В п Платонов, А.С. Рапинчук

Алгебраические группы и теория чисел

В.П.Платонов, А.С.Рапинчук

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991, 656 с.

Первое в мировой математической литературе систематическое изложение арифметической теории алгебраических групп. Представлены практически все основные результаты арифметической теории линейных алгебраических групп, полученные к настоящему времени. Изложение начинается с обзора необходимых сведений из теории алгебраических групп и алгебраической теории чисел, что делает книгу доступной неспециалистам. По ходу изложения формулируется ряд нерешенных проблем и гипотез, которые могут явиться стимулом для новых исследований в этой активно развивающейся области современной математики.

Для математиков разных специальностей — студентов, аспирантов и научных работников.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5

Глава I. Алгебраическая теория чисел9

Е Поля алгебраических чисел, их нормирования и пополнения9

Е2. Адели и идели. Сильная и слабая аппроксимации. Локально-20

глобальный принцип

. Когомологии26

. Простые алгебры над локальными полями38

§ Е5. Простые алгебры над полями алгебраических чисел49

Глава II. Алгебраические группы60

Е Структурные свойства алгебраических групп60

Классификация А'-форм при помощи когомологий Галуа82

Классические группы94

Некоторые результаты из алгебраической геометрии112

Глава III. Алгебраические группы над локально компактными125

полями

. Топология и аналитическая структура125

. Архимедов случай138

. Неархимедов случай154

3.4. Элементы теории Брюа — Титса171

. Необходимые сведения из теории меры182

Глава IV. Арифметические группы и теория приведения195

Арифметические группы195

Теория приведения (общая схема). Приведение в группе GLn(K) 200

Приведение в произвольных группах214

Теоретико-групповые свойства арифметических групп220

Критерий компактности факторпространства GR/GZ234

Конечность объема факторпространства GR/GZ240

Заключительные замечания по теории приведения251

Конечные арифметические группы257

Глава V. Адели271

. Основные определения271

5.2. Теория приведения для GA относительно GR282

. Критерии компактности и конечности объема факторпространства291

ga/gk

5.4. Теория приведения и структурные теоремы для 5-арифметических 298 подгрупп

Глава VI. Когомологии Галуа312

Основные результаты312

Когомологии алгебраических групп над конечными полями318

Когомологии Галуа алгебраических торов332

Теоремы конечности для когомологий Галуа348

Когомологии полупростых алгебраических групп над локальными и 359 числовыми полями

Когомологии Галуа и квадратичные, эрмитовы и другие формы 377 § 6.7. Доказательство теорем 4 и 6: группы классических типов391

Доказательство теорем 4 и 6: группы исключительных типов404

Глава VII. Аппроксимация в алгебраических группах435

Сильная и слабая аппроксимация в алгебраических многообразиях 435 §7.2. Гипотеза Кнезера — Титса442

Слабая аппроксимация в алгебраических группах452

Теорема о сильной аппроксимации466

Обобщения сильной аппроксимационной теоремы472

Глава VIII. Числа и группы классов алгебраических групп478

. Числа классов алгебраических групп и числа классов в роде479

8.2. Числа и группы классов полупростых групп некомпактного типа. 489

Теорема реализации

. Числа классов алгебраических групп компактного типаЫ1

8.4. Оценки чисел классов редуктивных групп524

. Проблема родаЬЗЬ

Глава IX. Нормальное строение групп рациональных точек551

алгебраических групп

Основные гипотезы и результаты552

Группы типа Ап561

Группы классических типов581

Группы, разложимые над квадратичным расширением591

Конгруэнц-проблема (обзор)Ь9У

ДополнениеЫЬ

Список литературы623

Основные обозначения647

Предметный указатель650

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данная книга представляет собой первое в мировой математической литературе систематическое изложение теории, лежащей на стыке теории групп, алгебраической геометрии и теории чисел. Это направление исследований сравнительно недавно оформилось в самостоятельную область математики, которую часто называют арифметической теорией алгебраических (линейных) групп. В 1967 году в предисловии к своей книге «Основы теории чисел» А. Вейль писал: «Прокладывая курс своего корабля, я старался избегать арифметической теории алгебраических групп, это весьма интересный предмет, но он, очевидно, не созрел еще для изложения в книге».

У истоков арифметической теории линейных алгебраических групп лежат классические исследования по арифметике квадратичных форм (Гаусс, Эрмит, Минковский, Хассе, Зигель), структуре групп единиц полей алгебраических чисел (Дирихле), дискретным подгруппам групп Ли в связи с теорией автоморфных функций, топологией и кристаллографией (Риман, Клейн, Пуанкаре и др.). Но именно последние 20—25 лет были периодом ее чрезвычайно интенсивного развития. В эти годы была построена теория приведения для арифметических групп, изучены свойства групп аделей и решена проблема сильной аппроксимации, получены глубокие результаты о строении групп рациональных точек над локальными и глобальными полями, исследованы различные варианты локально-глобального принципа для алгебраических групп, в существенной степени решена конгруэнц-проблема для изотропных групп.

Даже из этого далеко не полного перечня основных достижений арифметической теории линейных алгебраических групп видно, что накоплен большой содержательный материал, представляющий значительный интерес для математиков разных специальностей. К сожалению, главные результаты здесь и по сей день доступны лишь в форме журнальных публикаций, хотя необходимость их обстоятельного изложения с единых позиций назрела уже давно. Однако появление соответствующей книги задерживалось, что в существенной мере объясняется трудностью монографического изложения теории из-за обилия

глубоких результатов и синтетичности используемых методов, относящихся к алгебре, алгебраической геометрии, теории чисел,, анализу и топологии. И вот, наконец, такая книга предлагается читателю.

Первые две главы имеют вводный характер и содержат основные результаты алгебраической теории чисел и теории алгебраических групп, широко используемые в последующих главах.

В третьей главе излагаются основные факты о строении алгебраических групп над локально компактными полями. Некоторые из них остаются справедливыми и в случае любого поля, полного относительно дискретного нормирования.

В четвертой главе представлено все наиболее существенное об арифметических группах, базирующееся на результатах А. Бореля и Хариш-Чандры.

Одним из основных инструментов исследования в арифметической теории алгебраических групп являются группы аделей, свойства которых изучаются в гл. V.

Центральное место в шестой главе, несомненно, занимает полное доказательство принципа Хассе для односвязных алгебраических групп, которое в окончательном виде публикуется впервые.

В седьмой главе исследуется сильная и слабая аппроксимация в алгебраических группах. В частности, приводится решение проблемы сильной аппроксимации и доказательство гипотезы Кнезера — Титса над локальными полями, полученные первым из авторов книги.

Под влиянием классических проблем о числе классов в роде квадратичных форм и о числе классов идеалов полей алгебраических чисел возникла необходимость в изучении чисел классов для произвольных алгебраических групп, определенных над числовыми полями. Основные результаты, полученные к настоящему времени, излагаются в гл. VIII. Большинство из них принадлежит авторам.

Девятая глава, посвященная группам рациональных точек, занимает особое место в книге по новизне и сложности результатов. В последние годы в этой области был достигнут значительный прогресс. В первую очередь здесь следует отметить работы Кнезера, Маргулиса, Платонова, Рапинчука, Прасада, Ра- гунатана и др. о нормальном строении групп рациональных точек анизотропных групп и мультипликативной арифметике тел, использующие весь арсенал арифметической теории алгебраических групп. Ряд результатов публикуется здесь впервые.

В заключительном параграфе этой главы приводится обзор новейших результатов по так называемой конгруэнц-про- блеме.

Таким образом, в книге представлены (в разной степени) почти все основные результаты арифметической теории линейных алгебраических групп, полученные к настоящему времени. В то же время круг вопросов, связанных с конгруэнц-пробле- мой, заслуживает самостоятельного монографического изложения, и авторы намерены вернуться к этой теме в ближайшем будущем. Не затронута у нас и такая важная тема как когомологии арифметических групп. Тем не менее в книге содержится весь необходимый для этого подготовительный материал (за исключением некоторых фактов чисто топологического характера), так что заинтересованный читатель, после ознакомления с соответствующими разделами книги, сможет перейти к чтению весьма обширной литературы по когомологиям арифметических групп и их связям с теорией представлений.

Отметим, что для многих известных утверждений (особенно в гл. V, VI, VII, IX) мы даем новые доказательства, как правило, более концептуальные. В ряде мест эффективно используется геометрический подход к классификации представлений групп с конечным числом образующих.

По ходу изложения мы формулируем значительное число нерешенных проблем и гипотез, которые могут явиться стимулом для новых исследований в этой активно развивающейся области современной математики.

Большинство результатов, изложенных в книге, либо распространяется на случай алгебраических групп над глобальными полями положительной характеристики, либо имеет в этом случае свои аналоги. Во многих ситуациях это достигается путем незначительной модификации рассуждений, однако иногда связано с использованием других подходов и развитием принципиально новой техники. В целом приходится констатировать, что арифметическая теория алгебраических групп в положительной характеристике пока не обрела той стройности и завершенности, какая имеет место для случая полей алгебраических чисел. По этой причине мы приняли решение не уделять случаю положительной характеристики специальное внимание, ограничиваясь краткими комментариями библиографического характера.

На структуру книги и изложение многих ее результатов существенное влияние оказала обзорная статья В. П. Платонова «Арифметическая теория алгебраических групп», опубликованная в журнале «Успехи математических наук» (1982. № 3. С. 3—54).

При подготовке рукописи к печати большую помощь нам оказали О. И. Тавгень, Ю. А. Дракохруст, В. В. Беняш-Кривец, В. В. Курсов, И. И. Воронович. Особо следует отметить вклад В. И. Черноусова, который предоставил нам полное доказательство принципа Хассе для односвязных групп и затратил

немало времени на усовершенствование изложения в гл. VL Всем им мы сердечно благодарны.

О нумерации: теоремы, леммы и предложения нумеруются отдельно в пределах каждой главы. При ссылках указывается сначала номер главы, а потом номер утверждения; например, ссылаясь на теорему 4.6, мы имеем в виду теорему 6 из гл. IV.

В. П. Платонов А. С. Рапинчук

ГЛАВА I

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Настоящая глава носит вводный характер. В первых двух параграфах мы даем краткий обзор некоторых понятий и результатов теоретико-числового характера. Подробное изложение этих вопросов содержится в книгах Ленга [2], Вейля [7] (см. также гл. 1—3 книги [АТЧ]). Отметим только, что в отличие, скажем, от Вейля мы формулируем результаты лишь для случая числовых полей, хотя подавляющее большинство их справедливо и в случае глобальных полей положительной характеристики, т. е. полей алгебраических функций с конечным полем констант. В § 1.3 излагаются необходимые для дальнейшего сведения о когомологиях групп, включая определение и простейшие свойства некоммутативных когомологий. В § 1.4— 1.5 содержатся основные результаты о простых алгебрах над локальными и глобальными полями. При этом особое внимание уделяется исследованию мультипликативной структуры алгебр с делением над этими полями, в частности, тривиальности приведенной группы Уайтхеда. Кроме того, в § 1.5 мы приводим в удобной для нас форме результаты о решетках на векторных пространствах и порядках в полупростых алгебрах.

На протяжении всей книги мы предполагаем у читателя хорошее знание теории полей, в частности, теории Галуа (конечной и бесконечной), а также элементов топологической алгебры, включая теорию проконечных групп.

Поля алгебраических чисел, их нормирования и пополнения

Арифметика полей алгебраических чисел. Пусть К — поле алгебраических чисел, т. е. конечное расширение поля Q, Ок— кольцо целых элементов К. Кольцо Ок является классическим объектом алгебраической теории чисел. Изучение его структуры и арифметики, начатое Гауссом, Дедекиндом, Дирихле и другими в прошлом веке, активно продолжается и по сей день. С чисто алгебраической точки зрения кольцо О =Ок устроено весьма просто: если [K:Q] = n, то О является свободным Z-модулем ранга п. Для любого ненулевого идеала ас(? фак- торкольцо О/й конечно; в частности, любой простой идеал максимален. В теории колец кольца с такими свойствами (а именно

нетеровы, целозамкнутые, каждый простой идеал которых максимален) называются дедекиндовыми. Из дедекиндовости кольца 0 вытекает, что любой ненулевой идеал а се О однозначно разлагается в произведение простых идеалов: а = ра> . .. . . . р°г. Это свойство является обобщением основной теоремы арифметики об однозначности разложения любого целого числа в произведение простых чисел. Тем не менее полная аналогия здесь отсутствует: однозначность разложения элементов кольца О на неприводимые, вообще говоря, не имеет места. Этот факт, показывающий, что арифметика кольца О может существенно отличаться от арифметики кольца целых чисел Z, явился ключевым моментом в осмыслении задач алгебраической теории чисел. Точной мерой отклонения является так называемая группа классов идеалов (или, как говорили раньше, дивизоров) поля К. Ее элементами являются дробные идеалы поля К, т. е. такие СУ-подмодули a cz К, что ха ст б? для подходящего х е б?, х^=0. Беря в качестве произведения двух дробных идеалов а, Ь с К d-подмодуль в К, порожденный всеми произведениями ху, где хе1, ;/еЬ, мы получаем операцию на множестве дробных идеалов, относительно которой оно оказывается группой Id (б?), называемой группой идеалов поля К. Главные дробные идеалы, т. е. идеалы вида х0, где хеК*, образуют подгруппу Р(0) cz Id (0) и факторгруппа С1(б?) = Н(бУ)/Р(б?) называется группой классов идеалов поля К. Классический результат, восходящий к Гауссу, состоит в том, что группа С1(б?) всегда конечна; ее порядок, обозначаемый кк, есть число классов поля К. При этом разложение элементов из 0 на неприводимые однозначно в том и только том случае, если кк = 1. Другой классический результат (теорема Дирихле о единицах) устанавливает конечную порожденность группы обратимых элементов 0*. Эти два факта явились отправным пунктом при построении арифметической теории алгебраических групп (см. предисловие). При этом распространение классической арифметики на алгебраические группы, естественно, не могло идти по линии обобщения «внутренней» арифметики поля К и кольца 0, ибо в ней существенную роль играют кольцевые соображения, неприменимые в случае произвольной алгебраической группы, а потребовало привлечения развитых в теории чисел внешних конструкций, таких, как нормирования, пополнения, а также адели, идели и др.

Нормирования полей алгебраических чисел и их пополнения. Нормированием поля К называется функция | |У: ^->-lR, удовлетворяющая условиям:

И^О, причем |х|„ = 0 тогда и только тогда, когда, х = 0, -

\ху\и =]х|и|г/|и.

|х- +t/|u s^Nt + ll/k

Если наряду с 3) выполняется более сильное условие

3') |х+ у|„^ шах(|х|у, |у|у},

то нормирование называется неархимедовым, в противном случае — архимедовым.

Примером нормирования может служить тривиальное нормирование, которое определяется следующим образом: |х|у = 1 при всех хеК* и |0|о = 0. Примеры нетривиальных нормирований приведем вначале для случая К = Q. Так, на Q существует архимедово нормирование | 1^, индуцируемое обычной абсолютной величиной. Далее, с каждым простым числом р можно связать нормирование | |р, называемое р-адическим. А именно, представив произвольное рациональное число «АО в виде а = рг -|3/у, где г, |3, у е Z, причем |3 и у не делятся на р, полагаем |а|р = р"г и |0|р=0. Иногда бывает удобно вместо р-адического нормирования | |р рассматривать соответствующее логарифмическое нормирование и = ир, которое определяется формулой и(а) = г и и(0) = — со, так что | а |р = = p-upw. Аксиоматически и задается условиями:

и(х) есть элемент аддитивной группы целых чисел Z (или другой упорядоченной группы) и и(0) = — со,

и (ху) = и (х) + и (у),

и (х + у) ^ min {и (х), и (у)}.

Мы будем пользоваться как обычными нормированиями, так и соответствующими логарифмическими нормированиями; из контекста всегда будет ясно, о каком нормировании идет речь.

Замечательно, что приведенными примерами исчерпываются, фактически, все нетривиальные нормирования поля Q.

Теорема 1 (Островский). Любое нетривиальное нормирование поля Q эквивалентно либо архимедову нормированию | | оо, либо одному из р-адических нормирований | |р.

(Напомним, что два нормирования | |i и | |2 на поле К называются эквивалентными, если они индуцируют на К одну и ту же топологию; в этом случае | 1, = ! |2 Для подходящего положительного вещественного числа X.)

Таким образом, ограничивая любое нетривиальное нормирование | |У некоторого поля алгебраических чисел К на поле Q, мы получим либо архимедово нормирование | 1», (или эквивалентное ему), либо одно из р-адических нормирований (можно показать, что ограничение нетривиального нормирования обязательно нетривиально). Тем самым любое нетривиальное нормирование поля К получается продолжением на К одного из нормирований поля Q. С другой стороны, известно, что для любого алгебраического расширения L/K и любого нормирования ;| | у поля К существует его продолжение на L, т. е. такое

нормирование | |w поля А, что |x|№ = |х|у для всех х е К (в этом случае пишут щ|а). В частности, исходя из указанных нормирований поля Q, мы можем получать нормирования произвольного числового поля К. Проанализируем процедуру продолжения более подробно. Для этого удобно ввести вначале пополнение К- поля К относительно нормирования | | у. А именно, рассмотрев пополнение К как метрического пространства относительно расстояния, определяемого нормированием | | г, мы получим полное метрическое пространство Kv, которое наделяется естественными операциями и тем самым превращается в поле, полное относительно соответствующего продолжения нормирования | |„, для которого мы сохраняем прежнее обозначение. Известно, что если L — алгебраическое расширение поля К« (и вообще любого поля, полного относительно некоторого нормирования [ |v), то нормирование | |у обладает единственным продолжением | |w на L (ниже, пользуясь фактом существования и единственности продолжения, мы получим явную формулу для | |то, которую читатель может принять в качестве определения | |w). В частности, | ]„ однозначно продолжается до нормирования алгебраического замыкания Rv. Отсюда следует, что |о(х) |т = |а|w для любого хеК, и любого о е Gal ^RtIKtY Пусть теперь ЦК.У— конечное расширение степени п и ощ ..., сп — различные вложения L в АУ над АУ. Тогда для любого де/, и его нормы Ж/к(а) имеем

П о, (а)1 = 1П о, (а)1 = 1= ft I <7z (а) !„, = ! а С-= ft I <7z (а) !„, = ! а С-

П о, (а)

1 = 1

П о, (а)

1 = 1

= ft I <7z (а) !„, = ! а С-

= ft I <7z (а) !„, = ! а С-

В результате получаем явное описание продолжения ] 1^: .

1а|го = 1 П/./к(а) 1^ для любого a^L.(1)

Рассмотрим теперь вопрос о продолжении нормирований на конечное расширение L/К, где К—поле алгебраических чисел. Пусть | |„ — нормирование поля К и | |w —его единственное продолжение на алгебраическое замыкание К«. Тогда для любого вложения X". L-+Kv над К (а их имеется п штук, где п =[/,;/(]) можно определить нормирование |х|и =|т(х) |ш на поле L, которое, как легко видеть, продолжает исходное нормирование | |у поля К. В этом случае пополнение Lu может быть отождествлено с композитом x(L)Kd. При этом любое продолжение получается таким образом, а два вложения ть тг: L^-Kv задают одно и то же продолжение, если они сопряжены над КТ, т. е. существует X e Gai (Ау/Лу) со свойством т2 = Хть Другими, словами, если £ = К(а) и f(Z)—неприводимый полином элемента а над К, то продолжения | |ц| |„ нормирования | |у на L взаимно однозначно соответствуют множителям в раз-

ложении f(/) = fi(/) ... МО полинома f на неприводимые над полем КР, а именно | |и отвечает вложению тд L-^RP, переводящему а в некоторый корень многочлена ^. При этом пополнение Lut является конечным расширением КУ, порождаемым корнем /р Отсюда следует, что

Г

L^K^^Ua(2)

к1=11

в частности, степень \L : /С] есть сумма всех локальных степеней [ЛЫ; :/(„].

Кроме того, имеют место следующие формулы для нормы и следа элемента ае L:

Nl/H») = П N^/x^a),

(3)Тгл/к(а) = X TrL /я (а).

и I V

Таким образом, множество VK всех попарно неэквивалентных нормирований поля К (лучше сказать, классов эквивалентности нормирований К) является объединением конечного множества Ей архимедовых нормирований, которое состоит из продолжений на К нормирования ] | ^ поля Q, индуцируемого обычной абсолютной величиной, и множества Ef неархимедовых нормирований, которые получаются продолжением р-адиче- ских нормирований | |р поля Q. Архимедовы нормирования отвечают вложениям К либо в поле вещественных чисел R, либо в поле комплексных чисел С. (но не в R), и тогда они называются соответственно вещественными или комплексными нормированиями (при этом соответствующие пополнения совпадают либо с R, либо с .С). Если о е Ей— вещественное нормирование, то элемент а е К называется положительным относительно и, если при соответствующем вложении он переходит в положительное число. Обозначим через s (соответственно О число вещественных (соответственно попарно несопряженных комплексных) вложений К; тогда s + 21 = п— степень L над К.

Неархимедовы нормирования приводят к более сложным пополнениям. А именно, если нормирование oeV; является продолжением р-адического нормирования, то пополнение Ко является конечным расширением поля р-адических чисел Qp. Поэтому из локальной компактности поля Qp вытекает локальная компактность поля К« (имеется в виду топология, определяемая нормированием)). Замыкание кольца целых О в К„

совпадает с кольцом нормирования Оу = {a g Ку | | а | v ^ 1}, которое иногда называют кольцом целых и-адических чисел. Кольцо Оу является локальным кольцом с максимальным идеалом ро ={а е Ку\|а|и < 1} (называемым идеалом нормирования) и группой обратимых элементов Uo=0,\^=^oe G 7<3| |а|у = 1}. Легко видеть, что для поля р-адических чисел Qp кольцо нормирования совпадает с кольцом целых р-адиче- ских чисел Zp, а идеал нормирования есть pZp. В общем случае Оу является свободным модулем над кольцом целых р-ади- ческих чисел Zp, ранг которого совпадает со степенью [К„ : Qp], так что Оу служит открытым компактным подкольцом в К-и. При этом полную систему окрестностей нуля в О у образуют степени р‘ идеала ру. Факторкольцо ку=Оу(^у является конечным полем и носит название поля вычетов нормирования и. Идеал pD cz Оу оказывается главным; любая его образующая л называется униформизующим элементом и характеризуется тем свойством, что и (л) является (положительной) образующей группы значений Г = и (К*) ^ Z. Зафиксировав униформизую- щий элемент л, мы для любого элемента а е К* получаем представление а = лги, где ие Uy, которое приводит к изоморфизму топологических групп К* — Z X ^D, ai—и) - гДе группа Z наделяется дискретной топологией. Поэтому для выяснения структуры К* остается описать группу Uy. Несложно показать, что Uy является компактной группой, которая локально изоморфна Оу. Отсюда следует, что Uy ~ F XZP, где п = [/CD : Qp], F — группа всех корней из единицы в Ку. Таким образом, Ку ^ Z X F X Z".

При изучении арифметики полей и их расширений важную роль играют понятия индекса ветвления и степени поля вычетов, которые мы введем вначале в локальной ситуации. Пусть LwJKy — конечное расширение степени п. Тогда группа значений TD = o(^) имеет конечный индекс в группе значений Гш = да(Т^, и соответствующий индекс е (да | и) = [Гш : Гу] называется индексом ветвления. Поле вычетов / = 0, №.

w Lw Lw для L является конечным расширением поля вычетов ку, и степень f (w | и) = \lw : к„\ называется степенью поля вычетов. При этом е (да | u)f (да | и) =п. Расширения, для которых e(w | и) = = 1, называются неразветвленными, а расширения, для которых f(zy|u)= 1, — вполне разветвленными.

Пусть теперь L/K—конечное расширение полей алгебраических чисел степени п. Тогда для любого нормирования u^V^

и любого его продолжения ш на поле L индекс ветвления е(ю|о) и степень поля вычетов f(ty|u) определяются соответственно как индекс ветвления и степень поля вычетов соответствующего расширения пополнений Дп/К^ (Можно дать и внутреннее определение, основанное на рассмотрении групп значений Гц = о^‘), Гш = гу(Г*) и полей вычетов

к. = Ок WM L = Ol«M

где О к (и), OL (iy) — кольца нормирований у и w в полях К и L, Рх(у), фт(гу)—соответствующие идеалы нормирований, однако в действительности ГЦ = ГЦ, Гш = Гш, kD = kD и /ш = /ш.) Имеем [Lw : /Са] = e(w | y)f (w | о). Таким образом, если дац ... ..., wr — все продолжения и на L, то

Г г

X е (Wi | о) f И | о) = X = п- t = 1 t = 1

Вообще говоря, числа e(zy,|u) и f(iyjy) для разных i могут различаться, однако имеется важный случай, когда они совпадают. А именно, так обстоит дело, когда L/K— расширение Галуа. Обозначим его группу Галуа через S. Тогда все продолжения Wi, ..., wr нормирования у е V^ на L сопряжены относительно 3, т. е. для любого 1= 1, ..., г найдется такой Oi^S, что ty,(x) = iyi(a,(x)) при всех х е L. Отсюда следует, что числа e(iy,|u) и ^(гу^ц) не зависят от I (мы их обозначим через е и f), причем число г различных продолжений совпадает с индексом \S:9(wi)] так называемой группы разложения S (tyt) = {a g S| tyi (ох) = ty'i (а) для всех х^Ц. При этом efr = п, а группа S(zyi) совпадает с группой Галуа соответствующего расширения пополнений LWJKV.

Неразветвленные и вполне разветвленные расширения. Пусть у е pf и соответствующее поле вычетов ky является конечным полем Fq из q элементов.

Предложение 1. Для любого целого п"^ 1 существует единственное неразветвленное расширение L/Kv степени п. Оно порождается над Ки всеми корнями степени ^qn— 1) из единицы и поэтому является расширением Галуа. Сопоставление автоморфизму о е Gal(Z,/AD) его редукции о е Gal(///?D), где I ~ Fqn— поле вычетов для L, индуцирует изоморфизм групп Галуа Gal(Z,/7<D)~Gal(/A).

Для определения редукции о автоморфизма a е Gal ^L/КД следует заметить, что кольцо нормирования Ol и идеал нормирования ф£ инвариантны относительно а, и тогда о индуцирует автоморфизм поля вычетов I = 0l№u который и есть а. Отметим также, что группа Gal (//&,) циклическая и порождается так называемым автоморфизмом Фробениуса, который

определяется условием <р(х)=х'7 для всех xg/z„; отвечающий ему элемент группы GaV^L/K^ также называется автоморфизмом Фробениуса (расширения ЦК^ и обозначается Fr(L/A,).

Норменные свойства неразветвленных расширений описывает Предложение 2. Пусть L/Kv — неразветвленное расширение.

Тогда U0 = NыкфJ, 6 частности UB с NL/kv(L*).

Доказательство основано на изучении канонической фильтрации в группах единиц, которая оказывается полезной и в других случаях. А именно, для любого целого i ^ 1 положим

= 1 + Pj,, U^ = 1 + ^^ Легко видеть, что эти множества являются открытыми подгруппами и в действительности образуют базу окрестностей единицы в группах ии и Ul соответственно. Имеют место следующие изоморфизмы:

uju^~l?;, W+" ku' 1>Х(4)

(первый изоморфизм индуцируется редукцией по модулю pD: ал—> a (mod р0), а для построения второго следует зафиксировать униформизующий элемент л е Kv, и тогда 1 + л‘а i—> к-■» а (mod ру).

Аналогично,

UjU^~l\ U^Wl^^, i>\.(5)

В силу неразветвленности L/Kv элемент л является также уни- формизующим элементом в L, и мы в дальнейшем будем считать, что второй изоморфизм в (5) определен при помощи л. Для а е UL имеем (черта означает редукцию по модулю фД

Ж/кц(а) = П о (а) = П T(d) = Ni/fe (а). ° CEGal (L/Kv)TEGal(Z/fe„)

Таким образом, норменное отображение индуцирует гомоморфизм uL№-^uM\ который при отождествлениях (4) и (5) совпадает с Nz/* . Далее, для любого целого z" ^ 1 и любого а е ОL имеем

(1 +л'а)= Л ст(1+л'а) =

= 1 +л1 TrL/xD (a) (mod фц+1))-

Отсюда следует, что ^ь;к0 индуцирует гомоморфизмы U^IU^-^-U^IlM^, которые в смысле отождествлений (4) и (5) совпадают со следом Trz/feD. Но в расширении конечных полей норма и след сюръективны, поэтому группа W = = ^ь]Куки^ обладает свойством UB = WU^ для всех t^l.

Так как U^ образуют базу окрестностей единицы, то последнее условие означает плотность W в Uy. С другой стороны, из компактности UL и непрерывности нормы вытекает замкнутость W, и поэтому W = U«. Предложение 2 доказано.

Из доказательства предложения 2 вытекает

Следствие. Если расширение L/Kv неразветвлено, то для любого целого i ^ 1 имеем Nz/xD (Ul?) = Uv\

Нам понадобится еще одно утверждение о связи нормен- ного отображения с фильтрацией группы единиц в произвольных расширениях.

Предложение 3. Для любого конечного расширения L/Ev имеют место следующие утверждения;

U^nNLjK.^^NbiK^Un

если индекс ветвления L/Ko равен е, то для любого целого 1 имеем Nlik„(Ul^ ^Uy\ где j— минимальное из целых чисел, не меньших tjе.

Доказательство. Докажем вначале второе утверждение.

Пусть М — конечное расширение Галуа поля Ки, содержащее L. Тогда для а е L имеем Nz/x (а) = Ц а (а), где произведение (J

берется по всем вложениям о: L^-M над K-j. Из однозначности продолжения нормирования в локальном случае вытекает, что для любого а г L и любого о значения нормирования на а и о(а) совпадают; в частности, для униформизующего элемента лде L имеем ст(л^)=лг6а для подходящего ba е Um. Отсюда следует, что для а= 1 + л£с е U^ имеем

Кь/Кц (а) = П ст (1 + л[с) = П (1 + и^Ь^ (с)) ее (1 + л^) Л ^.

Но из определения индекса ветвления имеем P^z = ^1 так, что иуйм Л К„ = n>LUL Л К„ = Ф[ Л <Х cz Р' (где / выбирается, как указано в формулировке предложения) и Nl/k„ (я) е Ul. Из доказанного вытекает, что Nl;kd ^l^ <= И™, поэтому для доказательства 1) остается установить, что U^ Л ^Чкч ^^ с= <=^>П

Пусть а’^ L* и Nl/Кц (a) е U„\ Тогда из формулы (1) вытекает, что а ее UL. Изоморфизм (5) показывает, что и*1!? является максимальной про-р-подгруппой в UL относительно простого р, отвечающего нормированию и, откуда следует, что UL ~ — UL№ X U^l. В частности, а=Ьс, где сеЙ1, Ь — элемент

конечного порядка, взаимно простого с р. Имеем d = Nl;kd (b) = = Nl/Кц (а)Nl/k,, (с)' е Uy\ Порядок любого элемента конечного порядка из (У™ является степенью р; с другой стороны, порядок d является делителем порядка b и поэтому взаимно прост с р. Таким образом, d=l и Nl/kd (а) = Пд^к (с) е ge Nl/kv №. Предложение 3 доказано.

Вернемся к рассмотрению неразветвленных расширений поля Ки. Можно показать, что композит неразветвленных расширений является неразветвленным, и поэтому существует максимальное неразветеденное расширение К™ поля Ки, которое является расширением Галуа, и группа Галуа Gal^oV^J изоморфна группе Галуа Gal (Ац//ги) алгебраического замыкания поля вычетов кУ, т. е. изоморфна Z-проконечному пополнению- бесконечной циклической группы, образующей которой является автоморфизм Фробениуса.

Пусть теперь L/K—некоторое конечное расширение числового поля К- Известно тогда, что почти все нормирования и ее /^ неразветвлены в К, т. е. соответствующее расширение пополнений Lw/Ku является неразветвленным для любого продолжения iy|u, в частности, определен автоморфизм Фробениуса Fr(Lw/Kv). Если L/K— расширение Галуа, то, как мы отмечали, группа Галуа Gal (Lw/Kv) может быть отождествлена с группой разложения ^ (да) нормирования в группе Галуа ^ = Gal (Z,//0, так что Fr(Z,w/^) можно рассматривать как элемент группы 8.

Мы знаем, что любые два продолжения даь w2Iu сопряжены относительно группы 8, откуда следует, что автоморфизмы Фробениуса Fr(Z,w//(„), отвечающие всем продолжениям некоторого нормирования и, образуют класс сопряженности F(о) в группе 8. Возникает вопрос, все ли классы сопряженности в 8 получаются таким образом. Другими словами, для любого ли ст е 8 найдется такое нормирование оеУ?, что для подходящего w\v расширение L^/Kv неразветвлено и Fr(Lw//CD) = o.

Теорема 2 (Чеботарев). Пусть L/K—конечное расширение Галуа с группой Галуа 8. Тогда для любого ст ^8 найдется бесконечно много таких ueV^, что для подходящего ю|о расширение Lw/Ku неразветвлено и ЕД ^Lw/Ки) = ст. В частности, существует бесконечно много таких и, что Lw = Ки, т. е. L^Ku-

В действительности Чеботаревым была определена количественная мера (плотность) множества таких и g /f, что класс: сопряженности F(u) совпадает с фиксированным классом со-

пряженности С cz 3. Она равна [С] /\3\ (при этом плотность всего множества У^ принимается за единицу). Поэтому теорему 2 (точнее, соответствующее утверждение о плотности) называют теоремой плотности Чеботарева. Для случая круговых расширений поля ^ = Q она эквивалентна теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Методами геометрической теории чисел доказывается

Теорема 3 (Эрмит). Если K/Q— конечное расширение, не- разветвленное относительно всех простых р (т. е. Ky/QP нераз- ветвлено для всех р и всех и |р), то K = Q.

Мы не будем здесь подробно анализировать строение вполне разветвленных расширений (в частности, выделять слабо и сильно разветвленные расширения), а ограничимся их описанием с помощью многочленов Эйзенштейна. Напомним, что многочленом Эйзенштейна называется многочлен е(/)=/га + + an_xtn-x + .. . + а0 е Ку [/] такой, что Ui^^y для всех i = 0, 1, ..., п—1 и а0^^. Хорошо известно, что многочлен Эйзенштейна неприводим в XD[/].

Предложение 4. Если П—корень многочлена Эйзенштейна е^, то L = Ку [П] — вполне разветвленное расширение Ку с униформизующим элементом П. Обратно, если L/Ky вполне разветвлено и П — униформизующий элемент в L, то L = Ку [П] и минимальный полином П над Ку является многочленом Эйзенштейна.

Следствие. Если L/Ky вполне разветвлено, то норменная группа ^l)kv №) содержит униформизующий элемент поля Ку.

При исследовании ветвления в расширении Галуа L/K с группой Галуа 3 используются так называемые группы ветвления 34,1^0), являющиеся подгруппами в 3. Если ю|и, то по определению 3°— это группа разложения 3 (w) нормирования щ, которую можно отождествлять с локальной группой Галуа ОаЦГш/Хц). Далее, 3W = [о е 3№ | о (а) = a (mod ^l^ 'У а ее O'l^ — так называемая группа инерции. Она является ядром гомоморфизма Оа1(Еш/7<ц)-^Оа1(/ш//гц), сопоставляющего каждому автоморфизму его редукцию. Поэтому 3W является нормальным делителем в 3№ и, в силу сюръективности указанного гомоморфизма, З^З^ ~ОаЦ1та/Ьу). При этом не- »(1)

подвижное поле E=LW является максимальным неразветв- ленным расширением поля Ку, содержащимся в Lw, и расширение Lw/E вполне разветвлено. Высшие группы ветвления определяются следующим образом: 3W = [о е 3^ | а (а) = = а (mod ^1^)}. Они являются нормальными делителями в 3№\ и ^(0=|е) дЛя достаточно больших I. При этом последовательные факторы З^З^"^ (Z ^ 1) являются р-группами относи-

тельно простого р, отвечающего и. Отметим, что определенные- таким образом группы 3й' = ^i} (и) зависят от продолжения w | и, и при другом выборе w меняются на сопряженные. В частности, неподвижное поле Е^ подгруппы 36 осЗ, порожденной группами инерции ^(1)(щ) для всех продолжений оу | и,, является максимальным нормальным подрасширением в Lv которое не разветвлено относительно всех продолжений нормирования У.

Адели и идели. Сильная и слабая аппроксимации. Локально-глобальный принцип

Поведение поля К относительно какого-либо индивидуального нормирования и g lzf не оказывает существенного влияния на его арифметику, однако, изучая свойства К по совокупности нормирований (например, относительно всего множества П*), мы получаем весьма существенную арифметическую информацию. В настоящем параграфе вводятся конструкции, которые позволяют изучать все пополнения поля К одновременно.

Адели и идели. Множеством аделей Ак поля алгебраических чисел К называется подмножество прямого произведения Ц Кв, состоящее из таких x = (xD), что х„ е Су для почти всех и е Ещ Множество Ак является кольцом относительно операций, индуцированных с прямого произведения. На множестве Ак можно ввести топологию, базу открытых множеств которой составляют множества вида Ц Wy X П От

це5 цеГ^ \ S

где S cz VK — конечное подмножество, содержащееи Wy су сК,—открытые подмножества для ceS. (Эта топология, называемая адельной, сильнее топологии, индуцированной с прямого произведения Ц ^\ Относительно адельной то

пологий Ак является локально компактным топологическим кольцом. Для любого конечного подмножества S cz VK, содержащего Ей, определяется кольцо S-целых аделей Лл(5) = — П Ко X П Оу, если S = V», то соответствующее кольцо наи eSU6^S

зывается кольцом, целых аделей и обозначается Л/Доо). Ясно, что Ак = (J Лх (S), где объединение берется по всем конечным s

подмножествам S cz VK, содержащим V». Несложно показать, что для любого йеКи почти всех и е vf справедливо неравенство |a|D^l, т. е. асС,. Если а е К*, то, применяя указанное неравенство к элементу а-1, получим, что в действительности acU, для почти всех veVf. Ниже будет использоваться

обозначение: V (а) = (у g Vf | а ^ U^. Из этих фактов вытекает, что имеется диагональное вложение К~*Ак, х«—*(х,х, ...), образ которого называется кольцом главных аделей и обычно будет отождествляться с К.

Предложение 5. Кольцо главных аделей дискретно в Ак.

Для ['доказательства следует заметить, что поскольку О = = П (^ П <Л), пересечение К П Ак (оо) совпадает с кольцом

целых элементов О czК, и достаточно установить дискретность б? в Ц ^D = ^®QR. Пусть хх, ..., хп — некоторый

Z-базис О, который одновременно является Q-базисом К, а следовательно, и R-базисом К ®qR. С его помощью О отождествляется с решеткой Z" в пространстве К ®qR, и требуемая дискретность вытекает из дискретности Z в JR. (Попутно отметим, что пересечение К П Ак (S) (где S zz у£) совпадает с кольцом S-целых элементов О (S) = {х е КI I х |D X 1 для всех у е Пл\5}, причем O^V^ совпадает с обычным кольцом целых О.)

Мультипликативным аналогом аделей являются идели поля К, множество JK которых по определению состоит из таких x = (xD)e П К*и, что Xy^Uy для почти всех у е yf.

Ясно, что 1^ является подгруппой прямого произведения JJ /С* ;

более того, JK в действительности совпадает с группой обратимых элементов кольца Ак. Любопытно, однако, отметить, что Jk не является топологической группой относительно топологии, индуцированной с Ак (взятие обратного элемента не является в этой топологии непрерывной операцией). «Правильная» топология на ]к индуцируется топологией на произведении АКХАК при вложении Jк-*-АКХАК, хнХх, х-1). В явном виде эта топология может быть задана при помощи базы открытых множеств, состоящей из множеств вида Ц WD X П Uy, где

ScR' - конечное подмножество, содержащее V», и W„ cz Ку — открытые подмножества для u^S. Эта топология называется идельной; она сильнее индуцированной адельной топологии, и относительно нее JK является локально компактной топологической группой. (Нельзя не заметить прямых аналогий в определении аделей и иделей. В действительности оба эти понятия являются частными случаями понятия аделей алгебраической группы, или еще более общей конструкции ограниченного

топологического произведения, которые мы рассмотрим в'§ 3.5.) Аналогии между аделями и иделями можно проводить и дальше. Так, для любого конечного подмножества S cz VK, содержащего Vопределяется группа S-целых иделей JK (S) = П Ka X П U„, ,и Е Sи S

которая при 5=Е* называется группой целых иделей и обозначается //Доо). Как мы уже отмечали, если а е К*, то а г UD для почти всех и, и, следовательно, имеем диагональное вложение K*-^Jki образ которого называется группой главных иделей.

Предложение 6. Группа главных иделей дискретна в JK.

Доказательство вытекает из предложения 5 и того факта, что индуцированная адельная топология на JK слабее идель- ной. Другое доказательство можно получить с помощью так называемой формулы произведения, которая утверждает, что для любого а е К* имеем Ц | а 1^^1, если Vх состоит из

продолжений нормирований | |р и | ]„ поля Q, пи = [ЛХ Qp] (соответственно пу = [АХ R])— локальная степень относительно р-адического (соответственно архимедова) нормирования и. Формуле произведения можно придать более изящный вид П ||a|lD = l, введя так называемые нормализованные норми

рования || a ||D = | а |"и. Эти функции определяют ту же топологию на К, что и исходные нормирования | |D, и в действительности сами являются нормированиями, им эквивалентными, за исключением случая, когда нормирование и комплексное. Для неархимедовых и нормализованное нормирование допускает следующее внутреннее описание: если леД — униформизующий элемент, то ||л||ц = q-\ где q— число элементов поля вычетов ки. Вернемся к предложению 6. Для архимедовых и положим WD = |х ее К* 11| х — 1 ||0 < -у} и покажем, что окрестность единицы й= П Ч^оХ II Да обладает свойством Q f| К* =

= {1}. Если оейЦД и а ф 1, то для элемента а—1 будем иметь П и»-ни < П 4- П 1 < 1, что противоречит

ооf

формуле произведения.

С помощью нормализованных нормирований определяется непрерывный гомоморфизм ■!«/-*R>0, Ua)1-^ П||*аНа, ЯДрО Jr которого называется группой специальных иделей (отметим, что в силу формулы произведения Jr^ K*Y Поскольку К дискретно в Ar, а К*—в Jr, то естественно возникает задача по-

строения теории приведения, т. е. указания конструкции фундаментальных областей для К в Ак и для К* в JK. Мы не будем подробно заниматься здесь этими вопросами (см., например, Ленг [2], АТЧ), ибо позднее рассмотрим их в полной общности, применительно к произвольным алгебраическим группам. Отметим только, что факторпространство Ак/К компактно, а факторпространство 1д/К* некомпактно, но компактно факторпространство iVIk*.

Остановимся еще на важном для нас в методологическом плане изоморфизме факторгруппы J к/1к^ое^К* с группой С1(А) классов идеалов поля К. Описать его можно следующим образом. Вначале устанавливается биекция между множеством Vf неархимедовых нормирований К и множеством 5s ненулевых простых (= максимальных) идеалов кольца О, которая нормированию у ставит в соответствие идеал p(y) = 6?QpD. Тогда иделю % = (%„) отвечает идеал z (к) = Ц р (у)” ^ . (Здесь сле

дует отметить, что поскольку хе J к, то у(хо) = 0 для почти всех у е Vf и указанное произведение корректно определено.) При этом степень р“ при а < 0 определяется в смысле группы Id (А) дробных идеалов поля К (см. § 1.1, п. 1). Используя теорему о том, что любой дробный идеал в К (равно как и любой ненулевой идеал в О^ однозначно разлагается в произведение степеней простых идеалов, легко видеть, что отображение z: Xi—>i(x) является сюръективным гомоморфизмом JK на Id(A), ядром которого служит группа JK^oo) целых иделей. Учитывая, что образ г (А*) совпадает с группой главных дробных идеалов, получаем, что z индуцирует требуемый изоморфизм 1д^к (°°) К* ~ ~ С1(А). В частности, индекс [У/<: /к(оо)К*] совпадает с числом кд классов идеалов поля К. Это наблюдение лежит в основе определения чисел классов алгебраических групп (см. гл. VIII).

Сильная и слабая аппроксимация. Нам понадобятся «усеченные» кольца аделей AK-S, где 5 — некоторое конечное подмножество в VK, которые определяются как образ Ад при естественной проекции на прямое произведение Ц Ка. Для лю

бого конечного подмножества Т с VA, содержащего 5, образ кольца 7-целых аделей Ак(7) в Ад, $ будет обозначаться через Ак, s(7). В целях упрощения обозначений мы будем писать As, As (Г) вместо Ак, s, Ак, s(7), если из контекста ясно, о каком поле идет речь. В частности, для S = v£ кольцо А^ уд будет обозначаться через Af и называться кольцом конечных аделей. Топология на As вводится очевидным образом: в качестве базы системы открытых множеств берутся множества вида Ц WD X veT

X П Оу, где Т cz V^XS—некоторое подмножество, и для v^SUT

каждого ueT WyCiKa — некоторое открытое подмножество. Имеем A — AsX^s, где Ks = П Ку Кольцо К наделяется топологией прямого произведения, и тогда А является произведением топологических колец Ks и Л5. При этом диагональное вложение поля К в Л является произведением диагональных вложений в Ks и А$ соответственно.

Замечательный факт состоит в том, что хотя образ диагонального вложения К в А дискретен, каждое из вложений К-^- Ks, K-^As является плотным.

Теорема 4 (о слабой аппроксимации). Образ К при диагональном, вложении плотен в Ks-

Теорема 5 (о сильной аппроксимации). Если 5^0, то образ К при диагональном вложении плотен в As.

Теорема 4 справедлива для любого поля К и любого конечного множества 5 его неэквивалентных нормирований. Напротив, теорема 5 (и все понятия, связанные с аделями) имеют смысл лишь для числовых (или, более общо, глобальных полей). Чтобы прояснить арифметический смысл теоремы 5, разберем подробно случай K = Q, S={oo}. Так как для любого аделя х е А^ = Aq, s можно подобрать такое целое число т, что щхеА^(оо), то в действительности достаточно доказать, что Z плотно вкладывается в произведение Л^ (оо) = JI Zp.

р

Любое открытое подмножество в Л?(оо) содержит множество вида

и/ = fl (^ + ZzpJ х П zp>г = 1P*Pi

где {рь ..., рг}—некоторый конечный набор простых чисел, а£ — целые > 0 и a, eZ. Поэтому вопрос о непустоте пересечения Z ("| W эквивалентен вопросу о разрешимости системы сравнений х = a. (mod p“z), z=l, 2, ... г, который положительно решается классической китайской теоремой об остатках. Таким образом, в данной ситуации теорема о сильной аппроксимации эквивалентна китайской теореме об остатках. Отметим, что в гл. VII мы исследуем сильную и слабую аппроксимацию для алгебраических групп.

Локально-глобальный принцип. Исследование арифметических вопросов над локальными полями значительно проще исходных задач над числовыми полями. Поэтому естественно возникает вопрос, лежащий в основе так называемого локальноглобального метода: когда из выполнимости какого-либо свойства над всеми пополнениями Ку некоторого числового поля К

вытекает его выполнимость над полем К? Одним из первых результатов такого типа явилась классическая

Теорема 6 (Минковский — Хассе). Пусть f — Цхх, ..., х^ — невырожденная квадратичная форма над полем алгебраических чисел К. Тогда если f представляет нуль ) над всеми пополнениями Кт, то / представляет нуль и над К.

Сейчас утверждения о возможности перехода «от локального к глобальному» принято называть утверждениями о справедливости в данной ситуации локально-глобального принципа, или принципа Хассе. Локально-глобальный принцип пронизывает всю арифметическую теорию алгебраических групп, и с его различными аспектами мы будем постоянно иметь дело в этой книге.

Не следует, однако, думать, что локально-глобальный принцип для представимости чисел формами выполняется всегда, и мы хотим закончить данный параграф указанием на классический пример.

Предварительно укажем на некоторые аспекты связи между кольцом аделей Л к поля К и кольцом аделей AL его конечного расширения L. Оказывается, что существует естественный изоморфизм в алгебраическом и топологическом смыслах Ar® L ~ ~Al. Этот изоморфизм получается из локальных изоморфизмов Kt^kL^ Ц Lw (см. (2) § 1.1), и надо только заметить, что для почти всех у е I/f эти изоморфизмы осуществляют изоморфизм (7у ® О L ~ Ц Оlw- Далее, формулы (3) § 1.1 показывают, что отображения нормы и следа Nl/k и TrL/^ продолжаются до отображений Nl/x: Al-^Ak и Тщ/к: Al-^Ak по формулам

ч X wI и/и/

х х I и/ и /

Легко проверить, что таким образом определенное норменное отображение Nl/k индуцирует непрерывный гомоморфизм групп иделей Nl/^: Jl~^Jk- Говорят, что для расширения L/K выполняется норменный принцип Хассе, если NL/^ (JL) Q К* = =Nl/k(^*)- Так как любой элемент а г К* принадлежит Uy для почти BcexyeVf и для почти всех у е vf расширение Lw/Кт неразветвлено, то в силу предложения 2 условие а е eNl/a-(/l) в действительности эквивалентно тому, что а е Nl/„ ( П L*w ) = Nl/x OL &к К^Л для всех у е Vp На язы-

X w | и /

ке алгебраической геометрии последнее означает, что уравнение

f(xi, ..., хп) = а, где f— однородный многочлен степени п от координат хь .. . , Хп элемента х е L в некотором базисе расширения L/К, задающий норму, имеет решение над всеми полями Ку, v е VK, а справедливость принципа Хассе в данной ситуации сводится к существованию решения над К. (Было бы неправильно формулировать норменный принцип в виде aeN.^l'/.'l^a gN, ^ (Z7J для всех пи всех w ] г?, ибо если L/К не является расширением Галуа, то, вообще говоря, N4K ^Ь^/К^ (MJ

Классическая теорема Хассе о нормах (см. Хассе [1], а также следствия из теоремы 6.11) утверждает справедливость нор- менного принципа для циклических расширений Галуа. Однако уже для K = Q, T = Q(V13, V17). т. е. когда L/K является абелевым расширением Галуа с группой Галуа типа (2,2), норменный принцип не выполняется. Более точно, при помощи простых вычислений с символами Гильберта (см. [АТЧ], упр. 5.3) можно показать, что число 52 всюду является локальной нормой, но глобальной нормой не является. (К норменному принципу Хассе мы вернемся в гл. VI, см. § 6.3.)

Когомологии

Основные понятия. В целом когомологический формализм используется в книге в сравнительно небольшом объеме. Исключение составляют лишь когомологии Галуа алгебраических групп над локальными и глобальными полями, которым посвящена специальная гл. VI. Эти вопросы, как правило, не затрагиваются в обычных курсах гомологической алгебры, ибо в основе их лежат так называемые некоммутативные когомологии, определения и основные свойства которых мы обсудим ниже. А пока укажем на необходимые нам свойства обычных (коммутативных) когомологий, доказательство которых можно найти в книгах Картан, Эйленберг [1], Серр [2], Браун [1], и также в гл. IV книги [АТЧ].

Итак, пусть А — абелева группа, на которой автоморфизмами действует некоторая группа G (так называемая G-rpyn- па)). Тогда определено семейство {Hl (G, А)}.>0 абелевых групп, называемых группами когомологий G с коэффициентами в А. А именно, полагают H°(G,A) = А°— подгруппа неподвижных относительно G элементов, а для определения высших групп рассматривают группы CZ(G,A), состоящие из всех функ-

ций f; G‘~^A, называемых коцепями (при этом С°(G,Л) = Л), и так называемые кограничные операторы dr Cl(G, А) > 4-C‘+4G,AG задаваемые формулой

<dd><g\, • • - , gui) = gd (gz^- + i) +

+ S(-1)7(^g/g/+i, .... gi + 1) + (-i)i+1f(gi, ...,giY

7 = 1

Тогда Яе'(О, Л) = Ker dt/lm dt-i, причем элементы из Ker dt = = 7‘(0,Л) называются коциклами, а из Im dt_\ = Bl(G, Л) — кограницами. Основное свойство групп когомологий состоит в том, что они образуют когомологическое расширение функтора неподвижных точек F (Л) = Н° (G, Л). А именно, это означает, что если 0 ~>-Л —>-S —>-С —>-О— точная последовательность G-групп и G-гомоморфизмов (т. е. гомоморфизмов, перестановочных с действием G), то существуют такие связывающие гомоморфизмы 6(-: H4G,C)-VHW(G,A'), что точна последовательность

О -> Н° (G, Л) --> Н° (G, S) -> Н° (G, С) \.. Я1 (G, Л) -> . . .

... -^нЦо, л) >н^о, ву-^нЦо, с) -U Hi+do, а)^ ... (1)

(остальные гомоморфизмы естественным образом индуцируются гомоморфизмами из последовательности О -^-А ->-В->-С->-0).

Группы когомологий малых размерностей имеют простые интерпретации. Так, НЦС, Л) есть факторгруппа группы так называемых скрещенных гомоморфизмов f: G-^A, подчиняющихся условию f(gigi) = f(gi) + gif(g2y по подгруппе, состоящей из отображений вида f(g) = ga— а для некоторого аг А. Так, если G действует на А тривиально, то Hl (G, А) = Hom (G, А). С другой стороны, если G =<ст) — циклическая группа порядка п, то для любой G-группы А имеем Нх ^G, А) = Ло/Л ь где Ло — ядро оператора следа Тг а = а + аа + ... + а'^'а, Л] — подгруппа, состоящая из элементов вида аа — а.

Группа №(G, Л) есть факторгруппа группы так называемых систем факторов f: GXG-*A, удовлетворяющих соотношению

gd U2, gs) — f (£i£2, gd + f(gi, g2gd ~f(gi, gd = 0, по подгруппе тривиальных систем факторов, состоящей из функций вида f(g\,g2)= ф(£1£г) — ф(£1) — £1ф(£г) для подходящей функции ф: G-^A. Системы факторов встречаются в теории расширений групп при изучении расширений В группы G при помощи А, т. е. точных последовательностей 1 ->• А -*•Е G -*•1. С их помощью устанавливается, что элементы группы №(G, Л) находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма таких расширений, индуцирующих заданное

действие G на Л. В частности, если G действует на Л тривиально, то Я2(О, Л) параметризует центральные расширения G при помощи Л. В гл. IX мы встретимся с группами Я2(О, J), где J = = Q/Z, которые совпадают с известными мультипликаторами Шура. В связи с этим укажем на несколько несложных утверждений.

Лемма 1. 1) Пусть 1 —> J -> Е HL, G -> 1— некоторое центральное расширение. Тогда для любых двух поэлементно перестановочных подгрупп Л, В a G отображение <р: ЛХВ->1, <р(а, Ь) = [а, 5], где йЕр-Да), 5 ер-1 (6), [х, у\ = хух-ху-х, является корректно определенным и бимультипликативным.

Если G — конечнопорожденная абелева группа, то расширение 1 J ->- Е G -*-1 тривиально в том и только в том случае, если группа Е абелева. В частности, если группа G циклическая, то Я2(О, J)=0.

Утверждение 1) доказывается прямым вычислением. Доказательство 2) использует делимость группы J и тот факт, что факторгруппа абстрактной группы по центру не может быть нетривиальной циклической группой.

Нам понадобится также вычисление №(5п, J) для симметрической группы Sn.

Лемма 2. 1) Если п X 3, то для любой подгруппы HaSn имеем №(Н,А) = 0-, 2) если п ^ 4, то Я2(5П,4) имеет порядок 2, и для подгруппы С с Sn, порожденной двумя независимыми транспозициями, отображение ограничения Н2(Sn, Г)-*- —^Н2(С,А) (см. ниже) является изоморфизмом.

Доказательство. Для любой конечной группы G и простого р, делящего порядок G, p-часть группы Hl(G, Л) изоморфна H‘(GP,A) для любого i ^ 1, где Gp — силовская р-подгруппа в G (см. [АТЧ], гл. IV, § 6). Поэтому утверждение 1) вытекает из пункта 2) леммы 1 и того факта, что при п ^ 3 группа Sn имеет лишь циклические силовские подгруппы. Тот факт, что H2(Sn, J) при п ^ 4 имеет порядок 2, был обнаружен еще Шу- ром [1] (см. также Хупперт [1]). Ясно также, что №(С, J) также имеет порядок 2. Поэтому нам достаточно найти коцикл ae№(Sn, J), ограничение которого на С нетривиально. Построить его можно следующим образом. Рассмотрим абстрактную группу S„ с образующими ст, т- (1=1, ..., п—1) и соотношениями

о2 = т2 = [т., ст] = 1, z = 1, . • •, п — 1 , (tztz+1)3 = 1, z = 1, ..., п — 2,(2)

[Ч, tz] = ct, i+X<j.

Поскольку группа Sn порождается транспозициями (i, t'+D, z'= 1п— 1, причем определяющее множество соотношений

имеет вид

(z, z + I)2 = 1, z = 1, • • •, п — 1,

W, z+ l)(z + 1, z + 2))3 = 1, z=lzz — 2,(3)

[(z, z+1), Q, /+1)1 = 1, z + Kj

(см. Хупперт [1]), то существует единственный гомоморфизм Sn Sn такой, что 0(а)=1, 0(rz) = (z, i + 1). Из (2), (3) вытекает, что Ker 0 лежит в центре Sn и совпадает с циклической группой второго порядка, порожденной ст. Отождествляя ее с группой, порожденной элементом -|- + Z в Q/Z, обозначим через а коцикл в H2(Sn, J), отвечающий расширению Sn-^-*Sn. Другими словами, рассмотрим произвольное сечение ср: Sn^-Sn и положим_

afe, ^) = Ф (<?) ф (А) ф (^/z)""1.‘

Заменяя группу С на сопряженную, можно считать, что С порождается транспозициями (1,2) и (3,4). Если предположить, что ограничение а на С тривиально, то в силу утверждения 2) леммы 1 группа 0-1(С) должна быть абелевой. Однако [ф((1,2)), ф((3,4))] = [тьтг] = ст # 1. Лемма доказана.

Из высших групп когомологий нам встретятся лишь группы №(G,Z), где G— конечная группа, тривиально действующая на Z, возникающая при изучении препятствий к принципу Хассе (см. § 6.3). Однако, как показывает следующий результат, их вычисление сводится к вычислению №(G, J).

Лемма 3. Пусть G — конечная группа. Тогда существует естественный изоморфизм //3(G, . ) ~+2(G, J) групп когомологий относительно тривиального действия группы G.

Действительно, известно (см. [АТЧ], гл. IV, § 6), что группы когомологий H^G.A) конечной группы G аннулируются умножением на [G]. Так как аддитивная группа Q однозначно делима, то отсюда вытекает, что №(G, Q) = 0 для всех z ^ 1. Тогда из точной последовательности 0->-Z->-Q->-J->-0 получаем точную последовательность 0 = №(G,Q)-^-/72(G,J)-*- -^-Я3(С, Z)^-^3(G,Q) = 0, из которой и следует требуемое.

Функториальность H^G.A') по второму аргументу очевидна: любому G-гомоморфизму абелевых G-групп f: АВ отвечает гомоморфизм групп когомологий f*: H‘(G, А)-^- H‘(G, В). Обсудим некоторые аспекты функториальности по первому аргументу. Если Н — подгруппа в G, то ограничивая коциклы на Н, получаем гомоморфизм ограничения Res: Hl(G, А)-*-Н“(Н, А). Если N — нормальный делитель в G, а А — некоторая абелева G-группа, то группа неподвижных точек AN является (G/N)- группой, и канонический гомоморфизм G-^G/N индуцирует гомоморфизм инфляции Inf: HH^G/N, AN) -^-Hl{G, А). Кроме того, здесь можно определить действие факторгруппы G/N на

H‘(N, Л); при этом оказывается, что образ гомоморфизма ограничения Res: Н‘^С, А)-^ H^N, А) лежит в группе неподвижных точек H‘(N, A)G/N. Наконец, можно определить гомоморфизм Tra: H^N, А)а^ H2(G, Л"), называемый трансгрессией, так,, что имеет место точная последовательность

д->Н' (G/N, AN) -—№ (G, Л) ^^ № ^N, Af!N ->

-^H^GjN, A^-^h^G, Л), (4)

которая представляет собой начальный отрезок спектральной последовательности Хохшильда—Серра, отвечающей расширению

1 -> N -> G -> GIN -> 1

(основные моменты построения последовательности (4), которые мы опускаем, читатель сможет найти в книге Коха [1]).

Существует прием, позволяющий заменить когомологии подгруппы Н a G когомологиями всей группы G. Для этого с произвольным Я-модулем Л связывается так называемый индуцированный G-модуль Indo (Л), который состоит из таких отображений f: G-^A, что l^hg^ = hf(g) (А е Н, g е G), причем действие G на Indo (Л) определяется формулой ^gf) (х) = f(xg). Сопоставляя каждому элементу f е Ind^ (Л) его значение в единице, получаем гомоморфизм Indo (Л) -> Л, который определяет гомоморфизм

НЧО, Шда<А)У->нЧн, А).(5)

Оказывается, что гомоморфизм (5) является изоморфизмом («лемма Шапиро»), Предположим теперь, что Н имеет конечный индекс в G и Л является G-группой. Тогда можно определить сюръективный G-гомоморфизм л: 1п(1с(Л) >Л, полагая л (Л = 2 xf (х'1) (легко видеть, что эта сумма не зависит

х е G]H

от выбора представителей). Тогда, переходя к когомологиям, получим гомоморфизм коограничения Сог: Н‘ (Н, Л) ~ Н* (G, Indo (Л)) Я‘(G, Л), где ~ обозначает изоморфизм, обратный к (5). Отметим, что в размерности нуль гомоморфизм Сог: Ан ->- -^AG совпадает с отображением следа Тг(а)= X g (а) (или,

g^G/H

в мультипликативных обозначениях, — нормы).

Иногда приходится рассматривать непрерывные когомологии топологической группы G с коэффициентами в топологической абелевой G-группе А такой, что действие G на Л непрерывно. Их определение получается, если вместо обычных коцепей рассматривать непрерывные. В этой книге (за исключением некоторых мест в § 9.5, где рассматриваются когомологии групп.

аделей) мы будем работать исключительно с непрерывными когомологиями проконечной (т. е. компактной вполне несвязной) группы G с коэффициентами в дискретной группе А; при этом непрерывность действия G на А означает, что А = U Аи, где и

объединение берется по всем открытым нормальным делителям U cz G. Для проконечной группы G имеет место представление в виде проективного предела G = \imG/U, где U пробегает не- ■К -

которую фундаментальную систему окрестностей единицы, состоящую из нормальных делителей (основные факты о проконечных группах мы напоминаем в § 3.2); тогда группа когомологий Hl(G, Л) дискретной G-группы А представляется в виде индуктивного предела lim Hl(G/U, Ли) относительно отображений инфляции Hl(G/U, Аи) Н1 ^G/V, Лк) при U дз V. Один из основных примеров связан с рассмотрением абсолютной группы Галуа S' = Gal(^/^) некоторого совершенного поля К и ее естественного действия, скажем, на аддитивной или мультипликативной группе поля R или на некотором другом объекте А с /(-структурой (см. § 2.2). Тогда соответствующие когомологии Н1^, Л) называются когомологиями Галуа и обозначаются Н'^К, Л).

Легко проверяется, что когомологии проконечной группы G с коэффициентами в дискретной группе А обладают всеми основными свойствами обычных когомологий. В частности, точной последовательности дискретных G-групп и О-гомоморфизмов О->-.Д —>-В —>-С —>-О отвечает точная когомологическая последовательность (1), а расширению 1 -*- N G -*- G/N 1 проконечных групп — отрезок спектральной последовательности Хох- шильда — Серра (4).

Неабелевы когомологии. При работе с алгебраическими группами возникают коциклы, принимающие значения в группе точек над некоторым (конечным или бесконечным) расширением Галуа поля определения, т. е. область значений коциклов является, вообще говоря, некоммутативной группой. С подобной ситуацией мы сталкиваемся и в других случаях, например, при изучении скрещенных произведений некоммутативных алгебр с некоторой конечной группой. Тем самым некоммутативные когомологии вполне заслуживают самостоятельного изучения; им посвящена книга Жиро [1], к которой мы и отсылаем заинтересованного читателя. В настоящем пункте мы напомним основные понятия, связанные с некоммутативными когомологиями, которые понадобятся нам при изучении когомологий Галуа алгебраических групп (см. Серр [2]).

Пусть G — некоторая группа (дискретная или проконечная), действующая на некотором множестве А, которое в топологическом случае предполагается дискретным, а действие G на

А— непрерывным. В этом случае А называется О-множеством. Если А — группа, а G действует на А автоморфизмами, то А называется G-группой. Для G-множества А определим H°(G, Л) как множество G-инвариантных элементов Л °. Если А является G-группой, то H°(G, Л) является группой.

Для G-группы А отображение f: GА (непрерывное в топологической ситуации) называется одномерным коциклом или 1-коциклом со значениями в А, если для любых s, t е G выполняется соотношение f(st) = f(s)s(f(t)). Часто бывает удобно трактовать 1-коциклы как семейства, индексированные элементами группы О, и писать f = {Д|«е О}, имея в виду, что Д = = Д5). Действие О на Л бывает удобно записывать в экспоненциальной форме, т. е. писать sa вместо s(a). С учетом этих соглашений условие на 1-коцикл записывается в виде fst = = fsSft- Множество всех коциклов будем обозначать через Z'^G.A). Множество Z’(G,A) непусто — оно всегда содержит единичный коцикл, определенный условием: Д=е — единичный элемент А для всех s е G. Два коцикла (as) и (&s) называются эквивалентными, если найдется элемент се А такой, что bs = c-xassc для всех s е G. (Легко проверяется, что таким образом определенное отношение между коциклами действительно является отношением эквивалентности на множестве Z'(G^).) Множество классов эквивалентности называется множеством одномерных когомологий группы с коэффициентами в А и обозначается №(G, Л). Если А — абелева группа, то это определение Н1 эквивалентно приведенному в п. 1, в частности, в этом случае НЦС.А) является абелевой группой. В общем случае НЦС.А) не несет никакой естественной групповой структуры и является лишь множеством с отмеченным элементом, которым служит класс эквивалентности единичного коцикла. Как и выше, если G — проконечная группа и G = lim GjU то Н'(,С, Л) = Игл Я1 (G/Д, Ли) — индуктивный предел множеств с отмеченным элементом относительно очевидным образом определяемых отображений инфляции НЦС/и.А0)^- -^-H'(G/V,AV) для U zd V, которые сохраняют отмеченные элементы. Вообще, если f: А->-В— гомоморфизм G-группы А в Я-группу В, совместный с гомоморфизмом g: H^>-G, т. е. f(№)a) = sf(a) для всех seH, аеА, то можно определить отображение Z1 (G, Л)—^Z11 Я, В), переводящее (а$) в (bs = = f(ag(S))), которое индуцирует отображение множеств с отмеченными элементами (морфизм)

НЦС, А^НЦН, Л).

Будем говорить, что последовательность множеств когомологий точна, если она точна как последовательность множеств с отмеченными элементами, т. е. прообраз отмеченного элемента

равен образу предыдущего отображения. (Отмеченным элементом во множестве нулевых когомологий №(G, Л) считается единичный элемент группы Л.) Укажем на основные типы используемых нами точных последовательностей. Пусть Л— подгруппа G-группы В, инвариантная относительно действия группы G. Тогда на множестве В/A левых смежных классов можно определить естественное действие группы G, так что В/A является G-множеством, и определено множество Ha(G,B/A), которое обладает отмеченным элементом — классом А. Для любого элемента из №(G, В/Л) = (В/Л) ° выберем представитель Ь^В и для seG положим as = b-Xsb. Несложно проверить, что а,еЛ и (as) е Zx (G, Л). При этом класс эквивалентности последнего коцикла не зависит от выбора представителя Ь, и мы получаем отображение 6: B°(G, В/А)->- Н1 (G, Л).

Прямое вычисление показывает, что имеет место точная последовательность множеств с отмеченными элементами:

-> Н° (G, Л) -> Н° (G, В)Н° (G, В/А) -^ Н1 (G, Л) Нх (G, В),

(6)

где а индуцировано вложением А а» В. Кроме того, если щ, с2 е Н° (G, В/А), то 6(ci) = 6(с2) в том и только том случае, когда существует b ^ В° со свойством с2 = Ьс\. Отсюда следует, что элементы ядра отображения Н1 (G, А)-► Н1 (G, В) находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами действия В° на (В/Л)°. Если А — нормальный делитель в В, то последовательность (6) продолжается еще на один член:

...->H°(G, В] А) -Ф Нх (G, Л) Нх (G, В) -U Нх (G, В/Л). (7)

Особого рассмотрения заслуживает случай, когда А — центральная подгруппа группы В (именно с такой ситуацией мы сталкиваемся, рассматривая универсальные накрытия алгебраических групп). Положим С=В]А и обозначим через <р: В->-С — канонический гомоморфизм. Тогда ЯДО.Л) является группой и отображение 6: H°(G, С) = С° ->- Нх ф, А) является гомоморфизмом групп; в дальнейшем мы будем называть его пограничным гомоморфизмом. Используя центральность А, можно определить естественное действие группы ЯДО.Л) на множестве HX(G,B): если а = (as) е Zx (G, А), b = (й$) е Zx (.G, В), то а-Ь = (asbs) е Zx (G, В). Тогда оказывается, что орбиты этого Действия совпадают со слоями морфизма р: Нх (G, В)^>- Нх (G, С). Далее, в силу коммутативности Л определена группа B2(G, Л), и как мы сейчас покажем, существует отображениед: Нх (G, С)-> -*B2(G, Л), расширяющее последовательность (7) до точной последовательности

... -> Нх (G, В) нх (G, С) Н2 (G, Л).(8)

Пусть c = (c1|sZ1№, С); для каждого s s= G мы можем найти такой элемент bs^B, что ф(^)=с5. Положим тогда as,t = — bsbtb^t. Легко проверяется, что a,iteA и отображение GY.G^A, (s,t)^>- as, t является 2-коциклом (т. е. элементом из 22(С,Л)). Оказывается, что класс, определяемый коциклом а, не зависит ни от выбора элементов bs, ни от выбора коцикла с в соответствующем классе эквивалентности в №(G, С), и таким образом мы получаем корректно определенный пограничный морфизм д: Hl (G, C)~+H2(G, Л). Непосредственно проверяется, что соответствующая последовательность (8) точна. Отметим, что в некоммутативном случае морфизм д не связан ни с какой групповой структурой; более того, его образ в Я2(С,Л), вообще говоря, не является подгруппой.

В некоммутативной ситуации указанные точные последовательности несут существенно меньше информации, чем в коммутативном случае, ибо, скажем, знание ядра некоторого отображения множеств с отмеченными элементами, вообще говоря, не позволяет сделать выводы о всех его слоях. Частично эту трудность можно преодолеть при помощи одного приема, основанного на понятии скручивания (см. Серр [2], гл. I, § 5). Напомним основные определения. Пусть А— некоторая G-группа и F — некоторое G-множество с заданным действием группы Л, причем это действие перестановочно с действием G, т. е. s(a-f) = = s(a) -s^) для любых s g G, a ^ A, f ^ F. Тогда с помощью произвольного коцикла a = (as) e Z1 (G, A) можно определить новое действие G на F по формуле

s(f)=as(s(f)), seG.

Множество F с этим действием обозначается через „F. При этом говорят, что aF получено из F скручиванием при помощи коцикла а. Легко видеть, что множество aF функториально зависит от F (относительно Л-морфизмов А->- F^ и что конструкция скручивания перестановочна с прямыми произведениями. Для эквивалентных в Z*(G,A) коциклов а и Ь G-множества aF и ьР изоморфны. Кроме того, если F обладает некоторой структурой (например группы), а элементы А сохраняют эту структуру, то aF также наделяется этой структурой. Целый ряд примеров скручивания будет рассмотрен в § 2.3, а пока мы ограничимся одним примером, который возникает при работе с точными последовательностями. А именно, рассмотрим случай, когда Л = F действует на себе внутренними автоморфизмами. Тогда для любого коцикла aeZ*(G, Л) определена скрученная группа аА, причем множества одномерных когомологий групп А и А'= аА связаны между собой следующим образом:

Лемма 4. Для произвольного коцикла x = (xs)e Z^G.A') семейство y = ^xsaA является коциклом в ZX(G,A), причем со-

ответствие х>—>у задает биекцию ta: ZX(G, A')^-Z1(G, А). При переходе к когомологиям ta индуцирует биекцию та; Н1 (G, А')-*- —^H^G, А), которая переводит отмеченный элемент из H^G.A'^ в класс коцикла а.

Тем самым мы получаем возможность перемножать коциклы, правда, переходя при этом к скрученной группе. При помощи этого приема, заменяя группы в последовательностях (6) — (8) на соответствующие скрученные группы (как мы будем говорить в дальнейшем, скручивая эти последовательности), можно получить описание слоев всех отображений в исходных последовательностях. Пусть, например, в ситуации, описанной при построении последовательности (6), aeZ^G.A^ и мы желаем получить описание слоя а-1 (а(а)) (мы обозначаем той же буквой а соответствующий класс эквивалентности в НЧО.А^У Для этого следует перейти к скрученным группам А' = аА и В' = аВ и рассмотреть для них аналог точной последовательности (6)

1 -> Нй (G, А') -> № (G, В'-) -> Н° (G, В')^ Д

А^НЧС, А'^^НЧО, В'\ (6')

Тогда биекция та из леммы 4 устанавливает биекцию между элементами Нега' и элементами слоя а-1 (а (а)). С другой стороны, как следует из (6'), элементы Her а/ находятся в биективном соответствии с орбитами действия (В')° на (В'/А')0. Приведем также критерий того, когда класс некоторого коцикла beZHG, В) лежит в образе отображения а. Для этого условимся рассматривать действие В на множестве смежных классов (однородном пространстве) В/А посредством сдвигов; тем самым для любого Ье7ДС. В) определено скрученное пространство ь^В/Ау

Лемма 5. b е Im а<=> Н° (G, ь(В/А))^=0.

Аналогичным образом вычисляются слои отображения д в последовательности (8). А именно, пусть с = (cs) е Zx (G, С). Так как А—центральная подгруппа в В, то группа С действует внутренними автоморфизмами на В, причем эти автоморфизмы тривиальны на А. Скрутив с помощью с точную последовательность 1->-А->-В->-С-*-1, мы получим точную последовательность 1->-А->-с В->-с С-*-1, из которой возникает новый когра- ничный морфизм дс: H4G, сС')^- Н2^, Ау Прямое вычисление показывает, что этот морфизм связан с биекцией тс: №(0, сС)->- ->№(G, С) из леммы 4 следующим образом: д(тс(х)) = = Д(х) д (с) в смысле умножения в группе H4G,Ay Отсюда следует, что элементы слоя d-1(d(c)) находятся в биективном соответствии с элементами КегД, которые, в свою очередь, биективно соответствуют элементам фактормножества НЧС.сВ) относительно действия группы H4G,Ay

Если Н— нормальный делитель в G (замкнутый в топологической ситуации), то, как и в коммутативном случае, факторгруппа G/Н действует на Ан, так что можно определить HX(G/H,AH) и отображение инфляции H'(G/H, AH)—^HV(G,A). Тогда если Н' (G, А)-> Н1 (Н, А)— отображение ограничения, то точна последовательность

1->нЧс/н, ah)^h4g, а)^нх(н, А), которую можно рассматривать как некоммутативный аналог последовательности Хохшильда — Серра (4).

Нам осталось рассмотреть индуцированные множества и некоммутативный вариант леммы Шапиро. Остановимся на этих вопросах более подробно, ибо они не вошли в книгу Серра [1]. Пусть Я— подгруппа в G, предполагаемая замкнутой в топологической ситуации. Тогда для любого Я-множества (соответственно Я-группы) В можно определить G-множество (соответственно G-группу) Л = Indo (В), которая состоит из всех непрерывных отображений a: G-*B, удовлетворяющих условию a(k) = /a(s) для всех teH, seG. причем действие G на Л задается формулой ra(s) = a (sr) для reG. G-множество (соответственно G-группа) А или любое G-множество (G-rpynna), изоморфное А, называются G— Я-индуцированными. Отображение А-*В, av—>а(1), согласовано с включением ЯсС, и поэтому для г = 0, 1 индуцирует морфизмы

<рг: НЧО, А)^Н{(Н, В).

Предложение 7 (лемма Шапиро; некоммутативный вариант). Отображения ф; биективны.

Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи г = 0 и i = l. Пусть вначале i = 0. Если а е H°(G, А), то а есть отображение G-^-B, инвариантное относительно действия G, т. е. а = га для всех геС. Вспоминая определение действия G на А, мы видим, что последнее равенство эквивалентно соотношению a(s) = = a (sr) для всех s, геС. Полагая s = 1, получим, что а является постоянным отображением. По определению фо(а) = = а(1) е Вн = Я0(Я, В), откуда следует, что соотношение фо(а) = фо(6) для a, b eHGG,A) влечет а = Ь, т. е. фо инъективно. С другой стороны, для любого сеН°(Н,В) постоянное отображение a: G-+B, a(s) = c, лежит в А, причем легко проверяется, что а е H°(G, А) и ф0(а) = с.

Пусть теперь z = 1. Для доказательства инъективности ф] предположим, что классы коциклов а=(аг) и b =(Ьг)г е Z1 (G, А) переходят при отображении ф1 в один и тот же элемент. Тогда для подходящего элемента сеВ имеем аг(1) = = c~vbr ( V) гс для всех геН. Легко видеть, что существует такой элемент de А, что d(l) = c. Тогда, заменяя коцикл b на

эквивалентный коцикл b' = (d~xbrrd), можно предполагать, что

(9)(9)щ(1) = йЛ(1) для всех г^Н.

(9)

(9)

Из определения коцикла для всех г, s, t г G получаем соотношения

ars (t) = ar (t) ras (/) = ar (t) as (tr),

brs (t) = br (0 rbs (/) = br (0 bs (tr).

Полагая r = /-1, из (9) находим, что

at-xs(t)bt-xs(t) x =at-x(t)bt-x(i) 1(10)

для всех s^H. Определим функцию c; G^B равенством c(t) = bt-x (t) at-x (t)~x.

Тогда из (10) для s^H получаем c (st) = bt-is-i (st) at-x-\ (st)~x =

= s (^-'s-1 kt) at-x-x (t)~x) = s (bt-\ (t) at-x (t)) = s(c (t)), т. e. с e А. С другой стороны, непосредственно проверяется, что ar = c-xbrrc для всех reG, и, значит, коциклы а и b эквивалентны. Инъективность ф] доказана.

Для доказательства сюръективности ф] рассмотрим произвольный коцикл b = (br) е Zx (Н, В). Пусть и: G/H^-G — некоторое сечение, предполагаемое непрерывным в топологической ситуации и такое, что v(H)=\. Тогда для scG положим w (s) = sv (Hs)~x е Н. Для каждого seG определим функцию as: G^>-B формулой а$(0 = т(^™ (а щ $)• Прямое вычисление показывает, что as е А и семейство a=(as) образует коцикл в ZX(G,A), причем qn(a) = b. Предложение полностью доказано.

В приложениях оказывается полезным следующее простое утверждение;

Лемма 6. Пусть Н имеет конечный индекс в G. Тогда G-группа А является G — Н-индуцированной в том и только том случае, если существует Н-подгруппа В cl А такая, что А является прямым произведением групп SB, где s пробегает некоторую систему представителей смежных классов G/H.

Например, если L — конечное расширение Галуа поля алгебраических чисел К с группой Галуа S, и.г VK, и — некоторое продолжение нормирования у на L и 36 = 9(и) — соответствующая группа разложения, то, как показывает разложение (2) § 1.1, ^-модуль L<8KKy изоморфен Ind^^ (Lu).

Простые алгебры над локальными полями

Простые алгебры и группы Брауэра. Пусть А—конечномерная простая центральная алгебра над полем К (центральность означает, что центр А совпадает с КУ Тогда А является полной матричной алгеброй Л1„(Е)) над некоторой центральной алгеброй с делением (телом) D над К и dim^ А = и2 dim^O. В свою очередь, размерность dim^D является квадратом некоторого натурального числа d, называемого индексом тела D и соответственно алгебры А. Известно, что если К конечно или алгебраически замкнуто, то необходимо d=\, т. е. некоммутативных конечномерных центральных алгебр с делением над К нет. Если К = R и d > 1, то D изоморфно телу обычных гамильтоновых кватернионов Н- Над неархимедовыми локальными полями или полями алгебраических чисел существуют тела произвольного индекса. Для их описания нам понадобятся некоторые факты из теории простых алгебр (см., например, Херстейн [1], Пирс [1]).

Один из таких фактов — это теорема Сколема— Нетер, утверждающая, что произвольный изоморфизм ст: В\^-В2 двух простых подалгебр В\, В2 конечномерной центральной простой Х-алгебры А, тривиальный на К, продолжается до внутреннего автоморфизма А. Важную роль при исследовании алгебры с делением D играют максимальные подполя Р cl D. Они обязательно содержат поле К и имеют над ним степень d; при этом D ®к Р ~Md(P). Обратно, если Р— расширение К степени d и D ®к Р Мл(Р') (т. е. Р— поле разложения D), то Р изоморфно максимальному подполю в D. Рассмотрим произвольное поле разложения Р простой алгебры А (можно, например, в качестве Р выбрать алгебраическое замыкание К") и зафиксируем соответствующий изоморфизм ср: А ®к Р ~ МгуР\ Тогда отображение Nrd^/K (х) = det ф (х ® 1), называемое приведенной нормой, является мультипликативным, не зависит ни от Р, ни от ф и задается однородным многочленом степени г с коэффициентами из К от координат элемента х в некотором базисе А над К; в частности, Nrd Д/к (Л*) cl К*. Часто используемое нами свойство приведенной нормы состоит в том, что для xcD приведенная норма NrdD/K(x) совпадает с обычной нормой Np/kW из максимального подполя Р cl D, содержащего х. Изучение мультипликативной группы А* в существенной степени сводится к изучению образа приведенной нормы Nrd^/x(4*) и соответствующей специальной линейной группы 5£1(Л)={хе еЛ*|Мгйд/к(х) = 1}. В свою очередь, строение группы SLi(4) (особенно в случае, когда A = Mn^Dy п > 1, см. § 7.2) зависит от того, совпадает группа 5£1(Л) с коммутантом [Л* Л*] или нет (отметим, что включение [Л* Л*] cz SLi (Л) вытекает из мультипликативности приведенной нормы). Этот вопрос, по-

ставленный Таннакой и Артином в 1943 г., в терминах алгебраической /(-теории эквивалентен вопросу о тривиальности так называемой приведенной группы Уайтхеда S/(i(A) = = SK (А) /[А*, А*]. О связи этих проблем с известной в теории алгебраических групп гипотезой Кнезера — Титса см. § 7.2. Проблема Таннаки — Артина была отрицательно решена В. П. Платоновым в 1975 г. В работах [13] — [16] им была развита приведенная К-теория, позволяющая во многих случаях вычислять группу S^(A) и устанавливать ее связь с другими арифметическими вопросами (см. гл. VII). Тем не менее, в интересующих нас случаях локальных и глобальных полей группа S^1(A) всегда тривиальна (для локальных полей этот результат был впервые получен Накаямой — Мацусимой [1] в 1943 г., а для полей алгебраических чисел—Вангом [1] в 1950 г.). Так как этот факт неоднократно будет использоваться в книге, ниже мы приведем его доказательство, которое существенно отличается от оригинального и является более коротким и концептуальным.

Введем на множестве конечномерных центральных простых алгебр над полем К отношение эквивалентности, считая, что Ах = MnAD^ ~ А2 = NUAD^, если тела D, и D2 изоморфны, и определим произведение классов эквивалентности формулой [Ai] • [А2] = [Ai ®к А2] (отметим, что тензорное произведение над К двух простых /(-алгебр, одна из которых центральна, также является простой /(-алгеброй). Эта операция превращает множество классов эквивалентности конечномерных центральных простых /(-алгебр в абелеву группу (обратным к классу [А] является класс противоположной алгебры А0, которая получается из А заданием нового произведения по формуле а °b = Ьа, где справа стоит произведение в алгебре А), которая называется группой Брауэра поля К и обозначается Вг(/(). Для любого расширения L/K классы эквивалентности таких центральных простых /(-алгебр А, для которых L является полем разложения, образуют подгруппу в Br(^), которая обозначается через Br(Л/^). Порядок элемента [А] в Вг(/() всегда конечен; он называется экспонентой алгебры А. Отметим, что экспонента алгебры А делит ее индекс и в общем случае отлична от него. Одним из глубоких результатов теории алгебр является совпадение экспоненты и индекса над локальными и глобальными полями (в связи с этим укажем на гипотезу о том, что так называемые С2-поля также обладают этим свойством (см. М. Артин [1])). Отметим, что группа Брауэра Вг(/() имеет когомологическую интерпретацию. А именно, сопоставление простой алгебре соответствующей системы факторов (см. Ван дер Варден [1]) определяет изоморфизм

Br (А) ~ Н2 (А, А'),

Простые алгебры над локальными полями. Пусть D — тело индекса п над (неархимедовым) локальным полем К. Всюду в этом параграфе через и будет обозначаться нормирование поля К, через О — кольцо нормирования с идеалом нормирования р и через U =С*— соответствующая группа единиц. Нормирование у единственным образом продолжается на D при помощи формулы

5 (х) —-^-и (Nrdp/K (х)), xeD, (1)

причем D полно в топологии, определяемой этим нормированием (для тел нормирования определяются так же, как и для полей, см. Пирс [1]). Пусть Св = {х е Z)jv(x) ^ 0} и фд = = {а е D | у (а) > 0}—соответственно кольцо целых и идеал нормирования 5. Легко видеть, что фд является максимальным двусторонним идеалом в Св, так что определено тело вычетов D. Пусть f=[D: к^— степень тела вычетов (к— поле вычетов, для К) ие = [Г:Г] (где Г = y(^*), Г = у (О*) — группы значений нормирований у и у) — соответствующий индекс ветвления. Тогда, как и в коммутативном случае (см. § 1.1, п. 2), ef = = dim^ D = п2. С другой стороны, D, будучи конечным телом, коммутативно, и, следовательно, 5 = k(a) для подходящего а е D. Пусть ре Св— такой элемент, что вычет р совпадает с а (в дальнейшем черта всюду будет обозначать образ в поле или теле вычетов). Тогда для поля L = ^(P) и соответствующего поля вычетов I имеем

f = [O:^] = [/ :/?]<[£ :КА = п.

Из формулы (1) вытекает, что умножение на п индуцирует изоморфизм Г в Г и поскольку Г ~ Z, то е = [Г : Г] п. Отсюда следует, что в действительности е = f = п и тело вычетов D совпадает с полем вычетов I подходящего подполя L е D, которое автоматически является максимальным подполем в D и неразветвлено над К. Группа значений Г является бесконечной циклической, так что существует элемент ПеА* называемый униформизующим, со свойством у(П)=1/ц. Имеем фд = = ПУд = УДП, причем любой другой униформизующий элемент W eOD имеет вид 11' = Пи, ueUD = C*D. Аналогично, для любого i ^ 1 имеем ^д = ГГб'д = УДП1.

Зафиксируем максимальное неразветвленное подполе LcD (отметим, что любое другое максимальное неразветвленное подполе L' е D изоморфно L над К и поэтому в силу теоремы Сколема — Нётер сопряжено L). Расширение L/К является циклическим расширением Галуа и группа Галуа Gal(L/7() порождается автоморфизмом Фробениуса ф (см. § 1.1, п. 3). По

теореме Сколема — Нётер существует такой элемент geD*, что V(x) = g'xg-1 VxeL.(2)

Тогда образ элемента у (g) е -^- Z в группе Q/Z определен корректно, называется инвариантом тела D и обозначается шук(5). Инвариантом inv(H) простой алгебры А = Mn(D) называется инвариант тела D.

Теорема 7. Отображение Л^-^>inv^Л определяет изоморфизм Br (7Q ~ Q/Z. При этом если Р/К— конечное расширение степени т, то коммутативна следующая диаграмма:

[-4]

[А 0КР]'invp ’

Вг(Р)>Q/Z где [т] означает умножение на т.

Из коммутативности (3) вытекает, что если D — тело индекса п над К, то для любого расширения P/К степени п имеем D ®К Р ~ МДРК следовательно, Р изоморфно максимальному подполю в D. Еще одно важное наблюдение состоит в следующем: над полем К экспонента любого тела совпадает с его индексом. В самом деле, нужно показать, что если y(g') = a/n, то (a, n)= 1. Для доказательства заметим, что в силу (1) О о и фл инвариантны относительно сопряжения в D, и поэтому любой элемент h^D* индуцирует автоморфизм oh: х1—> hxh~x тела D над к. Положим о = (тп.Из коммутативности D вытекает, что для и е UD имеем ои = id, так что о не зависит от выбора уни- формизующего П. Мы видели, что D совпадает с полем вычетов I максимального неразветвленного подполя LcD, так что в действительности оеСзИ//^). Имеем g = TIau, u^UD, и поэтому ф = о" (мы обозначаем одной и той же буквой автоморфизм Фробениуса расширений L/K и 1/ку Так как ф порождает Gal (//&), то необходимо (а, п)=1. Одновременно мы показали, что о = оп порождает Gal (//&), что будет использовано ниже.

Изложенные факты о строении тел над полями р-адических чисел восходят к Хассе [1], Витту [1]. Отметим, что недавно €ыли получены структурные теоремы для широкого класса тел над произвольными гензелевыми полями (см. Платонов, Янчев- ский [3], [4]).

Мультипликативная структура тел над локальными полями. Прежде всего установим, что для конечномерного центрального тела D над полем К имеем Nrdo/K(O*) = К* и группа SLitD') совпадает с коммутантом [О*, О*] (более тщательное

исследование группы D* при помощи фильтрации, определяемой конгруэнц-подгруппами, мы проведем в следующем пункте).

Мы уже видели, что существует максимальное неразветв- ленное подполе L a D, и поэтому группа единиц U лежит в Nl/k(L*) cz Nrdo/^Z)*) (см. предложение 2). Остается показать, что NrdO/x(S*) содержит униформизующий элемент л поля К. Для этого заметим, что многочлен ^ + (—1)"л (ц—индекс О) является многочленом Эйзенштейна (см. п. 3 § 1.1) и поэтому определяет некоторое расширение P/К степени п, причем л g Np/k(P*) • Но, как мы отмечали, Р изоморфно максимальному ПОДПОЛЮ В Д И поэтому No/к (Д*) с Nrdy/^ ^D*^, т. е. aENrdD/K(Z)*). Таким образом, равенство NrdD/x(P*) = К* доказано.

Доказательство утверждения о том, что группа 5Ьхф), которую мы в дальнейшем будем для краткости обозначать Dm, совпадает с коммутантом [/)*,/)*], является несколько более сложным. Во-первых, заметим, что группа Z.(1) = L f) Z)<9 содержится в [/)*,/)*]. Действительно, по «теореме 90» Гильберта (см. Ленг [3], гл. VIII) любой элемент №Т<1, = {^е <=I?\NL/K(f) = 1} имеет вид х = ф(у)у-1 для подходящего, у е L*. Тогда х = gyg~Д' g [О*, Z)*] в силу (2). Поэтому требуемый факт вытекает из следующего утверждения.

Теорема 8 (Платонов, Янчевский [2]). Нормальный делитель в DW, порожденный группой LW, совпадает с Dw.

Доказательство. Пусть х s D^, тогда вычет х лежит в группе ^ = {a G Г | Ni[k(а) = 1}. Действительно, х можно представить в виде x = ab, где а принадлежит группе единиц UL поля L, а 6е1 +^щ Тогда х=а. С другой стороны, Vщк(а) = МгТо/к(а)= = NrdB/x(b ^^Nm/kW 1 для максимального подполя McD, содержащего Ь. Но b е (I + ТД f] М = 1 + ^, так что, согласно предложению 3, Nm/k (ф-1) ^ 1 + Р, где р — идеал нормирова-

п —1п—1

ния в К. Поэтому МцЬ (а) = Ц ф1 (а) = Ц ф‘ (а) = NL/k (а) = 1. t=0i=0

Поскольку группа Т1» циклическая, существует такой элемент 2 е IW, что элемент xz является образующим /(1>, и, следовательно, l = k^xzy Утверждается, что 2 = у для подходящего уеН\ Действительно, согласно теореме 90 Гильберта, 2 = = ф($) /$ для подходящего s е /*. Тогда если и ^ UL обладает свойством й = s, то элемент у=ф(и)/и является искомым. Далее, заметим, что расширение Р = КУу^ является максимальным неразветвленным подполем в D, ибо

п > [Р : ^] ^ [/г (ху) k\ = \f. Н\ = п,откуда \Р'. К.А = \к^хуУ. к\ = п, что и требовалось. Таким обра-зом, Р ~ L над К, и, следовательно, по теореме Сколема —

Нётер Р = sLs 1 для подходящего s е D*. Учитывая, что Nl(k(L*) = UK‘n (предложение 2) и тот факт, что для элемента g в (2) выполняется условие и (Nrdo/к (g), n) = 1 (см. п. 2), мы видим, что для подходящих t е Z, ceL выполняется равенство Nrdzyx(s) = Nrdo/x^^). Полагая t = s (glcy\ будем иметь Р= = tgtcLc-ig-lt-x = tLt-x и Nrdo/x(0=l. Окончательно, хе е Pwy~x ci t-xLwtLw и доказательство теоремы 8 завершено.

Заметим, что из доказательства теоремы 8 вытекает, что любой элемент из Dw является произведением не более двух коммутаторов. Неизвестно, можно ли понизить эту оценку до одного коммутатора.

Фильтрации в О* и Dw (см. Рим [1]). Материал этого пункта не будет использоваться нигде, кроме § 9.5, поэтому его можно опустить при первом чтении.

Пусть по-прежнему D — тело индекса п над локальным полем К. Сохраним обозначения, введенные в п. 2,3. Положим также Ut = 1 + фд, Ci = Ui^ Dxxx (i^ 1), считая, что Uo=Ud = O d и C3 = DW. Из формулы (1) вытекает, что группы U£ и Сг являются нормальными в D* (они называются конгруэнц-под- группами уровня фд, или просто уровня I, соответственно в D и DWy Так как группы UD и DW, очевидно, компактны, а группы и, и С, открыты в По и Dw соответственно (более того, образуют базу окрестностей единицы), то индексы [И : И,] и [Z)P> : С,] конечны. Определим структуру последовательных факторов U£/Um и С;/С,+1.

Предложение 8. Существуют естественные изоморфизмы

Ро: UQIUx-*r,

pz: UJUi^Y-^l*! /^1 (аддитивная группа поля Г).

При этом р0(С0) = /(1) = (х е Г | Nifk(х) = 1}, а р£(С^ = 1, если z^O(modn) и р,(Сг) = 1^ = (хе/|Тг//Дх) = 0}, если t = 0(modn).

Доказательство. Как и выше, для элемента a е d.D будем обозначать через а его образ в I = Od№d. Тогда р0 индуцируется отображением а^>а, a р,(/^1)— отображением 1 + + all'i—>а (заметим, что р, зависит от выбора униформизую- щего элемента П). Образ ро(Со) мы уже вычислили при доказательстве теоремы 8. Для вычисления р,(С,) (t ^ 1) нам понадобится

Лемма 7. Nrdo/к (1 + фо) = I + р', где / — минимальное целое число ^ Цп.

Доказательство легко получается из предложения 3.

Пусть теперь хе/ и а е OD — такой элемент, что а = х. Рассмотрим г=1+аП‘. Тогда / = Nrdo/к (2) е 1 + ^, где / —

минимальное целое ^i/n. Если z^O(modn), то /^(z"+l)/n, и по лемме 7 найдется y^Ul + \ со свойством Nrdn^(z/) = C Полагая zx=zy-1, получим, что Nrdo/к (zi)= 1, т. е. z^Cg, и р; (z^=x. Таким образом, рг (Сг) = I при г ^ 0 (mod п). Пусть теперь г = jn. Поскольку Od = Ol + Фо, то фо = Сдл'+ фдл'= ф£ + ф£+1 (где CL, ф£ — соответственно кольцо целых и идеал нормирования в Т; отметим, что ^£ = (7^ для униформизующего элемента л е К, ибо ЦК, неразветвлено). Отсюда следует, что Ut = (Ui Г) L*) Ui+1 и Ui Л L* = 1 + ф[. Поэтому если z <= Ui и z = st, где s е Ui Л L*, teUi+i, то A4/K(s) = NrdS/^)^G 1 + ф/Ч. С другой стороны, если s=l+rnz, г е OL, то

Nl,k (s) = П фт (1 + гл/) = 1 4- ТгщДг) л' (mod p'+1). т =0

Таким образом, Tr/.^(r)s0(modp), откуда Trz/&(r) = O и p^C^cz^. Обратно, если Tr^/к (г) = 0 (modp), то для х=1+гл' имеем Nl(k (s) g 1 + p/+I, так что найдется /е1+ф£+1 со свойством Nl/k(s) = ЛфдДЛ н элемент z — зЦ е Lm Л (1 + ф£) обладает свойством pf (z) = г. Предложение доказано.

Следствие. Для любого i ^ 0 факторы Uq/Ui и СДС, являются конечными разрешимыми группами. Следовательно, группы Uo и Со проразрешимы.

Действительно, разрешимость факторгрупп U0/Ut и Со/Ц непосредственно вытекает из предложения. Как мы отмечали выше, группы Ui и Ci образуют базу окрестностей единицы в группах Uo и Со соответственно, поэтому Uo = lim U0IUi, Со =

= limC0/C/ — проразрешимые группы (см. § 3.3). ч

Теперь, следуя Риму [1], определим взаимные коммутанты [Со, С,] и [Ci, С,] Ц -^ \ Ц Для этого нам понадобится одно вычисление.

Лемма 8. Пусть х=1+аП‘, y=l+MIz, где а, b е О D, i, /^1. Тогда коммутатор [х, у] = хух~1у~г имеет вид 1 + сП/+/, где с = an1 (b) — oi (а) Ь (здесь о, как и п. 2, автоморфизм I над к, задаваемый соответствием d —>П4П-1). В частности, [Uit t/J czU i+j.

Доказательство. Положим (s, t) = st — ts. Тогда легко проверяется, что [х, у] = 1 + (х — 1, у — 1) х-1у-1, откуда jx, z/J = = 1 + (anW - MlW) x;Yy-1 = 1 + сП‘+', где с = (аПФП-£ — —бП^аП-') (n‘+,x-1z/-1n-<1+,>). Переходя к вычетам и учитывая, что х = у=\, получим требуемое.

Теорема 9. Пусть п2> 2. Тогда

[Cj, CJ = Ci+I для любого z1;

(Ci, если z^O(modn),

[Со, CJ ^сг + 1, если zsO(modn).

В частности, [Со, Со] = Сь

Доказательство. Покажем вначале, что рг+1([Сь CJ) = = Pi+i(Ci+i). Из леммы 8 и предложения 8 вытекает, что образ р, ( [Ci, CJ) порождается как абелева группа элементами вида ао(р)—о‘(сс)р, где а. е I, ре[ или /<3* в зависимости от того, делится / на и или нет. Мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что эти элементы порождают соответственно I или Л°>, т. е. р,+1(С,+1). Итак, для любого I

[Cb CJCZ+2 = C/+I.(4)

Покажем теперь, что на самом деле [С^ CJ = С,+1. Воспользуемся устанавливаемым в гл. III фактом (см. теорему 3 гл. III), из которого, в частности вытекает, что любой нецентральный нормальный делитель в Z)<!> является открытым (излишне говорить, что доказательство теоремы 3 гл. III не использует самой теоремы 9). Тогда для подходящего / имеем [Cj.CJzd С/, причем можно предполагать, что /— минимальное число с таким свойством. Предположим, что / > t'+ 1, тогда /— 2 ^ I, так что в силу (4) получаем

[Св CJ лэ [Сь Су._2] Cj = С}_г,

что противоречит определению ]. Итак, / = / -f- 1 и утверждение 1) доказано. (Отметим, что Рим [1] устанавливает справедливость равенства [Сь С,] = С,+1 непосредственно.)

Из 1) вытекает, что [Со, CJ лэ [Ci, СД = С,+ь так что для доказательства 2) достаточно показать, что

(L если z^O(modn),

Pz ([Со, CJ) = < п .',(5)

(0, если i = Q(modn).

Прямое вычисление показывает, что для хеСв, i ^ 1, у = 1 + zz IT имеем р,( [х, zj ) = (хо'(х)-1—1)ц. Если z = = 0(mod«), то отсюда непосредственно получаем, что р, ([х, z/]) = 0. Если же z^O(modn), то из свойств конечных полей легко установить существование такого се g lw, что о‘(сс)#=сс. Тогда, беря в качестве х такой элемент из №\ что х = а, мы получим первое утверждение в (5). Для завершения доказательства теоремы 9 остается заметить, что всегда [Со, Со] cz Сх = [Со, CJ , следовательно, [Со, C0]=Ci.

Замечание. Некоторое уточнение приведенных выше рассуждений позволяет рассмотреть и случай п =2. Результаты здесь выглядят следующим образом (см. Рим [1]):

если р = char А #= 2, то остаются в силе утверждения теоремы 9; в случае п = р = 2 аналог утверждения 1) принимает

вид

[Сь C2i+1] = C2i+2, если либо [А] > 2, либо i^l;

[Ci, C2z]=C2(i+i) для всех i.

Если [к] = 2, то [Cb CJ содержит С4, но не содержит С3. Утверждение 2) теоремы 9, в частности, равенство [Со, Со] = С; выполняется всегда.

Следствие. Со = Дп [Со, Со], где L— максимальное нераз- ветвленное подполе в D.

При п > 2 (соответственно, п — 2) это вытекает из теоремы 9 и предложения 8 (соответственно, из сделанного замечания и предложения 8). Другое доказательство, не различающее случаи п > 2 и п = 2, моментально получается из теоремы 8.

В § 9.5 нам понадобится знание структуры группы F^i) = = Ci/Ci+x (i ^ 1) как модуля над группой А = Со/Сь которая определяется действием группы Со сопряжениями (отметим, что в силу леммы 6 группа С^ действует на F(i) тривиально). Используя отображения р0 и р, из предложения 8, отождествим А и F(t) соответственно с IW и №> в зависимости от того, делится I на п или нет. Тогда простое вычисление показывает, что структура A-модуля на F(t) определяется формулой

6 • х = 6аг (д)-1 х, de А, х е F (t) (6)

(справа в (6) стоит произведение в /).

Предложение 9. Если t^O(modn), то F^ является простым ^-модулем, за исключением случая, когда расширение l/k есть Fg/F3, либо F^/F^ (Fq— конечное поле из q элементов). В последнем случае ^-подмодули в F(i)~F64 соответствуют векторным подпространствам в FM над полем F&.

Доказательство. Обозначим через m подполе в I, порожденное над простым подполем элементами вида д(оДд) ^^ беЕ>. Тогда наше утверждение, очевидно, эквивалентно тому, что m = I, если l/к отлично от F^/Fs, F^/F^ и m = Fa, если Ijk есть F^/F».. Доказательство этих фактов элементарно, и мы оставляем его читателю.

Используя предложение 9, Рим получает полное описание нормальных подгрупп в Со. Так как в дальнейшем эти результаты нам не понадобятся, мы приведем только формулировку основной теоремы без разбора возникающих здесь исключительных случаев. Для этого положим Ег = (К* П Со) Сг и будем говорить, что нормальный делитель N с Со имеет уровень г, если N с Ег, но NqtEr+\. Поскольку f] £Г = /С* П Cq, то любой нецентральный нормальный делитель в Со обладает некоторым уровнем.

Теорема 10. Предположим, что D не является алгеброй кватернионов над конечным расширением поля Q2. Тогда если N с Со — нормальный делитель уровня г, то

Д^сРсЕ,.

Если п V г и Х-модуль F^ прост, то выполняется более сильное условие Cr cz N cz Ег.

Отметим, что включение Cr cz N cz Ег означает, что N может отличаться от конгруэнц-подгруппы лишь на центральную подгруппу, и тем самым мы имеем неулучшаемое описание нормальных подгрупп.

Мы используем предложение 9 для других целей. А именно, с его помощью мы опишем модуль В = В (5(1), Р(Д) билинейных Д-инвариантных отображений b: F(1)Х F(r)->-Fp = Z/pZ, где p = char£ и Д действует на Рр тривиально.

Теорема 11 (Прасад, Рагунатан [4]). 1) Если г^ ^—l(modn), то 5 = 0; 2) если г =—l(modn), п > 2, то В состоит в точности из всех отображений вида

b (Д (х, у) = Tr[(Fp (Хха (у)), (7) где У.е1 в случае, если расширение l/k отлично от Fm/F^ и из отображений вида

b (X, р) (х, у) = TrUFp (^ха (у) + цхо (у)8), (8) где К, пеке противном случае.

(Отметим, что появление оператора следа в формулах (7), (8) не случайно, ибо для любого конечного сепарабельного расширения полей PIM формула f (х, у) = ТгР/м (ху) определяет невырожденное Af-линейное спаривание Р с самим собой, так что любой М-линейный функционал <^; Р ^>-М имеет вид ф(х) = = ТгР/м (mv) для подходящего иеР.)

Доказательство. Пусть г, s > 0 и s + г = 0 (mod п). Тогда для любого Хе/ билинейное отображение F (г) X F (s) -> Fp, определяемое формулой

ЬДДД, y) = Trz/Fp(Xxa'"(y)), (9)

является Д-инвариантным. В самом деле, для любого бе Д в силу формулы (6) имеем

ЬДХДб ■ х, б - y) = Trz/Fp(x(dar(d)"1)xar(da$(d)"1y)) =

= ^UFp (^ (d<jr+s (дГ*) х°г (У)) = br W (M y)>

ибо r + s = 0(mod n). Если при этом г 0(mod /г), то Р^Д / и РД^~1, откуда следует, что 6г(1) задает невырожденное спаривание Р^ДХ F(s)^-Fp, т. е. определяет изоморфизм Р(Д

с двойственным модулем F (s) = Нот (F (s), Fp). Если же г = ==0(modn), то F^r) и F(s) одновременно являются тривиальными A-модулями, и поэтому здесь также F (/) ~ F (s'). Поскольку, очевидно, B(F(r), F(s)) = Нотд(Е(г), F(s)), то для доказательства первого утверждения теоремы достаточно установить, что Нотд (F(r), F (s)) = 0, если r^s(modn).

Пусть ф е Нотд(Е(г), F(s)), ф ^ 0. Тогда для любого а е /(г) и любого 6еА имеем

Ф (д (аг (д))^1 а) = 6 (<Р (д))"1 ф (а).(10)

Обозначим через £Гi и ^"2 аддитивные подгруппы в I, порожденные элементами вида 6(ог(6))-1 и 6(os(6))-1 соответственно. Выбирая иеНг) таким образом, чтобы ф(а)=#0, из (10) получим, что если 6/е А и У dz (ст^д;))""1 = 0, то У 6Z (os (6Z))-1 = 0 и тем самым отображение ф: 6(ог(6))-1;—>6(os(6))-1 продолжается до аддитивного гомоморфизма ^ на ^"г- Более того, ^"1 и ^*2, очевидно, замкнуты относительно умножения, т. е. являются конечными полями, причем продолжение ф является на самом деле изоморфизмом полей ST х и ,£Г2. Отсюда следует, что ф (х) = xpl для подходящего целого /. Таким образом,

(д(<т'(д)ГУ' = 6(<тЧд)Г(11)

для любого 6 G А. Пусть k = Fpa. Тогда А = {хра_1 |х е Г} и а(х) = храЬ для подходящего целого Ь, так что из (11) получаем, что

x-Pl<Pabr _j) (ра_^ = х_ (pabs^)

для всех х е /*, откуда pl^pabr— 1) (р“— 1) = pabs— 1 (modpa,z— — 1). Но из последнего сравнения вытекает (см. Прасад, Рагу- натан [2], добавление к § 7), что Ьг = bs(mod n), и, значит, г = s(modn), ибо (6, n)= 1, и первое утверждение теоремы до

казано.

При доказательстве второго утверждения предположим вна

Fp-линейным отображением (Лх) для подходящего кекFp-линейным отображением (Лх) для подходящего кекчале, что расширение l/к отлично от расширения F^/F^, т. е. F(r) является простым A-модулем. Пусть b = Ь(х, у)^ В. Тогда

Fp-линейным отображением (Лх) для подходящего кек

Fp-линейным отображением (Лх) для подходящего кек

отображение х н--> b (х, 1) является / в Fp, и поэтому Ь(х, l) = Trz/7?

Рассмотрим разность b0 = b— &i(X), где 6i(X) определяется формулой (9). В силу инвариантности b и Ьх(к) для любого х g F(1) множество х-1- = {у е F (г) |6о(х, у) = 0} является А-ин- вариантным содержащим 1 подмодулем в F^, откуда xv =

= F^ и bo = 0, т. е. 6 = 6i(Z), что и требовалось.

Нам осталось рассмотреть случай I = FM, k = F^. Здесь неприводимые A-подмодули в F^ отвечают векторным подпро-

странствам в / над полем F8, причем единственный нетривиальный автоморфизм F^/Fs имеет вид xv-^x8. Пусть zel/F8. Тогда, рассуждая как и выше, установим существование таких 6, ю е /, что

Цх, l) = Trz/^(9x),

6(х, z) = Trz/F^ (их)

для всех хек Так как z8 ^ г, то найдутся к, lie /, удовлетворяющие системе

Х + ц = 0,

Ха (z) + ро (z)8 = ю.

Поскольку в нашей ситуации 6(or(6))“1 е F8 для всех 6 е IW, то билинейное отображение b (X, ц) (см. (8)) является Д-инва- риантным. Тогда отображение b0 = b—6 (К, ц) также Д-инва- риантно. Отсюда следует, что для любого хе F(1) пространство х1 является Д-подмодулем в F(/), содержащим 1, z, и поэтому xL = Ft/Y Таким образом, Ьо = 0 и b = b(k, ц). Теорема 11 доказана.

Простые алгебры над полями алгебраических чисел

Группа Брауэра. Пусть А— простая центральная алгебра над полем алгебраических чисел К. Тогда для любого и е VK алгебра Ао = А ®К К« также является простой, и отображение [Ч]->-[Ли] в обозначениях п. 1 § 1.4 определяет гомоморфизм оу

групп Брауэра Вг(/()—>-Вг (/(„). Чтобы получить описание группы Вг )К), следует рассмотреть произведение

9= П 90:Вг(Ю-> П Вг(Д'у).

В п. 2 § 1.4 мы видели, что для pepf имеет место изоморфизм invKy: Вг (/(J -> Q/Z. Чтобы унифицированно рассматривать все нормирования, условимся считать инвариантом тела кватернионов над КУ = R класс в Q/Z, содержащий 1/2. Тогда отображение invKy: Br(/Q-> Q/Z определено для всех и и является вложением.

Теорема 12 (Хассе, Брауэр, Нётер). Отображение 9 инъективно, и его образ состоит из таких а= (av) gJI Вг(/(у), что

а$ = 0 для почти всех и и X inv/c ka^ = 0.

Таким образом, любая конечномерная центральная алгебра с делением D над К с точностью до изоморфизма определяется заданием инвариантов invKy[Z)D] алгебр Dy = D ®^ Ку, которые мы будем для краткости обозначать через invyD. Обратно,

для любого набора инвариантов, почти все из которых равны нулю и сумма которых также равна нулю, найдется алгебра с делением над К, имеющая данные инварианты.

Из инъективности 0 вытекает ряд следствий. Прежде всего из п. 1 § 1.4 получаем, что расширение Р поля К степени п, равной индексу тела D, изоморфно максимальному подполю в D в том и только том случае, если Оу®куР™ есть матричная алгебра для всех и g VK и всех w\v (последнее условие равносильно тому, что для всех и <= VK и всех w\v локальные степени \Рта : До] делятся на индекс алгебры Гф Тогда, применяя теорему Грюнвальда — Ванга из теории полей классов (см., например, Артин, Тэйт [1]), получаем, что D содержит максимальное подполе L cz D, являющееся циклическим расширением К. Учитывая структуру тел над локальными полями, естественно задать более тонкий вопрос: всегда ли существует максимальное подполе L cz D, являющееся циклическим расширением поля К и такое, что все расширения Lv/Kv неразветвлены для тех uel/f, что алгебра Dy является телом? К сожалению, это не всегда так (контрпримеры существуют уже над полем Q), однако выполнение этого условия можно обеспечить, наложив на тело D некоторые ограничения, что использовалось в работе Платонова, Рапинчука [4]. Применение теоремы Грюнвальда — Ванга в сочетании с теоремой 12 позволяет установить, что над полями алгебраических чисел, как и над локальными полями, экспонента простой алгебры совпадает с ее индексом, и, в частности, тела экспоненты 2 исчерпываются телами (обобщенных) кватернионов.

Мультипликативная структура. Пусть D — центральное тело индекса п над полем алгебраических чисел К. Мы опишем образ приведенной нормы Nrdp/И^*) и покажем, что группа SLi ф) совпадает с коммутантом [О* О*] мультипликативной группы D*.

Теорема 13 (Эйхлер). Группа "^тйп/кф*^ совпадает со множеством тех элементов из К*, которые положительны по всем вещественным нормированиям и е V« таким, что Dv ср Мп фф

Доказательство — см. Вейль [7], с. 279—284 (см. также § 6.7).

Теорема 14 (Ванг). Группа 8Цф) совпадает с коммутантом [£)*,£)*].

Оригинальное доказательство Ванга [1] этой теоремы является весьма сложным и использует глубокие результаты теории чисел. Мы изложим модифицированное рассуждение (см.. Платонов [15], Янчевский [1]), которое основывается исключительно на теореме Эйхлер а.

Сначала получим редукцию доказательства теоремы 14 к телам примарного индекса. Нам понадобятся некоторые сведения

об определителе Дьедонне (см. Артин [1], Дьедонне [2]). Пусть ОЕпгф^— группа обратимых элементов матричной алгебры А = Мтфу Тогда существует сюръективный гомоморфизм СЕтф)—>П*1ф*,П*\, называемый определителем Дьедонне, ядро которого содержит коммутант \фЕтфу GLm(D)], причем ( «1 О

66ОО= ах ... атф*, В*]. Известно также, что во

6

6

О

О

dm

всех случаях, кроме одного исключительного: m = 2, D = Г2— поле из двух элементов, Her 6 совпадает с фЕтфУ СЕтф)]. В частности, 6 индуцирует изоморфизм SKi (А) ~ SKX ф), и поэтому для любого поля Р, отличного от р2 при т = 2, группа SLm(P) совпадает с коммутантом СЕтфу

Лемма 9. Пусть агЗДф) и а е [ ф ®к В) *, ф ®к В)*], где В — ассоциативная К-алгебра с единицей размерности m над К. Тогда ат е [В*, В*].

Доказательство. Регулярное представление В ^» Мт (/() является точным и индуцирует вложение В ® В —> Мт (В). При

а 0 1

. Если теперь. Если теперьэтом элементу агП отвечает матрица

. Если теперь

. Если теперь

О

mSL, (В) и аг [(В ®КВУ, ф ® кй)‘], то, очевидно,

гфЕтфУ GLm (В)], так что, вычисляя определитель Дьедонне, получим ат г [В*, В'], что и требовалось.

Из леммы 9 получаем

Следствие 1. Группа ЗКфф тела D индекса п является группой экспоненты п.

Действительно, если В с В — некоторое максимальное подполе, то \L : А] = п и D ®к L = Мпф). Поэтому, применяя лемму 9 к B = L и учитывая тот факт, что SLn(L) = [GLn(L), GLn(L)], получаем наше утверждение.

Далее, известно, что если п = рау ... р“г, то D = D} ®к ... ... ^>KDr, где D{— тело индекса р^1. В этих обозначениях имеет место

Следствие 2. Если ЗКхф-?)=\ для всех i = 1, ..., г, то ЗКхф^Г

Для доказательства обозначим через Bt тензорное произведение ^D°j соответствующих противоположных алгебр. Тогда Bt i*i

является /(-алгеброй размерности п^, где nl = nlpali, причем D ®KBt ~М 2(р^ для всех z = 1, . .., г. Из свойств определителя Дьедонне и равенства SK, (В^ = 1 вытекает, что SLn2 (D^ = = ^СДпг(Д,), GAn2(D;)J, так что для любого а е 5Ц (Д) в силу п2

леммы 9 имеем включение а ‘ е [Д', Д']. Но все числа п? взаимно просты в совокупности, поэтому и^ + . .. + игп; = 1 для подходящих целых иь откуда 0 = ^7 . . . (а Д е [О*, О*], что и требовалось.

Итак, достаточно доказать теорему 14 для тела D индекса ра, где р— некоторое простое число, а ^ 0. Доказательство будем вести индукцией по а, заметив, что в начальном случае а = 0 требуемое утверждение, очевидно, выполняется. Итак, предположим, что для произвольного тела Д индекса р^1 над некоторым полем алгебраических чисел имеем SKi(A)=l, и покажем, что тогда для тела D индекса ра также SKi (D) = 1. Пусть агВВШУ Нам достаточно найти такое расширение F/К степени, взаимно простой с р, что а е V^D^kF)*, (D®kF)*], ибо в этом случае tz[F-K| е [Д', Д'] согласно лемме 9 и одновременно аРа е [Д', Д'] в силу следствия 1. Тогда поскольку р и [Г: ^ взаимно просты, существуют s, t е Z со свойством s [Г : /(] + tpa = 1, и, следовательно, а = (a^:79)s (аР0)^ <= [Д’, Д'], что и требовалось. Для построения F рассмотрим максимальное подполе LclD, содержащее а. Пусть Р— нормальное замыкание поля L над К и ^ = Gal(P//()—соответствующая группа Галуа. Рассмотрим силовскую р-подгруппу Sp cz У и возьмем в качестве F отвечающее ей неподвижное поле F = — Р^р. Тогда, очевидно, степень [Г: ^ взаимно проста с р. Покажем, что а е [(Д ®к F) *, (Д ®к F) *].

Группа Галуа Gal (Р/F) есть Sp, и пусть 36 cz Sp—подгруппа, отвечающая подполю LF cz Р. Из свойств р-групп вытекает существование нормальной подгруппы JF cz Sp индекса р, содержащей 36. Тогда соответствующее неподвижное поле М = Р^ является циклическим расширением поля F степени р, содержащимся в LF. Если а=1, то M = LF — циклическое расширение F степени р. Тогда поскольку aeSLyDy имеем ^м/г(а)= 1, так что по теореме 90 Гильберта а = о^/Ь для подходящего b е LF, где о — образующая группы Галуа Gal (М/F). Но в силу теоремы Сколема — Нётер найдется такой элемент ge(D®KF)*, что cr(6) = gbg^1 (мы отождествляем LF с L <8>к F cz D ®к F), и тогда а = gbg~lb~' е е [(Д ®кF)*, (D ®к F)*], что и требовалось. (Заметим, что мы пока не использовали предположение о том, что К—поле ал-

гебраических чисел, и, таким образом, SKi(D)=l для тела Z) индекса р над произвольным полем /(.) В случае а > 1 обозначим через А централизатор М в D®KF. Тогда А является телом индекса ра-х с центром М (теорема о двойном централизаторе, см. Пирс [1]). Очевидно, аеА, причем

1 = Nrdp 0^f^f (о) = Nlfif (а) =

= Nmjf (Nlfjm (a)) = Nm/f (Nrdx/M (a)). Поэтому ^ = ЫгбД/м(а) имеет вид

t = a(s)/s (1) для некоторого seM, где сг — образующая Ga^M/F). По теореме Сколема — Нётер найдется gгф®кF)* со свойством o(b)= gbg-x для всех b е М. Тогда автоматически gAg-1 = А, ибо А —централизатор М и NrdA/M (gxg~l) = g NrdA/M (x)^-1 для любого x e А. Предположим теперь, что нам удалось выбрать элемент s в (1) из образа приведенной нормы NrdA/M(A*) (элемент sb (1) определен с точностью до элемента из F*). Тогда если s = NrdA/M(2), где геА, то NrdA/M (gzg~xz-x) = = o(s)/s=NrdA/M(o), так что а' = a (gzg-xz-Y)-x г SL\(А). По предположению индукции SL-, (А) = [A*, A*] cz ([Z) ®к F) *, ф®кР)*), откуда а е [ ф ®к F)*, ф ®к F)*], и теорема доказана.

Итак, осталось показать, что элемент sb (1) можно всегда выбрать из NrdA/M(A*). Для этого воспользуемся теоремой 13. Тогда, если р нечетно, то Аш = А ®м Мш является полной матричной алгеброй для всех w г V^, следовательно, NrdA/M (А*) = = М* и доказывать нечего. Пусть теперь р = 2. В этом случае М является квадратичным расширением F и NrdA/w(A*) совпадает с подгруппой в М, состоящей из тех т, которые положительны относительно всех вещественных weV^ таких, что алгебра Аш не является полной матричной алгеброй; обозначим множество всех таких w через S. Пусть So состоит из ограничений нормирований w е S на F. Тогда над каждым и g So лежат два нормирования wr, w" г S (т. е. w' и w" являются продолжениями и) и Мта' = Mw” = Fo, причем w" = w'o. Если s — произвольный элемент, удовлетворяющий (1), то в силу условия t = o(s)/s е NrdA/w(A*) s имеет одинаковые знаки относительно w' и гм". Поэтому найдется такой ^ е Ку, что элемент sfy положителен относительно w' и w". Используя теорему 4 о слабой аппроксимации, выберем элемент f ^ К таким образом, чтобы f и fy имели одинаковые знаки в Ку для всех и е So. Тогда, полагая sj = sf, получим, что t = o(s)/s = o(si)/si и Si e NrdA/M(A*). Доказательство теоремы 14 завершено.

Решетки и порядки. Пусть К — поле алгебраических чисел с кольцом целых чисел О. Решеткой (или, точнее, бУ-решеткой) в конечномерном векторном пространстве V над полем

К называется конечнопорожденный 67-подмодуль L с V, содержащий некоторый базис V над К (обычно в качестве V мы будем рассматривать стандартное «-мерное пространство V = Кп). Решетка А с У называется свободной, если 67-модуль L свободен, т. е. обладает базисом. Если О' — кольцо главных идеалов или, эквивалентно, число классов идеалов поля К равно единице, то любая решетка свободна. В общем случае любая решетка L с V обладает так называемым псевдобазисом, т. е. если сНгпк V = п, то существуют такие Xi, ..., хп е V, что L = = 67.vi Ф ... Ф Oxn-i Ф йхп, где а с О — некоторый идеал (см. О’Мира [1]).

Порядком в конечномерной /(-алгебре Л называется подкольцо В с Л, содержащее единицу алгебры Л и являющееся 67-решеткой. Порядок называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем порядке.

Изучение решеток и порядков в существенной степени сводится к изучению соответствующих локальных конструкций. А именно (локальном) решеткой в конечномерном векторном пространстве Ук над полем Ку, где усУ^, называется конечнопорожденный (7„-подмодуль ЕосУ^ содержащий базис УКу. Поскольку Оу — кольцо главных идеалов, то любая решетка обладает 6?у-базисом. Определение порядка и максимального порядка в конечномерной /(0-алгебре формулируется теперь очевидным образом. Ясно, что если L— некоторая решетка в конечномерном векторном пространстве V над К (соответственно В — некоторый порядок в конечномерной /(-алгебре), то Ly = L^c(?y (соответственно Ву = В ®<зО^ является решеткой в пространстве V к =V <giK KD (соответственно порядком в алгебре АКу= Л ®к Ку). Таким образом, каждой решетке Ес У отвечает набор локализаций ^Ly с УЛц | и с У^}. Возникает вопрос, в какой степени решетка L определяется своими локализациями Ly.

Теорема 15. 1) L = Q (Ef)ED), в частности решетка, определяется своими локализациями однозначно-,

для любых двух решеток L, /И с У имеем Ly = Му для почти всех и;

если LczV— некоторая решетка и ^„сУ^^ — произвольный набор локальных решеток, причем NV = LV для почти всех и, то существует такая решетка М с У, что Ма = Ny для всех у.

Доказательство. Пусть L, М— две решетки, хх, ..., хп — ■содержащийся в L базис пространства У и у,уг — конечная система образующих М как 67-модуля. Тогда yt = У ai}x}

для подходящих atl е К. Выбирая целое число т таким образом, чтобы mati е К для всех i, j, получим, что тМ cl L. Меняя L и М местами, установим существование такого / е Z, что IL сМ, т. е. L Су /И. Тогда если у ^ V (/т)-(обозначения см. п. 1 § 1.2), то Ly = Му, и утверждение 2) доказано. При доказательстве утверждений 1), 2) удобно рассмотреть вложение V в соответствующее адельное пространство VAf = V ®кА[, где Af — кольцо конечных аделей поля К. Из сильной аппроксимационной теоремы вытекает, что La.м = L <8оА;(оо) = Ц Ly (где ДДоо) =

= П <Х — кольцо целых конечных аделей) совпадает с замы

канием L в V д$. Поэтому L' = [~] (У П Ао) совпадает с замы- у еУ^

канием L в V в индуцированной топологии, и для доказательства 1) остается установить замкнутость L. Для этого снова рассмотрим некоторый базис xb ..., х^ пространства V, содержащийся в А, и положим М = (ух! + .. . + дхп. Из того, что О = = П (К П О у), вытекает, что М совпадает с [*] (И f] Mv.) Так как Ц Му наряду с Ц Ly открыто в Уд., то отсюда следует открытость М, а следовательно, открытость и замкнутость LclV. Наконец, если набор локальных решеток NvcLVKy удовлетворяет условию Ny = Ly для почти всех у, то произведение Ц Ny является открытой компактной подгруппой в Уд и

уеУ«f

поэтому соизмеримо с Ц Ly (т. е. их пересечение имеет конеч

ный индекс в каждой из них). Отсюда следует соизмеримость м= п (vrw с пи поэтому, очевидно, М

является искомой решеткой.

Перейдем к изучению порядков в алгебрах. Мы ограничимся рассмотрением круга вопросов, связанных с существованием максимальных порядков и вложимостью произвольного порядка в максимальный, ибо именно эти вопросы возникают при рассмотрении максимальных арифметических и максимальных компактных подгрупп в алгебраических группах. Прежде всего заметим, что из теоремы 15 вытекает

Предложение 10. Порядок В cz А является максимальным в том и только в том случае, если для каждого исУ^ максимален порядок Ву с Аку.'

Простые примеры (какие?) показывают, что произвольные алгебры могут не иметь максимальных порядков. Наша цель состоит в доказательстве того факта, что максимальные порядки всегда существуют в так называемых полупростых алгебрах. Напомним, что полупростой /(-алгеброй называется прямая сумма конечного числа простых (не обязательно центральных) /(-алгебр. Таким образом, полупростая алгебра имеет вид А = ф Мп. (Di), где D; — некоторая конечномерная алгебра с делением над К. В характеристике нуль условие полупростоты алгебры А эквивалентно тому, что Л®к/( = ф Мт. (/() для .подходящих целых пи (см. Пирс [1]). Поэтому естественно вначале рассмотреть вопрос о максимальных порядках в матричной алгебре А = Мп(КУ). Наши рассуждения будут основаны на изучении естественного действия А на пространстве V = Ку и привлечении элементарных топологических соображений, связанных с понятием компактности. Для любой решетки L с V положим AL = (g с Мп (КУ) \g(L) с L) и будем называть AL стабилизатором решетки L. Тогда AL в базисе L совпадает с Мп(Ое) и, в частности, является порядком и открытым компактным подкольцом (в действительности эти понятия эквивалентны).

Предложение 11. 1) Для любого компактного подкольца BczA найдется такая решетка L с V, что BczAL;

для любой решетки L с V кольцо AL является максимальным порядком в А;

любой порядок В cz А содержится в некотором максимальном порядке, причем таких максимальных порядков имеется лишь конечное число.

Доказательство. Пусть Ей = бу— решетка, натянутая на стандартный базис пространства V = К". Тогда из открытости Аи и компактности В вытекает существование такого конечного набора Xl ..., хг е А, что Вс Ц (xt + Д^0). Отсюда следует, Г = 1

что (/„-подмодуль В с У, порожденный множеством В (Ео) = = U х (Lo), порождается на самом деле объединением хеВ

Lo (J Xi (Ео) (J ... U-^r(^-o). Т. е. является решеткой. При этом, ■очевидно, B(L0)czLq, что и доказывает 1). Далее, предположим, что AL содержится в некотором порядке В с Л. Так как любой порядок, очевидно, является открытым компактным подколь-

цом, то в силу 1) В cz Ам для подходящей решетки М cz V. Таким образом, ALczAM и наша цель — показать, что AL = AM. Заменяя решетку М на решетку вида аМ, ugGc\{0}, что не изменяет кольца Ам, можно предполагать, что М cz L, но МфлЕ, где л— униформизующий элемент в Ку. Тогда можно выбрать такой базис вь ..., еп решетки L, что для подходящих целых неотрицательных а2, . .., а„ элементы еь ла2е2, . .., ла"еп образуют базис М. Рассмотрим преобразование gi г AL, которое векторы 61 и ег- меняют местами, оставляя на месте все е, для /=# 1, I. В силу включения AL cz Аы имеем gi^AM, откуда gi(eV) = ez- е М и оу = 0. Окончательно получаем, что L = М, AL = AM, и утверждение 2) доказано. Из пунктов 1), 2) вытекает, что любой порядок В cz А содержится в некотором максимальном порядке С = AL, так что остается установить конечность множества {CJ максимальных порядков в А, содержащих В. Имеем Ct = А^1, 5 =) лаС для подходящих решеток Mi cz V и некоторого целого неотрицательного а. Тогда для любого Г имеем Ci zd В zd л“С. Покажем, что одновременно n“G cz С. Как и при доказательстве 2), можно без ограничения считать, что решетки L и Mi обладают базисами вида е,, е2, ..., еп и: 6i, ла2е2, . .., ^"бп (а;^0). Так как Ci zd л“С, то C(Mt)cz. cz л-аСДЛ1г) = лт^Мь Снова, используя введенные выше преобразования gi е С, получим, что оу ^ а, т. е. лаЬ cz Mt. Тогда лаС; (L) cz Ci (Mi) = Mi cz L, т. e. лаСг cz С. Итак, лаС cz Cz cz cz л^С, откуда в силу конечности индекса [л-аС:лаС] вытекает конечность числа различных Сь Предложение доказано.

Замечание. Из описания максимальных порядков в А = = Мп(К«) как стабилизаторов решеток L cz V вытекает их сопряженность в А.

Из предложения легко выводятся аналогичные утверждения о максимальных компактных подгруппах в G = GLn(Ky). Для произвольной решетки L cz V обозначим через GL группу автоморфизмов L, т. е. GL =(g е G\g(L) = L) (вообще, для произвольной подгруппы Г cz G положим TL = {g е r|g(T) = В} и будем называть TL стабилизатором решетки L в группе Г). Ясно, что GL=(XL)* отождествляется с группой GLn^y) в базисе решетки L, так что GL является открытой компактной подгруппой в G и det g г Uy для любого g г GL. '

Предложение 12. 1) Для любой компактной подгруппы В cz G найдется такая решетка L cz V, что В cz GL;

для любой решетки L cz V группа GL является максимальной компактной подгруппой в G, в частности, любая компактная подгруппа содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе-,

все максимальные компактные подгруппы в G сопряжены между собой.

Доказательство легко получается из предложения 11.

Из предложения 11 легко выводится также основная теорема о порядках в полупростых алгебрах над локальным полем.

Теорема 16. Пусть А— полупростая алгебра над полем. Ку. Тогда любой порядок В с А содержится в некотором, максимальном порядке, причем содержащих В максимальных порядков имеется лишь конечное число.

Доказательство. Используя разложение А в прямую сумму простых алгебр, легко получить редукцию к случаю простой алгебры А. Пусть F — центр А, О? — соответствующее кольцо целых. Тогда для любого (7у-порядка В с Л произведение С? FB является одновременно OV и (7?-порядком в А. Из этого замечания вытекает, что достаточно рассмотреть случай F = КУ. Ясно, что для доказательства теоремы нам достаточно показать, что множество {BJ всех порядков в А, содержащих В, конечно. С этой целью выберем такое конечное расширение Р поля Ку, что А ^к^Р ~ Мп (Р), и положим В = В t&o^Op, Bi=Bi® ^в^Ор. Тогда В и Bi являются порядками в Мп(Р), причем В cz Bi. Но из предложения 11 вытекает, что среди порядков Bi различных имеется лишь конечное число, поэтому остается показать, что Bi = Bj, только если Bi = Bj. Для этого выберем (Л.-базисы хр ..., х^ и yv .. ., уп, порядков Bi и В, соответственно. Тогда xt = У, almym и gt= ^ btmxm для подходящих m = 1m = 1

Ulm, blm^Ky. НО ПОСКОЛЬКУ Хр . . . , Хп, И у}, . . . , У п, ЯВЛЯЮТСЯ также (7р-базисами порядков Bi и В] и Bi = Bj, то в действительности atm, bim^Op П Ку = Oy, откуда Bt = Bj. Теорема 16 доказана.

Объединяя предложение 11 с теоремой 16, получаем существование максимальных порядков в полупростых алгебрах над полем алгебраических чисел.

Теорема 17. Пусть А — полупростая алгебра над полем алгебраических чисел К. Тогда любой порядок В с А содержится в некотором максимальном порядке.

Доказательство, как и выше, редуцируется к случаю простой центральной /(-алгебры А. Достаточно показать, что множество (В^ порядков алгебры А, содержащих В, конечно. Вначале это утверждение доказывается для матричной алгебры Л = Л1П(^). Здесь, очевидно, А обладает максимальным порядком С = = Мп(О). Тогда из утверждения 2) теоремы 15 вытекает, что Ву = Су для почти всех уе!/^—максимальный порядок в АКу = М„ (Ко). При этом для остальных у число порядков в АКу, содержащих ВУ, конечно. Отсюда и из утверждения 1) теоремы 15 вытекает требуемое. Для сведения общего случая

к только что рассмотренному выберем конечное расширение P/К со свойством А ®КР ~ Мп(Р) и порядкам В, Bi сопоставим порядки В = В ®оОр, Bi = Bt ^g(Jp в Мп^РУ Тогда среди Bt имеется лишь конечное число различных, поэтому это же верно и для В,. Теорема доказана.

Замечание. Можно показать, что над полем КУ все максимальные порядки сопряжены, однако над полем К, вообще говоря, имеются и несопряженные максимальные порядки.

ГЛАВА II

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Настоящая глава, как и первая, имеет вводный характер. В § 2.1 излагаются (как правило, без доказательства) основные структурные результаты об алгебраических группах, включая классификацию полупростых групп как над алгебраически замкнутым, так и над произвольным полем. В § 2.2 разбираются некоторые аспекты классификации /(-групп при помощи когомологий Галуа. Используя эту технику, мы в § 2.3 даем явную классификацию групп классических типов. Кроме того, в § 2.3 содержится некоторый дополнительный материал, связанный с классическими группами, в частности, теорема Витта в относительном и абсолютном вариантах. Наконец, в § 2.4 излагаются необходимые сведения из алгебраической геометрии, включая конструкцию некоторых нужных нам алгебраических многообразий.

§ 2.1. Структурные свойства алгебраических групп

В этом параграфе собраны основные определения и результаты об алгебраических группах как над алгебраически замкнутым, так и над произвольным полем, которые будут постоянно использоваться в книге. Здесь мы не приводим фактически никаких доказательств, ибо наша основная цель — унифицировать терминологию и обозначения, а также указать точные ссылки относительно доказательств основных фактов. В качестве основных источников мы рекомендуем книги Борель [8], Хамфри [1] (случай алгебраически замкнутого основного поля) и статью Борель, Титс [1] (случай произвольного поля). Формально для понимания книги достаточно знакомства с перечисленными ниже результатами, однако в действительности желательно предварительное систематическое изучение указанных источников, а также основ алгебраической геометрии, теории алгебр Ли и систем корней, например, по книгам Шафаревич [1] и Бурбаки [4].

Алгебраические группы. В большинстве случаев мы довольствуемся «наивным» определением линейной алгебраической группы как замкнутой в топологии Зарисского подгруппы полной линейной группы GLnV^, где Q— так называемая «универсальная область» (алгебраически замкнутое поле беско-

нечной степени трансцендентности над простым подполем). Так, например, обстоит дело при построении теории приведения в гл. IV, где вообще можно считать, что й = С. Однако в ряде мест, особенно при работе с аделями или группами точек над различными пополнениями естественно иметь в виду более фундаментальный подход, при котором алгебраическая группа G рассматривается как алгебраическое многообразие вместе с морфизмами

G X G G, (х, у) ху,

G —* G,х ।—> х-1,

которые удовлетворяют обычным групповым аксиомам. В принципе, работая с группами точек над различными кольцами, иногда удобно использовать и схемную точку зрения, однако мы стремились ею не злоупотреблять. Отметим, что эти разные подходы приводят, фактически, к одному и тому же классу объектов, ибо аффинная алгебраическая группа в смысле второго определения является линейной, т. е. изоморфна замкнутой по Зарисскому подгруппе подходящей группы GLn(£l') (под морфизмом алгебраических групп понимается морфизм алгебраических многообразий, являющийся одновременно групповым гомоморфизмом; изоморфизм есть морфизм, для которого существует обратный морфизм). Так как более общие алгебраические группы, чем линейные, в данной книге не рассматриваются, то слово «линейный» будет зачастую опускаться.

В ряде случаев удобно рассматривать алгебраическую группу G как подмножество, замкнутое по Зарисскому не только в GLn(5i), но и в матричной алгебре ЛД(О). Этого всегда можно добиться, увеличив число ц (называемое степенью группы G) на единицу. Действительно, достаточно реализовать саму группу GL.^Q) как замкнутое подмножество в Al„+i(Q). Искомое замкнутое вложение задается формулой

а его образ определяется следующими уравнениями на элементы матрицы у = (уц) е Mn+i (й):

'У1п+1=Уп+11 = 0, /= 1, . . ., п,

Уп+\ п+1 * det ^yij^^ j=Yt.... п) 0*

Отсюда следует, что кольцо регулярных функций на СЬпЩ)■есть Л = й[хп,Х12, ..., хпп, det(xi/)_1], а кольцо регулярных

функций на алгебраической группе G cz GLn(Q) есть Д/а, где а — идеал функций из Л, обращающихся в нуль на G (отметим, что некоторые часто используемые алгебро-геометрические понятия мы обсуждаем в § 2.4). В частности, если f: G--1I— морфизм двух алгебраических групп G cz СГДП), Н cz GLm(Q), то существуют такие полиномы

tki = tkA-X\\, ■ • хп„ det^Xi^^, к, 1 = 1, .... т, (2) что

Hgwfkl z=lт.

В этой книге будут рассматриваться алгебраические группы, определенные над некоторым подполем К cz Q, в качестве которого будет обычно выступать либо поле алгебраических чисел, либо его пополнение. В связи с этим напомним, что алгебраическая группа G cz GLn(Q) называется ^-определенной (или, короче, К-группой), если рассмотренный выше идеал a cz Л кольца Л регулярных функций на GL^Q), состоящий из функций, обращающихся в нуль на G, порождается пересечением «к = «ПДк, где Д=/([.гп, ..., Хпп, det(xi/)-*]. (Символы Ак>. ак и аналогичные им будут систематически использоваться для обозначения «/(-элементов» и в дальнейшем, причем в самых разнообразных ситуациях. Так для алгебраической /(-группы G cz GL„(Q) через G^ всюду будет обозначаться группа /(-точек, т. е. пересечение G П GLn(K).) Морфизм f- G = H двух /(-групп Gc=GLfi(Q), Яс=С£т(П) определен над К (другими словами, является К-морфизмом), если задающие его полиномы (2) можно выбрать из Ar.

В этой книге мы будем иметь дело исключительно с группами над совершенными полями. Поэтому ниже, если не оговорено противное, ^ будет обозначать некоторое совершенное поле (более того, в контексте излагаемой теории можно считать, что /( либо конечно, либо является полем характеристики нуль). В этом случае критерий Галуа /(-определенности, который мы рассмотрим в § 2.4 применительно к произвольным многообразиям, приобретает наиболее простой вид. Отметим также, что имеется и абстрактное определение /(-группы как алгебраического /(-многообразия с двумя /(-морфизмами (1), которые удовлетворяют аксиомам группы. Можно, однако, показать (см. Борель [8]), что аффинная /(-группа в смысле этого определения /(-изоморфна /(-определенной линейной алгебраической группе.

Конструкция ограничения основного поля. Пусть G cz <= GLn(Q)—алгебраическая группа, определенная над конечным (сепарабельным) расширением L поля К степени d. Мы хотим построить такую алгебраическую /(-группу G', группа /(-точек Gk которой была бы некоторым естественным образом

изоморфна группе L-точек GL. Эту задачу решает группа, получаемая из G конструкцией ограничения основного поля с £ до К, которая обозначается через RL/x(G). Для построения G' = = Rl/k(G) следует выбрать некоторый базис wi, ..., ы^ поля L над К и рассмотреть соответствующее регулярное представление р; L = Md(K(, которое есть не что иное, как сопоставление элементу xeL матрицы правого сдвига у'—>ху в данном базисе. Пусть

^(^ = 0, а, ₽ = 1,к = \,

— система линейных уравнений относительно коэффициентов матрицы у = (z/up) е Мд (/С), определяющая образ р (L) cz Мд (К). Пусть, далее, Pi(xi(), /=1, . .., т,— конечная система образующих идеала а£, состоящая из полиномов от лу/, где a cz cz Q [.vH, . .., xnn, det (xz/)-1] — идеал функций, обращающихся в нуль на G. Используя стандартное отождествление Мп (Мд (К)) = Mnd (К), поставим в соответствие полиному Pt (хц( = = X атп •■• т^п1 • • • х™п «матричный» полином Р1(У^) = = X Р(°ун ... Vn J (Уи )v" • • • (,У^УПП - Мд (К [z/?f]) относительно пМ2 переменных у^ где a, Р = 1, . .., d; i, j = 1, ..., п. Тогда образ G'l в Mnd (/() при отображении, индуцируемом р, определяется уравнениями

= 0 ^Е 1 = 1, ■ - n\ k=l,...,r,2(3)

Р^у^=01=1, ...,т'

(в последнем уравнении 0 обозначает матричный нуль в Мд(К^. Обозначим через G' множество решений системы (3) в СЕпд^У Тогда G' и будет искомой алгебраической /(-группой. Отметим, что при другом выборе базиса L/К группа G' = Kl/k(G( изменится на ^-изоморфную.

Система уравнений (3), определяющая группу G', показывает, что группу G' можно интерпретировать как группу точек G в ^-алгебре Е^кК- Так как L^KK^Kd, причем вложение L в Kd осуществляется по формуле х ।—^(сгДа:), . .., ^(х)), где <Т1, ..., Од — различные вложения L в R над К, то отсюда вытекает существование ^-изоморфизма

G' ~ G^ X • • • X Gad,(4)

где О^'-подгруппа в GL„(Q), определяемая уравнениями из идеала a£z", получаемого из aL путем применения ко всем многочленам вложения Оь

Любому /.-определенному морфизму /: G -*■ Н алгебраических L-групп G, Н соответствует /(-определенный морфизм / = Ка/к(Ь: Rl/k(G)~* Rl/k(^) (он строится аналогично тому, как по полиномам Р строились полиномы Р). Тем самым Rl/k является функтором из категории /.-групп и /.-гомоморфизмов в категорию /(-групп и /(-гомоморфизмов. Отметим, что не всякий /(-морфизм f; Rl/k(G)-* Rl/k(H) имеет вид / = Rl/k(/) Для некоторого /.-определенного морфизма f; G -*■ Н (например, если L/K — расширение Галуа, то у группы Rl/k^G) имеются /(-определенные автоморфизмы, индуцируемые автоморфизмами L/K, которые не представляются в виде Rl/k (/)), однако, используя разложение (4), несложно показать (см. Борель [1], предложение 1.6), что имеет место совпадение групп рациональных характеров: X(RL/x(G))x = X^G^l (определение характеров см. в п. 7).

Отметим два арифметических свойства конструкции ограничения основного поля. Пусть L]K— расширение полей алгебраических чисел и и е VK. Тогда, проводя отождествления L ®цК„ = 6^ Lw (см. § 1.1), для любой /.-группы G будем иметь

Rl,k^k^ П gl .

Пусть теперь K = Q и ст, ..., tod — некоторый базис 0/33 где O = Ol— кольцо целых поля L. Тогда, рассматривая регулярное представление р в этом базисе, мы придем к изоморфизмам Ruk (G)z ~ Geр и Rlik^x ~ Ц Gov для любого простого р.

Алгебра Ли алгебраической группы. Многообразие алгебраической группы G является однородным, а именно, для любых двух точек ^i, g2 = G сдвиг ли—>hx на элемент h = g2g"x является морфизмом алгебраического многообразия G, переводящим gi в g2. Так как на многообразии всегда существует простая точка, то в действительности все точки G являются простыми, т. е. многообразие G гладко (относительно понятий, связанных с простыми точками и касательными пространствами, см. § 2.4 и 3.1). Алгеброй Ли /.(G) алгебраической группы G называется касательное пространство Те(О) к многообразию G в единице; ясно, что dim L(G) = dim G. Если GcGL(O), то L(G)cz M„(Q) = L(GLn(Q)), причем скобка Ли задается стандартной формулой

[А, Г] = АГ - YX.

Если подгруппа G cz GLn(Q) определена над К, то /.(G) является алгеброй с /(-структурой, а именно, для L^G)K = L(G)n ЛА1п(/() выполняется L(G)k ®кй = L(G). При практическом

отыскании алгебры Ли следует пользоваться методом двойных чисел (см. Борель [8], Хамфри [1]).

