Д.А. Супрунен

ГРУППЫ МАТРИЦ

Д.А. Супрунен

ГРУППЫ МАТРИЦ

Д.А. Супруненко

ГРУППЫ МАТРИЦ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5

Глава I

Элементы теории групп подстановок9

Свойства отображений9

Транзитивность13

Импримитивность17

Группы подстановок, имеющие регулярный нормальный делитель.28

Примитивные разрешимые группы

Нильпотентные и локально нильпотентные группы подстановок43

Глава II

Полная линейная группа54

Некоторые определения. Предварительные предложения54

Эндоморфизмы58

Матричное представление эндоморфизма65

Определитель Дьедонне77

Инвариантные подгруппы в GL(M)85

Глава III

Нормальное строение групп GZ(A) и GL(n, Z), w > 294

Нормальные делители предельной полной линейной группы94

Нормальные делители группы GL(n, Z) при п>2. Подгруппы102

конечного индекса

Глава IV

Приводимость и импримитивность119

Абелевы группы с операторами. Строение полупростых алгебр119

Линейные представления. Приводимость и неприводимость линейных 129 групп

Примитивность и импримитивность147

О нормальных делителях вполне приводимых групп161

Некоторые условия полной приводимости линейной группы над171

полем

Глава V

Разрешимые группы матриц179

Приводимые разрешимые группы179

Примитивные разрешимые группы. Ограниченность длины ряда 186 коммутантов разрешимой линейной группы

Максимальные примитивные разрешимые подгруппы полной198

линейной группы

Разрешимые группы матриц над конечным полем227

Разное242

Глава VI

Периодические линейные группы253

Условия конечности линейной группы. Локальная конечность группы 253 матриц над полем

Существование абелева нормального делителя конечного индекса в 266 периодической линейной группе над полем комплексных чисел

Подгруппы Силова полной линейной группы272

Структурные теоремы о периодических матричных группах над полем 288

Глава VII

Нильпотентные и локально нильпотентные группы матриц290

Неприводимые нильпотентные группы матриц290

Неприводимые локально нильпотентные группы матриц305

Приводимые локально нильпотентные группы316

Литература343

Предметный указатель350

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей книге изложены классические результаты о строении нормальных делителей полной линейной группы над телом, теоремы Бернсайда и Шура о периодических линейных группах, теорема о нормальном строении SL(n, Z) при 几 > 2, Кроме того, здесь содержится теория разрешимых, нильпотентных и локально нильпотентных линейных групп. Более полное представление о содержании дает следующий обзор ее глав.

В первой главе речь идет о группах подстановок (конечных и бесконечных). После изложения начальных сведений устанавливается связь теории примитивных разрешимых групп подстановок (не обязательно конечной степени) с теорией разрешимых линейных групп над простыми полями. Здесь же изучаются нильпотентные и локально нильпотентные группы подстановок. Дано, например, полное описание максимальных нильпотентных подгрупп симметрической группы конечной степени. Доказана, в частности, сопряженность максимальных транзитивных нильпотентных подгрупп конечной симметрической группы.

Значительная часть второй главы посвящена теории определителей матриц над телом и строению нормальных делителей полной линейной группы над телом; в основу изложения положены статья Ж. Д ь е д о пн е [1] и книга Э. Артина [1]. Здесь же рассматриваются некоторые свойства эндоморфизмов модуля над ассоциативным кольцом. В частности, устанавливаются перестановочные свойства трансвекций модуля.

В третьей главе описываются нормальные делители предельной полной линейной группы над произвольным ассоциативным кольцом (теорема X. Басса [1] и нормальные делители SL(m, Z), п > 2, (X. Васс, М. Л а - зар, Ж.-П. С э р р [1] и И. М е н н и к е [1]). Предельной (или стабильной) полной линейной группой GL(厶)над кольцом А называется объединение следующей бесконечной возрастающей цепи групп:

GL(1, А) и GL(2, △) и ... и GL (小 А) и ...

В четвертой главе доказывается локальная теорема А. И. Мальцева об условиях точной линейной представимости группы и теоремы Клиффорда о нормальных делителях неприводимой линейной группы. Исследуются свойства импримитивных линейных групп и условия полной приводимости линейных групп.

В пятой главе рассматриваются разрешимые группы матриц над полем. Основное внимание уделено строению примитивных максимальных разрешимых подгрупп группы GL (他 А) для произвольного поля А. Детально рассматривается инвариантный ряд

GnI/nZnFn (EJ (а) где G — примитивная максимальная разрешимая подгруппа группы GL(n, Д), F ——максимальный абелев нормальный делитель G, V ——централизатор F в G, a A/F —— подгруппа фактор-группы G/F, максимальная среди инвариантных абелевых подгрупп G/F, содержащихся в V/F. Ряд (а) однозначно определяется группой G. Изучение ряда (а) позволяет в некоторых случаях классифицировать максимальные неприводимые разрешимые подгруппы GL (小△). Из свойств ряда (а) просто выводятся теоремы Г. Цассенхауза и А. И. Мальцева о линейных разрешимых группах. Построение максимальных разрешимых подгрупп полной линейной группы над алгебраически замкнутым полем сведено к построению разрешимых подгрупп симплектической группы над ко^

вечным простым полем. Приведен каталог максимальных неприводимых разрешимых групп простой степени над алгебраически замкнутым полем. Перечислены также все максимальные неприводимые разрешимые группы простой степени над конечным полем. Устанавливаются условия полной приводимости разрешимой линейной группы. В частности, разрешимая линейная группа над полем нулевой характеристики тогда и только тогда вполне приводима, когда вполне приводима любая ее циклическая подгруппа.

Шестая глава в основном посвящена периодическим линейным группам над полем. Доказывается критерий Бернсайда конечности линейной группы, теорема Шура о локальной конечности периодической линейной группы над произвольным полем, теорема Шура о существовании у комплексной периодической линейной группы абелева нормального делителя конечного индекса. Изу* чаются р-подгруппы Силова и П-подгруппы Силова груп* пы GL (п, △). Приводятся структурные теоремы В. П. Платонова о периодических линейных группах: теорема о сопряженности р-подгрупп Силова в периодической линейной группе, аналог теоремы Шура — Цассенхауза для периодических линейных групп. Рассматриваются свойства линейной группы, уже не обязательно перио* дической, связанные со свойствами характеристических полиномов ее матриц.

В главе седьмой изучаются нильпотентные и локаль* но нильпотентные группы матриц над полем. Здесь пол* ностыо описаны все максимальные локально нильпотент* ньге подгруппы полной линейной группы над алгебраи* чески замкнутым полем. В частности, для алгебраически замкнутого поля Д доказано следующее. Если char Д де* лит число п, то в GL(n, Д) нет неприводимых локально нильпотентных подгрупп, если же char Д = 0, либо char Д=р, но р не делит п, в GLg» с точностью

до сопряженности имеется единственная максимальная неприводимая локально нильпотентная подгруппа. Для алгебраически замкнутого основного поля описаны также полностью максимальные неприводимые метабелевы (нильпотентные класса 2) подгруппы полной линейной группы. В случае произвольного основного поля классификация максимальных неприводимых локально нильпотентных подгрупп полной линейной группы сведена к описанию р-подгрупп Силова проективной группы PGL(pa, А). Для совершенного поля дается канонический вид локально нильпотентных приводимых неразложимых линейных групп.

Теоремы, предложения, леммы и формулы нумеруются в каждом параграфе автономно. При ссылке к номеру теоремы (леммы, предложения) приписывается слева номер параграфа. Например, если теорема 5 из § 7 упоминается не в § 7, то она именуется теорема 7.5. При ссылке на следствие 1 теоремы 7.5 пишется «следствие 7.5.1». Если эта ссылка делается в самом § 7, то пишем «следствие 5.1》.

Автор с благодарностью вспоминает А. И. Мальцева, по настоянию которого была начата работа над книгой. Хочется выразить признательность редактору Ф. И. Киз- нер и моим ученикам: Г. П. Жавриду, В. С. Конюху, Л. П. Луговской, Н. Н. Метельскому, О. М. Нерослав- скому, В. П. Юфереву, помогавшим мне при подготовке рукописи.

ГЛАВА /

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ПОДСТАНОВОК

Свойства отображений

Отображения. Пусть X и У — произвольные непустые множества. Говорят, что определено отображение множества X в множество У, если каждому элементу % 三 r X приведен в соответствие единственный элемент у ее Y.

Отображения множества X в множество У будем записывать в виде f: Х—У, g: X —> У и т. д. Образ множества X при отображении f будем обозначать f(X) или Imf. Запись х1—> у означает, что у — f(x)——образ элементапри отображении f. Если f: X—> У, а

В и У), то L(8) = {%|% 三 X; f (%) м В}.

Два отображения f: X -* У и fi： Xi -+ Yt считаются равными, если X = Xi, У =匕 н для каждого элемента 方 еХ f(x) = fi(x).

Пусть 0 #= Л cr X. Отображение 屮：A -^Y называется ограничением отображения f： X — Y на множестве At если для каждого а^А (p(tz) ~ f(a).-

Ограничение отображения f на множестве Л будем часто обозначать символом f\A. Если Н — какое-либо множество отображений X в У, то символом Н\А будем обозначать множество всех ограничений h\A, h^ И.

Отображение f ： X -^ Y называется инъективным, если для любых элементов %i и х2 множества X

f (无J = f (心)今尤1 =十2

(здесь 今 как обычно, — знак следования).

Отображение f: X —> У называется сюръективным, если для всякого у® У 1~^{У)#= 0.

Отображение f: X — У называется биективным, или биекцией, если оно сюръективно и инъективно. -

Умножение отображений. Пусть f: Х—> У, g: Z—> U, VuZ. Отображение

gf; XfU, %ig(f(x)),

называется произведением отображений g и Д

Под воздействием отображения gf элемент %мХ переходит в g(y), где y = f(x).

Произведение gf двух отображений g и f определено лишь тогда, когда второе множество второго отображения есть подмножество первого множества первого отображения.

Теорема 1. Пусть Д g, h ——такие отображения, что существует хотя бы одно из двух произведений f(g^) или (fg)h. Тогда существуют оба эти произведения w

f(g3=(fg)九⑴

Доказательство. Пусть существует, например, f(gh). Тогда существует gh и, следовательно, g н 九 имеют вид g: Xf У,頁：Z—>U, U и X. Отсюда следует, что gh： Z f: V и Y <^V. Поэтому fg существует и имеет вид fg: X —> 吃 Так как U и X, то существует н (用)瓦

Докажем теперь равенство (1). Очевидно, f (g用): Z^W, (fg)/i： Z^W. Пусть z ^Z, a = f (g用)，匕=(fg)h. Тогда a(z) = f(gh) (z) = f(gh(z))^f(g{h(z))), b(z)= = (fg)/z(?)=fg(用⑶)=/(g(/"z，，)=a(2), b = a. ■

Пусть теперь 2(X) — множество всех отображений X в X. Тогда, очевидно, произведение существует для любой пары отображений из £(Х) и, в силу теоремы 1, £ (X) является полугруппой. Тождественное отображение

е: Xf X,х I—> х,

служит единицей этой полугруппы.

Полугруппу 2(Х) будем называть симметрической полугруппой, действующей на множестве X, а группу S(X) всех ее обратимых элементов — симметрической группой, действующей на X. Всякую подгруппу в S(X) будем называть группой подстановок множества X.

Мощность card X множества X назовем степенью группы подстановок множества X.

Если card Х=п < оо, то будем иногда вместо S(X) писать Sn.

Теорема 2. Отображение из полугруппы £ (X) тогда и только тогда обратимо, когда оно биективно.

Доказательство. Пусть f: X—>Х — биекция. Если % по одному разу пробегает все точки множества X, то f(%) = y также пробегает все эти точки по одному разу. Следовательно, существует gw£(X) такое, что g("=% Очевидно, fg(y)=f(x)=y, g，(x)=g(4=x, т. е. fg = gf = е. Таким образом, из биективности отображения f следует его обратимость в полугруппе £(Х)・

Пусть теперь jwS(X), т. е. в полугруппе £(Х) есть такое отображение g, что fg = gf = е. Для произвольного элемента у множества X fg(y) = е(у) = y,f(g(y))= = у. Следовательно, f — сюръективное отображение. Если 修，％2®Х н f(%l)=f(%2),TOgf(Xi)=gf(X2),e(Xl) = = е(%2), 修=%2・ Доказана биективность отображения f.面

Подобие. Пусть /и£(Х), 5и£(У). Будем говорить, что множество Л подобно множеству В, если существуют такие биекции 丫： X—> У, у: Л —> В, что для любых aw/ н % 三 X верно равенство

屮(a)(Y(x)) = Y(a(x))・⑵

Если

Ф («) = &>Y(%) = U,(3)

то b(y) = y (a (x)) = уау-1 (г/), откуда

& — yay'"1.(4)

Очевидно, совокупность равенств (3) и (4) влечет за собой равенство (2), так что множество Л подобно множе~ ству В тогда и только тогда, когда существует такая биекция 丫： X —> У, что отображение

Ф： А~> В, а уау"1,

также является биекцией. Если множества А и В подобны, то В = уЛу-1.

Представление отображениями. Пусть Л — произвольное непустое множество. Любое отображение

g:Е(Х)(5)

будем называть представлением множества А отображениями..

Два представления g: Л -+S (Л) и /匚 А-+£(У) будем называть эквивалентными, если существует такая биекция у: X —► У, что для любых а ^ Ау 尤 wX верно равенство

%(a)(Y“)) = Y(g(a)(x)).⑹

Положив у = у(х), из (6)получим

/? (а)匂)=Yg ⑷ 丫一】匂)，Л (а) = Yg (а) Y」

Следовательно, множества Irn g и Im /г подобны.

Ниже рассмотрим два таких представления полугруппы (в частности, группы), одно из которых есть гомоморфизм, а другое — инверсный гомоморфизм.

Регулярное представление. Пусть N — полугруппа с единицей 1. Каждый элемент а этой полугруппы определяет два отображения:

и&: Л /1, х ах, 尤三」4, и

%： А ~■^ /1, X 1■ X W Л*

Введем два представления:

九：Л—> £(/!),&'―.

и■

р: АS (Л),а1

Представление 九 назовем левым регулярным представлением полугруппы Л, а р ——ее правым регулярным представлением.

Теорема 3. (i) ^ и р ——инъективные отображения^ причем 九——гомоморфизм^ а р——инверсный гомоморфизм.

Im р ——централизатор полугруппы Im X, a Im 九 —— централизатор Im р 0 S(/l).

Доказательство, (i) Рассмотрим, например, р. Пусть р(а) = р(Ь)； а,Ь 巨 Л： Тогда та — ть, та(1) = ть(1), а ~ Ь. Следовательно, р—инъективное отображение. Далее,

Р (&Ь) ^^ <ab，， Lb (%)== x(ib =乙(х) b = т^т Q (х). Значит,

таь = тьтв) p(a6) = p(6)p(a). '

Аналогично устанавливаются инъективность отображения 九 и равенство 九(а^)= Х(а)Х(Ь).

Положим Im % =力入，Im р = Лр.Пусть Z(4入)一 централизатор множества 力入 в полугруппе 5(Л). Для а.Ь^А

%”(х) = акЬ =(-V),

следовательно, Z(A^ =)Лр. Для cpwZ(/l儿) 屮u"=u工中，中%⑴=%中⑴，

или ф(х) = хс, где с = q)(l). Отсюда

中(%)=霓(幻， 屮=%， 中自4，2(身)= 4.

Аналогично доказывается равенство Z(4p)= 4*.整 Следствие 1. Если А — коммутативная полугруппа с единицей, то Im 九 = Im р — максимальная коммутативная подполугруппа 8 2(Л).

Следствие 2. Если А ——абелева группа, то [т 入 = = Im р — максимальная абелева подгруппа в S (Д).

Теорема 4. Левое регулярное представление полугруппы Л с единицей эквивалентно ее правому регулярному представлению тогда и только тогда, когда Л коммутативна.

Доказательство. Для коммутативной полугруппы Л

% (#) ^^ QX = XQ = Т”(X), Па = Ха.

Пусть, с другой стороны, у: Л -+ Л — такая биекция, что для любого А % = усгаУ"1. Тогда 匕丫 = уо* taY(l) — Wa ⑴.ПОЛОЖИВ 丫 ⑴=С, ПОЛуЧИМ

%(c) = Y(&), Y(a) = ca, Y = %・ Далее,

% = Y一LY = Y7Y%=T ①

Для 6 е Л

G“(b) — ab, тй (^) ~~ Ьа* Значит» ab = Ьа, Л — коммутативная полугруппа. В

Транзитивность

Орбиты. Пусть Г — группа подстановок множества X, Установим в X бинарное отношение /?, положив для 尤，ywX xRy тогда и только тогда, когда в группе

есть такой элемент g, что g(x) = у. Так как Г — группа, то R — отношение эквивалентности. Пусть теперь

X=UXa， aw/,(1)

— разбиение множества X, определяемое этим отношением. Тогда множества %, aw/, назовем орбитами группы Г. Если группа Г обладает только одной орбитой, т. е. для любых х, у w X xR財 то будем называть эту группу транзитивной. Если же card / > 1, то назовем группу Г интранзитивной. Если A cz X, g и Г(Д) =4, то Г|Л будем иногда трактовать как подгруппу S(Д), совпадающую с Г на Л, a g|Л — как элемент S(4), совпадающий с g на Л.

Будем говорить, что две группы G〔 и G2 подстановок множества X имеют один и тот же орбитальный тип, если существует такая биекция 屮：X—*X, которая переводит всякую орбиту группы G1 в орбиту группы G2.

Пусть s, t S (X),也 w X. Если t (修)=® то

s/sfs “J) = S(%2)・

Отсюда следует, в частности, что если (1)—разбиение множества X на орбиты группы Г, то X=Us(Xa), aw/, — его разбиение и а орбиты группы sFst. Следовательно, сопряженные подгруппы группы S(X) имеют один и тот же орбитальный тип.

Циклы подстановок. Цикленный тип. Пусть а ^ S (X), а 犬仪 ——одна из орбит циклической группы (а). Тогда ограничение аа = а\Ха называется циклом подстановки а. Мощность card Ха называется длиной цикла tza.

Ясно, что любая орбита группы (а) есть множество вссЕ точек вида %& = а九(％。), 6 = 0, ±1, ±2, ..., х° w X. Отсюда следует, что длина любого цикла конечна или счетна. В последнем случае Xk =# %i, если 6 =# 厶

Если группа (а) транзитивна, то подстановку а назовем полным циклом.

Очевидно, в группе S(X) лишь тогда есть полные цикль^ когда множество X конечно или счетно.

Если лишь одна орбита группы (а) имеет отличную от 1 мощность, то подстановка а называется циклической.

Будем говорить, что подстановки а и b из S(X) имеют один и тот же цикленный тип, если циклические группы (а) и (力)имеют один и тот же орбитальный тип.

Теорема 1. Две подстановки группы S(X) тогда 〃 только тогда сопряжены s S(X), когда они имеют один и тот же цикленный тип.

Доказательство. Пусть а и b — подстановки из S(H), и пусть b = taL, где fwS(X). Тогда 他)= = /(〃)尸L Как отмечалось выше, сопряженные подгруппы имеют один и тот же орбитальный тип. Следовательно, а и b имеют один и тот же цикленный тип.

Необходимость доказана. Установим достаточность. Пусть подстановки а и & из S(X) имеют один и тот же цикленный тип. Тогда есть такая подстановка ср из S (X), Что для любой орбиты Xq, а ^ /, группы (а) множество (р(Ха) является орбитой Уа группы (&), Очевидно, Card Xq Card Уд, Ха — {^ka I %&а〃' (％<х) }， Уа

={勿а1%а =挟(％)}・〃』Х каждого 竄三/ ПОСТрОИМ биекцию /а： Ха —► %,/а т* %а・ Теперь построим такую биекцию /; X fX, что /|Ха = /а для любого а е /. Тогда tat-1 = b. Действительно, для любого ^々а 三 丫“ нмеем 'а’т (勿а) — £а'Т£(/а) = 'а (%Еа) = ^ (办+ 1, а)=

=力 + i, а ='(勿а)* ■

Кратная транзитивность. Пусть Г — группа подстановок множества X, a Uh — множество всех таких точек (%i, ..., Xk) декартова произведения Х& = X X ... X X, что Xi # %, при i ^ j. В частности, если cardX = п—■ натуральное число, то card Uk = n(n—1)...(九 —— 々+1). Зададим в Uh бинарное отношение Rk, положив aR&b для элементов а =(丸 ...,/), & =(玖，...,yQ множества и* тогда и только тогда, когда в группе Г есть такой элемент g, что g (修)=Pt, f = 1, .,,, k. Очевидно, при k = I Rh совпадает c R, заданным выше. Очевидно также, что Rh есть отношение эквивалентности.

Группу Г назовем k раз транзитивной, если для любых двух точек a, b е и^ aRkb.

Группа Г, действующая на множестве X, определяет изоморфную ей группу ® подстановок g множества U館 подстановке gw? соответствует 旦三5(〃)по формуле

g(a) = (g(x) • • •, g(/)), а = (х” ...，冲)三。&「.

Очевидно, группа Г тогда и только тогда 尼 раз транзитивна, когда группа ® транзитивна.

Стационарная подгруппа. Пусть Г — группа подстановок множества X, а а ——фиксированная точка этого множества. Множество Гя всех элементов группы / Г, оставляющих точку а неподвижной, является, очевидно, подгруппой. Подгруппа Га называется стационарной прЗ- группой группы Г, или стабилизатором точки а в группе Г.

Теорема 2. Пусть Ха ——орбита группы Г, awX© Га ——стационарная подгруппа. Для каждой точки xwX^ выберем з группе Г одну такую подстановку gx, что gx (а) = х. Тогда Г = U §хГа, х е Х。,——разбиение группы Г на левые смежные классы по подгруппе Га.

Доказательство. Пусть g — произвольный элемент группы Г. Тогда g(〃)=尤三 Ха. Очевидно, g『gwPa， gWgJa，

С другой стороны, классы gji и gyTa при различных х И у ИЗ Ха различны, ибо gxra(£Z)=尤，gyra(fl) = у. ■

Следствие 1. Порядок группы подстановок конечного множества делится на мощность любой ее орбиты. В частности, порядок транзитивной группы подстановок конечного множества делится на ее степень.

Следствие 2. Порядок k раз транзитивной группы натуральной степени п делится на число п(п——1).. < ,一(枕一左+ 1).

Теорема 3. Пусть Х« — орбита группы Г, а Яа — семейство всех стационарных подгрупп Га, где a w X* Тогда система всех различных подгрупп из семейства 驚а есть класс сопряженных подгрупп группы Г.

Доказательство. Пусть 〃三 Х«, g 三「Рассмотрим группу gfag-L Так как 爲一орбита группы Р, то g(a) = b ^Ха. Далее, gFagT(b) = Ь, значит, glhgT и и Гь. Так как gf (力)=а, то

gTI'guPa, 口 Ugl\g7, rft = grag-'.

Отсюда вытекает, что семейство А« вместе с группой Га содержит и gFagT и что любые две подгруппы из 冤 сопряжены в группе Г. ■

Следствие 1. Если Г ——транзитивная арумма, а Я —семейство всех ее стационарных подгрупп, то мно-

盹сете。всех различных подгрупп из этого семейства есть класс сопряженных в Г подгрупп.

Следствие 2. Пусть Г — группа подстановок, все подгруппы которой инвариантны, Ха ——одна из ее орбит. Тогда для любых а, b Ха Га = Гь.

Группа подстановок называется регулярной, если она транзитивна, а ее стационарная подгруппа совпадает с единичной.

Следствие 3. Транзитивная группа подстановок, все подгруппы которой инвариантны, регулярна.

Следствие 4. Транзитивная группа подстановок множества X, все подгруппы которой инвариантны, &е содержится в другой группе подстановок этого множества, все подгруппы которой инвариантны. В частности, абелева транзитивная подгруппа группы S (X) максимальна среди абелевых подгрупп S(X).

Следствие 5. Порядок транзитивной группы подстановок конечного множества, все подгруппы которой инвариантны, равен ее степени.

Импримитивность

Системы импримитивности. Пусть Г — транзитивная группа подстановок множества X. Если существует разбиение

Х= UK。， ам/,(1)

множества X ), удовлетворяющее следующим условиям:

card / > 1;

существует такое a w/, что card Ха > 1;

для любых а е /, g三 F найдется такое ре/, ЧТО g(Xa)uX|3,

то (1) называется разбиением множества X 〃а системы импримитивности группы 1\ а группа Г——импримитив- ной. Если же такого разбиения не существует, то группа Г называется примитивной.

Лемма 1. Если (1)——разбиение множества X 〃а системы импримитивности группы Г, то все множества Х*

имеют одну и ту же мощность. Для а 三 /, g 三 Г* существует такое 0 三厶 что

g(Xa) = /.(2)

Доказательство. Рассмотрим g(Xa). Согласно (iii) g(Xa)uXb 0 м/, и, значит, Ха сг^-ЦХр). Если 尤wg(Xa), то 且一“引已乂办 Отсюда и из (iii) вытекает g~i(XB)uXa・ Следовательно, (2) доказано. Так как группа Г транзитивна, то для любых у, 6 м / в ней есть такая подстановка 儿 что h(Xy) с= X》В силу (2)厶(乂丫)— =Хб, значит, множества XY и 凡 равномощны. И

С л едет в ие 1. Транзитивная группа подстановок простой степени примитивна.

Теорема 1. Дважды транзитивная группа подстановок примитивна.

Доказательство. Пусь Г—импримитивная группа подстановок множества X, (1)—разбиение этого множества на системы импримитивности группы Г, а, ауХ» 6 已 Х^, а 老 ％, а #= 0. Если бы группа Г была дважды транзитивной, то в ней нашлась бы такая подстановка g, что

g(a) = a,(3)-

g(%) =氏(4)

Из (3) тогда следовало бы g(Xa) = Xa, а из (4)— g(Xa)=X(3・ Полученное противоречие доказывает теорему.

Заметим, что разбиение множества X на системы импримитивности группы Г определяет некоторый гомоморфизм этой группы. Действительно, введем отображение

<Р： г-> s(/), gig, g(a) = 6，если g(^a) = Xp. (5)

Очевидно, ср — гомоморфизм; будем его называть гомоморфизмом, определяемым разбиением (1). Ядро этого гомоморфизма Кег <р состоит из всех таких подстановок goWF, что go (Ха) = Ха для любого а е /. Так как F транзитивна, то 1m <р является транзитивной подгруппой группы S(/)・

' Для фиксированного ai е / с разложением (1) свяжем две следующие подгруппы:

"% = {g I g 三 °，S (Xcq) = Xa),"色 U F,

尸cq = "a J X%,尸％ U S (Xa)

Пусть {ga}, aw/, — такое множество элементов из Г, “7。Sa(Xa)=Xa' Т°гда

r = U g/aj a三/,

—разбиение группы, Г на левые смежные классы по Н%・

Действительно, при a 声 0

нбо ga"a,(X%) = Xa，g^H^ (XJ = Хр. Если теперь gw г, TO g (Xa)=Xa при некотором aw/. Далее, g--'g- (Х%)=X%. Следовательно, g~lg е На , g^ gaHa>. В

Отметим, что Fai — транзитивная подгруппа группы, S (X J Это следует из транзитивности группы Г и определения группы 尸 aj

Критерий примитивности.

Теорема 2. Транзитивная группа тогда и только тогда примитивна, когда ее стационарная подгруппа максимальна.

Доказательство. Пусть Г — транзитивная группа подстановок множества X, a 三 X, Га — стационарная подгруппа в Г, и пусть Га не максимальна в 1\ т. е. существует промежуточная подгруппа U:

Га, F，и, U，Га.

Выведем отсюда импримитивность группы Г. С этой целью напишем разбиение группы Г на левые смежные классы по подгруппе U:

F=UgaU=UUa， Ua = ga°， Cl 三人 ⑹

я положим Ха=4(а). Так как группа Г транзитивна, то

Х= UXa， aw/・(7)

Покажем, что (7) — разбиение,Т- е. что Ха А Х^ = 0 при а * 卩. Действительно, пусть и (а) — и(а), 〃三 〃，。& 丘 Uy Тогда и~^(а) = а, u^.v ^ Га, им иГа и 〃. Последнее противоречит разбиению (6). Итак, (7) — разбиение. Покажем теперь, что (7) — разбиение на системы импримитивности группы Г, Рассмотрим g(Xa), gw г：

g (XJ = gU^ (a) = gga。(a) = gpU (a) = %(〃) = *歹 т. e.

： g(Xa) = X~(8)

Так как U=#Fa, то card Xa > 1； U=#F, следовательно, card / > 1. Отсюда и из (8) вытекает, что (7) — разбиение множества X на системы импримитивности группы Г.

Обратно. Пусть Г — импримитивная группа. Докажем существование промежуточной подгруппы U:

FnUnl% Г* U, U Гд. (9)

Пусть a wX&, где Ха — одна из систем импримитивности группы Г. Введем множество U всех таких подстановок ^ ^ Г, что /z(Xa) = X&. Так как Г ——транзитивная группа, %仪 声 {о} н % 声 尤 то U — промежуточная между Г и Га подгруппа. (9) доказано. В

Следствие I. Регулярная группа подстановок либо импримитивна, либо имеет простой порядок.

Следствие 2. Транзитивная группа подстановок, все подгруппы которой инвариантны, почти всегда им- примитивна. Исключение составляют группы, порядок а степень которых есть одно 辽 то же простое число.

Следствие З. Стационарная подгруппа симметрии ческой группы максимальна.

Из первой части доказательства теоремы вытекает Следствие 4. Пусть Г ——транзитивная подгруппа

8 S(X), &wX, а Га — стабилизатор точки а о Г. Если U ——такая подгруппа группы Г, что F n U п Ра, F =# U, U =# Г©, то U (а)——одна из систем импримитивности группы Г.

Продолжение разбиения на системы импримитивности. Пусть Г — импримитивная группа подстановок множества X,

X = их© а』/, X = и у旷 В W в (Ю)

—два разбиения множества X на системы импримитивности группы Г. Если каждое множество У^ является истинным подмножеством некоторого множества 儿，т0

второе разбиение называется продолжением первого. /Лемма 2. Если для какого-либо Bi е S

(11)(11)У* и a】w /，(

(11)

(11)

—строгое включение, то второе разбиение (10) есть продолжение первого.

Доказательство. Пусть 0 三 В. В силу транзитивности группы Г в ней есть такая подстановка g, что g(Y0)= y0. Из включения (11) следует, что

加=g(厶3ug(X5)=儿，ае/,

— строгое включение. Н'

Если для некоторого разбиения множества X на системы импримитивности группы Г нет продолжения, то Оно называется непродолжаемым.

С помощью группы Fap введенной в начале параграфа, сформулируем одно условие непродолжаемости разбиения на системы импримитивности.

Лемма 3. Первое из двух разбиений (10) тогда м только тогда непродолжаемо, когда группа Fa[ прими- тивна^

_ Доказательство. Пусть второе из разбиений (10) есть продолжение первого. Тогда

ХдПУз, ₽,еВ,(12)

Положим

Н ~{h\h 力(%)=几3

Тогда, так как Ха( — одна из систем импримитивности группы Г, то из (12) следует

〃U〃a； = {gig wl\ g(XaJ = Xj}・

Группа FU| транзитивна, следовательно, И \Xaia FO| — строгое включение. Если теперь у} е Урр а (^а.^ ~ стабилизатор точки у】в группе 尸内，то (尸％)弘 и/7 |Х%— тоже строгое включение. Согласно критерию примитивности 尸а】 импримитивна.

Обратно, если 尸％ импримитивна, то первое из двух разбиений (10) продолжаемо. Действительно, пусть 户a

импримитивна, а У^ — одна из ее систем импримитивности. Положим

u = WI口w/^, "(几)=加工 Тогда

尸S n U П (Ех)а，

где (尸％)а — стабилизатор а®У^ в группе Faj, причем оба включения строгие. Положим

U = {u\u^V, 〃(Xa) = Xj, и\Хщ^ V}.

Тогда для стабилизатора Гй точки а в Г имеем rnUnFa， где оба включения строгие. Очевидно, U (а) = ¥自・ Следовательно, У% — система импримитивности группы Г. Так как У&иХсц и включение строгое, то, в силу леммы 2, первое разложение (10) продолжаемо. Ш

Очевидно, что если множество X конечно^ то для любой импримитивной подгруппы в S(X) существует не- продолжаемое разбиение множества X на ее системы импримитивности.

Импримитивные группы и сплетения. Среди импри- митивных групп подстановок отличаются особой «правильностью» группы, получаемые с помощью сплетения транзитивных групп. Определение сплетения групп под-' становок принадлежит Л. А. Калужнину (см. Кал уж- нин[1], [2], [3]).

Дадим определение сплетения групп подстановок. Пусть X = / X В — декартово произведение множеств Л и В, card Л > 1, card В > 1,尸一группа подстановок множества A, G —группа подстановок множества В, а П — множество всех отображений 冗： 3—*Е Каждую пару h =〈g,冗〉,где gwG,冗 三 П, отождествим с отображением.

h: Х^ХУ % =(Q,力)~(%S), g(B)), % = н(Ь), (13) a^A, УВ

На множестве П введем аддитивную операцию +, положив ДЛЯ 冗1,冗2 W n,力 w 5

(h1 + 冗2)(匕)=片f2,flJI](力)，『2 =h2 (匕)。

Тогда 〈П,+〉一группа, изоморфная полному прямому произведению у экземпляров группы 尸,где v = card Bt

Очевидно, для g 三 G, л е П произведение отображений 冗g существует и ng е П.

Лемма 4. Пусть g, gi w G, л, м w II. Тогда

〈g，n〉〈gl，%〉=〈ggl，嚙 + 顶〉，

Доказательство. Положим h =也咕,/и к —(^ь Тогда, согласно (13),

hh^a, b) = h (щ(Ь)(а\ % (力))=(冗gi (力)％ (力)S), ggi(3) =

= ((^i + Щ)(Ь)(а\ ggi(^)) =〈ggi，冗g【+%〉(〃，力)• ■

С помощью леммы 4 легко заключить, что совокупи ность всех отображений h =〈g, л) является некоторой подгруппой группы S(X). Действительно, в силу леммы 4 эта совокупность есть полугруппа с единицей (е, 0〉，где е — единица G, а 0 — нуль (П, +〉. В силу той же леммы.

〈g, n〉T =〈gT, -ngT〉・

Группа всех отображений /z =〈g, л) называется полным сплетением групп F и G и обозначается F Wr G.

Лемма 5. Группа F Wr О обладает'таким нормальным делителем 加,что

(FWr G)AV^G,

jV ——полное прямое произведение v экземпляров группы F, где v = card В.

Доказательство. Рассмотрим отображение

Y： F Wr G —> G,〈g, л) g.

В силу леммы 4 отображение у — сюръективный гомоморфизм. Очевидно, Кег у = ^ = {〈е, л)}. Следовательно, W£ G) IN * G. Согласно лемме 4 〈仇冗〉〈仇冗。= =〈е, к 工冗)Отсюда N а (П, +'). Н

Следствие 1, Если card Л = ц, card8 = % где р, w V — натуральные числа, то F Wr G — группа подста* новок порядка (card G) (card F)v степени 卩婚.

С помощью формулы (13) легко проверяется

Л е м м а 6, Группа F Wr G тогда w только тогда транзитивна, когда транзитивны обе группы F и G.

Пусть группы F и G транзитивны. Положим для b w В Хь =力 X А Тогда, очевидно, X =\) Хъ, b В,― разбиение множества X на системы импримитивности

группы F Wr G. В этом случае группа G описывает то, как перемещает F Wr G системы импримитивности, а 尸——описывает действие F Wr G внутри системы импримитивности.

Следующая теорема показывает, что любая имприми- тивная группа подстановок содержится в полном сплетении двух групп.

Т е о I)е м а 3. Пусть Г — импримитивная подгруппа группы 3(У), У = U 丫^，а® Л一разбиение множества У на системы импримитивности группы Г, (р: Г -*S(/)— гомоморфизм, определяемый этим разбиением. Для фиксированного Ki е / положим

〃 ={们九wF,无(Уа) = У0, F = H\Ya^ G = Im(p.

Тогда Г является подгруппой полного сплетения FWrG.

Доказательство. Положим Д = Уа|< Для каждого aw/ выберем в Г одну такую подстановку g^，“то g(10\)=匕1，a gaj =仇 Каждоейа三% представимо в виде 4化=自口(仪),〃三 4. Положим y&=(a, а). Тогда У& = /1 X и. Следовательно. У = /1 X /, Как мы видели выше (см. начало параграфа), {ga | а е /}—полная система представителей левых смежных классов группы Г. ио подгруппе //. Для у ^Y, и w Г можно написать

и(д) = 0(a,①=唳但，色-g丸m，aj, (14)

где ha w H, Положим 九=九 | %「Тогда из (14) получим

DG/) = g0〃a(a‘ aj = g/a(s aJ=gR(fa(a), a)=

= (fa(a), 6)=(faS),(p(u)(a)),(p®)w G・

Следовательно, v(af a) =〈g,冗〉(a, a), где g =Ф(у)» n: I F, a %. Такнм образом, и = (g,冗)三尸 Wr G. ■

5. Нормальные делители транзитивных групп.

Теорема 4. Пусть Г — транзитивная группа подстановок. множества X, а Н ——ее отличный от (е) интранзи- тивньш нормальный делитель. Тогда разбиение множества X на орбиты группы " является его разбиением на системы импримитивности группы Г.

Доказательство. Пусть X = U Xa, a w /,——разбиение множества X на орбиты группы ". Так как "*(е), то существует такое а е /, что cardXa > 1. Так

как группа Н интранзитивна, то card / > 1. Остается показать, что для g 三 F

g(Xa)u/, а, ₽еЛ (15)

Если аь bt^g(Xa)t то s = g(a), b【=g® где a,b w 巨儿；"=九(а)，где h^H. Далее,也=ghg~^ 三 Я, Л1(А1)=仇， Qi, 6i w 乂仇 Отсюда следует включение (15). В

Следствие 1. Отличный от (е) нормальный делитель примитивной группы подстановок транзитивен.

Следствие 2. Отличный от (е) абелев нормальный делитель Н примитивной группы подстановок—характеристически простая группа, т. е. в Н нет нетривиальных характеристических подгрупп.

Доказательство. Пусть 尸一нетривиальная характеристическая подгруппа группы Н. Согласно предыдущему следствию 尸一транзитивная абелева группа, В силу следствия 2.3.4 группа F максимальна среди абелевых подгрупп симметрической группы. Последнее про・ тиворечит строгому включению F и ". 覇

Следствие 3. Аддитивная группа ассоциативного тела характеристически проста.

Доказательство. Пусть Т — ассоциативное тело. В симметрической группе S(T) выделим подгруппу Г, состоящую из всех подстановок f вида f(x) = ах + р, х, а, 0 三 7, а #= 0. Очевидно, Г — дважды транзитивная группа. Согласно теореме 1 группа Г примитивна. Все подстановки h вида h(x) —x-j-т, х,т7', составляют абелев нормальный делитель Н группы Г. По предыдущему следствию группа Н характеристически проста- Очевидно, наконец, что аддитивная группа тела Т и группа Н изоморфны. ■

Теорема 5. Транзитивная группа подстановок Г, имеющая отличный от (е) центр, почти всегда имприми- тивна. Исключение составляет случай, когда порядок и степень группы Г есть одно и то же простое число.

Доказательство. Пусть Г — примитивная группа, Z — ее центр, Z =/= (с). Согласно следствию 4.1 группа Z транзитивна. Для любого gw「(g)z — транзитивная абелева группа. По следствию 2.3.4 (g)Z = Z, g ^Zr Г = Z. В силу следствия 2.2 порядок и степень группы Г есть одно и то же простое число.題

Следствие 1. Если множество X содержит не же- нее трех точек, то группа S(X)——без центра.

Пусть Г — транзитивная подгруппа в V(X), Н — ин- транзитивный нормальный делитель в Г, а X = U Х〃， а е /, — разбиение множества X на орбиты группы Я* Введем транзитивные представления га группы Н:

Га： 〃-S(XJ hfha = h\Xq・(16)

Систему всех орбит 儿 группы Н разобьем на классы, относя Ха и Хз к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда представления га и г^ эквивалентны. Объединяя орбиты каждого класса, получим разбиение множества X:

X=U%,九 еК,(17)

где К—множество всех классов, %=11儿，&三/仪, / = U /%,九 е К, а га и гр тогда и только тогда эквивалентны, когда индексы аир принадлежат одному и тому же /%. При этих обозначениях справедлива

Теорема 6. (i) Группы Н& = Н'Х* aw/, попарь НО Подобны.

Если cardK> 1, то (17) есть разбиение на системы импримитивности группы Г.

Доказательство. Пусть а, 0 三 /. Докажем .су* ществование такой биекции у:儿一>々，что

% = Y"(1Y-1.(18)

Так как группа Г транзитивна, то в ней есть такая подстановка g, что g(Xa) = X©. Построим отображение

Y： Xaf Хр, Xa —g(x) = X|T

Очевидно, у — биекция. Любую точку 尤①三犬。запишем в виде 尤6 = 丫(工0),Х@. Для Ла е На можно напи

сать

Y力aY~l (%) = Т力a (%a) = g〃(%a)=万Y(%a)=万(")=万0 (外)， где h — ghg~lt % =历 |*0三"0. Следовательно,

Y鱼Y7 三"伊 yHay~lczH^

Меняя местами а с р, у с у1 н g с g-"1, находим

Отсюда вытекает (18), а равенство (18) означает подобие групп "а 0 ”В・ ⑴ доказано

Докажем (ii). Пусть два представления г。и ^В эквивалентны. Тогда, по определению эквивалентности, существует такая биекция у: X^f Хр, что для любого hq Н

%(九)=Y％ (九)Y「

" 0 = Y九《Y7，(19)

где ha = h\Xa, /ip = h\X^. Пусть теперь g 三 Г, g(X&)= =Xa, g(XB)= X「Покажем эквивалентность представлений r0 и г『С этой целью построим отображение

f: XG->Xx, f; g (尤a)f g(Y“a))，(2Э)

где 尤& — произвольная точка из Ха. Очевидно, что f — биекция. Положим х0 = g(xa), h — g~^hg для любого h 三 Н, йа = h\Xa. Тогда из (19) и (20) получим следующие равенства, верные при любом h^ Н:

hj (%)=九"(g (ха)) = hxg (у (xa))=hg (у (xa))=gh (丫 (％))= =g施(Y (%)) = gY石aYT(Y (%)) = gY百а (%) = gY石(％)=

=f (g (无(%а))) = f (九g (%а))= М (ха) = Ма (%о)・

Отсюда

〃/=限，hx = fhorl

для любого h^ Н. Следовательно, представления г0 и гт эквивалентны. Отсюда вытекает, что для любых 为三 К 0 g三G

g(%)u%(21)

при некотором 卩 三 К. Из (21) следует, что (17) — разбиение множества X на системы импримитивности группы G. Я

Так как группа G транзитивна, то вместо (21) можно написать ^(Ух) = Уц. Если Ух = U Ла> а 1^ то % = Ug(Xa), aw/入.Таким образом, справедливо

С л е дствие 1. Мощность множества орбит груп- пь! Н, входящих в У入,одна и та же для всех 九三 К. Иными словами, все представления г。имеют одну и ту же кратность^

Следствие 2. Если card / = m < оо, то число не* эквивалентных представлений га делит число т.

Теорема?. Примитивная группа подстановок имеет 〃е более одного отличного от (е) абелева нормального делителя..

Доказательство. Пусть Н и 尸 ——отличные от ，е) абелевы нормальные делители примитивной группы подстановок. Согласно следствию 4」"и F — транзитивные группы. Рассмотрим пересечение D = Н Г\ F. Возможны два случая: D = (е) и D =^= е. Если D = (е), то HF——абелев нормальный делитель, содержащий группу Я. В силу следствия 2.3.4 HF = Н、F и Н, что противоречит равенству О = (е). Если же О=/=(е), то, по следствию 4」,D ——транзитивная группа. По следствию 2.3.4 D = Н, D = Г w, значит, Н = F.饑

Группы подстановок, имеющие регулярный нормальный делитель. Примитивные разрешимые группы

Регулярные группы. Пусть F——регулярная подгруппа в S(N), а 0——некоторая фиксированная точка множества X. Зададим биекцию

九:XfR a-厶，%(0)="・⑴

С помощью этой биекции на множестве X зададим операцию +, положив для a,b X

а+Ь^Ш^-(2)

Тогда это множество станет аддитивной группой 〈X, +〉， изоморфной группе F. Полагая в (2)方=尤，найдем %(х) =〃 + % для любого % 三 X. Отсюда и из (1) вытекает, что отображение 厶 есть левое регулярное представление группы〈X,+〉. Следовательно, доказана

Лемма 1. Всякая регулярная группа подстановок есть образ левого регулярного представления.

Лемма 2. (i) Изоморфные регулярные группы подстановок множества X сопряжены в S (X).

) Пусть + 〃 +1 ——групповые операции на множестве X, у:〈X,-)-〉т〈Х,+1〉一* 〃золюр力〃з陷九：(X tS(X, и 储：(X, -]- !)—>S(X)——левые регулярные представления групп〈X, +) и〈兑 +/ G = ImA, G = 1用肌 Тогда G = Y6尸.

- Доказательство. В силу леммы 1 из (ii) следует (i). Докажем (ii). Положим 九(&)=帥，斯伍)=g必 Для ga^ G и X 三 X

gaY (%) =。+ iY“) = Y(Y「i ⑷ + ») = Y(gL ⑷(》))•

Следовательно,

gaY = Ygv-t (a), ga=Yg「⑷Y一'， 0 = Y6Y一. El

Очевидно, образ регулярного представления любой группы — р^^лярнан группа подстановок. Поэтому, если 4 — такая абстрактная группа, что card 4 = card X, то в группе S(X) есть, согласно лемме 2, единственная с точностью до сопряженности регулярная подгруппа 尸， изоморфная группе А. С помощью формулы (2) группа.尸 определяет группу (X,十〉，изоморфную А.

2. Теорема о централизаторе транзитивной группьь

Теорема 1. Пусть 8 — транзитивная подгруппа группы *(Х), а С — централизатор группы В s S (X).

Если группа С транзитивна, то В ^ С и на множестве X можно задать такую групповую операцию +, что группа В окажется образом левого регулярного представления группы 〈X,十〉，а С 一一 образом правого регулярного представления группы〈X, +\.

Если группа С интразитивна 辽

Х = и 儿，ам/,(3)

—разбиение множества X на ее орбиты, то для любого а 巨/ представление га: C-*S(Xa)( f / |Ха> является точным и для любых а,卩三/ представления г“ и 广廿 экви- валектньк

До казательство. Пусть группа С транзитивна, а 巨 X, Ва — стационарная подгруппа группы В. Для любого л:巨 X в группе С есть такая подстановка f, что f(a) = х. Если g е Вп> то gf = fg, gf(a) = fg(a), g(x)= = f(a) = % Ba = (e). Тогда В ——регулярная группа. Согласно лемме 1 на множестве X можно задать такую групповую операцию 十，что группа В окажется образом левого регулярного представления группы (X, Ц-). Тогда, по теореме 1.3, С — образ правого регулярного представления группы〈X, +〉. Отсюда следует, что группы В и С инверсно изоморфны, (i) доказано.

Пусть теперь группа С интранзитивна. Тогда С — интранзитивный нормальный делитель группы Г = ВС. Если С = (е), то утверждение (ii) тривиально. Пусть С =# (е). Тогда, согласно теореме 3.4, (3) — разбиение множества X на системы импримитивности группы Г. Пусть е — фиксированный индекс из I. Так как группа В транзитивна, то для любого а 三 / можно выбрать в ней такую подстановку 痂，что ga(X^ = Ха. В качестве g& возьмем е. Пусть теперь f ^С. Тогда，(篇)=篇・ ПолоЖИМ fa = f I Ха=Га (0, Ya=ga I 几.ОчеВИДНО, 丫&： Х「>Х。— биекция. Для 尤仪 三 %а ха = ga (尤号)=V<^e)- Далее, г a (f) Ya (/)= faSa (/) = fSa (-^e) = gaf (/) = Ya(% (力(/))* Отсюда ra(f)Ya(/) = YaG(f)(/)) Д^я любого /三凡・ Следовательно, представления ra и г6 эквивалентны.

Итак, представления ra, ct 三/, попарно эквивалентны. В частности, если для каких-либо a 三 / н /еС %(/)=九 совпадает с тождественной подстановкой %eS(X) то и Гр(/р) = ^, т. е. f = e. Следовательно, каждое представление % точное.圍

Следствие 1. Централизатор С примитивной подгруппы В группы S(X) 8 S(X) почти всегда совпадает с (е). Исключение составляет случай, когда card X = =р — простое число, а В — группа порядка р, '

Доказательство. Пусть С =# (е). С — нормальный делитель примитивной группы ВС, поэтому, согласно следствию 341, С — транзитивная группа. В силу теоремы 1 группа 8 регулярна. По следствию 3.2.1 В — группа простого порядка и простой степени р. ，■

Следствие 2. Пусть С — централизатор транзитивной подгруппы 8 группы S (X) 8 S(X), a Н — подгруппа 8 С.

Если группа Н транзитивна, то 〃 = С.

Если группа Н интразитивна и X = U Х^, aw/, — разбиение множества X на ее орбит% то представления 尸a： Н -+5(^), /и—> h\Xaj ам/, попарно эквивалентны и точны.

Доказательство, (i) непосредственно вытекает из теоремы 1, (ii) доказывается так же, как в теореме 1. ■ Следствие 3. Если h — подстановка из группы S(X), перестановочная с каждой подстановкой транзитивной группы 5, то ее циклы имеют одну и ту же дли-

ну. В частности, если card XV 8, т。порядок подстановки h делит card X.

Лемма 3. Пусть транзитивная подгруппа Г группы S(X) представима в виде произведения 「="尸 таких своих подгрупп Н и F, что Н интранзитивна 以 взаимный коммутант (",尸)равен (е). Пусть, далее,

X=UXq, aw/,(4)

—разбиение множества X на орбиты группы ", а 厂々： "—>S(X&), 『a(/z) =^|Xa・ Тогда представления 『々 попарно эквивалентны.

Доказательство. Так как группа Н инвариантна в Г, то (4) — разбиение множества X на системы импримитивности группы Г. Пусть а и р — произвольные индексы из /. Тогда в F есть такая подстановка f^ что^(Ха) = Хр. Положим ф = /р|^а- Очевидно, что Ф： Ха -> Хр—биекция. Для %々巨 Х© 右巨"можно написать Г ° (力)(①(%a)) =「卩(力)(％(%a))=力必(%a)=出 0("a)= ^^(x^f^^x^^f.r^h))^^. Следовательно, r^{h)(p = =口％(力)・ Эквивалентность ra и 邛 доказана.題

Группы, имеющие регулярный нормальный делитель. Пусть F — регулярная подгруппа группы S(X), N — нормализатор F в S(X), 0 — нуль группы (X,+〉 (см. формулы (1), (2)), а No — стабилизатор* точки О в N* Тогда верна

Теорема 2 (теорема о голоморфе), (i) N = FNs

No = Aut(X, +〉一 группа всех автоморфизмов группы (X, + )•

Для любого автоморфизма 屮 группы F в No есть такой элемент go, что 2(f) = go，g^ при всяком f W尸.

Доказательство, (i) следует из теормы 2.2. Докажем (ii). Пусть go w М» Тогда для а,力巨〈X,+〉

go(a) = gofa (0) = gofag「(0)=力(0) = с, go (b) = go% (°) = fa (°) = d,

^ fc = gofago'> fd = Sofbgoi- Далее,

go (a + b) = gQ(fafb (0)) = g(/jg丁 (0)=

=fjd (0) = c + d = go ⑷ + go 传)・

Следовательно, goWAut(X, +〉，N^ cz Aut (Л\ +). Пусть теперь 屮三 Aut〈X, +). Тогда

屮(0) = 0,屮(。)=%斗厂 У。)к b = % (°),где 〃，b 三 X, %, % 三 F. Докажем, wfo для любого % w X

q 九屮t“)= L (无％(5)

Положим х =(р(у), у ^ X. Тогда

^fa^1(%)工屮厶匂)=^fafy(°)=

=屮@ + //)=屮⑷ + 屮(У)= 6 + % = fb U).

Равенство (5) доказано, следовательно,屮厶屮一1=九曰尸 при любом q? из Aut〈X,+〉， т. е. 屮 三 N. Так как (р(0) = (0), то 屮三 TV。，Aut〈X,+〉иМ・ Отсюда и из предыдущего включения следует M = Aut〈X,+).

Остается доказать (iii). Пусть 屮一автоморфизм группы 尸，а х пробегает множество 尤 Если 屮(底)= =/制 то отображение ф： х •—> х — автоморфизм группы 〈X, 4), ибо (I)—изоморфизм групп〈Х,+〉и F. В силу (ii)午V А% Следовательно,

2(%) = /ф(х)，⑹

где 中三 Az(l. Далее,

屮九中—(°)=中(％)=厶(%)(°)・⑺

Так как f.i(x) и ц}хц)^ — элементы регулярной группы F, то из (7) вытекает равенство q〕九中々=九(*)• Отсюда и из (6) следует

屮(/*)=屮％屮т，В w Nи* ■

Из теоремы 2 вытекает

Теорема 3. Пусть Г — подгруппа группы S (X), содержащая регулярный нормальный делитель R а 〈X, +)—группа, определяемая формулами (2). Тогда

Г = ГоЛ尸 П Го=(2), где Го — стабилизатор

нуля 0 группы〈X, + ) в Г,

Го — подгруппа s Aut(X, +).

Введем одно определение. Пусть Л ——произвольная группа, а Н—подгруппа в Aut4 Подгруппа В группы Л называется Недопустимой^ если 九(В) =8 для ка?кдого h нз Н. Подгруппа Н в Aut Л называется не-

j 4] ПРИМИТИВНЫЕ PАЗРЕШИЛ1ЫЕ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 33 приводимой, если единственными Недопустимыми подгруппами группы Л являются Л и (е).

Теорема 4. Подгруппа V группы S(X), содержа- ■ щая регулярный нормальный делитель F, тогда и только тогда примитивна, когда Го (см. теорему 3)—неприводимая подгруппа группы Aut〈X, +). В частности, нормализатор N регулярной подгруппы 户 в S(X) тогда и только тогда примитивен, когда F характеристически проста.

Доказательство. Пусть Г == ^Го импримитив- на. Тогда, по критерию примитивности, в Г есть промежуточная подгруппа U, f п U п Го, F*=# U 耍 Го- Положим F} = U (\ F. Тогда Q=#(e), F}=^F и для g е Го gUgT = и. Следовательно, для любого g 三 Го

g/gT = E・(8)

Положим теперь X] — V^FJ (см. отображение (1)) и покажем, что Х{ является Го-допустимой подгруппой в〈X, +). Для MwXi н g 三 Го можно написать

g(/)= gf$(Q) = g厶g-' (0) = 〃(0) = *2，

где 葭у в силу (8), принадлежит подгруппе Л. Следовательно, %2^Хз а Л\ есть Го-допустимая подгруппа группы〈X, +〉.

Обратно, пусть в группе〈X,+) есть нетривиальная Го-допустимая подгр^шпа Х「 Положим Fi = X(Xi). Очевидно, что Fi ——промежуточная между F и (е) подгруппа. Для g 三 Xi, g 三 Fo

gfyg~] (°) = gfy (°) = g(y) = Ui 三 X卜 Следовательно,

g%g- = %w%(X|) = 3， т. e.

:gEg-‘ =居.

Значит, FJ'o — подгруппа в Г. Очевидно, ^)Г0 ——промежуточная между Г и Го подгруппа. По критерию примитивности 3.2 группа Г импримитивна. ■

Доказанную д^рему можно сформулировать, не прибегая к группе〈尤 + ):

Пусть Г — группа подстановок, имеющая регулярный нормальный делитесь F、Г1 — какая-либо ее стационарная

2 Д. Ач ,Супруненко

подгруппа, Н — группа всех автоморфизмов h группы 尸 вида

2 = gjgr， 81日Г1，『白尸・

Труппа Г тогда и только тогда примитивна, когда Н — неприводимая подгруппа в Aut F,

Примитивные группы, имеющие абелев нормальный делитель.

Теорема 5. Пусть 尸 ——отличная от (е) абелева подгруппа группы S(X), ^ — ее нормализатор в S(X), А и В — примитивные подгруппы в Л7, содержащие группу 尸,力о, В。, ^o — стационарные подгруппы групп Д, В, ^, оставляющие неподвижной одну и ту же точку О ^ X. Группы А и В тогда и только тогда сопряжены в S(X), когда Ло и Во сопряжены в ^o.

Доказательство. Из примитивности группы А вытекает, в силу следствия 3.4.1, транзитивность группы F. Отсюда и из коммутативности группы 尸 следует ее регулярность (см. следствие 2.3.3). Тогда, согласно теоремам 2 и 3,

^ —- FN。，Л =尸4，В = FBq,(9)

Если в группе ^o есть такой элемент и, что vAov^ = Во, то, используя (9), получим

vAv~x = vFAqv~1 = vFv~1vAqV~1 = FB0 = В.

Обратно, пусть в группе S(X) есть такая подстановка г, что гАг^ = В. Тогда rFf1 — абелев нормальный делитель в В. Согласно теореме 3.5 rFr^ = F, Следовательно, г w М В силу (9) г = и厶 где и w ^oJ f w F. Тогда

rAr~x = vAv~{ = FB0.

Очевидно, стационарная подгруппа группы vAv~l, оставляющая на месте точку 0, совпадает с группой vAqv^. Следовательно,

В。= и/оО」■

Теорема 6. Пусть Г u G — две такие примитивные подгруппы 8 S(X), что каждая из них обладает отличным от (е) абелевым нормальным делителем. Тогда изоморфизм групп Г и G влечет за собой их сопряжен^ ность в S(犬)，

Доказательство. Пусть ①=/= (е) — абелев нормальный делитель группы Г, a F =/= (е)——абелев нормальный делитель в G. Так как Г и G — примитивные группы, а Ф и F — абелевы, то, согласно теореме 3.4, ф и F суть регулярные подгруппы в S(X). В силу теоремы 3 Г = ГоФ, G = GgF, где Го и Go — стационарные подгруппы групп Гиб. Пусть теперь 屮：Г-> G — изоморфизм. Тогда 屮(①)一абелев нормальный делитель в G, совпадающий, по теореме 3.5, с группой F. Значит, Ф F. Согласно лемме 2 в группе S(X) есть такая подстановка /, что /Ф/-1 = Е Положим Л =

=/Г/-1; Л ——примитивная группа, изоморфная группе G. По теореме 3 Л = ЛоЛ где Ло — стационарная под

группа группы 4 Если 屮：4 -> G — изоморфизм, то, согласно теореме 3.5, q)(F) = F. Следовательно, q)|F—■

автоморфизм группы Е Пусть теперь ^ — нормализатор группы F в S (X). Тогда ^ = NqF, где М— стационарная подгруппа группы N. По теореме 2 в группе М есть такая подстановка d, что для любого f ^ F q)(f)= = dfd~^ Построим теперь изоморфизм у: 4—>у(4), Xi—> d~l(p(x)dt В силу выбора d ограничение у|£ является единицей группы Aut F. Для любых f w F, а е Л

имеем

(Ю)(Ю)а/@т w F.

(Ю)

(Ю)

ОтсюдаОтсюдаY(a)—(a厂1 =a2-1.Y(a)—(a厂1 =a2-1.(Н)(Н)

Отсюда

Отсюда

Y(a)—(a厂1 =a2-1.

Y(a)—(a厂1 =a2-1.

(Н)

(Н)

Следовательно, для любого fwF а-1у(а)/ = }а~1у(а). Согласно следствию 2.3.4 a~ly(a) е F. Далее, у(а) = =Q” fi w F, у(/1) = y(4F) = AqF = 4 С другой стороны, y(4) = d~^(A)d = d-〔Gd. Следовательно, 订/-"^ Л d~^Gd. ■

Если отличная от (е) абелева группа F является нормальным делителем примитивной группы, то F характеристически проста. Характеристически простые абелевы группы легко обозримы.

Лемма 4. Аддитивные группы линейных пространств над простыми полями и только они являются характеристически простыми абелевыми зруппами).

■ Доказате ль с т в о. Если 4—характеристически простая аддитивная абелева группа, то, очевидно, веб отличные от нуля её элементы имеют один и тот же простой порядок р, либо А—группа без кручения. Ясно, что в первом случае А — аддитивная группа лн・ немного пространства над полем ©F(p), содержащим точно р элементов. Рассмотрим второй случай. Очевидно, уравнение тх = па, где т и м—произврльные целые числа, m > 0, имеет в 4 единственное решение. Положим — а=х. Прямые вычисления показывают, что А с введенным таким образом умножением на рациональные числа ——линейное пространство над полем рациональных чисел. '

С другой стороны, полная линейная группа GL(V) всех обратимых линейных преобразований пространства V над любым полем транзитивна (см. гл. II, § 7), так что аддитивная группа линейного пространства характеристически проста. В -

Известно также, что абелева группа тогда и только тогда характеристически проста, когда она изоморфна аддитивной группе некоторого поля.

Лемма 5. Пуст^ V — линейное пространство над простым полем А, а 4 ——аддитивная группа пространства V. Тогда Aut А совпадает с полной линейной группой GL(V).

Доказательство. GL(V) состоит из всех таких биекций g: V -* V, что для любых х, у 三匕 九三 А g(x + у) =g(x) +g(g), g伍X)=入g(x). Следовательно, GL ”)и Aut А,

Верно и включение Aut4 cz GL(V). Действительно, пусть 工三4,九三 А, ф Aut А. Если А — простое поле простой характеристики, то Кх = 1х, где / — целое число, зависящее только от 九.Следовательно,屮(入х)= =屮(/%) = /屮(％) = ^q)(x), tp е GL(V). Пусть теперь Д—простое поле нулевой характеристики, т. е. поле рациональных чисел, а 九，0. Тогда %=丁， где 々 и (—целые числа. Положим Ах = у. Ясно, что kx = ly, ф(^х) = ф(/у>» ^Ф(х) = l^(y)t Ф(у) = X(p(x)t q)(lx)= >=Лф(х), q> е GL(y). ■

,Очевидно, что линейное пространство V #= (0J над полем Д тогда и только тогда не имеет подгрупп, не яв- ляющйхся подпространствами, когда А — простое поле простой характеристики. Следовательно, если Л — аддитивная группа линейного пространства V над А, 丁。для &= GF(p) класс всех неприводимых подгрупп группы Atit Л совпадает с классом всех неприводимых подгрупп группы GL(V) *), а для Д = Q/ где Q~поле рациональных чисел, класс неприводимых подгрупп группы Aut Л строго включается в класс неприводимых подгрупп группы GL(V),

Теорема 7. Пусть Г — примитивная подгруппа 8 s (X), обладающая абелевым нормальным делителем 尸声(е). Тогда'.

, (i) F изоморфна аддитивной группе некоторого лилейного пространства У над простым полем Д и состоит из всех параллельных переносов fa пространства V,

faM^x + а, a, x^V = X, % 三尸；

Г = Го尸，Го Л F = (е), где 0 — нуль аддитивной группы (X, +У пространства У, а Го — стабилиза- 1тор точки 0 8 Т;

Го ~ подгруппа в GL(V), неприводимая как подгруппа в Aut (X, +〉**).

Д ока з а т е л ь с т в о. Из примитивности группы Г следует транзитивность группы F. Отсюда и из коммутативности группы F вытекает ее регулярность. В силу теоремн 4 группа F характеристически проста. Отсюда и из леммы 4 следует (i). (ii) вытекает из теоремы 3, (iii) следует из теоремы 3, теоремы 4 и леммы 5. S

Примитивные разрешимые группы. Применим теперь полученные результаты к разрешимым примитивным группам подстановок. Пусть Г — разрешимая примитивная подгруппа в S(；X)・ Тогда, в силу разрещимо- сти^ Г обладает отличным от (е) абелевым нормальным делителем F (см.： Ку рощ： [1], стр. 361). Следовательно, к группе Г применима терр^ма； 7, т. е.

：? . r = r0F, , (12)

■ *) 0 неприводимых линейных группах см. § 14；：

**). ;Как уже отмечалось, для. Д —Q неприводимости, Го как подгруппы в 6Д(У) недостаточно. _ , ,「 - - , ； ' ♦、

38 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ПОДСТАНОВОК [ГЛ. I где 尸一группа параллельных переносов некоторого линейного пространства V над простым полем А, Го — стабилизатор нуля 0 аддитивной группы 〈X,十〉пространства V в группе Г. Согласно теореме 7 Го—подгруппа в GL(V), неприводимая как подгруппа группы Aut〈X,十〉.Укажем один способ задания всех примитивных разрешимых подгрупп группы S(X).

Обозначим буквой 班 = {Да}, aw/, класс всех таких характеристически простых абелевых групп Да, что card Да = card X. Для каждой группы 24a 三班 построим на базе X аддшивную группу〈X,十《〉三儿 и регулярное представление Ха:〈X,十《〉一* S (X). Положим Fa = Im Ха. Пусть, далее, ®а—класс неприводимых разрешимых подгрупп группы Aut〈X,十《〉такой, что каждая неприводимая разрешимая подгруппа группы Aut〈X, +а) сопряжена в Aut〈X, +а) с одной и только одной подгруппой из класса ®а. Так как, по теореме 2, Aut〈X, +а) содержится в нормализаторе группы 尸а в S (X) , ТО ДЛЯ ГОа 三⑤а '

F = r^F а (13)

является группой. Пусть 耽《 — класс всех групп вида (13). Положим

耽=U2«a， а^/. (14)

Теорема 8. (i) Каждая группа из класса 耽 является примитивной разрешимой подгруппой s S(X).

Любая примитивная разрешимая подгруппа группы S(X) сопряжена s S(X) с одной и только одной группой из класса 5W.

Доказательство. Пусть F w 耽.Тогда согласно (13), Г = ГОа5а, ГОа е®а. ГОа — разрешимая подгруппа группы Г, а 尸《 ——абелев нормальный делитель, поэтому Г — разрешимая группа. По теореме 4 группа Г примитивна, ибо ГОа 一 неприводимая подгруппа группы Aut〈X, +а).⑴ доказано.

Перейдем к (ii). Докажем сперва, что две различные группы В и С из класса 2R не сопряжены в группе S(X). В силу (13) и (14) B = HaFa，C^G^F^ где 〃а®⑤a，Gp е®^ и для а =# Р 尸а異户队 Согласно теореме 3.5 сопряженность групп В и С в S(X) влечет за собой сопряженность групп Fa и 尸即 Поэтому при

崂 4] ПРИМИТИВНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 39 а #= Р группы В и С не сопряжены в группе S(X)・ Пусть теперь а = р. Группы 儿 и G，по построению класса ®а, не сопряжены в группе Aut (X, +а). Поэтому, по теореме 5, группы В и С не сопряжены в группе S(X).

Остается теперь доказать, что всякая примитивная разрешимая погруппа Г группы S(X) сопряжена в S(X) с какой-нибудь группой из класса Ш?. Согласно теореме 7 Г = r0F, где 户一регулярная абелева подгруппа группы S(X), Го — неприводимая разрешимая подгруппа в Aut (X, +), а 〈X, ,〉— группа, определяемая группой F с помощью формулы (2). По построению класс 21 содержит группу Аа ^ F ~ (X, +). Следовательно, для некоторого aw/ 〈X, + ) 4〈X, -|-а). В силу леммы 2 в группе §(Х) есть такая подстановка и, что и: (X, + ) —＞〈X, +а)——изоморфизм, а 尸a = 〃尸〃Т. Если теперь М = Aut(X, +), то uNou~l = Aut〈X, +a). Тогда

иГи~1 = uTQu'~lFat По〃т и Aut〈X, +a).

иГои~1 — разрешимая неприводимая подгруппа группы Aut〈X, +a)・ Следовательно, иГои-1 сопряжена в Aut〈X, -|-a) с некоторой подгруппой из класса ⑸处 Тогда, по теореме 5, группа 〃Г『 сопряжена в S(X) с одной из групп класса Э?а. И

В связи с доказанной теоремой отметим, что для любого aw / (см. (14)) подкласс Ш?а не пуст. Действительно, характеристически простая группа Аа изоморфна аддитивной группе некоторого поля Q (см. замечание после леммы 4). Следовательно, в подклассе 耽？ есть группа Г всех отображений вида

g%,м•: Q Q，ёк,卩(％) 入％ + 卩，％，九，卩三 Q, л ^ 0. (15)

Добавим, наконец, что в случае разрешимых групп теорема 6 принимает следующий вид.

Теорема 6а. Если две разрешимые примитивные подгруппы группы S(X) изоморфны, то они сопряжены 8 s(X). '

6. Примитивные разрешимые группы конечной степени.

Т е о р е м а 9. Пусть X — конечное множестве. В группе S(X) тогда и только тогда есть примитивные

40 , ЗЛЕМВДТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ПОДСТАНОВОК (ГЛ. Г. разрешимые подгруппу гсогда card X — степень простого числа.

：Д о к а з а т е л ь ст в о. Пусть card X = m, а Г — примитивная разрешимая подгруппа в Sm. Согласно теоремам 7 и 8 в группе Г есть абелев нормальный делитель F порядка /и, являющийся аддитивной группой линейного пространства над простым полем £. Следовательно, 2 = GF(p)t где р — простое число, т = рп.

Обратно, пусть card X =吸 Возьмем в качестве множества X поле А = GF(pn). Тогда группа всех подстановок вида (15)——примитивная разрешимая подгруппа группы S(X)t ■

"Лемма 6. Примитивная разрешимая группа Г тогда 〃 только тогда максимальна среди разрешимых подгрупп группы S(X), когда Го (см. (12)) максимальна среди разрешимых подгрупп группы GL(V). Если Г 〃 G—— примитивные разрешимые подгруппы группы S(X) и Gn Г, то абелев нормальный делитель группы Г является нормальным делителем группы G. '

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение леммы. Группы Г и G запишем в виде Г= =尸То, G = HGQt где 尸 и Н — регулярные абелевы нормальные делители； а Го и Go ——стабилизаторы точки 0 в группах Г и G соответственно. Очевидно; Г П // ——нормальный делитель группы Г. Следовательно, в силу теоремы 3.7, либо ГП Н = F, либо Г П /7 — k I, В первом случае Н п F, а отсюда и из регулярности групп 〃 н F н вытекает равенство // = F. Покажем невозможность второго случая. Пусть Г Г\ Н — I. Тогда построим группу U=H[ и запишем ее в виде U,= HU*、где Uo ——стабилязатор точки 0 в 〃. Так как Г П Я = 1, то Uq изоморфна группе Г. Следовательно, Uo обладает абелевым нормальным делителем порядка рп = card X. В силу примитивности U группа UQ — неприводимая подгруппа группы GL(ntp) = GL(V)t где У есть п-мерное линейное пространство над GF(p). По первой теореме Клиффорда (Теорема 16.1) Uo не может обладать нормальным делителем порядка рп, Следова- тёльно, второй случай невозможен.

Теперь легко доказать первое утверждение леммы. Если Г— максимальная прймитивнай разрешимая пор：

группа в S(X), то, очевидно; Го максимальна среди раз^ решимых подгрупп в GL(V). Обратно, пусть Г = SI% Гб — максимальная разрешимая подгруппа ； в GL(V)t а 尸и G,，где С — разрешимая подгруппа в S(X). Тогда, согласно ' Второму утверждению леммы, G = FGo и F — нормальный делитель группы G. Следовательно, GL(V) о Gon Го. Из максимальности группы Го вытекает Go = Го, G =^= Г. И

Если Г -^ примитивная разрешимая подгруппа в S (X), card X = рТ F =# (е) — абелев нормальный делитель в Г, то, как отмечалось выше, группу 〈X, +} можно трактовать как аддитивную группу пространства Sn над полем 2 = GF(p). Тогда группа F становится группой всех параллельных переносов fa вида

fa = a + х, а,尤 w

пространства £'. Согласно теореме 8 Г = ГоЛ где Го — разрешимая неприводимая подгруппа в группе GL(£"). Отсюда и из теорем 7 и 5 вытекает

Теорема 10. (i) Группа

Г = 53 (16)

где F — группа параллельных переносов пространства X", 2 == GF(p)t а Л — неприводимая разрешимая под-группа группы GL(^n)t является примитивной разреши^ мой,подгруппой симметрической группы S。％

■ (ii) Любая примитивная разрешимая подгруппа группы Sp修 сопряжена в Spn с одной из групп вида (16).

Две примитивные разрешимые подгруппы Г = =AF и Ф ~ BF вида (16) тогда и то/ько тогда сопряжены 8 группе Syt, когда группы А и В сопряжены

Группа (16) тогда и только тогда максимальна среди разрешимых подгрупп группы 5卩胃,когда группа А максимальна среди разрешимых подгрупп группы

Теорема 10 полностью редуцирует проблему постррения примитивных разрешимых подгрупп группы Spn к построению непрдводимух, рдзрёщимнх. подгрупц груйпы GL(S4). …—

В случае групп простой степени, т. е. при п = 1, вопрос полностью решает

Теорема 11. (i) 8 группе SP есть лишь одна^ с точностью до сопряженности, максимальная разрешимая транзитивная подгруппа ГР. Порядок группы ГР равен р(р — 1); она состоит из всех подстановок %в вида

万邺(%) = 6% + % a, Р, xwGF(p), 00.

) Пусть т = т(р — 1) — число всех положительных делителей числа р — 1. Тогда система всех разрешимых транзитивных подгрупп группы Sp разбивается на т классов сопряженных е Sp подгрупп, Представителями этих- классов служат группы Г@,$, s|p——1 *), s > 0； порядок группы ГР, з равен ps, она состоит из всех подстановок hs вида

hs (х) = р s % + а, а, В，% 三 GF (р), Р =И= 0.

Доказательство. Теорема следует из теоремы 10, ибо при п = 1 пространство £' сводится к 2 = = GF(p), а группа GL>) —к группе подстановок в% да ^(х) =₽х, B，xwGb(p), 0*0. Кроме того, согласно следствию леммы 3.1, транзитивная группа подстановок простой степени примитивна. В

Импримитивные разрешимые группы конечной степени. Пусть 0 — какое-либо абстрактное теоретико-групповое свойство, удовлетворяющее следующим условиям:

Если группа обладает свойством 0, то ее подгруппы и гомоморфные образы также обладают этим свойством.

Если нормальный делитель N группы Г и факторгруппа ГЖ обладают свойством 0, то и сама Г обладает этим свойством.

Группы, обладающие свойством 0, будем называть здесь 0-группами. 0-группами являются, в частности, разрешимые группы и П-группы. 宀

Теорема 12. Пусть Г — транзитивная подгруппа группы Sn, максимальная среди ее В-подгрупп (свойство 0 фиксировано). Тогда либо Г примитивна, либо Г = F Wr G, где F — максимальная примитивная д-под- группа группы S^, G — максимальная транзитивная Q-подгруппа группы Sj, /ли = 〃, 1 <； / <； п.

Утверждение теоремы следует из определения 0-группы и теоремы 3.3.

Выбирая в качестве свойства 0 разрешимость, получим, учитывая еще теорему 9

Следствие 1. Максимальная разрешимая транзитивная подгруппа Г группы Sn либо примитивна, либо Г = F Wr G, где F — максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы S^a, G ——максимальная транзитивная разрешимая подгруппа группы S；, ра/ = — п, р ——простое число, а а — натуральное.

Выбирая в качестве 0-групп П-группы, получим

Следствие 2. Транзитивная Т[-подгруппа Силова Г группы S^ либо примитивна, либо Г = F Wr G, где F — примитивная Yl-подгруппа Силова группы Sm> G — транзитивная Т[~под группа Силова группы S；, ml = n, 1 < / < п.

Так как конечная р-группа, где р ——простое число, имеет нетривиальный центр, то из теоремы 12 и теоремы 3.6 вытекает

Следствие 3. р~подгруппа Силова ^ра группы Spa представима s виде

■ 2 a = ФР Wr 范 ат =整 Wr 伴 р Wr^Wr ... Wr 2). Порядок, группы 第那 равен pw, где(0 =(夕。一1)(〃一 I)".

