СЕДЬМОЕ ИЗДАНИЕ

БИЗНЕС-

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

SEVENTH EDITION

"n 〃r〃 R"4〃N "久"4"R 公公4n" n

BUSINESS

FORECASTING

John E. Hanke

Arthur G. Reitsch,

Eastern Washington University, Emeritus

Dean W. Wichern,

Texas A&M University

PrenticePrenticeНаИНаИ

Prentice

Prentice

НаИ

НаИ

BBSS Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458

СЕДЬМОЕ ИЗДАНИЕ

7沙 7沙7" 7沙 MWF/ 7沙 7沙 7，/ 7沙 Уh MV 7沙 MV MF/ 7〃 3"

БИЗНЕС-

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Джон Э. Ханк

Артур Дж. Райте,

Восточный Вашингтонский университет, Эмеритус

Дин У. Уичерн,

Техасский университет администрирования и менеджмента

隆啮葡 Издательский дом “Вильямс” Москва • Санкт-Петербург • Киев 2003

ББК 32.973.26-018.2.75

Х19

УДК 681.3.07

Издательский дом “Вильямс"

Перевод с английского В.В. Марченко, В.Н. Радченко, А.В. Слепцова,канд.физ.-мат.наук О.М, Ядренко

Под редакцией А. В. Слепцова

По общим вопросам обращайтесь в Издательский дом "ВмлВямс” по адресу:infb@williamspublishing.com, http://www.williamspublishing.com

Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райте А.Дж.

Х19 Бизнес-прогнозирование, 7-е издание. : Пер. с англ.—— М.: Издательский дом “Вильямс”，2003. — 656 с.: ил. — Парал. тит. англ.

ISBN 5-8459-0436-6 (рус.)

Назначение этой книги состоит в том, чтобы предоставить читателю основной статистический аппарат, который он сможет использовать для подготовки индивидуальных деловых прогнозов и далеко идущих планов. Книга написана в простом доступном стиле. В ней широко используются практические деловые примеры, позволяющие увидеть связь между теоретическими концепциями и их практическим применением. Основной акцент делается на применении менеджером изучаемого математического аппарата для принятия деловых решений. Предполагается, что читатель знаком с вводным курсом математической статистики и владеет компьютером в такой степени, чтобы уметь эффективно работать с пакетами прикладного программного обеспечения, — например, с текстовыми процессорами и процессорами электронных таблиц.

ББК 32.973.26-018.2.75

Все названия программных продуктов являются зарегистрированными торговыми марками соответствующих фирм.

Никакая часть настоящего издания ни в каких целях не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это нет письменного разрешения издательства Prentice Hall, Inc.

Authorized translation from the English language edition published by Prentice Hall, Inc., Copyright © 2001

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from the Publisher.

Russian language edition published by Williams Publishing House according to the Agreement with R&I Enterprises International, Copyright © 2003

ISBN 5-8459-0436-6 (рус.)© Издательский дом “Вильямс", 2003

ISBN 0-1308-7810-3 (англ.)© Prentice Hall, Inc., 2001

Оглавление

Введение13

Глава 1. Введение в теорию прогнозирования17

Глава 2. Обзор основных статистических понятий33

Глава 3. Исследование наборов данных и выбор метода прогнозирования83

Глава 4. Методы сглаживания и скользящие средние133

Глава 5. Временные ряды и их компоненты191

Глава 6. Простая линейная регрессия257

Глава 7. Многомерный регрессионный анализ317

Глава 8. Регрессионный анализ временных рядов387

Глава 9. Метод Бокса-Дженкинса (ARIMA)453

Глава 10. Элементы субъективной оценки в прогнозировании 545

Глава 11. Управление процессом прогнозирования567

Приложение А. Вывод формул591

Приложение Б. Исходные данные для задания 7.1593

Приложение В. Таблицы597

Приложение Г. Наборы и базы данных611

Предметный указатель645

Содержание

Введение13

Глава 1. Введение в теорию прогнозирования17

История прогнозирования17

Необходимость в прогнозировании18

Типы прогнозов20

Макроэкономическое прогнозирование21

Выбор метода прогнозирования21

Этапы прогнозирования22

Управление процессом прогнозирования23

Компьютерные пакеты для решения задач прогнозирования24

Пример прогнозирования25

Резюме27

Задание 1.1. wMr. Tux5528

Задание 1.2. Корпорация Consumer Credit Counseling29

Применение Minitab30

Применение Excel30

Рекомендуемая литература31

Глава 2. Обзор основных статистических понятий33

Описание данных с помощью численного суммирования33

Графическое представление числовой информации37

Вероятностные распределения41

Выборочные распределения46

Выводы, которые можно сделать на основании изучения выборок48

Оценка48

Проверка гипотез49

Корреляционный анализ52

Диаграммы рассеяния53

Коэффициент корреляции56

Аппроксимация данных прямой линией59

Оценка, имеют ли данные нормальное распределение63

Применение в менеджменте65

Глоссарий66

Основные формулы67

Упражнения68

Задание 2.1. Компания Alcam Electronics74

Задание 2・2・ “Mr・ Tux"75

Задание 2.3. Компания Alomega Food Stores77

Применение Minitab79

Применение Excel81

Рекомендуемая литература82

Глава 3・ Исследование наборов данных и выбор метода прогнозирования83

Изучение наборов данных, являющихся временными рядами85

Исследование данных с помощью автокорреляционного анализа87

Являются ли данные случайными92

Имеют 〃〃 данные тренд96

Являются ли данные сезонными101

Выбор соответствующего метода прогнозирования103

Аппарат прогнозирования для стационарных данных104

Аппарат прогнозирования для данных, имеющих тренд105

Аппарат прогнозирования для данных с сезонной компонентой105

Аппарат прогнозирования для циклических рядов106

Другие факторы, которые нужно учитывать при выборе метода прогнозирования106

Эмпирическая оценка методов прогнозирования108

Измерение ошибки прогноза109

Оценка адекватности выбранного метода прогнозирования112

Применение в менеджменте115

Глоссарий115

Основные формулы116

Упражнения117

Задание 3.1. Сеть мебельных магазинов Murphy Brothers122

Задание 3.2・ “Mr. Tux”125

Задание 3.3. Корпорация Consumer Credit Counseling126

Задание 3.4. Компания Alomega Food Stores127

Применение Minitab128

Применение Excel130

Рекомендуемая литература132

Глава 4. Методы сглаживания и скользящие средние133

Наивные модели134

Методы прогнозирования, основанные на усреднении137

Простые средние138

Скользящие средние140

Двойн ые скользящие средние144

Методы экспоненциального сглаживания148

Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда: метод Хольта156

Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда и сезонных

вариаций: метод Винтерса161

Применение в менеджменте166

Глоссарий167

Основные формулы167

Упражнения168

Задание 4.1. Компания Solar Alternative175

Задание 4・2・ “Mr・ Tux"176

Задание 4.3. Корпорация Consumer Credit Counseling178

Задание 4.4. Пятилетний план доходов клиники Downtown Radiology179

Применение Minitab187

Применение Excel189

Рекомендуемая литература190

Глава 5. Временное ряды и их компоненты191

Декомпозиция193

Тренд195

Некоторые типы трендовых кривых199

Прогноз тренда202

Сезонность203

Данные с устраненными сезонными колебаниями209

Циклические и нерегулярные изменения210

Прогноз сезонного временного ряда217

Метод декомпозиции Census II219

Применение в менеджменте222

Приложение: индекс цен223

Глоссарий225

Основные формулы225

Упражнения226

Задание 5.1. Фирма Small Engine Doctor235

Задание 5.2. KMr. Tux,5237

Задание 5.3 Корпорация Consumer Credit Counseling243

Задание 5.4. Клуб AAA Washington244

Задание 5.5. Компания Alomega Food Stores247

Применение Minitab249

Применение Excel252

Рекомендуемая литература255

Глава 6・ Простая линейная регрессия257

Прямая регрессии259

Стандартная ошибка оценки263

Прогнозирование величины У264

Разложение дисперсии267

Коэффициент детерминации272

Проверка гипотез274

Анализ остатков277

Результаты компьютерных расчетов280

Преобразования переменных282

Применение в менеджменте288

Глоссарий289

Основные формулы289

Упражнения291

Задание 6.1. Компания Tiger Transport303

Задание 6.2. Компания Butcher Products, Inc.306

Задание 6.3. Компания Асе Manufacturing308

Задание 6.4. <6Мг. Tuxw309

Задание 6.5. Корпорация Consumer Credit Counseling310

Применение Minitab312

Применение Excel315

Рекомендуемая литература316

Глава 7. Многомерный регрессионный анализ317

Несколько независимых переменных317

Корреляционная матрица318

Многомерная регрессионная модель319

Статистическая модель многомерной регрессии320

Интерпретация коэффициентов регрессии322

Статистический анализ модели многомерной регрессии323

Стандартная ошибка оценки324

Значимость регрессии325

Отдельные независимые переменные328

Прогнозирование будущих значений зависимой переменной328

Результаты компьютерных расчетов329

Фиктивные переменные331

Мультиколлинеарность335

Выбор "наилучшего" уравнения регрессии339

Анализ всех возможных регрессий342

Пошаговая регрессия344

Заключительные замечания относительно метода пошаговой регрессии347

Регрессионная диагностика и анализ остатков348

Предостережения при прогнозировании351

Прогнозирование вне допустимого множества351

Полезные регрессии, большие значения F351

Применение в менеджменте352

Глоссарий354

Основные формулы354

Упражнения356

Задание 7.1. Рьшок облигаций366

Задание 7.2. Прогнозы в бейсболе (А)369

Задание 7.3. Прогнозы в бейсболе (Б)378

Применение Minitab384

Применение Excel385

Рекомендуемая литература386

Глава 8. Регрессионный анализ временных рядов387

Данные временных рядов и проблема автокорреляции387

Тест Дарбина-Уотсона для серийной корреляции392

Решение проблемы автокорреляции396

Ошибка 6 спецификации модели (пропуск переменной)397

Регрессия с разностями399

Обобщенные разности и итерационный подход404

Модели авторегрессии408

Данные временных радов и проблема гетероскедастичности409

Использование регрессии для прогноза сезонных данных412

Эконометрическое прогнозирование416

Применение в менеджменте417

Глоссарий417

Основные формулы418

Упражнения419

Задание 8.1. Компания на ваш выбор429

Задание 8.2. Индекс деловой активности для округа Спокан430

Задание 8.3. Выручка ресторана436

Задание 8.4. <(Мг. Тих55439

Задание 8.5. Корпорация Consumer Credit Counseling441

Задание 8.6. Клуб AAA Washington443

Задание 8.7. Компания Alomega Food Stores447

Применение Minitab449

Применение Excel450

Рекомендуемая литература451

Глава 9. Метод Бокса-Дженкинса (ARIMA)453

Метод Бокса-Дженкинса454

Авторегрессионные модели458

Модели со скользящим средним459

Модели с авторегрессией и скользящим средним461

Резюме462

Реализация стратегии разработки модели462

Этап 7. Определение модели462

Этап 2. Оценка модели464

Этап 3. Проверка модели465

Этап 4 Прогнозирование на основе выбранной модели466

Заключение489

Критерии выбора модели490

Модели для сезонных данных491

Простое экспоненциальное сглаживание и модель ARIMA505

Преимущества и недостатки моделей ARIMA506

Применение в менеджменте506

Глоссарий508

Основные формулы508

Упражнения509

Задание 9.1. Выручка ресторана523

Задание 9.2. GMr. Tux"525

Задание 9.3. Корпорация Consumer Credit Counseling527

Задание 9.4, Компания Lydia Е. Pinkham Medicine528

Определение модели530

Оценка модели и проверка ее адекватности530

Прогноз на основе выбранной модели531

Итоги и заключения531

Задание 9.5. Радиостанция студенческого городка532

Задание 9.6. Отделение Air Finance компании UPS536

Применение Minitab539

Применение Excel542

Рекомендуемая литература543

Глава 10. Элементы субъективной оценки в прогнозировании545

Кривые роста547

Метод Дельфи549

Метод написания сценария550

Комбинирование прогнозов552

Прогнозирование и нейронные сети553

Заключительные замечания о субъективной оценке в прогнозировании555

Другие методики, полезные в прогнозировании557

Основные формулы561

Задание 10.1. Ресторан Golden Gardens562

Задание 10.2. Повторный взгляд на компанию Lydia Е. Pinkham Medicine563

Рекомендуемая литература566

Глава И. Управление процессом прогнозирования567

Процесс прогнозирования567

Контроль за процессом прогнозирования571

Еще раз об этапах прогнозирования575

Служба прогнозирования576

Затраты на прогнозирование577

Прогнозирование и АСУ577

Высшее руководство и прогнозирование578

Будущее прогнозирования579

Задание 11.1. Компания Boundary Electronics580

Задание 11.2. Компания Busby Associates581

Задание 11.3. Корпорация Consumer Credit Counseling587

Задание 11.4. “Mr. Tux"588

Задание 11.5. Компания Alomega Food Stores590

Рекомендуемая литература590

Приложение А. Вывод формул591

Корреляционные соотношения591

Метод наименьших квадратов591

Частные производные592

Приложение Б. Исходаые данные для задания 7.1593

Приложение В. Таблицы597

Приложение Г. Наборы и базы данных611

Отдельные наборы данных611

Комплексные наборы данных626

Предметный указатель645

Введение

Назначение седьмого издания книги Бизнес-прогнозирование, как и всех предыдущих изданий, ——представить читателю основной статистический аппарат, который можно будет использовать для подготовки индивидуальных деловых прогнозов и далеко идущих планов. Книга написана в доступном стиле. В ней широко используются практические деловые примеры. В частности, в конце глав приведены сорок шесть заданий, которые должны помочь студентам увидеть связь между теоретическими концепциями и их практическим применением. Основной акцент сделан на применении менеджером изучаемого математического аппарата для принятия деловых решений. Предполагается, что студенты знакомы с вводным курсом математической статистики и владеют компьютером в такой степени, чтобы уметь эффективно работать с пакетами прикладного программного обеспечения, например текстовыми процессорами и процессорами электронных таблиц.

Структура книги

Все главы данного издания были переработаны с тем, чтобы повысить ясность изложения и усилить его педагогическую и познавательную эффективность.

В главах 1 и 2 содержится подготовительный материал. Здесь освещается природа прогнозирования и дается беглый обзор основных статистических понятий с целью создать основу, необходимую для ясного понимания математического аппарата, излагаемого в последующих главах книги.

В главе 3 внимание акцентируется на исследовании набора исходных данных и выборе аппарата прогнозирования. В главах 4 и 5 рассматриваются методы усреднения и сглаживания, а также предлагается введение в разложение временных рядов в терминах основных компонентов. В главах 6 и 7 описываются методы причинного прогнозирования, в частности корреляционного, регрессионного и множественного регрессионного анализа.

В главах 8 и 9 обсуждается техника прогнозирования временных рядов данных. Завершающие книгу главы 10 и 11 содержат обсуждение технологической и оценочной техники прогнозирования, а также вопросов управления процессом прогнозирования и контроля над ним.

Изменения в седьмом издании

Седьмое издание было полностью пересмотрено. Большая часть материала прежних изданий была сохранена, однако в данном издании сделан акцент на результатах наиболее поздних теоретических исследований и некоторых эмпирических изысканий. Устаревший материал был удален, а книга полностью переработана и дополнена новыми задачами, примерами, наборами данных и учебными заданиями.

Данное издание имеет следующие характерные особенности.

Добавлено девять новых учебных заданий.

В конце глав приведены примеры использования приложения Minitab (версия 13).

В конце глав приведены примеры применения к решению задач прогнозирования приложения Excel 2000.

Наборы данных, используемые в примерах для Minitab, Excel или других программ, могут быть получены через Internet.

Важность использования компьютера при чтении книги

В первых шести изданиях компьютер рассматривался как мощный инструмент прогнозирования. Сейчас роль компьютера еще больше возросла, — мы достигли реальной простоты доступа к данным в компьютерных сетях и получили широкие возможности выполнения самого сложного прогнозирования.

Авторы провели несколько бессонных ночей, анализируя, какое следует принять решение в отношении компьютеров. Национальная исследовательская программа всех организаций-членов AACSB, руководимая авторами, имела целью определить методы использования компьютеров при обучении прогнозированию в различных учебных заведениях. Эта программа показала, что в большей части учебных заведений (94,2%) обучение технике прогнозирования заключается в выработке практических навыков непосредственного использования компьютера. Кроме того, в итоговом обзоре было отмечено несколько статистических и специализированных пакетов по прогнозированию, разработанных для персональных компьютеров. Наиболее часто упоминаемыми пакетами оказались Minitab, SAS, Eviews и процессоры обработки электронных таблиц.

В результате для оказания помощи обучающему персоналу и студентам в использовании компьютеров для целей прогнозирования авторы выбрали несколько различных подходов.

В конце глав приведены инструкции по использованию приложения Minitab и процессора электронных таблиц MS Excel 2000.

В Internet доступны три набора данных (для Minitab, Excel и других программ), используемые в примерах и задачах этой книги. Каждый набор содержит также несколько новых рядов данных. Указанные наборы данных можно найти на Web- странице издательства Prentice Hall по адресу: www.prenhall. com/Hanke.

По всему тексту книги широко представлены примеры различных компьютерных распечаток.

Благодарности

Авторы благодарны многим читателям во всем мире, которые дали бесценные предложения по улучшению книги. Отдельные благодарности авторы выражают профессору Фрэнку Форесту (Frank Forest) из университета Маркетта; профессору Вильяму Дарроу (William Darrow) из Государственного университета Таунсенда; Сьюзен Винтерс (Susan

Winters) из Северо-западного государственного университета; профессору Шик Чан Янг (Shik Chun Young) из университета Вашингтона; Марку Крейзу (Mark Craze); Джуди Джонсон (Judy Johnson); Стиву Брендону (Steve Brandon) и Дороти Мерсер (Dorothy Mercer) за предоставление учебных заданий; а также Дженнифер Дол (Jennifer Dahl) за оформление этого издания.

Некоторые фрагменты текста, в частности наборы данных, позаимствованы из второго издания книги Understanding Business Statistics Ханка (Hanke) и Райтса (Reitsch), выпущенной издательством Richard D. Irwin, Inc. Выражаем им благодарность за эту возможность.

Мы также хотели бы выразить признательность рецензенту Джону Лишти (John Liechty) из университета штата Мичиган; Джону Тэймура (John Tamura) из университета Вашингтона; Тэду Таукахара (Ted Taukahara) из Университета Святой Марии и Дину Уи- черну (Dean Wichern) из Техасского университета за их очень конструктивные комментарии, сделанные при просмотре книги. Если бы мы были достаточно талантливы, чтобы реализовать все предложения наших рецензентов, книга улучшилась бы на все 100 процентов. В действительности, все, что мы оказались способны сделать — это приобщить Дина Уичерна к выпуску нового издания книги.

И наконец, мы благодарны нашим компьютерам, и удивительно, как мы раньше писали книги без них. Только мы, но не компьютеры, ответственны за имеющиеся в этой книге ошибки.

ГЛАВА

К4、〃П公

卄7"7"7"

Введение в теориюпрогнозирования

^В этой книге рассматриваются методы, используемые для прогнозирования неопределенного будущего с целью помочь менеджерам в принятии наилучшего решения. Эти методы состоят в изучении и анализе накопленных данных с целью нахождения моделей, которые могут быть эффективно продолжены в будущее.

В этой книге читателю регулярно будут напоминать о том, что для создания хорошего прогноза, наряду с численными результатами, непременно должна быть использована личная оценка. Задания в конце глав подтверждают эту точку зрения. Обсуждение данного вопроса содержится в этой и заключительной главах книги. Кроме того, такую точку зрения подтверждает и пример в этой главе.

История прогнозирования

Большая часть рассматриваемого в этой книге аппарата прогнозирования, используемого сегодня, была разработана в девятнадцатом столетии. Примером могут служить процедуры регрессионного анализа. Однако некоторые из тем, излагаемых в этой книге, привлекли внимание исследователей и получили свое развитие только в последнее время. В частности, к этой категории относятся процедуры Бокса-Дженкинса (Box-Jenkins) и нейронные сети, используемые для целей прогнозирования.

С развитием и ростом сложности аппарата прогнозирования, а также с появлением компьютеров ——в особенности с широким распространением сетей из небольших персональных компьютеров, оснащенных соответствующим программным обеспечением — прогнозированию уделяется все больше и больше внимания. Сейчас каждый менеджер имеет реальную возможность использовать в целях прогнозирования очень сложный математический аппарат анализа данных, и знание этого аппарата является для него весьма существенным. По этой же причине люди, непосредственно использующие прогнозы в своей деятельности (менеджеры), должны понимать опасность выбора неадекватных методов прогнозирования, так как некорректные прогнозы могут привести к принятию неверных решений.

Техника прогнозирования продолжает развиваться, и разрабатываются все новые и новые методы, так как менеджмент сталкивается с растущей потребностью в прогнози-

ровании процессов. Особое внимание при этом сосредоточивается на ошибках, которые являются неотъемлемой частью любой процедуры прогнозирования. Предсказания будущих исходов редко оказываются точными (с точностью до знака), поэтому человек, занимающийся прогнозированием, может лишь пытаться, насколько это возможно, смягчить последствия от неизбежных ошибок.

Необходимость в прогнозировании

Почему же прогнозирование необходимо в свете общей недетерминированности естественных процессов? Ответ состоит в том, что все организации функционируют в условиях неопределенности, но, вопреки этому, их менеджеры должны принимать решения, оказывающие влияние на будущее организации. Обоснованные предположения о будущем более ценны для менеджеров, чем необоснованные. В этой книге обсуждаются пути создания прогнозов, которые основываются на логических методах использования данных, порожденных естественными процессами.

Сказанное вовсе не означает, что интуитивный прогноз безусловно плох. Наоборот, "внутреннее" чутье руководителя предприятия часто обеспечивает единственно приемлемый прогноз. Эта книга обсуждает аппарат прогнозирования, который может использоваться для того, чтобы помочь обосновать интуитивные решения тем, кто их принимает. Элементы оценки в процессе прогнозирования мы будем обсуждать в главе 10. Мы полагаем, что тот, кто принимает решение, опираясь на понимание количественного и качественного аппаратов прогнозирования и разумное их использование, несомненно, имеет преимущество по сравнению с тем, кто пытается планировать будущее без учета какой-либо дополнительной информации.

Значение оценочного прогнозирования в последние годы заметно изменилось. До появления современного математического аппарата прогнозирования и достаточно мощных компьютеров, оценка менеджера была единственным инструментом в практическом прогнозировании. Благодаря работам Макридакиса (Makridakis, 1986) стало очевидным, что прогнозы, использующие только оценку, не являются такими точными, как те, которые основываются на применении количественных методов оценки.

Человек обладает уникальным знанием и внутренней информацией, недоступной количественным методам. Удивительно, однако, что эмпирические исследования и лабораторные эксперименты показали, что построенные на их основе прогнозы не являются такими точными, как те, которые получены посредством численных методов. Человек старается быть оптимистом и недооценивает степень неопределенности будущего. К тому же стоимость прогнозирования, выполняемого оценочными методами, часто оказывается значительно выше, чем при использовании количественных методов.

Мы верим в то, что человек, искушенный в области прогнозирования, способен эффективно свести воедино результаты количественной техники прогнозирования и хорошей оценки, избежав крайностей каждого из этих подходов. На одном полюсе мы видим исполнителя, который, игнорируя количественную технику прогнозирования и компьютеры, полностью полагается на собственную интуицию. На другом полюсе находится

специалист по прогнозам, искушенный в области манипулирования данными и их анализа, совершенно не способный или не желающий соотносить прогнозируемый процесс с нуждами предприятия и его руководителей. Мы рассматриваем количественный аппарат прогнозирования, изложению которого посвящена большая часть этой книги, как единственно верную отправную точку в эффективном прогнозировании событий, важных для предприятия. Анализ, оценка, понятие здравого смысла и бизнес-эксперимент должны быть доведены до сведения менеджеров в той мере, в которой этот важный аппарат должен влиять на результаты их деятельности.

Поскольку мир, в котором функционируют организации, всегда был изменчив, необходимость в прогнозах существовала всегда. Но только в последние годы возросло доверие к методам, включающим сложную технику обработки данных. В результате стремительного развития все новых технологий и научных направлений интенсифицируется правительственная активность на всех уровнях, а конкуренция во многих областях деятельности становится все более острой. Уровень международной торговли постоянно возрастает практически во всех областях промышленности. Были созданы и начали бурно развиваться институты социальной помощи и различные сервисные агентства. Всемирная сеть Internet превратилась в важный источник фактических данных и другой информации для принятия решений. Все это беспрецедентно усложнило "климат” на всех предприятиях, что вынудило их очень быстро реагировать на происходящие изменения и поддерживать более высокий уровень конкурентоспособности, чем когда-либо прежде. Те из них, которые не смогли своевременно отреагировать на изменение условий и предвидеть будущее с необходимой степенью точности, оказались обречены и прекратили свое существование.

Компьютеры, в совокупности с количественными методами расчетов, которые благодаря им стали общедоступными, для современных организаций являются уже не просто удобным инструментом, а фактически их неотъемлемой частью. Упомянутые выше трудности современной жизни породили огромное количество данных, что вызвало острую необходимость научиться извлекать из них различную полезную информацию. Существующие инструменты прогнозирования, в сочетании с возможностями компьютеров, стали жизненно необходимыми средствами для любых организаций, функционирующих в современном мире.

Кому необходимы прогнозы? Практически каждое предприятие, большое или маленькое, частное или государственное, явно или неявно пользуется прогнозами, потому что каждое предприятие должно планировать будущее, о котором оно пока ничего не знает. К тому же необходимость в прогнозах пронизывает все функциональные линии так же, как и все типы организаций. Прогнозы необходимы в финансировании, маркетинге, подборе кадров и различных производственных областях, в правительственных и коммерческих организациях, в маленьких социальных клубах и национальных политических партиях. Вот несколько примеров вопросов, для получения ответов на которые необходимы те или иные процедуры прогнозирования.

Как повлияет на объемы продаж увеличение финансирования рекламы на 10%?

Какой годовой доход может ожидать государство по истечении следующего двухлетнего периода?

Сколько единиц продукции необходимо продать, чтобы возвратить планируемые капиталовложения в производственное оборудование?

Как определить факторы, которые помогут объяснить изменчивость в ежемесячных объемах продажи продукции?

Каков ежегодный прогноз на последующие 10 лет в отношении сводного баланса займов нашего банка?

Будет ли экономический спад? Если да, то когда он начнется, насколько сильным он будет и когда он окончится?

Типы прогнозов

Какие существуют типы прогнозов для менеджера, столкнувшегося с необходимостью принятия решения в условиях неопределенности? Прогнозы могут классифицироваться как долгосрочные и краткосрочные. Долгосрочные прогнозы необходимы для того, чтобы наметить основной курс предприятия на длительный период, поэтому именно на них акцентируется основное внимание менеджеров высшего звена. Краткосрочные прогнозы используются для разработки безотлагательных стратегий. Они чаще всего применяются менеджерами среднего и низшего звена для удовлетворения потребностей ближайшего будущего.

Прогнозы также могут классифицироваться относительно их позиции в микромакроконтинууме, т.е. по отношению к тому, рассматривают ли они отдельные составляющие или же обобщенные показатели. Например, руководитель предприятия может интересоваться прогнозом числа рабочих, которые потребуются в ближайшие несколько месяцев (микропрогноз), в то время как федеральное правительство интересует прогноз числа людей, занятых в производственной сфере в масштабах всей страны (макропрогноз). Кроме того, руководители разных уровней на одном и том же предприятии будут концентрировать свое внимание на разных уровнях микро-макроконтинуума. Например, менеджеров высшего звена будет интересовать прогноз объемов продаж всей компании, в то время как отдельные служащие будут значительно больше заинтересованы в прогнозе объема продаж, осуществляемых лично ими.

Процедуры прогнозирования могут также классифицироваться как количественные и качественные. На одном полюсе здесь находится чисто качественный аппарат, не требующий явного математического оперирования данными. Используется только “оценка”, предоставляемая составителем прогноза. Конечно, даже в этом случае “оценка” составителя прогноза в действительности является результатом мысленного анализа данных. На другом полюсе находится чисто количественный аппарат, не требующий никакой дополнительной оценки. Это чисто механические процедуры, которые на выходе дают количественные результаты. Конечно, некоторые количественные процедуры требуют значительно более изощренной техники оперирования данными, чем другие. Основное внимание в этой книге сосредоточено на аппарате количественного прогнозирования, так как широкое понимание этих очень полезных процедур совершенно необходимо для эффективного руководства современным предприятием или организацией. Однако, и мы подчеркиваем это еще раз, наряду с механическими процедурами оперирования данными непременно должны применяться оценка и здравый смысл. Только таким способом может быть получен разумный прогноз.

Макроэкономическое прогнозирование

Как правило, под прогнозированием понимается процедура предсказания важных показателей для отдельных компаний или даже одного из подразделений компании. Примерами могут служить месячный объем продаж компании, объем продаж отдельных видов продукции для одного из магазинов компании или же количество пропущенных рабочих часов, которое приходится на одного работника фабрики.

В противоположность этому, наблюдается растущий интерес к прогнозированию важных параметров экономики всей страны. Была проделана большая работа по оценке методов получения сводаых экономических прогнозов подобного типа, называемых макроэкономическими. Например, федеральное правительство США интересует прогноз уровня безработицы, роста национального продукта и значения основной учетной ставки. В частности, вся экономическая политика строится на планировании основных экономических показателей. Поэтому существует большой интерес к усовершенствованию методов прогнозирования, применяемых к общим показателям функционирования экономики всей страны.

Одной из основных сложностей в получении точных прогнозов общих показателей экономической деятельности являются неожиданные и важные сдвиги в ключевых экономических факторах. Среди таких факторов — серьезные изменения в ценах на нефть, волны инфляции и основные политические изменения в правительстве страны, оказывающие глобальное влияние на ее экономику.

Возможность таких важных изменений в области экономики поднимает ключевые вопросы макроэкономического прогнозирования в целом. Должен ли прогноз, порожденный соответствующей моделью, подвергаться модификации на основе оценки человека, создающего его? Текущая работа по созданию методологии прогнозирования часто включает в себя этот вопрос.

Много работы — как теоретической, так и практической — ведется по проблемам макроэкономического прогнозирования. Этим вопросам посвящен отдельный выпуск журнала International Journal 炉 Forecasting (vol.6, n.3, October, 1990). В будущем можно ожидать повышение роли точного экономического прогнозирования в отношении формирования экономической политики в США и других странах и в связи с этим увеличение внимания к данному типу прогнозирования.

Выбор метода прогнозирования

В предшествующем обсуждении речь шла о нескольких факторах, которые следует учитывать при выборе метода прогнозирования. Следует определить уровень детализации. Нужен ли прогноз определенных деталей (микро-прогноз)? Или же требуется прогноз будущего состояния некоторых всеобъемлющих или обобщенных факторов (макропрогноз)? Необходим ли прогноз некоторой величины в ближайшем будущем (краткосрочный прогноз) или в отдаленном будущем (долгосрочный прогноз)? И в какой степени являются приемлемыми качественные (оценочные) и количественные (оперирующие данными) методы прогнозирования?

Тщательный и всесторонний анализ при выборе метода прогнозирования должен обеспечить упрощение процедуры принятия решения менеджерами организации. Основное требование, следовательно, не в том, чтобы метод прогноза включал в себя слож-

ный математический процесс или представлял собой новейший усложненный метод. Скорее всего, выбранный метод должен давать точный, своевременный и понятный менеджменту прогноз, который помог бы в выборе наилучшего решения. Кроме того, результаты процедуры прогнозирования должны приносить прибыль, которая покрывала бы издержки на ее выполнение.

Этапы прогнозирования

Все формальные процедуры прогнозирования предусматривают перенос прошлого опыта в неопределенное будущее. Таким образом, все они построены на предположении, что условия, породившие полученные ранее данные, неотличимы от условий будущего. Исключение составляют только те переменные, которые точно распознаны моделью прогнозирования. Например, если кто-то строит прогноз показателей производительности служащих, исходя только из множества оценок, выставленных им при испытаниях в процессе приема на работу, то он, очевидно, предполагает, что показатель производительности каждого работника зависит только от них. В действительности же подобное предположение о неразличимости прошлого и будущего не выполняется в полной мере. Поэтому полученный прогноз будет неточен, если только он не будет модифицирован на основании оценки, выполненной составителем прогноза.

Осмысление того, что аппарат прогнозирования оперирует данными, порожденными естественными событиями, приводит к определению следующих пяти этапов в процессе прогнозирования.

Сбор данных

Редукция или уплотнение данных

Построение модели и ее оценка

Экстраполяция выбранной модели (фактический прогноз)

Оценка полученного прогноза

Этап 1, сбор данных, предполагает получение корректных данных и обязательную проверку того, что они верны. Этот этап часто является наиболее сомнительной частью всего процесса прогнозирования и в то же время наиболее сложен для проверки, поскольку последующие этапы с одинаковым успехом могут производиться с использованием данных, как соответствующих изучаемой проблеме, так и не соответствующих ей. Всякий раз, когда возникает необходимость получить в организации определенные данные, их сбор и проверка обязательно сопровождаются множеством различных проблем.

Этап 2, редукция или уплотнение данных, часто оказывается необходимым, так как для выполнения прогнозирования может быть собрано как слишком много исходных данных, так и слишком мало. Некоторые данные могут не иметь прямого отношения к рассматриваемой задаче, а будут лишь снижать точность прогнозирования. Другие данные могут соответствовать проблеме, но только в контексте некоторого конкретного исторического периода. Например, при прогнозировании продаж

малолитражных автомобилей целесообразно будет использовать данные о продажах автомобилей только с момента введения эмбарго на нефть в 1970-х годах, а не данные за последние 50 лет.

Этап 3, построение модели и ее оценка, состоит в подборе модели прогноза, наиболее соответствующей особенностям собранных данных в смысле минимизации ошибки прогноза. Чем проще модель, тем лучше она будет воспринята менеджерами фирмы, ответственными за принятие решения, и тем выше будет их доверие к полученному прогнозу. Часто следует отдавать предпочтение не более сложному подходу к прогнозированию, предлагающему немного больше точности, а более простому, понятному руководителям компании. Когда выбранный метод получает поддержку у менеджеров, то и результаты прогнозирования активно ими используются. Из сказанного очевидно, что оценка непременно должна применяться в процессе выбора. Поскольку в этой книге обсуждается значительное число различных моделей прогноза наряду с областью их применимости, мы надеемся, что после изучения предложенного материала возможности читателей в отношении подбора моделей прогнозирования и правильной их оценки, несомненно, возрастут.

Этап 4, экстраполяция выбранной модели, предусматривает фактическое получение требуемого прогноза, поскольку необходимые данные уже собраны и, возможно, редуцированы, а соответствующая модель прогноза определена. Часто для проверки точности получаемых результатов применяется прогнозирование на недавно прошедшие периоды, для которых исследуемые величины уже известны. Наблюдаемые ошибки затем определенным образом анализируются. Эта процедура обсуждается ниже, при описании этапа 5.

Этап 5, оценка полученного прогноза, состоит в сравнении вычисленных величин с действительно наблюдаемыми значениями. Для этой цели часть наиболее свежей фактической информации обычно исключается из множества анализируемых данных. После того как модель прогноза будет подобрана, выполняется прогноз на эти периоды и полученные результаты сравниваются с известными наблюдаемыми значениями. Некоторые процедуры прогнозирования предусматривают суммирование абсолютных значений ошибок и представляют либо эту сумму, либо частное от деления ее на число прогнозируемых значений, представляющее собой значение средней ошибки прогноза. Другие процедуры используют сумму квадратов ошибок, которая затем сравнивается с аналогичными числами, полученными для альтернативных методов прогнозирования. Некоторые процедуры отслеживают и отмечают величину пределов ошибки за период прогнозирования. Специальные методы измерения ошибок прогноза обсуждаются в конце главы 3.

Управление процессом прогнозирования

В этой главе многокра тно подчеркивается, что в процесс прогнозирования непременно должны быть вовлечены способности и здравый смысл руководящего персонала. Специалист, занимающийся прогнозированием, должен рассматриваться как советник менеджера, а не как оператор некоего устройства, автоматически принимающего решения. К сожалению, именно эта ситуация чаще всего встречается на практике, особенно в связи с появлением компьютеров. Повторим, что количественный аппарат в процессе про-

гнозирования должен восприниматься как инструмент (чем он в действительности и является), используемый менеджером для принятия наилучшего решения. Еще раз процитируем Макрвдакиса (1986).

Эффективность и уровень использования прогнозирования могут быть повышены, если менеджмент примет по отношению к нему более реалистичное отношение. Прогнозирование следует рассматривать не как некое пророчество, а скорее, как лучший способ выявления и экстраполяции существующих схем или взаимоотношений с целью прогнозирования. Если такое отношение будет воспринято, то ошибки прогноза будут рассматриваться как неизбежные, а обстоятельства, их порождающие, непременно подлежащими исследованию?

Следовательно, для того чтобы соответствующим образом руководить процессом прогнозирования, следует найти ответы на несколько ключевых вопросов.

Почему необходим прогноз?

Кто будет использовать прогноз, и в чем состоят его основные требования?

Какой уровень ——отдельные составляющие или обобщенные показатели ——требуется и каковы соответствующие временные рамки?

Какие имеются данные и будет ли их достаточно для того, чтобы получить необходимый прогноз?

Во что обойдется выполнение прогноза?

Какова ожидаемая точность прогноза?

Будет ли прогноз сделан вовремя, чтобы помочь процессу принятия решения?

Ясно ли понимает создающий прогноз специалист то, как он будет использован на предприятии?

Существует ли обратный процесс, позволяющий оценить прогноз после того, как он был сделан, и внести соответствующие уточнения в процесс прогнозирования?

Компьютерные пакеты для решения задач прогнозирования

Разработка компьютерных пакетов программного обеспечения, специально предназначенных для применения различных методов прогнозирования, оказала огромное влияние на развитие прогнозирования в последние несколько лет. Для специалиста, занимающегося прогнозированием, представляют интерес два типа компьютерных пакетов. Во-первых, это статистические пакеты, позволяющие проводить регрессионный анализ, анализ временных рядов и другие виды математического анализа, часто применяемые статистиками. Во-вторых, это пакеты для прогнозирования, специально созданные для подобных целей.

Там же, с. 33.

Для универсальных ЭВМ (мэйнфреймов) и микрокомпьютеров (или персональных компьютеров, часто называемых ПК) были разработаны сотни статистических пакетов и пакетов для решения задач прогнозирования. Менеджеры, знающие аппарат прогнозирования и имеющие ПК на своем рабочем столе, уже не зависят от прогнозов своих штатных сотрудников. Современный руководитель активно использует самые совершенные методы прогнозирования, предоставляемые ему персональными компьютерами.

В силу постоянного обновления доступного программного обеспечения, в данной книге не имеет смысла обсуждать в подробностях те пакеты программного обеспечения для целей прогнозирования, которые были выпущены к моменту ее написания. Разработчики программного обеспечения постоянно стремятся усовершенствовать математический аппарат, используемый в их продуктах, а также максимально упростить их использование и интерпретацию полученных результатов. Хотя специалисты по прогнозированию непременно должны интересоваться новыми разработками в программном обеспечении, им не следует постоянно “перепр垃гивать" от одного пакета к другому, они должны понимать, что непрерывные улучшения в программном обеспечении просто неизбежны. Специалисты по прогнозированию должны уметь эффективно использовать все преимущества подобных улучшений.

Несмотря на прозвучавшие выше предостережения, использование пакетов программного обеспечения для прогнозирования является актуальным в силу того, что данная процедура неизбежно связана с большими вычислениями. По этой причине для иллюстрации значительной части математического аппарата, обсуждаемого в книге, мы выбрали две типичные компьютерные программы: Minitab 13 и Microsoft Excel 2000. Читатель найдет рисунки с экранами этих программ практически во всех главах книги. Следует подчеркнуть, что любые пакеты программ, которые вы, возможно, будете использовать, будут выполнять одни и те же основные вычисления, так или иначе запрограммированные в них, даже если входные и выходные экраны этих приложений будут отличаться.

Перечень пакетов для решения задач прогнозирования опубликован в The Forum, the Joint Newsletter of the International Association 炉 Business Forecasting and the International Institute of Forecasters,w\.9, n.3, Fall 1996.

Пример прогнозирования

Материал, изложенный в этой главе, свидетельствует о том, что, наряду с математической обработкой имеющихся данных, прогнозирование в значительной мере требует и выполнения оценки. Рассуждения, часто предшествующие процессу прогнозирования в реальной фирме, хорошо иллюстрируют приведенный ниже пример. Отметим, что те значения данных, которые позволяют получить полезные прогнозы (если таковые данные вообще существуют), вовсе не обязательно будут вполне очевидными в начале процесса прогнозирования; скорее всего, на этот момент они будут еще не определены. Другими словами, первоначальные попытки прогнозирования могут оказаться для менеджмента бесполезными. Результаты процедур прогнозирования, выполняемых на компьютерах с использованием указанных переменных, не показаны здесь, так как они приводятся при обсуждении отдельных тем по всему тексту книги. Собственно процесс выбора математического аппарата, который еле-

дует применить к этим данным, описан в последних главах. Окончательное решение для примера 11.1 будет приведено в главе 11. На данный момент мы просто надеемся, что приведенный ниже пример позволит явно обозначить весь диапазон тех усилий, которые менеджер должен предпринять при выполнении прогнозирования в реальных условиях.

Прим叩 4.1

Компания Alomega Food Stores имеет 27 продовольственных магазинов, осуществляющих розничную торговлю продуктами питания в штатах среднего запада. В своей деятельности компания использует различные виды рекламы, но до недавнего времени никогда не изучала реальный эффект от сумм, вложенных в рекламу, и влияние рекламы на рост объема продаж, хотя некоторые данные все же были собраны за последние три года.

Руководители компании Alomega приняли решение отслеживать затраты на рекламу наряду с фактическими объемами продаж за каждый месяц： Они надеялись, что эти данные, собранные за несколько месяцев, после соответствующего изучения позволят выявить некоторые зависимости, которые позднее можно будет эффективно использовать для планирования дальнейших рекламных расходов.

Бухгалтерия компании стала дополнительно регистрировать объем продаж за каждый месяц наряду с расходами на газетную рекламу и на рекламные ролики на телевидении. Кроме того, эти два показателя фиксировались с отставанием в один и два месяца. Это делалось потому, что некоторые люди в руководстве считали, что рост объема продаж в ответ на рекламу будет скорее отставать от месяца проведения рекламной кампании, а не следовать за ней точно месяц в месяц.

Руководство также считало, что объем продаж носит сезонный характер. Поэтому для соответствующей характеристики каждого месяца дополнительно использовались специальные переменные его категории. Менеджеры также интересовались наличием какой-либо устойчивой тенденции в изменении объемов продаж.

И наконец, предполагалось, что деньги, вложенные фирмой Alomega в рекламу своих магазинов, могут оказать влияние на рекламные затраты их основных конкурентов на следующий месяц. Соответственно, рекламная кампания конкурентов в каждом последующем месяце может оцениваться как слабая (1), средняя (2) или обширная (3).

После нескольких месяцев сбора данных и анализа накопленной ранее информации бухгалтерия сформировала набор данных за 48 месяцев, содержащий значения следующих переменных.

Объем продаж.

Суммы, вложенные в газетную рекламу.

Суммы, вложенные в рекламу на телевидении.

Код месяца (январь = 1, февраль = 2,...»декабрь^!!).

Группа из 11 переменных для обозначения категории месяца.

Суммы, вложенные в газетную рекламу, с отставанием в один месяц.

Суммы, вложенные в газетную рекламу, с отставанием в два месяца.

Суммы, вложенные в рекламу на телевидении, с отставанием в один месяц.

Суммы, вложенные в рекламу на телевидении, с отставанием в два месяца.

Последовательный номер месяца в наборе данных, от 1 до 48.

Код 1, 2 или 3, оценивающий уровень рекламной кампании конкурентов в следующем месяце.

Руководство компании Alomega, — в частности Джулия Рас (Julie Ruth), президент компании, —желает извлечь из накопленных данных все, что только возможно. Помимо того, как реклама влияет на объемы продаж компании и рекламу конкурентов, Джулия интересуется любыми устойчивыми тенденциями и сезонными изменениями в зафиксированных объемах продаж. Однако исполнительный директор компании, Джексон Тилсон (Jackson Tilson), не разделяет ее энтузиазм. В конце совещания, посвященного планированию процедуры прогнозирования, он высказал следующее: иВо время совещания я старался молчать, но это уже переходит всякие границы. Я полагаю, что с этим сбором данных и глупостями вокруг компьютера мы теряем слишком много времени сотрудников. Для понимания того, что происходит, все, что вы должны сделать — это поговорить с нашими продавцами и менеджерами бакалейно-гастрономических отделов. Я уже изучал, что там происходит, а вы опять продолжаете свои разговоры. Некоторые из вас должны всего лишь оторваться от компьютеров, выйти из ваших любимых офисов и просто поговорить со своими подчиненными**.

Резюме

Целью создания прогноза является уменьшение того уровня неопределенности, в пределах которого менеджер должен принимать решения. Эта цель диктует два основных правила, которым должен следовать процесс прогнозирования.

Прогнозирование должно быть технически корректным и должно порождать прогнозы, достаточно точные для того, чтобы отвечать нуждам фирмы.

Процедура прогнозирования и ее результаты должны быть достаточно эффективно представлены менеджменту, что обеспечит использование прогнозов в процессе принятия решения во благо фирмы. Результаты прогнозирования также должны быть сбалансированы в отношении затрат/прибыли.

Последнее часто понимается неверно, что может мешать работе профессиональных специалистов по прогнозированию. Все же, если прогнозы должны использоваться на благо фирмы, то те, кто ответственен за принятие решений, должны пользоваться ими. Это утверждение поднимает вопрос о том, что следует считать "нормой поведения" в прогнозировании. Существенные, а иногда и основные статьи расходов и распределение ресурсов в фирме чаще всего соответствуют представлению руководства о будущем развитии событий. Так как движение ресурсов и средств в организации часто строится на предполагаемом направлении развития будущего (прогнозе), неудивительно, что вокруг процесса прогнозирования обычно ведутся интриги. Это наблюдение подчеркивает значение второго основного правила: uПрогнозы, созданные в пределах фирмы, должны быть поняты и оценены ее руководством в такой степени, которая позволит эффективно использовать эти прогнозы в управлении фирмой^.

В этой книге рассматриваются различные модели и процедуры прогнозирования. Прежде всего, дан обзор основных статистических понятий, включая введение в корреляционный и регрессионный анализы. Следующая глава посвящена методам сбора данных и исследованию совокупностей данных на наличие в них взаимосвязей. В последующих главах подробно обсуждается множество различных методов прогнозирования, а последние две главы книги посвящены процессу прогнозирования в том виде, в каком он должен быть представлен руководству фирмы.

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww呢m〃m成込理m〃m轟П轟П〃тnm成п"让〃m轟m

wwwwwwwwwwwww

wwwwwwwwwwwww

Задание 1丄 “Mr. Tux”

Джон Мосби (John Mosby) является владельцем нескольких пунктов проката смокингов, функционирующих под вывеской “Мг. Тих”，большинство из которых расположены в городах Спокан и Сиэтл, штат Вашингтон.3 Его пункт проката в Спокане имеет также пошивочный цех, выпускающий сорочки к смокингам, которые рассылаются по остальным пунктам проката по всей стране. Поскольку активность пунктов проката, связанная с количеством проводимых приемов, вечеринок и других торжественных событий, изменяется в зависимости от сезона, Джон знает, что его бизнес носит явно выраженный сезонный характер. Он хотел бы оценить этот сезонный эффект, что способствовало бы как улучшению его руководства бизнесом, так и повышению эффективности проведения переговоров о предоставлении ссуд с его банкиром.

Еще больший интерес для Джона представляет нахождение способа прогнозирования его месячного дохода. Бизнес Джона продолжает расширяться, что, в свою очередь, требует все больше капитальных и долгосрочных вложений. У него есть источники для обоих типов необходимого финансирования, но инвесторы и банкиры интересуются конкретными способами прогнозирования его будущих доходов. Хотя они доверяют Джону, его заверения о том, что будущее его бизнеса "великолепно”, не рассеивает их сомнений.

Первым шагом в создании требуемой модели прогноза было указание, данное Джоном одному из его служащих, Лэйну Мак-Кеннаху (Lane McKennah), в отношении сбора информации о месячных объемах дохода от проката за последние несколько лет. В последующих главах к собранным этим служащим данным применяются различные математические методы прогнозирования. В главе 11 подводится итог и описывается, как Джон Мосби предпринял попытку подобрать аппарат прогнозирования, более всего соответствующий его нуждам.

J Авторы книги выражают благодарность Джону Мосби, владельцу пунктов проката "Мг. Тих”, за 〃。- мощь 6 подготовке этого задания.

Задание 1.2. Корпорация ConsumerCredit Counseling

Корпорация Consumer Credit Counseling, CCC (Совет по кредитованию потребителей)—— это частная недоходная корпорация, которая была основана в 1982 году.4 Целью создания ССС было предоставление потребителям помощи в планировании и реализации их бюджетов, оказание им помощи в подписании соглашений с кредиторами о выплатах по неоплаченным долговым обязательствам, а также оказание помощи в отношении обучения в области финансов.

Частная финансовая консультация предоставлялась бесплатно тем семьям и отдельным лицам, которые испытывали финансовые трудности, или же тем, кто желал повысить свое умение обращаться с деньгами. Для школ, общественных групп и бизнесменов были разработаны образовательные программы в области финансов. Как альтернатива банкротству, была предложена программа работы с долгами. Согласно этой программе, корпорация ССС вела переговоры с кредиторами в целях заключения специальных платежных соглашений в пользу клиента. Клиент делал единовременный взнос на счет корпорации ССС, который затем распределялся между кредиторами.

Корпорация ССС имеет штат оплачиваемых работников и некоторый контингент добровольцев. В действительности количество добровольцев в корпорации превосходит штатный персонал в отношении 3:1. Семь оплачиваемых работников осуществляют руководство, выполняют необходимую канцелярскую работу и около половины всей работы с клиентами. Двадцать один доброволец выполняет оставшуюся часть работы по обслуживанию клиентов.

В отношении финансовой поддержки выполняемых операций и предоставляемых услуг корпорация ССС зависит преимущественно от корпоративного финансирования. Специальная программа по участию в благотворительном финансировании позволяла кредиторам, получившим выплаты от клиентов по долговым программам ССС, пожертвовать корпорации часть денег, которые вернулись к ним благодаря этим программам.

Большая часть корпоративной поддержки поступала от локальной деятельности и обеспечивала оплату труда наемных работников, а также эксплуатацию всех офисных помещений, используемых для проведения консультаций.

Дополнительным источником финансирования являлись выплаты клиентов. Клиенты, участвующие в долговой программе, ежемесячно вносили взнос (15 долларов) на покрытие административных издержек на эту программу. (Размер взноса периодически сокращался для тех клиентов, которые оказывались не способны его вносить.)

Эта вводная информация будет использоваться нами в последующих главах, где будут обсуждаться проблемы корпорации ССС, связанные с прогнозированием важных для нее переменных.

'Авторы книги выражают благодарность Мэре Харнишфегер (Marv Hamishfeger), исполнительному директору ССС 6 Спокане, и Дороти Мерсер (Dorothy Mercer), президенту совета директоров этой компании, за их помощь 6 подготовке данных заданий. Дороти е прошлом наша студентка. Она постоянно держит нас е курсе дел 6 отношении практического использования количественных методов прогнозирования е реальном мире бизнеса.

Применение Minitab

Приложение Minitab ——это сложная статистическая программа, которая совершенствуется с каждым выпуском новой ее версии. Здесь описывается работа с версией Minitab 13.

На рис. 1.1 отмечены четыре важнейших элемента диалогового окна приложения Minitab. Панель меню ——это та панель, на которой выбираются команды. Например, если выбрать меню Stat, то раскроется список, содержащий команды вызова всех поддерживаемых программой статистических методов. Панель инструментов содержит кнопки для наиболее часто используемых функций программы. Отметим, что набор этих кнопок изменяется в зависимости от того, какое именно окно приложения Minitab открыто в данный момент. Главное окно приложения Minitab разделено на две отдельные области —— окно данных, в котором вводятся, редактируются и просматриваются столбцы данных для каждой рабочей таблицы, и окно сеанса, которое содержит сообщения и результаты, выдаваемые программой, например таблицу статистик.