Если G cz GL„(Q), то для любого geG имеем gL(G)g~1 = =L(G), так что возникает морфизм алгебраических групп G —>- -► GL(L(G)), g'-><р?, где <pg(X) = gXg-1 для XeL(G), который называется присоединенным представлением группы G и обозначается Ad. Далее, рассмотрим отображение ad: L(G)->- End (L (G)); ad А(У) = [X, У], называемое присоединенным представлением алгебры Ли L^GY Используя двойные числа (см. Борель [8]), легко показать,что ad является дифференциалом в единице представления Ad. Введем симметричную билинейную форму / на L^GY определяемую формулой

f (X, У) = Tr (ad X ad У), X, У ее L (GY

где Тг обозначает след в матричной алгебре End(L(G)), и называемую формой Хиллинга-, тогда f инвариантна относительно присоединенного действия группы G.

Связная компонента. Поскольку многообразие G является гладким, его неприводимые компоненты совпадают со связными. Связная компонента единицы G0 является открыто-замкнутым нормальным делителем в G конечного индекса. При этом dim G = dim G° и L(G)= E(G°). Если группа G определена над К, то группа G° также определена над К- Отметим, что большинство групп, рассматриваемых в книге, являются связными. В частности, все редуктивные или полупростые группы предполагаются связными.

Разложение Жордана. Пусть gEGU.ffg. тогда g можно единственным образом представить в виде g = gsgu, где gs— полупростая матрица (т. е. gs можно сопряжением привести к диагональному виду), a gu— унипотентная (т. е. все собственные значения gu равны 1) и gsgu = gugs. Разложение g = gsgu называется разложением Жордана. Если g е G, где G cz cz GLn(Q)—некоторая алгебраическая группа, то gs, ga^G. При этом если /; G -*- Н—морфизм алгебраических групп, то Kg) 3 = Kgs) И KgK = f(gK- В этом смысле разложение Жордана не зависит от матричной реализации G. Кроме того, если g е Gr, то gs, gu ее GK (напоминаем, что поле К предполагается совершенным). Аналогично, любую матрицу XeAln(Q) можно представить в виде X = Xs-YXn, где Xs, Х„ — соответственно полупростая и нильпотентная матрицы такие, что Х5Хп = ХпХ5, причем это разложение, называемое аддитивным разложением Жордана, определено однозначно. Если XeL(G), то Xs, Хпе ее E(G), причем компоненты Xs, Хп ведут себя функториально при дифференциалах морфизмов алгебраических групп. При этом для X ее L^G^k имеем Xs, Хп е L^G)K.

Фактормногообразия. Если G — /(-определенная группа, H^G— ее /(-определенная подгруппа, то множество G[H

смежных классов наделяется структурой алгебраического ^многообразия (в общем случае квазипроективного) такой, что фак- торотображение G ->- G/Н является /(-определенным морфизмом алгебраических многообразий (см. подробнее § 2.4). В случае когда Н является нормальным делителем в G, многообразие G/Н оказывается аффинным, причем структура многообразия на G/H согласована с естественной групповой операцией, так что G/Н становится алгебраической /(-группой, а отображение G-*-G/H— /(-определенным морфизмом алгебраических групп.

Диагонализируемые группы и алгебраические торы. Алгебраическая группа G называется диагонализируемой, если для некоторого точного представления /: G ->• GLm(^) группа /(G) диагонализируема, т. е. сопряжена подгруппе группы Dn диагональных матриц. В этом случае образ любого представления A: G-*-GLm(Q) также диагонализируем. Можно показать, что класс диагонализируемых групп совпадает с классом коммутативных алгебраических групп, состоящих из полупростых элементов. Среди диагонализируемых групп особую роль занимают связные диагонализируемые группы, которые обычно называются алгебраическими торами. Алгебраические торы можно также определить как такие алгебраические группы G, для которых существует изоморфизм G ~ (Gm)d, где Gm = GLi(Q) —мультипликативная группа поля fi, A = dimG. Характером алгебраической группы G называется морфизм алгебраических групп X' G-*G„г. Все характеры группы G образуют коммутативную группу относительно операции (xi + 72) (&) = Xi (£)Х2(£); эту группу мы будем обозначать через X(G). Легко видеть, что для d-мерного тора G группа X(G) изоморфна Zd, т. е. является конечнопорожденным Z-модулем без кручения.

Для /(-определенного тора G изоморфизм G~ (Gm)d, вообще говоря, нельзя выбрать /(-определенным; в случае, когда это возможно, тор G называют К-разложимым. Оказывается, что следующие условия равносильны: 1) тор G является /(-разложимым; 2) все его характеры определены над К; 3) для любого (эквивалентно, некоторого точного) /(-определенного представления f: G -vGLn^ группа /(G) диагонализируема над К, т. е. сопряжена подгруппе группы D„ при помощи матрицы из GL„(/(). Отметим' что последние два условия имеют смысл и эквивалентны также для произвольной диагонализируемой /(-группы и тем самым позволяют определить понятие /(-диагонализируемой группы. В общем случае диагонализируемая /(-группа G становится диагонализируемой над некоторым конечным расширением L поля К, называемым полем разложения G. Из условия 2) вытекает, что расширение L поля К будет полем разложения для G в том и только том случае, если X(G) = X(G)L. На языке теории Галуа это означает, что если

рассмотреть естественное действие на X(G) группы Галуа S’ = = Gal(K//() (напомним, что поле К предполагается совершенным), что равносильно заданию на дискретной группе X(G) структуры непрерывного модуля над проконечной группой 8, то открытая подгруппа 36 cz 8, отвечающая L, действует на X (G) тривиально, т. е. X(G) = X(G)X Отсюда, в частности, вытекает существование минимального поля разложения данной диагонализируемой /(-группы G, которое автоматически является расширением Галуа поля К и содержится в любом другом поле разложения.

Итак, для /(-разложимого тора G имеем X(G) = X(G)K. Антиподами /(-разложимых торов являются так называемые К-анизотропные торы, для которых X(G)x = 0. Известно, что в любом /(-торе G существуют /(-определенные подторы Ga и Gd, являющиеся соответственно /(-разложимым и /(-анизотропным торами, такие, что G = GaGd и пересечение Ga П Gd конечно (т. е. G является почти прямым произведением Ga и G^).

ф

Соответствие G—>X(G) является контравариантным функтором из категории .^ /(-определенных диагонализируемых групп, разложимых над конечным расширением Галуа L/K с группой Галуа 5", и /(-определенных морфизмов, в категорию ^ конечнопорожденных модулей над групповым кольцом Г = = Z [3"] и Г-гомоморфизмов таких модулей.

Теорема 1. Соответствие Ф является контравариантной эквивалентностью категорий, при которой подкатегории s£0 cz s^y состоящей из К-определенных алгебраических торов, отвечает подкатегория ^0 cz %, образованная Г-людулями без Z-кручения.

Теорема 1 играет фундаментальную роль при исследовании алгебраических торов, которому посвящена книга Воскресенского [3]. Благодаря ей алгебраический тор можно задавать, указывая соответствующий модуль характеров. При этом, как показал Воскресенский, на этом языке могут быть описаны многие геометрические и арифметические свойства торов. В настоящей книге мы не будем касаться теории торов, отсылая читателя к книге Воскресенского, а ограничимся указанием на характерные примеры и нужные для дальнейшего конструкции.

Прежде всего отметим, что имеется также ковариантная эквивалентность между категориями ^0 и ^0, которая задается соответствием G--XJG), где X* (G) = Hom (Gm, G)—группа кохарактеров, или однопараметрических подгрупп в G, естественным образом наделяемая структурой Г-модуля. Имеется естественное спаривание X*(G)X X(G)->-Z, определяемое следующим образом: если феХ*(С), %e X(G), то композиция % «ср является морфизмом Gm в Gm; поэтому (хеф)(0 =tm для некоторого tm Z (/eQ*), и тогда полагаем <х, Ф> = т. Это

спаривание позволяет отождествить X,(G) с Г-модулем Homz (X(G), Z), двойственным к X(G). Отсюда, в частности, вытекает что если тор G /(-разложим, т. е. X(G) = X(G)к, то и X. (G) =X*(G)/(. С другой стороны, если тор G /(-анизотропен, то Х*(С) =0. Обратно, если X*(G) = X*(G)k (соответственно X*(G) = 0), то тор G /(-разложим (соответственно /(-анизотропен).

Пример. Пусть L/K—конечное расширение степени d. Положим С = Кцк^Оту Тогда из результатов пункта 2 вытекает существование /(-определенного изоморфизма G ~(Gm')d, т. е. G является d-мерным тором. Из явного описания конструкции ограничения основного поля вытекает, что G реализуется в качестве /(-определенной подгруппы группы GLd(Q). Обозначим через ф ограничение на G обычного определителя. Тогда ф является /(-определенным морфизмом G в Gm, т. е. элементом из X(G)к. С точки зрения теории полей ограничение ф на Gk =L* совпадает с определителем регулярного представления L над К, т. е. с обычной нормой NL/K: L* К*. Поэтому ядро ф, обычно обозначаемое R'/^GJ, называется норменным тором, отвечающим расширению L/К- Минимальным полем разложения L является нормальное замыкание Р поля L над К. Положим ^ = Gal(P//(), ^ = Gal(P/L). Тогда X(G), как модуль над Г = Z 1^], изоморфен Z \д"]3б\—свободному Z-модулю, базис которого составляют смежные классы §36, §еЗ, на которых Z" действует левыми сдвигами. Норменному отображению ф: G-+Gm соответствует гомоморфизм Г-модулей Z-*-Z \9" ]36\, где г н-> го, <T=^g36, и сумма берется по всем смежным классам. Тогда модуль характеров Х(Я) норменного тора Н = ^цк.^,^ совпадает с фактормодулем Z \9" р36\ pLo. Поскольку модуль неподвижных точек Z \5Г)Э6\т совпадает с Zo, то отсюда вытекает, что Х(Я)к = 0, т. е. тор Н является /(-анизотропным. Тот же результат можно получить, рассматривая вместо модулей характеров модули кохарактеров. Здесь также модуль X*(G) изоморфен Z \5Г [36\, а модуль Х^(Я) есть ядро пополняющего гомоморфизма Z [Z"/Z(] Z, У. aag36 У ag. Ясно, что X (Н)^ = Х. (Я) П Zo = (0), ненова получаем, что тор Я /(-анизотропен.

Предыдущий пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим г конечных расширений Lx, ..., Lr поля К, и для каждого i = lг построим соответствующее норменное отобра- жениеф(.: Кт,/к(Ст)-> Gm. Тогда 7 = {(*!, . . ., x^Rljk^G^ X... . . . X Rbr/K(Gm)k1U1) • • • фг(хг)= 1} является тором, который естественно называть мультинорменным.

Торы вида Цт/кУСт) и их конечные прямые произведения называются кеазиразложимыми. (над Я). Им отвечают так на-

зываемые пермутаиионные модули характеров, т. е. Z-свободные конечнопорожденные модули, обладающие базисом, элементы которого переставляются под действием абсолютной группы Галуа ^ = Gal(K/7<). Квазиразложимые торы наиболее легко поддаются изучению, поэтому при изучении произвольных торов зачастую с успехом применяется прием, суть которого состоит в том, что рассматриваемый тор накрывается подходящим квазиразложимым тором. Приведем несколько примеров такого рода конструкций, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Предложение 1. Пусть F—диагонализируемая К-группа, разложимая над расширением Р/К. Тогда F может быть вложена в точную последовательность

\ , 1>Т > S > \,

где Т и S — К-торы, разложимые над Р, причем тор Т квази- разложим над К.

Доказательство. Обозначим через 5^ ядро естественного действия группы Галуа ^ = Gal(K/^) на группе характеров X(F), и пусть L = KK— соответствующее неподвижное поле. Тогда LIK является конечным расширением Галуа поля К с группой Галуа 3" = 5)36, причем, очевидно, L^p. Рассмотрим теперь Х(Г) как модуль над групповым кольцом Г = Z [^“] и представим его как фактормодуль некоторого свободного модуля Г'. Тогда имеет место точная последовательность вида

Tz -^Х(Г)^0.

Переходя от модулей А и Г1 к соответствующим торам, мы по- .лучим точную последовательность

1 ^F >Т ^ S^ 1,

где Т и S — 7<-торы, причем Г = R£/x(Gm)z. Предложение доказано.

Если провести аналогичное рассуждение, предполагая F тором и используя вместо модуля характеров модуль кохаракте- ров, мы получим

Предложение 2. Любой К-тор F может быть вложен в точную последовательность l-^S-^T-^F-^-l, где S и Т—К-торы и тор Т квазиразложим.

Нам понадобится также следующее

Предложение 3 (Оно [5]). Для любого Д-тора F существует такое целое число m > 0 и такой квазиразложимый тор Т', что произведение Fm X Т' изогенно некоторому квазиразложимому К-тору Т.

(Напомним, что изогенией алгебраических групп называется сюръективный гомоморфизм с конечным ядром; две группы называются изогенными, если между ними существует изогения.

Применительно к полупростым группам мы рассмотрим это понятие в п. 13. В случае торов свойства изогенности не такие как в полупростом случае; в частности, отношение изогенности является отношением эквивалентности. В терминах групп характеров это отношение выражается следующим образом: два тора 7Ь 72 из категории ^0, описанной в теореме 1, изогенны в том и только том случае, если Q [^-модули X(7jи X(72)&Q изоморфны).

Доказательство предложения 3, которое мы опускаем (см. цитированную работу Оно, а также его статью в сборнике «Арифметические группы и автоморфные функции»), в действительности является переводом на язык торов теоремы Артина об индуцированных характерах.

Разрешимые и унипотентные группы. В этом пункте предполагается, что характеристика основного поля равна 0. Алгебраическая группа G называется унипотентной, если ее элементы унипотентны. Примером унипотентной группы может служить аддитивная группа поля

Ga = {^G7(Q)|s = [; *)}.

Если G cz GLn(Q)— унипотентная группа, то (_g—Еп)п = 0> где Еп— единичная п X «-матрица; тогда «усеченное» логарифмическое отображение

kG^MM l^ = <g-En)- ^"^^ + ...

устанавливает полиномиальный изоморфизм многообразий группы G и ее алгебры Ли 7(G); обратное отображение доставляет «усеченное» экспоненциальное отображением: 7(G)—<-G, г№ = £„ + ^+^-+ . .. + J_ 1); • В частности, группа G всегда связна. Пусть теперь G cz. GLn^^—/(-определенная унипотентная подгруппа. Тогда G триангулируема над К, т. е. существует такая матрица g е GLn (К), что группа gGg~x содержится в группе Un верхних унитреугольных матриц. Отсюда, в частности, следует, что группа G нильпотентна. Более того, можно показать, что в G существует центральный ряд

G = Go zd G[ zd . . . ZD Gn = {m}

такой, что Gi/Gt+\ ~ Ga, 1 = 0n—1. Отметим, что часть из приведенных выше фактов не переносится в положительную характеристику.

Нам понадобится одно техническое утверждение об унипотентных группах.

Лемма 1. Пусть К-разложимый тор Т действует автоморфизмами на унипотентной К-группе U. Тогда для любой Т-инва- риантной К-подгруппы V cz U найдется такое Т-инвариантное К-определенное замкнутое по Зарисскому подмножество Р cz U, что морфизм-произведение индуцирует К-изоморфизмы многообразий РХ V31U и V X Р ^ U. При этом если группа U абелева, то в качестве Р можно выбрать подходящую К-под- группу в U.

Действительно, если U абелева, то введенное выше отображение I: U-> L(U) является изоморфизмом групп, так что достаточно выбрать 7-инвариантное /(-определенное подпространство IE cz L(U), дополнительное к А (У), и положить Р = е^Х Общий случай разбирается при помощи индукции по dim U/V, причем с помощью центрального ряда (1) все дело сводится к случаю dim{7/E = 1. Тогда опять можно положить P = e(IE), где IE— одномерное 7-инвариантное /(-определенное дополнение в 7(17) к L(V).

Пусть теперь GcGL„(Q)—связная разрешимая группа. Тогда G триангулируема (теорема Ли — Колчина). Отсюда получается структурная теорема для разрешимых групп: множество Gu унипотентных элементов связной разрешимой группы G образует нормальный делитель в G, a G является полупрямым произведением Gu и (произвольного) максимального тора Т cz G. Если G определена над К, то группа Gu также определена над К и существует максимальный /(-определенный тор Т cz G, причем в этом случае разложение G = TGU в полупря- мое произведение также определено над К. Над полем Q существует композиционный ряд

G = G^G^ ... ^Gri = \e^ (5)

такой, что последовательные факторы Gi/Gl+\ изоморфны Gm или Ga. Если существует ряд (5), состоящий из /(-определенных подгрупп, причем факторы Gt/Gi+X /(-изоморфны Gm или Ga, то группа G называется К-разложимой. В действительности это эквивалентно существованию максимального /(-разложимого тора 7 с G, и тогда любой /(-определенный тор в G разложим над К. В частности, любая унипотентная /(-группа является ./(-разложимой, причем в этом случае все факторы соответствующего ряда (5) /(-изоморфны Ga.

Связные группы. При изучении связных групп G выделяют два класса подгрупп: максимальные торы 7с6 и подгруппы Бореля В cz. G (т. е. максимальные связные разрешимые подгруппы). Из соображений размерности вытекает, что максимальные торы и подгруппы Бореля всегда существуют. Далее, оказывается, что все максимальные торы в G (соответственно

подгруппы Бореля) сопряжены в G. (В частности, размерность г = dimТ не зависит от выбора тора Т, называется (абсолютным) рангом группы G и обозначается rang G.) Известно также, что подгруппа Бореля совпадает со своим нормализатором в G. Отсюда следует, что если зафиксировать некоторый максимальный тор Т cz G (соответственно подгруппу Бореля SczG), то множество всех максимальных торов в G (соответственно борелевских подгрупп) можно отождествить с множеством смежных классов G/N, где N = Ng(T)— нормализатор Т в G (соответственно G/В)). (См. также теорему 19 в § 2.4.) Содержащие В подгруппы Р cz G называются параболическими. Они связны и характеризуются тем свойством, что- фактормногообразие G/P(cm. Борель [8]) является проективным.

Если группа G определена над К, то существует максимальный тор Т cz G, определенный над К. Напротив, определенной над К борелевской подгруппой группа G, как правило, не обладает; те же группы, для которых такая подгруппа существует, называются квазиразложимыми над К. Группа G называется /(-разложимой, если существует максимальный /(-тор Т cz G, разложимый над К (для связных разрешимых групп это понятие совпадает с определением предыдущего пункта).

Теорема 2. Пусть G — связная алгебраическая группа над бесконечным совершенным полем К. Тогда Gk плотно в G в топологии Зарисского.

Радикалом R(G) группы G называется максимальный связный разрешимый нормальный делитель в G, а унипотентным, радикалом RU(G)—максимальный связный унипотентный нормальный делитель (очевидно, что Rtl(G) совпадает с унипотентной частью R(G) и радикала R(G)). Связная группа G называется редуктивной (соответственно полупростой), если RU(G) = = {е) (соответственно /?(G) = {e}). Легко видеть, что для любой связной группы G факторгруппа G/R(G) полупроста, а факторгруппа G/RU(G) редуктивна.

Если группа G определена над К, то оба радикала R(G) и Ru(G) также определены над К. Имеет место

Теорема 3 (Мостов [1]). Пусть G — связная группа над полем К характеристики 0. Тогда существует такая редуктивная К-определенная подгруппа Hcz.G, что G=HRu(G)—полупря- мое произведение. При этом любая редуктивная К-определенная подгруппа Н' cz G сопряжена при помощи элемента из Ru(G) к подгруппе группы Н.

Разложение G = HRU(G), существование которого утверждается теоремой, называется разложением Леви. С его помощью многие вопросы сводятся к редуктивным группам. Теорема 3 является аналогом теоремы для групп Ли, полученной Леви и Мальцевым (см. Мальцев [1, 2]).

Редуктивные группы. Используемые в дальнейшем свойства редуктивных групп заключены в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть G— редуктивная К-группа. Тогда; 1) радикал R(G) совпадает со связной компонентой S центра Z(G) и является тором-, 2) коммутант Н= [G, G] является полупростой К-группой; 3) G=HS— почти прямое произведение (т. е. пересечение HV\S конечно)-, 4) если char К = 0, то любое алгебраическое представление f; G->-GLn(Q) является вполне приводимым.

Более точный анализ структуры редуктивных и,в особенности, полупростых групп основан на понятии системы корней. Для ее определения рассмотрим редуктивную группу G и зафиксируем некоторый максимальный тор T^G. Пусть д = = L{G)—алгебра Ли группы G и Ad; G-^GL^)—присоединенное представление. Тогда из п. 7 вытекает, что группа Ad Т является диагонализируемой в GZ.(g). Этот факт нам удобно выразить в следующей форме. Для иеХ(Т) обозначим через да весовое пространство, отвечающее весу а, т. е. да = {А е е д| Ad(QA = a{t)X,VteT), и положим R)T, G) =

= {ае Х(7) |а=^0 и да=А0). Тогда <X = L(J)M Ф дА G) / где L(T)— алгебра Ли тора Т, совпадающая с весовым пространством веса 0. Замечательный факт состоит в том, что множество R = R(T, G) образует абстрактную систему корней в пространстве V = X(7/S)c3R (определение см.

z

в книге Бурбаки [4], гл. VI), поэтому его естественно называть системой корней группы G относительно тора Т. Отметим, что если группа G полупроста, то S={e), и мы получаем систему корней в пространстве X(7)(^R. Каждое про- z

странство ga одномерно, и ему соответствует одномерная унипотентная подгруппа U a cz G {корневая подгруппа такая, что ga = L (Uа)). Подгруппа G4czG, порожденная Ua и U_a (отметим, что если a е R, то и —чеТ), является полупростой группой ранга 1, откуда следует, что в действительности Ga ~ ~ SLGQ) либо PSL2{ti). Укажем также на следующее эквивалентное описание группы Ga; Ga является коммутантом централизатора Za связной компоненты (Ker а)0 ядра характера а.

Пусть II cz R— некоторая система простых корней, /?+— ■соответствующая система положительных корней (см. Бурбаки [4], гл. VI). Тогда группа П(П), порожденная всеми группами Ua для а е /?+, нормализуется тором Т, и полупрямое произведение Б(П)=7П(П) является подгруппой Бореля в G. При этом соответствие П->Б(П) задает биекцию между множеством систем простых корней в R и множеством подгрупп Бореля в G, содержащих Т. Таким образом, по заданной подгруппе

Бореля В cz G, содержащей Т, однозначно определяется некоторая система простых корней П, и можно выбрать упорядочение V+ на пространстве V такое, что /?+ = /?П^+-

С системой корней R связывается так называемая группа Вейля W=W(R) (Бурбаки [4]). Системой её образующих является множество S, состоящее из отражений к>а относительно простых корней а е П. При этом пара (№,5) является группой Кокстера (см. Бурбаки [4], гл. IV, VI). В IV существует единственный элемент w максимальной длины (относительно системы образующих S). Он характеризуется тем свойством, что w ^К+) = — л + , и его длина в действительности совпадает с числом положительных корней. Замечательно, что группа Вейля IV(R) может быть отождествлена с группой Вейля IV(7, G) группы G относительно тора Т, которая определяется как факторгруппа Vo (7)/7, где Vo(7)—нормализатор тора Т. Напомним вкратце, как это делается. Действие Na(T) на Т посредством сопряжений определяет гомоморфизм IV(7, G) в группу автоморфизмов Aut(/?) системы корней R. Для любого a g R группа Вейля IV(7a, Ga), где TrC = Tf\G0., имеет порядок 2, причем элемент naGNGa \ Та индуцирует на R отражение гуа. Отсюда следует, что образ IV(7, G) в Aut(/?) содержит группу IV(/?). Остается заметить, что группы IV(7, G) и IV(R) имеют одинаковые порядки, ибо первая однотранзитивно действует на множестве подгрупп Бореля, содержащих тор 7, а вторая — на системах простых корней в R.

Группа Вейля IV=IV(7, G) имеет еще одну содержательную интерпретацию, связанную с так называемым разложением Брюа. А именно, для каждого элемента юе!Г(7, G) выберем некоторый представитель пжеА0(7) и рассмотрим двойной смежный класс BnwB, где В — некоторая подгруппа Бореля в G, содержащая 7.

Теорема 5 (разложение Брюа), Для редуктивной группы G имеет место представление

G= (J BnwB, (6) weW

где справа стоит объединение непересекающихся двойных смежных классов.

Следствие. Пересечение двух любых подгрупп Бореля группы G содержит максимальный тор.

Действительно, рассмотрим произвольную подгруппу Бореля В cz G, и пусть (6)—соответствующее разложение Брюа. По' теореме сопряженности любая другая подгруппа Бореля имеет вид gBg~l, gEG. Пользуясь разложением Брюа, представим" элемент g в виде g = b\nbi, где bi е ВЦ = 1, 2); п лежит в нормализаторе фиксированного максимального тора Тел В. Тогда

В П gBg 1 = Ь\(В f) пВп ’) bi 1 zd b[Tbi ', так что тор 1\ = biTbi 1 искомый.

Поскольку класс BnwB не зависит от выбора представителя nw, то зачастую вместо BnwB пишут просто BwB, и тем самым группа Вейля W «параметризует» двойные смежные классы в разложении G по подгруппе Бореля В. Особо важную роль играет двойной смежный класс Вп^В, отвечающий элементу максимальной длины кс Ц" и называемый «большой клеткой-». А именно, пусть В = В(П), где Пег/? — система простых корней, и сУ0 е W— элемент максимальной длины относительно систем образующих S = {wa | а е П). Тогда т0 (???) = - ??? есть множество отрицательных корней в R и woBwo1 = B"', где В- = ТЩ—П) и 1Д—П) есть подгруппа, порожденная Ua для всех отрицательных корней а. Положив для краткости U = = П(П), U~ = U(—П), будем иметь BwaB = UTU~w0. Рассмотрим, далее, морфизм-произведение U X Т X-—>- G. Вы

числяя его дифференциал в единице и учитывая разложение •д=Г(7)ф Г^р ga Y получим, что ср является доминантным, ха е« /

откуда следует, что «большая клетка» является открытым подмножеством в G. Более того, легко проверить, что морфизм ср инъективен, т. е. является бирациональным изоморфизмом, так что многообразие G рационально. Наконец, получаем, что dim G = = dim 7+ [/?] = dim 7 + 2/(m0), где Z(w0)— длина элемента Wq.

Пример. Пусть G = ОГДЙ). Тогда g = Al„(Q). В качестве максимального тора 7 cz G возьмем группу всех диагональных матриц. Обозначим через е; характер тора 7, определяемый -формулой е,: t = diag(?i, ..., tnY—> h. Для любой матрицы X = (хц) е М„(Й) и любого ? = diag(/i, ..., tn)eT, очевидно, имеем Ad (г1) (X) = (WfP;/), откуда следует, что R(T,G) = = {е,— е/|г=^Д. В качестве системы простых корней можно взять П = {е, — el+i 11 = 1, ..., п — 1}, и тогда ??? = {ez — е/11 < < /"}. Легко проверить, что в этом случае борелевская подгруппа В = В(П) совпадает с группой всех верхних треугольных матриц. Нормализатор тора Ао(7) есть группа мономиальных матриц, откуда следует, что группа Вейля ]t^(7, G) изоморфна симметрической группе Sn. В свою очередь, группа Вейля W(/?) также изоморфна Sn и действует на корни посредством перестановки индексов. Каноническая система образующих ИД??) = Sn, отвечающая П, состоит из транспозиций (/,/+!), t = l, ...,п—1. Элемент ®ое№(??) максимальной .длины преобразует / в п — 1"+1. Группа B~ = wQBwo1 есть группа всех нижних треугольных матриц, и произведение UTU~ состоит из матриц, у которых все главные миноры отличны от нуля.

Регулярные полупростые элементы. Пусть G— редук- тивная алгебраическая группа, Т cz G— ее максимальный тор и R = R(T, G) — соответствующая система корней. Полупростой элемент g е G называется регулярным., если размерность dim ZG(g) его централизатора совпадает с рангом группы G. В этом случае связная компонента ZG(g")° является тором. Регулярные элементы существуют. Более того, элемент tel регулярен в том и только том случае, если а(0#= 1 для всех а е R, откуда следует, что регулярные элементы в Т образуют открытое плотное подмножество <3 cz Т. Рассматривая тогда

ф ф _

морфизм G X 6 —G, (g, 0) ।—> g0g ’, и проводя подсчет размерностей, получаем, что множество полупростых регулярных элементов является открытым в G. Кроме того, прямое вычисление показывает, что дифференциал ф в любой точке сюръективен. Полупростой элемент XeL(G') называется регулярным, если его централизатор является алгеброй Ли некоторого тора. Свойства полупростых регулярных элементов в алгебре Ли аналогичны соответствующим свойствам для элементов в группе. В частности, они образуют непустое открытое подмножество в L<GY

Параболические подгруппы. Пусть в дополнение к обозначениям и соглашениям предыдущего пункта П с R— система простых корней и В = В(П)—соответствующая борелев- ская подгруппа. Тогда из разложения Брюа и свойств группы Вейля 1К вытекает, что любая подгруппа Pcz G, содержащая В, имеет вид Р& = BW&B, где 1Бд— подгруппа W, порожденная отражениями цуа, а е А, для некоторого подмножества A cz П. При этом L ^Р^ = L (Т) ф ( ф gaY где 0 есть объединение

VasO /

множества положительных корней /?? и тех отрицательных, которые являются линейными комбинациями корней из А. Подгруппы вида Р& называются стандартными параболическими подгруппами. Из сопряженности подгрупп Бореля вытекает, что любая параболическая подгруппа в G сопряжена некоторой стандартной параболической подгруппе.

Полупростые группы. При описании структуры полупростых групп удобно использовать понятие изогении. Так мы называем сюръективный морфизм f: G->-Н алгебраических групп с конечным ядром. (Отметим, что в случае характеристики р > 0 класс допустимых с точки зрения классификации полупростых групп изогений приходится несколько ограничивать, вводя так называемые центральные изогении, которые характеризуются тем свойством, что для любой й-алгебры А ядроиндуцированного морфизма fA: GA-^HA групп Л-точек лежит в центре GA. Так как в основном для нас случае характеристики нуль любая изогения центральна, то мы в дальнейшем не будем

вдаваться в тонкости, возникающие в положительной характеристике.) Говорят, что группа G является почти прямым произведением своих подгрупп G\, ..., Gr, если морфизм-произведение G\X-XGr^-G является изогенией. Связную некоммутативную алгебраическую группу G будем называть (абсолютно) простой, если она не имеет связных нормальных делителей (здесь мы отходим от традиционного термина «почти простая группа»).

Предложение 4. Пусть G — полупростая группа, Gt(iel)— минимальные связные нормальные делители группы G. Тогда множество 1 конечно (скажем, 7={1, .,,, г}) и G является почти прямым произведением групп G\, ..., Gr. В частности, группа G является почти прямым произведением простых групп.

В действительности группы Gi(i = 1, ..., г) непосредственно

связаны с разложением R = (J R, системы корней R группы G 1 = 1

на неприводимые компоненты (см. Бурбаки [4], гл. VI), а именно, группа G, порождается U^ для а е Ri. В общем случае почти прямое произведение заменить на прямое нельзя, однако мы сейчас опишем два случая, когда это возможно. Группа G называется односвязной, если любая (центральная) изогения f; H-^G, где группа Н связна, является изоморфизмом. Группа G называется присоединенной, если любая (центральная) изогения ); GН является изоморфизмом.

Теорема 6. Пусть G — полупростая группа.

Существуют односвязная группа G, присоединенная группа G и (центральные) изогении л: G-^-G, ф: G-^G.

Односвязная либо присоединенная группа G является прямым произведением своих минимальных связных нормальных делителей, которые при этом также соответственно односвязны или присоединенны.

Если R = R(T,G)— система корней группы G, П ст R— некоторая система простых корней, то группа G односвязна (соответственно присоединений), если в Х(Т) существует такой базис {Хсс|ос е П), что Юа.Х^ = Лр — 6ара, где дар — символ Кронекера (соответственно П порождает Х(Т)).

Пример. Пусть G = SLn(Q). Как и в предыдущем примере, устанавливается, что для диагонального подтора Т ст G система корней R=R(T,G) состоит из е, — е,, где е;: 7 = diag(G, ... ..., t„)^> ti, П={е; — e1+]h'=l, ..., п—1). Положим X,(t) = = ti ... tj(j = l, ..., п—1). Тогда w^^Xj) = X; — Sijat, и следовательно, группа G односвязна.

Изогения л: G-^G в и. 1 теоремы 6 называется универсальным накрытием, а Г = Кегл—фундаментальной группой группы G. Итак, любая полупростая группа обладает универсальной накрывающей, которая является произведением простых

односвязных групп. Поэтому завершает классификацию полу- простых групп с точностью до изогении

Теорема 7. Простая односвязная алгебраическая группа с точностью до изоморфизма однозначно определяется своей системой корней.

Система корней простой группы является неприводимой и приведенной и поэтому относится либо к одной из четырех классических серий Ап, Вп, Сп, Dn, либо к одной из пяти исключительных систем Е6, Ет, Е8, F4, G2. Систему корней удобно задавать соответствующей диаграммой Дынкина, причем список возможных диаграмм выглядит следующим образом:

6

Диаграмма Дынкина полупростой группы является объединением диаграмм Дынкина простых компонент (пояснения см. в книге Бурбаки [4], гл. VI). Приведем также таблицу соответствующих односвязных групп для классических серий (см. подробнее § 2.3) и структуру центров простых групп, что дает полное описание простых групп.

Тип

Реализация

Структура центра

Ап

SL^

Z^n-V 1) z

Вп

^Р^2п + 1

Z/2Z

Сп

SP2n

Z/2Z

Dn

^Р^2п

Z/2Z X Z/2Z, п четно

Z/4Z, п нечетно

Е6

—

Z/3Z

Ei

—

Z/2Z

Е,

—

{И

F,

—

{И

сг

—

{И

В алгебре Ли g = 7(G) полупростой группы G можно выбрать так называемый базис Шевалле. к именно, существуют такие элементы Ха е д„ для а е R и такие элементы На е 7(7) для а <= П, что {AjaeR U {Ла}аеП — базис алгебры g и выполняются следующие соотношения:

[Яа, Яр] = 0, а, реп,

[7/я, ^р] = сар-^р, сар *= 2, а е П, ре/?,

[^а, ^а] = Яа,аеП,

[^а> ^р] ^ар^а + р> ^а^ ^= ССЛИ Ct -|- р е R,

[Аа, Х₽] = 0,еслир=^ — а и а + р ^ R.

Базис, удовлетворяющий этим свойствам (где сар и <Др принимают значения, зависящие только от а, р и системы R, см. подробнее Стейнберг [2], теорема 1), определен однозначно с точностью до замены знаков у Ха и до автоморфизмов алгебры д.

При описании /(-форм полупростой группы G нам понадобится знание структуры группы автоморфизмов Aut G. Оказывается, что Aut G является полупрямым произведением группы внутренних автоморфизмов Int G, которую можно отождествить с соответствующей присоединенной группой G, и некоторой конечной группы, которую мы сейчас определим. Предположим вначале, что группа G односвязна. Тогда любая симметрия а диаграммы Дынкина системы корней R = R (Т, G) индуцирует такой автоморфизм fo^Aut G, что ^(7) =7, /0(В) =В и дДДХ^ = ХОа, где сс g П и Ха— соответствующий элемент базиса Шевалле алгебры Ли д. При этом соответствие о:—>fa задает вложение группы Sym(/?) симметрий диаграммы Дынкина системы корней R в Aut G, образ которого мы будем также обозначать через Sym(/?).

Теорема 8. Группа автоморфизмов Aut G односвязной полупростой группы G является полупрямым произведением Int G ~ ~G и Sym(/?). Для произвольной полу простой группы G группа Aut G изоморфна подгруппе группы Aut G соответствующей л

универсальной накрывающей G—> G, оставляющих инвариантной фундаментальную группу F = Ker л.

Мы изложили основные факты теории полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Для полупростых групп, определенных над произвольным полем К, теория становится более сложной и не столь законченной (некоторые ее аспекты мы затронем в следующем пункте). Однако для полупростых /(-разложимых групп теория развивается практически параллельно случаю алгебраически замкнутого

поля. В частности, для любой системы корней R существует такая односвязная полупростая /(-разложимая группа G с максимальным /(-разложимым тором Т cz G, что система корней R^T, G) совпадает с R. Эту группу нам доставляет конструкция Шевалле (см. Стейнберг [2]). Вообще, теория полупростых /(■разложимых групп фактически совпадает с теорией групп Шевалле, изложению которой посвящена цитированная книга Стейнберга. В соответствующей алгебре Ли g можно выбрать базис Шевалле, лежащий в д^. Группа автоморфизмов Aut G является -Определенным над К полупрямым произведением Sym(R)-G, причем все автоморфизмы из Sym(/?) определены над К. Любая /(-разложимая полупростая группа G обладает определенным над К универсальным накрытием л: G-^G.

Относительные системы корней. Пусть G— полупростая /(-определенная группа, S cz G— максимальный /(-разложимый тор. Размерность dim S называется К-рангом. G и обозначается rangK G. Отметим, что все максимальные /(-разложимые торы в G сопряжены с помощью элементов группы Gk, так что, в частности, /(-ранг определен корректно. Группы, для которых rang^G>0 (соответственно rang^G=0), называются К-изо- тропными (соответственно Х-анизотропными). Доказывается, что /(-анизотропность G равносильна отсутствию в Gk неединичных унипотентных элементов. Для изотропных групп Борелем, Титсом [1] была построена структурная теория, которая по форме аналогична описанной выше теории для случая алгебраически замкнутого поля, однако приводитк более скромным результатам, а именно, позволяет определить структуру группы по модулю знания структуры так называемого анизотропного ядра. В основе теории, как и в абсолютном случае, лежит сопоставление группе некоторой системы корней. Для этого фиксируется максимальный /(-разложимый тор S и рассматривается присоединенное действие S на д = L(G). Для cceX(S) положим д^={Хе е д| Ad (s)X = a(s)X VseS} и введем множество R(S, G) = = {a е X(S) |a э^ 0 и д«э^0}. Тогда имеет место разложение д = L (Z (S)) $ ( £Р да\ где L(Z(S))—алгебра Ли центра-

\aEl?(S, G) )

лизатора Z(S) тора S, совпадающая с весовым пространством веса 0, причем все весовые пространства да определены над К. Оказывается, что множество RK=R(S,G’) образует систему корней в пространстве V=X(S)(^R, которая называется си- z

стемой относительных корней или системой /(-корней. Отличие от абсолютного случая состоит в том, что пространства ga(ae е Rk^ вообще говоря, не являются одномерными, а система корней RK — приведенной. Группа Вейля ИДД^) системы корней RK может быть отождествлена с группой Вейля tt7(S, G) группы G относительно тора S, которая определяется как факторгруппа

jV(S)/Z(S) нормализатора тора S по его централизатору; при этом любой элемент из W(S,G) имеет представителя в ЛЦ5)к- Если П er RK — система простых корней, R^k— соответствующая система положительных корней, то группа 17 (П), порожденная Ua для а е 7?+к, где Ua— унипотентная подгруппа в G с алгеброй Ли да, унипотентна, нормализуется группой Z(S) и полупрямое произведение Р(П) = Z(S) П(П) является минимальной /(-определенной параболической подгруппой. При этом соответствие П->Р(П) задает биекцию между системами простых корней в RK и минимальными /(-определенными параболическими подгруппами в G, содержащими S. Полагая для краткости Р = Р)Й) и Д = Д(П) и выбирая для каждого е IF (S, G) представителя п™ е N)S)k, получим разложение Брюа

Gk= U PKnwPK,toelTfS, G)

причем РкН.™?к—UкпшРк. Отметим, что в относительном случае связь между неприводимостью системы RK и /(-простотой группы G, т. е. отсутствием собственных связных /(-определенных нормальных делителей, носит односторонний характер: если G /(-проста, то система RK неприводима.

Графически информацию о полупростой /(-группе G удобно изображать в виде «оснащенной» диаграммы Дынкина— так называемого индекса Титса, метод построения которой мы сейчас опишем (см. Титс [2], Борель—Титс [1]). Рассмотрим максимальный /(-разложимый тор S е G и содержащий его максимальный /(-определенный тор Т a G. Пусть R = R(T, G)—система корней группы G относительно тора Т, Пс/(—подсистема простых корней. Поскольку группа G и тор Т определены над К, группа Галуа 3 = Gal (К/К), действуя на Х(Г), индуцирует перестановку множества R. Определим индуцированное действие (так называемое ^-действие) 3 на диаграмме Дынкина, вершины которой находятся в биективном соответствии с элементами множества П. А именно, для о е 3 множество ст(П) является системой простых корней в R =a(R), и поэтому существует единственный элемент ку из группы Вейля IF(/?) такой, что w (ст (П)) = П; положим тогда ст* = w ° ст: П ->- П. Группа G называется внутренней (соответственно внешней) формой, если «-действие тривиально (соответственно нетривиально). Далее, будем называть вершину диаграммы Дынкина выделенной (и обводить ее кружком), если ограничение соответствующего простого корня на S нетривиально. Кроме того, вершины диаграммы, принадлежащие одной орбите группы 3, располагаются «близко» друг к другу и, будучи выделенными, обводятся общим кружком). Диаграммы Дынкина с указанием

выделенных вершин и «-действия и называются индексом Титса. Например,

Принято также указывать порядок факторгруппы *5, эффективно действующей на П. Так, вторая диаграмма относится к типу 2Е6, а все внутренние формы — к типу ХХ. Отметим, что если диаграмма не имеет симметрий (как, скажем, В^, то любая /(-группа этого типа автоматически является внутренней формой.

По индексу Титса легко найти диаграммы анизотропного ядра группы G (гак мы называем коммутант централизатора Z(S) максимального Я-разложимого тора, который является полупростой /(-анизотропной группой): для этого надо отбросить выделенные вершины с соответствующими связями. При этом, если все вершины выделенные, то группа G является ква- зиразложимой. Можно также найти максимальный /(-разложимый тор S и соответствующую относительную систему корней. А именно, S выделяется в Т уравнениями а(х)=1, где а—невыделенный корень, и уравнениями ai(x)= ... = а/(х), если «1, ..., а; лежат в одной орбите «-действия. Отсюда следует, что если квазиразложимая группа является внутренней формой (в частности, если у соответствующей диаграммы нет симметрий), то она разложима. Относительные корни получаются ограничением на S корней из R, для которых это ограничение нетривиально. (Примеры соответствующих вычислений см. в гл. VI.)

Классификация /(-форм

при помощи когомологий Галуа

£//(-формы. Пусть X— некоторый объект с /(-структурой (/(-определенное многообразие, /(-определенная алгебраическая группа и т. д.), L/K—конечное расширение Галуа. Говорят, что /(-объект У является L/К-формой объекта X, если существует /.-определенный изоморфизм f: Х^>-У. Группа Галуа 9" = = Gal (£//() естественным образом действует на /.-морфизмах /(-объектов, и для любого а е 9" морфизм a0 = f~l°fa лежит в группе AuIl(A) /.-определенных автоморфизмов X, причем соответствие сп—> а0 определяет (некоммутативный) 1-коцикл на 9" со значениями в группе Autx(X) (см. § 1.3, п. 2). Возникает отображение

F (ЦК, А) —>- Я1 (9", Auti (А)) множества классов /(-изоморфных /.//(-форм объекта X в множество одномерных когомологий.

Теорема 9. Если X является аффинным К-многообразием либо алгебраической К.-группой, то отображение ф биективно.

Укажем на основные моменты доказательства (см. Воскресенский [3], гл. III). Вначале показывается, что ф корректно ■определено (т. е. не зависит ни от выбора А//(-формы У в классе /(-изоморфных, ни от выбора А-изоморфизма f: Х^-Y) и инъективно. Эта часть рассуждений носит формальный характер и справедлива в гораздо более общей ситуации. Доказательство сюръективности ф требует более тонких соображений и основано на уже знакомой нам конструкции скручивания.

В § 1.3, п. 2 мы использовали это понятие для исследования точных последовательностей некоммутативных когомологий, но оказывается, что оно применимо и при доказательстве сюръективности ф. А именно, как и в п. 2 § 1.3, рассмотрим некоторую группу G, некоторую G-группу А и G-множество F, на котором действует А, причем это действие согласовано с действием группы G. Тогда для любого коцикла aeZx(G, Л) определено «скрученное» множество aF, которое с точностью до G-изоморфизма зависит лишь от класса эквивалентности а в HX(G, Л). Положим Н = aF и обозначим через f: F->-Н отображение, индуцированное тождественным отображением F. Тогда из определения aF вытекает, что коцикл {f-1 ° f) с е gZ!(G, Л) совпадает с исходным коциклом а. Отметим, однако, что если F обладает некоторой структурой (например алгебраического многообразия), то это абстрактное рассуждение требует дополнительных уточнений, связанных с доказательством того, что скрученный объект aF также обладает этой структурой. В ситуации, описанной в теореме 9, это получается рассмотрением алгебры регулярных функций. Поскольку аффинное алгебраическое многообразие определяется своей алгеброй регулярных функций, а задание структуры алгебраической группы равносильно заданию на алгебре регулярных функций структуры алгебры Хопфа (см. Борель [8]), то для построения А/7<-формы X, отвечающей коциклу а = {а0} е ЕВ ЦУ, AuIl(G)), следует рассмотреть алгебру /.-определенных регулярных функций А = L [X] и определить на ней новое действие группы У по формуле

o' (f) = (ст ° аф* ЦЦ

где (ст ° а0)* обозначает /(-автоморфизм А-алгебры А, отвечающий а ° аа. Полученная таким образом А-алгебра В и будет служить алгеброй A-определенных регулярных функций на искомом многообразии У. При этом У будет обладать структурой алгебраической /(-группы, если X обладало этой структурой. Допуская некоторую вольность речи, мы будем говорить, что Н получено из G скручиванием при помощи коцикла а и писать Х = аХ.

Замечание. Теорема 9 остается справедливой и для проективных многообразий.

Пример 1. Пусть X = Gm— одномерный ^разложимый тор, L = K^c^— квадратичное расширение К и т — образующая группы Галуа ^' = Gal(L/^. Рассмотрим коцикл а = {а0}е eZ1^, AutLA) такой, что ae = id^, аг = 9, где 9(x) = .t-1 для всех хеХ. Тогда A = L[A] есть /.[/, С1], Ак = К [/, Z1', причем автоморфизмы 9 и ст действуют на А так:

9*: НО+^^^Г^Н^О),a: fW + gU~‘)^ Г «) + №).

Отсюда следует, что на «скрученной» алгебре В = L\t,t~^ о действует по формуле

а: f (о + g U )* * f (^ ’) + ga(0-

Прямое вычисление показывает, что /(-алгебра Вк = В7 изоморфна С = К [и, и] /{и2 — сх?—1) (и, и — независимые переменные), причем изоморфизм С^-Вь: осуществляется по формулам

Но C = ^[У], где y = R^K(Gm) — соответствующий норменный тор, причем указанный изоморфизм С ~ Вк согласован со структурами алгебр Хопфа на Вк и С. Таким образом, здесь аХ = Y.

Во многих случаях задание самого объекта X и /(-структуры на нем определяется заданием множества /(-точек Хк- (Примерами могут служить векторные пространства, векторные пространства с некоторыми тензорами, скажем, квадратичными формами, алгебры и т. д.) Тогда зачастую, допуская некоторую вольность речи, под «объектом» понимают множества Хк и под скрученным объектом — соответствующее множество Yк- Такой «жаргон» имеет очевидные границы, в частности, он неприменим к алгебраическим многообразиям, ибо может, например, случиться, что Хк — YK = 0, но X и Y не являются /(-изоморфными, но в ряде случаев он эффективен и мы будем его использовать.

Пример 2. Пусть V = №— двумерное векторное пространство над К, снабженное квадратичной формой f, которая в стандартном базисе Si, е2 имеет вид f (хь х2) = Xix2- Снова рассмотрим квадратичное расширение L = KWC\ и пусть ст — образующая У = Gal(Z//<). Обозначим через 6={6Т} следующий коцикл в ХЦ£Г, Oi^i.)- гДе 02(f)—ортогональная группа формы f: be = id, b0=g, где g e О2ф переставляет ei и e2. Рассмотрим пространство V ®к L и, скрутив его при помощи а,

положим W = a(V ® L^k- Прямое вычисление показывает, что ^-бaзиc пространства W образует векторы их = у (в] + е2), и2 = у Vе (^1—е2), причем в этом базисе .форма f (точнее, ее продолжение на V ®к Ц имеет вид / (ур у.,) = yf — су2. Таким образом, в результате скручивания квадратичного пространства (Р,/) получается квадратичное пространство (IP, h), где h имеет вид h(yx, У2) = </(— CVY Отметим, что этот пример непосредственносвязан с предыдущим, ибо SO^ (f) = G , SO2(h) = = R^ (^m), И мы рекомендуем читателю самостоятельно проанализировать эту связь.

Пример 2 допускает следующее обобщение.

Пространства с тензорами. Рассмотрим пару (V, х), где V — конечномерное векторное пространство над К, а х— некоторый тензор на V типа (р, у), т. е. элементTqP (Р) = Тр (Р) ®' ® уч (у) (читатель, не знакомый с тензорами, может понимать под х некоторую билинейную форму на Р, т. е. тензор типа (0,2); тензоры других типов нам в этой книге встречаться ие будут). Для любого расширения Галуа L/K с группой Галуа $Г можно рассмотреть пространство VL = Р ®к L и тензор xL = х ® 1 е Тр (PL) = Тр (Р) ®к L. Пара (IP, у), где IP— пространство над К той же размерности, что и V, у е ТР(У7), называется L/^формой (Р, х), если существует изоморфизм (Р£, x^-^l- UlY Как и в и. 1, возникает отображение

Р(ЦК, (Р, х^-ХнЦЦК, Аи1д(Р/., xl)Y

Предложение 5. Отображение ф является биекцией.

В доказательстве нуждается лишь сюръективность ф. Для этого используется

Лемма 2. Н1 ^9", GLn(La = 1 для любого п 25$ 1. В частности, НЦ9",Ь*^ = 1.

(Последнее утверждение известно как «теорема 90» Гильберта. Если L]K— циклическое расширение и о— образующая его группы Галуа 5Г, то, используя описание //'(IT-, L*) в этом случае (см. § 1.3, п. 1), можно дать эквивалентную переформулировку, которой мы уже неоднократно пользовались в § 1.3—1.4: любой элемент aeL* такой, что Al/x(^) = 1, имеет вид а е <з^ /Ь, где b е L*.)

Доказательство. Рассмотрим пространство V = Кп. Тогда Pl = Ln с покоординатным действием группы ^ = Gal (L/Д). Пусть теперь а = {од}—1-коцикл на ST со значениями в ОГДГ). Определим новое «скрученное» действие ЗГ на Pl, полагая для о е дх, у <= Pl

а' (и) = ааа (и),

и обозначим через U пространство неподвижных точек. Ясно, что для любого у <= VL вектор 6(у) = У ааа (у) лежит в U.

a eS"

Покажем, что векторы b (у) порождают Vl над L, откуда, в частности, будет следовать, что U ®к L ~ VL. Действительно, пусть и — линейная форма на Vl, аннулирующая все векторы 6 (у). Тогда для любого h е L и любого у е Vl имеем

О = и (b (Ди)) = X ст (/г) и (ааа (у)),

так что из теоремы о линейной независимости характеров (см. Ленг [3]) вытекает, что и (aQo (у)) = 0, откуда и = 0. Итак, можно выбрать векторы У], ..., un^VL таким образом, что векторы 6(У]), ..., 6(уп) будут линейно независимыми. Тогда, обозначив через с матрицу, переводящую канонический базис в векторы У], .,., у„, получим невырожденную матрицу Ь = ^,аоо ^, и прямой подсчет показывает, что аа = Ьст(Ь)-1,

О

что и требовалось.

Пусть теперь а={аа}—произвольный коцикл на ST со значениями в Аи1Д VL, xl) . Поскольку последняя группа является подгруппой в GL(VlT т0 из леммы 2 вытекает существование такого beGHVd, что аа = Ь-1 о (Ь). Продолжим Ь до автоморфизма TP(VL^ и покажем, что тензор х' = Ь(х( лежит в Tpq (V7). Для этого достаточно показать, что х' инвариантен относительно группы ’9". Имеем

ст (х') = ст (6) (ст (х)) = ст (6) (х) = b (b~ ’ст (6)) (х) = ba0 (х) = b (х) = х',

что и требовалось. Рассмотрим теперь /(-пространство IP = = b-{ (Рк) и обозначим через у тензор х', перенесенный на IP. Тогда пара (IP, </) отвечает коциклу а. Отметим, что в действительности IP совпадает с пространством U, введенным при доказательстве леммы, а у — с ограничением х на IP. При этом, как мы показали, у определен над К. Предложение доказано.

Рассматривая невырожденные билинейные симметрические (или, эквивалентно, квадратичные) формы на V, из предложения 5 получаем

Предложение 6. Пусть f—невырожденная квадратичная форма на п-мерном векторном пространстве Р над полем К. Тогда для любого расширения Галуа L/К с группой Галуа 9" элементы множества Нх ^9", On(f)l), где On(f) — ортогональная группа формы f (см. § 2.3), находятся в биективном соответ- гтвии с классами эквивалентности над К тех квадратичных форм на Р, которые L-эквивалентны f.

Рассматривая невырожденные билинейные кососимметрические формы на Р и учитывая, что все они эквивалентны над К (Бурбаки [1] , гл. 9, § 5), получаем

Предложение 7. Пусть f— невырожденная билинейная кососимметрическая форма на п-мерном векторном пространстве V над полем К. Тогда для любого расширения Галуа Г/К имеем Нх (^S, Spn(f)l) = 1, где Spn(h — симплектическая группа формы f (см. § 2.3).

Имеются и другие применения предложения 5. В частности, структура алгебры на векторном пространстве задается тензором типа (1,2), так что /.//(-формы алгебры А находятся в биективном соответствии с элементами множества HX(S, Autt(At)), где Ant^Ai)—группа /.-автоморфизмов алгебры AL = А ®к L. Полагая А = Мп(К) и учитывая, что любой автоморфизм Al внутренний, т. е. AutL (AL) = PGLn(L), получаем, что элементы множества Я1 (S, PGLn(L)) взаимно однозначно соответствуют /./Я-формам алгебры А, т. е. простым центральным алгебрам размерности п2 над К, которые расщепляются полем L.

В приведенных примерах группы /.-автоморфизмов являются группами /.-точек алгебраических групп (это всегда так, если мы имеем дело с группами автоморфизмов тензора), поэтому мы специально рассмотрим

Когомологии алгебраических групп. Пусть G— алгебраическая группа, L/K—некоторое конечное расширение Галуа с группой Галуа S. Тогда на группе /.-точек GL действует группа S и можно определить множество Hx(S,Gl), которое в дальнейшем будет обозначаться через Hl(L/K,Gy Если М zd L— два конечных расширения Галуа поля К, то опреде- м

лено отображение HX(M/K,G)>HX(L/K,G). Это позволяет распространить определение HX(L/K,G^ на бесконечные расширения Галуа Г)К. К именно, группа Галуа Gal (L/K^ представляется в виде проективного предела lim Gal (LJK-) групп Галуа конечных подрасширений, и тогда полагаем HX(L]K, G) = = lim Я1 (ГфК., С),где индуктивный предел берется относительно системы отображений р^/ для L,^ Lj. Можно дать эквивалентное определение HX(L/K, G) в этом случае как множества непрерывных 1-когомологий проконечной группы Gal (Г/Я) с коэффициентами в дискретной группе GL. При этом мы будем писать Я'(Я, G) вместо Нх (К/К, G).

Переходя к индуктивному пределу в теореме 9, получаем, что множество Нх (К, G) в общем случае параметризует классы /(-изоморфных Я/Я-форм некоторого /(-объекта X с группой автоморфизмов G, т. е. классы /(-изоморфных объектов Y, которые становятся изоморфными X над К- Отметим также, что для любой алгебраической /(-группы G

№(К, G) = GK.

Из точных последовательностей некоммутативных когомологий, описанных в § 1.3, как частный случай получаются аналогичные точные последовательности для когомологий Галуа алгебраических групп. В частности, точной последовательности \^-F-^-G-^-H-^-\, состоящей из /(-групп и /(-гомоморфизмов, отвечает точная последовательность множеств с отмеченными элементами

\^FK^GK-^ Н^Л НЦК, П^НЦК, G^H^K, Я), (1) где ф/< — так называемое пограничное отображение. При этом если F лежит в центре G, то фк является гомоморфизмом групп и определено отображение б«: Я1 (Я, Я)-^-Я2 (Я, Г), продолжающее точную последовательность (1) еще на один член:

6к

. .. -^НЦК, НЧК, F).

Приведем некоторые примеры вычисления когомологий алгебраических групп. Рассмотрим точную последовательность

1 SL. GL. —> Gm->-\,

где отображение d индуцировано определителем, и запишем для этого случая соответствующую точную когомологическую последовательность (1):

GLn ^ -^К*^Н' (К, SLn) -> Я1 (Я, GLn\ (2)

Из леммы 2 вытекает, что Hv ^К, GLn^ = \. С другой стороны, отображение определителя det: GE^K?^ К* сюръективно. Поэтому из точности последовательности (2) вытекает

Лемма 3. Я1 (Я, SLJ=1.

Далее, частный случай леммы 2 для п = 1 (теорема 90 Гильберта) утверждает, что Я1 (Я, Gm) = 1. Тогда по лемме Шапиро Я1 (Я, Rr/K(Gm) )= Я1 (L, Gm) = 1 для любого конечного расширения L/K- Поэтому из определения квазиразложимого Я-тора получается

Лемма 4. Пусть Т— квазиразложимый К-тор. Тогда Н'(_к, Т)=1.

Рассмотрим теперь точную последовательность

где ср — норменное отображение. Переходя к когомологиям, будем иметь точную последовательность

откуда следует

Лемма 5. НХ(К, ^/K(Gm^ ~ K^NL/K(C).

Обратимся теперь к точной последовательности

1 —> ц„ —> Gm Gm —> 1, (3) где [п] означает морфизм возведения в п-ю степень, щ, = = Ker[и]—группа корней степени п из единицы. Из последовательности (3) получаем точные последовательности

Г Г Я1 (К, ц J Я1 (К, Gm) = 1

И

1 = Я1 (К, GJ Я2 (К, цД Я2 (К, G^ М Я2 (К, Gm). (4)

Так как И'(К, Gm)=l, а Н2(К, Gm) отождествляется с группой Брауэра Вг (К), то из (4) получается

Лемма 6. Я*(К, цД^ОС", И2 (К, цп) = Вг (К)п - группа элементов из Вг(К) экспоненты п.

Наконец, если при доказательстве предложения 6 вместо леммы 2 использовать лемму 3, то получится следующая интерпретация множества 1-когомологий НЦК, SOn(f)) специальной ортогональной группы SOn(f) невырожденной квадратичной формы f (см. также § 6.6).

Предложение 8. Элементы множества Нх ^К, SOn(f)) находятся в биективном соответствии с классами К-эквивалентности тех квадратичных форм степени п над К, которые имеют тот же дискриминант, что и f.

С другими примерами когомологических вычислений мы встретимся в гл. VI, специально посвященной когомологиям Галуа алгебраических групп, а сейчас завершим наше краткое знакомство с этой темой редукцией задачи вычисления когомологий связных групп к редуктивным группам.

Лемма 7. Пусть К — поле характеристики нуль. Тогда для любой К-определенной унипотентной подгруппы U имеем НЦК, Я)= 1.

Доказательство. Вначале установим аддитивную форму теоремы 90 Гильберта, которая утверждает, что Нх (К, Ga)= 1, т. е. ЯД.^, L) = 0 для любого конечного расширения Галуа L/K с группой Галуа '9*. Пусть cel такой элемент, что след TrL/y<(c) отличен от нуля. Для заданного 1-коцикла а = (аа}Е eZ1!'^, L) положим

Тогда прямое вычисление показывает, что аа = Ь—о(6) для любого с^9", т. е. коцикл а тривиален. В действительности, как следует из теоремы о нормальном базисе (см. Ленг [3], с. 260), L является индуцированным ^-модулем, и поэтому по лемме Шапиро Н‘^9",Ц = 0 для всех i "^ 1. Для произвольной

унипотентной /(-группы U доказательство проводится индукцией по dim (7. Рассматривая ряд, указанный в п. 8 § 2.1, найдем /(-определенный нормальный делитель W с U, изоморфный Ga. Тогда из точной последовательности

1 -> IF U -> U,W -> 1

получаем точную когомологическую последовательность

НЦК, ^-*нцк, и^нцк, 1Ж\

Так как тривиальность НЦК, IF) доказана выше, а Я’(Я, G/IF)=1 по предположению индукции, то Я*(Я, Я)=1, что и требовалось.

Заметим, что утверждение леммы сохраняется для любого совершенного поля К, если предполагать группу U связной (доказательство при этом не изменяется). В общем случае (т. е. если U несвязна либо поле К не является совершенным), вообще говоря, НЦК, Я)У=1 (см. Серр [2], гл. III).

Предложение 9. Пусть G— связная редуктивная группа, •определенная над полем К нулевой характеристики, Я — ее максимальная редуктивная К-подгруппа (см. теорему 3). Тогда вложение Н с G индуцирует биекцию НЧК, Н) ^ НЧК, G).

Доказательство. Пусть G = HU— соответствующее разложение Леви, где U = RU(G^—унипотентный радикал G (см. п. 9 в § 2.1), и л: G-^G/G = H — каноническое факторотображе- ние. Тогда композиция ЯG—>Я,где <р — естественное вложение, является тождественным отображением, так что композиция соответствующих отображений когомологий

Я1 (Я, Я) -^> Я1 (Я, G) ~^> Н1 {К, И)

также является тождественным отображением. Поэтому для доказательства предложения достаточно убедиться в инъективности л*. Отображение л* входит в точную когомологическую последовательность

Я1 (Я, Я) -> Н1 (К, G) —> Я1 (Я, Я), (5) которая соответствует точной последовательности l-^-U-^-G-^- -э-Я-э-1. Согласно лемме 7 НЧК, U) = 1, поэтому из (5) вытекает, что л* имеет тривиальное ядро. К сожалению, в некоммутативных когомологиях утверждать, что из тривиальности Ker л* вытекает инъективность л», вообще говоря, нельзя. Здесь применяется стандартный прием, основанный на конструкции скручивания. А именно, пусть для g, h^Z4K,G) имеем л* (g) = л* (h) (мы обозначаем теми же буквами соответствующие классы когомологий). Обозначим через gG (соответственно gG) группу, получающуюся из G (соответственно Я) скручиванием при помощи g, и пусть тг: Я1 (Я, gG)-^-Я1 (Я, G) — со-

ответствующая биекция (см. лемму 1.5). Положим F = gG/gU = = g(G/U) и рассмотрим последовательность, аналогичную (5),

Я1 (Я, gU) ->Н' (к, gG) -^ Я1 (Я, F). (6)

Тогда очевидно, что f = т6~Д/г) е Her гл*. С другой стороны, группа gU изоморфна U над Я, и поэтому унипотентна, так что Я1 (Я, gU) = 1 в силу леммы 7. Тогда из точности (6) получаем, что Кег^л* тривиально, и поэтому f = 1 и g = h. Предложение доказано,

Классификация Я-форм алгебраических групп. Мы рассмотрим два частных случая: случай алгебраических торов и случай полупростых групп.

Пусть Т—алгебраический d-мерный Я-тор с полем разложения L, 9" = Gal (/./Я). Тогда имеет место /.-определенный изоморфизм Т ~ Gm- Тем самым все такие Я-торы являются Т/Я-формами d-мерного Я-разложимого тора Gdm. Поэтому согласно теореме 9 классы Я-изоморфных таких торов находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Н\д~, AutL(G*)). Но из теоремы 1 вытекает, что AutL (Gm) = = AutK (Gm) ~ GLd (Z), откуда следует, что указанные классы биективно соответствуют классам эквивалентности d-мерных целочисленных представлений^-. Например, если L/K—квадратичное расширение, то любой конечнопорожденный Z [Z-] - модуль М без Z-кручения представим в виде M = Z‘® Ф2[^]тФ/", где / — ядро пополняющего гомоморфизма Z^\-^>-Z, причем числа I, m и п определены однозначно. Поэтому любой Я-определенный и /.-разложимый тор Т представим в виде Т = G^ X ^-ык^тУ X R2//<(G)" для некоторых однозначно определенных целых неотрицательных /, т, п, причем Я-анизотропный тор из этого класса обязательно имеет вид Т=^Ь(6 \п.

'L/K\ т)

Перейдем теперь к полупростому случаю. Прежде всего показывается, что для любой полупростой Я-группы G существует такая Я-разложимая группа Go, что G ~ Go над Я. Для этого рассматривается универсальное Д-определенное накрытие G—' G (см. § 2.1, п. 13). Тогда существуетЯ-изоморфизмср:G^ ^ Go с Я-разложимой односвязной группой Go того же типа, что и G, и для доказательства существования Go достаточно показать, что группа ср(Кегл) определена над Я. Но центр Z группы Go содержится в максимальном Я-разложимом торе, откуда следует, что группа Галуа действует на группе характеров X(Z) тривиально, и любая подгруппа в Z, в частности, <р(Кег л) определена над Я. Таким образом, любая полупростая Я-группа G получается из подходящей Я-разложимой группы

Go путем скручивания при помощи коцикла из Н1^, Aut^-(G0)). Поскольку группа Aut^(G0) отождествляется с подгруппой в Aut^(G0), состоящей из элементов, оставляющих подгруппу Ker л инвариантной (теорема 8), то универсальное /(-определенное накрытие Go-^ Go можно скрутить при помощи любого элемента из Я* (К, Aut^- (Go)). Отсюда получается

Предложение 10. Пусть G— полупростая ^-определенная группа. Тогда существует универсальное накрытие л: G-^G, определенное над К.

В арифметической теории алгебраических групп факт существования универсального /(-определенного накрытия для произвольной полупростой /(-группы играет важную роль, ибо односвязные группы обладают в этой теории рядом замечательных свойств, перенесение которых на произвольные полупро- стые группы связано с рассмотрением универсальных накрытий и изучением соответствующих фундаментальных групп. К сожалению, для произвольных редуктивных групп «канонического» аналога универсального накрытия не существует, однако в ряде -случаев заменой ему служат так называемые специальные накрытия (см. Сансюк [1]). Определенная над К изогения f: Н-^ G редуктивных /(-групп называется специальным накрытием, если группа Я является прямым произведением полупростой односвязной /(-группы D и некоторого квазиразложимого над К тора 3. Простые примеры показывают, что редуктивная группа, вообще говоря, не обязана обладать специальным накрытием, однако справедливо следующее

Предложение 11. Для произвольной редуктивной К-группы G найдется такое целое ш>0 и такой квазиразложимый над К тор Т, что группа Gm XT обладает специальным накрытием.

Доказательство. Согласно теореме 4 группа G является почти прямым произведением своей полупростой части D[ и максимального центрального тора Si. Используя предложение 3, найдем целое m > 0 и такой квазиразложимый над К тор Т, что произведение 5Г X ^ накрывается подходящим ква- зиразложимым тором S, т. е. существует /(-определенная изогения 3—>STXT. Рассмотрим также универсальное /(-определенное накрытие D—> Dx и положим H = D™\S. Тогда сквозное отображение

H = Dm X'S^^D? X 5Г ХТ^№Г XT = GmXT

и будет искомым накрытием.

В силу предложения 10 классификация полупростых /(-групп сводится к односвязным. Из теоремы 6 вытекает, что односвязная /(-группа является прямым произведением односвязных

/(-простых групп (т. е. групп, не содержащих собственных связных /(-определенных нормальных делителей), причем любая односвязная /(-простая группа имеет вид Rl/k(G), где G— абсолютно простая /.-определенная группа. Поэтому достаточно рассмотреть вопрос о /(-формах абсолютно простых односвязных групп.

Пусть G — простая односвязная /(-разложимая группа данного типа, G = G!Z (G)— соответствующая присоединенная группа. Отождествим G^ группой Int^G внутренних автоморфизмов группы G. Тогда полная группа автоморфизмов Aut^-G является определенным над/( полупрямым произведением группы Sym (7?) симметрий диаграммы Дынкина системы корней R группы G и группы G^ (см. п. 13 § 2.1), причем группа Галуа ^ = Gal (^//() действует на Sym (7?) тривиально. Таким образом, имеем точную расщепляющуюся последовательность /(-групп

1 —> G^ —> Aut^ G ^ Sym (7?) -> 1. (7)

Из (7) получаем точную когомологическую последовательность

Н1 (К, G) Я1 (Я, Aut^ G) ф Я1 (К, Sym (7?)).

Поскольку Sym(7?) = Sym (R) к, то коцикл а на S со значениями в Sym (R) — это просто непрерывный гомоморфизм ^->Sym(7?), и Я1 (7(, Sym (7?)) есть множество классов сопряженности таких гомоморфизмов. Как известно, ф (Sym (R)) с: Aut^- G состоит из автоморфизмов, оставляющих инвариантными максимальный /(-разложимый тор Т с: G и содержащую его борелевскую /(-подгруппу BczlG. Поэтому для любого а е Нх (К, Sym (R)) /(-форма группы, отвечающая коциклу 0 (а) е И1 (^К, Aut^G), обладает /(-определенной подгруппой Бореля, т. е. является квазираз- ложимой над К. Таким образом, для любого а — Нх(К. Sym(7?)) слой а~1(а) содержит квазиразложимую над К группу aG, которая при этом определена однозначно с точностью до /(-изоморфизма. Говорят также, что слой а™1 (а) состоит из групп одного и того же внутреннего типа. Это связано с тем обстоятельством, что слой ос”1 (а) совпадает с образом отображения Я1 (К, OG) Я1 (К, Aut (OG)) Я1 (К, Aut^ G), где последний изоморфизм есть «сдвиг» на 0(a) (см. п. 2 § 1.3), так что группы одного и того же внутреннего типа получаются из соответствующей квазиразложимой группы путем скручивания при помощи элемента из ЯЦЯ, Ga), т. е. при помощи внутренних автоморфизмов. Слой а над тривиальным коциклом в Я1 (К, Sym(Я)) состоит из так называемых внутренних форм группы G, причем легко видеть, что определение в точности

совпадает с определением внутренних форм из предыдущего параграфа. Внутренние формы и только они получаются из G путем скручивания при помощи элементов из НЦК, G). Используя эти результаты, мы в следующем параграфе получим явную классификацию групп классических типов.

Классические группы

Цель этого параграфа — ввести алгебраические группы,, группы рациональных точек которых совпадают с так называемыми классическими группами над телами, к числу которых относят специальную линейную группу, симплектическую, специальную ортогональную и специальную унитарную группы. Оказывается, что эти группы (за малыми исключениями) являются простыми алгебраическими группами и относятся к классическим типам Л„, В,,, Сп и Dn. Замечательно, что справедлив и обратный результат: практически любая группа классического типа (за исключением лишь групп типов 3/)4 и 6D4 в обозначениях Титса [2]) с точностью до изогении совпадает с одной из упомянутых классических групп. Этот результат, принадлежащий А. Вейлю [3], к сожалению, до сих пор не излагался в монографической литературе (исключение составляют лишь записи лекций М. Кнезера [12]). Поэтому мы даем практически полные доказательства приводимых результатов. Рассуждения базируются на классификации К-форм при помощи когомологий Галуа и понятии скручивания.

Специальная линейная группа. Пусть D — некоторое конечномерное центральное тело индекса d над полем К, п 5? 1. Тогда алгебра А = Mn(D) является простой и определен гомоморфизм приведенной нормы Nrdx/^: А-^-К* (см. § 1.4, п. 1). Положим SL„(Z)) = {№ A*|Nrdx/x(x)= 1} и покажем, что эта группа является группой /(-точек алгебраической группы G, которую мы будем обозначать $£„(£>). Пусть р: D—> МдАК')— регулярное представление тела D *). Образ р(Ц), будучи линейным подпространством в МаДК-У выделяется некоторой системой

fk Uu) = О, i, j = А, . .., d2; 6=1,...,/, линейных уравнений относительно элементов Хц матрицы х — = (хц) с коэффициентами из К. Используя стандартное отождествление МпаЦК) ^ мп (ЛЦ (К)), обозначим через А подмножество в Mndi (К), состоящее из таких х = (х^ Ц, / = 1d2;

а, Р = 1, ..., /г), что

f6(x“p) = 0 для всех а, р = 1, ..., п; 6=1, ..., /.(1)

Легко видеть, что р задает отождествление А и А. Далее, известно (см. § 1.4, п. 1), что приведенная норма элемента хе А выражается в виде полинома с коэффициентами из К от координат х в некотором (эквивалентно, в произвольном) базисе А/К. Отсюда следует существование такого полинома g^^ над К, что

Nrd^/HU1^)) = g(p(xaP)) (а, р = 1, . ц).

(2)(2)Тогда очевидно, что множество матриц удовлетворяющих (1) и уравнению

(2)

(2)

g(^f)= h

■естественным образом отождествляется с 8фф). Возьмем в качестве группы G = 8Ьпф) множество решений уравнений (1), (2) в МпД1 (Q). Тогда G будет /(-определенной алгебраической группой, множество /(-точек которой совпадает с ЗЬпф). При этом, используя изоморфизмы D ®к Q ~ Md (Q), А®кй~ ~ЛДДП), легко построить Q-изоморфизм G ~ ЗфДф, откуда -следует, что G является простой односвязной /(-группой типа A nd—}.

Предложение 12. Для группы G = 8Ьпф) имеем rang« G = = п—1. В частности, группа H=SL\(D) является К-анизо- тропной.

Доказательство. Обозначим через Т множество матриц х = ф^еО таких, что х^ = 0, если а =# р, и хаР = = (x^)z /=1 d2 — скалярная матрица, если a = р. Легко видеть, что Г является /(-разложимым тором в G размерности п—1. При этом централизатор ZG(T’) состоит из матриц x = (x?P)eG таких, что х^ = 0 для а =^ р. Отсюда следует, что группа Нп = Н X ••• X Н, где Н = 8Ьгф), естественным образом вкладывается в ZG(7’) и ограничение на Нп факторморфизма Zo (T’)-^-Zg (7’)//’ является изогенией. Поэтому достаточно установить /(-анизотропность Н. Но любой максимальный /(-определенный тор в Н имеет вид ^(^к(®тУ где LeD— некоторое максимальное подполе, и поэтому /(-анизотропен (см. § 2.1, п. 7). Предложение доказано.

Вычислим теперь когомологии группы G = 8Ьпф). Для этого рассмотрим вначале алгебраическую группу Н = 6Ьпф), которая определяется как подгруппа группы ОЬир(ф), высекаемая уравнениями (1). Тогда Н имеет в качестве группы /(-точек группу GLn(D) обратимых элементов алгебры А = МДф и над Q изоморфна группе ОВпдфф Аналогично лемме 2 доказывается

Лемма 8. НЦК, GLn ф)) = 1 для любого п^ L ■

Теперь когомологии G вычисляются при помощи точной последовательности

\^G^H^Gm^l,(3)

где ср индуцировано приведенной нормой Nrd^/«. Последовательности (3) отвечает точная когомологическая последовательность

GLn ф) -^^ К* -> Н1 ф, G) -> Я1 (Я, Я) = 1,

из которой получается

Лемма 9. Я1 (Я, SL„ (Я)) ~ Г/№л/к фкп ф^ = /C/Nrd^x D\

Симплектическая и ортогональная группы. Пусть f(x,y)— невырожденная знакопеременная (соответственно, симметрическая) билинейная форма на n-мерном векторном пространстве V = Кп над полем К, char/C^ 2 (за определениями и основными свойствами билинейных и полуторалинейных форм мы отсылаем читателя к одной из следующих книг: Бурбаки [1], Дьедонне [2], Артин [1]). Отметим, что если f—невырожденная знакопеременная форма, то необходимо п = 2m—четное число. Группа автоморфизмов формы f, т. е. таких линейных преобразований о; V-^-V, что

f (о (х), о (у)) = f (х, у) для всех х, у eV,

в случае знакопеременной формы f называется симплектической группой и обозначается Sp2m(f), а в случае симметрической формы f—ортогональной группой и обозначается Оп([). (В силу известной биекции между симметрическими билинейными и квадратичными формами обычно ортогональную группу связывают не с симметрической билинейной, а с соответствующей квадратичной формой, и в этом случае пишут f(x) вместо f(x,x)). Определитель преобразования из 5р2тф всегда равен единице, а преобразования из Оп([) равен ±1, так что 50пф = = {о е Опф | det о = 1} является подгруппой индекса 2 в О^ф.

Пусть еь ..., еп — некоторый базис пространства V, F = = фе,,еф—матрица формы f. Тогда, записывая преобразования в базисе е^, ..., еп, будем иметь

5р.2тФ) — ф eGL^iK.H^Fg —F^, причем <F = — F,

On(F) = {geGLn(K)\tgFg = F}, причем tF = F, (4)

SO„ (Г) = {g е О„ (f) ] det ^ = 1},

где 1 обозначает операцию транспонирования матриц. Обозначим теперь через 8р2тф), On(F) и SO^F) множество матриц £еОффф удовлетворяющих соответствующим условиям в (4). Тогда каждое из этих множеств является /(-определенной

алгебраической группой, группа /(-точек которой совпадает с соответствующей группой Spn(F), On(F) или SOn(F). (Иногда, допуская некоторую вольность в обозначениях, мы будем писать, например, Оп(П вместо On(F)^

При замене базиса ei, ..., еп на другой базис e'v ..., е'п матрица F меняется на эквивалентную матрицу F' = ixFx, где х—матрица перехода, a Sp2m(F') = х8р2т(Р)х~1 и т. д. С другой стороны, известно (см. Бурбаки [1]), что любая невырожденная кососимметрическая матрица FeMlr-(K) эквивалентна над К стандартной кососимметрической матрице

О ЕтЕт ОО ЕтЕт О(5)(5)

О Ет

Ет О

О Ет

Ет О

(5)

(5)

так что имеет место /(-определенный изоморфизм Sp.2m^F)~ ^8р2т^. Положим Т = V = diag (а,am, 0Ь ..., pm) е е GL2m (Q) |azpz = 1, z = 1, . . ., m}. Легко видеть, что T является /(-разложимым тором в G = Sp2m(J), причем непосредственное вычисление показывает, что 2а^=Т. Тем самым группа G является /(-разложимой, Т—ее максимальным /(-разложимым тором. Проводя аналогично рассуждениям в книге Бурбаки [4] анализ системы корней R = R(T, G), получаем, что R является простой системой типа Ст. Кроме того, используя критерий односвязности (см. утверждение 3) теоремы 6), можно показать, что группа G односвязна. Таким образом, получено

Предложение 13. Пусть G = Sp2m(F) (/и ^ 1), где F— невырожденная кососимметрическая матрица. Тогда G является К-разложимой группой типа Ст.

Аналогично, над К любая невырожденная симметрическая матрица эквивалентна одной из матриц

»-(L f")-“=2m-<6>

либо

/0Ет 0х

Q2 = II, п = 2m + 1.

I Em00 )

...О1 '

Тогда Т = {/ = diag(a,am, Pl ..., PJ |azpz = 1, i= 1m) (соответственно, T = {/ = diag (a,, ..., am, pH ..., pm, l)|azpz = = 1, i=lm}), является максимальным тором в G = = SOn(Qt) (соответственно, G = SOn(Q2^ и соответствующая система корней R = R(T,G) имеет тип /)ш(т^2) в первом случае и тип Bm(m^l) во втором (группа G = SO2(Qi) является одномерным тором), см. Бурбаки [4]. Таким образом, при л ^ 3 группа G = SOn(F) является полупростой (в

действительности простой, за исключением случая п = 4, когда ^2 = ^i+ Л1) группой типа В а-Х (п нечетно), либо Dn

(п четно). Группа G неодносвязна; ее универсальной К-опреде- ленной накрывающей является так называемая спинорная группа G = Spinn(F), конструируемая при помощи алгебр Клиффорда (см. Бурбаки [1], Дьедонне [2]). Ядро Ф = Кегл универсального /(-определенного накрытия л: G-^G имеет порядок 2 и состоит из {±1} в смысле соответствующей алгебры Клиффорда. Отсюда следует, что при I ^ п имеет место коммутативная диаграмма универсальных накрытий

Spinn^SOnт tspim —>• sot

причем вертикальные стрелки являются вложениями.

Предложение 14. Пусть G = SOn(F) (п ^ 3), где F — невырожденная симметрическая матрица. Тогда G является неодносвязной полупростой К-группой типа В п_х , если п нечетно, ~2

и типа D п, если п четно. При этом rangK G совпадает с индексом Витта соответствующей квадратичной формы f. В частности, группа G является К-анизотропной в том и только том случае, если анизотропна форма f.

Нам осталось доказать лишь утверждение о /(-ранге группы G. Для этого напомним, что индексом Витта формы / называется размерность максимального вполне изотропного подпространства W с: V = Кп (т. е. такого подпространства, что /(х)=0 для всех х е 1К). Положим I = dim W. Тогда форма f эквивалентна над К форме вида xxxz+1 + . . . + xzx2[ + f0 U21 + 1, • • •, х^, где /0—некоторая /(-анизотропная форма, поэтому можно без ограничения общности считать, что сама форма f имеет такой вид. Пусть Т = V = diag (аь . . ., а;, pz) е GL^ (К) |azpz = 1 для i = l, . .., /}— /-мерный разложимый тор. Легко видеть, что Т с: SOn(f), и прямое вычисление показывает, что ZG(T)~ ^Т X SOn_2Z(f0). Поэтому достаточно установить /(-анизотропность группы И = SOn_2Z (fo). Но если S с: Н — нетривиальный /(-разложимый тор, то существует ненулевой вектор и е КГ1~'Х являющийся собственным для S с ненулевым характером %. Тогда для любого seS имеем f0(u) = fo(su) = fo(x(s) и) = = x(s)2fo(u), откуда fo(u) = O, что противоречит /(-анизотропности /о- Предложение 14 полностью доказано.

Унитарные группы. Вначале несколько слов об алгебрах с инволюциями. Пусть Л — конечномерная (ассоциативная) алгебра над полем К, L=Z(A)—центр А. Инволюцией т алгебры А называется произвольный /(-антиавтоморфизм т: А—нА

порядка 2. Говорят, что т является инволюцией первого рода, если ее ограничение на центр тривиально, и инволюцией второго рода в противном случае. Алгебра А с инволюцией т будет обозначаться (А,т).

Приведем некоторые примеры инволюций:

А = МП(/С), т (а) = Ч— операция транспонирования матриц.

A = A1„(A), т(х) = ]*хГх, где J задается соотношением (5).

А = АХ®А,, А, = Мп(К), т(х, //) = ('//,

Наша цель — показать, что любая инволюция на простой алгебре при расширении поля до алгебраически замкнутого переходит в одну из указанных инволюций 1)—3). Итак, пусть (А, т)—произвольная простая А-алгебра с инволюцией. Тогда ее центр L является полем. Всюду в дальнейшем мы будем считать, что К совпадает с подполем L5 т-инвариантных элементов центра.

Пусть о — другая инволюция алгебры А, такая, что t]l = o]l. Тогда ф = от-1 является автоморфизмом алгебры А, тривиально действующим на центре, так что по теореме Сколема — Нётер Ф = 1п1^ для подходящего g Е А*. В этом случае о(л') = = ^т(л')^"1, .те А, и из условия o2 = id получаем, что ^т(^)"1е е L. Если теперь предположить, что т — инволюция первого рода, т. е. L = К, то отсюда моментально получаем, что r(g) = = Eg. Если же т — инволюция второго рода, то поскольку ^^gT(g)1) = gTtgy-MgTtg)--1) ^ 1, в силу теоремы 90 Гильберта найдется а е L со свойством gT(g)~’= ат)^)-1. Тогда, заменяя g иа ga~\ можно считать, что T(g) = g. Таким образом, получена

Лемма 10. Пусть т и о— две инволюции простой алгебры А, ограничения которых на центр А совпадают (так называемые центроинвариантные инволюции). Тогда для подходящего g^A*_

o(x) = gx(x)g *, хе А,(6)

причем x(g) = ±g в случае инволюций первого рода и x(g) = g в случае инволюций второго рода. Обратно, для любой инволюции т и любого g е А* с описанными свойствами отображение о, задаваемое (6), будет инволюцией А.

Пусть теперь (А,т)—некоторая простая ^алгебра с инволюцией. Если т—инволюция первого рода, то К совпадает — <р —

с центром А, и поэтому А ®к К — Мп (К). Покажем, что изоморфизм ф здесь можно выбрать таким образом, что ^-линейное продолжение т (которое мы будем обозначать той же буквой) перейдет в одну из инволюций пунктов 1), 2).

Пусть о—инволюция транспонирования матриц, у = фтф-1. Применяя к инволюциям о и v лемму, получим существование

такого элемента FgGMF), что (F=±F и v(x) = F‘xF~x. Далее, существует такая матрица В е СЕпфр что F = В*В, если F — симметрическая, и Р=*В1В, если F—кососимметрическая. Тогда прямое вычисление показывает, что изоморфизм ф: А^кК~Мп^, ф = Int В”х о ф обладает требуемым свойством.

Если т — инволюция второго рода, то [L : ^] = 2, так что —_ ф ___

А ®кК = (.А ®KL) ®LK — Мпф)®Мпф). Здесь алгебра Л®к/( является не простой, а полупростой, однако доказательство леммы 10 проходит без каких-либо изменений. Рассуждая как и выше, мы построим такой изоморфизм ф: А ® к К '-*- Мп (/<) ® ®/И„^), при котором инволюция т переходит в инволюцию, описанную в пункте 3).

Пусть теперь f(x,y)—невырожденная эрмитова или косоэрмитова полуторалинейная форма на m-мерном векторном пространстве V = Dm над телом D, снабженным инволюцией т, L — центр D, и К = LA—поле т-инвариантных элементов. Группа автоморфизмов формы f называется унитарной группой и обозначается через Um(D,f), а ее подгруппа, состоящая из автоморфизмов с приведенной нормой 1, — специальной унитарной группой SUm(D,f). Пусть ег, .... ет—некоторый базис пространства V, F = (f(ei, е,))—матрица формы Д Тогда в базисе С, • • • , бт

um Ф, f) = {g<= GLm ф) | *gFg = F}, причем ’F = ± F,

SUm ф, f) = {g e Um ф, Г) I NrdMm Wl (g) = 1),

где *g = (r (gp“)), если g = (gaF1) (отметим, что * является инволюцией алгебры А = Mn(D) того же рода, что и т). Чтобы реализовать группы Um(D,f) и SUm(D,f) как группы /(-рациональных точек некоторых алгебраических групп, следует, как и в п. 1, рассмотреть регулярное представление р: £)—> -*МмФ) тела D над К {п — индекс О, / = [£:^) и соответствующие уравнения вида (1), определяющие D как подпространство в М(П2 ф). Пусть, далее, т: М№ ф)-> Mw ф)—линейный автоморфизм, продолжающий инволюцию ртр-1 на р(О), и Ф = (р (/“₽))— отвечающая F = (Ja^ матрица из Mimn2(.K)- Тогда образ итф,^ в Mimn2№ при гомоморфизме, индуцируемом р, состоит из матриц

§ = ^П <“> ₽=1- т; 1«! = 11п^'

удовлетворяющих (1) и уравнению

(т(^“))Ф(^) = Ф-^

Соответственно образ 5итф,1) задается уравнениями (1), (7) и уравнением вида (2). Рассмотрев решения этих уравнений

в К, мы получим соответствующие ^-определенные алгебраические группы Um(D,f) И SUm(D,f).

Чтобы исследовать структуру этих групп, положим о(х) = = F-^xF. Тогда, в силу леммы 10, о является инволюцией на матричной алгебре А = Mm(D), причем Um {D, f) = (g е eGLm(D)\o(g)g = Eni),SUm(D, f) = {geUm(D, f) | N^/L(g) = = 1}. Выше мы показали, что в случае, когда т— инволюция первого рода, можно выбрать изоморфизм А(8кК — Мтп(К) таким образом, что о перейдет в одну из инволюций v, указанных в 1) или 2). Тогда соответственно группы Vm (D, f) = = {ge^A^^f\o(g)g = Em} и SUmkD, ^ = Vg^UmkD,n\ NrdX0/(X/r^) = Ц перейдут в группы G = {g e GLmn(E) | v(g)g = Emn} и H = {g e SLmn(R) \v(lg)g= Етп>, которые есть не что иное, как ортогональная и специальная ортогональная группы, если v описывается как в п. 1 (так называемая инволюция первого типа), и которые совпадают с симплектической группой, если v описывается как в п. 2 ^инволюция второго типа). Отметим, что существует инвариантное описание инволюций первого и второго типа: т относится к первому (соответственно второму) типу, если dimA-Z)T = —Х+Л. (соответственно dirn^L) =——^—При этом v относится к тому же типу, что и т, если матрица F эрмитова, и к противоположному типу, если она косоэрмитова.

Пусть теперь т — инволюция второго рода. Тогда можно выбрать изоморфизм А ^к К ~ Mmn (К) ф Мтп (К) таким образом, что т перейдет в инволюцию v, указанную в п. 3. При этом группы Um(D,f) и SUm(D,f) перейдут соответственно в группы G = {(X, У) е GLmn )К) X GLmn (К) I (X, У) (Y, *Х) = (Етп, Етп)}, Н = {(X, У) е SLma <К) X SLmn (К) | (X, У) (% *Х) = (Етп, Етп)}.

Отсюда видно, что G={(X, ‘Х"1) | XeGLmn (R)y Н=^Х, ОХ1) | Хе eSL^^K)}, так что группы Um{D, f), SUm(D, f) изоморфны над К группам GLmn (К?) и SLmn (К) соответственно.

Предложение 15. Пусть G = SUm(D,f), где D — тело индекса п с инволюцией т, f — невырожденная эрмитова либо косоэрмитова форма. Тогда над полем К

G ~ Spmn, т. е. является простой односвязной группой типа С тп, если т — инволюция первого рода первого типа, 2

а форма f косоэрмитова, либо т — инволюция первого рода второго типа, а форма f эрмитова;

G~SOmn, т. е. является полупростой неодносвязной группой типа В mn-i или D тп (отметим, что тип В реали-

2 2

зуется лишь в случае п = 1, т. е. D = K), если т — инволюция первого рода первого типа, а форма f эрмитова, либо т — инволюция первого рода второго типа, а форма [ косоэрмитова;

G ~ SLmn, т. е. является простой односвязной группой типа Атп-\, если т—инволюция второго рода.

При этом rang^ G совпадает с индексом Витта формы f, т. е. размерностью максимального вполне изотропного подпространства в Dm.

Отметим, что рассмотренные в п. 2 группы SO„(F) и Sp2m(F) можно трактовать как унитарные группы относительно тождественной инволюции тела D = К. Кроме того, когомологии унитарных групп вычисляются точно так же, как в предложении 6 вычислялись когомологии ортогональной группы. А именно, используя вместо леммы 2 лемму 8, мы приходим к следующему результату:

Предложение 16.Элементы множества Hx(K,Um(D,^ биективно соответствуют классам эквивалентности m-мерных невырожденных форм над D того же типа, что и f. При этом классы собственной эквивалентности (т. е. эквивалентности относительно группы SLm(D^ таких форм, имеющих тот же дискриминант, что и f, биективно соответствуют элементам из

^(Н^К, SUm(D, П^-*НЧК, SLm(D)).

Вместо того чтобы давать доказательство предложения 16 в духе предложений 6—8, укажем на то обстоятельство, что все эти утверждения вытекают из следующего общего принципа, обоснование которого получается из точной последовательности (6) в п. 2 § 1.3: если X— однородное К-определенное пространство алгебраической К-группы G (т. е. задано транзитивное К-определенное действие GXX-^Х), хеХк—некоторая точка и H=G(x)—ее стабилизатор (так что X можно отождествить с G/H), то орбиты группы GK на Хк взаимно однозначно соответствуют элементам из Кег (Нх (К, Н)~^НХ (К, G)).

Группы классических типов. Наша цель — установить обращение предложения 15, а именно, показать, что любая простая К-группа классического типа, кроме 3П4 и 6П4, с точностью до изогении есть либо группа SLm(D'), либо одна из унитарных (в частности, симплектических или ортогональных) групп.

Разберем вначале внутренние формы типа An-ь Мы знаем, что односвязные группы этого типа получаются из G = SLn_ny- тем скручивания при помощи коциклов из HX(K,G^, где G = = PSLn. Но группа G является в то же время группой автоморфизмов полной матричной алгебры Мп и для любого коцикла а ={а0}е И1 (К, G) можно рассмотреть скрученную ал-

гебру А = аМ„. Пусть В — Д031*^1— множество неподвижных точек. Тогда В ® к К ^ Мп (К), откуда следует, что алгебра В является простой и поэтому имеет вид В = Mm^D) для некоторого центрального тела над К индекса d, причем md = п. Как и при определении специальной линейной группы, рассмотрим регулярное представление р: D -> МаЛК^ и соответствующее представление ф: В -> MmdAK). Имее т цепочку изоморфизмов

Мп (К) ~ в 8 к К ~ Ф (В) ®к к.

Тогда, поскольку изоморфизм ф определен над К, имеем (фф)-1 (фф) ° = Ф-1Ф° = аа. С другой стороны, поскольку, по определению, NrdB//<(6) = det(ф-1 (6)) для ЬеВ, то ограничение фф на SLAK) индуцирует изоморфизм SLn^K) и группы SLm(D), построенной в п. 1. Таким образом, получено

Предложение 17. Односвязными группами, относящимися к внутренним формам типа А„_ь являются группы SLm(D), где D — центральное тело индекса d над К и п = md.

Займемся теперь внешними формами типа А^. Эти формы получаются из G=SL,, скручиванием при помощи коцикла а = = {аа} из Нх (К, Aut G), не лежащего в ЯДК, G) и, следовательно, имеющего нетривиальную проекцию в Н1 (К, Sym R). Для системы корней R типа Ап-х(п > 1) группа Sym R имеет порядок 2, причем соответствие ось-*-—а, а е R, доставляет автоморфизм R, не лежащий в группе Вейля Wl^R). Отсюда следует, что группа Aut G порождается 5 и автоморфизмом второго порядка Xi—Ал—1. Как и выше, реализуем элементы Aut G в качестве автоморфизмов некоторой алгебры. Рассмотрим алгебру Я = ЛК (К) ® АМ-К) с инволюцией т: т^Х, У) = RY, 'X) и вложение GLn-^A, задаваемое формулой X-A XRX'A. Мы видели, что таким образом GLn отождествляется с группой U = = {Z е А | Zt(Z) = £}; обозначим также через 817 образ SLn при этом вложении. Покажем, что группа Aut G естественным образом отождествляется с группой тех автоморфизмов алгебры А, которые коммутируют с инволюцией т. Из теоремы Ско- лема — Нётер вытекает, что группа автоморфизмов А порождается внутренними автоморфизмами и автоморфизмом (X, У)-> ->(У, X), который, очевидно, перестановочен с т. С другой стороны, если внутренний автоморфизм перестановочен с т, то легко показать, что он индуцируется элементом из SU. Отсюда следует, что ограничение этих автоморфизмов на SU индуцирует все автоморфизмы группы SU, которую мы отождествляем с G, причем автоморфизм А определяется своим ограничением на SU однозначно.

Пусть -теперь a = ^aaj е Я1 (К, Aut^-G)— произвольный коцикл, не лежащий в Нх {К, G). Рассмотрим а как коцикл

в Н1^, Aut^-A) и построим скрученную алгебру В = аА. Поскольку элементы а0 перестановочны с инволюцией т, алгебра В обладает инволюцией V, перестановочной с действием Gal(A/A). Положим с = BGaitK,K\ тогда ограничение v на С индуцирует инволюцию 0 алгебры С и существует изоморфизм алгебр с инволюциями

(А, т)^(С ® К, 6).

Выясним структуру алгебры С. Поскольку С 8 К с^ Мп (А) ф ФМП(А), алгебра С может быть либо прямой суммой двух простых центральных алгебр над К, либо простой центральной алгеброй над некоторым квадратичным расширением L поля К. Покажем, что в нашей ситуации реализуется вторая возможность. Действительно, Z (С)=а(К® К) GalwK\ По условию коцикл в № (К, SymA), являющийся образом а, нетривиален, т. е. является нетривиальным гомоморфизмом Gal (£//<) = = Gal (A/A)/Gal (А/Т) в Sym R для некоторого квадратичного расширения L/K. Тогда легко видеть, что действие Gal(A/A) на а(К®К) совпадает с действием Gal(A/A) на L 8 К через второй сомножитель, откуда Z(C)= L. При этом, поскольку т действует на R Ф К перестановкой слагаемых, ограничение 6 на L нетривиально. Таким образом, С является простой алгеброй над L с инволюцией 0 второго рода.

Далее, известно (см. Алберт [1]), что С = МпЛЩ Для некоторой алгебры с делением D над L индекса d^md = п), наделенной такой инволюцией второго рода д, что ограничения 0 и 6 на L совпадают. Тогда, в силу леммы 10, 0(х) = P^xF-1, хе eMn(D), где * (хг/) = (6(х/г)) и *F = F. Рассмотрим эрмитову форму / на пространстве V = Dm, имеющую в каноническом базисе щ, ..., еп матрицу F. Утверждается, что aG = SUm{D,f). Для этого рассмотрим регулярное представление р: D->M2d2kK^ над К и соответствующее представление ф: С -> M2md4KY Имеем цепочку изоморфизмов

(А, т)^(С 8кА, 0)^(ф(С) 8 К, фо0 = ф

Тогда (фф^Цфф)" = ао, ибо ф определен над К. При этом композиция фф и указанное выше вложение G->A задают ^-определенный изоморфизм G ~SUm(D,f). Мы получили

Предложение 18. Односвязными К-группами, относящимися к внешним формам типа 2А„-ь являются группы SUm(D,f), где D — тело индекса d, наделенное инволюцией второго рода т, причем К совпадает с полем х-инвариантных элементов центра D, f—невырожденная m-мерная эрмитова форма и n = md.

Перейдем теперь к описанию /(-форм типа С„. Разложимой односвязной группой этого типа является группа G= Sp2n^ = = ^Х е GL2n(K) | *XJX = J}, где J определяется соотношением (5). Рассмотрим инволюцию т алгебры A = М2,ЛК), определенную формулой т(X) = 7-1 ‘XJ. (Эта инволюция является инволюцией первого рода второго типа.) Любой автоморфизм группы G является внутренним (см. теорему 8), так что любая форма группы G получается из G скручиванием при помощи коцикла а = {па} е FB ^К, G^. Ясно, что аа можно рассматривать как автоморфизм алгебры А, перестановочный с действием инволюции т. Тогда, как и выше, заключаем, что скрученная алгебра В = аА обладает инволюцией v, перестановочной с действием группы Галуа Gal(^/^)и поэтому ограничение v на алгебру неподвижных точек с = BGaltKfK> индуцирует инволюцию 6 последней. Имеем изоморфизм алгебр с инволюциями

(Л, т) ~ (С ®к К, 6).

Алгебра С проста над К, так что C = Mm^D^ для некоторого центрального тела индекса d над К, md=2n, обладающего инволюцией первого рода (см. Алберт [1]). Отметим, что последний факт легко следует из следующего критерия: алгебра Е над К обладает инволюцией первого рода в том и только том случае, если она изоморфна противоположной алгебре Е°, в частности, простая алгебра обладает инволюцией первого рода тогда и только тогда, когда она представляет элемент порядка 2 в группе Брауэра. В нашей ситуации С обладает инволюцией первого рода, следовательно С, а вместе с ней и D, представляют элемент порядка 2 в группе Брауэра; но тогда D обладает инволюцией 6 первого рода. По желанию, мы можем считать инволюцию 6 инволюцией первого или второго типа (в самом деле, если 6 имеет, скажем, первый тип, то инволюция 6', определяемая формулой 6'(х) = сб^бН, где с — произвольный кососимметрический относительно 6 обратимый элемент, относится ко второму типу; при этом соответствие xt-^-cx определяет биекцию между б-симметрическими и б'-кососиммет- рическими элементами в D). Из леммы 10 тогда получаем, что 0(х) = PxF~v, где *(хц) = (6(,хц)). *F = —F, если инволюция 6 — первого типа, и *F = F, если инволюция 6 — второго типа. Вводя теперь соответственно косоэрмитову, либо эрмитову форму f на пространстве V = Dm с матрицей F и рассуждая, как и выше, мы получим, что aG = SUm(D,f). Таким образом, справедливо

Предложение 19. Односвязными. К-формами типа Сп являются группы SUm(D, f), где D — центральное тело индекса d над К, наделенное инволюцией первого родах, а невырожденная

106106и. алгебраические группыи. алгебраические группы

106

106

и. алгебраические группы

и. алгебраические группы

форма f эрмитова, если т имеет второй тип, и косоэрмитова, если т имеет первый тип, 2п = md.

Наконец, рассмотрим /(-формы типов Вп и Dn, отличные от 3D4 и 6Di. Односвязной /(-разложимой группой здесь является спинорная группа G = Spinm(f), где /—квадратичная форма максимального индекса Витта над К Ue матрица F совпадает с одной из матриц Qb Q2 в (6), в зависимости от того, является число пг четным или нечетным). Нам, однако, будет удобнее работать с соответствующей ортогональной группой G = *SOm(f). Обозначим через л: G —> G соответствующее универсальное накрытие. Выясним взаимоотношения между группами Aut G и Aut G. Известно (см. § 2.1, теорема 8), что Aut G отождествляется с подгруппой в Aut G, состоящей из элементов, оставляющих группу Кег л инвариантной. Если G относится к типу Вп, то Кегл = Z(G), откуда следует, что группы Aut G и Aut G совпадают. (Это вытекает также из того факта, что диаграмма Дынкина системы корней типа Вп не имеет нетривиальных симметрий, и поэтому все автоморфизмы здесь внутренние.) Пусть теперь G относится к типу Dn, т. е. пт четно. В этом случае автоморфизм G, индуцируемый сопряжением при помощи матрицы из Om(f)\SOm(f), является внешним, так что [Aut G: IntG]^2. С другой стороны, если п =^ 4, то соответствующая диаграмма Дынкина имеет в точности две симметрии, так что [AutG: IntG] = 2. Таким образом, и в этом случае Aut G = Aut G, причем все автоморфизмы G индуцируются сопряжением при помощи элементов группы Om(f). В оставшемся случае п — 4 группа симметрий диаграммы Дынкина системы типа Д4 изоморфна симметрической группе Зз- Тогда, исследуя действие Зз на центре группы G, легко показать, что Aut G изоморфна подгруппе индекса 3 в Aut G и все такие подгруппы сопряжены в Aut G. При этом опять все автоморфизмы G индуцируются сопряжениями из Om(f).

Из этого обсуждения групп Aut G и Aut G вытекает, что если тип /(-формы Н группы G отличен от 3/)4 и 6/)4, то она получается из G скручиванием при помощи коцикла а = (а0)е е//*(/(, Aut G). В этом случае Н — nG является универсальной накрывающей группы aG. Таким образом, достаточно описать /(-формы группы G. Дословно повторяя рассуждения, которые применялись нами для описания /(-форм типа Сп, получим, что группа aG является специальной унитарной группой SUt(D,f), где D — конечномерное центральное тело индекса d над К с инволюцией первого рода т, a f— невырожденная эрмитова либо косоэрмитова форма на пространстве V = D1 в зависимости от того, имеет т соответственно первый тип или второй, m = Id. При этом, если мы имеем дело с группами типа Вп, то, с одной стороны, m должно быть нечетным, с другой— число d должно быть степенью двойки, ибо D имеет экс-

поненту 2 в Bг(^). Поэтому d = 1, т. е. D = К, т = id и f является обычной квадратичной формой.

Предложение 20. 1) Односвязными К-формами типа Вп являются спинорные группы невырожденных квадратичных форм над К степени m = 2п + 1.

Односвязными К-формами типа Dn, отличными от ^D^ и rD- являются универсальные накрывающие специальных унитарных групп SUt(D,f), где D — конечномерное центральное тело индекса d над К с инволюцией первого рода т, а невырожденная форма f эрмитова, если т имеет первый тип, и косоэрмитова, если т имеет второй тип, 2п = Id. (При d = 1, т= id мы получаем спинорные группы 8р1п2п(П невырожденных квадратичных форм.)

В случае, когда К является локальным полем либо полем алгебраических чисел, предыдущие результаты допускают существенное уточнение. Известно (см. Алберт [1]), что над локальным полем тела с инволюцией второго рода индекса d > 1 отсутствуют. Поэтому здесь односвязные К-группы типа 2An-i исчерпываются специальными унитарными группами SUn(L,f), где L — квадратичное расширение К, f—невырожденная форма на И = Ln, эрмитова относительно нетривиального автоморфизма о е Gal (L/K). В ортогональном базисе ец ..., еп пространства V форма f запишется в виде

f (хъ . . ., хп; уъ . . ., У^ = аха(хх)ух + . . . + апа (хп) уп, где коэффициенты at удовлетворяют условию c(ai)= ai, т. е. а,-е К. В частности, полагая для краткости Цх) = Цх,х), будем иметь

f(xi, ..., Хп) = axN цк (xi) + ••• + cuN цк (хп).

Далее, известно (см. § 1.4—1.5), что над локальными полями и полями алгебраических чисел экспонента простой алгебры в группе Брауэра совпадает с ее индексом, поэтому тела с инволюцией первого рода являются телами кватернионов. Любое тело кватернионов D над К обладает канонической инволюцией т, задаваемой в стандартном базисе 1, I, j, к тела D формулой т(ао + ах1 + а2/ + аак) = а0 — axi— а2/ — аак (см. Пирс [1]). В нашей классификации эта инволюция относится ко второму типу, причем множество DT симметрических элементов совпадает с центром К тела D. Отсюда следует, что любая эрмитова относительно т форма f на пространстве V = Dm в ортогональном базисе пространства V имеет вид

f (хь . .., х„; ух, . . ., уп) = т (хО ахух + • • • + т (хп) апуп. (8) Коэффициенты at здесь удовлетворяют соотношению х(ах)=аг, откуда at е К. Поэтому

f(xx, ..., Хп) = ах №Й£>/к(Х1) + ... + цп Nrdo/K^n).

Таким образом, любая односвязная /(-группа типа Сп (где К — либо локально, либо есть поле алгебраических чисел) является специальной унитарной группой SU,гФЛ^ отвечающей форме f вида (8).

Наконец, односвязные /(-группы типа О„, не изоморфные спинорным группам квадратичных форм, являются универсальными накрывающими специальных унитарных групп SUn(D,f), где D — тело кватернионов над К с канонической инволюцией т, f— невырожденная косоэрмитова форма на Dn.

Подводя итоги, мы для удобства ссылок выпишем список простых односвязных алгебраических /(-групп классических типов для случая, когда К есть либо локальное поле, либо поле алгебраических чисел. Прежде всего это группы G = SLm(D), где D — центральное тело над К индекса d, относящиеся к внутренним формам типа Ап, n = md—1. Все остальные группы, за исключением 3П4 и П4, получаются из специальных унитарных групп SUm(D,f)- Точнее, любая односвязная /(-группа G такого типа является универсальной накрывающей некоторой специальной унитарной группы И = SUm(D,f), где D— тело индекса d с центром L, снабженное такой инволюцией т, что поле LT неподвижных относительно т элементов совпадает с К, f— невырожденная эрмитова либо косоэрмитова относительно т форма на m-мерном пространстве 117 над телом D. В зависимости от Д, т и / имеются следующие возможности, при перечислении которых мы указываем также некоторое число то, которое будет возникать при работе с группами классических типов:

[/.:/(] = 2, т. е. т — инволюция второго рода, и форма f— эрмитова. В этом случае G = H является группой типа 2Ап, где п = md — 1 (m0 = 2).

В остальных случаях L = K, т. е. т — инволюция первого рода. Тогда тело D либо совпадает с К, либо является телом кватернионов над К, и тем самым продолжение списка классических групп имеет следующий вид:

D = K и форма f— симметрическая. Тогда Н является специальной ортогональной группой SOm^V а G— спинорной группой G = Spinm(f), причем эти группы относятся к типу В m~i при нечетном тик типу D т при четном m(m0 = 4).

Т

D = К и форма f кососимметрическая. Тогда m четно и G=H совпадает с симплектической группой Spm(f), которая относится к типу Ст_ (т0 = 2).

при тех же D, т, что и в п. 4), форма f— косоэрмитова. Тогда И являемся неодносвязной группой типа Dm, и И ~ ~SO2m(f) над К кт0 = Зу

Теорема Витта. Сохраним обозначения G, Н, f, W, ..., введенные в конце предыдущего пункта. Группа Н действует на пространстве W = W <8К К, сохраняя естественное продолжение формы f. Эта реализация группы Н индуцирует реализацию группы G, которой мы будем свободно пользоваться без дополнительных пояснений, называя при этом т степенью группы G. В дальнейшем нам понадобится так называемая теорема Витта, которая описывает орбиты действия Um(D,f) на IE (относительный вариант) и орбиты G на W (абсолютный вариант) .

Теорема 10 (теорема Витта; относительный вариант). Пусть a, be W— два ненулевые вектора, такие, что f (а) = f(6). Тогда существует такой элемент gE Um(D,f), что b = ga.

Доказательство — см. Бурбаки [1], гл. 9, с. 396—398. Отметим, что в действительности под теоремой Витта понимают обычно более общее утверждение о том, что любой метрический изоморфизм о: их-^-иг между двумя подпространствами Ui, и^с W продолжается до изометрии всего пространства W, т. е. индуцируется элементом из Um(D,f).

Если исключить пункт 3) в приведенном выше списке из рассмотрения, то в пространстве W всегда существует ортогональный относительно формы f базис. В частности, всегда существует такой вектор а е W, что /Да) =И= 0 (анизотропный вектор).

Теорема 11 (теорема Витта; абсолютный вариант). Пусть m 29 2 и a^W—анизотропный вектор. Тогда для любого b е W, такого, что f(6) = f(a), найдется gEG со свойством b = ga. _

Доказательство. Достаточно найти h ^ Н со свойством b = ha. В ситуации п. 2 существование h непосредственно вытекает из теоремы 10, примененной к пространству tP над полем R, и предположения о том, что m ^ 2. Разберем теперь случаи, описанные в пунктах 4)—5). Для этого включим а в ортогональный базис е^ = а, е2, ..., ет пространства W и будем в дальнейшем рассматривать координаты относительно этого базиса. Если tketV-dt, то форма / имеет в этом базисе вид

f(xb Xm) = T(x1)d1X1+ . .. + Т М dmXm.

Выберем далее кососимметрический элемент с е D* и перейдем от инволюции т к инволюции о, задаваемой формулой о(^)= ст(б/)с-1. Тогда о имеет первый _тип, и поэтому можно выбрать изоморфизм D = D ®к К Af2 (К) таким образом, что инволюция а перейдет в операцию транспонирования матриц. Легко видеть, что для d^D равенства т(^) — ±d и a(cd) =

= -bed равносильны, поэтому элементам cd; отвечают симметрические в случае 5) и кососимметрические в случае 4) матрицы _Dt е GL2(/C). Если b=(bbL-., bm), причем элементам bi е D отвечают матрицы Bt е Af2 (/С), то

*BABY + ... +tBmDmBm=Dv (9)

Мы знаем, что при изоморфизме В~М2(К) группа И перейдет соответственно в Н = SO2m (f) или Н = Sp?m (f), где матрица формы f имеет вид diag(Dh ..., Вт). Пусть Bi = I w (;) I- Гогда из (9) вытекает изометричность отно-

\ б21 о22 / ~

сительно формы f подпространства, порожденного первыми двумя координатными векторами ыь u2 е KZm, и подпространства, порожденного векторами wx =№ b^, .... bW, b^ и w2 = ^b^, b^, ..., b^\ b^y Поэтому из теоремы Витта для подпространств вытекает существование такого heH, что h (и:) = w£ (z = 1, 2), или, в матричной записи, h(E2, 0, . .., 0) = = (ВЬ . .., BmY Последнее означает, что отвечающий h элемент heH обладает свойством ha = b, что и требовалось.

В случае 1) рассуждения аналогичны, но имеют несколько другой характер. Опять, пусть ех=а, е2, ..., ет — ортогональный базис пространства IF, причем f(el) = dl так, что Цхъ ..., хт)у= т (л© d^ + + T(,Xm)dmXm. Выберем изоморфизм В ® к К ^ Мд (К) © Мд (X) таким образом, чтобы инволюции т отвечала инволюция (X, У) ->(©, (Х) (см. п. 3), которую мы также будем обозначать через т. Пусть dt = (СЕ, *CEyb = = (bv • • •, bm) и Ь. = (В©, ^У Тогда соотношение f(b) = f(a) может быть записано в виде двух эквивалентных матричных

равенств

4^С^ + ... + ^Л = С1,

‘В^С^у + ... + ^с^вт = tGv( }

Группе Н при этом отвечает группа Н = {(X, *С 1 (Х 1 (С) | XeSLn(.K)Y где п = md,_ С = diag (Сь ..., Ст) и Мп<,К) отождествляется с Мт (Мд (К)). Поэтому нам нужно показать, что если В'У, ВТ удовлетворяют (10), то найдется X ^ SLn(K) со свойствами

‘С^ \‘С В^ /т т z‘С^ \‘С В^ /т т z(12)(12)Второе уравнение в (11) можно переписать в виде

‘С^ \

‘С В^ /

т т z

‘С^ \

‘С В^ /

т т z

(12)

(12)

Первому уравнению в (11) удовлетворяют в точности матрицы

(

п(0YУ\

d(OуY)

°тлт2•••лтт /

с произвольными Хц, 1 ^ i ^т,2^/^т. Учитывая (10), по

лучаем, что такая матрица удовлетворяет (12) в том и только том случае, если

Х^с^Н ... +Х^СтВ^ = 0, 1 = 2, ...,т.(13)

= п — т.= п — т.Учитывая, что (13) сводится к т линейным уравнениям на каждый столбец матрицы X, начиная с (т + 1)-го, легко видеть, что существует решение (13), удовлетворяющее условию ^12• • •^1т

= п — т.

= п — т.

Хщг • • ■ Хщт

Тогда в силу невырожденности Су матрица X также будет невырожденной. Более того, используя однородность (13) и условие т ^ 2, можно добиться, чтобы в действительности X е е ЗЕДК). Теорема 11 доказана.

Замечание. Поскольку в ситуации п. 4 списка классических групп Um{D, f) = SUm{D, f) для всех m ^ 1, утверждение теоремы 11 в этом случае сохраняет силу и при т = 1.

Таким образом, во всех рассматриваемых случаях «сфера» X(f,a> = {х е ^|f(x) = f(a)} является однородным пространством группы G, и поэтому может быть отождествлена с G/G^a), где G{a)—стабилизатор а. В дальнейшем нам понадобится информация о стабилизаторах G(a) векторов а е W и стабилизаторах G(a,b) пар векторов a, AgW'.

Предложение 21. Если т ^ то, то для любого анизотропного вектора а е W стабилизатор G{a) относится к тому же типу, что и исходная группа G, и является полупростой односвязной группой {мы не исключаем случай G^a^ = (е)). Следовательно, если m^mo+L то аналогичными свойствами обладает стабилизатор произвольной пары векторов G{a,b'), порождающих невырожденное двумерное подпространство.

Доказательство. Легко видеть, что для анизотропного а е W стабилизатор Н (а) совпадает с группой SU, ^{D.g), где g — ограничение f на ортогональное дополнение к х. С другой стороны, группа G{a^ совпадает с прообразом И (а) при универ-

сальном накрытии л: G —> Н. Из проведенного выше исследования групп классических типов вытекает, что при наших ограничениях на т группа Н (а) полупроста, поэтому остается проверить, что л|0(а): G (а)-*- Н(а) является универсальным накрытием. Это очевидно для групп, указанных в пп. 1), 4) приведенного в п. 4 списка классических групп, ибо здесь группы Н и Н(а) односвязны (напомним, что п. 3) мы исключаем из рассмотрения). Для оставшихся пп. 2), 4) это следует из согласованности универсальных накрытий специальных ортогональных групп для пространства и подпространства, доставляемых соответствующими спинорными группами (см. п. 2). Второе утверждение предложения, касающееся стабилизаторов пар векторов, непосредственно вытекает из первого.

Некоторые результаты из алгебраической геометрии

Большинство многообразий, с которыми мы будем работать, являются аффинными либо проективными, т. е. бирегулярно изоморфны замкнутым подмножествам соответственно в «-мерном аффинном пространстве А" либо «-мерном проективном пространстве Р". Мы предполагаем известными стандартные понятия алгебраической геометрии вплоть до понятия размерности (см. Шафаревич [1], Хартсхорн [1], а также гл. АГ в книге Борель [8]). Некоторые более специальные факты будут перечислены ниже.

Поле определения алгебраического многообразия (Борель [8], гл. АГ, § 12—14). Пусть К — подполе универсальной области Q. Говорят, что замкнутое подмногообразие ХсА" определено над К, если идеал a<=Q[xi, ..., х„], состоящий из многочленов, обращающихся в нуль на X, порождается пересечением аПХ[Х1, ..., х„] (здесь Х{— стандартная координатная функция на Ап). Регулярное (рациональное) отображение f : Х-* Y двух /(-определенных подмногообразий X cz А", УсА™ определено над К, если существуют такие полиномы fieK\.X\, ..., х„] (соответственно, рациональные функции fteK(xb ..., х„)), 1=1, ..., т, что /(х) = (/[(х), ... ..., /т(х)) для всех хеХ. В случае совершенного поля К известен следующий критерий Галуа для /(-определенности: замкнутое подмногообразие ХсА" определено над К в том и только том случае, если X определено над К и X = Х° для всех aeGal(K/X), где Х° определяется идеалом (а П П^[х!, ..., хД )° cz A[xi, ..., хД. Аналогичное утверждение может быть сформулировано и доказано для произвольных многообразий и регулярных (рациональных) отображений.

Доминантные морфизмы. Морфизм ф: Х->У называется доминантным, если ф(Х) плотно в У в топологии Зарисского. Для таких морфизмов имеет место

Теорема 12 (о размерности слоев морфизма). Пусть ф:Х—>- У доминантный морфизм неприводимых алгебраических многообразий, г = dim X— dim У. Тогда

для любой точки уе^(Д имеем dim ф-1 (у) ^ г,

множество {у е У| dim ф-1 (у) = г) является непустым и открытым.

Доказательство — см. Шафаревич [1], гл. I, § 6.

Касательные пространства. Простые и особые точки (Шафаревич [1], гл. II). Данные понятия носят локальный характер, т. е. не зависят от того, рассматривать ли их относительно некоторого многообразия X или какой-либо окрестности данной точки в X. Поэтому можно вместо X рассмотреть аффинную окрестность фиксированной точки х <= X и тем самым считать многообразие X аффинным. Пусть Лс А" и ас с Q[xi, ..., хД— идеал многочленов, обращающихся в нуль на X. Для произвольного многочлена Цх^, ..., x„)eQ[xi, ..., хД и точки хе А" обозначим через dxf(X1, ..., ХД линейную форму У -^- МХ;, где ХД1 = 1, ..., л) — координаты в «-мер- i=i ‘

ном векторном пространстве, полученном, если точку х принять за начало координат в А". Касательным пространством к многообразию X в точке хеХ называется подпространство TxtX') в этом «-мерном векторном пространстве, определяемое уравнениями

dj^, ХД = 0, tea.(1)

По теореме Гильберта о базисе идеал а порождается конечным числом многочленов ti, ..., fr, и тогда вместо (1) можно рассматривать эквивалентную систему

dxfE №,..., ХД = 0, /=1,...,г.(2)

Если теперь многообразие X определено над К и хеХк, то, выбирая в качестве f, образующие а с коэффициентами из К, мы видим, что касательное пространство Тх(Х/) также определено над К. Регулярное отображение ц:Х->-¥ алгебраических многообразий для любой точки хеХ индуцирует линейное отображение dxtp: Тх(Х^Тф(хД¥^ соответствующих касательных пространств, называемое дифференциалом ф в точке х, причем dxcp определено над К, если таковым является ф и х е Хк.

В уравнениях (1), (2) точка х предполагается фиксированной. Если же заставить х пробегать все X, т. е. рассмотреть совокупность точек (х, ^е А" X А" таких, что х е X, teTJX), то мы получим так называемое касательное расслоение Т (X) многообразия X. Система (2) показывает, что Т(X) является многообразием. Считая X неприводимым и применяя к канонической проекции 7’(Х)->Х теорему 12, получаем, что для всех точек х из некоторого открытого по Зарисскому подмножества

UclX размерность dimT;r(X) соответствующего касательного пространства принимает одно и то же значение d, причем dim 7Д (X) d для любой точки хеХ. Далее, оказывается, что число d совпадает с размерностью многообразия dimX. Таким образом, dim 7Д(Х) ^dimX для всех хеХ, причем точки, для которых достигается равенство (они называются простыми, остальные точки — особыми), образуют непустое открытое по Зарисскому множество. В случае приводимого X точка хеХ называется простой, если она принадлежит единственной неприводимой компоненте У с X и является простой на У.

Предложение 22. Точка х многообразия X с А” является простой в том и только том случае, если найдутся такие многочлены fi, ..., freQ[x]t ..., хП], где г = п—dim^X), и такое открытое по Зарисскому подмножество U с Д'1, что хе У = = {z/ е U | fi (у) = 0, t = 1, ..., г}, У с X и ранг матрицы Якоби

равен г. Если многообразие X определено над К и хе Хк — простая точка, то многочлены fi, ..., fr можно выбрать с коэффициентами из К.

Многообразие, все точки которого простые, называется гладким. Так как простые точки всегда существуют, то любое однородное многообразие является гладким. В частности, гладким будет многообразие произвольной алгебраической группы.

Бирациональные изоморфизмы. Рациональное отображение <р: X-► У неприводимых многообразий называется бирациональным изоморфизмом, если существует обратное рациональное отображение ф-1: У-► X. В этом случае ф индуцирует бире- гулярный изоморфизм открытых по Зарисскому множеств U с X, V с У. Многообразия, бирационально изоморфные аффинным пространствам, называются рациональными. Доминантный морфизм ф: X —*-У является бирациональным изоморфизмом, если соответствующий коморфизм ф* индуцирует изоморфизм полей рациональных функций Q(X) и ЩУ). В частности, многообразие X рационально в том и только том случае, если поле рациональных функций Q(X) является чисто трансцендентным расширением Q. Отметим, что все указанные определения и свойства имеют очевидные аналоги для /(-определенных многообразий.

Имеется одно полезное достаточное условие для того, чтобы доминантный морфизм ф-. X У являлся бирациональным изоморфизмом, для формулировки которого напомним, что ф называется сепарабельным, если коморфизм ф* определяет сепа-

рабельное расширение полей Q(X)/ф*Q(У) (естественно, что условие сепарабельности автоматически выполняется в характеристике нуль).

Теорема 13. Пусть ф: X-^-Y—инъективный доминантный сепарабельный морфизм неприводимых многообразий. Тогда ф является бирациональным изоморфизмом. Если при этом ф является К-определенным морфизмом К-многообразий, то он является К-бирациональным изоморфизмом.

Доказательство — см. Хамфри [1], гл. I, п. 4.6.

Из теоремы вытекает, что для доказательства /(-рациональности некоторого многообразия X достаточно построить инъективный доминантный сепарабельный /(-морфизм ф: U-^-X некоторого открытого подмножества U с: Ап. Отметим также, что /(-многообразие X, для которого существует доминантный /(-определенный морфизм ф: U->- X открытого по Зарисскому подмножества U с Ап, называется унирациональным. Вопрос о том, всякое ли унирациональное многообразие является рациональным, известен под названием проблемы Люрота. К настоящему времени показано, что проблема Люрота как в относительном варианте (т. е. над незамкнутым основным полем), так и в абсолютном (т. е. над замкнутым основным полем), решается, вообще говоря, отрицательно. Многообразие связной (линейной) алгебраической /(-группы G всегда унирационально над К, если либо поле К совершенно, либо группа G редуктивна (см. Борель [8], § 18), откуда, в частности, вытекает доказательство теоремы 2. Тем самым вопрос о /(-рациональности многообразий /(-определенных алгебраических групп имеет характер относительного варианта проблемы Люрота (его обсуждение — см. в § 7.3).

Следующая теорема позволяет проследить, насколько бира- циональные морфизмы отличаются от бирегулярных.

Теорема 14. Пусть ф: X-^-Y— регулярное отображение и би- рациональный изоморфизм неприводимых многообразий, х^Х. Предположим, что точка y=q,(x) является простой на многообразии Y. Тогда если обратное рациональное отображение ф = ф-1 нерегулярно в точке у, то dim ф-1 (у) 5s 1-

Доказательство — см. Шафаревич [1], гл. II, § 4.

Из теорем 13, 14 вытекает, что если ф: X-^-Y—биективный регулярный морфизм неприводимых многообразий в характеристике нуль, причем многообразие Y гладко, то ф является бире- гулярным изоморфизмом.

Действия алгебраических групп на многообразиях. Говорят, что алгебраическая группа G действует на алгебраическом многообразии X, если задан морфизм ц: G X Х-^-Х такой, что

И (е, х) = х,

р <gh, х) = р (g, р (Л, х)).

(Мы дали определение так называемого «левого» действия. Иногда, однако, удобно рассматривать «правое» действие ц: XX G-^-X, подчиняющееся законам р(х, е)=х и ц(х, gh^ = = ^№,g^,h^. В целях сокращения записи обычно пишут gx вместо p(g, х). Действие определено над К, если группа G, многообразие X и морфизм ц определены над К.

Из общих результатов о действиях алгебраических групп нам понадобится лишь так называемая лемма о замкнутых орбитах (см. Борель [8], п. 1.8).

Предложение 23. Пусть G— алгебраическая группа, действующая на многообразии X. Тогда каждая орбита является гладким многообразием, открытым в своем замыкании. Ее граница есть объединение орбит строго меньшей размерности. В частности, орбиты минимальной размерности замкнуты.

Многообразие X называется однородным пространством группы G, если существует транзитивное действие GXX-*X. Если зафиксировать точку хеХ, то в этом случае имеем биекцию G/ G (/)-t->-X между левыми смежными классами по стабилизатору G(x) точки х и точками многообразия X, которую можно использовать для наделения множества G/G^ структурой алгебраического многообразия. (Отметим, что из гладкости однородного пространства и результатов п. 3 вытекает, что, по крайней мере в характеристике нуль, эта структура определена однозначно.) Возникает вопрос, для любой ли (замкнутой) подгруппы Н с G существуют такое действие G на некотором алгебраическом многообразии X и такая точка х е X, что G^ = H. Утвердительный ответ здесь вытекает из следующей теоремы Шевалле (см. Борель [8], п. 5.1; Хамфри [1]): пусть G — произвольная К-группа, Н — замкнутая подгруппа, определенная над К; существуют точное К-определенное представление р: G->-GL(V') и К-определенное одномерное подпространство Dc^V, такие, что Н = {g ^ G\gD = D}. Рассматривая тогда индуцированное действие G на проективном пространстве Р(Р) и точку хе Р(У), отвечающую D, мы получаем геометрическую реализацию G/Н как орбиты Gx, которая оказывается квазипроективным многообразием, т. е. открытым подмножеством некоторого проективного многообразия. При построении теории приведения в гл. IV, V нам понадобится следующий результат, детализирующий теорему Шевалле (см. Борель [6], § 7).

Теорема 15 (усиленная теорема Шевалле). Пусть G— связная алгебраическая группа, Н — ее редуктивная подгруппа, определенные над полем К характеристики нуль. Тогда существуют К-определенное представление р: G—^GL(V) и вектор х е Vk такие, что G^ = Н и орбита Gx замкнута в V.

Поскольку этот результат не столь популярен, как теорема Шевалле, мы дадим набросок доказательства. Рассматривается

действие Н на G левыми сдвигами и соответствующее представление Н в алгебре регулярных функций A[G], Хорошо известно, что это представление локально конечномерно, а классические рассуждения Нагаты [1] из теории инвариантов редуктивных групп показывают, что алгебра инвариантов Л = К[б]н конечно порождена и инвариантные функции разделяют непере- секающиеся замкнутые //-инвариантные подмножества в G (в частности, различные левые смежные классы). Исходя из этих результатов, выберем в Ак конечную систему образующих Xiхг и обозначим через У, конечномерное G-инвариантное /(-определенное подпространство в А, содержащее Xi. Покажем, что естественное представление в пространстве 1/=®1/г и t=i

точка х = (Х]xr)e Vk являются искомыми. Действительно, по построению х/еЛ = К[С]я, откуда G(x)^>//. С другой стороны, если gx = g, то, в частности, x,(g)= xz(e). Но поскольку функции х,, порождают А, они должны разделять различные смежные классы, откуда gH = Н и g^H. Остается показать, что орбита Gx замкнута. Положим X = Gx и рассмотрим ко- морфизм ту. К [Х]^- К [G], отвечающий морфизму G^-X, g*~gx. Из наших построений вытекает, что ц осуществляет изоморфизм К[Х] и А. При этом, используя биекцию между точками аффинного многообразия и максимальными идеалами кольца регулярных функций, легко показать, что утверждение о том, что X = Gx, равносильно следующему факту: для любого собственного максимального идеала тс Л идеал mK[G] нетривиален. Но в силу редуктивности Н существует Л-линейная проекция К[С]^-Л, так что из равенства mK[G] = K[G] получаем, что тЛ = Л, — противоречие.

Отметим, что, применяя теорему 15, в гл. IV, V мы будем использовать вместо р соответствующее правое представление р*, определяемое формулой p*(g) = p(g-1), и записывать действие так: xp*(g); тогда хр* (gh) = (xp*(g)) р* (/г).

При доказательстве некоторых результатов арифметической теории алгебраических групп мы будем использовать ряд конкретных многообразий, к конструкции и описанию свойств которых мы сейчас переходим.

Многомерные классы сопряженности. Орбитами присоединенного действия GXG^G, (g, hy—*ghg~;, являются классы сопряженности в G. Известно (см. Семинар по алгебраическим группам, с. 191), что класс сопряженности элемента h^G замкнут в том и только том случае, если этот элемент полупрост. Аналогично, можно рассмотреть присоединенное действие- G на декартовой степени Gd: (g, (hi, ..., hd))'-^-(ghig~1, ... ..., g^dg-1)- Тогда возникающие здесь орбиты естественно называть многомерными классами сопряженности. Нам понадо-

бится одно достаточное условие замкнутости многомерных классов сопряженности. Будем называть подгруппу Н с G (не обязательно замкнутую) редуцированной, если при некотором точном представлении р: G—^GL„(Q) она переходит во вполне приводимую линейную группу.

Теорема 16. Пусть группа G редуктивна, а элементы hi, ... .... hd^G порождают редуцированную подгруппу. Тогда многомерный класс сопряженности в G элемента ^h\, ..., h^ замкнут в Gd.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда G = = GZ,,,(Q), а подгруппа Н <^ G, порожденная hi, ..., hd, является вполне приводимой. Тогда Q-оболочка Н, т. е. подалгебра в A4n(Q), порожденная Н, которую мы обозначим через А, является полупростой алгеброй. Пусть щ, ..., ит— некоторый базис алгебры А, содержащийся в Н, и ^г(1=1, ..., т) — такие слова от d переменных, что щ = wt(h\, ..., hdV Имеем

“z“/ = Д c^ufe

для некоторых сУ е Й, называемых структурными константами алгебры А. Кроме того, найдутся такие йц ей(1 = 1, ..., d; / = 1, ..., m), что

Ai =•

/=1

Обозначим через F подмногообразие в Gd, определяемое уравнением

Щг (х,, . . ., xd) щ, (х,, . . ., xd) = X с^ (х,xd) (3)

(z, / = 1, . . ., m),

xi = X dijWj (xb . . ., x^ (z=ld\(4)

7 = 1

и покажем, что F совпадает с многомерным классом сопряженности С элемента h = ^hi, ..., h^. Включение С с F очевидно. Пусть теперь f = (fif^eF. Обозначим через В подпространство, натянутое на элементы ut = Wi(ji, ..., fd) (z = 1, ... ..., m). Из уравнений (3) вытекает, что В является подалгеброй в МДЩ и соответствие U't-^-Vi (z = l, ..., m) продолжается до сюръективного гомоморфизма алгебр <р: А-*В, а из (4) — что при этом (p(hi)=\fj(j = 1, ..., dy Пусть А = ф Л, —

i=i

.разложение А в прямую сумму простых подалгебр. Тогда для жаждого z = 1, ..., t либо ф(Л/) = 0, либо ограничение ф |л. —

изоморфизм на образ. Используя теорему Сколема — Нётер (см. и. 1 § 1.4), получаем, что существует такой ^eGLn(Q), что для гомоморфизма фф, где ф = Int g, выполняется следующее условие: для любого i = 1, ..., / ограничение Фф|д. является либо нулевым гомоморфизмом, либо тождественным. С другой стороны, если предположить, что фф|д. = 0 для некоторого I, то алгебра В = ф(А) состоит целиком из вырожденных матриц. Это противоречит тому, что ft^B. Итак, фф|д = = id.4, откуда f, = ф (/г,) = ф-1 (/г,) = g~xhig для всех i = 1, ... ..., d, т. е. f е С, что и требовалось.

Общий случай в теореме 16 сводится к только что рассмотренному. Выберем точное представление р: G^-GLn(Q), при котором группа Н переходит во вполне приводимую линейную группу, и будем считать G подгруппой группы Go = GL^(H). Обозначим через Со (соответственно С) многомерный класс сопряженности элемента h = (hi, ..., h^ в Go (соответственно в G). Ясно, что С с Со П Gd.

Лемма 11. С совпадает с неприводимой компонентой пересечения Со П Gd.

Доказательство получается при помощи обобщения рассуждений Ричардсона [1]. Обозначим через Z неприводимую компоненту пересечения С0 П Gd, содержащую С, и покажем, что Z = С. Для этого, используя редуктивность G, а значит, полную приводимость всех представлений в случае char/( = 0 (см. теорему 4), в алгебре Ли g0 = A(G0) выберем G-инвариантное подпространство ш, дополнительное к g — L(G). Рассмотрим отображение л: G0^D0, где Do = Coh~\ определяемое формулой л (g) = {gh\g~'lhT\ ..., ghdg"xhdvY Легко видеть, что л(С0) = Т>0> deu (X) = (X — Ad (h^ (X), . . ., X — Ad (hd) (X)), X e g0, причем deu (g) совпадает с касательным пространством Te(DQ) к многообразию Do в единице. Покажем, что

gd Л ^ел (д0) = ^ел (д).(5)

Действительно, пусть den(A)egd для X е д0. Представим X в виде X = Y-VZ, где У е g, Хеш. Тогда для любого i= Id

X - Ad (h^ (X) = (У - Ad (hi) (Y)) + (Z - Ad (hi) (Z)), откуда Z— Ad (ht) (Z) e nt П g = (0) в силу G-инвариантности m. и den (X) = deK (У), t. e. (5) доказано. В силу предложения 13 С является гладким многообразием, открытым в своем замыкании. Рассмотрим касательное пространство Tie(D) к многообразию D = Ch~l. Тогда из включений

d^(%)c2Te(D)c2TeUh-i)c2%dndeu(^)

и (5) вытекает, что T(Ch~l\e = T{Zh~x)e, т. е. С открыто в Z. Это рассуждение применимо к любому многомерному классу сопряженных элементов G, содержащемуся в Z. Поскольку Z— неприводимое многообразие, существует только один такой класс, таким образом, С = Z, и лемма доказана.

Так как неприводимые компоненты замкнутого подмножества СоП^^, совпадающие по лемме с многомерными классами сопряженности, замкнуты, то доказательство теоремы 16 завершено.

Мы будем применять теорему для групп над полями характеристики нуль в двух случаях, когда Н есть либо связная ре- дуктивная, либо конечная подгруппа.

Отметим, что при d = 1 условие редуцированности подгруппы, порожденной элементом h е G, равносильно полупростоте h, и мы получаем одну из импликаций в упоминавшемся критерии замкнутости обычного класса сопряженности. В связи с этим было бы интересно выяснить, допускает ли теорема 16 обращение.

Многообразия представлений. Пусть Г — произвольная конечнопорожденная группа, G—некоторая алгебраическая /(-группа. Покажем, что множество ' всех гомоморфизмов (т. е. представлений) группы Г в G находится в биективном соответствии с точками некоторого /(-многообразия /?(Г, G), называемого многообразием представлений. Для этого рассмотрим произвольную систему образующих у]yd группы Г и ассоциированный с ней сюръективный гомоморфизм л: Fd-^-T свободной группы ранга d с образующими Xj, ..., xd, переводящий X; в у. (i= 1d). Пусть А^ = Кегл — множество всех соот

ношений между у], ..., 7d в Г. Положим тогда

J?(Г, G) = №„..., gd)e.

eGd|m(g!gd) = e V^ = m(x!x^e N^.

Из того факта, что алгебраические операции в G являются регулярными /(-определенными отображениями, вытекает, что для каждого слова w = w(xixd) от переменных Xjxd соотношение w = е задает в Gd /(-замкнутое подмножество, поэтому /?(Г, G) является /(-замкнутым подмножеством (подмногообразием) в Gd. С другой стороны, ДЛЯ ТОЧКИ (gjgd)^ е Gd гомоморфизм Г—-G такой, что 7,1—> gi, существует в том и только в том случае, если (gigd) е/?(Г, G). Так как любой гомоморфизм Г однозначно определяется заданием образов образующих, то многообразие Л (Г, G) действительно решает задачу параметризации всех представлений группы Г в G. Отметим, что многообразие /?(Г, G) с точностью до изоморфизма не зависит от выбора исходной системы образующих '71 7^. Действительно, если 616/— другая система

образующих, причем dz = avz (Yi, • • Yd), i= 1I, dz), /=1d, то отображения

teigd)^ tei teiga^Mgvgd)),

tedz)«(e, (d,6Z)еддп 6Z))

являются взаимно обратными /(-определенными морфизмами между многообразиями представлений /?У(Г, G) и Rb{Y, G\, построенными по системам образующих yiYd и 616Z соответственно. На многообразии R{r,G{ естественным образом действует группа G:

g(gigd) = (ggig-1ggdg"vY

При этом орбиты G отвечают классам эквивалентных относительно G представлений.

В последнее время появился ряд интересных результатов о многообразиях представлений /?(Г, G) и связанных с ними многообразиях характеров (см. Платонов [22, 23], Платонов, Беняш-Кривец [1]). Мы, однако, ограничимся здесь доказательством лишь следующего утверждения.

Теорема 17. Пусть Г — конечная группа, a G— редуктивная группа. Тогда имеется лишь конечное число орбит естественного действия G HaR{T, G), причем эти орбиты замкнуты. {Напоминаем, char К = 0.)

Доказательство. Утверждение о замкнутости орбит вытекает из теоремы о замкнутости многомерных классов сопряженных элементов, ибо в силу условия char/( = 0 образ любого гомоморфизма Г —>- G1„(Q) является вполне приводимой группой. Доказательство конечности числа орбит для случая G = GLn{^ вытекает из классической теории представлений конечных групп, согласно которой имеется лишь конечное число неэквивалентных неприводимых представлений Г. Общий случай сводится к рассмотренному при помощи леммы И. Действительно, если Со— класс эквивалентности некоторого представленияр е/?(Г, G) относительно группы GLn{Q{, то неприводимые компоненты, пересечения R (Г, G) П Со являются классами эквивалентности относительно группы G. С другой стороны, неприводимых компонент имеется лишь конечное число. Теорема 17 доказана.

Многообразия торов. Пусть G — редуктивная /(-группа, Т се G — максимальный /(-определенный тор и N = NG{T{— его нормализатор. Из теоремы о сопряженности максимальных торов вытекает, что соответствие gN'—>Tg = gTg-1 задает биекцию между максимальными торами группы G и точками многообразия 3~ = G/N, называемого многообразием {максимальных^

торов группы G. При этом /(-определенным максимальным торам в G отмечают точки из 9"к. (Отметим, что многообразие 9" с точностью до /(-изоморфизма не зависит от выбора исходного тора Т.)

Теорема 18 (Шевалле [3], Борель — Спрингер [1]). Если сЬаг/( = 0, то многообразие 9" является рациональным над К.

Доказательство. Пусть g = Z.(G), ^ = Z,(T)—алгебры Ли G и Т соответственно. Обозначим через ш такое /(-определенное Т-инвариантное подпространство в д, что д = if) ® ш, и пусть X е ^— регулярный элемент. Обозначим через ш0 подмножество в ш, состоящее из таких Z, что элемент X + Z полупрост и регулярен, и его централизатор уд (X + Z) не пересекается с ш. Утверждается, что ш0 является открытым подмножеством в ш. Так как открытость множества регулярных полупростых элементов хорошо известна (см. п. 11 в § 2.1), то достаточно показать, что множество m1 = {Z е m | jg (X + Z) П m = (0)} также открыто. Для этого введем многообразие Р = ((У, Z)emX X m| [X -|- Z, У] = 0} и рассмотрим проекцию Рш, (У, ZV^ :—>Z. Ясно, что для любого Z е m имеем (Z, 0)еР. в частности, .л сюръективно, причем л-1 (0) = (0,0), ибо по построению $(Х) = ^ и ^Пш=(0). По теореме о размерности слоев морфизма отсюда вытекает, что dimP = dimm и множество (Ze е ш | dim л-1 (Z) = 0} открыто в ш. Однако легко видеть, что последнее множество совпадает с Шь

Положим It7 = { (Z, 5) — т X G l^”1 (X + Z)g е ()}, (7=(т0Х X G)(] W. Так как W является прообразом ^ при /(-морфизме ф: mXG-^-g, <p(z, g) = g~x (X + Z)g, то U7—замкнутое /(-определенное подмножество в mXG. С другой стороны, (0, 1)е U, так что U — непустое открытое подмножество в И7. Рассмотрим проекции 0: IP-^-nt и 6: lF-»-G. Поскольку для Z е ш0 централизатор Jg (X + Z) является алгеброй Ли некоторого максимального тора, то из теоремы сопряженности вытекает существование такого »е6, что g~x (X + Z)g е ^, откуда 0 (П) = ш0. При этом по построению

gSg"1 П т = (0),(6)

0 й (Z) = (Z, gN).(7)

Далее, если x = (Z, §')eU и X = (Z', g') е б”1 (б (х)), то g'^gN и X + Z, Х + Z' eg^g"1 =gWV\ откуда Z — Z' — m f) (/Д^1) и в силу (6) Z = Z'. Таким образом, если рассмотреть отображение ф: mX G ->тХЛ, индуцируемое факторморфизмом G ^-9" = GjN, и соответствующие проекции 6': ф(1Р)^-т и б': ф(1^)^-С, то ограничение 6'^у, осуществляет биекцию между ф(П) и то, а ограничение б'|ф(Ц) инъективно. Тогда согласно теореме 13 существует /(-определенное

рациональное отображение %: т(| —- ф(И7), обратное к 0' (напоминаем, что у нас char/( = 0), причем композиция g = 6' ° х инъективна на области определения. Поскольку dim m = dim£T, то опять, применяя теорему 13, получаем, что g осуществляет бирациональный изоморфизм между щ и °Г, и теорема доказана.

Предложение 24. Пусть G— связная алгебраическая группа над полем К характеристики нуль, W сз G — множество регулярных полупростых элементов. Тогда существует такое регулярное К-определенное отображение ф: W-^-5T, что хеТ^ для всех х ^ W, т. е. каждый элемент отображается в содержащий его тор.

Доказательство. Зафиксируем максимальный ^-определенный тор Т с G, при помощи которого определяется многообразие торов TT=G/N, N = Ng{T), и положим Z = {(х, g) е W X X G | g-4g е Ту Очевидно, Z— замкнутое подмножество в W X G. Обозначим через 0: WXG-^-WXH" регулярное отображение, индуцированное факторизоморфизмом ф: G 5Г. Легко видеть, что Z = О-1 (0(7)), так что из открытости ф (см. Борель [8], § 6) вытекает замкнутость Y = 0(7). Пусть л г. W X X^^-W, л2: ^ХХ^Т— естественные проекции. Утверждается, что ограничение Л11у:У-»-1Е биективно. Действительно, для любого хе Ф из теоремы о сопряженности максимальных торов вытекает существование, а из регулярности х— единственность с точностью до элемента из N, такого g е G, что gXxg е Т. Поскольку множество W открыто в G и, следовательно, является гладким многообразием, в силу результатов п. 3 существует обратное к Л1|у регулярное отображение 6: W^- Y. Тогда отображение ср = л2 ° 6 и будет искомым. Предложение доказано.

Отметим, что если рассмотреть действие G на W посредством сопряжения, а на 2Г—посредством сдвигов, то построенное отображение ср будет G-эквивариантным.

Многообразие борелевских подгрупп. В § 2.1 мы видели, что подгруппы Бореля связной алгебраической группы G находятся во взаимно однозначном соответствии с точками фак- тормногообразия ^ = G]B, где Вс G— некоторая фиксированная подгруппа Бореля, поэтому многообразие $ естественно называют многообразием борелевских подгрупп. Если /(-группа G обладает борелевской подгруппой, определенной над К, то ^, очевидно, является /(-многообразием, причем действие G на В левыми сдвигами /(-определено. Однако, как мы знаем, наличие /(-определенной борелевской подгруппы является сравнительно редким явлением, и поэтому естественно спросить, обладает ли ^ /(-структурой в общем случае.

Теорема 19. Пусть G— связная алгебраическая К-группа. Тогда многообразие ^ борелевских подгрупп обладает такой

К-структурой, что точки из $к отвечают К-определенным боре- левским подгруппам и действие G на <Й К-определено.