Нильпотентные и локально нильпотентные группы подстановок

Доказательство. Пусть card X > 1 и Г — примитивная группа. Рассмотрим стационарную подгруппу Га группы Г. Так как группа Г является "группой, то в ней есть подгруппа U, содержащая Га в качестве нетривиального нормального делителя. Согласно критерию примитивности 3.2 U =「Отсюда и из транзитивности группы Г следует, в силу следствия 3.4.1, что Та = (е), т. е. Г ——регулярная группа. По следствию 3.2.1 card X—простое число. ■

Лемма 2. Пусть cardX > 1, а Г ——транзитивная N-подгруппа группы S(X). Если а w X, то в множестве X есть такая точка b # а, что「(, =「*

Доказательство. Пусть U — нормализатор группы Га в Г. Для h^ U \ Va h(a) —Ьфа, Га = 尸 hVah^ = Г&. И .

Следствие. Дважды транзитивная подгруппа группы S(X) &е является N-группой.

Лемма 3. Если п — натуральное число, а Г — транзитивная нильпотентная подгруппа группы S7b то П(Г) =П(п) *).

Доказательство. Пусть сперва п = р ——простое число. Тогда группа Г примитивна н, следовательно, ее центр Z(「)，по следствию 3.4.1, транзитивен. Так как абелева транзитивная подгруппа максимальна среди абелевых подгрупп в S^, то Г = 2(Г). Следовательно, Г——циклическая группа порядка р. Для п == р лемма доказана.

Воспользуемся теперь индукцией по числу т(п) делителей числа п. Для т(п) = 2 лемма верна. Пусть 工⑺ > 2, и лемма верна для всех таких пь что т(т) < т(п). Согласно лемме 1 группа Г импримитив- на； Разбиение множествспА', где действует группа Г, на ее системы импримитивности определяет гомоморфизм Ф： F-> Sm, где m — число систем разбиения. Г = =Im ф — нильпотентная транзитивная группа степени ш, где т\пч г(т) <С т(п). По индуктивному предположению всякий простой делитель порядка группы Г делит чйсло т. Группа Л = Кег<р содержится в прямом про

*} Здесь П(п) — множество всех простых делителей числа п, а П(Г) ~ множество всех/простых чисел, входящих в порядки элементов (периодической) группы Г, Такие обозначения будут употребляться и далее. ：

изведении m нильпотентных транзитивных групп степени пт-1, следовательно, по индуктивному предположе- нню, каждый простой делитель числа card К делит число пт-1. Так как card Г = (card К) (card Г), то каждый простой делитель числа card Г делит число п. В силу транзитивности группы Г число card Г делится на п. В

Следствие 1. Транзитивная нильпотентная подгруппа группы SpV, где р ——простое число, является р-подгруппой.

Следствие 2. Максимальная транзитивная нильпотентная подгруппа группы S卩*, где р ——простое число, является ее р-подгруппой Силова.

Максимальные транзитивные нильпотентные подгруппы группы Sn. Здесь мы полностью изучим строение максимальных нильпотентных транзитивных подгрупп симметрической группы Sn; в частности, докажем их сопряженность в Sn.

Пусть

М = /?|1 р^ (1)

——каноническое разложение числа п. При k = 1 (п = pv), согласно следствию 2 леммы 3, максимальная транзитивная нильпотентная подгруппа группы SpV является ее р-подгруппой Силова. Следовате*тьно, в силу теорем ы Силова, все максимальные транзитивные нильпотентные подгруппы группы S^ сопряжены s ней.

Пусть теперь ft > 1, % = р；/, а X,——множество, состоящее из q§ точек, / = 1,…，也 Ниже мы построим одну нильпотентную транзитивную подгруппу Nn группы Sn и покажем, что любая транзитивная нильпотентная подгруппа группы S^ сопряжена в Sn с некоторой подгруппой группы N* Очевидно, что число точек декартова произведения Xi X ... X 攵а = X равно п. Следовательно, можно считать, что S^ = S(X). Пусть ^― одна из р)-подгрупп Силова группы S(Xj), a gj ——произвольная подстановка из 〃仆尸 / = 1,... ...,k. Пусть еще Nn — множество всех подстановок g ^S(X) вида

g(x) = g(/，..., /)=依；(占)，gM必)),(2) где x —(л, х„)е X, gte N^, }== I, ..k.

Очевидно, что Nn является группой, изоморфной прямому произведению групп 爲屮 …，N候.Так как группы А^^транзитивны и нильпотентны,то и Nn—транзитивная нильпотентная группа, причем

card心=心…部,

где со, — (“ — 1)(% — 1尸，/= 1, ..., k.

Пусть теперь N—любая транзитивная нильпотентная подгруппа в S(X). Тогда, согласно лемме 3,

card ДГ = р, ...「у, ау》vf

Следовательно, группа 乂― прямое произведение 乂 = q"XF, где Н — подгруппа порядка р?, a F — подгруппа порядка冰…嚟.

Лемма 4. Множество X можно записать 6 виде декартова произведения X = Y \Z таких множеств У 〃 Z, что:

card Y = р^9 card Z = rtp~^x\

для h^H, f ^F

九(弘 ^) = {h (y\ 2), f回 之)=匂，f ⑶)，

应 ®5(У), f ®S(Z),(必 г) Г X Z;

hv-^ h -——точное транзитивное представление группы ”, a f^-^ / — точное транзитивное представление группы F.

Доказательство. Так как 孔 才 card F, то 尸•一 ин- транзитивная группа. Пусть Х=Х U … U£ — разбиение множества X на орбиты группы F. Согласно лемме 4.3 представления /\: f i—fi=f\Xiy f=l,...,s, попарно эквивалентны. Очевидно, что Im г/—транзитивная нильпотентная подгруппа в S(Xf). Следовательно, в силу леммы 3, H(card Х^) =H(card F). Так как N=H X F — транзитивная группа, то группа Я транзитивно ^перемещает орбиты Xi, , Xs труппы F. Следовательно, s|card Н. Отсюда находим

s = P%, card X,=曲 …р}・

Так как (cardXf)s = п, то

s = р：】， card 冗=р；2 …磴.

Положим f=cardXj и обозначим точки орбиты Xi парами чисел (1, 1), (1, 2), . .. , (1, f). Пусть теперь "i = e,也2,..・，h$ ——такие подстановки из группы Я, что hy(Xi) =Ху. Запишем точки орбиты Ху в виде (у, 1), (у, 2),(у, 0, ПОЛОЖИВ (у, 2)=包(1, 2), 2=1,. t

Очевидно, X = У X ^, где У={1,5}, Z={1,/}.

Для/三尸 имеем

f(g, z)=財(1, z) = /ij(l, z) = &(1, f(z)) = (g, f(z)),

где f wS(Z) и зависит только от f. Рассмотрим теперь h(y, 2), h^H. Имеем 力(1,之)=(勿，М), 1 & 勿 W s. Если 21=7^2, ТО■

力7%(1, z) = hy^(yit 21) = (1, 21) * (I, 2),

т. e.

砲i|Xi io

—отличная от e подстановка из группы S(Xi). Положим теперь Fq=F\X[, Тогда % перестановочна с каж* дой подстановкой из группы 尸°. Следовательно, (%)尸о— транзитивная нильпотентная подгруппа в S(Xi). Согласно лемме 3 простые делители порядка элемента йо делят число /. Последнее невозможно. Следовательно, 21 = 2 И

无(1，2)=①1，Z).⑶

Рассмотрим теперь h(y, 2). С помощью равенства (3) получим

"(y, 2)="%(1, 2)=(旷，2)=伍(办 2),

где h ^ S(Y) и зависит только от ". ■

Из леммы 4 следует

Теорема 1. Любая транзитивная нильпотентная подгруппа симметрической группы Sn сопряжена e Sn с некоторой подгруппой группы Nnt задаваемой формул лами (2)#

Из этой теоремы, в свою очередь, вытекает

Теорема 2. Любые две максимальные транзитивные нильпотентные подгруппы группы S〃 сопряжены 日S氾.

Если (1)——каноническое разложение числа п, то максимальная транзитивная нильпотентная подгруппа в Sn изоморфна прямому произведению Pj-подгрупп Си- лова симметрических групп S 丫 ， / = h ...,々.

Докажем еще одну теорему о транзитивных нильпотентных подгруппах в

Теорема 3. Пусть m — произведение всех различных простых делителей числа г?., Г ——максимальная транзитивная нильпотентная подгруппа s S“=S(X), Га — стационарная подгруппа группы Г, а U ——ее нормализатор 8 Г. Тогда индекс подгруппы Га в группе U равен т, или (символически)

U ： Гй — щ.

Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что она равносильна следующему утверждению:

Если Y={y\y ^Х, Га(У) —у}, то card Y=m.

Теореме 3 можно еще придать такой вид:

Число различных стационарных подгрупп группы Г равно пт。

Доказательство теоремы 3. Для п=1 теорема тривиальна. Будем считать, что 孔 >1 н положим U :Га = t. Так как группа Г является 乂-группой, то f > 1. Очевидно, что t\n.

Докажем сперва, что при п=р\ где р—простое число, f=p. Пусть /=р*~1. Группа Г является р-под- группой Силова в SpV и содержит, в частности, подстановки вида

冲毋

где 山一- попарно независимые р-членные циклы, О W W$3 W Р' Если di(a)*。, то подстановка ^2... df е Га и оставляет на месте ровно р точек. Следовательно, t W р. Так как 7 > Г и /|pv, то /=р.

Пусть теперь (1) —каноническое разложение числам и Л >1. Можно считать^ что r=Nni где Nn задается формулами (2). Рассмотрим стационарную подгруппу Го

группы Wn, где а= (а^ ..., ak)^X =Х{ X • ■ • X ^а- Если g е Га, то компоненты gj подстановки g таковы, что 幻(的)=的.Когда g пробегает группу Га, то g§ независимо друг от друга пробегают стационарные подгруппы (熊力 групп Nq『Согласно доказанному выше группа (Nq) оставляет на месте точно р§ точек. Слс-

оставляет неподвижными точнооставляет неподвижными точномаксимальные нильпотентныемаксимальные нильпотентныедовательно, группа Го

оставляет неподвижными точно

оставляет неподвижными точно

максимальные нильпотентные

максимальные нильпотентные

р、….Рк = т точек. Н

Интранзитивные

подгруппы в S^. Пусть Г — одна из интранзитивных максимальных нильпотентных подгрупп в S^ = S(X), а X = =Y{U … UYk — разбиение множества X на орбиты группы Г. Тогда Г^ = Г| Y^ j= 1,...,財 ——транзитивная максимальная нильпотентная подгруппа в S (У」), а Г ——прямое произведение своих ограничений Г\. Отсюда и из теоремы 2 следует, что интранзитивная максимальная нипьгготеитиая； подгруппа группы Sn с точностью до сопряженности a Sn задается аддитивным пред

ставлением числа и：

П = П{+ . . . + Пд,П = П{+ . . . + Пд,⑷⑷

П = П{+ . . . + Пд,

П = П{+ . . . + Пд,

⑷

⑷

где 々＞1, Q=cardX， j= 1, ..., A, Y орбита группы Г. Иными словами, с точностью до сопряженности в Sn максимальная нильпотентная подгруппа группы Sn задается своим орбитальным типом.

⑸⑸Однако не для каждого представления (4) в группе Sn есть интранзитивная максимальная нильпотентная подгруппа, орбиты которой имеют мощности

⑸

⑸

/,♦•♦,孔总♦

Пусть (4)——представление числа п,孔疗 ——натуральные числа, а

Х = %и и九(6)

— такое разбиение множества X, что card Kj =孔力 j = = 1, ..., /г. Построим такую группу Н = 〃(м±,...,孔右), Что (6)—разбиение множества X на ее орбиты, Hj = = 〃|Vj — транзитивная максимальная нильпотентная подгруппа в S(K), j = 1, ..., k, а группа Н — прямое произведение своих ограничена疯 на орбитах. Выясним,

для каких разложений (4) подгруппа Н(几卜..., пд) максимальна среди нильпотентных подгрупп в Sn・

Лемма 5. Если числа (5) все различны, то группа //(пь ..., M/J максимальна среди нильпотентных подгрупп 8 S也.

Доказательство. Пусть числа (5) все различны, а группа Я = Я(ni, ...» //) содержится в другой нильпотентной подгруппе группы Sn・ Тогда Н ——истинная инвариантная подгруппа некоторой нильпотентной группы U из Зп- Очевидно, что некоторая орбита У группы U является объединением нескольких орбит группы Н. Транзитивная группа U\ У обладает интранзитивным нормальным делителем Н\ У. Согласно теореме 3.4 орбиты группы 〃|У суть системы импримитивности группы U\ У. Следовательно, орбиты группы //, входящие в У, имеют одну и ту же мощность, что противоречит условию леммы. Ш

Л е м м а 6. Пусть в (4) %=几2= ... = п^= m > 1, R > L Группа Н = Н (п^ ...,几丸)тогда и только тогда содержится в транзитивной нильпотентной подгруппе группы Sn, когда m = ра, k — рВ, ade р ——простое число.

Доказательство. Пусть 〃 и G, где G — транзитивная нильпотентная подгруппа в S^. Можно считать, что G максимальна среди нильпотентных подгрупп в Sn. Положим /и = ра/,(厶 р) = 1, а > 0, р — простое число. Найдем показатель и, с каким число р входит в J= card Н. Сперва рассмотрим порядок 必 группы Н\ У1. Согласно теореме 2 число р входит в 圆 с показателем з=(ра— 1)(。— I)'1. Следовательно, 〃=^з = =^(.а—1)("—I)-1. Если теперь h=p§r、(р,尸)=1, то в порядок группы G число р входит с показателем U = (ра+В— 1) (р—1)Т, ибо n = ktn — p^ rt, (Р，rt) — \. Так как Я — подгруппа в G, то 〃 V и, следовательно,

При фиксированных /?, а и р f(r) зависит только от г. Ясно, что /⑺ убывает с возрастанием г. С другой стороны, /(2)<； 1. Отсюда и из (7) вытекает, что r~\t т. е,

々=/А (8)

Легко показать, что ги = ра? Действительно, пусть про

стое число g 崂 р н q\m. Тогда, подобно равенству (8), получим 々 = gY. Последнее противоречит (8). Необходимость доказана.

Пусть теперь т = р&, h = рб. Тогда Н = Н (пи ..., пА), где П]= ... =几卜=р% является /?-подгруппой группы Sn = 5рЯ+р. Следовательно, Н содержится в /?-подгруппе Силова Npa^ группы Spa^ Как мы виделн раньше, 绚(叶6 — транзитивная подгруппа группы 5宀0・■

Заметим еще, что если среди чисел (5) имеется по меньшей мере две единицы, то группа "(〃i, ..., п/г) содержится в другой нильпотентной подгруппе группы Sn. Действительно, пусть ni = n2= 1. Тогда H(nif п2>..., пк) — истинная подгруппа в "(2, Мз,.・・,孔住)・

Из лемм 5, 6 и последнего замечания вытекает

Теорема 4. Всякая интранзитивная максимальная нильпотентная подгруппа группы Sn сопряжена в ней с группой вида Н (ли, ..., /и).

Группа "(『к, ..., nQ тогда и только тогда максимальна среди нильпотентных подгрупп 8 S^, когда одновременно выполняются следующие два условия:

(1)полином (х — ль) (% —九2, ... (% —电&) —ср (%) не делится на (% ——I)2;

если р", где a > 0, р ——простое 吼исао, есть корень полинома (р(х), то его кратность меньше р.

Теорема 4 вместе с теоремами 1 и 2 полностью описывает максимальные нильпотентные подгруппы симметрической группы S%

О нильпотентных и локально нильпотентных группах подстановок бесконечной степени. Пусть X ——бесконечное множество. Введем группу SF(X), состоящую из всех таких f ^ S (X), что，(％)，尤 только для конечного множества точек х X.

Легко видеть, что SF(X)——локально конечный нормальный делитель группы S(X).

Так как любая отличная от единицы подстановка из регулярной подгруппы группы S(X) фактически перемещает все точки множества X, то пересечение любой регулярной подгруппы группы S(X) с группой SF(X) есть единичная группа. В частности, в группе SF(X) нет транзитивных абелевых подгрупп. Следовательно, орбиты, ^е абелевых подгрупп конечны, .

Лемма 7. Центр транзитивной подгруппы группы SF(X) совпадает с единимой подгруппой.

Доказательство. Пусть Н — транзитивная подгруппа в S尸(X), a Z ——центр группы Н. Все орбиты группы Z конечны. Следовательно, если

Х=иХ°, аи/, (9)

—разбиение множества X на орбиты группы Z, то / — бесконечное множество. Пусть теперь 2 声(е), с 三 Z, с ф е. Тогда, согласно теореме 4.1, для любого aw/ с\Ха 沪 е. Отсюда вытекает, что подстановка с фактически перемещает бесконечное множество точек» т. е. не входит в группу SF(X). S

Из этой леммы вытекает

Теорема 5. Орбиты нильпотентной подгруппы группы SF(X) конечны. ,

Доказательство. Пусть Г ——нильпотентная подгруппа в SF(X), а Х& — какая-либо из ее орбит. Тогда Га「F|Xa ——нильпотентная группа. Если card Ха > 1, то центр группы Га отличен от (е). В силу леммы 7 множество % конечно. 9

Теорема 6. Транзитивною подгруппу Г группы SF(X) нельзя представить в виде произведения двух неединичных поэлементно перестановочных нормальных делителей. В частности, Г неразложима в прямое произведение.

Доказательство. Пусть транзитивная подгруппа Г группы SE(X) представима в виде произведения Г = HF своих нетривиальных нормальных делителей 〃 н 尸，причем (", F) = {e). Тогда возможны два случая: 1) группы Н и F транзитивны, 2) хотя бы одна из них интранзитивна. Покажем, что оба случая приводят к противоречию. В силу теоремы 4.1 в первом случае 〃 и F — регулярные группы, что противоречит включе* нию Н cz SF(X). Рассмотрим теперь второй случай. Пусть, например, группа Н интранзитивна, а (9)—раз* биение множества X на ее орбиты. Тогда, согласно лемме 4.3, представления %: 〃S(X&),厶 修儿，aw м/, попарно эквивалентны. Отсюда и из включения 〃uSF(X) вытекает конечность .множества /. Следовательно, орбиты группы Н бесконечны. С другой стороны, так как Н — нормальный делитель в Г; то, по теоре-

ме 3.4, (9) есть разбиение множества X на системьГ импримитивности группы Г. Очевидно, системы импримитивности транзитивной подгруппы в SF(X) не могут быть бесконечны. В

Из теоремы 6 вытекает ' .

Теорема 7. Локально нильпотентная транзитивная подгруппа группы SF(X) является р-группой.

Доказательств о. Пусть Г — транзитивная ло- -кально нильпотентная подгруппа в SF(X). Тогда Г\ будучи периодической локально нильпотентной группой, есть прямое произведение своих подгрупп Силова. Но, по теореме 6, группа Г неразложима, значит, она есть /7-группа. В

Из теоремы 7 следует

Т е о р е м а 8. Максимальная локально нильпотентная транзитивная подгруппа группы SF(X) является ее р-подгруппой Силова.

Строение р-подгрупп Силова группы SF(X) изучил И в а н ют a [i], [2]. В частности, им показано, что при card X > К о s группе SF(X) нет транзитивных р-под- групп, а при счетном множестве X транзитивные р-под- группы Силова группы SF(X) попарно сопряжены. Отсюда и из теоремы 7 вытекает, что орбиты локально нильпотентной подгруппы группы SF(X) либо конечны, либо счетны. ；

В связи с теоремой 6 сформулируем следующую проблему. При каких условиях локально конечная группа изоморфна некоторой транзитивной подгруппе группы SF (X) ? Какие локально конечные группы допускают изоморфное вложение в группы SF(X)?

ГЛАВА 〃

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА

Некоторые определения. Предварительные предложения

Мультипликативная группа кольца. Некоторые свойства тел. Всюду в этой главе термин кольцо будет означать ассоциативное кольцо с единицей, содержащее хотя бы два элемента.

Пусть △——кольцо, а 1——единица в △. Элемент а из А называется обратимым в △, если в А существует такой элемент р, что ар = pa = 1. Очевидно, множество всех обратимых в А элементов есть группа относительно умножения. Эта группа называется мультипликативной группой кольца А и обозначается символом А*. Если у е А \ Д*, то у называется необратимым в А элементом.

Элемент п кольца А называется унипотентным, если 口 一 1 一нильпотентный элемент, т. е. （п ——1）А = 0 для некоторого натурального k. Обозначим буквой U множество всех унипотентных элементов в А. Унипотентный элемент “ обратим в Д. В самом деле, -q = 1 + 0, 既=О,

（1 + б）[1-б + б2- ... +（-1）4-1б&~'] = 1 - efe = i.

Элемент

仇= £（-D%v仇= £（-D%vнильпотентен, ибонильпотентен, ибо

仇= £（-D%v

仇= £（-D%v

нильпотентен, ибо

нильпотентен, ибо

Следовательно т|~4 = 1 + 01 — также унипотентный элемент.

Очевидно, произведение двух перестановочных унипотентных элементов также является унипотентным эле- ментом^ так что для коммутативного кольца А множество U — подгруппа в Д*.

Пусть А = Т — тело.

Предложение 1. Периодическая абелева подгруппа G мультипликативной группы тела Т локально циклическая. В частности, мультипликативная группа конечного поля GF(q) есть циклическая группа порядка q — 1.

Доказательство. Будучи периодической абелевой группой, G локально конечна. Поэтому достаточно показать, что каждая конечная подгруппа /7 в G цик- лична. Порядки элементов абелевой конечной группы суть делители максимального среди них, следовательно, все элементы группы Н — корни уравнения

i=L(1)

где d — порядок некоторого элемента h группы Н. Очевидно, что группа Н содержится в некотором поле £ и Т. В поле S уравнение (1) имеет не больше чем d корней. С другой стороны, 1,九，* h^ — корни этого уравнения, принадлежащие группе Н. Следовательно, Н = (h) — циклическая группа. ■

П редл ожение 2. Пусть тело Т не является полем характеристики 2, или Т — поле характеристики 2, не содержащее трансцендентных относительно своего простого подполя элементов. Пусть, далее, S — подгруппа аддитивной группы тела Т, порожденная произведениями квадратов из Т. Тогда S = Т.

Доказательство. S — множество всех элементов тела Т вида

2 — а1 * • ■唸％ w Т.

Если характеристика тела отлична от 2, char Т，2, то совпадение S и Т следует из равенства

_ / а+ 1 \2/а~1 \2

аТ 2 J ~ \ —2—)，‘ am?.

Пусть теперь char T = 2, Т — некоммутативное тело, Z(T) —его центр. Если а е Г \ Z{T), то найдется такой элемент 6 巨 Т, что у = оф — 0а * 0. Далее, элемент

Y = ар + ра(2)

принадлежит S, ибо у ~(а + Р)2 ——а2 —— 俨.Элемент уа = = а(Ра) + (Ра)а е St так как он имеет вид (2). Очевидно, что множество S замкнуто относительно умножения, поэтому 『=Y(y7)2冃s, а=yт(yа)三£ Таким образом, T\Z(T)uC.

Если 6 三 Z(T), то бу = ct(6R) + (63)a 三 S, 6 三 S. Зна- QHT, Z(T)uS, S = T.

Остается рассмотреть тот случай, когда Г — поле характеристики 2, все элементы которого алгебраические относительно содержащегося в нем простого подполя. Каждый отличный от нуля элемент е поля Т имеет нечетный порядок, так как он входит в мультипликативную группу некоторого конечного поля GF(2h). Поэтому в = (ev)2 巨 S. ■

Как показывает простой пример поля А(х) рациональных дробей, где А = GF(2)t предложение 2 может оказаться неверным, если Т — поле характеристики 2, содержащее трансцендентные элементы.'

Модуль. Пусть А — кольцо. Множество М называется правым (^-модулем, если оно удовлетворяет следующим условиям:

М ——аддитивная абелева группа;

для любых а 巨 A, q w М определен элемент аа w 巨 М, причем если & е Л1, р е Л, то

(а + &) а = аа + 6а, а (а + р) = аа + а^, а(ар) = (аа)В，а • 1 = а.

Аналогично определяется левый ^-модуль М:

М — аддитивная абелева группа;

для а 巨 А, а 三 М определено произведение аа e Af; причем если & е М. 0 е А, то

<х(а + &) —аа + а&, (а + §) а = аа + 卽,： (сф)а = а 仙),1 • а = а.

Подмножество N и М называется подмодулем А-модуля Л1, если ^ — подгруппа аддитивной группы М н для лкэбых а е А» с ^N са е Л7.「：

. Например, для любого awAl множество аД = =^.{аа|а е Д} есть подмодуль в Л1...

Подмодуль Р Д-модуля М называется гиперплоскостью модуля М, если модуль М представляется в виде прямой сумм ы: М = Р 4- иА, и е М, и，0. Система В элементов модуля М называется линейно независимой над Д, если для любой ее конечной подсистемы 瓦，…，6/t

瓦%[ 一灯...+ 6在入电—0, аг у 三 а —^ Л] =3 ... — %京==0.

Элемент и Д-модуля М называется свободным над А, если из равенства 〃入=0, где 九三 А, следует X = 0: Если Д-модуль М обладает такой линейно независимой системой элементов В, что каждый элемент М есть линейная комбинация конечного множества элементов из В, то В называется ^базисом модуля М, а М ——свободг ным ^-модулем. Нулевой модуль также называется свободным.

Часто мы опускаем А и пишем просто «базис», «модуль» и т. д.

Символом Дп будем обозначать правый свободный Д-модуль, состоящий из элементов вида (ai, ..., а„), а；三 А, причем

1 > ■ • • > %) + (В[，• * • > 瓦} ^ (% + Р1> • ■ • > %_+ Рп)»

(山％)У=(5У，％у), умА・

Элементы (1, 0, ..., 0), (0, 1, ...» 0), ...» (0, 0, ..., t) составляют один из базисов этого модуля.

Символом А£ будем обозначать левый свободный Д-модуль, отлйчающийся от Дп тем, что вместо {аь ... ...» «п)у определено у(а^ ..., ап) = (у«ь • • •, Yan)-

В тех случаях, когда мощность Д-базиса свободного модуля М над кольцом А не зависит от выбора базиса, эта мощность называется размерностью модуля М. Пусть А — область главных идеалов, а Л1 — свободный Д-модуль. Тогда любые два Д-базиса модуля М имеют одну и ту же мощность, каждый подмодуль модуля " свободен и его размерность не больше размерности модуля Л1 (Лен г [1J, стр. 432) . ■

.Если», в частности, А —тело, то Д-модуль называется векторным пространством над Л. Всякое векторное

пространство М над А является свободным модулем, мощность его базиса является инвариантом и называется размерностью векторного пространства (и обозначается Л1 : Д). Справедлива теорема Штейница о л иней - ной зависимости. Подмодули Д-модуля М над телом Д называются подпространствами векторного пространства Af, Всякое подпространство векторного пространства М есть прямое слагаемое пространства Af. Всякая линейно независимая система элементов содержится в некотором базисе пространства (см. Ку р о ш [2], гл.5,§3).

§ 7. Эндоморфизмы

EndAf. Пусть М — правый Д-модуль. Отображение 力：М ~^М называется эндоморфизмом модуля М, если для к, у 三 М, а 三 А

力(尤 T- 9)=力(尤)t一力((/),Л (ха)=力(尤)a.(1)

Обозначим символом End М множество всех эндоморфизмов модуля М. Произведение gh двух эндоморфизмов g н fi определим как произведение отображений. Сумму g + 九 определим, положив для любого % нз М (g +h)(x) = g(x) + fi(x).(2)

Лемма 1. End М ——кольцо с единицей.

Доказательство. Так как М ——аддитивная абелева группа, то, в силу (1) и (2), End М — также аддитивная абелева группа. Ассоциативность умножения в End М следует из ассоциативности умножения отображений. Рассмотрим f(g + 力)，f,g,hw End M. 'Для % w М f(g + h)(x) = f(g(x) + h (х)) = fg(x) + fh(x) = (fg + fh)(x). Следовательно, f(^ + A) —fg + fh. Аналогично проверяется равенство (g + 力)f = gf + hf.

Очевидно, что единицей кольца End М служит тождественное отображение. ■

Вместо End М иногда будем писать Hom (М, М).

Эндоморфизм левого Д-модуля М определяется как отображение 力： М-> М, при котором для х, у 三 М, а 三 A, (x+y)h=xh+yh, (ах)й = а(хй). Умножение эндоморфизмов g и й задается формулой х(gh) = (xg)h.

Как легко проверить, справедлива

Лемма 2. Пусть М. — свободный ^-модуль, В — его базис. Тогда любое отображение f: 8TM однозначно продолжается до эндоморфизма модуля М.

Полная линейная группа. Биективный эндоморфизм модуля М называется его автоморфизмом. Очевидно, множество AutM всех автоморфизмов модуля М есть группа относительно умножения, Это мультипликативная группа кольца End М.

Группа всех автоморфизмов свободного правого Д- модуля М называется полной линейной группой и обозначается символом GL{M).

Лемма 3. Пусть М — свободный ^-модуль, h — его эндоморфизм, В ——базис модуля М. Эндоморфизм h тогда и только тогда является автоморфизмом, когда 用(8) —базис модуля м а

Bfh(B), b 一叭b), b^B. (3)

—биекция.

Доказательство. Если отображение (3) удовлетворяет условию леммы, то обратное ему отображение h {b)y-^b однозначно, в силу леммы 2, продолжается до эндоморфизма g модуля 府；gh = hg = е — тождественный автоморфизм. Таким образом, h ^ Aut М.

Обратно, пусть h ——автоморфизм модуля М. Тогда h{M) = А7. Следовательно, каждый элемент модуля М есть линейная комбинация конечной системы элементов вида d = h(b), b w В. Любая конечная система di = =Л (&1), ..., dn = h(bn), ЬуВ, линейно независима:

+ …• + d5rl = 0 =т- /г (а) = О,

где Xi w Л,。=儿储十...'+ &nXn； но h ——биекция, поэтому а = 0, Хг = 0 для i = 1, ..., п. Следовательно,用(В) — базис модуля. Н

Из предыдущих двух лемм вытекает, очевидно,

Л е м м а 4. Для любой пары А и В равномощных базисов свободного модуля М существует автоморфизм этого модуля, переводящий А на В. Любая биекция Д —► В однозначно продолжается до автоморфизма мо^ дуля

Отсюда следует, в частности, что если М — векторное пространство, то для любой пары а и & ненулевых

векторов существует автоморфизм пространства М, g реводящий 〃 в 瓦 т. е. группа GL(M) транзитивна на множестве М\\^\.

Пример. Пусть М — n-мерное пространство над ко нечным полем GF(q). Тогда GL(M) ——конечная группа порядка

(q" — 1)3— q)…S" — qf-

Гомотетии. Пусть М — правый Д-модуль. Рассмотрим отображение

Ра： М -> М, х I—> ха, х е М,' а fe Д.

Очевидно, что ра не всегда является эндоморфизмом модуля М. Однако ра е End М, если а 三 2(A), где Z(A)—центр кольца А. Вообще верна

Лемма 5. Если s модуле М есть свободный элемент, то

Pa^EndM(4)

тогда и только тогда, когда а 三 Z(A).

Доказательство. Пусть верно (4). Тогда для V М, X А Ра(и" = Ра(и)8 = 〃а九).С другой стороны, Ра (и九)=(иА)а = у (Ха). Отсюда у (а% —九 а)=0. Если теперь у ——свободный элемент, то а 九=九 а, ае Z(A). ■

； Очевидно, все автоморфизмы ра, где а ^ 2(Д)*, составляют группу Н(М)9 изоморфную группе Z(A)*. Будем называть Н(М) группой гомотетий модуля М. а ее элементы ——гомотетиями.

Подмодуль ^ модуля М называется инвариантным относительно эндоморфизма Д если f (") и М

Лемма 6. Пусть А ——кольцо без делителей нуля, М ——правый свободный ^-модуль, содержащий хотя 6ье два линейно независимых элемента, о ——автоморфизм модуля М. Если каждый подмодуль модуля М вида w Д йнеариантен относительно автоморфизме^ ог то GE^H(M)t

' Дока за тель ст во. Для любых 〃 и v из М

"(“) =；= аа, а(у)=睜，а (и + 力=3 + о) у, а, В, 丫三 А.

■С другой стороны,

-е (а + V)=^ <у (и) + 0 (о) — «а 4- up.

Следовательно,

〃Y + UY = 〃а + 叩・

Если теперь “ни линейно независимы, то отсюда следует а = у = ₽.

Так как кольцо А без делителей нуля, то из линейной независимости “ни следует линейная независимость 9 н и, где 9 = 〃儿九，0,九 w А. Поэтому

о(су) = @а = 〃Мх.

С другой стороны,

о(пу) = о (〃九)=“а%.

Следовательно,,

и (Ла — аА,) == 0, Ха — аА, = 0, awZ(A),

где Z(A) —центр кольца Д.

В частности, если В — базис модуля М, то для всех b w В, o(b) = ba, awZ(A). Тогда для любого а е Л1 о(а) = аа, о w Н(М). Н

Трансвекции. Эндоморфизм т Д-модуля 財 называется трансвекцией, если в 財 есть такая гиперплоскость Р, каждый элемент которой неподвижен при т, что т(а) — а^Р для любого a w М.

Множество всех трансвекций, связанных с фиксированной гиперплоскостью Р, обозначим символом К(Р).

Согласно определению гиперплоскости модуль М можно представить в виде прямой суммы

М = Р + иД,и #= 0.(5)

Очевидно, что эндоморфизм т модуля М тогда и только тогда принадлежит К(Р), когда выполняются следующие два условия'.

для любого awP т(а) = а;

<ii) т(и) = и + р, р 巨 Р.

Теорема 1. Для произвольной гиперплоскости Р Д-модуля М множество к(Р)—группа, изоморфная аддитивной группе модуля Р.

Доказательство. В силу (ii) при фиксированном разложении (5) автоморфизм х^К(Р) задается элементом р из Р. Положим т = тр. Для a qP, р, q w Р

3q(a) j,3j® = Tpa+g) = u+p + g・

Следовательно,

ТрТд = Тр+д・

Очевидно, что отображение

Y： К(Р)-> Р, т0 f Р，

биективно. Так как

Y(Tp%)= Y(Tp) +Y(Tg)，

то у — изоморфизм. И

Заметим, что трансвекция ——унипотентный элемент кольца End М. В самом деле,

(% — е) (и) = и + р — и = р, далее,

①—* ®) = % — е) (р) = Р — " = О, откуда

付卩—е)2 = 0.

Теорема 2. Пусть правый /^-модуль А1 допускает представление ⑸，где и — свободный элемент 〃 Р содержит свободный элемент. Тогда'.

централизатор подгруппы К(Р) в AutM равен произведению К(Р)Н(М);

К(Р)"(Л1) —максимальная абелева подгруппа группы AutAf;

множество U всех унипотентных элементов группы К(Р)"(Л1) есть группа^ равная произведению К (Р)Ни, где Ни —* группа всех унипотентных гомотетий. Если, в частности, в центре кольца А нет неединичных унипотентных, элементов, то U = К(Р).

Доказательство. Пусть автоморфизм и перестановочен с каждой трансвекцией из R(P), TpWK(P)・ Так как

а (у) ~ g + уА, анР, 九三 А, ТО ИЗ'

Тр (а + оХ) = а (о + р) получим

〃 + (? +「)％ = 〃+?九+ 仃(р), т. е.

и (р) = Р 九

для любого р 三 Р・ Далее, для д е= А

и (рб) = (рб)九=и (р) 6 = р九 6・

Если р — свободный элемент, то отсюда следует SZ = Z6, т. е.九 принадлежит центру Z(Л) кольца Л. Итак,

а(р) = pZ, pwP, а(и) ==а + ^, awP, Z €= Z (А). (6)

Автоморфизм L также перестановочен с каждой трансвекцией из К(Р), поэтому, согласно (6),

а-1 (р) = p|i, а"1 (и)=叩 + A |i е Z (A), b 三 Р.

Далее,

и = е (и) = от。(и) = а-1 (а + uZ) = ар, + ирЛ + 方九， откуда

и (1 — рЛ) — (ар, + 方九)=0.(7)

Так как (5) — прямая сумма, то из (7) следует и (1 — |iZ) = 0. Но и — свободный элемент, значит, 1 =卩九，九 w Z (Л)*.

Рассмотрим теперь произведение т-1а, где т = таЛ_ь Для р R Р

т—^о (р) ~ fl (/А) = р九.

Так как т-1 =т_аЛ-1, то

(и) = (а + и 九)=а + (и ——а 九-1)九=uZ.

Далее,

Lb (иб) = (иХ) 6 = (иб)"6 е А.

Поэтому

т-4。(%) = %九

для любого элемента % модуля М, т. е. т-1п е Н(М). Отсюда и 三 К(Р)Н(М).

С другой стороны, каждый элемент группы К(Р)Н (М) перестановочен, очевидно, с каждой трансвекцией из К(户)• Таким образом, (i) доказано.

Очевидно, что К(Р)Н(М) — абелева группа. Отсюда и из (i) вытекает (И).

Пусть теперь g 三 К(Р)Н (М). Тогда для pwP о(р) = р" а (и) = uZ + аь а〔三 Р, ZeZ(A)*.

Далее, (о — е) (и) = и (九一1) + а»

(8)(8)(от —е)气и) = и (九一1)'+а，аА е Р.

(8)

(8)

Если о — унипотентный элемент, то (о — е)А = 0 для некоторого k. Из (8) тогда следует и(九一l)ft = 0 и, так как и — свободный элемент,(九一1)ft = 0, т. е.入—унипотентный элемент. С другой стороны, произведение трансвекции т и унипотентной гомотетии р является также унипотентным элементом, ибо тир перестановочны. ■

Теорема 2 верна, в частности, для свободного модуля, один из базисов которого содержит не менее двух элементов.

Следствие 1. Если А — кольцо без делителей нуля, а ^-модуль Л1 допускает два таких представления М = Р » 必，Л1 = Q 4- @А что V и w — свободные элементы, гиперплоскости Р и Q содержат хотя бы по одному свободному элементу u P + Q = M, то централи^ затор С объединения К(Р) U K(Q) в AutM есть Н(М).

Доказательство. С = К (Р) Н (М) f] К (Q) // (Л1). Если о 三 & то о = т「р, ре" (М), р ^ Р. Но Н (Л4) и С, поэтому TpWC и, значит,

Тр Т^Рц, g W Q, %q W К (Q)， Ра W ” (М). ■ Так как P + Q = M, то в гиперплоскости Р есть такой элемент а, что а = 6 + шд, 6 ее Q, 6wA, 6仔 0. Далее, а = % ⑷=亏Ра ⑷=Ра% (匕 + @6)=(匕 + 侬 + g) 6) а. Следовательно, 6 + @6 = (6 +(5 + q) 6) а, 6——6а——д6а= =56 (а — 1). Отсюда вытекает, @8 (а — 1) = 0 и, так как w — свободный элемент, а = 1. Следовательно,

Tp = Tq = е, о — р, С ~ И (Л1). Б

Следствие 2. Пусть А ——произвольное кольцо, М ― свободный ^-модуль с базисом В = {а, 6,...}, содержащим не менее двух элементов, Р u Q—гиперплоскости, порожденные, соответственно, множествами В\а и В\Ь. Тогда централизатор С объединения К(Р) U ^(Q) совпадает с группой Н(Л1).

Доказательство. Л1 = Р 斗 〃△, Pmb и Л1 = .=Q 斗 b А. Поэтому, согласно теореме 2, С = ==К(Р)Н(М) П /<(Q)//(M). Пусть о е С. Тогда о = трр, р 曰 Р、р 三 Н(М). Так как Н(М) и Ct то тР w С. Отсюда

，” =р@%Ра 尸"(М),g 曰 Q,戛 w《(Q)・「

Далее, а = Тр(^) — p^q (а) = аа. Так как а — свободный элемент, то

а=1, Тр = %・

Значит, трансвекция т оставляет неподвижными все точки модулей Р и Q. Но 戶 + Q = М, следовательно, S = е, о = рм〃(М), С= 〃(М)・■

Пусть либо Z(A*) = 2(A)*, либо в М есть такой базис В, что card В > 1. Тогда верно

Следствие 3. Центр полной линейной группы GL(M) совпадает с группой Я(Л1).

Доказательство. Если Л4 = иА, где 辽——свобод- Hbiii элемент, то отображение у —> д, где 巾〃)=〃у, есть изоморфизм группы А* на GL(А4). Следовательно, Н (М)—центр группы GL (ЛГ). Если же какой-либо базис модуля М содержит более одного элемента, то требуемое утверждение вытекает из следствия 2. ■

Пусть теперь А = Т — тело, а А1 — векторное пространство над Т размерности 〉1. Тогда верна

Л е м м а 7. Любые две отличные от е трансвекции пространства М сопряжены 8 группе GL(M)t

Доказательство. Пусть

M^P + vT^Q-^wT.工产 К(Р)、 亏 wK(Q),颠，％ *仇

Модуль M имеет такне базисы {Л, v} и {В, w}, что А—• базис подпространства Р、В ——базис Q, причем р ^ А, q 巨 В、В силу леммы 4 в группе GL (Л1) есть такой автоморфизм а, что и(4) = В, и(р) = g, и(и) = w. Легко видеть, что

ОТрО~1 = %

В самом деле,

0t户0一1(分)=атP (а) = a («) — b, а = 0-1e), b ^ b и

(ГС戶(7一1 (侬)G СГГ"(и) = (Т(и + /7)= g + ,. ■

Матричное представление эндоморфизма

Матрица эндоморфизма. Пусть М ——правый свободный A-модуль, обладающий конечным базисом

3 Д. А. Супруненко

Если 0.——эндоморфизм модуля М> то

о (〃у)==w △， v== 1 * * • • >(2)

Ц=Я=1

Положим а = ||agvll. Матрицу а назовем матрицей эндоморфизма о s базисе (1).

Обозначим символом 厶办 множество всех м X ^-матриц над кольцом Д и введем отображение

Ф： EndMf М， он~>а・(3)

В силу леммы 7.2 屮биекция.

Теорема 1. Отображение ф ——изоморфизм колец End М 〃 А%

Доказательство. Пусть а, те End М,

Ф(а) = а = || аЦ¥ ||, Ф(т)=匕=||阮丫 М

Из (3) следует, что

Ф (а + т) = а + ^ = Ф (а) + Ф W*

Для от можно написать

0T (以電)=0 (* 〃科Р出電)二^ лп / п\

.ц=]片4 \A=1/

=2[ 〃% (Х[ а总小廿"=2[ 〃%Y&v，

где "Y自V" =a6， Следовательно» ф(ат)^ф(а)(р(т). ■

Мультипликативную группу кольца А言 обозначим CL(n, Д). Так как мультипликативные группы изоморфных колец изоморфны, то из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. GL(M) ^ GL(n, А).,

Группу GL(n, А) будем называть полной линейной группой степени и над кольцом Д. В дальнейшем изложении мы не будем делать большого различия между группами GL(M) и G丄(％ А).

Лемма 1а. Матрица из Дп тогда и только тогда обратима 口 Дп» когда ее столбцы составляют некоторый базис правого свободного модуля АпЛ: 」

Докдзательство. Пусть d = ф(сг) (см. 3)). Матрица а обратима в Ап тогда и только тогда, когда сг'г— автоморфизм, т. е. когда

о("1), ..о("“)⑷

— базис модуля М. Если

〃],♦♦♦, а“■ (5).

—столбцы матрицы а, то, в силу (2), равенства f(/)Yi+ ... +и(鄰)* =

=〃]入(].+ "2九2 + ..…+ 11小П,.N，A在 W A И

равносильны. Поэтому (4)—базис модуля М тогда и только тогда, когда (5)——базис модуля Ап. ■

С помощью аналогичных рассуждений, проведенных для левых модулей, доказывается

Лемма 16. Матрица а из Д„ тогда и только тогда обратима в 厶九,когда ее строки составляют базис левого ^-модуля Д£.

Теорема 2. Если а — матрица эндоморфизма ст в базисе (1), а b — матрица автоморфизма т в том же базисе, то b~^ab — матрица эндоморфизма ст 8 базисе

一 t("i),t(/3(6)

Доказательство. Положим cti = v^t. Согласно теореме 1 b^ab — матрица эндоморфизма 5 в базисе (1). С другой стороны, матрица эндоморфизма о в базисе (6) совпадает с матрицей эндоморфизма (ti в базисе (1). Действительно, ст = tctiT-1, и если

ТО

TGiT-1(Т (〃J) н 七6 (〃 J = U 2 〃小内 =£ T (%)入犷

Отсюда и вытекает теорема.・

Теорема Бернсайда.

Теорема 3 (Бернсайд [3]). Пусть А — область главных идеалов, 2 ——поле отношений кольца А, а <7「 подгруппа группы GL(n, S), обладающая следующим свойством', с кольце А найдется такой отличный от ну^ ля элемент 6, что для каждого g ^ G gb е Дп. Тогда в гриппе GL{n, X) есть такая матрица 力 что

LGt 三 GL(n, А).

Доказательство. Отмстим в пространстве 2П какой-нибудь базис

〃i j ■ • • j 〃/j(7)

и ие будем отличать матрицы g 三 G от автоморфизмов пространства 2R, определяемых ими в базисе (7). Для g三G

g (4/)=』〃汴订，Y"品工Y订6三△，j = 1,…，小 ⑻

Введем правый свободный А-модуль М с базисом (7). Пространство Sn также можно рассматривать как A-модуль. С помощью формул (8) каждый элемент g группы G определяет гомоморфизм Д-модулей:

g: Мт£2(9)

Пусть теперь /V — подмножество всех таких uwM, что для любого g 三 G g(u)三 AL Очевидно, что ^ есть подмодуль модуля М. В Д-модуле N есть п линейно независимых элементов

Так как А ——область главных идеалов, то ^ — свободный Д-модуль размерности п. Наконец, подмодуль N инва^- ■ рнантен относительно группы G, ибо для и 三 N, h,gwG имеем

g(u)三 /zg(u)三 М

g(u)巨 N*

Если

S，…，%(10)

——А-базис модуля У, то элементы (10) линейно независимы над Е. В самом деле, всякий элемент и 至£ имеет вид 6v-1, где 6, V 巨 А. Если

+。©区丁=0(Н)

и Зп¥=0, то, умножая (11) на “v?...立，получим

力修+ . .. +s/” = o, 尤(12)

Последнее невозможно. Итак, (10) — базис пространства Так как

UN订，UN订，Q订三A,Q订三A,

UN订，

UN订，

Q订三A,

Q订三A,

то теорема вытекает теперь из теоремы 2. ■

Следствие 1. Если А ——область главных идеалов,.. £ —— поле отношений кольца 八,a G —— конечная под группа группы GL (п, £), то s GL (^, 2) есть такая матрица что t~lGt и GL (п, А).

Элементарные матрицы tij (?^). Специальная линейная группа. Пусть правый свободный А-модуль М обладает базисом

〃"…，"，” n > 1.(13)

Рассмотрим трансвекцию

T =下订(九)， i方J,

задаваемую равенствами

т (%) = %，. У j,

т (^/) 〃, + 〃几， 九 w Л*

Очевидно, матрицей трансвекции т в базисе (13) служит

Ё订(九)=£! + 2"九Ё订(九)=£! + 2"九(14)(14)

Ё订(九)=£! + 2"九

Ё订(九)=£! + 2"九

(14)

(14)

где £ ——единичная матрица, а 已仃=仙“』，а^ = 1, &灶¥ = 0, если 卩 #= i или v 声 /. А1атрицы (14) будем называть эл ем ен тарн ым и.

В частности, Е = /^(0).

Подгруппа SL(n. А) гр^шпы GL(『z, А), порожденная всеми элементарными матрицами /仃(入 j, называется

специальной линейной группой. Можно трактовать спе- циальную линейную группу и как подгруппу SL(Af) в GL(M), порожденную всеми трансвекциями то(Х),

Если /j — подмодуль модуля М с базисом

(см. (13)), то

И ДЛЯ Pi W Р/

р/ =： Ww А*

Следовательно, для любой трансвекции с。, из К(Р/)тр, = И ти

Отсюда и из следствия 7.2.1 вытекает

Л е м м а 2. Централизатор множества всех транс- векций вида т^ (九)в группе GL(M) совпадает с группой Н (Л4)・

Из этой леммы следует

Теорема 4. Если 〃 > 1, то централизатор группы SL(n, А) 8 группе GL(nt А) совпадает с Z(A)*En) где Z(A)центр кольца А.

Лем м а 3 (Басс [1]). Если п > 2, a i, j,尼一叩以 различных индекса, не превосходящих п, то

①(九N)，/ (九)3 (n)怎‘(九)負’(h)-

В частности,*

切(箱=竊(小加1)行Г仇)场%1).

Действительно, если ，声/, то

5 (九)hi (卩)=切仇+n)，切’(M = f订(—入)，

Далее,

乙女(九)切® =e+6趾丸+ ё用"+ 6订-九卩，

5 (一A)%•(一n)=e 一内认 —%*+e订а卩，

Для доказательства леммы остается перемножить равенства (15). ■т

Из леммы 3 вытекает, очевидно,

Теорема 5. Если п > 2, то SL(n, Д) совпадает со своим коммутантом 〃 содержится, следовательно, в коммутанте группы GL(ny А).

Обратимся теперь к случаю 几=2.

Лем м а 4. Если 口 А* есть такой элемент а, что а — 1 三то любая элементарная матрица из GL (2, А) является коммутатором в G£(2, А).

Доказательство. Если

а =

а 0 _0 1.

,ь =

~1 N

.0 1.

,Н = (а — I)-1 九,

то

Пусть теперь

£ 12 О== а力а

1尸.

с =

出（Y）,

Y =—

一九（a 一

-I)-', d = G,

тогда

%1(九)=0北一%1. ■

Следствие 1. Если А = Т — те/。， отличное аг GF(2), то любая элементарная матрица из группы GL (2, Т) является в этой группе коммутатором.

Напротив, если Т ~ G户(2), то отличная от единичной элементарная матрица из GL(2, Т) не есть коммутатор.

Следствие 2. Если в Д* есть такой элемент а, что а — 1 е А*, то группа SL (2, А) содержится s коммутанте группы GL(2, Д).

Лемма 5. Если (13) —базис модуля А4, то для любой пары а, р, 1 W а W 几，1 W 0 W 〃，а =/= 0, в группе SL (М) есть такой элемент %厶 что

«аР («а) = «р- 5師(〃$) = — %, 5ар («;) = «„，* а, &

Доказательство. Положим

5ар = тра ⑴ ％0 ( — 1) ^ра ⑴，

Очевидно, что такой элемент обладает требуемыми свойствами. ■

Заметим, что если а е GL(n, А), то 5^"§耶 получается из а перестановкой ее а-й и р-й строк с последующим умножением р-й строки на —1.

Пусть / ——подстановка, действующая на множестве {^ь ...,，厶J базисных элементов модуля М, Подстановка / однозначно продолжается до автоморфизма f модуля AL Можно вложить симметрическую группу Sn в GL (п, Д), если отождествить / с матрицей автоморфиз' мп / в базисе (13). В частности, цикл длины 3 典8, "у) можно представить в виде

(%，％，％) = s^s“ WSL (& А).

Поэтому из леммы 5 вытекает

Следствие 1. Всякая четная подстановка содержится в группе SL(n, А). Если t ——нечетная подстанов- 衣生 ТО t = f& %Ма)= — 〃а， %(〃，=/， i * 口， swSL(〃，A).

Формальные леммы. Пусть Дп ——правый свободный А-модуль столбцов. Если 尤 巨 Дп, с 巨 А% то сх 三 А". Как легко проверить, отображение

Л: A"f А\ cxt

является эндоморфизмом модуля Дп. Пусть с=』¥“Н・ Векторыявляется эндоморфизмом модуля Дп. Пусть с=』¥“Н・ Векторы(16)(16)

является эндоморфизмом модуля Дп. Пусть с=』¥“Н・ Векторы

является эндоморфизмом модуля Дп. Пусть с=』¥“Н・ Векторы

(16)

(16)

составляют базис модуля Дп. Далее,

/г (力 J=c%=: =%Yw +纟Y2v+ •…+ ^rtVriv»

—Vnv -

Следовательно, матрица эндоморфизма Л в базисе (16) совпадает с с. Обратно, любой эндоморфизм h модуля 'Ап сводится к умножению столбцов на матрицу 力 в базисе (16). Это дает возможность не различать эндоморфизм и его матрицу в базисе (16). •

Л е м м а 6 (Басс [1]). При 几> 1 аддитивная груп^ па, порождаемая SL (м, А), совпадает с аддитивной группой полного матричного кольца А%

Доказательство. Пусть D—аддитивная группа, порождаемая SL (п, А). Для »? / и произвольного 九三 а ?,・泳=储(入)一En三 D. Далее, %爪 = =з(九)5⑴-%」(九)-G j三D ■

Если Ф ——подгруппа аддитивной группы кольца А, то символом ①"будем обозначать подгруппу аддитивной группи модуля 厶％ состсыщую из всех столбцов

，，中V三①.

Лемма 7 (Басс [1]). Пусть 〃>L Подгруппа 厶 аддитивной группы модуля А注 тогда “ только тогда инвариантна относительно SL (/г, А), когда L = Фп, где ■ Ф — некоторый левый идеал, кольца А. .,...

Доказательство. В силу предыдущего утверждения в формулировке леммы можно SL(nt А) заменить кольцом Д?г. Пусть £——инвариантная относительно Art подгруппа аддитивной группы модуля А% Рассмотрим отображение

冗v： £-> А, х =• xv.

Положим Im(nv) ~ Фу Ясно, что ①v ——подгруппа аддитивной группы кольца А. Фу-——левый идеал в А. Действительно, пусть 0V 三 a)v・ Тогда в L есть столбец

«I

av

Для XеД, (%鼻)《巨厶・ Но (evv^)a = bv(Kav)r Следовательно, 入ct* 三 d\, Фу ——левый идеал. Пусть снова а* £ Ф^»

q = tzv 巨

Тогда для любого i = L ..., п

Следовательно, av е Ф；. Такнм образом,

Очевидно, что

厶u ь{Ф + .一+九①=①支

С другой стороны, если av е Ф, то

〃= % 三厶，е、、а = b、a、巨 L、 厶=(D'・

Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть Ф — произвольный левый идеал кольца А, Покажем, что аддитивная подгруппа ①"группы Дп инвариантна относительно Ал. Пусть

〜b~ .£ Фп.

тогда因巨①，(纟"入)匕=加(布力日①％ так как %Р/ е ф. ■

Аффинная группа. Пусть Aff (и. А) — множество всех пар вида

〈g，a〉， g е GL(n, д),- а е Д".(⑺

Пару (17) будем трактовать как отображение

〈g, а〉:А\х >—> gx + <з-

Очевидно, что (17) — биекция, т. е. Aff (п, А) и S (А")・ Если〈力，6) ~ другая пара из Aff®, А), то

〈g, a) </i, 6) (х) =〈g, a〉(/ix + b) = ghx + gb + a =

=〈g%, gb + а) (х),

<g, а) </i, b} = {gh, gb + a).(18)

Из (18) следует, что Aff (n, A) ~ группа. Будем называть ее аффинной группой.

Очевидно, что {Ent (0)) — единица группы Aff (п, А) и

〈g，a〉r =〈g「— gf〉・(19)

Из (18) также видно, что

¥： Aff (n, \)->GL(nt A),〈g, a〉fg> (20)

~ сюръективный гомоморфизм. Далее,

Кег у = {〈£〃，a〉|a w А?=〈以，А%〉), так что

GL(n, A) a Aff 5, А)/〈£〃，А“〉・

Пару 〈g, a) s Aff (n, А) можно трактовать так же, как (п + 1) X (п+ 1)-матрицу

Ун …Yi〃 ai

?九1 • • • Ynn /，卜 ¥订 II g，

_0 ...01 _

которую условимся записывать так:

_0 1 .'

Такое представление элементов аффинной группы имеет смысл, так как

g оО 1g оО 1Таким образом, <j，0〉w(旦，А"〉 видаТаким образом, <j，0〉w(旦，А"〉 видаft b” Г gh g〃 + а

g о

О 1

g о

О 1

Таким образом, <j，0〉w(旦，А"〉 вида

Таким образом, <j，0〉w(旦，А"〉 вида

0 1=01

Еп оО 1Еп оО 1Aff (п, А) и GL (几+ 1, А). Элементы изображаются при этом матрицами

Еп о

О 1

Еп о

О 1

так что (£„, А"〉и SL (п + 1, А).

Из (18) л (19) легко получить формулу

〈g, 0)〈Е", о〉〈g, О»'=〈以，g&〉，

откуда вытекает

Л с м м а 8. Пусть 乙 ——подгруппа аддитивной группы^ модуля △“，а 〃 一 подгруппа группы GL (п, А). Подгруппа (Я, (0)) тогда w только тогда принадлежит нормализатору подгруппы (£п,乙〉в Aff(/г, А), когда Н L = L.

В дальнейшем мы будем часто употреблять выражение вида «подгруппа Л нормализуется подгруппой 8 в группе G》в смысле《8 содержится в нормализаторе подгруппу Л в G》.

Лемма 9 (басе [1]). Пусть G — подгруппа в Aff (rz, А), у — гомоморфизм, (20), // = Im у.

；(,i) Тогда взаимный коммутант ^ групп G w {Еп.Лг(} удовлетворяет соотношению：

K = (G,〈£“，А”〉) = (〈"，(0)〉，〈J, ^) = (Еп> Д), где ,

Д = У (h - £„) An, h(=H,

■аддитивная группа, порождаемая всеми столбцами (友,一еn)а, h 后氏 a w A%

.(ii) Если группа G нормализуется группой 〈Е^, Ап〉 и

GfU£“，А“〉=〈Е“，(0)〉，-(21)

7。G =〈0, (0)

(hi) Если группа G нормализуется ' группой 〈SL(〃，А), (0)), то К = (Е?ъ Ф/г), где ①一левый идеал кольца А.

Доказательство. В силу формул (18) и (19) 4?x(儿 g 三 G,(£\, a)三(Fn, △")

〈厶，纺〈以，a〉〈厶，6〉一〈以，a)- =〈J, (/г- £") a〉，

откуда и вытекает (i).-

следует из (i). Действительно, если 4 нормализуется группой (Еit吟、то

Ки/1П〈&1〉・

Если, сверх того, имеет место (21), то, в силу (i),

Я 住) % и〈以，А》 Л =〈以，(0)〉.

Докажем (iii). Пусть Л нормализуется группой {SL (п, Л), (0)). В силу леммы 8〈七氾А"〉также нормализуется этой группой. Тогда и группа К ею нормализуется. В силу (i) К =〈£n, Q), а SL(n, A)D = D согласно лемме 8. Следовательно, по лемме 7, О =①氾， где Ф ——левый идеал кольца А. ■

§ 9. Определитель Дьедонне

Матрицы d (н). Пусть А = Т, где Т = тело. Введем матрицы 2(卩)三 GLg Т), л > 1, положив

d(N)= diagU，…，1,同，科已丁(1)

е. 〃(н)—это диагональная матрица с элементами R 1, к на главной диагонали.

Л е м м а 1. Если a w GLgT), то а = 5^(ц)т s 三 SL (小 Т).

Доказательство. Умножение слева матрицы a на элементарную матрицу 厶丿(九)равносильно следующей элементарной операции: прибавлению к 厶订 строке матрицы а ее /-й строки, умноженной слева на 九.Лемма будет доказана, если установить, что матрицу q= Hamill из GL(n, Т) можно привести к виду (1) с помощью подобных элементарных операций.

Согласно лемме 8.1а столбцы матрицы а = ||aij|| образуют базис пространства Тп. Следовательно, в первом столбце есть отличный от нуля элемент. Мы можем

ечитать, что ац =# 0. Прибавляя к первой строке матрицы q вторую, умноженную слева

получим матрицу с 1 на позиции (1, 1). Прибавляя затем первую строку, умноженную слева на подходящий множитель, к каждой из других строк, мы приведем матрицу а к виду

Ct)2 » * * Ctj

0

_0_

Но cti 三 GL(n,T), поэтому столбцы этой матрицы составляют базис пространства Тп. Учитывая вид матрицы 口], отсюда заключаем, что в первом столбце матрицы Ап~[ есть элемент из 7*. Если п——I > 1, то к матрице Дп-1 применимы предыдущие рассуждения. Таким образом, при 几 > 2 можно считать, что первый столбец матрицы Л?1-1 нмсет вид

0

С помощью элементарной операции можно устранить «12. Поступая аналогично, мы придем к матрице вида

~ I0...0а1п-

010а2п

°0• • •1а〃~I, п

_0о0а〃“一

Так как 例三 GL(n，T), то столбцы матрицы а2 образуют базис пространства Г\ поэтому

%/胃卩#= 0・

Очевидно, что матрицу &之 можно элементарными операциями привести к виду (1). ■

Следствие 1. Матрицы /灯(入)вместе с матрицами d(ii) составляют систему образующих группы GL(n, Т).

Лемма 2. Пусть и > 1, а, § 三 Т*,卩=афсхтрт.

Тогда d(^) еSL(n, Т).

Доказательство. В последовательности

11ОООООООО1 О0卩1 О0卩

1

1

О

О

О

О

О

О

О

О

1 О

0卩

1 О

0卩

каждая матрица получается из предыдущей с помощью одной элементарной операции. Следовательно, Еп при п > 1 можно с помощью элементарных операций привести к виду d(p,). Отсюда и вытекает лемма. ■ _

Определитель матрицы над телом. Пусть 穴— фактор-группа группы 7'* по ее коммутанту.(叨川丫 f Y присоединим 0 внешним образом: 6穴=РО = 0. Полученную коммутативную полугруппу обозначим символом Т. Если Т* —►尸—естественный гомоморфизм, то образ элемента а е Г* будем обозначать а. Расширяя это отображение, положим & = 0 для а = 0. Тогда для

aр =a8 = 8五=Ra,

Очевидно, что i — единица полугруппы Т.

Наша цель ——доказать существование отображения

⑵⑵6:乙-Т,

⑵

⑵

удовлетворяющего трем условиям:

Если матрица 方 получается из матрицы а умножением слева одной из строк на то

6® = @6(а)・

Если матрица b получается 〃з матрицы а прибавлением к одной строке другой, то

6 (6) = 6 (о).

Ш. 6(Е) = Т.

Если существует отображение 6, удовлетворяющее условиям I, II, III, то оно обладает следующими свой- авами:

Если s е SL(n, 7'), то 6(s«) = 6(«).

Если q = sdg, s е SL{n, Т), то 6(a) = ц.

Если какая-либо строка матрицы а состоит из нулей, то Ь(а) = 0.

а е Tn\GL(ny Т) ©6(а) =0 (здесь 台，как обычно,——знак эквивалентности).

6(аЬ) = 3<а)69)・

Если матрица 6 получается из матрицы а транспозицией двух строк, то 6(6)=——16(a).

Доказательство. 1) Так как s — произведение элементарных матриц вида /仃(入)，то достаточно показать, что

6(/"(入)a)=63).⑶

Пусть 入声 0, а матрица 6 получается из матрицы а заменой /-й строки (勺 строкой 入&> Тогда, согласно I, 办(匕)=入3(a)・ С другой стороны, если матрица с получается из матрицы 6 прибавлением к z-й строке /-и, то

6 <с) = 6 S)=入3 伍)=又 <6 «订(九)&)).(4)

Так как X 三 Р, то (4)今(3).

вытекает из 1), I и III. 3) следует из I.

Пусть

a^Tn \GL(n, 7)(5)

Тогда, в силу леммы 8.16, какая-либо строка этой матрицы есть левая линейная комбинация других ее строк. Поэтому в группе SL (п, Г) есть такая матрица s, что матрица sa содержит нулевую строку. Поэтому 6(a)= = 6(sa) = 0. Таким образом, (5) влечет 6(a) ~ 0. Обратная импликация следует из 2) и леммы 1..；

Если матрица 〃 необратима, то, в силу леммы 8.1а, ее столбцы линейно зависимы справа. Столбцы

матрицы ab ——правые линейные комбинации, столбцов матрицы а, По теореме Штейница они также линейно, зависимы и, значит, матрица ab необратима. Тогда

6 (а方)= 0 = 6 (а) 6 (方)•

Пусть теперь с е GL(n, Т), Тогда, в силу леммы 1, a =久(n)，s 三 SL{n, T),

6 (〃b) = 6 (sd (卩)b) = 6 (d (ц) 6).

Матрица d((u) b получается из b после умножения последней строки слева на и. Поэтому

6 (d (卩)力)=口6 (6) — 6 (о) 6 (й).

следует из 1) и I, ■

Теорема 1. Существует единственное отображение- (2), удовлетворяющее условиям I, II, III. Это отображение——сюръективный гомоморфизм.

Доказательство Из свойств 2) и 4) вытекает, что существует не более одного отображения (2), удовлетворяющего условиям I, II, III. Поэтому достаточно построить такое отображение и показать, чго оно — сюръективный гомоморфизм. Воспользуемся индукцией по числу н. Для 几=1 положим 6(a) =&. Условия I, II, III, очевидно, выполняются. Пусть теперь п〉1 и уже построено отображение

、6： * —冗

удовлетворяющее условиям I, II, IIL Построим отображение (2). Пусть а е Тп. Если матрица о нео&ратима, то положим

6 ⑷=0.

Если же а обратима, то ее строки а% ..., 〃汽 составляют базис пространства Т?. Следовательно, существует единственный вектор (7Ч,入麓)三 тако", что

』入风= (1, 0, . . ., 0).(6)

\

Строку g запишем в виде '

…~ (固 1,加),b〔三 T'j - - - ■.:-

Тогда нз (&) получим

S九血=(3…•，°)⑺

v^^

Пусть'

友

а с» 三 Т71T получается из матрицы / вычерь^иванием z-й строки. Если )：i М= 0, ^- М= 0 и i М= /, то введем еще две матрицы g и h из Тп^ следующим образом: g получается из Ci заменой » на 储仇：a h ——заменой %• на bi. Тогда, согласно I,

6(ci)~^l^(g^

Прибавив теперь к строке 九也 матрицы g каждую из других строк bv, умноженную слева на h,，получим, в силу (7), вместо строки 入jbj строку ——Xibt. Следовательно,—

6(g)= 一 儿6(九).

Отсюда

6® =炉(-再)6(/i).(8)

Заметим теперь, что матрицу h можно получить из матрицы с, перестановкой строк. Подсчитав число нужных для этого транспозиций, найдем

6(/i) = (-l)w69).

Отсюда и из (8)

(二1产以也同二(一1)小九尸6(e,).

Последнее равенство показывает, что величина

(-1)’ +以『3(。/)

принимает одно и то же значение для всех таких i, что 九i丞。*

Положим

6 (a) = (一1)‘ + 七”6 (q),兀 # 0.⑼

Итак, мы построили отображение (2): 6(a) = О, если матрица а необратима, для обратимой матрицы а 5(а) определяется формулой (9). Покажем теперь, что это отображение удовлетворяет условиям I, II, III.

Пусть а Е Тп)卩 Е Т*, а матрица b получаетсяп^з матрицы а умножением 匚百 строки слева на ц. Если матрица а необратима, то необратима и b и

6(b)=0 = 口6伍).

Если же а обратима, то обратима b и, значит, 5(a) и 6(b) надо вычислять по формуле (9). Очевидно, при переходе от 5(a) к 5(b) множитель 储 надо заменить на 入К а другие 居 оставить прежними. Если 儿 * 0, то

6(b)=(一1)‘+1卩入尸6(e0 = 口6(a),

ибо Ci при переходе от а к b не меняется. Если же

Xi = 0,九у，0,

то б"%) при переходе от а к 匕 умножается на 口 и, значит,

д(й) —jid(a).

Пусть теперь матрица b получается из матрицы а заменой строки а, на строку а； + о.;. Если а необратима, то и b необратима и 5(b) = 0 = 5(a). Если же матрица а обратима, то обратима и Ь. Так как %“3 + 生)+ + (% —入力句= 九@ + 入m, то при переходе от а к 6 入/ заменяется на 入j —储，а другие Zv не изменяются. Очевидно, и d(cv) с V #= / не изменяются при этом переходе. Следовательно, если 九、=# 0, то

6 (а) = (—l)v+1 九「6 (cj = 6 (b).

Если же всегда при *，j 九丫 = 0, то, согласно (7),入jbj = =(0,.. ., 0), bj = (0,...» 0). Поэтому при переходе от матрицы а к матрице b строка 九 переходит в bi + bj = = 6厶 т. е. матрица с； не изменяется. Так как 入t = 0, то 九j также не изменяется и снова 5(b) = 5(a).

Остается проверить условие III. Пусть а = Еп. Тогда 2н = 1,入у = 0 для V > 1, Ci = £n-i. По формуле (9) находим 6(£n) = 6(q) = 6(£n-i) = 1.

Итак, отображение 6 удовлетворяет условиям I, II, III. Согласно 5) 0 — гомоморфизм. Сюръективность ото- браженнн 0 следует из 2) и 4).И —

Если тело Г коммутативно (при этом Г* = Г* и можно считать Г = Г), то 5(。) совпадает с обычным определителем det о матрицы а над полем. В самом деле, пусть Q = sd(R), s SL (/г, Т). Тогда, очевидно, det о = и 回 С другой стороны, 5(a) = 口 =卩.

Будем теперь в случае произвольного тела 丁 называть 6(a) определителем матрицы а е Тп и обозначать det а.

Рассмотрим примеры,

L Пусть '

а =а =«и О а21«и О а21…0一…0一4lI4lI^GL^ Г).^GL^ Г).

а =

а =

«и О а21

«и О а21

…0一

…0一

4lI

4lI

^GL^ Г).

^GL^ Г).

一 a回

Тогда, по €|)орм\ле (9),

det а = a” det (一卜

Следовательно, для

аи 0 ... О

а?] а?2 О

а”？ • • • алм _

det а ——■ ct] j • •. ^пп*

Пусть с 三 GL(% Т) мономиальная матрица (т. е. матрица, имеющая в каждой строке и в каждом столбце по одному ненулевому элементу),

—все ее нен}7левые элементы. Тогда

detc=( —1)”/ …％户

где f ——число инверсий в перестановке 厶,&,М・

• Теорема 2. При 及 纟 2 SL (/z, T) — множество всех матриц из Тп с определителем, равным 1.

Доказательство. Если а 三 SL (& Т), то det а = =1 в силу 1) н III. Пусть теперь det а == 1. Тогда, согласно 4), а ——обратимая матрица и, следовательно, а= = sd(|【)，где s е SL(n, Г), ц = 1. Отсюда вытекает, что

n=山• • •N比，

где 卩.?•——коммутатор в Г*. В силу леммы 2 d(卩力 w e SL(n, T) и, значит,

d(|i) = d (山)...d(w)三 S厶(/z, 7), a 三 S厶(小 7). ■

Очевидно, что

6(G厶(",7))工A

Отсюда и из теоремы 2 вытекает

Теорема 3. Если п В 2, то SL (n, Т)——инвариантная подгруппа еруппы, GL(n, Г), фактор-группа по которой изоморфна Г*.

Теорема 4. Пусть п>2, либо 〃 =. 2, но Т方 GF⑵. Тогда SLpi, Т) ——коммутант группы GL(n, Т).

Доказательство. Согласно теореме 3 группа SL (n, Т) содержит коммутант группы GL(n, Т), В силу же теоремы 8.5 и следствия 1 леммы 8.4 SL(/?, Т) содержится в коммутанте. ■

Следствие 1, При 拉纟2 всякая подгруппа з GL(n, Т), содержащая SL [п, Т), инвариантна.

Если М ——правое пространство над телом Т, а Л •— эндоморфизм этого пространства, то положим det Л = =det о, где а — матрица эндоморфизма h в некотором базисе. Так как в любом другом базисе матрица эндоморфизма Л имеет вид с~гас и detC^c) = det % то det h не зависит от выбора базиса. SL (Л1) можно теперь определить как группу всех автоморфизмов пространства М с определителем, ранным L

§ 10. Инвариантные подгруппы в GL(M)

Пусть Л1——правое a-мерное пространство над телом 7'. Согласно результатам § 8 группа GL (М) всех авто-г морфизмов пространства М изоморфна группе GL(n, Т) всех обратимых п X.^-матриц над телом Т. Из свойств i

определителя следует, что G厶(& 7) есть множество всех таких матриц а 巨 7П, что det а К 0, a SL (%, Т) есть множество всех матриц из ?„ с определителем, равным 1. Но det Л определен и для любого эндоморфизма Л пространства 府.Пусть SL (Л4)—группа всех таких Л из End М что det /г = 1. Если

取 GL(M)fGL(n, Т)

——такой изоморфизм, что 屮(力)一матрица автоморфизма 力，Tо

屮(SL (М)) = SL (% 7), 屮7 (SL (",「)) = SL (Л1).

В дальнейшем мы часто будем отождествлять GL(n,T) с GL(M). SL(m, Т) с SL(M).

Лемма 1. Множество всех трансвекций пространства Л1 является системой образующих, группы 5L(M).

Доказательство. По лемме 7.7 любая неединичная трансвекция т из GL(M) сопряжена с трансвекцией т??(九)，九巨 Т*. Далее, det (т仃(九))=det (禽(九))=1, поэтому det г = 1 и, значит, т 曰 SL (М).

С другой стороны, множество всех элементарных матриц £仃(九)порождает группу SL(n, Т). Следовательно, множество всех трансвекций т仃(九)порождает группу SL(M). ■

Л е м м а 2. Если 孔 > 2, то централизатор любой трансвекций т в группе GL(M) содержит полную систему представителей смежных классов GL(M) по SL (М).

Доказательство. По лемме 7.7 любые две неединичные трансвекций сопряжены в группе GL(M), поэтому достаточно доказать лемму для одной из них, скажем, для ti2(l). Очевидно, что при любом 卩巨 Т* матрица d(卩)перестановочна с 厶2 ⑴，поэтому централизатор матрицы Л2(1) в GL (n, Т) содержит полную систему представителей смежных классов группы GL (n, Т) по SL(孔,Г). ■

Лемма 3. Если 孔 > 2, то любые две неединичные трансвекций сопряжены в группе SL(M).

Доказательство. Пусть ti и Тг — две неединичные трансвекций. Па лемме 7.7 口 = g^g? gw GL(Af). Пусть c — элемент централизатора та в GL(M), ваддя-

щий в тот же смежный класс группы GL(M) по SL(M)t что н g. Тогда

_二…q = (gc7)Q(gcpT， gc-'^SL(M). ■

Теорема 1. Если м > 2, то всякая подгруппа Г б GL(M), нормализуемая группой SL^M)^ либо содержит SL(M)t либо содержится в центре группы GL(M).

Доказательство. Пусть Г не входит в центр rpj-ппы GL(M). В силу леммы 3 достаточно доказать, что Г содержит неединичную трансвекцию. Согласно следствию 7.2.3 и лемме 7.6 найдутся такие о е Г и о е е Л1, что а и b = о(о) линейно независимы. Пространство М можно представить в виде Л1 = P-j- ЬТ, где Р —— гиперплоскость, содержащая а. Рассмотрим трансвекцию т:

"(，) =，, р 曰 Р, x(b) = b + а.

Пусть

т； = сто-1.

Тогда 工№) = Ь, Т[ т^ т и, значит,

p =t]工1牛C.

Так как р = ото-1!'1 и группа Г инвариантна относительно SL(M), то р е Г. Для хвМ х == р -|- Ьх, т(х)= =p+ (力工0)九=尤+"九,

т(х) — хе аТ.(1)

Аналогично,

т( (х) — х 三 6Т.(2}

Если теперь Q = аТ -\- ЬТ^ то, в силу (1) и (2), для 尤w m

р (х) — х ^ Q.(3)

Так как 孔 > 2, то Q содержится в некоторой гиперплоскости // и из (3) следует

р (х) — х 至 Н, р (//) = //.(4)

Теперь возможны два случая:

р перестановочно с каждой трансвекцией из Л(Я);

в К(〃) существует трансвекция ср, не перестано* вочная с р.

В первом случае, по теореме 7.2, р = рата, где ра Е &fi(M), Та 巨 К("), %") = с土九 М — И^~ сТ, Далее,

р(с) — с = (с + А)а — с = с(а— 1) + йа е Н. Поэтому с (а—1)=0, а—1=0, Ра = е, P = %wK(")，% — принадлежащая группе Г неединичная трансвекция.

Во втором случае q?i —рфр-'ф"1 е Г. Далее, р(ррТ 三 е ^(p(^)) = К(Н). Поэтому и ⑺三 К(")・■

Легко проверить, что теорема 1 не распространяется на группы GL(2, 2) и GL(2, 3). Однако это единственное исключение; доказательству этого факта мы предпошлем три леммы.