Панель менюПанель менюПанель z инструментовПанель z инструментовОкно сеансаОкно сеансаОкно данныхОкно данныхРис. 1.1. Главное окно приложения MinitabРис. 1.1. Главное окно приложения Minitab

Панель меню

Панель меню

Панель z инструментов

Панель z инструментов

Окно сеанса

Окно сеанса

Окно данных

Окно данных

Рис. 1.1. Главное окно приложения Minitab

Рис. 1.1. Главное окно приложения Minitab

В последующих главах будут даны конкретные инструкции, как вводить данные в рабочую таблицу Minitab и как выполнять процедуры прогнозирования с целью получения требуемых прогнозов.

Применение Excel

Приложение Microsoft Excel ——весьма популярная программа обработки электронных таблиц, часто используемая для целей прогнозирования. На рис. 1.2 представлено открытое окно версии Excel 2000. В строки и столбцы таблицы (обратите внимание на то, что на рис. 1.2 ячейка на пересечении строки 1 и столбца А выделена) вводятся данные, а затем команды, выполняющие различные операции над введенными данными.

Ри& 1.2. Основное окно приложения Microsoft Excel 2000

Например, в столбец 1 могут быть введены данные о годовом доходе работников. Затем Excel сможет вычислить среднее значение этих величин. В качестве другого примера можно предложить ввести в столбец 2 данные о возрасте работников, в результате чего можно будет исследовать взаимосвязь между возрастом и доходом. В последующих главах будет показано, как приложение Excel можно использовать для решения этих и других задач прогнозирования.

В Excel реализовано множество статистических функций, которые изначально могут и не быть представлены в раскрывающихся меню приложения. Для активизации этих функций потребуется ввести команду Tools^Add-lns (Сервис^Надстройки). На экране раскроется диалоговое окно Add-Ins (Надстройки). Выберите в списке значение Analysis ToolPak и щелкните на кнопке ОК. Реализованные в надстройке Analysis ToolPak функции будут подробно описаны в последующих главах.

Настоятельно рекомендуется использовать надстройки приложения Excel, что позволит справиться со статистическими вычислениями, необходимыми для того математического аппарата прогнозирования, который обсуждается в этой книге. Надстройка Excel KaddStat будет использоваться нами в главе 9.

Рекомендуемая литература

Adams F. G. The Business Forecasting Revolution. New York; Oxford University Press, 1986.

Barron M., Targett D. The Manager's Guide to Business Forecasting. New York: Basil Blackwell Inc., ■ 1985.

Beaumont C., Mahmoud E., McGee V. E. Microcomputer Forecasting Software: A Surway. Journal of Forecasting, 4 (1985): 305—311.

Calberg C. Use Excel's Forecasting to Get Terrific Projections. Denver Business Journal 47 (18) (1996): 2B.

GeorgofFD. М., Mardick R. G. Manager's Guide to Forecasting. Harvard Business Review 1 (1986): 110-120.

Hogarth R. M., Makridakis S. Forecasting and Planning: An Avaluation. Management Science 27 (2) (1981): 115-138.

Keating B., Wilson J. H. Forecasting — Practices and Teachings. The Journal of Business Forecasting (Winter 1987-88): 10-13.

Keating K. Choosing and Using Business Forecasting Software. Creative Computing 11 (1) (1985): 119-135.

Makridakis S. The Art and Science of Forecasting. International Journal of Forecasting 2 (1986): 15—39.

Perry S. Applied Business Forecasting. (1994): Management Accounting 72 (3) 40.

Reid R. A. The Forecasting Process: Guidelines for the MIS Manager. Journal of Systems Management (November 1986): 33—37.

Wright G., Ayton P. Judgemental Forecasting. New York: John Wiley & Sons, 1987.

ГЛАВАГЛАВА

ГЛАВА

ГЛАВА

Обзор основныхстатистических понятий

^Большая часть аппарата прогнозирования построена на фундаментальных статистических понятиях, которые являются предметом рассмотрения различных вводных статистических курсов и книг по бизнес-статистике. Эта глава содержит обзор наиболее важных понятий, служащих основой для значительной части материала, рассматриваемого в этой книге.

Подавляющее большинство статистических процедур предназначено для того, чтобы дать заключение об интересующих нас объектах, множество которых называется генеральной совокупностью. Выбирая из генеральной совокупности группу объектов, для которых известна интересующая нас числовая характеристика, получим выборку, на основании которой и делается заключение о генеральной совокупности в целом. В процедуре статистического вывода с приемлемо низкой степенью риска, важным является тщательный отбор представителей выборки и получение достаточно большого ее объема.

В прогнозировании обычно используются реальные данные. Его задача состоит в попытке предсказать или предвидеть неопределенное будущее. В настоящей главе основное внимание будет сосредоточено на изучении выборочных данных, манипулировании этими данными определенным образом и использовании полученных результатов для создания прогнозов.

Описание данных с помощью численного суммирования

Целью описательных статистических процедур является краткое описание большого набора измерений с помощью нескольких ключевых итоговых значений. Чаще всего такое итоговое значение получают посредством усреднения наблюдений. В статистике процесс усреднения обычно завершается вычислением среднего, которое представляет собой сумму всех наблюдений, деленную на их количество.

Выборочное среднее обозначается X (Хс чертой), оно вычисляется по формуле

注，(2.1)

п

где

X—выборочное среднее;

NX—сумма всех значений выборки;

и—объем выборки.

Для упрощения вида формул в этой книге используются некоторые краткие обозначения. В упрощенном варианте для операции суммирования всех значений X, LA； суммирование понимается в пределах от 1 до и. Более формальное обозначение для этой операции имеет следующий вид:

1=1

где индекс i изменяется в пределах от своего начального значения 1 до п, увеличиваясь всякий раз на единицу. Поскольку практически во всех суммах суммирование производится от 1 до п, начальный (/= 1) и конечный (п) индексы будут в дальнейшем опускаться, т.е. будет использоваться более простое обозначение, за исключением тех случаев, когда для большей ясности потребуется использование сложных обозначений.

Наряду с вычислением среднего, для выяснения тенденции данных к группировке вокруг среднего значения обычно представляет интерес и то, насколько наблюдения разбросаны относительно него. Среднеквадратическое отклонение можно рассматривать как меру отклонения наблюдений от среднего значения. Формула для вычисления среднеквадратического отклонения следующая.

Здесь под знаком суммы имеем сумму квадратов разностей между наблюдениями и их средним значением.

Многие статистические процедуры используют выборочную дисперсию. Дисперсия последовательности измерений представляет собой квадрат среднеквадратического отклонения. Таким образом, выборочная дисперсия ($) вычисляется по следующей формуле.

灯 К—学~(2.3)

п-1

Пример 2.1

Рассмотрим следующий набор возрастов людей.

38, 42? 25, 60, 55, 50, 42, 32, 35

Для этой выборки Юи

ю

£х； = Х| + X? + Хз + X, + Х$ + Хб + X? + Х$ + Хд + Х[0

= 23 + 38 + 42 + 25 + 60 + 55 + 50 + 42 + 32 + 35

= 402

-УХ 402

X =a-== 40,2

и 10

£2-£(Х-灯п-1£2-£(Х-灯п-11339,610-11339,610-1= 148,84= 148,84

£2-£(Х-灯п-1

£2-£(Х-灯п-1

1339,610-1

1339,610-1

= 148,84

= 148,84

S= J148,84=12,2

Вычисления показаны в табл. 2.1. Выборочное среднее составляет 40,2 года, выборочная дисперсия равна 148,84 и выборочное среднеквадратическое отклонение составляет 12,2 года.

Таблица2.1, ВычислениеS(x = 40,2)

X

х-х

5

23

-17,2

295,84

38

-2,2

4,84

42

1,8

3,24

25

-15,2

231,04

60

19,8

392,04

55

14,8

219,04

50

9,8

96,04

42

1,8

3,24

32

-8,2

67,24

35

—5,2

27.04

£(X-G『 =1339,60

Для определения числа единиц данных, свободных друг от друга в том смысле, что они не могут быть получены одно из другого и, следовательно, являются носителями единиц информации, используется термин степень свободы. Предположим, что сформулированы следующие три утверждения.

Я задумал число 5. Я задумал число 7. Сумма двух чисел, которые я задумал, равна 12.

На первый взгляд может показаться, что здесь присутствуют три единицы информации. Однако если любые два из этих утверждений известны, оставшееся может быть однозначно определено. Следовательно, можно сделать заключение, что в трех утверждениях есть только две единицы информации, или, используя статистический термин, существуют только две степени свободы, поскольку только два значения свободно изменяются, а третье — нет.

В примере, представленном в табл. 2.1, возраст десяти людей представляет собой выборку с десятью степенями свободы. Возраст любого человека мог быть включен в выборку, и, следовательно, каждый из возрастов независим. Когда вычислялось среднее значение, все десять возрастов участвовали в получении общего среднего, равного 40,2 годам.

Процесс вычисления выборочного среднеквадратического отклонения является иным. Когда вычисляется выборочное среднеквадратическое отклонение, используется оценка среднего значения генеральной совокупности (выборочное среднее X). При использовании в вычислениях выборочного среднего в качестве оценки среднего значения генеральной совокупности, обычно получается среднеквадратическое отклонение, меньшее среднеквадратического отклонения для всей генеральной совокупности. Однако эта проблема может быть откорректирована путем деления суммы £(Х 一 X『на соответствующее количество степеней свободы. Поскольку при вычислении выборочного среднеквадратического отклонения выборочное среднее использовалось в качестве оценки среднего генеральной совокупности, только девять из возрастов при этом изменялись свободно. Если девять из возрастов известны, десятый может быть вычислен, потому что сумма £(Х - X) должна быть равна нулю. Для получения всей информации необходимо знать только девять возрастов. В общем случае можно утверждать, что если для оценки параметра генеральной совокупности в вычислениях используется выборочная статистика, то одна степень свободы теряется.

Степени свободы в наборе данных определяют число единиц данных, независимых друг от друга, которые могут нести единичные фрагменты информации. В табл. 2.2 представлены символы, используемые для обозначения параметров генеральных совокупностей и их выборочных статистик.

Степени свободы в наборе данных определяют число единиц данных, независимых друг от друга, которые могут нести отдельные элементы информации.

Таблица 2.2. Статистики генеральной совокупности и выборки

Статистики

Генеральная совокупность

Выборка

Среднее значение

卩

亍

Дисперсия

о2

S2

Среднеквадратическое отклонение

S

Среднее значение и среднеквадратическое отклонение являются наиболее важными характеристиками для описания наборов данных; они кратки и содержательны. Однако наряду с ними часто используются и другие описательные итоговые характеристики. Для определения центрального значения в наборе данных иногда применяется медиана. Медиана ——это то значение, которое делит выборку так, что одна половина значений в выборке будет больше, а другая — меньше.

В качестве грубой оценки дисперсии иногда используется размах. Размахом называется разность между максимальным и минимальным значениями выборки. Например, размах возрастов в табл. 2.1 составляет 37 (т.е. 60 - 23).

Квартили делят набор данных на четыре равные части после того, как численные значения были упорядочены от наименьшего к наибольшему. Медиана делит выборку на две равные части и часто называется второй квартилью. Первая квартиль (0】) делит нижнюю половину на две равные части, а третья квартиль (g3) делит на две равные части верх-

нюю половину. Для набора возрастов в табл. 2.1 первая квартиль равна 30,25, медиана (вторая квартиль) — 40, а третья квартиль — 51,25.

Наконец, межквартилевый размах характеризует изменчивость множества данных. Это просто разность между третьей и первой квартилями, (g3 - gi), или размах для средних 50% значений из набора данных. Для приведенного списка возрастов межквартилевый размах составляет 21 (т.е. 51,25 - 30,25).

Для вычисления большинства приведенных описательных статистик можно использовать приложения Minitab и Excel. На рис. 2.1 представлено окно приложения Minitab, содержащее результаты расчета различных статистик для списка возрастов, приведенного в табл. 2.1. Инструкции по вычислению описательных статистик с использованием приложений Minitab и Excel приведены в разделах, посвященных применению Minitab и Excel, в конце глав.

Рис. 2.1. Расчет описательных статистик в приложении Minitab

Графическое представление числовой информации

В прогнозировании мы имеем дело с двумя типами данных: кросс-секционными, когда все наблюдения проведены в одно и то же время, и временными рядами данных, состоящими из последовательности наблюдений, которые проводились с течением времени. В табл. 2.3 приведен пример кросс-секционных данных — чистый доход, выраженный как процент от стоимости акционерного капитала для 209 компаний, представляющих собой выборку из списка наиболее процветающих корпораций “Fortune-500''. Кроме того, примерами могут служить сведения о годовом доходе руководства корпорации или рыночной стоимости домов в некотором городе. В качестве примеров временных рядов данных можно привести количество посетителей торгового центра Coulee Dam Visitor Center за каждый месяц, ежемесячный объем продаж компании Sears Corporation, ежедневные данные о цене акций компании IBM, ежегодный объем производства пшеницы в США.

Таблица 2.3. Чистый доход как процент от стоимости акционерного капитала для 209 компаний из списка -Fortune-500''

17

23

22

18

8

7

12

2

49

14

14

36

16

7

3

8

10

11

20

17

15

25

18

12

20

7

5

11

0

22

14

10

14

19

8

12

13

21

3

22

11

18

2

18

14

И

36

16

7

14

12

14

10

8

20

13

8

23

6

21

9

23

7

14

25

12

12

8

11

5

18

13

14

9

16

2

19

21

18

9

14

2

20

17

11

16

13

12

22

16

7

6

14

10

1

21

35

20

18

28

17

15

9

12

5

10

14

1

17

14

14

14

6

22

16

13

14

8

12

6

15

10

22

19

16

4

20

18

2

3

20

7

15

39

4

3

10

7

15

16

12

13

12

И

18

10

13

7

13

12

14

8

11

17

11

22

16

11

12

11

9

11

13

0

12

3

9

9

13

27

1

16

18

12

11

0

10

9

12

22

18

44

4

3

17

12

8

16

7

16

27

11

19

12

22

3

14

14

7

8

11

1

3

17

8

7

5

19

22

Одним из наиболее важных моментов при предварительном исследовании анализируемой величины является визуализация данных с помощью графиков и диаграмм. Основные характеристики данных, включая необычные наблюдения и уникальные схемы повторения, лучше всего видны при их графическом представлении. В некоторых случаях анализ графика может даже подсказать возможное объяснение тех или иных типов изменчивости, присутствующих в данных.

Точечная диаграмма — один из простейших способов графического изображения данных. На рис. 2.2 на горизонтальной оси изображен размах значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала, представленных в табл. 2.3. Каждое наблюдение изображено точкой над этой осью. Точечная диаграмма позволяет подробно изображать данные и сравнивать два или более множеств данных.

Dot Plot for % of Equity

О1020304050

% of Equity

Рис. 2.2 Точечная диаграмма для чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала (приложение Minitab)

Диаграмма-ящик, называемая также "ящиком с усами),, полезна для отображения характеристик данных, связанных с их распределением. На рис. 2.3 представлена диаграмма-ящик для данных о чистом доходе как о проценте от стоимости акционерного капитала. Через “ящик” в точке, равной медиане, проведена прямая. Эта прямая делит данные на две равные части. Нижняя граница ящика — это первая квартиль (g))} а верхняя — третья квартиль (0з). Могут быть построены дополнительные ограничители, отмечающие межквартилевый размах (0з - 0) Нижний предел расположен в точке Qx - ls5(g3 - g,), а верхний —— в точке 0з + 1,5(0з - 0J. Выбросами являются точки вне нижнего и верхнего пределов, они изображены звездочками. На рис. 2.3 первая квартиль равна 8, медиана — 13, третья квартиль — 17, а межквартилевый размах равен 9 (т.е. 17 - 8). Нижний предел равен -5,5 (т.е. 8 - 1,5 х 9), а верхний — 30,5 (т.е. 17 + 1,5 х 9). Отметим, что наименьшее значение, большее нижнего предела -5,5, равно 0, а наибольшее значение, меньшее верхней границы 30,5, — 28. Шесть значений (35, 36, 36, 39, 44 и 49) превышают верхнюю границу 30,5 и называются выбросами.

EUEIEUEX uloowsol。10EUEIEUEX uloowsol。10Рис. 2.3. Диаграмма-ящик для значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капиталаРис. 2.3. Диаграмма-ящик для значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала

EUEIEUEX uloowsol。10

EUEIEUEX uloowsol。10

Рис. 2.3. Диаграмма-ящик для значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала

Рис. 2.3. Диаграмма-ящик для значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала

Гистограмма позволяет сжимать данные, группируя близкие значения в классы. При построении гистограммы рассматриваемая величина откладывается на горизонтальной оси, а частота, относительная частота или процент частоты появления значения в данных ——на вертикальной оси. Рассматривая гистограмму, подобную приведенной на рис. 2.4, можно оценить отношение площади прямоугольника над некоторым интервалом к общей площади гистограммы над горизонтальной осью. В частности, 61 компания из 209 (или 29,2%) имеет чистый доход, выраженный как процент от стоимости акционерного капитала, в интервале от 7,5% до 12,5%. Таким образом, третий прямоугольник гистограммы на рис. 2.4 составляет 0,292 от общей площади гистограммы.

Histogram of % of Equity

о三80」①dо三80」①dоо30 -30 -20 一20 一

о

三80」①d

о

三80」①d

о

о

30 -

30 -

20 一

20 一

10 20 30 40 50 60

% of Equity

Рис. 2.4. Гистограмма для значений чистого дохода как процента от стоимости акционерного капитала (приложение Minitab)

Хотя гистограммы дают хорошее визуальное представление для набора данных в целом, в особенности для очень больших наборов данных, идентифицировать отдельные наблюдения они не позволяют. В противоположность этому, на точечной диаграмме просматривается каждое отдельное наблюдение.

Диаграммы рассеяния используются для отображения взаимосвязи между двумя переменными. Они будут рассматриваться позднее в этой же главе, в разделе, посвященном корреляционному анализу.

Для данных, изменяющихся во времени, чаще всего применяется графическая форма, называемая диаграммой временного ряда, на которой данные изображаются в зависимости от времени. На рис. 2.5 представлена диаграмма временного ряда для ежемесячных объемов продаж в продовольственных магазинах компании Alomega, которые обсуждались в примере 1.1. Диаграмма временного ряда показывает изменчивость данных и фиксирует моменты времени, соответствующие пикам и впадинам. Эти диаграммы также демонстрируют относительный размер пиков и впадин в сравнении с остальными значениями ряда.

Rar

Рис. 2.5. Диаграмма ежемесячных объемов продаж 8 продовольственных магазинах компании Alomega (приложение Minitab — см. пример 2.5)

Одним из важных этапов при выборе соответствующего аппарата прогнозирования является подбор моделей данных, адекватно отражающих поведение временного ряда. Как только удастся выявить все присутствующие в данных взаимосвязи, можно будет выбрать такой метод прогнозирования, который наиболее подходит для данного случая. Существует четыре типа зависимостей данных во временных рядах: горизонтальные, тренд, циклические и сезонные. Кахный тип зависимости будет подробно рассмотрен в главе 3.

Для выделения различных типов зависимостей, присутствующих во временных рядах данных, чаще всего используется метод построения коррелограммы или автокорреляционной функции. Это графический метод представления корреляции между значениями с различными запаздываниями во времени, присутствующими в исходном временном ряду. Коррелограммы также будут рассматриваться в главе 3.

Вероятностные распределения

Случайной величиной называется числовая величина, которая способна принимать в эксперименте различные значения от испытания к испытанию. Исход отдельного испытания называется случаем или случайным событием. Случайная величина называется дискретной, если для нее возможны только отдельные, точно установленные значения. Примерами дискретных величин могут служить количество комнат в доме, число покупателей, подходящих к расчетному окну в супермаркете за час, и число дефектных единиц в партии электронных приборов. Если возможно любое значение случайной величины в пределах некоторого интервала, она называется непрерывной. Примерами величин такого типа могут служить вес различных людей, длина произведенной ткани или время между прибытием машин к кассе оплаты дорожного сбора.

Дискретная случайная величина может принимать значения только из предопределенного множества. Часто возможные исходы численно обозначаются целыми числами. Непрерывная случайная величина может принимать любые значения в определенном интервале. Численно эти исходы представляются непрерывным интервалом значений.

Вероятностное распределение дискретной случайной величины представляет собой список всех значений, которые она может принимать, с указанием вероятности появления каждого из них. Математическим ожиданием случайной величины является то среднее значение, которое принимает случайная величина после многих испытаний. Математическое ожидание дискретного вероятностного распределения может быть найдено путем умножения каждого возможного значения X на его вероятность с последующим суммированием этих произведений. Формально требуемые вычисления представлены следующей формулой.

Е(Х) = 2[Хх 尸(X)] (2.4)

Пример 2.2

р(х)0,10р(х)0,10Число дней продавца, когда у него не было продаж в течение месяца, описано вероятностным распределением, которое приведено в табл. 2.4. Эти значения, основанные на прошлом опыте продавца, можно использовать для прогнозирования его будущей торговой активности. В столбце Xуказаны все возможные значения (дни без продаж), в то время как столбец 尸⑺ содержит соответствующие вероятности. Отметим, что, поскольку перечислены все возможные значения X, сумма вероятностей равна 1,00 или 100%. Это справедливо для всех вероятностных распределений, без учета ошибок округления.

р(х)

0,10

р(х)

0,10

2

0,20

3

0,25

4

0,15

5

0,30

Таблица 2.4. Вероятностное распределение

Для вероятностного распределения, представленного в табл. 2.4, математическое ожидание равно следующему.

£(А) = 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,25) + 4(0,15) + 5(0,3) = 3,35

Таким образом, если этот продавец будет наблюдать и отмечать непродажные дни в течение многих месяцев, среднее значение должно оказаться равным 3,35, при условии, что будущая активность корректно предвидится с помощью наблюдаемых ранее данных, на которых основано вероятностное распределение.

Математическое ожидание случайной величины — это среднее значение величины, вычисленное для многих испытаний или наблюдений.

Для непрерывного распределения вероятность получения отдельного конкретного значения приближается к нулю. Например, вероятность того, что кто-то весит 150 фунтов, может считаться равной нулю, поскольку это будет обозначать, что этот вес равен точно 150,000 фунтов — независимо от того, насколько точные весы используются. Непрерывные распределения чаще всего связаны с отысканием вероятности того, что случайно выбранное значение случайной величины попадает в некоторую область или интервал. Например, может быть вычислена вероятность того, что вес человека будет находиться в интервале от 145 до 155 фунтов.

Некоторые теоретические распределения вновь и вновь встречаются в практических статистических приложениях, поэтому важно изучить их свойства и область применения. Одним из таких распределений является биномиальное распределение, часто используемое для представления дискретной случайной величины. Биномиальное распределение удовлетворяет следующим требованиям.

Выполняется л независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода — "успех" и "неудача”.

Вероятность успеха в серии последовательных испытаний остается фиксированной.

Результаты отдельных испытаний являются независимыми.

Интерес представляет отыскание вероятности получения X успешных результатов в л испытаниях, в каждом из которых получение успешного результата является одним из двух возможных исходов. Различные значения Хи их вероятности образуют биномиальное распределение. Эти вероятности могут быть найдены с использованием следующей биномиальной формулы:

尸(Х) = 0*(1-р)1 дляХ=0, 1,2, ...,〃，(2.5)

где

^ —число сочетаний из л по X;

р —вероятность успеха в каждом испытании;

X — соответствующее число интересующих успехов; и ——число испытаний.

Биномиальным распределением называется вероятностное распределение, описывающее вероятность появления X успехов в п испытаниях биномиального эксперимента.

Более простой способ отыскания биномиальных вероятностей, в сравнении с использованием уравнения 2.5, состоит в обращении к готовой таблице биномиального распределения ——такой, как табл. В.1 в приложении В. В этой таблице данные собраны в блоки, представляющие л групп значений вероятностей. Каждый блок включает столбец, озаглавленный р, и строку, определяемую значением X.

Пример 2.3

Предположим, что на производственной линии случайным образом выбрано восемь единиц продукции. Кроме того, известно, что 5% произведенной на ней продукции оказываются де-

фектными. Какова вероятность обнаружить в выборке точно нуль дефектных единиц продукции? Ответ находим в таблице биномиального распределения в приложении В, она равна 0,6634 (здесь л = 8,р = 0,05, Х= 0).

Особый интерес представляет важное непрерывное распределение, называемое нормальным, поскольку многие широко используемые величины могут быть им аппроксимированы. Для определения конкретного нормального распределения необходимо знание среднего значения и среднеквадратического отклонения. Кривая нормального распределения является симметричной и имеет форму колокола, как показано на рис. 2.6. Это распределение описывает много реально существующих величин, изменяющихся на непрерывной шкале.

Рис. 2.6. График нормального распределения

Вероятность попадания значения нормальной случайной величины в некоторый интервал находится путем преобразования этого интервала в единицы среднеквадратического отклонения. Это преобразование называется /-стандартизацией.1 Z-стандарт любого значения X——это число среднеквадратических отклонений от центрального значения кривой (/г) до этого значения. Таким образом, имеем формулу

z= ,(2.6)

где

X — интересующее нас значение;

/г ——среднее значение;

о —— среднеквадратическое отклонение.

После того как будет выполнен процесс Z-стандартизации, таблица нормального распределения может быть заполнена посредством вычисления площади под кривой между центром кривой (“)и интересующим значением X.

Нормальное распределение имеет вид колокола и определяется своим средним значением и среднеквадратическим отклонением.

Можно показать, что если случайная величина X имеет нормальное распределение, то случайная величина Z= (X—卩)/0 имеет нормальное распределение со средним значением 0 “ среднеквадратическим отклонением 1.

Пример 2.4

Генеральная совокупность веса деталей, выпускаемых на определенном станке, имеет нормальное распределение со средним значением 10 фунтов и среднеквадратическим отклонением 2 фунта. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будет имеет вес от 9 до 12 фунтов? Нормальная кривая с соответствующей заштрихованной областью изображена на рис. 2.7.

Рис. 2. Z Область под нормальной кривой, рассматриваемая 8 примере 2.4

Поскольку таблицы нормального распределения чаще всего содержат значения площади области под кривой от центра до некоторой точки, следует определить площади двух отдельных областей ——с двух сторон от среднего значения, а затем сложить их. Результат этой процедуры дает вероятность попадания значения в заданный интервал. Для нашего примера два значения Z-стандарта равны следующему.

Х-д 9-10…

Z 尸——-== -0,50

а 2

Х-〃 12-10 …

Z2 =——-== 1,00

а 2

Следовательно, область мехпу 9 и 12 под нормальной кривой, показанной на рис. 2.4, такая же, как и область под нормальной кривой Z (см. сноску 1) мехпу значениями -0,5 и 1. Пользуясь таблицами нормального распределения, которые приведены в этой книге, отрицательным знаком перед первым Z-стандартом можно пренебречь, так как область под нормальной кривой для Z между -0,5 и 0 такая же, как и между 0 и 0,5, Оба требуемых значения Z-стандарта присутствуют в таблице нормального распределения, приведенной в приложении В (табл. В.2). Они представляют площади двух интересующих нас областей и должны быть просуммированы.

Z1 = -0,500,50 т 0,1915

Z2== 1.00т 63413

0,5328

Таким образом, доля случаев, когда произвольно выбранная единица продукции будет иметь вес от 9 до 12 фунтов, составляет 53%.

Выборочные распределения

В большинстве статистических приложений из рассматриваемой генеральной совокупности формируется случайная выборка; по данным выборки вычисляется статистика, и на основании этих выборочных данных делается заключение о всей генеральной совокупности. Выборочным распределением является распределение всех возможных значений выборочной статистики, которая может быть получена из генеральной совокупности для выборки данного объема. Например, из генеральной совокупности всех людей может быть выбрана случайная выборка из 100 человек, каждый из которых будет взвешен, а затем будет вычислен их средний вес. Это выборочное среднее (X ) может рассматриваться как полученное из вероятностного распределения для всех возможных выборочных средних для выборок размером в 100 человек, которые можно получить из генеральной совокупности всех людей. Аналогично любая выборочная статистика, которая может быть вычислена по выборочным данным, может рассматриваться как полученная из выборочного распределения.

Выборочным распределением является массив всех возможных значений выборочной статистики, который может быть получен из генеральной совокупности для выборок данного объема.

Центральная предельная теорема утверждает, что с увеличением объема выборки распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению, среднее значение которого равно “，т.е. среднему значению генеральной совокупности, а среднеквадратическое отклонение равно о/« (это значение называют стандартной ошибкой выборочного среднего). Важно подчеркнуть, что распределение выборочного среднего стремится к нормальному распределению, независимо от типа распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка. На рис. 2.8 показано, как может выглядеть подобное выборочное распределение.

Центральная предельная теорема представляет в статистике особый интерес, поскольку она позволяет сводить вычисление вероятностей различных выборочных ситуаций к вычислению вероятностей этих ситуаций с помощью нормальной кривой.

Пример 2.5

Какова вероятность того, что среднее значение случайной выборки из генеральной совокупности, состоящей из 100 значений веса, будет меньше на два фунта, чем истинное среднее значение генеральной совокупности, если среднеквадратическое отклонение для последней оценивается в 15 фунтов? График соответствующего выборочного распределения показан на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Область, ограниченная кривой выборочного распределения, рассматриваемого в примере 2.5

Из того, что стандартная ошибка равна ст/«二 15/V100 = 1,5 , следует, что Z-стандарт равен Z =(X - X )До/«) = 2/1,5 = 1,33 . Тогда, обратившись к таблице, найдем, что соответствующая площадь под нормальной кривой равна 0,4082. Для того чтобы получить площадь общей области с двух сторон от среднего значения, удвоим эту площадь и получим 0,8164.

Это означает, что если из генеральной совокупности с оцененной дисперсией о = 15 сделать выборку в 100 элементов, то примерно в 82% случаев выборочное среднее буцет на 2 фунта меньше истинного среднего. Ниже будет показано, что возможность вычислять вероятности с помощью выборочных исследований, позволяет статистику получать полезные выводы при оценке или проверке своих предположений, а это непосредственно применимо к прогнозированию.

Особый случай имеет место в статистике, когда объем выборки мал, но можно предположить, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с некоторым неизвестным среднеквадратическим отклонением. В этой ситуации среднеквадратическое отклонение должно быть оценено по выборочному среднеквадратическому отклонению. В приложении В, табл. В.З, приведены значения t-распределения. Отметим, что прежде, чем обращаться к таблицам, следует найти только одно значение ——число степеней свободы (сокращенно, СС). Как только число степеней свободы станет известно, можно определить /-значения, которые исключают ожидаемое процентное содержание кривой. Например, если рассматриваемое /-распределение имеет 14 степеней свободы, то z-значение, равное 2,145, будет включать 95% площади под кривой с каадой стороны от ее центра и исключать 5% общей площади, т.е. по 2,5% для каадого “хвоста".

Пример 2.6

На производственной линии сделана случайная выборка, включающая взвешивание 12 мешков пшеницы. Средний вес мешка был определен как 102,4 фунта, а выборочное среднеквадратическое отклонение составило 2,5 фунта. Из выполненных ранее исследований из-

вестно, что вес полных мешков на этой линии может быть достаточно точно аппроксимирован нормальным распределением. Сформулируем следующий вопрос, каково то значение веса, которое будет меньше веса 95% полных мешков. Поскольку объем выборки мал (обычно малой считается выборка, включающая менее 30 элементов), а генеральная совокупность имеет нормальное распределение, в качестве оценки неизвестного среднеквадратического отклонения возьмем выборочное среднеквадратическое отклонение. Ответ на поставленный выше вопрос может быть найден с помощью ^-распределения. Полагая t-(X-卩)/5 и используя значения /-распределения, приведенные в табл. В.З, получим, что значение /-распределения, исключающее 5% площади под кривой вне его, с количеством степеней свободы л - 1 = 11 равно 1,796. Поэтому вес, соответствующий среднему, уменьшенному на произведение коэффициента 1,796 на стандартную ошибку, будет оставлять 5% весов ниже себя и 95% выше.

X 工 102,4 - 1,796(2,5) = 97,9 фунтов.

Основываясь на выборочных результатах, использующих малую выборку, можно заключить, что вес большинства (95%) полных мешков на производственной линии составляет более чем 97,9 фунтов.

Выводы, которые можно сделать на основании изучения выборок

Оценка

Существуют две основные цели изучения выборок в тех случаях, когда реально неосуществимо или даже невозможно охарактеризовать всю интересующую нас генеральную совокупность. Первая из них, называемая оценкой, состоит в использовании выборочных данных для оценки неизвестных характеристик генеральной совокупности. Несмотря на то что оценка является наиболее употребительным статистическим термином для названия этой задачи, она может также именоваться прогнозированием во многих ситуациях, связанных с бизнесом. В этих случаях данные состоят из собранных реальных наблюдений, а значения, для которых необходима оценка или прогноз, относятся к неизвестному будущему. Вторая основная цель изучения выборок будет обсуждаться в следующем разделе.

Точечной оценкой параметра генеральной совокупности (прогнозом) называется отдельное значение, которое оценивает неизвестное значение параметра генеральной совокупности, вычисленное по выборочным данным. В табл. 2.2 содержатся три параметра генеральной совокупности и выборочные статистики, дающие их точечные оценки.

Интервальной оценкой, или доверительным интервалом, называется интервал, в пределах которого, возможно, лежит интересующий нас параметр генеральной совокупности. Его находят, образуя интервал вокруг точечной оценки, и, как правило, вычисляют, используя нормальное или /-распределение. Точечные и интервальные оценки иногда используются в качестве оценок важных значений (см. задание 2.2 “Мг. Тих” в конце этой главы).

Пример 2.7

Опрос случайным образом выбранных 500 покупателей торгового центра Northgate Shopping Center был проведен с целью получения выборки для определения среднего расстояния, которое им приходится преодолевать до магазина. Анализ выборочных результатов показал, что X =23,5 мили, aS= 10,4 мили.

Выборочное среднее, точечная оценка неизвестного среднего расстояния для генеральной совокупности всех покупателей, составляет 23,5 мили. Интервальная оценка 乩 использующая уровень значимости в 95%, основана на уравнении 2.7 и может быть определена следующим образом.

23,5 ±1,96(0,465)

23,5±0,91от 22,6 до 24,4

Можно утверждать с достоверностью в 95%, что среднее число миль, которое покупатель из этой генеральной совокупности преодолевает к магазину, расположено где-то между 22,6 и 24,4 милями. В действительности статистик сказал бы, что если получены 100 выборок объемом 500 значений, вычислены среднее и среднеквадратическое отклонение, построены интервальные оценки, то 95 из 100 интервалов будут содержать истинное среднее генеральной совокупности.

Точечная оценка представляет собой отдельное значение, оценивающее параметр генеральной совокупности; интервальная оценка является численным интервалом, внутри которого, вероятно, расположен неизвестный параметр.

Проверка гипотез

Во многих статистических задачах, включающих и прогнозирование, интерес представляет не оценка (или прогнозирование) одного из параметров генеральной совокупности, а проверка некоторого утверхиения о ней. Эта процедура, представляющая собой вторую важную цель в изучении выборочных данных, называется проверкой гипотез. Проверка гипотез включает в себя следующие этапы.

Этап 1. Формулируется проверяемая гипотеза. Назовем ее нулевой гипотезой и обозначим символом %. Формулируется альтернативная гипотеза, которая принимается, если отвергается гипотеза HQ. Обозначим эту гипотезу "卜

Этап 2. Выполняется случайная выборка из генеральной совокупности. Для ее элементов определяются соответствующие числовые характеристики и вычисляется требуемая выборочная статистика.

Этап 3. Предполагается, что нулевая гипотеза верна; рассматривается распределение выборочной статистики при этом предположении.

Этап 4. Вычисляется вероятность того, что подобная выборочная статистика может быть получена из этого выборочного распределения.

Этап 5. Если вычисленная вероятность велика, мы не отвергаем нулевую гипотезу; если же эта вероятность мала, нулевая гипотеза может быть отвергнута с малой вероятностью ошибки.

Если следовать указанным этапам, возможны два типа ошибок, представленные в табл. 2.5. Можно надеяться, что верное решение, касающееся нулевой гипотезы, может быть достигнуто после изучения выборочных данных. Однако всегда существует вероятность, что вы сможете отвергнуть верную гипотезу 儿 и не сумеете отвергнуть ложную Яо- Вероятности этих событий обозначаются как а и р. Значение а иначе называют уровнем значимости критерия.

Таблица 2.5. Результаты проверки гипотез

Действительное состояние

Не отвергается Но

Действие

Отвергается %

% справедливаВерное решение

Ошибка типа 1: вероятность а

Но несправедливаОшибка типа II:

вероятность р

Верное решение

Пример 2.8

Необходимо проверить гипотезу, что средний вес деталей, изготовляемых на некотором станке, всегда равен 50 фунтам (таким был средний вес единицы продукции в течение прошлых лет). Была сделана случайная выборка, состоящая из 100 единиц продукции. Предположим, что среднеквадратическое отклонение веса деталей составляет 5 фунтов, независимо от среднего значения их веса, поскольку именно это значение среднеквадратического отклонения неизменно получалось во всех прошлых исследованиях веса деталей. Если предполагается, что верна нулевая гипотеза (нулевая гипотеза утверадает, что среднее значение веса детали равно 50 фунтам), то соответствующее выборочное распределение в соответствии с центральной предельной теоремой является нормальным. Механизм действия критерия представлен на рис. 2.10.

Гипотеза^,:卩=50 фунтов (основная)

-1,96-1,961,961,96Гипотеза Но отклоняетсяГипотеза Но отклоняетсяГипотеза^, отклоняетсяГипотеза^, отклоняетсяГипотезу Но отклонить нельзяГипотезу Но отклонить нельзяГипотеза 修：卩 н 50 фунтов (альтернативная)

-1,96

-1,96

1,96

1,96

Гипотеза Но отклоняется

Гипотеза Но отклоняется

Гипотеза^, отклоняется

Гипотеза^, отклоняется

Гипотезу Но отклонить нельзя

Гипотезу Но отклонить нельзя

0

旦= _L_ = o 5

而肝00 '

а и 夕：50 ± 1,96 (0,5) 49,02 и 50,98а и 夕：50 ± 1,96 (0,5) 49,02 и 50,98а = 0,05 (Выбранный уровеньзначимости)

а и 夕：50 ± 1,96 (0,5) 49,02 и 50,98

а и 夕：50 ± 1,96 (0,5) 49,02 и 50,98

Рис. 210. Проверка гипотезы, изложенной 8 примере 2.8

Правило принятия решения для данного критерия при а = 0,05 состоит в следующем.

Если X < 49,02 или X > 50,98, то нулевую гипотезу следует отвергнуть.

При такой формулировке правила принятия решения вероятность отвергнуть нулевую гипотезу в случае, если она верна, т.е. совершить ошибку I типа, составляет 5% (а = 0,05). Это отражено на кривой, представленной на рис. 2.10, где показана область вероятности 0,025 на каждом хвосте выборочного распределения.

В завершение примера 2.8 отметим, что если бы выборочное среднее оказалось равным 50,4, то отвергать нулевую гипотезу не стоило бы. В этом случае можно было бы заключить, что генеральная совокупность все еще характеризуется средним весом в 50 фунтов. С другой стороны, если бы выборочное среднее было равно 48,1 фунта, можно было бы сделать вывод, что среднее значение веса для генеральной совокупности упало ниже 50 фунтов.

Теперь предположим, что среднее значение оказывается равным 51,3 фунта. В соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза отвергается (поскольку 51,3 > 50,98). Итак, заключаем, что среднее значение веса для генеральной совокупности изменилось. Однако существует и более общий способ получить верный вывод ——это вычислить для критерия р~значение. Под /^-значением в критерии проверки гипотезы понимается вероятность получить результат, не меньше значения выборочной статистики, вычисленного в предположении, что гипотеза Но справедлива. Следовательно, оно вычисляется как процентное соотношение выборочного распределения, лежащее правее выборочной статистики. Таким образом, получение малого ^-значения означает сильное отторжение гипотезы Но. В примере 2.8^-значение вычисляется следующим образом.

z = 5U-50=2 6—0,4953 обдасти

0,5

(0,5000 - 0,4953) = ^-значение, составляющее 0,0047

Решение отвергнуть нулевую гипотезу в критерии проверки гипотезы основано на следующем. Вероятность получить выборочный результат 0,0047 (или меньше) очень мала, если выполняется гипотеза %, утверждающая, что 卩=50. Следовательно, очень мала и вероятность того, что гипотеза % верна. Поэтому она отвергается (нулевая гипотеза отвергается для любого уровня значимости а, большего 0,0047, включая и а = 0,05)、Поскольку пакеты прикладных статистических программ часто позволяют вычислять р- значения, их использование в последние годы значительно возросло.

p-значение, или значимая вероятность, — это вероятность получить (в предположении справедливости гипотезы) значение, не меньшее значения выборочной статистики. Это эквивалентно следующему утверждению: ^-значение — это наименьшее значение а, для которого наблюдаемая в критерии статистика ведет к отказу от гипотезы %.

Пример 2.9

Рассмотрим критерий проверки гипотезы, когда объем выборки мал и для него соответствующим выборочным распределением является ^-распределение. Предположим, необходимо проверить гипотезу, что среднее суммы баллов, полученных студентами на государственном экзамене, составляет 500, при альтернативной гипотезе, что оно меньше 500. Проведена выборка из этой генеральной совокупности, состоящая из 15 студентов, для которой выбороч-

ное среднее оказалось равным 475. Среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности оцениваем выборочным среднеквадратическим отклонением и получаем значение 5= 35. Предполагается, что генеральная совокупность экзаменационных оценок аппроксимируется нормальным распределением.

(2.8)(2.8)^-распределение ——это соответствующее выборочное распределение расстояния X от 卩 в единицах стандартной ошибки для малых п (приблизительно меньше 30), о неизвестно (и оценивается с помощью S), и можно предположить, что генеральная совокупность приблизительно нормально распределена. Точное количество степеней свободы п - 1 = 14. Статистика критерия определяется следующим уравнением.

(2.8)

(2.8)

Алгоритм тестирования, при предположении, что уровень значимости равен 0,05, приведен на рис. 2.11.

HQ: ц = 500t-распределение Результаты выборки: п = 15

Н1：ц<500df=14大=47：

t из t-таблицы са = 0,05 ndf = (п- 1)= 14= 1,761t из t-таблицы са = 0,05 ndf = (п- 1)= 14= 1,761箝啼嚮777箝啼嚮777

t из t-таблицы с

а = 0,05 ndf = (п- 1)= 14

= 1,761

t из t-таблицы с

а = 0,05 ndf = (п- 1)= 14

= 1,761

箝啼嚮777

箝啼嚮777

Рис. 2.11. Проверка гипотезы, сформулированной е примере 2.9

Правило принятия решения. Если / < -1,176, отвергаем Но.

Вывод. Поскольку -2,77 <-1,176, отвергаем гипотезу Яо-

Выборочные данные свидетельствуют, что гипотеза, состоящая в том, что среднее генеральной совокупности равно 500 (при 5% уровне значимости), должна быть отвергнута.

Корреляционный анализ

При построении статистических моделей для целей прогнозирования часто полезно изучать взаимосвязь, существующую между двумя анализируемыми величинами. В этом случае могут использоваться два вида математического аппарата — корреляционный

и регрессионный анализы. Дополнительно к общей теории в последующих главах будут рассматриваться и специальные случаи корреляций и регрессий. Такое внимание к корреляции и регрессии оправдано тем, что эти методики широко используются во всех приложениях, предназначенных для решения задач прогнозирования.

Диаграммы рассеяния

Изучение взаимосвязи между величинами начинается с простейшего случая, а именно с взаимосвязей, существующих между двумя величинами. Предположим, что проведены два измерения над каждым из нескольких объектов. Требуется определить, увеличивается или уменьшается одна из этих величин (У), когда изменяется другая величина, обозначенная (X). Предположим, определены возраст и доход ряда людей, как показано в табл. 2.6. Что можно сказать о взаимосвязи между величинами Хи У?

Таблица 2.6. Величина дохода и возраст людей из обследованной группы

Лицо

Y —ДОХОД (ДОЛЛ.)

X—возраст

1

7 800

22

2

8 500

23

3

10 000

26

4

15 000

27

5

16 400

35

В результате изучения данных из табл. 2.6 выясняется, что значения величин У и X определенным образом связаны. С увеличением значения величины X, значение величины У также имеет тенденцию к увеличению. При изучении данной выборки из пяти человек возникает искушение сделать заключение, что чем старше человек, тем больше денег он зарабатывает. Конечно, опасно делать выводы на основании выборки несоответствующего объема. Об этом речь пойдет позже. Все же на основании сделанных наблюдений (/? = 5) обнаруживается определенная взаимосвязь между величинами КиХ

Указанные пять значений данных могут быть изображены на плоскости в виде точек, причем значение величины Xбудет отложено по горизонтальной оси, а значение величины У — по вертикальной оси. Подобное графическое представление называется диаграммой рассеяния (рис. 2.12).

Диаграмма рассеяния представляет значения величин X и У на плоскости.

Диаграмма рассеяния позволяет визуально подчеркнуть то, что предполагается чисто интуитивно, когда необработанные данные впервые анализируются. Например, эта взаимосвязь может быть представлена линейной зависимостью между величинами У иХ. Существующая зависимость называется положительной, если с увеличением^ возрастает и К

Y

$20,000 -

$10,000 -

$0111—X

203040

X, возраст

Рис. 2.12. Диаграмма рассеяния для определения взаимосвязи между возрастом и доходом

В других ситуациях при анализе взаимосвязи двух величин могут быть получены иные типы диаграмм рассеяния. Рассмотрим диаграммы, представленные на рис. 2.13.

На диаграмме 2.13, а изображена так называемая совершенная положительная линейная зависимость. С возрастанием значения величины X увеличивается и значение величины У, причем совершенно предсказуемым способом. В этом случае точки (X, У) оказываются лежащими на прямой. На диаграмме 2.13, б изображена совершенная отрицательная линейная зависимость. С возрастанием значений величины X значения величины У убывают таким образом, что их можно точно предсказать.

На рис. 2.13, s, г изображены несовершенная положительная и несовершенная отрицательная линейные зависимости. На этих диаграммах рассеяния, когда значения величиныX возрастают, значения величины К или возрастают (2.13, в), или убывают (2.13, г), однако не совершенно предсказуемым способом. Иными словами, значение величины У может быть несколько больше или меньше “ожидаемого” значения. В этом случае точки (X, У) расположены не точно на одной прямой.

Диаграммы рассеяния 2.13,4—2 представляют линейные зависимости. В этом случае зависимость между значениями величин X и У, независимо от того, является она совершенной или нет, может быть изображена прямой линией. Для сравнения на диаграмме 2.13, д показан общий вид нелинейной зависимости.

И наконец, на диаграмме 2.13, е представлен случай, когда между величинами X и У вообще не существует какой-либо взаимосвязи. Когда значения величины X возрастают, значения величины У ни возрастают, ни убывают каким-либо регулярным образом. На основании выборочных данных, изображенных на диаграмме 2.13, е, можно заключить, что между реальными процессами, включающими все точки X и У, не существует взаимосвязи, линейной или какой-либо иной.

YУYУXа) совершенная, положительная, линейная YXа) совершенная, положительная, линейная YXб) совершенная, отрицательная, линейная YXб) совершенная, отрицательная, линейная YXXXX

YУ

YУ

X

а) совершенная, положительная, линейная Y

X

а) совершенная, положительная, линейная Y

X

б) совершенная, отрицательная, линейная Y

X

б) совершенная, отрицательная, линейная Y

X

X

X

X

в) несовершенная, положительная, линейная г) несовершенная, отрицательная, линейная

YYXXУУе) зависимость отсутствуете) зависимость отсутствуетд)нелинейнаяд)нелинейная

Y

Y

X

X

У

У

е) зависимость отсутствует

е) зависимость отсутствует

д)нелинейная

д)нелинейная

Рис. 2.73. Виды диаграмм рассеяния для наблюдаемых величин XuY

Теперь давайте рассмотрим две диаграммы рассеяния, показанные на рис. 2.14. Обе диаграммы представляют несовершенную, положительную, линейную зависимость между величинами У иХ Отличие состоит в том, что на рис. 2.14, 〃 эта зависимость является достаточно сильной, поскольку точки, изображающие данные, оказываются относительно близко к прямой, проходящей между ними. На рис. 2.14, б изображена более слабая зависимость. Изображающие данные точки располагаются дальше от прямой, проходящей между ними, что свидетельствует о более слабой линейной зависимости между анализируемыми показателями. Далее в этой главе будет показано, как измерить величину взаимосвязи, существующей между двумя величинами.

Часто хотелось бы обобщить взаимосвязь между двумя величинами, подобрав прямую, достаточно близко описывающую точки, изображающие данные, как показано на двух диаграммах рассеяния, изображенных на рис. 2.14. Как это делается, вы узнаете чуть позднее, а на данный момент достаточно будет сказать, что прямая должна быть проведена так, чтобы получить “хорошее” приближение для точек данных. Теперь же мы обсудим вопрос, насколько быстро эта прямая возрастает или убывает.

Pwc. 274 Представление сильной (а) и слабой (б) зависимостей между величинами X w Y

Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, необходимо определить наклон линии. Наклон любой прямой определяется изменением значения переменной У при увеличении значения переменной X на единицу.

Подводя итог, можно сказать, что при изучении взаимосвязи между двумя величинами сначала необходимо определить, является ли эта взаимосвязь линейной (прямая линия) или нелинейной. Если она линейна, необходимо установить, является ли она положительной или отрицательной и насколько быстро аппроксимирующая данные прямая возрастает или убывает. Наконец, следует оценить силу взаимосвязи, т.е. насколько близки точки, изображающие данные, к прямой, аппроксимирующей их наилучшим образом.

Коэффициент корреляции

Для изучения линейной зависимости, существующей между двумя величинами, может быть выбрана некоторая мера силы этой зависимости. Используя правильную терминологию, можно сказать, что сила зависимости, существующей между двумя величинами, измеряется корреляцией. Сила взаимосвязи оценивается с помощью коэффициента корреляции, определяемого следующим образом. Две величины с совершенной отрицательной зависимостью имеют коэффициент корреляции, равный-1 (см. рис. 2.13,6). На другом полюсе ——две величины с совершенной положительной зависимостью, которые имеют коэффициент корреляции, равный +1 (рис. 2.13, 〃). Таким образом, коэффициент корреляции может изменяться в пределах от-1 до +1, включительно, и зависит от силы зависимости, существующей между двумя наблюдаемыми величинами.

Коэффициент корреляции измеряет силу линейной зависимости, существующей между двумя величинами.

На рис. 2.13, а изображена диаграмма рассеяния, соответствующая ситуации, в которой коэффициент корреляции равен +1. На рис. 2.13, б представлена диаграмма для случая, когда коэффициент корреляции равен -1. На рис. 2.13, д, е изображены диаграммы

для величин, не являющихся линейно зависимыми. Коэффициент корреляции в этом случае равен 0, т.е. никакой линейной зависимости не существует.

При прогнозировании очень важно различать две группы точек, с которыми приходится иметь дело. Генеральная совокупность, содержащая все представляющие интерес точки X,У, характеризуется коэффициентом корреляции, обозначаемым греческой буквой р (“ро” малое), тогда как коэффициент корреляции для некоторой выборки, состоящей из точекХ,У, обозначается г.

Часто бывает, что Хи У измерены в разных единицах, таких как килограммы и доллары, объем продаж в штуках и в долларах либо уровень безработицы и объем национального валового продукта. Несмотря на различие единиц, используемых для измерения значения величин X и У, нам важно определить степень взаимосвязи между этими величинами. Соответствующие оценки выполняются с помощью преобразования величин X и Ув стандартизированные единицы, так называемые Z-стандарты.

