В. В. ВАСИЛЬЕВ

Механика конструкций из композиционных материалов

МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ » 1988

ББК 30.4

В19

УДК 531/534 : 620.22-419.8

Рецензент д-р техн, наук, проф. Ю. М. ТАРНОПОЛЬСКИЙ

Васильев В. В.

В19 Механика конструкций из композиционных материалов. —М.: Машиностроение, 1988. — 272 с.: ил. — (Б-ка расчетчика/Ред кол.: Н. Н. Малинин (пред.) и др.).

ISBN 5-217-00038-4

Изложены методы расчета элементов конструкций из композиционных материалов. Описаны конструкционные к технологические свойства этих материалов. Построена универсальная расчетная модель н получены уравнения строительной механики, иа основе которых рассмотрен широкий класс задач статики, дннаиики н устойчивости композитных стержней, балок, пластин и оболочек. Приведены примеры расчета конкретных конструкций.

Для инженеров-расчетчнков прозктно-конструкторскнх и научно-исследовательских организаций» иожет быть полезна преподавателям и студентам вузов.

ББК 30.4ББК 30.4с 2702000000-^036

ББК 30.4

ББК 30.4

В 038 (01)—88 36—88

ISBN 5<>217-00038-4ISBN 5<>217-00038-4© Издательство «Машиностроение!, 1988

ISBN 5<>217-00038-4

ISBN 5<>217-00038-4

9НМ^М43«и ютетемю^м^ ад ^ ^й ю й м мте 1 и и 1 11 1 1 11 I9НМ^М43«и ютетемю^м^ ад ^ ^й ю й м мте 1 и и 1 11 1 1 11 I

9НМ^М43«и ютетемю^м^ ад ^ ^й ю й м мте 1 и и 1 11 1 1 11 I

9НМ^М43«и ютетемю^м^ ад ^ ^й ю й м мте 1 и и 1 11 1 1 11 I

Оглавление

Предисловие

Глава 1. Конструкционные свойства композиционных материалов

Армирующие элементы -

Матрицы

Структурные особенности и механические свойства композитов

Характеристики армированного слоя

Характеристики симметричной системы слоев

Глава 2. Уравнения механики конструкций нз композиционных материалов

Уравнения теории упругости ортотропной среды в ортогональных криволинейных координатах

Исходные допущения

Уравнения строительной механики тонкостенных композитных систем

Постановка задачи

Обобщенные жесткости слоистого материала

Уравнения статики слоистых элементов переменной толщины ...

Уравнения термоупругости、

Нелинейные уравнения、

Линеаризованные уравнении устойчивости:• •.

Уравнения динамики

Особенности описания подкрепленных, трехслойных н сетчатых конструкций

Глава 3: Композитные балкн м стержни

Композитные балки

Тонкостенные стержни с замкнутым контуром поперечного сечения

Особенности расчета тонкостенных стержней с открытым контуром сечения

Особенности расчета тонкостенных балок с миогозамкнутым контуром сечения

Глава 4, Композитные панели и пластины

Уравнения теории слоистых пластин

Гладкие слоистые панели с симметричным расположением слоев

Особенности расчета подкрепленных, трехслойных и сетчатых панелей 191

Закритическая деформация я несущая способность сжатых композитных панелей 200

Глава 5. Цилиндрические оболочки 209

Уравнения теории ортотропных слоистых цилиндрических оболочек209

Расчет безмоментных цилиндрических оболочек .........211

Цилиндрические оболочки, напряженно-деформированное состояние которых не зависит от продольной координаты 217

Осесимметричная деформация цилиндрических оболочек226

Общин случай нагружения цилиндрических оболочек — решения в двойных тригонометрических рядах 233

Полубезмоментная теория композитных цилиндрических оболочек 240

Устойчивость цилиндрических оболочек 250

Список литературы 265

Предисловие

В настоящей книге рассмотрены прикладные методы расчета, элементов конструкций, изготовленных из композиционных материалов, цолучивших в последние годы широкое распространение в различных областях техники. Как известно, расширение класса конструкционных материалов и совершенствование их свойств является результатом технического прогресса. Новые материалы, появление которых, как правило, определяется необходимостью повышения эффективности разрабатываемых конструкций, в свою очередь, открывают возможности для реализации принципиально новых конструктивных решений ^и технологических процессов, а дальнейшее совершенствование конструкций и технологии ставит новые задачи перед материаловедением. Такая взаимообусловленность процессов развития материалов, конструкций и технологии отчетливо проявляется в настоящее время в связи с разработкой и применением композиционных материалов. Появление стеклопласты ков, получивших широкое распространение благодаря высокой прочности при малой по сравнению с традиционными конструкционными материалами плотности, позволило разработать перспективные концепции проектирования и эффективные технологические процессы, вызвавшие, в свою очередь, появление новых, более совершенных материалов на основе углеродных, органических, борных волокон и полимерной или металлической матрицы.

Современные композиционные материалы обладают не только широким спектром механических, физических и химических свойств, но и способностью к направленному их изменению в соответствии с назначением конструкции. Идея соединения двух или более компонентов с целью получения материала, обладающего свойствами, не присущими отдельно взятым компонентам, издавна используется человеком. Принцип специализации этих свойств отчетливо прослеживается во всех природных материалах, появившихся в процессе длительной эволюции и призванных воспринимать гравитационные, ветровые и другие статические и динами-

ческие нагрузки. Направленный характер свойств композитов, естественно, предполагает, что наряду с высокими механическими характеристиками в одних направлениях о'ии обладают низкими в других. Поэтому эффективная реализация достоинств этих материалов в конструкциях требует решения комплекса задач, связанных с выбором взаимно согласованных исходных компонентов, с определением рациональной структуры материала, соответствующей полю внешних нагрузок и других воздействий» с учетом его особенностей и технологических ограничений при разработке проекта.

Иитеисивио расширяющееся внедрение композитов в несущие конструкции различного назначения требует разработки расчетных моделей и методов, учитывающих особенности структуры и поведения этих материалов. К числу таких особенностей, как известно, относятся их анизотропия, слоистый характер и сравнительно низкая прочность и жесткость в направлениях, ие совпадающих с направлением армирования. В совокупности эти особенности настолько усложняют расчетные модели, что полное изложение строительной механики композитных элементов конструкций в книге ограниченного объема представляется задачей не вполне реальной. Тем не менее именно такую задачу поставил перед собой автор, учитывая уже образовавшийся значительный разрыв между числом публикаций» посвященных теории армированных сред, пластин и оболочек и прикладным методам расчета типовых элементов конструкций.

Настоящая книга построена по традиционному для строительной механики принципу, предполагающему шоследовательиое усложнение расчетной модели. Вторая глава посвящена стержням и балкам, третья — панелям и пластинам, четвертая — цилиндрическим оболочкам. Расчет композитного элемента в отличие от металлического предусматривает анализ распределения напряжений по слоям композита. Соотношения, позволяющие определить эти напряжения, представлены в первой главе. Там же кратко описаны конструкционные и тех и ологи чески е свойства композитов, выделяющие их из широкого класса анизотропных материалов, и определяющие специфические для композитов расчетные модели.

Основная задача, которую ставил перед собой автор, заключалась в том, чтобы описать прикладные методы расчета типовых элементов конструкций так, чтобы учесть все существенные особенности композитов, используя по возможности наиболее простые расчетные модели. Трудно судить о том, насколько успешно удалось ее решить, и автор будет признателен читателям, которые пришлют свои замечания по этой книге.

Глава 1

Конструкционные свойства композиционных материалов

Композит представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу (или связующее), обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Механическое поведение композита определяется соотношением свойств армирующих элементов и матрицы» а также прочностью связи между ними. Эффективность и работоспособность материала зависят от правильного выбора исходных компонентов и технологии их совмещения, призванной обеспечить прочную связь между компонентами при сохранении их первоначальных характеристик. В результате совмещения армирующих элементов и матрицы образуется комплекс свойств композита, не только отражающий исходные характеристики его компонентов, но и включающий свойства, которыми изолированные компоненты не обладают. В частности, наличие границ раздела между армирующими элементами и матрицей существенно повышает трещиностойкость материала, и в композитах, в отличие от металлов, повышение статической прочности приводит не к снижению, а, как правило, к повышению характеристик вязкости разрушения (1011.

Ниже рассмотрены основные свойства армирующих элементов, матричных материалов и композитов на их основе. Свойства композитов и их компонентов приведены в работах [39, 45, 46, 75, 771.

Армирующие элементы *

В современных композитах используются тонкие диаметром (5+20(5) 10"® м непрерывные или короткие волокна； которые являются армирующими элементами или служат основой для изготовления нитей, жгутов, лент- и тканей с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу

эксплуатационных и технологических требований. К первым относятся условия по прочности, жесткости, плотности и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологичность волокон определяет возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Еще одним важным требованием является совместимость материала волокон с материалом матрицы. При этом совместимыми считаются компоненты, на границе которых возможно достижение прочной связи, близкой к прочности матрицы при условиях, обеспечивающих сохранение исходных свойств компонентов.

Рассмотрим основные типы волокон.

Стеклянные волокна. Непрерывные стеклянные волокна образуются из расплавленной стекломассы путем вытягивания струи на выходе из фильер до диаметра (5+20) 10-в м и быстрого охлаждения. Предел прочности полученных после вытягивания стеклянных волокон составляет 2—6 ГПа и определяется в основном составом стекломассы, условиями вытяжки и последующей обработки. Модуль упругости волокон составляет 50—130 ГПа, плотность 2500—2600 кг/м3. Стеклянные волокна с неповрежденной поверхностью имеют предел прочности 5—6 ГПа. Предел прочности промышленных волокон, например алюмоборосили- катных с диаметром (5+7) 10"® м, составляет 2—2,5 ГПа, модуль упругости — 73 ГПа. Температура оказывает существенное влияние на прочность стеклянных волокон. Предел прочности промышленных алюмоборосили катных волокон при понижении температуры до —196 ℃ возрастает в 1,5—2 раза, а с повышением температуры снижается, причем наиболее интенсивно после температуры 300 ℃. Модуль упругости стеклянных волокон с повышением температуры до температуры размягчения уменьшается незначительно.

Именно со стеклянными волокнами английским ученым А. Гриффитсом были проведены в 1920 г. эксперименты, положившие начало механике хрупкого разрушения и обосновавшие основное свойство тонких волокон, благодаря которому они и используются в композитах,——высокую прочность по сравнению с прочностью монолитного материала. Подробное обсуждение этого вопроса содержится в учебном пособии [47].

Как известно, теоретическая прочность материалов, предсказываемая физикой твердого тела, значительно (на несколько порядков) превосходит прочность реальных материалов, наблюдаемую экспериментально. В частности, теоретический предел прочности стекла, по оценкам А. Гриффитса, составляет примерно 14 ГПа, а для стеклянных стержней диаметром 1 X10'3 м почти в 100 раз меньше. Такая разница связана с влиянием поверхностных дефектов —трещин, существенно снижающих прочность реальных материалов. Это подтверждается значительным (более чем на порядок) повышением предела прочности стеклянных стержней при травлении их кислотой, сглаживающей поверх-

костные дефекты. А. Гриффитсом была установлена критическая длина трещины, при которой трещина становится неустойчивой, т. е. проявляет тенденцию к неограниченному росту, приводящему к разрушению материала. Существенно, что соответствующее критическое напряжение зависит от абсолютного размера трещины, а поскольку глубина трещины на поверхности волокна не может превышать его диаметра» естественно ожидать возрастания наблюдаемого предела прочности при уменьшении диаметра волокон. Именно этот эффект и был отмечен А. Гриффитсом и неоднократно наблюдался впоследствии. При уменьшении диаметра стеклянных волокон, начиная от 0,03 х Ю-3 м, предел прочности резко увеличивается, а при экстраполяции экспериментальной зависимости на минимальные диаметры предел прочности составляет примерно 11 ГПа, что близко к теоретическому пределу.

Таким образом, использование тонких волокон (не только стеклянных) в качестве армирующих элементов в композитных материалах связано прежде всего с их высокой прочностью. Отметим, что повышение прочности при уменьшении диаметра наблюдается и у стальной проволоки, однако эффективность ее применения существенно снижается из-за высокой плотности стали. В связи с этим в качестве характеристики волокон и вообще материалов часто используется удельная прочность ka = З/у, представляющая собой отношение предела прочности 3 к удельному весу материала у. Удельная прочность измеряется в единицах длины и имеет простой физический смысл — она равна длине волокна, разрушающегося под действием собственного веса. Стальная проволока, имеющая примерно такую же прочность, что и стеклянное волокно, по удельной прочности уступает ему более чем в 3 раза. По аналогии с удельной прочностью иногда вводится и удельный модуль упругости йЕ = Ely.

При изготовлении композитных элементов конструкций стеклянные волокна используют в виде первичных нитей; ровингов, т. е. прядей нескрученных нитей; крученых нитей и тканей на их основе. Текстильная обработка заметно снижает предел прочности стеклянных волокон. Их достоинствами являются высокая прочность при растяжении и сжатии, сравнительно низкая стоимость исходных материалов и процесса изготовления, хорошая совместимость с полимерными матрицами и технологичность. Недостатки связаны с низким модулем упругости и сравнительно низкой теплостойкостью. Из композитов на основе стеклянных волокон изготавливают баллоны давления, цистерны и резервуары, малотоннажные суда, лодки, катера и яхты, элементы кузова автомобилей, винты самолетов и вертолетов, радиопрозрачные обтекатели и купола.

Углеродистые волокна. Процесс изготовления углеродных волокон заключается в последовательном температурном и механическом воздействии на исходные органические волокна, при-

водящем к их карбонизации, графитизации и совершенствованию структуры. На первом этапе нагрев исходных растянутых волокон до температуры порядка 220 °C приводит к образованию поперечных химических связей между макромолекулами полимера. Второй этап — нагрев до температуры 1000 ℃ — позволяет получить так называемые «карбонизованные» волокна, на 80——95 % состоящие из элементарного углерода и обладающие достаточно высокой прочностью. На третьем этапе термообработки при температуре 1500—2500 ℃ получается конечный продукт — графитизированные углеродные волокна с кристаллической структурой, близкой к структуре графита. В зависимости от условий получения и типа исходного сырья предел прочности и модуль упругости углеродных волокон находятся соответственно в пределах 2—3,5 ГПа и 220—700 ГПа. Наибольшей прочностью обладают волокна, нагрев которых на последнем этапе при температуре 1600 °C создает мелкокристаллическую структуру. Высокомодульные материалы получают в результате растяжения волокна при температуре 2700 °C.

В качестве армирующих элементов композитных материалов углеродные волокна применяют в виде жгутов, лент и тканей. Они являются более хрупкими и менее технологичными, чем стеклянные, отличаются химической инертностью, низкой поверхностной энергией, обусловливающей плохое смачивание волокон растворами и расплавами матричных материалов, что в итоге приводит к низкой прочности сцепления на границе волокно — матрица. Основным достоинством углеродных волокон является их более высокая по сравнению со стеклянными волокнами жесткость. Механические характеристики углеродных волокон сохраняются неизменными при повышении температуры до 450 ℃, что позволяет применять их в композитах как с полимерной, так и с металлической матрицей. Волокна характеризуются отрицательным температурным коэффициентом линейного расширения, что в совокупности с положительным коэффициентом

у матрицы позволяет синтезировать композиции для конструкций, сохраняющих свои размеры при температурном воздействии. Углеродные волокна используют для изготовления элементов, необходимая жесткость которых является условйем, снижающим эффективность применения материалов, армированных стеклянными волокнами. Из композитов на основе углеродных волокон изготавливают несущие панели крыла, оперения и фюзеляжа самолета, элементы конструкций ферм, карданные валы автомобилей, детали, работающие в условиях интенсивного теплового воздействия.

Борные волокна. Эти волокна получают осаждением бора на нагреваемую вольфрамовую нить диаметром (124-16) 10~в м. При таком процессе вокруг нити формируется борная оболочка, частично прореагировавшая с материалом нити. В настоящее время выпускают волокна диаметром (100+200) 10-в м, имеющие

предел прочности при растяжении 2—4 ГПа, модуль упругости 370—430 ГПа, плотность 2500—2700 кг/м3. Борные волокна обладают высокой чувствительностью к концентраторам напряжений, чем объясняется их большая прочность при сжатии, чем при растяжении. С повышением температуры заметное разупрочнение волокон бора на воздухе начинается с температуры 400 ℃. Для предотвращения окислительной деструкции на поверхность волокон наносят тугоплавкие покрытия из карбидов кремния или бора толщиной(2+6) 10"в м. Волокна бора выпускают в виде моноволокон, комплексных нитей, лент. Комплексные нити представляют собой пучки непрерывных параллельно уложенных волокон с обмоткой вспомогательной стеклянной нитью. Такие нити легко пропитываются связующим и, уплотняясь в процессе формования, обеспечивают высокое (до 70 % по объему) содержание армирующего компонента в материале. Борные волокна хорошо совмещаются как с полимерной, так и с металлической матрицей. Их основными достоинствами являются высокая жесткость и прочность при сжатии, а к недостаткам можно отнести высокую стоимость, хрупкость и связанную с ней низкую техно л о г и чн ость, большую толщину элементарного слоя, определяемую диаметром волокон. С целью снижения стоимости выпускают борные волокна, имеющие^ углеродную сердцевину. Композиты на основе борных волокон и полимерной или металлической матрицы при- менякУг в основном для изготовления стержневых элементов и панелей, а также для усиления профилей и элементов конструкций с целью повышения их жесткости и прочности при сжатии.

Высокомодульные органические волокна. Прогресс в области создания синтетических материалов привел к получению армирующих волокон, способных конкурировать с н еор г ан и чес ки ми. Высокомодульные органические волокна получают из концентрированных растворов полимеров формованием через фильеры. Далее волокна пропускают через ванны осаждения, где удаляется основная часть растворителя, после чего осуществляют ориентационную вытяжку и фиксацию структуры волокон.

В зависимости от состава полимера и метода формования получают органические волокна, имеющие плотность 1410—1450 кг/м®, предел прочности при растяжении 1,8—3,0 ГПа, модуль упругости 70—130 ГПа. Волокно сохраняет исходные характеристики до температуры 180 ℃, а при повышении температуры, не плавясь, карбонизуется. Криогенные температуры не вызывают охрупчивания волокна. При достаточно высоком модуле упругости и большом предельном удлинении (до 2 %) органические волокна обладают высокой ударной вязкостью и малой чувствительностью к повреждениям. Последнее свойство позволяет сохранить до 90 % прочности волокон при получении тканевых полуфабрикатов. Органические волокна хорошо воспринимают растягивающие нагрузки. По удельной прочности и жесткости они превосходят стеклянные волокна и заменяют последние в баллонах давления

1.1. Физико-механические характеристики волокон

Параметр

Стеклянное

Углероцное

Борное

Органическое

Стальное

высокомодульное

высоко* прочное

Плотность 10』кг/м3

Модуль упругости, ГПа

Предел прочности при растяжении, ГПа

Удельная жесткость 10-в, м

Удельная прочность 10"8, м

2,5 89

3,5

3,6 140

1,95 400 2,1

20,3 108

1,76 260 3,3

М,7 187

2,5 400

3,5

16 140

1,45 120 2,8

8,3 193

7,8 210

2,9

2,7 37

и других элементах, материал которых работает на растяжение. При сжатии композиты на основе органических волокон значительно уступают стеклопластикам. Рассматриваемые волокна обладают хорошей технологичностью, однако совмещаются с полимерными связующими хуже, чем стеклянные.

Ориентировочные характеристики волокон, применяющихся в настоящее время в композитах, представлены в табл. 1.1. Можно отметить, что по удельной жесткости высокомодульные углеродные волокна превосходят все прочие; наибольшую удельную прочность имеют высокопрочные углеродные и органические волокна. Борные и углеродные волокна обладают высокой удельной прочностью и высоким удельным модулем. Наиболее перспективными в настоящее время считаются углеродные волокна. Их свойства непрерывно совершенствуются, а стоимость снижается.

Матрицы .

В композитных материалах армирующие элементы соединены изотропной полимерной или металлической матрицей, которая обеспечивает монолитность материала, фиксирует форму изделия, способствует совместной работе волокон и перераспределяет нагрузку при разрушении части волокон. Тип матрицы определяет также метод изготовления конструкции. Таким образом, матрицы должны удовлетворять определенному комплексу требований, которые можно разделить на эксплуатационные и технологические. Эксплуатационные требования определяют совокупность характеристик матрицы, обеспечивающих работоспособность композита в процессе эксплуатации конструкции. Матрица должна обладать достаточной жесткостью и обеспечивать совместную работу волокон; ее прочность является определяющей при нагружении, не совпадающем по направлению с ориентацией волокон. Особенно важным является свойство матрицы образовывать монолитный материал, в котором матрица сохра-

няет свою целостность вплоть до разрушения волокон. Рациональная микроструктура композита требует вполне определенных соотношений между жесткостью волокон и деформативностью матрицы, причем в разработанных к настоящему времени композициях эти условия полностью не выполняются.

Природа матрицы определяет уровень рабочих температур композита, характеризует устойчивость материала к воздействию внешней среды, химическую стойкость, частично теплофизические, электрические и другие .свойства. Технологические характеристики матрицы определяют процесс получения композита и изделия из него. Основным содержанием этих процессов является совмещение армирующих волокон с матрицей и окончательное формообразование изделия, что определяет следующие требования к материалу матрицы: хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе пропитки; возможность предварительного изготовления полуфабрикатов (препрегов) с последующим изготовлением из них изделий; качественное соединение слоев композита в процессе формования; невысокие значения параметров окончательного формообразования (температуры, давления); обеспечение высокой прочности сцепления матрицы с волокном. Наиболее широкое распространение получили1 композиты на полимерной и металлической матрицах, рассмотренные ниже. -

Термореактивные полимерные матрицы» Связующие рассматриваемого типа образуются из смолы, отвердителя, катализатора или инициатора отверждения и растворителя, который иногда вводят для понижения вязкости и улучшения процесса пропитки системы армирующих элементов. В исходном состоянии связующее представляет собой вязкую жидкость, которая в результате полимеризации при нормальной или повышенной температуре отверждается и переходит в нерастворимую и неплавкую матрицу. В производстве конструкций из композитных материалов наиболее широкое применение находят полиэфирные, фенолоформаль- дегидные, эпоксидные, кремнийорганические и полиимидные связующие.

Полиэфирные связующие, отверждаемые при нормальной и повышенной температуре, характеризуются высокой стойкостью к действию воды, минеральных масел, неорганических кислот, многих органических растворителей, хорошими диэлектрическими свойствами. К преимуществам полиэфирных связующих относятся следующие: малая вязкость полимеров, обеспечивающая простоту совмещения их с волокнами; способность отверждаться в широком температурном интервале без применения высоких давлений； простота модифицирования другими смолами. К недостаткам — невысокий уровень механических характеристик, слабая адгезия, малая жизнеспособность, относительно большая усадка и наличие в составе токсичных веществ типа стирола.

Фенолоформальдегидные связующие отверждаются при температурах 160—200 ℃ с применением значительного давления порядка 30―40 МПа и выше. Получаемые в результате полимеры стабильны при длительном нагревании до 200 ℃, а в течение ограниченного времени способны противостоять действию и более высоких температур ——несколько суток при температурах 200—250 ℃, несколько часов при 250—500 ℃, несколько минут при температурах 500—1000 ℃. Разложение начинается при температуре около 3000 ℃. К недостаткам фе- нолоформальдегидных смол можно оТнестн их хрупкость и большую объемную усадку (15—25 %) при отверждении, связанную с выделением большого количества летучих веществ. С целью получения материала с малой пористостью необходимо при формовании применять высокие давления. ,

Эпоксидные связующие обладают комплексом благоприятных свойств, определивших их широкое применение в производстве конструкций из композитов. К этим свойствам относятся следующие: высокие механические и адгезионные характеристики, позволяющие достаточно полно использовать свойства армирующих волокон; хорошая технологичность связующих, обеспечивающая создание высокопроизводительных процессов пропитки армирующих элементов, формования изделия и окончательного его отверждения. Эпоксидные связующие могут длительное время находиться в недоотвержденном состоянии, что позволяет изготовлять на их основе предварительно пропитанные и частично отвержденные полуфабрикаты (препреги). Отверждение смол можно осуществлять, при необходимости» в широком интервале температур, и оно протекает без выделения летучих веществ с малой объемной усадкой 1——5 %. Отвержденные эпоксидные связующие имеют достаточно высокие механические характеристики, стойки к действию многих растворителей и агрессивных сред, влагостойки и могут эксплуатироваться до температуры порядка 150 ℃.

Кремнийорганические связующие характеризуются работоспособностью в широком интервале температур (от ——200 до +350 ℃), стойкостью к действию органических растворителей и минеральных кислот, высокими диэлектрическими свойствами. К недостаткам относятся низкие по сравнению с другими связующими механические свойства при невысоких температурах (до 100 ℃); необходимость значительных давлений при формовании изделий; длительный цикл отверждения и высокая стоимость. \

Полиимидные связующие отверждаются при сравнительно высокой температуре (300——350 °C), отличаются высокой теплостойкостью, хорошими механическими характеристиками и стойкостью к действию различных агрессивных сред, стабильностью размеров в цшрокрм температурном интервале. К недостаткам полиимядны?；связующих .относятся значительные !6

1.2. Физико^мехаяические характеристики отвержденных термореактивяых связующих

Параметр

Полиэфирные

Феноло- формаль* дегид- ные /

Эпоксидные

Кремний- органнче-

Полиамид* иые

Предел прочности, МПа: при растяжении при сжатии

Модуль упругости» ГПа

Плотность 10-8, кг/м®

Теплостойкость, ℃ Относительное удлинение, %

Объемная усадка, %

30—70

80—150

2,8—3,8

1,2—1,35

50—80

1,0—5,0

5—10

40—70 100—125

7—11

1,2—1,3 140—180 0,4—0,5

15—25

35—100 90—160

2,4—4,2

1,2—1,3 130—150

2—9

1—5

25—50 60—100

6,8—10

1,35—1,40 250—280 0,3—0,5

15—20

90—95 250—280

3,2—5

1,41—1,43 250—320

1—2,5

3—20

технологи чески е трудности изготовления изделий из материалов на их основе, связанные с высокой температурой отверждения.

Некоторые характеристики рассмотренных матриц представлены в табл. 1.2.

Как уже отмечалось, природа матрицы определяет й основном технологические параметры процесса изготовления композитного элемента, при котором образуется и сам материал. В связи с этим рассмотрим типовые технологические процессы, характерные для производства изделий из композитов с тер мор еа ктивной полимерной матрицей.

Одним из наиболее распространенных методов ф(Урмообразо- вания композитных элементов является прессование с помощью пресс-формы, в которой создаются давление и температура, необходимые для формования заготовки и отверждения матрицы. Прессованием изготавливают детали как с хаотическим, так и с ориентированным расположением волокон. В первом случае используются так называемые пресс-материалы, т. е. полуфабрикаты из отрезков волокон, лент, гранул, таблеток. Во втором — предварительно раскроенные и уложенные под необходимыми углами армирования слои препрега. Давление прессования определяется типом связующего и формой детали. Прессованием изготавливают панели, лопасти винтов, обтекатели и другие элементы, требуюкцие высокой геометрической точности и хорошего качества поверхностей, образуемых в результате контакта пресс-материала с матрицей и пуансоном пресс-формы.

Для изготовления крупногабаритных панелей широко используется вакуумное или автоклавное формование, при котором собранная листовая заготовка укладывается одной стороной на форму, а с другой стороны покрывается эластичной и герметичной диафрагмой. При вакуумном формовании в результате откачки воздуха UQ-ПСП 贝巾pori^jj CG?TTf рми “сп ттгпш 中|屮巾『片"口以 ПОрЯДКЗ 70—90 кПа, и в термосе书 ррвд|^фС^фчЕ 16тАер电енне связую-

щего. При автоклавном формовании система помещается в автоклав (цилиндрический сосуд давления, заполняемый воздухом или азотом и снабженный нагревательным устройством), в котором создается давление 300——2500 КПа. В отличие от прессования, при котором формуются обе поверхности детали, в рассматриваемом случае высоким качеством обладает только одна — соприкасающаяся с формой поверхность. В качестве материалов для форм используют древесину, гипс, алюминиевые и другие сплавы. Для образования полостей сложной формы может оказаться эффективным применение резиновых форм-блоков, удаляемых после отверждения детали. При больших габаритах листовых заготовок формирование их структуры осуществляется с помощью лентоукладочных машин, обеспечивающих автомати чес кую выкладку армированных лент по заданным траекториям. Вакуумное и автоклавное формование успешно применяют для изготовления крупногабаритных панелей — плоских и криволинейных гладких, подкрепленных и трехслойных.

Габариты 'деталей, изготавливаемых методом автоклавного формования, ограничиваются размерами автоклавов, диаметр которых достигает 6 м, а длина —— 20 м. Для получения более крупных изделий, а также элементов, к которым не предъявляются слишком высокие требования по качеству и стабильности характеристик, используют самый простой технологический процесс — контактное формование. При этом в качестве исходных материалов применяют, как правило, ткани различного плетения, предварительно раскроенные и пропитанные связующим, отверждающимся при нормальной температуре. Уплотнение материала на поверхности формы осуществл яется прикаткой через разделительный слой. Для получения изделия при этом требуется только время, необходимое для полимеризации связующего. Рассматриваемым методом изготавливают, в частности, крупногабаритную технологическую оснастку для производства панелей обшивки самолета методом обтяжки [10 L

Одним из найболее перспективных технологических процессов является намотка, предусматривающая следующие операции: автоматическую укладку по заданным траекториям армированного материала на оправку, по форме соответствующую будущему изделию; отверждение связующего и удаление оправки. Намотка осуществляется нитями, жгутами, лентами и тканями, которые пропитываются полимерным связующим непосредственно перед укладкой на оправку (мокрая намотка) или предварительно —— на пропиточных установках с частичным отверждением связующего (сухая намотка). Намотка осуществляется на специальную оправку, которая может быть разборной или неразборной (с которой изделие может быть стянуто или спрессовано), полностью или частично разрушаемой, растворяемой или вымываемой. Для изготовления оправок используют металлическую арматуру, гипс, растворимые соли, композиции на основе песка и раство-

римых связующих веществ. Укладку армированного материала при намотке осуществляют с некоторым натяжением, которое способствует получению монолитной беспористой структуры композита. Иногда для этих целей используют прикатку, дополнительную обмотку по наружной поверхности через разделительный слой, внешнее давление. Классификация видов намотки может быть осуществлена по различным признакам. Приведем классификацию по структурным свойствам получаемого композита.

Радиальную или кольцевую намотку используют для изготовления труб и производят предварительно пропитанными связующим полотнищами ткани, укладываемыми на вращающуюся оправку одновременно по всей длине. Оправка лежит на валках '(один из которых является ведущим) и своей тяжестью уплотняет материал.

Более высокие механические характеристики позволяет получить так называемая продольно-поперечная намотка, осуществляемая однонаправленными лентами, укладываемыми в осевом и кольцевом направлениях. Ленты сматываются с катушек, установленных на кольцах-вертлюгах, внутри которых размещается цилиндрическая оправка. При продольном движении вертлюги образуется слой с осевым армированием, а в результате его вращения и осевого перемещения формируется кольцевой слой. Рассматриваемый процесс является эффективным для изготовления труб, стержней и трубопроводов с криволинейной осью.

Для изготовления композитных оболочек н других тонкостенных элементов широко используют спиральную намотку, при которой на вращающуюся оправку с раскладчика, совершающего возвратно-поступательное движение параллельно оси оправки, подается армированная лента, укладываемая под заданными углами к оси. Спиральная намотка осуществляется на станках с программным управлением, обеспечивающих необходимую траекторию армирования. Эта траектория не может быть' произвольной —она должна удовлетворять условиям равновесия ленты на поверхности оправки в процессе намотки. Наиболее просто в этом отношении реализуются геодезические траектории, поскольку гибкая нить, укладываемая на абсолютно гладкую поверхность без трения, стремится расположиться вдоль геодезической линии. Ввиду того, что в реальных условиях между лентой и поверхностью, на которую она укладывается, существует трение (коэффициент трения 0,15—0,20), оказывается возможной спиральная намотка по траекториям, отличающимся от геодезических. Это обстоятельство существенно расширяет возможности спиральной намотки.

Для получения замкнутых или имеющих малые отверстия в полюсах оболочек вращения типа баллонов давления и резерв вуаров может быть использована так называемая плоскостная намотка, при которой виток ленты лежит в плоскости, составляющей некоторый угол с осью оправки. При этом либо раскладчик

вращается в этой плоскости вокруг оправки, либо оправка, вращаясь также в этой плоскости, наматывает на себя ленту.

Достоинством процесса намотки является возможность его полной автоматизации, что обеспечивает высокую стабильность получаемых изделий. Намоткой изготавливают в основном детали типа тел вращения, однако она может быть использована для изготовления коробчатых балок, лонжеронов винтов и других элементов типа стержней с достаточно сложным (но обязательно выпуклым) контуром поперечного сечения.

Стержневые элементы —— профили, прутки, трубы малого диаметра —могут быть получены также методом протяжки (пултрузии). При этом армирующий материал в виде плоской ленты пропитывается связующим и протягивается через систему пресс- форм, в которых происходит формование заданного профиля и отверждение связующего. Методом протяжки могут быть получены пруток сплошного сечения, уголковый профиль, швеллер, тавровый, трапециевидный и другие профили. Протяжка является высокопроизводительным автоматическим процессом изготовления элементов набора подкрепленных конструкций. Некоторая модификация позволяет получать стержни с криволинейной осью.

Термопластичные полимерные матрицы. В последние годы все более широкое применение в качестве матриц находят термопластичные материалы, которые при нагревании расплавляются, а при последующем охлаждении затвердевают. Преимущества термопластичных матриц по сравнению с описанными выше термо- реактивиыми определяются неограниченной жизнеспособностью полимера с завершенной химической структурой и отсутствием необходимости в длительном и энергоемком процессе полимеризации. В связи с этим использование термопластичных связующих может привести к значительному снижению стоимости изделий из композитов. По уровню механических характеристик некоторые термопласты не уступают отвержденным термореактивным связующим, а по таким свойствам, как химическая стойкость и герметичность, как правило, превосходят их. К недостаткам рассматриваемых связующих относятся ярко выраженная зависимость свойств композитов на их основе от температуры, низкая теплостойкость термопластов (исключение составляют специальные теплостойкие материалы) и технологические трудности, связанные с высокой вязкостью их растворов и расплавов. Поэтому для качественной пропитки систем армирующих элементов требуется высокое давление, приводящее к разрушению арматуры. Прогрессивные методы совмещения волокон и термопластичной матрицы предполагают чередование слоев из волокон и пленки (например, органических волокон и полиамидной плейки) и формирование жгутов и лент из армирующих и термопластичных (напрнмер, из поликапроамида, полипропилена, полиамида) волокон. В процессе термообработки под давлением термопластичные

1.3. Физико-механические характеристики термопластичных связующих

Параметр

Нейлон 6.6

Полнфе-. ннлен- сульфид

Сополимер этилена

Полн- сульфон

Полиэфир термопластичный

Предел прочности прн рас- тяженнн, МПа

Модуль упругости, ГПа

Плотность 10-3, кг/м3 Теплостойкость, ℃ Относительное удлинен не, %

83

2,8

1,14

65

10

77

4,2

1,34 135

3—4

45

1,4 1,7 74 150

72

2,7

1,24 174

50—100

56

2,5 1,32 68 10

пленки и волокна расплавляются и, заполняя пространство между армирующими элементами, образуют непрерывную матрицу. Характеристики некоторых видов термопластичной матрицы представлены в табл. 1.3.

Перспективные технологические процессы получения композитных элементов на основе термопластичной матрицы предусматривают прессование или формование панелей и других элементов конструкций Из предварительно подготовленных листов, образованных из нитей, лент, ткани и термопластичного полимера. Получаемые в результате предварительного совмещения компонентов такие листовые материалы характеризуются стабильностью структуры, легко обрабатываются и соединяются в процессе изготовления детали под действием температуры и давления. Композитные жгуты и ленты, включающие, как армирующие, так и расплавляемые термопластичные волокна, позволяют широко использовать высокопроизводительный процесс намотки.

Углеродная матрица. Композиты на основе углеродной матрицы получают в результате • специальной обработки (карбонизации) систем, образованных из углеродных волокон и фенольных смол или пеков. Отвержденную смолу подвергают пиролизу в инертной среде или в вакууме. Если конечная температура пиролиза не превышает 800——1500 ℃, получается карбонизованный материал. В случае нагрева карбонизованного материала до 2500——3000 ℃ происходит его графитизация. Пиролиз, как правило, сопровождается усадками и увеличением пористости, что вызывает необходимость последующего уплотнения матрицы. Процесс уплотнения осуществляется пропиткой органической смолой или пеком и повторным циклом пиролиза или пропусканием углеродосодержащего газа, в результате которого происходит пиролитическое осаждение углерода в порах. Многократное повторение циклов пропитка ——отверждение ——карбонизация благоприятно сказывается на механических свойствах композита, но ведет к значительному увеличению продолжительности процесса изготовления. .

Углеродная матрица может быть также образована прямым химическим осаждением из газовой фазы на заготовки из сухого углеродного волокна. При этом используют метан или подобный газообразный углеводород в комбинации с водородом или аргоном. Процесс осуществляют при сравнительно высокой температуре порядка 1000——1500 ℃. Матрицы, полученные методом химического осаждения, имеют большую плотность, более высокое содержание углерода, лучшие характеристики сцепления волокна с матрицей, но большую стоимость, чем матрицы, полученные из органических смол и пеков.

Основные преимущества композитов с углеродной матрицей состоят в высокой теп лостой кости, стойкости к тепловому удару и облучению, химической инертности. Эти материалы обладают высокими механическими характеристиками при повышенной температуре, малой плотностью и рядом других ценных свойств, позволяющих их применять в термонагруженных защитных и конструкционных элементах. К их недостаткам можно отнести длительность и сложность процесса получения углеродной матрицы, ее хрупкость, а также трудности, возникающие при решении проблемы крепления и соединения деталей из этих материалов.

Металлические матрицы. В последние годы все более широкое применение находят металлические композитные материалы, образуемые из высокомодульных борных или углеродных волокон и пластичной металлической матрицы. Ввиду того, что механические свойства металлической матрицы вцше, чем у полимерной, композиты на основе металлической матрицы обладают более высокой жесткостью и прочностью при нагружении 'поперек волокон и сдвиге, чем полимерные композиты. С другой стороны, металлическая матрица требует значительно более интенсивных в температурном и силовом отношении технологических методов. Для образования металлической матрицы наиболее широко используют сплавы на основе алюминия, имеющего плотность 2700 кг/м3, модуль упругости 70 ГПа и температуру плавления 780 ℃. Сплавы алюминия способны подвергаться разнообразным видам обработки, на которых и основываются различные способы изготовления изделий из композитов на металлической матрице. Для формирования металлической матрицы могут быть применены многочисленные технологические методы, включающие различные виды литья, обработку металлов давлением, порошковую металлургию, напыление, осаждение и т. д. Все способы совмещения волокон и матрицы можно разделить на твердофазные, жидкофазные и осаждение.

Твердофазные способы заключаются в сборке пакета заготовок, состоящего из чередующихся слоев материала матрицы и волокон, и последующем соединении компонентов между собой. С целью облегчения укладки армирующих волокон вводится операция изготовления препрега, представляющего собой уложенный на фольгу из материала матрицы'слой волокон, зафикси-

рованный на ней либо нанесением на волокно слоя матрицы, либо приклеиванием легковыгорающими и не загрязняющими матрицу клеями. Например, ленту на основе алюминиевой матрицы и борных волокон получают в результате намотки волокон на алюминиевую фольгу, оберну ту к> бокруг оправки, и нанесения на поверхность волокон плазменным напылением слоя матричного материала. Для изготовления препрега применяют также процессы химического и электрохимического осаждения материала матрицы на волокна. Например, осаждением получают препреги из углеродного волокна, покрытого алюминием или никелем. Основная операция метода твердофазного совмещения — соединение волокон и матрицы — осуществляется следующими способами: диффузионной сваркой (соединением в вакууме нагретых элементов из однородных и разнородных материалов, протекающим без расплавления материала и основанным на диффузионном взаимопроникновении контактирующих веществ под действием давления); прокаткой листов препрега, нагретых до температуры 600—650 ℃; импульсным горячим прессованием на падающих молотах; сваркой взрывом; методами порошковой металлургии; соединением давлением, получающимся в результате температурного расширения при нагревании заготовки в замкнутом объеме.

Жидкофазные способы предусматривают различные виды литья расплавленного материала матриц, обеспечивающие пропитку предварительно уложенной системы волокон* Существует несколько разновидностей метода жидкофазного совмещения: пропитка в вакууме, пропитка при обычном и повышенном давлении и их комбинация. Пропитка расплавом матрицы при нормальном давлении и разновидность этого метода ——пропитка пучка волокон протяжкой их через расплав —— являются эффективными способами изготовления изделий сложной формы и полуфабрикатов в виде прутков, труб, профилей. Этот метод позволяет получить профильные элементы из ^глеалюминия, бороалюминия, композиций из углеродных волокон с матрицей из меди и олова. Для улучшения смачиваемости волокон на них наносятся покрытия. На углеродные волокна электрохимическим осаждением наносят тонкие слои никеля и меди, а волокна бора покрывают нитридом бора. Улучшение смачивания волокон происходит и при наложении ультразвуковых колебаний на расплав матричного металла. Принудительную пропитку (пропитку в вакууме или под давлением) обычно применяют при отсутствии смачивания волокон матричным расплавом или для ускорения процесса. Технические характеристики материалов, получаемых принудительной пропиткой или протяжкой через матричный расплав, примерно одинаковые. По сравнению с твердофазным совмещением метод жидкофазного совмещения компонентов характеризуется более высокой производительностью, меньшими механическими воздействиями на компоненты, что позволяет изготовлять крупно-

габаритные изделия и детали сложной формы, а также возможностью применения жгутов и тканей (например, из углеродного волокна).

Образование металлической матрицы методами осаждения состоит в нанесении на волокна различными способами (газофазным, химическим, электролитическим и т. п.) слоя металла и заполнении им межволоконного пространства. Эти методы характеризуются незначительными температурным и механическим воздействиями на волокна в процессе их совмещения с матрицей. В связи с большими технологическими трудностями способы газофазного, химического, электрохимического осаждения в основном применяют для нанесения на армирующие волокна промежуточных слоев, выполняющих роль либо барьеров, предотвращающих чрезмерное взаимодействие волокон с матрицей, либо покрытий, улучшающих смачиваемость и прочность связи между матрицей и волокном. Метод газотермического напыления широко применяют для обеспечения связи между волокном и матрицей при изготовлении препрегов. Этим же методом можно получать и полуфабрикаты в виде лент, листов и профилей.

Структурные особенности и механические свойства композитов

Рассмотрим типовые структуры композитов, образованные в результате совмещения описанных выше армирующих элементов и матриц. К таким структурам условно можно отнести ориентированные материалы, армированные прямолинейными волокнами (рис. 1.1, а); композиты, армированные тканями (рис. 1.1, б); материалы, хаотически армированные непрерывными (рис. 1.1, 6) или дискретными (рис. 1.1, г) волокнами; пространственно армированные системы (рис. 1.1, 5). •

Отметим, что в конструкции перечисленные композиции обладают двумя уровнями неоднородности: микронеоднородностью, связанной с наличием двух фаз (волокон и матрицы), и макронеоднородностью, связанной с наличием в материале различным образом ориентированных микронеоднородных слоев. При расчете и проектировании конструкций обычно учитывают только второй уровень неоднородности материала, т. е. считается, что он состоит из совокупности квазиоднородных слоев, свойства которых

rraran.nu*>uo<>W I* пп«*та*кж«жппЧ k'* IKXDDZIDDEIQI imnoDDcanui4，。41。》!0口口4，］rraran.nu*>uo<>W I* пп«*та*кж«жппЧ k'* IKXDDZIDDEIQI imnoDDcanui4，。41。》!0口口4，］Рис. 1.1. Типовые структуры композитов:Рис. 1.1. Типовые структуры композитов:ориентированные материалы» армированные прямолинейными волокнами (а) и тканями (б); хаотические, армированные непрерывными (•) и дискретными (г) волокнами; пространственно армированные (д)ориентированные материалы» армированные прямолинейными волокнами (а) и тканями (б); хаотические, армированные непрерывными (•) и дискретными (г) волокнами; пространственно армированные (д)

rraran.nu*>uo<>W I* пп«*та*кж«жппЧ k'* IKXDDZIDDEIQI imnoDDcanui

4，。41。》!0口口4，］

rraran.nu*>uo<>W I* пп«*та*кж«жппЧ k'* IKXDDZIDDEIQI imnoDDcanui

4，。41。》!0口口4，］

Рис. 1.1. Типовые структуры композитов:

Рис. 1.1. Типовые структуры композитов:

ориентированные материалы» армированные прямолинейными волокнами (а) и тканями (б); хаотические, армированные непрерывными (•) и дискретными (г) волокнами; пространственно армированные (д)

ориентированные материалы» армированные прямолинейными волокнами (а) и тканями (б); хаотические, армированные непрерывными (•) и дискретными (г) волокнами; пространственно армированные (д)

известны. Анализ зависимости этих свойств от характеристик исходных компонентов и их содержания в композиции является предметом микромеханики композитов, основная задача которой заключается в определении эффективных модулей упругости, т. е. коэффициентов, связывающих усредненные по объему напряжения и деформации. К настоящему времени разработано большое число микромоделей композитов, армированных прямолинейными волокнами, которые можно разделить иа следующие группы. ..

Модели, учитывающие только упругие свойства и объемные содержания компонентов.

Самосопряженные модели, где композит представляется в виде одного волокна, окруженного бесконечной средой, которая обладает свойствами композита. Вариант этой модели представляет собой три концентрических цилиндра, причем внутренний цилиндр имеет свойства волокна, средний — матрицы» наружный —композита.

Модели, учитывающие форму и предполагающие регулярное расположение волокон. Модели такого рода исследуются различными методами, основанными на:

упрощенных предположениях о напряженном состоянии матрицы;

точных решениях плоской задачи теории упругости для изотропного пространства (матрицы) с периодической системой включений (волокон);

приближенных или численных решениях задачи теории упругости для п овтор я юще гос я элемента структуры, содержащего одно или несколько волокон;

анализе иапряжеииого состояния матрицы методами фотоупругости.

Энергетические модели, основанные на аппроксимации распределения напряжений и перемещений матрицы и использовании вариационных принципов, позволяющих получить верхнюю и нижнюю границы для эффективных упругих постоянных.

Статистические модели, основанные на предположении о случайном распределении волокон и решении задач теории упругости микронеоднородиых сред, структура которых описывается корреляционными функциями различного порядка.

Модели, описывающие композиты, армированные тканями, дополнительно учитывают искривление волокон, связаннре с переплетением нитей основы и утка ткани; для анализа хаотически армированных материалов осуществляют их осреднение по углу ориентации волокон; пространственно армированные композиты рассматривают как совокупность ортогональных и взаимно проникающих слоев из прямолинейных или искривленных волокон.

Микромехаиика композитов изложена в работах【15, 17, 44, 57, 62, 74, 81, 82, 85, 93]. Отметим, что соотношения микромеханики основаны на некоторых априорных предположениях

Рис. 1.2. Элемент однонаправленного слоя (а) н слоистого композита (б)Рис. 1.2. Элемент однонаправленного слоя (а) н слоистого композита (б)

Рис. 1.2. Элемент однонаправленного слоя (а) н слоистого композита (б)

Рис. 1.2. Элемент однонаправленного слоя (а) н слоистого композита (б)

о структуре композита, т. е. на идеализированных моделях, приближенно отражающих реальную структуру материала и часто не учитывающих не поддающиеся формальному описанию особенности материала, связанные с реализуемыми в конкретных условиях параметрами технологического процесса. В связи с этим соотношения микромеханики в основном предназначены для ориентировочных оценок и качественного анализа влияния микроструктурных параметров на свойства композитов, необходимых для решения задач материаловедения, связанных с модификацией свойств и разработкой новых материалов. Для задач расчета конструкций из композитных материалов представляется более оправданным экспериментальный подход, согласно которому упругие постоянные и пределы прочности композита с типовой структурой (см. рис. 1.1) определяют при соответствующих испытаниях плоских, кольцевых или трубчатых образцов, изготовленных тем же технологическим методом, что и рассматриваемая конструкция. В этом случае получаемые экспериментально характеристики позволяют учесть все особенности изготовления материала: качество пропитки; натяжение ленты; давление прессования и т. д. Экспериментальные методы исследования свойств композитов изложены в работе [86].

Рассмотрим особенности структуры и свойства композитов с типовыми схемами армирования.

Ориентированные материалы, армированные непрерывными прямолинейными волокнами. Достоинства и высокие механические характеристики композитов наиболее полно реализуются в ориентированных материалах, армированных параллельными волокнами, т. е. в так называемых однонаправленных слоях или монослоях (рис. 1.2, а), из которых путем укладки в различных направлениях образуются слоистые композиты (рис. 1.2,. б). Несмотря на большое многообразие структур, которые определяются числом слоев, их толщиной и взаимной ориентацией, свойства таких материалов определяются свойствами однонаправленного слоя. Эти свойства (ориентировочные) представлены в табл. 1・4 и иллюстрируются линиями, показанными на рис. 1.3 и соответствующ и ми стеклопластику (Сп), органопластику (On)j 26

Рис. 1.3. Удельная прочность (论°) и удельная жесткость (显)композитов

боропластику (Бп), углепластику (Уп) и бороалюми- нию (Ба). Верхние точки характеризуют удельную прочность и жесткость при растяжении вдоль волокон, а нижние —поперек волокон. Заштрихованная прямоугольная область условно соответствует традиционным конструкционным материалам — металлическим сплавам. Из табл. 1.4 и рис. 1.3 следует, что по продольным характеристикам

однонаправленные композиты

значительно превосходят металлические сплавы, а по поперечным существенно им уступают. Область, в которой располагаются прямые линии на рис. 1.3, примерно соответствует комбинациям свойств, которые могут быть получены в результате сочетаний однонаправленных композитных слоев с различной ориентацией волокон по отношению к направлению нагружения.

1.4. Физико-механическае характеристики однонаправленных композита

Параметр

Стекло- пластик

Углепластик

Органо пластик

Воро- пла> стнк

Углерод- углеРОД

Углерод- алю* миний

Воро< алюминий

Плотность 10~я, кг/м8

Предел прочности» ГПа:

2,Г

1,5

1,38

2,0

1,9

2,2

2,64

прн растяжении вдоль волокон

1,75

1,1

1,8

1,6

0,34

1」

1,4

при растяжении поперек волокон

0,034

0,033

0,028

0,065

0,007

0,045

0,14

при сжатии

0,65

0,45

0,28

2,4

0,6

2,0

вдоль волокон при сдвиге

0,048

0,027

0,042

0,102

0,03

0,045

0,084

Удельная прочность при растяжении вдоль волокон 10, м

Модуль упругости, ГПа:

83

73

130

80

18

50

53

вдоль волокон

57

180

72

210

170

200

230

поперек волокон

6,2

4,9

19

19

—

140

Удельная жесткость 10"в, м

2,7

12

5,3

10»5

8,9

9,1

8,8

Модуль сдвига» ГПа

5,2

5,0

2,0

6,2

9

—

63

Диаграммы деформирования всех ориентированных композитов при растяжении и сжатии вдоль волокон в первом приближении можно считать линейными вплоть до разрушения материала. При поперечном нагружении и особенно при сдвиге в плоскости армирования иногда наблюдается нелинейное поведение материала. Однако жесткости при поперечном нагружении и сдвиге значительно меньше продольной, и в слоистом пакете отмеченная нелинейность, как правило, проявляется слабо. Таким образом, волокнистые композиты удовлетвор итель но описываются моделью линейно-упругого тела.

Прочность однонаправленного слоя, показанного на рис. 1.2, а, определяется пределами прочности при растяжении и сжатии вдоль и поперек волокон 付丰，ё±) и при сдвиге в плоскости слоя (т12). Исчерпание несущей способности материала при продольном растяжении происходит в результате разрыва волокон, а при сжатии ——в результате потёр и устойчивости волокон или образования трещины, параллельной волокнам. Разрушение при растяжении поперек волокон и при сдвиге связано, как правило, с разрушением матрицы (нарушение когезионной прочности) или с отслоением матрицы от волокон (нарушение адгезионной прочности). Разрушение при сжатии поперек волокон происходит в результате скола материала под углом к направлению нагружения. Разрушение композитов даже при простом нагружении является весьма сложным процессом, теоретическое описание которого связано с большими трудностями. Поэтому, как уже отмечалось, наибольшее распространение получили экспериментальные методы определения пределов прочности о±, о±,彳^。Прочность при продольном растяжении и сжатии определяется на плоских образцах или кольцах с однонаправленным армированием. При растяжении и сжатии поперек волокон используют плоские образцы с поперечным армированием или трубки с кольцевыми волокнами. Предел прочности при сдвиге определяй при кручении таких трубок. Однонаправленный слой, работая в составе многослойного материала (см. рис. 1.2, б), как правило, испытывает воздействие всех трех напряжений: а1( а2 и т12 (см. рис. 1.2, а). Поэтому необходимо иметь критерий прочности, по которому можно предсказывать разрушение материала на основе имеющихся данных о разрушении и свойствах композита, полученных при простых опытах (растяжении, сжатии, сдвиге). Существующие критерии прочности имеют в основном феноменологический характер, т. е. представляют собой аналитическую аппроксимацию экспериментальных результатов. В связи с тем, что такая аппроксимация может быть осуществлена неоднозначно, а степень ее соответствия экс пер именталь ным результатам, имеющим, как правило, значительный разброс, оценивается субъективно, существует множество таких критериев [4, 29, 53, 80, 81, 93, 95].

Одна из наиболее простых форм аппроксимации предельного

состояния ортотропного материала, находящегося в условиях плоского напряженного состояния (см. рис. 1.2, а), имеет следующий вид:

(訂-調+(誥)4(言)*• 。」)

Из (1.1) следует, что критерий нечувствителен к знаку нормальных напряжений, т. е. строго справедлив для материалов с одинаковой прочностью при растяжении и сжатии. Однако его можно использовать и для оценки прочности материалов с различной сопротивляемостью растяжению и сжатию. Если знаки напряжений известны (что обычно и бывает), то вместо ах> 2 подставляют Gf, 2, если ai, 2 > 0, и 五方,если s,2 Vo. Соотношение (1.1), если сохранить в нем знак равенства, определяет в пространстве напряжений а1я а2> т12 поверхность, называемую предельной (рис. 1.4, а). Как следует из табл. 1.4, для однонаправленных материалов 3工 》 6含 н б\ 》 т12, т. е. первые два слагаемых (1.1) оказываются малыми, и критерий можно записать в виде

(我)，(希)2«1・ (L2)

Таким образом, разрушение слоя связано с напряжениями а2 и T12，т. е. с разрушением связующего, в результате которого образуются трещины, параллельные волокнам. Это явление называется нарушением монолитности слоя и далеко не всегда приводит к разрушению слоистого материала, так как волокна продолжают воспринимать нагрузку. Разрушение волокон определяется первым слагаемым в (1Л); соответствующее условие прочности имеет вид

(“/G)2 Vl. (1.3)

Условия (1.2), (1.3) определяют цилиндрическую предельную поверхность, показанную на

рис. 1.4, б.

В практических расчетах часто применяют более простую форму записи критерия прочности:

6Т V 5 V of, G? с и2 V

<^2, I Т12 I < 亏力(L4)

Предельная поверхность при этом образуется гранями

Рис. 1.4. Предельные поверхности однонапр явленного композита, соответствующие критериям прочности:

а — по формуле (1.1)2 6 — (1.2). (1.3)5 •«(1*4)

параллелепипеда, показанного на рис. 1.4, в. Преимуществом формы записи (1.4) является то, что она позволяет получить информацию о напряжениях, которые вызывают разрушение слоя, и, следовательно, о характере этого разрушения. Критерий (1.4) иногда записывают через деформации

@f V с】V ёь 匆 V е2 V 紘 I е12 1V 瓦2・ (1.5)

Значения нормальных напряжений и деформаций подставляют в (1.4) и (1.5) с учетом знаков.

Материалы, армированные тканями. Большинство применяемых волокон (исключение составляют борные волокна) в результате текстильной переработки позволяют получать ткани, которые широко используют в композитах в качестве армирующих элементов. Основным преимуществом таких материалов является их высокая технологичность, особенно при изготовлении крупногабаритных изделий. В то же время текстильная переработка волокон и их искривление, появляющееся в результате переплетения, вызывают значительное снижение прочности и жесткости материала при нагружении в направлениях армирования. Ткани обычно изготавливают из низкомодульных стеклянных и органических волокон. Стеклоткани конструкционного назначения формируются из текстильных крученых нитей, состоящих из волокон диаметром (6+7) X 10_в м, и стекложгутов из волокон диаметром 10 X 10_в м. В производстве композитов на основе тканей (текстолитов) применяют в основном ткани полотняного и сатинового переплетения. Механические свойства материала зависят как от вида переплетения волокон, так и от соотношения волокон по основе и утку ткани. Типовые свойства материалов на основе стеклотканей различного переплетения представлены в табл. 1.5. Как видно из приведенных результатов, тканые материалы значительно уступают по прочности и жесткости композитам с прямолинейными волокнами. Например, два слоя стеклопластика, пред-

Характеристики стеклотекстолитое на основе стеклотканей различного плетения'

Вид ткани

RK

5g

а

疗 л® Г

S3» 雌

我^ 8恥

Предел прочности пря растяжении, ГПа

Модуль уп- ругостн при растяжении, ГПа

Основа

Уток

Основа

Уток

Сатиновая: 8/3

0,23

1,89

30,7

0,67

0,33

33

21

5/3

0,35

1,85

33,8

0,53

0,28

27

20

Полотняная

0,27

1,93

27,1

0,52

0,30

30

25

Основная

0,25

1,94

25,5

0,73

0,14

35

17

Многослойная

2,50

1,85

31,5

0,34

0,28

25

18

ставленного в табл. 1.4, позволяют получить материал, обладающий в двух взаимно ортогональных направлениях пределами прочности порядка 0,88 ГПа. На рис. 1.3*стеклотекстолитам соответствует точка Ст. Из рис. 1.3 следует, что по удельным характеристикам рассматриваемые композиты соответствуют традиционным конструкционным материалам (заштрихованная область). Проч ность и жесткость материалов, армированных тканями, могут быть увеличены в результате полной или частичной замены стеклянных волйкон органическими или углеродными.

Приведенные выше оценки относились к нагружению тканых материалов в направлении нитей основы или утка, однако характеристики тканых (армированных в ортогональных направлениях) композитов зависят от угла между направлениями нагрузки и нитей ткани. При действии нагрузки под углом к ориентации нитей прочность и жесткость материала в значительной мере определяются свойствами полимерного связующего. С увеличением этого угла модуль упругости и предел прочности снижаются, а модуль сдвига и коэффициент Пуассона возрастают, достигая максимальных значений при угле 45°. Это обстоятельство используется при изготовлении элементов из тканых композитов методами прессования, вакуумного, автоклавного и контактного формования. Сухая ткань или ткань, пропитанная неотвержденным связующим при растяжении под углом 45° по отношению к нитям основы и утка, обладает высокой деформационной способностью, что позволяет формовать из плоских полотнищ панели двойной кривизны с неразвертывающейся поверхностью.

Прочность тканых материалов при нагружении в направлении нитей основы и утка определяется числом и прочностью этих нитей, а прочность при сдвиге в плоскости армирования связана в основном со свойствами связующего. В общем случае плоского напряженного состояния нити основы и утка, а также соединяющая их матрица сравнительно слабо взаимодействуют, и условие прочности может быть принято в форме записи (1.4) или (1.5), где оси / и 2 совпадают с направлениями армирования.

Композиты с хаотическим армированием. Хаотически армированные композиты образуются в результате соединения полимерной матрицы с неориентированными непрерывными или короткими волокнами. Типичным материалом первого типа является компози-* ция АГ-4В [60] на основе спутанного стекловолокна и феноло- формальдегидного связующего, обладающая в отвержденном состоянии модулем упругости 14 ГПа и пределом прочности на растяжение 63 МПа. Наибольшее распространение получили материалы второго типа, содержащие хаотически расположенные короткие волокна. Композиты с неориентированной структурой получают: из коротких волокон длиной (5+100) X 10~8 м, образуемых путем расчленения расплавленной струи стекломассы потоком пара или газа; гранул; рубленых пучков волокон и однонаправленных лент, пропитываемых связующим предварительно или в процессе

изготовления детали. Изготовление изделий осуществляется методами прессования, напыления, контактным или вакуумным формованием. Механические свойства волокнитов повышаются с увеличением длины и степени ориентации волокон. Кривые деформирования таких материалов нелинейны. При изготовлении деталей в ряде случаев происходит некоторая ориентация волокон, степень которой зависит от конфигурации изделия и метода его изготовления. Это приводит к тому, что в различных деталях из одного и того же материала механические характеристики могут существенно различаться. Волокнит на основе полиэфирного связующего и стеклянных волокон длиной 38 х 10~3 м, полученный прессованием, имеет плотность 1700 кг/м?, модуль упругости 12,4 ГПа и предел прочности при растяжении 138 МПа [451. На рис. 1.3 рассматриваемым волокнитам соответствует точка В. Как видно, по удельным характеристикам они значительно уступают остальным материалам. Основными достоинствами волокнистых композитов с хаотическим расположением волокон являются хорошая технологичность и сравнительно низкая стоимость, в связи с чем их широко применяют для изготовления деталей несилового назначения в самых различных областях техники.

Композиты с пространственным армированием. Существенным недостатком композитных материалов, образованных из армированных слоев, является их низкая прочность при межслоевом сдвиге, растяжении и сжатии, которая определяется матрицей. Этот недостаток в значительной мере устраняется при пространственном армировании. Образование композиций с пространственной структурой армирования возможно с помощью многослойных тканей, систем нитей, ориентированных в трех и более направлениях, а также с помощью дискретных волокон, размещаемых в пространстве между основными армирующими элементами.

В многослойных тканях поперечное армирование достигается переплетением нитей одного из направлений отдельных слоев или всей ткани по толщине. Многослойные ткани изготовляют обычно из низкомодульных стекло-, органо- и углеродных волокон. Применение, например, стеклотканей пространственного плетения приводит к возрастанию сдвиговой прочности композита в 2—2,5 раза, но из-за существенного искривления волокон уменьшается прочность при растяжении. \

Структура пространственного материала, образованного системой нитей, создается переплетением семейств прямолинейных волокон, каждое из которых образует в пространстве некоторые углы с другими семействами. Такой принцип пространственного армирования используют для получения композитов на основе углеродных волокон и углеродной матрицы. В настоящее время интенсивно разрабатываются углерод-углеродные композиты, армированные в трех и более направлениях. Простейшая пространственная структура образуется правильным переплетением трех 32

семейств прямолинейных волокон. В этом случае каждое семейство волокон образует с другими семействами углы в 90°. Четырехмерная структура образуется путем правильного переплетения четырех семейств волокон, н нх направления соответствуют четырем высотам правильного тетраэдра. Таким образом, каждое семейство волокон образует с другими семействами углы в 70,5°. Существуют пространственные структуры, образованные нз большего числа семейств волокон. Наиболее перспективной считается четырехмерная структура — она допускает такое же, как н в трехмерной структуре,. содержание волокон, но ее свободные внутренние пустоты открыты, взаимосвязаны н легко пронизываются углеродом, образующим матрицу, тогда как ячейки трехмерной структуры состоят нз практически изолированных полостей. При производстве элементов нз рассматрнваемых композитов сначала, в соответствии с заданной схемой армирования, собирают стержни нз углеродных волокон, пропитанных, например, фенольной смолой. Диаметр стержней порядка (1+2) X 10-8 м. Стержни собирают с помощью приспособлений, обеспечивающих точное соблюдение схемы их расположения н орнентацнн. Как уже отмечалось в § 1.2, углеродная матрица формируется в результате многоступенчатой пропитки н пиролиза или прямым осаждением углерода из газовой фазы. Получаемые таким образом пространственно армированные угле род- у глеродные композиты характеризуются относительной изотропностью, низким температурным коэффициентом линейного расширения н допускают изготовление деталей больших размеров, работающих при высоких температурах.

Введение дискретных волокон в пространство между основными непрерывными волокнами прн образовании пространственно армированного композита осуществляется несколькими способами: чередованием слоев, состоящих нз непрерывных волокон н дискретных волокон в виде матов, бумаги; пропиткой связующим, в которое предварительно введены дискретные волокна; внскернзацнен основных армирующих волокон.

Внскеризацня — нанесение дискретных волокон или нитевидных кристаллов на армирующие элементы ——осуществляется различными способами: выращиванием нитевидных кристаллов на поверхности волокон нз газовой фазы; осаждением дискретных волокон и нитевидных кристаллов на поверхность нитей, жгутов, лент, тканей из аэрозоля и суспензий. При оптимальном содержании нитевидных кристаллов в композитах удается повысить разрушающее напряжение прн сдвиге в 2—3 раза, модуль упругости прн сдвиге в 1,3—1,6 раза, разрушающее напряжение прн сжатии в 1,5—2 раза н прн растяжении в трансверсаль ном направлении в 1,5—3 раза. Внскернзованные композиты характеризуются также более высокой длительной прочностью прн повышенных температурах и ударной вязкостью по сравнению с обычными ма- териаламн.「НИШШОТЖА ］仁二S乏二□

2 Ваоилье. В. В.КОЛОХЗАj関

ОСКОР戦 AI J

Свойства и особенности структуры пространственно армированных композитов подробно рассмотрены в работе [44].

Выше были приведены механические свойства основных типов композитных материалов. Следует отметить, что они обладают широким спектром и других физических свойств. В частности, положительным или отрицательным температурным коэффициентом линейного расширения, электропроводимостью или электроизоляционными свойствами, радиопрозрачностью, поглощающей или отражательной способностью, коррозионностойкостью и т. д. Направленное использование широких возможностей композитов открывает перспективы для создания материалов, обладающих свойствами, в наибольшей степени соответствующими назначению и условиям эксплуатации конструкции.

Характеристики армированного слоя

Как следует из табл. 1.4, волокнистые композиты с однонаправленным армированием обладают высокими механическими характеристиками только при нагружении вдоль волокон. При нагружении поперек волокон и при сдвиге жесткость и особенно прочность материала оказываются весьма низкими, так как они определяются свойствами матрицы. В связи с этим однонаправленные материалы в чистом виде практически не используются в конструкциях. Как правило, материал представляет собой совокупность однонаправленных или тканых слоев с различными углами ориентации волокон (см. рис. 1.2, б). Ниже будут получены соотношения, определяющие термоупругие характеристики слоя, армированного под углом к направлению нагружения.

Рассмотрим слой, отнесенный к координатам /, 2, 3, связанным с направлением армирования. В однонаправленном материале ось / совместим с направлением волокон (см. рис. 1.2, а), а в случае армирования тканью направим оси / и 2 вдоль нитей основы и утка. Ось 3 ортогональна плоскости армирования. Предположим, что Элемент слоя находится в условиях плоского напряженного состояния (см. рис. 1.2, а) и температурного воздействия. Поскольку оси координат 1, 2 являются осями ортотропии, закон Гука для слоя может быть записан в виде

Ci =豈Hu*^" + %T； G = "^-n"者"+ a*7；(1・6)

где Е], Е* и Gu — модули упругости в направлениях /, 2 н модуль сдвига в плоскости слоя; |iu,卩*】一коэффициенты Пуассона; alv а$ — температурные коэффициенты линейного расширения; Т — приращение температуры.

34

Рис. 1.5. Элемент однонаправленного слоя композита в осях /, 2, 5, связанных с направлением армирования, и в осях а, 0, у конструкции

Как уже отмечалось, характеристики слоя в координатах 7, 2 определяют экспериментально. Равенства (1.6) могут быть разрешены относительно напряжений:

" = Gg + 卩1向)-e1(网 + g120f1)T;

S = Е*(& + Hai^i)—旦 Qa + 眼1«1) T；(L7)

T12 = G12e12»'

где £lt 2 = Eb a/(l — |11ац21). Здесь имеет место условие симметрии упругих постоянных

^iHi2 н Е?卩2i・(L8)

Введем ортогональные координаты а, 0, у н предположим, что ось 7 армированного слоя составляет с осью а угол <р (рис. 1.5). Статические соотношения, связывающие напряжения в системах координат а, р и /, 2, следующие:

0a =。工 cos2 ф + а2 sin2 ф — т12 sin 2(р;

。6 = % sin2 ф + аа cos? ф + т1а sin 2(р;(1.9)

%в =(。工 ——5)sin ф cos <p + r12 cos 2(р,

а геометрические соотношения, позволяющие выразить деформации в системе координат /, 2 через деформации в осях а, 0, можно записать следующим образом [66 ]:

勺=е(х cos2 屮 + % sm* 屮 + ea0 sin <p cos <p;

& = ea sin2 屮 + % c°sa 屮一％6 sin <p cos ф；

eu = Q — %) sin 2(p + Сав cos 2(p.(1.10)

vПолучим теперь соотношения, связывающие напряжения aa, 0rв，т<хв с деформациями ea, %, с^в и температурой. С этой целью подставим деформации 内，&, е12 (1.10) в закон Гука (1.7), а полученные в результате этой подстановки напряжения аъ 。金，占纟—— в соотношения (1.9). После некоторых преобразований с помощью

условия симметрии (1.8) запишем физические соотношения для слоя, армированного под углом ф к оси а:

% = 4；& + 412^0 + Лхэбаз — 4&Т；

。6 = 4；i% + Ли^р + 風э%ф — 4；тТ；(1.П)

%6 = 4；1% + л 32^0 + 4加。6 — А^тТ,

где___

4ц =瓦 cos4<p + 瓦sm‘ 屮 + 2 (Др» + 2Gi2)sin2 <pcos2 屮；

4；2 =風 I = E 串 12 + [% + 国一2 (£屮12 + 2Gl2)] sin2 屮 cos2 <p;

Л22 =瓦 sin4 <p + £2 cos4 <p + 2 (瓦 pg + 2Gi2)sin2 屮 cos2 屮；

Л1з = 4；i = sin 屮 cos 屮店1 cos2 屮一瓦 sln2q> — (Egg + 2G12) cos 2 屮 J;

(М2)

4^3 = Л32 = sln<pcos<p[Ei sin2<p — E3cos2<p + (£ P12 + 2Gi2)cos2(p]； 4% = (Ki + E — 2 瓦 pi» sin2 屮 cos2 屮 + Gis cos2 2屮； А\т = £i(ai + Ц12а2)со^ <p + &Q2 + P21OC1) sin2 屮；

Лзf = sin 屮 cos 屮[£j(ai + 附*2)- EDQz +141&1)J.

Для получения обратных соотношений можно разрешить уравнения (1.11) относительно деформаций. Однако проще повторить их вывод, используя статические и геометрические соотношения, обратные (1.9) и (1.10). Действительно, разрешая (1.9) относительно напряжений %, q, т12 и (1.10) — относительно %,牛，2好, имеем:

ffl = О。COS1 屮 + “ Ski* 屮 + 嘗好 SIH 2屮；

as = Ga Sin2 屮 +。6 cos® 屮一т«0 sin 2屮；

<12 = (ffp — ffa) Sin ф COS ф +$8 cos 2(p(1.13)

и

% = 4 cos* ф + ^2 sin* ф — с” sin Ф COS Ф；

% = ©i sin* 屮 + & cos* ф + G* sin 屮 cos <p;(1.14)

=(勺—q) sin 2(p + &* cos 2(p.