Лемма 4. Пусть М ——двумерное пространство над телом Т、а Р и Q ——его одномерные подпространства. Тогда группы ^(P) u K(Q) сопряжены в SL(M).

Доказательство. Очевидно, надо рассматривать случай, когда 尸* Q. Пусть Р = рТ, Q = qT, Тогда

〃，9(5)

— базис пространства М. Пусть теперь автоморфизм а задается равенствами а(р) = g, о(д) =卩(——1). В базн- се (5) этот автодгорфизм имеет матрицу.

ГО

det а = 1, а ^ SL (М). Если т ——произвольная трансвеК' ция нзК(Р), то

т(р) = р， т(4)= е +必 入 w Т, t = w・

Тогда

ага-1(7)= q, ата'1 (р) = ат (^(—1)) =

=о (д (— 1) + р (—九))=р + g (—簡.

Следовательно, ит入厂 rK(q). Когда 入 пробегает Т, то gL пробегает K(Q), т.巳

gK(P)g-】 = K(q)・■

Следствие 1. Пусть М ——двумерное пространство над телом Т, Р ——одномерное подпространство пространства М. Если подгруппа Г группы GL(M), содержащая К(Р), нормализуется группой SL(M), то Г =э SL(M).

Л е м м а 5. Пусть М — двумерное пространство .над .телом Г, причем тело Г или не является полем карате- ;ристики 2, или, будучи, полем характеристики 2, не со・

держит трансцендентных относительно своего простого подполя элементов. Если подгруппа Г группы GL (М) нормализуется группой SL(M) 〃 содержит неединичную трансвекцию, то FnSL(M).

Доказательство. Пусть т е Г — неединичная трансвекция. Для некоторого базиса а, b пространства М можно написать

т (о) = 0, т (6) = &九 + b, 九三 Т.(6)

Пусть о ее GL (Л1) определяется формулами

g (°) = <ш, о (6) = by.

Тогда

.(а) = аа~\ L (6) = 6「 и

ОГТ<Г~' 3) = Q, (ГПуТ (6) = QCC九丫-1 + Ь. (7)

Если

、, = ?「％-%,(8)

то■

det о = а入-入=1, owSL(2, Т).

Подставив (8) в (7), получим

стто-"1 (а) = а, ото-'® = аа次 + Ь. (9)

Положим т = т?.. Тогда, в силу (9),

ОТ儿(У，—-■ Та?九三 1 .”■(1 °)

Пусть 厶=伍 wT|t*wF}. Очевидно, что 厶一подгруппа аддитивной группы тела Т. Из (10) вытекает, что o^L и и 厶 для любого a w Т. Следовательно,

%,% 三 T今d:...或lu L.

Если S — подгруппа аддитивной группы тела Т, порожденная произведениями квадратов из Т, то SLuL. В силу предложения 6.2 S = Т. Значит, TL и L, L = Т. Очевидно, что множество всех т*, где 入巨 Т, есть группа К(аТ). Таким образом, К(аТ)и「В силу леммы 4 Г тогда содержит все трансвекции и, значит, r^SL(M). ■

Лем м а 6. Пусть М — двумерное пространство над телом Т, а, b — базис пространства М, <г — элемент вида.

* 鼻好0(а) = а% а(&) ==ар+ by,

Г ——подгруппа группы GL(M)t нормализуемая группой SL (М) и содержащая и. Если у не принадлежит центру Z(T) тела Т или у е Z (?'), но у ^ а, то SL (Л1) и F.

Доказательство. Пусть т — трансвекция вида (6). Тогда

р = итсгТ「1 三 Г, 「'(а) = а, L (6) = а(— Л) + Ь.

Отсюда находим

р (а) = а, р (6) = а (аЛу-1 ——九)+ 仇

т. е. р 三 К(аТ).

Теперь рассмотрим два случая: 1) тело Т некоммутативно, 2) Т — поле.

В первом случае, согласно лемме 5, достаточно выбрать так Z, что

а九丫^ — Z0.(11)

Если а 长 у, то условие (11) выполняется при 入=1. Если же а Ь= у, то, по условию леммы, у 法 Z(T). Тогда существует в Т такое 九，что 丫入长入Y и, значит,

Y九Y7一入长0.

Рассмотрим второй случай. По условию а 长 ％ аЛу~* — Z = (ау~"‘ 一 1) Л ^ 0.

Когда Л пробегает поле Т, (аут 一 1)х также пробегает Т. Поэтому К(пТ) с: Г. Согласно следствию леммы 4 S£(M)uF. ■

Теорема 2. Пусть М.——двумерное пространство над телом Т, содержащим хотя бы четыре элемента. Тогда всякая подгруппа группы GL(AI), нормализуемая группой SL(A1), либо содержит SL(M), либо содержится в центре группы GL(M).

Доказательство. Пусть Г — нормализуемая группой 5Л(Л1) подгруппа в GL(M)y не содержащаяся в центре GL(M). Тогда найдутся такие qwM, и 三 F, что

а, 6 — а (а)(12)

—базис пространства М, Элемент и имеет вид

о (а)=仇 а (6) = qR + by, р #= 0.'

Пусть автоморфизм т определяется равенствами

т(а) = ауц + 6(—ц), т (力)=冲「 ц е Г*.

Матрицей его в базисе (12) служит

Г YN

° '

Следовательно, т 三 SL(M) и

р = (LLt) а е Г.

Далее, находим

р(а) = а(—ц-'р-'ц-1),

p (6)=w-吊一‘(一yuB -『%) + 6 (一阵).

Попытаемся теперь подобрать параметр ц так, чтобы можно було применить лемму 6.

Если 0 彦 2(Т) и ц = I, то — цгР ^ 2(Г) и применима лемма 6.

Если RwZ(T), но Г — некоммутативное тело, то, в силу предложения 6.2, найдется такое 卩 三 Т, что 卜祥 亥' '^ ^(Т). Тогда —卩2卩亥 2(Т) и снова применима лемма 6.

Остается рассмотреть случай, когда Т ——поле. Для применимости леммы 6 нужно так подобрать параметр 禺 чтобы —卩呻~'尸声—呻 Последнее равносильно условию

1*0-2.(13)

Уравнение

x4 =广2(14)

в поле Т имеет не более четырех решений. Следовательно, если в Г* более четырех элементов, то при любом 0 в Т* есть элемент ц, удовлетворяющий условию (13). Таким образом, остается рассмотреть лишь два случая.: 1) Т= GF(4), 2) Т = GF(5). В поле GF(4) уравнение (14) имеет только одно решение % =产 Полагая 卩耍 ，产，получим нужное значение параметра. Пусть теперь Т = GF(5). Для 0 三 Т* ц4 = 1, Следовательно, при В*±1 условие (13) выполняется для любого ц е Г*. Если же р = ±1, то условие (13) не может быть выполнено. В этом случае выберем 卩 так, чтобы 呻—Г. Тогда р примет вид р(а)=а(—1), p(fe) = а(—2丫)+匕(一1),

Далее, р2(а) = а, р2(Ь) = а(4у) + b. Если у 声 0, то р2— пеёдиничная трансвекция, принадлежащая группе Г. В силу леммы 5 FoSL(Al). Остается случай у ~ О, В = 土 1 Если р — 1, то o(oj = b, o(j) = а. Перейдем к новому базису с, d, где с=а + 〃 d ~ а — b. Тогда

.о(с) = & G(d) = d(—1).(15)

Если же 卩=—1, то положим с = а + 2b, d = а — 2氏 Тогда

о ⑹=с (—2), о (d) — 22.(16)

В случаях (15) и (16) применима лсмма 6 (\‘，а).・

Объединяя теоремы 1 н 2 и следствие 9.4.1, получим следующую теорему.

Теорема 3. Пусть /И есть п-мерное пространство над телом Тч п> \ . Тогда всякая подгруппа 仔 GL(M), содержащая SL(M) или содержащаяся g Я(М), инвариантна. Если м > 勿 или 门=2, но Т f GF(2), Г 力 GF(3), го всякая инвариантная 6 GL (Л1) подгруппа содержит SL (М) или содержится s центре группы GL (М),

Эта теорема позволяет получить одну серию простых групп. Обозначим символом Z(SL (Л1)) центр группы SL(M), а символом PSL (Л1) —фактор-группу SL(M)/Z(SL(M)).“

Теорема 4, Пусть М есть п-мерное пространство над телом Т и 〃〉2 или п — 2, но Т содержит более трех элементов. Тогда PSL(M)——простая группа.

Доказательство. Пусть Г ——истинная инвариантная подгруппа в PSL(M), Тогда Г = U/Z(SL(M) где U ——нормальный делитель в SL(M), содержащий Z(SL(M)). По теореме 3 U содержится в центре группы GL(M). Но U cs SL (М), поэтому U = Z (SL (М)). Отсюда следует простота группы PSL(M). ■

Результаты §§ 9, 10 принадлежат Дьедонне [1]. Изложение здесь близко к изложению Артина [1].

Приведем еще без доказательства теоремы Розенберга [1] о строении GL(M) для случая бесконечной размерности пространства Л4 над телом 7.

Пусть М : Т = Ы&1 6)0,厶= Eiid/M, G = G丄(41), е — единица кольца L. Положим

£ = {$ 三厶 |($ — е)2 = о}・

Тогда Е — система образующих группы G. Группа G совпадает со своим коммутантом.

'Для кардинала Z»,, 0 ^ \- ^ 6, положим

Fv = {fwL|Imf ：TVZJ；

Fv — двусторонний идеал кольца L. Введем группы Go и Gv(l): Go = Z*e 4- F°, где Z — центр тела 7, Gv(l)= нe +尸『

Пусть N ——истинный нормальный делитель группы G. Тогда мнбо N и Go, либо N = HGV (1), где II — подгруппа группы Z^e,

ГЛАВА 〃/

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ГРУПП

G厶(А) И GL{n,Z)^ л > 2

Нормальные делители предельной полной линейной группы

Предельная полная линейная группа. Пусть А —— ассоциативное кольцо с единицей 1. Отождествляя матрицу а м GL(小 Д) с матрицей diag [а, 1] w GL(% + 1, А), получим бесконечную возрастающую цепь подгрупп

GL (1, А) и GL (2, А) и …и GL (n, А) и ...

Объединение групп этой цепи назовем предельной полной линейной группой над кольцом А и обозначим символом GL(A).

Таким образом, каждый элемент а е GL (Л) принадлежит группе GL(n, Д) при некотором п = п(а).

Подгруппу SL(A) группы GL(A), порожденную всеми элементарными матрицами

力/ (九)=£ + e订(九)，九m а, назовем предельной специальной линейной группой над кольцом А.

Теорема 1. (Лемма Уайтхеда.) Коммутант группы GL(A) совпадает с SL(^).

Дока з а те л ьство. Пусть К — коммутант группы GL(A). Так как каждая элементарная матрица ——коммутатор (лемма 8.3), то SL(A) с= К. Пусть теперь х, ум GL(A). Тогда для некоторого натурального п х, у 已 GL(п, Д). Очевидно, что

хух-'у-'= diag[xyx~ly-1, Еп]=：

=diag [х, %т] diag [у, у~'] diag [(”厂*(1)

Далее,

diagfx, л：—]=

Е“][ Еп еЛ\.х — ЕлЕ“][ Еп еЛ\.х — ЕлООС другойС другойстороны, матрицы.О Е』стороны, матрицы.О Е』вида'Епавида'ЕпаО 'Еп.О 'Еп.=.0 £„ 1х-1-Ел О

Е“][ Еп еЛ\.х — Ел

Е“][ Еп еЛ\.х — Ел

О

О

С другой

С другой

стороны, матрицы

.О Е』

стороны, матрицы

.О Е』

вида

'Епа

вида

'Епа

О 'Еп.

О 'Еп.

являются произведениями элементарных матриц, ибо

^SL{^.^SL{^.-О Е」[о Е」=[о Еп「 Таким образом,

^SL{^.

^SL{^.

KuSL(A)・KuSL(A)・.О Еп\9 [а Из (1) и (2) вытекает

KuSL(A)・

KuSL(A)・

xyx-{y^^SL(^t Следовательно, K = S厶(А). ■

Конгруэнц-подгруппа. Пусть ^ — двусторонний идеал кольца Д. Очевидно, естественный гомоморфизм колец

Yw： А\/N = А.

можно продолжить до сюръективного гомоморфизма матричных колец

%： аг f工，115“1||丽心 立力=匕",伍办

Этот гомоморфизм, в свою очередь, определяет гомоморфизм групп

g“： GL(n, GL (п,&>xi—>йд^(х).

Будем называть gN гомоморфизмом Минковского. Ядро CL (小 А,М) этого гомоморфизма назовем К-конгруэнц- подгруппой группы G厶(м, А,*

Если ^ = (0), то А = A, gN — тождественный автоморфизм. Следовательно,；

以(吃 A, (0)) = (1).

При N = А положим GL(ni А) = 1. Тогда

CL (/1, А, А) = GL (小 А).

Введем еще группу Е(〃，А,/V), порожденную всеми элементарными матрицами из CL(n,A,N). Следующие три л ем мы принадлежат Бассу [1].

Л е м м а 1. Если и〉2, то

⑴ £(& A, MV SL(〃，А) *);

Е(& A, N) = (SL(& A), Eg А, М)・

Доказательство. По определен!! ю группа Е(〃，A, N) порождается всеми элементарными матрицами 力“卩)，где ц 三 М Согласно л ем ме 8.3

tih (大)tkj (n)tTk (九)怎‘(n)=tii (^11)三 £ (小A，N),(3)

где z, /, k попарно различны. Следовательно, для 入三△, р е ^

tik (A) hi (и) t~k (А)三 Е (小△，/V).(4)

Аналогично,

切3) 4/ (n)灯丿0)三£ (", А, m.(5)

Еели теперь се，再(а — /) (Р — ^) ¥= 0, то

/«Э 仏)编(N)^1 (九)=",(М)三 e (九,、 N)，(6)

Из (4) — (6) следует, что для любого а 曰 S厶(〃，A)

atki (м) Q-巨 E (/г, A, N),卩 w N,

и, значит, E (& A, N) < SL (/г, A).

Докажем (ii). Из (i) вытекает включение

К = (SL (& A), £ (〃，A, M) и E (几，A, A)

Полагая в (3)九=1, получим /仃(卩)三 К. Следовательно,К = Eg Л, /V). ■

/ = tls~it2st 3 е £ (2/7, А, М・ Положим/ = tls~it2st 3 е £ (2/7, А, М・ Положима = diag [ух,以], Тогдаа = diag [ух,以], Тогдаb = diag[x,，].b = diag[x,，]."协0以「"协0以「atls~i =atls~i =а1{8~Н2 =а1{8~Н2 =007 у]7 у]叫S_If2s =叫S_If2s =LyjLyjУ\Er01У\Er01У1У1(8)⑼Для доказательства достаточно положить х = y-L Пусть(8)⑼Для доказательства достаточно положить х = y-L ПустьВ частности, изВ частности, изat = diag [工，y] = b.(7) и (8) вытекает, чтоat = diag [工，y] = b.(7) и (8) вытекает, чтои = diag[y~\ у] е £ (2п, A, N).и = diag[y~\ у] е £ (2п, A, N).

/ = tls~it2st 3 е £ (2/7, А, М・ Положим

/ = tls~it2st 3 е £ (2/7, А, М・ Положим

а = diag [ух,以], Тогда

а = diag [ух,以], Тогда

b = diag[x,，].

b = diag[x,，].

"协

0以「

"协

0以「

atls~i =

atls~i =

а1{8~Н2 =

а1{8~Н2 =

0

0

7 у]

7 у]

叫S_If2s =

叫S_If2s =

Lyj

Lyj

У\

Er

01

У\

Er

01

У1

У1

(8)

⑼

Для доказательства достаточно положить х = y-L Пусть

(8)

⑼

Для доказательства достаточно положить х = y-L Пусть

В частности, из

В частности, из

at = diag [工，y] = b.

(7) и (8) вытекает, что

at = diag [工，y] = b.

(7) и (8) вытекает, что

и = diag[y~\ у] е £ (2п, A, N).

и = diag[y~\ у] е £ (2п, A, N).

Л е м м а 2. (GL (% A), CL (", А, /V)) и Е (2〃，А, М・

Доказательство. Пусть 工三 G厶(小 А), 〃已 巨 CL (% A, N). Тогда у = En~]~ 〃㈠ где 〃 一 матрица над N. Введем матрицы /!?自 ％, положив

l = L 0 馬]'-=L о Еп J-

3, О '

_ -，广，i Er .

Очевидно, что 厶，厶 厶三 七(2〃，\ *). Если

£ 0 '

то s e SL(2n, А). Отсюда, в силу леммы 1, вытекает включение

(7)

теперь с = diag [ху, Е^. Тогда

с〃 = Ь.(10)

Из (9) и (10) следует

y7%一力y=diag [歹,工一打工，En] = c~~ta = uLwE (2〃，A, N)J

откуда и вытекает лемма. 8

Положим теперь

CL (A, N) = U CL (A A, N), Е (A, N) = U Е (% & М・

4 Д. А. Супруненко

Лемма 3.Е(\ N) = (SL (Д),七(Д, W))=

и (GL (A), CL (Д, W)) = (GL (Д), Е (Д, №))•

Доказательство. Согласно леммам 1 и 2

Е (& д, %) = (SL (〃，Д), Е (小 A W)) и

и (GL (小 Д), CL (% A, N)) и Е (2〃，A, W).

Переходя к предельным группам £(△»/), SL(A), GL (Д) и ©£(А), получим требуемые равенства. Б

3* Нормальные делители группы GL(A).

Л е м м а 4. Пусть 几 > 2, Н — подгруппа в GL (匕 А), нормализуемая группой S厶(&△), a N ——множество всех таких V w А, что хотя бы. одна элементарная матрица 力j(v) 三".Тогда N ——двусторонний идеал кольца Д, а Н п Е(几，△, W).

Доказательство. /订(0) = Еп м ", так что 0 е w М N 丰⑦.Далее, пусть 旧(а)已 Н. Для б е Д и / #= ，/, k, согласно лемме 8.3,

偽(аб)=脑(a) hi ⑹ f" (а)切】⑹ w H. (11)

Для 丫三厶 и /#=/?,/

切(уаб) = tn, (у) tkj(^) tTk(Y)tki (ад)三 Н. (⑵

Следовательно, истинна импликация

hi (а) е // =Ф tn (уад) ^ Н\ i^k] /#=/, k\ у, 6 dA. (13)

Из (13) следует истинность импликации

а 号乂今уаб 巨 М Y，6wA・(14)

Кроме того, положив в (13) у = 6=1, получим

〃，(а)三"合 tn (сс)三"，(15)

где / =# /. Пусть теперь а, RwM Тогда 自(а), f〃(B)w，. В силу (15)

f 班(В)е",必(а — В)=九，(а) fgJ (В)三％ а—RwM (16)

Из (14) и (16) следует, что N ——двусторонний идеал кольца △. В силу (15) Е (& △, W)u 〃•書

Теорема 2. (i) Пусть подгруппа И группы G厶(А) нормализуется группой SL(A). Тогда существует единственный двусторонний идеал ^ = ^(^) кольца -Д такой, что

七(А, М U " и CL (A, W).(17)

'(ii) Всякая подгруппа Н группы GL(A), удовлетворяющая условиям (17), инвариантна в GL (А).

Доказательство. Пусть подгруппа Н в GL (А) нормализуется группой SL (A), a N ——двусторонний идеал кольца А, порождаемый элементами всех матриц "——1, h^H. Тпгда, очевидно, Н и CL(A, N). Покажем, что

Е(А, Ми".(18)

Если 〃=⑴，то А『=(0), CL(A, (0))一1) = Е(А, (0)) и (18) тривиально. Будем считать 〃，(1). Рассмотрим группу

'Н产 HnGLg А)

и двусторонний идеал Nn, порождаемый элементами матриц

h - Eg "三

Для достаточно больших /г 〃几# (£*«), А%# (0). Очевидно, что

Нп и Aff(〃，А),

н так как Я нормализуется группой SL(A), то Нп = — /、Нп, (0)) нормализуется группой SL (/?, Д) — —{SL (п, А, (0)) (см. § 8). Согласно лемме 8.9

К = (〈〃“，(0)》，〈Е"，А"〉)=〈Е"，山"〉，

где Ф ——левый идеал кольца А. С другой стороны, по той же лемме

К =〈£\, Л), A = ^(h — Е；^М\ А е H,v

Следовательно, Ф содержит любой элемент матрицы /г ——Еп, h е Нп. Далее, так как Н нормализуется группой

SL(A)n〈E〃，А) то

Ku〃nGL(〃+ 1, A) = 〃,z+i・

Таким образом, группа Hn+i содержит элементарные матрицы ?ij(v), где v — элементы матриц " —Е% 九三 三方小 В силу леммы 4

〃е n Е(〃+1, A, NJ

Переходя к предельным группам, отсюда получим (17).

.Остается показать единственность N = N (Н) н (ii). Пусть подгруппа Н группы GL(A) удовлетворяет условиям (17). Тогда

(GL(A), £(，N))cz(GL^ 〃)u(G 丄(A), C£(，N)).

Отсюда и из леммы 3 получаем

(GL^l Н) = Е(\, N)uH.(19)

Из (19) вытекает единственность N и инвариантность группы " в GL(A). ■

О строении AutAJ, где Л1 — свободный модуль с базисом произвольной бесконечной мощности над коммутативны м кольцом, см. статью Максвелла [1].

4. Теорема Минковского. Возвратимся снова к кон- груецц-подгруипе CL(n, A, N).

Теорема 3. (Теорема Минковского.) Пусть А — гауссово кольцо нулевой характеристики, q——такой неразложимый элемент этого кольца, что q ^ 2 и для всякого простого целого рационального р q2 ^ р, a N = qA. Тогда CL(n, A, N\ ——группа без кручения.

； Доказательство. Пусть в группе. CL (^., Л, N) есть отличные от Еп элементы конечного порядка. Тогда в ней найдется элемент q простого порядка р. Очевидно, что

а = Е^ + qb, 6 三，，6 声 0. Далее,

а° =(Е 代 + qby =

=+ pqb +q2b~ + … + qpbp = En.

Отсюда

pb + ^^ qb2 + +qp~lbp = O. (20)

Возможны два случая: q р и q\p. В первом случае из (20) вытекает, что q\bt т. ё. q делит каждый элемент матрицы Ь. Пусть

qa|6,q^^b,а>0.(21)

В силу (2Г) слагаемые в (20), начиная со второго, делятся на q2"+L Следовательно, pb и b делятся на д2а+‘. Последнее противоречит (21). Во втором случае, в силу условия теоремы,卩 > 2, q2^р. Следовательно, р = 〃,

г 三 А,(广，4) = 1. Формуле (20) можно придать следующий вид:

qrb = q2b2ct (22)

где с 三八小 Так как (「，q) = 1, то из (22) следует, что q\b. Пусть Т也 q^^b. Тогда правая часть равенства (22) делится на 0a+2, а левая не делится на 9°+2 Это противоречие и доказывает теорему во втором случае. Я

Следствие 1. Пусть △ и /V = q八 имеют тот же смыслу что и g теореме 3. Тогда CL(^ N) —группа без кручения.

Следствие 2. Периодические подгруппы группы GL (n, Z) над кольцом Z целых рациональных чисел конечны. Для любого простого 〃 > 2 и любой конечной подгруппы Я группы GL(* Z) в GL (ri, Z/p) существует группа, изоморфная Я.

Следствие 3. Пусть £ ——поле нулевой характеристики^ о х ——переменная. Тогда всякая периодическая подгруппа группы GL(n, SW) изоморфна некоторой подгруппе группы GL(几，W).

Для доказательства достаточно в теореме 3 положить А = S[x], q = q(x) = х.

Следствие 4. Пусть £ ——поле нулевой характера- ст〃к", a Xi, ... , х〃1 ——независимые переменные. Тогда всякая конечная подгруппа группы GL (/г, 2 (<ti,..., х?/!)) изоморфна некоторой подгруппе группы G£(几，Е).

Доказательство. Рассмотрим сперва конечную подгруппу О группы GL(n, S(x)). Согласно теореме Бернсайда (теорема 8.3) О изоморфна некоторой подгруппе группы GL(n, S[r]), а в силу следствия 3 — некоторой подгруппе группы GL (几，£). Отсюда индукцией по числу переменных получаем требуемое. И

Теорема 4. Пусть А ——дедекиндово кольцо нулевой характеристики, а ——такой простой идеал кольца А, что 弟 / (2) и для любого простого 〃三 Z 笫2 , 仍).丁。一 гда CL (/г, А,第)——группа без кручения.

Доказательство. Пусть а CL (п, А,单)一элемент простого порядка р. Тогда

a = En + b, bw 注，—二11品11声0, b "三第 н

pb + -^'} ь2+ ... +^ = o, (23)

状=||陽|],陪三疑Пусть число Z таково, что для всех i, / pi； е 恥，но для некоторой пары ц, v 0内隹笫屮• Нз (23) находим

P3^v + С 細:V + … + p£v = 0.(24)

Возможны два случая:举 R(p) и 平 п(р). В первом случае

что противоречит (24). Во втором случае

0声2,咻片歉+1\型+2,

а остальные слагаемые (24) принадлежат идеалу 笫2HL Это противоречие и доказывает теорему.騎

В связи с теоремами 3 и 4 представляется интересным выяснить, для каких колец △ и идеалов N группа CL(n, A, N) является группой без кручения.

Нормальные делители группы GL (n, Z) при п > 2.

Подгруппы конечного индекса

Предварительные леммы. Пусть сперва А ——произвольное ассоциативное кольцо с единицей. Докажем две леммы (см. Басс [1]).

Лемма 1. Пусть п > 2, Н — подгруппа в GL (и, А), нормализуемая группой 5丄(小 А) и удовлетворяющая одному из следующих условий ):

(0 "П〈* ^)^(Еп);

Н () Z(^(En^ ^^Z(^ Eni где Z(A)* — мультипликативная группа центра кольца А；

существуют такие 月三 〃，ц е Z(A)*, что матрица й— ц£п имеет нулевую строку или нулевой столбе% но h--цеn亍j0;

существует такая матрица k q Н, 〃峻 уЕп, 丫 三 wZ(A)*, что при всяком 6 е Д матрицы ^12(6) и h перестановочны.

Тогда

нП Eg A, N\ 2声(0).

Доказательство, (i) Очевидно, имеет место равенство

Н[\{Еп^= / =〈*, 3〉，

где 3*(0)——подгруппа аддитивной группы модуля Ап~^. Так как Н нормализуется группой SL{nt А) =з n〈SL(几一1, A), (0)) и〈£”1，△沱т) нормализуется группой (SL{n — 1, A), (0) ), то и / =〈以_1, В) нормализуется группой (SL (п— 1, А), (0)). Согласно леммам 8.7 и 8.8

① *0 — левый идеал кольца А. Поэтому для 屮三① tin (ф)金 4 и /А Тогда по лемме 11.4

Нп E(/z, а, N),№*(0).

Пусть

出 w Z (A)*, d = у,〈£\_], а)巨 //, а 声(0).

Тогда для s 巨 SL (几 ——1, А)

(s, 0) d (s, 0〉-'=卩sa〉=山 巨 //•

Очевидно, матрицу s можно выбрать так, что sa * а Тогда

dd”*£“， dd/三 〃 П〈斗_" А"-〉

т. е, группа Н удовлетворяет условию ⑴.

Можно считать, что матрица 九——卩Е几 имеет нулевую строку,

h^ Н,出巨 Z(A)*,h/»E 炉

В самом деле, если бы столбец матрицы h ——цЕп был нулевым, то мы перешли бы к группе ^Н, получающейся из Н транспонированием всех ее матриц, так как нормализуется группой §£(〃，△), а ^£ (м, А, ^) =. =£ (几，△, N). Итак, пусть одна из строк матрицы h — —ц£п нулевая. Трансформируя h ——ц£п элементом нз группы SL(几，А), можно добиться того, чтобы нулевой была последняя строка. Поэтому можно считать, что 九巨 Z(A)*Aff (п — 1, △). Рассмотрим пересечение.

H[]Z^Afi(n- 1, А) = 4

Так как * nе几，то 4u2(a)*七% Если 4 u uZ(A)*〈£\_[, А"-'), то группа H удовлетворяет условию (ii). Если же А ф 2(Д)*{£п-1, А7***1), то рассмотрим взаимный коммутант

；К = (А,〈品一1，>-〉) = (4 Z(\)*〈JfD・

Ясно, что КиН, ибо (Евт, А"—〉и SL(& А). Согласно теореме 7.2. Z (\у{Еп~\, А'^*1)——максимальная абелева подгруппа в GZ(几,А), поэтому К，(£п). Очевидно,

К = (4，〈邑-1，А*'〉)，

где Xi ——некоторая подгруппа в Aff (п——1, А), Следовательно,■

К и 旧…A J〉， К*(Е)

т, е. группа Н удовлетворяет условию (i).

Пусть 卜三"н для любого 5 三 А

九⑹力=忙2⑹，

Тогда первый столбец матрицы h имеет вид

0

'；,Y^Z。)*,

т, е. группа Я удовлетворяет условию (iii). Н

Л е м м а 2. Пусть 几 > 2, Н — подгруппа s GL(n, А), нормализуемая группой SL(& A) w содержащая матрицу 儿 не принадлежащую центру группы GL(n, Д) и га- &屮о, что хотя бы один из ее элементов — нуль. Тогда

Нп ЕЕ \,N)； N，(0)・

ца с, чтоца с, чтоchc i = II и；/ %%] = 0.chc i = II и；/ %%] = 0.Доказательство. Пусть 力=||»川，丫也『=0. Возможны два случая: k ^ I м k ~ I. В первом случае, согласно лемме 8.5, в группе SL(* А) есть такая матри

ца с, что

ца с, что

chc i = II и；/ %%] = 0.

chc i = II и；/ %%] = 0.

Если же 力 = 厶 то в SL(n, А) есть такая матрица с, что с he 1 II ct/j [j, a” == 0.

Следовательно, можно считать ynl = 0 или \м = 0. Учитывая лемму 1 (iv), достаточно рассмотреть тот случай, когда есть такое а 三△, что

г — /^19 («) h~[ t~i (а) Еп.:

Очевидно, г е Н. Далее,

ht^(^) h^1 =七丼 + %62仪力-‘ =En +

где: и — первый столбец матрицы Л, а и — вторая строка матрицы Следовательно,、

г = ^1 (а) + 辽аи/^ (а) = ^' (а) + 〃& с — ас^1 (а).

Теперь рассмотрим отдельно два случая: 1) 丫冷丄=0 и 2) уц=0. Очевидно, в первом случае последняя строка матрицы ис нулевая. Следовательно, последняя строка матрицы г имеет вид [00 1] и группа Н удовьпет-

воряет условию (iii) предыдущей леммы. Если же ун =0, то первая строка матрицы г совпадает с первой строкой матрицы ^1 (а), т. е. имеет вид [1 — а 00].

Ясно, что г = llpijl — нецентральный элемент и р^ = 6. Мы пришли к случаю, когда 龙，厶■

Далее Д ——коммутативное евклидово кольцо.

Л е м м а 3. Для произвольного столбца

а= *^ А", m > 1,

в группе SL(nt Д) есть такая, матрица 5, что

0

sa = • , цД =。也 + …+ artA.

Доказательство. Если а = (0), то 卩=0, s = Ea. Пусть теперь а ， (0). Очевидно,

аг-1

а； + да；

•⑴

Л/ 8)а =

Пусть О——орбита группы SL(力，、)，содержащая столбец а. Среди отличных от нуля координат векторов ор^ биты О пусть ц — наименьшая по норме. Если b — вектор из О, одна из координат которого есть 卩，то, в силу (1), все его координаты делятся на ц. Значит, О содер^ 7кнт вектор

0

0

а с ним и вектор

0：

一 0_

Кроме того, из (1) следует, что для 5 е SL (п. А) координаты векторов а н sa порождают один и . тот же идеал кольца А. Значит, ajA + .. . -|- апА~ цД. ■

Следствие 1. Векторы а и Ь из \п тогда 以 только тогда входят в одну орбиту группы SL(/i, △), когда координаты вектора а 以 координаты вектора b порождают один 以 тот же идеал кольца △.

ПустьПустьQQ5А+…+%人=81a+5А+…+%人=81a+дует из леммыдует из леммыДоказательство. Необходимость, очевидно, сле-

Пусть

Пусть

Q

Q

5А+…+%人=81a+

5А+…+%人=81a+

дует из леммы

дует из леммы

ОО3(e)3(e)卩1卩2 О卩1卩2 О三 О (а)；三 О (а)；

О

О

3(e)

3(e)

卩1

卩2 О

卩1

卩2 О

三 О (а)；

三 О (а)；

в группев группе…+ b八SL(n, А) есть такие…+ b八SL(n, А) есть такиеТогда, согласно лемме 3,Тогда, согласно лемме 3,Пусть 0(。) и 0(b) — орбиты группы SL(nt Д), содер жащие, соответственно, а н Ь. Далее,Пусть 0(。) и 0(b) — орбиты группы SL(nt Д), содер жащие, соответственно, а н Ь. Далее,

в группе

в группе

…+ b八

SL(n, А) есть такие

…+ b八

SL(n, А) есть такие

Тогда, согласно лемме 3,

Тогда, согласно лемме 3,

Пусть 0(。) и 0(b) — орбиты группы SL(nt Д), содер жащие, соответственно, а н Ь. Далее,

Пусть 0(。) и 0(b) — орбиты группы SL(nt Д), содер жащие, соответственно, а н Ь. Далее,

ооО

о

о

卩［=£一|卩2，е~1 ^ Д*. Следовательно,

N2一

0

•三0（叫

-О

т. е/。(а) = О (ft). ■

Лемма 4. Пусть 儿 >2,九=|1Y订|| 三△小 Тогда в группе SL (п. А) найдется такая матрица s, что

卩00卩00S 厶 S-lKg = ||B 订％ где

卩

0

0

卩

0

0

g =、』A+ …+%一小 Ри = yn. (2)

Доказательство. Согласно лемме 3 найдется теках матрица s】w SL(n 1, А), что,

Полагая

s = diag(I, sj,получим равенства (2), s е SL(n, А). ■

Теорема 1. Пусть п > 2, Н — подгруппа 口 GL(n, А), нормализуемая группой SL{n； А) и &с содержащаяся в группе Z(^yEn. Тогда //пЕ(〃，А, /V) для некоторого ненулевого идеала N кольца А.

Доказательство. Пусть g Н и g 医 Z(A)*E% Тогда, согласно лемме 4, в группе Я есть матрица

/z =■= У Y/j \\ sgs ]) s 三 SL (几，А),

такая, что yni ~ 0- Ясно, что 厶影 Z(A)*E% Из ле мм гл 2 тогда следует, что Я n Е (n, A, N)、N * (0).Я

Группа CSL (п, Z, Л^). Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей, а ^его двусторонний идеал. Введем группу CS厶(小 A, N), положив

CSL {п. A, N) = CL(n, A, N) П SL (% А).

Очевидно, CSLg A、N)——нормальный делитель в SL(ti, Д) н в GL(m, А). Из определения группы CSL(n, A, N) следует включение Е(м,А, ")и cz CSUn, N),：

Ниже будем рассматривать случай, когда А совпадает с кольцом Z целых рациональных чисел. По опре-

делению SL (л, Z)——группа элементарными матрицамиделению SL (л, Z)——группа элементарными матрицамиматриц, порожденная всемиматриц, порожденная всемиТак какТак какtij (А), 九三 Z.tij (А), 九三 Z.

делению SL (л, Z)——группа элементарными матрицами

делению SL (л, Z)——группа элементарными матрицами

матриц, порожденная всеми

матриц, порожденная всеми

Так как

Так как

tij (А), 九三 Z.

tij (А), 九三 Z.

то группа SL(/i, Z) порождается 〃(几一1) элементарными матрицами вида 厶“1), ,, / = 1, . . . , п.

Теорема 2. S厶(几，Z) есть группа всех л X п-матриц над кольцом Z с определителем, равным 1.

Доказательство. Так как det5(九)= 1, то det g — 1 для любой матрицы g ^ SL (nt Z). С другой стороны, пусть h w Zn и det h — 1. С помощью элементарных преобразований, т. е. умножая справа или слева на элементарные матрицы, матрицу h можно привести к виду

/{/；/2 — diag [ ± 1,±1] = 6, . /[, SL(n, Z),

где ——1 фигурирует на диагонали матрицы b четное число раз. Покажем, что

Для этого рассмотрим матрицу c = diag[—1, 1, …Для этого рассмотрим матрицу c = diag[—1, 1, …...,1, —1]. Применяя к пей ния, будем последовательно~-1 0 ... 0「0 1 ... оо...,1, —1]. Применяя к пей ния, будем последовательно~-1 0 ... 0「0 1 ... ооэлементарные пресюразоваэлементарные пресюразоваполучать"00О 1получать"00О 1о го оо го о

Для этого рассмотрим матрицу c = diag[—1, 1, …

Для этого рассмотрим матрицу c = diag[—1, 1, …

...,1, —1]. Применяя к пей ния, будем последовательно

~-1 0 ... 0「

0 1 ... оо

...,1, —1]. Применяя к пей ния, будем последовательно

~-1 0 ... 0「

0 1 ... оо

элементарные пресюразова

элементарные пресюразова

получать"00

О 1

получать"00

О 1

о г

о о

о г

о о

0 0 ... 1 оО О О -10 0 ... 1 оО О О -1-О О О 1 _-О О О 1 _О 1 о оО 1 о оо о .-10.-1 0О 1о о .-10.-1 0О 11 оО -1 _..о г..0 01 оО -1 _..о г..0 0о-1о-1О ... 1 оо о оJ一 10..О ... 1 оо о оJ一 10..о о_-1 о о 0~о о_-1 о о 0~.1 о.о о.1 о.о о

0 0 ... 1 о

О О О -1

0 0 ... 1 о

О О О -1

-О О О 1 _

-О О О 1 _

О 1 о о

О 1 о о

о о .

-10.

-1 0

О 1

о о .

-10.

-1 0

О 1

1 о

О -1 _

..о г

..0 0

1 о

О -1 _

..о г

..0 0

о

-1

о

-1

О ... 1 о

о о оJ

一 10..

О ... 1 о

о о оJ

一 10..

о о

_-1 о о 0~

о о

_-1 о о 0~

.1 о

.о о

.1 о

.о о

О 1 о о

О О 1 оО О 1 о

О О 1 о

О О 1 о

-1 О О 1

Отсюда вытекает, что с е SL(n, Z). Следовательно, и h 三 sZ(& Z). ■

Рассмотрим теперь CSL(n, Z, N) = CLgZ, N) П (П SL(n, Z). На множестве CS丄(几，Z, M) определим бинарное отношение R, положив для g, h e CSL(n, Z, ^) g7?〃，если h получается из g применением конечного числа операций трех следующих видов: умножение на элемент из группы Е (几,Z, А『)справа илн слева, трансформирование элементом из SL(n, Z). Очевидно, R — отношение эквивалентности.

Л е м м а 5 (Б ре н ие р [1]). Пусть 几 > 2. Тогда для любой матрицы о ="仪仃山 三 CSL (n, Z, N) существует такая матрица

力= diag[c, 1], c wCSL(〃一 1, Z, N),(3)

что aRb.

Доказательство. Если N =厶 то CL (% Z, N、= =GL (几，Z), CSL (/i, Z, N) = SL (〃，2) — E (n, Z, N) и лемма тривиальна. Тривиальна она и при ^ = (0), ибо CL(nyZ, (0)) = CSL(n,Z, (0)) — Е(小 Z, (0))=(印)， Пусть теперь N = (v), ”三 2, v > 1. Лемма почти очевидна, если при некотором /, 1 0 i & % 仪也=1. В самом деле, при 々 * i 编三 /V и, значит,

hi (恤丿 w E(% Z, N).

С другой стороны, пусть

d=厶 i(— aQo*

Ясно, что на позиции (居 i) матрицы d расположен нуль. Таким образом, умножая матрицу^ а слева на матрицы из группы EgZ、N), можно обратить в нуль все недиагональные элементы Lro столбца. Таким же приемом можно обратить в нуль все недиагональные элементы，-访 строки. Наконец, согласно лемме 8.5, в группе SL(几,Z) есть матрица, трансформирующая полученную матрицу к виду (3).

Пусть теперь матрица г =阮管口 ^ CSL(n, Z, N) удовлетворяет условиям

(p2d「р32『')=1，р31 = 0(4)

(здесь в левой части первого равенства используется обычная запись наибольшего общего делителя двух нн*

сел). Тогда существует такая матрица r{ с 1 на позиции (2,2), что rRr攵 В самом деле, р22 = 1 + vX, а из (4) вытекает существование таких целых 也 и 3?, что

У入—Р21М 十 Р32^2'5)

Если теперь

/=厶2(61)%3( -62)，「I = tГt \

то rRrL и, в силу (5), па позиции (2,2) матрицы 厂丄 расположена 1.

Для доказательства леммы остается показать существование матрицы

г = Нрг/|'1>

удовлетворяющей условиям (4) и такой, что aRr. При этом можно считать ап =# ± 1. Тогда наибольший общий делитель недиагональных элементов первого столбца матрицы Q имеет вид 卩=九” > 0. Так как det а = 1, то

(а“ 九)L

Согласно лемме 4 матрица а сопряжена в группе SL(nt Z) с матрицей

f = \\ Vi/ II» Vii = ai 1»丫21=入3， Y〃 = 0 для />2*

Очевидно, что существует i > 1 такое, что 丫幫 #= 0. Поэтому можно считать

Y32 #= 0.

Так как

(Yii，九) = (&“，九)=1，

то, по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, существует такое у м Z, что

(Y11Y + 儿 Y32L1)= 1.

Положим

尸=11 р订 11= %21(Yv)f・ Тогда fRr и

P2I ^ V21 + H1Y6 = 2w + YnYV =(Y11Y + 九)v,Р32 = У32，Р31 = 0・

В силу выбора у

(Р32У「Р2d7)= L

Следовательно, aRr и г удовлетворяет условиям (4). ■

Лемма 6. Пусть 〃 2> 2. Тогда истинна следующая импликация:

£ (/?, Z, N)声 CSL (孔，Z, TV)今5

今石(几 一 1, Z, M 声 CS£ (и — I, Z, ,V).

Доказательство. Пусть )

CSL {n, Z, N)方 E (% Z, N).(6)

Тогда D = CSL(n, Z, Ny\E(n, Z, N) *0. Пусть q 巨 Q и aRb. Так как обе части неравенства (6) инвариантны в группе S厶(孔，Z), то b ^ D. Согласно лемме 5 существует матрица b вида h = diag{c, 1], aRb. Так как b ^ 后户(几，Z, /V), то с ф Е(п — 1, Z, N). Следовательно, c^CSL(n - I, Z、1, Z, N). В

Совпадение групп E(3,Z, №) и CSL(3, Z,N、* Введем естественный гомоморфизм

S厶(3, Z)f S£(3, Z)/K(3, Z, N)

и положим Г ~ CS厶(3, Z, tV)・

Лемма 7. f(P) содержится © центре группы Im/>

Доказательство. Если gR/г u f(/z) принадлежит центру С группы ImД то /(g)=f(Z) ^ С. Пусть g巨匚 Тогда, согласно лемме 3, существует такая матрица

一 а р/г = у 6Lo Очто gRh* РассмотримГ 1 О. о о一 а р/г = у 6Lo Очто gRh* РассмотримГ 1 О. о о(ГО е г,1-a -Y 九(一1)=乙3 (a- 1)以(Y).(ГО е г,1-a -Y 九(一1)=乙3 (a- 1)以(Y).

一 а р

/г = у 6

Lo О

что gRh* Рассмотрим

Г 1 О

. о о

一 а р

/г = у 6

Lo О

что gRh* Рассмотрим

Г 1 О

. о о

(Г

О е г,

1-

a -

Y 九(一1)=乙3 (a- 1)以(Y).

(Г

О е г,

1-

a -

Y 九(一1)=乙3 (a- 1)以(Y).

Так как а—1, у е N, то 儿 е Е(3, Z, N). Таким же путем устанавливается прингддлежность группе Е (3, Z, N) и других коммутаторов Л вида

мИ^н-^7^\),,

где (/, /)关(1, 2) или (2, 1). Поэтому f(k) =Е(3, Z, N), /(Л) перестановочно с ^(/г?(1)); Далее,

%⑴二储⑴生⑴匕3(一1)3(-1)，

3 ⑴=3⑴ 0 ⑴ %3(-1)/3n一1)，

так что группа S£(3, Z) порождается матрицами 看仃(1), где 亿/)幺(1, 2) пли (2, 1). Поэтому /(九)三 С. Следовательно, и f(g)三 С. ■

Л е м м а 8. Пусть

а е (Г

%= у 6 0 巨『， У = /(%),

—0 0 1 .

а 々 力 1 ― целое число. Тогда матрица 丸 видаа 々 力 1 ― целое число. Тогда матрица 丸 видааа(—1 尸+ 1 Y*(—1 尸+ 1 Y*00в группе Г есть такаяВ" о「 М 0 ,0 1 -в группе Г есть такаяВ" о「 М 0 ,0 1 -

а 々 力 1 ― целое число. Тогда матрица 丸 вида

а 々 力 1 ― целое число. Тогда матрица 丸 вида

а

а

(—1 尸+ 1 Y*

(—1 尸+ 1 Y*

0

0

в группе Г есть такая

В" о「 М 0 ,

0 1 -

в группе Г есть такая

В" о「 М 0 ,

0 1 -

*/了0，(必)

Доказательство. Воспользуемся индукций по числу 左. Для k= 1 лемма верна, 修=乂，6i=6. Пусть лемма верна для 才， докажем ее справедливость для Z?十 I • Положим

- 0 1 о-工=0 0—1-1 о о- 0 1 о-工=0 0—1-1 о о0 1о о о0 1о о о0--1о0--1о"6 0=0 1Т о"6 0=0 1Т ооаоа

- 0 1 о-

工=0 0—1

-1 о о

- 0 1 о-

工=0 0—1

-1 о о

0 1

о о о

0 1

о о о

0-

-1

о

0-

-1

о

"6 0

=0 1

Т о

"6 0

=0 1

Т о

о

а

о

а

0(_ 1)^ + 2 Yfe+Iа0(_ 1)^ + 2 Yfe+Iа

0

(_ 1)^ + 2 Yfe+I

а

0

(_ 1)^ + 2 Yfe+I

а

Согласно лемме 7 f(х)三 С. Следовательно, f (^) =у. По индуктивному предположению f(х){х) =/(•曾J/(亍)= и Умножая матрицу

ад у 一аy

40 (一1 尸 y" 64(一1 产屮+1

—р 0 а

последовательно на элементарные матрицы из группы £(3, Z, N), получим

4元,4元,10(—1 尸+」” м+1-р卢I10(—1 尸+」” м+1-р卢I1旷0

4元,

4元,

10

(—1 尸+」” м+1

-р卢I

10

(—1 尸+」” м+1

-р卢I

(一1产+1Y"5 嬴(一1)"2Y5 ,一p0a .

"1 00

0 M+I (一 1 产3+1.0 旷+1a

Трансформируя последнюю матрицу элементом группы SL(3, Z) (лемма 8.5), получим Ха+ь По построению

〃必+)=^+1. ■

Л е м м а 9. Пусть

р 0^

у 6 0

-0 0 1.

q & таково, что В* = e(mod а), где е = ±1. Тогда ■ х%Е(3, Z, М・

РассмотримaXv +0"У0.01 .РассмотримaXv +0"У0.01 .〃耳 ^ 尤"12(Av)f〃耳 ^ 尤"12(Av)fДоказательство. (V)= М

Рассмотрим

aXv +0"

У0.

01 .

Рассмотрим

aXv +0"

У0.

01 .

〃耳 ^ 尤"12(Av)f

〃耳 ^ 尤"12(Av)f

-а

以=y

-О

Так как х s CSL (3, Z), то a = 1 + |_iv, v | р. Следовательно,

V I Р& + E|TV・

С другой стороны,

В* = £ + pa, Р& + e(.iv = е + pa + е (a — I) = (р + е) а.

Следовательно, v | (р + е) а, и так как (v, a) = 1, то VI р + е. Тогда va| (р + е)«» т. е.

va|pft + eMv.

Значит, уравнение

aXv + В* =——“w

разрешимо в Z относительно 九.Подставив его решение в 欤，получим

4

-a — E|tv

О' 0

I-

У

_0

у 0

Далее,

% (— 8)〃小I(Е)=

■ 1

У

—"w 6"

О' 0

-0

0

1 -

Очевидно, последняя матрица принадлежит группе Е (3, Z, М・ Следовательно,

w Е (3, Z, %).

Согласно лемме 8

f (炉)=f (必)=E (3, Z, N),xk^E (3, Z, M・■

Лемма 10 (M е н н и к е[1]).CSL〈3、Z, N)=

=£(3, Z, ”)•

Доказательство. Пусть х е Г. Покажем, что %w£(3, Z, 2). Так как при xRy х ^ Е(3, Z, /V) 台 ФФ у w£(3, 2, %)，то, в силу леммы 5, можно считать, что

F В О'尤=? 6 0 .

L.0 0 L

Для ту Z

♦ а + /В В О'

，21 (б)尤/21 (/) =3 V 6' 0 =3 尤广

-0 О 1_ Если

ct/ = a + rzp,.

а 龙f —такое целое число, что

В*м 士 1 (mod aj,⑺

то, согласно лемме 9,

х)®Е(3, Z, %).

Но

# =石气丿5厶3),

так что x?Rx外 и, значит,

d； w£(3, Z, N).(8)

Пусть теперь i = 1, 2, (k^ k^ —наибольший общий делитель чисел At и 局.В силу (8)

必同，加} g Е (3, Z, N).

Остается теперь доказать существование таких чисел % и а? в прогрессии

а + 辞(9)

и таких взаимно простых 丸 и 左之 в Z, которые удовлетворяют условиям (7).

Покажем сначала существование такого простого числа 〃， что

〃三一1 (mod 4)(10)

и " или —р находится в прогрессии (9). Так как det к = 1, (а, В) = L

Пусть а = —1 (niod 4). Тогда (а, 40) = 1, поэтому, по теореме Дирихле об арифметических прогрессиях, в прогрессии а 斗 413T есть простое число р.

Аналогично, если а s 1 (mod 4), то в прогрессшл 一 в + 工(——р) есть такое простое инс门о р, что р ^

* ―1 (mod 4). Тогда ■—р находится в прогрессии (9), Остается рассмотреть случай четного а. Тогда р 三 曰 1 (mod 2) и сравнение

а + 用6 = — 1 (mod 4)

имеет единственное решение k. Расслютрнм прогрессию а + 邙，где т 胃力(mod 4):

а + 硝=а + (4Е + QB = (а + /小)+ 4 队(11)

Так как (ci 十钵，4似=1, 口 прогрессии (11) есть простое число р.

Пусть простое число р удовлетворяет условию (10) и р или ——р принад门е》кнт прогрессип (9). Пусть, далее, p -! = 2%卜…力

—каноническое разложение,

6 = 6〃仇 или m=p при р—1=2*

По теореме Дирихле существует такое простое число 门， чю п = (—1) (mod m). Далее, так как (〃，"，)= 1, то существует такое простое число г, что r = ——p(mod『〃). Пусть а ——показатель числа 6 по модулю ", а 尼2 ——показатель числа § по модулю пг. Тогда

р — 1,々21cps

где (р(х)—функция Эйлера. В силу выбора чисел 〃 и г отсюда вытекает, что а и % не имеют общих нечетных простых делителей. Так как 〃 удовлетворяет условию (10), то а нечетно, либо при четном а нечетно у. Положим теперь 仪！ = 士夕，口2= 士〃广 так, чтобы g и g принадлежали прогрессии (9). Пусть

电=а, если а нечетно,

& = $ если а четно.

Тогда со и а2 входят в прогрессию (9), а числа 也 и 左2 удовлетворяют условном (7). ■

Из лемм 6 и 10 вытекает

Теорема 3, При 孔 > 2 CSL (几,Z, /V) = Е (n, Z, N).

Нормальные делители групп GL(nt Z) и SL(nf Z) при 几 > 2. Подгруппы конечного индекса. Применяя к c/iyqaio А = Z теорему 1 и учитывая теорему 3, получим следующее ^отверждение:

Теорема 4 (Ме н ни ке [1]). Пусть 几 > 2, Н — подгруппа s GL(&Z), нормализуемая группой SL(% Z) 〃 не содержащаяся 6 группе Тогда для некоторого ненулевого идеала N кольца Z

Н =5 CSL (/г, Z, N).

Следствие 1. Пусть 几 > 2, Г = GL (他 Z) или Г = ~ SL(n, Z), Я<Г и Н не содержится е центре группы Г. Тогда Я ——подгруппа конечного индекса.

Так как всякая подгруппа конечного индекса содержит нормальный делитель группы конечного же индекса, то из теоремы 4 вытекает

Теорема 5 (Басс, Лазар, Серр [1], Меняй- к е [1]). Пусть 几 > 2, a G — подгруппа группы SL(nr Z) конечного индекса. Тогда при некотором ^ 声 (0)

GnCSL(n, Z, N).

Условие и X> 2 в теоремах 4 и 5 является существенным, Еще в 1887 году были найдены примеры нормальных делителей конечного индекса группы SL(2, Z), не содержащих группу CSL (2, Z, ^) ни при каком N 关(0). Серию таких примеров построил Райнер в [1].

Подгруппы конечного индекса в SL(n, А), где 九 > 2, а Л ——кольцо целых алгебраических чисел конечного расширения поля рациональных чисел, изучаются в работе Басса, Милнора и Серра [1].

В этом случае, теорема 5 остается верной тогда и только тогда, когда для любого идеала N кольца А фактор-группа CN = CSL(n, Л, N)/E(n, Д, N) является едгь яичной группой. Если поле К имеет вещественное нормирование, то С^ = 1 для любого идеала N, Если же поле К вполне мнимо, то Cn изоморфна некоторой подгруппе порядка г = г(М) группы корней из 1, лежащих в К, В частности, если т ——число корней из 1 в поле К, а т" делит идеал N, то r(N) = mt

ГЛАВ Л /V

ПРИВОДИМОСТЬ И ИМПРИМИТИВНОСТЬ

Абелевы группы с операторами. Строение полупростых алгебр

Здесь приводятся, в основном без доказательств, нужные для дальнейшего изложения свойства операторных абелевых групп и теоремы о строении ассоциативных полупростых алгебр.

Операторная абелева группа- Пусть Л — операторная абелева аддитивная группа с областью операторов Q. Тогда по определению для любых ⑴ w Q, х е А задано ⑴尤三 4 причем 3(а + 力)=⑴a + sb для a, bwA Подгруппа В группы 4 называется допустимой, если ыЬ 三 В для любых о)е Q,匕三及 Очевидно, что Л и (0)—допустимые подгруппы группы 4 Если отличная от (0) группа А обладает лишь этнми двумя тривиальными допустимыми подгруппами, то А называется one- раторно простой.

Если В ——допустимая подгруппа группы Л, то факторгруппу A/В можно считать операторной группой с той же областью операторов Q, положив со (а + В) =⑴。十 :+ 8 для а ^А.

Композиционным рядом операторной группы А называется конечный ряд

人=/1 n 4 二)…二)人=(0)

допустимых подгрупп, факторы которого

匕=4/4+1，，= 0, 1,...,力一1,

операторно просты.

Пусть А и Л ——операторные группы с одной и той же областью операторов Q. Будем называть Л и Л операторно изоморфными, если существует такое биективное

отображение f: Л f Л\ что /(入' + у) = f (工)+ f (，)， f (wx) = of (工)для любых xy у

Если операторная группа А обладает композиционным рядом, то его факторы определены однозначно с точностью до операторного изоморфизма и нумерации (теорема Жордана — Гельдера).

Предложение 1. Пусть группа Л ——прямая сумма

А = В{ ~\- ... + Z?^⑴

операторно простых допустимых подгрупп 8九 Тогда всякая нетривиальная допустимая подгруппа 8 группы А операторно изоморфна прямой сумме

Bq + - - - + В/

а группа А представима 行 виде

где

—некоторая перестановка чисел 1, . . . , k.

Предложение 2. Пусть

А = 5| н~ . . . Ч~ 6尼=СI Ч- - • • Ч- С\,(2)

где

В Вс I f • • • j С [

—операторно простые допустимые подгруппы группы А. Тогда k = / и при подходящей нумерац и и слагаемых подгруппы Bj и С； операторно изоморфны (j = 1,...,〃).

Из этих двух предложений следует

Предложение 3. Пусть (2)——два разлод^сения группы А 8 прямую сумму операторно простых допустимых, подгрупп^ Н ——операторно простая допустимая подгруппа группы 4, В (Н)——прямая сумма всех В- из (2), операторно изоморфных ", а С (//) —прямая сумма всех С)из (2), операторно изоморфных Я. Тогда "и и 3(") и В(Н) = С(〃).

Предложение 4. Группа Д, обладающая композиционным рядом, тогда и только тогда представляется о виде прямой суммы операторно простых допустимых подгрупп, когда каждая ее допустимая операторно простая подгруппа прямо дополняема допустимой подгруппой.

Группа Л называется разложимой^ если ее можно представить в виде прямой суммы двух нетривиальных допустимых подгрупп. В противном случае группа 4 называется неразложимой.

Предложение 5. Операторная группа Л, обладающая колшозшцюнн'ым рядом, либо неразложима, либо ——прямая сумма конечной системы неразложимых допустимых подгрупп. Если (2)—два представления группы Л в виде прямой суммы неразложимых допустимых подгрупп, то А = / и при подходящей нумерации слагаемых группы В； и Cj операторно изоморфны (j = ==1, . . . , А).

Гомоморфизмы операторных абелевых групп. Пусть операторные абелевы аддитивные группы Л и S имеют одну и ту же область операторов Q. Символом Нот (Л, В) обозначим множество всех операторных гомоморфизмов Д в В, т. е. множество всех таких отображений /г: Л -> В, что

九(е ^ у) h (л-) + h (//), h (①工)—ю/i (x)

для любых х, ;/ 三 4, s w Q. Для элементов g и ft из Hom (Л, В) определим сложение, положив (g + h) (%)= = g(x)+"(%)• Тогда, очевидно, Нот(4,8) станет аддитивной абелевой группой. Ясно,что для h е Нот(Л,В) Ker h ——допустимая подгруппа группы Л, a Im h ——допустимая подгруппа в В.

При В — А элелтепты из Нот (Л, В) = Нот (Л, Л) можно, кроме того, перемножать как отображения. Непосредственная проверка показывает, что Нот (Л, Л)— ассоциативное кольцо с единицей.

Лемма 1. (Лемма Шура.) Пусть Л и В — операторно простые абелевы группы с одной и той же областью операторов, а Л е Нот (Л, В). Тогда й ——либо нуль группы Нот (Л, В), либо операторный изоморфизм.

Доказательство. Пусть й 声 0. Тогда Kerh 扌 А、 Так как группа Л операторно проста, то Ker h = (0). Так как /г 二 0, то Im ft ^ (0). Отсюда и из операторной простоты В вытекает, что Im h ~ В, Следовательно, /г —— операторный изоморфизм. ■

Следствие 1. Если Л — операторно простая группа, то Нош (Л,Л) есть тело. Если Л и В — неизоморфные операторно простые группы, то Нот (4, В) = (0).

Лемма 2. Пусть А задается формулой (1), где 8j— операторно простые попарно операторно изоморфные группы. Тогда кольцо Нот(4, 4) изоморфно полному матричному кольцу Д над tsaom Т = Нот (Bb Bi).

Доказательство. Будем считать, что 4 ——прямая сумма 々 экземпляров группы

5 =乱，

и записывать в виде

。==,..., “尼)，а/ 宙 3,

так что в Bj входят вес элементы вида

(О, О, а「0, ..0),

где элемент 勾 находится на /-м месте. Введем 胪 операторных эндоморфизмов %、.，где 卩，v = I,…，私 вида

(а» * * ♦，〃左)0)，

где элемент av занимает ц-е место. Например,

31 (a1)，Q比)-■ (°, "1，。).

Пусть Т = Hom (В, В). Для fwT положим /褊)(/〃],♦・・，％兑).

Следовательно, f можно трактовать как эндоморфизм группы А. Отсюда вытекает, что любой элемент, h вида k

九=,J口萨咐 九(3 w T，(3)

является операторным эндоморфизмом группы Л.

Из определения e^v следует

£аВ£(л\> =赊 av,

где д^ — символ Кронекера.

Очевидно, что

饱и” -£付”力 /三T •

Эндоморфизмы eau линейно независимы над. Т. Действительно, пусть 九=0. Тогда, умножая равенство (3) на evv справа и на емц слева, получим■

小y%v = °・

Отсюда

Итак, эндоморфизмы h вида (3) составляют кольцо, изоморфное полному матричному кольцу 7\.

Остается теперь показать, что любой элемент g 三 三 Hom (Л, Л) имеет вид (3). При фиксированных g, i, / определим следующим образом отображение /；；: В f В, Пусть b w В,

b/(0, ... j 仇….，0)? gb j =^(3, ♦…，％)*

Тогда положим

力抄-3.

Очевидно, tij 三 T. Покажем, что

g=X 力卢〃.(4)

Для а = (аь .,. ,аи)^А можно написать

k

ga gа危)g (0) . ■ ■) а,,…, 0),

причем в каждом /-м слагаемом элемент。)находится на /-м месте. Далее,

g (0> ■ • ■ j ^/j • ■ ■ ? 0)(/]/(2/,….,"/〃/)*

Следовательно,

Д-Д = 2 (0, tijUj, . .0),

где элемент 九川 расположен на i-м месте. С другой стороны,

力/£ 订(а)=打(0 一…ah ...» 0) = (0, ...» Ja卜…,0),где Qj и tijaj находятся на t-м месте. Таким образом,ga = 2 厶声〃(а).

Отсюда вытекает равенство (4). ■

Теорема 1. Пусть Л — прямая сумма

И = &1 Ч- ♦♦ • H-^ir,十 B2i Н- .« . 4- 82r2 Ч"…•

• • * 4-伉 1 4- •.. +

допустимых оператор но простых групп 3仃 таких, что Bia w Вi^ при любых，，а, 6 операторно изоморфны, а В；а и В,0 при ，*j операторно не изоморфны. Тогда кольцо Нош (Л, А) есть прямая сумма s колец R% . .., R& таких, что RiRj = (0) при i 声 /, кольцо R； (/ = 1, .. . , s) изоморфно полной матричной алгебре степени 广 над телом Q = Нот (В；1, Вя).

Доказательство. Пусть

*4 / — В л ~Р . . • -f- 2?/гу >/ 1 > • • •) 5.

Тогда,

лЛ5.

Для любого h^ R = Hom (Л, А)

h{A^Ah(5)

Действительно, рассмотрим отображение

h: Bja —> h (Bj^j尤》~> Л (.v),工三 Ву&.

Так как h ——гомоморфизм и группа 3近 операторно проста, то h(Bja) —либо (0), либо группа, операторно изоморфная 3ja. Согласно предложению 3

h^B^czA^

и, следовательно, верно (5).

Введем теперь эндоморфизмы л ；, / = 1, .. . , 5, положив

Л/：尤 *—> 工『,х 三 x = X[十 ... + xs,xj 三

Очевидно, что

冗]十...+ % == 1,

где 1——тождественный автоморфизм группы А. Для R = Нот (Д, А) можно написать•

R (冗！ + • • ■十冗§) R 口iR 十• • • + TtsR^^R] + ..・.+、.Rs，

где、

Rj = NjR.

Из включения (5) вытекает:

R(Aj)= Ah 7tiR{Ai) = At, %R(4) = (0) при i 声 j・

Следовательно, при t * j Ri П Rj = (0), RRj = (0). Отсюда

R — R\-b …4- Rs^ Очевидно, что

勺I乙=Hom (/戸

Так как при i j 旦«力—(0), то

R/ ~ Hom (Ху, </)•

Отсюда и из леммы 2 следует утверждение теоремы. В

Полупростые алгебры над полем. Пусть/! — линейное пространство над полем А, и пусть на Л задана операция умножения векторов, т. е. для любых а и b из /1 определено произведение ab ^ Л. Если Л образует кольцо относительно сложения и умножения векторов, причем (〃匕)九—(o?Jb = a(bk) для любых а, b ^А^ 九三 А, то Л называется алгеброй над полем А. Если умножение векторов подчинено ассоциативному закону, то алгебра Л называется ассоциативной. Размерность линейного пространства алгебры А называется размерностью (или рангом) алгебры А. Идеалом алгебры А называется всякий идеал кольца алгебры, выдерживающий умножение на элементы поля А.一

В настоящем пункте буквой Л обозначена ассоциативная алгебра конечной размерности над полем А, обладающая единицей с. Идеал N (левый, правый или двусторонний) алгебры А называется нильпотентным, если существует такое натуральное число /, что произведение / произвольных элементов из N равно нулю. Так как в Л есть единица, то всякий, идеал алгебры Л является подпространством пространства алгебры.

Пусть R ——идеал максимальной размерности над А среди нильпотентных идеалов алгебры А. Тогда R — двусторонний идеал Л и любой нильпотентный идеал алгебры Л содержится в R. Отсюда вытекает, что идеал А* определяется однозначно алгеброй A. R называется радикалом алгебры Л. Алгебра Л называется полупростой, если ее радикал R = (0). Алгебра Л называется простой, если в Л только два двусторонних идеала: Л и (0).

Алгебру Л удобно иногда рассматривать как абелеву операторную группу 取⑷，область операторов которой

тоже Л, а результат действия оператора а нз 4 на элемент % из А есть .произведение ах. Очевидно, система всех допустимых подгрупп абелевой, аддитивной группы W(A) совпадает с системой всех левых идеалов алгебры Л, а операторно простые подгруппы группы W(А) су】ь

алгебры 4 Строение полу- описывается следующимитогда и только тогда пол卜• • • + Lt, •(6)алгебры 4 Строение полу- описывается следующимитогда и только тогда пол卜• • • + Lt, •(6)минимальные левые идеалы простых алгебр полностью теоремами.

алгебры 4 Строение полу- описывается следующими

тогда и только тогда пол卜

• • • + Lt, •(6)

алгебры 4 Строение полу- описывается следующими

тогда и только тогда пол卜

• • • + Lt, •(6)

Теорема 2. Алгебра Л проста, когда

4 =厶斗

где 厶,，/ = 1, ..., t, — минимальные левые идеалы Л. Иными словами, алгебра Л тогда и только тогда полупроста, когда операторная группа W(Л) есть прямая сумма операторно простых допустимых подгрупп.

Теорема 3. Алгебра А тогда и только тогда полупроста, когда А представима в виде прямой суммы

л = Л] + ... + 4, ⑺ где Aj — двусторонние идеалы алгебры Л, Д；Д ； = (0) при ：#=/, А产 Tl■广 7，— те/о, центр которого содержит А.

В силу предложения 2 слагаемые 厶 в разложении ：(6) определяются алгеброй А однозначно с точностью до операторного изоморфизма н нумерации. Разложение (7) определяется алгеброй А однозначно с точностью до нумерации слагаемых Л；. Разложения (6) и (7) связаны следующим образом. Число слагаемых s в (7) есть число попарно операторно изоморфных слагаемых в (6). Размерности над А слагаемых из (6) суть числа

% = (Т‘： А) Г/, z — 1, . . ., s,

ибо Л/ — прямая сумма г( операторно изоморфных минимальных левых идеалов размерности 九仆

В частности, условия простоты алгебры А имеют влд

Г) Алгебра А тогда и только тогда проста, когда :

Л = Lj + .…+ Lr)

где Lj — попарно, операторно. изоморфные минимальные левые идеалы А,

2) Алгебра А тогда и только тогда проста, когда А 享

Тъ где Г — тела.一

О нильпотентных кольцах и нильпотентных группах.

Пусть Л — ассоциативное кольцо, а В и С — двусторонние идеалы А. Произведением ВС называется идеал кольца Л, состоящий из всех сумм вида

仇J十・・・十btch

где t — любое целое положительное число, bq В, qwC Легко видеть, что умножение идеалов ассоциативно. Это определение позволяет ввести степени Л¥, v 》1, кольца А : А2 — AAt Л3 = ААА и т. д.

Пусть кольцо Л ни儿ьпотентно, т. е. пусть для некоторого целого положительного k Ah = 0. Если 左—наименьшее положительное число, для которого Ah = 0, го 6 называется классом нильпотентности кольца Л. Легко видеть, что имеют место следующие строгие включения:

Пусть снова Л—произвольное ассоциативное кольцо. На множестве А зададим операцию。，положив

。。6=a+b+。仇 a,

Очевидно, относительно этой операции Л образует полугруппу 〈4 о ), единицей которой служит нуль кольца А. Полугруппа (Л;。〉 называется присоединенной полугруппой кольца Л.

Теорема 4. Пусть Л —нильпотентное кольцо класса нильпотентности k. Тогда присоединенная полугруппа G =〈4, о) является нильпотентной группой, класс нильпотентности которой не превосходит числа k— 1.

Доказательство. Для а еЛ имеем аУ = Q, V —I

w W 目 Положим а】=£ (—1/ а\ Тогда а。。1=5。。=

=0, т. е. а — обратимый в G элемент. Следовательно» G = (А, о) является группой. Покажем, что G нильпо- тентна, а класс нильпотентности G не больше k— 1. Положим Go = G, Gj = (G, Gjt), где / > 0, a (G, Gj)— взаимный коммутант. Надо доказать, что Gi является единичной группой, т. е. Gk-i — 0. Покажем, что при любом j Gj С2 Л^1, и теорема будет доказана. Для / = 0 включение 'Gjd А^ очевидно. Пусть Gj-icz А\ J > 0. \Далее； Gj = (G, Z?^) порождается коммутаторами вида

6 =0口力。010力］, где а 三 G,力三 Gj-i, a 口 s = 0, 力口九= =0. Для с имеем

с = (а-}~ b + аЬ)。(а】+ 瓦 + a^b^ = a+ b + ab +

+ a】+ 仇+ a】瓦+ (a + % + а» (a】+ 仇 +。厶)三

三。+ 力 + а】+ % + (а + 力)(@i + 仇)=

a f_ а； + ста】+ 力 + 仇 + 力d (mod *).

Следовательно, ”5。&血=匕三 A汁* Gj cr A^. ■

Пусть теперь A — произвольное ассоциативное кольцо с единицей. В кольце Дп выделим подкольцо %(м, А)

всех матриц видавсех матриц вида—0а12ai3 •00a23 •000 .• a〃一1，n000.0—0а12ai3 •00a23 •000 .• a〃一1，n000.0a订三a.a订三a.

всех матриц вида

всех матриц вида

—0

а12

ai3 •

0

0

a23 •

0

0

0 .

• a〃一1，n

0

0

0

.0

—0

а12

ai3 •

0

0

a23 •

0

0

0 .

• a〃一1，n

0

0

0

.0

a订三a.

a订三a.

Как легко видеть, произведение любых 九 матриц из М5,А) равно нулю. С другой стороны, е^2з • • - ^n^i, « = =£；办 声 0. Следовательно, 疥(几,А)——нильпотентное

кольцо класса нильпотентности п.

Теорема 5. G = Еп + N(п, Д) — нильпотентная группа класса п — I.

Доказательство. Отображение f: N(п, Д) ^

Еп + N(п, А), где f(x) = £п + х, является изоморфизмом присоединенной группы кольца N (п, А) н группы G. Действительно, f биективно, и f (х ◎ у) =f(x +，jxy) = =Еп + х + у + ху = (Еп + х) (Еп + у)= f(x)f(.t/). Следовательно, по теореме 4, группа G нильпотентна и класс нильпотентности G не больше п——I. С другой стороны, если положить 5(1)=育j, то /13 = «⑵？2з)е 巨 Gi, /14 =(九3, 土34)三 ^2, ...» tin ^ (厶，n—1, ^n-1, Q W 巨 Gm—2, где Go = G, G； = (G, G—i). Следовательно, Gn-2 ¥= ^n； группа G нильпотентна класса 孔一1. ■

Если в качестве кольца А взять тело Т, то верна

Теорема 6. Пусть N -* нильпотентное подкольцо кольца Тп. Тогда 8 GL(n, Т) найдется такой элемент d, что1

(Г，Nd и N П Т).

Доказательство. Тп будем трактовать как кольцо эндоморфизмов пространства Т"・ Пусть Nk = О,

A"i 老 О, А>1. Введем подпространство Qv, где О V * V 依 пространства Т\ взяв в качестве Qv линейную Т'-оболочку множества векторов NvTn. Очевидно, что

Q”i и Q『2 и ... cQ] с Tn = Q0.

Из построения Qv следует, что для g 三 N и 夕 V 力一1 имеем

g(Q、，)uQw, g(Q”J = Q, MiQv = 0.

Можно показать, что все включения Qv и Qv』м = =1,.一，左——1, являются строгими. Действительно, пусть Qv = Qvt. Тогда /V(Qv_】)=〃@) и Qv*, отсюда

Nk~{Tn = Nk~''(N'"~'Tn) с Nk~vQv^ = V jQv = Q.

Однако N*iTn 广 0, ибо 力 ——класс нильпотентности №. Теперь легко доказать теорему. Построим Т-базнс пространства Тп следующим образом. Базис Qi дополним до базиса Q方_2, полученный базис Qu дополним до базиса Q在一з и т. д. Очевидно, в построенном базисе матрица элемента g из N имеет вид

0а[2 , * , a1儿

00 …02々

.0 о о ,,

Это ii доказывает теорему. ■

Следствие 1. Кольцо N(n, Т) максимально среди нильпотентных подколец кольца Тп, Если AG 〃 W2—максимальные нильпотентные подкольца кольца Тп, то в GL(n, Т) найдется такой элемент d, что ANd = N*

Линейные представления. Приводимость и неприводимость линейных групп

Линейные представления. Пусть М — правый свободный модуль над кольцом А, а У — произвольное непустое множество. Любое отображение

d:Hom(M, М)(1)

называется линейным представлением множества У.

Для заданного представления (1) модуль М будем рассматривать как операторную абелеву аддитивную

5 Д. А. Супруненко

группу М (й) с областью операторов Q = У U А, где действие оператора (о е й на элемент 〃三 М задается следующим образом. Если (о = у е У, то положим з〃 = о〃，где o = d(y). Если же со =入 三 А, то положим (о〃 = иХ. Очевидно, каждая допустимая подгруппу операторной группы М(й) является подмодулем модуля Л1. Пусть 而I и М2 ——свободные правые модули над кольцом Д. Два представления

di： У f Hom(M[, MJ, d2: Y -> Нот(М2» Л4г) (2) множества У называются эквивалентными, если группы Ali(Q) и Mz(C) операторно изоморфны.

Лемма 1. Представления (2) эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такой изоморфизм модулей

电 AG,(3)

что для любого у ^ Y выполняется равенство

选(9)= 24(9)旷1(4)

Доказательство. Пусть представления (2) эквивалентны. Тогда существует операторный изоморфизм

屮：М](Й)->М2(Й)*

Очевидно, что 屮——изоморфизм модулей Mi и М2. Покажем справедливость формулы (4). Пусть Xi пробегает модуль М^ Тогда х2 = ip(xi) пробегает модуль М2. Для любого у w У можно написать

&2 (д) (%2)= 9屮(修)=屮匂修)=W (必(g) (/))•

Отсюда

№ (у) Ф) Ui) = (^1 (у)) (-V1),d2(9)屮=屮必e).

Из (5) следует (4). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть существует изоморфизм модулей (3) и верна формула (4). Покажем, что $ ——операторный изоморфизм групп М—О) и 〃2(0)・ Очевидно, из (4) вытекает (5). Для любого х е Л1 из (5) находим

屮必g)(%)=也e)屮(%)，屮(")=兴(%).

Следовательно,屮一операторный изоморфизм. ■

В случае, когда модули Afi и ЛГ2 обладают конечными базисами, лемму 1 можно сформулировать следующим образом.

Представления (2) тогда и только тогда эквивалентны, когда модули М( и ЛГ2 обладают такими базисами 51 〃 В? соответственно, что для любого gw У матрица эндоморфизма d«y) 8 базисе В【совпадает с матрицей эндоморфизма dz(y) 8 базисе В2.