После того как значения величин X к У будут преобразованы в /-стандартизированные показатели, найденные Z-стандарты для каждого измерения (X У) умножаются, образуя перекрестные произведения для каждого элемента. Данные перекрестные произведения и представляют для нас интерес, поскольку среднее значение этих величин ——это и есть коэффициент корреляции. Вычисление коэффициента корреляции как среднего значения перекрестных произведений Z-стандартизированных величин дает его точное значение, однако в большинстве случаев коэффициент корреляции вычисляется прямо с помощью значений X, К Уравнение 2.9 показывает, как вычислить выборочный коэффициент корреляции г с помощью Z-стандартизированных величин и исходя из значений (X, У)- Здесь предполагается, что Zx =(Х-Х )Rx и Zy =(У - У )/s?.

L，ZxZ，2(X一刃(ьp)

"2ху-£х£у(2.9)

Для вычисления г с использованием этого уравнения необходима таблица значений, подобная табл. 2.7.

Пример 2」0

При изучении зависимости между возрастом и доходом может представлять интерес значение коэффициента корреляции г для этих данных. Требуемые вычисления приведены в табл. 2.7.

При подстановке в уравнение 2.9 значений из табл. 2.7 получим следующее.

5(1606 100)-(133)(57 700)

356400401084,91356400401084,91= 0,8885 или 0,89= 0,8885 или 0,89^5(3 643) - (1ЗЗ)2 ^5(727 050 000)-(57 700)2

356400

401084,91

356400

401084,91

= 0,8885 или 0,89

= 0,8885 или 0,89

Таблица 2.7. Вычисление коэффициента корреляции между возрастом и доходом

N/N

У

X

Г

н

ХУ

1

7 800

22

60 840 000

484

171 600

2

8 500

23

72 250 000

529

195 500

3

10 000

26

100 000 000

676

260 000

4

15 000

27

225 000 000

729

405 000

5

16 400

35

268 960 000

1 225

5 74 000

Всего

57 700

133

727 050 000

3 643

1 606 1000

Можно сделать вывод, что выборочный коэффициент корреляции подтверждает зависимость, наблюдаемую на рис. 2.12. Значение г положительно, что предполагает положительную линейную зависимость между возрастом и доходом. Кроме того, на интервале от 0 до 1 значение г весьма велико (0,89), что указывает на существование сильной линейной зависимости. Остается открытым лишь один вопрос, являются ли объем выборки и определенный для нее коэффициент корреляции в совокупности достаточно сильными аргументами, чтобы сделать значимые заключения о всей генеральной совокупности, из которой были получены выборочные данные.

Следует отметить два важных момента при обсуждении корреляции. Во-первых, необходимо всегда помнить о том, что измеряется корреляция, а не причинность. Исходя из высокого значения коэффициента корреляции, совершенно правильно будет сказать, что две исследуемые величины имеют значительную корреляцию. Однако вовсе не всегда в подобном случае будет правильно сказать, что одна величина является причиной изменений, происходящих с другой величиной. Этот вопрос подлежит оценке аналитиком. Например, возможно, что объемы продаж в сельских магазинах, расположенных в малозаселенных местах, сильно коррелируют со средними ценами на ассортимент товаров в продовольственных магазинах Нью-Йорка. Вывод о наличии высокой корреляции вполне может быть сделан после изучения большой выборки значений этих двух величин. Однако утверждение, что одна из этих величин является причиной изменения другой, скорее всего, окажется неверным. В действительности, весьма вероятно, что изменения обеих этих величин вызваны иным фактором,——например, общим состоянием экономики страны. Политики, маркетологи и другие специалисты часто совершают ошибку, предполагая наличие причинной связи на основе только лишь наличия корреляции.

Во-вторых, коэффициент корреляции характеризует линейную зависимость между двумя величинами. В случае, когда коэффициент корреляции мал, можно заключить, что между двумя величинами не существует сильной линейной зависимости. Тем не менее может оказаться, что они сильно взаимосвязаны некоторым нелинейным образом. Поэтому малое значение коэффициента корреляции вовсе не означает, что данные две величины не взаимосвязаны. Это означает лишь то, что линейной или прямой взаимосвязи между ними нет.

Аппроксимация данных прямой линией

Как уже упоминалось ранее, зачастую нас интересует задача, состоящая в проведении между точками (X У), представляющими данные, такой прямой, которая дает некоторое ^хорошее приближение”. В последующих главах будет показано, что такая прямая вполне может использоваться для прогнозирования представляющих интерес неизвестных значений У.

Линия, которая дает достаточно хорошее приближение к существующей зависимости, может быть нарисована вручную с помощью хорошо заточенного карандаша. Положение проводимой линии должно выбираться так, чтобы она проходила между точками, которые находятся на диаграмме рассеяния. После проведения линии можно определить две ее важнейшие характеристики: наклон и точку пересечения с вертикальной осью (осью У)- Последнее значение называется У-пересечением. Однако расположение аппроксимирующей прямой, построенной подобным образом, является чисто субъективным и вовсе не обязательно будет одинаково для любых двух аналитиков.

Существует хорошо разработанная математическая процедура, широко используемая на практике для вычисления как /-пересечения, так и наклона прямой, аппроксимирующей данные наилучшим образом. Наиболее общим подходом к определению такой наилучшим образом приближающейся прямой является метод наименьших квадратов. Данная процедура состоит в отыскании такой линии, для которой будет минимальной сумма квадратов расстояний между точками, изображающими данные, и самой линией. При этом расстояния измеряются в вертикальном направлении, т.е. в направлении оси У.

В методе наименьших квадратов значения наклона и /-пересечения прямой выбираются, исходя из условия минимизации суммы квадратов ошибок (расстояний)——CKO, между значениями величины У и аппроксимирующей линией (значение уравнения 2.10 минимизируется).

СКО = ^-^ =Y^~bo~b^(2.10)

Здесь Р= б。+ Ь]Х — оценивающее величину У значение на аппроксимирующей прямой.

Выполнив необходимые преобразования (см. приложение А), можно получить специальные алгебраические выражения для искомых величин в методе наименьших квадратов. В частности,

%=p-6因=左-与2工，(2.12)

п п

где

仇一наклон линии;

Ьо ——/-пересечение.

Метод наименьших квадратов используется для получения уравнения прямой линии, минимизирующей сумму квадратов расстояний (измеренных в вертикальном направлении по оси У) между точками (X, У), изображающими данные, и этой прямой.

Пример2•伙

В примере 2.10 предполагалось наличие сильной линейной зависимости (г = 0,89) между возрастом и размером дохода. Подставляя суммы, приведенные в табл. 2.7, в уравнения (2.11) и (2.12), получим уравнение прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует точки, представляющие исходные данные.

/£ХУ-£Х,У _5(1606100)-(133)(57 700)二

「坦£Х2-(£Х厂~5(3643)-(133)2~

8 030 500-7 674100…

二 677,567

526

Ь0=!1_^£. 57 700,677,567(133) ==11540_18023 = _648355

Уравнение прямой, наилучшим образом аппроксимирующей данные, имеет вид Y-- 6 483 + 678Х Вид этой прямой показан на рис. 2.15.

Regression Plot

ФЕО。-ФЕО。-Y=-6483.27+ 677.567Х $18,000 -

ФЕО。-

ФЕО。-

8,000 -

253035

Age

Рис. 2.15. График уравнения регрессии для данных из примера 2.11 (приложение Minitab)

Уравнение, полученное в примере 2.11, а также уравнения для определения других величин, которые возможно вычислить на основе выборочных данных, могут выгодно использоваться менеджерами для прогнозирования будущих значений важных величин, а также для оценки точности такого прогноза будущего. В следующей главе будет показано, как извлечь из выборочных данных максимальное количество информации, а затем использовать ее для создания прогнозов с помощью регрессионного анализа.

Коэффициент наклона, получаемый с помощью метода наименьших квадратов, определенным образом связан с выборочным коэффициентом корреляции.

(2.13)(2.13)旧7匚 ，2(x-U

(2.13)

(2.13)

Таким образом, коэффициенты 瓦 ии пропорциональны друг другу и имеют один и тот же знак.

Пример 2.12

Используя результаты, полученные в примерах 2.10 и 2.11, выполним вычисления, свидетельствующие о том, что коэффициент наклона, полученный с помощью метода наименьших квадратов, и коэффициент корреляции пропорциональны между собой и имеют один и тот

же знак.

$2("П「^^^8885=*(0,8885)= 677,6

‘NX/? 两10,257、 丿

Пример 2.13

Предположим, руководство большой конструкторской фирмы заподозрило, что выполненные ранее оценки стоимости конструкторских проектов не соответствуют действительной стоимости их реализации. В табл. 2.8 приведены данные о реальной стоимости нескольких последних проектов. Эти данные предназначены для проведения анализа существующей взаимосвязи между действительной стоимостью проекта и ее предварительной оценкой. Поскольку в распоряжении аналитиков компании имеется приложение Minitab, данные будут анализироваться с помощью этой программы.

Таблица 2.8. Оценочная и действительная стоимости реализованных проектов

Номер проекта

Действительнвя стоимостьОценка

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0,9180,575

7,2146,127

14,57711,215

30,02828,195

3 8,1733 0,100

15,32021,091

14,8378,659

51,28440,63 0

34,10037,800

2,0031,803

20,09918,048

Окончание табл. 2.8

Номер проекта

Действительная стоимостьОценка

12

4,3248,102

13

10,52310,730

14

13,3718,947

15

1,5533,157

16

4,0693,540

17

18

27,97337,400

7,6427,650

19

3,69213,700

20

29,52229,003

21

15,31714,639

22

23

5,2925,292

0,7070,960

24

25

26

1,2461,240

1,1431,419

21,57138,936

В листинге 2.1 показано, что корреляция между оценками стоимости проекта и действительными конструкторскими расходами, исходя из выборочных данных, действительно существует и выборочный коэффициент корреляции равен г = 0,912. Руководство компании было удивлено тем, что корреляция так высока.

Листинг 2.1. Результаты вычислений приложения Minitab для уравнения регрессии, рассматриваемого в примере 2.13

Correlations: Actual, Estimate

Pearson correlation of Actual and Estimate = 0.912

Regression Analysis: Actual versus Estimate

The regression equation is Actual = 0.68 + 0.922 Estimate

Predictor

Coef

SE Coef

T

P

Constant

0.683

1.691

0.40

0.690

Estimate

0.92230

0.08487

10.87

0.000

S = 5.697

R-Sq =

83.1%

R-Sq(adj)=

82.4%

Analysis of

Variance

SourceSourceDFDFSSSSRegressionResidual ErrorRegressionResidual Error1241243833.4779.13833.4779.1MSFP3833.4118.090.00032.5MSFP3833.4118.090.00032.5TotalTotal254612.5254612.5

Source

Source

DF

DF

SS

SS

Regression

Residual Error

Regression

Residual Error

1

24

1

24

3833.4

779.1

3833.4

779.1

MSFP

3833.4118.090.000

32.5

MSFP

3833.4118.090.000

32.5

Total

Total

254612.5

254612.5

На рис. 2.16 эти же данные представлены в виде диаграммы рассеяния и проведена прямая, которая наилучшим образом их аппроксимирует: У = 0,68 + 0,922%. Теперь руководство фирмы может прогнозировать реальные конструкторские расходы (У) после того, как будет готова предварительная оценка стоимости проекта (X). Другие возможности применения регрессионного анализа будут исследованы в последующих главах.

Regression Plot

Actual 二 0.683113 + 0.922303 Estimate

Estimate

Рис. 2.16. График уравнения регрессии для данных из примера 213 (приложение Minitab)

Оценка, имеют ли данные нормальное распределение

Преобладающее большинство статистических методов строится на предположении, что набор данных имеет нормальное распределение. Это же замечание касается и некоторых приложений в прогнозировании. По этой причине статистиками было разработано несколько способов проверки справедливости предположения о том, что выборочные данные принадлежат генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение.

Рассмотрим сведения о ежемесячной норме прибыли по фондовой бирже из каталога “S&P 500", приведенные в табл. 2.9. Справедливо ли предположение, что эти данные имеют нормальное распределение?

Таблица 2.9. Ежемесячная норма прибыли по каталогу "Standard & Poors 500"

Год

72

3

4

Январь

*

6,87

-7,13

4,07

Февраль

4,10

-2,94

0,85

6,51

Март

-3,39

2,06

2,40

2,20

Апрель

0,94

4,89

-2,73

0,03

Май

0,32

3,45

8,80

3,79

Июнь

4,23

-0,80

-0,89

-4,91

Июль

-0,54

8,47

-0,52

4,39

Август

-3,94

1,54

-9,91

1,95

Сентябрь

3,90

-0,66

-5,25

-1,93

Октябрь

2,56

-2,55

-0,67

1,18

Ноябрь

-1,91

1,64

5,82

-4,49

Декабрь

1,46

2,12

2,45

10,58

Прямая линия, изображенная на рис. 2.17, показывает, как будут выглядеть точки совершенной нормальной кривой при отображении в данном специальном масштабе. Как следует из рисунка, точки, представляющие приведенные в табл. 2.9 данные, расположены очень близко к этой прямой, что предполагает хорошее приближение между данными из каталога "S&P 500” и нормальным распределением.

В приложении Minitab можно выполнить различные статистические тесты проверки того, что данные имеют нормальное распределение. По умолчанию выполняется тест Андерсона-Дарлинга (Anderson-Darling), результаты которого приведены на рис. 2.17 в нижнем правом углу. Детали выполнения этого теста нас сейчас не интересуют. Отметим только, что p-значение равно 0,927. Нулевая гипотеза состоит в том, что выборка данных из каталога "S&P 500" получена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. Тогда p-значение, равное 0,927, указывает, что если мы отвергнем эту гипотезу, то практически наверняка совершим ошибку. Следовательно, делаем вывод, что нулевая гипотеза не должна быть отвергнута, и можно обоснованно предположить, что данные имеют нормальное распределение.

Normal Probability PlotNormal Probability PlotAverage: 1.03 StDev: 4.16342 N: 47Average: 1.03 StDev: 4.16342 N: 47Anderson-Darling Normality Test

Normal Probability Plot

Normal Probability Plot

Average: 1.03 StDev: 4.16342 N: 47

Average: 1.03 StDev: 4.16342 N: 47

A-Squared: 0.171

P-Value: 0.927

Puc. 2.17. Нормальная вероятностная диаграмма для ежемесячной нормы прибыли (приложение Minitab)

Применение в менеджменте

Большую часть понятий, описанных в этой главе, можно рассматривать как подготовительный материал, необходимый для понимания более сложного аппарата прогнозирования, обсуждаемого в этой книге. Однако изложенные в этой главе концепции имеют важное значение и во многих чисто статистических приложениях. Хотя некоторые из этих приложений логически трудно отнести к понятию “прогнозирование", тем не менее, они предполагают использование полученных данных для нахождения ответов на вопросы о неопределенности бизнес-операций; в частности, о неопределенности их исхода в будущем.

Описательные статистические процедуры, упомянутые ранее в этой главе, широко используются в тех случаях, когда требуется охарактеризовать большие массивы данных с целью их включения в процесс принятия решений. Практически невозможно представить себе ни одну область, использующую численные измерения, в которой данные не обобщались бы тем или иным образом с целью получения описательных статистик. К ним относится, в частности, вычисление среднего значения, обычно понимаемого как среднее арифметическое или, реже, как среднеквадратическое отклонение. Методы усреднения наборов данных, понятные каждому, использовались в течение многих лет для определения важнейших характеристик массивов данных. Показатели дисперсии данных, такие как среднеквадратическое отклонение, также все шире используются на практике ——по мере того, как эти методы находят все более широкое понимание.

Хорошими примерами теоретических распределений, которые представляют собой адекватные модели многих жизненных ситуаций, являются биномиальное и нормальное распределения. Именно поэтому они широко применяются во многих приложениях, включая прогнозирование. Например, с помощью биномиального распределения может быть получен прогноз количества дефектных изделий в партии.

Оценка и проверка гипотез ——это два краеугольных камня основных статистических приложений. Прогнозирование и оценка интересующих характеристик некоторой генеральной совокупности с использованием численных характеристик случайной выборки широко применяются, когда существующие ограничения во времени и средствах требуют принятия решения на основе некоторой пробной выборки данных. Исследование выборочных характеристик особенно широко применяется при проведении аудита бухгалтерского учета. Метод проверки гипотез часто используется для сравнения параметров генеральной совокупности за прошедший период с настоящими значениями, для сравнения параметров двух различных отраслей промышленности или двух разных регионов, а также для обнаружения изменений в ключевых параметрах производственных процессов. Последнее применение, известное как производственный контроль, во многих случаях является ключевым звеном мероприятий, проводимых фирмой с целью повышения качества продукции.

Для изучения взаимосвязей между парами численных величин широко применяется корреляция. Как будет показано в последующих главах, эти взаимосвязи представляют значительный интерес при прогнозировании, поскольку процесс прогнозирования часто включает попытки найти величины, так или иначе связанные с прогнозируемой. В частности, методы регрессионного анализа и множественного регрессионного анализа основаны на вычислении корреляции в процессе прогнозирования.

Глоссарий

Биномиальное распределение. Это распределение дискретной случайной величины, значения которой равны Xуспехам в п испытаниях результата биномиального эксперимента.

Выборочное распределение. Это ряд всех возможных значений выборочной статистики, который может быть получен из генеральной совокупности для выборки данного объема.

Диаграмма рассеяния. Это изображение данных точками на плоскости А"-К.

Дискретная случайная величина. Эта величина может принимать значения только из предопределенного множества. В этом случае возможные исходы часто обозначаются целыми числами.

Интервальная оценка. Это числовой интервал, в котором, вероятно, находится некоторый параметр генеральной совокупности.

Коэффициент корреляции. Характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами.

Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной величины называется среднее значение, полученное в результате многих опытов или наблюдений.

Метод наименьших квадратов. Этот метод используется для получения уравнения прямой, минимизирующей сумму квадратов расстояний между точками (X D и этой прямой, измеренных в вертикальном направлении (по оси У).

Непрерывная случайная величина. Данная величина может принимать любое значение в пределах определенного интервала. В этом случае исходы численно представляются некоторым интервалом значений.

Нормальное распределение. Диаграмма нормального распределения имеет форму колокола и определяется математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением.

Степени свободы. Степени свободы для набора данных определяют количество единиц данных, независимых друг от друга, т.е. таких, которые могут являться носителями отдельных единиц информации.

Точечная оценка. Это единичная оценка параметра генеральной совокупности.

p-значение. Под p-значением (иначе, вероятность значимости) в критерии проверки гипотезы понимается вероятность получить результат, не меньше значения выборочной статистики, вычисленного в предположении, что гипотеза % справедлива. Это эквивалентно тому, что p-значение может рассматриваться как наименьшее а, для которого наблюдаемая статистика критерия влечет отказ от гипотезы %.

Основные формулы

Выборочное средаее

斤(2.1)

Выборочное среднеквадратическое отклонение

必(2.2)

Выборочная дисперсия

W -\2 V Y2 (£х)

夕=2(х-х) =(2.3)

几-1几一1

Математическое ожидание

Е(А) = 2[Хх 尸(乃](2.4)

Биномиальные вероятности

尸(Х) = (：卜(1-р厂(2.5)

Z-стандартизированная величина, соответствующая случайной величине X

Z=(2.6)

Интервальная оценка для среднего генеральной совокупности (для выборки большого объема)

7±Z-^(2.7)

t-тестовая статистика

_ X — /л

Коэффициент корреляции

「2(х/(”歹)кJ，(x-灯，2(у-打

Метод наименьших квадратов минимизирует это выражение для 瓦 и 仇

СКО = 2("行=2(у-%-”х у

Коэффициент наклона прямой, которая задана уравнением регрессии

—2(х-又)("亍)"£х”2х2y

Nx-灯 》-(»)2

(2.8)(2.8)(2.9)(2.9)(2.Ю)(2Л1)(2.Ю)(2Л1)у-пересечение прямой, которая задана уравнением регрессии

(2.8)

(2.8)

(2.9)

(2.9)

(2.Ю)

(2Л1)

(2.Ю)

(2Л1)

bg=Y-b,X=^-^-(2.12)

п п

Другая форма определения наклона прямой, заданной уравнением регрессии

Н5

(2.13)(2.13)Упражнения

(2.13)

(2.13)

Владелец магазина современного офисного оборудования Дик Гувер (Dick Hoover) беспокоится о том, что высокая стоимость доставки и неизбежные канцелярские расходы приводят к убыткам в случае малых заказов. Для того чтобы уменьшить эти статьи расходов, он решил ввести систему скидок, поощряющих заказы более $40, с надеждой на то, что это заставит клиентов объединять несколько малых заказов в один большой. Ниже приведены данные, демонстрирующие суммы сделок для выборки из 28 клиентов.

15,20,25, 15, 17,41,50, 5,9,

14,35, 18, 19, 17, 28, 29, 11, 11,

54,7, 8, 16, 13,37, 18

вычислите среднее значение общей суммы заказа

вычислите среднеквадратическое отклонение для общей суммы заказа

вычислите дисперсию

будет ли среднее значение распределения уменьшаться, увеличиваться или останется неизменным в случае, если избранная политика успешна?

будет ли средаеквадратическое отклонение распределения увеличиваться, уменьшаться или останется неизменным в случае, если избранная политика успешна?

сделайте прогноз стоимости следующей сделки

Сэнди Джеймс (Sandy James) полагает, что цены на дома в последние несколько месяцев стабилизировались. Для того чтобы продемонстрировать это своему боссу, она выяснила в рекламных агентствах цены 12 продаваемых домов и вычислила среднее значение и средаеквадратическое отклонение этих цен. Чему равны эта два итоговых значения?

125 900 253 000 207 500 146 950 121 450 135 450

175 000 200 000 210 950 166 700 185 000 191 950

Необходимо сделать прогноз, увеличится ли среднее число рабочих дней, пропущенных сотрудниками фирмы за год. В прошлом году этот показатель был равен 12,1. Для выборки из 100 работников было получено среднее значение 13,5 со среднеквадратическим отклонением в 1,7 дня. Проверьте, используя уровень значимости 0,05, увеличилось ли среднее генеральной совокупности или же значение 13,5 представляет собой ошибку выборки.

Авиакомпания New Horizons Airlines хочет сделать прогноз среднего числа свободных мест в каждом рейсе в Германию на будущий год. Для того чтобы разработать этот прогноз, из файлов, содержащих информацию за прошедший год, была сделана случайная выборка информации о 49 рейсах и записано число свободных мест в каждом из них. Выборочное среднее и среднеквадратическое отклонение составили 8,1 и 5,7 мест. Постройте точечную и интервальную оценки с 95%-ным уровнем значимости среднего значения свободных мест в каждом рейсе за прошедший год. Сделайте прогноз среднего числа свободных мест в каждом рейсе в Германию на будущий год. Оцените точность этого прогноза.

Основываясь на прошлом опыте, компания California Power сделала прогноз, что среднее потребление электричества в январе будущего года составит 700 кВт/ч на одного домовладельца. Из данных за январь была сделана простая случайная выборка, охватывающая 50 домовладельцев, и вычислено среднее значение и средне квадратическое отклонение, составившие 715 и 50 кВт/ч. Проверьте, исходя из уровня значимости 0,05, является ли прогноз компании California Power обоснованным.

Эксперты, проводившие перепись населения, установили, что за последние несколько лет средний размер семьи уменьшился. Десять лет назад среднее количество членов семьи составляло 2,9. Рассмотрите генеральную совокупность, состоящую из данных о 200 семьях, представленную в табл. 2.10. Сделайте случайную выборку из 30 элементов и проверьте гипотезу о том, что среднее значение количества членов семьи за последние 10 лет не изменилось.

Таблица 2.10. Сведения о составе 200 семей

(1) 3

(35) 1

(69) 2

(102) 1

(135) 5

(168) 6

⑵2

(36) 2

(70) 4

(103) 2

(136) 2

(169) 3

⑶7

(37) 4

(71) 3

(104) 5

(137) 1

(170) 2

⑷3

(38) 1

(72) 7

(105) 3

(138) 4

(171) 3

(5) 4

(39) 4

(73) 2

(106) 2

(139) 2

(172) 4

Окончание табл. 2.10

(6) 2

(40) 2

(74) 6

(107) 1

(140) 4

(173) 2

(7) 3

(41) 1

(75) 2

(108) 2

(⑷)1

(174) 2

(8) 1

(42) 3

(76) 7

(109) 2

(142) 2

(175) 1

(9) 5

(43) 5

(77) 3

(110) I

(143) 4

(176) 5

(Ю) 3

(44) 2

(78) 6

(111) 4

(144) 1

(177) 3

(И) 2

(45) 1

(79) 4

(И2) 1

(145) 2

(178) 2

(12) 3

(46) 4

(80) 2

(ИЗ) 1

(146) 2

(179) 4

(13) 4

(47) 3

(81) 3

(114) 2

(147) 5

(180) 3

(14) 1

(48) 5

(82) 5

(И5) 2

(148) 3

(181) 5

(15) 2

(49) 2

(83) 2

(И6) 1

(149) 1

(182) 3

(16) 2

(50) 4

(84) 1

(И7) 4

(150) 2

(183) 1

(17) 4

(51) 1

(85) 3

(118) 2

(151) 6

(184) 2

(18) 4

(52) 6

(86) 3

(И9) 1

(152) 2

(185) 4

(19) 3

(53) 2

(87) 2

(120) 3

(153) 5

(186) 3

(20) 2

(54) 5

(88) 4

(121) 5

(154) 1

(187) 2

(21) 1

(55) 4

(89) 1

(122) 1

(155) 2

(188) 5

(22) 5

(56) 1

(90) 2

(123) 2

(156) 1

(189) 3

(23) 2

(57) 2

(91) 3

(124) 3

(157) 4

(190) 4

(24) 1

(58) 1

(92) 3

(125) 4

(158) 2

(191) 3

(25) 4

(59) 5

(93) 2

(126) 3

(159) 2

(192) 2

(26) 3

(60) 2

(94) 4

(127) 2

(160) 7

(193) 3

(27) 2

(61) 7

(95) 1

(128) 1

(161) 4

(194) 2

(28) 3

(62) 1

(96) 2

(129) 6

(162) 2

(195) 5

(29) 6

(63) 2

(97) 4

(130) 1

(163) 1

(196) 3

(30) 1

(64) 6

(98) 3

(131) 2

(164) 7

(197) 3

(31) 2

(65) 4

(99) 2

(132) 5

(165) 2

(198) 2

(32) 4

(66) 1

(100) 6

(133) 2

(166) 7

(199) 5

(33) 3

(67) 2

(101) 4

(134) 1

(167) 4

(200) 1

(34) 2

(68) 1

Управляющий службой ремонта в компании Atlanta Transit Authority Джеймс Доббинс (James Dobbins) хотел бы определить, существует ли положительная взаимосвязь между ежегодными расходами на техническое обслуживание автобуса и его "возрастом". Если такая взаимосвязь существует, Джеймс полагает, что он сделает доброе дело, заранее оценив сумму годовых расходов на техническое обслуживание автобусов. Он собрал данные, приведенные в табл. 2.11.

Таблица 2.11. Сведения о годовых расходах на техническое обслуживание автобусов

Номер автобуса

Расходы на содержание /долл.) У

Возраст (годы) X

1

859

8

2

682

5

3

471

3

4

708

9

5

1094

11

6

224

2

7

320

1

8

651

8

9

1049

12

нарисуйте диаграмму рассеяния для этих данных

какой вид взаимосвязи существует между этими двумя величинами?

вычислите коэффициент корреляции

Анна Шихен (Anna Sheehan) — менеджер сети супермаркетов компании Spandwise. Она хотела бы иметь возможность прогнозировать продажу книг (еженедельную), в зависимости от объема занимаемого ими демонстрационного пространства (в футах). Анна собрала данные для выборки, составляющей 11 недель, которые приведены в табл. 2.12.

Таблица 2.12. Сведения о продаже книг

Объем демонстрационного пространства, X

Неделя

Количество проданных книг, У

1

275

6,8

2

142

3,3

3

168

4,1

4

197

4,2

5

215

4,8

6

188

3,9

7

241

4,9

8

295

7,7

9

125

3,1

10

266

5,9

11

200

5,0

нарисуйте для этих данных диаграмму рассеяния

каков тип взаимосвязи между этими двумя величинами?

вычислите коэффициент корреляции

нарисуйте аппроксимирующую прямую, используя метод наименьших квадратов для вычисления ее наклона и точки У-пересечения. Используйте полученное уравнение для прогнозирования числа проданных книг, если демонстрационное пространство будет иметь площадь 5,2 фута (т.е. X = 5,2)

Рассмотрите генеральную совокупность из 200 еженедельных наблюдений, представленных в табл. 2.13. Здесь независимая величинах—— это средняя недельная температура (по шкале Фаренгейта) в городе Спокан, шт. Вашингтон. Зависимая величина У — это число акций компании Sunshine Mining Stock, проданных на бирже города Спокан за данную неделю. Выберите случайным образом данные за 16 недель и вычислите для них коэффициент корреляции. (Совет: убедитесь, что выборка получена из генеральной совокупности действительно случайным образом.) Затем с помощью метода наименьших квадратов найдите линию, наилучшим образом аппроксимирующую данные, и дайте прогноз значения У для средней недельной температуры, равной 63 градуса по Фаренгейту.

Таблица 2.13. Данные о средней недельной температуре в г. Спокан (х) и числе проданных акций компании Sunshine Mining Stock (})

Неделя

У

X

Неделя

У

X

Неделя

У

X

Неделя

У

X

(1)

50

37

(51)

54

86

(101)

22

43

(151)

79

85

(2)

90

77

(52)

76

48

(Ю2)

32

5

(152)

79

27

(3)

46

55

(53)

55

48

(103)

24

13

(153)

48

61

(4)

47

27

(54)

12

15

(104)

63

3

(154)

5

7

(5)

12

49

(55)

5

70

(Ю5)

16

58

(155)

24

79

(6)

23

23

(56)

2

9

(Юб)

4

13

(156)

47

49

(7)

65

18

(57)

77

52

(Ю7)

79

18

(157)

65

71

(8)

37

1

(58)

6

71

(Ю8)

5

5

(158)

56

27

(9)

87

41

(59)

67

38

(Ю9)

59

26

(159)

52

15

(Ю)

83

73

(60)

30

69

(ИО)

99

9

(160)

17

88

(И)

87

61

(61)

3

13

(111)

76

96

(161)

45

38

(12)

39

85

(62)

6

63

(И2)

15

94

(162)

45

31

(13)

28

16

(63)

70

65

(ИЗ)

10

30

(163)

90

35

(14)

97

46

(64)

33

87

(И4)

20

41

(164)

69

78

(15)

69

88

(65)

13

18

(И5)

37

1

(165)

62

93

(16)

87

87

(66)

10

4

(И6)

56

27

(166)

0

51

(17)

15

82

(67)

21

29

(117)

6

73

(167)

8

68

(18)

52

56

(68)

56

21

(118)

86

19

(168)

47

30

(19)

15

22

(69)

74

9

(И9)

27

94

(169)

7

81

(20)

85

49

(70)

47

8

(120)

67

5

(170)

48

30

(21)

41

44

(71)

34

18

(121)

22

31

(171)

59

46

Окончание табл. 2.13

(22)

82

33

(72)

38

84

(122)

32

13

(172)

76

99

(23)

98

77

(73)

75

64

(123)

90

11

(173)

54

98

(24)

99

87

(74)

0

81

(124)

88

50

(174)

95

11

(25)

23

54

(75)

51

98

(125)

35

40

(175)

7

6

(26)

77

8

(76)

47

55

(126)

57

80

(176)

24

83

(27)

42

64

(77)

63

40

(127)

73

44

(177)

55

49

(28)

60

24

(78)

7

14

(128)

13

63

(178)

41

39

(29)

22

29

(79)

6

И

(129)

18

74

(179)

14

16

(30)

91

40

(80)

68

42

(130)

70

40

(180)

24

13

(31)

68

35

(81)

72

43

(131)

9

53

(181)

36

31

(32)

36

37

(82)

95

73

(132)

93

79

(182)

62

44

(33)

22

28

(83)

82

45

(133)

41

9

(183)

77

11

(34)

92

56

(84)

91

16

(134)

17

52

(184)

32

60

(35)

34

33

(85)

83

21

(135)

10

82

(185)

12

82

(36)

34

82

(86)

27

85

(136)

69

37

(186)

85

7

(37)

63

89

(87)

13

37

(137)

5

57

(187)

90

68

(38)

30

78

(88)

6

89

(138)

18

62

(188)

78

10

(39)

31

24

(89)

76

76

(139)

88

21

(189)

60

27

(40)

84

53

(90)

55

71

(140)

99

94

(190)

96

90

(41)

56

61

(91)

13

53

(141)

86

99

(191)

51

6

(42)

48

18

(92)

50

13

(142)

95

45

(192)

9

62

(43)

0

45

(93)

60

12

(143)

78

19

(193)

93

78

(44)

58

4

(94)

61

30

(144)

3

76

(194)

61

22

(45)

27

23

(95)

73

57

(145)

38

81

(195)

5

99

(46)

78

68

(96)

20

66

(146)

57

95

(196)

88

51

(47)

78

79

(97)

36

27

(147)

77

30

(197)

45

44

(48)

72

66

(98)

85

41

(148)

25

59

(198)

34

86

(49)

21

80

(99)

49

20

(149)

99

93

(199)

28

47

(50)

73

99

(ЮО)

83

66

(150)

9

28

(200)

44

49

Компании Abbot & Sons необходим прогноз среднего возраста ее работников с почасовой оплатой труда. Случайная выборка данных из персональных файлов дала приведенные ниже результаты. Получите точечную оценку и доверительный интервал с 98%-ным уровнем значимости (интервальную оценку) для среднего возраста всех работников.

又= 45,2 S=10,3 и= 175

公〃44m 侖〃 w4〃N4K〃m 〃m〃4〃m公〃44m 侖〃 w4〃N4K〃m 〃m〃4〃m

公〃44m 侖〃 w4〃N4K〃m 〃m〃4〃m

公〃44m 侖〃 w4〃N4K〃m 〃m〃4〃m

Задание 2.1. Компания AlcamElectronics

Джеррик Тилби (Jarric Tilby) недавно получил степень бакалавра в области бизнес- администирирования в маленьком университете и приступил к работе в компании Alcam Electronics, производящей различные детали для электронной промышленности. После того как он проработал несколько недель, его пригласили к Лэбрем Мак-Кеннах (Labrum McKennah), владелице и менеджеру компании Alcam. Мак-Кеннах попросила Джеррика исследовать вопрос, касающийся транзисторов определенного вида, производимых фирмой Alcam. Причиной послужило то, что большая телевизионная компания заинтересовалась закупкой значительной партии транзисторов этого вида.

Мак-Кеннах хотела получить прогноз среднего времени службы транзисторов, так как это очень интересовало телевизионную компанию. Транзисторы, имеющиеся на складе в настоящий момент, могли бы использоваться как представители той продукции, которая будет выпущена по контракту с телевизионной компанией.

Джеррик решил сделать случайную выборку подлежащих изучению транзисторов и составил план выполнения данного задания. На складе он пронумеровал все упаковки, содержащие требуемые транзисторы, выбрал случайным образом несколько номеров, после чего транзисторы из отобранных упаковок были включены в состав выборки. Поскольку каждая упаковка содержала около 20 транзисторов и он случайным образом выбрал 10 упаковок, это дало ему окончательный объем выборки в 205 транзисторов. Так как было выбрано 10 упаковок из 55, имевшихся на складе, Джеррик полагал, что им сделана достаточно представительная выборка, позволяющая сделать обоснованные выводы как обо всей генеральной совокупности транзисторов, уже имеющихся на складе, так и о тех транзисторах, которые будут выпущены по той же технологии позднее.

Затем Джеррик проанализировал вопрос о среднем времени жизни транзисторов. Так как время жизни транзистора может составлять несколько лет, он понял, что ни одна из единиц в выборке не может быть корректно протестирована в отношении времени ее жизни. Поэтому он решил связаться с несколькими пользователями этих транзисторов и выяснить, имеются ли у них какие-либо сведения о времени их жизни. К счастью, он обнаружил три компании, которые уже использовали эти транзисторы ранее и имеют некоторые сведения о времени их жизни. В целом ему были предоставлены данные о времени выхода из строя 38 транзисторов. Поскольку процесс их производства был таким же, как и в настоящее время, он заключил, что результаты обследования этой выборки можно перенести на те изделия, которые хранятся на складе и будут произведены впоследствии.

Выполнив необходимые вычисления, Джеррик получил следующие результаты.

Среднее время жизни X =4805 часов

Среднеквадратическое отклонение времени жизни S = 675 часов

Обнаружив, что среднее время жизни изделия составляет только 4 805 часов, Джеррик был озадачен, так как знал, что другой поставщик электронных компонентов гарантировал среднее время жизни подобных транзисторов 5 000 часов. Хотя его выборочное среднее было несколько ниже 5 000 часов, он понял, что объем выборки был слишком мал (равен 38 единицам), поэтому полученные результаты не могут служить доказательством того, что качество продукции компании Alcam ниже, чем у другого поставщика. Он решил проверить гипотезу, что среднее время жизни всех транзисторов составляет 5 000 часов, при альтернативной гипотезе, что оно оказывается меньше этого значения. Джеррик выполнил следующие вычисления, используя значения а = 0,01.

% :"二 5 000

Hi :卩V5 ООО

Если S = 675, тогда получим следующее.

Критическая точка правила принятия решения. 5 000 - 2,33^^ = 4 744,9

,38

Правило принятия решения. Если X v 4 744,9 , то отвергаем Но.

Поскольку выборочное среднее (4 805) не было ниже критической точки правила принятия решения для отказа от гипотезы HQ (4 744,9), Джеррик не отверг гипотезу, что среднее время жизни всех деталей равнялось 5 000 часов. Он знал, что это будет хорошей новостью для Лэбрем Мак-Кеннах, и включил краткое описание своих исследований в окончательный отчет. Несколько дней спустя он представил ей письменный и словесный отчеты. Мак-Кеннах пригласила его в свой кабинет, чтобы похвалить за хорошую работу и в то же время выразить недоумение по поводу его находок. Она сказала: “Я обеспокоена очень низким уровнем значимости вашего критерия. Вы учитываете только 1% случаев отказа от нулевой гипотезы, если она верна. Это кажется мне слишком скромным. Я опасаюсь того, что мы заключим контракт, а затем обнаружим, что наш качественный уровень не соответствует требуемым 5 000 часам, как определено в контракте5,.

Вопрос

Как вы отреагируете на комментарий, сделанный Лэбрем Мак-Кеннах?

Задание 22 “Мг. Тих”

Джон Мосби является владельцем нескольких пунктов проката, функционирующих под вывеской “М「Тих". Он заинтересован в составлении прогноза объемов его ежемесячных доходов от проката (см. задание 1.1 в главе 1). На первом этапе Джон собрал данные о ежемесячных доходах от проката (1989-1996 гг.), которые приведены в табл. 2.14.

Таблица 2.14. Данные о ежемесячных доходах от проката компании hMr. Tux"

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Январь

6,028

16,850

15,395

27,773

31,416

51,604

58,843

71,043

Февраль

5,927

12,753

30,826

36,653

48,341

80,366

82,386

152,930

MeipT

10,515

26,901

25,589

51,157

85,651

208,938

224,803

205,559

Апрель

32,276

61,494

103,184

217,509

242,673

263,830

354,301

409,567

Май

51,920

147,862

197,608

206,229

289,554

252,216

328,263

394,747

Июнь

31,294

57,990

68,600

110,081

164,373

219,556

313,647

272,874

Июль

23,573

51,318

39,909

102,893

160,608

149,082

214,561

230,303

Август

36,465

53,599

91,368

128,857

176,096

213,888

337,192

375,402

Сентябрь

18,959

23,038

58,781

104,776

142,363

178,947

183,482

195,409

Октябрь

13,918

41,396

59,679

111,036

114,907

133,650

144,618

173,518

Ноябрь

17,987

19,330

33,443

63,701

113,552

116,946

139,750

181,702

Декабрь

15,294

22,707

53,719

82,657

127,042

164,154

184,546

258,713

Затем Джон вычислил среднее значение ежемесячных доходов от проката для каждого года (т.е. он сложил 12 значений для 1989 года и разделил полученную сумму на 12). Джон также вычислил среднеквадратические отклонения для 12 ежемесячных значений по каждому году. Все полученные им результаты приведены в табл. 2.15. Кроме того, он решил построить диаграмму временного ряда, которая приведена на рис. 2.18. Значения средних ежемесячных доходов откладывались по оси У, а время ——по оси X.

Таблица 2.15. Средний ежемесячный доход от проката в компании “Мг・ Тих”

Год

Среднее значение

Среднеквадратическое отклонение

1989

22 013

13 165

1990

44 603

35 290

1991

64 841

47 217

1992

103 610

57 197

1993

141 381

70 625

1994

169 432

63 376

1995

213 866

96 387

1996

247 231

99 153

$400,000 $350,000

воиохо4s8q90воиохо4s8q90$300,000

воиохо4s8q90

воиохо4s8q90

$250,000

$200,000

$150,000

$100,000

$50,000 0

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2001

Рис. 218. Средний ежемесячный объем доходов компании аМг. Тих"

Вопросы

Какие идеи, касающиеся прогнозирования, приходят вам на ум при рассмотрении сведений об объемах средних ежемесячных доходов от проката?

Предположим, что Джон решил нарисовать от руки прямую на своей диаграмме рассеяния так, чтобы она давала uнаилучшее приближение", а затем продолжить эту прямую на будущее, используя ее точки как ежемесячные прогнозы. Как вы думаете, насколько точным будет его прогноз? При ответе на этот вопрос используйте значения среднеквадратических отклонений, вычисленные Джоном. Будете ли вы, основываясь на вашем анализе, советовать Джону продолжать поиски более точного метода прогнозирования? У Джона на его компьютере есть последняя версия приложения Minitab. Думаете ли вы, что он должен использовать регрессионный анализ, реализованный в Minitab, для получения аппроксимирующей прямой по методу наименьших квадратов? Если да, то какой показатель следует использовать как переменную X для получения прогноза будущих ежемесячных продаж (У)?

Задание 2.3. Компания AlomegaFood Stores

В примере 1.1 описано, что Джулия Рас, президент компании Alomega Food Stores, подготовила данные об операциях своей компании. Были собраны данные о продажах за несколько месяцев, а также было определено несколько возможных независимых переменных (вспомните описание данной ситуации в примере 1.1). Пока люди, анализирующие ситуацию, работали с данными с целью составления прогноза ежемесячных продаж, она с нетерпением ожидала окончательных результатов и сведений о том, какая из независимых переменных является наилучшей для целей прогнозирования.

Поскольку на ее настольном компьютере была установлена статистическая программа, Джулия решила поработать с данными самостоятельно. Прежде всего, она определила коэффициенты корреляции между объемом ежемесячных продаж и несколькими потенциально независимыми переменными. В особенности она интересовалась корреляцией между объемом продаж и ежемесячными расходами на рекламу в газетах, на рекламу на телевидении, на рекламу в газетах с запаздыванием в один и два месяца, на телевидении с запаздыванием в один и два месяца, а также с затратами на рекламу у основных конкурентов. Расчетные коэффициенты корреляции г были следующими.

Ежемесячные затраты на рекламу в газете 0,45

Ежемесячные затраты на рекламу на ТВ 0,60 Реклама в газете с запаздыванием в один месяц -0,32 Реклама в газете с запаздыванием в два месяца 0,21 Реклама на ТВ с запаздыванием в один месяц -0,06 Реклама на ТВ с запаздыванием в два месяца 0,03 Затраты на рекламу у конкурентов -0,18

Джулия не была удивлена тем, что самая высокая корреляция наблюдалась между ежемесячным объемом продаж и затратами на рекламу по телевидению (г = 0,60); она даже надеялась на более сильную корреляцию. Она решила использовать регрессионную технику для получения выборочного уравнения регрессии, используя объем продаж как зависимую переменную, а ежемесячные расходы на рекламу по телевидению ——как независимую переменную. Результаты были следующими.

Объем продаж = 341 663 + 0,336 (ежемесячные расходы на рекламу по телевидению)г-квадрат = 0,36 (36%) р-значение = 0,000

Джулия вынуждена была обратиться к своему учебнику по статистике, который она хранила со времен обучения в колледже, чтобы найти там определение величин “尸一 квадрат55 и "р-значенне”，приведенных в распечатке. Прочитав нужный раздел, она вспомнила, что показатель “/•-квадрат" (который представляет собой квадрат коэффициента корреляции г) характеризует процент от общей изменчивости объема продаж, объясняемый изменениями в ежемесячных затратах на телевизионную рекламу (это будет объяснено в главе 6). Кроме того,/>-значение свидетельствует, что коэффициент наклона весьма велик (0,336). В этом случае гипотеза о том, что он равен нулю для генеральной совокупности, из которой была сделана выборка, может быть отвергнута с практически отсутствующим риском сделать ошибку.

В результате Джулия сделала вывод, что полученное ею уравнение регрессии является представительным и может быть использовано для прогнозирования ежемесячных объемов продаж при условии, что сумма выделенных на телевизионную рекламу средств известна. Поскольку расходы на телевизионную рекламу находятся под контролем компании, она пришла к заключению, что у нее есть хороший способ прогнозирования будущих объемов продаж. Она рассказала о полученных ею результатах Роджеру Джексону (Roger Jackson), руководителю отдела по обработке данных. Он ответил: “Да, мы тоже выявили эту зависимость. Однако дополнительно было установлено, что только около трети уровня изменчивости в объемах продаж объясняется рекламой на ТВ —— точнее, 36%. Мы считаем, что этот процент недостаточно высок, и стараемся подобрать несколько переменных в различных сочетаниях для того, чтобы попытаться получить значение "r-квадрат” как можно выше. К тому же мы полагаем, что должны существовать и другие методы, которые будут работать лучше, чем регрессионный анализ.”

Вопросы

Что вы думаете об анализе, выполненном Джулией Рас?

Определите остатки (ошибки), наблюдаемые между действительными объемами продаж и значениями, прогнозируемыми с помощью прямой линии. Как можно определить, является ли выбранное Джулией представление с помощью прямой линии адекватным?

Применение Minitab

Задание. В примере 2.1 набор возрастов анализировался с использованием описательных статистик.

Решение в Minitab

Введите имя переменной Ages под заголовком С1.

Введите данные в столбец С1.

На панели меню выберите команду:

Stat^Basic Statistics^Display Descriptive Statistics

На экране раскроется диалоговое окно Display Descriptive Statistics, представленное на рис. 2.19.

Рис. 219. Диалоговое окно Display Descriptive Statistics приложения Minitab

в поле Variables выберите значение Ages (С1)

щелкните на кнопке Graphs, и на экране раскроется диалоговое окно Display Descriptive Statistics-Graphs

выберите в списке значение Graphical Summary и щелкните на кнопке ОК г) щелкните на кнопке ОК в диалоговом окне Display Descriptive Statistics, и на экран будут выведены результаты расчета, изображенные на рис. 2.20

Descriptive StatisticsDescriptive Statistics95% Confidence interval for Median95% Confidence interval for MedianVariable: AgesVariable: AgesA-Squared0.168P-Value0.910Mean40.2000StDev12.2002Variance148.844Skewness0.203000Kurtosis-8.2E-01N10A-Squared0.168P-Value0.910Mean40.2000StDev12.2002Variance148.844Skewness0.203000Kurtosis-8.2E-01N10Anderson-Darling Normality TestAnderson-Darling Normality TestMinimum23.00001st Quartile30.2500Median40.00003rd Quartile51.2500Maximum60.0000Minimum23.00001st Quartile30.2500Median40.00003rd Quartile51.2500Maximum60.000095% Confidence Interval for Mu 31.472548.9275

Descriptive Statistics

Descriptive Statistics

95% Confidence interval for Median

95% Confidence interval for Median

Variable: Ages

Variable: Ages

A-Squared

0.168

P-Value

0.910

Mean

40.2000

StDev

12.2002

Variance

148.844

Skewness

0.203000

Kurtosis

-8.2E-01

N

10

A-Squared

0.168

P-Value

0.910

Mean

40.2000

StDev

12.2002

Variance

148.844

Skewness

0.203000

Kurtosis

-8.2E-01

N

10

Anderson-Darling Normality Test

Anderson-Darling Normality Test

Minimum

23.0000

1st Quartile

30.2500

Median

40.0000

3rd Quartile

51.2500

Maximum

60.0000

Minimum

23.0000

1st Quartile

30.2500

Median

40.0000

3rd Quartile

51.2500

Maximum

60.0000

95% Confidence Interval for Sigma 8.391722.2728

95% Confidence Interval for Median 29.603651.7117

Puc. 2.20. Диалоговое окно приложения Minitab с результатами расчета описательных статистик

для распечатки полученных графиков выберите на панели меню команду:

File^Print Graph

для того чтобы распечатать окно, содержащее результаты расчета описательных статистик, выберите на панели меню команду:

FileoPrint Session Window

Результаты показаны на рис 2.1.

Приведенные ниже команды предназначены для получения точечной диаграммы, диаграммы-ящика и гистограммы.

Graphs Dotplot

Graphs Boxplot

Graph^Histograph

Инструкции о том, как использовать приложение Minitab для проведения корреля

ционного и регрессионного анализа, представлены в конце главы 6.

Применение Excel

Задание. В упр. 2.1 владелец магазина современного офисного оборудования Дик Гувер беспокоился о том, что высокая стоимость доставки и необходимые канцелярские расходы приводят к убыткам в случае малых заказов.

Решение e Excel

Запустите на выполнение программу Excel, и на экран будет выведена пустая электронная таблица, изображенная на рис. 1.2 в конце главы 1. Переместите курсор так, чтобы выделенной оказалась ячейка в верхнем левом углу таблицы, т.е. ячейка А1.

Введите в нее первое значение, 10, и с помощью клавиши <ТаЬ> переместитесь в следующую ячейку. Введите следующее значение из представленного в упражнении набора данных и т.д.

После того как все 28 значений данных будут помещены в последовательные ячейки столбца А, переместите курсор в ту ячейку, в которой требуется получить результат первых вычислений, — ячейку АЗО.

Среднее значение данных, помещенных в ячейки А1-А28, вычисляется с помощью формулы, которую следует ввести в ячейку АЗО. Ввод любой формулы в ячейку начинается с символа “=”. Требуемая в нашем случае формула имеет вид: =Average(A1 ;А28). Обратите внимание на то, что номер ячейки АЗО показан в поле, расположенном слева от строки формул, а текст самой формулы =Average(A1 ;А28)——в поле справа над таблицей.

Тот же подход используется и для вычисления среднеквадратического отклонения. В этом случае формула =Stdev(A1;A28) вводится в ячейку А31. Результаты вычислений показаны на рис. 2.21.

С' MicfDinlt f xi cl F'f? I「"Г7rL;

圏酶酵阿 Jsert fй(Ш 工oofcJ^U W^d&» 缈 1M>一畠曲¥1

匕2?sa бан、品入陋•丁 ・>・ 噥za■外公龜£；/■- •(3.

-'--'• n Z U 拿建急宙 Si % , X # ・k £号一 • r • & •.

；Formula Bar；Formula BarF 6 HF 6 H於,71c*2r'加2s30於,71c*2r'加2s3017：.阻2G 彳彳: 彳T； '43； "54" "7) 亩 彳百 百 "37： .彳m17：.阻2G 彳彳: 彳T； '43； "54" "7) 亩 彳百 百 "37： .彳m

；Formula Bar

；Formula Bar

F 6 H

F 6 H

於,71c*2r'加2s30

於,71c*2r'加2s30

17：.阻

2G 彳彳: 彳T； '43； "54" "7) 亩 彳百 百 "37： .彳m

17：.阻

2G 彳彳: 彳T； '43； "54" "7) 亩 彳百 百 "37： .彳m

21.321431 — :匸 ； ；!；~ i 躋

3"彳3.36677：- …м:~~Г Ц

H < > м'Р^-l/Id: “厂

室 St«>!В Hw應」МемШ Excel ®PEng … 才 |. 1Q/4M

Рис, 2.21. Таблица приложения Excel с результатами расчетов из у пр. 2.1.

Среднее значение и среднеквадратическое отклонение могут быть также вычислены с использованием команды вставки функции или инструмента Data Analysis. Эти подходы будут рассматриваться нами в последующих главах.

