Отображение F~[ о f есть обратное А, так как F"1 °f\M \{р)есть изометрический диффеоморфизм, отображающий М\{р} на М \ {р}, то h есть изометрический изоморфизм на Л4\{р} % следовательно, А — изометрия.

Замечания

Пусть М — полное многообразие, dimAf = п. Предположим, что для всех нормированных векторов v ^ТМ кривизна Риччи г(v)Xn — 1)х>0 (см. разд. 3.6). Пользуясь результатом замечания (i) разд. 6.2, покажите, что в этом более слабом предположении остается справедливой оценка (1) теоремы 1.

Таким образом, полное риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена снизу положительным числом, компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

Параболоид представляет пример полного некомпактного риманова многообразия положительной кривизны (см. замечание (viii) разд. 3.7).

) Рассмотрим связное (не обязательно полное) риманово многообразие М. Пусть р^ Mf U&cz Мр— открытый шар радиуса е>0 с центром в 0. Предположим, что U& целиком принадлежит области определения ехрр и что для всех плоскостей о, касательных к М в точках ехрр(U^, выполнено неравенство К(；》х>0・

много-много-Покажите, опираясь на лемму разд. 5.3, что при &>-^

много-

много-

образце М компактно.

i) Пусть М — полное риманово многообразие постоянной ■ кривизны А"о=х>0- Тогда по теореме Майерса М компактно и фундаментальная группа Л! (М) конечна. Покажем, что если М односвязно, то М изометрически диффеоморфно стандартному пространству той же кривизны х — сфере М = S\_. Это предложение можно получить, сопоставляя теорему 2 этого раздела с теоремой разд. 7.7, согласно которой. Более простое доказатель

ство состоит в следующем. Возьмем точки 夕三府 и pwM и по- ■ строим линейную изометрию i0：府户-* 〃卩・ Тогда f0=expp □ i0 oexp^1 есть изометрическое погружение в М открытого шара Вл (Q) и 府

радиуса с центром Q (см. замечание (i) разд. 6.3). Пусть q е В л (р) и q ¥= р- Положим q=%(?) и построим линейную

fl： expq。и оехр” изометрически отображает Вfl： expq。и оехр” изометрически отображает Вл (Q)В М, И ПОл (Q)В М, И ПОизометрию а： М4fMq по формуле i^ =f0*u- Тогда отображение

fl： expq。и оехр” изометрически отображает В

fl： expq。и оехр” изометрически отображает В

л (Q)В М, И ПО

л (Q)В М, И ПО

теореме единственности для изометрий имеем % |

=fi |в я 传)пв я е)・ Поскольку оба шара вместе покрывают всю

сферу М, отображения %, “ задают изометрическое погружение f: М—> М, Так как М и М компактны, а М односвязно, выполняются условия замечания (v) разд. 1.7, откуда получается, что f — диффеоморфизм. Таким образом, доказана и оставшаяся часть теоремы.

Из только что доказанного предложения следует, что для многообразия М постоянной кривизны х>0 риманово универсальное накрывающее М изометрически диффеоморфно Sn i , причем

фундаментальная группа 冗](Л4) свободно действует на S" i как группа изометрических преобразований накрытия, т. е. в данном случае ортогональных отображений без неподвижных точек (кроме тождественного).

Из топологии известно, что при четном п всякое диффеоморф- ное отображение S" на себя, сохраняющее ориентацию Sn, имеет неподвижные точки (см. разд. 7.7). Оправляясь от этого факта, покажите, что каждое компактное многообразие постоянной положительной кривизны к изометрически диффеоморфно либо сфере S"i , либо проективному пространству Рп\ (R), для кото-

рого Sn\ служит римановым универсальным накрывающим (см. разд. 7.5).

Для нечетного п соответствующая классификация классов изометрии и связанный с ней вопрос, какие конечные группы могут свободно действовать на S", представляет трудную задачу, лишь недавно решенную Вольфом. Следует указать на раннюю основополагающую работу Хопфа (Hopf Н., Zum Clifford — Kleinschen Raumproblem, Math. Ann., 95 (1926)), а также на весьма содержательную книгу Вольфа (Wolf J. A., Spaces of constant curvature, McGraw-Hill Co. (1967)). Некоторые сведения из этой области можно найти также в цитированной в конце § 1 книге Кобаяси — Номидзу.

Примером неодносвязного компактного риманова многообразия постоянной положительной кривизны является действительное проективное пространство Р“ [ (R),拉》2, его фундаментальная

группа Z2 свободно действует на сфере S" i (образующий эле- мент Z2 есть инволюция а-> — а). Приведем в качестве более общего построения так называемые линзовые пространства. Пусть р, 7 —взаимно простые натуральные числа. Циклическую группу g・ro порядка Z“ можно представить как мультипликативную группу корней 7-й степени из единицы ]е ' |o*v《g-i/, свободно / 2«iv 2лгур\ действующую на S? по правилу (zb z2)-> \zxe q , z* q 丿,где S3 и R4 а ©2 описывается уравнением z^i + z2z2 = 1. Линзовое пространство L(p, q) есть факторпространство по отношению к этой групповой операции с индуцированной римановой структурой.

Существуют также простые неабелевы группы ортогональных отображений, свободно действующих на S3 (см. также замечание (iv)).

(iv) Если М — полное риманово многообразие размерности п>2 с 6-ограниченной кривизной, б>0, т. е. М компактно и имеет везде положительную кривизну, то в случае нечетной размерности п о строении фундаментальной группы 冗乂乂) известно немногое; в случае же четного п существуеточень простое полное описание (см. разд. 7.5). Если 6>~-, то по теореме о сфере (см. разд. 7.8) риманово универсальное накрывающее М многообразия М гомеоморфно сфере Sn. В этом случае методами алгебраической топологии (исследованием спектральной последовательности накрытия S"f S^/F) можно показать, что каждая абелева подгруппа Гил[(Л1) циклична. Интересна нерешенная задача, поставленная Чжэнем: останется ли справедливым последнее утверждение, если отказаться от ограничений на 6. Достаточно рассмотреть накрытие М -> М/Г и, таким образом, можно считать, что Г ^ л! (М) уже абелева. Однако М может быть не гомеоморфно сфере S". Если п четно, то ответ положителен, как и в случае компактных многообразий строго отрицательной кривизны (см. замечание (vi) разд. 7.2). Если допустить, что каждая абелева подгруппа фундаментальной группы компактного риманова многообразия положительной кривизны — циклическая, то отсюда, например, во многих случаях следовало бы, что на произведении двух неодносвязных компактных многообразий не существует римановой метрики положительной кривизны.

Ориентируемые многообразия

Напомним сначала одно понятие линейной алгебры.

Пусть £ — действительное n-мерное векторное пространство размерности пит: £ -> £ — эндоморфизм, т называется сохраняющим ориентацию, если det т> 0. Сохраняющий ориентацию эндоморфизм, в частности, является изоморфизмом. Пусть Еъ £2 ~ действительные векторные пространства равной размерности п, /: £\-> Е?, g: Е2-> Ег~ линейные отображения, причем g。/ сохраняет ориентацию. Далее, пусть т: EzfE? —сохраняющий ориентацию изоморфизм, тогда и got。" Ег —> Е{ сохраняет ориентацию.

Установим во множестве всех упорядоченных базисов Е следующее отношение эквивалентности: два упорядоченных базиса ?],•・・,еп и ёъ ..., ёп называются эквивалентными, или одинаково ориентированными, если существует сохраняющий ориентацию изоморфизм т: Е-> Е, для которого те『&. Класс эквивалентности одинаково ориентированных базисов называется ориентацией Е, Существуют в точности две различные ориентации Е при п>0.

Пусть М — n-мерное многообразие. Ориентацией О на Л1 называется функция, сопоставляющая каждой точке р^ М ориентацию Ор касательного пространства Mpt „непрерывно зависящую от р“ в следующем смысле:

для любой точки р ^ М существуют окрестность U точки р и непрерывные базисные поля Х“ ..., X打三泌U, такие, что для всех q 三 U базис Xx\qi ..., Хп 匕 представляет ориентацию Q на Mq.

Многообразие М называется ориентируемым, если на М существует ориентация; М ориентируемо в том и только том случае, если ориентируема каждая компонента связности М; если таких компонент имеется А, то существует, при л>0, 2厶 ориентаций. Ориентируемое дифференцируемое многообразие М вместе с заданной ориентацией на М называется ориентированным многообразием. Каждое параллелизуемое дифференцируемое многообразие М ориентируемо, так как в этом случае существуют даже глобально определенные базисные поля.

Пусть М — n-мерное ориентируемое дифференцируемое многообразие с ориентацией С; с: [0, 1] -> М — непрерывный путь. Определим непрерывные базисные поля Х『：[О, \}-^ТМ вдоль с, / = 1,..., л, т. е. такие поля, что 冗。犬,=6 и Х{ (/), ..., Хп (/) составляют базис касательного пространства Мс(/)при всех / е [0, 1], причем последовательность Х{ (/0), •・.,Хп(/0) принадлежит ориентации €>с(^ пространства Мс(^. Тогда, как нетрудно убедиться, базисы Хх (/), ..., Хп (/) представляют при всех / ориентацию €>с(/). Если, в частности, путь с замкнут, т. е. р = с(0) = с⑴，то изоморфизм т: Alpf Мр, заданный формулой xXf (0) = Xf (1), /= 1,..小 сохраняет ориентацию.

Пусть М, М — ориентированные связные многообразия равной размерности с ориентациями О, 6. Погружение f: М называется сохраняющим ориентацию, если для всех р имеем f® = = 4“р), в противном случае f называется обращающим ориентацию. Покажите, что если для некоторой точки р0 е М справедливо f*Qpo = ©f(ро), то / сохраняет ориентацию.

Пусть М — связное дифференцируемое многообразие, р^М, Ор — ориентация Мр. Каждый непрерывный путь с: [0, 1] -> М, для которого с (0) = р, c(l) = q, индуцирует из ©р ориентацию Dfl на Мя. А именно, рассмотрим непрерывные базисные поля X], ..., Хп вдоль с, представляющие в точке р ориентацию ©р, тогда Qg задается базисом Х【(1), ..., Х^(1) и, как легко видеть, не зависит от выбора %.

Построим теперь на М произвольную линейную связность и предположим, что с — кусочно дифференцируемый путь. Тогда,

в частности, параллельный перенос вдоль с по отношению к V задает изоморфизм т: Мр —> М^, такой, что tDp = Oq・ Пусть с: [0, 1]—> М— другой кусочно дифференцируемый путь, 2(0) = р, c(l) = q и т: Мр^ М^— параллельный перенос вдоль с. Если % с являются (р,(у)-гомотопными, то с и с индуцируют из 8р одну и ту же ориентацию Qq на Мя. В самом деле, согласно замечанию (i) разд. 7.1, существует кусочно дифференцируемая (р, (у)-гомотопия Н: [0, 1] X [0, l]f 府,соединяющая с cct и параллельный перенос %： Мр —> Мя вдоль пути семейства Hs непрерывно зависит от s, так что для всех s w [0, 1] образы базиса Мр при отображении т5 одинаково ориентированы в Мя. Поскольку т = т0, т = ть имеем тОр = тОр = О^. Отождествим фундаментальную группу 冗〔(М) с 冗i(M, р)・ Зададим следующим образом гомоморфизм ориентации nj (М)—>Z2, где Z2 представляется как мультипликативная группа {— 1, 1}: сопоставим замкнутому кусочно дифференцируемому пути с: [0, 1]—>М элемент 1, если с переводит ориентацию Dp на Мр снова в Q, в противном случае — элемент — 1. По указанным выше соображениям это соответствие зависит только от (р, р)-гомотопического класса с и мультипликативно.

Лемма.

Усл. М — связное дифференцируемое многообразие} р^М; щ (М)^ =冗 1 (М, р)・

Утв. Следующие предложения равносильны:

М ориентируемо}

гомоморфизм ориентации тривиален.

Если, например,冗〔(М) — конечная группа нечетной размерности, то М ориентируемо. В частности, каждое односвязное дифференцируемое многообразие ориентируемо.

Док. Из (а) следует (Ь), как уже было отмечено в этом разделе.

Пусть теперь гомоморфизм ориентации тривиален. Выделим некоторую ориентацию Q пространства Мр. Если q ее М, то существует кусочно дифференцируемый путь с: [0, 1]—>М с началом р и концом д, индуцирующий ориентацию Qq пространства М^. Любой другой кусочно дифференцируемый путь с: [0, 1]—>М, соединяющий peg, переводит Ор в ту же ориентацию Qq・ В самом деле, композиция путей с, с-1, с, где с— получается из с переменой направления, очевидно, (р,(у)-гомотопна с, в то время как композиция путей с, ©一】есть замкнутый путь, по предположению переводящий Ор в f. Легко видеть, что соответствие g—>Q задает ориентацию на М, Таким образом, (а) следует из (Ь), и лемма доказана.

В. следующем абзаце применяются замечания (i) и (iii) разд. 7.2 относительно теории накрывающих.

Пусть М — связное неориентируемое дифференцируемое многообразие, р^ Mt 冗1 (М) 4 冗](М, р). Можно каноническим образом построить для М ориентируемое связное дифференцируемое многообразие М, двулистно накрывающее М. Гомоморфизм ориентации Л! (М) —> Z2 не тривиален, следовательно, сюръективен, й его ядро Г есть инвариантная подгруппа ^i(M) индекса 2.

Фундаментальная группа Л] (М) свободно действует на универсальном накрывающем М многообразия М как группа диффео- морфных накрывающих преобразований. Мы получаем двулистное регулярное дифференцируемое накрытие ориентации М = М/Г —> —> М!щ (М) = М, ставя в соответствие орбите каждой точки М относительно Г соответствующую орбиту относительно щ (М); Л] (М)/Г = Z2 естественным образом действует как группа преобразований этого накрытия на связном многообразии М, Л} (М) 4 Г. Накрытие ориентации индуцирует включение Л] (М) ^ Г ^ л} (М), а в композиции с гомоморфизмом ориентации Л] (М) —>Z2 дает гомоморфизм ориентации 后，который, по определению Г, тривиален; таким образом, М ориентируемо в силу доказанной выше леммы.

В заключение мы приведем еще равносильное предыдущему прямое определение накрытия ориентации. Обозначим через М множество всех ориентаций Q касательных пространств Mq с естественной проекцией f: М ~^М и введем на М топологию, задав следующую систему окрестностей для каждой точки Dg М: для каждой карты х с областью определения U, координатные поля которой X] = , ..., Хп = представляют в точке q rU ориентацию 工，назовем окрестностью，в М множество всех заданных базисами Х]|%, Хп ^ ориентаций 幺⑺ пространств Мд】, где 91 w U. По отношению к этой топологии f является локальным гомоморфизмом, индуцирующим на М структуру связного ориентируемого дифференцируемого многообразия, так что f становится дифференцируемым накрытием. Группа Л] (М)/Г а ^ Z2 = {— 1, 1} свободно действует на М как группа накрывающих преобразований 府，причем 1 есть тождественное преобразование, а — 1 сопоставляет ориентации D^ пространства М7 противоположную ориентацию M/Z2 а М.

Замечания

Евклидовы пространства R', сферы S' и проективные пространства Р" (С), Р* (Н),卩(Са) ориентируемы. Неориентируем,

например, лист Мёбиуса, который можно описать как двумерное дифференцируемое многообразие М = R2/Z, где Z свободно дей- /10 \

ствует на R2 как группа аффинных преобразований (° (一у 丿 + + (；), m(M) = Z (см. также замечание (v) разд. 1.7). Ядро гомоморфизма ориентации щ (Л1) ->Z2 есть подгруппа целых чисел Г = 2Z, накрытие ориентации есть М^ М, где М = М/Г = R2/2Z ^ =S] X R есть цилиндр, на котором Z2 действует как группа преобразований накрытия (действие определяется формулой (г, /)-> ->(—z, — £))•

Покажите, что действительное проективное пространство P"(R) ориентируемо при нечетном и и неориентируемо при четном. Накрытие ориентации P"(R) при нечетном и есть универсальное накрытие Sn—>Pn(R).

Пусть М — связное дифференцируемое многообразие, dimM=/i・ Покажите, что М ориентируемо тогда и только тогда, когда на М существует n-форма со, такая, что сор=#0 для всех р^М.

Пусть Л1 —связное дифференцируемое многообразие, М^М — дифференцируемое накрытие. Покажите, что вместе с М ориентируемо и М.

Пусть теперь М ориентируемо, а группа Г свободно действует на М как группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Тогда дифференцируемое накрытие М -> М/Г каноническим образом индуцирует ориентацию дифференцируемого многообразия 而/Г. Если Г содержит обращающий ориентацию диффеоморфизм М на себя,- то М/Г неориентируемо. Для доказательства можно, например, рассмотреть универсальное накрытие М^ М. Так как щ (М) = 1, М ориентируемо, М же ориентируемо в том и только том случае, если каждый элемент свободно действующей на М в качестве группы преобразований накрытия фундаментальной группы 冗！(乂) есть сохраняющий ориентацию диффеоморфизм.

(V)Рассмотрим связное дифференцируемое многообразие М с линейной связностью V, точку р^М и группу голономии ①(p)uGL(Mp) многообразия М в точке р по отношению к V (см. замечание (v) разд. 2.6). Из рассуждений этого раздела видно, что М ориентируемо в том и только том случае, если Ф (р) — подгруппа GL+ (Л1р) GL+ (и, R), т. е. группы всех сохраняющих ориентацию автоморфизмов Мр ^ Rn. Таким образом, структурная группа касательного расслоения ТМ ориентируемого дифференцируемого многообразия всегда может быть сведена к GL+ (и, R). Это — еще одно эквивалентное описание ориентируемости М.

Радиус инъективности экспоненциального отображенияв случае четной размерности

В разд. 7.3 мы получили оптимальную оценку сверху для диаметра компактного риманова многообразия со всюду положительной кривизной. Универсальные оценки снизу дать труднее. Мы получим в этом разделе точную нижнюю оценку для радиуса инъективного экспоненциального отображения, но только, в случае четной размерности. В случае нечетной размерности этого, не удается сделать без дополнительных предположений (см. разд. 7.7 и замечание (iii) этого раздела).

Докажем сначала некоторое утверждение относительно периодических геодезических.

Лемма 1 (Дж. Л. Синг)

Усл. М — ориентируемое риманово многообразие четной размерности положительной кривизны} с: [0, р] -> М — периодическая нормальная геодезическая,

Утв. Существует такая вариация V: [0,р] X / -> М геодезической % что все соседние с с пути 匕 суть замкнутые дифференцируемые пути, и Л (е)< Л (0) = р 8 некоторой окрестности нуля в /, е #= 0.

Док. Положим р = с (0) = с (р) и рассмотрим (п — 1)-мерное подпространство Мр всех векторов и ^ MPt для которых〈5 с (0))= = 〈и, 6(р)〉= 0. Параллельный перенос вдоль с задает ортогональное отображение т: Мр ->Мр. Напомним, что комплексное число 九 является собственным значением т, если det | т — Z id |=0. Пусть 九!，，九4—1 суть собственные значения т. Тогда detr — =九I ...九4-i, и вследствие ориентируемости М имеем 九।...九^_] = Г. Если Z — собственное значение т, то и комплексно сопряженное значение 尢 является собственным значением т и, поскольку т —ортогональное отображение,九尢=1. Но так как 九一1 = dim М^ нечетно, то по крайней мере одно из собственных значений т равно 1 (не — 1, поскольку dett>0). Поэтому det| т —id | = 0, и существует такой вектор и е Mpt для которого тп = и, 〃总 0. Таким образом, преобразование т имеет отличные от нуля неподвижные векторы.

Пусть У — параллельное векторное поле вдоль с, для которого У (0) = У (р) = и. Существует такой открытый интервал JuR, содержащий нуль, что еУ (/) лежит в области определения экспоненциального отображения ехр на М для всех е ^ /, / ^ [0, р]. Определим V: [0, р] X 7->М по формуле V (/, е) = ехр (еУ (/)) (см. (11) разд. 4.1). Тогда V,D21(,0 = (0, откуда U (0) = 0 (см,⑺ разд. 4.1). Из параллельности У следует Г = 0н〈У"〉=0, далее,十必户夕2 h=0 для всех (/, е) w(0, В) X 7, так как е-> V (/, е) есть геодезическая

при всех fw[O,眛 Теперь из (8) разд. 4.1 вытекает, что L"(0) = =—j 〈R (У, d)d, Y) |/ dZ<0, поскольку кривизна вдоль с по предположению положительна. Значит L имеет в нуле относительный максимум, что и доказывает лемму (см. замечание (iii) разд. 4.1).

Следствие

Утв. Связное компактное ориентируемое риманово многообразие М четной размерности и положительной кривизны — односвязно.

С учетом предыдущего раздела получаем теперь, что для компактного многообразия положительной кривизны односвязность равносильна ориентируемости. Если М неориентируемо, рассмотрим двулистное риманово накрывающее М многообразия М.

Согласно только что сформулированному следствию, М односвязно и тем самым универсально, так что фундаментальная группа многообразия М — циклическая порядка 2, т. е. л1 (Л4) ^ Z2. Примерами служат действительные проективные пространства P"(R) четной размерности с их естественной метрикой постоянной кривизны (см. замечание (ii) разд. 7.4).

Подобных простых и полных предложений о фундаментальной группе компактного многообразия положительной кривизны в случае нечетной размерности не существует (см. разд. 7.3).

Док. Каждый нетривиальный , свободный гомотопический класс во множестве й всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1]—>Л1 содержит периодическую геодезическую с минимальной длины р>0 (см. замечание (vi) разд. 7.2), но это невозможно по лемме 1. Поэтому все пути й свободно гомотопны тривиальным путям, откуда и следует утверждение.

Заметим теперь, что в некоторых случаях различные кратчайшие геодезические, соединяющие две точки риманова многообразия, образуют вместе периодическую геодезическую.

Лемма 2

Усл. М — риманово многообразие и p,q 巨 М; с0, q: [О, 1]->Л1 — геодезические, соединяющие р с q, cQ^ с【；точка 1 не является сопряженной точкой на каждой из геодезических с。，сР

Утв. Если -^(с0(1), 6](1))<л, то существуют такие геодезические с0> Ср [0, 1] —>Л1 с началом ври общим концом 0, что L (©о) = L(Q)〃 L(©i)VL(3)・

Отсюда следует, что если L (r0) = L (rj = dp (радиусу инъективности ехрр), то 与(Л)⑴，厶(1)) = л (см. разд. 5.2).

Док. Положим ^о = и, с{ (0) = w. Экспоненциальное отображение ехрр имеет максимальный ранг в точках и, 叫 так как 1 не

является сопряженной точкой ни %, ни сР По лемме Гаусса (см. разд. 4.4) отображение ехр^* 。 Iv изоморфно отображает (п— 1)-мерное линейное подпространство Мр, ортогональное и, на подпространство Mv ортогональное с0(1), где 几：Mp->(M^V — канонический изоморфизм. Поскольку (п— 1)-мерные линейные подпространства 此，ортогональные соответственно & ⑴，厶⑴, по предположению не совпадают, существует такой вектор 5 三 Mpj что〈0, и〉= 0, И V II = || V II и (ехрр,/05, с{ (1)) #= 0. Построим Для достаточно малого е>0 путь с: [— е, е]-> М по формуле c(s) = =exp (v cos s + v sin s); очевидно, c (0) = ехрр./^б. Пусть UuMp — окрестность точки 侬，такая, что exp |卩 обратимо. Тогда с помощью леммы Гаусса получаем (с (0), & (i)〉=〈ехрр./д^, с{ (1)) =И= 0. Следовательно, путь 屮= (ехр1и)-'ос в Мр пересекает луч t~>tw в точке 侬=(р(0) не ортогонально, и поэтому существует s0 е [—е, е], для которого II 屮(s(j) II <11 侬 II. Полагая v = v cos s0 + v sin 团，^ = <P(s0), имеем очевидным образом || v|| = || v ll = || v II, || 也 llV|| 侬 II и exp (y) = = exp (也)・ Обозначим точку exp (v) = exp (也)через q. Геодезические Со，^!： [0, 1]->M, заданные формулами с0 (/) = ехр (/б), с{ (/)=ехр (^), соединяют р с ^ и обладают требуемыми свойствами.

Пусть М — связное компактное риманово многообразие. Так как, согласно следствию из леммы разд. 5.4, радиус инъективности d непрерывен, существует точка р^ Mf для которой dp = inf dp^ = 6>0. Предположим, что ехрр имеет максимальный ранг в шаре U§ и” радиуса 6]〉6 с центром 0. Тогда существуют векторы и, w е Мр, для которых ехр (и) = ехр (侬)，и* 叫 II и II = || 侬 II = 6. Построим геодезические %, q: [0, 1]-> М по формулам с0 (/) = exp (tv), с{ (/) = exp (to), соединяющие р с q = exp v и имеющие длину £ (%) = £ (q)=S・ Согласно следствию из леммы 2, имеем 今(备(1), & (1)) = п, так как 1 не является сопряженной точкой ни на %, ни на q. Далее, поскольку dp = dq = д, можно поменять местами точки р, q н рассмотреть вместо с0 с“ геодезические с£, с『：[0, 1]-> М противоположной ориентации, соединяющие дер. Тогда, снова применяя лемму, имеем 备 伐丁(D，«, (1))=л. Таким образом, замкнутый путь, составленный из путей с0 и с『, дифференцируемо замкнут и, следовательно, является периодической геодезической длины 2d. Ясно, что не существует невырожденных замкнутых геодезических короче 26. Каждая замкнутая геодезическая длины 26 периодична, если она распадается на две геодезические длины 6 без сопряженных точек, Теперь мы можем получить упомянутую в начале этого раздела оценку радиуса инъективности экспоненциального отображения.

Теорема (В. Клингенберг)

Усл. М — связное компактное ориентируемое риманово многообразие четной размерности. Для всех касательных к М плоскостей и выполнено неравенство О V К。忘厶.

Утв. Радиус инъективности d: М—>R отображения ехр удовлетворяет для всех р^М неравенству

(1)(1)Рм》&》-р^, где р^ — диаметр М.

(1)

(1)

Как мы видели выше, ориентируемость М равносильна односвязности М. Пример сферы M = S"i показывает, что оценка

можно рассматри-можно рассматри-у^г оптимальна, тем самым неравенство (1) вать как теорему сравнения в смысле § 6.

можно рассматри-

можно рассматри-

Док. По теореме сравнения Морса — Шенберга нормальные геодезические М длины < у^г не содержат сопряженных точек. Предположим, что 6 = inf dq < -5=-. Тогда, согласно выведенному

выше следствию из леммы 2, существует периодическая геодези-

ческая с： [0, р] -> Л1 длины р = 26 <. Построим, как в лемме 1,

вариацию V: [0, р] X J->M периодической геодезической % при которой пути R& дифференцируемо замк吧ты и L (е)< L (0) = р для е =# 0. Далее, построим отображение V: [0, р] X J -> Л1 X Л1 по формуле V (/, е) = (7 (0, е), V (/, е)). Обозначим через t76(e) открытый шар в Му(°, Е)радиуса 6 с центром 0. Так как L (е) V 8 = 26 при е=# 0, путь 丿е (е =# 0) целиком лежит в диффеоморфном образе &(£)= ехр/(с). Поскольку ехр 1^(Е) — диффеоморфизм, отображение л X ехр: ТМ^ М X М имеет на множестве 取=U 力(е) максимальный ранг. Далее,冗(Ub(e)) = {丿(°, £)}, следовательно, отображение л X ехр |旷 инъективно. Поскольку 7 ([0, р] X (/ \ {0}))и и (冗 X ехр) |^, отображение V |[0, р)х (J\{0}) можно поднять до Ф: [0, р] X (/ \ {0})-> ТМ, т. е.①(力 е) = (л X ехр| ^)-1。V (/, е). При этом пути ①е： [0, р]-> ТМ, заданные формулой ①& (f)=帘(力 е), дифференцируемо замкнуты. Рассмотрим теперь предельные точки ъ ТМ множества {①(九 е)}, где / е [0, р], 0=#ем/, при е->0. Так как ||①(九 е)||之6 и lim冗。①(厶 е)=廿(0, 0), эти предельные Е->0

точки принадлежат компактному шару [7а(0) с: Mv(о,о)с центром

в точке 0. Как вытекает из неравенства 6Vd^，отображение ехр1ц^55 нмеет везде максимальный ранг и тем самым л X ехр имеет максимальный ранг на {①(九 е)} (см. замечание (i) разд. 2.8)- Поэтому путь V |[о, р] х {0} может быть еще поднят до дифференцируемо замкнутого пути Фо: [0,同-> ТЛ1, причем Фо(/) = lim Ф(/, е) его

и Фо принадлежит слою Mv (0,0)касательного расслоения ТМ (см. по этому поводу доказательство леммы в разд. 7.1). С другой стороны, однако, ехр ° Фо = Vo есть исходящая из V (0, 0) геодезическая, которая может быть поднята лишь до некоторого луча. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть М — компактное односвязное риманово многообразие четной размерности, на котором всюду OVK^W九. Согласно последней теореме, для каждой точки р^М радиус инъективности dp отображения ехр. не меньше радиуса инъективности экспоненциального отображения в точке сферы S" i ・ Отсюда получается, как мы покажем ниже, аналогичная оценка для радиуса выпуклости г: Л1 ->R, а именно для всех точек р^М имеет место неравенство

/)2證 ⑵

Таким образом, при 6& ^^7 все метрниескне шары В虱р) в М сильно выпуклы. В случае нечетной размерности это следует из теоремы разд. 7.7, правда, при более сильном предполо- жении, что всюду выполняется 7 V К。忌九.Нижняя граница 万/不 радиуса выпуклости в общем случае не может быть улучшена,

312FT312FTкак это видно снова на примере сферы S% (см. замечание (i) разд. 5.2). Доказательство оценки (2) получается из (I), с учетом леммы разд. 5.2. Достаточно проверить, что для каждой нор

31

2FT

31

2FT

,ограничение,ограничениемальной геодезической с： [0, 6]->Л1, где б<

,ограничение

,ограничение

индексной формы на векторное пространство всех полей Якоби У вдоль с, удовлетворяющих условиям У (0) = 0 и 〈У, @〉= 0, есть положительно определенная форма. Рассмотрим сферу М = Sn \ ,

нормальную геодезическую с： [0, 6]->М, р = с(0), р = с(0) и изометрию I： Мр-> Mpt удовлетворяющую условию ic(0) = с (0). Согласно (4) разд, 6」,имеем изоморфизм Ф：沿；一>沿£ Пусть

У еЭЗ^ — поле Якоби, для которого У (0) = 0. Построим поле Якоби У и ®г, удовлетворяющее условиям У (0) = 0 и У (д)=①У (д). В силу (7) разд. 6.1 и (5) разд. 4.5, имеем /(У, У)》/(①У,①У)^ >/(У, У). Поэтому из (7) разд. 4.5 следует /(У, У) >0, откуда /(У, У)>0 при У #0.

Замечания

Покажем, что компактное риманово многообразие положительной кривизны ориентируемо, если размерность dim М = п нечетна.