В случае, когда в (1) множество У является группой, мы будем предполагать, что выполняются два условия:

d(lhy》= d(y〉d(y》

для любых /л, //2 w У, a Im d есть подгруппа группы GL(M). Представление d: G —> Hom (ЛГ, М) группы G называется точным, если отображение d инъективно.

Пусть Mi, М2 — свободные модули над кольцом А, /Л — подгруппа GL^Mi), а Н2 — подгруппа GL{M2). Будем говорить, что /Л н 〃2 подобны как линейные группы, если существует изоморфизм модулей

屮： для которого

"2 =①"仰7.

Если di и d2 — эквивалентные прдставления группы G, то, в силу леммы 1, Im 必 и Im d2 подобны как линейные группы.

Будем теперь рассматривать частный случай представления (1), когда М = У, где V — линейное пространство над телом Т,

d: K->Hom(V, V). ⑹

Вместо Л1 (И) будем писать в этом случае V(Q). Представление (6) называется неприводимым, если группа U(Q) операторно проста. Если же V(Q) обладает нетривиальной допустимой подгруппой, то представление (6) называется приводимым. Представление (6) называется вполне приводимым, если V(Q)—прямая сумма операторно простых допустимых подгрупп. Представление (6) называется разложимым (неразложимым), если операторная группа V(Q) разложима (неразложима).,

Пусть теперь размерность V над телом Т конечна и равна 〃. Так как каждая допустимая подгруппа группы V(С) является подпространством пространства Й, то операторная группа V (Q) обладает композиционным рядом

У (f)) = y0(Q)=)Vi(0)^ … 二)乙(0)=0, 九式九 (7) Положим

。/(。)=吗7g)/力g)，j= 1, k.

Группы “(Q) операторио просты и представление (6) вместе с композиционным рядом (7) определяет 々 неприводимых линейных представлений множества У

dj： Y->Hom(Uh U/), j=l,…，居 где

dj(y) = Q 卜a;- (w) — yity "三 U 〃 у wY、(8)

Представления (8) называются неприводимыми частями представления (6). В силу теоремы Жордана ——Гельде- ра неприводимые части заданного представления (6) определяются однозначно с точностью до эквивалентности и нумерации.

Пусть теперь // ——какое-либо подмножество кольца Hem (V, У) . Введем тривиальное линейное представление

D: 〃-■> Нот (『，『)， h /г.

Неприводимые части представления D будем называть неприводимыми частями множества Н,

,Если У——алгебра над полем A, а V ——линейное пространство над А, тс будем предполагать, что d в (6) является гомоморфизмом алгебр Ун Hom(l/,V).

Локальная теорема Мальцева. Множество S подгрупп группы G называется локальной системой группы. G, если выполняются ава требования:

G=U%，〃а®2；

для любых 〃& и "в из S существует в £ такая Н* что

% U/， /U〃y .

Например, совокупность всех подгрупп группы G, порождаемых конечными подмножествами G, есть локальная система группы G.

Целью настоящего пункта является доказательство следующей теоремы Мальцева:

Теорема 1 (М а л ь ц е в [1]). Пусть £ — локальная система группы G. Если каждая 〃“ из 工 обладает точным линейным представлением степени 〃 над некоторым нолем А» то 〃 группа G обладает точным линейным представлением степени “ над некоторым полем А,

Доказательству теоремы предпошлем несколько определении и лемм, относящихся к свойствам ультрапро- изведенип.

Пусть / — непустое множество. Совокупность $ подмножеств множества / называется фильтром над /, если 话 обладает следующнми свойствами:

0柒汽

X, У^З今ХПУ 三加

(/пУпХм*)今 汽

Фильтр 3 над / называется ультрафильтром над /, если выполняется условие

для каждого Хи/ либо X 三'舌，либо /\ X 三 咅府 Из 1) и из 4) вытекает, что / 三音 для любого ультрафильтра S над /. Если совокупность б подмножеств / подчинена лишь условиям I) и 2), то J называется центрированной системой над /. Очевидно, всякая центрированная система над / содержится в некотором фильтре над /. Нетрудно доказать, что всякий фильтр над / содержится в некотором ультрафильтре над / (см. Мальцев [5], стр. 196).

Пусть S ——ультрафильтр над /, и пусть каждому 竄w/ поставлено в соответствие множество Аа. Построим декартово произведение

II儿，-а三/,⑼

элементы которого будем записывать в виде

Q = {%}，〃а 三力(Г

На множестве (9) зададим бинарное отношение 三由 положив

"三方 b фф /1 {a м /1 〃^ = ^а)三 3,

Так как / w /, то отношение 三百 рефлексивно. Из определения отношения 三 @ вытекает его симметричность. Покажем транзитивность =3 . Пусть а = ^ b и b =^с. Тогда

，2 н {a W /1 б。= Сд}三 S*

Далее, согласно 2),八 Г) /2 w S С другой стороны,

/1 П 厶 и {a W / j 〃а = са) = /з*

Следовательно, /3 ^ 3 и

с.

Таким образом, =3 есть отношение эквивалентности на (9). Множество классов эквивалентных элементов обозначим символом

П Ла/^(Ю)

и назовем ультрапроизведением множеств Аа. Класс, содержащий элемент а =伉}, будем обозначать символом а = {〃《}・ Если все Ла являются группами (кольцами, модулями), то можно задать естественным образом операцию на ультрапроизведении (10) и превратить его в группу (кольцо, модуль). Пусть, например,力《 = А^— кольцо. Для-

^ = {^J，r={%}， 儿，Ha е Aa>

ПОЛОЖИМ

^ + й = {九 a + Q，诟={中 J

Классы Л + Й и Лц не зависят от выбора представителей Лиц классов Лиц. Действительно, пусть ^ = 0, 口 = 3・ Тогда

XI = {a w /1 統=Ра)三 Sj Х? = {а ^ /1 ца = oj W 乱

Для a W У

入а + Аа = Ра + %’入小а = Ра^а*

Следовательно,

У и {a W / I 入а + k = Ра + oj 三乱

yu{aW/|%a = Pa5jW&

т. е. ^ + й — р + a, Ajl — ра. Очевидно, что а==Па«М(П)

—кольцо. Это кольцо называется ультрапроизведением колец △«• Совершенно аналогично определяются ультрапроизведения групп, модулей и других алгебраических систем.

Если каждое кольцо △«，а м/, является полем, то 以 кольцо (11)——тоже поле. Действительно, А ——кольцо с единицей и нулем

1=^ и 0 = {ад>

где 1а и 0а — единица и, соответственно, нуль поля Д^ Пусть

又={入cJ W А，,入 * 0.

Тогда”

X = {aw/|* = 0a}柒& Y = /\XwR

Положим

口 ={忆}, где

% =入1，aw У,

Ha =l(i， aw X.

Тогда

效=仇卩3，{a W / I 入aNa = 1J = У W S

Следовательно,

M = 1,

т. e. Д — поле. ■

Пусть теперь каждому aw/ поставлены в соответствие: поле А?, /i-мерное линейное пространство Va над А& и подгруппа Ga группы GL(Va). Построим ультрапроизведения

△ = n&&，卩=11九/3， G = IlGa/S-.

Мы уже видели, что А ——поле. Покажем, что V ——линейное пространство размерности п над полем А.

Для X = {Ла}е А, 〃 = {%}三匕 & = {%}三了 имеем

以 + 切={% + 0』， нА = {«a^J,

откуда видно, что V ——линейное пространство над Д. Пусть

九1' •…，^an'(12)

—базис 1% над Положим bi = {沙切},...,沙注= ={6ап}. Тогда ——

又，..bn(⑶

—базис пространства V над А, В самолг пене, для любого б 三 У можно написать

方={九*aI + - +拆?/f建} := 5f3 + • 1 • + 5乳》、m

С другой cTOjDOHbi, система (13) линейно независима над А, ибо из равенства

瓦兀 + .. . + ЬпКп = О

вытекает”

{а е 1 &/“1 + …+ 方(in^-tl.tl=0“}三方，

где 0а —нулевой вектор пространства Кх. Так как (12)базис пространства Va, то для j = 1,〃

X」={а е /1九打=°J三К，

где Оа —— ну』в поля 、а・ Следователыю, 彳/ = {九°」} = 0.

Таким образом, V есть /z-мсрное линейное пространство над А.

Легко видеть, что

G==llGaM

——подгруппа группы GL(V). Действительно, пусть g =.

=依辽}三 G. Для Z e A, 〃，и e V можно написать

g 必)={ga ("<?”)} = tea (〃a)九<J = {ga} {%}九=g («)九

g (〃+ v) = g(u) + §(«)■

Следовательно, G c Hom( V, V). Так как G — группа и единица группы G совпадает с единицей Hom (V, V), то G — подгруппа в GL(V). Итак, верна

Лемма 2. Ультрапроизведеные линейных групи Ga степени п над полями Да есть линейная группа степени /г над некоторым полем А.

Лемма 3. Пусть G ——произвольная группа, о Е ■ ее локальная система. Тогда G изоморфна некоторой подгруппе ультрапроизведения всех подгрупп системы S при подходящем фильтре над S.

Доказательство. Построим сперва одну центрированную систему подмножеств множества ¥. Для каждого конечного подмножества F группы G положим

£?={"三0 "二丹.(14)

EcviK & и & — два конечных подмножества группы G, то из (14) следует

尸 ％$%•(⑸

Так как G = UН^ //々三 £, то для одноэлементных множеств 尸={g}

% = F尸声0.

Пусть теперь card F = m > I и для подмножеств Fj группы G мощности, меньшей m, неравенство

E尸/声0

доказано. Множество 尸 можно записать в виде

尸==居 U 尸2’card 尸/ < m.

Тогда

e尸=士尸］n Ef?' £尸/'

Пусть RwEr, Sw£~,. Так как S—локальная система, то в 2 есть группа Я такая, что Н п R, Н n S. Очевидно, что Н 二 F = W F% Следовательно.

斗声乙(16)

Пусть Ф — совокупность всех Е尸，где F一 любое конечное подмножество группы G. Из (15) и (16) следует, что Ф ——центрированная система подмножеств над Е. Как мы заметили вьпие, Ф содержится в некотором ультрафильтре (5 над S. Покажем, что G нзоморфно вкладывается в ультрапроизведение

П So/3， SaeS.

Введем отображение

ф： g f П sj3, g f О

где ga = g，gw Sa； ga=l，g 史 S^ Покажем, что ф — гомоморфизм. Действительно,

中(g 力)={(g 力)J.

Очевидно, для g и h из G

W{g, й) U {Sa 巨，I (gG)a = ga%} = X.

Так как Rg,川 巨芯，то Хе*. Следовательно,

屮(g 力)={(g 力)J = Ы Ю = ф (g) ф (纵

Остается доказать инъективность ф. Пусть gwG, g，1，а(p(g) = T. Тогда

{Sa^\ga=l}^ X = {SaM£|g 吏 SJ 巨加

Однако по построению 3 содержит все 2斤，где 尸一конечное подмножество группы G. ■

Сформулированная выше теорема Мальцева вытекает из лемм 2 и 3 (ср. Кегель [1]).

Полупростота и полная приводимость. Пусть Л — алгебра конечной размерности над полем А с единицей е, а V ——конечномерное линейное пространство над А. Мы будем рассматривать такие линейные представления

d: 4 f Hom (V, V),

что d(e) совпадает с едршицей кольца Hom( V, V). Примером представления такого рода может служить левое регулярное представление р алгебры Л с единицей с:

р: 4f Hom(l忆 Г),

где W — линейное пространство алгебры А, р (а) = аа, аа: 4 ->4аа (х) = ах.

Как легко проверить,

9(а + Ь) = оа+ь=- оа^г obt Р(ОЬ) = %ь = ^а^Ь^ Кегр = (0).

Следовательно, р ——точное линейное представление алгебры А. Очевидно, р(е) —единица Hom (WtW)t Операторную аддитивную группу, определяемую представлением р, будем обозначать W(A), Ясно, что допустимыми подгруппами группы W(4) будут левые идеалы алгебры А. Из теоремы 13.2 вытекает, что представление р тогда и только тогда вполне приводимо, когда алгебра А полупроста,

В теории представлений хорошо известна

Теорема 2. Пусть алгебра А полупроста. Тогда каждое представление вида d вполне приводимо, а любая неприводимая часть представления d эквивалентна некоторой неприводимой части левого регулярного представления р (см., например, Ван-дер-Варден [2], стр. 197).

Если, в частности, 4 ——простая алгебра над А, то мн・ нимальные левые идеалы 4 попарно операторно изоморфны. Отсюда и из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Пусть А — простая алгебра над полем А. Тогда А обладает с точностью до эквивалентности единственным неприводимым представлением над А.

Теорема 3. Пусть V — пространство конечной размерности над полем \, а А — подалгебра алгебры Нош (匕 Iх), причем единица е алгебры Л совпадает с единицей Hom(V, V), Тогда из неприводимости А следует простота Л, а из полной приводимости А полупростота А.

Доказательство. Пусть подалгебра 4 алгебры Нот (|/, V) вполне приводима как множество эндоморфизмов пространства V. Пусть, далее, W ——линейное пространство алгебры А, Будем рассматривать две операторные группы: пространство W(4) левого регулярного представления р алгебры 4 и пространство V(Л) тривиального представления D алгебры А. Так как А имеет конечную размерность над Д, то в W(A) есть операторно простые допустимые подгруппы. Пусть 切一■ произвольная операторно простая допустимая подгруппа группы W(A), Так как V(A)——прямая сумма допустимых операторно простых подгрупп, то в V(Я) есть такая допустимая операторно простая,подгруппа 1Л, что WiVt ^= (0), Следовательно, найдется такой вектор

V1三匕что

1%5 声(0)・(17)

Введем отображение

Yp S —> %, х戈и ].

Для .%у 三呼，а А имеем

Yi (х + у) = V (工)4- Yi S， Yr ЗА = ”>] (к).

Следовательно, 丫【——операторный гомоморфизм. Так как lb] н У[ операторно просты, то, в силу (17), у【— операторный изоморфизм, причем

%=呼必.(18)

Если W7] = W(A), то теорема доказана, ибо в этом случае алгебра Л проста (см. конец § 13).

Пусть теперь 旷；声呼(/1).(19)

В силу (18) в W\ найдется такой злемент 巳，что 白山 = —и「 Так как группа W\ операторно проста, то

W! = Лв[.

Отсюда и из (19) следует, что

/声С.

Для любого х из Wi можно написать

Yi (rej = xeg = №( -■= у( (х)-

Отсюда п из инъективности \ч вытекает, что хех = х

для любого 汇三 W\. В частности, е；=е]. Следовательно, пространство IV(А) = I取 можно записать в виде

W (/1) = /1 = Ле ~ Ае{ -v А {е 一 е{) — W[ -i~ А (е 一 ej*

Ясно, что Л (е——修)——допустимая подгруппа группы W(А). Итак, любая операторно простая допустимая подгруппа Wi группы W(Л) прямо дополняема допустимой подгруппой. Согласно предложению 13.4 W(Л)—— прямая сумма операторно простых допустимых подгрупп, т. е. алгебра Л полупроста. Если, в частности,力

неприводима, то в (17) %= V, а любая операторно простая допустимая подгруппа W\ операторно изоморфна группе V(А), т. е. алгебра Л проста. ■

Линейная оболочка вполне приводимой группы.

Пусть V есть /i-мерное линейное пространство над по- лсм A, a G—какое-либо множество эндоморфизмов из Hom (V, V). Л инейной ^-оболочкой [G]、 множества G называется множество всех линейных комбинаций вида

gi%+ • • • 幻三 G, X； e A.

Если, в частности, G—полугруппа относительно умножения, то, очевидно, [G]\ является алгеброй над А. Пространство V можно рассматривать как аддитивную операторную группу V⑼ с областью операторов Q = =A U G. Очевидно, в этом случае допустимыми подгруппами 『(Q) окажутся подпространства 匕 инвариантные относительно множества эндоморфизмов G. Ясно, что система допустимых подгрупп V(Q) нс изменится, если заменить область операторов Q = △ U G областью ,

Q| = AU[Gh

т. с. всякая допустимая подгруппа операторной группы V(Q) является допустимой подгруппой операторной группы V(Qi) и наоборот. При переходе от допустимых подгрупп группы U(Q) к допустимым подгруппам группы У(й() сохраняется также отношение операторного изоморфизма, т. е. две допустимые подгруппы оператор- ноВ группы V(о；) тогда п только тогда операторно изоморфны, когда омп операторно изоморфны как подгруппы из『(О).

В частности, если G — вполне приводимая группа нз GL (V), то [G]、一 вполне приводимая подалгебра алгебры Нош (К V).

Теорема 4. Пусть G — вполне приводимая подгруппа группы G丄(V), где V — линейное пространство над полем А,小,...,ns ——степени всех попарно неэквивалентных неприводимых частей G, й 4 = [G]『 Тогда

人=凡4~ . . . 4-凡，

где R戸 T；r Т1 — тело, центр которого содержит А, (Т7 :△)" =勺，RtRj = (0) при i У= j. В частности, если

б неприводима, то А = ТГ) (Т : Д)г = л, где Т — тело, п размерность пространства V над А.

Доказательство. Так как Л — [б]д вполне приводима, то, по теореме 3, А полупроста. В силу приведенных выше замечаний числа

7Z],.…，/1$(20)

суть степени всех попарно неэквивалентных частей алгебры А. По теореме 2 каждая неприводимая часть А эквивалентна некоторой нелриводимой части левого регулярного представления алгебры Л. Следовательно, в алгебре А имеется по меньшей мере s операторно неизоморфных операторно простых левых идеалов. С другой стороны, если L ——любой операторно простои левый идеал алгебры

А = [G]a — Hom (V, V),то среди допустимых подгрупп группы，(%)(Q] = AU4)

есть подгруппа, операторно изоморфная L. Действительно, так как Д =# (0), то в V есть такой вектор и, что %=£®)声(0);

Vi и есть искомая допустимая подгруппа. Таким образом, в А имеется точно s операторно неизоморфных операторно простых левых идеалов, размерности которых равны числам (20). Отсюда и из теоремы 13.3 вытекает требуемое. ■

Очевидно, что в подходящем базисе пространства V матрицы g группы G из теоремы 4 одновременно принимают следующий вид:

g = diag [g"|, ...» gi，gs，Ss]f

где Yj： g i—> gj ——неприводимое представление группы G степени n；, n = 〃次i + ■ - ■ + 匕s^s，力j ——число повторений gj. При i 声 / представления у» и у； не эквивалентны. Пусть

G/ = Im у；,4/ = [G』a，1, ..s.

Тогда теорему 4 можно сформулировать так;

Теорема 4а. Алгебра А = [0]д состоит из всех матриц вида

diag〔О],…，а”"s]‘

где а】,...,а3 независимо друг от друга пробегают^ соответственно, алгебры А^ . . . , As. Следовательно^ /1 : А 41 : А + .…十 As : Д.

Как хорошо известно, тело конечной размерности над алгебраически замкнутым полем Р совпадает с Р. Следовательно, в теореме 4 для алгебраически замкнутого поля Д

Т*: А = I, / =「,.

Если G неприводима, то при алгебраически замкнутом А имеем

Л — [О]д = М，Л * Л = /г2.

Пусть А — произвольное поле, а £ — надполе поля А. Тогда, очевидно, любая подгруппа группы G丄(〃，Л) является подгруппой группы GL (小 £). Подгруппа G группы GL (п, А) называется абсолютно неприводимой, если при любом расширении £ поля A G является неприводимой подгруппой группы GL(n, 2).

Следствие 1. Подгруппа G группы GL(n, Д) тогда и только тогда абсолютно неприводима, когда ее линейная ^-оболочка совпадает с А%

Доказательство. Если Е — надполе поля А, то [G]a：A = [G]「£,

ибо система линейно независимых над А матриц из остается линейно независимой и над S. По известной теореме из теории полей поле Л является подполем некоторого алгебраически замкнутого поля Р. Если теперь G абсолютно неприводима, то

n2 = [G]p'.P = [G]^.^

Следовательно, [G]a=A〃，(21)

т. е. из абсолютной неприводимости группы G вытекает равенство (21). Обратное утверждение очевидно. Я

Доказанное следствие можно сформулировать еще тек:

Следствие 2. Подгруппа О группы GL (/г, А) тогда 〃 только тогда абсолютно неприводима, когда в О существует /户 линейно независимых матриц над А.

Приведем еще некоторые свойства неприводимых групп п алгебр.

Лем м а 4. Пусть G — неприводимая подгруппа группы GL (/?, £), где ? ― такое расширение поля А, что £ ：八="厶 Е и А%. Положив л = ml “ заменив 8 матрицах группы G элементы ст поля £ матрицами из Aw, группу G будем трактовать как подгруппу группы GL(n, А). Если теперь

[G]&n?匕，(22)

то G ——неприводимая подгруппа группы Gt(〃，А).

Доказательство, 几-мерное пространство Дп над А, где действует группа О, можно рассматривать как /-мерное пространство Z? над 1. Пусть 丄 X (。)——инвариантное относительно [G]、 подпространство пространства А". В силу (22) L является подпространством пространства 2y. По условию G — неприводимая подгруппа GL(l, 2). Следовательно,

人=£' =△\

т. е. О ——неприводимая подгруппа группы GL(n, А). ■

Л е м м а 4а. Пусть тело Т содержится в А?% где А — поле, центр тела Т содержит АЕ^, Т : А = т,

В = ТГ.(23)

Положим п = mr и будем трактовать 5 как подалгебру алгебры М Тогда В — неприводимая подалгебра алгебры Дп.

Доказательство. Из (23) следует, согласно теореме 13.3, что В — простая алгебра над А и размерность операторно простого левого идеала над А равна 门"=п. Следовательно, по теореме 2, степень неприводимого представления алгебры В матрицами над полем А равна 几.Но 5 и △?> Следовательно, тривиальное представление D： В 一 В, % 卜廿 ％, степени м неприводимо. Таким образом, 5 — неприводимая подалгебра алгебры △% ■

Ниже нам понадобится еще правое регулярное представление алгебры А над полем А с единицей е.

Пусть W — пространство алгебры А, Правым рееу- лярным представлением Л называется отображение

Pi： /1 —Hom(U7, Г),

Pi (а):= То) 1"口： /1 ~/1, та (х) -— л口.

Как легко проверить,

Р1 (а + 5) = т& “ = % + %

Pi (d，)=~ /〈a'

Pi (〃入)—таЛ = F/v，厶三 A,

Ker pi — (0).

Таким образом, pi — инверсный инъективный гомоморфизм алгебры А в алгебру Нот (取,W7). В силу теоремы 1.3, Im pi является централизатором Imp в Нот (旧 К), а 1т р — централизатором Im pi в Hom (W, W). Отсюда вытекает； что

1m р Я Im pj = Z (Im p) == Z (Im p),(24)

где Z(Im p), Z(Imp" —центры Im p и Im pi.

1' e о p e м a 5. Пусть A — неприводимая подалгебра с единицей £；； алгебры △北,где Д — поле. Тогда в GL (м, Д) найдется такая матраца g, что AngT^g-’， где Т — тело, причем n Т п △占”， Т := m,

“ =nir, Далее^ централизатор А в Дп совпадает с gT'EygT, где Т‘ — тело, инверсно изоморфное телу Т, центр тела V совпадает с центром тела Т 〃 равен

Доказательство. По теореме 3 А — простая подалгебра алгебры △小 следовательно, по теореме 13.3, А изоморфна алгебре Фг, где Ф — тело конечной размерности m над полем А. Введем левое и правое регуля рные представления р и pt тела Ф:

Р：⑴ f \小 pj：⑴ f Положим

T = Im p, Tr = Im p?

Тогда теза T n 7V инверсно изоморфны, центр тела 7V совпадает с центром тела Т н равен Т П 7V (см. (24)).

Заменив в матрицах алгебры Фг элементы 屮 тела Ф элементами р((р)е Т, получим алгебру Тг, изоморфную А. Очевидно, что Тг — подалгебра алгебры Дщг. Согласно лемме 4а, Тг ——неприводимая подалгебра алгебры △т» Так как простая алгебра А обладает единственным с точностью до эквивалентности неприводимым представлением, то тг = &

А = gTrg~lt

где g w GL(n, А). Первая часть доказана. Так как 7V централизатор Т в Ат, то TfEr—централизатор Тг в a gT'Erg-^ — централизатор А в 厶小■

Теорема 6. Пусть G ——неприводимая подгруппа группы GL(小 A), Z，一 центр группы G. Тогда [Z[a = —£ ——расширение поля А, степень 2 : А делит число п.

Доказательство. Пусть V ——линейное пространство над А, где действует G. Так как G неприводима, то аддитивная операторная группа V(Q) с областью операторов Q = G U А операторно проста. Элементы о 三 £ являются 'эндоморфизмами операторной группы I/(Q). В силу следствия 1 леммы 13.1 £ содержится в некотором теле Т п А. Следовательно, S —— коммутативная алгебра без делителей нуля конечной размерности над А. Отсюда вытекает, что 2 — поле. Покажем, что степень /п = £ : А делит число п. Очевидно, V можно рассматривать как линейное пространство над £• Если 力=I/: S, то mk = п. ■

В связи с доказательством теоремы 6 заметим, что для любых а е S, х е V, g е G g(a(x)) = ag(x). Таким образом, G можно рассматривать как подгруппу группы GL(h, 2).

0-подгруппы. Пусть 0 ——некоторое абстрактное групповое свойство, подчиненное следующему условию: если подгруппа I1 группы G обладает свойством 0, а С——абелева подгруппа из G, лежащая в централизаторе группы Г в G, то ГС тоже обладает свойством 9. В качестве свойства 0 можно взять, например, разрешимость, коммутативность, локальную нильпотентность, нильпотентность заданного класса. Подгруппу Г группы G, обладающую свойством 0, назовем 0-подгруппой.

Теорема 7. Пусть Д — произвольное поле、a G — максимальная неприводимая ^-подгруппа группы

GL(nt Д). Тогда существует такое расилирение S степени m пом Д, что m делит число n, G — абсолютно неприводимая максимальная Q-подгруппа группы GL{r. S), г = пш-1, а центр группы G совпадает с 2*£г.

Доказательство. В силу теоремы 5 можно считать, что

【GJ^ = Т“

где Т ——тело, (Т : ^)г = п, а централизатор Тт в Дп совпадает с Т7ЕГ1 где Т' — тело, инверсно изоморфное телу Т, причем 7V = Т тогда и только тогда, когда Т коммутативно. Покажем, что Т коммутативно. Пусть Т и, значит, 7V некоммутативны. Если а — нецентральный элемент из Т‘，то

а/Т, аЕГ G с: Тг.

С другой стороны, по определению 6-группы, {a)ErG есть 6-группа,

(a)ErG^G. ?

Последнее противоречит максимальности G среди 0-подгрупп группы GL(n. Д). Следовательно, Т = W, где Е — поле. В силу максимальности G

W*E「uG.

Итак,

[G]& = 2Г,

2*£г — центр G. В силу следствия 4.1 G ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(r, S). Очевидно, что

Примитивность и импримитивность

Определение импримитивности и простейшие свойства импримитивных групп. Пусть V — линейное пространство над телом Г, a G — подгруппа группы GL(V). Если V представимо в виде прямой суммы

y = tQw "三/,⑴

подпространств Q、* (0), где card / > 1 и для любых а三/, g曰G

g(QJuQ, 0三/,(2)

то группа G называется импримитизноН, разложение (1)——разложением пространства V на системы, импримитивности группы. G, а подпространства Qv — системами импримитивности группы G. В противном случае, группа называется примитивной.

Лем м а 1. Пусть (1) — разложение V на системы импримитивности группы G. Тогда из включения (2) следует равенство

S (Qa) = Qp*

Доказательство. Из (2) и из определения импримитивности находим

Qa и gT (Qp) и Qy， 丫三/.(3)

Так как Qv一 прямые слагаемые, то из (3) вытекает

Qa — Qy? gj'(Qp) = Qu， g (Qa) = Q(V ■

Пусть (1) —разложение пространства V на системы импримитивности группы G. Из леммы 1 следует, что каждый элемент группы G осуществляет некоторую подстановку g над системами импримитивности Qv, v 三/, т. е. разложение (1) определяет сюръективный гомоморфизм

¥： G->r, gig,(4)

где

g： Qv g (Qv)^ 1V 三/,

а Г — множество всех g. Ясно, что Г — подгруппа симметрической группы S(X), где X — множество всех Qv из (1). Пусть теперь v — фиксированный индекс из /, а「Qy—стабилизатор точки Q、，巨 X в группе Г. Пользуясь гомоморфизмом (4), введем подгруппу "v группы G, положив

^ = т-'(Ч)-⑸

Очевидно, что.

"v =仇 I 九 е G, h (QJ = Qv}*

При этих обозначениях верна

Теорема 1. Пусть G — неприводимая имприми- тивная подгруппа группы GL(V), а (1)—разложение пространства V на системы импримитивности G. Тогда：

группа Г транзитивна;

совокупность всех различных подгрупп 〃v, V 三 /, есть класс сопряженных подгрупп группы G;

для любого 丫 三 / ограничение Gv = Hv\Qv есть неприводимая подгруппа группы GL(QV);

для любых а,卩三 / G“ “ Gb подобны как *公 не иные группы.

Доказательство. Пусть У — орбита группы Г. Тогда сушма W всех подпространств Qv, принадлежащих У, сеть инвариантное относительно G подпространство пространства V. Отсюда и из неприводимости G вытекает W = V, Qv е У при любом 、”三 /, т. е. Г транзитивна, (i) доказано. Докажем (ii). Так как Г транзитивна, то совокупность всех различных стабилизаторов Гл： составляет класс сопряженных подгрупп группы Г (следствие 2.3.1). Отсюда и из (5) вытекает (ii). Переходим к доказательству (iii). В силу (i) для фиксированного а 三/ мы можем построить такое множество

{g、}，T三/，⑹

элементов из G, что

ga ~ е, gv (Qa) — Qv-

Так как {y(gv)}, v 三/, — полная система представителей левых смежных классов группы Г по подгруппе [q^ то (6)——полная система представителей левых смежных классов G по 〃办

Пусть R& — нетривиальное инвариантное относительно группы Ga подпространство пространства Qa. Тогда

Rv = gv(Ra)uQv Положим

R = £ R、”％ 三 /.

Для g 三 G имеем

ggy = g^t h^Ha.

Поэтому'r .

g (Rv) = ggv (凡)=gM (Ra) U g^ (Ra) = *

Следовательно, g(R) и R. Так как 7? =/= V, то последней противоречит неприводимости группы G. (iii) доказано. Остается доказать (iv). С помощью элементов (6) зададим отображение

①：Qa -Qp，n一麹⑴，% wQa.±

Так как ^р (Qa) == Qp, то ф — изоморфизм подпространств Qa и Qp. Как легко проверить,

/ng/agU

Для & Gp== Яр| Qp имеем

bnga&gjlQBHWawT， awG^

Следовательно,

GpUcpGa中

С другой стороны, GaUtp-iGpCp. Отсюда

G₽ =(pGa(P~1*

(iv) доказано. ■

Пусть G ——неприводимая импримитивная подгруппа в GL(U), а (1)—разложение V на системы импримитивности группы G. Разложение (1) называется непро- должаемым^ если группы Gv из теоремы 1 примитивны.

Лемма 2. Пусть для неприводимой импримитив- ной подгруппы G группы GL(U) существует такое разложение (1) пространства V над телом Т на системы импримитивности G, что

Qv : Т < 8, V ^/.(7)

Тогда имеется непродолжаемое разложение V на системы импримитивности G.

Доказательство. Если группы Gv примитивны, то (1)—непродолжаемое разбиение. Пусть группа Ga импримитивна и

Qa u1 Qal ~Ь .…十 Q am.

—разложение Q& на системы импримитивности группы Ga. С помощью элементов (6) построим систему подпространств

Qv/ = gv (Qa/)・

Пространство V можно представить в виде

V = S Qv/» 7三1、 /= 1, ..., ⑻ Для g ^ G имеем

g (Qvj) = ggv (Qctj) = gp." (Qa/) = S^. (Qa&) = Q/，九三"a・ Следовательно, (8) также является разложением пространства V на системы импримитивности группы G, причем

Qa/：TVQa：T<8・

Отсюда и вытекает лемма. ■

Следствие 1. Для неприводимой импримитивной подгруппы G группы GL(V)t где V — пространство конечной размерности, всегда есть непродолжаемое разложение К на системы импримитивности G.

Если для группы G существует такое разложение (I) на ее системы импримитивности, что все подпространства Qv одномерны, то группа G называется мономиальной.

Теорема 2. Пусть G ——неприводимая имприми- тивная подгруппа группы GL(V), и пусть существует такое разложение (1) пространства V на системы импримитивности группы G, что card/ = &, где k — натуральное число. Тогда G обладает нормальным делителем А[ индекс которого s G делит 总 и делится на k.

Доказательство. Пусть N = Кег у (см. (4))• Тогда, по теореме 1, Г ^ G/N — транзитивная подгруппа симметрической группы S% Отсюда и следует теорема. ■

В случае, когда V имеет конечную размерность п над телом Т, верна

Теорема 3. (Критерий импримитивности.) Неприводимая подгруппа G группы GL(V) тогда w только тогда импримитивна, когда существует такое подпространство Q пространства К что Q : Т = m <Z п,加|他 а индекс подгруппы Н = {h\h ^ Gf %(Q) = Q} s G равен 几/72-二

Доказательство. Пусть G — импримитивная неприводимая подгруппа GL(V), а (1)—разложение V на системы импримитивности G. Полагая

Q = Qa， Я = Яа>

видим, что Q ：Т = т, m\n, a G : И = пт~1. Необходимость доказана. Докажем достаточность. Пусть группа G неприводима, а подпространство Q в V удовлетворяет условиям теоремы, k = пт^,

——полная система представителей левых смежных классов G по Н, Построим подпространство

R = Q + ^2(Q)+ ... +M(Q)・⑼

Для g w G имеем

g®(Q)) = bj2(Q) = £(Q), hwH・

Следовательно, g(R) = R, Так как группа G неприводима, то R = 1Л Но размерность R равна и только тогда, когда (9) — прямая сумма ^^(Qj，С другой стороны,

g^b^Q^b^Q).

Таким образом, (9) — разложение V на системы импримитивности группы G. ■

2- Сплетение линейной группы и группы подстановок. Пусть U — линейное пространство над телом 7, Gi — подгруппа группы GL(U), а Г — подгруппа* симметрической группы S% перемещающей числа 1,冗々〉L Декартову степень

Uk = V{

будем трактовать как линейное пространство над телом Т、произвольный вектор v ^ V будем записывать в виде

и = (〃1，〃/г)，и j 三 U.

Для любых fi, . . ., fig Gi, s ^ Г определим отображение

положив

f(u)=f(/,〃々)=d三匕，(10)

где $(и)-я компонента вектора 力 равна

/у (〃у) , V 1, *, k ■

Очевидно, что f—автоморфизм пространства 匕.Множество всех таких автоморфизмов f обозначим буквой 足 Пусть g =〈gi, •・・，gh, г)已 尸・ Тогда

gf ®) = g3) =@)三%，

где rs(v)-n компонента вектора и равна

gs(Y)/V (〃)"1 ,・• • •历

Следовательно,

§f == ^s(\}f 1» • • ' » gs依 jк，厂S〉E F・(L1)

Из (И) вытекает, что F — подгруппа группы GL(H). Группу 尸 назовем сплетением линейной группы G^ и группы подстановок Г и обозначим G丄 / Г.

Группа F=G[( Г импримит^вна. Действительно, пусть подпространство Q； пространства V[ = Uk состоит из всех векторов вида (0, , .., 〃?, ..., 0), где

U является /-ii компонентой (j = 1,...,左).Тогда, очевидно,

V^Q^ +Qfe.(12)

В силу (10), для f 三 F имеем

f(Q/) = Qs ⑺.

Следовательно, группа F импримитивна, а (12) — разложение пространства 匕 на системы импримитивности группы Е

Очевидно, что отображение

Y：尸一＞「， (Л%, s〉f s

является сюръективным гомоморфизмом, причем Ке『①一прямое произведение 左 экземпляров группы Gi. Следовательно,尸 一一 расширение прямого произведения 左 экземпляров группы Gi с помощью группы Г.

JI с м м а 3. Пусть Gi 〃 Я — сопряженные подгруппы группы Gt(U), а Г и Ф — сопряженные подгруппы группы S加 Тогда Gy I V и Н I Ф ——сопряженные подгруппы группы GL(U) / Sk.

Д о к а з а т е л ь с тв о. Пусть.

H = aGia~l, 3 =从»「I a^GL{U), b^S^

Возьмем в GL(U) ， S^ элемент с = 〈а, ..., а, Ь)； Тогда

/n<D = c(GJF)cT.

Действительно, из (11) вытекает

с~1 = {а-',а~\ L〉.

Для f 三尸 с помощью (И) находим fc~{ ~{fb^{[)a~~\fb-i{k]a~~\ s 尸〉，

cfc~{ ~{а}ь-\([)а^\ afb-i(ha^\ bsb~l) =

Следовательно,

cfc~{三 〃 "D, C (GJ Г) с-1 и " {①.

Таким же приемом докажем, что

с-⑺①)cuGJF.

Отсюда

с (GJ Г) ст = "2・

Лемма 4. Пусть G【一неприводимая подгруппа группы GL (U), а Г — транзитивная подгруппа симметрической группы Sh,龙 > L Тогда группа F = GH Г почти всегда неприводима, Единственным исключением служит случай, когда U — одномерное пространство над полем GF(2).

Доказательство. Пусть выполняются условия леммы, U не является одномерным пространством над OF(2), R #= (0)—инвариантное относительно F подпространство пространства %, и 三 R, и * 0. Тогда

.. + 作，qi rQt备 * °*

Так как F содержит прямое произведение k экземпляров группы 01, a U содержит, по меньшей мере, два -различных ненулевых вектора, то в F есть такой элемент /, что

f ((?v) = qv для v =?<= а,

f(7а) = Ра Qa» Ра ^ 7а'

Далее, f (и) — v ^ R, следовательно,

Ua = Pa —仇三兄 般a*°， ^a^Qa-

Так как группа О неприводима, то Q” и R. В силу транзитивности группы Г отсюда вытекает, что

Qv и R> V ^ I, * * ・》к.

Следовательно,

R = %,

т. е. группа 尸 неприводима.

Остается рассмотреть случай, когда U — одномерное пространство над GF(2). В этом случае в Q)есть единственный ненулевой вектор q§、и для，三尸 имеем

『(<?/) = %(/)， SW 匚

Следовательно, для и = (?1屮.・.+(7^ f(v) = v. Отсюда вытекает приводимость Е ■

Пусть теперь G — неприводимая импримитивная подгруппа GL^V), где V ——конечномерное линейное пространство над телом Г,

V = Qi$ ... *Q总(13)

—разложение V на системы импримитивности группы а

у: G -> Г(14)

—гомоморфизм, определяемый разложением (13) (см. (4)). Так как группа Г транзитивна, то в G можно выбрать такие элементы

gi = e,毒，• • *» gh、(15)

что

gv (Q1) ^ Qv‘k.

Положим, как выше,

% = {h\hwG, h (Qv) = Qv}> G、= H、\Q、、(16)

v = 1, ..., k.

Если q)v = gy|Qh то, как следует из доказательства утверждения (iv) теоремы 1,

GV = <PVG1<P71.(17)

Следовательно, если

^11» • • «> 口卜皿(18)

—какой-либо базнс пространства Qh а %/= gv(S j), j=l, "Z, то группа Gv в базисе

задается той же группой 4[ матриц над Т, что и группа Gi в базисе (18).

При этих обозначениях верна

Л е м м а 5. Группа G подобна как линейная группа некоторой подгруппе сплетения Gi / Г.

Доказательство. Сперва построим подгруппу 8 группы GL(V), изоморфную прямому произведению групп Gi, . . ., Положим

8 = 8[Х …>< %, B；\Q尸 G»

а В^\ Qi ——единичная группа при 2* /, Тогда для любого g三G

gBg-' = B.

Действительно, в силу (13), g (Q/) = Qv

Если х 三 Qv, bj 三 8力 то-

g%gT (x) = ga『g7 (к)=狐(x) = b、(x), где, Q/三 Gj, dv Gv, b、、w Bq* Если же x Q^, ц 声 то g~! (x)^Qi，才 * j, следовательно,

g%g7 (x) = g% (gT (x)) = ggT “)= X.

Отсюда

gBjgT = B、“ gBgT = B.

Рассмотрим теперь группу F = BG. Так как для b ^В

%(Q/) = Qj，

то группа 尸 тоже импримитивна и (13) есть разложение пространства V -на системы импримитивности груп^； пы 尸.Покажем, что группы F и &，Г подобны ка£

линейные группы. В качестве Т-базнса У возьмем систему векторов

U]],ь(20)

(см. (18) и (19)). Для g F имеем

g (%") = |；气暗，a* 7,(2D

где 九，i]{ — перестановка чисел 1, . .. , k. Из (21), в силу выбора базиса (20), находим'

8夙％(%) = /£ %产;“ = /"%“)，"％% (22) Из (21) и (22) вытекает.

% = 1[啞佇4・(23)

Соотношения (21) и (23) показывают, что 戸—подобна как линейная группа группе Gi ? Г. Так как F п G, то лемма доказана. ■

Пусть теперь 0 — какое-либо абстрактное теоретикогрупповое свойство, подчиненное двум следующим условиям:

Если группа обладает свойством 0, то любая ее подгруппа и фактор-группа тоже обладают свойством б.

Если нормальный делитель N группы Я и фактор-группа Н/N обладают свойством 0, то и Я обладает свойством 0.

Группу, обладающего свойством 0, будем кратко называть Q-груипой. О-группамн являются, например, разрешимые группы, II-группы н, в частности, р-группы. Из определения 0 -группы следует, что сплетение Gi ，】 тогда и только тогда является б-группой, когда Gi и Г суть 6-группы.

Теорема 4. Пусть G — неприводимая максимальная ^-подгруппа группы GL(P), где К — линейное пространство конечной размерности п над телом Т. Тогда G либо примитивна, либо подобна как линейная группа сплетению Gi 七 Г, где Gi — максимальная примитивная ё-подгруппа группы GL(Q), а Г — максимальная Транзитивная Q-подгруппа симметрической группы Sh, Q — подпространство пространства Vt (Q：T)^ = n.

Доказательство. Если группа G примитивна, то теорема очевидна. Пусть G импримитивна. Тогда, в силу леммы 2, для G существует непродолжаемое разложение (13) пространства V на системы импримитивности группы 6. Так как G является 0-группой, то группы G и Г, связанные с разложением (13), — тоже 6-группы. Согласно лемме 5 группа G подобна как линейная группа группе Gi ? Г, причем Gi примитивна, а Г транзитивна. Так как G максимальна среди 0 -подгрупп GL{V), а 61 ? Г есть 0-подгруппа, то G подобна Gi » Г. Из максимальности G также следует максимальность Gi в GL(Q) и максимальность F в Sa среди G-подгрупп. ■

Кронекерово произведение линейных преобразований. Пусть X — пространство линейных форм над полем А с переменными

修Хп,(24)

У ——пространство линейных форм над А с переменными

У\ > • • • > Ут，(25)

а V есть /гт-мерное пространство билинейных форм над А с базисом

尤 1У1，^пУ\ > • • • > Х\Ут，XпУт、(26)

Пусть, далее,( f е Hom(X, X), gw Horn (У, У), а = =II。仃 II ——матрица f в базисе (24), а b = ]| 0配 口 —— матрица g в базисе (25). Кронекеровым произведением эндоморфизмов fug назовем эндоморфизм f 义 g пространства У, определяемый формулами

(f X g)(相处)=f (/)g (力)，(27)

j 11， • > • ) У -1 j > • • j m •

Очевидно, что

(f X g)(巧也)=2 X /勿%电，.(28) fe—1 /=1

v■ J ■ 1， > ■ ■ 5 Z2, J ' 1 5 ■ ■ ■ ) tTl •

Как легко проверить, /гт-матрица над А

f ари ...001m =a\b■(29}

J • • • ^тт -■

служит матрицей эндоморфизма f 乂 g в базисе (26). Матрица а乂方,определяемая равенством (29), называется кронекеровым произведением матриц а и Ь.

Пусть теперь a w А, ■ я с — матрицы из A® a b и d — из А® Тогда из (29) вытекают следующие равенства:

(л X 6) а = ла X 6 = л X &а,

(30)(30)(л + с)Х6 = лХ& + сХ6, aX(b-{-d) = aXb + aXd, (а \ b)(c \ d) — ас \ bd,

(30)

(30)

а X ^m == diag [а, • • •, а]三厶孔也‘

Enib =Enib =Pl l^n • • • Pl/n^nPl l^n • • • Pl/n^n-P/nt^n • • • Pmm^n --P/nt^n • • • Pmm^n -

Enib =

Enib =

Pl l^n • • • Pl/n^n

Pl l^n • • • Pl/n^n

-P/nt^n • • • Pmm^n -

-P/nt^n • • • Pmm^n -

В частности, для обратимых матриц л и & имеем a~lXb-' = (aXb)-\

Из (29) следует, что

л Х 6 = Епгп <4 л = аЕп, 6 = gEm，а0=1, а, 0三厶，(31)

Если Л — подмножество А^ а В — подмножество Дт, то кронекеровым произведением Л X В назовем множе* ство всех а % 6, где а А, b В.

Кронекерово произведение определяет сюръективный гомоморфизм

ft: GL(n, A)XGL(m, A)f G厶(/г, A) 乂 G厶(m, A), где G厶(几，Д)Х GL(m, Д)— прямое произведение групп, a h:〈a, b)y-^a X Ь. Из (31) следует, что Ker h состоит из всех пар вида .

<а£„, а-1^), а е Д*, т. е,

Ker h 4 А,

Отсюда вытекает

Лемма 6. Пусть Л — подгруппа GL(n, А), а В — подгруппа GL(mt Д), Тогда

АХ В = (А X 8)/М,

еОс Л X ^ — прямое произведение^ а М ——подгруппа группы 4X8, изоморфная некоторой подгруппе группы Д*..'

Лемма 7. Пусть G абсолютно неприводимая подгруппа GL (//, А). Тогда централизатор С группа G Х £т в GL(nm, А) совпадает с Еп X GL(my А).

Доказательство. Запишем матрицы группы GL(nm, А) как m X ^-матрицы с= |必仃|| над А??. Если с 三 С, то все Cij, в силу (30), принадлежат централизатору G в Ап. Так как G абсолютно неприводима, то

с” =： "у订£\,У // 三 А»

Отсюда и из последнего равенства (30) вытекает требуемое. ■

Лемма 8. Пусть А—подгруппа GL («, А), а В — подгруппа GL (пг, А). Группа Л X В тогда и только тогда абсолютно неприводима, когда обе группы Л и В абсолютно неприводимы.

Доказательство. Рассмотрим линейную Д-обо- лочку [Д Х 8]а группы Л Х В. Из (30) следует включение"

[ДХВ]а^[4]；Х[В]д.(32)

Пусть / и 8 абсолютно неприводимы. Тогда

[4]а = \，1^]д = А»

Если теперь 。仃 仏 j= 1,/?)——канонический базис

пространства А% е&?(々，/=1, т)——канонический базис в А?п, то, как вытекает из (29), произведения eij X Е/г> составят базис алгебры 厶^八.Отсюда и из (32) следует

Достаточность доказана. Докажем необходимость. Пусть

——максимальная система линейно независимых эьтемен- ТОВ В 4

——максимальная система линейно независимых элементов в В. Тогда, в силу (30), любой элемент группы

Л X В есть линейная комбинация kl элементов вида

生 火%,'==1, . . ., /г, j=l, . . ., Z.

'Следовательно, из абсолютной неприводимости Л X В вытекает абсолютная неприводимость групп 4 и В, В

Заметим, что в лемме 8 абсолютно неприводимые группы нельзя заменить неприводимыми. Неприводимость Л X В всегда влечет за собой неприводимость /1 и В, но, как показывает следующий пример, группа Л X В может оказаться приводимой, когда обе группы неприводимы. Действительно, пусть R ——поле вещественных чисел, А = В — группа всех вещественных матриц вида

a2+ 俨*0.

—р Ct J•■ ■ ■' ■

Очевидно, Л X Л ——абелева подгруппа группы GL(4； R). Но в GL(4, R) нет неприводимых абелевых подгрупп.

■ Возвратимся снова к произвольному полю А.

Л е м м а 9. Из примитивности группы Л X В следует примитивность групп А и В.：

Доказательство. Пусть группа 4 импримитив- на, а

Us j,・• . , 45r

—базисы s систем импримитивности группы А. Построим подпространство Q； размерности rm пространства V с базисом

11陋、 々=1,г; /= 1, ..., т.

Очевидно, что

V = Q{+ ... +Q5

—разложение V на системы импримитивности А \ В. Таким же приемом доказывается, что импримитивность 'В влечет импримитивность Л X В. ■

§16. О нормальных делителях вполне приводимых групп

Леммы о нормализаторе. Пусть V — конечномерное линейное пространство над телом Т, Н ——подгруппа группы GL(V), a G — нормализатор подгруппы Н в GHV). Будем рассматривать пространство V как

6 Д. А. Супруненко

операторную аддитивную группу V(Q) с областью операторов Q = Т \J Н. Таким образом, допустимыми подгруппами группы V(Q) окажутся такие подпространства W пространства М, что h(W)=W для Л из Н. При этих предположениях докажем две следующие лемму.

Лемма 1. Пусть g w G, a W — допустимая под* группа группы ^(Q). Тогда верны три утверждения-.

g(W)— допустимая подгруппа группы V(Q);

группа H\g(W) подобна группе Н\ W;

g(W) тогда и только тогда операторно проста, когда W операторно проста.

Доказательство. По условию h(W) = W для любого h из Н. С другой стороны, каждый элемент 方 группы Н можно записать в виде

h = ghg~\ h^H, Отсюда

h (g (侬))=gh (ш) = g(5).

(i) доказано. Для доказательства (ii) рассмотрим отображение y： 取 f g(取)，X g(x). Так как gw е GL(V)t то у — изоморфизм подпространств W и gM) (операторность изоморфизма 丫 не утверждается!). Группа H\g(W) есть множество всех отображений вида 方|g(伊)，где h=ghg~l, h 二 H. Для х W

刃(g(%)) = g 饱*

Полагая h\W = hWt отсюда находим

刃(£(%)) = 丫九取尸(g(%))， h\g(W) = yhwy~\

Следовательно, группа H\g(W) подобна H\ W. Утверждение (iii) легко получить из (i). Н

Лемма 2. Пусть g ^ G, a W\ u W2 — операторно изоморфные допустимые подгруппы группы V(Q). Тогда g(W2) операторно изоморфна группе g(Wi).

Доказательство. Пусть /： D-叭

—операторный изоморфизм. Тогда для 入 w Т, %, у w U7b h^H имеем-

/a+g)=f(»+f®),fa?)=fa)3 f(hx)=hf(x).

Введем отображение

九:g(%)f g(%)， g(x) 一 g(f(x))・

Очевидно, Л биективно. Для 九 находим

% (g(X)+ g 匂))=fl (g (x + g)) = g (f(X + у))=

=g (f (%) + f(9)) = gf (x) + gf ®)=

= fi(g (x)) + L(g(g)), 九(g (%)九)=f i (g (玖))=g (f (% 九))=g (f (%)九)=

=g (f (x))九=f 1 (g (x))九.

Для любого 九三〃 положим

^=g~'hg.

Тогда

/J九(g (*))]= fjg (儿(*))] = g [f (九I (*))] = g (力丿(x))=

=g% (f (x))=九 g (f (x)) = %fi (g (x)).

Следовательно,九一операторный изоморфизм. ■

Приведем еще одну простую лемму о централизаторе группы Н в GL (V).

Лемма 3. Если g принадлежит централизатору группы Н в группе GL(V), a W — допустимая подгруппа группы V(Q), то подгруппы W и g(») операторно изоморфны.

Доказательство. Отображение у: W g(W), где у(х) —g(x) для x^W, является операторным нзо- морфизмом. Действительно, для любого А из Н можно написать

y(h(x)) = gh(x) = hg(x) = hy (х). ■

Теоремы Клиффорда. Пусть, как и выше, V — конечномерное линейное пространство над телом Т.

Те орема 1. (Первая теорема Клиффорда.) Пусть G — неприводимая подгруппа группы GA(V), о 〃 一 нормальный делитель группы G. Тогда спрадедлиды два следующих утверждения'.

Н вполне приводим^

「 (ii) для любых двух инвариантных неприводимых относительно Н подпространств W^ и W2 пространства 匕 группы Н\ 呼 1 и H\ W2 подобны^

Доказательство. Пусть L{ — неприводимое ин-, вариантное относительно 后 подпространство пространства V. Если Li = V, то теорема доказана. Если Ai=#V, то в О найдется такой элемент g2, что

g2(厶1)*厶.⑴

В силу леммы 1 g2(^i) —инвариантное неприводимое относительно Н подпространство. Так как верно (1), то 3 + g2(&)— прямая сумма. Пусть теперь

g2,，gr⑵

—такие элементы группы G, что

L =厶 + 且2(厶)+ ■ • • + gr(〃)

—прямая сумма, а для каждого gw G сумма L + g (厶) уже не является прямой. Так как размерность пространства V конечна, то такие элементы (2) существуют, Из построения пространства L и неприводимости пространства g*(Ai) относительно Н находим'

g(&)f]L* ⑼，g^^^L,gg/(&)uL,g(L)=3

Отсюда и из неприводимости группы G вытекает равенство L= К Следовательно,

丿=厶斗g2(L)+公(厶)，(3)

т. е. (i) доказано. Согласно предложению 13.1 любай операторно простая подгруппа W вполне приводимой группы М(С), где С = Т U 反 операторно изоморфна од- lioMy из слагаемых gj(Li) из (3). Отсюда и из леммы 1' вытекает (ii). ■「

• Следствие 1. Нормальный делитель вполне приводимой подгруппы группы GL(V) вполне приводим.

Сохраняя обозначения теоремы 1, обратимся к разложению (3) и положим.

L” = gv(Li)， 1V = 2,…n Очевидно, что

'厶,…(4)

—операторно простые допустимые подгруппы группы Р(С), Q=T UH Разобьем систему подпространств (4) на классы, относя Лц и Lv к одному классу тогда и только тогда, когда 厶l и Lv операторно изоморфны.

Пусть 左一число этих классов. Построим k прямых сумм

Qi，• • •, Qk

подпространств (4), входящих в один класс. Тогда, очевидно,

V = Qi+ +Qk.(5)

Теорема 2. (Вторая теорема К』н巾форда.) Если 々〉1, то (5) — разложение пространства V на системы импримитивности группы G.

Доказательство. Пусть gwG, рассмотрим

g (Qi)‘ i — 1,…，瓦

Согласно лемме 2 g(Q?・)一прямая сумма операторно простых операторно изоморфных подгрупп. В силу предложения 13.3 каждая операторно простая подгруппа группы V(Q) содержится в одной из подгрупп Q厶 j = =1,幺 причем две операторно простые операторно изомор(|)ные подгруппы попадают в одну и ту же группу Qj. Следовательно,

g(Q,・)uQj.

Отсюда и из определения импримитивности (см. § 15) вытекает, что (5) — разложение пространства V на системы импримитивности группы G, если 々〉1. ■....

С помощью подпространств (4) введем неприводимые части группы 〃，т. е. неприводимые представления 山 вида、

4： Н f GL (£；), , h н-> 力 I £〃/= 1, ..., r. (6)

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Неприводимые части нормального делителя 〃 примитивной неприводимой группы G попарно эквивалентны.,

；,Число представлений J； (см. (6)), эквивалентных фиксированному представлению 九 назовем кратностью представления dv.

‘Следствие 2. Неприводимые части нормального делителя Л неприводимой группы G имеют одну 汉 ту же кратность, н ?、

Доказательство. В силу леммы 15.1 Q)имеют одну и ту же размерность. Подпространства 厶 также одной и той же размерности. Следовательно, все неприводимые части группы 11 имеют одну и ту же кратность, равную

(Qi：T)(厶：7厂1 ■

Следствие 3. Если степень и кратность неправо^ димой части группы Н равны 1, то G мономиальна.

Лемма 4. Пусть неприводимая подгруппа G группы GL(V) представима в виде

G = HF,(7)

где Н и F ——поэлементно перестановочные нормальные делители G. Тогда неприводимые части группы "(F) попарно эквивалентны.,

Доказательство. Пусть 厶一операторно простая допустимая подгруппа группы V(Q), Q = T (J^. Тогда, согласно (3) и предложению 13.1, любая операторно простая допустимая подгруппа группы V(C) операторно изоморфна группе вида g(L), где £ 三 G. В силу (7)

g(〃) = W),

Отсюда и из леммы 3 вытекает требуемое. ■

Применим теперь лемму 4 к случаю, когда Т=А, где Д—поле, a G — абсолютно неприводимая подгруппа GL(n, А).

Лемма 5. Пусть абсолютно неприводимая подгруппа G группы GL(n, А) представима в виде (7), /—степень неприводимой части группы Н, tn — степень неприводимой части F, причем Im w п. Тогда Im = n, а неприводимые части групп Н и F абсолютно неприводимы.

Доказательство. По условию

[G]a : А = М.

Согласно лемме 4

[Н]^^^1\ Ид：Д<т2.

С другой стороны, в силу (7) ,

* = [GJa ： а & 3k： А)(【尸】А : А)工 У 谓

Отсюда■

м《/т, п = 1т,["]& : А =/2, [F]A ： Д = т2.

Следовательно, неприводимые части групп Н и F абсолютно неприводимы.' ■

Теорема 3. Пусть абсолютно неприводимая подгруппа G группы GL(n,八)представима 6 виде (7), / —— степень неприводимой части Н, ш — степень неприводимой части 尸 и Im W /г. Тогда группа G сопряжена в GL (/?, Д) с группой матриц

G = H\Ff

где " — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL (厶 Д), 戸——абсолютно неприводимая подгруппа GL(m, Д); Н ^Н,戸仝足

Доказательство. Согласно лемме 5 厶〃 =п. В силу леммы 4 матрицы h группы Н в некотором базисе В пространства А" имеют вид

h = h\ Eg

где h пробегает неприводимую подгруппу_ Н группы GL(/, А), изоморфную ". В силу леммы 5 Н абсолютно неприводима. Отсюда и из леммы 15.8 вытекает, что матрицы f группы 尸 в базисе В имеют вид

f = ElXft

где f пробегает абсолютно неприводимую подгруппу 戸 группы GL(tn, Д), изоморфную группе F. Следовательно, матрицы группы G в базисе 5 имеют вид 历乂 f, причем любая матрица 乃义『принадлежит G. ■

О нормализаторе вполне приводимой группы. Пусть снова V -— конечномерное линейное пространство над телом Т, а "——вполне приводимая подгруппа группы GL(V). Как и выше, V будем рассматривать как аддитивную операторную группу V (Q) с областью операторов 6 = Т U "• Пусть

У = Z>l + ... 4* 厶^(8)

—разложение V(Q) в прямую сумму операторно простых допустимых подгрупп

.Lj、；1». • • * > лп *〜(9)

Разобьем систему подгрупп (9) на классы, помещая 厶 и Lj в один и тот же класс тогда и только тогда, когда Li и Lj операторно изоморфны. Пусть й — число таких классов, a Qi, ... т Q企一прямые суммы подгрупп L” входящих в один и тот же класс. Очевидно,

V = Q( + …+Qfe.(10)

Построим еще одно разложение пространства ； У в прямую сумму допустимых подгрупп. С этой целью систему подгрупп (9) разобьем на классы другим способом. Подгруппы Lf и Lj будем относить к одному и тому же классу тогда п только тогда, когда группы H\L{ и “Lj подобны. Пусть / — число новых классов, a U^i, ..., Wt — суммы подгрупп Lj, входящих в один п тот же класс. Тогда

[， =吃+ …+吃.(11)

В силу предложения 13.3 разложение (10) не зави- ciit от разложения (8) и определяется группой 丿(Q) единственным образом с точностью до перестановки слагаемых, а любые операторно простые операторно изоморфные подгруппы . группы V(Q) содержатся в одной и той же группе Q”

Аналогичными свойствами обладает и разложение (1L) • . .

Лемма 6. Разложение (11) единственно с точностью до перестановки слагаемых. Пусть Р и Рг ——one- р^торно простые подгруппы группы У(С) такие, что группы Н\Р и 〃|尸1 подобны. Тогда для некоторого р, "： р u 叭，Ru%.(12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем спра^ведядатет* включений (12). Согласью предложению 13.1 Р оператор но изоморфна некоторой группе Li из разложения (8);尸 1 — группе Lj： Так Как ограничения 7/1Р и Н[Р\ подобны, то отсюда следует,： что-и группы "jL^ и H、Lj также подобны. Пусть/

■厶 uQa，LfCzQv.

Тогда, в силу приведенных свойств разложения (10),

.PuQ%, P,、Qv：

Так как H\L{ н H\Lj подобны, то найдется такое 黑, 1 W 快 &，，что

“Qv и %, Q% и %.

Следовательно,

Pu/卩，修u旷世.

доказано. Из построения разложения (11) и из предложения 13.1 вытекает, что для любых операторно простых подгрупп 〃 и & из WiL группы 〃|G и Н\ U2 подобны. Отсюда и из (12) вытекает единственность разложения (11). ■

Пусть теперь N(Н) —нормализатор Н в GL(V)t а С(〃)一 централизатор " в GL(V)..

Лемма 7. Каждое слагаемое W^ разложения (11) является инвариантным подпространством относительно группы "("), а каждое слагаемое Q)разложения (10) является инвариантным подпространством относительно группы С(〃).

「 Доказательство. Пусть gwN("), а Р — операторно простая допустимая подгруппа W^. Согласно лемме 1 группы Н\Р и H\g(P) подобны. В силу леммы 6 g(P) и 呼屮 Следовательно,

g (%) = %「

Аналогично из леммы 3 вытекает вторая часть лем~ Мы 7. ■

Лемма 8. Пусть g е ^(//). Тогда

:g@) = Q/(13)

при некотором /.

: Доказательство. По построению Q$ — прямая сумма операторно простых операторно изоморфных подгрупп группы V(Q). В силу леммы 2 g(Qt) —тоже прямая сумма операторно простых операторно изоморфных црдгрупп группы У(й). Следовательно,

g(Qi) c^ Qj - ■」

прн некотором /. Ясно, что

Qi U gT (Q/) и Q&.

Так как Qt н Q入 一прямые слагаемые, то

九=‘，gT(QA = Qf, g(Qf) = Q/・■

Очевидно, из построения разложений (10) и (11) вытекает, что каждое слагаемое 叭 разложения (11) является прямой суммой некоторых слагаемых Qj разложения (10).

Из лемм 7 и 8 следует

Лемма 9. Пусть Q； cz ^, a U — прямая сумма всех Qv, входящих в 呼也 и имеющих ту же размерность^ что и Qj. Тогда U — инвариантное относительно N(") подпространство пространства V.

В заключение рассмотрим случай, когда Т = А, где А — алгебраически замкнутое поле, а неприводимые части группы Н попарно эквивалентны. При этих условиях в подходящем базисе пространства V = А" ма” трицы 1г 巨 Н принимают вид

力=加%品(14)

где 小 пробегает неприводимую подгруппу Н[ группы GL(m, А), изоморфную ", ml = /г.

Лемма 10, Пусть подгруппа Н группы GL(〃， А) состоит из матриц вида (14). Тогда ее нормализатор N(H) в GL (м, А) совпадает с группой N{ Х GL (/, А), где 介 1 — нормализатор "i в GL (尸z, A).

Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что

N{ X GL (/, А)и%(")・(15)

Пусть теперь g 三 N ("), Ii 巨 Н. Тогда

ghg~l = g(hiX £z) g-1 = fti X Ei，几三，i・

Очевидно, отображение

Yi：加—万1

является автоморфизмом группы "i； его можно продолжить до автоморфизма

Y： [〃1】А-[”L・

Так как группа "【неприводима и поле А алгебраически замкнуто, то

Следовательно, 丫一внутренний автоморфизм Дт, и поэтому для gw"(”) в GL(m, Д) найдется такой элемент gi, что при любом 九 1 w Hi

g (% X E〉gT = gi%g/ X 当・

Отсюда вытекает, что gi 巨 N\* Ясно, что для любого h Н

g九gT = (gl 义田)九3文理Т.

Следовательно, (gi X E^^g принадлежит централизатору С(”)группы Н в GL(n, А). Согласно лемме 15.8

C(H) = EmXGL(l) Д).

Отсюда

g^(giX 巴)(/ X GL (/, A)) uN*GL (/, A).

Последнее включение вместе с (15) доказывает лемму, Н

Некоторые условия полной приводимости линейной группы над полем

Полупростые матрицы и d-матрицы, d-группы. Пусть Д — произвольное поле, V ——линейное пространство размерности п над Д, а а е End V. Очевидно, эндоморфизм а тогда и только тогда неприводим (т. е. в V нет нетривиальных инвариантных относительно а подпространств), когда его характеристический полином неприводим в Д [х]. Хорошо также известно, что эндоморфизм а тогда и только тогда вполне приводим (т. е. V ——прямая сумма неприводимых инвариантных относительно а подпространств), когда минимальный полином m (尤)эндоморфизма а не имеет в кольце А [尤]кратных множителей. Вполне приводимые эндоморфизмы из End V называют также полупростыми эндоморфизмами. Матрицы полупростых эндоморфизмов будем называть полупростыми матрицами. Иными словами, матрица а из Ап называется полупростой над Д, если в (?£(几,Д) есть такая матрица что

厂%f == diag [ар ..., аА],

где 出一матрица с неприводимым в Д [х] характеристик ческим полиномом, / = 1,…，h.

Введем еще одно определение. Матрица о w △» называется сЬматри^е也,если существует такое расширение 2 поля А и такая матрица f w GL (/i, 2), что

f й / —di a g [入，入к] г 九 j 三 £； / —~ 1, . . ., az .

Ясно, что в качестве Е здесь можно взять поле разложения характеристического полинома матрицы а.

Из определения d-матрнны и свойств минимальных полиномов матриц вытекает, что матрица а из А” тогда и только тогда является d-матрицей, когда ее минимальный пол ином m (х) взаимно прост с производной mf {х). Следовательно^ всякая d-матрица полупроста. Для совершенных полей 八 класс d-матриц совпадает с классом полу простых матриц. В случае же несовершенного поля А класс пол у простых матриц над А ш и ре класса ^матриц над △.

Подгруппа G группы GL(〃，八)называется d-группой, если каждый элемент из G является(У-матрнцеи..

Лем А! а 1. Пусть А ——множество попарно перестановочных d-матриц из Д?!. Тогда существуют такое конечное расширение Е ноля А и такая матрица / 三

GL{n, £), что все матрицы множества LW диаго- нальны.,

. Доказательство. Очевидно, достаточно рассмо；. треть лишь случай конечного Л, ибо в Л есть конечная максимальная система линейно независимых матриц. Пусть Л конечно, а £ ——поле разложения полинома f(х) wA[/], где 丿(尤)—произведение характеристических полиномов 'матриц Л. Доказывать будем индукцией по степени п. Для /г'= 1 лемма очевидна. Пусть /г〉1, и; пусть для матриц степени, . меньшей п, л ем ма доказана. Если все матрицы а из А скалярны, то, лемма тоже очевидна. Пусть в Л есть нескалярная матрица а. Так как а является ^-глатрицей； то в GL (/z, £) есть такая матрица % чТо *'

^?^ == djag [入iR/,「•.，入左£7 J/с〉1,...

Л/ при j

Следовательно, матрицы 6 множества u~Mw имеют вид 方三dfagj历「…，勿],%之£/j=l,…,儿

Очевидно, bj является d-матрицей, причем Ь； пробегает некоторое множество В； попарно перестановочных матриц из 工囹，когда b пробегает В = 1г{Аи. Так как /1)V н, то, по индуктивному предположению-, в GL(/ij, 2) есть такая матрица 力・，что все матрицы 力七储диагональны. Следовательно, все матрицы множества 尸4% где

/ = 〃 • diagZ，EJ диагональны. ■

Лемма 2. Множество Л попарно перестановочных d-матриц из А,? вполне приводимо.

Доказательство. Пусть £—поле, существование которого утверждается в лемме 1, 4 — подалгебра алгебры Ам порождаемая Еп и Л, а Л2 — подалгебра алгебры 2小 порождаемая £п и Л. В сн/у леммы 1 в 4j нет ненулевых нильпотентных элементов. Следовательно, их нет н в 4] и，2, т. е. А{ полупроста и Л вполне приводимо. ■

Как вытекает из леммы 1, для любых перестановочных ^-матриц 〃，b w Ап и любых 儿 代三 А матрицы ab и 入а + цй ——тоже d-матрицы. Ниже приводится простой пример, показывающий, что ни это замечание, ни лемма 2 не переносятся на полупростые матрицы. Пусть р — простое число, %р — б ——неприводимый полином из А [х], где Д — поле характеристики 卩 Рассмотрим мно、' жество .4, состоящее из двух матриц а и b степени' и = 2р:

с]「с 0-

О с J

где с — матрица из Ар, характеристический полином ко* торой совпадает с %р — 6. Очевидно, ab = Ьа, Далее,

/ ГО сIV -

Следовательно, %р — 6 — минимальный полином ма、 трицы а, т. е. а и b — полупростые матрицы. Ое видно, что Д —- приводимое множество матриц. 4 нераз* ложимо. Действительно； если бы А было разложимым, то Л было бы и вполне приводимым. Однако группа G,

порождаемая матрицами а и й, содержит нормальный делитель (и),

'ЕР

п по теореме Клиффорда не может быть вполне приводимой. Итак, А ——неразложимое приводимое множество перестановочных полупростых матриц. Матрицы ab~\ 。——b не полупросты, хотя а, Ь, Ь~{ полупросты.

Лемма 3. Пусть G ——группа полупростых. матриц из GL(a, A), Yi, . . ., 丫九——неприводимые части группы G. Если все группы Im 丫?・,/ = 1,...,々,абелевы, то группа G тоже абелева.

Доказательство. Если все Im у?- абелевы, то все матрицы коммутанта G' группы G унипотентны. Так как каждая матрица из G полупроста, то G，= (E). ■

Лемма 4. Периодическая группа G матриц над полем А тогда и только тогда является d-группой^ когда char А 0 П(б).

Доказательство. Пусть G есть d-группа, g 三 G, k ——порядок элемента g. Тогда для любого простого делителя q числа k и некоторого расширения S поля А в группе. 2* есть элемент порядка q, Следовательно, char A 0 r[(G). Обратно. Пусть char Д 0 П(б). Тогда для любого g из G char А не делит порядок k элемента g. Минимальный полином матрицы g делит по лином 2(х) =仙一1,(2(灯，2’(尤))= 1- Следовательно, g является d-матрицей, a G является d-группой. ■

Следствие 1. Конечная группа матриц над полем А тогда и только тогда является d-группой, когда char А не делит ее порядок,

Л е м м а 5. Пусть группа G матриц над полем А имеет такой нормальный делитель Н, что Н является d-группой, G/Н ——периодическая группа, a char А 亥 0 H(G/H). Тогда G является d-группой.

Доказательство. Для gwG существует такое целое 厶 > 0, что gh ~ h^ 方，char Д 丈 口(^). Так как Н есть d-группа, то минимальный полином ш(х) матрицы h взаимно прост с шг(х). Очевидно, что m(xh)——аннулирующий матрицу g полином.

Так как

(团(炉)，山团‘(尤力)尤л) = 1.

то полином m(xk) не имеет кратных корней ни в каком расширении поля Д. Следовательно, g является d-матрицей. ■

Об условиях полной приводимости.

Теорема 1 (Дж. Диксон [1]). Пусть G—подгруппа группы GL(n, Д), а Н ——вполне приводимая подгруппа группы G конечного индекса /, причем char А — 0 или (char A, j) = 1. Тогда группа G вполне приводима.

Доказательство. Пусть G действует в пространстве А\ a Q =# (0)—подпространство пространства А", инвариантное относительно G. Покажем, что Q обладает инвариантным относительно G дополнением. Тем самым будет доказана теорема. Так как Н — вполне приводимая подгруппа группы G, то А71 = Q 斗 L, где L — инвариантное относительно 〃 подпространство А". Введем эндоморфиз?>1 л пространства А , положив,

л I Q = 0, л I L —

где с ——единица Hom(L, L). Пусть В ——полная система представителей левых смежных классов группы G по подгруппе Н. Построим эндоморфизм Ов пространства А", положив

Оз = у ^J ХЛХ~ 1.( 1)

Подпространство Р = Im о” = о_вА" не зависит от выбора системы В. Действительно,

尢冗汇"’А" = хлА" = xL.

Следовательно, если у = xh,九巨 "，то

уэту А -—- уэтАxhL х£.

Легко видеть, что для g ^ G множество gB также является полной системой представителей левых смежных классов группы G по подгруппе Н и справедливо равенство

g = OgBg・(2)g = OgBg・(2)=2 (gx)n(gx)T

g = OgBg・(2)

g = OgBg・(2)

Подпространство Р инвариантно относительно G Действительно, из ⑵ получаем

gP = g(yB\n = %_sg 八"== о^А'—尸・ Эндоморфизм зв обладает следующими двумя свойствами:

Кег Ов = Q，尸 Г) Q = Im Ов Г) Кег сгв = (0).(3)

Действительно, для gwQ xnx~lq = 0. Следовательно, Qu Ке「о石.(4)

Пусть теперь 11Hq 十 I, q『Q, 2 三/,. Тогда

尢7(9 + /) = 4i + /"71 三 Q， 厶三 L.

Отсюда

x(% + %) = g； + % &) = g + 厶 《三 Q・ Следовательно,

% (八)==q% + I〉g2 三 Q?

1冗厂](7 + /) = XЛ(7i +4)=尢仏)=g2 +A Отсюда

。8(9 +') = «з +'， 7з e Q-(5)

Если crB(7 + /) ^ 0, то> в силу (5), 2 = 0・ Отсюда и из (4) получаем

KercrB = Q.

Если ^в((-] + /) е Q, то, в силу (5), / = 0. Следовательно, Р П Q — (0), т. е. (3) доказано. Из (3) получаем А〃 = Q 十 R где Р — инвариантное относительно G подпространство. ■

Следствие 1. Если порядок конечной группы матриц над полем А не делится на char Д, то группа вполне приводима.

Следствие 2. Конечная d-группа матриц G над произвольным нолем А вполне приводима.

Доказательство. В силу леммы 4 char Д нс делит порядок группы G. Отсюда и из следствия 1 вытекает следствие 2. ■

Теорема 2 (Платонов [7]). -Пусть А — произвольное поле, G——подгруппа в GL (л, А), обладающая таким вполне приводимым нормальным делителем Н,

§ 17] УСЛОВИЯ ПОЛИОЛ ПРИВОДИМОСТИ ГРУПП НАД ПОЛЕМ 177 что G/H — локально конечная группа 〃 chai•△柒 YI(G/H), Тогда группа G вполне приводима.

Доказательство, Пусть gi, . .., gr—максимальная л иней но независимая система матриц из G, Gi —— группа; порожденная g」gr, Н. Из локальной конечности группы G/Н следует конечность группы GJ/7. char А не делит индекс Gi: ", следовательно по теореме 1, группа G( вполне приводима. Так как линейные оболочки групп Gi и G совпадают, то G тоже вполне приводима. И

Л е м м а 6, Пусть А — поле простой характеристики р, а b — такая d-матршла из △升，что матрица Ьр диаго- нальна. Тогда b тоже диагональна.

Доказательство. Положим

q ：= Ь" = ^^,? [^ 1 ^/Z|» ' ' ■> 九々£门巾]，入/ '.Q 八，2* ■^；九/ при »"^ /« Так как ab = b。，то

bd isg [bI,…，班],bу U A"/； j 1, */"

Докажем, что все 6； скалярпы. Для, bj можно написать

ь:=%尸叮.(6)

Очевидно, что bj есть d-матрнца. Следовательно, существует .такое расширение 2; поля А, что в G£(〃j, Xj) вайдстся матрица 力，для которой-

/j"：=出怨[PiP^j卜

Из (6) находим,

/)； = у,丁 = diag [р：,…，р；/=

где р?==р?=厶广 Так как р — char А, то р；=... .・・=Р^ = Р， 」

，力方“/ = pE/宇bj = рЕпуp w A*

Следовательно, все bj скалярны, а матрица b -диаго- пальна. ■.

Теорема 3. Пусть △ — произвольное поле, q G есть d-подгруппа группы GL(a, А), обладающая таким абелевым нормальным делителем F, что фактор-группа G/尸 локально конечна. Тогда G вполне приводима.