Заметим, что первое равенство (1.13) может быть получено, если сложить первое соотношение (1.9), умноженное на cos* 屮, второе — умноженное иа sin^ <р, и третье — умноженное на sin 2<р. Остальные выводятся аналогичным образом. Подставляя теперь напряжения q, q, ти (1.13) в закон Гука (1.6), а полу-

ценные таким образом деформации еь &* е12 — в правые части равенств (1.14), запишем выражения, обратные (1.11):

©а — "^ Нар "g^~ + !)а.ар 历^ + 名「；

用=書—l4«奇 + !|Аз*^^ + аАТ；(L15)

%6 = Дар. а "^ + %,6 "^ + ^^ + 名6「， где

古=甯+嚮+(*-警

詈=誉=皆-(靑+ /+讐-左)8Ш4фc08«ф；

*=* = sm 2$ ［警一響-(蟲-聲)8S2可

(1.16)

音=警+甯+(去-警卜向mos”；走=s*(*+吉+警)+増；

& = @1 cos2 <p + a? sin2 ф, а； — ai sin2 屮 + g cos2 <p;

，唸=Qi」s) sin 2<p,

где E^，Ej н G^e — модули упругости слоя в направлениях а н 卩 и модуль сдвига в плоскости армирования в этих осях; 俄и 叭一коэффициенты Пуассона; п — коэффициенты, определяющие влияние касательных напряжений на удлинения и нормальных напряжений на деформацию сдвига. Наличие этих коэффициентов показывает, что слой, ортотропйый в координатах /, 2, является анизотропным в координатах а, р.

В дальнейшем понадобятся также упругие постоянные слоя прн сдвиге в плоскостях, ортогональных плоскости армирования (рис. 1.5). В осях координат /, 2 закон Гука имеет вид

Пз = Gl8els; т28 = G«2s・(L17)

Здесь Gls и G*s — модули сдвига слоя, определяемые экспериментально. Запишем соотношения, связывающие касательные напряжения и деформации сдвига в координатах а, р, у и /, 2, 3 (см. рис. 1.5):

Ту = 口8 cos ф — Qs sin ф, 鼻=a, cos ф + тХ8 sin Ф； (1.18)

% =勺“ cos ф -h *н sin <p, % =《》cos <p — v9T sin 屮(1.19)

ииeu = eav cos ф + “у sin 屮，eu 彳 e^ cos <p — £仪丫 sin <p; (1.20) ea? = e13 cos 屮—〃3 sin 屮，e₽v = eas cos .<p + els sin <p.(1.21)

и

и

С помощью равенств (1.17), (1.18), (1.20) можно получить соотношения типа (1.11), т. е.

%y =< 14%Y + <:5e3?； 工By = 464%Y + /55^力，(1.22)

где

力& = Gi3 cos2 屮 + G23 sin2 <p;

'Л55 = G13 ^"屮 + 柒 cos2 <p;

力：5 = Д54 = sin 屮 cos <p (G13 一 баз)*

Обратные им соотношения типа (1.15) следуют из равенств (1.17), (1.19), (1.21), т. е.

6師=脑Y，ay 言:+ 嗡:,(L23)

где

1 一 cos2 ф 丄 sin2 ф .

福' =十

1 一 sina ф 丄 cos2 ф

07 =飞丁十飞L

где Gav, Св? — модули сдвига слоя в плоскостях осу н 卩丫； X — коэффициенты, характеризующие взаимное влияние деформаций сдвига в этих плоскостях.

Характеристики симметричной системы слоев

В слоистых композитах слою с углом армирования +<р, как правило, соответствует такой же слой с углом армирования —ф (рис. 1.6). Практически все автоматизированные технологические процессы формования слоистого пакета обеспечивают укладку, а в некоторых случаях и взаимное переплетение смежных симметричных слоев с углами ±<р. Такие два слоя естественно считать при расчете как один симметрично армированный слой. Такое предположение вполне соответствует реальной структуре слоистых композитов и значительно упрощает соотношения, связывающие напряжения и деформации. Если каждый из сим38

Рис. 1.6. Взаимодействие симметрично армированных слоевРис. 1.6. Взаимодействие симметрично армированных слоев

Рис. 1.6. Взаимодействие симметрично армированных слоев

Рис. 1.6. Взаимодействие симметрично армированных слоев

метричных слоев, показанных на рис. 1.6, является анизотропным в координатах а,卩，то, работая совместно, они образуют ортотропный слой, закон Гука для которого имеет более простую форму записи, чем соотношения (1.11), (1.15), (1.22) и (1.23) для отдельного слоя. Для получения этого закона запишем равенства (1.7), (1.9) и (1.10) для слоев с углами армирования 土屮：

of =瓦(e^ + nise#)—瓦(固+ циа^Т;

of =后2 (片+u2传丰)一瓦(% +u2m)T;(1.24)

5言=言；

Ga = of COS2 <p + G克 sin2 <p 干 T吉 Sin 2ф；

ap = af sin2 <p + o$ cos2 <p 土诚 sin 2屮；(1.25)

啧=± (af — a?) sin <p cos 屮 + 咕 cos 2<p;

ef = Ca CO^ ф + " Sin2 Ф ± 6(X0 Sin ф COS Ф；

e* = % sin2 屮 + 命 cos2 ф 干 ％B Sin ф COS ф； (1.26)

ей = db (命—Ca) Sin 2屮 + 2呻 COS 2ф・

Здесь знаки 士 соответствуют слоям с углами ±(р. В соотношениях (1.24) учтено, что свойства материала обоих слоев одинаковы, а равенства (1.26) учитывают условия совместности деформаций слоев:安 = %； £音 = 纬； 廳 =вар. Подставляя деформации (1.26) в закон Гука (1.24), а напряжения af, af,砧一в соотношения (1.25), получим напряжения 噬，и訂 嗑，выраженные через деформации %,纬,％в・ Осредняя напряжения по формулам (рис. 1.6):

* = ；（0士 +。r）；”=；（才 +g1）； $8 = $（位 + 后），

запишем физические соотношения, связывающие средние напряжения симметричной пары слоев с соответствующими деформациями:

% =力1色 + 4吟1 — 4гТ； ” = 4色 + 4*0 — А^гТ\ (1.27)

Здесь Лтд = Лтл) ^тг ~ ^4тг» где 4兀(加九= 11, 12, 21, 22, 33) и Атт (加 ==1,2) определяются равенствами (1.12). Соотношения (1.27) соответствуют ортотропному материалу, у которого нагружение вдоль осей ортотропии а н 0 не вызывает изменения прямого угла между этими осями, а касательные напряжения не вызывают удлинений в направлениях а н 0. Разрешая равенства (1.27) относительно деформаций, получим

% П簧-n8穹" + a/； б =穹-n时君■+a广；(1.28) ёаВ =鴿，

где

% = А^ *^; Е^А^-尧；G” - 4OT; (1.29)

На^ = "^-； N₽a ^ "^-I аа ^ "^7("仃—卩随4丁)；

“6 = Тр"("*Т — Hap^ir)»

где Еа, Ер и Gap — средние модули упругости и модуль сдвига системы двух симметрично армированных . слоев;卩如 卩阿一 коэффициенты Пуассона; * %( — средние температурные коэффициенты линейного расширения.

Рис. 1.7. Зависимость модуля упругости от угла армирования для материалов： / — бороалюмииия; 2 — боропластика; 3— углепластика; 4 一 оргааопдастика： 6 — «теиошистакаРис. 1.7. Зависимость модуля упругости от угла армирования для материалов： / — бороалюмииия; 2 — боропластика; 3— углепластика; 4 一 оргааопдастика： 6 — «теиошистакаРис. 1.8. Зависимость модуля сдвига от угла армирования для материалов： / — бороалюмнння; 2 — боропластика; 3 —углепластика; 4 — органопластмка; 6 — ткдошмстккаРис. 1.8. Зависимость модуля сдвига от угла армирования для материалов： / — бороалюмнння; 2 — боропластика; 3 —углепластика; 4 — органопластмка; 6 — ткдошмстккаНа рис. 1.7 и 1.8 приведены зависимости модуля упругости Еа (модуль Ец получается из £仪 заменой ср на 90° — ср) и модуля сдвига GaB от угла ср для материалов, свойства котЬрых представлены в табл. 1.4.

Рис. 1.7. Зависимость модуля упругости от угла армирования для материалов： / — бороалюмииия; 2 — боропластика; 3— углепластика; 4 一 оргааопдастика： 6 — «теиошистака

Рис. 1.7. Зависимость модуля упругости от угла армирования для материалов： / — бороалюмииия; 2 — боропластика; 3— углепластика; 4 一 оргааопдастика： 6 — «теиошистака

Рис. 1.8. Зависимость модуля сдвига от угла армирования для материалов： / — бороалюмнння; 2 — боропластика; 3 —углепластика; 4 — органопластмка; 6 — ткдошмсткка

Рис. 1.8. Зависимость модуля сдвига от угла армирования для материалов： / — бороалюмнння; 2 — боропластика; 3 —углепластика; 4 — органопластмка; 6 — ткдошмсткка

Рис. 1.9. Деформации отдельных (а) и свизаиных (б) симметрично армированных слоев

а)а)Заметим, что модули упругости (1.29) не совпадают' с соответствующими упругими постоянными слоя, ко-

а)

а)

торые определяются

равенствами (1.16). Для иллюстрации рассмотрим растяжение в направлении оси а элементов, показанных на рис. 1.9. Деформации элементов, армированных одним семейством волокон (рис. 1.9, а), определяются соотношениями (1.15), т. е.

% = ~^"； ©В =―叫^"； “ =唯斯 а*^"， (ЬЗО) а для симметрично армированного элемента (рис. 1.9, б), согласно (1.28), получим

%=鶯"；eР = ~~n随"^； eв = °， (L31)

Из равенств (1.30), (1.31) и рис. 1.9 следует, что в несвязанных несимметрично армированных слоях появляются деформации сдвига %取 которые взаимно уничтожают друг друга, если эти слои работают совместно. Для того чтобы привести элементы, изображенные на рис. 1.9, а. к состоянию, показанному на рис. 1.9, б, к ним необходимо приложить взаимно уравновешенные касательные напряжения %日，обеспечивающие выполнение условия ©ав = 0・ В результате из третьего соотношения (1.15), приняв в нем еаР = 0 и учитывая, что ар = 0 и Т = 0, найдем

-巨1 . Лоф »в^а*

Подставляя это выражение в первое равенство (1.15), после некоторых преобразований получим % = аа/£а, где

Еа = м[1 -譽(*ЗаУ

Отсюда следует, что 氏 n £J, т. е, система связанных симметрично армированных слоев в общем случае обладает большей жесткостью, чем несимметрично армированный слой такой же толщины.

Выведем теперь соотношения, связывающие касательные напряжения %丫 и 席丫 с соответствующими деформациями симме-

тричио армированных слоев (см. рис, 1.6). Для слоев с углами ±ф, согласно равенствам (1.22), имеем

啧—4〃姦 土 4k為；(1-32)

哧=±砥崎+ 4〃乱(1.33)

Рассмотрим симметричную пару слоев, нагруженную напряжениями Тогда 屯=金=т«у， и, поскольку система является ортотропной (см. рис. 1.6), в соотношении (1.32) следует принять % =叫=е^у и 班=е加=0・ Аналогично, при нагружении касательными напряжениями i^, в равенстве (1.33) имеем! т篇=тру = T0y； 或丫 ~ боу = °； бру =即丫 =即,「В результате получим

«оу ~ ｛《«ау； “у = 456cpy(1.34)

Вводя модули сдвига, соотношения (1.34) можно записать следующим образом:

Qy = Са«ау； TpY = Gb«by，(1.35)

где

Gccy = Gj_s cos® ф + Os# sin* <р; G^y h Gu sin* <p + G*$ cos® _(p. (1 ・36)

Таким образом, физические соотношения для симметричной систшы слоев определяются равенствами (1.27) и (1.35).

Глава 2

Уравнения механики конструкций из композиционных материалов

В настоящей главе представлены уравнения теории упругости ортотропной среды, которые позволяют описать напряженно- дефор мировая ное состояние широкого класса композитных систем. Для большинства из этих систем могут быть введены некоторые дополнительные гипотезы, которые существенно упрощают исходные уравнения и позволяют сформулировать рассматриваемую в этой главе прикладную теорию композитных конструкций.

Уравнения теории упругости ортотропной среды

в ортогональных криволинейных координатах

Введем декартову систему координат %, у, z н связанную с рассматриваемой средой ортогональную систему криволинейных координат а, 0, у (рис. 2.1). Расстояние между двумя бесконечно близкими точками среды

ds2 = ds^ + dSp 抬， где

& = H*da (1,2,3).(2.1)

Символ (1, 2,3) здесь и далее означает, что из записанного соотношения, соответствующего направлению а, можно получить еще два, соответствующие направлениям 0 н у, если заменить а на 卩, Р на y，y на а и 1 на 2, 2 на 3 и 3 на 1. Параметры 〃工，Яа, Я3, называемые коэффициентами Ламе, по существу являются масштабными коэффициентами и показывают, сколько единиц длины содержится в единице координаты а, 0 или у.

Площади граней и объем элемента, показанного на рис. 2.1, определяются равенствами

dSae = Н]〃2 da 呻(1, 2, 3); dV = 〃工儿儿 da dp d? (2.2)

Рис. 2.1. Элемент сплошной среда, отнесенный к декартовым (х, у, г) н криволинейным (а, р, у) координатамРис. 2.1. Элемент сплошной среда, отнесенный к декартовым (х, у, г) н криволинейным (а, р, у) координатамРис. 2.2. Напряжециое состоииие м* мента, отнесенного к криволинейным координатамРис. 2.2. Напряжециое состоииие м* мента, отнесенного к криволинейным координатам

Рис. 2.1. Элемент сплошной среда, отнесенный к декартовым (х, у, г) н криволинейным (а, р, у) координатам

Рис. 2.1. Элемент сплошной среда, отнесенный к декартовым (х, у, г) н криволинейным (а, р, у) координатам

Рис. 2.2. Напряжециое состоииие м* мента, отнесенного к криволинейным координатам

Рис. 2.2. Напряжециое состоииие м* мента, отнесенного к криволинейным координатам

Если соответствие между декартовой и криволинейной системами координат зг(дано уравнениями связи х (а, 0, у), g (а, 0, у), z (а, В，у), параметры Ламе для принятой системы а, Р，у находят по формулам

*傷)2+(鲁)2+(警)2(1，2,3).(2.3)

В общем случае коэффициенты Ламе являются функциями переменных а, 6，у. Эти функции не могут быть выбраны произвольно. Для того чтобы они определяли метрические свойства сплошной среды, должны выполняться уравнения Ламе:

+备+靑符符=0 (1,2,3);

W \ Л1 也\cry cry

醇丛—]он* 0Hl I 1 ан，ан* /« ° 公 е 4、 乖十石F4

Следует привести один важный частный случай. Пусть одна из осей криволинейной системы координат, например ось у, является прямой линией. Тогда декартовы координаты могут быть выражены через криволинейные следующим образом:

X = /1(а. В) + 4У； У =启(a, B)+4y； z = ^(а,卩)+ 价， где /х = cos (х, у); % = cos (у, у); /z = cos (z, у), причем 耳 + + 存 + С = 1. Из третьего равенства (2.3) при этом следует, что 〃；=号 + © + Е = 1.

Запишем уравнения равновесия, связывающие напряжения, действующие по граням выделенного из среды элемента (рис. 2.2), и объемные (отнесенные к единице объема) силы %，吊，耳・ Уравнения» соответствующие суммам проекций сил, действующих на элемент, иа касательные к осям координат, имеют вид

7 (6 + 及％〃#8 = 0 (1, 2, 3),(2.5)

厶 9)=备("/8吟-。也8 "^* - G/2 "^* +

+ 击("也%) + %"，甯 + * ("財2%) + %自 哈•(2.6) 44

Касательные напряжения обладают свойством парности: %р = = % (1, 2, 3), которое следует из уравнений моментов относительно касательных к координатным осям.

В криволинейно ортотропной среде, оси ортотропии которой совпадают с координатными линиями а, 0, у, нормальные напряжения вызывают удлинения

% =—n8^(1，2, 3),(2.7)

а касательные напряжения — деформации сдвига

%9 =詰(1，2,3).'(2.8)

Здесь имеют место условия симметрии упругих постоянных

Ра出а п 卩舱/ (1, 2, 3)«(2・9)

Нормальные и сдвиговые деформации связаны с перемещениями %, 电 ％ вдоль соответствующих координатных линий геометрическими соотиошёииями:

" = 备前（制 +告右（聲）a, 2, 3）." = 备前（制 +告右（聲）a, 2, 3）.

" = 备前（制 +告右（聲）a, 2, 3）.

" = 备前（制 +告右（聲）a, 2, 3）.

Исключая из (2.10) перемещения, можно получить уравнения совместности деформаций, связывающие относительные дефор

мации.

Равенства (2.5)—(2.8) и (2.10) образуют полную систему уравнений теории упругости в ортогональных криволинейных координатах. Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям, заданным иа поверхности тела (рис. 2.3). Геометрические граничные условия, определяклцне характер закрепления тела, накладываются иепосредствеиио на перемещения иа> 埠,% Статические граничные условия, определяющие характер нагру

жения тела поверхностными силами, записывают следующим образом:

J = 2(1,2,3).(2.11)

Здесь Та, % 7丫 一 проекции поверхностной нагрузки иа оси а, 0, у;

J = а/а + %“ь + %/у (1, 2, 3),

(2.12)

Рис. 2.3. К определению граничных условийРис. 2.3. К определению граничных условийгде па, %е，％? — напряжения в соот- ветствук)щей точке граничной поверхности; /а, ", /? — направляющие коси-

Рис. 2.3. К определению граничных условий

Рис. 2.3. К определению граничных условий

нусы нормали v к этой поверхности, т. е. /а = cos (% а) (1, 2, 3).

Приведенные выше уравнения теории упругости могут быть также получены из вариационных принципов, как условия минимума некоторых энергетических функционалов. Вариационные принципы устанавливают энергетические критерии, по которым истинное состояние тела, имеющее место при заданных нагрузках и условиях закрепления» можно выделить из всех возможных его состояний. Прежде всего дадим определение таких возможных состояний.

Зададим, например, перемещения иа (а, 0, у), 件(а, 0, у) и wv (а, В，丫)так, чтобы они были непрерывными функциями координат и соответствовали условиям закрепления рассматриваемого тела. Очевидно, что существует множество систем таких перемещений, составляющих совокупность кинематически возможных состояний тела. Для каждого из этих состояний геометрические соотношения (2.10) позволяют найти деформации, а физические соотношения (2.7), (2.8) определяют напряжения. В общем случае эти напряжения не будут удовлетворять уравнениям равновесия (2.5) и статическим граничным условиям (2.11). Та из возможных систем перемещений, при которой удовлетворяются уравнения (2.5) и условия (2.11), и является истинной.

Зададим теперь некоторую систему напряжений. Поскольку шесть напряжений па, ар, 。丫, таР,七仪丫〜席丫 связаны тремя уравнениями равновесия (2.5), эти напряжения всегда можно подобрать так, чтобы уравнения (2.5) удовлетворялись. Бдлее того, можно обеспечить и выполнение статических граничных условий (2.11). Системы напряжений, удовлетворяющие уравнениям (2.5) и условиям (2.11), называются статически возможными. Для каждой такой системы из физических соотношений (2.7), (2.8) можно найти деформации; однако дальнейшее определение перемещений связано с необходимостью решения шести геометрических уравнений (2.10) относительно трех перемещений %,以в，% В общем случае система (2.10) является несовместной. Она имеет решение только в случае, если относительные деформации связаны уравнениями совместности деформаций, вытекающими из (2.10). Та из статически возможных систем напряжений, при которой соответствующие деформации удовлетворяют уравнениям совместности, и является истинной.

Таким образом, истинные перемещения отличаются от всех кинематически возможных тем, что соответствующие им напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, а истинные напряжения отличаются' от всех статически возможных тем, что соответствующие им деформации удовлетворяют уравнениям совместности деформаций. Как уже отмечалось, вариационные принципы устанавливают энергетические критерии, которые позволяют выделять истинные системы перемещений или напряжений из возможных.

Рассмотрим основные вариационные принципы, которые будут использованы в дальнейшем. Введем потенциальную энергию деформации

t/ = jjjuz (a, e)dV.(2.13)

Здесь dV определяют из второго равенства (2.2). Квадратичная форма

М 9, е) = $ (“е。+。晔 + аА + Wap + W«t + ”э?)(2.14) представляет собой энергию, иакоплеииую в единице объема упругой среды, и называется упругим потенциалом. С помощью физических соотношений, связывающих напряжения и деформации, потенциал W может быть выражен только через деформации или через напряжения. В результате получим

и, = ffj w (e)dV; Ua = f jj W (a)dV. (2.15)

Рассмотрим систему напряжений a^ Tpv и независимую от йее систему деформаций 勿...啰丫， которые связаны с перемещениями 成,up,以5 геометрическими соотношениями (2.10). Преобразуем формально интеграл [11 ]

J = 2jJJlF((/, е*)М.(2.16)

Здесь W определяется равенством (2.14), в котором о, т н е следует заменить иа и', т' и е". Подставляя в (2.16) деформации, выраженные через перемещения согласно равенствам (2.10), и преобразуя интеграл по,объему в интеграл по поверхности S тела с помохцыо формулы Остроградского

hh 备(儿科ф8)+*("粗2。)+

+ 靑(丛儿Ф" dadpdT = jJ(Oala 十Ф両 + Ф“dS, справедливой для функций Фа, Фр, Ф?, получим

2 JJJ 闷。，©"МУ = JJ (匕吨+ %% + %%) dS —

—J J J (丄%"1 + L^K + L；"；)出 d。dy.(2.17)

Здесь У и U определяются равенствами (2.12) и (2.6), в которых a и т заменены иа пг и т\ Равенство (2.17), которое позволяет сравнивать возможные системы перемещений и напряжений, является исходным для вывода рассматриваемых ниже вариационных принципов. Для определеииости этот вывод будет осуществлен применительно к телу (см. рис. 2.3), у которого часть поверхности Su закреплена, т, е. Ua = up = ит = 0 иа Stt, а на другой части поверхности Sa действует поверхностная нагрузка Т с проекциями Та，Тр, Тг

Пусть напряжения, деформации и перемещения являются истинными, т. е. и' = а; т‘ = т; е" = е; 〃” = и. Поскольку истинные напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия (2.5) и статическим граничным условиям (2.11):

壊=〜 厶-—FaHiH+Hs,(2.18)

равенство (2.17) принимает вид

U = Л/2.(2.19)

Здесь U определяется выражением (2.13); для тела, показанного на рис. 2.3,

4 = JJJ (尸а% + 尸pUp + 尸声J dV 4-

ff(таиа 4- Тр us 4- TTuv) dS.(2.20)

s。

Соотношение (2.19) является аналитической формулировкой теоремы Клапейрона, согласно которой потенциальная энергия де(]х)рмации U равна половине «работы» внешних сил А на соответствующих им перемещениях. Отметим, что термин «работа» используется по отношению к параметру Л формально, учитывая структуру правой части равенства (2.20). В действительности при развитии перемещений внешние силы не остаются постоянными —в линейно упругом теле силы и перемещения связаны линейными зависимостями вида F =々％ где k — некоторый коэффициент жесткости. Работа, произведенная силой F,

4斤=J尸du =岑-=写-•

Таким образом, действительная работа, совершенная объемными и поверхностными силами, вдвое меньше Л и согласно (2.19) равна потенциальной энергии, накопленной в теле.

Предположим теперь, что напряжения являются истинными, т. е. а' = а, т‘ = т, а перемещения и" являются кинематически возможными и отличаются от истинных перемещений и на малые вариации, т. е. 〃“ = 〃 + 6〃. Соответственно, согласно равенствам (2.10) е" = е + бе. Подставляя е" н 〃" в (2.17) и учитывая, что для истинных напряжений справедливы соотношения (2.18), получим

2 JJJ 囚(。，е + &)川=J j【北他 + 6%) + Тр (up 4- 6up) +

+ Tt(ut + 6uv)] dS+jjJ[Fa (ua + 6%) 4-

+ & (呼 + 6% + / (% + 6u?)] dV.

Ввиду того, что для истинного состояния справедливо равенство (2.19), можно записать следующее важное соотношение:

8U-6A^ 0, где6。= JJJ(Oa &а + “&в + %&т + %&ав ++ %V&叫+叫&a)dV——вариация потенциальной энергии деформации;6Л = JJJ(尸а 6% + &6呼 + 尸У 6%)dV ++ J J (7 а 6〃а + 7r Sttp + 7y 6uY) dS8U-6A^ 0, где6。= JJJ(Oa &а + “&в + %&т + %&ав ++ %V&叫+叫&a)dV——вариация потенциальной энергии деформации;6Л = JJJ(尸а 6% + &6呼 + 尸У 6%)dV ++ J J (7 а 6〃а + 7r Sttp + 7y 6uY) dS(2.22)(2.22)(2.21)

8U-6A^ 0, где

6。= JJJ(Oa &а + “&в + %&т + %&ав ++ %V&叫+叫&a)dV

——вариация потенциальной энергии деформации;

6Л = JJJ(尸а 6% + &6呼 + 尸У 6%)dV +

+ J J (7 а 6〃а + 7r Sttp + 7y 6uY) dS

8U-6A^ 0, где

6。= JJJ(Oa &а + “&в + %&т + %&ав ++ %V&叫+叫&a)dV

——вариация потенциальной энергии деформации;

6Л = JJJ(尸а 6% + &6呼 + 尸У 6%)dV +

+ J J (7 а 6〃а + 7r Sttp + 7y 6uY) dS

(2.22)

(2.22)

(2.23)

— работа объемных и поверхностных сил на малых возможных вариациях перемещений.

Выражая в (2.22) напряжения через деформации с помощью физических соотношений, после некоторых преобразований можно привести 6U к вариации потенциальной энергии 14，записанной через деформации в соответствии с первым соотношением (2.15). Для большинства реализуемых на практике условий нагружения можно считать, что внешние силы не изменяются при малом варьировании перемещений. В результате в (2.23) знак вариации можно вынести за интегралы и ввести вариацию «работы» Л, которая определяется равенством (2.20). Отметим, что эта операция не может быть осуществлена при так называемых следящих силах, величина или направление которых определяются пера мещениями системы. Если исключить из рассмотрения такие силы, то равенство (2.21) можно записать следующим образом:

бПв = 0,(2.24)

где Пв = Ue ——Л — так называемая полная энергия упругой системы.

Условие (2.24) позволяет заключить, что функционал Пв имеет стационарное и, как можно показать, минимальное значение. Поскольку изменение состояния тела, а следователь но, и изменение Пв является следствием малых возможных отклонений перемещений точек тела от их истинных значений, можно сформулировать вариационный принцип Лагранжа: из всех возможных систем перемещений истинные перемещения сообщают полной энергии минимальное значение.

Подставляя в формулу для Ue деформации, выраженные через перемещения с помощью геометрических соотношений (2.10), можно записать функционал Пв через перемещения и получить для этих перемещений вариационные уравнения и естественные граничные условия, обеспечивающие минимальное значение Пв. 宓ими уравнениями и граничными условиями будут уравнения

равновесия (2.5) и статические граничные условия (2.11), в которых напряжения выражены через перемещения с помощью равенств (2.7), (2.8), (2.10). Таким образом, минимизация полной энергии согласно принципу Лагранжа эквивалентна удовлетворению уравнений равновесия и статических граничных условий. Отметим, что формулировка (2.21) является более общей, чем (2.24), поскольку она не требует, чтобы внешние силы были постоянными при варьировании перемещений, и, кроме того, справедлива для нелинейно-упругого материала.

На вариационном принципе Лагранжа основаны эффективные прикладные методы расчета — метод Ритца, вариациоино-разно- стиый метод, метод локальных вариаций, метод конечных элементов (формулировка в перемещениях).

Рассмотрим еще один вариационный принцип. Пусть деформации и перемещения являются истинными, т. е. е" = е; и* = и, а напряжения являются статически возможными и отличаются от истинных Ха малые вариации, т. е. а' = а + 6а; т' = т + 6т. Ввиду того, что напряжения а' и т' являются статически возможными, оии удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям, т. е. справедливы равенства (2.18). Тогда соотношение (2.17) принимает вид

2JU^(ff + Sff> e)dy = ff(Touo + T|Ju|J+T?u?)dS+ '

+ J J J (尸a〃a + &〃R + F^U^ dV.

Выделяя здесь члены, соответствующие истинным напряжениям и перемещениям, и учитывая, что оии связаны соотиошеиием (2.19), получим

(2.25) иапряже- то после(2.26)(2.25) иапряже- то после(2.26)J J J (^а 6% + 牛 6" + 0 6% + бар втар +

(2.25) иапряже- то после

(2.26)

(2.25) иапряже- то после

(2.26)

+ &V 加ат + Sv 阮Q dV = 0.

Если в равенстве (2.25) выразить деформации через ния с помощью физических соотношений (2.7), (2.8), некоторых преобразований его можно записать в виде

6〃 二 0,-

где Ua — потенциальная энергия деформации, которая определяется вторым равенством (2.15). Условие (2.26) является условием стациоиариости (минимума) функционала Uct Поскольку в рассматриваемом случае изменение потенциальной энергии осуществляется за счет статически возможного варьирования напряжений вблизи истиииого иапряжеииого состояния, равенство (2.26) позволяет сформулировать следующий вариационный принцип минимума потенциальной энергии деформации: из всех систем напряжений, статически возможных в лииейио упругом теле, действительные напряжения сообщают потенциальной эиер-

гии деформации минимальное значение. Вариационные уравнения, которые получаются из условия минимума функционала потенциальной энергии, являются условиями совместности деформаций, записанными через напряжения.

Таким образом, реализация рассматриваемого вариационного принципа эквивалентна удовлетворению уравнений совместности деформаций, т. е. операции, которая, как уже отмечалось ранее, позволяет выделить истинную систему напряжений из статически возможных. Отметим, что формулировка (2.25) является более общей, чем (2.26), так как соотношение (2.25) справедливо и для нелинейно-упругого материала. На принципе минимума потенциальной энергии деформаций основаны такие эффективные методы расчета, как метод сил и метод конечных элементов (формулировка в напряжениях),

В заключение рассмотрим еще один, так называемый смешанный вариационный принцип, который позволяет получить в качестве вариационных уравнений физические соотношения. Будем исходить из соотношения (2.26). Напомним, что входящие в него напряжения должны быть статически возможными, т. е. удовлетворять уравнениям равновесия (2.5) и статическим граничным условиям (2.11). Отметим, что учет дополнительных связей в виде уравнений равновесия можно осуществить двумя способами. Во- первых, путем исключения с помощью этих уравнений части неизвестных функций во втором равенстве (2.15), что и подразумевается в (2.26). И во-вторых, путем введения уравнений связей с помощью множителей Лагранжа. Имея в виду реализацию этого второго метода, построим расширенный функционал:

П。= и。+ Ш "а + FaH\H*H》иа +(4 + F^HtH^ up +

+ (厶 + 储％%%) ит］ da dp dy, (2.27) где

=川4~［畳+需+詈-2(督。詈++罟。吗)+需*語+强］也

В равенстве (2.27) в круглых скобках записаны уравнения равновесия (2.5), а через 〃《,呻，〃丫 обозначены множители Лагранжа. Как будет показано далее, эти множители имеют физический смысл — они являются перемещениями, что и отражено в обозначениях.

Согласно принципу минимума потенциальной энергии деформации и методу множителей Лагранжа, функционал (2.27) должен иметь минимальное значение, т. е. 6ПС = 0, При этом в качестве варьируемых параметров выступают как напряжения, так и множители Лагранжа, т. е. перемещения, что и определяет название ——смешанный вариационный принцип. Минимизация По

■ 51

по 〃а,以6，勺 дает уравнения равновесия (2.5), а вариационные уравнения, соответствующие напряжениям, имеют следующий вид (в записанных уравнениях минимизация осуществл яется по функциям Н2Н3иа и Я3таЭ):

詈)-景明芸醬一需=。

(1, 2, 3);

舞 儿％ + 啬需 + 铁嚮一*("*/-备(儿啕=0 •(1, 2, 3).

Отождествляя теперь множители Лагранжа ua, u0, uY с перемещениями и учитывая геометрические соотношения (2.10), а также условия симметрии (2.9), можно привести эти равенства к форме

"S' - Ра唔-％ * = %；鏡=% (1, 2, 3), совпадающей с физическими соотношениями (2.7), (2.8).

Рассматриваемый смешанный вариационный принцип может быть использован в случаях, когда сложную в конструктивном отношении систему необходимо описать более простой, но эквивалентной по жесткости расчётной моделью. Пусть, например, имеется оболочка, образованная из обшивки и системы подкрепляющих элементов. Такую оболочку можно рассматривать как гладкую и анизотропную, обладающую некоторыми эффективными жесткостями. Для решения этой задачи записывают функционал типа (2.27), в который включают потенциальную энергию 〃 исходной системы и вводимые с множителями Лагранжа условия статической эквивалентности исходной и условной гладкой оболочки, а также уравнения равновесия для гладкой оболочки. В результате реализации смешанного вариационного принципа получают физические соотношения для гладкой оболочки, коэффициенты жесткости которых учитывают все конструктивные особенности исходной системы.

Исходные допущения

Приведенные выше уравнения теории упругости позволяют описать широкий класс композитных конструкций, однако, как правило, они оказываются малопригодными для практического расчета. Основной причиной этого является сложность этих уравнений, связанная главным образом с тем, что они являются трехмерными, т. е. включают три независимые координаты а, 0 и у. Это обстоятельство существенно затрудняет получение как аналитических, так и численных решений. Однако элементы конструкций, изготовленные из волокнистых композиционных матери-

алов, обладают особейиостью, которая позволяет значительно упростить исходные уравнения. Как правило, такие элементы образуются из ограиичеииого числа композитных слоев, причем суммарная толщина этих слоев, даже будучи достаточно большой, всегда значительно меньше по крайней мере одного из двух других размеров элемента. Таким образом, композитные элементы в большинстве случаев могут быть описаны с помощью традиционных расчетных моделей — тонкостенных стержней, балок, пластин и оболочек. Отметим, что теории и методы расчета анизотропных, слоистых и композитных пластин и оболочек изложены в обзорах [31, 40, 881.

Для того чтобы выявить, к каким упрощениям может привести отмеченная особеиирсть, рассмотрим слоистую плиту, нагруженную как в плоскости слоев, так и нормально к иим (рис. 2.4). Для прямолинейных осей координат Н* = Н* = Н@ = 1, т. е. статические (2.5), физические (2.7), (2.8) и геометрические соотио- шеиия (2.10) принимают следующий вид:

加 1 Eg t fl 加一 Л /1 叭.

(2.28)

九асе1①Hz1g00rz一 л»

Эх11ftdz%

(2.29)

% =套■ - % 者■ - 4 詈(1, 2);

(2.30)

叁=号-七 豈-必者-；

(2.31)

，…爵;%=器3 2）；

(2.32)

々 а Эх ⑺〜卜％a by 1 а Эх *

(2.33)

Й1 - Л й ' CxI Л dz 1 а Эх令

(2.34)

- Здесь х = а/а, у = 0/@，z =、lh — безразмерные координаты, а символ (1, 2), как и ранее, означает, что из записанного соотношения можно получить еще одно заменрй х на </ и </ иа х. Без- ■ размерные координаты, изменяющиеся в пределах от 0 до 1, позволяют провести сравнительную оценку напряжений. Действи

Рис. 2.4. Элемент слоистой влитыРис. 2.4. Элемент слоистой влитыРис. 2.5. Консольная балкаРис. 2.5. Консольная балкательно, если напряжения аж, 0у, действующие в плоскостях слоев, считать соизмеримыми с некоторым значением а,

Рис. 2.4. Элемент слоистой влиты

Рис. 2.4. Элемент слоистой влиты

Рис. 2.5. Консольная балка

Рис. 2.5. Консольная балка

то согласно уравнениям (2.28), (2.29) межслоевые касательные напряжения тж2 и ту2 будут а (九/а), а нормальные напряжения az будут соизмеримы с а (Л/а)2. Таким образом, чем меньше относительная толщина пластины, тем меньше относительная величина напряжений, действующих на площадках, нормальных к оси z. Применительно к композитным элементам это свойство напряжений находится в полном соответствии с механическими характеристиками материала. Высокая прочность слоистого композита в плоскости слоев, как правило, сочетается с низкой прочностью связи между слоями, т. е. преимущества волокнистых композитов наиболее полно реализуются в тонкостенных элементах, где напряжения в слоях значительно превышают межслоевые нормальные и касательные напряжения. В элементах, где все компоненты напряжения соизмеримы между собой, волокнистые композиты утрачивают свою эффективность как силовые конструкционные материалы и применяются главным образом благодаря своей коррозионной стойкости, электро- и радиотехническим, а также другим свойствам. Если исключить из рассмотрения такие элементы, то дальнейший анализ можно в основном ограничить слоистыми конструкциями, толщина стенки которых значительно меньше по крайней мере одного из других размеров.

В этом случае координаты а, 0, у (или х, у, z), очевидно, являются неравноправными, и если расположить координатные линии а и р (х и г/) иа поверхности некоторого слоя, а ось у (или z) направить по нормали к этой поверхности, то естественно попытаться отделить нормальную координату и свести трехмерные исходные уравнения к двумерным, т. е. к уравнениям, включающим две независимые переменные а и 0 (или х и у). Это можно сделать как формально математически, так и путем введения некоторых физических гипотез. Для иллюстрации процесса отделения нормальной координаты рассмотрим балку, показанную на рис. 2.5. Для сведения этой двумерной задачи к одномерной воспользуемся методом начальных функций [23, 24]. Отбрасывая в уравнениях (2.28)——(2.34) все члены, включающие индекс у, и пренебрегая для упрощения анализа эффектом Пуассона (% = = N&z = 0), получим ' ,

дх h1 дах . , 1 ft dz ' адх h1 дах . , 1 ft dz ' адхдхо；о；=器・(2.35)=器・(2.35)切х I а "xz — л.

дх h

1 дах . , 1 ft dz ' а

дх h

1 дах . , 1 ft dz ' а

дх

дх

о；

о；

=器・(2.35)

=器・(2.35)

十= 5

丁 =后5丁=互生,

Для реализации метода начальных функций выразим из этих уравнений производные искомых функций по переменной z, которую предполагается Исключить:

七-^а дх七-^а дх(2.36)(2.36)

七-^а дх

七-^а дх

(2.36)

(2.36)

忆=五昔;

В соответствии с рассматриваемым методом перемещения %, 得 и напряжения %, q, зависящие от двух переменных х н z, представляются по координате z радами Тейлора. Например, для их будем искать

幺(х, z) = u^W + z (-%-)o^-Tг(■&L)o+•••^

где символ 0 обозначает, что соответствующие функции и их производные задаются на начальной поверхности z = 0. Записывая такие ряды для всех искомых функций, выражая в них производные по z через функции и производные по х с помощью равенств (2.36) и учитывая» что для балки, показанной на рис. 2.5, напряжения % и % при z — 0 отсутствуют, окончательно получим

% — Lxx (ttj) + Lxx (噌)；〃工=Lax (吧)+ L" (Uz)；

.% =儿(成)+ %(磅;" =Lg (呦 +(US),(2.37)

где

b** = 1 - 台坛 备；弄(髓一匕)右一善"(威一坛)名 + ♦ • ♦;

厶》=;[-2券+导坛自i芬坛(坛-初名+…];

厶 =£ (导仆含_"й•坛/名+…)；

L= = 1—^"匕"^" + 若月 %^5■一• • •；(2.38)

l8=警[-z分 + 身生名 J 备(威一%)右 + …上

.一厶в — & [ 21 dx*41so N3■十.一厶в — & [ 21 dx*41so N3■十+寻固一/)金—…];+寻固一/)金—…];

.一厶в — & [ 21 dx*41so N3■十

.一厶в — & [ 21 dx*41so N3■十

+寻固一/)金—…];

+寻固一/)金—…];

闻=4fc；匕="5告•(2.39)

Таким образом, все искомые функции выражаются через начальные функции 處(х) и и$ (z). Для их определения можно составить два уравнения, следующие из граничных условий на верхней грани балки (рис. 2.5): и, = р н % = 0 при z = 1 (иа-

56

помним, что координаты х и z отнесены к а и А, т. е. изменяются от 0 до 1). Учитывая соотношения (2.37), получим

UV И) + L&)(磅)=р; MV (國)+ Lg) 32) = о. (2.40)

Верхний индекс здесь показывает, что операторы должны быть записаны при z = 1. Как следует нз разложений (2.38), уравнения (2.40) имеют бесконечно высокий порядок по переменной х, т. е. двумерные уравнения (2.35) сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям бесконечно высокого порядка. Аналогично трехмерные уравнения (2.28)—(2.34) могут быть сведены к двумерным; однако отделение одной координаты, вызывающее появление производных бесконечно высокого порядка по другим, трудно признать упрощением исходной системы уравнений.

Для получения уравнений с ограниченным порядком в разложениях (2.38) можно сохранить конечное число членов (или сразу представить решение в форме конечных степенных рядов по переменной z), однако на этом пути возникают существенные трудности. Помимо вопроса о степени соответствия между точностью получаемого результата и числом удержанных членов, появляется еще один — по сколько членов нужно удерживать в каждом из разложений (2.38) для того, чтобы возникающие в рассматриваемой системе напряжения и деформации учитывались с соизмеримой степенью точности?

В связи с отмеченными и другими трудностями формальных методов понижения размерности задачи в прикладных теориях более широкое распространение получили физические гипотезы, введение которых до некоторой степени эквивалентно естественному ограничению разложений (2.38).

■ Остановимся прежде всего на одном общем вопросе, связанном с рассматриваемым способом построения и упрощения математической модели системы. Введение априорных гипотез, определяющих в какой-то степени поведение решения, естественно, приводит к тому, что исходные уравнения, описывавшие систему до ее упрощения, уже не будут удовлетворены. При этом далеко не последнюю роль играет, какая группа уравнений ——статическая (2.28), (2.29), физическая (2.30)—(2.32) или геометрическая (2.33), (2.34) —будет нарушаться, поскольку нарушение уравнений первой и третьей групп может привести не только к формальным, но и к физическим противоречиям. Таким образом, гипотезы целесообразно вводить так, чтобы возможные противоречия проявлялись в физических соотношениях, связывающих напряжения и деформации через систему постоянных, хар актер из ующих упругие свойства материала. Если прн этом удается соответствующим подбором этих постоянных формально удовлетворить физические соотношения, то для такого модельного материала построенная прикладная теория оказывается формально строгой в том смысле, что соответствующее ей решение будет удовлетворять всем исходным уравнениям, описывавшим систему до введения упроща- 56

ющих гипотез. Достоинством такого подхода является также возможность сравнения свойств модельного и реального материалов, позволяющая просто и с достаточной для практики степенью достоверности судить о приемлемости принятых гипотез.

Для иллюстрации затронутых выше вопросов рассмотрим балку, показанную на рис. 2.5 и описываемую соотношениями (2.35) или (2.37)—(2.40). Механические свойства балки характеризуются двумя параметрами 自 н 论后(2.39), входящими в разложения (2.38). Оценим значения этих параметров для балок из различных материалов. В частности, для металлических балок, у которых отношения ЕхЮхг и Ех/Ег соизмеримы с единицей kG 〜(Л/а)2 и kE ^ (九/а)、т. е. даже для сравнительно толстых балок с относительной толщиной 九/а — 0,1 параметры kG и kE меньше единицы. В связи с этим естественно упростить исходные соотношения, положив в них 自=无后 三 0. Прежде чем перейти к анализу последствий такого упрощения, попытаемся обеспечить выполнение записанных условий соответствующим изменением свойств исходного материала. Из равенств (2.39) следует, что для этого необходимо, чтобы Ex/Gxz = Е』Е% = 0 или отбрасывая явно нереальный случай Ех = 0, чтобы GX2 f 8 и 方％ f 8. Таким образом, балка должна быть абсолютно жесткой при сдвиге и растяжении-сжатии вдоль оси z. Полагая далее в разложениях (2.38)论仃= 坛 = 0, с учетом соотношений (2.37) получим

/ = з &)；

их = и (*) + *也，0Х = —wf/а\% =—醬(〃” + z ? 8；)；

“=甞 z2 (d" + z 4 %") •(2.42)

Здесь принято 〃^ = 〃；疋=齿；штрихом обозначена производная по х.

Перемещения (2.41) и напряжения (2.42) тождественно удовлетворяют исходной системе уравнений (2.35), если принять в ией Gx2 f 8, Ez f 8. Распределение перемещений в форме (2.41) соответствует широко распространенной в теории изгиба балок гипотезе плоских сечений Бернулли — Эйлера. При этом все искомые перемещения и напряжения выражают через две функции 〃(尤)н з (х), которые определяют из уравнений (2.40), имеющих в рассматриваемом случае следующий вид:

Исключая из этих уравнений и, придем к традиционному в сопротивлении материалов уравнению упругой линии балки

Опуская несущественные для настоящего раздела операции, связанные с решением полученных уравнений и удовлетворением граничных условий (оии будут рассмотрены в § 3.1), запишем окончательные выражения для перемещений консольной балки, показанной иа рис. 2.5 и нагруженной силой Р (р = 0)

= Х^г * О —Г)0 —力)； (2.43) ■ =容"炉(1 一子)•

Рассмотрим теперь балки из композитных материалов, у которых, как уже отмечалось, жесткость связи между слоями, определяемая модулями упругости Gm и £%, может быть значительно меньше жесткости слоя, характеризуемой модулем Ех. В зависимости от структурных параметров композита значения отношений EJG* и EjEf могут быть от 1 до 10а, Соответственно для балки с относительной толщиной Л/а = 0,01 自 々 10一— 1 н 坛〜10"8-ь

Рассмотрим сначала параметр 论片,который по-прежнему значительно меньше единицы и может быть приближенно принят равным нулю. Отметим, что этот параметр определяет деформацию %, вызванную напряжением %. Однако эта деформация может быть также вызвана напряжениями ах и 。岁 и эффектом Пуассона. В связи с тем, что эта вторая составляющая деформации 倏 считается несущественной и практически всегда игнорируется (даже когда учитывается первая часть “EJ рассмотрим закон Гука (2.31), т. е.

% ==登一""養-У"者(2.44)

Выше уже отмечалось, что если напряжения ах и 。岁 имеют порядок с, то с% имеет порядок о (Л/а)8. Учитывая дополнительно условия симметрии Е^^ = 月名卩玄,E#111fz = 反卩万,запишем (2.44) в виде

G〜蚩(％ -Н„-喲•

Таким образом, напряжения 。名 вносят основной вклад в деформацию &, если коэффициенты Пуассона много меньше отношения (Л/а)2. В конструкциях из современных композитов члены, входящие в правую часть равенства (2.44), имеют примерно одинаковый порядок. Учитывая, что первый член, как было показано выше, мало влияет на результат, пренебрежем и остальными, т. е. примем Ех -* со н % = % = 0, что в соответствии с равенством (2.44) обеспечивает отсутствие поп^ечной нормальной деформации е2 при любых напряжениях。工；。旷,。&

Теперь рассмотрим параметр 尾，посредством которого учитывается деформация сдвига &%• Как было установлено выше» этот параметр имеет порядок (1+1») (А/а)* т. е. соответегвумицая

Б8

сдвиговая податливость материала может учитываться или игнорироваться в зависимости от свойств композита и относительной толщины стенки конструкции. При этом отношение Л/а, входящее в 左с в квадрате, играет значительно большую роль, чем отношение Ex/Gxz. Как показывают многочисленные расчеты конкретных конструкций из современных и перспективных композитов, поперечную (межслоевую) сдвиговую податливость материала можно не учитывать, если (Л/а) < 0,0'2. При большей относительной толщине эта деформация уже заметно сказывается на напряжениях и перемещениях, причем при увеличении h/a ее влияние резко возрастает. Не ограничиваясь в дальнейшем расчетом композитных элементов, относительная толщина стенки которых не превышает 0,02, будем учитывать прн построении прикладной теории композитных балок, пластин и оболочек деформации поперечного сдвига.

Рассмотрим, как и прежде, балку, показанную на рис. 2.5. Принимая в разложениях (2.38)左后 = 0 н сохраняя 坛，можно заключить, что в разрешающих уравнениях (2.40) остаются производное бесконечно высокого порядка, т. е. строгий учет сдвиговой податливости материала не позволяет построить достаточно простую прикладную теорию. Впрочем, в таком учете, осуществленном, в частности, в работе [19], нет необходимости — деформация сдвига, как правило, является второстепенным эффектом, учет которого лишь уточняет в большей илн меньшей степени соотношения (2.41), (2.42), полученные при условии 左@ = 0 (или ©笈？= =0). Для приближенного учета деформации exZ необходимо ввести дополнительную гипотезу. Имея в виду, что толщина стенки сравнительно мала, естественным обобщением условия еж2 = 0 представляется осреднение ех2 по толщине, т. е. замена истинной деформации exz (х, z) некоторой осредненной ho толщине деформацией сдвига

屮н (х) = J е» (х, z) dz.(2.45)

о

Осуществляя такую замену в первом уравнении (2.36) и полагая во втором 旦 f 8, будем иметь

警=力中Н一；需；第=°・(2・46)

Второе равенство (2.46) дает и2 = w (х), где w — прогиб балки, а в результате интегрирования первого уравнения получим

/ = 〃 &) + гЛ0х (х),(2.47)

где,

% = — (~屮工)(2.48)

и и (х) = «х (х, z = 0). Линейное по высоте балки распределение продольных перемещений (2.47) обобщает распределение (2.41),

Рис. 2.6. Смещения сечения баляи, вызванные изгибом (а), сдвигом (б), изгибом ■ сдвигом (“

которое следует из него при отсутствии деформации сдвига, т. е. при 必 = 0. Распределение (2.47) так же, как и (2.41), соответствует закону плоских сечений, однако сечения в этом случае уже не остаются перпендикулярными к упругой линии балки ® (х). Рассмотрим рис. 2.6. Перемещения, описываемые соотношениями (2.41), показаны на рис. 2.6, а, где угол поворота сечения 9Ж равен углу 屮 ^ tg 屮 =(о/7а), что полностью соответствует равенствам (2.41). При учете деформации сдвига (рис. 2.6, 6) для определения угла поворота сечения 0Ж из угла 屮 a tg 屮= =(и//@) необходимо вычесть угол сдвига % поскольку при сдвиге, показанном на рис. 2.6, б, прогиб балки не сопровождается поворотом ее сечений. Эта операция и отражается равенством (2.48). Отметим, что это равенство, играющее важную роль при построении уточненных теорий изгиба балок, пластин и оболочек, было впервые получено в 1921 г. С. П. Тимошенко из геометрических соображений [91].

Интегрируя первое и второе соотношения (2.35) с учетом (2.47) и граничных условий у « = 0) = 0, 仇(z = 0) = 0, получим следующие выражения для напряжений:

% = 一警Z * +亍他)；。…鲁z2 d" +整砾")•

(2.49)

Из равенств (2.47)—(2.49) следует, что искомые перемещения и напряжения выражаются в силу принятых гипотез через три функции — и (х), w (х), W* (х|. Для того чтобы найти эти функции, необходимо составить трн уравнения. Первые два следуют из граничных условий на поверхности z = 1, где 仇=р н & = 0・ С учетом соотношений (2.49), получим

广'+*缶"=等"；u* + 4% = 0.(2.50)

Из этих уравнений можно найти и (х) и 0Ж (х). Для получения 也 воспользуемся соотношением (2.45), которое с учетом закона Гука для касательных напряжений

% = Gfm(2.51)

запишем в виде

电в =上• j %z &•(2.52)

Преобразуем далее первое равенство (2.49), исключив из него и* с помощью второго уравнения (2.50). Имеем

% =碧矇(1-Z).(2.53)

Введем равнодействующую касатель ных напряжений —— поперечную силу

Q* = Л J専8也.о

Подставляя сюда % согласно (2.53), найдем (2:=彩"仇.(2.54)

Исключу с помощью этого равенства 0^ из соотношения (2.53), получим параболическое распределение касательных напряжений по толщине балки, соответствующее известной формуле Д. И. Журавского

% =融(1-2).(2.55)

С помощью равенств (2.52), (2.55) можно записать следующее физическое соотношение, связывающее поперечную силу с осред- иенноб деформацией сдвига:

Q* = К*，*,(2.56)

где

К* =(2.57)

—сдвиговая жесткость балки.

Сделаем здесь одно важное для дальнейшего замечание. Соотношение (2.51), связывающее j и еж1, показывает, что операцию осреднения 曝 по толщине балки естественно продолжить, осред- нив и %, т. е. подставив в (2.52) вместо (2.55) среднее значение %, равное Qx/Л. При этом из (2.52) снова следует соотношение (2.56), в котором Кн = GJi, что совпадает с (2.57). Однако это совпадение является случайным — оно имеет место только для материала, модуль сдвига которого не зависит от z. В теории слоистых композитных систем, которая будет построена далее в § 2.3, сочетание операций осреднения как по деформациям, так и по напряжениям позволит существенно упростить получаемые уравнения.

Имея решения уравнений (2.50), определяющие функции и (х), 0Ж (х) и соотиошёиия (2.48), (2.54), (2.56), можно записать последнее уравнение, позволяющее найти прогиб балки ® (х). Под-

61

ставляя в (2.56) Q* из (2.54), а полученное выражение для ,* — в равенство (2.48), будем иметь

of =of =凝^济一的凝^济一的

of =

of =

凝^济一的

凝^济一的

Для рассматриваемоб в качестве примера консольной балки (рис. 2.5) окончательные выражения для перемещений имеют вид S = °)

и» = X (1 一 子)(1 一 刃)；

"z =量^* ("导 + "£箱•(2，58)

При Gm f оо равенства (2.58) переходят в (2.43).

Попытаемся оценить погрешность, вносимую осреднением деформации сдвига по толщине. С э»ой целью, сохраняя в разложениях (2.38) условие kx = 0, удержим все члены, включающие 自 (нижний индекс для упрощения .записи далее опускается). Введем символическое обозначение для производной, полагая 2 = d/dx, da = (/"/(dr)? и т. д. Тогда, суммируя формально ряды (2.38), получим

厶" =1一芸无个+弄公炉一芸”不+…=次f;

厶=勺(一zd+若论d8 一备足d5 + …)=---—=sin/;

Lzx ~ 0； L〃 = 1；

% =警(- zd*+ 若月d* _若 Kd*H) = - ^^ sin /;

Ц^^^^^^-^kd^ + ^k^=

=_-^(^_ 1)；

% =券(一若小 +含无不)=-S^~(smf-f), где f = z /无 d・

Уравнения (2.40) с учетом обозначений uj = u, t^ ~ w принимают вид.

L 器 3) + ДУ И = ", UP (〃) + МУИ = 0,(2.59)

где

L^ = £41' =-喘^ [cos(/^d)-l]；

UV =[sin (H d) - H 力；

/胪

乙&> = -stn(/* d) •(2.60)

a у k

Учитывая далее, что дифференциальные операторы (2.60) имеют постоянные коэффициенты и, следовательно, их произведение обладает свойством коммутативности, умножив формально первое уравнение (2.59) на £Ж второе — на L宓 и вычтем второе уравнение из первого. Такая операция позволяет исключить и. Принимая дополнительно для упрощения анализа р — 0, получим

[L&2脱一LiVUIH = 0. (2.61)

в формев форме■ Будем искать решения этого уравнения в виде з = Се®*. Тогда после некоторых преобразований с учетом (2.60) характеристическое уравнение, соответствующее (公61), можно записать

в форме

в форме

гдегде(2.62)(2.63)(2.62)(2.63)5a sin % (tg % — 1) — 0,

где

где

(2.62)

(2.63)

(2.62)

(2.63)

12 一 至.—E£ s2

Уравнение (2.62) имеет четыре нулевых корня, которые определяют полиномиальное решение, соответствующее равенствам (2.58), и счетное множество действительных корней, определяющих экспоненциальные решения. Опуская несущественные для настоящего раздела и приведенные в работе [19] преобразования, запишем окончательные выражения для перемещений консольной балки, показанной на рис. 2.5 (р = 0)，

…器卜(T)(—T £ ^й-^ 宀｝ (2.64)

3欝卜(一手+騎+粤£告]• 35)

Здесь Sn определяется равенством (2.63), а 1п — ненулевые корни уравнения tg 4n = 1П> имеющие асимптотическое представление %п 〜(2л + 1)冗/2.

Рассмотрим соотношения (2.64), (2.65). Они отличаются от равенств (2.58), полученных в результате осреднения деформации сдвига по толщине балки/ наличием сумм, включающих члены с экспоненциальными множителями ef", быстро убывающими при удалении от закрепленного края х = 0. Напряженное состояние, определяемое этими членами, соответствует так называемому погранслою, который в Ьтличие от основного состояния (полиномиальная часть решения) существует лишь вблизи края х — 0. Следует отметить, что в равенстве (2.65) под знаком суммы имеется член, не убывающий при увеличении х и отражающий влияние податливости балки, учитываемой погранслоем, иа ее проги^ вдали от заделки. Для того чтобы осуществить приближенную количественную оценку, найдем с помощью равенства (2.65) прогиб балки на свободном конце х = 1 и запишем его в виде

и (力 0 1)=叫(1 + a® + 6%

где w* —— прогиб, соответствующий решению (2.43), которое вообще не учитывает сдвиг; Дш и 6t& —— поправки, вызванные соответственно учетом осредненной деформации сдвига и погранслоя. Для балки с относительной толщиной h/a = 0,1 в случае Ex/Gxz = =1 получим Аз = 1,5 X 10-2; bw = 1,2 X 10』，а при Ex/Gxz =

100 — Ag= 1,5; 6з= 1,2 X 10-2. Таким образом, в зависимости от параметров балки учет осредненной деформации сдвига может играть малую или решающую роль, а уточнение, вносимое учетом погранслоя, вдали от заделки является, как правило, незначительным. Остановимся теперь на анализе влияния погранслоя на напряженно-деформированное состояние^ вблизи края, в окрестности которого он локализован. Решения (2.43) или (2.58), соответствующие закону плоских сечений, предполагают закрепление опорного сечения балки (рис. 2.5) от смещений и поворота и не зависят от того, каким конкретным конструктивным способом это закрепление осуществлено. Учет погранслоя в принципе расширяет класс граничных условий, которым можно подчинить решение; однако, как правило, появляющихся при этом возможностей оказывается все-таки недостаточно для удовлетворительного описания реального конструктивного оформления заделки или другого вида закрепления. В соединениях композитных элементов друг с другом и с металлическими элементами обычно присутствуют дополнительные детали (болты, заклепки, штифты, упругие прокладки) и местные усиления, имеют место нарушения сплошности, однородности или структуры материала, плохо поддающиеся формализации и математическому моделированию. Таким образом, учет погранслоя вносит в расчет скорее формальные, чем фактические уточнения. Более того, строгое решение уравнений типа (2.59)» в принципе более точных, чем уравнения типа (2.50), может привести к ситуации, которая может быть проиллюстрирована на примере рассматривавшейся выше балки (рис. 2.5). Запишем соотношение упругости для касательных напряжений:

% = Gm G 鹽 + 士嗡. (2.66)

Полученные решения (2.64), (2.65) обеспечивает выполнение условий жесткой заделки края х = 0, т. е. на этом краю 〃# = 0 и uz = 0. Поскольку отсюда следует, что при х = 0 и ди^дг = 0, а функция 厶 вообще не зависит от z, равенство (2.66) показывает, что txz = const при х = 0. Т. е. в заделке касательные напряжения равномерно распределяются по толщине балки. Однако на поверхностях z = 0 и z = 1 rxz = 0, т. е. в силу свойства парности касательных напряжений в угловых точках х == 0, z == 0 и х = 0, z = l должно выполняться условие rxz = 0. Итак, при л = 0и0<2<1 txz == const =/= 0 (иначе в заделке Поперечная сила окажется равной нулю), а в точках края z = 0 н z = 1 тХг =

0. Таким образом, касательные напряжения в этих точках терпят разрыв, а нормальные напряжения о*, как следует из

первого уравнения (2.35), имеют в этих точках особенность, т・е. обращаются в бесконечность.

Учет деформации е2 и коэффициентов Пуассона %, 4 не улучшает положения — особенность в угловых точках закрепленного края сохраняется, и при получении регулярных решений типа (2.64), (2.65) ее необходимо предварительно выделять [20]. Очевидно, что появление бесконечно больших напряжений в расчетной модели элементов, которые длительно и успешно эксплуатируются, свидетельствует о иедостаточиой степени адекватности модели и реальной конструкции. Расчет рассматриваемой балки на основе модели, учитывающей среднюю деформацию сдвига и игнорирующей погранслой, для практических целей дает более реалистические результаты. Отметим, чта такой подход не исключает детального анализа зоны соединения. Действительно, отделив ее некоторым сечением х = с (рис. 2.5), где с больше зоны распространения погранслоя, можно исследовать эту область со всеми конструктивными особенностями узла соединения более строгими аналитическими или, что более вероятно, дискретными численными и экспериментальными методами. Определив расчетным или экспериментальным путем жесткость опорного узла по отношению к смещению и повороту, можно далее описать напряженно-деформированное состояние балки с помощью уравнений, основанных на введенных выше гипотезах.

В заключение отметим, что в количественном отношении результаты проведенного выше анализа, естественно, справедливы только для рассмотренной балки, однако в качественном отношении сделанные выводы можно распространить на другие граничные условия, случаи нагружения и расчетные модели, в частности, на композитные панели и оболочки, рассматриваемые ниже.

Уравнения строительной механики тонкостенных композитных систем

Используем теперь сформулированные выше гипотезы для упрощения приведенных в § 2.1 соотношений я вывода уравнений прикладной теории композитных стержней, пластин и оболочек. Рассмотрим некоторый элемент слоистого материала, отнесенный к ортогональной системе криволинейных координат а, Р，у (рис. 2.7). Совместим оси а и р с главными направлениями, а ось у ——с наружной нормалью к некоторой начальной поверхности у = 0 (ее называют также поверхностью приведения), которая отстоит от внутренней поверхности на величину е (рис. 2.7). Постоянная е будет выбираться далее в соответствии с характером расположения слоев по толщине материала, а пока является произвольной. Для начальной поверхности равенства (2.1) принимают вид 財=4da; dsg = 4/0, где Ai (a, P)= =瓦(a, p, у = 0); 4 (% P)=儿(a, P, Y = 0) — коэффиии-

3 Васильев В. В.

енты первой квадратичной формы начальной поверхности. Для некоторой поверхности, эквидистантной начальной и отстоящей от нее на величину у (см. рис. 2.7), будем иметь

dSa = ^4& + Y)(l, 2).(2.67)

Напомним, что символ (1,2) обозначает, что из записанного равенства, соответствующего переменной а, можно получить еще одно для переменной Р，если заменить а на В，В на а, 1 на 2 и 2 на 1. В формулах (2.67) % (&) — главные радиусы кривизны начальной поверхности. Сопоставляя равенства (2.1) и (2.67) и учитывая, что dsv = dy, получим выражения для коэффициентов Ламе, определяющих метрические свойства рассматриваемого тела,

"1 = &(1 +去)(1, 2), %=1.(2.68)

С учетом (2.68) уравнения Ламе (2.4) позволяют записать важное для дальнейшего геометрическое соотношение. Из второго уравнения (2.4) при Н& = 1 получим

W з 卜

Или с учетом первого равенства (2.68)

d / &、 Л3 дНх

Ввиду того, что это соотношение справедливо при у = 0, имеем d / лl \ _ 1 041

Таким образом,

詣攀=±翳32).(2.69)

Введем первую гипотезу, т. е. будем считать материал не- деформируемым в направлении координаты у. Физически это означает, что изменение толщины 力 материала (рис. 2.7) в процессе его деформирования при построении теории не учитывается. Формально следует принять деформацию % = 0. Поскольку нет никаких оснований считать равными нулю напряжения, из равенства

% =耳%一 小<Х石-鹏耳

следует, что £v f 8 и 卩仲—卩^丫 = 0. Посмотрим, к каким упрощениям приводит принятая гипотеза. Прежде всего из физических соотношений (2.7) при £v -> оо имеем

% —贵 0a — IM О，2)・(2.70)

Рис. 2.7. Элемент слоистого материала» Рис. 2.8. Составляющие смещения точ- отнесенный к криволинейной системе ки в направлении оси а координат

Таким образом, физический закон для нормальных деформаций принимает форму, характерную для плоского напряженного состояния. Однако более существенным является упрощение, вытекающее из выражения (2.10) для ev, которое с учетом (2.68) имеет вид % = ди^/ду. Отсюда при ev = 0 имеем и^ = w (а, Р). Функция 5 (а, Р), определяющая постоянное по толщине нормальное к поверхностям слоев перемещение точек материала, называется нормальным прогибом.

Введем вторую гипотезу. В равенствах (2.10)» которые в рассматриваемом случае дают

е°^ =瓦■窦 + "1 * (淡~) (О，(2・71)

□средним деформацию сдвига eav по толщине материала. Осреднения по граням элемента, показанного на рис. 2.7:

施一e

-у- J e<xT%dY = %(a, P)4da,

ПОЛуЧИМй-е

Wa = 6 J %#1即.(2.72)

Отсюда следует, что в соотношениях (2.71) eav (a, 0, у) следует заменить на 屮^ (a, 0) AJH» а 匈丫 (a, 0, у) — на 切(a, P) AJH2. При такой замене уравнения (2.72) удовлетворяются тождественно. Осуществляя указанную замену и интегрируя соотношения (2.71) по у, мо/но записать следующие важные соотношения, определяющие линейное распределение перемещений по толщине материала:

% = 〃(a, Р) + yea(а, Р); Up = и(а, Р) + т0₽(а, Р), (2.73) где и = иа (а,卩,丫 = 0)； и = 〃日(а, р, у = 0)——перемещения точек начальной поверхности в направлениях а и р, а

%="+瓦一k右，曲=S+石-不市 (274) —углы поворота нормали к начальной поверхности.

Соотношения (2.73), (2.74) допускают простую геометрическую интерпретацию. Из рис. 2.8 следует, что перемещение точки,

Рис. 2.9. Составляющие угла поворота нормали, связанные с тангенциальным смещением (а), сдвигом (б) и изгибом (в)Рис. 2.9. Составляющие угла поворота нормали, связанные с тангенциальным смещением (а), сдвигом (б) и изгибом (в)

Рис. 2.9. Составляющие угла поворота нормали, связанные с тангенциальным смещением (а), сдвигом (б) и изгибом (в)

Рис. 2.9. Составляющие угла поворота нормали, связанные с тангенциальным смещением (а), сдвигом (б) и изгибом (в)

лежащей на поверхности у = const, ua — и + уба, что соответствует равенствам (2.73), а рис. 2.9 позволяет получить составляющие угла поворота нормали:

仇=%+破一优；

*=言；破=也；% =大黑，

соответствующие равенствам (2.74). Таким образом, принятые гипотезы позволяют вместо трех перемещений 以加 以巾 以” зависящих от трех переменных а, 8，Y，отыскивать пять функций и, и, w, 0а, 0Р, зависящих от двух переменных, что значительно упрощает задачу определения напряженно-деформированного состояния исследуемых далее элементов и конструкций.

Получим выражения для относительных деформаций еа> е^, еар. Подставляя равенства (2.73) в геометрические соотношения (2.10),

иметьиметьпосле некоторых преобразований с учетом (2.69) будем 6а =證(% + ?«(Х) (1, 2)；

иметь

иметь

гдегдееар =备(8ар + PM) -+еар =备(8ар + PM) -+(ё做+/呢),(ё做+/呢),(2.75)(2.75)са _ "лr丽十力1/3々08ap = 7?衣—лм7 Fса _ "лr丽十力1/3々08ap = 7?衣—лм7 F段 а, 2）；3 2）；段 а, 2）；3 2）；(2.76)(2.76)1 d8(x I 0g @力11 d8(x I 0g @力1—Ai да—Ai далхл. арлхл. ар3 2);3 2);1 двр е(х @力11 двр е(х @力1Л^Л 2 дрЛ^Л 2 др3 2).3 2).(2.77)(2.77)

где

где

еар =备(8ар + PM) -+

еар =备(8ар + PM) -+

(ё做+/呢),

(ё做+/呢),

(2.75)

(2.75)

са _ "лr丽十力1/3々0

8ap = 7?衣—лм7 F

са _ "лr丽十力1/3々0

8ap = 7?衣—лм7 F

段 а, 2）；

3 2）；

段 а, 2）；

3 2）；

(2.76)

(2.76)

1 d8(x I 0g @力1

1 d8(x I 0g @力1

—Ai да

—Ai да

лхл. ар

лхл. ар

3 2);

3 2);

1 двр е(х @力1

1 двр е(х @力1

Л^Л 2 др

Л^Л 2 др

3 2).

3 2).

(2.77)

(2.77)

Символ (1,2) здесь и далее предполагает, что из записанного соотношения можно получить еще одно заменой а на 0, 0 на а, 1 на 2, 2 на 1, и на v и v на ut Таким образом, получены геометрические соотношения рассматриваемой теории.

Запишем теперь физические соотношения. С учетом принятых гипотез, деформации связаны с напряжениями соотношениями (2.8) и (2.70). Разрешая нх относительно напряжений и выражая упругие постоянные Еа, Ер, Gap,卩邮,у加 через коэффициенты 68 *

Рис. 2.10. Усилия в момента, действующие на элемент слоистого материала

жесткости армированного слоя Лтп (см. § 1.4, 1.5) с помощью формул (1.29), получим равенства, аналогичные (1.27):*

% =力口勿 + 4*% (1, 2)； тар == ^ззвсф.

(2.78)

Здесь считается, что коэффициенты Лтп являются некоторыми гладкими или ступенчато изменяющимися (для слоистого материала) функциями переменной у. Если подставить деформации (2.75) в соотношения (2.78), то напряжения аа( о₽ и та₽ можно выразить через восемь функций переменных аир： е&, е^，еа₽, е3а, ха, 乂椒 хаР, хРа, представляющих собой некоторые обобщенные деформационные характеристики. Однако для описания напряженного состояния представляется более естественным ввести аналогичные этим характеристикам обобщенные силовые факторы — усилия и моменты, показанные на рис. 2.10. Осуществляя интегрирование по граням элемента, показанного на рис. 2.2 или 2.7, и относя усилия и моменты к единице длины линий, ограничивающих элемент начальной поверхности (рис. 2.7), будем иметь

^а = 4- [ %”2即；NaB=4- [ “""У (1, 2)；

h—e

Ma = K J Oa%YdY；从岬=石 j ТарЯгТ^Т (1, 2).