Прежде чем перейти к доказательству, отметим, чт;о в качестве примеров можно привести неодносвязные многообразия Рп (R) нечетной размерности и пространства из замечания (iii) разд. 73

Для доказательства достаточно рассмотреть связное М. Покажем, что гомоморфизм ориентации пх (Л4) -* Z2 тривиален. В самом деле, в противном случае в М существует замкнутый путь, свободно гомотопный некоторой нетривиальной периодической геодезической с, кратчайшей в свободном гомотопическом классе с и такой, что параллельный перенос вдоль с индуцирует для фиксированной точки р = с (/) обращающий ориентацию автоморфизм т в ортогональном вектору с(/) линейном подпространстве М^иМ", dim М^ = /г—1. Отсюда получится противоречие точно так же, как и в лемме Синга, если мы докажем, что в Мр существует ненулевой неподвижный вектор 〃方 0 автоморфизма т, а именно в этом случае с не может быть кратчайшей в свободном гомотопическом классе с. Чтобы доказать существование неподвижного вектора, заметим, что dim Мр =п — 1 =2k четна и т — ортогональное отображение. Поэтому существуют такие инвариантные относительно т двумерные евклидовы подпространства Ei, Ek^Mp, что Л1^=Е1 ㊉ … ㊉Е就 Очевидно, detr = =II det т |£/ — — 1, так что по крайней мере для одного / выполняется detr |勺= —1・ Но ортогональное отображение двумерной евклидовой плоскости, обращающее ориентацию, есть композиция вращения и зеркального отражения относительно некоторой прямой, а поэтому имеет ненулевую неподвижную точку.

Пусть М — связное компактное риманово многообразие размерности п, для которого всюду OVKuW 兀 Если п четно и М не ориентируемо или, что равносильно по доказанному выше, nj (Л4) ^ Z2, то оценка (1) справедлива для двулистного риманова накрывающего М. Получите отсюда, что для М справедлива оценка рм》％》一у^, причем она не может быть улучшена,

как показывает пример проективного пространства Рп (R) постоянной кривизны 九. Для радиуса выпуклости получаем соответственно г(р)》4｝元• Иначе обстоит дело в случае нечетного м. Хотя в этом случае, согласно (1), М ориентируемо, но даже в предположении односвязности М вообще не существует никакой универсальной нижней границы для радиуса инъективности экспоненциального отображения на М. Оценку снизу можно получить лишь при дополнительном предположении, что кривизна ограничена снизу (см. замечание (iii), а также разд. 7.7).

Только что сказанное тем более справедливо для неодносвязного ЛГ. Проверьте, что для линзового пространства 厶(夕,1) постоянной кривизны 1 (см. замечание (iii) разд. 7.3) радиус инъективности dp —~- Заметим, что в случае односвязного М не известно ни одного примера, в котором не была бы справедлива оценка р^^ -^^ из (1). Определение нижней границы диа

метра рм и радиуса инъективности, зависящих лишь от верхней и нижней границы кривизны, представляет интересную нерешенную задачу.

Мы уже ссылались на интересный пример Берже: на дифференцируемом многообразии S3 можно построить римановы метрики, всюду удовлетворяющие неравенствам О V 6 & К。《1『 для которых существуют замкнутые геодезические короче 2л. (Сравните это с разобранным выше случаем четной размерности.) Описываемая конструкция опирается на некоторые общие предложения, изложенные ниже, в замечании (iv). '

Рассмотрим группу Ли S3, введенную в замечании (iv) разд. 1.9, с обычной биинвариантной метрикой (см. замечание (v) разд. 3.2), в которой левоинвариантные поля X[t X?, Х3 ортонормированы. Тогда на группе Ли G = S3 X R получается биинвариантная метрика —произведение только что описанной метрики на S3 и обычной эвклидовой метрики на R. Левоинвариантные поля Zi = (Xh 0) (z = 1, 2, 3) и Z4 = (0, D) образуют ортонормированный базис на G. Пусть q： R -> 53 „ интегральный путь поля Х「для которого Cj (0) == е — единичный элемент S3. Согласно замечанию (v) разд. 2.7, С] является гомоморфизмом групп Ли и в то же время нормальной периодической геодезической длины 2л, как это видно, например, из замечания (vii) разд. 3.6 или как можно проверить непосредственно. Отображение A： R-* G, заданное формулой /!(/) = (<?!(«/), р/), где а^0, р>0, а2 + р2 = 1, является вложением групп Ли и в то же время нормальной геодезической, образующей с первым множителем S3 постоянный угол ср, 0<ф^у, заданный равенством sin(p = р. Образ // = A(R) есть замкнутая подгруппа Ли

группы G, мы будем рассматривать однородное пространство G/乩 в котором введем описываемую ниже, в замечании (iv), нормальную риманову метрику. Обозначим через f естественную проекцию /: G f М. Ясно, что М диффеоморфно S3, а при а = 0 даже изометрично.

Геодезическая с: Rf G，заданная формулой с (f) = (q (§£)，— а/), пересекает Н перпендикулярно, проекция f。с есть нормальная периодическая геодезическая в М длины 2冗§，так как равенство 。"+ 九)=。(£)力(力 выполняется впервые при 厶= 2тф, т = — 2ла. 、Найдем теперь границы для римановой кривизны М. В алгебре Ли g всех левоинвариантных полей на G поле 蝎+阳 составляет базис подалгебры Ли 9 подгруппы 〃； поля Z =^Z! — aZ4 составляют базис ортогонального дополнения ш подалгебры в д. Для любых нормальных полей А, В ^т (см. замечание (iv)) получаем представления

力=^\^\ + N2Z2 + N3Z3, В = *V]Z1 + V2Z2 + V3Z3, причем

[4 В] = 2儿21 + 2映2Z2 + 2吼3Z3,

где % =N21V3一n3w2，a2 =n3“一n可3,A3 =n仆2 一 N2»， Выражения в правой части формулы (5) (см. замечание (iv), стр. 253), служащей для вычисления кривизны нормальной римановой метрики, находятся теперь следующим образом：

IS，В]丄『=4『出+ * +骗，||[4 B]T||2 = 4a2zt

далее,

II 4『II8『一(4 8〉2 =若 + 碇 + *>0,

если Д, В линейно независимы. Из (5) теперь следует, что

К(/М№ =К(/М№ =(1 +3<?)* +『出+ 區)(1 +3<?)* +『出+ 區)” + * + 礎” + * + 礎

К(/М№ =

К(/М№ =

(1 +3<?)* +『出+ 區)

(1 +3<?)* +『出+ 區)

” + * + 礎

” + * + 礎

откудаоткуда

откуда

откуда

P2<J<0<l + 3a2

для всех касательных плоскостей о, причем обе границы дости* гаются. Умножив риманову метрику на 1 + За2, получаем

где

』 俨 =1

—1 + За2 — 1 + 4 ctg2 ф •

Длина геодезической f。с в этой метрике равна 2л₽ ]/1 + За2 ; если учесть условия, налагаемые на а и ^ то § ]/1 + 3» V 1 равносильно неравенству Ovpv₽o = -^・ Соответствующая Ро нижняя

граница кривизны есть d0 = -д-, причем угол 屮。определяется равенством sinq)o = Po. Таким образом, при ф<ф0 получаются периодические геодезические в Mf которые короче 2л. Проекции интегральных путей Z?, Z3, как легко видеть, суть периодические геодезические длины 2л ]/1 -I- За2.

Покажите, что в исходной метрике из всех периодических геодезических самые короткие имеют длину 2л0, а самые длинные —2л.

(iv) Пусть G — n-мерная группа Ли и "—月-мерная замкнутая подгруппа Ли группы G (см. замечания (v) разд. 1.7 и (iii)). Введем на множестве левых классов смежности G/H, т. е. орбит группы ", действующей на G посредством правых сдвигов, сначала фактортопологию, а затем структуру (п —й)-мерного дифференцируемого многообразия. Прежде всего мы имеем непрерывную естественную проекцию f: G f G/"・ Обозначим f(g) через g. Далее, имеем левые и правые сдвиги — диффеоморфизмы 厶九， R九：Gf G (力巨 G), заданные формулами Lhg = hg, R/1g = g力.Ha однородном пространстве G/H группа G действует транзитивно: каждый левый сдвиг Lh на G индуцирует гомеоморфизм G/H на себя. Проекция f есть открытое отображение, так как для открытого подмножества Uu G множество f~{ (/({/)) = (J R九 U открыто в G и, следовательно, f(U) открыто в G/H. По определению фактортопологии G/H имеет вместе с G счетный базис из открытых множеств. Далее, мы сейчас покажем, что G/H есть хаусдорфово пространство. Проверим, что для любых двух точек 目 中 历 существуют непересекающиеся окрестности 昕】(точки g) и 初2 (точки 历)в G/H. Так как g；* 宼 Н и Н замкнута в “G, то в G X G существует окрестность U{ X U? точки (g“ g^t не пересекающая прообраз " при непрерывном отображении G X G -> G, заданном формулой (g, й) -*^-1й. Поэтому Ui"4。2 r1"= 0 остается положить W} = f(Ux)t % = 〃力)・

Алгебра Ли g группы G содержит подалгебру Ли 5, соответствующую Н. Можно отождествить g с касательным подпространством 方eUGe (см. замечание (iv) разд. 1.9).

Построим дополнительное к 5 линейное подпространство mug. Экспоненциальное отображение G (см. замечание (ii) разд. 2.3) диффеоморфно отображает некоторую окрестность f70 точки 0 巨 g на окрестность точки е в G. Положим Vo = m А ^о- Отображение V： VqXVq~> G, заданное формулой v(v, ю) = exp(— v)exp(w), дифференцируемо и трансверсально регулярно к " в точке 0, так как v(0 X Vo) трансверсально пересекает Н в точке е, по построению ш. В силу непрерывности v существует такая окрестность Vi X Vj точки 0 в Vo X 丫力 что V трансверсально регулярно к " во всех

точках пересечения А = (% X 匕)П 旷一】(〃). Поэтому А естественным образом оказывается замкнутым дифференцируемым подмногообразием той же коразмерности n — k в V] X Vb что и Я в G. В некоторой окрестности V X V точки 0 относительно 匕 X 匕 подмногообразие всех диагональных элементов (и, и) должно совпадать с Д, согласно разд. 1.6. Поэтому для и, 5 ge Р включение ехр(— V)ехр (оу) = (ехр (v))"1 ехр (оу) ^ Н выполняется в том и только том случае, если и = 5. Следовательно, непрерывное отображение х-1 = f ° ехр: V -> G/H инъективно. Покажем, что х-1 гомеоморфно вкладывает открытое множество Р и ш в G/H. Для этого остается только проверить, что х-1 — открытое отображение. Дифференцируемое отображение z: V X Н -> G, заданное формулой z(v, Л) = exp(v) Л, инъективно и всюду имеет максимальный ранг м, так как по построению V образ 之(Р X е) = ехр(Р) трансверсально пересекает каждый класс смежности ехр (v) Н (в точке ехр (и)). Тем самым г диффеоморфно отображает дифференцируемое многообразие Р X 〃 на „трубчатую окрестность11 подгруппы Н в G. Так как для любого открытого подмножества U и Р имеем х-1 (U) = f°z(U X //), то х'1 открыто вместе с 之.Определенное в окрестности W = х'1 (V) = f°z(V X Н) точки ё ^ G/Н обратное отображение х есть гомеоморфизм в векторное пространство ш. Легко показать, что „канонические карты1* [х ° Lg lgeG] составляют дифференцируемый атлас, превращающий естественным образом однородное пространство G/H в дифференцируемое многообразие, причем dim G/H = dim m = n — ^. Сдвиги Lg становятся при этом диффеоморфизмами, f — дифференцируемым с максимальным рангом, следовательно, дифференцируемо с максимальным рангом и действие_С?_на G/Н, т. е. отображение G X G///-> G/H по правилу (g,力)一Lgh.

Попутно мы доказали более сильное утверждение, а именно, доказано, что f: G -> G/H есть дифференцируемое расслоение со слоем Н, и даже главное расслоение, поскольку в качестве структурной группы может быть взята сама группа Н, действующая при замене карт расслоения посредством левых сдвигов. Диффеоморфизм х = (f ° ехр X id)。之” 尸(/)-> / X Н задает дифференцируемый атлас канонических карт расслоения {(Z『X id)。％。丄/guj.

Предположим теперь, что на G существует биинвариантная риманова метрика〈，〉(см. замечание (v) разд. 3.2). Выберем дополнительное к 5 подпространство ш ортогональным к 5 (в д). Поскольку при h^H правые сдвиги Rh суть изометрии G, причем foR&=f, то для каждой точки g в касательном пространстве (G/〃)& существует одна и только одна такая риманова метрика (,〉『что % изометрически отображает ортогональное дополна

ние Lg*m к 上小 в Gg на (G///)夕 Отображение g-＞〈,〉点 есть риманова метрика, называемая нормальной однородной метрикой на G/", ее также обозначаем символом ( , ). Тем самым G/H становится римановым многообразием, которое называется нормальным однородным пространством; на нем действуют диффеоморфизмы Lgi порожденные левыми сдвигами О. Рассмотрим связности Леви-Чивита и соответствующие экспоненциальные отображения пространств G и G/Н, Каждому дифференцируемому векторному полю X на G можно поставить в соответствие его нормальную компоненту относительно слоев LgH, то есть дифференцируемое векторное поле X丄,удовлетворяющее для всех g w G условиям Xg 巨 Lg*m, Xs — Xg Lg*8； XT = X — X1 есть „касательная к, слоям" компонента X. Поле X называется нормальным, если Х = Х丄.Для нормального векторного поля X на О, вообще говоря, не существует f-связанного с ним векторного поля на G/H^ но можно рассматривать поле f*X вдоль 厶 Напротив, для каждого дифференцируемого векторного поля X на G/Н существует однозначно определенное векторное поле X на О, f-связанное с X, т. е. такое, что %Х? = Х@. В силу (9) разд. 3.5 для любых нормальных векторных полей X, У, Z на G выполняется соотношение 〈▽xf)/Z〉=〈f»xYJ*Z〉，откупа следует

丄. (3)

Левоинвариантные поля X на О, для которых Х& 巨 т, нормальны. Согласно замечанию (vii) разд. 3.6, имеем VxN =。，и все интегральные пути поля X являются геодезическими на G, а так как из ⑶ следует 弘^? I,=十乩。d |, = Vxf*X |c «)= fyxX |, (/) = 0, то и пути foe являются геодезическими на G/", причем || d || = || f。с ||. Все геодезические G/Н можно получить проектированием геодезических О, ортогональных классам смежности LgH, или, что то же самое, однопараметрических подгрупп с начальными направлениями в ш. Поскольку пространство G/Н однородно, достаточно, в силу (12) разд. 3.5, задать экспоненциальное отображение ехр в точке ё, а именно

丽。f」m = f。exp |m. (4)

Покажите, что пространство G/Н полно, если оно связно. Покажите, что если О связно, то метрическое расстояние между gi н &2 в G/Н совпадает с метрическим расстоянием между подмногообразиями g、H и g2” в G, причем существует путь, для которого достигается минимум длины.

Вычислим теперь риманову кривизну G/Н. Пусть X, У, Z — нормальные левоинвариантные векторные поля на G. Из (3) и (7) разд. 2.5 получаем

戸色Х/У) % = M.VyZ — “NxZ — %х,就Z.

Положим здесь Z = У и заметим, что поле V%y = g[X, У] опять левоинвариантно, но, вообще говоря, не нормально, a VZK = 0 (см. замечание (viii) разд. 3.6). Отсюда R(f^X,f^Y) f#Y = — у Vz^ [X, Y] — —V【x, у"*У・ Поскольку в силу (6) разд. 2.5 имеет место V【x, у汇У = = ”」х, y] + f」[X, У], У], из (3) получаем ^О，Ш/Л = =—^ f* [У, [X, У]丄]—f」[X, У], Y]. Наконец, пользуясь антисимметричностью формы〈[,],〉по отношению ко всем трем аргументам, имеем

〈后(f*X/y)打 J.x〉=乎[X, y]丄 II2 + [X, У]T II2. ⑸

Вследствие однородности и (13) разд. 3.5, достаточно найти кривизну в одной точке G/Н, чтобы определить ее во всех точках. В случае когда 〃 = {е} есть тривиальная подгруппа G, т. е. G/〃 = G, соотношение (5) содержится в (26) разд. 3.5.

Как видно из (5), все нормальные однородные пространства имеют неотрицательную кривизну, однако в большинстве случаев при этом кривизна принимает для некоторых касательных плоскостей нулевые значения (см. разд. 7.9).

(V)Кроме применения, сделанного выше в замечании (iii), мы хотим указать некоторые дальнейшие примеры изложенного в замечании (iv) построения. На алгебре Ли (jl (n + 1, R) ^ 耽也+i (R) общей линейной группы GL (n + 1, R) определяется форма Кил- линга — симметричная билинейная форма ( , 〉, заданная с помощью формулы

п+1

2 (а, р> = - tr ар = -，а订В"・ (6)

Так как для любого эндоморфизма у и автоморфизма г| справедливо tr (展】уп) = tr у, левые и правые сдвиги задают на GL (n + 1) одну и ту же биинвариантную 2-форму, ограничение которой определяет такую же форму на каждой подгруппе Ли (см. замечание (V) разд. 3.2). Однако в большинстве случаев эта форма вырождена. Пусть теперь G = О (n + 1) — ортогональная группа (см. замечание (iv) раз. 3.2). Элементы G удовлетворяют равенству а'а = е, а элементы касательного пространства к G в точке е — равенству а + 'а = 0, т, е» алгебра Ли g группы G есть под-

алгебра всех антисимметрических матриц в 3Kn+1 (R). Ясно, что форма Киллинга (6) положительно определена на g и задает тем самым биинвариантную риманову метрику на G.

Пусть // ^ О (п) — замкнутая подгруппа G, состоящая из всех /10 \

матриц вида I п с / J Нормальное однородное пространство G/H

=п. Обо=п. Обо/ м + 1

=п. Обо

=п. Обо

имеет размерность dimO(n + 1) — dimO(n)=l ?

значим через 5 алгебру Ли подгруппы //, состоящую из всех /О

матриц вида [° 东丿,где * — антисимметрическая матрица из 丸(R), через ш — ортогональное дополнение ^ в g по отношению

к форме Киллинга,к форме Киллинга,строка a ge Rn. Длястрока a ge Rn. Для/ 0 асостоящее из всех матриц ( 匕 ° / О/ 0 асостоящее из всех матриц ( 匕 ° / О,где,где00bb₽= -^ о₽= -^ оимеемимеемпринадлежащих ш матриц а =принадлежащих ш матриц а =ааа0а0(а, 0〉= (а, 6). Выберем а, 0 ортонормирован-(а, 0〉= (а, 6). Выберем а, 0 ортонормирован-

к форме Киллинга,

к форме Киллинга,

строка a ge Rn. Для

строка a ge Rn. Для

/ 0 а

состоящее из всех матриц ( 匕 ° / О

/ 0 а

состоящее из всех матриц ( 匕 ° / О

,где

,где

0

0

b

b

₽= -^ о

₽= -^ о

имеем

имеем

принадлежащих ш матриц а =

принадлежащих ш матриц а =

а

а

а

0

а

0

(а, 0〉= (а, 6). Выберем а, 0 ортонормирован-

(а, 0〉= (а, 6). Выберем а, 0 ортонормирован-

ными в д,ными в д,т. е. а, bт. е. а, b

ными в д,

ными в д,

т. е. а, b

т. е. а, b

一 ортонормированными в Rrt. Как легко проверить, [а, р] = ар — ра ^ ^ и || [а, р] Ц2 = 1. Из (5) теперь следует, что G/H — пространство постоянной кривизны, равной 1. Пока

жите, что G/H = О (п + 1)/0 (п) канонически изометрично стандартной сфере 5Л (изометрия получается, если каждому классу смежности gH поставить в соответствие вектор ge} е Rn+1, где «1 = (1, 0, ..0)).

Рассмотрим теперь важный пример комплексного проективного пространства Рп (С). Общая линейная группа GL(n+ 1, С) всех комплексных линейных автоморфизмов (п + 1)-мерного комплексного векторного пространства Сл+1 есть группа Ли действительной размерности 2(n +1)2, алгебра Ли которой qQ+l,C) = 仝耽п+1(С) состоит из всех эндоморфизмов C^+i или из всех матриц (п + 1)-го порядка с комплексными коэффициентами. Как и в действительном случае, легко проверить, что [а, р] = ар — Ра для а, р ^ gl (п + 1, С). На алгебре Ли gl (n + 1, С) снова определяется форма Киллинга

6)6)2(а，Р) = — Re tr а₽ = — Re £ а订阮,

6)

6)

задающая биинвариантную симметрическую 2-форму 〈 , 〉 на GL (п + 1, С) и на каждой подгруппе Ли этой группы (Re здесь означает действительную часть комплексного числа)»

Рассмотрим компактную подгруппу Ли G = U (л + 1) группы GL(n + 1, С), состоящую из всех унитарных автоморфизмов а пространства Crt+1, т. е. удовлетворяющих равенству aza = е. Касательное пространство к G в точке е задается условием а + 'ёё = О, т. е. алгебра Ли g группы G есть подалгебра 3№rt+1 (С), состоящая из всех антиэрмитовых матриц. Легко видеть, что dim G = dimR g = (n + l)2. Форма Киллинга (6‘) положительно опре

делена на fl и определяет тем самым биинвариантную риманову метрику на G. Пусть U (1) ~ S1 есть группа комплексных чисел, по модулю равных 1, Рассмотрим в G замкнутую подгруппу /U ⑴ 0 \

I ° С/(м)丿.Нормальное однородное пространство G/H имеет размерность dim。仇 + 1) — dim U 仇)—dim U (1) = 2n. Покажите, что G/H = U (n-V 1)/U (1) >< U (n) канонически диффеоморфно комплексному проективному пространству Рп (С) (см. замечание (v) разд. 1.7). Чтобы построить диффеоморфизм, каждому классу

смежности g", g ^ G, ставится в соответствие комплексная прямая 九ge» где 九 w С и в] = (1, 0, ..., 0) е С"+〔 Нормальная риманова метрика на Рп (С) = G/H совпадает с классической метрикой Фубини — Штуди. Вычислим, используя формулу (5), риманову кривизну G/H. Обозначим через 5 алгебру Ли подгруппы Н, со

стоящую из всех матриц вида (° 琼丿，где 〃wC, Re и = 0 и * —

антиэрмитова матрица из 2)lrt (С), и через ш — ортогональное дополнение к & в g относительно формы Киллинга, состоящее из всех /0 а\

матриц вида (/_I, где строка a w С". Для принадлежащих ш

•/0 а\ / 0 Ь\

матриц « =(7- 01> Р = 1_/б 0 I имеем <a, p> = Re(a, Ь\ где

(a, b〉= W afii — обычное эрмитово скалярное произведение а и 6 i = 1

в С". Выберем а,卩 ортонормированными в ш, т. е. || а ||2 = || b ||2= 1, Re (а, ^) = 0. Легко проверить, что [а用 三6, так что [ш, ш] = ^, и, как показывает непосредственное вычисление, || [а, р] ||2 = =1 + 3|〈a, b〉F (заметим, что (а, Ь) при этом чисто мнимо). Отсюда

[а,限=0, II [а, Р]Т||2 = П [«, Р]『=1 + 3,| (а, Ь〉『=1 + 3cos2^,⑺

обо-обо-под-под-где 2 w [о, ^] задается равенством cos^ = | (а, Ь〉|・ Здесь “ значает угол между одномерными комплексными линейными

обо-

обо-

под-

под-

пространствами {九а:九 wC}, {快Ь：快 wC}, или, что то же самое, угол между двумерным действительным линейным подпространством Е вС\ порожденным векторами а,瓦 и подпространством IE,

т. е. cosW = | cos 今(込，力)| = | cos 今(a, ib) |. Угол ф^ измеряет, насколько Е отличается от комплексной прямой;屮=今(户，t£) = 0 в точности в том случае, когда Е = iE, т. е. Е есть комплексная прямая, или „голоморфная*4 плоскость; ^ = ^(Е, iE) = ^^ т. е. Е, IE ортогональны в действительном смысле, в точности в том случае, когда 〈а, Ь) = 0, т. е. а, b комплексно ортогональны (в этом случае Е называется „действительной*4 плоскостью). Из (5) и (7) следует, что G/H имеет везде положительную кривизну, лежащую между 1 и 4, причем эти границы при n> 1 достигаются: нижняя для касательных плоскостей, соответствующих действительным, а верхняя — голоморфным плоскостям Сп.

Многообразие U ⑵/U (1) X U ⑴=Р〔 (С) имеет постоянную кривизну, равную 4, и потому (см・，например, замечание (iii) разд. 7.3) изометрично сфере S^・

Установим в заключение еще некоторые -^важные геометрические свойства проективного пространства G/H = РП(С).

Изометрия %: ш—> ш, заданная формулой

{ iО

1°

как легко проверить, определяет с помощью левых сдвигов изометрии (g 三 &) в пространствах L^m, инвариантные относительно правых сдвигов Rh (А 三")・ Вследствие этого проектирование задает на G/H дифференцируемое тензорное поле，типа (1,1), удовлетворяющее условию /2 = — id. Такое поле называется почти комплексной структурой> так как определяет в каждом касательном пространстве комплексную структуру — умножение на /. В действительности / есть даже комплексная структура на G/Ht т. е. / индуцируется естественной структурой Р^(С), рассматриваемого как комплексное многообразие. Очевидно,〈/X, /У〉= =〈X, У),〈/X； К) = —〈X, /У〉，и из (3) легко следует V/ = 0J т. е. поле / параллельно. Нормируем риманову метрику Рп (С) умножением на 4, тогда, согласно предыдущим вычислениям, получаем

4К。= 1 + 3 cos2 也;W К。W 1,(8)

где * = ©(и,/и)三[о, ^] и cos* = |〈и,/5〉I для любой ортонор-

мированной пары векторов и, ш из и. При этом /Са = 1 в точности в тех случаях, когда а — голоморфная плоскость (т. е. и = /и), н Ло = 4 в точности в тех случаях, когда а — действительная

плоскость (т. е. (а, /а) = 0). Пространство Р"(С) имеет —ограниченную кривизну. Как вытекает из теоремы о сфере (см. разд. 7,8), на 户"(Cj не существует никакой метрики б-ограниченной кривизны с 0>у.

Как мы сейчас увидим, Р"(С) есть глобально симметрическое пространство (см. замечание (vii) разд. 3.6). Отражение относительно точки задается отражением относительно соответствующей прямой комплексного пространства Сл+1. В однородном представлении P"(C) = G/// это отражение в точке g есть изометрия Lghgf пространства G/H, где

(10

-1

0-1

Исследуйте с помощью (8) и замечания (v) разд, 4.2 тензс>р кривизны и поля Якоби вдоль нормальной геодезической Рп (С).

В силу (4) экспоненциальное отображение для Р"(С) будет полностью определено, если найти ехр |т для унитарной группы G. Пусть а = (_^ m и ||а|| =1, тогда а2 = ( : _ [а) а3 = — а, а4 = — а2, и вообще a?k = (— l)ft+I а2, а?比т = (—1严％ для fe>0. Согласно замечанию (ii) разд. 2.9, однопараметрическая подгруппа (и одновременно нормальная геодезическая) с: Rf G с начальным условием с (0) = а в точке с(0) = е задается формулой с (/) = ехр (/а) = £ "^р，откуда

с (/) = ехр (/a) = ^ + asin/+ а2(1 — cos /).(9)

Так как c(t)^ Н в точности для значений f = An, fe е Z, и c« + n) = c(f)c(n), то все нормальные геодезические R—>Р"(С) периодичны с периодом 2л (следует учесть нормировку метрики), Пользуясь найденными выше значениями кривизны вдоль нормальной геодезической, легко показать, что экспоненциальное отображение ехрр: Мр-^ М = Рп (С) имеет максимальный ранг (=2п) во всех точках и е Мр, для которых || и || =# 々n (k — положительное целое число). Если || и || = (2々一1)п, то ядро Лр отображения (ехрр)#о имеет размерность 1, если же || и |] = 2fen, — размерность 2 九一1.

Метрические сферы в Мр радиуса 2йл с центром в 0 переводятся отображением ехрр в точку р. Согласно (1), ехрр инъективно на открытом шаре радиуса 1 с центром в 0, а также вследствие периодичности геодезических диффеоморфно вкладывает „кольцевые области44 (2й— 1)я<|| у ||<2йл в Рп (С). Сфера S = {v: || v ||=л} является одновременно множеством раздела и первым сопряженным множеством отображения ехрр в Мр, а образ С(р) = ехр S — множеством раздела М относительно точки р (см. разд. 5.4).

Легко доказать следующее общее предложение: каждая компонента связности множества неподвижных точек некоторой изометрии риманова многообразия на себя есть вполне геодезическое замкнутое риманово подмногообразие.

Так как {р} U С (р) есть множество всех неподвижных точек отражения симметрического пространства Рп (С) в точке р, то С (р) — вполне геодезическое подмногообразие Af. Рассмотрим теперь голоморфные плоскости а = 7а в Мр, т. е. комплексные прямые в пространстве Мр, снабженном комплексной структурой с помощью /. Построим аналогично отражению в точке, описанному выше, изометрию F = Lghg-i пространства М = G/H на себя с неподвижной точкой р = g, такое, что Ftv = v для и wo и Ftv = — V, если V ортогонально а. Тогда N = ехр (а) есть компонента связности множества неподвижных точек F и, следовательно, вполне геодезическое подмногообразие М. Далее, все касательные плоскости к N голоморфны, так что N имеет постоянную кривизну 7<ff = 1 и, следовательно, изометрично 52 ^ Р1 (С). Далее, окружность а П S переходит при отображении ехрр в одну точку q ^С(р) и пространство А； в точке uwuf]S касательно к af]5. Соответствие of g задает теперь отображение проективного пространства Рп~х (С) всех комплексных прямых ст пространства Мр в многообразие Af, дифференцируемое с максимальным рангом. Так как Рп~х (С) односвязно, это отображение есть диффеоморфизм на С(р). Легко показать, что если ввести в Рп~х (С) метрику, индуцированную Мр, с учетом нормировки (8), то построенный только что диффеоморфизм Рп~х (С)—>С(р) есть изометрия.

Итак, комплексное проективное пространство можно представить себе как „пучок(< вполне геодезических голоморфных сфер S2 4P (С) постоянной кривизны, пересекающихся в одной, произвольно выбранной на Рп (С) точке р, причем антиподы точки р на этих сферах образуют множество раздела С(р)4 总尸“~1 (С), вполне геодезическое и изометрично вложенное в 尸"(С). Расстояние от р до множества раздела С(р) в любом направлении равно л, поэтому диаметр р財=л.

(vi) Мы уже рассматривали в этом разделе и выше периодические геодезические с: Rf Л1 на римановом многообразии М (т. е. такие, что c(f + r) = c(f) для всех f^R, где т>0).

Отныне мы не будем различать периодические геодезические, переходящие друг в друга при аффинном преобразовании параметра. В частности, отождествим все периодические геодезические, получаемые многократным обходом с в любом направлении, и исключим из рассмотрения тривиальные геодезические.

Приняв все эти условия, мы можем рассматривать периодическую геодезическую как „ аффинное(( погружение S】f Л1, при котором длины дуг растягиваются в постоянном отношении.

Возникает весьма интересный вопрос, всегда ли на М существуют периодические геодезические, и в каком числе.. Если М компактно, можно доказать общ^е теоремы, относящиеся к этому вопросу. Как мы видели в замечании (vi) разд. 7.2, периодические геодезические существуют, если п{ (Л1) #= 0. В этом случае в каждом нетривиальном классе свободно гомотопных замкнутых путей множества Q всех замкнутых кусочно дифференцируемых путей существует по крайней мере одна периодическая геодезическая, длина которой минимальна в этом классе. Классы свободной гомотопии находятся в каноническом взаимно однозначном соответствии с множеством классов сопряженности группы 几1(〃). Поэтому несопряженные элементы а, b ^л{ (Л1) определяют различные периодические геодезические, если между ними не существует никакого соотношения вида a^&v = 1 с отличными от нуля целыми числами 卩,v. Получите, используя замечание (i) разд* 7,2, что на каждом двумерном компактном римановом многообразии Л!?, не гомеоморфном S2 или P?(R), существует бесконечное множество различных периодических геодезических (достаточно рассмотреть случай ориентируемого Л12, так как иначе можно перейти к риманову ориентированному двулистному накрытию).