Доказательство. Если char Д = 0, то теорема следует из теоремы 2. Пусть char А = р, где р — простое число. Достаточно рассматривать случай, когда группа G/F конечна. Пусть G/F конечна. Согласно лемме 1 существует такое расширение £ поля А и такая матрица fw GL(n, S), что группа tFt~x состоит из диагональных матриц. Положим

Fx = ^Г1, Gi = /G/T

Очевидно, что Gi н 尸i — подгруппы в GL(", 2). Рассмотрим еще группу 尸2 всех диагональных матриц из GLg S), содержащихся в группе G3 Очевидно,

По условию GJF* ——конечная группа. Пусть теперь cF{ — элемент порядка /Я фактор-группы G{F\. Тогда с w 尸2・ Действительно, рассмотрим элементы

& ср,

В силу выбора с сра е Fp Согласно лемме 6 №"〔一 диагональная матрица, следовательно, с^"1 w F2. Применяя несколько раз лемму 6, получим, с 三尸2, т. е.

cF w F2/Fv

Таким образом, F2/F[ содержит р-подгруппу Силова группы GJF3 Отсюда вытекает, что индекс Gi :尸2 не делится на р. 尸2 ——вполне приводимая подгруппа GLg S). Так как

t~lF2 (育 и G и GL (п, Д),

то 尸尸2f — вполне приводимая подгруппа в G, индекс которой взаимно прост с char А. По теореме 1 группа G вполне приводима. ■

Отметим без доказательства еще одно условие полной приводимости:

Теорема 4 (Супруненко [16]). Пусть Д—совершенное поле, a G ——подгруппа группы GL(n, А), имеющая вполне приводимый нормальный делитель /V. Если фактор-группа G/N периодическая и char А ^ ^ H(G/N), то группа G вполне приводима.

Известны примеры приводимых, но неразложимых d-групп (см. Платонов, ЗалеСский [1], Мер зл я* ков [2]).

ГЛ ABA V

РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Приводимые разрешимые группы

Специальная треугольная группа. Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей 1. Группу всех матриц вида

1а12 必3 . . . Ct!rt

'°1。23 • • • а2/г ,

_0 00 …1 一

где 仪浦——произвольные элементы кольца А, п > 1, бу< дем называть специальной треугольной группой и обозначать T （匕△）.

Здесь мы покажем, что группа Т （〃，А） разрешима, а длина ряда ее коммутантов зависиг только от 〃. Очевидна

Л е м м а 1. Любые две матрицы вида

'Е］п В "

一 ° En~m -'

где В есть ni X （^ 一 a/z） -матрица над кольцом А, перет становочны.

Введем теперь число 卩=ц （п）, положив

F （九）="。g2（儿一1）］ + 1-

Очевидно, число 科 определяется неравенствами:

2"〉九一1>2"Т.

Теорема 1. Группа Т （и, А） разрешима. Длина ряда коммутантов группы Т （п, А） равна 科（孔）= 匸［log2（n — 1）］ 土 L

△ )=G〃 н по- группы Gn ра-△ )=G〃 н по- группы Gn ра-Доказатсльство. Положим кажем сперва, что ц-й коммутант вен (Еп). Доказывать равенство

△ )=G〃 н по- группы Gn ра-

△ )=G〃 н по- группы Gn ра-

ОГ = (Е^ ⑴ будем индукцией по числу «. Если ]i(/，)W2, то 〃 W 4, а для 〃 = 4 равенство (1) легко проверяется. Пусть 卩(〃)〉2, и для 卩一1 равенство доказано. Положим /〃 = 2“т. Тогда

2“т > tn 一 1 > 2"-； 卩(m)=卩(/2)— 1 =科一1. Следовательно, по индуктивному предположению,

G尸)= (£,“).

Из последнего равенства вытекает, что матрицы а группы О%—。 имеют такой вид, что in — 1 диагоналей матрицы а, находящихся над гл а в ной диагональю, состоят из нулей. Так как п ——/〃 W "?, то матрицу а удобно записать так:

В силу леммы 1 из (2) вытекают коммутативность группы G厂"и равенство (1). Теперь надо показать, что

G?f 方(£”).(3)

Из определения 乩="(〃) находим

Положим 2"Т + 1 = а. В группе Gn есть элементарная матрица

力а =匕0^1)=七九+ e"

Неравенство (3) можно получить с помощью следующей таблицы:

匕2"13 匕5%9, , 1 %2u-+1 %匕2"13 匕5%9, , 1 %2u-+1 %'а-4> а 'а-8, а'а-4> а 'а-8, а'а-2, а'а-2, а

匕2"13 匕5%9, , 1 %2u-+1 %

匕2"13 匕5%9, , 1 %2u-+1 %

'а-4> а 'а-8, а

'а-4> а 'а-8, а

'а-2, а

'а-2, а

где /订=tjj （1）. Действительно, по лемме 8.3, элементы второго столбца этой таблицы — коммутаторы элементов первого столбца, элементы третьего столбца — коммутаторы элементов второго и т. д., следовательно,

' Аз ® 53 % 三 6?,…’А,弗+i w G?）・

В частности,

Aa=Aul + l WG?T, G厂）*（以）.置

Рассмотрим теперь группу 丁（/订，...,〃九,А）, состоящую из всех матриц вида

Е pi、d 12• ■ • 01 厶

4= 0Е〃2 …,⑷

где 〃； + 散 + .…+ 〃九—% 0" — произвольная /% X 九厂 матрица над кольцом A.■

Теорема 2. Длина ряда коммутантов группы Г（/гр ...,耿，А） равна ц 仅）=[log2 （々一1）] + 1.

Доказательство. Положим

〃丸=Т （^i* • • • j 耿'△）

и покажем сперва, что.

，俨=（以），⑸

где ц = Ц（^）- Равенство （5） будем доказывать индукцией по числу ц. Для ц — 1, 2 оно очевидно. Пусть 卩 > 2 н для 卩——1 （5） доказано. Для 々 верны неравенства

''''2"Т+1&%<2"+1.

Положим / = 2“т. Тогда =:.

2“т + 1〈/< 2“т + 1

и, по индуктивному предположению,

〃尸= （£“）一

Отсюда следует, что матрицы группы 〃沪一"имеют вид

ЕП1 0... О b\t i+i bik

0 £*小 0 ...0 й，72尻总

6= 0О Eni 0... О bk-i,々.

0 0国…0…°

_ О ОЕ% _

⑹

В силу выбора числа / имеем 2/》瓦 k — I《1. Из последнего неравенства вытекает

^! + М2 + . . . + flk^[ + Mf + i + . . . + Mft ^

《佝 + 〃2 + • - • + nk-l + %T + t + 〃尼T + 2 + ■ • • + ^й = ^*

Следовательно, матрицу (6) можно записать в виде

где

£ = 〃[+・•・+ 〃々一〃 t — П — S.

Отсюда и из леммы 1 следует, что //^-1) — абелева группа, т. е.

"俨= (Е〃).

Теперь остается показать, что

<-1)声(£„)•⑺

Введем матрицыТ”.Матрицувида (4) такую, что

'10…0“

л_00О

О0О

а остальные 〃％v = 0, обозначим символом Г订.Положим а = 2^т + 1 и составим следующую таблицу:

Т， 12Г， 23Т， 12Г， 23т/ 13т， 24т/ 13т， 24Т/ 15Г， 26Т/ 15Г， 2671, 2H-2+1 м, a 「2任-2+1,(171, 2H-2+1 м, a 「2任-2+1,(1⑻⑻

Т

， 12

Г

， 23

Т

， 12

Г

， 23

т

/ 13

т

， 24

т

/ 13

т

， 24

Т

/ 15

Г

， 26

Т

/ 15

Г

， 26

71, 2H-2+1 м, a 「2任-2+1,(1

71, 2H-2+1 м, a 「2任-2+1,(1

⑻

⑻

「а-Ь а Tq-?, а 「&-4, а

В этой таблице матрицы второго столбца — коммутаторы матриц первого, матрицы третьего столбца — коммутаторы матриц второго и т. д. Действительно, как легко проверить,

勺戶"=勺广

Если теперь положить

「订—En = Eij, то

ЕиЁ}1 = Ёц,а при九# j宀

否订Az = O・

Отсюда находим

7К7工=以一位在一点/ + Eih /⑼

где z, /, k — попарно различные числа.

Перемножая равенства (9), получим

Г/Г用/7或7寸=Е,г + £订=Т / /.(10)

Из (10) и следует отмеченное свойство таблицы (8). Таким образом,

T^3 三 Н?> 715 W "£г 。…71, 2"1 三"伊，

Следовательно, верно (7). ■

Редукция к примитивным группам. Пусть теперь А — поле, a G — произвольная подгруппа группы

GL(〃, А). Тогда в подходящем базисе пространства А" матрицы g группы G принимают вид

&i(g) «12(^) ••• %&(g)

g= 0a?(g)а24 (g),(]])

.00…a厶(g) _

где отображение

%•: G-> GL(/“，A), gfq(g),

——неприводимое представление группы G степени a dij(g) есть X "『матрнца над 八， 山+几2 + …+ 伙=〃 (см. § 14).-

Теорема 3. Группа G матриц вида (11) тогда и только тогда разрешима, когда разрешимы все группы.

GI ~ Im yt-,i — 1, . . ., k.(12)

Доказательство. Необходимость. Пусть группа G разрешима. Тогда разрешим любой ее гомоморфный образ. Следовательно, все группы (12) разрешимы.

Достаточность. Пусть разрепшмы все группы (12). Рассмотрим гомоморфизм

f: GfGLg А)(13)

f(g) = diag[%(g), a^g", gwG.

Очевидно, группа Im f разрешима. С другой стороны, матрицы- из Кег / имеют вид (4). Следовательно,

Kerf и Т (^, . .А).

Отсюда вытекает разрешимость группы Ker f и разрешимость группы G. ■

Если группа G матриц вида (11)——максимальная разрешимая подгруппа группы GL(小 А), то группы (12) являются максимальными разрешимыми подгруппами групп GLg, А), группа Imf изоморфна прямому произведению групп (12), а элементы а订(g) суть произвольные n； X /г；-матрицы над полем А. Таким образом, максимальная разрешимая подгруппа группы GL{n, А) задается последовательностью групп Gb . . ., G在,где

Gj — максимальная разрешимая неприводимая подгруппа группы GL(〃高△),

"1 + 九2 + • • • + nk = “*

Теорема 4. Пусть максимальная разрешимая подгруппа ® группы 心厶(& А) приводима. Тогда ® сопря- ■жена 6 GL (& А) с полупрямым произведением

HTg、耿，А)(14)

групп Я и Г(/I], ..., п储 А), где Я — группа веек матриц вида Л = diag[/；i,...,力 〃j, 小三⑦，G, — максимальная разрешимая неприводимая подгруппа группы GL(几А), j = I, ...,&, 〃 一 прямое произведение групп G】,...,О/=.

Доказательство. Согласно теореме 3 группа (14) разрешима. Группа ® сопряжена в GL(n, А) с группой G матриц вида (I I). Очевидно, что любой элемент g w G представим в виде

g = / (g)辽，и ^ Т (〃],,・.，〃也，A), f (g) f Н.

Следовательно,

О и 〃Т(П[,..., 〃臣，А).

Так как О — максимальная разрешимая подгруппа группы GL(& А), то

О = 〃Т几在，А). ■

Теорема 5. Пусть О——неприводимая разрешимая подгруппа группы GLg А). Тогда О либо примитивна, либо сопряжена s GZ(〃， А) с некоторой подгруппой сплетения

G f(15)

где G ——примитивная разрешимая подгруппа в GL(mt А), Г ―- транзитивная разрешимая подгруппа симметрической группы S/订 a km = п. В частности、максимальная разрешимая неприводимая подгруппа группы GL(n, А) либо примитивна, либо сопряжена в GL(nf А) с группой (15), где G — максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL〈m, А), а Г ——максимальная транзитивная подгруппа группы S储

Эта теорема следует из теоремы 154

Примитивные разрешимые группы. Ограниченность длины ряда коммутантов разрешимой линейной группы

Абелев нормальный делитель примитивной разрешимой группы. Пусть А — произвольное поле, G ——примитивная разрешимая подгруппа гр}-ппы G£(〃, А), а Н — абелев нормальный делитель группы G.

Лемма 1. В GL(& А) есть разрешимая группа ®, обладающая максимальным абелевым нормальным делителем 户，такая, что О n G, F п Н,尸 является мультипликативной группой поля К, К — расширение поля АЕд, ДЕП и К и Ап, К : △ делит число п.

Доказательство. Согласно теоремам , Клиффорда (§ 16) Н вполне приводима и ее неприводимые части попарно эквивалентны. Если 仪-- степень неприводимой части группы ", то 〃订 делит 〃，а линейная А-об。- л очка [Я] = 21 есть ноле, степень которого над А равна 〃〃.

Положим 〃i = £i・ Тогда для g 三 G

g"心7 = "卜 Следовательно,

G] = "iG

——разрешимая группа, а Н\ — ее абелев нормальный делитель. Если /Л ■—максимальный абелев нормальный делитель в G；, то лемма доказана, ибо в качестве ® можно взять Gj, в качестве 尸 ——группу Яь Если же /Л содержится в другом абелевом нормальном делителе Hi группы G], то строим разрешимую группу

G? = Н 2G" где

% = £, & = [Н], 22 n £1, 工声工.

Если /Л максимальный абелев нормальный делитель группы G2, то лемма доказана. Если же "2 и "6, где 方6—— другой абелев нормальный делитель группы G2, то строим группу

6з="3(?2, "з = 23,23 =旧式 w3П22, w3 * е?

и т. д. Так как степени полей Si, S2, Ез， •…суть делители числа 孔 и включения

Е] и & и £3 и …

строгие, то процесс построения полей Ej конечен и для некоторого / группа

есть максимальный абелев нормальный делитель группы

G/ = "/G/t. Полагая

⑤=G〃 F = /У”

получим требуемое. ■

Пусть теперь G ——примитивная разрешимая подгруппа в G厶(з A) f обладающая таким максимальным абелевым нормальным делителем 尸，что •

尸= К*, AJuKuA〃，(1)

К ——расширение поля А£п, К ： А =/т?, т\п. Обозначим буквой V централизатор группы 尸 в G, а символом 夕(К/A) —группу всех автоморфизмов поля К, оставляющих неподвижным каждый элемент поля ^Ет- Тогда верна

Теорема 1. Фактор-группа G/V изоморфна некоторой разрешимой подгруппе группы 夕(К/А).

Доказательство. Рассмотрим отображение

f: G->9(К/А), g —%,(2)

где Og： К — К, Og(x) = g^\ х 三 К. Так как 尸=К*, то Кег/ = К Отсюда

G/【/dImfu9(K/A)・ В

Следствие 1. G : V ^： К : Д = т.

При рассмотрении группы У пространство Дп, где она действует, удобно трактовать как пространство размерности г = п/ш над полем К・ Так как каждый элемент и из У перестановочен с каждым элементом Л из К, то VuG厶亿 К). Ясно, что G厶(г, К) есть централизатор группы 户 в GL (п. А). В частности, если

К ： А =小

ТО

F = K* = G£(l,K) = l/・

Отсюда и из теоремы 1 вытекает .

Следствие 2. Если К : ^ = п, то V = Fy а группа G/F изоморфна разрешимой подгруппе группы 乡(К/А), G : F £ п.

Абелев нормальный делитель фактор-группы G/尸. Здесь мы сохраняем обозначения первого пункта. Будем предполагать, что

?声е ⑻

При условии (3) фактор-группа G/F обладает отличным от единицы абелевым нормальным делителем A/F, содержащимся в V/F. Таким, например, будет предгтослсд- ний член ряда коммутантов фактор-группы V/F,

Итак, пусть A/F — неединичнып абелев нормальный делитель фактор-группы G/F, содержащийся в группе V/F.

Лемма 2. Центр группы А совпадает с F,

Доказательство. Fa: A cz V. Следовательно, F содержится в центре Z\ (Л) группы Л. С другой стороны, Z\(A)——абелев нормальный делитель в G. Так как F — максимальный абелев нормальный делитель группы то (Л) = F. ■

Лемма 3. (i) Порядок каждого элемента факторгруппы А/F конечен 〃 является делителем числа /‘ = =п/m.. .

Пусть V ——порядок элемента aF из А/F. Тогда классом элементов, сопряженных с а в группе Л, является следующая совокупность；

a, 卡q,w一a，

где у—элемент порядка v из К*. 5 группе Л найдется такой элемент 力，что порядок коммутатора (а, Ь) 三 =aba~[b~{ равен “

Коммутант /V группы Л есть конечная цикли- чес кая группа) порядок которой совпадает с экспонентой группы A]F*

Доказательство. Для любых а и & из Л ab = КЬа. 九 w К*, а% =九％а'・

Далее, ab w GL 亿 К),

det (ab) = det (九6а)=乃 det (ab).

Следовательно,

// ~ 1, qZ = bart⑷

Из (4), в силу леммы 2, получаем

/ w£ (aF)r = F.

Следовательно, порядок v элемента о尸 является делителем числа г. (1) доказано.

Если теперь & d 三4 то, очевидно,

(е C)S, d) = (% cd), (а, с/=1,(а, с)еК*.

Следовательно, множество всех коммутаторов вида (а, с), где с пробегает группу А, а элемент Q фиксирован, есть конечная циклическая группа (у). Пусть т — порядок группы (у). Тогда для любого с А

(。工，°) = (% с)。= L Следовательно,

aT^F,伍尸尸=尸， v!t(

С другой стороны,-

(a, c)v = (av, с) = 1,

значит, т| V, V = т, т. е. порядок элемента у равен v. Отсюда следует (ii). Действительно,

с。。一 =(% а)а = у%・

С др)^гой стороны, (о, Ь) — у при некотором Ь.

Остается доказать (iii). Из (4) следует, что，一 конечная циклическая подгруппа группы А*. Пусть теперь *1 — экспонента группы A/F. Тогда в А есть такой элемент alt что порядок a^F из A/F равен vi. Для любого а А порядок V элемента aF е A/F делит число vi. Согласно (ii) для любого с ^ С порядок элемента (а,с) = =у* делит число v. Следовательно, для любой пары 〃 и и из 4

(〃，〃)"=(и, и)" = 1.. •

С другой стороны, в группе Л есть такой элемент Е, что порядок элемента 丫】=(〃l Е) равен vi. Значит,

Yi 三/',(и, и)三(y)4 =(Yi)，

т. е. порядок группы 4’ равен vi. ■

Рассмотрим теперь линейную К-оболочку [Л] группы 4

Лемма 4. А \ F = [А} \ К-

Доказательство. Если q, ..., ch ——линейно независимые над К элементы группы Л, то, очевидно, они принадлежат различным смежным классам Л по F. Пусть, обратно,

^i > • • • > ^ц,(5)

——представители 从 различных смежных классов группы Л по F. Покажем, что они линейно независимы над К・ Для любого элемента а группы Л

adja^ = fidh 力三£⑹

причем при i 抬 j найдется такой элемент а е Л, что в (6)片 总 厶. Действительно, пусть % = % для каждого а е Л, т. е.

a山尸犷— a力尸斤乙(а, d尸由)= 1.

Отсюда следует, что d「dt 三 F, d( е d^F, ибо F — центр группы А. Последнее противоречит выбору элементов (5). Пусть теперь система (5) линейно зависима над К и-

九& ++九屈以=0，九fWK,(7)

—нетривиальное соотношение с наименьшим из возможных количеством ненулевых коэффициентов. Можно считать, что 九卜 九2 =# 0・ Пусть а — такой элемент круп* пы Л, чтоМ

叫仁力丁=廿为=也宀丁.

Тогда из (7) получим:不

fi &山 + .. •十入屈r)一a(九d + •. • + 九国»a" = (),入2 仇 一 fa) d? + ・•・ + % (fi — fj 厶=» 0,^2 (fi — %)，。・

Последнее противоречит выбору соотношения (7). Теперь уже легко доказать лемму. Пусть

〃总(8)

——максимальная линейно независимая над К система элементов группы 4 Тогда (8) есть /С-базис алгебры ⑷，все элементы (8) принадлежат различным классам группы А по F. С другой стороны, в силу предыдущего замечания, (8)—полная система представителей смежных классов「ругшн А по F. Я •

Так как 4uGL(r, К), [А] ст КТу то из леммы 4 вытекает

A：F = [A]：K<r2 = ^.⑼

Теорема 2. 5 группе Л есть пары элементов аь 也，〃2,员，•..，〃£,田，обладающие следующими свойствами'.

(。£, Ь{) = ег- — элемент группы F порядка v《 Vi+l|Vi；

элементы, принадлежащие двум. разным парам, перестановочны；

каждый элемент а группы Л единственным образом представляется е виде а = fa^lb^ ...齊力,f 三 尸, 0^a.<vp 0 ^р. <v..

Доказательство. Пусть vi — наибольшее число среди порядков элементов группы А/F. Тогда, согласна лемме 3, в группе Л есть такая пара элементов аь 加〉 что (ai,方i)= 81 — элемент порядка vi. Группу Л можно представить в виде

4 = Q)(仇)4， (Ю)

где 4 ― централизатор множества 他，也} в 4 В самом деле, число элементов группы Л, сопряженных с аь равно vi. Следовательно,

/1 ： 4 & v：・

С другой стороны, V； произведений ^Ь^. 0 W ai V vi, О W Bi V vi, принадлежат различным смежным классам группы Л по 4, поскольку .

(а；叫，，幻=е% (а(, а^) = е₽'.,. .

Следовательно, .

А ： 4 =

и верно (10).

Если группа 4 абелева, то

4 =尸，4 = 0)(九)尸

и теорема доказана. Пусть А[ =7^ F, a V2 ——наибольшее число среди порядков элементов фактор-группы AJF. В силу выбора числа п имеем \?卜工 Согласно лемме 3 и равенству (10) в группе 4 есть такая пара элементов о% 方2, что (&,匕2)= &2, £2 — элемент группы 尸 порядка v2. Тогда

4 — («2)(为)4，

где Л2 ——централизатор множества {©,仇，а^ 方2} в группе Л. Отсюда..

/ = (。1) (&) (a2)(力2)4，"

причем элементы a^b^a^bf2, 0& а. < vp 0《仰 V 匕, i=l, 2, принадлежат различным смежным классам группы Л по Л2. Так как А/F — конечная группа, то после конечного числа шагов мы придем к равенству

/ = (©)(&) (%)(")£

где элементы а；吋 1 …а)6，, 0 az < vr OWB^V 匕, i=l, .. ,, /, лежат в разных смежных классах группы Л по Е ■

Следствие 1. 4 ：尸=

Конечность индекса максимального абелева нормального делителя. До сих пор мы считали, что А/F произвольный отличный от единицы абелев нормальный делитель группы GIF, содержащийся в V/F. Пусть теперь А/F ——такая подгруппа в G/尸， что выполняются три следующих условия:

А/F——абелев нормальный делитель группы G/尸；

4/Fu V?尸；

группа А/F максимальна среди подгрупп группы G/尸，обладающих свойствами 1) и 2).

Тогда справедлива-

Теорема 3. Группа А/F совпадает со своим централизатором в группе V/F.

Доказательство. Пусть . B]F ——централизатор A/F в V/尸，а С—централизатор Л в V. Так как A]F — нормальный делитель в G/尸，то В ——нормальный делитель группы G. Очевидно, выполняются следующие включения: В п С п F. Покажем сперва, что

В = АС.(11)

Для а 三 4 н b ^ В, очевидно, (а,匕)三尸.В частности, (的，匕)三尸，他，％)三尸，где а^ bj — элементы Л, обладающие свойствами (i), (ii), (iii), сформулированными в теореме 2. Далее, так как 心可三 F, то

(a；j,厶)=(勺D户=。1,(aD；/)—仅,方户 -L Следовательно,

(%, G) = e% (仇 ％) = £；/,

где j= 1,.…/, 0<P/<v7, 0<a7<v；* С другой стороны, элемент a = a；S% ... а?* удовлетворяет условиям

(4，а)=斗， (а, b^ = е^, j=l,九

Отсюда

(а〃 a~lb) = (qT仇 ％) = 1,

F〃e/= 1, следовательно, a~]b ^C, b ^ qC, В cz AC что влечет (11).

Пусть теперь B]F 关 A]F. Тогда предпоследний член D/F ряда коммутантов группы BIF отличен от единицы. D/F — абелев нормальный делитель в G/尸，но группа D/F не может быть абелевой в силу максимальности группы .4/£ Следовательно, группа D содержит такие элементы d,山，что

(成山)柒?(12)

Согласно (11)

d — ас, &=а‘с‘， a, af ^ Л, с, с’мС

Следовательно, ®,必)=(о, а') (г, с‘)三 С Так как 4d,山)三 4 то

(d, d{) А[]С = F,

что противоречит (12). ■

7 Д. А. Супрунеяко

Следствие 1. Централизатор группы А е группе ? совпадает с F.

Следствие 2. Централизатор группы А в G совпадает с F.

Теорема 4.

G ：尸 w p ⑺=彦(* 一 1)(疼—2)…(* - 2") (13)

где / = [2 log2 川.

Доказательство. Возможны два снуиая: V — F и /V= F^ В первом случае, в силу теоремы 1,

G：尸⑷.

Во втором случае

G：F = (G：V) (V：A)(A：FY(14)

Оценим индекс V : А = (V: F) : (А : F). Согласно теореме 3 группа A/F совпадает со своим централизатором в V7尸.Следовательно, фактор-группа V/F/A/F изоморфна некоторой разрешимой подгруппе группы Aut(^/F). Так как card (A/F) w 川=м2/^2, то

card Aut (4尸) < (产 一 1) G 一 2)…(г2 - 21),

где k ~ [2 log2d- Отсюда и из (13) получим

G： F^Zm (г2 - 1) (г2 - 2) ... (г2 - 2卜一)皆=

=^(产一1)(「2— 21)&Р(/2). ■

Теорема 5. Всякая примитивная разрешимая подгруппа ® группы GL(nf /X) обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не больше числа р (几) (см. (13)). Индекс максимального абелева нормального делителя группы ® не больше р(〃).

Доказательство. Пусть 品一максимальный абелев нормальный делитель группы ®. Согласно лемме 1, группа ® содержится в разрешимой группе G, максимальный абелев нормальный делнтень F которой есть мультипликативная группа поля К, a £ и 尸.Так как -

⑤尸：尸W G :尸а p5)，0尸：尸=⑤：(⑤п尸)，

то

®：(®n^)^p(n).

Очевидно, ® П ^ ——абелев нормальный делитель груп- ггы ®, Так как £ и 尸，то ⑤ П 尸 п ©. Из максимальности 目 тогда следует ⑤ П 尸=& Значит, О :勤 W р(“). ■

Теорема 6, Неприводимая разрешимая подгруппа группы GL (/?, А) обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не больше числа pi (几),зависящего только от 11.

Доказательство. В силу теоремы 5 надо рассматривать лишь импримитивные неприводимые разрешимые подгруппы группы GL(n,八).Пусть ® — импри- мптивная неприводимая разрешимая подгруппа в GL(& А). Тогда, согласно теореме 18.5, мы можем считать, что ® ——подгруппа сплетения G 彳 Г, где G — прим итивмая разрешимая подгруппа группы GL (mi, А), а Г ——транзитивная разрешимая подгруппа в 5々门 Eg = //.. Ввиду теоремы 5 С обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не превышает числа р("А). Следовательно, прямое произведение Е экземпляров группы G обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не больше числа (р (『〃？))'"・ Отсюда следует, что G / Г обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не превышает числа

%!(Р (mj)^ <n!p(nf = p1 (/?).

Так как ® — подгруппа в G ^ Г, то ® тоже обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не больше pi (п). ■

Теорема 7 (М а л ь ц е в [3], К о л ч и н [1]). Разрешимая подгруппа группы GL(〃，£), где £ — алгебраически замкнутое поле, обладает таким нормальным делителем ^^ что индекс N не больше числа 卩2(八),за- висящего только от 〃, а матрицы из ^ одновременным трансформированием приводятся к треугольному виду.

Доказательство. В силу теоремы 6, алгебраической замкнутости поля £ и теоремы 16.2 неприводимая разрешимая подгруппа группы GL^ Е) обладает нормальным делителем, индекс которого не больше pi (п), а матрицы одновременно трансформируются к диагональному виду. Отсюда и вытекает теорема 7. ■

Ограниченность длины ряда коммутантов. ，“

Теорема 8 (Цассенхауз [1]). Пусть Л — произвольное поле. Длина ряда коммутантов любой разреиш- мой подгруппы ® группы GL(n, А) не превышает некоторого числа /(〃)，зависящего только от 忆*' ：

Доказательство. Пусть 九(О) — длина ряда коммутантов группы ®. Если группа ® примитивна, то, в силу теоремы 5, в ® есть абелев нормальный дел ri1 тель § тагсой, что ® :日 W p(/i). Следовательно,

К (®) < [log2 р (га)] + 1 = Л (п).(15)

Пусть теперь ® ——неприводимая импрнмитивная подгруппа в GL(n, Д), Тогда, согласно теореме 18.5, ® ― подгруппа сплетения G ) Г, где G — примитивная раз工 решимая подгруппа в GL (及々「'△), а Г — транзитивная разрешимая подгруппа симметрической группы S闻* Следовательно,

九(⑤)W 九(G 1r) 《九(G) + X (r)<

4"0g2 电口 + [bg2P (+)] + L Отсюда

入(⑤)<[log2 n!] + [log2p(n)] + 1 =/26)*(16)

Пусть, наконец, ® — приводимая разрешимая подгруппа группы GL(n, А). Тогда матрицы из ® можно одновременно привести к виду (11) из § 18. В силу теоремы 18.2 можно написать

九◎) 0 口吨2 仅一 1)] + 1 + 九(Im 力)，

где % — некоторая неприводимая часть группы ⑥，степень у； равна 〃』V п. В силу (16)

一九([ту力а/m/切《以几).

Следовательно,

九(⑤)^1唯他一1)] + 1 + /2(«)<[1оg2(h™1)] + 1 + /2(〃)=

= [log2(n— 1)] + [log2 n!] + [log2 p (n)] + 2 = Z (n). (17)

Из (15)——(17) для любой разрешимой подгруппы ® группы GL(% А) нмеем 2^(®)1(п). В

Заметим, что формула (17) дает весьма грубую оценку Л(®) разрешимой подгруппы ® группы GL(nt Л).

Дж. Диксон в [2] доказывает, что Л(®)</г + 2.'(18)

- Группа G называется локально разрешимой, если любое ее конечное подмножество элементов порождает разрешимую подгруппу группы G.

..Теоре м а 9 (Цассенхауз [“). Пусть А — произвольное поле. Тогда любая локально разрешимая подгруппа ⑤ группы GL(n, Л) разрешима..

Доказательство* Для произвольной группы G индуктивно введем ком мутаторы。乙 положив

'=O(Dl(g「.・，S,;^D^^ + i，^ j> L gt w G. Пусть Rнатуральное число. Группа G тогда и только тогда разрешима и 厶(G) W R, когда 加=1(19)

для любых 2左 элементов из G. Действительно, если 九(G)WR то, очевидно, равенство (19) верно. Пусть теперь для любых 2在 элементов группы G имеет место (19). При R= 1 группа G абелева и %(G) — 1. Пусть 后:> 1 и для k — 1 утверждение доказано. Рассмотрим подгруппу N группы G, порождаемую всеми D"* Очевидно, N——абелев нормальный делитель группы G. Для любых 2左-1 элементов фактор-группы G]N имеем QJ = 1. Следовательно,

Л (G/N) < й - 1,入(G)《A・

Теперь нетрудно доказать теорему,.

По условию любая подгруппа § группы ®, порожденная конечным множеством ее элементов, разрешима. По теореме 8 Х(§) W /(几)=厶 Следовательно, для любых 2Z элементов группы ®

D1^ 1.

Отсюда Л(О) W 厶■

Теорема 10. Любая разрешимая подгруппа ® группы GL(n, А) содержится в некоторой максимальной разрешимой подгруппе группы бЛ(п,Д), :

Доказательство. ® содержится в максимальной локально разрешимой подгруппе ®i группы QL（小 А）. По теореме 9 ®i разрешима. ■

Разрешимым радикалом группы G называется ее максимальный разрешимый нормальный делитель.

Так как произведение двух разрешимых нормальных делителей группы есть разрешимый нормальный делитель, то группа либо вовсе не имеет радикала, либо имеет единственный радикал.

Теорема 11. Подгруппа ® группы GL （小 А） имеет разрешимый радикал.

Доказательство. Пусть 耽一класс всех разрешимых нормальных делителей группы О. Совокупность * всех произведений вида

%& &， a/三 "/三少2

является, очевидно, нормальным делителем группы ®. Каждое конечное множество элементов из * содержится в произведении конечного множества групп Н 三耿. Следовательно, 批一локально разрешимая подгруппа в GL{n, А）. По теореме 9 批一разрешимый нормальный делитель в ®. Очевидно, для "三 Ш1, " и 负.Следовательно, Л — разрешимый радикал группы ®. В

Максимальные примитивные разрешимые подгруппы полной линейной группы

Фактор-группа G/V. Неприводимость V. Пусть А — произвольное поле, G — максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL（九，A）, F—максимальный абелев нормальный делитель группы G, а V — централизатор F в G. Тогда из леммы 19.1 вытекает

F = K*, А晶 иКиМ， （1）

где К—расширение поля А, К : А =/п, m\n. С группой G связано еще одно поле. Согласно теореме 14.7 существует такое расширение S поля А, что G — подгруппа @厶（/, 2）,

[G]& = %, （S ： A） / = n,[G]& = %, （S ： A） / = n,⑵⑵

[G]& = %, （S ： A） / = n,

[G]& = %, （S ： A） / = n,

⑵

⑵

^Ei — центр группы G. Так как 尸一максимальный абелев нормальный делитель группы G, то

e*旦u尸，ё4u к.

Следовательно, поле 2£/ совпадает с совокупностью всех элементов поля К, перестановочных с каждым элементом группы G. Таким образом, для гомоморфизма /, определяемого формулой (2) § 19, справедливо соотношение

Im/u 乡(К/』)и夕(К/А),(3)

где #(/</£) — группа всех автоморфизмов поля К, оставляющих неподвижным каждый элемент поля ЕЕ?. Так как Ker f =^ V, то

G/V 4 Im f и 乡(K/注， G ： V & К ：工 (4)

Л е м м а 1. [G]、： А = (G ：，) ([У]、： А). Доказательство. Пусть

g"gr(5)

—полная система представителей смежных классов группы G по V. Тогда система (5) линейно независима над кольцом [V] = [1/]л, Действительно, пусть

gWl + g2"2+ …+gp% = °，“三卜],(6)

——нетривиальное соотношение, содержащее наименьшее число нену^евьях слагаемых. Мы можем считать, что S =# 0, и?，0. Так как g{ и g2 принадлежат двум различным смежным классам G по I/, а V — централизатор 尸 в G, то в 尸 есть такой элемент 九，что 3 =# 九2, где 九 у ^ g / %g 产 / 1, т. Очевидно,九gj ^ g 沐“ / = 1, ..., г. Отсюда и из (6) находим:

九鱼卫1 + g2u2+ • • • +gH%) 一

-(glS + g2U2+ • • • +gT吗猫=0, g2"2(入2 —％)+ • • • + gp% (九т — “ = 0・

Последнее равенство противоречит выбору соотношения (6). Следовательно, система (5) линейно независима над [V]. Так как любой элемент' алгебры [G] = [G]A имеет вид gq + …+ gxvx,力 w [V], то

[G]：A = (G：Q([H： А). @

Теорема 1. (i) G/Uwg(K/£); (ii) К — нормали ное сепарабельное расширение поля ^ с разрешимой группой Галуа ®(Х7У); (iii) V ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(r,K).

Доказательство. Из (2) следует равенство

[G]：Ai(£：A) =爲.⑺

Согласно (4)

GW&K：£,(8)

причем равенство G : У = /( : 2 имеет месю лишь тогда, когда справедливы утверждения (i) и (ii). Так как V и GL(r, K)t то

[У]：А92(к：А)= а(9)

Очевидно, равенство [V] ： А — — имеет место только тогда, когда『一абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(r, К). Из леммы 1 и из формул (8) и (9) следует

⑹：А = (G W) ｛図：А) < 伉力^ = (Й•爲■

В силу (7) отсюда и из (8) и (9) вытекает

G：V = K：^, [И] ： Д = ^-.(10)

Из (10) следуют (i), (ii), (iii). Н

Теорема 2. 1/ =尸台 К ： А = 〃•

Доказательство. Согласно следствию 19.1.2, “ ：А =九今 У =尸.Покажем справедливость обратной импликации. Пусть V — F, Тогда, заменяя в (10) V на £ получим

К ： А = J入,1\ ： = п. Н

Фактор-группа А/F. Теперь мы будем предполагать, что V 抬尸，н будем рассматривать фактор-группу 'A/F, подчиненную следующим требованиям:

A/F — абелев нормальный делитель группы G/F^

Л/F с V/F;

A/F — максимальная среди подгрупп - <фав»тор' группы G/F, обладающих свойствами (i) и (ii)., ■.

• ' Группу G будем изучать с помощью инвариантного ряда

(Ел).(а)

Л е м м а 2. Линейная \-оболочаа [Л] группы Л есть простая алгебра . над полем К. Центр алгебры [А] Совпадает с полем К，

Доказательство. Очевидно, [Л]д =⑷ к, ибо 4 a F, [4]а 二/(. Так как 4 ——нормальный делитель примитивной группы G, то, в силу теорем Клиффорда (§ 16, п. 2)} группа Л вполне приводима, а ее неприводимые части эквивалентны. Следовательно, по теореме 144,⑷а ——простая алгебра над А. Так как [Л]л = 戸{4]к, то [4] = [4]厶 ——простая алгебра над /С

Покажем, что К ——центр алгебры [Л]. Любой ненулевой элемент с из [А] имеет вид

с =厶厶 + ... + fvdv, f/至尸，

где % — элементы различных смежных классов группы 4 по F. Если теперь с принадлежит центру алгебры [Л], то для любого а е Л

с—аса~^ — 0, ad^a~l ~ к^^ 九/三匕 / — I, v. Следовательно,

■ fdl-^d^ +з(1一质)虑=Q.

Согласно лемме 19.4 。抬dv линейно независимы над К. Отсюда 左=1, / = I, .一，v. Так как а ——произвольный элемент 4 To v — I, dt w F, c =九必三 匕 центр [А] совпадает с К•屬

Лемма 3. [A]^ = [V]\t

Доказательство. Положим ⑷—[川储 Вместе с элементом и е У рассмотрим отображение

Фп: [А]~^[Л],尤；一＞ 厂飙.(11)

Так как v]Av = А. то 仰一автоморфизм алгебры [4]. Очевидно, для 九三 К имеем 屮炉(九)=А. Согласно лемме 2, [А]——простая алгебра над К, а поле К ——ее центр. Как известно, автоморфизм простой алгебры, оставляющий неподвижными элементы ее центра, есть внутренний автоморфизм (В ан- дер-Варден [2], стр. 234).

Таким образом, для любого и 三 V в группе [Л]* обратимых элементов алгебры [А] найдется такой элемент и, что

tr^xu = v~[xv(12)

при всяком х ^ [/1]. Так как К—центр алгебры [А], то элемент и при фиксированном и определяется равенством (12) с точностью до множителя из группы F = К*. Следовательно, (12) задает отображение

屮：V -> [AY/F,V I—> uF.

Как легко видеть,也一гомоморфизм. Согласно следствию 19.3.1, централизатор Л в V равен F, следовательно, Кб「屮="】Пусть теперь Im г|)= U/F. Тогда

UlFwVIF.

Так как U и V—подгруппы группы GL(r, ^)т то для и ни, связанных условием (12), имеем

〃 =dv,(13)

где d 三 GL(r, К) перестановочно с каждым элементом группы А, Очевидно, элемент d из (13) определяется элементом и с точностью до множителя из F. Следовательно, (12) и (13) задают отображение

5： V/尸 f GL&, К)/尸，uFfdF.

屮]—гомоморфизм. Действительно, если vF = dFuF, ViF = %尸卫I户，то WfF = ddiFuuiF. Поэтому группа Df где D/F = ImWh разрешима.

Далее, для g w G имеем

g-iDg = D(14)

В самом деле, из (13) находим

И1 = g~'vg = g-1 dgg-lug = cliUi，d[=gT dg, U尸g—tig, где Ui 三 V,辽丄 ^ g-1 [A] g — [А]. Элемент di перестановочен с каждым элементом [Л] = g^ [A] g. Следовательно, 〃i и ui определяют один и тот же автоморфизм алгебры [Л], т. е. равенство s = %办 есть равенство вида (13), Wi®i尸)= diF, di ^ D. Отсюда следует (14).

Покажем, что D — F. Действительно, в силу (14) группа GD разрешима. Следовательно, Q и G. D со-

§ 20] МАКСИМАЛЬНЫЕ ПРИМИТИВНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 203 держится в централизаторе группы Л в G. В силу следствия 19.3.2 D = F. Теперь легко доказать лемму. Из (13) V ^ du ^F [Л] = [А], V и [Д], [V] = [Д]. ■

力2

Теорема 3. 4 ：尸=> [4] = К「・

Доказательство. Ввиду теоремы 1 [V] = ^. Отсюда, в силу леммы 3,

[川："図：К = к, ："产=*.

С другой стороны, согласно лемме 19.4, А : F = [А]: К> 几2

Следовательно, 4：尸=—• ■

Следствие 1. 4/兄 любого простого делителя q числа n]m 8 K* =尸 найдется элемент порядка q. В частности, char Д ^ П(п/т).

Доказательство. Очевидно, коммутант 4 группы А является подгруппой группы К* = ?• В силу леммы 19.3 порядок 力‘ совпадает с экспонентой группы А/F. Следовательно, любой простой делитель числа А : F делит порядок С Отсюда и из теоремы 3 вытекает требуемое. 9

Следствие 2. Пусть п — нечетное число, a R — поле всех вещественных чисел. Тогда любая неприводимая разрешимая подгруппа GL (n, R) мономиальна.

Доказательство. Достаточно показать, что при нечетном 几 > 1 в GL (n, R) нет максимальных примитивных разрешимых подгрупп. Пусть п > 1—нечетное число, a G — максимальная примитивная разрешимая подгруппа GL(n, R). Тогда F — К^ — R*En. Согласно следствию 1 для любого простого делителя q числа п в есть элемент порядка q. Так как q — нечетное число, то последнее невозможно. И

Следствие 3. Пусть п ——нечетное число, a Q — поле рациональных чисел. Если О ——максимальная примитивная разрешимая подгруппа GL(n, Q), то U = F, т. с. К : Q =儿

Доказательство. Пусть К ： Q =『〃 V 儿 Тогда, согласно следствию 1, в К* есть элемент “ порядка q > 2, где q — простой делитель числа п/m. Следовательно, К n Q(n)・ Так как Q(n) : Q = q — 1, то К : Q делится на 2. Но К: Q не может делиться на 2, ибо К : Q делит п, а и ——нечетное число. ■

Сл е д с т в и е 4. Пусть « ——нечетное число, G — максимальная разрешимая примитивная подгруппа GL(几， Q), a F = К* ——максимальный абелев нормальный делитель G. Тогда G совпадает с нормализатором F в GL(小 Q), а фактор-группа G/F изоморфна группе всех автоморфизмов поля к относительно поля Д.

Доказательство. Согласно предыдущему следствию К ： Q — п. Следовательно, К = Q(6), где 0― матрица из GL (п, Q) с неприводимым характеристически ]\i полиномом. Так как К* =尸——нормальный делитель группы G, то G содержится в нормализаторе N(F) группы 尸 в GL(〃，Q). Пусть 皆一группа всех автоморфизмов поля К относительно Q. Совокупность всех элементов поля, оставляемых неподвижными каждым автоморфизмом из 歹 образует поле 2, К п£ п QE» Как легко видеть, К является нормальным расширением по” ля £, a g совпадает с группой Галуа 乡(К/Е). Так как /2 нечетно, а порядок 乡 равен К ： £ и делит и, то груп* па 乡 разрешима. Каждый элемент а из N(F) определяет автоморфизм 0a поля К: а(1 (х) = аха-\ 尤wK. Очевидно, что оа f 乡，©。打=叮&。》 Следовательно, имеет место гомоморфизм

Y：n(尸)一＞ 乡, a *

Так как 尸= К*, а К : Q = ", то Кег у = F. Так как группа 乡 разрешима, то группа 川(尸)тоже разрешима. Следовательно, G = N (F、. Остается доказать, что G/F 4 乡.Для этого достаточно установить сюръективность гомоморфизма у. Пусть о-~ произвольный элемент из Ясно, что о вполне задается матрицей 01 = а(0). Матрицы 8 и 仇 имеют одну н ту же общую нормальную форму, следовательно, в GL (п, Q) есть такая матрица /, что 绚/一 = &. Очевидно, /К/т = К, /尸尸i = F, Следовательно, / ^ ^(^), т. е. гомоморфизм у сюръективен. Отсюда G/F = N(F)/F 仝乡.層

Теорема 4. A/F совпадает со своим централизатором в GL(r, К) IF.

Доказательство. Пусть C/F ——централизатор A/F в GL (г, K)/F, а с е О. Тогда для а 三 4

(с, а)巨居(с, а)「= 1.

В частности, для элементов 仪八 方/ из теоремы 19.2 имеем

(с, 6/) = е；4® с) = е},/ == 1, Л

Положим % =а：Ь：…a)“J Тогда при / = I, ...» f

(0, &)=(%%)；(О/, С[) =(0, с);

{сс”，％) = (〃/, сс「)= 1.

Следовательно, элемент сс[〔 перестановочен с каждым элементом группы А. В силу теоремы 3 сс~* 三 F,

с 三 ％FuA, C/F = Л/Л. ■

Теорема 5. Пусть

г = q卜…廳 '(15)

—каноническое разложение числа г, a QJF есть q^подгруппы Силова группы A/F, / = 1, ...» k. Тогда QJF — прямое произведение 2// групп порядка q卜

Доказательство. Очевидно, что Qj/F — абелев нормальный делитель порядка g；，фактор-группы G/凡 Надо показать, что экспонента, QJF равна 办 Пусть, вопреки теореме, экспонента QJF равна 办 а> 1. Тогда В = д尸〉1. Рассмотрим группу Q/F, состоящую из веек элементов вида (〃/^З где uF пробегает Q//R Очевидно, Q #=尸, D — нормальный делитель группы О. Для любых w и у из Q/ имеем

®В, и°)=(辽，0)旷=(〃，U)"，= 1,

ибо порядок коммутанта Q； группы Q, равен «；・ Следовательно, D ——абелев нормальный делитель гр^шпы G. Последнее противоречит максимальности F. S

В силу теоремы 19.2 из теоремы 5 вытекает

Следствие 1. Группа Q, представима е виде

Q, = (%)⑴尸， аОе

(仰，и/ == т], П；，1, т]，. 1,，F 三尸；.％：'，и* 三尸，

а элементы, принадлежащие различным парам, перестановочны.

Ясно, что теоремы 3 и 5 полностью определяют строение фактор-группы А/F как группы порядка n2/m2, представимой в виде прямого произведения групп про* стых порядков.

Ниже группы Qj, / = 1,...,々，теоремы 5 рассматриваются как подгруппы GL (г, ^).

Л е м м а 4.⑴ Для группы Qv 卫 Qj поэлементно перестановочны.

Неприводимые части группы Q； попарно эквивалентны и абсолютно неприводимы. Степени неприводимых частей группы Qj равны числу д,.

Доказательство. Пусть v * j, aw Qv, b w Qj・ Тогда (a, b) = k^F. («,炉丫 = (</\ 力=/ = 1, (a,方)勺= 二=(a,方叮)=九勺=1. Отсюда 九=1, ab = 6a・(i) доказано. Очевидно, что A = Q{ ... Q^. Отсюда и из (i) вытекает, что A = QjU}t где U； — подгруппа группы А, каждый элемент которой перестановочен с каждым элементом из Q/. Так как Q,——нормальный делитель неприводимой группы Л, то группа Q； вполне приводима. В силу леммы 16.4 из равенства A = Q；Uj вытекает эквивалентность неприводимых частей группы Q；. Следовательно, [Q/]k = 7'q, где Т — тело. Пусть a -— степень неприводимой части группы Q/・ Тогда

р (Г ： ^) = ст, ": К = р? (Т ： К) = per.

С другой стороны, в силу леммы 19.4,

[QJk ： K = Q「・ F =

Отсюда

ро = g,・(16)

Так как о делит число г, то из (16) вытекает

раи&*(⑺

Из (16) и (17) находим p = o = g% [QJ* ： К а 勺,т. е・ степени неприводимых частей группы Q/ равны qlJt

а，неприводимые части группы Q/ абсолютно неприводимы. (ii) доказано. ■

Теорема 6. Существует такой К-базис пространства К, при котором группы Q〃 j = \，…，h, одновременно принимают вид

Q, = E 厶 i：_{ X Qz X

где Q‘ ——абсолютно неприводимая подгруппа GL(q：M К), изоморфная группе Qj, а X — знак кронекерова произведения.

Доказательство. Согласно лемме 4 неприводимые части группы Qi абсолютно неприводимы, попарно эквивалентны и их степени равны ,}. Следовательно, в некотором /С-базисе К' группа Qi прнннмает вид

Q^Q^XE^ (18)

где Qi — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(q'{, /Q, изоморфная группе Qi. Рассмотрим теперь группу Ui = Q2 . ■ ■ Qh- Группы Ui и Qi поэлементно перестановочны, В силу (18) Ui имеет вид

5 = Е會乂 U\ (19)

где U】——подгруппа группы GL(rg丁厶，К), изоморфная группе U. В частности, Q? = Eqt]义 Q»

Q 仝(?2， Q и G£ (rg”, К).

К группе Q2 применимы те же рассуждения, что и к группе Q]. Неприводимые части Q2 попарно эквивалентны, их степени равны ^^2. Следовательно, в некотором /С-базисе К' одновременно выполняется (18) и

(?2 =%,火(?2%%小六(20)

где Q2 ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL (噸，К), изоморфная Q2. Так как Q1 X Q2 ~ абсолютно

неприводимая подгруппа группы GL«滋、《％ т0 из (18) и (20) следует

q3 = ?力吟义q3.

Поступая так дальше, получим требуемое. S

Следствие 1. В подходящем К-базисе пространства Кг группу А можно записать в виде

A = Q'\...XQk,

где Qj — абсолютно_ неприводимая подгруппа группы G丄(q,, К), изоморфная группе Q「

Теорема 7. Пусть Р/F ——подгруппа фактор-группы Qj/F, а С — централизатор Р в Qj. Тогда

Q/ ： С = Р ： Е

Доказательство. Пусть Р： F = q^. Тогда Р = =(〃i)(辽JF, P/尸——прямое произведение v цикли

ческих групп (UjF) порядка “力 Согласно лемме 19.3 индекс централизатора элемента 〃j в группе Qj равен 办 Следовательно,

i 1 = Q i ； С & q： * Далее,

.Q尸 Р%， P\：F = q『.

Если Z2 — индекс централизатора Р〕в Q/, то g尸.

Так как центр Q, равен F, Q. ： F = ^р, то 力&i也. Отсюда ^ = q； =QjC 駆

В следующей теореме использованы обозначения теоремы 19.2.

Теорема 8. Пусть пары элементов uv v{, .,., ut, vt алгебры [А]к==Кг подчинены трем условиям: (i) (и；,已『)= = (а「b* / — 1, ..., /; (ii) элементы, принадлежащие двум различным парам, перестановочны', (iii) 〃?= 〃；厶 已丁 = 6；厶 /= 1,…，t. Тогда в GL (г, К) имеется такой элемент х, что

Доказател ьство. Рассмотрим г2 элементов ， 〃：・•“，，0 < ау < 匕，0 <Ру. < V..(21)

Если (Q], 也)# (%，.…,М), то при некотором /, ]& jgf, либо

("了,"：…办)* ("产"『…廿) либо

包,心…0г)，(%吓…咽.

Как н при доказательстве леммы 19.4, пользуясь этими неравенствами, можно доказать, что элементы (21) л»ь нейно независимы над К. Следовательно, отображение 0- Кт Кг,

где 入％ …瓦 е/(, биективно. В силу условий (i) —— (iii) 0 — автоморфизм алгебры К- Очевидно, 0(Z)=入 для 九 е К. Следовательно, 0 ——внутренний автоморфизм алгебры К「. Отсюда и вытекает теорема.圖

Единственность инвариантного ряда (а).

Теорема 9. Максимальная примитивная разрешимая подгруппа G группы GL(n, А) обладает единственным максимальным абелевым нормальным делителем.

Доказательство. Пусть F и R，F ——максимальные абелевы нормальные делители группы G. Тогда, согласно лемме 19.1,尸= К*,尸！ = /%, где К н Ki — конечные расширения поля А. Как уже отмечалось выше (см. формулу (2)), G является абсолютно неприводимой подгруппой группы GL (/, W), где ^Et ——центр G. По теореме 1 К — нормальное сепарабельное расширение поля £. Следовательно, K = W(8), где 9 ——примитивный элемент поля К. Так как 尸 и 户】максимальны и 尸看凡 то К『ЕЕ/, К、十 ЕЕ% Пусть ср(х) из £[Х]— минимальный полином матрицы 0. Тогда q(力)=0 — нормальное уравнение и поле разложения 斤 полинома <р(х) изоморфно полю К. Положим ^ : S = ц, /旷‘ —р^ и будем G рассматривать как подгруппу группы GL(l/K). Матрица 0 над К принимает вид

O = diag[0i£pI ；.., 0и£р],

где 0j — корни(р(х). Следовательно, f нз 尸 имеет вид

^diagfa^pа^р].、

Группа G как подгруппа GL(l, К) импримитивна. По теореме 16.2, для пространства К1, имеется разложение 、

K^Q^ +<ЭИ(22)

на системы импримитивности группы G, причем оператор 6 векторы Q умножает на 8j. Очевидно, в А есть элемент “，не перестановочный с 0. Так как Fx =Кр а 已 + 九#0, то 已 + fiwE Так как fiO #= 0fi, то при некотором / 力(Q力=Qt, i 声 /. Отсюда (е + 厶)(Qj)= =Qj + Q3 Последнее противоречит разложению (22)： пространства К1 на системы импримитивности G, В

Добавим, что теорема 9 остается верной, если примитивность G заменить неприводимостью (см. теорему 14 в книге Супруненко [8]).

Теорема 10. Пусть В/F ——нормальный делитель группы G/尸，содержащийся 8 Q/F, где Q/F есть q-nod~ группа Силова группы А/Е Тогда группа Q/F представима 8 виде прямого произведения Q/F = B/F X U/尸， где U/F — нормальный делитель в G/F, причем взаимный коммутант (В, U) равен единичной группе.

Доказательство. Пусть U — централизатор группы В в Q. Так как U является пересечением централизатора В в G с Q, то U ~ нормальный делитель в G, Центр группы В совпадает с F. Следовательно, U С\ В = F, т. е. B/F f| UIF = 1. Согласно теореме 7 Q ： U = В ■. F. Так как

Q：尸= (Q：U)(U：尸)， то

Q：尸= (B：F)(U：F)・

Следовательно, Q/F — прямое произведение своих подгрупп В/F и UIF. ■

Теорема 11. Группа А инвариантного ряда (а) однозначно определяется группой G.

Доказательство. Пусть группа В обладает свой* ствами:

В/F — абелев нормальный делитель группы G/F;,

B/F и VIF;

группа B/F максимальна среди подгрупп в G/Ft удовлетворяющих условиям (i) и (ii).

Надо показать, что В = А, Пусть q — простой делитель числа г, P/F есть ^-подгруппа Силова группы A/F, a Q/F есть ^-подгруппа Силова группы B/F, Положим

DIF = PIFCQR

Очевидно, что D/F ——нормальный делитель группы G/F, Согласно теореме 10

P/F = D/F X U/居 Q/F = D/F X 叼А

где прямые множители U/F и W/F являются нормальными делителями группы G/尸， причем (Q, U)= =(0,取)=1,「де (。，V) и (О, ») — взаимные коммутанты. Очевидно, U/F П 吻户=1. Следовательно, UW/F — абелев нормальный делитель группы G/尸；

RIF = DIFXUWIF

■—также ее абелев нормальный делитель. Группа R/F содержится в V/F и является ^-группой. Очевидно,

R/F n P/F,R/尸 n Q/E

Отсюда вытекает

RIF = P/Ft R/尸=Q/尸，P = Q.

Так как q — произвольный простой делитель числа г, то Д = 5. И

Из теорем 9 и 11 следует, что группа G обладает единственным инвариантным рядом вида (а).

Теорема 12. Пусть 5R — нормализатор группы А 6 GLg A), a Gi ——другая максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL(n, А) такая, что

Gi п 匕 п 4 п 尸 n (EQ

——ее инвариантный ряд вида (а). Если группы G и Gi сопряжены в GL(n, А), то они сопряжены и в》t.

Доказательство, Пусть

tGt~{ = G,, t^GL(n, A).

Рассмотрим группы: tFL, ZW-1 и М/-1. Группа tFL — максимальный абелев нормальный делитель группы EGG — G]. По теореме 9 tFL = F* Следовательно,

WL =匕，tAt~x cz V( и tAL“F — максимальная под- ■ группа среди абелевых нормальных делителей группы «/居 содержащихся в VJF. По теореме 11 tA^ = А. Отсюда / Ш. В

Фактор-группа V/4. Введем сперва две группы. Пусть Р — произвольное поле, a ，S夕(2厶 Р)—совокупность всех таких матриц " из 凸厶 что

5(DJz = ?“Dg,

где 九三 Р* lh — матрица, транспонированная к h.

Если

‘％①也= “D/,九1三Р\ то

‘5向①仆回=九"3.

Очевидно, что HSp(2lt Р) является подгруппой группы GL (2/, Р). Отображение h^—>九一гомоморфизм групп HSp也,P) fP*. Ядро этого гомоморфизма состоит из всех таких матриц /? w %?, что

‘八①也=①儿(23)

Группу S〃⑵，Р) всех матриц ft из Р%, удовлетворяющих условию (23), назовем симплектической группой степени 2/ над полем Р. Группу HSp(2l. Р) будем называть гиперсимплектической группой.

.Запишем матрицу 力 w「2/ в виде

azi • • • a〃 闻■ - ■ 6〃

Yu • • • Yu 6|6打

_ Y“ ……一

(a個(v(6,= =『__(a個(v(6,= =『__ftftI • • • > О(24)'I • • • > О(24)'и введем 2/-мерные векторы 〃订 ⑦，хц> ^丛(£,性=1 над полем Р, положив

(a個(v(6,= =『__

(a個(v(6,= =『__

ft

ft

I • • • > О

(24)'

I • • • > О

(24)'

Под скалярным произведением двух векторов вида (24) будем понимать сумму произведений их одноименных компонент.

Лемма 5. Матрица Л из 夕也 тогда и только тогда принадлеошт группе HSp(2l, Р), когда скалярные произведения векторов (24) подчинены следующим требованиям:

1)修尤达=0,2)修弘二九，

Ц ^ i =Ф 1^1Уц — 0)4) Viy^ = 0,

где 九=九(％)三 Р*.

Доказательство. Заметим сперва, что для гпобой матрицы А из Р^

S标=-人力.(25)

Обратимся к матрице '1г①也.

‘力①?力=(①向 =‘力①?力=(①向 =A S т иA S т и

‘力①?力=(①向 =

‘力①?力=(①向 =

A S т и

A S т и

где R, S, Т, U — матрицы порядка /,

^? = II Pig II) р£|л = 〃/卩； 5 — II OiJ( ||j П/ц = Uiy^

r = H 口nu，巧u=S尤屮 и =^\\ 0-h 11> 8汕=^出屮

Матрица h тогда и только тогда принадлежит//Sp (2/, Р), когда /?=(/ = О, S = —Т = XEi， Отсюда и из (25) следует лемма, В-

Ясно, что лемма 5 остается верной, если в ее формулировке 九 заменить единицей, а группу HSp(2lf Р) •— группой Sp ⑵,Р).

u GL(2,P)・u GL(2,P)・Лемма 6.Sp(2,P) =S“2, Р), HSp(2.P)=

u GL(2,P)・

u GL(2,P)・

Доказательство. Пусть

Л =Л =ааТогдаа 力①[/г =_ РТогдаа 力①[/г =_ РУ6У6YYО 11 ГаО 11 Га—1 оJ[у—1 оJ[уа6а6У5У5Г 5Г 5W О?*W О?*旷 6旷 6У 一aУ 一a6—В6—ВО-1О-1det /，.det /，.

Л =

Л =

а

а

Тогда

а 力①[/г =

_ Р

Тогда

а 力①[/г =

_ Р

У

6

У

6

Y

Y

О 11 Га

О 11 Га

—1 оJ[у

—1 оJ[у

а

6

а

6

У

5

У

5

Г 5

Г 5

W О?*

W О?*

旷 6

旷 6

У 一a

У 一a

6

—В

6

—В

О

-1

О

-1

det /，.

det /，.

Отсюда и следует лемма. ■

В случае, когда Р = GF(q), вместо Sp(2厶尸)мы будем писать Sp (2厶 q).

Перейдем теперь к изучению фактор-группы У/4 Ввиду следствия 6.1 мы будем считать, что группа А

представлена в виде кронекерова произведения

Л-Q'X XQ\(26)

Ясно, что V является подгруппой нормализатора группы 4 в группе GL亿 К). Пусть N — нормализатор 4 в GL 亿 К), a N)— нормализатор Q в GL(q% 埒,j = =1, . . . , /乙 Тогда верна

Теорема 13. ^ = ^1>< \Nk.

Доказательство. Для любого h ^ N имеем

hQjh~l = Q『，

=Еqh X • • • X Q J/ X ' • ' X Eq? Отсюда, переходя к [Q/к, получаем

h(E八义…义К I仅…乂e =

=£g" X • • • X К qlj x • • • x £#»

h (£■” x X Xj x x £/" /L =

= £9pX Xx；X ... X£^, (27)

где %, х； w К 1-. Последнее равенство определяет автоморфизм о, алгебры К 〃

%： KqLjfKqlj，尤/ 1~(28)

причем o/(Q‘)= Q/, Gj (кЕ) = кЕ для 入 w К. Следовательно, в GL (q：\ К)есть такая матрица й., что о. (-vj= и hjXjh；' при всяком 打 из К 夕 Так как O/(Q‘) = =hjQ^hJ = Ql то 心 w N卜 Положим теперь g = =储 乂 ... X h^. Тогда для любого а из 4 имеем gag~[ ==hah~1. Отсюда g一% =大三尸，"=为方* .. . 义色三 е ^1 X ... X 熊，N и N* 乂…义 Nm С другой стороны, включение N卜 乂…义 N履 и N очевидно. Е

Теорема 14. Фактор-группа N/A изоморфна прямому произведению W/Q】X • • • X NJQ*.

Доказательство. Положим

/% — Е /,X N j X Е f(29)

Тогда, в силу теоремы 13, N = М、... Mk, Для любого j 1) .…，k

М/ П Mt . .. Af;-_|Af/+| ... М^ = F.

Следовательно, получаем прямое произведение

N[F =陷乃 X M# X..X M/R(30)

С другой стороны,.

A/F = QJFX ...XQk/F.(31)

Из (30) и (31) следует, что N/A изоморфна прямому произведению /%/Qi X …X M"Qm В силу (29) MiQwNdQ, ■

Рассмотрим теперь фактор-группу ^^/Q/. Для упрощения обозначений положим /； — /, 7/ = q. Согласно теореме 5 Q/ можно записать в виде

Q1^^)^)(^(^Г,(32)

где' с?, d&wK, (су,厶)=q 唄=1, n#=l,笃仁犬*, a элементы, принадлежащие к двум разным парам, перестановочны.

Каждый элемент % из N^ определяет автоморфизм ах группы Q’： ах (и) = хих~1, 〃三 Q’. Введем теперь гомоморфизм

；<р: N/f ALitQ/K)(33)

положив

屮：尤 I一> ax, ax (w/(*) = ox (u) K*j 尤 w N〃 〃wQ：

совна、(34) С} и dj(35)совна、(34) С} и dj(35)В силу теоремы 4 централизатор Q’/K* в NJK： дает c Q‘/K*・ Следовательно,

совна、

(34) С} и dj

(35)

совна、

(34) С} и dj

(35)

Кег 中=Q‘， N〃Q‘ = Im qp.

Применим теперь автоморфизм ax к элементам (см. 32)):

% (&)=%=%中…中甲…d："，

% ("，) = "，=J . d：“，

где 入,・，山三 К*, O*ctp, <q, 0 <ppi < 7, 0 < yp( < q, 0《6piV«，九 p=l, /. Переходя к ах, из (35) по" лучим

6《附)=中…中小…呼К,

弘(4勺=с駅…с*Т：мd%K*,

где показатели серг\ pps Yp<> 6fH можно считать элементами поля GF(q}. Так как dx — автоморфизм, то, в силу (32), элементы с：, d； из (35) подчинены следующим условиям:

卩，，今(％ d[) — 1,

(38)(38)& = с?, 名=力•

(38)

(38)

Из равенства (с“ 必)=п находим

(C?,^)=naft, (dlcf)=

Отсюда

(39)(39).©加，加?)=唄6屮

(39)

(39)

сле-сле-Из (39) вытекает, что услония (37) эквивалентны дующим сравнениям:

сле-

сле-

£ (龜必/ — РрЛ?рО = ь о=1 ■

2)2)工(％fYpji — a(工(％fYpji — a(3仙三0,3仙三0,(mod q).(mod q).(40)(40)

2)

2)

工(％fYpji — a(

工(％fYpji — a(

3仙三0,

3仙三0,

(mod q).

(mod q).

(40)

(40)

3)

4)4)击 1今£ (%，5(ш — %“Yp,)三 0「

4)

4)

Лемма 7. Матрица

all • • • alZ P1I • • ■ Pit

九⑴=九⑴=a?i * • • а〃 В([ • • • В〃 Yu …Yu di • • • Ma?i * • • а〃 В([ • • • В〃 Yu …Yu di • • • M(41)(41)

九⑴=

九⑴=

a?i * • • а〃 В([ • • • В〃 Yu …Yu di • • • M

a?i * • • а〃 В([ • • • В〃 Yu …Yu di • • • M

(41)

(41)

_ Y/i …Y〃 6〃 …°" 一

элементы которой ——показатели, фигурирующие в формулах (36), принадлежит симплектической группе

S"(2厶 д).

Доказательство. Эти показатели мы условились рассматривать как элементы ноля G尸(д). Если воспользоваться скалярными произведениями векторов (24), то условия (40) можно переписать в виде

〃/S=l，2) 〃£% =。，

…3) и“1t = 0,4)卩，j 今〃м = 0.

Отсюда и из леммы 5 вытекает лемма 7. В

Введем, наконец, отображение

屮：NSp (2/, g), 汇 Л (х)(42)

(см. (41)).

Лемма 8. Отображение 屮 является гомоморфизмом, Кег ф = Qj. Следовательно, фактор-группа N jQi изоморфна некоторой подгруппе группы S〃(2厶 q),

Доказательство. Непосредственные вычисления показывают, что для х, у ^ Nj h (ху) — h(x)h(y). С другой стороны, из формул (36) и (41) следует, что матрица h(x) тогда и только тогда является единичной, когда 6t ——тождественный автоморфизм. Отсюда и из теоремы 4 следует, что Ксг ф = QL 曲

Из теоремы 14 и леммы 8 вытекает

Теорема 15. Фактор-группа N/A изоморфна прямому произведению 々 групп //〃 j = 1,.…,財 где 〃j —— некоторая подгруппа группы Sp(2", %). Фактор-грума V/А изоморфна некоторой разрешимой подгруппе прямого произведения 々 симилектических групп Sp(2/j, %), j = 1,

Возвратимся к гомоморфизму (42).

Теорема 16. Пусть элементы с， dv группы Qj (см, формулу (32)) можно выбрать так., что с^ = dv — 1 V = 1,...,厶 и пусть при g = 2 e К* имеется элемент 4-го порядка. Тогда гомоморфизм 屮 сюръективен,.

Доказательство. Пусть 力三 S〃(2/, д). По формулам (35) построим элементы % d] где в качестве показателей с, (3, % 6 взяты элементы матрицы /， Возможны два случая: 1) g〉2, 2) g = 2.

При 7 > 2 положим Л. ^ 11. = 1. Тогда с，，d； удовлв' творяют условиям (37) и (38). В силу теоремы 8 существует такой элемент g ^ GL (ql, К), что gQgT = c?, gd£-\ = d] У = lf k. Очевидно, что g 三 N 卜 屮(g) = ^・ Для g>2 теорема доказана.

Пусть теперь g = 2. Так как в К* имеется элемент 4-го порядка, то 储 и 闷 можно подобрать так, что с^ = df ~ I. Следовательно, и в этом случае выполняются условия (37) и (38) и тоже применима теорема 8. В

Очевидно, что условия теоремы 16 заведомо выполняются, если поле К алгебраически замкнуто.

Теорема 17. Пусть F = ^Ent а

——каноническое разложение числа 儿 Тогда G абсолютно неприводима и сопряжена в GL (п, А) с группой

GlX...XGk,

§ 20] МАКСИМАЛЬНЫЕ ПРИМИТИВНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 219 ade G)— максимальная примитивная разрешимая абсолютно неприводимая подгруппа группы GL (q?, А), / =

—1,k«

Доказательство. Так как F = Д*£п, то F совпадает с центром группы G. Отсюда, в силу теоремы 14.7, [G]a = Дп. Следовательно, G абсолютно неприводима. Из равенства 尸 = А*Е?% вытекает, что G = V. Следовательно, согласно теореме 13, гру吧a G сопряжена в GL (п, А) с некоторой подгруппой G группы ^ = =А7] X ... X где N. и GL (力,А). Так как G — максимальная разрешимая подгруппа группы GL(〃，A), то

G=GlX ...\Gk,

где Gj ——максимальная разрешимая подгруппа GL(q\% А). В силу леммы 15.8 подгруппа G? абсолютно неприводима, а в силу леммы 15.9 ——примитивна. Я

5. Случай алгебраически замкнутого поля. Пусть теперь поле А алгебраически замкнуто. Тогда F = А*£п, £ = G, н мы будем вместо ряда (а) писать ряд

G п 4 п 尸 п (^п).(а)

В силу теоремы 3 А : F = п2. Согласно лемме 19.3 char А ^ П(м). К группе G применима теорема 17, следовательно, мы можем считать, что

G = G* XG«,

где Gj——максимальная примитивная разреши мая подгруппа группы GL(^A Л),历 /2 = 4% ・••"? ——

каноническое разложение числа п. Поэтому мы будем считать, что п = ql, где q — простое число, a G — максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL (^ Л). Согласно следствию 5.1 группа А представима в виде

Л = (%) ® J •・•(/)(“) F,(43)

где 3, s) = n£\,甲=L 刀长 1,刀三 A\ 〃力 и? w F, элементы из двух разных пар перестановочны.

Лемма 9. В подходящем базисе пространства А" группа А имеет вид

4 = (q)@)…(力)(必)A

где—、…

J = j-i5< diag[l, % 中7]%e门1，.ГО 1] .(44)

4=JiT 义 £ ] ° X ^ql-i^

Доказательство. Для элементов 〃f и и* (см. формулы (43)) можно написать 〃；, у, е А*^. Так как поле А алгебраически замкнуто, то в А* есть такие элементы р/, т『，что

(Pi〃 J"=(七沙J" = Е①，=1,・.・，乙

Полагая "=“2, 九=巧虫,i=l, . . ., I, получим

/ = @)(d) Ы(МЛ

где 他储 〃) = г|Е小 a?=二 b? = Eq i=l, ...,/, а элементы из двух различных пар перестановочны.

С другой стороны, очевидно, элементы с$ и d$ таковы, что (ch di) — г|Е/г, с?=二 d? = Eg i = \ ,…,/, а элементы из двух различных пар перестановочны.

В силу теоремы 8 в GL («, А) найдется такая матрица /, что'

/а5с上， tb jt - d/1, ...,

Отсюда и вытекает лемма 9. Я

До конца § 20 будем считать, что

/ = (*)(4)…,6)(力)尸，

где Ct и di задаются формулами (44), а ^ — нормализатор А в GL(ql, Д). Любая максимальная примитивная разрешимая подгруппа О группы GL(q* А) сопряжена в GL(0, А) с некоторой максимальной разрешимой подгруппой группы ^. Для любого элемента х из ^ имеем

■хс/Т =九jC▼…с)"；"…d：%

xd^ = в/"'... c%d% J「

где 入I,山 三 А , а()ь Рр о Yp?，ip I w GF (q) * i 1 > ♦ *., /. Положим, далее,

% Ри ••• %

a〃 ... a〃 Рл • • • Ph

Yu • • • Yu 仇1 • • • dz

-Yh ……_

Тогда, согласно лемме 7,屮(х) wSp(2厶 g), а по теореме 16 отображение

屮：^ —> Sp (2/, q)

сюръективно. В силу теоремы 4 Кег ^ = А, следовательно,

N/A^Sp (2/,力(45)

Лемма 10. Пусть ®i w ®2 — такие две максимальные примити&ные разрешимые подгруппы группы GL(qlt Д), что

4< ®и Л< ®2.

Группы ®i и ®2 тогда и только тогда сопряжены в gZ®, А), когда 修=tp(®i)以 也=屮(&) сопряжены в 5р(2/, g)・

Доказательство. Пусть ®i и ®2 сопряжены в GL(q* А). Тогда, по теореме 12, в N есть такая матрн、 ца 力 что /©i/-1 = ®2. Применяя к последнему равенству отображение фт получим иНд = Н% где 〃 = 2«). Обратно, пусть 〃i и 方2 сопряжены в Sp(2厶 g). Очевидно, рт(〃1) и i|)-1 (Я2) — разрешимые подгруппы группы М Так как 政一максимальные разрешимые подгруппы Лг, то ®г =屮一""», i = 1, 2. Так как 屮 сюръективно, то из сопряженности Н{ и "2 в S〃(2厶 g) вытекает сопряженность 2T ("[) и “т ("2) в М Следовательно, ®i и ®2 со* пряжены в GL(ql, Д). ■

Теперь будем искать условия, при которых подгруппа группы N примитивна.

Лемма 11, Пусть В ——подгруппа группы N, содержащая А. Группа В тогда и только тогда импримитив- на* когда она обладает таким приводимым нормальным

делителем Qu А, среди неприводимых частей которого есть неэквивалентные.

Доказательство. Достаточность вытекает из теоремы 162 Докажем необходимость. Пусть

△"=厶+ …斗厶U， ц> I, n = q; (46)

—разложение пространства Дп на системы импримитив' ности группы В. Разложение (46) определяет гомоморфизм

Так как В =)Д, то (46) есть разложение Дп на системы импримитивности группы А. Пусть у1 — ограничение у па A, Ker yi = D. Тогда £) = 4 力 Ker у ——инвариантная подгруппа в В. Так как А неприводима, то 打⑷一! транзитивная подгруппа симметрической группы S^. С другой стороны, D п F % следовательно, $ ⑷ 4

А/D — абелева группа. Поэтому порядок 修⑷ равен А : D ~ ц, D : F ~ 严厂，Неприводимые части группы D имеют одну и ту же степень р W q«「L Пусть о — чгь ело неэквивалентных неприводимых частей группы D、 Тогда

о & q"p「 [Q] ： А — р?о = £)：尸=严科

Отсюда

产卩р2а 工 p2q/p-i = pq" & d|jTq"=严卩

Следовательно, р —.仙-1,о — q'pT — |i.

Таким образом, D имеет 卩 > 1 неэквивалентных неприводимых частей. В

Л е м м а 12. Пусть В ——подгруппа группы ^, содержа^ щая группу A, a D — приводимый нормальный делитель группы 5, обладающий двумя следующими свойствами:

1)尸 и Q и 4

среди неприводимых частей группы D есть неэквивалентные.

Тогда центр Z(Q) группы D отличен от F.