Доказательство. Положим Н = G/R^G^, Н = H/Z(H). Тогда И является полупростой присоединенной группой. Обозначим через <р: G-*-H— соответствующий факторморфизм. Если В — борелевская подгруппа в G, то <p(S)—борелевская подгруппа в И и G/В ~ Н/(р(В). Тем самым мы получаем редукцию к случаю полупростых присоединенных групп. Любая такая группа G получается из некоторой квазиразложимой группы Go путем скручивания при помощи подходящего коцикла а = {аа = Int gCT), лежащего в группе Int Go. Пусть Вс Go — ^-определенная борелевская подгруппа и ^о = Go/So — соответствующее ^-многообразие борелевских подгрупп. Тогда левые сдвиги га на элементы ga образуют коцикл г в группе /(-автоморфизмов многообразия ^о- Так как многообразие ^0 проективно, то существует «скрученное» многообразие г.$0 (см. замечание после теоремы 9), которое и будет искомым многообразием S.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

НАД ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫМИ ПОЛЯМИ

Если в гл. II мы рассматривали те свойства алгебраических групп, которые определяются, в первую очередь, самой группой и не зависят от основного поля, то в настоящей главе и ряде последующих мы будем исследовать влияние на их структуру свойств поля определения. Мы начинаем с рассмотрения групп над локально компактными полями по нескольким причинам. Во-первых, группа рациональных точек над таким полем наделяется естественной дополнительной структурой аналитической группы (группы Ли), что открывает возможность применения весьма развитой структурной теории групп Ли. Во- вторых, арифметические подгруппы и их обобщения, а также группы рациональных точек над числовыми полями, составляющие основной объект изучения арифметической теории алгебраических групп, вкладываются в качестве дискретных подгрупп в подходящие прямые произведения групп рациональных точек над соответствующими пополнениями, так что свойства последних существенным образом влияют на свойства исходных групп.

В § 3.1 излагаются простейшие результаты топологического и аналитического характера, большая часть которых остается справедливой над любым полем, полным (или гензелевым) относительно некоторого дискретного нормирования. В § 3.2 изучается классическая ситуация, когда основное поле совпадает либо с полем вещественных чисел R, либо с полем комплексных чисел С- Центральный результат здесь — получение разложения Ивасавы, которое будет играть фундаментальную роль в гл. IV. В § 3.3—3.4 мы исследуем группы над неархимедовыми локально компактными полями. При этом в § 3.3 мы излагаем результаты, связанные с использованием методов теории проконечных групп и теории редукции алгебраических многообразий, а в § 3.4 даем обзор необходимых для дальнейшего результатов теории Брюа — Титса. Наконец, в § 3.5 излагаются используемые в книге сведения из теории меры.

Топология и аналитическая структура

Всюду в этой главе через К обозначается недискретное локально компактное поле характеристики нуль. Хорошо известно (см., например, Бурбаки [5]), что К может быть либо связным

(и тогда оно совпадает или с полем вещественных чисел R, или с полем комплексных чисел С), либо вполне несвязным (и тогда оно является конечным расширением поля р-адиче- ских чисел Qp). В частности, К является полным относительно некоторого нетривиального нормирования | |а, которое либо совпадает с обычной абсолютной величиной вещественного или модулем комплексного числа, либо дискретно, т. е. имеет циклическую группу значений. При этом базис топологии К составляют открытые шары В (а, е) = (х е /(| | а— х|„ < е), где ueK, е > 0. Используя топологию на К, можно естественным образом определить топологию на множестве /(-точек Vk произвольного ^-определенного алгебраического многообразия V. Для этого рассмотрим /(-открытое по Зарисскому подмножество 1/сУ, конечный набор fb ..., fr регулярных на U и определенных над К функций и положим

V(fi, ..., fr; eH^llfMO, /=1, ..., г},

где 8 > 0. Легко видеть, что множества E(fb ..., fr; е) образуют базис некоторой топологии на IX, которую мы будем называть топологией, определяемой нормированием и, или, более кратко, и-адической топологией. Отметим, что эта топология сильнее топологии Зарисского. В отличие от топологии Зарис- ского она обладает следующим естественным свойством: если V = Vi X Х— определенное над К произведение двух /(-многообразий, то топологическое пространство Vk канонически го- меоморфно ХхХХх с топологией прямого произведения. Если W— открытое или замкнутое подмногообразие в V, то WK является соответственно открытым или замкнутым подпространством в Vk- Отсюда следует, что для произвольного многообразия V пространство Vk является отделимым. В самом деле, диагональ А с V X V является замкнутой в топологии Зарисского, поэтому &к замкнуто в (V X V) к', так как (V X V) к Vk X Vk с топологией прямого произведения, то из замкнутости \к вытекает отделимость V к- Любой регулярный /(-определенный морфизм f: V-^-W индуцирует непрерывное отображение fK". Vk^VX. Отсюда следует, что если G— алгебраическая/(-группа, то GK является топологической группой.

В случае аффинных или проективных многообразий введенная нами топология допускает более простое и естественное описание. А именно, если (с А А то она является индуцированной с Кп при вложении Vk с Кп (при этом на Кп рассматривается топология прямого произведения КХ • X К; ее стандартный базис состоит из л-мерных шаров В (а, е) = (х е Кп\ IIа—х||0 < < е), где аеК", е>0 и || z|| D = max | zt |D, если z = (zb

..., Zn))- Из этого простого замечания можно извлечь ряд следствий. Во-первых, для аффинного многообразия V про-

странство Vk является локально компактным. Учитывая, что любая точка произвольного многообразия имеет открытую аффинную окрестность, легко показать, что последнее утверждение справедливо для любого многообразия. Во-вторых, если G с GLn(Q)—алгебраическая /(-подгруппа, то топология на Ок индуцируется естественной топологией группы GLn(K)- В частности, если К неархимедово, то топология на Ок может быть описана следующим образом: пусть С <щ К — кольцо целых; тогда группа целых точек Go= G П CLn^C) является «основной» открытой компактной подгруппой, а ее конгруэнц-под- группы Gy(pa)= СуП(-Еп Ф^М^С?)), где рсО— максимальный идеал, образуют базис окрестностей единицы группы GK.

Пусть теперь V cz Р" — проективное многообразие. Тогда топология на Vk является индуцированной с Р^, а топология на Рк совпадает с фактортопологией относительно канонического отображения /(п + 1\(0)-> Ру<. Хорошо известно (см., например, Бурбаки [2]), что относительно этой топологии пространство Рк является компактным, поэтому V к, будучи замкнутым в Рк, также компактно.

Мы не будем здесь рассматривать вопрос о компактности Vk в полной общности, однако дадим критерий компактности в случае, когда V является однородным пространством.

Теорема 1. Пусть G — К-определенная алгебраическая группа. Тогда для К-определенной подгруппы Н ст G факторпространство Gk/Hk компактно в том и только том случае, когда Н содержит максимальную связную К-разложимую подгруппу G°. В частности, группа GK компактна в том и только том случае, если связная компонента G° редуктивна и анизотропна над К-

Доказательство легко редуцируется к случаю связной группы G. Предположим, что Н содержит максимальную связную /(-разложимую разрешимую подгруппу G, которую мы обозначим через В, и покажем, что факторпространство Gk/Bk компактно; тогда факторпространство Gk/Hk также компактно. Согласно теореме Шевалле (см. § 2.4 п. 4) можно выбрать /(-определенное представление G-^GLi/V^ и одномерное подпространство Vi cz V такое, что стабилизатор Vi в G совпадает с В. Так как В разложима над К, то ее образ в GL^V/VV) триангулируем над К. Отсюда следует, что в пространстве V существует /(-определенный флаг ^'={V'iCz ... cz Vi cz ... cz Vn = = У| dim Т/1= /}, «начинающийся» с пространства Vi и инвариантный относительно В. Обозначим через X замыкание орбиты G9" в многообразии флагов ^"(V) (см. Борель [8]). В силу проективности ^"(V) многообразие X также проективно, и поэтому сделанные выше замечания позволяют утверждать, что пространство Хк компактно. Далее, как мы вскоре увидим (см. следствие 2 из предложения 3), из теоремы об обратной

функции вытекает открытость всех орбит действия GK на ^G9"^K. Поэтому если мы покажем, что Хк = (G:^'') к, то открытыми будут все орбиты группы GK на Хк, следовательно, орбита GkST, будучи дополнением к объединению остальных орбит, также и замкнута, т. е. компактна. Так как по построению стабилизатор ^" в G совпадает с В, то естественное отображение <р: G—^X, g'—^gS" определяет непрерывную биекцию ф: GKJBK^ СкЗ". Но отображение <jpj<: Gk^-Xk открыто (следствие 1 из предложения 3), поэтому в действительности мы имеем гомеоморфизм GKIBK'=>GK9", который и дает требуемое. Итак, осталось показать, что Хк <zz G5F. Пусть $еХк\С2Г. Тогда размерность орбиты G3 должна быть строго меньше dim GST (см. предложение 2.23), т. е. стабилизатор О(^) флага 3? в G должен иметь размерность, строго большую dim В. С другой стороны, группа GfS7), очевидно, триангулируема над К, так что связная компонента G(S7)0 разложима над К. Но это противоречит тому факту, что В является максимальной связной ТС-разложи- мой разрешимой подгруппой в G и, следовательно, имеет максимальную размерность, ибо все максимальные связные 7<-раз- ложимые разрешимые подгруппы в G сопряжены (см. Борель, Титс [1]).

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Пусть пространство GK/HK компактно. Выберем максимальную связную разрешимую 7<-разложимую подгруппу Bcz.G, содержащую максимальную связную разрешимую ^-разложимую подгруппу группы Н. Тогда в силу первой части рассуждений пространство НК/(Н[}В)К компактно. Отсюда легко следует замкнутость HKBKC2GK. Поэтому пространство Вк/(В f\ Н) к ~ ~ВКНК/НК компактно. Выведем отсюда, что В = В^\Н, т. е. Bcz.H. Известно (см. § 2.1, п. 8), что в группе В существует определенный над К нормальный ряд В = Во zd В} zd ... zd Br = = (е), последовательные факторы В(/Вг+1 которого 7<-изоморфны Ga либо Gm. Если предположить, что ВГ\Н=?^В, то найдется такой индекс i, что В^В Г\ Н) = В, но F = Bi+1 ^В П И) =^ В. Тогда из компактности ВК/(ВГ\Н)К вытекает компактность BK/FK. Рассмотрим действие группы T = Bt/Bi+x, которая изоморфна Ga либо Gm, на пространстве B/F. Из следствия 2 предложения 3 вытекает открытость всех орбит Тк на (B/F)k, откуда следует замкнутость Т^, где е — класс F в BjF, и, значит, компактность Tk1Fk,_t№ F— образ РТ\В; в Т. Но поскольку dim Т=\, то Т П F — конечная группа, и, следовательно, Тк также компактно, — противоречие. Теорема 1 полностью доказана.

Замечание. Используя теоремы конечности для когомологий Галуа над локальными полями (см. § 6.4), легко показать, что GK имеет конечное число орбит на {G/H)^ откуда следует, что

пространства GK/HK и (G/H)K компактны или некомпактны одновременно.

Из других топологических характеристик пространства Vk отметим следующее: если поле К вполне несвязно, то Vk также вполне несвязно. Вопрос о связности Vk над полями К = R, ,С мы изучим в следующем параграфе.

Большинство из сделанных выше замечаний о топологии пространства Vk в равной степени относятся и к тому случаю, когда К является локально компактным полем характеристики р > 0, т. е. изоморфно полю F((t)) формальных степенных рядов над конечным полем констант F, Однако переходя к рассмотрению аналитической структуры на Vk, следует сделать оговорку, что здесь наше предположение о том, что char7< = 0, существенно и не может быть опущено.

Итак, наша ближайшая цель — ввести на множестве Vk (точнее, на его открытом по Зарисскому подмножестве) структуру аналитического многообразия. Здесь с самого начала удобно считать, что Vk плотно по Зарисскому в V, ибо тогда размерность Vk как аналитического многообразия совпадает с dim V как многообразия алгебраического. Отметим, что этому условию можно всегда удовлетворить, перейдя от Vk к замыканию W множества Vk в V; так как char К = 0, то XV является ^-определенным, причем, очевидно, WK = Vk-

Наша цель — показать, что каждая простая точка х е Vk обладает окрестностью, которая гомеоморфна открытому шару в пространстве Кт, где т = dim, V. Заменяя V на подходящую аффинную окрестность точки х, можно считать многообразие V аффинным, т. е. V с А". Затем применяется предложение 2.22 и следующий вариант теоремы об обратной функции:

Теорема 2 (об обратной функции). Пусть U cz Кп— открытое подмножество, xeU и f = (fb ..., fn): U^>-KrL — полиномиальное (или, более общо, аналитическое) отображение. Положим y = f(x) и предположим, что матрица Якоби /\

1-^- (х) 1 невырожденна. Тогда f является локальным i ' t, j=\,.... п

аналитическим изоморфизмом в точке х, т. е. существует такая окрестность XV cz U точки х, что f(W)— окрестность точки у и f осуществляет аналитический изоморфизм XV и f(W).

Доказательство — см. Серр [4], с. 126—129. Там же можно найти обсуждение определений и свойств, относящихся к аналитическим функциям. Отметим, что нам эти свойства фактически не понадобятся, ибо в большинстве приложений достаточно знать, что f при выполнении условий теоремы 2 является локальным гомеоморфизмом в точке х.

Пусть теперь х = (х°, ..., х°)— простая точка. (Отметим, что из нашего предположения о плотности Vk в V в топологии

Зарисского и открытости множества простых точек вытекает существование таких точек х.) Тогда, согласно предложению 2.22, V определяется в окрестности точки х г уравнениями, где г = п — т, m = dimxl/. Более точно, существует такое открытое по Зарисскому подмножество {/(щА" и такие полиномыЗарисского и открытости множества простых точек вытекает существование таких точек х.) Тогда, согласно предложению 2.22, V определяется в окрестности точки х г уравнениями, где г = п — т, m = dimxl/. Более точно, существует такое открытое по Зарисскому подмножество {/(щА" и такие полиномыА, - • fr^ ^1, • • •, ^], ЧТО 1=1, ..., г} содержится в/ д1г . А_(■57-(я)) равен г. Без; z = l,...,r/ df. х считать, что det (х) |\ОХ} 'ние g = ^gx, ..., gnY Кп-^Кп, для i > г. Ясно, чтоА, - • fr^ ^1, • • •, ^], ЧТО 1=1, ..., г} содержится в/ д1г . А_(■57-(я)) равен г. Без; z = l,...,r/ df. х считать, что det (х) |\ОХ} 'ние g = ^gx, ..., gnY Кп-^Кп, для i > г. Ясно, чтомножество У = {z/ е l/|A(z/) = 0, V и ранг матрицы Якоби ограничения общности можно=# 0. Рассмотрим отображе- где g, = fi для i г и g; = xtмножество У = {z/ е l/|A(z/) = 0, V и ранг матрицы Якоби ограничения общности можно=# 0. Рассмотрим отображе- где g, = fi для i г и g; = xt

Зарисского и открытости множества простых точек вытекает существование таких точек х.) Тогда, согласно предложению 2.22, V определяется в окрестности точки х г уравнениями, где г = п — т, m = dimxl/. Более точно, существует такое открытое по Зарисскому подмножество {/(щА" и такие полиномы

Зарисского и открытости множества простых точек вытекает существование таких точек х.) Тогда, согласно предложению 2.22, V определяется в окрестности точки х г уравнениями, где г = п — т, m = dimxl/. Более точно, существует такое открытое по Зарисскому подмножество {/(щА" и такие полиномы

А, - • fr^ ^1, • • •, ^], ЧТО 1=1, ..., г} содержится в

/ д1г . А_

(■57-(я)) равен г. Без

; z = l,...,r

/ df. х считать, что det (х) |

\ОХ} '

ние g = ^gx, ..., gnY Кп-^Кп, для i > г. Ясно, что

А, - • fr^ ^1, • • •, ^], ЧТО 1=1, ..., г} содержится в

/ д1г . А_

(■57-(я)) равен г. Без

; z = l,...,r

/ df. х считать, что det (х) |

\ОХ} '

ние g = ^gx, ..., gnY Кп-^Кп, для i > г. Ясно, что

множество У = {z/ е l/|A(z/) = 0, V и ранг матрицы Якоби ограничения общности можно

=# 0. Рассмотрим отображе- где g, = fi для i г и g; = xt

множество У = {z/ е l/|A(z/) = 0, V и ранг матрицы Якоби ограничения общности можно

=# 0. Рассмотрим отображе- где g, = fi для i г и g; = xt

/ A/ df. x

det ( — (x) |= det ((x) I=# 0.

V ox. ' ' /V dx. ' ' /

)' i,/ = 1, ...» n1 /i,j = Y...,r

Согласно теореме 2 существует такая окрестность U cz Кп точки х, что W = gfUf— окрестность точки g (х) и g осуществляет аналитический изоморфизм U и W. Пусть h = (Л1( . . ., /г„) = = g~4 W->U. Тогда отображение <p = (<pj(A, . . ., tn_r\ ...

• • • , фг (А, • • • > Аг —г), А, • • • > Аг —г), ГДе ф; (А, • • • , А —г) = h. (х°, .. ., х°, А, • • •, tn-r)> i = А • • • > г> осуществляет параметризацию окрестности точки х в ^ точками некоторого открытого в Кп~г множества. При этом параметризующее отображение на самом деле является обращением проекции на (последние) п — г координат. Отсюда легко следует, что две параметризации окрестности фиксированной точки отличаются на аналитический изоморфизм. Таким образом, в случае аффинного многообразия V на множестве простых точек из Ад вводится естественная структура аналитического многообразия (см. Серр [4]). Данная структура согласована с регулярными отображениями аффинных многообразий, а именно, любое К-оп- ределенное регулярное отображение f; V-*- W аффинных ^-определенных многообразий V и W индуцирует аналитическое отображение f: VK П f ' (1АК) WK, где VK (соответственно Wк) — множество простых точек из Vk (соответственно WKf с введенной выше структурой аналитического многообразия. Используя аффинные окрестности точек произвольного многообразия, легко показать, что и в общем случае VK является аналитическим многообразием, причем любое регулярное ^-определенное отображение f алгебраических ^-многообразий индуцирует аналитическое отображение f, как указано выше. В самом деле, координаты в двух аффинных окрестностях одной и той же точки связаны между собой бирациональным преобра-

зованием, определенным в этой точке. Поэтому две параметризации окрестности данной точки, построенные при помощи этих аффинных окрестностей, отличаются на аналитические изоморфизмы. Далее, любое Х-определенное регулярное отображение f: V ->- W индуцирует регулярное отображение аффинных окрестностей, и тем самым — аналитическое отображение /. Нами доказано

Предложение 1. Пусть V— определенное над К алгебраическое многообразие. Тогда множество V^ простых точек из Vk обладает естественной структурой аналитического многообразия над К. Любое регулярное К-определенное отображение V- V -- W алгебраических К-многообразий индуцирует аналитическое отображение f: Vк П f~\Wк) -> WK.

Таким образом, мы получаем возможность применять к исследованию 1Д аппарат теории аналитических многообразий (см. Серр [3]). Обратим внимание читателя на ряд необходимых нам для дальнейшего понятий,. С каждой точкой х аналитического многообразия X связывается касательное пространство Т*х^Х)*у которое является векторным пространством над К размерности, равной размерности X, т. е. размерности того аффинного пространства, при помощи областей которого происходит параметризация окрестностей точек X. Морфизмом f: X У аналитических многообразий называется непрерывное локально аналитическое отображение, в том смысле, что f индуцирует обычное аналитическое отображение областей параметризации соответствующих точек. Любой морфизм f; Х-*-¥ индуцирует линейное отображение d*J: Т*х (X) -> T*f(x) (Y), называемое дифференциалом f в точке. Морфизм f называется иммерсией в точке хеХ, если d*J инъективно, и просто иммерсией, если это выполняется для всех точек. Если топологическое подпространство X многообразия ¥ также наделено структурой аналитического многообразия и отображение включения Х^У является иммерсией, то X называется подмногообразием в У. Поясняющий это понятие пример «не подмногообразия» в R2 доставляет множество у = ^х\, см. рис.

(Данное множество «негладко» вложено в R2. Подмногообразие же при подходящей аналитической замене координат можно задать линейными уравнениями в окрестности любой точки.) Нам понадобится также следующий критерий открытости отображения.

Предложение 2. Пусть f; XY— морфизм аналитических многообразий, хеХ. Если дифференциал d*J: Т*х (X) -*-Т^(ж) (Y) сюръективен, то f является открытым отображением в точке х.

Доказательство легко получается из теоремы 2 об обратной функции, см. Серр [4], ч. II, гл. III, § 10.

Лемма 1. Пусть V — определенное над К алгебраическое многообразие, хеУк. Тогда Тх (УК) = Тх (У)к, т. е. «аналитическое» касательное пространство совпадает с множеством К-элементов «алгебраического» касательного пространства. Если f: V- ^ \У— определенное над К регулярное отображение алгебраических К-многообразий, xeVK, Цх^е^к* то ^х! = =--(dxf)\rx(vK).

Доказательство без труда вытекает из сравнения соответствующих определений.

Предложение 2 и лемма 1 применяются к алгебраическим многообразиям в следующей форме:

Предложение 3. Пусть f: V^-W— доминантный К-опреде- ленный морфизм неприводимых алгебраических К-многообразий. Тогда, если хе Ух— такая простая точка, что точка f(x) является простой на многообразии W и дифференциал dxf-. Tx(,V^Tfw<W) сюръективен, то отображение fx: Vx^Wx является открытым в точке х. Следовательно, существует такое открытое по Зарисскому подмножество U е V, что fK является открытым в любой точке хе Ок-

Доказательство. Рассмотрим отвечающее f аналитическое отображение f: VKY\f~l (.^к)^ ^к- Из наших условий на точку х и леммы 1 вытекает, что хе ГхП^Ч^х), f^e ^х, и дифференциал dxt является сюръективным отображением. Поэтому открытость fK в точке х непосредственно следует из предложения 2. Далее, так как по предположению char ТС = 0, то морфизм f автоматически является сепарабельным, т. е. сепарабельно соответствующее расширение K(V) /K(W) полей рациональных функций. Отсюда следует (см. Борель [8] и АГ, § 17) существование такого открытого по Зарисскому подмножества U <— У, что для любой точки х е U выполняются условия, указанные в формулировке предложения, и все доказано.

Следует заметить, что если не предполагать множество Ук плотным в V, то Uк может оказаться пустым, и предложение 4 становится бессодержательным. Поэтому сейчас мы опишем две ситуации, в которых такого вырождения не происходит (именно с ними мы в дальнейшем и будем иметь дело).

Следствие 1. Пусть в условиях предложения 4 многообразие V является гладким и Vk ¥= 0. Тогда образ fK(F) любого открытого множества F cz V к содержит непустое открытое в Wk множество. В частности, если f: G ->• И— сюръективный К-го- моморфизм алгебраических К-групп, то fK(GK)— открытая подгруппа в Нк. .

Доказательство использует следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть V— неприводимое гладкое К-многообразие. Предположим, что Ук^Й. Тогда для любого непустого ^-открытого по Зарисскому множества U cz V множество UK плотно в Vk в и-адической топологии. С другой стороны, любое непустое открытое в и-адической топологии подмножество F cz Vк плотно в V в топологии Зарисского, в частности, Vk плотно в V.

Доказательство. Нетрудно видеть, что оба утверждения леммы сводятся к доказательству непустоты пересечения U П F, где U cz V — открыто по Зарисскому, a F cz VK — в топологии, определяемой нормированием. Положим Х = V\U. Тогда, если мы зафиксируем некоторую точку хе F, то найдется ненулевая регулярная в ^-определенной окрестности W cz V функция f е ^ /С [ Д'], тождественно равная нулю на X П W. Поскольку по условию многообразие V является гладким, то точка х проста, и, следовательно, согласно предыдущему, существует аналитическая параметризация некоторой окрестности х. Если теперь предположить, что U П F = 0, т. е. F cz X, то аналитический ряд Тейлора функции f обязан быть нулевым. Так как ряды Тейлора в алгебраическом и аналитическом смыслах совпадают, то последнее противоречит инъективности отображения, сопоставляющего функции, регулярной в простой точке, ее алгебраический ряд Тейлора (см. Шафаревич [1], гл. II). Лемма 2 доказана.

Пусть теперь Ucz V — открытое по Зарисскому подмножество, построенное в предложении 3. Тогда согласно лемме 2 U (] F =^ Й. Так как fK‘. Vk^Wk является открытым в любой точке xeU.fiF, то отсюда вытекает наше первое утверждение. Второе утверждение следствия 1 непосредственно следует из первого.

Следствие 2. Пусть G)<X-^X— определенное над К действие связной алгебраической К-группы G на многообразии X. Если xezXk и Y— замыкание орбиты Gx,to для любого открытого F cz GK множество Fx открыто в Ук.

Доказательство. Рассмотрим морфизм <р: G-^-Y, <p(g) = gx. По построению <р является доминантным, и поэтому, применяя предложение 3, можно найти открытое по Зарисскому множество _U cz G с описанными там свойствами. Тогда q;K является открытым в любой точке g е Uк. Так как <р(hg) = tup (g) для любого h^G, то q)/< в действительности является открытым

в любой точке 1г е GK. Отсюда автоматически вытекает открытость cp(F) = Fx для любого открытого F ст GK.

Приведем пример использования полученных результатов применительно к изучению структуры групп рациональных точек над локально компактными полями.

Теорема 3 (Рим [1,2]). Пусть G — К-простая алгебраическая группа. Тогда любой нецентральный нормальный делитель группы GK является открытым.

Доказательство. Для g е G положим Wg = {[g, Л] = = g-^^gh^h е G). Все множества ^(geG) являются неприводимыми многообразиями, содержат единицу и в совокупности порождают коммутант [G, G] группы G. В нашей ситуации [G, G] = G, так что, применяя несложное рассуждение, использующее понятие размерности (см. Борель [8], предложение 2.2), и учитывая равенство (^g)-1 = ^g-1, получаем существование такого конечного набора элементов gx, . . ., gn е G, что G = IFg . .. W gn. Рассмотрим морфизм

ф: X = G X • • • X.G G X ■ • ■ XG = Y,

2п п+1

Ф (хи . . ., хп, ух, . . ., у^ = (хь . . ., хп, [х„ ух] ... [хп, у^ ).

Согласно теореме о размерности слоев морфизма (см. § 2.4, п. 2) для любой точки уеф(Т) имеем dim ф-1 (у) ^ (и— — l)dimG; установим существование таких точек, для которых имеет место равенство. По построению морфизм <pg : GX ...XG-^G, ^gv. . gJxv ..., xn^ = \gv хх\ ... \gn,xn\

сюръективен, поэтому существуют такие точки g е G, что dim<pg* (g) = (n — l)dimG.

Тогда в качестве у можно взять точку вида (g"i, ..., gn,g)- Опять применяя теорему о размерности слоев морфизма, получаем существование такого открытого по Зарисскому множества U с Y, что dim дХ (х) = (л—l)dimG для любого х е U. Обозначим через V проекцию U на первые п компонент. Тогда V открыто в G X • • ■ X G и для любого (хь ..., xr)e V найдется

g е G со свойством dim „ GA = n—L Отсюда следует, ЧТО для (Xi, . .., Х^Е V морфизм <р является ДОМИнантным. Пусть теперь N е GK—нецентральный нормальный делитель. Так как Ок плотно в G в топологии Зарисского (теорема 2.2; для локального поля это вытекает также из леммы 2),

то замыкание N в этой топологии является нецентральным ^-определенным нормальным делителем в G, и, следовательно, N = G, ибо G по условию К-проста. Поэтому из приведенных выше рассуждений следует,, что найдутся такие элементы хь ..., x„ е N, что морфизм <рявляется доминантным.

Применяя следствие 1 из предложения 3, получаем, что Фх х V^k X • • • X ОД содержит открытое в Ок подмножество. Но <рХ(Хп (GKX ... X ОД = { [х,, ИД... [х„, КД | А, е е ОД со N, поэтому N открыт в GK- Теорема 3 доказана.

Замечание. В доказательстве мы пользовались только предложением 3, которое является формальным следствием теоремы об обратной функции, и нигде не использовали локальную компактность поля К. Поэтому утверждение теоремы имеет место всякий раз, когда над полем К справедлива теорема об обратной функции, скажем, К является полным относительно нетривиального дискретного нормирования. Именно в такой общности данный факт применяется при исследовании отклонения от свойства слабой аппроксимации для односвязных групп над произвольным полем (см. § 7.3). Отметим также, что для локально компактных полей из теоремы 3 можно получить (и мы это проделаем в § 3.2—3.3) более сильный результат: в условиях теоремы 3 любой нецентральный нормальный делитель группы Ок имеет в ней конечный индекс.

В изложенных выше результатах теории аналитических многообразий мы фактически игнорировали тот факт, что на большинстве изучаемых нами многообразий имеется структура группы. Сейчас мы представим ряд результатов, которые получаются благодаря использованию групповой структуры. В целом изучение групповых аналитических многообразий составляет предмет классической теории групп Ли, изложению которой посвящены, например, книги Серра [3], Бурбаки [4], Хел- гасона [1]. Мы же ограничимся указанием на ряд фактов, относящихся, главным образом, к группам Ли, возникающим из алгебраических групп. Итак, пусть О— определенная над К алгебраическая группа. Как мы знаем, многообразие О является гладким, поэтому на множестве Ок имеется естественная структура аналитического многообразия над К. При этом групповые операции оказываются аналитическими отображениями, так что в действительности Ок оказывается наделенной структурой аналитической группы или группы Ли (см. Серр [3]). Алгеброй Ли д* аналитической группы Ок называется касательное пространство в единице ТДОД- Согласно лемме 1 д* совпадает с подпространством К-элементов алгебраического касательного пространства ТДО), т. е. алгебры Ли g = L(G) как алгебраической группы; при этом скобка Ли на д* индуцируется с д.

Можно определить экспоненциальное и логарифмическое отображения ехр и log (см. Бурбаки [4]), которые осуществляют взаимно обратные локальные аналитические изоморфизмы д* и GK. Если GcGLJ.Q^—матричная реализация G, то ехр и log задаются обычными формулами:

у v2vm

ехр (X) = £„ +-р-++ ... +—А е д',

log(x) = (x-£J-^=^l++ (-1Г-1^Г + ...,

xeGk.

В частности, экспоненциальное отображение группы индуцирует экспоненциальное отображение подгруппы. Если X, У e;i (соответственно, х, ye G) перестановочны, то

ехр (X + У) = ехр (X) ехр (У),log (ху) = log (х) + log (у)

(при этом предполагается, что все участвующие здесь выражения определены, т. е. соответствующие ряды сходятся). Отсюда, в частности, следует, что в группе Ок всегда существует окрестность единицы, не содержащая нетривиальных элементов конечного порядка (см. Серр [4]). Отметим также следующие формулы:

ехр (х-1Ах) = х-1 ехр (X) х,log(x-Iyx) = x"‘log(y)x,

т. е. экспоненциальное и логарифмическое отображения коммутируют с присоединенным действием группы Gk-

Если подгруппа И cz Ок является также подмногообразием в 0к, то Н называется подгруппой Ли в Ок- Из определений вытекает, что если Н cz Ок—подгруппа Ли, то имеет место аналогичное включение для соответствующих алгебр Ли: 1)* cz д*. Подгруппа Ли H^Gk не обязана быть замкнутой ни в топологии группы Gk, ни тем более в топологии Зарисского. Рассмотрим замыкание В группы Н в топологии Зарисского. Тогда Вк является подгруппой Ли в GK, содержащей Н. Насколько Вк может отличаться от Н? Мы дадим ответ в терминах соответствующих алгебр Ли 6* и ф*.

Предложение 4. В описанной ситуации 1)* является идеалом Ь*.

Доказательство. Рассмотрим присоединенное представление Ad: G-^-GA(g), где g = A(G) — алгебра Ли G как алгебраической группы; д = д*®лй, где д* — алгебра Ли Gk как аналитической группы. Пространство £*, а следовательно, и пространство Ь = ()*®кй являются, очевидно, //-инвариантными. С другой стороны, подгруппа ScG, состоящая из таких g е G, что Ad (g) (f)) = (>, замкнута в топологии Зарисского. Поэтому из

включения HcS вытекает, что nScS. Учитывая, что дифференциал присоединенного представления алгебраической группы совпадает с присоединенным представлением соответствующей алгебры Ли (см. Борель [8], § 3), для алгебры Ли b = G(5) получаем включение [Ь, Ь] cz ^. Так как Ь сЬл, ^* = ^, то отсюда следует, что [Ь*Д*]с^*. Предложение 4 доказано.

Краткий обзор необходимых для дальнейшего фактов теории групп Ли мы завершим формулировкой теоремы Картана.

Теорема 4 (Э. Картан). Предположим, что поле К совпадает либо с полем вещественных чисел R, либо с полем р-ади- ческих чисел Q,>. Тогда замкнутая подгруппа группы Ли над К является группой Ли. Всякий непрерывный гомоморфизм групп Ли над К является аналитическим.

Доказательство — см. Серр [3], с. 260—263.

В заключение этого параграфа приведем один красивый пример применения техники групп Ли и аналитических многообразий к теории групп.

Предложение 5. Пусть G <^ GL„— редуктивная алгебраическая группа, определенная над неархимедовым локальным полем К. Тогда в группе целых точек Go = G T\GLn(d) имеется лишь конечное число попарно не сопряженных конечных подгрупп. В частности, число несопряженных конечных подгрупп группы SEnC^p) конечно.

Доказательство. Из сделанных выше замечаний о группах Ли вытекает существование окрестности единицы группы Go, не содержащей нетривиальных элементов конечного порядка. Так как конгруэиц-подгруппы Go (pa)={xeGy | х = £n(mod ра)} *), ■где рсб7 — идеал нормирования, а^1, образуют базис окрестностей единицы, то найдется конгруэнц-подгруппа (скажем, Ga(pa)), обладающая тем же свойством. Отсюда следует, что любая конечная подгруппа в Go изоморфна подгруппе группы GojGo^Y которая конечна в силу компактности Gy и открытости Go^aY Поэтому в Go существует лишь конечное число неизоморфных конечных подгрупп, и достаточно показать, что конечные подгруппы в Go, изоморфные фиксированной группе Г, разбиваются в конечное число классов сопряженности. Для этого рассмотрим многообразие представлений R = R^r,G) (см. § 2.4, и. 4) и установим более сильное утверждение о том, что множество £у=Нош(Г, Gy) состоит из конечного числа орбит относительно естественного действия группы Go- Из теоремы 2.17 вытекает, что имеется лишь конечное число орбит естественного действия G на R (Г, G), причем эти орбиты

замкнуты в топологии Зарисского. Пусть X — одна из таких орбит. Нам достаточно показать, что Хо состоит из конечного числа орбит группы G. Это очевидно, если Хе=0. В противном случае орбита X, очевидно, определена над К, и для любой точки х е Хд орбита Ggx открыта в Хз согласно следствию 2 из предложения 3. С другой стороны, из замкнутости X в R и компактности О вытекает компактность Хд, поэтому из открытого покрытия Хд= J Ggx можно выбрать конечное подпокры-

X

тие, что и дает требуемую конечность числа орбит G на Хд. Предложение 5 доказано.

Архимедов случай

В предыдущем параграфе был получен ряд утверждений об элементарных топологических и аналитических свойствах пространства Хк, где X—алгебраическое многообразие, определенное над локально компактным полем К. Соответствующие доказательства опирались лишь на теорему об обратной функции, которая одинаково хорошо работает как в «классическом» случае К = R или С, так и в неархимедовом, когда К — конечное расширение поля Qp. В настоящем параграфе мы приведем ряд утверждений, которые присущи исключительно архимедову случаю. К их числу прежде всего относятся результаты о связности.

Теорема 5. Пусть X — неприводимое алгебраическое многообразие, определенное над полем комплексных чисел С- Тогда пространство Хд связно.

Доказательство — см. Шафаревич [1], гл. VII, § 2. Отметим, что этот результат в данной книге использоваться не будет.

Теорема 6 (Уитни [1]). Пусть X— алгебраическое многообразие, определенное над полем вещественных чисел R. Тогда пространство Хк имеет конечное число связных компонент.

Доказательство. Заменяя X на замыкание АУ в топологии Зарисского (что не влияет на R-точки), можно считать, что Хр плотно в X. Тогда вещественные точки плотны в каждой неприводимой компоненте X, и поэтому последние определены над R. Тем самым можно считать X неприводимым. Предположим, что утверждение теоремы для таких многообразий не выполняется, и пусть X — контрпример минимальной размерности (ясно, что dimV>0). Выберем открытое R-определенное аффинное подмножество У с А. Тогда Т = Х\У является алгебраическим R-многообразием, размерность которого строго меньше dimV. По предположению Tr имеет конечное число связных компонент, так что число связных компонент пространства Ур обязано быть бесконечным. По этой причине многообразие X можно считать аффинным. Пусть S— множество особых точек X (см..

2.4, п. 3). Как мы знаем, S— собственное замкнутое подмножество в X. Поэтому рассуждая как и выше, получим, что пространство V = Xr\Sr имеет бесконечное число связных компонент {V/J^Lp причем почти все из них, скажем, V, для /^Z являются связными компонентами пространства Xr. В § 3.1 мы показали, что V является аналитическим многообразием, и, в частности, локально связным пространством. Поэтому все V, являются непересекающимися открыто-замкнутыми подмножествами в V, а У,- для / ^/ — открыто-замкнутыми подмножествами в Xr. Предположим, что нам удалось найти собственное замкнутое R-определенное подмножество Z с X, пересекающее почти все Vj. Тогда число связных компонент пространства Zr не может быть конечным, ибо Zr= J (Zr П У/) и для почти

/-1

всех j пересечение Zr f) V, является непустым открыто-замкнутым подмножеством в Zr. Но это противоречит нашим построениям, ибо dim Z < dim X.

Для построения Z предположим, что X реализовано как замкнутое по Зарисскому подмножество аффинного пространства А", множество вещественных точек R" которого наделим обычной метрикой. Зафиксируем произвольную точку а = = («1, ..., а^Е V\. Для каждого /^ / множество Vj замкнуто в R", и поэтому можно найти точку b, е Vj, ближайшую к а. Мы построим собственное замкнутое алгебраическое подмножество ZcX, содержащее все 6/. Его уравнения легко получить, исходя из того, что Ь; являются точками условного экстремума функции g(Xb ..., Х,г) = (Х[ — ai)2 + ... +(Х„ — апу.Х именно, если г = п — dimX, а — идеал полиномов, обращающихся в нуль на X, то для любых Д, . . ., fr е aR и любого / линейные формы

db,L> dbjg

(см. § 2.4, п. 3) являются линейно зависимыми, что равносильно выполнению равенств

д;^, ...лг, g)(6z) = o, i l...,c'/;,

где Az-(fb r^g)(-v)—все миноры порядка (r+^Xk+l) матрицы

дХх v ' ""' дХ„ w

dfr / \ч

дХх ^ 1 1 ' дХп ^ "dg_(xx _dg_(xxдХ, W 1 1 1 дХп V ’ j

Пусть Z— подмножество в X, определяемое системой

/=1,.... с1, f„ ...,дЕа.

По построению Z содержит все точки Ь,, поэтому надо только убедиться, что Z ф X. Покажем, что V\\Z. Так как точка а является простой на X, то существуют такие полиномы fx, . . . . .., fr eo.r, что формы dxf\, ..., dxfr линейно независимы для х = а (предложение 2.1), а значит, и для всех х, достаточно близких к а. Далее, пусть аналитические функции их(/х, ...

■^d), -.., un(G, ..., /d) (d=dimX>0) осуществляют параметризацию окрестности точки а (см. § 3.1), Так как g представляет собой квадрат расстояния от точки а, то аналитическая функция ф (у ... ,/Д = g (U1 (у . . ., /Д, ..., un(tx, . . ., tdy> не сводится к константе. Поэтому

(^S 0)<■)

на любом открытом множестве изменения параметров. Из равенств

. .., td\ ..., ип^х, ..., /Д) = 0, /= 1, . .., г, вытекают соотношения

/du, du \ Д df.du.

(d [Л I —L--—Д.) = у . —к = о

х76 -16'

i=l, .... г, /= 1, . . ., d.

Тогда если формы dxfi, ..., dx{r, dxg линейно зависимы, то для всех х, достаточно близких к а, dxg линейно выражается через dxfx, ..., dxfr, ибо последние по построению линейно независимы. Следовательно,

/ du.ди \ -Д da ди.

М а\ I —L-• 2- ) = У . L = о / = 1 d (2)

1i 7k-\ k i

Но левая часть (2) совпадает c дц>!дД так что (2) противоречит (1). Таким образом, формы dTfx, .. . , dxfr, dxg не могут быть линейно зависимыми во всех точках хе 1У Поэтому не все определители Аг- (Jx, . .. , fT, g) (х) тождественно равны нулю на Vi, т. е. Vx ф X. Теорема 6 доказана.

Следствие 1. Пусть G — алгебраическая R-определенная группа. Тогда группа Gr имеет конечное число связных компонент. Если группа G связна, то из компактности группы Gr вытекает ее связность.

В доказательстве нуждается лишь второе утверждение. Группа Gr, будучи компак* ной, целиком состоит из полупростых

элементов. Поэтому произвольный фиксированный ее элемент лежит в некотором (своём) R-определенном торе Т cz G. Группа Tr также компактна, и поэтому Т изоморфен тору вида (Rc/r (<?m))d, где d = dim Т (см. § 2.2, п. 4). Отсюда следует, что Tr можно отождествить с произведением d экземпляров единичной окружности, которое связно. Таким образом, связная компонента G^ обязана содержать все группы TR, и поэтому совпадает с GR. Другое доказательство связности группы Gr можно получить, воспользовавшись тем фактом, что компактная линейная группа над R замкнута в топологии Зарис- ского (см. Шевалле [1], т. 3, с. 296).

Предложение 6. Пусть G— связная R-простая алгебраическая группа. Тогда любой нецентральный нормальный делитель группы Gr имеет в ней конечный индекс. Если группа Gr компактна, то она проективно проста.

Доказательство. Согласно теореме 3 любой нецентральный нормальный делитель N группы Gr открыт и поэтому обязан содержать связную компоненту Gr, которая в силу следствия 1 имеет конечный индекс в Gr. Если группа Gr компактна, то Gr = Gr, и поэтому N = Gr.

Продолжим получение следствий из теоремы 6.

Следствие 2. Пусть G X Х-^>- X—транзитивное R-определенное действие алгебраической R-группы G на R-многообразии X. Тогда Ar состоит из конечного числа орбит группы Gr. Если Xr связно, то имеется в точности одна орбита.

Доказательство. Для любой точки x^Ar орбита Grx открыта в Xr (следствие 2 из предложения 4). Дополнение Ar\Grx является объединением остальных орбит, и поэтому также открыто. Тем самым Grx является открыто-замкнутым подмножеством пространства Ar и поэтому содержит связную компоненту последнего. Поэтому число различных орбит не превосходит числа связных компонент Ar, которое конечно, и равно единице, если Ar связно.

Замечание. Следствие 2 имеет очевидную когомологическую интерпретацию. А именно, если х е Ar, то А можно отождествить с однородным пространством G/Н, где H=G(x) — стабилизатор точки х, и тогда орбиты группы Gr на пространстве Ar взаимно однозначно соответствуют элементам из Кег(/Д(К, Н)-* Нх (R, G)) (см. § 1.3, п. 2). Поэтому в силу следствия 2 указанное ядро конечно. Рассматривая вложение данной R-группы Н в некоторую R-группу G с тривиальными когомологиями (например, при помощи точного R-определенного представления Н c*G = GLn), отсюда получаем, что для любой R-группы И множество H'(R,H) конечно. В главе VI § 6.4 мы

дадим другое доказательство этого факта, которое работает также в случае неархимедовых локальных полей.

Следствие 3. Пусть f: GН— сюръективный ^-определенный морфизм алгебраических групп. Тогда индекс [Яр : f (Gr)] конечен. Если группа Hr связна, в частности, если Н унипо- тентна, то гомоморфизм /r: Gr-^-Hr сюръективен.

Доказательство вытекает из следствия 2, если применить его к действию G X Н Н, (g, А) —> f (g) А. Связность множества R-точек унипотентной группы Н является следствием того обстоятельства, что логарифмическое «усеченное» отображение определяет гомеоморфизм Hr и L^H^r, где L^H)— алгебра Ли группы Н (см. § 2.1, п. 8).

Дальнейшие результаты этого параграфа направлены на более точное изучение алгебраической и топологической структуры групп вещественных и комплексных точек редуктивных алгебраических групп. А именно, мы хотим получить для таких групп полярное разложение и разложение Ивасавы. Чтобы прояснить существо дела, мы вначале рассматриваем наиболее простой случай группы GLn. В этой ситуации обсуждаемые разложения легко следуют из хорошо известных фактов линейной алгебры.

Начнем с полярного разложения для группы СЕДК).

Обозначим через К подгруппу в OLn^), состоящую из ортогональных матриц, т. е. матриц x^GLnCR), удовлетворяющих соотношению

Чх = Ем (3)

где *х—транспонированная к х матрица. Ясно, что К совпадает с группой R-точек O„(/)r ортогональной группы единичной квадратичной формы f = х^ + . . . + х^. Эта форма анизотропна над R, и поэтому группа ОДД также является R-анизотропной (см. предложение 2.14). Но тогда из теоремы 1 вытекает, что группа K = On(f)R компактна. Последний факт легко доказать и непосредственно, выписав возникающие из (3) соотношения на коэффициенты матрицы х. Обозначим, далее, через S множество положительно определенных симметрических матриц из GEntR), т. е. а = (а,/) е S, если ац = ар и квадратичная форма

X aitxixi положительно определена. В этих обозначениях

имеет место

Предложение 7. GGn(R) = KS и представление справа единственно. Пространство S связно и односвязно.

Доказательство. Пусть x^GLn^Y Тогда a = ‘xx^S и, значит, собственные значения aj, ..., an линейного преобразования, определяемого а, вещественны и положительны. Из линейной алгебры хорошо известно существование такого b ^ К, что bab-1 является диагональной матрицей diag(ai, ..., аД.

Обозначим через с матрицу b~ldb, где d = diag(V“i, •■•, V°«) (берутся положительные значения корня). Тогда ceS и *сс = = с2 = а. Итак, а = ‘хх = ‘сс, откуда '(хс-*) (хс~*) = Еп, т. е. 2=хг!еК. Тем самым x = zceKS. Если x = ztcx— другое представление, то, применяя к равенству

zc = zvcx(4)

транспонирование, получим

cz-x = cxZxX.(5)

Перемножая (4) и (5), будем иметь

с2 = с2.

Отсюда следует, что с = с^ Это можно доказать разными способами, но нам удобнее всего использовать следующее утверждение, к которому мы будем еще не раз обращаться.

Лемма 3. Пусть с е S. Тогда для любого целого г замыкание по Зарисскому циклической подгруппы, порожденной сг, содержит с.

Доказательство. Как мы уже отмечали, сопряжение при помощи подходящего элемента х приводит с к диагональному виду, так что с самого начала можно считать матрицу с диагональной, т. е. с = diag (yi, ..., yn), у: > 0. Если с ^{cr”}„eZ, то найдется такой характер % группы диагональных матриц Dn, что %(сг)=1, но х(с)^ 1 (см. Борель [8]). Однако х(с) = у“>... . .. у“” для подходящих целых а,, и поэтому %(c)eR>0- Так как %(сГ) = (х(с)У = 1, то отсюда следует, что %(с)= 1,— противоречие. Лемма 3 доказана.

Из леммы 3 вытекает, что элементы с, с{ е S, удовлетворяющие соотношению с2 = с2, обязательно перестановочны. Тогда для d = cc\X имеем d2 = En, так что собственные значения равны ±1. Но любое собственное значение d является произведением собственных значений с и сГ* и поэтому обязано быть положительным. Таким образом, d = Еп, с = сх, z = Zx, и однозначность разложения доказана. Нам осталось установить связность и односвязность пространства S.

Для этого воспользуемся методом, который в дальнейшем мы применим к произвольной редуктивной группе, а именно, покажем, что экспоненциальное отображение ехр индуцирует гомеоморфизм векторного пространства 5 симметрических матриц на S. Из разложения (1) § 3.1 вытекает, что exp(X)eS для любой матрицы Хе, 5 (сходимость ряда (1) хорошо известна). Приводя любой элемент ceS к диагональному виду и используя соотношение (2) § 3.1, легко видеть, что отображение exp: s->S сюръективно. Далее, используя теорему об обратной

функции, несложно показать, что ехр в действительности осуществляет локальный аналитический изоморфизм 5 и S, так что осталось установить инъективность ехр. Для этого заметим, что рассуждения, полностью аналогичные использованным выше, позволяют установить следующий факт: если щ,с2е S ис” = с™ для некоторого целого т, то cj = с2. Отсюда следует, что из равенства ехр(Х) = ехр(У) для X, У е 5 вытекает равенство

exP(iX)=exP(iK)’

где пг— любое целое число. Выбирая т достаточно большим, можно добиться того, что элементы (l/m)X, (1/т)У будут произвольно близки к нулю. Так как ехр является локальным изоморфизмом, то (\/т)Х = (1/т) У, откуда X = У, что и требовалось. Предложение 7 доказано.

Имеет место также следующий комплексный аналог предложения 7. Обозначим через В подгруппу в ОТ„(.С), состоящую из унитарных матриц, т. е. матриц, удовлетворяющих соотношению *хх = £„, где *х — сопряженно-транспонированная к х матрица. Рассматривая координатную запись последнего соотношения, легко показать, что группа В компактна. Пусть Е — множество положительно определенных эрмитовых матриц, т. е. а = (аг/)е£', если a,j = ац (комплексное сопряжение) и эрмитова форма f = ^aijXiXj положительно определена. Тогда справедливо

Предложение 8. GLn(C) = BE и представление справа единственно. Пространство Е связно и односвязно.

Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 7. При этом используется следующее обобщение леммы 3:

Лемма 4. Пусть е^Е. Тогда для любого целого г замыкание по Зарисскому подгруппы, порожденной ег, содержит е.

Связность и односвязность Е доказывается следующим образом. Обозначим через е пространство эрмитовых матриц в МДС). Тогда экспоненциальное отображение ехр осуществляет гомеоморфизм е и £.

Разложения, о которых идет речь в предложениях 7 и 8, называются полярными разложениями. Мы собираемся установить существование и единственность аналогичных разложений для произвольной редуктивной R-определенной подгруппы G с с ОЛДС). Для этого надо научиться «хорошо располагать» G в ОТД С). Точнее, будем говорить, что подгруппа G a GLn(C) является самосопряженной, если она инвариантна относительно транспонирования, т. е. если хе О, то *х е G.

Теорема 7 (Мостов). Пусть G a GLn(C') — редуктивная R-определенная алгебраическая группа. Существует такая матрица аг GLn(R), что группа a~xGa является самосопряженной.

Доказательство базируется на следующем факте.

Предложение 9. Пусть G cl GLn^C^— редуктивная R-onpe- деленная алгебраическая группа. Тогда существует плотная по Зарисскому компактная подгруппа KcG, инвариантная относительно комплексного сопряжения.

Итак, пусть К сс G— плотная по Зарисскому компактная подгруппа, инвариантная относительно сопряжения. Положим

ш= *kkdk, (6) к

где «матричный» интеграл берется по мере Хаара dk группы К (см. § 3.5). Так как группа К инвариантна относительно комплексного сопряжения, то мера dk также инвариантна, откуда следует, что матрица m вещественна. Кроме того, матрица *kk— эрмитова положительно определенная, поэтому на самом деле m—симметрическая положительно определенная матрица. При доказательстве предложения 7 мы показали, что m = а2 для подходящей симметрической положительно определенной матрицы а. Из (6) вытекает, что К лежит в унитарной группе, отвечающей матрице ш, поэтому а^'Ка лежит в группе обычных унитарных матриц В, т. е. *хх = Еп для хе а~хКа. Таким образом, /х=*х = х~1еК для любого х ^ а~хКа, тце черта означает комплексное сопряжение. Мы показали, что группа а~хКа инвариантна относительно транспонирования. Поэтому тем же свойством обладает ее замыкание по Зарисскому, т. е. группа a^'Ga. Теорема 7 доказана.

Доказательство предложения 9. Группа G представима в виде почти прямого произведения G = TD, где Т — центральный R-определенный тор, а группа D полупроста. Существование требуемой подгруппы в Т практически очевидно: выбрав С-определенный изоморфизм Т ~ C*d, можно взять в качестве К подгруппу Sd, где 5 — совокупность комплексных чисел с модулем 1; эта подгруппа является единственной максимальной компактной подгруппой в Т и поэтому инвариантна относительно всех непрерывных автоморфизмов С*. Если нам удалось построить подгруппу К\ ст D с требуемыми свойствами, то Ко = = KKi — искомая подгруппа в G. Тем самым можно в дальнейшем считать группу G полупростой. Выберем максимальный ^-определенный тор Т <= G, и пусть R =R(T, G) — система корней группы G относительно Т, {Ха}ае_^ — соответствующие элементы базиса Шевалле в алгебре Ли L(G^ (см. § 2.1, п. 13). Тогда если обозначать через о инволюцию комплексного сопряжения, то о (Ха) = саХа, где са е С, а — сопряженный к а характер тора Т. Положим т(Ха) = )са|Х_а, где )са|— модуль комплексного числа са. Несложное вычисление, использующее структурные соотношения для базиса Шевалле, показывает

(см. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли//Семинар Софус Ли, —С. 145—146), что т продолжается до антилинейной инволюции алгебры 7(G), которая перестановочна с о. Обозначим через f форму Хиллинга на 7(G), (см. § 2.1, п. 3). Путем прямого вычисления легко установить (см. loc. cit.), что f (X, т(Х)) < 0 для любого Хе LiG), Х^О. Поэтому если обозначить через ^ подпространство (в действительности, R-подалгебру) в 1(G) элементов, неподвижных относительно т, то форма f(X, X) = = f(X, т(Х)) на 6 отрицательно определена. Пусть К—подгруппа в G, состоящая из таких g, что Adg оставляет I) инвариантным. Используя Ad G-инвариантность формы f и тот факт, что I) ®pC = G(G), несложно показать, что Ad К является замкнутой подгруппой группы R-точек О (g)R — ортогональной группы формы g = H^- Так как g отрицательно определена, то группа О (g)R компактна. Поэтому компактна и группа К, поскольку Ad имеет конечное ядро. Далее, в силу того, что Ь является подалгеброй, для любого Хе!) элемент exp X лежит в К. Но -^- (exp (!Х))<==0 = X, так что алгебра Ли группы К содержит 6 (отметим, что К является группой Ли над R согласно теореме Картаиа). Поэтому из леммы 1 вытекает, что алгебра Ли замыкания К группы К в топологии Зарисского должна содержать C6 = G(G), откуда K=G. Наконец, из перестановочности о и т вытекает о-инвариаитность t), поэтому о-инвариант- ной будет и группа К. Предложение 10 доказано.

Замечание. Утверждение предложения лежит в основе одного технического приема, который принято называть «унитарным трюком Вейля». А именно, работая с алгебраическими группами над полями характеристики нуль, вначале сводят задачу к полю С, а затем оперируют не самой алгебраической группой, а ее плотной компактной подгруппой. Таким путем можно, например, легко установить полную приводимость представлений редуктивных алгебраических групп в характеристике нуль.

Теперь мы в состоянии построить полярное разложение в произвольной редуктивной R-определенной группе G. Пусть GcGL,(G)—матричная реализация G. Согласно теореме 7 без ущерба для общности можно считать группу G самосопряженной. В этом случае полярное разложение для группы GTn(R) (предложение 7) индуцирует полярное разложение для группы Gr.

Более точно, справедливо

Предложение 10. 1) Gr = (G П К) (G П S) в обозначениях предложения 7. При этом Ki = G (] К — максимальная компактная подгруппа в Gr, а пространство Si = G П S связно и одно-

связно. Следовательно, факторпространство GrIKi связно и односвязно.

Любая компактная подгруппа Gr содержится в максимальной компактной подгруппе, а все максимальные компактные подгруппы в Gr сопряжены.

Доказательство. 1) Пусть х е Gr и х =• kc—полярное разложение в группе GL^^Y, покажем,что к е Kb се Si. Поскольку G самосопряжена, то (х е G, следовательно, с2 = *хх е G. Используя лемму 3, получаем, что с е G, т. е. cgSj. Тогда и кеКу .Любая подгруппа в Gr, строго содержащая Кь обязана содержать неединичный элемент из Sb Но из приводимости любого элемента из S к диагональному виду с положительными коэффициентами вытекает, что неединичный элемент из S не может содержаться в компактной подгруппе. Таким образом, Ki максимальна. Для доказательства связности и односвязности Si воспользуемся тем же методом, что и при доказательстве предложения 7. А именно, обозначим через 51 подпространство в алгебре Ли д* группы Gr, состоящее из симметрических матриц. Мы покажем, что экспоненциальное отображение ехр индуцирует гомеоморфизм Si и Si. При доказательстве предложения 8 мы установили, что ехр индуцирует гомеоморфизм 5 и S, поэтому достаточно показать, что exp(5i) = Si. Включение exp(5i)<=Si очевидно. Пусть теперь с = ехр Хе Si, где Хед. Из леммы 3 вытекает, что для любого целого п элемент ехр(д^'х) также лежит в Si. Поэтому exp(<QX)eSb и, следовательно, ехр (GY)eSi для любого t е R. Но тогда

Х = 4(ехр(^Х))(=0ед-П8 = »1,

и требуемое доказано.

Доказательство, подробности которого мы опускаем (см. Хелгасон [1]), проводится по следующей схеме. Пространство X = Gr]Kv наделяется Ск-инвариантной метрикой, относительно которой оно становится римановым многообразием отрицательной кривизны. Затем применяется результат Э. Картана, согласно которому любая компактная подгруппа, действующая изометриями на таком многообразии, обязательно имеет неподвижную точку. Итак, если К' <= Gr — компактная подгруппа, то существует точка х = gK е X, неподвижная относительно К'. Последнее означает, что g^K'g cl К, откуда и следует требуемое. Предложение 10 доказано.

Нам понадобится также комплексный вариант предложения 10. Мы сохраняем предположение о самосопряженности R-определенной редуктивной группы G.

Предложение 11. 1) Gc = (G Я В) (G П S) в обозначениях предложения 8. При этом B\ = G^\B — максимальная компактная подгруппа в Gc, а экспоненциальное отображение ехр осуще-

ствляет гомеоморфизм пространства е, эрмитовых матриц из алгебры Ли L(G) на Ех = G П Е.

Любая компактная подгруппа группы Ос содержится в максимальной компактной подгруппе, и все максимальные компактные подгруппы сопряжены.

Доказательство аналогично доказательству предложения 10 (можно также вывести предложение 11 из предложения 10, воспользовавшись конструкцией ограничения основного поля).

Приведем еще одно полезное техническое утверждение.

Лемма 5. Если ЬеВ, е^Е и ЛЬсеВ, то eb = be.

Доказательство. Имеем *х = х“* для х е В и *х = х для хеЕ. Поэтому (е~ *6е) = е- xbe = ebe~ *, т. е. b и е2 перестановочны. Остается сослаться на лемму 4.

Теперь мы в состоянии доказать следующие обобщения теоремы 7.

Теорема 8 (Мостов). Пусть Gvcl ... ст Gr — башня ^-определенных редуктивных подгрупп группы СЕДО1). Тогда существует такая матрица йе GLn(^), что все группы aGta~v являются самосопряженными.

Доказательство. Анализируя доказательство теоремы 7, мы видим, что достаточно найти максимальные компактные подгруппы Kt cz GiC, которые плотны по Зарисскому в G,, инвариантны относительно комплексного сопряжения, и такие, что Ki <= ... ст Кг. При этом все сводится к доказательству для двух R-групп Н ст G следующего утверждения: любая максимальная компактная подгруппа В<^Н-, инвариантная относительно комплексного сопряжения, содержится в максимальной компактной подгруппе С ст Ос, которая также инвариантна относительно сопряжения. Так как согласно предложению 9 существует плотная по Зарисскому максимальная компактная подгруппа, то в действительности любая максимальная компактная подгруппа автоматически плотна по Зарисскому. Выберем максимальную компактную подгруппу D<^GC, содержащую В. Из предложения 11 вытекает существование однозначного разложения Gc = DF, где F = exp(f), f—некоторое R-подпространство в алгебре Ли L^GV Обозначим через 0 автоморфизм комплексного сопряжения. Тогда 0(D)— также максимальная компактная подгруппа в Ос и поэтому 0(D) = = a~vDa для подходящего а = ехр(Х), X е f. Положим Ь = = ехр(Х/2), С = b~lDb и покажем, что группа С искомая. Имеем

6 (С) = 0 (bf * 0 (D) 6 (6) = 0 (Ы ’ a- xDaQ (6) =

= (0 фух a" xb^ С <Ь"хаВ (6)).

Поэтому для доказательства О-инвариантности С достаточно показать, что 6~*zz0(6) лежит в центре Z группы Ос, т. е.

ЫЙЬУ*' = az, где zeZ.(7)

Так как О2 = id, то

О = О2 (О) = 0 (a"lDa) = 0 (д)-1 аГ 1 DaO (а).

Представим аб (а) в виде а^^= d^ где d е D, feF. Тогда f~*Df = D, и поэтому, применяя лемму 5, получаем, что f коммутирует с D, а поскольку D плотно по Зарисскому в О, то [eZ. Обозначим через а автоморфизм О, являющийся композицией 0 и сопряжения посредством элемента а. Тогда группа D является «-инвариантной, откуда следует, что F также инвариантно относительно а (достаточно воспользоваться тем обстоятельством, что B = exp(f), a f является ортогональным дополнением в L(&) относительно формы Киллинга к алгебре Ли Ь группы D как вещественной группы Ли). Поэтому zz0(zz)zz-* е eF. Но ай(а') а-1 = dfa-1, причем если f = exp(K), то fa-1 = — exp (У—Х)е F, ибо f е Z. Отсюда следует, что d=\ и a6(a) = f. Вычислим теперь 0(6). Положим ^ = zz0 (6) zz~*. Так как t е F, то ^ = ехр (Т), где Т е f. Имеем

t2 = zz0 (a) а""1 = exp 2Т = fa-1 = ехр (У — X\

откуда T = (У — X)/2. Поэтому Т перестановочен с X, так что t перестановочен с а и 0 (6) = t = ехр ((У — X)/2). Отсюда следует, что b перестановочен с 0(6) и

60 (6Г1 = ехр ^ + Г ~ - ) = ехр (х — ^ = аехр ( — у) ,

причем ехр (—У/2)е7, что и требовалось. Осталось показать,, что В <= С. Имеем В = 0 (В) <= 0 (D) = a~xDa, откуда аВа^1 <= D. Применяя лемму 5, получаем, что а перестановочен с В. Так как 62 = а, то из леммы 4 вытекает перестановочность 6 и В. Окончательно, В = Ь~ХВЬ^С. Теорема 8 доказана.

Переходим к нашей заключительной теме — разложению Ивасавы, суть которого состоит в следующем. Пусть G— определенная над R редуктивная группа, Н ^ G— максимальная связная разрешимая R-разложимая подгруппа. Согласно теореме 1 факторпространство Gr/Hr компактно, так чтоВр дополняется в Gr некоторым компактом. Разложение Ивасавы утверждает, что дополнение на самом деле может быть осуществлено при помощи подходящей максимальной компактной подгруппы. Более того, если рассмотреть вместо группы Hr ее связную компоненту, то компоненты соответствующего разложения определены однозначно. Таким образом, группа Gr отличается от компактной группы на некоторую разрешимую группу..

Как обычно, вначале продемонстрируем разложение Ивасавы на примере группы GL„(R). Для этого обозначим через К подгруппу ортогональных матриц в GLll(R'), через А и U — подгруппы в GL^R') соответственно диагональных матриц с положительными коэффициентами и верхних унипотентных матриц.

Предложение 12 (разложение Ивасавы для GL„(R)). Естественное отображение ср: КХ АХ U -*- GLn(R), ф(&, а, и) = каи, является гомеоморфизмом.

Доказательство. Зафиксируем ортонормироваииый базис <? = (<?!, ..., е,,) пространства R", и пусть geGLn^Ry Применяя к базису (gev, ..., ge„) классический процесс ортогонализации Грама — Шмидта, мы получим такой ортонормироваииый базис d = (di, ..., d^ пространства R", что di=Pngei, d2 = = Pi2gO + р22№, ■.., dn = Pj^ei + ... 4- ^nngen, причем 0д >

Pl 1 ■ ■ ■ Pin \

0. Обозначим через b матрицу0. Обозначим через b матрицуI e В = AU, и

0. Обозначим через b матрицу

0. Обозначим через b матрицу

0

через /г — матрицу перехода от базиса е к базису d. Тогда, очевидно, g = kb"x, причем матрица к ортогональна, а матрица Ь~х принадлежит В. Таким образом, ср сюръективно. Группа К определяется условием Чх = Еп, откуда следует, что КП^—{£Д. Учитывая, что В является группой и представление В = AU есть ее разложение в полупрямое произведение (как топологической группы), получаем, что ср является непрерывной биекцией. Непрерывность обратного отображения легко следует из компактности К. В самом деле, если gm = kmamum—-^- g = каи (к, L=K; а, атеА; и, umEEU\ то в силу компактности К можно считать, что к„*-к' еК. Тогда Ьт = атит> Ь'=

т-> сот->со

е.ат *■ а, ит *" м,е.ат *■ а, ит *" м,= а'и'еВ, ибо В замкнута. Таким образом, g = k'a'u', откуда к' = к, а' = а, и —и, т.

е.

ат *■ а, ит *" м,

е.

ат *■ а, ит *" м,

что и требовалось. Предложение 12 доказано.

Представление элемента g е GL„(R) в виде g = kgagug, где kg^K, ац= A, ug^ U, мы будем называть разложением Ивасавы элемента g, а элементы kg, ag и ug — соответственно его к-, а- и u-компоиентами. Наша цель — построить аналогичное разложение внутри произвольной R-определенной редуктивной подгруппы GcGIRC). Более точно, мы покажем, что, переходя от группы G к сопряженной, можно добиться того, чтобы компоненты разложения Ивасавы в GL„(R) любого элемента ge Gr принадлежали Gr. Согласно теореме 7 можно с самого начала считать группу G самосопряженной. Тогда алгебра Ли L(G^ также инвариантна относительно транспонирования. Обо-

значим через I) (соответственно, р) подпространство в g = L(G)R,. состоящее из кососимметрических (соответственно, симметрических) матриц; ясно, что д = I) Ф р. (Это инфинитезимальный аналог полярного разложения из предложения 10.) Обозначим через а максимальное абелево подпространство в р.

Лемма 6. Существует такой ^-разложимый тор Т a G, что а = L(T)r. При этом Т состоит из симметрических матриц.

Обозначим через Т связную компоненту замыкания по За- рисскому множества ехр(а). Так как любой элемент из р приводится к диагональному виду над R и а — абелева подалгебра в д, то а диагонализируема над R, откуда следует, что Т — разложимый над R подтор в G. По построению а состоит из симметрических матриц, поэтому то же самое верно для ехр(а) и, следовательно, для Т. Поэтому Л(Т)в<=р и коммутирует с а,, так что в действительности L(7"y = a. Лемма 6 доказана.

По построению Тк состоит из симметрических матриц, поэтому для подходящего Ь^К тор ЬТ-Ь' содержится в группе диагональных матриц О„; тогда и ЬТЬ~' c^D.;. Поэтому, переходя от группы G к группе bGb^, что сохраняет ее самосопряженность, ибо b е К, можно считать, что Т <= Dn. Обозначим через /?={«} множество ненулевых весов тора Т в присоединенном представлении на алгебре Ли L(G'). В силу R-разложимости Т все а определены над R и мы имеем R-определенное разложение

L(G^ = L(Gf®( ® нА (8)

где L^Gy — централизатор Т, иа — собственное подпространство веса а. Выберем какое-нибудь упорядочение на пространстве V = X(7')®rR, где X (7) —группа всех характеров тора Т. Легко видеть, что существует такое упорядочение на пространстве VO = X(DJ®ZR, что при естественной проекции 1/0—*А, которая индуцируется гомоморфизмом Х(Оп)-2-Х(Т'), отвечающим включению Т r^ Dn, положительные элементы переходят в положительные. Пусть Ro—система корней группы GTn(C) относительно Dn (в действительности R?o={e,— e/|t, / = 1, ... ...,п; i^j}, где e;(diag(ai, ..., а„)) = а,), П <= Ro — подсистема простых корней относительно рассматриваемого на Vo упорядочения (см. Бурбаки [4], гл. VI). Известно, что в группе Вейля lV(/?o) системы корней Ro найдется такой элемент we е IV(/?O), что шП совпадает со стандартной системой простых корней По={е,— e/+j|i = l, ..., п—1}. Так как W (Ro) естественно изоморфна группе W невырожденных мономиальных матриц, у которых ненулевые элементы равны единице, то для подходящего с е IV тор Т' = сТс~' обладает свойством: существует такое упорядочение на пространстве X (Т1') ®ZR, что положительные корни группы GLn(C) при ограничении на Т

остаются положительными. Переходя от группы G к группе cGc~', можно считать, что тор Т обладает этим свойством (отметим, что W <= К, и поэтому группа eGe-1 остается самосопряженной). Пусть Д+—множество весов из R, которые положительны относительно рассматриваемого упорядочения на V. Положим и= У на.

ае/<+

Лемма 7. и— R-определенная подалгебра Ли L(G'), нормализуемая Т и содержащаяся в алгебре всех верхних нильтре- угольных матриц и„.

Доказательство. Ясно, что Т нормализует и и для а, р е /?+ имеем

( 0, если а + р ^ R^; [иа, uRl = s

р 1иа+р в противном случае.

Отсюда следует, что и является подалгеброй. Так как иа определены над R, то и и определена над R. Для доказательства включения и е ип достаточно показать, что ua <= urt для любого aeR.. Если ^(ir^EUa и для некоторых i^/' имеем хц N= 0, то ограничение на Т характера е/— е,- диагонального тора Dn совпадает с а. Равенство I = / невозможно, ибо оно влечет а=0. Тогда е,—е, — отрицательный элемент относительно рассматриваемого упорядочения на Уо, поэтому по построению его проекция на V (которая совпадает с а) также должна быть отрицательной, — противоречие. Лемма 7 доказана.

Несложные рассуждения (см., например, Борель [8], § 7) позволяют установить существование R-определенной унипотентной подгруппы U <= G, алгебра Ли которой совпадает с и (отметим, что в действительности П = ехр(и), где ехр можно понимать как «полное» либо «усеченное» экспоненциальное отображение (см. § 2.1, п. 8), при этом Ur = exp (ur)). Ясно, что U нормализуется тором Т и содержится в группе верхних унипотентных матриц Un. Далее, обозначим через Ах связную компоненту группы Tr и положим К\ = G П К.

Теорема 9 (разложение Ивасавы). Естественное отображение 0: К, X Ах X Ur -> Gr является гомеоморфизмом.

Доказательство. Установим вначале инфинитезимальный аналог разложения Ивасавы:

g = Wa® uR(9)

в вышеприведенных обозначениях. Обозначим через т автоморфизм алгебры дП, определенный формулой т(Х) =—'X, X е дП. По построению т индуцирует автоморфизм д, причем I) совпадает с подалгеброй неподвижных точек дт и т(Х) =—X для X е а. Отсюда следует, что т(иа)= и_а для любого а е R. Пусть

XE(u_a)R, Х = т(У), где У е(иа)к. Тогда

Х = (тУ + У)-УеШа₽.

Обращаясь к (8), мы видим, что для доказательства равенства 9=^+ «4- нкосталось установить, что правая часть (9) содержит подалгебру c = G(G)r, совпадающую с централизатором a в д. Поскольку а инвариантно относительно т, то с также обладает этим свойством. Любой элемент X е с допускает представление

Х = ^-(Х + тХ) + 1(Х-тХ),

причем у (X 4- тХ) е I). Но элемент у (X — тХ) лежит ври коммутирует с а, поэтому в действительности у (X — тХ) е а и X е р ® а. Таким образом, g = р 4- а 4- UR- Если же X 4- У + + X = О, где X е I), У ea, Ze Ur, то, применяя т, будем иметь.

X — У 4-тХ = О,

откуда У = у (— Z 4- тХ) = vT П Г^ фЛ = (0). Поэтому Z = tX =

-HI МНЕ u_a] = (0), и (9) доказано. Тогда согласно \aeR+ / \aeR+ /

теореме 2 об обратной функции существуют такие связные окрестности единицы V ст Ki и IE<=5 = 4jGr, что морфнзм-про- изведение определяет гомеоморфизм Е X IE на окрестность единицы в Gr. Значит, найдутся такие связные окрестности единицы Ei ст V, lEi ст IE и такие непрерывные функции ср: Ei X X Wx Ki, ip: Ei X lEj -> В, что

6/г = ср(6, k) ip (6, /г)

для всех /г e Ei, be IE]. Используя индукцию, легко показать, что для любого набора S = {/zi, ..., кр^ элементов из Ei найдутся такие связная окрестность единицы lE(S)c lEi н непрерывные функции

cps: Е, X IE (S) -> Кь ф5: Е, X IE (S) -> В, что

bk (S) к = cps (6, k) ips (b, k)

для всех к е Еь b е IE (S), где к (S) = кх . . . кр. Множество Е[ порождает связную компоненту К? группы Ki, поэтому нз компактности К вытекает существование конечного числа таких наборов 5, что К?= Н^^Е!. Положим 1Е2= П IE (S). Тогда ss

1Е2К? ст К°хВ. Так как В является связной группой, то IE?

порождает В, и поэтому ВК° = К'хВ. Но К°\В содержит окрестность единицы в Gr и поэтому порождает связную компоненту Gr. Поэтому Gr = K?S. Для доказательства равенства Gr = К\В остается заметить, что KiGr = Gr, ибо согласно предложению 11 Gr = K\Si, где Si — связное множество. Таким образом, сюръективность 0 доказана. Из наших построений вытекает, что представление элемента g е Gr в виде g = kau, где AeKi, а е Ль ue Hr является его разложением Ивасавы в группе GLn^Ry поэтому из однозначности последнего вытекает биективность 0. Доказательство непрерывности обратного отображения ничем не отличается от рассуждений предложения 13. Теорема 9 доказана.

Из теоремы 9 вытекает, что группа H=TU является максимальной связной R-разложимой разрешимой подгруппой в G (и, следовательно, Т—максимальный К-разложимый тор, U — максимальная R-определенная унипотентная подгруппа). В самом деле, если Н' zd Н, то H'R = (Д' П К^ Нр согласно теореме 9, так что пространство HR/HR должно быть компактным, чего, как мы видели при доказательстве теоремы 1, не может быть для связной R-разложимой разрешимой подгруппы Н', строго содержащей Н. В качестве еще одного следствия (не столько самой теоремы, сколько рассуждений, предшествовавших ее доказательству) отметим

Предложение 13. Пусть G^GLtl(Q)— редуктивная R-onpe- деленная группа. Существует такая матрица a^GLn(R), что для группы H = aGaA выполняются следующие условия;

Н самосопряжена',

связная компонента пересечения Н с группой диагональных матриц Dn является максимальным R-разложимым тором S в Н;

существует такое упорядочение на пространстве V = = X(S) ® z R, что ограничения положительных корней г, — ь^К В I, ] = \, ..., п) группы GL^C) на S положительны относительно этого упорядочения и отвечающая этому упорядочению максимальная R -определенная унипотентная подгруппа лежит в группе верхних унипотентных матриц Un\

(iv) компоненты разложения Ивасавы в GGn(R) любого элемента g г Hr лежат в Hr.

§ 3.3. Неархимедов случай

Всюду в этом параграфе К обозначает неархимедово локально компактное поле характеристики нуль, т. е. конечное расширение поля р-адических чисел Qp. Как мы уже отмечали в § 3.1, если G — определенная над К алгебраическая группа,

то группа GK локально компактна и вполне несвязна в р-ади- ческой топологии. Известно (см. Бурбаки [2], гл. III, § 4), что такие локально компактные группы обладают базой окрестностей единицы, состоящей из подгрупп. В рассматриваемом случае существует их явное описание на языке конгруэнц-под- групп. А именно, пусть Ger G£n(Q)—некоторая матричная реализация, б? — кольцо целых элементов в К и р—максимальный идеал в СУ. Тогда группа С-точек Ge = G П GLn (67) является «главной» открытой компактной подгруппой в Gk (ее открытость является следствием открытости О в К, а компактность вытекает из компактности СЕДО^ и замкнутости Go в GL^O)). Конгруэнц-подгруппы Ge(pd) ст Ge определяются следующим образом:

G. ())d) = {р ее G.A £ = AJmod d > О, и образуют искомую базу окрестностей единицы в Gk- Аппарат теории групп Ли оказывается в данной ситуации менее эффективным, чем в архимедовом случае, и поэтому для получения результатов о строении Gk приходится применять другие соображения.

Ряд важных результатов, относящихся, главным образом,, к компактным подгруппам в G, может быть получен при помощи техники решеток и порядков в полупростых алгебрах (см. § 1.5, п. 3). Если G ст G£„(Q)—определенная над К алгебраическая группа и Lc^ К'1—некоторая решетка, то всюду в этой книге через G^ будет обозначаться стабилизатор решетки L в группе G, т. е.

G^ = VgeGK\gW = LY

(Это обозначение указывает на то обстоятельство, что Go состоит из матриц, которые в базисе решетки L попадают в СЕДОВУ

Согласно предложению 1.12 любая компактная подгруппа B<^GLn(K) содержится в стабилизаторе некоторой решетки L ст Кп. В частности, для компактной подгруппы В ст GK найдется такая решетка L со Кп, что 5cGj, и, значит, любая компактная подгруппа в GK содержится в некоторой открытой компактной подгруппе. При этом если В — максимальная компактная подгруппа, то В = Go. Из предложения 1.12 вытекает также, что в случае группы G = GLn для максимальных компактных подгрупп справедливы те же фундаментальные факты, что и в архимедовом случае: любая компактная подгруппа содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе, а все максимальные компактные подгруппы сопряжены между собой. В связи с этим кажется несколько удивительным тот факт, что переход от G = GLn даже к группе Н = SLn нарушает эту гармонию.

Предложение 14. Пусть Н = SLn. Тогда для любой решетки L се К'1 группа Но является максимальной компактной подгруппой в Нк. Любая компактная подгруппа в Нк содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе, а все максимальные компактные подгруппы распадаются в п классов сопряженности в Нк-

Доказательство. Мы предлагаем читателю в качестве упражнения слегка модифицировать доказательство предложений 1.11, 1.12 таким образом, чтобы установить максимальность Но для любой решетки L е Кп и, кроме того, показать, что из Но = Н*о следует пропорциональность решеток L и М. Для доказательства последнего утверждения построим сюръективное отображение ф множества ^ максимальных компактных подгрупп группы SLn^K) на факторгруппу K*/UK*n, где U— группа и-ади- ческих единиц в К, слои которого совпадают с классами сопряженности максимальных компактных подгрупп. Так как порядок K*/UK,*n равен п, то отсюда будет следовать требуемое. Зафиксируем некоторую решетку L е Кп, и пусть В е ^. Тогда В имеет вид Но Для подходящей решетки /И е Кп, и отображение ф определяется следующим образом: если М = g(L), ge eGLg.K), то ср(g) = (det g) UK*n. Так как Но' = Hq' влечет Mi = цМ^ ц е К*, то отображение ф определено корректно, и, очевидно, сюръективно. Предположим теперь, что ф(В]) = = ф(В2), где Bi — Hg‘, MjCoKE Из определения ф вытекает, что в этом случае М2 = g (Mi) для некоторого g е GLn^K\ такого, что det g е UK*n, т. е. det g = utn, ueUJg К*. Выберем элемент $ из стабилизатора решетки Mi со свойством det з = и и положим К = Hgu-X. Тогда К е SLn(K) и /r(Mi)= tM2, так что hBih7x = Ho'“'' = Ho=Bi, и, значит, В\ и В2 сопряжены в Нк. Обратно, если Bt = Н^1 (z"=l, 2) связаны соотношением В2 = hBJi-1, то решетки /i(Mi) и М2 пропорциональны, откуда без труда следует, что ф(В1)=ф(В2). Предложение доказано.

Детальное изучение свойств максимальных компактных подгрупп в неархимедовой ситуации, проведенное Брюа и Титсом [2—4], показывает, что последнее утверждение предложения 14 является частным случаем следующего общего результата: если G — простая односвязная /(-группа /(-ранга /, то в группе Gk имеется в точности (/+ 1) класс сопряженности максимальных компактных подгрупп. Мы изложим элементы теории Брюа — Титса в следующем параграфе, а пока дадим независимые элементарные доказательства некоторых первоначальных фактов, из которых, в частности, вытекает, что любая компактная подгруппа группы GK, где G редуктивна, содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе. При этом, как показы-

вает следующее утверждение, требование редуктивности G существенно.

Предложение 15. Если группа GK обладает максимальными компактными подгруппами, то группа G редуктивна.

Доказательство. Рассмотрим разложение Леви G = HU группы G, где U = RU(G)— унипотентный радикал G, а группа Н редуктивна (см. § 2.1, п. 9). Предположим, что П#=(1). Тогда центр Z(H) также нетривиален, причем «усеченное» логарифмическое отображение индуцирует ^-определенный изоморфизм ср: Z^U^-»-V, где V = L(Z(U))—соответствующая алгебра Ли, dim V > 0. Поскольку U является нормальным делителем в G, то Z(U^ также является нормальным делителем, и для любых g е G,zeZ(U) справедлива формула

<p(g''1^) = (Adg')(p(z).(1)

Пусть р: G-z-GL(V)—представление, определяемое присоединенным действием. Если BcGK— максимальная компактная подгруппа, то согласно предложению 1.12 найдется решетка L сс Vк, инвариантная относительно p(S). Положим Zt = = ср-1 (д-'Л), где леК—униформизующий элемент. Ясно, что Zi — компактные подгруппы в Z\U^, объединение которых совпадает с Z(U)K. Кроме того, из формулы (1) вытекает, что В нормализует все Zi, так что любое произведение BZi также является компактной подгруппой. Используя максимальность В, получаем, что В = BZi для любого i. Отсюда Z Ш) к с В— противоречие, ибо Z^U^k некомпактно. Предложение доказано.

Покажем теперь, что если группа G редуктивна, то Gk Действительно обладает максимальными компактными подгруппами, причем любая компактная подгруппа в Gk лежит в некоторой максимальной компактной подгруппе.

Предложение 16. Пусть G — редуктивная К-определенная группа. Тогда

любая открытая компактная подгруппа группы Gk содержится лишь в конечном числе компактных подгрупп;

любая компактная подгруппа группы Gk содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе.

Кроме того, если G полупроста, то нормализатор в Gk любой открытой компактной подгруппы компактен.

Доказательство. Пусть G<^GL^. Используя вложение GLn (£2) —>■ GLn + 1 (й), Ai—>^ dt^'z)’ можно считать> чт0 замкнута по Зарисскому в А4П(Й). Обозначим через А й-обо- лочку Й[С] группы G в А4П(Й) (т. е. совокупность линейных комбинаций элементов G с коэффициентами из й) и через В /С-оболочку K[G/<] группы Gk в Мп(К). Поскольку группа G редуктивна, из теоремы 2.4 вытекает, что А и S являются полу- простыми алгебрами над й и К соответственно. Любая откры-

тая компактная подгруппа U ст GK плотна по Зарисскому в G (лемма 2), поэтому Й[П] = А и А[П] = В. В частности, Р = = 67 [И] является порядком в В. Согласно теореме 1.16 порядок Р содержится в конечном числе максимальных порядков Pi, ... ..., Рг. Каждое пересечение Р, П G, очевидно, компактно и замкнуто относительно умножения, так что Ui= (Pi П G) ("((Pi. П G)-1 — компактная подгруппа в GK. Пусть теперь ll'; сСг—компактная подгруппа, содержащая U. Тогда б7[1$7]—порядок в S, содержащий Р. и поэтому (U[W]cPi для некоторого I. Следовательно, W ст Pi П G и 117 = U7—1 ст (Pi П G)-1; так что 117 ст Ui. Мы показали, что любая компактная подгруппа, содержащая U, обязательно содержится в одной из групп Ui. Отсюда следует утверждение пункта 1), ибо в силу открытости U любой индекс [П,: П] конечен, и поэтому число промежуточных между U и Ui подгрупп также конечно. Выше мы отмечали, что любая компактная подгруппа группы Gk содержится в некоторой открытой компактной подгруппе, в силу чего из утверждения 1) получаем утверждение 2). Пусть теперь группа G полупроста. Рассмотрим присоединенное действие группы G на алгебре А, и пусть

G э g Л ig ед Aut A, ig(x> = gxg~\

— соответствующее представление. Ясно, что ядро ф совпадает с центром G и поэтому конечно. Рассмотрим произвольную открытую компактную подгруппу U ст Gk и обозначим через N ее нормализатор в GK. Как мы установили выше, Р = 67[П] является порядком в алгебре В = /([G^], так что, выбрав 67-базис Xi, ..., хт в Р, мы получим й-базис алгебры А. Так как для любого g г N, очевидно, имеем g-1Pg = Р, то коэффициенты матрицы преобразования ф(£) в базисе Х\, ..., хт лежат в О. Таким образом, ф(А)<Щф(6)у. Из компактности ф (G)y и конечности Кег ф вытекает компактность ф~’1(ф(С)^ и, следовательно, относительная компактность А. С другой стороны, в силу замкнутости U, группа А также замкнута, и поэтому в действительности компактна. Предложение 16 доказано.

К свойствам максимальных компактных подгрупп мы еще вернемся в следующем параграфе, а пока, используя элементарную информацию, содержащуюся в предложении 16, получим некоторые структурные результаты о группе Gk- Наши рассуждения будут базироваться на теории проконечных групп. Так как проконечные группы будут не раз встречаться в дальнейшем, приведем сводку основных определений и их свойств (более подробное изложение читатель может найти у Серра' [2] и Бурбаки [2], гл. III, § 7).

Пусть I—фильтрующееся множество, т. е. частично упорядоченное множество с отношением порядка ^ таким, что для

любых i, j е I найдется к е I со свойством I ^ к, j ^ к. (В наших рассуждениях I, как правило, будет совпадать с множеством натуральных чисел N, наделенным обычным порядком.) Проективной системой 9 = IG., ср{) над 1 называется совокупность объектов (множеств, групп, колец и т. д.) Gi, индексированных элементами множества I, и морфизмов фр G. —> Gi между ними для / ^ I, причем ф) — тождественное отображение и ф* = ф) о ф* для k^i^i. Проективным пределом limG; (более точно, lim(Ge., ф))^ называется подмножество в декартовом произведении Ц G;, состоящее из таких наборов g = lei

= (gd, что <pi^g^ = gi для всех j^i из I. Ясно, что lim G; наследует тот же тип алгебраической структуры, которой обладают все Gi. Кроме того, если все G, являются отделимыми топологическими пространствами, а ф) — непрерывными отображениями, то G = lim Gt замкнуто в II Gz. Пусть, в частности, lei

все Gi являются конечными группами, которые мы наделим дискретной топологией, а ф) — гомоморфизмами групп. Тогда проективный предел G = limG; называется проконечной группой. Поскольку G является замкнутым подмножеством в произведении П Gt, которое компактно, то сама группа G компактна.

Ze/

Кроме того, группа G вполне несвязна. (Это легче всего показать, воспользовавшись ограничениями Л; = Р;|с канонических проекций рр. П G, —>Gt, конечные пересечения ядер которых tel

образуют фундаментальную систему окрестностей единицы группы G, состоящую из подгрупп.) Обратно, любая компактная вполне несвязная топологическая группа G является проконечной, т. е. представима в виде проективного предела конечных групп. Такое представление можно получить, если известна фундаментальная система ^N^i^i окрестностей единицы группы G, состоящая из нормальных делителей (доказывается, что такая система существует в любой компактной вполне несвязной группе, см. Кох [1], § 1.2). А именно, естественный гомоморфизм

С->НтС/Аг, g^gNi)teJ,

оказывается изоморфизмом топологических групп. Применим этот результат к группе Ga точек алгебраической /(-группы G над кольцом целых О. Так как конгруэнц-подгруппы Gq^) (где р — идеал нормирования в б?, d>0), очевидно, являются нормальными делителями в Gy и образуют базис окрестностей

единицы,то

WmGclGg^Y (2)

Из этого представления можно сделать определенные выводы о структуре группы Go. Для этого напомним, что про-р-группой называется проективный предел конечных р-групп.

Лемма 8. Ge^ — про-р-группа.

Доказательство. Число р определяется из условия Qp е К, или, эквивалентно, рЕр Если G = lim G/N— представление проконечной группы G в виде проективного предела своих конечных факторов, то для любой замкнутой подгруппы Н с G имеет место представление Н = \\тН(Н^\П. Отсюда следует, что для группы Go $) справедливо представление

G (р) ~ lim Gg (ty/Gc (pd).

Покажем, что факторгруппы Go (p)/Go (Р^) являются р-группами. Достаточно показать, что для любого d^\ факторгруппа Go V^IGo (pd + 1) является р-группой. Пусть х Е Gg(pd). Представим х в виде х = Еп-\-у, где p = 0(modpd). Тогда

хР = Еп + Сру + . . . + Ср V 1 + ур.

Так как биномиальные коэффициенты С‘о делятся на о для 0 < / < р, то С1ру1 = 0 (mod pd + 1) для любого z>l. Поэтому хр = Еп (mod pd + 1). Тем самым порядок любого элемента факторгруппы Go ^^Go (pd + 1) делит р. Лемма доказана.

Следствие. Порядок любого элемента из Gg^) либо бесконечен, либо является степенью р.

Доказательство. Легко видеть, что замкнутая подгруппа про-р-группы является про-р-группой. Поэтому если порядок элемента х Е G0 (Р) конечен, то порожденная им циклическая подгруппа Н =/х) должна быть конечной про-р-группой, т. е. обычной р-группой.

Таким образом, группа Gy является конечным расширением про-р-группы Gy(p). Про-р-подгруппы (где q— любое простое число) в теории проконечных групп являются проконечными аналогами р-подгрупп в теории конечных групп и сохраняют многие их свойства. В частности, любая про-р-подгруппа содержится в некоторой максимальной (силовской) про-р-подгруппе, а все последние сопряжены между собой (см. Серр [2]). Что же касается про-р-подгрупп, то в нашей ситуации они играют особую роль. Изучение их свойств позволяет получить важные результаты о структуре группы GK. Наша ближайшая цель — установить для группы Gr аналог теоремы Силова о сопряженности максимальных про-р-подгрупп (после того как мы уста-

новили существование несопряженных максимальных компактных подгрупп, справедливость такого результата отнюдь не кажется столь бесспорной).

Теорема 10 (Мацумото [1]). Пусть G— полупростая К-опре- деленная алгебраическая группа, Н cz GK — открытая подгруппа. Тогда И обладает максимальной открытой про-р-подгруппой S и любая про-р-подгруппа в Н содержится в сопряженной к S.

Доказательство. Подгруппа Н, будучи открытой, содержит подходящую конгруэнц-подгруппу Get.^. Из леммы 8 вытекает, что Go^) является про-р-группой. Применяя утверждение 1) предложения 16, заключаем, что Gy(pd) содержится в некоторой максимальной про-р-подгруппе S cz Н. Пусть теперь Т <zz Н—некоторая про-р-подгруппа. Покажем, что Т содержится в некоторой силовской про-р-подгруппе. Опять обращаясь к утверждению 1) предложения 16, мы видим, что достаточно найти открытую про-р-подгруппу, содержащую Т. Для этого заметим, что в силу компактности Т индекс [7’:7’П5] конечен, и поэтому среди групп t-xSt, t е Т, имеется лишь конечное число различных. Тогда группа So= П (Е'!5г) открыта и нормали- t<=T

зуется группой Т, так что группа То = TS0 является искомой. Поэтому при доказательстве того, что Т содержится в подгруппе, сопряженной к S, можно считать про-р-подгруппу Т силовской. По техническим причинам нам удобнее доказывать не просто сопряженность S и Т, а существование такого х^Н, что xTx-x = S и [S : S (1 Т] = [S : x(S (1 Т-)^1]. (Отметим, что, воспользовавшись существованием меры Хаара на группе Gk и ее унимодулярностью (см. § 3.5), можно показать, что последнее равенство на самом деле выполняется автоматически.) Рассуждение будем вести индукцией по и = [S : S П Г]. Если п = 1, то S = Т, и доказывать нечего. Пусть теперь и>1. Обозначим через N нормализатор пересечения S П 7" в группе Н; согласно предложению 16 N—компактная подгруппа в Н и, следовательно, индекс [jV: 5 П 7"] конечен. Покажем, что пересечения jVi = jVnSHjV2 = -'Vn7’ строго содержат S П 7". Так как S П Т =^ #= S, Т, то это вытекает из следующего утверждения.

Лемма 9. Пусть Р— про-р-группа, Н cz Р— собственная открытая подгруппа. Тогда нормализатор NP(H) отличен от И.

Доказательство. Это утверждение хорошо известно для конечных р-групп. Чтобы свести общий случай к конечному, положим F = П ^‘Hg). Тогда F— открытый нормальный дели- geP

тель в Р, содержащийся в Н. Ясно, что NP (77) = л-1 (Np/f(H/F)), где л: Р-у-Р/Р — естественный гомоморфизм. Но группа P/F конечна, поэтому NpifVH/F^^ Н/F, и, следовательно, NP(H)^

И. Лемма доказана.

Продолжая доказательство теоремы 10, рассмотрим конечную группу N = N/S П Т и естественный гомоморфизм ф: N-^-N. Образы ф(?/1) и ф(Мг) являются р-подгруппами в N, и поэтому согласно классическим теоремам Силова найдется силовская р-подгруппа Р cz N, содержащая q? (A^j), и такой элемент х е N, что хф(М2)х-1 cz Р. Прообраз ф-1 (Р) является про-р-подгруппой в Н и поэтому содержится в некоторой силовской про-р-под- группе V. Отметим, что по построению Nx, xN2x-x cz V, где хе N — такой элемент, что ф (х) = х. Тогда [S : S П V] <п и по предложению индукции S = yVy~x, у е Н, причем [S : S П И = = [S : y(S f] V)y-X]. Рассмотрим группу Т'= (ух)Т(ух)-1. Ясно, что S П Т' 2D (ух) N2 (ух)- 1 5 (ух) (S П Т) (ух)-', и, кроме того, IS : (ух) (S П Т) (ух)-l] = [S:y(S0T) у" Ч =

Мз^ЗПЮу’ЧЫзПЮ/Л^^ПЛ^^

= [S : Sfl Р] [Sfl Р : S П Л = [S : S П Л- (3) Таким образом, [S : S П Т'] < п, и опять по предположению индукции найдется z е Н со свойствами S = zT'z~x и [S : S f] П Т'] = [S : z(S П Т'у-’Д. Тогда S = (гух) T(zyx)~x и \S;(zyx) (S()T) (zyx)~x] =

= [S : z (S П T) z" 4 [z (S П T') z-' : (zyx) (S П T) (zyx)-4 =

= [S: S П П [S П T': (yx) (S П T) (yx)-4 =

= [S:(px) (5ПЛ Ы_'Ч = [5:5ПЛ

в силу (3). Теорема 10 доказана.

Замечание. Приведенное в оригинальной работе Мацумото [1] доказательство теоремы 10 содержит методологическую ошибку: используемая в нем индукция по паре индексов [3:5ПЛ и [Т: S П Л невыполнима. Наше доказательство представляет исправленный вариант рассуждений Мацумото.

Теорема 10 будет не раз применяться в этой книге. В частности, из нее вытекает следующий важный структурный результат.

Предложение 17. Пусть G— К-простая алгебраическая К-группа. Тогда любой нецентральный нормальный делитель группы Gk имеет в ней конечный индекс.

Доказательство. Пусть Н—нецентральный нормальный делитель группы GK. Согласно теореме 3, Н открыт, поэтому фак- торпространство G^/H дискретно, и достаточно установить его компактность. Это вытекает из следующего утверждения:

Предложение 18. Пусть Н — открытый нормальный делитель группы GK, где G—полупростая К-группа. Тогда существует такая максимальная компактная подгруппа В е Gk, что GK = ВН.

Доказательство. Пусть S cz Н — силовская про-р-подгруппа, g е GK. Тогда группа g-1Sg также является силовской про-р- подгруппой в g~xHg = H, следовательно, по теореме 10 g~xSg = = h~xSh для подходящего he Н. Поэтому х = gh-1 е N = =NoK(S), т. е. Gk = NH. Но в силу предложения 16 группа N компактна, и согласно утверждению 1) того же предложения содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе, которая и будет искомой.

Замечание. Объединяя предложения 5 и 17, можно сделать следующий вывод: если К — локально компактное поле и G— ^простая алгебраическая /(-группа, то любой нецентральный нормальный делитель группы GK имеет в ней конечный индекс. (Формально мы не рассматривали случай /(= С, но здесь, как хорошо известно, группа G = Go вообще не имеет нецентральных нормальных делителей (см. § 7.2). Можно дать также топологическое доказательство этого факта: любой нецентральный нормальный делитель в Go открыт и поэтому обязан содержать связную компоненту Go, но в силу теоремы 5 Go связна, т. е. Gc = G°.) Значительно сложнее доказать аналогичный результат для односвязных групп над числовыми полями (см. § 7.2 и 9.1).

Наряду с теорией проконечных групп при изучении алгебраических групп над неархимедовыми локальными полями используется метод редукции рассматриваемых объектов по модулю максимального идеала р. С помощью процедуры редукции данному алгебраическому многообразию X, определенному над полем К, ставится в соответствие алгебраическое многообразие X, определенное над полем вычетов к = О/р. При этом если выполнены некоторые условия гладкости; то точки из Х^ находятся в биективном соответствии с классами сравнимых по модулю р точек из Хд. Чтобы не отягощать изложение техническими деталями, мы приведем основные определения и результаты для случая аффинных многообразий. Отметим, что в дальнейшем нам встретятся еще лишь проективные многообразия, для которых рассуждения полностью аналогичны. (В действительности случай произвольных многообразий может быть сведен к аффинным путем рассмотрения конечного аффинного покрытия, см. Вейль [3].)

Определение редукции удобно дать в общей ситуации аффинного алгебраического многообразия X с А", определенного над полем Р, которое является полем частных некоторого кольца RcP. Пусть а — идеал в кольце многочленов P[%i, ..., хп], состоящий из многочленов, обращающихся в нули на X, Редукцией X по модулю максимального идеала m cz Р называется подмногообразие Х^ в аффинном пространстве А" над уни-

версальной областью, содержащей поле вычетов k = R/m, определяемое идеалом а(т), который получается редукцией всех многочленов из аП^?[^1, .. •, хл] по модулю m (т. е. заменой коэффициентов всех многочленов на их классы вычетов по модулю ш). (Отметим, что в общем случае многообразие А(т> является лишь ^-замкнутым в Д", но, вообще говоря, не является ^-определенным. Однако в дальнейшем к будет конечным полем, так что ввиду его совершенности понятия А-замкну- тости и ^-определенности совпадают.) Несмотря на простоту определения, сама процедура редукции является весьма тонкой и при использовании требует известной осторожности. Например, если P = Q, R = Z, а X с Д’ состоит из одной точки х = р-\ то а = (рх—1), a(]Z[x] = (px—l)Z[x], так что редукция X по модулю р определяется уравнением 0 • х — 1=0, т. е. Х^ = 0.

К сожалению, до сих пор в монографической литературе не существует полного изложения теории редукции алгебраических многообразий, хотя большое число относящихся к ней фактов используются как «хорошо известные». В наши планы также не входило достаточно подробное рассмотрение этих вопросов, ибо оно сопряжено с использованием аппарата коммутативной алгебры в гораздо большем объеме, чем в остальной части книги. Поэтому мы ограничимся основными определениями и результатами, причем ряд фундаментальных фактов (таких, как, например, лемма Гензеля) будет приведен без доказательства. С другой стороны, ниже мы дадим ряд простых, но типичных для теории редукции рассуждений, которые позволят заинтересованному читателю восстановить некоторые опущенные доказательства.

Определим теперь так называемую гладкую редукцию. Пусть, как и выше, X с \п—аффинное ^-определенное многообразие, все неприводимые компоненты которого имеют одну и ту же размерность т, А’1™1— редукция X по модулю максимального идеала m кольца R cz Р. Будем говорить, что точка хеА™1 является простой точкой редукции, если существуют такие полиномы /ь ..., freflf|^h, • ••, Яп], г = п — m (где a — идеал многочленов из Р[хь ..., х„], обращающихся в нуль на А), что ранг матрицы Якоби

/|=1, .... п

равен г (здесь и далее черта означает редукцию по модулю ш). Если все точки А(т) простые, то редукция называется гладкой.

Отметим, что понятие гладкой редукции является более сильным требованием по сравнению с гладкостью многообразия Х(т). Для точек x = (xi, ..., хл) и У = <yi, у^ из XR мы пишем х = у (mod m), если xt = yi (mod m) для всех i = 1,..., n. Кроме того, для любой точки хеХ3 соответствующая точка /ЕДб попадает в Х^™\ тем самым возникает отображение редукции р: XR^X^\ непустые слои которого совпадают с классами сравнимых по модулю m точек множества XR. Возникает вопрос о том, каков образ отображения редукции. Мы не будем обсуждать здесь все аспекты этой проблемы (см;, обзор Паршина [1]), ибо для наших целей достаточно следующего результата, который относится к нашей исходной ситуации: К—конечное расширение Qp, О — кольцо целых в К и у с О — максимальный идеал.

Теорема II (лемма Гензеля). Если х е Xм— простая точка редукции, то х лежит в образе отображения редукции. В частности, если редукция Xw гладкая, то отображение редукции сюръективно.

Отметим, что в случае гладкой редукции различные неприводимые компоненты многообразия не могут «склеиваться», в частности, если X состоит из конечного числа точек и редукция является гладкой, то отображение редукции инъективно.

Разумеется, редукция гладкого многообразия не обязана ■быть гладкой. Тем не менее если X—гладкое многообразие, определенное над числовым полем К, то для почти всех неархимедовых нормирований и поля К редукция Xw относительно соответствующего максимального идеала р(и) кольца целых О с К также является гладкой.

. Аналогичным образом ведет себя при редукции и такое свойство многообразий, как (абсолютная) неприводимость. Кроме того, если исходное многообразие являлось алгебраической группой, то все его редукции — также алгебраические группы, причем соответствующее отображение редукции является гомоморфизмом групп. Оставшаяся часть параграфа посвящена точным формулировкам и частичным доказательствам этих фактов.

Теорема 12 (Э. Нётер). Пусть X— неприводимое аффинное многообразие размерности m над числовым полем К. Тогда для почти всех и е Kf редукция X(a) также является неприводимым многообразием размерности т.

Сделаем одно замечание, касающееся определения многообразия Х^\ В качестве исходного можно взять определение Xw как редукции многообразия X относительно максимального идеала р(у) кольца целых СсК. Возникает вопрос, получим

ли мы то же многообразие Xw, если возьмем кольцо О' S-целых -элементов для некоторого подмножества ScV:< такого, что и ^ S, и проведем редукцию относительно соответствующего максимального идеала рД^сдбД. Покажем, что ответ на этот вопрос утвердителен. Для этого рассмотрим идеалы 6 = = а П О [хь ..., х„] и У = а П О' [хь ..., х„]. В силу нетеровости кольца О’ по теореме Гильберта о базисе существует конечная система образующих /1, ..., /г идеала У. Так как u^S, то для подходящего аеб'ХДи) все полиномы afi, ..., afr лежат в С?[Х], ..., х„] и, следовательно, в ф. С учетом того, что С?/р (и) = О'/У (и), отсюда вытекает, что редуцированные идеалы Ь№(ц,) и (У)’* (и)) совпадают, т. е. х|1'|ц,) = X"1 (и,). Тем самым редукция /(-определенного многообразия определяется фактически не парой р(и)с (7, а лишь нормированием и, и поэтому обозначение Х<°> вполне оправдано. Отметим еще один аспект этого замечания. Если х е Хк,, то хе Хо- для кольца S-целых О' относительно достаточно большого S. Тогда для и ^ S точка х редуцируется в точку х многообразия Xlf|ц,). Но в силу совпадения а и а " можно считать, что а . В этой ситуации говорят, что для и ^ S возможна редукция точки х по модулю р(и) и результат редукции есть точка х. Аналогичная терминология применяется к полиномам, регулярным отображениям и т. д.

В дальнейшем важную, хотя внешне и не столь заметную роль будет играть факт совпадения редукции Xм с редукцией А^") относительно максимального идеала ри в кольце целых Оу соответствующего пополнения Ку (в последнем случае многообразие X рассматривается как Аи-определенное).

Лемма 10. В описанной ситуации Х^ = Х^и\

Доказательство. Положим Ь = аП(7[х1, ..., х„], У = ау () П^Лхь ..., х„], где aa—идеал полиномов из A0[xi, ..., х„], обращающихся в нуль на X. Пусть /ь ..., fr и gi, ..., gs— конечные системы образующих идеалов ф и У соответственно. Так как многообразие X определено над К, то найдутся такие поли-

Г

номы htj е Ку [xi, ..., х„], что gi = ^Lh.Mti- Выбирая поли- /=1

номы tij^K\xi, ..., х„] таким образом, чтобы их коэффициенты были достаточно близки к соответствующим коэффи- г

циентам полиномов кц, мы получим полиномы g'. = У t^, ле" жащие в ^[xi, ..., х„] П йу = V и обладающие свойством ^ — ^(mod^). Далее, можно выбрать такое конечное подмножество S cz V^, и ^ S, что коэффициенты полиномов g; ле-

жат в кольце S-целых элементов О'. Тогда легко видеть, что ^(t- («» = дДн) для соответствующего идеала рДДсдбД, а тогда и ^(₽(«>> = ^(Ри)

Тем же методом доказывается следующее утверждение, которое обосновывает независимость редукции относительно почти всех нормирований от поля определения.

Лемма 11. Пусть L/K—конечное расширение числовых полей. Тогда для любого аффинного К-многообразия X и почти ■всех и е rf редукция Х№ совпадает с редукцией Xw, где w— любое продолжение и на L и X рассматривается как L-многообразие.

При работе с редукциями многообразий часто оказывается полезной следующая

Лемма 12. Пусть fh ..., /rE^[xI, ..., хп]. Тогда если система

h = 0, /=1, ...,г, (4)

несовместна, т. е. не имеет решений над К, то для почти всех и е Vf редуцированная по модулю и система

fi = 0, i = 1, . . ., г, (5) также несовместна.

Доказательство. Так как (4) несовместна, то по теореме Гильберта о корнях найдутся такие полиномы gn ..., gr ^ E^[x1, ..., х„], что fi^i+ • • • +^г = 1- Тогда для почти всех и коэффициенты многочленов gt являются и-целыми, и последнее равенство можно редуцировать по модулю и. Получим равенство hgi + ■ ■■ + Т8г = ^, из которого следует несовместность системы (5). Лемма доказана.

Упражнение 1. Используя лемму 12, получить доказательство теоремы 12 для основного с бирациональной точки зрения случая гиперповерхности в ^n. Другими словами, показать, что если f^KV^i, ..., Хп] — абсолютно неприводимый полином, то его редукция f по модулю и также абсолютно неприводима для почти всех v е VfK. (Указание. Существование разложения f = gh можно интерпретировать как наличие решения у некоторой системы полиномиальных уравнений относительно коэффициентов полиномов g и h\ с другой стороны, используя лемму 12, можно доказать ее неразрешимость для почти всех и.)

Предложение 19. Пусть X— гладкое аффинное многообразие над полем алгебраических чисел К, все неприводимые компоненты которого имеют одну и ту же размерность т. Тогда •для почти всех v е V,^ редукция Х(ц) является гладкой.

Доказательство. Пусть ХсА", асК[р, ..., хп]— идеал многочленов, обращающихся в нуль на X, и Ь = а Г] С? [xi, ... ..., х„], где О— кольцо целых в К. Выберем конечную систему

образующих fi, ..., ft идеала b и обозначим через fDj^=1 совокупность всех миноров размера гХг, где г — п—т, матрицы Якоби

/ dftdf, х

дхх ‘ ‘ ‘ дхп \aftI

\ дхх " ' " дхп /

Поскольку многообразие X является гладким, система /,- = 0, i= 1, ./, Dj = 0, j = 1, . .., d,

несовместна. Поэтому согласно лемме 12 для почти всех и е V^ редуцированная система также несовместна, т. е. редуцированное многообразие не содержит точек, для которых ранг матрицы Якоби меньше г. Но это как раз и означает, что редукция Х*-у> является гладкой. Предложение 19 доказано.

Упражнение 2. Получить проективный аналог предложения 19.

Нам осталось еще показать, что редукция алгебраической группы является алгебраической группой. Для этого мы предварительно обсудим некоторые факты, связанные с редукцией морфизмов алгебраических многообразий. Пусть Р—.произвольное поле, и f: X->-Y— регулярное ^-определенное отображение двух ^-определенных многообразий X сд А", У сд Ат. Тогда в координатах f задается набором многочленов /ь ..., fme е P[xixj. Будем говорить, что отображение f определено над подкольцом Р сд Р, если его можно задать многочленами из /?[xi,г„]. В этом случае для любого максималь

ного идеала ш сд R определено редуцированное регулярное отображениеf(m)= (fb . ,.,fm). Оказывается, что тем самым мы получаем регулярное отображение f •► Т соответствую

щих редукций.

Лемма 13. f,m) (Хы) сдУ1т).

Доказательство. Пусть а^ и ау — отвечающие многообразиям X и Y идеалы в кольцах Р[х1, . .., xj и Р\ух, . . ., УпА соответственно, Ьх = ал П О [*!, • ••, ^], ^у = Д П О \ух, ...,у„А. Обозначим через f: PVyv, УпА^" P\xi- Хп1 ассоциированный с f коморфизм, который определяется условием У(^'1)(хх, ...,хп\ Тогда включение f(X) сд У означает, что f*(ay)cax. Так как f определено над R, то одновременно f* (by) сдЬх. Из последнего включения вытекает аналогичное включение для редукций (f*)(m) (Ь^) сд Ьх *, т. е. включение f(m) (Х(т)) сд У(т). Лемма доказана.

В отличие от критериев определенности морфизма над полем (см. § 2.4), критериев определенности морфизма над кольцом (а, значит, и возможности его редукции), по-видимому, не существует. Мы будем иметь дело главным образом с морфизмами многообразий f: X->-Y, определенными над некоторым числовым полем К, и тогда заведомо возможна редукция f относительно почти всех у, которая приводит к регулярному отображению f(H): X^’-^- У(ц). Отсюда, в частности, вытекает, что редукция Х(ц) для почти всех у не зависит от геометрической реализации X как замкнутого по Зарисскому подмножества аффинного пространства. Более точно, если X и У бирегулярно изоморфны над К, то для почти всех у редукции Х<ц) и У(ц) также бирегулярно изоморфны над соответствующим полем вычетов. Кроме того, используя существование редукций морфизмов, можно с помощью аффинного покрытия определить редукцию произвольного многообразия. Укажем в общих чертах как это делается, отсылая за деталями к статье Вейля [4]. Пусть X = U Xt — конечное аффинное покрытие произвольного К-мно-

1 = 1

гообразия X. Зафиксируем геометрические реализации Xi как замкнутых подмножеств аффинных пространств, т. е. К-опреде- ленные изоморфизмы f t; X; --> Х°, где X°t замкнуто в А"‘. Положим YЦ = fi (X; П Xj) cz АХ Тогда возникают /(-определенные морфизмы согласования gif. Yij-^-Yjt, i, /’= 1, ..., d, причем в терминологии алгебраической геометрии исходное многообразие X получается склейкой многообразий Х” относительно системы {Yij.gij} (см. Шафаревич [1]). Согласно лемме 13 для почти всех у существует редукция g^ всех морфизмов gq, и тогда, склеивая редукции (Х?У(Ц> относительно системы {УХ, g^ (выполнимость условий, необходимых для склейки, вытекает из того, что они выполняются для исходных морфизмов gi^, получим многообразие Х*^, называемое редукцией X.

Предложение 20. Пусть GczGLn— К-определенная алгебраическая группа. Тогда для всех ueVf редукция Gw является алгебраической группой, определенной над полем, вычетов &0, и отображение редукции Gj^-G^ является гомоморфизмом групп. Кроме того, для почти всех и редукция G^ является ■гладкой, и тогда соответствующее локальное отображение редукции Gq^ -=► G1^ сюръективно.

Доказательство. Пусть ц: GLn X GLn —>• GLn, ц. (х, у) = ху,— Морфизм-произведение, i; GLn^-GLn, t (х) = х-1, — морфизм- «обращение. Тогда тот факт, что G является алгебраической группой, описывается включениями ц. (GXG)c G, I (G) cG. Так

как ц и t определены над Z, то возможна их редукция для любого и, и по лемме 13 ц(и) (G(tl) X С(и)) С<и), iw kGw^ с Gto\ т. е. G(tl)—алгебраическая группа. При этом отображение редукции совпадает с ограничением на Go отображения GLn (б?) -iX GLn (kv), индуцированного гомоморфизмом б;—►/гн = ^б^/р(и). Но р, очевидно, является гомоморфизмом, поэтому отображение редукции—также гомоморфизм. Остается заметить,, что поскольку G является гладким многообразием, то в силу предложения 19 редукция Gw является гладкой для почти всех и, и тогда по лемме Гензеля локальное отображение редукции Суц —> G^ сюръективно. Предложение 20 доказано.

Предложение 21. Пусть f; G->-Н— ^-определенный морфизм алгебраических К-групп. Тогда для. почти всех v^V^ возможна редукция f и редуцированный морфизм fu): G{v) -► Н^ также является морфизмом алгебраических групп.

Доказательство. Согласно лемме 13 и последующим замечаниям для почти всех уеУ^ возможна редукция ф которая дает регулярное отображение /|ц): GM —►Hto\ и надо только1 установить его мультипликативность. Но мультипликативность. f выражается в виде системы полиномиальных тождеств на G X G, редукция которых дает аналогичную систему полиномиальных тождеств на G^ X Gw, что и доказывает требуемое.

Предложение 22. Пусть G— связная алгебраическая К-груп- па, Н — ее связная К-определенная подгруппа и X=G/H. Тогда для почти всех ueV? редукция Xм совпадает с однородным пространством GwjHw.

Доказательство. Рассмотрим естественное действие ф G X X X и его редукцию fw;G^XXW^-Xw для почти всех у. Тогда нам надо показать, что для почти всех у выполняются следующие условия:

действие ^ц) транзитивно;

стабилизатор Gw (х) точки хеХФ которая получается редукцией единичного класса х = еН, совпадает с Н<ц).

Исключая из рассуждения конечное число у, можно считать,, что редукции G^, Hw и XW являются гладкими, причем эти. многообразия неприводимы и их размерности совпадают соответственно с d = dim G, t = dim H и s = dim X. Положим У = = {(g, У)e G X X\gy = у} и рассмотрим проекцию л: Y-^-X. Тогда из теоремы о размерности слоев морфизма вытекает, что условие dimn-1 (у)>/ определяет замкнутое подмногообразие Z ед X. Так как в нашей ситуации Z = 0, то из леммы 12 выте-

кает, что для почти всех и также Z<D) = 0, т. е. Х<°> не содержит точек у, для которых dim G<°>(t/)> t. Из подсчета размерностей и предложения 2.23 вытекает справедливость условия 1). Далее, из теоремы 12 получаем, что для почти всех и стабилизатор С(ц)(х) должен быть связным. С другой стороны, он содержит НИ и имеет ту же размерность. Поэтому G№ ^ = Н№, и предложение доказано.

3.4. Элементы теории Брюа—Титса

Брюа и Титсом в работах [2—4] была построена фундаментальная теория для исследования групп рациональных точек полупростых алгебраических групп над локальными полями. В основе этой теории лежит конструкция в группе точек простой односвязной группы G над локальным полем К некоторой SyV-пары, которая оказывается связанной с системой корней аффинного типа. Далее, при помощи SyV-пары определяется некоторый симплициальный комплекс .>V, называемый основой), на котором действует группа GK. Этот комплекс оказывается стягиваемым, и использование его свойств позволяет получить информацию о группе GK и ее подгруппах. (Отметим, что в действительности основа является естественным неархимедовым аналогом симметрического пространства Gr/K по максимальной компактной подгруппе Кcz Gr в архимедовом случае; сравните, в частности, предложение И.) Пусть, например, Вс GK— компактная подгруппа. Доказывается, что естественное действие В на si- обладает неподвижной вершиной. Но стабилизаторы вершин (так называемые максимальные парахорические подгруппы) сами компактны, откуда следует, что класс макси- сальных компактных подгрупп в Gk совпадает с классом максимальных парахорических подгрупп. С другой стороны, парахорические подгруппы допускают описание на языке аффинной системы корней, которое аналогично отмеченному в § 2.1, п. 12 описанию параболических подгрупп, что позволяет определить их классы сопряженности и, в частности, вычислить их количество (см. ниже теорему 13). Тем самым с помощью теории Брюа — Титса мы получаем элегантное решение задачи об описании максимальных компактных подгрупп в Gk- К сожалению, в настоящей книге мы не сможем сколько-нибудь подробно остановиться на теории Брюа — Титса, отсылая читателя к указанным выше оригинальным работам, а также статьям Ива- хори — Мацумото [ 1], Макдональда [1],Сатаке [2], Хидзикаты [2]. Дело в том, что изложение этой теории требует введения целого ряда новых определений (которыми мы в дальнейшем

нигде не будем пользоваться) и фактически связано с построен нием нескольких самостоятельных «подтеорий», так что объем полного изложения сравним с объемом этой книги. Поэтому мы ограничимся описанием основных объектов (беря, правда, при этом в качестве определений результаты теории) и формулировкой некоторых теорем.

Итак, пусть G— простая односвязная алгебраическая группа, определенная над конечным расширением К поля Qp. Подгруппой Ивахори В a GK называется нормализатор силовской про-р-подгруппы в Gk- Отметим, что из сопряженности силов- ских про-р-подгрупп (теорема 10) вытекает сопряженность подгрупп Ивахори. Подгруппа 9s cz GK называется парахорической, если она содержит некоторую подгруппу Ивахори. Основой si группы GK (или группы G над /() называется симплициальный комплекс, вершинами которого служат максимальные собственные парахорические подгруппы группы GK, причем набор {^о, ^ь •9Д таких подгрупп определяет s-симплекс в si, если пересечение f] 9\ также является парахорической под- 1=0

группой. Группа Gk действует на si- посредством сопряжений, причем это действие сохраняет симплициальную структуру, и стабилизаторы симплексов являются собственными парахори- ческими подгруппами. Иногда под основой понимают также геометрическую реализацию указанного симплициального комплекса. В этом смысле si является стягиваемым геометрическим комплексом (теорема Соломона — Титса), размерность которого совпадает с /(-рангом группы G. В частности, если rang^G=l, то построенный комплекс является деревом, и к нему можно применить структурную теорию групп, действующих на деревьях (см. Серр [10]). Отсюда, например, получается, что в этом случае любая дискретная подгруппа Г с= G^ без кручения является свободной (для G = SLZ эта теорема была получена Ихарой [1]; отметим также, что пример группы SL2 подробно разобран в книге Хамфри [2]).

Перейдем теперь к построению так называемой BV-пары в GK. Предварительно напомним (см. подробнее Бурбаки [4],. гл. IV), что BN-парой (или системой Титса') в абстрактной группе G называется пара подгрупп В, N cz G таких, что для некоторого подмножества R cz N/В П N выполняются следующие аксиомы:

множество В (J N порождает G и Н = В П N является: нормальной подгруппой N;'

множество R порождает группу W = N/H и состоит из элементов порядка 2;

rBw cz BwB (J BrwB для r^R, w е W;

rBr ф В для любого reR.'

Группа W = N/H называется группой Вейля пары (В, N). Элементы из W являются классами смежности по Н, однако двойной смежный класс BgB не зависит от выбора представителя gEw. где w ez W, и поэтому его обычно обозначают через ВуиВ; в этом смысле следует понимать соотношения пунктов 3)—4). Отметим также, что множество R однозначно восстанавливается по В и N, а именно, состоит из таких ш ez W, что объединение В U BwB является подгруппой в G.

Пусть теперь снова G — простая односвязная алгебраическая /(-группа, S cl G— максимальный /(-разложимый тор. Обозначим через NG(S) и Zg(S) соответственно нормализатор и централизатор тора 3 и положим N = A'ctS)^,

// = {.t е ZG ^к | X (х) е и Чх^Х <ZG (S))K},

где U — группа у-адических единиц в К. Тогда существует такая подгруппа Ивахори В cz GK, что В f) N = Н и группы В, N образуют BV-napy в GK. При этом оказывается, что группа Вейля W = N / Н совпадает с группой Вейля некоторой аффинной системы корней R ранга Z = dim 3 (определение аффинной группы Вейля см. в книге Бурбаки [4], гл. VI, § 2),. В частности, подмножество R cz IV выделенных образующих состоит из (Z + 1) элементов п, г2rz+b которые можно занумеровать таким образом, что первые / элементов порождают подгруппу IV0 cz IV, изоморфную группе Вейля некоторой обычной приведенной системы корней, ассоциированной с R. Отметим, что группа IV0 совпадает с относительной группой Вейля IV(S, G) = = Ng (8)/Zg (S), однако в общем случае система Ro отлична от относительной системы корней R(S, G), даже если последняя является приведенной. При этом все же каждый корень из Ro пропорционален некоторому корню из R(S,G), и наоборот. В случае /(-разложимой группы G, т. е. когда 3— максимальный тор в G, всегда R0 = R(S, G).

Из общей теории групп с BjV-парой вытекает, что любая подгруппа Р cz GK, содержащая В, имеет вид Ps = BWSB, где 5 cz R — некоторое подмножество, IVs— подгруппа в IV, порожденная 3. При этом если подгруппы Ps, и Ps. сопряжены в Ок, то Si = 32. Отсюда следует, что полную систему представителей классов сопряженности максимальных собственных парахориче- ских подгрупп образуют подгруппы ^^Ps где Sz = /?\{r;), Z=l, ...,/+ 1. Так как класс максимальных собственных па- рахорических подгрупп совпадает с классом максимальных компактных подгрупп, то мы приходим к следующему результату:

Теорема 13. Пусть G— простая односвязная алгебраическая К-группа, Z = rangy< G. Тогда в группе GK имеется ровно Z -ф 1 классов сопряженности максимальных компактных подгрупп.

Из теоремы 13, в частности, вытекает, что в любой полупростой односвязной /(-группе число классов сопряженности максимальных компактных подгрупп конечно. В теории Брюа — Титса доказывается, что это утверждение сохраняет силу для произвольной редуктивной /(-группы.

Для групп рациональных точек имеется ряд разложений, часть из которых является неархимедовыми аналогами разложений из § 3.2i Из этого комплекса результатов нам понадобится лишь неархимедов аналог разложения Картана, на котором мы остановимся более подробно. Сохраним обозначения, введенные выше. Пусть К — максимальная компактная подгруппа BW0B. Известно, что группа W является полупрямым произведением W=W0T, где Т— абелева группа, порожденная корнями из Ro; отметим, что Т — свободная абелева группа ранга / = dim S. Далее, специальным образом строится подполугруппа Т+ с Т «положительных» элементов (более точно, в системе Ro выбирается система простых корней По, ассоциированная с В, и тогда Т+ состоит из таких t^T, что <(, а> ^0 для всех а е По, где <, > — некоторая положительно определенная симметрическая билинейная форма на Т ®zR, инвариантная относительно Ц70). Обозначим через v естественный гомоморфизм N-^-W = N/H и положим Z+ = v-1(7+). Заметим теперь, что если zb z2eZg(S)k и v (zj = v (z2), то г^Г* e H, и поэтому KziK = Kz2K. Тем самым для zeZg(S)^ двойной смежный класс KzK зависит лишь от ^ = v(z), так что его естественно обозначать через Kv-1 (/) К. В этих обозначениях справедлива

Теорема 14 (разложение Картана). Gk=KZ+K и отображение t1—>Kv'1 (/) К взаимно однозначно отображает Т+ на множество двойных смежных классов *XGK/K.

Пример. Пусть G = SLn, К = QP. Легко видеть, что силов- ская про-р-группа группы STn(Qp) состоит из матриц х — = ^Хи^е SLn(Zp) таких, что хи = 1 (modр), xG = 0(modp) для всех i, j = 1, ..., п, i > j. Поэтому соответствующая подгруппа Ивахори BczSL^Qp) описывается следующим образом: В = {% = (x,v)e SLn(Zp)\хц = 0(mod р) для (>)}. Эта подгруппа вместе с нормализатором N диагонального тора Sc G образует описанную выше BiV-napy. Выделенную систему образующих R с W = N/B Q N составляют классы следующих

матриц:

1010000

1

0

1

0

0

0

—1

ОО...р1оО1—р ... оОО...р1оО1—р ... о1 ‘ .О

ОО...р

1о

О1

—р ... о

ОО...р

1о

О1

—р ... о

о 1-1 о

1 О‘ .

1

Парахорическая подгруппа £7 = BW0B, где Wo порождена Гх, ... ..., гп-\, совпадает с группой SLn^PY Остальные максимальные собственные парахорические подгруппы имеют вид ^; = — BWiB для i = 1п— 1, где W, порождена /?\{л}. Несложно показать, что 53, совпадает со стабилизатором в SL„(QP) решетки с базисом еь ..., en_i, pe4_i+1реп, где eiеп— стандартный базис пространства Qp. Читатель без труда проверит, что получаемая таким образом классификация классов сопряженности максимальных компактных подгрупп группы SZ.n(Qp) совпадает с той, которая была получена при доказательстве предложения 14. Проиллюстрируем, наконец, разложение Картана в SLn^QpY Как мы видели выше, здесь подгруппа К совпадает с SL„(ZP). Группа Т здесь изоморфна подгруппе

в Zn, состоящей из таких (щяп)е Z", что У, щ = 0; при этом систему По простых корней образуют элементы az = = (0, ..., 0, 1, —1, 00),i = 1п— 1 (сравните с опи

санием системы корней группы G = SLn в § 2.1, п. 1.3). Группа Вейля I^o ~ Sn действует на Т перестановками координат, поэтому инвариантным относительно Wo будет обычное скалярное произведение. Отсюда следует, что множество 7+ в данном случае состоит из таких (щq^eT, что ai ^ а^ ^ ... ^ an. Теорема 14 тогда утверждает, что в любом двойном смежном классе KgK, gGS£n(Qp), найдется представитель вида diag (ра‘, ра2, ..., ра,1\ где ai^«2^ ... ^ а», причем числа сц определены однозначно. Поэтому в данном случае теорема 14 фактически сводится к известной теореме об инвариантных множителях для матриц (см., например, Кэртис, Райнер [1], гл. III, § 16): если А— кольцо главных идеалов, то для любой матрицы ХеМп(А) найдутся такие матрицы Уь У2е37п(Д), что Y1XY2 = diag(di, ..., dr, 0 ... 0), где die A, dt^On di делит di+i для всех t = 1, ..., г— 1; при этом элементы di (называемые инвариантными множителями матрицы X) определены однозначно с точностью до умножения на обратимый элемент кольца А.

В оставшейся части параграфа мы с помощью теоремы 14 установим факт компактной определенности группы Gk (этот результат будет использован в § 5.4 для доказательства конечной определенности S-арифметических подгрупп). Для точной формулировки соответствующего утверждения условимся о следующей терминологии. Будем говорить, что подмножество С абстрактной группы Г является определяющим, если оно порождает Г и любое соотношение в Г между элементами из С является следствием соотношений вида ab = с, где а, Ь, с е С. Другими словами, это означает, что естественный гомоморфизм f; F(C)—>~r свободной группы ^(С), порожденной С, сюръективен и его ядро N = Ker f порождается как нормальный делитель в F(С) элементами вида abc-1, где a, b, сеС. Топологическая группа Г называется компактно определенной, если существует компактное подмножество Сс Г, которое является определяющим для Г, рассматриваемой как абстрактная группа.

Теорема 15 (Бер [2]). Пусть G — редуктивная группа, определенная над неархимедовым локальным полем К. Тогда группа Gk является компактно определенной.

Доказательство. Легко видеть, что для доказательства компактной определенности топологической группы Г достаточно найти такое компактное подмножество СсГ, порождающее Г как абстрактную группу, что все соотношения в Г между элементами из С являются следствиями соотношений ограниченной длины (этим замечанием мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем). Разберем вначале случай простой односвязной ^-группы G. Здесь доказательство компактной определенности GK получается из следующего утверждения.

Лемма 14. Пусть топологическая группа Г снабжена функцией | | («абсолютной величиной»), которая принимает целочисленные значения и обладает следующими свойствами;

Igl^O, | 1 | = 0;

I gLg2 КI gi 1 + I g21 для всех gx, g2e Г;

I g 1 I = I g I для всех §еГ;

множества r„ = {gGr||g|^n} компактны.

Предположим, далее, что существуют неотрицательные целые числа с, d и Ь, для которых выполняются следующие условия;

если для g еГ имеем I g | > с, то найдутся такие gi, g2 е Г, что g = gxg2 и I gx | < с, I g21 < | g | — d;

если f, g, KeV и fgh = 1, то найдутся такие gH g2, .. . ...,gteT, что g = gxg2 ••• gb lg;l<c (t = l, • ..,/), ^ <1 gl + b и | fgx . . . gs К max {| f |, I Л|} + ^ (/= 1, ...,/— 1). Тогда группа Г является компактно определенной.

Доказательство. Из г) и (i) вытекает, что Гс является компактным порождающим множеством для Г, поэтому достаточно показать, что все соотношения между элементами Гс являются следствиями соотношений ограниченной длины. Мы получим явную оценку для длины «базисных» соотношений:

Z ^Zo = тах (Зс + b + 3, 2 Г—-с . 1 + ,и (L а + 1 J J

где [ ] означает целую часть числа. Поскольку Гс вместе с каждым элементом g содержит g-1, а также 1, то достаточно рассмотреть соотношения г вида

i= 1

Положим P/=Hgz и || г ||= шах {| р, |}. Покажем вначале, что любое соотношение г является следствием таких соотношений г', что II г' ||^ 2с. Доказательство будем вести индукцией по || г ||. Пусть || г || > 2с и /— такой индекс, что max {| pj I, | P/+i 1} = II г ||. Поскольку |g/|^c, то при этом min {| ру |, | py+i |} > с, и в силу (1) мы можем найти такие элементы gp g'/ + l GE Гс, ЧТО

1^’41 <l^|-d и \g'r+\Pi\<\pi+1\-d-

Положим 1 = рт^'г g = g'-xgig'! + v h = g'j+\Pr Тогда fgh = 1 и max {|/|, I h |} < || r || — d. Применяя (ii), найдем такие gb . .. ...,^еГс, что g = gi •.. gt, /<lgl + 6 и Ifgi ... gfe|< ^ max {| / I, | h (} + d для всех к = 1, . . ., / — 1. Так как | g | ^ Зс, то t ^ Зс + Ь. Введем в рассмотрение соотношения

Гр gj^g'jgy ... gtg'i~+U

длина которых не превосходит Zo. Заменим теперь gj в г правой частью Г; для всех индексов / таких, что тах{| р, |, | pj + 11} = = 11 г || (где, естественно, в случае |р/| = ||г|| для пар (/— 1, /) и (/, j + 1) выбирается один и тот же элемент g'). Тогда для любого k^t имеем | gk ... g^'^pj | = | fg, ... ^fe_j I < II II- Таким образом, мы получим соотношение г', которое эквивалентно исходному по модулю соотношений г/, и для которого Ik'll < 1И1- Повторяя описанный процесс несколько раз, мы придем к соотношению г0, для которого Ikoll^ 2с.

Итак, осталось проанализировать соотношения

г: П g{ = 1

' 14 = 1

со свойством ||г||^2с. Тогда для любого /, 1 ^ / ^ п, имеем |р/|^2с, и поэтому в силу (1) мы можем представить р, в виде произведения самое большее Q-rf ^ j + 2^ множителей из Гс. Выразим рт1 в виде произведения обратных множителей. Подставляя эти выражения в соотношение gf =р; р^х для I ^ ^ / ^ п — 1 (соответственно в соотношение gn = рп для / = ц)„ мы получим соотношения, длина которых ограничена числом (^ [ ^ ^ t ] + ^) ^ Zo. С другой стороны, ясно, что г является следствием этих соотношений. Лемма доказана.

Чтобы построить функцию | | на группе Г = Ок с описанными в лемме 14 свойствами, поступим следующим образом. Зафиксируем максимальный /(-разложимый тор S cz G (отметим, что если S =(е), то в силу теоремы 1 группа Ок компактна, и в качестве компактного определяющего множества можно взять С = О kV Сохраним обозначения, введенные выше, в частности, пусть R(S, О)—относительная система корней. Тогда для g = T(G) имеем разложение

9 = 9о © ( Ф 9а Y\аеР(3, G) )

где д0 — централизатор AdS, ga—весовое подпространство> относительно AdS веса a g R (S, G). Зафиксируем некоторые решетки Lo cz (g0)K, Ga cz (ga)K и положим L = L0®( Ф La"\-

' XaeR(S.G) /

Введем, далее, расстояние между двумя решетками Lx Z.2czgK: d (Lx, L^ = min {n | ^Lt =Цс лпЦ},

где ле К—униформизующий элемент. Наша цель — показать, что для функции | | на группе Г = G^, определяемой формулой

\g\ = d<L, M^LY

выполняются все требования леммы 14. Выполнимость свойств; а)—г) проверяется непосредственно. Отметим только, что для. доказательства компактности Г„ при любом целом п > 0 следует заметить, что из ограниченности | | на Гп вытекает ограниченность, а следовательно, и компактность Ad (Г„); с другой стороны, отображение Г->-Аб(Г) открыто (следствие 1 из предложения 3.3), имеет конечное ядро и поэтому является собственным, т. е. прообраз компакта является компактом.

Для проверки (1), (11) нам понадобится одно разложение группы Ок, которое является следствием разложения Картана Ок = KZ+K. По построению Z+ является прообразом относительно канонического гомоморфизма v: N-^-W = N/H полугруппы Т+ cz W, которая определяется как совокупность таких элементов t из абелевой группы Т, порожденной корнями из R&„

что Д, а) ^ 0 для всех а из системы простых корней По. Анализ конструкций из теории Брюа — Титса показывает, что •v^S^czT. Но SK ~(К*у ~Zl у_Ьч, где Z=dimS, U— группа единиц в К. С другой стороны, из компактности A=Kerv вытекает компактность Ker(v|S^), а следовательно, включение Ker(v|S^)c U1. Поэтому v(S^) содержит свободную абелеву подгруппу ранга I. Но Т сама является свободной абелевой группой ранга /, так что индекс m = [Т : v (S^) ] конечен. Тогда v(S^)=DmT и v (SK) П Т+ zd шТ+. Мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что полугруппа Т+ конечно порождена. Отсюда вытекает, что полугруппа v(S^)H Т+ также конечно порождена; положим S+ = Z+nS^. Имеем v(S+) = v (S^) П Т+, поэтому v(S+) zz> тТУ и, следовательно, существует такое конечное подмножество Е cz Z+, что v(ES+) = Т+. Тогда Z+= HES+ и

GK = KZ+K = KES+K.(1)

Далее, для s е SK, а е Ro справедлива формула

(v (s), а) = V (а (s)),

где и— нормирование поля К.

Поэтому, учитывая взаимную пропорциональность корней из Ro и R(S, Gy получим, что ц(а(з)) ^ 0 для seS+ и всех корней a^R(S, Gy положительных относительно порядка, согласованного с системой простых корней Пос Ro. Отсюда следует, что для s е So значения |s| задаются формулой |s| = и («о(s)), где а0 е A (S, G)—максимальный корень; в частности, если s = $is2(s, Si, s2eS+), to |s| = |si | + |s2[. Как мы видели выше, полугруппа v(S+) является конечнопорожденной, поэтому существует такое целое число г > О, что элементы s е S+ со свойством |s|^r порождают S+ как полугруппу. Введем еще две целочисленные константы, через которые будут выражаться искомые константы с, d и Ь, удовлетворяющие лемме 14. А именно, из компактности К и конечности Е вытекает существование таких целых С\, с2, что |^|^Ci, |е|^с2 для всех ^ е К, е е £.

При доказательстве (i) зафиксируем некоторое целое неотрицательное число d и положим с = 5С] -ф 2с2 + г + d. Если |g | > с и g = k\eski — разложение вида (1), то

| s | = | е Yk\ 'gk2 11 > ЗС] -|- с2 -|- г + d.

Существуют такие sH s2eS+, что s = S]S2 и Зщ + с2 + d < < | s, | ^ Зщ + с2 + г + d. Тогда для gj = kxesx и g2 = s2^2 будем иметь

I 51 I ^ I si I + ci + с2 ^ 4С] + 2с2 -\- г -|- d ^ с,

I 52 1 I S2 I + Ci ~ I S I— IS1I4“C1<

< I 5 I + 2ci + c2 + Ci — (3ci + c2 + d) = 15 I ^-

Перед тем как переходить к доказательству (ii), сделаем одно замечание. Для элемента seS+ из включения л" Ad (s)L cz L вытекает включение t^L cz Ad(s)T. Оказывается, что несколько более слабая импликация выполняется для любого g ez GK. А именно, пусть для g е GK имеет место включение n"Ad(g)T cz cz L. Выберем разложение g = kxesk2 вида (1). Тогда в силу свойств б), в) функции | | имеем лп+2с,+С! Ad (s) cz Т, откуда лп+2с,+с-Т cz Ad (s) Т, и, наконец, n"+4c,+2c<T cz Ad (g) Т.

Пусть теперь j, g. he Ск удовлетворяют соотношению fgh = = 1. Представим g в виде g = kxesk2 и разложим s в произведение s = S] ... st, где St е S+ и [ st | ^ г. Тогда, положив gx — = ktesi, g2 = s2, ..., gt-\ = s<-i, gt = stk2, будем иметь

I gi I < C, + c2 + r < c = 5c, + 2c2 + r + d

(для произвольного выбора d). Кроме того, можно считать, что t ^ [s [ ^ [^1+ Ь, где b = 2с, + с2. Для /е{1, ..., t—1} введем отрезки и = s, ... S, и и = s/+, ... st. Тогда из определения L вытекает, что

Ad (u) L cz Ad (s) L + L,

откуда Ad Qkxeu) cz Ad (M,es) L + Ad (/A,e) L, т. e. л” Ad (fkxeu) L cz cz L для n = max {| fkxes |, |f^,e|}. Поэтому из сделанного выше замечания вытекает, что

I fkxeu | ^ шах {| fkxes |, | fkxe 1} + 4с, + 2с2.

С другой стороны,

I fkxes I < I fkxesk21 + | к21 < | fg | + с, = | h | + с, и

I Мк I < I f I + I кхе | | f | + сх + с2.

Окончательно мы получаем, что

I fgi ... g/1 ^ max {| f I, | h |} + (5c, + 3c2).

Полагая тогда d = 5c, + Зс2 (в этом случае с = Юс, + 5с2 + + г), мы и получим искомые константы с, d и Ь. Тем самым доказательство компактной определенности группы GK для простой односвязной К-группы G завершено. Оставшаяся часть рассуждений представляет несложную редукцию к этому случаю.

Прежде всего, любая полупростая односвязная А-группа

имеет вид G = П Rl.ik (Gi), где Gt — простые односвязные ' i=i 11

группы, определенные над конечными расширениями Lt поля d-

K(i= 1, ..., d), так что GK с^ Ц (Gi)l . Легко видеть, что произведение компактно определенных групп является компактно определенной группой; с другой стороны, согласно доказанному

выше все группы (G^ являются компактно определенными. Поэтому группа G также компактно определена. Пусть теперь G — произвольная редуктивная К-группа. Тогда G = DT— почти прямое произведение, где группа D полупроста, а Т— максимальный центральный тор в G. Обозначим через л: В-^-D универсальное К-определенное накрытие и представим тор Т в виде почти прямого произведения Т = ТхТг, где тор Тх К-раз- ложим, а тор 72 Л'-анизотропен. Положим Н = Б X Тх X Т^ и обозначим через <р изогению H->-G, которая получается из л и морфизма-произведения; пусть F = Кег <р. Тогда из точной последовательности 1 -> F —» Н -АХ G -> 1 получается точная когомологическая последовательность

Нк-^Ок->НЦК, F),

поэтому из предложения 3 и теоремы конечности для когомологий Галуа над локальными полями, которую мы установим в § 6.4, вытекает, что <р (Нк) является открытой подгруппой в Gk конечного индекса (для полупростой группы G этот факт также вытекает из предложения 17). Но группа <р (Нк) является компактно определенной. В самом деле, по построению Нк = Бк X Х(Г,)к Х(Г2)к- Выше мы установили, что группа Бк компактно определена. Из теоремы 1 вытекает, что группа (Т2)к компактна и, следовательно, и компактно определена. Наконец, ^Тх)к~ ~ К*1 =: ZlXUl, где / = dim7I, U—группа единиц в К, откуда с очевидностью получаем компактную определенность группы (Тх)к. Таким образом, группа Нк компактно определена. Без ограничения общности можно считать, что компактное определяющее множество С с: Нк содержит Fk- Тогда легко показать, что <р(С) является компактным определяющим множеством для <р (Нк). Поэтому завершает доказательство теоремы

Лемма 15. Пусть Г — локально компактная топологическая группа, \ — ее открытая нормальная подгруппа конечного индекса. Если группа \ является компактно определенной, то группа Г также компактно определена.

Доказательство. Пусть ОсА—компактное определяющее множество. С самого начала можно предполагать, что D содержит единицу. Кроме того, переходя от О к множеству DD-1, можно считать, что D = D-'. Нам достаточно построить компактное подмножество С сГ, порождающее Г и обладающее тем свойством, что все соотношения в Г между элементами С являются следствиями соотношений ограниченной длины. Пусть {х(-}?=1 ~ некоторая система представителей смежных классов Г/Д, содержащая единицу. Положим С = ^J xxD и построим -'<=1.

базисную систему соотношений между элементами из С. Прежде

всего, поскольку De С, можно рассмотреть соотношения вида

ab = с(2)

для а, 6, се О, выполняющиеся в А (по условию эти соотношения определяют группу А). Далее, для любых двух индексов д / = 1, .. ., п существует единственный индекс к = к (I, j) такой, что Ei( = х^1 ((x^j (x.D^ cz А. Ясно, что множество Etj компактно. По построению А= |J Dm, где Dm = D ... D, так что т= 1

в силу теоремы Бэра (см. Бурбаки [2], гл. IX, § 5, п. 3) существует такое /^1, что множество /У является открытым в А,

и поэтому А= U D01 есть открытое покрытие А. Из компакт- m—t

ности Ец тогда вытекает, что Ец cz D1 ^’h для некоторого целого IU, j) ^ 1 (отметим, что D6icOi! при kt^k2\ т. е. (хгО) (х.-О) cxfeDlu,i). Положим 1= max Z (/, /) и рассмотрим /, / = 1, ..., п

все выполняющиеся в Г соотношения вида

(х;а) (х/6) = Хкц, 1А ■ ■ ■ dt, i, / = 1, .. ., п, (3)

где а, b, dx, ..., dt^D. Для завершения доказательства леммы покажем, что соотношения (2), (3) определяют группу Г. Действительно, пусть N — нормальный делитель в свободной группе У (С), отвечающий соотношениям (2), (3), H = F(C)/N и х: F(C)-+H, 6: Н-^Г— соответствующие гомоморфизмы. Положим L = x^F (D)). Тогда в L выполняются соотношения (2), и поэтому ограничение 6|Т является изоморфизмом на А. Это показывает, что пересечение Кег 6 П L состоит лишь из единицы. С другой стороны, из выполнимости в Н соотношений (3), очевидно, вытекает, что любой элемент из И имеет вид х^у, где к = = 1, ..., п, у L. Поэтому \Н : L^ ^ п = [Г : А], откуда [// : Е\ = [Г : А] и Кег 6 = (е). Лемма доказана.

Необходимые сведения из теории меры

В настоящем параграфе собраны используемые в дальнейшем результаты из теории интегрирования на локально компактных топологических группах и связанных с ними пространствах. Отметим, что соображения, связанные с интегрированием, выступают на первый план при изучении аналитических аспектов арифметической теории алгебраических групп (например, при определении чисел Тамагавы) и ее приложений к теории автоморфных функций. С другой стороны, при изложении

материала, который мы избрали для включения в настоящую книгу, эти соображения играют вспомогательную роль (тем не менее без них нельзя обойтись в ряде ключевых моментов, например, при доказательстве теоремы о сильной аппроксимации в гл. VII). По этой причине, а также учитывая то обстоятельство, что теория интегрирования сама по себе является весьма обширной, мы не сочли здесь возможным дать сколько-нибудь подробное ее изложение. В результате настоящий параграф содержит лишь напоминание основных определений из теории меры, формулировки необходимых для дальнейшего фактов и разбор некоторых примеров. Систематическое изложение вопросов, связанных с мерой и интегрированием (включая доказательство приводимых ниже утверждений), читатель может найти в книге Бурбаки [3].

Пусть X— локально компактное топологическое пространство. Напомним, что подмножество ВсХ называется борелев- ским, если оно представимо в виде счетного объединения либо пересечения открытых и замкнутых подмножеств в X (иначе говоря, является элементом о-алгебры подмножеств в X, порожденной открытыми и замкнутыми подмножествами). Ненулевая мера ц на X называется борелевской, если все борелевские подмножества являются ц-измеримыми и ц(С)<оо для любого компакта СсХ. Предположим теперь, что на X гомеоморфизмами действует некоторая группа Г. Тогда мера ц называется Г-инвариантной, если для любого измеримого подмножества М cz X и любого уЕГ множество у(тИ) измеримо и ц(у(Л4)) = = ц(Л4). Наиболее важный для нас пример получается в случае, когда рассматривается локально компактная топологическая группа G, действующая на себе посредством левых либо правых сдвигов. В этом случае (ненулевую) инвариантную бо- релевскую меру на G называют соответственно левой или правой мерой Хаара.