Подставляя в (2.79) напряжения (2.78) и учитывая соотношения (2.75), окончательно получим

Na = В]]% + BiaSp + &р<а + &2出(b 2)；

Na§ = Взз^ар + 5ззСра + СззХар + СзэХ^а (1, 2)；(2.80)

M(x = &1% + &賜6 + РцХа + D]#B 3 2)；

Моф = СззЕар + Сззера + РззХаЗ + D^Mga (1, 2)* Здесь h—еh—е

b口 = J Kx^Andy, & = J a2/11Y班，

Л—е

Ад == J Ki24117adу (1, 2);

В12 — B2i ~ J 4金 dy, &2 = С21 = J 4肝班，

」е(2.81)

民；=J К12^ззd?, С33 = J Ki2433ydу,

國=J Ki2A^2dy (1,2);

Л—еЛ—е

Взз — Взз — J %зз dy, CH — С33 = J 4ззУ dy,

D 卷= J 433y2 dy (1, 2)

И/Си = {A^I^H^ (1,2).(2.82)

Эти выражения, определяющие мембранные В, изгибные D и смешанные С жесткости материала, будут подробно рассмотрены в § 2.5. Получим физические соотношения для поперечных усилий Qa и Qb (см. рис. 2.10), являющихся равнодействующими трансверсальных касательных напряжений rav и т^ (см. рис. 2.2), т. е.

Л—е

Qa = ± J %/"? (1,2).(2.83)

Трансверсальные касательные напряжения связаны с соответствующими деформациями законом Гука (2.8), т. е.

е«у = Tav/Gav (1, 2).(2.84)

Предполагается, что модули сдвига Gav и Gpv, которые для армированного слоя определяются равенствами (1.36), являются функциями переменной у. Подставляя (2.84) в выражение для средней деформации сдвига (2.72), получим

『Ki'，© (1,2).(2.85)

Сделаем здесь одно важное замечание. Функция 中^ получена в результате осреднения деформации feav по толщине материала. Учитывая наличие связи (2.84), представляется последовательным использовать в (2.85) операцию осреднения и для тау. В соответствии с равенством (2.83) (оно при таком осреднении удовлет-

7Q

воряется тождественно) заменим в подынтегральном выражении rav на Z^Qa/'g九.В результате можно записать следующие соотношения, связывающие поперечные усилия со средними деформациями сдвига:

QcxhKcxWcx (1,2).(2.86)

Или, выражая деформацию сдвига через угол поворота нормали и перемещения с помощью равенств (2.74), получим

Qa = Ka&-^ + ±^) (1,2),(2.87)

где

Ка=《『К“評)(1, 2)(2.88)

—жесткость материала при трансверсальном сдвиге. Коэффициент Кк определяется формулой (2.82). Таким образом, равенства (2.80) и (2.86) или (2.87) определяют физические соотношения рассматриваемой теории.

Для вывода завершающей группы уравнений рассмотрим уравнения равновесия (2.5). Принимая в них Я3 = 1 и преобразуя операторы £“ (2.6) с учетом свойства парности касательных напряжений, получим

L伊(о) + 尸“丛也=0 (1, 2);L$)(a) + FyHiH2 = 0, (2.89)

где

9)=/(丛叫+*靑("沁В) - "需+

+ /М(”汾2%)(1,2);(2.90)

屮(a)=*(H 也%) + 4" (4e) + 备(协则)-

По внутренней и внешней поверхностям композитной стенки в направлении координатных осей действуют касательные силы, а также внутреннее р и наружное g давления (см. рис. 2.10). Тогда статические граничные условия на этих поверхностях можно записать в виде (см. рис. 2.2, 2.10):

%у = —%, т^ = — р3, av.= — р при у = — е; (2.91)

%у = 9a* 、у =佈， о? = — q при у = А — е・

Проинтегрируем первое уравнение (2.89) по у. Выражая из полученного соотношения 工“丫 и учитывая условия (2.91) для поверхности у = —% будем иметь

J ["1 显(”2% + 专(”&6)—

(2.92)(2.92)—Я1ар-^~ -|- FaH^ H^d^ — В1В2ра (1, 2),

(2.92)

(2.92)

гдегде51 = 4(1 —号)& 2)・(2.93)51 = 4(1 —号)& 2)・(2.93)

где

где

51 = 4(1 —号)& 2)・(2.93)

51 = 4(1 —号)& 2)・(2.93)

Удовлетворим теперь граничному условию (2.91) на поверхности 7 == Л — е. Полагая в (2.92) у = А ——е и вводя обозначения

& = 40+^) (1, 2),(2.94)

получим

f [ % 系("/а) + 靑(Н1Та₽) — Яюр 符 +

—е

+ FaH^ dv + ClC^ + B?B2pa = 0 (1, 2).(2.95)

Преобразуем входящие сюда интегралы с учетом равенств (2.68), (2.69) и выражений для усилий и моментов (2.79):

J 丛-А (Н^ 势=& 备(J Н"% 势)+

+负备(]也з即卜

=4底(4儿)+备备(4%)];

h—eh—e

J 靑("沁B)dy = J "1 靑(HiTap) dy +

—e—e

+ J "1"^""价=4*(J从%6妤)+

J也%Y势)4J也%Y势)441 dAx К而41 dAx К而2%в 势 +2%в 势 +(2.96)(2.96)

J也%Y势)4

J也%Y势)4

41 dAx К而

41 dAx К而

2%в 势 +

2%в 势 +

(2.96)

(2.96)

+ J儿%肝*)=4 ［条(力山加)+

+ 靑靑(4%)+翁(％ + * 忆)］;

J "g符"=六符J h电"=

=欝J品4势+靑J Hgydy =

=4芻(/+嚮)；

h— 6/ Л— eh— e、

J FaЯ?Я2dV = Л1/ J FaHxH2dy +± J FaY^^dv .

В результате уравнения (2.95) принимают вид

厶 a(")+ 靑厶(M) + /a+警=0 (1,2),(2.97)

где

厶“ (Ф)=备(Л2Фа)—

一 6 絵Й +畜 ⑷①加)+% 翳 3 2)：(2.98)

A! = J 尸(1%"2 班 + S/aPa + &a0(! (1,2);

^а = J 尸а"1"2T dy + (九一e) &&击 一 еВ^В^ра (1, 2). (2.99)

Равенства (2.99) определяют равнодействующие сил и моментов нагрузок, действующих на элемент, показанный на рис. 2.10. Функции Blt Ва и &, С2, задаваемые формулами (2.93) и (2.94), являются коэффициентами первой квадратичной формы внутренней и наружной поверхностей стенки.

Для того чтобы упростить уравнения равновесия (2.97), получим выражения для поперечных усилий Qa и Qb，подставив касательные напряжения (2.92) в равенства (2.83), т. е.

Qa = - :t J啬J ［修备(%")+奋("沁B)- "S尝+

+ ГаЯ?Я2］班 + 8汨2Pa(1, 2).(2.100)

Преобразуем входящие сюда интегралы с помощью операции интегрирования по частям. Учитывая, что

j:^ =片(击+号)，

—£

и принимая во внимание равенства (2.68), (2.69), получим

—«— e\ —«/—«— e\ —«/-h— e-J %烹("*°)★一-h— e-J %烹("*°)★一

—«— e\ —«/

—«— e\ —«/

-h— e-

J %烹("*°)★一

-h— e-

J %烹("*°)★一

h—e / У \h—«

-J ( J 备)"i 备("2”Y =先^ J H^{H^dy-

e一六备J。修Ydy;

h— eVh—«

J 爲 J 靑("％)★ = *言 J 靑("％B)dY —

h—eh—e

一六专 J %。"1Y★— 寂翁 J %B"亦dy;(2-Ю1)

—e—e

h—eуЛ—e

J為J "@符力=嘉"J нев嚎肮-

一齐爵J。园Y在；

了务 J F^H.d^^yFaH\H2dy-

一未 J FaH^dy.

Подставляя интегралы (2.101) в равенство (2.100) и учитывая соотношения (2.96), формулы (2.79) и обозначение (2.98), имеем

Qa=-六卜云^仏侬)+-^La(M)]-^La(M)-}-

D

u力 _g"

FaHiH，dY +十 J 尸。"1""价 +穹}"a -

一*(j尸也"订dy-戈瓦8g)](1.2).

Отсюда, принимая во внимание уравнения (2.97) и обозначения (2.93), (2.94), (2.99), окончательно получим следующие выражения для поперечных усилий:

Qa=表厶(М)+/Па1 (1,2).(2.102)

С учетом этих равенств уравнения (2.97) можно записать в виде 厶(N)+^"Qa+/a = 0 (1, 2).(2.103)

Уравнения (2.102) и (2.103) можно получить и непосредственно из условий равновесия элемента, показанного на рис. 2.10. Они представляют собой соответственно условия равенства нулю сумм моментов относительно касательных к осям а и р и сумм проекций на эти касательные сил, действующих на выделенный из материала бесконечно малый элемент.

Рассмотрим теперь последнее уравнение равновесия трехмерной теории ——второе уравнение (2.89). Интегрируя его по у с учетом граничных условий (2.91) на поверхности у = —е и учитывая равенства (2.68), (2.93), запишем выражение для трансверсальных нормальных напряжений:

V

HrH2Gy = — J [备"{И2%у)十端~ {И工工的)—^- Н2<Уа — —e

今-"1“+尸典1"2]dy - BjB2p.(2.104)

Положим в уравнении (2.104) v = Л — е и воспользуемся граничными условиями (2.91) для поверхности у =九一е. С учетом обозначений (2.94) будем иметь

Л—е

J [4i ("2m + *("亦外)-眷 H2da -誥 %" + —e

十尸yli工”2 ] dy 十 B»B2P — с©2g = о.

Подставляя сюда выражения для、т из (2.92) и осуществляя преобразования, аналогичные (2.101), (2.96), получим

言[*4 (m)] + 靑民 " (m)]-屮2 (誉 + 鲁)+

'"+負(贵)+ 斎(需)=。,(2」。5)

где

Л—е

府=J F^H^^-B^p-C^,(2.106)

а операторы L определяют из равенств (2.98). Преобразуя уравнение (2.105) с помощью соотношений (2.102), окончательно будем иметь

备(/@ +备(/@ - 44 (晋"+ *) +з=0・

(2.107)

Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия элемента, показанного на prfc. 2.10, в направлении оси у. Таким образом, для этого элемента записаны традиционные пять уравнений равновесия —— три уравнения (2.103), (2.107), соответствующие проекциям на касательные к осям а,卩 н на ось у, а также два уравнения (2.102), соответствующие моментам .относительно касательных к осям а и 0. Заметим, что шестое уравнение равновесия

которое соответствует сумме моментов всех обобщенных сил, действующих на элемент, относительно оси у, удовлетворяется автоматически, если подставить в него усилия и моменты (2.79).

Отметим, что между полученными уравнениями (2.102), (2.103), (2.107) и исходными уравнениями равновесия (2.89), (2.90) суще-■ ствует принципиальное различие. Исходные уравнения являются трехмерными и соответствуют элементу, ребра которого имеют бесконечно малую длину в направлении всех трех координат (см. рнс. 2.2). Окончательные уравнения (2.102), (2.103), (2.107) являются двумерными и соответствуют элёменту, размеры которого являются бесконечно малыми только в направлении координат а и 0, а в направлении координаты т размер элемента равен толщине стенки (см. рис. 2.10). Вывод этих уравнений непосредственно из условий равновесия элемента будет проиллюстрирован далее в § 2.6.

Постановка задачи

Постановка задачи расчета конструкции или ее элемента предполагает написание полной системы уравнений, определяющих систему искомых функций и соответствующих граничных условий. Запищем основные уравнения, полученные в предыдущем разделе.

Уравнения равновесия

%(%) +今*а + Ах = 0 О, 2)；

La(M)-A1A3Qa-\-ma = 0 (1, 2);(2.108)

負(^*Qa) + 崙(&Qb) - 44 (警 + £) + fy = 0.

Входящие сюда операторы L определяются выражением (2.98), а внешние силы и моменты f и т — равенствами (2.99), (2.106). Физические соотношения

Nа = Bnea + В13&0 + Сиха + G”b (1, 2);

NaB = ^ззБаЗ + Вз|ера +。旗＞“ + С晶＜ва (1, 2)；

附а = &1&а + &2&в +。口乂01 +。12乂6 (1,2)；(2.109)

МаВ = С^Есф + С；録а + ^зз^аЗ +。馭0а (1, 2)；Qa = Ка2а・

D, К(1. 2)；(1,2)；(2.110)D, К(1. 2)；(1,2)；(2.110)Коэффициенты жесткости слоистого материала В, G, вычисляют по формулам (2.81), (2.88).

D, К

(1. 2)；

(1,2)；

(2.110)

D, К

(1. 2)；

(1,2)；

(2.110)

Геометрические соотношения

% — 7J да 十 44' &，“В — 7] "^а44； 00

v — ] /а j% . v的0 8a °4

…。一至+大警(1, 2).…。一至+大警(1, 2).а — 4 да ' Л1Ла др 1 邱—4 5a 44 др

…。一至+大警(1, 2).

…。一至+大警(1, 2).

Система (?.1О8)——(2.110) является полной — она включает 25 уравнений и содержит 25 неизвестных — десять усилий и моментов, столько же обобщенных деформаций, три перемещения начальной поверхности и два угла поворота нормали к этой поверхности. Система имеет в совокупности десятый порядок по переменным а и 0.

Важным свойством прикладной теории является ее энергетическая согласованность, т. е. возможность получения исходных уравнений как условий стационарности некоторого энергетического функционала. Запишем вариационное уравнение (2.24), соответствующее принципу Лагранжа:

6Пе = 6U — 64,(2.111)

где 6U — вариация потенциальной энергии (2.22), т. е.

6U = J J J 8а 6% + “ 6% + % 6бу + “ 6%В +

+ % 6%v + "у 6% р)"工”2 da dp dy,(2.112)

а 6Л — вариация работы внешних сил (2.23), т. е.

64 = J J J (Fa 6我a + f6 6我6 + 尸Y 6我Y)"1仇 da dp dy +

+ J J [(pa 6Ua + pP 6u₽ + p 6u；) BiB2 +(2.113)

+ (?a Su® + q» 6up — g £uy) &&] da d0・

Здесь верхние индексы e и 九 определяют перемещения на внутренней и наружной поверхностях материала. Преобразуем ра-

венства (2.112) и (2.113), учитывая введенные выше гипотезы и полученные с помощью этих гипотез соотношения. В частности, примем в (2.112) ev = 0 и заменим %屮 еа? и 工攻 用 соответственно на A2Qa/H2h, A^fa/H1 и A^/Hyh, А^1Н^- Тогда, осуществляя интегрирование по у и учитывая равенства (2.75) и (2.79), будем иметь

6U = j J ("а 6% + 必 6ер + 乂(》6 6%6 + /а б^еа + Ма 6% +

+ М。6乂0 + Л1ар 6xag + M^a бкра + Qa 62a + Qp б%)力1力2 da d0・ (2.114)

Выражение (2.113) с учетом равенств (2.73) н % = 叫 а также обозначений (2.99), (2.106) принимает вид

64 = J J 0а 6〃 + % би + 3 боу + ma б0а + mp 60p) da dR. (2.115)

Подставляя вариации (2.114), (2.115) в уравнение (2.111) и выражая вариации обобщенных деформаций бе, 6к, 6屮 через вариации перемещений би, би, бог; и углов поворота 60a, 60р с помощью равенств (2.74), (2.76), (2.77) и традиционных для вариационного исчисления преобразования интегралов, получим пять уравнений равновесия (2.108).

Минимизация функционала полной энергии помимо уравнений равновесия позволяет записать естественные граничные условия на краях a = const и 0 = const. При a = const получим

Na8u = 0; ^p6v = 0; Qa 6оу = 0; Ma 60a = 0; Л!ар60р = 0; при В = const

心6^ = 0; ^paбu = 0; Qp bw = 0;

Me 69₽ = 0; Mga 60a = 0・

Таким образом, для обеспечения полного закрепления края необходимо принять u = v = оу = 0а = 0д = 0. Из равенств (2.73) следует, что на краю иа 三 0; ир = 0； uv 三 0, т. е. все перемещения на краю тождественно равны нулю. Если край a = const свободен, то согласно полученным условиям на нем ^a = ^ap = Qa = Ма = Мае = 0, т. е. обращаются в нуль равнодействующие краевых напряжений в отношении сил и моментов. Число граничных условий (пять в каждой точке края) находится в соответствии с десятым порядком системы уравнений (2.108)—(2.110) по переменным а и 0.

Полученные выше уравнения являются достаточно универсальными —они позволяют описывать поведение композитных элементов конструкций, геометрические и структурные параметры которых изменяются в широких пределах. Выведенные применительно к статическому нагружению, эти уравнения после небольшой модификации позволяют решать задачи динамики, устойчивости и термоупругости композитных систем. Соответствующие обобщенйя и частные случаи рассмотрены - ниже.

Обобщенные жесткости слоистого материала

В § 2.3 были введены мембранные Bmn, смешанные Cmn и изгибные Dmn жесткости стенки, которые в общем случае определяются равенствами (2.81). В пределы интегрирования входит координата начальной поверхности е (рис. 2.7, 2,11), соответствующим выбором которой выражения для жесткостей можно существенно упростить. Прежде всего введем замену переменной, приняв у = f—е, где новая координата / отсчитывается от внутренней (нижней) поверхности (см. рис. 2.11). Тогда жесткости (2.81) выражаются следующим образом:

B11 = /代 В22 к /规；B12 = &1 —川)；

Си = /；Р — e/f?； С 22 = /£)— e/尊)；&2 = Qi = J$)— e/伊；

Dh = /伊-2e/[P +『/卅；D22 =處)-2e总)+ /酸；

В33 =爲! 119 Взз = /鉉 22； Bj = B33 =鹿)；Сзз = /紀 и — е/紀 ii>C33 =羯 22 — е/縹 22；或=碼=朗—6朗；DJJ — /软 и — 2е/зз! и +『/縹 и；-Озз = /紀 22 — 2е関22 ；围=國=朗-2ё國+/朗，В33 =爲! 119 Взз = /鉉 22； Bj = B33 =鹿)；Сзз = /紀 и — е/紀 ii>C33 =羯 22 — е/縹 22；或=碼=朗—6朗；DJJ — /软 и — 2е/зз! и +『/縹 и；-Озз = /紀 22 — 2е関22 ；围=國=朗-2ё國+/朗，Di2 = -D21 =丿原—2eJ；；)+ g’J伊；

В33 =爲! 119 Взз = /鉉 22； Bj = B33 =鹿)；Сзз = /紀 и — е/紀 ii>C33 =羯 22 — е/縹 22；

或=碼=朗—6朗；

DJJ — /软 и — 2е/зз! и +『/縹 и；-Озз = /紀 22 — 2е関22 ；

围=國=朗-2ё國+/朗，

В33 =爲! 119 Взз = /鉉 22； Bj = B33 =鹿)；Сзз = /紀 и — е/紀 ii>C33 =羯 22 — е/縹 22；

或=碼=朗—6朗；

DJJ — /软 и — 2е/зз! и +『/縹 и；-Озз = /紀 22 — 2е関22 ；

围=國=朗-2ё國+/朗，

/想%；/想%；(2.116)

/想%；

/想%；

где

盧? п =生"(^^/33,出;0盧? п =生"(^^/33,出;0/g? 22 = -^- j 登"433r df;1 о/g? 22 = -^- j 登"433r df;1 о4? = 4H患4"或; о

盧? п =生"(^^/33,出;0

盧? п =生"(^^/33,出;0

/g? 22 = -^- j 登"433r df;1 о

/g? 22 = -^- j 登"433r df;1 о

hh(2.117)

h

h

4? = J 42y df; 」頂)=J A^f dt9о0

где r = 0, 1, 2.

Рис. 2.11. Координаты слоевРис. 2.11. Координаты слоевРассмотрим прежде всего случай, когда необходимо учитывать изменение метрических свойств по толщине материала, т. е, отношения у/R и у/& (—в < 7 < < Л ——е) нельзя считать малыми по сравнению с единицей. Тогда наиболее простые выражения для жесткостей получаются, если принять е = 0 или у = /, т. е. совместить начальную поверхность с внутренней (нижней, см. рис. 2.11)

Рис. 2.11. Координаты слоев

Рис. 2.11. Координаты слоев

поверхностью материала. Равенства （2.116） при этом упрощаются:.

Вп = 4”

b22 = /货；

B［2 = Bzi —兄）；

с” = Н）；

g22 = /以；

&2 = Gi = %）；

о” = /；?;

022 —虑）；

-012 =021 =/僧；

В33 =般 и；

533 = /歎 22；

в罢= B*=/必；（2.118）

Сзз = /зз? и；

Сзз = /软 22；

Сзз — С33 = J日；

-Озз = /欧 и>

-Озз = /紀 22；

D^ = £^3 — /口.

Для слоистого материала, коэффициенты жесткости которого являются кусочно-постоянными функциями переменной 厶 интегрируя по участкам （см. рис. 2.11） и представляя получающиеся в результате интегрирования логарифмические функции степенными рядами, вместо （2.117） можно записать

/w=e 4［?［用传+i _%学）+尸P］；

А

喝=e腸［者（疗一侬）+ w）］；

闆н = Х第）［*T （行Ь’ 一咽）+尸伊］;（2/19） £=4

應% = £ 4日［者（4+‘ 一 f江;）+①夕］;

j^ = тTт 2服（次一趾；）；闻=4г 2磁（时一磔;）■ £=1£=1

Здесь Атп — коэффициенты жесткости слоя, определяемые равенствами, аналогичными （1.12）, т. е.

力伊=£1° cos4 ср； + £гП sin4 Ф； + 2 ［卦'％；）+ 2G［?］ sin2 电 cos2 屮储

4像=掰=费）/+国。+贽）一2蜕）第一4*к而电co^j；

（2.120）

展）=Ef %向电 + £2° cos4 电 + 2 ［Ei^fAi^ + 201^］ sin2 伙 cos2 山；破=［/）+ E^- 2后戸第］G中,8s2也+國？ cos2 2电.

В случае, если среди слоев, образующих стенку, есть изотропные, например металлические, в выражениях （2.120） при-

ннмают后伊=瓦"=后叫 "停=陽）=p⑴；（ЙР = 6ю, причем

-1 一加"F0 - 2［1+小硏•

.Тогда из （2.120） следует 力I? = А^ =后⑴；力氏=词）= =七⑴卩"）；＜4日=G"）. В равенствах （2.119） принято также ^о = ®» t^ = h и,

尸户=（丄一丄）* （1）/&++一出书•

Выражения （2.119） для / можно упростить, если не учитывать изменение координаты t в пределах i-ro слоя, приняв в выражениях для Н* н Н? t = （* + 友）/2. Тогда получим

用=4г £阳砂）（炉-咽）；

/=4Tе腸川&+‘-咽）；

'二（2.121）

阕l希e幽"屮（к-侬）；I

羯22 = 母e蜀力出（炉一咽），

где *（1+様m）/（］+様子）.

Аналогичным образом преобразуются и сдвиговые жесткости （2.88）. Равенства, аналогичные （2.119） и （2.121）, имеют вид

1

aL

У -^у % -厶-1 + ①f）］；

& =嘴肅团-J+尸仪】］,

ИЛИ

（=胪信罂I凡="£翳"*）'

一（2.122）

81

где G黑 G^y — модули упругости i-ro слоя при трансверсальном сдвиге, определяемые равенствами (1.36), т. е.

Gay — Gi^ cos2 ср； + G^ sin2 <рк G^y = G〔？ sin2 <p^ + G2P cos2 g-

Для изотропного или трансверсально изотропного слоя Gg)= =Gg = М и 咽 叫=G“)・

Для однородного по толщине материала в записанных выше соотношениях следует принять f0 — 0; /г = Л;友=0 (i N 2), т. е. получим.

窗=ли (凿• + 尸,);. 度)=л22 (冷 + ①)；

闽 " = азз(；尹 + 尸，； /紀 22 = {33 (复『+ еГ)；

гдегде闸=412闸=412犷+i犷+i，+ 1 '，+ 1 '闻=Л闻=ЛКр =Кр =”+i .7TГ，”+i .7TГ，"6即 л + Л *"6即 л + Л *Ka =Ka =Л+Ф1 'Л+Ф1 '（一1）/“+，+「 rLo+，+ i）（一1）/“+，+「 rLo+，+ i）(—i)y hl+r+1 rL(/+，+ i)(—i)y hl+r+1 rL(/+，+ i)

где

где

闸=412

闸=412

犷+i

犷+i

，+ 1 '

，+ 1 '

闻=Л

闻=Л

Кр =

Кр =

”+i .

7TГ，

”+i .

7TГ，

"6即 л + Л *

"6即 л + Л *

Ka =

Ka =

Л+Ф1 '

Л+Ф1 '

（一1）/“+，+「 rLo+，+ i）

（一1）/“+，+「 rLo+，+ i）

(—i)y hl+r+1 rL(/+，+ i)

(—i)y hl+r+1 rL(/+，+ i)

Рассмотрим теперь случай, когда стенка настолько тонка, что отношения у/% и、IR& (—е《у《А — е) можно не учитывать, приняв 〃1 q Z] и 〃2 * Л2- Для материала с произвольным характером расположения слоев по толщине жесткости определяются в общем случае равенствами (2.116), а при s = 0 — равенствами (2.118), в которых

胤=希?确伊 J 咽)(加九= 11, 12, 22, 33); (2.123)

屬 11 =複 22 — J& =複； 49 = /f?・

Выражения (2.122) для сдвиговых жесткостей принимают следующий вид:

一 ft1-1Г ft]_[

Отметим, что соотношения (2.123), (2.124) для плоских элементов, у которых Rj4 = R?i = 0, справедливы при любой толщине. .

Из равенств (2.123) следует, что интегралы /„„ идентично зависят от геометрических параметров слоистого пакета. В связи с этим появляется возможность упростить соотношения (2.116), в частности, возникает вопрос о таком выборе координаты поверхности отсчета е, при котором эти соотношения окажутся более простыми, чем равенства (2.118), соответствующие е = 0. Попытаемся обратить в ноль смешанные жесткости С. Из физических соотношений (2.109) следует, что при Стп = 0 и Стп = 0 они разделяются на две независимые группы — для усилий и для моментов. Такая структура физических соотношений значительно упрощает форму записи разрешающих уравнений в общем случае и вносит принципиальные упрощения в расчет плоских элементов —уравнения, описывающие их деформирование в своей плоскости, отделяются от уравнений, описывающих изгиб.

Допустим, что смешанные жесткости, определяемые равенствами (2.116), обратились в ноль. С учетом (2.123) получим

喘一е喘=0.(2.125)

Здесь следует поочередно принять тп — 11; 22; 12; 33, т. е. имеется четыре уравнения (2.125) относительно одного искомого значения е. Естественно, что в общем случае эти уравнения являются несовместными, т. е. для произвольной структуры слоистого материала нельзя ввести единую поверхность отсчета так, чтобы все смешанные жесткости одновременно обратились в ноль.. Очевидно, такая возможность существует, если все четыре уравнения (2.125) дают одно и то же значение е. В этом случае равенства (2.116) принимают следующий вид:'

ви =用)；昆2 = /规；вП2 =昆1 = &)；

nil п22р!2р21г(0).

о 33 = о 33 = о 33 = о 33 = /зз ,

£>!! = /$?-ИНН-； р22=/^--™；(2.126)

711У22

風=D^ =成=國=盧) 唯。］ • / 33

Рассмотрим структуры, для которых справедливы равенства (2.125), (2.126),

Пусть стенка однородна по толщине. Тогда в рассматриваемом случае (отношения y/Ri и y/R2 малы по сравнению с единицей), полагая % = 0, /1 = Л> ^ = 0 〃 N 2) в равенствах (2.123), (2.124), получим.

喘=”；『(m〃= ", 12, 22, 33);

Ka = &6VЛ;Kr =备7ft.(2.127)

83

Рис. 2.12. Координаты слоев, расположенных симметрично относительно средни ио ft поверхности

Подставляя (2.127) в уравнет ния (2.125), найдем е = Л/2. Т. е. начальная поверхность совпадает со срединной поверхностью, которая разделяет толщину пополам.

Аналогичная ситуация имеет

место и в случае, когда слои расположены симметрично относительно срединной поверхности. Пронумеруем слои так, как показано на рис. 2.12, т. е. будем отсчитывать их от внутренней (нижней) поверхности с номерами 1, 2,...(々⑵ и от наружной поверхности с номерами Г, 2'… (^/2). Очевидно, что каждому слою с номером i будет соответствовать такой же слой с номером Г, а число слоев, расположенных по обе стороны от срединной поверхности / = 九/2, будет одинаковым (в случае нечетного числа слоев срединный слой условно разделяется срединной поверхностью на два слоя). Тогда из равенств (2.123) получим (см. рис. 2.12)

Л/2Jfe/2

Imn = S ^тп (介一ff—1) + S Am\ {(Л —力―1) — (Л — /f)J =

*/2

=2£确(f,一*);

‘*/2在/2

/ш=42 确(胃—展)+扌 Е 确〔("/-у—("倘= f=lf=r'

Jfe/2

=ft j A^(t, - /t_i);(2.128)

Jfe/2在"

/^ =扌 £ Лmi (片一f：_J + *4" 2 ^mn [(A — ^-l)3 — (Л — /f)3]=

Jfe/2Л/2

=等£4魚僧一%)-九E第L (6 一%)+

*/2

£=1

Из уравнений (2.125) найдем е = Л/2. Вводя координату z = =f —(方/2), отсчитываемую от срединной поверхности (см.

84

рис. 2.12), и подставляя выражения (2.128) в равенства (2.126), будем иметь ,

k/2

Втп = 2 S 4^i(z；— 2,-1)；С^= О;

I "2(2.129)

Dmn = ^A^-^.

В равенствах (2.129) суммы включают слои, лежащие по одну сторону от срединной поверхности, и координаты слоев, отсчитываемые от этой поверхности.

,§ 2.6. Уравнения статики слоистых элементов

переменной- толщины

а иа и7.方向勿一"%川7.方向勿一"%川Полученные выше уравнения, описывающие напряженно- деформированное состояние элементов конструкций из слоистых композитов, были выведены в предположении, что толщина h не зависит от переменных аир. Однако на практике композитные элементы часто имеют переменную толщину, например, толщина оболочки вращения, образованной укладкой вдоль ее меридианов армированных лент постоянного сечения, будет увеличиваться по направлению к вершине. Более того, возможность сравнительно просто управлять законом изменения толщины в процессе изготовления конструкции является существенным преимуществом композитов по сравнению с металлами. Таким образом, представляется целесообразным распространить полученные ранее соотношения на случаи, когда толщина слоистого материала является переменной. Из вывода геометрических, физических и статических соотношений (см. § 2.3) можно заключить, что первые две группы — физические и геометрические соотношения — справедливы при любЬм законе изменения толщины и сохраняют прежнюю форму (2.109), (2.110). Условие постоянства толщины материала было использовано только при выводе уравнений равновесия. В частности, в граничных условиях (2.91) предполагается, что наружная (у =九—z) и внутренняя (у =——е) поверхности эквидистантны начальной поверхности у = 0, а в процессе преобразований (2.96) и (2.101) производные 八 за знак интеграла по у от —е до (Л ——е), что неправомерно, если эти пределы зависят от а и р.

а и

а и

7.方向勿一"%川

7.方向勿一"%川

Выведем уравнения равновесия, учитывая сделанные выше замечания. Рассмотрим слоистую стенку, ограниченную по-

верхностями у =九 (а, р) — е (а, р) и у = —е (а, 6) (рис. 2.13). Будем считать；

Рис. 2.13. Геометрические параметры слоистой стенки переменной толщины

что функции h (а, 0) н е (а, 0) изменяются достаточно медленно, т. е. что их производные малы по сравнению с единицей, и можно, например, принять (см. рис. 2.13) tg т]а a? sin 刀工内 т]а, tg 厶内 sin 厶 да 厶 и cos Т]а 比 1, cos 厶 л； 1. Тогда

"а = * ("1备)； А = *嘉(1, 2). (2.130)

Здесь & н & — коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей у = ——е и у = Л —— 刍 определяемые равенствами (2.93), (2.94), а символ (1, 2), как и ранее, обозначает, что заменой а на 0, р на а, 1 на 2 н 2 на 1 можно получить аналогичные равенства для направления р. Для того чтобы записать на поверхностях у = ——е и у = Л —— е статические граничные условия, аналогичные (2.91), необходимо воспользоваться соотношениями (2.12), связывающими напряжения в теле с компонентами нагрузки /а, “, %, действующей по его поверхности, которая определяется направляющими косинусами нормали Za, %, %. Для поверхности у = —е имеем (см. рис. 2.13)

厶=—厶；"н —Св；% = —1；

厶=% + "厶；“ ="в + "Св； % = "- "ad - "Кв，

а для поверхности Y — Л ——е

厶——Па； 4 =—巾；4=1；

% = 9а + ga； “ = 0В + 9小；％ = —9 + 9аЛа + 的口 伊

В результате, согласно (2.12), получим следующие статические грайичные условия;

при у = ―е

при 7при 7Т；у + O；ga + т/Сб = — Sa + "Ca) (1, 2)； 0: + Tay?a + 哈?6 = 一p 十 ркa + "0诵；Л 一 Сdy —。2口06 — T七0nB = % + 0Па (1，2)；G:-当 па - т歸 6 = -q + ^ана + 佈ПХТ；у + O；ga + т/Сб = — Sa + "Ca) (1, 2)； 0: + Tay?a + 哈?6 = 一p 十 ркa + "0诵；Л 一 Сdy —。2口06 — T七0nB = % + 0Па (1，2)；G:-当 па - т歸 6 = -q + ^ана + 佈ПХ(2.131)(2.131)(2.132)(2.132)

при 7

при 7

Т；у + O；ga + т/Сб = — Sa + "Ca) (1, 2)； 0: + Tay?a + 哈?6 = 一p 十 ркa + "0诵；

Л 一 С

dy —。2口06 — T七0nB = % + 0Па (1，2)；G:-当 па - т歸 6 = -q + ^ана + 佈ПХ

Т；у + O；ga + т/Сб = — Sa + "Ca) (1, 2)； 0: + Tay?a + 哈?6 = 一p 十 ркa + "0诵；

Л 一 С

dy —。2口06 — T七0nB = % + 0Па (1，2)；G:-当 па - т歸 6 = -q + ^ана + 佈ПХ

(2.131)

(2.131)

(2.132)

(2.132)

Верхние индексы е и 九 определяют напряжения, соответствующие координатам у ^ ——е н у — Л ——е. В случае постоянной толщины, т. е. при С« — Sp — 0 и т|а = т|3 = 0, условия (2.131) и (2.132) переходят в (2.91).

Для вывода уравнений равновесия может быть использована последовательность операций интегрирования трехмерных уравнений (2.89) и удовлетворения граничных условий (2.131), (2.132), осуществленная в § 2.3. Одиако представляется целесообразным реализовать здесь другой способ вывода, приводящий к тому же результату и позволяющий более просто учесть изменение толщины. Как уже отмечалось в заключительной части

§ 2.3, уравнения (2.102), (2.103), (2.107) или эквивалентные им (2.108) являются условиями равновесия элемента, показанного на рис. 2.10. Для получения этих уравнений воспользуемся, как и ранее, трехмерными исходными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента (2.89) и перейдем от напряжений к равнодействующим усилиям и моментам, приложенным к начальной поверхности у = 0. Проинтегрируем первое уравнение (2.89) по толщине материала (см. рис. 2.13), т. е.

Л—е

+ *E("；”2E)+Fa"i"2]dY = 0 (1,2).(2.133)

Уравнения (2.133) устанавливают равенство нулю суммы проекций действующих сил на оси а и 卩(см. рис. 2.10). Преобразуем интегралы, входящие в (2.133), с помощью правила дифференцирования по параметру интеграла, подынтегральное выражение и пределы которого зависят от этого параметра, и формул (2.68), (2.69), (2.79), (2.83), (2.93), (2.94), (2.130):

Л—еЛ—е

J 备("2006)dy =备 J H20a dy ^(九一e) G0^ + *—e—e

+ "^ (-e)%0： = "^(也mх)一 "06&&02 - Eo^i%0：；

h^eh—eh—e

I**(開5)★=J*(厶5)★+ J 醬 0向=

—M" (Л1Ура) — "e&C2T纟6 — 881821^6 + °爲-乂6；

h—e 'h—»e

J *备("；"2"3s=J 备("]"2TaJS +

В результате, с учетом обозначения (2.98) и граничных условий (2.131), (2.132), уравнение (2.133) принимает вид

厶(")+崙 Qa+h=0 (1,2),(2.134)

где

Ь—е

/а= f FaH 1Я2 d? + B1B2 (Ра + Р^а) + СХС2 ((/а + 7Па) (1, 2).

(2.135)

Для получения уравнений моментов умножим первое уравнение (2.89) на у и проинтегрируем по толщине:

f ［备(”2ba) + 靑靑(Я?М)- G3 警 + R」36)

+ * 备(HlH2rav) + FaHгН2］ уdy = Q (1, 2).

Входящие сюда интегралы преобразуются так же, как и ранее. Пояснений требует только член, включающий т^у, для преобразования которого используется операция интегрирования по частям:'

Ь—^е九一е

!太糸(田Н Hath 加=J 专(HiHzTajydY + h—в

+ J H2 -^1 %行4丫 = (Л — е) С1СгТ^7 + cBi&t/ —

h—eh—e

—J "1”2%丫 dy +J H2%丫 dy = (h — e) &C2T2y +

+ eBiB2TMy — A^A^Qa*

Окончательно, учитывая условия (2.131), (2.132), вместо (2.136) получим

厶(М) — A1A2Qa~\-ma = 0 (1, 2),(2.137)

где h—е

m«x= J FaH^iydy + ili — ^C^C^a + q^—eB^B^pa + p^ (1, 2).

(2.138)

И наконец, для того чтобы вывести последнее уравнение, соответствующее сумме проекций всех сил на ось у, проинтегрируем по толщине второе уравнение (2.89):

h—

J ［备Cl"1!%) + 备(Я8та?) + 专("户外)-%(Гa -^1—

-"g 甯 +尸У乩乩］S = 0.

Отсюда-после уже описанных преобразований имеем

备(4Qa)+ *(4Q)- 4((专 + 眷)+九=。，(2.139) где

储=J F、H*H、d、+ В/2s —厶％ — Cwb) — C*C式q—叮仪击一"叫в)，

(2.140)

Уравнения (2.134), (2.137) и (2.139) отличаются от соответствующих уравнений (2.103), (2.102) и (2.107), при выводе которых толщина считалась постоянной, только выражениями для нагрузок fa, та и /у. Структура уравнений полностью сохраняется, что становится очевидным, если учесть, что, по существу, обе группы уравнений являются условиями равновесия элемента начальной поверхности у = 0 (см. рис. 2.7), к которой приведены усилия, моменты и нагрузка. В этом отношении элемент с переменной толщиной отличается от элемента с постоянной толщиной только тем, что у первого граничные поверхности, по которым действуют нагрузки р и(7, не эквидистантны начальной. Именно это различие и учитывается в равенствах (2.135), (2.138), (2.140), определяющих приведенные нагрузки.

Таким образом, композитные конструкции с переменной толщиной стенки описываются уравнениями (2.108), (2.109), (2.110), в которых fa,巾@, fy‘ определяются равенствами (2.135), (2.138), (2.140). Естественно, что при вычислении жесткостей, входящих в физические соотношения (2.109) и определяемых формулами, которые были приведены в § 2.5, необходимо учитывать, что Л, е и координаты слоев " являются функциями переменных аир.

Уравнения термоупругости

Помимо объемных и поверхностных нагрузок, на конструкции из композитных материалов могут воздействовать темпер атурные поля, вызывающие изменение свойств материала, появление температурных деформаций и напряжений. Отметим, что полимерные композиты обладают, как правило, низкой теплопроводностью и могут быть использованы в конструкциях, подвергающихся кратковременному поверхностному нагреву, без дополнительной теплозащиты. Некоторые материалы, например композиты на основе углеродной и керамической матриц, специально предназначены для работы в условиях интенсивного нагрева, другие — на основе минеральных волокон, служат в качестве теплозащитных покрытий. Таким образом, температурное воздействие является одним из расчетных условий работы конструкций из композиционных материалов и, следовательно, должно отражаться в уравнениях, описывающих нх напряженно- деформированное состояние.

Для вывода таких уравнений достаточно вместо обобщенного закона Гука (2.78) воспользоваться физическими соотношениями термоупругости, т. е. принять в соответствии с (1.27)

о(х = 4ц% + 力1却 一 4/Т (1, 2); “в =力#*

Козффнинентн 力工丁 и 4аГопределяют из равенств типа (1.12), т. е.

Л1Г = Ei (出 + ц1ааа) cosa <р + 瓦(备 + 卩風仪工)sin8 <p;

力窑丁 = Е] (a，+ Hi2aa) sin8 <p -f- Ea (aB + 1111a J cos8 <p.

В результате в соотношениях упругости (2.80) появляются температурные составляющие:

NZ = Na — B\T； N^=NaB (1, 2)； тт(2.141)

M^ = Ma-DlT； М^ = Мав (1, 2).'

Здесь Уа, Уав，Ма и Л1ар связаны с обобщенными деформациями равенствами (2.80), а температурные коэффициенты аналогичны (2.81), т. е.

h—eh—e

Bit = ^- J A1TTHtdy; D1T ^-^ \ A1TTH^dy (1,2). (2.142) —e■*—e

Итак, в задачах термоупругости физические соотношения (2.109) для усилий N и моментов М заменяются равенствами (2.141); уравнения равновесия (2.108) модифицируют следующим образом:

%(№")+第 Qa+fa=。 (1,2)；

Ьа(МГ)-АМа+та=0 (1, 2);

•姦(4@ + 靑(4Qb) - 44 (乘 + "й") + 3 =。’

а геометрические соотношения (2.110) остаются без изменения.

Преобразуем температурные коэффициенты (2.142). В соответствии с изложенным в § 2.5 введем замену у = / — е (см. рис. 2.11). Тогда

Bit = /渺； dr = /伊一е/伊(1, 2), где h

/份=片J4Т7"2广力(1,2);(2.143)

о

г = 0,1. Для слоистого материала （см. рис. 2.11）, у которого А1Т и температуру Т можно считать постоянными в пределах Л го слоя, интегралы （2.143） вычисляют по формулам

’ m = £ aw^ ［者（1 —太）（炉一侬）+ л

+石品№"一出］0，2）■

Если температуру считать линейно изменяющейся по толщине i-ro слоя （см. рис. 2.11）, т. е.

7⑴=7一 +考辛L（/- *）, получим

/伊二 £ 7趣力Z7 {①一也 - "Tт）［?тг （1 -号）（炉’ ~ f霜）+

+ & J+2丿（炉-壮）］+（n-3T）［tЪ" a -号）*

X a严一 e） + 七号歹 ©+3 - f岗）} （1, 2）.

'Эти равенства можно упростить, если при вычислении интегралов （2.143） пренебречь в выражениях для Ях и Н2 изменением / по толщине /-го слоя, приняв t =（厶一丄 + fj/2. Тогда

k

/份=Tьt S 4伊7⑴（I +心菠一"）（炉一咽）（I，2）

И

X"二；户 + （/-7,T）户］（1, 2）.

Пренебрегая здесь членами, содержащими R^ и R^, малыми по сравнению с единицей, можно получить выражения, соответствующие тонкой стенке.

В заключение напомним, что уравнения, приведенные в § 2.3, 2.4, основаны на предположении, что деформация в направлении нормали к начальной поверхности отсутствует, т. е. соответствующие уравнения термоупругости, рассматриваемые в настоящем разделе, не учитывают температурной деформации в этом направлении. Отметим также, что соответствующим заданием коэффициентов жесткости Атп в физических соотношениях можно учесть зависимость механических характеристик и температурных коэффициентов линейного расширения материала от температуры.

Нелинейные уравнения

Представленный выше вывод некоторых вариантов уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние композитных элементов конструкций, не учитывал нелинейных эф-. фектов, в частности, связанных с изменением геометрических параметров конструкции в процессе деформирования. При выводе статических, геометрических и физических соотношений эти параметры соответствовали исходной геометрии конструкции. Однако для решения ряда важных практических задач (например, задач устойчивости и анализа несущей способности сжатых тонкостенных элементов) требуется привлечение геометрически нелинейных соотношений, учитывающих изменение исходных геометрических параметров в процессе нагружения конструкции. Геометрически нелинейной теории оболочек посвящены работы [27; 37, 55, 76], композитные и ортотропные оболочки рассматриваются в работах 114, 28, 32, 38, 83, 94, 97, 103], обзор зарубежных работ представлен в докладе [102]. В настоящем разделе будут построены простейшие нелинейные уравнения, позволяющие учесть основные нелинейные эффекты.

В качестве исходных воспользуемся уравнениями нелинейной теории упругости, приведенными в работе [64]. Предварительно сделаем некоторые замечания. Задачи, рассматриваемые в геометрически нелинейной постановке, учитывающей отклонения геометрических параметров конструкции от исходных, можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести анализ процессов и конструкций, для которых геометрическая нелинейность непосредственно связана с их природой. Например, при расчете трансформируемых конструкций, принимающих окончательную форму в результате деформирования (изгибания, растяжения, раскрытия), определении упругих характеристик чувствительных элементов,измерительных устройств, а также при исследовании процессов формообразования оболочек сложной формы из листовых заготовок простой формы необходимо учитывать изменение геометрических параметров в процессе деформирования. Уравнения, которые будут приведены ниже, не предназначены для решения подобных задач. Они служат в основном для решения задач второй группы, т. е. для анализа напряженно-деформированного состояния несущих элементов конструкций, обладающих, как правило, не только достаточной прочностью, но и высокой жесткостью. Последнее исключает появление больших упругих перемещений, но, к сожалению, не исключает необходимости привлечения нелинейных соотношений, которые, являясь более сложными, чем линейные, позволяют рассматривать важные и уже упоминавшиеся выше задачи устойчивости и йесущей способности композитных элементов. Однако отмеченные особенности задач второй группы позволяют ввести следующие существенные упрощения в исходные нелинейные уравнения.

Мембранные жесткости рационально спроектированных композитных конструкций определяются в основном жесткостью волокон, а их предельные деформации для существукяцих композитов лежат в диапазоне 0,005—0,025. Таким образом, нелинейными членами, содержащими квадраты и произведения малых деформаций Ва, ер, еаР, можно пренебречь по сравнению с линейными.

В нелинейные соотношения теории упругости помимо деформаций входят нелинейные члены, содержащие углы поворота бесконечно малого элемента (показанного, например, на рис. 2.1) относительно осей а, 0, у—Qa, С^, С?. В силу уже отмечавшейся высокой мембранной жесткости оболочки представляется естественным отбросить нелинейные члены, содержащие угол поворота относительно нормали к начальной поверхности й?.

Как уже отмечалось, трансверсальные деформаций играют в обсуждаемой теории второстепенную роль. При выводе основных уравнений в § 2.3 нормальная деформация в направлении оси у принималась равной нулю, а функции деформаций межслоевого сдвига осреднялись по толщине материала. Учитывая второстепенный характер этих деформаций, представляется целесообразным сохранить для них прежние формулы, соответствующие линейному приближению.

Ввиду того, что осреднение деформаций межслоевого сдвига по толщине, т. е. введение функций фа (а, Р) и ^ (а, 0) лишь уточняет напряженно-деформированное состояние по отношению к решениям, основанным на классических теориях изгиба балок, пластин и оболочек, где эти деформации полагаются равными нулю, можно ограничиться этим уточнением только в основных, т. е. в линейных членах, а в нелинейных членах принять фа 三 0, S三0.

■ В нелинейной теории упругости важную роль играют комбинации малых деформаций е (2.10) и углов поворота

^« ="^7 [靑(〃8“J — *(〃2“в)] °'2 3) (2.144)

бесконечно малого элемента относительно осей а, 0, у. Введем для этих комбинаций следующие обозначения:

}е(хв +% = %% т； "у еар — £2Т = Хар, Y (1,2,3), (2.145) которые, очевидно, симметричны по первым двум индексам, т. е. Лар» V = Лза,т； 入 аб, т = %ба, т・ Тогда компоненты конечных деформаций выражаются, следующим образом:

△а = Са 十"5" ($ + Ла₽» у + 必т，6)(1, 2, 3)； (2.146)

Аар = Соф + ВсЛаВ, у + ^рЛар, у + 入ау, 6小丫, а (1,2, 3).

На основании гипотез 1 и 2 здесь можно отбросить члены, включающие 无，口硝 у,入硝 у, и переписать равенства (2.146) в виде

Да = еа + -у ^ау, з； А«р = М + A-aV1 pT]Pv，a (1,2). (2.147)

Кроме того, согласно гипотезе 3, для трансверсальных деформаций сохраняются линейные соотношения, т. е. можно принять

А? = ev; Aav = eav (I, 2).(2.148)

Поскольку трансверсальные деформации (2.148) определяются линейными выражениями (2.10), справедливы и кинематические соотношения (2.73), (2.74), полученные в § 2.3, т. е.

Ua = «.+ Y0a； % = W +号一六尊 (1, 2), (2.149) а также выражения для обобщенных деформаций е и х (2.76), (2.77). Преобразуя с помощью равенств (2.149) углы поворота (2.144), выражения (2.145) можно привести к следующему виду:

n 啲 * = "^"(%6 + Y*aB)；九 a也 V = "^ (e 阿 + YК呢)；

%v,в = %； М,В =京％ 一 ％；(2.150)

П仙,a = "]^耽一岷九仙,a = 87

В соответствии с гипотезой 4 пренебрежем здесь осредненными деформациями поперечного сдвига, приняв 屮& = ° н 屮§ = 0 как в равенствах (2.150), так и в углах поворота 0a, 0Р (2.149). Тогда получим

Пау, В ^ 九ау, В = %；九By, а = :~"Ив* а = 3，(2.I5I)

где

Подставляя (2.151) в равенства (2.147), запишем деформации в виде

А« = %6~|—2" ^® (1，2)； Дар — ^аз + 价^必 (2.153) где в соответствии с (2.75)

ба = -ТГ-(8а + ?Ха) (1,2)；

&4(2154)

%b -不工(800+Y翼сф) + 后■(8卽+ Y翼昵)•

Равенства (2.153) являются традиционной формой записи нелинейных геометрических соотношений» учитывающих большие

Рис. 2.15. Прогибы балки со свободно (а) и неподвижно (б) опертыми концами .Рис. 2.15. Прогибы балки со свободно (а) и неподвижно (б) опертыми концами .Рис. 2.14. Перемещения элемента упругой линии балки

Рис. 2.15. Прогибы балки со свободно (а) и неподвижно (б) опертыми концами .

Рис. 2.15. Прогибы балки со свободно (а) и неподвижно (б) опертыми концами .

прогибы балки, пластины или оболочки. Для иллюстрации их физического смысла рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента упругой линии стержня, показанного на рис. 2.14. Из равенств (2.153), (2.152) при А” = Н* = I, A1f 8 и y = О имеем

4 = % + ；(需)• (2.155)

Пусть теперь в результате действия сил ^ и Q элемент оси стержня АВ занял положение А^, Тогда удлинение этого элемента будет

Аа=/^・(2.156)

Но из рис. 2.14 следует, что

ds= У (-g-)2da24-da?; tfai = (l+警)da. (2.157)

Деформацию элемента без учета его перемещения w, вызван-, ного изгибом, определяют традиционным выражением

% = ―•

' Тогда согласно (2.157) ‘

加1 = (1 + %)加;

(2.158)(2.158)…/厨+ 1+2“ +爵.

(2.158)

(2.158)

Отсюда, используя формулы для приближенного вычисления корня, найдем

曲=[1+8e+}或+}(窘)[出

и с помощью равенства (2.156) получим

△<» = % 4"4"8?/+；(雾у.(2.159)

Если теперь считать, что деформация 8а является малой, н пренебречь членом, включающим 吐,получим соотношение (2.155), вытекающее из (2.153). Из вывода равенства (2.159) следует, что

квадрат производной от прогиба (или квадрат угла поворота элемента АгВг по отношению к АВ) определяет изменение длины daj за счет изгиба стержня. Очевидно, что это изменение является существенным, если производная от прогиба достаточно велика.

В качестве примера рассмотрим балку, показанную на рис. 2.15, прогиб которой

з = ~^ 8 一 2/аЗ + Ра), где D — изгибная жесткость.

Введем следующие обозначения:

6 = jANa; A =4f ^)2<ia-Оо

Тогда, интегрируя равенство (2.155), получим

6 = eJ+ А(2.160)

Согласно соотношениям (2.156) и (2.158), 6 определяет изменение длины упругой оси балки, а еа/ — изменение длины ее проекции на ось а (см. рис. 2.15). Исследуем теперь случаи закрепления, показанные на рис. 2.15, а, 6. Если один из концов балки может свободно смещаться (рис. 2.15, а), длина ее упругой оси при изгибе не изменяется, т. е. 6 = 0, и из (2.160) имеем

%/ = —А = —1,32-1 О'4= -0,78-—,

где wm = w (а = //2) — максимальный прогиб.

Таким образом, относительное смещение конца балки (А//)= =0,78 (wm/l)2 и при wm = 0,1/ оно составляет 0,78 %, т. е. даже значительный прогиб не вносит заметных изменений в основной геометрический параметр. Если оба конца балки закреплены (рис. 2.15, 6), то в равенстве (2.160) следует принять % = 0, и оно определяет относительное удлинение оси (б//) = 0,78 (吗/产, которое вызывает соответствующее осевое усилие. При wm = 0tll дополнительная (к изгибу) упругая деформация составляет 0,78 %, т. е. имеет достаточно большое значение. При уменьшении прогиба это значение быстро убывает, и при малых прогибах (меньших толщины балки) упругую деформацию уже обычно не учитывают.

Обобщая полученные результаты, можно отметить, что нелинейные члены(0a,(о| и (оа(ор, входящие в геометрические соотношения (2.153), являются существенными при больших прогибах и специальных условиях закрепления. Исключая пока из рассмотрения эти специальные случаи (они будут особо оговариваться в дальнейшем) и ограничиваясь построением уравнений, описывающих жесткие несущие конструкции, не допускающие больших перемещений, пренебрежем в соотношениях (2.153) нелинейными членами по сравнению с линейными и представим их в виде

Аа = % (1,2)； Аар = %В・(2.161)

Таким образом, геометрические соотношения оказываются линейными, а следовательно, остаются справедливыми все основанные на них результаты, полученные в § 2.3. В частности, вводя усилия и моменты по формулам (2.79) и учитывая равенства (2.154), (2.161), можно получить физические соотношения в форме (2.80), (2.86).

Рассмотрим уравнения равновесия, которые в линейной теории записывались в виде (2.5). Уравнения (2.5) являются условиями равновесия бесконечно малого криволинейного параллелепипеда, выделенного из тела и показанного на рис. 22 В результате деформации с этим параллелепипедом произойдут следующие изменения. Во-первых, он сместится и повернется относительно начального положения; во-вторых, его ребра изменят свою длину, а углы между ними будут отличаться от прямых. Однако выше уже было принято, что все относительные деформации» как линейные» так и сдвиговые, малы по сравнению с единицей, т. е. можно считать, что в результате деформирования форма и размеры криволинейного параллелепипеда не изменяются. Тогда уравнения его равновесия в проекциях на оси координат а, 0, у, связанные с исходной поверхностью приведения, имеют вид [64]

La (s) + %Н*Н%Н* - О (1, 2, 3).(2.162)

Операторы La (s) определяют из равенств (2.6), в которых напряжения опт следует заменить на некоторые значения & связанные сайт следующим образом:

Sa = Oa (1 + %) + %麻а& у + ХуПау, 6 (1,2, 3)；

$оЗ = %6 (1 + “) +。。％ 自 У + Тау^Эьа (1,2,3)；(2.163)

S昵=Tap (1 + %) + ОрХаб, V + ПуПау, 6 (1,2, 3).

Вводя в равенствах (2.163) упрощения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе соотношений (2.153) из (2.147), получим

$а = % + %у8а；^а0 = ^аЗ + %開60，2)；

%у ^ %у — %3а — %圈6； S?a = %у + 叫@а (h 2)； (2.164)

% = % — %y(0a —叮 y<°B・

Сделаем теперь последнее предположение, существенно упрощающее результат. При подстановке (2.164) в уравнения (2.162) последние будут включать два вида нелинейных членов — произведения производных от напряжений на углы поворота со и произведения напряжений на производные от углов поворота. Но при переходе от равенств (2.153) к (2.161) были отброшены нелинейные члены, включающие углы поворота, поскольку было принято, что эти углы малы. Естественно пренебречь такими членами н в уравнениях равновесия, сохранив только те из нелинейных состав- ляющих# которые содержат производные от углов поворота.

97974 Васвльев В. В.

97

97

Отметим, что малость углов поворота, очевидно, ие влечет за собой малости их производных, которые могут оказаться значительными.

Итак, подставляя (2.164) в уравнения (2.162) и отбрасывая отмеченные выше малые члены, получим1

店)(а) + ”2Тау 欝 + Hl4v 嘗 + 修丛儿=0 (1, 2);

屮 9) - "20a "^ - Тав ("2+ % "^)-,

一 ％“ 芻 + H、H*F、= 0.(2.165)

Здесь использовано свойство парности касательных напряжений и учтено, что Я8 = 1. Операторы L определяют выражениями (2.90), соответствующими линейным уравнениям (2.89).

Дальнейшее преобразование уравнений (2.165) осуществляют по схеме, описанной в § 2.6 и реализоваииой там применительно к линейным уравнениям. В частности, интегрирование их по у дает три уравнения в проекциях иа оси а, 0, у, а умножение первых двух уравнений (2.165) на у и интегрирование по у позволяют записать уравнения моментов. Окончательно получим:

7 (М + 钾 Qa + 4Qa 芻 + 4Qp 畸 + J = 0 (1,2)；

La (М) - А^а + /Па = о (1, 2);

备(4Qa) + 靑(4Qb) - 44 ［必(* + + 欝)+

+ % *欝+ n眦片崎+必(*+片謂力+3 = 0.

(2.166)

Здесь оператор L определяют равенством (2.98). Заметим, что при выводе уравнений моментов были отброшены иелииейиые члены, включающие интегралы от поперечных касательных напряжений, которые с учетом осреднения последних допускают следующую оценку, обосновывающую обсуждаемое упрощение:

л—«‘

J %"打班=4Qa 传一е) .(2.167)

Действительно, при принятом законе осреднения Tav интеграл (2.167) обращается в нуль при е = Л/2, причем закон осреднения всегда можно подобрать так, что этот интеграл будет равен нулю. Очевидно, в рассматриваемой теории малые члены, значения которых определяются только способом осреднения касательных напряжений по толщине, должны быть отброшены,.

Таким образом, уравнения равновесия рассматриваемой нелинейной теории определяются равенствами (2.166), а физические (2.109) и геометрические (2.110) соотношения остаются такими же9 98

как в линейной теории. Полученная система уравнений отличается от соответствующей линейной системы только тем, что в уравнениях равновесия учитывается изменение радиусов кривизны ^процессе деформирования. Рассматриваются жесткие элементы, у которых градиенты перемещений малы по сравнению с единицей.

Получим вариационное уравнение, обобщающее уравнение (2.III). Вариация потенциальной энергии в нелинейной теории упругости имеет вид [64]

6Uh = j j j & 6% + sp 6©B + Sy &y + SaB 6%& у + $昵 S^ap, у +

+ Say 6九ay, в + Sya 6%也 p + s^ 6т|® ° + svp 6九盹 a) H*H% da d0 d»

Сюда можно подставить упрощенные выражения для s (2.164), бдйако геометрические соотношения для т) н А, следует использовать полные» т. е. в форме (2.150). В результате получим

6力=6U + 60,

где 6U — вариация потенциальной энергии деформации, которая соответствует линейной теории и определяется равенством (2.112), а

6D = J J J 卜a& &а + %3р 必—(%宀 + %®₽) &у +

4A

+ %/°6《^" (6gop + Y бКор) + %y(Oa w^~ (6%x + Y 6k昵)—

—9asa + Taptop) 6 ("^" *a —九)一(^^p + %咿3 XX 6 (»^~ 屯—ej + % (<oa 60a + cop 60p)J H^H^ da dp dy.

Здесь следует принять в соответствии с общей схемой построения двумерной теории % = 0 и учесть, во-первых, гипотезы, введенные при формулировке нелинейной задачи; во-вторых, малость членов типа (2.167), и, в-третьих, то, что при выводе уравнений (2.166) удерживались только те нелинейные члены, которые включают производные от углов поворота. С учетом изложенного после иитегрироваиия по у окончательно получим

б。= j j (Qa^a 6% + Qb(Ob 6вР + Qatop fiBag 十、咿。6&昵—

—N'aWa — Na^S^a — N^n^ бш^ — JVp(0p бёр) Л1Лв da dp, ,(2.168)

где

%=击急；% =*裏； % = *霽(1，2).

Заметим, что коль скоро при выводе уравнений (2.166) члены вида 4& (dQo/da) % Qa 04庇)<oa отбрасывались по сравнению

c 4zQa (d®a/da), при осуществлении варьирования в (2.168) следует ввести соответствующие упрсицеиия, например,

J QaS бёсЛ^г da = [QaSAz 6〃盒 一 j 盲(Qa%%) 6" da as a*a*

a*

Q [СаСОаЛд 6〃】：：一J Qa ^*' 4 6〃 da.

%

Tаким образом, вариационное уравнение4, соответствующее принципу Лагранжа и обобщающее соответствующий результат линейной теории (2Л11), может быть записано следующим образом:

6Пе = 6U + 6U — 64(2.169)

Здесь 6U и 6Л — вариации энергии и работы, определяемые соотношениями (2.114), (2.115), а 6U имеет форму (2.168). Минимизация функционала полной энергии позволяет получить нелинейные ^уравнения равновесия (2.166) и следующие граничные условия:

при a — const«

(Mx + Qa%) 6〃 = 0； (NaB + QaSe)加=0； Ma 66a = 0；

Afap 60p = 0; (Qa — Na% — Arap(Op) 6w = 0;

при В = constr

(No + Qp(Op) So = 0;(AT昵 + Qpco^) 6〃 — 0;Alp 60p = 0;

■^Pa бе。= 0； (Qb — "в^В — N昵0)a) 6@ = 0.

В заключение рассмотрим особенности расчета гибких элементов, для которых нелинейные члены в геометрических соотношениях (2.153) являются существенными. Такие элементы, как правило, обладают малой относительной толщиной, и, удерживая нелинейные члены в (2.153), для них можно ввести другое упрощение —пренебречь изменением радиусов кривизны по толщине, приняв Hi 整 4H Н& « 4&・ Тогда основная система уравнений может быть записана следующим образом.

Уравнения равновесия определяются равенствами (2.166), в которых

b—еft—с2aB = J %8班；Ma= J %?班；b—еft—с2aB = J %8班；Ma= J %?班；ft—е

b—еft—с

2aB = J %8班；Ma= J %?班；

b—еft—с

2aB = J %8班；Ma= J %?班；

m,= J "班；

МсфМсф%肝即（1, 2）.%肝即（1, 2）.

Мсф

Мсф

%肝即（1, 2）.

%肝即（1, 2）.

Физические соотношения (2.80) принимают вид

N“ = В/а + В就в + СцК。+ Q2KB (1, 2)；

2aB ="昵=В 就 оф + Сзз%ф；

Ма = &ih + 匕12矗 + ^ll^a +。12KB (1, 2)；(2.170)

Мсф — Мра = Сз&В +。33乂祁；

Qa == Ka% (1，2), где

£а = ©а Н—g■"呢(1, 2)； Re =跄日 + &呢 + ^^P-(2.171)

Компоненты деформации 8 и х определяются равенствами (2.76), (2.77); углы поворота 6 н со — формулами (2.149), (2.152), а коэффициенты жесткости В, С, D, К — соотношениями (2.116), (2.123), (2.124).

Распростраиеииой расчетной моделью является тонкая без- момеитиая оболочка, воспринимающая только мембранные усилия ЛГа, ЛГр, ЛГар. Уравнения безмомеитиой теории можно получить, если принять изгибные (D) и смешанные (С) коэффициенты жесткости равными нулю. В результате из (2.170) получим Ма = =Л1р = Мае = 0, а уравнения равновесия (2.166) при та = =/Пв = 0 дают Qa = Qp = 0 и принимают следующий вид:

%(ЛГ) + /а=.О (1, 2)；

м(*++符)(六翁+击崎)++ “B(* + +^) = ^V

Если градиенты перемещений малы по сравнению с единицей, можно воспользоваться линейными геометрическими соотношениями h = % (1, 2), he = 8сф + %а н записать равенства (2.170) в виде

Мх = Ви% + В12&з (1, 2);

NaB = N^= в 33(8(хр + 8ра)*

Существенно, что за счет иелииейиых членов, входящих в уравнение равновесия, полученная система имеет шестой порядок по переменным а н 0. В результате оиа позволяет (в отличие от линейной системы, имеющей, как известно, четвертый порядок) записывать граничные условия ие только для таигеициальиых перемещений и и и, ио и для прогиба w. Эти условия, например для края а = const, имеют следующий вид:

АГа 6〃 = 0； АГсф би = 0； (ЛГа^а + “祁岬)6切=0.

Для решения полученных иелииейиых уравиеиий может быть использован итерационный процесс последовательного уточнения усилий, входящих в нелинейные члены. Непосредственные рас-

101

четы показывают, что для получения удовлетворительных результатов достаточно уже первого приближения, при построении которого усилия, входящие в нелинейные члены, задают в соответствии с решением линейной задачи.

Линеаризованные уравнения устойчивости

Как известно, стержневые и тонкостенные элементы конструкций при нагружении сжимающими силами могут терять устойчивость. Например, прямолинейный стержень, сжатый осевой силой, при достижении этой силой некоторого значения, называемого критическим, искривляется и при дальнейшем возрастании силы практически перестает работать. Г^ямоугольная плоская пластина при сжатии до определенного уровня приобретает криволинейную форму и сопротивляется дальнейшему нагружению значительно хуже, чем плоская. Определение критических нагрузок, при которых возможна потеря устойчивости стержневых и тонкостенных элементов, является важной практической задачей применительно к конструкциям как из традиционных, так и композиционных материалов.

Наиболее распространенным критерием, дакмцим конструктивное определение критической нагрузки для покоящейся упругой системы, является статический критерий Эйлера. Согласно этому критерию, под критическим понимается наименьшее значение нагрузки, при котором кроме исходного состояния равновесия системы существует близкое к нему возмущенное состояние. Таким образом, при одной и той же нагрузке в критическом состоянии существуют две формы равновесия — исходная и возмущенная. Отметим, что эта ситуация вполне аналогична ситуации, возникающей при интуитивном подходе к устойчивости: для того, чтобы выявить, устойчиво ли равновесие вызывающего сомнение в этом отношении сооружения, необходймо приложить к нему дополнительное воздействие (т. е. создать возмущенное состояние) и посмотреть, как оно будет реагировать на это воздействие. В критерии предполагается, что возмущенное состояние является близким к исходному, т. е. возмущения считаются малыми. Эта оговорка является существенной, поскольку система, ведущая себя как устойчивая при слабом дополнительном воздействии, может утратить это свойство при сильном воздействии. Заметим, что статический критерий устанавливает лишь нагрузку, при которой оказываются возможными две формы равновесия, не давая ответа на вопрос о том, какая из них устойчива. Однако в упругих системах, монотонно деформирующихся в процессе ■ возрастания нагрузки, появление смежной формы равновесия практически всегда свидетельствует о неустойчивости исходной формы. Более подробное обсуждение проблемы устойчивости упругих систем представлено в работе [5]. Вопросы сведения 102

трехмерных уравнений к двумерным в задачах устойчивости рассматриваются в работе [13].

Итак, рассмотрим элемент конструкции, находящийся под действием заданных нагрузок в некотором исходном или так называемом докритическом состоянии. Параметры, относящиеся к этому состоянию, будем отмечать верхним индексом 0. Будем также считать, что перемещения элемента настолько малы, что он может быть описаи системой линейных уравнений, приведенных в § 2.4. Оперируя для сокращения записи только первыми уравнениями систем (2.108), (2.109), (2.110), для исходного состояния получим:

4(№)+絵■(?% + % = 0;

Na = Ви* + В12в& + СцХ« 一 &2殲；(2.172)

^7"^ ' A4" ~dp"

Для определенности предположим, что на краях действуют только мембранные усилия, т. е.

при а = const

N^ = —Ta；脏 в =—Тав； М? = 0； Л1»р = 0; Q2 = o； (2.173)

При В — const

終= -&； A^a = -7fJa； М% = 0； М$а=0； Q& = 6Здесь через Т обозначены заданные усилия, а знак минус свиде-тельствует о том, что нормальные усилия являются сжимающими.

Выполнение уравнений (2.172) и условий (2.173) обеспечивает существование исходной формы равновесия. Добавим к исходному состоянию некоторые перемещения и, и, w, т. е. запишем суммарные перемещения в следующем виде:

“с = 〃<» + 〃； ус = ро _|_ р. щ/° = 3 +吼 (2.174)

Сделаем здесь два замечания. Введение возмущений и, и, w является чисто формальным приемом, связанным с тем, что рассматривается идеальная система и идеальные условия нагружения. В реальных условиях всегда существует система малых дополнительных воздействий, которая непрерывно «пробует» исходное состояние на устойчивость. Второе замечание связано с тем, что для анализа возмущенного состояния системы даже при малых возмущениях необходимо использовать уравнения, учитывающие влияние упругих перемещений на форму конструкции. Решение уравнений (2.172) является единственным, и попытка записать их и для возмущенного состояния неизбежно приведет к единственной исходной форме равновесия. Таким образом, следует

■103

воспользоваться геометрически нелинейными уравнениями (2.166), учитывающими изменение геометрии системы, вызванное перемещениями 〃с, Vе, * Согласно результатам, полученным в § 2.8, будем иметь

G (М) + 第 Qa + 4"工警 + 4<й 樂•+丘=О；

醵=81& + 8124+(?1"+&2噓；(2.175)

_ 1 йис I oc dAi 丄 ®°

Соответствующие граничные условия для краев а = const и В = const, нагруженных в соответствии с (2.173) усилиями Та, Т^ Таз，Tg имеют вид:

^ = -Та, ЛГа₽ = -Тар, М& = 0,从訳=О, Q& = 0；

ЛЛЛ (2.176)

^ = —7>, N^ = -Т^ Л^ = 0, М% = 0, Q^ = 0.

Отметим, что поскольку возмущение осуществляется при неизменных условиях нагружения, в равенства (2.172), (2.173) и (2.175), (2.176) входят одни и те же внешние силы.

Подставим в уравнения (2.175) и условия (2.176) суммы типа (2.174) и вычтем из них уравнения (2.172) и условия (2.173), соответствующие исходному состоянию. Учитывая линейность операторов £а,厶街 получим

G W +樂Qa + 4侬要+ Q^欝+ Qa礬+ Qa欝)+ + 4厶噤+Q8欝+Qp缨+ Qb需) =。；

Мх н Вц% + 5iaCp + Сц*а +。12*6；(2.177)

При а = const

Мх = 0, Мф = о, Мх = °, МаЗ = 0, Qa = 0； (2.178) при 0 = const

М = 0, ^uв = 0, Л4р = 0, М阿=0, Qe = O.