Доказательство. Если группа D абелева, то лемма вытекает из свойства 2), Пусть группа D неа6е・

лева. Тогда, как и при доказательстве теоремы 19.2, имеем

Q = (〃i)(q)

где Dh — центр D, (uj, Vj)= “足冗，^= y?= 1, /= 1,... ...,左， элементы, принадлежащие различным парам, перестановочны.。九 не может совпадать с F, Действительно, пусть Dh =尸,и W — централизатор D в А, Тогда D : F = q2h, В силу теоремы 7

取：尸= g2"叽

Так как Dh =尸，то D Г\ W = F, Следовательно, Л = =DW, (D, W) = 1. Отсюда вытекает попарная эквивалентность неприводимых частей группы D (см. лемму 16.4). Последнее противоречит свойству 2) группы D. Отсюда 2 (D)，尸.险

Лемма 13. Пусть В—подгруппа группы ^, содержащая А. Группа В тогда и только тогда примитивна, когда F является максимальным абелевым нормальным делителем в В.

Необходимость вытекает из теорем 16.1 и 16.2, а достаточность一 из двух предыдущих лемм.

Лемма 14. Пусть С — такая абелева подгруппа группы Л, что С п F, С : F = q”, С =⑷),,.(辽旷)/7, wj = 1, j = 1, . .., v. Тогда v ^ I, 〃 s группе А есть такие элементы 人十甘 …吃，叫，..% что 竹=и； = 1, (勺，吟匸联几，/=i, /, а элементы, принадлежащие двум различным парам 〃」，и；, перестановочны.

Доказательство. С： F — qv => [С] ： A q^. Так как группа С абелева, то [С]: А = 4V ^ ql = п. Следовательно, V W /. В силу теоремы 7 централизатор Z(U[, .. . , 〃J множества ｛汉九a J в группе А есть истинная подгруппа централизатора 2(汉室...,uv). Следовательно, в Z(〃2,uv) найдется такой элемент и±, что (4], yj = т]^, и?=1・ В Z(ai, а?,..,,辽节,Vi) найдется элемент и? такой, что (辽2, ^2)="足小 ug= 1. Поступая так несколько раз, мы найдем в Д v элементов S, 八 таких, что (%, Uj)= 1, и, = 1,(⑷，S)=

^n, (/, Uj) ^= 1, г j, у 1, • • . , V. Если V ^= /, то лемма доказана. Если же v <； /, то в Z (/, S,...,辽丫，uj

есть такая пара элементов 〃v+i,八+卜 что

(%+1，％+) =吟WV+1= % = 1・

Отсюда и вытекает лемма. S

Подгруппу Н группы Sp(2厶 q) назовем s-приводимой, если найдутся такое число, v, 1 W v W /, и так-ая матрица t е Sp(2l, q), что матрицы группы t^Ht имеют вид

G11…

ah v + 1•

• ah 21

♦ ♦ ♦

%v

• %, 2/

(47)

0

0

% + L v+ 1 •

• ttv + l, 2/

•V*，丿

一 0

0

a2/. a+l •

• a2/, 2/_

В противном случае подгруппа Н группы Sp(2l, q) называется s-неприводимой.

Теорема 18. Пусть ® — подгруппа группы N、содержащая группу А. Подгруппа ® тогда 〃 только тогда примитивна, когда г|)(®) является s-неприводимой подгруппой группы Sp(2l, q).

Доказательство. Положим ^(®) = Н, Тогда г|)т(方)=®4 = ®. Пусть группа Н з-приводнма. Тогда в Sp ⑵,q) есть такая матрица /, что все матрицы группы Н\ = LHt имеют вид (47). Если 九三屮一(/), то 斷=Ь&1=“Т(〃]). Из определения отображения р и вида матриц % вытекает, что для хе®

хо^^ = %"，£... a；”， f — 1, , . V, Л； е Д*.

Следовательно, С = (s) ... (av)尸，尸 ——абелев нормальный делитель гр)^ппы ®i. Согласно лемме 13 ®i им- примитивна. Значит, импримитивна н ®. Обратно, пусть ® импримитивна. Тогда, в силу лемм 11 и 12, ® обладает таким абелевым нормальным делителем Со, что

尸 uC*oU4 Cg： F = qv,

Запишем Co в виде

Сд = (%)…•(〃J 尸，",=1, / = 1 > • • • j V.

Согласно лемме 14 в Л найдутся такие элементы 〃v+i,.…，也,.…,s, что

4 = (〃]) . . . (〃j)(U])・.・(и。，

〃;=u；=l,(〃戸 v^ = x\En,，

а элементы из двух различных пар □?, и^ перестановочны. Согласно теореме 8 в GL(q* А) есть такой элемент /1, что

/[%j/]=Cj,3 = djt j=l, . . ., /.

Очевидно, что t、三 N, а группа

С =厶‘。必=(^i) (cv) F

'—абелев нормальный делитель группы ®i =/Г ®/j. Положим / = ip(/i). Тогда 屮(⑤)=Г"£ Так как С < ®i, то матрицы группы t~lHt имеют вид (47). В

Теорема 19. Пусть △ — алгебраически замкнутое поле, а п = q* где q — простое число, причем °， 关 char А. Пусть, далее,

н 0"ц,

—такая система максимальных s-неприводимых разрешимых, подгрупп группы Sp(2Z, д), что любая максимальная s-неприводимая разрешимая подгруппа группы Sp(2Z, д) сопряжена в ней с одной и только одной подгруппой Hj, Тогда любая максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL (п, △) сопряжена s GL(〃，А) с одной и только одной из следующих групп:

斷=7^w1 (// J,...,⑤从=屮‘(//J

Группа ⑤/ обладает нормальным делителем

A=(c^){d^(з)(必)尸,

где Ci, di задаются формулами (44), ®j/A //；, / = —1, > ■ > } pi■

Доказательство. Так как отображение 屮 сюръективно, то 屮(⑤力=Hj, В силу выбора //； и леммы 10 группы ^(Н^ и 屮-"//|3)при а =й= р не сопряжены в GL(n, Д). Пусть теперь ® — любая максимальная разрешимая подгруппа группы GL (п, Д). Согласно лемме 9

8 Д. А. Супруненко

® сопряжена в GL(n, А) с некоторой максимальной примитивной разрешимой подгруппой S1 группы ^, причем О1 => Л. Группа ^((S1) = // — разрешимая подгруппа из Sp(2/, д). Согласно теореме 8 Н является s-неприводимой подгруппой группы Sp(2厶 q). Так как ®} максимальна среди разрешимых подгрупп группы GL(n, А), то Н —— максимальная s-неприводимая разрешимая подгруппа группы Sp(2厶 q) и S1 = i[)-1 (//). По условию Н сопряжена в Sp(2厶 q) с некоторой Нj. Следовательно, ⑧ 1 сопряжена в GL(n, А) с ip-1 (Hj). Отсюда и вытекает теорема.顧

Заметим, что некоторые утверждения настоящего пункта можно доказать, не требуя алгебраической замкнутости основного поля. В частности, лемме 11 можно придать следующий вид.

Лем м а Па. Пусть А ——произвольное поле,几=北 где q ——простое число, Ai ——подгруппа группы GL(nt Д), обладающая следующими свойствами:

Центр Л] совпадает с Д*£п, фактор-группа Ai/MEn абелева]

[Ai] = Д?г, Ai : F —出.'

Пусть, далее, N> ——нормализатор /} в GL(n, Д), а В]——подгруппа группы N*, содержащая Ль Группа Bi тогда и только тогда импримитивна, когда она обладает нормальным делителем D{ cz Ah среди неприводимых частей которого есть неэквивалентные.

Лемма Па доказывается почти так же, как лемма 11. Надо лишь в доказательстве леммы 11 равенство [О] ： Д = р2п заменить неравенством [〃]: А V Р?о.

Из теоремы 19 в силу теорем 17, 18.4 и 18.5 вытекает Теорема 20. Пусть Д ——алгебраически замкнутое 几。九，о п ——целое положительное число. Тогда совокупность всех максимальных разрешимых подгрупп группы GL(m, А) разбивается на конечное число классов с。几夕兄~ женных подгрупп; это число не презьниает некоторой границы, зависящей только от п

Для сравнения добавим, что, как доказал Плато н о^в в [14], в любой алгебраической группе имеется лишь конечное множество иесопряженных максимальных разрешимых подгрупп.

О вещественных разрешимых линейных группах см. Супруненко [8].

Разрешимые группы матриц над конечным полем

Случай, когда т =л. Будем сперва считать, что А ——произвольное поле. Пусть G ——максимальная разрешимая примитивная подгруппа группы GL (n, А), a F — =^* ——максимальный абелев нормальный делитель группы G, где К : А =亿 Обозначим буквой 乡 группу всех автоморфизмов поля К относительно поля А, а символом N(F) —нормализатор F в GL(n, А).

Лемма 1. Фактор-группа N(F)/F изоморфна некоторой подгруппе группы 乡.Если К ——простое расширен ние ноля А, то N(F)/F ^ ^. Группа G максимальна среда разрешимых подгрупп группы 2(尸)，а G/尸 изоморфна некоторой разрешимой подгруппе группы 步.Если К ——простое расширение поля А, то группа G/F изоморфна максимальной разрешимой подгруппе группы 寃

Доказательство. Ясно, что G является подгруппой группы N/F. Рассмотрим гомоморфизм

у: N (F)f G, gf %，

где Gg： К — К, bg(x) = gxg-* По условию К ： А =他 следовательно, централизатор К в GL(〃，А) равен F, т. е. Кег у = Л а фактор-группа N(F)/F изоморфна некоторой подгруппе группы 乡.Покажем теперь, что в случае, когда К — простое расширение поля △, гомоморфизм у сюръективен. Пусть К = △(©), а 。三乡.Тогда матрицы 0 п 0t = о(8) имеют один и тот же неприводимый в Д[х] характеристический полипом. Следовательно, а(0)— —аОа~\ где а е GL(/i, А). Очевидно, что aw 2(F), 仃(％) = 〃尤〃一丄 для к w К. Сюръективность у доказана. Следовательно, если К ——простое расширение А, то N(F)/F^$. ■

Применим теперь лемму 1 к случаю, когда Д — конечное поле.

Теорема 1. Пусть A = GF(“)，G ——максимальная разрешимая примитивная подгруппа группы GL(n, А), F = ^* ——максимальный абелев нормальный делитель группы G, где ^ ： Д = п. Тогда;

G ——циклическое расширение группы ^* 〃

card G = n (pnt — 1);(1)

если пространство Дп отождествить с К, то элементы g группы G можно записать в виде

g(X)== 3”，⑵

где к 三 К,九三 /(*, и = 0, 1一 …，z? — 1.

Доказательство. По условию A = GF(0), К = GF(р吟.Следовательно, 9 = g(K, А) —циклическая группа порядка 限 В силу леммы i GIF ——циклическая группа порядка п. Отсюда вытекает (i). Докажем (ii). Положим А" — К. Тогда 尸 состоит из всех отображений / вида

f: К f К, /«) =入厶 х^К, AwK*.

В силу леммы I N (F): F = гг‘ N (F) = G, С другой стороны, число элементов g вида (2) равно card /V(F) к для таких элементов gF「= F. Следовательно, G = =/V(F) состоит из всех элементов вида (2).嚕

Подгруппу группы GL(m, А), состоящую из всех элементов вида (2), обозначим через

G"(严一).⑶

Лемма 2. Пусть пара 〈％, А), где п — целое число, а А = GF (pD, подчинена следующему условию：

(а) для любого делителя d числа 九,где i & d V %, найдется такой простой делитель q числа 几/d, что q Vpdt—[. Тогда любая максимальная разрешимая примитивная подгруппа группы GL(n, А) сопряжена 6 GL(n, А) с % (戸г).

Утверждение леммы вытекает из следствия 20.3.2 и теоремы 1.

Теорема 2. Пусть А = GF^p1), а для каждого делителя Mi числа м такого, что 1 V м〔 W м, пара (пь А) подчинена условию (а) леммы 2. Тогда любая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа G группы GL(n, А) сопряжена g GL(n, А) либо с группой G”(尸_]), либо с группой G“,(产，_,1「，где «i > I — делитель числа м, Г — максимальная транзитивная разрешимая подгруппа симметрической группы 5加 々=пп~\

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если G примитивна, то теоре* ма следует из леммы 2. Пусть G импримитивна. Тогда,

согласно теореме 18.5, G сопряжена в G厶(几，А) с группой ® ^ Г, где ® ——максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы 3£(МзА), Г -- максимальная транзитивная разрешимая подгруппа симметрической группы S», /гМ1 = л. В силу леммы 2 группа ® сопряжена в GL(Mf, А) с группой G小储％/—у Следовательно, G сопряжена с G%(//一)1 Г. ■

Условия теоремы 2 выполняются, в частности, если п = % А = GF(pQ, где q ——простое число u q彳加一1. Действительно, в этом случае, как легко проверить, pnt — 1) = 1.•.

2. Образующие группы Q. Пусть А — произвольное поле, G — максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL(n, А), /4 и F = К* 一 группы ряда (а) (см. § 20, п. 2), К ： А = 门2 V /г, q ——простой делитель числа n/m, a Q/F —— ^-подгруппа Силова группы A]F* При этих обозначениях справедлива

Лемма 3. Пусть Q = ВС, где В и С—такие подгруппы группы Q, что (В, С) = 1, С zd F. Если D — нормальный делитель группы С, группа С/D локально “〃冗• лична, а центр группы D содержатся в 尸,то (Q, С)— -(q，q)。

Доказательство. 7 ак как (В, С) = 1, то (Q, С) = (С, С). Возможны лишь два случая: 1) (D, D) = 1, 2) (Q, Q) = (Q, Q). Во втором случае лемма очевидна. Рассмотрим первый случай. Пусть (D, D) = 1. Тогда, по условию, Z(Q) = D и F. В силу локальной цикличностгг С/D группа С абелева. Следовательно, (Q, С) = (С, С) = 1 = (Q,Q).鹽

Докажем еще одну лемму о группе Q.

Лемма 4. Пусть А — алгебраическое расширение конечного поля. 〃 Q° = Q 八 S£ (〃，△), Тогда (Qo, Qo)声 声1.

Доказательство. Рассмотрим отображение

.6: Qt/V； ' x —detx,'

при котором, очевидно, Ker 5 = Qc, Im 5 и A*, Im 6 ^ Q/Qo Так как A* — локально циклическая группа, то и фактор-группа Q/Qd локально циклична. Очевидно, центр Z(Qo) группы Qo .является нормальным' делителем в G. Слёдовательйо,之(Q。)и/. Если теперь положить

В = F, С — Q, D — QOl то В, С и D будут удовлетворять условиям леммы 3. Согласно лемме 3 (Qo, Q。)= =(Q,Q)抬 1. ■

В силу следствия 20.5.1 группу Q можно представить в виде

Q = (q)(/)(必)尸，⑷

(0尸4) = n 印=1,刀*1,刀三尸， 斗 曾w F，(5) а элементы, принадлежащие различным парам с；, d^ перестановочны.-

Теорема 3. Пусть △—алгебраическое расширение конечного поля. Тогда образующие cv,厶 группы Q можно выбрать так, что кроме формул (4) и (5) будут верны равенства'.

с《=或=1,V — 1, .,., /,(6)

(при q〉2) 〃

Cv = ± 1, dj = ± 1, V = 1, I (7) (при q = 2).

1.>2,⑻q = 2*Пусть н, V ^ D.1.>2,⑻q = 2*Пусть н, V ^ D.Доказательство. Положим

1

.>2,⑻

q = 2*

Пусть н, V ^ D.

1

.>2,⑻

q = 2*

Пусть н, V ^ D.

8 = (C[)(d|)….(с」.—】) (d/_[) (/), 0 = (e了)(力)…(q)@)戶，

({x\x ^C,尤夕匸 1} при

“一I {% I 尤 q С, К = ± 1} при

Тогда Q = ВС, (В, С) = 1, С п F. При q > 2

и^ ~ v^ ~ 1, vu —入〃и,九三尸，九Q = 1;

(zw)，= A 2 uqvg — 1.'

Следовательно, uv 三 D. При q = 2

彦=± 1, № = ± 1, vu = ± uv, (uv)2 = ± 1,

t. e. uv 三 D. Отсюда вытекает, что D ——нормальный делитель группы С

Фактор-группа С/D локально циклична. Действительно, если ^ > 2, то рассмотрим отображение у: С —> F,

х —> х^. Как легко подсчитать, 4(4-1)

Y(x，9)=匂，х) 2 xV = ^V = YW Y(//)-

Следовательно, 丫 ——гомоморфизм, Im у и 尸,Кег у = D, Так как А — алгебраическое расширение конечного поля, то F = К* ——локально циклическая группа. Сла・ довательно, прн q > 2 группа C/D ^ Im у локально циклична. Если же q = 2, то рассмотрим отображение

»: С/{± !}->F/{± 1},{± \}х-^{±1}х\

Очевидно, что yt — гомоморфизм, Кег『 = Q/{土 1},

C/D f C/{± 1}/Д/{± 1}三 ImYi и F/{± 1}.

Следовательно, группа C/D локально циклична и при g = 2. Для применимости леммы 3 надо еще показать, что центр Z (力)группы D содержится в F. Пусть сперва / = 1. Тогда В = (?]), С = Q, а группа D инвариантна в G. Следовательно, 2(D) и F. Итак, при j = 1 группы 5, С, D удовлетворяют условиям леммы 3, т. з (Q, Q) — (Q, С) = (С, С). Отсюда (Q, D)方 1, Тогда мы можем считать, что одна пара ，i, di принадлежит группе Q, т. е.

с? = d? = 1при7 > 2,

с；=±1,由=±1приq = 2・

Пусть для /——1 пар сь d」,...,с)_卜 dj_i выполняются условия

с? = d? = ... = cf—i = df-i = 1при g〉2,

c； = ±l, df=± 1, ..., c/-i=± 1, d；T=±l при g = 2, а В, С и D заданы формулами (8). Введем еще группу 8 положив

Q = {xj%wQ,尤4 = 1}при g〉2,

Q = {尤]尤三 Q,尤2= ± i}при g = 2・

Группа Q инвариантна в G, следовательно, ее центр Z (⑦ содержится в А. Ясно, что Ви? Пусть 。三 Q, тогда

а =cwC.(9)

Для с из (9) имеем с 三口, т. е. Q = BD. Так как (В, D) = 1, то Z(D) uZ(0) иЕ Таким образом,民 С, D удовлетворяют условиям леммы 3. Следовательно, Q, dj можно выбрать в D. Отсюда и следует теорема. S

Доказанная теорема позволяет матрицам группы Л придать канонический вид, если основное поле Д яв~ ляется алгебраическим расширением конечного поля.

Coiласно § 20 группа А ряда (а) приводима к виду Л = Q1 X ... Х Qk.

Следовательно, достаточно рассмотреть группы Q'仝 Q).

Теорема 4. Пусть А — алгебраическое расширение конечного по几я, a q^ = q > 2、Тогда е подходящем базисе пространства К" группе QJ можно придать вид

Q‘ = (%)9)…(%)(打)尸，(10)

при этом

〃” f^v—1 X С X EgZ —”，

..(11)

-.D” = EqV—l 乂 d 乂 Eql—Q,

01Ei 001Ei 0где

01

Ei 0

01

Ei 0

c = diag口，т], 广％ d =

г/ = 1, 口 声 L H w К*, v = 1,/.

Доказательство. Пусть ср: Qj—► Q)——изоморфизм, a cv =①(С), dv =(p(^v), v = 1, ..., I (cm. (4)). По теореме 3

Cv — dv 1 > v — 1,

С другой стороны, как легко проверить,

Uy —，U: — 1 f(4V, Dv) (0y，dy) T)；

а матрицы, принадлежащие различным парам 以屮 и，перестановочны. Следовательно, отображение

询 >> uv, d、\>. vv, v ~ I,.

можно продолжить до центрального автоморфизма ал* гебры [Q‘] = K* Поэтому в GL {ql, К) есть такая матрица 九 что 行/т — uv, td^ =(?V| v = 1, О

Теорема 5. Пусть А ——алгебраическое расширение конечного поля, а д,・=g = 2.

Если в К* есть элемент 4-го порядка, то Qj задается формулами (10) и (11).

Если в /(* нет элемента 4-го порядка, то возможны два случая-.

Q)задается формулами (10) и (11), где надо положить g = 2, п = —1 ；

QJ задается формулой (10), wv и yv 巾〃〃 v #= / определяются формулами (11), где надо положить q == =2, т| = —1, а.

Y °d 一YY °d 一Y•「0 — 1].

Y °

d 一Y

Y °

d 一Y

Ut = E2i-i X [° , vt = E2i-\ X

Y2+^ + 1 = 0,» 6三/e

такой парой с；, d：, что пусть, например, ci =такой парой с；, d：, что пусть, например, ci =Доказательство. Пусть в К* есть элемент 4-го порядка. Тогда в теореме 3 можно вместо (7) написать £ = dj = l, V = 1, .. ., /. Следовательно, теорема 4 в этом случае верна и при д = 2・ Итак, (i) доказано. Пусть теперь в К* нет элемента 4-го порядка. Если 片二鼠=1, V = 1， ...,/, то Qz задается формулами (10) и (11). Остается рассмотреть случай, когда при некотором v либо 匕=—1, либо rfv = — 1 • Если с；=—成=±1, то

такой парой с；, d：, что пусть, например, ci =

такой парой с；, d：, что пусть, например, ci =

пару с?,虑 можно заменить cj =d； = L Действительно,

=—d； = —L Тогда заменим пару с” dv парой cvdv, dv> (Cvdj=—大或= L Следовательно, мы можем считать, что 窗=指=±1. Покажем теперь, что q, d{ можно так выбрать, что q == d； = 1, 1, ас?== =f = —L Пусть имеются две пары

Cv = dv =— 1, с： = £ = —1, Ц 7^ V.

Тогда пары cvi dv и q(, 応 заменим парами %, d、d让 и 中 呢；(厶応产=(八%)2 = 1- Согласно предыдущему, в свою очередь, две последние пары можно заменить такими парами 厶必 и % 综，что с^ = d^ = c：=d《=L Следовательно, с〃 d/ можно выбрать так, что

с； = d； = • •・ =С；—1 三 1 = 1, с? — d/ = —- L

Тем же условиям подчинены и матрицы 人，％ из тео ремы 5. Отсюда, как и при доказательстве теоремы 4, получаем (ii). ■

Неприводимые разрешимые группы простой степени. Здесь мы построим все максимальные неприводимые разрешимые подгруппы группы GL(g, А), где g — простое число, а 八=6尸("土). С самого начала отме* тим, что группа GL(q, А) разрешима, если g = 2, а А совпадает либо с GF(2), либо с GF(3), ибо в этом случае порядок GL(q, А) равен либо 6, либо 48.

Пусть G ——максимальная неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(仏 А). Возможны три случая:

G импримитивна.

G примитивна, ее максимальный абелев нормальный делитель 尸=К\ где К = GF (pqt).

G примитивна, ее максимальный абелев нормальный делитель F = Д*£д.

В первом случае группа G мономиальна и, согласно теореме 18.5, G сопряжена в GL(q, Д) с А* ^ Г, где Г — максимальная транзитивная разрешимая подгруппа симметрической группы S『 В силу теоремы 4.11 максимальные разрешимые транзитивные подгруппы Sq сопряжены в S7 и имеют порядок g(g—— 1). Следовательно, в этом случае

card G = q (q — 1)(// — 1)吟(12)

Во втором случае, согласно теореме 1, группа G сопряжена в GL(q, А) с группой Gq^pqt_^ Значительно сложнее третий случай. Пусть группа G примитивна, а ее максимальный абелев нормальный делитель 尸 = A*EQ. Тогда G обладает нормальным делителем

/ = (a)(»£ /三ь， 勿三尸，

(a,力)=刀/，唄=1,Лe A.

Так как из (13) следует, что в Д* есть элемент порядка 7, то третий случай возможен лишь при условии, когда q\pl——1. Очевидно, что G является подгруппой нормализатора N группы Л в GL(g, А). Для х 巨 № можно написать

где X, ц е А, а, р, у, OwGF(q). Положим

Га Р]

■ф: N->Sp(2t q) = SL(2t q), 力 f 丫 ° .(14)

Пусть сперва g = 2 и в А* есть элемент i 4-го порядка, т. е.户一1 = 0 (mod 4). Тогда, согласно теореме 4, а и b можно выбрать так:

Согласно теореме 20.16 гомоморфизм гр: N —>SL(2, 2) сюръективен. Так как Кег ^ = А, то NIA 工 SL&,2) 工 4§з・ Следовательно, N — разрешимая группа, G = А\

cardG = 6-4(pz- 1) = 24/— 1).(16)

Группа SL(2,2) порождается двумя матрицами

11 ГО Г

Положим

g = diag[l, —г],% =(17)

Как легко проверить, g, Ii 三 N, 屮(力)= o,屮(力)=工. Следовательно, элементы

d 仇 g, h, pj，(18)

где p 三 А* и имеет порядок р+ — 1, а и 6 задаются формулами (15), a g и h — формулами (17), составляют систему образующих группы G.

Пусть теперь д = 2, но в А* нет элемента 4-го порядка. В силу леммы 4 элементы а и 6 в (13) можно выбрать так, что

det а = det b = I.(19)

Из- (19) и из включений а2, Ь2 е Л*^ вытекает, что 乞2 + 1 — минимальный полином матриц а и Ь, Следовав тельно, можно положить

ГО -11

0]，

Отсюда и из условий (а, Ь) = Ь2 =——Е? найдем

0 (о (о —б0 (о (о —б62 + s2=-i,仇 swA*.62 + s2=-i,仇 swA*.

0 (о (о —б

0 (о (о —б

62 + s2=-i,仇 swA*.

62 + s2=-i,仇 swA*.

В качестве образующих группы SL(2, 2) возьмем матрицы

ГОГ

° н Т1= 1 п *

Как легко проверить, матрицы

-1 -Г g『1],-1 -Г g『1],/?| =/?| =0 со — 1 '(о + 1'— 00 со — 1 '(о + 1'— 0(2Q)(2Q)

-1 -Г g『1],

-1 -Г g『1],

/?| =

/?| =

0 со — 1 '

(о + 1'— 0

0 со — 1 '

(о + 1'— 0

(2Q)

(2Q)

подчинены следующим условиям:

gWg「= a， %a/z『] =仇

$6g J = 〃仇 h^bh]-1 = g

Следовательно, g[t h、三 N н

2(gi) = o，屮(力])=巧，NIASL (2, 2),

N = G,card G = 24 (p‘ 一 1).

Группа G порождается матрицами

〃，仇 gi，Ль P&，(21)

0 — 10 co

где a = n , b= , 02 4-(o2 = — 1, 0, q e A*, gi и 也 задаются формулами (20), а р—-элемент порядка pt — 1 из А*.

Случай q = 2 рассмотрен полностью.

Пусть теперь q > 2. Тогда, согласно теореме 4, матрицы а и b можно выбрать так;

ГО 「

a = diag[l, п，n ，

aq =加=品， 甲=1, n 寸=1, n 三 A*.

Согласно теореме 20.16 гомоморфизм 屮：сюръективен. Сл映оватепьно, ,W/4仝 S£(2,, g),, G 匸 4r&(〃)，где H — максимальная разрешимая подгруппа группы SL (2, q)t

Лемма 5. Пусть Н ——подгруппа группы SL(2,e). Группа ^(Н) тогда и только тогда примитивна, когда Н неприводима.

а В] 0 6 J1а В] 0 6 J1Доказательство. Если Н ——неприводимая подгруппа группы SL(2, q), то 旷(〃)примитивна в силу леммы 20.11а, Пусть теперь Н — приводимая подгруппа группы SL(2, q). Тогда в GL (2, q) есть такая матрица d, что матр(щы группы dHdr^ имеют вид

а В] 0 6 J1

а В] 0 6 J1

а, 3 6 三 GF (q).(22)

Матрицу d можно выбрать в SL(2, е). Действительно, пусть det d — 6i, 6& = 1. Тогда

И 0 1

『0 6 , k S厶(2,力

а матрицы группы dj/d” = //i имеют вид (22). Группа ”т(〃1) импримитивна. В самом деле, так как матрицы из /Л имеют вид (22), то для любого элемента g* из 川(修)

ga『'g ⑷尸gi=(a)尸，

т. е. (а)尸 ——абелев нормальный делитель группы “т(〃1)・ В силу теоремы 16.2 группа \p~l(Hi) импримитивна. Так как 修 н 〃 сопряжены в SL(2, q), то ”т(〃1) н 旷(〃)сопряжены в N. Следовательно, группа “т(") тоже импримитивна.喉

В силу доказанной леммы построение всех максимальных разрешимых примитивных подгрупп группы GL(g, А) сводится к построению системы всех максимальных разрешимых неприводимых подгрупп группы SL(2, q) и разбиению этой системы на классы подгрупп, сопряженных в SA(2, q).

Если е = 3, то 5工(2, q) —разрешимая группа порядка 24. Следовательно, при q = 3 G — i|)~1(SL(2, 3)), card G = 24 ・ 9 •%-1) = 216(р‘一 1).(23)

Пусть теперь e > 3. Найдем максимальные разрешимые неприводимые подгруппы группы SL(2, q). Как доказано выше, максимальная разрешимая неприводимая

подгруппа группы GL(2, q) сопряжена в GL(2, q) с одной из следующих групп ):

G[ порядка 2(е——1)? (G【импримитивна),

G2 порядка 2(д2 — 1) (О2примитивна, card F—^2—1),

G3 порядка 24(g—1) (G3 примитивна, card F—^―1).

Максимальная разрешимая неприводимая подгруппа группы SL(2j q) есть пересечение максимальной разрешимой неприводимой подгруппы группы GL (2, q) с группой SL (2,办

Построим пересечение Uj = G； П SL(2, 7), j = =I, 2, 3. Группа Gt есть множество всех матриц вида

4 01Г0 1р

0九2山о] f

九[,九2三GF(办 T = 0, 1 ,九1，入2声0.

Следовательно, 5 состоит из всех матриц вида

厶 01Г0 1 У

.0 (~1)ТЛ_1][ 1 о '

X ^ GF(7), т — 0, 1, Z т^ 0;

card и» = 2(q — I). Группа U{ порождается двумя матрицами и и У：

0 「

〃 = diag[p, р-'], и= г °，

где р — элемент порядка q — 1 из GF{q). Группа G2

вида Gn^m_^ (см. (3)) состоит из элементов g вида

g(%) =九％叱 爲九三GF(g2),九声0, т — 0, 1.

Группа Gz порождается двумя элементами go и 卜，где g^x) = x^,厶(工)=产，x^GF (q2),

卩一элемент порядка q2_ i из GF(q2). Найдем det go

и det %. Пусть q e GF^q1) \ GF (^). Тогда 1, о — базис

GF(g2) над GF(q); о -f- ©^ = v е GF(7). Далее, так как g°(l)=l, go((o) =(0^ = v —(0, то go задается матрицей

[1 v]

[о -1 J' detg°=-l.

Для вычисления det /0 возьмем в качестве базиса GF(q?) над GF(q) элементы 1, ц：

%⑴=出%(卩)=n2=一心+I + (卩g +卩)卩；

0 一

detfo= 1 炉 + u=^+,-

Следовательно, гомоморфизм

G2f (G尸(7))*,尤 %— det 尤

сюръективен, его ядро совпадает с U2* Отсюда card 力=2 (д + 1).

Рассмотрим, наконец, G3 и S* Группа G3 порождается либо элементами (18), либо элементами (21) (в (18) и (21) надо заменить р£ числом д). В первом случае в GF(7) есть элемент t 4-го порядка. Легко видеть, что det a, det bt det рЕ2 суть квадраты в поле GF (q). Далее, 八3 = (2 + 2，)七2, следовательно, det h ■ тоже квадрат в GF(q). В силу (17) detg=—L Следовательно, detg — тогда и только тогда квадрат в GF(q)、когда дм 曰 1 (mod 8). Пусть теперь G3 порождается элементами (21), det gi = 2, det /% = 2. Следовательно, det % является квадратом в GF (q) для всех х из G3 тогда и только тогда, когда число 2 есть квадратичный вычет по модулю q, т. е. когда 夕三 土 1 (mod 8). Отсюда вытекает, что в обоих случаях гомоморфизм

03 н-> (GF(7))*,х н-> det 无

тогда и только тогда сюръективен, когда д = 土 3(mod 8).

Итак, если дм 士 3(mod 8), то card U3 = ^~~^—=24. Если же д е ± 1 (mod 8), то card U3 —常 g^/?=《8 •

Таким образом, группы Uj = G； П SL(2r д), / = = 1, 2, 3, найдены. Однако надо заметить, что сопря-

женность двух групп В п В] в GL(n, Р) не влечет за собой сопряженность в SL(n, Р) групп В R SL(n, Р) и Bi Q SL (п, Р). Если Р — произвольное поле, В — подгруппа группы GL(n, Р), а гомоморфизм

BfP\ % —det*(24)

сюръективен, то из сопряженности групп 3 и 3^ в GL(n, Р) следует сопряженность групп В R SL(n, Р) и Bi Г) SL (n, Р) в SL(& А). Действительно, пусть Bi — =/5/-1, / ^ GL(n, Р). Так как гомоморфизм (24) сюръективен, то в В есть такая матрица 力，что det b — =(det /)т. Положим d = tb. Тогда det d = 1, dBd~^ = =В、,

5 n SL (n, P) = dBd^1 n dSL (〃，P) 4一 =

= d(Bn5A(n,P))d~'.

Мы видели, что отображение Gj—> (GF(q) )*, % i~> ь-> det % для / = 1, 2 всегда сюръективно, а при j = 3 сюръективно лишь при gw 士3(mod8). Остается рассмотреть группу G3 при q 三土 1 (mod 8). Пусть г—такая матрица из GL(2, д), что det г не является квадратом в (GF(q) )*. Как легко видеть, любая группа вида сШ"* где d 三 GL(2, д), сопряжена в SL(2, д) с одной из двух групп Оз, U& =『U「L Покажем, что U3 и U& не сопряжены в SL(2, д). Пусть lUJr* = U% /三 SL(2, g). Тогда IrUti(lr)^ — U^ Так как при g 三 ±1 (mod 8) G3 — U3(GF (q))*, то IrG^ilrV1 — G3. Далее, d — —lr ф G.j, ибо det It не является квадратом. Следовательно, (2) G — разрешимая группа, содержащая G3 в качестве истинной подгруппы. Последнее противор% чит максимальности G3, Значит, U? и С\ не сопряжены в SL(2, д).

Итак, если g > 3, то всякая максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы GL(g, А) с максимальным абелевым нормальным делителем F = А*Е7 сопряжена в GL(q, А) с одной из следующих четырех групп:

•3〕Uj),/=1,2,3, 4.

Отсюда и из предыдущих рассмотрений настоящего пункта вытекает

Теорема 6. Пусть А = G尸(户)，где р — простое число. Тогда верны следующие утверждения:

Всякая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(2, Д) сопряжена в GL(2, А) с одной из трех следующих подгрупп-.

G, 1 порядка 2(р*— I)2,

G2> 2 порядка 2(р2(— 1),

О2, з порядка 24(0 — 1).

Всякая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(3, А) сопряжена в GL(3, А) с одной из трех следующих подгрупп-.

бз, 1 порядка 6(広一1 )3,

G3> 2 порядка 3(р3( — 1),

G3f3 порядка 216(0 — 1).

Всякая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(q, Д), где q ——простое число, q > 3, сопряжена в GL (q, Д) с одной из следующих шести подгрупп-

Q, ] порядка q(q— 1)(^— I)7,

Gq, 2 порядка q(pqi 一 1),

Gq, з порядка 2(q— l)q?(d— 1),

Gq, 4 порядка 2(q+ 1) q2 (pz — 1),

Gq, 5 порядка 48 (// ——1) d， (7 = ± 1 (mod 8), или порядка 24 (// — 1) q?, g = ± 3 (mod 8), Gq, 6 порядка 48 (p‘一 1)(y2;

группы Gq, 3, Gq, 4, Gg, 5, Gg； б существуют только при условии р( = 1 (mod(7), а для существования группы Gq)е, сверх того, должно выполняться сравнение q 三 =士 1 (mod 8), причем

Gq, / + 2 = "Ф 1 (^ /')» Gq, j +』A 丝 U к / = 1, 2, 3, 4.

Примечания к теореме 6. 1) Группы 62( 1, G& 3 仇,1 мономиальны. 2) G2> 2, Оз, 2, Gg, 2— группы вида Gn(pnt^l)(几=2, 3, g, см. формулу (3)). 3) Группа (?2, з существует при р > 2, 62, i ——при р( > 2, G3, з ——при 31P" — 1. 4) Если 。土 = 2, то при любом простом q всякая максимальная неприводимая разрешимая

подгруппа группы GL(q, 2) сопряжена в GL (^, 2) с группой Gq, 2 порядка g(2q— 1). 5) Если р( = 3, то группы 6г, 1 и 62,2 не максимальны, они содержатся в 6г, з = =GL(2, §). 6) Если 加=5, то группа Q, 士 не максимальна, она сопряжена с истинной подгруппой группы 62, з- 7) В GL(5, А) имеется либо две, либо четыре несопряженные максимальные неприводимые разрешимые подгруппы. Если 5 才尸——1, то это будут 小5, i и G5, 2- Если 5|〃力——1, то к ним надо добавить только две группы——65,4 и 65,5, ибо, в силу 6), группа 65,3 не максимальна, она сопряжена с истинной подгруппой группы G5,5, а группы 4,6 нет вовсе, так как 5 袭土 1 (mod 8). Описание максимальных неприводимых разрешимых подгрупп группы GL(qt Д) полностью завершено.

§ 22. Разное

Неприводимые разрешимые группы простой степени над алгебраически замкнутым полем. Пусть q — простое число, а А — алгебраически замкнутое поле. Используя предыдущие результаты, можно полностью классифицировать максимальные неприводимые разрешимые подгруппы группы GL(q, Д). Здесь возможны два случая: 1) q = char A, 2) q 7^ char А. В первом случае, в силу следствия 20.3.1, в GL(q, А) нет примитивных разрешимых подгрупп и, следовательно, любая неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(q, А) мономиальна. Отсюда вытекает

Теорема 1. Пусть q = char А. Тогда любая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(q, А) сопряжена 6 GL (么 А) с группой

А", ⑴

где Г ——максимальная транзитивная разрешимая группа подстановок степени q порядка q(q ——1).

Пусть теперь q ^= char А. Найдем максимальные неприводимые разрешимые подгруппы группы GL{q, А), Если такая подгруппа импримитивна, то, очевидно, она сопряжена в GL{q, А) с группой (1). Остается найти максимальные примитивные разрешимые подгруппы группы GL(qf Д). Согласно теореме 20.19 всякая такая подгруппа сопряжена в GL(qf Д) с группой вида 屮т(Н),

где Н — максимальная s-неприводимая подгруппа группы Sp(2,q) =5厶(2,办 причем сопряженность Я и /Л в Sp(2,4，влечет за собой сопряженность *(")и 2~""1) в GL(q, А). Из определения s-неприводимости следует, что s-неприводимость для подгрупп группы Sp(2, д) равносильна неприводимости. Таким образом, для построения всех максимальных примитивных разрешимых подгрупп группы GL(q, А) надо найти максимальные неприводимые разрешимые подгруппы группы SL(2, д) и разбить их множество на классы сопряженных подгрупп. При доказательстве теоремы 21.6 были найдены максимальные неприводимые разрешимые подгруппы U\, 〃з 〃з, ^4 группы SL(2, q) такие, что любая максимальная разрешимая неприводимая подгруппа группы SL(2, q) сопряжена в SL(2, q) с одной из них. Отсюда и из свойств групп Q, &, U& S следует

Теорема 2. Пусть q =/= char А, Тогда любая максимальная примитивная разрешимая подгруппа группы 0厶(仇 А) сопряжена s GL(q、А) с одной из следующих k = k{q) групп-.

Каждая из групп (2) обладает нормальным делителем /1 = (д)(6)Д*, где а = diag [I, % ...,中―],tj е A, if = 1, 。卜

Если q = 2 или g=3, то k = \, G = Gqx есть нормализатор Л s GL(q, A), G =^~l (SL(2} q)), G/Л SL(2, q). Если g = 5, to fe = 2, Gqx = t]?-1 ([/2), О q2 = t])-1 (U^, G%:/ = 12, G^ : A = 24. Если g〉5, ^ = ± 3(mod 8), to 归=3, Gqj — ^ (U/), /= I, 2, 3, GQi : A~2(q — 1), 0力：4 = 2 (g 十 1), G% : Л = 24. Если g〉5, g = ± 1 (mod 8), to ^ = 4, GQl = ^ (U；), / = I, 2, 3, 4, G^j : A = 2(q — I), Gg2： A = 2(q -(- 1), G^ ： Л = G^ : Л = 48.

Пример. В GZ(2, Д), где q =/= charД, имеется точно три несопряженные максимальные разрешимые подгруппы:

а В0 Y.а В0 Y.Группа G⑴ всех матриц вида

а В

0 Y.

а В

0 Y.

а, А*, ре Л.

% 0 '0 10 入21 0% 0 '0 10 入21 0Группа G⑵ всех матриц вида

% 0 '0 1

0 入21 0

% 0 '0 1

0 入21 0

Лр 入2 三 A*’f = О, 1.

Группа G⑶= @t(SL(2, 2)). Матрицы

Г О 1 *

a = diag[I, — 1], 匕=[°，

Г 1 厂

g = diag[l,―力， h= [_ .,

где I — элемент четвертого порядка из Д*, вместе с А*Е составляют систему образующих группы G^.

О приводимых группах. Пусть теперь Д — произвольное поле, а М——некоторый класс неприводимых матричных групп над А не обязательно одной и той же степени. Будем рассматривать группы матриц степени и над А, образы неприводимых частей которых лежат в классе Л1. Пусть Gi, . . ., Gh — такие группы из класса М, что П] + «2 + . . •+ ил = п,投j — степень G” Построим группу G = Т(Gj, GQ, состоящую из всех матриц g вида

°1°12 ■ ■ •勺汽

一 °0.. . Ok J

где а3 ^ Qj, а^ ——произвольная n^ X ^；-матрица над Л. Класс всех групп вида Г(G]t .. ., GQ, где G; ^ Л1, 1 W 々 0 〃，обозначим символом (Л1Т и). Зафиксируем один и тот же для всех G е (М, 〃) базис

〃忆(4)

пространства А。Тогда каждую группу G из〈Л1, 〃) можно трактовать как группу автоморфизмов пространства А" с матрицами вида (3) в базисе (4) (числа k и kj при переходе от одной группы из 〈Л1, п) к другой могут меняться).

Пусть G = T(Gi, GQw〈Л1, м), % — степень G『, / = 1, 2, ..., k. Положим тпг = Mi, trij =+ njt

/ = 2, . . ., k, и построим А——1 подпространств пространства А":

£々—1 j ,(5)

где Lj — подпространство размерности т； с базисом

〃],• . • j 〃加./,J -"~ 1, 2, • ■ • ) к -"~ 1 •

Л е м м а 1. L《,...,厶片一 суть единственные нетривиальные инвариантные относительно О подпространства пространства А".

Доказательство. Очевидно, псдпрострамства (5) инвариантны относительно G. Введем /г подпространств Qi, . . ., Qk размерностей rii,..・,力а с базисами Uy, . . ип^ ...;辽他々一！+ ” . • •, 〃м・ Пусть L нетривиальное (厶声 0,厶声 А") инвариантное относительно G подпространство, а и 三 L, и 六 0, Тогда

иqI + . • • + «У/,<7/ 三 Q/‘qt ^^ 0,/ ^^ 归.(6)

Так как Gt — неприводимая подгруппа группы GL(nh А), то Gt(硝)содержит линейно независимую систему, состоящую из 几土 векторов. Следовательно, G/ ((/J вместе с вектором и содержит и векторы

б+&，已2 + 厂2，•…，Vnf + fnf->(7)

где s，・・・, 勿/В 厶 гиr/?7 —- базис подпростран

ства^/： Очевидно, в G есть такие элементы о〕,・• •, о川/_广 что 6(门)=外 + 厶一..,(门)=□ +где /0

..• j 2加/一]базис Lf_、, a cv (^i) — иi, v — 1,m£一、.

Следовательно, векторы

S (门十S)=门+乙+偉"门+厶+ 6，一 •，门十^mt~\ "^力

принадлежат 厶・ Отсюда и из того, что векторы (7) принадлежат L, вытекает, что 乙，…， 〃— тоже принадлежат L. Следовательно, L— и L. Так как векторы (7) лежат в L, то из последнего включения вытекает Qt и L. Следовательно, ■..;

L n 厶7 + Qf = =4.(8)

Выберем теперь вектор и в L так, что число f в формуле (6) окажется максимальным. Тогда

L^Lt_l + Qt = Lt.

Отсюда Л — &. Так как L，А", то / < /г. И

Пусть теперь класс М подчинен следующему условию;

(*) Если при каком-либо 〃2 W п группа Л класса (Л1, т} сопряжена в GL(m, А) с подгруппой группы В 三 М, то Л — В.

Теорема 3. Пусть G — T(Gh ..., GQ и Н = —Т (Яь ..., Hj) ■—группы из класса (Л4, /г), где М —— класс неприводимых матричных групп над Л, подчиненный условию (•：>). Если d—Gdu/j при d е GL(n, А), то G = Н.

Доказательство. Пусть cl^Gd и Н, (5) ■—нетривиальные подпространства, инвариантные относительно G, a U[U...uUj_丄—нетривиальные подпространства, инвариантные относительно Н. Тогда d(Ui), ..., d(U?_J инвариантны относительно dlld~l. Так как G и d//d~% то, в силу леммы l,d(U0 — А^,... ・..，d(UjT)= L/_D где 1 ^ Н < i2 < . . . <0-i W 厄 Следовательно, Uv ： А =厶^ ： A, v = 1,.…,/ — 1. Отсюда и из способа построения подпространств £у и Uy вытекает

Uy = L%, d (Uv) = Uv, v = 1, ...» / — 1.

Следовательно, в базисеСледовательно, в базисе(4) матрица d имеет вид(4) матрица d имеет вид

Следовательно, в базисе

Следовательно, в базисе

(4) матрица d имеет вид

(4) матрица d имеет вид

0

d2 •

• ^2/

.0

0・

d =

Отсюда и из включения d^Gd и Н вытекают / включений вида.

d”T(d,…,Gfjdi и%;・・・

・・.；斤5 (G/f-%+1G/f) d/ и

где 厶 + 为 屮・…'+"=比 Отсюда, в силу условия (*), находим

Hi = T (Gi, * …G/J, ..Hj = T (Gij+储…,Ga).

Так как группы Н、неприводимы, то j =艮 Н、= G% … …，儿=&, " = G. ■

О приводимых разрешимых группах. Напомним, что неприводимая разрешимая группа степени п обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого не превышает некоторого числа р(п), зависящего только от п.

Лемма 2. Пусть Gi, ..., Gk — неприводимые разрешимые группы матриц над полем А, /〃,..., 〃瓦一wx степени.走〉1, Hi + ■ • ■ + nk = ^> а поле А содержит по меньшей мере p(/z) + 1 элементов. Тогда G = —T(Gi, GjJ не может содержаться в неприводимой разрешимой подгруппе группы GL(n, Д).

Доказательство. Пусть, вопреки утверждению леммы, G с: Ф, где Ф — неприводимая разрешимая подгруппа группы GL(〃,△). Группа Ф обладает абелевым нормальным делителем F таким, что ①：尸 Vp(〃). В группе F нет унипотентных элементов, ибо 尸一вполне приводимая абелепа группа. Пусть Н — группа всех матриц % вида

£?i 九！2 ■ ■ • h'k

О 0... Enk

где /血丫 ——произвольная 〃ц X nv-матрица над А. Очевидно, что Н и G и ① и 尸П〃= 1. Ясно также, что Н содержит по меньшей мере р(〃) + 1 элементов. С другой стороны, Н 工 HIFRHwHFIF и HF : F р(п) и, следовательно, card Н ^ р(и). Это противоречие и доказывает лемму. Н

Теорема 4. Пусть в 〃。/е А имеется по меньшей мере р(п) 4" 1 элементов, а М — класс матричных групп над А, обладающий следующими свойствами：

для любого m 0 м всякая максимальная неприводимая разрешимая подгруппа GL (т, Д) сопряжена

s GL("z, А) с одной и только одной группой из класса М\

каждая группа из класса М степени m максимальна среди разрешимых неприводимых подгрупп группы GL(my А).

Тогда каждая группа класса {М, /г) есть максимальная разрешимая подгруппа группы GL(n, А), каждая максимальная, разрешимая подгруппа группы GL(泣,А) сопряжена 8 GL(n, А) с одной и только одной группой класса {М, п}.

Доказательство. Очевидно, любая максимальная разреши мая подгруппа группы GL(n, А) сопряжена в GL(n, А) с некоторой группой из {М, п}. Из леммы 2 и из (I) следует, что класс М подчинен условию О п. 2. Следовательно, в силу теоремы 3, каждая группа из (М, п) максимальна среди разрешимых подгрупп группы GL(n, А). Из теоремы 3 также следует, что две различные группы из (М, и) не сопряжены в GL(n, А).屬

В частности, из теоремы 4 следует, что если в поле А имеется по меньшей мере р(м) + 1 элементов, то группа всех невырожденных треугольных матриц степени а над А есть максимальная разрешимая подгруппа группы GL(n, А). Впрочем, справедлив более точный результат.

Группа всех, невырожденных треугольных матриц степени и над полем А почти всегда максимальна среди разрешимых подгрупп группы GL (% А). Исключение составляет лишь случай, когда A = GF(2), либо А = =GF (3) (Супруненко [23]).

Теорема 5. Пусть А — произвольное поле, a G —— разрешимая d-группа матриц над А. Тогда группа G вполне приводима. .

Доказательство. Будучи разрешимой группой, G обладает нормальным делителем Н конечного индекса таким, что для любой его неприводимой части у группа Imy абелева. В силу леммы 17.3 группа Н абелева. Отсюда и из теоремы 17.3 следует полная приводимость группы G. U

Группу матриц над полем Д будем называть, не модулярной, если либо char А — 0, либо char А = р, где р — пробое число, но, в G нет. нормальных делителей конечного индекса / = O(modp). ：、 … 、

Т е о р е м а 6. Пусть А ——совершенное поле. Тогда всякая вполне приводимая разрешимая немодулярная группа G матриц над А есть d-группа. В частности, разрешимая вполне приводимая группа матриц над полем нулевой характеристики есть d-epynna.

Доказательство. Группа G обладает вполне приводимым абелевым нормальным делителем F конечного индекса. Любая матрица из 尸 полупроста. Так как поле А совершешю, то F является d-группой. В силу леммы 17.5 G —тоже d-группа. Н ■

.4. О разрешимых целочисленных матричных группах. Пусть А—евклидово кольцо, a Q — поле отношений кольца А. Группу GL(п, А) будем трактовать как группу автоморфизмов п- мерного свободного модуля AI над A, a GL(n, Q) —как группу автоморфизмов п-мер- ного линейного пространства V п М над Q. Очевидно, что GL (п, А) и GL (% Q).

Л е м м а 3. Пусть G — подгруппа GL(n, Д), а М^ — подмодуль М, инвариантный относительно G. Тогда о модуле М есть прямое слагаемое М2у инвариантное относительно G, той oice размерности над А, что и М^

Доказательство. В силу известных свойств модуля над евклидовым кольцом в Mi есть такой базис 仇，方ш, ЧТО Ьj — Qj6j, / — 1, • • • ( m, где Sj ^= A, 6j 声 0, a^ ..., an — некоторый базис модуля М. По условию для g w G можно написать

g(%) = d%+ …+ 〃rAm 儿 wA・ (9)

С другой стороны,

g(a/) = aiW+ +( 5¥ 小 又三: U0)

Следовательно,

g他/) = g(a/)6/ = QYi.+ …+ anyn)bj. (И)

Сравнивая (9) и (11), находим, что в (10) yv = 0, если / ^ m, а V > т,. Следовательно, подмодуль М2 с базисом аь ..., йщ есть прямое слагаемое модуля М, инвариантное относительно G. ■ - ■ ; ■

Лемма 4. Пусть G — подгруппа GL(/z, △), а пространство V обладает инвариантным относительно G подпространством Р. Тогда модуль М обладает прямым слагаемым Л12 той же размерности, что и Р, инвариантным относительно G.

Доказательство. Положим М[ = М П Р. Очевидно, что Му ——инвариантный относительно G подмодуль модуля М и Mi: Д = Z5: Q. Согласно лемме 3 в М есть прямое слагаемое М^ инвариантное относительно G, размерности Mi: A. S

Из леммы 4 следует

Л е м м а 5. Пусть G — подгруппа группы GL (〃,△)* Тогда ^-модуль М обладает таким базисом, что матрицы g 〃з G одновременно принимают вид

-a/g) 3(g)…a*(g)一

g= 0a?(g)azNg),(⑵

一 °0• • • ak (g-) _

где 的(g), &订(g)—матрицы над А, причем &)(g) пробегает неприводимую подгруппу G； группы &£(//,◎), когда g пробегает G, j = 1,….,力；拉1 + 孔2+，， ， +孔儿=/2.

Группа называется полициклической, если она обладает нормальным рядом, все факторы которого цик- личны.

Пусть теперь Z — кольцо целых рациональных чисел, a Q — поле рациональных чисел.

Л е м м а 6. Пусть матрицы g группы G имеют вид (12), где △ = Z, Q = Q, а все группы G)абелевы, j= 1, . . . , k. Тогда G — полициклическая группа.

Доказательство. Пусть сперва 々=1. Тогда G — неприводимая абелева подгруппа группы GL(n, Q), а линейная Q-оболочка [G] = 2 является расширением степени п поля Q. Пусть X — кольцо всех целых алгебраических чисел поля S. Так как G и GL(拉,Z), то G —: подгруппа Л*. По теореме Дирихле К* — группа с конечным числом образующих, следовательно, К* и G — полициклические группы. Теперь легко доказать лемму индукцией по числу 玄 Пусть fe > 1 и для групп с меньшим числом неприводимых частей лемма верна.

Рассмотрим гомоморфизмы 0 о г

g3 о&2(g) a2t(g) 之

_ 00... ak(g)

«2 (g) &з (g) • ■. a2Mg) 一

巴 0%(g)&%(g) .(13)

一 00ak (g) _

По индуктивной}^ предположению группа Im h2 полицп- кличыа. Группа Ker /г2 изоморфна подгруппе группы G， Следовательно, Ker h2 ——тоже полициклическая группа. Так как Im Ai/Ker /г2 ^ 1гпЛ2, то и группа Im% полици- клична. Далее, матрицы из Ker h^ имеют вид

Е% О；2 • ■ • 01 兑

0

Следовательно, Ке「/〃 ——абелева группа с конечным числом образующих, значит, группа Ке「® полициклична. Так как G/Ker hi Im Ai, то н группа G полициклична. 圈

Теорема 7 (Мальцев [3]). Разрешимая подгруппа группы GL(n, Z) полициклична.

Доказательство. Пусть U ——разрешимая подгруппа группы GL(n, Z). Будучи разрешимой, U обладает таким нормальным делителем G конечного индекса, что образ любой неприводимой части группы G коммутативен (неприводимость над Q).

В силу леммы 5 существует такой базис свободного Z-модуля, где действует U、что матрицы g нормального делителя G имеют вид (12), где группы G； абелевы. Согласно лемме 6 группа G полициклична. U/G — конечная разрешимая группа, следовательно U/G ——тоже полициклическая группа. Отсюда вытекает и полицикличность группы U. Ё

Как доказали Аусландер [1] и Суон [1], всякая полициклическая группа изоморфно вложима в GL (n, Z). Мерзляков [3] показал, что голоморф полициклической группы тоже допускает точное целочисленное представление..,

Заканчивая главу, приведем еще несколько результатов без доказательств.

Группа матриц над произвольным полем тогда и только тогда удовлетворяет нетривиальному тождеству, когда она является конечным расширением разрешимой группы (Платонов [13]). Разрешимые подгруппы мультипликативной группы Т* тела конечного ранга п над своим центром А изучались в статье Супрунен- к о [17]. Подгруппа G группы Т* называется неприводимой ^ если ее линейная Д-оболочка совпадает с телом Т. Максимальная разрешимая неприводимая подгруппа G группы Т* обладает единственным максимальным абелевым нормальным делителем F, являющимся мультипликативной группой некоторого коммутативного подтела ЕпА тела Т; £ ——нормальное сепарабельное расширение поля А с разрешимой группой Галуа £(£，△).

Возможны два случая: 1) Е ： А = ]/门,2) 2 ： А < Уп, В первом случае G/尸啓乡(工/А). Во втором一инвариантный ряд (а) (см. § 20, п. 2)

G =)У =)Л =)F =)(е)

группы G обладает свойствами:/

A IF—абелева группа порядка (Т : Д) (S : Д) 2, подгруппы Силова которой элементарны;

V/А изоморфна некоторой разрешимой подгруппе группы A\At(A/F);

1//f4 乡(Е/А).

Пусть, в частности, Т一тело вещественных кватернионов с базисом 1, i, /, G над полем вещественных чисел R. Тогда всякая максимальная разреши мая подгруппа группы Т* сопряжена в Т* с одной из двух подгрупп Gi и G2, где Gi порождается элементами z, /, 1 + 力 1 + k и группой a G2 = (/) С*, С = R(i).

О максимальных разрешимых подгруппах группы GL(n, Т), где Т — тел。конечного ранга над своим центром, см. статью Залесского [2].

Пусть ® — алгебраическая алгебра над полем А, a G — локально разрешимая подгруппа группы ⑤*匸7rby гда наименьшая подалгебра алгебры ®, содержащая G, локально конечномерна. (Залесский [1]).

ГЛАВА VI

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ

Условия конечности линейной группы. Локальная конечность группы матриц над полем

След матрицы. Пусть А ——произвольное поле. Рассмотрим отображение

tr: A“fA, a =l|a〃 l|i X &屮 ⑴

Элемент tr n w А называется следом матрицы а.

Как видно из (1), отображение tr линейно, т. с. для a, b w Дп» 九，快 w А

tr (九。+ 故)=% tr (。)+ n tr (&).

Очевидно, что

tr (ab) — tr (ba)t

следовательно, для c w GL(nf A)

tr (ebe1) = tr b.

Заметим, в частности, что в п2-мерном унитарном пространстве матриц Сп со скалярным умножением

(a,ь) =，2)〃8"， a = 11 a" н b = 110" II

имеет место равенство

(а,匕)=tr (ай*),(2)

期6* = 1伸；力，0；/ = в"・

Если и — унитарная матрица, а】=& — ubu~\ то, в силу формулы (2),

3,4) =(&,».

Критерий Бернсайда конечности линейной группы.

Л е м м а 1 (Бернсайд [2]). Пусть Д — произвольное поле, ® ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL (п, A), a tr (®)—конечное множество мощности ni. Тогда ® ——конечная группа、

card ® 久 mn\(3)

Доказательство. Группа ® абсолютно неприводима, поэтому в ней есть п2 линейно независимых матриц (следствие 14.4.2)

4 = 11%』， ％vA, v= 1, 2, ..⑷ Для х = II хц II ^ ® имеем

什(％*) = . ± а：产"=rv е tr (®).(5)

Так как матрицы (4) линейно независимы, то при фиксированных 七 1，...,七紋 система (5) имеет единственное решение 尤—||хг-；!|. Следовательно, верно неравенство ⑶.典

Из леммы 1 следует

Лемма 2. Если порядки всех элементов абсолютно неприводимой подгруппы ® группы GL(〃， А) ограничены некоторым числом 快,то ® ——конечная группа, порядок которой меньше некоторого числа 州(模,/г), зависящего лишь от 卩 и п.

Доказательство. Корни характеристических полиномов матриц из группы ® суть корни некоторой фиксированной, зависящей от числа 模，степени из единицы. Поэтому tr® —конечное множество, число элементов которого ограничено числом, зависящим от п и ц. ■

Теорема 1. (Критерий Бернсайда конечности линейной группы.) Если ®—подгруппа группы GL(n, А) над произвольным полем А, порядки элементов которой

не делятся на char Л 况 ограничены некоторым числом 卩, то ® ——конечная группа, порядок которой меньше некоторого числа ^(|.l, п), зависящего лишь от 几〃卩.

Доказательство. Пусть Q — алгебраически замкнутое расширение поля А. Будем трактовать группу ® как подгруппу группы GL(n, Q). В подходящем базисе пространства V над полем Q матрицы группы ® имеют вид

-% (g) S2(g) • • •。泣(g)]

0 а2(g)°2,纟依)* 1 咼

g= =L 04(g)「

一 о o ... ak(g)

где 丫工 g^^dvlg), v = 1, . .. , k,——неприводимые представления группы ®. Введем гомоморфизм

Y： ®->®, gfdiagSi (g), . .%(g)](7)

и рассмотрим Ker» Если отличная от £? матрица имеет специальную треугольную форму, то порядок ее либо бесконечен, либо равен pR где р = char А. Поэтому Kery = (£\), Y ——изоморфизм. Отсюда и из леммы 2 вытерсает критерий. В；

Простым обобщением критерия Бернсайда является следующая

Теорема 2. Пусть А ——произвольное поле, Г ——подгруппа группы GLg А), 〃 пусть есть такое натуральное число 〃, что char A ^k 况 для всякого элемента а группы F 研三 д*£п. Тогда порядок фактор-группы Г/Т 力 А*£\ не превышает некоторого числа 卩(归，孔)，зависящего лишь от k 〃 п.

Доказательство. Будем трактовать группу Г как подгруппу группы GL(/z, С), где й ——алгебраически замкнутое расширение поля А.

Й*£пЛГ = Д*£пПГ.⑻

Пусть теперь G = FQ*£\, Н ——ядро гомоморфизма det: G f Q*. Так как поле Q алгебраически замкнуто, то для любого элемента g группы G в группе Q* есть такое р, что p-1g И. Следовательно, G = Н^Еп. Если h Ht то

hk = КЕп, AwQ\ V= 1.

Положим v = п, если char А = О,

v = /2p-a, (V, р) — 1, если char А = р>0,

Тогда hkv = Еп. Согласно критерию Бернсайда card // < < N 优% 孔).Далее,

G/^En = HO'E/HEr 三 Н/Н П■

Следовательно,

G : QE^WnN п) = ц (Л,初 Так как

Г/Г П 4 Г^Еп/^Еп = G/^En,

то, в снлу (8),

r : (「n篦以)《从他力0

Теорема 2а. Пусть Д ——произвольное 门о』е, Г—- неприводимая подгруппа группы GL (и, А), пусть, da~ ксе, существует такое натуральное число 左, что char A-f k и для любого элемента а группы Г элемент ah принадлежит ее центру Z. Тогда

Г : Z <ц (Л, /г).⑼

Доказательство. Так как группа Г неприводима, то Z и 2*, где £ = [Z]a — расширение по.пя A, S : А = m, m | п. Следовательно, группу Г можно трактовать как подгруппу в GL 亿 £), г = ппг1, Согласно теореме 1

1\(1\П工*已)&11伏，"《N 伏，矶

Очевидно, Г П Е*£『=Z, значит, верно (9). BI

Теорема 3. (Второй критерий Бернсайда.) Пусть А ——произвольное поле, а ® ——подгруппа группы GL(ti, А), имеющая лишь конечное число классов сопряженных элементов. Тогда группа ® конечна.

Доказательство. Будем трактовать группу ® как подгруппу в GL(n, С), где С —— алгебраически замкнутое расширение поля А, и запишем матрицы gw⑤ в виде (6). Число классов сопряженных элементов группы yv (®) = ®v конечно, следовательно, множество tr (®v) также конечно и ®v — конечная группа. Далее

воспользуемся индукцией по числу 龙 неприводимых частей группы ®. При k = 1 критерий уже доказан, будем считать его верным для групп с ft — 1 неприводимыми частями, ^ 5> 1, Рассмотрим представление

屮(g) = diag[ai (g), 4(g)],

где gw ⑤一матрицы вида (6). По индуктивному предположению А2 (g) пробегает конечную группу, когда g пробегает группу S, следовательно,屮(S)——конечная группа. Кег ф = Л состоит из матриц вида

£ Ъ'

-0

Таким образом, 91 — абелев нормальный делитель группы ® конечного индекса. Легко видеть, что и 91 — конечная группа. В самом деле, пусть п пробегает группу VI, а п ——класс сопряженных с п элементов группы ®. Так как группа 91 содержится в централизаторе элемента п в ®, то класс 亢 конечен. Множество всех ii также конечно, следовательно,贝 и, значит, ® ——конечные группы. ■

В связи с доказанной выше теоремой 3 отметим для сравнения еще одно утверждение.

Теорема 4. Подгруппа Г группы GL (л, А) над произвольным полем А, каждый класс сопряженных элементов которой конечен, имеет центр конечного индекса.

Доказательство. Пусть gi, g2,~ макси

мальная система линейно независимых над А элементов группы Г, a Zj — централизатор элемента g) в Г, Тогда m & 孔2, @ г : 2, — г. Центр Z группы Г есть пересечение всех Zj, Следовательно, F : 2 & 门0・•，厂w ■

Очевидно, обратное утверждение также справедливо.

Первая теорема Шура.

Лемма 3, Пусть П — простое подполе поля А, Ф — поле всех алгебраических над П элементов из К = —П(01,...,仇)，где 0Ь . . ., 0/ е А, Тогда степень ①：П конечна.

Доказательство. Если каждое 0(——алгебраический элемент относительно поля П, то лемма очевидна. Пусть среди & есть трансцендентные над полем

9 Д, А. Супруненко

П элементы и S — П(01, ..., 0)) —такое чисто трансцендентное расширение поля А, что 0у при j > г алге- браично над S. Тогда, очевидно, ^: S = m < оо. Следовательно, для любой системы

S,a^+i(1。)

т + 1 элементов поля К выполняется соотношение вида

… + 0m+斗九+1 = 0,(11)

где д’，V = 1, ..., m1, — полином от

01，...,力(12)

с коэффициентами из поля П, причем не все 8 равны нулю. Левую часть равенства (11) представим как полином от (12), коэффициенты 标 которого имеют вид

々?=叫%+ ... 十图+[%+1， q, wIL

Если теперь (10) —элементы поля Ф, то элементы (12) алгебраически независимы над П(с«1,…，aQ, так как они алгебраически независимы над П. Следовательно, все коэффициенты 标一нули. Но о? не все равны нулю, ибо среди av есть отличные от нуля. Следовательно, элементы (10) линейно зависимы над П, т. е. Ф : П & "Z.斷

В обозначениях леммы 3 справедлива

Лемма 4. В группе А* имеется лишь конечное множество элементов конечного порядка, являющихся корня ми полиномов из К [х] заданной степени п.

Доказательство. Пусть элемент е группы Д* имеет порядок ц и является корнем неприводимого в ^ [х] полинома f (х), степень которого не выше п. Тогда /(х)е Ф[х] и, в силу леммы 3, П(е) : П ^ тп. С другой стороны, если char П = 0, то П(е) : П =屮(卩)， где 屮 ——функция Эйлера. Поэтому

屮(卩)& mn.(13)

Существует, очевидно, лишь конечное множество чисел fi, удовлетворяющих условию (13). Если же char П = р > 0, то ji ^ 尸皿一1. *

Лемма 5. Пусть ® — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(n, Д) над произвольным полем А. Если все корни характеристического полинома каждой матрицы из ® суть корни из единицы^ то группа ® ло~ кально конечна.

Доказательство. Пусть подгруппа 凱 группы ® порождается конечным множеством матриц М\. Очевидно, 八厶 содержится в конечном абсолютно неприводимом множестве М. ?4ножество М порождает абсолютно неприводимую подгруппу g группы ®. Докажем, что группа g конечна. Обозначим буквой К поле, получающееся присоединением к простому подполю П поля Д элементов всех матриц из 疝 Группа g — подгруппа группы GL(n, К). Корни характеристических полиномов матриц из g суть элементы конечного порядка, являющиеся корнями полиномов над К степени 亿 В силу леммы 4 множество корней характеристических полиномов матриц из g конечно. Тогда tr(g) —конечное множество и, в силу леммы 1, ® — конечная группа. И

Теорема 5. (Первая теорема Шура.) Периодическая подгруппа группы GL(n, Д) над произвольным полем А локально конечна.

Доказательство. Пусть ® — периодическая подгруппа группы GL(〃，Д). Будем рассматривать ее как подгруппу группы GL(北，Q), где Q — алгебраически замкнутое расширение поля Д. Пусть, далее, £ — конечно порожденная подгруппа группы ®. Очевидно, любой ее гомоморфный образ также имеет конечную систему образующих. В частности, Y(g), где у — гомоморфизм (7), введенный в доказательстве первого критерия конечности, — конечно порожденная группа. Тогда, в силу леммы 5, у(^)—конечная группа. Если char-A = 0, то Кег у = (Е?г) и § — конечная группа. Если же char А = р > 0, то Кег у — нильпотентная р-группа. Нильпотентная р-группа локально конечна (см. Ку рош [1], стр. 401). ф — конечное расширение локально конечной группы, т. е. тоже локально конечная группа. Но группа g конечно порожденная и, значит, конечна. ■

Для периодической группы G символом 11(G) мы обозначили множество всех простых делителей порядков ее элементов.

Из теоремы Шура и следствия 17.1.1 вытекает

Теорема G. Пусть G — периодическая подгруппа группы GL(n, Д). Если char А ^ П(О), то группа G вполне приводима.

Теорема о локальной конечности сохраняется и для периодических групп, обладающих полной (достаточной) системой линейных представлений ограниченных степеней (Платонов [1]).

В связи с теоремой Шура приведем без доказательства для сравнения один результат Сельберга [1].

Пусть char/\ = O. Тогда конечно порожденная подгруппа группы GL (п, А) имеет нормальный делитель без кручения конечного индекса.

Известно, что теорема о локальной конечности не переносится на произвольные периодические группы. Н овиков н А д я н [1] установили существование бесконечной группы, порядки элементов которой ограничены, с конечным числом образующих. Голод [1] построил бесконечную /группу ® с конечным числом образующих. Порядки элементов группы ® не ограничены. Она финитно аппроксимируема и потому обладает достаточной системой линейных представлений (степени представлений не ограничены).

Вопрос о локальной конечности периодической груп* пы полностью решается следующей теоремой Про с е с с и [1]:

Периодическая группа тогда и только тогда локально конечна, когда она изоморфна подгруппе мультипликативной группы некоторого кольца R, локально удовлетворяющего полином и аль ному тождеству (каждое конечно порожденное подкольцо кольца R удовлетворяет некоторому полиномиальному тождеству).

Свойства линейной группы, связанные со свойствами характеристических полиномов ее матриц. Пусть △ — произвольное поле, а Г — подгруппа группы GL(几，А). Введем множество 尸(Г) всех различных характеристических полиномов матриц группы Г.

Л е м м а 6. Пусть поле А алгебраически замкнуто, к > 1, а множество 尸(F) состоит из единственного полинома (х——1)Т Тогда группа Г приводима.

Доказательство. Пусть, вопреки лемме, Г неприводима. Так как для каждого gwT tr g = п, (то

в силу леммы 1 порядок Г равен 1, т. е. Г = (Еп), Последнее противоречит неприводимости Г. ■

При произвольном поле А верна

Теорема 7 (Супруненко [18]). Пусть Г — подгруппа группы GL(nt Д), a F(F) состоит из полиномов вида (х —九)％ где 九 w А. Тогда в GL (п, Д) есть такой элемент /, что матрицы группы ^Т/ имеют вид

入 入12 九1"

(14)(14)О А «. > 九2п

(14)

(14)

0 0

Доказательство. Сначала заметим, что теорему достаточно доказать для случая, когда поле А алгебраически замкнуто. Действительно, пусть в GL(nt Q), где П — алгебраически замкнутое расширение поля А, есть такая матрица /(, что матрицы группы /「Т% имеют вид (14). Тогда, очевидно, все матрицы g — h(g)En, где g w F,入(g)—единственное собственное значение матрицы g, принадлежат некоторой нильпотентной подалгебре А алгебры т. е.

Г и △”以+ 4 М = 0.(15)

Согласно теореме 13.6 в GL (//, А) есть такая матрица /, что матрицы t~]At имеют вид

ОC(i2• > <

О0…a2"

О0…0_

В силу (15) матрицы/-1Г/имеютвид (14).

Будем теперь считать, что поле А алгебраически замкнуто. Положим G = ГД*. Теорема будет доказана, если мы установим, что степень любой неприводимой части у группы G равна 1. Пусть " = Imy,团一-степень ",а Но ——ядро гомоморфизма det:"—h

det Л. Так как G = ГА*, а поле А алгебраически замкнуто, то Я = Н0Д*. Характеристический полином матрицы 九。из Яо имеет вид (х——e)m, где £"? = det hQ= н〃」Следовательно, tr % принимает самое большое m

значений. Следовательно, по лемме 1, группа "о конечна. Возможны два случая: 1) char А = 0, 2) char Д= =р > 0. Так как для любой матрицы 用。w"o характеристический полином имеет вид (х ——e)m, то из конечности Но следует скалярность каждой матрицы из "о и равенство т = 1. Пусть теперь char Д = р > 0. Тогда запишем порядок группы "° в виде dpx, где (d, р)= 1. Если 7•—простой делитель числа d, то ^-подгруппа Силова группы Но состоит из скалярных матриц, ибо характеристический полином матрицы 用。из 〃о имеет вид (尤一£)『 a q р. Следовательно, Но = DP, где D — подгруппа скалярных матриц из Но, а Р есть р-под- группа Силова группы %. Если % 三 R то £ = 1 и характеристический полином матрицы /м равен (х——1)m. Следовательно, согласно лемме 6, Р при т > 1 приводима. Так как Ни неприводима, то последнее невозможно. Значит, 〃z = L 豳

Следствие 1 (Мальцев [3], Колчин [1]). Любая унипотентная подгруппа группы GL(n, А) сопряжена 8 GL (几， А) с некоторой подгруппой группы специальных треугольных матриц. Любые две максимальные унипотентные подгруппы группы GL(n, А) сопряжены в GL (п, Д).

Следствие 2. Пусть Г — подгруппа группы GL(n, Д), о 尸(Г) состоит из полиномов вида (х —九)п, Z w А. Тогда группа Г нилыютентна.

Пусть теперь А — алгебраически замкнутое поле, Г — подгруппа группы GL(& А),『三尸(F),储,...,厶丁― попарно различные корни полинома f,

当={斯犷*九2/,…，九小门，£=UEf, fwF(T).

Обозначим символом Ф(Г) подгруппу группы Д*, порожденную множеством £. Например, для группы Г из теоремы 6 ①(F) =⑴.Ниже рассматриваются такие группы Г, что Ф(Г)——периодическая группа.

Лемма 7. Пусть И ——неприводимая подгруппа группы GL(n, А), а С— центр группы Н. Если ①(")一 периодическая группа, то：

фактор-группа Н/С локально конечна, причем если char Д = 0, то П("/С) = П(Ф(/7)), если char А = .=р > 0, то П(①(〃))uri("/C)uII((D("))U{p}; е

из конечности группы Ф (Я) следует конечность индекса " : С.

Доказательство. Пусть g = НА*ЕП・ Тогда

Ф(^) = Ф(//), Н/С ^Еп)

где А*ЕП — центр группы g. Поэтому достаточно доказать утверждение леммы для группы ф. Обозначим символом £о ядро гомоморфизма det:第一>А*. Так как поле А алгебраически замкнуто и Д*£п 三 g, то ф =第оА*£”. Пусть 入％ 入2， . ■., An — собственные значения матрицы 力 w &о・ Тогда-

九 = е/ w ① @о) = Ф @),

det /г = 81肌入7 = 1.(16)

В силу равенства (16) все собственные значения матрицы 九 суть корни из единицы. Согласно лемме 5 группа go локально конечна. Если же ①(g) — конечная группа, то tr(go)—конечное множество и группа go конечна в силу леммы 1. Группа g/A*£\ также, соответственно, локально конечна или конечна, ибо

= 乱陶。Н 厶*

Остается рассмотреть множество n(^/A*£zt). Если 力 w go, то, так как Ф(ф) —периодическая группа, есть такое натуральное 幺 что И (左)и И①(g), а характеристический полином матрицы 九左 имеет вид

(X —М, <=1-

Если char А = 0, то из периодичности группы 飢 следует hk = }]Еп. Если же char А = р, hk — элемент порядка dpxt (d, р) = 1,

hdpX = ^хЕп,

п (Ф 停))и 伪} П 口 (凯/с Л §о) = П (§/С).