В случае когда М односвязно, задача становится существенно труднее. Пуанкаре впервые доказал существование периодической геодезической для любой аналитической римановой метрики на S2, а Биркгоф распространил этот результат на Sn. Лишь в 1951 году Л* А. Люстерник и А* И. Фет доказали, что на каждом компактном римановом многообразии М существует периодическая геодезическая. В последние годы С. И. Альбер, А. И. Фет и В. Клингенберг получили лучшие оценки числа периодических геодезических на М, зависящие отчасти от топологического строения, отчасти же от римановой структуры М. Наилучшей вполне универсальной нижней оценкой является З).

Недавно удалось доказать для весьма широкого класса компактных односвязных римановых многообразий М существование бесконечного множества периодических геодезических. Это верно, например, если М имеет гомотопический тип произведения сфер Sm X Sk (см. Gromoll D. and Meyer W., Periodic geodesics on compact Riemannian manifolds, Berkeley, препринт). Разумно предположить, что при dimAl > 1 на М всегда существует бесконечное число периодических геодезических (см. соответствующий результат Серра в замечании (iii) разд. 5.3 для геодезических с заданными концами i))・ "

При доказательстве всех результатов этого рода существенно используется теория Морса на пространстве замкнутых путей Q.

7・6・ Основная теорема теории Морса

В этом разделе вводятся некоторые топологические понятия и доказывается основной результат теории Морса, который будет применен в дальнейшем.

Пусть. X — топологическое пространство и Д — подпространство X, тогда (X, Д) называется парой пространств» причем в случае пустого подпространства 0иХ пара (X, 0) отождествляется с пространством X* Непрерывным отображением пар f: (X, 4)f (Л\ Д7) называется непрерывное отображение f: Х — Х‘, для которого f (Д) и /'. Два непрерывных отображения f, g: (X, Д)—>(Х,» /') называются гомотопными (f 〜 g), если существует такое непрерывное отображение Н: (X X [0, 1], Д X [0, i])f f (Х‘，4), что Н(а9 0) = f (а) и Н (at l) = g ⑷ для всех а е X. При этом Н называется гомотопией между 了 н g, или непрерывной деформацией f в g. Отношение “〜“ есть отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных отображений (X, Д)—► f (Х‘, /')・ Пары пространств (X, Д), (Х7, /') называются гомотопически эквивалентными ((X, 4)〜(文',/')), если существуют такие непрерывные отображения f: (X, Д)—>(Х,» /') и 厂(Xх, 4)f f (X, Д), которые гомотопически обратны друг другу, т. е. 『°f 〜id,x 力)и f of?〜id,x，力，)・ В этом случае f, f‘ называются гомотопическими эквивалентностями. Говорят также, что (X, Л) и (Х‘，/') имеют одинаковый „гомотопический тип". Гомотопическая эквивалентность (X, Д)—► (Xх, Л7) естественным образом индуцирует гомотопические эквивалентности X —► X’ н /—►/'・ Важнейшие алгебраические инварианты типа гомеоморфизма топологических пространств, например группы гомологий и гомотопические группы, суть также инварианты их гомотопического типа. Легко проверить, например, что R" имеет гомотопический

Это предположение не кажется убедительным, равно как н ссылка на результат Серра. — /7卩“開 пере&

тип одноточечного пространства, т. е. „стягиваемо**, что R"\{0}〜 〜S“t и(R", R"\O")〜⑦“，S"-) где О" = {a w R"：・ || a ||《1}.

Пусть X, Xх — топологические пространства, В — подпространство X’ и f: В-^Х — непрерывное отображение. Тогда можно построить новое топологическое пространство XUfX' „склеиванием X н X’ посредством отображения f“・ Для этого рассмотрим объединения непересекающихся множеств ХЦХ，, ХЦ(Х，\А)н отображение g: XljN'f ХЦ(Х'\8), заданное формулой g(a)=f(a) при а е= В и формулой g(a)==a в остальных точках. Введем в ХЦХ' топологию суммы пространств: множество U называется открытым в X ЦХ‘ в том и только том случае, если URX открыто в X н U П X’ открыто в XL Введем, далее, во множестве X U (^ \ В) топологию отождествления, т. е. слабейшую топологию, в которой g непрерывно. Это означает, что множество V называется открытым в X U (Xх \ В) в том и только том случае, если g- (V) открыто в ХЦХ'・ Полученное пространство обозначается через X U fX\ Для целого 也》0 определены „стандартная ^-мерная клетка11 Q* = {a: awR〃，||a|K 1} с относительной топологией Rft и подпространство S*'1 = dDk cz Dk9 Sfe-1 = (a: a eRfe, ||a||= 1}, причем Q。есть одноточечное пространство, a S~[ = 0. Пусть X — топологическое пространство и f: Sfe-1 -* X — непрерывное отображение. Пару ek = (Dk9 f) назовем ^-мерной клеткой, приклеенной к X с помощью f, и определим топологическое пространство X U е在=X II fQ* (X И е。есть просто топологическая сумма X и с。). Если； например, X — одноточечное пространство, то Dk можно приклеить к X единственным способом, н ХЦе在 гомеоморфно S'・ В случае когда X = S* для постоянного отображения S】fS〔 пространство ХЦе? гомеоморфно S1 VS — „букету**, полученному отождествлением одной точки S1 с одной точкой S2. С другой стороны, если воспользоваться тождественным отображением S1-*S1, то ХЦ。2 гомеоморфно Q2. Заметим, что S1 VS2 и D2 не являются гомотопически эквивалентными, так как их фундаментальные группы не изоморфны: n；i (S1 V52) ^ Z #= 1 = щ (D2).

Топологическое пространство X называется линейно связным, если для любых двух точек a, b ^Х существует непрерывный путь h: [О, 1]->Х, соединяющий а с й, т. е. такой, что Л(0) = а, А(1) = 6. X есть топологическая сумма компонент линейной связности —классов эквивалентности точек по отношению „а〜b тогда и только тогда, когда а можно соединить с b путем в Xй !)« Обо-

значим через л0 (X) множество всех компонент линейной связности X. Если это множество состоит из одного элемента, т. е. X линейно связно, будем писать л()(Х)= 1. Каждое непрерывное отображение f： X-^Xf индуцирует отображение f#: л0(Х)->л0(Х,), а именно, компоненте линейной связности точки awX ставится в соответствие компонента линейной связности точки f(a)wX‘； если g: X f X’ гомотопно f, то f* = g*・ Индуцированное отображение для композиции непрерывных отображений есть композиция соответствующих индуцированных отображений. В случае когда f — гомотопически обратное отображению 匕 имеем『：。厶= = (f'of)* = id* и соответственно f*of： = id*, т. е. отображения fi биективны и взаимно обратны. В частности, X линейно связно в том и только том случае, если X' линейно связно. Рассмотрим ^-мерную клетку eki приклеиваемую к X непрерывным отображением. Естественное включение 月： X —> X U ^* непрерывно, и при 左》2 отображение 力：л0(X)-> л0(X U е^ биейтивно. В самом деле, линейно связное пространство Dk приклеивается в точности к одной компоненте линейной связности X, так как край Sk~Y линейно связен. При 左=0 отображение 乙，очевидно, инъективно, но не сюръективно, при fe = 1 — сюръективно, но не обязательно инъективно, как видно из примера X U 3 = S。U id».

Основная идея теории Морса состоит в том, что гомотопический тип (а при более тонком изучении даже тип диффеоморфии) /n-мерного риманова многообразия ^ характеризуется поведением дифференцируемой функции ср: N—>R в ее критических точках, предполагая, что ср имеет только невырожденные критические точки, т. е. что гессиан ср в каждой критической точке не вырожден (заметим, что понятие „невырожденной критической точки (р“ зависит лишь от дифференциальной структуры на N).

Рассмотрим для каждого действительного числа а подпространство Na = {а: ср (а)《а} многообразия N. Если а — регулярное значение, принадлежащее образу ср, то „поверхность уровня" ср'1 (а), согласно разд. 1.6, есть замкнутое дифференцируемое подмногообразие ^ коразмерности 1, а ^a — дифференцируемое подмногообразие с краем 3№ =(рТ(а)・ Пусть р< a — другое регулярное значение, принадлежащее образу ср, причем ср'1 [а, р] компактно. Если [а, р] не содержит критических точек ср, то N^ можно каноническим образом деформировать в АР вдоль интегральных путей—J% и включение Na cz есть гомотопическая эквивалент- ность. Последнее утверждение, вообще говоря, неверно, если ср имеет критические точки в ср™1 [а, р]. Число их должно быть kq- нечно, так как было сделано предположение, что все критические точки ф невырожденные и, следовательно, изолированные. Если,

например, а — единственная критическая точка <р в ф-1 [а, р], то NQ можно получить, с точностью до гомотопического типа, приклеивая к Na клетку е々： № 〜乂°1)0々，где k — индекс невырожденной критической точки а, т. е. максимальная размерность линейного подпространства касательного пространства N&, на котором гессиан Л(₽ — отрицательно определенная форма, т. е. на котором ① принимает строгий относительный максимум в точке 0а. Как можно показать, существует такая карта х вокруг точки а на ^> что①。Л:一1=一皆一…一碇 + 碇+1 + … +

Следующий более общий результат есть основная теорема теории Морса.

Теорема 1 (М. Морс)

Усл. N — риманово многообразие] <р: Л^ —> R — дифференцируемая функция, все критические точки которой невырожденные.

Пусть а, р — регулярные значения <р, ф-*1 [а, р] компактно и а】，…， аг — критические точки в <р в ЧТ】 [а, ₽], а V①(@1)式Ф(@2)=^ .. • <Ф(а)<₽.

Утв. Существует гомотопическая эквивалентность

(№,№)-(№ и еА1 и …и 叫,О，

где ^z — индекс критической точки 的 и ek[ — клетки размерностей ki (1&力芍厂)，последовательно приклеиваемые к № с помощью некоторых отображений.

При этом не исключается, что N& (или множество критических точек в ф-1 [а, р]) пусто. Далее, можно выбрать такие гомотопические эквивалентности и гомотопии, при которых Na неподвижно.

Рассмотрим в качестве примера N = Sn и функцию расстояния ф： Sn—>R от некоторой аффинной касательной гиперплоскости, например (р(а) = 1 + ап+1. Критические точки <р — южный и северный полюсы. Это невырожденные критические точки индексов 0 и п, в которых ф достигает абсолютного минимума и максимума. Согласно теореме, S風〜％[)薪・ Другой простой пример —тор N = Т2 в R3 с функцией расстояния <р: Г2—>R от аффинной касательной плоскости в точке (R + г, 0, 0), т. е.①(q) = R + + r —@i・ Функция ① имеет четыре (невырожденные) критические точки: минимум индекса 0, две седловые точки индекса 1 и максимум индекса 2, так что Г2^е0 U ^i U ^i U ^2- Нетрудно в этом случае указать явное описание всех соответствующих гомотопических типов Na для регулярных значений а функции <р.

Док. См. Милнор Дж., Теория Морса, М., 1965. (Многие разделы этой книги посвящены римановой геометрии.)

Заслуживает внимания тот факт, что последняя теорема в почти неизмененной формулировке справедлива также в случае, когда ^ — бесконечномерное риманово многообразие. При этом приходится, однако, ввести добавочные предположения, заменяющие требование компактности ф"1 [а, В] в конечномерном случае (см. Palais R・，Morse theory on Hilbert manifolds, Topology 2 (1963), 229 — 340, и Abraham R・，Foundations of mechanics^ New York (1967)). Особенно важным примером является пространство 6pq, получаемое пополнением пространства Qpq всех кусочно дифференцируемых путей [0, l]f М полного /г-мерного риманова многообразия М, соединяющих точку р с точкой д. Пополнение состоит из всех а бсолютно непрерывных путей [О, 1]->М, у которых существует энергия; 0Pq каноническим образом снабжено структурой гильбертова многообразия. При этом функция энергии Е: Gp^f R дифференцируема, критические точки Е суть в точности геодезические из Qpq. Все они невырожденные, если пространство Qpq невырожденное (см. следующие разделы, а также замечания (i) и (ii) разд. 4.1). Тогда к N = Qpq и(р = £ применимо обобщение теоремы 1 на гильбертовы многообразия, согласно которому (6%, 6%)~(6%Ue% U ・・・U阳，6%), где. с” ..., сг — существующие в конечном числе критические точки Е на множестве f1 [а, ₽], а<Е(с^^ ... ^Е (^<^9 а ^/ — индекс критической точки ch совпадающий в этом случае с индексом геодезической q в смысле § 4 (см. также замечание (iii) разд. 4.5 и замечание (ii) разд. 4.6)・ Заметим, что для упрощения записи мы определили и индексную форму для нормальных геодезических; индексом любой нетривиальной геодезической с： [0, l]f М, естественно, называется индекс совмещенной с ней нормальной геодезической [0, L(c)]~>Mt индекс же тривиальной геодезической полагается равным нулю.

Теорию Морса для пространства 6Pq путей по различным причинам естественно и целесообразно строить, рассматривая вместо длины L энергию Е. Например, в отличие от энергии L не везде дифференцируема, как это уже указывалось в замечании (i) разд. 4.1. Все предыдущие соображения служат, однако, лишь мотивировкой описываемого ниже построения.

Пусть М — связное риманово многообразие с функцией расстояния р; с: [т, т‘] f Af—кусочно дифференцируемый путь. Энергия

определяетсяопределяетсяформулой Е(с) = J I] d II：必.Вформулой Е(с) = J I] d II：必.Всилу неравенства Кошисилу неравенства Коши

определяется

определяется

формулой Е(с) = J I] d II：必.В

формулой Е(с) = J I] d II：必.В

силу неравенства Коши

силу неравенства Коши

имеем

(jld,.(jll 邮必)，

откуда■

p2(с(T),。。))《L2(*。一力E(d⑴

При этом равенство в правой части соблюдается тогда и только тогда, когда |©| постоянна, или, что то же самое, с „параметризована пропорционально длине дуги" (в частности, это верно для геодезической с). Равенство в левой части соблюдается тогда и только тогда, когда с совмещена с кратчайшей геодезической, соединяющей с(т) с с(т/) (см. разд. 4.4). Таким образом, р2 (с (т), с (т7)) = (т/ — т) Е (с) только в случае, когда с — геодезическая длины р(с(т), с(¥))・ Легко видеть, что существуют совмещенные с с пути [т, if}-^M сколь угодно большой энергии.

Пусть р, q w М* Введем на множестве Rpq всех кусочно дифференцируемых путей [0, 1] ->А1, соединяющих peg, топологию с помощью расстояния р:

Г 11%

0®,q)= sup p®(f), 5(f)) + J (||瓦||一||厶峭df ・⑵

go, 1]

Принимая шары в метрике р за базис топологии в Qpg, превращаем Rpq в топологическое пространство. Благодаря второму члену в правой части (2), эта топология сильнее компактно-открытой топологии Qpg. Вследствие этого энергия Е: QP(7->R оказывается непрерывной. Длина дуги L: QP3->R также непрерывна, так как

「1■I2 1

|L(c0)-L(C1)|2 = M (IIColl-Pi 11)/^ < J (IIсоII-IIci 11)?^.

LoJ 0

Отметим еще, что в силу (1) выполняется неравенство U^E и, кроме того, /Л(с) = Е(с) для геодезических с е Qpg. Каждый путь 力：[0, l]f Rpq, соединяющий с0 е %, задает (р, 7)-гомотопию ":[0, 1] X [О, 1]->Л1 между с0 и с{ по формуле Н(/, s) = [ft(s)](/). Однако, для (р,办гомотопнн Н между % и с{ отображение [О, 1] ->Qpg, заданное формулой s-> "$, не обязательно непрерывно. В „пространстве петель44 Qpp последовательное прохождение путей задает закон композиции, превращающий Qpp в //-пространство, т. е. в топологическую группу-„с точностью до гомотопнн". Этот закон композиции порождает групповую структуру в ^(Q^p), причем, по определению фундаментальной- группы М имеем л/Л!) ^.

^ Л!(М, р) = щ(Qpp) (ср. разд. 7.2 и замечание (i) разд. 7.1, согласно которому для (р, (у)-гомотопных путей с。, ti 三 0Pg существует кусочно дифференцируемая (р,(у)-гомотопия Н между г0 и ^1 и отображение [0, 1]-> заданное формулой Sf 儿，есть непрерывный путь в £2ра с началом % и концом q)・

Упомянем еще в этой связи, что если обозначить через Qp^ множество всех путей [0, 1] -> М, соединяющих р с q, с компактнооткрытой топологией, то естественное включение /: Qpq -> QPq непрерывно (можно показать, что это отображение есть гомотопическая эквивалентность).

Построим для действительных чисел а подпространства 端= ={с: Е(с)忘 а} пространства £2卩^・ Пространство £2卩？ называется невырожденным, если для каждой геодезической с 三 £2乡？ точка 1 не является сопряженной точкой с. Согласно, разд. 7.7, для каждой точки р^ М существуют такие q ^ М, что £2М — невырожденное. Если QPq — невырожденное, то для каждого a Qp^ содержит лишь конечное число геодезических (см. замечание (v) разд. 4.6). В частности, множество всех таких чисел р, что Qpg не содержит геодезических энергии 0, всюду плотно в R.

Теперь мы докажем для энергии Е: Qpq -> R аналог теоремы 1; для этого мы заменим подпространства 鷗 и Qpq гомотопически эквивалентными им конечномерными многообразиями ломаных геодезических, после чего применим теорему 1. При этом существенное преимущество энергии перед длиной состоит в том, что, с одной стороны, Qp^ оказывается множеством равностепенно непрерывных отображений; с другой же стороны, в то время как метрика р дифференцируема лишь в некоторой окрестности U диагонали М X Mt за исключением самой диагонали, функция р2 дифференцируема на всей {/. Замена подпространств Qpg, „исчер- пывающихи Орд, их конечномерными моделями и есть первоначальный метод Морса, примененный им для изучения топологического строения пространств путей на полных римановых многообразиях (см. книги Морса и Зейферта — Трельфалля, литература к § 4).

Теорема 2 (М. Морс)

Усл・ М — полное риманово многообразие} р, q М\ Qpg не вырождено} Е: Qpq->R — энергия, Пусть числа а<р выбраны так, что в Qpg нет геодезических со значениями энергии а или р, 〃 с】,...,сг — геодезические, принадлежащие Е~ [а, р], &<；E(q)& …0E(Q)Vp・

Утв, Существует гомотопическая эквивалентность

(Q% Q%)〜®%Ue&U …и%, Q%),

где е亚一клетки размерностей 々^ = Ind с. (1《t《г), последовательно приклеиваемые с помощью некоторых отображений.

При этом опять не исключается случай, когда Q^ или множество геодезических в Е~1 [а, 0] пусто.

Следствие

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие; р, g вЛ1; Qpq не вырождено. Пусть а — такое действительное число, что Qpq не содержит геодезических, энергии а.

Утв. . Если для всех геодезических с 三％§ с энергией £ (с) > а выполнено условие Ind с》2, то Q% линейно связно.

Док« Мы должны показать, что две точки с。，q 三 Q^ можно связать путем в Q；q. Поскольку М односвязно, пространство Qpq линейно связно, и существует путь Л в Qpq, соединяющий & с q. Выберем такое значение p>sup{£(ft (s)): s е [0, 1]}, что Qpq не содержит геодезических энергии 0. Требуемое утверждение получится, если мы докажем, что включение /: 端 и 嶋 индуцирует инъективное отображение j*: л0 (Q^)-> л0 (й^). Согласно теореме, существует гомотопическая эквивалентность

f: (Q%, Q%)->(Q%Ue&UU%, Q%)

с гомотопически обратным отображением * и по предположению ©》2 (1 ^i^r). Пусть f: Q^->й^ — гомотопическая эквивалентность, полученная ограничением f. Как было уже отмечено в начале этого раздела, естественное включение Х->XU% при 々》2 индуцирует биективное отображение л0 (X) ->л0(X U еА). По индукции следует, что L：Ho(Q%)fH()(Q%Ue/U Ue^) биективно, где I： Q^->Q^Uek U •… Ue色—включение. Очевидно, f°j = i°ft откуда Г °f °j = ff °1°[, так что j 〜『。i。j и j* = V ° j)* = Z。小力 биективно.

Доказательство теоремы. Будем следовать доказательству Милнора (см. ссылку в теореме 1). Возьмем у>р и рассмотрим открытый шар В в метрике М с центром р радиуса У у ; В компактен, так как М полно. Пусть е>0 не больше нижней границы всех значений радиуса выпуклости г на В (см. разд. 5.2). Тогда квадрат функции расстояния р риманова многообразия М диф-

ференцируем на открытом множестве (В X В) П Р-1 [0, е) произведения М X М (см. разд. 5.1). Нам нужно представить открытое подмножество Qo = £~1 [0, у) пространства Щя, срочностью до гомотопической эквивалентности, в виде конечномерного многообразия. Согласно (1), все пути Qo принадлежат В.

Разобьем интервал [0, 1] точками О = /о</]< ... < /А = 1, так что % —%т<~^~, и определим для каждого пути с Qo кусочно» дифференцируемые пути %=с1%т，%卜 l《v《瓦 Тогда, как мьп сейчас покажем,

р(с(Ю c(f))Vs, t^[t^, Ц, 1 <v<^.(3》

В самом деле, р(с("т), с«))&£(%) и из (1) следует

Р2 (с (*), с (0) & 加(％) & (% - %т) Е(%) &导 Е (с) < е2.

Неравенство (3) выражает „равностепенную непрерывностьu множества функций 蔦，о которой шла речь выше. Образ каждого пути % по построению принадлежит сильно выпуклому шару с центром в с(%т) радиуса е.

Рассмотрим пространство Q】всех путей с в Qo, для которых % есть геодезическая с L (%) = р (с ("-J, с (%)), 1 <v<^. Тогда включение /: Q】—Qo оказывается гомотопической эквивалентностью, а именно, мы построим гомотопически обратное „ретра- гирующее отображение** g: Qo—► Qb поставив в соответствие каждому пути с е Qo однозначно определенную в силу (3) ломаную геодезическую g(c) = c* е Йь для которой c*(fj = c(fj (6《v《^h Очевидно, Е (с*) V Е (с)・

Далее, g。？ есть тождественное отображение Q” гомотопия Я: Q° X [0, 1]—>Оо между тождественным отображением Q。н i°g получается следующим образом.

Положим Н (с, s) = q w Q。, где 分 1[о,%т]=叫о,%-/； &Мт， кратчайшая геодезическая, соединяющая c(fy-i) с c(s), и cs |[s “ = = с|® 屮 если sw[fy-i,fj Ясно, что Е (cs) < £ (с) < у для всех 5^ [0, 1], Н непрерывно, "(с, 0) = с, "(с, l) = g(c). Поскольку отображение с-^Н (с, s) переводит в себя каждое из подпространств Q力，Q惠 пространства % (s е [0, 1]), £ есть гомотопическая эквивалентность:

9院q%)〜д?,硝，⑷

где Q® = Qi f] ^pq. Q? = Qi П Qgg — подпространства Q^.

При 々=1 все доказано; пусть &》2・

Формула 尸(c) = (c(fi), ..., с(九一О) задает естественное отображение F: Qi — Mx — ・ X М (々一i множитель)> 尸 есть гомео-

морфизм Q] на некоторое открытое подмножество N в MX …ХМ, на котором мы вводим индуцированную риманову метрику. Определим непрерывную функцию qp: М X ・・・ ХМ-> R, полагая

Ф(а) = <₽(«,, •••, а—) = 2 上严丁 а。,

V-1

где а0 = р, ak~q\ тогда 中。尸=£ и ср по построению дифференцируема на ^, причем N = {a: qp (а) < у}. Мы применим теорему 1 к N и ф. Прежде всего с помощью F получаем гомеоморфизм

(Q?, Й?)^(№, №).(5)

Далее, множество (р-1 [а, р] замкнуто в компактном множестве В X … X В и, следовательно, само компактно. Мы покажем, ■что awN является критической точкой ф в том и только том случае, когда а = F (с) и с е Qj — геодезическая. Вначале сделаем следующее предварительное замечание.

Пусть В— сильно выпуклый шар в метрике Л1 и ф: В X B->R— дифференцируемая функция, заданная формулой ф(г,г,) = р2 (г, г')・ Найдем градиент и гессиан 屮.Рассмотрим геодезическую с: [т,；]— ->b, для которой е(т) = Г, 6(不)=r',векторы 〃ем「, //已m尸. Построим вариацию V: [т, %f]X J—^ В геодезической с (JuR открытый интервал, содержащий 0), удовлетворяющую условиям V^D2『о = u, VtD2 k.o = u, и такую, что пути V^ [т, т'] -> В, заданные формулой 丿刀(£)=丿(力「), суть геодезические для всех 「已J (в частности, 几=6). Тогда имеем

2 "(Т, п), и В, n)) = В - Т)J К1В 必=/ ⑺；

по определению градиента и производной по направлению

〈▽屮 |г", 〃 X 〃'〉= (〃 X 〃‘)屮=尸(0) = ^ — т) J D2(y^Dh V^D^adt.

Вследствие VdK5 = 0 имеем

%〈几2,匕” =2〈匕2, %匕” =2〈几2, V/4〉=

戸25(匕Q,乙02〉， откуда

«屮|_「，，〃Х〃) = 2В — т)&3“ 匕2〉** =

=2 (т7 — т)〈一@ (т) X d В), и X 〃'〉； следовательно,

v^ Irxr^ = 2 (/ - т) (-с (т), c(/)).(6)

Согласно предыдущим вычислениям,

v^ Iv (Т, Л)Х7(тЛ, л) = 2 ^Г — ^) ( — ^*Z)j |т, л，匕5 Ь,寸)，

так что

/ЗХО = %^2 = 2。-矶一匕у*%小，v/a『o)= =2。-0(一匕二21小，上

Векторное поле У вдоль % заданное формулой У (/) = У+Д2 |Л0, есть поле Якоби, в самом деле,'

Vd%K2 + R (匕4,匕2)匕■=

=^DyDy^ ^^^^-\^^^ = о, откуда Y" + R(Y, с) = 0. Таким образом, тензор Гессе имеет вид 外ЗХ 必)=2 В-"(-『《), “吟)，(7)

где У — поле Якоби вдоль % удовлетворяющее условиям У (т) = и, У (тЛ) = и\ Сравните эти вычисления с соответствующими вычислениями в разделах 4.1, 4.3 и с замечанием (ii) разд. 52

Согласно (6), градиент ср имеет вид

^^ = ^{0^^-02{^ ck^[tk^-ck[tk^),

где F (с) = а, % =。1卩”一卄 ％卜 1&”& 历 Поэтому V(p \а = 0 в точности тогда, когда cv(/v) = с^х (Q при всех v = 1,…，fe — 1, т. е. когда с — геодезическая. Согласно (7), гессиан ср в критической точке а = F (с) имеет вид

%(。3)= 2且冬, M〉1；L，(8)

где V, w^Na, и = (и” …，％_]), и)= (吗，…，叫-)a Xv, Yv - поля Якоби вдоль %, удовлетворяющие условиям

X” (/”—[) = Uy—], У“(％-!)= 5”Т，X” (fy) = Uy, У у (f J — ЙУу

(считаем Vq = Wq = 0^ Мр, vk = wk = 0^ Mq).

Если с —тривиальная геодезическая, то %, очевидно, положительно определена вдоль а. В этом случае индекс а равен 0 и, по определению, равен индексу с.

Если с — нетривиальная геодезическая, то касательное пространство к ^ в точке а разлагается в ортогональную сумму, Nl N^0N 飞、где Na = (v：〈％, c(/v)) = 0, 1&V&々—1} и ^ J —ортогональное дополнение к Na- Легко проверить, что Лф^7 хnT положительно определена и h^^Na, A^J) = O; остается исследовать

Лф = Лф | ± I. Пусть с ° Л — совмещенная с с нормальная геодезическая, А: [О, L (с)] -> [0, 1] — другая параметризация этой же геодезической, для которой 厶(s)=工旧・ Из (8) и разд. 4.5 следует 2丄、Лф (и, з) = / (X。А, У。Л), где X, У — ломаные поля Якоби вдоль с с точками излома 力,...,〃—匕 удовлетворяющие условиям X % у f ]=人,У |网],f ] = %(1 Mw《初 Согласно лемме 2 разд. 4.5, индексная форма / не вырождена, так как по предположению все сопряженные точки с。А лежат в (0,厶(с)); поэтому форма Лф и тем самым 为屮 не вырождены.

Как видно из доказательства леммы в разд. 4.6, индекс геодезической с。А можно получить как индекс ограничения / на подпространство 以％ и S3：。％ всех ломаных полей Якоби с изломами в точках 厶(с) %. Тем самым мы показали, что индекс 屮 в критической точке а = F (с} равен Ind с = Ind с。А.

Теперь мы можем применить к ^ и <р теорему 1, согласно которой существует гомотопическая эквивалентность (№, №) ~ ~(N°Ue&U … 1% , №} В силу (4) и (5) имеем, наконец,

(%,端)〜m产)〜" изи…u ", N\亨

窄(R[ U 価 U …U ”, ％) т(R“ U %] U …U ”, ％);

при этом 尸 н £ предполагаются канонически продолженными. Тем самым теорема доказана.

7・7・ Радиус инъективности экспоненциального отображенияв случае произвольной размерности

В разделе 7.5 мы дали нижнюю оценку радиуса инъективности экспоненциального отображения компактного риманова многообразия четной размерности и положительной кривизны через верхнюю границу кривизны.

Теперь мы займемся соответствующей задачей в случае произвольной размерности.

Приведем вначале известный результат о дифференцируемых отображениях.

Лемма

Усл. М, W — дифференцируемые многообразия равной размерности} f: M-^N — дифференцируемое отображение.

Утв. Множество регулярных значений f всюду плотно 6 М,

Док. Предположение непосредственно вытекает из более общей теоремы Сарда (см. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, М., 1956, стр. 30, теорема 4).

Согласно лемме, регулярные значения экспоненциального отображения ехрр： Мр~^М полного риманова многообразия М всюду плотны в М, какова бы ни была точка р^ М. Это значит, что в любой окрестности U произвольной точки г ^М существует такая точка д, что все геодезические с: [0, 1]->Л4, соединяющие р с q, могут иметь сопряженные точки только в открытом интервале (0, 1) (в терминологии разд. 7.6 это значит, что пространство путей Rpg не вырождено).

Теорема (В. Клингенберг)

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности /г》2. Кривизна М для всех касательных плоскостей о удовлетворяет неравенствам OV^VKoW%.

Утв. Радиус инъективности d: Mf R отображения ехр во всех точках р^ М заключен в пределах

Рм》％》言， (1) где — диаметр ЛГ.

Заметим, что в разд. 7.5 для четных размерностей было доказано более сильное утверждение; там же содержатся дальнейшие замечания по этому поводу.

Док. Прежде всего нормируем риманову метрику М умножением на 九,тогда }<Ко&1・ Далее мы можем ограничиться случаем /г》3 (см. разд. 7.5).

Пусть р ^М и (/^―открытый шар радиуса “ в М» с центром в точке 0. Предположим, что ехр |у не инъективно. Тогда существуют такие точки 办，wQ е Uni что v0 ф ш0 и exp(v0) = ехр(ш0). Обозначим точку ехр (%) = ехр (д) через %• По теореме сравнения Морса — Шенберга ехрр имеет максимальный ранг на ил. Следовательно, существуют окрестность V точки v0 и окрестность W точки ш0, каждая из которых диффеоморфно отображается отображением ехрр на некоторую окрестность точки г0; при этом можно считать, что ехр”) = ехр”). Множество 户={打：〃巨匕 /巨(0, 1]} открыто в Мр. Согласно лемме, при 0<е^л открытое множество ехр (7 Л t/fi) содержит регулярное значение ехрр.