Из равенств (2.177) следует, что физические и геометрические соотношения включают члены, соответствующие возмущению, а уравнения равновесия включают также члены, соответствующие 104

исходному, докритическому состоянию системы. Эти последние уравнения можно существенно упростить. Действительно, члены типа Qa (d叫da) и Qa (d明da) могут быть отброшены, поскольку они учитывают изменение формы конструкции в исходном состоянии, а это изменение, как уже было оговорено, является несущественным. Кроме того, можно пренебречь нелинейными членами вида Qa (^(Оа/Лх), так как возмущения считаются малыми. Таким образом, в уравнениях равновесия из нелинейных членов остаются члены вида QS (5(oa/5a)； т. е. произведения усилий исходного состояния на производные от углов поворота, соответствующих возмущению. Поскольку усилия исходного состояния удовлетворяют уравнениям (2.172) и являются известными, уравнения, получаемые в результате, оказываются линейными относительно усилий, деформаций и перемещений, соответствующих возмущению. Процесс их получения, связанный с отбрасыванием малых произведений вида Qa (д^да), называется линеаризацией, соответственно и получаемые в результате уравнения называются линеаризованными уравнениями устойчивости. Тем самым подчеркивается, что, с одной стороны, они являются линейными, а с другой — что они могут быть получены только из нелинейных уравнений. Приведем полную систему линеаризованных уравнений устойчивости.

Уравнения равновесия

4(М+"^<2а + 42(Й^+4&^=0 (1,2);L(M)-44Qa = 0 (1, 2)；

負GbQa) +备(AQb) - A4 (眷 + 鲁 +贬靑芻 +

+%六爵+蝠士幣+居±謂)=0.(2.179)

Физические соотношения

Nа = 811% 十瓦2卵 + СцХа + &2KB (1,2);

NaR = Вззвар + ^!呼& + Сзз%ар + С飘0а (1, 2)；

(2.180)(2.180)ма = gн8a + &2gB + 011乂06 +。12冲(1, 2)；Мсф = Сзз8аЗ + Сзз8ра +。椒сф +。枭阿(1, 2)；Qa = Ka2a (U 2).

(2.180)

(2.180)

Геометрические соотношения

(1， 2),(1， 2),1 du t и 0Al ! v

(1， 2),

(1， 2),

8a =K"右十 KTTF"十瓦

1 dv 8a₽=

_1 Эра 丄 eв 弘1

…a+奇T警，

Уравнения (2.179)—(2.181) являются однородными, т. е. в совокупности с граничными условиями (2.178) всегда допускают нулевое решение типа 〃 = 6, и = 0,⑫ = 0, соответствующее исходному положению равновесия системы. Если при некоторых значениях усилий Qa, ^а, ^аз (1, 2) существует и ненулевое решение, то нагрузка, при которой впервые реализуются эти усилия, согласно критерию Эйлера соответствует критической. Отметим» что отсутствие такого решения свидетельствует о невозможности статической формы потери устойчивости. При этом не исключается потеря устойчивости в результате перехода системы в движение; однако такие случаи являются нетипичными для упругих конструкций и возникают только при специальных условиях нагружения, которые далее рассматриваться не будут.

В заключение приведем энергетический функционал, минимизация которого позволяет получить линеаризованные уравнения устойчивости (2.179). Рассмотрим возмущенное состояние, определяемое суммами типа (2.174), и запишем вариацию полной энергии, используя в качестве возможных перемещений возмущения и, V. w сохраняя неизменными внешние силы. Тогда согласно (2.169), а также (2.115), (2.114) и (2.168)

6Пе = 6U + 6D — 64 = 0,(2.182)

где 6U = J J [(Л^й + Л^а) беа + . . .jA^dad^

60 = J J [(Q« + Qa) (4 +(оа) 6ёа+...] 4 & da 邙；

64 = J J 仇6〃 + ….)AxA^dad^.

Ввиду того, что исходное состояние является равновесным, равенство (2.182) для него, естественно, справедливо, т. е.

6П® = )][(^б8а+...) + (О^б4бва+...)-

一鱼М+…)]44dad0 =0.(2.183)

Преобразуем теперь выражение для 6U в (2.182), учитывая упрощения, осуществленные выше при линеаризации уравнений (2.177). В частности, отбросим члены, включающие произведения типа Qa^a, так как они учитывают изменение формы поверхности в исходном состоянии» а это изменение считается несущественным, и члены типа Qa(oa, являющиеся малыми, поскольку возмущения считаются малыми. Вычитая из полученного в результате этих упрощений уравнения (2.182) равенство (2.183), окончательно будем иметь

дПе = ди +Ьй = 0t(2.Д84)

где 6U определяется выражением (2.114), и в соответствии с (2.168)

6U = J J(Q%a 6% + Qp<Og б^в + Q^>B 6%0 + Q^a 呢肌一

-N^8a 6而a - 2^6(6卜6而a - 23&8a 6而0 - 2&80 6而0)4142 ^^ d0.

При осуществлении варьирования здесь необходимо, ввести дополнительные упрощения, обсуждавшиеся выше применительно к соотношению (2.168). В результате получим

6°J J [(4№^_ + 4@嚮)包 +(4Q；* +

+ 4Q2幣)M _(4配需+ Л2^₽爵+a瞇。甯+

+ 4関^")呵 dad0. •(2.185)

Вариационное уравнение (2.184) с учетом (2.185) эквивалентно уравнениям (2.179).

Уравнения динамики

Согласно принципу Даламбера, уравнения движения можно получить из уравнений равновесия, если добавить к ним инерционные члены. Предположим, что на рассматриваемую конструкцию действуют силы, зависящие от времени f. Тогда в уравнениях (2.89) объемные силы 尸&, Fp, Fv следует заменить на 尸& + FS> 尸6 + 尸3 尸丫 + 尸;，где инерционные составляющие имеют вид

片=一p号浮；"=一Р"^"；尸；=一Р黑'

а р — плотность материала. Подставляя сюда перемещения (2.73) и учитывая, что и^ = w (а, 0), получим

Fa = —р (-^Г 4- Т-^Г") а，2)；4 = _р^".

Дальнейшие преобразования по схеме, опйсанной в § 2.3, позволяют записать следующие уравнения движения, которые в задачах Динамики заменяют уравнения равновесия (2.108):

4 (") + -^ Qa - 414 (舔察 + & 請)+ % = 0 (1,2)；La(M) — 414Qa — 414 (Cp"^ + °Р"^^) +加& =。(1，2)；备(4Qa) + *(4@-4A(*■ +眷)一

-4148P+ 厶=0.

Физические и геометрические соотношения (2.109), (2.110) остаются без изменения.

Инерционные свойства характеризуются следующими коэффициентами:

где

4й =忐 J HiH^dy (r = 0, 1, 2).

Вводя координату t— у + e (см. рис. 2.11), получим

Bp = /^0,； Ср = I"岬;Рр-^-^Ч^, (2.186) где

/* =笈 J "1^?或(г = 0, 1, 2).

Так же как и в § 2.5, в общем случае, когда нельзя пренебречь изменением коэффициентов Ламе Яь 也 по толщине стенки, примем е = 0. Тогда для слоистого материала можно записать следующие соотношения, аналогичные (2.118), (2.119):

Вр = /* Ср = /*& = /俨，

где

，=Z Р，[*Д + 岩(* + *)(/严-^)+

+ еЬ西們-“#]•(2J87)

Для однородного по толщине материала (при 力 = 0,友 = 儿 ti = 0, i N 〃)найдем

/f)= p"+] ГT^T + r ；2 (亲 + T") + 〃4■点 R R ].

Если коэффициенты Нъ Яв считать постоянными в пределах t-го слоя, выражение (2Л87) упрощается и принимает вид ^^^^^^"М^) (1 + -T)(炉」d»

И наконец, если пренебречь изменением % 吊 по толщине стенки, то в равенствах (2.186) можно принять

/「^用2m伊‘-壮)

Особенности описания подкрепленных, трехслойных и сетчатых конструкций

Композитные материалы часто используют в подкрепленных тонкостенных конструкциях для изготовления слоистой обшивки или усиления элементов подкрепляющего набора (рис. 2.16). Перспективная конструктивная схема подкрепленной конструк- 108

Рис. 2.16. Элемент подкрепленной композитной панели

ции представляет собой систему из совместно отформованных и связанных без использования дополнительных механических элементов (заклепок, винтов и т. д.) листов обшивки и тонкостенных профилей. Применение такой конструктивной схемы позволяет

получать заметный выигрыш.

в массе (порядка 20 % при замене алюминиевых сплавов на

углепластик) при сохранении традиционных методов проектиро

вания и сборки.

Если элементы подкрепляющего набора одинаковы и часто расположены, их можно приближенно заменить системой условных сплошных слоев (рис. 2.17). При этом естественно предположить, что ребра работают только в осевом направлении. Тогда остаются в силе выражения для мембранных, смешанных и изгиб- ных жесткостей слоистого материала, полученные в § 2.5. При

этом в членах, которые соответствуют условным слоям, моделирующим отдельные элементы ребер (полки, стенки и т. д.)» не. будут фигурировать жесткости с индексами 12, 21, 33 (они соответствуют эффекту Пуассона и сдвигу в плоскости обшивки), а в остальных членах упругие характеристики элементов ребер умножаются на редукционные коэффициенты, равные отношениям размеров этих элементов к расстоянию между ребрами. Например, пусть ось двутаврового профиля, показанного на рис. 2.18, направлена вдоль оси а. Тогда в соотношениях (2.120), (2.121)

следует принять:

明T G⑴加; 喲=G⑵加; 喇=G⑶b/a明T G⑴加; 喲=G⑵加; 喇=G⑶b/a0 V f V A41p = Е⑴d/a,

明T G⑴加; 喲=G⑵加; 喇=G⑶b/a

明T G⑴加; 喲=G⑵加; 喇=G⑶b/a

А v f V 勾A^ = E⑵c/a,

3). Через Е^ и G⑴ обозна- сдвига соответствующих эле-3). Через Е^ и G⑴ обозна- сдвига соответствующих эле-Рис. 2.18. Геометрические метры обшнвки и ребраРис. 2.18. Геометрические метры обшнвки и ребрапара-пара-и A^ = A^ = A^ = 0(i = 1, 2, чены модуль упругости и модуль ментов ребра. Если полки ребра сами являются неоднородными по толщине и слоистыми, число

3). Через Е^ и G⑴ обозна- сдвига соответствующих эле-

3). Через Е^ и G⑴ обозна- сдвига соответствующих эле-

Рис. 2.18. Геометрические метры обшнвки и ребра

Рис. 2.18. Геометрические метры обшнвки и ребра

пара-

пара-

」「¥平力 a)S)

Рис. 2.17. Замена подкрепленной системы

(а) условной слоистой системой (б)

Рис. 2.19. Элемент трехслойиой навели с композитными несущими слоями и сотовым заполнителем

11*Н1тишшшш1№1иип;11*Н1тишшшш1№1иип;условных слоев, соответствующих этому ребру, может быть увеличено.

11*Н1тишшшш1№1иип;

11*Н1тишшшш1№1иип;

Таким образом, подкрепленная конструкция приводится к условной гладкой, а по найденным деформациям последней с помощью закона Гука для элементов набора могут быть определены действующие в них напряжения. Отметим, что такое приведение может быть осуществлено только для регулярно подкрепленных систем. Если элементы набора неодинаковы или расположены редко, необходимо решать задачу о сопряжении отдельных ребер между собой и с обшивкой 包 18, 43].

Широкое применение в настоящее время находят трехслойные элементы конструкций, образованные из тонких несущих слоев и легкого заполнителя (рис. 2.19). Эффективность трехслойных конструкций можно проиллюстрировать следующими простыми оценками. Момент инерции стенкн с толщиной А равен Л3/12, а масса единицы поверхности — pft. Если теперь два листа с толщиной h/2 каждый расположить на расстоянии Н и соединить заполнителем с малой плотностью р0, то при Н》力 получим момент инерции Л№/4 и массу рЛ + р0Н・ &*оода следует, что, например, при h = 0,1 Я, р0 = 6」р момент инерции возрастает в 300 раз, а масса всего в 2 раза. Заметим, что реальный заполнитель обладает сравнительно низкой сдвиговой жесткостью, что снижает фактический выигрыш в изгибной жесткости трехслойной стенки, однако получаемый результат вполне компенсирует усложнение технологии при замене гладких и подкрепленных панелей трехслойными. Отмеченные технологические трудности связаны в основном с необходимостью точного обеспечения зазора между несущими слоями. Они характерны для панелей одинарной и двойной кривизны с металлическими слоями и исчезают при переходе на композитные слои, обладающие в состоянии переработки высокой деформативностью.

Типовой технологический процесс изготовления трехсложных конструкций с композитными несущими слоями предусматривает намотку или выкладку внутреннего несущего слоя, установку на него заранее подготовленного сотового заполнителя или блоков пенопласта, намотку или выкладку наружного несущего слоя и последующее отверждение композита. Сочетание хорошей технологичности и прочности композитов с высокой изгибной жесткостью, характерной для трехслойной стенки, определяет широкие перспективы применения трехслойных элементов с композитными несущими слоями в различных областях техники.

Стп = /тп — ^^mn>Стп = /тп — ^^mn>Dmn = I^-2eI^n + ^I^\Dmn = I^-2eI^n + ^I^\

Стп = /тп — ^^mn>

Стп = /тп — ^^mn>

Dmn = I^-2eI^n + ^I^\

Dmn = I^-2eI^n + ^I^\

Рис. 2.20. Распределения перемещений по толщине трехслойной стенки (а), соответствующие гипотезам прямой (б) и ломаной (в) линий

Отметим, что полученные в § 2.3 уравнения могут быть распространены на трехслойные конструкции с некоторыми оговорками. Дело в том, что при их выводе осуществлялось осреднение деформаций поперечного сдвига по толщине, которое привело к линейному распределению перемещений по нормальной координате (2.73). Такое распределение, соответствующее так называемой гипотезе прямой линии (рис. 2.20, б), достаточно хорошо отражает реальное деформированное состояние тонкостенных слоистых элементов, если различие в трансверсальной сдвиговой жесткости отдельных слоев не слишком велико. Однако в трехслойных системах модули сдвига несущих слоев и заполнителя могут отличаться на несколько порядков, и для них более естественной является гипотеза ломаной линии, приводящая, с одной стороны, к более реалистическому распределению перемещений (рис. 2.20, в), а с другой — существенно повышающая порядок системы уравнений [33]. Различие между результатами, основанными на гипотезах прямой и ломаной линии, уменьшается при уменьшении толщины и модуля поперечного сдвига несущих слоев. Как показывают расчеты, для композитных несущих слоев, толщина которых, как правило, мала, а модуль сдвига значительно меньше соответствующей характеристики металлических слоев, использование более простых соотношений, соответствующих гипотезе прямой линии, позволяет получить удовлетворительные результаты. Отметим, что теория композитных трехслойных пластин и оболочек, основанная на этой гипотезе, изложена в книге [56].

Коэффициенты жесткости трехслойной стенки получаются из общих соотношений, приведенных в § 2.5, если пренебречь влиянием заполнителя на усилия и моменты с индексами а н § н влиянием несущих слоев на деформации сдвига с индексами а? и При этом в соотношениях § 2.5 для заполнителя следует принять Атп = 0 (тл = 11, 12, 22, 33), а для несущих слоев Gav -> оо, Gpv -> оо. Например, для тонкой стенки, геометрические параметры которой приведены на рис. 2.20, а, равенства (2.116), (2.123), (2.124) принимают следующий вид:

加=4•口翩屮）+層（4+一寸）］；

Ka = MG 图《2 — 幻；& = MG%)/(f2 — 幻・

Рис. 2.21. Композитные панель (а), стержень (б) и оболочка (s) сетчатой структуры

Или через толщины слоев (см. рис. 2.20, а):

偉=第加+据芻;

/Щ = g [^4тпЛ? + 4^Лз (也з + 2Л1 + 2Лз)1；

/用=у MmM? + 4%3 [з 他 + Л2)2 + Лз(Лз + ЗЛ1 + ЗЛ2)]｝；

Ka=**G^; & = *■(?肾.

Увеличения изгибнод жесткости стеики можно добиться также при использовании сетчатой структуры, показанной на рис. 2.21 [22, 72, 100L Такая структура образуется способами выкладки или иамотки, при которых в отличие от соответствующих традиционных процессов лента следующего слоя укладывается на ленту предыдущего слоя, а не рядом с ней. Рассматриваемые структуры могут быть использованы для образования сетчатых элементов конструкций или в качестве несущего заполнителя в слоистых системах в комбинации с одной или двумя обшивками.

Ввиду того, что сетчатая структура представляет собой регулярную систему часто расположенных ребер, естественно попытаться заменить ее условным сплошным слоем, обладающим некоторыми эффективными жесткостями. С этой целью могут быть использованы соотношения,, приведенные в § 1.4, однако здесь будет реализован другой, более общий метод, основанный на смешанном вариационном принципе, изложенном в § 2.1.

Рассмотрим семейство ребер, составляющих углы <р, с осью а и характеризующихся геометрическими параметрами 6； и а； (рис. 2.22). Нормальные 。了 и касательные 工了 напряжения в ребрах (см. рис. 2.22) могут быть приведены к некоторым условным 112

напряжениям aS, a$,脸,呢”⑷己丫 в координатах a, 0, т ° помощью формул, аналогичных (1.9):

砧=2 靑 a/б, cos2 w； a₽ = Sv 叫 sln* W；

%P = £ 靑叫 Sin w cos <P/；叫=£ 专 Т/6/ cos w；

噓т= £±T/6/Sin<P/./-1■噓т= £±T/6/Sin<P/./-1■(2.188)(2.188)

噓т= £±T/6/Sin<P/./-1■

噓т= £±T/6/Sin<P/./-1■

(2.188)

(2.188)

Здесь л — число семейст? ребер. Например, структура, показанная на рис. 2.22, содержит три таких семейства с углами наклона по отношению к оси а: + 屮，一ф и 90°. Введем теперь расширенную функцию потенциальной энергии деформации типа (2.27), т. е.

n = U + e(х (0(х -0& + % (ар -理)+ 6耶(T呻一T金)+

ЗдесьЗдесь(2.189)(2.189)+ Coy (T5一tJY) + e0T (tpy -T辅，+ Coy (T5一tJY) + e0T (tpy -T辅，U =U =

Здесь

Здесь

(2.189)

(2.189)

+ Coy (T5一tJY) + e0T (tpy -T辅，

+ Coy (T5一tJY) + e0T (tpy -T辅，

U =

U =

—потенциальная энергия слоя ребер единичной толщины; Е, н G/ — модуль упругости и модуль сдвига материала ребер.

В равенстве (2.189) через е обозначены деформации условной однородной среды, играющие роль множителей Лагранжа, с помощью которых вводятся условия статической эквивалентности напряжений в этой среде аи т и напряжений, определяемых формулами (2.188). Минимизация П по напряжениям в ребрах 。力 学 с учетом (2.188) дает

q = Ej & COS* фу + % Sin2 w + е^ sin 的 cos 的)；〔

丐=G, (eev cos 的 + 络 sin <p,)・■

Подставляя напряжения (2.190) в равенства (2.188) и отбрасывая звездочки, получим

а<х = 4% + 412牛(1, 2);

%у = Gaiety；

Рнс. 2.22. Геометрические параметры сетчатой структуры

гдегде

где

где

力u =工 靑 Е/6/ cos4 叨； / = У Egj sin4 ф7;

(2.191)(2.191)/ = 41 = ^33=二专 E/jSit?叨 СО0<Р/；

(2.191)

(2.191)

% = £ 专 Gj6j cos2 <p,;G^ = £ * Gj6j sin2 叨.

Равенства (2.191) определяют искомые эффективные упругие постоянные сетчатой структуры. Отметим, что структура считается симметричной: системе ребер с углами + ф/ должна соответствовать такая же система с углами — 屮尸

Глава 3

Композитные балки и стержни

В настоящей главе рассматриваются композитные балки и стержни, т. е. элементы, имеющие одну общую особенность — один из их размеров* (длина) значительно превосходит остальные (размеры поперечного сечения). Рассмотренные выше (см. гл. 2) особенности структуры и геометрических параметров композитных конструкций позволили значительно упростить исходные трехмерные уравнения механики деформируемого тела и привести их к двумерным уравнениям. Отмеченная особенность элементов, рассматриваемых в этой главе, позволяет продолжить эти упрощения. Подобно тому как при выводе общих уравнений в § 2.3 была принята система предположений, в совокупности позволившая задать характер распределения перемещений и напряжений по толщине стенки, можно сформулировать систему гипотез, определяющих распределение перемещений и напряжений по сечению. В результате общие уравнения, полученные в гл. 2, включающие две независимые переменные, сводятся к одномерным, включающим только одну продольную координату.

Композитные балки

Высокомодульные композиты на основе углеродных и борных волокон успешно применяют для изготовления балочных элементов конструкций и для увеличения жесткости металлических балок (рис. 3.1). Уравнения теории изгиба композитных балок постоянной ширины (рис. 3.1, а) могут быть получены непосредственно из общих уравнений, приведенных в § 2.3. Однако, учитывая, что ширина может изменяться по высоте балки (рис. 3.1,6), представляется целесообразным привести краткий вывод уравнений, основанных на гипотезах, подробно описанных в § 2.2.

Рис. 3.1. Сечения балок, образованных из одинаковых (а) и разнородных (б) слоев; металлических профилей, усиленных композитными накладками (в) и жгутами (а)Рис. 3.1. Сечения балок, образованных из одинаковых (а) и разнородных (б) слоев; металлических профилей, усиленных композитными накладками (в) и жгутами (а)Рассмотрим7 балку, показанную на рис. 3.2. Выделяя из нее элемент (рис. 3.3) и записывая условия его равновесия, получим

Рис. 3.1. Сечения балок, образованных из одинаковых (а) и разнородных (б) слоев; металлических профилей, усиленных композитными накладками (в) и жгутами (а)

Рис. 3.1. Сечения балок, образованных из одинаковых (а) и разнородных (б) слоев; металлических профилей, усиленных композитными накладками (в) и жгутами (а)

'6%十 J誓bdg = O;

О

V九b” + 瓦"+ J 寢 bdy = 0.

о

(3.1)(3.2)(3.1)(3.2)Рис. 32 Характер нагружения балкиРис. 32 Характер нагружения балкиРнс. 3.3. Напряжения, действующие на элемент балкиРнс. 3.3. Напряжения, действующие на элемент балкиУравнения (3.1), (3.2) учитывают статические граничные условия на поверхности g = 0, т. е. % (у = 0) = — р, хху (д = 0)=

(3.1)

(3.2)

(3.1)

(3.2)

Рис. 32 Характер нагружения балки

Рис. 32 Характер нагружения балки

Рнс. 3.3. Напряжения, действующие на элемент балки

Рнс. 3.3. Напряжения, действующие на элемент балки

= 0. Напряжения 。卩 и @%卩 должны удовлетворять также гранич- ньш условиям на поверхности у = h (см. рис. 3.2):

0°(9 =力)=—q;工切(D =力)=°*(3.3)

Напряжения связаны с деформациями законом Гука:

еН=*一忆У*； % =费 тиК*;*(3・4)

'屮=云\(3-5)

а деформации выражаются через перемещения следующим образом:

"―汝' 勿—dg ' e^ — dy 汝：3・°)

Для вывода уравнений прикладной теории изгиба композитных балок воспользуемся гипотезами, сформулированными в § 2.2, 2.3. Прежде всего введем гипотезу недеформируемости материала в направлении оси у, приняв еу = 0. Поскольку напряжения стх и Сту в общем случае отличны от нуля, из второго равенства (3.4) следуетг что необходимо принять £&-> 8, 卩^父= 0. Тогда это равенство удовлетворяется тождественно, а первое принимает вид

стж = Eq.(3.7)

Из второго геометрического соотношения (3.6) при % = 0 получим

闷=и (х),(3.8)

где и (х) — прогиб балки. Введем осредненную по высоте сечения деформацию сдвига:

屮=，■ J вху ^(3.9)

и в силу малости 力 приближенно заменим в третьем соотношении (3.6) еху (х, д) на ^ (х). Интегрируя полученное равенство по g и учитывая (3.8), будем иметь

〃н = 〃(X)+ ge(X)； У = у — е\ 8 =屮一и', (3.10) где и = их (у = е)—— смещение точек нейтральной оси у = е (см. рис. 3.2) в направлении оси х; 0 — угол поворота сечения; штрихом обозначена производная по х.

Распределение перемещений в форме (3.8), (3.10) соответствует гипотезе плоских сечений, широко используемой при расчете балок. Подставляя перемещение (3.10) в первое равенство (3.6), а полученную деформацию е* — в закон Гука (3.7), найдем

% =旦 3+岁8‘).% =旦 3+岁8‘).(З.П)117(З.П)117

% =旦 3+岁8‘).

% =旦 3+岁8‘).

(З.П)

117

(З.П)

117

Это напряжение может быть выражено и через две другие функции переменной х — осевую силу и изгибающий момент относительно нейтральной оси:

hh

N = J dy; M = ^ qbg dy.оо

Подставляя сюда напряжение (3.11), получим

N = В^ + C6‘； М = Cuf + D6‘，(3.12)

где

5 =厶，e =厶一小，D =厶一2也+d厶 (3.13) —обобщенные жесткости, которые выражаются через интегралы 厶=“邑仪匈(л = 0, 1,2).(3.14)

Для слоистой балки (см. рис. 3.1, б) интегралы (3.14) выражают через характеристики и координаты слоев:

/п =击 £ btE^ (疗+1 -咽).(3.15)

Положение нейтральной оси найдем, приняв смешанную жесткость С = 0. Тогда из второго равенства (3.13) имеем

е= Л//。，(3.16)

н соотношения (3.12) принимают следующий вид:

^ = Buz, М = D9Z.(3.17)

Здесь с учетом равенств (3.13) и (З Л6)

5 = /°; D = Ц —р-・(3.18)

Таким образом, для определения жесткостей балки необходимо найти суммы (3.15) и воспользоваться формулами (3.18).

Например, для металлического двутаврового профиля, усиленного композитными накладками (см. рис. 3.1,6), в (3.15) следует принять Л = 5. Имеем 風 =с,备 =0, q = 瓦,Е?)= Ёк; ^2 = с, 6 = 6i + 6成 Е『)=Ем；厶=d, »з = 61 + 6? * 63, Е『)= =Ем； Ь《=а,厶=61 + 6? + 63 + 6击 £Г‘ =瓦；氏=а, »5 = 亍 61 + 6? + 63 + 6《+ 6в, EF = ек (индекс м соответствует металлу, к — композиту).

g = Е* (? + 善 д) •g = Е* (? + 善 д) •(3.19)(3.19)Выражая из соотношений (3.17) и' н 0z и подставляя в (3.11), найдем

g = Е* (? + 善 д) •

g = Е* (? + 善 д) •

(3.19)

(3.19)

Рис. 3.4. Элемент нейтральной оси балки

户=pb「qbK户=pb「qbKвыразим %, t. e.выразим %, t. e.Для получения напряжений тжу н сту воспользуемся уравнениями равновесия (3.1) и (3.2). Подставляя напряжение (3,19) в уравнение (3.1),

户=pb「qbK

户=pb「qbK

выразим %, t. e.

выразим %, t. e.

(3.20)(3.20)電叩=j- f-^- j E*b dy + 冬＞ J E*bp dy\ •

(3.20)

(3.20)

Удовлетворим граничное условие (3.3) тжу (у = Л) = 0. Учитывая, что у = у — е н равенство (3.14), получим

—g-/。+ f~（厶一叫）=°・

Отсюда, поскольку второе слагаемое в силу условия (3.16) равно нулю, имеем

№ = 0.(3.21)

Уравнение (3.21) может быть получено непосредственно из условия равновесия элемента нейтральной оси, к которой приведены силы н моменты (рнс. 3.4). Оно соответствует сумме проекций всех действующих на элемент сил на ось х. С учетом уравнения (3.21) выражение для касательных напряжений (3.20) принимает вид

xxv = ~-^-\Exbgdy.(3.22)

о

Введем поперечную силу

Q = J 加” dy.(3.23)

о

Подставляя в (3.23) касательные напряжения (3.22) н преобразуя двукратный интеграл по частям с учетом равенств (ЗЛЗ), (3.16) и (3.18), получим

\dy\EJ){y — ^dy = h\ Exby dy - \ E* 歹 dy - о оо0

Окончательно имеем

— Q = M\(3.25)

Это уравнение может быть получено как уравнение моментов нз условия равновесия элемента оси балки, показанйого на рис. 3.4.

Таким образом, выражение для касательных напряжений (3.22) преобразуется с учетом (3.25) следующим образом:

。叩=D$&[ J E*bg dy,(3.26)

о

Рассмотрим уравнение равновесия (3.2). Выражая из него 。卩 и подставляя хху согласно (3.26), получим

о?=；(导 J dg J ЕнМ dy — pb^j.(3.27)

Удовлетворим граничное условие (3.3) ау (у = h) = — q. Используя преобразование (3.24) для двукратного интеграла, будем иметь

Q' + ”0, (3.28) где 0 = pb* —破片・

dy J Exby dy + pb*0dy J Exby dy + pb*0Уравнение (3.28) соответствует сумме проекций сил, действующих на элемент оси балки (рис. 3.4), на ось у. Учитывая это уравнение, запишем равенство (3.27) в виде “

dy J Exby dy + pb*

0

dy J Exby dy + pb*

0

(3.29)

Для завершения рассматриваемой прикладной теории изгиба композитных балок остается связать поперечную силу Q с осред- ненной по высоте балки деформацией сдвига i|>. С этой целью заменим в (3.9) деформацию сдвига через касательные напряжения с помощью закона Гука (3.5):

X；j^dg(3.30)

о

и подставим сюда 丁^^ согласно (3.26). Окончательно получим

Q = К电(3.31)

где&I

К = —Dh ^ j %*■ J ERg dg)(3.32)

—сдвиговая жесткость балки. Как отмечалось в § 2.2, выражение (3.32) можно упростить, если в равенстве (3.30) осреднить, %ху по высоте балки. Действительно, в равенство (3.30) входит Q —— осредненная по высоте деформация сдвига е*г Поскольку последняя в силу соотношения (3.5) отличается от %ху только конечным

120

множителем, естественно осреднить в (3.30) и %, приняв тжу = =Q/b瓦 Тогда вместо (3.32) будем иметь

(3.33)(3.33)

(3.33)

(3.33)

Сопоставление формул (3.32) и (3,33) проведено ниже.

Таким образом, основные уравнения рассматриваемой теории получены. Они допускают общее решение, которое строится по- следовательньш интегрированием. Интегрируя уравнения (3.21) и (3.28), найдем

^ = М；(3.34)

Q == Qo — J р dx.(3.35)

о

Подставляя Q согласно (3.35) в уравнение (3.25), после интегрирования получим

М = At。+ Q/ — J dx J / dx.(3.36)

о о

■ С учетом (3.34) и (3.36), интегрируя равенства (3.17), имеем

〃 =〃。+鲁 %；(3.37)

8 =备+等*+蕤/一^/右)а//衣.(3.38)

ООО

Для того чтобы найти прогиб и, воспользуемся последней формулой (3.10). Подставляя в иее ^ согласно (3.31) и учитывая соотношения (3.35), (3.38), в результате интегрирования получим

/х ж ж X \

一 e/+将•炉+需炉+•ijAjAj厶"厶卜(3-39)

'0 0 0 0

Напряжения определяют из равенств (3.19), (3.26), (3.29). В решение (3.34)—(3.39) входят параметры "°, Qo,府° н %, 60, %, представляющие собой значения осевой силы, поперечной силы, изгибающего момента и осевого перемещения, угла поворота сечения, прогиба в сечении х = 0 (см. рис. 3.2). Значения этих

121

Рис. 3.5. Сечеиия трехслойиой балки с легким заполнителем (а) и металлической балки, усиленной композитными накладками (б) -

параметров определяют из граничных условий, для вывода которых воспользуемся вариационньш прнн・ ципом Лагранжа.

Вариация полной энергии (2.111) для балки, нагруженной давлением /, имеет следующий вид:

вп. = J(“6“' + мае’ + Q6* - /&>)а (3.40)

Учитывая, что i|> = 0 + р7 и осуществляя в (3.40) варьирование по “, и, 9, из условия бПв = 0 можно получить уравнения равновесия (3.21), (3.25), (3.28) н естественные граничные условия:

^вu = о； qw = о； мае = о.(з,41)

Отсюда следует, что для защемленного края и = v = Q = 0. Отметим, что в силу равенств (3.8), (3.10) перемещения на этом краю тождественно обращаются в нуль, т. е. 〃* = 0, иу = 0. Для свободного края ” = Q = А! = 0, причем согласно формулам (3.19)» (3.26) при этом на краю % = 0, т冲=0. В случае шарнирно опертого края ^ = 0 (или и = 0), и = 0, М = 0・

Рассмотрим теперь вопрос о степени соответствия результатов, получаемых на основе двух приведенных выше формул для сдвиговой жесткости (3.32) и (3.33). В случае однородной балки (см. рнс. 3.1, а), т. е. когда b = const» Ех = const, Gxy = const и согласно (3.16) е =力/2, эти формулы дают одинаковый результат —К = bhG^y. Отсюда можно заключить, что максимальное различие следует ожидать в случае наибольшего перепада сдвиговой жесткости по высоте балкн. Такая ситуация имеет место в трехслойных системах с легким заполнителем (рис. 3.5, а), у которых для несущих слоев можно считать Gxy -> оо, а для заполнителя Ех = 0. Особенности описания трехслойных конструкций были изложены в § 2Л1. Учитывая сделанные там выводы, для трехслойной балки, имеющей металлические несущие слои с толщиной 6 и легкий заполнитель с толщиной Н (см. рнс. 3.5, а), по формулам (3.32) н (3.33) получим соответственно

4

+甸+飞F

k = Gbh ——[+n；к = Gbh (1 + 23，

где T)= 6/Я.

3.1. Относительные прогибы трехслойных балок, соответствующие различным теориям

№ балки

6 10-\ м

1艮 м

Л м

МПа

必

力

О*

1

0,7

3,7

0,28

55,7

0,990

1,027

0,994

0,992

0,0004

2

0,7

4,8

0,48

915

0,969

1,020

0,985

0,983

0,0015

3

0,7

5」

0,28

915

0,856

1,033

0,980

0,986

0,015

4

1,0

17

0,28

38,5

0,329

0,985

0,923

0,923

0,182

5

2,4

18,8

0,28

38,5

0,171

1,053

0,895

0,921

0,427

В табл. 3.1 представлены результаты определения максимального прогиба шарнирно опертой трехслойной балки с пролетом 厶 одинаковыми несущими слоями из алюминиевого сплава с модулем упругости В = 70 ГПа и заполнителем из пенопласта, нагруженной давлением, распределенным по закону р = = ро sin (лх/Z). В таблице показаны отношения Uj теоретических значений максимального прогиба, соответствующих различным теориям, к экспериментальным результатам, приведенным в работе [3]. Значения vx соответствуют классической теории изгиба балок, т. е. случаю /С -> оо； значения и9 — наиболее точной прикладной теории трехслойных систем, основанной на гипотезе ломаной линии [33] (см. § 2.11); и8 и и4 — рассматриваемой теории композитных балок при сдвиговой жесткости, найденной по формулам (3.32) и (3.33). В последнем столбце таблицы приведены значения параметра kQ (см. § 2.2), по значению которого можно судить о необходимости учета деформации сдвига. Из таблицы следует, что построенная теория с коэффициентом сдвиговой жесткости в форме записи (3.33) (о4) удовлетворительно согласуется как с экспериментальными результатами, так и с расчетом на основе более сложной модели трехслойной балки (仃 J. Отметим, что балка № 5, имеющая отношение модулей сдвига несущего слоя и заполнителя порядка 103, иллюстрирует наиболее неблагоприятное для рассматриваемой теории сочетание параметров. В композитных системах, даже включающих металлические слои, это отношение не превышает 10а.

В качестве примера рассмотрим металлическую балку прямоугольного сечения, усиленную накладками из композита (см. рис. 3.5, б). Жесткости такой балки при растяжении и изгибе а также масса имеют следующий вид:

В = ЕмЬ“1+2а(4^_ 1)];

D = ЕмЬ 先[1 +2а (备一1)(4а*-6а + 3)]; (3.42) g = рм&Л [1 -2а(1 -普)],

N = 0； Q = Р； М = — р (/ — %)； е = 0;N = 0； Q = Р； М = — р (/ — %)； е = 0;ееМаксимальный прогиб балки можно записать в видеМаксимальный прогиб балки можно записать в виде

N = 0； Q = Р； М = — р (/ — %)； е = 0;

N = 0； Q = Р； М = — р (/ — %)； е = 0;

е

е

Максимальный прогиб балки можно записать в виде

Максимальный прогиб балки можно записать в виде

Рис. 3.6. Зависимость относительных изгиб>

ной (D), продольной (В) жесткости и погонной массы (g) металлической балки от относительной толщины композитных накладок

где &, Рм — соответственно модуль упругости и плотность металла, а 瓦，рк — соответствукмцйе характеристики композита.

При а = 0, т. е. при отсутствии композитных накЯадок, имеем Вм ^ Е"% Dm = £*мЬ”/12, gtt = =рмЬЛ. На_ рис. 3.6 приведены зависимости В = В/Вм, D = D/DM, g= 且似 от параметра 2а, иллю

стрирующие эффективность усиления балки из алюминиевого сплава накладками из боропластика. Предположим, что балка с параметрами (3.42) закреплена консольно и нагружена на свободном конце силой Р (см. рис. 3.2). Тогда в общем решении

3.39) следует принять р = 0, и0 = v0 = 0О = 0 и найти Nq, Qo и Мо из условий N (х = I) = О, Q (% = /) = R М (% = = /) = 0. В результате получим

V (х = /) = vm (1 + А),, где Um = PP/(3D) — максимальный прогиб, найденный* без учета сдвига, а А = 30/(KG) — поправка, связанная с учетом сдвига.

Для чисто металлической (а = 0) балки с относительной длиной //Л = 10 получим А = 0,0065, а для чисто композитной А = 0,085. Напряжения определяют из равенств (3.19) и (3.26), т. е. в рассматриваемом случае (см. рис. 3.5, б) при 0 <. у <. ah и h — ah <. у <. h

% =号l一 G - 6 (^ — 9)； Gy =9 焦一办

при ah <. у <. h — aft

" = -^^ a_*)(?一g)； % = ^" хX [Л8а (1 - a) (0 — Ем) + ЕмУ (Л - у)].

На рис. 3.7 показаны распределения по высоте сечения 尤=0 нормальных и касательных напряжений, отнесенных к максимальному значению соответствующих напряжений в металлической балке, при различной относительной толщине композитного слоя а. Отметим, что для расчета рассматриваемой балки на проч- 124

ность необходимо сравнивать с допускаемыми значениями не только нормальные напряжения %, но и касательные напряжения %, действующие на поверхности контакта композита и металла.

Композитный материал иногда используется в виде однонаправленных жгутов, усиливающих металлический профиль. Как правило, профили из алюминиевых сплавов усиливают жгутами из боропластика, обладающего высоким модулем упругости (см. рис. 3.1, а). В этом случае формула (3.15) обобщается следующим образом (п = 0, 1, 2):

厶=母 2 几?рa产—什扌)+ £ EjF杵.

Здесь 加 ——число композитных жгутов; Е力 F； — соответственно модуль упругости и площадь сечения /-го жгута; tj —— расстояние от грани у = Одо центра тяжести /-го включения. Жесткости усиленного профиля при растяжении и изгибе находят из формул (3.18).

Рассмотрим задачу устойчивости слоистого стержня, сжатого осевой силой Т (рис. 3.8). В исходном докритическом (прямолинейном) состоянии в стержне действует только осевая сила, т. е. согласно обозначениям, введенным в § 2.9, где были получены уравнения устойчивости, М°‘ = — Т, 乂⑺=О, Q'°)= 0. Уравнения устойчивости типа (2.179)—(2.181) в рассматриваемом случае имеют вид (отметим, что в отличие от § 2.9 здесь прогиб обозначаем через и)

ДГ = 0； Q = ЛГ； С 一 Ne)2 = 0； 8 = —и' (3.43) и отличаются от (3.21), (3.25), (3.28) только наличием в третьем уравнении члена, включающего докритическую осевую силу. Из первого уравнения следует, что N = 0. Заметим, что это не

引

Рис. 3.7. Распределение относительных нормальных (аж) и касательных (%) напряжений по высоте и длине металлической балки, усиленной композитными накладками

противоречит условиям нагружения, показанным на рис. 3.8. В уравнение (3.43) входят силы и моменты, соответствующие изгибному возмущению, которое согласно равенствам (2.174) накладывается на исходное состояние. Поэтому поскольку в исходном состоянии N(°)= — Т, т. е. заданная осевая сила полностью уравновешивается, то возмущение должно удовлетворять условию JV = 0. С учетом этого условия и равенств (3.17), (3.31) получим следующие уравнения устойчивости сжатого стержня:

М1 n Q; Q，— Те = 0; М = Dg Q = К (8 + и) (3.44) Проведем некоторые преобразования. Исключая *из первого и последнего уравнений (3.44) поперечную силу Q с помощью второго уравнения, получим

ЛГ — Те = 0;(3.45)

8’ = — (1 — *) и,(3.46)

где * = 77K.

С учетом (3.46) третье равенство (3.44) принимает вид

М = —О (1 — *) и*.(3.47)

Подставляя изгибающий момент (3.47) в уравнение (3.45), окончательно будем иметь следукнцее уравнение устойчивости сжатого стержня:'

v^^kV(3.48)

где 公=D(1L)•

Общее решение уравнения (3.48)

V = Схх + G + G sin Лх + С4 cos Ах. (3.49) Из равенства (3.47), а также первого и последнего соотношений (344) найдем

М n D2 (1 — X) (С8 sin Ах + & cos Ах);

Q = D胪(1 —葡(G cos fee — Ct sin fee); “(3.50) 0 = ЛС8 [-^-jfe1 (1 - X) - 1] cos Jfex - ЛС4 x

X [-^-^(1-Л) - l]sin*x-Cv

Рис. 3.8. Слоистый стержень, сжатый осевыми силамиРис. 3.8. Слоистый стержень, сжатый осевыми силамиРис. 3.9. Формы потерн устойчивости свободно опертого (а), консольного (б) и аащемленного (в) стержнейРис. 3.9. Формы потерн устойчивости свободно опертого (а), консольного (б) и аащемленного (в) стержнейОбщая схема определения критической нагрузки заключается в следующем. Решение (3,48)* (3.49) должно удовлетворять четырем граничным условиям типа (2.178) или (3.41) иа торцах л = 0 и # = / (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Слоистый стержень, сжатый осевыми силами

Рис. 3.8. Слоистый стержень, сжатый осевыми силами

Рис. 3.9. Формы потерн устойчивости свободно опертого (а), консольного (б) и аащемленного (в) стержней

Рис. 3.9. Формы потерн устойчивости свободно опертого (а), консольного (б) и аащемленного (в) стержней

Эти условия являются однородными, т. е. дл兌 постоянных Сх ~ С^ получается однородная система четырех линейных алгебраических уравнений. Как известно, такая система имеет ненулевые решения (нулевое решение Сх = С2 = С3 = С4 = =0 соответствует исходной форме равновесия и = 0), если ее определитель равен нулю. Из этого условия находим параметр k и затем силу Т» наименьшее значение которой и является критическим.

В качестве примера рассмотрим стержень, торцы которого х = 0 и х = / (рис. 3.9» а) шарнирно оперты, т. е. на торпах и = 0 н М = 0. Подставляя в эти условия решение (3.49)—(3.50), получим упоминавшуюся выше однородную систему линейных алгебраических уравнений для постоянных С\ — С4:

G + & = о；

CJ "4~ Сд Ц- С3 sin kl + & cos kl = 0;

& = О;(351)

C3 sin kl + C4 cos 亚=0.

Отсюда следует C2 = C4 = 0, t. e.।

CJ + C3 sin kl = 0; C3 sin kl = 0.(3.52)

С3 sin ^-х.(3.53)-・(3.54)С3 sin ^-х.(3.53)-・(3.54)Очевидно, что если C3 = 0, то и Cx = 0 и и = 0, что соответствует исходной прямолинейной форме равновесия. Для существования из гибкой формы равновесия согласно второму равенству (3.52) должно выполняться условие sin kl = 0, т. е. kl = пл, где п = 1, 2, 3 ... Тогда из первого равенства (3.52) следует G = 0, н будем иметь

С3 sin ^-х.(3.53)

-・(3.54)

С3 sin ^-х.(3.53)

-・(3.54)

Из первого равенства (3.53) найдем T __献庶D

—nWD

Если не учитывать сдвиговую податливость стержня, положив К f 8, из формулы (3.54) следует, что минимальное значение Т реализуется йри n = 1. В результате получается известная формула Эйлера

北=学•(3.55)

С учетом (3.55) равенство (3.54) принимает вид

Покажем, что минимальному значению Т снова соответствует 几=1. Действительно, неравенство Т (п) ^ Т (п = 1) может быть

127

приведено к виду л® > 1, т. е. всегда справедливо. Следовательно, критическая сила 、

7K = 1 + ^JK) * (3.56)

Равенство (3.56) может быть использовано и при других условиях опирания стержня — достаточно подставить в него соответствующее значение Т8. В частности, для консольного (см. рис. 3.9, б) и заделанного по концам (см. рис. 3.9» 6) стержня соответственно следует подставить

Сделаем здесь два замечаииг. Первое связано со вторым равенством (3.53), которое позволяет найти прогиб только с точностью до множителя С8, остающегося неопределенным. Такая ситуация характерна для линеаризованной постановки задачи устойчивости, обсуждавшейся в § 2.9. Действительно» поскольку определитель системы типа (3.51) равен нулю, то по крайней мере одно из этих уравнений является следствием других. В результате уравнений оказывается меньше, чем неизвестных, и все постоянные можно выразить через одну, которая остается иеопределеииоб. Заметим, что эта иеопределеииость позволяет формально обосио вать операцию линеаризации — обсуждаемую коистаиту, очевидно, всегда можно считать достаточно малой для того, чтобы отбросить члены нелинейные относительно возмущения (в рассматриваемом случае прогиба и).

Второе замечание связано со случаем X = 1, т・ е. Т = Т© = К・ В некоторых теориях устойчивости стержней, учитывающих деформацию сдвига, это условие определяет критическую силу Тс, при которой потеря устойчивости происходит в результате чистого сдвига. Этт вопрос подробно обсуждается в работе [871. В рамках рассматриваемой теории при * = 1 получим

V = &尤 + Ся; Af = 0; Q = 0; 0 = — &・

Постоянные Сь С2 соответствуют смшцеииям стержня как твердого тела. Закрепляя его от этих перемещений, т. е. полагая, например (см. рис, 3.9, a) v (0) = v (/) « 0, имеем & = Q = 6 и V = 0, т. е. исходную прямолииебиую форму. Таким образом, рассматриваемая теория не позволяет трактовать силу 7© = К как критическую. Заметим, что независимо от того, как истолковывается эта сила, она всегда больше, чем Тк> поскольку неравенство 7© > Тк равносильно очевидному условию К > 0.

В заключение получим уравнения динамики слоистых балок и стержней. Уравнения движения, обобщакицие (3.1), (3.2), имеют следующий вид:

备 Mx) + 备(仁)一 pb 翳=0; (3-57) 备(阮a) + 年"(b%) - pb n 0. (3.58)

Здесь р (^)—плотность материала. Подставляя в уравнения (3.57), (3.58) перемещения (3.8), (3.10), осуществим операции, описанные в § 2.6, т. е. проинтегрируем уравнение (3.57) по z/ от 0 до Л, затем умножим это уравнение иа и проинтегрируем и, наконец, проинтегрируем по у от 0 до 力 уравнение (3.58). Учитывая граничные условия типа (3.3) и обозначения для сил и моментов, получим уравнения движения, соответствующие уравнениям равновесия (3.21), (3.25), (3.28):

纂=Вр 器 + Q 翁；(3.59)

Q=需-e。察一4 需；(3.6。)

•^■ + / = 80 需，(3.61)

где

Bp = Jq； Cq = Jq (бр — e); % =厶/Jq；

A = 4 — e 厶 + 宀4(3.62)

и

Л = J bpfT dy (n = 0. 1, 2).(3.63)

Для слоистой балки интеграл (3.63) определяется равенством, аналогичным (3.15), т. е.

Н 7：［£瓦Pt (#+1 -d).

«т

В уравнениях (3.59), (3.60) введен параметр % (3.62), аналогичный координате нейтральной оси е (3.16) и в общем случае с ией ие совпадающий, поскольку интегралы 1п (3.14) зависят от распределения модуля упругости, а интегралы Jn (3.63) — от распределения плотности по высоте сечения.

Рассмотрим прежде всего случаи, когда выполняется условие е = £р, справедливое для однородных балок и для балок, структура которых симметрична относительно средней линии у = Л/2.

В первом случае

е = ер = \ by dy \b dy,0/ о

а во втором е = % н Л/2. Тогда в уравнениях (3.59), (3.60) следует принять Ср = 0, и о учетом соотношений (3.10), (3.17),

Вавима В. В.129

.31) уравнения (3.69), (3.60) будут иметь следующий вид:

в 參"=Вр 黑■;(3.64)

К G +■&") * 0嘉-4翡；

(3.65) k(累+霖)+/ =方，祭，

Уравнение (3.64) описывает продольные колебания стержня и подробно исследовано в работе [91 ]. В частности, если концы стержня допускают свободное смещение в осевом направлении (см. рис. 3.9, а при Т = 0), то можно задать осевое смещение в виде

и (#, t) — A cos ХщХ sin 小力(3.66)

где 入m = mn/L Тогда из уравнения (3.64) получим следукицую формулу для квадрата частоты свободных продольных колебаний:

嗚=奇必.(3.67)

Уравнения (3.65) соответствуют изгибным колебаниям. Исключая из них угол поворота 0, получим

J(u) = Lp(p),(3.68)

где

-0 亲+ b* (牛+ 5)备 +

+ 吟翳；(3-69)

%= Q-%(0 詳一4察)•

Уравнение (3.68) для однородного стержня было получено С. П. Тимошенко [91 ]. Члены, содержащие Dp> учитывают инерционную составляющую, связанную с поворотом сечения, а члены, содержащие /С, влияние деформации сдвига. Оценки, полученные в работе [91 ] для изотропных, а в работе [87] —для композитных балок, показывают, что инерция поворота мало влияет на их динамическое поведение, и можно приближенно принять Dp = 0. Тогда ураЁней^е (3.68) упрощается следукмцим образом:

Q 星一 I В 亞^D纬 也 —g£_J!!L(3 70)

〃用十Qp " k .加m P k Od (丿

Для определения частоты свободных колебаний здесь следует принять р = 0 и

。(修 f) = % ⑴ sin 叫J・(371)

Подставляя перемёщение (3.71) в уравнение (3.70), получим

Dv^ + 樂^ Y* - В^т = 0.(3.72)

Решение этого уравнения включает четыре произвольные постоянные, для которых может быть записана система четырех однородных алгебраических уравнений типа (3.51), следующая из граничных условий, заданных на концах балки. Для существования ненулевого решения этой системы ее определитель должен быть равен нулю — это условие и определяет уравнение для собственных частот ш. Для шарнирно опертой балки (см. рис. 3.9, а при Т = 0) форма колебаний может быть записана в виде

и (х, f)=力工 sin Xmx sin 01m厶(3.73)

где %m — тл/L Тогда из уравнения (3.72) найдем

Если не учитывать деформацию сдвига, приняв К = 8, получим.

Из формулы (3.74) следует, что деформация сдвига снижает частоту собственных колебаний тем больше, чем выше тон колебаний, определяемый числом т. Форма прогиба так же, как и в, рассматривавшейся ранее задаче устойчивости, определяется с точностью до неопределенного множителя Ль входящего в равенство (3.73).

О необходимости учета влияния деформации сдвига на частоты свободных колебаний композитных балок можно судить, сравнивая параметр О*"К с единицей.

В общем случае при е ^ ер продольные колебания не отделяются от изгибных. Исключая из уравнений (3.59)—(3.61) Они, окончательно получим

犷G 9) п 犷厶(и)丄 q / Вр *№ 、_

—^% ~d^r up \1С^ 苏》丿一

=в 嚥(j=в 嚥(j四旦祖丄ер赤夕四旦祖丄ер赤夕(3.76)(3.76)

=в 嚥(j

=в 嚥(j

四旦祖丄ер赤夕

四旦祖丄ер赤夕

(3.76)

(3.76)

Здесь операторы 厶 м 厶戸 оправляются равенствами (3.69). Для оценки влияния параметра Ср, который связывает продольные и изгибные колебания, пренебрежем инерцией поворота и деформа* цией сдвига, приняв Ьр = О, 8. Тогда уравнение (3.76) при р = 0 упрощается следующим образом:

（b备一ВР爲）（0寫+斗等）_g^^ = 0.（3.77） S•⑶

、Если Ср = 0, из、Если Ср = 0, изРнс. 3.10. Геометрические параметра двутаврового профиля, усиленного накладкой из бороалюмнния

、Если Ср = 0, из

、Если Ср = 0, из

Для шарнирно опертой балки зададим прогиб в форме (3.73). Заметим, что такому прогибу соответствует продольное перемещение в форме (3.66). Тогда уравнение (3.78) принимает вид

(B%J —稣侬？(£^Х — ^p^m) — Cp^m^m = 0.

уравнения (3.78) следуютуравнения (3.78) следуютформулы (3.67) и Если Ср 厘 0, этоформулы (3.67) и Если Ср 厘 0, это(3.78)

уравнения (3.78) следуют

уравнения (3.78) следуют

формулы (3.67) и Если Ср 厘 0, это

формулы (3.67) и Если Ср 厘 0, это

(3.75) для продольных и изгибных колебаний.

уравнение, учитывая, что согласно (3.62) Ср = Вр (% — е), можно переписать в форме

®тВ? U — 点(ер - е丹一В^^ (D鳳 + В) + BQ* = о.

Отсюда следует, что о необходимости учета связанного характера продольных и изгибных колебаний слоистых балок можно судить по значению параметра ^« & — е)* сравнивая его с единицей..

В качестве примера рассмотрим алюминиевый двутавровый профиль, усиленный с одной стороны боралюминием (рис. 3.10), со следующими параметрами: Л// = 0,1; 〃力=0,5; 6/Л = 0,05. Результаты расчета:

先忠=0,103/п2;隱g -е)? = 0,0016/п2.

Отсюда можно заключить, что деформация сдвига является существенной, а коэффициентом связанности при определении первых частот можно пренебречь.

§ 32 Тонкостенные стержни

с замкнутым контуром поперечного сечения

Одна нз наиболее перспективных областей применения композитов в силовых конструкциях связана с тонкостенными стержнями (рнс. 3.11), которые изготавливают намоткой или выкладкой однонаправленной

Рнс, 3.11. Компоэитвые стержни 132Рнс, 3.11. Компоэитвые стержни 132или тканой ленты под различными углами к продольной осн стержня н используют в качестве элементов ферм, подкосов, лонжеронов винтов самолетов н вертолетов, карданных валов автомобилей и т. д.

Рнс, 3.11. Компоэитвые стержни 132

Рнс, 3.11. Компоэитвые стержни 132

Типовая расчетная модель стержня показана на рйс. 3.12 и

ИЯ

представляет собой цилиндрическую оболочку, образованную из слоев композита с углами армирования ± <р< (^ = 1, 2, 3, ... , Л) и толщинами 也，причем длина этой оболочки значительно больше размеров ее сечения, а последние значительно больше толщины стенки.

Рассматриваемый стержень может быть описан уравнениями (2.108)—(2.110), упрощенными с учетом особенностей его формы и условий нагружения. Введем продольную координату z, отсчитываемую вдоль образующей или осн стержня, и контурную координату & отсчитываемую от некоторой точки 0工(рис. 3.12). Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности в этих координатах согласно рис. 3.12 имеют вид 4^ = 4* = 1. Считая стенку тонкой, не будем учитывать изменение метрических свойств слоев по ее толщине» т. е. примем Н* = Н* = 1. Заменяя в уравнениях (2.108)—(2.110) а на z и р на s и полагая дополнительно Rl f 8 н 兄=А получим:

уравнения равновесия (рис. 3.13)

醬+堂=。号+堂十务+У。；

соотношения упругости

М = Вц% +/Вцвв + &М + 4%；

N. = Ввн/ + ^м®в + &1 修 + CjjXe;

N“ n Ng = B^k + СззХ»;

Mg n Gt®* + Си®# + Qu修 + Qu%；(3*80)

M. == Gx^x + Cn®« + Ат% + Rm%；

M” = M«i u Cj8yxe + Q33X»；

Q. n К抻*； Q・=Kg&

и геометрические соотношения

& =争;% =争 + 岩；v« = J* + % =警 + 争；

& =禦;X* =争;％ = + % =鲁 + 嚮;(3.81)

где u^ u&, un — смещения точки средней линии контура сечения соответственно в направлениях осй “ касательной и нормали к контуру.

Продолжим упрощение исходных уравнений. В качестве конструктивного элемента стержень работает иа растяжение, сжатие, кручение и общий изгиб. При этом в его поперечных сечениях действуют осевая сила Р, изгибающие моменты Мх/ Му, крутящий момент Мк и поперечные силы Qx, Qv (см. рис. 3.12), которые в общем^случае являются равнодействующими мембранных и поперечных усилий (加z，Mz$, Q) а также изгибающего (М%) и крутящего (Mzs) моментов (3.80). Ввиду того, что мембранная жесткость тонкой стенки значительно больше ее нзгибной и крутильной жесткости, будем учитывать только мембранные усилия ^z и NZ9t приближенно считая изгибные, крутильные и соответствующие смешанные жесткости для направления z равными нулю, т. е. Du — 0, ~。21 °, 。33 = °， Сц == 0, &2 = Gi = 0, С33 = 0. Тогда из равенств (3.80) и из третьего уравнения (3.79) получим Мг = О, М^ = 0, Q% = 0,

Введем еще одно существенное упрощение. Как отмечалось ранее, относительно малые размеры сечеиия позволяют принять некоторые гипотезы, определяющие распределение перемещений по его контуру. В теорий изгиба и кручения стержней, как правило, не учитывается деформация контура сечеиия в своей плоскости, т. е. полагается В22 -*• оо, С2а -*■ сю, D22 ->• оо, К8 f 8. В'.результате из равенств (3.80) следует фв = 0, ев = 0, % = 0, а из геометрических соотношений (3.81) получим

祟+ 贵=q； / gЙ■一争)=0■(3.82)

Решение уравнений (3.82) определяет искомое распределение перемещений по контуру сечения. Одна ко это распределение можно установить и не решая этих уравнений — жесткий в своей плоскости контур может лишь поступательно смещаться и поворачи-. ваться в этой плоскости. Введем радиус-вектор р точки Л и нормаль к касательной к контуру ВА в точке Л (рис. 3.14). Тогда имеют место следующие геометрические соотношения:

х = р cos а; у = р sin а;耳-=噎

.$(3.83)

sin § —罂 ——y\ cos В = 管'=士》

Рис. 3.14. Геометрические парамет-ры сечения тоикостеииого ст^жня

Рис. 3.15. Смещение точкк конту-ра при soBq>ore сечения

В соответствии с рис. 3.15 перемещения точки 4 в направлениях % н у можно записать в ввде их = и + 以?，иу = v — u®, где 〃(z) и и (z) — перемещения начала координат О, а 〃?= = рОк cos а и1 〃： — p%sin а — перемещения, вызванные поворотом сечения вокруг точки О на угол 6R (z). С учетом равенств (3.83) получим

«х = и + 鸣<,% =。一 x0r.(3.84)

Найдем смещения и# и % ло касательной и по нормали к контуру (рис. 3.16). Имеем 〃* = дх cos Р — и» sin 0, un = их sin В + +. uv cos В・ Подставим сюда перемещения (3.84). С учетом равенств, следующих из рис. 3.16:

Г = X sin ₽ + у cos ₽;

Т) = у sin ₽ — X cos Р

и соотношений (3.83) получим

ue == u cos р — V sin р + rOK = ui + иу + г0я;

/ = u sin Р + ^ cos ₽ + И% =—財 + vi + !)%(3・86)

Подстановкой перемещений (3.86) в уравнения (3.82) можно убедиться в том, что эти уравнения удовлетворяются тождественно.

Таким образом, после сделанных допущений исходная система уравнений (3.79)——(3.81) значительно упрощается. Из уравнений равновесия (3.79) существенным для дальнейшего является только первое, т•巳

誉 + 堂=о.(3.87)

Третье уравнение (3«79) удовлетворяется тождественно,; а, *фд« оставшиеся (в которых 府“ = 0, Qt — 0) при необходимости позволяют определить усилия N*, Q. и момент Д1^, обеедечид§|Рг： щие недеформируемость контура сечения, т. е. выполнение условий (3.82). Однако, как правило, такой необходимости не возникает, н эти уравнения опускаются. В связи с тем, что контур поперечного сечення стержня является абсолютно_жестким в своей плоскости, действующие в этой плоскости усилий N“ и нагрузки

% н ，п (см. рис. 3.13) можно привести к равнодействующим (рнс. 3.17), т. е.

Q* = $ N“ cos 0 ds = $ М“± ds;

Qg = — § M“ sin р ds = ^ N“g ds; (3.88)

Mr = $“

Fx = ^)pxds, Fv = ^p„ ds, mH = ^(p^ — p^ ds;

px = 7, cos ₽ - 7n sin ₽ = %£ + q曲(3.89)

Pv =—(柒 sin p + g” cos p) = gj — g&

Здесь были использованы формулы (3.83). В равенствах (3.88), (3.89) через Q*, Q, Мк обозначены поперечные силы и крутящий момент, действующие в сечении (см. рис. 3.12), а через 尾,户勿 Шц — равнодействующие силы и момент поверхностных нагрузок % и gn・ Интегралы в (3.88), (3.89) вычисляются по замкнутому контуру (по средней линии) сечения. Приведенные к оси стержня силы Qx, Qg, Fx, Fy и моменты Л1К, а должны быть связаны уравнениями, вытекающими из условий равновесия элемента оси (рис. 3.18):

Qi + % = 0； Qj+& = 0; М； + а = 0・(3.90)

Здесь и далее штрихом обозначена производная по осевой координате z. Заметим, что нз рис. ЗЛ8 следуют еще три уравнения для продольной силы Р и моментов Мх9 Му. Они являются следствиями уравнения (3.87) и будут получены далее. Решение уравнений (3-90) имеет следующий вид:

222

Q* = QJ — J & 虑；Qg = Q3 — J 尸营虑；Л4и = М? — J /Им 虑.(3.91) ооо

Здесь верхним индексом 0 обозначены силы и моменты, действующие в некотором начальном сечении z == 0.

Итак, уравнения равновесия (3.79) применительно к обсуждаемому стержню сводятся к равенствам (3.87), (3.91).

136

Рис. 3.18. Элемент оси стержняРис. 3.18. Элемент оси стержняРис. 3.19. Деплаиацяя сечеиий при кручении пр изматнчесхого тонкостенного стержняРис. 3.19. Деплаиацяя сечеиий при кручении пр изматнчесхого тонкостенного стержня

Рис. 3.18. Элемент оси стержня

Рис. 3.18. Элемент оси стержня

Рис. 3.19. Деплаиацяя сечеиий при кручении пр изматнчесхого тонкостенного стержня

Рис. 3.19. Деплаиацяя сечеиий при кручении пр изматнчесхого тонкостенного стержня

Рассмотрим физические соотношения (3.80). В силу принятых выше гипотез имеем

Nz = 5цвх» N” = В®?”，(3.92)

где для слоистого материала, образованного из k слоев с углами армирования 士 ср* и толщинами hi в соответствии с результатами, полученными в § 1.5,

Ви = £ A^he, Взз = £ A^ht (3.93)

—— жесткости соответственно при растяжении-сжатии в продольном направлении и сдвиге. Коэффициенты 出3 4sp определяются равенствами (2.120).

И наконец, из геометрических соотношений (3.81) в соответствии с (3.92) существенными являются только первое и третье, т. е.

%=瞽；%=警+善・(3.94)

Продолжим построение теории тонкостенных композитных стержней и введем еще одну^ последнюю гипотезу. Предположим, что продольная деформация q распределяется по сечению по закону плоскости, т. е. она линейно зависит от координат %, у (см. рис. 3.12):

厶="+也也+ 8亦.(3.95)

Подставим % согласно (3.95) в первое соотношение (3.94) и, проинтегрировав его по z, найдем осевое перемещение •

以=切(z) + 0Х (z) у + % ⑵ х + f (К 办 (3.96) Из равенства (3.96) £ рис. 3.12 можно заключить, что w определяет поступательное продольное смещение сечения, а 0Х и % являются его углами поворота относительно осей Ох и Оу. Положительные углы соответствуют направлениям моментов Мх и показанным на рис. 3.12. Важную роль для оценки области применимости рассматриваемой теории играет произвольная функция 力 尸 f (%, 9)， которая появляется

в результате интегрирования и определяет отклонение сече-

ния от плоскости (закон плоских сечений соответствует в выражении для uz трем первым членам). Такое отклонение называется депланацией сечения. Пример депланации сечений при кручетии (при таком нагружении она, как правило, и проявляется) приведен на рис. 3.19./

Из равенства (3.96) следует, что отклонение от плоскости не зависит от координаты z, т. е. одинаково для всех сечеиий. Такая депланация называется свободной — согласно равенствам (3.92), (3.95) она не влияет на напряженное состояние. Однако, если закрепить сечение, устранив депланацию, в окрестности этого сечения возникают дополнительные напряжения. Эти напряжения не могут быть выявлены в рамках рассматриваемой здесь теории тонкостенных стержней, которая позволяет закрепить сечение только в отношении перемещений и, v, w н углов поворота 9Х, 8卩, 0К. Оставляя обсуждение этого вопроса на дальнейшее (см. § 3.3), вернемся к соотношениям (3.92), (3.95), которые ггозволяют определить распределение продольных нормальных усилий по сечению, т. е.

p^Nz^B^+ 8；g + 8"),(3.97)

где В — Вц.

Заменим функции % 8；, %, входяпще в равенство (3.97), соответствующими обобщенными силовыми факторами — осевой силой Р и изгибающими моментами Мх, Му (см. рис. 3.12):

Р = § р ds; Мх — ^ ру ds; Му = § рх ds. (3.98)

Подставляя g (3.98) напряжения (3.97), получим

р = s^ + sxe；4-sye；；

Мх = S*" + DM + 0网；(3.99)

Mp = Sy” + DxyB^ + Dffig, где

S = & В ds\ Sx = £ By ds; 5» == (6 Bxds;

/[j (3.100)

Dx = g B# ds;与=勺 Вл* ds; D” =今 Bxgds.

Параметр S является осевой жесткостью стержня, а параметры Sx, Sp и D соответствуют статическим моментам и моментам инерции сечения. В частности, если по формулам

% = SJS, % = Sx/S

ввести параметры, аналогичные координатам центра тяжести сечения, то из первого равенства (3.99) найдем

” =，一 ®о0； +*<)%)•(3.101)

Рис. 3.20. Сечение с одной (а) н двумя Рнс. 3.21. Составляющие потока каса- (б) осями симметриительных напряжений

Подставляя (ЗЛ01) в последние два соотношения (3.99), разрешим их относительно 8； и 8], т. е.

毋=食(頑-乙丽/% = 良(元。 一A及J(3.102)

В равенствах (3.102) введены следующие обозначения:

.1，图"D0Ы

k = 丁方五＞ 仆=Fjp nv = Ff ；(3」°3)

Mx = Mx — %P, My = M, — %P;

DJ = Dx - yjS, D« - p, - x^S, D^ = Dx；- xoyoS. (3.104)

Равенства (3.104) аналогичны формулам для моментов инерции сечения относительно центральных осей. Окончательно с уче« том (3.101), (3.102) выражение для продольных усилий (3.97) принимает вид

p = B矶与+ "普g +爵矶， (3.105) где

无=* 一 ％ % (у — %)； g = у — % — & а — х0). (злоб)

Полученные результаты соответствуют общей форме сечения. Если оно имеет одну ось симметрии, например ось Ох (рис. 3.20, а), интегралы (3.100), включающие у в первой степени, обращаются в нуль, т. е. Sh = 0, Dxy = 0. Тогда 勿=0,— 0,

nx = ntf = 0, Л = 1, и равенство (3.105) упрощается следующим образом:•

"=В [与+ "^д+«^(х —同・

Для сечения, имеющего две оси симметрии (рис. 3.20, б), дополнительно Sy = 0, № = 0,，== Dy и

" = в(}+~^у +卷 *)♦

В частности, для круглого стержня (см. рис. 3.20, б) при В = =const имеем % = R sin 0. g =左 cos 0, S = 2nBRt Dx = Dy = =HSR' и

"=2й$"[尸 + 备(M* cos P + 此 № 0)] •

Рассмотрим определение касательных усилий N* (см. рис. 3.13). В теории тонкостенных стержней по традиции эти усилия обозначаются через g и называются потоком касательных напряжений. Как будет видно из дальнейшего (см. § 3.4), это название имеет определенный физический смысл. Обозначая в уравнении равновесия (3.87) М = ", N“ = g н интегрируя его по s, получим

? = — J ■^公 + 0©(z)・ (3」07) о

Здесь «о = q(s = 0). Ввиду того, что контур сечения является замкнутым, для вычисления интеграла в формуле (3.107) необходимо выбрать начало отсчета координаты s (рис. 3.21), причем произвольность выбора этой точки компенсируется потоком ^0< Выражение (3.107) может быть переписано в виде

0 = 0q + %， (3.108) где

. 0Q = — J "^■公' (3.109) 7 0

Поскольку % (s = 0) = 0, а % не зависит от & равенство (3.108) допускает полезную физическую интерпретацию, иллюстрируемую на рнс. 3.21 н основанную на том, что в стержне с продольным разрезом поток касательных напряжений на краю сечения обращается в нуль. Действительно, в силу парности касательных напряжений поток, действующий по краю ВС (рис. 3.22), равен нулю в точке В, если продольный край АВ свободен от нагрузки. Таким образом, при вычислении потока qQ удобно считать, что контур условно разрезан в точке (\ (см. рис. 3.21), Тогда постоянный поток % можно считать компёнсирующим этот условный разрез.

Найдем поток 曲.Прежде всего, в силу отмеченного выше, при полном обходё контура он должен обратиться в нуль в точке Ох (см. рнс. 3.21), т. е,

§~^心=0.

Подставляя сюда р (3.105) и учитывая, что согласно равенствам (3.104), (3.106)•

$ вд ds = $ в无& = о, получим

Р = 0.(3.110)

Эго уравнение может быть также получено как условие равновесия элемента оси стержня (см. рис. 3-18) в продольном направлении. С учетом (3.110) результат подстановки (ЗЛ05) в (3.109) можно записать в виде

% = -"卷孔(S)+受л(а ,(3.111)

где

Sx(s) = J By 曲;Sy (s) = J Bx 曲.оо

Функции Sx (s) и Sy (s) соответствуют статическим моментам части сечения, отсекаемой от разреза (см. рис. 3»21), относительно осей Ох и Оу. Найдем поперечные силы (3.88)・ Учитывая (3.108), а также очевидные равенства $±曲=，0厶=0, получим

Q* = $ '£ 曲=$ %£ 曲；

Qy fqy ds = ^qQy ds.