Теорема 16. Пусть G — локально компактная группа. Тогда на G существует единственная с точностью до положительного- постоянного множителя левая ^правая') мера Хаара.

(Заметим, что если ц— левая мера Хаара на G, то мера р, задаваемая формулой ц(Х) = ц(Х~1) для всех таких подмножеств ХсС, что X"1 ц-измеримо, является правой мерой Хаара на G. Поэтому утверждения теоремы, касающиеся соответственно левой и правой мер Хаара, эквивалентны.)

Вопрос о конструктивном задании меры Хаара в интересующих нас случаях мы рассмотрим несколько позднее, а сейчас перечислим некоторые свойства, которые имеют место в самой общей ситуации.

Предложение 23. Пусть G — локально компактная группа,. И— (левая) мера Хаара на ней. Тогда .

G дискретна в том и только том случае, если ц({е}) > 0;

G компактна в том и только том случае, если p(G) < ос. В частности, если G компактна, то существует единственная (левая) мера Хаара ц на G, для которой p(G) = 1.

Единственность меры Хаара в теореме 16 позволяет связать с каждым автоморфизмом <р топологической группы G некоторое положительное число, называемое модулем <р и обозначаемое mode <р. Более точно, зафиксируем некоторую левую меру Хаара ц на G, и для любого подмножества X с G такого, что <р(Х) является ц-измеримым, положим v(X)= р(<р(Х)). Поскольку <р переводит борелевские множества в борелевские, а компактные — в компактные, то v также будет левой мерой Хаара на G. Тогда в силу единственности мы должны иметь •v = ср, где сер, с > 0, и по определению полагаем mode <р = = с. Легко видеть, что modG <р на самом деле не зависит от выбора исходной меры Хаара р. (Пример: если Да— локально компактное поле, а^К*^, то модуль автоморфизма левого сдвига х т—> ах аддитивной группы Д„ равен значению ||а||о нормализованного нормирования, см. § 1.2, п. 1.)

Для х е G обозначим через Ао (а) модуль соответствующего внутреннего автоморфизма (p = Intx: g ।—>xgx~\ Возникающая при этом функция AG: G->R>0 носит название модуля группы G и является непрерывным гомоморфизмом. Если Ao = 1, то группа G называется унимодулярной. На унимодулярной группе G всякая левая мера Хаара р одновременно является правой мерой Хаара, более того, р(Х)=р(Х-1) для любого измеримого подмножества XcG.

Предложение 24. 1) Любая абелева группа унимодулярна. 2) Модуль любого автоморфизма дискретной либо компактной группы равен единице, так что такие группы унимодулярны.

Рассмотрим теперь вопрос о построении меры Хаара на различных производных теоретико-групповых объектах, исходя из мер Хаара на участвующих в них группах.

Очевидно, что для построения меры Хаара на конечных прямых произведениях достаточно рассмотреть случай двух сомножителей. Итак, пусть G = Gi X G2, где G, — локально компактные группы с мерами Хаара щ. Тогда на G существует единственная мера ц = щ X Щг такая, что для любых щ-измеримых подмножеств Mi cz G, множество M = MiXM2 является ц-из- меримым и

Ц (М) = И! (М^ ц2 (!) причем эта мера ц оказывается мерой Хаара. Более общо, меру- произведение ц = щ X Ц2 можно определить на любом пространстве вида X = Х\ X Х2, где X,— локально компактные топологические пространства, снабженные мерами щ (/= 1, 2), и при этом сохраняется формула (1). Можно переформулировать (1) на языке интегралов по соответствующим мерам. А именно.

пусть fi — щ-интегрируемая функция на X; (i=l,2) (т. е. существуют интегралы f^x^ дрДх^). Тогда функция f на X = xi

= ^1X^2, задаваемая формулой Цхх, х^ = fa (Xi)f2(x2), является ц-интегрируемой и

$ f to, ^2) to to. -to = ^1 to) toi to) $ f2 ^ ^2 to)- XX,х.

(%[, х2) dp (х}, х2) =(%[, х2) dp (х}, х2) =Кроме того, для любой интегрируемой функции f на X имеет место формула

(%[, х2) dp (х}, х2) =

(%[, х2) dp (х}, х2) =

f to, -to dp2 (х2) ) dpt (xj =

f(xb x2) toi to) ] to2 (to-

Отметим, что распространить определение произведения мер на бесконечное число сомножителей, вообще говоря, нельзя, ибо произведение бесконечного числа локально компактных, но не компактных групп не будет локально компактной группой. Здесь приходится использовать другие конструкции. Одной из них является ограниченное топологическое произведение, формализующее построения, использованные при введении аделей (см. § 1.2).

Определение. Пусть {^x)xei—семейство локально компактных топологических пространств, индексированное счетным множеством индексов А. Предположим, что для почти всех /.е А выделены открытые компактные подмножества КхсА\. Рассмотрим пространство X, элементами которого являются семействах = л- где -^ Е ^х и А е Кх для почти всех %. Вве

дем в X топологию, взяв в качестве фундаментальной системы открытых множеств множества вида ГИД, где Ux^Xx открыто для всех Хи Ux =Кх для почти всех X. Пространство X с таким образом введенной топологией называется ограниченным топологическим произведением пространств Хх по отношению к выделенным подмножествам Кх-

Укажем на некоторые простые свойства этой конструкции.

Лемма 16. 1) Для каждого конечного подмножества S с А такого, что для X е= A\S подпространство Кх определено, положим Xs= Ц ХхХ П Кх, тогда Xs открыто в X и тополо- XgS XeA\S

гия X индуцирует на Xs топологию прямого произведения.

Каждое пространство Xs локально компактной X = U Xs, s

где объединение берется по всем конечным подмножествам

S с А таким, что для X е AXS подпространство Кх определено; следовательно, пространство X локально компактно.

Если {Gx}XeA — семейство локально компактных топологических групп и для почти всех X выделены открытые компактные подгруппы Кх с Gx, то ограниченное топологическое произведение G групп Gx по отношению к Кх является локально компактной топологической группой.

В силу утвеждения 3) на группе G существует некоторая мера Хаара р; покажем, что ее можно построить, исходя из мер Хаара щ на группах Gx- Для этого вначале предположим, что меры цл нормализованы таким образом, что щ(Л\) = 1 для всех тех X, что определены подгруппы Кх- Тогда для любого конечного подмножества ScA такого, что для всех X g A\S определены подгруппы Кх, имеется мера ps на группе Gs= HgxX X П ^’ которая фактически является «бесконечным» про- AeA\S

изведением мер щ. Более точно, ее можно определить, например, как произведение pi X Цг, где щ —обычное конечное произведение мер рх на П Gx, а р2 — мера Хаара на компактной XeS

группе Ks= П ^’ нормализованная условием Ц2(Кз)=1.

XgA\S

Легко видеть, что если Si cz S2, то Gs> cz Gs_, и ограничение ps на GSi совпадает с рд. Поэтому, используя представимость G в виде счетного объединения G = |jGs и свойство счетной s

аддитивности, можно построить искомую меру р на группе G, продолжающую меры ps. Иногда бывает удобно при определении меры р на G отказаться от условия px(Ax)=l, а вместо этого потребовать абсолютную сходимость произведения ПщДДх) по всем X, для которых определены Кх- Тогда построенная выше мера р заменяется на меру ср, где с = Пцх(^)-

Рассмотрим теперь вопрос о построении инвариантной меры на факторпространстве Х = G/Н, где G— локально компактная топологическая группа, Н — ее замкнутая подгруппа (отметим, что понятие инвариантности здесь, естественно, связывается с действием G на X посредством сдвигов).

Теорема 17. Для того чтобы на факторпространстве X = G/H существовала ненулевая G-инвариантная борелевская мера р, необходимо и достаточно, чтобы ограничение функции Ас на Н совпадало с Кн; если указанная мера р существует, то она определена однозначно с точностью до положительного множителя.

В частности, если подгруппа Н дискретна в G (это основной случай, который будет нас интересовать в дальнейшем), то инвариантная мера на G/Н существует в том и только том случае, если группа G унимодулярна. Отметим также, что фраза

«G/Н имеет конечную инвариантную меру (или объем)» означает, что инвариантная мера на G/Н существует и объем G/H относительно этой меры конечен.

Можно указать связь «фактормеры» р с мерами Хаара ц и v на группах G и Н соответственно. Это лучше всего сделать на языке интегралов от функций по этим мерам. Итак, рассмотрим интегрируемую на G функцию f и, зафиксировав g е G, положим <р (g) = ^ f (gh) dv (h). Тогда ср является функцией на G, н

постоянной на классах смежности по Н, и поэтому ее можно рассматривать как функцию на X" = G/Н. С учетом этого имеет место следующая формула:

Ш / ^ ^v (/г)) d₽ (§Я) = ^ lg) du (g).(2)

X \Я/G

В целом определение меры р, доставляемое формулой (2), не является конструктивным, однако в основном для нас случае дискретной подгруппы И можно свести интегрирование по мере Р в факторпространстве G/Н к интегрированию по подходящим подмножествам в G относительно исходной меры ц (при этом, правда, приходится наложить на G дополнительное условие существования счетной фундаментальной системы окрестностей единицы, однако это требование заведомо выполнено во всех интересующих нас случаях).

Будем говорить, что подмножество F cz G является фундаментальной областью относительно Н, есть ограничение на F канонической проекции л: G-^-G/H является биекцией между F и G/Н). То же самое можно сформулировать в виде следующих двух условий:

G = FH,

F/\Fh=0 для любого ЬеН, h^e.

В описанной ситуации всегда существует ц-измеримая фундаментальная область F cz G, причем на самом деле ее можно выделить в любом измеримом подмножестве Qc G со свойством л(й) = G/Н. Из (2) тогда вытекает формула

^/(x)dp(x)= ^f(n(g))dp(g),(4)

XF

справедливая для любой интегрируемой на X функции f. Иногда бывает удобно использовать более общее определение фундаментальной области, в котором условие 1) в (3) сохраняется, а условие 2) заменяется на следующее:

2') для любого he Н, h^ е, пересечение F П Fh имеет меру 0.

(Типичный пример этой ситуации возникает в случае, когда имеется замкнутое подмножество F<^G, граница которого имеет меру нуль, накрывающее G/Н, и такое, что сдвиги F могут иметь лишь граничные общие точки; см. указанный в § 4.2 классический пример фундаментальной области в SE2(R) относительно SL2(Z).) Используя счетность Н, легко показать, что и при таком более общем толковании фундаментальной области формула (4) сохраняет силу. Полагая / = 1 в (4), получим, что Х = G/Н имеет конечную инвариантную меру в том и только том случае, если существует измеримая фундаментальная об- .ласть F cz G относительно Н, имеющая конечную меру, и тогда мера любой фундаментальной области также конечна. Используя возможность выделения фундаментальной области в любом измеримом подмножестве, накрывающем X, можно дать переформулировку этого критерия, которая более удобна в приложениях: мера факторпространства X конечна тогда и только тогда, когда оно накрывается множеством конечной меры.

Пример 1. Пусть G = Rn. Тогда обычная мера Лебега на G является одновременно правой и левой мерой Хаара. Если рассмотреть хе GEn(R) как топологический автоморфизм G, то из формулы замены переменных в кратных интегралах вытекает, что mode х = |det х[. В частности, преобразования из SLn(R) являются унимодулярными, т. е. сохраняют меру. Пусть теперь 61, ..., еп—некоторый базис пространства R". Обозначим через Н решетку Ze, Ф ... Ф Zen. Тогда Н является дискретной подгруппой в R", f ={/ie, + ... + /пе„ | О tt < 1}—соответствующей фундаментальной областью, удовлетворяющей условиям 1), 2), a F' ={/i6i +•.. -\-tnen\O^ti ^ 1}—фундаментальной областью, удовлетворяющей условиям 1), 2').

Приведенный пример является «нетипичным» в том смысле, что обычно построить в явном виде фундаментальную область, удовлетворяющую условиям 1), 2) или 1), 2'), не удается. По этой причине нам придется прибегнуть в гл. 4, 5 к более общей трактовке фундаментальных множеств — так мы будем называть (замкнутые) подмножества Ф cz G со следующими свойствами: G = ФН и пересечение Ф-1Ф Q Н конечно. Естественно, что имея в распоряжении такое фундаментальное множество, мы не можем точно определить объем X~G/H, однако в состоянии сделать качественный вывод о его конечности или бесконечности. В самом деле, если мера Ф конечна, то из сделанных выше замечаний вытекает конечность меры X. Обратно, если мера X конечна, то, выделяя измеримую фундаментальную область F cz Ф (см. Бурбаки [3]), мы должны получить включение OcIJFA, где к пробегает некоторое конечное подмножество в Н, и, значит, мера Ф также конечна. Таким образом, мера G]H конечна в том и только том случае, когда

существует фундаментальное подмножество Ф с G конечной меры.

Отметим одно несложное свойство фактормер: пусть Нх cl ■cl Н^ — две замкнутые подгруппы локально компактной группы G и предположим, что на факторпространстве G/H\ существует конечная G-инвариантная мера; тогда на факторпространстве G/П^ также существует конечная G-инвариантная мера. Пользуясь этим утверждением, получаем следующую лемму:

Лемма 17. Пусть G=GiXG2— прямое произведение двух локально компактных топологических групп, рк G->-Gl— соответствующие проекции и Н cz G — такая замкнутая подгруппа, что на пространстве G/Н существует конечная инвариантная мера. Предположим, что группа G; некомпактна. Тогда группа Pi{H) недискретна и на факторпространстве Gi/p^H) по ее замыканию существует конечная инвариантная мера.

Действительно, если допустить, что группа р^Щ дискретна, то найдется такая окрестность единицы U cl G^, что LXU П ;f]P2(^) = {e}. Тогда множество Gi X U инъективно проектируется на G/П и поэтому должно иметь конечную меру. Обозначим через щ меру Хаара на G, (г = 1,2) и положим ц = щ X №• Тогда p(Gi X U) = щ (Gi)p2(G), и поскольку g2(G)=#0 в силу открытости U, мера pi(Gi) должна быть конечной. Но в этом случае группа Gi компактна (предложение 23)—противоречие. Утверждение о существовании конечной инвариантной меры на ■факторпространстве Gi/p^H^ вытекает из сделанного выше замечания, если применить его к замкнутым подгруппам Н cl G\ X X ps^H) группы G и заметить, что G^/p^^H^ С/(,О;Х pi^H^-

Перейдем теперь к явному построению меры Хаара в интересующих нас случаях. Прежде всего укажем на результат, который удобно применять к вещественным алгебраическим группам, используя при этом разложение Ивасавы (см. § 3.2).

Предложение 25. Пусть G— унимодулярная локально компактная топологическая группа, Н, A, U — три замкнутые подгруппы в G с левыми мерами Хаара v, 6 к ю соответственно такие, что морфизм-произведение Н X А X U -^ G является гомеоморфизмом. Предположим, что А нормализует U и группы A, U унимодулярны. Тогда ц = p(a)v(A)X 0(a)X co(u), где p(a) = = mody (Int а | (/) (a G Л), является левой мерой Хаара на G.

(Указанная запись меры ц означает, что мера подмножества Е cz G вычисляется по формуле р (5) = ^ р (а) йм (А) А0 (a) dm (и).)

Е

Другие примеры явного задания мер Хаара мы получим, интегрируя дифференциальные формы. (Нужные нам сведения о дифференциальных формах (правда, в контексте вещественных многообразий) читатель может найти в любой книге по Дифференциальной геометрии, например, у Хелгасона [1].)

190 1И- алгебраические группы над полями

Пусть X— «-мерное аналитическое многообразие над полным полем Ки, хо е X и Хь ..., хп — локальные координаты в окрестности точки хо- Последнее означает, что xt — такие аналитические функции, что отображение <р: х (хх (х), . .., хп (х)) задает аналитический изоморфизм окрестности точки х0 на область в К" (т. е. <р является отображением, обратным к некоторой параметризации окрестности точки Хо), или, эквивалентно, дифференциал dXo<p осуществляет изоморфизм касательного пространства ГХи (А') на Ку. Дифференциальная форма степени п в окрестности точки хо записывается в виде выражения о = = /(x)dxiA ... A dxn, где f—аналитическая в окрестности точки Хо функция. Если F: Y—^ X—аналитическое отображение двух «-мерных многообразий, уо^ У— такая точка, что р)у0) — = х0, ух, ..., Уп — локальные координаты в окрестности точки Уо, причем в координатах F имеет вид )ух, ..., УпУ-^ЦРЛуь • • - ..., уп), . ., Рп)уь • • •, Уп)), то под образом дифференциальной формы co понимают форму Р (со) = f(F(y) )dPx )ух, ..., уп)Л ■ . - ...МРп)уь ..., уп),где, как обычно, dFt <уь . . уп) = £ ^ dy,.

В частности, определено преобразование локальной дифференциальной формы при замене локальных координат. Теперь можно определить «-мерную дифференциальную форму на всем многообразии X как такое семейство «-мерных локальных дифференциальных форм в окрестности каждой точки X, которое согласовано относительно различных локальных координат в окрестности одной и той же точки. Дифференциальная форма и на многообразии X называется инвариантной относительно аналитического автоморфизма F: Х-^-Х, если Р (со) = со.

В наших дальнейших рассуждениях будут в основном участвовать аналитические многообразия, возникающие из алгебраических многообразий, поэтому мы приведем сейчас алгебраические аналоги соответствующих «аналитических» определений. Пусть X— гладкое «-мерное алгебраическое многообразие, определенное над полем К. Под К-определенной системой локальных параметров в окрестности точки х0 е X мы будем понимать систему из « определенных в точке х0 Л’-рациональных функций хх, ..., хп таких, что дифференциал dx^ рационального отображения qp: Х->-Ап, <р: x*-^(xt(x), . .., хп)х)) является изоморфизмом касательных пространств. Тогда «-мерная рациональная К-определенная дифференциальная форма в окрестности точки х0 записывается в виде выражения m = f^x)dxxA ... ... A dxn, где f — определенная в точке х0 Л’-рациональная функция на X. Понятия преобразования дифференциальных форм при рациональных отображениях, дифференциальной формы, определенной на всем многообразии, и инвариантной

дифференциальной формы полностью аналогичны приведенным выше определениям. Отметим, что если X определено над подлым полем Кщ и хоеХкц, то любую Лу-опред еденную рациональную дифференциальную форму в окрестности х0 можно рассматривать и как аналитическую дифференциальную форму на Ку в окрестности х0.

Пусть теперь G— связная Д-определенная алгебраическая группа, п = dim G. Тогда известно, что на G существует ненулевая n-мерная Д-определенная рациональная дифференциальная форма со, инвариантная относительно левых сдвигов (т. е. левоинвариантная форма), причем эта форма определена однозначно с точностью до умножения на ненулевой элемент поля К. Приведем некоторые примеры.

Пример 2. Пусть G = GLn. В качестве системы локальных параметров рассмотрим функции xt, (i, j = 1, ..., п), сопоставляющие матрице соответствующий i j-й элемент. Пусть и = = f(X)dxn Л ... Л dx„n, где Д = (%;/),— левоинвариантная дифференциальная форма. Зафиксируем А = (аД g GLn. Тогда левый сдвиг Дл: Х<—> АХ = X' записывается в координатах следующим образом: /ц = X а1кхм- Отсюда следует, что А^ переводит форму f (X'^dx'^ Л ... Л dx'^ в форму

/ (ЛД) d^ alkx^ ^ ... ^d^ ankxkn^ =

= f (ЛД) (det Л)" dxn A ... A dxnn.

Поэтому из условия инвариантности получаем, что f (Д) = = f (ЛД) (det А)п. Полагая Д = £„, будем иметь, что f (Л) = = c(det АГп, где c = f(£rt), т. е. м = f^llA^_A^. В частности, при п=1 получаем ю = с dx[x.

Пример 3. Пусть G = SL^. В качестве системы локальных параметров в окрестности единицы возьмем функции х, у, z, coz' х у \

поставляющие матрице Д = |\^G соответствующие ком

поненты; тогда t = 1 ~^ —. Будем искать левоинвариантную диф-

•ференциальную форму в виде со = f(X)dx A dy Л dz. Левый / а b \

сдвиг на матрицу Л = |^ JgG в этих координатах запи

шется в виде

х' = ах + bz,

,. , 1 + иг

у =ay-Vb —f-

z' = сх + dz.

Тогда из условия инвариантности мы должны получить f (X') dx' /\ dy' A dz' =

= f (AX) d (ax -Vbz) /\ d ^ay + b —y^-) A d (ex + dz) =

= f(X)dx A dy A dz,

t. e. ^№^^ = 1(ХУ

Замечая, что ax-Vbz совпадает с элементом, стоящим на позиции (1,1) в матрице АХ, получаем, что

f(AXHAXYv = №(XYv,

откуда со имеет вид

со = у dx A dy A dz.

Получим теперь выражение для формы со = у dx /\ dy /\ dz в другой системе координат. А именно, рассмотрим группу Gr = SG2(R) и воспользуемся глобальной системой координат на Gr,которая доставляется разложением Ивасавы (см. § 3.2). Применительно к нашей ситуации разложение Ивасавы утверждает, что любую матрицу из Gr можно однозначно представить в виде произведения трех матриц, которые соответственно имеют вид.

(

cos ф— sin ф \/а0 \/'/ 1и \

■Ь а, (а > 0)и А,.

sin ф cos ф /\ 0 а-1 /’\ 0 1 /

Возьмем в качестве (аналитических) координат на Gr величины Ф, а и и. Тогда прямое вычисление показывает, что х = a cos ф, у = аисозф — a-1 sin ф, z = а sin ф и поэтому (0 = аdфЛdаA A du. ■

Пример 4 (упражнение для читателя). Пусть Un — группа «-мерных верхних унипотентных матриц. Показать, что дифференциальная форма П dxM является левоинвариантной дифференциальной формой на Un. Получить обобщение этого результата на произвольную унипотентную группу.

Перейдем теперь к построению меры, отвечающей дифференциальной форме. Пусть снова X— «-мерное аналитическое многообразие над полем КУ, хо е X, хь ..., Хп — система локальных координат в окрестности точки хо и (o = /(x)dxiA ... ... A dxn — «-мерная дифференциальная форма, заданная и отличная от нуля в некоторой окрестности хо. Тогда на этой окрестности можно определить меру ц —I f(x) k | dxx | и X ... ... X|dx„|B (последнее означает, что ц (Е) = ^ | f (х) |D | dx^ |D . ..

Е

... | dxn |0, где | dx |D— (аддитивная) мера Хаара на КУ, совпадающая с обычной мерой Лебега, если К есть R либо ,.С, и нор-

мализованная в и-адическом случае таким образом, чтобы мера кольца целых СП равнялась единице). Далее показывается, что эта мера не зависит от выбора системы локальных координат (в архимедовом случае это вытекает из формулы замены переменных в определенном интеграле, а в неархимедовом — из ее и-адического аналога, см. Вейль [4]). Наконец, устанавливается, что если со— n-мерная дифференциальная форма, определенная на всем многообразии и нигде не обращающаяся в нуль, то локальные меры продолжаются до меры на всем многообразии. Полученную таким образом меру мы будем обозначать че

рез (Оу.

Теорема 18. Пусть G— Ку-определенная алгебраическая группа, п = dim G и со — п-мерная К-и-определенная левоинвариантная дифференциальная форма. Тогда мера со„ является левой мерой Хаара на Gk„ . Группа GKc унимодулярна в том и только том случае, если форма со является правоинвариантной.

С t/xi 1 ... dxnnJ ldet(x<Z)|" •С t/xi 1 ... dxnnJ ldet(x<Z)|" •Из этой теоремы и приведенных выше примеров получаются явные выражения для мер Хаара. Так, на группе GLn{K^

С t/xi 1 ... dxnn

J ldet(x<Z)|" •

С t/xi 1 ... dxnn

J ldet(x<Z)|" •

В частности,В частности,мера Хаара задается интегралом

В частности,

В частности,

применяя это к п = 1, получаем, что для /-мерного разложимого тора S = {diag(ctI, .. ,,аг)} мера Хаара на S^ опреде- Sda, ... da, „

—^—. Для группы л-мерных верхних унипо

тентных матриц U^ соответственно получаем выражение для меры Хаара группы UnKo в виде интеграла ^ JJ dx£i. Поэтому i<!

если рассмотреть автоморфизм ср группы UnKv, индуцируемый сопряжением при помощи матрицы s = diag(a1, . ...aj, то mod Ф = JJ I «7«/ L- Этот пример очевидным образом обобщается Ki

на максимальные унипотентные ^„-определенные подгруппы в любой редуктивной ^„-определенной группе G. Пусть теперь G = SL2. Тогда для группы SA2(R) получаем следующее выражение для меры Хаара в координатах, доставляемых разложением Ивасавы: ^adcpdadu. Поскольку -^- является мерой Хаара на группе Д = {diаg(a, a"1)|aeR>0}, этот результат совпадает с выражением для меры Хаара, получаемым из предложения 25. Наконец, чтобы привести пример р-адического интегрирования, вычислим объем о)р (ST2 (Zp)) относительно меры Хаара юр на группе SA2(Qp), отвечающей дифференциальной форме ю = — dx A dy A dz из примера 3. Для этого

заметим, что сор (5Л2 (Zp)) = [5Л2 (.Fp)] о>р (SZ,2 (Zp, р)), и остается вычислить объем конгруэнц-подгруппы Г = SL2(Zp, р). Но функции х, у, г ^отображают Г на pZp X pZp X pZp, причем на Г имеем |-^ | =1. Поэтому юр (Г) = цр (pZp)3, где цр — мера Хаара на Qp, нормализованная условием pp(Zp) = l. Таким образом, окончательно сор(Г) = р~3 и ®p(<SL2^Zp')')=p-3VSL2(iFp^ = = р~3р(р2 — 1)= 1 — \]р2.

В заключение отметим одно вытекающее из теоремы 18

Следствие. Пусть G — полупростая Kv-определенная алгебраическая группа. Тогда группа Gk0 унимодулярна.

Действительно, пусть со — левоинвариантная рациональная Aiy-определенная дифференциальная форма на G размерности п = dim G. Обозначим через pg правый сдвиг на элемент g е G. Из перестановочности левых и правых сдвигов вытекает, что форма Pg (со) также будет левоинвариантной, так что в силу единственности со мы должны иметь соотношение р* (со) = % (g) со, где x(g)—ненулевая константа. Далее, нетрудно видеть, что соответствие g ь-^-%(g) является рациональным характером G, и поэтому % = 1, ибо G полупроста. Итак, мы показали, что форма со является одновременно и правоинвариантной, поэтому унимодулярность Gк0 непосредственно вытекает из теоремы 18.

ГЛАВА IV

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ТЕОРИЯ ПРИВЕДЕНИЯ

Арифметические группы являются одним из основных объектов исследования арифметической теории алгебраических групп. Их свойства мы будем изучать или использовать во всех последующих главах. Цель настоящей главы — изложить теорию приведения для арифметических групп, которая дает конструкцию фундаментального множества в группе вещественных точек Gr алгебраической Q-группы G относительно группы целых точек Gz. Как следствие, получается ряд основополагающих теоретико-групповых фактов об арифметических подгруппах, в частности, их конечная порожденность и определяемость конечным числом соотношений. Кроме того, мы даем критерии, когда факторпространство G^lGz компактно или имеет конечную меру Хаара. Заключительный параграф главы содержит обсуждение одной открытой проблемы о конечных арифметических группах.

Арифметические группы

Определение. Пусть G gz GLn(Q)—алгебраическая линейная группа, определенная над полем рациональных чисел Q. Подгруппа Г gz G называется арифметической, если она соизмерима с Gz, т. е. пересечение Г П Gz имеет конечный индекс как в Г, так и в Gz ).

Здесь и далее Gz обозначает пересечение G nGG„(Z). Можно также рассматривать Gz как совокупность точек G над кольцом Z как групповой схемы. А именно, рассмотренное в § 2.1, п. 1 вложение GGrt(C )-> GG„+i (С) отождествляет СЛЦС) с замкнутым по Зарисскому подмножеством в АЦц t (С) = С(,1+1,\ Тогда множество G так же замкнуто в М„+1(С) и Gz = G П Мп+1 (Z). Этот прием позволит избежать в дальнейшем громоздких обозначений, включающих (det а)-1. Отметим также, что следуя классической традиции, которая берет свое начало из теории целочисленных автоморфизмов квадратичных форм, мы будем иногда называть Gz группой единиц алгебраической группы G.

Легко видеть (см. предложение 3), что группы целых точек при рациональных морфизмах могут меняться весьма существенно. Поэтому если G задана как алгебраическая группа преобразований векторного пространства V, то для корректного определения группы целых точек Gz необходимо фиксировать базис ei, ..., еп пространства Vq или, эквивалентно, решетку L = Zet~V ... -{-Zen, и тогда Gz реализуется как стабилизатор G^ = ^g е G? \g (L) = Ц решетки L в группе GQ. Тем не менее определяемый через группы целых точек класс арифметических подгрупп обладает свойством инвариантности.

Предложение 1. Пусть ср: G-^-G' — определенный над Q рациональный изоморфизм линейных алгебраических Q-групп. Тогда если Г — арифметическая подгруппа в G, то ср (Г)—арифметическая подгруппа в G'.

Доказательство. Отметим вначале следующий элементарный теоретико-групповой факт: отношение соизмеримости на классе всех подгрупп произвольной группы G является отношением эквивалентности (в частности, любые арифметические подгруппы соизмеримы). Отсюда следует, что для доказательства предложения достаточно установить соизмеримость ф(С2) и Gz. Далее, учитывая, что [Gz : G'z П Ф (Gz)] = [ф-1 (G'z): ф”1 (Gz) f] Gz], где ф-1: G' —»G— обратный рациональный Q-морфизм, мы видим, что наша задача свелась к доказательству конечности индекса [ф (Gz): ф (Gz) П Gz] для произвольного Q-изоморфизма ф. Мы укажем подгруппу Н gz Gz конечного индекса, образ ф(Д) которой лежит в Gz; тогда ф (Gz) Q Gz zd ф (Д), так что [ф(С2):ф(С2)ПС^]^[ф(С2):ф(Д)] <оо и требуемое доказано. Оказывается, что такая подгруппа И существует для произвольного рационального Q-морфизма (а не только для Q-изоморфизма).

Лемма 1. Пусть ср: G->G' — определенный над Q рациональный морфизм. Тогда существует такая подгруппа Н zz Gz конечного индекса, что ф (Я) gz Gz.

Доказательство. Пусть G<=GGrt(C), G'<=GGm(C). Без ограничения общности можно считать, что G и G' замкнуты по Зарисскому в М„(С) и Мт(С) соответственно. Тогда ф имеет вид ф((х0-)) = (фй1(хц, ..., x„„)) (i, /=1, ..., п; k, Z=l, ... ..., m), где ф^— полиномы с рациональными коэффициентами. Введем новые переменные yij = Xij—фу (фу— символ Кронекера) и положим

Фа/О/п, Улп) = Фип, хпп) — бк1.

Поскольку ф (Еп) = 5m, то фй/ (О, ..., 0) = 0 для к, I = 1, ..., пг, т. е. фм— полиномы без свободного члена. Так как коэффициенты ф^ рациональны, то найдется такое число d, что все по-

липомы d^t станут целочисленными. Обозначим через Н конг- руэнц-подгруппу Gz (d) уровня d, т. е. совокупность матриц из Gz, сравнимых с Еп по модулю d. Тогда Н = Gz П GLn (Z, d), где GG;i(Z,d)—конгруэнц-подгруппа уровня d в GLn^ZY Ясно, что GL^Z.d) совпадает с ядром гомоморфизма редукции GL,i(-)-*- CiLak Jd ), который сопоставляет каждой целочисленной матрице матрицу, составленную из вычетов соответствующих элементов по модулю d, и поэтому является нормальным делителем конечного индекса, не превосходящего порядок конечной группы GLr.(Z/d7^. Отсюда следует, что Н является нормальным делителем конечного индекса в Gz. С другой стороны, если h = (Иц)е И, то фы(й) — ф^(h — Е^ ф бц е Z, ибо все элементы Нц — 6ц кратны d. Таким образом, ср(//)<= G'z и все доказано.

Следствие 1. Пусть Г — арифметическая подгруппа алгебраической ^-группы G. Тогда для любого geGq группа gVg~x также арифметическая.

Следствие 2. Пусть G — HN— полупрямое произведение ^N < G), определенное над Q. Тогда подгруппа HzNz имеет конечный индекс в группе Gz.

Действительно, пусть ср: GИ— рациональный Q-определенный морфизм, задаваемый соответствием ср: g = hn^^h. Согласно лемме 1 найдется такая подгруппа М <= Gz конечного индекса, что ф(Л1)<=/7г. Тогда для m е М имеем пг = = ф(т) (ф (rn)^ m) е HzNz, так что M^HzNz, откуда и следует требуемое.

Введенные при доказательстве леммы 1 конгруэнц-подгруп- пы GLn^» d) и Gz(d) играют в арифметической теории алгебраических групп важную роль. Они будут неоднократно встречаться нам в дальнейшем как в качестве естественного технического средства, так и в качестве самостоятельного объекта исследования (см. § 9.5).

Следует обратить внимание, что в определении арифметической подгруппы не предполагается выполненным включение Г gz Gq. Более того, некоторые важные классы арифметических подгрупп (например максимальные) заведомо не обладают этим свойством. С другой стороны, арифметические подгруппы, содержащиеся в Gq, допускают естественное описание как подгруппы конечного индекса групп целых точек, отвечающих всевозможным реализациям G. А именно, имеет место следующий «глобальный» аналог предложения 1.12.

Предложение 2. Пусть G cz GLn(C)—определенная над Q алгебраическая группа, Г <= Gq — арифметическая подгруппа. Тогда существует решетка Т^ЕП, инвариантная относительно Г. При этом индекс Г в группе Gz конечен.

Доказательство. Пусть в], ..., е„— стандартный базис пространства Q"; обозначим через М решетку Zei+ ... + Ze„. Так как по условию индекс [г : Г П Gz ] конечен, то среди решеток вида ?(Л1), у е Г, имеется лишь конечное число различных. Отсюда следует, что Z-подмодуль IcQ", порожденный объединением U у (Л1), будет конечно порожденным, т. е. является решеткой. При этом, очевидно, Г cz Gz. Далее, группа Gz совпадает с группой целых точек относительно произвольного базиса x>i, ..., wn решетки L, а поэтому арифметична в силу предложения 1. Таким образом, Г cz Gz — две арифметические подгруппы, так что индекс [Gz: Г] обязан быть конечным. Предложение доказано.

Замечание. Используя лемму 1, можно при помощи тех же рассуждений доказать несколько более общий факт: если р: G—>- -^G£(V)—определенное над Q представление алгебраической Q-группы G, Г cz Gq — арифметическая подгруппа, то существует решетка L cz Vq, инвариантная относительно р(Г). При этом можно считать, что L содержит наперед заданный вектор и е Е;. Согласно предложению 2 группы целых точек Gz доставляют в некотором смысле универсальный пример арифметических подгрупп. Естественно задать вопрос: существуют ли арифметические подгруппы, отличные от Gz? Оказывается, существуют, и примеры таких подгрупп можно построить на основе анализа доказательства предложения 1. В самом деле, мы показали, что группы вида ср""1 (q>(G)z), где q>: G^-GGm(C)— рациональное Q-определенное представление, обязательно содержат некоторую конгруэнц-подгруппу Gz (d). В то же время имеются примеры подгрупп конечного индекса, например группы SL2(Z), которые не обладают этим свойством (см. § 9.5). В этой связи любопытно отметить, что сами конгруэнц-под- группы Gz (d) реализуются в качестве Gz. Более точно, имеет место следующее утверждение, которое будет играть важную роль в гл. VIII.

Предложение 3. Пусть G ст СЕДС )— алгебраическая Q- определенная группа, р: G-*-GG2n(C)— представление, задаваемое формулой

И <»

Тогда для любого натурального d существует такая решетка L(4)cQ2n, что Gz (d) = р-1 (р (G)£(d)).

Доказательство. Пусть ei, ..., еп, fit ..., f„ — базис пространства Q2n, в котором представление р задается форму-

лой (1). Обозначим через L(d) решетку с базисом щ + d^fi,... ..., еп + d~lfn, fi, ..., f,,. Тогда если g = ^ч)е G, то

Р (g) (о + d~V/) = X 8цб1 + <rVj =

= X ёц (о- + d'^ff - X d^gijfi + d-1 (1 - g^ fj.

Поэтому p(g) e p(G)zld> в том и только том случае, если g^Gz и gu = 6if (mod d) для всех i, j — 1, ..., n. Последнее означает, что р (Б)^№ = р (G'^ (fiQ), что и требовалось.

Предложение 3 показывает, что группы целых точек действительно подвержены существенным изменениям при рациональных морфизмах. В связи с этим класс арифметических подгрупп выступает как естественный инвариантный класс, их содержащий. Слабую форму его инвариантности (инвариантность при Q-изоморфизмах) мы уже установили. Но оказывается, что его свойства инвариантности сильнее, чем можно было априори ожидать.

Теорема 1. Пусть ср: G-+H— сюръективный Q-определенный морфизм алгебраических групп. Если Г — арифметическая подгруппа в G, то ф(Г) — арифметическая подгруппа в Н.

В отличие от предложения 1 здесь доказательство не является элементарным, и мы сможем его провести лишь после изложения теории приведения (см. § 4.4). Прежде чем переходить к этой большой теме, укажем еще на ряд теоретико-групповых следствий теории приведения.

Теорема 2. Пусть Г — арифметическая подгруппа Q-onpede- ленной алгебраической группы G. Тогда Г является группой с конечным числом образующих и конечным числом определяющих соотношений.

Теорема 3. Пусть G— алгебраическая группа, определенная над Q. Тогда конечные подгруппы группы Gz образуют конечное число классов сопряженности.

Доказательство теорем 2 и 3 см. в § 4.4. Там же содержится еще ряд результатов об арифметических подгруппах (теорема плотности Бореля, описание подгруппы соизмеримости).

В заключение настоящего параграфа укажем на некоторые обобщения арифметических подгрупп. Определяя их, мы исходили нз группы целых точек Gz, отвечающей некоторой матричной реализации G cz GLn(C) алгебраической Q-группы G и рассматривали класс всех подгрупп, с ней соизмеримых. Аналогичное определение можно дать применительно к алгебраическим группам, определенным над произвольным полем К, если фиксировано некоторое подкольцо О cz К, поле частных которого совпадает с К. Анализ доказательства предложения 1

показывает, что получившийся таким образом класс (7-арифметических подгрупп обладает свойством инвариантности при К-изоморфизмах, если выполнено следующее условие:

для любого а е 6'\ {0} фактор-кольцо О/аО конечно. (2)

(Отметим, что из предложения 3 вытекает, что условие (2) является необходимым для инвариантности класса ^-арифметических подгрупп, например групп G = GL„, SLn и т. д.) Наиболее типичные примеры колец со свойством (2) доставляют кольца О (S), состоящие из S-целых элементов некоторого поля алгебраических чисел (см. § 1.2). Соответствующие арифметические подгруппы носят название S-арифметических. Класс S-арифметических подгрупп гораздо шире класса обычных арифметических групп, однако подгруппы, отвечающие S=K^, в существенной степени сводятся к арифметическим. В самом деле, здесь кольцо S-целых элементов совпадает с кольцом целых алгебраических чисел <3 поля Л’. Поэтому выбрав Z-базис кольца О и применив к группе G конструкцию ограничения основного поля, мы получим ((-группу G' = RK;rG, для которой G.~G' (см. § 2.1, п. 2). По этой причине при построении теории приведения мы будем рассматривать основной случай арифметических подгрупп Q-определенной группы G. Распространение полученных результатов на общий случай см. в § 4.7.

Теория приведения (общая схема).

Приведение в группе GLn(R)

В основе получения информации о структуре арифметических подгрупп, об их когомологиях и других свойствах лежит топологический подход, использующий реализацию Gz как дискретной подгруппы группы вещественных точек Gr. Этот аспект теории арифметических групп тесно связан с теорией дискретных подгрупп групп Ли, подробному изложению которой посвящена книга Рагунатана [5]. Здесь мы намерены ограничиться рассмотрением круга вопросов, связанных с построением фундаментального множества в Gr относительно Gz с определенными свойствами конечности. На этом пути мы получим доказательство теорем 1—3 и ряда других результатов. Кроме того, будут указаны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы факторпространство Gr/Gz было компактным (имело конечный объем в мере Хаара).

Указать явную конструкцию фундаментального множества для произвольной алгебраической группы не представляется возможным, поэтому применяется следующий прием. Вначале рассматривается случай групп G = G/.n(C), SGn(C), где дается явная конструкция, использующая так называемые области Зи-

геля 2. Возникает разложение GZ.n(R)= 2GZ.„(Z), исходя из которого удается получить аналогичное разложение для произвольной подгруппы GcG/.„(C). Формальная часть рассуждений сосредоточена в следующем элементарном утверждении.

Лемма 2. Пусть G = 2Г — разложение абстрактной группы в произведение некоторого подмножества 2 и подгруппы Г. Пусть, далее, задано правое действие G на некотором множестве X и И = G (х)— стабилизатор точки х<=Х. Предположим, что для некоторого aeG пересечение (хп2)П^Г конечно и равно {л'61, . ,.,xbr}. beY. Тогда Я = £2 (Г Q Я), где £2 = = (.U aSb^1^ П Н. Если дополнительно 2 удовлетворяет следующему условию: пересечение 2-12 П gVh конечно для любых g, h из некоторой подгруппы D, Г с П с G. то пересечение £2~'£2 Q Л g(F П H\h также конечно для любых g, he Я Л Я.

Доказательство получается легкой проверкой.

Таким образом, построение фундаментального множества в GR относительно Gz сводится к двум задачам: 1) построению фундаментального множества для группы GGn(C) и 2) реализации конструкций, обеспечивающих выполнение условий леммы 2. В настоящем параграфе мы выполним первый этап этой программы.

В оставшейся части этого параграфа через G будет обозначаться группа GZ.„(R), через К, A, U соответственно — подгруппы ортогональных матриц, диагональных матриц с положительными элементами на диагонали и верхних треугольных матриц с единицами на диагонали (унипотентных матриц). Напомним, что согласно предложению 13 о разложении Ивасавы в G морфизм-произведение индуцирует гомеоморфизм КХДХ XU-*G. В дальнейшем компоненты разложения Ивасавы элемента g е G будем обозначать через kg, ag и ug. При этом будем считать, что элементы а е А, ие U имеют вид

a = diag(ab ..., а„), и =

101

Определение. Областью Зигеля в G называется множество ^-t, v = KAtUv k^ у > 0), где At = (а е Д | aL ^tal+i, i= 1, .. . • • ■, п — 1}, Uv = (u е U | | и{; | X и для всех \ ^i < i <.п\.

Компоненты в определении области Зигеля подобраны таким образом, что выполняется следующее свойство, которое мы будем неоднократно использовать в дальнейшем.

Лемма 3. Для любых t, и > 0 множество

kaua-' \ ае At, ueU^ относительно компактно.

где 1ц =где 1ц =Доказательство. Так как аиа * =

где 1ц =

где 1ц =

= а^а, • иф то | h,-1 = | a£)ai+1 ■ auJai+2 • . . . ■ a1_x,ai ■ им | < Р~1и, так что рассматриваемое множество содержится в Usu, где s= max {R~z}> и требуемое доказано. В дальнейшем мы

будем использовать термины «относительно компактный» и «ограниченный» как синонимы.

Положим Г= GLn(Z^. Тогда справедлива

Теорема 4. При Е^^^З, и ^1/2 имеет место разложение G = ^t,vV.

Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис 61, ..., ел пространства Rn и будем обозначать через |] || соответствующую евклидову норму. Определим непрерывную функцию Ф: G^-R>0, положив Ф (g) =||get||. Пусть g е G. Тогда множество gTei содержится в решетке g(Zex + ... + 3ел), и поэтому для любого d > 0 лишь конечное число элементов w е gTei удовлетворяет условию ||ty||^d. По этой причине функция Ф достигает на классе gT своего положительного минимума. Наша цель—показать, что этот минимум достигается на самом деле в некоторой точке множества 20 = S2/^g ро; тем самым gT П 2о т^ 0, откуда и будет следовать теорема.

Лемма 4. Если Ф принимает минимальное значение на смежном классе gT в точке g = kau, то

существует элемент ueUin такой, что h = kau^gV и Ф W = Ф (g);

aj/a2s^2/V3.

Доказательство. Покажем, что U = t/i/2(t/ П Г). Пусть

и =и =eU. Прямое вычисление показывает, что

и =

и =

1U121U12ИП-1ПИП-1П1 а.1 а.«П-1«П-11U12 + 411U12 + 41“Я-ХП + Яп-1“Я-ХП + Яп-1

1U12

1U12

ИП-1П

ИП-1П

1 а.

1 а.

«П-1

«П-1

1U12 + 41

1U12 + 41

“Я-ХП + Яп-1

“Я-ХП + Яп-1

воряют условию произведенияворяют условию произведенияЩ/|^ 1/2-Щ/|^ 1/2-Поэтому, подбирая подходящие atE 1L, можно добиться, чтобы все элементы и!2, ..., «н-н, ..., ип_\п по модулю не превосходили 1/2. Дальнейшее рассуждение проводится по индукции. Предположим, что все элементы и,,, где 0 < / — < ^ /, удовлет- Вычисляя матричные элементы

воряют условию произведения

воряют условию произведения

Щ/|^ 1/2-

Щ/|^ 1/2-

1 0 Р1 ... 0'

т =т =U121U121iiРя—(Z + 1)Ря—(Z + 1)ооЧп — inЧп — in

т =

т =

U12

1

U12

1

i

i

Ря—(Z + 1)

Ря—(Z + 1)

о

о

Чп — in

Чп — in

IIпо/по/ии/О 1I 1 0Z = V о/О 1I 1 0Z = V о

I

I

по/

по/

и

и

/О 1

I 1 0

Z =

V о

/О 1

I 1 0

Z =

V о

О ■ о 1

UnUn_ I и т.ц = иц + [3, при i = 1, .. . ..., /г — (Z+ 1), / = i + /+l. Таким образом, на (/+1)-м шаге мы можем удовлетворить условию |и,/| ^ 1/2 при 0 < /— — z^/-Tl, поэтому на (и—1)-м шаге мы получим матрицу из Uij2. Тем самым равенство U = UXI2^U П Г) доказано. Для доказательства утверждения 1) теперь достаточно выбрать й е C'i/2 со свойством ыей((/ПГ) и заметить, что для h = = кай выполняется цепочка равенств

Un

Un

Ф(§) = 11№ || = ||ае, || = а, = Ф (А),(1)

ибо а-компоненты элементов g и h совпадают.

Переходя к доказательству 2), будем считать, что g = каи и uet/t/2. Положим

Тогда по условию Ф(gZ) ^ Ф(§). Вычисляя Ф(§2), получим

gZex = ge2 = k (ахих2ех + а2е2),

так что

Ф (gZy = || а,^, + а2е2||2 = а2и22 + а2 < ^ а2 + а2,

ибо |ui2|^y' Так как в силу (1) имеем Ф(§)=О1, то а2^

-^-а2 + а2> откуда а, 5^-^=а2 • Лемма 4 доказана.

Завершим доказательство теоремы. Из леммы 4 вытекает,

что требуемое утверждение справедливо для п = 2. Проведем

индукцию по п. Пусть п > 3 и Ф достигает минимума на смежном классе gp в точке g = кай. Положим

h = bw е GLn_x (R),h = bw е GLn_x (R),b = diag (а2, ..., ап),b = diag (а2, ..., ап),

h = bw е GLn_x (R),

h = bw е GLn_x (R),

b = diag (а2, ..., ап),

b = diag (а2, ..., ап),

1U23 ■ • ■ Uln

По предположению индукции существует элемент с' е GLa_x (Z) со свойством he' = k'Qa'и', а' е А^р^-, u'el/^1' в очевидных обозначениях. Положим

Тогда прямое вычисление показывает, что gc = kaii для подходящего ueU. При этом се1 = е1, так что Ф (gc) = || gcex || = = II ge, || = Ф (g) и точка gc также является точкой минимума для Ф на смежном классе gP. Согласно лемме, можно считать, что й е П1/2 и а^а, ^ 2/V3. Но по построению а'е Д2”^у, так что ^/а/+1 ^2/V3 для всех < = 1, . .., п — 2. Поэтому а е A2j^, и теорема доказана.

Следствие. Положим S/’u = 2/, „ Q SLn (R). Тогда SLn (R) = =-Е^5>(2)>я/>2/7з, у>1/2. При этом справедливо равенство^ = (K(]SLn (R)) (Д, П SLn (R)) U..

Доказательство. Пусть g е SLn (R) и g = ah, где с е£л„, hEGL„(Zy Если det/z=l, то а е 2^, и доказывать нечего. В противном случае det/г = — 1. Тогдадлях = diag(l1, —1) имеем x/zeSXZ), ox-1 е S/‘\, ибо хе К и нормализует множества At и Uy, так что g = (ох"1) (х/г) Е 2^SLn (Z). Разложение для TLt',\ вытекает из того, что det К = ± 1, det U = 1, a det Д > 0.

Изучение дискретных групп преобразований обычно начинается с построения соответствующего фундаментального множества. Напомним, что если Г действует как дискретная группа преобразований пространства X, то фундаментальной областью для Г называется открытое подмножество Q е X такое, что

ЙГ = Л, где Q — замыкание Q;

QpQy=0, если у > е;

(отметим, что иногда используются и другие определения фундаментальной области). Здесь необходимо сделать следующее замечание. В теории приведения мы всюду будем использовать правое действие группы Г, а не левое, как это обычно делается. Причина этого заключена в природе доказательства теоремы 4. От этого неудобства можно было бы избавиться, осуществив замену х н—>х~х, однако это ухудшило бы вид фундаментального множества.

Из теоремы 4 вытекает, что внутренность 2° D любой области Зигеля при />2/V3> и > 1/2 удовлетворяет условию 1) из определений фундаментальной области для естественного действия группы Г на G правыми сдвигами. Возникает вопрос, не является ли, например, ^г/ТТиг фундаментальной областью в полном смысле слова? Ответ оказывается отрицательным, и это лучше всего увидеть в случае группы SZ,2(R), воспользовавшись классическими геометрическими соображениями. Прежде всего отметим, что области Зигеля 2 удовлетворяют условию К2 = 2, поэтому без потери общности можно вместо 2 рассматривать ее образ в факторпространстве Х= K\G. Для группы SG2(R) пространство SO2 (R)\SL2 (R) имеет классическую интерпретацию как верхняя полуплоскость комплексной плоскости. В самом деле, обозначив верхнюю полуплоскость через Р, определим на ней действие группы Н = SG2(R) формулой

zg = ^^> где ZGP’ 8 = ^“ d)eSL2(RY

Отметим, что это «правое» действие отличается от традицион

ного «левого»гл. VII) на-с деназывает, чтоного «левого»гл. VII) на-с деназывает, чтодействия 82 = ^^7^" (см-, например, Серр [7], инволютивный антиавтоморфизм ( “ ^ ) i—> J = (Прямое вычисление по-

ного «левого»

гл. VII) на

-с де

называет, что

ного «левого»

гл. VII) на

-с де

называет, что

для мнимой единицы i

. _ ab + cd , i lg — а2 + с2 ' а2 + с2 '

Отсюда легко следует, что рассматриваемое действие транзитивно и стабилизатор точки i совпадает с SO2(R), что и дает требуемое отождествление SO2 (R)) SL2 (R) ~ Р. Несложное вычисление показывает также, что образ в Р области Зигеля ^t1?, есть Q^ „ = {z е P|Imz > \(t, |Rez|^u}. Рассмотрим также область D = {z е Р| |z| > 1, | Rezj < 1/2}. Покажем, что D, фактически, является фундаментальной областью для действия SL2(Z) на Р. Более точно, поскольку матрица( ^ — i)s s SL2 (Z) действует на Р тривиально, то для соблюдения уело-

вия 2) из определения фундаментальной области нужно от группы SZ2(Z) перейти к группе Г = PSL2 <Z} = SL2 (Z)/{±e}. Предложение 4. D является фундаментальной областью для Г в Р.

Доказательство. Пусть z <= Р— произвольная точка. Покажем, что для некоторого g е Г элемент zg е D = (z е Р\ | z | ^ ^ 1, |Rez|^ 1/2}. Прямое вычисление показывает, что если g задается матрицей ( “ ^ ) е SL2 (Z), то

Im (zg)Im (zg)■Im zI cz + a |2 "■Im zI cz + a |2 "(2)(2)

Im (zg)

Im (zg)

■Im z

I cz + a |2 "

■Im z

I cz + a |2 "

(2)

(2)

Так как элемент cz + а лежит в решетке ZjZz и, следовательно, |cz + а | ограничен снизу, то найдется матрица

g = (“ ^eST2(Z), для которой Im (zg) максимально. Кроме того, применяя преобразования, отвечающие матрицам ( * ^, можно добиться, чтобы | Re (zg) | ^ 1/2; при этом мнимая часть не изменяется. Покажем, что тогда” z' = zg е D. По построению | Re (z') | ^ 1/2; если же | z' | < 1, то для числа z" = — Viz',

,/ 0 1 А

которое получается из z при помощи матрицы I —1 Q I, имеем

Imz"Imz"1111 Лт//

Imz"

Imz"

= . „|2 > Imz , что противоречит выбору z.

Проверим теперь второе условие из определения фундаментальной области. Пусть z, zg е D, причем g задается матрицей ( “ ^ ) е SL2 (Z). Используя симметрию, можно без

ограничения общности считать, что Im (zg) ^ Im (z). Тогда

в силу (2) | cz + а | ^ 1. Так как Imz>V3/2, то | cz + а | > > (V3/2) • | с |. Заменяя матрицу ^) на (_“ _ ^), что

не изменяет g, можно предполагать, что с^О. Таким образом, для с имеются лишь следующие возможности: с = 0, 1. Если с = 0, то а=±1, так что g определяется матрицей вида Р ^ . Поэтому zg = z + b и из условия | Rez | < 1/2, |Rezg|<

1/2 получаем, что 6 = 0. Пусть теперь с=1, так что | z + а | ^ 1. Имеем | z + а |2 = | z |2 + 2а Re z + а2, откуда 2а Rez+ + а2^0 и | Rez | ^4, если а #= 0, что невозможно.

/ 0 — 1 А т

Итак, а = 0, и наша матрица имеет вид I tИ. 1огда zg =

= d —V Так как Reи | z |2 > 1, то I Re I <

Z\Z/|^|I N * / I

] Rez] <4". Поскольку также | Rezg] <"2", то a = 0 и zg =

= —\ Но | — ~ I ^ I 2 I ‘<1 — противоречие. Предложение 4 доказано.

Геометрически области Q = Q2/A/— 1/2 и ■DJ (заштриховано) соотносятся следующим образом:

Сравнение Q и D с учетом предложения 4 позволяет сделать два вывода. Во-первых, границы / = 2/V3, и= 1/2 в теореме 4 являются наилучшими возможными. Во-вторых, внутренность области Зигеля не является фундаментальной областью, ибо ее сдвиги перекрываются (на рисунке изображен один из сдвигов D', который пересекает Q). Оказывается, что для областей Зигеля 2 выполняется более слабое условие, суть которого состоит в том, что 2 пересекается лишь с конечным числом своих Г-сдвигов.

Теорема 5. Пусть '21 = '21t,v— область Зигеля в GLn^V х, у е GLnk.QY Тогда множество 2_12ПхГу конечно.

Доказательство будет выведено из одной теоремы Хариш- Чандры, для формулировки которой нам понадобится ряд обозначений. Прежде всего введем функции Ф., аналогичные Ф, положив ФД^) = ||g (ei А .. .A et) ||, g е G. Здесь e, A . ..Ae^ рассматривается как элемент внешней степени A‘’(Rn), на которой GZ,n(R) действует естественным образом. Норма вектора берется относительно ортонормированного базиса е, ^.../\eft (/1 < . .. < /г) пространства A‘(R"). Ясно, что фД^) = = Ф(£) и Фп(£) = |с1е1 g|. Кроме того, группа К = On(R) действует на АДЙ") ортогональными преобразованиями (упражнение для читателя!); в частности, ФД^) = ФД^) для любого *еК.

Нам понадобится также ряд обозначений, связанных с разложением Брюа в G = GLn(R) (см. подробнее § 2.1, п. 10). Пусть D— группа диагональных матриц, W— подгруппа в G, состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке имеется в точности один ненулевой элемент, равный единице (очевидно, U7 ст К). Отметим, что элементы w = ^wt^G № можно охарактеризовать следующим образом:

( 1, i = nj,

Wl' ( 0,Л/,

где л — некоторая перестановка индексов 1, ..., п. При этом сопоставление дан->л = л(да) задает изоморфизм W на симметрическую группу Sn. Произведения WD и B = DU являются полупрямыми, причем первое совпадает с нормализатором D в G, а второе — с группой верхних треугольных матриц. Основной факт (см. теорему 2.5) здесь состоит в том, что G = (J UwB, т. е. G = UWB = UWDU. Кроме того, всякий элемент ge UwB однозначно представим в виде g = Ugwtgug, где vg^UTO = = w kw-xUw G\U^) w-v, U- — группа нижних унипотентных матриц, tg ее D, Vg ее U.

Теорема 6 (Хариш-Чандра). Пусть ^ = ^t,v— область Зигеля в G. McG — такое подмножество, что

М = М"’,

Ф;(/т)^с > 0 для всех /=1, . . ., п и всех т^М. Тогда множество Mx = {т е М | 2т П S ^ 0} относительно компактно в G.

Доказательство использует ряд свойств функций Ф,, которые мы сформулируем в виде следующего утверждения:

Лемма 5. Пусть g = kgagug=v~wtgvg — соответственно разложения Ивасавы и Брюа элемента g gG. Тогда

а = а -1 - . , так что g ш °g

Ф,- (g) = Ф< (йУ"‘и~ ^) • Ф,- (^) > Ф,- (^)1

существует константа d = d^)>G> такая, что Hgx(l^ > d\\ х || Ф,- (g) при gES, .teA'P") для всех 1=\,...,п. В частности, для gel, h^G имеем ^Agh^1^ дФ^^Ф^НУ

Доказательство. 1) Имеем

Ф< (g) = II g (ci A • • • A e,) || = || ag (в[ A ... A e^ || =

= ФДаг) = а! ... at, ag = diag(ab ..., aj.

Далее, g = v~wt и = ww vv~wtvОООSooДалее, g = v~wt и = ww vv~wtvОООSooоткуда ag = awоткуда ag = awtU -1 - s w и w gtU -1 - s w и w gir _x _ у a _x - uX w ug W /\ W vg sj

Далее, g = v~wt и = ww vv~wtv

ОООSoo

Далее, g = v~wt и = ww vv~wtv

ОООSoo

откуда ag = aw

откуда ag = aw

tU -1 - s w и w g

tU -1 - s w и w g

_ Таким образом,

Ug w ^r’

ф/ (5) = Ф, (“g) = Фг (%->„-ш) ф( (У = Ф/ Ф- (У- На" конец, Ф(-(^“’ug щ) ^ 1, ибо w-vVg w е U-, а для любого и е U~ имеем и (е, Д . .. Д е^ = ех Д . . . Д et + b, где b — линейная комбинация элементов канонического базиса в Д‘(РД, отличных от е, Д . . . Д е;; поэтому || и (е, Д . .. Д. ej || ^ 1.

Можно считать, что ||х|| = 1. Множество таких х ком

пактно, так что компактно и множество

tux\ueUv, ||х||=1}.

Поэтому существует dj > 0 со свойством: ЦихН^д, для всех ugU_ и всех х таких, что ||х||=1. Далее, если h = ei Л ...

. . . Л ец (/[ < . . . < UX — элемент канонического базиса про* странства Л‘(РД, то

a6h = ач ... а^, = (щ ... aj I —1 ... -^ I f..

При этом для любого k = 1, . .., i имеем Х^^^К, так что если g е 2, то по определению области Зигеля aiklak^tk~lk. Таким

образом, существует д2 > 0 со свойством

а\а\д2 дляд2 длялюбых U<-... <Ц. Тогда имеем

а\

а\

д2 для

д2 для

|| gx || = || a6UgX || > д2 Ф, (ag) || ugx || > б,б2Фг (g) = dO, (g) || x ||, где d = 6162, что и требовалось. Применяя доказанное неравенство к вектору x = h(,e\A ... /\е,-), мы получим последнее утверждение. Лемма 5 доказана.

Доказательство теоремы Хариш-Чаидры базируется на сравнении разложений Ивасавы и Брюа элементов из Ms, начало которому положено в лемме 5.

Существенная часть дальнейших рассуждений содержится в следующем утверждении:

Лемма 6. Если т пробегает М^, то его а-компонента ат в разложении Ивасавы и компоненты v~ и t в разложении Брюа образуют относительно компактные множества.

Доказательство. Пусть пг е Afs, т. е. хпг = у для некоторых х, ye"S. Тогда, применяя утверждение 2) предыдущей леммы, будем иметь

Ф< U) = Ф, ((xm) m *) ^ dOt (xm) Ф^ (m~ *) ^ ^2Ф,- (х) Ф/ (т) Ф; (т *),

т. е. ФДт)ФДт ‘X-Jr для всех i и всех теМ2. Так как по условию Фг (т) > Фг (/т) > с и М = М"', то функции Ф, ограничены на М сверху, т. е.

(3)(3)0 < с < Ф; (/т) < Ф; (т) < b

(3)

(3)

для всех т е М2. С другой стороны, как мы видели при доказательстве леммы 5,

Ф,- (т) = Ф, (ат) = а, . . . аь

Ф/ (Q = I /1 I,

если a = diag(ah . .., aj, / = diag(/i, . .., /„). Поэтому из (3) вытекает, что c^aj^b, cb~l ^atXbc~‘, i> 1, т. e. множество {am | m e АД) относительно компактно. Аналогичные рассуждения доказывают относительную компактность множества VUmeMY. Наконец, согласно утверждению 1) предыдущей леммы, am = aw-Xu_wtm, так что множество fa^. I m е/И2 П т( m |

П t/aaB} относительно компактно. Поэтому множество элементов вида Г су—1 _ = к а _ также относительно ком- V т / W 1 и w w lv w w w ттт

пактно. С другой стороны, w-vuYw е U~, и мы оставляем читателю в качестве упражнения показать, что морфизм-произведение задает гомеоморфизм U~X,U на замкнутое подмножество в G. Поэтому 1У_1и~аа, а следовательно, и и~ пробегает относительно компактное множество. Лемма 6 доказана.

Доказательство теоремы Хариш-Чандры. В силу конечности W достаточно установить относительную компактность всех множеств М^ П UwB, w е IF. Поэтому в дальнейших рассуждениях будем считать w фиксированным; пусть л = лш— отвечающая w перестановка индексов 1, ..., п. Возможны два случая:

существует к < п со свойством л ({1, ..., X}) = {1,..., X),

для любого к <_ п найдется / е{1, ..., X), для которого л(/) > к.

В первом случае w, а следовательно, и весь класс UwB по

падает в группупадает в группуGLK^0GLK^0GLn-x (С)GLn-x (С)

падает в группу

падает в группу

GLK^

0

GLK^

0

GLn-x (С)

GLn-x (С)

которых х, у^ 2. Без ограничения общности можно считать, что поэтому достаточно установить относительную компактность множества Ms П Ръ Далее, если т е М2 Q Рх, то хт = у для не- .ve.4L;c Рх; тогда и у е Рх. Таким образом,

Л!2ПДх={теЛ1|(2ПРх)тП(2П^)#: 0).

/0^(6) I о/0^(6) I оПредположим теперь, что теорема Хариш-Чандры доказана для групп GLr(R), где г <_ п (отметим, что случай п = 1 тривиален), и разберем случай 1) в размерности п. Разложение Леви (теорема 2.3) группы Рх имеет вид Рх = S/?, где

/0^(6) I о

/0^(6) I о

S = ( —-

I 0 I GLn-x (0

-— максимальная редуктивная подгруппа.

— унипотентный радикал. Обозначим через л, Л1 и л2 естественные проекции Рх на S, GLx^C) и GA„_x(C) соответственно. Положим также р(х) = n(A')-4. Так как группа K=On(R) определяется уравнением *g = g~x, то, очевидно,

Далее, AU cl Рх, и поэтому если g = kgagug— разложение Ива- савы элемента g е Рх, то &g е Рх, так что

ЙЛ, (g)

ал2 (g)ал2 (g)^Лз (g)

ал2 (g)

ал2 (g)

Л1 (g)Л1 (g)При этом если а е А^, то л, (а) е А^1, л2 (а) е Л1"-^. Используя непрерывность л, вследствие чего любое множество вида л(Пи) компактно, легко показать, что множества лДХПР^) и л2(Х П Рх) содержатся в подходящих областях Зигеля y.vrcG Lxp), S2 cl GLn_x (R). Очевидно также, что л, (АД П Рх) cl (М,)£ , где Mi = л, (At П Рх)- Нетрудно видеть, что для любого g е Рк компонента t8 в разложении Брюа в GLn)p) имеет вид

Л1 (g)

Л1 (g)

1 Лг (g)1 Лг (g)Отсюда следует, что множества М1 и Л12

1 Лг (g)

1 Лг (g)

1 /

удовлетворяют условиям теоремы Хариш-Чандры. В самом деле, выполнимость первого условия очевидна. Столь же очевидна выполнимость второго условия для АД Покажем, что оно выполняется также и для М2. Для теМ^Р) имеем Фх (m) = | det Л] (m) I, так что Ф^т-1) = Фх(т)-1. По условию Фх (т)-1 = Фх (т-1) ^ с. Поэтому остается заметить, что функции Фр . .., Ф'^, построенные аналогично Фг, но для группы GLn-x^)> связаны с исходными функциями Ф, соотношениями Ф, = ■■ -, откуда и следует требуемое. По предположению

индукции множества (M()£. относительно компактны, поэтому множество л(МхПРх) также относительно компактно. Осталось установить относительную компактность множества р (ЛТ^ Л/\). Итак, пусть теЛ1хПРх, т. е. хт = у для некоторых х, «еЕ^/у Тогда л (х) р (х) л (m) р (т) = л (z/)rp (z/), откуда р (т) = = л (/и)-1 р(х)-‘ л (т) р(у). Так как х, у брались из области Зигеля, то р(х), р (z/) пробегают относительно компактные множества. Учитывая, что относительную компактность множества {л (т) | т е Л12 Q Рх^ мы уже установили, отсюда получаем требуемое утверждение.

Переходим к рассмотрению второго случая. Пусть хт = у для некоторых meM^UwB, х, z/е S, причем можно считать, что detx= 1. Подставляя разложения Ивасавы для х, у и разложение Брюа для т, будем иметь

кча«ии = кхахихит^тит = (^) ^^т°‘т' (4> где с = w-xaxuxv"^axvw. Подставляя в (4) разложение Ивасавы элемента с и приравнивая a-компоненты, получим

au = ac^w-xaxw>)atni. (5)

Заметим здесь, что элемент с, а значит, и его a-компонента ас пробегает относительно компактное множество. Это следует из того, что их и и~ пробегают относительно компактные подмножества (их — по определению области Зигеля, у~— согласно лемме 6) с учетом леммы 3. Опять в силу леммы 6 множество элементов вида сц относительно компактно, поэтому согласно (5) множество {а-^-^аа} ограничено. Но если ах = diag (ар... • • • - an)> ati = diag (^i- • • • > М’ то a;xwxaxw = diag (^Г‘ал(и* • • • ,. ,, b~‘^„j), где л — отвечающая w перестановка индексов 1, ..., п. Таким образом, найдутся такие а, р > О, не зависящие от х, у, что

а < b?van^ < р для всех i = 1, .. ., п, (6)

Из (6) вытекает, что для любых i, / выражения b7vbjan (z)Qn(/) ограничены сверху. Если теперь / < /, то ввиду ageAt выражения Ь,Ьгх ограничены сверху, и, следовательно, найдется константа у > 0 со свойством

ал(г)ая(/) < V для всех z </. . (7)

Покажем теперь, что выражения a*-1aA+i ограничены для всех к = 1, ..., п.— 1. По условию найдется I ^ к такое, что л(/) ^ ^ к + 1. Очевидно также, что найдется / > к со свойством

л(/) ^ к. Тогда i < j и л(/) ^ к < к + 1 ^ л(/). Имеем ал(/)ал(Ц = (ал(/)ал(/)+1) ••• (“n’o-^nli))»

причем поскольку ах е At, все выражения а^ханх ограничены снизу. Поэтому из (7) вытекает, что ак-хак+х ограничено сверху (равно, как и снизу). Таким образом, элементы ф^Д, где Ф-. Л->-^*Х X R* — отображение, определяемое формулой

Ф(<Иае(а„ . .., ап^ = ^аха-х, а^х, ..., ап_ха;х\ заполняют ограниченное подмножество. Так как х выбирался из SLn(R) и, следовательно, ах е A П SL„(R), а ограничение ф1лп5ь (R) инъективно и, значит, является собственным, то ах также заполняют относительный компакт. Возвращаясь к (7), теперь легко вывести и ограниченность ау. Отсюда следует, что элементы х = кхахих и у = киа.1,ии лежат в относительно компактных множествах. Поэтому т = х-ху также пробегает относительный компакт. Теорема Хариш-Чандры доказана.

Доказательство теоремы 5. Положим А1 = (хГу) U (-кГу)-1, где T = GL„(Z). Множество М, очевидно, замкнуто и дискретно в G; более того, коэффициенты матриц из М имеют ограниченные знаменатели. Поэтому для доказательства конечности соответствующего множества М2 (что и утверждает теорема) достаточно установить его относительную компактность. Последнее будет следовать из теоремы Хариш-Чандры, если мы проверим ее условия. Условие 1) выполняется по построению. Для проверки условия 2) сделаем одно предварительное замечание.

(

611* \

■. Тогда для

ОЬпп

любого z = 1, ..., п имеем

kgkl\^k, i^i = кик1\^к, l^A^kl\^k, I ^П

откуда det (^;)1<й ^г=Ьи .. . Ьи. Пусть теперьm=v-wtmvm^M. Тогда матрица w-xm имеет ограниченные знаменатели. С другой стороны, w~xm = w~xVmWtmVm и w~‘um® s U~. Из сделанного выше замечания вытекает, что O1(tm) = |G ... t;| совпадает с абсолютной величиной главного (/></)-минора матрицы w-xm, т. е. является рациональным числом с ограниченным знаменателем, откуда и следует выполнимость условия 2) в теореме Хариш-Чандры. Теорема 5 полностью доказана.

Подвести итоги настоящего параграфа удобнее всего, используя понятие фундаментального множества, которое является модификацией (в действительности — ослаблением) обсуждавшегося выше понятия фундаментальной области.

Определение, Подмножество Q с; G называется фундаментальным множеством для Г, если

(FO) KQ = Q, где K = O„(R);

(Fl) QF = G;

(F2) для любого g е GLn (Q) множество {у е Г | Qg Г) Qy^ 0} конечно,

На первый взгляд, было бы более естественным вместо условия (F2) требовать выполнение более слабого условия:

(F2)' множество {у е Г|й П Ну =7^ 0} конечно.

Однако условие (F2) имеет ряд технических преимуществ. В частности, оно дает возможность, исходя из фундаментального множества Q для группы Г, строить фундаментальное множество для любой подгруппы Г' в СТп^ДД соизмеримой с Г. Достаточно положить Q' = у Qc, где пробегает множество представителей Г'/Г П Г'-

Результаты настоящего параграфа можно переформулировать следующим образом._

Теорема 7. Область Зигеля 2;> „ при /^2/д/З, и ^ 1/2 является фундаментальным множеством для Г = GL„(Z) в GLn(^).

Следствие. Для любой арифметической подгруппы Г ст ст ОТДД^ существует открытое фундаментальное множество.

Легко видеть, что в качестве открытого фундаментального множества для Г = GL„(Z) можно взять внутренность S” у области Зигеля для /> 2/-у/3, и > 1/2. Используя это множество, можно при помощи указанной выше конструкции построить открытое фундаментальное множество для произвольной арифметической подгруппы.

Приведение в произвольных группах

В этом параграфе мы реализуем второй шаг намеченной в § 4.2 программы и тем самым установим существование фундаментального множества для произвольной связной алгебраической Q-группы G. При этом, как показывает следующее утверждение, можно ограничиться случаем редуктивной группы.

Лемма 7. 1) Пусть N — унипотентная Q-определенная группа. Тогда в N найдется такое открытое относительно компактное подмножество U, что Nr = UNz и для любых п, meN^ множество U~'U T\(nNzm) конечно.

Пусть G = HN — разложение Леви связной Д-группы G, где П — максимальная редуктивная Д-определенная подгруппа в G, N = Ru(G) — унипотентный радикал. Предположим, что подмножество S ст HR удовлетворяет условиям*, a) Hr = "SHz, и б) для любых g, he Hq множество S-1SD(^zA) конечно. Тогда ■если U е N r — фундаментальное множество из п. 1), то мно-

жество й = 2Д удовлетворяет условиям; a) Gr = QGz, Р) для любых х, yeGy множество й^й f) (xGzy) конечно.

Доказательство. 1) Достаточно установить компактность факторпространства Nr/Nz- Тогда, используя элементарное топологическое рассуждение (см., например, Бурбаки [2], гл. 3), можно построить открытое относительно компактное множество со свойством Nr = UNz. При этом конечность пересечения LMU П GiNzm) является следствием дискретности и замкнутости, nNzm. Утверждение о компактности Nr/Nz легко доказывается при помощи индукции по r = dimjV (ср. доказательство леммы 4). Если г = 1, то N ~С+, причем при этом изоморфизме jVr ~ R, Nz — aZ(aeQ) так, что Nr/Nz = R/aZ — одномерный компактный тор. Пусть теперь г > 1. Так как факторгруппа N/\N, ,V] является абелевой унипотентной группой, то логарифмическое отображение осуществляет Q-определенный изоморфизм N/^N, АУ] УДС1, l = dimN/[N,N] (при этом ввиду нильпотентности N заведомо /^ 1). Отсюда следует существование (г— 1)-мерного Q-определенного нормального делителя М < N" и одномерной Q-определенной подгруппы L ст N таких, что У = = LM— полупрямое произведение над Q. По предположению индукции пространства Lr/Lz и Mr/Mz компактны, и поэтому существуют такие компакты А ст LR и В ст Mr, что Lr = ALz, Mr = BMz. Покажем, что компакт С = АВ удовлетворяет условию Nr = CNz. В самом деле, пусть п = Ime Nr = LrMr. Тогда для подходящих аеА, z е Lz имеем равенство l = azv а для подходящих be В, х е Mz равенство zmz-v = Ьх. Тогда п = lm = azm = azmz~1z = abxz, причем xzeNz. Доказательство 1) завершено.

Доказательство свойства а) получается при помощи рассуждений, аналогичных тем, которые мы использовали в конце доказательства п. 1). Установим справедливость р). Согласно следствию 2) из предложения 1 группа HzNz имеет конечный индекс в Gz. Поэтому, рассматривая разложение на правые или левые смежные классы по HzNz, мы видим, что р) эквивалентно конечности пересечения й“'й f] (xHzNzy) для произвольных х, у е Gq. Так как Gq = HqNq, то x = ab, у = cd, где а,. с е Hq, b, d е Nq. Пусть h е Hz, п е Nz. Тогда

■Wxhny = ^Uabhncd = S (аЛс) U' g.

где U' = (ahc)~1 Uabhc — компакт, содержащийся в Nr, g = cnc~xd е Nr. Поэтому условие SG П SG {xhny) =/= 0 эквивалентно паре условий:

SnS(aAc)^0,(1)

U'g^U^e.(2),

Согласно б) существует лишь конечное число элементов h, удовлетворяющих (1). Конечность числа возможных n = c~1(gd-,)c вытекает из (2), относительной компактности множества (U'^-'U и того факта, что элемент g в (2) принадлежит замкнутому дискретному множеству cNzc~xd. Лемма 7 доказана.

Итак, всюду ниже будем предполагать, что группа G редук- тивна. Стратегию построения фундаментального множества в этом случае мы уже обсуждали (см. лемму 2); если Gg с= GL„(C), то нужно: 1) определить (правое) действие GLn на некотором множестве X такое, что стабилизатор подходящей точки хеХ совпадает с G; 2) найти as GG„(R) со свойством: пересечение ха2 Q xGLn(Z) конечно, где 2— область Зигеля в СЛДЕ). Тогда мы получим для G фундаментальную область вида Q= J oSbr'lQG, где bi е GLn^ZY Естественно \i = l/

в качестве X взять векторное пространство V, для которого имеется Q-определенное представление р: GLn(C )->■ GL^V') и вектор и е Eq со свойством: G = {g е GG„(C) |up(g) = и}. Существование таких р и и обеспечивается усиленной теоремой Шевалле (см. теорему 2.15); при этом орбита up(GG„) замкнута в топологии Зарнсского. Тогда, выбирая aeGG„(R) таким образом, чтобы группа a-xGa была самосопряженной, т. е. инвариантной относительно транспонирования (см. теорему 3.7), мы видим, что конечность нужного нам пересечения вытекает из следующего утверждения:

Предложение 5. Пусть р: GL„(C)—>- GL^V^— представление, определенное над Q, L — решетка в пространстве Eq. Если и g g Er— точка, стабилизатор G = (g g GGn(C) [up(g) = и} которой является самосопряженной группой, а орбита up(GZ,„(C)) замкнута в топологии Зарисского, то для любой области Зигеля 2 g GLn(R) пересечение up(2)f) L конечно.

Доказательство. Выберем в пространстве Eq базис, состоящий из собственных векторов относительно р(7Д) (Dn— группа диагональных матриц), и определим на Er евклидову норму (которую будем обозначать через || и ||, ugEr), считая этот базис ортонормированным. Для характера не Х(р(/)„)) пусть Ец = {и г V\gu = p(g)u VgGp(Sn)}—весовое пространство веса ц; условимся в дальнейшем рассматривать лишь ненулевые подпространства. Тогда пространства Ец, и Ещ для р1 #= ^ р2 являются взаимно ортогональными и Е = Ф^Ец — ортогональная прямая сумма. Обозначим через лц ортогональную проекцию Е на Еи. Так как Еи определены над Q, то Z-подмодуль в L, порожденный пересечениями L Q Ец, имеет конечный индекс в L. Тогда для подходящего целого m справедливо включение лДт/^сТ, и, следовательно, л^ (L) с L—ре-

шетка в пространстве Ир. Поэтому существует такая константа С) > 0, что для всех ш g L и всех р имеем ||лр(щ) || ^ сь если ТОЛЬКО Яр (w) =/= 0.

Пусть теперь х = kxaxux g GLn (R). Положим Ух = х«х\ zx = xa~- и будем писать их вместо ир(х). В силу леммы 4.3 множество элементов вида а и а™1, где х g 2, относительно компактно. Так как ух = kxaxuxa~', то отсюда следует существование константы с2 > 0 такой, что || vyx || ^ с2 для всех xgS. Покажем, что множество А = {uzx | х g S, их g L} также ограничено. Имеем л,, (иуЛ = (oxa-"1) = и (avV! л,, (их) и аналогично лц (uzj = р (ах)" ли(их). Поэтому

II ^p(uzj|| =II ^p(uzj|| =II лц М) II2II Яр (ух) IIII лц М) II2II Яр (ух) II

II ^p(uzj|| =

II ^p(uzj|| =

II лц М) II2

II Яр (ух) II

II лц М) II2

II Яр (ух) II

Так как орбита uGG„(C) замкнута в V в топологии Зарисского, то орбита vGL„(R) замкнута в Hr в евклидовой топологии (см. доказательство следствия 2 из теоремы 3.6). Поэтому множество

W = {щ g и GLn (R) 11| Лр (щ) || ^ с для всех р} компактно, и, следовательно, найдется такой компакт HgGL„ (R), что W = vU. Так как А g W, то {zx | vzx g A) g GrG. Но zx=kxaxuxax2=kxa~va2xuxax2, поэтому если xg2-2( ь, то axg4^, так что множество ^а2хихах21 х g X) относительно компактно. Поэтому h^^eGpU, для подходящего компакта Uv Применяя преобразование 9: g ।—*lg~x и учитывая, что кх— ортогональная, а ах — диагональная матрица, получим кхах g Gr6 (GJ, так что х = kxaxux g GU2, где G2 = 0(GJG—компактное множество. Таким образом, множество иХ Q L содержится в uU2 и, следовательно, является одновременно компактным и дискретным, т. е. конечным. Предложение 5 доказано.

Этим завершается построение фундаментального множества в произвольной редуктивной группе. Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 8 (Борель, Хариш-Чандра [2]). Пусть G g gGL„(C)—редуктивная алгебраическая Q-epynna, 2 = X/, v (/^2/V3, и ^ 1/2) — область Зигеля в группе GLn^Y Тогда найдутся аг GLn(RY bi, ..., 6rGGT„(Z) такие, что множество Q = ( (J aSbt ) П G обладает следующими свойствами1.

0) КП = Q для подходящей максимальной компактной подгруппы К группы Gr;

QGz = Gr;

для любых х, у g Gq множество Q-1QrixGzy конечно.

В доказательстве нуждается лишь пункт 0). Для этого вспомним, что элемент aeGZ,„(R) выбирался исходя из условия: группа a-1 Ga должна быть самосопряженной. Но тогда группа a-lGanOn(R) является максимальной компактной подгруппой в a-’Gpa (см. предложение 3.10), поэтому К = G П П (aO;i(R)a-1) — максимальная компактная подгруппа в Gr. По построению область Зигеля 2 удовлетворяет условию O„(R)S = = 2, откуда с очевидностью следует 0).

Результаты этого параграфа, как и предыдущего, можно переформулировать более кратко, используя понятие фундаментального множества. Его определение в общей ситуации вполне аналогично определению, которое мы привели в предыдущем параграфе для случая группы GG„(C), и выглядит следующим образом.

Определение. Пусть G — алгебраическая Q-группа, ГсС- — ее арифметическая подгруппа. Подмножество Q ст Gr называется фундаментальным множеством для Г, если

(F0) КП = Q — для подходящей максимальной компактной подгруппы К ст Gr;

(Fl) QF = Gr; ]

(F2) для любых х, у g Gq множество Q Q П (xGzy) конечно.

С учетом леммы 7 и отсутствия компактных подгрупп в унипотентных группах из теоремы 8 получаем

Следствие. Пусть G — связная Q-группа, Г ст Gq — ее арифметическая подгруппа. Тогда в Gr существует открытое фундаментальное множество для Г.

Это следствие лежит в основе получения структурных теорем для арифметических групп (см. § 4.4). При этом выявляется важность всех трех условий (F0) — (F2). В частности, условия (F1) и (F2) гарантируют конечную порожденность Г. Условие (F0) означает, что образ Q в симметрическом пространстве X = K\Gr является фундаментальным множеством для индуцированного действия Г на X, откуда с учетом односвязности X будет вытекать наличие у Г конечного числа соотношений.

Еще одно применение теории приведения состоит в доказательстве следующей теоремы конечности для орбит арифметических групп.

Теорема 9. Пусть р: G—-GE(V)— определенное над Q представление редуктивной Q-группы G, Г ст Gq — арифметическая подгруппа и Lc^Vq— Г- инвариантная решетка. Если Х = = up(G) — замкнутая в топологии Зарисского орбита группы G, то пересечение X Q L состоит из конечного числа орбит группы Г.

Доказательство. Пусть GcrGG„(C). Рассмотрим вначале один частный случай, когда представление р получается ограничением Q-определенного представления л; GLn(C )—>- GL^VQ причем орбита У = ал(СЕп(С)) замкнута по Зарисскому, а ста-

билизатор и относительно л лежит в G, т. е. совпадает со стабилизатором Н точки и относительно р. Множество Ar распадается в объединение конечного числа орбит относительно группы Gr (см. следствие 2 из теоремы 3.6), т. е. Ar = (J^P^r).

При доказательстве теоремы имеет смысл рассматривать только такие i, что и,р (Gr) П L =р 0; тогда можно считать, что и, g L. Таким образом, достаточно показать, что up(Gr) П L состоит из конечного числа орбит группы Г. При этом можно без ограничения общности считать, что Г = Gz, а решетка L инвариантна относительно группы p(GL„(Z)) (см. предложение 2). Согласно теореме 8 найдутся аг GL„(R), щ g GG„(Z) такие, что

Gr = ((U (а^г))ПС)С2 (3).

для подходящей области Зигеля S ст GLn(R). При этом в качестве а можно взять произвольный элемент из GL„(R), для которого группа a ’-Ga является самосопряженной. Поэтому в силу теоремы 3.8 можно выбрать а таким образом, что группа а~хНа также является самосопряженной. Из (3) вытекает, что достаточно установить конечность пересечения up(aSbП Gr)П L, где b^GLn(Z). Так как L инвариантна относительно p(GL„(ZY), то последнее эквивалентно конечности пересечения сС'р(5)ПЛ, где w = ир(а). Но по построению стабилизатор щ, равный а~хНа, является самосопряженным, поэтому требуемая конечность вытекает из предложения 5.

Общий случай сводится к только что рассмотренному. Поскольку орбита А замкнута, то стабилизатор Н точки и в G является редуктивной группой. Поэтому согласно усиленной теореме Шевалле (теорема 2.15) найдутся Q-определенное представление л: GLn(C )->• GL(W) и точка щ g Wq, стабилизатор которой относительно л совпадает с Н, а орбита У = щл(СЛп(С)) замкнута по Зарнсскому. При этом из предложения 2 вытекает, что w содержится в р(СЛ„^))-инвариантной решетке ;И г Й7-. Орбита A' = wn(G) также замкнута, ибо факторотображение л: С/,„(С)^-У, л(^) = wg открыто. Таким образом, множество А'П Л4 является объединением конечного числа орбит группы Г. Более того, переходя от решетки М к решетке -^ М (d g Z), которая также удовлетворяет требованию р (GG„(Z))-инвариантности, мы видим, что для любого d g Z множество А' П ^- Al) является объединением конечного числа орбит группы Г. Осталось перейти от орбиты X' к орбите X. Для этого заметим, что А и А' являются различными реализациями однородного пространства G/Н, т. е. существует Q-определенный G-эквивариантный изоморфизм ф: A—-AR Так как А замкнуто в V, то»

относительно координат, определяемых базисами решеток L и М соответственно, изоморфизм ф задается полиномами P^X\, ... ..., х^, 1 ^ I ^ s, с рациональными коэффициентами. Тогда если d — общий знаменатель этих коэффициентов, то ф (АГ ("| L) с= g А" П (~рИ ) , поэтому из конечности числа орбит группы Gz в X' А ("5" ^) и G-эквивариантности ср вытекает конечность числа орбит Gz в X П L. Теорема 9 доказана.

В заключение этого параграфа приведем одну переформулировку условия (F2) из определения фундаментального множества, которая будет использована нами в следующей главе при построении теории приведения для групп аделей.

Лемма 8. Условие (F2) для множества Q ст Gr эквивалентно следующему.

для любых х, у е Gq и любого г g Z пересечение Q^'Qn xGTy, где Gr = Vg — Gg\rg, rg-1 g ЗД (Z)}, конечно.

В самом деле, для доказательства импликации (F2)=^(F2)' достаточно показать, что множество Gr содержится в объединении конечного числа смежных классов по группе Gz. Но если gG Gr, то для решетки g(Z”) имеют место включения

rZ"Gg(Z")Gf-lZ".

Так как число решеток, промежуточных между rZn и r-xZn, конечно, то для решеток вида g(Z”), gG Gr, имеется лишь конечное число возможностей. Заметив, что из g(Z") = /i(Z") следует, что hZxg g Gz, мы и получаем для Gr требуемое включение G c=|Jg;Gz, где система представителей gi выбрана таким образом, чтобы решетки g,(Zre) пробегали все возможные промежуточные решетки между rZn и r-'Z" вида g(Z"), gG GT. Обратная импликация (F2)'=HF2) очевидна.

Теоретико-групповые свойства арифметических групп

В этом параграфе мы установим справедливость основополагающих фактов из § 4.1 об абстрактных свойствах арифметических групп. Изящество и относительную краткость их доказательств можно рассматривать как своеобразную компенсацию за усилия, потраченные на построение теории приведения.

Теорема 2. Пусть Г — арифметическая подгруппа Q-onpede- ленной алгебраической группы G. Тогда Г является группой е конечным числом образующих и конечным числом определяющих соотношений.

Доказательство. Для доказательства конечной определенности Г достаточно установить конечную представимость ее подгруппы конечного индекса, поэтому можно предполагать, что G

связна и Г ст Gr. Мы будем работать с пространством X = K\Gr, где К—максимальная компактная подгруппа в Gr. Согласно предложению 3.10 пространство X связно и односвязно. Если 5 — открытое фундаментальное множество для Г в Gr (см. § 4.3, следствие из теоремы 8), то в силу условия KS = S образ 2 в I, который мы обозначим через Q, удовлетворяет следующим двум условиям:

ПГ = Х;

множество А = {6 g Г| Q6 fl Q ^ 0} конечно.

(Мы рассматриваем естественное действие Г на X правыми сдвигами.) Мы покажем, что конечная определенность Г является автоматическим следствием связности, локальной связности и односвязности X, открытости Q и условий (i), (ii). Поэтому тот же результат имеет место для произвольной группы преобразований любого топологического пространства X, если выполняются указанные предположения (отметим, что Бер [1] доказывает это при несколько более слабых предположениях, а именно, вместо открытости Q требуется, чтобы $2 лежало во внутренности множества QA).

Лемма 9. А — система образующих для Г.

Доказательство. Пусть Го — подгруппа, порожденная А. Тогда из (i) вытекает, что X = (НГо) U (^ (Г\Г0)). При этом если Qy Q Q6 #= 0, где у g Го, то бу-1 g А, следовательно, 6 g Го. Это рассуждение показывает, что множества ПГ0 и й(Г\Го) не пересекаются. Так как оба они являются открытыми, а пространство X— связным, то в действительности П(Г\Го)=0, т. е. Г = Го. Лемма доказана.

Перейдем к построению множества определяющих соотношений для Г. Обозначим через F свободную группу, построенную на множестве А, элементы которого находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами А относительно биекции 6ь^-б, ф: F—-Г— определяемый этой биекцией гомоморфизм. Часть соотношений для Г составляют так называемые локальные соотношения, т. е. соотношения вида

b;M&M"X = e, (1)

где 61, 62 пробегают совокупность таких элементов из А, что 6162 g А. Для того чтобы понять их роль, обозначим через L нормальный делитель в F, порожденный левыми частями локальных соотношений. Ясно, что ф (д]д2 (бфг)-1) = 1, так что <р(Е)=1. Пусть N—нормальный делитель в F, содержащий L и содержащийся в К = Кег ф. Рассмотрим факторгруппу Н = — F/N и естественные гомоморфизмы a: F^-H, 0: Н^Г так, что 0 о а = ф. Далее, наделив Н дискретной топологией, введем пространство S, которое является факторпространством

произведения QX^ относительно следующего отношения:

(xj, А])(х2, h^, если существует такой бе А,

что х2 = х1б, А1 = ст(6)А2_

Оказывается, что соотношения (1) как раз и обеспечивают тот факт, что ~ является отношением эквивалентности, и требуемая факторизация возможна. В самом деле, рефлексивность ~ очевидна (1 еА), симметричность является следствием того обстоятельства, что вместе с любым б множество А содержит также б-1 (ибо Юб f] Q #= 0 <=> Ю f] Юб-1 #= 0), причем п(6) -1 = = ст (б-1) в силу локальных соотношений. Докажем транзитивность ~. Если (хь А]) ~ (х2, А2) и (х2, А2) ~ (х3,А3), то найдутся такие 61, 62 g А, что

х2 = Х]бь h, = ст (б]) h2,

а:3 = х262, А2 = ст (б2) h3.

Тогда х3 = х1б1б2, так что б]б2 g А и hx = ст (5J ст (б2) А3 = ст (б]б2) ha в силу локальных соотношений.

Обозначим через a: ЮХЕ^З соответствующее фактор- отображение, а через Р: ЮХГ^-Х— отображение-произведение. Если (xb Ai) ~ (х2, h^ , то Х2 = -Иб, Ai = ct(5)A2 для некоторого 6 е А, следовательно,

Р Ост, 6 (А,)) = х,9(А,) = (х,б) 9 (ст (б)-1 A,) = х26 (А2) = р (х2,9(А2)),

так что существует единственное непрерывное отображение р: S^X, превращающее следующую диаграмму в коммутативную:

(id, 6)

ЮХ Н-^->ЙХ Г

Лемма 10, Отображение р является накрытием, кратность которого равна [Кег 6].

Доказательство, Положим V = а(Ю ХМ)- Тогда прообраз a-'(V)= (J (ПП^б, а (б)'1) беД

является открытым подмножеством в Ю X Н, следовательно, Ч'" открыто в S. Ограничение р |т инъективно и осуществляет гомеоморфизм Т^Ю. В самом деле, еслиp(a(xi, е)) = р(а(х2, е)), то из коммутативности (2) получаем Х] = х2. Покажем, что

р-^ (Q) = (J ^А,

где объединение берется по А е Кег 0, причем сдвиги ТА попарно не пересекаются. (Здесь и ниже мы рассматриваем индуцированное действие Н на S; отметим в связи с этим полезное соотношение р (хА) = р (х) 0 (А)). Если р (а (х, А)) = у g Q, то х0(А) = у g Q. Следовательно, 0(А) = 6 G А, т. е. g = <r(6)-1AG g Кег 0. Но тогда по построению (х, А) ~ (у, g), что и требовалось. Наконец, если а (х, е) = а (у, А), где A g Кег 0, то A G А, и так как ограничение ф|д инъективно, то А = е. Лемма доказана.

Если Q связно, то пространство S также связно. Действительно, S= U ТА, и поэтому ввиду связности Т достаточно heH

показать, что любой сдвиг ТА соединяется с Т цепочкой TQ = Т, Т[ = ТА[Tm = TAm, hm = h попарно перекрывающихся сдвигов. Для А = <т (б, ... 5Д достаточно положить A1 = <r(6d), А2 = о- (6d_j6d), . . ., hm_x = а (б2 . . . 5J, Am = а (6t . . . 6Д. Из односвязности X тогда вытекает биективность р, следовательно, и тривиальность Кег 0, построенных для N = L. Таким образом, если фундаментальное множество Q связано, то для определимости Г достаточно локальных соотношений.

В общем случае приходится работать со связными компонентами Q, множество которых мы обозначим через {Q^}. sZ. Отметим, что в силу локальной связности X и открытости Q все 52, также открыты в X. Зафиксируем одну компоненту Х° = Qo и обозначим через Х(и объединение |J Qzy по -парам (г, у) G

G / X Г таким, что 52,-у f| Qo у= 0, Пусть множества Д(1), . . ., Xw уже построены. Положим тогда Х(6+1,= U Q,y, где объедине

ние берется по таким парам, что Qz-y Г) JC(A) У= 0. Множество г = U Ж очевидно, открыто в X. Его дополнение является к = й

объединением множества вида 52,у, и поэтому также открыто. Действительно,

Х = ЙГ= U Q,y,tel

при этом, если Qf yt Я й.2у2 #= 0, где Q^cF1, то й.гу2 g cl Х^*^ cl X'. Из связности X вытекает, что X' = Х, т. е. любой сдвиг 52,у можно соединить с 52О цепочкой попарно перекрывающихся сдвигов связных компонент 52. Рассмотрим, в частности, 520б, б G А. Тогда найдется последовательность {Qi/y/j”_o такая, что zo = zm = O, у0=1, ут = б и QZ/Y/Я

Г№/+1У/+1 =И= 0 Для всех / = 0т — 1. Построим по индукции такие элементы <jp^F, что ф(соу) = у, для всех 7 = 0т. Для --этого положим со0 = е. Если элементы со0со* уже построены, то положим сой+1 = бйсой, где бй = Уй+1Уй 1 е А. Обозначим через N нормальный делитель в F, порожденный левыми частями соотношений (1) и соотношений_

Х'ит = е(3)

для всех 6е\.

Лемма 11. N = К, следовательно, Г конечно определена.

Доказательство. Положим Д', = a(Qz Х{е}). Утверждается, что для любого 6е\ и соответствующих элементов w,, построенных выше, имеем

^7<т(^ПЧг;/ + 1о'(а'/ + 1)=И= 0-(4)

Действительно, пусть хуу/= х/+1у/+1 е Q.^y, fl QZ/+]y/+1. Тогда б^Уу+ДГ1 еА и х^х^, а(щ/+1) = а(б/)а(щ. + 1), откуда и следует (4). Обозначим через Ф объединение множеств Д^.сг^у), построенных для всех б е А. Так как любая цепочка Д.уО^у) начинается с Ч;о, то Ф связно. Пусть У — связная компонента пространства S, содержащая Ф. Для любого 6е \ имеем Досг (б) = Д;тсг (щт) с= Ф, так что фр|фп(б)у=0, и поэтому Ya (5) = У. Так как элементы ст (б), 6 е А, порождают Н, то Yh = У для любого hsH. Используя локальную связность S, легко показать, что ограничение Р|у: Y^-X также является накрытием. Отображение Р | у биективно в силу односвязности X; с другой стороны, все множества Д0/г, /геКегО, лежат в У, не пересекаются (см. доказательство леммы 10) и дают в образе По- Следовательно, Кег6 = {е}, и лемма доказана.

Таким образом, доказательство теоремы 2 завершено.

Доказательство теоремы 2 в принципе позволяет строить явное задание арифметической группы образующими и соотношениями, если известна ее «хорошая» фундаментальная область. В этой связи разберем классический пример группы SL2(Z).

Пример (образующие и соотношения для SL2(Z)). Как мы уже знаем (см. § 4.2), пространство X = SO2(R)\ST2(R) можно отождествить с верхней полуплоскостью Р. Группа Г = = PSL2(Z) = SL2(Z)/{±e) действует на Р справа с фундаментальной областью О={геРЦг1> 1, |Rez|< 1/2} (предложение 4). Замыкание 5 удовлетворяет условиям (1) и (ii), выделенным при доказательстве теоремы 2, но не является открытым в Р. Тем не менее рассмотрим множество А = А^ = = {б е Г |£)f)£)6 ^= 0}. Сдвиги Дна элементы множества А изображены на следующем рисунке:-

i

Ясно, что если перейти от D к «чуть-чуть* большей области D\ то Ап' = {6 е Г | D' f| О'б} будет совпадать с А. С другой стороны, к D' применимо доказательство теоремы. Отсюда следует, что А является системой образующих для Г, а все соотношения есть следствия локальных соотношений. Из рисунка видно, что [А] = 10, поэтому если мы попытаемся «в лоб» применить метод, указанный при доказательстве теоремы 10, то нам придется работать с 10 образующими и анализировать ЮХ 10= 100 локальных соотношений. Для сокращения этой процедуры мы применим дополнительные геометрические соображения. Вспомним, что Р является моделью геометрии Лобачевского, прямыми в которой служат прямые, перпендикулярные оси Ох, и полуокружности с центрами на Ох. Тем самым D является неевклидовым треугольником с двумя конечными вершинами (рьрг) и одной вершиной на бесконечности. При этом Г действует на Р изометриями, так что сдвиги Dy, уеГ также являются треугольниками, которые в совокупности образуют симплициаль- ное разбиение Р, т. е. два треугольника либо не пересекаются, либо имеют общую сторону, либо общую вершину. Доказательство симплициальности действия Г вытекает из того, что соседние с D треугольники действительно пересекаются с D требуемым образом (см. рисунок). Тогда, слегка видоизменяя доказательство первой части теоремы, можно показать, что Г порождается теми у, для которых D и Dy имеют общую сторону (можно также заметить, что подгруппа, порожденная такими

случае множество таких у J ] (преобразование, отве- nj-н; -;г г=о-случае множество таких у J ] (преобразование, отве- nj-н; -;г г=о-у, содержит А, см. ниже). В данном _1

случае множество таких у J ] (преобразование, отве- nj-н; -;г г=о-

случае множество таких у J ] (преобразование, отве- nj-н; -;г г=о-

состоит из трех элементов: Т = 0

/ 1 1 V „-1 Г 1

чающее матрице 1 Q i I), Т = Q

метрически преобразование Т является параллельным переносом на единицу вдоль оси Ox, aS — композицией инверсии относительно окружности |z|=l и симметрии относительно оси Оу. Используя это описание, легко показать, что соседние с D треугольники могут быть получены из D путем преобразований, указанных на следующем ниже рисунке (с. 227).

Локальные соотношения, введенные при доказательстве теоремы 2, имеют вид 6!62 = 63, гДе 63 = 6162 и 61, 62, 6зеА. Проанализируем вначале локальные соотношения, в которых либо 61, либо 62 совпадает с S. Несложный перебор вариантов показывает, что все они являются следствием соотношения S2 = е. Прежде чем переходить к общему случаю, сделаем одно замечание. Если pi и р2 — конечные вершины треугольника D, то для любого 6еА имеем {pi, р2}6 f) {pi, р2}=И= 0, что является следствием условия 06 П D V= 0 и симплициальности действия Г. Так как pvS = р2, piS = pi, то для любого б е А выполняется следующее условие: S6, 6S е А и либо 6, либо S6 и 6S стаби-

лизируют одну из точек pi, рг- Покажем теперь, что по модулю соотношений, содержащих S, любое локальное соотношение сводится к соотношению, в котором 61 и 62 стабилизируют одну из вершин. В самом деле, пусть 6162 = 63 и 61, 62, 63 е А. До- множая при необходимости 63 на S, можно считать, что pi63 = Pi (или р263 = Р2, что разбирается аналогично). Если Р162 — pi, то р^! = рь и все доказано. Покажем, что случай р26г = рг не реализуется. Достаточно установить, что при этих условиях

{рь Р2} (6362 ') Л {рь Р2} = 0-

Ясно, что элемент 636Г' не может стабилизировать ни одну из вершин, поэтому надо доказать невозможность соотношений

Pi (6362”') = р2,(5)

Р2 (дз6Г!) = Рь(6)

Если выполняется (5), то pi = pi63 = р26г = рг, — противоречие. Если же выполняется (6), то р263 = Р162, но легко проверить, что множество {pi6|p26 = р2) состоит из точек pL, р3, р4 и не пересекается с множеством {р26|pi6 = рД, которое состоит из точек р2, Р5, Рб-

Итак, пусть 6162 = 63 и р]6з = рь но pi62 У= рь Тогда перепишем соответствующее локальное соотношение в виде (6iS) (S62) = 63. Так как р262 =И= Рг, то pi (S62) = pi и pi (61S) = рь Таким образом, можно считать, что все 61, 62, 63 стабилизируют одну из точек рь р2.

Лемма 12. Стабилизатор точки pi (соответственно, р2) в Г является циклической группой третьего порядка, порожденной TS (соответственно, ST).

Доказательство. Если g задается матрицей ^ ), то dz + 6 гр

zg = cz - . 1огда условие p1g = p1 переписывается в виде ср2 + (а — d) Р] — b = 0. Но Р] = —1 "^ ^ ', и минимальный полином Р] над Q имеет вид /2 + / + 1 = 0. Поэтому если a, b, с, d е Z и det ( “ *)=1, то либо Ь = с — а — d = 0, что соответствует тождественному преобразованию, либо b = ±1, с = =F 1, а — d = = +1, что соответствует матрицам ±(j —1)’ "^ ( 1 ~ 0 ) " Остается заметить, что

Вычисление стабилизатора р2 получается из соотношения piS = = р2. Лемма доказана.

Из леммы 12 вытекает, что локальные соотношения, в которых все буквы стабилизируют одну из вершин, сводятся к соотношению (S7)3 = e. Таким образом, группа PSL2(Z) задается образующими S, Г и соотношениями S2 = (S7)3 = е. Соответственно группа SL2(Z) задается образующими S, 1, U и соотношениями S2 = (ST)3 = U и 1Р = е.

Даже из приведенного примера ясно, что теорема 2 не снимает проблемы нахождения явного задания арифметических групп образующими и соотношениями. Большое число примеров явного задания (арифметических) групп образующими и соотношениями см. в книге Кокстера, Мозера [1]. С точки зрения теории алгебраических групп представляет интерес явное задание группы целых точек Gz группы Шевалле G, найденное Бером [4]. А именно, если G— односвязная почти простая группа Шевалле, построенная по системе корней R, то Gz порождается образующими ха (ае R) и, в случае R ^ Ai, определяется следующими соотношениями:

К V1 = №-V)4 = Ь

где в первом соотношении а, 0 пробегают все корни (0 =Д—а), а во втором а — некоторый длинный корень, [ха, хр] — коммутатор элементов ха, хр, А“’ ^—некоторые це^ые числа (более полную информацию о которых можно почерпнуть из леммы 15 книги Стейнберга [2]). В случае 7? = АЬ т. е. G = S£2, первое из соотношений меняется на такое:

Если G = SLn, то результат Бера дает хорошо известную по- рождаемость группы SLn(Z) элементарными матрицами. В связи с этим следует упомянуть результат Картера и Келлера [1], согласно которому любой элемент из SLn(Z) можно представить в виде произведения элементарных матриц, число которых не превышает некоторой константы (результат остается верным при замене Z на кольцо целых О поля арифметических чисел). О. И. Тавгень [3] обобщил результат Картера и Келлера на произвольные группы Шевалле ранга, большего 1 (при этом вместо элементарных матриц появляются «корневые» образующие хау Отметим, что в случае G = Sp2n, п^З, аналогичное утверждение получил К. X. Закирьянов [1]. Однако им использовалась более широкая система образующих и, кроме того, ошибочно утверждалось, что Sp4(Z) не имеет ограниченной порождаемости относительно элементарных симплектических матриц.

Вообще, абстрактную конечно порожденную группу Г назовем группой ограниченной ширины, если найдется такое конечное порождающее множество X с Г, что любой элемент g е Г представим в виде g = х^1 . . . х"1, где xt е X, а. eZ, а число / ограничено константой, не зависящей от g.

Проблема. Какие арифметические группы являются группами ограниченной ширины?

Из работы Тавгеня [3] следует, что это, например, арифметические группы вида Gz, где G — группы Шевалле ранга, большего 1. С другой стороны, там же показано, что группы SL2(Z), SL2(OZ, где Od— кольцо целых мнимого квадратичного поля Q (V—d\ d > 0, не имеют ограниченной ширины. Сопоставление этих фактов с полученными к настоящему времени результатами по конгруэнц-проблеме (см. § 9.5) наводит на мысль о том, что среди арифметических подгрупп простых односвязных алгебраических групп ограниченную ширину имеют те и только те группы, для которых положительно решается конгруэнц-проблема (т. е. соответствующее конгруэнц-ядро конечно). Кажется вероятным, что дальнейшее развитие этих соображений может привести к новому подходу к конгруэнц-проблеме.

Чтобы завершить обсуждение образующих и соотношений арифметических групп, нам остается еще раз обратить внимание читателя на тот факт, что эту тему можно рассматривать с точки зрения общей теории дискретных групп преобразований, которой посвящен обзор Винберга, Шварцмана [1]. Стоит также подчеркнуть, что многие группы, изучаемые этой теорией (в частности, дискретные группы, порожденные отражениями, группы с симплициальной фундаментальной областью (ср. приведенный выше пример.)) оказываются неарифметическими.

Наш следующий результат восходит к классическим работам Жордана (см. Делоне и др. [1]), где установлена конечность числа несопряженных конечных подгрупп группы SLn(Z).

Теорема 3. Пусть G — связная алгебраическая группа, определенная над Q. Тогда конечные подгруппы группы Gz образуют конечное число классов сопряженности.

Доказательство. Положим Г = Gz и будем использовать применительно к этому случаю обозначения, введенные при доказательстве теоремы 2. В частности, К — максимальная компактная подгруппа в Gr, X=K\Gr и Й с X— такое подмножество, что: 1) X = ЙГ; 2) множество А = {б е Г | Йб П Й #= 0} конечно. Пусть 0сГ— конечная подгруппа. В силу того, что любая компактная подгруппа группы Gr сопряжена подгруппе группы К (предложение 3.10), найдется g с Gr со свойством g€)g-1 с К- Последнее означает, что точка х= Kg еХ неподвижна относительно преобразований из 0. Представим х в виде х = хоч, где х0 е Й, у е Г. Тогда точка х0 неподвижна относительно группы у0у-1 так, что х0 е Й f) Йб для любого б е уОу^1, и, значит, уву^1 сЛ. Таким образом, любая конечная подгруппа в Г сопряжена подгруппе, содержащейся в конечном множестве А. Теорема 3 доказана.

Замечание. Используя теорему 9, можно дать другое доказательство теоремы 3, в духе доказательства предложения 3.5 (см. также доказательство теоремы 5.10).

Теперь мы в состоянии доказать инвариантность класса арифметических подгрупп при произвольных сюръективных морфизмах.

Теорема 1. Пусть ф: G^>-H — сюръективный Q-определенный морфизм Q-определенных алгебраических групп. Если Г — арифметическая подгруппа в G, то ф(Г)— арифметическая подгруппа в Н. .

Доказательство. Достаточно показать, что группа ф (Gz) арифметична в И, причем, выбирая подходящую реализацию Н, можно считать, что ф (Gz) cz Hz (см. замечание после предложения 2). Тогда в доказательстве нуждается конечность индекса [Hz : ф(бг)]. Сведем общий случай к случаю, когда группа G является либо редуктивной, либо унипотентной. Пусть G = = CU — разложение Леви группы G, где U = Ru (G) — унипотентный радикал G, а группа С редуктивна. Положим D =. = ф(С), У = ф(П); тогда Н = DV— разложение Леви группы Н. Если предположить, что индексы [Z)z^(Cz)] и [Vz^((/z)] конечны, то элементарное рассуждение (ср. доказательство леммы 7) позволяет установить конечность индекса [DzVz • ф(СгПг)]. С другой стороны, индекс [Hz‘. ф(6/)] конечен в силу следствия 2 из предложения 1. Поэтому конечен индекс [Hz : -.ф(СгПг)1 и тем более — индекс [/7z^(Gz)L

Пусть вначале группа G унипотентна. Тогда факторпрост- ранство Gr/Gz компактно (лемма 7). Так как в силу следствия 3 из теоремы 3.6 HR = q)^GR), то пространство Hr^^Gz) компактно. С другой стороны, факторпространство Hz/^(Gz) замкнуто и дискретно в Hr^^Gz), откуда и получается требуемая конечность индекса [//2'ф(Сз)].

Осталось рассмотреть случай редуктивной группы G. Здесь конечность нужного нам индекса является следствием теоремы 9. В самом деле, пусть Н cz GT„(C). Используя при необходимости вложение GLn (С) GLn и (С): Л-—(det4)-1)’ можно считать, что Н замкнута по Зарисскому в Л4„(С). Определим действие G на У = Л1П(С) формулой Л§=Лф(§), где справа стоит обычное произведение матриц. Тогда Н = En(p(G) является замкнутой орбитой группы G, и, согласно теореме 9, Hz является объединением конечного числа орбит группы Gz. Но эти орбиты, как нетрудно видеть, совпадают со смежными классами Hz\q)(Gz), откуда и следует конечность индекса \Hz : ф(Сз)]. Теорема доказана.

Приведенные результаты являются первыми шагами в направлении изучения абстрактных свойств арифметических групп. В последующих главах мы расскажем о более глубоких фактах, касающихся, в частности, нормального строения арифметических групп. Отметим, однако, что их получение сопряжено с использованием гораздо более сложной техники.

Перед формулировкой теоремы плотности выделим классы полупростых групп, которые принципиально различаются по своим арифметическим свойствам и которые будут участвовать в формулировке многих теорем этой книги.

Определение. Говорят, что Q-определенная алгебраическая группа G имеет компактный тип, если группа вещественных точек Gr компактна. Пусть теперь группа. G полупроста. Тогда G имеет некомпактный тип, если группа Gr некомпактна для любого Q-простого сомножителя G* группы G. Если G не принадлежит ни к одному из указанных выше типов, то говорят, что G имеет смешанный тип.

Теорема 10 (теорема плотности; см. Борель [5]). Пусть G—■ полупростая Q-определенная группа некомпактного типа. Тогда замыкание в топологии Зарисского любой арифметической подгруппы Гс G совпадает с G.

' Доказательство. Если мы докажем теорему для Q-простых групп, то замыкание Г должно содержать ГП G‘= G‘ для любого Q-простого сомножителя G‘ группы G. Тогда Г zd Ц G1 =

= G, что и требовалось. Для рассмотрения случая Q-простой группы G нам понадобится один факт, в справедливости

которого мы убедимся в следующем параграфе: если G — полупростая Q-группа с некомпактной

группой Gr, то группа Gz бесконечна. (7) (Отметим, что верно и обратное утверждение, ибо если группа Gr компактна, то группа Gz, являясь дискретной подгруппой, обязана быть конечной.)

Заметим теперь, что если Г[С=Г2 — подгруппы группы G и индекс [Г2: FJ конечен, то для их замыканий Гг индекс [Г2: FJ 4—4 —

также конечен. В самом деле, если Г2 = J Г^,-, то Г2= U Г^, _ _г=11 = 1

е. [r2:rj<d. Отсюда следует совпадение связных компонент (Г1)° = (Г2)°. Более общо, если подгруппы Г1 и Г2 соизмеримы, то

(Г1)° = (г7Ж)° = (г2)0.

Завершим теперь доказательство теоремы. Без ограничения общности можно считать, что Г cz Gz. Тогда из (7) и сделанного выше замечания вытекает, что замыкание Н = Г является алгебраической Q-группой положительной размерности. Для любого g <= Gq группа gFg-1 является арифметической (следствие 1 из предложения 4.1), т. е. соизмерима с Г. Поэтому Н° = (Г)° = = (grg-1)0 = gH°g~l. Таким образом, Н° нормализуется группой Gq. Так как нормализатор А0(Д°) является замкнутой подгруппой, a Gq плотно в G (теорема 2.2), то А0(Д°) = G, т. е. Н° — нормальный делитель в G. Поскольку группа G не имеет Q-определенных нормальных делителей положительной размерности, то Н° = G. Теорема доказана.

Замечание. Хотя приведенное доказательство теоремы плотности существенно использует арифметичность Г и не переносится на другие типы подгрупп группы G, сам результат справедлив в гораздо более общей ситуации. А именно, плотной в G в топологии Зарисского является любая замкнутая в вещественной топологии подгруппа Г cz Gr, для которой пространство Gr/F имеет конечный инвариантный объем (см. Рагунатан [5], гл. V). В частности, плотной в топологии Зарисского является любая решетка Г cz Gr, т. е. дискретная подгруппа с конечным объемом факторпространства Gr/Г (тот факт, что арифметическая подгруппа полупростой Q-определеяной группы является решеткой, мы установим в § 4.6).

В заключение этого параграфа мы получим своеобразное обращение следствия 1 из предложения 1. А именно, для полупростой Q-группы G и ее арифметической подгруппы Г вычислим C(F) = {geG|F соизмерима с g-1Fg).

(Здесь мы считаем, что G = Gc.)

Используя тот факт, что отношение соизмеримости есть отношение эквивалентности, легко получить, что С (Г) является подгруппой в G, которая называется подгруппой соизмеримости Г. Из этого факта вытекает также, что С (Г) в действительности не зависит от Г. Так как, очевидно, Fez С (Г), то С (Г) выступает как универсальное вместилище всех арифметических подгрупп группы G. Описание С (Г) дается следующим утверждением.

Предложение 6. Пусть G — полупростая Q-определенная алгебраическая группа, N — ее наибольшая инвариантная Q- подгруппа компактного типа и л: G^>-G/N— соответствующая проекция. Тогда С (Г) = л-1 ((G/N)^.

Доказательство Пусть G\ . . . , Gr — простые над Q сомножители группы G. Тогда N порождается теми G‘, для которых группа Gr компактна, и центрами остальных сомножителей. Пусть также Н — нормальный делитель, порожденный G* с не- комйактной группой Gr. Ясно, что G = Н-N и пересечение Н П N конечно, т. е. морфизм-произведение Н X N —>- G является изогенией. Так как подгруппы Н П Г и N П Г арифметичны в Н и N соответственно, то из теоремы 1 получаем, что группа (//П Г) (Лг П Г) арифметична в G. В силу компактности ^R группа N П Г конечна, так что Н Q Г является подгруппой конечного индекса в Г. Как мы отмечали выше, отсюда следует, что С(Г) = С (Г П Н). Воспользовавшись тем, что ограничение л на Н является изогенией, нетрудно получить, что С(ГП^) совпадает с прообразом относительно л группы соизмеримости л(ГП^) в группе G/N. Тем самым мы свели нашу задачу к случаю Лг={1}; в частности, Z(G) = {1}. Покажем, что здесг- С (Г) = Gq. В силу теоремы плотности замыкание по Зарисскому Г совпадает с G, причем можно без ограничения общности предполагать, что Г cz Gz. Зафиксируем некоторое вложение G а cz GLnk^^ и через С [Л] будем обозначать С-оболочку подмножества AcG, т. е. подпространство в Л4„(С), порожденное Л. Тогда, так как Г = G, то С [Г] = C[G], Более того, если ^еС(Г), то группа ГП^'Г^ имеет конечный индекс в Г, и поэтому также Г П £~*Г£ = G, откуда Q [Г] = Q [Г П g^Tg] • Поэтому для любого g е С (Г)

gQtrjg-^gQtrng-'rglg-'^Qtr]. . (8)

Рассмотрим присоединенное представление р: G-^-GL(V) в пространстве K = C[G], p(,g) и = gag-1. Так как Vq = Q[F], то из (8) получаем, что р (С (Г)) с р (G)Q. Но по условию Z (G) = = {1}, так что представление р является точным и C(F)cGq. Обратное включение получаем из следствия 1 из предложения 1. Предложение 6 доказано. . '

Из предложения 6 вытекает, что любая арифметическая подгруппа полупростой присоединенной группы G некомпактного типа обязательно содержится в Gq. Наоборот, если G = = SLn(C), то арифметической в G будет подгруппа Г, порож- s О

денная SLn(Z) и матрицейденная SLn(Z) и матрицейгде s—примитивныйгде s—примитивный

денная SLn(Z) и матрицей

денная SLn(Z) и матрицей

где s—примитивный

где s—примитивный

ssО

s

s

корень степени п из единицы; ясно, что Г ф Gq при п > 2. Здесь подгруппа соизмеримости есть

( 1 ЛI (detX)1M( 1 ЛI (detX)1M4eGL„(Q)}.4eGL„(Q)}.

( 1 Л

I (detX)1M

( 1 Л

I (detX)1M

4eGL„(Q)}.

4eGL„(Q)}.

Критерий компактности факторпространства GrIGz

Изложенная в § 4.2—4.3 теория приведения уже позволила нам получить ряд структурных теорем об арифметических группах. К указанной там конструкции фундаментального множества мы еще не раз вернемся. Тем не менее эта конструкция не позволяет ответить на все возникающие в теории приведения вопросы, в частности, дать критерий компактности факторпространства Gr/Gz, что важно, например, для изучения когомологий арифметических групп. Этому вопросу в основном и посвящен настоящий параграф. Мы начинаем рассмотрение с алгебраических торов. Оказывается, что здесь общий случай сводится к норменным торам S = Rx/q (<?т), где К — конечное расширение Q (определение норменного тора см. в § 2.1, п. 7). Построение же фундаментального множества для таких торов эквивалентно доказательству известной теоремы Дирихле о единицах. Используемый нами для этого метод имеет достаточно общую природу и применим к другим группам, возникающим из алгебр с делением.

Предложение 7. Пусть К — конечное расширение поля Q степени п, S = Rk/q (<?m) — соответствующий норменный тор. Тогда факторпространства Sr/Sz компактно.

Доказательство. Положим V = K®qR и будем обозначать через N естественное продолжение норменного отображения Nk/q на V. Хорошо известно, что для аЕ V норма N (а) совпадает с определителем преобразования левого сдвига х,—*ах, хе V. Отсюда следует (см. § 3.5), что сдвиги на элементы из Sr = {х е V | N (х) = 1} сохраняют меру Хаара ц на аддитивной группе V. Пусть О — кольцо целых поля К- Тогда О является решеткой в пространстве V, в частности, V/О компактно и ц( V/C) < оо. Выберем компактное подмножество В с: V со свойством ц(В) > р.(V/О’) и положим С = (61 — &21 bi, Ь^еВ). Если аг Sr, то ц(аВ) = ^(а-'В) = р(В) > ц( V/O), так что

ограничение на аВ и а~'В проекции V^-V/O не может быть инъективным. Следовательно, найдутся такие с, d е С, что а = = ас, р = a~xd лежат в О. Тогда оф = cd е С2 ПС. Последнее пересечение, будучи одновременно компактным и дискретным, является конечным. Воспользуемся теперь следующим простым утверждением.

Лемма 13. Пусть ^^О, у #= 0. Тогда среди всех разложений у = ар (а, р G б?) имеется лишь конечное число неассоциированных.

(Напомним, что два разложения у = аф1 = а2р2 называются ассоциированными, если существует обратимый элемент (единица) кеС* такой, что а2 = еаь Pi = ер2.)

Из леммы 13 вытекает, что если рассмотреть всевозможные разложения у = ар, где а, р е О, всех элементов у е С2 П<7, то среди возникающих здесь элементов р имеется лишь конечное шсло неассоциированных. Так как норма любой единицы кеС* есть +1, то найдется конечное число таких элементов Рь ... ..., рг ее О, что любой элемент р из рассматриваемого класса имеет вид р = р,е для подходящего eet?*nS = Sz. С другой стороны, по построению р = a~xd, где d е С. Отсюда а = = афг|е~|, и, следовательно,

-sr = CU WnsR))sz.

Из этого разложения в силу компактности С вытекает компактность факторпространства Sr/Sz. Предложение доказано.

Из предложения 7 можно легко вывести теорему Дирихле о единицах, однако мы проведем соответствующие рассуждения чуть позднее, установив предварительно критерий компактности факторпространства Sr/Sz для случая произвольных торов.

Теорема 11. Пусть S— ^-определенный алгебраический тор. Тогда следующие условия эквивалентны:

S анизотропен над Q,

фактора ространство Sr/Sz компактно.

Доказательство. 2)=>1). Пусть S не является Q-анизотропным. Тогда существует Q-определенный эпиморфизм ф: S —> Gm = = Т. Так как ф(5р) имеет конечный индекс в Tr (следствие 3 из теоремы 3.6), то пространство 7р/ф(5г) должно быть компактным, если компактно пространство Sr/Sz. С другой стороны, ф(5г) — арифметическая подгруппа в Т (теорема 1), и так как 7z — Z* = (± 1), то ф (Sz) — конечная группа. Поэтому пространство Гр/ф^г) не может быть компактным, ибо некомпактно Tr ~ R*.

1)=^2). Известно (см. предложение 2.2), что существует Q-определенный эпиморфизм ф: Т->-8, где тор Т квазиразло-

d

жим, т. е. имеет вид Т = Hr*(-/о(6т), /((—конечные расши

рения поля Q. Так как S является Q-анизотропным, то огра- d

ничение ф на тор То = Ц R^^q(Gm) сюръективно. Согласно

предложению 7 пространство (7'O)R/(7'O)Z компактно, поэтому компактно и факторпространство Ф ((Т0)к)/ф ((7’0))z. Но ввиду конечности индекса [SR : ф((To)R)] и арифметичности ф((Т'о)2) в S, последнее эквивалентно компактности исходного пространства Sr/Sz. Теорема доказана.

Следствие 1 (теорема Дирихле о единицах). Пусть S—Q- определенный алгебраический тор. Тогда группа Sz изоморфна прямому произведению конечной группы и свободной абелевой группы ранга rangR S — rangQ S.

Доказательство. Пусть Sj и S2— соответственно максимальный разложимый и максимальный анизотропный над Q полторы в S. Так как (S^— конечная группа, то применяя теорему 1 к изогении SiXS2->S, получаем конечность индекса (S2)z в Sz. С другой стороны, rangRS — rangQS = (rangRS1 + + rangR S2) — (rangQ S, + rangQ S2) = rangR S2, ибо rangRSj = = rangQ Sj = dim Si. Поэтому в силу общих фактов об абелевых группах достаточно установить, что группа (S2)z является произведением конечной группы на группу Zr, где r = rangRS9. Тем

самым мы получаем редукцию к случаю Q-анизотропного тора S. Из обсуждения в § 2.2, п. 4 вытекает, что над R любой тор изоморфен произведению торов Gm, R^ (Gm) и Rc/r (Gm). Отсюда следует существование изоморфизма Sr ~ Rr X D, где r = rangRS, а группа D компактна. С другой стороны, согласно теореме 11 факторгруппа Sr/Sz компактна. Поэтому наше утверждение вытекает из следующего хорошо известного факта, который мы сформулируем в несколько более общей форме, чем это надо для доказательства следствия, имея в виду дальнейшие ссылки.

Лемма 14. Пусть G — абелева топологическая группа вида Z^^XD, где группа D компактна. Тогда любая дискретная п< дгруппа ГсО такая, что факторгруппа G/V компактна, имеет вид Za+bXF для некоторой конечной группы F.

Доказательство легко редуцируется к случаю G = Rn, который разобран, например, у Бурбаки £2], гл. VII, § 1, п. 1. ■

Возьмем в качестве S тор Кк/о(6т), где /( — конечное расширение поля Q. Так как над R мы имеем S ~ Gm X Rc/r (Gj', где s, t — соответственно число вещественных и попарно несопряженных комплексных нормирований поля К, то rangR S = = s + t. Но rangcS = 1, и поэтому мы получаем классическую форму теоремы Дирихле: группа единиц (/(/() изоморфна FX X Z «+<-\ где F — группа всех корней из единицы в К. В следующей главе мы получим обобщение этого результата на S-единицы.

Получим теперь доказательство утверждения, которое мы использовали в предыдущем параграфе.

Следствие 2. Пусть G — полупростая Q-определенная группа. Группа Gz бесконечна в том. и только том случае, когда группа Gr некомпактна.

Доказательство. Если группа Gr компактна, то Gz является дискретной подгруппой компактной группы, и, следовательно, конечна. Обратно, пусть группа Gr некомпактна. Если G изотропна над Q, то имеется одномерная Q-определенная унипотентная подгруппа U cz G, и уже группа Uz бесконечна. Разберем теперь случай Q-анизотропной группы G. Группа Gr некомпактна, т. е. R-изотропна, и поэтому обладает максимальным R-определенным тором Т, который изотропен над R. Согласно следствию 3 из предложения 7.3 найдется максимальный Q-определенный тор ScG, который также изотропен над R (доказательство этого утверждения получается из рациональности многообразия торов и не использует никаких результатов настоящей главы). Но тогда в силу следствия 1 группа Sz бесконечна. Другое доказательство следствия 2 см. в следующем параграфе. ■

Участвующие в формулировке теоремы 11 условия (компактность факторпространства Sp/Sz и Q-анизотропность группы S) на самом деле эквивалентны для произвольных алгебраических групп, как показывает следующая теорема:

Теорема 12. Пусть G — алгебраическая группа, определенная над Q. Тогда следующие условия эквивалентны-.

Gr/Gz компактно-,

редуктивная часть связной компоненты G анизотропна над Q.

(Отметим, что второе условие можно также сформулировать в виде: X(G°)Q = (1) и каждый унипотентный элемент группы Gq принадлежит унипотентному радикалу G.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай связной группы G; пусть G = HRU(G)—ее разложение Леви. Тогда компактность Gr/Gz равносильна компактности Hr!Hz. В одну сторону это вытекает из леммы 7, а в другую — из следующего утверждения.

Лемма 15. Пусть Н — редуктивная подгруппа связной группы G, причем. G и Н определены над Q. Тогда пространство Hr!Hz замкнуто в Gr/Gz.

Доказательство. Согласно усиленной теореме Шевалле найдутся Q-определенное представление р: G->GL(E) и вектор vgVq такие, что стабилизатор и относительно р совпадает с И. Тогда множество W = vp(Gz) содержится в некоторой решетке пространства Vq (см. замечание после предложения 2) и, следовательно, замкнуто в Ир. Поэтому множество HrGz = = СрПр-1(1И) также замкнуто в Gr. Лемма доказана.

Таким образом, достаточно рассмотреть случай редуктивной группы G. В этом случае импликация 1)=^2) легко вытекает из леммы 15. В самом деле, если G является Q-изотропной, то в ней имеется нетривиальный Q-разложимый тор Sc G. Тогда пространство Sr/Sz некомпактно (теорема 11) и замкнуто в Gr/Gz, так что последнее также не может быть компактным.

Для доказательства обратной импликации осуществим вначале редукцию к случаю полупростой присоединенной группы. Пусть Z = Z(G)— центр G. Тогда связная компонента S = Z° является Q-анизотропным тором, и поэтому пространство Sr/S z компактно (теорема 11). Так как индекс [Zr: Sr] конечен, то пространство Zr/Zz также компактно. Положим H = G/Z и обозначим через л каноническую проекцию G на Н. Рассмотрим, далее, отображение ф: Gr^Gz-^- h^Gr^^^Gz), индуцированное л. Компактная группа В = ZrIZz действует сдвигами на Gr/Gz, и легко видеть, что орбиты группы В в точности совпадают со слоями отображения ф. Отсюда без труда следует собственность ф. Учитывая конечность индекса [Др:л(Ор)] и арифме- тичность ф(Ог), мы видим, что компактность Gr/Gz эквивалентна компактности HrIHz. Последнее мы и будем доказывать. Предварительно установим критерий компактности подмножества в факторпространстве GLn(R)/GLn(Z).

Предложение 8 (критерий Малера). Подмножество Й cz cz GLn^^ относительно компактно по модулю группы GLn^^ (т. е. компактен его образ в факторпространстве GLn (R)/GLn(Z)) в том и только том случае, если

det g ограничен для g е Й,

существует окрестность нуля U cR" со свойством fi(Z"\{O})QG = 0.

Доказательство. Если образ Й в GLn(R)/GLn(Z) относительно компактен, то найдется такой компакт D cz GLn(R), что £> tc DOLnCZ). Отсюда, очевидно, следует ограниченность det g, g е Й. Далее, имеем

Й (Zn\{0}) с DGLn ^ (Z"\{0}) = D (Z"\{0}),

причем в силу дискретности Z” и компактности D последнее множество замкнуто в R" и не содержит нуля, откуда следует существование требуемой окрестности U.

Обратно, пусть выполнены условия а) и б), и пусть 2 = = 2/>v(/^2/V3, и ^ 1/2) — область Зигеля в группе GLn(R). Мы ’знаем (теорема 4), что ^GLn (Z) = GLn (R), поэтому найдется такое подмножество 0с2, что QGLn (Z) = QGLn (Z). При этом Q(Z"\{0}) = 0(Zn\{O}), так что для 0 также выполнены условия а) и б), и достаточно установить относительную компактность 0. Заметим, что условие б) означает, что ||g(x)|| ^ ^с>0 для всех ge0 и всех Zn\{0}, где || || — евклидова норма в пространстве R". В частности, ||g(ei) || = ||ag(ei)|| = = Qi ^ с, где g = kgagUg — разложение Ивасавы элемента ge0 (обозначения — см. в § 4.2), щ, ..., еп — фиксированный орто- нормированный базис пространства R". Так как ^еА., то (h ^ sch для всех i = 1, ..., п и некоторого s>0. Отсюда следует, что все а, ограничены снизу. С другой стороны, |detg| = = | det ag | = Qi ... an ограничено сверху, поэтому все щ ограничены также сверху. Таким образом, мы показали, что а-компо- ненты ag элементов g е 0 пробегают относительно компактное множество. Так как 0с2, то отсюда следует относительная компактность 0. Предложение доказано.

Теперь у нас есть все необходимое для доказательства компактности пространства Hr/Hz. Рассмотрим алгебру Ли I) = = L(H) и присоединенное представление р: H^-GL^. Без ущерба для общности можно считать, что Hz = {А е Н | р (/г) L= = £}, где Lc^q — некоторая решетка. В силу леммы 15 достаточно установить относительную компактность Hr по модулю группы GLn(Z), n = dim^, где GL„(Z) рассматривается относительно некоторого базиса решетки L. Применим критерий Малера. Так как detp(/7)=l, то в проверке нуждается лишь условие б) критерия. Рассмотрим характеристический многочлен

п-1

det (t — ad х) = tn + X ft (x) t1,

= 0

отвечающий присоединенному действию элемента xeL. Так как Н анизотропна над Q, то алгебра Ли ^q не содержит нильпотентных элементов, следовательно, все /,(х) не могут одновременно обратиться в нуль, т. е. / (х) = ^ ffW>0. С Другой стороны, функции ft являются многочленами с рациональными коэффициентами от координат х в базисе L. Поэтому Цх) = = (i/d)g(x), где d е Z, g(_x)—многочлен с целыми коэффициентами. Так как g(x)y=0 для xeL\{0}, то |/(Т\{0}) | ^ X/d. Но для любого heH имеем /((х) =/((йх), следова-

тельно, для любого HeHr.

ihhl\{o}))i=ih£\{o})i>4--

Тогда условие |f(x) |< 1Д/ определяет искомую окрестность U. Доказательство теоремы 12 завершено.

Приведем два примера.

Пример 1. Пусть G = SOn(f)—специальная ортогональная группа невырожденной квадратичной формы / от ц переменных с рациональными коэффициентами. Тогда при п = 2 группа G является одномерным тором, а при п ^ 3 полупроста (см. § 2.3). При этом в силу предложения 2.14 группа G является Q-анизотропной в том и только том случае, если анизотропна форма р Тем самым из теоремы 12 получаем следующий критерий компактности: пространство SOn(f)R/SOn(f)z компактно в том и только том случае, если / не представляет нуля над Q. Полезно сравнить наше доказательство этого факта и доказательство в терминах теории приведения квадратичных форм (см. Беге [1], Касселе [1]; адельный вариант рассуждений можно найти у Годемана [ 1]).

Пример 2. Пусть G = SL^D), где D— конечномерное центральное тело над Q. Согласно предложению 2.12 группа G является Q-анизотропной, поэтому пространство Gr/Gz компактно. Доказательство этого факта принадлежит Хей, а его адельный вариант — Фудзисаки.

Конечность объема факторпространства Gr/Gz

Получение некоторых структурных результатов об арифметических группах (см., в частности, Маргулис [2,3]) в существенной степени опирается на тот факт, что арифметическая подгруппа полупростой группы G является решеткой в Gr, т. е. объем факторпространства GrIGz в мере Хаара конечен. Вряд ли нуждается в комментариях и значение этого результата для развития анализа на GrIGz, в частности, для построения теории автоморфных функций (см., например, Борель [6]). Цель этого параграфа — дать критерий конечности объема GrIGt. Для произвольных алгебраических групп.

Теорема 13. Пусть G — Q-определенная алгебраическая группа. Пространство Gr[Gz имеет конечный инвариантный объем в том и только том случае, если связная компонента G0 не имеет нетривиальных характеров, определенных над Q.

Этот результат является наиболее техничным во всей главе. Читатель, не желающий разбираться во всех деталях доказательства, может ограничиться рассмотрением случая G = SL^. Согласно следствию из теоремы 4 здесь Gr = ^«Сг (^ ^ 2/V^> у ^ 1/2), где Stic = Sf,0 П Gr, S(> о — область Зигеля в GG„(R).

Так как группа Gr унимодулярна (следствие из теоремы 3.18), то на пространстве Gr/Gz существует инвариантная мера, и поэтому достаточно установить конечность объема множества ^v Для этого воспользуемся выражением для меры Хаара dg группы G, которое вытекает из результатов § 3.5:

dg = р (a) dk da du,

где к, а, и — компоненты разложения Ивасавы элемента g\ dk, da и du соответственно меры Хаара на группах Ко = SOn(R), Ло = Л П G, U (обозначения, связанные с разложением Йва- савы, см. в § 4.2); р (а) = Ц aja,, если a = diag(ab . .., апу t<i

Имеем

dg = dk р (а) da du, (Ло), = Л, П G,

^\ ко (Ло)< uv

причем первый и третий интегралы конечны в силу компактности соответствующих областей интегрирования. Докажем конечность второго интеграла. Прежде всего заметим, что соответствие

diag (щ, ..., а,^ (aja2, а2/а3, • ■ ., a„_t/an)

отождествляет Ло с группой (R>0), при этом множество (Ло)(

переходит в {(хь ..., xn_1)e(R>0)| х^ для всех i}. Далее,

в терминах координат хь ..., хп функция р запишется в виде

Л —1р(а) = П^,<=i

где Г;—целые положительные числа. Так как (мультипликативная) мера Хаара на R> есть dx/x, то имеет место равенство

t причем каждый интеграл xr-1 dx = f/r конечен для г > 0.

'о

Требуемое доказано.

Для произвольных полупростых групп G ситуация, в общих чертах, вполне аналогична. А именно, так как группа Gr унимодулярна (следствие из теоремы 3.18), то на Gr/Gz существует инвариантная мера, и для доказательства конечности инвариантного объема Gr/Gz достаточно найти измеримое подмножество в Gr, которое накрывает Gr]Gz и имеет конечный

объем. Показывается, что построенное в § 4.3 фундаментальное множество в Gr относительно Gz на самом деле содержится в объединении конечного числа сдвигов подходящей области

Зигеля группы Gr, а затем устанавливается конечность объема

произвольной области Зигеля (отметим, что эта часть рассуждений мало чем отличается от случая группы SLn). ■

Й=(У ^HGr, где 2-Й=(У ^HGr, где 2-некоторая область Зигеля в GLn (R),.некоторая область Зигеля в GLn (R),.Итак, пусть G <^ GLn^C^ полупростая Q-определенная группа. В § 4.3 мы показали, что в качестве фундаментального множества в Gr относительно Gz можно взять множество вида

Й=(У ^HGr, где 2-

Й=(У ^HGr, где 2-

некоторая область Зигеля в GLn (R),.

некоторая область Зигеля в GLn (R),.

b пробегает конечный набор матриц из GL^Z), aEGLn(R)— такая матрица, что группа Н = a-^Ga самосопряжена. Для доказательства теоремы 13 выбор а следует подчинить более жестким ограничениям, а именно, потребовать, чтобы для а выполнялись все условия, перечисленные в предложении 3.14. Ниже мы будем использовать введенные в формулировке этого предложения обозначения. В частности, S = Н f\Dn—максимальный

R-разложимый тор в Н, U = H{]Un— максимальная унипотентная подгруппа. Обозначим также через R систему корней Н относительно S, и пусть ПсУ? — подсистема простых корней, отвечающая U. Так как а-1 (а5Ь П Gr) а = ^Ьа П Hr, то ко

нечность объема Q вытекает из следующего утверждения:

Предложение 9. Для любой области Зигеля 2 е GLn(R) и любого хе GT„(R) объем пересечения 2xf)^R в мере Хаара группы Hr конечен.

Доказательство опирается на конструкцию относительных областей Зигеля для группы Н. Пусть Hr=K*A*U‘— разложение Ивасавы в группе Hr (см. теорему 3.9), в котором К*—максимальная компактная подгруппа в Hr, А*— связная компонента SR, U* = UR. Областью Зигеля 2* т группы HR (где t > 0, а е Я*— компактное подмножество) называется произведение КМра, где А* = {а е А* |а (а) ^/ для всехаЕП). Ясно, что для группы G = SLn относительные области Зигеля сводятся к пересечениям G П 2, где 2 — обычная область Зигеля в GLn(R). Небольшое рассуждение показывает, что при выполнении наших условий это же имеет место и для Н. В самом деле, пусть h е2,,„П Н. Тогда разложения Ивасавы элемента h в группах Hr и GLn^ совпадают. В силу выполнимости условия (iii) предложения 3.14 простые корни группы Н имеют вид 0 = ^,6! + . .. + dn_\En_\, где d^O, ez — простые корни группы GLn(C). Поэтому найдется константа s>0 такая, что а (аА) ^ s для всех h е 2z, d П Hr и всех а е П; тогда 2Z, v Q Hr е е2*ш, где ы= (ДПр)ц Г] Яр. Сходное рассуждение позволяет установить и обратное утверждение (которое нам, впрочем, не понадобится); любая область Зигеля группы Н содержится

в подходящей области Зигеля группы СЬп(^. Наиболее технически сложный момент доказательства предложения 9 заключается в доказательстве аналогичного утверждения для сдвигов областей Зигеля.

Предложение 10. Пусть 2—область Зигеля о CLn^Y XG ^ОЬп(Щ. Тогда найдутся такая область Зигеля ГсНр и такой конечный набор элементов xt е Hr, что

Lx^HrC U ^*xt.

Для доказательства предложения 9 тогда остается доказать Предложение 11. Объем любой области Зигеля 2* = 2* м в мере Хаара группы HR конечен.

Доказательство опирается на формулу для меры Хаара группы Hr, которая аналогична формуле для группы SL„(3) и также может быть получена из результатов § 3.5:

dh = p (a) dk* da* du,

где dk*, da*, du* — меры Хаара соответственно на группах К*, A*, U*, р— сумма положительных корней из R. Как и в случае группы SL„(R), имеем

dh = dk* р (a) da* ^ du,X* к* д*ш

причем первый и третий интегралы берутся по компактным множествам и, следовательно, конечны. Для вычисления второго интеграла рассмотрим отображение ф: ^’->(R>0)d, d = [П], определенное формулой ф(а) = (а(а) )а еп. Нетрудно видеть, что ф является изоморфизмом групп, причем

ф(Л<) = {(хь . .., ,rd) е (R>0)d|.rz</}•

Кроме того, р = 2баа, Ьа — целые положительные числа. Поэтому имеем

t

р (а) da = Д х6"-1 dx = ( Д ь~Л ^6а < со .

д*а е П 0Ха е П /

Предложение 11 доказано..

Переходим к доказательству предложения 10. Вначале установим одно вспомогательное утверждение о сдвигах областей Зигеля в GLn(R).

Лемма 16. Пусть 2 —область Зигеля в GLn(R), х е GLn(R). Тогда для любого s > 0 пересечение 2х f] K^4sGnR содержится в некоторой области Зигеля группы GL„(R).

Доказательство не содержит обращения к группе Н и ее подгруппам, поэтому мы, чтобы не усложнять обозначений,

вернемся к обозначениям § 4.2. В частности, вместо UnR будем писать просто U, B = AU. Ясно, что для любого b ^ В множества 26 и (КЛ/7) b содержатся соответственно в подходящей области Зигеля и множестве вида KASU. Так как любой элемент х е GLn(R) допускает разложение Брюа х = ихюЬДих е е U, bx^B, keW'i, то достаточно доказать утверждение леммы для x = w G:W. Пусть л — отвечающая w перестановка индексов {1, . .., п^. Положим / = {(z, 7) | i < 7, л/ > л/} л обозначим через S тор {x = diag(xb . .., x^\xt=Xj для (z", /)е/}. Пусть F — коммутант централизатора CGL (S), Т = Dnf\ F, U' = U[]F. Положим также A' = (Tr)°, Л" = (Sr)°, U"—-^u = = {и1з} е U \иц = 0 для (z, /)е/}. Нам понадобится следующий простой факт, доказательство которого читатель может рассматривать как упражнение: морфизм-произведение индуцирует изоморфизм А' X А" А и гомеоморфизм U' XU" ^U. Обозначим через д' и 6" проекции А на А' и А" соответственно.

Лемма 17. 1) w централизует S;

для любых s,t>§ множество 6'(щЛ/щ-1 П Л5) компактно. Доказательство. 1) Пусть {1«} = AU .. . U Л— разло

жение на непересекающиеся орбиты циклической группы (л). Тогда множество элементов из Dn, перестановочных с w, есть {x = diag(xi, ..., х „) |хг = X/, если z, / лежат в одной орбите}. Пусть теперь x = diag(zz1а^гЗ и J — произвольная орбита. Если [/] = /, то без ограничения общности можно предполагать, что / = {1/}. Пусть av = ... —а^у, но

а{ =А Qf-i, 1^^^/. Так как подмножества {jGj\j<^ и {/е е/|7>7} не могут быть инвариантными относительно л, то найдутся /, k^J такие, что j < 7 < k, л^^7 ^л/; при этом пк < л/. Ясно, что (/, к) е /, поэтому а; = ак (см. определение S). Если л(7)>л(^), то (7, к) е I, откуда а} = ак = а}; если же л (7) ^ л(k) < л (7), то (7, Ь^1 и опять a{ = af. Итак, во всех случаях а} = а(, что противоречит нашим построениям, ибо j < 7

Поскольку А' и А" инвариантны относительно w, то бДо^оТ1 П Л5) = щд' (Л# П щ-1Л5щ) w-1,

поэтому достаточно установить ограниченность д' (Л# П щ-1Л5щ). Для этого рассмотрим отображение <р: Л^-(R>0)d, d = [/], определяемое формулой

<p(diag(zz]an^ = kaila^t,pGi.

По построению Кег<р = Л", так что ограничение <р |л, задает изоморфизм А' ~ф(Л'). Поэтому достаточно установить относительную компактность множества Ф = <р (Л# П Щ-1Л5щ), Найдутся такие константы ^0, s0 > 0, что aja^to (соответственно, s0)

для всех i < j и всех a = diag(a]ап) е At (соотв. Л5). Тогда Ф cz [so', to '] . В самом деле, по построению <р(Л,)сг с ] — оо, /0]й. Если же а е w^Agy, то waw-x = diag (ал-1 (1), . . . • • ал-‘(«)) е ^г ПУСТЬ (Л /)еЛ z' = n(z), / = л(/). Тогда V > /', и, значит, а^ад — а^-\ ^,^ад-\ Vi,^ s~v, что и требовалось. Лемма 17 доказана.