С другой стороны, очевидно,

П(^/С)^П(Ф(§)). ■

Теорема 8. Если Ф (Г) —периодическая группа^ то в V есть нильпотентный нормальный делитель N, обладающий следующими свойствами;

Ф(^ = (1);

фактор-группа Г/N локально конечна, причем если char А = 0, то П(Г/;У) = П(Ф(Г)), если char А = = р>0, то П(①T))U{p}nn(I7“)nn(①(Г));

если группа Ф(Г) конечна, то конечна и факторгруппа Г/^.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей леммы, можно считать, что А* Еп с Г. Пусть у — гомоморфизм (7), К = Кегу, ^ = KNE^. Очевидно, ^ <] Г и ①(N) =⑴.Обратимся к группе 1ту = — Г Г/К. Матрицы центра Z группы Г имеют вид diag^ifn^ ..., ^kEn^ Так как ①(F)=①(「)，то %九” м 三①(F), / — 1, 2,...,々.Следовательно,

П(7/А*^)с=П{Ф{Г)).(17)

Докажем локальную конечность группы Г/^. Так как у-】(А*£\) = М то

Г^^у(Г)/Д^п = Г/Д*^.

Если Го——ядро гомоморфизма det: Г —+ Д*, то

Г/^ =T°zV以/А*風仝乙公任佗П Го.

Следовательно, достаточно установить локальную конечность группы Го. Пусть g 三 Го,入 1, …，入汽一собственные значения матрицы g. Тогда

九j九= £/三①(Г),81 . . . £"九？ = 1.

Таким образом, все 修一корни из единицы. Группа R вполне приводима, каждый ее неприводимый блок локально конечен. Поэтому Го — локально конечная группа. Локальная конечность группы Г/^ установлена. .

Если теперь Ф (Г)——конечная группа, то каждый неприводимый блок группы Го конечен и, значит, Го — конечная группа. Тогда конечна и фактор-группа FAV.

Рассмотрим

u(F/M = □(『/△£)•

Пусть char А = р > 0. Согласно лемме 7

П(Ф(Г)) U {/?} 口 n(『/z)・■…

Отсюда н из (17) следует

П(Ф(Г))и{р}=5П(Г/А-£„).

С другой стороны, очевидно,

П(Г/^) ZD П (Ф (Г)).

Если же char А = 0, то, в силу леммы 7 и (17), П(Ф(Г)) = П(Г/Д-Е„). В

Следствие L Если Аалгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, Г — подгруппа группы GL(几,Д), ф(Г) —периодическая группа, то множество всех унипотентных матриц группы Г является 6 ней нормальным делителем.

Доказательство. Пусть 〃三 F — унипотентная матрица, К — ядро гомоморфизма у, определяемого формулой (7), у(〃)еГ. Очевидно, что 丫(〃)一также унипотентная матрица. Следовательно,

det у (и) — 1,у ⑷三 Го.

Так как Го — периодическая группа, то у(и) = £П| 〃三 К. ■.

Следствие 2. Пусть Д — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, Г — подгруппа в GL{n, А), Ф(Г) —периодическая группа, причем 2 ^ П(Ф(Г)) или сагдП(Ф(Г)) &2. Тогда группа Г разрешима.

Доказательство. Согласно теореме 6

П(ВД = П(Ф(Г))^

причем фактор-группа Г/N локально конечна. Если 2 ^ П(Ф(Г)), то, в силу теоремы Фейта — Томпсона [I], Г/^ — локально разрешимая группа. Если же card П (Ф (Г)) ^ 2, то группа Г/W разрешима по известной теореме Бернсайда. С другой стороны,

Г/^ Го/Го f] А*£".

Следовательно, группа Го локально разрешима. Согласно теореме 19.7, локально разрешимая группа матриц разрешима. Отсюда вытекает разрешимость группы Г. ■

Существование абелева нормального делителя конечного индекса в периодической линейной группе над полем комплексных чисел

Унитарность периодической подгруппы группы GL(m, С). Пусть С ——поле комплексных чисел, V及 есть /i-мерное векторное пространство над этим полем, U(п)——группа всех унитарных п X ^-матриц.

Лемма 1. Пусть ® ——конечная подгруппа группы GL(Vn). Тогда в Vn можно так. задать скалярное произведение т =工⑤，что пространство (Vn, т) окажется унитарным, а каждый элемент группы ® ——унитарным преобразованием пространства {Vn, т).

Доказательство. Пусть о: Vn X ^n С — такое скалярное произведение, что пространство 〈卄打,о) унитарно. Построим еще одно скалярное произведение т, ПОЛОЖИВ ДЛЯ X, у Vn

t (芻 Р)= 2 о 他爲 hy).力W s

Очевидно, т: Vn%^n^ С удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в унитарном пространстве. Для g в О можно написать

Т (gx，gy) = £ О 也gx, hgy) = £ (hx, hy) т (x, y). 九w ®-九w⑤

Следовательно, каждый элемент g группы ® есть унитарное преобразование унитарного пространства (乙，0. В

Л е м м а 2. Пусть ® ——конечная неприводимая подгруппа в GL(V^. Тогда скалярное произведение т⑤ леммы 1 определяется группой ® с точностью до множителя 〃з С*.

Доказательство. Пусть т = т&. Выберем в унитарном пространстве (Vn, т) ортонор мированный базис В. Тогда в базисе В матрица билинейной формы т совпадает с £п, а матрицы группы ® в базисе В унитарны, т. е. для g е ® g* = gT. Пусть теперь 屮一еще одно скалярное произведение такое, что (Vn,屮)——унитарное пространство, а все элементы группы ® — унитарные преобразования пространства (Vn)ф). Если теперь Ф — матрица <р в базисе В, то g*Og = Ф для лю-

бого элемента g группы ®. Так как g-【= g*, то Ф^ = =g①.Отсюда и из неприводимости группы ® следует, что

Ф = KEni(р = Лт, Л С*..

Теорема 1. Всякая периодическая подгруппа Г группы GL{nt С) сопряжена в GL (/г, С) с некоторой подгруппой группы U(/г).

Доказательство. Согласно теореме 23.6 периодические подгруппы группы GL (几,С) вполне приводимы. Следовательно/ мы можем доказывать теорему для случая, когда группа Г неприводима. Итак, пусть Г—неприводимая периодическая подгруппа группы GL(n, С). Будем трактовать Г как подгруппу в GL(V7t). Теорема будет доказана, если мы зададим на Vn такое скалярное произведение т, что {Vnt t) окажется унитарным пространством, а операторы группы Г — его унитарными преобразованиями. Из неприводимости и локальной конечности группы Г следует, что она содержит неприводимую конечную подгруппу ®. Согласно лемме 1 в Vn есть такое скалярное произведение т, что операторы группы ® суть унитарные преобразования унитарного пространства (Vn, t). Если Г = ®, то теорема доказана.

Пусть теперь F 长⑤ и "i w Г\®. Тогда для конечной группы 蜀，порождаемой /“ и ®, существует такое скалярное произведение ti (%, у), что для " w $

5(九%力3)=巧(X，у),

В частности, это равенство верно, если h—произвольная матрица группы ®. В силу леммы 2 г =入口・ Следовательно,

t("i叫儿P)= t (叫力，

элементы группы Г суть унитарные операторы пространства (匕，t). 9 .

Пространство матриц С^. В п2-мерном пространстве матриц Сп введем скалярное произведение

(а, 6)= 2 2 at/P(7 = tr(a&*), ||а0|| = а, \\^ц\\=Ь(1)

И ПОЛОЖИМ

V (а) = tr (&优)—(а, о).

Для а Сп и ^ U(〃)

V (&а) = V (а〃) = V (а).(2)

Действительно,

V (а〃)— tr (an (W) = tr (a (〃&*) а*) = и (а)и, аналогично, v(ua) = v(a). В силу (2) для 儿三 U(п)и (“) = и (〃〃一) = V (Ед) — tr (EQ = п.

Следовательно, если || а || = FS，&) — длина вектора 。三 СП) то

И11= У^ •(з)

Лемма 3. Если а и b — унитарные матрицы, то

V(Еп — aba~xb~x} & 2и (Еп — a) v (斗一b)・(4)

Доказательство. В силу (2) и унитарности матрицы а можно считать, что

a = diag[an, . .%/.

Далее,

V (以—aba"xb^[} = v (ba — ab)—

=и ((b —品)a + a(En— b))=

=£j 各 0厂用)a〃 十 ％i (6i'-₽i/)r =

=M /2」a〃 一 a〃『回一B〃 F；

I a〃一 a〃 产=|(1 — a〃)一(1 — a；/) l2<

<(|l-af/|2 + |l-a〃 产)&2 (I 1 — ％“ 卩十 I 1 一 a〃 产)<

W2u(J —a).

Отсюда и из предыдущего равенства вытекает (4).. Лемма 4. Пусть

a, b ^ U (п), , = &力&1'力-\ ас = са, v (£п — /?) < 4.

Тогда ab = Ьа.

Доказательство. Из условия леммы вытекает перестановочность матриц а и bab~\ следовательно, можно считать обе эти матрицы диагональными. Пусть

а = diag [入 1Е%,^г^п^ 儿 5^ 入/ при I =7^ /•

Матрицы 6〃6一1 и а различаются лишь расположением диагональных элементов, следовательно, bab~x — pop"1, где р ——подстановка степени 〃, записанная в виде матрицы. Матрица q = pb перестановочна с матрицей а и имеет, следовательно, вид q — diag® …，qj Матрицу p запишем в виде

0=..*.,

-/门..* lrr -

где 厶j есть 小 X &广матрица. Пусть теперь матрицы b и о неперсстановочны. Тогда для каких-либо ц и v,科声 v, /ц v 声 0, ибо b = p-'q. Так как р ——мономиальная матрица, то det /цц =0. Следовательно, найдется еще такая пара г, /, г 抬 что 2订声 0. Ясно, что одна из строк матрицы /рц и один из столбцов матрицы /vv нулевые. Отсюда следует, что.

и S — q)> 1 + 1 + 0л，〃i) + (&，〃2)=4

где 以I ——некоторая строка матрицы д^，辽2 一 столбец матрицы ^v, (〃з "；)——скалярный квадрат. Но

v{p — q) = v (р-1 (р — q)) = v (Е〃 — 6).

Следовательно, v(En — 6)^4, что противоречит условию леммы. И

Лем м а 5. Пусть а и b — такие унитарные матрицы^ принадлежащие некоторой периодической подгруппе группы GL(", С), что у (£п — о) < у, и (以一6)V4・ Тогда ab = Ьа..

Доказательство. Матрицы а и bt в силу локальной конечности периодической линейной группы, порождают конечную группу ®. Рассмотрим последовательность матриц из @:

60，6々，.一，(5)

где b()= &, bk == abk~\ab^L^ ^ > 0. Положим a = v (En — a). Тогда с помощью леммы 3 получим

0(以一源)忘 2u (J 一 a) и (以一М7) = 2au (以一方用".

Отсюда

。(以—bk) < (2a)ft и (En — b), k > 0.⑹

к) П eк) П eкак число различных матриц последовательности не больше порядка группы ®, а в силу (6) для ле е>0 можно найти такое 力=力(£), что v(En—bQV ,то для некоторого натурального /

к) П e

к) П e

0-仇)=0, d⑺

С другой стороны, из (6) получим

и (£п — 6用)< 4при /г > 0.

Отсюда и из (7), применяя лемму 4, найдем

b”i == ... — 6.

3. Основная теорема.

Теорема 2. (Вторая теорема Шура.) Периодическая подгруппа Г группы GL(n, С) имеет абелев нормальный делитель А, индекс которого не больше некоторого числа р (几),зависящего лишь от п.

Доказательство. Согласно теореме 1 можно считать, что Г и U(/z). Положим теперь

D = ^d\d ^Г, 0(£扭一d)V$}・

По лемме 5 элементы множества D попарно перестановочны. Следовательно, оно порождает абелеву подгруппу А группы Г. Если d 三 D, то, согласно формуле ⑵, gdgT 三 D для g w F. Следовательно, A ——абелев нормальный делитель группы Г. Пусть b и с — представители двух различных смежных классов группы Г по А, Тогда

и (匕一с)戸 ^ •(8)

Действительно, пусть и(Ь —с)<}. Тогда

и (風一b^c) = u(b(En—匕~%)) = и (b — с) <~,

Ь 'с 三 D, b~lc ^ Л. Последнее включение противоречит выбору матриц b w с. Неравенство (8) доказано.

Будем теперь трактовать пространство матриц Сп как 2п2-мерное евклидово пространство R?紋. Если a, b 以，

а = II Cl^Y II，匕=II В^у II， Ct(.IV =九|1V + jp|!V， P|iv = ^Ц-V + ^|1V* то будем рассматривать матрицу а как вектор пространства к"? с координатами

入11，Pl 1 > • • 1)入цл” P|iv* • • 1 > 入以勿 Prt,n)

а скалярное произведение векторов а и 6 зададим формулой

±1 2j (入цдОцл' + P|iv^|j,v) •⑼

卩=1 v=i

Из (9) следует, что скалярный квадрат матрицы а в пространстве Сп совпадает с ее скалярным квадратом в пространстве R2 出 и равен и (о).

Пусть теперь В — полная система представителей смежных классов группы Г по Л. Так как Г и Un, то, в силу формулы (3), все точки множества В лежат на сфере S радиуса ]/〃 в пространстве Н* В силу неравенства (8) для двух различных точек b, II Ь — с II . Отсюда вытекает, что card В < р(п), где p(/z) —число, Зависящее лишь от п, и значит,

Г : Д < р (п). Е

Из теоремы Шура вытекает следующая

Теорема 3. (Теорема Жордана.) Конечная подгруппа группы G£(〃, С) обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого меньше некоторого числа р("), зависящего лишь от п.

Отметим еще очевидное следствие теоремы Шура:

Периодическая простая подгруппа группы GL(n, С) конечна, ее порядок меньше числа р(п).

Теорема Шура остается верной для периодических линейных групп над произвольным полем нулевой характеристики. Но на случай полей простой характеристики теорема Шура не распространяется. Существуют даже простые бесконечные периодические линейные

группы. Например, пусть Д — бесконечное поле характеристики 2, алгебраическое над GF(2). Тогда G = =SL(2, Д) —периодическая бесконечная простая груп* па. Действительно, группа G — периодическая, ибо А* —— периодическая группа. Группа G проста, так как Z(G) = (£2),

G/Z(G) = RS£ ⑵ А).

Можно привести столь же простой пример разрешимой периодической группы матриц, у которой нет инвариантной абелевой подгруппы конечного индекса. Пусть А ——бесконечное поле, алгебраическое над своим простым подполем GF (р), a G ——группа всех матриц вида

а р

.0 YJ'

где а, у 三 A*, §wA. Тогда, очевидно, О — разрешимая периодическая подгруппа группы GL (2, А). Однако, как легко проверить, в О нет абелева нормального делителя конечного индекса.

Для полей простой характеристики Брауэр и Ф е й т [1] доказали следующий аналог теоремы Жордана:

Пусть р ——простое число. Тогда существует целозначная функция fp (mf 〃) такая, что если А — поле характеристики р, а О ——конечная подгруппа в GL(* Д), р~подгруппа Силова которой имеет порядок не больше /г% то О обладает абелевым нормальным делителем А с индексом

О : Л < fp(mt 初

В дальнейшем нам понадобится следующая

Т е о р е м а 4. Пусть G — неприводимая конечная подгруппа группы GL(n, С), где С — поле комплексных чисел, а Д —— абелев нормальный делитель группы О. Тогда индекс G : Л делится на п.

Доказательство см., например, в книге Серра [1], стр. 62.

§ 25. Подгруппы Силова§ 25. Подгруппы Силоваполной линейной группыполной линейной группы

§ 25. Подгруппы Силова

§ 25. Подгруппы Силова

полной линейной группы

полной линейной группы

Общие замечания, р-подгруппы Силова группы GL(n, А) при " = cha「A・ Пусть А ——произвольное поле, П ——непустое множество простых чисел, a G ——какая- либо П-подгрупиа Силова группы G厶(〃,А). В частно-

сти, когда П — множество всех простых чисел, тогда, очевидно, О — максимальная периодическая подгруппа группы 心厶(明 А). В подходящем базисе пространства Дп матрицы g группы О имеют вид

■i(g) a〕2(g) • • • ai£(g)

g= 0%(g) 他左依)，(1)

一 00…a% (g).

где

у/ G-> GL{tij, A), gfg(g), /= 1, . ■ •> k,

——неприводимые части группы G. Ясно, что 1т(%・)суть П-группы. Если char А = 0 или char Д = р > 0, но /9 ^ П, то группа О вполне приводима (теорема 23.6), и можно считать, что 〃”(g) = 0 при i 长 /■

Введем еще представление у, положив

у: G fGL 仇，A), g diag & (g),・・・，必(g)]・(2)

Если char Д ^ П, то 丫 一 точное представление, Im(匕) есть П-подгруппа Силова группы GLg, A), a G — прямое произведение групп Im(yi), . .., 1111(^^).

Лемма 1. Пусть char А ^ П. Тогда

G = FN,尸= Imy, ^^KerY， F^N = (EN)t

подгруппа F ——прямое произведение групп Im(yi),... ...,1т(у/г), группа 1т (%) есть Xl-подгруппа Силова группы GL(n^ А), а нормальный делитель N есть множество всех матриц с вида

Е% %12 • • • %1少

⑶⑶О Е% • ' •工2少

⑶

⑶

О 0 Enk

%аВ —произвольная иа X п^ -матрица над А.

Доказательство. Из (1), (2) и (3) вытекает равенство

. g = Y(g)c， Y(g)三尸，с 三

Следовательно, b 三 FN. С другой стороны, FN есть П-группа. Отсюда G = FN. ■

С самого начала выделим простой частный случай П-подгрупп Силова группы GL(n, Д), когда П = {р}, где р = char А.

Теорема 1. Пусть простое число р совпадает с char А. Тогда р-подгруппы Силова группы GL(n, А) попарно сопряжены з ней. Каждая р-подгруппа Силова группы GL(n1 А) сопряжена з GL(n, А) с группой всех специальных треугольных матриц.

Доказательство. Множество всех унипотентных элементов группы GL(n, А) совпадает с множеством всех ее p-элементов. Действительно, пусть а ^ GL(n, А) и а卢=1. Тогда

&卩° —1 = (а —■ 1)р = 0.

Следовательно, а — унипотентный элемент. Пусть теперь и — унипотентный элемент группы GL(n, А). Тогда (辽——I)71 = 0. Если число V таково, что

p”TO《pv, (4) то

1,

е. и есть ^-элемент. Отсюда вытекает, что класс всех /9-подгрупп Силова группы GL(n, А) и класс всех ее максимальных yi-шпотентных подгрупп совпадают. Но максимальная унипотентная подгруппа группы GL(n, А) сопряжена в GL(〃，А) с группой всех специальных треугольных матриц. Отсюда и следует теорема. ■

Заметим, что р\ где v определяется неравенствами (4), есть наибольшее число среди порядков р-элементов группы GL(n, А), когда р = char А.

Отметим некоторые свойства неприводимых и вполне приводимых П-подгрупп Силова группы GL (几,А).

Л е м м а 2. Пусть G — неприводимая И-подгруппа Силова группы ©L(〃, А). Тогда G—либо примитивна, либо представима з виде сплетения ® ^ Г, где ® — примитивная П-подгруппа Силова з GL(m, А), а Г — транзитивная Х[-подгруппа Силова симметрической группы Sy 门2内=п.

Лемма является частным случаем теоремы 15.4,

Заметим, что утверждение, обратное лемме 2, не верно, т. е. сплетение примитивной П-подгруппы Силова группы GL(m, А) и транзитивной П-подгруппы группы Sa не обязательно является П-подгруппой Силова в GL{mk, Д). Например, пусть

П = {2}, А = GF ((?), g = 4f+h 0 = {±1}иА*・

Тогда сплетение ® ^ S2 — подгруппа группы GL (2, А); card(®iS2；^8. Но

32 I card GL (2, А)=⑷ 一 1)(^ 一 力

Следовательно, ® ^ S2 не есть 2-подгруппа Силова группы GL(2, Д).

Из леммы 2 и общих замечаний, сделанных в начале параграфа, вытекает, что в случае, когда char А ^ П, П-подгруппа Силова группы GL (п, А) сопряжена 6 GL(nt А) с группой G матриц g вида

g = diag[g], g〃，(5)

где gi,gt независимо друг от друга пробегают, соответственно, группы G^ .Of, Gj = ®/ i Г?, & — примитивная П'Подгрупна Силова в GL{m^ А), Г；—— транзитивная Пчюдгруппа Силова в S%., j = 1,.,.,

^^ tlT у Й у -~

Группу G матриц g вида (5) будем иногда записывать еще так:

G = diag®JFi，・・，mU(6)

Лемма 3. Пусть группа G вида (6) является Ii-подгруппой Силова s GL(n, А). Тогда справедливы два утверждения.

Если П ——множество всех простых чисел, то никакие две группы ®ц u ®v, ц =Н= v, не сопряжены.

Если П — {р}, то любая группа ®) [ Г；, 1 W W j W t, повторяется на диагонали (6) меньше чем р раз.

Доказательство, (i) Пусть П — множество всех простых чисел. Тогда G——максимальная периодическая подгруппа группы GL (п, А). Если ®i = ®2, то группа

diag[®asftp ⑤2 1S&]

—истинная подгруппа периодической группы ®i | S/^+^・ Отсюда следует (i).

Пусть II = {р}. Тогда = ра/. Если

&江尸…= *1「р, то группа

diag[(M 厶…・，®р 1 Гр]

является истинной подгруппой в ®i J Г, где Г есть р-подгруппа Сплова группы Spa1+i.圈

р-подгруппы Силова группы GL(nt Д) при p^charA для случая алгебраически замкнутого поля А.

Л е м м а 4. Пусть △ — алгебраически замкнутое поле, р — простое число, отличное от char А, а п > 1・ Тогда в группе GLg △) нет примитивных р-подгрупп.

Доказательство. Пусть Ф — примитивная /7-подгруппа группы GL {п^ Д). По теореме 23.5 группа Ф локально конечна. Так как конечная ^-группа нильпотентна, то Ф локально нильпотентна и, следовательно, согласно теореме 19.9, разрешима. По теореме 19.5 группа Ф имеет абелев нормальный делитель Н конечного индекса k. В силу примитивности группы Ф и теоремы 16.2 " и △*£"几.Очевидно, группа С = фД* также примитивна;

GKEn = Ф^/^Еп =①/А* J П ①=①/儿

Следовательно,

G : ^*еП =左.

Рассмотрим отображение det: G —* А*;

Ker (det) = G П SL (〃，△) = Go.

Пусть g 三 G, detg=厶三△+ Так как поле А алгебраически замкнуто, то в группе △* есть такой элемент р, что &严=九.Очевидно,

p—g 三 G， g = pg0, go w Q；

G = G()A\ GINEr f GJ^En Q Go.

Следовательно, Go — конечная группа. Так как группа Ф локально нильпотентна, то Go нильпотентна. Следовательно, группа G нильпотентна. Пусть Z^ — центр

§ 25] ПОДГРУППЫ СИЛОВА ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ 277 группы G, Z2/Z1 — центр в G/Zb а с Z2 \ Zh Тогда (c)Zi ——абелев нормальный делитель в G, причем ")Zi U А*ЕП. Так как группа G примитивна, то последнее противоречит теореме Клиффорда. ■

Из леммы 4 следует

Л е м м а 5. Пусть А — алгебраически замкнутое поле, а р — простое число, отличное от char Д. Тогда любая р-подгруппа группы GL (п, А) мономиальна.

Из лемм 2 и 4 вытекает

Лемма 6. Пусть Аир удовлетворяют условиям леммы 4 и в группе GL(m, А) есть неприводимые р-под~ группы. Тогда т=ра, неприводимые р-подгруппы Сило- ва группы GL(p% А) сопряжены в ней с группой

Gpa = Р I %%

где Р есть р-подгруппа Силова группы A*, a N卢 есть р-подгруппа Силова симметрической группы S^a.

Теорема 2. Пусть А — алгебраически замкнутое поле, а р — простое число, отличное от char А. Тогда р-подгруппы Силова группы GL (п5 А) попарно сопряжены в ней. Пусть, далее,

n = aQ + а{р+ ・・・ + a^t

О <av<p, V = 0, ...» ц, 〃以¥=0・

Тогда всякая р-подгруппа Силова группы GL(n, А) сопряжена в GL(n, А) с группой

diag[. .GpV,...],⑺

где Gр、= Р，N卩、,Р есть р-подгруппа Силова группы Д*, NpV есть р-подгруппа Силова симметрической группы, SpVt причем группа GpV повторяется в (7) av раз.

Доказательство. Из полной приводимости р-подгруппы Силова в GL (п, А) и из леммы 6 вытекает, что р-подгруппа Силова группы GL(n, А) сопряжена в GL(n, А) с группой вида (7), надо лишь показать, что группа GpV входит в (7) av раз. Пусть она фигурирует в (7)力у раз. Тогда

几=瓦+ b[p + *.. +力入"■

Теорема будет доказана, если установить, что Ь» V р для v=0, 1, ..., X. Пусть, напротив, для некоторого v bv ^ р. Тогда группа G содержит прямой множитель

U = diag [GpV, Gpv],

где GpV повторяется р раз. Очевидно, что

廿+1=心I /v.

Отсюда легко заключить, что U есть истинная подгруппа группы

Gpv+i = Р \ Np、+i・

Следовательно, группа, задаваемая формулой (7), не есть р-подгруппа Силова в GLg Д). Отсюда А，=а* 鬭

Очевидно, что для р 辽 А, удовлетворяющих условиям теоремы, р-подгруппа Силова Р группы Д* есть группа типа р*. Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что р-под- группа Силова группы GL(n, △) с точностью до изоморфизма задается только двумя числами п и р. т. е. если Д1 — другое алгебраически замкнутое поле 〃 char Ai=#p, то р-подгруппы Силова групп GL(n, А» и GL(n, Д) изоморфны.

р-подгруппы Силова группы GL(n, А) при произвольном поле А. Такие группы изучены Вольваче- в ы м [1]. Здесь мы приведем результаты Р. Т. Вольва- чева без доказательств.

Теорема 3. р-подгруппы Силова группы GL (小 Д), где Д ——произвольное поле, почти всегда попарно сопряжены в GL(ny А). Исключение составляет случай, когда одновременно р=2, поле Д подчинено трем следующим условиям: 1) в А* нет элемента 4-го порядка^ 2) ——1 есть сумма двух квадратов 8 Д, 3) всякий 2-элемент а + 0£ "з △(£), где а,卩三 A, t2=——1, удовлетворяет соотношению (а + 伊)(а — pi) = 1. В этом исключительном случае множество всех 2-подгрупп Силова группы ОЛ(/г, А) разбивается на [〃/2] + 1 классов сопряженных подгрупп.

Строение /7-подгрупп Силова группы GL(& А) зависит от определенных свойств пары (Д, р}. Пару (Д, 2), где Д удовлетворяет условиям 1), 2), 3), назовем исключительной, Примером исключительной пары является

пара (А, 2〉при A = Q()/—5), где Q — поле рациональных чисел.

Обозначим символом Рр р-подгруппу Силова группы А*. Множество всех пар (А, р〉, где Д ——произвольное поле, а р — простое число, отличное от char А, разобьем следующим образом на классы 耽卜.,,,耽5：

Если Рр — группа типа р°°, то положим (А, р〉三 三2Ль

Если порядок группы Рр равен 少 > 2, то положим (А, р}三血2・

Если р=2, % — группа порядка 2, но (А, 2〉не является исключительной парой, то положим (А, 2〉三 三叫.

Если (А, 2〉— исключительная пара, то положим (А, 2〉三耽*、

Если р > 2, Рр= (1), то положим (А, р)三耽5・

Пусть (А, р} принадлежит либо 耽厶 либо ВДг, а % = = 〃()+ %〃 + ・・・ + а^, а^，0, 0 & qv V 卩 л； = 0,

|i. Тогда любая р-подгруппа Силова группы GL (/г, Д) сопряжена в GL(n, А) с группой

G = diag[. .., GpV,...],

где прямой множитель G卩、=Р卩 \ N卩、повторяется 〃у раз. Различие между первым случаем и вторым состоит в том, что при (А, р)三耽1 р-подгруппа Силова в GL(n, А) бесконечна, а при (А, р) е ЯЛг —- конечна.

Пусть (А, 2》w Ш?з, а /г = а0 + «^ + • • • + 〃ц2% 〃以= =1, 4v=0, L v=l,...,卩.Тогда любая 2-подгруппа Силова группы GL(* А) сопряжена в GL (и, А) с группой

G = diag [..., G2v,...],

где G2o = {± 1}, G2v = ® I N2V-i при V > 0; группа ® является 2-подгруппой Силова группы GL (2, А), причем прямой множитель G9V повторяется av раз.

Пусть (А, 2〉三耽4. Тогда любая 2-подгруппа Силова группы GL (2, А) сопряжена в GL(2, А) с одной из двух не сопряженных между собой подгрупп ®i и ®2. Представим теперь [м/2] в виде

- 圉=m+/,(8)

где /п и / — целые неотрицательные числа. Очевидно, /2 = 0° + 2(/п +/), 〃о = О, 1. Запишем /?г и / в двоичной системе счисления

^ =坛 + &2 + ・…+ 玩2”，/ = & + С]2 + …+ %2"»

Каждому представлению числа [п/2] в виде (8) поставим в соответствие группу

z — diag[».・，⑼

где прямые множители G；a =⑤]^ ^a-i и G^ = ®2 i A^^-i повторяются, соответственно, ba и ，廿 раз, а при а。= 1 группа G?% / содержит еще прямой множитель {±1}. Тогда любая из [п/2] + 1 групп Gm)； вида (9) является 2-подгруппой Силова в GL(n, А) и каждая 2-подгруппа Силова группы GL(n, А) сопряжена в GL (и, А) с одной и только одной группой вида G^,厶

Пусть, наконец,〈A, Q 三 恥，а Е = А(е), где е — первообразный корень степени р из 1. Положим /п=Х ： А и запишем число п в виде

几=с + тп^ 0 & с V /п»

В свою очередь, число 的 запишем в виде

Щ= ь^+ ь{р+ ... + b^t &，о, 0<6/ <р,j = 0,ц.

Тогда любая р-подгруппа Силова группы GL(n, Д) сопряжена в GL (/г, А) с группой

G = diag [1,1, ..., Gmpa, . •

где 1 входит с раз, Gmpa = Pfp ^ ^а,尸;есть p-подгруппа Силова в £*, S* трактуется как подгруппа в GL (ш, А), группа Gmpa повторяется 匕раз.

О р-подгруппах Силова группы GL(即 Т) над телом Т. Приведем без доказательств один результат из статьи Залесского [3].

Теорема 4. Пусть Т — тело、С — его центр^ Т ： С = =р2а/п2, (/п, р) = 1. Пусть, кроме тоао, при р=2 в группе С* есть элемент 4-го порядка. Тогда множество все^ р-подгрупп Силова группы GL(n、Т) разбивается, самое

большое^ на а + 1 классов сопряженных подгрупп. В частности, если ((Т：С), р) = 1, то р-подгруппы Сизова группы GL(n^ Т) попарно сопряжены s ней.

П-подгруппы Силова группы GL(nr С) над полем С комплексных чисел.

Л е м м а 7. 8 группе GL (咒，С) тогда и только тогда есть неприводимые П-подгруппы, когда П(п) и II.

Доказательство. Пусть G — неприводимая 11- подгруппа в GL (& С). По теореме 23.5 группа G локально конечна и, следовательно, содержит конечную неприводимую группу ®. По теореме 24.4 n|card®, следовательно, II (/г) с: II (®) cz П. Обратно, пусть П(м)и и П. Рассмотрим группу G, порожденную двумя матрицами а и Ь:

а = diag [1, е, . .., е^_,],

Ь = °21 + °32 + • • • + С% п-1 + е1к>

где е — элемент порядка 几，принадлежащий группе С*. Как легко проверить, ab = zba\ card G=* т. е. G есть П-группа. Очевидно, G ——неприводимая группа. ■

Лемма 8. Пусть G ——примитивная 1[-подгруппа Силова группы GL (м, С). Тогда порядок пересечения G()= —G Г1 豆厶(小 С) меньше некоторого числа р,(п), зависящего лишь от & а группа G представима s виде

G - GQPEnJ (Ю)

где Р есть 1Ъподгруппа Силова группы С*, а РЕп —— единственный максимальный абелев нормальный делитель группы G.

Доказательство. Очевидно, G n РЕп. С другой стороны, по теореме 16,2, любой абелев нормальный делитель группы G содержит только скалярные матрицы. Следовательно, РЕ「■— единственный максимальный абелев нормальный делитель группы G. По теореме 24,2

G : РЕп < р(п). .

Докажем (10). Так как G является П-группой, то для awG det tz = a е Р. Пусть у — корень уравнения хп = =а. Тогда 丫 w Р, ибо П (п) и П. Очевидно, что

det (у'1^) = 1, y-b w Go.

Отсюда следует (10). Остается оценить card Go. Ясно, что

f] PEr = SL (п, С) П РЕп.

Следовательно,

card (6亦尸马)=儿

Далее,-

G:PEn<9 (м), G/PEn = GgPE/PEr 仝 GQ/PEn 八 Go.

Отсюда вытекает.

card G。V 卩(〃)=пр (n).，

Лемма 9. Пусть G ——неприводимая П-подгруппа Силова группы GL (п, С). Тогда либо группа G примитивна. либо имеется только одно непродолжаемое разложение пространства Сп на ее системы, импримитивности.

Доказательство. Пусть пространство Сп допу， скает два непродолжаемых разложения

C〃 = Qi下… +Qv и ^ =厶下...下儿 (11)

на системы импримитивности группы G. Тогда, согласно лемме 15.5, группа G допускает два представления вида

G = ® I Г и G = ®)I Гр

где Г и Г1—транзитивные П-подгруппы Силова групп Sy и S^ соответственно, ® ——примитивная П-подгруппа Силова в GL (пх~\ С), a ®t ——примитивная П-подгруппа Силова в ©厶(孔卩7, С). Из равенства G = ® { Г следует, что G обладает абелевым нормальным делителем Л, матрицы которого а в базисе, отнесенном к первому разложению (11), имеют вид

а == diag [А<|Emt > • •» К^Е^, ш mv *

где 九j независимо друг от друга пробегают группу 尸；

G : Л ^ V! (® ： РЕп) < v! р (т).

В свою очередь, из второго разложения (И) вытекает, что G имеет другой абелев нормальный^ делитель В конечного индекса. Представим группу А в виде А—. =41... Лу, где Aj состоит из матриц вида

diag [£т> . •. > Eg kjEmi Emt •. • > £/J

Так как _

AjB/B 冬 Л f/А у П В,

то для Dj = Л； П В А^: Dj V оо. Следовательно, Dj 干 =# (£n). Произведение D{ ... Dv — D является прямым и содержится в группе В. Отсюда вытекает, что каждое подпространство Q； инвариантно относительно группы В. Далее, ограничение 8|Qj является нормальным делителем группы ®. Так как ® — примитивная группа, а группа B\Q^ абелева, то каждая матрица из группы В|Qj скалярна. С другой стороны, если пространство С" трактовать как аддитивную операторную группу с областью операторов CUB то одномерные подпространства из Qi и Q? при i^j не изоморфны операторно. Следовательно, оба разложения (И) получаются из разложения пространства Сп в прямую сумму операторно простых групп объединением всех операторно изоморфных друг другу слагаемых. Согласно предложению 13.3 такое разложение единственно. Следовательно, v=|i и при подходящей нумерации Lj = Qj, / = 1,…宀麗

Теорема 5. IL-nodapynna Силова группы GL(& С) обладает единственным максимальным абелевым нормальным делителем.

Доказательство. Пусть G есть П-подгруппа Силова группы GL(小 С). Легко видеть, что достаточно рассмотреть тот случай, когда группа G неприводима. Для примитивных групп теорема уже доказана (см. лемму 8). Будем теперь считать, что G — импримитив- ная группа, а

= Qh (12)

—непродолжаемое разложение пространства Сп на ее системы импримитивности. Разложение (12) определяет абелев нормальный делитель Л группы G, матрицы а которого в базисе, отнесенном к этому разложению, имеют вид

а = diag [k1Em, 九尼e加], %三尸， ①=几也

Группа А—прямое произведение й экземпляров группы Р. Пусть теперь В — максимальный абелев нормальный делитель в G. Тогда В содержит группу РЕп в качестве истинной подгруппы. По теореме 16.2 существует

такое разложение

С" = R + ...斗兄

пространства С“ на системы импримитивности группы G, что

В \ Rj = РEni~\>

Это разложение можно продлить до непродолжаемого разложения на системы импримитивности группы G, которое, в силу леммы 9, совпадает с (12). Отсюда вытекает, что ВиА. Так как 5 — максимальный абелев нормальный делитель группы G, то В=А. ■

Лемма 10. Пусть n=hm、® ——примитивная П-по^- группа Силова группы GL(m, С), а Г ——транзитивная ^[•подгруппа Силова симметрической группы Sr. Тогда сплетение

Я = ® 1Г(13)

является неприводимой И-подгруппой Силова группы GLg С).

Доказательство. Согласно лемме 15.4 группа Н неприводима. Остается, следовательно, доказать, что группа Н не содержится в другой П-подгруппе в GL(n, С). Пусть G есть П-подгруппа Силова в GL(n, С), содержащая группу Н. Группа Н имеет абелев нормальный делитель А, являющийся множеством всех матриц а вида

а = diag [ап а/ а；三 PEm,

Представим группу Л в виде лрямого произведения Д = Д( X ■. • X ^л, где Aj состоит из элементов diag [fm, .. ., а；, ..., Em], Aj f P. Пусть В — максимальный абелев нормальный делитель группы G. Тогда G ： В V 8, 4 ： (Л/1 В) V 8. Следовательно, & 八 В = = /))#= (Еп). Произведение °i ... Dh = D является прямым и содержится в группе В. Если теперь

Cn = Q,+ ...+Qk(14)

—непродолжаемое разложение пространства Сп на системы импримитивности группы Я, определяемое равенством (13), то, в силу включения D и В> каждое подпространство Qj инвариантно относительно группы.%田外

Отсюда же следует, что одномерные подпространства из Qf операторно не изоморфны одномерным подпространствам пространства Q； при i 声 / (область операторов С U В). Следовательно, непродолжаемое разложение пространства Сп на системы импримитивности группы G есть продолжение разложения (14). В силу включения G п Н оно совпадает с (14). Отсюда вытекает равенство G—H. ■

Теорема 6. Для любого фиксированного множества простых чисел П число классов сопряженных Т[-подгрупп Силова ме превышает некоторой границы т(〃)，зависящей только от п.

Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать теорему для неприводимых П-подгрупп Силова. Для примитивных П-подгрупп теорема следует из леммы 8, ибо примитивная П-подгруппа Силова группы GL (/г, С) задается однозначно конечной группой, порядок которой меньше 黑(〃)(см. (10)). Импримитивная П-подгруппа Силова G группы GL(几，С), в силу леммы 2, сопряжена с группой вида G = ® ? Г, где ® — примитивная П-подгруппа Силова в GL(tn, С), а Г — транзитивная П-подгруппа Силова группы S&, km = n. Отсюда следует теорема. Я

О максимальных периодических подгруппах группы G£(n, С). Взяв в теоремах 5 и 6 в качестве П множество всех простых чисел, получим следующие две теоремы 5a и 6а.

Теорема 5а. Максимальная периодическая под' группа группы GL(〃, С) обладает единственным максимальным абелевым нормальным делителем.

Теорема 6а. Множество всех максимальных периодических подгрупп группы GL(〃, С) разбивается на конечное число классов сопряженных подгрупп. Число этих классов ограничено некоторым 工(几),зависящим только от п.

Из леммы 10 следует

Лемма 10а. Пусть n = km^ ® — максимальная периодическая примитивная подгруппа в GL(tn, С). Тогда сплетение ® / Sh является максимальной периодичен ской подгруппой группы GL (几,С).

Сл е дствие 1. Пусть Р — периодическая часть группы С*. Тогда группа всех мономиальных матриц

отличные от нуля элементы которых принадлежат группе Р, является максимальной периодической подгруппой в GL(nt С).

Теорема 7. (i) Всякая максимальная периодическая подгруппа группы GLg С) сопряжена в GL^n, С) с группой вида

G = diag[Gi, ..., GJ, G/』⑤八5打，(15)

где ⑤j ——примитивная максимальная периодическая подгруппа в GL(m〃 С), 2 ^/^； = п, причем в системе групп ®ь ..., ®/ нет пары сопряженных.

Любая группа вида (15) является максимальной периодической подгруппой группы GL(& С),

Доказательство, (i) следует из лемм 2 и 3. Докажем (ii). Пусть группа G задается формулой (15) и является истинной подгруппой максимальной периодической подгруппы 戶 из GL(n, С). Пусть, далее,

Cn = R^ ... +兄(16)

—разложение пространства Сп па инвариантные и неприводимые относительно G подпространства %, а

C〃 = U]+ ... +US(17)

— разложение его на инвариантные и неприводимые относительно 尸 подпространства Uj. Подпространства Ri, ..., Rt — единственные инвариантные неприводимые относительно группы G подпространства в Сп. Следовательно, каждое подпространство “ из (17) есть прямая сумма некоторых слагаемых из (16). Так как 戶片G, то, в силу леммы 10а, некоторое U§ содержит более одного слагаемого из (16); пусть

U] = R]+ …+ R、，Y>1.

Рассмотрим теперь две группы；

Ф = Р\и} и W = G|Ui・ Так как

Y = diag[G1, ..., GY], Ga = ®а t Ska, a= 1, ..., у,

то группа Ч7 имеет абелев нормальный делитель А конечного индекса, который является прямым проиэвёде-

нием А групп Ль ..., 4% k=k\ + . • • + ^y> 4j = Р, где Р ——периодическая часть группы С*. Если

Ra = Qal ++ Qaka

——непродолжаемое разложение пространства R* на системы импримитивности группы Ga, то 4|@aB 4 P. Группа Ф обладает абелевым нормальным делителем В конечного индекса. Подгруппа Dj—Aj П В имеет конечный индекс в Aj. Так как группа 4j бесконечна, то D# (Е). Произведение D = 4 …D^ является прямым и содержится в группе В. Следовательно, подпространства QaB инвариантны относительно группы В.

и尸士 QaB(18)

—непродолжаемое разложение на системы импримитивности группы Ф. Действительно, В п D, следовательно, в двух различных подпространствах вида Q^b нет операторно изоморфных одномерных подпространств. Значит, непродолжаемое разложение пространства Ui на системы импримитивности группы Ф является продолжением разложения (18). Так как ① п 屮，то отсюда следует, что (18) — непродолжаемое разложение пространства Ui на системы импримитивности группы Ф. Так как Ф ——максимальная периодическая линейная группа, то Ф = ® / Sft, где ® ——примитивная группа. Так как ① п 屮,то для /— 1, у группа ®j сопряжена с некоторой подгруппой группы ®. Но ®j — максимальная периодическая подгруппа в GL(m^ С). Следовательно, ⑤j сопряжена с ®, т. е. группы ®ь . . ., ®Y попарно сопряжены. Последнее противоречит построению групп вида (15). 9

Доказанные в этом пункте теоремы о максимальных периодических подгруппах группы GL (n, С) остаются справедливыми для любого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики. Если Д ——алгебраически замкнутое поле, характеристика которого не принадлежит множеству П, то леммы 7, 9, теорема 5 и лемма 10 переносятся без изменений на П-подгруппы Силова группы GL(nt Д). Теорема 6 при переходе от С к полю △ претерпевает некоторое изменение: границу т(〃)надо заменить на т(п, р), где p=char

§ 26・ Структурные теоремы

о периодических матричных группах над полем

Периодичность и точная линейная представимость над полем, взятые вместе, являются настолько сильным ограничением для группы, что группы, подчиненные одновременно этим двум условиям, обладают многими свойствами конечных групп. Здесь мы приведем без доказательства теоремы о периодических матричных группах, принадлежащие Платонову [11], которые можно рассматривать как широкое обобщение некоторых классических теорем теории конечных групп. .

Теорема 1. Пусть G ——периодическая группа матриц над полемt а ^——такой ее нормальный делитель, что

n(Mnu(G/M=0・

Тогда группа G представима е виде произведения

G = DN, DQN = E.

Если еще

G = D、N, D^ N = Е,

то подгруппы D и D〔 сопряжены в группе G.

Теорема 2. В периодической группе матриц над полем р-подгруппы Силова сопряжены.

П-подгруппа Я периодической группы G называется холловской^ если для любого р е И подгруппа Я содержит р-подгруппу Силова группы

В следующей теореме 1Г —П\ П(б).

Теорема 3. Пусть G ——периодическая группа матриц над полем.

Если G ——разрешимая группа, Н и 丹——ее, соответственно, П- и TV-подгругты Силова, то G=HHL

Если для каждого р е 11(G) з группе G есть р-подгруппа Силова^ имеющая холловское дополнение, то G ——разрешимая группа.

Пусть G периодическая группа. Система {Р 女} р-подгрупп Силова Рн группы G, взятых точно по одной для каждого рн ^ П(б), называется полной силовской базой группы G, если G есть произведение групп Ру а для любой конечной подсистемы

尸储，*pkm(1)

П(〃) = ｛卩时，•…，р&/, где Н — группа порождаемая системой (1).

Теорема 4. (i) Разрешимая периодическая группа G матриц над полем обладает полными силовскими ба- зами； любые Оее из них сопряжены s группе G.

Если периодическая группа матриц над полем обладает полной силовской базой, то она разрешима.

Приведем еще две теоремы из статьи П л а т о и о - в а [11] об алгебраических матричных группах.

Теорема 5. р-подгруппы Силова алгебраической группы матриц над алгебраически замкнутым полем сопряжены £ ней.

Теорема 6. Пусть II ——произвольное множество простых чисел. П-подгруппы Силова разрешимой алгебраической группы матриц над алгебраически замкнутым полем сопряжены 8 ней.

Ш Д. А. Сумруменко

ГЛАВА V〃

НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО

НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Неприводимые нильпотентные группы матриц

Конечность индекса центра. Пусть G — произвольная группа. Верхний центральный ряд

Z()= (e) и Z] (G) и Z2(G) и …uZXG)u...

группы G определяется индуктивно: Z/+|(G)/Zj(G)

—центр фактор-группы G/Z)(G). Группа Zj(G) называется ;-м гиперцентром группы G. Группа G называется нильпотентной, если для некоторого натурального / G — Zi(G). Если / — наименьшее число, для которого G = Z((G，, то / называется классом нильпотентности группы G.

В частности, абелева неединичная группа является нильпотентной группой класса 1, а единичная группа есть нильпотентная группа класса 0.

Если G и " — поэлементно перестановочные подгруппы некоторой группы, группа Я абелева, a G ——нильпотентная класса / > 0, то GH ——тоже нильпотентная группа класса /.

Нижний центральный ряд

группы G также определяется индуктивно: G^ = =(Go, Gj), где j = 0, 1, ... , a (Go, Gj)——взаимный коммутант групп Go и Gj.

Группа G тогда и только тогда пильпотентна класса /, когда / ——наршеньшее число, для которого Gi совпадает с единичной группой.

Таким образом, для нильпотентной группы верхний и нижний центральные ряды имеют одну и ту же длину (К у р о ш [1], стр. 388).

Пусть теперь А — произвольное поле, G—нильпотентная неприводимая подгруппа группы GL(n, А) класса 厶 а

Zo = (E)uZi uZ? и ... uZ/ = G

—верхний центральный ряд группы G. Тогда справедлива

Л е м м а 1. Группа G содержится в такой нильпотентной подгруппе ® группы GL(m, А), что

класс нильпотентности группы ® совпадает с числом / ——классом нильпотентности группы G；

(ii)® — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL", У), где S — расширение поля A, S : А = nr-1;

Z] (®) = "3 n Z] = Z| (G).

Доказательство. Пусть [G]——линейная Д-обо- лочка группы G. Так как группа G неприводима, то, по теореме 14.4, [G] = ^р, где Т — тело, Т : А = 〃рт Возможны два случая: 1) Т — поле, 2) Т — некоммутативное тело. В первом случае, полагая Е = Т,厂=р, ® = GT*, находим, что группа ® удовлетворяет условиям (i), (ii) и (iii). Во втором случае группа G содержится в другой нильпотентной подгруппе Gi класса / группы GL(n, А) такой, что [GJ : А > [G] : А. Действительно, если тело Т некоммутативно, то в GL(n, A)\7P есть матрица А, перестановочная с каждым элементом алгебры Тр. Группа Gi =(九)G является нилыТотентной подгруппой GL(n, Д) класса Z Так как h^GL(n, \)\TPi то [GJ 壮[G], Следовательно, [GJ : Л > [G] ： Д, Отсюда и вытекает лемма 1. ■

Лемма 2. Порядок каждого элемента фактор-группы Z2/Z1 является делителем числа /г.

Доказательство. Согласно лемме 1 Gu ⑤ и cr GL(r,S), ZiuE'E?, г\п. Для a w Z% gwG имеем ag = oga, a w S*. Отсюда

det (ag)=『det (ga),『=【.

Следовательно,

arg = ^rgar = gcf,a'wZi， {aZ^ = ZX. В

Лемма 3. Пусть v — порядок элемента aZ^ факторгруппы Z2/Z1. Тогда s группе G есть такой элемент g, что порядок элемента (a, g) = а^а-1^1 также равен v.

Доказательство. Согласно лемме 1

GuGL(r, £), Ziu"3・

Для любого элемента g группы G

Q g)w"Er， Q g)「=L

Если h^ Gt то

(a, g)(a, h) = (a, gh).

Следовательно, все коммутаторы вида (a, g), где g ^ G, образуют конечную циклическую группу. Пусть т—ее порядок. Тогда для g G

(。‘，g) =(Q，g)‘ = L (aZ[)° = Z], v [t.

Далее,

(a，g)” =(。匕 g)= L т I v, t = v. ■

Следствие 1. char А “с может делить порядок элемента фактор-группы ZdZ.

Лемма 4. Пусть Z^ = A*£n. Тогда Z?: Zi = К]: А, где [Z2] — линейная ^.-оболочка группы Za・

Доказательство. Пусть

必，…，df(I)

—представители / различных смежных классов группы Z2 по Z「Покажем, что система (1) линейно независима над полем А. Пусть

ZjCti十九2a2 + ….+九.% 0, 九/三Д, (2) — нетривиальное линейное соотношение, содержащее наименьшее число ненулевых слагаемых. Мы можем считать, что 九i 声。，九2 昆 0. Для g 三 G

gdjg-l = yidj, 丫/三 A",

причем для，声 / в группе G есть такой элемент g, что

Yi*Y〃(3)

ибо d{ и dj входят в разные классы по Zb Пусть элемент g группы G удовлетворяет условию (3). Тогда из (2) следует

Yi (九 1山 + 入2d2 + • * ■ + 儿dj 一

—g (入id] + 入2d& + .. . + 入tdj g—i =

=入2(w一 Y2)厶+ . * . + 儿(%-%)& = 0. Последнее равенство противоречит выбору соотношения (2). Следовательно, (1) ——линейно независимая система и

:.厶：Z]n[Z2] * A.

Пусть теперь элементы 打，…，их группы Z2 составляют Д-базис алгебры [Z2I Тогда они принадлежат т различным классам группы Z2 по Z^ т. е.

Z2 ： Z] XZ2] ： А.

Отсюда следует лемма. В

Лемма 5. Пусть k ——экспонента фактор-группы ZqZi. Тогда экспонента группы Z注JZj, j = 1, ..., /——1, является делителем числа k.

Доказательство. Для / = 1 лемма тривиальна. Предположим, что / > 1 и что лемма уже доказана для Zj/Zj-i. Если 仪巨工计力 gwG, то ga = bag, где bwZj. Следовательно,

gZj-iaZ= bZj-^aZj^^gZ

Так как bZj—gZjT = gZ—bZi，to

gZ~ (必 J = (%t)气呜一严 gZ/T.

По индуктивному предположению {bZj-i)h — 2；_ь Следовательно, (aZjT)AuZj, (aZj)A = Z『.D

Следствие 1. Порядок каждого элемента факторгруппы G/ZL является делителем числа 即一％ где k — зко понента группы Z2/Z1.

Лемма 6. Пусть Д — алгебраически замкнутое поле. Тогда группа G мономиальна, т. е. существует такой базис 〃打〃几 пространства Дп, что для каждого gw G

g(〃i)=九Wj ・..,g(〃J =九л/紋

где Xj e A*, a 4, ..., in — перестановка чисел 1, ..., n.

Доказательство. Покажем, что нильпотентная неприводимая подгруппа группы GL(h, Д) при n > 1 импримитивна, если поле А алгебраически замкнутое. Пусть а е Z2\Zi. Тогда (a)Zi — абелев нормальный делитель группы G и (a)Zi ф \*Еп. По теореме 16.2 группа G импримитивна. Пусть теперь Дп = Vi 4-... ...-]-Vt — непродолжаемое разложение пространства Дп на ее системы импримитивности, а

H^^^h^G, %(%) = %}.

Тогда ограничение Hj \ Vj = G； — нильпотентная примитивная группа степени п/-1 = Пь Следовательно, т〃 = 1, t = п. Отсюда вытекает мономиальность группы G. ■

Теорема 1. Пусть Д — произвольное поле, a G — неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL(nt А) класса нильпотентности 厶 Тогда

G ：Z](G) &献几”D("T = v (小 /), причем char A (G : ZJG)).

Доказательство. Согласно лемме 1 G и О, где ® — абсолютно неприводимая нильпотентная подгруппа класса / группы GL(r,£), Z/O) = £*4 n Zi(d), г|n. Если теперь Q — алгебраически замкнутое поле, содержащее поле S, то ® — неприводимая подгруппа группы GL(r, Q), Zi(®) uQ*4. В силу леммы 6 ® является мономиальной подгруппой группы GL(r,Q). Следовательно, существует такой гомоморфизм у: ®->Sr, где Sr — симметрическая группа степени г, что Кег у = ф — подгруппа всех диагональных матриц группы ® и &L(r, Q). Очевидно, что ф =)^1(®) = ^Ет. Пусть, далее, h = = diag[(oi, .. ., coj cdj е Q*, — произвольная матрица из ф. Тогда, согласно лемме 5,卅‘一 三 Zx (®). Матрицу h можно записать в виде

h = m{ diag [1, а2, ..., а/・ Так как

(й『т =(0旷| = то

吟-1 = ], / = 2，

Если теперь А1 ^ § и h{ = coj diag[1, а2, ..., аг], то %力7三乙◎).

Следовательно,

经：Z]婚)《伫尸f.

Так как ⑤：戲 а网，то

® : Z| (®) w 八 *т)(I)& 献九"T("7)= V (n, /).

Так как G : Z〔 (G) = GZ【(®) ^v(n, /), to

G：Z](G)&y (小 /). ■

Из теоремы 1 с использованием леммы 17.5 получаем

Следствие 1. Если поле А совершенно, то неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL(n, Д) является d-группой.

Неприводимые нильпотентные группы матриц над алгебраически замкнутым полем.

Теорема 2. Пусть G — неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL(n, Q), где Q — алгебраически замкнутое поле. Тогда TI(G/Zi(G)) = П(м).

Доказательство. Согласно лемме 6 группа G мономиальна. Следовательно, существует такой гомоморфизм у: Gf S冷，что Ker у n Zi(G). Так как группа G неприводима, то 1ш у ——транзитивная группа. Следовательно, /i|card(Imу). Очевидно, что

G : Z] (G) = (G : Ker у) (Ker 丫 ： Z] (G)), n\G：Z{ (G),n(n)c：n(G/ZI(G)).

С другой стороны, в силу леммы 5, порядок каждого элемента фактор-группы G/Zt (G) делит число где k\n. Следовательно, H(G/Zj(G)) иП(м).

Следствие 1. Если основное поле алгебраически замкнуто, то П(^) =口(胃)，где Л ——экспонента факторгруппы Z2(G)/Zf(6).

Следствие ?. Если Q — алгебраически замкнутое поле, a char Q|n, то в группе GL(n, Q) нет неприводи~ мых нильпотентных подгрупп.

Следствие 3. Пусть Д — произвольное поле, a G―■ абсолютно неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL(n, А).

Тогда n(G/Z[(G)) = П(/г).

Теорема 3. Пусть Q — алгебраически замкнутое поле, a G — неприводимая нильпотентная подгруппа

в GL(n, Q) такая, что Z】(G) = С*Е小 Тогда G()= =G П SL(% Q) является конечной группой, П(бо)= -" (北)•

Доказательство. Пусть g 三 G. Так как поле Q алгебраически замкнуто, то в есть такой элемент со, что det g = со??. Следовательно,

^~lEtlg 三 Go， G = GZ (G).

Далее,

G : Z] (G) = GZ (G) ： Zi (G) = G°: (G° П Z^G^

card (Go П Z[ (G)) = n.

Отсюда

G0：(EJ-n(G：Z1(G)).

Следовательно, Go — конечная группа, II(G0) =П(/г). Я

Следствие 1. Пусть " — неприводимая нильпотентная подгруппа группы SL(n, Q), где Q — алгебраически замкнутое поле. Тогда группа " конечна и II (Я) = П (拄).■

Доказательство. Пусть G = //Q*, Go = G Я SL (п, Q). Тогда, по теореме 3, Go——конечная группа и П(бо) =П(/г). Очевидно, 〃 и G(), следовательно, П (Я) <= II(/г), а Я конечна. Далее,

G0& 生 Н[Н П Q*£a.

Следовательно,

II (Н/Н П Q*^J = II (G/Q*EJ = П (и),П(Я)=эП(/г).

Отсюда П(Я) = П(〃). И

Пусть Q — алгебраически замкнутое поле, а 叽一 система всех таких подгрупп гр)шпы GL(n, Q), что:

каждая группа из 叨乙 есть неприводимая нильпотентная группа класса /;

группа из Фч не содержится о другой нильпотентной подгруппе группы GL{n, Q) класса /.

Тогда справедлива

Теорема 4. Система ®1» разбивается на конечное число классов сопряженных g GL(n, Q) подгрупп.

Доказательство. Пусть G 三耽厶 Тогда Z^ = =Z；(G) = Q*En. В силу теоремы 3 G — G0Q*. Следовательно, группа G однозначно определяется конечной группой Go,, порядок которой не превосходит 〃v(仏 /).

Существует лишь конечное число неизоморфных групп, порядки которых не превосходят числа nv(ni /). Каждая конечная группа имеет лишь конечное число неэквивалентных неприводимых линейных представлений степени 〃 над полем Q. Отсюда и вытекает теорема.鬭

Нильпотентную группу класса нильпотентности 2 будем называть метабелевой. Ниже в качестве примера опишем все максимальные неприводимые метабелевы подгруппы группы GL(nt Q), где й ——алгебраически замкнутое поле.

Теорема 5. Пусть Й ——алгебраически замкнутое поле, q G ——неприводимая нильпотентная подгруппа s GL(%Q). Если группа Z2 = Z2(G) неприводима, то G = Z2, т. е. G ——метабелева группа.

Доказательство. Абелеву группу Z2/Z3 где Z[ = Z[(G), запишем в виде произведения р цикличе^ ских групп порядков /1, ... , /р:

Z2Z = (qZ) . . . (CpZJ;

Z2 =(Q)(3)(ср) Z» Z? • Z]=厶厶

Согласно лемме 3 в группе G есть такой элемент g；, что (Q, gj) = ZjEn, где Е； — элемент порядка 厶 из Q*. С другой стороны, для gwG (8，g) = £；E展 Следовательно, G= (gj)匕，где Fj ——централизатор 内 в G, Как легко видеть, G : F； = /7. Если теперь 尸——централизатор Z2 в G, то G : F Zi ... /р? так как 尸——пересечение групп 尸 1,・..,Fp. В силу неприводимости группы Z% F = Zp Следовательно, G : Z〔 & 八...l9 = Z^' Zi. Отсюда 6 = Zz・ H

Теорема 6. Пусть G ——неприводимая метабелева подгруппа группы GL(n, Q) над алгебраически замкнутым полем Q, a Zi(G) = ^Еп. Тогда группа G максимальна среди метабелевых подгрупп 8 GL(明 С).

Доказательство. Согласно лемме 4 G : Z〔(G)= =п2. Если ® ——метабелева подгруппа группы GL{n, Q) и ® =)G, то Zi(®) = Zi(G) и ® : Zt (G) = п2. Отсюда ⑤=G.置

Теорема 7. Пусть Q ——такое алгебраически замк* нутое поле, что char С 才 几.Запишем число 几 8 виде

п =电々2 ■ * * 財' (4) где ki > I, i = I, ... f tt kj[ki при t < /. Тогда:

. Каждое разложение (4) числа п определяет максимальную неприводимую метабелеву подгруппу rftjfe2... kt группы GL(n, Q), матрицы g которой имеют вид

g = ?.a：%а：公， AwQ*,(5)

где

% = Er…hj—X出眩［1, %，…，Е：『'］义E打+】…kt

.ГО 11 .

bj==Eki ...kj_i X 以厂］° X Ekj+i ke

Ej — элемент порядка kj из Q*.

. Два различных разложения числа м вида (4) определяют две неизоморфные группы 匸储^

. Каждая максимальная неприводимая метабеле- ва подгруппа группы GL (& Q) сопряжена с одной “ только с одной подгруппой Г&・・.&, определяемой некоторым разложением числа и вида (4).

Доказательство. Рассмотрим 1\(... % = (aj (仇)... •…(％)(%)◎，Очевидно, 1% …”口寸以.Из (5) следует, что (а『，％) = £/%, (/, %) = (%, 0/) = (勿，Ь、= Е® при /声 j. Отсюда вытекает метабелевость группы「航 …忆 Из этих же соотношений следует линейная независимость п2 элементов

冲公…a?*, о < a/ <勺，0 《勺V%.

Таким образом, ГА1...玄士 一 неприводимая метабелева подгруппа группы GL 也,Р) и Z；(『电・.・同)= Q*£\「Отсюда и из теоремы 6 следует (i).

Далее,

r = r,i..(^/z1 =(^z1)(^zI)^^^^

т. е. Г ——прямое произведение 2f циклических групп порядков 也,々％ …・,kt, kt，(ii) доказано.

Пусть G — произвольная максимальная неприводимая метабелева подгруппа группы GL (n, Q), Тогда, как

при доказательстве теоремы 19.2, можно установить, что

О = ((?[) (d[) . *. (С/) (d/) Й*,(&, d^) = &vEnf

где ev — элемент порядка ^v из Q*, элементы разных пар перестановочны, fei ... kt = и, kj+l\kj, / = 1, ...,/—1. Ясно, что c：t dQ 三。工疗 Так как поле 0 алгебраически замкнуто, то можно считать, что

c；v = d：v = Еп.

Следовательно, GaF氏…^ и изоморфизм

大0：/ …询力f мг:吋I…a*%,九三Q*, можно продолжить до автоморфизма

£%..产公…中/ - ^相…y:吋I ... 。"%

алгебры ◎门=[G]=[『月… 々卜 Отсюда вытекает, что группы G и Г耳…弘 сопряжены в GL(〃，Q). Я

Следствие 1. Группа GL(〃，Q), где char Q ^п, имеет столько несопряженных максимальных неприводимых метабелевых подгрупп, сколько существует неизоморфных абелевых групп порядка п.

Следствие 2. Две максимальные неприводимые метабелевы подгруппы группы GL(n, Q) тогда а только тогда сопряжены в GL (п, Q), когда изоморфны их фактор-группы по центру.

3. Одна бесконечная цепь неприводимых нильпотентных подгрупп в GL(n, Q). Следующая лемма справедлива при любом основном поле Д.

Лемма 7. Пусть

О И

也=oJwG厶他a),⑹

a d ——произвольная диагональная матрица из SL(n, Д). Тогда 白 группе GL(〃,A) есть диагональная матрица с такая, что

(с, А) == d.(7)

Если с и f ——диагональные матрицы из GL (n, Д) и (с, /i) = (f, h), то f = Хе,九 w Д*,

Доказательство. Пусть

d == diag [6°, 6[, . ♦., 6〃—J 三 SL (л, А)•

Как легко проверить, матрица

c = diag[l, у,…，у—],

V/ = 6"…，6〃 /= 1, . .,, /г — 1, удовлетворяет условию (7).

Пусть теперь с и f ——диагональные матрицы из GL(n, А) такие, что (eJi)—(厶九).Тогда (L力九)=E% Однако простой подсчет показывает, что диагональная матрица, перестановочная с Л, скалярна. Следовательно, c-'f = 8£z， Z А*,/ = Лс. Н

Пусть теперь Q — алгебраически замкнутое поле, a char Q 才儿 С помощью леммы 7 мы построим возрастающую' цепь неприводимых нильпотентных подгрупп GL(n, й), содержащую группы любого класса нильпотентности / > 1.

Сперва построим бесконечную цепь подгрупп группы диагональных невырожденных п X ^-матриц над Q;

"1，百2，•…，/j，• « * j

где A[ = Q*Eni a Aj при / > 1 есть множество всех таких диагональных матриц f из GL(n, Q), что (力 Л)= =1卜尸卜7 wAf h — матрица вида (6) из GL(% Q).

Лемма 8. Для любого j，1 фактор-группа Aj+x/^j является циклической группой порядка п.

Доказательство. Рассмотрим сперва Л2. Пусть с2=diag [1, % . . . , е71-] где е—элемент порядка п из Q*. Легко проверяется, что

c2hc2lh~l =еЕп.

Если теперь

МиГ%-、=九Е“ 三 4 = ^Еп,

то 入汽=1. Следовательно,入=吗 0 W а V 几.Отсюда, в силу леммы 7, находим

4=== (^2)Q*E" = (с?) 4・

Таким образом, для /= 1 лемма доказана^

Пусть / > 1, и пусть доказано, что 4=(口)4一1, а 1, 勺，…，с；т — полная система представителей смежных классов группы Aj по 4—1. Покажем, что A^yfAj — циклическая группа порядка п. Две матрицы и и у из 4+1 тогда и только тогда принадлежат одному и тому же смежному классу по Л；, когда матрицы (〃，h) и (и,用)находятся в одном и том же смежном классе Aj по Aj-i. Де访ствигельно, пусть

uhirxh~x ~ di-{vhv~lh~\ d『—i 三 4/—r

Тогда L〃无=办一 JzL% откуда

еt〃，力)=力—1 三 4/一" 0-% 三 4/, 红三 vAj.

Обратно, пусть и = djV,壮/三4厂 Тогда

(и, h) = divhv~'dT'h~' = djivhv^h"') hd^h^' =

—(f> h)(di，h} = dj-i(v, h),

(«, Л)三 ®,力)4一.

В силу леммы 7 в А^\ есть такая матрица с/^, что (内十[,力)=入с「где det (Лс/) — 1,入三◎*・ Очевидно, что (畐 1,九)=九％靠 Отсюда и из предыдущего замечания следует, что 1, с/+р …，с；口1 есть полная система представителей смежных классов Л/+] по 4/. ■

Введем теперь группы %, положив

% =(用)4,/ > L

Теорема 8. (i) 「〜 一неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL (и, Q) класса /.

При j<l А} есть j-u гиперцентр группы, %, г. е・ 4 = Z/(5).

Г„ максимальна среди нильпотентных подгрупп группы GL (и, □) класса /.

'(iv) R：Zi(%)=〃・

Доказательство. Группа 匕 неприводима, ибо она содержит и2 линейно независимых матриц с*九°, O&ctV 拄,0 ^р<и. Из неприводимости 「〜и включения Ai = QfEn(^.rin следует, что Л, есть центр группы Г„.

Пусть 1 <j<Z и доказано, что

Лу-i = 7/-1(Гп).

Докажем равенство

AS = Z^.(8)

С этой целью рассмотрим взаимный коммутант(Л/, Г^): (4, R)=⑷，® 4) = (4，®) и 4一，л； и Z/(R).

С другой стороны, каждая диагональная матрица груттпы Zj(F%) принадлежит Л/. Если же 酬三％ и ш — недиагональная матрица, то w ^ Z；(Г；г). Действительно,

⑪=九%0 <а </г, с 三 4，

(Q, 9)=(Q,九°) =(Q,九)° =入С；—1,入三 A：

Так как / — 1 </ — 1, то

⑪亥 Zj(C)・

Следовательно, (8) верно при / </. Так как Г^ \ Ai~пу 4 : Zj (Г^) = и, то

匕：Zt—i(F%) = /?・

Далее,匕=伍)(曲4-卜 Фактор-группа

「2/4-1 =(九)4一1/4一「(s) л；-1/л；-1

абелева, ибо (瓦 q) w 4т・ Значит, % (%) = %,

т・ е. Г~ ——нильпотентная группа класса Z. Очевидно, что Л；_1 ： А{ = и/-2. Следовательно,

匕：Zi (%) = 〃•

(iv) доказано.

Остается доказать (iii). Пусть Г„ cz Г, где Г — нильпотентная подгруппа группы GL (л, Q) класса нильпотентности /. Тогда Z{ (Г) = А{. Пусть / </ и для всех 力 меньших j, Zf(F)u4・ Покажем, что

Z/(F)u%・(9)

Для gj ^Zf (Г) имеем

d/-i = (g/> 九)巨 Z/т (Г*) и/4/т， detd/T = l・

Следовательно, в группе Л/ есть такой элемент d〃 что(d/, 3 = (g/,九)=必7・

Отсюда g/ = d/u, (v, А)= 1. Рассмотрим (с2, g/):

(с》^/)= (с2» 4。) =。7-1 巨 Z/f 1 (f) и 4T

Следовательно, матрица ©必汐近‘尸犷,а с ней и матрица 0сГ?т диагональны, (с2, g/) = (с2, и). Далее, «,力_i) =(儿 c2vc2}v^) = hc2vc2iv~ih~ivc2v~{c2i =

=饱0齿%J&尸e^.

Так как &九=£九&, то А~1с2==ес2А~1. Следовательно, @，力-1)=自20e手以2九一%-%家‘=e%2九一1卤1 =配一‘e"=Eb. Таким образом, c^)c^d^ —диагональная матрица, пере” становочная с h. Так как det(c2> и)= 1, то (с2, и) = £«£■, » ?=九九* 九 曰口二 gj = ^dj/i“・ Рассмотрим

(勺+i，g/) = G/+i，^jha) = cl+xd^c-^h~ad-x =

=(:"色斤%%7:"" = (c/+1,外)="C； w 4T，" s Q".

Отсюда получим a = 0, g/ = A,d/, т. e. (9) верно для j</. В частности, Z』一】(F) и/丄一厂 Пусть теперь g — произвольный элемент группы Г, Тогда

(g, Л) = ^/-1 巨 Z~i (Г) и / j, det dl_i = 1.

Следовательно, в группе Л； есть такая матрица dit что (山，A) = dz-i. Отсюда g = d図，(и, А) = £л, ?=九九\ g = ^"wi7, г = г^. н

Следствие 1. Для любого / > 1 8 группе GL (м, Q) есть конечная неприводимая нильпотентная класса / подгруппа ® порядка п1+\

Доказательство. Положим О =匕 f] SL (n, Q). Очевидно, Г„ = ®Q Еп. Отсюда следует, что ® — неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL (n, Q) класса Л Далее,

r^/Q£„^®/Q£nn®-

Согласно теореме 8

Гд : Q = 〃.

Очевидно, что card (Q*^ П ®) = п. Следовательно, card ® — M+L ■

Лемма 9. Пусть Г — такая нильпотентная класса / неприводимая подгруппа группы GL(% Q), что факторгруппа Z2(T)/Zi(r) содержит элемент порядка п. Тогда Г сопряжена в GL (n, Q) с некоторой подгруппой группы Гд.

Доказательство. Очевидно, что Zi (Г) с= ^*Еп. Следовательно, можно счи-тать, что Zi (Г) =Q*£n. Пусть aZi (Г) —элемент порядка п фактор-группы Z2(V)IZi (Г). Тогда, согласно лемме 3, в группе Г есть элемент b такой, что

Q b) = eEni(10)

где е ——элемент порядка п из Q*. Так как Г => ^*Еп, а поле ◎ алгебраически замкнуто, то а и & можно выбрать так, что

ап = bn = Еп.(11)

Из равенств (10) и (11) следует, что в подходящем базисе пространства Qn матрицы а и & имеют вид

。=3 = diag [1, е, ..., еп*!], b = ht

где h определяется формулой (6). Следовательно, заменяя Г группой, сопряженной с ней, мы можем считать, что с2 & 22(Г), А е Г. Пусть теперь g — произвольный элемент группы Г. Тогда

(&, g) = ^Еп = (с2,也°)? ‘(&,厶 ag) = Еп.

Следовательно, h~ag ——диагональная матрица, Г = =(Л)Ф, где Ф — централизатор* с2 в Г, т. е. совокуп-

ность всех диагональных матриц группы Г. Так как Г« = (А) Л/, то для доказательства леммы достаточно установить справедливость включения Ф cz Аь Положим ①j =① П Zj(F), / — 1, ...» /. Тогда(Di =① A Zi (Г)= =4・ Пусть / > 1 и ①г и А—. Покажем, что ①j и U4. Для屮三①)имеем (屮，九)三①，(中，九)三4・_1, (Ф,也)三①j—i. Группа Aj содержит 屮 по построению. Следовательно, ①j и Л；;

①=①,=① f] Z, (Г)=① R F и 4/. ■

Теорема 9. Пусть в разложении числа п все простые множители различны. Тогда каждая неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL(n, Й) класса / сопряжена в GL (胃,Q) с некоторой подгруппой группы Г^. Любые две неприводимые подгруппы группы GL(n, Q), максимальные среди ее нильпотентных подгрупп заданного класса нильпотентности, сопряжены s ней.

До казательство. Пусть Г ——неприводимая нильпотентная подгруппа группы GL (n, Q) класса /. Так как число п не имеет квадратных делителей, то, в силу следствия 2.1, экспонента фактор-группы Z2 (Г)/^i (Г) равна п. Следовательно, по лемме 9, Г сопряжена в GL(/i, Q) с некоторой подгруппой группы Р t Если же Г максимальна среди нильпотентных класса / подгрупп группы GL(〃, Q), то Г сопряжена с Г„. И

Нильпотентные неприводимые линейные группы над конечным полем изучались в статьях Супруненко, Апатенок [1], [2]. Полностью описаны максимальные нильпотентные неприводимые подгруппы группы GL(n, А) для конечного Д. В частности, установлено, что в случае конечного А две максимальные нильпотентные неприводимые подгруппы GL(ti, А) сопряжены, если сопряжены их центры.

Неприводимые локально нильпотензные группы матриц

Редукция к абсолютно неприводимым группам. Фактор-группа по центру. Группа называется локально нильпотентной, если каждое конечное множество ее элементов порождает нильпотентную группу.

■ Всюду в этом пункте Д — произвольное поле.

Теорема 1. Пусть G — абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (п, А). Тогда фактор-группа G/Z】(G) является периодической группой и II(G/Z1(G))= II(п).

Доказательство. Так как группа G абсолютно неприводима, то Zi (6) о &*Еп. Каждый элемент g группы G содержится в некоторой абсолютно неприводимой нильпотентной подгруппе g группы G. Действительно, если g, g2， • • •» 且出一 линейно независимые матрицы из G, то порождаемая ими группа & нильпотентна, абсолютно неприводима и содержится в группе G. Согласно следствию 27.2.3

口(0自俾))=口(办

С другой стороны,

Z] @) и 4 (G) и

Следовательно, для любого 九三 S порядок элемента hZi(^) фактор-группы g/Z—g) совпадает с порядком элемента hZ\ (G) фактор-группы G/Z\ (G). Отсюда и вытекает теорема. ■

Теорема 2. Пусть G ——неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (几, А). Тогда G/Zi (G)——периодическая группа, причем fl(G/Z](G))u с= П(п).

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 27,1, можно установить, что группа G содержится в локально нильпотентной подгруппе ® группы GL(nt Д), обладающей следующими свойствами：

® — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(rt S), Smr = п.

Zf ((§) = £*& nZ](G).

По теореме 1

П (⑤怎網)) = □(「)・

Далее,

G/Zi (G) = G/G П % (⑰ 仪 GZi (勁/Zi (②.

Следовательно,

II(G/Zi(G))uII(r)un (初■

Теорема 3. Пусть G — неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(n, Д), [G] — линейная ^-оболочка группы G, a [Zi(G)] — линейная Д-обо- лочка группы Zi(G). Пусть центр алгебры [G] совпадает с jZi(G)]. Тогда n(G/Zi (G)) = П(/гц~1), где 卩= = [Zi(G)]:A.