По теореме Мейерса М компактно, поэтому x = infK(j>；,

О 4

откуда 2л —откуда 2л —>0. Выберем е>0, удовлетворяющее неравен->0. Выберем е>0, удовлетворяющее неравен-

откуда 2л —

откуда 2л —

>0. Выберем е>0, удовлетворяющее неравен-

>0. Выберем е>0, удовлетворяющее неравен-

ствам е<2л——^, eV-^, затем и е 7 и tQ е (0, 1] таким образом, чтобы было /ои е 7 Q С7е и чтобы ехр (/ои) = q была регулярным значением ехрр. Тогда существует вектор w ^W9 для которого ехр (оу) = ехр (и) = г. Построим, как и в лемме разд. 7.1, геодезическую с。： [0, 1] -> М, соединяющую р с q, м ломаную геодезическую Ср [О, 1]->М, соединяющую р с qt заданные формулами Co(f) = ехр("()и)，q (/) = ехр(2/5)при fq[o, }], q«) = = exp([l —(2/— 1)(1 —/0)] ^) при fq[~^, lj (точкой излома c{ служит г). Очевидно, L(CQ)= tQ\\v\\t L (cj -1| || +(1 -/0)|| и || и

L (г0) + L (cj < 2л. (2)

Пространство путей £2卩屮 по построению, не вырождено. В силу (2) и неравенств ~~= 4- А (с0) < -~^4- е < 2л можно найти такое число V^》£(ci), что

-^<Уа<2л-Л(с0) (3)

и Qpg не содержит геодезических энергии а. Тогда из (3) и разд. 6.2 следует, что все геодезические из Qp@ длины, большей Ja, имеют индекс, не меньший n — 1 ^2. Из следствия к теореме 2 разд. 7.6 вытекает, что Q% линейно связно. Пусть s-> Hs — путь в Q；g, соединяющий q с q; Я: [0, 1] X [0, 1]-> М есть (р, д)-гомотоиня, соединяющая с。с с】и заданная формулой Н (/, s) = Hs (/). Очевидно, справедливы неравенства U(HJ & Е (方§) * а. Согласно (1) разд. 7.1, существует такое s0 е [0, 1], что； 2n^L (с0) + L (Hs^ =С &£(с())+ |Лх, а это противоречит (3). Тем самым теорема доказана.

Теорема о сфере

Основным результатом этого раздела является следующая Теорема

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности п^ 2. Пусть кривизна М ^-ограничена с 6> ^ т. е.

^<i>^Ka^l(1)

для всех касательных плоскостей ст.

Утв. М гомеоморфно сфере S2

Этот результат — „теорема о сфереи — был сначала доказан Раухом с большей нижней границей 6 в (1)* а затем в полном

объеме Клингенбергом (см. Rauch Н. Е., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math., 54 (1951), 38 — 55; KHngenberg W., Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krutntnung, Comm. Math. Helv., 35 (1961), 35 — 54). В случае n = 2 утверждение теоремы остается справедливым, если вместо (1) предположить лишь, что К》6&0. Действительно, в силу разд. 7.3, М в этом случае компактно, а всякое двумерное компактное односвязное топологическое многообразие гомеоморфно S2.

Можно утверждать даже большее: если М компактно и /С^О, причем К (р) > 0 по крайней мере в одной точке р ^ Л4, то по теореме Гаусса — Бонне для эйлеровой характеристики компактного двулистного риманова накрывающего М имеем

2砍商=/ > О,

где со — форма площади на 府；но тогда в силу классификации компактных поверхностей М гомеоморфно сфере S2 или проективной плоскости 尸促)，в зависимости от того, ориентируемо М или нет.

Если отказаться в теореме о сфере от требования односвязности М, то прежде всего универсальное риманово накрывающее М многообразия М оказывается гомеоморфным S厶. При четном п достаточно предположить М ориентируемым, так как отсюда следует односвязность М (см. разд. 7.5).

Пусть теперь /г > 2 и n = 2k четно, тогда предположение теоремы (1) не может быть заменено более слабым

}&к°《1, ⑵

как показывает пример комплексного проективного пространства Р^(С) с канонической метрикой (см. (8) разд. 7.5). В самом деле, Р^(С) не гомеоморфно Sn, поскольку их эйлеровы характеристики Xpk (с)= ^ + 1 н %S汽=2 различны.

Если в теореме заменить условие (1) условием (2), то справедливо следующее: либо М гомеоморфно сфере Sn, либо М изометрично одному из симметрических пространств ранга 1, т. е. Р^(С), или кватернионному проективному пространству соответствующей размерности, или плоскости Кели (см. замечание (v) разд. 1.7). Только что указанные многообразия снабжены, подобно комплексному проективному пространству (см. замечание (v) разд. 7.5), е стественной структурой нормальных однородных пространств.

(По этому поводу см. Berger М., Les varietes riemanniennes-^-pincees, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, III, 14 (I960), 161 —170.)

Для нечетной размерности n теорема остается справедливой с более слабым условием (2) вместо (1) (см. Klingenberg W., Ober Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben beschrankter Krum- mung, Annali di Matematica, 60(1963), 49 — 59). Неизвестно, может ли быть уменьшена дальше граница 彳 в случае нечетной размерности (см. разд. 7.9).

Так как на компактном топологическом многообразии размерности 《3 существует, с точностью до эквивалентности, единственная дифференциальная структура, то при п = 2,3 многообразие М даже диффеоморфно Sn. В разд. 7.9 мы кратко рассмотрим вопрос, можно ли в общем случае заменить в теореме о сфере гомеоморфность диффеоморфностью.

Теперь докажем теорему в предположении (1) прямым построением гомеоморфизма, при помощи атласа из двух нормальных карт с надлежащим образом выбранными „полюсамии. Нам понадобятся некоторые предварительные рассуждения. Следующее предложение, представляющее также и самостоятельный геометрический интерес, было впервые доказано Берже в случае неотрицательной кривизны.

Лемма 1

Усл. М — полное риманово многообразие неотрицательной кривизны. Пусть р, q в М — точки, для которых функция р (р‘, q) достигает относительного максимума при р' = р.

Утв. Для каждого и ^ Мр, и #= 0, существует геодезическая с： [0, р] М, удовлетворяющая условиям с (0) = р, с(0) = д, L (с) = р (р, q) и (и, с (0)> > 0, т. е.

刁(и"(0))&^.(3)

Док. Можно считать, что 同=1. Рассмотрим нормальную геодезическую с: [0, ро] -^ М, удовлетворяющую условиям с0 (0) = р, 書(0) = 〃 выбрав при этом ро > 0 столь малым, чтобы было Р(Р, %(s)) = s, с 式 s)，q и pQ(s), ^)< р (р, q) для всех s ^ [0, ро]. Тогда по теореме Хопфа — Ринова существует геодезическая с$： [0, 0]f М, соединяющая с0 (s) с д, причем L (с$) = р (с。(s), д)・ Пусть, далее, В — достаточно большой шар в метрике М с центром в р, в котором расположены все рассматриваемые геодезические; тогда при оценке углов всех треугольников с вершинами р, д, Cu(s) по формуле (19) разд. 6.4 можно пользоваться некоторой нижней границей х < 0 кривизны М на компактном множестве В

(см. замечания (i) и (ii) разд. 6.4). Поскольку cos ^С( —cp(s), cs (0)) = =—&(s)，下於囁"〉‘ из (19) разд. 6.4, полагая а = 了―х, получаем ch ар (р, ^)^ch ар (^^(s), g)chas +

+ sh ар (cv (s), q) sh as ( cv (s), "jj^喘y〉・

Согласно выбору %, имеем р(ср(s), q)^p(pt g), откуда

(1 - ch as) ch ap (cv (s), q) & sh ap (cv (s), q) sh as〈 cv (s),希喘丿 И

一 1 + ch as cth ap g (s), 9)《(乙⑶,f6；,0；『〉•⑷

Так как множество чисел ||cs(0)|| ограничено, в интервале (О, PJ существует такая последовательность sv->0, что cSv (0) сходятся в ТМ к некоторому вектору w е Мр. Тогда *$卄 сходятся к геодезической с, заданной формулой с(0 = ехр (^ш), с началом р и концом д, причем в силу (4) получаем

〈刀 г(о)и〉=，巴〈％ ®), 以川)>

2 一，巴 тЕГSv。齿 ap (% (Sv), g) = 0. Лемма доказана.

Покроем теперь многообразие М нашей теоремы двумя «-мерными клетками, т. е. двумя подмножествами, гомеоморфными R几. Обозначим через %(р) открытый шар метрики М радиуса 口 с центром в точке р.

Лемма 2

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности /г》2; для всех его касательных плоскостей а выполнено неравенство } V 6 & К。& I.

Утв. Существуют такие точки р, q R М, что для любой точки г ^М либо р(р, г) < л, либо р(д, г) < л, так что выполняется вп(р)[)вм^м.®)

Заметим, что при более слабом условии ^^Ко^\ утверждение (5) оказывается неверным. В самом деле, это условие выполнено для комплексного проективного пространства М = Р"(С) (n > 1), которое имеет всего лишь диаметр рм = л (см. замечание (V) разд. 7.5). Между тем для любых двух точек р, q 曰 М пересечение соответствующих множеств раздела С (р) = С (д)=

=Рп~{ (С) в М непусто, и потому существует точка г s С (р) f] С (д), для которой р(р, г) = р(?» г) = л.

Док. По теореме Мейерса М компактно. Выберем такие точки р, q^ М, что р (р, д) = рм V 2л. Пусть, например, р (р, г)》л, можно считать, что г 2 д. Рассмотрим геодезические с0: [О, 1]->Л1, с началом q и концом г, и д： [0, 1] ->Л1, с началом г и концом д, для которых L (с0) = р (^, г), L(q) = p(r, р) и № =今(一&(1), с2 (0)) < 《乎 Согласно (1) разд. 7.7, р(р, д) = рм》л. Так как у0 — угол в вершине р треугольника △ = (с0, с” с2) с вершинами р, д, г, то из следствия (8) разд. 6.4 теоремы сравнения Топоногова получаем р(д, г) = £ (с0) < л, что и доказывает лемму.

Согласно (1) разд. 7.7, шары Вя (р) и Вя (q) в соотношении (5) являются даже диффеоморфными образами евклидовых шаров радиуса л в Мр и Mq с центром в 0, при экспоненциальном отображении. Известна теорема, согласно которой топологическое многообразие, представимое в виде объединения двух п-мерных клеток, гомеоморфно S". Тем самым мы, по существу, уже доказали теорему о сфере вместе с леммой 2. Однако, в данной ситуации можно построить гомеоморфизм M-^ Sn особенно простым и геометрически естественным способом; поэтому мы проведем прямое построение.

Лемма 3

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности м》2; для всех касательных к М плоскостей а удовле- творяютсянеравенства-^ < d^Ка^ 1； р, 9 — „диаметраль- ftbie" точки М, т. е. р(р, д) = рм・

Утв. „Экватор^ С {г: р(р, г) = р (г, д», рассматриваемый как подпространство М, есть (п — V)-мерное топологическое многообразие, гомеоморфное S"-* 〃 каждая исходящая из р или q нормальная геодезическая пересекает С в точности один раз на расстоянии < л. Множество С разбивает М на два подпространства WQ с= Вя(р), Wx <= Bn(q), для которых 步。U 呼1 = М % П 杯1 = С. Далее, можно построить канонические гомеоморфизмы Ло： Dn^WQt 九：Dn-^Wb для которых Ло (S“t)=小(S"T) = С.

Из доказательства легко видеть, что С оказывается даже дифференцируемым подмногообразием М, и что в качестве 加，瓦 можно взять диффеоморфизмы (см. по этому поводу разд. 7.9). Док. Согласно (1) разд. 7.7, отображения ехрр, ехр, диффер- морфно отображают открытые шары Unt 卩几 в Мр, Mq радиуса л с центром в 0 соответственно на Вя (р), Вя (^).

Вследствие (5) имеем С^[ВЛ(р)ПВя(q)]. Рассмотрим непрерывную функцию(р(г) = р(р, г) — р(?, г) на 访，множество С =(рТ(О) компактно вместе с М・ Для каждой нормальной геодезической с: [0, л]->М с начальной точкой р функция 屮。& как мы сейчас покажем, строго монотонно возрастает. В самом деле, если О&УУ&л, то из неравенства треугольника получаем сначала р(д,с(，))<р(д,с«)) + р(с«), с(，))，причем равенство исключается； так как в противном случае c(t) и, следовательно, р принадлежали бы образу кратчайшей геодезической, соединяющей q с с(，)； вопреки условию р(р, q) = р^. Отсюда следует

<рос«) = р(р, с«))-р(д, с«)) = Р(Р，^(О)-р(^(О, ^(О)-

-р(?, ^(0)<р(р^(0)-р(?^(0) = ф°^(0-

Поскольку ф ℃(0)<0, ф ° с (л) > 0 и 屮。0 непрерывна, существует в точности одно значение %巨(0, л), для которого с (/) е С = ф'1 (0): Если с начинается в точке д, то <р ° с строго убывает, так как —(р°с строго возрастает. Положим %={г：(р(г) «0}и иВ^(р), % = {г ：屮(г)》0}и%(д). Если i0: Mpf “：爲^ R"— линейные изометрии, то go = i()。(exp 卜冗)一* gi = U。(exp 卜口)一' гомео- морфно отображают шары Вя (р),区⑷ соответственно на некоторые окрестности точки 0 в R". Обозначим снова через Dn стандартную л-мерную клетку {а: || а ||《1} в R" с краем dDn=Sn^[. Непрерывное отображение 尸(%)= ]^р「旦^ 力三 编⑹，согласно предыдущим рассуждениям, биективно и, следовательно, является гомеоморфизмом подпространства g«)uR" на Sn~x (непрерывность обратного отображения 厶 вытекает из того, что g«) (/=1,2) вместе с С компактно, a Sn~l — хаусдорфово пространство). Продолжим h по радиусам до гомеоморфизма 耳：R"f R\ полагая 尸制=【力喻山при а =/= 0 и 尸/(0) = 0. Тогда 尸^ гомеоморфно отображает Dn на 卓(陷)，и можно определить отображения 4： Dn -> Wt по формуле А. = g^[ ° Ff \^п, что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы о из леммы 3 и следующегоДоказательство теоремы о из леммы 3 и следующегосфере. Утверждение теоремы вытекает общего предложения:

Доказательство теоремы о из леммы 3 и следующего

Доказательство теоремы о из леммы 3 и следующего

Лемма 4

Усл. М — топологическое многообразие размерности п. Пусть 九0, /г/ Dn^ М — гомеоморфизмы Dn на подпространства 九0 (£>"), hi(D") пространства Mf причем Ао (Dn) U h{(Dn) = М « /io(D")n/ii(D") = /io(S"T) = %(S"T).

Утв, М гомеоморфно S"・

Док. Рассмотрим для S"uR"+i стереографические проекции: х из северного полюса и у из южного полюса (см. замечание (iii) разд. 1.1). Южная полусфера S- = [a: а 三 S\ а%+1&0} гомеоморфно отображается с помощью х на Dn, а северная S； = {a: a^Sn, art+1^ 0)— с помощью у, причем % н у совпадают на экваторе S2_f]S， образом которого является край S'^^ шара D". Продолжим теперь гомеоморфизм f = ЛГ1 ° Ao： S'^f S“t по радиусам до гомеоморфизма F: DnfDn, полагая 尸⑷=|| a ||f (j^j) при а^Он 尸(0) = 0・ Получаем гомеоморфизмы Ф_: %。х, Ф+ = %。尸。弘 отображающие соответственно S- на %(D") и S； на h\(Dn)t причем Ф_ и Ф+ совпадают на Si f] S+. Поэтому можно построить отображение Ф: S"f М, полагая Ф (г) = Ф_ (г) при г е S1 и Ф(г) = Ф+ (г) при г е S+, отображение Ф непрерывно и биективно. Так как Sn компактна и М — хаусдорфово пространство, то и Ф-1 непрерывно. Следовательно, Ф — гомеоморфизм.

Если в условии леммы 4 М — дифференцируемое многообразие и /г。, /i! — дифференцируемые вложения, то не обязательно существует диффеоморфизм S"f М; для этого необходимо и достаточно, чтобы „перекручивание*4 /i」。％: Sn~{ Sn~{ могло быть .продолжено до диффеоморфизма 尸：DnfD，что, вообще говоря, невозможно при 孔 ^7. С помощью 尸 легко построить диффеоморфизм Sn f Af, „сглаживая44 отображение Ф предыдущего доказательства в окрестности экватора S".

Укажем еще несколько иной путь доказательства теоремы о сфере, прямо опирающийся на теорию Морса и не использующий теоремы о сравнении углов из разд. 6.4. При этом, однако, получается непосредственно лишь утверждение о гомотопическом типе М.

Компактное n-мерное дифференцируемое многообразие М, имеющее гомотопический тип Srt, называется гомотопической сферой. Необходимое и достаточное условие, при котором М является гомотопической сферой, состоит в равенстве нулю гомотопических групп 冗兑(М), 0《尼《孔一1 (или, что то же самое, связность и односвязность М, а также тривиальность групп гомологий 〃兑(М), 2 M尼&孔一1). Как недавно доказано Смейлом, гомотопическая сфера М диффеоморфна Sn, за исключением, может быть, случаев dim М = 3,4. Этот результат представляет подтверждение гипотезы Пуанкаре в ее естественном многомерном обобщении. (См. Милнор Дж., Теорема об h-кобордизме, М., 1969.)

Рассмотрим полное риманово многообразие М и такие точки р, q rM> что пространство путей QM = Qp, не вырождено

(см. разд. 7.6). Напомним в связи с этим, что все пространства путей Qpg гомотопически эквивалентны друг другу, каковы би ни были точки р, д. Из теоремы 2 разд. 7.6 легко следует, что

〜%Ue%U ... U^U ・・・・(6)

Пространство ЙЛГ имеет гомотопический тип СК-комплекса с конечным или счетным числом клеток е&『приклеиваемых последовательно друг к другу с помощью соответствующих отображений; если съ сь — геодезические в QM, Е (с】)^ ...(с/《 то 矗/ = Ind ch 財=0. При этом пространство X = ekx\] ... U е打 U .八 снабжено слабой топологией: X представляется в виде |J Xh где

Xf = e^]U ・•• U ^az и открытыми считаются те множества U czX, для которых U ПX» открыты при всехZ= 1,2, .... В общем случае в правой части (6) оказывается бесконечное число клеток размерности 论, например QS】~ е()U с。U ・•• • Если, однако, dim М》2 н кривизна М по отношению ко всем касательным плоскостям а удовлетворяет неравенствам Ко^n>Qt то, как следует из теоремы сравнения Морса — Шенберга, в правой части (6) содержится конечное число клеток каждой размерности fe ^ 0. Согласно замечанию (i) разд. 6.2, это же справедливо и при более слабом предположении, что кривизна Риччи многообразия М везде не меньше некоторого положительного числа. Например, в силу замечания (i) разд 4.6 имеем

QS" ~ % U %т U • • • U ^(д-i)U

и из замечания (v) разд. 7.5 легко вытекает, что

QPn(C) ~ е0 U е, U е2л U e2n+i U • • • U е2М U e2M+i U

где п》1 и i = 0, 1, 2, .... Отсюда нетрудно найти гомологии пространств ЙРЛ (С).

Пусть теперь М — риманово многообразие, удовлетворяющее предположениям теоремы о сфере. Возьмем р ^ М, выберем число

<х>0> удовлетворяющее неравенствам -^= ^а<2л, и найдем, соглас-

но лемме разд. 7.7, такую точку q ^М, что йр^ не вырождено и р(р, g)V2：nc— Уа. В силу (1) разд. 7.7 пространство Q；q содержит только одну (а именно, кратчайшую) геодезическую индекса 0, но тогда, согласно разд. 6.2, все остальные геодезические 01Pq

имеют индекс》п— 1. Из (6) имеем QM^eki Ue% U • • • Ue幻 U ・•・， где 財=0 н 財》м — 1 при £》2. Отсюда получается тривиальность приведенных групп гомологий:疗kT(QAf) = 0 при 1《论&м—1. По теореме Гуревича имеем также 冗也_】(Q“) = 0 при 1《论《м — 1, а по определению гомотопических групп nk{M) ^ rt^-j (QAIK 论》1;

следовательно, 冗用(М) = 0, 0《尼《九一1, и М. — гомотопическая сфера.

Сделаем в заключение еще одно замечание о проблеме диаметра. Если кривизна полного риманова многообразия М имеет положительную нижнюю границу, то его диаметр рж ограничен сверху, в то время как нижняя граница р帝,естественно, не может быть указана. Как видно из следующего ниже результата Берже, соответствующее ограничение р^ снизу накладывает сильные ограничения на топологическое строение М.

Теорема

Усл. М — полное односвязное риманово многообразие размерности 九》2; для всех касательных к М. плоскостей а кривизна Ко》6>0; диаметр Рм>у^・

Утв. Л1 есть гомотопическая сфера, 〃, значит, М гомеоморфно S”, во всяком случае^ при и 声 3,4-

Заметим, что по теореме Майерса М компактно, и в условиях теоремы

Заметим еще, что при более слабом условии р^ ^ ^—： утверждение теряет силу, как показывает опять же пример комплексЗаметим еще, что при более слабом условии р^ ^ ^—： утверждение теряет силу, как показывает опять же пример комплексУтверждение теоремы можно рассматривать как обобщение (в гомотопическом смысле) теоремы Топоногова о диаметре (см. разд. 7.3), а также теоремы о сфере, поскольку из ее условий вытекают (нетривиальным образом, в силу (1) разд. 7.7) условия предыдущей теоремы.

Заметим еще, что при более слабом условии р^ ^ ^—： утверждение теряет силу, как показывает опять же пример комплекс

Заметим еще, что при более слабом условии р^ ^ ^—： утверждение теряет силу, как показывает опять же пример комплекс

Док. Возьмем точки р, г w М, для которых р(р, л) = рж. ПустьДок. Возьмем точки р, г w М, для которых р(р, л) = рж. Пустьного проективного пространства.

Док. Возьмем точки р, г w М, для которых р(р, л) = рж. Пусть

Док. Возьмем точки р, г w М, для которых р(р, л) = рж. Пусть

П— радиус инъективности ехрр, О V п《病1, н U — такая окрестность точки рвМ, что р (р, <7)<Т|, p(q,，) >^^ и 籌 j需；；；> cos /бт|

Qpq не содержит гео- В самом деле, в проQpq не содержит гео- В самом деле, в продля всех q wU.

Qpq не содержит гео- В самом деле, в про

Qpq не содержит гео- В самом деле, в про

Покажем, что при g w U пространство дезической 出，для которой ц《L ©) & /尸・

тивном случае рассмотрим обобщенный треугольник △ = (%, с「с2) с вершинами р, д, г и кратчайшими геодезическими %wQ“, CiWQrp； при этом выберем с{ по лемме 1 таким образом, чтобы угол △ при вершине р удовлетворял условию Yo^y- Можно

применить к △ теорему Топоногова о сравнении углов, тогда из (7) разд. 6.4 получаем cos а0 ^ cos а{ cos а2, где 〃尸]/。L(Q)・ Следовательно, имеет место

H^Xl@J)・—-°—- & cos а2 = cos ]/К Л (з) & cos "/К 刀，

COS У 6 P(P，r) COS Qi

вопреки выбору точки q. Возьмем теперь такую точку q 三 U； чтобы пространство йр? было невырожденным (см. лемму разд. 7.7).

Тогда все геодезические из йр?, кроме кратчайшей индекса О,

оказываются длиннее р^г-оказываются длиннее р^г-и имеют по теореме Морса — Шенберга

оказываются длиннее р^г-

оказываются длиннее р^г-

индекс》м—1. Но тогда, как мы видели, из (6) следует, что М — гомотопическая сфера.

Обзор

Задачи римановой геометрии, которыми мы занимались, рассматриваются в более общем контексте дифференциальной геометрии в обзоре: Chern S. S., The geometry of G-structures, Bull. AMS, 72 (1966), 167—219. Кроме этой весьма содержательной работы, укажем еще на собрание нерешенных задач: Kobayashi S； and Eells J., Problems in differential geometry, Proceedings US- Japan Seminar on Differential Geometry, Kyoto (1965), 167—177.

Римановы многообразия с везде положительной (неотрицательной) или везде отрицательной (неположительной) кривизной представляют с локальной точки зрения естественное обобщение пространственных форм. Исследование их строения, в сравнении с соответствующими стандартными геометриями, надо рассматривать как важную задачу римановой геометрии. Было приложено много усилий в направлении топологической или хотя бы гомотопической классификации полных римановых многообразий положительной кривизны. Эти исследования начались с классического до сих пор не решенного вопроса X. Хопфа: существует ли на дифференцируемом многообразии S? X S? риманова метрика положительной кривизны? В этой области до сих пор известно очень мало, не известно также, можно ли деформировать каноническую метрику произведения S2 X S? (неотрицательной кривизны) в мет-, рику положительной кривизны. Можно предположить, по аналогии с соответствующей теоремой для случая отрицательной кривизны (см. замечание (vi) разд. 7.2), что на произведении компактных дифференцируемых многообразий Mt N не существует метрики строго положительной кривизны (см. задачу Чжэня в замечании (iv) разд. 7.3).

Все известные до сих пор примеры односвязных компактных римановых многообразий положительной d-ограниченной кривизны

диффеоморфны однородным пространствам G/〃. Точнее говоря, встречаются лишь симметрические пространства ранга 1, а именно сферы S" с максимальным значением 6 = 1, проективные пространства Рп(С), Р"(Н) и р2(Са) с максимальным 6 = -^-, а также два „исключительных пространства44 типа Sp (2)/SU (2) в размерности 7 и SU (5)/Sp (2) X S1 в размерности 13, с надлежащими представлениями Н в G. Оба последних многообразия, как нормальные однородные пространства, имеют положительную кривизну; для нормальных метрик на Sp (2)/SU (2) максимальное значение S, согласно Элиассону (Eliasson), равно ■—-, тогда как в случае SU(5)/Sp (2) X S】точная оценка кривизны не известна.

Обратно, используя теоремы о классификации групп Ли, можно показать, что из всех односвязных нормальных однородных пространств только пространства перечисленных выше типов диффео- морфий могут иметь всюду положительную кривизну (см. Berger М., Les varietes Riemanniennes homogenes normales simplemeni con- nexes a courbure strictement positive, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 15 (1961), 179 — 246). Представляется маловероятным, чтобы перечисленные примеры исчерпывали все типы диффеоморфии односвязных компактных римановых многообразий положительной кривизны.

Утверждение теоремы о сфере может быть усилено. Классы эквивалентности дифференциальных структур на топологическом многообразии S" при п #= 4 взаимно однозначно соответствуют элементам некоторой абелевой группы Гл; как вычислили Милнор, Смейл и другие, F" = 0 при 1差孔《6, далее, например, Г7 = Z28, Г8 = Z2, Г11 = Z992. При этом обычной дифференциальной структуре на S" соответствует нулевой элемент Гл.

Существует универсальная последовательность чисел 6论, ；=仇 V ... < SA < Sft+1 < ... < 1 и lim 6论=1, обладающая следующим свойством: пусть М — односвязное риманово многообразие размерности 孔》2 c S-ограниченной кривизной, н6>6^, тогда М гомеоморфно S", и дифференциальная структура М характеризуется элементом некоторой подгруппы Г^ группы Гл, причем Гл = Г? . и Г* = 0 при /г》％ —2.

В частности, отсюда следует, что при S > Sn_2 многообразие М диффеоморфно стандартной сфере S"; известно, например, что S5^0,819 и 69《0,916. По этому вопросу см.: Gromoll D., Dif- ferenzierbare Strukturen and Metriken positiver Krummung auf Sphdren, Math. Annalen, 164 (1966), 353—371. Доказательство последней теоремы состоит в некотором итерационном процессе, при котором „перекручивание** 力U。％ карт Ло,力i на экваторе

(лемма 3 разд. 7.8), по существу определяющее дифференциальную структуру М в Г", последовательно „развязывается**; это достигается усовершенствованием примененных выше построений (см. также лемму 4 разд. 7.8). Несколько иным методом, не дающим, впрочем, количественных оценок, Калаби (Calabi) получил аналогичный результат. Возможно, что при увеличении размерности п необходимо выбирать 6 все ближе к 1, чтобы можно, было однозначно охарактеризовать кривизной тип диффеомор- фии М, Некоторым оправданием для такого предположения может служить то обстоятельство, что уже порядок группы F" очень быстро растет при увеличении n. С другой стороны, неизвестны- примеры метрик положительной кривизны на экзотических сферах. Брискорн (Brieskorn) и другие описали многие из этих сфер очень простыми уравнениями, как аффинно алгебраические подмногообразия евклидовых пространств с действительной коразмерно-： стью 3, но во всех этих случаях индуцированная метрика принимает оба знака. В первом, принадлежащем Милнору, явном представлении экзотических семимерных сфер в виде дифференцируемого расслоения Л17 fs‘ со слоем S3 и структурной группой SO (4) построение метрик постоянной кривизны на М7 представляется также весьма трудным. Далее, из теоремы о сфере возникает проблема: верно ли, что при достаточно большом 6 < f из Л[ (Л1) ^ Z2 следует, что М диффеоморфно действительному проективному пространству P"(R)? Как показал Салливан (Sullivan), для некоторых размерностей п существует даже бесконечное, множество гомеоморфных "(R) дифференцируемых многообразий, попарно не диффеоморфных друг другу. Если даже ограничиться задачей найти необходимые условия, которым должны удовлетворять алгебраические инварианты гомотопического типа компактного риманова многообразия положительной кривизны, то и в этом отношении известно мало результатов, кроме перечисленных выше. В принципе теория гармонических дифференциальных форм Ходжа — де Рама может быть использована для вывода предложений о числах Бетти bk многообразия М; применяемые при этом методы изложены в книге: Яно К. и Бохнер С., Кривизна и числа Бетти, М., 1957. Этим способом, например, получается 瓦=0, что вытекает, впрочем, из теоремы Мейерса, согласно которой л = Л[ (Л1) — конечная группа, следовательно, Н{ (М, Z) ^

л/[л, л] конечна и Н{ (Л1, 0) = 0 (Q — поле рациональных чисел).

Лучший результат в этом направлении состоит в том, что 力2 = 0, если 6 > ；北二；,где размерность многообразия М — нечетное число n = 2m + 1 (см. Berger М., Les varietes Rietnanniennes dont la courbure satisfait ceriaines conditions. Proc. Intern. Congress Math. (1962), 447—456). Например, для размерности n = 5

2

с помощью двойственности Пуанкаре находим, что при 6> 寸 имеет место bx = Z>4 = 0, й2 = ^з = 0 и М оказывается „рациональной гомологической сферой44, т. е. Hk(M, Q) = 0 при 1《/е《3. В более высоких размерностях этот результат дает, однако, все меньше по сравнению с теоремой о сфере.

Особенно важным инвариантом М является эйлерова характеристика %м = X (― 1)也力々. Если dim М = п нечетна, из двойственности Пуанкаре bk = bn^k следует %加=0. Для четных размерностей уже давно существует предположение, что %加 > 0, если кривизна М ограничена снизу положительным числом.

При 〃 = 2 многообразие М диффеоморфно S? или P?(R), так □то %附=2, соответственно %加=1. При 〃 = 4 имеем Ьх = д3 = 0, %附=》о + 力2 + 力4 = 2 + 厶2》2. По обобщенной теореме Гаусса — Бонне %附 можно представить в виде интеграла от n-формы на М, выражающейся только через компоненты тензора кривизны (М предполагается ориентируемым). Однако до сих пор лишь при 〃&4 удалось определить знак интегрируемой формы по знаку кривизны, и проблема эйлеровой характеристики по-прежнему остается открытой.