Завершим доказательство леммы 16. Сразу же отметим, что в доказательстве нуждается лишь ограниченность «-компонент элементов указанного в формулировке леммы пересечения. Пусть g = каи е 2; вычислим «-компоненту элемента gw. Положим m = aua-xw, и пусть т = ктатип1— соответствующее: разложение Ивасавы. Тогда имеем

gw = kauw = kmw-xaw = (кк.^ amumw-xaw.

Так как элемент щ-1«щ нормализует U, то приравнивая «-компоненты, получим

«,= а -1 w"xaw.ПУ

kauw аиа иг' '

Пусть теперь элемент gw пробегает пересечение 2щПКЛ5П, Тогда из леммы 3 вытекает, что множество «аиа-1ш относительно компактно. Так как agw е Л5, то из (1) вытекает, что- w-xaw е А$' для достаточно большого s'. Применяя пункт 2) леммы 17, получаем, что д' (а) ограничено. Пусть и = и’и", где и' g U', и" g U". Тогда имеем

gw = to' (а) 6" («) u'u"w = (йщ) (щ-1д/ («) u'w) 6" (a) w-xu"w.

Заметим теперь, что так как Е = [Cgl^ (S), CaLra(S)], а w перестановочно с S, то w~xFw = H, откуда h = ^"'У (a) u'w g Fr. Тогда компоненты разложения Ивасавы H = khahuh также лежат в Fr. Действительно, легко проверить, что если c = diag(e1, . . .

. ...ej, где ег = +1, Zc— централизатор с в GLn и h g (ZC)R>. то компоненты разложения Ивасавы элемента h также лежат в (ZC)R. С другой стороны, F можно представить в виде F = = П ZC1 где с пробегает подходящий набор элементов указан- С

ного вида. Учитывая это обстоятельство, продолжим вычисления:

gw = (kw) to" (a) w-xu"w = ^kwk^ (ah6" («)) («^"‘«"щ).

Из сказанного выше вытекает, что элемент h пробегает относительно компактное множество, поэтому его компоненты и, в частности, ин также пробегают относительный компакт. Так как geH,, то компонента и" также ограничена. Отсюда следует

ограниченность выражения ulhw-vu"w. Остается заметить, что из определения U" вытекает, что w~xU"w cz U, так что UhW^u"™ есть в точности «-компонента элемента gw. Лемма 16 доказана.

Нам понадобится еще обобщение на произвольные группы следующего замечания. Пусть ае/1; тогда для подходящего кеИ" имеем w~law е Л[(= At при ?=1). Иными словами,

А = U (щ-1/!^).

В самом деле, пусть a = diag(«i, ..., апу Элементы at можно упорядочить: atl^...^a; Обозначим через л перестановку f ? V и пусть w — соответствующий элемент группы IF. X И • • • in /

Тогда

w-1aw = diag (а^, . .., а^еАр

Чтобы обобщить этот факт применительно к группе И (мы возвращаемся к обозначениям, введенным в начале параграфа), напомним, что относительная группа Вейля W* группы Н определяется как факторгруппа vV//(S)/C//(S), где Nh^ (соответственно, Ся(5))—нормализатор (соответственно, централизатор) S в Н; при этом представители всех классов группы IF* могут быть выбраны из NH(S)R, так что в действительности IF* = = V//(S)R/C//(S)R. Отметим также, что имеется естественное действие IF* на S, задаваемое сопряжением.

Лемма 18. 1) Представители всех классов группы IF* можно выбрать из максимальной компактной подгруппы К*.

А* = [J w-1A*w.

Доказательство. 1) Пусть х е NH (S)R и x = kam KA’U* — его разложение Ивасавы. Тогда для любого beS имеем

k~xbk = (au) Ь к.аиТ\

где b = x~'bx g S. Но &-1 = ^, так что матрица к~1Ьк = *кЬк является симметричной. С другой стороны, матрица (a«)5(au)-1 верхняя треугольная. Поэтому на самом деле матрица ^au^b^auVv является диагональной и аиеМнк^У Так как централизатор любого тора в связной разрешимой группе совпадает с его нормализатором (см. Борель [8]), то в действительности аиеСн^5\ Отсюда следует, что х и к представляют один и тот же класс в IF*.

Пусть аЕЛ’. Положим Р = {а е R [«(а) ^ 1). Легко видеть, что если а, 0 е Р и а + 0 Е R, то а + 0 Е Р; кроме того, РЩ—P) = R- Тем самым множество Р параболично в терминологии Бурбаки [4] (см. гл. VI, § 1,п.7)и поэтому содержит некоторую подсистему простых корней П' системы R. Так как

группа Вейля ЦТ* естественно изоморфна группе Вейля W (R) системы корней R, а последняя однотранзитивно действует на подсистемах простых корней, то найдется такой we W(R), что wII' = П, откуда wP zd П. Тогда если w— отвечающий w элемент группы W*, то сДиНащ)^ 1 для всех а. е П, т. е. w~law е еДь Лемма 18 доказана.

Поясним ход дальнейших рассуждений. Пусть y = zxe е^хцИр, y = hxavuv—соответствующее разложение Ивасавы. Согласно лемме 18 можно найти элемент w е Nhr (Д’) П К* со свойством w-vaxw е А*. Тогда w-vavw е Av — это вытекает из того, что по построению для любого z —1, ...,п—1 ограничение б,- на S положительно, т. е. е,-= X с« • а, где Са^О.

йеП

Далее, при доказательстве леммы 16 мы установили (равенство (1)), что

auw = aavuva;Vww-VavW.

Если показать, что элементы вида а^ар1 образуют относительно компактное множество, то из этой формулы получим включение aHWeAs для достаточно большого 5, т. е.

yw е кл (Un)R п 2хщ.

Из леммы 16 вытекает существование такой области Зигеля 2, группы GLn(R), что КЛ (Un)R П 5хщ cz 2^ тогда S, П Hr cz 2’ для подходящей области Зигеля 2* группы Hr. Окончательно имеем yw е 2*, т. е.

2х П Нке [J 2*щ“‘,

где 2* — достаточно большая область Зигеля группы Н, w пробегает некоторую систему представителей классов группы W*, лежащую в К*.

Прежде чем доказывать ограниченность множества элементов вида avuta7v, проведем редукцию доказательства предложения 10 к элементам х более специального вида. Во-первых, пусть х = bwu — «перевернутое» разложение Брюа элемента х, где b — верхняя треугольная матрица, и —верхняя унипотентная матрица, w е W. Так как 26 содержится в некоторой большей области Зигеля группы GLn(R), то можно считать, что 6 = 1, т. е. х = wu. Далее, согласно лемме 2.1 найдется такое замкнутое по Зарисскому R-определенное множество PeUn, инвариантное относительно присоединенного действия S, что морфизм-произведение индуцирует R-определенные изоморфизмы/3 X U "=> Un и U ХР^Н^ Представим и в виде и = ри,где

реРя, ue.Ue. Если мы покажем, что ^wp П Hr cz J ^Xt, то Sx П Hr d J 2хги. Таким образом, можно предполагать, что х = wp, р g Pr. Для элементов х такого вида мы докажем ограниченность множества (а^а™11 у = kvavuv е 2х П Н^, что и завершит доказательство предложения 10.

Итак, пусть у = zx гУ,х П Hr; z = kau, у = kvavuv — соответствующие разложения Ивасавы. Выразим аь их через а, и и воспользуемся тем обстоятельством, что z берется из области Зигеля 2. Имеем-

у = (каД wp = (kw) (w~'aua~lw) (oTW1) p.(2)

Если положить с = w~laua~lw, взять разложение Ивасавы с = = ксасис и подставить в (2), то мы получим

у = (kwk^ acucw~lawp = (kwkc) ipicw~vaw^ ((w~‘aw)~‘ uc (w~law)) p, откуда

ax = acw-vaw,

ux = (с1У~1шу)~1 uc (iw-vaw') p.

Поэтому

axuvp”va;x = (^u^-1) (a^-'a"1) = acua~l.

Так как элемент z выбирался из области Зигеля, то согласно лемме 3 элементы вида aua~v образуют относительно компактное множество. Отсюда следует ограниченность множества {с} и, следовательно, множества {й^а”1}. Чтобы получить теперь ограниченность множества {а^а™1}, остается заметить, что avuxa~v является проекцией аиса~л на UR относительно изоморфизма URX Pr^^U^r. Доказательство предложения 10 завершено.

Таким образом, нами доказана

Теорема 14. Пусть G— полупростая Q-определенная группа, Г d Gr — ее арифметическая подгруппа. Тогда факторпростран- ство Gr/V имеет конечный инвариантный объем. Другими словами, Г является решеткой в Gr.

(Напомним, что решеткой в локально компактной топологической группе G называется такая дискретная подгруппа Г d G, что факторпространство G/Г имеет конечный инвариантный объем.)

Из теоремы 14 немедленно вытекает другое доказательство •бесконечности арифметических подгрупп полупростых алгебраических Q-групп G с некомпактной группой Gr (следствие 2 из теоремы 11). В самом деле, если группа Gr некомпактна, то ее объем в мере Хаара бесконечен. Отсюда следует, что для

любой конечной подгруппы Г a Gr объем Gr/Г также бесконечен. С другой стороны, для арифметической подгруппы Г этот объем обязан быть конечным.

Доказательство теоремы 13 получается из теоремы 14 путем несложных рассуждений. А именно, группу G можно с самого начала считать связной. Если G является тором, то факторпро- странство Gr/Gz является группой, и поэтому конечность его объема равносильна компактности (предложение 3.23). Последнее же имеет место тогда и только тогда, когда тор G является Q-анизотропным, т. е. X (G)Q = 1 (теорема 11). Таким образом, в данном случае теорема 13 выполняется. Пусть теперь G — произвольная редуктивная группа. Представим G в виде почти прямого произведения G = FS, где F — полупростая Q-группа, S — максимальный центральный тор в G, и заметим, что условие X (0)^=1 равносильно Q-анизотропности S. Положим Н = = F X 5 и рассмотрим изогению ф: H->G. Тогда группа Hr = FrXSr, очевидно, унимодулярна, поэтому из конечности индекса [Gr: ф(Др)] вытекает унимодулярность Gr. Если принять еще во внимание конечность Кег ф и арифметичность ф(Дг), то легко показать, что пространства Gr/Gz и Hr/Hz одновременно имеют конечный или бесконечный объем. В силу теоремы 14 объем пространства Fr/Fz конечен, поэтому конечность объема Hr/Hz равносильна конечности объема Sr/Sz, что, как мы видели, также сводится к Q-анизотропности S.

Случай произвольной связной группы G сводится, как обычно, к редуктивному случаю путем рассмотрения разложения Леви G = HU, где U — унипотентный радикал G, а группа Н редук- тивна.Тогда Gr = HrUr — полупрямое произведение, и поэтому мера Хаара dg группы Gr представляется в виде прямого произведения dg = dhdu мер Хаара dh и du на группах Hr и Ur соответственно (см. Бурбаки [3], гл. VII, §11, предложение 14).. В силу леммы 7 в Gr относительно Gz имеется фундаментальное множество Q вида Й = 2Ф, где 2 — фундаментальное множество в Hr относительно Hz, Ф — некоторое компактное подмножество в Ur; ясно, что Q имеет конечный объем в том и только том случае, если это имеет место для 2. С другой стороны, из результатов § 3.5 вытекает, что существование инвариантной меры на пространстве Gr/Gz, относительно которой оно имеет конечный объем, равносильно унимодулярности Gr и существованию относительно Gz фундаментального множества F cl Gr конечного объема, и тогда любое фундаментальное множество также имеет конечный объем. Поэтому, если X(G)q=#1, то X(^Q#=1, и из рассмотрения редуктивного- случая вытекает, что 2 имеет бесконечный объем. Тогда объем й также бесконечен, и, значит, объем Gr/Gz не может- быть конечным. Обратно, если X(G)Q=1, то Х(//)е=1,.

следовательно, объемы 2 и Q конечны. Таким образом, остается показать, что в этом случае группа Gr унимодулярна. Но это доказывается точно так же, как и следствие из теоремы 3.18. В самом деле, пусть а — левоинвариантная Q-определенная рациональная дифференциальная форма на G степени п = dim G. Тогда, как мы видели при доказательстве указанного следствия, имеет место соотношение р* (а) = ^g) со, где pg— правый сдвиг на элемент geG. %—некоторый характер группы G. Поскольку а определена над Q, то нетрудно видеть, что характер % также определен над Q. Поэтому в нашей ситуации % = 1, т. е. форма а является также правоинвариантной, и следовательно, группа Gr унимодулярна в силу теоремы 3.18. Теорема 13 полностью доказана.

В тех случаях, когда объем факторпространства Gr/Gz конечен, естественно возникает задача его явного вычисления в терминах некоторой канонической меры Хаара. Как мы увидим в следующей главе, этот вопрос тесно связан с вычислением так называемых чисел Тамагавы. Для норменного тора S = RK/p(Gm) значение ц (Sr/Sz) выражается через дискриминант и регулятор поля К (меру Хаара следует нормализовать таким образом, чтобы объем К^/д, где K^^KOqR, С — кольцо целых в К, равнялся единице, см. Ленг [2]).

Для полупростой односвязной Q-разложимой группы G объем Gr/Gz является произведением значений ^-функции в некоторых целых точках (см. статью Ленглендса в сборнике «Арифметические группы и автоморфные функции»). Эти примеры позволяют утверждать, что задача вычисления объема GrIGz представляет значительный арифметический интерес. С другой стороны, как показывает работа Ленглендса, ее решение связано с использованием сложной арифметической техники (скажем, теории рядов Эйзенштейна). Поэтому в настоящей книге мы ограничимся одним примером, где вычисления могут быть проведены в явной форме.

Пример. Пусть G = S£2. Разложение Ивасавы позволяет определить систему координат ф, а, и на группе Gr = SA2(R) таким образом, чтобы координаты, отвечающие матрице х eGr, получались из соотношения

(

cos ф — sin ф X / а 0 \ / 1 u \ sin ф со$ф Д 0 а-1 Д О U ' '

В § 3.5 (см. пример 3) мы показали, что относительно этих координат мера Хаара на Gr может быть записана в виде a dtp da du. Поэтому объем GrIGz выражается интегралом ^ a dtp da du, где F cz Gr— измеримая фундаментальная область относительно Gz. Построим фундаментальную область, удовле-

творяющую условиям 1), 2) в (3), § 3.5. Для этого вернемся к рассмотрениям § 4.2 и снова рассмотрим проекцию S£2(R) на верхнюю полуплоскость Р = SO2(R)\SA2(R) комплексной плоскости, задаваемую формулой Ч*: ( * ^ ) |—^ ^-^^ • Далее, рассмотрим замкнутую область D = {z е Р| |Rez| ^ 1/2, |z|^l}, которая, как мы показали в § 4.2, является фундаментальной областью для естественного действия группы PSL2(Z) на Р. Тогда легко видеть, что в качестве F можно взять множество F = КоДо, где

„ f / cos ф — sin ф \ | т а и sin ф cos ф у

°«={(о £3(1 l)^.-)^},

Q = {(n, ц)еР>0ХР|ф(; ““)ед}.

Поэтому объем Gn/G^ относительно указанной меры равен Л

^ ^Ф ^ a da du. Прямое вычисление показывает, что Q=f(a, и) & о и(

е R>0 X R 11 |1/2, О^а^——1, и тогда

1

4

лл 1/2V1-

vol(Op/Gz) = \ сйр \ a da du = \ сйр \ du \ ada = -^-.

ОQ0-1/20

(Заметим, что это число совпадает со значением ^(2) дзета- функции Римана, см. Серр [8].)

Заключительные замечания по теории приведения

Мы уже выполнили намеченную программу построения теории приведения для арифметических подгрупп алгебраических групп. Тем не менее ряд интересных концепций, не имеющих прямого отношения к темам, которые мы избрали для детального освещения в книге, остался вне нашего внимания. Настоящий параграф призван в какой-то степени ликвидировать этот пробел. Здесь мы собрали (без доказательств) ряд дополнительных сведений по теории приведения (другую конструкцию фундаментальных множеств, связь с теорией приведения квадратичных форм и т. д.), а также переформулировку полученных результатов Для (7-арифметических подгрупп.

Конструкция фундаментальных множеств из § 4.3 связана, Главным образом, со свойствами группы Gp и сравнительно мало

252 iv. арифметические группы

зависит от групп Gq и Gz. Однако основываясь на этой конструкции, можно указать другую, вообще говоря, лучшую конструкцию, которая существенным образом использует Q-структуру группы G. Ее преимущества проявляются, например, при построении теории автоморфных функций, ибо соответствующие выходы на бесконечность устроены более или менее так же, как и фундаментальные области фуксовых групп в верхней полуплоскости при приближении к параболическим точкам. Эта конструкция дает также ключ к построению компактификации пространства Gr/Gz, что является основным моментом при изучении когомологий арифметических групп.

Итак, пусть G—полупростая Q-определенная алгебраическая группа. Если G анизотропна над Q, то ситуацию можно считать идеальной: пространство Gr/Gz компактно (теорема 12), в силу чего для группы Gz существует компактное фундаментальное множество. Пусть теперь G изотропна над Q, S cz G — максимальный Q-разложимый тор и Р— содержащая S минимальная Q-определенная параболическая подгруппа. Хорошо известно, что Р является полупрямым произведением своего унипотентного радикала U на централизатор ZG(S) тора S. В свою очередь, ZG(S) записывается в виде почти прямого произведения

ZG(S) = M-S, (1)

в ZG(S). Обозначим через К максимальную компактную подгруппу группы Gr и пусть А — связная компонента группы Sr. Тогда Gr = K.-Pr, так что из (1) получаем следующее разложение для группы Gr:

Gr = KA^Gr

где Al — наибольшая связная Q-анизотропная подгруппа (заметим, что это разложение, как правило, не является однозначным). Так как пространство Mr/Mz компактно, то имеет смысл поискать фундаментальное множество относительно Gz в виде так называемой обобщенной области Зигеля .

\y,w = KyAtw, 1>0,

где у (соотв. да) компактное подмножество в AIr (соответственно Gr), At = {а г А |а(а) ^ t для всех а е П), П — система простых корней группы G относительно тора S, ассоциированная с Р.

Теорема 15. Пусть G — полупростая ^-определенная алгебраическая группа, Г cz Gq — ее арифметическая подгруппа.

Существуют обобщенная область Зигеля 'Z='Zt,y,w и конечное подмножество CcGq такие, что Q = S С является фундаментальным множеством для Г в Gr. Множество С содержит тогда по крайней мере один представитель каждого ■двойного класса смежности Y\Gq/Pq (в частности, число таких двойных классов конечно).

Обратно, если С — конечное подмножество в Gq, содержащее представитель каждого класса смежности Pq\Cq[V, то существует область Зигеля 5 такая, что Q= SC является фундаментальным множеством в Gr относительно Г.

Доказательство — см. Борель [6], § 12 и 14. Отметим только, что доказательство п. 1) использует конструкцию фундаментального множества из § 4.3 и в общих чертах сходно с доказательством предложения 10. Нетрудно показать, что обобщенная область Зигеля имеет конечный объем в мере Хаара группы Gr, так что утверждение 1) теоремы 15 позволяет получить другое доказательство теоремы 14. Благодаря теореме 15 в теорию входит новый инвариант — число двойных классов Pq\Gq(Y. Получается, что это число совпадает с минимальным количеством сдвигов обобщенных областей Зигеля группы G, которые в объединении дают фундаментальное множество для группы Г. Для группы G = SLZ имеем Р = ^ “ ^, ) | а е С*, 6еС|, так что Pr совпадает со стабилизатором бесконечно удаленной точки оо при естественном «левом» действии группы 5Лг(R) на верхней полуплоскости ^ (см. § 4.2). Тогда орбита SL2(Q) (оо) есть множество параболических точек, которое совпадает с объединением {оо} и множества точек вещественной оси с рациональными координатами. Число двойных классов Ро\Ог)(Г в данном случае есть число классов эквивалентности параболических точек относительно Г. Это число оказывается равным числу точек, которые нужно добавить к факторпро- странству ^/Г для получения его компактификации, или же числу выходов («вершин») соответствующей фундаментальной области на бесконечность (см. рис. для случая, когда Г совпадает с конгруэнц-подгруппой SL2^Z, 2); здесь имеется 3

вершины). В общем случае дополнения к компактным подмножествам в области Зигеля Si, у, m имеют вид 5$, у, ш, где s достаточно мало, и их можно рассматривать как аналог «вершины» в случае группы SLa. Тогда число двойных смежных классов r\Go/PQ также получает интерпретацию как минимальное число вершин фундаментальной области для Г. Отметим, что в следующей главе мы дадим адельную интерпретацию числа классов V\GqJPq. Отсюда, в частности, будет вытекать другое доказательство его конечности и связь с числом классов группы Р.

Обобщенные области Зигеля обладают свойством функто- риальности: если f; G^H определенный над Q морфизм полу- простых Q-определенных групп и 2—обобщенная область Зигеля в группе G, то f(S) содержится в подходящей обобщенной области Зигеля группы Н. Отсюда следует, что теорема 15 доставляет конструкцию фундаментальных множеств Q, которые удовлетворяют следующему усилению условия (F2) из определения фундаментальной области.

(F2)bjs для любых х, veC|T)r где С (Г) — подгруппа соизмеримости Г, пересечение й-1ЙПхГу конечно.

В самом деле, достаточно показать, что для произвольной обобщенной области Зигеля S пересечение S-iS П хГу конечно. Для этого воспользуемся описанием С(Г), полученным в предложении 6: С (Г) = л"1 ^G/N^y где N — наибольший Q-определенный нормальный делитель в G компактного типа, л: G ->- -+G/N— каноническая проекция. Пусть 5 — такая область Зигеля группы G/N, что л(2)с2. Тогда л (S-12 П хГу) с S-1S Q П л(х) л(Г)л(у). Но л (х), л (у) е (G/N)q и л (Г)— арифметическая подгруппа в G/N, поэтому из того, что 5 удовлетворяет обычному условию (F2) (см. Борель [6], § 14), вытекает конечность последнего пересечения. Остается заметить, что в силу компактности ^R пересечение Г fl N конечно, так что из конечности множества л^-'^ПхГу) следует конечность искомого множества 5-15 П^Гу.

Фундаментальные множества из теоремы 15 обладают еще одним замечательным свойством. Перед тем как привести его формулировку в общем виде, напомним один из существенных моментов построения теории приведения для группы GAn(R) (см. § 4.2). Зафиксировав ортонормированный базис ец ..., еп пространства Rn, мы ввели непрерывную функцию Ф: GTrt(R)-> ->R> °, положив Ф(^) =||^eil|. Тогда множество значений Ф на любом смежном классе gGLn^Z) ограничено снизу, и минимальное значение принимается в некоторой точке множества S = S^^, 1/2, откуда GL„(R) = S GT„(Z). Оказывается, что аналогичные принципы минимума выполняются для каждой по-

лупростой Q-определенной алгебраической группы G, При описании конструкции соответствующих функций ф сохраним введенные выше обозначения. Пусть л: G->-GL(V)— определенное над Q абсолютно неприводимое представление группы G такое, что существует вектор и е VQ, собственный относительно Р. Тогда положим фл(£) =||л(£) и||, где норма берется относительно ортонормированного базиса пространства Ир, состоящего из собственных относительно S векторов. Частным случаем функций вида фл являются функции Фг из § 4.2, которые отвечают фундаментальным представлениям группы SLn.

Теорема 16. Пусть G— подупростая Q-определенная алгебраическая группа, ф = фл — функция, отвечающая абсолютно неприводимому Q-определенному представлению л: G^-GL^VV и С — множество представителей двойных смежных классов Y\Gq!Pq, где Г cG-— арифметическая подгруппа. Тогда существует такая обобщенная область Зигеля TlaGp, что для любого х eGr функция ф достигает минимума на множестве хТС в некоторой точке множества хГС f] 2. Отсюда выводим, что Gr

Отметим, что любая полупростая Q-определенная группа G обладает достаточным запасом представлений л с описанными выше свойствами. Более того, как известно, любое абсолютно неприводимое представление определяется своим старшим весом, причем любой доминантный вес реализуется в качестве старшего веса некоторого представления (см. Хамфри [1]). При этом оказывается, что подходящее кратное любого доминантного веса реализуется в качестве старшего веса Q-определенного представления, удовлетворяющего описанным требованиям.

Функции фл обладают теми же свойствами, что и функции Ф, из § 4.2. Опираясь на них, можно доказать в нашей ситуации аналог теоремы Хариш-Чандры, а следовательно, и свойство (F2) из определения фундаментальной области. Подробности см. в Борель [6], § 13—14.

Всюду в этой главе мы рассматривали Q-определенные алгебраические группы, однако полученные результаты можно распространить на алгебраические группы, определенные над произвольным полем алгебраических чисел К. Пусть О — кольцо целых поля К. Тогда (7-арифметическими подгруппами в G называются подгруппы в G, соизмеримые с группой Ga точек группы G над кольцом О. Группа Gy является дискретной подгруппой группы Сю = П Gv , которая является аналогом

группы вещественных точек для Q-определенных групп. Возникает задача построения теории приведения для группы Goo относительно Ga. Основные результаты, которые получаются

в этом направлении, мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 17. Пусть G— алгебраическая группа, определенная над полем, алгебраических чисел К. Тогда выполняются следующие утверждения: 1) существует открытое фундаментальное относительно Go множество Q с Goo, т. е.

0) КП = Й для подходящей максимальной компактной подгруппы К с God

(Fl) QGy = Gx;

2) для любых х, ye.GK пересечение Q—!Q П xGgy конечно.

Go является группой с конечным числом образующих и конечным числом определяющих соотношений',

пространство G^Gg компактно тогда и только тогда, когда редуктивная часть связной компоненты G анизотропна над К;

пространство G^/Gg имеет конечный инвариантный объем в том и только том случае, когда X(G0) к = 1.

Для доказательства выберем некоторый базис О над Z и с его помощью построим группу Н = Rk/q(G) (см. § 2.1, п. 2). Тогда Gg ~ Hz, G» ^ Hr и поэтому применение соответствующих результатов для Q-определенных групп позволяет доказать утверждения 1), 2) теоремы. Для доказательства 3) следует заметить, что редуктивная часть связной компоненты группы Н имеет вид Rk/q (Р), где D — редуктивная часть связной компоненты группы G, причем группа Rw (О) анизотропна над Q в том и только том случае, если D анизотропна над К, а затем воспользоваться теоремой 12. Наконец, утверждение 4) получается из теоремы 13 с учетом того обстоятельства, что Х(Я% = Х(С°)Л.

Без особых усилий можно распространить на (^-арифметические подгруппы и другие результаты (теорему плотности, описание подгруппы соизмеримости и т. д.). Мы не будем приводить соответствующих формулировок, ограничившись обобщением на У-арифметический случай участвующих в них понятий. Говорят, что алгебраическая группа G, определенная над полем алгебраических чисел К, имеет компактный тип, если группа Gx = Ц GK компактна. Пусть теперь группа G полупроста.

Тогда говорят, что G имеет некомпактный тип, если группа G^ некомпактна для каждого Л-простого сомножителя G1 группы G. Полупростая группа, которая не относится ни к компактному, ни к некомпактному типу, называется группой смешанного типа.

Завершая изложение теории приведения для арифметических подгрупп, следует отметить, что корни этой теории лежат вклас-

сической теории приведения квадратичных форм (см., например, Касселе [1]), восходящей к Эрмиту и Минковскому. В частности, конструкция фундаментальных множеств как объединения конечного числа сдвигов подходящей области Зигеля обобщает конструкцию, примененную Эрмитом [1] в случае неопределенных рациональных квадратичных форм. Отдавая дань уважения нашим замечательным предшественникам, мы приведем здесь ряд результатов о приведении положительно определенных квадратичных форм (случай неопределенных квадратичных форм рассмотрен у Бореля ([6], § 5)).

Отождествим множество положительно определенных квадратичных форм на R" с пространством Н вещественных симметрических положительно определенных (п X и)-матриц. Тогда группа G —GL,Z() транзитивно действует на Н справа по формуле

g: K->F[g] = <gFg.

Стабилизатором единичной формы является группа К = ОпЕ Е так что Н= K\G, причем проекция л: G Н задается формулой л(§) = ‘gg. Ясно, что л переводит STn(R) в множество Н^ элементов из Я с определителем! и что ЯЧ> = SOn(R)\STn(R). Назовем областью Зигеля 2£ в в Я множество вида

2' D = ^иаи | а е А(, и е U^

в обозначениях § 4.2. Так как *кк = Еп для любого к е К, то

Поскольку л (giga) = л(gi) [ga], то из теорем 4 и 13 вытекает Теорема 18. (1) (Коркин — Золотарев). Я = 2' D[GLn(Z)^ при

(Эрмит). Если F — положительно определенная форма на пространстве R", то

п — 1min К (х) ^ (4/3) «2 (det Ffin.xeZn\ {0}

(Минковский). Я(1)= (2' D П Я(1)) [STn (Z)] при u^l/2, /^4/3, и Hil)/SLn(Z) имеет конечный инвариантный объем. ■

4.8. Конечные арифметические группы

Арифметическая теория алгебраических групп изучает в основном бесконечные арифметические группы, ибо только в этой ситуации возникает тесная связь между свойствами алгебраической группы G и ее арифметических подгрупп. Считалось, что

случай конечных арифметических групп больше представляет интерес для теории простых конечных групп. И действительно, скажем, группа автоморфизмов 24-мерной положительно определенной решетки Лича (точнее, ее факторгруппа по центру) оказалась новой простой спорадической группой, открытой Конвеем (Конвей [1]). Однако в последние годы появился интересный круг чисто арифметических вопросов о конечных арифметических группах, которые группируются в основном вокруг следующей гипотезы:

Гипотеза 1. Пусть G— определенная над Q алгебраическая группа компактного типа. Тогда для любого вполне вещественного расширения K/Q имеем Go = Gz, где О—кольцо целых поля К.

(Напомним, что расширение K/Q называется вполне вещественным, если образ любого вложения К^^С содержится в поле R. Для такого расширения в рассматриваемой ситуации группа Gx= Ц GK компактна, так что группа Go конечна.)

Другими словами, группа единиц Q-определенной алгебраической группы компактного типа не изменяется («стабильна») при расширении кольца Z до кольца целых О вполне вещественного числового поля К- Так как любое вполне вещественное расширение, очевидно, содержится во вполне вещественном расширении Галуа, то без ограничения общности можно при этом считать, что K/Q — расширение Галуа. Эта гипотеза возникла при изучении свойств положительно определенных квадратичных решеток, и ее доказательство позволило бы получить ряд интересных следствий в теории решеток (см. ниже). Следующее утверждение показывает, что ее обобщение на произвольные алгебраические группы не является существенным.

Предложение 12. Пусть G cz СГДС)— ^-определенная алгебраическая группа такая, что группа вещественных точек Gr компактна и плотна по Зарисскому в G. Тогда существует п-мер- ная положительно определенная квадратичная форма f с рациональными коэффициентами, для которой Gcz.Onk.tY

Доказательство. Пусть h — произвольная n-мерная положительно определенная квадратичная форма. В силу компактности Срдля каждого у е Rn определен интеграл ^h^gv^dg, кото- gr

рый мы обозначим через /г0(и) (здесь dg—мера Хаара на группе Gr). Элементарная проверка показывает, что соответствие R"->R, at—»h0(v) задает положительно определенную GR-инвариантную квадратичную форму на R". В силу плотности Gr в G в топологии Зарисского, продолжение формы h0 на пространство С" инвариантно относительно G. Обозначим через V пространство всех G-инвариантных квадратичных форм на С".

Поскольку G определена над Q, то пространство V также определено над Q. При этом из плотности Q в R вытекает плотность Vq в Hr. С другой стороны, подмножество W с Hr, образованное положительно определенными формами, содержит h0 и поэтому является непустым открытым подмножеством в Hr, причем открытость является следствием известного критерия Сильвестра. В силу плотности Г; в Hr отсюда следует существование искомой положительно определенной формы f е Ио. Предложение 12 доказано.

Покажем теперь, что гипотезу 1 можно переформулировать следующим образом:

Гипотеза 1*. Пусть f—положительно определенная квадратичная форма степени п с рациональными коэффициентами. Тогда On(f)g = Оп(^2для кольца целых О любого вполне вещественного расширения K/Q.

Ясно, что гипотеза 1* является частным случаем гипотезы 1. Чтобы получить обратную импликацию, зафиксируем кольцо целых О вполне вещественного расширения Галуа К/Q и обозначим через Н подгруппу, порожденную G° и Go. Так как О' инвариантно относительно всех автоморфизмов С/Q, то Ge> а следовательно, и Н = G°Ge определены над Q. Очевидно, что ^r = GrHc\ поэтому, учитывая плотность Gp в G0 в топологии Зарисского (теорема 2.2), получаем плотность HR в Н. Поэтому согласно предложению 12 существует такая положительно определенная квадратичная форма f с рациональными коэффициентами, что Нс^Оп^, где п— степень G как линейной группы. Тогда Gg = Но а Оп (f)g = Оп (f)z, и Gg = Gz, что и требовалось.

В связи с гипотезой 1* нельзя не отметить следующий результат:

Предложение 13. Пусть f (xv, хп) = a^x2v + . .. + апх2п — диагональная целочисленная положительно определенная квадратичная форма. Тогда On(f)g = On{f)z для кольца целых О любого вполне вещественного расширения KJQ.

Доказательство. Покажем, что у произвольного элемента b — (Ьц) е Оп (f)0 в каждом столбце и каждой строке имеется лишь один ненулевой элемент, который при этом равен + 1. Без ограничения общности можно считать, что щ ^ аг ^ • • ■ ^ ^п. Условие 6еО„(() означает, что tbFb=F, где F = diag(ai, ... •.., а,^, откуда получаются следующие соотношения:

5^0,^ = ^ Для любого i=\,...,n; (1)

. S aibitblk = 0 для любых /, /г = 1, . . ., п, j ^= k. (2)

Найдем в последней строке матрицы b элемент Ьщ, отличный от нуля. Тогда в силу (1) имеем

1Мг < X atT ^bMY = а, < ап

Z = 1

для любого вложения т: /C<=*R, так что | bn; |D ^ 1 для любого вещественного нормирования у поля К. Но

П M = |AWMI,

где Nkiq — норменное отображение, причем из того что Ьп; е е О, вытекает, что Vk/q^eZ и | N kiq (Ьщ) I ^ 1 • Поэтому j^„;|D=l Для любого у е У^. Поскольку | b |в = | тц (Ь) |, где т0: К ^^ R — соответствующее вложение, | | — абсолютная величина вещественного числа, то Ьп; = ±1. Возвращаясь к соотношению (1) и учитывая неравенство а, ^ ап, получаем, что а/ = ап и btj = Q при I <_ п. Далее, применяя (2), получим, что Ьпи = 0 для всех ky= j. Подобное рассуждение можно применить к любой j-й строке, если aj = ап. Тогда получим, что матрица b имеет блочную структуру

где Ь\ — квадратная матрица размера 1X1, степень / которой совпадает с максимальным значением индекса, для которого at <С ап; Ь2— мономиальная матрица размера (/г—/)Х(и— /), все ненулевые элементы которой равны + 1. (Возможна ситуация, когда все а, совпадают, но тогда приведенное выше рассуждение полностью доказывает требуемое утверждение.) Доказательство предложения 13 теперь завершается очевидным индуктивным рассуждением.

Дадим еще одну эквивалентную формулировку гипотезы 1.

Гипотеза 1**. Пусть K/Q— вполне вещественное расширение Галуа, О — кольцо целых поля К и Г с GL^O')— конечная подгруппа, инвариантная (в целом, а не поэлементно') относительно группы Gal (/C/Q). Тогда Г с GL^tZ).

Легко убедиться в эквивалентности гипотез 1 и 1**. В самом деле, как мы уже отмечали, можно считать расширение K/Q в гипотезе 1 расширением Галуа. Тогда, если G — определенная над Q алгебраическая группа компактного типа, то Go является конечной Gal (K/Q) -инвариантной подгруппой в GLn(O), поэтому из справедливости гипотезы 1** вытекает справедливость гипотезы 1. Обратно, если Гс GLn(0) — конечная Gal (/C/Q)-инвариантная подгруппа, то ее можно рассматривать как Q-определенную алгебраическую группу, для кото- рсй группа вещественных точен б₽ = Г компактна.

К настоящему времени гипотеза 1** доказана лишь для специальных расширений Галуа, а именно для нильпотентных расширений и расширений, у которых все силовские подгруппы группы Галуа циклические (см. Бартельс, Китаока [1]). Доказательство для нильпотентных расширений содержит наиболее принципиальные моменты, поэтому рассмотрением этого случая мы и ограничимся, отсылая читателя за дополнительной информацией к статье Бартельса — Китаоки. Обратим внимание читателя на два факта, которые постоянно приходится использовать при работе с гипотезой 1 **. Первый из них — это теорема Эрмита о несуществовании нетривиальных всюду неразветвленных расширений поля Q (см. теорему 1.3), второй — следующая лемма, принадлежащая Минковскому [1].

Лемма 19 (Минковский). Для любого pZ=2 конгруэнц-под- группа GLn(Z,p') не имеет кручения.

Доказательство. Используя вложение Z^Zp, из леммы 3.8 получаем, что порядок любого элемента из GLn(_Z,p') либо бесконечен, либо является степенью р. Поэтому достаточно показать, что GEn(Z,p) не содержит отличных от Еп элементов порядка р. Пусть Еп=/= х е GLn(Z, р) и хр=Еп. Представим х в виде х = Еп + рау, где у е Мп (Z) и у ^ 0 (mod р). Тогда

хр = (Еп + ра уУ =

= Еп + СхрРау+ ... + Ср-у^УР"ЧрарУР = Еп. т. е.

а + 12а 2—1 а(р —1) р — 1ар р/О\

Р У = —Срр у — ... —ср р— ррур. (3)

Все биномиальные коэффициенты Ср, 0 < I < р, делятся на р, так что для i > 1 выполняется сравнение

C^p‘az/‘ = O (modp2a+1).

Поскольку р > 2, то ap ^ 2a + 1 и выполняется сравнение раРур = 0 (mod p2a+1). Таким образом, правая часть (3) сравнима с 0 по модулю p2a+1, в то же время для левой части это сравнение по построению не выполняется, ибо a+ 1 < 2а + 1. Лемма 19 доказана.

Пусть теперь K/Q — вполне вещественное расширение Галуа. Если K/Q— неразветвлено во всех точках, то согласно теореме Эрмита К = Q, и доказывать нечего. Таким образом, можно считать, что в расширении К/Q ветвится, по крайней мере, одно простое число. Покажем, что для доказательства гипотезы 1** достаточно рассмотреть случай, когда имеется лишь одно разветвленное простое число.

Предложение 14. Пусть K/Q— вполне вещественное расширение Галуа с группой Галуа ^, Гед GLn(C^ — конечная ^-инвариантная подгруппа. Предположим, что Гf) GLn(L)cz GLn(Z)

для любого собственного подрасширения Галуа L ^ К. Тогда если Г ф GLn(Z), то в К ветвится ровно одно простое число.

Доказательство. Предположим, что в расширении MQ ветвятся простые числа р и у(у^=2), и покажем, что Tc=GA„(Z). Рассмотрим некоторые продолжения шр\р и wq\q, и пусть p = C?np№ и q = О П q^, — соответствующие идеалы - в О. Мы будем использовать группы ветвления S’*1’, определения которых приведены в конце § 1.1. Пусть хе Г и ст е ^(,)(щ^,). Тогда х = ст (х) (mod q), и поэтому в силу ^-инвариантности Г элемент у = х-1ст(х) лежит в конгруэнц-подгруппе F(q). Возьмем теперь произвольный элемент т е ^^ (жр). Тогда коммутатор [у, т (у)] = ут (у) у~* т (у)-1, с одной стороны, лежит в Г (q), ибо Г (q) — нормальный делитель в Г, с другой — в Г(р) в силу условия у = т (у) (mod р). Но, вкладывая О в Ow и Gw , из леммы 3.8 получаем, что порядок любого элемента из Г (р) (соответственно Г (q)) является степенью р (соответственно степенью у); в частности, Г (р) П Г (q) = {£■„}. Поэтому [у, т (у)]=Еп, т. е. элементы у и т (у) перестановочны. Далее, так как yeF(q), то порядок элемента у, а значит, и порядок элемента z = y-1r(y) является степенью q. Но в то же время z е Г (р), и поэтому в действительности г = Еп и т(у) = у. Мы показали, что т (у) = у для любого сте^(1)(щр), где wp\p. Пусть 5^ — подгруппа ^, порожденная группами инерции <8wkwpY для всех wp\p, L = KX — соответствующее неподвижное поле. Как мы отмечали в конце § 1.1, L является максимальным расширением Галуа поля Q, содержащимся в К и неразвет- вленным относительно р. Так как р ветвится в К, то L 9= К и по условию Г fl GLn Щ cz GLn (Z), Но выше мы установили, что у с ОГ.ДЦ, и поэтому y^GLn(ZY Вспоминая теперь, что у е Г (q), мы видим, что у является элементом конечного порядка в GLn(Z, qY и, значит, у = Еп в силу леммы Минковского. По построению у = х-1ст(х), где х— произвольный элемент из Г, а е $w (шД Отсюда следует, что в действительности Г cz GLn (Р), где Р = д^ — неподвижное поле подгруппы 9* ^'S, порожденной группами инерции S(1>(wq) для всех продолжений wq\q. Рассуждая как и выше, получим, что РДК, и следовательно, Г = Г f] GLn (Р) cz GLn (Z). Предложение доказано.

Предложение 14 показывает, что если к гипотезе 1** существуют контрпримеры, то минимальный в смысле расширения полей контрпример отвечает расширению, в котором ветвится ровно одно простое число. Используя это наблюдение, мы докажем гипотезу 1** для нильпотентных расширений.

Теорема 19 (Бартельс — Китаока). Пусть KJQ— вполне ве- щественное расширение Галуа с нильпотентной группой Га-

дуа *5. Если Г cz GLn(O)— конечная З-инвариантная подгруппа, то Гс GLn(Z).

Доказательство. Так как любое подрасширение Галуа в нильпотентном расширении также является нильпотентным, то из сделанного выше замечания вытекает, что достаточно рассмотреть расширения K/Q, в которых ветвится только одно простое число р. Покажем, что в этом случае группа Галуа S циклическая. Для этого проведем индукцию по степени [^:Q]. Центр Z группы *5 нетривиален, и по предположению индукции факторгруппа S/Z циклическая. Но тогда группа S' абелева и по теореме Кронекера — Вебера (см., например, Ивасава [1],§ 8.1) К Q (£ d) для подходящего d, где t, d — примитивный корень степени pd из единицы. Так как расширение K/Q вполне вещественно, то в действительности K<=Q^ d + S^> и группа S' является факторгруппой группы (Z/pdZy/{±1}, которая цик- лична. Теперь, когда цикличность S' уже доказана, мы можем в силу теоремы Кронекера утверждать, что в нашей ситуации всегда К cz Q ^ d + для подходящего числа d > 0, и для доказательства теоремы 19 достаточно разобрать случай К =

Лемма 20. Гипотеза 1** верна для поля K = Q^d + ^ jy Доказательство использует одну общую конструкцию, которая может оказаться полезной и в других ситуациях. А именно, для произвольного расширения Галуа K/Q с группой Галуа S определим подрасширение Галуа M/Q следующим образом. Зафиксируем некоторое простое р и рассмотрим некоторое продолжение wp | р; пусть р = (7 0 Vwp — соответствующий идеал в О и г—минимальное натуральное число, для которого р^ ^ y<.p-v). Обозначим через 36 подгруппу в S', порожденную г-ми группами ветвления Э’^Цщр) для всех продолжений wp\p, и положим М^КЖ. Получающееся подрасширение M/Q зависит от выбора простого числа р, однако для любого р оно является расширением Галуа, причем для любой конечной S-инвариантной подгруппы Г<=6Лп(бУ) справедливо включение Г с cz GLn (Ом), где Ом— кольцо целых в М. В самом деле, для любого х е Г и любого а е ^^(wp) имеем а(х) = х (mod /), т. е. .г^’а (.г) е Г (К) • Поэтому достаточно установить тривиальность конгруэнц-подгруппы Г(рл). Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что конгруэнц-подгруппа GLn(O,V) не имеет кручения, что равносильно отсутствию в ней элементов порядка р. Последнее доказывается, практически, так же, как и лемма Минковского. А именно, пусть E„ZxGGLr.(O,V) и хр=Еп. Представим х в виде х = Еп + у, где у = 0(mod pm) (m ^ г), но

z/^ O(modpm+1). Тогда имеем хр = Еп + ру + С2ру2 + ...+ + СГУ-1+ / = £„, т е.

РУ = - С2у2 - ... - Срр^ур-1 - ур.(4)

Обозначим через е индекс ветвления e(wp|p). Тогда е совпадает с показателем степени, в которой идеал р входит в разложение идеала рО, поэтому из определения числа г вытекает, что г = ^ _!.Т’] + * (гДе> как обычно, [ ] — целая часть числа), и, стало быть, (р—1)г > е. Используя эту оценку, получим противоречие, вычислив степень р, на которую делятся соответственно правая и левая части (4). По построению для левой части (4) имеем

ру в 0 (mod pm+e), но ру ^ 0 (mod pm+e+1).

Так как С1 делятся на p(i^=0, р), то для 1 < t < р имеем СрУ1 = 0 (mod pZm+e) и tme^m + е + 1. Наконец, ур = 0 (mod pmp), причем

тр = m + т^р — 1) ^ т + г (р — 1) > т + е.

Таким образом, правая часть (2) сравнима с нулем по модулю идеала рт+е+1 — противоречие.

Чтобы завершить доказательство леммы, теперь достаточно установить, что для поля Kd = Q(Z d + S ^ подрасширение, построенное при помощи простого числа р, содержится в Ка-х (поскольку Ко = Q, то это и даст требуемое). Нам понадобится информация о ветвлении простого числа р в круговом расширении Ld[Q, Ld = Q^pd) (см. [АТЧ],гл. III).

Известно, что Ld!Q является абелевым расширением Галуа степени ср (р^ = pd~l (р—1). Кольцо целых Od поля Ld совпадает с Z^pd"j, причем p(9d = ^pd\ где ф = (1 — ^)6У Другими словами р-адическое нормирование допускает единственное продолжение па Ld, причем это продолжение вполне разветвлено и соответствующий идеал нормирования в Od совпадает с главным идеалом, порожденным 1—£ d. В частности, применяя этот факт к d=l, получим, что идеал нормирования ф1с=(71 порождается 1—^р. С другой стороны, поскольку Ld)Lx является вполне разветвленным расширением степени pd~\ мы должны иметь Ф1^ = ф^”1, откуда 1 -^ефр ’, т. е. ^р = 1 (mod ф^-1). Нам будет удобно использовать последнее соотношение в несколько другой форме. А именно, для любого целого а, взаимно простого с р, обозначим через ао

автоморфизм из Gal (Л^/Q), задаваемый условием оа^ d) = ^. Тогда установленное выше соотношение означает, что

°a(Zpd) = Zpd (mod Ф^"'1) ДЛЯ а= 1 (mod р^1).

Так как g d порождает 0d, то в итоге для таких а имеем

° а М = х (mod фрс!~1) для всех хеОй.(5)

С другой стороны, вычисляя константу Г ДЛЯ ПОЛЯ Kd, получим

r = [2^)Zlj + 1=[^] + li(6)

ибо индекс ветвления е р-адического нормирования в расширении Kd/Q равен ф(рД/2. Так как индекс ветвления Ld/Kd равен 2, то используя (5) и (6), для нечетного р получаем сравнение

оа W = х (mod рл) при а = 1 (mod pd~l) для всех целых х е Kd-

Если обозначить через S группу Галуа Gal(^/Q), а через w (единственное) продолжение р-адического нормирования на Kd, то последнее сравнение означает, что r-я группа ветвления SWim) содержит подгруппу 36 ^‘S, состоящую из ограничений автоморфизмов аа для а = 1 (mod pd~'). Но Kd=Kd-\, так что конструируемое указанным выше способом поле М содержится в Kd-\, что и требовалось.

Чтобы разобраться с оставшимся случаем р = 2, мы усилим сравнение (4), показав, что оа (х) = х (mod ф2^-(+2) для а = = 1 (mod2d~1) и любого целого х е Kd- Достаточно показать, что

«Л^+tiy^+Ч <mod ф,^'+8)-

Последнее легко следует из (5) и следующих вычислений:

= ^Ч (^Ч + 0 = ^2d ((^2d — 9 + 2^2d)’

с учетом того, что ^й — iy + 2^ е ф2. Лемма 20 полностью доказана.

Изучая частные случаи гипотез 1 — 1**, можно накладывать Дополнительные ограничения двух типов — на вполне вещественное расширение K/Q и на группу Г в гипотезе 1** или соответственно форму / в гипотезе 1*. Ограничения первого типа мы накладывали в теореме 19. Приведем теперь пример результата с ограничениями второго типа, который показывает, что в пространстве вещественных симметрических матриц имеется открытое подмножество, для целочисленных матриц из которого

(точнее, для соответствующих квадратичных форм) выполняется гипотеза 1*.

Предложение 15. Пусть f—положительно определенная квадратичная форма степени п с целыми коэффициентами и матрицей a = ^aijY Предположим, что для всех ; = 1п выполняется неравенство а„ ^ 4Х, где X — наименьшее собственное значение матрицы а. Тогда для любого вполне вещественного расширения K/Q имеем On(f)g = On(f)z, где О — кольцо целых поля К. ■

Доказательство. Пусть х = (хф е Оп ^0. Покажем, что относительно любого вещественного вложения К выполняются неравенства

1 = 1

Действительно, обозначим через У/ вектор (0, 0, . .. , 0, 1, 0, . . . ..., 0), где 1 стоит на j-м месте. Тогда хи, = (х^хпф = Wj, причем ац = f^u^ = f(Wj). Если обозначить через g квадратичную форму на R", относительно которой базис щ, ..., ип является ортонормированным, то левая часть (7) есть gtwj), и поэтому достаточно показать, что для любого вектора w e.Rn справедливо неравенство f(w) ^ Xg(w). Приводя форму f к диагональному виду при помощи преобразования из О„ (g)R, мы видим, что достаточно разобрать случай диагональной формы f. в котором требуемое утверждение тривиально. Комбинируя (7) с условием а„ ^ 4Х, мы видим, что в нашей ситуации

^х^^Л для всех / = 1, ..п.

В частности, |хц|и ^ 2 для всех I, / = 1, ..., п и для любого нормирования и г Е£ Отсюда следует, что все ху совпадают с вещественными частями некоторых корней из единицы. В самом деле, пусть а — целое вполне вещественное алгебраическое число и |a|v^2 для любого вещественного нормирования и. Тогда b = л] сФ^ — 1 — вполне мнимое. Число а/2 + b удовлетворяет уравнению t2 — at -|- 1 = 0 и поэтому является целым алгебраическим числом, все сопряженные которого имеют абсолютное значение 1. Отсюда легко следует, что а/2 + b есть корень из единицы, так что а = 2 Re (а/2 + Ь') есть его вещественная часть. Из доказанного вытекает, что коэффициенты хц порождают абелево расширение поля Q, поэтому доказательство предложения завершается применением теоремы 19.

Приведем без доказательства еще два результата, которые также получаются при помощи метрических соображений (Ки- таока [1], [2]).

Предложение 16. Для каждой размерности п можно найти такое конечное множество S целых алгебраических чисел, что если К П 5 = 0, то для расширения K/Q и любой квадратичной формы выполняется гипотеза 1*.

(Отметим, что используя теорию приведения квадратичных форм (см. § 4.7), можно явно найти S для небольших значений п (см. Китаока [1]).

Предложение 17. Если либо степень расширения K/Q, либо размерность формы f не превосходит 42, то выполняется гипотеза 1*.

Мы привели практически все известные результаты, относящиеся к обсуждаемым гипотезам. С целью привлечь интерес читателя и, возможно, стимулировать дальнейшие исследования в этом направлении, отметим возможные приложения (см. Бартельс [1,2]).

Предложение 18. Предположим, что для расширения K/Q и любой положительно определенной квадратичной формы выполняется гипотеза 1*. Тогда, если целочисленные положительно определенные квадратичные формы fug эквивалентны над кольцом целых О поля К, то они эквивалентны над Z.

Доказательство. Пусть аеСЦСП осуществляет эквивалентность f ~ g. Рассмотрим форму h = f J_ g и построим элемент b е O^n^hf, задав его матрицей

/°

' \ а О )

Тогда b е О2„ (h)g = О2п (/i)z, так что oeGL,®, что и требовалось.

В двух следующих утверждениях участвуют когомологии Галуа и группы аделей, систематическому изложению которых посвящены гл. V и VI. Мы приводим эти результаты здесь, чтобы собрать воедино весь материал, относящийся к рассматриваемым гипотезам. Читатель же может сначала ознакомиться с гл. V и VI, а затем вернуться к данным утверждениям.

Теорема 20. Пусть K/Q—вполне вещественное расширение Галуа, G — алгебраическая Q-группа компактного типа. Предположим, что Go ^Gz-Тогда естественное отображение когомологий Галуа

НЧК/Q, Go)^Hh1(Kv/Qp, Gq^р

имеет тривиальное ядро.

Теорема 21. В условиях предыдущего предложения потребуем дополнительно, чтобы G была связной группой, удовлетворяющей принципу Хассе для когомологий Галуа. Тогда

GAq Л ОкОдк1оо) = GqGaq(oo),

т. е. отображение

. Gq\Ga^]Gaq (оо) Gk\Gak/Gak(oo>

имеет тривиальное ядро.

(Здесь Од0(оо), Gq (соответственно, 0дк(0О), Gk) — подгруппы целых и главных аделей в адельных группах Gaq и Gak над. полями Q и К соответственно, см. § 5.1.)

Доказательство теорем 20 и 21 и некоторые их приложения см. в § 8.4. Отметим только, что в применении к квадратичным формам теорема 21 означает, что если две положительно определенные формы над Z принадлежат одному роду и попадают в один класс при расширении кольца скаляров до О, то они лежат в одном классе над Z.

В заключение приведем пример, который показывает, что относительный вариант гипотез 1, 1* и 1** (т. е. когда поле Q меняется на некоторое вполне вещественное расширение) не имеет места.

Пример. Пусть E/F— нетривиальное расширение Галуа, не- разветвленное во всех (неархимедовых) точках, где Е и F— вполне вещественные числовые поля. (Такое расширение можно построить, взяв в качестве F любое вполне вещественное числовое поле с нечетным числом классов, большим 1 (например, для F — Q(V142) имеем hF = 3), а в качестве Е— его гильбертово поле классов). Наша цель — построить пример такой конечной подгруппы Vc^GE^E^ для подходящего п, которая была бы инвариантна относительно группы Галуа *5 = Gal (Д/Г), но не содержалась в GLn(F). Ключ к построению такой группы содержится в доказательстве предложения 18. А именно, предположим, что нам удалось построить «-мерное векторное пространство V над полем F, снабженное положительно определенной квадратичной формой f, и две свободные решетки L, М <^ V над кольцом целых О F такие, что выполняются следующие свойства:

ОеЕ=ОеМ,

решетки L и М неизометричны, т. е. не существует g г е O^f) со свойством g(L) = AI.

Тогда рассуждения из доказательства предложения 18 показывают, что группа Г = O2n (f ± 1ТгЕ^ 1 °еМ <= GL2n (Е) является искомой. Для построения свободных решеток L, М со свойствами 1), 2) поступим следующим образом. Обозначим через Vo групповое кольцо Е[^] и введем на Vo скалярное произведение, полагая, что элементы группы S образуют ортонормирован- ный базис. Далее, определим действие S’ на пространстве EVo = = Е [S] формулой g ( Z ahh^ Z g(a/i)(gA). Положим, нако-

нец, Lo = ± CFg, M0 = ((7£L0)^ (неподвижные точки). Решетки gey ■

Lo и Мо обладают следующими свойствами:

Ое^о = СЕМ0;

решетка Мо является бУ£-неразложимой, т. е. непредставима в виде ортогональной прямой суммы собственных 6У£- подрешеток;

(ш) для любого целого т^ \ решетки L^ = Lo ± ... ± Lo и Мо1 = Мо ± . . . ± Мо неизометричны.

Для доказательства (i) нам придется напомнить некоторые факты из теории ветвления (см., например, Ленг [2], гл. III). Неразветвленность E/F во всех точках эквивалентна тому, что дискриминантный идеал DE/f совпадает с Ор. При этом De/f определяется как идеал в Ор, порожденный дискриминантами всех базисов щ, ..., си поля Е над F (т. е. квадратами определителей det (gi (а,))2, где 8 = ^ъ . . ., g„}), содержащимися в ОЕ. Из условия De/f = Ср вытекает, что для любого да е vf найдутся такие щапеОЕ, что det(gi(a/-)) является единицей в кольце ОЕ . Рассмотрим элементы xt = У, g (щ) g е w"gey

еМ0(/=1/г). Тогда из наших построений вытекает, что

все элементы gEL выражаются в виде линейных комбинаций элементов х/ с коэффициентами из ОЕ , откуда OEwL0 = OEwM0. Поскольку последнее равенство справедливо для любого да г Vp то обязательно ОЕЬ0 = ОЕМ0 (см. § 1.5). Докажем теперь (II). Пусть Мо^МхЕМ2; тогда OEL0 — ОЕМ0 = 0ЕМХ ± Е ОЕМ2, в частности, каждый элемент geL имеет представление вида g = gi + g2, где gieOEMt. В этом случае получаем соотношение

=/(§) =/ы + /ы,

откуда |/(gz) |ш^ 1 для любого вещественного нормирования да поля Е(1—1, 2). Но f^g^^Os, поэтому в случае Hgi^^O мы должны иметь

Отсюда следует, что f(gi) всегда есть либо 0, либо 1, т. е. g попадает в одно из слагаемых ОЕМЬ Но М£ сМо = (.СеЕо)эг, так что каждое слагаемое должно быть ^-инвариантным, и в итоге одно из слагаемых совпадает с А10, а другое сводится к нулю, т. е. (ii) доказано. Наконец, пусть t: Lo'—> Л1"1 — некоторая изометрия. Зафиксируем некоторый элемент §еЗ и

положим L\ = 0f§, Li~^ ± OfK^ ± L^ Тогда L^ = L\ ± Л2, и поэтому мы должны иметь М? = t (.L^ ± t ^Ег\ Рассмотрим теперь элемент Z(g)e/Vlon, и пусть Mg) = *i + ••• + ^m, где Xi е Mo. Вычисляя значение Д получим

i=W=iM + -НМ, поэтому, рассуждая как и выше, мы придем к заключению, что /(о-) попадает в одно из слагаемых Мо решетки Мо1. Но тогда Мо = t (Z^) ± (Мо П t (L2)), что противоречит неразложимости Мо.

Чтобы завершить наше построение, остается подобрать число т таким образом, чтобы решетки L^ и Мо* оказались свободными. Для этого достаточно положить т равным экспоненте группы классов идеалов поля F. В самом деле, любая решетка L cz Кп допускает представление вида L = Схх Ф ... Ф С?х„_i Ф Ф ахп, где а cz О — некоторый идеал (см. § 1.5, п. 3). Тогда Lm допускает представление вида Оу\® ... ®Оутп-\ ф йтУт- Но идеал ат становится главным, и поэтому решетка Lm свободна.

Следует обратить внимание на то обстоятельство,' что в основе построения примера лежит существование расширений, не- разветвленных во всех точках. Поэтому над Q такая конструкция принципиально невозможна в силу теоремы Эрмита.

Библиографические замечания. Основные результаты в теории приведения были получены Борелем и Хариш-Чандрой [2]. Изложенное нами в § 4.5 доказательство критерия компактности факторпространства Gr/Gz принадлежит Мостову и Тамагаве [1]. Вывод конечной представимости арифметических групп из существования для них открытого фундаментального множества (теорема 2) был проделан Бером [1]. Теорема плотности доказана Борелем в [5]. Наше изложение теории приведения не претендует на полноту. Более обстоятельное изложение можно найти в книге Бореля [7] и его лекциях [6]. Элементарным введением в теорию приведения может служить книга Хамфри [2]. Как мы уже отмечали, истоки общей теории приведения лежат в теории приведения квадратичных форм, современное изложение которой содержится в книге Касселса [1]. Менее традиционен материал § 4.8. Основные результаты здесь принадлежат Бартельсу [1—2], Китаоке [1—2] и Бартельсу — Ки- таоке [1].

ГЛАВA V

АДЕЛИ

В настоящей главе вводятся группы аделей. Это понятие играет центральную роль в арифметической теории алгебраических групп. Подобно тому как на языке иделей и их когомологий могут быть выражены основные результаты теории полей классов, так на языке групп аделей алгебраических групп и связанных с ними конструкций и понятий выражаются результаты некоммутативной арифметики. Поэтому работать с аделями мы будем на протяжении всей книги, и основой для этого послужат результаты данной главы. Вот ее краткое содержание. В § 5.1 мы определяем группу аделей GA линейной алгебраической группы G над числовым полем К и наделяем ее соответствующей (адельной) топологией. При этом группа ^рациональных точек GK оказывается дискретной подгруппой в GA, и можно ставить вопрос о построении теории приведения для GA относительно GK. Эту задачу мы решаем в § 5.2—5.3. Часть результатов здесь (например, критерий компактности пространства Ga/Gk') полностью аналогична соответствующим результатам гл. IV и, в действительности, в существенной степени на них опирается. Другие результаты носят специфически адель- ный характер. К их числу прежде всего относится важная теорема 1 о конечности числа классов GA(oo)xGK в разложении группы аделей GA по подгруппам целых главных аделей соответственно. Это число, называемое числом классов алгебраической группы G, является очень важной арифметической характеристикой группы G, а его вычисление тесно связано с классическими теоретико-числовыми проблемами (см. гл. VIII). Другой возникающий здесь инвариант — так называемое число Тамагавы т(О) группы G, равное для полупростой группы объему факторпространства GA/GK. Используя результаты теории приведения, мы в § 5.4 переносим структурные результаты об арифметических подгруппах (см. § 4.4) на произвольные S-арифметические группы.

§ 5.1. Основные определения

Введем понятие пространства аделей ХА произвольного многообразия X над полем алгебраических чисел К. Для этого сначала будем считать многообразие X аффинным и зафиксируем

реализацию X в виде ^замкнутого подмножества аффинного пространства Х. Тогда по определению ХА есть совокупность точек X над кольцом аделей А = Ак поля К (см. § 1.2). Другими словами, элементами Хд являются наборы (щ, ..., а„), состоящие из аделей, которые удовлетворяют всем уравнениям, определяющим X. Естественно наделить ХА топологией, которая индуцируется топологией прямого произведения на пространстве Ап = АХ ••• X А- При этом оказывается, что тот же объект можно получить, исходя из конструкции ограниченного прямого произведения (см. § 3.5). В самом деле, рассмотрев проекцию ло: А-> Ку на и-компоненту и ее n-мерное продолжение л„: Ап—> Ку, мы будем иметь, что проекция л „ (х) любой точки х е ХА лежит в ХКу для любого ие VK, причем для всех и, кроме конечного числа, эта проекция попадает на самом деле во множество ^„-точек Хд .

Легко видеть, что выполнима также обратная процедура восстановления точки х е Хд по заданным проекциям л" (х) при условии, что последние лежат в Хд для почти всех и. Тем самым Хд оказывается ограниченным топологическим произведением пространств ХКу относительно выделенных открытых подпространств Хду, причем не только в теоретико-множественном, но и в топологическом смысле. Отсюда вытекает представимость ХА в виде объединения

Хд= U ^A(S)(1)

3

по всем конечным подмножествам S с VK, содержащим V^, пространств S-целых аделей ^<s) = П Хк X П Хд (если usS и y^S и

S = E^, то говорят просто о целых аделях, которые обозначают Хл(«>)). При этом топология на Хдщ» является обычной топологией прямого произведения, а топология на ХД восстанавливается отсюда как топология индуктивного предела.

Диагональное вложение К^А (см. § 1.2) индуцирует диагональное вложение множества /(-точек Хк в Хд; образ этого вложения, который мы, как правило, будем отождествлять с Хк, называется пространством главных аделей. Следует отметить, что из дискретности К в А вытекает дискретность Кп в Ап, следовательно, дискретность (и замкнутость) Хк в ХА.

Следующим шагом в обосновании конструкции аделей является доказательство ее независимости от выбора геометрической реализации X. С этой целью введем понятие аделизации регулярного К-определенного отображения f: X^Y двух афин- ных ^определенных замкнутых подмножеств X с А", У с= А”*. Как мы знаем, для любого и е VK такое отображение индуци-

рует непрерывное отображение fKu: XKu—>YKu. Рассмотрим произведение П fx по всем и и обозначим через fA его ограниче

ние на Хд.

Лемма 1. fA(XA)c2 Y д, и отображение fA: XA-*YA непрерывно.

Доказательство. Отображение f в координатах имеет вид

(*1, .Х„)^(Л(хЬ . Хп\ ..., fm(xb . .., Х„)),

где fi — полиномы с коэффициентами из К- Обозначим через So такое конечное подмножество в VK, содержащее V^, что коэффициенты всех fi являются у-целыми для у ^ So. Тогда ясно, что f к„ (Хо^ с= У0^ для у ^ So, и поэтому ^(^(s))c: Ул($) для любого подмножества S с: VK, содержащего So- Далее, учитывая тот факт, что топология на X^(S) является топологией прямого произведения, получаем непрерывность ограничения /л| хЛ(5)- Теперь остается воспользоваться представимостью Хд и Уд в виде объединения (1). Лемма доказана.

Из леммы 1 легко получается

Предложение 1. Пусть f; X -> У — определенный над К би- регулярный изоморфизм двух К-определенных замкнутых подмножеств X с: Д'1, Ус Аш. Тогда отображение fA; ХД-^УД является гомеоморфизмом.

Действительно, если g-_ У —> X— обратное к f регулярное /(-определенное отображение, то по лемме 1 gA\ YA-*XA является непрерывным отображением, очевидно, обратным к fA.

Для работы с линейными алгебраическими группами в большинстве случаев вполне достаточно приведенных выше определений. Однако мы потратим еще несколько абзацев на то, чтобы определить пространство аделей ХД для произвольного ^многообразия X и обосновать корректность этого определения. С одной стороны, это позволит соблюсти разумную полноту изложения, с другой — описать подход, при помощи которого получаются результаты, представляющие интерес также и в аффинном случае.

Итак, пусть X—произвольное /(-определенное многообразие. Чтобы определить Хд, нужно для каждого у е У^ выделить в Хки открытое компактное подмножество Хд целых у-ади- ческих точек и построить ограниченное топологическое произведение Хк6 относительно Хо Для определения Хоу воспользуемся конечным покрытием X = U Xi многообразия X открытыми аффинными /(-определенными множествами Xi (такое покрытие существует по определению многообразия). Далее, для каждого I зафиксируем /(-определенный бирегулярный изоморфизм fp X£->X°t на /(-замкнутое подмножество X^c/Vp

Тогда по определению положим

х«.= У

для любого иеУ^ и введем Хд как соответствующее ограниченное произведение. ^Эквивалентным образом можно положить Хд = [J /Гл'(^-л), гДе 1?д (Х°л) рассматривается как подмножество в Ц Хк Л Доказательство инвариантности этой конструкции опирается на обобщение леммы 1 на случай произвольных многообразий.

Лемма 2. Пусть f; X -> У — определенный над К морфизм произвольных К-многообразий. Тогда ^aAXH^Ya и отображение fA\ ХА -»- Ya непрерывно.

(Отметим, что как и в аффинном случае, аделизация fA морфизма f определяется как ограничение на ХА произведения П

Доказательство. Как показывает доказательство леммы 1, в обосновании нуждается лишь тот факт, что f ^Xgu^ c:Yg для почти всех и. Так как по определению Хо = [J fT1 (Х°г А — и 1 X у и / конечное объединение, то достаточно показать, что для любого I и почти всех у выполняется включение

Таким образом, можно с самого начала считать, что i = 1, т. е. многообразие X аффинно. Пусть Y = UK — конечное аффинное покрытие, при помощи которого определяется Ygo. Зафиксируем вложения X с A", Y]CAni в соответствующие аффинные пространства, координаты в которых мы будем обозначать через хр ..., хп; у{, ..., у^ . Тогда для любого j отображение f записывается в виде рационального выражения функций у^ через хр

У к = Тй/Ф- k=V-: пр(2>

где ср*, ф берутся из кольца регулярных К-определенных функций АфХ]. Разумеется, представление вида (2) не единственно. Поэтому для того чтобы учесть все представления, для каждого / рассмотрим идеал возможных знаменателей

а. = {феК№|фу/ e^И для всех к = 1, .. ., п^.

Образ f(x) любой точки х^Х лежит в одном из Yj. Это значит, что для каждого х е X найдется индекс j, для которого

все функции yife, 6=1, . .., п. определены в х, т. е. существует представление £/£ = Фйх/Фх вида (2) со свойством фх(х)#=0. Следовательно, идеал в 7<[Л"), порожденный всеми а/, не имеет нулей на X, и поэтому совпадает с ТС [Л-] (теорема Гильберта о нулях, см., например, Хамфри [1]). Таким образом, существуют такие ^jEi,-, что ^ф/=1. Выберем соответствующие представления ^ = ф{/Фу вида (2), и пусть ф/, ЧС — представляющие ф^, ф;- полиномы из A[xi, ..., х„]. Тогда для почти всех и е Vf коэффициенты этих полиномов являются целыми относительно у. Утверждается, что для таких у выполняется требуемое включение f (Хо^ с: У^ = |J Yц^. В самом деле, пусть х ^Xqv Так как ф/(х)е Оу для любого / и £ф;(х) = 1, то все ф/(х) не могут лежать в максимальном идеале pv кольца Оу. Поэтому найдется /, для которого значение ф/(х) обратимо в Оу. Но тогда соответствующие значения у'к, очевидно, лежат в Оу, т. е. f (х) ^Y;о , что и требовалось. Лемма 2 доказана.

Предложение 2. Пусть f; X->-Y— определенный над К изоморфизм К-многообразий. Тогда отображение fA: Xa-*Ya является гомеоморфизмом. В частности, пространство ХА не зависит от выбора аффинного покрытия.

Первое утверждение немедленно следует из леммы 2 (ср. доказательство предложения 1). Второе утверждение вытекает из первого, если рассмотреть два аффинных покрытия X и взять в качестве f тождественное отображение между двумя экземплярами X, снабженными этими покрытиями. Отсюда, в частности, вытекает, что для аффинных многообразий оба определения пространства аделей эквивалентны.

Имеется, однако, существенное топологическое отличие общего случая от аффинного. А именно, пространство главных аделей Хк, определение которого ничем не отличается от аффинного случая, не является, вообще говоря, дискретным в ХА. Так, например, для проективного многообразия X пространство ХА компактно, и поэтому Хк не может быть дискретным в ХА, если оно бесконечно. Отметим одно любопытное следствие предложения 2.

Лемма 3. Пусть X = UX-— произвольное покрытие К-мно- гообразия X открытыми К-многообразиями Xi. Тогда ХА = U^m- Действительно, выбирая из рассматриваемого открытого покрытия конечное подпокрытие, можно с самого начала считать исходное покрытие конечным. Тогда из определения пространства ХА вытекает, что наше утверждение справедливо, если многообразия X,- аффинны. Чтобы получить доказательство в общем случае, для каждого i рассмотрим некоторое конечное открытое аффинное покрытие соответствующего Хр Х{ = U ^ik-

Тогда Х= [J Xik — открытое аффинное покрытие X. Так к ..

как согласно предложению 2 определение ХА не зависит от выбора открытого аффинного покрытия, то ХА = И Х1кА. С друк

гой стороны, для любого I по аналогичным причинам Х1А = = [J Х1кА, откуда и следует требуемое.

Заметим, что требование открытости всех Х{ существенно. Действительно, рассмотрим разбиение A1 = XUT, где X = = А' \ (0), У = {(())}. Тогда X бирегулярно изоморфно гиперболе {(х, у) е A2 jxy = 1}, откуда следует, что ХА совпадает с множеством всех иделей 7, а Уд = {(0)}. Поэтому Ал = А #= ХА U Ул. (Мы рекомендуем читателю в качестве небесполезного упражнения выяснить, какое место в доказательстве леммы 3 не проходит, если не предполагать покрытие {X} открытым.)

Нам понадобится также

Лемма 4. Пусть У с: X— замкнутое К-определенное подмногообразие. Тогда Ул = Ха Л П Уд- При этом топология на Уд индуцируется с ХА.

Доказательство. Пусть X^Ua,-— открытое аффинное покрытие многообразия X. Тогда У — ^(УП^/) — открытое аффинное покрытие многообразия У. Согласно данным выше определениям Ул= U (^ Л Х^д. Но для замкнутого подмножества аффинного многообразия утверждение леммы, очевидно, выполняется. (Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть произвольное вложение X в качестве замкнутого подмножества в аффинное пространство; тогда мы одновременно получим замкнутое вложение У, и требуемое немедленно вытекает из определений.) Поэтому для любого i

(У Л х^А = xiA Л П (У л х^к = х1А Л П Уку, откуда

УА= и O*/)a = и Г^лЛПУку) =

iI К у "7

=(и^л)пПУкУ=^АлП^„.

Доказательство того, что топология на Уд индуцируется с ХА, предоставляется читателю в качестве упражнения (ср. доказательство непрерывности fA в лемме 1).

Упражнение. Показать, что если X — У X X, то ХА = Уд X Ха как топологическое пространство.

Работая с аделизациями многообразий и их морфизмов, полезно знать, какие наиболее употребительные свойства сохраняются или не сохраняются при переходе к адельным точкам. Ясно, например, что сюръективности морфизма f; X-*Y недостаточно для сюръективности соответствующей аделизации fA; Хд-* Ya (пример?). Тем не менее если многообразие Y неприводимо и для любого расширения F/К сюръективен морфизм fF; XF-*Yf соответствующих Дточек, то ^ также сюръективно. Действительно, применяя условие сюръективности к полю F = = K(Y) ^-определенных рациональных функций на У, мы получим, что для любой точки у е У имеется определенное в у локальное сечение морфизма /, т. е. такой рациональный ^-определенный морфизм gg; Y-*X, что fogy = idY, и можно воспользоваться следующим утверждением:

Предложение 3. Пусть f; Х-* У — определенный над К морфизм. К-многообразий. Если для. каждой точки у е У существует определенное в у локальное сечение (над К) морфизма f, то отображение fA; Хд-*Уд сюръективно.

Доказательство. Из условия вытекает существование такого открытого покрытия У = и У/ и таких ^-подмногообразий Xj с: X, что f осуществляет ^-определенный изоморфизм Xj и У/. (Действительно, в качестве У/ достаточно взять области определения всевозможных локальных сечений, а в качестве Xj — их образы.) Тогда в силу предложения 2 и леммы 3 имеем

fA(XA)=) U fA(XJA) = U YiA = YA.i i

В дальнейшем мы еще не раз встретимся с различными свойствами аделизаций морфизмов, однако в рамках настоящего параграфа мы на этом заканчиваем обсуждение адельных точек произвольных многообразий и переходим к наиболее важному для нас случаю линейных алгебраических групп.

Итак, пусть G— определенная над К линейная алгебраическая группа. Тогда G реализуется в качестве замкнутой ^-определенной подгруппы некоторой полной линейной группы GLn, и согласно лемме 4 для описания GA, фактически, достаточно описать ОЕпд. Для этого рассмотрим стандартную реализацию GLn в качестве гиперповерхности в А"+1:

GL ~ {(л:,,, ..., хпп, у) е А"2+11 у det (хц) — 1 = о}.

Тогда GL^ совпадает со множеством всех матриц из Мп(А), определитель которых обратим в кольце аделей Д,т. е. с GLn(A). Чтобы представить себе GLnA с точки зрения ограниченного топологического произведения, следует отметить, что здесь также GLngy совпадает с GLn(Oy), так что GLnA = GLn(A) является ограниченным топологическим произведением групп GLn(KV)

относительно выделенных подгрупп GLn (СА) для и г Ef. Другими словами, GLnA совпадает со множеством всех таких наборов # = (#„) е Ц G£„ (AJ, что ga лежит в GLnkOa) для почти всех v Е V*. Топология на GLnA выглядит следующим образом: базу открытых множеств образуют множества вида

и= П Uv х П GLAO\Y(3)

ueSи ^ S

где S — конечное подмножество Ел, содержащее Ей, элементам которого отвечают открытые подмножества U„ е GLn kKv) (отметим, что иногда с целью унификации обозначений полагают Od = Kd для УЕЕй, однако мы этого делать не будем). Подгруппа GLrtA(,S) = GLn(.A(.S')')= П GL„ (Kv) X П GLn к^^ наи е Sи ^ S

зывается группой S-целых аделей; для 5 = Ей группа СЬ^цз) обозначается через GLnA^ и называется группой целых аделей. Группа GLnK диагональным образом вкладывается в GL^, и ее образ, который мы обычно с ней отождествляем, называется группой главных аделей; она является дискретной подгруппой в GLnA. Приведенное нами подробное обсуждение основных адельных понятий применительно к группе GLn адресовано читателю, который впервые сталкивается с аделями алгебраических групп. Ему мы рекомендуем также обратиться к гл. V книги Хамфри [2], которая содержит введение в общую теорию адельных групп именно на примере групп GLn и SLn.

Распространение данных выше определений на произвольную замкнутую подгруппу G е GLn теперь не представляет труда. А именно, группа аделей GA определяется как ограниченное топологическое произведение всех групп GKu относительно выделенных подгрупп Gq^ = G П GLn k^v) для кеХ, т. е. Ga состоит из наборов ^ = (^и)еПСд таких, что ^и eGov для почти всех веЕ*. Топология на Ga является индуцированной с GLnA, и поэтому ее базу образуют множества, аналогичные (3). Относительно этой топологии группа GA является локально компактной топологической группой, а подгруппа главных аделей Gk (т. е. группа А-рациональных точек GK, диагонально вложенная в Сл) — дискретной подгруппой в Ga. Для любого конечного подмножества S е Ек, содержащего Ей, определяется подгруппа S-целых аделей Ga(s; = GsX П Go , где Gs = П Gk (очевидно, Сд(5) — открытое множество в Ga). При S = Ей мы пишем Gw 0= вместо G^yn, Сук- Обратим внимание на тот факт,

что группы Gov, а следовательно, и группа целых аделей G^(co) зависят от выбора матричной реализации G, поэтому, желая подчеркнуть, что целые точки берутся относительно решетки LcK", будем писать Сд^р подразумевая под этим Geo X X П Gyu, где Lv — соответствующая локализация решетки L

veV^ V

(см. § 1.5, п. 3).

В ряде случаев бывает удобно (и необходимо) рассматривать «усеченные» адели. Более точно, пусть S—произвольное подмножество в У У Тогда группа S-аделей Gas (аделей без S-компонент) алгебраической /(-группы G определяется как образ Ga при естественной проекции Ц Gr на И Gr . Таким образом,

и и и^З и

Gas состоит из наборов g^gje П GKy, таких, что ^eG5., и S

для почти всех и е У^ \ (У^ О S), и тем самым является ограниченным произведением групп Gr^ для у ^ S относительно выделенных подгрупп Ggy (у е У* \ S) как с теоретико-множе

ственной, так и с топологической точки зрения. Как и в случае полных групп аделей, для S-аделей можно рассмотреть диагональное вложение Gr с‘-» СА$, образ которого называется групственной, так и с топологической точки зрения. Как и в случае полных групп аделей, для S-аделей можно рассмотреть диагональное вложение Gr с‘-» СА$, образ которого называется группой главных S-аделей, и, кроме того, для любого подмножества Т с У\ содержащего S U У^, определить группу Т-целых S-аделей GA„m= п Gr X П Go Группа Gavk обозначается через ter\Sо^Т иксопой главных S-аделей, и, кроме того, для любого подмножества Т с У\ содержащего S U У^, определить группу Т-целых S-аделей GA„m= п Gr X П Go Группа Gavk обозначается через ter\Sо^Т иксоGa}Ga}и называется группой конечных аделей; при этом вместои называется группой конечных аделей; при этом вместогагамы пишем САмы пишем САС этими понятиями связано следу-С этими понятиями связано следу-

ственной, так и с топологической точки зрения. Как и в случае полных групп аделей, для S-аделей можно рассмотреть диагональное вложение Gr с‘-» СА$, образ которого называется груп

ственной, так и с топологической точки зрения. Как и в случае полных групп аделей, для S-аделей можно рассмотреть диагональное вложение Gr с‘-» СА$, образ которого называется груп

пой главных S-аделей, и, кроме того, для любого подмножества Т с У\ содержащего S U У^, определить группу Т-целых S-аделей GA„m= п Gr X П Go Группа Gavk обозначается через ter\Sо^Т иксо

пой главных S-аделей, и, кроме того, для любого подмножества Т с У\ содержащего S U У^, определить группу Т-целых S-аделей GA„m= п Gr X П Go Группа Gavk обозначается через ter\Sо^Т иксо

Ga}

Ga}

и называется группой конечных аделей; при этом вместо

и называется группой конечных аделей; при этом вместо

га

га

мы пишем СА

мы пишем СА

С этими понятиями связано следу-

С этими понятиями связано следу-

ющее важное

Определение. Говорят, что группа G обладает сильной аппроксимацией относительно множества S, если диагональное вложение GK <=♦ GAs имеет плотный образ (в терминах полной группы аделей это означает, что произведение GrGs, где Gs = = П Gr , плотно в G^. При 5 = Уй говорят об абсолютной сильной аппроксимации. '

Аналогично вводится понятие пространства S-аделей и определение сильной аппроксимации для произвольного алгебраического многообразия (при этом, естественно, имеют место аналоги всех предшествовавших результатов этого параграфа). Однако в отличие от случая алгебраических групп, где критерий сильной аппроксимации известен (см. § 7.4), для произвольных многообразий сильная аппроксимация только начинает изучаться (см. Минчев [1], Рапинчук [8]). Тем не менее использование самого понятия сильной аппроксимации для произвольных

многообразий позволяет получить некоторые упрощения, как видно, например, из доказательства следующего утверждения.

Лемма 5. Пусть U — определенная над К унипотентная группа. Тогда U обладает сильной аппроксимацией относительно любого непустого множества S.

Доказательство построено на следующем простом замечании. Если два ^-многообразия Л" и У бирегулярно изоморфны над К, то XK~YK, Xa$~YAs для любого S; поэтому Л" и У одновременно обладают или не обладают сильной аппроксимацией. (Вопрос для самоконтроля: сохраняется ли свойство сильной аппроксимации при бирациональных /(-изоморфизмах?) В нашей ситуации U бирегулярно изоморфна аффинному пространству (а именно, соответствующей алгебре Ли L{UV см. § 2.1, п. 8), поэтому достаточно установить сильную аппроксимацию для афинного пространства, где она немедленно вытекает из сильной аппроксимационной теоремы для поля К (см. § 1.2). Лемма доказана.

Другое важное понятие связано с подгруппами Сд^) и G^ h

целых и главных аделей Пусть GA = U GA^ xi G^ — разложе- t=i

ние группы аделей GA на двойные смежные классы по этим подгруппам. Тогда число h называется числом классов алгебраической группы G и обозначается через cl(G). Следующая теорема является одним из наиболее важных результатов главы.

Теорема 1. Число cl(G) всегда конечно.

Вычислением и оценкой чисел cl(G) мы будем заниматься в гл. VIII. Там мы, в частности, увидим, что из теоремы 1 вытекает большинство известных результатов о конечности, а именно: конечность числа классов идеалов поля, конечность числа классов в роде квадратичной формы и т. д. Теорема 1 является следствием теории приведения для групп аделей, которую мы изложим в § 5.2—5.3. А в завершение этого параграфа приведем несколько простых утверждений, которые позволят нам редуцировать доказательство теоремы 1 к случаю связных редуктивных групп над Q.

Предложение 4. Пусть G = HN— полупрямое произведение подгруппы И и нормального делителя N {все определено над К). Предположим, что N обладает свойством абсолютной сильной аппроксимации. Тогда cl (G) ^ cl (И). В частности, для группы, обладающей абсолютной сильной аппроксимацией, число классов всегда равно единице.

Доказательство использует следующую лемму.

Лемма 6. В описанной ситуации NA является нормальным делителем в GA и GA = НАМА — полупрямое произведение.

Доказательство использует то же наблюдение, что и лемма 5. Так как G^H^N как многообразие, то Ga~Ha'XsNa, т. е. Ga=HaNa. Утверждение о нормальности NA в Ga очевидно.

Для любого х е Ga подгруппа х-^Кд^х открыта в NA. С другой стороны, поскольку N обладает абсолютной сильной аппроксимацией, произведение N^Nr плотно в NA. Поэтому для любого yeNA открытое множество Ц~Wa^x)у обязано пересекаться с NooNk, откуда

Na = (х" W^oojx) NooNk = (х“ Wx(oo)x) Nr, (4) ибо N„ является нормальным делителем в GA, содержащимся в Na^<x,). Полагая х = 1, получаем NA = Na^Nr, так что из (4) вытекает соотношение

xNa(oo)Nr — N a(<x,)xNr

для любого хе Од. Поэтому, используя лемму 6, получаем

Ga — Н aN А = И aN a^)N r = Na^HaNr.

Если теперь Нд = |J Н a^xiHr, то Ga = [J Na^Ha^XiHrNr = = U Ga^XiGr, откуда и следует требуемое. Предложение 4 доказано.

Предложение 5. Пусть G— К-определенная алгебраическая группа, G0 — ее связная компонента. Тогда факторгруппа GaIG°a компактна.

Доказательство. Так как G0 имеет конечный индекс в G, то для любого и найдется такое конечное подмножество Су е Grv, что Gr =CvG°r Более того, как мы покажем ниже, для почти всех и е¥^ такое подмножество можно найти уже в группе Gfly. В этом случае С=П С„ лежит в группе СЛ($) для подходящего конечного S и, следовательно, компактно в адельной топологии, ибо последняя совпадает на Сл(5) с топологией прямого произведения. С другой стороны, очевидно, Ga = CGa, и требуемое доказано.

Итак, осталось показать, что Grv = GovG°rv для почти всех у е yf. Для этого воспользуемся следующим фактом, в справедливости которого мы убедимся в § 6.2: если Н — связная алгебраическая группа над полем алгебраических чисел К, ЦК — некоторое конечное расширение Галуа, то для почти всех v е Vf и w\u имеем Нх ^ЬЦКи, HoL )=1, где Olw — кольцо целых ty-адических чисел в Lw. В нашей ситуации существует такое конечное расширение Галуа ЦК и такое конечное подмножество СсЦ что G = CG°. Исключая из рассмотрения

конечное число уеУщ можно считать, что морфизм G —-* G/G0 определен над Оу и для любого w | у имеем С с: Go, и Н (Lw/Kv, Gql )=1. В частности, имеет место точная последовательность.

l^G^ ->GOl ~>(GIG\ ^1. (5)

Переходя в (5) к когомологиям (см. точную последовательность (7) в § 1.3), получим, что л (Go^ = (G/G°)g . Но по построению (G/G%, = №)L , откуда (G/G% = (G/G% . Поэтому л (Gk ) с c=(G/G°)„ = (G/Go)0 = л(Су ), и, следовательно, Gk = G^ Gk . Предложение 5 доказано.

Наконец, исследуем, как действует на адели конструкция ограничения основного поля (см. § 2.1, п. 2). А именно, пусть G — линейная алгебраическая группа, определенная над числовым полем К, [А : Q] = d. Зафиксируем некоторый базис дц, ... ..., tod кольца целых (7 над Z и с его помощью построим группу Н = Rk/q (G). В п. 2 § 2.1 мы отмечали, что для любого простого р имеют место согласованные изоморфизмы

(6)

Hz П Go (7)

° V|p и и, кроме того,

HR ~ Goo. . (8) Отсюда вытекает

Предложение 6. В приведенных выше обозначениях существует естественный изоморфизм Haq~Gak, продолжающий .изоморфизм Hq~Gk- При ЭТОМ На^Щ^^Сац^У

Отметим, что при другом выборе базиса (Ор ..., ш^ поля К над Q группа Н меняется на группу Н', которая А-изоморфна Н, и поэтому всегда Haq~Gak. Это связано с тем обстоятельством, что изоморфизмы (6) и (8) остаются справедливыми и для Н', а изоморфизм (7) выполняется для почти всех р. Ясно также, что если top . . ., ю^ не является базисом O[Z, то, вообще .говоря, На^^ ар. Gn^(oo).

Теория приведения для Ga относительно GK

Как мы видели в предыдущем параграфе, группа Gk яв- .ляется дискретной подгруппой в Ga, и поэтому естественно ставить вопрос о построении теории приведения для Ga относи- -тельно GK. В настоящем параграфе мы укажем конструкцию со-

ответствующих фундаментальных множеств, из которой выведем доказательство теоремы 1, а также критерии того, когда пространство GA/GK компактно или имеет конечную меру. Прежде всего дадим определение фундаментального множества для адельных групп.

Определение. Подмножество O.cGa называется фундаментальным множеством для GK, если

(Р1)л ЙС^ = СЛ;

(Р2)л пересечение Й-1ЙПОК конечно.

Читатель, безусловно, отметит полную аналогию между указанными адельными условиями и условиями (F1) и (F2) из определения фундаментального множества для арифметических групп (см. § 4.3). В действительности связь здесь более глубокая, нежели простое внешнее сходство. А именно, построенные в гл. IV фундаментальные множества для арифметических групп входят в качестве вещественных компонент в адельные фундаментальные множества. Это видно уже из рассмотрения простейшего случая G = GLn над Q.

Предложение 7. Пусть G = GLn над полем Q и 2 — фундаментальное множество для Gz в Go. Тогда й — 2 X П Gz — фундаментальное множество для Gq в GA.

Доказательство. Прежде всего покажем, что cl(G)= 1, т. е. Ga = Ga^Gq. Группа G представляется в виде полупрямого произведения G=SH, где S ={diag(a, 1, ..., 1)} — одномерный тор, Н = SLn. Очевидно, группу SA можно отождествить с группой J- иделей поля Q; при этом SA(OC) переходит в группу 7q(oo) целых иделей. Так как число классов идеалов поля Q равно единице, то Jq = Jq (оо) Q* (см. § 1.2, п. 2) и, следовательно, Sa = Sa(co)Sq, т. е. cl(S)=l. С другой стороны, для группы Н имеет место абсолютная сильная аппроксимация. Это следует из критерия сильной аппроксимации, который мы установим в § 7.4, но можно дать и элементарное прямое доказательство. Для этого обозначим через Ui, (i, j = 1, ..., п; i #= j) подгруппу в Н, состоящую из соответствующих элементарных матриц. Так как Uij обладает абсолютной сильной аппроксима

чисел. Но из определения адельной топологии вытекает, что объединение IJgs плотно в Нд, и поэтому Нq = На Приме-чисел. Но из определения адельной топологии вытекает, что объединение IJgs плотно в Нд, и поэтому Нq = На Приме-цией (лемма 5), то замыкание Hq группы Hq в Нд{ содержит все группы (Д;;-)л . Учитывая, что для любого поля L матрицы из (U^l порождают HL, получаем, что Hq содержит все группы Н$ = П Н п , где S — некоторое конечное множество простых p^s р

чисел. Но из определения адельной топологии вытекает, что объединение IJgs плотно в Нд, и поэтому Нq = На Приме-

чисел. Но из определения адельной топологии вытекает, что объединение IJgs плотно в Нд, и поэтому Нq = На Приме-

няя теперь предложение 5, мы и получим требуемое равенство

cl(G) = 1. (Если рассматривать группу G = GLn над произвольным полем К, то здесь cl(G) совпадает с числом кк классов идеалов поля К", см. § 8.1.) Теперь уже легко завершить доказательство предложения. Так как SGz^Gr, то QGz = GrX X П Gz = Сл(со). Поэтому QGq = QGzGq = Ga^Gq = Ga. Если p p

же g e П Gq, to о e Gzp для всех p, и, следовательно, g e e Gz. С другой стороны, проекция на вещественную компоненту дает g g S-1S и, следовательно, возможностей для g имеется лишь конечное число (см. условие (F2) в определении фундаментального множества для арифметических подгрупп).

Как видно из доказательства предложения 7, фундаментальные множества указанного там вида существуют всякий раз, когда cl(G)=l. Их характерная особенность — компактность проекции на неархимедову часть. Ниже мы увидим, что построить фундаментальные множества с таким свойством можно и в общем случае, и именно это приведет нас к доказательству теоремы конечности 1.

Методология построения фундаментальных множеств в группах аделей произвольных групп подобна той, которую мы применяли в гл. IV к аналогичной задаче для арифметических подгрупп, т. е. основывается на лемме 2 гл. IV. Разница заключается лишь в том, что здесь приходится работать с действиями групп не на векторных пространствах, а на их аделизациях. Для этого отметим, что действие алгебраической К-группы G на алгебраическом К-многообразии X, т. е. соответствующий морфизм GXX-*X, индуцирует непрерывное отображение (GXX)A = = GAX ХА~* ХА, т. е. непрерывное действие GA на аделизации ХА. Кроме того, для as GLn(R) обозначим через а” адель из GLn(Ao) с компонентами

и (а, у = оо.

Предложение 8. Пусть G с GLn— редуктивная Q-определенная группа, Q — фундаментальное множество из предложения 7, отвечающее области Зигеля 2 —Stu, /^2/V3> у ^1/2 (см. § 4.2). Тогда найдутся такие de GLn(R), bi, ..., bre ■e GGra(Q), что множество

/ rX

A = ( U a°°^z) f) Сл(1)

v = i/■

является фундаментальным для Gq в GA.

Доказательство. Согласно теореме 2.15 найдется такое Q-on- ределенное представление р: GLn-* GLm и вектор aeQm, что •орбита этого вектора относительно GLn замкнута, а стационарная подгруппа совпадает с G. Далее, выберем aeGLjR) та-

ким образом, чтобы группа a~lGa была самосопряженной (теорема 7 гл. III). Тогда пересечение и(а°°й)П yGGra(Q) конечно. (Здесь и далее рассматривается действие группы GLn(A) на пространстве аделей Ат, индуцированное р.) В самом деле, достаточно показать, что пересечение М = и (а°°й) П Qm конечно. Из определения й и непрерывности рд вытекает, что проекции всех элементов из и (а°°й) на А™ лежат в некотором компактном множестве. Отсюда следует, что /И с у Zm для подходящего целого /. Но тогда IM с (/и) 2 П Zm, а последнее пересечение конечно в силу предложения 5 гл. IV.

Если теперь и (а°°й) П vGLn (Q) = (и^!, . .., иЬД, bj е GLn^, то применяя лемму 2 главы IV, с учетом предложения 7 получим, что множество А вида (1) является фундаментальным для Gq в Од. Предложение 8 доказано.

Теорема 2. Пусть G— редуктивная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел К. Тогда в Ga для Gk существует фундаментальное множество с компактной проекцией на неархимедову часть.

Доказательство. Пусть Н = Rk/q(G) — группа, получаемая из G ограничением основного поля. Тогда согласно предложению 8 в НAq существует фундаментальное множество относительно Hq вида (1), которое имеет компактную проекцию на неархимедову часть (ибо этим свойством обладает фундаментальное множество й, построенное в предложении 7). Используя изоморфизм Нл^—Ga (см. предложение 6), его можно перенести в Ga, что и дает искомое фундаментальное множество для Gk в Ga.

Доказательство теоремы 1. Пусть вначале группа G связна. Рассмотрим разложение Леви G = HU, где U = RU(.G')— унипотентный радикал G, а /(-группа Н редуктивна (теорема 2.3). Тогда из предложения 5 с учетом леммы 5 вытекает, что cl(G)^ ^cl(//), и достаточно установить конечность с!(//). Для этого используем фундаментальное множество А с НД, построенное в теореме 2. Так как А имеет компактную проекцию на неархимедову часть, то для подходящего конечного набора хц ..., хг

элементов из НА справедливо включение А с J Ha^xi. Но - i = i

тогда На = АНК = U Н a^xiH к, и поэтому с!(//) конечно.

i = i

Пусть теперь группа G произвольна. Так как конечность cl(G°) уже доказана, то найдется такой конечный набор хц ... - •., хг элементов из G°, что G°— U G^(oo)x.G^. С другой стороны, из предложения 5 вытекает существование компактного

множества D cz GA со свойством Ga = DGa. Тогда D содержится, в объединении конечного числа сдвигов Сд^, т. е. D с.

<= U0^(„,»y. те ^^G, Имеем

О л = ОЧ = О, yU сл,„,»,4мд.4.

поэтому достаточно показать, что для любых х, у е GA множество GAWyGA^xGK содержится в объединении конечного числа двойных смежных классов вида Ga^zOr, z е Ga. Воспользуемся следующим фактом.

Лемма 7. Для любого yeG- группы Од^ и уйд^у"'

соизмеримы.

Доказательство. Обозначим через у^ и у^ проекции у на G^ и Ga^ = Ga ^ соответственно, и пусть U = СЛ (со). Тогда G д^ = = GOOXU и yGAl^.y~ ' = (уХ^у;Х)ХДуфД^ Но группы U и У^у^ являются открытыми компактными подгруппами в Од и поэтому соизмеримы. Поэтому группы Од^) и уОд^у-1 также соизмеримы.

Таким образом, для любого у е GA найдется такой конеч- t

ный набор элементов {2.}'=,сСл. что уОд^у-' cz U Ga^zi.

Тогда

t

Ga^yGav^xGк — Gа^ДуОа^соД ^ухОк.^— LJ GA^^ziyxG^.

i=\

Доказательство теоремы 1 завершено.

Замечание. Очевидная модификация рассуждений позволяет доказать следующее обобщение леммы 7: если f; G->G'— определенный над К изоморфизм, то группы Од^) и /(Ощоо)) соизмеримы. Учитывая, что Go = Gai^ П Gr, отсюда легко получить другое, «топологическое» по своей природе, доказательство предложения 4.1 об инвариантности арифметических подгрупп.

Используя теорему 1, можно post factum показать, что конструкция фундаментальных множеств, содержащаяся в предложении 7, является на самом деле универсальной..

Предложение 9. Пусть G— произвольная К-группа. Если В — фундаментальное множество в 0= относительно Go (см. § 4.7), то существует такое компактное подмножество СсОа?, что ВДС является фундаментальным множеством в GA относи-- тельно Сю.

Доказательство. Пусть GA = U СЛ(со)хгО^, причем можно без ограничения общности считать, что (х^ — е для всех Z, т. е.

xt г GA. Положим 0 = 0^^, С = |J Ux^. Тогда, учитывая соотношение Go= = BGe, легко показать, что для множества Й = В\С выполняется условие (Р1)л, т. е. GA = QGK. Проверим теперь условие (Р2)л. Пусть хе Q-'Q П GK. Проектируя на ■Одр будем иметь xeD = C"'C. Зафиксируем матричную реализацию G cz GLn группы G. Тогда множество D является компактным подмножеством в Мл(Л/;), откуда без труда вытекает существование такого целого d, что d^D ^\ МДКУП^ МДОУ. в частности, dx е Mn^PY При этом одновременно х-1 еД, и поэтому также dx~l е Мп ((У). Тем самым хе Gd = {g е GK\dx, dx~x ^. Мп(С)}. Рассмотрев теперь проекцию на Geo, будем иметь х е В~1В П Gd. Но последнее пересечение конечно в силу очевидного обобщения леммы 4.8 на кольца целых алгебраических чисел. Предложение 9 доказано.

Помимо теоремы 1, построение фундаментального множества в Ga относительно GK позволяет получить еще ряд важных результатов. Те из них, которые связаны с компактностью или конечностью объема фактор пространств a GA/GK, мы рассмотрим в следующем параграфе, а в настоящем установим адель- ный вариант теоремы 9 гл. IV.

Теорема 3. Пусть Н— редуктивная К-определенная подгруппа редуктивной К-группы G. Положим X = G/Н и обозначим через ст каноническую проекцию G—-X. Тогда пересечение Са (04)П Х-к состоит из конечного числа орбит группы Ок-

Доказательство. Рассматривая группы G' = Rk/q(G\ Н'— = Кк!РН^ замечая, что многообразие X' = Rk/q (V) совпадает с факторпространством G'/Н', мы с помощью предложения 6 легко получаем редукцию к случаю К = Q. Дальнейшие рассуждения основаны на уже традиционном для нас использовании такого Q-определенного представления р: GLn-^~ GLm (где G cz GLnY что существует точка и е Qm с замкнутой орбитой относительно р(С£л), стабилизатор которой в С£л совпадает с Н. Тогда орбита У = ир(О) также замкнута и является геометрической реализацией X, т. е. существует /(-определенный G-эквивариантный изоморфизм X ~У. Отсюда следует, что наша задача сводится к доказательству того, что пересечение урД (Сд) П Qm состоит из конечного числа орбит группы Gq. Но Од = AGq, где А — фундаментальное множество, построенное в предложении 8, и достаточно установить конечность пересечения vp?1(A)nQm. Для этого вспомним, чтоА = [ |J a°°Qb£) П '\i=i/

П Од в обозначениях предложения 8. Здесь матрица аЕ е G£„(R) выбиралась исходя из единственного условия: группа a~vGa должна быть самосопряженной. Поэтому можно специализировать выбор, потребовав дополнительно, чтобы группа

а~хНа также была самосопряженной (теорема 8 гл. III). Поскольку bi е GL„(Q), то

vPa (А) П С" = U vPa №lbi) П Ga) П Qm с иРл (a°°Q) П Qm >=1

Но конечность последнего пересечения мы уже фактически установили при доказательстве предложения 8 (с заменой G на Н). Теорема доказана.

В гл. VI мы дадим когомологическую интерпретацию теоремы 3, суть которой состоит в том, что для любой алгебраической /(-группы G ядро канонического отображения когомологий Галуа НХ(К, G) —> JJ № (К„, G) конечно (см. § 6.4).

В заключение параграфа мы выведем из теоремы 1 утверждение о конечности числа двойных классов специального вида, которые встречаются при построении фундаментальных областей для арифметических подгрупп (см. § 4.7). Итак, пусть G — связная /(-определенная группа, Р— ее ^-определенная параболическая подгруппа. Тогда факторпространство X = G/Р является проективным многообразием. Отсюда следует компактность соответствующего адельного пространства Ха. В самом деле, в силу леммы 4 достаточно установить компактность пространства аделей Рд для «-мерного проективного пространства Р". Чтобы определить Ра, рассмотрим открытое аффинное покрытие Р"= [J U:, где U; состоит из таких х = (хо: ... :x„)g 1 = 0

е Р", что Xi N= 0, причем изоморфизм Ui =± А" задается соответствием (х0 :...: х„) >—>(x0/xz, . .., xi_x!xt, xi+ilxlt ..., х^х^. Если теперь ve^, х = (х0: х„) е Р"о и | xjo = max | х; |о, то, очевидно, xe.Uioo, откуда Р£ = Ру . Поэтому пространство Ра совпадает с прямым произведением Ц Р^ , и, следовательно, компактно, ибо компактны все Р^о (см. § 3.1). Далее, известно (см. Борель, Титс [1]), что каноническая проекция ст: G-э-X = G/Р обладает /(-определенным рациональным сечением. Используя плотность GK в G (теорема 2.2), отсюда легко получить, что в нашей ситуации выполнены условия предложения 3, и поэтому отображение gv. Од-^Хд сюръективно. Тем самым Ха можно отождествить с Ga/Pa, равно как и Хк с Gk/Pk- Теперь у нас есть все необходимое для доказательства следующего результата.

Теорема 4. Пусть G—связная ^-определенная группа, Р — ее К-определенная параболическая подгруппа. Тогда число v(G,P) двойных смежных классов в разложении группы Gк по

подгруппам Go и Рк (или, эквивалентно, число орбит группы. Go на Хк( конечно.

Доказательство. Установим вначале конечность числа различных двойных смежных классов в разложении

Ga = У G д^Х^^.^)

Выше мы видели, что пространство аделей ХА факторпростран- ства X = G/Р является компактным; с другой стороны, ХА может быть отождествлено с GA/PA. Отсюда вытекает, что для подходящего компакта Сс G,4 имеем GA = СРА. Далее, существуют такие конечные наборы у\, ..., yr^GA и 21, ..., zs G е РА, что

с с Д Сд^Ур

Р А = Д РА^2^ К’

и тогда 6Л = Д у^Од^у^д^г^^ Поэтому достаточно показать, что любое множество вида Од^уРд^гРк содержится в объединении конечного числа классов вида GA^xPK. Имеем

G д^уР a^zP к cz Gд^уОa^zPк = GAW (yGар=>У~хУу2Рк.

Но группа уОд^у-1 соизмерима с Сщсо) (лемма 7), поэтому yGA^y-1 с U 0д^а1 для некоторого конечного набора {«<}/=, С6Л. Тогда d

Gд^уРavoo^Pк Д G д^а^гР^,

что и требовалось. Из конечности числа различных классов в (2) вытекает существование такого конечного набора {^}/_i с сби, что

Gj< с (J Ол^^Рк.,/=1dGj< с (J Ол^^Рк.,/=1dddd

Gj< с (J Ол^^Рк.,/=1d

Gj< с (J Ол^^Рк.,/=1d

d

d

откуда GK = U (Оа^=)Г\Ок')11-Рк= U GotjPK, что и требовалось.

/-1/=1

Теорема доказана.

В § 4.7 мы отмечали, что для связной Q-группы G число v(G, Р') двойных смежных классов Gz\Gq/Pq, где Р—минимальная Q-определенная параболическая подгруппа, интерпретируется как минимальное число вершин фундаментальной области в Gr относительно Gz. Оказывается, что, с другой стороны, это число связано с числом классов группы Р.

Предложение 10. Предположим, что cl (G) = 1 и G^ = ОощРк„ для всех и е Vf. Тогда v (G, Р( = cl (PY

Доказательство. Сначала покажем, что в случае cl (G) = 1 число v(G, В) совпадает с числом d двойных смежных классов d

в разложении G А = |J GA^xtPK (см. доказательство теоремы 4).

Действительно, несложная проверка показывает, что соответ- е„

ствие G.xPK *—* Оа^хРк задает инъекцию множества двойных смежных классов Go\Gk/Pk во множество Од^Од/Рк, причем образ 0 состоит из тех классов Од^хР^ которые пересекаются с GK- Но если cl (G) = 1, т. е. GA = GA^GK, то всякий класс такого вида пересекается с Ок и, значит, 0 сюръективно. Вычислим теперь d другим способом. Для этого заметим, что из условия Ока = GffvPKv Для всех и е У^ вытекает соотношение ОА = Од^Рд, и поэтому любой класс ОА^хРк допускает представителя из РА. При этом если ОА^хРк = Од^уРк, где х, у е РА, то Рд^хРк = Рд^уРк, и, следовательно, d = cl(B). Предложение 10 доказано.

Пример. Пусть О = SZ2 над полем К. Возьмем в качестве параболической подгруппы Р подгруппу Бореля В с G, состоящую из верхних треугольных матриц, и покажем, что для О и Р = В выполнены условия предложения 10. Равенство ci(G) = l является следствием предложения 5 и сильной аппроксимации для группы G, которую мы установили при доказательстве предложения 7. Равенство Gku=GouBku проверяется прямым вычислением. В самом деле, если х= (“ ^ ) е SL2 (К^, то существуют такие у, б е GT, одновременно не лежащие в у0, что уа + бс = = 0. Далее, найдутся а, р е ОУ, для которых матрица у = ( “ ^ лежит в SLi (G’y). Тогда прямое вычисление показывает, что ух е Вку. Применяя теперь предложение 10, получаем, что в рассматриваемой ситуации мы должны иметь равенство v(G, В) = cl (В). Представляя В в виде полупрямого произведения одномерного тора Т = {diag(a, а-1)} и группы U верхних унипотентных матриц и используя очевидное равенство Вд^) = = ТА{^Ua(со), легко показать, что cl(B) = с1(Т) (ср. доказательство предложения 4). Но Т ~ Gm и поэтому с1(Т) = [/« : ;JK(oo)K*A совпадает с числом классов идеалов Нк поля КС другой стороны, по определению v(G, В) совпадает с числом орбит группы Gy на пространстве Хк, где X = G/В. Так как в нашей ситуации Х^р1, то в итоге мы приходим к следующему результату: число орбит естественного действия группы ЗЕг^О^ на проективной прямой Рд над полем К совпадает с числом классов идеалов hK поля К. (Последний факт можно доказать и непосредственно, см. Серр [7]).

Критерии компактности и конечности объема факторпространства GA)GK

Теорема 5. 1) Пространство Ga/Gk компактно тогда и только тогда, когда редуктивная часть связной компоненты G° анизотропна над К.

Пространство Ga/Gk имеет конечный инвариантный объем в том и только том случае, если X (G0)^ = 1-

Доказательство. Поскольку подгруппа GK дискретна в GA, то инвариантная мера на пространстве GA/GK существует в том и только том случае, если группа GA унимодулярна (см. § 3.5). Покажем, что последнее эквивалентно унимодулярности Goo. Факторпространство F = Gx/G^, являясь компактной топологической группой (см. предложение 4), обладает конечной Од-ин- вариантной мерой, следовательно, ограничение функции модуля \Ga на С°Д совпадает с Асо (теорема 3.17). В частности, из унимодулярности GA вытекает унимодулярность 0°д- Обратно, если предположить, что группа С°д унимодулярна, то Кег АОд содержит G^, и поэтому Адл индуцирует непрерывный гомоморфизм F в R>0. Но R>0 не имеет нетривиальных компактных подгрупп, откуда Ацд=1. Мы показали, что унимодулярность группы Ga равносильна унимодулярности группы 0°д. То же самое можно сказать об унимодулярности групп G^ и G^, ибо факторпространство G^JG^ конечно. Поэтому мы имеем возможность с самого начала считать группу G связной. Тогда меру Хаара на GA можно построить при помощи левоинвариантной /(-определенной рациональной дифференциальной формы со на G степени п = dim G. Более точно, для каждого у е Vх форма ш индуцирует левоинвариантную меру со„ на 0Ку, как описано в § 3.5. Выберем числа Ху для и е vf, (называемые множителями сходимости) таким образом, чтобы произведение П ^„a)^ (Gyy) абсолютно сходилось (можно, например, положить Ху = Ijtoy (Gy„)). Тогда, рассматривая GA как ограниченное топологическое произведение групп ОКц относительно выделенных подгрупп Оду, мы с помощью конструкций из § 3.5 получаем меру Хаара т на группе GA. Мера т называется мерой Тама- гавы, отвечающей системе множителей сходимости Х = (Ху). (Отметим, что т на самом деле не зависит от выбора формы о. Действительно, любая другая левоинвариантная /(-определенная рациональная дифференциальная форма ю' имеет вид со' = = сю, где с е К*, и тогда для любого и е VK соответствующая мера со' связана с мерой ю0 соотношением го'= || с |£ ю„,

где || ||0 — введенное в § 1.2, п. 1 нормализованное нормиро

№н")№н")вание. Поэтому если строить меру V при помощи со' с той же

№н")

№н")

т = т в силут = т в силусистемой множителей сходимости, то т' =

т = т в силу

т = т в силу

формулы произведения (см. § 1.2, п. 1).) Из конструкции меры т вытекает, что группа G4 унимодулярна в том и только том случае, если унимодулярны все группы СКв- Но согласно теореме 18 гл. III унимодулярность группы GKa для какого-либо и эквивалентна правоинвариантности формы со, и тогда группы GKy унимодулярны для всех и. Отсюда следует, что группы Ga и Geo одновременно являются или не являются унимодулярными.

Дальнейшие рассуждения равным образом применимы к доказательству пунктов 1) и 2) теоремы. Согласно предложению 9 в Од относительно GK всегда существует фундаментальное множество вида й = В X С, где В cz G^ — замкнутое фундаментальное множество относительно Ga, С с Gai,-»)—некоторый компакт. Из свойств фундаментального множества вытекает, что компактность пространства GA/GK равносильна компактности й, т. е. компактности В. Аналогично, существование фундаментального множества конечного объема равносильно конечности объема В. Так как группы Geo и Од унимодулярны одно

временно, то мы получаем следующие эквивалентности:

^GAjGK компактно} -фф- {G^jGg компактно}

имеет конечный GaIGk инвариантный объемимеет конечный GaIGk инвариантный объемимеет конечный G^Ge инвариантный . объемимеет конечный G^Ge инвариантный . объем

имеет конечный GaIGk инвариантный объем

имеет конечный GaIGk инвариантный объем

имеет конечный G^Ge инвариантный . объем

имеет конечный G^Ge инвариантный . объем

Поэтому утверждения 1) и 2) теоремы 5 следуют из соответствующих пунктов теоремы 17 гл. IV.

Хорошо известно, что множители сходимости, участвующие в определении меры Тамагавы, можно выбирать некоторым каноническим образом; в частности, для полупростой группы G они вообще не нужны (т. е. можно положить А = 1 для всех и). Тогда инвариантный объем (если он существует) пространства Ga/Gk относительно получаемой таким образом меры Тамагавы называется числом Тамагавы группы G и обозначается через t(G). Рассмотрим один пример.

Пример. Пусть G = SL2 над полем Q. Покажем, что t(G) = = 1. Рассмотрим дифференциальную форму со на G, которая относительно координат х, у, z матрицы X = ^ ^ ) е G записывается в виде со = у dx Д dy Д dz. В § 3.5 мы видели, что эта форма является левоинвариантной рациональной формой на G. Там же мы подсчитали, что для соответствующей меры Хаара

<ор на группе ST2(QP) объем <op(ST2(Zp)) равен 1 — р~2. Тогда лроизведение П о)р (SL2 (Zp))~ 1 имеет вид эйлеровского разло- р

жения для дзета-функции Римана £ (з) в точке з = 2, и поэтому произведение Ц юр (SL2 (Zp)) абсолютно сходится к зна- р

чению Л2)-1 (в частности, множители сходимости здесь действительно не нужны). Пусть теперь 2 — фундаментальная область в £Л(Л относительно ST2(Z), построенная в примере из § 4.6. В § 3.5 мы показали, что в терминах координат ф, а, и на ST2(R), доставляемых разложением Ивасавы, дифференциальная форма со записывается в виде adqdadu, и поэтому для соответствующей меры Хаара Юсо на группе 5Л(Л вычисления д2

приводят к значению со^ (2) = -$-. Остается заметить, что, рассуждая как и при доказательстве предложения 7, легко показать, что й = 2 X П SL2 (Zp) является фундаментальной об- р

ластью в Ga относительно Ок, т- е. для нее выполняются условия 1), 2') из § 3.5, так что т (О) = со^ (2) X Д ®Р (SL2(Zp)) =

22 Р

= -^g(2) ‘=1, ибо значение ^(2) равно -^ (см. Серр [8]).

В данном примере оказалось возможным в явном виде указать фундаментальную область в ОА относительно Ок и вычислить ее объем, что привело нас к значению числа Тамагавы т(О). В общем случае такие построения нереальны, однако сама задача вычисления т(О) представляется очень важной. Это в особенности стало ясно после того, как Кнезер и Тамагава независимо заметили, что для О = SOn(f), где f — невырожденная квадратичная форма от п переменных с рациональными коэффициентами, равенство t(G) = 2 совпадает по существу с одним из основных результатов Зигеля по аналитической теории квадратичных форм (формула для веса рода) (см. лекцию Кнезера в [АТЧ]). Согласно теореме 5 для полупростой группы О число т(О) конечно, и основные усилия были направлены на вычисления чисел Тамагавы для полупростых групп над числовым полем К. Как показал Оно [8], [10], на самом деле достаточно вычислить одно число Тамагавы для каждого класса изогенных групп. Точнее, имеет место следующий изящный результат: пусть О — полупростая К-группа, л: G-^G— универсальное К-определенное накрытие, К=Кегл— фундаментальная группа G и X(F)— ее группа характеров; тогда т (G) = т (G) ., ^х ^^ , где h° (X (F)) = \Н° (К, X (Л)] = [X (ЛЛ, г1 (х (Л) — порядок ядра канонического отображения НХ(К, X (F)) -> П Hv (Ки, X (F)).

Таким образом, достаточно вычислить t(G) для всех односвязных групп. А. Вейль выдвинул предположение, ставшее затем известным как гипотеза Вейля, о том, что для односвязной группы G число Тамагавы t(G) равно 1. В работах Вейля [4], [5] был развит метод вычисления чисел Тамагавы, использующий индукцию, вычеты некоторых аналогов дзета-функций, формулу суммирования Пуассона и позволивший доказать эту гипотезу для многих классических и некоторых исключительных групп. Затем Марс [3], [4] вычислил число Тамагавы для унитарных групп типа Ап и тем самым завершил доказательство гипотезы Вейля для классических полупростых групп над числовыми полями. Для групп Шевалле унифицированное доказательство гипотезы Вейля было дано Ленглендсом (см. его статью в сборнике «Арифметические группы и автоморфные функции»), Лэй [1], [2] вычислил t(G) для квазиразложимой группы G. Полное доказательство гипотезы Вейля было получено совсем недавно Коттвицем [3] по модулю справедливости принципа Хассе для когомологий Галуа полупростых односвязных алгебраических групп. С другой стороны, Черноусов [6] завершил доказательство принципа Хассе, рассмотрев случай групп типа £8 (см. гл. VI). Тем самым к настоящему времени гипотеза Вейля уже доказана в общем случае.

Для более общих редуктивных групп, чем полупростые, данное выше определение чисел Тамагавы нуждается в модификации, ибо в ряде важных для приложений случаев (например, для одномерного разложимого тора Gm) объем факторпространства Ga/Gk бесконечен. Это обстоятельство заставляет нас предпринять поиск других однородных пространств, тесно связанных с группой аделей, но имеющих конечный инвариантный объем. Так как препятствием к конечности объема Ga/Gk является существование нетривиальных /(-определенных характеров, т. е. наличие /(-разложимого тора в виде почти прямого сомножителя, то естественно начать рассмотрение с одномерного /(-разложимого тора S = Gm. Здесь группа S4 изоморфна группе Jk иделей поля К. Факторпространство Jk/K*, разумеется, некомпактно, но классический результат алгебраической теории чисел (см., например, Ленг [2]) утверждает, что компактным будет факторпространство7^//(*, где /^ — группа специальных иделей (т. е. ядро гомоморфизма ск: JK—>R>0, ск ((хо)) = Ц|| ху ||а

(см. п. 1 § 1.2)). Определить аналог группы А в общей ситуации можно следующим образом. С каждым характером %G G Х(С)К свяжем непрерывный гомоморфизм ск (%): 0л^-Р>а по формуле сН%)(Ы = ПИ%(^)110. Тогда по определению

положим

GU^ П КегС/<(х).

XeX(G)/(

Ясно, что бесконечное пересечение здесь можно заменить конечным, ибо если хь •■■, Хг образуют базис X(G)к, то О^1 =

= р Ker ск (xj- Читатель в качестве упражнения может пока- i=i

зать, что последнее соотношение остается в силе, если хь . •., Хг порождают подгруппу конечного индекса в X(G)^. Из формулы произведения вытекает включение G^ zd Gk.

Теорема 6. Пусть G— связная ^-определенная группа. Тогда группа G^ унимодулярна и факторпространство G^/GK имеет конечный инвариантный объем.. Оно компактно в том .и только том случае, когда полупростая часть G анизотропна над К.

(Отметим, что последнее условие можно также переформулировать в виде: каждый унипотентный элемент из Gk лежит в унипотентном радикале G. Кроме того, если группа G связна и X (G)^ — 1, то G^> = СД, и поэтому для связных групп теорема 6 является обобщением теоремы 5.)

Доказательство удобно начать с редукции к случаю К = Q. Пусть 77 = Rk/q(G)— группа, полученная из G ограничением р

■основного поля. Покажем, что изоморфизм Gak oh. Haq из предложения 6 индуцирует изоморфизм G^ ~ ^Aq- Для этого заметим, что любой /(-определенный характер х: G -► Gm индуцирует морфизм x = Rk/q(x): Н -^Rk/q (Gm). Беря композицию х с норменным отображением N: Rk/q (Gm)-> Gm, мы получаем характер х = П о % е X (H)Q. При этом, используя разложение (4) из § 2.1, легко показать, что сопоставление х1-^"^ определяет изоморфизм ту. X (G)^—>Х (H)Q соответствующих групп характеров. Из конструкции т| вытекает коммутативность диаграммы

GK —^-> HQ

к- у

для любого характера /е X(G)^. Мы оставляем читателю в качестве упражнения проверить, что эта диаграмма распространяется и на соответствующие группы аделей. Из формул в п. 3 5 1.2 вытекает, что ск (х) = cq (г| (х)), откуда следует, что р

действительно индуцирует изоморфизм G^~//^. Поэтому факторпространства G^GK и Н^уНд изоморфны, и с самого начала можно считать, что K = Q. Упрощение рассуждений в этом случае связано с тем обстоятельством, что здесь можно дать удобное описание группы G^>(oo) = G^ Q 0Д(оо). По определению GMco) = GRXGAfVoo? причем G^(co) с= G^ (оо) в силу компактности группы G^f(co) и отсутствия компактных подгрупп в R>0. Таким образом, Сд*»,) = Lr X GAf(со), где Т с G — подгруппа, состоящая из таких g, что %(§) = +1 для любого XGX(G)Q.'

Лемма 8. L— замкнутая по Зарисскому ^-определенная подгруппа в G и X(TO)Q = 1. Кроме того, полупростые части групп. G и L° совпадают.

Доказательство. Пусть Хь • • •, Хг — базис X (G)Q и ср: G -► Grm — гомоморфизм, определяемый формулой ср (g) = (%j (g), ..., %r (g))- Тогда Т = ф_1(Д), где flcGm — (замкнутая) подгруппа, состо- щая из (±1, ..., ±1), и первое утверждение леммы доказано. Если G = HU — разложение Леви группы G, S — максимальный центральный тор в Н и S = S1S2— его представление в виде почти прямого произведения Q-разложимого и Q-анизотропного торов, то легко видеть, что L° = (SS2) U, где В = \Н, Н] — полу- простая часть G, откуда следуют все остальные утверждения леммы.

Из леммы 8 и теоремы 13 гл. IV вытекает, что группа Lr является унимодулярной. Поэтому в силу компактности Сд ;(00> унимодулярной будет и группа G<p(co) = LR X СД^ (со). Наша цель — показать, что группа G^ унимодулярна. Для этого рассмотрим функцию модуля А = А (ц: G<P—>R>0, и покажем, “а

что на самом деле А= 1. Так как группа Сд^оо) открыта в G^ и унимодулярна, то А| (о = 1. Покажем, что также A L = 1.

°Д(со)3

Поскольку G^ является нормальным делителем в GA, то фак- торпространство GA[G^, будучи группой, обладает инвариантной мерой, и поэтому А совпадает с ограничением на G^ функции модуля КзД. Но тогда для вычисления А можно воспользоваться конструкцией меры Тамагавы. Пусть со — левоинвариантная Q-определенная рациональная дифференциальная форма на G степени n = dimG, pg— морфизм первого сдвига на элемент g е G. Тогда, как мы видели при доказательстве теоремы 13 гл. IV, р^ (со) = % (g) со для некоторого характера

^eX(G)Q. Если теперь eeVQ, со^— соответствующая мера Хаара на Gqp, то для geGQu значение модуля kaQ (.g) задается формулой AG^(g-) = |l%(g-)C Поэтому для geGQ имеем A (g) = ПIIX (g) II* = 1 в силу формулы произведения.

Далее, из теоремы 1 вытекает конечность числа двойных классов G^^G^/Gq, поэтому из доказанного выше и того факта, что А является гомоморфизмом, получаем, что образ A^G^) является конечным, следовательно, А(Сд)) = 1, ибо R>0 не содержит нетривиальных конечных подгрупп. Таким образом, унимодулярность QW доказана.

Рассмотрим теперь конечное разложение Сд1 = [J G^Lja/Gq.

i = l

Из леммы 7 вытекает соизмеримость любой группы xtxGW^xl с Сд(со), откуда получается существование такого конечного набора yv ..., y^QW, что GW = Ц y^W^C^ Поэтому достаточно установить условие конечности объема (компактности) Ga\co)Gq^Gq. Но учитывая разложение Од^ = ЬкХСАр=) и равенство Gz = Lz, получаем

(GWQW JG7 ~ L7XG д

\ Д (со) Q// Q Д(оо)/ L R/ L/x Д^(оо)’

так что в силу компактности G^f(co) все сводится к конечности объема (компактности) Lr/Lz. Но из теоремы 12 и 13 гл. IV с учетом леммы 8 вытекает, что пространство LrJLz всегда имеет конечный объем и компактно в том и только том случае, когда полупростая часть L?, совпадающая с полупростой частью G, анизотропна над Q. Теорема 6 доказана.

Как и в случае пространства GA/GK, меру т(1) на пространстве Ga^Gk можно выбирать некоторым каноническим образом, и тогда объем V11 (G^/^) также называется числом. Тамагавы группы G. Отметим, что если для связной группы G объем пространства Ga/Gk конечен, то X^G^K=\ и, следовательно, ^а1 = Ga- Поэтому новое определение действительно является обобщением прежнего на произвольные связные группы.

Вычисление числа Тамагавы алгебраического К-тора Т было

[Н' UG X (Г))] получено Оно [о], который показал, что т(/) = -—^ццт^’

где Ш (7) ™ Кег ^Нх (К, 7) -> Ц Д1 (Ко, 7)) — группа Шафаревича— Тейта тора Т. Используя этот результат, можно построить примеры торов и полупростых групп, для которых число т(7) не является целым. Кроме того, можно объединить указанные

выше формулы для чисел Тамагавы полупростых групп и торов (отметим, что для унипотентной группы U всегда t(G)=1) в одну формулу, которая дает выражение для числа Тамагавы произвольной связной /(-группы G в терминах когомологий так называемого модуля Пикара Pic G (см. Сансюк [1]).

Теория приведения и структурные теоремы

для S-арифметических подгрупп

Опираясь на построенную нами теорию приведения для групп аделей, мы в настоящем параграфе получим аналоги результатов гл. IV для S-арифметических подгрупп. Всюду ниже через 8 обозначается конечное подмножество VK, содержащее Р^, О(8)— кольцо 8-целых элементов поля К. Если Gc cz GLn — определенная над К алгебраическая группа, то Goes) — группа 8-целых точек, иногда называемая группой 8- единиц группы G. Напомним, что подгруппа Г с G называется S-арифметической, если она соизмерима с Gy<s). Инвариантность класса S-арифметических подгрупп при /(-определенных изоморфизмах можно доказать либо путем подходящей модификации предложения 2 гл. IV, либо вывести из равенства Go(S) = Ga(S) П Gk, воспользовавшись замечанием, сделанным после леммы 7. Из последнего равенства вытекает также, что группа Go^s) является дискретной подгруппой группы Сд($ь Поскольку Сд(5)= Gs X Gas(S), и группа Gxs(s> компактна, то Go^s) является в то же время дискретной подгруппой в Gs = = П GK (это, естественно, легко доказать и не обращаясь к аделям). Поэтому можно ставить вопрос о построении теории приведения для Gy(s> как в группе Сл($), так и в группе Gs- Определения фундаментальных множеств здесь естественно' дать следующим образом (по аналогии с соответствующими определениями для арифметических групп и групп аделей).

Определения. 1) Подмножество ^^Ga^sa является фундаментальным множеством для Оо^р если

^1)л(5)^^У(5)= G А^,

(Е2)Л(5) пересечение QQ-1 Q Go^ конечно.-

Подмножество Q cz Gs является фундаментальным множеством для Ga^s), если

(Fl)sQGy(S) = Gs,

(F2)s для любых a, Ье6к множество элементов xeGo<s> таких, что &axbf\&5<= 0, конечно.

Легко видеть, что в исследуемом нами случае конечного 8 задачи построения фундаментальных множеств в группах GA(s>

и Gs фактически эквивалентны. А именно, если Q cz Gs— фундаментальное множество в смысле определения 2), то £2 X Gas <s)CZ cz Gx(s) — фундаментальное множество в смысле определения 1). По этой причине ниже мы будем заниматься только построением фундаментального множества в Gs- Отметим, что для бесконечного 5 определение 2) теряет смысл, в то же время все результаты для группы Сд^ сохраняют силу (см. Борель [1], § 8).

Предложение 11. Пусть В — фундаментальное множество для Go в Geo. Тогда существует такое открытое компактное подмножество С cz Gs к» что множество Q = В X С с Gs является фундаментальным для Gq^.

Доказательство проводится аналогично доказательству предложения 9. В самом деле, из теоремы 1 вытекает существование конечного разложения

ГГ

GA1.S-) = Д ^(M)Xi фк П ^A(S)) = ^3^ Д^-Х^ещу xi ^sw^* которое индуцирует разложение

Gs = U DxtGo (S),z=i'

где

D = G^ XU, U = П G^.

Положим С = [J UxtU. Тогда легко проверяется, что для

Q = B\C справедливо равенство Gs = QGos, и остается проверить, что для любых a, beGK множество 2 = {х е Go(S) |£2 П f| Qaxb =/= 0} конечно. Если х е 2, то, переходя к проекции на неархимедову часть, получим, что х е а-'С^СЬ-'; тогда х^'еЬС^'Са. Из компактности множества С-'С, как мы уже не раз убеждались, вытекает существование такого г е О, что 5 с Gr = {х е GK\rx, ex-1 е Мп(С?Н (предполагается, что G с ■аОЬф Поэтому конечность 5 вытекает из очевидного обобщения леммы 8 гл. IV. Предложение доказано.

Из предложения 11 легко получается

Теорема 7. 1) Пространство Gs/Gg^i имеет конечный инвариантный объем в том и только том случае, если Х(6°)/<=1;

Пространство Gs/Go(S) компактно в том и только том случае, если редуктивная часть связной компоненты G анизотропна над К..

Доказательство. При доказательстве теоремы 5 мы установили, что все группы Gkb, и <= VK, унимодулярны или нет одновременно, так что унимодулярность Gs равносильна унимодулярности Goo. Взяв тогда в качестве В в предложении 11

замкнутое фундаментальное множество для Go в G^ в смысле § 3.5, мы получим, что пространство Gs/Go(S) имеет конечный инвариантный объем (компактно) в том и только том случае, если соответствующее свойство имеет место для G^Gc- Поэтому наши утверждения вытекают из соответствующих пунктов теоремы 17 гл. IV. Теорема доказана.

Как в случае арифметических групп, так и в случае групп аделей, мы в качестве приложения теории приведения получали теорему о конечности числа орбит (см. теорему 3 и теорему 9 гл. IV). Такая теорема имеет место и для 5-арифметических подгрупп. Чтобы ее сформулировать, условимся называть 5-решеткой на пространстве Кп конечнопорожденный О (S)-подмодуль пространства Кп, содержащий его базис.

Теорема 8. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, р: G^GU, — представление G, определенное над К. Если для вектора w е Кт орбита X = wp(G) замкнута, то для любой S-решетки Lc^Km, инвариантной относительно группы Gc^, пересечение Vs Л L содержится в объединении конечного числа, орбит группы Go(S).

Доказательство непосредственно вытекает из следующих двух фактов.

Предложение 12. Пространство Xs состоит из конечного числа орбит группы Gs.

Предложение 13. Пересечение zyp(Gs)r|Z, содержится в объединении конечного числа орбит группы Ge^sv

Доказательство предложения 12 немедленно редуцируется к случаю, когда 5 состоит из одного нормирования у (напомним, 5 всюду предполагается конечным). Если нормирование и является комплексным, то Оку действует на Хку транзитивно, т. е. имеется всего одна орбита. Для вещественного у требуемая конечность установлена в следствии 2 из теоремы 6 гл. III. В случае неархимедова у единственный известный путь получения конечности числа орбит — вывести ее из теоремы конечности для когомологий Галуа над локально компактными полями, что мы и проделаем в § 6.3.

Доказательство предложения 13 вытекает из конструкции фундаментальных множеств, которая указана в предложении 11. Более подробно, в § 4.7 мы указали, как, используя ограничение основного поля и конструкции фундаментальных множеств в Gr относительно Gz (см. § 4.3), построить фундаментальное множество В cz Сю относительно Ge. Тогда из доказательства теоремы 9 вытекает, что построенное таким образом множество В обладает следующим свойством: если р: G->-GLm — определенное над К представление, то для любого w е Кт такого, что орбита V=typ(G) замкнута, пересечение дар (/ДПС?"1 конечно. Взяв тогда фундаментальное множество В cz G№ с этим свойством, найдем, используя предложение 11, такой компакт

CcGs^yj(, что множество £1 = В X С будет фундаментальным для Gq(s^ в Gs. Тогда в силу инвариантности L относительно группы Go(S) достаточно установить конечность F = twp(Q)nT- Из компактности С вытекает существование такого red, что rF czdm. Тогда переходя к проекции на архимедову компоненту, получим, что rF содержится в пересечении (гда)р(В)П<?т, которое конечно по построению. Предложение 13 доказано.

Из теоремы 8 выводится инвариантность класса S-арифметических подгрупп при произвольных сюръективных морфизмах и конечность числа классов сопряженности конечных подгрупп группы GgvS).

Теорема 9. Пусть f; G ^ Н — сюръективный морфизм алгебраических групп. Тогда для любой S-арифметической подгруппы Г с G образ ^(Г) является S-арифметической подгруппой в И.

Доказательство мало чем отличается от доказательства теоремы 4.1. Очевидно, достаточно установить S-арифметичность группы ЦСд^, причем можно считать, что f (Gy(s)) с Лщз). Докажем конечность индекса [Kers): / (^(S))]. Покажем сначала, что общий случай сводится к случаю, когда G либо редуктивна, либо унипотентна.

Лемма 9. Пусть G = FU— разложение Леви. Тогда если В и D — подгруппы конечного индекса в группах Few и Uchs^ соответственно, причем В нормализует D, то подгруппа BD имеет конечный индекс в Gg^.

Доказательство. Дословно повторяя доказательство следствия 2 из предложения 1 гл. IV, мы получаем конечность

индекса [Gy(S): Fg^Ug^A. Пусть теперь Fe^S'l = U Х;В, Ugvs^ i = i

t Г t

= U UjD. Тогда Fg^Uo^ = U U х^ВИ. В самом деле, если 7 = 1 1 = 1 j = l

х е Fgvs), у е Ug^ и х = хф, byb~l = yjd, где beB,deD, то xy = xiby=---xlyidb = xlyib^b-xdb^exiy!BD. Таким образом, мы показали, что BD имеет конечный индекс в Fg(S)Ug(s), а значит, и в Gg^. Лемма 9 доказана.

Пусть G = FU— разложение Леви группы G. Тогда Н = = f (Е) f (U) — разложение Леви группы И. Если конечность индексов [/ (F)g{S>: f (Ещз))] и [f (U)g{S): f (L^ts))] уже доказана, то из леммы 9 вытекает конечность индекса VHgts'i: ЦРд^По^А, а значит, и конечность индекса [Дочз): / (Gets))]. Тем самым требуемая редукция получена.

Рассмотрим случай унипотентной группы G. Тогда по теореме 7 пространство Gs/Gy(S) компактно. Полагая U = Ker f, будем иметь Д1 (Ко, t/)= 1 для любого и е VK (лемма 2.7), поэтому из точной последовательности 1 —>- U —>- G —>- И —>- 1,

переходя к когомологиям, получим / ^ОК^=Нке, и, значит, / (Gs)= = HS. Отсюда следует, что пространство Hs(f (Gj(S)) также компактно. Значит, пространство Hg^Vf(Gj(s>) одновременно является компактным и дискретным, так что индекс [//^(S) '•

: f (Gj(s))] обязан быть конечным.

Пусть теперь группа G редуктивна. Если HczGLn, то использование известного приема позволяет без ограничения общности считать Н замкнутой в М„. Тогда Н можно интерпретировать как (замкнутую) орбиту единичной матрицы Еп относительно действия G на Мп, задаваемого формулой Ag = Д/(^) (Л е Мп, g^G), где справа стоит умножение матриц. Остается заметить, что решетка L = М„(С?(5)) инвариантна относительно Gets), Hevs) = Hf\L и орбиты Ge^ на Ho(S) совпадают со смежными классами Hg{S)/f (Gд^s)), так что конечность числа орбит, гарантируемая теоремой 8, эквивалентна конечности индекса \He\s}: f (Ge<s))]. Теорема 9 доказана.

Теорема 10. Число классов сопряженности конечных подгрупп группы Go^ конечно.

Доказательство. Взяв и ^ S и рассмотрев GQ^ как подгруппу группы Ggy, мы, как и при доказательстве предложения 5 гл. III, получим конечность числа классов изоморфных конечных подгрупп группы G0^sv Поэтому достаточно показать, что для фиксированной конечной группы Г число классов сопряженности подгрупп Gg(S), изоморфных Г, конечно. Рассмотрим вначале случай редуктивной группы G. Здесь рассуждения фактически повторяют доказательство предложения 3.5. Пусть /?(Г, G)—многообразие представлений Г в G. Тогда G естественным образом действует на /?(Г, G) сопряжениями, и требуемое утверждение сводится к доказательству конечности числа орбит группы G^s) на /?(Г, G)y(s). Согласно теореме 17 гл. II группа G имеет конечное число орбит на /?(Г, G), причем эти орбиты замкнуты в топологии Зарисского. Пусть X— одна из таких орбит, для которой Xo(S)#= 0. Если G cz GLn и [Г] = d, то X реализуется как замкнутое подмножество пространства V = = МпХ ... ХМ, (d сомножителей), причем действие группы G естественным образом продолжается на V. Поэтому, применяя теорему 8 к решетке L = МДО (S)) X •■• ХМДО^, мы получаем конечность числа орбит группы Ge^ на Xy(S), и требуемое доказано.

В общем случае рассмотрим разложение Леви G = HU, где U — унипотентный радикал G, а группа Н редуктивна. Пусть л: G-*G/U — каноническая проекция. Можно выбрать такую реализацию группы G/U, что л (Gg(sj) с (G/G)e(S). Так как индекс [(G/G)e(S): л (Gy(S))] конечен, и в редуктивном случае теорема 10 уже доказана, то группа л(Сд<5)) имеет конечное число классов сопряженности конечных подгрупп.

Рассмотрим произвольную конечную подгруппу Г = {уь . .. . . Yd}c=Gy(s) и определим замкнутое подмножество Л (Г) czGd равенством А (Г) = /?(Г, G)f|{(6i, .6d) | л (6,) = л(у,)}. Группа U естественным образом действует на А (Г) сопряжениями. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что ^(Осдз) состоит из конечного числа орбит группы Uo^su Рассмотрим морфизм ф: [/-*Л(Г), ф(g) = ^’yS' = (g~'Yig, ... ..., g^'ldgV где y = (yi, . ., ya)- Обозначим также через U\ централизатор Г в U и выберем такое /(-определенное подмногообразие U2 cz U, что морфизм — произведение UiXUi-^U является /(-определенным изоморфизмом многообразий (см. лемму 1 гл. II). (Отметим, что выбрать подгруппу П2с П с таким свойством в общем случае нельзя.)

Лемма 10. Ограничение ср: Д2->-Л(Г) является К-определен- ным изоморфизмом многообразий.

Доказательство. Покажем вначале, что U действует на А (Г) транзитивно. Пусть 6= (6], ..., 6ДеЛ(Г) и А={б], ..., 6Д. Тогда А является подгруппой в G, и в силу редуктивности подгрупп Г, А с G по теореме 3 главы II найдутся такие x,yEU, что х^ЧхсЯ, у^Хус^Н. Для любого 1= 1d имеем

л (х’^х) = л (у;) = л (б,) = л ^брф, так что из инъективности ограничения л|н вытекает равенство x-'y/a = у^^ну, т. е. б = g-1yg = ф (g), где g = xy-1. Так как стабилизатором точки у является в точности подгруппа Ui, то ограничение ф: П2^-Л(Г) биективно. Остается заметить, что в силу однородности многообразие А (Г) является гладким, так что ф — изоморфизм согласно теореме 14 гл. II.

Пусть теперь U является абелевой группой; тогда в качестве U2 можно выбрать подходящую подгруппу U (лемма 1 гл. II). Из леммы 10 вытекает, что прообраз (ф 1^ )'(Л (Г)л^5)) является компактным подмножеством в U2as и поэтому содержится в объединении конечного числа (левых) смежных классов по подгруппе Uias (S). Но тогда Ф~‘(Л (I^,,^,) = ф-1 (Л (Г)^^ содержится в объединении конечного числа смежных классов по подгруппе U2g(S) = U2as(S) П U2k, что и требовалось.

В общем случае применяем индукцию по размерности унипотентного радикала U. Пусть 2(G) — центр U; рассмотрим G' = G/Z^U). Тогда в Gy(S) конечные подгруппы разбиваются в конечное число классов сопряженных. Так как образ Gy<s) при каноническом морфизме G-^G' является S-арифметической подгруппой по теореме 9, то отсюда следует конечность числа классов сопряженности в G0(S) подгрупп вида FZ (G)a(S), где Г—конечная подгруппа Gc^sv Для завершения доказательства теоремы 10 достаточно показать, что конечные подгруппы из

Г/ (Ц)щз) разбиваются в Gy(s)B конечное число сопряженных классов. Но Г содержится в подходящей максимальной редук- тивной ^подгруппе F группы G. Тогда в группе D = FZ(U) унипотентный радикал является абелевым и Ьз^ cG у<$). Поэтому конечные подгруппы Dg^t разбиваются в конечное число классов сопряженных в Gg^sv Теорема 10 полностью доказана.

Замечание. Для редуктивной группы G можно дать доказательство теоремы 10 в том же духе, что и доказательство аналогичной теоремы 3 гл. IV для арифметических подгрупп, используя основу Брюа — Титса для групп над неархимедовыми локальными полями (см. § 3.4).

Наш завершающий результат связан с доказательством конечной представимости S-арифметических групп.

Теорема 11. Любая S-арифметическая подгруппа редуктивной группы G является группой с конечным числом образующих и конечным числом определяющих соотношений.