Инструкции о том, как использовать приложение Excel для выполнения корреляционного и регрессионного анализов, приведены в конце главы 6.

Если вы намерены использовать программы Excel и Minitab в своей работе, то для быстрого и успешного освоения этих мощных инструментов следует как можно чаще применять их к различным множествам данных и пытаться выполнить с их помощью разнообразные статистические вычисления. Умение, которое вы при этом приобретете, окажется очень полезным при дальнейшем обсуждении процедур прогнозирования в данной книге.

Рекомендуемая литература

Berenson M.L., Levine D.M. Basic Business Statistics: Concepts and Applications, 7th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1999.

Cryer J.D., Miller R.B. Statistics for Business: Data Analysis and Modeling, 2nd ed. Belmont ,CA: Duxbury Press, 1994.

Groebner D., Shannon P. Business Statistics. A Decision-Making Approach, 2nd ed. Columbus, OH: Charles E. Merrill Publishing Company, 1985.

Hanke J., Reitsch A. Understanding Business Statistics, 2nd ed. Homewood, IL: Richard D. Irwin, Inc., 1994.

Johnson R.A., Wichern D.W. Business Statistics: Decision Making with Data. New York: John Wiley & Sons, 1997.

Olson C., Picconi M. Statistics for Business Decision Making. Glenview, IL: Scott, Foresman and Company, 1983.

公〃n〃" ГПДЙД П〃П心4n^^^Д ^ц|^ ^||^ ^^ I JI Ag А ц ^||^ ^||^ ^|p^

Исследование наборовданных и выбор методапрогнозирования

Одним из наиболее сложных этапов прогнозирования, который отнимает много времени и сил, является сбор обоснованных и достоверных данных. Персонал, занимающийся обработкой данных, хорошо понимает смысл выражения “garbage in, garbage out" ("мусор на входе — мусор на выходе"). Это выражение вполне применимо и к прогнозированию. Точность любого прогноза ограничивается достоверностью тех данных, на которых он построен. Наиболее сложные модели прогнозирования не сработают, если они будут применяться к недостоверным данным.

Распространение компьютерных технологий способствовало накоплению невероятного количества данных практически по всем мыслимым показателям. Самая сложная задача из числа тех, с которыми сталкивается большинство создателей прогнозов, заключается в том, как отыскать имеющие отношение к поставленной задаче данные, которые позволят принять обоснованное решение по исследуемой проблеме.

Для оценки, будут ли имеющиеся данные полезны для решения поставленной задачи, можно использовать следующие четыре критерия.

Данные должны быть достоверными и точными. Необходимо позаботиться о том, чтобы данные были получены из достоверного источника, и обратить внимание на то, чтобы они имели требуемую точность.

Данные должны быть значимыми. Данные должны отражать те обстоятельства, для анализа которых они будут использоваться.

Данные должны быть согласованными. Если обстоятельства, в отношении которых данные собирались, изменились, необходимо внести корректировки, направленные на сохранение согласованности новых данных с исторически сложившейся структурой. Это может оказаться серьезной проблемой, например, в тех случаях, когда правительственные учреждения изменяют состав ^потребительской корзи- нн", используемой для оценки жизненного уровня населения. Скажем, тридцать лет назад персональные компьютеры не входили в ассортимент товаров, приобретаемых средними потребителями; а теперь они входят в него.

Данные должны собираться через определенные интервалы времени. Данные, собранные и подытоженные в строгом хронологическом порядке, представляют наибольший интерес для целей прогнозирования. Кроме того, данных может быть либо слишком мало (недостаточно предыстории, на которой базировались бы будущие исходы), либо слишком много (данные периодов отдаленного прошлого, не имеющие отношения к поставленной задаче).

Вообще говоря, для создания прогнозов представляют интерес два типа данных. К первому типу относят данные, собранные в фиксированный момент времени. Это может быть конкретный час, день, неделя, месяц или квартал. Второй тип представляют данные наблюдений, произведенных с течением времени. Если все наблюдения выполнены в один и тот же период времени, мы называем их кросс-секционными. Задача состоит в изучении таких данных с последующей экстраполяцией или последующим распространением полученных взаимоотношений на большую генеральную совокупность. Одним из примеров может быть получение случайной выборки персональных файлов для изучения данных о работниках компании. Другой пример —— набор данных о сроке эксплуатации (Age) девяти автобусов компании Spokane Transit Authority и текущих расходах на их содержание (Cost). Диаграмма рассеяния, представленная на рис. 3.1, помогает получить визуальное представление о существующей в этом случае взаимосвязи и позволяет составить прогноз в отношении годового бюджета на содержание автобусов.

Maintenance Cost and Age for Nine Spokane Transit Buses

1,100 - 1,000 - 900 - 800 - 耳 700 - o 600 -

500 -

400 -

300 -

200 -

1010005

10

10

0

0

Аде

Рис. 3.L Диаграмма рассеяния для данных о сроке эксплуатации и расходах на содержание автобусов в компании Spokane Transit Buses (приложение Minitab)

Кросс-секционные данные представляют собой наблюдения, собранные в фиксированный момент времени.

Любая величина, которая представлена набором данных наблюдений, собранных или зафиксированных через последовательные промежутки времени, называется временным рядом. Ежемесячный объем производства пива в США — пример временного ряда.

Временной ряд состоит из данных, которые были собраны или зафиксированы через последовательные промежутки времени.

Изучение наборов данных, являющихся временными рядами

Одним из наиболее важных аспектов в выборе соответствующего метода прогнозирования для временного ряда данных является рассмотрение их соответствия различным моделям поведения данных в наборе. Существует четыре основных типа моделей данных: горизонтальная, тренд, сезонная и циклическая.

Говорят, что наблюдается горизонтальная модель поведения данных, если наблюдения флуктуируют относительно постоянного уровня или среднего значения. Ежемесячные продажи некоторого продукта, которые не возрастают и не убывают значительно с течением времени, могут рассматриваться как хороший пример данных горизонтальной модели.

Если наблюдаемые данные возрастают или убывают в течение некоторого, достаточно большого промежутка времени, то говорят, что в них присутствует модель поведения, называемая трендом. На рис. 3.2 представлен временной ряд с интервалом значений в один год (например, расходы на содержание дома), обладающий долгосрочным ростом (трендом). Для иллюстрации этого роста на рисунке изображена прямая линейного тренда. Хотя сумма расходов на содержание дома не увеличивается из года в год, основное смещение значений этой величины в периоды от 1 до 20 направлено вверх. Важнейшими причинами, которые влияют на данный временной ряд и могут объяснять его тренд, являются инфляция, изменения в технологиях, предпочтения потребителей и рост производительности.

20 -20 -15 -15 -25 -

20 -

20 -

15 -

15 -

10 -

01020

Время

Рис. 32 Тренд и циклические компоненты временного ряда расходов на содержание дома за один год

Многие макроэкономические показатели, такие как совокупный национальный продукт и занятость, или показатели промышленного производства демонстрируют наличие тренда. На рис. 3.10 (см. ниже) представлен другой пример временного ряда с превалирующим трендом. На этом рисунке показан рост годового дохода от основной деятельности компании Sears за 1955—1997 гг.

Тренд — это долгосрочная компонента, отражающая возрастание или убывание временного рвда в течение длительного периода времени.

Если данные наблюдений характеризуются подъемами и спадами, не имеющими фиксированного периода, говорят, что в них присутствует циклическая модель поведения. Циклическая компонента представляет собой волнообразные флуктуации вокруг тренда, которые обычно вызываются общими экономическими условиями. Циклические флуктуации чаще всего являются следствием периодических изменений в экономике ——последовательных расширений и сокращений производства, обычно называемых бизнес- циклом. На рис. 3.2 изображен временной ряд с циклической компонентой. Циклический пик, зафиксированный в момент времени 9, иллюстрирует экономический подъем, а циклическая впадина в момент времени 12 ——экономический спад.

Циклическая компонента представляет собой волнообразные флуктуации вокруг тренда.

Рис. 3.3. Потребление электроэнергии клиентами компании Washington Water Power за 1980—1991 гг. (приложение Minitab)Рис. 3.3. Потребление электроэнергии клиентами компании Washington Water Power за 1980—1991 гг. (приложение Minitab)

Рис. 3.3. Потребление электроэнергии клиентами компании Washington Water Power за 1980—1991 гг. (приложение Minitab)

Рис. 3.3. Потребление электроэнергии клиентами компании Washington Water Power за 1980—1991 гг. (приложение Minitab)

Если на данные наблюдений влияют сезонные факторы, то в них проявляется сезонная модель поведения. Сезонной компонентой называют периодические изменения в данных, единообразно повторяющиеся из года в год. Для ежемесячных рядов сезонная компонента отражает изменчивость значений ряда в каждом январе, каждом феврале ит.д. Для ежеквартальных рядов существует четыре сезонных элемента: по одному для каждого квартала. На рис. 3.3

легко заметить тот факт, что потребление электроэнергии (Kilowatts) клиентами компании Washington Water Power выше всего в первом квартале (зимние месяцы) каждого года (Year). Из рис. 3.14 (см. ниже) следует, что ежеквартальный объем продаж компании Outboard Marine, как правило, ниже всего в первом квартале каждого года. На сезонную изменчивость могут влиять погодные условия, праздники или календарная длина отдельных месяцев.

Сезонной компонентой называется модель изменений, повторяющаяся из года в год.

Исследование данных с помощью автокорреляционного анализа

Если изменение величины наблюдается во времени, то часто наблюдения в различные промежутки времени оказываются взаимосвязанными, или коррелированными. Эта корреляция измеряется с помощью коэффициента автокорреляции.

Автокорреляцией называется корреляция между величиной и ее запаздыванием в один или более периодов времени.

С помощью механизма автокорреляции могут изучаться наборы данных, включающие тренд и сезонность. Коэффициенты автокорреляции для различных значений запаздывания величин во времени используются для отождествления моделей поведения данных, присутствующих во временных рядах.

Понятие автокорреляции иллюстрируется данными, представленными в табл. 3.1. Отметим, что величины 匕一】и 匕一2 представляют значения величины У с запаздыванием на один и два периода времени. Значения для марта, представленные в строке периода времени 3, отражают объем продаж видеомагнитофонов в марте (匕一】二 125), феврале (Yt^ = 130) и январе (｝；_2= 123).

Таблица 3.1. Данные о продаже видеомагнитофонов из примера 3.1

Время, t

Месяц

Исходные данные, %

У с запаздыванием на один период, %_[

У с запаздыванием на два периода, Yt 2

1

Январь

123 —

2

Февраль

130

123

3

Март

125

130

'；123

4

Апрель

138

125

130

5

Май

145

138

125

6

Июнь

142

145

138

7

Июль

141

142

145

8

Август

146

141

142

9

Сентябрь

147

146

141

10

Октябрь

157

147

146

11

Ноябрь

150

157

147

12

Декабрь

160

150

157

Уравнение 3.1 представляет собой формулу для вычисления коэффициента автокорреляции гк с запаздыванием на к моментов наблюдения, т.е. между наблюдениями 匕 н 匕_ 左,которые отстоят друг от друга на к периодов.

(2)

尸= (3.1)

2(Т

где

〃 - коэффициент автокорреляции для запаздывания на к периодов;

У - среднее значение ряда;

匕 - наблюдение в момент времени /;

匕т - наблюдение на к периодов ранее, т.е. в момент времени / - к.

Пример34

工 0, 572工 0, 57214741474Гарри Вернон (Harry Vernon) собрал данные о числе продаж видеомагнитофонов в магазине Vernon's Music Store за последний год. Данные представлены в табл. 3.1. В табл. 3.2 приведены результаты, полученные при вычислении коэффициента автокорреляции с запаздыванием на один период. На рис. 3.4 показана диаграмма рассеяния пар наблюдений (匕一卜 匕).Из диаграммы вполне очевидно, что корреляция с запаздыванием на один период будет положительной.

工 0, 572

工 0, 572

1474

1474

Таблица 3.2. Вычисление коэффициента автокорреляции с запаздыванием на один период для данных, представленных в табл. 3.1

Время, /

Yt

—

(匕T - D

（匕一斤

（匕一f）（匕T-D

1

123

-19

361

2

130

123

-12

-19

144

228

3

125

130

-17

Т2

289

204

4

138

125

-4

-17

16

68

5

145

138

3

-4

9

-12

6

142

145

0

3

0

0

7

141

142

-1

0

1

0

8

146

141

4

-1

15

-4

9

147

146

5

4

25

20

10

157

147

15

5

225

75

11

150

157

8

15

64

120

12

160

150

18

8

324

144

Сумма

1 704

0

1 474

843

1704

У =

:=142

12

口 二

160160150150>Г 140>Г 140130130120120150150120120130130160160Рис. 34 Диаграмма рассеяния для данных по магазину Vernon's Music Store (приложение Minitab)Рис. 34 Диаграмма рассеяния для данных по магазину Vernon's Music Store (приложение Minitab)14031403

160

160

150

150

>Г 140

>Г 140

130

130

120

120

150

150

120

120

130

130

160

160

Рис. 34 Диаграмма рассеяния для данных по магазину Vernon's Music Store (приложение Minitab)

Рис. 34 Диаграмма рассеяния для данных по магазину Vernon's Music Store (приложение Minitab)

140

3

140

3

Коэффициент автокорреляции с запаздыванием на один период (г), или корреляция между 匕 и 匕г, вычисляется на основании сумм из табл. 3.2 по уравнению 3.1. Таким образом, получим следующее.

n-1^,

2(工产)г=1

843 с

4== 0,572

1474

Как свидетельствует диаграмма на рис. 3.4, для этого временного ряда существует положительная автокорреляция с отставанием на один период. Корреляция между величинами 匕 и 匕 или автокорреляция с отставанием на один период, равна 0,572. Это означает, что объемы последовательных ежемесячных продаж видеомагнитофонов каким-то образом коррелированы друг с другом. Эта информация может способствовать пониманию Гарри особенностей данного временного ряда и помочь ему подготовиться к использованию улучшенных методов прогнозирования, а также может предостеречь его от применения регрессионного анализа к этим данным. Все упомянутые здесь идеи будут подробно обсуждаться в последующих главах.

Коэффициент автокорреляции второго порядка (г2), или коэффициент корреляции между Yt и К一2，ДЛ乂 данных Гарри также вычисляется по уравнению 3.1.

682 Л =0,463 1474682 Л =0,463 14742日一可3-p)

682 Л =0,463 1474

682 Л =0,463 1474

2支(х孑)2/=1

Оказывается, что для этого временного ряда существует умеренная автокорреляция с запаздыванием на два периода. Корреляция между величинами Y( и У,_2, или автокорреляция с запаздыванием на два периода, равна 0,463. Отметим, что коэффициент автокорреляции с запаздыванием на два периода (0,463) меньше коэффициента автокорреляции с запаздыванием на один период (0,572). Вообще говоря, с увеличением периода запаздывания к величина коэффициента автокорреляции убывает.

На рис. 3.5 показан график автокорреляции в зависимости от времени запаздывания для данных Гарри Вернона, использованных в примере 3.1. Горизонтальная шкала внизу изображает интересующие нас периоды запаздывания (1,2, 3 и т.д.)- Вертикальная шкала слева изображает возможный интервал для коэффициента автокорреляции от -1 до +1. Горизонтальная линия, проходящая посередине графика, представляет автокорреляцию, равную нулю. Вертикальная линия, проходящая вверх через точку, обозначающую запаздывание на один период, изображает коэффициент корреляции 0,57, т.е. г｝二 0,57. Вертикальная линия, проходящая вверх через точку, обозначающую запаздывание на два периода, изображает коэффициент корреляции, равный 0,46, т.е. г2 = 0,46. Пунктирные линии и статистики Т и LBQ будут объяснены в примере 3.2. Модели поведения, просматривающиеся на коррелограмме, используются для того, чтобы проанализировать ключевые особенности данных. Эти понятия будут рассмотрены в следующем разделе. Пакет статистических программ Minitab для персональных компьютеров (конкретные инструкции по работе с ним можно найти в разделе ''Применение Minitab,5 в конце главы) может использоваться для вычисления коэффициентов автокорреляции и построения коррелограмм.

Рис. 3.5. Автокорреляционная функция для данных, использованных в примере 3 7

Коррелограммой, или автокорреляционной функцией, является график коэффициентов автокорреляции для различных запаздываний во времени для заданного временного ряда.

Используя представления, подобные приведенному на рис. 3.5, можно с помощью автокорреляционного анализа изучать наборы данных, включающие тренд и сезонные колебания. Коэффициент автокорреляции для различных запаздываний величины во времени может использоваться для получения ответа на следующие вопросы о наборе данных, являющихся временным рядом.

Являются ли данные случайными

Имеют ли данные тренд (нестационарность)

Являются ли данные стационарными

Имеют ли данные сезонные колебания

Если ряд данных случаен, коэффициенты автокорреляции между 匕 и 匕一# для любого запаздывания близки к нулю. Последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом.

Если у ряда существует тренд, значения 匕 и 匕_】имеют сильную корреляцию, причем коэффициенты автокорреляции существенно отличны от нуля для первых нескольких периодов запаздывания, а с увеличением периода постепенно убывают до нуля. Коэффициент автокорреляции для времени запаздывания, равного одного периоду, часто очень велик (близок к 1). Коэффициент автокорреляции для времени запаздывания, равного двум периодам, также будет большим. Однако он не будет таким большим, как для времени запаздывания в один период.

Если ряд имеет сезонную компоненту, значительный коэффициент автокорреляции будет наблюдаться для периодов запаздывания, равных сезонному периоду или кратных ему. Сезонный период запаздывания равен4 для ежеквартальных данных и 12— для ежемесячных данных.

Как аналитик может определить, существенно ли отличается от нуля коэффициент автокорреляции для данных, приведенных в табл. 3.1? Кэнуй (Quenouille) в 1949 году показал, что коэффициент автокорреляции случайных данных имеет выборочное распределение, которое может быть аппроксимировано нормальной кривой со средним, равным 0, и среднеквадратическим отклонением 1/« . Зная это, аналитик может сравнить выборочные коэффициенты автокорреляции с этим теоретическим выборочным распределением и определить для заданных периодов отставания, взяты ли эти значения из генеральной совокупности, среднее значение которой равно нулю.

В действительности, как показано в уравнении 3.2, некоторые пакеты прикладных программ используют несколько отличную формулу для вычисления стандартных ошибок автокорреляционной функции. В этой формуле предполагается, что любая автокорреляция для запаздывания, меньшего к(к> /), отлична от нуля, а любая автокорреляция для запаздывания, большего или равного к, равна нулю. Для автокорреляции, соответствующей запаздыванию в один период, используется стандартная ошибка 1/«.

где

SE(rk) - стандартная ошибка автокорреляции с запаздыванием %;

К, - автокорреляция с запаздыванием i;

к - время запаздывания;

я - количество наблюдений во временном ряде.

Эти вычисления будут продемонстрированы в примере 3.2. Если ряд действительно случаен, практически все коэффициенты автокорреляции должны находиться внутри интервала, содержащего нуль, плюс или минус определенное число стандартных ошибок. При определенном уровне значимости ряд может считаться случайным, если вычисленные коэффициенты автокорреляции находятся внутри интервала, ограниченного выражениями [0 ± / §&>>)]•

Вместо проверки всех значений 〃 по одному, существует иной подход, состоящий в проверке всего множества значений 勺 одновременно. Для того чтобы определить, значительно ли отличаются, скажем, первых десять значений п от множества, в котором все десять равны 0, можно использовать искусственный тест.

Одним из таких общих критериев является использование модифицированной Q- статистики Бокса-Пирса (Box, Pierce) (уравнение 3.3), предложенное Льюнгом (Ljung) и Боксом. Этот критерий, как правило, применяется к ошибкам модели прогноза. Если автокорреляции вычисляются из случайного процесса (белого шума), g-статистика имеет ^-распределение с т степенями свободы (т — число запаздываний, для которого выполняется проверка). Для ошибок модели прогноза g-статистика имеет ^-распределение с числом степеней свободы, равным т, минус число оцениваемых в модели параметров. Чтобы проверить, является ли значение g-статистики значимым, можно сравнить его со значениями ^-распределения, приведенными в таблице (табл. В.4). g-статистика, определенная уравнением 3.3, будет рассмотрена в примере 3.3.

"2

Q=n(n + 2)^-^- ,(3.3)

где

я- число наблюдений во временном ряде;

к- время запаздывания;

/и - число запаздываний во времени, для которого проводится тестирование;

гк - выборочная функция автокорреляции ошибок для запаздывания на к периодов.

Являются ли данные случайными

Уравнение 3.4 представляет собой простую случайную модель, часто называемую моделью белого шума. Наблюдение 匕 состоит из двух частей: с —— общий уровень и £,— компонента, представляющая собой случайную ошибку. Важно отметить, что компонента & некоррелирована от периода к периоду.

匕二с + &(3.4)

Согласуются ли данные в табл. 3.1 с этой моделью? Этот вопрос будет исследован в примере 3.2.

Пример 32

Существует определенный критерий, разработанный для проверки гипотезы о том, является ли частный коэффициент автокорреляции существенно отличным от нуля для изображенной на рис. 3.5 коррелограммы. Приведены нулевая и альтернативная гипотезы проверки значимости коэффициента автокорреляции с запаздыванием на один период для генеральной совокупности.

/То： pi =0〃1： pi 壬 0

(3.5)(3.5)Для проверки нулевой гипотезы может быть использована /-статистика, определенная уравнением 3.5.

(3.5)

(3.5)

SE(〃)

Далее приведено правило принятия решения с уровнем значимости, равным 0,05, для данных о продажах видеомагнитофонов.

Правило принятия решения. Если / < -2,2 или г > 2,2, гипотезу HQ отвергаем. Здесь критические значения ±2,2 являются верхней и нижней точками, соответствующими значению /-распределения, равного 0,025, с я - 1 (т.е. 11-ю) степенями свободы. Стандартная ошибка равна следующему.

SE&) = J—=血苑=0,2887

/-статистика равна следующему.

Поскольку —2,2 < 1,98 < 2,2, то мы совершим ошибку, если откажемся от нулевой гипотезы. Поэтому заключаем, что коэффициент автокорреляции для запаздывания на один период не является существенно отличным от нуля.

Критерий для запаздывания, равного двум периодам, имеет следующий вид.

%： р2 = °

"1： pi ^0

Используя уравнение 3.2, получим следующее.

SE(幻SE(幻1+2(0,572)212 Г1+2(0,572)212 Г=J*” = J。, 138 = 0,371=J*” = J。, 138 = 0,371

SE(幻

SE(幻

1+2(0,572)2

12 Г

1+2(0,572)2

12 Г

=J*” = J。, 138 = 0,371

=J*” = J。, 138 = 0,371

/-статистика равна следующему.

SE(幻 0,371

Так как -2,2 < 1,25 < 2,2, то мы совершим ошибку, если откажемся от нулевой гипотезы, поэтому делаем вывод, что коэффициент автокорреляции для запаздывания, равного двум периодам, не является существенно отличным от нуля.

Более быстрый способ протестировать коэффициенты автокорреляции состоит в сравнении их с пределами доверительного интервала, соответствующими уровню значимости в 95% (рис. 3.4). Пределы доверительного интервала для запаздывания на один период равны следующему.

Верхний предел =而975 х SE(〃)= 2,2 х 0,28 87 = 0,63 5

Нижний предел = /0,025х SE&J = -2,2 х 0,2887 = -0,635

Пределы доверительного интервала для запаздывания на два периода равны следующему.

Верхний предел = /0,975 х SE(r2) = 2,2 х 0,371 =0,816Нижний предел = Го,о25 х SE(r2) = -2,2 х 0,371 = -0,635

Как только коэффициент автокорреляции оказывается вне доверительного интервала, нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента автокорреляции отвергается.

Пример 3.3

С помощью приложения Minitab сформирован временной ряд из 40 псевдо-случайных чисел, имеющих размерность три разряда (табл. 3.3). На рис. 3.6 изображен график указанного временного ряда. Поскольку эти данные случайны, теоретически автокорреляции для всех значений запаздывания должны быть равны нулю. Конечно, 40 значений в табл. 3.3 — это только одно множество из большого числа всех возможных выборок объемом 40 чисел. Каждая выборка будет давать разные автокорреляции. Большинство же из этих выборок будет давать выборочный коэффициент автокорреляции, близкий к нулю. Однако вполне возможен и такой вариант, когда выборка чисто случайно даст коэффициент автокорреляции, существенно отличный от нуля.

Таблица 3.3. Временной ряд из 40 случайных чисел для примера 3.3

匕

/

匕

工

匕

t

匕

1

343

И

946

21

704

31

555

2

574

12

142

22

291

32

476

3

879

13

477

23

43

33

612

4

728

14

452

24

118

34

574

5

37

15

727

25

682

35

518

6

227

16

147

26

577

36

296

7

613

17

199

27

834

37

970

8

157

18

744

28

981

38

204

9

571

19

627

29

263

39

616

10

72

20

122

30

424

40

97

Затем с помощью приложения Minitab строится коррелограмма, изображенная на рис. 3.7. Обратите внимание на то, что две пунктирные линии на ней изображают доверительный интервал уровня значимости в 95%. Исследованы 10 запаздываний, и все отдельные коэффициенты автокорреляции лежат внутри соответствующих пределов. Отсюда следует, что нет причины сомневаться в том, что автокорреляции для первых 10 запаздываний одновременно равны нулю. Более того, g-статистика для 10 запаздываний равна 7,75, что меньше 片-значения 18,3 (полученного с уровнем значимости 0,05). Аналитик может сделать заключение, что этот ряд случаен.

Рис. 3.6. График временного ряда из случайных чисел, описанный е примере 3.3Рис. 3.6. График временного ряда из случайных чисел, описанный е примере 3.3Autocorrelation Function for КAutocorrelation Function for КCorrT-0.19-1.21-0.01-0.04-0.15-0.890.100.63-0.25-1.500,030.160.170.95CorrT-0.19-1.21-0.01-0.04-0.15-0.890.100.63-0.25-1.500,030.160.170.959123456791234567Q 7834375BR^R^^n-л л A^ L 1-L2-0^R^A^7^Q 7834375BR^R^^n-л л A^ L 1-L2-0^R^A^7^CorrTLBQ-0.03-0.157.67-0.03-0.187.730.020.127.75CorrTLBQ-0.03-0.157.67-0.03-0.187.730.020.127.75g 890g 890

Рис. 3.6. График временного ряда из случайных чисел, описанный е примере 3.3

Рис. 3.6. График временного ряда из случайных чисел, описанный е примере 3.3

Autocorrelation Function for К

Autocorrelation Function for К

Corr

T

-0.19

-1.21

-0.01

-0.04

-0.15

-0.89

0.10

0.63

-0.25

-1.50

0,03

0.16

0.17

0.95

Corr

T

-0.19

-1.21

-0.01

-0.04

-0.15

-0.89

0.10

0.63

-0.25

-1.50

0,03

0.16

0.17

0.95

91234567

91234567

Q 7834375

BR^R^^n-л л A^ L 1-L2-0^R^A^7^

Q 7834375

BR^R^^n-л л A^ L 1-L2-0^R^A^7^

Corr

T

LBQ

-0.03

-0.15

7.67

-0.03

-0.18

7.73

0.02

0.12

7.75

Corr

T

LBQ

-0.03

-0.15

7.67

-0.03

-0.18

7.73

0.02

0.12

7.75

g 890

g 890

Рис. J. 7. Автокорреляционная функция для данных, использованных 6 примере 3.3 (приложение Minitab)

Имеют ди данные тренд

Если ряд имеет тренд, то существует значительная взаимосвязь между последовательными значениями этого временного ряда. В этом случае для коэффициентов автокорреляции типично, что они вначале являются большими для запаздываний в несколько первых периодов, а затем, с увеличением периода запаздывания, постепенно убывают к нулю.

Стационарным временным рядом является ряд, для которого основные статистические характеристики, такие как среднее значение и дисперсия, являются постоянными во времени. Следовательно, стационарным будет тот временной ряд, значения которого с течением времени колеблются вокруг фиксированного уровня, не возрастая и не убывая. Считается, что ряд, имеющий тренд, не является стационарным. Коэффициенты автокорреляции стационарного ряда убывают до нуля достаточно быстро —— в общем случае, уже для запаздывания на два или три периода. С другой стороны, для нестационарного ряда выборочные автокорреляции остаются достаточно большими и для запаздываний в несколько периодов. Часто для того, чтобы проанализировать нестационарный ряд, из него удаляется тренд и лишь затем выполняется дальнейшее моделирование. Процедуры, использующие этот подход, описываются в главе 9.

ff<j3 8ff<j3 8ггСтационарным рядом называется ряд, основные статистические характеристики которого, такие как среднее значение и дисперсия, остаются постоянными во времени.

ff<j3 8

ff<j3 8

г

г

M&te 睞 ^ insert f^ afe覇U 蹲№ к傩i睁 ，盘圍X

:身僅直盲 &F ； ^至逗^、二「露名】 風2J ：血席飞%二而;

' ■ ，в E U П：弩至盯出%, X 二营ь.-> -a -,

2 ■Yt

3，123

7]130

一128

7?良 g10'!712一,3u,s1s好值7?良 g10'!712一,3u,s1s好值136i

7?良 g10'!712一,3u,s1s好值

7?良 g10'!712一,3u,s1s好值

1心 142； 14 r

q иг汙又5“：4ДМq иг汙又5“：4ДМ14以 147： 157； 150： 130；

q иг

汙又5“：4ДМ

q иг

汙又5“：4ДМ

к ・，川、h”“，'，力cn/xi'/卜；

靈5^4 j号 史 吁1g)X6g邮 同片蒞

Рис. 3.8. Рабочий лист Excel с расчетом разностей для данных из примера 3 7

Дия удаления из нестационарного ряда тренда используется метод образования разностей.

Данные о продаже видеомагнитофонов, первоначально представленные в табл. 3.1, вновь показаны на рис. 3.8 в столбце А. Значения У с запаздыванием на один период приведены в столбце В. Разности, в которых из первоначальных значений Y( вычитаются значения У с запаздыванием на один период, Yt^}, представлены в столбце С. Например,

первое значение разностей есть У^ - У| = 130 - 123 = 7. Обратите внимание на возрастание значений или тренд в данных о продажах видеомагнитофонов, представленных на диаграмме А (рис. 3.9). Сравните со стационарной моделью, образованной разностями этих данных, показанными на диаграмме Б. Можно сделать вывод, что образование разностей данных позволило устранить из них тренд.

Диаграмма А

160 -

150 -

U 140 -

130 -

120 -

IIIIII

24681012

Месяцы

Диаграмма Б

10 -10 -0 -0 -2210121012468

10 -

10 -

0 -

0 -

2

2

1012

1012

Месяцы

Рис. 3.9. Графики временных рядов для данных о продажах видеомагнитофонов и образованных для них разностей

Пример 3.4

Мэгги Тримэйн (Maggie Trymane), аналитику компании Sears, было поручено спрогнозировать доход от основной деятельности компании на 1998 год. Она собрала данные о доходах компании с 1955 по 1997 гг., которые приведены в табл. 3.4. Временной ряд этих данных графически представлен на рис. 3.10. Сначала Мэгги вычислила доверительный интервал с уровнем значимости в 95% для коэффициента корреляции с запаздыванием на один период, используя。土 Z (1/4), где для больших выборок точка 0,025 стандартного нормального распределения заменена точкой, выражающей процентное соотношение для /-распределения.

。±L喂

О ± 0,299

Таблица 3.4. Ежегодный доход от основной деятельности компании Sears Roebuck &Со. за 1955-1997 гг.

Год

匕

ГодК,

Год

匕

Год

匕

1955

3 307

1966

6 769

1977

17 224

1988

50 251

1956

3 556

1967

7 296

1978

17 946

1989

53 794

1957

3 601

1968

8 178

1979

17514

1990

55 972

1958

3 721

1969

8 844

1980

25 195

1991

57 242

1959

4 036

1970

9 251

1981

27 357

1992

52 345

1960

4 134

1971

10 006

1982

30 020

1993

50 838

1961

4 268

1972

10 991

1983

35 883

1994

54 559

1962

4 578

1973

12 306

1984

38 828

1995

34 925

1963

5 093

1974

13 101

1985

40 715

1996

38 236

1964

5 716

1975

13 639

1986

44 282

1997

41 296

1965

6 357

1976

14 950

1987

48 440

Затем Мэгги ввела эти данные в приложение Minitab и получила коррелограмму, показанную на рис. 3.11. В результате проведенных исследований она обнаружила, что автокорреляции для первых трех времен запаздывания вначале значительно отличаются от нуля (0,95; 0,91 и 0,87), а затем их значения постепенно убывают к нулю. В качестве дополнительной проверки Мэгги изучила g-статистику для 10 времен запаздывания. Коэффициент LBQ равен 236,12, что превышает %2-значение, равное 18,3 (оно получено с уровнем значимости 0,05). Мэгги пришла к выводу, что данные имеют значительную автокорреляцию для первых нескольких запаздываний во времени и, следовательно, демонстрируют заметный тренд.

фзсф>ф^ Buna^doфзсф>ф^ Buna^doSears Operating Revenue: 1955-1997

фзсф>ф^ Buna^do

фзсф>ф^ Buna^do

60000 -

50000 -

40000 一

30000 -

20000 一

10000 -10000 -0 一0 一1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995\ёаг

10000 -

10000 -

0 一

0 一

со-^«-о^^ооо^<со-^«-о^^ооо^<п^0^а^л2-п^2-ла^0^п^ kn^n^n^n^n^n^n^n^n^L _____п^0^а^л2-п^2-ла^0^п^ kn^n^n^n^n^n^n^n^n^L _____234567234567CorrТLBQ0.956.2641.960.913.5781.440.872.70118.380.792.12149.690.721.74175.790.631.44196.610.541.18212.76CorrТLBQ0.956.2641.960.913.5781.440.872.70118.380.792.12149.690.721.74175.790.631.44196.610.541.18212.769 8909 890ОГГ453628c n^n^n^ОГГ453628c n^n^n^т 55797-5т 55797-5LBQ 224.06 231.55 236.12LBQ 224.06 231.55 236.12Рис. 3.11. Функция автокорреляции для данных。доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)Рис. 3.11. Функция автокорреляции для данных。доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)Рис, 3.70. График временного ряда ежегодного дохода от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

со-^«-о^^ооо^<

со-^«-о^^ооо^<

п^0^а^л2-п^2-ла^0^п^ kn^n^n^n^n^n^n^n^n^L _____

п^0^а^л2-п^2-ла^0^п^ kn^n^n^n^n^n^n^n^n^L _____

234567

234567

Corr

Т

LBQ

0.95

6.26

41.96

0.91

3.57

81.44

0.87

2.70

118.38

0.79

2.12

149.69

0.72

1.74

175.79

0.63

1.44

196.61

0.54

1.18

212.76

Corr

Т

LBQ

0.95

6.26

41.96

0.91

3.57

81.44

0.87

2.70

118.38

0.79

2.12

149.69

0.72

1.74

175.79

0.63

1.44

196.61

0.54

1.18

212.76

9 890

9 890

ОГГ453628c n^n^n^

ОГГ453628c n^n^n^

т 55797-5

т 55797-5

LBQ 224.06 231.55 236.12

LBQ 224.06 231.55 236.12

Рис. 3.11. Функция автокорреляции для данных。доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

Рис. 3.11. Функция автокорреляции для данных。доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

еSеSg ing inе'а р①。uai①~ае'а р①。uai①~а-20000 --20000 -196019601970197019901990О -О --10000 --10000 -1980Vear1980VearРис. 3.72 График временного ряда первых разностей, образованных для данных о доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)Рис. 3.72 График временного ряда первых разностей, образованных для данных о доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)п^0^А^Д2-п^2-ЛА^0^п^1П^П^П^П^П^ОП^ОО1二二一 uowauooolzп^0^А^Д2-п^2-ЛА^0^п^1П^П^П^П^П^ОП^ОО1二二一 uowauooolzТ2Т2тзтзТ4Т4Т5Т5ТбТбТ7Т7Т8Т8T9T9ооggттQLBQLB-0.08-0.540.060.360.301.950.020.12-0.04-0.24-0.04-0.250.040.26-0.08-0.540.060.360.301.950.020.12-0.04-0.24-0.04-0.250.040.26Q1657555 в3 4-88 9-°JL ^^А^Л^Л^^^ тQ1657555 в3 4-88 9-°JL ^^А^Л^Л^^^ т9123456791234567890890-0.09 -0.53-0.09 -0.52-0.02 -0.13-0.09 -0.53-0.09 -0.52-0.02 -0.13047-6-0-0047-6-0-0

е

S

е

S

g in

g in

е'а р①。uai①~а

е'а р①。uai①~а

-20000 -

-20000 -

1960

1960

1970

1970

1990

1990

О -

О -

-10000 -

-10000 -

1980

Vear

1980

Vear

Рис. 3.72 График временного ряда первых разностей, образованных для данных о доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

Рис. 3.72 График временного ряда первых разностей, образованных для данных о доходах от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

п^0^А^Д2-п^2-ЛА^0^п^

1П^П^П^П^П^ОП^ОО1

二二一 uowauooolz

п^0^А^Д2-п^2-ЛА^0^п^

1П^П^П^П^П^ОП^ОО1

二二一 uowauooolz

Т2

Т2

тз

тз

Т4

Т4

Т5

Т5

Тб

Тб

Т7

Т7

Т8

Т8

T9

T9

о

о

g

g

т

т

Q

LB

Q

LB

-0.08

-0.54

0.06

0.36

0.30

1.95

0.02

0.12

-0.04

-0.24

-0.04

-0.25

0.04

0.26

-0.08

-0.54

0.06

0.36

0.30

1.95

0.02

0.12

-0.04

-0.24

-0.04

-0.25

0.04

0.26

Q1657555 в3 4-88 9-°J

L ^^А^Л^Л^^^ т

Q1657555 в3 4-88 9-°J

L ^^А^Л^Л^^^ т

91234567

91234567

890

890

-0.09 -0.53

-0.09 -0.52

-0.02 -0.13

-0.09 -0.53

-0.09 -0.52

-0.02 -0.13

047

-6-0-0

047

-6-0-0

Рис. 3.73 Автокорреляционная функция ряда первых разностей, образованных для данных。ежегодном доходе от основной деятельности компании Sears (приложение Minitab)

Мэгги решила, что для устранения тренда и получения стационарного ряда необходимо образовать ряд, составленный из разностей. Сначала она получила разности на основе имеющихся данных (см. раздел ^Применение Minitab” в конце этой главы). Графическое представление этих данных показано на рис. 3.12. Ряд, образованный из разностей, не демонстрирует наличие тренда. Затем Мэгги построила коррелограмму, изображенную на рис. 3.13. Она обратила внимание на то, что для запаздывания, равного трем периодам, коэффициент автокорреляции 0,30 значительно отличается от нуля (при тестировании с уровнем значимости 0,05), тогда как автокорреляции для запаздываний, отличающихся от 3, малы. В результате Мэгги пришла к заключению, что для выявления присутствующей в этих данных модели изменения придется обратиться к более сложным методикам анализа, описанным ниже, в главе 9.

Являются ли данные сезонными

Если ряд является сезонным, модель, связанная с календарными изменениями, повторяется в течение всего временного интервала (обычно это год). Наблюдения в одном и том же моменте разных сезонных периодов имеют тенденцию к зависимости. Если наблюдаются ежеквартальные данные с сезонной моделью, значения для первых кварталов имеют тенденцию быть похожими, значения для вторых кварталов также имеют тенденцию быть похожими и т.д. При этом значительный коэффициент автокорреляции будет обнаружен для запаздывания на четыре периода. Если анализируются ежемесячные данные, значительный коэффициент автокорреляции появится при временном запаздывании 12, т.е. каждый январь будет коррелирован с другими январями, каждый февраль будет коррелирован с другими февралями и т.д. Ряд, характеризующийся сезонной моделью изменений, расематривается в примере 35

Пример 3.5

Перкин Кендэлл (Perkin Kendell) — аналитик корпорации Outboard Marine. Он всегда предполагал, что объемы продаж в компании носят сезонный характер. Перкин собрал данные о еже квартал ьных продажах Outboard Marine Corporation с 1984 по 1996 гг., приведенные в табл. 3.5 и представленные в виде графика на рис. 3.14. Затем он вычислил для большой выборки доверительный интервал уровня значимости в 95% для коэффициента автокорреляции с запаздыванием в один период.

。±1，96 括

0 ± 0,272

После этого Перкин вычислил коэффициенты автокорреляции, приведенные на рис. 3.15. Он обнаружил, что коэффициенты автокорреляции для запаздываний в 1 и 4 периода существенно отличны от нуля (门二 0,39 > 0,272 иг4 = 0,74 > 0,333). В результате Перкин пришел к заключению, что продажи корпорации Outboard Marine носят ярко выраженный ежеквартальный сезонный характер.

Таблица 3.5. Ежеквартальный объем продаж в корпорации Outboard Marine за 1984-1996 гг.

Финансовый год31 декабря

31 марта30 июня30 сентября

1984147,6

1985139,3

251,8273,1249,1

221,2260,2259,5

Окончание табл. 3.5

Финансовый год

31 декабря

31 марта

30 июня

30 сентября

1986

140,5

245,5

298,8

287,0

1987

168,8

322,6

393,55

404,3

1988

259,7

401,1

464,6

479,7

1989

264,4

402,6

411,3

385,9

1990

232,7

309,2

310,7

293,0

1991

205,1

234,4

285,4

258,7

1992

193,2

263,7

292,5

315,2

1993

178,3

274,5

295,4

286,4

1994

190,8

263,5

318,8

305,5

1995

242,6

318,8

329,6

338,2

1996

232,1

285,6

291,0

281,4

Источник : “The Value Line Investment Surveyл (New York: Value Line, 1988, 1992, 1996), cJ773.

Quarterly Sales for Outboard Marine: 1984-1996

500 一500 一100 -100 -198519851990199019951995Рис. 3.14. График временного ряда объема ежеквартальных продаж 6 корпорации Outboard Marine (приложение Minitab)Рис. 3.14. График временного ряда объема ежеквартальных продаж 6 корпорации Outboard Marine (приложение Minitab)ООО ООО 4 3 2 (SPUBSnoql) SBS ^-^фглэоООО ООО 4 3 2 (SPUBSnoql) SBS ^-^фглэо

500 一

500 一

100 -

100 -

1985

1985

1990

1990

1995

1995

Рис. 3.14. График временного ряда объема ежеквартальных продаж 6 корпорации Outboard Marine (приложение Minitab)

Рис. 3.14. График временного ряда объема ежеквартальных продаж 6 корпорации Outboard Marine (приложение Minitab)

ООО ООО 4 3 2 (SPUBSnoql) SBS ^-^фглэо

ООО ООО 4 3 2 (SPUBSnoql) SBS ^-^фглэо

Autocorrelation Function for Outboard Marine Data

_____ uo&auooolnv_____ uo&auooolnvI 7I 722CorrТLBQ0.392.838.500.150.979.830.291.8214.770.744.3447.110.150.6748.47-0.15-0.6749.90-0.05-0.2150.04CorrТLBQ0.392.838.500.150.979.830.291.8214.770.744.3447.110.150.6748.47-0.15-0.6749.90-0.05-0.2150.0491234567912345679 8901239 890123Corr0.35-0.18-0.43-0.320.09-0.35Corr0.35-0.18-0.43-0.320.09-0.35Т LBQ1.51 57.72-0.76 59.90-1.80 72.53-1.23 79.330.35 79.91-1.34 88.90Т LBQ1.51 57.72-0.76 59.90-1.80 72.53-1.23 79.330.35 79.91-1.34 88.90

_____ uo&auooolnv

_____ uo&auooolnv

I 7

I 7

2

2

Corr

Т

LBQ

0.39

2.83

8.50

0.15

0.97

9.83

0.29

1.82

14.77

0.74

4.34

47.11

0.15

0.67

48.47

-0.15

-0.67

49.90

-0.05

-0.21

50.04

Corr

Т

LBQ

0.39

2.83

8.50

0.15

0.97

9.83

0.29

1.82

14.77

0.74

4.34

47.11

0.15

0.67

48.47

-0.15

-0.67

49.90

-0.05

-0.21

50.04

91234567

91234567

9 890123

9 890123

Corr

0.35

-0.18

-0.43

-0.32

0.09

-0.35

Corr

0.35

-0.18

-0.43

-0.32

0.09

-0.35

Т LBQ

1.51 57.72

-0.76 59.90

-1.80 72.53

-1.23 79.33

0.35 79.91

-1.34 88.90

Т LBQ

1.51 57.72

-0.76 59.90

-1.80 72.53

-1.23 79.33

0.35 79.91

-1.34 88.90

данных корпорацииданных корпорацииOutboard MarineOutboard MarineРис. 3.15. Функция автокорреляции для (приложение Minitab)

данных корпорации

данных корпорации

Outboard Marine

Outboard Marine

Выбор соответствующего метода прогнозирования

Этот раздел, в основном, посвящен описанию различных методов прогнозирования. Прежде всего речь пойдет о важности выбора наиболее подходящего метода прогнозирования.

При выборе оптимального метода прогнозирования для конкретной задачи предварительно следует получить ответы на следующие вопросы.

Почему появилась потребность в создании прогноза?

Кто будет использовать прогноз?

Каковы характеристики имеющихся данных?

На какой период следует делать прогноз?

Каковы минимальные требования к данным?

Какая точность необходима?

Какова стоимость прогноза?

Тот, кто будет составлять прогноз, для правильного выбора метода прогнозирования должен уметь делать следующее.

Определять природу прогнозируемых показателей.

Определять природу изучаемых данных.

Представлять возможности и знать ограничения потенциально полезной техники прогнозирования.

Вырабатывать некоторые предопределенные критерии, на основании которых может быть сделан выбор.

Основным фактором, влияющим на выбор метода прогнозирования, является идентификация и четкое понимание реальных моделей, присутствующих в данных. Если в них удастся распознать тренд, циклическую или сезонную модель, это существенно облепит поиск эффективного метода экстраполирования.

Аппарат прогнозирования для стационарных данных

Ранее стационарный ряд был определен как ряд, среднее значение которого не изменяется с течением времени. Подобная ситуация возникает в том случае, когда внешние воздействия на значения ряда являются относительно постоянными. Прогнозирование стационарного ряда в своей простейшей форме включает в себя использование его предыстории для оценки среднего значения, которое затем становится прогнозом на будущие периоды. Более сложная техника состоит в уточнении оценки с использованием вновь поступившей информации. Эти методы полезны, когда начальные оценки ненадежны или когда постоянство среднего значения под вопросом. К тому же своевременная смена метода прогнозирования может представлять собой реакцию на изменения в основной структуре ряда.

Стационарные методы прогнозирования используются в следующих случаях.

Воздействия, порождающие ряд, стабилизировались, и окружающая среда, в которой ряд существует, относительно неизменна. Примерами являются число поломок в неделю на сборочной линии, имеющей постоянную производительность; число продаж продукта или услуг на стадии насыщения их жизненного цикла; число продаж продукта при постоянном уровне усилий, прилагаемых к его сбыту.

В силу недостатка данных либо для упрощения объяснения или реализации прогноза необходимо использовать очень простую модель. Например, это ситуация, когда бизнес или организация являются новыми и доступная предыстория очень мала.

Стабильность может быть достигнута за счет простой корректировки таких факторов, как рост населения или инфляция. Примером является переход от общего дохода к доходу на душу населения или изменения объемов продаж из текущих долларов в неизменные.

Ряд можно преобразовать в стабильный. Примерами являются преобразования ряда с помощью логарифмов, квадратных корней или разностей.

Ряд представляет собой множество ошибок прогноза, полученных 6 результате применения метода прогнозирования, который может считаться неадекватным (см. пример 3.7).

Методы прогнозирования, которые могут применяться по отношению к стационарным рядам, включают в себя наивные методы, методы простого усреднения, скользящие средние, простое экспоненциальное сглаживание и методы авторегрессионого скользящего среднего (методы Бокса-Дженкинса).

Аппарат прогнозирования для данных, имеющих тренд

Ряд, обладающий трендом, ранее был определен как ряд, содержащий долгосрочную компоненту, которая отражает постоянное возрастание или убывание значений ряда в течение продолжительного периода времени. Другими словами, говорят, что ряд имеет тренд, если ожидается возрастание или убывание его среднего значения в течение того периода времени, для которого создается прогноз. Наличие тренда типично для временных рядов экономических показателей.

Методы прогнозирования для рядов, обладающих трендом, используются в следующих случаях.

Повышение производительности труда и применение новых технологий ведут к изменению стиля жизни. Примерами могут служить потребность в электронных компонентах, которая постоянно возрастает в результате продолжающегося распространения компьютеров, или же объем перевозок железнодорожного транспорта, уменьшающийся с ростом возможностей авиации.

Рост населения вызывает увеличение потребностей s товарах и услугах. Примерами являются ежегодные доходы от продажи товаров массового спроса, потребность в энергоснабжении или использование сырьевых ресурсов.

Покупательная способность доллара за счет инфляции оказывает влияние на общие экономические показатели. Примерами являются заработная плата, производственные расходы и цены.

Возрастает признание продукта на рынке. Примером может быть период роста в жизненном цикле нового продукта.

Аппарат прогнозирования, который должен использоваться для прогнозирования рядов, имеющих тренд, — это метод скользящих средних, метод линейного экспоненциального сглаживания Хольта (Holt), простая регрессия, возрастающие кривые, экспоненциальные модели и методы авторегрессионых интегрированных скользящих средних (методы Бокса—Дженкинса).

Аппарат прогнозирования для данных с сезонной компонентой

Сезонный ряд ранее был определен как временной ряд, описывающий изменения, которые повторяются из года в год. Разработка аппарата прогнозирования для сезонных рядов обычно включает выбор мультипликативного или аддитивного метода разложения с последующей оценкой сезонных элементов с помощью предыстории ряда. Полученные индексы затем используются для включения сезонности в прогнозы или исключения сезонных эффектов из наблюдаемых значений. Упомянутый процесс называется сезонной настройкой данных и обсуждается в главе 5.

Методы прогнозирования для сезонных данных используются в следующих случаях.

На изучаемую величину влияет погода. Примерами являются потребление электроэнергии, уровень летней и зимней активности (например, для такого вида спорта, как лыжный), одежда и сельскохозяйственные сезоны.

Рассматриваемая величина определяется годичным циклом. Примерами могут служить розничные продажи, на объем которых влияют ежегодные праздники, трехдневные уик-энды и школьные расписания.

Методы, которые следует использовать для прогнозирования сезонных рядов, включают классическое разложение, метод Census Х-12, экспоненциальное сглаживание Винтера (Winter), многомерную регрессию временного ряда и методы Бокса-Дженкинса.

Аппарат прогнозирования для циклических рядов

Циклический эффект описывался выше как волнообразные флуктуации вокруг линии тренда. Циклические модели имеют тенденцию к повторению шаблона поведения данных каждые два, три или более лет. Циклические компоненты трудно моделировать, так как они не являются устойчивыми. Волнообразные флуктуации вверх-вниз относительно тренда редко повторяются через фиксированные промежутки времени, и амплитуда флуктуаций также является изменчивой. Для анализа циклических данных можно использовать методы разложения (глава 5). Однако в силу нерегулярного поведения циклов анализ циклической компоненты ряда часто требует отыскания совпадающих или ведущих экономических показателей.

Методы прогнозирования для циклических данных используются в следующих случаях.

На интересующую нас величину влияет бизнес-цикл. Примерами являются экономические и рыночные показатели, а также уровень конкуренции.

Имеют место изменения в общественных вкусах. Примерами могут быть мода, музыка и продукты питания.

Возникают изменения 6 народонаселении. Примерами могут служить войны, голодовки, эпидемии и стихийные бедствия.

Происходят сдвиги в цикле производства продуктов потребления. Примерами являются введение продукта, рост и созревание спроса и насыщение рынка продуктом с последующим падением спроса.

Аппарат, который необходимо использовать для прогнозирования циклических рядов, включает классическое разложение, экономические индикаторы, эконометрические модели, многомерную регрессию и методы Бокса-Дженкинса.