Подставляя сюда q^ из выражения (3.111), используя операцию интегрирования по частям и формулы (3.103), т. е.

i ds By ds =—夕 Вхд ds = — (D^v — %D£)=。； о

^ i ds J Bx ds = — $ Bxi ds = —D； (1 — n^^

(3.112)(3.112)окончательно получим

(3.112)

(3.112)

Q” = M，； Qy — M；・

Уравнения (3.112) следуют также н из условий равновесия элемента оси стержня (см. рис. 3.18). Интегрируя их, найдем

Mg = М； +『Q^dz； м* = М? +jQgdz. (3.113) о о

Здесь индексом 0 отмечены моменты, действующие в некотором начальном сечении z = 0, а поперечные силы определяются равет- ствами (3.91).

Сг учетом уравнений (3.112) выражение (3.111) принимает вид

% = —k ^^ 5Ж (s) + -^- Sy (s) j.(3.114)

Таким образом, составляющая jq порождается поперечными силами, которые определяются выражениями (3.91). Поток q из (3.108) в сечеиии должен сводиться также к крутящему моменту (3.88), т. е.•

Здесь г определяется первой формулой (3.85). Подставляя поток (3.108), получим

Мк 二 ％$r ds + $0Qrds.(3.115)

Первый интеграл здесь находится с помощью рис. 3.23. Величина ds = г ds называется элементарной . секториальной площадью, которая равна удвоенной площади заштрихованного треугольника. При полном обходе замкнутого контура найдем

^)г ds2 尸，

где 尸——площадь, ограниченная контуром сечения (его средней линией). Из равенства (ЗЛ15) получаем

f о = "^Г(М>< — $0Qrds)・(3.116)

Рассмотрим один частный случай — чистое кручение тонкостенного стержня с замкнутым контуром сечения. Принимая Q* = =Qy — 0, из равенств (3.114) и (3.116) имеем:仅=0 н

% = MJ2E(3.117)

Эта формула известна в строительной механике как формула. Р. Бредта. Она позволяет определить поток касательных напряжений при свободном кручении стержня с произвольным замкнутым контуром сечения. Например, в горизонтальных панелях и вертикальных стенках кессона, показанного на рис. 3.19, будет действовать поток 仇 — MK/2ab. Окончательно из равенств (3.108), (3.114) и (3.116) получим следующее выражение для потока касательных напряжений:

q = Q*J (s) + Q咼 ⑻ + 第，(3.118)

где

%(S)=—靑回(S)-步 § Sv(s)r ds];

& (s)= —壶降 ⑸一$ § & (s) r ds].

Рис. 3.24. Сдвиг элемента стержня Рис. 3.25. Составляющие потока каса- единичной длинытельных напряжений, действующих

в сеченнн круглого стержни

Деформация сдвига определяется из закона Гука (3.92), который представим в виде

Y“ = 〃C,(3.119)

где С = % — сдвиговая жесткость стенкн. Отметим, что деформация сдвига может быть найдена и из второго геометрического соотношения (3.94). Подставляя в него перёмещения (3.86), (3.96), получим

Y“ = ±S + %) + g(『 + &) + r0； + fa，办 (3.120)

В связи с тем, что при построении теории были использованы некоторые дополнительные предположения о распределении перемещений по контуру сечения, деформация (3.120) в общем случае не совпадает с (3.119). Такое противоречие является вполне естественным, оно проявлялось и прн построении общей теории в § 2.3, где частично устранялось осреднением сдвиговых напряжений и деформаций по толщине материала. Используем и здесь этот прием, введя операцию эиергётического осреднения по сечению. Заметим, что если исключить из рассмотрения функцию / (х, у), соответствующую, как было показано выше, депланации сечеиия и не определяемую в рамках обсуждаемой теории, то деформация (3.120) выражается через три функции переменной г. Две из них

% =『+%, %.="‘ + 也(3.121)

являются средними углами сдвига и аналогичны углу ф, входящему в равенства (3.10), которые определяли распределение продольного перемещения по высоте балки, рассматривавшейся в §3.1. Третья функция —Ок соответствует углу поворота сечения (приходящемуся на единицу длины) вокруг продольной оси. Запишем потенциальную энергию деформации сдвига элемента стержня единичной длины (рис. 3.24)•

U = -^- 0 0忆 ds = -g- 0 -^-ds*'(3.122)

В результате подстановки потока (3.118) в правую часть (ЗЛ22) энергию U можно выразить через Q*, Q, и %・ Как известно, согласно теореме Кастильяно производная от потенциальной

энергии деформации по обобщенной силе равна соответствующему обобщенному перемещению, т.е.

Окончательно получим

Wx = C*Qx + CxyQy + °хкМк；

ФУ = Cy^^CyQy^c^M^(3.123)

& = CkxQh + ^куСу + СкМк，

где сх = $ 用"^； °叩=Qx = $ F»Fy *； & = $ 尸3 令；％к =где сх = $ 用"^； °叩=Qx = $ F»Fy *； & = $ 尸3 令；％к =

где сх = $ 用"^； °叩=Qx = $ F»Fy *； & = $ 尸3 令；％к =

где сх = $ 用"^； °叩=Qx = $ F»Fy *； & = $ 尸3 令；％к =

Если сечение имеет одну ось симметрии, например Ох (см. рис. 3.20, а), то сх|, = Q工=0 н %к = скх = 0, а при наличии двух осей симметрии (см. рис. 3.20, б) дополнительно с^ = ску = = 0, и равенства (3J23) принимают следующий вид:

*х = CxQx； % = &Qy； Sr = CkMr・

В частности, для круглого стержня, нагруженного силой Q” или крутящим моментом Мк (рис. 3.25), г = R, F = JtRL Sx = =BR^ sin В и

以需sm国g。=侖，% =鳥，% =蟲

Потоки касательных напряжений 0q и q0 показаны на рис. 3.25. Заметим, что в стержне с круговым сечением депланация отсутствует и равенства (3.119), (3.120) дают для деформации сдвига один и тот же результат yzs = ―屮以 sin В + 左6工 В общем случае, как уже отмечалось, эти результаты не совпадают, и при расчетах следует руководствоваться формулой (3.119).

Таким образом, обсуждаемая теория тонкостенных композитных. стержней в основном построена. Соотношения (3-91), (3.110), (3.113) позволяют найти силы и моменты» действующие в сечении (заметим, что условия закрепления и нагружения стержня по концам, как правило, таковы, что величины с индексом 0 являются известными), равенства (3.105) и (3.118) определяют нормальные и касательные усилия " и д, формулы (3.95), (3.119) — продольную и сдвиговую относительные деформации ez и у2в. В результате интегрирования по z соотношений (3.101), (3.102) и последнего равенства (3.123) можно найти осевое смещение w и углы поворота 8工,8屮 % сечения. Подстановка 屮工 и 屮“ из первых двух равенств

Рис. 3.26. К определенгао центра изгиба сеченнн

в соотношения (3.121) и их интегрирование по z позволяет получить прогибы оси стержня 〃(z) и и (z) в плоскостях хг и yz.

Для оценки прочности стержня необходимо знать напряжения в слоях композита.

Для этого следует воспользоваться результатами, полученными в § 1.5, в частности, по формулам, аналогичным (1.26), опреде

ляются деформации слоя:

е{° = ez cos2 取 士 у* sin ф| cos 恥；

e^° = ez sin%» 干 у* sin Ф； cos ⑦；(3.125)

显)=干 % sin 2恥 + %$ cos 2 叫

(знаки ± относятся к симметричным элементарным слоям с углами 士б).

С помощью закона Гука находятся напряжения в слоях:

。ё=砂閩)+幽#］;

或)=成七夕+幽ё門；(3.126)

昂)=G仇似.

Установим положение одной важной точки сечения — центра изгиба^ который обладает следующим свойством: если поперечная сила проходит через центр изгиба, стержень не закручивается. Пусть точка А есть центр изгиба (рис. 3.26). Тогда 0i = 0 и (см. рис. 3.12) & = Q, Qx = 0, Мк = —aQ・ В результате из третьего равенства (3.123) найдем координату центра изгиба

а = 2尸勺乌ds/$*

Полученные выше соотношения могут бьпъ использованы для расчета стержней, подкрепленных продольными ребрами (рис. 3.27, а). В этом случае коэффициенты жесткости типа (3.100) определяются по формулам:

mm

Sp = S + 尸］ABj； S«p = Sx + 尸］ABjjj；

Syp = Sy + £ AB内；DXp = Dx + £ ^Bjy］\ /=1

'mm

Dg = Py + 尸］AB词；D#yp = D” + Il ^^^)У)*

Здесь первые слагаемые соответствуют обшивке и вычисляются согласно (3.100); т — число ребер;大力 勿一координаты сечений

145

Рис. 3.27. Распределение относительных нормальных а (б) и потока касательных @ (в) напряжений по контуру сечеиия (а) подкрепленного стержня ребер (см. рис. 3.27); ДB^ — f^Ej — жесткости ребер 仿一площадь сечения, Е/ — модуль упругости). Напряжения в ребрах определяются равенством, аналогичным (3.105):Рис. 3.27. Распределение относительных нормальных а (б) и потока касательных @ (в) напряжений по контуру сечеиия (а) подкрепленного стержня ребер (см. рис. 3.27); ДB^ — f^Ej — жесткости ребер 仿一площадь сечения, Е/ — модуль упругости). Напряжения в ребрах определяются равенством, аналогичным (3.105):

Рис. 3.27. Распределение относительных нормальных а (б) и потока касательных @ (в) напряжений по контуру сечеиия (а) подкрепленного стержня ребер (см. рис. 3.27); ДB^ — f^Ej — жесткости ребер 仿一площадь сечения, Е/ — модуль упругости). Напряжения в ребрах определяются равенством, аналогичным (3.105):

Рис. 3.27. Распределение относительных нормальных а (б) и потока касательных @ (в) напряжений по контуру сечеиия (а) подкрепленного стержня ребер (см. рис. 3.27); ДB^ — f^Ej — жесткости ребер 仿一площадь сечения, Е/ — модуль упругости). Напряжения в ребрах определяются равенством, аналогичным (3.105):

& = Е/k + m弟+證矶，

Для потока касательных напряжений в обшивке ^охраняются формулы (3.118), только при вычислении функций S# (s), S”(s), входящих в (3.111), учитываются приращения жесткостей ДВ；.

Оо === 0,198 cos 0; £$ = "^―Оо === 0,198 cos 0; £$ = "^―В качестве примера рассмотрим подкрепленную цилиндрическую оболочку (см. рис. 3.27, а) радиуса R — 0,1 м, образованную из трехслойной обшивки с легким заполнителем и несущими слоями из углепластика (см. табл. 1.4), каждый из которых состоит из спиральных слоев с углами армирования ±45° и Суммарной толщиной 0,6Х1(Г8 м и кольцевых слоев с толщиной 0,ЗХ X 10_® м. Оболочка усилена 12-ю одинаковыми ребрами из боро- пластика с площадью сечения / = 10~4 м* В рассматриваемом сечении действуют изгибающий момент Мх = 府 н поперечная сила Qy = Q (см. рис. 3.12). В результате расчета получаем В = 65,5 X X 10-® ГПа.миС = 58,9 X Ю-8 ГПа.м,О^р == 1,84х 1СГ8 ГПа.м4 и следующие выражения для напряжений в обшивке и ребрах:

Оо === 0,198 cos 0; £$ = "^―

Оо === 0,198 cos 0; £$ = "^―

=1,14 8S0J.

Распределение напряжений по сечеиию показано на рнс. 3.27,6. Найдем поток касательных напряжений. Функции S^ (s) на участках сечения вычисляются по формулам (координата s отсчитывается по часовой стрелке от точки /, причем для правой части 146

контура в силу симметрии учитывается половина жесткости ребра, проходящего через точку /):

Shp (0 = ₽!<₽< ₽2)= BR2 sin В + 丁 АВ%;

£р (₽2 < ₽ < Вз)二 BR2 sin В + АВ (｝弘 + %);

Shp (₽з < Р < ₽4 = 90°) = SR* sin Р + АВ (｝必 + 力 + %). В результате получим

"7 _ qR _ R 飞

Знак минус свидетельствует о том, что направление потока противоположно направлению отсчета S智.Распределение потока по контуру сечения рассматриваемой оболочки показано на рис. 3.27, 8.

В заключение сделаем одно замечание. Построенная выше теория, по существу, основывается на двух основных гипотезах — гипотезе о недеформируемости контура сечения, определяющей распределение перемещений в виде (3.84), и предположении о распределении продольных деформаций по закону плоскости (3.95). Если вторая гипотеза является традиционной для рассматриваемых элементов, то первая нуждается в дополнительном обсуждении. Ее правомерность представляется несомненной только в тех случаях, когда жесткость контура сечения обеспечивается специальными конструктивными элементами —стенками, нервюрами, шпангоутами и другими элементами поперечного набора, а также сплошным легким заполнителем (он может быть использован в качестве оправки при изготовлении композитных стержней малого диаметра). Если стержень представляет собой гладкую и тонкую цилиндрическую оболочку, то предположение о бесконечно большой кольцевой изгибной жесткости стенки представляется не вполне обоснованным. В связи с этим рассмотри^ другой крайний случай и вместо условий, приводящих к равенствам (3.82), примем D22 — 0, т. е. будем считать, что контур сечения может свободно изгибаться в своей плоскости. Если сохранить все предшествующие упрощения, касающиеся продольных жесткостей, то исходные уравнения (3.79), (3.80), (3.81) принимают следующий вид:

dz*■一ds' ds

耍=0；

R* 一

0;

(3.127)

Nt~ -^ii^z 4~ ^iaee> M = Si% + B22%； "zs = "$z = 833%$； (3・ 128)

az，

=祭+黄；祟+醬• （3，129）

Ввиду того, что контур сечения не обладает изгибной жесткостью, поверхностные нагрузки приняты равными нулю. Урав-

позволяют получитьпозволяют получитьностных нагрузок. Физические соотношения (3.128) при М = 0ностных нагрузок. Физические соотношения (3.128) при М = 0В = В” 一 (В12/В22).В = В” 一 (В12/В22).(3.131)(3.131)'В"-警=%'В"-警=%(3.132)(3.132)

позволяют получить

позволяют получить

ностных нагрузок. Физические соотношения (3.128) при М = 0

ностных нагрузок. Физические соотношения (3.128) при М = 0

В = В” 一 (В12/В22).

В = В” 一 (В12/В22).

(3.131)

(3.131)

'В"-警=%

'В"-警=%

(3.132)

(3.132)

Рис. 3.28. Зависимость продольной жесткости стенкн от угла армирования для стержней нз бороалюмнння (/), боропластика (2) и углепластика (3) с абсолютно жестким (сплошные лнини) и абсолютно гибким (пунктирные линии) контуром сечення

нения (3.127)—(3.129) соответствуют безмоментной теории цилиндрических оболочек и будут рассматриваться далее в гл. 5. Остановимся здесь только на особенностях, отличающих их от предшествующих уравнений. Из второго и третьего равенств (3.127) следует N8 ~ 0 и Ng = Nu (s), что является следствием отсутствия поверх

М = (в” 一 験)％； % = — 鲁时；М, = &3Yzs・ (3.130)

Сравнивая (3.130) с (3.92), можно заключить, что учет податливости контура снижает продольную жесткость и не изменяет сдвиговую. Принимая далее распределение (3.95) для ег, можно получить прежнее выражение (3.105) для продольных усилий, в котором следует принять

Выражая из первого уравнения равновесия (3.127) сдвиговое усилие, можно получить также формулу (ЗЛ18) для потока касательных напряжений. И наконец, из третьего геометрического соотношения, куда подставляется у订 согласно (3.130), а ц； из (3.96), находится контурное перемещение 〃&, а из второго — нормальное перемещение un.

Таким образом, основное отличие рассматриваемого варианта теории заключается в том, что вместо 8 = 8n используется соотношение (3.131). Если ввести упругие постоянные — модуль упругости и коэффициенты Пуассона и воспользоваться формулами

(1.29), получим

8 — 一 e为

В металлических стержнях, у которых 卩含=0,09, различия между формулами (3.132), определяющими верхнюю и иижиюю границы жесткости реального стержня, как правило, вообще не делается. Однако у композитных материалов произведение коэффициентов Пуассона, а следовательно, и различие между жесткостями, соответствующими абсолютно жесткому и абсолютно гибкому контуру сечения, может оказаться значительным, что и показано на рис. 3.28, Следует отметить, что в стержнях, предназиа-

ченных для восприятия осевых усилий, углы армирования не превосходят 10—15°, а для таких углов различие между сплошными н штриховыми линиями невелико.

Приведем результаты расчета и экспериментального исследования тонкостенных стержней с круговым сечением, изготовленных из стеклопластика и образованных из спиральных слоев с углами армирования ±36° и суммарной толщиной 0,62 X10-8 м и кольцевых слоев с толщиной 0,6 X10-8 м. Радиус стержня R = =0」м. Стержень нагружался осевой сжимающей силой и крутящим моментом. Диаграммы деформирования при осевом сжатии приведены на рис. 3.29. Теоретические результаты, соответствующие жесткому (сплошные линии) и гибкому (штриховые линии) контуру, получены по формулам (3.95), (3.101), (3.130) (при 0i = = % = 0 и замене Р на —Р). Из графика следует, что в рассматриваемом тонкостенном стержне решение, основанное иа предположении о малой изгибной жесткости,контура сечения, лучше согласуется с экспериментом, чем результат, соответствующий гипотезе о жестком контуре. В случае кручения решение определяется последним равенством (3.124) и хорошо подтверждается экспериментальными результатами (рис. 3.30).

Если учитывается податливость контура сечения стержня, формулы (3.125) необходимо заменить на следующие:

&f)= ez cos2 ср» + ee sin2 屮》士 丫窃 sin 屮^ cos 屮》;

或分=8Z sin2 叫 + ee cos2 q)t 干 ％$ sin 叫 cos <p*;

£份=± ® — ez) sin 2(p* + yM cos 2叫.

Здесь деформация ee определяется вторым равенством (3.130). Напряжения в слоях находятся с помощью закона Гука (3.126).

Рнс. 3.29. Завнснмость осевой (ez) и контурной (ев) деформации круглого стержня от осевой сжимающей силы Р: — ——решекке, соответствующие же* сткому контуру；решекне. соответствующее гибкому контуруз О-— ре- аультаты вамереквйРнс. 3.29. Завнснмость осевой (ez) и контурной (ев) деформации круглого стержня от осевой сжимающей силы Р: — ——решекке, соответствующие же* сткому контуру；решекне. соответствующее гибкому контуруз О-— ре- аультаты вамереквйРнс. 3.30. Сравиецне теоретической диаграммы деформирования стержни при крученнн () с экспериментальными результатами (о)'Рнс. 3.30. Сравиецне теоретической диаграммы деформирования стержни при крученнн () с экспериментальными результатами (о)'

Рнс. 3.29. Завнснмость осевой (ez) и контурной (ев) деформации круглого стержня от осевой сжимающей силы Р: — ——решекке, соответствующие же* сткому контуру；решекне. со

ответствующее гибкому контуруз О-— ре- аультаты вамереквй

Рнс. 3.29. Завнснмость осевой (ez) и контурной (ев) деформации круглого стержня от осевой сжимающей силы Р: — ——решекке, соответствующие же* сткому контуру；решекне. со

ответствующее гибкому контуруз О-— ре- аультаты вамереквй

Рнс. 3.30. Сравиецне теоретической диаграммы деформирования стержни при крученнн () с экспериментальными результатами (о)'

Рнс. 3.30. Сравиецне теоретической диаграммы деформирования стержни при крученнн () с экспериментальными результатами (о)'

§ 3・3・ Особенности расчета тонкостенных стержней с открытым контуром сечения

Композиты являются перспективными материалами для изготовления профилей —— тонкостенных стержней с открытым контуром сечения. Они получаются, как отмечалось в § 1. 2, методом протяжки (пултрузии) или формованием из элементов, изготовленных йыкладкой или намоткой. На рис. 3.31 показаны сечения профилей, получаемых из намотанной заготовки квадратного сечения.

В предыдущем разделе были рассмотрены стержни с замкнутым контуром поперечного сечения, причем это свойство сечения было впервые упомянуто при выводе выражения (3.107) для потока касательных напряжений. Все предшествующие результаты, включая формулу (3.105) для нормальных напряжений, остаются справедливыми. Итак, начнем анализ особенностей поведения стержней с открытым контуром сечения с равенства (3.107). Ввиду того, что рассматриваемый стержень имеет свободный продольный край (см. рис. 3.22), на котором отсутствуют касательные напряжения, поместим начало отсчета ксюрдинаты s на этом краю. Тогда g (s = 0) = 0, и в равенстве (3.107) д0 — 0. Таким образом, согласно (3.108) g = 9q, и, как следует из соотношения (3.114), в открытом контуре *

效=т ［号鼠(S)+ 奇& (s)}・ (3.133)

центр изгиба — точку А (рис. 3.32). Крутящий момент, создаваемый потоком касатель-центр изгиба — точку А (рис. 3.32). Крутящий момент, создаваемый потоком касатель-□ITTL JL II□ITTL JL IIРис. 3.31. Сечения стержней, которые могут быть получены из композитной заготовки, образоваииоб методом намоткиРис. 3.31. Сечения стержней, которые могут быть получены из композитной заготовки, образоваииоб методом намоткиПричем интегрирование в формулах (3.100) и других, предполагавших интегрирование по замкнутому контуру, теперь осуществляется в пределах от 0 до Sj (рис. 3.32). Таким образом, в открытом контуре отсутствует поток q* определявшийся в замкнутом контуре равенствами (3.116) или (3.117), вытекающими из условия статической эквивалентности потока касательных напряжений крутящему моменту Мк. Т. е. в рамках рассматриваемой теории крутящий момент не может быть уравновешен потоком касательных напряжений, который согласно (3.133) однозначно определяется поперечными силами Q* и Qy. Более того, направления этих сил должны проходить через вполне определенную точку, которая называется центром изгиба и определяется из уравнения моментов. Рассмотрим стержень» нагруженный силой Q», проходящей через

центр изгиба — точку А (рис. 3.32). Крутящий момент, создаваемый потоком касатель-

центр изгиба — точку А (рис. 3.32). Крутящий момент, создаваемый потоком касатель-

□ITT

L JL II

□ITT

L JL II

Рис. 3.31. Сечения стержней, которые могут быть получены из композитной заготовки, образоваииоб методом намотки

Рис. 3.31. Сечения стержней, которые могут быть получены из композитной заготовки, образоваииоб методом намотки

Рис. 3.32. Стержень с открытым конту- Рис. 3.33. Сечение круглого стержня ром сечеиияс продольным разрезом

ных напряжений (3.133), определяется согласно (3.88) следующим образом (прн Qx = 0):

Л(к = J </r ds ^ —ЛJ Sx (s) г ds.(3.134)

о* 0

С другой стороны, сила Q^ создает момент Мк = ~aQy (см. рис. 3.12, 3.32). Таким образом, из равенства (3.134) имеем

a=^jmjs)r 厶.(3.135)

В частности, для контура, показанного на рис. 3.32, имеем г = Н, D? = 2,67В№ и на участках /—2 и 2—3

sx = внх, sx = в(з№ - де.

Из формулы (3.135) получим а = 1,375". Аналогичным образом определяется и другая координата центра изгиба. Например, для контура, показанного на рис. 3.33,

MK^-k^\sy(s)r ds -Qxb.

Отсюда

Ь = J Sv (s) г ds.(3.136)

Для рассматриваемого контура имеем:左 = 1;、г ='R; D； = =nBR\

S„ = \ Bxds = BR9 \ sin ₽d₽ = B^s (1 - cos ₽) 00

и согласно (3.136) b == 2R. Центр изгиба открытого профиля всегда находится за пределами контура сечения или на контуре. Если этот контур имеет ось симметрии, то центр изгиба располагается

1S1

Рис. 3.34. Слоистый стержень прямоугольного сеченииРис. 3.34. Слоистый стержень прямоугольного сечениина этой осн (но не совпадает с центром тяжести), а при двух осях симметрии он совпадает с точкой их пересечения (т. е. с центром тяжести).

Рис. 3.34. Слоистый стержень прямоугольного сечении

Рис. 3.34. Слоистый стержень прямоугольного сечении

Если сила не проходит через центр и згиба, уравнение моментов удовлетворить не удается. Таким образом, изложенная выше, теория не позволяет рассчитать стержень с открытым контуром сечения на

кручение. Тем не менее реальный стержень, естественно, может воспринимать крутящий момент» однако это связано с двумя эффектами — неравномерным распределением касательных напряжений по толщине стенки, вызывающим крутящие моменты, и возможным стеснением депланации сечения, которые эта теория не учитывает. Ниже обсуждается coqtbетствующая модификация теории, позволяющая описать отмеченные эффекты.

Рассмотрим сначала свободное кручение, при котором условия закрепления стержня не препятствуют депланации его сечений. Из рис. 3.13 следует, что помимо касательных усилий NZ8t не уравновешивающих, как было показано выше, осевой крутящий момент» в сечении действуют еще два силовых фактора — крутящий момент Mz§ и поперечная сила Qz, которые и следует учесть, рассматривая кручение стержня с открытым контуром сечення. Как известно, в теории упругости крутильная жесткость тонкостенного стержня с открытым контуром сечения определяется на основе решения задачи о кручении полосы с сечением в форме вытянутого прямоугольника. Имея в виду использование этого приема, рассмотрим кручение слоистого стержня прямоугольного сечения (рис. 3.34). Основные уравнения могут быть получены из общих уравнений (3.79)——(3.81), упрощенных с учетом особенностей геометрии и поведения обсуждаемого стержня. Прежде всего, поскольку исследуется свободное кручение, примем равными нулю осевые нормальные напряжения. Тогда Л^г = 0 и М% = 0 (см. рис. 3.13). Из первого уравнения (3.79) при этом следует N§z = NsZ (z), и поскольку на продольных краях A^z = О (см. рис. 3.34), то A^z = 山 = 0, т. е. касательные усилия в стержне отсутствуют. Будем считать контур сечения недеформи- руемым, т. е. положим в8 = 0 и х8 = 0. Тогда перемещения и8 и ип (см. рис. 3.34) определяются равенствами (3.86), которые в данном случае (* = & у = 0, £ = 1, г = 0, q = —%) принимают форму

以8 = 〃； мп = и — 8rX：(3.137)

В результате сделанных предположений первое уравнение равновесия (3.79) удовлетворяется тождественно, из второго, четвертого и пятого при необходимости можно определить М, Мл и Qe (согласно рассматриваемым условиям нагружения в этих

уравнениях следует принять ?# = ?п = 0), а третье принимает вид

鲁■-<?* = 0.(3.138)

Для того чтобы обеспечить выполнение принятых гипотез, в физических соотношениях (3.80) следует принять в2 = 0, х2 = =0, Bu f со, Dn -> 8, К* -> со. Тогда из последнего равенства (3.80) следует, что 也 =.0; существенными для дальнейшего являются следующие соотношения:

N” = 388Tze + СззХм =。；

М” = Саз?” + ^ззХм»(3.139)

Qz =凡叭.

Геометрические соотношения (3.81) в результате принимают следующий вид:

“z = “z(S)； Тм = "^" + ^~； Хи = "^" + "^"；

亠亠(3.140)

也= 也(s) = S一鲁；仇=一争・

Итак, обсуждаемая задача сводится к уравнениям (3.138)—(3.140).

Рассмотрим физические соотношения (3.139), в которых согласно равенствам (2.116), (2.123) и рис. 3.34 имеем:

Взз =駕)；Сзз = /$)— е爲)；D33 =應)一2e/g)+ J/日；

得=4t е 磁伊 J 咽)(， =о，1，2); (3141)

…[E党「

Зададим координату поверхности приведения е из условия Си = 0. Тогда из (3.141) получим:

Взз =破；Сзз = 0; D33 = 1^ -•(3.142)

*33

В результате физические соотношения (3.139) дают

Т» = 0« М” == ОззХи； Q? = Ка?・ (3.143)

Полагая во втором равенстве (3.140) у” = 0, подставляя в него 以.согласно (3.137) и интегрируя по 修 получим следующее распределение осевых перемещений:

Из первого равенства (3.140) можно заключить, что 侬 н 〃' не зависят от г, причем первый параметр определяет осевое смещение, а второй — поворот относительно оси у стержня как твердого тела. Закрепляя одно нз сечений стержня, положим 侬=0, 〃' = 0. Отсюда следует, что и = const, причем константа соответствует смещению стержня вдоль осн х, a v во втором равенстве (3.137)— смещению вдоль оси у. Закрепляя стержень от этих смещений, примем а = 0 и о — 0. Таким образом, перемещения точек оси 力(нлн s) сечення стержня имеют внд ,

ue = 0; ип = —&%; uz = 0.(3.144)

Найдем продольные перемещения точек сечення, не лежащих на его оси. С этой целью подставим равенства (3.144) в выражения для углов поворота (3.140):

8# = *z + 8；%； “ = 4・(3.145)

Распределение осевого перемещения по толщине стенкн определяется общими формулами (2.73), т. е. прн а = 0, заменяя иа на / н т на g, получим-

/ —0к^) У-(3.146)

Эта функция описывает свободную деплаиацню сечення. Подставляя углы поворота (3.145) в формулу для кручения %м (3.140) и далее в (3.139), с учетом (3.442) запишем следующие соотношения упругости:

Mz8 = D33 (也 + 20；); Qz = KzWz・(3.147)

Здесь 0K —угол закручивания. Прн подстановке (3.147) в уравнение равновесия (3.138) имеем:

tz — t^z = 0, где

胪=凡力“.(3.148)

Решение этого уравнения имеет внд

% = & sh kx + Са ch kx.

Ввиду того, что продольные края х — ±а/2 свободны от касательных напряжений, на ннх должно выполняться условие М“ == =0. Окончательно согласно равенствам (3.147) получим

m"=2%电(1 -鳥等)；Qz = 一学翳"&，(3・149) где X = 松/2. Найдем суммарный осевой момент, создаваемый моментом н усилием нз (3.149). Согласно рнс. 3.12 н 3.34 имеем:

а/2

мm= j М“厶=2!>3300； (1-4-也九)；

—fl/2

施京-j(2m衣=备凡曲(1 一；中*).

С учетом обозначения (3.148)

М = Мм + Mq = D/Oi,(3.150)

где

Df = 4D^a ^1 —；齿入)(3.151)

——жесткость при свободном кручении. Для однородного (однослойного) стержня в выражении (3.141) для 1^ следует принять 4 = 0, & =瓦友=0 (i А 2). Тогда, учитывая, что Лм = GM, D33 = G订胪/12, К% r Gznh, получим

Dz = cG^ah3; c = 4~(l —；th»;入喏

Отметим, что задача о кручении однородного стержня прямоугольного сечения допускает точное решение 1591, от которого приближенное решение, полученное выше, отличается тем, что при выводе исходных уравнений в § 2.3 осуществлялось осреднение деформации сдвига е2П по толщине стенки. Это различие ■ проявляется в выражении для коэффициента с, который в точном решении имеет следующий вид [59]:•

g岑S %(]-盘也费)，.

П—1( 3, 5...

Eed=-^M^・

На рис. 3.35 представлено сравнение точных (точки) и приближенных (сплошные линии) зависимостей с от относительной толщины Л/а й отношения n = Gzn/б28. Погрешность приближенного решения, равная для изотропного стержня квадратного сечения (т. е. при п=1, h/а = 1) 7,8 %, быстро убывает при увеличении а/Л и п. В частности, при n = 1 и а/Л > 2,5 она не превышает 3 %, а при а/ft > 5 ——1 %. Осевое смещение (3.146) с учетом полученного решения для 取 принимает вид

= & ( 2；Г； + х)协

Распределение / по сечению, M2S и Q± ——по х для стержня с параметрами п = I, alh = 5 показано на рис. 3.36.

Для тонкостенного стержня, у которого 入》1, вторым членом в скобках равенства (3.151) можно пренебречь, так как его значение мало по сравнению с единицей, и записать следующее приближенное выражение для крутильной жесткости:

Df = 4DMa.(3.152)

В работе [59] получено точное решение для тонкостенного трехслойного стержня, состоящего из изотропных слоев с толщи*

ной Л, причем крайние слон имеют модуль сдвига 01э а средний —— G*・ Соответствующее выражение Для жесткости имеет вид

+(3.153)

Согласно равенствам (3.141) при /0 = 0, " = Л, /в = 2Л, /3 = ЗЛ получим:

l^ = h(2Gi + G^; l^^^^Gt + G^ 盧)= $(20Gi +7G2);

D33 = j§" (26G1 + GJ •

Результат подстановки в (3.152) в точности совпадает с (3.153).

Из рис.' 3.36 следует, что при переходе от формулы (3.151) к приближенному выражению (3.152) краевой эффект вблизи свободных продольных кромок стержня не учитывается, что соответствует предположению о равномерном распределении крутящего момента Мы по координате х. Если контур сечения тонкостенного стержня представляет собой систему т прямых линий, то, Пренебрегая аналогичным образом краевыми эффектами в местах сопряжения участков, можно обобщить равенство (3.152) следующим образом:.

m

D, = 4 £ D^ а/.(3.154)

/7

Здесь D£? и а/ — жесткость стенки на /-м участке контура и его длина. Например, для стержня, сечение которого показано на

рис. 3.32, имеем: % = Н, % = =2Н, а3 = Я и D/ — 16D88H. Формулу (3.154) можно далее обобщить на криволинейный Открытый контур:

Рис. 3.36. Характер депланации сечения и распределении крутящего момента 后2s и поперечной силы 名 по ширине стержня прямоугольного сече-Рис. 3.36. Характер депланации сечения и распределении крутящего момента 后2s и поперечной силы 名 по ширине стержня прямоугольного сече-Рис. 3.35. Точные (о) и приближенные (—；~) зависимости коэффициента е крутильной жесткости от относительной толщины стержня и параметра « = Gm/G”Рис. 3.35. Точные (о) и приближенные (—；~) зависимости коэффициента е крутильной жесткости от относительной толщины стержня и параметра « = Gm/G”Df = 4^D„(s)ds. (3.155)

Рис. 3.36. Характер депланации сечения и распределении крутящего момента 后2s и поперечной силы 名 по ширине стержня прямоугольного сече-

Рис. 3.36. Характер депланации сечения и распределении крутящего момента 后2s и поперечной силы 名 по ширине стержня прямоугольного сече-

Рис. 3.35. Точные (о) и приближенные (—；~) зависимости коэффициента е крутильной жесткости от относительной толщины стержня и параметра « = Gm/G”

Рис. 3.35. Точные (о) и приближенные (—；~) зависимости коэффициента е крутильной жесткости от относительной толщины стержня и параметра « = Gm/G”

Рис. 3.37. Деформации круглого стержня с замкнутым (а) и открытым (6, в) контурами сечеиия при свободном (6) и стесненном (б) крученииРис. 3.37. Деформации круглого стержня с замкнутым (а) и открытым (6, в) контурами сечеиия при свободном (6) и стесненном (б) крученииРис. 3.38. Элемент стержня с открытым контуром сечеиияРис. 3.38. Элемент стержня с открытым контуром сечеиия

Рис. 3.37. Деформации круглого стержня с замкнутым (а) и открытым (6, в) контурами сечеиия при свободном (6) и стесненном (б) кручении

Рис. 3.37. Деформации круглого стержня с замкнутым (а) и открытым (6, в) контурами сечеиия при свободном (6) и стесненном (б) кручении

Рис. 3.38. Элемент стержня с открытым контуром сечеиия

Рис. 3.38. Элемент стержня с открытым контуром сечеиия

Здесь интеграл распространяется на всю длину контура. Например, для контура, показанного на рис. 3.33, получим D/ = 8nR方開, Для стержня из однородного материала с модулем сдвига G订 при толщине стенки Л имеем DM = G*§胪/]2 и Df = 2wGz&RM/3. Для трубы без разреза из последнего равенства (3.124) при С = =0«Л крутильная жесткость D = 231GzeR%, т. е. Df/D =胪/3RL Таким образом, крутильная жесткость тонкостенных профилей с открытым контуром сечения значительно меньше жесткости стержней такой же массы с замкнутым контуром сечения. Различие в поведении сравниваемых стержней иллюстрируется рис. 3.37.

Рассмотрим теперь стесненное кручение, при котором условия закрепления стержня препятствуют свободной депланации его сёчений (см. рис. 3.37, 8). В результате в/стержне возникают осевые нормальные усилия, поток касательных напряжений (рис. 3.38) и, как следствие, повышается его крутильная жесткость. Для ns лучения соответствующих расчетных соотношений сохраним гипотезы о недеформируемости контура сечения (&& = 0, х8 = 0) и отсутствии деформации сдвига (у28 = 0), принятые выше при анализе свободного кручения, и учтем дополнительно осевые усилия М, которые в задаче о свободном кручении считались равными нулю. Перемещения жесткого контура должны удовлетворять уравнениям (3.82), т. е. иметь форму (3.86):

% = 〃尤 + 叨 + 用к； / =— 〃歹 + 以 + т]0к,(3.156)

а условие отсутствия деформации сдвига согласно (3,94) дает

魯当=0■

Подставляя сюда и, с помощью (3.156) и интегрируя nos, получим

修=侬(z) — if* — о*у — 0к J г ds.(3.157)

о

Учитывая использованную выше в равенстве (3.115) элементар« ную секториальную площадь ds = rds, введем секториальную характеристику сечения

(3.158)(3.158)со = rds.

(3.158)

(3.158)

Распределение продольных перемещений (3.157) аналогично обе у ждавшемуей ранее распределению (3.96)——функция w (z) определяет осевое перемещение сечения, а функции (—“') и (—р*) соответствуют углам поворота сечения относительно осей у и х (см. рис. 3.12). Последнее следует из равенств (3.121). Принимая в них 屮* = 0,屮у = 0 (деформация сдвига стенки не учитывается), получим 0Х = —с/, б?= ——〃‘.В результате соотношение (3.157) ^принимает вид

以z =侬 + 力仇 + У^х — 8；s(s)・ (3.159)

Произведение 8；<о аналогично функции f в равенстве (3.96), т. е. определяет депланацию сечения, которая пропорциональна углу закручивания 0r. Например, для контура, изображенного на рис. 3.33, ds = R2 dp н со = /?2р. Соответств ующа я депланация сечения показана на рис. 3.37, 6. Продольная деформация согласно равенствам (3.94) и (3.159) имеет вид

加=劈 =” +灼】+如】一 бк«).(3.160)

Дальнейшие преобразования аналогичны проведенным в § 3.2 при выводе формулы (3.105) для нормальных усилий. Сравнивая равенства (3.95) и (3.160), можно воспользоваться полученными в § 3.2 результатами, если заменить ez на ez + &s и, поскольку рассматривается чистое кручение (см. рис. 3.38), принять Р = =Мх = Му = 0. Окончательно получим следующие выражения, аналогичные (3.101), (3.102), (3.105):

и =争&一 (％ 毋 + X。％)； (3.161)

8* н 也 *то" (^®ж — ®SJ)y) 0К; % —'k -j-т- (S% — лж5а)х) 0K;

р^ — в ⑹(字 +B"^ g + B"^ 尤一 8)《.(3.162) Здесь S, DJ, Dy вычисляются по формулам (3.100), (3.104), только интегрирование по замкнутому контуру заменяется интег- рированнэм от s = 0 до s = Si (см. рис. 3.38); параметр k и обобщенные координаты 无，у определяются равенствами (3.103), (3.106);

S3 = J 5<о 曲；8ШХ = j B®y ds; 5шу = J Bsx ds;

SS)# = S®* — {ZoSq) ； Sop = S(ny — XqSq)

и ❾ выражается формулой (3.158). Интегрирование соотношений (3.161) и последующая подстановка в равенство (3.159) дают

厶=侬(0) + х6,(0) + W* (0) + 爸(So2 - %Sb) 0； +

+(^®* — 〃，s&j e；・(3.163)

Здесь w (0), 0У (0), 0Ж (0) являются осевым смещением и углами поворота некоторого начального сечения.

Поток касательных напряжений находится из уравнения равновесия (3.87). Учитывая наличие свободного продольного края (т. е. с。= 0), с помощью (3.162) можно получить следующее равенство, аналогичное (3.114):

q®= — СфОк»(3.164)

где

СЗ =李豆(S)一乱(S) +左号•&(s)+左 *甌(s).

Функции S# (s) и Sy (s) были введены при выводе формулы (3.114):

S (s) = J В ds, Е® (s) = J Bcods.оо

Ввиду того, что S (%) = S и S* (%) = Sy (^) = 0, поток (3.164) удовлетворяет условию на втором свободном краю (рис. 3.38): g❷(s = sj = 0. Непосредственной проверкой можно также убедиться в том, что его равнодействующие по осям хну равны нулю. Поток % статически эквивалентен крутящему моменту:

М ❷=J g❷ rds =： — Da 0КУ(3.165)

о

где.

^ш = / См ds,(3.166)

о

а г было введено ранее (см. рис. 3.16) и определяется первым равенством (3.85).

Суммарный крутящий момент, очевидно, складывается из момента, аналогичного (3.150):

М = 5%

соответствующего свободному кручению, и момента (3.165), вызванного стеснением депланации сечений:

Мж = D/6K - 入仇一

или

0ж -加載=翁"，

где

/л* = Df/D^(3.167)

Для случая Мк = const решение этого уравнения имеет вид 0к = -^^ + & sh mz + & ch mz 十 Q ・

Произвольные постоянные С1( Cs, С3 определяются из граничных условий.-

Рассмотрим в качестве примера стержень, жестко закрепленный в сечении z = 0 и нагруженный в сечении z = / крутящим моментом Мк (см. рис. 3.37, & обозначения показаны на рис. 3.37, а). Тогда при z — 0 должны обращаться в нуль перемещения и8, un (3.156) и uz (3.163), т. е. при z = 0 следует принять а = р = =w (0) = 0, 0х (0) = % (0) = 0, 也=8； = 0. При z = / должно обращаться в нуль нормальное усилие (3.162), т. е. 0к = 0. Итак, постоянные Ci，Cs, С3 определяются из условий 0к (0)= =0к (0) = 0к (!) = 0. В результате получим

& = "^^ [mz — sh mz + (chmZ — l)th ml].

Для круглого тонкостенного стержня с продольным разрезом (см. рис. 3.33, 3.37, 6)имеем:

х0=0; 物=0； х = х; 0 = у; <» = R隼；

S = 2nBR; S« = 2л2В₽8; SL=0; 5% = —2兀3个；Л= 1;

D? = D；=兀 SR*

т. е. согласно равенству (3.162)

ps = BR” (兀一2sin в — В)е；

и

S (s) = BRB； Se (s) = у BR 軍；

Хж(5)= BR* sin p, Sy (s) = B/?1 (1 — cos P),

т. e. на основании формулы (3.164)

— с©9ж,

где C—BR3 (呻 _}/ — 2 + 2cosp).

Распределение нормальных и касательных усилий по контуру сечения показано на рис. 3.39, а, 6・ Жесткости Df и D❷ выражаются следующим образом:

D/«y nCR^ Dtt = 4 м — 6)兀 BRL

Рис. 3.39. Распределение относительных нормальных (%) и потока касательных (q^ напряжений при стесненном кручении круглого стержня с открытым контуром сечения

Для исследования влияния эффекта стеснения депланации сечения на крутильную жесткость рассмотрим стержень из углепла

стика (свойства материала приведены в табл. 1.4), стенка которого образована из слоев с углами армирования ср = ±45° и толщиной f,2x 10-3 м и продольных (<р = 0) слоев с толщиной 1,2 X 10"3 м. Радиус сечеиия R = 0,1 м, длина / = 20R. Запишем соотношение, связывающее крутящий момент Л4К с углом закручивания сечения z — / по отношению к сечению z = 0 — Л0К = =0к (0 — 0К (°), т. е.

Мк = D Д0К,

где для стержня без разреза (см. рис. 3.37, а) А =罕 CW；

для стержня с разрезом при свободной депланации сечения (см. рис. 3.37, 6)

5=斗=警 CRh*

и для стержня с разрезом при стеснении депланации сечения z = 0 (см. рис. 3.37, 8)

п 一

Учитывая, что ml имеет малое значение (в рассматриваемом случае ml = 0,0577), разложим th ml в степенной ряд. В результате с учетом (3,167) получим следующую приближенную формулу:

& =豁=警・(3.168)

Для рассматриваемого стержня имеем D* = 195 кН-м, D,= =0,038 кН-м, D3 = 5,6 кН-м. Таким образом, стеснение депланации сечения приводит к значительному (примерно в 150 раз) увеличению жесткости разрезанного стержня, которая тем не менее остается существенно (в 35 раз) меньшей жесткости неразрезанного стержня. Поскольку из формулы (3.168) формально следует, что О3 -> оо при / -> 0, заметим, что построенная выше теория стесненного кручения справедлива для стержней, длина которых значительно больше размеров поперечного сечения. При

Васильев В. В.、 161

кручении коротких стержней существенными оказываются деформация сдвига и искажение формы контура сечения, которые при построении теории не учитывались.

В заключение отметим, что если помимо крутящего момента в сечении действуют изгибающие моменты, продольная и поперечные силы, то нормальные усилия складываются из р (3.105) и "® (3.162), а поток касательных напряжений — из % (3.133) и q® (3.164). При этом поперечные силы переносятся в центр изгиба, а полученные в результате этого переноса крутящие моменты алгебраически суммируются с заданным.

3.4. Особенности расчета тонкостенных балок с многозамкнутым контуром сечения

Рассмотренную в § 3.2 расчетную модель широко используют для анализа тонкостенных балок большого удлинения, работающих на общий изгиб и кручение и имеющих сложную многосвязную форму поперечного сечения. На рис. 3.40 в качестве примеров показаны схематические сечения крыла большого удлинения, фюзеляжа, самолета и кессонной конструкции. Одна из возможных композитных конструкций такого рода представлена на рис* 3.41. Она состоит из трех тонкостенных балок прямоугольного сечения, которые изготовлены методом намотки под углами Ф = ±45° к оси, усилены по горизонтальным полкам продольно армированными (屮=0) слоями и соединены поперечно армированными (屮=90°) слоями, уложенными методом намотки. Такая конструктивная схема является перспективной для многолонжеронного композитного крыла летательного аппарата [67].

Воспользуемся принятыми в § 3.2 гипотезами о недеформируе- мости контура сечения и линейном изменении продольных деформаций (3.95) по координатам хну (см. рис. 3.41). Тогда для рассматриваемой тонкостенной балки справедливы все результаты § 3.2, связанные с определением нормальных напряжений, и, в частности, формула (3.105) для продольных усилий "•

свойствасвойствавлена из углепластика,влена из углепластика,Рис. 3.40. Сечеиия тонкостенных стержней с многозамкнутым контуромРис. 3.40. Сечеиия тонкостенных стержней с многозамкнутым контуромВ качестве примера рассмотрим конструкцию, показанную на рис. 3.41. Примем, что она изгото-

свойства

свойства

влена из углепластика,

влена из углепластика,

Рис. 3.40. Сечеиия тонкостенных стержней с многозамкнутым контуром

Рис. 3.40. Сечеиия тонкостенных стержней с многозамкнутым контуром

Рис. 3.41. Прямоугольный консольный кессон с трехзамкнутым контуром сечення

Рнс. 3.42. Распределение относительных нормальных напряжений по контуру сечення кессона которого приведены в табл. 1.4, причем :)

толщина слоев с углами армирования ±45° составляет 0,6 X10— м, а толщина продольных и поперечных слоев соответственно 1,2х 10"8 м и 0,3x 10"3 м. Тогда для панелей /—^ и 8—5, включающих слои с углами 士45°, 0 и 90° (см. рис. 3.42), получим продольную жесткость В = 249 МПа м и сдвиговую жесткость С = 35,4 МПа-м. Для крайних стенок /—8 и 4—5, состоящих из слоев с углами ±45° и 90°, В = 32,8 МПа-м, С = 29,4 МПа-м и для средних стенок 2——7, 3——6, включающих слои с углами ±45° удвоенной по сравнению с крайними стенками толщины В = 61,9 МПа м, С = 55,9 МПа м. Поперечная сила, изгибающий и крутящий моменты, действующие в сечении z = = const, согласно схеме нагружения, показанной на рис. 3.41, имеют следующий вид:

Qb=券《 — z尸；必=告(/ —z)3; Мк = ^-{1 — z)8.

В заделке (z = 0), т. е. в сечении, где действуют максимальные сила и моменты, и которое будет дальше рассматриваться,

Qu =号；mх =咎；g=警=^・(3.169)

Продольные усилия определяются равенством (3.105), в котором следует принять Р = 0, Му = 0,左=1, g =弘 т. е.

" = B(s啮协

где Di = 762 Н3 МПа-м4 и принято Ъ = 2". Характер распределения относительных усилий р — рН2/Мх в сечении z = 0 показан на рис. 3・42・

Основные особенности расчета тонкостенной балки с многосвязным контуром поперечного сечения проявляются при определении потока касательных напряжении, для которого справедливы равенство (3.108), т. е. g = 0q 屮 g。, и формула (3.114) для 0q. Как уже отмечалось в § 3.2, для определения потока qQ необходимо выбрать начало отсчета контурной координаты & причем удобно вводить в этой точке условный разрез контура сечения, который компенсируется постоянным вдоль контура потоком %. В случае многозамкнутого сечеиия необходимо сделать столько таких разрезов, сколько в нем замкнутых контуров, и соответственно ввести столько же неизвестных потоков 妳 Например, в трехзамкнутом контуре, показанном на рис. 3.43, необходимо сделать три условных разреза и ввести три потока %卜 ^02, ^. Для записи суммарного потока касательных напряжений удобно

Рнс. 3.43. Потоки касательных напря> женнй, компенснр ующне условные разрезыиспользовать функции. £2^ (рис. 3.44), равные единице на участках контура сечения, где действует поток qoii и нулюРнс. 3.43. Потоки касательных напря> женнй, компенснр ующне условные разрезыиспользовать функции. £2^ (рис. 3.44), равные единице на участках контура сечения, где действует поток qoii и нулюРнс, 3.44. Вспомогательные функцииРнс, 3.44. Вспомогательные функциина остальных участках. Тогдана остальных участках. Тогдаm0 = 0Q + e 000•m0 = 0Q + e 000•(3.170)(3.170)

Рнс. 3.43. Потоки касательных напря> женнй, компенснр ующне условные разрезы

использовать функции. £2^ (рис. 3.44), равные единице на участках контура сечения, где действует поток qoii и нулю

Рнс. 3.43. Потоки касательных напря> женнй, компенснр ующне условные разрезы

использовать функции. £2^ (рис. 3.44), равные единице на участках контура сечения, где действует поток qoii и нулю

Рнс, 3.44. Вспомогательные функции

Рнс, 3.44. Вспомогательные функции

на остальных участках. Тогда

на остальных участках. Тогда

m

0 = 0Q + e 000•

m

0 = 0Q + e 000•

(3.170)

(3.170)

Здесь m — число контуров. Отметим* что goi обозначают здесь амплитудные значения, а зоны действия направления потоков определяются функциями А・'

Для полученного в результате введения условных разрезов открытого контура необходимо построить функции S* (s) и Sv (s), входящие в равенство (3.114). В частности, для рассматриваемого примера имеем

%=-A(s)・

Распределение Sx (s) показано на рис. 3.45. Заметим, что для определения направления S* (s) и, следовательно, % можно руководствоваться аналогией с потоком жидкости, текущей по каналу в форме контура сечения. С этой аналогией и связано название «поток касательных напряжений».

Поток g должен сводиться к заданным в сечении поперечным силам Qx и Qy, что обеспечивается составляющей qQ (3.114), а также к заданному крутящему моменту А1К. Для выполнения последнего условия необходимо составить уравнение моментов относительно оси Oz (см. рис. 3.41), которое с учетом формулы Бредта (3.117), определяющей момент, создаваемый постоянным потоком qOt имеет вид'

m

L (g) = J rqQrds+2 ^ qotFt = AfK.'(3.171)

<=1

Здесь интеграл распространяется на все участки контура, по которым действует поток %; г определяется первым равенством (3.85), a Fi — площадь, ограниченная средней линией i-ro контура сечения.

Итак, коль скоро поток qQ известен, остается найти m потоков gOh связанных одним уравнением (3.171). Ввиду того, что все

Рнс. 3.45. Распределение статического момента отсеченной части сечения по его контуру

уравнения статики для усилий, действующих в плоскости недеформируемого сечения, удовлетворены, можно

заключить, что рассматри

ваемая система является статически неопределимой, причем степень статической неопределимости равна /и—1, где /и — число замкнутых контуров. При /и = 1 единственный неизвестный поток W1 находится из уравнения моментов (3.171), что и было сделано в § 3.2. Для решения задачи необходимо привлечь уравнения совместности деформаций, которые могут быть получены с помощью вариационных принципов, рассмотренных в § 2.1. Запишем потенциальную энергию участка тонкостенной балки единичной длины (вдоль оси Oz). Учитывая равенство (3.170), имеем

U = J"^ds = J (凌+2&£狗阈 + £ 2gofW/QQ/)罢•

(3.172)

Согласно принципу минимума потенциальной энергии деформации (2.26), уравнения совместности деформации могут быть получены в результате минимизации U по qoi. Предварительно необходимо учесть, что потоки qoi связаны уравнением моментов (3.171). С помощью этого уравнения один из потоков можно исключить из энергии (3.172), однако лучше воспользоваться методом условной минимизации функционала и построить расширенный функционал типа (2.27)

П = U+ ^^-1(4)1

Здесь 0к — множитель Лагранжа, с помощью которого вводится условие Мк — L (力 = 0. В соответствии со смешанным вариационным принципом, обсуждавшимся в § 2.1, этот множитель является обобщенным перемещением (в данном случае углом закручивания). Минимизируя П по ^оь т. е. записывая условия dn/dgoi = 0, получим

(3.173)(3.173)2^" (J V 效爲 ds + 工 ％/ J "^ cq, ds) = 0к.

(3.173)

(3.173)

Здесь I = 1, 2, 3, ..., m, т. e. число уравнений (3.173) совпадает с числом искомых потоков 夕底・ Эти уравнения допускают простую физическую интерпретацию. Их левые части являются углами закручивания отдельных контуров, которые в соответствии с (3J73) должны быть равны общему углу закручивания сечения 8；・ Этот

Рнс. 3.46. Распределение относительного потока касательных напряжений по контуру сечення кессонаРнс. 3.46. Распределение относительного потока касательных напряжений по контуру сечення кессонаРнс. 3.47. К определению центра изгиба

Рнс. 3.46. Распределение относительного потока касательных напряжений по контуру сечення кессона

Рнс. 3.46. Распределение относительного потока касательных напряжений по контуру сечення кессона

результат становится очевидным, если учесть, что сечение является недеформируемым в своей плоскости и при кручении поворачивается как жесткий диск. Уравнения (3.173) можно разрешить относительно ^оЬ т. е.

他=Q*R「+ Qu&" + 8次俨・(3.174)

Здесь учтено выражение (3.114) для %, а через R обозначены коэффициенты, включающие жесткостные и геометрические характеристики сечения. Подставляя потоки (3.174) в уравнение моментов (3.171), найдем угол закручивания

6к = —^―[g(Л4к — J 4q『ds) — Q* £ R^Fi 一

£T -

После определения 8； равенства (3.174) позволяют вычислить потоки д(и， а формула (3.170) —— получить суммарный поток касательных напряжений.

Для рассматриваемой в качестве примера балки с трехзамкнутым контуром сечения (рис. 3.41) уравнения (3.171), (3.174) имеют следующий вид:

—6,05Qg" + 4№(9oi + «оз + 9оз) = Мк；

的1 = 0」68鲁 + 27,9/06"0:；

的2 = 0,5尊 + 33,7」06"比；

003 = 0,5粤 + 29・1。6"限.

Для закрепленного сечения (z = 0) с учетом связи (3.169) между Мк и Qy отсюда получим & = 0,28-10~9 Q///2 и 毎= =0,25Q/〃，«о? — 0,59QJ〃，доз = b,92Qj". Суммарный поток касательных напряжений показан на рис. 3.46.

Рассмотрим определение центра изгиба сечения. Пусть Q& = 0, а сила Qx проходит через центр изгиба А (рис. 3.47). Тогда, по 166

определению центра изгиба, угол закручивания равен нулю. Принимая в равенствах (3.174) Q^ — 0, 0к = 0, получим

Здесь qQi — потоки доЬ соответствующие силе, приложенной в центре изгиба. Координата центра изгиба а (см. рис. 3.47) определяется из уравнения моментов (3.171), если принять в нем Л1К = =—Q*a и qoi = «о*. Учитывая, что согласно (3.114)

найдемнайдем% =一也奇3同,% =一也奇3同,

найдем

найдем

% =一也奇3同,

% =一也奇3同,

。=訊当（w必亠2甩呼.

Расчет стержней без учета эффекта стеснения ^депланации сечения рассматривается в работах [79, 84, 92], теория стесненного кручения стержней с открытым контуром сечения изложена в [9, 25], теория стесненного кручения и изгиба тонкостенных балок с многозамкнутым контуром сечеиия представлена в работах [25, 65].

Глава 4

Композитные панели и пластины

Плоские прямоугольные панели и пластины других форм, образованные из совокупности различным образом ориентированных композитных слоев, обладают высокой удельной прочностью и жесткостью, используются в качестве элементов обшивки самолетов, кораблей и других конструкций. Отметим, что пластины из анизотропных материалов — фанеры, дельта-древесины, текстолита, а также подкрепленные панели, часто рассматриваемые как конструктивно анизотропные, являются традиционными элементами конструкций самого различного назначения и подробно описаны в работах [3, 4, 7, 12, 53, 56, 58, 73, 87]. В настоящей главе основное внимание уделяется особенностям практического расчета композитных панелей. 、

Уравнения теории слоистых пластин

ал^ 洲刘_ муал^ 洲刘_ мудхдх=0;=0;(4.1)(4.1)Плоские панели предназначены для восприятия нормальных и сдвигающих усилий, приложенных вдоль контура, а также нормального давления, распределенного по поверхности (рис. 4.1). Введем систему координат %, у, z (рис. 4.1) и запишем исходную систему уравнений (2.108)——(2.110), в которых следует принять Ах = А2 — 1, % = ”2 = 1, Ri f 8, R2 f 8 H заменить а, 0, у иа %,弘 z. Уравнения равновесия (2Л08), физические (2.109) и геометрические (2. ПО) соотношения записываются следующим образом;

ал^ 洲刘_ му

ал^ 洲刘_ му

дх

дх

=0;

=0;

(4.1)

(4.1)

衣 + 帀+ p = o； P = "-g;

(4・4)(4・4)"% = Bn% + 312% + &1翼工 + CnXy；Ny = 5»18« + 旦 22% + &1*эа + Ge*M

(4・4)

(4・4)

NX、— ЗззУху 十 СдзХху；'

(4.4)

М* = &1gx + G2% + Du*x 十，2*у；

мУ = c2g + С^у +021КХ +022*加

(4.5)

Мху = C33Y” + °33%ху；

Qx = KxWx； Qy = Ку%；(4.6)

ди .

dv .

% =砍

du dv ,

(4.7)

f " dy

'^» ад 1 a* '

(4.8)

& = N

% — % 'а“・

Обобщенные жесткости слоистой панели определяются равенст- 'вами (2.116), (2.123), (2.124), т. е.

(4・9)(4・9)DmnDmn=/為一2"^ +『，儂,=/為一2"^ +『，儂,Втп = /тп> Стп = /тп — в/тп>

(4・9)

(4・9)

Dmn

Dmn

=/為一2"^ +『，儂,

=/為一2"^ +『，儂,

где (см. рис. 2.11)

л饱

喘=J Amnfdt =者 £ 确(疗 _ 磔;)(г = 0, 1, 2) О/=1

1—11—1…信*…信*

1—1

1—1

…信*

…信*

Граничные условия обсуждались в § 2.4. Статические условия предполагают задание на краю х = const усилий и моментов N*、 心中 Qx, Мх, Мху) а на краю у = const — усилий и моментов 储，必у，Qy，乂屮 М叩，геометрические условия записываются через перемещения 〃，и, w начальной плоскости z = 0 и углы поворота нормали к ней 0^, 0У. Рассмотрим подробнее условия,

Рнс. 4.1. Прямоугольная слоистая пластина

Рнс. 4.2. Схема опнрання панели обшивки

предполагающие отсутствие прогиба и смещений вдоль края и свободное смещение поперек края, т. е.

при х — const

⑪=0, у — 0, Оу = О, N* = О, = 0;

при у = const .(4.10)

⑪=0, и = 0, 0Х = О, N у = 0, Му = 0.

Условия (4.10) имеют две особенности- во-первых, они допускают представление решения уравнений (4.1)——(4.8) в двойных тригонометрических рядах, каждый член которых удовлетворяет этим условиям, что принципиально упрощает решение, и, во-вторых, они хорошо моделируют распространенные схемы закрепления панелей. Рассмотрим в связи с этим рис. 4.2, на котором показана схема типовой панели обшивки крыла самолета. Поперечные кромки л = 0 и л = а опираются на тонкие стенки (нервюры), жесткие в своей плоскости (что обеспечивает выполнение условий 5 = и = 8у = 0) и податливые при нагружении в направлении оси х (т. е. можно принять N* — М* — 0). Продольные кромки опираются на ребра (стрингеры), обладающие высокой изгибной жесткостью в плоскости хг и низкой (см. § 3.3) крутильной жесткостью, что также обеспечивает приближенное выполнение условий (4.10).

Система (4.1)—(4.8) включает 21 уравнение, является полной (т. е. содержит столько же неизвестных) и может быть приведена к двум группам уравнений, соответствующим задачам о нагружении панели в своей плоскости и изгибе. Для получения первого из этих уравнений введем функцию напряжений Эри F (% у):

Подстановка усилий (4.11) в уравнения равновесия (4.1) приводит к их тождественному удовлетворению. Для определения функции 尸(л, у) необходимо в соответствии с общей схемой решения плоской задачи теории упругости в напряжениях воспользоваться уравнением совместности деформации, которое следует из геометрических соотношений (4.7):

翁+甞一謐=。■(4」2)

Выразим из физических соотношений (4.4) деформации ех, 8У, уху. Учитывая равенства (4.11) и формулы (4.8), будем иметь:

。 с сп аеж п х«.

一 С而

гдегде% =-д-；%% =-д-；%(4.15)(4.15)Исключим теперь деформации (4.13) из физических соотношений (4.5). Вводя следующие обозначения:Исключим теперь деформации (4.13) из физических соотношений (4.5). Вводя следующие обозначения:С叩=%(С18 —~* &1)； Ср* = сж(Ci2— С22) ； (4 ]»С叩=%(С18 —~* &1)； Ср* = сж(Ci2— С22) ； (4 ]»

где

где

% =-д-；%

% =-д-；%

(4.15)

(4.15)

Исключим теперь деформации (4.13) из физических соотношений (4.5). Вводя следующие обозначения:

Исключим теперь деформации (4.13) из физических соотношений (4.5). Вводя следующие обозначения:

С叩=%(С18 —~* &1)； Ср* = сж(Ci2— С22) ； (4 ]»

С叩=%(С18 —~* &1)； Ср* = сж(Ci2— С22) ； (4 ]»

ВиВ121

号；分尸%L君；c = x，0J4) В = В11В22 — В；2；

Вх = } (В22cli — 518^X8)； By = * (ВцС^ — 812cl2)；

Bxy = -g~ (В22^18 — 318c22)；

By* = }(Зц&2 — &2Сц)； С = "^"

Подставляя деформации (4.13) в уравнение (4/2), запишем первое уравнение разрешающей системы

% 衣■ +（" 2с”）浜硬+県而L

=5妙貲+ (J + C)藹+ (%+g 爲+ 丛,岁• (4.16)

D* - Du — CUBX - CizByx； Dy = D22 - a2% — &#*6； 。叩=Dia — &止外一C^By\ Dyx = D12 — С82Вуж — С12&;

о = ^(адзз-с|з), окончательно получим

此=A赞+ %普+ G券+ e"票;

(4.18)(4.18)% =与普+% 察+&穿+ 5券;

(4.18)

(4.18)

%= 一e 嘉" + D 傳 + 罂).

Рассмотрим уравнения равновесия (4.2), (4.3). Из уравнений (4.2) имеем

qх=警+弩；Q-符+警・(4」9)

Подставим эти выражения в уравнение (4.3)

兽+2号+寸+"0.(4.2。)

171

С помощью соотношений (4.18), (4.20) можно записать второе уравнение разрешающей системы

厶醬 + (加 + %)+ Q° + DQ^^ +

+ 与-^ + c^v^~ + & + & - 2C)飞窮尸 + К工脸■ + " = 0.

(4.21)

И наконец, два последних уравнения получим, если подставим в равенства (4.19) поперечные усилия, записанные с помощью формул (4.6), (4.8), в виде

Qh=Kh&+翁)；Qu=Ky(% +芻)

и моменты согласно (4.18). В результате будем иметь:

雾气一也+*3雾气一也+*3

雾气一也+*3

雾气一也+*3

+ C^-S- +(C«-C) 17^];

需=-% + ^[% 争+(0+ %)爵+0岩 +

“ 1(4.22)

+ Сун 第 + (С у - С) ^У.

Таким образом, теория композитных панелей сводится к уравнениям (4.16), (4.21), (4.22), включающим в качестве неизвестных функцию напряжений 尸，углы поворота нормали 0Я, 0у и прогиб w. Если эти функции найдены, то по формулам (4.13) и (4.8) определяются деформации и кривизны начальной плоскости z = 6 н с помощью равенств, аналогичных (2.75), т. е.

^х = ех Ч" 2乳工；％ = % + ZXy； В” = Тху + ^Хху (4.23) может быть получено распределение деформаций по толщине панели. Далее соотношения типа (1.26) (знаки 土 соответствуют слоям с углами армирования ±ф, рис. 4.1)

G = % cos2 屮 + % sin2 ф 土 ％у sin ф cos ф；

% =片 sin2 屮 + % cos8 ф 干 exy sin ф cos 中； (4.24) 公2 = ± (% — %) sin 2ф + e” cos 2ф позволяют найти деформации в слоях, а закон Гука

5 = £1(^1 + 阿2&)； 02 =反(G + 附侈1)；八 Се、

с(4.25)

%* = 012^12

— определить напряжения, по которым можно судить о прочности отдельных слоев и панели в целом. Ввиду того, что одной из возможных форм разрушения композитных панелей является расслоение от касательных напряжений тя2,工妙，запишем соответствующие выражения, вытекающие из равенств (2.78), (2.92) и (4.23):

% j 血一(瓦1+

+ 当2 衣 + 4 衣.+ 8開丁 + 5» 丁卜 (4 26) /z = _ j (需+誓)dz=-(瓦1誉+以1箸+

+ 6酬可 + 52可 + 533 -^- + b38 k)，

где

zz

“ Bmn = Bnm = J 4mn 血；Cmn = ^nm = J 4mnZ dz.

Приведем также выражение для вариации полной энергии, которое, понадобится в дальнейшем. Согласно равенствам' (2.111), (2.114), (2.115) в рассматриваемом случае получим

sne = 6U —64,(4.27)

где

6U = J J (必68H + %68y + 必就％ + Л4ябхя + ■

+ Мубк? + Мну%? + Qh№ + Q每办)dxdy,(4.28)

64 = J J p8wdxdy.(4.29)

Уравнения (4.16), (4.21), (4.22) соответствуют общей расчетной модели композитной панели и учитывают как возможную несимметричность в расположении слоев по толщине, так и деформации межслоевого сдвига. На практике необходимость в одновременном учете этих эффектов возникает довольно редко. Одним из немногих примеров такой ситуации является расчет трехслойных панелей, в которых необходимость учета деформаций сдвига вызывается наличием легкого и податливого на сдвиг заполнителя (см. § 2.11), а нес имметр ич ность структуры связана со специальными (например, теплозащитными) требованиями, в силу которых несущие слои должны иметь различную структуру и толщину. Как правило, существенным является лишь один из этих эффектов —

несимметричиость структуры илн деформации сдвига, поэтому исходные уравнения можно упростить.

Наибольшее упрощение достигается, если структура панели симметрична относительно срединной плоскости или такова, что в равенствах (4.9) смешанные жесткости Cmn — 0 (加几 =11, 12, 22, 33) (см. § 2.5). Тогда согласно соотношениям (4.15) Вх ~ Ву = =Вху = Вух = С = 0, и уравнение (4.16) принимает вид

小凉+(с-2cH+ g审=0.(4.30)

Это уравнение описывает плоское напряженное состояние панели, при котором она деформируется под действием контурных усилий Тж, Ту, Тху (см. рис. 4.1) без изгиба. Типовым случаем такого нагружения является воздействие, при котором перечисленные усилия равномерно распределены по сторонам панели, т. е. являются постоянными. При этом функция напряжений может быть выбрана в виде полинома

尸=%(73 +7К) - 7砂私

который тождественно удовлетворяет уравнению (4.30). Из равенств (4.11) "н = TXi Ny = J1?, Nxy =北力 т. е. получим однородное (не зависящее от координат) напряженное состояние. Деформации выражаются через заданные усилия с помощью равенств (4.13), которые упрощаются следующим образом:

% = %7工—С/Ту； % = %7у — ^yx^ х* Yxg = ^Тху (4.31)

Напряжения в слоях определяются соотношениями (4.24), (4.25), в которых согласно (4.23) / = ея, еу = еу, еху = 丫工夕 В равенства (4.31) входят средние модули упругости и коэффициенты Пуассона Ех, Еу, Gxyt 卩尤^,卩？尤.Они выражаются через коэффициенты податливости (4.14):

j=方；e尸表；6Н尸击；% = *；

(4.32)(4.32)% = 2

(4.32)

(4.32)

(й — толщина панели) и далее через мембранные жесткости Втп (4.9), которые не зависят от порядка расположения слоев, т. е. равенства (4.32) справедливы для панелей с любой структурой.

Итак, для пластин с симметричным расположением слоев уравнение (4.30), описывающее плоское напряженное состояние, отделяется от уравнений (4.21), (4.22), описывающих изгиб. Согласно формулам (4.17) в рассматриваемом случае Сх = Су = Сху = Н сух = 0； D= =011； Dy =022； оНу = Dgx =012； D =038。

результате уравнения (4.21), (4.22) принимают следующий вид:%礬 + (012 + 2%) (^^ + ^^) +

+ °g飞声+力=0;

票=-也 + 6 ［du 歌 +(2" + 0зз) ^" +"33 辞］；

(4.33)

嘗=+宕［% 等+(% + %)豔+033 学］.

Если не учитывать также деформацию поперечного сдвига, приняв 驳工 f 8, Ку f 8, то из двух последних уравнений (4.33) имеем

也=一需；%=T，(4・34)

а первое уравнение после подстановки (4.34) определяет прогиб

L@) = /,(4.35)

где

厶 @)= 5 若+• +

+ ) "^Г ；01=011；02 -022； 4 Н012 + 2D33*(4.36)

Уравнение (4.35) является классическим уравнением теории изгиба ортотропных пластин.