Как заметил Вайнштейн (Weinstein), для любой четной размерности п и данного 6 > 0 существует лишь конечное число различных гомотопических типов римановых многообразий положительной d-ограниченной кривизны. В самом деле, согласно замечанию (ii) разд. 7.5, радиус выпуклости М не меньше ^, диаметр же

не больше -Д=-, 6&К(т&1, поэтому легко построить покрытие М

ограниченным (не зависящим от М) числом сильно выпуклых шаров, и нерв этого покрытия гомотопически эквивалентен М. Для нечетных размерностей соответствующее утверждение справедливо в лучшем случае, если М односвязно (см., например, замечание (iii) разд. 7.3).

Пусть М — риманово многообразие с краем. М называется выпуклым, если вторая основная форма по отношению к полю внешних единичных нормалей неотрицательна вдоль края дМ. Выпуклость является необходимым условием для полноты М в том смысле, что любые две точки Л! можно соединить в М кратчайшей геодезической. В качестве примера может служить n-мерный шар Q'uR^+i, или любой замкнутый шар метрики S* радиус которого ^ j (см. замечание (ii) разд. 5.2).

На каждом компактном дифференцируемом многообразий. М с краем дМ существуют такие римановы метрики, при которых М выпукло, а дМ является даже вполне геодезическим подмногообразием.

Пусть теперь М — компактное выпуклое риманово многообразие размерности 孔》2 d положительной кривизной, и дМ У= 0; тогда можно показать, что пары пространств (М, ОМ),(D, S"-4) гомотопически эквивалентны. В силу теоремы об й-кобордизме М диффеоморфно D" при п =/= 3, 4, 5. Отсюда, например, следует, что метрика произведения на 曲=S? X D? (неотрицательной кривизны) не может быть аппроксимирована метрикой положительной кривизны без нарушения границы дМ = S2 X S1 (см. Gromoll D., Convex Riemannian manifolds. University of California, Berkeley, препринт).

Конечно, рассматривались также и римановы многообразия положительной кривизны, несущие дополнительные структуры. Это прежде всего келеровы многообразия, т. е. голоморфные римановы многообразия с параллельной комплексной структурой. Они весьма интересны с геометрической стороны, и имеются исследования, посвященные глобальному строению их кривизны.

Стандартной моделью для сравнения служит здесь комплексное проективное пространство Рп (С) постоянной голоморфной кривизны (см. замечание (v) разд. 7.5). По этим вопросам см.: Goldberg S. J., Curvature and homology. Academic Press (1963), New York, а также Kobayashi S. and Nomizu K” Foundations of differential geometry II, Interscience Publishers (1969), New York — London. Характерными работами в указанном направлении являются: Bishop В. L. and Goldberg S. J., On the second cohomology group of a Kaehler manifold of positive curvature. Proc. AMS (1961), 350—356, и Kobayashi S., Topology of positively pinched Kaehler manifolds, Tohoku Math. J. 15 (1963), 121 —139. Далее, следует указать работу: Cheeger J., Comparison and finiteness theorems for Riemannian manifolds. Thesis (1967), Princeton University. В этой работе содержатся, между прочим, некоторые новые аспекты методов сравнения, примененных в последних двух параграфах.

В заключение еще раз укажем две проблемы, в особенности важные для дальнейшего изучения римановых многообразий положительной кривизны: получение возможно более точных результатов о гомологиях таких многообразий и поиски новых типов диффеоморфии.

Приложение

Вспомогательная функция

Введем для точек awR" „кубическую** норму ||а||= шах |小

Пусть Jr (г > 0) обозначает открытый куб в R" с центром в 0 и длиной ребра 2г, /「= {а: || а || < г}.

Мы построим дифференцируемую функцию *ф: Rn->R, обладающую следующими свойствами:

屮(а) = 1 при а w /],

0 < -ф (а) < 1 при0 < -ф (а) < 1 приа w 厶 \ /“а w 厶 \ /“(I)(I)

0 < -ф (а) < 1 при

0 < -ф (а) < 1 при

а w 厶 \ /“

а w 厶 \ /“

(I)

(I)

-ф (а) = 0 при а^^\ /2.

Существование такой функции важно для многих глобальных задач на С°°-многообразиях. Легко видеть, что аналитических функций со свойствами (I) не существует.

Рассмотрим сначала для а<р функцию A: R->R, заданную формулой

似/)= f при У (а, В),

0 в остальных точках.

Функция А дифференцируема и /:(/) > 0 при /^(а,р), Dkh 卜=Dkh |^ = 0 при 左=0, I,....

Определим, далее,屮：R->R по формуле

J Л (т) dr

Ф W =*•

J Л (т) dr а

Тогда ф дифференцируема, ф(/) = 0 при /&а, 0<ф(/)< 1 при fw(a, р), q)(/) = 1 при /^р, причем на (а, 0) функция ф(/) строго возрастает^ Возьмем, в частности, а — —2, р = — 1 и определим функцию 屮：R->R, полагая @(f) =(p(f) при /<0,屮(9 =屮(一厶

при / > 0; тогда @ дифференцируема и

@")=1 при I 力《1,0<*ф(/)< 1 при 1 <| /1<2,

*ф (/) = 0 при I /1^ 2.

Теперь можно построить требуемую функцию *ф: R"-> R по формуле

巾(а) = П 6(。')，

и 2 имеет перечисленные в (1) свойства.

8・2. Некоторые топологические понятия

Пусть М — топологическое пространство. Покрытие (f/a)ae4 пространства М называется локально конечным, если у каждой, точки М есть окрестность, пересекающая лишь конечное число множеств Uy Покрытие (Vp)peB пространства М называется вписанным в покрытие (f/a)ae4, если каждое множество Vp содержится в некотором Uq. Пространство М называется паракомпакт- ным. если М хаусдорфово и если для каждого открытого покрытия М существует вписанное в него локально конечное открытое покрытие.

Если М паракомпактно и {U^a^A — открытое покрытие Mf то существует такое локально конечное покрытие (Уа)аеЛ, что Уа cz Uа при всех а ^ Л. В самом деле, построим сначала локально конечное открытое покрытие (W^^Bt вписанное в(и^а^А9 и зададим отображение 九：В -> Л, удовлетворяющее условию %и%(в); тогда множества Va = (J % образуют требуемое

Зе^~!(а) покрытие.

Теорема

Усл. М — локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой,

Утв. М паракомпактно.

Таким образом, любое топологическое многообразие паракомпактно.

Док. Выберем базис {G^: 1 = 1, 2, ...} топологии пространства Mt для которого Gz компактны. Построим последовательность компактных множеств &иМ, исчерпывающую М и такую, что & состоит из ^внутренних точек Сг+1, / = 1, 2, .... Для этого положим C] = G[・ Если Cj уже построено и G^u&, то возьмем

k

наименьшее число k, для которого С»и (J G/ = V,, и положим _ —]

&+i =匕 U G,+i・

Пусть теперь (U^a^A — открытое покрытие М Покроем каждое компактное множество С,\С?т (С/ = 0 при / ^0) конечным числом открытых множеств Wi{,..., 取订严 таких, что каждое WiP[ принадлежит некоторому Ua, а также открытому множеству С?+1 \ Ci-2. Покрытие (1Г/Р/) вписано в (Ua) и локально конечно, так как по построению каждое WiQl пересекает лишь конечное число множеств вписанного покрытия.

Следствие

Усл. М — дифференцируемое многообразие,

Утв. Для каждого открытого покрытия(и^а^А многообразия М существует вписанное в него локально конечное покрытие (取i)iu/， такое, что для любого iw/ множество W^ есть область определения некоторой карты х(, причем:

%1(取1)士厶，

множества %「】(/) покрывают М,

Док. Рассуждаем так же, как при доказательстве теоремы, но при этом выбираем в качестве WiP. область определения карты 打р； так, чтобы было выполнено (а) и чтобы множества х^ (Zj),... ..%二|(/]) составляли покрытие С,\С?_]・

Каждое паракомпактное пространство нормально. Это нетрудно доказать, проверив сначала, что пространство регулярно. Таким образом, топологическое многообразие нормально.

Разложение единицы

Пусть М — дифференцируемое многообразие и 屮一неотрицательная функция на М, Носителем ср называется множество supp qp —{р: ф (р) > 0}. Дифференцируемым разложением единицы на М называется семейство (фа)аел неотрицательных дифференцируемых функций на М, для которого (supp Фа)аел представляет локально конечное покрытие М, н ? Фа(Р)= 1 для всех р w М* ае Л

Последняя сумма имеет смысл, так как для каждой точки р

лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.

Теорема

Усл. М — дифференцируемое многообразие.

Утв. Для каждого открытого покрытия (Ua)aw4 многообразия М существует такое дифференцируемое разложение единицы (Фа)аел 狂° 乂， "т° supp q)a(= J7a, T・仇 носители составляют вписанное покрытие.

Док. Согласно следствию теоремы 8,2, существует такое локально конечное открытое покрытие (Wt)te7, вписанное в (J7a)a^x, что для каждого i 三 / множество Wt является областью определения некоторой карты xt на М, причем 修(旷)= /з и множества %ji(/]) покрывают М. Пусть j: Rw ^ R — функция, построенная в разд. 8.1. Определим дифференцируемые функции 也：Л4-> R, полагая 电(р) = $о%(р) для р е W^L(p) = 0 для р^ М \ Wi. Пусть, далее, Л: / ^ Л — отображение, удовлетворяющее условию W\uUa(i), тогда множества Va= U "丄 составляют iwL(a)

локально конечное открытое покрытие (VJawa， вписанное в (Ua)aw』・ Определим для ае Л дифференцируемые функции fa： Mf R по формуле fa(p)= 2 Wl(Р) И ПОЛОЖИМ

屮a(P)=~^"^——，где сумма в знаменателе конечна и положи-

XQ Л

те льна.

Следствие

Усл. М — дифференцируемое многообразие} G —открытое подмножество Л4; А — замкнутое подмножество М^ /uG; f: G f R — дифференцируемая функция.

Утв. Существует такая дифференцируемая функция g: Mf R, 此ТО g 1д = / 1д 〃 g(p) = o 孔卩〃 p^M\G.

В частности, существует дифференцируемая функция qp: Af->R, для которой ф (р) = 1 при pw/ и q)(p) = O при р^ M\G.

Док. Рассмотрим открытое покрытие (G, Л4 \ Л) пространствам и построим, согласно теореме, разложение единицы (q)b q)2), для которого suppq)iUG и supp q)2(= Л4 \ Л. Продолжим / до произвольной функции f: Mf R и положим g = q)/. Так как q)2 |д = 0, имеем Ф1(р) = 0 при pw/, следовательно, g\A^f 1л- Далее, g дифференцируема, так как g(p) = 0 при р^ М\ supp ф! zd М \ G и g |G дифференцируема. ■

Теоремы из теории дифференциальных уравнений

В этом разделе формируются две основные теоремы, известные из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 1 (Существование решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и дифференцируемая зависимость от начальных условий)

Усл. G — открытое подмножество R% 尸：G -> Rrt — дифференцируемое отображение.

Утв, Для каждой точки a w G существуют окрестность W точки а, открытый интервал / и R с центром в точке 0 и дифферент цируемое отображение -ф: J X W-> Gt такие, что

2(0, 〃) = о,(1)

需(f, ")=尸。2(力M)⑵

для всех u^W и f w 丄

Дифференцируемый путь 屮：Jf G называется интегральным путем системы дифференциальных уравнений F, если 噜~ =尸'。2, / = 1, ..., п. Таким образом, для каждой точки u^W дифференцируемый путь 2以：J-> G, заданный формулой ^и(/) = |ф(/, и), есть интегральный путь F.

Теорема 2 (Теорема единственности)

Усл. G — открытое подмножество Rrt; F: G f R" — дифференцируемое отображение.

Утв. Если -ф, -ф: J-> G — интегральные пути F, причем *ф(/0) = @(А)) для некоторого %三/, то -ф = -ф.

8・5・ Интегральные пути векторных полей

Пусть М — дифференцируемое многообразие и X — дифференцируемое векторное поле на М. Если J — открытый интервал, то дифференцируемый путь 屮：Jf М называется интегральным путем поля X, если

ф = X ° Ф,

где ф = ф„£)— касательное поле к ф. Перенесем сначала на многообразия теорему существования (см. разд. 8.4).

Лемма 1

Усл. М — дифференцируемое многообразие] X—дифференцируемое векторное поле на М.

Утв. Для каждой точки g 巨 М существуют окрестность V точки д, открытый интервал JuR с центром 0 и дифференцируемое отображение Ф: J X V -> М, такие, что

①(0, р) = р,(1)

R 禺 Lp = X° ①亿 Р)(2)

при всех р 巨丫 и t ^ J, где 早］ есть касательный вектор к J XV в точке (/, р), /р: J ->J X V — инъекция, заданная формулой %(/) = (/, р).

Для каждой точки р 巨卩 путь Фр: J ->Mf заданный формулой Фр(/) = Ф(/, р), является, очевидно, интегральным путем X. Ото-, бражение Ф называется локальным потоком векторного поля X. Интегральные пути Фр называются также ^линиями тока" X, а отображения Ф/： V -> Л1, заданные формулой Ф/(Р)= Ф(Л р),— „фронтами потока" Ф.

Док. Возьмем на М карту х с областью определения U m q. Положим G = x(U), а = x(q) и зададим отображение Ft G ->Rrt формулой F(u) = (Хх\ ..., Ххп) |x-i (и). Согласно теореме 1 разд. 8.4, существуют окрестность W точки а, открытый интервал J и R с центром 0 и дифференцируемое отображение р: J X W -> G, для которых выполняются соотношения (1) и (2) разд. 8.4. Теперь можно положить V = %i W) и определить Ф: J X 卩->М по формуле ①(厶 р) = х~{ °^(tt х(р))・ Соотношения (1) и (2) теперь проверяются непосредственно..'

Приведем еще теорему единственности для многообразий.

Лемма 2

Усл. М — дифференцируемое многообразие; X — дифференцируемое векторное поле на М.

Утв. Если ср, ф: J -> М— интегральные пути X 〃 для некоторого /0 е J выполняется(р(/0) = ф(/о)> то ср = ф.

Док. Пусть /0 cz J — наибольший содержащий /0 интервал, на котором (риф совпадают. Ясно, что Jo замкнут в J, так как 屮，ф непрерывны и М — хаусдорфово пространство. Покажем, что /0 также открыт в 丄 Пусть 乙三厶，так что 屮(乙)=@(乙)・ Построим карту х с областью определения 。巨屮(乙)и положим G = x(U). Рассмотрим отображение F: G ->КЛ, заданное формулой 尸(〃)= =(Хх* ..., Ххп) |x-i w Определим в некотором открытом интервале J】и J, содержащем точку 乙 и удовлетворяющем условию (p(/i)uU, дифференцируемые пути 也 Q:乙一> G по формулам 《〃)=%。屮(力，■$ (/) = х о ф(/). Очевидно, j, ■$ есть интегральные

пути системы дифференциальных уравнений F, причем -ф (乙)=由(乙). По теореме единственности отсюда следует 屮=а и, значит, 叫厶=@к Поэтому Lu J。и /0 открыто в /. Поскольку /0 е /0 и / связно, имеет место /0 = /, что и доказывает лемму.

Из теоремы единственности непосредственно вытекает, что локальный поток поля X на / X V определяется однозначно, потому что однозначно определены линии тока.

Максимальный поток векторного поля

Каждое векторное поле однозначно определяет „максималь- ныйи поток.

Лемма

Усл. Пусть М — дифференцируемое многообразие; X — дифферент цируемое векторное поле на М. Для каждой точки р 三 М построим открытый интервал Jp и R, содержащий 0, и однозначно определенный (в силу леммы, 2 разд. 8.5) максимальный интегральный путь Фр: /р-> М поля X, удовлетворяющий условию Фр (0) = р. „Максимальность'1 при этом означает, что не существует собственного продолжения Фр до интегрального пути X.

Утв. Существуют однозначно определенное открытое множество 取 и R X М и однозначно определенное дифференцируемое отображение Ф: W М, для которых

/р 义{р} = (R 义{р}) П ^ при р^м,⑴

①(/, р) = Фр (/) при (/, р) е W.⑵

В частности, для всех р 三 М имеем {0} X М и 取 н ①(0, р) = р. Далее,①* 而 =X。①(厶 р) для (/, р)三 W. Отображение Ф называется максимальным потоком векторного поля X. Максимальные интегральные пути Фр поля X суть линии тока Ф. Заметим, что может не существовать никакого открытого интервала / и R, содержащего нуль, для которого J X М <^W, т. е. движение всего многообразия М вдоль линий тока с заданной векторным полем X скоростью может оказаться невозможным ни в каком интервале времени. Соответствующие примеры можно построить уже на ₽. Если существует такой содержащий 0 открытый интервал J, что J X M^W (это верно, например, для компактного М), то, очевидно, 取=必 X М, поскольку в этом случае каждый интегральный путь можно продолжить на всю R.

Док. Ясно, что W = (J Jp X {р}, так что W однозначно опреде- p后m

лено. Вследствие (2) однозначно определено также и отображение Ф: W -> М, Остается показать, что полученное таким образом множество W открыто в R X Af и отображение Ф дифференци-； руемо.

Пусть р^М и J — множество всех таких / 三 厶，что точка (/, р) имеет в R X М принадлежащую W окрестность, в которой Ф дифференцируемо. Так как 0 w /, / — непустое. В самом деле, согласно лемме 1 разд. 8.5, существует локальный поток ①'：厂 X Vf М, для которого (0, р) w Г X У', причем 厂 X У' и 取 и Ф7 = Ф |г х поскольку линии тока ①'суть интегральные пути поля X.

По построению интервал J открыт в Jp. Мы покажем, что J также замкнут в Jp, и из связности /р будет следовать / = /「, что равносильно утверждению леммы.

Пусть /0 — предельная точка J в Jp. Рассмотрим для точки Фр (/0) локальный поток ①"：J" X У" —> М, такой, что 0 ge J" н Фр (/0) w У". Так как /0 — предельная точка J в Jp и интегральный путь Фр непрерывен, существует такое厶 еJ, что友一力三/"и ①р(幻三y". Тогда для t 一 t© J" и ①(厶，g)三 У", как мы покажем,

①亿g)=①"0 一統①(3G).(3)

в самом деле,①"(/-乙，①(乙，4))=吐(乙“)(f-力)=①歸(幻(/-力). Отображение /—> ①^^(()(/ —九)есть интегральный путь поля X, совпадающий с Ф^ в точке /Р Вследствие соотношения ①д(/) = =Ф(/, q) отсюда получается (3).

Итак, Ф определено и дифференцируемо в некоторой окрестности J】X V точки (匕，р), причем Ф(/ь 廿)и У". Построим такую окрестность 厶 точки /0 6= R, что / —厶 三 J" при / w Jo. Тогда Jo X V есть окрестность точки (力，р) в R X Af и J^xV ^W. В силу (3) отображение Ф дифференцируемо на Jo X V, откуда /0 е J,

Теорема о продолжении

Следующий критерий важен для выяснения, максимальны ли интегральные пути некоторого векторного поля или же они могут быть продолжены.

Лемма (Теорема о продолжении)

Усл. М — дифференцируемое многообразие; X — дифференцируемое векторное поле на М; ср: [а, р] -^ М — интегральный путь поля X. Пусть, далее, /卄三[а, р), lim /卄=0 〃 последователь

ность образов Ру =①(/v) имеет предельную точку р еМ.

Утв. (а) Для каждой окрестности U точки р существует такое s €Е [а, р), что для всех f 巨[s, 0) выполняется ^(t)^U (иначе говоря, lim(p(f) = p)・ Таким образом, ф можно продолжить до непрерывного отображения @: [а, 0]-* М, полагая @(0) = р. (Ь) Если с: J—^M — максимально определенный путь поля X, для которого с (р) = р, то [а, 0] и J 〃 с |® ^ = ф.

Док. Докажем (а). Предположим, что существует такая окрестность U точки р и такая последовательность ?v ^ [а, р), что lim ?v = p и 屮(％)吏。при всех v. Очевидно, можно при этом вы- V->oo

брать в качестве U область определения некоторой карты %, для которой %(р) = 0・ Выберем числа д>е>0 таким образом, чтобы замкнутый шар BeuR" с центром в 0 радиуса 6 целиком принадлежал х (U). Далее, выберем из последовательностей * % подпоследовательности /v.,瓦，для которых ZVf < ?v^ < ^vf+1,①伍,)三 w%t(BJ,①®)丈 ％т(Вб). Так как ① непрерывно, существует наименьшее число sz ^ [/Vp %J для которого ф (sz) ^ х-1 (В6\В^9 так что(p( [Zv., у]) и %т (Вб). Обозначая через р функцию рас- стояния в R", имеем j || 尤。<р (f) lldf》р(%。屮(々)，％。屮($，)・ Из не・ равенства треугольника следует

p(%。①w)Хоф^^^р^, к 。(р(“))一p(0, %。①(看)))0一2,

откуда

J||x@(/)||d/》6-e>0,

и окончательно имеем

£ J их.ф(о iid/>fe(6-e).(1)

2 = 1%

Далее, непрерывная функция || х,Х ||: U —R ограничена на компактном множестве х-1 (В6). С другой стороны, 0 =犬。屮，так как ф —интегральный путь. Следовательно, функция || х.ф || ограничена

на ср -1 (х^1 (Вй)); пусть, например, || х. ф(/) ||<ц при f w (J [%, $小

Откуда получается

k aik

工 J 11居©(/) 口 d/&£(SL%)|i&|i(p-a),

что противоречит (1) при достаточно больших k.

Докажем (Ь). Так как при / w [а, р) выполняется ©(/)=犬屮卅 из непрерывности X н 0 следует Нт @ (/) = НтХ(р(/)=夫⑦佰> Если продолжить ф до отображения ф: J ~> М^ полагая ф (/) = с (/) при / е 7 \ [а, р], то. как мы покажем, @ = с. В самом деле, @ непрерывно, а в 7 \ {р} — дифференцируемо; при / =# ₽ имеем @(/)=Х@«) и» кроме того, lim ф(/) = Х$(₽). Покажем, что ф дифференцируемо

в точке р и ф(р)= X$(Р). Достаточно проверить, что для карты 厶 определенной в окрестности точки р, функции 父。© один раз дифференцируемы в точке р и что Dx^ ° ф |р = DxL ° с |р. Тогда @ = Х。。 окажется дифференцируемым до любого порядка. Поскольку 父。(Р непрерывна в точке р, из теоремы о среднем значении имеем “。。牛二：。。“)=Dxl °ф(^), причем &三(厶 р) при /<р и соответственно &三(р, Т) при р< /.

Итак, DxL ° ф (В) = Km DxL ° ф (^), и ф (р) = Хф(₽)— Хс(₽).

Если М — компактное дифференцируемое многообразие н X — дифференцируемое векторное поле на М, то мы снова приходим к уже доказанному в разд. 8.6 предложению, согласно которому каждый максимальный интегральный путь <р поля X определен на всей R. В самом деле, область определения <р есть прежде всего непустой открытый интервал в R, который в силу леммы замкнут в R, поскольку каждая последовательность в М имеет предельную точку. Итак, каждое векторное поле на М полно (см. разд. 8.8).

Однопараметрические группы диффеоморфизмов

Пусть М — дифференцируемое многообразие. Дифференцируемое отображение Ф: R X М^М называется однопараметрической группой диффеоморфизмов на М, если отображение ①力： М-* М (ZwR), построенное по формуле Ф^ (р) = Ф(/, р), удовлетворяют условиям

①o = id,(1)

①力+方=6。①如⑵

/1,/2®К・ Так как Ф/ ° Ф-/ = Ф_/ ° Ф/ = Фо = id, отображения ①* суть диффеоморфизмы Л1 на Л1; Ф можно рассматривать как „диффе- рёнцируемый** гомоморфизм группы Ли R в группу диффеоморфизмов Diff М. Отображение Ф определяет дифференцируемое векторное поле X на М по формуле / =(!)* ^[ и является максимальным потоком поля X, а Ф^ есть линии тока Ф (см. разд. 8.6).

Говорят, что Ф индуцирует поле X.

Для заданного на М дифференцируемого векторного поля X („инфинитезимального преобразования4*) не существует, вообще говоря, однопараметрической группы преобразований, индуцирующей X. Векторное поле X называется полным^ если максимальный поток X есть однопараметрическая группа диффеоморфизмов М, В этом случае каждый интегральный путь X можно продолжить на R.

(3) ⑷(3) ⑷Обратно, если каждый интегральный путь X можно продолжить на R, то поле X, как мы сейчас покажем, полно. В самом деле, в этом случае максимальный поток X есть дифференцируемое отображение Ф: RxMf М, причем справедливы соотношения

(3) ⑷

(3) ⑷

Ф(0, р) = р,

①"1 +勾，m=①仏，①"2, Р))；

(3) выполнено по определению максимального потока X, (4) же вытекает из теоремы единственности, так как при фиксированных р,勾 отображения, /->Ф(/ + /2> Р)и /->Ф(/,①饱，р)) суть интегральные пути X, проходящие при / = 0 через точку Ф(^2, р). Из (3) и (4) вытекают равенства (I), (2).

В частности, максимальный поток дифференцируемого векторного поля на компактном дифференцируемом многообразии М есть всегда однопараметрическая группа диффеоморфизмов М.

Некомпактные пространстванеотрицательной кривизны

В. 4 топоногов

В предлагаемой читателю книге „Риманова геометрия в це- 』ом“ изучаются компактные римановы пространства с теми или иными ограничениями на риманову кривизну. Однако в последнее время был получен ряд важных результатов в геометрии некомпактных римановых пространств неотрицательной кривизны.

Изложению этих результатов посвящается это добавление. Теоремы и методы доказательства, излагаемые здесь, заимствованы из работ Д. Громола, В. Мейера и В. А. Топоногова.

В § 1 излагаются результаты, описывающие поведение геодезических на некомпактных римановых многообразиях М+ (“)) положительной (соответственно неотрицательной) римановой кривизны.

В § 2 определяются и изучаются абсолютно выпуклые множества в пространстве М+.

В § 3 находится оценка снизу для радиуса инъективности М+ (Л40) (см. разд. 5.2) через верхнюю границу римановой кривизны. Для М+ эта оценка совпадает с оценкой, полученной в разд. 7.5 для компактных пространств четной размерности.

В § 4 доказывается принадлежащая Громолу и Мейеру -замечательная теорема, согласно которой многообразие М+ размерности 》5 гомеоморфно евклидову пространству.

В последнем параграфе изучаются многообразия MQt содержащие прямые линии, т. е. такие геодезические, каждая дуга которых есть кратчайшая. О таком многообразии доказывается, что оно есть прямое метрическое произведение евклидова пространства Rfe и некоторого риманова многообразия Mq.

Двумерные римановы многообразия М+ и MQ впервые подробно изучались Кон-Фоссеном, который доказал в этом случае теоремы 1, 2, 3, 8 и 9 дополнения. Основным средством доказательства в работах Кон-Фоссена была теорема Гаусса — Бонне и ее обобщения, полученные им же. Некоторые частные случаи пространств М+ были рассмотрены И. А. Соколенко. Ею были получены результаты § 3 для римановых пространств М+ с полюсом.

Заметим, что доказательства результатов, содержащихся в этом добавлении, опираются в основном на те или иные теоремы

сравнения (см. §6 книги). Обозначения, которыми мы будем пользоваться, по возможности совпадают с обозначениями книги.

Через М обозначается полное некомпактное бесконечно дифференцируемое риманово многообразие, а через М+ (Л10) — риманово многообразие М, у которого риманова кривизна в каждой точке и в каждом двумерном направлении положительна (неотрицательна). Расстояние между точками p^Mnq^M (в смысле определения в разд. 5.1) будем обозначать через рЛ1(р, q) или просто через pg; кратчайшую, соединяющую точки р и ^, обозначим также через pg; длину пути о в М — через Л (с).

Для пути Y： [а, 0]->М будем обозначать через *(6 касательный вектор к этому пути в точке 九 Если y — геодезическая, то Y предполагается нормальной, если не оговорено противное. Если АВС — треугольник в М, то через /ВС мы будем обозначать треугольник на евклидовой плоскости, у которого длины сторон равны длинам соответствующих сторон треугольника АВС»

Свойства геодезических в полных некомпактных римановых пространствах неотрицательной римановой кривизны

Результаты этого параграфа в основном принадлежат Д. Гро- молу и В. Мейеру.

Будем говорить, что геодезическая с (/): [0, 8]-> М есть луч, если при любых 乙 и /2 геодезическая с |^ 切 есть кратчайшая в М. Точку с (0) назовем вершиной луча.

Лемма 1

Утв. Каждая точка р^М является вершиной некоторого луча. Док. Так как пространство М некомпактно, то существует последовательность точек qn^M, такая, что pq^foo при п-> оо.

В силу полноты М для каждой точки qn существует кратчайшая pq^

Пусть тп — единичный вектор, касательный к pqn в точке р. Из компактности единичной сферы в Мр следует существование такой подпоследовательности чисел nky что существует lim тп, = т0.

勺今8

Рассмотрим геодезическую с(/): [0, 8)-> М, исходящую из р в направлении вектора т0.

Докажем, что c(f) есть луч. Для этого достаточно доказать, что с % есть кратчайшая при любом /0.

Пусть 〃品 настолько велико, что рдп^^^0 при 几言几卜・ На кратчайшей pq^ при 几卜》几возьмем точку %卜 так, чтобы pank = /0. В силу построения с(/) кратчайшие pank сходятся к с|@%[ Значит, ch,%】 есть кратчайшая, так как является пределом последовательности кратчайших.

В нижеследующих леммах выясняется поведение геодезических в и Л40.■

Лемма 2

Утв. Для каждого компактного множества С и М+ существует компактное множество D пС, такое, что любая геодезическая с концами в M+ \ D, пересекающая С, имеет индекс ^ (т — 1).

Построение множества D,

Пусть & = {令三〃：р卩(g, C)Wf}. Так как С есть компактное множество и М+ — полное риманово многообразие, то & есть также компактное множество. Обозначим через К (р,(о) риманову кривизну М+ в точке р в двумерном направлении (о. Пусть

历(/) = min К (р, со).(1)

P^Ct，(owM尸

Функция tn (/) есть непрерывная положительная 0 V / V 8.Определим функцию m (/) равенствамиj 历(/) при 0 & / V 8, 7n f 历(一/) при ~ оо </ ^0.Функция tn (/) есть непрерывная положительная 0 V / V 8.Определим функцию m (/) равенствамиj 历(/) при 0 & / V 8, 7n f 历(一/) при ~ оо </ ^0.функцияфункцияприпри(2)(2)

Функция tn (/) есть непрерывная положительная 0 V / V 8.

Определим функцию m (/) равенствами

j 历(/) при 0 & / V 8, 7n f 历(一/) при ~ оо </ ^0.

Функция tn (/) есть непрерывная положительная 0 V / V 8.

Определим функцию m (/) равенствами

j 历(/) при 0 & / V 8, 7n f 历(一/) при ~ оо </ ^0.

функция

функция

при

при

(2)

(2)

Рассмотрим уравнениеРассмотрим уравнение

Рассмотрим уравнение

Рассмотрим уравнение

〃 I (0 с

(3)(3)(Р + ~2— ср = 0.

(3)

(3)

Пусть ф (/) есть решение этого уравнения с начальными условиями ф (0) = 1, U (0) = 0. Так как m (/) — положительная четная функция, то существует число />0, такое, что @(/) = 0(—/) = 0 и ф(/)>0 при —/</</ (это следует из выпуклости ф). Определим функцию

小 J ©(/) при -/</</,при /<-/,/>/.⑷

Положим теперь D = С2k

Доказательство леммы 2.

Пусть с (/)： &, а2] -> М+ — геодезическая, удовлетворяющая условиям леммы 2, причем 〃 = с(0)еС・ В силу определения множества D имеем

I а! |>/, а2>/.(5)

Возьмем в Мо единичный вектор X, (X, с (0)) == 0 и обозначим через X (/) вектор, полученный из X параллельным переносом вдоль дуги с (0) с (/) в точку с (/),

Пусть K(f) = K(c ⑴，to), где to — двумерное направление, определенное векторами X (0 и d(f). Определим вдоль с: [аь а2] -> М+ векторное поле

ф(/) = х(О-ф(0.