Другие факторы, которые нужно учитывать при выборе метода прогнозирования

Непосредственное влияние на выбор метода прогнозирования оказывает установленный для прогноза временной горизонт. Для создания краткосрочных и средней длительности прогнозов может использоваться множество кол ичественных методов. Однако с расширением горизонта прогнозирования ряд этих методов становится все менее приемлемым. Например, скользящие средние, экспоненциальное сглаживание и модель AR1MA едва ли можно использовать для отыскания и предсказания важных изменений в экономике; для подобных целей более предпочтительными будут эконометрические модели. Регрессионные методы более подходят для короткого, среднего и длинного периодов. Средние, скользящие средние, классическое разложение и оценка тренда представляют собой ко-

личественные методы, применимые для коротких и средних временных промежутков. Более сложные методы Бокса-Дженкинса и эконометрическая модель также подходят для краткосрочных прогнозов и прогнозов средней длительности. Для более отдаленных временных горизонтов часто используются качественные методы (см. главу 10).

Применимость соответствующего аппарата прогнозирования, вообще говоря, представляет собой нечто, устанавливаемое в процессе практического применения. Менеджерам часто необходим прогноз на относительно короткий промежуток времени. В этой ситуации преимущества имеют методы экспоненциального сглаживания, оценки тренда, регрессионные модели и методы классического разложения (табл. 3.6).

,Таблица 3.6. Рекомендации по выбору метода прогнозирования

Минимальные требования к

данным

Метод

Модель

Временная

Тип модели

Несезонные

Сезонные

данных

отдаленность

Наивный

СТ, т, с

К

ВР

1

Простые средние

ст

К

ВР

30

Скользящие средние

ст

К

ВР

4-20

Экспоненциальное

ст

к

ВР

2

сглаживание

Линейное экспоненциаль-

т

к

ВР

3

ное сглаживание

Квадратичное экспоненци-

т

к

ВР

4

альное сглаживание

Сезонное экспоненциальное

с

к

ВР

2хс

сглаживание

Адаптивная фильтрация

с

к

ВР

5хс

Простая регрессия

т

с

к

10

Множественная регрессия

Ц,с

с

к

ЮхВ

Классическое разложение

с

к

ВР

5хс

Экспоненциальные

т

с,д

ВР

10

трендовые модели

Подгонка S-кривой

т

с,д

ВР

10

Модели Гом перца

т

с.д

ВР

10

Возрастающие кривые

т

с,д

ВР

10

"Г1 叩 епись-11”

с

к

ВР

бхс

Модели Бокса-Дженкинса

ст, т, ц, с

к

ВР

24

Зхс

Окончание табл. 3.6

Минимальные требованияк данным

Метод

Модель данных

Временная отдаленность

Тип модели

Несезонные

Сезонные

Ведущие индикаторы

ц

К

К

24

Эконометрические модели

ц

К

К

30

Многомерная регрессия

т,с

с,д

К

бхс

временного ряда

Модели данных: СТ — стационарные; Т — трендовые; С — сезонные; Ц — циклические.

Отдаленность прогноза во времени： К — краткий период (менее трех месяцев); С ——средний период;丄— большой период.

Тип модели: ВР — временной ряд; К — каузальная.

Сезонные: с — продолжительность сезонности.

Величина: В — количество величин.

Стоимость компьютерных расчетов уже не оказывает существенного влияния на выбор метода прогнозирования. Настольные компьютеры и пакеты прикладных программ для прогнозирования получили широкое распространение во многих организациях. В результате, другие критерии практически затмили стоимость применения компьютеров при прогнозировании.

В конечном итоге, прогноз будет представлен менеджерам или руководителям для утверждения и использования в процессе принятия решения. Следовательно, важнейшим условием прогнозирования является простота понимания и интерпретации результатов. В соответствии с этим критерием самой высокой оценки заслуживают регрессионные модели, метод оценки тренда, классическое разложение и методы экспоненциального сглаживания.

Эмпирическая оценка методов прогнозирования

Эмпирические исследования показали, что точность прогноза, выполненного простыми методами, практически так же хороша, как точность, полученная при использовании комплексной или статистически сложной методики. Результаты, полученные при проведении тестовых испытаний M3-IJF Competition, когда каждый из привлеченных экспертов использовал свою любимую методологию прогнозирования с целью получения прогнозов для 3 003 различных временных рядов, убедительно подтверждают это утверждение. Может показаться, что чем сложнее статистическая методика, тем она эффективнее при предсказании модели временных рядов. К сожалению, выбранная модель временного ряда часто может изменяться со временем и действительно изменяется. Таким образом, при использовании модели, которая наилучшим образом представляет уже существующие данные (мы думаем, что комплексные модели это делают хорошо), мы не получаем надежной гарантии большей точности будущих прогнозов. Конечно же, возможности создающего прогноз также играют важную роль в получении хорошего прогноза.

Тестовые испытания M3-IJF Competition были проведены в 1997 году. Прогнозы, полученные с помощью различных методов прогнозирования, были сопоставлены на выборке из 3 003 временных рядов с тем уровнем точности, который может быть достигнут за счет применения широкого набора различных показателей. Цель выполненных в 1997 году исследований состояла в проверке четырех основных заключений, сделанных в результате предыдущих испытаний M-Competition, на большем наборе данных. Макридакис и Гибок (2000) по результатам проведения второго испытания сделали следующие выводы.

Как и утверждалось ранее, статистически сложные или комплексные методы прогнозирования действительно не приводят в обязательном порядке к получению более точных прогнозов, чем более простые методы.

Разные показатели точности (MAD, MSE, МАРЕ), используемые для оценки различных методов прогнозирования, дают согласованные результаты.

Комбинирование результатов трех экспоненциальных сглаживающих методов превосходит, в среднем, отдельные комбинируемые методы и дает наилучший эффект в сравнении с другими методами.

Эффективность различных методов прогнозирования зависит от отдаленности прогноза во времени и типа (ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные) анализируемых данных. Одни методы дают большую точность для короткого промежутка времени, в то время как другие больше подходят для составления длительных прогнозов. Некоторые методы хорошо работают с ежегодными данными, а другие более эффективны для ежеквартальных и ежемесячных данных.

По завершении исследования необходимо проверить, насколько каждый метод надежен и применим к рассматриваемой проблеме. Кроме того, нужно оценить его стоимостную эффективность и точность в сравнении с конкурирующими методами, а также рассмотреть возможность его применения менеджерами. В табл. 3.6 приведены обобщенные сведения о применимости соответствующе го аппарата прогнозирования в отношении наборов данных определенных типов. Эту таблицу полезно использовать в качестве отправной точки при отборе методов, которые можно использовать для данных с определенными характеристиками. Как бы там ни было, результаты применения любого выбранного метода следует постоянно проверять, чтобы быть уверенным в том, что он дает адекватное решение поставленной задачи.

Измерение ошибки прогноза

Количественная техника прогнозирования часто применяется к временным рядам данных, в результате чего была выработана соответствующая математическая нотация, позволяющая ссылаться на любой крнкретный период времени. Буква У будет использоваться для обозначения значений временного ряда, пока рассматривается не более одной величины. Период времени, соответствующий наблюдению, указывается в виде индекса. Таким образом, обозначение 匕 определяет значение временного ряда в момент времени Л Ежеквартальные данные для компании Outboard Marine Corporation, представленные в примере 3.5, можно было бы обозначить как У)= 5147,6; У2 = 5251,8; К, = 5273,1;...; У52 = 5281,4.

Необходимо также ввести такие математические обозначения, которые позволили бы различать действительные значения временного ряда и прогнозируемые для него значения. С этой целью над значением, обозначающим прогноз, будет помещаться символ "л” (крышечка). Значением прогноза для У является У” Точность метода прогнозирования часто определяется путем сравнения исходного ряда 匕，У?,…с его прогнозом Кь Y2,....

Основные обозначения, используемые в прогнозировании, представлены ниже.

Основные обозначения, используемые в прогнозировании

Yt — значение временного ряда в момент /.

У, — прогноз значения 匕.

自二匕 一 X — погрешность или ошибка прогноза.

Разработано несколько методов оценки ошибок, присущих отдельным методам прогнозирования. Большинство этих методов состоит в усреднении некоторых функций от разностей между действительным значением и его прогнозом. Такие разности между наблюдаемыми значениями и прогнозами часто считаются ошибками прогноза.

Ошибкой прогноза является разность между действительным значением и его прогнозом.

Для вычисления ошибки прогноза или погрешности для каждого момента времени, в котором расематривается прогноз, используется уравнение 3.6.

e,二匕一匕，(3.6)

где

修 - ошибка прогноза в момент времени г;

匕 - действительное значение в момент времени л

В одном из способов оценки метода прогнозирования используется суммирование абсолютных ошибок. Среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Derivation, MAD) измеряет точность прогноза, усредняя величины ошибок прогноза (абсолютные значения каждой ошибки). Использование MAD наиболее полезно в тех случаях, когда аналитику необходимо измерить ошибку прогноза в тех же единицах, что и исходный ряд. Ошибка MAD вычисляется с помощью уравнения 3.7.

MAD = -^\Y,-y\(3.7)

Среднеквадратическая ошибка (Mean Squared Error, MSE)——это другой способ оценки метода прогнозирования. Каждая ошибка или погрешность возводится в квадрат; эти величины затем суммируются и делятся на количество наблюдений. Поскольку каждое значение отклонения возводится в квадрат, этот метод подчеркивает большие ошибки прогноза. Данная особенность очень важна, так как метод прогнозирования, постоянно дающий средние по величине ошибки, в некоторых случаях может быть предпочтительнее другого метода, который обычно дает малые ошибки, но временами может давать очень большие. Ошибка MSE вычисляется с помощью уравнения 3.8.

= 订(3.8)

Иногда предпочтительнее вычислять не абсолютные величины ошибок, а их процентное отношение. Средняя абсолютная ошибка в процентах (Mean Absolute Percentage Error, МАРЕ) вычисляется путем отыскания абсолютной ошибки в каждый момент времени и деления ее на действительно наблюдаемое значение (в этот момент времени) с последующим усреднением полученных абсолютных процентных ошибок. Этот подход полезен в том случае, когда размер или значение прогнозируемой величины важны в оценке точности прогноза. МАРЕ подчеркивает, насколько велики ошибки прогноза в сравнении с действительными значениями ряда. Данный метод в особенности хорош тогда, когда значения 匕 велики. МАРЕ можно также использовать для сравнения точности одного и того же или различных методов на двух абсолютно разных рядах. Ошибка МАРЕ вычисляется с помощью уравнения 3.9.

МАРеЛ^^(3.9)

Часто необходимо определить, является ли метод прогнозирования смещенным (полученный прогноз постоянно оказывается заниженным или завышенным). В этих случаях используется средняя процентная ошибка (Mean Percentage Error, МРЕ). Она вычисляется посредством нахождения ошибки в каждый момент времени и деления ее значения на действительное значение в этот момент времени с последующим усреднением полученных процентных выражений ошибок. Если метод прогнозирования является несмещенным, уравнение 3.10 будет давать процентное значение, близкое к нулю. Если в результате получается большое отрицательное процентное значение, то метод прогнозирования является последовательно переоценивающим. Если получено большое положительное процентное значение, то метод прогнозирования является последовательно недооценивающим.

MpE = LyiL21(3.10)

Часть решения о выборе соответствующе го метода прогнозирования состоит в определении того, дает ли данный метод достаточно малые ошибки прогноза. Действительно, естественно ожидать, что правильно подобранный метод будет давать относительно малые ошибки прогноза.

Определенные выше четыре способа оценки точности прогноза используются для следующих целей.

Сравнение точности двух различных методов.

Оценка полезности и надежности метода.

Отыскание оптимального метода.

В примере 3.6 показано, как вычисляется каждая из определенных выше средних ошибок метода.

Пример 3.6

В табл. 3.7 приведены данные о ежедневном количестве клиентов, обращающихся на станцию техобслуживания Gary's Chevron Station по поводу выполнения ремонтных работ (匕)，и представлен прогноз этих данных (У；). Выбранный метод прогнозирования предполагал использование количества клиентов, обслуженных за предыдущий период, как прогнозируемое значение на текущий период. Этот простой метод будет обсуждаться нами в главе 4. Для оценки эффективности этого метода с помощью показателей MAD, MSE, МАРЕ и МРЕ были выполнены следующие вычисления.

Таблица 3.7. Исходные данные и вычисления для оценки метода прогнозирования,

применяемого в примере 3.6

Время, г

Количество клиентов,匕

Прогноз, g

Ошибка, q

4’

I&I /%%

0/匕%

1

58

-

-

-

2

54

58

-4

4

16

7,4

-7,4

3

60

54

6

6

36

10,0

10,0

4

55

60

-5

5

25

9,1

-9,1

5

62

55

7

7

49

11,3

11,3

6

62

62

0

0

0

0,0

0,0

7

65

62

3

3

9

4,6

4,6

8

63

65

-2

2

4

3,2

-3,2

9

70

63

J7

2

49

10,0

10,0

Сумма

12

34

188

55,6

16,2

= 23,5

匕一К| 55,6%

МАРЕ = —〉J' == 6,95%

几占匕 8

МРЕ = -Х-= 2,03%

Значение MAD свидетельствует о том, что каждый прогноз отклоняется от реального значения в среднем на 4,3 посетителя. Ошибки MSE (23,5) и МАРЕ (6,95%) следовало бы сравнить с ошибками MSE и МАРЕ, полученными при использовании любого другого метода для прогнозирования этих же данных. И наконец, малое значение ошибки МРЕ (2,03%) свидетельствует о том, что данный метод не является систематически переоценивающим или недооценивающим количество ежедневно обслуживаемых клиентов.

Оценка адекватности выбранного метода прогнозирования

Прежде чем использовать некоторый метод прогнозирования, необходимо оценить его соответствие поставленной задаче. Создающий прогноз обязательно должен ответить на следующие вопросы.

Являются ли коэффициенты автокорреляции ошибок показательными для данного временного ряда? На этот вопрос можно ответить, изучив коэффициенты автокорреляции для диаграммы ошибок, подобной той, которая будет обсуждаться в примере 3.7.

Являются ли ошибки приблизительно нормально распределенными? На этот вопрос можно ответить, проанализировав гистограмму для ошибок или нормальный вероятностный график.

Имеют ли все оцениваемые параметры значительные означения? Напомним, что t- распределение описывалось в главе 2, а применение /-значений ——в примере 3.2 и главах 6-9.

Является ли метод простым в использовании и доступным для понимания тех, кто будет принимать решения?

Основное требование, состоящее в том, что множество ошибок должно быть случайным, проверяется посредством изучения коэффициентов автокорреляции для временного ряда ошибок. Для этого ряда не должно наблюдаться сколько-нибудь значительных коэффициентов автокорреляции. В примере 3.2 было показано, как можно использовать коррелограмму для выяснения, является ли заданный ряд случайным. С целью проверки, являются ли коэффициенты автокорреляции для всех периодов запаздывания (вплоть до *-「о) равными нулю, можно использовать g-статистику Льюинга-Бокса. В примере 3.7 эта процедура проиллюстрирована в отношении ошибок для двух подходящих случаю моделей.

Пример 3.7

Мэгги Тримэйн, аналитику компании Sears, было поручено составить прогноз объема продаж в компании на 1998 год. Данные об объемах продаж с 1955 по 1997 гг. приведены в табл. 3.4. Сначала Мэгги подготовила пробный прогноз для уже имеющихся данных, используя метод пятимесячного скользящего среднего (мы познакомимся с этим методом в главе 4). Она вычислила и записала ошибки прогноза, представляющие собой7разность между действительным и прогнозируемым значениями. Коэффициенты автокорреляции для вычисленного ряда ошибок приведены на рис. 3,16. Изучая полученные коэффициенты автокорреляции, можно отметить, что два коэффициента значительно отличаются от нуля(Г)= 0,74 и г2 = 0,56). Существенная величина коэффициентов автокорреляции выявляет некоторую модель поведения значений во множестве ошибок. Более того, 0-статистика для девяти временных запаздываний равна 50,6; это больше х2-квадрат значения с восемью степенями свободы, равного 15,5 (получено при уровне значимости 0,05). Отметим, что в этом случае число степеней свободы равно 9 - 1 (количество изучаемых запаздываний минус число параметров в подходящей для имеющихся данных модели скользящего среднего). Поскольку одно из основных требований, предъявляемых к методу прогнозирования, состоит в том, чтобы множество ошибок, получаемых при его использовании, было случайным, Мэгги пришла к заключению, что метод пятимесячного скользящего среднего не является адекватным данному случаю.

Затем Мэгги попробовала применить метод линейного экспоненциального сглаживания Хольта (Holt) (описание этого метода будет дано в главе 4). Коэффициенты автокорреляции для ряда ошибок, порожденных данным методом, приведены на рис. 3.17. Анализ этих коэффициентов показывает, что ни один из них существенно не отличается от нуля. Кроме того, была проверена 0-статистика для 10 временных запаздываний. Значение LBQ, равное 8,38, меньше х2-распределения, значение которого при восьми степенях свободы равно 15,5. В данном случае количество степеней свободы равно 10-2 (число изучаемых запаздываний минус число параметров в линейной экспоненциальной сглаживающей модели, соответствующей данным). Можно сделать заключение, что метод линейного экспоненциального сглаживания для имеющихся данных дает некоррелированные ошибки для любых значений периода запаздывания. Поэтому Мэгги решила выбрать этот метод в качестве подходящей модели прогнозирования дохода от основной деятельности компании Sears на 1998 год.

Autocorrelation for the Residuals of a 5-period Moving AverageAutocorrelation for the Residuals of a 5-period Moving Average08642024680-Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^L uo&al」ooo<08642024680-Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^L uo&al」ooo<g1234567g1234567ОГГ74564123060509 cОГГ74564123060509 cT 8922162 53582134-z 1H n^ n^ n^ л^T 8922162 53582134-z 1H n^ n^ n^ л^LBQ 22.70 36.05 43.27 45.69 45.86 45.96 46.38LBQ 22.70 36.05 43.27 45.69 45.86 45.96 46.38Corr Т LBQ-0.17 -0.60 47.92-0.23 -0.77 50.60Corr Т LBQ-0.17 -0.60 47.92-0.23 -0.77 50.60

Autocorrelation for the Residuals of a 5-period Moving Average

Autocorrelation for the Residuals of a 5-period Moving Average

08642024680

-Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^L uo&al」ooo<

08642024680

-Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^L uo&al」ooo<

g1234567

g1234567

ОГГ74564123060509 c

ОГГ74564123060509 c

T 8922162 5358213

4-z 1H n^ n^ n^ л^

T 8922162 5358213

4-z 1H n^ n^ n^ л^

LBQ 22.70 36.05 43.27 45.69 45.86 45.96 46.38

LBQ 22.70 36.05 43.27 45.69 45.86 45.96 46.38

Corr Т LBQ

-0.17 -0.60 47.92

-0.23 -0.77 50.60

Corr Т LBQ

-0.17 -0.60 47.92

-0.23 -0.77 50.60

Рис. 3.76. Функция автокорреляции для ошибок, не образующих случайного набора (приложение Minitab)

Autocorrelation for the Residuals of Holt's Model

123456712345670.00-0.170.31-0.08-0.17-0.010.100.00-0.170.31-0.08-0.17-0.010.10т0.03-1.131.94-0.48-0.99-0.070.58т0.03-1.131.94-0.48-0.99-0.070.58L n^1G^R^7-7-0^L n^1G^R^7-7-0^g 890g 890Corr0.02-0.000.05Corr0.02-0.000.05Q 55822-3L o^o^o^T 926002n^n^n^Q 55822-3L o^o^o^T 926002n^n^n^

1234567

1234567

0.00

-0.17

0.31

-0.08

-0.17

-0.01

0.10

0.00

-0.17

0.31

-0.08

-0.17

-0.01

0.10

т

0.03

-1.13

1.94

-0.48

-0.99

-0.07

0.58

т

0.03

-1.13

1.94

-0.48

-0.99

-0.07

0.58

L n^1G^R^7-7-0^

L n^1G^R^7-7-0^

g 890

g 890

Corr

0.02

-0.00

0.05

Corr

0.02

-0.00

0.05

Q 55822-3

L o^o^o^T 926002n^n^n^

Q 55822-3

L o^o^o^T 926002n^n^n^

■°-8642-°24-6-8-0

Hbn^n^n^n-n^n^n^n^n^v

----- со™й-ф^^ооо^<

Рис. 3.17. Функция автокорреляции для ошибок, образующих случайное множество (приложение Minitab)

Применение в менеджменте

Изложенные в этой главе концепции предоставляют основу для выбора такого метода прогнозирования, который будет соответствовать рассматриваемой ситуации. В последующих главах обсуждается большинство наиболее важных методов прогнозирования и их применимость в той или иной ситуации.

Ниже приведено несколько ситуаций, постоянно возникающих в мире бизнеса, при которых адекватно выбранный аппарат прогнозирования способен оказать существенную помощь в процессе принятия решений. Изложенный в этой главе материал может быть успешно применен в подобных ситуациях при условии, что в каждом случае будут учтены оба жизненно важных аспекта эффективного прогнозирования, а именно: сбор соответствующих данных и выбор правильного метода прогнозирования.

Компании, выпускающей прохладительные напитки, требуется составить прогноз спроса на свой основной продукт на последующие два года по месяцам.

Крупной телекоммуникационной компании требуется составить прогноз ежеквартальных дивидендов своего основного конкурента на последующие три года.

Университету необходимо на последующие четыре года составить прогноз количества часов, выделяемых на получение студентами зачетов, на квартал, чтобы государственные законодательные учреждения могли планировать соответствующие бюджетные расходы.

Открытой бухгалтерской фирме необходим ежемесячный прогноз курса доллара, чтобы планировать дополнительные учетные позиции и начать их накопление.

Менеджеру по контролю качества предприятия, выпускающего алюминиевые слитки, необходим еженедельный прогноз количества дефектной продукции, который он должен предоставить высшим менеджерам компании.

Банкиру требуется оценить предполагаемый ежемесячный доход небольшой фабрики, выпускающей велосипеды, которая нуждается в значительной ссуде для увеличения своих производственных мощностей.

Федеральному правительственному агентству необходим ежегодный прогноз среднего количества миль, которое пройдет автомобиль американского изготовления, израсходовав один галлон бензина, чтобы подготовить соответствующие регулирующие рекомендации на ближайшие 10 лет.

Менеджеру отдела кадров для планирования расходов на оплату внеурочных часов необходим ежемесячный прогноз числа рабочих дней, пропущенных работниками компании.

Чтобы избежать банкротства, компании, занимающейся предоставлением ссуд, необходим прогноз суммы невозвращенных ссуд на последующие два года.

Чтобы планировать бюджет затрат на модернизацию и развитие производства, компании, производящей компьютерные чипы, необходим общеотраслевой прогноз числа проданных персональных компьютеров на последующие пять лет.

Глоссарий

Автокорреляция. Это корреляция между величиной и ее запаздыванием на один или более периодов времени.

Временной ряд. Временной ряд состоит из данных, собранных, зафиксированных или наблюдаемых в течение последовательных промежутков времени.

(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Коррелограмма. Коррелограммой временного ряда называется график коэффициентов автокорреляции для различных значений запаздывания во времени.

Кросс-секционный. Кросс-секционные данные ——это наблюдения, произведенные в один и тот же момент времени.

Ошибка прогноза. Представляет собой разность между действительно наблюдаемым значением и его прогнозом.

Сезонная компонента. Это модель изменения данных, повторяющаяся из года в год.

Стационарный ряд. Это временной ряд данных, основные статистические характеристики которого, такие как среднее значение и дисперсия, остаются постоянными во времени.

Тренд. Это долгосрочная компонента, представляющая возрастание или убывание значений временного ряда в течение продолжительного промежутка времени.

Циклическая компонента. Это волнообразная флуктуация значений данных вокруг линии тренда.

Основные формулы

Коэффициент автокорреляции k-го порядка

/=|

Стандартная ошибка коэффициента автокорреляции

Q-статистика Льюинга-Бокса

Случайная модель

Yt-с+

Г-статистика для проверки значимости коэффициента автокорреляции с запаздывание к

SE&)

Ошибка прогноза или погрешность

et=Yt-X

Среднее абсолютное отклонение

(3.7)

Среднеквадратическая ошибка

МЖ」2(匕-py(3.8)

〃 (=1

Средняя абсолютная ошибка в процентах

39)

Средняя процентная ошибка

(ЗЛО)

Упражнения

Объясните различие между качественными и количественными методами прогнозирования.

Что называется временным рядом?

Опишите все компоненты временного ряда.

Что такое автокорреляция?

Что измеряет коэффициент автокорреляции?

Опишите, как используются коррелограммы для анализа коэффициентов автокорреляции, вычисляемых для различных запаздываний временного ряда.

Каждое из следующих утверждений описывает стационарный или нестационарный ряд. Определите, к какому типу относится каждый из них.

ряд, имеющий тренд

ряд, у которого среднее значение и дисперсия остаются постоянными во времени

ряд, у которого среднее значение изменяется с течением времени

ряд, не содержащий ни подъема, ни спада

Ниже описано несколько типов рядов: случайные, стационарные, содержащие тренд или сезонные. Определите тип каждого из этих рядов.

ряд, основные статистические характеристики которого, такие как среднее и дисперсия, остаются постоянными с течением времени

временной ряд, последовательные значения которого не связаны друг с другом

между всеми последовательными значениями ряда существует сильная взаимосвязь

значительный коэффициент автокорреляции появляется для момента запаздывания, равного 4, и данные являются ежеквартальными

ряд не содержит ни подъема, ни спада

коэффициенты автокорреляции значительно отличаются от нуля для первых нескольких запаздываний, а затем постепенно убывают к нулю с увеличением времени запаздывания

Перечислите несколько методов прогнозирования, которые следует использовать для прогнозирования значений стационарных рядов. Приведите примеры ситуаций, в которых эти методы применимы.

Перечислите несколько методов прогнозирования, которые следует использовать для прогнозирования рядов с трендом. Приведите примеры ситуаций, в которых эти методы применимы.

Перечислите несколько методов прогнозирования, которые следует использовать для прогнозирования сезонных рядов. Приведите примеры ситуаций, в которых эти методы применимы.

Перечислите несколько методов прогнозирования, которые следует использовать для прогнозирования циклических рядов. Приведите несколько ситуаций, в которых эти методы применимы.

В табл. 3.8 приведены сведения о количестве бракосочетаний, зарегистрированных в США. Вычислите первые разности для этих данных. Изобразите исходные данные и данные, представленные разностями в виде временных рядов. Присутствует ли тренд в обоих этих рядах? Обсудите этот вопрос.

Таблица 3.8. Данные о количестве бракосочетаний в США

Гоа

Количество браков (тыс.)

1985

2413

1986

2407

1987

2403

1988

2396

1989

2403

1990

2448

1991

2371

1992

2362

1993

2334

1994

2362

1995

1954

1996

1840

Источник: Statistical Abstract of the United States, 1998, c.76

Найдите доверительный интервал с 95% уровнем значимости для коэффициента автокорреляции с запаздыванием в один период для временного ряда, содержащего 80 значений.

Какую меру точности прогноза следует использовать в каждой из следующих ситуаций?

аналитику необходимо определить, является ли метод прогнозирования смещенным

аналитик предполагает, что размер или абсолютное значение прогнозируемой величины важны в оценке точности прогноза

аналитику необходимо выявить большие ошибки прогноза

Какие из приведенных ниже утверждений в отношении мер точности, используемых для оценки прогнозов, являются верными?

показатель МАРЕ принимает во внимание действительное значение прогнозируемой величины

показатель MSE выявляет большие ошибки

показатель МРЕ используется для выяснения того, является ли модель систематически завышающей или занижающей прогноз

преимущество метода вычисления MAD состоит в том, что он соотносит размер ошибки с действительным наблюдением

Элли Вайт (Allie White), руководителю отдела кредита в банке Dominion Bank, требуется проанализировать портфель банковских ссуд с 1995 по 2000 гг. Соответствующие данные приведены в табл. 3.9.

Таблица 3.9. Ежеквартальные ссуды Dominion Bank за 1995-2000 гг. (млн долл.)

Годы

Март 31

Июнь 30

Сентябрь 30

Декабрь 31

1995

2313

2495

2609

2792

1996

2860

3099

3202

3161

1997

3399

3471

3545

3851

1998

4458

4850

5093

5318

1999

5756

6013

6158

6289

2000

6369

6568

6646

6861

Источник: записи Dominion Bank

вычислите коэффициенты автокорреляции для запаздываний, равных одному и двум периодам. Проверьте, будут ли эти коэффициенты автокорреляции существенно отличны от нуля для уровня значимости 0,05

используйте компьютерную программу для построения графического представления данных и вычисления коэффициентов автокорреляции для первых шести интервалов запаздывания. Является ли данный временной ряд стационарным?

Данный вопрос относится к временному ряду, описанному в упр. 17. Вычислите первые разности для ежеквартальных данных о ссудах в банке Dominion Bank.

вычислите коэффициент автокорреляции при запаздывании в один период для ряда вычисленных разностей

используйте компьютерную программу для построения графического представления данных и вычисления коэффициентов автокорреляции для первых шести интервалов запаздывания. Является ли данный временной ряд стационарным?

Проанализируйте коэффициенты автокорреляции для некоторых рядов, представленные на рис. 3.18-3.21. Кратко опишите характеристики каждого из этих рядов.

5

10

Autocorrelation Function for Trade

二二一

П^О^^Л9-П^9-ЛА-О^П^

1-n^n^n^n^n^n^n^n^n^l^ со-^-ф^^ооо^э<

Puc. 3.18. 1~я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)

Рис. 319. 2-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)Рис. 319. 2-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)co-^-otooo5<co-^-otooo5<

Рис. 319. 2-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)

Рис. 319. 2-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)

co-^-otooo5<

co-^-otooo5<

со§ф^^ооо^<со§ф^^ооо^<15152525

со§ф^^ооо^<

со§ф^^ооо^<

15

15

25

25

Autocorrelation Function for Trade First Differenced

1.0 -

0.8 一

0.6 -

0.4 -

0.2 -

0.0-

-0.4 -

-0.6 -

-0.8 -

—1.0 —

Р〃с. 3.20. 3-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)

0864202468010.0.0.0.0.-0.-0.-0.-0.-1uo-lwooolnv

51015

Рис. 3,21. 4-я функция автокорреляции для упр. 19 (приложение Minitab)

Аналитик хотел бы определить, существует ли некоторая модель изменения в данных о средних доходах из расчета на одну сделку для компании Price Company, которая руководит всеми операциями купли/продажи за наличный расчет во многих штатах под именем Price Club. Указанные данные приведены в табл. 3.10. Охарактеризуйте модели, которые присутствуют в этих данных.

Таблица 3.10. Ежеквартальные доходы из расчета на одну сделку для компании Price Club за 1986-1993 гг.

Годы

1 квартал

2 квартал

3 квартал

4 квартал

1986

0,40

0,29

0,24

0,32

1987

0,47

0,34

0,30

0,39

1988

0,63

0,43

0,38

0,49

1989

0,76

0,51

0,42

0,61

1990

0,86

0,51

0,47

0,63

1991

0,94

0,56

0,50

0,65

1992

0,95

0,42

0,57

0,60

1993

0,93

0,38

0,37

0,57

Источник: The Value Line Investment Survay (New York: Value Line, 1994), c.1646.

найдите значение прогноза ежеквартального дохода из расчета на одну сделку для компании Price Club дая каждого квартала, используя наивную модель прогнозирования (прогноз для первого квартала 1994 года является значением для четвертого квартала 1993 года, т.е. 0,57)

оцените прогноз, полученный наивным методом, используя показатель MAD

оцените прогноз, полученный наивным методом, используя показатель MSE г) оцените прогноз, полученный наивным методом, используя показатель МАРЕ д) оцените прогноз, полученный наивным методом, используя показатель МРЕ е) составьте письменный отчет о полученных результатах

wwww^^wwwwi^wwwwwwww^^wwwwi^wwww轟m眾m轟m眾m眾m理m轟m恋m轟m轟m^m理m界m

wwww^^wwwwi^wwww

wwww^^wwwwi^wwww

Задание 3.1. Сеть мебельныхмагазинов Murphy Brothers

В 1958 году братья Мэрфи (Murphy) открыли мебельный магазин в деловом центре города Даллас. Дела пошли успешно, и со временем они распространили свой бизнес на Запад и Средний Запад США. К 1996 году сеть их мебельных магазинов прочно укрепилась в 36 штатах. .

Дочь одного из основателей дела, Джулия Мэрфи (Julie Murphy), недавно закончила бизнес-колледж и присоединилась к управлению фирмой. Ее отец и дядя обладали богатым опытом и знаниями во многих областях, но не умели обращаться с количественной информацией. В частности, оба они прекрасно понимали, что не смогут составить точный прогноз объемов продаж мебели в магазинах сети Murphy Brothers с помощью современных компьютерных технологий. Поэтому с подобным предложением они обратились к Джулии, представив это как часть ее новых должностных обязанностей.

Обучаясь в колледже, Джулия изучала бизнес-прогнозирование, и потому она уже приобрела пакет прикладных программ по прогнозированию и приложение Minitab и установила их на своем офисном компьютере. Сначала она решила в качестве изучаемой величины выбрать объемы продаж мебели в компании в долларах, но обнаружила, что сведения за несколько лет истории фирмы отсутствуют. Она обратилась с вопросом к отцу, и он ответил, что в то время "он не предполагал, что эти данные когда-либо окажутся важными,,<

Джулия предположила, что объем продаж фирмы Murphy Brothers, вероятно, близок к показателям, описывающим объемы продаж в национальном масштабе. Поэтому она решила отыскать соответствующие оценки в одном из многих опубликованных федеральных исследований. Просматривая последний выпуск бюллетеня Survey of Current Business, она обнаружила сведения о ежемесячных объемах продаж всех магазинов розничной торговли в США. Джулия решила использовать эти сведения вместо первоначально выбранного показателя ——объемов продаж мебели в долларах в магазинах фирмы Murphy Brothers. Она предположила, что если ей удастся получить точный прогноз для объемов продаж в национальных масштабах, она сможет применить найденную зависимость к имеющимся данным об объемах продаж мебели в фирме Murphy Brothers и получить интересующие ее прогнозы.

В табл. 3.11 приведены собранные Джулией данные, а на рис. 3.22 представлен соответствующий график, построенный компьютерной программой. Джулия начала свой анализ, воспользовавшись компьютером для построения графика коэффициентов автокорреляции.

Таблица 3.11. Ежемесячные объемы продаж (млрд долл.) во всех магазинах США, торгующих в розницу, за 1983-1995 гг,

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

(suo=_2) sges-qluow(suo=_2) sges-qluowMonthly Sales for all U.S. Retail Stores: 1983-1995Monthly Sales for all U.S. Retail Stores: 1983-1995

(suo=_2) sges-qluow

(suo=_2) sges-qluow

Monthly Sales for all U.S. Retail Stores: 1983-1995

Monthly Sales for all U.S. Retail Stores: 1983-1995

Январь

81,3

93,1

98,8

105,6 106,4 113,6

122,5

132,6

130,9 142,1

148,4 154,6 167,0

Февраль

78,9

93,7

95,6

99,7

105,8

115,0

118,9

127,3

128,6

143,1

145,0

155,8

164,0

Март

93,8

103,3

110,2

114,2

120,4

131,6

141,3

148,3

149,3

154,7

164,6

184,2

192,1

Апрель

93,8

103,9

113,1

115,7

125,4

130,9

139,8

145,0

148,5

159,1

170,3

181,8

187,5

Май

97,8

111,8

120,3

125,4

129,1

136,0

150,3

154,1

159,8

165,8

176,1

187,2

201,4

Июнь

100,6

Н2,3

115,0

120,4

129,0

137,5

149,0

153,5

153,9

164,6

175,7

190,1

202,6

Июль

99,4

106,9

115,5

120,7

129,3

134,1

144,6

148,9

154,6

166,0

177,7

185,8

194,9

Август

100,1

111,2

121,1

124,1

131,5

138,7

153,0

157,4

159,9

166,3

177,1

193,8

204,2

Сентябрь

87,9

104,0

113,8

124,4

124,5

131,9

144,1

145,6

146,7

160,6

171,1

185,9

192,8

Октябрь

100,7

109,6

115,8

123,8

128,3

133,8

142,3

151,5

152,1

168,7

176,4

189,7

194,0

Ноябрь

103,9

113,5

118,1

121,4

126,9

140,2

148,8

156,1

155,6

167,2

180,9

194,7

202,4

Декабрь

125,8

132,3

138,6

152,1

157,2

171,0

176,5

179,7

181,0

204,1

218,3

233,3

238,0

Источник: Бюллетень Survey of Current Busines за разные годы

83858789919395

Vbar

Puc. 3.22. График временного ряда объема ежемесячных продаж во всех магазинах США, торгующих s розницу (приложение Minitab)

После изучения полученной коррелограммы, показанной на рис. 3.23, Джулии стало ясно, что собранные ею данные имеют тренд. Вначале коэффициенты автокорреляции очень велики, а затем они постепенно убывают к нулю с увеличением периода запазды-

вания. Для того чтобы сделать ряд стационарным, после чего к нему можно будет применять различные методы прогнозирования, Джулия решила получить для имеющихся данных первые разности и посмотреть, поможет ли это устранить из них тренд. Коррелограмма для первых разностей собранных Джулией данных представлена на рис. 3.24.

UOQeBooolnvUOQeBooolnvРис. 3.23. Функция автокорреляции для объемов ежемесячных продаж во всех магазинах США, торгующих е розницу (приложение Minitab)Рис. 3.23. Функция автокорреляции для объемов ежемесячных продаж во всех магазинах США, торгующих е розницу (приложение Minitab)оо^а^л2-п^2-ла^о^л^со^я-ёооо^<оо^а^л2-п^2-ла^о^л^со^я-ёооо^<二二二二二一二二二二二一二 丁—I 二 -ш—二 丁—I 二 -ш—I 5I 5I15I15—25—25—35—35

UOQeBooolnv

UOQeBooolnv

Рис. 3.23. Функция автокорреляции для объемов ежемесячных продаж во всех магазинах США, торгующих е розницу (приложение Minitab)

Рис. 3.23. Функция автокорреляции для объемов ежемесячных продаж во всех магазинах США, торгующих е розницу (приложение Minitab)

оо^а^л2-п^2-ла^о^л^

со^я-ёооо^<

оо^а^л2-п^2-ла^о^л^

со^я-ёооо^<

二二二二二一

二二二二二一

二 丁—I 二 -ш—

二 丁—I 二 -ш—

I 5

I 5

I15

I15

—25

—25

—35

—35

Рис. 3.24. Функция автокорреляции для первых разностей, образованных из данных об объемах ежемесячных продаж всех магазинов s США, торгующих s розницу (приложение Minitab)

Вопросы

Какой вывод должна сделать Джулия о ряде данных, представляющих объем ежемесячных розничных продаж в США?

Существенно ли продвинулась Джулия в выборе метода прогнозирования?

Какой метод прогнозирования следует пытаться применить Джулии?

Как Джулия сможет определить, какой из методов прогнозирования дает наилучший эффект?

Задание 32 “Мг. Тих”

Джон Мосби, владелец нескольких пунктов проката, функционирующих под вывеской “Ml Тих", решил получить прогноз для показателя, наиболее полно отражающего успешность его бизнеса,——дохода от проката в долларах (см. задание “Мг. Тих” в предыдущих главах). Одна из его служащих, Виржиния Перо (Virginia Perot), собрала данные о ежемесячных доходах, приведенные в задании 2.2.

Джон решил использовать все собранные им данные (за 96 месяцев). Эти данные были введены в приложение Minitab, после чего для них были вычислены коэффициенты автокорреляции, представленные на рис. 3.25. Поскольку все коэффициенты автокорреляции положительны и значения их постепенно убывают, Джон пришел к заключению, что собранные им данные имеют тренд.

Autocorrelation Function for Mr. Tux Sales

п^0^А^Л9-п^2-ЛА^0^п^Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^huo-lauooolnvп^0^А^Л9-п^2-ЛА^0^п^Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^huo-lauooolnv

п^0^А^Л9-п^2-ЛА^0^п^Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^huo-lauooolnv

п^0^А^Л9-п^2-ЛА^0^п^Ln^n^n^n^n^n^n^n^n^huo-lauooolnv

I

24

Puc. 3.25. Функция автокорреляции для данных о доходах компании аМг. Тих" (приложение Minitab)

Далее Джон вычислил первые разности для этих данных. На рис. 3.26 представлены коэффициенты автокорреляции для полученных разностей. Коэффициент автокорреляции для запаздывания, равного 12 периодам, г% = 0,68, существенно отличен от нуля.

Затем Джон воспользовался еще одной компьютерной программой для вычисления процентного соотношения изменчивости в исходных данных, объясняемого трендом, сезонностью и случайными компонентами.

Вычисленное программой процентное соотношение изменчивости в исходных данных, объясняемое исследуемыми факторами, оказалось следующим.

ФакторПроцент изменчивости

100100664545Данные

100

100

6

6

45

45

Тренд

Сезонность

Случайные факторыСлучайные факторы4949

Случайные факторы

Случайные факторы

49

49

uo-l-auooolnvuo-l-auooolnv1.0

uo-l-auooolnv

uo-l-auooolnv

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.8 —-1.0 --0.8 —-1.0 -222222Autocorrelation Function for Mr. Tux Sa es First DifferencedAutocorrelation Function for Mr. Tux Sa es First DifferencedРис. 3.26. Функция автокорреляции для первых разностей, вычисленных для данных о доходах компании аМг. Тих" (приложение Minitab)

-0.8 —

-1.0 -

-0.8 —

-1.0 -

2

2

22

22

Autocorrelation Function for Mr. Tux Sa es First Differenced

Autocorrelation Function for Mr. Tux Sa es First Differenced

Вопросы

Обобщите результаты анализа Джона, представив их одной фразой, которую должен понять менеджер, а не тот, кто создавал прогноз.

Опишите тренд и сезонные эффекты, которые присутствуют в данных о доходах компании “Мг. Тих”.

Как бы вы объяснили смысл строки 11 Случайные факторы — 49%”？

Предположим, коэффициенты автокорреляции 尸24 и г36 существенно отличны от нуля. Можно ли в этом случае сделать заключение, что сезонные явления также имеют тренд? Если да, то поясните, что, по вашему мнению, означает тренд в сезонности.

Задание 3.3. Корпорация ConsumerCredit Counseling

Функционирование корпорации Consumer Credit Counseling (CCC) было описано в главе 1 (задание 1.2).

Мэрв Харнишфегер (Marv Harnishfeger), исполнительный директор корпорации, столкнулась с проблемой определения размеров штата сотрудников и составления графиков их работы на оставшуюся часть 1993 года. Она объяснила ситуацию Дороти Мерсер (Dorothy Mercer), которая недавно была избрана президентом исполнительного комитета корпорации. Дороти обдумала проблему и пришла к выводу, что необходимо проанализировать количество новых клиентов, обращающихся в корпорацию ССС каждый месяц. Дороти, которая занималась оценкой эффективности предоставляемых услуг, была знакома с различными методами исследования данных и согласилась выполнить соот-

ветствующий анализ. Она попросила Мэрв предоставить ей ежемесячные данные о количестве новых клиентов корпорации ССС, и Мэрв передала ей требуемые данные за период с января 1985 года по март 1993 года (табл. 3.12).

Таблица 3.12, Количество новых клиентов, обратившихся в корпорацию ССС с января 1985 года по март 1993 года

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

1985

182

136

99

77

75

63

87

73

83

82

74

75

1986

102

121

128

128

112

122

104

108

97

141

97

87

1987

145

103

113

150

100

131

96

92

88

118

102

98

1988

101

153

138

107

100

114

78

106

94

93

103

104

1989

150

102

151

100

100

98

97

120

98

135

141

67

1990

127

146

175

ПО

153

117

121

121

131

147

121

110

1991

171

185

172

168

142

152

151

141

128

151

121

126

1992

1993

166

152

138

151

175

199

108

112

147

168

149

145

149

169

138

Дороти проанализировала предоставленные ей данные, построив график этого временного ряда и выполнив для него автокорреляционный анализ.

Вопросы

Объясните, как Дороти могла использовать автокорреляционный анализ при исследовании набора данных о количестве новых клиентов корпорации ССС.

Какой вывод она должна была сделать после завершения этого анализа?

Какой из существующих методов прогнозирования Дороти могла рекомендовать для этого множества данных?

Задание 3.4. Компания AlomegaFood Stores

В примере 1.1 президент компании Alomega Food Stores, Джулия Рас, собрала данные о функционировании своей компании. Она подобрала данные об объемах продаж за несколько месяцев наряду с несколькими, возможно влияющими на этот показатель, независимыми величинами (вспомните ситуацию, описанную в примере 1.1). Пока ее команда аналитиков работала с этими данными для подготовки прогноза ежемесячных объемов продаж в компании, Джулия проявила нетерпение и заинтересовалась тем, какой из независимых факторов, потенциально влияющих на прогноз, имеет наибольшее значение.

В задании 2.3 Джулия исследовала взаимосвязь между объемом продаж в компании и, возможно влияющими на этот показатель, независимыми величинами. В конце концов она обнаружила, что ее действия были преждевременными, так как она даже не знала, какая модель поведения присутствует в собранных данных о продажах (табл. 3.13).

Таблица 3.13. Ежемесячный объем продаж в 27 продовольственных магазинах

компании Alomega Food Stores за 1996-1999 гг.

Месяц

1996

1997

1998

1999

Январь

425 075

629 404

65 5 748

455 136

Февраль

315 305

263 467

270 483

247 570

Март

432 101

468 612

429 480.

732 005

Апрель

357 191

313 221

260 458

357 107

Май

347 874

444 404

528 210

453 156

Июнь

43 5 529

386 986

3 79 856

320 103

Июль

299 403

414314

472 058

451 779

Август

296 505

253 493

254 516

249 482

Сентябрь

• 426 701

484 365

551 354

744 53 8

Октябрь

329 722

305 989

33 5 826

421 186

Ноябрь

281 783

315 407

320 408

397 367

Декабрь

166 391

182 784

276 901

269 096

Вопрос

Какой вывод сделала Джулия относительно набора данных об объемах продаж в компании Alomega Food Stores?

Применение Minitab

Задание. В примере 3.4 Мэгги Тримэйн, аналитик компании Sears, желает составить прогноз объема продаж компании на 1998 год. Ей необходимо определить модель изменения в данных об объемах продаж с 1955 по 1997 гг.

Решение 6 Minitab

Введите данные об объемах продаж компании Sears, представленные в табл. 3.4, в столбец С1. Чтобы построить коррелограмму, выберите команду Stat^Time Se- ries^Autocorrelation, как показано на рис. 3.27.

На экране раскроется диалоговое окно Autocorrelation Function, показанное на рис. 3.28.

дважды щелкните на переменной Operating Revenue, и ее имя появится справа в поле ввода Series

введите текст заголовка в поле ввода Title и щелкните на кнопке ОК. Результирующая коррелограмма представлена на рис. 3.11

Рис. 3.27. Меню Autocorrelanion приложения Minitab

Рис. 3.28. Диалоговое окно Autocorrelation Function приложения Minitab

Для того чтобы вычислить разности данных, выберите команду StateTime Series^ Differences. На рис. 3.27 показано, что команда Differences находится в меню выше команды Autocorrelation.

На экране раскроется диалоговое окно Differences, представленное на рис. 3.29.

дважды щелкните на переменной Operating Revenue, и ее имя появится справа в поле ввода Series

перейдите в поле ввода Store differences in и введите в него имя столбца С2. Результаты вычисления разностей будут помещены в этот столбец

Рис. 3.29. Диалоговое окно Differences приложения Minitab

Применение Excel

Задание. Гарри Вернон желает использовать приложение Excel для вычисления коэффициентов автокорреляции и построения коррелограммы для данных о продажах видеомагнитофонов, представленных в табл. 3.1.

Решение в Excel

Наилучшим методом решения этой задачи было бы применение специализированной надстройки Excel для выполнения статистического анализа, подобной пакету Kaddstat. Подход к решению задач с использованием надстроек Excel будет обсуждаться нами в конце главы 9. С помощью приведенной ниже последовательности действий можно решить поставленную задачу и без применения надстройки Kaddstat.

Создайте новый файл, для чего выберите команду Файл «^Создать.

Поместите указатель мыши в ячейку А1. Обратите внимание на то, что как только указатель мыши помещается в какую-либо ячейку, она выделяется. Введите в ячейку А1 заголовок "VERNON'S MUSIC STORE*1 (Музыкальный магазин Vernon). Переместите курсор в ячейку А2 и введите в нее текст "NUMBER OF VCRS SOLD*' (Количество проданных видеомагнитофонов).

Поместите курсор в ячейку А4 и введите в нее текст "Month*' (Месяц). Нажмите клавишу <Enter>, в результате чего выделенной окажется ячейка А5. Введите в нее и последующие 11 ячеек названия всех месяцев, начиная с января.

Поместите курсор в ячейьсу В4 и введите в нее название переменной Y. Затем введите данные из табл. 3.1 в двенадцать последовательных ячеек, начиная с ячейки В5. Поместите курсор в ячейку С4 и введите в нее значение “Z”.

Выделите диапазон ячеек В4:С16 и введите команду Insert1^Name1^Create (Вставка^ Имя^Создать). В раскрывшемся диалоговом окне Create Names (Создать имена) установите флажок опции Top Row (Верхняя строка) и щелкните на кнопке ОК. В результате диапазону ячеек В5：В16 присваивается имя Y, а диапазону ячеек С5：С16 — имя Z.

Выделите ячейку С5 и введите в нее формулу =(B5-AVERAGE(Y))/STDEV(Y). Скопируйте значение из ячейки С5 в оставшиеся ячейки этого столбца, для чего выделите эту

ячейку, а затем поместите указатель мыши на манипулятор Fill в нижнем правом углу рамки и перетащите его вниз до ячейки С16. Оставив ячейки С5:С16 выделенными, щелкайте на кнопке Decrease Decimal (Уменьшить разрядность), которая показана на рис. 3.30 вверху справа, пока у значений в столбце С не окажется по три десятичных разряда. Кнопка уменьшения разрядности расположена на панели форматирования. Эту панель можно вывести на экран, щелкнув правой кнопки мыши на команде File и выбрав в раскрывшемся контекстном меню команду Formatting (Форматирование).

Введите заголовки LAG и ACF в ячейки Е4 и F4. Для того чтобы получить значения для первых шести временных запаздываний, введите цифры от 1 до 6 в ячейки Е5:Е10.

Выделите ячейку F5 и введите в нее формулу =SUMPRODUCT(OFFSET(Z1E5,0,12- E5),OFFSET(Z,0,0,12-E5))/11. Выделите ячейку F5, поместите указатель мыши на манипулятор Fill в нижнем правом углу рамки и перетащите его вниз до ячейки F10. Оставив выделенными ячейки F5:F10, уменьшите разрядность их значений до трех десятичных разрядов. Результат выполнения описанных выше действий представлен на рис. 3.30.