Рассмотрим теперь уравнения, учитывающие несимметричный характер расположения слоев по толщине н не учитывающие деформации поперечного сдвига. При 驳工 f 8 н Ку f 8 из общих соотношений (4.22) следуют равенства (4.34). В результате уравнения (4.16) и (4.21) принимают следующий вид:

%器 +(e- 2е") a弱 +分絵 +

+ ВW 窘 + (Вн + By — 2С)-^^" + Вну 窈=0; (4.37) 厶磐 + 2 (2D + % + %) ^^ +

+ а 券一кУ 礬-(Q + 好一26 冷一

fН祭=瓦(4.38)

Уравнение (4.37) описывает плоское напряженное состояние, а уравнение (4.38) — изгиб. Существенно, что в первое уравнение

175

входит прогиб, а во второе — функция напряжений, т. е. при несимметричном расположении слоев по толщине нагружение панели в ее плоскости сопровождается изгибом, а нормальное давление в общем случае вызывает появление мембранных усилий. В случае симметричного расположения слоев уравнения (4.37), (4.38) переходят соответственно в (4.30), (4.35).

Выше были получены общие уравнения теории композитных панелей и их различные упрощенные варианты, которые используются в зависимости от особенностей структуры конкретных панелей, рассматриваемых в следующих разделах.

Гладкие слоистые панели с симметричным расположением слоев

Выше при обсуждении уравнений (4.37), (4.38) отмечалось, что при произвольном характере расположения слоев по толщине плоское напряженное состояние сопровождается изгибом. Такое свойство панели, усложняющее ее поведение под нагрузкой и увеличивающее трудоемкость расчетов, трудно признать достоинством. Более того, можно показать, что при прочих равных условиях панель с симметричным расположением слоев обладает большей изгибной жесткостью (мембранная жесткость от порядка расположения слоев не зависит). Действительно, рассмотрим, например, коэффициент Dn, определяемый равенством (4.9). Для получения собственной изгибной жесткости стенки найдем е из условия Си = =0. В результате получим

О„ = /# — [")『〃[：)•(4.39)

При вычислении интегралов /£? перейдем к координате 厶=f —— — (й/2), отсчитываемой от срединной плоскости / = й/2. Тогда Dn определяется равенством (4.39), в котором

、Л/2

/[? = J An^dzu

—Л/2

Разложим функцию 4n (г^ на симметричную и обратносимметричную составляющие (относительно срединной плоскости), т. е. Лп = /0(21) + fo к) Тогда очевидно, что

Л/2Л/2

4Р= j g; №)= J /oZidz1；i〃/2»-л/2

Л/2

-i/2

Из формулы (4.39) следует, что жесткость 0n будет максимальной, если 八？ = 0, т. е. если /0 (厶)= 0 и функция Ли (厶)симметрична относительно срединной плоскости.

176

Итак, при формировании структуры композитной панели слои следует располагать симметрично относительно срединной плоскости. Отметим, что если отсутствуют специальные требования, определяющие пцрядок расположения слоев, то структура, как правило, может быть сделана симметричной, так как толщина элементарного композитного слоя весьма мала. Пусть, например, панель должна включать традиционный набор слоев углепластика с углами ±45°, 0 и 90°, а толщина элементарного однонаправленного слоя составляет 0,1 х 10~3 м. Тогда толщина рассматриваемой комбинации слоев составляет 0,4 х 10~3 м, а толщина пакета с симметричной структурой должна быть вдвое больше, т. е. 0,8х 10~3 м. Следовательно, симметричная структура может быть реализована в рассматриваемом примере, если расчетная толщина панели не меньше 0,8 X10-3 м. Жесткости слоистого материала с симметричной структурой определяются равенствами (2.129):

Л/2

Втп = 2 £ Amn(Z, - 方―i)； См = 0；

I …(4.40)

Dmn =于 К Am(2/ — H—i)・

Координата z здесь отсчитывается от срединной плоскости (с = = й/2), а суммы включают слои, лежащие по одну сторону от этой плоскости.

Частным случаем симметричной структуры является однородная, для которой соотношения (4.40) дают:

^и == Er力；В】碧==В?】卩工уЕх^； В*===豆уЛ;

Взз = GXyh\ Стп = 0; Z)u = Ех~^; О1а = D%* =卩先yE# 1^* ； м川(4.41)

D22 sss Еу 1^~;£)“ = Gxy "j^； J, у = J, "(1 — НхуНух)*

Отметим, что слоистая структура, как правило, не является строго однородной, однако при малой относительной толщине элементарного слоя и большом числе их регулярно чередующихся комбинаций формулы (4.41) иногда обладают приемлемой для практических расчетов точностью. В качестве примера рассмотрим продольно-поперечную структуру, образованную из чередующихся элементарных слоев углепластика с толщиной 0,1 X 10-3 м и углами 90° и 0° (к срединной плоскости примыкают с обеих сторон слои с углами 90°, далее слои с углами 0°, затем 90° и т. д.)* На рис. 4.3 (кривая /) показано изменение погрешности А в определении изгибной жесткости по формулам (4.41) по отношению к формулам (4.40) в зависимости от числа слоев. Из графика следует, что в случае большой разницы в свойствах регулярно укладываемых слоев

Рис. 4.3. Изменение погрешности, получаемой при вычислении изгибной жесткости слоистой пластины на основеРис. 4.3. Изменение погрешности, получаемой при вычислении изгибной жесткости слоистой пластины на основеРис. 4.4. Геометрические параметры прямоугольной пластиныРис. 4.4. Геометрические параметры прямоугольной пластинымодели однородного материала, в зависимости от числа слоев:/ — для углепластика 0/90; 2 — для углепластика 0 и органопластика 0 ■■модели однородного материала, в зависимости от числа слоев:/ — для углепластика 0/90; 2 — для углепластика 0 и органопластика 0 ■■(в рассматриваемом случае у продольных слоев Ех = Ег = =180 ГПа, а у поперечных Ех~ =七2 = 6,2 ГПа) соотношениями

Рис. 4.3. Изменение погрешности, получаемой при вычислении изгибной жесткости слоистой пластины на основе

Рис. 4.3. Изменение погрешности, получаемой при вычислении изгибной жесткости слоистой пластины на основе

Рис. 4.4. Геометрические параметры прямоугольной пластины

Рис. 4.4. Геометрические параметры прямоугольной пластины

модели однородного материала, в зависимости от числа слоев:

/ — для углепластика 0/90; 2 — для углепластика 0 и органопластика 0 ■■

модели однородного материала, в зависимости от числа слоев:

/ — для углепластика 0/90; 2 — для углепластика 0 и органопластика 0 ■■

(4.41) следует пользоваться с большой осторожностью —— погрешность становится меньшей 5 % при 左 N 56 H при дальнейшем увеличении числа слоев убывает очень медленно. Она уменьшается при выравнивании жесткостей слоев ——кривая 2 на рис. 4.3 соответствует чередующимся продольным слоям углепластика (Ех = =180 ГПа) и органопластика (Ех = 72 ГПа). Если структура образована из одинаковых слоев, формулы (4.40) совпадают с (4.41) и Д = 0. Действительно, из (4.40) следует, что

Л/2_

^mn = 2Дтп ^^ (厶—Z/i) = 2Атп -g- = EJi;

Л/2

%n =等 4n ^ (^? — ^Т) = ^Amn (伞)=邑告.

Ai

При расчете тонких композитных панелей, которые не содержат слоев из пенопласта, резины и других материалов, обладающих низкой сдвиговой жесткостью, учет деформаций поперечного сдвига, как правило, не вносит существенных уточнений. В результате панель с симметричной структурой пакета может быть описана уравнением (4.35). Рассмотрим на основе этого уравнения изгиб гладких прямоугольных пластин (рис. 4.4) с различными условиями закрепления.

Предположим, что пластина свободно оперта по всем сторонам, т. е. в соответствии с равенствами (4.10) на краях прогиб и изгибающие моменты обращаются в нуль. Изгибающие моменты со- 178

гласно (4.5), (4.8), (4.34) и (4.40) выражаются через прогиб следующим образом:

Л43c = D^i%x + D]z*y； Л4у =。21Kx +。22乂而

(4.42)

一研；%=一审;一研；%=一审;厶尸2-^舒厶尸2-^舒

一研；%=一审;

一研；%=一审;

厶尸2-^舒

厶尸2-^舒

Зададим прогиб в виде двойного тригономётрического ряда W(X，协=京 £ wmn sin 1mx sin Xny, (4.43)

где wmn — постоянные; % = nmla\ In = nnlb. Каждый член ряда (4.43) удовлетворяет условиям отсутствия прогиба и изгибающих моментов на опорном контуре. Для определения искомых постоянных и/т〃 представим нагрузку р, входящую в уравнение (4.35), рядом, аналогичным (4.43): ・

р(х，у)=玄 ®PmnSin 1mxsin%/,(4.44)

где a b

Ann = $ J J p.(x. y'ismk^sinknydxdy.0 0

Для наиболее распространенного случая воздействия равномерного давления 力=% = const имеем

ртп =(m, п = 1, 3, 5 ..

尸у^тп v *1 * 丿'(4.45)

Ртп = 0 (加，门=2, 4, 6 ...).

Подставляя ряды (4.43), (4.44) в уравнение (4.35) и приравнивая коэффициенты при одинаковых комбинациях тригонометрических функций в левой и правой части, получим

叫nnLmn = Pmnt(4.46)

где

厶 е = 5 爲 + 2ОД^ +。簿.(4.47)

Окончательно для случая равномерного давления равенства (4.43)—(4.47) позволяют записать решение в виде

、_ 16P俨 D ВsiiiMsinXny

"‘白白 m [5 (咚у + 2D,得)7 + D^]

Для оценки степени сходимости ряда (4.48) рассмотрим в качестве примера квадратную (а = Ь) пластину, состоящую из слоев

179

бороалюминия с углами армирования ±45°. Для такой пластины Dj = Da = D, D3 = 1,38£>, а максимальный прогиб может быть записан следующим образом:

5卜=4~, У = 4") =^^"£4,(4.49)

где

«>1 = 2,1 • КН - 3,1 -10-8 + 2,9-10'4 - 5,6-10"8 Н;

叫=-3,1 • КН + 2,9・ IO"4 — 5,1. io-б + 1,3・ 10-6;

叫=2,9-10-* - 5,1 • 10-5 + 1,3-10-5 一 4,4. IL H;

叫=_ 5(6-10-» + 1.3-10-8- 4,4-10-в4- 1,Ы0-в.

Можно заключить, что ряд (4.49) сходится настолько быстро, что для определения максимального прогиба достаточно учесть только первый член. Погрешность прн этом составляет 0,55 %. Однако для вычисления напряжений в соответствии с равенствами (4.23)——(4.25) необходимо определить кривизны деформированной поверхности, т. ё. согласно формулам (4.42)——вторые производные от прогибов. Для квадратной пластины, рассматриваемой в качестве примера, найдем 丨

% (* = 4"，у = +) = — ^^^£%(4・5。)

где

%! = 2.Ы0-1 - 3,1 -IO'8 + 2,9-IO'4 - 5,6-10-5 4;

х8= - 2,8-IO"2 + 2,6.10-» - 4,5-10-* + 1,1 • КН;

х5 = 7,2-10-»- 1,2-IO'3 4-3,3-IO"4 - 1,1-10-4;

出=_ 2,7• IO-1* + 6,4• 10"4 -2,2-10'4 + 5,4• 1 Of.

Ряд (4.50), полученный в результате двукратного дифференцирования прегнба, сходится медленнее, чем разложение (4.49). Его первый член определяет кривизну с ошибкой в 13」 %, удержание членов с номерами, включающими т — 39 п = 3t снижает эту погрешность до 2,3 %, а сохранение членов с номерами т = 5, п = 5 доводит ее до 1 %.

Сходимость рассматриваемых рядов существенно ухудшается для удлиненных панелей, у которых bla < 1 (см. рнс. 4.4). Формально причиной этого эффекта является наличие в коэффициентах ряда (4.48) параметра тЫа, который при Ыа < 1 возрастает медленнее т. Если принять, что в случае квадратной пластины для вычисления прогиба и кривизны можно ограничиться членами, включающими соответственно /и = 1 н 加=5, то можно определить число членов ряда, которые следует учитывать при Ыа < 1. Например, для пластины с отношением Ыа = 0,5 прн вычислении прогиба /и = 3, а при определении кривизны /п = 11. Для рассматриваемой в качестве примера пластины нз бороалюминия при 180

Ыа = 0,5 коэффициенты ряда типа (4.50) с индексами 3,1; 5,1; 7,1; 9,1; 11,1 составляют от первого (1,1) соответственно 43 %; 15 %, 6,7 %; 3,4 %, 1,9 %. С физической стороны ухудшение сходимости рядов при Ыа < 1 связано с тем, что в удлиненной пластине прогиб в средней части практически не изменяется по продольной координате, а разложение константы в ряд Фурье по синусам требует большого числа членов. Предельным случаем является бесконечно длинная панель, у которой Ыа = 0. При этом разложение (4.48) преобразуется следующим образом:

5 =霜 £ ； sin^* £ =sln統，=蟲⑵_2Ь歹+状力 m=inasi

(4.51)

Заметим, что (4.51) является решением уравнения (при 户=%)

d^w -S^ = p'd^w -S^ = p'(4.52)(4.52)

d^w -

S^ = p'

d^w -

S^ = p'

(4.52)

(4.52)

Рис. 4.6. Система координат для прямоугольной пластины .Рис. 4.6. Система координат для прямоугольной пластины .

Рис. 4.6. Система координат для прямоугольной пластины .

Рис. 4.6. Система координат для прямоугольной пластины .

которое следует из (4.35), если считать, что оу не зависит от х, и определяет прогиб полоски единичной ширины, показанной на рис. 4.4. Зависимость относительного максимального прогиба wm = WnD/ipob^) от Ыа для пластины из бороалюминия показана на рис. 4.5. Из графика следует, что при а》5b пластину можно рассчитывать по формулам типа (4.51), соотвётствующим бесконечно большому удлинению.

В диапазоне 0,2 < На < 1 решение (4.48) в форме двойного тригонометрического ряда эффективно только для определения прогиба. Вычисление кривизн и тем более их производных, требуемых согласно равенствам (4.26) для получения межслоевых касательных напряжений, связано с учетом в рассматриваемых рядах большого числа членов. Следует отметить, что эта операция не представляет затруднений при использовании вычрслительной техники, а простота выражений для коэффициентов рядов типа (4.48) позволяет реализовать ее даже на микрокалькуляторе. В связи с этим решения в двойных тригонометрических рядах будут неоднократно строиться и реко

Рис. 4.5. Зависимость относительного максимального прогиба от отношения сторон пластины, нагруженной равномерным давлениемРис. 4.5. Зависимость относительного максимального прогиба от отношения сторон пластины, нагруженной равномерным давлениеммендоваться для практических расчетов в дальнейшем. Однако

Рис. 4.5. Зависимость относительного максимального прогиба от отношения сторон пластины, нагруженной равномерным давлением

Рис. 4.5. Зависимость относительного максимального прогиба от отношения сторон пластины, нагруженной равномерным давлением

для столь простой задачи, как изгиб панели, рассматриваемой в упрощенной постановке, желательно получить замкнутое решение, обладающее достаточной степенью точности во всем диапазоне изменения геометрических параметров и справедливое не только для свободного опирания, но и для жесткого закрепления краев.

Для расчета прямоугольных пластин обычно рекомендуется решение в одинарных тригонометрических рядах вида

5(Х，^) = Е Kn(x)sin 統协n=l

При этом на краях у = U, у = b обеспечивается выполнение условий свободного опирания, а функции Wn (х) находятся в результате решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка и позволяют удовлетворить любые граничные условия на краях х = 0, х — а. Многочисленные примеры таких решений приведены в работе [58]. Одинарные ряды сходятся значительно быстрее двойных, однако, во-первых, они могут быть построены только для пластин со специальными граничными условиями, во-вторых, для ортотропных пластин выражения для коэффициентов этих рядов оказываются настолько громоздкими, что вычисление даже нескольких первых членов трудно признать более простой операцией, чем суммирование медленно сходящихся двойных рядов.

В связи с изложенным выше воспользуемся методом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям (метод 、 В. 3. Власова и Л. В. Канторовича), эффективность которого для приближенного решения задач изгиба пластин показана в работах [9, 65]. Рассмотрим пластину, у которой а^ b (рис. 4.6), и представим ее прогиб в виде

s (х, у) =W (х) f (у),(4.53)

где f (у) — функция, выбранная так, чтобы были удовлетворены по крайней мере геометрические граничные условия на продольных краях у = 0иу = Ь, В качестве такой функции можно принять решение уравнения (4.52), определяющее, как уже отмечалось, прогиб полоски единичной ширины (см. рис. 4.4). Если продольные края свободно оперты, т. е. f (0) = f" (0) = f (b)= =f" (b) = 0, то в соответствии с (4.51)

f = »-2by+0y.(4.54)

Для защемленных продольных краев, т. е. при f (0) = f (0)= =f (b)=广 ® = о,

f =『3 — 界.(4.55)

Для определения функции 犷(х) воспользуемся вариационным принципом Лагранжа (см. § 2.1). Вариация полной энергии 182

“ (4.27)—(4.29) в рассматриваемом случае имеет вид а/2 ь

6(= j」[(%詳奈"(霖)+

+ (%詳+ %奈凤詳)+4"^Х

X6 (磊)一心]力9 =0.

Подставив сюда w (х, у) согласно (4.53), получим а/2

J (D^CiWdW +0^^"^ + IF6IF*) + —а/2

+ D22p3W6W + 4D98c4W,dW, - cp6W)dx = 0,(4.56)

где ъъъb

c^^dy; &=Jf7d驴 c^\(fydy, c4 = fOdfz； (4.57) ооо0

% = \pfdy.

0

Для пластин с закрепленными продольными сторонами f (0)= =f (b) = ° в результате интегрирования по частям

Сз = J rfdy = - J (ГУ dy = - q. (4.58) оо

Используя свойство коммутативности операций варьирования и дифференцирования и формулу интегрирования по частям, например а/2а/2*

J ^"dWdx = J W (6W)r dx = [^б^]^ -

宀 а/2—а/2

а/2

—I ^(Swy dx = ^"bW^n - iw^bw^n + i/2

а/2+ J W^bWdx,—а/2

из соотношения (4.56) можно получить следующее вариационное уравнение

DllC1Ww - 2 (Dm + 2Dw) с^ + D22c3W = ср (4.59)

183

и естественные граничные условия на краях х = ±а/2: (5g 向-d/4 犷)61r = 0;

(5gIT" — D12c4Wf + 4。3“《犷‘)8W = 0.(4.60)

Если эти края свободно оперты, условия (4.60) выполняются в результате того, что на таких краях W = Wn = 0. В случае жесткой заделки 必=犷‘ =0. И наконец, для свободных краев в (4.60) обращаются в нуль выражения в круглых скобках, первое из которых в силу равенств (4.42), (4.53), (4.57), (4.58) соответствует моменту М#, а второе ——приведенной поперечной силе

Q； = Q* +響，

которая вводится в классической теории изгиба пластин и подробно обсуждается в работе [9 ]. С учетом обозначений (4.36) уравнение (4.59) можно записать в виде

犷IV 一 2密m* + f^W = kp.

.где总=?£；谈П後；"=备。.

Решение этого уравнения

4

犷=犷。+ £ Cm①m(X)(4.61)

включает частное решение % (х) и функции Фт (х), форма записи которых зависит от соотношения между 1^ и 経 Если 竹 < 局,

.то

Фг = ch rx cos /%; Ф2 = sh rx sin /х;

Ф3 = ch rx sin 及； Ф4 = sh rx cos tx,

где r = N-y-(忌 + 届)；f = J/^ 3 (^2 —硝.

Для функций Of можно записать следующие. полезные соотношения:

Ф1 = гФ《一/Фз； Фг =尸。3 + f①4；

Фз — гФг + f®； Ф4 = гФ1 — f ① 2；

ф]=(产一产)Ф1 - 2t/Ф2； 。2 =(#一0)①2 + 2"① 1；

ф；=(产一产)ф3 + 2〃Ф《；ф； = (г2 -产)Ф4 - 2〃Фз；

ф* = г (? — 3户)ф《+ f (产—3?) Ф3;

ф； = Г (产—3尸)03 - f (产一3产)Ф4;

ф； = г (/ — 3户)Ф2 — f (У — 3产)Ф1；,

Ф； = г (г2 - 3f2) Oj + f (『一3f2) ф2.

При抬 > 抬

Фт = ch 厶％;①2 = ch г/； Фз — sh 厶尤；①& = sh rax,

где 厶押=М ^1 T —也;.

В дальнейшем будем рассматривать только равномерное давление р = р0 и симметричное относительно оси у (см. рис. 4.6) закрепление. Тогда в решении (4.61) следует принять С§ = С& = 6 (прогиб должен быть четной функцией от х), т. е. получим

W W.+ СХФХ (х) + СаФа (х), где

Mo = PoC/(Dg)； о = J fdy.(4.62)

О

Постоянные С\, С2 находятся из граничных условий на поперечных кромках х = 士а/2.

Приведем окончательные выражения для четырех основных случаев закрепления.

Если продольные края свободно оперты, в качестве аппроксимирующей функции f используется функция (4.54), коэффициенты q (4.57), (4.58), (4.62) имеют следующие значения:

“ =0,04921 b°; с& = —& = 0,48571 &7; с3 = 4,8У; с = 0,2》.

Для свободно опертых поперечных краев (т. е. если на краях W = WH = 0) получим

皿(/у) = % n 一 Л (61①一 2旷+方办 где /皿(/у) = % n 一 Л (61①一 2旷+方办 где /(4.63)(4.63)%&)%&)①1 (%)①；-①2(*)可石毎一伪岡①1 (%)①；-①2(*)可石毎一伪岡(4.64)(4.64)

皿(/у) = % n 一 Л (61①一 2旷+方办 где /

皿(/у) = % n 一 Л (61①一 2旷+方办 где /

(4.63)

(4.63)

%&)

%&)

①1 (%)①；-①2(*)可石毎一伪岡

①1 (%)①；-①2(*)可石毎一伪岡

(4.64)

(4.64)

Здесь верхней чертой отмечены значения соответствующих функций и их производных при х = а/2. Для квадратной (а — Ь) пластины из бороалюмииия с углами армирования 士45°, которая рассматривалась выше в качестве примера,

г? ch /-.ж ch 九в — r； ch 厶丿 ch 从]

W = 0,042 -g- 1W = 0,042 -g- 1~G —，；)ch%chE]x

W = 0,042 -g- 1

W = 0,042 -g- 1

X (/ — 2犷 + b3y),

где 厶=4,8/6; q = 2,06/6; Xx =厶。/2, 斯=raa/2.

Максимальные значения прогиба и продольной кривизны

w(£，4") =0,0034 弟i, Хх(4,等)=0,031 哈 (4.65)

совпадают (при принятой точности вычислений) с точными значениями. При увеличении удлинения пластины (прогиб всегда

185

аппроксимируется функцией f вдоль короткой стороны), точность построенного решения увеличивается, а при Ыа = 0 оно совпадает с точным решением. Максимальная погрешность проявляется, если сравнить кривизны 乂工 н 乂^ в центре квадратной пластины. Эти величины должны быть одинаковы, однако, рассматриваемое приближенное решение — несимметричное в отношении координат х и у—дает различные результаты—х, определяется вторым равенством (4.65), а & = O,O33po6a/D.

Если продольные края свободно оперты, а поперечные защемлены (т. е. на них W = №' = 0), выражение, аналогичное (4.63), имеет вид

皿(爲 у) = % U - Fa(x)J & - 2Ms + 6s办

匕(%)匕(%)0t⑺可一5⑻而;®1®； —®2®；0t⑺可一5⑻而;®1®； —®2®；(4.66)(4.66)где

匕(%)

匕(%)

0t⑺可一5⑻而;

®1®； —®2®；

0t⑺可一5⑻而;

®1®； —®2®；

(4.66)

(4.66)

В случае защемленных продольных краев аппроксимирующая функция f принимается в форме (4.55) и коэффициенты ^ (4.57), (4.58), (4.62) имеют следующие значения:

q = 0,001587&*; & = —& = 0,01905b7;

，.q=0,8状；c = 0,033336.

Прогибы, соответствующие свободно опертым и защемленным поперечным, краям, определяются следующими выражениями:

皿 %— 巴(x)j

И»(X, у) = % U —爲(х)】乡"(分—力.

Здесь /\ и 爲 соответствуют равенствам (4.64), (4.66), а частное решение WQ имеет форму записи (4.62).

Отметим, что решения для консольных ортотропных пластин, полученное рассматриваемым методом, приведены в работе {651*

Традиционной формой нагружения панелей, работающих в качестве элементов тонкостенных конструкций, является воздействие нормальных сжимающих или касательных усилий, вызывающих потерю устойчивости плоской формы равновесия (рис. 4.7). Рассмотрим в линеаризованной постановке (см. § 2.9) задачу устойчивости композитных панелей с симметричным расположе-

Рж. 4.7. Прямоугольная пластина, иа- Рис. 4,8. Форма потери устойчивости груженная усилиями, действующими пластины, сжатой в одном направлении в ее плоскости

нием слоев по толщине. Для этого необходимо записать уравнения устойчивости (2.179)—(2.181), учитывающие докритические усилия Nx = —Тж> ^J = —Ту, Niy = —Тху (см. рис. 4.7) в условиях равновесия. Эти уравнения формально совпадают с уравнениями (4.1)—(4.8), если в уравнении (4.3) ввести некоторое условное давление

/ _(7Н器+ 2%爲+g盜):(467)

Подставляя р согласно (4.67) в уравнения (4.21), (4.33), (4.35), (4.38), можно записать общие уравнения устойчивости, а также уравнения, соответствующие различным упрощенным вариантам теории, рассмотренным в § 4.1. В частности, если структура панели симметрична по толщине, а деформации межслоевого сдвига не учитываются, с помощью равенств (4.35), (4.67) получим классическое уравнение устойчивости

/) +二霸+ 2%盡+厶詳=0.(4.68)

Задачи устойчивости ортотропных пластин, описываемые уравнением (4.68), подробно обсуждаются в работе [58].-

Рассмотрим наиболее распространенный расчетный случай —— одноосное сжатие свободно опертой пластины (рис. 4.8). Полагая Ту = Тху = 0, перепишем уравнение (4.68) в виде

L ㈣+ 7\ 竊=0.(4.69)

Необходимо найти минимальное значение Тж, при котором уравнение (4.69) имеет ненулевое решение w (х, 办 Для свободно опертой по всем сторонам пластины это решение может быть задано в форме двойного тригонометрического ряда (4.43). Подставляя его в уравнение (4.69), можно заключить, что при wmn # 0 оно удовлетвор яется, если

VLmn —霜*Т у = 0,

где Lmn определяется равенством (4.47). Выражая Тж, получим

Тх=^ктп,(4.70)

где

Kmn = DA + 2D” + 4 W(4.71)

и X = (mbldf. Таким образом, усилие Тж, при котором существует искривленная форма равновесия пластины, зависит от чисел полуволн деформированной поверхности т п п. Например, на рис. 4.8 показана такая поверхность для m = 2 и л =^ 1. Найдем m и п, соответствующие минимальному значению Тж. Из (4.71) следует, что 九 = 1, а зависимости Kmn от удлинения пластины,

Рис. 4.9. Зависимость коэффициента устойчивости ^mn от числа m полуволн и удлинения пластины, сжатой в одном направлении

соответствующие различным значениям /и и позволяющие осуществить минимизацию функции Kmn (加)При заданном удлинении, представлены иа рис. 4.9.

Кривые построены для пластины из углепластика с углами армирования ±45°. Минимальным значениям Ктп соответствуют сплошные участки кривых. Координаты точек пересечения кривых находятся из условий Ктп (加 ——1)= =Ктп (加)И Ктп (加)=Ктп (加 + О- С ПОМОЩЬЮ (4.71) МОЖНО

получить следующее неравенство, позволяющее найти т дляполучить следующее неравенство, позволяющее найти т длярами:рами:/П(7П— l)V 备 J/密/П(7П— l)V 备 J/密<m(m+ 1).<m(m+ 1).пластины с заданными геометрическими и жесткостными парамет

получить следующее неравенство, позволяющее найти т для

получить следующее неравенство, позволяющее найти т для

рами:

рами:

/П(7П— l)V 备 J/密

/П(7П— l)V 备 J/密

<m(m+ 1).

<m(m+ 1).

например, Da = Dx и a/b = 1,75. Очевидно, неравенство 1) < 3,06 < т (т + 1) выполняется только при /л = 2, что соответствует рис. 4.9. Для получения приближенного и более простого результата осуществим минимизацию Ктп (4.71) согласно условию 0КтМ冰=0. В результате получим.

炉=合；Kmn = 2 (/DA + Da).(4.72)

Это значение Kmn соответствует на рис. 4.9 штриховой горизонтальной линии (kmJD] = 7,22). Из графика следует, что такая приближенная минимизация позволяет получить приемлемый для практических расчетов результат, если aJb > 2. Подстановка Ктп в равенство (4.70) дает следующее приближенное выражение для критического усилия:

Тк=芻 е^(1 +読#)•(4.73)

Для однородной по толщине пластины с учетом равенств (4.41) получим•

7Н =需(/瓦爲+瓦n制+ 2GR. '(4.74)

Эта формула позволяет проиллюстрировать эффективность использования композитов в сжатых панелях. Рассмотрим, например, уже обсуждавшуюся выше пластину из углепластика с углами армирования ±45°, у которой (см. табл. 1.4) £х == Еу = 51,5 ГПа, NxyEx 亍 41,5 ГПа, GXy = 46,5 ГПа и р = 1,5 X 10* кг/м3, и сравним ее с пластинами из стали (Е — 210 ГПа, р == 7,85 X X 103 кг/м3) и алюминиевого сплава (£ = 72 ГПа, р = 2,7 X X 10я кг/м3). При одинаковой массе толщина пластины из угле-

пластика будет в 5,2 раза больше, чем у стальной, и в 1,8 раза больше, чем у алюминиевой, и поскольку формула (4.74) включает Л3, критическое усилие у композитной пластины будет в 63 раза больше, чем у стальной, и в 7,5 раза больше, чем у алюминиевой.

При выводе формулы (4.73) предполагалось, что при сжатии пластины в направлении оси х ее продольные кромки ^ = 0 и у = b (см. рис. 4.В) могут свободно смещаться в направлении оси у. Однако в реальных конструкциях этому смещению препятствуют опорные ребра или смежные панели. Рассмотрим в связи с этим устойчивость пластины, продольные кромки которой закреплены от поперечных перемещений. Примем в соотношениях (4.31) % = о. Из этих соотношений следует, что при сжатии пластины усилиями Тх в ней возникают (также сжимающие) усилия Ту = = cyxTx/cyt т. е. по существу за счет эффекта Пуассона (сух/су = =р,уХ) пластина находится в условиях двухосного сжатия. Уравнение устойчивости (4.68) имеет вид

l(山)+ 7Н(詳+卩裁)=0，

где 卩=сух/Су. По аналогии с выводом формулы (4.70) получим

(5% + 2D8 + Da *),(5% + 2D8 + Da *),(4-75)(4-75)

(5% + 2D8 + Da *),

(5% + 2D8 + Da *),

(4-75)

(4-75)

где 入=(mblna^. В металлических пластинах эффект закрепления продольных кромок обычно не учитывают, однако у композитных пластин коэффициент Пуассона зависит от структуры материала, и обсуждаемый эффект может оказаться существенным. В частности, для пластины из углепластика с углами армирования 士45°, рассматривавшейся выше в качестве примера, р.— = 0,805; зависимости Ктп ®Ь), соответствующие равенству (4.75), показаны на рис. 4.10. Из графика следует, что эти зависимости монотонны и минимальным значениям Ктп соответствует /п = 1 и п = 1. Однако такая ситуация характерна для больших значений 卩.При малых 卩(например, для пластины из углепластика с углами армирования 0 и 90° 卩=0,016)九==1, а зависимости Kmn (pJb) соответствуют рис. 4.9. Для получения приближенных формул, аналогичных (4.72), (4.73), примем в (4.75) л = 1 и воспользуемся условием минимума ОКт"旅=0. В результате найдем

"方卩专匣i(4.76)

Для существования действительных и положительных значений X необходимо выполнение условия

卩 V Da/2D8.卩 V Da/2D8.(4.77)

卩 V Da/2D8.

卩 V Da/2D8.

189

Kfnn/瓦Kfnn/瓦Рис, 4.10. Зависимость коэффициента устойчивости Kmn от чисел m} п полуволн и удлинения пластины, сжатой в двух направленияхРис, 4.10. Зависимость коэффициента устойчивости Kmn от чисел m} п полуволн и удлинения пластины, сжатой в двух направленияхРис. 4.11. Зависимость критического усилия от угла армирования для композитной пластины со свободно смещающимися (сплошная линия) и закрепленными (пунктирная линия) продольными кромкамиРис. 4.11. Зависимость критического усилия от угла армирования для композитной пластины со свободно смещающимися (сплошная линия) и закрепленными (пунктирная линия) продольными кромками

Kfnn/瓦

Kfnn/瓦

Рис, 4.10. Зависимость коэффициента устойчивости Kmn от чисел m} п полуволн и удлинения пластины, сжатой в двух направлениях

Рис, 4.10. Зависимость коэффициента устойчивости Kmn от чисел m} п полуволн и удлинения пластины, сжатой в двух направлениях

Рис. 4.11. Зависимость критического усилия от угла армирования для композитной пластины со свободно смещающимися (сплошная линия) и закрепленными (пунктирная линия) продольными кромками

Рис. 4.11. Зависимость критического усилия от угла армирования для композитной пластины со свободно смещающимися (сплошная линия) и закрепленными (пунктирная линия) продольными кромками

Если условие (4.77) нарушается, то m = 1, X = (b/а)* и согласно равенствам (4.70), (4.75) при 卩 > Da/2D3 получим

7K = 3 + m [D1 (4)S +25 + 5(в)[・

Если условие (4.77) выполняется, то X определяется равенством (4.76). При малых 卩 в результате приближенного вычисления корня будем иметь

7Н =得/^员,+為:) [1+m 密一一W 售(1+备)].

Рис. 4.11 иллюстрирует влияние обсуждаемого эффекта на критические усилия квадратных пластин из углепластика с углами армирования ±<р. Решение, соответствующее неподвижным продольным кромкам, удов л етв ор ител ь но подтверждается экспериментальными результатами (табл. 4.1).

В заключение остановимся на задаче динамики композитных панелей. Рассматривая только изгибные колебания и пренебрегая деформациями поперечного сдвига и инерционными членами, связанными с поворотом нормали (см. § 2.10, 3.1), запишем уравнение движения, учитывающее растягивающие постоянные мембранные усилия 7# и Ту (см. рис. 4.1):

L(w) — Tx^ — Т„^ + Вр^= р(х, у, f).(久78) 190

h/b

Угол армирования, ...°

7P

К

н

0,006

0;45

1,07

1,06

0;90

1,95

1,86

0,009

45

3,28

3,04

0;45; 90

2,45

2,45

4.1. Расчетные и жспериментальные значения критического усилия для композитных пластин4.1. Расчетные и жспериментальные значения критического усилия для композитных пластинЗдесь оператор L определяется равенством (4.36), и согласно результатам, полученным в § 2.10, аналогично (4.40) имеем

4.1. Расчетные и жспериментальные значения критического усилия для композитных пластин

4.1. Расчетные и жспериментальные значения критического усилия для композитных пластин

А/2

Вр = 2 W Pi (Zi - Zi).

Для свободно опертой пластины прогиб может быть задан в форме разложения типа (4.43), т. е.

⑪(X,协 f)= XX ^тп sin Ктх sin Xn izsin(отопЛm=l л=1

Подставляя это разложение в уравнение (4.78) и принимая р = 0, получим частоты свободных колебаний

(4-79)(4-79)®тп = р^^" (^тл + Тх^т + Т“2)・

(4-79)

(4-79)

Здесь Lmn имеет форму записи (4.47). Из формулы (4.79) следует, что предварительное растяжение увеличивает Smn, а сжатие уменьшает. Комбинация сжимающих усилий Тх, 7屮 при которой выражение в круглых скобках обращается в нуль, является критической и соответствует статической потере устойчивости пластины.

Особенности расчета подкрепленных, трехслойных и сетчатых панелей

Характерной особенностью подкрепленных панелей (см. рис. 2.17) является одностороннее расположение элементов подкрепляющего набора, что, как правило, исключает использование результатов, полученных в § 4.2 и относящихся к пластинам с симметричной структурой. Согласно § 2.11 панели, подкрепленные часто расположенными одинаковыми ребрами, рассматриваются как условно однородные и слоистые. Если не учитывать обычно несущественные деформации поперечного сдвига, то для описания поведения таких панелей можно воспользоваться уравнениями (4.37), (4.38). Однако более простые результаты получаются, если решать эту задачу не в смешанной форме, приводящей к уравнениям (4.37), (4.38), а в перемещениях. При этом разрешающих уравнений будет три, т. е. на одно больше, но их коэффициенты оказываются значительно проще коэффициентов уравнений (4.37), (4.38), что снижает вероятность ошибки при расчете.

Для записи соответствующих уравнений следует исключить из системы (4.1)—(43) поперечные силы Qx, Qyt заменить в получаю-

щихся в результате трех уравнениях равновесия усилия и моменты через деформации и кривизны с помощью физических соотношений (4.4), (4.5) и воспользоваться геометрическими соотношениями (4.7), (4.8), приняв в них 中父= 中沙=0. Окончательно получим

. 厶田(«) + 厶貶(。)+ 車(《0 = 0 (i = 1, 2);(4.80)

國(u)+m(u)+第@)=勿

где

UJ? н В” 爲+ 833姦；“？ = L翳=(B12 + Взз)~^у »

由=國=-e" 鳥一(&2 + 2Сзз) ^^ ；

L岀= 8зз金+ &2系；

l，2 = L^i)= - C22 券一(&2 + 2еЗз) ^^ ；

虑=Du 备 + 2 (012 + 20зз)廿^ + ~ 矗.

Для свободной опертой панели перемещения и нагрузка представляются в виде следующих рядов:

〃 = Е Е «mnCOS^XSinln^；

。= 玄 自%mSlnQcos%也；/

w = 2 自叫Ml Sin 1mx Sin M；

» = £ S PmnSlnlmXSinAnjr, m・l n=l

где % — ят/а,脑 = лл/b. Подстановка рядов (4.81) в уравнения (4.80) приводит к системе алгебраических уравнений относительно kn, Um, u/mn, решение которой имеет следующий вид:

〃mn = ^^" (^цОая — ^li^as)； %n = ^^ (°!1aаз — %2al$)；

wmn =勺13® —谨)，(4.82)

где

4 = 033 (a"例—Q；2)-a11晚一022d3 + 2a必13&3；

。11 = 8［仇^| + В^з^п} ^12 = (812 + В 33)Л*т^п；

@22 = ВзАт 十 &从2；

@13 = &i* 十(&2 十 2Сзз) ХтХд；

^23 = С22Х：十(С12 十 2Сзз) Хт^*п»

Q33 = Dll%* + 2 (D12 + 2D33) Imln + D2K.

По найденным перемещениям с помощью геометрических соотношений (4.7), (4.8) можно определить обобщенные деформации и далее, согласно равенствам (4.23)—(4.25) —деформации и напряжения в обшивке, и ребрах.

Рассмотрим устойчивость подкрепленной панели, сжатой усилиями Тх (см. рис. 4.8). На основании соотношения (4.67) для постановки задачи устойчивости достаточно ввести условную нагрузку

Р = -Тн 寫 (4-83)

или с учетом (4.81)凸11n = T^w^. Тогда из равенства (4.82) получим

(4.84)(4.84)看《 + %g；3 - ZaigaiaO^41a22 一0?2

(4.84)

(4.84)

Критическое значение усилия находится в результате минимизации (4.84) по параметрам 統 н Х„・

Рис. 4.12. Геометрические параметры обшивки и ребф подкрепленной панелиРис. 4.12. Геометрические параметры обшивки и ребф подкрепленной панелиРавенство (4.84) определяет критическую нагрузку панелей с произвольноб структурой материала по толщине и может быть значительно упрощено для одной из наиболее распространенных конструктивных форм подкрепленных панелей — обшивки, усиленной в одном направлении параллельными ребрами. Для иллюстрации такого упрощения рассмотрим панель, подкрепленную в направлении оси % регулярной системой ребер, сечение которых показано на рис. 4.12. Предположим, что панель является квадратной в плане со сторонами а = & — 0,4 м, состоит из обшивки с толщиной 6 = 2 х 10~а м, образованной из чередующихся слоев углепластика с углами армирования ±45° и 90° (по отношению к направлению нагружения), н ребер из углепластика с продольным армированием. Параметры ребер 瓦=0,02 м, f = 2 X X 10*3 м; расстояние между ребрами"

Рис. 4.12. Геометрические параметры обшивки и ребф подкрепленной панели

Рис. 4.12. Геометрические параметры обшивки и ребф подкрепленной панели

схему определения жесткостей, описанную в § 2.11, получим:

Вп = 229; Bia = 41,5； &* = 231;

Вм = 51,5 МН/м;

= 1,38; С12 = 0,0415;

С„ = 0,231; С83 = 0,0515 МН;

Du = 16,79; Du = 0,0554; = 0,309; D88 = 0,0687 кН *м.

7 Васильев В. В.

Структура元兀Погрешность А, %0/904,4494,4490,00/457,8707,769—1,345/90,7,7147,251—6,00/45/9013,4117,66+310/90/4541,9928,48—3245/0/9040,1327,30—320/45/90/058,7156,24—4,290/0/45/9058,7156,24—4,290/45/0/4596,8193,26-3,790/45/0/45/0131,8145,4+100/90/45/90/45205,1171,9-160/90/45/0/90/45362,8335,8—7,4Структура元兀Погрешность А, %0/904,4494,4490,00/457,8707,769—1,345/90,7,7147,251—6,00/45/9013,4117,66+310/90/4541,9928,48—3245/0/9040,1327,30—320/45/90/058,7156,24—4,290/0/45/9058,7156,24—4,290/45/0/4596,8193,26-3,790/45/0/45/0131,8145,4+100/90/45/90/45205,1171,9-160/90/45/0/90/45362,8335,8—7,44.2. Точные и приближенные значения относительного критического усилия для пластин из углепластика4.2. Точные и приближенные значения относительного критического усилия для пластин из углепластика/⑴ mn/⑴ mnВтп — /^； Стп = О；Втп — /^； Стп = О；Отсюда следует, что смешанные и изгибные жесткости с индексом 11 (продольные) значительно превосходят соответствующие жесткости с индексами 22 (поперечные) и 33 (сдвиговые). Учитывая, что продольная жесткость создается ребрами, а поперечная и сдвиговая —обшивкой, можно попытаться условно ввести для каждого направления свою нейтральную плоскость, приняв вместо равенств (4.9)Отсюда следует, что смешанные и изгибные жесткости с индексом 11 (продольные) значительно превосходят соответствующие жесткости с индексами 22 (поперечные) и 33 (сдвиговые). Учитывая, что продольная жесткость создается ребрами, а поперечная и сдвиговая —обшивкой, можно попытаться условно ввести для каждого направления свою нейтральную плоскость, приняв вместо равенств (4.9)% =席一% =席一[喘]2[喘]27(ог''тп7(ог''тп

Структура

元

兀

Погрешность А, %

0/90

4,449

4,449

0,0

0/45

7,870

7,769

—1,3

45/90

,7,714

7,251

—6,0

0/45/90

13,41

17,66

+31

0/90/45

41,99

28,48

—32

45/0/90

40,13

27,30

—32

0/45/90/0

58,71

56,24

—4,2

90/0/45/90

58,71

56,24

—4,2

90/45/0/45

96,81

93,26

-3,7

90/45/0/45/0

131,8

145,4

+10

0/90/45/90/45

205,1

171,9

-16

0/90/45/0/90/45

362,8

335,8

—7,4

Структура

元

兀

Погрешность А, %

0/90

4,449

4,449

0,0

0/45

7,870

7,769

—1,3

45/90

,7,714

7,251

—6,0

0/45/90

13,41

17,66

+31

0/90/45

41,99

28,48

—32

45/0/90

40,13

27,30

—32

0/45/90/0

58,71

56,24

—4,2

90/0/45/90

58,71

56,24

—4,2

90/45/0/45

96,81

93,26

-3,7

90/45/0/45/0

131,8

145,4

+10

0/90/45/90/45

205,1

171,9

-16

0/90/45/0/90/45

362,8

335,8

—7,4

4.2. Точные и приближенные значения относительного критического усилия для пластин из углепластика

4.2. Точные и приближенные значения относительного критического усилия для пластин из углепластика

/⑴ mn

/⑴ mn

Втп — /^； Стп = О；

Втп — /^； Стп = О；

Отсюда следует, что смешанные и изгибные жесткости с индексом 11 (продольные) значительно превосходят соответствующие жесткости с индексами 22 (поперечные) и 33 (сдвиговые). Учитывая, что продольная жесткость создается ребрами, а поперечная и сдвиговая —обшивкой, можно попытаться условно ввести для каждого направления свою нейтральную плоскость, приняв вместо равенств (4.9)

Отсюда следует, что смешанные и изгибные жесткости с индексом 11 (продольные) значительно превосходят соответствующие жесткости с индексами 22 (поперечные) и 33 (сдвиговые). Учитывая, что продольная жесткость создается ребрами, а поперечная и сдвиговая —обшивкой, можно попытаться условно ввести для каждого направления свою нейтральную плоскость, приняв вместо равенств (4.9)

% =席一

% =席一

[喘]2

[喘]2

7(ог'

'тп

7(ог'

'тп

Эта операция является приближенной, однако расчет при этом существенно упрощается. При Стп = 0 критическая нагрузка может быть найдена по формулам (4.70) или (4.73), соответствующим пластине с симметричной структурой. Обсуждаемый прием был предложен в работах [49, 50], где назван методом минимальных жесткостей (изгибные жесткости при этом для каждого направления являются минимальными). Для рассматриваемой панели точное решение, основанное на соотношении (4.84), дает значение Тк = 562 кН/м, а приближенное — Тк = 536 кН/м, т. е. отличается от точного всего на 4,6 %, причем в меньшую сторону, что повышает запас по устойчивости.

Отметим, что применительно к гладким пластинам, у которых жесткости в различных направлениях соизмеримы между собой, метод минимальных жесткостей следует использовать с осторожностью. В табл. 4.2 представлены точные (7丁) и приближенные (7м)，следующие из этого метода, относительные значения крити- ческ.ого усилия для пластин из углепластика с удлинением а/b = 2 и с различной структурой. Во втором столбце приведен порядок чередования слоев, начиная от поверхности пластины.

Рассмотрим теперь общие уравнения (4.16), (4.21), (4.22), учитывающие несимметричность пакета по толщине и деформации поперечного сдвига. Для случая свободного опирания решение этих уравнений и внешняя нагрузка представляются в следующем виде:

尸=£ £ 尸mn 51П A7nx Sin 九^g；

也=£ 2 07"coslmxsinM；

8y = £ £ 0yn sin Am x cos An^;(4.85)

m==l n=l

t® = £ X %nn Sin %n * Sin An^；

P = £ S pmnSinA^xsinAn^.

Подставляя ряды (4.85) в исходные уравнения и приравнивая коэффициенты при одинаковых комбинациях тригонометрических функций, получим следующую систему алгебраических уравнений:

尸 mn% + 曜％2 + 8丁仇 3 + ®mn^l4 = О；尸 mn^21 + 8 界％2 + ef"%3 + 叫m&24 = 0；Fmn^31 + 曜"力32 + 吟％33 + 5/n*34 = 0；FmM + 8}&2 + 8丁&3 + Pmn = 0,仇1 = C 口* + (с —勿“)ЛглЛп + С#М；瓦2 — — 5ужЛт — (Вх + С)九пЛ2；仇3 — — &口： 一(％ + С) Хт^л» 瓦4 — 0；%工=[c»A« + (G — C) %mX2]；尸 mn% + 曜％2 + 8丁仇 3 + ®mn^l4 = О；尸 mn^21 + 8 界％2 + ef"%3 + 叫m&24 = 0；Fmn^31 + 曜"力32 + 吟％33 + 5/n*34 = 0；FmM + 8}&2 + 8丁&3 + Pmn = 0,仇1 = C 口* + (с —勿“)ЛглЛп + С#М；瓦2 — — 5ужЛт — (Вх + С)九пЛ2；仇3 — — &口： 一(％ + С) Хт^л» 瓦4 — 0；%工=[c»A« + (G — C) %mX2]；гдегде(4.86)(4.86)力22 = -^" (Рх^чп + D入2) + 1；

尸 mn% + 曜％2 + 8丁仇 3 + ®mn^l4 = О；尸 mn^21 + 8 界％2 + ef"%3 + 叫m&24 = 0；Fmn^31 + 曜"力32 + 吟％33 + 5/n*34 = 0；

FmM + 8}&2 + 8丁&3 + Pmn = 0,仇1 = C 口* + (с —勿“)ЛглЛп + С#М；瓦2 — — 5ужЛт — (Вх + С)九пЛ2；仇3 — — &口： 一(％ + С) Хт^л» 瓦4 — 0；%工=[c»A« + (G — C) %mX2]；

尸 mn% + 曜％2 + 8丁仇 3 + ®mn^l4 = О；尸 mn^21 + 8 界％2 + ef"%3 + 叫m&24 = 0；Fmn^31 + 曜"力32 + 吟％33 + 5/n*34 = 0；

FmM + 8}&2 + 8丁&3 + Pmn = 0,仇1 = C 口* + (с —勿“)ЛглЛп + С#М；瓦2 — — 5ужЛт — (Вх + С)九пЛ2；仇3 — — &口： 一(％ + С) Хт^л» 瓦4 — 0；%工=[c»A« + (G — C) %mX2]；

где

где

(4.86)

(4.86)

% ~ "^" С 屮 Dq) ^т^п；力2 = ^тп»

%1 = "J^J" [СудЛ： + (С? — С) Amin]?啞=Kj С +。W)^w^n!

（D*+D嗚）+ 1；办4 = %i；

瓦 I = C^Am + (C* + 5 — 2C)九"2 + C"M；瓦2 = D%* + (2D + DVx)九m篇；瓦3 = D^t + (2D + О#/ 入旣n・

Решение уравнений (4.86) можно записать в следующей форме:

Fmn = ^^ [% (b*8bM — b*bQ — % (%% — %Ьм)1；

8г"=-号Mьll (力2 3匕34 一b24ь33)一瓦3(b21Ь34 一 ^24^31)1；

8丁 = ^п. [6ц (&22^М — ЬмЬзг) — Й12 (^21^34 —匕厶幻]；^'^

^mn = — ^^ [6ц (&28^BS 一 厶28%) — ^12 (^21^8S — &23&31) +

+ %8 (%% — ^28^81)1»

где a = % [Йu (%.b48 - %8瓦.) -ьn (%抄48 - &8b41) + 瓦8 X X (%瓦2一%也J1 一b34 1^11 (瓦也8 - 4也.)一八2 (瓦也8 - —^41^28) + 瓦3 (厶也2 —厶Ml"

Для определения критического усилия необходимо воспользоваться формулой (4.83) для условной поперечной нагрузки. С учетом последнего равенства (4.87) получим

7?)= — ^~ [611(622^33 — ^23^32)—瓦2 02力33 — ^23^31) +

+ 瓦 3 (b2力32 一 ^22^31)] i-(4.88)

Решение (4.87), (4.88) соответствует общей расчетной модели и в частных случаях значительно упрощается.

Для пластин, структура которых симметрична относительно срединной плоскости, Вх = Bv — Вху = Вух = С = 0; Сх == С» = =СХм = СуХ = 0; Dx = Du，Dy = Z)2£； Dxy ~ DyX =力^; D = DS3 и 仇£ =匕к =厶$ =厶1 = &41 = 0. В результате решения (4.87), (4.88) принимают следующий вид:

(4.89)(4.89)Fmn = °；0?=一贤色质m一顾%)；8『"=缪上(&22^34 -岳4力32)；Wmn = - ^^ (%Ь* - %%)

(4.89)

(4.89)

(4.90)(4.90)И

(4.90)

(4.90)

^m (^23^32 一 ЬМзз)

где Л = b“ (&п^<8 — b99bQ — b“ 他2b« — b28b<i)・ 196

правило, можно не учитывать и устойчивости равенство (4.84),01"440,6%8%评工Рис. 4.13. Зависимость относительного критического усилия от параметров %, характеризующих сдвиговую жесткость однородной (/) и трехслойной (^ панелейиспользовать для решения задач а для задач изгиба — решения (4.81), (4.82). Кривая 2 соответствует трехслойной панели, для которой 丁 = EbH/Ga, где £ и 6—модуль упругости и толщинаРис. 4.14. Сетчатая композитная панельправило, можно не учитывать и устойчивости равенство (4.84),01"440,6%8%评工Рис. 4.13. Зависимость относительного критического усилия от параметров %, характеризующих сдвиговую жесткость однородной (/) и трехслойной (^ панелейиспользовать для решения задач а для задач изгиба — решения (4.81), (4.82). Кривая 2 соответствует трехслойной панели, для которой 丁 = EbH/Ga, где £ и 6—модуль упругости и толщинаРис. 4.14. Сетчатая композитная панель

правило, можно не учитывать и устойчивости равенство (4.84),

01

"440,6%8%评工

Рис. 4.13. Зависимость относительного критического усилия от параметров %, характеризующих сдвиговую жесткость однородной (/) и трехслойной (^ панелей

использовать для решения задач а для задач изгиба — решения (4.81), (4.82). Кривая 2 соответствует трехслойной панели, для которой 丁 = EbH/Ga, где £ и 6—модуль упругости и толщина

Рис. 4.14. Сетчатая композитная панель

правило, можно не учитывать и устойчивости равенство (4.84),

01

"440,6%8%评工

Рис. 4.13. Зависимость относительного критического усилия от параметров %, характеризующих сдвиговую жесткость однородной (/) и трехслойной (^ панелей

использовать для решения задач а для задач изгиба — решения (4.81), (4.82). Кривая 2 соответствует трехслойной панели, для которой 丁 = EbH/Ga, где £ и 6—модуль упругости и толщина

Рис. 4.14. Сетчатая композитная панель

Запишем равенство (4.90) в развернутом виде： % +俘+囱(％声仙一啄片)

Т^^ -у——］W5一工,(4.91)

吟［1+备(%。以〃一。弘"办+第+筹］

где Dmn = 0иаШ + D^nt Dnm =d22%^ +d33^5*； “ =012 + +。33；工mn = ^mn^m + 0nm礙 * 2D»*解.

Если не учитываются также деформации поперечного сдвига, т. е. принимается Кн -> оо, Ку -> оо, то 628 = Ь32 = 0, % = Ь^ — =1, и равенства (4.89), (4.91) принимают следующий вид:

8?" = —^tn^mni 8『"=—統5mn； wmn = ътп

И

7屮=l加/森，(4.92)

где £叫=On入^ + 2 (012 + 2£>зз)嗚就 + £>22鶴.Полученные результаты совпадают с решениями (4.46), (4.70).

Оценим влияние деформации поперечного сдвига на критическое усилие сжатой панели. На рис. 4.1Sпредставлены зависимости относительного критического усилия 7K = 712)/TS), где т£) и 7^3)определялись в результате минимизации no 1m н 統 выражений (4.91) и (4.92), от параметров % характеризующих сдвиговую податливость материала, для квадратной (а = Ь) трансверсально изотропной пластины. Кривая / соответствует однородной пластине, для которой тц = Ef^lG* где £ — модуль упругости в плоскости хуу a G — модуль сдвига в плоскостях xz, yz. Для сплошных композитных панелей ^ 冗 0,05, т. е. деформации поперечного сдвига при проведении практических расчетов, как

несущих слоев, а G и Н — модуль сдвига и толщина заполнителя. Из рис. 4.13 следует, что при расчете трехслойных панелей с жесткими несущими слоями и легким заполнителем (при этом параметр т)2 а 0,5) деформацию сдвига заполнителя необходимо учитывать. В случае несимметричной структуры пакета можно воспользоваться решениями (4.85), (4.87), (4.88) и формулами для жесткостей, приведенными в § 2.11 (см. рис. 2.20), а при одинаковых несущих слоях — равенствами (4.89), (4.91). Заметим, что при соответствующем задании координаты плоскости приведения эти равенства описывают поведение трехслойных панелей, несущие слои которых имеют одинаковую структуру, но различную толщину. В частности, для трехслойной стенки, показанной на рис. 2.20,

е = 2 他；坛)I'； + % (力з + 2Л1 + Л2)]«

Рассмотрим особенности расчета сетчатых композитных панелей (рис. 4.14), описанных в § 2.11. На основании равенств (2.191), (4.9) при е = Л/2 имеем

/т/т

/т

/т

=工靑 EjFj sin1 ф； co© w；

&2 = E/Fj sin'叨；Сц = C12 = C2i = CM = C* = 0;

% = £ * EiJi С。8* W；/-I

Dg = Ai = Dg = £ "^- EjJj sin* <Pj cos* 叨;

% = £ * Е/ sin4 ф；; К* = E * GjFj cos1 ф>;

n

где л — число семейств ребер с углами 士的； 弓 =力％; Jj = =А86/12 — площадь сечения и момент инерции ребра /-го семейства. На рис. 4.15 приведены результаты, иллюстрирующие 196

Рис. 4.15. Зависимость относительного критического усилия от угла армирования и удлинения сетчатой пластины

Рис. 4.16. Зависимость относительного критического усилия от высоты и СДВИГОВОЙ жесткости ребер сетчатой панели

зависимость относительного критического усилия △= =(Тка1а^)/(п2Е/) от угла <р и от удлинения а/b для панели, показанной на рис. 4.14. Зависимости, приведенные на рис. 4.16, соответствующие случаю а/b = 1 н 屮 = 45°, позволяют заключить, что при расчете сетчатых панелей следует учитывать деформации поперечного сдвига. Рис. 4.17 иллюстрирует эффективность усиления квадратных панелей с ребрами, расположенными под углами 士屮,дополнительными продольными ребрами. При этом материал распределяется между ребрами с углами 士屮 и 0° так, что масса панели остается постоянной, причем случай k = 1 соответствует панели без продольных ребер, а случай й = 0 —— системе продольных ребер. Огибающие аналогичных кривых для панелей с удлинением alb = 4 ^представлены на рис. 4.18.

Рис. 4.17. Зависимость относительного критического усилия от конструктивных параметров квадратной сетчатой панелиРис. 4.17. Зависимость относительного критического усилия от конструктивных параметров квадратной сетчатой панелиных параметров сетчатой композитной панели при 亩b = 4ных параметров сетчатой композитной панели при 亩b = 4

Рис. 4.17. Зависимость относительного критического усилия от конструктивных параметров квадратной сетчатой панели

Рис. 4.17. Зависимость относительного критического усилия от конструктивных параметров квадратной сетчатой панели

ных параметров сетчатой композитной панели при 亩b = 4

ных параметров сетчатой композитной панели при 亩b = 4

Закритическая деформация и несущая способность сжатых композитных панелей

Сжатые прямоугольные панели, закрепленные по контуру, воспринимают нагрузку и после потери устойчивости Характер распределения усилий по ширине панели показан на рис. 4.19. До потери устойчивости это распределение является равномерным (рис. 4.19, 6), а после потери устойчивости при дальнейшем возрастании Тх усилия ^x в средней части панели остаются близкими к критическим, а в окрестности опорного контура (必)возрастают (рис. 4.19, в). В строительной механике самолета и корабля [69, 84] при оценке несущей способности сжатых пластин широко используются понятия приведенной ширины пластины 匕叩 (рис. 4.19, г) и редукционного коэффициента 財 позволяющие записать выражение для силы, воспринимаемой пластиной следующим образом:

Р = ^ Nxdy = М/пр = kbN0.(4.93)

о

Таким образом, предполагается, что в средней ^асти пластины усилия равны нулю, а в опорных зонах на ширине 力砌 они постоянны и равны Nq. Из равенств (4.93) имеем

也=早=赤/м/9，(4.94)

т. е. для определения редукционного коэффициента необходимо знать распределение усилий по ширине пластины в закритическом состоянии. Если, кроме того, известно предельное значение N， которое для панели, состоящей из обшивки и продольных оперных ребер (см. рис. 4.2), определяется условиями прочности обшивки или устойчивости (общей или местной) опорных ребер, то по формулам (4.93), (4.94) может быть найдена предельная нагрузка, воспринимаемая обшивкой.

Закритическое поведение сжатых пластин описывается геомет-

Рнс. 4.19. Распределение продольных усилий по ширине сжатой прямоугольной панели (а) до потери устойчивости (б), после потери устойчивости (в) и в соответствии с расчетной моделью метода редукционных коэффициентов (а)

которые могут быть получены из уравнений (2.166), (2.170), (2.171) в результате некоторых Дополнительных упрощений. Отбрасывая в уравнениях (2.166) нелинейные члены, включающие поперечные силы, не учитывая деформации поперечного сдвига и ограничиваясь слоистыми пластинами, структура которых симметрична относительно срединной плоскости, получим:

空+号=。；宕• +号=。；(4・95)

ам* IдМу дМхуС

н + Ql。； 冇+ ~^QA； Мб)

警 + * — Nh% — NhuM — N网=0;

必=Вц?х + 殳扁；N q = В21|х + В 22^i 必沙=&』3cM

Mx = РцХх 4" ^i2xy； Му = &/父 + Daa^M М” = DjsXxy； (4.97) %=%+4"(需了； Е产%+4■傷了；

Л+^・(4.98)

Здесь ❷工,в», Ун。 и хх, х„, Ххи определяются соотношениями (4.7), (4.8).

Представим прогиб свободно опертой пластины (см. рис. 4.19, а) в виде (Ад = лт/а, Хд = пп/Ь)

5 =叫пп sin 1mx sin、у・(4.99)

Здесь ⑪тп，加，л ——постоянные, подлежащие определению. Найдем перемещения и и и. Подставляя в уравнения равновесия (4.95) усилия (4.97) и выражая деформации через перемещения с помощью равенств (4.98), (4.7), получим

%券器+(%+』)晶+%芻芸+

+ (В" + %) ^ 矗 + % ^ 器=о；(4.100)

/冷• +以3备 + 网 + 8")譌^ + b嶋器 +

+ (В“ + В澱矗+ В“^ 樓=0.

Подставляя в эти уравнения прогиб (4.99) и отыскивая перемещения 〃 н о в форме комбинаций степенных и тригонометриче-

201

ских функций с неопределенными коэффициентами, найдем

2

w = С/ — 16* [入幫(1 一 cos 2*ng) —^^ А-д j sin 2Xmx;

；• U .(4-101)

и = C2y證"'(A-л (1 — cos 2X/nX)—* 登^ А-m J sin 2kny,

Заметим, что перемещения (4.101) удовлетворяют условиям сохранения прямолинейности опорных кромок пластины при нагружении. Действительно, прн % = 0 и % = а имеем 〃 = 0 и 〃 = =Сга, а при у = 0 и у — b — у = 0 и у = С?氏 Постоянные & и С2 определяются из статических условий (см. рис. 4.19, а):

\ N*dy = — ЬТХ при х = 0, х = а;

° а(4102)

J Nydx = 0 при д = 0, д = Ь. о

В результате, используя соотношения (4.97), получим

& =-譽 T工^- ^mn； G = -^- T工^-*办,

где В = ВцВзг ——В?2. Если продольные края у = 0 и g = b при нагружении не смещаются в поперечном направлении, то к первому условию (4.102) добавляются равенства у(0) = v (Ь) = 0. В дальнейшем будем рассматривать одноосное сжатие, соответствующее условиям (4.102).

Перемещения (4.99), (4.101), естественно, не удовлетворяют оставшимся уравнениям равновесия (4.96). Для построения приближенного решения воспользуемся вариационным принципом Лагранжа (см. § 2.1), согласно которому минимизация полной энергии соответствует удовлетворению уравнениям равновесия. Вариация полной энергии (2.169)

6П. = 6С/ + 617 - 6Л = 0,(4.103)

где 6U определяется равенством (4.28) при ^х — ^v — 0; нелинейная составляющая (2.168)

e ь

迈=川必需6隱)+忆居6偿)+需6備)]+

+ "湍6傷)№吻

вариация работы внешних сил

О

Записывая равенство (4.103) через wmn с помощью соотношений (4.97), (4.98), (4.99), (4.101) и осуществляя варьирование по 叫м, окончательно получим

吃=К：凿N)(7— (43) где

Ге = /(5 爲 + 2。延疋 + £>*)• (4.106)

Сопоставляя равенства (4.105) и (4.70), можно заключить, что минимальное (по тип) значение Ттп определяет критическое значение сжимающего усилия Тк, которое было установлено в § 4.2. Из соотношения (4.104) следует, что искривленная форма равновесия пластины существует, если Тж > Тк.

Определение амплитуды прогиба v^ по формуле (4.104) осложняется тем, что при возрастании Тж параметры m и л не сохраняются на уровнях, соответствующих критической нагрузке,——в пропроцессе нагружения деформированная поверхность -пластины может скачкообразно перестраиваться [26] и числа полуволн /п и п могут увеличиваться. Для определения тип, соответствующих заданному значению Тх, рассмотрим изменение полной энергии, которая может быть приведена к виду

口・=4~ J J (Мм + М 产什 М”％ + "£ + О о

+ 2 占 + NMdxdg + T,\^dxо

и для рассматриваемой задачи с учетом решения (4.104) записи* вается в форме

п 一 Тяв^ъ Г, . 2当曲：/, Ттп\«'

На рис. 4.20 показана зависимость И. (TJ для сжатой пластины. Кривая / соответствует плоской форме равновесия. При Тх =北 происходит потеря устойчивости и при Тц V Т= V 力1 реализуется участок кривой 2, а /п и л соответствуют форМе, при которой пластина теряет устойчивость. Hrh 7\ = Т1( Тх — Tt и т. д. деформированная поверхность перестраивается и соответственно изменяются /п н 九・ Из рис. 4.20 следует, что из кривых, пересекающих линию уровня полной энергии И. = const, в дей-

Рис. 4.20. К определению параметров Рис. 4.21. Сравнение расчетных ()волнообразования сжатой панели и эксперимеитальиых (о) значений редукционного коэффициентаРис. 4.20. К определению параметров Рис. 4.21. Сравнение расчетных ()волнообразования сжатой панели и эксперимеитальиых (о) значений редукционного коэффициента

Рис. 4.20. К определению параметров Рис. 4.21. Сравнение расчетных ()

волнообразования сжатой панели и эксперимеитальиых (о) значений редукционного коэффициента

Рис. 4.20. К определению параметров Рис. 4.21. Сравнение расчетных ()

волнообразования сжатой панели и эксперимеитальиых (о) значений редукционного коэффициента

ствительности реализуется та, для которой Тх имеет наименьшее значение. Соответствующие этой кривой значения /пили следует подставить в формулу (4.104) для рассматриваемого этапа нагружения.

Для пластин, сжатых в одном направлении, как правило, 九 = 1, а значение Т無,соответствующее точке пересечения кривых Пв (Тх> /п) и Пе (Тя, m + 1), можно найти из условия

Т* + 7(^Н~1) П = ^7П I J "1*7П+1 + 8济：乙+Tnrn ~ К Вп^т+В^4п '

В работе [41 ] приводится найденный методом конечных разностей результат ^ = 3,28ТК, определяющий усилие, соответствующее первой перестройке деформированной поверхности изотропной пластины (см. рис. 4.20). Описанный выше способ дает 7\ = 3,08Тк. Отметим, что предлагаемый способ [2] выбора /п и 九 не является единственно возможным. В работе [104] для этой цели используется условие минимума нагрузки, обеспеч и в ающей заданное сближение нагруженных кромок пластины.

Таким образом, изложенный способ определения т и п, а также равенства (4.99), (4.101), (4.104), (4.105) позволяют найти перемещения и, и, 5, соответствующие заданной сжимающей нагрузке Тх. Геометрические соотношения (4.98), (4.7), (4.8) определяют деформации и кривизны; по формулам, аналогичным (4.23):

% = Е* + гх*; % =晶 + 2«у； %у = Е 叩 + %у

находятся деформации в слоях в координатах %, д, и, наконец, с помощью равенств (4.24), (4.25) могут быть получены деформации и напряжения в координатах /, 2, связанных с направлением армирования слоя.

Для того чтобы найти редукционный коэффициент, запишем выражение для продольного усилия

N 工=—卜* Нgj^~ ^-m COS 2kny .(4.106)

Рис. 4.22. Распределение продольного напряжении по ширине панели после потери устойчивости: — решение первого приближения； уточненное решение; О — вксперммевтальн ые реаультатыРис. 4.22. Распределение продольного напряжении по ширине панели после потери устойчивости: — решение первого приближения； уточненное решение; О — вксперммевтальн ые реаультаты•Рис. 4.23. Сравнение расчетной диаграммы деформировання сжатой панели ()с экспер иментальными реву льтатами (о)•Рис. 4.23. Сравнение расчетной диаграммы деформировання сжатой панели ()с экспер иментальными реву льтатами (о)

Рис. 4.22. Распределение продольного напряжении по ширине панели после потери устойчивости:

— решение первого приближения； уточненное решение; О — вксперммевтальн ые реаультаты

Рис. 4.22. Распределение продольного напряжении по ширине панели после потери устойчивости:

— решение первого приближения； уточненное решение; О — вксперммевтальн ые реаультаты

•Рис. 4.23. Сравнение расчетной диаграммы деформировання сжатой панели ()с экспер иментальными ре

ву льтатами (о)

•Рис. 4.23. Сравнение расчетной диаграммы деформировання сжатой панели ()с экспер иментальными ре

ву льтатами (о)

Тогда равенство (4.94) дает

"击(1.+ П+2 叁)， (4-107)

где т) = ба簿/(В”簿3 В работе [26] приведены результаты экспериментального определения редукционного коэффициента для изотропных пластин. На рис. 4.21 эти результаты (точки) сопоставляются с формулой (4.107). Вертикальные разрывы на расчетной кривой соответствуют усилиям 7\ и 7窑(см. рис. 4.20). В работе 198] представлены результаты экспериментального исследования однородной по толщине композитной пластины с параметрами h — 2,506 X 10~3 м; Ех = 28,06 ГПа; Еу = 5,3 ГПа; Gxy = =2,16 ГПа;卩川=0,33.

На рис. 4.22 показано распределение нормальных напряжений 0工= Njh на половине ширины такой пластины, сжатой усилиями Тх — 2TH. Сплошная линия соответствует формуле (4.106), точки— результатам измерения. Рис. 4.23 иллюстрирует зависимость сжимающего усилия от относительного сближения нагруженных кромок А (индекс к соответствует критической нагрузке).

Представленное на рис. 4.21—4.23 сопоставление расчетных и экспер иментальиых результатов свидетельствует о том, что построенное приближенное решение удовлетворительно описывает закритическое поведение сжатой пластины. Это обстоятельство позволяет воспользоваться методом возмущений и построить решение, близкое к точному. С этой целью представим прогиб пластины в виде w = wQ + %, где w0 — уже найденное опорное решение (4.99), (4.104), а 酬1 — дог олнительный прогиб, который считается малым по сравнению с ^0 и представляется для свободной опертой пластины двойным тригонометрическим рядом

叫=Е Е 4/Sin笳(4.108)

где N = л//а; Zy = nj/b. Пр едположение о малости ®i позволяет осуществить линеаризацию геометрических соотношений (4.98) и записать их в следующем виде:

& = %+4~ 偿)& = %+4~ 偿)050 dok.050 dok.

& = %+4~ 偿)

& = %+4~ 偿)

050 dok.

050 dok.