Тогда вторая вариация для геодезической % соответствующая векторному полю ①(f), имеет вид (см. (4) разд. 4.1):

/(Ф,①)=[[〈①'，①'〉—〈R (①，e) е,①〉]山=

а?а?

=[[ф,2-<р2〈R(X(О, с(о)с(f), X(/))]dt= j И-К(0Ф2]dt. сца.

Последний интеграл в силу (1) — (5) строго меньше

-j (ф,2 --^-ф2) <// = фЧ^ - j ф (ф,,+-~-ф)<// = о.

Итак,

/(①，①)<0.(6)

Поскольку вектор X был произвольным единичным вектором, перпендикулярным d(0), то из (6) вытекает утверждение леммы 2.

Будем говорить, что геодезическая с: [а, р] —> М+ вогнута относительно точки awM+，если функция f (/) = ас (/) не имеет точек относительного слабого минимума в интервале (а, р).

Лемма 3

Утв. Для каждого компактного множества СиМ+ существует компактное множество D cr M+t такое, что всякая геодезическая с: [а, §]—>〃+， принадлежащая С, вогнута относительно любой точки М+ \ D.

Док. Построим для множества С множество Q, как это сделано в доказательстве леммы 2.

Предположим что лемма 3 неверна, т. е. что существует точка а 巨 М + \ О, относительно которой геодезическая с не является вогнутой. Тогда существует /0^(а, р), для которого функция f(f) достигает минимума. Проведем кратчайшую ас (/0)» пусть сх: [0, р = ас (/0) ] -> М+ — ее параметризация; кратчайшая ас(/0) нормальна к с в точке с(4), как это следует из замечания (iv) разд. 4.1.

Обозначим через X (s) вектор, полученный из с(0) параллельным переносом вдоль сх |[0 图 в точку сх (s). Определим вдоль сх векторное поле O(s) =(p(s) X (s), где (p(s) — функция, определенная выше при доказательству леммы 2; тогда вторая вариация

геодезической сь определенная векторным полем Ф, имеет вид

/(ф, ф)= J К①'，①'〉一〈R(①，cjci,①〉]ds =

О p

=J [ф，2-屮2〈R (X (s), C! (s))厶(s), X (s)〉] ds. 0

Последний интеграл строго меньше

j[d-嘤用虑=0. О

Значит, индекс геодезической с{\ [0, р]->М+ в задаче с одним свободным концом (изменяющимся вдоль с) и с одним закрепленным концом в точке а равен по крайней мере 1, что противоречит нашему предположению.

Лемма 4

Утв. Для всякого' компактного множества Сс=М+ существует такое число 九,что длина любой геодезической, целиком лежащей в С, не превосходит 九.

Док. Предположим противное: пусть существует последовательность геодезических сп: [— п, /г] -> М+, целиком лежащих в С, и L (сп) = 2п. Рассмотрим последовательность точек сп (0) и последовательность векторов сп(0). В силу компактности С и компактности множества направлений можно из последовательности точек сп (0) и последовательности векторов сп (0) выбрать сходящиеся подпоследовательности.

Пусть р — предельная точка и х^Мр — предельный нектор. Пусть Q： (— оо, оо)->М+ есть геодезическая, определенная условиями С[ (0) = р, «1(0) = т* В силу построения с{ (R) целиком лежит в С. Обозначим через В замыкание с{ (R). Для множества С построим множество Q, у до влетворяющее условиям леммы 3.

Пусть ^^М+ \D. Найдем в В точку а, ближайшую к q. Так как q rB, то найдется последовательность чисел 々,такая, что Q = limC](f&). Можно считать, не уменьшая общности, что jfe">8

последовательность векторов 乙仇)также сходится к некоторому вектору тоеМд. Возьмем геодезическую с2： (—8, оо)->М+, определенную условиями с2 (0) = а, с2 (0) = т0. Геодезическая с2, с одной стороны, принадлежит множеству В, а с другой стороны, точка с2 (0) является ближайшей к точке q е М+ \ D вопреки утверждению леммы 3. Полученное противоречие доказывает лемму 4.

Пусть а{а2 — кратчайшая в Мо, с: [0, ща^ -> Мо — ее параметризация, pi： [0, оо)^М0—луч с вершиной в точке аь а 〃： [0, 8)-> — луч с вершиной в точке &，

Обозначим через а! угол между векторами d(0) и р{ (0), а через а2 — угол между векторами—С(0) и р2(0)-

Лемма 5

Утв. Если в пространстве Мо существует такая последовательность точек Qrt, что кратчайшие 5qn сходятся к pz, / = 1, 2, то 5+a2)门(ем. [3]).

Док. Обозначим через а? угол треугольника a{qna2 в Af0 при вершине ah f = 1, 2. В силу условий леммы

lim а^ = а.,/ = 1, 2.(7)

П-> ОО

Обозначим через 吟 угол треугольника 仙& при вершине а) i=l, 2. По теореме сравнения разд. 6.4

吟《%⑻

но, очевидно,

lim (a[rt + a^) = л(9)

(см., впрочем, лемму 2 § 5 ниже). Из (7), (8) и (9) следует 几= lim ((17 +(1^)《lim (a7+ 竣)+电.

Лемма 5 доказана.

Несколько сложнее доказывается следующая лемма.

Лемма 6

Утв. Если в пространстве М+ существует такая последовательность точек qnj что кратчайшие а『д^ сходятся к лучам 卩办 / = 1, 2, и ни один из лучей р{ и р2 &е является частью другого, то a! + а2 > л (см. [3]).

Док. Можно, очевидно, считать, что оба угла ab a2 меньше л. Обозначим через а； угол в треугольнике а%% ПРИ вершине а., i = L 2. По условию леммы имеем

lim а^ = а.,/ = 1, 2.(10)

П-> оо

Выберем По настолько большим, что при п > п0 треугольник a{qna2 является невырожденным. На стороне a{qn на расстоянии d > 0 от вершины а{ возьмем точку Ьп. Треугольник 'а{Ьпа2 невырожденный, поскольку треугольник a{qna2 невырожденный. Пусть b = lim bn. Обозначим через К шар радиуса

П->°о

Г = 2 (d + (2^2)(1 1)

с центром в точке a” K = {g: q ^ M^tp(q, aj&r}, а через 岛一 минимум римановой кривизны по всем точкам шара /С и по всем

двумерным направлениям. Применим к треугольнику а[Ьпа2 теоремы разд. 6.4. Из них следует, что, во-первых, периметр треугольника не превосходит 2：гс/М^о, а, во-вторых, угол а； не меньше чем угол а：^ при вершине а? в треугольнике а^Ь：。?, построенном на двумерной сфере радиуса 1/^0 с теми же длинами сторон, что и у треугольника а{Ьпа^

а；》а”(12)

Если теперь обозначить через 打 угол при вершине а； в треугольнике 砲;а；, то справедливо неравенство

寸》打+ 6 山бл>б>0,(13)

где б — некоторое положительное число, которое можно оценить снизу через k0 и длины сторон треугольникаЛа]/?а2..

Построим теперь на двумерной евклидовой плоскости четырехугольник 矶吸睢碍,прикладывая друг к другу по общей стороне Ь^ треугольники 砲;а； и %q；b； Этот четырехугольник оказывается выпуклым. В самом деле, углы при вершинах а\ и @； меньше 冗,поскольку это углы треугольников. Угол при вершине G； меньше 冗 в силу теоремы сравнения (см. разд. 6.4), а угол при вершине 5； меньше 冗，так как в силу неравенства треугольника имеем a{bn + bnqn < aja2 + а2^л. Кроме того, рассмотрим треугольник а%。； и обозначим через 叮 его угол при вершине a] i=l, 2. Тогда по теореме сравнения имеем

а?> 吋，(14)

и по лемме А. Д. Александрова о выпуклых четырехугольниках (см. лемму 3 разд. 6.4) выполняется неравенство

打》а『.(15)

Наконец,

lim (а^л + а^\ = л.(16)

Л -> оо

Из (12) — (16) получаем

n = lim (吟 +吟)《 lim (@t + 无纺《

Л -> ОО/I -> 8

& lim (ct竺—бл+ a；'《lim (af — 爆 + ag) = % + a? — 6 Л -> ooл -> oo

или。]+。2>冗？ что и требовалось доказать.

Выведем теперь некоторые следствия из доказанных лемм.

Назовем прямой линией (или прямой) на М такую геодезическую с: R -> Л4, что для любого интервала [а, 0] сужение с \^ 用 есть кратчайшая. Тогда из леммы 2 следует

Теорема 1

Утв. На многообразии Л4+ не существует прямых линий.

Введем, далее, понятие связности на бесконечности. Многообразие М называется связным на бесконечности, если для любого компактного подмножества С и М дополнение содержит лишь одну компоненту со сколь угодно удаленными от С точками.

Из теоремы 1 вытекает теперь

Следствие

Утв. Многообразие Л4+ связно на бесконечности.

Док. Действительно, если предположить, что Л4+ не связно на бесконечности, то существуют две последовательности точек аЛ и bnt таких, что anbn->oot и при любом п кратчайшая апЬп пересекает некоторое фиксированное компактное множество С.

Пусть рп ^ апЬп П С и т„ — единичный вектор в М卩必 касательный к апЬп. Выберем из последовательности точек рп и последовательности векторов тп сходящиеся подпоследовательности: lim pnk = ро н lim т„й = т0. Проведем через точку ро геодезиче- /:后-> 8八月) 8

скую с: R-> Л4+ в направлении вектора т0. Нетрудно показать, что С есть прямая вопреки уже доказанной теореме 1. Из леммы 4 следует важная

Теорема 2

Утв. В 〃+ не существует замкнутых геодезических.

Док. Действительно, если в Л4+ существует замкнутая геодезическая с, то точки Л4+, ей принадлежащие, образуют компактное множество, в котором с целиком содержится, вопреки лемме 4.

В следующем параграфе будут выведены важные следствия из лемм 3, 4 и 6.

ЛИТЕРАТУРА к § 1

{!] Gromoll D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive curvature, Ann. of Math., v. 90, 1 (1969).

Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.

Топоногов В. А., Теоремы о кратчайших в некомпактных римановых про* странствах положительной кривизны, ДАН СССР (в печати).

Выпуклые множества в Л4+

Понятие выпуклого множества в М было введено в разд. 5.2. Здесь мы введем нужное в дальнейшем изложении понятие абсолютно выпуклого множества. Множество 4иЛ4 назовем абсолютно выпуклым множеством, если любая геодезическая, соединяющая точки р^А и q^A, принадлежит 4.

Множество /иЛ4 назовем строго абсолютно выпуклым 儿но жеством, если оно является абсолютно выпуклым множеством и если никакая внутренняя точка геодезической, принадлежащей Л, не является точкой границы А.

Пусть с: [0, оо)-> Л4+ есть луч с вершиной в точке р = с(0)・ Определим множество Bc(f) как открытый шар радиуса / = с (/) с (0) с центром в точке с(/): Bc(t) = {q: q^M^t c(t)q < /}. Из неравенства треугольника для метрики М+ следует

Bc(t})az Bc(t^r если tx < /2-(1)

Положим В^ = (J Bc(t). Множество Ас = Л4+ \ Вс назовем ори- пространством с осью с.

Лемма 1

Утв. Для любого луча с орипространство Ас есть абсолютно строго выпуклое множество.

Док. Множество Ас непусто, так как точка р w Ас. Докажем сначала, что Ас есть абсолютно выпуклое множество. Предположим противное. Пусть q: [а, §]->〃+ есть дуга геодезической, концы которой Ci (а) и ^(份 лежат в Ас, а сх (s0) при некотором s0 е (а, Р) лежит вне Ас. Тогда найдется некоторое 力，такое, ч!о 3 (s0)三 Bc(t^). Выберем, кроме того, в соответствии с леммой 4 § 1 некоторое /2 > 厶 так, чтобы дуга сх (s) была вогнута относительно точки с«2)・ Так как 勾〉^，то с^ (s0) е= Вс^2), т. е.

c1(s0)c(/2)</2.(2)

С другой стороны, поскольку Ci (а) и q(p) принадлежат Асг имеем

3 (а) с 伉)> /2 и q (В) с 俏)> 勾・(3)

Из (2) и (3) следует существование чисел » и s2, таких, что

G(S)e (友)=q ®) e (и)=/2.(4)

Из равенства (4) можно вывести существование такого числа S3, для которого

Ci(S3) с &)《q (s) с (幻 при s w 回，s2].

Но последнее неравенство противоречит выбору числа /2 н утверждению леммы 4 § 1. Перейдем теперь к доказательству строгой выпуклости.

(а) Никакая дуга геодезической не лежит на Ас — границе ори- пространства Ас.

Предположим, что утверждение (а) неверно. Пусть с2 : [0, "f ->М + — геодезическая, целиком принадлежащая Ас. Выберем числа s0 > 0 и S] V 1 так, чтобы с21回 $j была кратчайшей. Затем найдем последовательность чисел 1仪,такую, чтобы кратчайшие с2(5^с^^у ，= 0, 1, сходились к некоторому лучу pz: [0, оо)->М+, / = 0, 1. Оказывается, оба луча р0 и р〔 ортогональны с?* В самом деле, предположим, что по крайней мере один из них, скажем р0, не перпендикулярен с? и образует с с2 угол % < л/2. Будем считать для определенности, что Oq равен углу между векторами р0(0) и (s0).

Обозначим через ап угол между кратчайшими с2(5о)с (^п) н с2 (so) ^2(5iX Тогда имеем очевидное равенство

lim ап = а0 < -у. (5)

Возьмем теперь на кратчайшей c2(so) ^2(5i) точку b на расстоянии д от с2 (so). Пусть c(t^ с2 (so) 5 ~" треугольник на евклидовой плоскости, У которого угол ©(幻 ©2($о)万 равен an, c{t^ с2 (s^ = c(t^ c2(s0),

с2(50) 5 = ^2(5о) ^- По теореме сравнения разд. 6.4c^b^ciQ 5.(6)С другой строны,е (幻万=С (幻 С2(So) - cos an ■ d + v (6, n),⑺причем I v (d, n) I^ s (d) (n= 1, 2, ...), где s(d) = о (d). Из (6) и ⑺ получаемс (fQ b《c(tQ с2 (s0) - cos % • 6 + и (6, n).(8)Наконец, поскольку точки с2(5о) и b принадлежат ACi тоlim (c2(so)c(/n)-/n) = O,(9)П->оо屁(厶)》 J(10)Сопоставляя (8) и (10), получаем厶 & с (%) 3 ®) - cos % • 6 + и (6, п).(11)Перейдем в (11) к пределу при п-> оо и, учитывая (9), получим cosocq • d + о(д) ^0.(12)с2(50) 5 = ^2(5о) ^- По теореме сравнения разд. 6.4c^b^ciQ 5.(6)С другой строны,е (幻万=С (幻 С2(So) - cos an ■ d + v (6, n),⑺причем I v (d, n) I^ s (d) (n= 1, 2, ...), где s(d) = о (d). Из (6) и ⑺ получаемс (fQ b《c(tQ с2 (s0) - cos % • 6 + и (6, n).(8)Наконец, поскольку точки с2(5о) и b принадлежат ACi тоlim (c2(so)c(/n)-/n) = O,(9)П->оо屁(厶)》 J(10)Сопоставляя (8) и (10), получаем厶 & с (%) 3 ®) - cos % • 6 + и (6, п).(11)Перейдем в (11) к пределу при п-> оо и, учитывая (9), получим cosocq • d + о(д) ^0.(12)Разделим (12) на д и перейдем к пределу при 6-> 0, тогда имеем cos ctg & 0, что невозможно, так как 0 ^ «()< л/2. Итак, оба луча р0

с2(50) 5 = ^2(5о) ^- По теореме сравнения разд. 6.4

c^b^ciQ 5.(6)

С другой строны,

е (幻万=С (幻 С2(So) - cos an ■ d + v (6, n),⑺

причем I v (d, n) I^ s (d) (n= 1, 2, ...), где s(d) = о (d). Из (6) и ⑺ получаем

с (fQ b《c(tQ с2 (s0) - cos % • 6 + и (6, n).(8)

Наконец, поскольку точки с2(5о) и b принадлежат ACi то

lim (c2(so)c(/n)-/n) = O,(9)

П->оо

屁(厶)》 J(10)

Сопоставляя (8) и (10), получаем

厶 & с (%) 3 ®) - cos % • 6 + и (6, п).(11)

Перейдем в (11) к пределу при п-> оо и, учитывая (9), получим cosocq • d + о(д) ^0.(12)

с2(50) 5 = ^2(5о) ^- По теореме сравнения разд. 6.4

c^b^ciQ 5.(6)

С другой строны,

е (幻万=С (幻 С2(So) - cos an ■ d + v (6, n),⑺

причем I v (d, n) I^ s (d) (n= 1, 2, ...), где s(d) = о (d). Из (6) и ⑺ получаем

с (fQ b《c(tQ с2 (s0) - cos % • 6 + и (6, n).(8)

Наконец, поскольку точки с2(5о) и b принадлежат ACi то

lim (c2(so)c(/n)-/n) = O,(9)

П->оо

屁(厶)》 J(10)

Сопоставляя (8) и (10), получаем

厶 & с (%) 3 ®) - cos % • 6 + и (6, п).(11)

Перейдем в (11) к пределу при п-> оо и, учитывая (9), получим cosocq • d + о(д) ^0.(12)

и Pi перпендикулярны кратчайшей с2 (s0) c2(s!)вопреки утверждению леммы 6 § 1. Полученное противоречие доказывает утверждение (а).

Пусть теперь с3: [а, р] -> М+ — геодезическая, у которой с3 (а) w Ас и с3ф) е Ас. Положим £ = {/: / е (а, р) = /, с3 (/) е ЛJ; тогда (р) £ — пустое множество.

Предположим противное. Пусть £ непусто. Тогда в силу («) найдутся числа 力三/\厶，t2^ I\L и /3 е £, такие, что (см. разд. 5.2)/ / /уо / /分/〔с

/1 < /3 < ^2 и /2 - Л < ^а/2.(13)

Выберем к Сз«з)，т.Выберем к Сз«з)，т.сходящуюся(14)сходящуюся(14)последовательность точек bn w М+ \ Act&Нт 6“ = 3(%).

Выберем к Сз«з)，т.

Выберем к Сз«з)，т.

сходящуюся

(14)

сходящуюся

(14)

П">8

Соединим точку Q(fi) с точкой Ьп кратчайшей 内什卩方“ и продолжим ее за точку 6л до кратчайшей с3 (t^)an так, чтобы

(15)(15)сз (Л) ап = ^2 — Л-

(15)

(15)

Согласно (13), (15) и разд. 5.2, точка ап непрерывно зависит от точки Ьп. Поэтому имеем

иm瓶=内(友)・(16)

П-> ОО

Так как с3(/J ^ АС\АС и с3(Z2) ^ Ас \ Act то в силу (16) существует Ид, для которого аПь ^ Ас \АС, Таким образом, мы получаем геодезическую rOq/i” у которой концы лежат в Act а внутренняя точка Ьп лежит в М+ \ ACi что противоречит абсолютной выпуклости Ас. Таким образом, (р) доказано и строгая выпуклость Ас теперь следует из (р).

Итак, в М+ существуют абсолютно выпуклые множества. Множество Ас может оказаться компактным, но может быть и некомпактным, как это можно показать на примерах. Оказывается, что в 府十 всегда существует компактное строго абсолютно выпуклое множество, содержащее наперед заданное компактное множество.

Пусть р е М+. Обозначим через и множество всех лучей с вершиной в точке р. Определим множества В(р)= (J Bct

С Е 0

А(р)^М+\В(р)= П (М+\В,)= П 4.

Лемма 2

Утв. А (р) есть компактное абсолютно выпуклое множество в пространстве М+.

В действительности Л (р) оказывается даже строго абсолютно выпуклым, но мы не хотим останавливаться здесь на доказательстве этого факта.

Док. Так как А (р) есть пересечение абсолютно выпуклых множеств Act то оно само есть абсолютно выпуклое (непустое) множество. Докажем его компактность.

Если А (р) некомпактное, то существует последовательность точек рЛ, расстояния которых до р стремятся к бесконечности при zif 8. Пусть сЛ: [0, аЛ = ррЛ]->Л1+ есть кратчайшая, соединяющая р с рЛ. Тогда из последовательности сЛ можно, как это было сделано в § 1, извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторому лучу р0 с вершиной в р, т. е. р0 三 v. Кроме того, в силу абсолютной выпуклости А (р) имеем р0 е Л (р). Но СРв не содержит ро, а поскольку А (р) = Q ACJ то н 4 (р) не содержит р0> с е о

полученное противоречие доказывает лемму 2.

Лемма 3

Утв. Всякое компактное множество С и М+ содержится 8 некотором компактном абсолютно выпуклом множестве D и Л1+,

Здесь можно также усилить утверждение: D является строго абсолютно выпуклым.

Док. Назовем лучом, исходящим из множества С, такой луч р: [0, 8)f М+, у которого вершина pQ = р(0}^С и для каждого / имеет место

p(p(f), C) = p()p(f) = f.(17)

Докажем, что для любого компактного множества С существует луч, исходящий из С. Поскольку С компактно, а М+ некомпактно, то существует последовательность точек qn, такая, что

р(^Л, С)->оо при п->оо.

Пусть Ьп^С и qnbn = p(qnt С). Существование точки ЬЛ следует из компактности С. Рассуждая далее так же, как и при доказательстве леммы 1 § 1, покажем, что из последовательности кратчайших bnqn можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторому лучу ри исходящему из множества С. Пусть и есть множество всех лучей, исходящих из множества С. Рассмотрим множество D = Q Лр； Это множество содержит С, так как р е у

каждое множество Ар содержит С, и является абсолютно выпуклым множеством. Доказательство компактности D полностью повторяет доказательство леммы 2, только понятие луча с вершиной в точке нужно заменить понятием луча, исходящего из множества С・

ЛИТЕРАТУРА К § 2

G г о m о 11 D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive curvature, 'Ann. of Maih.t v. 90, 1 (1969).

Радиус инъективности на многообразиях М+ (Ло)

В этом параграфе мы докажем для некомпактных многообразий теоремы, аналогичные теоремам, доказанным в разд. 7.5, 7.7 для компактных римановых многообразий.

Обозначим через М+(йо)(Л1о (%)) риманово многообразие М+ (Мо), у которого риманова кривизна в каждой точке и в каждом двумерном направлении ограничена сверху числом %.

Для пространств ”+(々0)и Мо (^0) верны следующие теоремы:

Теорема 3

Утв. Каждая геодезическая в М+ (й0), длина которой не превосходит л/Уk0, есть кратчайшая.

Теорема 4

Утв. Для каждого пространства Мо (й0) существует число г0, такое, что любая геодезическая в Мо (^0)> длина которой не превосходит 几，есть кратчайшая.

Из теоремы 3 следует, что радиус инъективности для любой точки пространства М+ (й0) не меньше я/Уk0, а из теоремы 4 вытекает, что точная нижняя грань радиусов инъективности, взятая по всем точкам пространства Мо (й0), отлична от нуля.

Теорема 3 для полных некомпактных пространств с полюсом была получена в 1962 г. И. А. Соколенко [2]. (Полюсом пространства М+ (й0) называется такая точка pw〃+(^o), что все геодезические, выходящие из точки р, не имеют общих точек, отличных от р.)

В теореме 4 число г0 нельзя оценить снизу через %• В самом деле, возьмем риманово пространство 魄，определенное в замечании (iii) разд. 7.5, и рассмотрим прямое метрическое произведение M^= V^XR. Максимум римановой кривизны пространства Mj равен максимуму римановой кривизны пространства 嗯.Далее, для любого числа г。можно так выбрать значение параметра а, что максимум кривизны 嗯 будет равен 1, н в 噸 будет существовать замкнутая геодезическая длины меньше г>

Доказательство теоремы 3.

Будем доказывать теорему 3 от противного. Пусть с: [0, I = я1УkQ]-^ М+ (々J — геодезическая длины к/и麻которая не является кратчайшей. Соединим точки с(0) и c(Z) кратчайшей c(O)c(Z). Совокупность геодезической с и кратчайшей с (0) с (Z) образует невырожденный двуугольник у。，периметр которого строго меньше 2л/ Уk^. Пусть Л — компактное абсолютно выпу-

клое множество, содержащее y0> существование которого утверждается в лемме 3 § 2. Обозначим через Г множество всех невырожденных двуугольников, вершины которых лежат в Л. В силу компактности Л точная нижняя грань Zo периметров двуугольников, принадлежащих Г, отлична от нуля, а поскольку y0 е Г, то имеем

0</0<2n/V^- (1)

Возьмем последовательность ап е Г, периметры которых стремятся к /0. Нетрудно доказать, пользуясь (1) и тем, что 4 есть абсолютно выпуклое множество, так же как это сделано в разд. 7.5 (следствие из леммы 1), что в Л существует предельный двуугольник 5)и что 5)есть периодическая геодезическая. Но, с другой стороны, теорема 2 утверждает отсутствие в М+ (fe0) периодических геодезических. Полученное противоречие доказывает теорему 3.

Доказательство теоремы 4.

■ Если теорема 4 неверна, то это значит, что в М()偽)существуют невырожденные двуугольники сколь угодно малого периметра. Пусть Y — невырожденный двуугольник периметра /0, причем

0</0<2n/V^, (2)

ар — одна из его вершин (если y0 一 периодическая геодезическая, то р — произвольная точка y0). Среди всех невырожденных двуугольников с вершиной в точке р найдем двуугольник 丫【наименьшего периметра. Так же как в разд. 7.5 (лемма 1), можно доказать, что Yi есть геодезическая петля.

Обозначим через Kr замкнутый шар в Mq(左q) радиуса R с центром в точке р. Далее, среди всех геодезических петель с вершинами в Kr рассмотрим геодезическую петлю наименьшей длины; обозначим ее через y(R). Существование y(R) при R》2711Vк。вытекает из компактности Kr н (2) (если существует более чем одна геодезическая петля наименьшей длины, то через y(R) обозначим любую из них).

.Пусть f(R)—длина y(R), а(/(/?) —ее вершина (если y(/?) —периодическая геодезическая, то ^(/?) —произвольная точка y(R))・ Область определения функции f(R) содержит интервал [2n/V^o, °°). По определению функция f (R) есть непрерывная положительная монотонно убывающая функция. Кроме того, в силу нашего предположения о существовании невырожденных двуугольников сколь угодно малого периметра имеем

limf(R) = 0. (3)

R->8

(а) Докажем, что pq(R)f 8, если Rf оо.

В самом деле, предположим, что существует последовательность R女f 8, такая, что pq (/?ft) ^ с0 при любом k.

Обозначим через dk число, определенное в разд, 5,2 для шара К = Kc0+t (со). Тогда в силу (3) существует геодезическая петля у, вершина которой лежит в /С и длина которой меньше dk, что противоречит определению числа dk. Найдем теперь последовательность чисел R^f 8, такую, чтобы выполнялись следующие условия:

кратчайшие pq(RJ сходятся к некоторому лучу р: [0, оо) f (焉)с вершиной, в точке р;

нижние левые производные числа функции f (R) в точках Rn строго отрицательны.

Существование такой последовательности чисел Rn вытекает из утверждения (а), монотонности f(R) и (3), причем утверждение (Ь) без труда получается из геометрических соображений путем построения опорных прямых к графику функции /(/?).

Выберем, наконец, п0 настолько большим, чтобы, во-первых, было

/(/?П0)<2л//^,⑷

во-вторых, угол а между р и кратчайшей pq (RQ был меньше л/4: а< л/4.(5)

Разобьем геодезическую петлю y (Rn^ точками а； С=1, ..., 2財 &i = &2也+1 = 9 (Rn。)) так, чтобы геодезическая а{ам была кратчайшей при любом t=i, ..., 2fe. При этом будем считать, что точка ak делит вместе с а{ петлю y(R&) на две геодезические q и с2 равной длины. Затем на луче р выберем последовательность точек рт = р(/т), такую, чтобы при / = 1, ..., 2fe кратчайшие pmat сходились к некоторому лучу % Продолжим лучи 仍 геодезическими & в направлениях, противоположных направлениям лучей рь и обозначим через а, (6)точку на сь отстоящую от а； на расстояние 6.

В силу (4) длины геодезических q и & меньше л/УkQi поэтому на них нет точек, сопряженных аь включая и ak (см. теорему сравнения разд. 6.2). Значит, у q существует окрестность U“ такая, что любой путь, лежащий в U, и соединяющий а】с ай, имеет длину больше, чем длина ch / = 1, 2. Кроме того, отсюда же следует, что при достаточно малых 6 существует единственная геодезическая с, (6), соединяющая а】(6) с &也(6) и лежащая в U- Длины геодезических q(6) при достаточно малом д также меньше 冗/У 左о, / = 1, 2. Поэтому на q (6), / = 1, 2, в силу той же теоремы сравнения нет точек, сопряженных а】 (6). Следовательно, для с； (д) можно найти окрестности 6(6) с такими же свойствами относи-

тельно С/(6), какими обладают U/ относительно q,力=1, 2. Кроме того, их можно выбрать еще так, чтобы было

D а•⑹=s,к.(6)

Обозначим через о(6) замкнутый полигон, образованный кратчайшими 修(6)的+1(6) при £=1, 2, ..., 2々,а через N (6) и с2(6) — полигоны, на которые полигон с (6) делится точками а^б) и ak (6)* Если выбрать 6 достаточно малым, то в силу (6) полигон』(6), i=l, 2, лежит в UJ6) и, следовательно, его длина не меньше длины q(6). Значит, длина двуугольника у(6), образованного геодезическими q (6) и &(6), не превосходит £ (6) — длины полигона о (6). Тем более'

f(”i(6))&L(6)・⑺

Оценим £(6). В силу леммы 5 § 1 имеем

生 (6)a计1 ⑹ 《a心计1 +。(6).(8)

Из (8) следует

L^^f(Rn^ + o(6).(9)

а из (7)

f(“i(6))&f(R3 + o(6)・(Ю)

Оценим pax (6). Обозначим через qp угол в треугольнике ахах (6) р при вершине аи Тогда из леммы 5 § 1 и (5) следует

Ф < л/4.(11)

Построим, наконец, на евклидовой плоскости треугольник 无宿(6) р, удовлетворяющий условиям: угол ах (6) ахр равен <р, ахах (6)= =ахах (6), ахр = ахр. Согласно теореме сравнения разд. 6.4, имеем % ⑹ р《а(6)瓦(12)

Подсчитаем а1 (6) р:

@1 ⑹ Р = а^ —cosqp • 6 + о (6).(13)

Из (11) и (12) следует

%⑹Р&。屮一咚• 6 + о(6).(14)

Из (14), монотонности f(R) и (10) получаем

f ^nt -^-д +о (6)) < f (^ + о (6).(15)

Из (15) нетрудно вывести, что левое верхнее (а тем более левое нижнее) производное число функции f(R) в точке &@ не меньше нуля, что противоречит выбору числа до

полученное противоречие доказывает теорему 4.

ЛИТЕРАТУРА К § 3

Топоногов В. А., Теоремы о кратчайших в некомпактных римановых про-, странствах положительной кривизны, ДАН СССР (в печати).

Соколенко И. А., Сферы и геодезические в римановых пространствах с полюсом, ДАН СССР, т. 134, 6 (I960).