^ Mi< hi i4t Excel - Hg3-30'.РЖ

勾 Bte Ь» I 2rt gat 工ooh Qata %rxtow Wd №■剧贝

口言0昌®hX亀8a0亠 一，E而鼻升&N1。■ ■J.

ml-- в z ц ES3S S%| tdS^'iFtF'后二1，=SUMRR8UA B_ , C _ _ Dml-- в z ц ES3S S%| tdS^'iFtF'后二1，=SUMRR8UA B_ , C _ _ DVERNON'S MUSIC STORE NUMBER OFVERNON'S MUSIC STORE NUMBER OFMonth ；YMonth ；Y滋 January滋 JanuaryddFebruary March … 'April May June 域二二February March … 'April May June 域二二^jAugust j ^SlSeptembej 1410ctoberj H'lovember iЭесетЬег^^jAugust j ^SlSeptembej 1410ctoberj H'lovember iЭесетЬег^2 I'-1.641?- -1.037^"4碱…]6为風…二'3函3飞:翔T i:0.432]2 I'-1.641?- -1.037^"4碱…]6为風…二'3函3飞:翔T i:0.432]0.691'彳0.691'彳5G5G.Sheet?/.Sheet?/以CF 彳 2以CF 彳 20.11V .询由 石而① яТЙ0.11V .询由 石而① яТЙ

ml-- в z ц ES3S S%| tdS^'iFtF

'后二1，=SUMRR8U

A B_ , C _ _ D

ml-- в z ц ES3S S%| tdS^'iFtF

'后二1，=SUMRR8U

A B_ , C _ _ D

VERNON'S MUSIC STORE NUMBER OF

VERNON'S MUSIC STORE NUMBER OF

Month ；Y

Month ；Y

滋 January

滋 January

d

d

February March … 'April May June 域二二

February March … 'April May June 域二二

^jAugust j ^SlSeptembej 1410ctoberj H'lovember i

ЭесетЬег^

^jAugust j ^SlSeptembej 1410ctoberj H'lovember i

ЭесетЬег^

2 I

'-1.641?- -1.037^

"4碱…

]6为風…二

'3函

3飞:翔T i

:0.432]

2 I

'-1.641?- -1.037^

"4碱…

]6为風…二

'3函

3飞:翔T i

:0.432]

0.691

'彳

0.691

'彳

5G

5G

.Sheet?/

.Sheet?/

以CF 彳 2

以CF 彳 2

0.11V .询由 石而① яТЙ

0.11V .询由 石而① яТЙ

Рис. 3.30. Заполненная рабочая таблица Excel

Для того чтобы получить коррелограмму, выделите ячейки F5:F10. Щелкните на кнопке Chartwizard (Мастер диаграмм), показанной на рис. 3.31 справа вверху.

На экране раскроется диалоговое окно Chartwizard (Мастер диаграмм), в котором потребуется выполнить этапы с 1 по 4. На этапе 1 выберите тип диаграммы Column (Столбчатая) и щелкните на кнопке Next (Далее). На этапе 2 установите флажок опции Series (Ряды) и введите в поле Name (Имя) значение Corr. Щелкните на кнопке Next, и на экране раскроется диалоговое окно этапа 3. В поле Chat title удалите значение Corr. В поле Category (X) axis (Ось категорий (X)) введите Time Lags. Теперь щелкните на кнопке Data Table и установите флажок опции Show data table. Для того чтобы перейти в диалоговое окно этапа 4, щелкните на кнопке Next. Для получения коррело-

граммы, показанной на рис. 3.31, щелкните на кнопке Finish (Конец). Чтобы увеличить изображение коррелограммы, щелкните на одном из ее углов и потяните за него.

Для того чтобы сохранить эти данные для дальнейшего использования в главе 9, выберите команду FileoSave As (Файл^Сохранить как). В раскрывшемся диалоговом окне Save As (Сохранить как) введите значение ТаЬЗ-1 в поле File Name (Имя файла). Щелкните на кнопке Save (Сохранить), в результате чего новый файл будет сохранен на диске под именем Tab3-l.xls.

Г"" ГГ"" ГChart AreaChart Area+ Мн luudl I -L < I lui I *1+ Мн luudl I -L < I lui I *1'iJVERNON'S MUSIC STORE 今 Nlf0.800 -0.600'iJVERNON'S MUSIC STORE 今 Nlf0.800 -0.6000.4000.2000.000-0.2000.4000.2000.000-0.200Time LagsSheeb/she-^/plTime LagsSheeb/she-^/plI 卜 g3II 卜 g3I43x 。43x 。

Г"" Г

Г"" Г

Chart Area

Chart Area

+ Мн luudl I -L < I lui I *1

+ Мн luudl I -L < I lui I *1

'iJVERNON'S MUSIC STORE 今 Nlf

0.800 -

0.600

'iJVERNON'S MUSIC STORE 今 Nlf

0.800 -

0.600

0.400

0.200

0.000

-0.200

0.400

0.200

0.000

-0.200

Time Lags

Sheeb/she-^/pl

Time Lags

Sheeb/she-^/pl

I 卜 g3I

I 卜 g3I

43x 。

43x 。

Puc. 3.37. Отображение коэффициентов автокорреляции e Excel

Рекомендуемая литература

Ermer С.М. Cost of Error the Forecasting Model Selection. Journal of Business Forecasting (Spring, 1991), 10-12.

Fildes R., Hibon M., Makridakis S., Meade N. The Accuracy of Extrapolative Forecasting Methods: Additional Empirical Evidence. International Journal of Forecasting (1997), 13.

Makridakis S., Andersen A., Carbone R, Fildes R, Hibon M., Lewandowski R., Newton J., Parzen E., Winkler R. The Accuracy 炉Extrapolation (Time Series) Methods: Results 炉Forecasting Compete Z/ow. Journal of Forecasting, 1 (1982), 111—153.

Makridakis S., Chadtfield C., Hibon M., Lawrence M.J., Mills T., Ord K., Simmons I.F. The М2- Competition: A Real Time Judgmentally Based Forecasting Study, International Journal of Forecasting, 9 (1993), 5—30.

Makridakis S., Hibon M. The M-3 Competition: Results, Conclusions and Implications, International Journal of Forecasting, 16 (2000), 451—476.

Quenouille M.H. The Joint Distribution of Serial Correlation Coefficients. Annals of Mathematical Statistics, 20 (1949), 561—571.

Wilkinson G.F. How a Forecasting Model is Chosen. Journal of Business Forecasting (Summer, 1989), 7-8.

〃n〃n〃n〃〃n〃n〃n〃ГЛАВАГЛАВАП4、〃П公П4、〃П公

〃n〃n〃n〃

〃n〃n〃n〃

ГЛАВА

ГЛАВА

П4、〃П公

П4、〃П公

Методы сглаживанияи скользящие средние

В этой главе описываются три простые группы методов прогнозирования временных рядов: наивные, усреднения и сглаживания. При наивных методах строятся простые модели прогноза, в которых предполагается, что будущее лучше всего характеризуется последними событиями. Методы усреднения позволяют делать прогнозы, основываясь на среднем значении прошлых наблюдений. Методы сглаживания делают прогноз, усредняя прошлые данные с набором уменьшающихся (экспоненциально) весовых коэффициентов.

На рис. 4.1 приведено описание процедуры предсказания для методов, рассматриваемых в этой главе. На временной шкале наглядно представлены различные периоды. На рисунке точка г соответствует настоящему моменту. Все точки до нее соответствуют прошлым наблюдениям интересующей нас переменной (匕)，а точки после нее ——будущим, которые предсказываются. Когда методика прогнозирования выбрана, можно воспользоваться известными данными и рассчитать прогнозируемые величины (К). После того как предсказываемые значения будут получены, следует сравнить их с наблюдаемыми и рассчитать ошибку предсказания (е).

Правильная стратегия для оценки метода прогнозирования состоит из следующих этапов.

Метод прогноза выбирается, исходя из природы изучаемых данных.

Все данные делятся на две группы — данные инициализации или подгонки и данные проверки или прогноза.

Выбранная методика прогнозирования определяет способ подбора значений для части данных, использованных для инициализации.

Согласно выбранной методике вычисляется прогноз для тестовой группы данных, а затем рассчитывается и оценивается ошибка предсказания (см. глава 3, uИсследование наборов данных и выбор метода прогнозирования”).

Результаты готовы. На их основе можно принимать решение о том, приемлема ли методика для использования в таком виде или потребуется ее модификация. Возможно, необходимо будет воспользоваться иной методикой прогноза с целью сравнить полученные результаты.

Текущий момент

Данные прошедшего периода t Прогнозируемый период

Х-з, Х-2, X，%+1, %+2, %+з，

здесь >f — последнее наблюдаемое значение переменной,%+1 ——ближайшее прогнозируемое значение

Рис. 4 7. Описание процесса прогнозирования

Наивные модели

Часто <6молодыеп фирмы оказываются в затруднительном положении; они вынуждены делать прогнозы на основе незначительного количества исходных данных. Это является настоящей проблемой, поскольку большинство методик прогнозирования требует достаточно больших массивов исходных данных. В подобном случае наивные прогнозы — единственно возможное решение, поскольку они базируются только на самой свежей из доступной информации.

При наивном прогнозировании полагается, что последний период лучше всего предсказывает будущее. Самой простой моделью, таким образом, будет

Yl+^yt,(4.1)

где Х+1 ——это прогноз, сделанный в момент времени г (начальное предсказание) для момента времени f + 1.

Наивным прогнозом для каждого периода является непосредственно предшествующее ему наблюдение. Текущему значению величины в ряду присваивается стопроцентный вес, поэтому наивный прогноз можно назвать(tпрогнозом без изменений”.

Поскольку наивное прогнозирование (уравнение 4.1) отбрасывает все прочие наблюдения, в этой схеме изменения отслеживаются очень быстро. Проблема этого приближения заключается в том, что случайные флуктуации отслеживаются так явно, как ни в какой другой модели.

Пример 4.1

На рис. 4.2 показаны квартальные объемы продаж бензопил в компании Acme Tool. Наивная методика прогнозирует, что объемы продаж в следующем квартале будут такие же, как и в предыдущем. В табл. 4.1 представлены данные об объемах продаж за 1994—2000 гг. Если данные за 1994—1999 гг. взять как начальную часть, а данные за 2000 год — как тестовую, то прогноз на первый квартал 2000 года будет следующим.

厶4+1二厶4

厶=650

Таблица 4.1. Объем продаж бензопил в компании Acme Tool за 1994-2000гг.

Год

Квартал

t

Объем продаж

1994

1

1

500

2

2

350

3

3

250

4

4

400

1995

1

5

450

2

6

350

3

7

200

4

8

300

1996

1

9

350

2

10

200

3

11

150

4

12

400

1997

1

13

550

2

14

350

3

15

250

4

16

550

1998

1

17

550

2

18

400

3

19

350

4

20

600

1999

1

21

750

2

22

500

3

23

400

4

24

650

2000

1

25

850

2

26

600

3

27

450

4

28

700

Ошибка прогнозирования определяется, исходя из уравнения 3.6. Ошибка для периода 25 будет следующей.

05 =厶 一 ％ 二 850 - 650 = 200

В аналогичном случае для периода 26 прогноз даст значение 850 с ошибкой 250. На рис. 4.2 показано, что исходные данные имеют тенденцию к возрастанию, и в то же время в них заметны сезонные колебания (в первый и четвертый кварталы объемы продаж относительно высоки), поэтому выбранную модель следует модифицировать.

Sale of Saws for the Acme Tool Company: 1994-2000 900 - 800 - 700 - 600 -

5 500 - 400 - 300 - 200 - 100 -

199419951995 199619961996 2000

Year

Puc. 4.2. Уровень продаж бензопил в компании Acme Tool за 1994—2000 гг. (приложение Minitab)

Изучение исходных данных из примера 4.1 показывает, что их значения возрастают со временем. Если значение величины изменяется со временем, то ее называют нестационарной у или имеющей тренд. Уравнение 4.1 дает очень низкую степень предвидения. Впрочем, данную методику можно приспособить к учету возможного тренда, приплюсовав разницу между текущим и предыдущим периодами. Такой моделью будет следующая.

YM = Y, + (Y,- У,.,)(4.2)

В уравнении 4.2 учитываются те изменения, которые наблюдаются между кварталами.

Уравнение 4.2 для периода, включающего первый квартал 2000 года, даст следующее.

%+1 =厶4 + (厶4 - ^24-1)

P25 二%4 +(% - У23)

% = 650 + (650 - 400)% = 650+ 250 = 900Ошибка прогнозирования в этой модели будет следующей.

e25 =厶51y25 = 850 - 900 =—50

Иногда знание скорости изменения может оказаться более предпочтительным, чем знание абсолютной величины изменения. В этом случае модель может быть следующей.

方+尸К：一(4.3)

В примере 4.1 прогноз на первый квартал 2000 года (на основе уравнения 4.3) будет следующим.

% = 650 竺=1056

400

Изучение данных из табл. 4.1 показывает, что в них есть сезонные колебания. Объем продаж в первый и четвертый кварталы, как правило, больше, чем в другие кварталы. Если сезонные вариации достаточно сильны, то модели можно придать следующий вид.

幻=%(4.4)

Уравнение 4.4 устанавливает значение переменной в следующем квартале таким же, как и в соответствующем квартале прошлого года.

В этом случае в примере 4.1 прогноз на первый квартал 2000 года будет следующим.

%4+1 二厶4-3%5 = %У25 = 750

Главным недостатком этой модели является то, что в ней не учитываются события, происшедшие за этот год, а также какой-либо тренд. Существует несколько способов учета “свежих" данных. Например, аналитик может скомбинировать обе модели и учесть сезонные вариации вместе с трендом. Одна из возможных моделей может выглядеть следующим образом.

Х+1 = Ут +(工7 т) +…+(*-0)(4.5)

4

Здесь член 匕_з отвечает за сезонные колебания, а последний член учитывает тренд, проявившийся за последние четыре квартала.

На основе уравнения 4.5 прогноз на первый квартал 2000 года для примера 4.1 будет следующим.

У _ У _(_ (马4 - %47)+(厶4-3 - 为4-4)

4

у + (%-J) + (%-%) + (%-%) +(Ll%)

^25 — ^21 +

4

у _ 750 十(650 一 400)十(400 - 500) + (500- 750)十(750- 600)

25 ~4

芯5 = 750 + 12,5 = 762,5

Очевидно, что число и сложность возможных наивных моделей ограничиваются лишь изобретательностью аналитика. Однако использование этих методик требует тщательной проверки.

Наивные методы также могут служить основой для принятия решений при сравнении характеристик, полученных с помощью более сложных методов.

Методы прогнозирования, основанные на усреднении

Зачастую нужно обновлять прогнозы ежедневно, еженедельно или ежемесячно для реестров, содержащих сотни или тысячи записей. Чаще всего нет реальной возможности

применить сложный метод к каждому из наименований. Для того чтобы решить подобную задачу, необходимо достаточно быстрое, недорогое и относительно краткосрочное средство прогнозирования.

В данном случае аналитик, вероятно, воспользуется методикой, основанной на усреднении или сглаживании. При таких методиках взвешенное усреднение данных прошлых наблюдений применяется для сглаживания случайных флуктуаций. В основу этих методик положено предположение о том, что флуктуации в наблюдениях являются случайными отклонениями от некоторой гладкой кривой. Если вид этой кривой будет определен, то можно рассчитать прогноз для последующих периодов.

Простые средние

Данные наблюдений можно сгладить различными способами. Целью является построение модели прогнозирования для последующих периодов, исходя из прошлых наблюдений. В этом разделе рассматривается метод простых средних. Как и в наивных моделях, в качестве начальных данных используется значение величины в момент времени г, а в качестве тестовой части ——остальные. Ниже в уравнении 4.6 выполняется усреднение (вычисляется среднее значение) начальных данных и строится прогноз на следующий период.

Кх =扬工 (4.6)

Как только новое наблюдение станет доступным, для прогнозирования на следующий период “ в уравнении 4.6 при вычислении среднего следует учесть и это наблюдение.

Если одновременно предсказывается большое количество рядов данных (например, для нужд управления товарно-материальным снабжением), хранение данных может стать серьезной проблемой. Но она перестанет быть таковой, если обратиться к уравнению 4.7. В этом случае потребуется сохранять в принципе только наиболее “свежие" прогнозы и наблюдения; ведь время не стоит на месте.

方 此什(4.7)

Метод простых средних приемлем в тех случаях, когда процессы, генерирующие временные ряды, стабилизировались, а окружение, в котором существуют эти ряды, в основном, неизменно. В качестве примеров такого типа рядов могут выступать количество продаж, зависящее от текущего уровня усилий продавца; количество продаж продуктов, достигших стадии насыщения своего жизненного цикла; и число планируемых на неделю визитов к врачу или адвокату, количество клиентов которых постоянно.

В методе простого среднего для создания прогноза на следующий период используется среднее значение всех значимых прошлых наблюдений.

Пример 4.2

Компания Spokane Transit Authority (STA) эксплуатирует парк автобусов, предназначенных для перевозки пожилых и немощных людей. В табл. 4.2 представлен отчет, сколько бензина закуплено для этих автобусов. Фактическое количество бензина, потребляемое автобусом в какой-либо день,——величина случайная, определяемая характером вызова и маршрута. На рис. 4.3 приведен график закупок бензина. На нем видно, что данные о закупках весьма ста-

бильны. А поскольку данные стабильны, можно применить метод простых средних к данным с 1 по 28 недели, чтобы построить прогноз на 29 и 30 недели. Для 29 недели прогноз будет иметь следующий вид.

1 28

2K /=]

%=甯=281,2

Ошибка прогнозирования будет следующей.

09 =厶9 - % = 302 -281,2 = 20,8

В прогнозе для 30 недели данных на одно значение больше (302). Поэтому прогнозирование даст такой результат.

у _ 28*8+1 十厶8+128+2 ■ ~28+1 ~

292928(281,2) + 3022928(281,2) + 30229= 281,9= 281,9y _ 28(力)十厶<30 —

29

29

28(281,2) + 302

29

28(281,2) + 302

29

= 281,9

= 281,9

Соответственно, ошибка прогнозирования для 30 недели будет следующей. «3。= %-%。= 285-281,9 = 3,1

Тогда для 31 недели метод простых средних даст следующий прогноз.

30

30+1 ~ 30

后[二空1 =282

30

Таблица 4.2. Закупки бензина компанией Spokane Transit Authority

Неделя, t

Количество, 匕

Недел% t

Количество, 匕

Неделя, t

Количество, 匕

1

275

11

302

21

310

2

291

12

287

22

299

3

307

13

290

23

285

4

281

14

311

24

250

5

295

15

277

25

260

6

268

16

245

26

245

7

252

17

282

27

271

8

279

18

277

28

282

9

264

19

298

29

302

10

288

20

303

30

285

Gasoline Purchases for Spokane Transit Authority

310

300

290

280

270

260

250-

240

102030

Week

Рис. 4.3 Недельные закупки бензина в компании Spokane Transit Authority (приложение Minitab)

Скользящие средние

При использовании метода простых средних прогнозирование выполняется на основе усреднения всех существующих данных. Но иногда аналитика больше интересуют самые последние наблюдения. Тогда можно фиксировать число точек данных, подлежащих усреднению, и ограничиться только последними наблюдениями. Для описания такой модели используется термин скользящее среднее. Как только новое наблюдение становится доступным, оно включается в усреднение, а наиболее старое, соответственно, исключается. Вновь вычисленное скользящее среднее используется для создания прогноза на следующий период. Уравнение 4.8 дает простой пример модели скользящего среднего. Скользящее среднее порядка к, СС(%), определяется выражением

YM=(工+工7土工-2+“・+3…),(4.8)

к

где

Z+i —— прогнозируемая величина на следующий период;

匕 一 значение величины в текущем периоде;

к — число членов в скользящем среднем.

Скользящее среднее для периода / ——это арифметическое среднее к последних наблюдений.

Следует отметить, что всем наблюдениям присваиваются одинаковые весовые коэффициенты. Каждое новое наблюдение включается в среднее по мере его появления, а наиболее старые тотчас исключаются. Скорость реакции на изменения в структуре данных зависит от числа периодов %, участвующих в усреднении.

Важно также, что в методике скользящего среднего используются только последние к наблюдений; и число точек, подлежащих усреднению, не меняется со временем. Модель скользящего среднего не очень хорошо учитывает тренд и сезонные вариации, хотя делает это лучше, чем метод простого среднего.

Аналитик может изменять число периодов к в скользящем среднем. В скользящем среднем порядка 1, СС(1), последнее наблюдение 匕 является прогнозом на следующий период. Этот случай полностью соответствует модели наивного прогнозирования, определенной в уравнении 4.1.

Скользящее среднее порядка к ——это среднее значение к последовательных наблюдений.

Пример 4.3

Прогнозирование на основе методики скользящего среднего демонстрируется в табл. 4.3. Для данных компании Spokane Transit Authority использовано пятинедельное скользящее среднее. Прогноз для 29 недели будет следующим.

У _ (厶8 +a8-1 + 厶8-2 +…+ 厶8.5+1)

у _(%+/+%+%+%)

台(282 + 271 + 245 + 260 + 250)1308 “ —

力9 = = 261,6

Таблица 4.3. Закупки бензина компанией Spokane Transit Authority

t

Количество

e.

1

275

*

*

2

291

*

*

3

307

*

*

4

281

*

*

5

295

*

*

6

268

289.8

-21.8

7

252

288.4

-36.4

8

279

280.6

-1.6

9

264

275.0

-11.0

10

288

271.6

16.4

И

302

270.2

31.8

12

287

277.0

10.0

13

290

284.0

6.0

f

Количество

Yt

ef

14

311

286.2

24.8

15

277

295.6

-18.6

16

245

293.4

-48.4

17

282

282.0

0.0

18

277

281.0

-4.0

19

298

278.4

19.6

20

303

275.8

27.2

21

310

281.0

29.0

22

299

294.0

5.0

23

285

297.4

-12.4

24

250

299.0

-49.0

25

260

289.4

-29.4

26

245

280.8

-35.8

27

271

267.8

3.2

28

282

262.2

19.8

29

302

261.6

40.4

30

285

272.0

13.0

Когда действительное значение для 29 недели станет известно, рассчитывается ошибка прогнозирования.

&产％- ^9 = 302 -261,6 = 40,4

Прогноз на 31 неделю будет следующим.

У 一(及 +4。-1 +"0-2 +…+ "0.5+1)

30+1 -

у =(% + 厶9 + 厶 + % + ^6)

31 ~5

声=(285 + 302 + 282 + 271 + 245) = 1381 =加

-55- -

Для расчета прогноза методом скользящего среднего можно использовать приложение Minitab (см. раздел ^Применение Minitab" в конце главы). На рис. 4.4 изображены графики изменений величины закупок наряду с прогнозами этих величин для соответствующих периодов, выполненными методом скользящего пятинедельного среднего. Также здесь можно видеть, что Minitab позволяет определить среднеквадратическую ошибку (MSE, а в Minitab — MSD)、среднюю ошибку в процентах (МАРЕ) и среднее отклонение (MAD).

<Ete E& Hmp 3 $w Йчй 婀 Шм К立闺5倒口电冋「I Е 0启Е丞! KМ打01营阀<Ete E& Hmp 3 $w Йчй 婀 Шм К立闺5倒口电冋「I Е 0启Е丞! KМ打01营阀|>MINirAH Unhlkil |I.Vi|>MINirAH Unhlkil |I.Vi-'CAf^tmimu hit-ЛМ Hi BHAM'rtUMiu I\t. MMi.M 4 шсЦ" J 厂广厂-'CAf^tmimu hit-ЛМ Hi BHAM'rtUMiu I\t. MMi.M 4 шсЦ" J 厂广厂5-Week Moving Average of STA Gasoline Purchases5-Week Moving Average of STA Gasoline PurchasesPMctMPMctMTimeTimehbvhg Averagehbvhg AverageMEab Instructions:STAT>T»« SERES>MOVINO AVERAGEMEab Instructions:STAT>T»« SERES>MOVINO AVERAGEPredicted ..--ForecastPredicted ..--Forecast

<Ete E& Hmp 3 $w Йчй 婀 Шм К立

闺5倒口电冋「I Е 0启Е丞! KМ打01营阀

<Ete E& Hmp 3 $w Йчй 婀 Шм К立

闺5倒口电冋「I Е 0启Е丞! KМ打01营阀

|>MINirAH Unhlkil |I.Vi

|>MINirAH Unhlkil |I.Vi

-'CAf^tmimu hit-ЛМ Hi BHAM'rtUMiu I\t. MMi.M 4 шсЦ" J 厂广厂

-'CAf^tmimu hit-ЛМ Hi BHAM'rtUMiu I\t. MMi.M 4 шсЦ" J 厂广厂

5-Week Moving Average of STA Gasoline Purchases

5-Week Moving Average of STA Gasoline Purchases

PMctM

PMctM

Time

Time

hbvhg Average

hbvhg Average

MEab Instructions:

STAT>T»« SERES>MOVINO AVERAGE

MEab Instructions:

STAT>T»« SERES>MOVINO AVERAGE

Predicted ..--Forecast

Predicted ..--Forecast

¥迎可 J mPbyw. _||EmIM1TAB UnhZ 丁a良 ^0 31gpM

Рис. 4.4. Прогноз недельных закупок бензина компании Spokane Transit Authority, выполненный с применением метода скользящего пятинедельного среднего (приложение Minitab)

На рис. 4.5 представлена автокорреляционная функция остатков для метода скользящего пятинедельного среднего. Выполнив тест Льюинга-Бокса для шести временных интервалов, можно сделать вывод, что полученный ряд не случаен. Действительно, девятинедельная модель дает лучший прогноз для этих данных, поскольку модели больших порядков менее чувствительны к флуктуациям в рядах данных.

Autocorrelation Function for Example 4.3 ResidualsAutocorrelation Function for Example 4.3 Residuals12345612345618 0 0 4 2503662----18 0 0 4 2503662----321161532306z n-1-zzn^----321161532306z n-1-zzn^----7.217.3910.13 21.8135.7437.467.217.3910.13 21.8135.7437.46

Autocorrelation Function for Example 4.3 Residuals

Autocorrelation Function for Example 4.3 Residuals

123456

123456

18 0 0 4 2503662

----

18 0 0 4 2503662

----

321161

532306z n-1-zzn^

----

321161

532306z n-1-zzn^

----

7.21

7.39

10.13 21.81

35.74

37.46

7.21

7.39

10.13 21.81

35.74

37.46

Puc. 4.5. Автокорреляционная функция остатков при использовании пятинедельного скользящего среднего для данных компании Spokane Transit Authority (приложение Minitab)

Аналитик может самостоятельно определить, сколько дней, недель, месяцев или кварталов нужно учитывать в скользящем среднем. Чем меньше их число, тем больший удельный вес приобретают последние периоды. И наоборот, большее число используемых периодов уменьшает удельный вес последних периодов.

Если ряды подвержены неожиданным изменениям, то уместно было бы использовать в модели меньшее количество данных. В то же время большее количество данных в модели необходимо в тех случаях, когда в рядах наблюдаются отдельные редкие флуктуации.

В главе 5 будет показано, что скользящее среднее зачастую используется для сглаживания компонент внутри самих временных рядов на основе квартальных или месячных данных. Для квартальных данных четырехквартальное скользящее среднее, СС(4), дает среднее значение для четырех кварталов. А для месячных данных 12-месячное скользящее среднее, СС(12), усредняет или устраняет сезонные явления. Чем больший порядок скользящего среднего, тем ощутимее эффект сглаживания.

В примере 4.3 методика скользящего среднего применяется к стабильным данным. Из примера 4.4 видно, что происходит, если метод скользящего среднего применяется к данным, имеющим какой-либо тренд. Ниже рассматривается методика двойного скользящего среднего, разработанная специально для оперирования данными, имеющими существенный тренд.

Двойные скользящие средние

Одним из способов построения прогноза для данных, имеющих линейный тренд, является использование методики двойных скользящих средних. Этот метод подразумевает именно то, о чем говорит его название: сначала вычисляется ряд значений методом скользящих средних, а потом уже этот набор прогнозов усредняется этим же методом.

Ниже в табл. 4.4 представлены данные о доходах от проката видеокассет компании Movie Video Store. Тут же приводятся результаты прогнозирования объемов проката методом трехнедельного скользящего среднего. Изучив колонку ошибок в этой таблице, можно увидеть, что каждая из записей положительна. Это означает, что подобный метод прогнозирования не учитывает тренда.

Таблица 4.4. Недельные доходы от проката для компании Movie Video Store

f

Сдано в прокат за неделю,匕

Скользящий итог за 3 недели

Пропюз,

1

654

-

2

658

-

-

3

665

1997

-

-

4

672

1995

659

13

5

673

2010

665

8

6

671

2016

670

1

7

693

2037

672

21

8

694

2058

679

15

f

Сдано в прокат за неделю,匕

Скользящий итог за 3 недели

Окончание табл. 44

Прогноз, “1

/

9

701

2088

686

15

10

703

2098

696

7

11

702

2106

699

3

12

710

2115

702

8

13

712

2124

705

7

14

711

2133

708

3

15

16

728

2151

711

717

17

MSE= 133

На рис. 4.6 для данных из табл. 4.4 представлены прогнозы, вычисленные по методам скользящего среднего и двойного скользящего среднего. Из графика видно, что прогнозы, сделанные с помощью скользящего среднего, постоянно отстают от действительных значений соответствующих периодов. Этот пример иллюстрирует результаты применения методики скользящего среднего к данным, в которых есть тренд. Видно также, что прогнозы на основе двойного скользящего среднего запаздывают по сравнению с методом скользящего среднего в той же мере, в какой метод скользящего среднего отстает от реальных величин.

atexodu зниоховatexodu зниоховРис. 4.6. Трехнедельное простое и двойное скользящее среднее для данных компании Movie Video StoreРис. 4.6. Трехнедельное простое и двойное скользящее среднее для данных компании Movie Video Store

atexodu зниохов

atexodu зниохов

Рис. 4.6. Трехнедельное простое и двойное скользящее среднее для данных компании Movie Video Store

Рис. 4.6. Трехнедельное простое и двойное скользящее среднее для данных компании Movie Video Store

Способ расчета двойного скользящего среднего описывается уравнениями 4.9-4.12. Прежде всего для вычисления скользящего среднего используется уравнение 4.8.

М 二 Хм =(工+3Q +…+Е

Затем для вычисления вторичного скользящего среднего применяется уравнение 4.9.

М =+”7 +Mf +…+ M~+i)(4 9)

к

Для того чтобы построить прогноз, в уравнении 4.10 к первичному скользящему среднему прибавляется разница между первичным и вторичным скользящими средними.

а, = М + (И - М) = 2M - М,(4.10)

В уравнении 4.11 вводится дополнительный корректировочный фактор, сходный с коэффициентом наклона, который может меняться для различных диапазонов значений в ряду.

bt = (Mt- Mi)(4.11)

к-1

И наконец, в уравнении 4.12 делается прогноз нар периодов вперед.

Y^p = az + btp(4.12)

Здесь

к— количество периодов, задействованных в скользящем среднем;

р — количество периодов вперед, на которое делается прогноз.

Пример 4.4

Компания Movie Video Store владеет в Денвере, шт. Колорадо, несколькими заведениями по прокату видеофильмов. Компания растет и нуждается в расширении складских помещений, чтобы справиться с увеличением спроса на ее услуги. Президент компании поручил Джил От- тенбрит (Jill Ottenbreit) спрогнозировать доход от проката видеокассет на следующий месяц. Данные о доходах от проката за последние 15 недель приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5. Прогноз методом двойного скользящего среднего для данных компании Movie Video Store

Г匕 М, М, а,瓦 а + Ьр,

S = 1)

7

2345678

1

654

2

658

3

665659-----

4

672665-----

5

6736706656755-

6

6716726696753680-9

ГY,М,

Mtatbt

Окончание табл. 4.5

а + bpj

S = 1)

g

1

2

3

4

5

6

7

8

7

693

679

674

684

5

678

15

8

694

686

679

693

7

689

5

9

701

696

687

705

9

700

1

10

703

699

694

704

5

714

-11

11

702

702

699

705

3

709

-7

12

710

705

702

708

3

708

2

13

712

708

705

711

3

711

1

14

711

711

708

714

3

714

-3

15

728

717

712

722

5

717

11

16

-

-

-

-

727

Значение MSE

= 63,7

Джил сначала попыталась сделать прогноз на основе метода трехнедельного скользящего среднего. Для такой модели MSE оказалось равным 133. Поскольку наличие тренда в данных очевидно, она пришла к выводу, что ее прогноз будет недооценивать величину реальных доходов. Поэтому она решила применить методику двойного скользящего среднего. Результаты применения этой методики показаны в табл. 4.5. Чтобы пояснить полученное значение прогноза для 16 недели, ниже приводятся детальные расчеты. Для определения трехнедельного скользящего среднего (колонка 3) использовалось уравнение 4.8.

必5 =в削=.(Z^%-注纭让二立2&3盘

3

此出=空+ 7产7刷57

Для двойного скользящего среднего (столбец 4) применяется уравнение 4.9.

Ду、—("15 +"15-1 +М15—2 +…+ "15-3+i)

а/ _ (717 + 711 + 708)] 5 — '1— 712

3

Для вычисления разницы между двумя скользящими средними (столбец 5) используется уравнение 4.10.

Я15 = 2Л/|5- Л/|5 = 2(717)- 712 = 722

Уравнение 4.11 рассчитывает наклон (столбец 6).

瓦5 = — (Л/15- М；5)二 2/2(717 - 712) = 5

Для прогноза на один период в будущее использовано уравнение 4.12 (столбец 7).

Г15+1= «15+ ^ = 722 + 5(1) = 727

Прогноз на четыре недели вперед будет следующим.

力5"二 S5 + 仇5夕=722 + 5(4) = 742

Обратите внимание на то, что в результате MSE уменьшилось с 133 до 63,7.

Это подтверждает обоснованность предположения о том, что более "свежие" наблюдения содержат больше важной информации. В методе, который вводится в следующем разделе, более свежим наблюдениям придается еще больший вес.

Методы экспоненциального сглаживания

По сравнению с методами скользящих средних, где задействованы только наиболее свежие данные, в методе простого экспоненциального сглаживания применяется взвешенное (экспоненциально) скользящее усреднение всех данных предыдущих наблюдений. Эта модель чаще всего применяется к данным, о которых заранее не известно, имеют ли они тренд. Целью такого подхода является оценка текущего состояния, результаты которой и определят все последующие прогнозы.

Экспоненциальное сглаживание предусматривает постоянное обновление модели за счет наиболее свежих данных. Этот метод основывается на усреднении (сглаживании) временных рядов прошлых наблюдений в нисходящем (экспоненциально) направлении. Иными словами, здесь более поздним событиям присваивается больший вес. Вес присваивается следующим образом: для последнего наблюдения весом будет величина а, для предпоследнего — (1 - а), для того, которое было перед ним, — (1 - а)2 и т.д.

В сглаженном виде новый прогноз (для периода времени /+ 1) можно представлять как взвешенное среднее последнего наблюдения величины в момент времени ? и ее прежнего прогноза на этот же период /. Причем вес а присваивается наблюдаемому значению, а вес (1 - а) — прогнозу; при этом полагается, что 0<а< 1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Новый прогноз = [ах (последнее наблюдение)] + [(1 - а) х последний прогноз]

Более формально данное выражение можно записать так:

九= аХ + (1-а»,,(4.13)

где

力+1 —— прогнозируемое значение на следующий период;

а —— постоянная сглаживания(0<а< 1);

匕 一 наблюдение величины за текущий период г；

У, — прежний сглаженный прогноз этой величины на период £

Чтобы прояснить смысл постоянной а, уравнение 4.13 можно переписать в следующем виде.

厶…匕+(!-哂

Р,+1 = аУ, + % -源%=区+明一力

Экспоненциальное сглаживание — это просто старый прогноз (力 с уточнением в виде произведения а на ошибку последнего прогноза (匕-У,).

Экспоненциальное сглаживание ——это процедура для постоянного пересмотра результатов прогнозирования в свете самых последних событий.

Постоянная сглаживания а является взвешивающим фактором. Ее реальное значение определяется тем, в какой мере текущее наблюдение должно влиять на прогнозируемую величину. Если а близко к 1, значит, в прогнозе существенно учитывается величина ошибки последнего прогнозирования. И наоборот, при малых значениях а прогнозируемая величина наиболее близка к предыдущему прогнозу. Можно представить У, как взвешенное среднее значение всех прошлых наблюдений с весовыми коэффициентами, экспоненциально убывающими с "возрастом" данных. Скорость, с которой прошедшие наблюдения теряют свою значимость, можно проследить по табл. 4.6.

Постоянная а является ключом к анализу данных. Если требуется, чтобы спрогнозированные величины были стабильны и случайные отклонения сглаживались, необходимо выбирать малое значение а. Большее значение постоянной а имеет смысл в том случае, если нужна быстрая реакция на изменения в спектре наблюдений. Для оценки оптимального значения а один из методов состоит в минимизации среднеквадратической ошибки {MSE). которая определяется уравнением 3.8. Последовательно вычисляются прогнозы при а, равном 0,1; 0,2;…；0,9, и рассчитывается величина среднеквадратической ошибки прогнозирования для каждого из них. То значение а, для которого величина ошибки будет наименьшей, и выбирается для дальнейшего использования в прогнозах.

При использовании уравнения 4.13 необходимо оговорить начальное сглаженное значение. Одна из моделей предлагает установить первую оценку равной первому наблюдению. Эта модель показана в примере 4.5. В ином методе в качестве начального используется среднее значение первых пяти или шести наблюдений.

Пример 4.5

Методика выполнения экспоненциального сглаживания демонстрируется в табл. 4.7 и на рис. 4.7 и 4.8. Для данных компании Acme Tool за 1994—2000 гт. постоянная сглаживания взята равной 0,1 и 0,6. Данные за 2000 год составят тестовую часть; по ним будет сделана оценка эффективности каждой из моделей. Для экспоненциального сглаживания рядов начальное значение 匕 берется равным 500. Если имеются более ранние данные (до 1994 года), то можно, предварительно сгладив, взять их как начальные. Ниже приведены этапы вычисления прогноза дня периода 3.

Прогноз на период 3 определяется следующим образом.

YM = aZ+ (1 - а)У,& = аУ2+(1-а)%У3 = 0,1(350)4-(1 - 0,1)500 = 485

Ошибка прогнозирования будет следующей.

ез = К - % = 250 - 485 = -235

Прогноз для периода 4 таков.

К = 0,1(250) + 0,9(485) = 461,5

Для постоянной сглаживания, равной ОД, прогнозируемая величина для первого квартала 2000 года равна 469. При постоянной сглаживания, равной 0,6,——прогноз дает 576.

Таблица 4.6. Сравнение влияния разных значений постоянных сглаживания

Период

а = 0,1

а = 0,6

Расчет

Вес

Расчет

Вес

г

0,100

0,600

г-1

0,9 х 0,1

0,090

0,4 х 0,6

0,240

片2

0,9 х 0,9 ХОД

0,081

0,4 х 0,4 х 0,6

0,096

Т

0,9 х 0,9 х 0,9 х 0,1

0,073

0,4 х 0,4 х 0,4 х 0,6

0,038

Г-4

0,9x0,9x0,9x0,9x0,1

0,066

0,4 х 0,4 х 0,4 х 0,4 х 0,6

0,015

Остальные

0.590

0.011

Всего

15000

1,000

Таблица 4.7. Экспоненциально сглаженные значения объемов продаж для компании

Время

Действительное значение

у.

Сглаженное значение X (а = 0,1)

Ошибка прогноза

/

Сглаженное значение Yt (а = 0,6)

Ошибка прогноза

е.

Год

Квартал

1994

1

500

500,0

0,0

500,0

0,0

2

350

500,0

-150,0

500,0

-150,0

3

250

485,0

-235,0

410,0

-160,0

4

400

461,5

-61,5

314,0

86,0

1995

5

450

455,4

-5,4

365,0

84,4

6

350

454,8

-104,8

416,2

-66,2

7

200

444,3

-244,3

376,5

-176,5

8

300

419,9

-119,9

270,6

29,4

1996

9

350

407,9

-57,9

288,2

61,8

10

200

402,1

-202,1

325,3

-125,3

11

150

381,9

-231,9

250,1

-100,1

12

400

358,7

41,3

190,0

210,0

1997

13

550

362,8

187,2

316,0

234,0

14

350

381,6

-31,5

456,4

-106,4

15

250

378,4

-128,4

392,6

-142,6

16

550

365,6

184,4

307,0

243,0

SMOOTHINGSMOOTHING隆丁 417FP隆丁 417FPРис. 4 Z Экспоненциальное сглаживание с а = 0, / для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)Рис. 4 Z Экспоненциальное сглаживание с а = 0, / для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

SMOOTHING

SMOOTHING

隆丁 417FP

隆丁 417FP

Рис. 4 Z Экспоненциальное сглаживание с а = 0, / для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Рис. 4 Z Экспоненциальное сглаживание с а = 0, / для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Время

Действительное значение

Yt

Сглаженное значение Yt (а = 0,1 丿

Ошибка прогноза

色

Окончание табл. 4.7

Сглаженное значение Yt (а = 0,6)

Ошибка прогноза

*

Год

Кввртал

1998

17

550

384,0

166,0

452,8

97,2

18

400

400,6

-0,6

511,1

-111,1

19

350

400,5

-50,5

444,5

-94,5

20

600

395,5

204,5

387,8

212,2

1999

21

750

415,9

334,1

515,1

234,9

22

500

449,3

-50,7

656,0

-156,0

23

400

454,4

-54,4

562,4

-162,4

24

650

449,0

201,0

465,0

185,0

2000

25

850

469,0

576,0

Actual

△ Predicted

Actual

Predicted

SmoothingConstantAlpha:0.600

MAPE:36.5

MAD:134.5

MSD:22248.4

Puc. 4 8. Экспоненциальное сглаживание с a = 0,6 для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Обратите внимание на то, насколько стабильны сглаженные значения данных при постоянной сглаживания, равной 0,1. Если исходить из минимизации среднеквадратической ошибки MSE (в Minitab она обозначена как MSD), то значение а, равное 0,6, дает лучший результат. Если сравнивать значения средних абсолютных ошибок в процентах (МАРЕ), то значение 0,6 все равно будет лучше. Сравнение прогнозов при каждом значении постоянной сглаживания с действительными объемами продаж за первый квартал 2000 года показывает, что значение постоянной, равное 0,6, также оказывается наиболее эффективным. Если подытожить сказанное, то получится следующая картина.

а = 0,1MSE = 2^ 264 MAPE = 3S,9%

а = 0,6MSE = 22 248МАРЕ = 36,5%

Как уже говорилось ранее, еще одним фактором, влияющим на прогнозирование, является выбор начальной величины для сглаживания, Уь Из табл. 4.7 следует, что для примера 4.5 в качестве начальной взята величина ^ = У)= 500. Такой выбор придает ей слишком большой вес в последующих прогнозах. Но, к счастью, влияние начальных данных быстро падает с ростом времени /.

В другой модели для получения начального значения для сглаживания предлагается усреднить первые к наблюдений. Тогда сглаживание начнется со следующего значения.

自=1/出

Пример 4.6

В этом примере рассматривается вычисление начальной величины как среднего значения для данных компании Acme Tool, представленных в табл. 4.5. Если значение к выбрать равным 6, то начальное значение будет следующим.

К = 1/6 2% = 1/6(500 + 350 + 250 + 400 + 450 + 350) = 383,3

Ниже приведены значения MSE и МАРЕ для различных постоянных сглаживания а при начальном значении 383,3.

а = 0,1MSE=2\ 091МАРЕ =32,1%

а = 0,6MSE = 22 152МАРЕ = 36,7%

Для а = 051 выбранное начальное значение уменьшает значение и MSE, и МАРЕ, однако этого не наблюдается при а = 0,6. Поэтому теперь лучшей моделью будет та, в которой а = 0,1, вместо а = 0,6.

В приложении Minitab для вычисления начального значения коэффициент к берется равным 6, при этом для выбора постоянной сглаживания применяется процедура минимизации. На рис. 4.9 показан результат обработки данных из табл. 4.5 в приложении Minitab (см. раздел ''Применение Minitab” в конце главы). С целью оптимизации MSE величина постоянной а автоматически взята равной 0,266. При этом MSE уменьшается до 19 477, МАРЕ равна 32,2 %, а МРЕ ——6,4 %. Прогноз на первый квартал 2000 года — 534.

TimeTimeActual

Time

Time

Predicted

Actual

Predicted

SmoothingConstantAlpha:0.266

MAPE:32.2

MAD:117.5

MSD:19447.0

Puc. 4.9. Экспоненциальное сглаживание с a =0,26 для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

На рис. 4.10 показана автокорреляционная функция остатков для простого экспоненциального метода сглаживания при а 二 0,266. Большое значение LBQ в результате проведения теста Льюинга-Бокса для шести интервалов означает, что ряды не случайны. Во втором и четвертом интервалах большие автокорреляционные остатки свидетельствуют о том, что сезонные вариации данных не учитываются простым экспоненциальным сглаживанием.

08642024680_____ ио&」」оо408642024680_____ ио&」」оо4Corr0.12-0.59 0.11 0.65-0.01-0.54Corr0.12-0.59 0.11 0.65-0.01-0.54т598441400265 °2°2°1т598441400265 °2°2°1LBQ

08642024680

_____ ио&」」оо4

08642024680

_____ ио&」」оо4

Corr

0.12

-0.59 0.11 0.65

-0.01

-0.54

Corr

0.12

-0.59 0.11 0.65

-0.01

-0.54

т598441400265 °2°2°1

т598441400265 °2°2°1

0.40 10.24 10.59 23.65 23.65 33.86

Рис. 4.10. Автокорреляционная функция остатков 6 методе экспоненциального сглаживания для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Поскольку при экспоненциальном сглаживании неслучайная структура в данных сохраняется и в будущем, оно применимо для введения нормативов, которые должны определять, когда следует вносить изменения в схему. Следящий сигнал ——это одна из возможностей учета изменений. Такой сигнал выполняет две задачи: постоянный расчет степени ошибочности прогнозирования и определение пределов ошибки, выход за которые должен приводить к прерыванию прогнозирования.

Следящий сигнал выполняет две задачи: постоянную оценку степени ошибочности прогнозирования и определение предельно допустимой ошибки, выход за которую должен прерывать прогнозирование.

Например, с помощью следящего сигнала можно узнать, когда нужно изменять значение постоянной сглаживания а. Поскольку прогноз обычно строится для большого количества наименований, как правило, одно и то же значение а применяется в течение многих периодов, прежде чем будет предпринята попытка проверить необходимость его изменения. К несчастью, сильным аргументом против внесения изменений в значение постоянной а является простота применения отлаженной модели экспоненциального сглаживания. Но иногда действительно возникает необходимость замены а. Когда модель начинает давать прогнозы с большой долей ошибок, изменения просто необходимы.

Применение следящего сигнала — это метод отслеживания необходимости изменений. В такой системе задан диапазон допустимых отклонений прогноза от реального значения прогнозируемой величины, и пока прогноз попадает в область допустимых значений, необходимости в изменении постоянной сглаживания а нет. В противном случае,

когда полученный прогноз выходит за рамки допустимого диапазона, система сигнализирует о необходимости замены значения постоянной а.

Например, если дела идут хорошо, методика прогнозирования с одинаковой частотой как переоценивает, так и недооценивает прогнозируемые величины. На этом логичном выводе можно построить следующую методику организации работы следящего сигнала.

Пусть U равно числу недооценок в последних п прогнозах. Иными словами, U — это число ошибок из последних к, которые больше нуля. Если ситуация под контролем, то можно ожидать, что U =勿2; но с учетом вариабельности выборки значение, достаточно близкое к 勿2, тоже будет вполне приемлемо. С другой стороны, значение, сильно отличающееся от Л/2, сигнализирует, что в прогнозах имеет место перекос.

Пример 4.7

Допустим, что в компании Acme Tool решено применить методику экспоненциального сглаживания с а = 0,1, как показано в примере 4.5. Процесс прогнозирования необходимо контролировать, и аналитик решил отслеживать значение последних 10 ошибок. Предполагаемое значение Uравно 5. В этом случае значения U= 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 не вызовут особой тревоги. Напротив, значения 0, 1, 9 и 10 должны вызывать беспокойство, поскольку вероятность появления подобной величины очень мала (0,022, считая распределение биномиальным).

Будем считать, что если 8> t/>2, тогда прогноз адекватен.

Если U<2 или U > 8, то прогнозирование дает недопустимую ошибку.

В частности, в нашем примере из 10 прогнозов, сделанных по выбранной методике, только первый дает положительную ошибку. Так как вероятность обнаружения только одной положительной ошибки крайне мала (0,011), ситуацию следует понимать как недопустимую (прогноз характеризуется переоценкой). Можно сделать обоснованный вывод, что значение постоянной сглаживания а необходимо изменить.

Иной способ отслеживания процесса прогнозирования состоит в определении диапазона, в который должна попадать ошибка прогнозирования. Это можно реализовать так же, как и в случае оптимизации значения постоянной а. Если методика экспоненциального сглаживания достаточно точна, то ошибка прогнозирования в среднем близка к нулю. При этом существует вероятность (равная 95%), что реальное наблюдение попадет в диапазон приблизительно из 2 стандартных отклонений прогноза. Поэтому для следящего сигнала будет достаточно установить приблизительно 95%-ный предел точности. Работа этой модели иллюстрируется в примере 4.8.

Пример 4.8

Для приведенных выше данных компании Acme Tool оптимальное значение постоянной сглаживания а было определено как а = 0,266; при этом MSE = 19 447. Среднеквадратическое отклонение ошибки прогнозирования будет равно JMSE , или J19.447 = 139,5. Если ошибки распределены нормально, в среднем около нуля, то существует 95%-ная вероятность, что реальное наблюдение попадет в диапазон из приблизительно 2 стандартных отклонений прогноза.

±2 <MSE = ±2)19447 = ±2(139,5) = ±279

Следовательно, допустимое отклонение равно 279. Если для последующих отклонений абсолютная ошибка будет больше 279, это может послужить причиной для поисков более подходящего значения а или выбора иной методики прогнозирования.

Тема мониторинга процесса прогнозирования, затронутая выше, в той же мере относится и ко всем остальным методам, рассматриваемым ниже в этой главе.

Следует отметить, что в методике экспоненциального сглаживания предполагается, что данные колеблются около уровня, который меняется нечасто. Когда же в данных присутствует значительный тренд, простое экспоненциальное сглаживание постоянно отстает от реальных наблюдений. Далее рассматривается методика линейного экспоненциального сглаживания Хольта, разработанная для оперирования данными, имеющими существенный тренд.

Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда: метод Хольта

В простом методе экспоненциального сглаживания предполагалось, что уровень значений временных рядов меняется редко; поэтому в нем необходима оценка лишь текущего уровня. В некоторых случаях данные наблюдений могут иметь заметный тренд, т.е. включают информацию, которая позволит учитывать возможные будущие повышения. В подобной ситуации необходима функция прогнозирования линейного тренда. Поскольку в экономике или бизнесе временные ряды редко характеризуются фиксированным линейным трендом, следует рассмотреть возможность учета локального линейного тренда, меняющегося со временем. В 1957 году Хольт (Holt) разработал метод экспоненциального сглаживания, получивший название двухпараметрического метода Хольта. В этом методе учитывается локальный линейный тренд, присутствующий во временных рядах.

Если во временных рядах имеется тенденция к росту, то вместе с оценкой текущего уровня необходима и оценка наклона. В методике Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно, при этом используются различные постоянные сглаживания для каждого из них. Эти постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз, когда появляются новые наблюдения. Одним из преимуществ методики Хольта является ее гибкость, позволяющая выбирать соотношение, в котором отслеживаются уровень и наклон.

Ниже приведены три уравнения, составляющие метод Хольта.

Экспоненциально сглаженный ряд или оценка текущего уровня. £,= а%+(1-а)(£1-7；т)(4.14)

Оценка тренда.

=+(4.15)

Прогноз на р периодов вперед.

% = 〃+“„(4.16)

где

—— новая сглаженная величина;

а —— постоянная сглаживания для данных (0 < а< 1);

匕 一 новое наблюдение или реальное значение ряда в период Е； Р —— постоянная сглаживания для оценки тренда (0 < Р < 1); Т( — собственно оценка тренда;

р —— количество периодов вперед, на которое делается прогноз;

Yt+P — прогноз на р периодов вперед.

Уравнение 4.14 очень похоже на исходное уравнение 4.13 для простого экспоненциального сглаживания, за исключением члена, учитывающего тренд (厶).Тренд оценивается при подсчете разницы между двумя последовательными экспоненциально сглаженными значениями уровня (Д- Д_!). Поскольку последовательные величины сглаживаются случайно, их разница учитывает весь тренд в данных.

Постоянная 0 нужна для сглаживания оценки тренда. В уравнении 4.15 оценка трен・ да, (£? - £『т), умножается на р и суммируется со старой оценкой тренда,(厶)，умноженной на (1 - Р). Уравнение 4.15 очень похоже на уравнение 4.14, однако в нем сглаживанию в первую очередь подвергается тренд, а уже потом данные. В результате уравнение 4.15 дает сглаженный тренд, исключающий всякую случайность.

Уравнение 4.16 описывает прогноз нар периодов вперед. Оценка тренда (厶)умножается на число периодов р, на которое строится прогноз, а затем это произведение прибавляется к текущему уровню L сглаженных данных.