%=%+$哥)'+曾缴;

Exp ~ YxyExp ~ Yxy况о M)]死о M , dwQ dwxдх ду 十 Эх ду 十 ду дх

Exp ~ Yxy

Exp ~ Yxy

Определение дополнительного состояния сводится к решению линейной задачи, которое строится следующим образом. Аналогично прогибу перемещения и и v также представляются в виде сумм и = и0 + ult и — v0 + и* и из уравнений равновесия (4.100) дополнительные перемещения иг и и】 выражаются через известное опорное решение u0> у0, wQ и дополнительный прогиб 侬】(4.108). Осуществляя в вариационной уравнении (4.103) варьирование по коэффициентам ряда (4.108) 4订,можно получить для них линейную систему алгебраических уравнений, решение которой определяет 侬и и далее иг и и「Не останавливаясь на подробном изложении этих достаточно громоздких операций, отметим, что для композитных пластин амплитуда прогиба 侬】составляет 2—5 % от амплитуды прогиба w0 [1 ]. При этом для определения 侬】в разложении (4.108) достаточно учесть четыре первых члена. На рис. 4.22 уточненному решению, полученному методом возмущений, соответствует штриховая линия. Из рис. 4.22, 4.23 следует, что для практических расчетов можно ограничиться приближенным решением (4.99), (4.101), (4.104).

Полученные выше результаты относились к пластинам с симметричной структурой материала по толщине. В случае произвольного расположения слоев равенство (4.104) обобщается следующим образом:

^1®^ + f2tt^ш + t 評тп + 厶=0,(4.109)

где

1吟|^十bе丿'

"_靑{羲 }+ 靛 4) - [(A _ 8h1)答+

+ (Ci2 - %4)翁](1 -+ (Ci2 - %4)翁](1 -В\АВ\А)-[(4-8乩比 +)-[(4-8乩比 ++ (&2 - 3心2 J+ (&2 - 3心2 J

+ (Ci2 - %4)翁](1 -

+ (Ci2 - %4)翁](1 -

В\А

В\А

)-[(4-8乩比 +

)-[(4-8乩比 +

+ (&2 - 3心2 J

+ (&2 - 3心2 J

/3 = - (TX - Tmn) + 臨｛(八 + ?2)[833 (а + ?2)- 2Сзз]-

44八 &1 - BlUl + (&2 - b 12^2)八 &1 - BlUl + (&2 - b 12^2)厶 С?2 — В 22^2 + (&2 — В12^1)厶 С?2 — В 22^2 + (&2 — В12^1)211 或厂 制;211 或厂 制;B^bB^b[^-С^^ + ^-С^^]-,[^-С^^ + ^-С^^]-,^22 + ^33^22 + ^33一殳2 (4 + 2Сзз)-一殳2 (4 + 2Сзз)-—■ [°12 (&2 + ^33)— /з (С” + 2С§з)] -—5-—■ [°12 (&2 + ^33)— /з (С” + 2С§з)] -—5-

4

4

八 &1 - BlUl + (&2 - b 12^2)

八 &1 - BlUl + (&2 - b 12^2)

厶 С?2 — В 22^2 + (&2 — В12^1)

厶 С?2 — В 22^2 + (&2 — В12^1)

211 或厂 制;

211 或厂 制;

B^b

B^b

[^-С^^ + ^-С^^]-,

[^-С^^ + ^-С^^]-,

^22 + ^33

^22 + ^33

一殳2 (4 + 2Сзз)-

一殳2 (4 + 2Сзз)-

—■ [°12 (&2 + ^33)— /з (С” + 2С§з)] -—5-

—■ [°12 (&2 + ^33)— /з (С” + 2С§з)] -—5-

гх/ткгх/тк

гх/тк

гх/тк

Решение уравнения (4.109) определяет амплитуду прогиба, соответствующего приближенному решению (4,99). Утоянение этого решения методом возмущений по

казывает, что для получения дополнительного прогиба 叫 в разложении (4.108) необходимо учесть 16 первых членов. Для типовых композитных . пластин погрешность приближенного решения по максимальному прогибу составляет 5—7 %, а по продольному усилию Nx — 5—10 %. В качестве

Рис. 4.24. Зависимость максимального прогиба от относительной величины сжимающего усилия для композитных пластин с различным расположением слоев по толщине

примера рассмотрим квадратную пластину из углепластика, образованную из пяти слоев со следующими углами армирования и толщинами: ф} = 0, /ц = 2х 10~8 м;恥=90°, Л2 = 4 X 10"4 м; Фэ — 0, Ла = 1 X 10"® м; ф4 = 90°, Л4 = 6 X 10" м; ф6 = ±45°, Лв = 8 X Ю*4 м. Для этой пластины был проведен параметрический анализ, предусматривавший изменение смешанных жесткостей пропорционально параметру а. На рис. 4.24 показаны соответствующие зависимости максимального прогиба wm от отношения действующего усилия к его критическому значению для симметричного пакета. Кривая а = 0 соответствует пластине с симметричным расположением слоев относительно срединной плоскости, а кривая а = 1 — исходной пластине, структура которой была приведена выше. .

Глава 5

Цилиндрические оболочки

Цилиндрическая оболочка является одной из наиболее распространенных расчетных моделей тонкостенных несущих конструкций, изготовленных как из традиционных, так и композиционных материалов и служащих в качестве резервуаров, баллонов давления, трубопроводов, корпусов летательных аппаратов и кораблей. Широкое использование тонкостенных конструкций цилиндрической формы в различных областях техники, удачно сочетающееся с относительной простотой уравнений, описывающих цилиндрические оболочки, послужило причиной их длительного и интенсивного исследования, завершившегося разработкой эффективных прикладных теорий и методов расчета. В настоящей главе обсуждаются особенности реализации этих методов применительно к цилиндрически оболочкам из слоистых композитов.

Уравнения теории ортотропных слоистых цилиндрических оболочек

Рассмотрим цилиндрическую оболочку радиуса R, отнесенную к координатам х, у (рис. 5.1) и нагруженную внутренним р и внешним q давлением. Полагая А】=乂含=1, R】 f 8, R? = R, запишем для этой оболочки нелинейные уравнения равновесия (2.166), учитывающие изменение кривизны начальной поверхности в процессе деформации:

醬 + 啥+ Qx 芻+ Q簡=。；（5.1）

醬+欝+贵+ Q為+ Qx需=。；（5⑵

符 + 若-Qh = 0；芻^陪一q-；（5.3）

dQac I dQy JU 0Gbe r ^Op AZ 093c

H + 丁 _ 必丁 - % к — 丁

—% (% + 若)+0 = °；万= " — g；

физические соотношения (2.109):

Me = Bn% + В】?％ + &1乂* + GzXp (1, 2);

"хр = ^33еху + В枭р* + С；；Хнр + Сз|хуж (1, 2);

Мх = СцСх + Ci2ey + UnXx + 曾12% (1, 2);(5.5)

Mxv — Сззеху -|~ С^ух -|- D^^y + D^Kyx (1, 2);

Qh = KxW* (1,2)

и геометрические соотношения (2.110), (2.152) для малых деформаций и перемещений:

диdo . w加.ди,

(5.6)(5-7) дш 万厂(5.6)(5-7) дш 万厂瓦=5 + 5； % = % 十 ％; % =瓦=5 + 5； % = % 十 ％; % =OW .и万，^=TOW .и万，^=T%=五，% =而+耳，8出=京，%Н=而，$=京，人=諸，Х同=浸，加Н=/，

(5.6)

(5-7) дш 万厂

(5.6)

(5-7) дш 万厂

瓦=5 + 5； % = % 十 ％; % =

瓦=5 + 5； % = % 十 ％; % =

OW .и

万，^=T

OW .и

万，^=T

Напомним, что символ (1,2) в равенствах (5.5) означает, что из записанного соотношения может быть получено еще одно заменой х на у, у на х, 1 на 2 и 2 на 1. Мембранные, смешанные, изгибные и сдвиговые жесткости В, С, О, ^ определяются формулами (2.116), (2.121), (2.122).

Отметим, что в уравнения равновесия (5.1)—(5.4) входят нелинейные члены, включающие поперечные (Q*, Q^) и мембранные (Nx, Nyi Nxy, NyD усилия. В связи с тем, что первые, как правило, значительно меньше вторых (соответствующие оценки для напряжений обсуждались в § 2.2), нелинейные члены, содержащие Qh и Qy, можно не учитывать и записать уравнения (5.1)» (5.2) в более простой форме:

学_ +=0；礬 ++ * = 0.(5.8)

дх 1 ду * ду 1 дх 1

Если отбросить и оставшиеся нелинейные члены, которые входят 彳в уравнение (5.4), т. е. принять его

—…、 в виде

@ , ) 警 + 警一*+e="б» ' то уравнения (5.2), (5.8), (5.9) и (5.5)—(5.7)

Рис. 5.1. Цилиндрическая будут соответствовать линейной теории оболочкацилиндрических оболочек. Линеаризован*

ные уравнения устойчивости могут быть получены, если в соответствии с равенствами (2.179) принять

5=—(胧警+ %礬+ 嘗+ №譬).(5.10)

Предполагается, что докритическое напряженное состояние является безмоментным и определяется усилиями "，, N%, NyXy Ny.

Распространенной расчетной моделью является без моментная оболочка, воспринимающая только мембранные усилия. Принимая в исходных уравнениях (5.1)—(5.7) изгибине!) и смешанные С жесткости равными нулю, получим Мх = Му — 0, Mxv — Mvx = —0, Qx — Qy = 0 и следующие статические и физические соотношения:'

н + к = 0；亏+ -^- =。；(5.11)

№鹽 + N1cli寥 + N”端 + Ny壷 +^^ = а (5.12)

乂 = В”％ + Bi^; Nxy = Bs^xy + Вззеух (1, 2). (5.13)

Для тонкой оболочки Взз = ВО = Взз = B^HNyx=Nxy. Геометрические соотношения имеют форму (5.6). Добавляя к (5.11) уравнение

%=/R, (5.Г4)

полученное из (5.12) в результате отбрасывания нелинейных членов, будем иметь систему уравнений равновесия линейной без- моментной теории.

В следующих разделах записанные выше уравнения будут использованы для решения задач статики и устойчивости цилиндрических оболочек.

§ 52 Расчет безмоментных цилиндрических оболочек

Как отмечалось выше, безмоментная оболочка воспринимает только мембранные усилия и является абсолютно податливой при изгибе стенки. В физических соотношениях (5.5) в связи с этим формально следует принять изгибные D и смешанные С жесткости равными нулю, а для реальной оболочки считать члены, содержащие эти жесткости, малыми по сравнению с членами, включающими мембранные жесткости В. Для получения качественных оценок рассмотрим однородную по толщине оболочку, жесткости которой определяются равенствами (2.127), и введем безразмерные координаты а = %/R, 0 = y/R. Тогда в исходных уравнениях мембранные жесткости будут пропорциональны относительной толщине Я = h/Rt а смешанные и изгибные жест-

Рис. 5.2. Консольная цилиндрическая оболочкаРис. 5.2. Консольная цилиндрическая оболочкакости соответственно пропорциональны 丘2 И fi8. Если учесть, что для тонкой оболочки 五《1, то можно заключить, что мембранные жесткости значительно превосходят смешанные и изгибные. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно со

Рис. 5.2. Консольная цилиндрическая оболочка

Рис. 5.2. Консольная цилиндрическая оболочка

поставить усилия, необходимые для того чтобы растянуть или изогнуть тонкий лист. Однако для того чтобы отбросить в соотношениях (5.5) соответствующие члены, этого недостаточно — необходимо, чтобы деформации и изменения кривизн, являющиеся множителями при обсуждаемых коэффициентах, не изменяли установленных выше соотношений. Действительно, можно создать такие условия нагружения, при которых деформации в окажутся равными нулю, а из

менения кривизн х — отличными от нуля. Естественно, что в этом случае в физических соотношениях (5.5) сохраняются только члены, включающие изгибные жесткости. Таким образом, реализацию безмоментного напряженного - состояния оболочки (или, точнее, состояния, близкого к безмоментному) связана с выполнением некоторых условий, накладываемых на характер ее нагружения и закрепления. Формулированию таких условий, по которым можно было бы до расчета оболочки судить о возможности привлечения уравнений безмоментной теории, в свое время уделялось большое внимание. Основные результаты, полученные в этом направлении, обсуждаются, в частности, в работах [30, 63].

Отметим, что на практике простота уравнений безмоментной теории оболочек, как правило, позволяет судить о приемлемости безмоментной модел(и непосредственно по результатам расчета,

с помощью которых можно, во-первых, сразу выявить, какие из заданных условий нагружения и закрепления оболочки могут быть выполнены в рамках безмоментной расчетной модели, а какие не выполняются, и, во-вторых, провести оценку величины отброшенных ранее членов. Существенной также является информация о том, какие конструктивные мероприятия следует осуществить для того чтобы оболочка была близка к безмоментной. Как из

вестно, именно в таких условиях тонкостенные конструкции работают наиболее эффективно. Рассматриваемые ниже вопросы и л люстр ир уюте я на примере цилиндрической оболочки.

Рассмотрим оболочку, показанную на рнс. 5.2. Предположим, что она нагружена равномерным внутренним давлением р, а также краевыми нормальными и касательными усилиями. Последовательное интегрирование линейных уравнений равновесия (5.11)

с учетом (5.14) и граничных условий Nx (% = /) = Тх, Nxy (х = =/) = Тху (см. рис. 5.2) дает (при Nxy = /』

Nv = pR； Nxy == TXy； Nx^Tx + (l~ х)Т^. (5.15)

Штрихом обозначена производная по у.

Из равенств (5.15) следует первая основная особенность без- моментной теории оболочек: три усилия 必，Nyi Nxy связаны тремя уравнениями равновесия, и при задании нормальных и касательных усилий на краю х = / они однозначно определяются на всей поверхности оболочки независимо от ее деформаций. Существенно, что равенства (5.15) позволяют найти усилия и на краю х = 0 (см. рис. 5.2), поэтому расчет оболочек с заданными усилиями на краях х = 0 и х = / формально может быть осуществлен в рамках безмомеитиой теории только тогда, когда эти усилия удовлетворяют соотношениям (5.15). В действительности даже выполнение этих соотношений не всегда гарантирует правильность результата.

Если оболочка имеет большую длину, то ее напряженное состояние в средней части, очевидно, практически не зависит от распределения усилий по контурам торцовых сечений. А из равенств (5.15) следует, что это распределение полностью определяет усилия в любом сечении. Таким образом, область применения без- моментиой теории цилиндрических оболочек ограничивается сравнительно короткими оболочками. Более подробно этот вопрос излагается в работе [9].

Перейдем к определению деформаций и напряжений. Заметим, что равенств (5.15), определяющих напряжения ах = Nx/ht % =储饱 тху = Nxy/h в однородных оболочках, для расчета слоистых оболочек недостаточно и необходимо привлечь геометрические соотношения. Прежде всего, подставив решение (5.15) в физические соотношения (5.13), найдем деформации. Учитывая, что безмоментиая теория используется для расчета тонких оболочек 'и привлекая равенства (5.6), получим

%=^ =鲁【北+北"/-项一""r；（5」6）

% =条 + 齐=岑""R -鲁47\ + 7焉(2 - *)]； (5」7)

% = %g + %m若 + 祭=鲁， (5.18)

где 3 = В11В22 — Bi2； Взз = Взз — Взз = Взз = В33. Для определения продольного перемещения проинтегрируем уравнение (5.16):

U = “о ®) + 鲁卜/ + П, (/х-4) --^- Р&] • (5.19)

213

Здесь uQ = и (х — 0). Подставив и из (5.19) в (5.18), в результате интегрирования найдем кольцевое перемещение

и =如(у) — ибх + -~ х"翁 卜* + Тху(21*)] > (5.20)

где % = и (x = 0). И наконец, из равенств (5.17), (5.20) получим прогиб

w =鲁次"一早[Тх + T^(l - х)]-

—R 卜；-& + "^x -卷T「* + 7；u(/-g)]}・(5.21)

Теперь с помощью выражений (2.75), в которых следует принять 〃工 q 再工 и 〃2 Q 4，и геометрических соотношений (5.7) (при М^х = ^ — 0) можно найти распределения деформаций по толщине оболочки. В результате придем к равенствам (4.23) для ех( %，еХу> в которых вх, %, 丫切 имеют форму записи (5.16)—(5.18) и

d2w .1 dv ^и» .

№ = 一育"，il4==~R"dy~~d^'

.1 dv n

厶l % + % =耳17 - 2京万.

Подставляя полученные таким образом деформации еж, 勿，еху в геометрические соотношения (4.24), можно определить деформации во всех слоях оболочки, а по формулам (4.25) найти напряжения. Заметим, что при расчете оболочек по безмоментной теории деформации соответствующие записанным выше изменениям кривизн поверхности хх, х^,工“以, как правило, не учитываются.

Рассмотрим равенства (5.19)—(5.21). Входящие в (5.19) и (5.20) функции и0 и и(, являются перемещениями точек сечения х = 0. Для оболочки, показанной на рис. 5.2, u0 = v0 = 0. Решение (5.15)—(5.21) справедливо и в том случае, когда закреплены оба торца оболочки х = 0 и х = /. При этом функции Тх 匂)и Тху 匂) являются уже неизвестными и определяются из геометрических граничных условий на краю х — L

Равенства (5.19)—(5.21) иллюстрируют вторую основную особенность безмоментной теории оболочек: в отличие от 〃 н и определение w не сопровождается интегрированием и» следовательно, появлением соответствующей произвольной функции. Поэтому в рамках безмоментной теории нельзя наложить граничные условия иа прогиб оболочки.

Таким образом, безмоментная теория цилиндрических оболочек обладает двумя недостатками, существенно ограничивающими область применения соответствующих уравнений: во-первых, задание усилий на одном краю полностью определяет (при отсутствии поверхностной нагрузки) усилия во всех сечениях; во-вторых, в рамках безмоментной теории невозможно наложить ограничения 214

Рис. 5.3. Изгиб и растяжение консольной цилиндрической оболочкиРис. 5.3. Изгиб и растяжение консольной цилиндрической оболочкииа прогиб оболочки. Эти недостатки устраняются в более сложных приближенных вариантах теории цилиндрических оболочек — в полу- безмоментной (см. § 5.6) и в нелинейной безмоментной (см. § 5,3, 5.4). Естественно, что общая теория цилиндрических оболочек, описы

Рис. 5.3. Изгиб и растяжение консольной цилиндрической оболочки

Рис. 5.3. Изгиб и растяжение консольной цилиндрической оболочки

ваемая уравнениями (5.1)—(5.7), также свободна от этих недостатков..

Возвращаясь к безмоментной теории, рассмотрим один важный и достаточно общий случай нагружения цилиндрической оболочки, для анализа которого применимость этой теории является несомненной. Предположим, что нормальные и касательные усилия распределены по контуру сечения х = / (см. рис. 5：2) так, что они сводятся только к осевой силе Р, поперечной силе Q и изгибающему моменту М (рис. 5.3). Эта задача в общих чертах уже обсуждалась в заключительной части § 3.2, где рассматривались стержни, контур сечения которых не обладает изгибной жесткостью. В соответствии с решением задачи о растяжении и изгибе круглого стержня, приведенным в § 32 примем:

「" = ■^■(*+^32)； ТХу = ^-sinp. (5.22)

Эти усилия статически эквивалентны силам и моменту, показанным на рис. 5.3. Равенства (5.15) с учетом (5.22) дают:

N и = pR； Nxv = -Д-sinp；

必=姦+■S^M+Q（/f）】・必=姦+■S^M+Q（/f）】・(5.23)(5.23)

必=姦+■S^M+Q（/f）】・

必=姦+■S^M+Q（/f）】・

(5.23)

(5.23)

Эти соотношения можно обобщить, если учесть, что Р, Q н Af + Q (2 ——*) являются силайи и моментом, действующими в некотором сечении * оболочки. Если по длине оболочки заданы распределения давления р (х), осевой силы Р (х), поперечной силы Q (х) и изгибающего момента М (х), то в любом сечении

NlpBR； “м = 4^$тр；

_ Р(х)_ Р(х)2党2党,MG)冰 R,MG)冰 R

_ Р(х)

_ Р(х)

2党

2党

,MG)冰 R

,MG)冰 R

Вернемся к оболочке, показанной на рис. 5.3, и найдем перемещения. Подставляя усилия (5.22) в равенства (5.19)—(5.21) и принимая в них 4 = 6, % = 0, получим:

g畿 传+甯[m+Q(J9]}_争**；

。=-^贊+ *^4m+Q(T)]；

w = -^ pR" — ^" {与 + /Р [M + Q (/ — х)]}—

(5.24) 一^{若+競[m + Q(2一 子)]卜

Рассмотрим нагружение равномерным внутренним давлением и осевой силой. При Q = М = 0 имеем:

^Х = _2^; Njf = pR;必产0;

W 餾-"R)；。= 0；(5.25)

…% T/p* 需).

Для цилиндрического баллона давления» торцы которого закрыты днищами, Р = рл^ и

N* = 0,5pR; Ny = pR;

% = ^ = -^-(Вга 一 2312)；侬=R% = "^^(28口 — 3i2)・

Рассмотрим изгиб консольной цилиндрической оболочки. Примем в равенствах (5.24) Р = 0, р = 6 и найдем горизонтальное и вертикальное смещения ее точек (см. рис. 5.2):

т| = у cos р 4- ^ sin Р = — -j^- [М + Q (2 — х)] sin р cos р;

X = aSinp-wcosp=^[Af + Q(/—1)]+ (5.26)

+晶+纔【M+Qd)]cNP・

Первое и второе слагаемые в равенстве (5.26) определяют прогиб оси оболочки, связанный с изгибом и сдвигом, а третье слагаемое и перемещение т| —деформацию контура за счет эффекта Пуассона (штриховая линия на рио. 5.3).

216

§ 5・3・ Цилиндрические оболочки, напряженно-деформированное состояние которых не зависит от продольной координаты

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, нагруженную равномерно распределенными по образующей и самоуравиовешеииыми в каждом сечении давлениями р, g н тангенциальными силами qy (рис. 5.4). На практике такая расчетная модель часто используется для анализа напряжений и деформаций, возникающих в средней части нагруженных указанным выше образом длинных оболочек (т. е. в местах, иа которые условия закрепления краев не оказывают влияния), а также для исследования круговых колец (шпангоутов), деформирующихся в своей плоскости. Напряженно-деформированное состояние рассматриваемой оболочки ие зависит от координаты х (см. рис. 5.1) и определяется усилиями Nyt Q“ изгибающим моментом %, обобщенными деформациями %, ху,中以 и перемещениями v и w9 являющимися функциями переменной у. Уравнения (5.1)——(5.7), в которых отброшены нелинейные члены и дополнительно учиты* вается тангенциальная нагрузка qy (см. рис. 5.4), имеют следующий вид:

% ^" + + % =。； М* — Qy =。； Qy* + p =。；(5.27)

Ng = 3226y + CjjX^; My = С??% + DaaXy； Qy ~ Ky%； (5.28)

% =。' +今；〜=%； % = % + £ — «•(5.29)

Штрихом обозначена производная по д. Обобщенные жесткости определяются равенствами (2.116), т. е.

% =瓚；% =得一虐；% =虐一2ё得+/瓚，(5.30) где согласно (2.121)

词=吊 £留点急U (， = 0, 1，2)・(5.31)

Сдвиговая жесткость (2.122) имеет вид

Зададим координату начальной поверхности е так, чтобы смешанная жесткость &2 обращалась в нуль. Тогда из формулы (5.30)

By = 322 = /經；c22 = 0；

e =酱；。尸% =虎一嘿：(5.33)

В результате соотношения (5.28), (5.29) можно записать следующим образом:

% = %e+齐)；My^Dy6y} <2尸心(% —君 +吟.

(5.34)

Таким образом, рассматриваемая задача сводится к уравнениям (5.27), (5.34), причем три уравнения (5.27) позволяют определить усилия Ng, Qy и момент 从营，а уравнения (5.34)——найти затем перемещения и, 5 H угол поворота 0У. Рассмотрим уравнения равновесия (5.27). Из первого уравнения имеем

Qy = —RNg — Rqy・Qy = —RNg — Rqy・(5.35)(5.35)

Qy = —RNg — Rqy・

Qy = —RNg — Rqy・

(5.35)

(5.35)

Подставляя поперечное усилие (5.35) в третье уравнение, получим,

从+公储=0次，

где 入 =1/R; р = р —— Rqj. Используя для нахождения частного рещения этого уравнения метод вариации произвольных постоянных, окончательно будем иметь

Ny = Сх sin М + С2 cos Ху +

уу

(5.36)(5.36)результат,(5.37)результат,(5.37)+ sin 入g J 0 cos 入g dy — cos 入g J 0 sin 入g dy.0'0

(5.36)

(5.36)

результат,

(5.37)

результат,

(5.37)

Сложим первые два уравнения (5.27). Интегрируя найдем

Му = Сз — J 9м dg — RNjg*

Таким Образом, усилия и момент определяются равенствами (5.35)—(5.37). Выражая постоянные Сп Ся> С8 через начальные значения усилий и момента N^ = N? (у = 0), Qo = Qy ® = 0)， Мо = Му (у = 0), запишем окончательные выражения:

Ny = N (g) cos 利一Q (у) sin М；

Qy = Q (У) cos Ху + Л^ ®) sin М — Rq& (5.38)

Му = Mo + RM + RQ(j/)skiM — RN (у) cos Ху ~ R ^qy dyt

0

УУ

где AZ (j/) = Л<0 — J Psin \ydy, QQ) = Qo + Rq0 — "cosM dg;

*00

，q^ = q^U = 6*

Отметим, что для замкнутой оболочки должны выполняться следующие условия периодичности усилии и момента: Ny ® = =OnR)=力о； Qy (у = 2几向—Qo； My ® = 2nR) \= Mo. В результате с помощью равенств (5.38) можно записать следующие условия, обеспечивающие самоуравновешенность внешней нагрузки:

2Л/?2nR2л«

j pslnKydy = 0; J pcosKydy = 0; J qydy = 0. ооо

Для определения перемещении о,侬 и угла поворота % можно воспользоваться соотношениями (5.34). Из первого и третьего равенств найдем

5=" &— RH % =尤"+ 賞-5-(5.39)

Подставив лучимПодставив лучимэти выражения во второе соотношение (5.34), по-

Подставив лучим

Подставив лучим

Исключив отсюда производные от усилий с помощью урав

нений (5.27), будем иметь

片 + w = NF ®),,

где尸g)=普一(储—強)(*+六)—答.

Решение этого уравнения имеет вид

и == С^ ~(~ С^ sin A»g ~(~ Cg cos Х^ —J—

0，у

+ j F(y)dy — sin Ху J F (^)sin Ky dy — cos X^ J 尸®)8S%ydy. (5.40) ооо .

Таким образом, перемещения и угол поворота определяются равенствами (5.39), (5.40), в которые входят усилия и момент (5.38). Выражая постоянные С4 — Со через начальные значения 叫=侬(у = 0)，％ = о (у = 0)，% = % ® = 0)，окончательно найдем

о = V ®) cos 利一取 Q) sin Ку + R8 (g);

侬=与 ％ + 取 ®) 8s 初 + У ®) sin M； (5.41)

…(g) + Q〃(击+力)+器

Рис. 5.5. Композитные кольцаРис. 5.5. Композитные кольцаРис. 56 Кольцо, нагруженное диаметральными силамиРис. 56 Кольцо, нагруженное диаметральными силамиРис. 5.7. Сечения композитных колецРис. 5.7. Сечения композитных колец33

Рис. 5.5. Композитные кольца

Рис. 5.5. Композитные кольца

Рис. 56 Кольцо, нагруженное диаметральными силами

Рис. 56 Кольцо, нагруженное диаметральными силами

Рис. 5.7. Сечения композитных колец

Рис. 5.7. Сечения композитных колец

3

3

где y®) = Uo-RC()—j 尸 Q)cosMdg;犷 &) = %— •^L +

+ J F(^)slnkydy; ©(J/) = Co 4--i- J F(tf)dy\ Co = 0O — Qo (^- + о0

Как уже отмечалось, полученное решение может быть использовано для расчета круговых колец и шпангоутов из композитных материалов (рис. 5.5). Жесткости кбльца, сечение которого показано, например, на рис. 3.1, б, определяются равенствами (5.31)— (5.33), где следует принять А^ = Е»Ь“ Gj? = G»》，где Еь 力 и Gi — модуль упругости, ширина и модуль сдвига ьго слоя кольца.

В качестве примера рассмотрим кольцо, нагруженное двумя диаметрально приложенными силами (рис. 5.6). Принимая в равенствах (5.38), (5.41) в соответствии с условиями симметрии задачи ^0 = 0, Qo = — Р/2, % = 0,仇=0 и и (у = jiR/2) = О, % ® =冗R/2) = 0, получим

% = ^ sin V； (?„ = — Y cos Ху; Му = Мо — -^-sin .Xj/;

此=醬；g = 0,0745 罟[1+5,3 姿住 +吉)]•

Для однородного сечения (рис. 5.7, сечение /) с малой относительной толщиной Dy = Е6Л3/12, Ву = Ebh, Ку = Gbh, перемещение точки приложения силы

g = 0,0745 罟[1+0,44*(1+咅)]・(5.42)

Первое слагаемое в круглых скобках учитывает растяжение нейтральной оси кольца, которое в рассматриваемых задачах обычно ие учитывается. Возможность такого упрощения подтверждается равенством (5.42): при h/R v 0,1 погрешность, вызванная иеуче- том обсуждаемого члена, ие превышает 0,5 %. Вводя условие ие- растяжимости нейтральной осн кольца, примем в соотношениях (5.41) Byf 8. В результате эти соотношения упрощаются следующим образом:

(5.43)(5.43)V = V (у) cos ку — W (у) sin ку + R8 ®);w = W (у) cos%g + У (g) sin Ху;

(5.43)

(5.43)

% = 8&Н

где У ®) = % — R% + 僧—f F(y) cos M dy- W (g) = % +

+ j F (у) sin ку dy\ 8(9)= %— 供+ ^“®)dg; F(y) = 0*0+ j F (у) sin ку dy\ 8(9)= %— 供+ ^“®)dg; F(y) = 0*0RMyRMy

+ j F (у) sin ку dy\ 8(9)= %— 供+ ^“®)dg; F(y) = 0*0

+ j F (у) sin ку dy\ 8(9)= %— 供+ ^“®)dg; F(y) = 0*0

RMy

RMy

Слагаемое (E/G) равенства (5.42) учитывает деформацию сдвига, влияние которой зависит от относительной толщины кольца й механических свойств материала. Для тонких композитных колец деформацию сдвига можно ие учитывать, приняв в равенствах (5.43) Kgfoo. Построенное решение удовлетворительно подтверждается результатами экспериментального исследования композитных колец. На рис. 5.7 показаны сечения колец из стеклоткани /, усиленные слоями углепластика 2, 3, с параметрами: h[R = 0,105; b/h = 1,5, а на рис. 5.8 — соответствующие расчетные зависимости точки приложения силы (см. рис. 5.6) от нагрузки (сплошные линии) и результаты измерения этого перемещения (точки).

Рассмотрим еще одну интересную в прикладном отношении задачу — бесконечно длинную пологую цилиндрическую оболочку (рис. 5.9), нагружеииую равномерным внутренним давлением и моделирующую, например, панель обшивки гермокабины самолета [84]. Такая панель характеризуется соотношениями b/R 《 I; 良/R《 1, позволяющими ввести в исходные уравнения некоторые упрощения. В частности, в первом уравнении (5.27) и в третьем уравнении (5.29) можно отбросить малые члены QJR и v/R и, пренебрегая деформацией сдвига, принять в соотиошеииях (5.28), (5^29)冗 f 8, % = 0・ С другой стороны, малая изгибиая жесткость стеикн позволяет предположить, что в третьем уравнении равновесия (5.27) может оказаться существенным неучтенный в нем и входящий в исходное уравнение (5.4) нелинейный член

Np (dsjdy)・ В результате исходная система уравнений принимает следующий вид:

Ny = 0; M„-Qg = 0; Q； _ 儿。(方 _ “) + р = 0; (5.44)

Nv = В„ (vz + -J);此=-£)阿Nv = В„ (vz + -J);此=-£)阿(5.45)(5.45)

Nv = В„ (vz + -J);此=-£)阿

Nv = В„ (vz + -J);此=-£)阿

(5.45)

(5.45)

Рис. 5.8. Теоретические () иэкспериментальные (о) диаграммы деформирования композитных колец (номера прямых соответствуют сечениям, показанным на рнс. 5.7)Рис. 5.8. Теоретические () иэкспериментальные (о) диаграммы деформирования композитных колец (номера прямых соответствуют сечениям, показанным на рнс. 5.7)Рис. 5.9. Бесконечно длинная цилиндрическая панель、Рис. 5.9. Бесконечно длинная цилиндрическая панель、

Рис. 5.8. Теоретические () и

экспериментальные (о) диаграммы деформирования композитных колец (номера прямых соответствуют сечениям, показанным на рнс. 5.7)

Рис. 5.8. Теоретические () и

экспериментальные (о) диаграммы деформирования композитных колец (номера прямых соответствуют сечениям, показанным на рнс. 5.7)

Рис. 5.9. Бесконечно длинная цилиндрическая панель、

Рис. 5.9. Бесконечно длинная цилиндрическая панель、

Отметим, что рассматриваемая задача подробно исследована применительно к металлическим панелям [26], причем первое равенство (5.45) обычно записывается в более сложной форме. Оно учитывает геометрическую нелинейность, связанную с большим прогибом, и имеет структуру, получающуюся применительно к рассматриваемой задаче из общих соотношений (2.170), (2.171), т. е.

%= в/и，+赍+ ±@т]. (5.46)

В соответствии с изложенным в § 2.8 будем считать, что в рассматриваемой панели по условиям ее проектирования не допускаются большие, в частности соизмеримые с ее толщиной, прогибы и примем для усилия Ny линейное соотношение упругости (5.45). Рассматриваемая задача иллюстрирует приложения нелинейных уравнений первого приближения (2.166), (2.109), (2.110), полученных в § 2.8. Сравнивая уравнения (5.44), (5.45) с линейными уравнениями (5.27), (5.34), можно отметить, что отличие первых от вторых в отношении нелинейных членов заключается в учете производных углов поворота 呜=—叽 т. е. по существу, в учете

в условиях равновесия изменения радиуса кривизны в процессе деформации.

Получим решение уравнений (5.44), (5.45). Из первого уравнения (5.44) следует ^y = = ^= const, что принципиально

упрощает задачу и позволяет построить точное решение. Исклю* чая из третьего уравнения (5.44) поперечную силу Qy, с помощью второго уравнения, а изгибающий момент М? и усилие Ny — с помощью соотношений (5.45), запишем разрешающее уравнение

51V — mW = —-(! — т|),(5.47)

где m* = N/Dv\ т| = N/(pR).

Параметр т| характеризует отличие ^ от без моментного усилия (5.23). Общее решение уравнения (5.47) имеет вид

加=Ci + С碧у + С3 sh ту + С& ch ту — “(即 ” •

Учитывая условия симметрии задачи (см. рис. 5.9), здесь следует принять С2 = С3 = 0, т. е.

5 = Cl + С& chzng _ ^^^.

Это решение включает три постоянные величины С工，С4 и У или т|, которые определяются из граничных условий при у = ±& (см. рис. 5.9). В частности, если продольные края шарнирно оперты, т. е. при у = 士也 @ = @" = 0, получим

5 = [扌俨—們-(曲 mb - ch my)]. (5.48)

Для защемленных продольных краев, т. е. если при у = 土b 5 = & = 0, будем иметь

W =导[；•—們—-ЖГ (ch mb— ch ту)]. (5.49)

Перемещение и может быть найдено в результате интегрирования первого соотношения (5.45). Учитывая, что 2户=2 н и ® = =0) = 0, найдем

Используя условия закрепления продольных кромок。匂 = = ±b) = 0, получим следующее уравнение для М

笥=q嗡=n3期.(5.50)

Подставляя в (5.50) выражения для прогиба (5.48) или (5.49), запишем уравнения для панели с шарнирно опертыми продольными краями

■ё^=1У—募：击(£ th mb _ 1);

с защемленными продольными краями

瓦*F 一矗=鳥（3 -e齿叫.瓦*F 一矗=鳥（3 -e齿叫.(5.51)(5.51)

瓦*F 一矗=鳥（3 -e齿叫.

瓦*F 一矗=鳥（3 -e齿叫.

(5.51)

(5.51)

5=与萧ь-货凡（5.52）5=与萧ь-货凡（5.52）Рис. 5.10. Распределение отиоситель- иого прогиба по ширине панели» вычисленного по формулам (5.49) (кривая /), (5.52) (крнван 2), (5.53) (кривая 5), и точное решение (о)Рис. 5.10. Распределение отиоситель- иого прогиба по ширине панели» вычисленного по формулам (5.49) (кривая /), (5.52) (крнван 2), (5.53) (кривая 5), и точное решение (о)

5=与萧ь-货凡（5.52）

5=与萧ь-货凡（5.52）

Рис. 5.10. Распределение отиоситель- иого прогиба по ширине панели» вычисленного по формулам (5.49) (кривая /), (5.52) (крнван 2), (5.53) (кривая 5), и точное решение (о)

Рис. 5.10. Распределение отиоситель- иого прогиба по ширине панели» вычисленного по формулам (5.49) (кривая /), (5.52) (крнван 2), (5.53) (кривая 5), и точное решение (о)

Для проведения численного анализа рассмотрим защемленную панель, описываемую уравнениями (5.49), (5.51) (в реальных условиях панель, показанная на рис. 5.9, соединяется по продольным кромкам со смежными панелями и в результате симметрии при у = 士b w* = 0, что соответствует жесткому защемлению). Предположим, что панель образована из слоев углепластика с углами армирования <р = 0 и <р = 90° (см. рис. 5.9) н с толщиной соответственно 0,8 X 10~3 м и 1,6 х 10~3 м. Геометрические параметры панели: h/R = 1,2 X 10-®, b/R = 0,075. На рис. 5.10 показано изменение относительного прогиба w = @/g, где g = =рН/Ву — прогиб безмоментной оболочки. Кривая / соответствует решению (5.49). Заметим, что, несмотря на то, что прогиб рассматриваемой панели не превосходит 0,7Л, неучет нелинейного члена в уравнениях (5.44) приводит к результату, значительно отличающемуся от полученного. Действительно, отбросим в третьем уравнении (5.44) слагаемое 2疯\ Тогда уравнение (5Л7) упрощается следующим образом:

”vf(D，

и его решение, удовлетворяющее граничным условиям w (士b)= = 苏(士匕)= 0, имеет вид

Рис. 5.11. Зависимости максимального прогиба панели от давления, соответствующие нелинейным (сплошные линии) и линейному (пунктирная прямая) решениям

Решению (5.52) на рис. 5.10 соответствует кривая 2, значительно отличающаяся от кривой 1. Учитывая отмеченное влияние нелинейной составляющей решения, сравним полученные результаты с решением, основанным на нелинейных уравнениях без- моментной теории (5.11)—(5.13). Принимая в исходных уравнениях (5.44), (5.45), Dy = 0, получим

Решение этого уравнения позволяет удовлетворить граничные условия только для прогиба. Полагая w (土b) = 0, окончательно найдем

w = 1^^-^-(5・53)

Равенство (5.50) с учетом (5.53) приводит к квадратному уравнению

т|2 = 〃(1—т|),(5.54)

в卅

Г匹 " =砌一・,

Решение уравнений (5.54) дает

П =亲=} “(а+ 4) - а].

На рис. 5.10 прогибу (5.53) соответствует кривая 3.

Сравним полученные результаты с традиционным нелинейным решением [26 ], основанным на соотношении упругости (5.46). Выражения для прогиба (5.48), (5.49) остаются без изменения, а уравнение (5.50) для усилия N обобщается следующим образом:

•^■ = gjaydg + gj (о/)，dy.(5.55)

Для рассмотренного выше примера решение, получаемое из этого уравнения, отличается от решения более простого уравнения (5.50) на 0,6 %. Соответственно практически не отличаются и прогибы (кривая / и точки на рис. 5.10). При возрастании прогиба более точное решение, основанное на соотношении (5.55), естественно, уже не будет совпадать с приближенным, однако, как показано в работе [99 ], при прогибах больших толщины удовлетворительные результаты позволяет получить безмоментное решение типа (5.53), в котором параметр т| определяется из уравнения (5.55), принимающего следующий вид:

限=专(1一方.(5.56)

На рис. 5.11 представлены зависимости максимального относительного прогиба от давления, соответствующие упрощенному уравнению (5.54) (кривая /) и точному уравнению (5.56) (кривая 2). Штриховая прямая соответствует линейному решению.

Таким образом» при малнх прогибах решение определяется равенствами (5.49), (5.51), а при больших — соотношениями (5.53), (5.56).

Осесимметричная деформация . цилиндрических оболочек

Рассмотрим еще один широко распространенный класс одномерных задач — осесимметричные задачи для замкнутых цилиндрических оболочек, нагруженных давлением 力 = " —g и осевыми усилиями ^ (рис. 5.12), не изменяющимися по координате у. В таких оболочках имеют место только осевые перемещения и и прогиб 叫 зависящие от осевой координаты х (см. рис. 5.12). Запишем исходные уравнения. Полагая в уравнениях (5.1)—(5.7) и = и (%), у == 0, w w (х) и пренебрегая в первом уравнении нелинейным членом, содержащим поперечную силу, т. е. записывая его в форме (5.8), получим

М = о； AG — Q* = 0； Q； + M“一粤+ 4 = 0； (5.57)

Me = Вц% + Biz% + CuE； *

N у = В^т% + B^>y + C21xx;(5.58)

Mx = ^ll®x + C"% +d1济х；

Qx = K№；(5.59)

% = 〃Z e尸今；№ =再；% =w一叽

Штрихом обозначена производная по х. В физических соотношениях (5.58) согласно равенствам (2.116), (2.119), (2.121), (2.122)

Bu = 47； В12 = Bn =盘）；B22 =處）；Си = /〔；）一©/〔〉； &2 =。21 =凡）一e/职；4r 2 a^（厅一壮）（1 + 立费^）（Г= aBu = 47； В12 = Bn =盘）；B22 =處）；Си = /〔；）一©/〔〉； &2 =。21 =凡）一e/职；4r 2 a^（厅一壮）（1 + 立费^）（Г= a(5.60)(5.60)1, 2);(5.61)1, 2);(5.61)40 = 4『］ 4伊(4+1 - f江:)(Г==0, 1);40 = 4『］ 4伊(4+1 - f江:)(Г==0, 1);Рис. 5.12. Осесимметричное нагружение цилиндрической оболочкиРис. 5.12. Осесимметричное нагружение цилиндрической оболочки度）=2R £幽度）=2R £幽厶一心厶一心2R+〃 + fi '2R+〃 + fi '(=嘴(=嘴次(力一f I)G^(2r + " + 〃t)次(力一f I)G^(2r + " + 〃t)(5.62)(5.62)

Bu = 47； В12 = Bn =盘）；B22 =處）；

Си = /〔；）一©/〔〉； &2 =。21 =凡）一e/职；

4r 2 a^（厅一壮）（1 + 立费^）（Г= a

Bu = 47； В12 = Bn =盘）；B22 =處）；

Си = /〔；）一©/〔〉； &2 =。21 =凡）一e/职；

4r 2 a^（厅一壮）（1 + 立费^）（Г= a

(5.60)

(5.60)

1, 2);

(5.61)

1, 2);

(5.61)

40 = 4『］ 4伊(4+1 - f江:)(Г==0, 1);

40 = 4『］ 4伊(4+1 - f江:)(Г==0, 1);

Рис. 5.12. Осесимметричное нагружение цилиндрической оболочки

Рис. 5.12. Осесимметричное нагружение цилиндрической оболочки

度）=2R £幽

度）=2R £幽

厶一心

厶一心

2R+〃 + fi '

2R+〃 + fi '

(=嘴

(=嘴

次(力一f I)

G^(2r + " + 〃t)

次(力一f I)

G^(2r + " + 〃t)

(5.62)

(5.62)

Для упрощения дальнейших преобразований зададим координату начальной поверхности е так, чтобы смешанная жесткость СХ1 обращалась в нуль. Тогда из равенств (5.60) получим

B口=盘)；b12 - B21 =用)；B22 = /經；已22 = 0;

6 = "Tip" ； &2 = Qi =用)-y^p 公?信；D* = D" =甫)一，点!. •

(5.63)

В результате соотношения (5.58), (5.59) можно записать сле

дующим образом:

必= ВМ + Вт+(5・64)

Ny = Ва“ + 8威^Н &2 仲；—@2；(5.65)

此=Ga 搭 +-吟；(5.66)

Q* =(屮屮(5.67)

Таким образом, рассматриваемая задача сводится к уравнениям (5.57), (5.64)—(5.67). Из первого уравнения (5.57) с учетом условий нагружения, показанных на рис. 5.12, получим Nx = ^. Тогда из (5.64) найдем

公=备("-В"导)•(5.68)

Заменим в третьем уравнении (5.57) Qx с помощью соотношения (5.67) и найдем 屮；

必е •

С учетом равенств (5.65) и (5.68) окончательно имеем

屮；=备［±(В12М + в 齐)_ ©2 + RM" _ 悶］,(5.69)

где b = 1 — (Ci2//?/Cx); В = В11В22 — В%・

Подставим теперь Мх и Q^ из (5.66), (5.67), во второе уравнение (5.57), продифференцируем его и с помощью равенства (5.69) исключим 屮；.В результате получим следующее основное уравнение осесимметричной задачи для цилиндрической оболочки:

ayIV — 2 解炉 + 易 5 = kp (x),(5.70)

где

好= ^i［&2(i+b)+R" + ^S；】；感= R*B11bd ；

M(xT6磊-岩0；i(1+隱吃)・

Уравнение типа (5.70) обсуждалось в § 4.2, и его решение имеет форму (4.61), т. е.

w^wa+ Е С；Фт(х),(5.71)

т=1

где @0 — частное решение, которое для наиболее распространенного случая нагружения равномерным внутренним давлением (р = р = const) имеет вид

■叫=*9RBu — NBq,(5.72)

а форма записи функций Фт (х) зависит от соотношения между параметрами 也;н 也;・ В § 4.2 были представлены выражения для Фт (%), которые включали гиперболические функции. Эти выражения удобны для расчета коротких оболочек, края которых влияют друг на друга, и для упрощения решения могу/ быть использованы условия симметрии относительно среднего сечення оболочки [9].

Для расчета длинных оболочек, край которых практически не влияют друг на друга, используется запись через экспоненциальные функции. В частности, при 也； < 也；

Ф, = L# cos tx\ Ф2 = L# sin tx\

!,(5.73)

Ф3 —歹# COS /X；①& =歹# sin'

где

r=/4■(易+ 硝；f = /4•(局一硝.(5.74)

Для функций ①工 и Ф2 можно записать следующие соотношения:

Ф1 = — (f ① 2 + 尸① 1)；① 2 —，①1 — Г① 2；

①;=(产一")①1 + 2rf①2；①;=(产一产)①2 - 2投①1；

①；\ ==—尸(产一3f2) Ф1 + f (产一Зг2) Ф2；①；=—«Г2 — 3/2)Ф2 —

—Z(/2-3r2)Ov

Решения (5.73) справедливы и в случае, когда уравнение (5.70) имеет вид

加 V + 2 鳥" + 也;5 =也 Р (x).

Здесь 也^ =——也扌，и вместо (5.74) будем иметь

了(也?一斶；2 = j/r -i-(也;+ ^з) •

При就 > 忌

①Т = /2； Ф2 — £-2； ф3 =夕产 ①& =歹，匕

где

52= /解干/If二7f.(5.75)

Итак, прогиб оболочки определяется решением (5.71). Осевое перемещение можно найти иитегрнрованием равенства (5.68), т. е.

Nx-簣(j %厶 + 2cmjomdx^ + C.. (5.76)

Постоянная C6 здесь соответствует осевому смещению оболочки как твердого тела. Средний угол сдвига 屮* может быть получен из равенств (5.67), (5.57), (5.71), (5.69)

必=亡快（&2+缶）e+£j^一

・(5.77)・(5.77)

・(5.77)

・(5.77)

Геометрические соотиошеиия (5.59) после подстановки выражений (5.71), (5.76), (5.77) определяют деформации и изменение кривизны образующей, а формулы (4.23)—(4.25) позволяют найти деформации и напряжения во всех слоях оболочки.

Постоянные интегрирования, входящие в решение (5.71), (5.76), (5.77), определяются из граничных условий на торцах х = const. С учетом результатов, представленных в § 2.8, и сделанных выше упрощений получим

必6〃 — 0; 乂*6仇=0; (Q* 十 N^) 6@ = 0. (5.78)

Уравнение (5.70) учитывает ортотропию и слоистую структуру стенки, деформацию поперечного сдвига и нелинейный эффект, связанный с изменением кривизны меридиана в процессе нагружения. Отметим, что задача об осесимметричной деформации цилиндрической композитной оболочки неоднократно обсуждалась ранее. Анализ влияния ортотропии материала и деформации поперечного сдвига на поведение оболочки представлен в работах [6, 12, 42, 56г 70, 73, 87]. Решение этой задачи в рамках классической теории изотропных оболочек подробно описано в работах [9, 90, 96].

Рассмотрим особенности поведения композитной цилиндрической оболочки, связанные со слоистой структурой стенки и с изменением кривизны ее меридиана, т. е. с наличием в коэффициенте 也т уравнения (5.70) члена, включающего осевое усилие N. В качестве примера рассмотрим цилиндрическую оболочку, изготовленную методом намотки и состоящую из чередующихся спиральных (<р = 36°) и кольцевых (<р = 90°) слоев стеклопластика. Относительная толщина оболочки h/R = 0,021, т. е. деформация сдвига в ней является незначительной, и можно принять К* f 8・ Остальные параметры следующие: Ви = 0,213 ГПа*м; В” =

Рнс. 5.13. Цилиидрическаи оболочка, уснлеяиая упругим кольцомРнс. 5.13. Цилиидрическаи оболочка, уснлеяиая упругим кольцомРис. 5.14. Распределение прогиба по образующей, соответствующее нелинейному (/), линейному (2), нелинейному безмоментному (3) решениям и результатам эксп叩имента (о)Рис. 5.14. Распределение прогиба по образующей, соответствующее нелинейному (/), линейному (2), нелинейному безмоментному (3) решениям и результатам эксп叩имента (о)

Рнс. 5.13. Цилиидрическаи оболочка, уснлеяиая упругим кольцом

Рнс. 5.13. Цилиидрическаи оболочка, уснлеяиая упругим кольцом

Рис. 5.14. Распределение прогиба по образующей, соответствующее нелинейному (/), линейному (2), нелинейному безмоментному (3) решениям и результатам эксп叩имента (о)

Рис. 5.14. Распределение прогиба по образующей, соответствующее нелинейному (/), линейному (2), нелинейному безмоментному (3) решениям и результатам эксп叩имента (о)

—0,112 ГПа*м; В“ = 0,56 ГПа*м;&$ = 0; Dx = 2,55 X

X 10~в ГПа-м®. Оболочка радиуса R = 0,1 м усилена стальным кольцом, толщина которого Лк = 4 X 10" м, ширина ак = —18 X 10" м (рис. 5.13), нагружена равномерным внутренним давлением р = 4,7 МПа, торцы закрыты днищами, т. е. ^ = =0,5pR.

Считая оболочку длинной и рассматривая ее поведение в окрестности кольца, примем в решении (5.71) С3 = С4 = 0, т. е. будем учитывать только затухающую по % часть решения. Постоянные Сх и С* найдем из следующих условий при % = 0 (см. рис. 5.12):

©х =—5’ = 0, 5 =外・(5.79)

Предполагается, что сечеиие кольца является жестким и ие учитывается деформация сдвига оболочки. Радиальное перемещение кольца (см. рис. 5.13), нагруженного внутренним давлением и в соответствии с граничными условиями (5.78) краевыми усилиями (Q* + N吟、определяется равенством

[рак + 2QS (0) + Nw' (0)],(5.80)

где & — (£rAk + ВJ0 “к — жесткость кольца с учетом сопри- касаюкцейся с ним части оболочки н

Q* == М* = —Dxw ・

Здесь учтены равенства (5.57), (5.66) и принято Си = 0,也：=0. Окончательно, используя граничные условия (5.79), получим:

при Nv^y*

5 = 5-^r~sL* (cos fx + 4" sin fx); (5.81)

A7、2при ^ >炉A7、2при ^ >炉5 = %5 = %@-『)(i-争-”@-『)(i-争-”Т+*бт)Т+*бт)(5.82)(5.82)

A7、2

при ^ >炉

A7、2

при ^ >炉

5 = %

5 = %

@-『)(i-争-”

@-『)(i-争-”

Т+*бт)

Т+*бт)

(5.82)

(5.82)

Здесь г, f определяются равенствами (5.74), а гь г2 — формулой (5.75). Рассматриваемая в качестве примера оболочка описывается решением (5.82), где q = 17,7庆；％ = 25,1/7?. Этому решению соответствует кривая / на рис. 5.14.

Если в уравнении (5.70) не учитывать нелинейные эффекты, то в выражениях для 也工 н d следует отбросить члены, содержащие осевое усилие. В результате получим

苏 V —2居炉 + 也;@=4р(%),•(5.83)

где

居=矗 [&2(1+b) + "^^7]；居=戸工④笳

坛(х)=备(力一^^ 一袋"")；

継；i(l+島).

Граничные условия (5.78) упрощаются следующим образом:

^x6u — 0; Л4Х60Х = 0; Qx6@ = 0.

Если не учитывать также деформацию поперечного сдвига, т. е. принять Кх f 8, получим соотношения классической теории краевого эффекта в слоистых цилиндрических оболочках:

_ 2也％Г + 也如=Лр (х);

^=~й^;感=央£& ； Л₽ w=-щ- (р - 4^*);

ay = g + &<1)1(х) + С2Ф2(х);(5.84)

Mr = & 2""^ dх"；

Q* = M； = C12^-—D* 炉.

Для рассматриваемой в качестве примера оболочки С12 = 0 прогиб определяется равенством (5.81) при г = f = 14,9/R. Распределение прогиба по образующей показано на рис. 5.14 штриховой линией 2. Из решения (5.81) следует, что при 8 5f т %, а из последних двух равенств (5.84), учитывая, что % = = const и С12 = 0, можно заключить, что при % f 8 Мх f 0 HQxf 0・ Таким образом, при удалении от закрепленного края % = 0 (см. рис. 5.13) состояние оболочки приближается

к безмоментному, которому соответствует прогиб % (5.72), совпадающий с (5.25) при N — Р/2冗R. Изгибающие моменты и поперечные силы при этом существенны лишь вблизи закрепленного края, где имеет место из^ибный краевой эффект. Отметим, что в общем случае при С12 关 0 из выражения (5.84) для изгибающего момента следует» что при х оо Мх f C12tt)0//?, т. е. в слоистой оболочке изгибный краевой эффект возникает в окрестности не только закрепленного, но и свободного края оболочки. Действительно, для свободного края оболочки N* = N = 0 Мх = 0, Qh = 0; из соотношений (5.84) имеем

„. _(1CMgTFcosfx + esinfx)].

°1 一 e [С" 一 % (户一聲)+力灯0H】卜

гдегде5 = ^"^;5 = ^"^;"&3 一 /?0工俨一3")]"&3 一 /?0工俨一3")]

где

где

5 = ^"^;

5 = ^"^;

"&3 一 /?0工俨一3")]

"&3 一 /?0工俨一3")]

Смешанная жесткость Ci2 может быть как больше, так и меньше нуля, т. е. свободный край слоистой оболочки при действии равномерного внутреннего давления изгибается в направлении, за

висящем от структуры материала.

Рассмотрим еще одну упрощенную модель — безмоментную оболочку, описываемую нелинейными уравнениями типа (5.11)— (5.13). Принимая в исходных соотношениях (5.57)—(5.59) Dx = 0, 4 = 0, получим: Мх = 0； Qh = 0; Nx = N;

Nw1r——督-+/=0;

N = 3i“ + В и -^- ； Ny = B2i«z + В 22 -^- •

Эта система сводится к следующему уравнению 121 ]:

“一胪5 = klp,(5.85)

ГДе 胪=R*BUN ；瓦P = j^"—•

Решение уравнения (5.85) имеет вид

и?= ®о + &£-** + С^х9

где ⑪口 — частное решение, определяемое равенством (5.72). Для рассматриваемой в качестве примера оболочки с кольцом (см. рис. 5.13) С2 = 0 и w (0)=叫(，где wK — радиальное перемещение кольца, соответствующее равенству (5.80), в котором следует принять Qh (0) = 0. Окончательно получим

"叫―鼻 N「，(5・86)

где k = 14.4/R. Решение (5.86) определяет нелинейный безмомент- ный краевой эффект, которому на рис. 5.14 соответствует кривая 3. Точками показаны результаты измерения прогиба. Из рис. 5.14

232

следует, что исследуемый нелинейный эффект оказывает заметное влияние на прогиб композитной оболочки. Отметим, что уравнение типа (5.85) приведено в работе 19] применительно к анализу малых деформаций мягких оболочек, предварительно нагруженных внутренним давлением.

Общий случай нагружения цилиндрических оболочек — решения в двойных тригонометрических рядах

Выше в § 5.3 и 5.4 были рассмотрены одномерные задачи, соответствующие некоторым частным условиям нагружения. В общем случае замкнутая или открытая цилиндрическая оболочка может быть нагружена сосредоточенными и распределенными поверхностными силами, вызывающими напряженно-деформированное состояние, изменяющееся как в продольном, так и в кольце* вом направлении. Такая оболочка может быть описана общими уравнениями (5.1)—(5.7), которые упрощаются с учетом ее структуры, условий закрепления и нагружения.

Рассмотрим тонкие гладкие слоистые и регулярно подкрепленные оболочки, нагруженные нормальным давлением. При расчете таких оболочек можно не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине и деформации поперечного сдвига. В результате уравнения (5.1):—(5.7), в которых сохраняются только линейные члены, принимают следующий внд:

脸+警=0；学• +啥+簧=0；

(5.87)

警+*-a=0；喑+*-Qv=。；

(5.88)

誓+警一务+…

(5.89)

必=5口％ + 5128y + &#工 + C12K0；

"у 三 ^金倡工 + ба% + G/н + ^м^у；

(5.90)

"нр = ВвзУнр + CssXxp；

mН=cu% + /% + d1/Н + а心；

My = C21sx + C^v + А/* + D^v\

(5.91)

Mr = GbYhp + DssXxp；

(5 92)

% дх匆'"v ду 1 дх *

(5.93)

4一办，R旷.

(5.94)

233

Обобщенные жесткости, входящие в физические соотношения (5.90), (5.91)/ определяются равенствами (4.9), записанными в § 4.1 для слоистых пластин. Заметим, что уравнения (5.87)— (5.94) отличаются от соответствующих уравнений для пластин наличием дополнительных членов, включающих радиус R. В связи с этим дальнейшее изложение будет строиться в форме непосредственного обобщения решений, полученных в гл. 4. Это позволит существенно сократить как вывод, так и запись соответствующих результатов.

/+上等Q干+士产(5.95)дх ' дуду ' дхуравнения (5.87), (5.89), получим醬+誓+%(警+警)=0； (5.96)9丄e仰也丄元=n低cm/+上等Q干+士产(5.95)дх ' дуду ' дхуравнения (5.87), (5.89), получим醬+誓+%(警+警)=0； (5.96)9丄e仰也丄元=n低cmПолучим систему уравнений в перемещениях, аналогичную системе (4.80). Для этого выразим из уравнений (5.88) поперечные силы

/+上等Q干+士产(5.95)

дх ' дуду ' дх

уравнения (5.87), (5.89), получим

醬+誓+%(警+警)=0； (5.96)

9丄e仰也丄元=n低cm

/+上等Q干+士产(5.95)

дх ' дуду ' дх

уравнения (5.87), (5.89), получим

醬+誓+%(警+警)=0； (5.96)

9丄e仰也丄元=n低cm

Q» =- и, подставив их в 汕* 丄 0меу _ Л.

洲mН

Таким образом, пять исходных уравнений равновесия (5.87)— (5.89) приведены к трем — (5.96), (5.97). Выражая в них усилия и моменты через обобщенные деформации с помощью физических соотношений (5.90), (5.91), а деформации — через перемещения согласно равенствам (5.92)—(5.94), окончательно получим

Liu (u) + Li0(и) + Liw (w) = 0 (i = l, 2);

L3u (")+ L融(S + l加伸)=/，(5.98)

где

匕" =£* +l田；匕。=厶炉+l於；L/» = L^ + L^ (/=1,2,3)..

Операторы с верхним индексом (1) соответствуют пластине и уже были приведены в пояснениях к уравнениям (4.80), а дополнительные операторы с индексом (2) имеют следующий вид:

L曾=0； 乂2 =L芻=± (&2 + e33) 。第7 ；

— 以一r дх >

l務=%(2еЗЗ + ")思 + +(2e22 + 賛)紛；点=璃=奴% +量)备-中卧-(5.99)

瑞=帶--|" (&2 备 + e22 今)•

Рассмотрим замкнутую оболочку, свободно опертую по торцам х = 0 и х = / (см. рис. 5.1). Условия свободного опирания подробно рассмотрены в § 4.1 (см. рис. 4.2). Применительно к цилиндрическим оболочкам они предполагают отсутствие на торцам прогиба кольцевого перемещения и, осевого усилия N* изгибающего момента Мх и приближенно моделируют опирание края обо* лочки на шпангоут, жесткий в своей плоскости и податливый при кручении и изгибе из плоскости. Решение, соответствующее условиям свободного опирания, может быть представлено в виде двойных тригонометрических рядов типа (4.81), т. е.

и = 工 工 UmnCOS^XCOSA,^；

ао ао

? = Е Е UmnShlA7nX3inXn9；(5.100)

ОО ОО

ОУ = S S WmnShi'xcosXng, ш=1 п=0

где для замкнутой оболочки следует принять 1km = nm/lt %n = = 九/R. В результате представления нагрузки аналогичным рядом 广=玄纟 Pmn Sill Х„Х COS^(5.101)

и подстановки разложений (5.100), (5.101) в уравнения (5.98) можно получить решение, аналогичное (4.82), т. е.

Mmn = ^рП 3以22 —厶&J； vmn = ^^ (d/18 — du%)；

^mn == ^^ (小m22 一曲)，(5.102)

где d“ =。仃 + c±力 причем。仃 уже были записаны при выводе решения (4.82) для пластины, a q『н D имеют следующий вид:

С11 ^ % % — -^- (С12 + Сад) ХщХп； с1a = ■^~ 入т；

(5.103)(5.103)。22 =靑(2Сзз + ^-^ * + % (2С22 + ^-^ 总;

(5.103)

(5.103)

。23 = (% +争)餐 ++(加+ 2%)城з+ 贵 *；

033 = *^- + 备(&2唸 + С22% П)；

D — ^33 (^ 11^22 — d；2)— ^11^23 — ^22^13 + 2d12dl3d23・

Уравнения (5.98) и решение (5.102) соответствуют общей классической теории ортотропных слоистых оболочек. В прикладных

碘

расчетах часто используется так называемая техническая теория цилиндрических оболочек [23], уравнения которой следуют из (5.87)—(5.94) в результате отбрасывания двух, как правило, несущественных членов: QJR во втором уравнении равновесия (5.87) и 3R в。втором геометрическом соотношении (5.94). Таким образом, в технической теории вместо уравнений (5.87) и (5.94) используются следующие выражения:

醬十寿=0；曾+醬=°；(5・104)

%=^"； % =^-"(5.105)

и коэффициенты с (5.103) сущест-и коэффициенты с (5.103) сущест-В результате операторы L (5.99)

и коэффициенты с (5.103) сущест-

и коэффициенты с (5.103) сущест-

венно упрощаются и принимают вид

比) = 0；第= м0；电=簧备;

國=0；國)=璃=後备；

г(2) — 5“^ /「$ I р "、

ииС” = 0； Cj2 = 0； Cja =С” = 0； Cj2 = 0； Cja =争"入 m； &2 = 0；争"入 m； &2 = 0；АС23 = -5- %；c33АС23 = -5- %；c33号^ + 备(&就1 + с2Д：).号^ + 备(&就1 + с2Д：).

и

и

С” = 0； Cj2 = 0； Cja =

С” = 0； Cj2 = 0； Cja =

争"入 m； &2 = 0；

争"入 m； &2 = 0；

А

С23 = -5- %；c33

А

С23 = -5- %；c33

号^ + 备(&就1 + с2Д：).

号^ + 备(&就1 + с2Д：).

Многочисленные расчеты изотропных и ортотропных оболочек показывают, что введенные упрощения не вносят заметных погрешностей в решение. В связи с этим естественно попытаться использовать допущения технической теории при анализе цилиндрических оболочек, податливых при межслоевом сдвиге. Итак, в качестве уравнений равновесия примем приближенные (5.104) и точные (5.95), (5.97) уравнения. Физические соотношения для усилий и моментов сохраняются в форме (5.90), (5.91), и к ним добавляются соотношения (5.5) для поперечных сил, т. е.

Qx = К* 也с； Qy = Ку%. (5.106)

Сдвиговые жесткости Кх и Kv определяются формулами, приведенными в § 4.1. Геометрические соотношения (5.92), (5.93) остаются без изменения, а равенства (5.105) обобщаются следующим образом:

8* = % —^ ； 8y = % —^- • (5.107)

Сравнивая полученную систему с уравнениями (4.1)—(4.8) для пластины, можно заключить, что она отличается от этих уравнений только равенством (5.92) для ву| которое содержит слагае- 236

мое w[R, и уравнением равновесия (5.97), которое включает член NJR. В связи с этим воспроизведем здесь вывод уравнений (4.16), (4.21), (4.22), полученных в § 4.1 для слоистых пластин. В частности, с помощью формул (4.11) введем функцию напряжений 尸(％, у), позволяютцую тождественно удовлетворить уравнения равновесия (5.104). Из геометрических соотношений (5.92) при этом следует уравнение совместности деформаций, обобщающее (4.12):

不％ I氏P叫制 1 d®w

и позволяющее записать с помощью равенств (4.13) первое уравнение основной системы, аналогичное уравнению (4.16):

=в 也警+(Вн + о 爲■ +(в, + о 爲 +

+ 8”幣+%寡・(5.108)

Все обозначения в следующих ниже соотношениях соответствуют приведенным § 4.1. Подставляя моменты из (4.18) и усилие Ny из (4.11) в уравнение равновесия (5.97), получим второе уравнение основной системы, аналогичное (4.21):

厶礬 +(2° + °”)建 + RD + Dxy)蟲 +

+ 2 醬 + J + 0 + % 一 2C) 5^5 +

+ C” 苗一靑筹+ P = 0・(5-109)

Два последних уравнения основной системы, следующие из равенств (5.95), (5.106) и (5.107), полностью совпадают с уравнениями (4.22) и здесь не воспроизводятся. Таким образом, рассматриваемая оболочка описывается уравнениями (5.108), (5.109), (4.22).

Для свободно опертой по торцам х = 0 и х = Z замкнутой оболочки (см. рис. 5Л) решение может быть представлено в виде двойных тригонометрических рядов типа (4.85), т. е.

尸=2 1J FmnslnXmxcosA,nz/;-

m=»l п«=Ю

(5.110)(5.110)仇=£ 玄 0?" cosXmxcosXn^; m—1 n=0

(5.110)

(5.110)

OO 00

仇=E E 021nsln 入"ski “； m=i П"1

W=* £ ®mn SlnXmXCOS^, 0~1 〃7

где Xm = nmfl; Xn = n/R. Подставляя разложения (5.101) и (5.110) в исходные уравнения, получим решение, аналогичное (4.87), т. е.

尸mn = "^鼻 ku(£#34 — ％&33)— e13 (^22^34 — ©в^м) +

+ ©М (^22^33 一 e23^82)li

б?" = — Pg ku (©аз^м — ^24^33)— ^13 (^21^34 — ^24^31) +

+ ©м(£21% — ©«si)】；

D(5.111)

021n = ■實"[бц (б24ем — 622^34)— 612 (б^З! 一 敬传弘)+

+ ©М(£22^81 — £si£82)]；

®mn =—卫置^ [eu (e^ss — ©«за) — еи (е21еэз 一 GMm) +

+ 〃8 (^21^82 — %^31)L

где e = &4 [ви (в^ё1з - /8，2)一 Gz (分1%З - базе«) + Gs X X(£31% - %% J I - £" 1^11 低染仙-%卢42)- 612 (&回8 - -£"48)+%(e21^42 - %2%)丿一61441(/2е開-6#42)-

-£"(%1&8 - e33e41) + %8 (%侈42 - ^mб41)]* e仃=灰/ + 电力 ПрИчeМ 瓦/ были приведены в пояснениях к уравнениям (4.86), а из дополнительных коэффициентов 以丁 отличны от нуля только

瓦 4 =论 41 =•

Если структура стенки оболочки симметрична относительно срединной поверхности, т. е. обобщенные жесткости определяются равенствами (4.40), в решении (5.111) следует принять 6工纟=%工=

ew = ем = 0, после чего оно имеет вид:

尸 mn = RE (g22e33 - 6«82)；

(5.112)(5.112)б?"=卫嘗^ ^mn (^т^зз 一 入л^гз)；

(5.112)

(5.112)

8丁 =巴嘗■ Cmn (Xme32 — ^n^22)；

^mn = 「К Cmn (^22^82 一《«82),

где

e = Cmn[入m(6^43 - £«42)—%n (&犯48 - £23^42)1一严(备犯83 - £步由

C/nn = c"^j + (c — 2c初)A^t艙 + СдЛ：；©22 = 1 H~ ~；*(D11*» +。33解)；

Сзз = 1 HJ?— (。22脑 + 033%n)；

%8 = ^^n (Du + DQ； в®я = (D*a + D®a)；

£42 = D“* + (D12 + 2D33) Х«тХн；

£43 = D^^n + (。12 + 2D33) Xm^n«

Если дополнительно не учитывать деформации поперечного сдвига, приняв 工-> 8, Ку -> «>, то равенства (5.112) упрощаются следующим z образом:

%67 = —%%п；

*\Cmn

8丁 = ^п^тпз ^тп = Ртп(L«n + &*^^ ) ,(5.113)

где Lmn определяется равенством (4.47).

В качестве примера рассмотрим однородную по толщине цилиндрическую оболочку, обобщенные жесткости которой определяются (4.41). Оболочка изготовлена из стеклотекстолита, имеет следующие параметры: £х = 19,6 ГПа, Еу = 30,5 ГПа, Gxy = =4,75 ГПа, Gxv = G” = 2,06 ГПа, р.хи = 0,14, длину / = = 2,37R, относительную толщину h/R — 0,03156; свободно оперта по торцам и нагружена посередине пролета радиальной сосредоточенной силой 力(рис. 5.15). Коэффициенты ряда (5.101) для нагрузки имеют следующий вид:

吐P

РтО = (—1) 2 ■J^y (/П — 1, 3, 5...)；

_ /—i、^^ 2P (zn = 1, 3, 5・・・、 5”一(-1)2,

Распределение прогиба вдоль образующей g = 0 показано иа рис. 5.16 (R = 0,112 м, Р = 980 Н). Кривая / соответствует реше-

иию (5.112), учитывающему деформации поперечного сдвига, кривая 2 — решению (5.113), не учитывающему эти деформации; точками отмечены результаты измерения прогиба.