Доказательство основано на методе Райдемайстера — Шрайера из комбинаторной теории групп (см. Линдон, Шупп [1], гл. 2, § 4), который мы применим к группе Go^, рассматривая ее как подгруппу в Г =Gs^kk-В § 3.4 (теорема 15 гл.III) мы показали, что для любого и е V^ группа GK является компактно определенной, поэтому, как несложно видеть, компактно определенной будет и группа Г = Ц Ок (напомним, что последнее означает существование компактного подмножества Del', порождающего Г и такого, что соотношения вида аЬ = с для а, Ь, с е D составляют множество определяющих соотношений для Г. Переходя от множества D к множеству D (J D~x U{e}, где е — единица группы Г, мы можем в дальнейшем считать, что D содержит е и D = D~vp Итак, если через F^X) обозначить свободную группу, порожденную X, и рассмотреть множество D*, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами множества D относительно отображения d*'—*d, то определяемый им гомоморфизм р: F^D*^^>-V сюръективен, a N = Кег р порождается элементами вида a*b*c*-v, где а*, Ь*, с* е D* и р (а*6*) = р (с*). Необходимую для применения метода Райдемайстера — Шрайера систему представителей смежных классов F(D*)/H, где Н = р-1 (Gg^sj), удобно выбрать, исходя из следующих соображений. Из предложения 11 вытекает существование такого компактного подмножества С с Г, что Г = = Go{S}C,причем можно без потери общности считать, что сеС. Выберем из элементов С систему Т представителей смежных классов Г/Сщз), содержащую е, и обозначим через Т* такую систему представителей классов F(D*)/H, что Т* содержит единицу е* группы F(D*) и р осуществляет биекцию Т* на Т. Вве-

дем функцию F(D)-*T*, х>—>х, сопоставляющую элементу х представитель х смежного класса Нх, лежащий в Т*, т. е. такой элемент х е Т*, что Нх = Нх. Возьмем теперь произвольный х е Н и запишем его в виде х = d\ ... dm, где dt е D* U D'~x. Тогда x = (didf1) (did2 (^^2)-1) .. . ^dv , . . dm^dm(dx ... dmyx), ибо d{ ... dm = x — e*. Элементы dx . .. dl_xdl (dx ... d^, построенные по методу Райдемайстера — Шрайера, дают в произведении элемент х и лежат в множестве X = ^T*(D* U Z)*-1)?”-1) П Н, которое тем самым оказывается системой образующих для Н. Далее, по условию N как нормальный делитель в F(D*) порождается выражениями abc-x для таких троек a, b, ceD*. что p(ab) = р(с). Это значит, что любой элемент neN допускает представление вида

«=П giW-'f1 g?x.t = l

где g, е F (Z)*), 6; = + 1. Записывая gt в виде gt = h^, ht e H, t{eT*, мы видим, что N как нормальный делитель в Н порождается элементами xyz-x, где х, у, z еГD*T*~X и р (ху) = р (z). Имеем

xyz-x = (хх-1) (ху^1) <xyz-xzxy-xYv,

ибо xyz~x=e*, откуда следует, что N, как нормальный делитель в Н, порождается элементами вида xyz-x, где х, у, z е е (T*)2Z)* (Т*)-2 П Н. Отсюда видно, что систему образующих X удобно расширить, например, до множества У = р-1 (BC2DC~2B П П GoxsX где В = П Gq (из определения X ясно, что

XczY). Тогда N как нормальный делитель в Н порождается элементами xyz”x, где х, у, z е Y и p(xz/) = p(z). Покажем теперь, что Y можно уменьшить до получения конечной системы образующих группы Go^sv Для этого на первом шаге выберем такое подмножество Z с У, что р индуцирует биекцию 2->-р(У), и определим проекцию л: Y-^-Z условием р(х) = р(л(х)) для любого хе У. Рассмотрим свободные группы F^YV F(Z) и взаимно обратные гомоморфизмы F (Z) ч=^= F (У), индуцируемые

вложением Z е У и проекцией л. Из коммутативной диаграммы

6otS)

(1)

в которой p2 = pi°ai, a pi получается композицией р и гомоморфизма т: F(Y)-^H, получаем, что Ker р2 = a2(Ker pt). С другой стороны, Kerpi порождается Кегт и элементами вида xyzrx„ где х, у, ze Y и р(ху) = p(z). Отсюда следует, что Кет р2 порождается Кег(т°«1) и элементами вида xyz-x, где х, у, zeZ и р {ху) = р (z). По построению р осуществляет биекцию между множеством Y и множеством Е П Gg^, где Е = BC2DC~2B. Но Е является компактным подмножеством в Г и поэтому покрывается конечным числом сдвигов открытой подгруппы В. Поэтому существует такой конечный набор элементов ух, . . ., уг е Е Е П Ggxs\, ЧТО

£ П ^щз) = .Ц Уi (^o(S) П 5; = ^Д У^з

(отметим, что поскольку Е = ВЕ = ЕВ, то Е П G. (з> = = Go кЕ П Од^Л = (Е П Govs)) Gj). В силу теоремы 4.17 можно- выбрать конечную систему zb . .., zt образующих группы Go. Положим тогда 6/ = {zb . .., zj, № = {ух, . .., уЛ U U и, пользуясь биекцией между Z и EpGj(S), будем отождествлять эти множества с соответствующими подмножествами в Z. По построению имеем сюръективный гомоморфизм ф: FkU^^-Gg, Рассмотрев некоторое сечение ф: Go^-F{U) гомоморфизма ф, тождественное на U, можно определить отображение Z —* F (1F), переводящее y£g, где geGg, в г/г-ф(§). Это отображение индуцирует гомоморфизм р2: F {Z)~^ Рк^Л который является обратным к гомоморфизму Рь F kW")-^ F kZ), определяемому вложением Wcz Z. Кроме того, имеем коммутативную диаграмму

(2)

в которой Рз = р2°Р1, где р2 взято из диаграммы (1). Из (2) получаем, что Кегр3 = р2(Кегр2). Поэтому Кегр3 порождается Кег(тоа2°р2) и элементами вида xyz~x, где х, у, хеЛЛ и Рзкху) = p3(z). Покажем, что все элементы вида xyz-x или, эквивалентно, соотношения xy = z для таких х, у, z можно- в действительности свести к конечному числу. Для этого рассмотрим вначале такие соотношения, где хеф(Оу). Так как Су(ЕП0у(з)) = £'ПСу(3), то Ztyj = ykw4 для всех z = l, ...,t> j=l, ...,г, при подходящих 6е{1, . ..,r}, wtj г Gg. Введем тогда соотношения

21У1 = Ук^к™1Л, i=i, • •-, h 1= Л • •-, г- (3)

Если добавить к (3) конечную систему соотношений между z;, которые определяют Gy (см. утверждение 2) теоремы 4.17), то мы получим конечную систему соотношений, из которой выводятся все соотношения вида ху = z для xei|)(Gy). В самом деле, любой х е ф (Gy) является словом от zt. Поэтому представив у, z в виде у = уф, z = yhc, b, c e ip (Gy) и используя (3) соответствующее число раз, мы приведем соотношение ху = z к виду ytab = ykc, где aetp(Gy). Из равенства p3(xz/) = p3(z) вытекает, что к = I, и тогда, сократив на ук, получим соотношение ab — с между словами от переменных z;, а все такие соотношения мы по построению уже учли. Взяв теперь произвольный xea(Z), представим его в виде x = yta, aetp(Gy). Тогда, используя уже доказанное, любое соотношение вида ху = z можно свести к соотношению

О1У1=ик^<г^, (4)

где rtf^Ga — элемент, определяемый из условия У1У] = Укг1] в Gy<s). Таким образом, все соотношения вида xy = z, где х, у, zgo(Z) и р3 (ху) = р3 (г), выводятся из конечного числа. Эквивалентным образом, нормальный делитель в F(W), порожденный элементами xyz~x для таких троек х, у, z, порождается на самом деле конечным числом таких элементов. Поэтому если рассмотреть подгруппу Ф = а2Р2(Е(1Е)), то из вычисления Кег р3 вытекает, что Кегр|ф = Ф П N порождается как нормальный делитель в Ф конечным числом элементов. Остается заметить, что как конечно порожденная подгруппа в F(D*), Ф является свободной группой конечного ранга (следствие из теоремы Нильсена — Шрайера), поэтому представление Ggis^ ~ф/ф^/У дает требуемое конечно определенное представление Gy<s). Тогда и любая S-арифметическая подгруппа в G, будучи соизмеримой с Gy(S), также конечно определена. Теорема 11 доказана.

Приведенное нами доказательство теоремы 11 представляет формализованный вариант первоначальных рассуждений Кнезера [7]. Читателю, владеющему комбинаторной теорией групп, такая формализация может местами показаться излишней, в частности, он, видимо, предпочтет не вводить свободных групп F(Y), F(Z) и т. д., а вести рассуждения прямо в группе Г (это возможно, и именно так поступает Кнезер). Тем не менее и при нашем варианте изложения, рассчитанном на читателя, не имеющего соответствующей подготовки, ясно видна основная идея рассуждений, которая заключается в редукции общего случая к случаю S = Е^, когда Gy(s)=Gy, где конечная определенность уже доказана в теореме 4.17. Эту редукцию можно также выполнить путем индукции по [£\У«], рассматривая Gg^ как подгруппу в Gkv, где vgSXE^ в некоторых случаях подхо-

дящая модификация такого индуктивного процесса соответственно позволяет в явном виде найти образующие и соотношения для Gg^, если известно представление группы С^(для группы G = SLZ см. работу Серра [10]). Имеется и другое доказательство теоремы И, при котором случай 5=172 ничем не отличается от остальных (см. Борель, Серр [4]). По форме оно сходно с доказательством теоремы 4.1 и использует дискретное действие группы Gy(S) на подходящем односвязном пространстве, которое является произведением уже знакомого нам факторпростран- ства Goo по максимальной компактной подгруппе и основ Брюа — Титса для групп Оки, у е S \ 1/2. Как мы уже отмечали, на этом пути можно получить и другое доказательство теоремы 10 для редуктивных групп.

Обратим внимание на тот факт, что в теореме 4.17 мы не налагали на группу G условия редуктивности. Однако теорема И для нередуктивных групп, вообще говоря, неверна. Так, если S=#I/2, то аддитивная группа кольца (7(5) не является конечно порожденной, поэтому не является конечно порожденной и любая S-арифметическая подгруппа в одномерной унипотентной группе Ga. С другой стороны, еслиВ = {(“ а-‘)|а=^

о| — борелевская подгруппа в SL2, то любая S-арифметическая подгруппа в В конечно порождена. В связи с этим укажем на критерий конечной порожденности (конечной определенности), доказательству которого фактически и посвящена статья Кнезера [7]: S-арифметические подгруппы в G являются конечно порожденными (конечно определенными) в том и только том случае, когда для всех и е S \ К^ группы Оки являются компактно порожденными (соответственно, компактно определенными). Так как для редуктивной группы компактная определенность всегда имеет место (теорема 3.15), то критерий компактной порожденности в общем случае можно сформулировать в терминах действия G на унипотентном радикале Ra^G), что мы и предлагаем сделать читателю в качестве упражнения.

Завершает эту главу описание S-арифметических подгрупп в торах. Приводимая ниже теорема содержит в качестве частных случаев как классическую теорему Дирихле о структуре S-единиц в полях алгебраических чисел, так и полученное нами в § 4.5 описание обычных арифметических подгрупп в торах (тем самым ее естественно называть обобщенной теоремой Дирихле). Ее доказательство, опубликованное Широм [2], фактически идентично доказательству теоремы 9 из гл. IV книги А. Вейля [7].

Теорема 12. Пусть Т—торг определенный над полем, алгебраических чисел K,ScVK — конечное подмножество, содержа-

ui,ee V». Тогда группа S-единиц Тд^ изоморфна произведению- конечной группы и свободной абелевой группы ранга s = = 2 rang* Т — ranger.

vgSv

Доказательство. В силу равенства Т(S) = Та(S) П Тк группа TgXs\ является дискретной подгруппой в Тд^. Однако отсюда сразу ие удается получить информацию о Тщ$ъ ибо Таis^Tg(s> в общем случае некомпактно. Чтобы получить компактное факторпространство, нужно группу Тд^ уменьшить до Гд^)^ = Taw П Т^а, где группа Т^д определяется как в § 5.3. Действительно, так как Тк с Тд\ то опять To(S)= Тд\$) П Тк, и поэтому факторпространство Т^д^Т0^ отождествляется с открыто-замкнутым подпространством в Т^д/Т^, которое компактно по теореме 6. Выясним теперь точную структуру группы Гд^). По определению Тд^ = П Д X П Тд . Для и е Хй струк- ueS v u^S v

тура 7\ нам уже известна (см. доказательство следствия 1 из теоремы 4.11): Тк ~ Rr" X В, где г., = rangK Т, а группа В компактна. Пусть теперь ueS \ У*. Рассмотрим разложение Т = ТХТ2 в почти прямое произведение максимального Д„-разложимого подтора Гх и максимального АД-анизотропного тора Т2 (см. § 2.1, п. 7). Пусть BczTxy—максимальная компактная подгруппа. Так как 7^ — компакт (теорема 3.1), то Т2кис:В. Поэтому если ф: Т ^-T^ = TjT2— соответствующее факторото- бражение, то Т^/В ~ ф (Тк^/ф (S). Но тор Т3 разложим над К„ и, следовательно, (Г3) ~ (Д* )г° — 2r° X И, где ги = dim Т3 = = rangK Т, а группа U компактна. Из максимальности В вытекает равенство ф (В) = U П Ф {T^v), так что ф (7Д )/ф (В) cz Zr" и ф(^)/Ф(В) ~ Z( для некоторого /=^г„. С другой стороны, Тх также является К „-разложимым подтором ранга г„, откуда Tikv ~ Zr° X U\ Для некоторой компактной подгруппы В^ При этом изоморфная Zr“ подгруппа ® ТХки является дискретной и поэтому не пересекается с В, так что T^JB содержит свободную абелеву группу ранга г„. Окончательно, TKJB ~ Ти, откуда без труда вытекает разложение ТКи ^ Ти X В. Собирая

воедино информацию об архимедовых и неархимедовых компонентах, получим следующее разложение для TaisV-

^(S)~Ra X^XW,

где a= У rang» Т, р= У rang Т, а группа W ком- уе^ UveSWK и

пактна. Теперь уже несложно описать структуру группы Тд^)- Напомним предварительно, что группа Т^а вводилась нами как пересечение ядер непрерывных гомоморфизмов c/((x): Тд ^R>0, которые определялись исходя из характеров /Е X (Т),, по формуле ск (%) ((gj) = П || х (gj !!„■ Пусть Хь • ■ •, X, (^ = rang* Г)

■образуют базис Х(Т)К. Тогда имеем непрерывный гомоморфизм

Гл MR>(T, g^<cK(Xi)(£), •••> cK(xr)(g))> причем тУ^ = Кег6. Утверждается, что 0 (Тд^) = (R>0) для любого SdV». Действительно, так как Хь • ••, Хг образуют базис Х(.Т)К, то г ф

морфизм ф: Г Gm, gi—*(Xi(g), • ••,Хг(§)) сюръективен. Поэтому, применяя следствие 1 из предложения 3.3, получим, что для любого и е у£ образ ф(7\у) открыт и, следовательно, содержит «связную компоненту группы (,К*<Л , которая совпадает с (R>0)r для ^вещественного и и с С*г для комплексного и. Остается заметить, что ограничение 6 на группу Тк , соответствующим образом вложенную в ТА, совпадает с композицией ф и отображения нормализованного нормирования || ]|„: К„ R>0, так что уже 6 (Jk^ совпадает с (R>0)r для любого и е У^. Учитывая изоморфность R и R>0, мы видим, что в нашей ситуации применима

Лемма 11. Пусть Г = Ra X Z13 X ^, где группа W компактна. Тогда если 6: Г—>- RY — непрерывный сюръективный гомоморфизм, то у^а, и Kere^R^XZ^XU7.

Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Таким образом, для группы Та^ получаем представление t'aX^K^X^XW..

Выше мы показали, что группа Tj^ является дискретной подгруппой в Тд^), причем факторпространство Tva\s)/To<s) ком-

пактно. Поэтому утверждение теоремы 12 вытекает из- леммы 4.17, если заметить, что (а — г) + Р совпадает с числом S' в ее формулировке.

Следствие (теорема Дирихле об S-единицах). Пусть К — поле алгебраических чисел, S — конечное подмножество в VK, содержащее У^.Тогда группа S-единиц Е (S) = {х е К* II х |„ = 1 для всех у ф S} изоморфна произведению группы Е корней из единицы, содержащихся в К, и свободной абелевой группы ранга [S] — 1.

Библиографические замечания. Основные результаты теории приведения для групп аделей и S-арифметических подгрупп в числовом случае содержатся в статье Бореля [1]. При этом Борель в существенной степени использовал построенную им и Хариш-Чандрой теорию приведения для арифметических подгрупп. Позднее Годеман [1] показал, как те же самые теоремы могут быть получены другим путем, не зависящим от теорем редукции для арифметических групп. Усовершенствование метода Годемана позволило Хардеру [5] построить теорию приведения для групп аделей над глобальными полями положительной характеристики. Основные теоремы здесь те же самые, что и в числовом случае, с той лишь разницей, что аналог теоремы 1 принимает вид: если S — непустое подмножество в VK, то число двойных смежных классов GA^\GAjGK конечно. С другой стороны, вопрос о конечной порожденности S-арифметических подгрупп редуктивной алгебраической группы G, определенной над функциональным глобальным полем К, не имеет столь однозначного ответа, как в числовом случае, ибо существуют не конечно порожденные S-арифметические группы. Почти полное решение вопроса о конечной порожденности содержится в работе Бера [4]; случай классических групп рассматривался ранее О’Мирой [2]. Вопрос о конечной определенности S-арифметических групп над функциональным полем К в общей форме положительно решен лишь для Х-анизотропных групп (см. Борель — Серр [4]). Для Х-изотропных групп ситуация окончательно не прояснилась до сих пор. Известно, однако, что группа SL3 (£[/]), где к— конечное поле, конечно порождена, но не является конечно определенной (Бер [6]), а группа SL^kP(S)) конечно определена тогда и только тогда, когда [S] > 2 (Штулер [1]).

Г Л А В A VI

КОГОМОЛОГИИ ГАЛУА

Настоящая глава посвящена изложению результатов об описании множества 1-когомологий Галуа Н{ (К, G) алгебраической /(-группы G над полями арифметического типа. Кроме того, мы включили ряд необходимых нам результатов о когомологиях групп целых у-адических точек и адельных групп. Материал настоящей главы будет использоваться в гл. VII, VIII, поэтому знакомство с ним необходимо для дальнейшего чтения книги. В то же время в целом когомологии Галуа играют в книге вспомогательную роль, и в наши планы не входило изложение всех аспектов теории когомологий. Поэтому мы сосредоточили внимание на тех вопросах, которые связаны с классическими теоретико-числовыми концепциями (такими, как, например, локально-глобальный принцип), либо вплотную примыкают к другим результатам арифметической теории алгебраических групп, В этом смысле настоящая глава дополняет известную книгу Серра [1], посвященную изложению собственно теории когомологий. к этой книге мы и будем отсылать читателя за доказательствами используемых нами фактов общего характера.

Ряд результатов публикуется здесь впервые. Например, мы впервые приводим полное доказательство принципа Хассе для односвязных групп.

Основные результаты

В этом параграфе собраны основные результаты об описании множества Н'(К, G) одномерных когомологий Галуа алгебраической Х-группы G, где в качестве К выступает конечное, локальное либо числовое поле. Последующие параграфы содержат доказательства сформулированных здесь теорем. Некоторые приложения полученных результатов и их связь с классическими фактами о классификации квадратичных, эрмитовых и др. форм будут даны в § 6.5—6.6. Основные определения, связанные с некоммутативными когомологиями Галуа, см. в § 1.3 (более систематическое изложение читатель может найти в книге Серра [1]). Отметим, что доказательства ряда теорем этой главы о когомологиях полупростых групп весьма техничны, и их можно ■опустить при первом чтении (в действительности для понимания большей части книги достаточно знакомства с настоящим параграфом).

Мы начинаем с конечного поля К, для которого исчерпывающее описание НЦК, G) дает

Теорема 1 (Ленг [1]). Пусть G— связная алгебраическая группа, определенная над конечным полем К. Тогда Нх (К, G) = 1.

Доказательство будет дано в § 6.2. Там же будет приведен ряд следствий из теоремы 1. В частности, будет показано, что любая связная группа над конечным полем К является квази- разложимой, т. е. обладает ^определенной подгруппой Бореля. Отсюда при помощи леммы Гензеля выводится следующий важный результат: если связная группа G определена над числовым полем К, то для почти всех и е Vf она квазиразложима над пополнением Ку.

Кроме того, из теоремы 1 вытекает ряд необходимых для дальнейшего фактов о когомологиях групп целых и-адических точек и адельных групп. Отметим, что как следует из одного результата Стейнберга (см. теорему 23), утверждение теоремы 1 сохраняет силу и в более общей ситуации полей К, у которых так называемая когомологическая размерность cd(K) не превосходит 1. В остальных случаях множество НЦК, G), вообще говоря, нетривиально, и поэтому возникает задача его описания. Как следует из предложения 2.9, ее достаточно решить для ре- дуктивной группы G. Согласно теореме 2.4 такая группа является почти прямым произведением тора и полупростой группы, и поэтому вычисление Н1 (К, G) в значительной степени сводится к двум основным случаям: (a) G — тор; (б) G—полупростая группа, которыми мы и будем заниматься. Результаты для по- лупростых групп по своей природе существенно отличаются от случая торов, причем в действительности факты о когомологиях торов используются при вычислении когомологий в полупростом случае. По этой причине мы рассмотрим вначале случай алгебраических торов.

Известно (см. § 2.1, п. 7), что любой К-тор Т с точностью до изоморфизма определяется заданием на группе характеров Х(Л структуры модуля над абсолютной группой Галуа Gal (К/К) (напоминаем, что у нас поле К всюду предполагается совершенным, причем в большинстве случаев char К = 0). Поэтому естественно попытаться связать группы когомологий Я1 (К, Г) и Н1(К, Х(7)). Здесь прежде всего удобно заменить когомологии проконечной группы Gal(K/K) когомологиями некоторой конечной факторгруппы. Для этого следует заметить (см. лемму 8), что Нх (К, Т) = Нх (L/K, Т) и НХ(К, Т) = = Н1 (L/K, X (7)), где L — некоторое поле разложения для Т (т. е. конечное расширение Галуа поля К, над которым тор Т становится разложимым).

В дальнейшем удобно перейти от обычных когомологий Галуа к так называемым модифицированным, которые были

введены Тейтом. Точное определение групп когомологий Тейта Й^О.А) коммутативного модуля А над конечной группой G мы приведем в § 6.3, а пока ограничимся указанием на тот факт, что группы Я^С, Л) существуют для всех целых значений I, причем Я*(G, Л) = H4G, Л) для Z^l. Кроме того, для когомологий Тейта остается в силе основное свойство когомологий: точной последовательности G-модулей О ->-А ->-В-^>- С—>-0 отвечает бесконечная в обе стороны точная последовательность:

... Нч (G, Д) -> Нч (G, В) -> Hq (G, С) -> Нч+Х (G, Д) .

В этих обозначениях справедлива

Теорема 2 (Накаяма — Тейт; локальный вариант). Пусть К — локальное поле. Тогда для любого К-определенного тора Т с полем разложения L и любого целого I имеет место изоморфизм

Н1 ЩК, 7) (ЦК, х (7)).

В частности, НЧЦК, Ц~НЧЦК, Х(7)).

Следует отметить, что изоморфизм в теореме 2 имеет характер изоморфизма конечной абелевой группы со своей двойственной. Для получения естественного изоморфизма вместо группы характеров Х(7) следует рассмотреть двойственную группу коха- рактеров (однопараметрических подгрупп) ХД7) = Hom(Gm, Т) (см. § 2.1, п. 7), и тогда Я‘~ЧЬ/К, X* (7)) ~ H(L/K, Т), причем изоморфизм индуцируется ^-умножением на образующую группы

НЧЦК, r) = Br(L/K)~^Z/Z,

где п = [L : К] (подробности см. в § 6.3).

Из теоремы 2 вытекает, что для локального поля К группа НЧК, Т) конечна. Ниже мы увидим, что этот результат остается справедливым, если заменить Т на любую алгебраическую К-группу.

Изучение группы Нх (К, Т) для тора Т над числовым полем К базируется на рассмотрении отображения НЧЦК, Т)^> —> IT Я1 (LJKV, Г) (для каждого и выбирается одно продолжение w|u). Легко видеть, что его образ лежит в группе Я1 (ЦК,Т аЦ, где Al — кольцо аделей поля L, так что на самом деле мы имеем отображение Н1 (ЦК, Т) ДД- НЦЦК, ТдЦ. Для вычисления его ядра и коядра рассматривается точная последовательность

^Tl-*Tal^Cl(T^\,

где CL(T) = Tal]Tl — группа классов аделей тора Т над L, и соответствующая когомологическая последовательность НЧИК, СЬ^^НЦЦК, T)^H\L/K, Тд^НЧЦК, Cl^Y Описание групп когомотогий fT{L/K,CL(T)) дает

Теорема 3 (Накаяма— Тейт; глобальный вариант). Пусть К—числовое поле. Тогда для любого К-определенного тора Т с полем разложения L и любого целого i имеет место изоморфизм

Н1 (ЦК, CL (Т)) ~ Н1”1 (ЦК, X (Т)).

К теореме 3 в полной мере относится замечание, сделанное после формулировки теоремы 2. Кроме того, следует отметить, что несмотря на различие объектов, участвующих в формулировках теорем 2 и 3, в основе их доказательства лежит один и тот же когомологический формализм (так называемая теорема Тейта, см. § 6.3), возможность использования которого обосновывается соответственно локальной и глобальной теорией полей классов. Отметим также, что в § 6.3 мы изучим взаимоотношения между изоморфизмами в теоремах 2 и 3.

Из теоремы 3 вытекает, что ядро и коядро морфизма ф конечны. Группа Кег <р носит название группы Шафаревича — Тейта тора Т и обозначается Ш(Т). Если Ш(Т) = 1, то говорят, что для тора Т выполняется локально-глобальный принцип, или принцип Хассе\ в общем случае Ш(Т) выражает отклонение от локально-глобального принципа. Эта терминология естественна, ибо для норменного тора Т = RL%(Gm) тривиальность Ш(Т) равносильна выполнению классического норменного принципа Хассе в расширении L/К- Используя теоремы 2 и 3, Тейт показал, что для расширения Галуа L/К с группой Галуа S’ группа Шафаревича — Тейта Ш(Т) тора Т = ^ь!к(^Ц изоморфна ядру канонического гомоморфизма Hz 68, Z) Ц Hz (jSD, Z), где SD — группа разложения в S некоторого продолжения нормирования и. Однако до недавнего времени не существовало исследования Ш(Т) для норменного тора Т = Rl’^ (Gm) в случае, когда L/К не является расширением Галуа. Такое исследование было выполнено в работах Платонова, Дракохруста [1], [2J(, Дракохруста, Платонова [1] и Дракохруста [1]; эти результаты излагаются в § 6.3.

С качественной точки зрения теоремы 2 и 3 дают два основных факта о когомологиях Галуа алгебраических торов: конечность Н1 (К, Т) для торов над локальным полем К и конечность Ш(Т) для торов над числовым полем К- В § 6.4 мы установим, что эти два факта остаются справедливыми для произвольных

алгебраических групп. Естественно, что в основе доказательства этих результатов в общей ситуации лежат соображения, совершенно отличные от тех, которые используются при доказательстве теорем 2, 3. А именно, оказывается, что конечность НЦК,О) для локального поля К (теорема 14) фактически не зависит от структуры группы G, а является следствием одного специального свойства абсолютной группы Галуа Gal(^/^) поля К (так называемого свойства (У)). С другой стороны, конечность ядра Ш(6) отображения НЦК, G) ^ Ц /71 (АГИ, G) ) (теорема 15), вытекает из теории приведения для групп аделей, которую мы построили в гл. V.

Рассмотрим теперь вопрос о точном вычислении когомологий. Как мы уже отмечали, здесь можно ограничиться случаем ре- .дуктивных групп, а последний—по модулю имеющихся результатов о когомологиях торов — сводится к случаю полупростых групп.

Если G — полупростая группа над локальным полем К, то, в отличие от случая конечного поля, уже не всегда Я1 (Я, G) = = 1, однако справедлива следующая

Теорема 4. Пусть G — односвязная полупростая группа над неархимедовым локальным полем К. Тогда НЦК, G)= 1.

Чтобы вычислить Hl(K, G) для произвольной полупростой группы G над локальным полем К, рассмотрим универсальное Я-определенное накрытие G-^-G (см. предложение 2.10). Из точной последовательности 1 —>-У7 —>-GG —>-1, гдеЯ = Кегл— фундаментальная группа G, в силу центральности F получается отображение 6: Нх (К, G)-* № (К, F) (см. § 2.2, п. 3). Тогда основной результат состоит в том, что б биективно (отметим, что инъективность 6 вытекает из теоремы 4, а сюръективность устанавливается в теореме 20). В частности, множество с отмеченным элементом Н1 (К, G) снабжается «естественной» структурой абелевой группы. Приводимое нами в § 6.7—6.8 доказательство теоремы 4 использует структурную информацию о полупростых группах и элементы их классификации. Существует также единообразное-доказательство теоремы 4, основывающееся на теории Брюа— Титса (см. Брюа — Титс [2]).

В процессе доказательства теоремы 4 будет получен также следующий важный результат.

Теорема 5. Пусть G — простая односвязная анизотропная группа над локальным полем К- Тогда G = SL^D) для некоторой конечномерной алгебры с делением D над К.

Теорема 5 также может быть выведена из теории Брюа — Титса, однако мы, излагая доказательство теорем 4, 5, избрали

структурный вариант рассуждений, ибо он пригоден и для изучения когомологии над числовыми полями (где альтернативного доказательства соответствующих результатов до сих пор не существует). Отметим высказанное Серром [1] предположение -о том, что утверждение, аналогичное теореме 4, должно выполняться всякий раз, когда когомологическая размерность cd (К) не превосходит 2. С другой стороны, вопрос о справедливости в данной ситуации теоремы 20 (т. е. вопрос о сюръективности кограничного отображения 6) сводится к классическому в теории простых алгебр вопросу о совпадении экспоненты и индекса простых К-алгебр. Для так называемых Сг-полей, класс которых фактически совпадает с классом полей когомологической размерности, не превосходящей 2, это утверждение высказано в качестве гипотезы в статье М. Артина [1].

Из теоремы 4 вытекают также некоторые факты о классификации простых групп, которые понадобятся нам в гл. VII при доказательстве гипотезы Кнезера — Титса над локальными полями. Так, например, любая группа типа 2Е6 над локальным полем оказывается квазиразложимой, а любая группа типа Ei становится разложимой над произвольным квадратичным расширением К.

Вычисление Н^К, G) над числовым полем К, как и в случае торов, базируется на рассмотрении канонического отображения Н' (К, G)-^-II Я1 (Кц, О). В случае когда р инъективно,естественно говорить, что для группы G выполняется принцип Хассе, ибо, скажем, инъективность р для ортогональной группы О = ОпЦ^ равносильна справедливости локально-глобального принципа в вопросе эквивалентности квадратичных форм. К сожалению, отображение р не всегда инъективно, однако уже довольно давно была выдвинута гипотеза (см. Серр [1]), что оно инъективно, если группа G односвязна. Доказательство этого факта для классических групп (см. Кнезер [12]) тесно связано с классическими результатами о классификации квадратичных, эрмитовых и т. д. форм. Исключительные группы, кроме типа Es, были исследованы Хардером [1], [2]. Случай групп типа Е8 оставался не рассмотренным более двадцати лет. Доказательство здесь было получено совсем недавно Черноусовым [6]. Таким образом, мы впервые излагаем полное доказательство принципа Хассе для односвязных групп (см. § 6.7—6.8).

Согласно теореме 4 для односвязной группы G имеем ЯДКа, О)=1, если и — неархимедово, поэтому в действительности р сводится к отображению

Я1 (К, G^ П Я1 кКи, GE

которое инъективно в силу справедливости принципа Хассе, Оказывается, что здесь справедлив следующий точный результат.

Теорема 6. Для односвязной К-группы G отображение 8 биективно.

Для полноты картины остается описать вещественные когомологии ЯДК.О) простой односвязной R-группы G. В случае, когда группа Gp компактна, это проделано в книге Серра [1] (см. гл. 3, § 4.5). Общий случай был недавно рассмотрен Боровым [2].

Вычисление Я1 (Я, G) для произвольной полупростой группы G, как и в локальном случае, получается исходя из точной последовательности 1 -+F —>- G —>- G ->- 1, где G односвязна, а Я = Кегл — фундаментальная группа G. А именно, можно показать, что в получающейся когомологической точной последовательности НЦК, G)^Hl(K, G)-^ Н2(К, F) отображение 6 сюръективно (теорема 20). Отметим также, что над вполне мнимым числовым полем остается справедливым утверждение, аналогичное теореме 5.

Из справедливости принципа Хассе для односвязных групп вытекает его справедливость и для присоединенных групп (см. § 6.5). С его помощью выводятся также некоторые факты о классификации простых групп над числовыми полями. В частности, любая простая группа над числовым полем К, относящаяся к одному из типов Вп, Сп, Е8, F4. G2, разложима над некоторым квадратичным расширением К.

Описанные результаты позволяют вычислять множество Я1 (Я, G) для любой связной алгебраической группы G над локальным или числовым полем Я- Как заметил Боровой, используя введенное им понятие фундаментальной группы произвольной связной алгебраической группы и результаты Коттвица [1], [2], эти факты можно сформулировать единообразно в духе теорем 2, 3.

Когомологии алгебраических групп над конечными полями

Начнем с доказательства теоремы Ленга о том, что Я*(Я, G)=l для любой связной алгебраической группы G, определенной над конечным полем Я (теорема 1). Достаточно показать, что ЯЦЯ/Я, G)=l для любого конечного расширения Галуа L/K. Известно, что группа Галуа Са1(А/Я) циклическая и порождается так называемым автоморфизмом Фробениуса ф: х^->хч, xeL, где q = [Я] — число элементов поля Я- (Отметим, что последняя формула определяет одновременно автоморфизм из Са1(Я/Я), который мы также будем называть автоморфизмом Фробениуса и обозначать той же буквой ф; ясно, что ф

■является топологической образующей группы Gal(^/^).) Пусть ,g = (g0}e Z1 (А/А, G)—некоторый коцикл. Утверждается, что для доказательства тривиальности g достаточно найти элемент х е G^ со свойством giv = х-1ф(х). Действительно, тогда

^ = g^ (£Ф) = х-^ (х) ф (х-'ф (х)) = х-1ф2 W, и, рассуждая аналогично при помощи очевидной индукции, легко получить, что g^t =х”*фг(х) для любого I. При этом если п = = [L^], то gv" = ge=l, С другой стороны — ^ = х“1фга(х), откуда ф" (х) = х, т. е. xgGl, и тривиальность коцикла g в Zl (L/K, G) установлена. Таким образом, завершает доказательство теоремы Ленга

Лемма 1. Если К-группа G связна, то множество Х = = {х~*ф(х) |х е G^ совпадает с G^.

Доказательство основано на интерпретации действия автоморфизма Фробениуса ф на G^ как регулярного ^определенного морфизма многообразий. А именно, для произвольного /(-определенного подмногообразия V а А" и любой точки х = (хр . .., хи) е У^ положим х^ = (х». ..., хду Тогда х^* е е У^, так что отображение f: xi—> х^ задает /(-определенный регулярный эндоморфизм многообразия У, который на К-точках совпадает с автоморфизмом Фробениуса (отметим, что jq биективен и не зависит от выбора аффинной реализации У). Непосредственное вычисление показывает, что дифференциал dxfq в любой точке хе У является нулевым отображением. Применим эти факты к связной /(-определенной алгебраической группе G.

Лемма 2. Пусть aeG. Тогда отображение sa: G->-G, sa(.g) = g^ag1-^ сепарабельно. Его образ открыт и замкнут.

Доказательство. Имеем

desa (X) = -Ха + djq (А) = -Ха, ХеТг (G), так что дифференциал desa; Te(G)-+Ta(G) определяет изоморфизм касательных пространств. Отсюда следует, что sa является доминантным сепарабельным морфизмом (см. Борель [8], гл. АГ, теорема 17.3). В частности, образ sa(G) содержит открытое в G подмножество. Но sa(G) можно интерпретировать как орбиту относительно действия G X G G, (g,h)‘—*g-1hg(g\ так что все множество sa(G) открыто в G. Поскольку это верно для любого а, то множества sa(G) одновременно и замкнуты. Лемма 2 доказана.

В силу связности G из леммы 2 вытекает, что sa(G)= G для любого aeG; в частности, se (G) = G и se(^G^^ = G^. С другой стороны, легко видеть, что множество se(G^) совпадает

с множеством X в формулировке леммы 1. Таким образом, лемма 1 и теорема Ленга доказаны.

Несмотря на свою простоту, теорема Ленга имеет ряд важных следствий.

Предложение 1. Пусть G— связная алгебраическая группа над конечным полем К. Тогда G является К-квазиразложимой, т. е. обладает ^-определенной подгруппой Бореля. При этом две К-определенные подгруппы Бореля в G сопряжены с помощью элемента из Ок-

Доказательство. Пусть В cz G — подгруппа Бореля, определенная над R, ф— автоморфизм Фробениуса из Gal(^/^) и В» — подгруппа Бореля, получаемая применением ф. По теореме сопряженности найдется такой g^G^, что gB^g-1 = В, причем, в силу леммы 1, g=.x~^(x') для некоторого хеС^. Полагая тогда Н = хВх~\ мы получим подгруппу Бореля в G, которая в силу соотношения Н^ = ф (х) В^ф (х)-1 = xgB"g_xx_x = = Н будет ^определенной. Пусть теперь В>, В2— две ^определенные подгруппы Бореля в G. Тогда В2 = gB^g-1 для подходящего g^G^. В силу ^определенности Bf = Bh г = 1, 2, откуда

<р Ur) B^(gr' = gBxg”\

так что элемент £-1ф(£) попадает в нормализатор No (ВТ), который по теореме Шевалле (см. Борель [8], § 11) совпадает с Вь Применяя лемму 1 к группе Вь получим, что g-1<p(g) = = £Нф(&) для подходящего b е (BJ^ Тогда, полагая h=gb-x, будем иметь ф(/г) = /г, т. е. h е Ок, и hBxh-x = gBxg~x = В2. Предложение 1 доказано.

Следствие 1 (теорема Фробениуса). Пусть К — конечное поле. Тогда над К не существует некоммутативных конечномерных центральных алгебр с делением. .

Действительно, пусть D — конечномерная центральная алгебра с делением над К. Рассмотрим группу G = SL\ (D) (см. § 2.3). Если предположить, что D^K, то G является нетривиальной простой ^анизотропной группой (предложение 2.7). С другой стороны, согласно предложению 1 группа G обязана быть квазиразложимой, в частности, rangy G > 0, — противоречие. Другое доказательство можно получить, воспользовавшись тем обстоятельством, что классы изоморфизма простых центральных алгебр над К размерности п2 находятся в биективном соответствии с элементами множества HX(K,H^, где И — PGLn. Так как Нх (К, Н) — 1, то существует лишь одна такая алгебра, а именно Мп(К(, которая не является алгеброй с делением.

Предложение 2. Пусть G — связная группа над конечным полем К, W — непустое ^-многообразие, на котором группа G действует транзитивно и К-рационально (однородное пространство

группы Gy Тогда Wk =/= 0. Кроме того, если стабилизатор G(x) некоторой точки xeW связен, то группа GK действует на Wk транзитивно.

Доказательство. Пусть у е WK. Воспользовавшись транзитивностью действия, найдем такой элементу eG^, что^ф(у) = = у (где <р, как и выше, автоморфизм Фробениуса), и по лемме 1 представим его в виде g = /г—*ф(/г), где кеСу; Тогда ф(/гу) — hy, т. е. z = hy е Wk. Если теперь стабилизатор G^ некоторой точки х е W связен, то в силу однородности W стабилизатор любой точки связен; в частности, связна группа Н = = G^zy Как известно (см. § 1.3, п. 2), орбиты группы GK на Wk взаимно однозначно соответствуют элементам Кег (Я1 (Я, Я)—>- ->-НЧК, G)). Но поскольку Н1 (К, Н) = 1, то в действительности имеется лишь одна орбита. (Отметим, что предложение 1 является на самом деле непосредственным следствием предложения 2, ибо согласно теореме 2.19 множество всех подгрупп Бореля связной Я-группы G наделяется естественной структурой Я-определенного однородного пространства группы G, однако мы предпочли дать независимое рассуждение.)

Следствие 2. Пусть L — конечное расширение конечного поля К. Тогда норменное отображение Nl/k- Т* К* сюръективно.

Пусть йеК*. Тогда норменная гиперповерхность W = = ^еТ0Я|Язд(а) = ^ является однородным пространством норменного тора Т = Rl)^(Gm), и поэтому Wke^®, т. е. а е Nl/k^L*Y Можно также воспользоваться теоремой 1 и тем обстоятельством, что Hl(K, Т) = K*/Nl/k^*) (см. лемму 2.5).

Следствие 3. Пусть f— невырожденная квадратичная форма над конечным полем К от п>2 переменных. Тогда f представляет любой элемент поля К. Следовательно, любая форма от п ^ 3 переменных представляет над К нуль.

В самом деле, если а еК*. то, как следует из теоремы Витта (см. теорему 2.10), при п ^ 2 квадрика W= {хе Kn^f(x) = а} является однородным пространством связной группы G = SOn(f), и поэтому наше утверждение вытекает из предложения 2. Изотропность невырожденной формы от п ^ 3 переменных является следствием предложения 2.14 и факта, что группа G = SOn^ является Я-квазиразложимой (предложение 1) и в частности, Я-изотропной.

Чтобы завершить описание основных свойств квадратичных форм над конечными полями, напомним (см. предложение 2.8), что множество Нх {К, SOn(f)) классифицирует классы эквивалентности /г-мерных квадратичных форм над Я, дискриминан! которых совпадает с дискриминантом f. Поэтому из теоремы 1 получаем

Следствие 4. Две невырожденные п-мерные квадратичные формы над К эквивалентны в том и только том случае, если они имеют одинаковый дискриминант. Таким образом, для любого п имеется в точности 2 класса эквивалентности невырожденных п-мерных форм.

Отметим, что второе утверждение следствия вытекает из первого и того, что [^7^’2] = 2, ибо группа К* циклическая.

Предложение 3 (теорема Ленга об изогениях). Пусть G, Н— связные К-группы, л: G —>- Н—изогения, определенная над К. Тогда группы GK и Нк содержат одинаковое число элементов.

Доказательство. Положим F = Кег л и рассмотрим точную последовательность 1 —> F^ —> 6^. —> Я^ = 1. Переходя к когомологиям, мы в силу совершенности К получим точную последовательность FЬ:GK Нк НЦК, Р^^ "НЦК, G1;. Так как НЦК, G) = 1 (теорема 1), то мы приходим к следующему соотношению для порядков:

и достаточно показать, что [Я1 (К, F)] = [F^]. Но поскольку СаПХ/Х) —Z (где 2—проконечное пополнение группы Z), это вытекает из следующего утверждения.

Лемма 3. Для любого конечного Z-модуля F справедливо равенство [H°(Z, F)] = [H'(Z, F)].

Доказательство является простым следствием свойств индекса Эрбрана (см., например, [АТЧ], гл. IV, § 8), но можно рассуждать и непосредственно. Обозначим через о образующую 2. Из конечности F вытекает существование такого пг, что от действует на F тривиально. Тогда для любого хе F произве- m —1

дение И о8 (х) лежит в группе неподвижных точек F°. По- 1-0

этому, полагая п = mf, где f = [Fa], будем иметь п — 1[fl —1 z m — 1 х/ m — 1xf

ПОг(х)= П O'm П<т‘"(х) = Пог(х) =1.(1)

1 = 0/=0 X i=0/ X i-0/

Покажем теперь, что ограничение любого коцикла из Z1 (2, F) на nZ тривиально. Действительно, по построению группа mZ действует на F тривиально, и поэтому ограничение коцикла ^eZ1 (2, F) на mZ является гомоморфизмом m2 в F. Но тогда ограничение £ на rt2 = f(mZ) тривиально. Из последовательности Хохшильда — Серра (см. (4) в § 1.3) теперь вытекает, что Я1 (2, F) = #*(Z/nZ, F) в смысле индуцированного действия ZlnZ = ZlnZ на F. Кроме того, Н° (2, F) = Н° (Z/nZ, F).

Пусть т — образ ст в Z/nZ. Так как HyZjnZ, F) = N/F^~x),

гдегдетом (1) получаемтом (1) получаемп-1Ч

где

где

том (1) получаем

том (1) получаем

Ц т/ (х) = 1 (, fU-T) = (х/т (х) I № f}, то с уче- 1=0)

[я1 (Z/nZ, Л1 = -^Ц- = ^^у = М = [/7° (Z/nZ, л 1 •

Лемма доказана.

Теорема 1 может быть применена также для классификации простых /(-определенных групп (при этом достаточно рассматривать только односвязные группы). Так как в силу предложения 2 любая /(-группа является квазиразложимой, то все /(-формы простой односвязной /(-группы с системой корней R классифицируются элементами множества Я1 (К, Sym(7?)), где Sym(7?)— группа симметрий диаграммы Дынкина системы R (см. § 2.2, п. 4). Учитывая, что Gal (/(//() = 2, отсюда получаем, что любая Я-группа типов Вп, Сп, Е7, Eg, F4, G2 разложима над К; для каждого из типов АДп ^2), Dn(n ^5), Е6 существует в точности 2 неизоморфные /(-группы — разложимая и неразложимая (отметим, что последняя является квазиразложимой и разложимой над квадратичным расширением КУ для типа D4 имеется 3 неизоморфные /(-группы — разложимая и 2 неразложимые, которые становятся разложимыми соответственно над квадратичным и кубическим расширением К.

Из теоремы Ленга и леммы Гензеля вытекает следующий важный результат для групп над числовыми полями.

Теорема 7. Пусть G— связная группа над числовым полем К. Тогда для почти всех и eVf группа G является Ки-ква- зиразложимой. '

Доказательство. Пусть $ — многообразие борелевских подгрупп группы G (см. § 2.4, п. 9). Тогда из предложения 3.19 вытекает, что для почти всех и е vf существуют гладкие редукции G^ и ^|о). Утверждается, что для почти всех и редукция совпадает с многообразием борелевских подгрупп группы GW (отметим, что согласно теореме 3.12 редукция Gw является связной группой для почти всех и, а поэтому понятие «многообразие борелевских подгрупп» имеет смысл). В самом деле, пусть L/K — такое конечное расширение, что существует Л-опреде- ленная подгруппа Бореля В cz G. Тогда ^=G/B над L и поэтому для почти всех ai е I/f имеем ^=^i^ (см приложение 3.22). Так как многообразие ®w проективно, то группа BW, будучи разрешимой, является подгруппой Бореля в Gw. Поэтому для почти всех w е Vf редукция Sw является мно-

гообразием подгрупп Бореля группы Gw. Но известно (лемма 3.11), что для почти всех uely и соответствующих ®eV*f, w|y, GW = GW и^ш) = ^о\ Из доказанного в силу предложения 1 вытекает, что ^^ =^ 0, где ку— поле вычетов /С относительно и. Так как З^ гладко, то применяя проективный аналог леммы Бензеля, получим, что^цУ=0; в частности, ^ =/= 0, т. е. G обладает ^-определенной подгруппой Бореля. Теорема 7 доказана.

Наконец, используя теорему Ленга, мы сейчас получим необходимые для дальнейшего результаты о когомологиях групп целых у-адических точек и адельных групп. Пусть G — алгебраическая группа, определенная над локальным полем Ду и Lw/Kv— конечное расширение Галуа. Тогда группа целых щ-адических точек Go^ (где О1ш = Ос1^ инвариантна относительно группы Галуа Gal (Лщ,/7<у), так что определено множество 1-когомологий Нх (LWIKV, Gowy

Теорема 8. Если связная группа G имеет связную гладкую редукцию Gw и расширение Lw/Kv неразветвлено, то Нх ^LwlKVf '^) = 1.-

Доказательство. Обозначим через ру и $ш максимальные идеалы в кольцах Ov и О™ соответственно, и пусть к^ и 1Ш— соответствующие поля вычетов. Поскольку редукция Gw гладкая, из леммы Гензеля вытекает точность последовательности

(2)

В силу неразветвленности Lw/Kv группы Галуа Gal (Lw/Kv) и ■йаДЦДк^ изоморфны, причем их действие на группы, входящие в (2), согласованно. Поэтому из (2) получаем точную последовательность когомологий .

Д1 (LJK^ G% Ш) -> Н1 (LJKC, G0^ -> HY Qjky, gQ. (3)

По теореме Ленга последний член в (3) тривиален, так что достаточно установить тривиальность Нх ^LjKy, G0 (ф®)).

Лемма 4. Для любого целого / ^ 1 имеем

hy (ljkv, Go^ №Ig% = 1.

Доказательство. Пусть G cz GLn. Рассмотрим отображение СЕп(С?ш, $£,) А> Afn (/J, определяемое формулой 0(14-л'Л) = = А, где л — униформизующий элемент в КУ, который в силу неразветвленности Lw/Kv является одновременно униформизую- щим и в L№, а для матрицы А е MrAOV) через А обозначена редукция по модулю фш,. Легко проверяется, что 0 является сюръективным гомоморфизмом, а его ядром служит конгруэнц-под-

группа GL^O,^, ^L+')- При этом 0 согласован с естественным изоморфизмом групп Gal (Лю/Лу) и Gal (/и>/^). Отсюда следует •существование изоморфизма

Нх (LJK., G% №[G% «')) ^ Нх ^Цк,, 6 (G^ Ш)).

Ниже мы покажем, что 5 = б(Сощ)(^Рш)) совпадает с редукцией по модулю ^ш пересечения gy = g П Мп (G^), где g — алгебра Ли группы G. Это, в частности, означает, что В является векторным пространством над полем lw, и для доказательства леммы 4 остается заметить, что Н1 ^U/ky, IF) = 0 для любого конечномерного ^-определенного векторного пространства IF над полем I®. Последний факт является следствием тривиальности Н1 (lw/kv, lw) (аддитивная форма теоремы 90 Гильберта, см. доказательство леммы 2.7) и разложения IF = IFO ®й 1^, где IF0 = IF03'^-'*0- — пространство неподвижных точек.

Осталось показать, что В = ду . Для этого рассмотрим идеал а в кольце регулярных функций Ку [G£n], состоящий из функций, обращающихся в нуль на G, и выберем конечную систему образующих ^ (X), . ..,fr(X) пересечения a f) б?у [GZn] как идеала в кольце С% [G£„J. Положим Ft (X, t) = t-^ ^Еп + tX). Поскольку fz(£n) = 0, то ЕДХ, t) лежит в кольце ^ [GZn] [/]. Тогда G^f^L) состоит из элементов вида Еп + и1 А, где Ле е Мп (G^) удовлетворяет системе

ЕДХ, л/) = 0, /= 1, .. ., г. (4) С другой стороны, ду состоит из целых щ-адических решений системы .

dEji(X) = 0, 1=1г. (5)

Поскольку редукция G|y* является гладкой, то ранг линейной системы (5) совпадает с рангом соответствующей редуцированной системы. Но легко видеть, что редукции систем (4) и (5) одинаковы, откуда следует, что многообразие, определяемое системой (4), имеет гладкую редукцию. Поэтому из леммы Ген- зеля вытекает, что 5 и д„ состоят из всех решений в МцПю) одной и той же системы, которая получается редукцией любой из систем (4), (5). Таким образом, В = ^о , и лемма 4 доказана.

Из леммы 4 вытекает, что H^LJK,» Go^l^w) / G^ (^L)) = 1 для любого / ^ 1. В самом деле, для / = 2 это непосредственно

видно из леммы 4. Для больших j рассматривается точная последовательность

1 -> Gy^ № V)]G% № -> G% Ш / Gy^ №) -

и отвечающая ей точная последовательность когомологий

H\LJKy. Gy^^GyJ^^

-H\tJKy, Gyw^Gyw{^^

^H^LJK^, СОтаШ1 G0w«-X)y (6)

Так как левый член в (6) тривиален в силу леммы 4, то требуемое получается при помощи очевидного индуктивного рассуж- дения.Таким образом, для любого коцикла а = ^аа) eZ1 ^LJK,^ Gn фц,)) и любого целого /^1 найдется такой элемент Ь{г гС%Ш, что "byVi^G^^ для всех о е Gal (Тю//(0). В силу компактности Gym)(^?taj) из последовательности {Ь/}”а1 можно выделить последовательность ^ЬцУ^, сходящуюся к некоторому элементу b е Gy фш). Тогда

b”vacba = lim by.Vj. е СОщ №)1->оо■

для любого целого /0^ 1. Поэтому b-vaab° г ^\ Gy (^10 = {^1» /=1

откуда а0 = bQ)-^0, и коцикл а тривиален. Теорема 8 доказана.

Следствие. Пусть G — связная алгебраическая группа над полем алгебраических чисел К, L — его конечное расширение Галуа. Тогда для почти всех ueVf и любого щ|и имеем H^LJK., Gy^=\.

Теорема 8 и еще ряд других результатов о когомологиях групп целых щ-адических точек содержится в статье Рольфса [1]. Так как остальные результаты нам в этой книге не понадобятся, мы ограничимся указанием на следующую теорему конечности: для любого расширения Lw/Kv и любой группы G множество когомологий Hl (LWIKV, Gy^ конечно.

До сих пор мы рассматривали когомологии Галуа относительно конечного расширения Lw/Kv, но можно распространить определение и на произвольное расширение Галуа Lw/Kt»

полагая

Н (U1K„ G0J = lira Нх (Р/К,, Gop),

где индуктивный предел берется по всем конечным расширениям Галуа Р поля К, содержащимся в L®. Можно также определить Н1 (Lw/Kv, Gg^ как группу непрерывных когомологий проконечной группы Gal (Ащ/ЛД с коэффициентами в дискретной группе Gow- С учетом этого теорему 8 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 8'. Пусть G — связная алгебраическая группа над полем К-, имеющая связную гладкую редукцию. Тогда

Н^К, G0^=l,

где К? — максимальное неразветвленное расширение поля Ку. (Другими словами, группа целых точек имеет тривиальные не- разветвленные когомологии.')

Выведем из теоремы 8' одно утверждение об образе группы целых и-адических точек при кограничном морфизме, которое понадобится нам в гл. VII, VIII. Для этого предварительно исследуем более общую ситуацию. Пусть

l^F^G^H^)(7)

— точная последовательность ^-определенных алгебраических групп. Рассмотрим следующие два условия:

существуют гладкие редукции Fw, G|y) и Н№,

морфизм л определен над Оу, и индуцированная последо- л(у>

вательность 1 —>Fw—> G|y)—* Нм —>1 точна.

Лемма 5. При выполнении условий 1), 2) последовательность

Проверка условий 1), 2) для индивидуального нормирования и может оказаться затруднительной, однако если группы в (7) определены над числовым полем К, то в важных для дальнейшего случаях эти условия выполнены для почти всех и.

Лемма 6. Пусть группы F, G, Н и морфизм, л в (7) определены над числовым полем К, причем группа G связна. Тогда если группа F конечна либо связна, то для почти всех и е У^ выполняются условия 1), 2).

Доказательство. Принимая во внимание предложение 3.19 и теорему 3.12, мы видим, что достаточно установить выполнимость для почти всех и условия 2), причем можно считать группы Gw и Н^ связными. Тогда для конечной группы F сюръективность л|у> вытекает из совпадения размерностей G№ и Н^с\ а равенство Кег л|у) = FW доказывается следующим образом. Многообразие, определяемое уравнением л(х) = е, должно иметь гладкую редукцию для почти всех и, и тогда по лемме Гензеля все точки из Кег л|у> должны получаться редукцией точек из Кег л = Г; поэтому [Кег л|у)] ^ [Г]. С другой стороны, для почти всех и [Г(1,)] = [Г] и F^ <= Кег л|у), так что окончательно Кег л|у) = FW. В случае связной группы F утверждение леммы непосредственно вытекает из предложения 3.22.

Предположим теперь, что для точной последовательности (7) выполнены условия 1), 2). Тогда, рассматривая естественное действие группы Gal (№) на группах, входящих в соответствующую точную последовательность (8), и переходя к когомологиям, мы получим точную последовательность

Ga, НОуН1 Мк„ Fa \ -> Н1 «[К,, Gg \ = 1, (9)

где тр„ —кограничное отображение.

Пусть теперь группа F конечна. Тогда в силу связности G, группа F центральна, причем для почти всех и справедливо включение F cz Go н . С другой стороны, кограничное отобра- и

жение , которое вследствие центральности F оказывается гомоморфизмом, совпадает с ограничением на Goy кограничного морфизма фк : Нк -+H{(Kv, ру который получается из точной последовательности 1 ->-F-*- G -*Н-* 1 путем перехода к обычным когомологиям Галуа. Отождествляя группу нераз- ветвленных когомологий Нх(КеР/Кв, F) с подгруппой в Hv (,Kv,F) при помощи отображения инфляции, мы приходим к следующему утверждению.

Предложение 4. Пусть л: G-^H— изогения связных групп над полем алгебраических чисел К, F = Kern. Тогда для почти.

всех v^V^ имеем ^Н^ = Н^/К,. F), где ^: ^-> —> Н1 ^К.у, F) — пограничный морфизм, отвечающий точной последовательности \^-F^-G-*H-*\. Следовательно, для почти всех v порядки групп ^к^Ну ) и F^ совпадают. При этом если р^°ка’ т0 ^Ку^Но^-р-

Первое утверждение предложения уже было доказано. Второе непосредственно вытекает из первого и леммы 3. Наконец, для доказательства третьего достаточно заметить, что в случае F с= Gkd имеем Н1 (К«р/Кы F) = Hom (Z, F) ~ F.

Рассмотрим теперь случай связной группы F. Тогда Н1 ^К*Р1Къ> Fa н А = 1 для почти всех и, и поэтому из (9) имеем л (Gsd) = Ноу. Вспоминая определение адельной топологии и используя следствие 1 из предложения 3.3, мы получаем

Предложение 5. Пусть л: GН—сюръективный морфизм связных алгебраических групп над полем алгебраических чисел К. Предположим, что ядро Кегл связно. Тогда для почти всех и (Goу) = Hav, и поэтому соответствующее сдельное отображение лд: Ga -^-Нд является открытым.

Перейдем теперь к когомологиям групп аделей. Пусть G — алгебраическая группа, определенная над числовым полем К. Для любого конечного расширения Галуа L/К рассмотрим кольцо Al аделей поля L. Известно (см. § 1.2, п. 3), что AL можно отождествить с тензорным произведением AK®L, и тем самым определить на AL действие группы Галуа Gal(A/^). Интерпретируя группу аделей GAL как группу точек G над кольцом Al и учитывая /(-определенность G, мы получаем действие Gal (/.//() на GAl. Тем самым определено множество первых когомологий Нх [L/K, GALy Для произвольного расширения Галуа L/K адельные когомологии можно определить двумя эквивалентными способами: либо как индуктивный предел lim Hv (P/К GAp) по всем конечным подрасширениям Галуа P/К, содержащимся в Л, либо как множество непрерывных первых когомологий проконечной группы Gal(A^) с коэффициентами в (дискретной) группе GAl. При этом последняя группа опять-таки допускает двоякое описание: либо как индуктивный предел (объединение) адельных групп GAp по всем конечным подрасширениям Р ст L относительно естественных вложений GAp a GAPi при Р[ ст Р2, либо как группа точек G над кольцом Al = Ak®kL (при этом кольцо А^- обозначается через А). Мы не будем подробно рассматривать формализм адельных когомологий (см.

Коттвиц [1], {2], ибо в этой книге он нам фактически не понадобится. Основные факты здесь выглядят следующим образом. Любой точной последовательности 1 -> F -> G -> Н -*- 1 связных /С-групп и ^гомоморфизмов отвечает точная последовательность 1 -> Рд —> Gj —> Нд —>1 (это легко вытекает из предложения 5), и можно рассматривать соответствующие производные когомологические последовательности. (Отметим, что в случае несвязной, в частности, конечной группы F последовательность 1 —>F-д —>G-д —>Нд —>1 точной, вообще говоря, не является.) При этом адельные когомологии связной группы G описываются следующим образом.

Предложение 6. Пусть G — связная группа над числовым полем К, L — его конечное расширение Галуа. Тогда множество Hv (ЦК, Ga^ можно отождествить с подмножеством X прямого произведения JJ_ Hl (Lw/Kv, G)*), состоящим из таких х = (хв),

что ху тривиален в Н1 (Lw/Kv, G) для почти всех у е VK.

(Подражая терминологии из теории групп, можно сказать, что НХ(Ь1К, ОАЦ является прямой суммой множеств Hl(Lw/Kv, G). Заметим, что в случае коммутативной группы G мы действительно имеем обычную прямую сумму групп.)

Доказательство. Для каждого подмножества S cz VK обозначим через S совокупность всех продолжений нормирований из S на L. Тогда GA^ = U Од^, где объединение групп S-целых аделей GA (^ берется по всем конечным подмножествам S <= К^, содержащим V^, и поэтому

Н'ЩК, ОА^-\^Н'ЩК,ОАь^.

Мы покажем, что для любого S справедливо включение Hv (ЦК, Од^^ <= X. Без ограничения общности можно рассматривать лишь такие S, что для y^S существует гладкая редукция Gw и расширение ЦЩ неразветвлено. Из разложения GA (sj = GjX. П Gy получаем, что

L w^S w '

«■ р (^- ДЛ-)*^1 Цк- ДМ"

Но из леммы 1.4 вытекает, что для ueS (соответственно, и ^ S) группа Ц Gl (соответственно, П Go ) является индуцированной с GLw (соответственно, СоЦ для некоторого фиксированного продолжения щ|у. Кроме того, по построению для

♦) Произведение берется по всем о е Vх, причем для каждого и выбирается одно продолжение ш е Щ-.

■у ^ S выполнены условия теоремы 8, так что Нх (LWIKV, Gcw^ = ■ 1. Окончательно получаем, что

Н\ЦК, О.^-^Н' (L_jK„ G) X Ш-

Переходя к объединению, мы получаем включение Нх ^ЦК, Gal^ <= X. Обратное включение очевидно.

Следствие 5. Множество Нх ^К, Gj) можно отождествить с подмножеством прямого произведения Ц Нх VK„, G), состоя-

V

грим из таких х = ^х„^, что xv тривиален в Hx(Kv, G) для почти всех и е VK.

Если группа G коммутативна, то определены все группы когомологий Hl ^L]K., GAl^ (z^O). Оказывается, что они допускают описание, аналогичное предложению 6.

Предложение 7. Пусть G— коммутативная алгебраическая группа над числовым полем К, L — его конечное расширение Галуа. Тогда для любого i ^ 1

Н^ЦК, GAi)~ £ H4LJK., G).

Доказательство. Как видно из доказательства предложения 6, достаточно установить, что Hl ^LWIKV, 0^)=! для почти всех у. Мы можем ограничиться рассмотрением тех и, для которых расширение Lw/Kv неразветвлено. Тогда группа Галуа Gal (Аш/Ки) циклична, и в силу периодичности когомологий циклических групп мы получаем изоморфизмы

Н1 (LwlKv, Go^ ^ Нх [LwlKv, Gg^ для нечетных I,

Н1 (LwlKv, Gg^ ~ Н2 (LwIKv, Gg^ для четных I.

Из этих изоморфизмов и теоремы 8 мы получаем тривиальность i-х неразветвленных когомологий групп целых щ-адических точек любой связной коммутативной группы для нечетных I, причем для доказательства предложения достаточно установить тривиальность Н2 (Lw/Kv, Gg^. Для этого мы воспользуемся конструкцией, с которой еще не раз встретимся в дальнейшем. Положим Н = X<L)K(G( и рассмотрим «норменное» отображение <р: H-+G, которое является композицией изоморфизма (4) в § 2.1 (отметим, что в силу /(-определенности G имеем G° = G для любого <т е *§ = Gal (/,//<)) и морфизма-произведения (легко видеть, что ограничение ср на HK~GL совпадает с обычным норменным отображением Пт/к(ё)~ П o(g)Y Морфизм се? /"

<р определен над К, и его ядро F = Кег ср является связной

/(-определенной группой. Тем самым имеем точную последовательность связных /(-групп:

1

Из предложения 5 вытекает, что для почти всех у е V* и соответствующих щ|и точна последовательность

^f^hOw^gOw^\.(10)

Переходя в (10) к когомологиям, получим точную последовательность

... Я2 (U1K., Но^ -> № (U1K., G0W) -> Н3 (UIK,, F%y (11)

Из сказанного выше вытекает, что последний член в (11) тривиален для почти всех и, и поэтому достаточно установить тривиальность Н2 (LW]KV, Но^. Но это является следствием того факта, что в силу наших построений Gal (LW/KA-модуль Не является индуцированным. Предложение 7 доказано.

Диагональное вложение L-*Al согласовано с действием группы Галуа Gal(A//(), поэтому для любой алгебраической/С-груп- пы G имеем отображение когомологий НХ(ЦК, G) —> Нх ^Ц К Одьу Тогда из описания адельных когомологий мы получаем

Следствие 6. Пусть G — связная алгебраическая К-группа, L/K — конечное расширение Галуа. Тогда произвольный коцикл х е HX(L/K, G) имеет тривиальные образы в H'(LW/KV,G) для почти всех v eV ^. В частности, любой коцикл xeH^K.G) имеет тривиальные образы в Н{ ^КУ, G) для почти всех v е V^.

Отметим, что если группа G коммутативна, то аналогичное утверждение имеет место для всех групп когомологий.

Упражнение. На примерах показать, что условие связности группы G в утверждении следствия 6 существенно.

§ 6.3. Когомологии Галуа алгебраических торов

Как мы уже отмечали в § 6.1, при работе с алгебраическими торами вместо обычных когомологий удобно использовать модифицированные когомологии (когомологии Тейта). Напомним их определение и основные свойства (систематическое изложение этих вопросов читатель может найти в книге Брауна [1]^ гл. VI или в [АТЧ], гл. IV). Итак пусть G — конечная группа, А — некоторый G-модуль. Введем «норменное» отображение N: А -> А, задав его формулой N (а) = У, ga. Ясно, что V (А) с geG.

сА° иА'сКнГ, где А’—подмодуль в А, порожденный элементами вида ga — а для всех geG, аеА. Тогда группы

когомологий Тейта H‘(G, Л) определяются следующим образом: Hl (G, Л) = Hl (G, Л), если / > 1,

Н° (G, Л) = Aa]N (Л), Н-ЧС, Л) = КегД/Л/, H~l (G, Л) = Нt_\kG, Л), если 1^2, где Н, обозначает Аю группу гомологий. Доказывается, что модифицированные когомологии сохраняют все основные свойства обычных когомологий, а именно: 1) для них выполняется лемма Шапиро, и, в частности, когомологии индуцированного модуля тривиальны; 2) любой точной последовательности G-модулей О—>-Л—>-5—>-С—>-0 отвечает бесконечная в обе стороны точная последовательность

... ^Hl (G, Л) -> Н1 (G, В) -> Н1 (G, С) -> Нт (G, А)^ ...

Преимущества, которые мы получаем, перейдя от обычных когомологий к модифицированным, заключаются в том, что для последних имеет место очень полезная в нашей ситуации теорема Тейта (см. ниже теорему 9).

После этих предварительных замечаний мы переходим непосредственно к доказательству теорем Накаямы — Тейта.

Начнем с рассмотрения частного случая Т = Gm. Этот случай, тривиальный с точки зрения теории торов, вбирает в себя наиболее содержательную часть рассуждений, ибо указанные в теоремах 2, 3 изоморфизмы для I = 0, 1, 2 представляют основные результаты соответственно локальной и глобальной теорий полей классов. После этого переход к случаю произвольных торов осуществляется уже сравнительно легко при помощи теоремы Тейта. Разберем вначале случай локального поля К. При i = 0 мы должны получить изоморфизм Д°(Л/А\ Z) ~ ~НЧЖ, Г), ибо здесь Х(Т)= Z с тривиальным действием = Gal(Z/A). Но, очевидно, ^(L/ZC, Z)= Z/nZ, где п = = [Л : А"], а Н2 ^ЦК, L*) ~ Вг (L/K)-i- Z/Z, причем послед

ний изоморфизм осуществляется отображением inv (см. теорему 1.7). Прообраз элемента 1/п при этом изоморфизме называется фундаментальным, классом расширения L/K и обозначается Ul/k- Если F — некоторое промежуточное подполе, то uL/f является образом ицк при отображении ограничения H2(L/K, L*)-+H2(L/F, L*). Далее, прщ(=1 обе группы НЧЦК, Z) и НЧЦК, L*) тривиальны. Наконец, разберем случай Z = 2. Здесь ДДЛ/Д, Z) ~ Д1 (Л/А", Q/Z) (см. лемму 1.3), а последняя группа совпадает с абелинизацией ^. С другой стороны, НЧЦК, 14 = K*!Nlik^L*Y Таким образом, здесь

i334 VI- когомологии галуа

изоморфизм в теореме 2 принимает вид ^ab =s:/С*/^/к(^*)> в частности З ^ К*/Nl/k(L*), если группа ^ абелева. Последний факт, дополненный теоремой существования (любая открытая подгруппа в К* конечного индекса является норменной, т. е. имеет вид Nl/k(L*) для подходящего абелева расширения L/К), является главным достижением локальной теории полей классов (см. лекцию Серра в [АТЧ]). Отметим, что хотя основным объектом локальной теории полей классов являются неархимедовы локальные поля, ее результаты формально остаются справедливыми и в архимедовом случае, т. е. когда К есть R или 1Q.

Сходные резальтаты имеют место и в глобальном случае, однако используемые объекты и доказательство основных утверждений имеют более сложную природу, в частности, мультипликативная группа L* заменяется здесь на группу классов иделей CL = 1l]L*. Опять для I— 0 имеем H2(LlK, CL) c^i-^-Z/Z, где п = [L : /С] (изоморфизм строится, исходя из локальных отображений inv, см. [АТЧ], гл. VII, § 11), так что утверждение теоремы 3 для Z = 0 здесь выполняется. Прообраз ul/k элемента 1//г при этом изоморфизме, как и в локальном случае, называется фундаментальным классом расширения ЦК. Он также обладает тем свойством, что для любого промежуточного подполя F фундаментальный класс Ul/f является ограничением Ul;k- При Z=1 группа Ha(L/K,CL) тривиальна, так что теорема 3 здесь выполняется. (Отметим, что тривиальность НХ(ЦК,Ц) имеет ряд важных арифметических следствий. В частности, переходя в точной последовательности 1->£*-> -> Il -> Cl -> 1 к когомологиям, получим, что отображение Вг (ЦК) = Н2 (ЦК, П) -> Н2 (ЦК, JL) = Е Вг (LJKC) является инъективным, что равносильно теореме Хассе — Брауэра — Нетер из § 1.5.) Наконец, при Z = 2 мы должны получить изоморфизм ^ab ~ Ck/NL)k (Cl) , а это есть основной изоморфизм глобальной теории полей классов (см. лекцию Тейта в [АТЧ]).

Нельзя не отметить аналогии в основных результатах локальной и глобальной теорий; она находит свое формальное выражение в аксиоматическом описании так называемых формаций классов (см. Серр [3]).

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы завершить доказательство теорем 2, 3 в общем случае. Оно основывается на следующем утверждении. .

Теорема 9 (Тейт [1]). Пусть G — конечная группа, М — некоторый G-модуль и и — элемент из H2(G,M). Для каждого простого р обозначим через Gp силовскую р-подгруппу в G и предположим, что выполнены следующие условия1.

НЦОР,М)=\;

HAGP, М) является циклической группой с образующей Resop (и), где Resop (и): Н2 (G, М) —> H2(GP, М) — морфизм ограничения, и порядком, равным порядку GP. Тогда для любого конечно порожденного G-модуля N без кручения и любой подгруппы 36 clS vj-умножение на и индуцирует изоморфизм ЙЦЗб, N) —> Н1+2 (36, M^N) для любого целого I.

(Определение ^-умножения и доказательство теоремы 9 читатель может найти в [АТЧ], гл. IV, § 10. В дальнейшем эти факты нам не понадобятся.)

Для того чтобы воспользоваться теоремой 9, для данного /С-тора Т, разложимого над конечным расширением Галуа L/K с группой Галуа S = Gal (L/K(, рассмотрим группу кохаракте2 ров (однопараметрических подгрупп) X*(Г) = Hom(Gm, Т), которая также является ^-модулем (см. § 2.1, п. 7). Оказывается, что зная группу ХДГ), легко восстановить группу /.-точек TL. X именно, рассмотрим гомоморфизм 6: X* (Т^ ® L*-* Т L, определяемый соответствием 6(ср ® х)= ф(х). Группа S действует на ХДТ1)® L* посредством действия на сомножителях, и без труда проверяется, что 6 является ^-гомоморфизмом. С другой стороны, легко показать, что для разложимого тора 6 является изоморфизмом абстрактных групп. Поэтому, учитывая, что над L тор Т становится разложимым, мы приходим к следующему результату.

Лемма 7. Построенный гомоморфизм 6: X* (Т^ ® L*-* TL является изоморфизмом S-модулей.

Теперь уже совсем легко доказать локальную теорему Вакаямы— Тейта. А именно, предположим, что К— локальное поле. Тогда из нашего обсуждения локальной теории полей классов вытекает, что для модуля М = L* и фундаментального класса iu/ке №(L/K,L*^ выполняются условия теоремы Тейта. Поэтому, применяя ее с учетом леммы 6, получаем изоморфизмы

н1(Ь]к, хат^^н1+чЦК, хат^ь^~н1+чцк, та. (1) (Отметим, что этот изоморфизм индуцируется ^-/-умножением на uL/K и поэтому обладает необходимыми функториальными свойствами.) С другой стороны, из теоремы двойственности для когомологий (см., например, Картан, Эйленберг [1]) получаем, что конечные абелевы группы Н1(ЦК, Х,(Т)) и Н~1 (ЦК, Х(Т^ являются двойственными друг другу и, следовательно, изоморфными для любого целого I. Из этого факта и цепочки изоморфизмов (1) вытекает утверждение теоремы 2. Отметим, что приведенное доказательство теоремы 2 проходит для всех

локальных полей, включая архимедовы, однако для случая К = R ее можно легко доказать непосредственно, используя классификацию вещественных торов (см. § 2.2, п. 4), что мы и предлагаем проделать читателю в качестве упражнения.

Следует указать на то обстоятельство, что построенный в доказательстве теоремы 2 изоморфизм имеет характер изоморфизма конечной абелевой группы со своей двойственной. Эта двойственность может быть описана и непосредственно, без использования группы Х*(Г). А именно, ^-/-умножение индуцирует спаривание Н1 ^ЦК, Т) X Н2-1ALIK, X (Г)) ->Н2 (JAK, Т L® <3zX(T)), а последняя группа отображается в H^^LIK, L*^ ~ ~ Z/nZ, где n = \L •. К\, посредством отображения 7£®zX(7)-> ->L*, /®х*—>х(0- Получающееся в итоге спаривание НАЦК, Т) X Н2-‘ (LjK, X (Г)) -> ^[гЛ оказывается невырожденным и тем самым доставляет изоморфизм.в теореме 2.

Доказательство теоремы 3 формально совпадает с доказательством теоремы 2, с той разницей, что для глобального поля /С используется модуль М = С£. Тот факт, что для М и соответствующего фундаментального класса ицк^ №^L[K,M^ выполняются условия теоремы Накаямы — Тейта, вытекает из глобальной теории полей классов. Мы предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что ^-модули X,kT^ ®zCL и CL(T) = T AjTL изоморфны (имитировать доказательство леммы 7). Тогда

Hl №, X. (7-)) ~ Н^2 ЩК, X. (7WCJ ~ /Д+2 №, CL <Т^, (2) причем изоморфизм осуществляет ^-умножение на ицк- Опять используя двойственность между группами Hl (LjK, X, (Г)) и H-i VLlK, X (Г)), мы и получаем теорему 3. Отметим, что здесь также имеется невырожденное спаривание между группами Н1 VUK, CL (71)) и Н2-1 (LIK, X (Т)), получаемое как сквозное отображение

Н1 (L/K, CL (Г)) X Н2"1 <ЦК, X (7)) —

— Я2 <ЦК, CL (Г) ®z X (Г)) — Н2 (L/K, С^ ~ Z/nZ,

где п = \L : /С].

Следует сделать одно важное замечание. Так как изоморфизмы в теоремах 2, 3 имеют характер изоморфизма конечной абелевой группы со своей двойственной, то они не являются каноническими. Поэтому при исследовании функториальных свойств вместо изоморфизмов из теорем 2, 3 следует рассматривать изоморфизмы (1), (2), в которых участвуют когомологии группы ХДГ), ибо они индуцируются ^-/-произведением и, еле-

довательно, являются естественными. При этом когомологии групп X,(Г) и Х(7) связаны соотношениями двойственности. В качестве примера рассмотрим вопрос о связи локальных и глобальных изоморфизмов в теоремах Накаямы — Тейта. А именно, пусть К — числовое поле, oeV\ Тку8кЬ--»-Тak®kl = Tal-— естественное вложение и т: Hl ^LIK,T^v^klу-н1 щк, cLo — отображение когомологий, индуцированное указанным вложением и проекцией ТА -*-CL(T\ Так как Ки <8>^ L ~ Ц Тц,, при-

L W I и

чем различные продолжения сопряжены относительно группы ^, то Tku®kl^ П Тц является индуцированной группой, и поэтому по лемме Шапиро Н1 ^L[K, ТКу ®kl) = Hl (LJKy, Т). Но Н1 (L/K, CL (Т)) ~ №-1 №, X (Г)), Ш ЩК„ Г) ~ №-i <LW/Ky, X (Г)), так что естественно возникает соблазн описать отвечающее т отображение H2-t VLjKy, X (Г)) -► №-1 ^ЦК, Х(Т)). Однако при такой постановке задача не допускает вполне определенного ответа, ибо указанные изоморфизмы нельзя определить канонически. Правильная постановка выглядит следующим образом: найти гомоморфизм ст: Hl~2 (LWIKV, Xt (Т)) Н‘~2 (L/K, X (Г)), превращающий диаграмму

Н1 (LJKy, Т) И1 (L/K, CL (Г))

tt(3)

н‘-ЧМКу, хуту H‘~2(L/K,X,(T))

в коммутативную (вертикальные стрелки являются изоморфизмами, получаемыми из (1), (2)).

Предложение 8. Гомоморфизм о является гомоморфизмом коограничения Сог^(ш), где 8 (су) = Gal (L^K^ — группа разложения нормирования w.

Доказательство начнем с установления связи между локальным и глобальным фундаментальными классами. Положим

Тогда из результатов [АТЧ], гл. VII, § 11, вытекает, что отображение Lw-+Cl индуцирует изоморфизм №\LW/PW, Lw) ~ H2\L/P,Cl) (отметим, что Pw = Kyy, при этом локальный фундаментальный класс Ulw]pw = Ulw]k.u переходит в глобальный фундаментальный класс Ul/p, который, как мы знаем, совпадает с Res^, Ли,,„У Отсюда следует коммутативность

•у (СУ) \ Ь/Д/•

диаграмм

н{-2№), хдг^нч^К ЛIII

Н^ & И, X. (7-)) -> Н* О (< CL (Л) и

Н1-1 (^ И, X, (Г)) -> Hl (^ И, CL (Г))

Н‘~2 (g, X. (Г)) -* Hi (g, CL (Г'» (доказательство коммутативности второй диаграммы использует следующее свойство w-произведения:

Cor (Res (х) V./ у) = х с_/ Cor (у),(4)

справедливость которого установлена в [АТЧ], гл. IV, § 7). Сравнивая эти диаграммы и учитывая коммутативность диаграммы

HlkW, Т^НЦЗН, CJT))

нЧ$, П тьЛ^нч$, см, X w | и /

где I—изоморфизм из леммы Шапиро, приходим к требуемому утверждению. (Мы оставляем читателю в качестве упражнения восстановить детали рассуждений.)

Как мы уже отмечали в § 6.1, из теорем 2, 3 вытекает конечность группы НЦК, Т) над локальным полем К и конечность ядра Ш(Г) канонического гомоморфизма Нх VK, Т) —> IT Нх (Kv, Т) для числового поля К. На самом деле эти ие У^ утверждения сохраняют силу не только для первых, но и для любых когомологий.

Предложение 9. Пусть Т — алгебраический тор, определенный над полем К и разложимый над его конечным расширением- Галуа L. Тогда для любого I выполняются утверждениях

группа ЙЧЬ/К,Т) конечна, если К — локальное поле;

группа РЧЦК, Т) = Кег (Н‘ №, Р^Ц Н <LJKV, П) конечна, если К — числовое поле.

Доказательство легко вытекает из следующего замечания: для любого I группа Й1(Ь/К, Х(Т)) является конечно порожденной абелевой группой конечной экспоненты (см. [АТЧ], гл. IV, § 6) и поэтому конечна. Утверждение 1) является непосредственным следствием этого факта, если воспользоваться изоморфизмом из теоремы 2. Для доказательства 2) следует

рассмотреть точную последовательность 1 —*TL —►TAl -*-Cl (7) -► —► 1 и следующий фрагмент соответствующей когомологической последовательности:

Я--1 (ЦК, ТА[) н1^ (ЦК, CL (7)) ->

Н1 (ЦК, 7) -^ Н1 (ЦК, TAl\ (5)

Тогда Pl(L/K, 7) = Ker f является факторгруппой группы Й1-х Ц/К, CL (Т)), а последняя группа согласно теореме 3 изоморфна Й3-‘(Г/К, Х(Т)) и, следовательно, конечна.

Следствие. В условиях предложения 9 справедливы следующие утверждения-.

группа НХ(К,Т) конечна, если К — локальное поле-,

группа Ш (7) = Кег ^Нх (К, 7) -► Ц Нх (К„, Т^ конечна, если К — числовое поле..

Доказательство вытекает из предложения 9 и следующего факта.

Лемма 8. Если К-тор 7 разложим над расширением Галуа L/K, то Нх (К, 7) = Нх (L/K, 7).

Действительно, по теореме 90 Гильберта HX(L,T{=\, поэтому, записав начальный отрезок спектральной последовательности Хохшильда — Серра

1 -* Нх (ЦК, Г) — Нх (К, 7) — Нх (L, 7), мы и получим требуемое.

Некоторое уточнение рассуждений, использованных при доказательстве предложения 9, позволяет получить точные формулы для вычисления группы Pl(L/K, 7). Действительно, из точной последовательности (5) вытекает, что Р1 (ЦК, T{ = K.eTf изоморфно коядру Coker g. Но Н1~Х(ЦК, TAl^ = S Hl~x (LjKv, Т{ (предложение 7), поэтому, используя изоморфизмы Н -1 {ЦК, CL (7)) ~ Ш-а {ЦК, X. (7)), Hl-X (LJK,, 7) ~ Н1"3 (LJK,, X. (7)) и предложение 8, получаем, что Р1 (ЦК, Т) изоморфно коядру отображения

2 Н1"3 (LJKe, X. (7)) -> Д-3 {ЦК, X. (7)),(6)

индуцированного коограничениями Сог£(а1). Переходя при помощи теоремы двойственности к когомологиям группы Х(7) и учитывая, что при этом морфизм коограничения перейдет в морфизм ограничения, мы получаем следующий результат.

Теорема 10 (Тейт). Р1(ЦК, Г) ~ Кег {Н3-1 {ЦК, Х(7)) ->

П Н3-1 {LJK„, X (7))).'

(Отметим, что изоморфизм в теореме 10 не является каноническим, а индуцирован двойственностью.)

В приложениях наиболее часто встречается группа Ш(7') = = PX^L/K,TY называемая группой Шафаревича—Тейта тора Т. Говорят, что для тора Т выполняется принцип Хассе, если Ш(7')=1. Покажем, что здесь мы имеем дело с естественным обобщением классического норменного принципа Хассе в расширениях числовых полей. Пусть Р— конечное расширение числового поля К, S = Rp/^ (Gm) и Т = R),1^ (Gm) — соответствующий норменный тор. Тогда из точной последовательности

1^Т^5^6т^1,(7)

где N — норменное отображение, переходя к когомологиям, получим точную последовательность

Р* ^^ К* н1 ^К, Т) -> Нх (К, S).

Но НХ(К, S) = 1 (лемма 2.4), поэтому Нх (К, Т) ~ К*/Nр/к(Р*). Рассуждая аналогично, получим, что Нх (К, Т^ ~ J^NP(K^Jpy Отсюда следует, что Ш (Г) ~ (A* f] Wp/k(/p))/Wp/k (Р*)- Сопоставляя этот факт с классическим определением выполнимости норменного принципа Хассе в расширении P/К (см. § 1.2, п. 3), мы видим, что в данном случае последний эквивалентен справедливости принципа Хассе для когомологий Галуа соответствующего- норменного тора Т = R^^G^. Тем самым теорема 10 дает эффективный способ проверки норменного принципа Хассе. Соответствующие вычисления приобретают наиболее простой вид, когда Р/К—расширение Галуа. В этом случае в качестве поля разложения L тора Т = Ro^(Gm) можно взять само поле Р. Обозначим через 3 группу Галуа Gal(P//C). Тогда модуль характеров Х(Т) определяется из точной последовательности

0-> Z-> Z [^]-> X (Г)-> 0,(8)

которая получается из последовательности (7). Переходя в (8) к когомологиям, мы придем к последовательности

№^, Z [£])-► Я2 (g, X (Г))->№(^, 7,^Ha^, ZV3AY

Но групповое кольцо Z [^] является индуцированным ^-модулем, так что Н‘$, Z[^]) = 0 для г = 2, 3, и поэтому №$, Х(Т)) = Н3 (3, Z). Аналогично, зафиксировав для каждого и некоторое продолжение щ|ц и обозначив через 3» соответствующую группу разложения ^(щ), будем иметь Я2(^„, X (7)) = № (^0, Z). Таким образом, применяя теорему 10, получаем следующее утверждение:' -

Теорема 11 (Тейт). Для норменного тора Т = R^(Gm), отвечающего расширению Галуа P/К, группа Ш(Т') изоморфна ядру канонического отображения

Н3^, 2)^ПЯ3(^, Z). (9} V

В частности, для P/К выполняется норменный принцип Хассе в том и только том случае, если отображение (9) инъективно.

Если группа ^ циклична, то Н3$, Z^H1^?, Z) = 0, и мы приходим к следующему результату Хассе [2].

Следствие (теорема Хассе о нормах). Для циклического расширения P/К всегда выполняется норменный локально-глобальный принцип.

Если же расширение P/К не является циклическим, то возможны разные случаи.

Пример 1. Положим К = Q, Р = Q(.-\/13, V17). Здесь $ = Z/2Z X Z/2Z, а все группы ^„ циклические. Поэтому Н3^, Z) = Z/2Z, но H3^, Z) = О для любого у. Тогда m(T) = Z/2Z, и норменный принцип для Р)К не выполняется,, что согласуется со сказанным в п. 3 § 1.2.

Пример 2. Положим K = Q, Р = Q(V2, V5). Тогда ^ = ^2 = Z/2Z X Z/2Z, так что (9) инъективно, и для Р(К выполняется принцип Хассе.

Если вопрос о норменном принципе Хассе для расширений Галуа теоретически решается теоремой 11, то для расширений, не являющихся нормальными, до недавнего времени существовало очень мало результатов. Конечно, в данной ситуации к возникающему здесь норменному тору также применимы, с одной стороны, теорема 10 (соответствующие вычисления см. ниже), с другой — общие методы, связанные с изучением геометрии алгебраических торов (см. Воскресенский [3], а также конец § 7.3). Однако при этом остается определенное чувство неудовлетворенности, вызванное тем обстоятельством, что арифметическая по своей природе задача о норменном принципе Хассе имеет ответ в чисто гомологической форме, которая, фактически, никак не учитывает арифметику самого расширения. Комплексное исследование норменного принципа Хассе для произвольных расширений, сочетающее как гомологические, так и арифметические методы, было недавно выполнено в работах Платонова, Дракохруста [1], [2], Дракохруста, Платонова [1] и Дракохруста [1]. Отправным пунктом Для этого исследования послужила следующая проблема Бартельса [3, с. 198]: будет ли верен принцип Хассе для расширения ЦК, если L — максимальное подполе в некотором теле D с центром К. Такие расширения называются К-адекватными (Шахер [1]). Эта гипотеза казалась весьма правдоподобной. Так, любое расширение простой

степени /С-адекватно, и для него выполняется принцип Хассе (см. предложение 10 ниже). Гурак [2] доказал предположение Бартельса для расширений Галуа (этот результат можно рассматривать как арифметическую интерпретацию критерия из теоремы 11). Сам Бартельс [4] установил справедливость принципа Хассе для /С-адекватных расширений степени 4 (как показывает пример 1, для произвольного расширения четвертой степени принцип Хассе может нарушаться). Кроме того, норменный локально-глобальный принцип выполняется для всего тела D, содержащего L (теорема Эйхлера, см. § 1.4).

Тем не менее оказалось, что в общем случае проблема Бартельса имеет отрицательное решение. Первый контрпример, построенный в работе Платонова, Дракохруста [1], является расширением степени 10. Естественно возник вопрос о минимальности этого примера, а также об арифметической природе тех значений степени расширения, при которых гипотеза Бартельса выполняется (так как 10 является произведением двух различных простых чисел, а для расширений простой степени принцип Хассе выполняется всегда, то можно предположить, что гипотеза Бартельса справедлива для расширений примарной степени). Детальному исследованию этих вопросов посвящена работа Дракохруста, Платонова [1]. В ней, в частности, показано, что проблема Бартельса справедлива для расширений L/К степени р2 (р простое), в то же время при \L :/С] = рг, г ^ 3, ответ на проблему Бартельса отрицательный. Оказалось также, что •она справедлива для расширений степени 6. Поэтому минимальные контрпримеры доставляют расширения восьмой степени.

Исследование принципа Хассе в цитированных работах базируется на введенном там понятии первого препятствия. В нашем контексте эта конструкция получается следующим образом. Пусть Р/К—конечное расширение. Тогда в качестве поля разложения норменного тора Г = R^ (Gm) можно взять любое расширение Галуа L поля К, содержащее Р. Обозначим через 3 группу Галуа Gal(Д/^), и пусть ■Л? — подгруппа в ^, отвечающая Р. Переходя в последовательности (7) к характерам, получим следующую точную последовательность, содержащую Х(Т'):

0->Z^Z[^]->X(7')->0.(10)

Чтобы вычислить Ш(Г) с помощью теоремы 10, рассмотрим получающуюся из (10) коммутативную диаграмму

№ (£, Z) Я2 (^, Z [^]) —— > ja,ja,

Пя2(^,2)ЛПя2(^, 7№])Д

о

-^ № (S, X (Г))№ (S, Z)^ Н3 (S, Z [^])

|а’|а* Ь (11}

^ П № ^у, х (г)) -^ П н3 (s„, Z) -^ П н3 ^v, z [да])

Согласно теореме 10, Ш (Г) = Р'(Г/Д, Г) ~ Кега3. Из диаграммы (11) тогда вытекает, что существует вложение группы Ф = а“'(Im ipj/lm ср, в Ш(Т'). Группа Ф изоморфна первому препятствию к принципу Хассе, которое было определено в работе Платонова, Дракохруста [1] в арифметических терминах как факторгруппа К* П ^pik Up)/Npik (Д‘) (А” П Nl/k Ul)). В цитированной статье указан способ вычисления первого препятствия, который можно получить также из диаграммы (П). Для этого заметим, что ZfS/^] = Ind^ (Z), и поэтому по лемме Шапиро Н <S, Z \3/36\ }=Н2 <36, Z). Аналогично, для каждого и Z[S/38']=

= У, Z\Xi! Зб\ — прямая сумма SD модулей, где 36\=rSvXi36 (г = i=i

= 1, . .., rD) — различные двойные смежные классы в разложении группы S по подгруппам Su и 36. При этом, очевидно, Z \3£”\Эб\ = Ind^" (Z), где Зб^^х^Эб (х")~' П S„. Таким обра-

ги

зом, Н2 (SD, Z V§[36\) = У Н2 (Зб”, Z). Применяя теперь сдвиг i = 1

размерности (см. лемму 1.3), мы видим, что первый квадрат в (11) эквивалентен следующей диаграмме:

Д1 (S, Q/Z)Д1 <36, Q/Z)

(12)

в которой все стрелки являются отображениями ограничения; в частности, Ф ~ р”1 (Im ф)/1ш ф. Но для конечной группы 3" группа Д1 (^", Q/Z) совпадает с двойственной к абелинизации ■дг^-ь =д*! [^",^"], поэтому диаграмма (12) является двойственной к диаграмме

(13)(13)S/[S, S] ч—36ft36, 36\

(13)

(13)

в которой все стрелки индуцированы соответствующими включениями. С использованием элементарных фактов о двойственности абелевых групп из (13) получается

Теорема 12. В обозначениях диаграммы (13)

Ф ~ Кег ц/d (Кег т]).

Теорема 12 позволяет эффективно вычислять первое препятствие Ф. (Впрочем, читателю, желающему повысить «степень эффективности», рекомендуем получить арифметическую интерпретацию числа ту и групп Зб”^ При этом если Ф^=1, то принцип Хассе для расширения P/К заведомо не может иметь место. Эти факты лежат в основе построения первого контрпримера к проблеме Бартельса. А именно, вначале строится такое расширение Галуа L/K. с группой Галуа 3 = А6, что множество нормирований поля К, имеющих в L нециклическую группу разложения, содержит не менее двух- элементов и все нециклические группы разложения изоморфны (Z/2Z)2. Группа 3 обладает подгруппой 36 индекса 10, которая порождена подстановками (123), (456), (1425), (36) и, следовательно, изоморфна полупрямому произведению (Z/3Z)2 X Z/4Z. Положим Р = Lx. Тогда при помощи критерия из п. 1 § 1.5 устанавливается, что Р является /(-адекватным. С другой стороны, прямое вычисление показывает, что первое препятствие в данном случае нетривиально, и, следовательно, принцип Хассе для P/К не выполняется.

Первое препятствие оказывается эффективным не только при построении контрпримеров, но и при доказательстве справедливости принципа Хассе для расширений того или иного типа. Так, например, обстоит дело,если первое препятствие совпадает со всей группой Ш(Т), которую естественно называть полным препятствием. В работе Дракохруста, Платонова [1] установлено совпадение первого и полного препятствий для расширений бесквадратной степени и для /С-адекватных расширений степени р2. Отсюда путем вычисления первого препятствия выводится справедливость принципа Хассе для /С-адекватных расширений, степень которых либо равна шести, либо имеет вид р2. Полное препятствие не всегда совпадает с первым, однако, как показал Дракохруст [1], оно может быть вычислено аналогично с использованием так называемых обобщенных групп представлений. Основы теории групп представлений были заложены Шуром [1], а современная трактовка этих вопросов изложена в книге Бейля и Таппа [1]. Так, конечная группа 3 называется обобщенной группой представления конечной группы 3, если имеется центральное расширение \->М->3—*3 —>1, причем пересечение MQ[8, 3\ изоморфно группе //3(^, Z), которая носит название мультипликатора Шура группы 3. (От-

метим, что в силу леммы 1.3 Н5(3, Z) = Д2(^, Q/Z).) Для сравнения укажем, что в классическом определении группы представления требовалось выполнение включения М cz [^, ^]. Пусть 3 — произвольная обобщенная группа представления для 3. Для любой подгруппы ^ с.3 будем обозначать через 9" ее прообраз Х-1^). Рассмотрим следующую диаграмму, аналогичную (13):

3[\3, 3}561(96, Ж

Z ЗЛ X I 2 Ж/[Ж, Ж] )уУ ^^l/

В этих обозначениях имеет место

Теорема 13 (Дракохруст [1]). Для норменного тора Т = R^ (Gm) имеем Ш (Г) ~ Кег л/е (Кег р).

Примеры конкретных вычислений [ЩТ1) при помощи этой формулы читатель может найти в указанной работе Драко- хруста. Завершим наш обзор результатов, касающихся норменного принципа Хассе, следующим утверждением (см. Бартельс [3], Платонов [20], Платонов, Рапинчук [4]).

Предложение 10. Пусть Р/К— расширение простой степени р. Тогда для P/К выполняется норменный принцип Хассе.

Доказательство. Обозначим через L минимальное расширение Галуа, содержащее Р, и положим 3 — Gal (Ь/КК <Э^ = Gal (Z./P). Тогда 3 является подгруппой симметрической группы Sp, и поэтому [3] делится лишь на первую степень р. Следовательно, ([Ж, Р)=1, и силовская р-подгруппа Зр группы 3 является циклической порядка р. Обратимся теперь к диаграмме (11), построенной «для тора Т = ^/^^6^. Так как Ш(7’)~Кега3 является группой экспоненты р (напомним, что Ш (Т) ~ (К* П NpikVp))/Npik (Р*), то достаточно показать, что p-часть группы Н2(3, X (71)) тривиальна. Но Н2(3, Z^/Ж) — ~ Н2 (56, Z) аннулируется умножением на [Ж и поэтому имеет экспоненту, взаимно простую с р. С другой стороны, р-часть в Н5(3,2) изоморфна №(3Р, Z) = 0, ибо группа 3Р циклична. Таким образом, требуемое утверждение вытекает из точности верхней строки в (П).

Можно предложить и более арифметический вариант рассуждений. Сохраняя предыдущие обозначения, положим дополнительно Р = Ь^р. Тогда, очевидно, L = FP и FT\P=K. Если а е /С* Г1 Np/K(Jp), то а е F* A Nl/f(Jl) и, следовательно, аг г Nl/f(L*) в силу теоремы Хассе о нормах, ибо расширение L/F циклическое. Поэтому

аД : Д1 = Nf(k (°) е ^l/k (L*) = Np/к (Nl/p (L*/) cz Np^ (P*).

G другой стороны, ар е NP/K(P*). Так как числа [Г: /С] и р взаимно просты, то отсюда вытекает, что а е Пр/к(Р*) . Предложение 10 доказано.

На практике кроме норменных торов встречаются еще и мультинорменные (см. § 2.1, п. 7). Напомним, что так мы называем ядро Т морфизма ср: Rpi/K(Gm)X •■■ X Крук. (Gm) -> Gm, являющегося произведением норменных отображений из конечных расширений Pi/К (t= 1, ..., /). .

Упражнение. Показать, что любой максимальный /С-тор группы G = SLn является мультинорменным, т. е. соответствует некоторому набору Pi, ..., Pt конечных расширений поля К таких,

что X [Л- '.К\ = п.

Из точной последовательности 1 —►Т’—>■ Д Крук (Gm) -> ->Gm->l легко получить, что Ш (71) ~ (/С* П Мрук (Lpt) ••• -.. NPy^ ^P^INPyK(P\) - • • Крук (P*^. Поэтому справедливость принципа Хассе для тора Т означает, что элемент а е К*, локально представимый в виде произведения норм из полей Pt, представим в таком же виде глобально. По этой причине локально-глобальный принцип в данной ситуации естественно называть мультинорменным. Этот принцип прежде нигде детально не рассматривался, однако у нас он играет весьма существенную роль. В частности, с его помощью удалось существенно модифицировать доказательство принципа Хассе для групп типа 2Ап. Еще одно его применение связано с исследованием структуры групп рациональных точек простых групп типа хАп (см. § 9.2). Для наших целей вполне хватает следующего достаточного признака справедливости мультинорменного принципа, который для случая расширений Галуа принадлежит Ю. А. Дра- кохрусту:

Предложение 11. Пусть Pt (i = 1, 2) — два конечных расширения поля К, L; — их нормальные замыкания. Предположим, что выполняются следующие условия-.

ЛПА2 = ^

Р\/К удовлетворяет норменному принципу Хассе.

Тогда К* П (Мрук (/р^ Крук (Fp^) = Крук (Р^Крук (^2)-

Доказательство. Пусть Р = Р1Р2, L = LYL2, St. = Gal(Li/K), S = Gal (L/K) = ^1 X ^2, 3gt = Gal(Lt/Pi) и Ж = Gal (L/P) = = ^iX%. Далее, обозначим через Me максимальное абелево расширение поля К, содержащееся в Pi. Сразу же заметим, что 36\9, ^] = 5^i [^i,^i]X^2[^2,^2], откуда по теории Галуа следует, что максимальное абелево расширение М поля К, содержащееся в Р, имеет вид M = MYM2. Кроме того,

из равенства

[^ X ^2, Э6\ X ^] W X ^2) = ^ X (^2 1^2, ЗУ )

вытекает, что максимальное абелево расширение поля Pi, содержащееся в Р, имеет вид PiM2, и аналогично с заменой Ру на Р2, М2 на Мь

Рассмотрим отображение

V' ^pjpx^ pip, (^р) X 3pJP2Nрдр2 (Jp) -*■ /^/К Np]x (^р\

которое индуцируется произведением норменных отображений Мр,;к и NP1iK. Наша цель — показать, что ф инъективно. Для этого мы покажем, что ф сюръективно и порядки отображаемых групп совпадают. С этой целью рассмотрим аналогичное вспомогательное отображение

^* М\] ^\^ MjM, Uм) X 1mJ ^2^м/м, (^м) ^к!Р NMiK (JMJ

Используя изоморфизмы теории полей классов JMJM*tNMjM. (Jm) — ~ Gal (М/М/), I kJ К*Nmik (Jm) ^ Gal (M/K) и тот факт, что Gal (M/K) ~ Gal (M/Mx) X Gal (M/M2), мы видим, что ф является изоморфизмом. Следовательно, ф сюръективно, т. е.

Jk = Nm^kUmO NmiIkUm) К*,(14)

и порядки отображаемых групп равны. Воспользуемся теперь тем фактом, что для произвольного конечного расширения E/F числовых полей имеем F*Neif(Je) = F*Nnif(Jn), где N — максимальное абелево расширение поля F, содержащееся в Е, (см. [АТЧ], упр. 8). В частности, K'Npjk (JpJ) = K*NMук (JmJ), откуда с учетом (14) вытекает, что 1к = Np,ik(Jp,) МрукЦр/) К*, и ф сюръективно. Далее, VpJP^PIPx^p^^VpJ^PxMyp^PxM^^ ^^^^[^^HI^MJ^W^A^/m.O^ иб° Р\М2 — максимальное абелево расширение Р^ содержащееся в Р; аналогично, [ pJP2^PiP2 (У р) ] [ mJ М2КМ{М2 МЬ Vk/K*Npik(Jp^ = Vk/K*Nmik(MY Из этих равенств вытекает, ЧТО VpJPlNpjPx Ур)] [ЛУ^г^Р / Р2Ур)] = Vk/K ^PlK^P^lY и Д°ка" зательство инъективности ф завершено.

Пусть теперь аеК*, а = Npjk(x\) КР^к(х2), где Xi^Jp.. Тогда пара (xxP\NplPi (Jp), х2Р*КP/P2(JP)) лежит в ядре ф, так что х. = ytNP1Pi (zj, где yteP*, ztejp, z = l, 2. В этих обозначениях a = NPiiK(y2)NPilK(y2)NpIK/zvzJ), и поэтому

^PxlK^x) *^Р2/д(У2) е^ ^^pik^p^ ^-^ Л Л^/кУр,) =

= ^РУК (рхУ

ибо для Рх/К выполняется принцип Хассе. Из этих вычислений вытекает, что а е NPijK (Р*х^ NPliK (^2)- Предложение 11 доказано.

К сожалению, полного исследования вопроса о мультинорменном принципе пока нет.

Завершает этот параграф одно техническое утверждение о группе P2(L/K,T), которое понадобится нам при исследовании кограничного отображения для полупростых групп.

Предложение 12 (Кнезер [12]). Пусть Т— тор, определенный над числовым полем К и разложимый над конечным расширением Галуа L/K. Предположим, что для некоторого нормирования у0 g VK тор Т является Пи- анизотропным. Тогда P2(L/K, Т) = 0.

Доказательство естественно попытаться получить из теоремы 10. Однако, как показывает анализ, на этом пути мы встречаемся со значительными трудностями. Более предпочтительным оказывается подход, использующий двойственное описание P2(L/K,T) как коядра отображения X ^*(rwIKv, Х,(Т))^>- —> H~l ЩК, Xt(T)), индуцированного коограничениями Cor^ . (Этот результат был получен нами в процессе доказательства теоремы 10.) Тогда для доказательства предложения достаточно установить сюръективность отображения

Cor^o: H~4UJKe., Х.т^Н^ЩК, Х,^.

В силу /(„„-анизотропности Т мы имеем X, (Т)^» = 0. С другой ■стороны, образ норменного отображения Nv„: X, (Г) —> X, (Г), ^„« = 2 gx, очевидно, лежит в ХДТ)^0, поэтому КегУ„„ = Х. (Г). Так как по определению Н 1 (L«JKv„, X. (Г)) = = Ker NvJ(X.(T)'Vo, Н'ЧЦК, X. (Г)) = Ker N/X. (Т/, где JV: X. (Г) —> X, (7)— норменное отображение, отвечающее группе ^, X, (Т)' (соответственно X.^'J— подгруппа в X, (Т), порожденная элементами вида gx— %, где -/eXJ7), a g пробе

гает 5 (соответственно ^„„). Учитывая, что Сог^ в данной

ситуации индуцировано вложением Кег Мо» в Ker N, мы полу

чаем, что СоНчаем, что СоНсюръективно. Предложение 12 доказано.

чаем, что СоН

чаем, что СоН

Теоремы конечности для когомологий Галуа

В этом параграфе мы распространим факты о конечности для когомологий Галуа, которые были получены в § 6.3 для случая алгебраических торов при помощи теорем Накаямы — Тейта, на произвольные алгебраические группы.

Теорема 14. Пусть G— алгебраическая группа, определенная над локальным полем К. Тогда множество HX(K,G) конечно. .

Теорема 15. Пусть G — алгебраическая группа, определенная над числовым полем К. Тогда ядро канонического отображения Н1 (К, G) —> Ц И1 ^К„, G) конечно.

Если в случае торов доказательства этих теорем содержали ряд общих моментов, то в общем случае они основаны на совершенно различных подходах. Так, для доказательства теоремы 15 приходится привлекать построенную в гл. V теорию приведения для групп аделей, в то время как теорема 14 является формальным следствием одного свойства группы Галуа локального поля.

Определение. Будем говорить, что проконечная группа 9 имеет тип (Е), если для любого целого п она имеет лишь конечное число открытых подгрупп индекса п. Поле К имеет тип (F), если оно совершенно, и его абсолютная группа Галуа 9 = = Gal(K/^ имеет тип (f).

Ясно, что совершенное поле К имеет тип (А) в том и только том случае, если для любого целого п оно имеет лишь конечное число расширений степени п. Отсюда вытекает, что примерами полей типа (Е) являются: а) поле вещественных чисел; б) конечное поле; в) поле формальных степенных рядов Р(Т> от одной переменной над алгебраически замкнутым полем констант Р характеристики 0. (В последнем случае известно (теорема Пюизе), что для любого п поле P<f> обладает единственным расширением степени п, которое имеет вид P^t).} Для нас существенное значение имеет тот факт, что тип (Е) имеет локальное поле.

Предложение 13. Пусть К—конечное расширение поля Qp. Тогда К имеет тип (Е).

Доказательство. Так как для каждого п существует единственное неразветвленное расширение поля К степени п, а любое конечное расширение поля К представимо в виде башни не- разветвленного и вполне разветвленного расширений (см. [АТЧ], гл. I), то достаточно показать, что любое локальное поле имеет конечное число вполне разветвленных расширений. Чтобы не вводить дополнительных обозначений, мы установим последний т})акт для поля К.

Известно (см. предложение 1.4), что любое вполне разветвленное расширение К степени п задается корнем некоторого многочлена Эйзенштейна tn + an-itn-1 + ... + а0 = 0. С другой стороны, множество М коэффициентов (ап-ь ■ ■ ■, йо) всевозможных многочленов Эйзенштейна, очевидно, компактно как подмножество в Кп. Поэтому стандартное рассуждение показывает, что требуемое утверждение вытекает из следующего факта,

известного как лемма Краснера: если /— неприводимый полином над К степени п со старшим коэффициентом единица, то любой полином g над К, коэффициенты которого достаточно близки к коэффициентам f, также неприводим, причем f и g задают изоморфные расширения К. Обычное доказательство леммы Краснера читатель может найти в книге Ленга [2]. Мы покажем, как это утверждение получается в нашем контексте. Для полинома f(t) = tn + an_xtn-x -|- ... + а0 обозначим через a (f) матрицу

/ 0 0 0 ... 0 — а0 \10 01

0 1 0I.

\ 0 0 0 ... 1 —ап-1 /

Тогда легко проверить, что f (a(f)) = 0. Ясно, что если / неприводим, то К-алгебра К[а(/)1, порожденная a(.h, изоморфна расширению Kf поля К степени п, задаваемому полиномом f. При этом мультипликативная группа K[a(f)]* совпадает с множеством К-точек тора Т = Як{/к(6т\ Положим G = GLn и обозначим через U открытое подмногообразие в Т, состоящее из регулярных в G элементов (см. § 2.1, п. 11). Рассмотрим, далее, отображение ф: GXU-*G, ф(g, ы) = gug~x. Тогда образ ф в точности совпадает со множеством полупростых регулярных элементов G, и поэтому открыт в G в топологии Зарисского; в частности, морфизм ф является доминантным. Поэтому из предложения 3.3 вытекает, что W = <^GkXUk} является открытым подмножеством GK относительно у-адической топологии. С другой стороны, ясно, что для любого х е W /(-алгебра ^[x] сопряжена относительно GK с алгеброй K[a(f)]. Так как а^е eUKcW, то для всех полиномов g, достаточно близких к /, точка а^ также попадает в IT’, и поэтому алгебры /С[а(/)] и K[a(g)] сопряжены, следовательно, поля Kf и Kg изоморфны. Предложение 13 доказано.

Теорема 14 вытекает теперь из следующего общего результата.

Теорема 16. Пусть К—поле типа (К), G — линейная алгебраическая группа, определенная над К- Тогда множество HX(K,G) конечно.

Доказательство проведем вначале для конечной группы G. Обозначим через 36 открытый нормальный делитель группы ^ = Gal(^/^, тривиально действующий на G = G^. В силу определения группы типа (К), существует лишь конечное числа открытых подгрупп в 3, содержащихся в 36 и имеющих в 36 индекс, не превосходящий n = [G]. Их пересечение, которое мы обозначим через ^", является открытым нормальным делителем

труппы ^, содержащимся в 36. Утверждается, что отображение ■ограничения ф: Нх ^9, G^ —> Нх (3", G^ тривиально. Действительно, если f: S^-G-^— непрерывный 1-коцикл, то ограничение g = t\% является непрерывным гомоморфизмом 36—VG^, ибо 36 тривиально действует на G^. Тогда \36 : Ker g] ^ п, так что по построению 3" cz Ker g, т. е. g(3") = {e), что и требовалось. Рассмотрим теперь некоммутативный аналог спектральной последовательности Хохшильда — Серра (см. § 1.3, п. 2):

1 -> Нх ^3", G^ -> Нх (^, G^ -^ Нх (3, G^). (1)

Из тривиальности ф и точности (1) вытекает сюръективность е. Но множество Нх ^[3, G^, очевидно, конечно, поэтому конечно и множество Нх (^, G^ = НХ(К, G).

Следующая лемма, примененная к N = G0, вместе с уже доказанным фактом позволяет получить редукцию теоремы 16 к случаю связных групп.

Лемма 9. Пусть G— К-определенная алгебраическая группа, N — ее К-определенный нормальный делитель. Предположим, что конечно множество Нх (К, G/N), и для любого коцикла ре е Z4K, G) конечно множество НХ(К, ^jV), где ^N— группа, получаемая из N скручиванием при помоги ц). Тогда множество НХ(К, G) также конечно.

В самом деле, точная последовательность /(-групп \-^-N-^- —> G -*- G/N 1 индуцирует отображение первых когомологий Нх (.К, G) -^> Нх (К, G/N), которое обладает свойством: для цеНЧК, G) слой л^*(л(ц)) сюръективно накрывается множеством НХ(К, ^П) (см. § 1.3, п.2). Поэтому если л (НХ(К, G)) = = л({ц1; . .., цг}), то И1 (К, G) = J л-1 (л (цг)) — конечное мно-

Z = 1

жество, ибо каждое из множеств л-1(л(цг)) конечно в силу предположения о конечности НХ(К, №1Пу

Итак, мы можем предполагать группу G связной. В этом случае, как показывает предложение 2.9, Нх (К, G) = НХ(К, И) для максимальной редуктивной /(-подгруппы Н cz G, поэтому в рассмотрении нуждается лишь случай связной редуктивной группы G. Разберем вначале случай, когда G — Т — алгебраический тор. (Отметим, что здесь для локального поля К конечность НХ(К, Т) была установлена в § 6.3, однако мы намерены получить общее доказательство, которое «работает» для всех полей типа (Z7).) Обозначим через L конечное расширение Галуа поля К, над которым Т становится разложимым, и положим п =

= [£:/(]. Тогда группа НЦК.Т) совпадает с HX(L/K,T) (лемма 8), и поэтому является группой экспоненты п. Рассмотрим морфизм q: Т-► Т, ■x\^=tn и обозначим через S его ядро. Имеет место следующая точная последовательность групп когомологий НХ(К, S)>HX(K, Т) —Нх (К, Т), где гомоморфизм 9 индуцирован q. Из сказанного выше вытекает, что 6 является тривиальным отображением, поэтому Нх (К, Т) накрывается группой И1 (К, S). Но группа Нх (К, S) конечна, ибо, как легко видеть, конечна группа S.

Случай произвольных связных редуктивных групп в теореме 16 может быть легко сведен к торам. С этой целью заметим, что комбинируя лемму 9 с уже доказанным результатом о конечности Нх для конечных групп и торов, получаем конечность Нх для групп, связная компонента которых является тором. Этот результат применим, в частности, к нормализатору N = Ng(T) произвольного /(-определенного тора Т данной связной редуктивной /(-группы G. Поэтому завершает доказательство теоремы 16

Лемма 10. Естественное отображение НЦК, N-)-* Нх (К, G) сюръективно.

Доказательство. Пусть FT = G/N—многообразие максимальных торов группы G (см. § 2.4, п. 5). Для произвольного коцикла g^Zx{K, G) рассмотрим группу gG и многообразие g£T, получаемые применением скручивания (см. § 1.3, п. 2), где группа G действует на себе сопряжениями, а на многообразии 2Г— сдвигами. Очевидно, имеется /(-определенное действие gG на gZT, причем стабилизатор точки является нормализатором максимального тора. Тогда, используя тот факт, что gG всегда обладает максимальным /(-определенным тором (см. § 2.1, п.9), легко показать, что (й5^) ^ v^ 0, и поэтому из леммы 1.6 вытекает, что g лежит в образе отображения Нх ^К, N)-+- И1 (К, G). Лемма 9 доказана.

Следствие 1. Пусть К — поле типа (F). Тогда с точностью до К-изоморфизма существует лишь конечное число К-форм данной полупростой К-группы G.

Действительно, мы знаем (см. § 2.2), что /(-формы данной /(-группы G с точностью до /(-изоморфизма классифицируются элементами множества НХ^К, Aut^(G)). С другой стороны, для полупростой группы G группа Aut^(G) является конечным расширением группы внутренних автоморфизмов, которая изоморфна соответствующей присоединенной группе, и поэтому может рассматриваться как алгебраическая Л-группа. Тогда согласно теореме 14 множество НХ(К, Aut^-(G)) конечно, значит, конечно и число неизоморфных /(-форм группы G.

Упражнение. Выяснить, остается ли справедливым утверждение следствия для произвольной связной группы G. (Отметим,

что приведенное Доказательство не проходит уже для п-мерного алгебраического тора Т при n > 1, ибо здесь Aut^-(T’) ~ GLn (Z) не является алгебраической группой.)

Следствие 2. Пусть X — определенное над К однородное пространство линейной алгебраической К-группы G, причем поле К имеет тип (F). Тогда Хк является объединением конечного числа орбит группы GK.

Если Хк = 0, то доказывать нечего. В противном случае пусть хеХк, Н = G (х)— стабилизатор точки х. Тогда, в силу совершенности К, группа Н является /(-определенной, и достаточно установить конечность числа орбит группы GK на (G/H)K. Однако известно, что последние находятся в биективном соответствии с элементами ядра отображения НЦК, Щ-^- НЦК, G), поэтому требуемое вытекает из теоремы 16.

В частности, беря в качестве X многообразие торов 9" данной связной группы G, получаем

Следствие 3. Пусть G — связная линейная группа над полем К типа ^ру Тогда максимальные К-определенные торы группы G образуют конечное число классов сопряженности относительно группы Gk-

Весьма частным случаем теоремы 16 является утверждение о конечности множества вещественных 1-когомологий H*(R, G) для любой R-определенной алгебраической группы G. Покажем, что этот факт на самом деле вытекает из теоремы Уитни (см. § 3.2, теорема 3.6). Действительно, в § 3.2, пользуясь теоремой Уитни, мы дали независимое от теоремы 16 доказательство следствия 2 для ^=R. Пусть теперь G — вещественная алгебраическая группа и G с GLn— ее некоторая R-определенная матричная реализация. Применяя утверждение следствия 2 к однородному пространству X = GLn/G, получаем конечность числа орбит группы GLn (R) на XR, а значит, и конечность ядра отображения И1 (R, G)-^- И1 (R, GLn) (см. доказательство следствия 2). Но И1 (R, GLn) ={1} (лемма 2.2), поэтому тем самым мы получаем конечность всего множества //*(R, G). (Приведенное рассуждение показывает, что следствие 2 в действительности эквивалентно самой теореме 16. Адельный вариант этого наблюдения мы используем ниже при доказательстве теоремы 15.) На самом деле для вещественных когомологий имеются гораздо более точные результаты. Так, в случае R-анизотропной группы G Серром (см. [1], гл. III, § 4.5) было доказано фактически следующее утверждение

Теорема 17. Пусть G — связная ^.-определенная алгебраическая группа с компактной группой GR. Тогда элементы множества Hl(R,G) находятся в биективном соответствии с элементами фактормножества S/W, где S — множество элементов фиксированного R-определенного максимального тора Т с G,

удовлетворяющих соотношению х2 = 1, И7— группа Вейля тора Т, действующая на Т сопряжениями.

(В классических терминах утверждение теоремы означает, что элементы множества №(R,G) находятся в биективном соответствии с классами сопряженности инволюций в группе GR.) Когомологии произвольной связной редуктивной вещественной группы G были недавно определены Боровым [2]. Для формулировки его результата нам понадобятся некоторые обозначения. Пусть То — максимальный R-анизотропный тор в G, 7’ = CG (Го) — его централизатор. Тогда Т является максимальным R-определенным тором в G, и можно рассмотреть соответствующую группу Вейля W =W(J, G) = N/T, где N = NG(T)— нормализатор тора Т в G. Определим действие группы W на ЯДР.Г) следующим образом. Пусть о е Gal (С/R) — автоморфизм комплексного сопряжения. Любой коцикл geZ^R, Г) может быть задан одним элементом z = ^ae.Tс, причем 20(2) = = 1. Если теперь w е W представляется элементом n^Nc, то определим го§ как коцикл, задаваемый элементом n-1zo(n). Легко проверить, что это действие определено корректно. В этих обозначениях имеет место

Теорема 18. Вложение Т cz G индуцирует биекцию

НЧК Г)ГМ^НЧК GY

Доказательство теоремы 18 и некоторые ее приложения читатель может найти в статье Борового [2].

Переходим к рассмотрению свойств конечности для когомологий групп, определенных над числовым полем К. Поле К не является полем типа (Т7) (почему ?), и в действительности множество НЧК, G) может здесь быть бесконечным. Поэтому результаты о конечности имеют в данной ситуации другой характер (см. теорему 15 и ниже теорему 19) и их получение основано на других соображениях.

Доказательство теоремы 15 начнем с рассмотрения конечной группы G.

Лемма 11. Пусть G— конечная К-группа. Тогда ядро 111(G) канонического отображения Н1 (К, G) —> Ц Н1 ^К„, G) конечно.

Доказательство. Обозначим через 36 открытый нормальный делитель группы S = Gal kK[KY тривиально действующий на G = G^, и положим L—K^. Мы покажем, что отображение Н1 ^L, G) -^ И И1 (,LW, G) имеет тривиальное ядро. Отсюда следует, что образ Ш (G) при отображении ограничения Нх (К, G) —> Я1 (Е, G) тривиален, так что из точной последовательности 1 —►Я1 (LjK, G^ —> Нх (К, G) —> Нх (L, G) заключаем,

что 111(G) накрывается конечным множеством HX(L/K,G) и, следовательно, само конечно. Для исследования ядра отображения 6 заметим, что 1-коциклами в данной ситуации являются непрерывные гомоморфизмы а: 5^->- G, причем существует лишь один тривиальный коцикл, который определяется единичным гомоморфизмом. Если теперь ае Кег 6, то a(,36w) = {1} для любого нормирования w е VL, где 36w = Gal (Lw/Lw) отождествляется с подгруппой разложения в <5^ = Gal(Z/L) фиксированного продолжения w нормирования w на поле L; отметим, что в силу сопряженности двух различных продолжений w' и щ" относительно группы 5# соответствующие подгруппы 36'^ и 3^" сопряжены в 36, и поэтому условия а ^36'^ = {1} и <Ц36'^ = = {1} эквивалентны. Поэтому достаточно показать, что замкнутая нормальная подгруппа 3 с 36, порожденная всеми 36w, совпадает с 36. Рассмотрим неподвижное поле Р = L^. Тогда Р является нормальным расширением поля L, которое обладает тем свойством, что PcL, для всех w е VL. Если предположить, что Р 3= L, то найдется нетривиальное конечное нормальное расширение F/L, также обладающее свойством: F <^ Ста для всех ни е VL. Но это, очевидно, противоречит теореме плотности Чеботарева. Лемма доказана.

Чтобы получить редукцию теоремы 15 к случаю связной группы, нам понадобится также следующее утверждение.

Лемма 12. Пусть G — алгебраическая К-группа, G0 ее связная компонента. Тогда GK IG°K = (G/G°)K для почти всех и. Следовательно, для почти всех и отображение Hx^Kv,G^^- ->■ Н1 (Kv, G) имеет тривиальное ядро.

Доказательство. Рассмотрим точную последовательность 1—>G0—>G—> G/Go -> 1 и соответствующую ей точную когомологическую последовательность

GKu (G/G^ -* Н1 (К„, G°) X Ю (К„, G). (2)

При доказательстве предложения 5.5 мы показали, что для почти всех уе\^ имеем л (G^) = (G/G0)^^; в частности, л(Окц) = = (0/0°)^. Поэтому из точной последовательности (2) получаем, что Кег ф для этих у тривиально. Лемма доказана.

Предположим теперь, что мы умеем доказывать конечность Ш связных групп, и покажем, что тогда 111(G) конечно для любой /(-группы G. Рассмотрим коммутативную диаграмму

Н1 (К, G) -Р> П Нх {Kv, G)

Нх {К, G/G0) П Нх {Kv, G/G0)

Согласно лемме 11 Кег 6 конечно, откуда следует конечность о (Ш (G)), скажем, о (Ш (G)) = о ({р], ..., рг}), р, е Ш (G). Применяя процедуру скручивания, получаем, что Ш (G) покрывается объединением образов множеств Ш, — Кег (//*(/<, G°^-> —>■ Ц Н1 (Ко, О^У где Gt = ^ G, G? = ^ G? — соответствующие скрученные группы. Но в силу леммы 12 ядро отображения Нх ^Ку, G^^>- Нх ^Ка, G,) тривиально для почти всех у, и, как следует из теоремы 14, конечно в остальных случаях. Поэтому отображение П Н1 (Kv, G°) -^ П Нх (Ка, G^ имеет конечное ядро, так что образ множества Ш, в Ц Нх (^Ку, G0^ конечен. Но по предположению ядро отображения Нх (Д’, Н^^- П нх ^Ку, н) конечно для любой связной группы Н, поэтому опять применяя скручивание, получаем, что прообраз любого элемента при отображении НХ(К, G°) —> Ц Нх ^Кщ, G°) конечен. Учитывая вышесказанное, отсюда получаем конечность каждого из множеств Шг, а значит, и множества 111(G).

Осталось рассмотреть основной случай связной Д-группы G, которую в силу предложения 2.9 можно дополнительно предполагать редуктивной. Для этого зафиксируем матричную реализацию G cz GLn и построим однородное пространство X = GLn/G. Выше мы видели, что элементы множества НХ(К, G) находятся в биективном соответствии с орбитами группы GLn(K) на Хк, причем, исходя из этой интерпретации, можно установить, скажем, конечность вещественных когомологий. Наше доказательство конечности Ш(О) основано на аналогичной интерпретации.

Лемма 13. Пусть л: GLn->X— каноническая проекция. Тогда элементы 111(G) находятся в биективном соответствии с орбитами группы GLn(K) на лл(ОДл(Л))П Хк, где Л— кольцо аделей поля К.

Доказательство. Для всякого расширения P/К имеем отображение фР: ХР->- Нх (Р, G), слои которого находятся в биективном соответствии с орбитами группы GP на ХР. Тогда из коммутативной диаграммы

Хк ---^ Нх {К, G)

рт П '

ПХ„-—^Пя1^, G)V и

заключаем, что элементы Ш(О) биективно соответствуют орбитам группы GLn(K) на множестве В =(1 хк,

поэтому достаточно показать, что В совпадает с указанным в формулировке леммы пересечением лд (GLn(A) )П Хк. Но это без труда следует из того факта, что для почти всех у е V^ имеем л (GLn k.0^ = Хоа. Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству предложения 5 и оставляется читателю в качестве упражнения. Лемма доказана.

Сопоставляя лемму 13 с теоремой 5.3, мы и получаем доказательство теоремы 15.

Теореме 15 можно придать также следующую форму, которая иногда оказывается удобной.

Теорема 19. Пусть G— линейная алгебраическая группа, определенная над числовым полем К, Scl Vk — конечное подмножество. Тогда естественное отображение ps: Я1 (/С, G) —>• Ц Я1 (Яо,

О ^ S

G) собственно, т. е. прообраз любого конечного множества конечен.

Действительно, используя конечность локальных когомологий (теорема 14), все легко свести к случаю 5 = 0, причем достаточно установить конечность прообраза при Р = Р0 любого элемента. При помощи процедуры скручивания легко получить, что для любого it е Н1 (К, G) слой р-*(р(р)) покрывается множеством Ш(ИС), которое конечно по теореме 15.

Множество Ш(С) можно определить не только для линейной алгебраической группы, но и, скажем, для абелева многообразия, где оно является абелевой группой, называемой группой Шафаревича — Тейта. Однако здесь вопрос о конечности 111(G) является гораздо более сложным. Так, в течение долгого времени не было известно ни одной эллиптической кривой, для которой удалось доказать конечность Ш. Прогресс здесь был достигнут лишь совсем недавно в работах Рубина [1] и Колы- вагина [1], [2], которые установили конечность Ш для больших серий эллиптических кривых. (Отметим, что одна из причин, по которой приведенное доказательство теоремы 15 не проходит для абелевых многообразий, состоит в том, что абелево многообразие, вообще говоря, нельзя погрузить в алгебраическую группу с тривиальными когомологиями, в то время как для линейных групп такое погружение доставляет произвольная матричная реализация G = GLn.)

Завершим этот параграф примером полупростой ^определенной группы G с нетривиальным множеством 111(G). Начнем с расширения L/X, rn.eK = Q, Z, = Q(V13, V1?), для которого нарушается принцип Хассе (см. пример 1 в § 6.3). Обозначим через цп алгебраическую группу, образованную корнями степени п из единицы и воспользуемся конструкцией, описанной при доказательстве предложения 7. А именно, рассмотрим нор- менное отображение N: Кт/Нр-л)-*- Цл и обозначим через F его

ядро. (Ясно, что F совпадает со множеством элементов порядка,, делящего п в норменном торе S = R^ (Gm)).

Когомологии группы F можно вычислить из точной последовательности

(3)

которая индуцирует следующую коммутативную диаграмму с точными строками:

|т,|т2|т3(4)

Имеем НЧК,^ = К1К,П, Нх ^MW4L-^=yiL*; причем щ индуцируется норменным отображением Nl/k' L* —>• К*.

Отсюда следует, что а2 индуцирует вложение К*1К.*пМ цк (L*) в Н2(К, F). Будем предполагать, что п имеет вид п = 4/, и тогда К*" с^ Nык UF), т. е. имеем вложение K*jN likU^ в Н2(К, F).

Пусть х е К*1К*п — такой элемент, что его образ в K*jNl/k^L*-) определяет нетривиальный элемент группы Шафаревича — Тейта Ш (S) ^ (К* П Nl/k (/l))/Nl/k (£*), у = а2(Х). Тогда из коммутативности диаграммы (4) и определений вытекает

Лемма 14. Элемент y^H2(K,F) нетривиален и лежит в Im а2 П Кег у3.

Теперь уже легко завершить построение соответствующего примера. Положим G = RL(K (SL„). Тогда Z (G) = RL(K (ц„), и можно рассмотреть вложение KcZ(G). Пусть, далее, G = = G/F. Имеем коммутативную диаграмму с точными строками

Нх (К, G) 61 > Н1 (К, G) ——> № (К, F)

П Нх (К„, сЛИн1 (Ко, G) X п № (Кс, F). VVV

Так как Z (G) = RL/K (pnyF ~ цл, то НЦК, Z (G)) можно отождествить с К*]К*п. Рассмотрим тогда х как элемент Нх (.К, Z (G)), и пусть z — образ х в Нх (К, G). Тогда z #= 1, ибо 62 (z) = у =^ 1. С другой стороны, поскольку р3 совпадает с у3, имеем ^г(р2(^)) = = 1, и так как для любого и Нх (Ко, G) = П Нх (Lw, SLn)=l, W I о

то p2(z)=l. Таким образом, z е Ш (G) иШ(С)#=1.

Как мы уже отмечали, в случае Ш(С)=1 говорят, что для группы G выполняется принцип Хассе. Таким образом, приведенный пример можно рассматривать как контрпример к принципу Хассе в классе полупростых групп. Цель последующих параграфов этой главы — показать, что в экстремальных случаях односвязных и присоединенных групп принцип Хассе выполняется всегда.

Когомологии полупростых алгебраических групп над локальными и числовыми полями

Как мы уже отмечали в § 6.1, основные результаты о когомологиях полупростой односвязной /(-группы G заключаются в следующем: НЧК, G)=l, если К—неархимедово локальное поле (теорема 4), и НЧК, G) изоморфно IT НЧК0, О'), если

К—числовое поле (теорема 6). Доказательству этих глубоких теорем будут посвящены § 6.7, 6.8. В настоящем параграфе мы, предполагая эти результаты известными, научимся вычислять когомологии произвольной полупростой группы и дадим некоторые приложения этих результатов (в частности, установим справедливость принципа Хассе для присоединенных групп и докажем тот факт, что группы типов Вп, Сп, Е7, Еа, Ft, G2 над числовым полем К разложимы над некоторым квадратичным расширением L/K.Y В следующем параграфе мы с помощью этих результатов получим локально-глобальную классификацию различных типов полуторалинейных форм и докажем теорему 5 о том, что любая анизотропная группа над локальным полем К является группой типа SL^D) и аналогичное утверждение над чисто мнимым числовым полем К.

Вычисление когомологий полупростой неодносвязной /(-группы G базируется на рассмотрении универсального /(-определенного накрытия 1 -* F-> G —-> G 1 и соответствующей точной когомологической последовательности

НЧК, G)->H4K, G)-Xh2UC, F).

Основной результат, позволяющий с помощью теорем 4, 6 и 18 вычислять НЧК, О), выглядит следующим образом.

Теорема 20. Если К — (неархимедово) локальное либо числовое поле, то отображение 6 сюръективно.

Следствие. Если К — локальное поле, то отображение 6 биективно.

Действительно, из теоремы 4 вытекает, что НЧК, $G) = 1 для любого ^eZ*(K, ОУ откуда следует инъективность 6.

Доказательство теоремы 20 базируется на следующем результате, представляющем независимый интерес.

Теорема 21. Пусть G— полупростая алгебраическая группа над локальным полем К. Тогда G обладает максимальным К-тором ScG, который анизотропен над К.

Прежде чем доказывать теорему 21, отметим, что ее утверждение не выполняется над полем К = х. Действительно, рассмотрим квадратичную форму Дад, ..., х6) = g(*i, х2, л-э)— — g (х4, х5, х6), где g(x, у, z)i = х2 + у2 + z2. Тогда максимальная компактная подгруппа группы Gr = SO6 (Д имеет вид SO3 (g) X XSO3(g), т. е. является группой ранга 2. Следовательно, группа G, имеющая ранг 3, ие обладает 3-мериым R-анизотроп- иым тором.

Доказательство теоремы 21 использует когомологическую характеризацию всевозможных Д-тсров группы G. Предполагая группу G присоединенной (это всегда можно сделать с точки зрения доказательства теоремы 21), зафиксируем максимальный Д-тор Гсбн обозначим через N = Nq(T') его нормализатор. Пусть Т'— другой максимальный /(-определенный тор в группе G. Тогда T' = gTg~x для подходящего g е G-^. Из /(-определенности торов Т и Т' вытекает, что коцикл |={|а}, где so — g Xlg), о е Gal (К/К), принимает значения в N и определяет элемент из М = Кег (Н'^К, N)—»- Н1 (К, G)). При этом Т' получается из Т скручиванием с помощью £, если считать, что N действует иа Т сопряжениями. Обратно, для любого коцикла 5 е Z1 (К, N) скрученный тор ^Т является максимальным /(-тором в группе ^G. Поэтому ^Т заведомо будет максимальным /(-тором в G, если ^G = G, т. е. g е М. Тем самым наша задача сводится к отысканию коцикла | е Л/ такого, что скрученный тор ^Т является /(-анизотропным.

Пусть W = N/Т — соответствующая группа Вейля. Рассматривая W как подгруппу группы Aut^-(T') всех автоморфизмов Т, можно для любого коцикла ^^Z^^K, IP) определить скрученный тор ^Т.

Лемма 15. Существует такой коцикл V=Z4K, IP), что тор ^Т анизотропен над К.

Доказательство. Вначале получим сведение к квазиразложи- мому случаю. Пусть Go— квазиразложимая /(-группа того же внутреннего типа, что и G, Tocz Go—максимальный /(-тор, содержащий максимальный /(-разложимый тор и /; G -> Go— такой /(-определенный изоморфизм, что /(/')_= 7Х Тогда коцикл а={аа}, где аа = f-1 ° a(f) для а е Gal (К/Д) со значениями в группе Int G ~ G, на самом деле принимает значения в N. Ясно, что G0 = aG, То = аТ и 1Р0 = р1Р, где р— образ а в Z^ ^K.Wy При этом из свойств скручивания вытекает, что «умножение» на р индуцирует биекцию Z1(Д, IPo) — ZHK, IP) и

множество торов, получаемых нз То скручиванием при помощи коциклов нз Z'(K, l^o), совпадает с множеством торов, получаемых нз Т скручиванием при помощи коциклов нз Z4K, W), что и дает требуемую редукцию.

Разберем теперь случай, когда группа G разложима и Т— максимальный ^разложимый тор. Тогда группа Галуа ^ = = Gal(K/^ действует на Х(Г) н 1Г тривиально; в частности, коциклы нз Z1 (К, W)— это просто (непрерывные) гомоморфизмы g: S —>- W. Мы будем интерпретировать группу характеров Х(^Г) как группу характеров Х(Г), на которой элемент д = .> действует как автоморфизм g* группы Х(Г), отвечающий £о. Таким образом, нам достаточно построить такой коцикл £ = = {ga}, что все |* не имеют ненулевых общих неподвижных точек на Х(Г) (тогда Х($ТУ = 0, так что тор ^Т является ^-анизотропным). Для этого в системе корней R = R(T,G) рассмотрим некоторую подсистему П = {оц, ..., аД простых корней и построим элемент Кокстера эд = с£.,а1 . .. wttr, где ща.— соответствующие отражения; известно (см. Бурбаки [4], гл. V, § 6, п°2), что w не имеет ненулевых неподвижных точек на Х(Г). Пусть d— порядок элемента w (число Кокстера), L/K—нераз- ветвленное расширение степени d, Gal (Г/К) = <<т>. Тогда искомым будет коцикл В е Z1 (L/K, W), задаваемый формулой ^г = щ;.

При рассмотрении случая квазиразложимой, но не разложимой группы обозначим через L/K расширение Галуа, группа Галуа которого эффективно действует на диаграмме Дынкина системы R. Для типов 2Ап, 2DlnV1, 2Е6 поле L является квадратичным расширением К. Пусть о— образующая группы Ga\(L/K'). Пользуясь тем обстоятельством, что для групп этих типов —1 ^ Ц7 и одновременно а* ^ W (<т*—действие о на X(Г)), мы можем определить коцикл g е Z1 (L/K, W) равенством g* = — а*. Догда о действует на X (^Т) как = = —1 н, следовательно, не имеет ненулевых неподвижных точек.

Для оставшегося типа D2n (включая 3Д4, 6Г)4) построим квадратичное расширение P/К такое, что Р П L = К, Gal (Р/К) = =<<т> (это всегда возможно, ибо К имеет по крайней мере два квадратичных расширения, a GaI(P/K) изоморфна подгруппе 5з). Легко видеть, что искомым будет коцикл се Z^P/K, W) такой, что ga =— 1 (здесь—1е117). Лемма 15 доказана.’

С учетом леммы 15 доказательство теоремы 21 сводится к доказательству следующего утверждения: пусть р: Н1 (К, N')->- ->H1(K,W)—каноническая проекция; тогда существует 0е

е Ker (д1 (К, N) -^> Н1 (К, G)) со свойством р(6) = |. Для этого рассмотрим универсальное накрытие 1—►f'—>G—^G->1, соответствующий кограничный морфизм 6: Н'(К, G)->- Н2 (К, F) и построим следующую коммутативную диаграмму:

Д1 (Д, G) -> Н1 (К, G) А Н2 (К, F)

НЧК, Н)Ан'ЧК, F}

Так как H4K,G) = 1 (теорема 4), то достаточно установить существование бер-ДУ такого, что 6(6)= 1. Таким образом, завершает доказательство

Лемма 16. Пусть коцикл ^е Z4K, 1^) таков, что тор ^Т анизотропен. Тогда 6 сюръективно отображает р Щ) на H2(K,F).

Доказательство. Поскольку тор ^Т анизотропен над К, то в силу теоремы 2 для любого конечного расширения L поля К, содержащего поле разложения ^Т, имеем Н2 (ЦК, ^Т) = Н° (ЦК, Х(^ = 0, откуда следует, что Н2 (К, ^Т) = 1. Поэтому, переходя в точной последовательности \—>• Т-* N-* W—>• \ к когомологиям, получим, что £ лежит в образе отображения р: НЧКУ Н^НЧК, W\ т. е. р-ДУ ^ 0-

Пусть бер-Ду. Рассмотрим скрученные группы 6N, еТ = =^Т, ^W. Тогда из соображений скручивания вытекает, что утверждение леммы эквивалентно сюръективности отображения 6: Кет(нЧК, eN)~- НЦК, ^))^Д2(Д, Ц (ясно, что eF = F, и поэтому мы сохраняем ту же букву для обозначения когра- ничного морфизма). Имеем коммутативную диаграмму с точной верхней строкой:

Д1 (К, оЛ -> Д1 (К, 6Д) Н1 (К, ^)

Н2 (к, F) = Д2 (К, F)

Ясно, что достаточно установить сюръективность отображения НЧК, еЦ—>Н2(К, F). Но это следует из точной последовательности Д1 (К, 6Л -А Д2 (К, F) -> Д2 (К, вЦ, где Т = л”1 (ТЧ ибо 6Т вместе с 6Т является Д-анизотропным, и, следовательно. Н2(К, 6Ц=\. Доказательство завершено.

Доказательство теоремы 20 (случай локального поля). Пусть S с G — максимальный тор, анизотропный над К, существова-

яие которого дает теорема 21, 5 = л-1(В). Коммутативная диаграмма

1 ->B->G->G-> 1

II t t

1-* 1

индуцирует коммутативную когомологическую диаграмму нчк, 5)-^нчк, f)^h4k, S)

III

НЧК, G)-^H4K, F)

Поскольку тор S, вместе с S, анизотропен над К, то НЧК, §) = = 1, и, следовательно, отображение 6: НЦК, S)-^>-НЧК, F) сюръективно. Тем более отображение 6: Нх (К, G)->- Н2 (К, F) сюръективно.

Для рассмотрения числового случая нам понадобится еще ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 17. Пусть G— полупростая алгебраическая группа, определенная над произвольным полем К характеристики нуль и обладающая подгруппой Бореля над его квадратичным расширением L/K, о—образующая группы Галуа Ga4L/K).Тогда существует такая L-определенная подгруппа Бореля В cz G, что пересечение В П Ва является максимальным К-определенным тором группы G.

Доказательство. Рассмотрим К-многообразие ^ подгрупп Бореля группы G (см. § 2.4, п. 6) и положим Н = Rl/4G) , Х = = Rlzk^')- Тогда над полем L многообразие X может быть отождествлено с прямым произведением .^Х^ при этом элементам из Хк отвечают пары вида (В, Ва), где В^ХЧ- Так как по условию ^£#=0, то Хк=^0. С другой стороны, X является многообразием подгрупп Бореля группы Н, в частности, однородным пространством Н. В силу плотности Нк в Н (теорема 2.2) отсюда следует плотность Хк в X. Покажем теперь, что подмножество U cz X, состоящее из таких пар (В],В2), что пересечение В^ П В2 является максимальным тором в G, содержит открытое в X подмножество. Тогда пересечение U П Хк непусто, и любой его элемент, имеющий вид (В, Ва), очевидно, доставляет нам искомую подгруппу Бореля В. Для доказательства того, что U содержит открытое подмножество, рассмотрим подмногообразие Y cz GX^X Я, состоящее из точек (g, 6i,62), удовлетворяющих условиям gbl = bl, gb2 = b2, и покажем, что множество U может быть охарактеризовано как совокупность таких у ^. ^Х^, что размерность слоя л-1(у) естественной про- •екцнн л: Y^Х ^ минимальна; тогда требуемый факт будет вытекать из теоремы о размерности слоев морфизма. Если у = = Ч>\,Ь2)г S§X98, то л-'(g) = (Bi f] В2, 6ь62), где В, —отве-

чающая точке bi подгруппа Бореля в G. Известно (см. следствие из теоремы 2.5), что Si П В2 всегда содержит некоторый максимальный тор Т группы G. Поэтому, учитывая тот факт, что пересечение противоположных подгрупп Бореля в точности является тором, получаем, что если dim л-1 (у) минимальна, то связная компонента (В^Вг)0 является тором. С другой стороны, из разложения Bt = TUX в полупрямое произведение получается разложение В\ П В2 = T{V\ П В2). Здесь группа Ui П В2 унипотентна, и, следовательно, связна, поэтому пересечение В, f] В2 также связно. Лемма 17 доказана.

Лемма 18. Пусть G— полупростая односвязная алгебраическая группа над полем R. Тогда существует такой максимальный ^-определенный тор Т cz G, что Н2 (R, Т) = 1.

Доказательство. Пользуясь леммой 17, выберем такую С-определенную подгруппу Бореля В с G, что Т = В П В°—максимальный 7-определенный тор в группе G, где о обозначает комплексное сопряжение. Наша цель — показать, что H2(R,T) = = 1. Для этого рассмотрим систему корней H—R(T,G) и зафиксируем систему простых корней Пс/?, ассоциированную с подгруппой Бореля В (см. § 2.1, п. 10). Так как группа G односвязна, то группа Х*(Т) кохарактеров тора Т имеет базис, состоящий из двойственных корней av для а е П, множество которых мы обозначим через nv. Поскольку пересечение В П Ва совпадает с Т, то подгруппа Ва является противоположной к В, и, следовательно, о*(П) = — 11, ст* (1IV) = _ nv (ст* означает индуцированное действие а на характерах и кохарактерах). Таким образом, для av е П7 имеем либо o*(aV)= —aV, либо ст* (av) = — pv для некоторого Pv е П7, pV ^ av. Пользуясь этим свойством базиса группы X, (Т), легко получить, что /7°(К, X, 0 = 0. А тогда из локальной теоремы Накаямы— Тейта вытекает, что №(R, Т) = 1. Лемма 18 доказана.

Доказательство теоремы 20 (случай числового поля). Установим вначале, что образ рУ(х) фиксированного элемента хе е//2(/(, 7) при отображении ограничения ру: H2^K,F)->

Н2 ^Ки, F) тривиален для почти всех и е yf. Действительно, х лежит в образе отображения инфляции H2(L/K,F)-> Н2(К, F), где L/K—подходящее конечное расширение поля К. Для почти всех v е yf расширение Lw/Ky неразветвлено, и тогда рУ(х) попадает в образ отображения инфляции Н2 (К^/Ки, F) —> -> Н2 <Kv, F). Но Н 2 №„ Я = 1, ибо Gal ^/Kv) ~ Z - группа когомологической размерности 1, поэтому ру(х)=1, что и требовалось. Обозначим через В конечное подмножество в VKr содержащее по крайней мере одно неархимедово нормирование и все те и, для которых рУ(х) =# 1. Для каждого и е S можно выбрать такой максимальный КУ-определенный тор Гу с G, что

H2(KV, 7’„)=1. Действительно, если у неархимедово, то достаточно взять максимальный К«-анизотропный тор Tv cz G (см. теорему 21), а для архимедова и следует воспользоваться леммой 18. Используя свойство слабой аппроксимации для многообразия торов (см. следствие 3 в § 7.1), найдем /(-определенный тор Т cz G, который над К- изоморфен Ту (отметим, что доказательство существования такого тора в гл. VII не использует никаких результатов гл. VI). Положим Т = л(Т). Очевидно, нам достаточно показать, что х лежит в образе кограничного морфизма 6: Нх ^К, Т)->Н2 ^К, F), отвечающего точной последовательности 1 -^-F-^- Т—> Т—> 1. Имеем коммутативную диаграмму с точными строками

Нх (К, Т)—> Н2 (К, F)Н2(К, Т)jp

П Нх (Kv, Т) —> П Н2 <Ки, п П FI2 <Ки, Т) VVV

Так как условия хе Im 6 и хеКегт равносильны, то проверим второе из них. Имеем у(т(х)) = ц(р (х)) — 1, ибо для тех и, что p0(x)=# 1, по построению H2(KV, Т)= 1. Но поскольку S содержит неархимедово нормирование у0 и тор Т является К«о- анизотропным, то из предложения 12 вытекает, что Кег у тривиально, и поэтому т(х)=1. Теорема 20 доказана.

Отметим, что теорема 20 заключает в себе существенную арифметическую информацию. Так, для группы G = PSLn фундаментальная группа F совпадает с группой р„ корней степени п из единицы. Тогда в силу леммы 2.6 Н2(К, F) = Вг(К^п— подгруппа элементов группы Брауэра Вг(/(), аннулируемых умножением на л. При этом легко видеть, что образ отображения НХ(К, 0)^->Н2^К, F) состоит из элементов Вг (/<)„, представляемых простой алгеброй размерности п2. Поэтому утверждение о сюръективности 6 для локальных и числовых полей в действительности эквивалентно глубокому утверждению о том, что над этими полями экспонента простой алгебры совпадает с ее индексом (см. § 1.4, п. 1).

Для дальнейшего нам понадобится явное вычисление когомологий центров односвязных групп. Ясно, что структура центра как модуля над группой Галуа одинакова для групп одного и того же внутреннего типа, причем для простых групп мы имеем следующую таблицу, в которой L/K означает расширение Галуа поля К, группа Галуа которого эффективно действует на соответствующей диаграмме Дынкина:

Тип G

ЦО)

Тип G

2(0)

ХАп-1

Н/Z

3D4

R<2/K (^2)

R<2/K (M

6d4

r2/k (м-2)

Вп» Сп, Е~

P2

lEe

Из

‘Dn

[i4, n = lk -\- \, Щ X H2, « = 2fe

2Ee

R^/K (м-з)

lDn

^b/K (^4)’ « = 2fe + 1

Rl/kM’ « = 2^

E3, F4, G2

1

(здесь для типа 6Z)4 через Р обозначено подполе в L, имеющее степень три над К).