Как и при обычном экспоненциальном сглаживании, постоянные аир выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования, например значения MSE. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место. И наоборот, если веса будут небольшие, то и реакция модели на изменения в данных будет более слабой. Поэтому чем большие веса задействуются, тем большему сглаживанию подвергаются данные. Меньшие веса делают структуру сглаженных значений менее ровной.

Для минимизации значения MSE нужно создать сетку значений аир (т.е. все комбинации а 二 0,1, 0,2, ..., 0,9 и Р = 0,1, 0,2, ..., 0,9) и выбрать ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE. Особый случай имеет место, когда а= Р, поскольку здесь в одинаковой мере проводится сглаживание как текущего уровня значений, так и тренда. Такой вариант называется двойным экспоненциальным сглаживанием Брауна (Brown).

Для того чтобы воспользоваться алгоритмом уравнения 4.14, нужно иметь набор из начальных величин и тренда. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы первую оценку положить равной первому наблюдению. При этом тренд будет равен нулю. Другое решение — это определить начальное значение как среднее для первых пяти или шести наблюдений. Тогда тренд можно оценить наклоном линии, образованной этими пятью или шестью точками. В приложении Minitab используется регрессионное уравнение с переменной У в роли интересующей величины и переменной X, обозначающей время. Константа в этом уравнении — это начальная оценка сглаженного ряда, или текущий уровень значений. А наклон, или коэффициент регрессии, — это начальная оценка составляющей тренда.

Пример 4.9

Пример 4.6 показывает, что для данных компании Acme Tool не удается построить хороший прогноз по методу простого экспоненциального сглаживания. Из рис. 4.9 следует, что исходные данные имеют заметный тренд, поэтому можно попробовать применить к ним метод Хольта. Чтобы начать вычисления, результаты которых приведены в табл. 4.8, необходимо сделать две оценки, а именно — задать начальное значение тренда и начальную сглаженную величину. В данном примере начальная оценка тренда приравнивается к нулю, а оценке начальной величины соответствует первое наблюдение. При расчете результатов, приведенных в табл. 4.8, использовались значения а = 0,3 к В = 0,1.

Таблица 4.8. Прогноз продаж для компании Acme Tool, рассчитанный с применением метода Хольта

Год 1

t

2

刀 5

%

6

0

7

3

4

1994

I

500

500,0

0

500,0

0

2

350

455,0

-4,5

500,0

-150,0

3

250

390,4

ТО,5

450,5

-200,5

4

400

385,9

-9,9

379,8

20,2

1995

5

450

398,2

-7,7

376,0

74,0

6

350

378,3

-8,9

390,5

-40,5

7

200

318,6

-14,0

369,4

-169,4

8

300

303,2

-14,1

304,6

-4,6

1996

9

350

307,4

-12,3

289,1

60,9

10

200

266,6

-15,2

295,1

-95,0

11

150

221,0

-18,2

251,4

-101,4

12

400

262,0

-12,3

202,8

197,2

1997

13

550

339,8

-з,з

249,7

300,3

14

350

340,6

-2,9

336,5

13,5

15

250

311,4

-5,5

337,7

-287,7

16

550

379,1

1,8

305,9

244,1

1998

17

550

431,7

6,9

381,0

169,0

18

400

427,0

5,7

438,6

-38,6

19

350

407,9

3,3

432,7

-82,7

20

600

467,8

8,9

411,2

188,8

1999

21

750

558,7

17,1

476,8

273,2

22

500

553,1

14,8

575,9

-75,9

23

400

517,6

9,8

567,9

-167,9

24

650

564,2

13,5

527,4

122,6

2000

25

850

577,7

MSE =20 515,5.

Назначение постоянной сглаживания а соответствует ее роли в модели простого экспоненциального сглаживания (уравнение 4.13) и состоит в устранении случайностей в значении данных. Назначение постоянной сглаживания 0 подобно назначению постоянной а, но относится к сглаживанию тренда. Обе постоянные устраняют флуктуации путем взвешивания данных прошлых наблюдений. Для прогноза на период 3 проводятся следующие вычисления.

Корректирование сглаженного ряда или вычисление текущего уровня.

乙=сс匕 + (1 - а)(£/_] - Г/_1)£2 = 0,3厶 + (1-0,3)(£27 + T2-1)厶=0,3(350) + 0,7(500 + 0) = 455

Корректирование оценки тренда.

Г2 = 0,1(Л2-Л2_1) + (1-0,1)Т2_1

Л = 0,1(455 - 500) + 0,9(0) = -4,5

Прогноз на один период вперед.

匕+р = £? + pTt8+1 =£2 + 1 T2芯=455 + 1(-4,5) = 450,5

Определение ошибки прогнозирования.

ез = Уз - у3 = 250 - 450,5 = -200,5

Прогнозирование для периода 25 выглядит следующим образом.

Корректирование экспоненциально сглаженного ряда.

厶4 二 0,3^24 + (1 - 0,3)(^24-! + 丁244)厶4 二 0,3(650) + 0,7(517,6 + 9,8) = 564,2

Корректирование оценки тренда.

T24 =0/(厶4 - 厶4~1)+ (1 - 0/)T244

Г24 = 0,1(564,2 -517,6) + 0,9(9,8) = 13,5

Прогноз на один период вперед.

石4+1 =£24+1公4石5 = 564,2+1(13,5) = 577,7

В отношении минимизации значения MSE эта модель выглядит не лучше модели простого экспоненциального сглаживания, в которой используется а = 0,266. Сравнение значений МАРЕ дает те же результаты. Но если сравнить прогноз и реальные продажи за первый квартал 2000 года, то выяснится, что метод Хольта оказывается более точным. Вот общие достигнутые результаты.

а = 0,266MSE = 19 447МАРЕ = 3 2,2%

а = 0.3, В = 0,1MSE = 20 515,5М4尸Е = 35,4%

Результаты обработки данных согласно этой модели с помощью приложения Minitab (при постоянных а = 0,3 и Р = 0,1) показаны на рис. 4.11. Ниже на рис. 4.12 приведена автокорреляционная функция остатков линейного экспоненциального сглаживания по методу Хольта. Тест Льюинга-Бокса, выполненный для шести временных интервалов, показывает большое значение LBQ. Это говорит о том, что ряды данных неслучайны. Большое количество ошибок означает, что данные следует внимательно изучить на предмет сезонных вариаций.

I要MINITAB Untitled -[DESjI要MINITAB Untitled -[DESj修「粗］修「粗］Рис. 4,11. Линейный метод экспоненциального сглаживания Хольта для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)Рис. 4,11. Линейный метод экспоненциального сглаживания Хольта для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

I要MINITAB Untitled -[DESj

I要MINITAB Untitled -[DESj

修「粗］

修「粗］

Рис. 4,11. Линейный метод экспоненциального сглаживания Хольта для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Рис. 4,11. Линейный метод экспоненциального сглаживания Хольта для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Autocorrelation Function for Example 4.9 Residuals

no 一le-auooolnvno 一le-auooolnv

no 一le-auooolnv

no 一le-auooolnv

Corr

T

LBQ

0.09

0.45

0.23

-0.63

-3.06

11.47

0.07

0.27

11.63

0.60

2.18

22.92

-0.07

-0.22

23.08

-0.62

-1.90

36.33

9123456

Рис. 4.12. Автокорреляционная функция остатков в методе Хольта для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Результаты, полученные в примерах 4.6 и 4.9 (рис. 4.9 и 4.11), не сильно различаются, поскольку постоянная сглаживания а в них одна и та же, а постоянная 0 в примере 4.9 мала. (Если положить Р = 0, то метод сглаживания Хольта сводится к обычному экспоненциальному сглаживанию.)

Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда и сезонных вариаций: метод Винтерса

Если внимательно изучить данные компании Acme Tool, то можно увидеть, что в первом и четвертом кварталах продажи существенно выше, чем в третьем квартале. Это свидетельствует о наличии в структуре данных сезонных колебаний. Для уменьшения ошибок прогнозирования существует трехпараметрическая, линейная и сезонная модель экспоненциального сглаживания, предложенная в 1960 году Винтерсом (Winters). Этот подход является расширением метода Хольта. Для учета сезонных колебаний здесь задействуется дополнительное уравнение. Оценка уровня сезонности осуществляется с помощью коэффициента сезонности, как это видно из уравнения 4.19. В этом уравнении коэффициент сезонности (匕ZL) умножается на постоянную у и суммируется со старой оценкой сезонности (Sf_J, умноженной на (1 - у). Причина того, что член 匕 делится на £〃 заключается в необходимости выразить эту величину как коэффициент, а не как абсолютный член, чтобы его можно было использовать для дальнейших усреднений с коэффициентом сезонности, сглаженным до периода / - s.

Модель Винтерса (мультипликативная) определяется четырьмя следующими уравнениями.

(4-17)(4.18)(4.19)(4.20)(4-17)(4.18)(4.19)(4.20)Экспоненциально сглаженные ряды.

(4-17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4-17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

厶=а" +(1-а)(〃т + 7,т)

Оценка тренда.

刀=0(乙一£")+ (1-0)乃7

Оценка сезонности.

Прогноз на р периодов вперед.

^i+p =(厶+pTJStzp,

где

4

—новое сглаженное значение или оценка текущего уровня;

а

匕

— постоянная сглаживания для этого уровня;

—— новое наблюдение или реальное значение величины за период;

Р

4

—постоянная сглаживания для оценки тренда;

—оценка тренда;

Y S

Р

——постоянная сглаживания для оценки сезонности;

—оценка сезонности;

—количество периодов в будущем, на которое строится прогноз;

S

%

—длительность периода сезонного колебания;

—прогноз на р периодов вперед.

Уравнение 4.17 корректирует сглаженные ряды. Оно слегка отличается от аналогичного в модели Хольта (уравнение 4.14). В уравнении 4.17 У, делится на St^s, учитывая для 匕 сезонность и исключая, таким образом, сезонные эффекты, если они имеют место в исходных данных Yt.

После учета сезонности и тренда оценки сглаживаются в уравнениях 4.18 и 4.19, а в уравнении 4.20 делается прогноз. Это уравнение имеет почти такой же вид, как и уравнение 4.16, которое в модели Хольта служит аналогичным целям. Разница лишь в том, что оценка на будущий период, /+р, умножается на величину S^s+p. Последняя является коэффициентом сезонности, который необходим для сезонной корректировки прогноза.

Как и в методе линейного экспоненциального сглаживания Хольта, веса а, р и у могут выбираться субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования, например значения MSE. Наиболее подходящей методикой для определения этой величины является алгоритм нелинейной оптимизации постоянных сглаживания.

Прежде чем применять уравнение 4.17, требуется установить начальные значения для сглаженных рядов 4, тренда Th коэффициентов сезонности S. Одна из схем предлагает установить начальное значение сглаженного ряда равным первому наблюдению. Тогда тренд равен нулю, а коэффициенты сезонности устанавливаются равными 1,0. В другой схеме в качестве начального используется среднее значение за первый сезон или .у (период сезонности) наблюдений. Тогда тренд определяется наклоном линии, образованной этими наблюдениями. Коэффициенты сезонности определяются следующим отношением.

В приложении Minitab строится уравнение регрессии с интересуемой переменной в качестве неизвестного У и временем X Постоянные в этом уравнении ——это начальная оценка сглаженных рядов или составляющей уровня и наклон или коэффициент регрессии в начальной оценке составляющей тренда. Начальное значение сезонной составляющей определяется из регрессии с фиктивной переменной и данными с исключенным трендом (см. главу 8).

Пример 4.10

В табл. 4.9 методика Винтерса демонстрируется при ос = 0,4, Р = 0,1 иу = 0,3 в применении к данным компании Acme Tool. Постоянная ос здесь аналогична той, которая использовалась в модели простого экспоненциального сглаживания (уравнение 4.13), и также служит для исключения случайностей. Постоянная сглаживания 0 выполняет ту же роль, что и постоянная ос, но уже для сглаживания тренда в данных. Константа у подобна двум предыдущим, но она нужна для сглаживания эффекта сезонности в данных.

Для решения данного примера можно применить приложение Minitab (см. раздел “Применение Minitab” в конце главы). Результаты приведены в табл. 4.9 и на рис. 4.13. Прогноз на первый квартал 2000 года дает значение 778,2. Вычисления, выполняемые для прогноза на период 25 или первый квартал 2000 года, следующие.

Экспоненциально сглаженные ряды.

厶二 а£^- +(1 - а)(£ 一 + Ат)

%4 = 0,4 含 + (1 - 0,4)(Z24T + 厶1)

+0,6(501,286 + 9,148)1,39628

£〃 = 0,4(465,52) + 0,6(510,434)二 492,469

Корректировка тренда.

T^^L.-L^ + il-^

Т24 H 0,1(Л24 - A24-i) + (1 - 0,1)Г24-1厶4 = 0/(492,47 - 501,29) + 0,9(9,1484)「24 = 0/(-8,82) + 8,23 4 = 7,3 5

Корректировка сезонности.

S = Y?+(1-Y)S,t

S24 = 0,3》+(l-0,3)S24-4厶4

$24 = 0,3 庭у +0,7(L39628)

524 = 0,3(1,32)+ 0,9774= 1,37

Прогноз нар периодов вперед.

%4+1 = &4 + 1 T24)S247+1r25 = (492,47 + 1(7,35))1,55691 = 778,17

4H*4H*MIHiTAB - Untitled - [GView -CAProgiam FilesM*lIB_BETAMJaUMmok\ЭЯсh4\fщ4 13MIHiTAB - Untitled - [GView -CAProgiam FilesM*lIB_BETAMJaUMmok\ЭЯсh4\fщ4 13Minilab instructions: STAT>TWE SER!ES>WNTERS METHOD RMinilab instructions: STAT>TWE SER!ES>WNTERS METHOD RWinters Multiplicative Model for SawsWinters Multiplicative Model for Saws—一 Pndicttd--- Forecast—一 Pndicttd--- ForecastSmoothing Const ante

4H*

4H*

MIHiTAB - Untitled - [GView -CAProgiam FilesM*lIB_BETAMJaUMmok\ЭЯсh4\fщ4 13

MIHiTAB - Untitled - [GView -CAProgiam FilesM*lIB_BETAMJaUMmok\ЭЯсh4\fщ4 13

Minilab instructions: STAT>TWE SER!ES>WNTERS METHOD R

Minilab instructions: STAT>TWE SER!ES>WNTERS METHOD R

Winters Multiplicative Model for Saws

Winters Multiplicative Model for Saws

—一 Pndicttd

--- Forecast

—一 Pndicttd

--- Forecast

MpMOvU)： 0.400

Gamma (trend): 0.Ш

Delta (season): □ J0C

Puc. 4.13. Прогноз no методу экспоненциального сглаживания Винтерса для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Таблица 4.9. Прогноз продаж компании Acme Tool по методу Винтерса

Год

г

L

厶

野

$

%

4

1

2

3

4

5

6

7

1994

1

500

415,459

-41,9541

1,26744

563,257

-63,257

2

350

383,109

-40,9937

0,89040

328,859

21Д41

3

250

358,984

-39,3068

0,66431

222,565

27,435

4

400

328,077

-38,4668

1,18766

375,344

24,656

1995

5

450

315,785

-35,8494

1,31471

367,063

82,937

6

350

325,194

-31,3235

0,94617

249,255

100,745

7

200

296,748

-31,0358

0,66721

195,221

4,779

8

300

260,466

-31,5604

1,17690

315,576

-15,576

1996

9

350

243,831

-30,0679

1,35093

300,945

49,055

10

200

212,809

-30Д632

0,94426

202,255

-2,255

11

150

199,515

-28,4764

0,69259

121,863

28,137

12

400

238,574

-21,7228

1,32682

2301,294

198,706

1997

13

550

292,962

-14,1117

1,50886

292,949

257,051

14

350

315,575

-10,4393

0,99371

263,306

86,694

15

250

327,466

-8,2062

0,71385

211,335

38,665

16

550

357,366

-4,3956

1,39048

423,599

126,401

1998

17

550

357,588

-3,9339

1,51763

532,584

17,416

18

400

373,206

-1,9787

1,01713

351,428

48,572

19

350

418,856

2,7843

0,75038

264,999

85,001

20

600

425,586

3,1788

1,39628

586,284

13,716

1999

21

750

454,936

5,7959

1,55691

650,706

99,294

22

500

473,070

7,0297

1,02907

468,626

31,374

23

400

501,276

9,1484

0,76465

360,255

39,745

24

650

492,469

7,3518

1,37336

712,712

-62,712

2000

25

850

778,179

26

600

521,917

27

450

393,430

28

700

716J26

MSE = 7 636,86.

При рассматриваемых значениях параметров методика Винтерса дает более высокие (в смысле минимизации значения MSE) результаты, чем те две модели, которые были рассмотрены ранее. Точно так же сравнение прогнозов на первый квартал 2000 года с реальными продажами за этот период показывает, что методика Винтерса опережает остальные обсуждавшиеся методы. На рис. 4.14 приводится автокорреляционная функция остатков экспоненциального сглаживания для метода Винтерса. Очевидно, что ни один из автокорреляционных коэффициентов остатков не является существенно большим нуля. Тест Льюинга-Бокса дает для всех шести временных интервалов низкое значение LBQ. Отсюда следует, что ряды остатков случайны. А это означает, что метод экспоненциального сглаживания Винтерса дает наиболее адекватный прогноз для данных компании Acme Tool.

uo-l-auooolnvuo-l-auooolnv111108642024680 1000000000l08642024680 1000000000l

uo-l-auooolnv

uo-l-auooolnv

11

11

08642024680 1000000000l

08642024680 1000000000l

Corr

T

LBQ

0.30

1.46

2.41

-0.03

-0.14

2.43

0.02

0.08

2.44

-0.11

-0.48

2.80

-0.26

-1.15

4.97

0.03

0.14

5.01

9123456 а

Рис, 4.14. Автокорреляционная функция остатков для метода экспоненциального сглаживания Винтерса для данных компании Acme Tool (приложение Minitab)

Метод Винтерса позволяет наиболее просто учесть в модели сезонность, если исходные данные имеют сезонную структуру. В альтернативном способе предлагается сначала исключить сезонную составляющую или, наоборот, учесть сезонность в самих данных. Процесс исключения сезонных эффектов состоит в их удалении из последовательности данных и обсуждается в главе 5. Затем при прогнозировании используются данные с исключенной сезонной составляющей, после чего сезонность заново вставляется в данные для корректировки полученного прогноза.

Обычно специалисты по прогнозированию с большим успехом применяют метод данных с исключенной сезонностью, чем модель Винтерса, оперирующую подлинными данными. Этот метод сохраняет все преимущества простого экспоненциального сглаживания в том случае, если данные имеют сезонность, но не имеют тренда.

Экспоненциальное сглаживание представляет собой популярную методику краткосрочного прогнозирования. Ее преимуществами являются низкие затраты и простота

реализации. Если прогноз делается в отношении списка товаров, содержащего тысячи наименований, методы сглаживания часто оказываются единственно приемлемыми.

Простые скользящие средние и экспоненциальное сглаживание основываются на взвешенном усреднении данных прошлых наблюдений. Это мотивируется тем, что прошедшие события всегда содержат информацию о будущих. Так как прошлые события несут в себе случайные флуктуации так же, как и информацию, описывающую общую схему изменений, для исключения флуктуаций можно попытаться усреднить эти события. При этом предполагается, что в последовательности наблюдений флуктуации распределяются случайным образом.

Скользящие средние требуют вычисления среднего значения для некоторого количества значений переменной. Это среднее значение и становится прогнозом на следующий период. В такой модели всем прошедшим событиям присваивается равный вес. Впрочем, можно привести веские аргументы в пользу преимущества последних наблюдений. Методы экспоненциального сглаживания и привлекательны тем, что в них прогноз строится на присвоении данным веса, убывающего с “возрастом" данных.

Применение в менеджменте

Прогнозирование является одной из наиболее важных составляющих в процессе принятия менеджером решения. Фактически каждое важное рабочее решение в определенной степени зависит от сделанного прогноза. Формирование запаса товаров на складах зависит от предполагаемого спроса; производственный отдел должен планировать загрузку мощностей и поставку сырья на следующий месяц (или два); отдел кадров должен определять потребность в найме или увольнении работников. Список применений методов прогнозирования может быть очень длинным.

Управленцы прекрасно осведомлены о необходимости прогнозирования. Несомненно, много времени уделяется ими изучению тренда в экономике и политике, а также тому, насколько происходящие и будущие события могут повлиять на востребованность их продукции и/или обслуживания. Старшие должностные лица заинтересованы в количественном прогнозе для сравнения его со своим собственным мнением. Интерес к прогнозированию особо повышается в тех случаях, когда происходит падение спроса. Недостаток методов количественного прогноза ——их зависимость от данных прошлых наблюдений. По этой причине они, вероятно, менее эффективны в определении неожиданных перемен, приводящих к резкому повышению или падению спроса. Компьютеры позволяют менеджерам автоматически реагировать на резкие изменения спроса посредством применения адаптивных систем и каузальных моделей.

Методы наивного прогнозирования, рассмотренные в этой главе, могут оказаться полезными в силу своей простоты. Эти несложные методы не требуют значительных затрат и просты в использовании. Часто затраты и сложность более 1^изoщpeнныx^, моделей превышают выгоду, которая может быть получена с их помощью. Поэтому наивные методы чаще всего применяются в малом бизнесе. Фирмы, не имеющие достаточно компьютеров и/или персонала, способного применять статистические модели, тоже используют наивные методы. Менеджеры часто оказываются в ситуации, когда необходимо сделать краткосрочный прогноз для большого числа наименований продукции. Типичным примером является ситуация, когда менеджер должен наладить производство на основе прогнозирования спроса на несколько сотен наименований продуктов, образующих одну

линию. Наконец, эти модели могут оказаться полезными молодым фирмам, не имеющим большой базы данных о прошлых продажах.

Метод скользящего среднего очень хорошо учитывает сдвиги в структуре данных. Это экономный в применении и нетребовательный к большим базам данных метод. Методы скользящего среднего чаще всего используются в случае необходимости повторного прогнозирования.

Методы экспоненциального сглаживания популярны благодаря достаточно высокой краткосрочной точности и возможности быстрой их корректировки. Данная методика широко применяется при регулярном еженедельном или ежемесячном прогнозировании для большого числа (вплоть до тысяч) наименований продукции. Управление товарноматериальными запасами ——хороший пример регулярного применения методов экспоненциального сглаживания.

Глоссарий

Простое среднее. Вычисляется как среднее значение для всего набора участвующих в расчетах данных, которое затем применяется для построения прогноза на следующий период.

Скользящее среднее. Вычисляется как среднее значение для определенного количества элементов данных, которое затем применяется для построения прогноза на следующий период.

Следящий сигнал. Метод следящего сигнала предусматривает постоянное определение ошибки прогнозирования и наличие заранее установленных для нее пределов, выход за которые должен вызвать остановку процесса прогнозирования.

Экспоненциальное сглаживание. Это процедура для постоянного пересмотра прогнозов в свете наиболее свежих поступающих данных.

Основные формулы

Наивная модель

YM = Y,

Наивная модель с учетом тренда

YM = Y, + at-厶)

Наивная модель скорости изменений

Наивная модель с квартальной сезонностью данных

YM = К

Наивная модель с трендом и квартальной сезонностью данных

4

Простое среднее

小怜耳

(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)* /=1

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Обновление простого среднего на следующий период

(4.7)

Скользящее среднее для к периодов времени

g _ (工 + 工一1 +么2 +…+ 工T + 1)

(4.8)

,+1к

Двойное скользящее среднее

М尸(м,+Му++…+мт+i) к

(4.9)

4 = 2M - Mi

(4.Ю)

2，

方尸-~-(Mt-M^

(4.П)

方印=0 + btp

(4.12)

Простое экспоненциальное сглаживание

У,+1 = аГ, + (1-а)Г,

(4.13)

Экспоненциальное сглаживание Хольта

Экспоненциально сглаженные ряды (оценка уровня)

〃=аХ + (1-а)а,т-Тт)

(4.14)

Оценка тренда

T^L-L^ + ^-^T,.,

(4.15)

Прогноз на р периодов вперед

Yt^p = Lt+pTt

(4.16)

Модель Винтерса

Экспоненциально сглаженные ряды (оценка уровня)

厶=а^ +(1-а)а,т + 7т)

(4.17)

Оценка тренда

т,=р(4-л(_,)+(1-т1

(4.18)

Оценка сезонности

S = Y? +(1 ~Y)St

(4.19)

Прогноз на р периодов вперед

(4.20)

Упражнения

Какая из методик прогнозирования постоянно пересматривает оценку в свете последних событий?

В какой методике прогнозирования значение величины за текущий период считается прогнозом на следующий период?

В какой методике прогнозирования событиям присваиваются равные весовые коэффициенты?

Какую методику прогнозирования следует применять, если данные имеют тренд?

Какую методику прогнозирования следует использовать, если данные имеют сезонность?

Фонд Apex Mutual Fund в первую очередь инвестирует средства в промышленность. Суммарные фонды этой компании на конец месяца за последние 12 месяцев приведены в табл. 4.10.

Месяц

Суммарные фонды

январь

19,39

февраль

18,96

март

18,20

апрель

17,89

май

18,43

июнь

19,98

июль

19,51

август

20,63

сентябрь

19,78

октябрь

21,25

ноябрь

21,18

декабрь

22,14

постройте наивный прогноз для суммарных фондов на каждый месяц. Фонды на декабрь 1999 года составили 19,00

оцените этот метод, используя значение MAD

оцените этот метод, используя значение MSE

оцените этот метод, используя значение МАРЕ

оцените этот метод, используя значение МРЕ

сделайте прогноз на январь 2001 года

составьте итоговый отчет прогнозов

Условия см. в упр. 6. Постройте прогноз суммарного фонда на январь 2001 года, применяя методику трехмесячного скользящего среднего. Будет ли эта методика лучше, чем прогнозирование в рамках наивной модели? Поясните свой ответ.

Исходные ряды данных приведены в табл. 4.11.

Таблица 4.11

Период

匕七，

1

2

3

4

5

6

7

8

200200-

210

215

216

219

220

225

226

какой прогноз для периода 9 будет получен по методике скользящего среднего для пяти периодов?

если применить метод экспоненциального сглаживания при а = 0,4, каково будет значение прогноза для периода 4?

при условиях, указанных в предыдущем пункте, каково будет значение прогноза для периода 3?

Доходность облигаций общего займа города Девенпорт на рынке колеблется. Месячные котировки этих облигаций за 1999 год приведены в табл. 4.12.

Таблица 4.12

Месяц

Доходность

январь февраль март апрель май

9,29

9,99

10,16

10,25

10,61

июнь

11,07

июль

11,52

август сентябрь октябрь ноябрь декабрь

11,09

10,80

10,50

10,86

9,97

постройте прогноз доходности облигаций для каждого месяца, начиная с апреля, с помощью методики трехмесячного скользящего среднего

постройте прогноз доходности облигаций для каждого месяца, начиная с июля, посредством методики пятимесячного скользящего среднего

оцените эти методы прогноза, используя значение MAD

оцените эти методы прогноза с помощью значения MSE

оцените эти методы прогноза, используя значение МАРЕ

оцените эти методы прогноза посредством значения МРЕ

сделайте прогноз на январь 2001 года

составьте итоговый отчет прогнозов

Условия см. в упр. 9. Сделайте прогноз на январь 2000 года по методу экспоненциального сглаживания при а = 0,2 и начальном значении, равном 9,29. Лучше ли эта методика, чем методика скользящего среднего? Поясните свой ответ.

В компании Hughes Supply методика управления складскими запасами включает оценку ежемесячного спроса на различные продукты. Величины спроса на различные продукты за последние 12 месяцев регистрировались для последующего прогнозирования. Спрос на некий электрический прибор за 2000 год представлен в табл. 4.13.

Таблица 4.13

Месяц

Спрос

январь

205

февраль

251

март

304

апрель

284

май

352

июнь

300

июль

241

август

284

сентябрь

312

октябрь

289

ноябрь

385

декабрь

256

Источник: данные компании Hughes Supply

Спрогнозируйте спрос на январь 2001 года, применив методику экспоненциального сглаживания с а = 0,5 и начальной величиной, равной 205.

General American Investors, Со., инвестиционная компания закрытого типа, инвестирует средства, в первую очередь, в средне и высоко котируемые акции. Джим Кэмпбелл (Jim Campbell) изучил номинальную стоимость активов на пай для этой компании с целью сделать прогнозы на 1996 год. Соответствующие данные представлены в табл. 4.14.

』а6"叫

Год

Квартал 1234

1985

16,9818,4717,6320,65

1986

21,9523,8520,4419,29

1987

22,7523,9424,8416,70

1988

1989

1990

18,0419,1918,9717,03

18,2319,8022,8921,41

21,5025,0520,3320,60

1991

1992

1993

25,3326,0628,8930,60

27,4426,6928,7128,56

25,8724,9627,6124,75

1994

1995

1996

23,3222,6124,0822,31

22,6723,5225,4123,94

25,68

Источник: The Value Line Investment Survey (New York: Value Line, 1990, 1993,1996), c. 2187.

Оцените возможность прогноза изменений номинальной стоимости активов на пай, используя следующие методы: наивный, скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. При оценке указанных методик учтите, что реальное значение номинальной стоимости активов на пай для второго квартала 1996 года составляло 26,47. Составьте отчет о том, какой метод следует использовать и почему.

Компания Southdown, Inc., один из крупнейших производителей цемента, настойчиво внедряет программу экономного расхода горючего. Соответствующие суммарные затраты компании Southdown составляют около 37 миллионов долларов в год. По этой причине для компании крайне важно иметь точные прогнозы доходов на первый квартал 2000 года. Требуемые данные представлены в табл. 4.15.

Таблица 4.15. Доходы компании Southdown, Inc., за 1986-1999 гг.

Год

Квартал

1234

1986

1987

77,488,892,179,8

77,589,192,480,1

1988

74,7185,2162,4178,1

1989

1990

1991

129,1158,4160,6138,7

127,2149,8151,7132,9

103,0136,8141,3123,5

Год _

Квартал

Окончание табл. 415

7

2

3

4

1992

107,3

136,8

141,3

123,5

1993

106,1

144,4

156,1

138,2

1994

111,8

149,8

158,5

141,8

1995

119Д

158,0

170,4

151,8

1996

127,4

178,2

189,3

169,5

1997

151,4

187,2

199,2

181,4

1998

224,9

317,7

341,4

300,7

1999

244,9

333,4

370,0

326,7

Источник: The Value Line Investment Survey (New York: Value Line, 1990,1993,1996,1999), c. 896.

применяя метод экспоненциального сглаживания с постоянной сглаживания а = 0,4 и начальным значением 77,4, постройте прогноз квартальных доходов компании на первый квартал 2000 года

постройте прогноз доходов на акцию на первый квартал 2000 года при а = 0,6 и начальном значении 77,4

оцените, при каком значении постоянной а прогноз будет наиболее точен

воспользовавшись результатами из предыдущего пункта, изучите автокорреляции остатков. Как вы считаете, дает ли в этом случае метод простого экспоненциального сглаживания удовлетворительные результаты? Поясните свой ответ

Компания Triton Energy Corporation выполняет добычу и переработку нефти и газа. Президент компании, Гэйл Фримен (Gail Freeman), хотел бы иметь прогноз объема продаж (в расчете на акцию) на 2000 год. Этот прогноз имеет для компании большое значение, поскольку при реализации принятого плана реструктуризации компания столкнулась с определенными трудностями. Необходимые данные представлены в табл. 4.16. Определите наилучший метод и дайте прогноз объема продаж на 2000 год.

Таблица 4.16. Доля продаж на акцию в компании Triton Energy Corporation за 1974-1999 гг.

Год

Доля продаж

Год

Доля продаж

1974

0,93

1987

5,33

1975

1,35

1988

8,12

1976

1,48

1989

10,65

1977

2,36

1990

12,06

1978

2,45

1991

11,63

1979

2,52

1992

6,58

Год

Доля продаж

Окончание габл. 4.16

Год

Доля продаж

1980

2,81

1993

2,96

1981

3,82

1994

1,58

1982

5,54

1995

2,99

1983

7,16

1996

3,69

1984

1,93

1997

3,98

1985

5,17

1998

4,39

1986

7,72

1999

6,85

Источник: The Value Line Investment Survey (New York: Value Line, 1990,1993,1996,1999), c. 1872.

Компания Consolidated Edison занимается поставками электроэнергии (82% доходов), газа (13%) и тепла (5%) в город Нью-Йорк и округ Вестчестер. Перед Бартом Томасом (Bart Thomas), специалистом по прогнозированию, поставлена задача сделать прогноз квартальных доходов компании на 2000 год. Собранные им данные представлены в табл. 4.17. Определите наилучший метод и дайте прогноз объема продаж на 2000 год.

Таблица 4.17. Квартальные доходы компании Consolidated Edison (млн долл.)

Год

31 марта

30 июня

30 сентября

31 декабря

1985

1441

1209

1526

1321

1986

1414

1187

1411

1185

1987

1284

1125

1493

1192

1988

1327

1102

1469

1213

1989

1387

1218

1575

1371

1990

1494

1263

1613

1369

1991

1479

1330

1720

1344

1992

1456

1280

1717

1480

1993

1586

1396

1800

1483

1994

1697

1392

1822

1461

1995

1669

1460

1880

1528

1996

1867

1540

1920

1632

1997

1886

1504

2011

1720

1998

1853

1561

2062

1617

1999

1777

1479

2060

1624

Источник: The Value Line Investment Survey (New York: Value Line, 1990,1993,1996,1999), c. 168.

7"7"7"川卄n"7”川沙7"7”川"7"川”川"7"7"7"川卄n"7”川沙7"7”川"7"川”川"〃m轟m成m恋m儲m准4〃m國m尼4成m轟m理4〃m

7"7"7"川卄n"7”川沙7"7”川"7"川”川"

7"7"7"川卄n"7”川沙7"7”川"7"川”川"

Задание 4.1. Компания SolarAlternative

Компания Solar Alternative официально существует три года. Она была основана Бобом и Мэри Джонсон (Bob and Mary Johnson), которые преподают естественные науки в местной средней школе. Компания задумывалась ими как дополнительная статья доходов. В результате проведения исследований в области систем энергообеспечения, использующих энергию солнца, им удалось сконструировать бытовую установку для получения горячей воды. Система состоит из 100-галлонного стекловолоконного бака для хранения воды, двух 36-футовых панелей солнечных батарей, системы электронного контроля, поливинилхлоридного трубопровода и другого вспомогательного оборудования.

Период окупаемости системы — 10 лет. Хотя это и не слишком привлекательно с финансовой точки зрения, но новизна идеи может обеспечить этому продукту средний уровень продаж. Чистая прибыль (после вычета всех издержек) составляет 75 долларов при цене устанавливаемой системы в 2000 долларов. Стоимость материалов и комплектующих составляет 75% от стоимости установленной системы. Фактором, позволяющим преодолеть порог рентабельности, является отсутствие какой-либо конкуренции в этой области по причине недостаточной доходности продукта. Бизнес Джонсонов ведется дома. Офис располагается в подвале, гараж на одну машину используется исключительно для хранения компонентов систем и материалов. В результате накладные расходы сводятся к минимуму. Джонсонов устраивает тот скромный дополнительный доход, который они получают от деятельности своей фирмы. К тому же занятие бизнесом дает им определенные преимущества при налогообложении.

Боб и Мэри вполне удовлетворены ростом их бизнеса. Впрочем, уровень продаж меняется из месяца в месяц, но в целом итоги второго года были лучше, чем первого. Многие покупатели на втором году деятельности фирмы являлись соседями тех клиентов, которые купили систему в первом году. Вероятно, многие, увидев систему в работе в течение года, прониклись желанием попробовать подобное устройство и у себя. Продажи происходят круглый год. Наибольший спрос на систему отмечен поздним летом и ранней осенью, когда домовладельцы обычно планируют подготовку к наступающему отопительному сезону.

Предвидя определенный рост своего бизнеса, Джонсоны почувствовали необходимость в прогнозировании продаж для более эффективного ведения дел в следующем году. Обычно между заказом и получением бака для хранения воды проходит от 60 до 90 дней. Панели солнечных батарей доступны со склада большую часть года, хотя поздним летом и на протяжении всей осени время ожидания заказа может увеличиться до 90 и даже 100 дней. Несмотря на отсутствие конкуренции, отказ покупателя от сделки все же возмо-

жен, если потенциальный клиент вынужден будет ждать установки системы несколько месяцев. Но еще более важным фактором является необходимость более точно представлять себе размеры предстоящих продаж, что позволит получать определенные скидки при закупках материалов и комплектующих. Все эти факторы, наряду с высокой стоимостью материалов и компонентов солнечных систем, а также ограниченными размерами гаража владельцев, требуют получения надежных прогнозов. Статистика продаж за первые два года работы компании приведена в табл. 4.18.

Таблица 4.18

Месяц

1999

2000

Месяц

1999

2000

Январь

5

17

Июль

23

44

Февраль

6

14

Август

26

41

MsipT

10

20

Сентябрь

21

33

Апрель

13

23

Октябрь

15

23

Май

18

30

Ноябрь

12

26

Июнь

15

38

Декабрь

14

17

Вопросы

Определите, какую модель прогнозирования следует использовать Бобу и Мэри как основу для бизнес-планирования в 2001 году. Объясните, почему именно эта модель была выбрана вами.

Составьте прогноз продаж на 2001 год.

Задание 42 “Мг. Тих”

Джон Мосби является владельцем нескольких пунктов проката, функционирующих под вывеской “Мг. Тих”. Он заинтересован в составлении прогноза наиболее важного показателя в его бизнесе — ежемесячного дохода от проката в долларах (см. задание "Мг. Тих” в предыдущих главах). Одна из его служащих, Виржиния Перо (Vi喏inia Perot), собрала данные о ежемесячных доходах, приведенные в задании 22 Джон хотел бы построить прогноз по этим данным, используя методики скользящего среднего и экспоненциального сглаживания.

В задании 3.2 Джон с помощью приложения Minitab пытался определить, имеют ли собранные данные тренд и сезонность. Ранее ему говорили, что в случае его данных методы скользящего среднего и простого экспоненциального сглаживания едва ли дадут удовлетворительные результаты, однако он решил докопаться до истины самостоятельно.

Он начал с применения метода трехмесячного скользящего среднего. Программа рассчитала ему несколько показателей суммарной ошибки прогнозирования. Эти значения обобщают ошибку в предсказаниях значений реальных данных, полученных посредством трехмесячного скользящего среднего. Джон решил принять во внимание три из этих показателей ошибок.

MAD = 54 373 ^£ = -16,5% МАРЕ = 47,0%

MAD (среднее абсолютное отклонение) — это средняя абсолютная ошибка в прогнозировании интересующих величин. Все прогнозы, использующие метод трехмесячного скользящего среднего, характеризуются средним значением 54 373. Отклонения определяются с помощью МРЕ (средняя ошибка, выраженная в процентах). Значение -16.5% означает, что выбранный метод прогнозирования постоянно дает завышенный прогноз, те выдает значения, которые больше реальных величин. МАРЕ (средняя абсолютная ошибка, выраженная в процентах) отображает ошибку как процент от реального значения, подлежащего прогнозированию. Средняя ошибка, которая получается в результате применения методики трехмесячного скользящего среднего, составляет 47% или почти половину значения прогнозируемой величины.

Далее Джон опробовал метод простого экспоненциального сглаживания. Программа предложила либо ввести требуемое значение постоянной сглаживания, которое будет использоваться в расчетах, либо определить его автоматически, посредством минимизации ошибки. Джон выбрал последний вариант, и программа определила оптимальное значение постоянной а 工 0,867. В результате были получены следующие значения показателей ошибки.

MAD = 46 562

Л/РЕ = -11,8% М4 尸石=44,0%

Джон решил воспользоваться методом линейного экспоненциального сглаживания Хольта. В этом случае программа не только применяет метод экспоненциального сглаживания, но и позволяет учитывать характеристики тренда, присутствующего в данных. Для обеих постоянных сглаживания, а и 0, Джон выбрал одно и то же значение, равное 0,4- Для метода Хольта были получены следующие три показателя ошибки.

MAD = 63 579

Л/РЕ = -15,3%

МАРЕ =59,0%

Столь большие значения показателей ошибки для этой методики оказались для Джона полной неожиданностью. Он решил, что проблема заключается в наличии в данных заметных сезонных колебаний. Поэтому следующий метод, который применил Джон,— это метод экспоненциального сглаживания Винтерса. Данный метод хорошо учитывает как сезонность, так и тренд. Джон выбрал следующие значения постоянных сглаживания: а = 0,2, В = 0,2 и у = 0,2. В результате были получены следующие показатели ошибки.

MAD = 25 825

Л/РЕ = -4,9%

MAPE = 22fi%

Результаты проведенного анализа разочаровали Джона. Метод Винтерса является серьезным усовершенствованием применяемой им ранее техники, хотя показатель МАРЕ в этом случае все еще составляет целых 22%. Он надеялся, что хотя бы один из методов сможет достаточно точно спрогнозировать прошедшие периоды. Тогда с помощью этого метода он мог бы прогнозировать уровни ежемесячных доходов в течение всего следующего года. Но полученные показатели среднего отклонения (MAD) и средней ошибки в процентах (МАРЕ) вынудили его продолжить поиск других методов прогнозирования.

Вопросы

Проанализируйте в приложении Minitab показатели ошибки прогнозирования для метода, который дал Джону наилучшие результаты.

Какое значение показателя МРЕ будет наилучшим при использовании любого из методов экспоненциального сглаживания?

Каков смысл отрицательного знака у показателя МРЕ?

Можно ли согласиться с неудовлетворительной оценкой, которую дал Джон полученным результатам?

Что должен был сделать Джон для определения адекватности методики прогнозирования Винтерса?

Задание 4.3. Корпорация ConsumerCredit Counseling

Функционирование корпорации Consumer Credit Counseling (CCC) описано в главе 1 (задание 1.2). Исполнительный директор корпорации, Мэрв Харнишфегер, считала, что наиболее важной переменной, нуждающейся в прогнозировании, является число новых клиентов, которые могут обратиться в корпорацию за оставшийся период 1993 года. Дороти Мерсер предоставила Мэрв ежемесячные данные о количестве новых клиентов ССС за период с января 1985 по март 1993 (см. задание 3.2). В том задании Дороти исследовала структуру данных с помощью автокорреляционного анализа. Основываясь на результатах этого исследования, дайте ответы на приведенные ниже вопросы.

Вопросы

Постройте наивную модель для прогнозирования числа новых клиентов ССС на остаток 1993 года.

Постройте модель скользящего среднего для прогноза числа новых клиентов ССС на остаток 1993 года.

Примените процедуру экспоненциального сглаживания для прогнозирования числа новых клиентов ССС на остаток 1993 года.

Сравните указанные выше методы прогнозирования, используя итоговые показатели ошибок прогнозирования, обсуждавшиеся в главе 3.

Выберите наилучшую модель и постройте прогноз числа новых клиентов на остаток 1993 года.

Обоснуйте адекватность выбранной вами модели прогнозирования.

Задание 4.4. Пятилетний пландоходов клиники DowntownRadiology

Клиника Downtown Radiology планирует создать новый медицинский диагностический центр. Предусматривается установка более сложного и технологически более прогрессивного оборудования, по сравнению с используемым на данный момент в том районе, который принято называть (t внутренней империи員” (это восточная часть штата Вашингтон и северная часть штата Айдахо). Планируемое для установки оборудование будет либо таким же, как любое диагностическое оборудование, уже установленное в медицинских центрах указанного региона, либо будет превосходить его по своим характеристикам. В диагностическом центре планируется разместить сканирующий томограф серии 9800 и оборудование для ЯМР-интраскопии (ЯМР— ядерный магнитный резонанс). Кроме того, центр будет оснащен ультразвуковым оборудованием, оборудованием ЯМР-даагностики, установками для маммографии и цифровой ангиографии, а также установками радиотерапии и рентгеноскопии. Акции центра предполагается выпустить в свободное обращение, поэтому руководству клиники Downtown Radiology понадобилась независимая оценка потенциального рынка. Администрация клиники Downtown Radiology обратилась к компании Professional Marketing Associates, Inc., с предложением сделать оценку рынка и составить полный пятилетний план доходов.

Постановка проблемы

Целью этого рассмотрения является прогноз доходов на следующие пять лет от услуг, предоставляемых медицинским диагностическим центром.

Задачи

Задачи, поставленные перед этим исследованием, перечислены ниже.

Определение потенциального рынка для каждого типа процедур, предлагаемых новым оборудованием.

Сбор и анализ существующих данных о доходах на данном рынке для каждого типа процедур, предоставляемых новым оборудованием.

Определение тех тенденций в области здравоохранения, которые положительно или отрицательно повлияют на доходы от каждого типа процедур, предлагаемых устанавливаемым оборудованием.

Определение факторов в бизнесе и маркетинге, а также новых функциональных возможностей вновь создаваемой аппаратуры, которые способны позитивно или негативно повлиять на планируемые доходы.

Анализ имеющихся сведений о прошлой деятельности клиники Downtown Radiology как базы данных для разрабатываемой модели прогнозирования.

Применение соответствующей модели количественного прогнозирования для успешной разработки пятилетнего плана доходов от деятельности создаваемого диагностического центра.

Методология

Процедуры

Получение полного пятилетнего плана доходов потребовало выполнения нескольких (перечисленных ниже) этапов. Проведение анализа определенного количества процедур позволило разработать адекватную модель прогнозирования, которая затем использовалась для определения точки отсчета в планировании каждой процедуры.

Определение рынка сбыта для каждого типа процедур и расчет совокупности прогнозов с 1986 по 1990 гг.

Изучение данных о выдаваемых врачами направлениях на обследования с целью определения процента докторов, которые направляют пациентов в клинику Downtown Radiology, а также среднего количества таких направлений на одного врача.

Запрос и обработка данных из Национального центра статистики и здоровья. Эта информация сравнивались с реальными данными, полученными из регистратуры клиники.

Определение удельного веса клиники Downtown Radiology на рынке соответствующих услуг, который был рассчитан на примере рынка обследований, выполняемых с помощью сканирующих томографов. (Удельный вес на рынке для других процедур определялся исходя из сравнения удельного веса клиники Downtown Radiology с данными Национального центра статистики и здоровья.)

Допущения

Для правильного построения прогноза потребовалось сделать несколько допущений.

Новый медицинский центр вступит в действие с 1 января 1985 года с полностью налаженным оборудованием, за исключением установок ЯМР-интраскопии.

Установка для ЯМР-интраскопии начнет функционирование в апреле 1985 года.

Будет успешно подписано соглашение о партнерстве с не менее чем 50 врачами, практикующими в обслуживаемом центром районе.

Лечащие врачи, принимающие финансовое участие в проекте нового диагностического центра, будут заинтересованы в увеличении количества выдаваемых направлений в центр.

Новый тип оборудования для ЯМР-интраскопии не появится на рынке до 1987 года.

В новом медицинском центре услуги будут иметь меньшую стоимость, чем у конкурентов.

Будут предприняты эффективные маркетинговые мероприятия, особенно те, которые рассчитаны на привлечение внимания крупных работодателей, страховых групп и объединений.

Оборудование для ЯМР-интраскопии в течение шести месяцев работы заменит приблизительно 60% всего количества основного существующего оборудования, которое на текущий момент представлено сканирующими томографами, и достигнет 70% в течение следующих 12 месяцев.

Общественность будет продолжать оказывать давление на сферу здравоохранения с требованием сохранить низкие цены.

Стоимость издержек в области здравоохранения за период с 1971 по 1981 гг. возрастала, в среднем, на 13,2% в год. По оценкам управления по финансированию здравоохранения средние темпы роста издержек за период с 1981 по 1990 гг. могут снизиться и составить приблизительно 11% или 12% в год (Industry Survey, апрель, 1984 год).

Страховые компании будут возмещать пациентам от 0% до 100% стоимости услуг по проведению обследований на оборудовании ЯМР-интраскопии.

Модели

Прогноз разрабатывается для каждой процедуры исходя из прошлого опыта, показателей состояния индустрии и некоторых разумных допущений. Модели строились с учетом приведенных выше допущений, поэтому, если сделанные допущения окажутся неверными, модели не дадут достаточно точного прогноза.

Анализ прошлых данных

Отделение радиологии

Количество выполненных рентгенографических процедур было проанализировано за период с июля 1981 по май 1984 года. В данные входят сведения о рентгеновской диагностике, рентгенографии желудочно-кишечных заболеваний, флюорографии, процедурах лучевой терапии и ряде других специальных процедур. Изучение данных показало, что тренд, сезонная или циклическая структура в них отсутствуют. По этой причине наиболее приемлемой моделью прогнозирования полагается метод простого экспоненциального сглаживания. После подбора различных значений постоянной сглаживания, наилучшей оказалась модель са = 0,3. Результаты применения этой модели представлены на рис. 4.15. Прогноз на июнь 1984 года составляет 855 рентгеновских процедур.

• Actual

△ Predicted

.Forecast

Actual

Predicted

Forecast

SmoothingConstant

Alpha:0.300

MAPE:14.2

MAD:133.7

MSD:33765.7

Puc. 4.15. Простое экспоненциальное сглаживание: прогноз для отделения радиологии клиники Downtown Radiology (приложение Minitab)

Отделение ультразвуковой диагностики

Количество процедур, выполненных в отделении ультразвуковой диагностики, также было проанализировано с июля 1981 по май 1984. Структура этих данных представлена на рис. 4.16. Здесь тоже отсутствуют тренд, сезонные или циклические эффекты. Наи-

лучшей моделью представляется метод простого экспоненциального сглаживания с постоянной сглаживания а = 0?5. Прогноз на июнь 1984 года составляет 127 процедур.

punose--npunose--nо о9 8о о9 8160 -150 一140 一160 -150 一140 一Simple Exponential Smoothing for Office UltrasoundSimple Exponential Smoothing for Office UltrasoundTimeTime2020• Actual

punose--n

punose--n

о о

9 8

о о

9 8

160 -

150 一

140 一

160 -

150 一

140 一

Simple Exponential Smoothing for Office Ultrasound

Simple Exponential Smoothing for Office Ultrasound

Time

Time

20

20

△ Predicted

♦ Forecast

Actual

Predicted

Forecast

SmoothingConstant

Alpha:0.500

MAPE: 12.211

MAD:12.035

MSD: 242.739

о27о27punoseu5ФОЕОСО2punoseu5ФОЕОСО2Holt's Linear Smoothing for Nonoffice UltrasoundHolt's Linear Smoothing for Nonoffice UltrasoundTimeTime• Actual△ Predicted♦ ForecastActualPredicted----- Forecast• Actual△ Predicted♦ ForecastActualPredicted----- ForecastSmoothing ConstantsAlpha (level): 0.500Gamma (trend): 0.100MAPE:14.45MAD:25.85MSD:1064.17Smoothing ConstantsAlpha (level): 0.500Gamma (trend): 0.100MAPE:14.45MAD:25.85MSD:1064.17Рис. 4.16. Простое экспоненциальное сглаживание: прогноз для отделения ультразвуковой диагностики клиники Downtown Radiology (приложение Minitab)

о

27

о

27

punoseu5ФОЕОСО2

punoseu5ФОЕОСО2

Holt's Linear Smoothing for Nonoffice Ultrasound

Holt's Linear Smoothing for Nonoffice Ultrasound

Time

Time

• Actual

△ Predicted

♦ Forecast

Actual

Predicted

----- Forecast

• Actual

△ Predicted

♦ Forecast

Actual

Predicted

----- Forecast

Smoothing Constants

Alpha (level): 0.500

Gamma (trend): 0.100

MAPE:14.45

MAD:25.85

MSD:1064.17

Smoothing Constants

Alpha (level): 0.500

Gamma (trend): 0.100

MAPE:14.45

MAD:25.85

MSD:1064.17

Рис. 4.7 7 Метод линейного экспоненциального сглаживания Хольта: прогноз для мобильных станций ультразвуковой диагностики клиники Downtown Radiology (приложение Minitab)

Анализу (с июля 1981 по май 1984) также подлежало количество процедур ультразвуковой диагностики, выполненных двумя мобильными станциями, принадлежащими клинике Downtown Radiology. Эти данные представлены на рис. 4.17. Форма графика, несомненно, отмечает наличие тренда, что может быть учтено с помощью двухпараметрического линейного метода экспоненциального сглаживания Хольта. При значениях а = 0,5 и р = 0,1 прогноз на июнь 1984 года составляет 227 процедур.