§ 4, Диффеоморфность Л+ евклидову пространству

В этом параграфе доказывается теорема о диффеомоф- ности М+ евклидову пространству Rm при m ^ 5. Доказательство этой теоремы существенно опирается на известные теоремы об й-кобордизмах из дифференциальной топологии. Сначала доказывается, что М? асферично во всех размерностях (т. е. гомотопические группы пространства М? тривиальны во всех размерностях). Однако отсюда еще нельзя вывести диффеоморфность М+ и R， Оказывается, существуют Даже четырехмерные многообразия, асферичные во всех размерностях и не гомеоморфные эти многообразия отличаются друг от друга и от евклидова пространства поведением на бесконечности. Выясняется, что многообразие Мт, асферичное во всех размерностях, только тогда гомеоморфно (и в этом случае даже диффеоморфно) евклидову пространству R", когда оно „односвязно на бесконеч- ностн" [2].

Многообразие М называется односвязным на бесконечности, если для любого компактного множества С и М найдется компактное множество D п С, такое, что M\D односвязно.

Доказательству асферичности М+ и односвязности М+ на бесконечности посвящены следующие ниже леммы и теоремы. В пунктах 4.2 —4.4 мы излагаем ряд известных построений и лемм, следуя в основном изложению в работе [3].

Пусть G — компактное выпуклое множество в пространстве М. Непрерывное отображение р: S1 -> G ориентированной окружности S1 с фиксированной точкой q будем называть петлей с отмеченной точкой q = p(q). Две петли р^ и р0 называются эквивалентными, если существует гомеоморфное отображение а (а, р): S1 f S* сохраняющее ориентацию S1, такое, что а (а, Р)(«) = =(讲 и ра = р^° аар. Класс эквивалентных кусочно дифференцируемых петель называется направленной замкнутой кривой с отмеченной точкой. Через 11(G) обозначим множество всех замкнутых направленных кривых с отмеченной точкой в области GuM・ Через £(р) будем обозначать длину кривой ре 11(G).

Пусть р е 11(G) и q — отмеченная точка р. Введем на р параметризацию с помощью приведенного (пропорционального длине) параметра f (O《fWl), отсчитываемого от точки q в положи-

тельном направлении р. Метрика, введенная во множестве П(б)стан- дартным образом, очевидно, удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Определим теперь на множестве 11(G) гомотопию £>® (О《仆& 1). Пусть d — число, соответствующее G согласно разд. 5.2. Далее, пусть у е 11(G) и целое число q таково, что qdG > L (у)- Отнесем у к приведенному параметру /. Обозначим через 丫(匕 f") дугу у с концами в точках у (У) и y(f"), а через о (У, /,Л) — кратчайшую, соединяющую точки у(У) и y(f")・ Каждому 4е [0, 1] сопоставим кривую Ye = ^e(Y)е П(б), заданную формулой

YoYoт •丫审т •丫审

Yo

Yo

т •丫审

т •丫审

где под произведением кривых понимается кривая, полученная их последовательным прохождением. Так как G — выпуклое множество, то y^wG. Пусть С — произвольное подмножество 11(G), такое, что L (у) < С при у е= С. Тогда для каждой кривой у существует кривая Yo = Du(Y) при у е= С. Легко видеть, что 丫皆 непрерывно зависит от (у, -ft), где (у w С, 0《仆《1). Таким образом, D^ является непрерывной деформацией множества С на 11(G). Введем на каждой кривой у® параметризацию %)(f) с помощью приведенного параметра, отсчитываемого от отмеченной точки Y(O) = g. Тогда точка y“f) непрерывно зависит от (у,仇 f) при у 巨 С, 。《仆《1, 0《/之1・ Заметим, наконец, что Do(у) = Yo = Y и

£(A(Y))《£(D£y))《£(Y), 0&9&L (1)

Определим теперь множество ПА (G). Будем говорить, что кривая у принадлежит H^(G), если выполняются следующие условия:

ye 11(G);

у есть полигон из кратчайших с k вершинами;

длина каждого звена у не превосходит %;

отмеченная точка у совпадает с одной из его вершин.

Введем во множестве %(G) метрику. Пусть », у2 巨见⑹.Обозначим через а| вершину, совпадающую с отмеченной точкой полигона ур а через а^ — вершины ур f=l,2; р=1, 2,…，瓦 Причем

порядок вершин задается ориентацией у『

Положим pnft(Yp у2)= max (”，怨).Метрика р口々 удовле

творяет обычным аксиомам, так что Щ(б) превращается в метрическое пространство. Относительно топологии ПА (G), определенной метрикой рп , функция £(у) непрерывна.

Теперь определим деформацию В® полигона у е Щ (G). Пусть уeIIft(G), а / — приведенный параметр на у, O《f&L Пусть вершина а^ полигона у соответствует значению параметра th / = 0, ,.., А — 1. Обозначим, как и ране% через и(f‘, f") кратчай-

шую, соединяющую точки у (У) и у(/")・ Каждому значению параметра 仆，0&仆《1, сопоставим полигон y« = ^о(Y) следующим, образом:

Y产。(2芝0, 1 + 0з_). 。 (1+0 3,今)х

X JI[a (、+"，力 + %"一厂')• 0 (力 + 6"T2r，""+丄)]X

X0(F/T , fl +心生气"• 0 ("T+0 杀守 J, l^).

При этом отмеченную точку % на полигоне 丫勺 определим, положив % = 丫(1+仆生戶丄). Легко видеть, что 丫勺 непрерывно зависит от (Y, 6), и если на каждой кривой Yo ввести приведенный параметр 九 то точка у中(/) непрерывно зависит от (у, О,/), где Y е Щ (G)> 0&仆&1, 0Vi《L Заметим чтакже, что % непрерывно зависит от совокупности (丫，О). Полигон » =当(у)三 П总(G), и Yi непрерывно зависит от у в метрике nft(G).

В(Y) есть полигон, вершины которого лежат в серединах сторон полигона у. Сформулируем почти очевидную лемму.

Лемма 1

Утв. L (В[ (у)) & L(Y), причем, L (В【(у)) = L (у) тогда и только тогда^ когда у есть периодическая геодезическая.

Пусть ywII(G), L (y) < dQ и y (0 — параметризация у. Определим следующую гомотопию 两 Каждому 也 0 &6& 1, сопоставим кривую y« ^П(б) следующим образом: соединим точку qy = y(0) с каждой точкой у«) кратчайшей qy(t). Поскольку длина у меньше d0, расстояние между q и y (0 меньше d0/2. Поэтому (см. разд. 5.2) кратчайшие qy (/) непрерывно зависят от t. Обозначим через р(/,仆)точку на кратчайшей qy (/), отстоящую от q на расстояние, равное 仆・ду(/)・ Положим Y“f) = р (力仆)=Po(Y)・ Нетрудно показать, что 丫勺三寸仔)при любом 6. Пусть С — подмножество П (G) и L(Y)< dQ при y е С. Легко видеть, что р^ есть непрерывная деформация С на П(G), и точка 丫勺(力)непрерывно зависит от(Y,也 0* Наконец,

Pi(Y)=，y при любом ywC・(2)

Нам понадобится особое покрытие сферы окружностями, которое мы будем называть правильным разбиением сферы.

Определим по индукции множество Тг-! направленных окружностей 丫^ на Sr, на каждой из которых фиксирована точка д, а также полиэдр Т'^ и Sr. При г = 1 сфера S1 — окружность, выберем направление на S1 и точку q 巨 SL Положим TQ = S\

Т° = д. Пусть для S「правильное разбиение уже построено и определены 彳「一) Т「~) Введем в евклидовом пространстве 口‘十？ прямоугольную декартову систему координат (%* х2, . ,.,хг+2). Рассмотрим

в К"? стандартную сферу S「”・ Пусть S「= {%: £ (炉尸=1,炉十”^。} i i=lJ

есть экваториальная сфера S「 сферы Sr+1 с правильным разбиением. Пусть Sa — сфера, лежащая в пересечении S'+i и плоскости 尤r+2 = a. Определим гомеоморфное отображение 力涼 5Г —> Sa. Спроектируем сначала S「ортогонально на плоскость %「+? = % а затем полученную сферу Sa с помощью гомотетии в плоскости %r+2 = a относительно центра сферы Sa с коэффициентом гомотетии, равным ]/1 — а2, переведем в S；. Отображение Аа переводит семейство окружностей Тг~х в аналогичное семейство Та™1 на Sa, составляющее правильное разбиение Sa, и полиэдр Т「т переходит в полиэдр T『L

Положим 彳"= (J Ta-1, Т" = (J TV) Присоединим 〜-l<a< 1-1<а< 1

к 彳" две одноточечные кривые рх (0, ..., 0, 1) и р2 (0，• • •»。，— 1)» которые мы будем называть одноточечными окружностями. Полученное семейство окружностей обозначим через Тг. Полиэдр Т，г также замкнем двумя точками р】и р2» в результате чего получим полиэдр Гг. Итак, правильное разбиение 7r сферы Sr+1 и полиэдр Т「 определены по индукции для каждого г. При этом на каждой окружности разбиения задана точка q и (если она не одноточечна) направление.

В следующей лемме перечислены почти очевидные свойства правильного разбиения.

Лемма 2

Утв. Будем рассматривать yq е Гг"'1 как элемент пространства П (Sr). Тогда справедливы следующие утверждения:

каждая то电ка, принадлежащая S, принадлежит одной и только одной окружности %w 尸一上

отображение ф (</) = ya есть гомеоморфизм Тг~х на ^’-^и uH(S「)；

пусть x^Sr лежит на yq и ^ (х) = 丫夕 тогда 屮(х) является непрерывным отображением S' ка Г^1.

Введем на каждой окружности 丫§ правильного разбиения сферы S' приведенную параметризацию 汽(/), причем точка q соответствует / = 0. Если теперь f есть непрерывное отображение S'f G,

то положим pq (/) = f(Yg (/)). Тогда pq (/) есть параметрическое представление кривой р『(д) в G. Если при этом путь pq (/) кусочно дифференцируем, то pf(q)wII(G)・ Пусть f — такое отображение S, что при любом q кривая р/ (q)П(б). Тогда f индуцирует такое

(однозначно определенное) отображение р『：11(G), что для всех q е Тг~} имеет место pf (f) = f。Yg«) при 0《f《l・

С другой стороны, если р — непрерывное отображение Гг-1 -* ->П(б), то оно индуцирует некоторое отображение fp: S「fG описываемым ниже образом. Введем на кривой p(q) приведенный параметр /, отсчитываемый от отмеченной точки кривой р(д), и обозначим через p(g,f) точку на р(д), соответствующую значению параметра /, Сопоставляя точке Yg(f)巨 Sr точку p{qt /) е G, мы получим некоторое непрерывное отображение %: S'f G. В частности, если С© есть некоторая гомотопия, то любому непрерывному отображению р: Т'^ f G можно сопоставить отображение 启：Тг~х -* П(0), индуцированное отображением С^(р). Эти отображения % определяют гомотопию Ср: ^"^[О, 1] f 11(G). При этом для отображения f: S'f G вместе с pf существует гомотопия /^ = (Ср^,

Лемма 3

Утв. Для каждого непрерывного отображения f0 сферы S' 8 G существует гомотопное ему отображение f「 индуцирующее отображение 卩介 полиэдра Тг~~г в П (G),■

Док. В силу непрерывности % и компактности S, для любого числа е>0 существует такое число 6> 0, что если psr(ap а2)<6, то f(ai)f(&)V& Возьмем е = у d0 и найдем по е число б0, как указано.выше. Определим непрерывные функции 左(q), z = 1, ..., т, на Т’т так, чтобы было

:力—館<余 при q(3)

Тогда f(Yg(4))f(Yg(4+i))W^da・ К семейству кривых pq = р^〉 применим деформацию Q& описанную в разд. 4.2.

Пусть а 巨 S\ 《(◎ = %, & = %«)• Положим ра^= D^pM, F(a, -&) = pa,-aW^ Ясно, что F(a, 0) = f0. Так как р%】есть полигон нз кратчайших в G, то& =F(a, 1) удовлетворяет условиям леммы.

Центральный результат этого раздела формулируется в следующей теореме:

Теорема 5

Утв. Любое компактное выпуклое множество^ не содержащее периодической геодезической^ асферично во всех размерностях.

Доказательству теоремы 5 предпошлем две леммы. Пусть G и Л1 — компактное выпуклое множество, р — непрерывное отображение (г — 1)-мерного полиэдра Т； в nfe(G), а с — некоторое положительное число. Зафиксируем отображение /: S"f G и будем для краткости писать pq вместо р『д)・

Лемма 4

Утв. Если для каждого q 三 Tr~l существует целое число % для которого L(B；g(Pg)) <с/2, т。 существует целое число г0> такое, что L(В? (р^)) < с для всех q е Тг~{.

Док. Пусть е<с/2. Тогда, учитывая непрерывность функции L (р“) от q> для каждого q находим на Тг~1 такую окрестность Uqt что при д' w Uq имеем

]丄(孙(吩一丄(坏(%))]/々/2.⑷

Поскольку Tr~l компактно, то из построенного покрытия 丁… окрестностями Uq можно выбрать конечное подпокрытие Uq^ U&,〃每・ Положим г。= max(%』rq^ ...» r^). Пусть ge Т~*

предположим, что q 三 Uq> тогда из (4) следует

^l{P^<cl2 + L^l(P^>(5)

а из леммы 1

Из (5) и (6) получаем L(Bi° (pq^<ct что и требовалось доказать.

Лемма 5

Утв. Пусть с>0, и для любого n в Тг~1 найдется такая точка qnt что L(B；(Рд》>с> тогда в G существует периодическая геодезическая.

Док. В силу предыдущей леммы в Тг~1 существует точка qQ) такая, что L(В?(卩次))> с/2 при любом п. Обозначим через рп полигон В? (р/ Из последовательности полигонов рп в силу компактности G можно выбрать сходящуюся подпоследовательность рп., которую обозначим через р后.Пусть р0 = lim pk и fe-> ОО

Lq = L{p^ тогда

L(В? (pi)》& при любом я.(7)

Докажем, что р0 есть периодическая геодезическая. Если р。— не периодическая геодезическая, то из леммы 1 следует

l(九)一l(吕(九))=L0 一 l(乡(九))=0>0.(8)

Далее, так как В{ есть непрерывное отображение IIfe(G)->nfe(G), то для любого е>0 существует окрестность U с: Щ (G) точки р0, такая, что как только р‘ w U, то

\L(Bl(p0))~L(Bl(pf))\<^.⑼

Выберем е<а/2 и 凤 настолько большим, чтобы выполнялось В色(Ро)еСЛ Тогда из (8) и (9) имеем

〃В”|(Ро))&е +L(当仇))<о/2 + %-о = 4-0/2,

что противоречит (7). Итак, /。三 G есть периодическая геодезическая.

Доказательство теоремы 5.

Будем вести доказательство по индукции. Асферичность G в нулевой размерности (связность G) следует из выпуклости G.

Предположим, что G асферично в размерностях 0, 1, ..., г— L Докажем асферичность G в размерности г.

Пусть %: S「f G — непрерывное отображение. Согласно лемме 3, fo гомотопно отображению f{: S「f G, которое индуцируется некоторым отображением R: Гг-1 -> 11(G), а именно f{ = р^ f = f“. Так как в G нет периодических геодезических, то из леммы 5 следует существование такого числа «о, что L(B? (p^)<do при всех q е Тг~\ Пусть % = В：°。"，тогда на множестве 力(丁…)определена гомотопия р§ (см. разд. 4.3), и & гомотопно отображению &: Гг-1->П(б), при котором каждая точка Тг~[ переходит в тривиальную (одноточечную) кривую.

Пусть t/也 0《合《1, есть гомотопия, связывающая ^ с &, тогда /“в： S「f G, 0《合《1, есть гомотопия, связывающая f[=fH9 с таким отображением % = %“ что множество %仇)состоит из одной точки а(д) для каждой q е Тг~\ Так как по предположению индукции G асферично во всех размерностях &r —1, отображение a： fif G гомотопно постоянному по теореме Гуревича. Пусть /7$, 0《合《1, есть соответствующая гомотопия, тогда Н^ °ф: S「f G есть гомотопия, связывающая f3 с постоянным отображением. Отсюда f0 гомотопно постоянному отображению, и G асферично в размерности г, что и доказывает теорему.

Теорема 6

Утв. Пространство М+ асферично во всех размерностях.

Док. Пусть f0 — произвольное непрерывное отображение Sr->Af+. Так как % (S「)есть компактное множество в М+, то по лемме 3

§ 2 существует компактное выпуклое (даже абсолютно выпуклое) множество Gnfo(S'). В М+, как это Доказано в теореме 2, нет периодических геодезических, тем более их нет в G. Применяя к G теорему 5, мы видим, что % гомотопно постоянному отображению в G и, следовательно, в М+.

Теперь перейдем к доказательству односвязности на бесконечности.

Теорема 7

Утв. Если G — компактное абсолютно выпуклое множество в М+, tn = dimM+j то Af+ \ G асферично в размерностях О^А^ 《т — 2.

Доказательство теоремы 7 опирается на некоторые хорошо известные факты из топологии, которые мы изложим в виде лемм.

Лемма 6

Усл. V — открытое множество в M+j замыкание которого V компактно] dim М+ = /и; G — компактное множество, принадлежащее V.

Утв. В М+ существует открытое множество U, обладающее следующими свойствами:

U и У;

g и U;

U (граница U) есть (т — \)-мерное подмногообразие М+. Док. В пространстве М+ определим непрерывную функцию f(p) — расстояние от точки р до множества G, т. е. f (р) = р(р, G). Пусть выполняется

е = p(G, М+ \V) при е>0.(10)

Аппроксимируем функцию f бесконечно дифференцируемой функцией % с точностью до е/8 на множестве W = {р: р 三 M+i f (р)<2е},

\f(P)-fo (Р)1<е/8, если p^W.(11)

Доказательство существования такой функции можно найти в [4, стр. 48, В]. Далее, по теореме Сарда [4, стр. 25, теорема 4] можно найти такое число X, что X есть регулярное значение функции % (р) и

|Х-е/2|<е/8.(12)

Теперь определим U как множество точек М+г для которых Ifo(Р)I<^- Докажем, что Uub. В самом деле, пусть р ^U, тогда А)(р)<%, а из (12) имеем

|f0(p)|<e/2 + e/8 = |e.(13)

Из (11) и (13) получаем

f(P)<lfo(P)l + i<-^ + | = ^<8.(14).

Наконец, из (14) и (10) следует p^V. Теперь докажем, что GuU. Пусть pw 匕 тогда f (р) = 0, поэтому из (11) следует | f0 (р) | < <f (р) + в/8 = е/8, а так как, кроме того, из (12) имеем%>-|-—-| =鶴 то, сопоставляя два последних неравенства и определение U, получаем p^U, Наконец, так как А — регулярное значение функции %, то граница U (множество f^ (%)) есть подмногообразие М+ размерности т — 1 (лемма 2 разд. 1.6). Лемма 6 доказана»

Лемма 7

Усл. М — дифференцируемое компактное многообразие с краем У. На У задано непрерывное ненулевое векторное поле X* "i = dimM・

Утв. На М существует непрерывное векторное поле У, обращающееся в нуль только в конечном числе точек 〃 совпадающее с X на N.

Док. Поскольку М есть дифференцируемое многообразие, его можно триангулировать. Пусть Km =(Km, Lm~lt f) —триангуляция пары (М, N), где /Ст —некоторый zn-мерный полиэдр, Lm-1 — его граница, f — гомеоморфное отображение пары(К、Lm~^ на пару (М, У), причем отображение/ на каждом m-мерном симплексе Ат комплекса К爪 есть диффеоморфизм.

Образ при отображении f произвольного симплекса △「комплекса Кт назовем криволинейным симплексом триангуляции Кт и обозначим через △「. Предварительно докажем следующее утверждение:

(а) пусть △宀 есть (г + 1)-мерный симплекс комплекса KN на границе 厶宀 которого задано непрерывное ненулевое поле Z, тогда

(а) если г < m — 1, то существует непрерывное ненулевое поле W на △+, совпадающее с Z на 入计上

(а2) если г = m — 1, то существует непрерывное векторное поле W на △'+) совпадающее с Z на 厶宀 и обращающееся в нуль в единственной точке симплекса △小・

В самом деле, пусть △『есть m-мерный симплекс КТ содержащий △") Можно считать, что △『лежит в евклидовом m-мерном пространстве Rm. Обозначим через Dm и Sm"1 стандартный шар и стандартную сферу пространства Rm. Возьмем единичное

векторное поле Zr на 厶宀，равное Z/ |Z|. Поле Z【задает непрерывное отображение 厶宀 в Sm~\

Доказательство (а) Если г < m — 1, то, поскольку все гомотопические группы 5吁1 до %п-2 включительно тривиальны, это отображение можно продолжить до отображения 步1 симплекса △宀 в $тт, что, в свою очередь, задает непрерывное поле Wx единичных векторов на △'+) Пусть h(p) есть положительная непрерывная функция от точки на Дг+1, совпадающая с | Z | на А"! Тогда W = h(p) Wx (р) есть искомое поле._

Доказательство (а) Если г = m — 1, то отображение Z【можно продолжить до непрерывного отображения 历【симплекса Дт в. Dm, при котором в центр шара перейдет единственная точка симплекса Дт. Это отображение задает на Дт непрерывное векторное поле 吃・ Положим W = h(p)W{ (р). Поле W обладает требуемыми свойствами.

Предположим теперь, что мы построим непрерывное ненулевое векторное поле на К「一 r-мерном остове триангуляции К* которое совпадает с X на остове U триангуляции Lm-i. Если г = m — 1, возьмем произвольный симплекс Дт триангуляции КТ Z — уже построенное векторное поле на его границе Дт cz /Ст-1. Определим на симплексе cz f-1 (Лт) комплекса К" поле Z = "@ Применим затем к Дт утверждение ⑶)и определим на Лт поле W = ，.”)• Проделав то же самое для каждого симплекса Дте разбиения К% мы получим векторное поле У с требуемыми в лемме 7 свойствами. Если же г <m — 1, то, произведя те же операции и воспользовавшись утверждением (а) мы получим непрерывное векторное поле на остове K"L Поскольку на К° ненулевое векторное поле строится тривиально, то утверждение леммы 7 доказано. Справедлива также следующая леммГа [4, стр. 48]:

Лемма 8

Усл. Dr+1 — (г + 1Умерный замкнутый шар.

Утв. Для каждого отображения fo： Dr+X -> М+ существует гомотопное ему гладкое отображение f【：DT+X -> Af+.

Доказательство леммы почти очевидно.

Доказательство теоремы 7.

Пусть % — произвольное непрерывное отображение S「в М+ \ G. Поскольку 〃+ асферично во всех размерностях, То отображение %： S「一> 〃+ можно продолжить до отображения Fo шара 。'+」

в М+, которое на границе шара — сфере 5Г — совпадает с %. Выберем число е настолько малым, чтобы выполнялись следую

щие условия:

P = {q: q ^ М+, ^(qt G)<e} не пересекает %(S);

шар радиуса е с центром в любой точке множества V —сильно выпуклое множество;

e<d0/2.

Пусть p^V \G, и пусть q (р) точка на G, ближайшая к р.

Докажем следующее утверждение:

(а) для каждой точки р ^V \ G существует единственная точка q (р), ближайшая к

В самом деле, если для некоторой точки p^^V \G существуют различные точки qx (р0) и q2 (р0)， то шар DPo радиуса г0 = =qx (р0) р0 = q2(Ро) Ро с центром в точке р0 пересекается с G только в точках, лежащих на границе G и границе D^. Соединим точки qdpo) и ^2 (Ро) кратчайшей с. С одной стороны, в силу сильной выпуклости шара DPo кратчайшая с, за исключением концов, лежит внутри D&. Но, согласно абсолютной выпуклости G, с должна лежать в G. Полученное противоречие доказывает (а).

Построим теперь в области V \ G векторное поле X. Пусть p^V \ G; соединим р с q(p) кратчайшей ср (/): [0, 1] -> V \ G. В точке р возьмем вектор Хр = р(〃 M+ \ V) • ( —ур(0)), тогда

(В) на открытом множестве V \ G поле X непрерывно.

В самом деле, точка q (р) однозначно определяется точкой р и, значит, непрерывно зависит от р. Из разд. 5.2 и свойства (с) области V следует, что кратчайшая ср (/) и вектор ср (/) непрерывно зависят от концов ср (/) и, следовательно, непрерывно зависят от р. Функция же р(р, М+ \ V), очевидно, непрерывна.

Утверждение, что Х=/=0, следует из построения поля X.

Рассмотрим теперь область U со свойствами, указанными в лемме 6. На границе U возьмем поле У, совпадающее с X. По лемме 7 продолжим поле У до поля Z, определенного в U, так, чтобы поле Z совпадало с У на {7 и обращалось в нуль лишь в конечном числе точек. Пусть это будут точки рь р2> • • • ...,pk. Определим теперь поле W на всем пространстве М+ следующим образом:

Wp = 0, если р^М+ \ V;

% = Хр, если peV \ U\

Wp = Zp, если p^U.

Поле W непрерывно по построению. Далее, пользуясь леммой 8, отображение Fo: Dr+l -> М+ можно заменить близким и гомотопным ему отображением 尸】： Dr+i M+i таким, что 〃吏尸I (£И+1), г = 1, …，瓦 Теперь можно завершить доказательство теоремы 7.

Через каждую точку p^F{ (Dr+l) проведем геодезическую Ср： [0, оо)->М+, с(0) = р, d(O) = IFp. Определим отображение ф： »+1 X [0, оо)-> М+ формулой

①(р, /) = Ск(р)(£)(pw»+i, У0, 8)).

Согласно теореме о непрерывной зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных данных, Ф(р, t) есть непрерывная функция своих аргументов. Положим ц = inf j Zp ].

pw 尸 1 (z)r+l)n 万 Пусть G{ — компактное абсолютно выпуклое множество, содержащее U, и % — число, определенное в лемме 4 § 1 для области GP Докажем, что ①(р, А/ц) П G = 0. Действительно, рассмотрим следующие случаи:

Если pi = Fi(p)e U, то cPi(^M^M^\U по лемме 4 и в силу абсолютной выпуклости G»

Если pi = F^p^M+XV, то ①(р, f) = Q(p) по построению поля W и отображения Ф.

Пусть, наконец, Pi = Fi (р) е V\U, и предположим, что Cpi(i) при некотором t = tQ попадает в G.

Продолжим геодезическую сР1 от точки р、в направлении —呼由 на длину p(pi, G), конец этой дуги обозначим через 麻 В силу построения поля W точка pi принадлежит G; итак, существует геодезическая, у которой две точки рх и cP1 (Zo) принадлежат G, а точка 卩 не принадлежит. Последнее невозможно, так как G есть абсолютно выпуклое множество. Значит,。例(f) ни при каком f》0 не попадает в G.

Итак, доказано, что отображение F2 (р) = Ф (р, %/ц) отображает »+1 в М+ \ G, и отображение F2, рассматриваемое на S' гомотопно %. Теорема 7 доказана.

Сопоставляя теперь теоремы 6, 7 и теорему 5.1 работы [2], получаем основную теорему этого параграфа Теорема 8 (Д. Громол и В. Мейер)

Если риманова кривизна полного некомпактного риманова многообразия М+ в каждой точке и в каждом двумерном направлении положительна, то М+ диффеоморфно евклидову пространству Rm при m = dimM+^5.

Примечание 1・ Диффеоморфность М+ пространству R2 была доказана Кон-Фоссеном [5].

Примечание 2. Авторы работы [1] утверждают, что теорема 8 справедлива для всех ш. Однако доказательство этого утверждения пока не опубликовано.

ЛИТЕРАТУРА К § 4

G г о m о 11 D. and Meyer W., On complete open manifolds of positive curvature, Ann. of Math^ v. 90, 1 (1969).

Stallings J., The piecewise-linear structure of euclidean space, Proc. Camb・ ridge Phill. Soc, v. 58, (1962), 481—488.'

Фет А. И., Вариационные задачи на замкнутых многообразиях, Математиче^ ский сборник, т. 30 (72), 2 (1952).

Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, Труды МИАН, XVI, 1955.

К о н - Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.

Метрическое строение пространства М。，содержащего прямые линии

Пусть р — прямая линия пространства М09 Р (/) — нормальная параметризация р и Q — произвольная точка Мо. Будем говорить, что луч а с вершиной Q параллелен прямой р в положительном (отрицательном) направлении относительно заданной параметризации р, если существует последбвательность чисел /п-> оо (?#— —8), такая, что кратчайшие р (f#) Q сходятся к лучу а. Луч а, параллельный р в положительном (отрицательном) направлении, будем обозначать через а+ (Q) (a_(Q)). Прямую q назовем параллельной прямой р, если для любой точки Q^q имеем g = a+(Q)Ua-(Q). Пусть ^ — прямая, параллельная р. Будем говорить, что на q введена параметризация Q(f), согласованная с параметризацией P(f) прямой р, если а+ (Q(0)) совпадает， с геодезической ‘虹⑴.

52 В этом параграфе мы докажем, что если в MQ существует прямая р, то через каждую точку QwM。 можно провести Единственную прямую, параллельную р. Для удобства дальнейшего изложения сформулируем предварительно ряд утверждений из элементарной геометрии в виде лемм, доказательства которых очевидны.

Лемма 1

Усл. АпВСп — последовательность треугольников евклидовой плоскости, у которых длины всех сторон неограниченно увеличиваются при 九一>8； углы, Ап и Сп острые; расстояние от вершины В до стороны А^п ограничено числом М не зависящим от п.

Утв. Предельное значение угла АпВСп равно л.

Лемма 2

Усл. АВСп — последовательность треугольников евклидовой плоскости, у которых длины сторон АСп и ВСп неограниченно увеличиваются при п-> оо.

Утв. Сумма предельных значений углов АВСл и ВАСЛ равна л・

Лемма 3

Утв. В условиях 〃 обозначениях леммы 2 предельное значение угла АВСп равно л/2 тогда и только тогда, когда

lim (АСп 一 BCQ = 0.

Лемма 4

Утв. В условиях и обозначениях леммы 2 предельное значение угла АВСп равно л тогда и только тогда, когда

\im(AB + BCn-ACn) = 0.П-> ОО

Начиная с этого момента мы будем предполагать, что в MQ существует прямая линия р и задана некоторая ее параметризация P(t),

Лемма 5

Утв. Через любую точку Q пространства MQ проходит один 〃 только один луч а+ (Q) и один и только один луч а~ (Q), и оба эти луча лежат на одной геодезической.

Док. (а) Докажем сначала, что через любую точку Q^Af0 проходит по крайней мере один луч а+ (Q) и один луч a~(Q). Действительно, пусть оо — произвольная последовательность чисел. Поскольку р — прямая линия, то

lim P(/“)Q = 8.(1)

П->оо

В силу полноты пространства MQ можно найти такую подпоследовательность чисел 力以於,что существует направление /0> предельное для кратчайших QPQQ* В направлении 友 проведем геодезическую с・ Докажем, что с — луч. Пусть Р — произвольная точка с. Возьмем /г% настолько большим, чтобы QP(tn^ было больше длины Z(P, Q) дуги PQ геодезической с при 几片》/г%. Существование такого числа п^о следует из (1). На кратчайших QP(tn^ возьмем точки 尤仪后 так, чтобы Qxnk — L (Р, Q). Кратчайшие Q%修 сходятся к некоторой кратчайшей QP, имеющей в MQ то、же направление 厶，поэтому кратчайшая QP лежит на с и, следовательно, Р совпадает с Р. Значит, с есть луч a+ (Q), параллельный р в положительном направлении. Аналогично доказывается существование луча a~ (Q).