Когомологии группы р„ нам хорошо известны (лемма 2.6):

нх {к, и„) = /т*7 № (к, ц„) - вг ц<ц

КОГОМОЛОГИИ Группы R^K(Hn) вычисляются исходя из точной последовательности 1 ^R2)K(!i,J^RL/K (ц„)- ' > ц.„ —*■ 1 • Переходя к когомологиям, получим точную последовательность

«■ик (^)к(^), -НЦК, ну, (и,)) - И1 (К, R„, (И„)) -

-«Ч^. и.ЩЯЦК куД^И^яук R^^-H^K. и„у Таким образом, группы Н* (К, R(2/k(pJ) (i=1, 2) входят в точные последовательности

1 ^К)кЖ/к((цА)->

->НЧК, ^к(^)-^Кег(Г/Г"-^Г/Г"^(1)

l->KlK,nNLIK(L*)->

-* Н2 (К, R^k (^ -> Кег (Вг Щ„ Вг (Ш 1 • (2) Используя (2), вычислим в явном виде группы Н2(К, Z) , где Z— центр односвязной группы одного из типов 3'6Ц, Е6, т. е. когда Z = Rr/Hl^), Rp/HM или R(2/k (Рз) в обозначениях приведенной выше таблицы. Для этого заметим, что если п взаимно просто со степенью расширения ЦК, то К* = K*nNцк^')' и поэтому соответствующий член в (2) тривиален (именно так обстоит дело в разбираемых нами случаях). Покажем теперь,

что для локального поля К группа В = Кег (Вг (Е)п -^~ Вг (/()„) тривиальна. Разберем сперва случай типа 3’6D4, т. е. когда Z = = Кь/к (Иг), где L/K — любое-расширение степени 3, и покажем, что в этом случае отображение Вг (ТБ '^ Вг (А)2 является изоморфизмом. Сквозное отображение Вг (А)2 Вг (Т)2 —Вг (А)2, где i индуцировано расширением основного поля, является умножением на 3 и поэтому совпадает с тождественным. Так как [Вг(Т<)2] = [Вг(Т)2] — 2, то i—изоморфизм, следовательно, N— тоже изоморфизм, что и требовалось. Пусть теперь Z — Кь/к^з), где L/K — квадратичное расширение (случай группы типа 2Ё6). Тогда элементы из В отвечают классам простых алгебр над L экспоненты 3, которые обладают такой инволюцией т второго рода, что поле неподвижных элементов LT совпадает с К. Известно (см. Алберт [1], гл. X), что над локальным полем нетривиальных простых алгебр с инволюцией второго рода не существует, и поэтому в рассматриваемом случае опять В=1. Итак, над локальным полем для указанных типов H4K,Z)=\.

Пусть теперь К—числовое поле. Покажем, что здесь для любого элемента хе H2(K,Z) найдется расширение Е/К, имеющее степень 2 для типов 3ADt и степень 3 для 2Е6 такое, что образ х при отображении ограничения Н2^К, Z^—^H2^E, Z) тривиален. Рассмотрим отвечающий х элемент у е В и представляющую его алгебру с делением D е Вг(А). Обозначим через S конечное подмножество в VL, состоящее из тех w, для которых алгебра Dw = D ®lLw нетривиальна, и пусть S состоит из ограничений нормирований из S на К. Предположим теперь, что мы имеем дело со случаем групп типов 3>6D4. Тогда [А: А] = 3, и поэтому [Ет : А„] ^ 3 для любого у е VK. Отсюда легко вытекает существование такого квадратичного расширения Е/К, что \ELm : Ет\ = 2 для всех keS. Тогда из п. 1 § 1.5 вытекает, что EL является полем разложения для D, и поэтому расширение Е искомое. В случае типа 2Е6 ясно, что D является алгеброй над L с инволюцией второго рода, поэтому из отсутствия таких алгебр над локальными полями вытекает, что L cz Kv для у eS. Легко видеть, что существует кубическое расширение Е= K^\/d\ обладающее свойством: [Ет : А„] = 3 для всех у е S. Тогда, как и выше, заключаем, что Е искомое. Более того, используя теорему Грюнвальда — Ванга из теории полей классов (см. Артин, Тейт [1]), можно показать, что всегда существует циклическое расширение К степени 3 с описанным свойством. Соберем полученные результаты.

Предложение 14. Пусть Z—центр простой односвязной К-группы одного из типов 3>6Щ, 2Е6. Тогда

если К—локальное поле, то H2{K,Z) = 1;

если К — числовое поле, то для любого .хеН- (К, 2) найдется такое расширение Е,К, имеющее степень 2 для типов 3'6D^ и степень 3 для типа 2Е6, что образ х при отображении ограничения Н2(К, Z)—^ Н2 (Е, Z) тривиален (более того, для типа 2ЕЙ можно выбрать циклическое расширение Е/К степени 3 с таким свойством).

Покажем теперь, как предложение 14 применяется для выяснения структуры групп указанных типов. Пусть Go— соответствующая односвязная квазиразложимая группа, Z = Z(GQ)— ее центр и Go = G»)Z—присоединенная группа. Тогда элементы множества И1 (К, Go) классифицируют с точностью до /(-изоморфизма простые односвязные группы, относящиеся к тому же внутреннему типу, что и Go. В частности, группа G = ^Gq, отвечающая коциклу |е НЦК, Go), квазиразложима над К в том и только том случае, если коцикл £ тривиален, и становится ква- зиразложимой над расширением Е поля К, если тривиален образ £ при отображении ограничения И1 (К, Go) ^- И1 (Е, Go). Множество HY (К, Go) входит в точную последовательность

НЦК, G0)^HY(K, G0)^H2(K, 2).

Предположим теперь, что К — локальное поле и множество HY(K, Go) тривиально (мы намеренно не пользуемся теоремой 4 в полном объеме). Тогда отображение 6 имеет тривиальное ядро. С другой стороны, согласно утверждению 1) предложения 14 //2(/(,2)=1. Поэтому Н1 (К, Go)= 1, и, значит, любая группа, относящаяся к типам 3,6D4, 2Е6, квазиразложима над К.

Пусть теперь К — числовое поле. Предположим, что уже известна тривиальность Н1 (Р, Go) для любого вполне мнимого расширения P/К (мы опять не пользуемся теоремой 6 в полном объеме). Тогда, замечая, что расширение Е в утверждении 2) предложения 14 можно для типов 3-6D4 выбрать вполне мнимым, мы окончательно приходим к следующему утверждению.

Предложение 15. Пусть Go — односвязная квазиразложимая группа одного из типов-. 3i6D4, 2Е6 над неархимедовым локальным либо числовым полем К. Предположим, что известна тривиальность HY(K,G0) для локального поля К и тривиальность Нх (Р, Go) для любого вполне мнимого расширения числового поля К. Тогда

если поле К локально, то любая К-группа одного из указанных типов квазиразложима-,

если К—числовое поле, то любая К-группа одного из типов 3>6D4 становится квазиразложимой над некоторым квадратичным расширением К;

если К— вполне мнимое числовое поле, то любая К-груп- па типа 2Е6 становится квазиразложимой над некоторым (циклическим) расширением К степени три.

Установим теперь следующий важный в структурном плане факт, который будет играть ключевую роль в § 9.4 при изучении нормального строения групп рациональных точек.

Предложение 16. Пусть Go— односвязная разложимая группа одного из типов". Вп, Сп, Е7, Е8, Р4, G2 над неархимедовым локальным либо числовым полем К. Предположим, что известна тривиальность НЦР.Оо) для локального поля К и тривиальность НЦР,Со) для любого вполне мнимого расширения Р числового поля К- Тогда

любая К-группа одного из типов Е8, Рл, G2 является К-разложимой, если поле К локальное, и разложимой над любым вполне мнимым расширением К, если поле К числовое;

любая К-группа одного из типов Вп, С„, Е7 становится разложимой над подходящим квадратичным расширением Е/К, которое в числовой ситуации является вполне мнимым.

В частности, любая группа одного из указанных типов разложима над подходящим квадратичным расширением Е(К.

Доказательство. Диаграммы Дынкина групп указанных типов не имеют нетривиальных симметрий, поэтому их /(-формы классифицируются элементами множества НЦК, Go), где Go — соответствующая присоединенная группа. Так как для типов, указанных в п. 1), Go = Go, то отсюда без труда следует требуемое утверждение. Для групп оставшихся типов Z(G0)=p2, и, значит, И2 (К, Z^ = Вг (К)2, так что любой элемент хе е Н2 (К, Z) становится тривиальным над некоторым квадратичным расширением Е/К, которое в числовом случае можно считать вполне мнимым. Тогда из точной последовательности

H4L, Go)->H4L, Оо^НЦЕ, Z)

мы и получаем требуемое утверждение.

Ознакомившись с формулировками предложений 15 и 16, читатель, по-видимому, испытал чувство некоторого недоумения по поводу содержащейся в них «непоследовательности»: а именно, предполагая всюду в этом параграфе выполненными теоремы 4 и 6, мы в этих двух предложениях почему-то ограничиваемся более слабым требованием о тривиальности НЦК, Go) для квазиразложимой группы G над локальным или вполне мнимым числовым полем К- Причина этого заключается в том, что сами предложения 15 и 16 оказываются вплетенными в сложную схему доказательства теорем 4 и 6, причем их приходится использовать именно в той ситуации, которая описана в их формулировках. Нет нужды отмечать, что после доказательства теорем 4 и 6 предложения 15 и 16 превращаются из условных утверждений в безусловные.

Вернемся теперь к обсуждению принципа Хассе для полу- простых групп. В предыдущем параграфе мы видели, что он

выполняется не всегда, однако теорема 6 утверждает его выполнимость для односвязных групп. Покажем, что он также справедлив для другого «крайнего» случая — присоединенных групп.

Теорема 22. Пусть G— полупростая присоединенная группа над числовым полем К- Тогда Ш(О) = 1.

Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай простой группы G. Обозначим через л: G-^G универсальное накрытие, и пусть Z = Кег л — его ядро. Имеем следующую коммутативную диаграмму с точными строками:

НАД, Z) а,->НЧК, G) —>НЧК, G) ——*НЧК, Z)kjY=jYijv<

Пнчк0, г^Цнчк„, о^Инчк», о^^нчк», z) VVVV

О)

Лемма 19. Кег у4 = 1.

Доказательство. Если Z = ц^, то у4 превращается в каноническое отображение Вг (/<)„—> П Вг (К Jn, которое инъективно

по теореме Хассе—Брауэра — Нётер (см. теорему 1.12 в § 1.5). Пусть теперь Z = Rl/л (ц„). Тогда из последовательности (2) получаем следующую коммутативную диаграмму с точными строками:

-> К*!к*пНык (Г)^>

Н~ (J<, Z)^> Кег (вг (Т) -X— > Вг (К)) -* I

X П Я2U4, Z) X п Кег f X Вг (Z.J ^и Вг (Kj) 1 ииХЮ | и/

Опять по теореме Хассе — Брауэра — Нётер Кег т]з = 1. Отсюда следует, что если хеКегцг, то x = ei(z/), где уеКеггр. Поэтому остается показать, что в нашей ситуации Кегщ = 1. Пусть вначале L/K— квадратичное расширение. Тогда при нечетном п группа К*/К*пМь1к^Т“) тривиальна, и доказывать нечего. Наоборот, К*п с Nl/k^L*) при четном п, так что щ сводится к отображению K^Nl/kAL*) И K*v/Nl/k^L§§ 14"^, котороеинъ- ективно в силу того, что для L/K выполняется норменный принцип Хассе (см. следствие из теоремы 11). Из приведенной выше

таблицы вытекает, что остается рассмотреть случай п = 2, L/K — расширение третьей степени. Тогда опять К*/К*пПык(Т*) = = 1, и доказательство леммы 19 завершено.

Пусть теперь х е Кег у3 в обозначениях диаграммы (3). Тогда а3(х)е Кегу4, так что в силу леммы 19 а3(х) тривиально. Из точности верхней строки в (3) вытекает, что хе Im а2, т. е. x = a2(t/), уеЯ1^, б). Рассмотрим 72(1/). Из точности нижней строки в диаграмме (3), ее коммутативности и условия хе е Кег у3 легко получить, что y2(z/)elmpb т. е. Y2 (</) = Pi (2), г = (z„) е П Я1 (/(„, Z). Воспользуемся теперь тем фактом, что отображение НХ(.К, Z)-^-> Ц Я1 (/(„, Z) сюръективно

(см. следствие 2 из предложения 7.7; естественно, что приводимое в гл. VII доказательство этого утверждения не зависит от теоремы 22). Тогда можно выбрать йеЯ'^Д) со свош ством ф (а) = (z„)ueyx. Из тривиальности Н1^^, G) для и е Vf (теорема 4) и наших построений вытекает, что 72(^1 (а) ) = = 72(1/). Но, используя теорему 6 (принцип Хассе для G), отсюда получаем, что у = аДй), и тогда х = a2(t/) = a2(«i (а)) = = 1. Теорема 22 доказана.

Замечание. На самом деле мы показали, что принцип Хассе выполняется для полупростой группы G, если для ее фундаментальной группы F отображение Н2^К, F)^-ЦЯ2^, F)

V

инъективно. В частности, это всегда имеет место, если /?=ц2. Мы воспользуемся этим замечанием в следующем параграфе применительно к ортогональным и унитарным группам.

Чтобы не перегружать последующие параграфы, посвященные доказательству принципа Хассе, приведем здесь редукцию теоремы 6 к доказательству равенства Ш(С)=1 для полупростой односвязной группы G над числовым полем К. Эту редукцию дает следующее

Предложение 17. Пусть G— связная группа над числовым полем К. Тогда отображение Н1 (К, G) -» Ц Нх (Kv, G) сюръ-

активно.

Доказательство. Для торов мы установим этот факт в гл. VII (см. следствие 2 в § 7.3), не используя, естественно, результатов настоящего параграфа. Поэтому сейчас покажем, как общий ■случай сводится к торам. С этой целью прежде всего убедимся, что для любой связной вещественной алгебраической группы G наперед заданный элемент ^еЯЦР.О) лежит в образе отображения Я1 (R, 7)^-Я1 (R, G) для подходящего R-определенного максимального тора 7cG. Действительно, коцикл £ =

= {£т} определяется заданием элемента z = £aeGc, где а означает комплексное сопряжение, причем zo(z) = 1. Рассмотрим разложение Жордана z = zszu. Тогда легко видеть, что имеют место соотношения zsa(zs) = 1, гио(гы) = 1, т. е. полупро- стая и унипотентная части г также определяют коциклы. Хорошо известно, что минимальная алгебраическая группа U, порожденная z„, изоморфна аддитивной группе Ga, причем из соотношения гыо(гы)=1, очевидно, вытекает, что эта группа R-определена. Так как H^R, U)=\ (лемма 2.7), то, используя перестановочность zs с любым элементом из U, легко показать, что £ эквивалентен коциклу 9, определяемому элементом t = zs. Далее, рассмотрим связную компоненту Н° централизатора Н = = ZG(/). Поскольку o^=t~x, то группы Н и Н° определены над R. Известно (см. Борель [8], § 11), что (еН®. С другой стороны, Н° обладает максимальным R-определенным тором Т, который будет максимальным и в G. Но поскольку t централен в Н°, то ? е Т, и, значит, 9 лежит в образе отображения Hx(R,r)-+Hx(R, G).

Пусть теперь £ = (£„)е Ц Нх(Ки, G). Согласно уже доказанному, для каждого и е Уй можно выбрать /(„-определенный максимальный тор Т„ cz G такой, что -, е ЫЯЧ/С, HR -*- И1 (Kv, G)). Как уже отмечалось, мы вправе использовать здесь следствие 3 из предложения 7.3, в результате чего найдем такой максимальный /(-определенный тор Т a G, который О/^-сопряжен тору Ти над каждым К« (у е кй). Легко видеть, что если коцикл бе/ЯТ^С) определяется элементом г е Gc, то для любого "eGr элемент gzg~x определяет коцикл, эквивалентный исходному. Отсюда следует, что образы отображений /71 (Ки, Т)-^-/71 (Kt>, G) и /71 (/(„, 7'„)-^-/71 (/(„, G) совпадают для любого и е Уй- А тогда £ лежит в образе сквозного отображения И1 (К, Т) JJ Нх (Kv, Т) -> П /71 (/(„, G),

ибо мы считаем уже установленным, что а сюръективно. Предложение 17 доказано.

В § 6.7—6.8 мы приведем доказательство теорем 4 и 6. Рассуждения в этих параграфах являются многоэтапными и используют самую разнообразную технику, начиная с арифметических свойств полуторалинейных форм и кончая весьма тонкими результатами из теории алгебраических групп и алгебраической теории чисел. Свойствам форм мы посвятим специальный § 6.6, а здесь укажем на необходимые нам для дальнейшего когомологические следствия одной теоремы Стейнберга. ■

Теорема 23 (Стейнберг [1]). Пусть Go — полупростая односвязная группа, определенная и квазиразложимая над (совер-

шенным) полем К. Тогда любой К-определенный класс сопряженности полупростых элементов в Go обладает К-рациональ- ной точкой.

Мы будем использовать не саму теорему Стейнберга, а вытекающие из нее когомологические следствия.

Предложение 18. Пусть Go—полупростая К-определенная квазиразложимая группа (не обязательно односвязная), е ZX(K, Go) и G = ^Go — соответствующая скрученная группа. Тогда для любого максимального К-определенного тора Т с G найдется такой коцикл ue Zx (К,Т), что Go = цС.

Доказательство. В силу теоремы Ленга наше утверждение тривиальным образом выполняется для конечного поля К, поэтому в дальнейшем мы будем считать К бесконечным. Пусть Ло: Gq-^-Gq — универсальное К-определенное накрытие. Применяя скручивание при помощи £, мы получим универсальное ^определенное накрытие л: G -*• G. Будем интерпретировать группу G^ как группу (G,)^, на которой группа Галуа Gal (/C/^) действует скрученным образом: а* (х) = ааа (х) а”1 для любых се е Gal (KjK), х е (GQ)R == GR, где £ = {ао) и ао — произвольный прообраз ао. Положим T = nGx(T) и зафиксируем произвольный регулярный элемент хеТк. Тогда о* (х) = х для всех о е Gal (KjK), т. е. а(х) = й”ххаа. Отсюда следует, что класс сопряженности С = (gxg-x | g е Go) определен над К. Поэтому согласно теореме Стейнберга Ск=#0, т. е. найдется такой ye(G0)R, что а(уху~х) = уху~х. Тогда имеем уху~х = — о (у) а”ххаоа (у)-х, откуда в силу регулярности х получаем, что у~хо (у) а~х е Т R, и, значит, z-xa (z) ао' е Tr для z = л0(у).. Ясно, что Go получается из G скручиванием при помощи коцикла (ао ) е Z1 (К, G). Рассмотрим эквивалентный ему коцикл р={&о}> где Ьо = z-xa”xa* (z), и покажем, что ЬоеТ- для. всех о е Gal (KjK). Действительно,

ba = z~xa;V (z)=z~xa;\aaa (z) а;') = z”‘a(z)a-x е TR, и предложение доказано.

Бывает полезной также следующая (фактически эквивалентная) переформулировка предложения 18.

Предложение 19. Пусть Go, ^ и G как в предложении 18. Тогда любой максимальный К-определенный тор TcG допускает К-опреде ленное вложение в Go, и при этом ^ лежит в образе отображения НХ(К, Т)-^-Нх(К, Go).

Для доказательства сохраним обозначения, введенные при доказательстве предложения 18. Мы установили существование

такого у е (Go)^, что уху-1 = о (z/) а.-ххаоа (z/)-1. Тогда для 2 = = л0(у) получаем а'а = zaao (г)-1 е Т' = Zq« (л<)(уху-1)). Так как Г, будучи централизатором регулярного полупростого элемента .^(уху1) е (Go) к, является /(-определенным максимальным тором в Go и коцикл V = {с'} эквивалентен исходному, то остается показать, что изоморфизм Т^Т', задаваемый отображением <р: tv-^ztz-1, определен над К. Для этого достаточно установить, что <р коммутирует с любым стеСа1(Д/7<), который действует как она Ги как а* на Т. Имеем:

■Ф (о* (t)) = zaoo (t) a-1z-1 =

= zaao (z)-1 о (ztz-1) о (z) a-1z-1 = о (ztz-1) = о (<p (t))

для любого teT^, ибо a'o = zaoQ (z)-1 еТ', что и требовалось.

Из предложений 18 и 19 вытекает следующее любопытное наблюдение: если G — полупростая /(-определенная группа, Go — квазиразложимая /(-группа того же внутреннего типа, то любой /(-определенный максимальный тор TcG допускает /(-определенное вложение в Go. (Тем самым квазиразложимая группа является универсальным вместилищем всех /(-определенных торов, встречающихся в /(-группах данного внутреннего типа.) Действительно, пусть р: G—>G— изогения на соответствующую присоединенную группу. Так как G получается из Go скручиванием при помощи коцикла ^ е Н^К, Go), то в силу предложения 18 найдется такой коцикл ц е Н^К, р (Т)), что Go — UG. Но компоненты р действуют на Т тривиально, и поэтому Т = уТ является максимальным /(-тором в Go = UG.

Вот один необходимый для дальнейшего пример использования этого утверждения. Пусть L — либо квадратичное расширение поля К, либо алгебра К® К. Обозначим через » инволюцию L, которая совпадает с нетривиальным автоморфизмом расширения L/К в первом случае и переставляет слагаемые во втором. Далее, рассмотрим алгебру А = Mn(L) и обозначим через т инволюцию алгебры А, определяемую формулой

x((Xij)) = f (ху^Г^ где

г / 0 Еп(2 \

' - I Eni2 О )

О£(п-1)/2ОО£(п-1)/2ОЕ^-1)(2 0О•...1Е^-1)(2 0О•...1ж случае четного п, и

О

£(п-1)/2

О

О

£(п-1)/2

О

Е^-1)(2 0

О•

...1

Е^-1)(2 0

О•

...1

/ =

в случае нечетного п,

1 ... О

О ... 1

— единичная матрица соответствующего размера, причем 1 в случае L = K®K понимается как (1,1). Тогда соответствующая специальная унитарная группа Go = St7(A,r) является квази- разложимой группой типа 2Лп-1 в случае [Г: А] = 2 и изоморфна SLn в случае L = K®K (см. § 2.3). Покажем, что любая коммутативная полупростая алгебра В над L степени п, снабженная инволюцией а, ограничение которой на L совпадает с *,. вкладывается в (Л, т) как алгебра с инволюцией. Действительно, используя регулярное представление, вложим В в Л как алгебру без инволюции. Далее, продолжим о до инволюции всей алгебры А (см. Алберт [1], гл. X) и будем обозначать продолжение той же буквой. Пусть G — SU(A,o)— соответствующая унитарная группа. Тогда пересечение Т = (В ® к ^)П О является максимальным /(-определенным тором в G. Из предыдущего вытекает,, что Go = UG для подходящего коцикла не Z1 (К, G), тривиально действующего на Т. Ясно, что элементы из G = IntG действуют как автоморфизмы алгебры (А, а), и (А,т) = ц(А,а). При этом ц действует тривиально на В, так что (В, а) = ДВ, а)<^*(А, т).

Предложение 19 будет использоваться нами в сочетании с некоторыми фактами о когомологической размерности. Мы напоминаем лишь основные относящиеся к этому результаты, отсылая за доказательствами и сопутствующими деталями к книге Серра [1]. Пусть р— простое число. Говорят, что когомологическая размерность cdp(S) проконечной группы 3 относительно р не превосходит единицы (cdp(S)^ 1), если для любого конечного S-модуля А группа Н2^, А) не имеет р-кручения. При этом cd(S)^ 1, если cdp(S)^ 1 для любого р. Соответственно cdp(7()^l для совершенного поля К, если cdp(S)^l для абсолютной группы Галуа S = Gal(K//(), и cd(/()^l, если cdp(/()^ 1 для любого р. В случае когда р #= char К (у нас, как правило, char/( = 0), можно дать переформулировку условия cdp(/()^l в терминах теорий полей: оно оказывается эквивалентным тривиальности p-компоненты Вг(Г)р группы Брауэра любого конечного расширения L]K„ Отсюда получаются важные для нас примеры полей с условием cdp(/()^ 1.

Предложение 20. Пусть К — локальное либо числовое поле, П — некоторое множество простых чисел. Обозначим через Кп поле, получаемое присоединением к К всех корней из единицы.

степени которых делятся лишь на простые числа из П. Тогда cdp(/(n) ^ 1 для любого реП.

Доказательство вытекает из того факта, что любая алгебра с делением индекса п над конечным расширением L поля К имеет поле разложения видаЛ(£пО), где £т — корень степени m из единицы. (Ср. доказательство предложения 9 на с. 101 в книге Серра [1],)

Лемма 20. Пусть cdp(/Q^ 1. Тогда для любого К-определен- ного тора Т группа Н' (К, Т) не имеет р-кручения. В частности, если cd (/С) ^ 1, то НЧК, Т) = 1.

Доказательство. Покажем вначале, что для произвольного /(-тора S группа НЧК, S) не имеет р-кручения. Для этого рассмотрим точную последовательность 1 ->SP ->S -^ S -> 1, где [р] означает возведение в р-ю степень, Sp=Ker[p], Ей отвечает точная когомологическая последовательность

. ,.->НЧК, SP)->H4K, S)^H4K, S),

откуда следует, что H4K,SP) накрывает все элементы порядка р в H4K,S). Но НЧК, Sp)=), ибо группа H4K,SP) одновременно должна аннулироваться умножением на р и не иметь р-кручения в силу условия cdp(^)^l, откуда H4K,S)P = 1. Вложим теперь исходный тор Т в точную последовательность 1 ->■ S ->■ FТ1, где S и F—/(-торы, причем тор F квазираз- ложим (см. предложение 2.2). Тогда из точной последовательности

\ = НЦК, F)^H4K, Т)-^НЧК, S)

и предыдущего замечания вытекает, что НЧК,Т)Р=). Лемма доказана.

Изложенные результаты позволяют распространить на поля, когомологическая размерность которых не превосходит единицы, теорему Ленга о тривиальности когомологий связных групп над конечными полями (такие поля К, очевидно, удовлетворяют условию cdp(^)^ 1).

Теорема 24 (Стейнберг [1]). Если cd(^)^l, то НЧК, G) = l для любой связной К-определенной алгебраической группы G.

Действительно, можно ограничиться случаем редуктивной группы G. Пусть Н = \G, G]— ее полупростая часть. Тогда Т= = G/H— тор, и из точной последовательности НЧК,Н)-^-

НЧК, G)-+НЧК, Т), используя лемму 20, получаем, что тривиальность НЧК, G) вытекает из тривиальности НЧК,Н). Тем самым, имеется редукция доказательства теоремы 24 к полупростому случаю. Обозначим через Go квазиразложимую /(-группу того же внутреннего типа. Из предложения 19 и леммы 20 вытекает тривиальность НЧК, В) для любой полупростой квази- разложимой над К группы В. Применяя это утверждение к со-

ответствующей присоединенной группе Go, получаем, что существует лишь одна /(-форма данного внутреннего типа, т. е. G = = Go—квазиразложимая группа. Но тогда, как мы уже выяснили, И1 (К, G) = 1. Теорема 24 доказана.

Когомологии Галуа и квадратичные, эрмитовы

и другие формы

В этом параграфе мы изложим необходимые нам для дальнейшего арифметические свойства полуторалинейных форм и дадим их интерпретацию на языке когомологий Галуа. С другой стороны, мы покажем, что с помощью принципа Хассе можно дать локально-глобальную классификацию форм. К основным результатам этого параграфа следует также отнести доказательство теоремы 5 и аналогичного результата для чисто мнимых числовых полей.

Вначале разберем наиболее популярный и наглядный случай квадратичных форм. Пусть f—невырожденная ^определенная квадратичная форма на n-мерном векторном пространстве W. Тогда f представляет нуль над К, т. е. уравнение f(x) = O имеет ненулевое решение хе Wk в том и только том случае, если это имеет место над всеми пополнениями Ku, у е Vk (теорема Минковского— Хассе, см. п. 3 § 2.2). При этом если п ^ 5, то f автоматически представляет нуль над всеми неархимедовыми пополнениями Кт, у е У^ (теорема Мейера). Таким образом, здесь, в частности, выполняется следующее

Утверждение 1. Пусть f — невырожденная п-мерная квадратичная форма над локальным либо числовым полем К, причем п^ 5. Тогда f представляет нуль, если поле К локально или если К — числовое поле и f представляет нуль над всеми Кт, и е У^.

Иногда бывает удобна также следующая эквивалентная переформулировка.

Утверждение 1'. Пусть f— такая же как в утверждении 1, п ^ 4 и а^К*. Тогда f представляет а над К, т. е. уравнение ^х^ = а имеет решение хе W к, в том и только том случае, если это имеет место над всеми К«, у е уй.

Для удобства ссылок сформулируем также соответствующее утверждение для случая эрмитовых форм, связанных либо с квадратичным расширением L/K, либо с телом кватернионов D/К, непосредственно сводящееся к случаю квадратичных форм. А именно, пусть 1У — /г-мерное векторное пространство соответственно над L или D, f—невырожденная а-эрмитова форма на W, где а соответственно — нетривиальный автоморфизм LjK либо каноническая инволюция D. Будем говорить, что f представляет нуль над К, если уравнение f(x) = 0 имеет ненулевое- решение в W, и над Ка— если решение существует в простран-

стве W ®к Ку. Аналогично определяется представимость формой / эрмитова элемента а е L*, D* (отметим, что в нашей ситуации множество эрмитовых элементов совпадает с К*). Тогда имеет место

Утверждение 2. В описанной ситуации предположим, дополнительно, что п^З в случае квадратичного расширения L/K и п^ 2 в случае тела кватернионов D. Тогда f представляет нуль, если либо поле К локально, либо К — числовое поле и f представляет нуль над всеми Kv для у е V^.

Действительно, в ортогональном базисе пространства U7 форма f имеет соответственно вид f (хь .. ., х„) = агNl/k (^J + ••• . .. + anN цк (х„) или f^x„) = a1NrdD/K(x1)+... . .. + ап Nrdn/к (хп), где at е К, т. е. значения f совпадают со значениями квадратичной формы размерности 2п (соответственно 4/г), поэтому все следует из утверждения 1. Отметим также, что в данной ситуации имеется очевидный аналог утверждения Г для представимости формой f элемента а е К*, в котором нижние границы для размерностей уменьшаются по сравнению с утверждением 2 на единицу.

Осталось рассмотреть случай косоэрмитовой формы f, заданной на /г-мерном векторном пространстве IT’ над телом кватернионов D. Как обычно, будем говорить, что косоэрмитов элемент а е D* представляется формой f над К (соответственно, над Ку), если уравнение f(x)=a имеет решение хе№' (соответственно, xeW®KKy). Отметим, что понятие представимости нуля над формами такого типа имеет свои тонкости: если D®K ®к Ку =г М2(Ку), то следует требовать не просто существования ненулевого решения уравнения f(x) = O, а такого решения хе е W ®к Ку, которое может быть включено в базис W ®к Ку как модуля над Ь®кКу; это условие в действительности эквивалентно тому, что ранг над Ку квадратичной формы f, отвечающей f, не меньше 2. Мы не будем здесь обсуждать подробности, которые заинтересованный читатель может найти в книге Шар- лау [1], гл. 10.

Утверждение 3. Пусть f— невырожденная косоэрмитова форма над телом кватернионов D с центром К размерности п ^ 3. Тогда f представляет косоэрмитов элемент aeD*, если либо поле К локально, либо К — числовое поле и f представляет а над всеми пополнениями Kv, и е Уй.

Обычное доказательство этого утверждения см. в книге Шар- лау [1], гл. 10. Мы же сейчас покажем, что оно на самом деле вытекает из справедливости теорем 4 и 6 для групп типов Л1ХА1 и Л3. Так как в следующем параграфе эти теоремы для групп типа Ап будут доказаны без использования утверждения 3, то это даст полное его доказательство, независимое от других источников.

Рассмотрим вначале случай локального поля К; при этом без ограничения общности можно считать, что п = 3. Построим вначале 3-мерную косоэрмитому форму g над D, которая заведомо представляет а и имеет тот же дискриминант, что и форма f. Будем искать матрицу g в виде diag(a, b, с). Из утверждения 1 (см. также § 1.4, п. 3) вытекает, что Nrdfl/x(Z)*) = К*, в частности, можно найти такой элемент d^D*, что NrdO/.K (tZ) = = 6Z(f)Nrdfl/x(a), где d^— дискриминант формы f. Рассмотрим, далее, пространство Р = {xs Д|а(х) =—х} «чистых» кватернионов. Легко видеть, что dim^ Р = 3, откуда следует, что dP рР^(О). Тогда найдутся элементы Ь,с^Р со свойством db~x = с, которые и будут искомыми.

В силу предложения 2.16 форма f получается из формы g скручиванием при помощи коцикла l^H'(K, G), где G = = SU2(g). Обозначим через Н стабилизатор в G вектора t = = (1,0,0) пространства D3, на котором определена форма g. Тогда из теоремы Витта (см. § 2.4, п. 5) вытекает, что фактор- пространство G[H может быть отождествлено со «сферой» Sg = = {х s D2 ®к R\gW = °}- Из определений также легко следует, что «скрученное» пространство Е(С/Д) относительно действия G на G/Н левыми сдвигами совпадает со сферой Sf = {xs 1^ ®к ®к R\f(x) = а}. Поэтому, как следует из леммы 1.6, (З^к^Ф в том и только том случае, если лежит в образе отображения е: НХ(К, Н)—>~Н'(К, G), и нам достаточно показать, что в нашей ситуации отображение 8 сюръективно. Для этого заметим, что группы G и Н являются полупростыми группами типов Дз = ^з и О2 = XiX^i соответственно (см. § 2.3), причем их универсальные накрывающие G и Н согласованы в том смысле,, что имеет место коммутативная диаграмма

\->F->G G -> \

II t td)>

-*Н1

где F = {+1}- Из (1) получается коммутативная когомологическая диаграмма

бу

НЦК, G) *НЧК, R)

НЦК, И) *НЧК, F)

Так как мы предполагаем теорему 4 доказанной для групп- типов Ой и О2, то в сочетании с теоремой 20 этот факт позволяет утверждать, что отображения 6g и бн являются биекциями. Поэтому отображение 8 также биективно, что и требовалось.

Рассуждения для числового поля аналогичны, однако отличаются некоторыми деталями, связанными с наличием веще^.

ственных нормирований (для вполне мнимых полей приведенные рассуждения проходят без всяких изменений). Прежде всего получим редукцию к случаю п = 3. По условию для каждого у е Уй можно найти такой х„ е W ®к Ку, что f(xv) = а. Из слабой аппроксимационной теоремы для поля К вытекает наличие слабой аппроксимации и в пространстве W, так что по соображениям непрерывности существует такой х е ЙД что f (х) Е е ^yaa (z/) | у е Д'} для всех и е У^. Обозначим через W' трехмерное подпространство в 1Г, содержащее х и такое, что ограничение f' формы f на W' невырождено. Тогда, очевидно, из существования решения уравнения Д(х)=а вытекает существование решения уравнения f(x)=a. Итак, в дальнейшем dimf = 3. Далее, при построении формы g, представляющей а и имеющей тот же дискриминант, что и f, следует заметить, что, с одной стороны,

Nrdm(£’) = /<W П Nrd^^))

(следует из утверждения 1 или теоремы 1.13), с другой — что Д (f)/Nrda/K(a) ^ NrdBo/Kv (^) Для у G ^, ибо а представимо над всеми Ку, и е гй. Найдя d е D* со свойством Nrdo/к (d) = = d (f)/Nrd/)/K (а) и рассуждая как и выше, мы осуществим выбор матрицы искомой формы g в виде diag(a, b, с). Пусть опять G = SU3(g), Ie НЧК, G)— коцикл, скручивание при помощи которого переводит форму g в f. Из рассуждений в локальном случае вытекает, что наша задача переформулируется на языке когомологий Галуа следующим образом: пусть ^е еНЧК. G), причем известно, что для всех ц е У* образ ^у коцикла I в НЧКу, G) лежит в \т^НЧКе, H)-^H4KV, G)); требуется показать, что 1 е ПтДН1 (Д', Н) Д Я1 (Д', G)). Для этого снова рассмотрим получающуюся из (1) коммутативную когомологическую диаграмму с точными строками

нчк, нчк, о^Хнчк, Г)

> Iе II (2)

НЧК, Щ^инЧК, Н)ХнЧК, F)

Так как отображение 6я сюръективно (теорема 20), то найдется такой коцикл х\е НЧК, Н), что 6я(т|) = 6g (I). Скручивая диаграмму (2) при помощи коцикла т], мы сведем нашу задачу к случаю 6g(I)=1, что мы и будем в дальнейшем предполагать, не изменяя обозначений (т. е. не переходя от Н к ^Н и т. д.). Тогда £ = у(0) для подходящего 0е НЧК, G). Далее, по условию для каждого ц е V» можно найти такой коцикл

уи е НЧКи, Н), что £а = е0(ца). Выписав диаграмму, аналогичную (2), но построенную для поля Ки и воспользовавшись условием 6с(^)= 1, получим, что ца = aa(toa), ыа е Н^Ки, Ну Так как уо(9о) = у у (Ру (о)у)), то Ру(соу) = /у9у для подходящего /у е е Нх (Ku, F). Используя сюръективность отображения K*lK*2 = = НЧК, F1)^ Ц Нх ^Ку, F) = П K*j К*2> найдем элемент иеГ^уеГ^

f е НЧК, F) отображающийся в (fa) к. «Подправляя» 9 на

элемент Д можно без ограничения общности предполагать, что рУ(<оУ) = 9у для всех и е гй. Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму

нЧК, G)^> П НЧКУ, G)

нчк, н)—> П нчку, н)

Применяя к группам G и Н, которые относятся к типам А3 и Л, X ^i соответственно, теорему 6, получим, что отображения pg- и р^ являются биекциями. В частности, можно найти (единственный) элемент iugHHK. Н) такой, что р^ (со) = = (<Oy)yGl/K. Тогда pg- (р^со)) = pg- (9), и поэтому Р;(со) = 9. Возвращаясь к диаграмме (2), будем иметь ^ = у (9) = у (р (со)) — е (а (со)), т. е. ^Elme. Утверждение 3 полностью доказано.

Рассуждения, использованные при доказательстве утверждения 3, допускают обращение. Более точно, предполагая известными определенные свойства полуторалинейных форм, можно получить доказательство теорем 4 и 6 для ассоциированных с ними односвязных алгебраических групп. Именно на этом принципе будет основано доказательство этих теорем для групп классических типов, отличных от Ап, которое мы проведем в следующем параграфе. Отметим, что тип Ап рассматривается отдельно, и поэтому, доказывая теоремы 4 и 6 для групп типа Dn, мы вправе использовать утверждение 3, ибо его доказательство опиралось только на справедливость этих теорем для групп типов А3 и At X ^ь

Обсудим теперь еще один аспект связи между арифметикой полуторалинейных форм и когомологиями Галуа алгебраических групп над локальными и числовыми полями. Речь идет о проблеме эквивалентности форм одного и того же типа. Эта проблема естественно распадается на две проблемы: (1) классификация форм над локальными полями (включая поля R и

С); (2) обоснование возможности локально-глобального перехода, т. е. вывода из эквивалентности двух /(-форм fug над всеми пополнениями Ки их эквивалентности над полем К. В случае когда утверждение (2) имеет место, говорят, что для форм данного типа выполняется слабый принцип Хассе, в отличие от сильного принципа Хассе, заключающегося в локально-глобальной трактовке вопроса о представимости нуля (или другого элемента). Отметим, что сильный принцип Хассе, вообще говоря, не имеет прямой и универсальной когомологической интерпретации, о чем свидетельствует, в частности, когомологическое доказательство утверждения 3. С точки зрения теории алгебраических групп задача заключается в исследовании когомологическими методами принципа Хассе для однородных пространств алгебраических групп. К сожалению, на сегодняшний день эта задача еще не получила своего полного решения, хотя потребность в нем ощущается уже давно. Укажем только, что принцип Хассе для так называемых «симметрических пространств» исследован в работе Рапинчука [5].

В отличие от сильного принципа Хассе, слабый принцип имеет вполне четкую и практически очевидную трактовку: так как /(-формы того же типа, что и f, классифицируются элементами множества И1 (К, G), где G — соответствующая ортогональная (унитарная) группа (предложение 2.16), то вопрос о справедливости в данной ситуации локально-глобального- принципа равносилен вопросу об инъективности отображения нчк, С^'П.НЦК^ G).

В качестве примера конкретных вычислений (и результатов) рассмотрим случаи квадратичных форм и косоэрмитовых форм над телами кватернионов.

Пусть f—невырожденная /г-мерная квадратичная форма над числовым полем К. Тогда множество классов /(-эквивалентности невырожденных /г-мерных квадратичных форм над К находится в биективном соответствии с элементами множества нчк, On(f)), где Опт — соответствующая ортогональная группа. Так как группа On(f) не является связной, то к ней непосредственно не применимы полученные нами результаты. Для перехода к связной группе SOn(f) рассмотрим точную последовательность

det l^SO„(f)-^O„(f)—>ц2-*1,(3>

где det обозначает гомоморфизм взятия определителя, цг = = {+!}. Последовательности (3) отвечает точная когомологическая последовательность

опт-^^-нчк, som*+h4K, ОДП)нчк, Ц2).

Отображение det: Оп(/)->ц2, очевидно, сюръективно, и поэтому отображение <р имеет тривиальное ядро. Так как это верно для всех квадратичных форм, то, применяя стандартные соображения скручивания, получим, что <р инъективно. Далее, если отождествить № (К, jx2) с К*/^2, то читатель легко получит следующее описание ф: если £ е Нх (К, On(f)) — некоторый класс когомологий и [g]— отвечающий ему класс эквивалентности невырожденных /г-мерных квадратичных форм, то ф(^) совпадает с образом в группе К*/К*2 элемента d(g)/d(f), гДе d означает дискриминант. Таким образом, слой отображения ф состоит из классов форм с фиксированным дискриминантом. В частности, мы еще раз получаем, что элементы Нх (К, SOn(f)) классифицируют классы эквивалентности /г-мерных невырожденных форм, имеющих тот же дискриминант, что и f. Ясно, что если формы j и g эквивалентны над всеми КУ, то элемент d = d(g)/d(f) всюду локально является квадратом, а поэтому является квадратом и в К. Тем самым локально эквивалентные формы имеют одинаковый дискриминант. Когомологическая интерпретация этого факта получается из диаграммы

нчк, очт^->н'(к. ц2)ip

Пнчк„, ол^Енчк,, ц2)

Тогда 9 инъективно, так что из р (^) = р (£2) вытекает ф (^) = = Ф &), что и требовалось. Эти рассуждения показывают, что для обоснования слабого принципа Хассе нам достаточно исследовать на инъективность отображение р: НХ(К, G)-> —> П Н1 ^v, GY гДе G = SOn(jY В случае п = 2 группа G

является одномерным тором, причем G~Gm, если-; форма f изотропна над К (т.^е. —d^e,K*2\ и G ^ Кщк(6т), если форма f анизотропна над К (т. е. — d (f) ф К*2), где L = = К ^—d^)Y Поэтому из теоремы Хассе о нормах вытекает инъективность ц.

Пусть теперь /г ^ 3. Тогда группа G является полупростой, и ее фундаментальная группа F изоморфна ц2. Поэтому из замечания, сделанного после доказательства теоремы 22, вытекает, что отображение ц здесь также инъективно. Таким образом, для квадратичных форм выполняется слабый принцип Хассе. Поэтому чтобы завершить их классификацию, остается решить соответствующую локальную задачу. Будем рассматривать формы одного и того же дискриминанта d над полем Ки, классы эквивалентности которых отвечают элементам множества

НЦКу, G). Рассмотрим вначале случай "чп = 2. Тогда если —d г К*у, то G = Gm и Н1 (^Ки, G) = l, т. е. в данном случае все формы эквивалентны, скажем, формой (х, у^ = ху. Если же -d ^ с, то G = R^V (GJ, L = к (V^), так что Нх (К», G) = = KvJNl[ku(L*') имеет порядок 2. Представителями двух классов эквивалентности являются формы (^ = х2 -|- dy2, ^ = ах24- + ^у\ гДе «е/(.‘ "И символ Гильберта (а, —d)y равен —1. Таким образом, здесь полную систему инвариантов квадратичной формы f образуют ее дискриминант d (f) и так называемый инвариант Хассе—Витта е0 (f), который по определению равен символу Гильберта (а, ^)„, если f = ax2-\-by2 (заметим, что е(Д) = (1, d^=\, е (f2) = (о, -^ = (щ — d)v = — 1). Пусть теперь /г^З и ое^. Тогда из теоремы 20 вытекает, что имеет место’5(биекция НЧДи, G)^. в2(Ко, p2)- Если отождествить группу Н2(Ку, Ег) = Br (AJ2 с {+ 1}, то можно показать, что отображение 6и задается формулой 6„ ([g]) = е„ (J/8y (f), где еа (f), е„ (g) — инварианты Хассе — Витта форм f и g соответственно (напомним, что для h = axx2-\- ... + апх2п по определению полагают 8а (/г) = Ц (а;, а^у). При этом доказательство i<!

формулы для бу читатель может найти у Спрингера [1]. Получается, что и в случае п ^ 3 класс эквивалентности квадратичной формы f вполне характеризуется заданием дискриминанта d^ и инварианта 8y(f). Обратно, для любых значений de е K’.J К*^ и е = ±1, подчиняющихся единственному ограничению: е=1, если — d е К*у при /1 = 2, найдется /i-мерная квадратичная форма f над КУ, имеющая такие инварианты.

Остается дать интерпретацию для элементов множества //’(R, G). Ограничимся для простоты формами положительного дискриминанта, и тогда можно считать, что f = х2 -|- .. . + х^. В этом случае описание //’(R,G) нетрудно извлечь из теоремы 17. А именно, предположим для определенности, что п = = 2Z—четное число и возьмем в качестве максимального К-определенного тора TcG тор Т = SO2 (gj X • • • X SO2 (g,), где g. = х2._х + х2г Тогда множество Г2 элементов порядка 2 в Т можно отождествить с множеством D = {diag(ei, . . . ..., 8/)|ег = ±1}. При этом орбиты действия группы Вейля W=W(T,G>) на Г2 совпадают с орбитами естественного действия симметрической группы Sz на D. Тем самым класс эквива-

лентности в D/Si определяется числами г и s тех е;, которые соответственно равны +1 и —1 (ясно, что г + s = Z). С другой стороны, легко видеть, что форма, отвечающая классу с представителем diag(ei, ..., 8/), где в, = ... = ег = — 1, ег+1 = . . . . .. = 8Z = 1, имеет вид fr = —xf — ... — х^ + x2f+1 + ... + х=, и мы приходим к хорошо известной классификации вещественных форм при помощи сигнатуры.

Упражнение. Используя теорему 18, получить аналогичную интерпретацию для элементов множества Я1 (R, SOn(f)), где d(f) = -l.

Подводя итоги нашего обсуждения, можно констатировать, что класс эквивалентности /г-мерной квадратичной формы над числовым полем К характеризуется

дискриминантом (1ф,

инвариантами Хассе —Витта ер (f) для у е Ур

сигнатурами (r^, s.J для вещественных у е V^-

Отметим, что не все эти инварианты являются независимыми; в частности, из теоремы 1.12 вытекает, что ev(f) = 1 для почти всех у е У* и Ц ev (f) = 1 (произведение берется по всем у, включая архимедовы). Обратно, для любого набора инвариантов, подчиняющихся этим и некоторым другим простым условиям, найдется квадратичная форма с заданными инвариантами. Подробное изложение этой теории читатель сможет найти в книгах О’Миры [1] и Шарлау [1]; блестящим введением является глава 4 в книге Серра [8].

Перейдем к рассмотрению косоэрмитовых форм над телом кватернионов D. Пусть f—невырожденная косоэрмитова форма размерности п, G = SUn(f)—соответствующая специальная унитарная группа. Тогда G при п = 1 является одномерным тором вида Rl/д (Gm), где£сД— некоторое максимальное подполе, а при п ^ 2 G— полупростая группа, фундаментальная группа которой изоморфна ц2. В обоих случаях для G выполняется принцип Хассе. Отсюда следует, что в данной ситуации справедлив слабый принцип Хассе для собственной эквивалентности: две косоэрмитовы формы f и g собственно эквивалентны (т. е. переводятся друг в друга матрицей из 5ЛП(Я)) в том и только том случае, если это имеет место над всеми пополнениями Ку. Однако нас интересует обычная эквивалентность форм, и поэтому от когомологий группы SUnkf) надо перейти к когомологиям всей унитарной группы Un(f). Нам понадобится следующее известное утверждение (см. Кнезер [12]).

Лемма 21. Un(f) = SUn(f).

Рассмотрим точную последовательность\->SUn(f) —►

... Nrd

*">UnVI)>Н2~*1 и соответствующую ей точную когомологи-

ческую последовательность

и^п^^^нчк, зил^нчк, идт^нчк, ц2).

(4)

Из леммы 21 вытекает, что s(p2)=Ker(p состоит из двух элементов, в частности, <р никогда не бывает инъективным. Тем не менее, используя последовательность (4), можно получить полную классификацию косоэрмитовых форм над локальным полем К. А именно, поскольку G при л ^ 2 является полупростой группой с фундаментальной группой ц2, а при п = 1 — одномерным тором Rl/k(G^), где ЦК— квадратичное расширение, то здесь Я1 (К, SUn(f)) состоит из двух элементов, а следовательно, совпадает с Ker ф. Отсюда, применяя скручивание, получаем, что ф инъективно. Таким образом, над локальным полем класс эквивалентности косоэрмитовой формы однозначно определяется своим дискриминантом, причем дискриминант может принимать произвольные значения, если /г ^ 2, и значения, не принадлежащие —К , если п — I.

Покажем теперь, что слабый принцип Хассе для эквивалентности косоэрмитовых форм, вообще говоря, не выполняется, причем причина с когомологической точки зрения кроется в неинъ- ективности отображения НЧК> SUnif))-^ Нх (К, Un(f)). Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками

I>Н2^*НЦК, sun^^->H4K, ипу^

i-П^хП ш^иПя1^, sun^-^Цнчк0, ил»

где S = {и е VK | Da = D ® к Ко — тело}. Из этой диаграммы вытекает, что а2 (у"1 (Im PJ) с Кег у3, причем, очевидно, [а2 (у-1 (Im pj)] = ^ [УГ1 (Im PJ].

Лемма 22. [у”1 (Im PJ] ^ 2^', где /=[5ПХ^].

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму, индуцированную универсальным накрытием G-^G группы G = = sunm,

НЦК, G)>НЦК, G^—^НЧК, ц2)

|>1Т(5)

п нчКу, б^Цнчк0, с^зч нчКу, Ц2)

Так как отображение 8 в последовательности (4), написанной для поля Ку, v^S^Vf, является биекцией, мы видим, что достаточно установить равенство fv^V П G)X

X П {1}^ | 2*-1. Но ограничение 9 на множество H\Kv, G)

для иеl^ биективно отображает его на Н2 ^К„, Цг), поэтому учитывая сюръективность 6 (теорема 20) и теорему 6, при помощи скручивания получаем, что наша задача сводится к доказательству равенства

TV п нЧКу, Ц2)Х П {1})1 = 2'-’ \uesnv^ v^snr^

(детали рассуждений мы оставляем читателю). Но с учетом отождествлений №(К, р2) = Br(K)2, H2(Kv, цг)1 = Br (/Cv)2 последнее равенство вытекает из теоремы 1.12. Лемма доказана.

Таким образом, [Kery3] ^ 2;~-, и поэтому у3 инъективным, вообще говоря, не является. Несколько более точный подсчет (см. Кнезер [12], Бартельс [2]) показывает, что [Kerу3] = 2s-2, где s = [S]. Отметим, что несмотря на нарушение слабого принципа Хассе, локально-глобальная классификация косоэрмитовых форм возможна (см, Бартельс [2], Шарлау [1]). Заинтересованного читателя мы отсылаем к статьям Бартельса [1,2], содержащим подробное изложение когомологического подхода к классификации косоэрмитовых форм.

Основываясь на результатах по арифметике полуторалинейных форм, мы получим доказательство теоремы 5 о том, что простая односвязная анизотропная группа над локальным полем является группой типа SL^D'), и следующего ее аналога для вполне мнимых полей.

Теорема 25. Пусть G — простая анизотропная группа над вполне мнимым числовым полем К. Тогда G является группой, типа Ап.

(Разница между теоремами 5 и 25 заключается в том, что в локальной ситуации анизотропными могут быть лишь внутренние формы типа Ап, в то время как над вполне мнимым полем появляются и внешние анизотропные формы.)

Изотропность групп ТИПОВ Вп (ц^:2), Сп (п^2), X-2Dn (п ^ 4) вытекает из описания этих групп как связных компонент групп автоморфизмов квадратичных, эрмитовых либо косоэрмитовых форм (см. § 2.3), того факта, что изотропность группы равносильна изотропности соответствующей формы (см. предложение 2.15) и утверждений 1)—3). Отметим также, что в случае локального поля некоммутативные тела с инволюцией

второго рода отсутствуют, так что внешние формы типа 2Лл (л ^ 2) отвечают эрмитовым формам степени ^3 над квадратичным расширением LIK, которые в силу утверждения 2) являются изотропными.

Для исключительных групп доказательство теорем 5, 25 использует предложения 15 и 16, т. е. в конечном счете зависит от теорем 4, 6. С другой стороны, утверждение теорем 5, 25 будет использоваться при доказательстве теорем 4, 6. Поэтому мы, чтобы не пойти по порочному кругу, будем доказывать следующее условное утверждение, которое автоматически завершит доказательство теорем 5, 25 после доказательства теорем 4, 6.

Теорема 26. Пусть G — простая односвязная группа одного из исключительных типов, определенная над локальным либо вполне мнимым числовым полем К, Go — квазиразложимая группа того же внутреннего типа. Тогда если И1 (К, Go) = 1, то группа G является К-изотропной.

Доказательство. Если G относится к одному из типов Е8, F^, G2, то из условия НЦК, Go)= 1 вытекает /(-разложимость G (утверждение 1) предложения 16), и доказывать нечего.

Из оставшихся типов 3’6В4, 1>2Е6, Е7 группы типов 3’6/)4 и 2Е6 квазиразложимы над К, если поле К локально (предложение 15), поэтому здесь остается рассмотреть только типы ХЕ6 и Е7; над вполне мнимым числовым полем приходится рассматривать все типы.

Наиболее просто разбирается случай групп G типа Е7. Из предложения 16 вытекает, что группа G разложима над некоторым квадратичным расширением L/K. Далее применяется

Лемма 23. Пусть G — связная К-определенная группа, разложимая над квадратичным расширением L/K. Тогда существует максимальный К-определенный тор TcG, разложимый над L.

Действительно, G обладает подгруппой Бореля, определенной над L, и поэтому согласно лемме 17 существует такая /.-определенная подгруппа Бореля В <щ G, что Т = BQa(B) является максимальным /(-определенным тором в G, где a — образующая группы Галуа Gal(L/K). Остается заметить, что в силу разложимости G над полем L любой /.-определенный тор в В является /.-разложимым.

Предположим теперь, что группа G анизотропна над К и рассмотрим систему корней R = R(T, G), где Т— тор из леммы 23. В силу /(-анизотропности Т имеем X (Г)" ={0}, где а* обозначает действие а на группе характеров. Так как (a*)2=id, то отсюда следует, что а*% = —% для любого -^еХ^Ту В частности, a*a = —а для любого a е R, и поэтому корневая подгруппа Ga, порожденная одномерными унипотентными подгруппами Па и G-а (см. § 2.1, п. 10), определена над К. Более того,

для любого подмножества S системы простых корней П cz R группа Gs, порожденная Ga для ае S, определена над К. (Предыдущие рассуждения годятся для любой анизотропной группы, разложимой над квадратичным расширением, и не раз нам встретятся в дальнейшем.) Возьмем в качестве S подмножество, состоящее из двух соседних корней в диаграмме Дынкина. Тогда Я = G2 является /(-определенной подгруппой в G типа А2, разложимой над квадратичным расширением L/K. Поэтому из описания групп такого типа (см. § 2.3) вытекает, что Я не может быть не чем иным, как группой, изогенной специальной унитарной группе SUi^, где / — эрмитова форма над L/K. Но из утверждения 2 вытекает, что в случае локального или вполне мнимого числового поля такая форма является изотропной. Поэтому группа Я, и тем более группа G, изотропны над К.

Группы типов 3.6В4. Согласно утверждению 2) предложения 15 группа G, относящаяся к одному из этих типов, обладает подгруппой Бореля В cz G, определенной над некоторым квадратичным расширением L/K. Предположим, что G является /(-анизотропной. Тогда пересечение 7’ = ВПа(В), где а — образующая группы Gal(L/K), является /(-определенным максимальным тором в G, содержащимся в В. Рассмотрим систему корней R = R(T,G) и занумеруем простые корни следующим образом:

Из явного описания корней (см. табл. IV в книге Бурбаки [4]) вытекает, что р = «1 + а2 + “з + “4 является корнем. При этом корни а = а2 и р инвариантны относительно всех симметрий диаграммы (6), и поэтому определены над L. Тогда из /(-анизотропности G, как и выше, получаем, что а*а = —а, а*р = —р, так что группа Я, порожденная Ga и Gp, определена над К. Из описания корней вытекает, что Я является группой типа Л2, разложимой над расширением L/K. Поэтому рассуждения завершаются как и в предыдущем случае.

Группы типа ’Е6. Мы знаем, что Z(G)= цз, поэтому, рассуждая как и при доказательстве предложения 16, получим, что G разложима над некоторым циклическим расширением L/К степени три. Пусть а — образующая группы Gal(T/K). Здесь использованный выше прием, состоящий в рассмотрении /.-определенной борелевской подгруппы В cz G и пересечения В Q 0 а (В) f) а2 (В) всех ее сдвигов, уже не приводит к цели, ибо

последнее пересечение может оказаться тривиальным. Однако можно воспользоваться некоторой его модификацией, суть которой заключается в том, что вместо борелевских подгрупп используются параболические. А именно, рассмотрим систему корней R=R(T, G) относительно максимального /.-разложимого тора Т cz G и занумеруем простые корни следующим образом:

а, а3 а4 а5 а6

(7) az

Положим Р = Рд в обозначениях п. 12 § 2.1, где А ={«2, аз, а4, а5, а6}. Тогда Р является максимальной /.-определенной параболической подгруппой в G коразмерности 16 (dim G = 78, dim/5 =62), центральный тор редуктивной части Р одномерен, а полупростая часть является группой типа D=„ Положим Н = =/*П сг(/3)П о2(7*). Тогда из теорем о размерности вытекает, что codim Н ^ 3 • 16 = 48, т. е. dim Я ^78—48 = 30. Если предположить /(-анизотропной группу G, то Н является /(-определенной редуктивной подгруппой в G. Покажем, что ее полупростая часть D содержит простую компоненту не типа Ап. Тогда изотропность D будет следовать из того факта, что изотропность групп всех типов, отличных от Ап и Е&, уже установлена. Предположим противное, т. е. пусть D имеет тип Adx X • • • X Adn - Тогда di + ... + dn ^ 5 и di + ... + dn + m ^ 6, где tn — размерность центрального тора в Н. Кроме того, невозможен случай di = b, ибо D должно содержаться в группе типа /)5 (полупростой части Р^, а группа типа А5 вложением в Db не обладает (скажем, потому, что порядок групцы Вейля 1Е(А5), равный 6!, не делит порядок W^Ds^, равный 245!). При помощи элементарных оценок тогда получается, что dim^ = d? + ... + + dn + 2 (d, + ..•+ d^ + m ^ 28, что невозможно, ибо у нас dim Н 30.

Группы типа 2£6. Пусть L/K— то квадратичное расширение, над которым G становится внутренней формой. Тогда согласно уже доказанному, G является /.-изотропной. Утверждается, что на /.-индексе группы G хотя бы одна из концевых вершин a., (t = = 1, 2, 6) в диаграмме (7) является отмеченной. Действительно, в противном случае /.-анизотропное ядро G имеет простую компоненту типа Ль С другой стороны, анизотропное ядро должно разлагаться над расширением L степени 3 — противоречие. Тогда соответствующая параболическая подгруппа Р = Рд, где А = {а/[ j #= 0 определена над L и имеет коразмерность 16 для i = 1, 6 и 21 для i = 2. Если предположить /(-анизотропной

группу G, то Н = Р П сЦ/3), где а — образующая группы •Gal(L/K), является редуктивной /(-определенной подгруппой. В случае codim/5 =16 имеем codim Н ^ 32, т. е. dim Я ^ 78 — — 32 = 46, и, как и выше, легко убедиться, что все простые компоненты не могут иметь тип Ап, что и дает требуемое. Поэтому единственный случай, когда G априори может быть /(-анизотропной, — это случай, когда отмеченной является вершина а2 и полупростая часть D группы Н является группой типа А^. (Ясно, что при этом D совпадает с полупростой частью Р.) Далее, группа D должна разлагаться над расширением L третьей степени, откуда следует, что для L-индекса D имеется две возможности

® ® ® ® ® И _е-@-е—.

Тогда L-индекс G имеет соответственно вид

®®®—@© и

В первом случае G разложима над L, и доказательство ее /(-изотропности проводится, как и в случае групп типа Е7. Рассмотрим второй случай. Положим Р, = Р^1 где А'= {а,-1 / =/= =Л 2,4}. Тогда dim/y = 48, откуда для F = Р' П о(Р') получаем оценку dim/7^ 18. Так как F является редуктивной /(-группой, полупростая часть S которой должна вкладываться в группу типа Л2ХЛ2, то анализ размерностей показывает, что S имеет тип Л2Х^2, и, значит, совпадает с полупростой частью Р. Централизатор С = ZG(S) является полупростой /(-группой типа Л2, которая становится изотропной над L, ибо даже централизатор D L-изотропен. Отсюда следует, что С не может быть не чем иным, как группой типа SU3(f), где f — связанная с расширением L/К эрмитова форма. Так как группы такого вида /(-изотропны, то доказательство теоремы 26 завершено.

§ 6.7. Доказательство теорем 4 и 6: группы классических типов

Используя представимость полупростой односвязной /(-группы G в виде G = П Rl.ik (G,-), где Gt — простая односвязная ;=1 "

группа над конечным расширением Lt поля К, мы с помощью леммы Шапиро без труда получаем редукцию доказательства теорем 4, 6 к случаю простых групп.

В этом параграфе мы рассмотрим группы типов ^^Ai, Bi, Ct, 1-2D1. Структура параграфа следующая. Вначале рассматриваются группы типа М/. Оказывается, что здесь теорема 4 эквивалентна утверждению о сюръективности приведенной нормы в простой алгебре над локальным полем (см. п. 3 § 1.4), а теорема 6 — теореме Эйхлера о нормах. Далее, при помощи утверждений 1)—3) предыдущего параграфа доказательство теорем 4 и 6 для групп типов Bt, Cb ^Di, а также специальных унитарных групп SUn(f) эрмитовых форм над квадратичным расширением L/K, редуцируется к группам типов Bi = Ci = Ai и D2 = Ai X А,, которые уже рассмотрены. Таким образом, остается рассмотреть случай форм типа 2А;, связанных с некоммутативными телами с инволюцией второго рода (отметим, что над локальными полями, т. е. при доказательстве теоремы 4, этот случай встретиться не может). Рассуждения здесь опираются на сравнительно малоизвестную теорему Ландера, которая у нас приводится с доказательством. Отметим также, что при доказательстве теоремы 6 для групп всех типов мы проверяем лишь отсутствие ядра отображения

НЦК, G) ^ П H4KV, G),

ибо его сюръективность уже доказана (предложение 17).

Группы типа 'А;. Здесь G = ВЬпф), где D — конечномерная алгебра с делением над К. Тогда в силу леммы 2.9

Н1 (К, G) ~ Г/Ыгбщд (Л*) = r/Nrdm(D’),

где А = Мпфу Если К — локальное поле, то Nrdo/x (£>*) = К* (см. § 1.4, п. 3), и поэтому И1 (К, G) = 1, т. е. теорема 4 в этой ситуации доказана. Пусть теперь К — числовое поле. Тогда отображение

НЦК, G)-^ Ц НЦКу, G)

эквивалентно отображению

K’/Nrd^M’)^ П K'yjNrdA^U:),

где Ay = А ®к Ку, поэтому тривиальность Кег 6 равносильна равенству

Nrd^G4’) = Ц (ГПМгбл^Ш).(1)

Легко видеть, что при у е У^ группа Мгбл^дДЛи) совпадает с Ку, если Ло является полной матричной алгеброй над Ко (в частности, если Ку = С), и совпадает с множеством положительных элементов К*о в противном случае, т. е. если Ку = R

и Ау является полной матричной алгеброй над телом вещественных кватернионов. Поэтому равенство (1) следует из теоремы Эйхлера о нормах (см. теорему 1.13).

Группы типов Bi, Ct, xlDt. Так как для симплектической группы Sp2„ над любым полем К имеем Я1 (К, Sp2n) = 1 (см. предложение 2.7), то мы можем исключить симплектические группы из дальнейшего рассмотрения. Тогда оставшиеся группы, относящиеся к одному из указанных типов, являются универсальными накрывающими Gn специальных ортогональных групп SO„(/) (специальных унитарных групп Sl/n(f)), где f — невырожденная л-мерная квадратичная форма (соответственно эрмитова либо косоэрмитова форма над телом кватернионов 5). Одновременно будем рассматривать также специальные унитарные группы SUn^f), отвечающие эрмитовым формам, связанным с квадратичным расширением LjK, которые относятся к типу 2ЛП_!. Обозначим через W n-мерное векторное пространство над К (соответственно D или А), на котором определена форма f. Кроме того, будем обозначать через т0 целое число, которое было указано в списке классических групп (см. § 2.3, п. 4) для каждого типа. Его арифметический смысл вытекает из утверждений 1', 2, 3 предыдущего параграфа и состоит в том, что при п ^ т0 форма f автоматически представляет элемент оеЯ (соответственно, эрмитов либо косоэрмитов элемент аеО* или L*), если К — локальное поле, либо Я —числовое поле, и представимость имеет место над всеми Ку, и е кй. Отметим, что mo = 1 для кватернионных групп типа Сп, и в этом случае для соблюдения единообразия удобно считать группу типа Со единичной группой. Для остальных типов группы Gm„-i относятся к типам By=Ay и D2=AyX Ay, которые уже были разобраны.

Рассуждение будем вести индукцией по степени п формы /. Рассмотрим вначале случай локального поля К. Предположим, что л ^ т0, и покажем, что тривиальность НЦК, Gn) вытекает из тривиальности ЯЦК, G^-i). Зафиксируем анизотропный вектор х е W. Тогда его стабилизатор в Gn является группой типа Gn-i (см. предложение 2.21). Покажем, что отображение Я1 (Я, Сп-1) -^ Н1 kK, G^ сюръективно. Для этого заметим, что в силу теоремы Витта однородное пространство GnfGn-\ можно отождествить со «сферой» X=kye\V®KK\i (у) = = fkx)}. Пусть теперь геЯЧЯ, G). Тогда скрученное пространство ^(Gn/Gn_i) изоморфно «сфере» Y = kyeW0K ®к K\gky') = fkxH, где g = tf— соответствующая скрученная ■форма. Так как п 5? то, то YK N= 0, и поэтому cElmtp (см. лемму 2.6), что и требовалось.

. Перейдем к случаю числового поля К. Если К является чисто мнимым, то предыдущее рассуждение проходит без всяких

изменений и позволяет установить тривиальность НЦК, Gn)^ В общем случае приходится дополнительно использовать один результат о слабой аппроксимации, который мы докажем в § 7.1. А именно, пусть xeW—анизотропный вектор и Х = {уе е W ®к R\ f(y) = f(x)}—соответствующая «сфера»; тогда X обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного множества S cz Vх, т. е. вложение Хк -> Xs= Ц Хк является

плотным. Мы используем этот факт в следующем контексте. Так как X является однородным пространством группы G^, то для любого и ge Vх и любого ху е Хк орбита (GJ^ ху открыта в. Хк (следствие 2 из предложения 3.3), и поэтому найдется х е Хк со свойством х g (СД^ Ху для всех и G S. Другими словами, отображение (Gn)K\XK->- Ц ^G^K \ХК ) соответствующих пространств орбит сюръективно. Рассмотрим теперь «точную последовательность» 1 —► Gn-1 —► Gn -"v х —>- 1, где a(g) = gx, из которой получается следующая коммутативная диаграмма:

(G„)K\XK^-> № (К, G^)^> Я1 (К, G^

[a,la2la,

\ XK п нцк„, G^)^ п нцкУ, Gn>

Пусть теперь |EKera3. Как и в локальном случае, скрученное пространство ^(GJGn_i) может быть отождествлено со «сферой» Y = {у е W ® к К |g (у) = f (х)}, где g = ^ — скрученная форма. Поскольку £еКега3, то над каждым полем Ки. v е Ум формы / и g эквивалентны, в частности, уравнение g(g) = f(x) имеет решение, т. е. УКу=^0- Но по условию п^то, и поэтому Yk=Y=2j. Это означает, что ^ = 0г(9 Для подходящего £ е Нх ^К, Gn_xY По условию коцикл у2(«2(9) = = а3 (02 (£)) = Оз (£) тривиален, так что из точности нижней строки в (2) получаем a9(£) = y.(z), ze Ц VG^k \^к • Но-

выше мы установили, что ai сюръективно, и, значит, z = «Да), a g (Gn)x \ХК. Тогда из коммутативности (2) вытекает, что» a2(^)= a2(Pi (а)), и поэтому £ = 01 (я), ибо по предположению индукции а2 инъективно. (Индуктивное предположение состоит в том, что а2 имеет тривиальное ядро для всех групп фиксированного типа данной степени и—1, что в силу соображений.

скручивания эквивалентно инъективности а2 для того же класса групп.) Окончательно получаем, что коцикл ^ = р2(^) = = р2(Р1(ц)) тривиален.

Группы типа ^Аь Случай специальных унитарных групп, связанных с квадратичным расширением L/K, был рассмотрен вместе с группами типов Ви Di, поэтому теперь обратимся к специальным унитарным группам G = SUn(f) эрмитовых форм f над (некоммутативным) телом D с инволюцией а второго рода, центр L которого является квадратичным расширением основного поля К (в частности, всюду ниже К — числовое поле). Рассуждения здесь являются весьма длинными и сложными, причем их можно разбить на два основных этапа: 1) доказательство принципа Хассе для соответствующей унитарной группы Н — Un(f); 2) вывод принципа Хассе для G из принципа Хассе для Н. В предварительной части доказательства мы проведем редукцию этих утверждений к некоторым свойствам алгебр с инволюциями, а затем докажем эти свойства.

Рассмотрим алгебру А= Mn^D^ и определим ее инволюцию т, полагая т( (х,,)) = F(e(xji))Я-1, где F— матрица формы f. Обозначим через В группу GLn(D) и через S — множество симметрических относительно т элементов В. Тогда отображение <р: В^, Ф (х) = хт (х) сюръективно, имеет своим ядром группу Я и поэтому позволяет отождествить S с однородным пространством В/Н. Точная последовательность 1 —► Н —► В -^* S-> -► 1 порождает следующую диаграмму:

А*> ^к —^ Я1 (Я, Я) ——Я1 (Я, В) = 1

ja' j“=|“3)“<(3)

П (А®ккоу^ Л V П нчк„,н^ п НЧК„,В)=\ -jel^,ЕуКueV^ueVK

Пусть ^еКегссз. Так как Я*(Я, В)=1, то ^ = ₽2(х), хе е2л. По условию коцикл у2(а2(х)) = а3(^) тривиален, что в силу точности нижней строки в (3) означает, что а2(х)е elmyi. С другой стороны, утверждение о тривиальности £ равносильно тому, что xelmPi. Таким образом, принцип Хассе для унитарной группы Я эквивалентен следующей теореме.

Теорема 27 (Ландер [1]). Пусть у е А* — симметрический .элемент. Предположим, что уравнение у = хх(х) имеет решение х,еЛ®кК, для всех и е Ук. Тогда оно имеет решение х е А*..

Далее, предположим, что принцип Хассе для Я уже доказан. Положим X = R/'/x (Gm). Приведенная норма Nrd4/L индуцирует точную последовательность 1->0->Я->5->1, из которой

получается диаграмма:

НкSK—* И1 (К, G) Нх (К, Н)

i 6,К|бз[б4

П нКу^ п sKu^> п нцке, с)^ п нцке, Я) „eV^uevKuevKvevK

Опять, если | е Ксг 63, то из инъективности 64 вытекает, что ^ = 02(х), xeSK, причем из коммутативности (4) получаем, что 62(x)elmpi. Для доказательства тривиальности £ нам надо показать, что xelmOi. Таким образом, доказательство завершает следующий унитарный вариант теоремы Эйхлера.

Теорема 28. Пусть у е L* и Я£/к(//)=1. Предположим, что уравнение Nrdx/L(x) = у для всех ueVK имеет решение хт е е А <8 к КL, такое, что xvx (xD) = 1. Тогда оно имеет решение х е А* такое, что хх (х) = 1.

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству теорем 27 и 28. Доказательство теоремы 27 начнем с редукции к случаю Nrdx/L (у) = 1. Имеем а = Nrdx/L (у) е С = К, причем для любого и е VK, полагая ty = Nrdx ®кки]Е ®кки UO, получим, что а = tyx<t^ =г NL ®кку]кДЦ ^кКЦУ Так как для ЦК выполняется принцип Хассе, то ае N икМЦ, т. е. a = tx^ для подходящего teK. Покажем, что выбор / можно осуществить, таким образом, чтобы / е Nrdx/L (Л*). Для этого в силу теоремы Эйхлера надо цобиться, чтобы t е Nrd.4 ®L lw; lw ((Л ®г.ЕД*) для ay е Е^. Эквивалентная формулировка: I еи„ = = NrdA®KKoiL®KKy^A ^кКуУ') для иеИ5. Имеем а = /т (Z) = = /„т(/0), где /t,eNгdл®ккt,/L ®к к.. Ц^ г Uv. Тогда 2„ = ЩХ г5Ку, где S=R2^(Gm), и поэтому по слабой аппроксимационной теореме для тора S найдется 2 е SK f| И г^к„ П U Ц Полагая t' = tz-x, получим а = /т (/) = t'x (/') и t'^Uv для всех и е и£, что и требовалось. Итак, пусть / = Игбл/а(6), 6бЛ'. Тогда для у' = b~ vyx (д~ 1) будем иметь Nrda/a (у') = = Nrda/a (b~lyx (b-1)) = t~'ax (Д1) = 1. Если предположить, что- у' = хх (х) для х g А*, то у = txx (х) х (/) = (/х) х (tx), и требуемая редукция получена.

Идея дальнейших рассуждений заключается в том, чтобы искать решение уравнения у = хх(х) не в Л, а в поле Т(у). Тогда задача сводится к тому, чтобы установить принадлежность у норменной группе Пцу^ж^ЦЦУУ Но ЕЦЦКЦ) имеет' степень 2, и поэтому удовлетворяет норменному принципу Хассе, так что достаточно установить, что у является нормой по

всем пополнениям w е V^. Последнее, как легко видеть, эквивалентно тому, что у е Пь{У)^кКу1К(у)®кКу(Ь(у)®кКу) для всех и е VF. Чтобы реализовать эту схему, нам придется перейти от элемента у к элементу у' вида y' = tyx(t), te eSLx(A), что допустимо, ибо элементы у и у' одновременно представимы или не представимы в виде хт(х), хе А*.

Лемма 24. Пусть у eSLx (Л) — симметрический элемент. Тогда если уравнение у = хт(х) имеет решение ху е А ®к Ку, где и е У^, то оно имеет также решение zv е SLX(A ®кКу).

Доказательство. Достаточно найти такой элемент tye А <8>кКо что /т = 1 и Nrd.m „ m „ (L) = Nrd . _ „ „ _

Для этого рассмотрим отдельно два случая, когда соответственно L ®к Ку ^ Ко ф Ку и L <8>к Ку — поле. В первом случае А ® к Ку ^ Д ф А2 — прямая сумма двух простых алгебр, между которыми существует антиизоморфизм ф: Ах -> Л2, причем можно считать, что /Су-линейное продолжение т задается формулой т ((а, Ь)) = (ф-1(Ь), ф(а)). Отсюда следует, что элементы /о г е А ®к Ку, удовлетворяющие соотношению /dt(/d)=1, имеют вид ty = (а, ф(а)-1), а е А‘, а значения приведенной нормы на таких элементах в силу п. 3 § 1.4 заполняют все множество X = {(s, s-1) | s е К*^, Остается заметить, что в силу условий у eSLx(A), у = хот(хо) приведенная норма Nrdx ®кКу]ь ®кКу (ху) попадает в X. Во втором случае Aw = А ® к Ку является полной матричной алгеброй над полем LW = L®KKV, и можно выбрать изоморфизм Aw ^ Мп (L^ таким образом, что инволюция т запишется в виде т ((х(/)) = ат ((x/z)) а-1, где а = = diag(a1, ..., а^, ateKy. Тогда в качестве /о можно взять матрицу вида diag(d, 1, ..., 1), где d = Nrdx^/L^ (xD)“‘. Заметим, что в силу у е SLX (Л) и у = х„т (Ху) имеем dx (d) = 1, откуда /уТ(/у)=1. Лемма 24 доказана.

Завершим доказательство теоремы 27. Зафиксируем в алгебре А некоторый т-инвариантный порядок с тем, чтобы можно было корректно говорить о целых точках. Обозначим через So конечное подмножество VK, содержащее все архимедовы нормирования, а также те неархимедовы, относительно которых либо элемент у не является единицей, либо расширение L/K разветвлено. Для каждого и е So зафиксируем решение zy е е SLX(A ®к Ку) уравнения у = хт(х). Утверждается, что существуют такие открытые подмножества Wy е SLX(A ®к Ку), что для ty е Wy элемент 1эут(1у) является квадратом в Ку \1Уут(1у) ]. Действительно, рассмотрим алгебраическую группу F = = SLX(A ®к К) (отметим, что в действительности F = = Rl/k(SLi (Л))) и обозначим через Ф множество т-симметри- ческих элементов в F. Ясно, что Ф содержит полупростые регулярные в F элементы, и поэтому множество Фо последних

является непустым открытым подмножеством. Так как отображение F—> Ф, ф(/) = /<т(/), очевидно, сюрективно, то отсюда следует, что Fo ={/ е F\ tyx^ е Фо} является непустым открытым по Зарисскому подмножеством в F. С другой стороны, из предложения 3.3 вытекает, что отображение ФКу —* Фду, Р'—*Р2 является открытым, в частности, существует окрестность единицы Uy с Фку, содержащаяся в Фду. Покажем, что множества ^У = = Fo П (ф-1 (Uy^ z^1) являются искомыми (непустота Wy вытекает из леммы 3.2). По построению для ty е Wy имеем у' = tvyx(tv) е е i/иПФо- Таким образом, у' = s2 для некоторого s е Ф^ и алгебра ^L®KKy^ [у'} является максимальной полупростой коммутативной подалгеброй в А®кКу. Отсюда следует, что se е (L ®к Ку) \у'\, и так как t(s) = s, то в действительности se е Ку [у'], что и требовалось.

Пользуясь теоремой плотности Чеботарева, выберем такое нормирование u0^S0, чтобы L ®кКу, Ку © Ку» и, сверх того, алгебра А® к Ку» являлась бы прямой суммой двух матричных алгебр над Ку». Тогда группа РкУо некомпактна, и поэтому к группе F и множеству {ио} применима сильная аппроксимационная теорема 7.13. (Отметим, что доказательство теоремы 7.13, данное Платоновым [4] и приводимое нами в § 7.4, не использует никаких результатов о когомологиях над числовыми полями.) Из нее вытекает существование такого элемента teF, что t е Wy для у е So и / е F^ для и ^ So U {уо} • Покажем, что элемент / является искомым, т. е. для у' = tyx)t) и всех и eVK выполняется условие

у' ^Кцу')^кКу/к(у''1®кКу{Ь(у') ®кКу), (5)

что, как мы видели выше, позволяет завершить доказательство теоремы 27. Если и е So, то по построению у' является квадратом в К)у')®к Ку, и условие (5) очевидно. Для разбора остальных случаев заметим, что Ь(у')®кКу является «композитом» L и К^у'^к Ку. Отсюда следует, что условие (5) заведомо выполняется, если L ®к Ку Ку® Ку, в частности, для у = Уо- Пусть теперь u^SoU{yo}- Тогда, с одной стороны, «расширение» L (у') ®к Ку/К^у') ®к Ку является неразветвленным в очевидном смысле, с другой — элемент у' является и-адиче- ской единицей, и условие (5) снова выполняется. Теорема 27 доказана.

Замечание. Проверка условий теоремы Ландера заметно упрощается, если воспользоваться следующим наблюдением: при и е Vf симметрический элемент у представим в виде у = хух)ху), где Ху е A ®kKv, в том и только том случае, если Ыг<1а/а(у) е gNl ®кКу]Ку ((Т0кЛД*)- Для доказательства достаточности пред-

положим,Цчто Nrd4/L(y) = Nl 9Kkv/kv(z), zeL®KKy. Найдем элемент t е А ^кКг, такой,-что Nrd^jyz. ®кКу (t) = z^n рассмотрим элемент у' = Г!ут №• Достаточно показать, что у' представим в виде у' = хтт^х^, х..еА®кК:. Но это вытекает из уже доказанного результата о том, что НЧК„, G)=l, где G = SUn (f) — специальная унитарная группа. В самом деле, введенное выше отображение ф: F —>Ф индуцирует точную последовательность 1 —> G —> F ~Р> Ф —> 1 и соответствующую когомологическую последовательность

Рк^^к^НЧК», G\

Так как НЧКи, G)=l, то Ф (F^) = Фки, что и требовалось.

Доказательство теоремы 28 представляет собой унитарный вариант доказательства теоремы Эйхлера, приведенного в книге Вейля [7]. А именно, строится неприводимый над L полином Д/) = tn -j- an—xt^^ + ... + ао, степень которого равна степени алгебры А (корню квадратному из dimLA), а0 = (—l)"y, со следующим свойством: расширение Р = Цуе), где х— корень /, вкладывается в А таким образом, что хт(х) = 1. В этом случае №йд/£ (х) = у, и элемент х—искомый. Читатель легко покажет самостоятельно, что без ограничения общности можно считать локальные решения х- уравнения Nrd.4/L (х) = у полупростыми регулярными элементами в группе Rl/x (GLx (А)). Искомый полином /(/) мы построим, беря достаточно близкую аппроксимацию характеристических полиномов /Д/) элементов х0 относительно некоторого конечного множества нормирований S. Чтобы придать словам «достаточно близкий» точный смысл, нам понадобятся некоторые предварительные рассуждения.

Пусть %: An->An— регулярное отображение, которое х = = (xi, ..., хп) ставит в соответствие упорядоченную совокупность коэффициентов полинома / (х, /) = Ц (/ — хг) (которые i=i

с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими функциями ОТ Хь ..., хп) •

Лемма 25. Если все координаты точки х = (х\, ..., хп) различны, то дифференциал dx^ является линейным, изоморфизмом.

Доказательство. Достаточно показать, что dx% инъективно. Пусть dx^^Xx, ..., Хп) = 0. На языке двойных чисел это означает, что

П У — 4i + 6Хг)) = п (I — Xi), где 62 = 0.

Полагая в этом равенстве t = xb получим dXz Ц ^xt — x^— j ¥= i

— 6Х,) = 0, откуда в силу условия xj #= х, при i ф j вытекает, что Xi = 0. Лемма доказана.

Зафиксируем теперь ие VK и рассмотрим Ку-многообразие W = ((А ®kKv) [ху]) <8>КуКи вместе с регулярным отображением %: W-> В = (L ®к К^п, которое сопоставляет элементу коэффициенты соответствующего характеристического полинома. Из леммы 25 вытекает, что в регулярной точке z е W дифференциал dzX является линейным изоморфизмом, что в силу предложения 3.3 влечет открытость отображения %У: (Л 8д Ку) [Ху]—>- -+(L ®к К^и в любой регулярной точке. На этом пути легко получить другое доказательство леммы Краснера (см. § 6.4). Для наших целей понадобится ее унитарный вариант. Обозначим через X подмногообразие в IE, состоящее из унитарных относительно т элементов, а через Y—подмногообразие в В, состоящее из наборов (а0, • ., Щ-:), удовлетворяющих условиям

т(а0)а0 = 1, аот (щ) = ап_{, 1 = 1, .... п— 1.(6)

Если характеристический полином элемента х имеет вид /(/) = = tn + an_dn~l + ... + Цо, то характеристические полиномы элементов х1 и т(х) имеют соответственно вид tn + ara^tn~l + + . . . + Яо"1 и tn + т lan-\l tn~l + • • • + т IoqY Отсюда следует, что % индуцирует морфизм %*: X-*Y, причем легко подсчитать, что размерности многообразий X и У равны п. Ясно, что X является (мультипликативной) алгебраической группой, в частности, гладким многообразием. Непосредственная проверка позволяет также установить гладкость Y. Далее, для z е X дифференциал dz^ является ограничением dz% на касательное пространство ТгХ, поэтому является линейным изоморфизмом на ТХ»(2)У. Применяя предложение 3.3, получим, что отображение X*: Х„ -+ У является открытым в любой регулярной точке. В частности, найдется такая окрестность Ua с YK точки аи = %* (хр), что для любого ае ии найдется регулярный элемент х е Хку, для которого %’(х) = а. Это утверждение можно переформулировать на языке характеристических полиномов в духе классической леммы Краснера. Пусть характеристический полином элемента х„ имеет вид fo (/) = f + an-itn-Y + . . . + ао. Тогда если полином /(/) = tn + an_dn~l + ••• + «о достаточно близок к полиному /у в том смысле, что отвечающая ему точка а = (а0, ■Qn-\1 лежит в построенной окрестности Uy точки

#у = (а^ •••> an-i)> причем удовлетворяются условия (6), то существует такой корень х е (L ®к К^ [х„] полинома f, что (L ®kKv) [х] = (Л ®к К^ [ха] и хт(х) = 1..

Осуществим теперь выбор конечного множества 3, относительно которого будет вестись аппроксимация полиномов fv

Лемма 26. Существует такое конечное подмножество So с VK, содержащее Уй, что для v ^ So любая коммутативная полупро- стая алгебра Bv размерности п над L ®кК«, снабженная инволюцией, ограничение которой на L совпадает с т, допускает вложение в А ®кК-и как алгебра с инволюцией.

Доказательство. Известно (теорема 7), что для почти всех v е lzf группа G = SUn (f) = SU (А, т) является Ау-квазиразло- жимой. А тогда, как следует из предложения 19 и последующих рассуждений, любая алгебра с инволюцией степени п над L®kK-j вкладывается в (А ®к Кв, т). Поэтому в качестве So можно взять объединение V1^ со множеством тех неархимедовых и, для которых группа G не является Аэ-квазиразложи- мой. Лемма доказана.

Выберем еще два нормирования щ, и2 е V^XSo, обладающие следующими свойствами: L <8>кКИ является полем для 1= 1, 2, причем расширение L®KKvJKex неразветвлено. Обозначим через Вух алгебру L<g)KE, где Е — неразветвленное расширение КУх ‘степени п, снабженную инволюцией оь которая определяется условиями: <TiL = t|l, <Ti|E = id. Рассмотрим, далее, алгебру Ву2 = (L ® к КОгУ, снабдив ее инволюцией <т2, которая на каждом слагаемом индуцируется т. Покажем, что существуют элементы xt е Bv. (г=1, 2) со следующими свойствами: мву.1Е®ккуДх^ = у, BVl = (L ®кКУ1) [Xi] и щ(х;)х; = 1. Это очевидно для г = 2, поэтому разберем случай /=1. Пользуясь теоремой 90 Гильберта, представим i в виде y = T(z)z-i, где в силу неразветвленности Е^кКУх над КУх элемент ze е (L ®к Кеу можно без ограничения общности считать щ- адической единицей. Так как расширение EjKVx неразветвлено, то можно найти элемент / е Bvx такой, что Nbv/l®kkv ^ = z. Тогда элемент s = щ(Г) будет удовлетворять свойствам КByjL ®kko(s) = у и <Ti(s)s=l. Для получения xV1 остается «подправить» s на унитарный элемент с нормой 1 с тем, чтобы получился регулярный элемент. Поскольку щ ^ So, то существуют вложения алгебр В„. в А <£>к КУ[ как алгебр с инволюциями, так что в дальнейшем мы можем считать Ву. подалгебрами в A ®KKyi.

Теперь уже легко завершить построение искомого полинома /. Положим S=SoU{yi,V2} и для каждого ueS рассмотрим соответствующий элемент хе, причем считаем, что для и = щ элемент хУ совпадает с построенным выше элементом Xi, и пусть Г (0 = + a^-i/n-1 + ... + ао — его характеристический полином. Тогда для его коэффициентов выполняются условия (6), и,

сверх того, ag = (—\Уу. Полагая а0 = (—\Уу в (6), мы получим для остальных коэффициентов систему линейных уравнений с коэффициентами из К. Поэтому, используя слабую аппроксимацию для поля К, можно найти набор (а®, ..., ап-^е L\ удовлетворяющий (6), такой, что а®=(—^пУ, и достаточно близкий к (ag, ..., a^J по всем ceS в указанном смысле. Рассмотрим L-алгебру Р = L [/]/(/(/)), где f(f)=tn + + an-itn-1 + ... + а®, обозначим через х образ / в Р и определим инволюцию о алгебры Р условиями: ограничение <t|l совпадает с т и <т(х) = х-1 (в силу условий (6) такая инволюция существует). Нам остается установить существование £-вложе- ния 0: Р-*А как алгебр с инволюциями, ибо тогда элемент 0(х) является искомым.

Для этого заметим, что из наших построений вытекает, во- первых, существование вложений 0В: Р ®к Ку А ®к Ку как алгебр с инволюциями для всех и е VK, и, во-вторых, существование вложения е: Р-*А как алгебр без инволюций. Действительно, существование 0V для и ^ S® вытекает из леммы 26. Чтобы установить существование 0В для v е S®, достаточно найти такой элемент х' е А ®кКс, что f(^) = 0, алгебра (L 0^^) [х'] имеет размерность п над L <8)KKV и т(х')х' = 1. Но по построению такой элемент можно указать уже в ^Е^кКу^ [хо]. Используя критерий вложимости поля в простую алгебру в качестве максимального подполя (см. § 1.5, п. 1), легко показать, что существование е вытекает из существования 0„, если установить, что Р является полем. Рассмотрим ^алгебру неподвижных точек F = Ра. Тогда по построению бу,

Р <8>кКу>^ (L фкКу^хЛ —L <8>к Е, откуда следует, что F ®к <8> кКух ^ Е является неразветвленным расширением поля Кух степени «; в частности, F — поле. Вложим поле F в алгебраическое замыкание К поля К и покажем, что для его нормального замыкания М имеем АГП£ = ^ Для этого используем нормирование иг- По построению Р <8>кКу2 = (F ®rL) <8>кКу2 = = (F ФкКу) ^к^Е^)КК^~<Ь^К^а, откуда F <8>кК"2, и, значит, МсКу» в то время как [L ®кКу2: ^J — 2. В частности, Р = F ®к L = FL является полем.

Посредством е отождествим Р с подалгеброй в Л и продолжим инволюцию о до инволюции всей алгебры А, причем продолжение будем обозначать той же буквой. Тогда существует такой симметрический элемент !еА*, что <т(г)=/т(г)/-1 для всех zeA (см. лемму 2.10). По теореме Сколема—Нётер любое другое вложение Р в А имеет вид xi—>s-1xs, se А*, и наша задача сводится к осуществлению выбора элемента s таким образом, чтобы получающееся вложение было согласовано с инволюциями, т. е. sa(z)s-1 = x(szs~>) для всех геР. Простое

вычисление показывает, что последнее условие эквивалентно включению st(s)/-1 е Z.4 (Р) = Р. Таким образом, нам надо найти элемент Ь^Р, для которого уравнение sx(s) = bt имеет решение 5еЛ*. Для этого, согласно теореме Ландера, достаточно выбрать b е Р* таким образом, чтобы существовали локальные решения sa е (Л ®к Ку)*. При этом, как мы отметили после доказательства теоремы Ландера, для оеУ/ условие разрешимости уравнения st(s) = 6/ в А®кКу (в предположении, что т (£/)=£/) можно записать в виде Nrd^/L (W) е е Nl ®к к^к,. ((L ®кКуУ). Итак, осталось найти такой b е Р, чтобы выполнялись условия

Nrd^/z. (W) е Nl/k (L‘YNrd^/z. (W) е Nl/k (L‘Y(7)(7)

Nrd^/z. (W) е Nl/k (L‘Y

Nrd^/z. (W) е Nl/k (L‘Y

(7)

(7)

(8)(8)т (W) = bt,

(8)

(8)

и, сверх того, уравнение st(s) = bt было разрешимо в Л ®кКу для и е у£. Условие (8) эквивалентно тому, что <т(6) = Ь, т. е. b е F. Тогда (7) перепишется в виде

г = Nrdx/r. (/) е Nf/k (b) 1Nl/k(F*)- (9)

При этом из существования 0„ вытекает, что соответствующая задача разрешима всюду локально, т. е. для любого и е Vk существует by е (F ®к Ку)*, для которого уравнение ST(s) = byt имеет решение Sy е(А ®к Ку)• В частности,

г е NF®KKyiKy № ®к КуУ) Nl ^Ку/Ку № ®к Ку)*). (Ю)

Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что для пары полей F, L имеет место мультинор менный принцип Хассе, ибо выполняются условия предложения 11 (тот факт, что нормальное замыкание F пересекается с L по К, был установлен выше; а справедливость норменного принципа для L/К вытекает из теоремы Хассе). Поэтому из (10) вытекает, что

r = NF(K^borV Ndk^Io) (11)

для подходящих boeF‘, loeL*. Для завершения рассуждений остается построить такие элементы beF, IeL, что опять г ~ Nf/k (b) Nl/k (0 и уравнение st (s) = bt разрешимо в (Л ®к^уУ для и е У^. Для каждого v е VK множество Фо элементов вида st (s), s е (Л <8>к Ку)* открыто во множестве SD симметрических элементов. Поэтому если уравнение sx(s) = byt разрешимо, то разрешимо и любое уравнение sx(s) = bt, где beF^KK, достаточно близко к Ь. Ясно также, что г = ^®кКу]Ку (b0) Nl 8Кку;Ку(1у) для подходящего IeL &кКу. Таким образом, достаточно доказать следующее утверждение:

Лемма 27. Множество X = {(6, V)\=F*XL*\r^N fik^ YNl(k^ плотно в и Х„, где Xv = ^by, lv) е (F <&к К„У X (£ ®к К»ГI г=

= N F <g>KKv]Kv(bv) • Миз^Ку/к^Цу

Доказательство. Утверждение леммы означает, что для многообразия C=Vb,r)eRF/K(Gm)X RL/K(Gm) \ r=NF/K(b-l)NL/K(l)}

выполняется слабая аппроксимация относительно множества S = У£. Имеем с = (60, /о)е Ск (см. (И)) и С = сТ, где Т — подтор в RF/K(Gm)X Кь/к(6т), задаваемый уравнением Хр/к(Ь) = Nl/kW- При этом плотность Ск в Cs эквивалентна плотности Тк в Ts, т. е. слабой аппроксимации для Т. Однако в случае S=V™ последнее свойство имеет место для любого тора (см. предложение 7.8). Доказательство леммы 27, а вместе с тем и теоремы 28 завершено.

Упражнения. 1) Отбрасывая в приведенном доказательстве рассуждения, связанные со спецификой унитарной ситуации, получить доказательство теоремы Эйхлера о нормах.

2) Получить эрмитов аналог теоремы 28. Более точно, показать, что для уеК* уравнение Nrd4/L(x) = у имеет решение х е А* такое, что т(х) = х, если для любого и е VK оно имеет решение х^ е А ®к К^ такое, что т(хс) = хв.

§ 6.8. Доказательство теорем 4 и 6: группы исключительных типов

В настоящем параграфе мы завершим доказательство теорем 4 и 6, рассмотрев группы типов 3'6D4, ‘^fe, Ei, Е8, Ft и G2. Всюду через G обозначается простая односвязная Я-группа, относящаяся к одному из указанных типов, а через Go—квази- разложимая ^группа того же внутреннего типа, что и G.

Вначале разберем наиболее простой случай групп типа G2 и дадим редукцию случая групп типа F4 к группам типа Д4.

Группы типа С2. Покажем вначале, что если К — локальное либо чисто мнимое числовое поле, то Я'(Я, Go) = 1. Пусть |е е Я1 (К, Go). Тогда согласно предложению 19 найдется такой Я-определенный максимальный тор Т с Go, что £ лежит в образе отображения Нх (К, Т) —Н1 (К, Go). Покажем, что последнее отображение на самом деле тривиально. Обозначим через R=R(T,G) соответствующую систему корней, и пусть Ro с R подмножество, состоящее из длинных корней. Из описания системы корней типа G2 (таблица IX в книге Бурбаки [4], гл. IV—VI) вытекает, что Ro образует замкнутую подсистему корней в R типа Л2. Отсюда следует, что подгруппа Н с Go, порожденная корневыми группами Ga для а е Ro, является простой группой типа Л2. Далее, система RQ, очевидно, инвариантна при всех автоморфизмах системы R, поэтому автоморфизмы

<reGal(K/^ переставляют группы Ga, a е Ro, между собой, и таким образом группа Н определена над К. Наконец, несложное вычисление с корнями, которое мы опускаем, позволяет установить, что для Н выполняются условия критерия односвязности (см. теорему 2.6), так что Н односвязна. Из справедливости теорем 4 и 6 для групп классических типов (см. предыдущий параграф) тогда вытекает, что НЦК, Я)=1. Но ср, очевидно, раскладывается в композицию Я1 )К, Т)-*- И1 (К, Н)—^ -*HX(K, Go), и поэтому ср тривиально. Итак, HV(K, Go) = 1. Поскольку группа Go является одновременно односвязной и присоединенной, последнее означает, что Go является единственной /(-формой типа G2, т. е. любая /(-группа этого типа разложима над К. Поэтому на самом деле И1 (К, G)~ 1 для любой Я-груп- пы G типа G2.

Нам остается показать, что для любого не вполне мнимого числового поля К отображение НХ(К, G)-^- П НХ^КУ, G)

имеет тривиальное ядро. Эта часть рассуждений в той или иной степени повторяется для групп всех типов, кроме Ео, и основывается на следующей лемме, которую мы докажем в самой общей ситуации.

НХ)КУ, G)\,to и коцикл V<=Z4L/K, Т)НХ)КУ, G)\,to и коцикл V<=Z4L/K, Т)Лемма 28. Пусть G— полупростая алгебраическая группа, определенная над произвольным полем К. Предположим, что G обладает подгруппой Бореля В, определенной над квадратичным расширением L/K, причем Т = В ()о)В)— максимальный К-тор в G (<т — образуюшдя группы йаЦЕ/К)). Тогда любой коцикл ^eZHL/K, G) эквивалентен коциклу VeZHL/K, Т). При этом если поле К — числовое и |е Zx )L/К, G) представляет элемент из Кег (Нх (К, G) > П

НХ)КУ, G)\,to и коцикл V<=Z4L/K, Т)

НХ)КУ, G)\,to и коцикл V<=Z4L/K, Т)

представляет элемент из KerfH1^, Т) Ц HX(KV, Т)\. I )

Доказательство. Коцикл £ задается элементом аа е GL таким, что aao(ao)= 1. Обозначим через Н группу Ri^G). Автоморфизм о индуцирует /(-определенный автоморфизм группы Н ~ Rljk^G), который мы будем обозначать той же буквой. Введем в рассмотрение /(-определенное подмногообразие Z с Н, задаваемое уравнением ho)h)=\. Тогда коциклы ;eZ4L/K.G) отвечают точкам из ZK, а группа Н действует на Z по формуле {h, z)>—>h~xzo(h), причем это действие /(-определено и транзитивно. Так как Нк плотно в Н (теорема 2.2), то отсюда следует, что множество коциклов, эквивалентных |, образует плотное по Зарисскому подмножество в Z. С другой стороны, из соотношения Т = В ^)о)В) вытекает, что о (В) совпадает с подгруппой В-, противоположной В. Обозначим через U и U-

унипотентные радикалы подгрупп В и В~соответственно. Из разложения Брюа вытекает, что морфизм-произведение ц: U X XTy^^G является определенным над L изоморфизмом на открытое подмножество WcG. Отсюда следует, что некоторый эквивалентный £ коцикл задается элементом A7g Wl. Пусть 6о = И[/и2, где И1 е Ul, t^TL, u>^Ul. Тогда из условия а(6о) = 6о1, единственности разложения Брюа и того, что а(П)=[7- oWy=U, вытекают соотношения о(ы1) = ы71, a(u2) = uj"1 и с^ = 1-х. Покажем, что коцикл 5', определяемый элементом a'o = t, является искомым. Действительно,а'= = t = и^и^и^и”1 = u~vbao (uj, т. е. коцикл £' эквивалентен £ в Z4MK, GY

Чтобы получить в числовом случае коцикл I'eZ^/A7, Т), задающий элемент из Уел ( НУК, Т)->- П H^Kv, ЛУ преды

дущие рассуждения следует немного уточнить. А именно, по условию для каждого вещественного нормирования и поля К со свойством Lw = LKy #= КУ (множество таких и мы обозначим через S) найдется элемент gT е GL , удовлетворяющий соотношению аа = g~xа (gj. Рассмотрим группу В = WL/kVTY подмногообразие DcB, задающее коциклы из ZX^L,K,TY и действие В на D, аналогичное описанному выше действию Н на Z. Тогда из предложения 3.3 вытекает существование такого открытого подмножества Ао с TLw ~ ВКу, что если /е А, и /а(/)= 1, то коцикл в Zx (Lw/Kv, Т), определяемый элементом t, тривиален. Из разложения Брюа вытекает, что множество Fv = = Ulw^Ulw открыто в Glw в m-адической топологии. Вейлу предложения 7.9 GL плотно в Ц GL . С другой стороны,

v е S, ш ( у w

если выбирать элемент g достаточно близким к g~x, то можно сделать элемент g~xaao(g) произвольно близким к единице. Отсюда следует существование такого geGL, что ba=g-1a<Jo(g) е еЕ, для всех veS. Тогда если 6a=ui/u2 — соответствующее разложение Брюа, то, как мы видели выше, коцикл £', задаваемый элементом a'a = t, эквивалентен £. При этом, по построению, / еД,, так что ^ становится тривиальным в HX^LW/Kv, Ту Остается заметить, что L с А» для и е У^\5 и ^ автоматически тривиален в Hx(Kv, Т). Лемма доказана.

Вернемся теперь к нашей A-группе G типа С2. Пусть £ е еКегр и L = Kl-V~\ Gal (L/А) = (о). Согласно уже доказанному, £ становится тривиальным коциклом в №(L, G), т. е. |еЯ:(1Д, G), и G является L-разложимой. Используя лемму 17, выберем L-определенную подгруппу Бореля BcG та- жую, что T = Bf)a(B)— максимальный А-тор в G. Согласно

лемме 28, переходя к эквивалентному коциклу, можно без ограничения общности предполагать, что £ е Кег^//1 (К, Т)—► -°* П НЦКи, 7) L Но выше мы видели, что любой /С-опреде-

ленный тор TcG содержится в некоторой односвязной /(-подгруппе HcG типа А2. Поэтому из справедливости принципа Хассе для Н вытекает, что £ является тривиальным коциклом в НХ)К,Н), и тем более в Н'^К, G).

Отметим, что доказательство теорем 4 и 6 для группы G типа G2 можно было получить, воспользовавшись геометрической реализацией G как группы автоморфизмов некоторой ^определенной алгебры октав, однако мы предпочли дать рассуждение, основанное на структурных соображениях, тем более что оно содержит ряд типичных моментов.

Группы типа Р4. Этот тип редуцируется к группам типа П4 точно так же, как тип G2 редуцировался к А2. Пусть вначале поле К является локальным или вполне мнимым числовым, £ е Н1 (К, Go). С помощью предложения 19 найдем такой максимальный /(-тор Т a Go, что £ лежит в образе отображения Нх (К, Т')-*- Нх ^К, Go). Предположим теперь, что теоремы 4 и 6 доказаны для групп типа П4 (включая внешние формы типов 3П4 и 6П4). Тогда для доказательства тривиальности £ достаточно построить содержащую Т односвязную К-определенную- подгруппу HcG типа П4. Но из явного описания системы корней типа F4 (см. таблицу VIII в книге Бурбаки [4]) вытекает, что таковой является подгруппа, порожденная корневыми подгруппами Ga, где а пробегает все длинные корни системы R = = R(T,G). Здесь также группа Go является одновременно односвязной и присоединенной, поэтому из тривиальности Hx(K,Gq) получаем, что любая /(-группа G типа Р4 разложима, а следовательно, Нх (К, G)= 1.

Доказательство принципа Хассе для группы G типа Р4 над числовым полем К, не являющимся вполне мнимым, дословно повторяет соответствующее рассуждение для типа G2.

Группы типа 3-6Л4. Как обычно, покажем вначале, что HX(R, Go)= 1, если поле К—локальное или вполне мнимое числовое. Пусть |е НХ(К, Go) и G = ^Go. Установим, что G является К-квазиразложимой, т. е. G ~ Go. Предположим противное. Тогда возможны два случая: G изотропна над К и G анизотропна над К. В первом случае единственная возможность, для индекса G имеет вид

(см. Титс [2]). Обозначим через S максимальный /(-разложимый тор в G, и пусть Т— некоторый /(-определенный максимальный тор в его централизаторе C = CG(S). Согласно предложению 18 GO = UG для подходящего коцикла р е НЦК, Т), поэтому нам достаточно показать, что НЦК, С) = 1. Но полупро- стая часть // = [С, С] является односвязной /(-группой типа Л[ X Л1ХЛ1, и поэтому //*(/(,//)= 1. С другой стороны, факторгруппа С/Н является одномерным /(-разложимым тором, так что НХ^К,С/Щ=\. Поэтому из точной последовательности И1 (К, Н)^ И1 (К, С)^НХ(К, С/Н) вытекает, что //‘(К, С)=1, и требуемое доказано.

Пусть теперь G /(-анизотропна. Обозначим через L минимальное расширение Галуа поля К, над которым Go становится внутренней формой. Тогда 3 = Gal (L/K) есть либо циклическая группа третьего порядка, либо симметрическая группа S3. Разберем первый случай. Поскольку над L группа Go становится группой типа !Da, то согласно уже доказанному HX(L, Go) =1; следовательно, над L G~G0 — разложимая группа. Занумеруем корни Р-разложимого тора следующим образом:

а5

и обозначим через Р P-определенную параболическую подгруппу Рд с G, где А = {а2, «з, а4}- Простой подсчет показывает, что dimG = 28, dimP = 22, т. е. codimP = 6. Пусть а — образующая группы 3. Положим С = Р П о(Р)П °2(Р)- Ясно, что С является /(-определенной подгруппой, которая редуктивна в силу /(-анизотропности G. При этом dim С :5г dim G— 3 codimP =10. Выясним строение группы С. Пусть Н = [С, С] — полупростая часть С. По построению Н должна содержаться в полупростой части Р' группы Р, которая является простой Р-разложимой группой типа Л3. Кроме того, поскольку для групп меньшей размерности теоремы 4 и 6, а значит, и теоремы 5, 25 уже доказаны, то из /(-анизотропности Н вытекает, что все ее простые компоненты имеют тип Ац и поэтому для типа Н имеются лишь следующие возможности: Л1, Л1ХЛ1, Л2 и Л3. Первые два случая не реализуются из соображений размерности, а последний — в силу того, что здесь Н должна совпадать с Р' и, следовательно, является /(-анизотропной группой типа Л3, которая становится разложимой над кубическим расширением К, что невозможно. Итак, Н имеет тип Л2, так что dim Н = 8, и, значит, С = HS — почти прямое произведение, где S — двумерный PC-тор. Покажем, что S является Р-разложимым. Обозначим

через So максимальный L-разложимый подтор в S. Из наших построений вытекает, что So#=(e), и поэтому остается исключить возможность dimSo=l. Так как L/K— расширение Галуа, то So определен над К, и, следовательно, имеет вид So = = Re/k (6m), где E/K— квадратичное расширение. Но такой тор остается анизотропным над L — противоречие. Вкладывая теперь S в максимальный L-разложимый тор и замечая, что Н a Zg(S), получаем, что Н также является L-разложимой. В частности, Н — внутренняя форма над К, ибо [L : ^] = 3, т. е. Н = SL! (D), где D — тело индекса 3 над К такое, что D ®к Е = = M3(L). Из последнего условия вытекает, что L вкладывается в D и, следовательно, определяет максимальный /(-определенный и разложимый над L тор S' = Rl^k (Gm) <= Н. Тогда Т = = SSZ— максимальный /(-определенный тор в С и G, который анизотропен над К и разложим над L. Отсюда следует, что для любого характера %еХ(Т) имеем % + о(%) + о2(%) = 0. Поэтому для любого корня aeR^T, G) группа G^a, порожденная корневыми группами GY для у е Sa = {а, о(а)}, является /(-определенной односвязной группой типа А2. Положим Т^а = = ТПСЕа и выберем такие два корня а, £ е R (Т, G), что Т = Т^ \TZ (читателю следует убедиться в их существовании). Согласно предложению 18 Go = UG для подходящего р = {щ} ^ НЦК, Т). Покажем, что р является тривиальным в G. Пусть ра = {а“} еН^К, 7^) и цр = {а@} е Н1 ^К, Т^ - проекции р на Т^а и Т^ соответственно. Так как Нх (К, G^ = = 1, то аР = £-1т(£) для подходящего ^gG^. Имеем 6Т = = gar (g)-1 = gcRg-1 е F = gGy g-x. Остается установить, что группа F определена над К, ибо тогда НЦК, F) = 1 и {LJ тривиален в G. Для произвольного т е Gal (/(//()

т (Г) = т (g) G^j (g)~Y = ga^G^ (a^g^1 = F,

ибо a^ e T_ нормализует Gy . Таким образом, в случае [L: К]=3 1 а

изоморфизм G ~ Go установлен.

Пусть теперь S’= Gal (L//() ~ S3. Обозначим через Е квадратичное расширение К, содержащееся в L. Согласно уже доказанному, группа G становится квазиразложимой над Е. Но тогда, как и при доказательстве теоремы 26, устанавливается, что G изотропна над К, а изотропный случай уже рассмотрен.

Итак, во всех случаях G = eGq si Go. Это означает, что ^ проектируется в тривиальный коцикл в соответствующей присоединенной группе, т. е. ^ лежит в HX(K,Z), где Z — центр Go.

Но тогда £ е Нх (К, 70), где То— максимальный тор ^определенной подгруппы Бореля группы Go. Анализ индекса

группы Go показывает, что 70 имеет вид То = Gm X Км/к(6т), где McL — подполе третьей степени над К, так что Нх ^К, Tq) = \, и тем более £ тривиален в НХ(К, Go). Таким образом, доказательство тривиальности НХ(К, Go) завершено.

Пусть теперь К — локальное поле. Так как тривиальность НХ(К, Go) уже доказана, то из предложения 15 вытекает, что любая простая односвязная A-группа G типов 3-6D4 квазираз- ложима над К, т. е. G ~ Go. Поэтому Нх ^К, G) = Нх (К, Go) = 1, и теорема 4 доказана.

Для доказательства теоремы 6 нам понадобится

Лемма 29. Пусть G — простая односвязная группа типа 3-6П4 над числовым, полем К, Е/К— минимальное расширение Галуа, над которым G становится внутренней формой. Тогда существует квадратичное расширение L/К со следующими свойствами:

L и Е линейно разделены над К;

L является вполне мнимым;

G становится квазиразложимой над Е.

Доказательство получается несложным уточнением рассуждений из доказательства предложения 15 и оставляется читателю в качестве упражнения.

и L/K—и L/K—Пусть теперь le Kerf Нх <К, G)П HX(KV, gA

и L/K—

и L/K—

расширение, построенное в лемме 29. Так как над L G ~ Go, то ■согласно уже доказанному HX(E,G) = 1, поэтому teH/L/K, G). Пусть В a G — такая L-определенная подгруппа Бореля, что Т = ВПо(В)— максимальный К-тор в G, где а — образующая Gal(L/K) (см. лемму 17). Применяя лемму 28 и переходя к эквивалентному коциклу, можно считать, что 1={ат}е еКег/НДК, 7)-»- Ц //*(/(„, 7)Y Для дальнейшего нам по-

V /

надобится описание действия а на корни из К (Г, G). Более точно, поскольку полем разложения для Т является ЕЕ, то действие Gal(L/K) на Х(Т) определить нельзя, а следует рассмотреть действие всей группы Gal (££//<). По этой причине нам придется продолжить а на ЕЕ, причем в силу линейной разделенности Е и Е можно считать, что это продолжение действует на Е тривиально, и мы будем обозначать его той же буквой. Так как G становится над Е внутренней формой, то о обязан

действовать на Х(Л как элемент группы Вейля W^T, G). С другой стороны, поскольку Т = ВПо(В), то о переводит положительные корни, связанные с В, в отрицательные. Но в группе Вейля системы корней типа D^ единственным элементом с таким свойством является (—1) (см. таблицу IV в книге Бурбаки [4]). Поэтому о действует на Х(Т) умножением на —1. Занумеруем простые корни в R^T, G) следующим образом:

“з

а4

Поскольку индекс G над L имеет вид

то из описания действия о вытекает, что подгруппа Gt = Ga2. и подгруппа G2, порожденная Ga. (/=1, 3, 4), являются неопределенными. Положим 7\ = ТП Gz. Тогда Т = ТхХТ2. Далее применяется уже использованный нами прием тривиализации коцикла £ «по частям». А именно, пусть ^ = {а*} е Нх ^К, Т^ — проекция 1 на 7\; ясно, что ^еКег/НЧК, Д) > Ц HxVKv,TiW

Так как G2 имеет тип Ах X Ах X Ах, то для нее выполняется принцип Хассе, откуда следует, что |2 определяет тривиальный коцикл в НХ(К, G2), т. е. а^ = g~xT (g) для подходящего g е G2. Тогда bx = gaxT <gYx = ga\g-x е F = gGxg~x. Как и выше, устанавливается, что группа F и тор Т'х = gTxg-x определены над К. Далее, рассмотрим морфизм ф: TX->T'V t^-gtg~x и покажем, что он определен над К. Действительно, для любого 1еТ> и любого т е Gal (К/К) имеем

(Тф) (/) = т (g) tx)g)"x = g (g~xr (g)) t <g"xt )g))"x g"x = gtg"x = ф (/),. t. e. тф = ф, ибо Х1т(ь;) = а,ЕХ Отсюда следует, что £'= = {М = ф(М лежит в кегр1^, л)-> П нх^к„,т'ху\, и

поскольку для F выполняется принцип Хассе (А принадлежит- типу Ai), то |[ является тривиальным коциклом в HX(K,F). Но- тогда £ является тривиальным коциклом в НХ)К, G), что и требовалось.

Группы типов Eg, Ei, Eg (подготовительный этап). Рассмотрения предыдущих типов основывались на том факте, что легко указывался максимальный тор данной группы, который целиком или по частям вкладывался в группы меньшего ранга, для которых теоремы 4 и 6 уже доказаны. В случае групп серии Е этот метод наталкивается на значительные трудности, ибо для этих групп априори невозможно указать поле разложения, имеющее сравнительно небольшую степень над К. Максимум, что в этой ситуации удается сделать,— построить поле разложения в виде башни 2-, 3- и 5-расширений. Для этого нам понадобится

Предложение 21. Пусть G— произвольная К-группа одного из типов Е6, Ei или Eg, Т a G — максимальный К-определенный тор. Тогда порядок любого элемента группы Н^К,Т^ имеет вид 2аЗР, если G — группа типа Е6 или Е7, и вид 2“3P5v, если G — группа типа Eg.

Доказательство. Пусть L — минимальное поле разложения тора Т, S = Gal(L//C). Тогда S действует автоморфизмами на системе корней R=R(T, G), так что возникает гомоморфизм S^-Aut)/?), который является вложением по той причине, что корни порождают векторное пространство X(7')®zR. В нашей ситуации группа Aut^ совпадает с группой Вейля W(R), если R— система типов Е7 или Eg, и содержит W(R) в качестве подгруппы индекса 2 для типа Е6. Группы Вейля системы корней рассматриваемых типов имеют следующие порядки (см. таблицы V—VII в книге Бурбаки [4]): [^(Де)] = 27-34-5, [Г(Д7)] = 2i°-34-5-7 и [Г(Д8)] = 214-35-52-7. Поэтому сразу можно утверждать, что порядок любого элемента из Н^К, Т) имеет вид 2™• З^-б? в случае Е6 и вид 2a-3P-5v.76— в случае Е7 и Е8. Наша цель — отсечь в этих значениях 5-компоненту для Е6 и Е7 и 7-компоненту для Е7 и Eg. С этой целью доказывается

Лемма 30. Пусть Н — определенная над К группа типа 1’2Dn (/г ^4), S а Н — максимальный К-определенный тор. Тогда H^KtS) является 2-группой.

Доказательство. Достаточно доказать лемму для случая, когда Н есть либо SO2n^ либо SUn(D,f), т. е. изоморфна над К специальной ортогональной группе, ибо произвольная группа Н' данного типа входит в диаграмму

Н

где лил' — изогении, ядра которых являются 2-группами, и тогда

для любого А-тора S'cH' и любого р #=2 p-компоненты групп И1 (К, S') и Н^К, S), где S = л ((л')-1 (S')), изоморфны. В этом случае над К тор S приводится к виду {s = diag(s1, s*1, . .. • • • • sn. sn *)}• и поэтому X (7) = Ze, ф . . . ф Zen, где e;(s) = = Si. При этом система корней R(S,H) состоит из +е< + е, (/#=/), а группа автоморфизмов Aut (R (S, И)) состоит из преобразований, которые б; переводят в ±е/, т. е. является полупрямым произведением A-В, где В = П{±1}, a A=S„ дей- t = \

ствует на е- перестановками индексов. Выше мы видели, что группа Галуа 36 = Gal (А/А) минимального поля разложения тора S вкладывается в Aut (R (S, Н)), причем утверждение леммы эквивалентно тому, что для любого рА2 группа FF(36P, S) тривиальна, где 36р— силовская р-подгруппа в 36. Положим F = Exp. Так как р #= 2, то 36 р сопряжена в Aut(A(S, Н)) подгруппе группы А, и поэтому существует базис группы характеров X(S), на котором 36 р действует перестановками. Отсюда следует, что тор S является квазиразложи- мым над F, и поэтому Н1 <36 Р, S) = FF (E/F, S) = 1. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству предложения 21. Нам надо показать, что 77(8’5,7) = 1 в случае систем типов Е6 и Е7, где ^5 — силовская 5-подгруппа в S. Из рассмотрения диаграмм Дынкина вытекает, что система R в данном случае содержит замкнутую подсистему Ro типа D5. Имеем [IF(D5)J = 28-3-5, поэтому, анализируя указанные порядки групп Вейля ИДТе) и W<E7), заключаем, что силовская 5-подгруппа в IF(Ao) является в то же время силовской в W^Ry Отсюда следует, что $5 сопряжена подгруппе IF(D5), и, значит, всегда можно указать систему Ro с R типа Ь5, инвариантную относительно Ss. Пусть Н — подгруппа в G типа Do, порожденная корневыми группами Ga Для aeRo. Ясно, что Н определена над полем E = L^5. Положим S = Tf\H. Тогда из леммы 30 вытекает, что Н1 (L/E, S) является одновременно 2-группой и 5-группой, и поэтому тривиальна. С другой стороны, фактор T1 = T/S либо одномерен, либо двумерен. Так как группы GLi(Z) и GL2(Z) не имеют подгрупп порядка 5, то 7! является ^-разложимым. Поэтому Л1 (L/£, 7[) = 1, и из точной последовательности FF (L/E, S)^- FF (L/E, Т)^НХ (L/E, Т^ заключаем, что HX(L/E, Т) = 1, что и требовалось.

Система корней типа Еа содержит подсистему типа D7, причем [ IF (£8) 7] = [ IF (П7) 7] = 7 и аналогичное рассуждение позволяет установить отсутствие 7-элементов в НХ(К, Т). Для групп типа Е7 надо рассуждать по другому. Расширенная диаграмма

Дынкина системы типа £7 имеет вид

«4

1

"А

!

«7

—1

аз

—н

а-5

—1— а6

—1

“7

(2>

«2

(ц—максимальный корень, см. таблицу VI у Бурбаки [4]), причем корни —р и a, (i #= 2) порождают замкнутую подсистему Ro типа Л7. Так как [^(Д?)?] = [1Г(Л7)7] = 7, то без ограничения общности можно предполагать Ro инвариантной относительно Зч- А тогда корневые группы Ga для a е Ro порождают подгруппу Н типа Л7, содержащую Т, определенную над полем E = L^1 и разложимую над полем L. Из описания групп типа Ап (см. § 2.3) теперь легко вытекает, что И ~ SLg над Е, и следовательно, тор Т изоморфен мультинорменному тору, ассоциированному с набором Рь ..., Pi расширений поля К та-

z

ких, что У, [Р; : £] =8. Так как Т становится разложимым над t=i

L, то единственным не разложимым над Е тором такого вида является тор, ассоциированный с расширениями L, Е в случае, когда [£:£] = 7, и тогда Т ~RL/E(Gm). Во всех случаях HX^L/E, Т) = 1. Предложение полностью доказано.

Следствие. Пусть К — совершенное поле и когомологическая размерность cdp(A) не превосходит 1 для р = 2,3. Тогда для односвязной К-определенной квазиразложимой группы Go типа Е6 или Еч имеем НХ(К, Go) = 1. Если к тому же cd5(A)^l, то Н1 (К, Go) = 1 и для группы Go типа Eg.

Действительно, согласно предложению 19 для любого £ е еЯДА, Go) найдется такой максимальный /(-определенный тор Т a Go, что £ лежит в образе отображения Нх (К, Т)^ Нх (К, Go). При этом, как мы только что доказали, порядок любого элемента из НХ(К, Т) имеет вид 2“-3₽ для типов Ео, Е7 и вид 2™-39-5? для Ea. С другой стороны, из условий на когомологическую размерность вытекает, что Нх (К, Т) не содержит нетривиальных элементов такого порядка (лемма 20). Таким образом, Н1 (К, Т)= 1 и, следовательно, НХ(К, Go) = 1.

Применим утверждение следствия к полю Кн, где П={2, 3} для типов Е6, Е7 и П = {2, 3, 5} для Eg. (Напомним (см. формулировку предложения 20), что поле Ап, где П — некоторое множество простых чисел, получается присоединением к К корней ^п степени п из единицы для всех п, в разложение которых входят лишь простые числа из П.) Тогда согласно предложению 20 cdp(An)^ 1 для реП, и поэтому любой коцикл

G ЯДА, Go) становится тривиальным над Ап. В частности, су-

шествует конечное абелево расширение L/K степени 2“3₽ для типов Е6, Еч и степени 2“3₽5^ для типа Е8 такое, что £ становится тривиальным в HX)L, Go), т. е. лежит в HX^L/K, Go). Расширение L/K раскладывается в башню L = Lm zd Lm_\ zd ... ... zd L\ zd L0 = К, где каждый этаж LM/Li имеет степень р, реП. Поэтому тривиальность НХ(К, Go) над локальным или вполне мнимым числовым полем К получается повторным применением следующего утверждения.

Теорема 29. Пусть Go— простая односвязная квазиразложи- мая группа, относящаяся к одному из типов Е6, Е7, Е8, над полем К, которое является либо локальным либо вполне мнимым числовым. Если L/K — циклическое расширение степени р, где р = 2, 3 для типов Е6, Е7, и р = 2, 3, 5 для типа Е8, то HX(L/K,GO)=\.

Мы разберем сейчас случаи р = 2, 3 и тем самым полностью докажем тривиальность Н^К, Go) для групп типов Ев, Е7. Случай р =5 для групп типа Еа требует специального рассмотрения, что будет проделано позднее. Рассуждение будем вести индукцией по рангу группы. В основе индукции лежит следующее

Предложение 22. Пусть в условиях теоремы 29 |е НХ(К, Go) и G = ^Gq. Предположим, что группа G является К-изотропной и Hl(K, Н) — 1 для любой полупростой односвязной квазираз- ложимой К-подгруппы Н cz Go меньшего ранга. Тогда |=1.

Доказательство. Предположим вначале, что G является внутренней формой, т. е. тип Go отличен от 2Ев. Пусть S — максимальный /(-разложимый тор в G, Т cz G — максимальный /(-определенный тор, содержащий S. Тогда согласно предложению 19 существует такое /(-определенное вложение Г-*-Go, что £ лежит в образе отображения НЦК, Т)-^- Нх )К, Go). Последнее ■отображение раскладывается в композицию НХ(К, Т)-+Нх {К, Со)->-Н1 (К, Go), где Со = Zg„(S), поэтому достаточно показать, что //'(/(, Со) = 1. Для этого заметим, что конструируемое в предложении 19 /(-вложение Т Go индуцируется К-определен- ным изоморфизмом G->G0, в частности, группы Со и C=ZG(S) изоморфны над К. Но поскольку G является внутренней формой, то связная компонента центра С совпадает с S, так что связная компонента центра Со также совпадает с S. Поэтому Со = HS — почти прямое произведение, где Н = [С, С]—полу- лростая часть Со, являющаяся полупростой односвязной квази- разложимой /(-группой. По условию //'(/(,//)= 1. С другой стороны, фактор Со/Н является разложимым тором, и поэтому //*(/(, Со///) = 1. Таким образом, из точной последовательности НЧК, Н)^ НХ(К, Со)-^ НЦК, Со/Н) получаем НХ)К, Со) = 1, что и требовалось.

В случае групп типа 2Е6 предыдущее рассуждение требует некоторой модификации. Анализируя его, мы видим, что нам

в действительности достаточно найти такой /(-разложимый тор S с G, что связный центр группы С = Za(S) совпадает с S. Пусть So с G — максимальный /(-разложимый тор и TcG— максимальный /(-тор, его содержащий. Занумеруем простые корни системы R =R(T, G) следующим образом:

В случае б) анизотропное ядро имеет тип /)4. Но для групп этого типа теоремы 4, 6, а следовательно, и теоремы 5, 25 уже доказаны, поэтому такая группа не может быть /(-анизотропной, т. е. случай б) в нашей ситуации не реализуется. В остальных случаях положим S = f П КегаД0. Поскольку всюду вер- \<^=2/

шина а2 является отмеченной, то S является одномерным /(-разложимым тором, причем полупростая часть Н его централизатора С является простой группой типа Л5, так что из подсчета рангов получаем, что С = HS, и, значит, связная компонента центра С совпадает с S. Предложение доказано.

Чтобы применить в нашей ситуации предложение 22, нам понадобятся две леммы.

Лемма 31. Пусть G — простая односвязная группа одного из типов Е6, Е7, Еа, определенная над полем. К и разложимая над его квадратичным расширением L. Тогда G является К-изо- тропной.

Доказательство. Используя лемму 23, выберем максимальный /(-определенный тор TcG, разложимый над полем L. Если предположить, что G является /(-анизотропной, то нетождественный автоморфизм ocGaUL/K) действует на Х(7) умножением на (—1). Отсюда следует, что любая корневая подгруппа Ga, порожденная одномерными унипотентными подгруппами Ua и LLa, определена над К. Пусть F—подгруппа, порожденная двумя корневыми подгруппами Ga и Gp для двух

соседних корней ci, р в диаграмме Дынкина. Тогда F— простая односвязная /(-группа типа Л2, разложимая над L. Из описания групп типа Ап вытекает, что F = SU3^), где f — невырожденная трехмерная эрмитова форма, связанная с расширением L/К. Но поскольку поле К предполагается локальным либо вполне мнимым, то группа F изотропна над К (см. доказательство теоремы 26), и тем более /(-изотропна группа G.

Лемма 32. Пусть G — простая односвязная группа одного из типов Е6, Е7, Ев, определенная над полем. К и разложимая над его циклическим расширением L степени 3. Тогда G либо К-изо- тропна, либо обладает собственной полу простой К-подгруппой, тип которой отличен от Ац X At X ■ . ■ X Ац.

Доказательство. Пусть TcG — максимальный /.-разложимый тор, R = R(T, G)— соответствующая система корней, П с cz R— подсистема простых корней. Отметим в каждой из соответствующих диаграмм Дынкина по одному корню, как указано ниже:

Обозначим через Р стандартную /.-определенную параболическую подгруппу Рд, где Д = П\{а}, и положим С^РП^^Ю f]a2(P). Ясно, что dim С ^ dim G — 3codimGP, поэтому прямой подсчет с использованием данных таблиц систем корней в книге Бурбаки [4] приводит нас к следующей таблице:

Тип R

dim G

dim P

dim C

E6

78

62

^30

Ei

133

106

^52

e8

248

191

^77

Предположим теперь, что группа G анизотропна над К. Тогда группа С, будучи /(-определенной, является редуктивной, т. е. C = HS, где Н = [С,С] — полупростая часть С, S — ее центральный тор. Пусть //1, ..., Ht— абсолютно простые компоненты группы Н. Нам надо показать, что не все Ht принадлежат типу Ап. Предположив противное, покажем, что для dim С не выполняются оценки, указанные в таблице. Положим /г — = rang Ht, s = dim S, г = rang G. Тогда, очевидно,

dimC= £((/,-+I)2-l) + s,(5)

<=i

причем

t

У, It <min(r — s, г— l) = f .(6)

i=i

Обозначим через d количество тех групп Н;, для которых U=\. Тогда, используя (5), (6), легко получить следующую оценку:

dim С < s + 3d + (f — d)2 + 2 (/ - d) - 4 (f - d) (t - d - 1).(7)

Для случая £6 f ^ 5, так что из (7), в частности, должно получаться, что $ + 3d + (5 — d)2 + 2(5— d") = s-\-d2—9d+35^30. Для целых d, 0 ■< d ^ 5, имеем d2— 9d^—8, откуда s + 3. Но тогда ^Зи s + 3d -|- (f— d)2 + 2(f— d) < 30. Итак, d=0, и (7) принимает вид 35 + s— 4/(/—1)^30. Если t > 1, то s^3 и (7) уточняется до оценки s + 15— M^t—1)^30, что невозможно. Таким образом, t=\, и единственный случай, удовлетворяющий (5), доставляет в качестве Н простую группу типа Л5. Но Н должна изоморфно вкладываться в полупростую часть Р, которая является группой типа D5. Однако группа типа D^ не может содержать группу типа Л5, скажем, потому, что порядок группы Вейля [1Г(Л5)] = 24-32-5 не делит [Г(£5)] = 27-3-5.

Для случая £7 / ^ 6, и тогда s + 3d + (6— d)2+ 2(6— d) = = s + d2 — 1 Id + 48 ^ 52 возможно лишь в случае d = 0, s + 4. Но тогда / + 2 и s + 3d + (2— d)2 + 2(2 — d) + 15— противоречие. Наконец, для £8 / ^ 7, и тогда s + 3d + (7— d)2 + 2(7— — d) = s + d2 — 13d + 63 ^ 77 — не имеет целочисленных решений в области O^s, d + 8. Лемма доказана.

Завершим рассмотрение случаев р = 2, 3 в теореме 29. Пусть g s № (£/£, Go), где [£:£] = р и G = £G0. Рассмотрим случай, когда Go имеет тип ХЕ6. Если р = 2, то в силу леммы 31 группа G /(-изотропна. Если же р = 3 и группа G /(-анизотропна, то согласно лемме 32 G должна содержать /(-определенную полупростую подгруппу Н, тип которой отличен от Лг X • • • . . . X At . Но для односвязных групп меньшего ранга теоремы 4 и 6, а следовательно, и теоремы 5, 25 уже доказаны, и поэтому Н является /(-изотропной. Таким образом, и для р = 3 группа G /(-изотропна, поэтому из предложения 22 и справедливости теорем 4 и 6 для групп меньшего ранга вытекает, что £= 1, т. е. //*(£//(, Go) = 1. Но как мы видели, отсюда следует, что НЦК, Go)— 1. Пусть теперь Go имеет тип 2Е6, и Е/К— квадратичное расширение, над которым Go становится внутренней формой. Тогда согласно уже доказанному ЕР^Е, Go)= 1, откуда следует, что над Е группа G = 6G0, £ g Н^К, Go), становится разложимой. Поэтому в силу леммы 31 группа G /(-изотропна, и в силу предложения 22 £= 1, т. е. НЦК, Go) = 1.

Перейдем к рассмотрению типа £7. Так как для всех квази- разложимых односвязных групп Н меньшего ранга уже доказана тривиальность НЧК.Н), то в силу теоремы 26 любая по- лупростая /(-группа меньшего ранга, тип которой отличен от At X • • • X At является /(-изотропной. Поэтому из лемм 31,32 вытекает, что G^^Go- £ G/£(£/£, Go) является /(-изотропной, и в силу предложения 22 ^=1- Окончательно, HX(L/K, G^ = 1, и тогда //*(/(, Go) — 1. Для групп типа £s рассуждение аналогично.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теорем 4 и 6 для групп серии Е.

Группы типа гЕ6. Покажем сначала, что НЧК, G) = 1 для любой односвязной /(-группы типа гЕ&, если поле К является локальным либо вполне мнимым. Пусть £ g Н1 (К, G) и Gi = ^G. Так как тривиальность //*(/(, Go) уже доказана, то группы G и Gi являются /(-изотропными (теорема 26). Пусть Т cz G, T^cz cz Gi — максимальные /(-торы, содержащие максимальные /(-разложимые торы. Все возможные индексы для изотропных групп типа *£6 имеют следующий вид (см. Титс [2]):

а)®—।1,,—j—,16) ®@j—©—©

В случае а) анизотропное ядро должно иметь тип D^, что невозможно, * ибо все группы этого типа изотропны над К. В оставшихся диаграммах вершина а2 является отмеченной (мы придерживаемся нумерации, указанной в (3)). Положим s=(,Q/er0" Si=(,Q,Ker“i)’

где П = {а1, . . ., а6} и П2 — {а*, ..., a^J — подсистемы простых корней в системах R^= R(T, G) и £i = £(Д, Gi) соответственно. Тогда существует /(-определенный изоморфизм ф: G-^-Gb переводящей S в Sb Рассмотрим коцикл 0 = {aa = ф-^ф)}^ g Z^K, G), где G — соответствующая присоединенная группа, которую мы, как обычно, отождествляем с группой внутренних автоморфизмов. Ясно, что 6 эквивалентен образу £ в Z4K, 6), так что заменяя коцикл £ на эквивалентный, можно считать, что 6 в точности совпадает с образом g. Поскольку торы S и Si являются /(-разложимыми, то ограничение ф5; S->Sj определено над К, и поэтому аа действует на S тривиально Отсюда следует, что ge НЧК, С), где C = ZG(S). Но С = HS,"где Н — простая односвязная группа типа Л5. Поэтому //*(£,//)=!, и из точной последовательности

НЧК, Н)^НЧК, С)->НЧК, S)=l,

где S = C/H = S/S[\H— разложимый тор, получаем, что НХ^К, С)= 1, и тем более £ тривиален в НХ(К, G).

Осталось показать, что для групп типа ХЕ6 над числовым полем К выполняется принцип Хассе. Для этого нам понадобятся две леммы, обобщающие соответственно леммы 17 и 28. Перед их формулировкой напомним, что класс сопряженности ^ параболических подгрупп группы G называется противоположным самому себе, если для Рг? противоположная параболическая подгруппа Р~" также лежит в ^ (см. Борель, Титс [1], § 4). (Отметим также, что Р~ П Р является редуктив- ной частью Р.) Например, борелевские подгруппы образуют класс, который противоположен самому себе.

Лемма 17'. Пусть G — полупростая алгебраическая группа, определенная над произвольным бесконечным совершенным полем К и обладающая над его квадратичным расширением L такой параболической подгруппой Ро, что соответствующий класс сопряженности & противоположен самому себе. Тогда существует такая L-определенная параболическая подгруппа P<^G, Pf^P, что пересечение С = РП°(Р) совпадает с ре- дуктивной частью Р, где о — образующая ОаЦЕ/К).

Лемма 28'. Сохраним обозначения леммы 17' и предположим дополнительно, что поле К числовое. Тогда если ^gZ1 (L/K, G) — коцикл, представляющий элемент из Кег (Л1 (К, G) —► Ц Нх ^Kv, G)Y то существует коцикл £' g Z1 ^L/K, С), экви)

валентный исходному в Z1 ^L/K, G) и представляющий элемент из Ker Г НЧК, С)^ П НЦК„, С)

Леммы 17' и 28' доказываются точно так же, как леммы 17 и 28. Мы предоставляем читателю в качестве упражнения провести соответствующие рассуждения. Отметим только, что при доказательстве леммы 28' вместо обычного разложение Брюа используется обобщенное (см. Борель, Титс [1], § 5).

Пусть теперь ^ е Кег/№ (К, G)—► П Hl (Kv, G)Y Положим \/

L = К ( V— 1). Тогда уже доказано, что Н1 (Б, G) = 1, и поэтому можно считать, что ^gZ*(P/K, G). Группа G над L является изотропной, причем ее индекс имеет вид (8), случаи б) или в). Обозначим через Ро стандартную параболическую подгруппу Рд, где Д = П\{а2, «Д в нумерации (3). Поскольку множество (а2, «Д инвариантно относительно симметрий диаграммы Дын- кина, то класс сопряженности Ро является противоположным самому себе (см. Борель, Титс [1], 4.9). Полупростая часть Ро является полупростой односвязной группой типа Л2ХЛ2, при-

чем простые компоненты отвечают системам {ai,a3} и (а5, а6}. Пользуясь леммой 17', найдем L-определенную параболическую подгруппу Pc^G, сопряженную Ро и такую, что С = 73 Q о (В)— редуктивная часть Р. Согласно лемме 28' можно заменить коцикл £ на эквивалентный в ZVVL/K,G^ таким образом, чтобы s е Кег/Ж (К, С)-»- П НЦК„, С)\ Для доказательства три-

( )

виальности £ построим вспомогательную полупростую /(-определенную подгруппу в G, содержащую С. А именно, обозначим через Н = YC, С] полупростую часть С. Тогда из рассмотрения расширенной диаграммы Дынкина

।—।——।—।

'А

системы типа Е6, где р— максимальный корень (см. таблицу V в книге Бурбаки [4]), вытекает, что централизатор В = Za(H) является простой односвязной группой типа Аг, отвечающей системе (а2, ц}. Положим О = НВ. Ясно, что C^D, поэтому доказательство завершает

Лемма 33. Если'Ь ^ НЦЦК, D) и § е Кег ^Н1 (К, D) —►

-* П //'(/(„,S)Y 70 1-1 в Я'(ЖЯ /

Доказательство. Положим F = Н П В и рассмотрим коммутативную диаграмму

Д1 (A, F)^ Нх {К, HXB'W

п ДЧЖЛ — > П нх(к„нхв)-^

Нх (К, О)—> № (К, F)

|Уз Ь

Пп нчку,Р)

•отвечающую универсальному накрытию l-»f-»HXB-»D-»l. Ясно, что Оз g) лежит в ядре отображения Д2 (К, F) ^1 № ^L, F). Используя отображение Сот: Е12)Е, Е)^> Н'2 )К, F) и тот факт, что Сот ° Res совпадает с умножением на [L : Д] = 2, получаем <Хз(Ю= 1, ибо [F] делит [Z(B)] = 3. Тогда ^ = а2(9, е Нх (К,

НХВ). Имеем р2 (у2 ©) = Уз («2 Ю) = 1, так что y2^) = ImP1. Но опять, используя тот факт, что [F]|3, a [Gal (£„//<„)] ^ 2 ' для aevL получаем, что здесь Н1 )KV, £)=1, т. е. Imp1 = (l)._ Поэтому ^еКегу2, и, следовательно, С=1, ибо для групп типа Л2 принцип Хассе уже доказан. Окончательно, £ = = а2 (g) = 1, и лемма доказана.

Группы типа 2Е6. Если К — локальное поле, то в силу предложения 15 любая /(-группа G типа 2Е6 является квазиразло- жимой, т. е. G ~ Go, ибо тривиальность И1 (К, Go) уже доказана. Но тогда Н1 (Д', G) = Н1 (К, Go) = 1.

Доказательство тривиальности ДДД, G) для чисто мнимого поля К аналогично соответствующему рассуждению для ХЕ6. Действительно, из тривиальности Д1 (Д, Go) вытекает, что группа G является Д-изотропной (теорема 26). Тогда ее индекс является одним из указанных в (4), причем, как мы отметили при доказательстве предложения 22, случай б) над вполне мнимым полем не реализуется. В остальных случаях вершина а2 является отмеченной. Дальнейшее рассуждение проводится, как и в случае типа *£6.

Доказательство принципа Хассе также можно провести аналогично случаю ХЕ6, если известно, что индекс G над вполне мнимым полем L должен быть одним из следующих:

т. е. вершины а2, а4 должны быть отмеченными. Покажем это. Обозначим через So двумерный Д-разложимый тор ( П КегаД0 в Go, и пусть С — его централизатор в Go, Н = \^2, 4 / _

= [С,_С]—полупростая часть С. Положим Д = л(Д), где л: Gq->-Go— изогения на присоединенную группу. Так как G получается из Go скручиванием при помощи коцикла 9еД* (£, Go) , то нам достаточно показать, что отображение HX(L,H)-+ -+HX(L, Go) сюръективно. Легко показать, что центр Z группы Go содержится в Н. Имеем коммутативную диаграмму с точными строками

Д' )L, Н) Д1 (£, Д) Д2 (L, Z)

|v, jv2 |v3

H'^L, GJ-’ H^L, G0)-^H2(L, Z)

Согласно теореме 20 а2 сюръективно. Отсюда следует, что для данного Ое ДЧД.Со) найдется ^HX{L, Н) такой, что р2(9) = = р2(у2(У ). Но поскольку тривиальность когомологий односвяз-

ных групп типа 2£6 над вполне мнимым полем уже доказана, то из соображений скручивания р2 инъективно. Поэтому 6 = = Т2(£), что и требовалось.

Группы типа £7. Так как НЦК, Go) = 1, то в силу предложения 16 для любой /(-группы G типа £7 найдется такое квадратичное расширение £/£, являющееся вполне мнимым в числовой ситуации, над которым G становится разложимой. Применяя лемму 17, найдем £-определенную подгруппу Бореля В cz G такую, что Г = BQ о (В)—максимальный К-тор в G, разложимый над L (о — образующая группы Gal (£/£)). Покажем, что тор Т является /(-анизотропным, т. е. о действует на х(Л умножением на —1. Действительно, поскольку В П £|о(В)=Г, то о переводит положительные корни системы £(7, G), ассоциированные с В, в отрицательные. Но поскольку диаграмма Дынкина не имеет нетривиальных симметрий, то единственным автоморфизмом с таким свойством является —1. Отсюда следует, что любая корневая подгруппа Ga определена над К, и, следовательно, определена над К построенная при доказательстве предложения 21 односвязная подгруппа Н cz G типа Л7, содержащая тор Т.

Пусть теперь |е HXVK, G), где поле К локальное. Так как G ~ Go над L, то НЦЬ, G) = НЦЬ, G^ = \, и поэтому ^е е Нх VUK, GY В силу леммы 28 существует эквивалентный § коцикл £' е Elx VLjK, Г). Но так как для Н теорема 4 уже доказана, то сквозное отображение Нх(к, Т)^- Нх (К, Н)^~ И1 (К, G) тривиально и §=1.

В числовой ситуации рассмотрим § G Кег (Нх (К, G) —>■ —► П //*(/(„, G)Y Как и выше, устанавливается, что

^^ НХ{Ь/К, GY так что в силу леммы 28, заменяя коцикл § на эквивалентный, можно считать, что § g Кег {Н1 (К, Т) —► —► П Я1 VKo, T)Y Тогда, используя теорему 6 для группы Н,

получим, что § = 1.

Группы типа Еа. Для групп этого типа нам, фактически, осталось рассмотреть лишь случай р = 5 в теореме 29, ибо тогда НХ(К, G)— 1 над локальным или вполне мнимым числовым полем К. Отсюда следует, что любая группа G типа Еа над таким К разложима, поэтому можно утверждать, что здесь НХ(К, G)= 1 для всех групп G. Последующий вывод принципа Хассе ничем не отличается от случая £7.

Итак, пусть L — циклическое расширение Галуа степени 5 локального либо вполне мнимого числового поля К, Go— простая разложимая /(-группа типа Еа. Наша цель — показать, что //*(£//(, Go) = 1. Обозначим через Е композит всех конечных .разрешимых расширений Галуа поля К степени вида 2“ЗР

(максимальное разрешимое {2, 3}-расширение поля К; отметим,, что в действительности любая группа порядка 2“ЗР разрешима (теорема Бернсайда), так что слово «разрешимое» здесь может быть опущено). Нам достаточно показать, что HX^LE/E, G0) = l, ибо тогда любой коцикл £ G ЕЕ ^L/K, Go) лежит в /£(£/£, Go) и, значит, в ЕЕ(Р/К, Go) для некоторого конечного разрешимого расширения P/К степени 2“-ЗР. Существует башня Р = = Ро zz> Pi ... zd Рп_х zd Рп = К, каждый этаж Pt/Pi+X которой является циклическим расширением степени 2 или 3. Так как случаи р = 2, 3 в теореме 29 уже рассмотрены, то, применяя ее последовательно к каждому этажу, получим, что ЕР(Р/К, G^ = = 1, и, значит, ^=1. Таким образом, мы будем доказывать тривиальность множества Hx(L/E,Go), где L/E— циклическое расширение поля Е степени 5. При этом будет использоваться следующее свойство поля Е (ради которого мы и осуществили переход от К к £): поле Е не имеет расширений степеней 2, 3, 4, в частности, если a G £, то л] а, ^аеЕ. Ключевую роль в доказательстве играет следующая

Теорема 30 (Черноусов [6]). Пусть G— анизотропная группа типа Е8, определенная над полем Е и разложимая над его циклическим расширением L степени 5. Тогда G обладает собственной полупростой Е-определенной подгруппой Н cz G, изотропной над L. .