Процедуры ЯМР-диагностики

Количество процедур, выполненных двумя подразделениями ЯМР-диагностики, принадлежащими клинике Downtown Radiology, проанализировано с августа 1982 по май 1984 года. Структура данных представлена на рис. 4.18. Данные не имеют сезонности, не наблюдается тренда или циклической структуры. Поэтому для выполнения прогноза был выбран метод простого экспоненциального сглаживания. Самые лучшие результаты были достигнуты при значении константы сглаживания а=0,5. Прогноз на июнь 1984 года составляет 48 процедур.

Simple Exponential Smoothing for Nuclear Medicine

• Actual △ Predicted ♦ Forecast Actual Predicted Forecast

Smoothing Constant Alpha:0.500

MAPE:59.02

MAD:25.48

MSD:1027.09

Puc. 4.18, Простое экспоненциальное сглаживание: прогноз для отделений ЯМР~ диагностики клиники Downtown Radiology (приложение Minitab)

Отделение томографии

Количество процедур, выполненных отделением томографии, также анализировалось с июля 1981 по май 1984 года. В данных не наблюдается тренда или сезонности, но заметна циклическая структура. Важной величиной для прогноза событий в текущем месяце является количество процедур, выполненных за предыдущий месяц. Было решено применить авторегрес- сионую модель (см. главу 8 и главу 9) и сравнить ее результаты с результатами модели экспоненциального сглаживания приа= 0,461. Большее значение постоянной сглаживания нужно в этом случае для придания большего веса в прогнозах последним наблюдениям. Эта модель признана лучшей, и на рис. 4.19 представлены полученные с ее помощью результаты. Прогноз для количества томограмм на июнь 1984 года составляет 221 процедуру.

Simple Exponential Smoothing for CT ScansSimple Exponential Smoothing for CT Scans• Actual

Simple Exponential Smoothing for CT Scans

Simple Exponential Smoothing for CT Scans

△ Predicted

♦ Forecast

Actual

Predicted

Forecast

Smoothing Constant

Alpha:0.461

MAPE:11.35

MAD:27.43

MSD:1208.42

Puc, 4.19. Простое экспоненциальное сглаживание: прогноз для отделения томографии клиники Downtown Radiology (приложение Minitab)

Анализ рынка сбыта

Рынок сбыта для процедур, выполняемых в клинике Downtown Radiology, определялся на основании исторических данных о самостоятельной записи пациентов и количестве направлений на обследование, выдаваемых врачами. Рынок сбыта для процедур, еще не выполняемых в клинике Downtown Radiology, определялся на основе изучения данных о работе конкурентов и анализа статистических показателей тех географических районов, которые они обслуживают.

Рынок обследований на сканирующих томографах

Область рынка обследований на сканирующих томографах, предлагаемых диагностическими центрами, охватывает округа Спокан, Уитмен, Адамс, Линкольн, Стивенс и Пенд Орей штата Вашингтон и округа Боннер, Боундари, Кутинаи, Бенева и Шошон штата Айдахо. Исходя из подходящей случаю процентной оценки, рынок выполнения томограмм предполагается равным от 630 65 5 процедур в 1985 году до 696 018 процедур в 1990 году.

Количественная оценка

Подготовка плана доходов требует наличия определенных количественных оценок. Наиболее важная из них — это число врачей, являющихся партнерами клиники. Оценка их количества, принятая для дальнейших расчетов, составляет для округа Спокан не менее 8% от всего количества практикующих врачей этого округа.

Кроме того, необходимо уточнить, какая часть из 50 практикующих врачей будет иметь с клиникой партнерские отношения. Предполагается, что те 30 докторов, которые уже сейчас направляют пациентов в клинику Downtown Radiology, сохранят с ней партнерские отношения. Для этих 30 уже существующих партнеров предполагается, что 10 из них не увеличат количество выдаваемых направлений, а оставшиеся 20 —— удвоят это число. Также

предполагается, что 20 практикующих врачей, которые ранее не выдавали направлений в клинику Downtown Radiology, будут иметь с ней партнерские отношения и начнут направлять туда, по крайней мере, половину своих пациентов.

Количественную оценку дополнительных направлений в клинику можно сделать на основе определенных качественных наблюдений. Предположение, что 50 докторов будут иметь с ней партнерские отношения, — это весьма умеренная оценка. Существует большая вероятность, что доктора из других районов, не относящихся к округу Спокан, также будут иметь партнерские отношения с ней. Обычно схема распределения направлений на обследование, выдаваемых докторами, меняется очень медленно, но конкуренция на рынке может изменить ситуацию. Если предложение о сотрудничестве направляется тем докторам, специализация которых предполагает высокую вероятность проведения радиологического обследования пациента, то количество выданных ими направлений может оказаться большим, чем планировалось. Известно, что несколько докторов выдали очень много направлений в клинику Downtown Radiology. Если удастся привлечь к сотрудничеству еще несколько таких докторов, то это может оказать значительное влияние на общее количество процедур, выполненных клиникой Downtown Radiology в рамках индивидуального обслуживания.

Наконец, следует учесть эффект изменения доли рынка, принадлежащей клинике Downtown Radiology, вызванный новизной диагностического центра. Новый центр будет лучше оснащен и лучше подготовлен к выполнению всего спектра медицинских услуг по более низкой цене. Число направлений в клинику, поступающих от новых докторов, будет возрастать вследствие устных рекомендаций докторов, уже привлеченных к партнерству. Если в соглашение с новым диагностическим центром вступят страховые компании, крупные работодатели и/или их объединения, то доля Downtown Radiology на рынке должна возрасти не менее чем на 4% в 1985, 2% в 1986 году и 1% в 1987 году, причем достигнутый уровень сохранится и в 1988-1989 гг. Подобный рост занимаемой клиникой доли рынка ниже мы будем называть общим эффектом роста популярности.

План доходов

План доходов составляется для каждого вида процедур. Ниже приводится лишь та часть плана, которая относится к отделению томографии.

План доходов для отделения томографии

Прогноз количества томограмм на 1984 год (с января 1984 по январь 1985), выполненный по методу экспоненциального сглаживания данных за первые пять месяцев 1984 года, составляет 2600 томограмм.

Национальный центр статистики и здоровья свидетельствует о следующем уровне выполнения томограмм в месяц: 261 томограмма на 100 тыс. человек. Если население территории, принимаемой за рынок сбыта томограмм, 630 655 человек, то общее количество процедур может достичь значения 19 752 за весь 1985 год. Реальное количество процедур на указанном рынке на протяжении 1983 года оценивается в 21 000 процедур. Эта оценка строится на реальных данных клиник Downtown Radiology (2260), Sacred Heart (4970), Deaconess (3850), Valley (2300), Kootenai (1820) и оценочных данных клиник Radiation Therapy (2400) и Northwest Imaging (4000). Если указанная оценка является точной, то клинике Downtown Radiology в 1983 году принадлежало приблизительно 10,5% рынка. Аналогичные данные анализировались и для 1982 года, и в соответствии с ними клинике Downtown Radiology принадлежало около 15,5% рынка томограмм в течение года. Поэтому для клиники Downtown Radiology прогнозируется в среднем 13% рынка.

Если принимать в расчет предполагаемый рост числа направлений от докторов, являющихся партнерами клиники, и учесть среднее значение числа этих направлений, то можно планировать увеличение количества томограмм на 320 процедур в течение 1985 года. Если воспользоваться цифрами за 1983 год, то уровень рынка томограмм для (<внутренней импе- рмм" составлял 3568 (21 600/6,054) процедур на 100 тыс. населения. Если подобная картина сохранится, то потребность в томограммах на рынке в 1985 году возрастет до 22 514 (3568x6,31). Таким образом, доля клиники Downtown Radiology на рынке планируется около 13% (2920/22 514). Если сюда добавить еще 4% доли рынка, связанные с общим подъемом спроса в этой области здравоохранения, то доля рынка клиники Downtown Radiology составит 17%, и планируемое количество томограмм достигнет 3827 (22 514x0,17).

Впрочем, исследования показывают, что ЯМР-диагностика, в конце концов, вытеснит большинство барабанных сканирующих томографов (Applied Radiology, Мау/June 1983, и Diagnostic Imaging, февраль 1984). По наблюдениям Национального центра статистики и здоровья, 60% всех томографов являются барабанными. Данные по клинике Downtown Radiology показывают, что 59% всех ее томографов в 1982 году и 54% в 1983 были барабанными. Если 60% из всех томографов Downtown Radiology являются барабанными и приблизительно 60% из них будут вытеснены ЯМР-оборудованием, то на 1985 год потребуется иной план по сканирующим томографам. Поскольку установки ЯМР-интраскопии в 1985 году будут работать лишь полгода, то предвидится снижение количества томограмм на 689 (3827/2x0,60x0,60).

Таким образом, планируемое на 1985 год число томограмм равно 3138. Средняя стоимость одной процедуры составляет 360 долларов, и от этих процедур планируется доход в 1 129 680 долларов. В табл. 4.19 приводится план доходов по отделению томографии на следующие пять лет. Предполагается, что стоимость процедур будет возрастать приблизительно на 11% в год.

Таблица 4.19. Пятилетний план доходов для отделения томографии

Год

Кол-во процедур

Доход (долл.)

1985

3138

1 129 680

1986

2531

1 012 400

1987

2716

1 205 904

1988

2482

1 223 626

1989

2529

1 3 83 3 63

Без учета влияния ЯМР-интраскопии, на 1986 следует ожидать выполнения 4363 (6,31x1,02x3568x0,19) томограмм. Но если 60% оборудования будут составлять барабанные томографы, то ЯМР-интраскопы заменят 70% из них и число томограмм снизится до 2531 [4363 -(4363x0,60x0,70)].

На 1987 год, без учета вытеснения, количество томограмм планируется равным 4683 (6,31x1,04x3568x0,20). С учетом влияния ЯМР-интраскопов эта величина составит 2482 [4773-(4773x0,60x0,80)].

Для 1989 года планируется выполнение 4863 (6,31x1,08x3568x0,20) томограмм, без учета вытеснения томографов ЯМР-интраскопами. Прогноз с учетом этого эффекта дает 2529 [4863 - (4863x0,60x0,80)] томограмм.

Вопрос

Финансисты клиники Downtown Radiology планировали, что доходы должны быть значительно выше. Так как владельцев интересовала возможность выпуска публичных акций, руководство клиники Downtown Radiology должно было принять решение относительно тщательности анализа, проведенного компанией Professional Marketing Associates. Проанализируйте приведенный выше отчет и дайте по нему собственное заключение.

Применение Minitab

Задание. На основе данных компании Spokane Transit Authority из примера 4.3 подготовьте требуемый прогноз с помощью метода пятинедельного скользящего среднего.

Решение в Minitab

Введите данные компании Spokane Transit Authority из табл. 4.2 в столбец С1 и выберите на панели меню команду StatOTime Series^Moving Average.

На экране раскроется диалоговое окно Moving Average (Скользящее среднее).

дважды щелкните кнопкой мыши на переменной Gallons (Галлоны); в результате она будет помещена в строку Variable

для выбора пятимесячного скользящего среднего введите в поле МА length (Период усреднения) значение 5

не следует устанавливать флажок опции Center (Центр). Метод центрированного скользящего среднего для сглаживания данных рассматривается в главе 5

далее установите флажок опции Generate forecasts (Сделать прогнозы) и введите значение 1 в поле Number of forecasts (Количество прогнозов)

щелкните на кнопке ОК

Задание. Подготовьте прогноз по методу простого экспоненциального сглаживания для данных компании Acme Tool.

Решение в Minitab

Введите в столбец С1 данные компании Acme Tool из табл. 4.1 и выберите на панели меню команду StatoTime Series^Single Exponential Smoothing.

На экране раскроется диалоговое окно Single Exponential Smoothing.

дважды щелкните кнопкой мыши на переменной Saws (бензопилы); это вызовет помещение ее в строку Variable

в поле Weight to Use in Smoothing (Вес сглаживания) выберите значение Optimize (Оптимизировать) и щелкните на кнопке ОК

Результаты приведены на рис. 4.9.

Задание. Подготовьте прогноз по методу экспоненциального сглаживания, учитывающему тренд и сезонность, для данных компании Acme Tool.

Решение в Minitab

Введите в столбец С1 данные компании Acme Tool из табл. 4.1 и выберите на панели меню команду Stat^Time Series1^Winters' Method.

На экране раскроется диалоговое окно Winters' Method, показанное на рис. 4.20.

Рис. 4.20. Приложение Minitab: диалоговое окно Winters, Method

поскольку исходные данные являются поквартальными, в поле Seasonal length (Длительность периода) необходимо ввести значение 4

в группе Weight to Use in Smoothing (Вес сглаживания) введите следующие значения полей: в поле Level — значение 0,4; в поле Trend — 0,1; в поле Seasonal —0,3

установите флажок опции Generate forecasts (Сделать прогнозы) и введите значение 4 в поле Number of forecasts (Количество прогнозов)

щелкните на кнопке Storage (Память)

На экране раскроется диалоговое окно Winters' Method Storage.

установите флажки опций Level estimates (Оценка уровня), Trend estimates (Оценка тренда), Seasonal estimates (Оценка сезонности), Fits (Прогноз на один период вперед) и Residuals (Остатки)

щелкните на кнопках ОК в обоих диалоговых окнах. Результат работы программы представлен в табл. 4.9 и на рис. 4.13. Прогноз на первый квартал 2000 года составляет 778,2

Сохраните данные для дальнейшего использования; для этого выберите следующую команду меню.

File^Save Worksheet As

На экране раскроется диалоговое окно Save Worksheet As.

в поле File Name введите имя, под которым будет сохранен данный документ, например saws

в поле Save as Туре укажите расширение имени для сохраняемого файла. Если в дальнейшем предполагается применять лишь приложение Minitab, то указанное в этом поле значение можно не менять. Однако если необходимо будет использовать сохраняемые данные и в других приложениях, то целесообразнее сохранить файл в формате документа Excel. В частности, файл с именем saws. х丄s будет использоваться нами при обсуждении в разделеt£Применение Excel”.

Применение Excel

Задание. В примере 4.5 строится прогноз по данным компании Acme Tool с помощью метода простого экспоненциального сглаживания с константой сглаживания, равной 0,6.

Решение g Excel

Откройте файл с данными из табл. 4.1, сохраненный в предыдущем упражнении.

Для этого выберите следующую команду меню.

File^Open

Нужный файл называется saws .xls.

Выберите следующую команду.

Tools^Data Analysis

На экране раскроется диалоговое окно Data Analysis (Анализ данных). В списке Analysis Tools (Инструменты анализа) выберите значение Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание) и щелкните на кнопке ОК.

На экране раскроется диалоговое окно Exponential Smoothing, представленное на рис. 4.21.

Рис. 4.21. Приложение Excel: диалоговое окно Exponential Smoothing

в поле Input Range (Диапазон ввода) введите значение А2:А5

установите флажок опции Labels (Метки)

введите в поле Damping factor (Фактор затухания) значение 0,4, поскольку это значение определяется как дополнение до единицы к постоянной сглаживания, т.е. (1 - а)

в поле Output Range (Диапазон вывода) введите значение В2

установите флажок опции Chart Output (Схема вывода)

щелкните на кнопке ОК

Результаты расчета (столбец В) и соответствующий график приведены на рис. 4.22. Из рисунка можно видеть, что инструмент анализа Exponential Smoothing помещает в итоговые ячейки рабочего листа явно заданные формулы. Ячейка В4 выделена, и соответствующее ей выражение =0.6*АЗ+0.4*ВЗ показано на панели инструментов.

Saws ; _；近一孤爲350'500"'25б|4101400 j314*450；…ЗБб'.б3S01工花：可"…200： 376.496一 300： 270.5984:二 350* 288.2394 …200; 325.2957 … 155 250.1183 一400：~190.0473550： 316.0189350 i 456.4076 250： 392.563二 556 307.0262Start］，： CDHwSaws ; _；近一孤爲350'500"'25б|4101400 j314*450；…ЗБб'.б3S01工花：可"…200： 376.496一 300： 270.5984:二 350* 288.2394 …200; 325.2957 … 155 250.1183 一400：~190.0473550： 316.0189350 i 456.4076 250： 392.563二 556 307.0262Start］，： CDHwExponential SmoothingExponential Smoothing力力I “a”li、a II “a”li、a I;"厂NUM;"厂NUM

Saws ; _；

近一孤爲

350'500"'

25б|4101

400 j314*

450；…ЗБб'.б

3S01工花：可"

…200： 376.496

一 300： 270.5984

:二 350* 288.2394 …200; 325.2957 … 155 250.1183 一400：~190.0473

550： 316.0189

350 i 456.4076 250： 392.563

二 556 307.0262

Start］，： CDHw

Saws ; _；

近一孤爲

350'500"'

25б|4101

400 j314*

450；…ЗБб'.б

3S01工花：可"

…200： 376.496

一 300： 270.5984

:二 350* 288.2394 …200; 325.2957 … 155 250.1183 一400：~190.0473

550： 316.0189

350 i 456.4076 250： 392.563

二 556 307.0262

Start］，： CDHw

Exponential Smoothing

Exponential Smoothing

力

力

I “a”li、a I

I “a”li、a I

;"厂

NUM

;"厂

NUM

Рис. 4,22. Результаты экспоненциального сглаживания, полученные

8 Excel для данных из примера 4.5

Рекомендуемая литература

Aaker D. A., Jacobson R. The Sophistication 炉(Naive" Modeling. International Journal of Forecasting 3(314), 1987: 449-45 2.

Dalrymple D. J., King В. E. Selecting parameters for Short- Term Forecasting Technoques, Decision Sciences 12, 1981: 661—669.

Gardner E. S. Jr., Dannenbring D. G. Forecasting with Exponential Smoothing: Some Guidelines for Model Selection. Decision Sciences 11, 1980: 370—383.

Holt С. C. Forecasting Seasonal and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages. Office of Naval Research, Memorandum No. 52, 1957.

Holt С. C., Modigliani F., Muth J. F., Simon H. A. Planning Production Inventories and Work Force. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1960.

Ledolter J, Abraham B. Some Comments on the Initialization 炉 Exponential Smoothing. Journal of Forecasting 3 (1), 1984: 79—84.

Makridakis S., Wheelwright S. C., Hyndman R. Forecasting Methods and Applications, New York: John Wiley & Sons, 1998.

McKenzie E. An Analysis of General Exponential Smoothing. Operations Research 24, 1976: 131—140.

Winters P. R. Forecasting Sales by Exponential Weighted Moving Averages. Management Sciences 6, 1960: 324-342.

ГЛАВАГЛАВАA "A 公"AA "A 公"A^WWW^WWW

ГЛАВА

ГЛАВА

A "A 公"A

A "A 公"A

^WWW

^WWW

Временные рядыи их компоненты

К1ак было отмечено в предыдущих главах, совокупность наблюдений величины У, выполненных в течение некоторого промежутка времени, называют данными временного ряда или просто временнь/м рядом. Чаще всего наблюдения регистрируются через постоянные промежутки времени. Так, например, величина У может описывать объем продаж, а соответствующие временнь/е ряды могут представлять последовательность годичных объемов продаж. Другие примеры временных рядов включают квартальную прибыль, годовой уровень запасов или недельный валютный курс. В общем случае временнь/е ряды не представляют собой случайную выборку и требуют специальных методов для их исследования. Наблюдения во временнь/х рядах, как правило, зависят друг от друга (автокоррелируют). Эта зависимость образует модель изменения или поведения данных, которую можно использовать для предсказания их будущих значений, а это, в свою очередь, может значительно помочь руководству в управлении деловыми операциями. Ниже рассматриваются примеры подобных ситуаций.

В авиакомпании American Airlines (АА) текущее число забронированных билетов сравнивается с прогнозируемым значением, вычисленным на основе исторически наблюдаемой модели поведения этих данных. В зависимости от того, отстают показатели текущего бронирования от прогнозируемого значения или опережают его, в компании устанавливается соответствующая доля посадочных мест, продаваемых со скидкой. Такое регулирование проводится для каждого направления выполняемых рейсов.

Канадские импортеры срезанных цветов покупают их у производителей в США, Мексике, Центральной и Южной Америке. Однако поскольку все эти производители приобретают сырье для выращивания и химикаты в Соединенных Штатах, все цены на момент совершения сделки выражаются в долларах США. Накладные оплачиваются не сразу, и поскольку курс обмена uканадский доллар—американский доллар,s постоянно меняется, для импортеров реальная цена в канадских долларах на момент покупки неизвестна. Если курс перед оплатой счета не изменился, то для импортеров цена остается прежней. Если курс повышается, то импортеры теряют деньги на каждом американском долларе в стоимости покупки. И наоборот, если курс снижается, канадские импортеры выигрывают. Для эффективного управления запасами срезанных цветов импортеры прибегают к прогнозированию недельного курса обмена канадских долларов на американские.

Несмотря на то что временнь/е ряды зачастую генерируются внутри самих компаний и являются уникальными для конкретной организации, многие интересные в бизнесе временнь/е ряды можно получить из внешних источников. В изданиях, подобных Statistical Abstract of the United States, Survey of Current Business, Monthly Labor Review и Federal Reserve Bulletin, публикуются временнь/е ряды всех типов. Эти и другие издания предоставляют данные о временнь/х рядах цен, объемов производства и продаж, показателей трудоустройства и безработицы, количества отработанного времени и использованного топлива, суммы доходов и т.п., организованные на месячной, квартальной или годовой основе. Сейчас обширная коллекция временнь/х рядов доступна на Web-узлах, поддерживаемых американскими правительственными организациями, статистическими организациями, университетами и частными лицами.

Важно, чтобы менеджеры понимали то, что происходило ранее, и использовали исторически накопленные данные при подготовке продуманных планов, отвечающих требованиям будущего. Корректно составленный временной ряд прогнозов поможет исключить некоторую неопределенность, связанную с будущим, и поможет управляющему персоналу в поиске альтернативных стратегий.

Так, Питер Бернштейн (Peter Bernstein, 1996) отмечает следующее.

Вы не принимаете решение о ввозе товаров через океан, приобретении товаров для продажи или займе денег, не выяснив сначала, какое будущее может вас ожидать. Получение гарантий, что необходимое сырье и материалы будут поставлены в установленный срок, а также забота о том, чтобы товары, которые планируется продавать, производились вовремя, а сеть их сбыта была своевременно развернута, — все это должно быть спланировано до того момента, как появятся клиенты и выложат свои деньги на прилавок. Успешный руководитель бизнеса в первую очередь должен быть хорошим прогнозистом. Приобретение материалов, производство, маркетинг, ценовая политика и организация сбыта ——все это будет потом.

Конечно, возможная альтернатива состоит в том, чтобы ничего не планировать заранее. Однако в динамичной деловой среде отсутствие планирования может иметь катастрофические последствия. Производитель компьютеров-мэйнфреймов, который несколько лет назад проигнорировал бы тенденцию к быстрому распространению персональных компьютеров и рабочих станций, очень скоро потерял бы большую часть своей доли рынка.

Несмотря на то что ниже внимание фокусируется на модельном подходе к анализу временнь/х рядов, который опирается, прежде всего, на имеющиеся данные, весьма важной также является субъективная оценка самой попытки прогнозирования. Всякий раз, когда прошлое изучается для получения ключа к будущему, это будет уместно только в той мере, в которой прежняя причинная обусловленность будет сохраняться и в последующие периоды. В экономической и деловой среде причинная обусловленность редко остается постоянной. Множество существующих причинных факторов склонно к непрерывным изменениям, поэтому взаимосвязь между прошлым, настоящим и будущим нуждается в постоянной переоценке.

Техника временнь/х рядов предлагает концептуальный метод прогнозирования, который уже доказал свою несомненную полезность. Прогнозы делаются с соблюдением ряда специфических формальных процедур, и принимаемое решение оказывается ясным и точным.

Декомпозиция

Один из методов анализа данных временнь/х рядов включает попытку определить составляющие факторы, которые влияют на каждое значение временного ряда. Подобная процедура идентификации называется декомпозицией. Каждая компонента идентифицируется отдельно. Затем вклады каждой компоненты комбинируются с целью получения прогнозов будущих значений временнь/х рядов. Методы декомпозиции используются как для кратковременных, так и для долговременных прогнозов. С их помощью также можно просто отображать рост или спад, лежащий в основе ряда, или корректировать значения ряда, исключая из них одну или несколько компонент.

Анализ временных рядов путем разложения их на составные части имеет длинную историю. Однако в последнее время слава прогнозов, выполненных на основе метода декомпозиции, несколько потускнела. Проекция отдельных компонент на будущее с последующей их комбинацией для получения прогноза значений основного ряда на практике работает не очень хорошо. Трудность заключается в том, что сложно дать точный прогноз для отдельных компонент. Разработка более гибких модельных процедур прогнозирования (некоторые из них рассматриваются в следующих главах) сделала декомпозицию скорее инструментом для достижения понимания временных рядов, чем самостоятельным методом прогнозирования.

Рассмотрение методов декомпозиции мы начнем с четырех компонент временнь/х рядов, введенных в главе 3. Это трендовая, циклическая, сезонная и нерегулярная (или случайная) компоненты.

Тренд. Тренд — это компонента, представляющая основной рост (или спад) во временном ряду. Трендовая компонента может образовываться, например, за счет постоянного изменения популяции, инфляции, технологических изменений или роста продуктивности. Компонента тренда обозначается буквой Т.

Цикличность. Циклическая компонента — это последовательность волнообразных флуктуаций или циклы длительностью более одного года. Изменение экономических условий обычно происходит циклически. Циклическая компонента обозначается буквой С.

На практике сложно идентифицировать цикл, и он часто кажется частью тренда. В этом случае рассматриваемый основной рост (или спад) компонент называют трендово-циклическим и обозначают буквой Г. Та же буква, что и для обозначения тренда, используется здесь потому, что циклическую компоненту часто невозможно отделить от тренда.

Сезонность. Сезонные изменения обычно присутствуют в квартальных, месячных или недельных данных. Под сезонными вариациями понимаются изменения с более или менее стабильной структурой, имеющие годовую цикличность и повторяющиеся из года в год. Сезонные изменения являются следствиями влияния погоды или повторения календарно-зависимых событий, таких как школьные каникулы или национальные праздники. Сезонная компонента обозначается буквой S

Нерегулярность. Нерегулярная компонента включает непредсказуемые или случайные флуктуации. Флуктуации являются результатом множества разнообразных событий, которые сами по себе несущественны, но совместно могут дать значительный эффект. Нерегулярная компонента обозначается буквой /.

Для изучения компонент временнь/х рядов аналитик должен рассмотреть, как каждая из них связана с реальным рядом. Эта задача решается посредством задания модели (математического соотношения), в которой переменная временного ряда У выражается в терминах его компонент Т, С, S м /. Модель, которая трактует каждое значение временного ряда как сумму компонент, называется моделью аддитивных компонент. Модель, рассматривающая каждое значение временного ряда как произведение компонент, именуется моделью мультипликативных компонент. Обе модели иногда относят к моделям ненаблюдаемых компонент, поскольку на практике, хотя сами значения временнь/х рядов наблюдаются, значения их компонент не могут наблюдаться. При использовании метода анализа временнь/х рядов, описанного в этой главе, можно получить оценки значений компонент для заданного наблюдаемого ряда. По этим оценкам можно делать прогнозы или отображать ряды, “не обременяя” их данные сезонными изменениями. Последний процесс называется сезонной корректировкой.

Иметь дело с циклическими компонентами временнь/х рядов сложно. До некоторой степени циклы можно определить на основе данных наблюдений, но их длительность (измеряемая в годах) и величина (разница между наибольшим и наименьшим значениями) далеко не постоянны. Отсутствие постоянства в волнообразной структуре создает значительные трудности при отделении циклов от гладко развивающегося тренда. Поэтому, чтобы сохранить простоту изложения, предположим, что все циклы в данных будут частью тренда. По этой причине сначала рассмотрим только три компоненты ——7, S и /. Краткое обсуждение способа учета циклических флуктуаций в декомпозиционном методе анализа временнь/х рядов приводится в этой главе, в разделе ''Циклические и нерегулярные вapиaции^,.

Двумя простейшими моделями, связывающими наблюдаемую величину временного ряда (У() с компонентами тренда (Г(), сезонности (Sr) и нерегулярности (4), являются модель ад дитивных компонент

匕= T, + S + 4 (5.1) и модель мультипликативных компонент.

Y^T^S^It. (5.2)

Модель аддитивных компонент применима в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда. Иными словами, все значения ряда существенно убывают в пределах полосы постоянной ширины, центрированной на уровне тренда.

Модель мультипликативных компонент эффективнее в тех ситуациях, когда изменение временной последовательности увеличивается с ростом уровня1, т.е. значения ряда расходятся как имеющие тренд, а наблюдаемая последовательность значений напоминает рупор или воронку. Примеры временных рядов с постоянной и возрастающей вариабельностью показаны на рис. 5.1. Оба эти месячные ряда имеют растущий тренд и явную сезонную структуру2.

'Мо*но преобразовать мультипликативную декомпозицию в аддитивную, используя логарифмы данных. На основе уравнения 5.3 w свойств логарифма можно записать log/ = logfTX SXl) = logT + 100 + log/. Декомпозиция логарифмированных данных рассматривается в задании 5.75

Существует вариант декомпозиционной модели (уравнения 5.1 и 5.2), который содержит как мультипликативные, так 〃 аддитивные члены. Например, некоторые пакеты программного обеспечения выполняют ^мультипликативную^ декомпозицию, используя модель У= TXS + /.

1,000 -1,000 -вхо 匚 о2OBJ-otfosmsod 匚вхо 匚 о2OBJ-otfosmsod 匚900 -900 -800 -800 -700 -700 -600 -600 -5050100100150150МесяцыМесяцыxeUodu 2ФЛ.ЮО ^ЗТТ5Ф2Ф^ШxeUodu 2ФЛ.ЮО ^ЗТТ5Ф2Ф^Ш900 -

1,000 -

1,000 -

вхо 匚 о2OBJ-otfosmsod 匚

вхо 匚 о2OBJ-otfosmsod 匚

900 -

900 -

800 -

800 -

700 -

700 -

600 -

600 -

50

50

100

100

150

150

Месяцы

Месяцы

xeUodu 2ФЛ.ЮО ^ЗТТ5Ф2Ф^Ш

xeUodu 2ФЛ.ЮО ^ЗТТ5Ф2Ф^Ш

800 一

700 -

600 -

500 -

400 一

300 -

200 -

100 一

0 一

10203040506070

Месяцы

Рис. 5.1. Временной ряд с постоянной (вверху) и возрастающей вариабельностью (внизу)

Тренд

Тренд представляет собой долговременные изменения во временнь/х рядах, которые иногда можно описать с помощью прямой линии или гладкой кривой. Примерами основных сил, продуцирующих или вызывающих тренд рядов, являются изменение численности населения, изменение цен, технологические изменения, рост продуктивности и жизненный цикл товара.

Увеличение населения может привести к тому, что розничные продажи в обществе будут постоянно возрастать в течение многих лет. Кроме того, уровень продаж в долларах может подскочить в этот период из-за всеобщего возрастания цен на розничные товары, даже если физический объем проданных товаров не изменился.

Технологические изменения также могут привести к тому, что временньге ряды будут возрастать или убывать. Разработка высокоскоростных компьютерных чипов, создание устройств памяти сверхвысокой емкости, усовершенствование средств визуального представления информации одновременно с бурным развитием телекоммуникационных технологий — все это в совокупности вызвало рост использования компьютеров и сотовых телефонов. И конечно, те же технологические изменения привели к появлению нисходящего тренда в производстве механических вычислительных устройств и телефонов с дисковым номеронабирателем.

Рост продуктивности производства, который, в свою очередь, может быть обусловлен технологическими изменениями, является причиной роста значений во многих времен- нь/х рядах. Изменение продуктивности влияет на любой итоговый показатель общественного производства, например на объем реализованной продукции.

Для деловых и экономических временнь/х рядов лучше всего рассматривать трендовую (или трендово-циклическую) компоненту как гладкое изменение во времени. В действительности редко можно предположить, что тренд будет описываться такой простой функцией, как прямая линия, на протяжении всего времени наблюдений временного ряда. Однако зачастую кривую тренда временного ряда удобнее сглаживать по двум причинам. Во-первых, вводится показатель основного направления исследуемого ряда, а во- вторых, можно исключить влияние тренда из первоначального ряда с целью получения более отчетливой картины сезонности.

Если грубо представить тренд в виде прямой линии, т.е. если рост или спад похожи на прямую линию, то она описывается следующим уравнением.

Т = Ь0+Ь^, (5.3)

где Т{ ~ это расчетное значение тренда в момент времени г.

Символ / используется для независимой переменной, представляющей время и обычно принимающей целочисленные значения 1, 2, 3,..., соответствующие последовательным периодам времени. Коэффициент наклона Ь^ является средним ростом или спадом Т для любого возрастания во времени за один период.

Временное уравнение для тренда, включающее линейный тренд, может быть применено к данным на основе метода наименьших квадратов. В этом методе значения коэффициентов в уравнении для тренда (6° 丛仇 в линейном случае) отбираются так, чтобы оцененное значение Tt было наиболее близко к реальному значению 匕，что измеряется с помощью суммы квадратов ошибок (SSE).

SSE = ^(Yt-fl 丿2 (5.4)

Пример5』

В табл. 5.1 приведены данные о ежегодной регистрации новых пассажирских автомобилей в Соединенных Штатах с 1960 по 1992 год, а на рис. 5.2 представлены соответствующие графики. Значения величин с 1960 по 1992 год были использованы для получения трендового уравнения. Регистрация является зависимой переменной, а независимой является время /, помеченное таким образом: 1960 = 1, 1961 =2 ит.д.

Линия сглаженного тренда дается следующим уравнением.

7； =7,988 + 0,0687/

Наклон в уравнении для тренда указывает на то, что в среднем каждый год регистрируется на 68 700 автомобилей больше. На рис. 5.3 показана прямая тренда, сглаживающая реальные данные, а также представлены прогнозы регистрации новых автомобилей на 1993 и 1994 годы (t = 34и1 = 35), рассчитанные экстраполяцией линии тренда. Ниже прогноз тренда будет рассмотрен подробнее.

Оцененное значение тренда для регистрации пассажирских автомобилей с 1960 по 1992 год показано в табл. 5.1, в столбце величин Т . Например, уравнение для тренда оценивает количество регистраций в 1992 году (/ = 33) следующим образом.

悪2 =7,988 + 0,0687(33) = 10,255

Иными словами, имеем 10 255 000 регистраций. Регистрация новых пассажирских автомобилей в действительности в 1992 году равнялась 8 054 000. Для 1992 года уравнение дня тренда переоценивает регистрацию приблизительно на 2,2 миллиона автомобилей. Эта и остальные ошибки приведены в табл. 5.1, в столбце Y-Т. Данная ошибка была использована для расчета показателей MAD, MSD и МАРЕ, как показано на рис. 5.3. Это те же оценки точности прогнозирования, которые описываются в главе 3 уравнениями (3.7), (3.8) и (3.9). (Команды приложения Minitab, необходимые дня получения результатов примера 5.1, приводятся в конце главы.)

Таблица 5.1. Регистрация новых пассажирских автомобилей в США. 1960 -13^2 口

Год

Регистрации (млн) У

Время /

Оценка тренда (млн) Т

Погрешность

У- т

1960

6,577

1

8,0568

-1,4798

1961

5,855

2

8,1255

-2,2705

1962

6,939

3

8,1942

-1,2552

1963

7,557

4

8,2629

-0,7059

1964

8,065

5

8,3316

-0,2666

1965

9,314

6

8,4003

0,9138

1966

9,009

7

8,4690

0,5401

1967

8,357

8

8,5376

-0,1807

1968

9,404

9

8,6063

0,7977

1969

9,447

10

8,6750

0,7720

1970

8,388

11

8,7437

-0,3557

1971

9,831

12

8,8124

1,0186

1972

10,409

13

8,8811

1,5279

1973

11,351

14

8,9498

2,4012

1974

8,701

15

9,0185

-0,3175

1975

8,168

16

9,0872

-0,9192

1976

9,752

17

9,1559

0,5961

Окончание габл. 5.1

ГОД

Регистрации (млн)

У

Время /

Оценка тренда (млн) f

Погрешность к- f

1977

10,826

18

9,2246

1,6014

1978

10,946

19

9,2933

1,6527

1979

10,357

20

9,3620

0,9950

1980

8,761

21

9,4307

-0,6697

1981

8,444

22

9,4994

-1,0554

1982

7,754

23

9,5681

-1,8141

1983

8,924

24

9,6368

-0.7128

1984

10,118

25

9,7055

0.4125

1985

10,889

26

9,7742

1.1148

1986

11,140

27

9,8429

1.2971

1987

10,183

28

9,9116

0.2714

1988

10,398

29

9,9803

0.4177

1989

9,833

30

10,0490

-0.2160

1990

9,160

31

10,1177

-0.9577

1991

9,234

32

10,1863

-0.9524

1992

8,054

33

10,2550

-2.2010

Источник: данные министерства торговли, Survey of Current Business (за разные года).

Registrations of New Passenger Cars: 1960-1992

11.5 -

(SUO==E) suo_ WOBB(SUO==E) suo_ WOBB10.5 -

(SUO==E) suo_ WOBB

(SUO==E) suo_ WOBB

9.5 -

8.5 -

7.5 -

6.5 -

5.5 -

llll

1960197019801990

Vbar

Puc. 52 Временной ряд регистрации новых автомобилей, в США (приложение Minitab)

Рис. 5.3. Линия тренда для временного ряда регистрации новых автомобилей (приложение Minitab)

Некоторые типы трендовых кривых

Жизненный цикл нового товара имеет три стадии: появление, рост, зрелость и насыщение. Кривая, описывающая продажи товара (в долларах или штуках) в течение его жизненного цикла, показана на рис. 5.4. Время, отложенное вдоль горизонтальной оси, может изменяться от недели до года, в зависимости от природы рынка. Для такого типа данных линейный тренд не приемлем. В линейной модели предполагается, что переменная возрастает или убывает на постоянную величину за каждый промежуток времени. Приросты за промежуток времени, соответствующий кривой жизненного цикла товара в целом, совершенно различаются в зависимости от стадии цикла. Для того чтобы смоделировать тренд в течение жизненного цикла товара, нужна кривая, отличная от прямой линии.

Простой функцией, учитывающей кривизну, является квадратичный тренд.

/=%+ 加+ 2/ (5.5)

На рис. 5.5 кривая квадратичного тренда, сглаживающая данные о регистрации пассажирских автомобилей из примера 5.1, построена с использованием критерия SSE. Квадратичный тренд можно спроецировать за пределы имеющихся данных для, скажем, двух дополнительных годов: 1993 и 1994. Последствия такого проецирования мы обсудим в следующем разделе.

Исходя из показателей МАРЕ, MAD и MSD, квадратичный тренд лучше описывает основную модель поведения ряда данных о регистрации автомобилей, чем линейный тренд, показанный на рис. 5.3. Какая модель тренда является наиболее подходящей? Прежде чем рассмотреть этот вопрос, нужно ввести несколько дополнительных типов кривых тренда, которые могут оказаться полезными.

Когда временной ряд начинается медленно, а потом возрастает (рис. 5.4) так, что процентное различие наблюдений остается постоянным, можно для сглаживания использовать показательный тренд, который задается следующим выражением.

Т,=Ь$；

(5.6)(5.6)Коэффициент Z?! зависит от степени роста. Если показательный тренд сглаживает годовые данные, то предполагаемое увеличение роста будет 100(6] - 1)%.

(5.6)

(5.6)

.нз £^§оас.нз £^§оасПоявлениеПоявлениеРостВремяРостВремяЗрелость и насыщениеЗрелость и насыщениеТренд

.нз £^§оас

.нз £^§оас

Появление

Появление

Рост

Время

Рост

Время

Зрелость и насыщение

Зрелость и насыщение

Рис. 54 Типичная кривая жизненного цикла нового продукта

Quadratic Trend for Car Registarion Time Series

Quadratic Trend Model

Yt 二 6.35619 + 0.348449*t- 8.23E-03*t**2

• Actual

△ Predicted

—Actual

■ —- Predicted

MAPE: 8.61698

MAD:0.77385

MSD: 0.89395

Puc. 55 Квадратичная кривая тренда для данных о регистрации автомобилей (приложение Minitab)

На рис. 5.6 показано количество членов фонда взаимопомощи в частной компании за период с 1991 по 1997 год. Увеличение числа членов фонда не является постоянным, поскольку в каждый последующий год добавляется все большее число новых членов.

70 一

ШОХФ5 omHOOTS5v_ШОХФ5 omHOOTS5v_60 -

ШОХФ5 omHOOTS5v_

ШОХФ5 omHOOTS5v_

50 -

40 -

30 -

20 -

10 一

IIIIIII

1991199219931994199519961997

Годы

Рис, 5 6, График количества членов фонда взаимопомощи

Кривая показательного тренда, сглаживающая эти данные, описывается уравнением £= 10,016(1,313)，，

предполагающим ежегодное возрастание количества членов фонда около 31%. Следовательно, если модель предполагает, что в 1996 году в фонде будет 51 член, то увеличение их числа для 1997 года будет соответствовать 16(51x0,31), что в итоге дает оценку в 67 человек. Эта оценка очень близка к реальному значению — 68 человек.

При сглаживании данных о членах фонда взаимопомощи линейным трендом предполагается, что средний рост составляет приблизительно девять новых членов фонда в год. Такой тренд переоценивает реальное возрастание в ранние годы и недооценивает в поздние. Поэтому линейный тренд моделирует реальное поведение данных хуже, чем показательная кривая.

Ясно, что экстраполяция данных показательным трендом с 31%-ным уровнем роста очень скоро даст слишком большие числа. Это потенциальная проблема модели показательного тренда. Что будет, когда экономический рост замедлится и биржевые курсы начнут падать? Потребность в предоставлении взаимных кредитов будет уменьшаться и количество членов фонда взаимопомощи может даже сократиться. Прогнозы тренда, полученные с помощью показательной кривой, окажутся слишком завышенными.

Кривая роста Гомперца или же кривая логистического типа описывают общую тенденцию многих отраслей промышленности и серий новых продуктов к все уменьшающемуся возрастанию при их вступлении в фазу зрелости. Если график исследуемых данных отражает ситуацию, когда объемы продаж (исходно небольшие) сначала быстро возрастают по мере того, как товар завоевывает рынок, а затем их рост замедляется после достижения насыщения рынка, то их поведение можно описать с помощью кривой Гом-

перца или логистической модели Перла-Рида (Pearl-Reed). На рис. 5.7 для сравнения представлен общий вид кривой Гомперца (〃) и логистической кривой Перла-Рида (6). Следует отметить, что логистическая кривая очень похожа на кривую Гомперца; имеется лишь небольшая разница в наклоне. На рис. 5.7 показано, что рост величины У строго ограничен и максимальное ее значение для каждой из кривых функционально определяется некоторыми коэффициентами. Формула для этих кривых тренда является слишком сложной (ее обсуждение выходит за рамки данного рассмотрения). Многие программные приложения, применяющие статистические методы, включая и приложение Minitab, позволяют сглаживать данные в соответствии с несколькими моделями тренда, рассмотренными в этом разделе.

а) трендовая кривая Гомперцаб) логистическая (Перла-Рида)

трендовая кривая

Рис. 5. Z S-образные кривые роста

Хотя и существуют объективные критерии выбора приемлемой модели тренда, в общем случае подбор модели тренда осуществляется посредством субъективной оценки и, следовательно, требует определенного опыта аналитика. Как будет показано в следующем разделе, линия или кривая, хорошо сглаживающие набор уже существующих точек данных, могут не иметь смысла, если проектировать их как тренд в будущее.

Прогноз тренда

Пусть прогноз величины У нар шагов вперед делается в момент времени t = и (конец последовательности), при этом для прогнозирования используется трендовая модель. Период времени, на который делается прогноз,——в данном случае это и — называется началом предсказания. Значение р именуется дальностью прогнозирования. Для модели линейного тренда можно сделать прогноз, вычисляя значения по уравнению Т11+р = % + 仇(几 + р).

При использовании линейного тренда для сглаживания данных о регистрации автомобилей в США из примера 5.1, прогноз тренда для 1993 года (/ = 34), сделанный в 1992 году (t-n = 33), будет предсказанием нар = 1 шаг вперед.

4+i = 7,988 + 0,0687(33 + 1) = 7,9881 + 0,687(34) = 10,324

Аналогично на/? = 2 шага вперед (1994 год) прогноз дается следующим выражением.

4+2 = 7,988 + 0,0687(33 + 2) = 7,9881 + 0,687(35) = 10,393

Эти два прогноза показаны на рис. 5.3 как экстраполяция сглаженной линии тренда.

На рис. 5.5 показана сглаживающая кривая квадратичного тренда для данных о регистрации автомобилей. С помощью уравнения, приведенного на рисунке, можно рассчитать прогноз тренда на 1993 и 1994годы, приняв /= 33 + 1 = 34 и z = 33 + 2 = 35. Можно убедиться, что 右§+】=8,690 и 為建二 8,470. Эти данные можно нанести на рис. 5.5 как экстраполяцию линии квадратичного тренда.

Следует помнить, что сведения о регистрации автомобилей приведены в миллионах штук и два прогноза тренда, полученные на основании квадратичной кривой, существенно отличаются от прогнозов, полученных на основании линейного уравнения тренда. Более того, они указывают тенденцию в противоположных направлениях. Если экстраполировать линейный и квадратичный тренд на более отдаленные промежутки времени, то различие между ними будет постоянно увеличиваться.

Пример с регистрацией автомобилей показывает, что при использовании сглаживающих кривых тренда для прогнозирования будущих трендов нужно быть предельно внимательным. Два уравнения, которые достаточно точно описывают исследуемый ряд, могут давать весьма различные результаты при проецировании на будущие периоды времени. Эта разница может быть весьма существенной для прогнозов большой длительности в случае долговременных прогнозов.

Моделирование с помощью кривых тренда предполагает следующие обязательные условия.

Была выбрана соответствующая кривая тренда.

Кривая, сглаживающая прошлые данные, указывает на будущие.

Это говорит о том, что субъективная оценка и личный опыт играют существенную роль при выборе и использовании кривой тренда. Чтобы применить кривую тренда для прогнозирования, нужно доказать, что выбранная кривая тренда корректна и что с большой вероятностью поведение данных в будущем будет аналогично их поведению в прошлом.

Существуют и объективные критерии отбора кривых тренда. В последующих главах рассматриваются два из них: информационный критерий Акаике (Akaike) и информационный критерий Баезиана (Bayesian). Однако несмотря на то что эти и другие критерии помогают определить рамки применимости модели, все же они не могут полностью заменить здравого смысла и субъективной оценки.

Сезонность

Сезонная структура имеет место при наличии явлений, повторяющихся из года в год. На годичных данных сезонность никак не отражается, поскольку нет возможности смоделировать внутригодовую структуру данных, значения которых регистрируются лишь один раз в год. Однако во временных рядах, содержащих недельные, месячные или квартальные наблюдения, сезонность проявляется очень часто.

Анализ сезонной компоненты временных рядов имеет непосредственные краткосрочные последствия и весьма важен для менеджмента среднего и нижнего звена. Например, в маркетинговых планах обязательно должны приниматься во внимание ожидаемые сезонные структуры изменения потребительского спроса.

Существует несколько методов для оценки сезонных вариаций. Основная идея всех этих методов заключается в том, что в реальном ряду сначала оценивается и убирается тренд, а потом сглаживается возможная нерегулярная компонента. Принимая во внимание рассмотренные ранее модели декомпозиции, можно считать, что оставшиеся данные будут содержать только сезонные вариации. Сезонные величины собираются и суммируются для получения числа (а точнее числового индекса) для каждого наблюдаемого интервала года (недели, месяца, квартала и т.п.).

Таким образом, определение сезонной компоненты во временном ряду отличается от анализа тренда, по меньшей мере, в двух отношениях.

Тренд определяется непосредственно из начальных данных, а сезонная компонента вычисляется лишь после исключения из набора данных всех остальных компонент, в результате чего в них остается только сезонность.

Тренд описывается с помощью одной, хорошо сглаживающей исходные данные кривой или одного уравнения, а в случае сезонности отдельное значение рассчитывается для каждого наблюдаемого интервала (недели, месяца, квартала) года и чаще всего имеет вид числового индекса.

При использовании аддитивной декомпозиции, оценки трендовой, сезонной и нерегулярной компонент суммируются, что в результате дает исходный ряд. Если используется мультипликативная декомпозиция, то для того, чтобы восстановить исходную последовательность, отдельные компоненты перемножаются. В этом случае сезонная компонента представляется набором числовых индексов. Эти числа показывают, какие периоды в году характеризуются относительно низкими показателями, а какие — относительно высокими. Сезонная структура проявляется в сезонных индексах.

Числовые индексы являются удельными величинами, характеризующими изменения величины во времени.

Для месячных данных, например, сезонный индекс 1,0 для одного месяца означает, что ожидаемое значение для него составляет 1/12 от общего значения для всего года. Значение индекса 1,25 для другого месяца подразумевает, что ожидаемые наблюдения для него превысят на 25% 1/12 годичного целого. Месячный индекс 0,80 указывает на то, что ожидаемый уровень активности для этого месяца будет на 20% меньше 1/12 годичного целого, и т.д. Числовые индексы указывают на ожидаемые подъемы и спады уровня активности в течение года после того, как трендовая (или трендово-циклическая) и нерегулярная компоненты были удалены.

Чтобы выделить сезонность, нужно в первую очередь оценить и удалить тренд. Тренд можно оценить с помощью одной из кривых тренда, которые рассматривались выше, или с помощью метода скользящих средних, обсуждавшегося в главе 4.

При использовании модели мультипликативной декомпозиции существует популярный метод оценки сезонных вариаций, называемый отнесение к скользящему среднему. В этом методе тренд оценивается с использованием центрированного скользящего среднего. Данный метод иллюстрируется на примере месячных объемов продаж в компании Cavanaugh, представленных на рис. 5.1 в следующем примере.

Пример 5.2

Чтобы проиллюстрировать метод отнесения к скользящему среднему, рассмотрим месячные объемы продаж в компании Cavanaugh за два года. В табл. 5.2 приведены данные о месячных объемах продаж с января 1998 по декабрь 1999 года. На первом этапе для месячных данных вычисляется 12-месячное скользящее среднее (для квартальных данных следует вычислять четырехмесячное скользящее среднее). Поскольку в вычисление этого скользящего среднего включены все месяцы года, в результате сезонная компонента будет исключена, а само скользящее среднее будет включать только трендовую и нерегулярную компоненты.

群&*审 6 3」w嘱辩m:产 口也电Mbi 叩с.『* в компании Cavanaugh за 1988 -1959 п.

^^＞鑫駿Ss^^fe 總法国麻^^¥^^統йййа^е^Шм击^ 磁縊玄衣滋稜!篠 ^^^^ 汝讶 ^^^^^4＞感宏磁疹:缀^^^^^^^^^й^^多^^^5^^^^^^О»^^§й 臻^^^^й^^^^^^^^^Ш為黎JS^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Период

Объем

12-месячная

Двухгодичная

12-месячное

Сезонный

продаж

скользящая

скользящая

центрированное

индекс

суша

сумма

скользящее

среднее

1988

Январь

518

Февраль

404

Март

300

Апрель

210

Май

196

Июнь

186

Июль

247

4869 .1

4964

”29833}3

409,7)4

0,60}5

Август

343

4952

9916

413,2

0,83

Сентябрь

464

4925

9877

411,5

1,13

Октябрь

680

5037

9962

415,1

1,64

Ноябрь

711

5030

10067

419,5

1,69

Декабрь

610

5101

10131

422,1

1,45

Окончание табл. 5.2

Период

Объем продаж

12-месячная скользящая сумма

Двухгодичная скользящая сумма

12-месячное центрированное скользящее среднее

Сезонный индекс

1999

Январь

613

5178

10279

428,3

1,43

Февраль

392

5239

10417

434,0

0,90

Март

273

5452

10691

445,5

0,61

Апрель

322

5630