(Р) Пусть Q — произвольная точка Мо. Покажем, что произвольные лучи a+ (Q) и a- (Q), существование которых доказано в пункте (а), лежат на одной геодезической. Действительно, пусть f^T8 (/-— оо) — последовательности чисел, для кото

рых a+(Q) (a~(Q)) есть пределы кратчайших QP (仪)(QP(%))・

Введем обозначения Р(б2") = Р^, Р 6) = Р[, Р(0) = Ро. На двумерной евклидовой плоскости R2 построим четырехугольник Q‘A；+Rp：J, прикладывая к стороне P；Q‘ треугольника Q‘P；P；+ треугольник Q PaPn~ стороной P；Q‘・ В силу теоремы сравнения (разд. 6.4) углы Q‘P；P；+ и Q‘P；P丁 не превосходят углов QPoPn и QPaPn» Сумма «же последних углов равна л. Следовательно, угол р?Ж- четырехугольника не превосходит л. Угол7>?^7；- также не превосходит л в силу неравенства %+耳+耳%一= =РпРо + РоРп =РпРп < P^Qr + Q'X-. Остальные два угла ^р,а и办:瓦не превосходят л по построению. Таким образом, четырехуголь ник Q’P3Pzp丁 выпуклый. Построим на R2 треугольник Q”P：+p：J с теми же длинами сторон, что и у треугольника QPnPn^ На стороне Р：+Р：~ возьмем точку Р£ такую, чтобы выполнялось равенство Р«Р：+ = Р【Р；・

В силу леммы 3 разд. 6.4 угол Q“P；+pJ не больше угла Q'P；P1 Отсюда следует Q"M &Q'R = QPo. Это означает, что расстояние от вершины Q" до стороны Р： Р： не превосходит QP。. Кроме того, углы Р：+ и Р；~ треугольника Q”P：+P：- при достаточно больших /г — острые. Поэтому к треугольникам Q〃P：+P：一 можно применить лемму 1, в которой утверждается, что предельное -значение угла P：+Q〃P：— равно л. Снова используя теорему сравнения разд. 6.4, мы получаем, что предельное значение угла PnQPn не меньше л, а следовательно, оно равно л. Но предельное значение угла PnQPn совпадает со значением угла между а+ (Q) и a~(Q), которое, таким образом, оказывается равным л. Утверждение пункта (0) доказано. Теперь уже нетрудно доказать остальные утверждения леммы. Пусть aj(Q) и a^ (Q) —два луча, параллельных р в положительном направлении. Возьмем произвольный луч a" (Q). Существование a~ (Q) доказано в пункте (а). Согласно предыдущему пункту, a^- (Q) U ct~ (Q) и 咐(Q) U а~ (Q) — геодезические, и поскольку они имеют общую часть a~ (Q)» то они совпадают. Отсюда следует, что- совпадают и лучи af (Q) и a^(Q)・ Таким образом, единственность луча a+ (Q) доказана. Аналогично доказывается единственность луча a~(Q), а поскольку существование этих лучей уже было доказано в пункте (а), то лемма доказана.

Лемма 6

проходит одна 辽Р-проходит одна 辽Р-Утв. Через любую точку пространства MQ только одна прямая q (Q), параллельная

проходит одна 辽

Р-

проходит одна 辽

Р-

Док. Проведем через точку Q лучи a+(Q) и a~(Q)・ Эти лучи, как это следует из леммы 5, лежат на одной геодезической, которую мы обозначим через g(Q)・ Докажем, что ^(Q) — прямая, параллельная р.

Возьмем на g(Q) произвольную точку В. Пусть для определенности Bwa+(@). Рассмотрим треугольник QBP(t), При кратчайшие QP(Z) сходятся к лучу а+ (Q) вследствие леммы 5. Следовательно, угол BQP (/) при f-*8 стремится к нулю. Отсюда и из теоремы сравнения разд. 6.4 получаем, что угол B,Q,P, (/)треугольника В^Р^ (/) стремится также к нулю при /-*0. Но тогда, применяя к треугольнику B^Pf (/) лемму 2, мы получаем, что предельное значение угла Q，»'P(f) равно л. Поэтому, опять- таки вследствие теоремы сравнения разд. 6.4, предельное значение угла QBP (/) также равно л. Последнее же означает, что луч a+(B)ua+(Q). Отсюда и из леммы 5 мы получаем а~(В)п оа" (Q). Таким образом, q (Q) есть прямая, параллельная р. Единственность же прямой q (Q) легко следует из леммы 5.

Лемма 7

Усл. Пусть gi и ^2— прямые^ параллельные р; Q{^qh Qz^%— точки Al。； Q^2 — кратчайшая^ Р (/) — параметризация прямой р; Р(0) = Р Обозначим через Q±, Q^(Q「QE)предела ные значения углов Р (/) Q1Q2, Р (/) Q2Q1 при / -* оо (/ —> — оо), а через Q{+, Q：+(Q[~, Q2~) предельные значения углов P〈f)Q；Q，, P'(/)Q0； при f-*8 (/-> — 00) треугольника Р彳f)Q：Q：

Утв. Т огда

Qt + Q^ = Q【+ QE = R, Qt=Q：+, Q^ = Q，+,Q「+ Q? = Q「+ Q；- = л, Q『=Q「，Q不=Q『.

Замечание 1. Лемма 7 справедлива и тогда, когда одна из прямых д； или % совпадает с р.

Замечание 2・ Если на q{ и q2 ввести параметризации Q( (/) и Q2O согласованные с P(f), и Qi(0) = Qi, Q2(0) = Q2, то, согласно лемме 5, Q+, Q~ есть углы между Q2Q1 и g心.8)，?2l(_oo.or a Qt，QW есть углы между Q& и %|网 g，仇卜-吟寸'

Утверждения леммы 7 следуют из леммы 5 § 1 и леммы 2*

В этом пункте доказывается несколько утверждений „о перпендикулярности**.

Лемма 8

Усл. q、и q? — прямые, параллельные р; Qyq、，Q^wq、一 точки Л10- Утв. Если кратчайшая QiQ? перпендикулярна одной из прямых, то она перпендикулярна и другой.

Замечание. Лемма 8 справедлива и тогда, когда одна из прямых, qi или %, совпадает с р.

Док. Предположим для определенности, что кратчайшая QiQ? перпендикулярна %• Тогда в обозначениях леммы 7 условия леммы 8 означают, что Q~ = Q+ = л/2 и утверждение леммы следует из леммы 7.

Лемма 9

Усл. qi и q2 — прямые, параллельные р; Qi«) и Q2 (/) — параметр ризации qi и q2t согласованные с параметризацией Р (/) прямой р,

Утв. Если кратчайшая Q】(0) Q2 (0) перпендикулярна обеим прямым qi и 夕2， то кратчайшие Q] (/)Q2(0 "Р〃 любом / есть также общие перпендикуляры к q、и q?.

Замечание. Лемма 9 справедлива также тогда, когда одна из прямых, qi или %，совпадает с р.

Док. Пусть /0 —произвольное число. Будем использовать обозначения леммы 7. Тогда условия запишутся в виде

Q+(0) = Qr(0) = Q-(0) = Q^ (0)=专.(3)

Требуется доказать, что

Qt (^о) = Qf (/о) = Q； (/о) = Q^ (^о) = ^ •(4)

Из (3) и лемм 3, 7 следует

lim (P(0Q2(0)-P(0Qi(0)) = 0.(5)

f -> ± оо

С другой стороны, в силу леммы 5 предельные значения углов Q](/o) Qi(0)P(/) и Q2(O Q2(0)^(0 при /-* ± оо равны нулю. Отсюда и из теоремы сравнения разд. 6.4 следует, что предельные значения углов Q：(幻 Q； (0) Р‘⑴ и Qg (/0) Q2(°)^)треугольников Q；(幻 Q； (。) Р‘《) н «(幻6，(0)「0 при /-* ± оо также равны нулю. Но тогда в силу леммы 4 мы получаем*

lim (Qi (/0) Qi(0) + Qi (幻 P ⑴ 一 Qi (0) P ⑴)=0, e±8(6)

lim (Q2(/o) Q2(0) + Q2 (幻 P ⑴-Q2(0) P ⑴)=0. f 8

Если учесть, что Q, (/0) Q, (0) = Q2 (/0) Q2(0) = /0> то из (10) и (11) следует

lim &2(幻 P(f)-Qi (幻 Р(/)) = 0.⑺

f * ± 8

В свою очередь, из (7) и леммы 3 получаем, что Q；+(%) = = Q；+(fo)=^， а отсюда и из леммы 7 следуют равенства (4). Лемма доказана.

Лемма 10

Усл. q —прямая.

Утв. Для любой точки Sw%, S 亥 g, найдется единственная точка Qwg, такая, что существует кратчайшая QS, перпендикулярная q.

Док. Найдем на прямой q точку Q, такую, что длина кратчайшей QS реализует минимум расстояния от S до прямой q. Существование такой точки следует из соотношения (1). Тогда кратчайшая QS будет перпендикулярна q. Таким образом, существование точки Q с требуемым свойством доказано. Пусть теперь Q{^q — произвольная точка, такая, что кратчайшая SQ{ перпендикулярна д. Проведем через S прямую qb параллельную д. На ^1 и ^ введем согласованные параметризации S(f) и Q(f), S (0) = S, Q (0) = Q. Пусть Qi = Q (幻.Предположим для определенности, что f()》0, тогда, в обозначениях леммы 7, из леммы 8 получаем соотношения

Q+ (幻=Q+ (0) = S+ = Q，+ (幻=Q，+ (0) = S，+ = £,

что с учетом леммы 3 дает

lim (Q (幻 Q(f)-SQa)) = O,⑻

lim (Q(O)Q(f)-SQ(f)) = O.⑼

С другой стороны, имеет место

Q (/) Q(0) = Q (/) Q (幻 + Q (幻 Q (0).(10)

口3 (8)—(10) следует, что Q(O)Q(/o) = O, т. е.

/о = О, QlQ(/o) = Q(O) = Q・

Таким образом, доказана единственность точки Q.

Лемма И

Усл. 91 и q2 — прямые^ параллельные р; точки Qi 三 q&wq? и Р ^ р таковы, что две из трех кратчайших QQ, QF и Q2P есть общие перпендикуляры к прямым, которые они соединяют^

Утв. Третья кратчайшая есть перпендикуляр к прямым, которые она соединяет.'

Док. Введем на р параметризацию Р(/), Р(0) = Р・ Рассмотрим случай, когда кратчайшие Q】» и Q2P есть общие перпендикуляры к прямым 91 и р, соответственно % и Р- Тогда лемма утверждает, что кратчайшая QiQ? перпендикулярна к прямым ql и д?・ Действительно, из условий леммы в обозначениях леммы 7 следуют равенства

<2:=<2了=<^ = <^ = <2；+ = <2:= <2了 = <2ь=^•(11)

Из (11) с помощью леммы 9 можно получить соотношения

lim (Q]P(f) — PP(f)) = 0,(12J

f -> ± 8

lim (Q2 P (f) — PP(f)) = O.(13)

f-> ± 8

Из (12) и (13) получаем

lim (QF(f) — Q2P«)) = 0・(14)

f -> ± 8

Обозначим через Q^, Q^ (Q「，QD предельные^ значения углов P")Q® P")@2Qi при /->oo(/->-oo), а через Q^tQ^ (Qi~, Q『) предельные значения углов P‘ (/) Q；Qg P‘ (/) Q；Q； треугольника P，(t) Q；Q；・ В этих обозначениях из (14) и леммы 3 получаем

守= 8 = 0「员+=*・(15)

Далее, по теореме сравнения разд. 6.4 имеем

Qf>Q；-> 讨?饼+，屯2后，Qt>Q^(16)

А так как

舌+ 0卜区+君=%(17)

то из (16) и (17) следует Qi" = Qf = Q^ = QF = ^~, что и требовалось доказать. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Дадим теперь определение линейной независимости совокупности прямых. Пусть в АГ。 существуют k прямых линий Pi> "2，・・，,Pt- Через произвольную точку Q в силу леммы 6 можно провести k прямых ql (Q), g2(Q), •••>?& (Q)> таких, что прямая qi (Q) параллельна прямой рР Мы будем говорить, что прямые "1，卩2, •・•，Рь пространства MQ линейно независимы, если в М。существует точка Q* для которой система касательных векторов q к прямым g《Q} в точке Q есть линеДно независимая система.

Теорема 9

Утв. Если на римановом многообразии MQ существуют k линейно независимых прямых линий, то MQ есть прямое метрическое произведение евклидова пространства R近 и некоторого риманова многообразия М^.

Теорема 9 при произвольных m доказана в [1], а при m = 2 и k = 1 совпадает с теоремой, доказанной Кон-Фоссеном в 1936 г. [2]. Док. Разобьем доказательство теоремы 9 на две части. В первой части докажем утверждение теоремы при ^ = 1.

Пусть Р — произвольная точка прямой р・ Определим в пространстве Mq множество точек М (Р), обладающих следующим свойством: точка Q многообразия Мо принадлежит М (Р) тогда и только тогда, когда кратчайшая QP перпендикулярна р. Если Р1 и Р2 — различные точки р, то M(Pj) и М (Р2) не пересекаются, .ибо в противном случае для некоторой точки Q две различные кратчайшие QP{ и QP? были бы перпендикулярны р вопреки лемме 11.

(а) Докажем, что М (Р) есть дифференцируемое многообразие. Пусть QwM(Pj, обозначим через ^(Q) прямую, параллельную р и проходящую через Q. Проведем через Q все геодезические, перпендикулярные g(Q)・ Получим дифференцируемое подмногообразие 尸(Q) размерности m— 1, содержащее Q.

Пусть р меньше радиуса инъективности в точке Q (см. разд. 5.2). Обозначим через 7P шар пространства Мо с центром в точке Q и радиуса р. Пусть Z е F(Q) П Гр, докажем, что Z^ М(Р). Проведем через Z прямую g(Z), параллельную р; тогда q (Z) в силу леммы 8 перпендикулярна кратчайшей ZQ・ С другой стороны, кратчайшая QP перпендикулярна р по определению множества М (Р). Таким образом, к кратчайшим zQ QP и ZP можно применить лемму 11. Из этой леммы следует, что кратчайшая ZP перпендикулярна р, т. е. Z^ М (Р) П 7р. Наоборот,- пусть Z 三 Л1 (Р) ("1 Тр. В этом случае по определению M(P), ZP и QP— кратчайшие, перпендикулярные р. Но тогда, снова используя утверждение леммы 11, мы получаем, что ZQ перпендикулярна qQ, т. е. ZwF(Q)・ Следовательно, в достаточно малой окрестности точки Q множества М(Р) и F(Q) совпадают. Поскольку Q— произвольная точка М(Р), то утверждение пункта (а) доказано.

(В) Докажем, что М (Р) есть вполне геодезическое подмногообразие Mq. Для этого необходимо доказать, что любая геодезическая М (Р) есть одновременно геодезическая Мо. Поскольку любую геодезическую можно разбить на столь малые дуги, что каждая дуга будет кратчайшей, То достаточно доказать, что любая кратчайшая М (Р) есть одновременно кратчайшая MQ. Мы докажем даже более сильное утверждение, а именно что всякая

кратчайшая MQ, концы которой принадлежат М (Р), сама целиком принадлежит М (р). Действительно, пусть Q】и Q2 — точки М(Р)・ Проведем в MQ кратчайшую QiQ?. Возьмем произвольную точку QwQQ. Через Q и Qj проведем прямые q(Q) и gi(Q) параллельные р. Поскольку Qi и Q2 принадлежат М (Р), кратчайшая Q1Q2, согласно лемме 11, перпендикулярна 内(Q) но тогда по лемме 8 кратчайшая Q〔Q перпендикулярна g(Q), и, снова применяя лемму 11, получаем, что кратчайшая QP перпендикулярна р, т. е. Q е Л1 (Р). Тем самым утверждение 偉)доказано.

(у) Докажем, что любая прямая д, параллельная р, пересекает М (Р). Действительно, возьмем на q произвольную точку Q. В силу утверждения леммы 10 на р найдется точка Рь такая, чтц кратчайшая QP〔 перпендикулярна р, т, е. Q е Л4 (Pj). Введем на р и согласованные параметризации Р (/) и Q(f) так, чтобы P(0) = Pi, Q(0) = Q・ Пусть /0 — такое число, что Р = Р (/0), тогда лемма 9 утверждает, что Q(/o) М{Р).

(д) Введем на прямой р некоторую параметризацию Р(/). Для любого / множество M(P(f)) есть вполне геодезическое подмногообразие. Таким образом, мы получаем однопараметрическое семейство вполне геодезических подмногообразий. Заметим, что, как это следует из определения М(Р")) и леммы 8, ортогональными траекториями этого семейства служат прямые линии, параллельные р. Отсюда, согласно теореме, доказанной Эйзенхартом (см. [3, стр. 221]), следует, что все подмногообразия М (Р(/)) изометричны друг другу и изометрия осуществляется проектированием вдоль прямых, параллельных р. Введем теперь в Л40 специальную систему координат. Пусть Q е Л40, обозначим через Q точку пересечения q (Q) и М(Р(0)), а через хт — расстояние от Q до Q. Если * /, …，um-1 — координаты точки Q на М(Р(0)), то точке Q сопоставим координаты 以，г?, …，〃ет,彳小.в этих координатах компоненты метрического тензора gim пространства Л40 при i — «1, 2, ..., т — 1 равны нулю в силу ортогональности геодезических, параллельных р, пространствам М (Р (/)). Поэтому основной тензор Л40 можно записать в виде ds2 = g係d"*dd + В ①彳小汽 Далее, в этих же координатах в силу леммы 9 уравнение М (Р{0) есть хт = /. Поскольку, кроме того, все подмногообразия М (Р(/)) изометричны друг другу, то gik при I,左=1, 2,.・.,tn— 1 не зависят от хт (см. [3, стр. 221])・ Коэффициент В, в свою очередь, равен 1, так кэк хт есть длина отрезка прямой линии. Таким образом, мы получаем следующий вид основного тензора Л40:

ds2 = ds； + (办严 У, (18)

где ds；—основной тензор подмногообразия М(Р(0))・ С другой стороны, определим риманово многообразие MQ как прямое мет-

6 5. Строение пространства Мо, содержащего прямые линии 335 рическое произведение прямой линии и риманова многообразия М (Р (0)). _В пространстве Мо можно ввести координаты, сопоставив точке Q(Q, х) координаты и1, и2, 〃吟匕 х, где и1,處…，严т_ координаты точки Q в М (Р (0)). В этих координатах основной тензор Щ можно записать в виде

ds^^ds^ + ^f, (19)

где ds^ — основной тензор М(Р(0)) (см. замечание (ii) разд. 3.1). Если теперь точке Q е Л1о с координатами и1, и2,..., 〃加-* xm со. поставить точку Q с координатами и1, и2, ..., um~l9 х = хт, тр полученное отображение будет в силу (18) и (19) изометричным отображением MQ на Мо. Тем самым теорема 9 при k = 1 доказана.

Пусть теггерь в MQ существует k линейно независимых прямых линий Pi，卩2，.・・, Ра- В силу определения линейной независимости можно считать, что все они проходят через одну точку Р и векторы, касательные к ним в точке Р, линейно независимы. Построим подмногообразие Мх (Р) относительно прямой р】，как это сделано в доказательстве первой части теоремы. Тогда Мо = = Mt (Р) есть (т — 1)-мерное риманово многообразие неотрицательной кривизны, а Мо есть прямое метрическое произведение прямой и Мо. Возьмем произвольную прямую ра, а = 2,...,左,и спроектируем ее вдоль прямых, параллельных рь в пространство Mq. Кривую, полученную в результате проекции, обозначим через 方匸 Докажем, что кривая ра есть прямая линия пространства Л1о« Действительно, пусть в специальной системе координат, введенной при доказательстве первой части теоремы, уравнениями прямой ра будут ,

xm = f (s), 〃‘ =屮‘(s), г = 1, 2,・• •，1,

где s — нормальный параметр, отсчитываемый от Р. Причем, поскольку ра при а》2 не параллельны р〔，то функции <pf (s) не могут при всех t одновременно быть постоянными. Эти функции, как нетрудно проверить, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

爵=о,將+ =0, (20) * ds2 々 7 ds ds ' 丿

где Г*/ — коэффициенты связности пространства М；・ С другой стороны, как это следует из определения кривой ра, ее уравнения есть хт = 0, ^ = ^ (s). Следовательно, кривая 户@ является геодезической в пространстве Мо. Остается доказать, что любая дуга геодезической 户@ есть кратчайшая. Для этого нам необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения.

Пусть q — произвольный непрерывно дифференцируемый путь пространства М), и пусть его уравнения имеют вид 〃:=2‘(s), где s — нормальный параметр. Рассмотрим путь q в пространстве Л10, уравнения которого в специальной системе координат определяются соотношениями хт = as + b9 1^=^(s), где а и & постоянны. На С н g рассмотрим дуги, определяемые неравенствами SiMs忘$2・ Пусть I и / — длины этих дуг. Тогда Z и / связаны легко проверяемым соотношением

р^р + {хт^_хт^(21)

Предположим^теперь, что 夕& не есть прямая линия. Тогда существует дуга Q&2 геодезической 瓦，которая имеет длину &, большую, чем длина 勾 кратчайшей С, соединяющей точки Q〔 и Q2. Пусть на дуге Q〔& геодезической 0a параметр изменяется в пределах от Si до s2- Пусть, далее, уравнениями & будут 储= /(.", где т — параметр, пропорциональный длине, и s{ ^t^s2- Рассмотрим кривую q в пространстве Л10, уравнения которой в специальной системе координат зададим соотношениями xm = f (т) и и1 = ф/ (т). Тогда кривая q будет соединять концы дуги Q1Q2 прямой ра, проектирующейся в дугу QiQ2 геодезической 瓦.Если /2 —— длина д, то из (21) получаем

总= ^ + (/®)-/®))2.(22)

Аналогично, если 1Х — длина дуги QQ прямой ра, то

“* + (/®)-/®))2.(23)

Поскольку Z2Vz1, из (22) и (23) получаем /2 < /ь что невозможно, так как ра — прямая линия. Следовательно, доказано, что проекции прямых % есть прямые 瓦 пространства Мо. Кроме того, нетрудно заметить, что прямые 瓦，а = 2, ..., k9 линейно независимы, ибо в противном случае прямые ра, а = 1, 2, ..., fe, были бы линейно зависимы, вопреки предположению. Таким образом, нами получено пространство 腕，риманова кривизна которого неотрицательна и в котором существует 々—1 линейно независимых прямых линий. Повторяя для Мо рассуждения, которые проведены для Л10, мы получим, что Мо изометрично прямому метрическому произведению некоторого Мо и прямой линии, причем пространство Мо содержит 々一2 линейно независимых прямых линий. Тем самым MQ изометрично прямому метрическому произведению Мо и плоскости R2. Повторяя это рассуждение k раз, получаем доказательство теоремы 9.

Литература к § 5

Топоиогов В. А. Метрическое строение римановых пространств неотрицательной кривизны, содержащих прямые линии, Сиб. мат. журнал, т. V, 6 (1964).

Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М*, 1959,

Эйз енхарт Л. П.» Риманова геометрия, М.» 1948.

УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютная выпуклость 306

строгая 306

Адамара—Картана теорема 221

Асферичность 314

Атлас 9

Бетти числа 284

Бьянки тождества 53

Вариация 140

'—ломаная 123

—собственная 140

Векторное поле 32

•вдоль отображения 63

касательное к многообразию 14

кусочно гладкое 143

левоинвариантное 38

一 一параллельное 67

——полное 297

Векторные поля базисные 33

коммутирующие 35

/-связанные 38

Вертикальное подпространство 58

Вершина треугольника 200

Вложение 22

Выпуклое множество 177

простое 177

Гаусса лемма 155

一 отображение 128

一 уравнения 124

Геодезическая 73

Гессе тензор 109

—форма (гессиан) 109

Гиперболоид 131

Главные кривизны 124

一 направления 124

Голономия (группа голономии) 72

Гомотопическая эквивалентность 260

Гомотопия 71, 260

一(p,g) 217

Горизонтальное подпространство 58 Градиент 108

Деформация 315

Диаметр 231

Дивергенция векторного поля 109

Диффеоморфизм 13

Дифференциал функции 20

Дифференциальная структура 10

Изометрическое отображение 90

Изометрия 90

Иммерсия (погружение) 22

Индекс 166

Индексная форма 166

Интегральный путь 291

Инфинитезимальное преобразование 32

Картана структурные уравнения 65

Карта расслоения 40

—Ферми 133

Касательная компонента 104

Касательное пространство 15

—расслоение 40

Касательный вектор 14

Квазииндекс 166

Келеровы многообразия 286

Кели алгебра 31

Киллинга форма 253

Клингенберга теорема 272

Кодацци уравнения 127

Конформное отображение 10

Координаты нормальные 132

—почти нормальные 132

—Ферми 133

Кратность сопряженной точки 153

Кривизна Гаусса — Кронекера 124

—относительная 124

—риманова 113

一 Риччи 114

— скалярная 114

Кристоффеля символы 103

Критическая точка 23

Кручение (тензор кручения) 50

Лапласа оператор 109

Леви-Чивита параллельный перенос 102

—связность 102

Ли алгебра 35

—группа 28

Линейная связность 48

Леви-Чивита 102

полная 73

риманова 97

Линзовые пространства 236

Линии кривизны 124

Локально симметрические пространства

120

Луч, исходящий из множества 309

Мейерса теоремы 193, 231

Метрическое пространство 174

Многообразие 9

—аналитическое 12

—выпуклое 285

—дифференцируемое 10

—келерово 286

—риманово 88

—топологическое 9

Морса теоремы 166

Морса — Шенберга теорема 193

Накрытие 31

—универсальное 222

Нэша теорема 94

Обращения теорема 20

Однопараметрическая группа 296

Однородное пространство 30

Односвязность 220

—на бесконечности 314

Ориентации гомоморфизм 239

一 накрытие 240

Ориентация 238

Орипространство 306

Ортогональная группа 253

—компонента 104

Основная форма (вторая) 124

Основной тензор второй 124

первый 88

Отображение дифференцируемое 7

二 индуцированное 18

—связности 55

Параболоид 131

Параллелизуемость 41

Параллельный перенос 69

Параметризация по длине 96

Параметрическое представление 96

Поверхность вращения 128

Погружение (иммерсия) 22

Подмногообразие 23

—вполне геодезическое 127

Покрытие вписанное 288

—локально конечное 288

Полюс 220

Поток векторного поля 36

локальный 292

• — максимальный 293

Почти комплексная структура 256

Продолжение векторного поля 33

Проективные пространства 30

Проекция (в расслоении) 40

Произведение Ли 35

——линейных связностей 61

—метрик 89

—многообразий 27

Производная внешняя Картана 54

—ковариантная 48

Пространство путей 144

Путь дифференцируемый 15

—интегральный 291

—кусочно дифференцируемый 96

— нормальный 96

— периодический 73

—регулярный 73

Радиус выпуклости 179

—инъективности 180

Раздела множества 187

Разложение единицы 289

Ранг отображения 20

Распределение 59

Расслоение 29

—ассоциированное 39

—нормальное 135

Расслоенное пространство 32

нормальное 134

Расстояние 174

Рауха теорема 196

Регулярное значение 23

Регулярный прообраз 23

Риманова метрика 88

нормальная однородная 252

Риманово многообразие 88

полное 182

Римановы нормальные координаты 132

Риччи тензор 114

—тождество 98

Росток функции 13

Свертка 54

Связность на бесконечности 305

Сечение расслоения 41

Симметрическое пространство 120

Синга лемма 242

Слой 40

Совмещенность 96

Сопряженная точка 152

Сопряженное множество 154

Спинорная группа 39

Сравнения теоремы 191

Стереографическая проекция 10

Стороны треугольника 200

Струя (spray) 77

— геодезическая 83

Сфера гомотопическая 279

Тензорное поле 49

Theorema egregium 122, 124

Теорема Адамара—Картана 221

—Клингенберга 272

—Морса—Шенберга 193

—Нэша 94

—об индексе 166

—о продолжении 294

сфере 273

—Рауха 196

—Топоногова 201

—Хопфа—Ринова 184

—Шура 119

Теоремы Мейерса 193, 231

—Морса 166

— сравнения 191

Тождества для кривизны ПО

Тор 28

Торовый узел 29

Трансверсальная регулярность 25

Трансверсальное пространство 25

Треугольник 200

— обобщенный 215

Тривиализация 29

Тривиальное расслоение 29, 40

Угловой избыток 167

Угол 89

Уитни сумма 45

Унитарная группа 255

Фазовое пространство 45

Ферми координаты 133

Фокальное множество 154

Фокус 155

Фробениуса теория 37

Фубини — Штуди метрика 255

Фундаментальная группа 222

— матрица 222

Хопфа расслоение 31

Хопфа—Ринова теорема 184

Цилиндр 135

Четырехугольник 200

Шура теорема ПО

Эйлерова характеристика 274, 285

Эйнштейна многообразие 119

—правило суммирования 34

Экспоненциальное отображение 78

Элементарная длина 180

Эллипсоид 131

Эллиптическая геометрия 113

Энергия 145

Якоби поле 146

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика 5

Предисловие 7

Дифференцируемые многообразия и отображения 9

Определение дифференцируемого многообразия 9

Определение дифференцируемого отображения 12

Касательные векторы и касательные пространства 14

Индуцированные отображения 18

Теоремы об отображениях 20

Подмногообразия 22

Произведение многообразий 27

Векторные поля32

Произведение Ли векторных полей35

Касательное расслоение дифференцируемого многообразия . . . . 39

?. Линейные связности・・・ 47

2J. Определение линейной связности 47

Тензор кручения и тензор кривизны 49

Локализация тензорных полей и линейных связностей 51

Отображение связности 55

Векторные поля вдоль отображений 63

Параллельный перенос 67

Геодезические 73

Экспоненциальное отображение струи77

Геодезическая струя линейной связности 83

Римановы многообразия 88

Определение риманова многообразия88

3«2・ Изометрические отображения90

3・3. Длина дифференцируемого пути 95

Риманова связность 97

Связность Леви-Чивита . . . . 101

Тождества для кривизн и скалярные кривизны ,・・*•・・*・・ U0

122⑶ 140146⑸155161166174174177182186⑼191193196200^^^^ ^^ ^^ж ^^^^^^122⑶ 140146⑸155161166174174177182186⑼191193196200^^^^ ^^ ^^ж ^^^^^^

122⑶ 140146⑸155161166174174177182186⑼191193196200^^^^ ^^ ^^ж ^^^^^^

122⑶ 140146⑸155161166174174177182186⑼191193196200^^^^ ^^ ^^ж ^^^^^^

Относительные кривизны

Различные вамечаиия .. V ......

Экстремальные свойства геодезических

Вариации геодезической

Поля Якоби

Сопряженные точки

Лемма Гаусса и ее следствия

Индексная форма геодезической

Теорема Морса об индексе

Римановы многообразия как метрические пространства

Функция расстояния риманова многообразия:..

Выпуклые множества

Полные римановы многообразия

Множество раздела риманова многообразия

Теоремы сравнения

Теорема сравнения индексов

Теорема сравнения Морса — Шенберга

Теорема сравнения Рауха

Теорема Топоногова о сравнении углов ・ *

Связи между кривизной и топологическим строением

, Деформации геодезических

Теорема Адамара — Картава

7«3・ Кривизна и диаметр

Ориентируемые многообразия

Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае четной размерности

Основная теорема теории Морса

Радиус инъективности экспоненциального отображения в случае произвольной размерности

Теорема о сфере

Обзор

Приложение

Вспомогательная функция

Некоторые топологические понятия

Разложение единицы

Теоремы из теории дифференциальных уравнений

Интегральные пути векторных полей ... * *

Максимальный поток векторного поля ,・ * ，

Теорема о продолжении294

Одиопараметрические группы диффеоморфизмов296

Добавление. Некомпактные пространства неотрицательной кривизны.

Л. Топоногов298

Свойства геодезических в полных некомпактных римановых пространствах неотрицательной римановой кривизны299

Выпуклые множества в М+ . . . 306

Радиус инъективности на многообразиях М+ (ЛГ0)310

Диффеоморфность М+ евклидову пространству314

Метрическое строение пространства MQt содержащего прямые линии 326

Указатель 338