Доказательство. Положим [Z】(G)] = FE仪一匕 где поле 尸 есть образ неприводимой части [Z】(G)],屯=лр/Л Тогда G и GLg> F), а центр алгебры [G] совпадает с FE” С другой стороны, [G] = Г/, где Т — тело, центр которого совпадает с 尸七小一,п} = / (Г ； £). Централизатор алгебры Т? в полной матричной алгебре £'勺 совпадает с DE「где D — тело, инверсно изоморфное телу Т. Очевидно, D П Т = FE^li. Пусть теперь S — максимальное коммутативное подтело тела D, Тогда

(£ :尸尸=Т ：尸=Q ：尸=ri[l^1 = m2.

Группа ® = S*G локально нильпотентна. Рассмотрим линейную ^-оболочку [®] группы ®. Очевидно, что [®] = £丁卜 Далее, £7〉一 алгебра над 2, EQ : 2 =加2〃・ С другой стороны, элементы алгебры WQ—матрицы порядка nil над 2. Следовательно, [®] = 2mZ, т. е. ® — а6・ солютно неприводимая подгруппа группы GL (加厶 £). По теореме 1

11(®/2*£ш/) = П (風)=П (m2/) = II (&)・

, G/Z] (G)三GZ1(О)® (⑤)=⑥£任加.

Следовательно,

П(6/71(6)) = П(/г1) = П(/гц-1). ■

Теорема 4, Пусть G—максимальная неприводим мая локально нильпотентная подгруппа группы &L(〃,A), a S — линейная ^-оболочка группы Zi(G). Тогда G — максимальная абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(г, S), ade r=n(S : А)~\

Эта теорема следует из теоремы 14.7.

Теорема 5. Пусть G ——максимальная неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(n, А), q S ——линейная ^-оболочка группы %i(G). Тогда TI(G/Zi(G)) = П(г), где г = п(S : А)*1.

Доказательство. По теореме 4 G — абсолютно неприводимая подгруппа группы GL (г, W). Отсюда и из теоремы 1 находим n(G/Zi(G)) = П〃)В

Теорема 6. Группа 6厶(％ А) тогда “ только тогда обладает абсолютно неприводимыми локально нильпотентными подгруппами, когда для любого q 包 еП(几)в А* найдется элемент порядка q.

Доказательство. Пусть в группе G L (п, А) есть абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа. Тогда, очевидно, в GL(〃，А) есть абсолютно неприводимая нильпотентная подгруппа G. Согласно следствию 27.2.3

U(G/Zi(G)) = n(〃)・

В силу леммы 27.5 n(G/Z1(G)) = n(fe), где 々 ——экспонента фактор-группы Z2(G)IZ{ (G). Следовательно,

П(/2)-П(й).(1)

Так как G ——абсолютно неприводимая группа, то Zj(G)uA*5n. В силу леммы 3 в группе А* есть элемент порядка 々.Отсюда и из равенства (1) следует, что для любого числа q из П (几)в группе А* найдется элемент порядка q.

Обратно, пусть для любого простого делителя q числа п в группе А* есть элемент порядка q. Покажем? что группа GL (м, А) обладает абсолютно неприводимыми локально нильпотентными подгруппами. Пусть сперва 几=д', где q ——простое число. Рассмотрим группу G =Ql №小 где Q ——подгруппа порядка q группы Д*, a N^ — подгруппа Силова симметрической группы Sqf. Если Q ——любое поле, содержащее поле А, то в силу леммы 15.4 G ——неприводимая подгруппа в GL(q* 0). Следовательно, G ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(q* А). Очевидно, G является

§ 28] НЕПРИВОДИМЫЕ ЛОКАЛЬНО НПЛЬПОТЕТИГНЫЕ ГРУППЫ 309 конечной (/-группой. Следовательно, группа G нильпо- тентна. Таким образом, для' и = ql утверждение доказано. Пусть теперь

« =办…q*

—— каноническое разложение числа 及,a G〃 j = 1,...

左,——абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(g), А). Тогда кронекерово произведение Gi X .. . X G/； является локально нильпотентной абсолютно неприводимой подгруппой в GL(储 А). ■

Теорема 6а. В группе GL(n, А) тогда 〃 только тогда имеются неприводимые локально нильпотентные подгруппы,^ когда поле А обладает таким расширением Е, что Е:А делит число п, а для каждого 〃三 口 ["^^) 6 X* есть элемент порядка р.

Доказательство. Пусть в группе GL (п^ А) есть неприводимые локально нильпотентные подгруппы. Тогда в ней есть неприводимые нильпотентные подгруппы. Следовательно, в силу леммы 27.1, в GL(r, 2), где S — такое расширение поля А, что £:А|〃，а 厂=$Х*， есть абсолютно неприводимая нильпотентная подгруппа @. По теореме 6 для любого р е П(г) в группе W* есть элемент порядка р. Следовательно, необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть поле А обладает таким расширением X, что для каждого 〃 三 口 (、二[，в S* есть элемент порядка р. Тогда, по теореме 6, в группе GL (г, S), где 厂=工冷△一, существует абсолютно неприводимая локальная нильпотентная подгруппа G такая, что Zi(G)=X*£t. Изображая элементы о поля Е матрицами степени W : А над полем А, мы можем трактовать G как подгруппу группы GL(n, Д). В силу леммы 14.4 G — неприводимая подгруппа группы GL(n, А). Н

八 2. Неприводимые локально нильпотентные подгруппы группы GL(n, Q) над алгебраически замкнутым полем Q・ Пусть Q ——алгебраически замкнутое поле. Из теоремы 6 следует, что в группе GL(n, й) тогда и

только тогда имеются неприводимые локально нильпотентные подгруппы, когда char Q ^ П(п).

Лемма 1. Пусть G — неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(nt Q) такая, что Zj (G) = Q*En> Тогда Go = G П SL(ny Q) является локально конечной группой, II(Go) = П(и),

G = GqQ*. (2)

Доказательство. Равенство (2) очевидно. Из (2) следует, что Go ——неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(拉，Q). Любое конечное множество элементов группы Go содержится в неприводимой нильпотентной подгруппе Н и *L(n, Q). По следствию 27.3.1 Н — конечная группа и П(//) = П(п). Отсюда и вытекает лемма. ■

Лемма 2. Локально нильпотентная неприводимая подгруппа G группы GL(n, Q) мономиальна.

Доказательство. Из свойств непродолжаемых разложений пространства на системы импримитивности группы следует, что достаточно установить импримитивность группы G при n > 1. Пусть группа G примитивна. Мы можем считать, что Z〔(G)= ^Еп, Из примитивности группы G следует, что Q*En — ее максимальный абелев нормальный делитель. Так как группа G разрешима, то G : ^Еп V 8, Go — G (] SL (n, Q) — конечная группа. Отсюда следует, что Go — нильпотентная примитивная подгруппа в G L (п, Q). В силу леммы 27.6 п — 1. И

Опишем теперь максимальные локально нильпотентные неприводимые подгруппы группы GL(n, Q). Как уже отмечено выше, если char й е П(п), то в группе GL(n, Q) нет неприводимых локально нильпотентных подгрупп. Пусть char й ^ П(п). Сперва рассмотрим случай, когда п = pv, где р — простое число. Введем одну неприводимую локально нильпотентную подгруппу FpV группы GL(pv, Q))ПОЛОЖИВ

I> = (PIA»Q*E“，

где п == pv, Р есть р-подгруппа Силова группы й*, a %v есть р-подгруппа Силова симметрической группы SpV< Как известно, группа NpV транзитивна, а группа

РI NpV является р-подгруппой Силова PpV группы GL(pv, й). В силу леммы 15.4 группа PpV неприводима. Так как PpV — локально конечная р-группа, то F"V = =PpVQ*En является неприводимой локально нильпотентной подгруппой группы G£(p”，Q). ■

Лемма 3・ Всякая неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (pv> □) сопряжена 8 GL(p", Q) с некоторой подгруппой группы ГрУ.

Доказательство. Пусть G — неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(p^, R). Мы можем считать, что G n Q*启宀 Согласно лемме 1 G = =G0Q*f где Go= G f}SL(p\ Q), H(G。)= Ц(户)={//}. Таким образом, Go есть р-группа. Go содержится в некоторой р-подгруппе Силова Q группы GL〈p", Q). Согласно лемме 25.6 心厂1 =尸宀 где t ^GL (pv, П). Отсюда

ЮГ1 = tGot~'QEpv <= Pp^Epv = 1>. В

Следствие 1. Г^у — максимальная неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы. GL(p\ Q). Любые две максимальные неприводимые локально ниль』 потентные подгруппы группы. GL〈p\ Q) сопряжены 8 ней.

Построим теперь одну неприводимую локально нильпотентную подгруппу Гп группы GL (n, Q). Пусть

" = р?…時

—каноническое разложение числа /г. Положим

^п =pV] 火 •一火尸以，1几=@百еМ

pk

Так как группыТак как группынеприводимы и локально нильпо-

Так как группы

Так как группы

тентны, то Гп — неприводимая локально нильпотентная подгруппа ц?ушш GL(n, Q).

Теорема 7. Всякая неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (n, й) сопряжена 8 GL(n, Q) с некоторой подгруппой группы Гп. Любая максимальная неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (п, й) сопряжена 8 GL (n, Q) с группой Гп.

Доказательство. Пусть G ——неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (ft, Q). Мы можем считать, что ^Еп и G. Тогда G = О0й*Яп, Go = — GC\SL(n, Q). Согласно лемме I, Go ——периодическая группа и П (Go) — П («). Следовательно, Go ——прямое произведение Go = ^Pi X • • • X 平总，где 平/ есть ^--подгруппа Силова группы G&, / ~ 1, 2, ... r k. В силу леммы 16.4, неприводимые части группы 沁 попарно эквивалентны. По теореме 2 степень неприводимой части группы 平/ делит число pJ, j=l, 2, . . ., k. Отсюда, применив теорему 16.3, получим: Go ~ Ф1 X • • • Х^Р/гэ где *j ——неприводимая подгруппа группы GL (р；『,Q), изоморфная 半〃 j=l, 2, ..., k, а X есть знак кронекерова произведения групп. Подгруппа ф； сопряжена в GL(p；『，◎) с некоторой подгруппой группы 平;厶 Следовательно, Go сопряжена в GL (п, Q) с подгруппой группы ©, a G —— C подгруппой группы F仍 ■.

Максимальные неприводимые локально нильпотентные группы матриц над произвольным полем А, В силу теоремы 4 при изучении максимальных неприводимых локально нильпотентных матричных групп можно ограничиться случаем абсолютно неприводимых групп.

Теорема 8. Пусть 〃= 〃:^ — каноническое разложение числа м, G—максимальная абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GLg А). Тогда (?=61火一.乂&, где G; — максимальная локально нильпотентная абсолютно неприводимая подгруппа группы. GL ^h А), / = 1, ..., k.

Доказательство. Так как группа G абсолютно неприводима и максимальна среди локально нильпотентных подгрупп в GL(〃，◎), то Z“G)=及以」По теореме 1；

n (G//VEJ = 口3)= {〃i，必}.

Следовательно,

G]NEn = H 心 ％ 义…XHMNEq(3)

где HjJNEn есть ^/-подгруппа Силова группы GNE* Для / #= j группы Н[ н Hj перестановочны поэлементно.

Действительно, пусть а 三"〃 b 三"〃，* j. Тогда ab = =kba, Л s А*, /；三 А*£„, 6Р/ w Д*£„. Отсюда

у 6

九匕=九'/ =1, 九=1, ab = ba.

Пусть теперь 沿力——линейная А-оболочка группы "；. Докажем, что центр С алгебры 5^ совпадает с \Еп. Очевидно, С п Д£н. С другой стороны, элементы центра С перестановочны с каждым элементом группы G. Следовательно, С и А£п, С = Д£"п. Из (3) находим

G = gU,(4)

где U = Н?…Hr, а взаимный коммутант ("i, U)= =(以).Неприводимые части групп 修 попарно эквивалентны (лемма 16,4), Следовательно, в подходящем базисе пространства Дп матрицы h{ ^ Н{ можно записать в виде

— g 1 乂^ Е — 1

1ПП1

где gi пробегает неприводимую локально нильпотентную подгруппу Gi группы GL(nh Д), когда 也 пробегает Я(. Так как центр алгебры 2?i совпадает с ДЕ„, то центр линейной Д-оболочки [GJ группы Gi равен А£畑，а центр группы Gi равенСледовательно, к груп

пе G)применима теорема 3, т, е,

n(G1/Z1 (G|)) = H(M.

Очевидно, что G"Zi (G» = "i/A*£n. Так как HJNEn есть ^i-подгруппа Силова группы G/^En, то

几尸电 0<pt <ar

Рассмотрим теперь группу U (см. формулу (4)). Центр ее линейной А-оболочки [U] совпадает с А£п, неприводимые ее части попарно эквивалентны. Пусть & — степень неприводимой части алгебры [U], Тогда, применяя предыдущие рассуждения, находим

电=您… 件? 0 V 8/ 《 a/ j = 2,…

Очевидно, 〃1九2 & 〃. К группам Gi, Н», U применима теорема 16.3, следовательно,

G = G$S， ■(5)

где G{ — абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа в GL(p：“ A), a U]全 U — абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа в GLfjip;%》А),

Z^G^^E^, Z^U^^E^.

Так как G максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группн GL(〃，А), то Gi максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группы GL(np;%，八)， a U\ — среди локально нильпотентных подгрупп группы GL^p^y △} Применяя предыдущие рассуждения к группе Ui, с помощью формулы (5) получим требуемое. S

Доказанная теорема сводит описание максимальных абсолютно неприводимых локально нильпотентных ла- тричных групп степени п к случаю, когда п есть степень простого числа.

Рассмотрим теперь максимальные абсолютно неприводимые локально нильпотентные подгруппы группы GL (ра, А), где р ——простое число.

Теорема 9. (i). Пусть G ——максимальная абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(pa, Д). Тогда фактор-группа G/^Ep(l является p-под группой Силова проективной группы PGLg * = GLg А)/А'Е/・

Пусть HINE* есть р-подгруппа Силова группы PGL (р% Д), а Н ——абсолютно неприводимая подгруппа группы GL(pa, Д). Тогда Н ——максимальная локально нильпотентная подгруппа группы GL(pa, А).

Доказательство, (ii) Пусть Q ——алгебраически замкнутое поле, содержащее поле Д. Очевидно, что

GL (叫 А)/А*Е.а 4 GL (叫 А) О^Е^Е^ и

uGL(p3 ^Ера.

Следовательно, группа Н/^Ера изоморфна некоторой р-подгруппе группы GL (ра, й)/й*£ра. Любая р-подгруп- па группы GL(pa, Q)/R皐Е*а содержится в некоторой

§ 28] НЕПРИВОДИМЫЕ ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ 315 р-подгруппе Силова ^/й*£ра группы GL (ра, й)/й*£₽а* Группу 孑 можно записать в виде

9 = ^Epai 先=SL (叫 Q) П 死

Так как

乡/£?% = ”/(吗 а),

где п ——элемент порядка ра из Q*, то 夕о является р-под- группой в GL^, 0). Отсюда следует локальная конечность группы 夕о и локальная нильпотентность групп 夕 и ". Пусть теперь И и "「где 丛一локально нильпотентная подгруппа группы GL(pa,厶).Тогда

4 (修)=4 (〃) = д-£ра) п (Н^'Е^ = {р}.

Следовательно, Н^^Е^ есть р-подгруппа группы GL (ра, А)/А*Ера И

HjXEpQHINEpg

Отсюда % = Н. (ii) доказано.

Докажем (i). Из условий теоремы вытекает

U(G/\*Ep^ = {p}.

Следовательно, G/A*£pa— подгруппа некоторой р-под・ группы Силова Н/^*Ера группы PGL(pa, А). В силу (ii) группа Н локально нильпотентна. Следовательно, G = =".■

Максимальные неприводимые локально нильпотентные подгруппы группы GL(nt R) над полем вещественных чисел R описаны Супруненко в статье [9], где установлены следующие теоремы:

Если нечетное число п > I, то в GL(nt R) нет неприводимых локально нильпотентных подгрупп.

Если я——четное число, не являющееся степенью двойки, то в GL (扭,R) с точностью до сопряженности имеется только одна максимальная неприводимая локально нильпотентная подгруппа.

Если п == 2а (а ^ 1), то множество всех максимальных неприводимых, локально нильпотентных подгрупп группы GL(n, R) разбивается на два класса сопряженных подгрупп.

Любая неприводимая локально нильпотентная подгруппа s GL (п, А) при 〃〉2 импримитивна.

Приводимые локально нильпотентные группы

Группа Г(Г). Пусть Д——произвольное поле, 尸——неприводимая подгруппа группы GL (ш, А), тело D — централизатор группы F в алгебре Am, k〉1 — ro лое число, а п — km. Введем подгруппу 1%(尸)группы GL(nt А), положив

rfc (F) = (FX£J Tk (D),(1)

где F 乂 Eh состоит из всех матриц вида

/义а = diag[f,…，力， pF,

a 7&(。)：—группа всех матриц вида

d"三D U А卅⑵произведение своих поднеразложима *).d"三D U А卅⑵произведение своих поднеразложима *).^m 42 • • • 4々

d"三D U А卅⑵

произведение своих поднеразложима *).

d"三D U А卅⑵

произведение своих поднеразложима *).

°0... Em _

Очевидно, что 1\(尸)——прямое групп F X Eft и Th(D).

Теорема 1. Группа П (F)

Доказательство. Как легко видеть, подмножество М из Дп тогда и только тогда разложимо, когда централизатор А4 в Дп содержит элемент, минимальный полином которого равен х(х—— 1). Покажем, что каждая матрица г из централизатора С группы F九(尸)в алгебре △п либо нильпотентна, либо обратима, и теорема будет доказана. Пусть；

^11 • • • Q 左

c ， С订三 Ag

L С* • • • %左 J,

Так как матрица с перестановочна с каждой матрицей группы F X £/ъ то Qj 三 D. Покажем сперва, что Q)= О при £ > /. Очевидно, достаточно установить, что Qi = О при t = 2,…，历 Пусть

Em 0 ««« d]續 ОО Em О ОEm 0 ««« d]續 ОО Em О Оd]續三 D , v — 2, ««« k ■d]續三 D , v — 2, ««« k ■

Em 0 ««« d]續 О

О Em О О

Em 0 ««« d]續 О

О Em О О

d]續三 D , v — 2, ««« k ■

d]續三 D , v — 2, ««« k ■

О 0 ... О Ет

Тогда из равенства си — ис получаем сц = Сц + div cv i. Отсюда м = 0. Следовательно,

q с% •«. 3也

° •・• ％ _° •・• ％ _0 Со • » • С2M С =

° •・• ％ _

° •・• ％ _

Очевидно, чтоОчевидно, что- 0

Очевидно, что

Очевидно, что

С] ==-： с? — * • •二二 с也—d 三 D.С] ==-： с? — * • •二二 с也—d 三 D.Отсюда

С] ==-： с? — * • •二二 с也—d 三 D.

С] ==-： с? — * • •二二 с也—d 三 D.

Q — Q+U

Следовательно, матрица с либо обратима, либо нильпо- тентна. Н

По теореме 13.5 Т 式 D) — нильпотентная группа класса нильпотентности 右一L Следовательно, F\(F) тогда и только тогда нильпотентна (локально нильпо- тентна), когда нильпотеитна (локально нильпотентна) группа F. В дальнейшем мы докажем, что любая неразложимая максимальная локально нильпотентная подгруппа группы GL(nt А), где Д — совершенное поле, сопряжена в GL(n, А) с группой 1\(尸)при подходящих F п k.

Эквивалентность неприводимых частей неразложимой локально нильпотентной группы. Здесь будет доказана

Теорема 2. Неприводимые части локально нильпотентной неразложимой подгруппы группы GL(nt А), где Д — произвольное поле, попарно эквивалентны.

Доказательству теоремы предпошлем ряд лемм.

a Gm)I — нильпотентная Д), матрицы g которойa Gm)I — нильпотентная Д), матрицы g которойгдегдеg =g =&gО&gО(3)(3)Пусть Д — произвольное поле, подгруппа группы GL(m + ^, имеют вид

a Gm)I — нильпотентная Д), матрицы g которой

a Gm)I — нильпотентная Д), матрицы g которой

где

где

g =

g =

&g

О

&g

О

(3)

(3)

%： g —аg， ¥2： g -%

—неприводимые неэквивалентные части группы G^j степени 】п и / соответственно.

Лемма 1. пусть h 三 G力,厶 yi (无)-七\九，Y2 (九)-&, тогда h = Em+i，

Доказательство. Пусть

"=[0 £J sG-^ 0，0。⑷

Для g из Gm, в коммутатор (g, h) либо равен Em+ii либо имеет вид (4). Отсюда и из нильпотентности группы Gm, I следует, что в G^」имеется такая матрица % #= 声 £m+i вида (4), что

(g，力 1) = Em+l

для всех g из Gm, ；. Пусть

Em仇]

Тогда из (3) находим

(g,儿)=[

0Ei J

Отсюда

agb^-1 - bl = 0, agb{ == bxcg.

В силу леммы Шура (лемма 13.1) Ь\ = 0. Это противоречие и доказывает лемму. Я

Из леммы '1 вытекает

Лемма 2. Если h 三 Gm( г, Y1(用)三 Zi(Im Y)也(用)三

^гх(1ту2)>то h^Zx(Gmil)t'

Лемма 3. Индекс Zi (Gm,;) 8 G*! конечен и не делится на char А.

Доказательство. Положим

「1Im Yi,「2 —I^"^ 丫2，

По теореме 27.1 индекс Zi (Г,) в Fj конечен и не делится на char A (i = 1, 2). Введем две подгруппы группы Gm,i：

，尸 Y「(ZO)，

В силу леммы 2

2]9加,)=，川"2-

Так как Нх и Н2 — подгруппы конечного индекса, то и Zi(Gm, в) — подгруппа конечного индекса в G^,厶 Далее, charA0n(Gzrt,;/Z1(Gzrti J),

ибо

char А ^ П (G^t i/fi^ f=l, 2. Я

Лемма 4. Группа Gm)七 вполне приводима. Доказательство. Рассмотрим линейную А-обо- лочку С группы Zi(Gm, %)• Элементы с из С имеют вид

где CiwEi, с2 M，2, a Ei н & — конечные расширения поля А. Следовательно, если с — нильпотентный элемент, то

С] = 0, с? ~0.

Но тогда для любого g из Gm,;

%Q = C^Cg.

Отсюда и из леммы Шура вытекает, что

С3 —0,с —— 0 *

Таким образом, С ——вполне приводимая алгебра, Z](G)——вполне приводимая группа. В силу леммы 3 и теоремы 17.1 группа Gm( ； вполне приводима. ■

Лемма 5. Лемма 4 остается верной, если вместо нильпотентности группы Gm, z предположить локальную нильпотентность.'

Доказательство. Локально нильпотентная подгруппа группы GL(m +厶 А) содержится в линейной Д-оболочке некоторой нильпотентной подгруппы. ■

Отметим еще, что матрицу / из GL(m + Ц А), трансформирующую матрицы группы G*/ одновременно к виду diag[a^, с^ можно выбрать такой:

,Г Е," b

Действительно, пусть

^1 5 • • • 5 ^7П+ Z(6)

—базис пространства △"屮，в котором матрицы группы Gm； / имеют вид (3). Тогда подпространство Q(, натянутое на векторы

,> * •) инвариантно относительно Gm)/. Так как группа G?%/ вполне приводима, то

An = Qi + Q2，

где Q2 — тоже инвариантное относительно G『％/ подпространство. Матрица 九，выражающая базис

где gi, …，g, — базис подпространства Q2, через базис (6), имеет вид

,Г Ет d厶=[о d. ■

Следовательно,

Gg/i = diag [as, d~xcsd\.

Если теперь /2 = diag [Em, ri-1], / = f也，то / имеет вид (5), а

для любого g из Gm, /.

Доказательство теоремы 2. Пусть G — локально нильпотентная подгруппа группы GL(n, А). Подходящим выбором базиса пространства Дп матрицы g

группы G можно одновременно трансформировать к виду

Г q(g)的2依)• • • alk{g)'

g= 0&(g)a2k (g)(7)

一 00.. . ak{g) _

где

Y/： gf a/(g)

——неприводимая часть группы G степени 几厶 j = 1,

几1 + ... + 几归=几.

Докажем следующее утверждение, равносильное теореме 2:

(*) Пусть среди неприводимых частей 丫)есть две неэквивалентные. Тогда группа G разложима.

Ясно, что есть такое t, 1 W，V 々，что 屮 и 丫计1 неэквивалентны. Когда g пробегает группу G, матрица

一生鱼)的,？+1鱼)一

.О&・+i(g) 一

пробегает локально нильпотентную подгруппу группы GL (п； + ni+1, Д). В силу леммы 5 мы можем считать, что

a厶?+1 (g) = 0

при любом g из G. Следовательно, перейдя к другому базису пространства А", можно 修 и 丫小 поменять местами. Таким образом, мы вправе считать, что в (7) эквивалентные неприводимые части % расположены рядом, т. е. если у； и 匕，где t V /, эквивалентны, a t V V у V /, то yv и yi эквивалентны. Будем доказывать утверждение (*«) индукцией по числу k. Для 々=2 оно верно в силу леммы 5. Пусть 々〉2 н для случая k——1 неприводимых частей утверждение (*) верно. Так как среди неприводимых частей %• есть -неэквивалентные, то, по индуктивному предположению, либо группа G— матриц

「％(g) ••• ai,”i(g) '

.О .. . aj (g)

либо группа G^i матриц

一 & (g) a2k (g) 一 gk-i =

.0 …& (g) 一

разложима. Пусть разложима группа Gj. Тогда матрицам g из группы G можно придать вид

&lMg)&lMg)&ia (g)&ia (g)gj(g) g =gj(g) g =оо@T,A(g)& (g)@T,A(g)& (g)4(g)004(g)0004(g)004(g)0гдегде%e(g)' 8(g) ak (g) _(8)%e(g)' 8(g) ak (g) _(8)4 (g)=4 (g)=&i(g)…aiKg)0…&T(g)&i(g)…aiKg)0…&T(g)⑼⑼

&lMg)

&lMg)

&ia (g)

&ia (g)

gj(g) g =

gj(g) g =

о

о

@T,A(g)& (g)

@T,A(g)& (g)

4(g)

0

0

4(g)

0

0

0

4(g)

0

0

4(g)

0

где

где

%e(g)' 8(g) ak (g) _

(8)

%e(g)' 8(g) ak (g) _

(8)

4 (g)=

4 (g)=

&i(g)…aiKg)

0…&T(g)

&i(g)…aiKg)

0…&T(g)

⑼

⑼

0... ax{g)

причем неприводимые части yz, 1《£《％ неэквивалентны с 丫尼・ Введем отображение /т (см. (8) и (9)):

九：gf

%(g)о

axk (g) 一爆(g).

(Ю)

В силу (8) и (9) для

к, ywG ЛМ = /т(х)/т(у),

т. е. /т — гомоморфизм. Следовательно, Im/T — локально нильпотентная группа. В силу леммы 5 и формулы (5)

существует такая

матрица

°”」

что

if 4 (g)

，0

axk (g) 一%(g).

/ = diag[&T(g)，&(g)](И)

для любого gwG. Положим теперь

Тогда, в силу (8) и (11), матрица 奩gM будет иметь вид (8), но такой, что

(g) = О

при любом g 三 G. После этого введем подобное (10) отображение

/т-1： gf/т-1： gf«т-1(^) %7/(g)-о ak (g) _

/т-1： gf

/т-1： gf

и устраним в (8) а^—1,左(g)・ Поступая так т раз, мы докажем разложимость группы G. Случай, когда разложима группа G/j-i, рассматривается аналогично. ■

Неразложимые локально нильпотентные группы. Пусть G ——локально нильпотентная неразложимая подгруппа группы GL (м, А). Тогда, согласно теореме 2, в некотором базисе пространства Дп матрицы g группы G имеют вид

"a (g)的2 (g) • • • a\k (g)-

0 a(g) ... a2k (^)

-0 0 …a (g) 一

где у: g ^―> a(g)~ неприводимое представление степени m группы G, km = м. Положим Im у = Д, а централизатор группы / в алгебре Дт обозначим буквой D. Справедлива

Теорема 3. Пусть Л является d-группой. Тогда группа G сопряжена в GL(n, А) с некоторой подгруппой группы

ГА(Л) = (ДХ^) Tk (D). (13)

В частности, если G максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группы GL(n, А), то G сопряжена в GL (м, А) с группой 普(厶)・

Иными словами, если А является d-группой, то в подходящем базисе пространства Дп матрицы g группы G принимают вид

一 a (g) 02 (g) а (g) • • • clk (g) a (g)

0 a(g) ■ • ■ C2k(g)a(g)

L 00• • • a (g)

ede c{j(g)^D.

Согласно следствию 27.1.1 неприводимая локально нильпотентная линейная группа над совершенным полем является d-группой. Следовательно, из теоремы 3 вытекает

Теорема За. Пусть поле А совершенно. Тогда неразложимая локально нильпотентная подгруппа G группы GL (м, А) сопряжена в GL(& А) с некоторой подгруппой группы 1\(А).

Доказательству теоремы 3 предпошлем длинный ряд лемм.

Лемма 6. Пусть матрица с является d-матрицей из GL (ш. А), а

「с

Тогда существует в А [х] такой полином f (尤),что 'с b{ 1

〃")=О с

а минимальный полином матрицы 〃i совпадает с минимальным полиномом(р(х) матрицы с.

Доказательство. Так как с есть d-матрица, то полиномы 屮(尤)и q/(%) взаимно просты. Следовательно, в А[尤]есть такие полиномы fi(%) и ,2(%), что

<р(х)/! W — ф7 (х) /2 W = 1-(15)

Положим

/ (х) = х + ф (х) /2 (х).

Тогда

ф(х + ф (х) % (х)) = ф(X)+ 屮‘ (х) 5 (х) +(Ф (х))2 q (%)•

В силу (15)

<P/Wf2w = <p(x)f1(x) — 1.

Следовательно,

屮(f(X))=屮(х)2 5(X)+ (ф (х))2 q(X)三。(mod (ср (х))2).

Отсюда

①(f (〃))=①(〃i) = 0・■

Лемма 7. Пусть a, b ^ А® с = ab — ba, са = ас, матрица а 兄8〃兄етс兄 d-матрицей. Тогда матрица с ниль~ патентна.

Доказательство. Так как са = ас, то для некоторого расширения Е поля А в G厶(м, 2) существует такая матрица q, что

а{ = q^[aq = di^g[alt . . а/

_ 00 • • • Y権一

Положим

仇=113</ll = 9~^9-

Тогда Cj = аф[ — bxa{. Отсюда

Yi = «/Ри = PiiCtj = 0»，= 1, • • n,

т. e. матрица с нильпотентна. ■

Будем сперва рассматривать нильпотентную группу Г и GL (2m, А), матрицы g которой имеют вид

g =g =a (g) 6 (g) 1О a(g)卜a (g) 6 (g) 1О a(g)卜(16)(16)

g =

g =

a (g) 6 (g) 1

О a(g)卜

a (g) 6 (g) 1

О a(g)卜

(16)

(16)

где у: g »—> a(g)—неприводимое представление группы Г степени т. Пусть / = Im у, а。一 централизатор группы А в алгебре Дт- Будем предполагать, что Л является ^-группой. Как легко проверить, справедлива

Лемма 8. Матрица

тогда 〃 только тогда принадлежит централизатору группы Г в GL(2m, А), когда b ^D.

Ниже мы предполагаем, что матрица h вида (17), где b w Q, принадлежит Zi (Г).

Лемма 9. Пусть h — матрица вида (17), w пусть {g, h) е Zi (Г) при любом g из Г. Тогда (g,力)三七2m для любого g аз Г.

Доказательство. Из (16) и (17) имеем

@a(g)b(a(g)尸一厂.

L 0 Em

В силу леммы 8 для любого g w Г имеем a(g)b(a(g))-l-b = bl^D.

Отсюда

a(g)b — ba (g) = bxa (g) = c.(18)

Очевидно, матрица с перестановочна с a(g). Так как Л является d-группой, то a(g) есть d-матрица. В силу леммы 7 с — нильпотентная матрица. Так как матрица o(g) не вырождена, то вырождена 仇 w D Но D — тело, следовательно,

仇=0,(g,厶)=Е2g ■

Лемма 10. Пусть матрица h вида (16) принадлежит Г. Тогда

h^-Zr (Г).(19)

Доказательство. Пусть

h^VxZ^).(20)

Очевидно, что (g, /г), где g е= Г, тоже имеет вид (16). Так как группа Г нильпотентна, то существуют такое целое /г > 1, что

(/‘(办…，(%1，厶)…• ))^ Е2m(21)

при любых 修,...,xk ^ Г, и такие g〔, ..., g^— е= Г, что

(§4-1» 做-2，• • Т (gl，力)• • •))声七2付 (22)

Пусть

силу (21) исилу (21) и九 1 = （gm-2，（gl，九）.一）,

силу (21) и

силу (21) и

小斗（F）,小斗（F）,если /г >2, и А] — А при /г = 2. Тогда в леммы 9,

小斗（F）,

小斗（F）,

что противоречит неравенству (22). ・ Лемма 11. Пусть

V =V =с ЬО сс ЬО сS =S =3 ЬхО Ci3 ЬхО Ci(23)(23)

V =

V =

с Ь

О с

с Ь

О с

S =

S =

3 Ьх

О Ci

3 Ьх

О Ci

(23)

(23)

(24)(25)(24)(25)—такие матрицы из G£(2m, Д), что с, С\ Q Zi (Л),

(24)

(25)

(24)

(25)

(g，U)，(g，и)三 Z] (Г)

для каждого g из Г. Пусть, далее, а, Р е Д, а матрица и — av + pvf не вырождена. Тогда

(g, 〃) wZi(F)

при любом g из Г.

Доказательство. Из (23) и (25) получаем

когдакогда(g,叫)=(g,矶g,办)三 Z] (Г),(g, uuj) w Zf (Г).

когда

когда

Следовательно, достаточно рассмотреть случай, V] =£2m- Положим

（g，〃）=（g，〃）=

（g，〃）=

（g，〃）=

Из равенства

a(g) b(g)lfac + ₽£m ab

0 a (g)」[0 ac + ₽£m 一 一

_ % xap 1 Г ac + ₽£m a 力]「a(g) b(g)

—.0^m\ L 0 ac + ₽£m J [ 0 a(g)

находим

aa (g)匕 + a力(g) c + ₽6 (g)=

(ac + ₽£m) b (g) + [ab + 尤呻(ac + 卩以)]a (g)・

Отсюда

X 呻(ас + ₽£m) = a[a(g)b — ba (g) + b(g)c — cb(g)] a (g)-1.

(26)

В частности, при а= 1, § = 0 получаем

%好=[а (g) b~ba(g)+b (g) c — cb (g)] a (g-). (27)

По условию Aj。€E D. Из (26) и (27)

хар(ас + р£'т) = ах10с.

Следовательно,

Хар е D, (g, 〃)RZ](r). ■

Лемма 12. Пусть и 〃 и】一матрицы вида (23), а матрица

〃=<w +阿 вырождена. Тогда и перестановочна с каждой матрицей gw г.

как матрица “как матрица “Доказательство. Так ждена, тоДоказательство. Так ждена, тоcwu[i + §Е几=cwu[i + §Е几=О Ь'О ОО Ь'О ОДля любого у =# р (ywA), вДля любого у =# р (ywA), всилусилутрица аии^1 + у£2т перестановочна цей g из Г. Очевидно, чтотрица аии^1 + у£2т перестановочна цей g из Г. Очевидно, чтолемм 11 ис каждойлемм 11 ис каждой9, ма-матри-9, ма-матри-а。。” + y£2mа。。” + y£2m二(Y — 6) Em= о二(Y — 6) Em= оb一(Y — В)「b一(Y — В)「выро-

как матрица “

как матрица “

Доказательство. Так ждена, то

Доказательство. Так ждена, то

cwu[i + §Е几=

cwu[i + §Е几=

О Ь'

О О

О Ь'

О О

Для любого у =# р (ywA), в

Для любого у =# р (ywA), в

силу

силу

трица аии^1 + у£2т перестановочна цей g из Г. Очевидно, что

трица аии^1 + у£2т перестановочна цей g из Г. Очевидно, что

лемм 11 ис каждой

лемм 11 ис каждой

9, ма-матри-

9, ма-матри-

а。。” + y£2m

а。。” + y£2m

二(Y — 6) Em

= о

二(Y — 6) Em

= о

b一

(Y — В)「

b一

(Y — В)「

Следовательно, b 三 D. Так как

Г 0 Ьсх

〃 =° ° ， bc} е D,

то лемма доказана. ■

Положим теперь

у = у~1(г{(Л)).

Лемма 13. Пусть и — невырожденная матрица из линейной ^-оболочки [V] группы К Тогда

(g, 〃) w Z] (Г)

для любого g из Г.

Доказательство. Для любого uwP, в силу леммы 10, (g, и) w Z] (Т) при каждом g^^ Для и можно написать

221 — Ct ] U ] + • • • I ■ а г и г,где а/^Д, а；^=0,力三卩，/ = 1, . .., г. Введем г матриц:«! = а^, w2 = «1 + а2^2> •…， u — ur = ur_! + агуг.

Если 〃ь ..., 味1 — невырожденные матрицы, то лемма 13 следует из леммы 11.

Пусть матрицы 修，...,〃々—i не вырождены, а 〃冗一 вырожденная матрица. Так как uh~\ — невырожденная матрица, в силу леммы 12,

44'0 tо о'0 tо о£巨D.£巨D.

4

4

'0 tо о

'0 tо о

£巨D.

£巨D.

Для 〃九+1 имеем

ЕслиЕсли4 + 1 — 4 + %+№+]・4 + 1 — 4 + %+№+]・以+i =以+i =九以 60 ^Ет_九以 60 ^Ет_九 е Д*,九 е Д*,

Если

Если

4 + 1 — 4 + %+№+]・

4 + 1 — 4 + %+№+]・

以+i =

以+i =

九以 6

0 ^Ет_

九以 6

0 ^Ет_

九 е Д*,

九 е Д*,

то, в силу леммы 10, матрица 〃々+1 перестановочна с каждой матрицей g w Г. Если же

%+i=,cwZ](4), с 丰 NEm、

0 с

го

4+1 = 4 + ^2м + afe + l (唳+ 1 一a爲与)

一 M，E2m) W Z] (Г).一 M，E2m) W Z] (Г).Очевидно, что для g w『

一 M，E2m) W Z] (Г).

一 M，E2m) W Z] (Г).

(g，Uk+E2^ = E2m^ (g，^fe+I

Следовательно, v.,. — ar/.^^ н 〃& + £°『суть матрицы вида (23). В силу леммы 11

(g, 2“+i)三 Z] (Г). S

Продолжим рассмотрение алгебры [V]. Пусть поле Р — линейная Д-оболочка группы Zi(4). Так как А есть г/^группа, то Zi(4) состоит из d-матрин. Следовательно, элементы группы Zi(4)uP сепарабельны над Ат н 尸

является сепарабельным расширением поля А. Введем сюръективный гомоморфизм

屮：⑺一Р・

Так как Р — сепарабельное расширение поля А, то Р = =Д [с], где с ——примитивный элемент поля Р. Пусть 〃м《т(с), a U — мультипликативная группа коммутативного кольца А[〃]и[У]. В силу леммы 13 каждый элемент группы U перестановочен с каждой матрицей группы Г с точностью до множителя из Z] (Г). Очевидно, что группы Z] (Г) и U перестановочны поэлементно. Следовательно, 『U = 1/Г ——тоже нильпотентная подгруппа группы GL(2m, А). Таким образом, мы вправе считать, что

U и F, U uZ2(F)・

В силу леммы 6 в группе U есть такая матрица 〃卜 минимальный полином которой совпадает с минимальным полиномом примитивного элемента с Будем считать, что

〃i = diag [% с],

так как «1 можно трансформировать к такому виду с помощью матрицы

£ S

0 Ет

Лемма 14. и{ е Z{ (Г).

Доказательство. Так как 〃三 U и Z2(F), то

(g，汉 1)=二 *, t 巨 D.

С другой стороны, tca(g) = b(g) с—cb(g) и d-матрица с перестановочна с 6(g)с — cb(g). В силу леммы 7 матрица /ca(g) нильпотентна. Следовательно, / = 0, «： е

Лемма 15. Пусть「2 Ь九= 三Y-1(4(/)).

и 2.

Тоеда 九巨 Zi(F),

Доказательство. Очевидно, для g из Г имеем

В силу леммы 10 (g,左)wZi(F), х w D. Из равенства gh = (g, h)hg находим

尤2。(g) = a(g)b — ba (g) + b(g)z — zb (g).

В силу леммы 14 b(g)2 = zb(g). Следовательно, 汇％。(g) = a(g)b — ba (g).

В силу леммы 7 xza(g) ——нильпотентная матрица. Следовательно,

% = 0,h^Z^). ■

Итак, мы можем считать, что Zi (Г) состоит из всех матриц вида

с , t^D, 2wZ】G4) = P*, Р = А[с]. (28)

Из леммы 15 и теоремы 27.1 следует

Лемма 16. Индекс Z] (Г) в Г конечен:

Г ： Zt (Г) = Л ： Z, (Л).(29)

Пусть теперь

М = Р*Е2, Г = Г/М.

Рассмотрим смежные классы группы Г по нормальному делителю

2i = Z|(r)/M.

Лемма 17. В каждом смежном классе группы Г по Zi имеется один и только один элемент g^ Г, порядок которого конечен и делится на char А.

Доказательство. Пусть

a (g) & (g)

0 a(g)

а класс a(g)Zi(A) из 力怎⑷ имеет порядок /. По теореме 27.1 char А ^ /. В силу леммы 15

「2

g'= с wZi(r), zwZi ⑷，bwD.

Далее,Далее,А =А =ОО一广也一3"一广也一3"wZ«wZ«ии(gm' =(gm' =2О2О外产团之 0外产团之 0一小一一小一=diag [z, г] е Af.=diag [z, г] е Af.

Далее,

Далее,

А =

А =

О

О

一广也一3"

一广也一3"

wZ«

wZ«

и

и

(gm' =

(gm' =

2

О

2

О

外产团

之 0

外产团

之 0

一小一

一小一

=diag [z, г] е Af.

=diag [z, г] е Af.

Положим gi = gh, gi = giM. Тогда gi w「，giM ^^iZi. Очевидно, что порядок элемента g“ равен /. Так как группа Zi изоморфна группе Н всех матриц вида

T*「J 9,(30)

то Zi — группа без кручения, когда char А = 0, и р-груп- па, когда char А = р. Следовательно, порядок любого элемента из giZi, отличного от gi, либо бесконечен, либо делится на char А. ■

Лемма 18. В GL(2〃z, А) есть такой элемент

「％ b 1

д= о £ ，

L u 乙mj

что матрицы g группы q-'Fq имеют вид

g =g =%(g) /(g)a(g〔.0 a(g).%(g) /(g)a(g〔.0 a(g).

g =

g =

%(g) /(g)a(g〔

.0 a(g).

%(g) /(g)a(g〔

.0 a(g).

где t(g)^D.—

Доказательство. Совокупность R всех элементов группы Г, порядки которых конечны и не делятся на char А, является нормальным делителем группы Г. В силу леммы 17

V^NZ^

Следовательно, если N = N/M, то

Г = ^Z1(Г) = ^^,(31)

где Н — группа всех матриц вида (30). Группа М вполне приводима, а индекс А/ : М конечен и не делится на char Д, следовательно, по теореме 17.1, группа ^ вполне приводима. Таким образом, матрицы go группы N можно с помощью матрицы q трансформировать к виду go = diag [a (go), а (g0)].

Матрица q перестановочна с каждой матрицей из Н. Отсюда и из (31) вытекает лемма. ■

Напомним, что в леммах 8—18 Г — нильпотентная группа матриц вида (16).

Основная лемма. Лемма 18 остается верной, если вместо нильпотентности группы Г предположить локальную нильпотентность.

Доказательство. Пусть аь . .., ар — максимальная система линейно независимых над А матриц группы 4, а

g/=[o' J(32)

—элементы из Г. Группа В, порожденная матрицами (32), нильпотентна и имеет две неэквивалентные неприводимые части. В силу леммы 18 мы можем считать, что В состоит из матриц вида

0 а (Ь)В^Г2(А).Г с=Г2(Л),0 а (Ь)В^Г2(А).Г с=Г2(Л),厶Г。(b)t(b)a(b)пе

0 а (Ь)

В^Г2(А).

Г с=Г2(Л),

0 а (Ь)

В^Г2(А).

Г с=Г2(Л),

где f(b)R D, t. e.

Покажем, что

и лемма будет доказана. Пусть g—произвольный элемент группы Г, a U — подгруппа группы Г, порождаемая В и g. Тогда, согласно лемме 18, в GL(2m, А) есть такая матрица

0 ЕтУ *

что для любого U^U

1' а (и) f (и)а(и)^ с

q-'uq= \，八〃)三 D (34)

В частности, это верно и для b 三 В:

а(» t{b)a{b)^EmО a(b) JL Оа(» t{b)a{b)^EmО a(b) JL ОГ ]\ Ет Г Ма(Ь)—[ 0 Ет][ ОГ ]\ Ет Г Ма(Ь)—[ 0 Ет][ Оf (3。(方)一 0⑹.f (3。(方)一 0⑹.

а(» t{b)a{b)^EmО a(b) JL О

а(» t{b)a{b)^EmО a(b) JL О

Г ]\ Ет Г Ма(Ь)

—[ 0 Ет][ О

Г ]\ Ет Г Ма(Ь)

—[ 0 Ет][ О

f (3。(方)一 0⑹.

f (3。(方)一 0⑹.

Отсюда a(b) W — Wa (匕)= (f (匕)一t{b))a (b). В силу леммы 7 f(b) — /(^) = 0, W(= D. Следовательно,

gg = g% gwRG)，FuF2(4)・■

Лемма 19. Пусть матрицы g локально нильпотентной подгруппы G( группы GL{msy А) имеют вид

%(g) 0 g= • • 0

I 0

02(g)a(g) ••• q,s-i(g)a(g)%s(g)

a(g) ••• CzsT(g)a(g) c2s (g)a(g)

0a(g)Cs-i,s(g)a(g)

0• • •0a(g) _

(35)

где a(g) пробегает неприводимую локально нильпотентную подгруппу / группы GL (m, A), Qj(g)R0, a D — централизатор группы А s алгебре А?(. Тогда группа G(TS{D) локально нильпотентна.

Доказательство. Достаточно показать, что группа ® = Т8 (D) §, где £ — любая нильпотентная подгруппа группы Gi, нильпотентна. Как показывают прямые вычисления, матрицы из TS(D) вида

一 Em 0 ... 0 dis 一

0 臨…° 0 , d* D,(36)

00 . . . 0 Em

перестановочны с каждой матрицей группы Gj и, следовательно, содержатся в Z^ (®). Далее, коммутатор матрицы

у Em 0 ... d[,s—] d\s

0 Em ...0^2$

0 0 ...О 0 >d"d〃，(37)

0 0 ...0%_

и любой матрицы из группы ® имеет вид (36), следовательно, все матрицы вида (37) входят в Z?(由).Аналогично,

Ts(D)uZ$t (吩

Отсюда и следует лемма. ■

Лемма 20. Пусть локально нильпотентная подгруппа Gi группы GL(ms. А) состоит из матриц вида (35). Тогда матрицы g группы Gi можно одновременно трансформировать 汇 виду

~a(g) 02(g)a(g) . .. Q.s-i(g)a(g) cls(g)a(g)'

0 a(g) ••• C2,s-i(g)a(g) c2s(g)a(g)©8)

0

0..

0

a(g)

помощью

матрицы

£0

.0 У

0 Ет ..

• 0 0

,k е \т.

00・・

• о % .

G] = Ts(C)®i，(39)

где матрицы g? группы ■&] имеют вид

-a(g) 0... 0 6(g)

0 a(g) 00

00…0 a(g)

Группа §1 и Gi жение

локально нильпотентна. Так как отобра-

Y2： g2 f

a(g) Mg】

О a (g) 一

является изоморфизмом, то группа Im у2 тоже локально нильпотентна. Следовательно, в силу основной леммы, матрицы группы Im у2 одновременно трансформируются

к виду

a(g) c(g)a(g)

О a(g)

с помощью матрицы

Положим теперь

с (g) w D,

Ет ^О Ет

"Ет 0 ... О Г '

/ =0 Em ・・・ 0 0 w GL (ms, Д).

О 0 .. . О Ет

Тогда

-a (g)0 О с (g) а (g)'

尸七2/=0 a(g)••• 00,

О 0... О а (g)

Очевидно, что матрица 方 перестановочна с каждой матрицей группы TS(D). Следовательно, в силу (39), матрица / трансформирует матрицы группы Gi к виду (38). ■

Доказательство теоремы 3. По условию матрицы g локально нильпотентной группы G имеют вид (12). В силу основной леммы существуют в GL(2m, Д) такие матрицы

'Ет 吃,/+「

.О Ет

/ = 1,...,々—1,

ЧТО

L「a(g) a//(g)L =「a(g) Q\/+i(g)a(g〔；I 0a(g)\ /-L 0 a(g) .

где С/, /+i (g)已 D

при любом gwG. Положим

& Г12 00"

0以%3…0

力=

О 00吃 т,用

_ 0 00 … Ет _

Тогда в матрице q「gq、на позиции (/, / + 1) расположена субматрица

с/,/+i(g)a(g)，/=1, ・・・，々一1,

где С/,/+1 (g) w D при любом g из^б. В силу леммы 20 существует матрица q2 вида

工

0

0

Em

吃3

0

0..

呼24・・

0

0

0■

0

?2 =

0

0

0

0..

0

恥-2»

0

0

0

0..

Em

0

_ 0

0

0

0..

0

Em _

такая, что

на позиции (i,

/), где

0</

—i W 2, в ма-

трице

расположена субматрица с^ (g)a(g), с力(g)三 D. Применяя еще несколько раз лемму 20, приведем матрицы g группы G к виду (14). ■

В частности, из теоремы 3 вытекает, что максимальная неразложимая локально нильпотентная подгруппа G группы GL(n, А) с точностью до сопряженности в GL(n, А) определяется группой Im у = Л, где 丫 ——неприводимая часть группы G, если А является d-группой.

Теорему 3, как и приведенное выше утверждение, нельзя распространить на тот случай, когда Л = Im у не является d-группой. Приведем пример коммутативной неразложимой группы, матрицы которой нельзя одновременно трансформировать к виду (14). Пусть £ :А = =т, Е — простое несепарабельное расширение поля △, £ = А (з), £ и Ащ. Пусть R и A2m состоит из матриц

ГО

0 卜

где о Е £ и Дт. Положим

и =,

[О о」 где

-1 0・・・0 一

d= о о о 三 Ag ^ = \[и] + R, r = G.

о о о

Тогда G ——коммутативная неразложимая подгруппа группы GLQtn, А). В силу^ теоремы 1 статьи С у п руне н к о [21] матрицы группы G нельзя привести к виду (14).

Теорема 4 (Цассенхауз [1]). Локально нильпотентная подгруппа G группы GL (储 А) тогда и только тогда нильпотентна^ когда Im у ——нильпотентная подгруппа для любой неприводимой части 丫 группы G.

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть для любой неприводимой части 丫 группы G группа Im у нильпотентна. Ясно, что это свойство группы G сохранится, если мы заменим поле А алгебраически замкнутым полем Q, содержащим поле А. Следовательно, можно считать, что Im у является d группой. Таким образом, к неразложимым частям группы G применима теорема 3. Так как группа ГА(Л) нильпотентна, когда нильпотентна группа Л, то отсюда вытекает нильпотентность группы G ■

4. Другие результаты о локально нильпотентных группах. Локально нильпотентная подгруппа GL (孔,△), где А ——произвольное поле, разрешима, следовательнот

в силу теоремы 22.5, локально нильпотентная d-rpynna из GL (п, А) всегда вполне приводима. В силу следствия 27.1.1 для совершенного основного поля А справедливо обратное утверждение: локально нильпотентная вполне приводимая группа матриц над А является d-группой. В случае несовершенного основного поля, как легко видеть, существуют даже абелевы неприводимые группы матриц, не являющиеся d-группами.

Теорема 5. Пусть G — вполне приводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(nf А), где А —— произвольное поле. Тогда любая подгруппа группы G вполне приводима.

Доказательство. Пусть Н — произвольная подгруппа группы G,力 1, “2,...,力г ——максимальная система линейно независимых над А элементов группы Н, а Н1 ——группа, порождаемая элементами %, ..., hr. Теорема будет доказана, если мы докажем полную приводимость группы "1. Дополним систему h\t 九2,hr до максимальной линейно независимой системы элементов группы G:

力力2，♦…，瓦，gr + I，gs* (4°)

Так как группа G вполне приводима, то группа Gb порожденная системой (40), тоже вполне приводима. Группа Gi нильпотентна и содержит Н】,следовательно, существует (см. Кур ош [1], стр. 389) нормальный ряд вида ,

G、n 也 п Ht-Y n ・..n 〃i n (£rt). (41)

Очевидно, что из полной неприводимости группы Gi и теоремы 16.2 вытекает полная приводимость каждой группы ряда (41). ■

Следствие 1. Пусть G —— вполне приводимая локально нильпотентная группа матриц над произвольным полем. Тогда каждый элемент g из G является полупростой матрицей.

Возвратимся снова к группам типа 1\(尸)п. 1.

Лемма 21. Пусть неприводимая подгруппа 尸 группы GL(m, А) является d-группой. Тогда F \Ek совпадает с совокупностью всех d-матриц группы 1\(尸), a TRD)—с совокупностью' всех унипотентных матриц группы 1%(尸).

Доказательство. Пусть а = (f% £\) 〃 w I\ (F), f ^ F, и ^ Th (Q). Очевидно, что

det (хЕп — а) = (det (хЕт — f) )*•

Следовательно, если а унипотентна, то det(x£'m—f)= =(无一l)m. Так как F является d-группой, то для унипотентной матрицы а имеем f = Ет, & = u ^ Th(D). Таким образом, Th (D) совпадает с множеством всех унипотентных матриц группы Г^(/7). Пусть теперь а = —(/ X Eh) и и является d-матрицей, d-матрица 力 = =尸 X 以 перестановочна с а. Следовательно, в силу леммы 17.1, и = ab — тоже d-матрица. Отсюда и = Еп, a = ь义以三F又e4

Теорема 6. Пусть А — произвольное поле^ G — локально нильпотентная подгруппа группы GL(n, А), d(G) — множество всех d-матриц группы G,& 〃(G) — множество всех унипотентных матриц группы G. Тогда d(G) и “(G) —нормальные делители группы G.

Доказательство. Достаточно доказать, что d(d) и “(G) —подгруппы группы G. Так как свойство быть d-матрицей и унипотентность матрицы сохраняются при расширении основного поля, то мы можем рассматривать G как подгруппу GL(n, Р), где Р ——алгебраически замкнутое поле, содержащее поле А.

Очевидно, мы можем считать, что G состоит из матриц вида

g = diag[g|,勘 …，©]，(42)

где gj пробегает некоторую локально нильпотентную неразложимую подгруппу G) группы GL(n$, Р), / = = l,2,...,f, Mi + п2 + ... + nt = n. Так как алгебраически замкнутое поле совершенно, то к группе G； применима теорема За. Следовательно, мы можем считать, что GjUl^J/7/), где Fj — неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(m§, Р), m也з =

В силу леммы 21 теорема верна для. группы G/U и!\/ (F/). Отсюда и из формулы (42) вытекает справедливость теоремы для группы G. ■

Лемма 22. Пусть F и Н — такие неприводимые подгруппы группы GL{m, А), что [F] = [//]. Тогда из

строгого включения F и Н вытекает строгое включение П")иГМ").

Доказательство. Из равенства [F] = [Н] вытекает, что централизатор группы Я в Дт совпадает с централизатором D группы 户 в Aw Следовательно,

rfe (") =(ях 丛)Th (О) П (尸火丛)Tk (О) = rfe 仍)・■

Следствие 1. Пусть F——абсолютно неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL(m, Д). Если группа 1\ (尸)максимальна среди локально нильпотентных подгрупп s GL(几，А), то F ——максимальная локально нильпотентная подгруппа группы GL(m, А).

Отметим без доказательства следующее свойство группы 1\(£). Пусть А ——совершенное поле,尸一неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (m, А), М— —мультипликативная группа кольца [F], /г > 1, mk = п. Группа 1\ (尸)тогда и только тогда максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группы GL(小 А), когда £ максимальна среди локально нильпотентных подгрупп группы М (Супруненко [20]).

Теорема 7. Пусть А — алгебраически замкнутое поле, а 耽——совокупность всех максимальных локально нильпотентных подгрупп группы GL(几,А). Тогда число классов сопряженных s GL (п, А) подгрупп, на которые разбивается 501, меньше некоторого числа & (几),зависящего только от п.

Доказательство. Пусть G е Ш?. Тогда согласно теореме За группа G сопряжена в GL(n, А) с группой всех матриц g вида

g = diag[gi, g2, gvl，

где gj w Г^ (£,, F.——неприводимая локально нильпотентная подгруппа группы GL (tn^ A), m^kj = п^ 切 + + м2 + .. . + nv = п. В силу леммы 22 尸j j максимальная локально нильпотентная подгруппа в GL(rn^ А). Согласно теореме 28.7 F； с точностью до сопряженности в GL(m$, А) определяется числом т；. Таким образом, группа G с точностью до сопряженности в GL(n, А) задается представлением числа п в виде

(43)(43)м ==財"ij十 ^2^2十.・・ 十 к^т^.

(43)

(43)

где 曲 > 0, т； > 0 ). Следовательно, искомое число классов не превышает числа представлений п в виде (43). ■

В заключение - приведем одну теорему без доказательства.

Теорема 8. Пусть группа G допускает точное ли* нейное представление над некоторым полем. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны:

G ——локально нильпотентная группа;

G удовлетворяет нормализатор ному условию；

G ——нильгруппа^

G является ZA-группой,

Доказательство см. в статьях Гаращук [1], Гаращук и Супруненко [1].

ЛИТЕРАТУРА

Артин Э.

Геометрическая алгебра, «Наука», 1969.

Ауслендер Л. (Auslander L.)

On a problem of Philip Hall, Ann. Math. 86, № 1 (1967), 112—116.

Б а с с X. (Bass H.)

К-theory and stable algebra, Publ. Math. 22 (1964), 5—60.

Басс X., Лазар M., С e p p Ж.-П. (Bass H., Lazard M., Serre J.-P.)

Sons-groupes d'indice fini dans SL(m, Z), Bull. Amer. Math. Soc. 70, № 3 (1964), 385—392.

Басс X., Милнор Дж., С e pp 氷.-口.

Решение конгруэнцпроблемы для SLn (м》3) и Sp2n (几》2), сб. перев. «Математика» 14, № 6 (1970), 64—128.

Бернсайд В. (Burnside W.)

On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. Quart. J. Pure and Appl. Math. 33 (1902), 230—238.

On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions, Proc. London Math. Soc. 3 (1905), 345—440.

On the arithmetical nature of the coefficients in a group of linear substitutions. Proc. London Math. Soc. 7 (1908), 8—13.

Борель A. (Borel A.)

Groupes lineaires algebriques, Ann. Math. 64, № 1 (1956), 20—82

Брауэр P., Фейт B. (Brauer R” Feit W.)

An analogue of Jordan's theorem in characteristic p, Ann. Math.

№ 1 (1966), 119—131.

Бреннер Дж. (Brenner J. L.)

The linear homogeneous group, III, Ann. Math. 71, № 2 (I960), 210—223.

Бурбаки H.

Алгебра (алгебраические структуры, линейная и полинейная алгебра), Физматгиз, 1962.

БэрР.

Линейная алгебра и проективная геометрия, ИЛ, 1955.

Ван-дер-Варден Б. Л. (Van der Waerden В. L.)

Современная алгебра, часть первая, Гостехиздат, 1947.

Современная алгебра, часть вторая, Гостехиздат, 1948.

Gruppen von linearen Transformationen, Berlin, 1935.

В е р ф р и ц Б. (Wehrfritz В. A. F.)

Sylow theorem for periodic linear groups, Proc. London Math. Soc. 18, № 1 (1968), 125—140.

Soluble periodic linear groups, Proc. London Math. Soc. 18, № 1. (1968), 141 — 157.

Вольвачев P. T.

р-подгруппы Силова полной линейной группы, Изв. АН СССР, сер. матем. 27 (1963), 1031—1054.

Периодические нильпотентные линейные группы над полем рациональных чисел, ДАН СССР 167 (1966), 499—502.

Гаращук М. С.

К теории обобщенных нильпотентных линейных групп, ДАН БССР 4 (I960), 276—277.

Гаращук М. С., СупруненкоД. А.

Линейные нильгруппы, ДАН БССР 4 (I960), 407—408.

Г о л о д Е. С.

О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах, Изв. АН СССР, сер. матем. 28 (1964), 273—276.

Г р ю н О. (Griin О.)

1. Uber eine Faktorgruppe freier Gruppen I, Deutsche Math. 1 (1936), 772—782.

Диксон Дж. (Dixon J. D.)

Complete reducibility of infinite groups, Canadian J. Math. 16, № 2 (1964), 267—274.

The Solvable lehgth of Solvable linear group, Math. Zeitschr. 107 (1968), 151—158.

.Д и к с о н Л. E. (Dickson L. E.)

Linear groups, Leipzig, 1901.

Дирихле Л.

Лекции по теории чисел, ОНТИ, 1936.

Дьедонне Ж. (Diedonne J.)

Les determinants sur un corps non commutatif. Bull. Soc. Math. France 71 (1943), 27—45.

La geometric des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Crenzgebiete (N. F.), Heft 5, Springer Verlag, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1955.

Sur les groupes classiques (Actual, scient. et industr. № 1040, publish. Inst. math. Univ. Strasbourg, 6), Paris. Hermann, 1958.

Ж а в p и д Г. П.

К теории разрешимых матричных групп, ДАН БССР 11 (1967), 873—877.

Жордан К. (Jordan С )

Sur la resolution algebrique des equations primitives de degre p2, J. Math, pures et appl. 12 (1868).

Traite des substitutions et equations algebriques, Paris, 1870.

Memoire sur les equations differentielles lineaires a integral algebrique, J. filr die reine und angew. Math. 84 (1878), 89—215.

Залесский А. Е.

Разрешимые подгруппы мультипликативной группы локально конечной алгебры, Матем. сб. 61 (1963), 408—417.

Разрешимые подгруппы мультипликативной группы простой алгебры, ДАН БССР 7 (1963), 80—82.

Силовские р-подгруппы полной линейной группы над телом, Изв. АН СССР, серия матем. 31 (1967), 1149—1158.

И в а н ю т а И. Д.

Силовские р-подгруппы счетной симметрической группы, Укр. матем. ж. 15, № 3 (1963), 240—249.

О полных множествах силовских подгрупп счетной симметрической группы, Укр. матем. ж. 18, № 3 (1966), 112—115.

К а л у ж н и н Л. A. (Kaloujnine L.)

Sur les p-groupes de Sylow du groupe symetrique de degre p，C. R., Paris 221 (1945), 222—224.

Sur les p-groupes de Sylow du groupe symetrique de degre pm (Suite centrale ascendante et descendante), C. R., Paris 223 (1946), 703—705.

La structure des p-groupes de Sylow des groupes sumetriques finis, Annales de L*Ecole Normale 65 (1948), 239—276.

Капланекий И.

Введение в дифференциальную алгебру, ИЛ, 1959.

Каргаполов М. И.

О периодических группах матриц. Сиб. матем. ж. 3, № 6 (1962), 834—836.

О конечнопорожденных линейных группах, Алгебра и логика (семинар) 6, № 5 (1967), 17—20.

К е г е л ь О. (Kegel О. Н.)

Lecture on locally finite groups, Mathematical institute, Oxford, 1969.

Клингенберг В. (KHngenberg W.)

Die struktur der linearen Gruppen uer einem nichtkommutativen lokalen Ring, Arch. Math. 13, № 1—2 (1962), 73—81.

Клиффорд A. (Clifford A. H.)

Representations induced in an invariant subgroup, Ann. of Math. 38 (1937), 533—550.

Колчин E. P. (Kolchin E. R.)

On certain concepts in the theory of algebraic matric groups, Ann. of Math. 49, № 4 (1948), 774—789.

К у p о ш А. Г.

Теория групп, «Наука», 1967.

Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.

Картис Ч., Райнер И.

Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, «Наука», 1969.

Л е н г С.

Алгебра, «Мир», 1968.

Максвелл Г. (Maxwell G.)

Infinite general linear groups over rings, Trans. Amer. Math. Soc. 151, № 2 (1970), 371—375.

Мальцев А. И.

Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Матем. сб. 8 (1940), 405—432.

Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп. Ученые записки Ивановен, пед. инстит. 1, № 1 (1941),

О некоторых классах бесконечных разрешимых групп, Матем. сб. 28 (1951), 567—588.

Основы линейной алгебры,《Наука》，1970.

Алгебраические системы, «Наука», 1970.

М е н н и к е И. (Mennice I.)

Finite factor groups of the unimodular group, Annals of Math. 81, № 1 (1965), 31—37.

Мерзляков Ю. И.

Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп, Алгебра и логика 3, № 4 (1964), 49—59.

О линейных группах с ограниченными циклическими подгруппами, Сиб. матем. ж. 7, № 2 (1966), 318—3歹.

Целочисленное представление голоморфЛ полициклических групп, Алгебра и логика 9, № 5 (1970), 539—558.

Милнор Дж.

Кручение Уайтхеда, сб. перев. «Математика» 11, № 1 (1967), 3—42.

Нисневич В. Л.

О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем, Матем. сб. 8 (1940), 395—404.

Новиков П. С., Ад я н С. И.

О бесконечных периодических группах I, II, III, Изв. АН СССР, сер. матем. 32 (1968), 212—244, 251—524, 709—731.

Платонов В. П.

К теории алгебраических линейньи групп, ДАН СССР 146 (1962), 1025—1026.

Разрешимые алгебраические группы, ДАН СССР 151 (1963), 48—51.

Расщепляемые линейные группы, ДАН СССР 151 (1963), 286—289.

Периодические подгруппы алгебраических групп, ДАН СССР 153 (1963), 270—272.

Разрешимые алгебраические группы, ДАН БССР 7 (1963), 298—300.

О разрешимых алгебраических линейных группах, ДАН БССР 7 (1963), 439—442.

О полной приводимости линейных групп, Изв. АН БССР, сер. физ.-техн. н., № 3 (1964), 126—128.

Строение периодических линейных групп и алгебраические группы, ДАН СССР 160 (1965), 541-544.

Алгебраические zf-группы, ДАН БССР 7 (1963), 729—731.

Автоморфизмы алгебраических групп, ДАН СССР 168 (1966), 1257—1260.

Теория алгебраических линейных групп и периодические группы, Изв. АН СССР, сер. матем. 30 (1966), 573—620.

Подгруппа Фраттини линейных групп и финитная аппроксим- мируемость, ДАН БССР 171 (1966), 798—801.

Линейные группы с тождественными соотношениями, ДАН БССР 11 (1967), 581—582.

Доказательство гипотезы конечности для разрешимых подгрупп алгебраических групп, Сиб. матем. ж. 10, № 5, 1969, 1084—1090.

Платонов В. П., Залесский А. Е.

Задача Ауэрбаха, ДАН БССР 10 (1966), 5—6.

Плоткин Б. И.

О некоторых признаках локально нильпотентных групп, УМН 9, № 3 (1954), 181—186.

О нильгруппах, ДАН СССР 94 (1954), 999—1001.

О бесконечномерных линейных группах, ДАН СССР 153 (1963), 42—45.

Группы автоморфизмов алгебраических систем,《Наука», 1966.

Просесси К. (Procesi С.)

The Burnside problem, J. Algebra 4, № 3 (1966), 421—425.

Райнер И. (Reiner I.)

Normal subgroups of the unimodular group, Illinois J. Math. 2, № 1 (1958), 142—144.

Розенберг A. (Rosenberg A.)

The structure of the infinite general linear group, Ann. Math.

№ 2 (1958), 278—294.

СельбергА.

О дискретных группах в многомерных симметрических пространствах, сб. перев. «Математика» 6, № 3 (1962), 3—15.

С е р р Ж.-П.

Линейные представления конечных групп, «Мир», 1970.

Суон Р. Г. (Swan R. G.)

Representation of polycyclic groups, Proc. Amer. Math. Soc. 18, № 3 (1967), 573—574.

СупруненкоД. A.

Примитивные разрешимые группы подстановок, Матем. сб. 20 (1947), 331—350.

Разрешимые группы матриц, Ученые записки БГУ( вып. 12 (1951), 74—112.

Неприводимые нильпотентные матричные группы простой степени, Матем. сб. 31 (1952), 353—358.

О матричных нильпотентных группах, Ученые записки БГУ, вып. 15 (1953), 3—6.

О нильпотентных транзитивных подгруппах симметрической группы, ДАН СССР 99 (1954# 23-25,

О неприводимых нильпотентных матричных группах, Матем. сб. 35 (1954), 501—512.

Локально нильпотентные неприводимые подгруппы полной линейной группы, ДАН СССР 102 (1955), 41—44.

Разрешимые и нильпотентные линейные группы, Минск, 1958.

Вещественные линейные локально нильпотентные группы, Матем. сб. 50 (I960), 59—66.

О периодических линейных группах, Сиб. матем. ж. 3, № 1 (1962), 87—94.

О периодических подгруппах разрешимых матричных групп, ДАН СССР 147 (1962), 310—312.

О гомоморфизме Минковского, Сб. памяти Н. Г. Чеботарева, Казань, 1964, 89—92.

Ядро одного гомоморфизма, Сиб. матем. ж. 6, № 1 (1965), 199—206.

Локально нильпотентные матричные группы над произвольным полем, Матем. сб. 68 (1965), 614—622.

О локально нильпотентных подгруппах бесконечной симметрической группы, ДАН СССР 167 (1966), 302—304.

Одно условие полной приводимости матричной группы, Изв- АН СССР, сер. матем. 27 (1963), 435—438.

О разрешимых подгруппа мультипликативной группы тела, Изв. АН СССР, сер. матем 26 (1962), 631—638.

Две теоремы о матричных группах, ДАН БССР 8 (1964), 491—494.

О максимальных нильпотентных подгруппах полной линейной группы над фактор-кольцом Z/(рт), Матем. сб. 66 (1965), 598—607.

Неприводимые части приводимой максимальной локально нильпотентной матричной группы, Изв. АН СССР, сер. матем. 32 (1968), 527—532.

К теории коммутативных матричных алгебр над несовершенным полем, Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., № 3 (1967), 9—19.

К теории разрешимых линейных групп, Сиб. матем. ж. 10, № 5 (1969), 1161 — 1172.

Подгруппы полной линейной группы над телом О, содержащие группу всех специальных треугольных матриц U(n, О), ДАН БССР 14 (1970), 305—308.

СупруненкоД. А., АпатенокР. Ф.

О нильпотентных неприводимых линейных группах над конечным полем, ДАН БССР 3 (1959), 475—478.

Нильпотентные неприводимые группы матриц над конечным полем, ДАН БССР 5 (1961), 535—537.

С у п р у н е н к о Д. А., Г а р а щ у к М. С.

Линейные группы с категорией, ДАН БССР 6 (1962), 411— 414.

Линейные группы с условием Энгеля, ДАН БССР 6 (1962), 277—280.

СупруненкоД. А., Жаврид Г. П.*

Интранзитивные нильпотентные подгруппы симметрической группы, ДАН БССР 2 (195*, 320—322.

Супруненко Д. А., Платонов В П.

Об одной теореме Шура, ДАН БССР 7 (1963), 510—512.

Супруненко Д. А., Тышкевич Р И.

1. Перестановочные матрицы, «Наука и техника», Минск, 1966.

Приводимые локально нильпотентные линейные группы, Изв. АН СССР, сер. матем. 24 (I960), 787—806.

У и р А. И. (Weir А. I.)

1. Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p, Proc. Amer. Math. Soc. 6, № 4 (1955), 529—533.

Фейт В., Томпсон Дж. (Feit W., Thompson J.)

1. Solvability of groups of odd order, Pacific J. Math. 13, № 3 (1963), 775—1024.

Холл M.

1. Теория групп, ИЛ, 1962.

Холл Ф.

1. Нильпотентные группы, сб. перев. «Математика» 12, № 1 (1968), 3—36.

Хупперт Б. (Huppert В.)'

1. Lineare auflosbare Gruppen, Math. Z. 67 (1957), 479—518.

Цассенхауз X. (Zassenhaus H.)

1. Beweis eines Satzes iiber diskrete Gruppen, Abhandl. Math. Sem. Hansische Univ. 12 (1938), 289—312.

Ш м и д т О. Ю.

1. Избранные труды, Математика, Изд-во АН СССР,. 1959.

Ш у р И. (Schur I.)

1. Uber Gruppen periodischer linearer Substitutionen, S—B, Preuss Akad. der Wiss., 1911, 619—627.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм модуля 59

Алгебра над полем 125

—полупростая 125

Базис модуля 57

Векторное пространство 57

Гиперплоскость модуля 57

Гомоморфизм Минковского 95

Гомотетия 60

Группа аффинная Aff (п, А) 75

— гиперсимплектическая

HSp⑵,Р) 212

—линейная абсолютно неприводимая 143

импримитивная 148

полная GL(M) 59

полная GL(n, A) 66

предельная dL(A) 94

——примитивная 148

специальная SL(〃，А) 69

предельная SL(A) 94

—локально нильпотентная 305

—метабелева 297

—мономиальная 151

—операторно простая 119

——разложимая 121

— подстановок 10

примитивная разрешимая 37

—регулярная 17

—симметрическая 10

конечная Sn 11

—симплектическая Sp⑵，尸)212

—с нормализаторным условием (=У-группа) 43

—специальная треугольная

Т(〃，А) 179

-“屮 316

—CSZ(%Z,N) 1Q8

Группа E(〃，A, ^) 96

—PSL(M) 92

—SF(X) 51

Изоморфизм операторный 119

Импримитивность 17

Класс нильпотентности группы 290

кольца 127

Критерий Бернсайда конечности линейной группы 254

Кронекерово произведение матриц 159

эндоморфизмов 158

Линейная Д-оболочка множества эндоморфизмов 143

Линейно независимая система элементов модуля 57

Локальная система группы 132

Матрица полупростая 171

—элементарная 角(九)69

—эндоморфизма 66

Матрицы эндоморфизма в разных базисах 67

Модуль 56

—свободный 57

Мультипликативная группа кольца 54

Неприводимые части линейного представления 132

множества эндоморфизмов 132

Нормальные делители транзитивных групп 26

Ограничение отображения 9

Определитель матрицы над телом 84

Орбита группы подстановок 14

Орбитальный тип 14

Отображение 9

—биективное 10

—инъективное 9

—сюръективное 9

Подгруппа допустимая операторной группы 119

— симплектической группы «-неприводимая 224

«-приводимая 224

Подгруппы максимальные нильпотентные транзитивные в Sn 48

Подмодуль 57

Подобные подмножества двух симметрических полугрупп 11

Полугруппа кольца присоединенная 127

—симметрическая £(Х) 10

Представление алгебры регулярное левое 138

———правое 145

— линейное 129

вполне приводимое 131

——неприводимое 131

разложимое 131

Представления отображениями 12

——эквивалентные 12

Примитивность 17

Произведение отображений 10

Радикал алгебры 125

Разбиение на системы импримитивности 21

непродолжаемое 23

Разложение пространства на системы импримитивности 148 непродолжаемое

150

Размерность модуля 57

Сплетение линейной группы и группы подстановок 153

—полное групп подстановок 23 Стабилизатор (= стационарная подгруппа) 16

Степень группы подстановок 10

Теорема Клиффорда вторая 165

——первая 163

—Мальцева локальная 133

—Шура о локальной конечности периодических линейных групп 259

Транзитивность 14

—кратная 15

Трансвекции модуля 61

Ультрафильтр 133

Фильтр над множеством 133

Центральный ряд группы верхний 290

—нижний 290

Цикл подстановки 14

Цикленный тип 15

Циклическая подстановка 14

Эквивалентность линейных представлений 130

Элемент свободный 57

—унипотентный 54

Эндоморфизм модуля 58

d-rpynna 172

d-матрнна 172

EndM 58

^^кoнгpyэнц-пoдгpyппa CL(nt A,N)