Решения в двойных тригонометрических рядах, построенные выше, описывают поведение оболочек, характер закрепления которых соответствует условиям свободного опирания. Эти условия, как уже отмечалось, моделируют широкий класс реальных конструктивных схем соединения оболочек, а соответствующие решения вследствие своей относительной простоты используются для практических расчетов даже тогда, когда эти условия выполняются лишь частично. Характерным примером в этом отношении является показанная на рис. 5.15 оболочка, напряженное состояние которой в окрестности точки приложения силы мало зависит от способа закрепления краев. На краях х = 0 и х = Z существенными являются условия ® = 0, и = 0, обеспечивающие недефор- мируемость опорных сечений, а замена условий Nx = Мх = О (свободное опирание) на условия 〃 = 8工=0 (жесткая заделка) вдали от краев практически не повлияет на результат. Однако, если убрать кольца или стенки, обеспечивающие жесткость опорных сечений, и закрепить оболочку со свободными торцами в точках Л и В (см. рис. 5.15), то ее прогиб будет значительно отличаться от показанного на рис. 5.16, а сечения — от круговых. Прикладная теория, предназначенная для решения подобных, а также других задач расчета цилиндрических оболочек, в которых большую роль играет деформация контура сечения, будет изложена в следующем разделе.、

§ 5.6. Полубезмоментная теория композитных цилиндрических оболочек

Как уже отмечалось, пол убезмоментн ая теория позволяет описывать цилиндричеркие оболочки, условия закрепления которых отличаются от свободного опирания, что исключает использование двойных тригонометрических рядов типа (5.100) или (5.110). Типовая задача, решение которой может быть построено с помощью полубезмоментной теории, иллюстрируется рис. 5.17, где показана длинная оболочка, усиленная в средней части коль

цом, на которое передаются сосредоточенные силы. Для этой задачи, естественно, можно привлечь общие уравнения типа (5.1)—(5.7), решение которых может быть представлено тригонометрическими рядами по кольцевой координате, включающими

неизвестные амплитудные функции, зависящие от продольной координаты х. Для этих амплитудных функций может быть получена си-

Рис. 5.17. Трехслойная цилиндрическая оболочка с кольцом, нагруженная диамет

ральными силами

стема обыкновенных дифференциальных уравнений, причем она будет иметь в совокупности десятый порядок, что, как правило, исключает построение аналитического решения. Однако исследование напряженно-деформированного состояния систем, аналогичных показанной на рис. 5.17, позволяет заключить, что взаимодействие кольца и оболочек осуществляется в основном за счет мембранных усилий, а изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы, действующие в сечении х = const, можно не учитывать.

Таким образом, в привлечении уравнений общей теории цилиндрических оболочек нет необходимости. С другой стороны, наиболее простых уравнений, соответствующих безмоментной теории, рассмотренной в § 5.2, здесь недостаточно. Как видно из равенств (5.15), касательные усилия Nxy, следующие из уравнений безмоментной теории, не изменяются по длине оболочки и в любом сечении системы, показанной на рис. 5.17, будут такими же, как и в сечении х = 0. Ясно, что в реальной конструкции эти усилия по мере удаления от кольца затухают, т. е. для длинных оболочек уравнения безмоментной теории, как уже отмечалось в § 5.2, могут привести к результату, противоречащему физической природе описываемого явления.

Заметим, что если кольцо соединено со смежными или опорными кольцами короткими оболочками, то это противоречие не проявляется, и при расчете таких конструкций оболочки часто описываются уравнениями безмоментной теории.

Полубезмоментная теория была построена В. 3. Власовым на основе системы физических гипотез, которые наглядно иллюстрируются расчетной моделью, показанной на рис. 5.18 [23]. Оболочка условно считается состоящей из системы колец, которые обладают конечной изгибной жесткостью, равной кольцевой из- гибной жесткости стенки, и системы стержней, которые соединяют кольца и передают осевые и сдвигающие усилия Nxt Nxyt Осевые изгибающие моменты MXt соответствующие поперечные силы Qh и крутящие моменты Мху принимаются равными нулю. Кроме того, не учитывается

Рис. 5.18. Полубезмоментная расчетная модель цилиндрической оболочкиРис. 5.18. Полубезмоментная расчетная модель цилиндрической оболочки9 Васильев В. В.9 Васильев В. В.эффект Пуассона, кольцевая деформация £у и деформация сдвига уху (5.92) принимаются равными нулю. Перечисленные

Рис. 5.18. Полубезмоментная расчетная модель цилиндрической оболочки

Рис. 5.18. Полубезмоментная расчетная модель цилиндрической оболочки

9 Васильев В. В.

9 Васильев В. В.

Рис. 5.19. Композитная оболочка, структура которой соответствует по- лубезмоментиой расчетной модели

241

гипотезы позволяют, с одной стороны, снизить порядок уравнений по переменной % до четырех, а с другой стороны получить решение, затухающее в осевом направлении, т. е. описывающее поведение длинных оболочек.

Многочисленные исследования и приложения полубезмомент- ной теории к расчету цилиндрических оболочек позволяют сделать следующие важные замечания. Прежде всего установлено [30)63], что для получения уравнений полубезмоментной теории перечисленные выше гипотезы можно заменить одним формальным предположением ——считать, что изменение любой функции /, определяющей деформации илн напряжения в оболочке, в осевом направлении происходит значительно медленнее, чем в кольцевом. В частности, в работе [9] обсуждаемая теория построена на предположении о том, что

Далее показано [48, 611, что полубезмоментная теория позволяет получать удовлетворительные результаты при решении широкого класса задач статики и устойчивости цилиндрических оболочек. Существенным для композитных оболочек является также следующее обстоятельство. Несмотря на то, что В. 3. Власов назвал полубезмоментную теорию теорией ортотропных оболочек [23], она предназначалась для описания изотропных оболочек, а ортотропия, т. е. заложенная в теорию различная сопротивляемость стенки воздействиям в осевом и кольцевом направлениях, была связана не со свойствами материала, а с анализом вклада соответствующих напряжений в восприятие внешней нагрузки. Применительно к композитным оболочкам гипотезы полубезмоментной теории часто получают и физическое обоснование, связанное со структурой материала. Например, сетчатая цилиндрическая оболочка, состоящая нз ребер, образованных методом намотки, и обшивки, армированной в кольцевом направлении (рнс. 5.19), по соотношению жесткостных параметров практически полностью соответствует гипотезам полубезмоментной теории (рис. 5.18). '

Имея в виду отмеченное соответствие, будем строить полубезмоментную теорию композитных оболочек на основе физических гипотез, учитывающих как особенности ожидаемого решения, так и особенности структуры композита.

Рассмотрим рнс. 5.18 и общие уравнения (5.1)—(5.7), в которых отбросим все нелинейные члены. Как отмечалось в, § 2.2, гипотезы целесообразно вводить, принимая допущения относительно значений коэффициентов жесткости, входящих в физические соотношения (5.5).

Итак, предположим в соответствии с основной гипотезой полубезмоментной теории, что стенка не обладает жесткостью при изгибе в осевом направлении и кручении, т. е. примем Рц =

Сц ^ О, D* = Рэз ^ Раз — Рзз — 0, Сад — Сад — Сзэ = = G： = О・ Кроме того, пренебрежем эффектом Пуассона, принимая В］雷==В*】=0, Си = Сдц = 0) Dm = D*i == 0. Тогда из равенств (5.5) следует, что Мж = 0, Мху = М^ = 0, а из первого уравнения (5.3), что Q* = 0.

Как уже отмечалось в § 5.3, учет деформации оси кольца (см. рис. 5.18) не вносит в его расчет существенных уточнений. В связи с этим введем условие нерастяжимости контура сечения. Предварительно зададим такую координату начальной поверх

равенствами (5.33). втор ому р авенствуравенствами (5.33). втор ому р авенствуности, чтобы смешанная жесткость J обращалась в нуль. Тогда из (5.5) имеем Ny = В»%, Му = D产外 где Ву и Dy определяются При оо получим е„ = 0, и согласно

равенствами (5.33). втор ому р авенству

равенствами (5.33). втор ому р авенству

(5.114)(5.114)(5.6)

(5.114)

(5.114)

万+к=°・

При построении полубезмоментиой теории обычно вводится условие отсутствия деформации сдвига, что соответствует бесконечно большой сдвиговой жесткости. Учитывая, что сдвиговая жесткость композитных оболочек может быть малой (например, оболочки> армированные в осевом и кольцевом направлениях, обладают низкой жесткостью при кручении), воздержимся от этой гипотезы. Однако, для упрощения вывода при вычислении соответствующих коэффициентов не будем учитывать изменения радиуса по толщине, т. е. примем Взз = Взз = Взз = Взз = Взз・ Тогда из (5.5) следует, что Nxy = N畔.

Окончательно, с учетом сделанных предположений система уравнений (5.1)——(5.7), в которую дополнительно включена нагрузка д» (см. рис. 5.4), сводится к следующей системе:

(5.115)(5.115)誓+*=。；*+堂+务+%=。;崎一Qy = °；醬一系+力=°；

(5.115)

(5.115)

Me = 5工％； Mcg = В^зУхд； My = DyKy\ Qg = KgWy； (5.116)

% _ 勿，yXy _ Ну 十 dx '〜_ 0у 十 R ду 0夕・ 3・U/)

Система из 12 уравнений (5.114)—(5.117) включает 12 неизвестных функций и учитывает деформации сдвига уху и 中屮 обычно принимаемые равными нулю. Для слоистой оболочки сдвиговая жесткость К» определяется равенством (5.32); Вж = Ви соответствует первой формуле (5.63) и (см. § 2.5)

3,2掰(-A

Приведем систему (5.114)—(5.117) к одному уравнению. Для замкнутой оболочки представим искомые функции и нагрузку в виде следующих тригонометрических рядов:

以п(*)，叫(*)

Nхп (*), NуП (х), М.恥(х) cos Arjf；exn W> *w(*)

иQy.Y工屮办，иQy.Y工屮办，8%(*)

и

Qy

.Y工屮办，

и

Qy

.Y工屮办，

(5.118)(5.118)=S ^xyn (*), Qy”(*) slu 入善g;.Vxjrn (*)，办善(*),

(5.118)

(5.118)

£ pn (*) cos M； Яу=Л Яуп (x) sin M>

рNxq = Ur ； 2川="R； My。= 0;_ p(5・U9)=2«R瓦/ % = °； "ST = %； % = °，рNxq = Ur ； 2川="R； My。= 0;_ p(5・U9)=2«R瓦/ % = °； "ST = %； % = °，где Хд = 九/R. Заметим, что ряды (5.118) включают члены, соответствующие п = 0, т. е. осесимметричной составляющей нагрузки. Ввиду того, что в дальнейшем будет использована операция деления на ХЛ> выделим состояние, соответствующее 九 = О, н построим его непосредственно с помощью уравнений (5.114)— (5.117). Полагая, что входящие в них функции не зависят от у. получим

р

Nxq = Ur ； 2川="R； My。= 0;

_ p(5・U9)

=2«R瓦/ % = °； "ST = %； % = °，

р

Nxq = Ur ； 2川="R； My。= 0;

_ p(5・U9)

=2«R瓦/ % = °； "ST = %； % = °，

Здесь P — осевая сила (см. рнс. 5.3). Решение (5.119) может быть получено нз уравнений безмоментной теории (см. § 5.2). В частности, для оболочки, показанной на рнс. 5.3, оно совпадает с осесимметричной составляющей решения (5.23), (5.24), если принять в последнем Вм оо.

В дальнейшем будем считать, что л ^ 1. Подставляя разложения (5.118) в уравнения (5.114)—(5.117), запишем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

九71% + "^- = 0；

(5.120)

Nxn + \N хуп = 0;

(5.121)

N ж^п、為 N w + r + 9w-0,

(5.122)

^nMg + Qg = 0;

(5.123)

入&一贤+ "n = 0；

(5.124)

N е = В*〃；；

(5.125)

N*g = Взз(и；—脑％);(5.126)

Mw =d卩" (%n + 黄+ 底叫)；(5.127)

Qyn = Kg%n・(5.128)

Штрихом обозначена производная по х. Из равенства (5.120) имеем

% = — g/R%n・(5-129)

Рассмотрим соотношения (5.123), (5.127) и (5.128). Исключая из (5.127) %п с помощью (5.128), a Q^ с помощью (5.123) и учитывая формулу (5.129), можно выразить сначала 〃皿，а затем Qg и $皿 через wn и получить следующие зависимости:

%（鯉一1）%（鯉一1）(5.130)(5.131)(5.132)(5.130)(5.131)(5.132)Mgn = Djl叫；Qgn =—統 Dj»队；2g = ~ где,

%（鯉一1）

%（鯉一1）

(5.130)

(5.131)

(5.132)

(5.130)

(5.131)

(5.132)

Из уравнения (5.124) с учетом (5.130) найдем

2卽=Rg — KD^t

а из уравнения (5.122), исключая Q^ и Nyn с помощью равенств (5.130), (5.132), будем иметь

2；gn = %nR (瓦一"R J Dr 侬Q *(5.133)

где pn=Pn—•

Продифференцируем соотношение (5.126), подставим в него 嗚 и Nxyn согласно (5.129) и (5.133) и найдем

% =岩(2^ 5叫-无)-熹•(5/34)

Тогда формула (5.125) с.учетом (5.134) дает

Njm - "^^ ("^г" Dn^n —无)—^-啕.(5.135)

Разрешающее уравнение может быть получено в результате дифференцирования уравнения (5.121) и подстановки в него равенств (5.133), (5.135), т・е・

叫V 一 2后5；+蝕% =心，(5.136)

где

8= *(”£呼";易=争霜(巒一1);

Dx

Рассмотрим сначала случай д — 1, которому ссютветствуют 月=& = 6 и следующее решение уравнения (5.136):

№,= JdxJdxJd*J(^--^)dx +

+ 6?「* + 國1 + 國少 + a).(5.137)

Решение (5.137) описывает изгиб оболочки с нерастяжимым контуром сечения как тонкостенного стержня, деформации которого ссютветствуют закону плоских сечений, и может быть получено методом, изложенным в § 3.2, или с помощью уравнений без- момеитной теории (см. § 5.2). В частности, для консольной оболочки, показанной иа рис. 5.3, решение (5.137) совпадает с решением (5.24), если в последнем отбросить осесимметричную составляющую (п = 0), которая в рассматриваемом случае определяется соотношениями (5.119)» и принять 5ss f 8. Таким образом, составляющие решения, соответствующие членам с индексами п = 0 и n = 1 в рядах (5.118), могут быть построены отдельно с помощью достаточно простых уравнений безмоментной теории цилиндрических оболочек.

При п ^ 2 решение уравнения (5.136) имеет вид

д = %о+ £ 國)①學(Х),(5.138)

где 切冷。—частное решение. Уравнение (5.136) уже дважды встречалось ранее — в § 4.2 и в § 5.4, где и приведены выражения для функций Ф«)(х). Для сравнительно коротких оболочек обычно используются формы, содержащие гиперболические функции (см. § 4.2), а для длинных — выражения (5.73), включающие экспоненциальные функции. Постоянные С黑)определяются из граничных условий, для постановки которых необходимо получить выражения для сдвиговых усилий и осевых перемацений. Усилие Nxy выражается через прогиб с помощью равенств (5.121) и (5.135), которые дают

必山=备吟'一輦■(*5叫-瓦)♦(5.139)

Продольное перемещение можно иайти, если подставить усилие (5.139) и кольцевое перемещение (5.129) в соотношение (5.126), т. е.

"" ="^(『5吗一而)-^"一斎.(5・140) Таким образом, напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки в рамках полубезмоментной теории определяется соотношениями (5.118), (5.119), (5.129), (5.130). (5.132), (5.135), (5.137)—(5.140).

246

Для того чтобы придать дальнейшему изложению конкретный характер, проведем его на примере трехслойной оболочки, усиленной упругим кольцом (см. рис. 5.17). Для анализа кольца могут быть использованы соотношения, полученные в § 5.3, однако учитывая, что уравнения (5.27)——(5.29) для кольца являются частной формой записи уравнений полубезмоментной теории (5.115)—(5.116), удобнее воспользоваться результатами' настоящего раздела. Считая кольцо короткой оболочкой, напряженно- деформированное состояние которой не зависит от продольной координаты х, из уравнения (5.136) получим '

^К，= Б^Г1)к-#]- (5•⑷)

Здесь и далее верхним индексом (к) отмечены параметры, относящиеся к кольцу. Тангенциальное перемещение, изгибающий момент, поперечное и кольцевое усилия в кольце определяются равенствами (5.129), (5.130), (5.132). Отметим, что при п = 1 согласно формуле (5.131) Z)n = 0 и из уравнения (5.133) следует условие равновесия кольца как твердого тела р* = g^i. Таким образом, в формуле (5.141) при n = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Из исходных уравнений при этом получим 耽 = 6 = С, где С соответствует смещению кольца как твердого тела. Для рассматриваемого кольца (см. рис. 5.17) С = 0, т. е. о/】=6 и 内=0. Условия статической эквивалентности поверхностных нагрузок, коэффициенты разложения которых входят в равенство (5.141), и действующих на рассматриваемое кольцо внешних и контактных сил (см. рис. 5.17) имеют следующий вид:

@歩俨=9л» а*)? = 2М*川(х = 0). ■

Здесь qn — коэффициенты разложения в ряд Фурье локальных нагрузок, показанных на рис. 5.17;

% = > 9n = hr (九=2, 4, 6.. •); gn — 0 (л = 1, 3, 5 • • •), a Nxy (х = 0) — усилия взаимодействия между кольцом и оболочками, коэффициенты разложения которых определяются равенством (5.139) при % = 0. Таким образом, ф°РмУла (5-141) принимает вид

時；硬)務二)千一去%* (" °)]，(5」42) где 九=2, 4, 6...

Рассмотрим теперь соединенные с кольцом оболочки, причем вследствие симметрии можно ограничиться обсуждением части конструкции, соответствующей 0 < х < оо (см. рис. 5Л7). Из решения (5.119) для п = 0 следует, что о/。= 0. В решении (5.137) для п = 1 примем "1 = 0 и учтем, что при * 8 прогиб должен стремиться к нулю. В результате получим Q" = 0 (i = 1, 2,

4) н 畋=0, что очевидно, поскольку прогиб 叫 соответствует изгибаемому стержню, а на рассматриваемую систему действует самоуравновешенная система сил. Итак, прогиб оболочки определяется равенством (5.138), в котором в силу условия рп = О следует принять 5no = 0 и сохранить функции, затухающие при увеличении %. С учетом формул (5.73) получим С^ = С，)= 0 и

Wn = e~rx [ClnKcos tx + cP sin tx\. (5.143)

Здесь n ^ 2, a г и t находятся по формулам (5.74). Для определения С]%)и С$%)рассмотрим условия сопряжения оболочки с кольцом. Поскольку кольцо деформируется только в своей плоскости, осевое перемещение при % = 0 обращается в нуль (см. рис. 5.17), т. е. с учетом равенства (5.140)

=一念巾-(出 - D*]叫⑼+蚀} = ° •(5」44)

Подставляя сюда решение (5.143), получим Ct ^ сСъ где

挈LD33挈LD33(3f2_ 戸)(3f2_ 戸)LD33LD33

挈

LD33

挈

LD33

(3f2_ 戸)

(3f2_ 戸)

LD33

LD33

Второе граничное условие потребует более подробного рассмотрения. Строго говоря, в рамках полубезмоментной теории на поперечных кромках оболочки можно наложить ограничения только на тангенциальные перемещения и и и, т. е. такие же, как и в безмоментной теории. Однако, если прогиб, соответствующий безмоментной теории, в задачах сопряжения получается, как правило, разрывным, то решение уравнений полубезмоментной теории оказывается непрерывным по прогибу. Причина такого различия связана с условием нерастяжимости контура сечения (5.114). Действительно, из эквивалентного ему равенства (5.129) следует, что непрерывность перемещения % (х) обеспечивает непрерывность прогиба wn (х). Таким образом, рассматривая сопряжение оболочки с кольцом (см. рис. 5.17), необходимо выполнить условия 0n (0) = и『). Однако учитывая, что для кольца и для оболочки справедливо равенство (5.129), это условие можно заменить следующим: 5n (0)=砂'.Подставляя сюда прогиб оболочки (5.143) и прогиб кольца (5.142) и учитывая, что согласно соотношениям (5.139) и (5.144) при рп = 0 и х = 0

N хуп = &入3 ^л»окончательно получим

" {d中 % (П2 - 1) + *[Г⑶2 -円 + " 田一产)]「

Итак, постоянные найдены, и следовательно, построено решение р ассм атр и в аемо й задачи. В развернутой форме оно оказывается довольно громоздким, поэтому здесь не приводится.

Как уже отмечалось, описанный выше вариант полубезмомент- ной теории отличается от традиционного тем, что при его построении учитываются сдвиговые жесткости К? и В33. Если структура материала позволяет пренебречь деформацией сдвига уху (например, оболочка содержит слои с углами армирования ±45°, которые обладают высокой сдвиговой жесткостью), то можно принять Взз f оо, что существенно упрощает расчетные соотношения. Равенства (5Л29)—(5.132) остаются при этом без изменения, а соотношения (5.135), (5.139), (5.140) принимают следующий вид:

曾fix * v%*%

Nxn =一磷■吗;% =一西.

В уравнении (5.136) исчезают средний член в левой части 伏i = 0) и второе слагаемое в правой части. Для рассматриваемой в качестве примера оболочки (см. рис. 5.17) решение этого уравнения (5.143) может быть записано в явной форме

= 2PR，* (сз “ + sin у),

где rn =統 / (七K@ ■ •

Полагая здесь % = 0 и подставляя полученные коэффициенты в ряд (5.118) для w, запишем выражение для прогиба кольца

叫叫(5.145)(5.145)『2PR cos 入ny

叫

叫

(5.145)

(5.145)

…"(D附" +警］

Здесь первое слагаемое знаменателя учитывает жесткость самого кольца, а второе — увеличение жесткости за счет оболочек. Принимая в равенстве (5.145) у = 0, Dn = 0 н учитывая формулу (5.131), получим прогиб свободного кольца в месте приложения силы (см. рис. 5.6):

Учитывая, что D尸=£Л3/12,艮尹=Gft и

S

°°1_ л2 —8. g "_ л2

Я=2, 4, 6> • •п^я2» 4» в* • •

найдем

д = °'°745 螺(1+0,44 調)，у к

что совпадает с формулой (5.42), если учесть, что в ней 0K включено в Dyi и отбросить член, соответствующий деформации оси кольца, которая в настоящем разделе принят{а равной нулю.

Если дополнительно не учитывать деформацию поперечного сдвига, приняв К» f 8, придем к традиционному варианту полу- безмоментной теории цилиндрических оболочек(9]. Заметим, что получаемые при этом упрощения в формуле (5.131) являются несущественными.

§ 5.7・ Устойчивость цилиндрических оболочек

Рассмотрим задачи устойчивости, общая постановка которых обсуждалась в § 2.9. Пусть цилиндрическая оболочка нагружена осевыми сжимающими усилиями Т и внешним давлением q (рис. 5.20), при совместном или раздельном действии которых она может терять устойчивость. Считая докритическое состояние оболочки безмоментным и полагая в равенствах (5.25)尸=—2兀R7\ * = —q, получим в обозначениях § 2.9

N”一T, "2=—次，2% = о. (5.146)

Как уже отмечалось в § 5.1, линеаризованные уравнения устойчивости могут быть формально получены из линейных уравнений статики, если подставить в них нормальное давление в форме записи (5.10), т. е. с учетом равенств (5.7) и (5.146)

p=声+qR "

При решении прикладных задач это соотношение, как правило, несколько упрощается. Потеря устойчивости при воздействии внешнего давлена сопровождается появлением системы продольных волн, т. е. прогибом, быстро изменяющимся по координате у. В результате первое слагаемое в круглых скобках оказывается малым по сравнению со вторым и может быть отброшено. Тогда Р = -(7 察+ 0R 穿")•(5」47)

Сделанное упрощение соответствует технической теории цилиндрических оболочек, обсуждавшейся в § 5.5. Типовыми случаями нагружения цилиндрической оболочки являются осевое сжатие (д = 0), боковое внешнее давление (Т == 0) н всестороннее внешнее давление (Т = 0,5gR), которые и рассматриваются ниже.

Рис. 5.20. Цилиндрическая оболочка, нагруженная внешним давлением н осевыми сжимающими усилиямиРис. 5.20. Цилиндрическая оболочка, нагруженная внешним давлением н осевыми сжимающими усилиями

Рис. 5.20. Цилиндрическая оболочка, нагруженная внешним давлением н осевыми сжимающими усилиями

Рис. 5.20. Цилиндрическая оболочка, нагруженная внешним давлением н осевыми сжимающими усилиями

В случае одноосного осевого сжатия в равенствах (5.146), (5.147), следует принять g = 0, т. е.

№ = -Т; N； = N% = 0; р = —т(5.148)

Исследуем сначала осесимметричную форму потери устойчивости, при которой образующиеся в результате потери устойчивости перемещения ие зависят от координаты у. Линеаризованное уравнение устойчивости может быть записано с помощью линейного уравнения осесимметричиой задачи (5.83), если принять в нем 府=0 и подставить 方 согласно последней формуле (5.148),

+ ^fc]^ + ^Lw = °-(5・149)

Считая, что оболочка свободно оперта по торцам х = 0 и х = 1 (см. рнс. 5.20), представим прогиб в виде ряда

8

® = £ % Sin у,21

где Кт = лт/l. Подставляя это разложение в уравнение (5-149), получим

T_4% +号回G-記)+ 蟲d+显(5150)

Критическое усилие определяется в результате минимизации выражения (5.150) по、• В общем случае такая минимизация осуществляется перебором /п от 1 до значения, при котором Т достигает минимума. Для тонкой оболочки, не содержащей податливых при сдвиге слоев легкого заполнителя, деформацией поперечного сдвига можно пренебречь, приняв К* т> 8. Тогда равенство (5.150) упрощается:

7 =入4+簧+古晶 (5.151) и допускает приближенную минимизацию, основанную иа замене дискретного параметра 鶴 некоторым непрерывным аргументом функции Т %)・ Используя условие минимума dTId、= 0, получим

必П+了嬴・(5.152)

Подставляя это выражение в равенство (5.151), найдем

詳=备(，警+/)・(5.153)

251

Отметим, что формула (5.152) в общем случае дает значение т、 отличающееся от целого числа, т. е. эта формула так же, как и (5.153), является приближенной. В принципе выражение (5.152) может быть использовано для точного определения критической нагрузки по формуле (5.151) подстановкой в нее целых значений т, близких к найденному из (5.152), и последующим выбором минимального значения Т. Однако на практике эта операция, как правило, оказывается излишней, так как формула (5.153) для не слишком коротких оболочек обладает удовлетворительной точностью.

Для иллюстрации полученных соотношений рассмотрим однородную по толщине оболочку, для которой Dx = £жЛ3/12, В/Вп = = Eyht Ех = £ж/(1 — ку%*), Cn = 0, и равенства (5.151), (5.152), (5.153) нмаот вид

у —丸咕卅融 I 马/t。. 《5 154、 1 一 12〃 十炉审审， 8.134)

川=需/聲;7K =券m！瓦.(5.155)

Заметим, что выражение (5.154) позволяет выявить механизм сопротивления оболочки потере устойчивости при осевом сжатии: первое слагаемое в правой части при m = 1 соответствует критической нагрузке продольной полоски единичной ширины, рассматриваемой как шарнирно опертый стержень, а второе — кольцевым усилиям, препятствующим изгибу этой полоски. В качестве примера рассмотрим оболочку из стеклопластика, параметры которой были приведены в § 5.5 (邑=19,6 ГПа; Еу = 30,5 ГПа; Gxy — 4,75 ГПа; р” = 0,14; Gxv = G抑=2,06 ГПа;_ 〃R = =2,37; h/R = 0,03156). По формулам (5.155) получим (Т — Т/Л) т = 8,76; £ = 0,448 ГПа. Принимая /и = 8; 9; 10, с помощью равенства (5.154) найдем соответственно Тк = 0,459; 0,452; 0,467 ГПа. Таким образом, точное значение Тк = 0,452 ГПа соответствует m = 9 и лишь на 0,9 % отличается от результата, следующего из (5.155) или (5.153).

Существенно, что формула (5.152) позволяет приближенно оценить и в дальнейшем уточнить значение /и для оболочки, рассчитываемой с учетом деформации поперечного сдвига, т. е. осуществить минимизацию усилия Т (5.150). Для рассмотренного выше примера при /и = 8,76 получим Тк = 0,426 ГПа, а при m = 8; 9; 10 соответственно 0,459; 0,427; 0,430 ГПа. Таким образом, точное значение Тк = 0,427 ГПа отличается от приближенного, соответствующего равенству (5.152), на 0,2 %.

Приведенные выше результаты относились к осесимметричной форме потери устойчивости цил и ндр ической оболочки при осевом сжатии. Как известно, в случае изотропного материала расшире-

ние спектра форм потери устойчивости, т. е. исследование иеосе- симметричных форм, не приводит к снижению расчетного критического усилия. Известно также, что для ортотропных оболочек форма потери устойчивости и критическое усилие существенно зависят от соотношения жесткостей стенки при растяжении, сжатии, изгибе в главных направлениях и сдвиге.

Прежде чем перейти к анализу неосесимметричной формы потери устойчивости, отметим, что соответствующие выражения для критических усилий, как будет видно из дальнейшего, позволяют провести только численное исследование влияния параметров оболочки на критические усилия. Такой параметрический анализ будет осуществляться далее на оболочках из углепластика, образованных из двух или трех слоев с толщиной 0,2 хЮ~® м с углами армирования 0, 45° и 90°. Приведенные в табл. 5.1 18 структур подобраны так, чтобы отразить реальный диапазон соотношений жестксютей композитных оболочек. Радиус оболочек R = 0,1 м, а длина / = (2; 4; 6) R. В табл. 5.1 представлены суммы, через которые вычисляются мембранные, смешанные и изгибные жесткости стенки. Результаты расчетов сведены в табл. 5.2. Столбец 9 этой таблицы определяет критические у си- лия (5.153), соответствующие исследованной вьпие осесимметричной форме потери устойчивости；

Рассмотрим тонкие гладкие слоистые и подкрепленные оболочки, при анализе которых можно не учитывать изменение радиуса кривизны по толщине и деформации поперечного сдвига. Линеаризованные уравнения устойчивости таких оболочек могут быть получены с помощью уравнений статики (5.98), если заменить в них давление р в соответствии с равенством (5.147), т. е.

厶“ 3) + 厶切 ®) + % 侬)=0 (i = 1, 2);

厶 u (w) + 厶如 9) + Lg(5) + T ^^ + qR = 0. (5.156)

Для свободно опертой оболочки перемещения могут быть представлены тригонометрическими рядами (5.100), и для решения задачи устойчивости может быть использовано решение задачи статики (5.102). При этом в соответствии с равенствами (5Л56) и (5.100), (5.101) достаточно подставить в последнюю формулу (5.102)

ртп = (TXJ> +gR 麓)％

ВВрезультате получим7解I + gR整=厶8-результате получим7解I + gR整=厶8-4i& + 厶&—勿i/i&3dlldS2~^124i& + 厶&—勿i/i&3dlldS2~^12(5.157)(5.157)

В

В

результате получим

7解I + gR整=厶8-

результате получим

7解I + gR整=厶8-

4i& + 厶&—勿i/i&3dlldS2~^12

4i& + 厶&—勿i/i&3dlldS2~^12

(5.157)

(5.157)

В случае осевого сжатия (д = 0) критическое усилие определяется путем минимизации Т по параметрам 入m = nmll н 入办= =川R, которые входят в коэффициенты d“. Результаты такой минимизации методом последовательного перебора /п; л = 1, 2, 3・・・ приведены в столбцах 3—5 табл. 5.2.

7

ю СО СО Ю 9 9 Z z 二二 SodScT

iSSSiSoo cotb^ 二S S

—• CM CM —•

С0СЧ ao ООСЧ

I寸寸寸寸I

寸 co?qn союь*счоосо 守"意h用"

6 Q e z z z МЮфСЧЮО о о

.

I СЧ 9 O 6 酬

Z寸799寸

8 8 CO — z 喳

оф odd

о g 6 ё5 coi

7

OOC0C0CO

О О I Z

C0QQC0 史®® t^giao t^OO

0 q 00 00 7 0 立 g g 立 z z

wM wM wM wM CM CM

ь^юсчоосо Ю

w

,счсоу690 SSSSS2 U^I CO СЧ <0 0 9csicО 6

寸9 9 7寸Z /

喳 z8

遍胃11通q.

t^ci ao co о

—co co 6 g о

II

yy&我圆圆 W6」Zc7，

CO 9 9 co 圆圆圆超GR CO lOin COOO

6 ВВ 6

coinin CO

7 I ZCO Q О 巨d二Sc*^」

Z OQ 9 СЧ СЧ V* 80OO6Z 寸

sss二二二 I СЧ СЧ

^К85Й2 ^"工7橫V

II

ОООСЧСЧО

СОС0ЮСО 6 8 8 6 寸6Gr SYYKoo

— g CO 6 g 6 m g 6 ur收吟rу cЧ寸00寸cЧ

СЧ 寸 CO ZC0 I I 6 0

CO о-^co to-^

6 й q z ю

寸 S S 11

CM ——• CM

z —zg о zi 吃rwq气 Ь-оГсч a><0

史5

О ОО о

II

9 9 co

^M ^M ^M ^M c 二 > c 二 >

co co co co co co

寸寸11g g 「11

W 二二

6 9СЧ z 00 0 公 ±

Mco ao

42 4342

юю ю

寸寸寸寸寸寸

8223 oooooo

—• • 2882

o ——*ooo

СО СО СО СО со со 00 00 00 00 00 00

оооооо

Z亡ru99

I 9 6 8

9

СЧ Ф«-；СЧ ao CO SuJc7」S7

gggggg g g g g g g 亡亡亡dr 寸寸寸寸寸寸

о qgg o*3*o*

om^Soo ou5u5o о о

I сч 寸 g 9

Z86三二z

v*g 9 z ^^ wH wM wM ^^ wM

上амтторо Xnx39»ndp9mmh H3S38S8 miul9mddu ・-g

ла/па/?аВла/па/?аВт =т =2g （1+需笋）.2g （1+需笋）.(5.158)(5.158)Остановимся иа результатах расчета оболочек 6, 8 и 15, для которых критическое усилие реализуется при л = 1. Как уже отмечалось в § 5.2, 5.6, это значение л соответствует общему изгибу оболочки как стержня. Критическая нагрузка при этом определяется равенством типа (3.54), имеющим в рассматриваемом случае вид

ла/па/?аВ

ла/па/?аВ

т =

т =

2g （1+需笋）.

2g （1+需笋）.

(5.158)

(5.158)

Величина m находится из условия минимума Т и зависит от условий закрепления оболочки как стержня. В частности, при шарнирном опирании (торцовые сечения могут свободно поворачиваться) m = \, а при заделке (торцовце сечения неподвижны) /и = 2. Стержневая форма потери устойчивости реализуется только в длинных оболочках. В частности, для оболочки 6 критическое усилие, определяемое по формуле (5.158), оказывается меньше приведенного в табл. 5.2 при / > 100/?. Из табл. 5.2 следует, что оболочки 6, 8, 15 теряют устойчивость по осесимметричной форме, соответствующей л == 0 (столбец 9). Для остальных оболочек соотношение (5.157) дает меньшее по сравнению с формулой (5.153) значение критического усилия.

Рассмотрим теперь общую расчетную модель цилиндрической оболочки, учитывающую изменение радиуса по толщине и деформации поперечного сдвига. Для того чтобы получить формулу, аналогичную (5.157), достаточно воспользоваться при ее выводе решением (5.111) вместо (5.102). Получим

# 7喘 + gRXJ = —Е [eu (е22е88 — ©好通一еи (^21^38 —铀电)+

+ ^18 (^21^82 — ^a^Sl)]"1* (5.159)

Для оболочки, стенка которой симметрична относительно срединной поверхности, может быть использовано решение (5.112), и выражение (5.159) упрощается следующим образом:

(5.160)

Если дополнительно не учитывать деформации поперечного сдвига, то с помощью решения (5.113) получим

7締+ <ZR^ = Lmn + 誌••(5.161)

Равенства (5.159)—(5.161) соответствуют технической теории цилиндрических оболочек (см. § 5). Соотношение (5.161) является частным случаем решения (5.157). Оно получено в рамках упрощенного варианта теории и ие учитывает смешанных жесткостей.

255

5*2. Результаты расчета композитных цилиндрических оболочек на устойчивость

Осевое

сжатие Тк

.10«,

ГПа* м

Боковое внешнее давление ^НЯ- 10е, ГПа. м

Всестороннее внешнее давление 0内* 10*，ГПа- м

№ *

4"

Формула

Формула

Формула

(5.157)

(5.175)

(5.153)

(5.157)

(5.175)

(5.

178)

(5.181)

(5.157)

(5.178)

Т к

m

п

к

6

%

0内

п

у

■

0内

п

0内

М

п

п

17,9

9

14

16,1

9

15

1,59

8

1,60

8

1,59

1,82

1,56

8

1,56

8

1

17,9

18

14

16,1

19

15

50,6

0,82

6

0,84

6

0,84

0,91

0,81

6

0,83

6

17,9

27

14

16,1

28

15

0,54

5

0,57

5

0,57

0,61

0,54

5

0,56

5

18,0

9

14

16,1

9

15

1,60

8

1,60

1,59

8

1,82

1,57

8

1,56

8

2

18,0

18

14

16,1

19

15

50,6

0,82

6

0,84

0,84

6

0,91

0,81

6

0,83

6

18,0

27

14

16,1

28

15

0,55

5

0,57

0,57

5

0,61

0,55

5

0,56

5

19,6

1

33,7

16

20

1,35

2,86

2,86

7

2,91

1,30

2,79

3

18,4

1

33,6

33

20

32,9

0,71

1,42

1,42

5

1,45

0,70

1,4卜

19,1

2

33,6

49

20

0,45

0,93

0,93

4

0,97

0,44

0,93

31,1

19

16

33,7

16

20

3,86

2,86

2,86

2,91

3,77

2,79

4

31,1

39

16

33,6

33

20

40,1

1,91

1,42

1,42

1,45

1,88

1,41

31,1

58

16

33,6

49

20

1,25

0,93

0,93

0,97

1,24

0,93

31,0

16

31,3

1,14

10

1,08

10

1,08

10

U1

1,12

10

1,06

10

5

30,9

11

16

31,3

12

69,5

0,56

0,54

0,54

0,55

0,55

0,57

30,9

16

16

31,3

18

0,37

0,36

0,36

0,37

0,37

0,36

18,0

14

1

31,3

19

1,12

10

1,08

10

1,08

10

1,11

1,11

10

1,06

10

6

17,9

27

1

31,3

12

19

17,8

0,51

0,54

0,54

0,55

0,51

7

0,54

17,9

41

1

31,3

18

19

0,33

0,36

0,36

0,37

0,33

6

0,36

64,7

1

8

57,4

14

1,94

10

1,85

10

1,83

10

1,92

1,92

10

1,81

10

7

63,4

1

6

57,4

14

122,7

0,93

0,93

0,93

0,96

0,92

7

0,92

62,7

1

5

57,1

13

0,61

0,63

0,62

0,64

0,61

6

0,62

83,4

13

1

102,0

8

7,51

7

6,87

8

6,86

8

6,97

7,33

7

6,73

8

8

83,4

26

1

101,9

17

83,0

3,38

5

3,50

5

3,43

5

3,49

3,34

5

3,45

5

83,4

39

1

101,9

25

2,17

4

2,40

4

2,40

4

2,32

2,15

4

2,38

4

98,2

1

83,1

13

6,73

5,97

5,96

6,02

6,51

5,81

9

84,2

1

83,1

12

13

125,7

3,01

2,97

2,97

3,01

2,97

2,93

84,5

1

83,1

17

13

1,85

1,94

1,94

2,01

1,83

1,92

64,7

27

10

70,7

20

16

11,63

5

12,24

5

12,24

5

12,34

11,09

5

111,64

5

10

64,7

54

10

70,7

40

16

66,0

5,51

4

5,95

4

5,95

4

6,17

5,41

4

5,83

4

64,7

81

10

70,7

60

16

3,43

3

3,96

3

3,96

3

4,11

3,41

3

3,89

3

45,5

14

11

44,5

13

11

13,33

13,69

13,68

16,13

12,88

13,22

11

45,5

29

11

44,5

29

12

81,6

6,78

7,24

7,24

8,07

6,66

7,01

45,5

43

11

44,5

40

11

4,95

5,30

5,30

5,38

4,91

5,26

45,4

10

41,9

11

2,38

9

2,33

2,31

9

2,66

2,34

9

2,27

9

12

45,4

10

41,6

11

219,3

1,21

6

1,23

1,23

6

1,33

1,20

6

1,22

6

45,4

10

41,5

10

11

0,81

5

0,84

0,83

5

0,88

0,80

5

0,83

5

63,7

7

15

67,0

9

16

3,96

4,95

8

4,94

8

5,13

3,86

4,85

8

13

63,6

15

15

67,0

18

16

132,2

1,95

2,58

6

2,58

6

2,56

1,92

2,56

6

63,6

22

15

67,0

27

16

1,31

1,74

5

1,74

5

1,71

1,30

1,73

5

2

65,7

12

74,4

5,01

8

4,45

8

4,44

8

4,63

4,92

8

4,35

8

14

4

65,7

12

12

74,4

12

215

2,59

6

2,30

6

2,30

6

2,31

2,56

6

2,28

6

6

65,7

17

12

74,3

17

1,72

5

1,55

5

1,55

5

1,54

1,71

5

1,54

5

Продолжение табл. 5.2

№ •

4~

Осевое сжатие Т^ 10\ ГПа>м

Боковое внешнее давление

0内.1叫гпа. m

Всестороннее внешнее давлен не @内・ 10е, ГПа> м

Фзму

Форвцгла

Формула

(5.157)

(6.175)

(&.153)

0.1⑺

(5.175)

(5.178)

(5.181)

(5.157)

(5.178)

「к

m

п

%

m

и

т

，к

м

и

0内

я

3

п

3

м

п

м

1 "

74,3

19

1

83,5

Г1

15

7,41

9,07

7

9,06

9,59

7,22

7

8,83

15

74,3

39

1

83,5

22

15

73,9

3,42

4,59

5

4,59

4,80

3,38

5

4,53

74,3

58

1

83,5

34

15

2,14

3,05

4

3,05

3,20

2,12

4

3,02

88,8

1

7

74,4

6

14

4,14

8

4,45

8

4,44

8

4,63

4,06

8

4,35

8

16

79,1

1

5

74,4

12

14

112,6

1,94

6

2,30

6

2,30

6

2,31

1,93

6

2,28

6

74,4

1

4

74,3

17

14

1,26

5

1,55

5

1,55

5

1,54

1,25

5

1,54

5

65,9

10

12

83,5

11

15

10,21

7

9,07

7

9,06

7

9,59

9,96

7

8,83

7

17

65,9

20

12

83,5

22

15

127,7

5,27

5

4,59

5

4,59

5

4,80

5,21

5

4,53

5

65,9

30

12

83,5

34

15

3,50

4

3,05

4

3,05

4

3,20

3,47

4

3,02

4

64,2

12

15

67,0

9

16

5,66

8

4,95

8

4,94

5,13

5,56

8

4,85

8

18

64,2

24

15

67.0

18

16

83,6

2,88

6

2,58

6

2,58

2,56

2,86

6

2,56

6

64,2

37

15

67,0

27

16

1,91

5

1,74

5

1,74

1,71

1,90

5

1,73

5 一

* Номера структур соответствуют табл.

5.1.

С учетом обозначений, введенных в § 4.1,4.2, 5. 5, равенство (5.161) может быть записано в развернутой форме:

7、唸 + </R* = ^?1Ат + 2 (Z)12 + 2£)зз) Х^л2 + ^22心 +

w[bП% + (^^ - 2当2)吟& + 522^я]’

Здесь, как и ранее, 8 =豆出額一8乳 ％ = кт!I, М = л//?, а жесткости 5H и /)“ для симметричного пакета определяются формулами (2.129). Для однородной по толщине оболочки Du = =瓦*/12,__

“2 = РэсуЕхЛ8/12; D22 = £уЛ®/12; Dg = G*yhs/12;

5ц = EJi; 512 — рнуЕ/； 5“ — E/; В* = G3c/;

EXtV = EXl „/(1 — ku%)

и равенство (5.162) принимает вид

Т* + 〃?后—~^~ [ЕдК, + 2 {^хуЕх + 2G加爲后 + Е^Д：] +

W偿+（詣-警）$"留W偿+（詣-警）$"留(5.163)(5.163)

W偿+（詣-警）$"留

W偿+（詣-警）$"留

(5.163)

(5.163)

Вернемся к общей расчетной модели оболочки, учитывающей иесимметричиость в расположении слоев по толщине и деформации поперечного сдвига. Соотиошеиие (5.159), определяющее критические значения нагрузок, в развернутой форме оказывается слишком громоздким для практических расчетов и нуждается в упрощении. Для получения более простых приближенных соотношений воспользуемся обобщенным вариантом полубезмомент- иой теории цилиндрических оболочек, изложенной в § 5.6. Необходимость в обобщении связана с тем, что полубезмоментная теория, как отмечалось в § 5.6, справедлива, если в продольная направлении решение изменяется значительно медлеииее, чем в кольцевом, т. е. в рассматриваемой здесь задачи устойчивости должно выполняться условие Х^》Х„. Одиако, как следует из табл. 5.2, при осевом сжатии параметры тип являются соизмеримыми и указанное неравенство не выполняется. Это означает, что при выводе разрешающего уравнения типа (5.136) необходимо учитывать продольный изгибающий момент Мх и поперечную силу Q*. Такой учет может быть осуществлен иа основе физически обусловленной расчетной модели, показанной иа рис. 5.18, которая позволяет модифицировать пол у бе змоменти ую теорию путем введения дополнительных предположений о жесткости элементов модели. В частности» будем считать, что осевые стержни,

соединяющие кольца, обладают изгибиой жесткостью. Существенно, что при этом изгибные деформации стержней можно считать независящими от деформаций колец, т. е. по существу ввести для стержней и колец различные поверхности отсчета и разделить соответствующие физические соотношения.

В результате учета нзг耳бно" жесткости осевых стержней уравнения (5.114)—(5.117) полубезмоментной теории дополняются следующими уравнениями общей теории, упрощенными с помощью гипотез, сформулированных при выводе (5.114)—(5.117):

鲁一 Ql0； MlA(零一等)；Qh = K*■

Здесь D* и К* определяются равенствами (5.61)—(5.63). Кроме того, последнее уравнение (5.115) заменяется следующим:

а во втором уравнении (5.115) следует принять % = 0.

Для свободно опертой оболочки представим перемещения, усилия, моменты и средние деформации сдвига в следующем виде:

=££ m я=££ m я•sin 1mxeOS ХпУ；•sin 1mxeOS ХпУ；

=££ m я

=££ m я

•sin 1mxeOS ХпУ；

•sin 1mxeOS ХпУ；

h：Q卜奘卜勺/……

b：Q卜艾卜勺/sin i

"W = £ £ "牙 COS %m^ Sin 儿〃？•m я

В результате система уравнений полубезмоментной теории (5.120)—(5.128) заменяется следующей системой:

2》+ 费=0；- (5.164)

%N7 + 脑2牙=0；脑A7" + зN才一 _^ = 0； (5.165)

^М7-0Г = 0；脑ML + Q7 = 0;(5.166)

■脑Q^1n -"mQ7^ F T爲3mn + gR脑 ^XnWmn + -^-^ = 0；

(5.167)

N? = —Bj^m^mn\ 2工=5зз(*010mzi —底〃 тл)；(5.168)

М7 =歸5 (%m*〃 一 犷)；(5.169)

m丁 = X„^ ^тп +-^- + ^}^

Q7 = «"; QT = МГ-(5.170)

Осуществим преобразования, аналогичные проведенным в § 5.6. Прежде всего из уравнений (5.164), (5.166), (5.169) и (5.170) получим следующие соотношения, аналогичные равенствам (5.130), (5.131):

Q^ = ^mDm^mnt Q7 = — AQn3mn, (5.171) где

Из уравнений (5.164), (5.165) и (5.168) найдемИз уравнений (5.164), (5.165) и (5.168) найдем(5.173)(5.173)

Из уравнений (5.164), (5.165) и (5.168) найдем

Из уравнений (5.164), (5.165) и (5.168) найдем

(5.173)

(5.173)

Подставляя усилия (5.171), (5.173) в уравнение (5.167) и учитывая равенство (5.164), окончательно получим

7% + <ZR (* -±)=^Dm + 鲁(/ 一 0 + 产哈 卢丁■ 心(肯+启)

(5.174)

Если пренебречь деформацией поперечного сдвига, приняв в формулах (5.172) 2СЖ -► оо, Кр f 8, соотношение (5.174) записывается в виде

7唸 + gR (总一 ~^г) = °*爲 +(л2 — 02Н/炉 ％ 炉 у ・

献(奩+成)

,(5.175)

Напомним, что жесткости Вж, Dx, D„ определяются равенствами (5.33), (5.63), т. е. соотношение (5.175) в отличие от (5.162) приближенно учитывает несимметричность в расположении слоев по толщине. С другой стороны, в соответствии с гипотезами полу- безмоментной теории оно игнорирует жесткость стенки при кручении (Dn = 0), эффект Пуассона (% = % = 0) и растяжимость контура сечения (Вм f оо).

Рассмотрим осевое сжатие (д = 0). Заметим, что при п = 0 критическое усилие определяется равенством (5.150), а при п =

н I — формулой (5.158), т. e. в соотношениях (5.174), (5.175) 九 N 2. Результаты минимизации 7 (5.175) методом перебора значений тип представлены в столбцах 6—8 табл. 5.2. Сравнение этих результатов с точными значениями, приведенными в столбцах 3—5, показывает, что формулы (5.174), (5.175) в среднем обладают удовлетворительной точностью. Значительное расхождение имеет место лишь для двухслойных оболочек 3 и 6 со структурами 45/90 и 45/0. Заметим, что для оболочек 4 и 5, отличающихся от оболочек 3 и 6 только порядком расположения слоев, погрешность решения (5.175) не превышает 10 %. В рассматриваемых оболочках слой с углом армирования 45° является основным, а формула (5.175) не учитывает его расположение по толщине. Это и отражается результатами» представленными в табл. 5.2. Завершая анализ устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии, сделаем одно замечание, связанное с критерием оценки точности расчетных соотношений. Как известно, для металлических оболочек расчетные значения критического усилия превышают экспериментальные в 3—4 раза. Это различие в основном связано с отклонениями формы реальных оболочек от строго цилиндрической и подробно рассмотрено в работе [5]. Композитные оболочки находятся в этом отношении в более благоприятных условиях. Как известно, в композитах даже при сравнительно высоких уровнях Нагружения остаточные деформадии не появляются, и, следовательно, дополнительные воздействия на композитные оболочки, возможные в процессе сборки, транспортирования и эксплуатации конструкции, не вызывают необратимых искажений формы. Тем не менее отличие расчетных критических нагрузок от экспериментальных и в этом случае оказывается значительным: для реальных гладких и подкрепленных композитных оболочек отношение этих нагрузок составляет в среднем 1,7 при коэффициенте вариации 0,3. Имея в виду эту оценку, погрешность результатов расчета, приведенных в табл. 5.2, достигающую 30 %, можно признать приемлемой.

Рассмотрим устойчивость композитных цилиндрических оболочек при действии бокового внешнего давления. Критическое значение давления может быть найдено для оболочек с различной структурой стенки с помощью равенств (5.157), (5.159)—(5.163), (5.174), (5.175), если принять в них 7 = 0, m == 1 и осуществить минимизацию по параметру п. Результаты расчета оболочек, свойства которых приведены в табл. 5.1, иллюстрируются табл. 52 Столбцы 10 й 11 соответствуют полному решению (5.157), а столбцы 12, 13 — решению (5.175), основанному на обобщенной полубезмоментной теории цилиндрических оболочек, которое, как следует из таблицы, в среднем удовлетворительно согласуется с более точным. Исключение составляет оболочка 3, рассмотренная вьппе. Ввиду того, что в рассматриваемом случае m = 1, т. е. прогиб медленно изменяется в продольном направлении, естественно попытаться использовать для расчета уравнение 262

полубезмоментной теории (5.136), не учитывающее продольную изгибную жесткость стенки. Принимая в нем применительно к задаче устойчивости

Чуп = 0； рп = —TWn + qRkn (言^ + 入 gn)

и учитывая равенство (5.129), получим

+ 姜 m"-i)(5 — gR)Wn = 0.(5.176)

Это уравнение позволяет решать задачи устойчивости цилиндрических оболочек при боковом (Г = 0) и всестороннем (Т = О.&у/?) внешнем давлении и произвольных граничных условиях на торцах х ?= 0 и х = /. Соответствующие результаты, следующие из уравнения (5.176), записанного в рамках традиционной полубезмоментной теории цилиндрических оболочек (т. е. при В^ -> -> оо, Kg-> оо), приведены в работе [5].

Для случая свободного опирания краев форма записи прогиба w”(x)= fjWm”SinA1mx(5.177)

(Xm = nm/Z) приводит к решению, совпадающему с (5.174), если принять в последнем Dm = 0, т. е.

+gR (糖一煮)=争 м - D + …；勺•

工 ° (5.178) Критические значения давления, найденные из этого равенства (при Т = 0), приведены в столбцах 14, 15 табл. 5.2. Как и следовало ожидать, они практически не отличаются от результатов, следующих из формулы (5.175), которая учитывает продольную изгибную жесткость стенки.

Как уже отмечалось в § 5.6, в традиционном варианте полу? безмоментной теории деформации сдвига не учитываются. Принимая в соответствии с этой гипотезой В33 + 8, К? -> 8 и полагая в равенстве (5.178) Т = 0, %т =冗//,北冷—n/Rt 'получим gR =鲁(“a _ 1)+ “二僚11)•(5.179)

Если считать здесь п настолько большим, что можно пренебречь единицей, по сравнению с п®, то можно осуществить приближенную минимизацию, используя условие dq/dn = 0- Окончательно получим

"TJ 零(5.180)

и

= -у- /"^^・(5.181)

Результаты расчета по формуле (5.181) приведены в столбце 16 табл. 5.2.

Равенство (5.180); являющееся приближенным, поскольку следующие из него значения п в общем случае отличаются от целых чисел, может быть использовано для оценки п и уточненного определения критического давления по формулам (5.178), (5.179). В частности, для цилиндрической оболочки из стеклопластика, которая рассматривалась выше в качестве примера при анализе формулы (5.153), равенства (5.180) и (5.181) дают п = =4,05; «к = %R/A = 0,055 ГПа. По формуле (5.179) при п = =3; 4; 5 соответственно имеем 呢=0,11; 0,054; 0,065 ГПа. Таким образом, л — 4 и ^к == 0,054 ГПа, что отличается от приближенного решения (5.181) на 1,8 %. Отметим, что рассматриваемая оболочка обладает сравнительно низкими жесткостями при сдвиге в плоскости слоев (Ex/Gxy = 4,13) и межслоевом сдвиге (Ey/Gyv = 14,8). Расчет по формуле (5.178) при /^ f оо н конечном значении В33 дает л = 4, ^к = 0,049 ГПа. И наконец, из полного равенства (5.178) при конечном значении Ку получим 孔=4,龜=0,048 ГПа.

Из табл. 5.2 следует, что критическое давление при увеличении длины оболочки снижается* При / f оо оно стремится к значению, которое может быть найдено из равенства (5.174) при、= О и с учетом второй формулы (5.172) записано в виде

— 与依一1)

Это выражение определяет критическое давление для бесконечно длинной оболочки или кругового кольца единичной ширины. Значение л = 1 соответствует члену разложения (5.177), определяющему смещение кольца как твердого тела, т. е. в равенстве (5.182) л ^ 2. Если деформация поперечного сдвига не учитывается (Kyf 8), минимальное значение q реализуется при л = 2, т. е.

% = 3D J R3.

В общем случае минимизация q (5.182) осуществляется перебором л = 2, 3...

Четыре последние столбца табл. 5.2 содержат результаты расчета цилиндрических оболочек на устойчивость при всестороннем внешнем давлении (Т = 0,5gR). Результаты, представленные в столбцах 17, 18, соответствуют полному решению (5.157), а в столбцах 19, 20 — приближенному решению (5.178).

Список литературы

Азиков Н. С” Васильев В. В. Исследование закрнтнческого деформиро* вания и несущей способности сжатых пластин нз ксшпознцнонных материа* лов //Механика конструкций нз композиционных материалов: Сб. трудов IV снм~ позиума по механике конструкций нз композиционных материалов. Новосибирск, Наука, 1984. С. 110—114.

Азиков Н. С., Васильев В. В. О редукционном коэффициенте для сжатых ортотропных прямоугольных пластии//Механнка композитных материалов. Рига, Рижский политехнический институт, 1982. С. 73——82.

Алексвндров А. Я・,Брюккер Л. Э., Куршин Л. М・,Прусаков А. П. Расчет трехслойных пластин. М., Оборонгиз, 1960. 272 с.'

Ал футов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М., Машиностроение, 1984. 446 с.

Ал футов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М., Машиностроение, 1978. 312 с.

Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука, 1974. 446 с.

Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М., Наука, 1967. 266 с.

Амиро И. Я*> Заруцкнй В・ А., Поляков П. С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев, Наукоиа думка» 1980. 248 с.

Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М., Машиностроение, 1977. 488 с.

Боголюбов В. С. Формообразующая оснастка нз полимерных материалов. М., Машиностроение, 1979. 183 с.

И. Боли ь., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М., Мир, 1964. 517 с.

Болотин В. В” Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М., Машиностроение, 1980. 375 с.

Болотин В. В. О сведении трехмерных задач теория упругой устойчивости к одномерным н двумерным задачам//Проблемы устойчивости в строительной механике. М., Строй изд ат, 1965. С. 166—179.

Буянов И. А. Нелинейные уравнения теории типа Тимошенко многослойных анизотропных оболочек//Механика композитных материалов. 1979. № 3. С. 501—507.

Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. Киев, Наукова думка, 1985. 302 с.

Ваиин Г. А., Семеиюк Н. П” Емельянов Р. Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев, Наукова думка, 1978. 212 с.

Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев, Наукова думка» 1971. 232 с.

Васильев В. В・, Лопатин А. В. Теория сетчатых и подкрепленных композитных оболочек//Мехаиика конструкций из композициоиных материалов: Сб. трудов IV симпозиума по механике конструкций из композиционных материалов. Новосибирск, Наука, 1984. С. 31—36.

Васильев В. В., Лурье С. А. Вариант уточненной теории изгиба балок из слоистых пластмасс//Мехаиика полимеров. 1972. № 4. С. 674—681.

Васильев В. В., Лурье С. А. Плоская задача теории упругости для ортотропной консольной полосы//Изв. АН СССР. Механика тиердого тела. 1984. № 5. С. 125—135.

Васильев В. В. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки из стеклопластика//Изв. вузов, Сер. Авнацноииая техника. 1969. № 1. С. 8—13.

Васильев В. В” Пнчхадзе Г. П. Оболочки и пластинки из композиционного материала с пространственной схемой армироваиия//Проектнроиаиие( расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. М., ЦАГИ» 1982. С. 83—90.

Власов В. 3. Избранные труды. Т. 1. М., Изд-во АН СССР, 1962. 528 с.

Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости н строительной механики. М., Стройиздат, 1975. 224 с.

Власов В. 3. Тоикостеииые упругие стержни. М., Физматгиз, 1959. 566 с.

Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., ГИТТЛ, 1956. 419 с.

Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Казанский уи-т, 1975. 326 с.*

Ганеева М. С. Основные нелинейные соотиошеиня уточненной теории многослойных ортотропных иетоикнх оболочек//Статика и динамика оболочек. 1977. Вып. 8. С. 19—31.丿

Гольдеиблат И. И., Копиов В. А. Критерии прочности и пластичности коиструкциоииых материалов. М., Машиностроение, 1968. 191 с.

Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Гостеор- издат, 1953. 544 с.

Григолюк Э. И.г Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек//Прикладная механика. 1972. Т. 8. № 6. С. 3—18.

Григолюк Э. И.г Куликов Г. М. Вариант нелинейной теории упругих многослойных пологих оболочек//Мехаиика композитных материалов. 1985. № 5. С. 856—860.

Григолюк Э. Н” Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехсложных оболочек. М.» Машиностроение, 1973, 170 с.

Григоренко Я* М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев. В ища школа, 1985. 190 с.

Григоренко Я> М., Василенко А. Т. Теория оболочек переменной жесткости. Киев, Нау ков а думка, 1981. 543 с.

Григоренко Я> М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973. 228 с.

Григоренко Я・ М・,Мукоед А. П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев, Внща школа* 1983. 286 с.

Григоренко Я・ М., Тимонин А. М. Напряженное состояние слоистых оболочек вращения с учетом геометрической велииейиостн и сдвига//Деп. в АН УССР. Сер. А. 1980., № 9. С. 46—49.

Гуняев Г. М. Структура и свойства полимерных волокнистых компози* тов. М., ХимиА, 1981. 232 с.

Дудчеико А. А., Хурье С. А・,Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки//Итогн науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. Т. 15. М・，ВИНИТИ» 1983. С. 3—68.

Евстратов А. А. Об исследоиаиии работы гибких пластинок методом конечных разиостей//Изв, высш. учеб, заведений. Строительстио и архитектура. 1977. № 5. С. 39—44.

Елпатьевский А. Н.г Васильев В. В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М., Машииостроеиие, 1972： 168 с.

Еиджиевский Л. В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск, Изд-во Красноярского уи-та 1982. 296 с.

Жнгув И. Г., Поляков В・ А・ Свойства прострвнстеенво-армврованвнх пластиков. Рвга, Зннатне, 1978. 215 с.

Заболоцкий А, Ам Варшавский В.関・ Композиционные материалы. Т. 2//Итоги науки и техники. М-, ВИНИТИ, 1984. 104 с.

Заболоцкий А. А. Композиционные материалы. Т. 1//Итоги науки и техники. М” ВИНИТИ, 1979. 106 с.

Зиновьев П. А. Расчет конструкций иэ- шпшоэицжжных материалов. М., МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1982.曲 с.

Кан С. Н. Строительная механика • оболочек. М., Машиностроение, 1966. 508 с.

Кармишии А. В. Потенциальная энергия деформации иепологой орто- тронной оболочки неоднородного строения//Изв. АН СССР. Механика твюдого тела, 1976, № 4. С. 183—185.

Кармншии А. В・ Уравнения неоднородных тонкостенных элементов на основе минимальных жесткостей//Прнкладная механика. Т. 10. Вып. 6. 1974. С. 34—42.

Келли А. Высокопрочные материалы. М・，Мкр, 1976. 261 с.

Комиозицнонные материалы в конструкции летательных аппараюв/Под ред. А. Л. Абибова. Мм Машиностроеине, 1975. 272 с.

Композиционные материалы. Т. 7/Под ред. Л. Браутмана и Р. Крока// Анализ и проектирование конструкций. М., Машиностроение, 1978. 342 с.

Композмцпоиные материалы. Т. З/Под ред. Л. Браутмана н Р. Крока// Применение композиционных материалов в технике. М., Машииостроеиие. 1978. 510 с.

Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек н методы их решения. М., Наука, 1964. 192 с.

Королев В. И* Слоистые аииаотропные пластинки н оболочки. из арми- рованвш пласшасс. Мм Машиностроение, 1965. 272 с.

Кристенсен Р・ Введепие в механику композитов. М., Мир, 1982. 334 с.

Лехницкий С* Г. Анизотропные пластники. М-, Гос. изд. техн.-теор. лит., 1957. 463 с,

Лехнпцкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М・,Наука, 1971. 240 с.

Назаров Г. Им Сушкин В. В・,Дмитриевская Л. В. Конструкционные пластмассы. М-, Машниостроеиие,^ 1973. 191 с.

Нерубайло Б. В・ Локальные задачи прочности цилищфнческих оболочек. М., Машиностроение, 1983. 248 с.

Ннльсеи Л・ Механические свойства полимеров н полимерных композиций. М-, Химия, 1978. 310 с

Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962. 431 а

Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958. 370 с.

Образцов И> Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. М., Машиностроение, 1966. 392 с.

Образцов Н・♦” Васильев В. В” Бунаков В. А； Оптимальное армирование оболочек вращения из кспшоэициоиных материалов. М・，Машннострое- ине, 1977. 144 с.

Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов нз композиционных материалов/В. В. Васильев, А. А. Добряков, А. А. Дудчеико н 映.М., МАИ» 1 喊.218 с.

Палий О. М・,Спнро В. Е・ Анизотролвые оболочки в судостроении. Л., Судостроеине, 1977. 392 с.

Панкоаич П. Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 4. Л-, Судш)омгнз, 1963. 551 с.

Пелех Б. Л. Теооии оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, Наукова думка, 1973. 248 с.

Пнетль В・ В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и оболочек. М., Наука, 1977. 151 с.

Пнчхадэе Г. П. Исследование механических характеристик композиционного материала с объемной струпурой 〃 Механика полимеров. 1978. № 4. С. 621—624.

Пластинми и оболочки из стеклопластихов/В. Л. Бажаиов, И. И. Голь- денблат, В. А. Копиов и дф. M.v Высшая школа, 1970. 407 с.

74・ Победря Е. Механика композиционных материалов. М・,МГУ, 1984. 336 с.

Портной К. М” Салибеков С. Е・,Светлов И. Л・,Чубаров В. М. Стоук- тура и свойства композиционных материалов. М., Машииостроеиие, 1979. 255 с.

Рикарде Р. В・,Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига, Зииатие, 1974. 310 с.

Рогинский С. Л., Кановнч М. 3・,Колтуноа М. А. Высокопрочные стеклопластики. М., Химия, 1979. 143 с.

Родионова В. А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия. Л., ЛГУ, 1983. 116 с.

Ромашевский А. Ю・,Климов В. И. Строительная механика самолета. М., МАИ, 1965. 298 с.

Роулаидс Р. Течение и пот^)и несущей способности ксшпозитов в условиях двухосного иаприжеииого состояния: сопоставление расчета и экспериментальных даиных//Н^пругие свойства композиционных материалов. Мм Мнр, 1978. G 140—179.

С^дра А. Мм Булаве Ф. Я・ Прочность армированных пластиков. М-, Химия, 1982. 214 с.

Скудра А. М., Булаве Ф.関・ Структурная теория армированных пла- ствков. Рига, Зииатие, 1978. 192 с.

Спиро В. Е. Вариант геометрически нелинейной теории авизотропиых оболочек, учитывающей поперечный сдвиг//Мехаиика полимеров. 1969. № 5. С. 863—871.

Стрнгуиов В. М. Расчет иа лрочиость фюзеляжей и герметических кабин самолетов. М., Машиностроение» 1974. 287 с.

Тамуж В. Пм Куксевко В. А. Микромехаиика разрушения полим^)ных материалов. Рига, Зинатие, . 1978. 284 ст

т/ 86. Тарнопольскнй Ю. М・,Киицис Т. Я< Методы статических испытаний армкфоваиных пластиков. М., Химия, 1981. 272 с.

Тариопольский Ю. М” Розе А. В. Особеииости расчета деталей из армированных пластмасс. Рига» Зииатие, 1969. 274 с.

Terq)c Г. А. Пластины и оболочки из полимерных и композиционных ■ материалов. Обзор.//Механика нолим^кж. 1977. № 4. С. 486一492.

Тетере Г. А.9 Рикардс Р. Бм Нарусберг В. Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига, З^натие, 1978. 238 с.

Тимошенко С. П・,Войиовский»Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Фнзматгиз, 1963. 635 с.

Тимошенко С.. П. Колебания в инженерном деле. М., Наука, 1963. 444 с.

Фигуровский В. И. Расчет на прочность беспилотных летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1973. 359 с.

Фудаия Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М.( Мир, 1982. 232 с.

Хома И. Ю. Нелинейные уравнения обобщенной теории упругих обо- лочек//Прикладиая механика. 1984. Т. 20. № 1. С. 43—49.

Цай С・,Хаи X. Анализ разрушении к(шпозитов//Неупругие свойства композиционных материалов. М., Мир, 1978. С. 104—139.

96. Чериииа 1968. 455 с.96. Чериииа 1968. 455 с.В. С. Статика тоикостеиных оболочек вращения. М.» Наука,

96. Чериииа 1968. 455 с.

96. Чериииа 1968. 455 с.

Шаиовалов Л. А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически иелииейиой теории тонких оболочек//Инжеиерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 1. С. 56~62.

Banks W. М・,Harvw J. М. Experimental study of stability problems in composite materials//Stab. Probl. Eng. Struct, and Components, Cardiff, 1979. London, 1979. 1—22.

Boitnott B. L, Johnson E. R・,Starnes* J・ H. A nonlinear analysis of infinitely long graphiteepoxy cylindrical panels loaded with internal pressure// 268

26 th Struct t Struct. Dyn. and Mater. Conf・，Orlando, Fla, Apr. 16—17, 1985, Pt. 1 Coll. Techn. Pap. New York, N. Y., 1985. 593—604.

Dobyns A., Avery I.f Blaisdell R・，Figger I. E. Advanced composite lattice structure for improved structural intemrity/ZAlAA Pap. 1974. D 357. 3644.

Mileiko S. T. Mechanics of ifiet^—matrix fibrious composites/ZMecha- nics of Composites. Moscow Mir Publishers, 1982. 129—165.

Schmidt R. A current trend in shell theory: constrained geometrically nonlinear Kirchhoff—Love type theories based on polar deconmosition of strains and rotations/ZComput. and Struct. 1985. 20. N 1—3. 26S—275.

Stein M. Nonlinear theory for laminated and thick plates and shells including the effects of transverse shearing//26 th Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf, Orlando, Fla, Apr. 15—17, 1985. Pt. 1. Coll. Techn. Pap. New York, N. Y.( 1985. 259—266.

Stein M. Post buckling of orthotropic composite plates loaded in compres* sion//AIAA Journal. 1983. 21. N 12. 1729—1735.

ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ

Васильев Валери! Витальевич

МЕХАНИКА КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Редактор Т. Н. Ледевева

Художественный редактор С. С. В о д ч н ц ■ Техввческнй редактор И. В. Малыгнва

Корректоры Т. В. Багдасарян, И. М. В орейша

ИБ № 5371

Сдано в набор 23.02.87. ПоДпвсаво ■ печать 23.06.87. Т> 14846.

Формат 60x90Vlt. Бумага офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетван. Усл. печ. л. 17,0. Усл. 1ф.-отт. 17»0. Уч.^нвД. л. 17,43.

Твраж 7 200 »кэ. Заказ 4 7. Цена ! р. 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машнвостроенве», 107076. Москва. Стромынский пер., 4

Левввградская типография № 6 орден» Трудового Краевого Звамевв Левннградского объединенвн «Технвческая кввга» вм. Евгеввв Соколовой Союэполагр&фпрома врв Государствен日о~ хомвтт СССР во делам яадательст*, пояаграфвв в кввжвой торговле.~

193144. г. Ленввград« ул. Мовсмвкой 10.