Доказательство. Пусть о — образующая группы Gal (£/£). Мы установим существование такой одномерной унипотентной подгруппы U = Ua, отвечающей некоторому корню a g Р (Т, G) относительно подходящего максимального £-разложимого тора TcG, что подгруппа Но cz G, порожденная группами о‘ (£), 1 = 0, 1, 2, 3, 4, является собственной. Тогда Но, очевидно, определена над £ и, в частности, является редуктивной, ибо G £-анизотропна. По построению группа Но над L содержит унипотентные элементы, поэтому Но не сводится к тору, и ее коммутант Н = [До, До] является искомой группой. Чтобы удостовериться в том, что Но 5-^ G, мы покажем, что ее алгебра Ли 1)о = £(До) отлична от g = £(G). Для этого заметим, что поскольку char К = 0, алгебра f)o порождается как алгебра Ли элементами oz(X), t = 0, 1, 2, 3, 4, где XEUUk— произвольный ненулевой элемент (см. Борель [8], § 7). Поэтому наша задача сводится к нахождению элемента X g gL, порождающего- алгебру Ли некоторой корневой унипотентной подгруппы U и такого, что подалгебра в д, порожденная элементами о^Х), i = 0, 1,2, 3, 4, является собственной. Элементы, удовлетворяющие первому требованию, будем называть корневыми. Более точно, элемент X g gL — корневой, если существует такой максимальный £-разложимый тор Т cz G, что X является собственным вектором относительно Ad Г, т. е. Ad(Z) (X) = a(t)X для" подходящего a G Х(Л и всех 1е7, причем а =/= 1. Тогда в слу-

чае X =# О характер а оказывается корнем G относительно Т и одномерное пространство, натянутое на X, имеет вид L(t7a), где Ua — отвечающая а корневая унипотентная подгруппа. Таким образом, нам достаточно найти ненулевой корневой элемент X g gL, все сдвиги ог (Х) которого порождают собственную подалгебру в д.

Начнем с установления необходимых для дальнейшего свойств корневых элементов. Пусть XeL^UaV, ?№ а G R = = R(T, G). Так как в системе типа Еа все корни имеют одинаковую длину, то можно без ограничения общности предполагать, что а является максимальным корнем относительно упорядочения, определяемого системой простых корней П cz R. Пусть {Ha, зеП, Ха; a^R}—базис Шевалле в gL (см. § 2.1, п. 13). Тогда из соотношений [Ха, Х_а] = Ha, [Ха, Хр] = 0 или +Ха+р и максимальности а вытекает, что для любого У G дл выражение [Ха, [Ха, У]] пропорционально Ха. Так как X в свою очередь пропорционален Ха, то в итоге [А", [А", У] ] =<Х, ¥>Х для любого У g gL и подходящего <Х, У>е L (мы полагаем <Х, У)=0, если Х = 0). Это свойство корневых элементов является основным для дальнейших вычислений. Легко видеть, что символ <Х, У) линеен по второму аргументу. Предположим теперь, что оба элемента А, У g gL являются корневыми. Тогда умножая равенства

[X, [X, У]]=(Х, Y^X,

[У, [У, X] ] = (У, Х)У

слева на ¥ и X соответственно и используя соотношение [У, [А", [А", У]]] = — [X, [У, [У, X]]], вытекающее из тождества Якоби, легко получить, что <Х, ¥>=<¥, X). Таким образом, для корневого У символ <Х, У) линеен по X, если X изменяется в некотором линейном пространстве, состоящем из корневых элементов. Установим еще несколько свойств корневых элементов.

Лемма 34. Пусть X, Y,Ze§L, причем элемент X— корневой. Тогда:

справедливы тождества

2 [ [X, Z], [X, У]] = (X, У) [X, Z] - (X, Z) [X, У] - (X, [У, Z]) X, (10) 2[Х, [У, [Z, Х]]]=(Х, Z)[X, У] + <Х, У)[Х, Z] +(Х, [Z, У])Х; (11)

если [X, У] = 0, то <Х, [У, Z] > = 0.

Доказательство. Из тождества Якоби вытекает, что

■([X, Z], [X, У] ] = [У, [X, [X, Z] ] ] - [X, [У, [X, Z] ] ] =

= (Х, Х)[У, X] + [X, [У, [Z, X]]].(12)

-Аналогично получается, что

[ [X, У], [X, Z ]] = (X, У) [Z, X] + [X, [Z, [У, X] ] ].(13)

При этом

[X, [У, [Z, X] ]] = — <Х, [У, Z])X+[X, [Z, [У, X]]].(14).

Сравнивая (12) — (14), легко получить (10), (11). Если [X, У] = = 0, причем Х=#0, то из (10) непосредственно вытекает утверждение 2). Лемма доказана.

Исходным пунктом для построения искомого корневого элемента Хед, служит

Предложение 23. Пусть ХЕд, — такой корневой элемент, что [X, о(Х)] = 0. Тогда подалгебра I)o cz g, порожденная всеми его сдвигами о‘(Х), i = 0, ..., 4, имеет размерность, не превосходящую 25, и поэтому является собственной.

Доказательство. Положим X, = о2‘~2 (X). Тогда ))0 порождается элементами X,, причем из соотношения [X, о(Х)] = 0 вытекает, что [X,, X,] = 0, кроме случая i = j ± l(mod5). Для краткости положим

(й,[Х^, Х^] ...],

где 1 ^ й ^ 5, 1 ^ / ^ s, и будем называть такое выражение мономом длины s. Ясно, что 1)о совпадает с линейным пространством, натянутым на всевозможные мономы. Будем называть моном приводимым, если он является линейной комбинацией мономов строго меньшей длины. Кроме того, моном (й, ..., й) называется стандартным, если in+i = in + 1 (mod 5), h = 1, . . .. ..., I—1. Число стандартных мономов любой длины равно 5, поэтому число стандартных мономов длины, не превосходящей 5, равно 25. Таким образом, указанная оценка размерности алгебры получается из следующих двух утверждений:

(-Х-) любой моном длины, не превосходящей 5, является линейной комбинацией стандартных мономов;

(«») любой моном длины 6 приводим.

Для доказательства (*) рассмотрим моном т = (й, ..., й) длины / ^ 5 и предположим, что для мономов меньшей длины: (*) уже доказано. Тогда можно считать, что моном (й, ..., й) стандартный, причем без ограничения общности можно полагать, что in = h, 2 ^ h ^ I. Если й = 1, то моном пт — стандартный. Если й = 2, то из основного свойства корневых элементов: вытекает, что пг пропорционален Хщ и доказывать нечего. Если 2 ■< й ^ й то, используя тот факт, что [X;, X,] = 0 при i^ j + l(mod5) и тождество Якоби, легко показать, что

пг = (/ь 2/) = (2, 3, . . ., ц, /[ — 1, й, . . ., /),

а приводимость последнего монома вытекает из (11). Если: Й = /+1, то т = (/+1, 2Z) = (2/—!,/+!,/) =

= — (2, . . ., I — 1, I, I + 1) — стандартный моном. Наконец, если! й > / + 1, то т = 0.

Для доказательства (»») достаточно установить приводимость монома (i, 1, 2, ..., 5), что проделывается при помощи . аналогичных рассуждений. Предложение доказано.

Построение ненулевого корневого элемента XеgL, для которого [А, о(А) ] = 0, представляет наиболее технически сложную часть доказательства теоремы 30. Для этого вначале • строится корневой элемент У е gL со следующими свойствами:

(У, о(У)) = 0, (о (У), [У, о2(У)]) = 0.(15)

Если при этом [У,а(У)] = 0, то элемент X = У искомый. В противном случае положим А = [У, а (У)]. Тогда из условий (15) и соотношения (10) вытекает, что

[X, о (X)] = [ [У, а (У)], [а (У), о2(У)]] =

= - 4 «о (У), о2 (У)) [о (У), У] - (о (У), У) [о (У), о2 (У)] -

-(о (У), [а2 (У), У])о(У)) = 0.

Остается доказать, что элемент X корневой.

Лемма 35. Пусть X, УЕд^ — два корневых элемента. Тогда существует максимальный L-разложимый тор Т cz G такой, что X и У являются собственными векторами относительно Ad Т. При этом если <Х, У) = 0, то элемент [А, У] также корневой.

Доказательство. Пусть TX^G— максимальный Б-разложи- мый тор такой, что X является собственным вектором для преобразований из Ad7\. Выше мы видели, что можно без ограничения общности считать X пропорциональным Аа, где a е е Rx = R VTх, G)—максимальный корень относительно упорядочения на Rx, задаваемого системой простых корней Пх- Пусть Bx = TxUx — отвечающая Пх подгруппа Бореля. В силу максимальности а унипотентная часть Цх централизует X, и поэтому X является собственным для всех преобразований из МВХ. Аналогичным образом найдем подгруппу Бореля By cz G такую, что У является собственным для МВ¥. Тогда пересечение Вх^\В¥ содержит максимальный тор Т группы G, который и будет искомым. Пусть ХеДир, УЕБ(Бф), где a, $^R(T, G). Если Р =#—а, то либо [А, У] = 0, либо а + р— корень и [А, У] е е L^Ua+Д- Покажем, что случай р = —а, <А, У) = 0 невозможен. Действительно, если р = —а, то элемент [А, У] пропорционален На с ненулевым коэффициентом пропорциональности. Тогда [А, [А, У] ] =сХ, где с = <А, У>=#0— противоречие. Лемма доказана.

Завершает доказательство теоремы 30

Предложение 24. Существует ненулевой корневой элемент У е^, удовлетворяющий (15).

. Доказательство. Покажем вначале, как найти корневой элемент Z е gL, удовлетворяющий первому условию в (15). Для .этого зафиксируем на время максимальный Б-разложимый тор

7cG, систему корней R=R(T, G), подсистему простых корней П ={«1, ..., а8}, и пусть lie R— соответствующий максимальный корень. Напомним, что расширенная диаграмма Дын- кина здесь имеет вид

_ , t . . . .а, а, а5 а6 а7 ^ ^

аг

Элементы Х+а, а <= (а;[ i ^ 2}(J {р} порождают в gL подалгебру bL типа Л8. Отождествляя bL с алгеброй Ли Д9(£), состоящей из матриц ZeM9(£) со следом нуль, мы видим, что bL содержит 8-мерное подпространство V, целиком состоящее из корневых элементов (таковым будет, например, подпространство V = = {(2,7) \Zij = 0, если t = /=l, либо г=#1}; отметим, что поскольку ранги алгебр b и g совпадают, то элементы из V, являясь, очевидно, корневыми в bL, будут корневыми и в gL). Покажем, что существует элемент Z g Е\ (0) такой, что

(Z, a(Z)) = 0. (16)

Пространство V, являясь 8-мерным над L, имеет размерность 40 над Е. При этом условие (10) равносильно системе пяти однородных квадратичных уравнений относительно £-координат элемента Z. Поэтому существование ненулевого Z, удовлетворяющего (16), вытекает из следующего простого утверждения

Упражнение. Пусть fi, ..., fi— квадратичные формы с коэффициентами из Е от п переменных. Еслип >-^-/(/ + 1), то система fi(x)= ... = /Дх) = 0 имеет над £ ненулевое решение. (Доказательство проводится индукцией по / и использует возможность извлечения квадратных корней из элементов £.)

Зафиксируем ненулевой корневой элемент Ze д, со свойством (16). Чтобы построить корневой элемент У ggL, удовлетворяющий обоим равенствам в (15), необходимо провести перестройку исходного тора Т. А именно, переходя с помощью леммы 35 к другому тору, можно предполагать, что Z и a(Z) являются собственными векторами относительно Ad Т, т. е. порождают алгебры L^Ua) и L^U^ для некоторых корней а, |)е eR(T, G). Если [Z, a(Z)J = 0, то из тождества Якоби вытекает, что [a(Z), [Z, о2 (Z) ] ] = 0, и элемент Y = Z искомый. Поэтому в дальнейшем предполагаем, что [Z, a(Z)]^0. Тогда с учетом (16) получаем, что р ^—а, и, следовательно, a + Р — также корень. Мы уже отмечали, что можно выбрать систему П cz c^R^T, G) простых корней таким образом, что а является максимальным корнем относительно соответствующего упорядочения. Покажем, что, варьируя П, можно также добиться выпол-

нения условия 0 =—а8, где II={ai, ..., а8}, причем нумерация корней совпадает с указанной выше. Для этого рассмотрим совокупность {П} всех систем простых корней П cz R(T, G), относительно которых а является максимальным корнем, и подчи- 8

ним выбор П условию: htn 0 = max ht~ 0, где htn 0 = У ’п£ — вы- п 8

сота корня 0 = У п^ относительно системы П = {аь . .., as}. Z=1

Поскольку a + 0 — корень, и корень а максимальный, то корень 0 отрицательный. С другой стороны, если у g {ai, . .., a?}, то необходимо (у |0)^0, где ( | ) обозначает скалярное произведение, ибо в противном случае высота 0 относительно системы IT = wy (П) G {П} (шу—соответствующее отражение) была бы больше htn0. Из описания системы корней типа £8 (таблица VII в книге Бурбаки [4]) ясно, что 0 имеет вид 0 = = 6 — а8, где 6 является линейной комбинацией корней ab ... ..., а7 с целыми неположительными коэффициентами. Тогда (0|0) = (б|б) — 2 (5 | a8) + (a8 |а8), откуда (д | д) = 2 (д |а8), ибо (0 |0) = (а8 |а8), и поэтому (д | д) = (д 10 + а8) = (д 10) + + (д |а8) ^у (6 I б), и окончательно (д|д) = О, т. е. 5 = 0, что и требовалось.

Итак, заменяя элемент Z на пропорциональный, можно считать, что Z = Ха, где a — максимальный корень, а a (Z) = сХ_а„.

Лемма 36. Существует такое 6-мерное подпространство IV cz cz gL, что пространство LZ + IV состоит из корневых элементов и для любого S е IV выполняются следующие соотношения-.

(Z,a(S)) = (S,a(S)) = 0,

\Z, S] = [Z, a(S)] = 0.

Доказательство. Обозначим через IV[ подпространство в gL, натянутое на элементы Ха„ Ха,+а5, .... Xa,+ ...+a„ Ха,+ ... +a>+a,; dim IV! = 6. Отождествляя, как и выше, алгебру типа Д8, порожденную Х^, у g {а; | /2} U {а} с 819(£), легко показать,

что пространство £Х-аб + ^! состоит из корневых элементов. Из соотношений для элементов базиса Шевалле вытекают следующие свойства:

9J. ре... 1Г,]=0. [Х„, |Г,]=0.(18)

Положим IV = oH(IVi). Тогда пространство LXa + IV состоит из корневых векторов. Из (18) вытекают все соотношения в (17), кроме <S, o(S)>=0 для S g IV. Но для любого Si g IVi, согласно (18), [Xa, Si] = 0. Поэтому, применяя утверждение 2) леммы 34, получим <Sb [Ха,дь]> = 0. Но из (18) вытекает, что

[Za,9i] содержит W, поэтому <WV, W} = 0, откуда (И?, о(ИД >= = 0. Лемма доказана.

Используя указанные свойства пространства IE, теперь уже легко завершить построение искомого ненулевого элемента У, удовлетворяющего (15). Вначале найдем ненулевой S g W со следующими свойствами:

(о (Z), S) = (о (Z), [S, о2 (Z)]) = 0,(19)

(a (S), [S, a2 (Z)]) — 0.(20)

Элементы S е IE, удовлетворяющие (19), образуют подпространство размерности, не меньшей 4, над L, т. е. размерности не меньшей 20, над Е. При этом (20) эквивалентно системе пяти однородных квадратичных уравнений относительно £-коор- дииат S. Поэтому еще раз применяя утверждение упражнения, получаем существование элемента S. Далее, мы можем предполагать, чтоз = <o(Z), [Z, a2 (Z) ] >0, s = <o(S), [S, o2(S) ] > ¥= 0.

Положим q = —zs-1, r = -^Nlie Up eE,t = rqo3 (</) и покажем, что корневой элемент У = Z + tS — искомый.

Имеем

(У, а (У)) = (Z + tS, o\Z^ + о (/) а (S)) = 0

в силу условий (17) и (19). Чтобы избежать громоздких вычислений при подсчете у = (а (У), [У, а2(У)]) = (а (Z) + а (/) а (S), [Z + tS, a'2(Z) + а2 (Д o2(S)]), заметим, что в силу утверждения 2) леммы 34 и условий (17) все члены, кроме <o(Z), [Z, o2(Z)J), (o(S), [S, o2(S)J), (a (Z), [S, o2(Z)J) и (о (S), [S, a2(Z)]>, обращаются в нуль, причем два последние также равны нулю благодаря выполнению условий (19), (20). Отсюда следует, что y = z— to (t) о2 (t) s = 0. Доказательство предложения 24, а вместе с тем и теоремы 30 завершено.

Переходим теперь непосредственно к доказательству тривиальности EE(L/E,Go). Пусть 1e//'i'L/£. Gg), G = 6G0. Если группа G изотропна над Е, то применяя предложение 22 с учетом того, что для всех групп, отличных от £8, теоремы 4 и 6 уже доказаны, получаем, что ^=1. Поэтому всюду ниже будем предполагать, что группа G £-анизотропиа. Тогда согласно теореме 30 существует собственная £-определенная и £-изотропная полупростая подгруппа Н <^ G. Без ограничения общности можно считать группу Я £-простой. Тогда Н изогенна группе вида Rp/e(£). Так как для всех групп, кроме Еа, теорема 29 уже доказана, то £ в силу £-анизотропности G имеет тип Ап. Так как Е по построению не имеет расширений степени ^4, то априори возможны лишь случаи 1) [Р: £] ^ 5, п = 1; 2) Р = Е. Используя тот факт, что Я является £-анизотропной и £-изо- тропной, легко показать, что в действительности возможен лишь случай Р — Е, п = 4, т. е. Я — простая группа типа /U- Поскольку Е не имеет квадратичных расширений, то Я авто-

матически является внутренней формой, другими словами, Н = = 81<1Щ, где D— тело индекса 5 над Е. При этом D®eL~ ~М;ДЕ), так что L вкладывается в D в качестве максимального подполя. Пусть Тх = R^£ (Gm)— соответствующий £-опре- деленный норменный тор в G. Группа G является £-разложи- мой, и поэтому централизатор Ci = ZG(Tv) также является £-определенной £-разложимой группой. Если полупростая часть Я1=[С[, СД нетривиальна, то применяя к ней те же рассуждения, что и к группе Н, установим существование тора Т„ cz Я, вида Т2 = R^£ (Gm). Тогда тор Т = ТХТ2 является £-опре- деленным £-разложимым тором в G. Если же Я] = 1, то таким тором будет группа Т = Cv.

Согласно предложению 19 существует £-определенное вложение ГGo такое, что £ лежит в образе отображения ф: Я1 (£, Т)^-Я1 (£, Go), поэтому завершает доказательство тривиальности Hl(L/E, Go')

Предложение 25. Отображение ф тривиально.

Доказательство. Для каждого корня aeR = R(T, G) обозначим через G (а) подгруппу в G, порожденную корневыми подгруппами Go:w, i = 0, 1, 2, 3, 4. Утверждается, что G (а) является простой односвязной £-группой типа Л4. Легко видеть, что система корней £(Т(а), G(a)), где Т(а)=ТПС(а)—максимальный тор в G(a), совпадает с подсистемой Sa cz R, образованной всеми корнями, которые являются целочисленными линейными комбинациями корней а'(а), / = 0, ..., 4. Так как тор Т £-анизотропен, то « + □(«)+ ••• +о4(а) = 0, и, следовательно, rang Sa =^4. С другой стороны, а индуцирует автоморфизм Sa порядка пять. Но единственной системой корней ранга, не превосходящего 4, обладающей таким свойством, является Л4. При доказательстве предложения 24 мы показали, что любые два корня a, р g R такие, что a + р g R, в подходящем базисе являются соответственно максимальным корнем и корнем —«8- Рассуждая аналогично, несложно показать, что в подходящем базисе П cz R группа G(a) совпадает с группой, порожденной корневыми подгруппами G^, где у g {a8, а7, а6, р}, р—максимальный корень. Отсюда следует, что группа G(a) односвязна.

Далее, образуем произведение То= Ц Р (а), и пусть 60: Н1 (Е, Ту)-► И1 (Е, Т) индуцируется отображениями 6а: Hl(E, Т (а)) —►//1 (£, Т). Ниже мы покажем, что отображение 60 сюръективно, а сейчас, пользуясь этим фактом, завершим доказательство предложения 25. Пусть £ се//*(£, 7) и £ = = П0аД^), где £. g //*(£, Т (а.)). Проведем индукцию по п.

Если п=1, то £ = 6ai(£,) и £ е Я* (£, G (a,)) = 1. В общем случае воспользуемся известной процедурой тривиализации ^ «по частям». А именно, так как Н1(Ц G(a„))=l, то £rt = {aT}, где (^^gMy), теОа1(£/Е) для подходящего кеСЦ). Рассмотрим тор T' = gTg"v и изоморфизм ф: Т -+Т', ф (х) = gxg^V Используя тот факт, что ^ 'tl^jE^, легко показать, что тор Т' и морфизм ф определены над Е. Положим ^ = Ф (6П1 (^),..., 9%i (£„_,)) е Я1 (£, Т'). Непосредственно проверяется, что ^ = уЦ (g)-1, поэтому достаточно установить тривиальность £'. С другой стороны, £' = ф (0а (Ei)V . .

• • • ^ (К-, (^-i))> пРичем ф (0а. (^)) е 0а, (Я1 (£, Т' (а'))), где а' = ф(а;), и тривиальность s' вытекает из предположения индукции.

Для доказательства сюръективности 0О укажем способ вычисления Н1 (L/E, S) для произвольного £-анизотропного £-раз- ложимого тора S в терминах когомологий группы однопараметрических подгрупп X,(S).

Лемма 37. Изоморфизм X* (S) ® L*^ Sl и о-произведение индуцируют изоморфизм

Ф$: Н-ЧЦЕ, X.(S))& Н2(ЦЕ, С^НЧЦЕ, S).

Доказательство. Положим Г —(о), обозначим через е элемент !+□+ . .. + а4 группового кольца Z[T] и рассмотрим Г-модуль / = Z[F]/Ze. Изучим вначале «модельный» случай Х,(5) = /. Тогда модуль ХД5) входит в точную последовательность

о z ^-> Z [Г]О,

где [е] означает умножение на е. а тор S — в точную последовательность

l^Gm-^Rr/£ (Gm)^S^l.

Из этих последовательностей получаются изоморфизмы

Я1 (ЦЕ, S) ~ Я2 (ЦЕ, Ц),

Н-1 (ЦЕ, /) ~ Я0 (£/£, Z) = Z/5Z,которые объединяются в коммутативную диаграмму

Я-1 (ЦЕ, /) ® Я2 (ЦЕ, Ц)^ И1 (ЦЕ, S)

Я0 (ЦЕ, Z) ® Я2 (ЦЕ, Ц) —* Я2 (ЦЕ, И(

Так как нижняя строка, очевидно, является изоморфизмом, то Фз — также изоморфизм..

Из доказанного вытекает, что Ф5 является изоморфизмом и в случае X» (£) = /”. С другой стороны, / можно отождествить с кольцом Z [t5] (где £5 — примитивный корень степени 5 из единицы), которое является кольцом главных идеалов. Но для любого £-анизотропного тора S имеем еХ* (S) cz X* (S) Gal<L/£> = = (0), так что Х*(£) можно рассматривать как модуль над . |Г|/ !■•=/ ~|';,|, и поэтому Х*(£) имеет вид X*(S) =

=[?s] ” = ^", чт0 и доказывает лемму.

Из леммы вытекает, что для доказательства сюръективности отображения 60 достаточно установить сюръективность отображения Н~х (ЦЕ, X, (То))—> Я-1 (£/£, ХДТ)). Но по определению Н '( L/E, Х)=КегЯ/(1—а)Х, где V/ = sx— норменное отображение. Поэтому Н-' (LjE, X, (£)) = X, (S)/(l — а) X, (S) для £-ани- зотропного тора S, и поэтому в нашем случае все следует из сюръективности отображения ф X, (Т (а)) --» X, (Т), которая а е R очевидна.

Доказательство теорем 4 и 6 завершено.

Вопрос о справедливости теорем 6 для групп типа £8 в течение долгого времени оставался открытым. Решающий шаг, позволивший завершить доказательство, состоит в получении теоремы 30, что было проделано совсем недавно В. И. Черноусовым [6]. Тем не менее теорема 4 в этом случае была известна ранее (Кнезер [9]). Ключевое отличие локальной ситуации от глобальной состоит в существовании локальной двойственности Накаямы — Тейта, что в сочетании с тщательным анализом подгрупп группы Вейля позволяет доказать предложение 25 для практически произвольных торов, а не только для торов специального вида, использованных нами.

Библиографические замечания. Значительная часть материала, изложенного в § 6.2—6.3, является традиционной (см. Борель [8], § 16, Воскресенский [3], гл. VI). Содержание § 6.4 практически полностью заимствовано из статьи Бореля, Серра [1]. Напротив, результаты, связанные с точным вычислением когомологий полупростых групп над локальными и числовыми полями, в таком целостном и завершенном виде излагаются впервые. Тривиальность Н^К, G) для односвязных групп над локальным полем К была установлена Кнезером [9]. В лекциях [12] им было показано, что теоремы 4 и 6 для групп классических типов эквивалентны известным результатам о свойствах и классификации квадратичных, эрмитовых и т. д. форм (так как эти результаты могут быть получены без использования когомологической техники, то тем самым мы получаем доказательство теорем 4, 6 для классических групп). Избранный нами вариант изложения использует лишь один результат из теории квадратичных форм — теорему Минковского — Хассе.

Следует указать также на определенные усовершенствования в доказательстве принципа Хассе для групп типа 2Ап, связанные с использованием мультинорменного принципа. Теорема 6 для исключительных групп, кроме типа Е6, была получена Хардером [1], [2]; случай типа £8 был рассмотрен Черноусовым [6] (отметим, что для функциональных глобальных полей тривиальность Я^Я, G) для полупростых односвязных групп всех типов была установлена Хардером [11]). Ряд результатов о когомологиях Галуа содержится в статье Сансюка [1]. Мы совсем не затрагиваем вопрос о когомологиях Галуа конечных коммутативных групп, которые описываются так называемыми теоремами Пуату — Тейта (см. Серр [1]). Подробное изложение этих результатов содержится в недавней книге Милна [2]-

При изучении когомологий полупростых групп мы неоднократно использовали аппроксимационные результаты, которые будут подробно рассматриваться в следующей главе. Вот их полный список: 1) слабая аппроксимация в многообразии торов; 2) слабая аппроксимация в «сферах», определяемых квадратичными, эрмитовыми и т. д. формами; 3) слабая аппроксимация в любом торе относительно множества S =/й; 4) сюръективность отображения И1 (К, Г)-^- Ц Я1 (Kv, Т) для лю

бого тора Т; 5) сильная аппроксимация для группы G = SLn(D). Читатель может проверить, что эти факты не зависят ни от каких результатов о когомологиях Галуа полупростых групп, и поэтому их использование в настоящей главе допустимо.

Г Л AB A VII

АППРОКСИМАЦИЯ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУППАХ

В этой главе мы будем заниматься метрическим аспектом локально-глобального принципа, а именно, изучим вопрос о том, когда элементы локальных групп GKy и их произведений можно с любой степенью точности приблизить элементами группы GK. В случае когда такое приближение возможно, говорят, что для группы G справедлива слабая аппроксимация. Хотя это понятие имеет смысл для произвольного поля К, мы, естественно, будем в основном интересоваться числовым случаем (см., однако, замечания в заключительной части § 7.3). Напротив, сильная аппроксимация (т. е. приближение при помощи элементов, которые дополнительно удовлетворяют некоторым условиям целочисленности) относится только к глобальным полям. Мы даем определения как сильной, так и слабой аппроксимации применительно к произвольным многообразиям, однако содержательные результаты об аппроксимации к настоящему времени получены лишь для случая алгебраических групп. Дело в том, что имеющиеся методы в существенной степени используют групповую структуру рациональных точек, и по этой причине мы предваряем собственно аппроксимационные результаты обсуждением известной гипотезы Кнезера — Титса об изотропных группах (см. § 7.2). Отметим также, что начиная с этой главы все отчетливее будет проявляться синтетический характер арифметической теории алгебраических групп. Это относится как к основным идеям, так и к применяемым техническим средствам. В частности, в этой главе будет использовано большинство результатов предшествующих разделов.

Сильная и слабая аппроксимация

в алгебраических многообразиях

Пусть X—алгебраическое многообразие, определенное над числовым полем К. Возможность сколь угодно точного приближения элементов локальных пространств Хки элементами из Хк в действительности означает плотность Хк при вложении в некоторые топологические пространства, конструируемые из Хко- Так, с точки зрения топологии естественно рассмотреть топологическое прямое произведение X = Ц Хки или его часть

xs = JJ Хк , где S cz VK — некоторое подмножество, в то время как с точки зрения арифметики следует обратиться к пространствам S-аделей Хд5 с соответствующей топологией (см. § 5.1). И в том и в другом случае имеется естественное диагональное вложение Хк ^Х (Xк X$) и Хк с^Хд8. В этих терминах мы и дадим следующее.

Определение. 1) Говорят, что для X имеет место слабая аппроксимация (соответственно слабая аппроксимация относительно подмножества S cz VR\ если диагональное вложение ХК"=-»Х (соответственно XK<=*XS) является плотным.

Многообразие X обладает свойством сильной аппроксимации относительно конечного подмножества S cz VK, если плотно диагональное вложение Хк^—Хл^ *). В случае 5 = Г^ говорят об абсолютной сильной аппроксимации.

Опишем вначале функториальные свойства этих понятий.

Предложение 1. 1) Если многообразия X и Y бирегулярно изоморфны над К, то они одновременно обладают или не обладают сильной (соответственно слабой) аппроксимацией.

Если X = АХТ над К, то наличие сильной (соответственно слабой) аппроксимации в X равносильно наличию аппроксимации того же типа в обоих сомножителях.

Если X = Kl/k(Y) , то наличие сильной (соответственно слабой) аппроксимации в X над К относительно подмножества S cz VK равносильно наличию аппроксимации того же типа в У над L относительно подмножества S cz VL, образованного всеми продолжениями нормирований из S.

Доказательство вытекает из существования естественных гомеоморфизмов между пространствами, участвующими в определении аппроксимации. Например, Xs~Ys в условиях пункта!),. a Xs~Yv в условиях пункта 3) для любого S cz VK (детали рассуждений мы оставляем читателю).

Следует обратить внимание, что в случае Х = А1 приведенные определения переходят в классические определения сильной и слабой аппроксимации для поля К. В частности, из соответствующих аппроксимационных теорем (см. теоремы 1.4 и 1.5) и п. 2) предложения 1 получаем, что аффинное пространство Дп обладает слабой аппроксимацией и сильной аппроксимацией относительно любого непустого S. Так как многообразие произвольной унипотентной /(-группы U бирегулярно изоморфно над К аффинному пространству А", п = dim U, то из п. 1), 2) получаем

Следствие. Пусть G = HRU(G)— разложение Леви связной группы G. Тогда наличие сильной (соответственно слабой) аппроксимации для G равносильно наличию аппроксимации того же типа для Н.

Приведем теперь для удобства ссылок несколько простых фактов о сильной и слабой аппроксимации.

Предложение 2. 1) Наличие слабой аппроксимации в X относительно произвольного 8 cz VK равносильно наличию слабой аппроксимации относительно любого конечного подмножества 8' <^8.

Многообразие X обладает сильной аппроксимацией относительно конечного подмножества 8 cz VK в том и только том случае, если для любого конечного подмножества Т cz VK, содержащего 8 U /й, множество Xg^ Т-целых точек плотно в Xt\s (при диагональном вложении). В частности, если группа G обладает сильной аппроксимацией относительно 8, то она обладает слабой аппроксимацией относительно VK\S. Если многообразие X проективно, то верно и обратное-, слабая аппроксимация относительно VK\S влечет сильную аппроксимацию относительно 8.

Если для X имеет место слабая (соответственно сильная) аппроксимация относительно произвольного (соответственно конечного) подмножества 8 cz VK, то аппроксимация того же типа имеет место и для любого 8хс^8 (соответственно конечного 8Х^8).

Если многообразие X обладает слабой апроксимацией относительно 8, то любое открытое К-подмногообразие Uc X также обладает слабой аппроксимацией относительно 8.

Доказательство утверждения 1) вытекает из определения топологии на прямом произведении. Для доказательства 2) напомним, что базу открытых множеств в Хд§ составляют множества вида W = П UK X П Хо , где 7срк — конечное v е Т \ S У V ф Т °

подмножество, содержащее S U У£, и иисХКи открыто для ue7\S. Поэтому сильная аппроксимация для X относительно S сводится к условию Хк A W =# 0 для любого такого W, что, очевидно, равносильно непустоте пересечения 20(7-) П П Ео,

т. е. плотности Хщт) в Xt\s. В § 3.1 мы видели, что Рцу = Рко для всех и е 7^, поэтому при любой реализации проективного многообразия X всегда Хои = Хки для почти всех и е 1^. Таким образом, здесь топологическое пространство Xas совпадает с пространством Xvkxs, откуда и следует требуемое. Утверждение п. 3) вытекает из того обстоятельства, что при S[ cz S (соответственно S] zd S) имеется естественная непрерывная

проекция X.s^Xs, (соответственно Хл8 Хд5 ), согласованная с соответствующими диагональными вложениями Хк. Наконец, для доказательства 4) достаточно заметить, что поскольку у-адическая топология на Хку, определенная в § 3.1, сильнее топологии Зарисского, то любое открытое множество Wc Us является в то же время открытым в Xs, поэтому пересечение И/П^к непусто и, очевидно, содержится в UK. Предложение 2 полностью доказано.

Сильная аппроксимация имеет ярко выраженный арифметический характер. А именно, в основном случае, когда SdV^, ее выполнимость равносильна разрешимости в целых числах некоторой системы сравнений для элементов многообразия X. Более точно, пусть X а 'п. Тогда любое открытое подмножество в Хд5 содержит подмножество вида

117 * Й <?Ч n (("I + ^ X...XU + К7))) хД X,.

где уь ..., yr ^ S, ть . . ., тг — целые > 0, Sj = S U {^i, • • •, уг}> а‘ = (а‘, . .., а^ е Хк . Поэтому вопрос о непустоте пересечения XKf\W сводится к разрешимости относительно точек х ^Хо^) системы сравнений

x = a'(mod^, (1)

где запись a = 6(modp^) для элементов a = (av ..., ап) и 6 = (6Ь . .., 6J, лежащих в А", но не обязательно в О" означает, что at — bt е р™ для всех /=1, . . ., п. Поэтому вопрос о сильной аппроксимации для X представляет алгебро-геометрическую версию «китайской теоремы об остатках». Учитывая ту фундаментальную роль, которую последняя играет в классической арифметике, естественно предположить, что сильная аппроксимационная теорема для алгебраических групп, которую мы докажем в § 7.4, должна лежать в основе получения важных результатов нашей теории. В справедливости этого предположения мы убедимся в последующих главах.

На этом мы закончим обсуждение аппроксимационных задач в контексте произвольных многообразий, и большинство последующих результатов будет относиться только к алгебраическим группам. Такое ограничение вполне естественно, ибо если исследовать вопрос о разрешимости системы (1) только с позиций диофантовой геометрии, т. е. не используя групповую структуру, то задача становится исключительно сложной. Так, ниже мы покажем, что для группы G = SL2 имеет место абсолютная сильная аппроксимация, поэтому соответствующая система (1) должна иметь решение. С другой стороны, G как алгебраическое многообразие задается уравнением ху—zt = 1, и

мы настоятельно рекомендуем читателю убедиться, что установить возможность подъема решений этого уравнения по некоторой системе модулей до целочисленного решения не так-то легко. Этот пример показывает, что в проблеме сильной аппроксимации ключевую роль играют не столько геометрические свойства G, сколько групповая структура. Наоборот, слабая аппроксимация связана с геометрией G более тесным образом.

Предложение 3. Пусть X— неприводимое гладкое К-рацио- нальное многообразие. Тогда для X имеет место слабая аппроксимация.

Доказательство. Условие /(-рациональности многообразия X означает существование бирегулярного /(-изоморфизма ф: U-*- —>-Ц7 между открытыми подмножествами U с^ д? (/ = dimX) и U7 cz X. Из предложений 1 и 2 вытекает, что W обладает слабой аппроксимацией, т. е. Wk плотно в Ц W к^. С другой стороны, согласно лемме 3.2, W кс плотно в Хкс для любого и. Отсюда следует, что WK, и тем более Хк, плотно в Ц^яо-

Доказанное предложение является для нас первым примером связей, существующих между геометрией линейных алгебраических групп и их арифметикой. Эти связи охватывают целый комплекс вопросов, таких как слабая аппроксимация, справедливость принципа Хассе, вычисление чисел Тамагавы и др. Однако в данной книге мы не имеем возможности подробно заниматься этими вопросами и ограничимся краткими замечаниями в § 7.3. В действительности для наших целей вполне хватает следствий, получаемых непосредственно из предложения 3.

Следствие 1. Пусть X — квадрика, т. е. поверхность в Хп (л^1), задаваемая уравнением вида f(xi, ..., х„)=а, где f — невырожденная квадратичная форма над К, аеК*. Если Хк =#= 0, то для X имеет место слабая аппроксимация.

Действительно, хорошо известно, что X является гладким, а в случае Хх=#0— и /(-рациональным многообразием. Отметим, что вопрос о сильной аппроксимации для X оказывается более тонким (см. Рапинчук [8]).

Доказанное утверждение частично восполняет пробел, который остался у нас в предыдущей главе, где мы использовали наличие слабой аппроксимации для «сфер», связанных с формами всех типов, т. е. для многообразий вида Дх) = а, где /— квадратичная, эрмитова и т. д. форма. Как мы видели в § 6.6, «сферы», отвечающие эрмитовым формам над квадратичным расширением L/K или телом кватернионов D/K, в действительности эквивалентны квадрикам большей размерности, и поэтому слабую аппроксимацию для них можно считать доказанной. С другой стороны, для косоэрмитовых форм над телом

кватернионов D рациональность соответствующих сфер пока неизвестна, так что непосредственно предложение 3 здесь неприменимо. По этой причине приходится использовать несколько другой подход, который позволяет рассмотреть все типы форм одновременно и основывается на следующем обобщении предложения 3.

Предложение 3'. Пусть X — гладкое неприводимое К-много- образие такое, что для подходящего К-многообразия Y произведение XX Y рационально над К. Тогда для X имеет место слабая аппроксимация.

Доказательство легко получается из предложения 3 и утверждения 2) предложения 1.

Пусть теперь f— невырожденная л-мериая эрмитова (косоэрмитова) форма иад телом D, снабженным инволюцией т такой, что поле неподвижных относительно т элементов центра D совпадает с К-

Предложение 4. Пусть G — связная компонента унитарной группы Un(f). Тогда многообразие G рационально над К. В частности, для G имеет место слабая аппроксимация.

Доказательство получается при помощи известной параметризации Кэли — Диксона. А именно, обозначим через g = G(G) алгебру Ли группы G и рассмотрим соответствие

^д. (2)

Тогда оказывается, что р задает /(-определенный бирациональ- ный изоморфизм между g и G. Для доказательства следует заметить, что поскольку U„ (f) = {х е Мп (D) ®к К \‘xFx = F}, где для х = (х;;) полагаем *х = (т (х/;)), F— матрица формы f, то g = (X е Мп (D) ®к К I *XF + FX = 0}. Поэтому прямое вычисление, использующее (2), показывает, что образ р попадает в Un(f), а следовательно, и в G, ибо o(0) = £„eG и G является связной компонентой Un(f). При этом обратное к р отображение задается той же формулой (2). Таким образом, рациональность G доказана. Остается заметить, что групповые многообразия являются гладкими, и поэтому для них слабая аппроксимация автоматически вытекает из рациональности.

Теперь у нас уже есть все необходимое, чтобы завершить доказательство слабой аппроксимации для «сфер».

Следствие 2. Пусть f — невырожденная п-мерная (п ^ 2) эрмитова (косоэрмитова) форма, ае D* — соответственно эрмитов (косоэрмитов) элемент. Положим X=(xeDn®KR\f(x) = = а}. Тогда если Хк=А0, то X обладает слабой аппроксимацией.

Действительно, пусть х е Хк. Рассмотрим отображение ср: G->-X, q)(g) = gx, где G, как и выше, — связная компонента со-

ответствующей унитарной группы Un(f). Из теоремы Витта вытекает, что ср сюръективно, т. е. X можно отождествить с однородным пространством G/H, где H = G(x)— стабилизатор точки х, в частности, X является гладким. Более того, теорема Витта позволяет утверждать, что q>(Gt) = XL для любого расширения L поля К. Применяя это к полю рациональных функций L = K(.X), получаем рациональное /(-определенное сечение ф: X->-G, так что бирационально G изоморфно XX Н. Но в силу предложения 4 G рационально, поэтому доказательство завершается применением предложения 3'.

В связи с обсуждением проблемы рациональности отметим, что, к сожалению, группами, описанными в предложении 4, и /(-разложимыми группами в основном исчерпываются те групповые многообразия, о которых известно, что они рациональны. В частности, долгое время оставался не решенным вопрос о рациональности спинорных многообразий 8ртпф, являющихся двулистными накрытиями специальной ортогональной группы 8Оп^, рациональность которой вытекает из предложения 4. Несложно показать, что многообразие Spinn(f) при п ^ 5 является /(-рациональным (см. Платонов [18]), однако, как показано первым из авторов, для п ^ 6 вида 4^ + 2 над подходящим полем К существуют нерациональные спинорные многообразия (см. Платонов [18], [19]). Этот результат был получен на основе развития методов приведенной /(-теории, позволивших в свое время установить существование нерациональных многообразий типа SL^D') (см. Платонов [17], Воскресенский [3]). С другой стороны, если поле К является локально компактным, то любое спинорное многообразие над К всегда /(-рационально (см. Платонов [18], Платонов, Черноусов [1]), причем для К = R известна рациональность большинства групповых /(-многообразий. Для числовых полей рациональность Spinn(f) известна лишь над полем рациональных чисел (см. Черноусов [1]). Отметим, однако, что вопрос о слабой аппроксимации для алгебраических групп над числовыми полями решается другими методами (см. § 7.3).

Еще одно важное для нас применение предложения 3 содержит

Следствие 3. Пусть G — дедуктивная алгебраическая группа над числовым полем К и ТГ— многообразие ее максимальных торов. Тогда для ТГ имеет место слабая аппроксимация. В частности, если S <^VK — конечное подмножество и для каждого veS задан Kv-определенный максимальный тор T^cG, то существует такой К-определенный максимальный тор ТсС, который для любого и е S сопряжен с тором Т (и) при помощи элемента из Gk . ■

Действительно, будучи однородным пространством группы G, многообразие 6Г является гладким. Его рациональность над К

мы установили в теореме 2.18. Поэтому 2Г обладает слабой аппроксимацией. Далее, если х„ е Т— отвечающая Т (и) точка 2Г (и e S) , то торы из класса сопряженности ^gT (и) g-1 | g е Gk^ в точности соответствуют точкам орбиты Uy = Gkv%v. Но Uy открыто в 9"к у (см. следствие 2 из предложения 3.3), поэтому по свойству слабой аппроксимации для 9" найдется точка хе^^П II U«• Отвечающий ей максимальный тор

и Е S

TcG и будет искомым. (Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что слабая аппроксимация для многообразия торов имеет место всегда, вне зависимости от слабой аппроксимации в группе G. Уникальность этого явления заключается в том, что обычно слабая аппроксимация в однородном пространстве выводится из слабой аппроксимации в группе (ср. доказательство следствия 2), а не наоборот.)

Гипотеза Кнезера—Титса

Выше мы отмечали, что далеко продвинуться в вопросах аппроксимации для алгебраических групп, не используя групповую структуру, по-видимому, нельзя. Это объясняет появление в главе об аппроксимации параграфа, посвященного чисто структурным вопросам. Их последовательное изложение может составить предмет отдельной книги, так что настоящий параграф неминуемо приобретает обзорный характер. Тем не менее основной необходимый нам для дальнейшего результат о справедливости гипотезы Кнезера—Титса над локальными полями (теорема 6) мы доказываем фактически полностью.

Структурная теория линейных алгебраических групп дает, практически, исчерпывающую информацию о строении алгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем. Однако ситуация резко меняется, если рассматривать группы рациональных точек GK над полем К, которое не является алгебраически замкнутым. Основные трудности при этом сосредоточены в случае простой группы G, которым мы и будем здесь заниматься. Необходимо различать также /(-анизотропный и /(-изотропный случаи. В первом структура GK в существенной степени определяется не только самой группой G, но и арифметикой поля К. В частности, в зависимости от G и К группа Gk может быть финитно аппроксимируемой или даже проразреши- мой (см. § 1.4, п. 4). Наоборот, в изотропном случае Gk всегда содержит «большой» нормальный делитель, который уже не содержит собственных нецентральных нормальных подгрупп. Более точно, для абсолютно простой, определенной и изотропной над полем К группы G обозначим через Gk подгруппу (в дей- ■ствительности, нормальную подгруппу) в GK, порожденную

/(-рациональными элементами унипотентных радикалов /(-определенных параболических подгрупп (отметим, что в основном для нас случае совершенного поля К можно определить G^ просто как подгруппу, порожденную /(-рациональными унипотентными элементами). Тогда имеет место следующая

Теорема 1 (Титс [1]). Пусть поле К содержит не менее четырех элементов. Тогда любая подгруппа в Gk, нормализуемая группой Gk , либо содержит Gk, либо центральна. В частности, Gk не имеет нетривиальных нецентральных нормальных делителей.

Доказательство этой теоремы, которое мы здесь не приводим, использует построение в группе GK некоторой fi^-пapы (см. § 3.4). Отметим, что для классических групп утверждение теоремы может быть получено методами геометрической алгебры (см. Артин [1],Дьедонне [2]).

Из теоремы 1 вытекает, что строение (по крайней мере нормальное) группы Gk можно считать известным, если Gk = Gk- Уже довольно давно было показано, что это действительно так, если односвязная группа G является /(-разложимой (Шевалле [4]) или /(-квазиразложимой (Стейнберг [2]). Это, в частности, в силу предложения 6.1 дает полную картину в случае конечного поля К.

Предложение 5. Если группа G односвязна, а поле К конечно, то Gk = Gk. В частности, если [К] Д? 4, то группа GK не имеет нетривиальных нецентральных нормальных делителей.

(Исключительные случаи полей F2 и F3 разобраны в работе Титса [1].)

Имеются результаты о совпадении Gk и Gk для других типов полей, о которых мы расскажем ниже. Кроме того, известно, что Gk = Gk, если G является группой типов Вп, Сп (п ^ 1) либо некоторой специальной формой одной из исключительных групп (см. Титс [4]). Эти результаты, по-видимому, послужили мотивировкой для формулировки следующей естественной гипотезы (см. Титс [1]):

Гипотеза (Кнезер — Титс). Для односвязной простой группы G, определенной и изотропной над произвольным полем К, всегда Gk = Gk-

Условие односвязности здесь существенно и заведомо не может быть опущено. Чтобы показать это, прежде всего заметим, что если л: G->-G—универсальное /(-определенное накрытие и поле К совершенно, тол(8^) = С^. В самом деле, пусть g^GK— унипотентный элемент, причем £ = л(х), где х е G. Если х = xsxu — разложение Жордана, то, очевидно, л(х5)=1, л(хц) = £, так что можно считать элемент х унипотентным. Для любого не Gal(K//() имеем л(ст(х)) = a(g) = g = л(х), так что

a(x) = fx, где ^Ер = Кегл. Но F состоит из полупростых элементов, поэтому из унипотентности х и о (л ) вытекает, что f = 1, т. е. хеСк. Мы показали, что любой унипотентный элемент из Gk является образом унипотентного элемента из Ок- Так как в силу совершенности К любой унипотентный элемент из GK лежит в унипотентном радикале подходящей /(-определенной параболической подгруппы, то отсюда вытекает, что л (5к) = Gk, что и требовалось. С другой стороны, имеется обширный класс полей К, для которых л^д;)^ GK при Кегл^ 1.

Теорема 2 (Платонов [10]). Пусть К — конечно порожденное бесконечное поле, л: G—►G— нетривиальная центральная К-изогения связных алгебраических К-групп. Тогда л^СД)#: G^. В частности, если группа G неодносвязна и изотропна над бесконечным, конечно порожденным полем К, то Gke^ СД

Гипотеза Кнезера — Титса очевидным образом справедлива для алгебраически замкнутого поля К. Однако уже случай поля вещественных чисел требует более тонких рассуждений.

Предложение 6 (Э. Картан [1]). Пусть G — простая односвязная алгебраическая группа над полем вещественных чисел R. Тогда группа Gr не имеет нетривиальных нецентральных нормальных делителей. В частности, группа Gr связна, и для R-изотропной группы G всегда Gr = Gr.

Доказательство для случая R-анизотропной группы G, т. е. когда Gr компактна, было проведено нами в § 3.2 (см. предложение 3.6). В изотропном случае оно использует некоторые структурные результаты о группе G (см. Борель, Титс [1]), которые справедливы над любым полем К и понадобятся нам также и в дальнейшем. Пусть S — максимальный /(-разложимый тор группы G, H = ZGkS^—его централизатор, U и U- — унипотентные радикалы двух противоположных минимальных параболических подгрупп, содержащих тор S. Тогда морфизм- произведение задает /(-определенный изоморфизм UXHXIF на открытое по Зарисскому подмножество ТсС. Для любого g е GK множество V = W П gW"1 в силу связности G является непустым и открытым, поэтому V П GK = WK П g^K1 N= 0, ибо Gk плотно в G (теорема 2.2). Таким образом, gE е WKWK", в частности, WK порождает GK, откуда следует, что

Gk/Gk ~НкКНкПО^,

и поэтому Gk=Gk в том и только том случае, если НксСк. Далее, разложим Н на составные части. Пусть S' — связная компонента центра группы И (отметим, что, вообще говоря, S'V= Sy Тогда S' является тором, a S — его максимальным /(-разложимым подтором. Поэтому S' представляется в виде почти прямого произведения 8' = 8-8", где 8"— макси-

мальный /(-анизотропный подтор в S'. В свою очередь, Н = = D-S', где /) = [//,//]— полупростая /(-анизотропная группа. Положим B = D-S". Тогда H=B-S— почти прямое произведение, причем группа В анизотропна над К. Известно (см. Борель, Титс [2]), что S содержится в односвязной /(-разложимой полупростой подгруппе в G, и, следовательно, S^ cGk- Воспользуемся теперь спецификой поля R. Рассмотрим коммутативную диаграмму

H—+H/S

В -A- BfB ns

и покажем, что a (Br) = (В/В П S)R. Группа В,В П В анизотропна над R, поэтому группа (B/BDS)R компактна и, следовательно, связна (следствие 1 из теоремы 3.6). Поэтому в силу следствия 3 из теоремы 3.6 a (Br) = (В/В П S)R, откуда Hr = BrSr. Так как SR с GR, то достаточно установить включение BRcGR. Поскольку группа Br также компактна, а значит, и связна, то это вытекает из открытости Gr (теорема 3.3). Предложение 6 доказано.

Случай поля вещественных чисел является, по-видимому, единственным, где доказательство гипотезы Кнезера — Титса основывается на общих структурных соображениях. Во всех остальных случаях приходится, как правило, отдельно разбираться с каждым из типов простых групп. Это отчетливо видно уже в случае неархимедова локально-компактного поля К, который наиболее важен для нас с точки зрения задач аппроксимации. Здесь доказательство гипотезы Кнезера — Титса было впервые получено В. П. Платоновым. Оно основывается на классификации простых алгебраических групп над локальными полями и состоит в редукции к группам классического типа, для которых доказательство получается из других соображений. Изложение доказательства мы начнем с напоминания используемых фактов о классических группах.

Доминирующее положение в классических группах занимают группы типа Ап. Если G является внутренней формой типа Ап, то G = S£m(Z)), где D — конечномерная центральная алгебра с делением над К (см. § 2.3). Условие /(-изотропности G равносильно неравенству т ^ 2, и в этом случае обозначим через SL'm (/)) подгруппу в Gk = SLm ^D^, порожденную трансвекция- ми, т. е. такими матрицами xeSLAD1), которые в подходящем базисе пространства Dm имеют вид элементарной матрицы etj (a), «eD, i =# j. Легко видеть, что каждая элементарная матрица является унипотентным элементом (более того, лежит в унипотентном радикале подходящей параболической подгруппы),

И ПОЭТОМУ SLm (/)) с ОД- с другой стороны, подгруппа -S^m (/)).! нормальна в SLm)D) (и даже в GLm(D)), так что в силу теоремы 1 G^=SLm ДВ). Таким образом,

G^G^ ~ SLm (B)ISLm ф\

Но определитель Дьедонне (см. Артин [1], Дьедонне [2]) индуцирует изоморфизм последней факторгруппы на приведенную' группу Уайтхеда SKi (В) = SLy (/))/[/)*, /)*] алгебры В. Итак, для группы G = S£m(Z)) (т ^ 2) справедливость гипотезы Кнезера— Титса равносильна высказанной в 1943 г. гипотезе Тан- наки — Артина о тривиальности приведенной группы Уайтхеда ВКДВ) (см. также Басс [2], с. 222).

Аналогично, если G— внешняя форма типа Ап, то G = = SUm(f), где f— невырожденная m-мерная эрмитова форма над телом В с инволюцией т второго рода, причем К совпадает с подполем т-инвариантных элементов центра L тела В. Условие К-изотропности G сводится к изотропности формы / (см. § 2.3), и в этом случае группа G^ совпадает с подгруппой TUm(f), порожденной так называемыми унитарными трансвек- циями. Далее, норма Уолла индуцирует изоморфизм факторгруппы SUm(f) /TUm(f) на приведенную унитарную группу Уайтхеда SUKi(B). Последняя определяется как факторгруппа 2'/2, где 2 — подгруппа в В*, порожденная всеми симметрическими относительно т элементами, а 2' состоит из элементов с симметрической приведенной нормой (подробности см. в работе Янчевского [2]).

Теорема 3. Пусть В — конечномерная алгебра с делением (соотв., конечномерная алгебра с делением, снабженная инволюцией второго рода) над локальным или глобальным полем. Тогда приведенная группа Уайтхеда SKi(B) ^соответственно приведенная унитарная группа Уайтхеда 5ВКДВ)) тривиальна.

Доказательство тривиальности SKi (В) мы провели в гл. 1 (см. § 1.4—1.5). Тривиальность SUKAB) над локальным полем очевидна, ибо здесь В ~ L-, случай глобальных полей разобран в работе Платонова, Янчевского [1].

Теорема 3 перестает быть справедливой над произвольным полем К, т. е. гипотеза Кнезера — Титса в общем случае неверна. Круг связанных с этим вопросов мы обсудим в заключительной части параграфа, а сейчас укажем класс групп, для которых гипотеза Кнезера — Титса, наоборот, справедлива над произвольным полем. Это, в первую очередь, спинорные группы G = Spinn(f), п^З, где f— невырожденная /(-определенная квадратичная форма. Условие /(-изотропности G эквивалентно /(-изотропности f (см. § 2.3), и тогда известные результаты геометрической алгебры (см. Артин [1], Дьедонне [2]) дают полную картину строения соответствующей специальной ортого-

нальной группы SOnV^K- образ Spinn(f)n в 80пфк при естественном двулистном накрытии л: Spinn(f)^~SOn(f) (который совпадает с ядром так называемой «спинорной нормы») не имеет собственных нецентральных нормальных делителей и

ЗОЛПк^^рт^Пк^КЧК*2.

С другой стороны, Кегл={±1} вкладывается в группу Spin3(g), где g— трехмерная изотропная подформа f, а так как Spin3(g) ~ SL2 над К, то

— 1 е Spin3 ^к cz Spin3 (Пк,

и, окончательно, Spinn (Пк = Spinn (Лк .

Осталось разобрать случай унитарных групп над телами с инволюцией первого рода. Итак, пусть D— тело над К с инволюцией т первого рода и первого типа (это означает, что если ID:K^ = m2, то dim//=-^-Цр—^). Если невырожденная полуторалинейная форма f степени п является косоэрмитовой, то в силу результатов § 2.3 группа G = SUn(f) является простой односвязной группой типа С/, причем, как показал Дьедонне [1], для нее всегда выполняется гипотеза Кнезера — Титса. Для эрмитовой формы f группа G = SUn(f) является неодносвязной группой типа Di, причем для односвязной накрывающей G гипотеза Кнезера — Титса выполняется при условии, что D — тело кватернионов (см. Сейп — Хорнике [1]). Таким образом, гипотеза Кнезера — Титса выполняется над произвольным полем для всех групп типов Bi, Ci и групп типа Di, связанных либо с полем, либо с телом кватернионов. Так как над локальными и глобальными полями этими группами исчерпываются все группы классических типов (см. § 2.3), то мы можем подвести итог нашего обсуждения гипотезы Кнезера — Титса для таких групп.

Предложение 7. Пусть К—локальное или глобальное поле. Тогда для любой простой односвязной К-группы G, относящейся к одному из типов Аь Bi, Сь Di (кроме 3П^ 6DA, выполняется гипотеза Кнезера — Титса.

Редукция доказательства гипотезы Кнезера — Титса для произвольных групп к группам классического типа проводится по следующей схеме. Пусть простая односвязная К-группа G изотропна над К и S ст G— максимальный К-разложимый тор. При доказательстве предложения 6 мы видели, что равенство •Gk = Gk равносильно включению Н^ссОк, где H = ZG(S( — централизатор тора S. Чтобы установить это включение, строятся такие простые односвязные К-изотропные подгруппы Gi ст G, .нормализуемые тором S, для которых гипотеза Кнезера — Титса

уже доказана (скажем, G,— группы классического типа), и группы HtK, где Hi = Zg. (S П G^q, порождают Нк (отметим, что (SDG,)0— максимальный /(-разложимый тор в Сг и HicHy Если такое построение возможно, то Н^ с G^ = G^ с G^, и, следовательно, HkcGk. что и требовалось. Впервые этот метод был применен В. П. Платоновым [4] для доказательства гипотезы Кнезера — Титса над локальными полями. Подгруппы Gt строились при этом путем выбрасывания одной или нескольких выделенных вершин в соответствующем индексе Титса группы G, поэтому этот метод получил название «процедуры выбрасывания вершин». Позднее Прасад и Рагунатан [3] развили этот метод и показали, что в качестве групп G( можно всегда выбрать группы /(-ранга 1. Тем самым получена редукция доказательства гипотезы Кнезера — Титса над произвольным полем к группам относительного ранга 1. Для точной формулировки этого результата нам понадобятся некоторые напоминания и дополнительные обозначения.

Выберем максимальный /(-определенный тор Т с G, содержащий максимальный /(-разложимый тор S. Пусть /?=/? (Т, G)— соответствующая система корней, П с R— подсистема простых корней, которая (однозначно) определяется заданием подгруппы Бореля BcG, содержащей тор Т и содержащейся в некоторой минимальной параболической /(-подгруппе. Обозначим через По подмножество в П, состоящее из корней с тривиальным ограничением на S; тогда П\П0 — это в точности множество выделенных вершин в индексе Титса группы G. В § 2.1, п. 14 мы определили естественное действие группы Галуа 8 = = Gal (/(/К") на П (так называемое с-действие). Тогда оказывается, что относительно этого действия множества По и П\П0 инвариантны, причем число S-орбит на П\П0 совпадает с /(-рангом G. Для произвольного подмножества 0 с П положим Т(0) = П (Кег 6)°, //(0) = ZG (Т(0)) и обозначим через G(0) О е<->

коммутант группы //(0) (в частности, Н = Н(По) — централизатор максимального /(-разложимого тора и G0 = G(n0)—анизотропное ядро группы G). Мы будем в основном работать с S’-инвариантными подмножествами 0, содержащими По. Тогда соответствующая группа G(0) является односвязной полупростой (но не обязательно простой) /(-группой, причем ее /(-простые компоненты легко найти, пользуясь индексом Титса: они соответствуют орбитам группы 8 на множестве связных компонент поддиаграммы в П, в которой оставлены лишь вершины из 0 и соответствующие связи (пример: если индекс имеет вид

и в = По, то G(0) имеет две /(-простые компоненты

® ■ Q ■

одна из которых имеет тип Л^ а другая получается из группы типа А[ путем ограничения поля с квадратичного расширения К'). Пусть 0ь ..., 0Г — все S'-орбиты на множестве П\П0. Тогда /(-ранг группы G(0;Uno) равен 1, и, следовательно, она обладает единственным /(-простым /(-изотропным сомножителем Gi. В этих обозначениях справедлива

Теорема 4 (Прасад, Рагунатан [3]). Предположим, что rangK G ^ 2. Тогда группа Нк порождается группами Н^, где Нt = Н П Gi. В частности, если гипотеза Кнезера — Титса справедлива для всех Gi, то она справедлива и для G.

Доказательство получается редукцией к следующему когомологическому утверждению, которое представляет независимый интерес.

Теорема 5. Пусть Пь ..., П„— такие ^-инвариантные под- d

множества в П \ По, что П П,= 0. Тогда естественное ото- ;=1

брожение

d

НЦК, С^НнЦК, С(пгипо))i = i

имеет тривиальное ядро.

Доказательство теоремы 5, которое мы опускаем, отсылая читателя к работе Прасада, Рагунатана [3], становится тривиальным в основном интересующем нас случае неархимедовых локальных полей, ибо здесь //*(/(, G0)=l (теорема 6.4).

Доказательство теоремы 4. Обозначим через Пг дополнение к 0Z в П\П0 И положим Ci = Н (Пг (J По), Dt = G (П, U По). Отметим, что HczCi, GoczDi для любого z=l, . .., г.

Лемма 1. Каноническое отображение

HjG0^ п Cl!Dii = l

является изоморфизмом.

Доказательство. Положим Та = Т Q Ga, где Ga — соответствующая корневая подгруппа, совпадающая в наших обозначениях с G({a}). Хорошо известно (см. Стейнберг [2]), что т = П та, и, следовательно, для любого подмножества 0 сд П nell

подгруппа Те, порожденная Та для а е 0, совпадает с прямым

произведением П^а- Легко видеть, что TeCzG(0). Но

а Ев

rang G (0) = dim Т — dim Z (Н (0)) ^

^ dim Т— dim Т (0) = dim Тв, (1)

так что Тв является в действительности максимальным тором в G (0) и Т П G (0) = Т (0). Отсюда получаем также, что неравенство в (1) на самом деле является равенством, и, следовательно, Z (Н (0))° с= Т (0) с= Т. Так как Н (0) = G (0) Z <Н (0))°, то Н (0) = G (0) Т. Но Т = ТвХТпхв и TgCzG^, поэтому Н (0) = G (0)Тпхе. С другой стороны,

7п\вП6(0) = 7пХеП (7'П6(0)) = 7'пхеП7'е=1,

так что в действительности Н(0) является полупрямым произведением G(0) и Тпх 0. Отсюда следует, что в коммутативной диаграмме

Н/GoП СМ

Г(П \ По)II 7(0,.),

= 1 индуцированной соответствующими вложениями, все стрелки, кроме а, являются изоморфизмами. Поэтому а — также изоморфизм. Лемма 1 доказана.

Коммутативная диаграмма

1 Go* Н^H]G0->-1

I;I

П АП с£П (смм 1

z=ii=i;=1

индуцирует следующую коммутативную диаграмму когомологий Галуа с точными строками:

. G0K> НК > №> Л (К, Go)

гомоморфизм

является изоморфизмом. Отсюда следует, что группа Нк порождается подгруппами

Ft = Нк П ( П . D, Л ^НПО^и П0))к.xj =#1/

Имеем Н П G (0; U По) = Л; X Нь где Лг — произведение /(-анизотропных множителей группы G(0;Uno), так что Ft = AiKHtK. Остается заметить, что для любого i Ai cz Go, а в силу связности индекса Титса группы G каждая компонента Go лежит в подходящей группе G;, следовательно, и в Н,. Теорема 4 полностью доказана.

Теперь уже несложно завершить доказательство основного результата этого параграфа.

Теорема 6 (Платонов [4]). Пусть К— неархимедово локально компактное поле. Тогда для любой простой односвязной К-изотропной группы G выполняется гипотеза Кнезера — Титса, т. е. Gk = Gk-

Доказательство. Так как группы типов 3D4 и 6Da являются квазиразложимыми (см. предложение 6.15) и, следовательно, в специальном рассмотрении не нуждаются, то принимая во внимание предложение 7 и теорему 4, мы видим, что достаточно установить отсутствие исключительных групп /(-ранга 1. Воспользуемся предложениями 6.15 и 6.16. Тогда все группы типов- Ев, F4, G2 разложимы над К, так что их можно ие рассматривать. Любая группа типа Е7 разложима над квадратичным расширением поля К, и значит, аналогичным свойством обладает ее анизотропное ядро. С другой стороны, как следует из теоремы 6.5, анизотропное ядро является произведением групп, которые являются внутренними формами типа Л„. Поэтому анизотропное ядро должно иметь тип Ai + ... +Лц Но диаграмму такого типа невозможно получить из диаграммы типа Е7, выбросив одну вершину, так что /(-ранг исходной группы типа Е7 необходимо больше 1. Аналогичное рассуждение применимо к внутренним формам типа Е6. Эти формы разложимы над расширением К третьей степени, откуда вытекает, что анизотропное ядро должно иметь тип А2+ ... + А2. Но чтобы получить диаграмму такого типа, из Е6 необходимо выбросить, как минимум, две вершины. Любая внешняя форма типа 2Е6 квазираз- ложима над К и ее ранг равен 4. Доказательство теоремы 6 завершено.

Таким образом, имеется значительное число результатов, подтверждающих гипотезу Кнезера—Титса для различных

групп G и классов полей К. Эти результаты способствовали формированию мнения, что и в общем случае ответ на эту гипотезу должен быть утвердительным. Однако в 1975 г. первым из авторов был получен отрицательный ответ. А именно, вначале в работе [13] были построены первые примеры тел D над полем рациональных функций Q(x,y), для которых SKi(Z))#=l, а затем в серии работ [14] — [16] была развита приведенная /(-теория для вычисления группы SKi(D). Оказалось, что группа ЗКд^В^ может быть любой конечной и даже бесконечной абелевой группой конечного периода для подходящих тела D и поля К. После выхода работ [13] — [16] исследования по приведенной /(-теории стали интенсивно проводиться рядом других авторов (см. Драксл, Кнезер [1]). Полученные в этих последующих работах результаты представляют некоторое обобщение и детализацию первоначальных теорем. Обзор основных результатов приведенной /(-теории содержится в докладе Платонова [17] на Международном математическом конгрессе в Хельсинки, докладе Титса [4] на семинаре Бурбаки и трудах семинара Драксла — Кнезера [1].

Аналогичные результаты были получены и для приведенной унитарной группы Уайтхеда. А именно, в работе Платонова, Янчевского [3] показано, что группа SUKa(D) может быть нетривиальной, а затем Янчевским в [2] была развита приведенная унитарная /(-теория, являющаяся аналогом приведенной /(-теории в унитарной ситуации и позволяющая во многих случаях вычислить группу SUK^tD).

В заключение отметйм, что недавно были построены примеры односвязных /(-изотропных групп G типа Dn, для которых Gk^Gk (см. Монастырный, Янчевский [1]). Таким образом, для групп классических типов в отношении гипотезы Кнезера — Титса имеется вполне завершенная картина. Рассмотрение некоторых исключительных типов содержится в докладе Титса [4].

Слабая аппроксимация в алгебраических группах

В этом параграфе мы покажем, что для связной алгебраической группы G слабая аппроксимация «почти всегда» имеет место. А именно, справедлива

Теорема 7. Пусть G — связная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел К. Тогда существует такое конечное подмножество So cz У^, что группа G обладает слабой аппроксимацией относительно VK\S0. В частности, G всегда обладает слабой аппроксимацией относительно S = K*.

Как показывают примеры, в общем случае нельзя положить SQ = 0, даже если группа G полупроста. Однако в «крайних»

■случаях односвязной и присоединенных групп слабая аппроксимация всегда имеет место.

Теорема 8. Пусть G— полупростая группа над числовым .полем К, являющаяся либо односвязной, либо присоединенной. Тогда G обладает слабой аппроксимацией.

Доказательство этих фактов использует теорию приведения, справедливость гипотезы Кнезера — Титса для локальных полей, принцип Хассе для односвязных групп и одно достаточное условие наличия слабой аппроксимации в алгебраических торах, впервые отмеченное Ж-П. Серром (неопубликовано).

Предложение 8. Пусть Т— алгебраический К-тор, разложимый над расширением Галуа L/K, S'= Gal (Л/К) и Sc^VK— конечное подмножество. Предположим, что для каждого и е S выполнено следующее условие:

существует у' ^ S, для которого группы разложения S (ш) и S (ц>') подходящих(1)

продолжений w| у и w' \ и' совпадают.

Тогда Т обладает слабой аппроксимацией относительно S. Условие (1) автоматически выполняется, если для w\u локальная группа Галуа Ga\(Lw/Kv) циклическая.

Доказательство. Положим H = RL/KCn и обозначим через ф: Н->Т — «норменное» отображение (см. доказательство предложения 6.7). Легко видеть, что ядро ^ = Kerф также является /(-определенным алгебраическим тором. Имеем НЦК, П) = Нх (L, Т) = 1, ибо тор Т является Г-разложимым. Аналогично устанавливается, что Нх (Ки, И) = 1 для любого уеП. Точная последовательность

1 -> N Н Т 1(2)

для любого конечного S cz VK индуцирует следующую коммутативную диаграмму когомологий Галуа с точными строками:

НК^ТК-НЧК, N)> 1

HS^*TS НЧК„, N^l,

ъ которой ос, р являются диагональными вложениями, у есть произведение отображений ограничения НЧК, П')^ НЧ Ку, N), а Ф индуцировано ф. Поскольку Т разложим над L, то

HK~TL~ L*4, Hs ~ Т§ ~ П г»,

где d = dim Т, S — совокупность всех продолжений на L нормирований из S, так что из слабой аппроксимации для поля L

вытекает, что вложение а является плотным. Отсюда следует, что р(ф(Дк)) плотно в ф(Д$), и, учитывая открытость Ф(Д5) в Ts (см. следствие 1 из предложения 3.3), получаем, что слабая аппроксимация для Т относительно S равносильна равенству

Т5 = Р(7'К)Ф(Д5).

Последнее, как легко видеть, в точности эквивалентно сюръективности у. Для вычисления образа у рассмотрим точную последовательность

\^Nl^Nal^Cl (N)^l,

где Nal — группа аделей тора N над L, Cl(N) = Nal[Nl— соответствующая группа классов аделей. Переходя к когомологиям, получим точную последовательность

Д1 (ЦК, Nl) -> № (UK, Nal) -^ Д1 (ЦК, CL (N)).

Далее, представим Nal в виде Nal = N^ X-N^a^- и заметим, что

Н\ЦК, ^) = П НЦЦК, П^ = П НЦЬЦК,, NY х' 06ES кш|оDEES

Поэтому в смысле этих отождествлений

Im у = {х е Д1 (ЦК, КЦ | Зу е Нх (ЦК, N(al)^, 6 (х + у) = 0}. Отсюда следует, что у сюръективно в том и только том случае, когда

6 (Ю (ЦК, N^)) С 6 (Ю (ЦК, N^y(3)

Воспользуемся теперь теоремами Накаямы — Тейта (см. § 6.3), из которых вытекает существование естественных изоморфизмов нЧику, N) ~ Н~г (LwjKu, X.(N)Y

Ц (ЦК, CL (N)) ~ Н"1 (ЦК, х, (N)Y где Х*(Д)— группа кохарактеров тора N. При этом, как показывает предложение 6.8, сквозное отображение н-' (LJKV, X. (N)) ~ Д1 (ЩКУ, N) = HX(ЦК, П NLA

Д1 (ЦК, CL (N)) ~ Д-1 (ЦК, X, (N))„ индуцированное композицией Ц Nlw Nal -^-Cl(N), совпадает с гомоморфизмом коограничения CorJ^j, который мы обозначим через p(w). Принимая во внимание описание когомологий групп аделей (см. предложение 6.6), получаем, что включение;

эквивалентно следующему:

У, Imp(ty)czy Imp (да) (4)

(для каждого и выбирается одно продолжение да|и). Если теперь выполняется условие (1), то для каждого ueS найдутся o'^S и такие продолжения да | и и w' | и', что Im р(да) =Im р(да'), и тогда, очевидно, (4) выполняется. Следовательно, Т обладает слабой аппроксимацией относительно S. Остается заметить, что если группа ^(да) = Gal (Lw/Kv) циклическая, скажем, S(®) = =<о>, то в соответствии с теоремой плотности Чеботарева существует бесконечно много таких у g Ущ что расширение Lw'fKv' неразветвлено и автоморфизм Фробениуса Fr (LW’IKV’) = о; в частности, и' с указанным свойством можно выбрать вне S. Тогда S(®') =<о> = S (да). Предложение 8 полностью доказано. (Отметим, что другое доказательство предложения 8 можно найти у Воскресенского [3], см. теорему 3.36.)

■ Следствие 1. Пусть Т— К-определенный тор. Тогда существует такое конечное подмножество So cl У*, что Т обладает слабой аппроксимацией относительно VKX\S0.

Действительно, пусть L — поле разложения тора Т. Возьмем в качестве So множество тех нормирований и g yf, которые разветвлены в L; конечность множества So хорошо известна. Тогда любое нормирование и е У^\50 либо архимедово, либо неразветвлено в L; и в том и в другом случае локальное расширение ИДК» (да|и) является циклическим. Поэтому из предложения 8 вытекает, что Т обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного подмножества S cz V^XSo, а следовательно, и относительно всего множества V^XSo (см. предложение 1).

Следствие 2. Пусть F— диагонализируемая К-группа. Для и е У^ обозначим через 8(F,v) ядро действия группы Галуа S(u) = Gal (Kv/ПД на группе характеров X(F) и пусть So— множество таких неархимедовых и, что факторгруппа S (и)/8 (F, и) не является циклической. Тогда So — конечное множество, и для любого конечного подмножества S cz V^XSo естественное отображение НЧД, F) —► Ц nl(Kv, F) сюръективно. В частности, отображение ИДК, F)-> П HX(KV, F)

всегда сюръективно.

Доказательство. Обозначим через S (F) ядро естественного действия группы Галуа S = Gal(^/^ на группе характеров X(F), и пусть Р — отвечающее S (F) неподвижное поле. Тогда Р является минимальным полем разложения для F; в частности, расширение P/К конечно. Ясно, что факторгруппа 8/8(F),

совпадает с группой Галуа Gal(P/K), а факторгруппа; S'(u)/S'(F, и) для и G VK— с группой Галуа Gal(Pw/Kv) соответствующего л.кального расширения. С учетом этих замечаний рассуждения, использованные при доказательстве следствия 1, позволяют установить конечность So- Воспользуемся теперь предложением 2.1 и включим F в точную последовательность

1 ^F^TX^T^\,(5)

где 7^ иГ— торы, разложимые над Р, причем тор Тх квазиразло- жим над К- Тогда для любого расширения L поля К Нг(Ь,Тх)= = 1, так что точная последовательность (5) для любого конечного S се уК индуцирует следующую коммутативную диаграмму с точными строками:

Т, Н1 (К, F)> 1

12К

1I!х

I!/(6)

T1S " T.s П н\1

Если теперь предположить, что S cz ^XSq, то из предложения 8 вытекает, что для Т2 имеет место слабая аппроксимация относительно S. В частности, учитывая открытость 0(Tls) в T^Sy получаем, что

^ = Р(М0(^)-

Для доказательства сюръективности х теперь остается применить ф к обеим частям этого равенства и воспользоваться коммутативностью (6).

Разобрав случай алгебраических торов, мы начнем последовательно продвигаться в направлении доказательства теорем 7 и 8. Первый этап заключается в доказательстве теоремы 8 для односвязных групп.

Предложение 9. Пусть G — полупростая односвязная К-груп- па. Тогда G обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного подмножества S cl Vk.■

Доказательство с помощью предложений 1, 2 легко сводится к случаю простой односвязной /(-группы G. Как мы отмечали в § 2.4, п. 3, многообразие G унирационально над К, т. е. существует доминантный /(-определенный морфизм f: U -^ G, где U — открытое подмножество подходящего аффинного пространства А'2. Из предложения 3.3 вытекает, что f(Us) содержит открытое в Gs подмножество. Но в силу утверждения 4) предложения 2 7/ обладает слабой аппроксимацией, так что замыкание GK группы GK в Gs содержит f(UK)^f(UK)=f(Us) и поэтому является открытой подгруппой. С другой стороны, в силу теоремы 5.5

факторпространство Ga/Gr имеет конечный объем, так что, представляя Ga в виде Ga = Gs X Gas и используя лемму 3.17, получаем, что факторпространство Gs/Gk также имеет конечный объем. Отсюда следует, что индекс [Gs: G^] обязан быть конечным (отметим, что при доказательстве этого факта мы не использовали ни односвязность, ни простоту, так что он сохраняет силу для любой полупростой /(-группы). Пусть теперь G является односвязной простой /(-группой типа, отличного от Лл. Тогда для всех неархимедовых и группа G является /(„-изотропной (теорема 6.5), и поэтому из предложения 6 и теоремы 6 вытекает, что для любого уе Vk группа Gxy не имеет собственных нецентральных нормальных делителей. Отсюда следует, что группа Gs не имеет собственных подгрупп конечного индекса, и, значит, Gs = Gr. Случай групп типа Лл требует специального рассмотрения.

Лемма 2. Пусть G — односвязная простая К-группа типа Ап. Тогда G обладает свойством слабой аппроксимации относительно любого конечного S.

Доказательство. Здесь имеется две возможности: G = = SL.,(/)) или G = SUm(f), где /—невырожденная т-мерная эрмитова форма над телом D с инволюцией т второго рода, причем поле неподвижных относительно т элементов центра D совпадает с К. Положим тогда соответственно H = GLm(D) или H = Um(f). Утверждается, что GKy = [Дко, Як0] Для любого ие VK. Если G изотропна над КУ или и е У», то это вытекает из теоремы 6 и предложения 6. В противном случае Gr^ ~ ~ SLX (Л), Hr ~GLt(A), где А—алгебра с делением над КУ, и требуемое в точности эквивалентно тривиальности SK\^A^ (см. § 1.4, п. 3). Так как рациональность многообразия GLm(D) очевидна, а рациональность многообразия Um(f) вытекает из предложения 4, то многообразие Н всегда рационально над К. Поэтому из предложения 3 вытекает, что Н обладает слабой аппроксимацией, т. е. Нк = Hs. Тогда \^к, Нк] плотно в ^Hs,HsA = Gs, и, следовательно, Gs = \НК, Нк^ cz GK. Доказательство леммы 2 и предложения 9 завершено.

Установим теперь когомологический критерий слабой аппроксимации в произвольной полупростой группе G, принадлежащий Кнезеру [5]. Как и следует ожидать после предложения 9, этот критерий формулируется в терминах соответствующей фундаментальной группы F, т. е. ядра универсального /(-определенного накрытия л: G->G. Имея, однако, в виду доказательство теоремы 7, мы сформулируем несколько более общее утверждение, относящееся к так называемым специальным накрытиям л: Н-> Н произвольных редуктивных групп (см. § 2.2, п. 4), т. е. таким изогениям, что Н является прямым

произведением односвязной полупростой группы и квазиразло- жимого тора.

Предложение 10. Пусть л: Н->Н— специальное К-опреде- ленное накрытие редуктивной группы Н, Кег л = F. Тогда группа Н обладает слабой аппроксимацией относительно конечного подмножества S cz VK, содержащего Ум в том и только том случае, если каноническое отображение Нх (К, F) Ц Нх (Kv, F) сюръективно.

Доказательство. Имеем следующую диаграмму традиционного для нас вида:

И кНк Нх <К, F) —Нх <К, Н^

1“? Ь Iе (7)

HsHs п нх f^ILh' (Kv, Н)

Так как Н = D^T, где D — односвязная полупростая /(-группа, а Т — квазиразложимый тор, то из предложения 9 и утверждения 4) предложения 2 вытекает, что а является плотным вложением. Отсюда следует, что слабая аппроксимация для И равносильна равенству Hs = ₽(//к)П(Дз), что в свою очередь сводится к сюръективности индуцированного отображения у': Кег0->Кег0. Заметим теперь, что для любого расширения P/К имеем Нх (Р, И) = НЦР, D). Поэтому из теорем 6.4 и 6.6 вытекает, что Нх (Kv, Н) = 1 для неархимедовых и, и отображение Н1 (К, Я)-> П Нх (Kv, Н) биективно. В частности, по

скольку S=> Ум, то 6 инъективно. Отсюда без труда следует, что если у сюръективно, у' также сюръективно, и, значит, группа Н обладает слабой аппроксимацией относительно S. Обратно, слабая аппроксимация для Н влечет сюръективность у'. Но тогда,

П{0}Х П Н1^., Е) с ^er 0 = Im у'cz Im у.

Так как отображение НЦК, F)^>- Ц //*(/(„, F) всегда сюръек

тивно (следствие 2 из предложения 8), то отсюда получается сюръективность у. Предложение 10 доказано.

Теперь уже легко доказать теорему 7. Если группа G полупроста, то ее универсальное накрытие л: G -*- G является специальным, и требуемое утверждение непосредственно вытекает из предложения 9 и из следствия 2 предложения 8. Случай произвольной связной группы легко сводится к редуктивному (см. следствие из предложения 1). К сожалению, не любая редук-

тивная группа G обладает специальным накрытием, и непосредственно воспользоваться предложением 10 нельзя. Однако согласно предложению 2.11 найдется такое целое m > 0 и такой квазиразложимый тор Т, что группа H = Gmy(T обладает специальным накрытием л: Н Н. Применяя тогда предложение 10 и следствие 2 из предложения 8, получаем существование конечного исключительного подмножества So cz Vf для Н. Однако из утверждения 2) предложения 1 вытекает, что это же множество годится и для G. Тем самым доказательство теоремы 7 завершено.

В действительности доказательство теоремы 7 позволяет получить дополнительную информацию о слабой аппроксимации в редуктивной группе G. Для этого вернемся к специальному накрытию л: Н->Н группы H=Gm$<T и соответствующей диаграмме (7). Из слабой аппроксимации для Н вытекает, что замыкание Нк в Hs содержит л (/7S) =) \Н$, Hs^ и поэтому является нормальным делителем в Hs. При этом имеет место следующая оценка для индекса:

[^s:^]<[CokerY]< X V»4Ky, F)],

где So — исключительное подмножество, введенное в следствии 2 предложения 8, т. е. индекс [//$ : Нк\ ограничен числом, не зависящим от S. Отсюда следует, что замыкание Нк в полном прямом произведении // = П^^у также является нормаль

ным делителем, а (абелева) группа А(Н) = Н/НК, измеряющая отклонение от слабой аппроксимации, конечна. Используя каноническую проекцию H-^G, легко показать, что это утверждение сохраняет силу для произвольной редуктивной группы G. Переход к произвольным связным группам не представляет труда (см. следствие из предложения 1). Таким образом, получается

Теорема 9. Для произвольной связной К-группы G замыкание GK группы GK в полном прямом произведении G= П ^ки является нормальным делителем, причем соответствующая факторгруппа A{G)=G/GK, измеряющая отклонение от слабой аппроксимации, является конечной абелевой группой.

Нам осталось завершить доказательство теоремы 8. Для этого мы сначала приведем два следствия, которые представляют также и самостоятельный интерес.

Следствие 3. Пусть G — полупростая К-группа, фундаментальная группа F которой имеет циклическую группу автоморфизмов. Тогда G обладает слабой аппроксимацией.

Действительно, для любого v g VK в обозначениях следствия 2 факторгруппа 9 (у) /S (F, у) вкладывается в AutX(F)~ ~AutF и поэтому является циклической. Тогда для любого конечного подмножества S cz VK отображение И1 (К, F) —> —>■ XI Нг(К„, F) сюръективно, так что группа G обладает слабой

аппроксимацией относительно любого S.

Следствие 4. Пусть G — полупростая К-группа, S a VK — конечное подмножество. Предположим, что для любого у a S группа G обладает максимальным Ko-определенным тором, который разложим над циклическим расширением поля Ко (в частности, G разложима над Ко). Тогда G обладает слабой аппроксимацией относительно S.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что S zd г£, так что, как и выше, достаточно показать, что для любого и е S факторгруппа S (у) /S' (F, у) является циклической. Пусть Т a G— максимальный Доопределенный тор, поле минимального разложения L которого циклично над Ко- Тогда факторгруппа S(y)/S(T, у), где §(Т,и)—ядро действия S (у) на группе характеров Х(Т), изоморфна Gal(L/Kv) и следовательно, циклична. С другой стороны, из включения FaT вытекает, что S (Т, у) а 9 (F, у), и поэтому факторгруппа S(y)/S(7’, у) также циклична.

Предложение 11. Простая К-определенная группа G обладает слабой аппроксимацией.

Доказательство. Группы типов Е8, Fa, G2 односвязны, и поэтому для них слабая аппроксимация вытекает из предложения 9. Центр односвязной группы, относящийся к одному из типов Вп, Сп, Е6, Е7, имеет порядок, не превосходящий 3, поэтому для любой возникающей здесь фундаментальной группы F группа Aut F циклична, и можно воспользоваться следствием 3. Центр односвязной группы типа П2п+г изоморфен Z/4Z, так что опять группа Aut F циклична. Нам осталось рассмотреть типы D2„ и А„. Для группы G типа Ап можно воспользоваться следствием 4, ибо для каждого у a VK легко указывается Доопределенный тор Т a G, имеющий циклическое над Ко поле разложения. В самом деле, если G ~SLm(,D) над Ко, то искомым будет тор вида Т = (Ri/K (Gm) X ■■■ X Ry/x(Gm))h SLm(D), где LaD— максимальное подполе, являющееся циклическим расширением К. Отметим, что такое L всегда существует. Это очевидно, если D является телом кватернионов над полем Ко = R, в то время как для неархимедова у можно взять максимальное неразветвленное над Ко подполе La D. Осталось рассмотреть случай, когда G ^SUm(f) над Ди,где f—невырожденная т-мер- ная эрмитова форма над квадратичным расширением L/Kv. Но здесь группа G является /.-разложимой и поэтому .обладает

максимальным /(„-определенным тором Т a G, который разложим над L (лемма 6.23). Остается рассмотреть лишь группы G типа D^n. Здесь в специальном исследовании нуждается лишь случай, когда /" = 2/22X2/22 и *$13 ^ = Aut F = S3. Обозначим через Р подполе в L = K3-lF\ имеющее степень 3 над К. Тогда сквозное отображение

Н1 (К, F) ^ Н1 (Р, F) Я! (К, F)

совпадает с умножением на 3 и, следовательно, тождественно на Нг(К,Р), ибо экспонента F равна 2. В частности, отображение Сог сюръективно. Аналогично, для любого и е VK сквозное отображение

Я1 (A„, А) П Н1 kPw, F} ^> IP (Kv, FY

где а„ индуцировано соответствующими отображениями ограничения, а (Зи — отображениями коограничения, также является умножением на 3, и, следовательно, |3„ сюръективно. С другой стороны, поле L является циклическим расширением Р и поэтому для любого конечного подмножества S с Vp отображение Я1 (Р, /)—► II Н1 (Pw, F) сюръективно. Тогда из коммута-

weS

тивной диаграммы

НЦР, /)^П H4PW, F)

Согр

НЦК, рД П я!(А„, /),ueS

где ₽ = П ₽v, и из сюръективности р получаем сюръективность

у. Предложение 11 полностью доказано.

Так как любая присоединенная /(-группа является прямым произведением своих /(-простых компонент, которые получаются конструкцией ограничения основного поля из абсолютно простых групп, то тем самым предложение 11 завершает доказательство теоремы 8.

Все предыдущие результаты носили позитивный характер, в связи с чем может сложиться впечатление, что слабая аппроксимация имеет место всегда. Это, однако, не так, причем соответствующие примеры имеются как для полупростых групп, так и для алгебраических торов.

Примеры, которые мы здесь приведем, связаны с расширением L/К, где Z( = Q, L = Q(V—1, д/^), которое обладает следующим свойством: любое р=#2 неразветвлено в L/K, а р = 2 вполне разветвлено, причем локальная степень относительно

р =# 2 (включая р = оо) есть 1 или 2, а относительно р = 2 равна 4. Положим теперь Т = RlV (Gm) и покажем, что группа Тк не является плотной в Тк,. Для этого покажем, что включение (4) из доказательства предложения 8, которое является необходимым и достаточным для слабой аппроксимации, здесь не выполняется. С этой целью построим для нашего случая точную последовательность

1 -> N—► Н1,

где H = RL/K(T'), ф—норменное отображение (см. доказательство предложения 8). Ей отвечает точная последовательность модулей кохарактеров

О X, (TV) -> X. (У) -> X, (7) -> 0.

Модуль X, (//) имеет вид Х( (//) = X, (Т) ®z Z [S’], где ^ = = Gal (E/Д') ~ Z/2Z X Z/2Z, т. е. является индуцированным. Поэтому НДЦК, X, (//))= 0 для любого I, а из точной когомологической последовательности

(^Н~ДЦК, ХДН'У)->-Н"~2 (ЦК, Х,(7))^

^Н~х№, хдк^н~Чцк, хдн^ = о

получаем существование естественного изоморфизма н-Ццк, хди^н-ЧЦК, ХД!)).

В свою очередь, X*(7) входит в точную последовательность

0 X, (7) Z [S] Z 1,

отвечающую последовательности 1 -> 7-»- Кь/ЦОт)-*- Gm-*" 1, и, рассуждая аналогично, получим, что

н_-щк, хдт^ — н-3 щк, Z).

Проводя те же вычисления в локальном случае, мы придем к изоморфизму

н^Чецк^ X.(N))~H'3(LJKv, Z).

Тогда включение (4) сводится к такому:

2 Cory (Ш)ЦгЧцДКи, Z)) с х Cor^w^ ЧЦк», Z)).(8)

yeSv^S

w| ош[и

В нашем случае 5 = {2}, ^(2) = ^, так что левая часть (8) есть Н~Ч$, 7,)~Н3(3, Z)—Z/2Z. С другой стороны, все локальные (группы Галуа в правой части (8) — циклические, так что H'~3(LWIKV, Z)~H4LJKV, Z) = 0 и правая часть (8) тривиальна. Таким образом, включение (8) не выполняется, значит,

Тк не является плотной в Тк,. (Отметим, что наши рассуждения в действительности показывают, что факторгруппа Т kJT к. изоморфна Zj^ZY

Используя конструкцию тора Т, проведем теперь построение конечной диагонализируемой К-группы F, для которой отображение Н1 (К, F^^-H1 (Л2, Н не является сюръективным. Так как TK=f=TK? то найдется такое целое Z > О, что ТкфТк-Ь^. Положим тогда п = 41, F = ^^(110), где и„ — модуль корней степени п из единицы (отметим, что F совпадает со множеством элементов порядка, делящего п в Т).

Лемма 3. Отображение IF (К, F) -^* Н1 ^К^, F) не является сюръективным.

Доказательство. В силу леммы 2.6 имеют место следующие изоморфизмы:

нчк, рЧ^к^к’Ч

НЧК, НыкМ^НЧЬ, pn^L;L*",

так что Н1 (К, F) входит в точную последовательность

Н1 (К, F) -+ L*!L*n КЧК*п,

где а индуцировано норменным отображением Nl/k- В частности, НЧК, F) сюръективно отображается на Кег а. Аналогично, группа НЧК2, F) сюръективно отображается на ядро отображения ₽: Ц^^К’ЧС, индуцированного Нь^кг Поэтому если % сюръективно, то естественное отображение Него—^ Кег также сюръективно. Но легко видеть, что

K.era = TKK‘lL*4L*n,

поэтому сюръективность у, в частности, означает, что Т к с ciTKK*lL^ ciTKL^, — противоречие. Лемма 3 доказана.

Чтобы получить теперь пример полупростой группы G, которая не обладает слабой аппроксимацией, достаточно взять группу H = RL/K(SLn) и, рассмотрев естественное вложение F a Rl/k(p4 = Z(HY положить G = Н/F. Тогда для S = {оо,2} отображение НЧК, А)->Ц Hl(Kv, F) не является сюръектив- и eS

ным, следовательно, G не обладает слабой аппроксимацией относительно S (и даже относительно множества {2}). Отметим, что первые примеры такого рода были построены Серром, см. [АТЧ], упр. 5.

В связи с результатами о слабой аппроксимации для одно связных групп и контрпримерами Серра возникла гипотеза о справедливости слабой аппроксимации для полупростых односвязных групп над произвольным бесконечным полем К (см. Кнезер [5]). В частности, Кнезер предположил в [5], что алгебраическая группа G=SL„(D), где D— конечномерная центральная алгебра с делением над К, всегда обладает свойством слабой аппроксимации. Здесь имеет место

Предложение 12. Пусть G = SLn(D), с — дискретное нормирование поля К. Тогда имеют место следующие утверждения;

Gk—нормальная подгруппа в Gkv (черта означает замыкание в v-адической топологии1);

GkJGk ~ SKi (D Ф^К^/ф (SKi (D)), где ф индуцировано вложением D^,D^KKy.

Доказательство. Многообразие группы H = GLn(D) рационально над К, и поэтому Нк плотно в Нк (доказательство то же, что и в числовом случае). Так как \НК, HK]ccGK, то замыкание Gk группы GK содержит \Нк> ^к]^ [^kv, ^kJ, откуда следует 1). Отметим, что последнее включение является на самом деле равенством, ибо группа [^kv, #к„] содержит \Нк, Нк] и, согласно замечанию после теоремы 3.3, является открытой, а следовательно, и замкнутой в Оку. Из этих фактов вытекает также, что замыкание Gk совпадает с Gk\Hkv, Hkv], и поэтому

GkJGk - GkJGk [HKv, H^SK, (Mn (D ® KK„W (SK, (Mn (D))), где ф индуцировано вложением Mn (D) М^ (D ®KKv)- Остается заметить, что определитель Дьедонне индуцирует изоморфизм

SK] (Mn (D ®к Киж (SKi (Мп (D)) ~ SKi (О® к К> (SK. (D)).

Предложение 12 доказано.

Воспользуемся теперь следующим результатом приведенной К-теории.

Теорема 10 (Платонов [16]). Существуют такие тела D над некоторым полем К, что группа SK;(D) конечна (и даже тривиальна), но для бесконечного множества К = {щ} дискретных нормирований поля К порядки групп SK^D ®^Ку^не ограничены в совокупности.

Из теоремы 10 и предложения 12 вытекает следующий результат, дающий, в частности, отрицательный ответ на сформулированную выше гипотезу Кнезера.

Теорема 11 (Платонов [16]). Существуют такие тела D над некоторым полем К, что порядки групп Оку[Ск^где G =SLn(D)), выражающих отклонение от слабой аппроксимации, не ограничены в совокупности для некоторого бесконечного множества V = {щ} дискретных нормирований поля К.

(Унитарный аналог теоремы 11 был получен Янчевским [2]-)

Несмотря на то, что большинство гипотез об алгебраических группах над произвольным полем было в последнее время опровергнуто, мы берем на себя смелость сформулировать здесь новую гипотезу. А именно, ряд примеров показывает, что в вопросах рациональности, в частности, в вопросах слабой аппроксимации, «идеально» ведут себя не односвязные группы, как предполагалось ранее, а присоединенные.

Гипотеза. Пусть G— полупростая присоединенная группа над произвольным бесконечным полем К. Тогда многообразие G рационально над К. В частности, G обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного множества S нормирований поля К.

Легко показать, что эта гипотеза выполняется для группы G = PGLn(D). Однако проверка этого факта уже для группы PSO2jn, где f = х? + . .. + х^п (В. И. Черноусов, неопублико- вано), требует привлечения аппарата алгебраической теории квадратичных форм. Общий случай групп PSO2n(f) пока не разобран.

В заключение сделаем несколько замечаний о связи между геометрическими и арифметическими свойствами линейных алгебраических групп. По-видимому, впервые точное выражение этой связи для алгебраических торов дал В. Е. Воскресенский [1], [3]. Чтобы сформулировать его результат, нужно рассмотреть /(-определенное вложение Т с-»- V (7) в некоторое гладкое проективное многообразие (существование такого вложения легко следует из теоремы Хиронаки о разрешении особенностей) и соответствующую группу Пикара Pic V (Т); тогда для числового поля К имеет место точная последовательность

0^ А (Т^Н1 (К, Pic V (7)Н Ш (7)—>0, (9)

где Ш(7)—группа Шафаревича — Тейта тора Т, А (7)—группа, выражающая отклонение от слабой аппроксимации (как заметил Сансюк [1], исходя из соображений естественности следует заменить средний член в (9) на двойственную группу). Впоследствии Сансюк [1] показал, что последовательность, аналогичная (9), имеет место для произвольной связной Л-группы.

Теорема о сильной аппроксимации

Цель настоящего параграфа — установить критерий сильной аппроксимации в связных группах над числовыми полями (относительно случая функциональных глобальных полей см. замечания в конце параграфа). Если G = HRU(G)— разложение Леви связной /(-группы G, то в силу предложения 1 наличие сильной аппроксимации в группе G равносильно наличию сильной аппроксимации в группе Н (относительно одного и того же конечного подмножества S а V*), поэтому в дальнейшем можно считать группу G редуктивной. Тогда имеет место

Теорема 12. Пусть G—редуктивная алгебраическая группа над полем алгебраических чисел К, S с. VK — конечное подмножество. Тогда G обладает сильной аппроксимацией относительно S в том и только том случае, когда: 1) G односвязна (в частности, G полупроста); 2) G не содержит К-простых компонент G1 с компактной группой Gs. В частности, для К-простой односвязной группы G сильная аппроксимация относительно S равносильна некомпактности Gs.

Доказательство необходимости условий 1), 2) вытекает из следующего более точного утверждения.

Предложение 13. Пусть G— алгебраическая К-группа, Sc a VK — непустое конечное подмножество. Предположим, что выполняется одно из следующих условий:

группа G несвязна;

группа G связна, но неодносвязна;

группа G связна, и существует К-простая компонента D1 ее полупростой части D с компактной группой Ds.

Тогда замыкание Gк группы Gk в Gas имеет бесконечный индекс.

Доказательство. Предположим вначале, что группа G несвязна. Пусть Р — такое конечное расширение Галуа поля К., что G = GpG'°. По теореме плотности Чеботарева множество Го = {о е Vf \ S| Р а Ки\ бесконечно. Зафиксируем целое / > О и выберем У]у; е Го- Далее, положим Т ={uiUz) и обозначим через G^' замыкание Gk в Gt. Поскольку Gas = = GtXGasut, то проекция Gk на GT содержится в Gk1, следовательно,

[Gas : Gk] ^ [Gt : Gk ’].(О

С другой стороны, подгруппа Gt <= Gt является замкнутым нормальным делителем конечного индекса, откуда без труда вытекает, что группа В = GkG°t содержит Gk'. Поэтому

[Gr : G^ > [Gt : В] = [Gr : G°t№k : Gk] > [G : G0]'-1,(2)

ибо [Gr : Gy] = Ц [G/^ : G^] = [G ". G°];, так как по построению G = GKyG°, и, значит, [G^ : G^J = [G : G0]. Выбирая l достаточно большим, из (1) и (2) получаем, что индекс [Gas : G^] не может быть конечным.

Пусть теперь группа G связна. Если G = HRU(G)— разложение Леви, то ясно, что условия 2), 3) для группы G эквивалентны соответствующим условиям для группы Н, причем [Gas: : С/<]=[//д5 : //к]. Отсюда следует, что в дальнейшем можно считать группу G редуктивной. Положим Si = SU V„ и рассмотрим открытую подгруппу U7 = Ц G/< X П Go cz Gas- Тогда

замыкание Г группы Г = 0^0 IT в W совпадает с пересечением G^O W, поэтому если индекс [Gas : Gr^ конечен, то индекс \W : Г] также конечен. В частности, для любого конечного подмножества Т cz VK \ Si и соответствующего замыкания Г(г| группы Г в U7r = II Gy индекс : Г(г|] ограничен сверху числом с, не зависящим от Т. Предположим теперь, что группа G неодносвязна, т. е. существует /(-определенное накрытие л: H-^-G, где группа Н связна, а Е = Кегл=#1. Тогда для любого и е VK можно рассмотреть точную когомологическую последовательность

Нк^Ск^НЦК., F),

где ф^ —■ соответствующий кограничный морфизм. В силу открытости л^Нк^ в Gr^ (см. следствие 1 из предложения 3.3) для любого конечного Т cz VK \ S] произведение U = Ц л (Hr^ открыто в GT, так что F(r)czrG. Отсюда следует, что, полагая фг = П Фк , мы будем иметь

и<=т "_

фг(Г) = фг(г(П).

Но поскольку для любого Т по условию [IEг: Г(Г)] ^ с, то в итоге

[Фг ^: фг (Г)] < с.(3)

Заметим теперь, что группа Г совпадает с группой Si-единиц G^so и поэтому является конечно порожденной (теорема 5.11), скажем, Г = (уь • •., YrX Обозначим через Р конечное расширение Галуа поля К, порожденное коэффициентами матриц из У7 и матриц др ..., дг е Н^ таких, что л (dz) = у., Z = 1г.

Ясно, что в этом случае л-1 (Г) с НР, т. е. Гсл(//Р). Далее, согласно предложению 6.4 найдется такое конечное подмножество Socl^, что для у е V7^ \ So справедливо соотношение il^ (GQ ^ = Н^К^^Ку, Fy По теореме плотности Чеботарева множество Ио = {у е V^ \ (S, U So) | Р с К^ бесконечно, и поэтому можно выбрать конечное подмножество Т aV0 с произвольно большим числом элементов. Тогда для любого и е Т по построению Гсл^С^), и, следовательно, 4>г (Г) = {1}. С другой стороны, в силу предложения 6.4 ф^ ^Ge ) ~ F, ибо F c.GKy, так что 4>r (I^r) F1, / = [Г]. Тем самым [Фг (^т) •" Фг (Г)] = [^]Z, и мы получаем противоречие с (3), взяв I достаточно большим.

Наконец, покажем, что при выполнении условия 3) индекс [Gas : G^] также бесконечен. В силу уже доказанного можно предполагать группу G редуктивной и односвязной, в частности, полупростой. Тогда G является прямым произведением своих /(-простых компонент G1, поэтому из конечности индекса [GXs : G^] вытекает конечность всех индексов [Сд^ ; G^ .. С другой стороны, в силу условия 3) существует компонента G1 с компактной группой G‘s. Так как группа Сд дискретна в Ga = GasXGs, то из компактности Gs вытекает дискретность GlK в Gas, и, следовательно, ОУ^ОУ. Но тогда индекс [Сд5: :Gj<], очевидно, не может быть конечным (и даже счетным). Предложение доказано.

Доказательство достаточности условий 1), 2) значительно сложнее и составляет основную часть доказательства теоремы 12. Из условия 1) вытекает, что G является прямым произведением своих /(-простых компонент, и, воспользовавшись предложением 1, получаем редукцию к случаю /(-простых групп. В свою очередь, /(-простая группа получается конструкцией ограничения основного поля из простой группы, так что утверждение 3) предложения 2 дает редукцию к простым группам, которыми мы и будем заниматься. Нам придется неоднократно пользоваться следующим простым утверждением.

Лемма 4. Пусть Г подгруппа прямого произведения В = = Bi X Bi двух топологических групп Bi и В2, л,: B-^Bi (i = = 1, 2) — соответствующие проекции. Предположим, что выполняются следующие условия-.

Л1 (Г) плотно в Вц

Bi обладает базой QZ = ^U^ окрестностей единицы, состоящей из подгрупп, причем для любой подгруппы U ^°И проекция Л2(ГП(ДХ52)) плотна в В2.

Тогда Г плотна в В.

Доказательство почти очевидно. Если предположить, что Г=#В, то существует открытое множество IF = IFi X №2 <= В, не пересекающееся с Г. В силу условия 1), найдется элемент у е Г, для которого ni(y)elFi. Далее, в силу 2) найдется открытая подгруппа ОсВ,, содержащаяся в Л1(у)~ЧЕ1. Так как Г П U7 = 0 и у'1Е до U X М?)-1^, то л2(ГПП)П П л2(у)-11Е2 = 0, что противоречит 2).

Рассмотрим вначале случай, когда S содержит все архимедовы нормирования и те неархимедовы у, для которых группа G является Аа-анизотропной (последние, как мы знаем, могут существовать лишь для групп типа Ал). В силу утверждения 2) предложения 2 нам нужно показать, что для любого конечного Si a VK \ S группа F = Gy(sus,) плотна в Gs,. Пусть S2—максимальное (возможно, пустое) подмножество в S, такое, что Г плотна в Gs, (всюду имеется в виду диагональное вложение группы Г). Наша цель — показать, что Si = S2. Пусть S2 =# S; и у е Si \ S2. Положим S3 = S2U{u}, представим группу Gs3 в виде Gs3 = Gs2 X Gk„ и применим лемму 3. Так как Г не является плотной в Gs., то найдется такая открытая подгруппа U a Gs,, что группа Л = ГПН не является плотной в GKu (при этом, уменьшая при необходимости подгруппу U, можно с самого начала считать ее компактной). Покажем, что на самом деле это не так. Поскольку Г является дискретной подгруппой в Gsus1 и факторпространство Сзиз^Г имеет конечную меру (теорема 5.7), то Л является дискретной подгруппой в D = G(s и sjxs, X U и факторпространство О/А также имеет конечную меру. Представив D в виде D=^G^s и sj \ s3XG)X X Gkv и воспользовавшись с учетом некомпактности Gs леммой 3.17, получим, что Л как подгруппа в GKy не является дискретной и факторпространство GKJA по ее замыканию имеет конечную меру. Обозначим, далее, через р отвечающее нормированию у простое число. Тогда Qp ^Ки и группу GKu можно рассматривать как р-адическую группу Ли (см. § 3.1). Ее алгебра Ли совпадает с алгеброй /.(G)^, рассматриваемой над полем Qp. В силу простоты группы G она не содержит нетривиальных идеалов. По теореме Картана (см. теорему 3.4) замыкание А является подгруппой Ли в GKy, причем в силу недискретности А ее алгебра Ли ^ =#= 0. Далее, из утверждения теоремы 5.7 о конечности объема факторпространства Gs/Gff(S) и некомпактности Gs вытекает бесконечность Gy($>. А тогда, дословно повторяя доказательство теоремы 4.10, мы получим плотность Gy<s) в G в топологии Зарисского. Будучи открытой и компактной, группа U соизмерима с Ц Gy . так

V ЕЕ Si "

что индекс [Go(S): Gms) А V] конечен. Отсюда следует, что группа Go(s)AG также плотна в G в топологии Зарисского. Так как, очевидно, A3dGs(S)AG, то, окончательно, А плотно в G по Зарисскому. Применяя предложение 3.4, получаем, что 1) является идеалом в Л(О)Лц, и, следовательно, ^ = L (G)Ky, ибо ^ =# 0. Тогда из предложения 3.2 вытекает, что А открыто в GKy. С другой стороны, выше мы установили, что фактор- пространство GKJk имеет конечную меру. Поэтому в действительности А имеет конечный индекс в G^d, и, следовательно, j\ = GKy, ибо GKy не имеет нетривиальных подгрупп конечного индекса, что легко вытекает из теоремы 6. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 12 в рассматриваемом случае.

Ослабим теперь ограничения на S, сохранив лишь требование о том, чтобы S содержало все архимедовы нормирования. Положим So = {у е V^ \ S | G анизотропна над К^; в силу теоремы 6.7 множество So конечно. Из доказанного выше вытекает, что G обладает сильной аппроксимацией относительно S U So, т. е. GK плотно в 0Л5 и5. С другой стороны, G обладает слабой аппроксимацией относительно So (предложение 9), т. е. Gk плотно в Gsq. Так как Gas = Gs0 X Gas и So, то чтобы воспользоваться леммой 4, достаточно показать, что для любой открытой подгруппы U a Gs0 пересечение G^QG плотно в СЛ5и5о. Так как для любого уе50 группа GKy компактна (теорема 3.1), то вся группа Gs, также компактна, и, значит, U имеет в ней конечный индекс. Отсюда следует, что пересечение GK A U имеет конечный индекс в GK, поэтому его замыкание имеет конечный индекс в GXsuSo, и нам остается показать, что GXsuSo не имеет нетривиальных замкнутых подгрупп конечного индекса. Как мы отмечали выше, из теоремы 6 вытекает, что для любого и ge VK \ (S U So) группа GKy не имеет собственных нормальных делителей конечного индекса, следовательно, то же самое справедливо для любой группы Gsv, где S, а К* \ (S U So) — конечное подмножество. Поэтому любая замкнутая подгруппа 8cG^USi конечного индекса обязана содержать образы всех вложений 6S(: GSl -> GXs и So. Однако из определения адельной топологии легко вытекает плотность в СЛ5и5о объединения U6S1(GS1) по всем конечным подмножествам S( а К* \ (S (J So), что и дает требуемое.

Нам осталось избавиться от последнего ограничения: S еэ К£. Положим S1 = V£ \ (S A V£), S2 = S U Sj; тогда

GAs = GAs2XGSv

Согласно уже доказанному, группа GK плотна в GASi. Поэтому для того чтобы воспользоваться леммой 4, достаточно удостовериться, что для любой открытой подгруппы U С GaSi группа G/сП U плотна в Gs,. Без ограничения общности группу U, можно считать компактной. Тогда она соизмерима с GAs^, и, следовательно, пересечение GK f) U соизмеримо с группой Gy(s2>. С другой стороны, согласно предложению 6 группы GKy для уеХ являются связными, так что связной будет и группа Gs . Отсюда следует, что нам в действительности достаточно установить плотность Gc(S.) в GSt. Обозначим через Л связную компоненту замыкания Сщз.з в Gs,. Утверждается, что Л является нормальным делителем в Gs,. В самом деле, для любого geGK группы Gy(s,j и g^^c’tsAg соизмеримы, поэтому их замыкания также соизмеримы, и, следовательно, связные компоненты последних совпадают, т. е. Л = g~lAg. Но в силу предложения 9 группа G обладает слабой аппроксимацией относительно Sh откуда следует, что Л = g~vAg для любого geGs,. Тем самым Л является связным нормальным делителем в Gs„ и поэтому A = Gs3 для некоторого подмножества SacS^

Предположим, что S4 = Si\S3=/= 0, и пусть л: Gs.—^Gs,— соответствующая проекция. Поскольку Кег л = Gs, содержится в замыкании группы Gy(s2> в Gs,, то связная компонента замыкания Ф группы G^sa в Gs, совпадает с л(Л) = = {1}. Рассмотрим теперь группу Gs, как вещественную группу Ли. Тогда по теореме Картана Ф является подгруппой Ли, причем ее размерность равна нулю, ибо Ф вполне несвязна. Следовательно, Ф дискретна в Gs,. Чтобы получить здесь противоречие, достаточно рассмотреть Gy(s2) как дискретную подгруппу в Gs, — Gs, s, X Gsv факторпространство по которой имеет конечную меру, и воспользоваться леммой 3.17 с учетом того обстоятельства, что группа Gs,\s, некомпактна, ибо S a S2\S4 и группа Gs некомпактна. Теорема 12 полностью доказана.

Сопоставляя теорему 12 с предложением 13, мы приходим к следующему интересному наблюдению: алгебраическая К- группа G либо обладает сильной аппроксимацией относительно непустого подмножества S cz VK, либо замыкание Ок группы GK в GAs имеет бесконечный индекс.

Проблема сильной аппроксимации в алгебраических группах имеет довольно длинную историю. Первым важным результатом здесь была теорема Эйхлера [1] о группе 8ЬпЦУ), где D — конечномерная алгебра с делением над К. Позднее различные частные случаи этой проблемы над числовым полем К исследовали Эйхлер [2], Шимура [1], Вейль [3]. Затем Кнезер [10], [11] решил проблему о сильной аппроксимации для классиче-

ских групп, дал необходимые условия для ее решения в общем случае и показал, что теорема о сильной аппроксимации для произвольных групп может быть получена при условии справедливости принципа Хассе. Полное решение проблемы о сильной аппроксимации (теорема 12) было получено Платоновым [3] — [5] на другой идейной основе. Из приведенного выше доказательства теоремы 12 видно, что ключевую роль в нем играет редукция арифметической проблемы о сильной аппроксимации к структурной гипотезе Кнезера — Титса над локальными полями, доказанной первым из авторов (теорема 6).

Теорема о сильной аппроксимации остается справедливой и для глобального поля положительной характеристики, однако ее доказательство нуждается в заметной модификации. Это относится как к доказательству необходимости условий 1) и 2) (см. Бер [2]), так еще в большей степени — к доказательству достаточности. Одна из наиболее существенных причин состоит здесь в том, что важнейшая составная часть приведенного выше рассуждения (которое близко к первоначальному варианту, изложенному в работах Платонова [4], [5]) — теория аналитических групп — неприменима в случае положительной характеристики. Прасад [1]) усовершенствовал метод Платонова и получил полное доказательство в функциональном случае, которое использует теорему 6 и опирается на следующее утверждение, представляющее самостоятельный интерес.

Теорема 13. Пус^ь G — Ки-простая К с-изотропная алгебраическая группа. Если Н — такая замкнутая недискретная подгруппа GKy, что факторпространство GKJH имеет конечную инвариантную меру, то Н zd Gr

Другое доказательство теоремы 13, основанное на эргодических свойствах пространства GKJH, было получено Маргулисом [1]. Отметим также, что в случае нулевой характеристики доказательство теоремы 13 фактически совпадает с первой частью доказательства достаточности в теореме 12.

Обобщения сильной аппроксимационной теоремы

В последнее время рядом авторов (см. Матьюз и др. [1], Нори [2]) были получены результаты, в некотором смысле обобщающие сильную аппроксимационную теорему. Отправным пунктом этого обобщения служит следующее простое замечание: при доказательстве наличия сильной аппроксимации в односвязной группе G относительно конечного множества S zz 1/^ важную роль играет утверждение о том, что замыкание G^s) группы Go(S) в Gas открыто. В самом деле, вторая часть

доказательства достаточности в теореме 12 показывает, что можно без ограничения общности считать все нормирования уеУ^для которых группа G является /(„-анизотропной, включенными в S, и достаточно установить, что для любого конечного Si cz F^\S группа Ок содержит образ естественного вложения ds,: Gsx—»-Gas. Из открытости GK вытекает, что IF = = ds,1 (Im ds, П Gr) является открытой подгруппой в Gs„ которая, очевидно, нормализуется GK. Из свойства слабой аппроксимации для G (предложение 9) GK плотно в Gs,, и, следовательно, IF нормализуется всей группой Gs,, откуда IF = GsY в силу теоремы 6. Так мы приходим к вопросу, который исследовался в цитированных выше работах: пусть Fez GK— конечно порожденная подгруппа; когда замыкание Г в Од открыто? Мы не будем здесь приводить формулировки полученных результатов в максимальной общности, а ограничимся для простоты случаем К = Q. Тогда имеет место

Теорема 14. Пусть G— простая односвязная Q-определенная группа, S — конечное множество простых чисел и Г cz G- is) плотная в G по Зарисскому подгруппа. Тогда замыкание Г в GAs открыто.

Доказательство теоремы 14 легко получается из следующего утверждения, которое представляет самостоятельный интерес:

Теорема 15. Обозначим через кр отображение редукции по модулю р. Тогда в условиях теоремы 14 для почти всех p^S имеем ир (Г) = G^, где G(p) — редукция G по модулю р, Fp — поле из р элементов.

Доказательство этого факта, данное в работе Матьюза и соавторов [1], к сожалению, использует условную классификацию простых конечных групп. Наоборот, доказательство, приведенное у Нори [2], имеет априорный характер и основывается на ряде красивых наблюдений, связанных с применением экспоненциального и логарифмического отображений в характеристике Р > 0.

Из теоремы 14 вытекает, что в любой бесконечной арифметической подгруппе Г односвязной простой Q-определенной алгебраической группы G имеется много подгрупп Ф cz Г бесконечного индекса, которые плотны в Г в адельной топологии. Действительно, Маргулисом и Сойфером [2] показано, что в Г имеется континуум максимальных подгрупп бесконечного индекса, которые и будут искомыми. С другой стороны, в ряде случаев, например, для r = SAn(Z) (п ^ 3) адельная топология совпадает с проконечной (отметим, что последнее эквивалентно положительному решению для Г конгруэнц-проблемы (см. § 9.5)), откуда получаем примеры собственных подгрупп фсГ, плотных в проконечной топологии. Тогда соответствующий

гомоморфизм Ф—> Г проконечных пополнений сюръективен. Естественно спросить, существуют ли такие собственные подгруппы Ф с Г, для которых гомоморфизм Ф—> Г является изоморфизмом? Для произвольных конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп Г этот вопрос был поставлен А. Гротендиком [1] в 1970 г. Как показано Платоновым и Тав- генем [1], общая проблема Гротендика имеет отрицательный ответ. Соответствующий пример существует уже в группе Г = = F X F, где F—свободная группа с четырьмя образующими хь х2, х3, х4. Достаточно рассмотреть нормальный делитель N < < F, порожденный элементами x2xvx2vx~2, х3х2х~1х~2, х4х3х~1х~2, х{х4х~1х~2 (отметим, что факторгруппа F/N является замечательной группой Хигмана), и взять в качестве Ф группу (^V, 1)ГД, где Гд— диагональ в FXF. Дальнейшие результаты по проблеме Гротендика см. в работах Тавгеня [1], [2], в частности, в [1] построен соответствующий контрпример в классе разрешимых групп. Обратим внимание на тот факт, что указанная выше группа Г = F X F является арифметической подгруппой в SL2XSL2, так что предположение Гротендика не выполняется и в классе арифметических групп. Тем не менее, остается открытой

Проблема. Пусть Г — S-арифметическая подгруппа в G, для которой конгруэнц-ядро 0s (G) конечно ^например,V = SL^ZY п ^ 3). Существуют ли собственные подгруппы Ф с Г, для которых гомоморфизм Ф-> Г проконечных пополнений является изоморфизмом^

Эта проблема тесно связана с интересной гипотезой, которая возникла при изучении представлений конечно порожденных групп. В § 2.4, п. 7 мы определили многообразие представлений Л (Г, G) конечно порожденной группы Г в алгебраическую группу G. Вместо /?(Г, GL^ мы будем писать /?Л(Г) и называть /?Л(Г) многообразием п-мерных представлений группы Г. Хорошо известно (см., например, Ван дер Варден [1]), что вполне приводимое представление ре/?,(Г) однозначно с точностью до эквивалентности определяется своим характером, т. е. функцией Xp(g)= tr р (g), ^^Г; с другой стороны, для произвольного представления р существует вполне приводимое представление р0 с тем же характером: %р = хРо- Таким образом, возникает естественная биекция между множеством классов эквивалентности вполне приводимых n-мерных представлений группы Г и множеством Х„(Г) всех n-мерных характеров. Оказывается, что на ХЛ(Г) также существует естественная структура алгебраического многообразия такая, что сопоставление представлению его характера является морфизмом р, многообразий. Вычисление Х„(Г) для конкретных групп и изучение

влияния геометрии Х„(Г) на свойства группы Г и ее представления составляет проблематику геометрического подхода к теории представлений конечно порожденных групп, берущего начало в классических трудах А. Пуанкаре, Ф. Клейна, Фогта, Фрике. Один из первых возникающих здесь вопросов: каковы те группы Г, для которых dimXn(T) = 0 при любом и? (Последнее условие эквивалентно конечности множества Х„(Г), и поэтому удовлетворяющие ему группы естественно называть группами конечного представленческого типа.) Ясно, что группами конечного представленческого типа являются все конечные группы, но существуют и бесконечные группы с этим свойством, например, T = SZ.m(Z), т ^ 3. Конечность представленческого типа здесь вытекает из общей теоремы Г. А. Маргулиса о почти алгебраичности конечномерных представлений неприводимых решеток в полупростых группах Ли ранга не меньшего 2 (см. Маргулис [5]). Однако доказательство Маргулиса не вскрывает связи между конечностью представленческого типа и структурой группы Г. Поэтому мы покажем, как конечность тпиа группы Г = SLm(Z), т ^ 3, выводится из результата Картера и Келлера [1] об ограниченности ширины группы Г относительно множества элементарных матриц (см. в § 4.4).

Предложение 14. Пусть Y = SLm(Z), /и ^ 3. Тогда dim ХЛ(Г) = О для любого п.

Доказательство (А. С. Рапинчук). Суть упомянутого результата Картера и Келлера состоит в доказательстве существования такой целочисленной константы d > 0, что любой элемент х е Г допускает представление вида х = х“1 ... х^, где а; е eZ, х. совпадает с одной из элементарных матриц е,6(1), множество которых мы обозначим через X. Пусть теперь р: Г -> -^GA„(C)— некоторое и-мерное представление. Если УсГ — подгруппа верхних унипотентных матриц, то р(У)—нильпотентная подгруппа в GAn(C). По теореме Мальцева — Колчина р(У) обладает триангулируемым нормальным делителем N конечного индекса I. Тогда, очевидно, р(ер (/) ) = р(ег/(1) )z е N для всех i < /, следовательно,

pM2)) = p(h2(0, е23(0])^[^ ^];

в частности, р(е13(/2))— унипотентная матрица. Учитывая сопряженность всех матриц е,/(1) в группе Г, получаем, что р(е,/(/2))— унипотентная матрица для любых i#=j. Другими словами,

(р (е;/(1))Z2 — fj" = О, (4)

где Еп — единичная матрица. Обозначим через f (/) — полином ф?—1)" степени б = Рп. Тогда (4) означает, что f (р (х)) = О для любого хе А. Обозначим через У (конечное) множество

{х™1 ... x“d | Хг е X, О < а < б} и покажем, что Q-оболочка Q[р(Г)] совпадает с Q-пространством, натянутым на р(У), в частности, dim^Q [р (Г)] < оо. В самом деле, поскольку f(p(x)) = O для любого х g X, то любая степень р(х)а линейно выражается через р(х)р, О^р^б, с целыми коэффициентами. Записывая теперь произвольный элемент z g Г в виде z = x“' ... x^d, где х. g X, a. g Z, и подставляя в соответствующее выражение для p(z) уже полученные выражения для р(хе) , мы получим линейное выражение p(z) через элементы множества р(У), что и требовалось.

Из доказанного вытекает, что для произвольного элемента zgF все степени p(z)“ не могут быть линейно независимыми над Q, так что p(z) удовлетворяет некоторому полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами. Этому же уравнению удовлетворяют все собственные числа МХп матрицы p(z) и, таким образом, являются алгебраическими числами.

Поэтому алгебраическим будет и след trp(z)=X^<- Завер- 1=1

шает доказательство предложения

Лемма 5. Предположим, что для любого представления р g g R^I") все следы trp(x) являются алгебраическими числами. Тогда dimX„(F) = 0.

Доказательство. Пусть dimX„(F)>0. Тогда существует неприводимая кривая Cc^Rn^V), определенная над некоторым конечно порожденным полем k, образ которой при отображении р: /?п(Г)-> Х„(Г) не сводится к точке. Обозначим через К поле рациональных функций ^(С) и, вложив его в С, построим представление л: F->GA„(C), определяя л(х) для xg Г как матрицу (а-/), где а,у— такая функция на С, что а,/(р)= р(х)ц для р g С. Из того что образ С в X„(F) не сводится к точке, вытекает существование xogF, для которого % я (хо) = tr л (хо) является непостоянной функцией из ^(С), в частности,/л (x0)^Q. Мы получаем противоречие с алгебраичностью следов всех представлений р g Rn (Г)с. Лемма 5, а вместе с тем и предложение доказаны.

В § 4.4 мы отмечали, что Тавгень [3] получил обобщение результата Картера и Келлера [1] на все группы Шевалле ранга не меньшего 2. В связи с этим укажем на то обстоятельство, что приведенное доказательство предложения 14 также распространяется на эти группы. (Более точно, если все корни имеют одинаковую длину, то наше доказательство проходит без всяких изменений. В случае же систем с корнями разной длины необходимы несложные модификации, связанные с тем, что ана-

лог равенства (4) нужно отдельно доказывать для коротких и длинных корней.)

Анализируя известные примеры групп конечного представ- ленческого типа, В. П. Платонов [22, 23] высказал следующую гипотезу:

Гипотеза. Пусть Г — конечно порожденная линейная группа такая, что с11тХл(Г) = 0 для любого п. Тогда Г является группой арифметического типа.

(Под группой арифметического типа здесь понимается группа, соизмеримая с прямым произведением некоторых S-арифметических подгрупп (возможно, относительно разных S), причем соизмеримость в данном случае означает наличие изоморфных подгрупп конечного индекса.)

К сожалению, эта гипотеза пока далека от своего доказательства. Однако даже ее предварительный анализ выявил на первый взгляд удивительную связь со сформулированной выше проблемой Гротендика (см. Платонов, Тавгень [2]). А именно, если, скажем, в группе Г = SA^Z), п ^ 3, найдется собственная подгруппа ФсГ, для которой гомоморфизм Ф->Г проконечных пополнений является изоморфизмом, то в любой размерности представления групп Ф и Г одни и те же. Следовательно, из предложения 14 вытекает, что Ф имеет конечный представ- ленческий тип, причем Гротендиком фактически доказано, что Ф не может быть группой арифметического типа. Поэтому из справедливости гипотезы Платонова вытекало бы положительное решение указанной выше проблемы Гротендика для подгрупп большинства арифметических групп.

ЧИСЛА И ГРУППЫ КЛАССОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП

Настоящая глава посвящена изучению важной арифметической характеристики алгебраической/(-группы G— ее числа классов cl(G) (см. § 5.1). В § 8.1 мы приводим результаты, которые позволяют интерпретировать проблему вычисления cl(G) как проблему вычисления числа классов в роде некоторых объектов арифметического типа. В частности, будет установлено, что число классов cl (On(f)) ортогональной группы квадратичной формы / совпадает с числом классов в роде /, а число классов cl (GLn) группы GLn (n ^ 1) над полем К— с числом классов идеалов К. Уже эти примеры показывают, что проблема вычисления чисел классов является очень трудной, а в самой общей постановке—бесперспективной. Естественно, что мы не смогли в равной степени подробно остановиться здесь на всех аспектах этой проблемы, поставив в центр изложения исследование возможных значений числа классов с!(ф(С)) алгебраической /(-группы G при различных реализациях ф в зависимости от ее арифметических свойств. Наиболее законченные результаты получаются в том случае, когда G является полупростой группой некомпактного типа. Оказывается, что здесь число классов cl(G) совпадает с порядком некоторой конечной абелевой группы S’cl(G), называемой группой классов, причем экспонента S'cl(G) является делителем экспоненты f фундаментальной группы F группы G. В частности, если каноническое разложение f имеет вид f = р^ ... р“г, то число классов в любой реализации имеет вид p^i ... р$г. В § 8.2 мы доказываем теорему реализации, согласно которой любое число такого вида получается как число классов группы G в подходящей реализации. В § 8.3 исследуются числа классов полупростых групп компактного типа. Основной результат параграфа утверждает, что здесь число классов принимает значения, которые делятся на любое наперед заданное число. В § 8.4 доказывается общая теорема о неограниченности чисел классов неодносвязных групп и исследуется связь между числом классов группы и числами классов ее наиболее важных подгрупп (параболических подгрупп, максимальных торов).

Полученные результаты позволяют решить ряд классических арифметических задач. В частности, в § 8.2—8.3 рассматривают-

•ся задачи о числе классов в роде квадратичной формы и числе классов в роде решетки относительно сопряженности. В § 8.5 мы исследуем проблему рода для арифметических групп и целочисленных представлений конечных групп.

Числа классов алгебраических групп

а классов в роде

Пусть К — поле алгебраических чисел. Напомним (см. § 5.1), что по определению числом классов cl(G) алгебраической /(-группы G называется число двойных смежных классов Ga^xGk в разложении группы аделей GA по подгруппам Сд(«>) и Gk целых и главных аделей соответственно. В § 1.2 мы видели, что для группы иделей Jк поля К (которая является группой аделей одномерного /(-разложимого тора Gm) индекс \jK; /д/(*] Равен числу hK классов идеалов поля К. Ниже мы покажем, что для ортогональной группы G = On^ невырожденной n-мерной квадратичной формы f над К число классов cl(G) совпадает с числом классов в роде формы f. Тем самым введенное определение числа классов представляет естественное обобщение классических арифметических инвариантов, восходящих к Лагранжу и Гауссу. Кроме того, мы увидим, что это определение успешно работает и в других ситуациях, где позволяет на основе универсальных методов получать новые результаты.

Необходимо сделать одно замечание, которое следует постоянно иметь в виду при работе с числами классов алгебраических групп. Если в группе иделей Jr подгруппа /к целых иделей определена однозначно, то для произвольной алгебраической /(-группы G группа целых аделей Од^ корректно определена лишь в том случае, если фиксирована реализация G как матричной группы. В дальнейшем мы под заданием реализации группы G будем понимать задание точного /(-определенного представления ф: G^-GLr и решетки L (ф) с: Кг. Тогда полагаем G^ =Фд1(ф(С)а№), где

^д^ = П Ф(ОкуХ П ф(<^;

оо f

<р(С)^ф)" = ^е Ф (G^J gG (ф)у = L (ф)у}— группа целых у-ади- ческих точек относительно локализации Л(ф)0 решетки Л(ф), т. е. совокупность тех g еф(С)Ку, которые записываются матрицей из GLr(@v) в базисе решетки Л(ф)0. Эквивалентным образом, группу ф^д^ можно рассматривать как стабилизатор в ф(G)и решетки Г(ф) относительно действия группы СЕДА)

на решетках в Кг, которое определяется следующим образом. Если g = (gv)^ GLr(A) и L cz K.r— некоторая решетка, то для почти всех у е Е^ имеем gy^GL^C^ и LD = OrD (СМ- § 1.5, п. 3), так что gvLv = La; поэтому согласно теореме 1.15 существует единственная решетка М cz Кг со свойством: Му = gyLy для всех иеЕ^, и по определению полагаем M = gL

Число классов группы G, отвечающее реализации ф, мы будем обозначать через cl (<р (G) Чф)) , употребляя также обозначения cl (G*-^), с!(ф(С)) или просто cl(G), если это не приводит к недоразумению. Отметим, что из теоремы 5.1 вытекает конечность числа с1(ф(С)) для любой реализации ср. Действительно, сама теорема 5.1 утверждает конечность числа с1(ф(С)) для любой реализации ф, задаваемой свободной решеткой Л(ф). С другой стороны, для произвольных двух реализаций фн G—^GLr. (z = l, 2) группы G^(^^ соизмеримы. В самом деле, Од ^ = G^ X Сд^, причем архимедова часть Goo группы аделей не зависит от выбора реализации, а конечные части Ga^) и Ga^), будучи открытыми компактными подгруппами в GAf, соизмеримы. Отсюда следует, что числа классов с1(ф](С)) и с1(фг(С)) конечны (или бесконечны) одновременно. С учетом вышесказанного, из этого замечания вытекает

Теорема 1. Для любой реализации ф алгебраической Д-груп- пы G число классов с1(ф(С)) конечно.

Как мы уже отмечали, основная цель настоящей главы — изучить, какие значения может принимать с1(ф(С)) в зависимости от арифметических и структурных свойств группы G. В этой связи напомним, что согласно предложению 5.4 число классов с!(ф(С)) равно единице для любой реализации ф, если G обладает свойством абсолютной сильной аппроксимации.

Выше мы видели, что число Hr классов идеалов поля К можно интерпретировать как число классов одномерного К-раз- ложимого тора Т ~ GL^ Оказывается, что число классов полной линейной группы любой степени также равно Ик-

Предложение 1. Пусть G =GLn— полная линейная группа над К в естественной реализации. Тогда c\(G) = h^.

Доказательство использует широко применяемый при определении чисел классов подход, суть которого состоит в том, что «некоммутативная» задача подсчета числа двойных классов редуцируется к вычислению некоторого индекса в коммутативных группах. В рассматриваемой ситуации это можно проделать при помощи гомоморфизма определителя det: G ->- Gm, который мы

для краткости обозначим через [. Ясно, что образ f(GA) совпадает с группой иделей ]к поля К, /(G^ooj) есть подгруппа целых иделей Jr, а / (Gx) — подгруппа главных иделей К*. Покажем, что отображение 6: Ga^GaIGr^JrXJrIK*, индуцируемое fr является биекцией. Тогда

cl (G) = [7к : JkK^ = hK, и требуемое доказано. С учетом вышесказанного в доказательстве нуждается лишь инъективность 0, т. е. импликация

Jk{ (g) К* = Jxf (А) К* =^ Ga wgGK = GA,=№(1)

для g, he Ga. Если / (g) = xf (А) у, где xe]^, yeK*, to, выбирая aeGA^, beGK co свойством Ца) = х, f(b) = y, будем иметь f (g) = f (ahb), и достаточно показать, что элементы g и t = ahb определяют один и тот же двойной класс по подгруппам Сд(сс) и GK. Очевидно, что s = Hge НА, где Н = SLn. Подгруппа U = t^HA^t является открытой в НА, и поэтому пересечение Us П Н^Н к непусто, ибо для Н имеет место абсолютная сильная аппроксимация. Учитывая, что Ноо cz U, отсюда получаем существование таких и е Нд^, и г Нк, что

s = t-' g = t-yutv.

Тогда g = utu, что и требовалось. Предложение 1 доказано.

Равенство cl(G) = Ax, где G = GLn, можно подвергнуть дальнейшей расшифровке, используя соображения, аналогичные тем, при помощи которых доказывалось равенство hK = = [/к : JrK’Y и заменяя дробные идеалы поля К (т. е. решетки в пространстве Ку) /г-мерными решетками. Для этого зафиксируем решетку L = Оп е Кп и воспользуемся действием группы Ga на решетках, которое было определено выше. Утверждается, что орбита Ga (L) совпадает со множеством S2 всех п-мерных решеток. В самом деле, для любой решетки М cz К" и почти всех veV^ имеет место совпадение локализаций LB = MT. С другой стороны, любая локализация Ма является ^-свободной (см. § 1.5), и поэтому найдется gDeGKu со свойством Мс = gvi.L,,'). Отсюда без труда вытекает существование такого аделя geGA что M = g(iL>). Так как группа Gaim) является стабилизатором решетки L, то множество двойных смежных классов {Са(оо)\Сд/Сх} находится в биективном соответствии со множеством орбит GK\2?, т. е. множеством классов изоморфных решеток. Поэтому из предложения 1 вытекает, что число классов изоморфных n-мерных решеток совпадает с числом hK классов идеалов поля К. Этот факт может быть доказан и непосредственно методами теории решеток. Для этого используем введенное в § 1.5, п. 3 понятие псевдобазиса решетки.

Напомним, что любая решетка М cz Кп обладает псевдобазисом, т. е. существует представление вида М = Oxi Ф Охг Ф ... ... Ф Охп-\ Ф ахп, где а cz С? — некоторый идеал, класс которого в группе классов идеалов зависит лишь от самой решетки М. Далее показывается, что две решетки М = Охх Ф ... Ф Охп-\ Ф Ф ахп и N = Оу\® ... Ф Оуп-\ Ф fyjn изоморфны в том и только том случае, если классы идеалов а и Ь совпадают. Из этих фактов вытекает, что классы изоморфных n-мерных решеток находятся в биективном соответствии с классами дробных идеалов поля К, и мы опять приходим к равенствам cl(G) = [G^^] = = hK. Уже на этом примере видно, что адельная интерпретация позволяет достичь цели быстрее и более прямым путем. Кроме того, она позволяет сформулировать следующий критерий свободы решетки, который будет нам полезен:

Лемма 1. Зафиксируем, решетку L = 0n и рассмотрим произвольную решетку М cz К'1. Тогда М свободна в том и только том случае, если f (g) е J^K*, где g е Ga — такой элемент, что M=g(L).

Доказательство. Из сказанного выше вытекает, что решетка Л1 свободна в том и только том случае, если g е GKGA^, что в силу (1) сводится к условию f (g) е]кК*.

Отсюда вытекает

Предложение 2. Пусть К—поле алгебраических чисел с гильбертовым полем классов К, La Кп — некоторая свободная решетка. Тогда если решетка М обладает свойством-, локализации L„ и Мв совпадают для всех неархимедовых у ± у», а К с cz Кц„, то М свободна.

Доказательство. Напомним вначале, что гильбертовым полем классов для К называется максимальное абелево расширение К, неразветвленное во всех точках. В терминах глобальной теории полей классов К определяется как поле, отвечающее норменной подгруппе JkK*[K* аСк, так что группа Галуа Gal (К/К) изоморфна группе классов идеалов поля К. При этом включение К^К-: равносильно тому, что главный класс /дК* содержит все идели Н (а), а е Kv„ с компонентами

f 1, у N= v0,

G = 1

( а, у = у0

(все отмеченные факты можно найти в [АТЧ]).

Пусть теперь М удовлетворяет условиям предложения. Тогда в качестве аделя geG,, переводящего L в М, можно взять адель вида р“Ча), aeGKuo, так что f (g) = Т” (det а) е 7дК*, и согласно лемме 1 М свободна. Предложение 2 доказано.

При доказательстве теоремы об одноклассных решетках (см. § 8.2) нам понадобится одно утверждение, которое также вытекает из леммы 1.

Предложение 3. Пусть S cz VK — такое конечное подмножество, содержащее V*^, что ]к = ^кК*, где Jk—группа S-целых иделей. Тогда для любой решетки М cz Кп существует такая свободная решетка N cz К", что Мо = Na для и е V^XS. Другими словами, любую решетку можно сделать свободной, изменяя ее локализации лишь для уе S\V^..

Доказательство. Положим £ = бХ и пусть g s GA—такой адель, что М = g Д.\ Тогда / X) г Jк = J^K', и поэтому f (g)=xyz, где и-компоненты хи равны 1 для и ^ S \ У^, уеД и геК". Выберем для у е S \ К£ такие элементы av е GK , что f (aj = х^ и построим адель А с компонентами

fl, и ^ S \ VK,

Лв=(ао, VES\y« (2>

Утверждается, что решетка N = h-1 (М) будет искомой. В самом деле, N = (h~'g)(L) и f (h'’g) = f (h)~'f (g) = x"1 (xyz) = = yz = J^K‘, так что N свободна. С другой стороны, из (2) вытекает, что Мв = Мв для и е ^XS. Предложение доказано.

Здесь мы завершаем обсуждение круга вопросов, связанных с вычислением числа классов группы G = GLn в естественной реализации и различными интерпретациями равенства cl(G) = = hK. Однако связи между числами классов алгебраических групп и классическими арифметическими инвариантами на этом не оканчиваются. В частности, мы сейчас покажем, что число классов в роде невырожденной квадратичной формы f совпадает с числом классов cl(G) соответствующей ортогональной группы G = ОпУУ Этот факт мы выведем из одного общего результата, который имеет и ряд других интересных приложений.

Итак, пусть G— линейная алгебраическая К-группа, действующая на аффинном /(-многообразии X. Зафиксируем некоторые реализации G cz GLn, X cz Am и будем предполагать, что относительно этих реализаций рассматриваемое действие G на X определено над кольцом целых О cz К, т. е. задается полиномами с коэффициентами из О. Будем говорить, что два элемента х, уеХу эквивалентны (относительно группы Gy), если существует такой элемент g е Go, что у = gx. Как мы увидим на приводимых ниже примерах, это определение охватывает классические понятия эквивалентности целочисленных матриц, целочисленных квадратичных форм, целочисленных представлений конечных групп и других арифметических

объектов. Основной возникающей здесь проблемой является проблема выяснения условий, необходимых и достаточных для эквивалентности двух элементов. При этом серия очень естественных необходимых условий указывается без труда: если элементы х, уеХ0 эквивалентны относительно Gy, то они эквивалентны относительно групп Ок и Gyy для всех неархимедовых нормирований у поля К, т. е. существуют такие элементы SkgGk и goGGoc(.u gV^\ что §кх = У'§сх = У- Вопрос о достаточности этих условий имеет характер вопроса о справедливости в данной ситуации локально-глобального принципа. Он оказывается очень сложным и с качественной точки зрения решается отрицательно во многих случаях. Чтобы иметь возможность обсуждать его количественную сторону (т. е. характеризовать отклонение от локально-глобального принципа), введем следующее

Определение. Пусть хеХз. Родом, gen(x) элемента х называется совокупность таких элементов у е Хд, что х и у эквивалентны относительно групп Ок и Од^ для всех у е У*. Классом с1(х) элемента х называется орбита Ggx, т. е. совокупность элементов у, которые эквивалентны х относительно группы Од. Каждый род gen(x) распадается в объединение непересекаю- щихся классов:

gen (х) = у cl (хг), cl (х,) П cl (х,) = 0 U N= j);

мощность множества / называется числом классов в роде элемента х (относительно действия группы G) и обозначается через fa(x).

Таким образом, локально-глобальный принцип для эквивалентности справедлив тогда и только тогда, когда fG(x)=l. В общем случае fG(x)#=l, что, естественно, порождает задачу вычисления fG(x). О полученных в этом направлении результатах мы расскажем в последующих параграфах, а сейчас укажем на имеющуюся связь с числами классов алгебраических групп.

Теорема 2 (о стабилизаторе). Пусть xeXgu G(x)=(gE g G|gx = x}—стабилизатор элемента х. Тогда число fG(x) совпадает с числом двойных смежных классов О (х) At^gG (х) к группы аделей G(x)A, содержащихся в главном классе Ga^Gk- В частности, число fG (х) всегда конечно. Если для группы G имеет место абсолютная сильная аппроксимация, то fG(x) = = cl(G(x)).

Доказательство. Пусть д(х)—фактормножество, получаемое из рода gen(x) отождествлением элементов, принадлежащих одному классу. Так как fG (х) = [д(х) ], то для доказательства теоремы достаточно установить биекцию между множеством Af

двойных смежных классов GGG^gGi.^ группы GUH содержащихся в Ga^Gk, и д(х).

(3)(3)Пусть g = G(x)A(oo)gG(x)KEM, т. е.

(3)

(3)

8 ёд^Ук’

гДе ёд^^ Gaw ёк^к- Покажем, что у = gKx е gen (х). Во-первых, заметим, что уеХд. Действительно, по определению

U = gKX, (4)

так что у е Хк. Далее, из (3) получаем, что для любого уеК^ и-компонента g совпадает с gn g„, где g„ eG„ . Отсюда g^g^u И

(5)(5)y = gg1X,

(5)

(5)

ибо g„ е G (х)Ко; в частности, у е Хдв. Поэтому у е Хд, и равенства (4), (5) показывают, что у е gen(x). Определим теперь соответствие 0:М^-д(х), отображая g в класс, содержащий у.

Корректность определения 6. Пусть g=G (х)л wgG (х)к = = G (х)л (^hG (х)к, т. е. h = tA^gtK, где /л (оо) е С(х)Л(оо), ,tKeG^K. Рассмотрим произвольное разложение Ь = Ьа<»=1Ьк в классе Ga^Gk- Тогда

^А^НК (/д (оо^Жоо)) (^к)’

и, следовательно, s = кд^д^д^Н^^^ е Од^ П GK=GQ. Поэтому kK = sgKtK, и, значит,

У = hKx = (sgKtK) x = s ^gKx^ = sy,

откуда следует, что у лежит в том же классе, что и у. Корректность определения 6 доказана.

Сюръективность 6. Пусть z/egen(x). Тогда

У = gKx = gDx(6)

.для некоторых gKEGK, g=EG0 (у е К^). Обозначим через к адель с компонентами

'Очевидно, ЛеСд(оо). Из (6) и (7) вытекает, что для любого уеУк имеет место включение Ьй^к е G МКс, так что,g = h~ gK е ^G(x)a. При этом по построению g = G (х)Л(оо)5'С (х)к е М и .при отображении 6 классу g соответствует класс эквивалент-

ности в д(х), содержащий у, что и доказывает сюръективность 6.

Инъективность 6. Пусть g, h е G (х)л — такие элементы, что соответствующие классы g, h лежат в М. и 6 (g) = = 0 (А). Выберем разложения g = gA ^gK, h = hA (oo)hK в GA voo)GK. Тогда равенство 6(g) = 6 (А) означает существование такого^ s е Gg, что

кк* = sgKx.

Положим tAW = hA<oo)sgA^y {к = ёк'3""^к. Легко проверяется, что

*А (ОО) ^ (Х)л А Сд (оо) = ^ (Х)д (оо)’

Z^ е G (х)л Q GK = G (х)^.

При этом h = tA^gtк, т. е. g = А, и инъективность 6 установлена.

Таким образом, мы доказали основную часть теоремы 2. Конечность числа fc(x) теперь непосредственно вытекает из теоремы 1. Если G обладает абсолютной сильной аппроксимацией, то cl(G)=l (см. предложение 5.4), т. е. Ga = Ga^Gk, и поэтому fc(x)= cl(G(x)). Теорема 2 полностью доказана.

Приведем примеры использования теоремы 2.

Пример 1 (квадратичные формы). Пусть X—многообразие невырожденных симметрических (rt X п)-матриц, рассматриваемое как подмногообразие ц2-мерного аффинного пространства Ап ~Мп. Точки X однозначно соответствуют невырожденным n-мерным квадратичным формам, причем точкам из Хк и Хд- отвечают соответственно К- и ^-определенные формы. На пространстве X естественным образом действует группа G = GLn,

g(F) = (gFg, g^G, FeX,

где *g — транспонированная к g матрица, причем это действие, очевидно, (^-определено. Поэтому на основе данного выше определения можно ввести понятия рода и класса симметрической матрицы F еХд, а также понятия числа классов в роде fo(F). Так как элементам из X однозначно соответствуют квадратичные формы, то все перечисленные понятия переносятся на квадратичные формы и превращаются в классические понятия теории квадратичных форм, восходящие к Лагранжу и Гауссу. Так,, например, род gen(f) квадратичной формы f представляет собой совокупность квадратичных форм, которые эквивалентны форме f над полем К и над всеми кольцами С у, и е У^; при этом класс cl(f) есть совокупность форм, О -эквивалентных форме f. Число классов в роде здесь по традиции обозначается через с(/).'

Если f— невырожденная ^-определенная квадратичная форма и F е Хс— соответствующая симметрическая матрица, то стабилизатор G^F) совпадает с ортогональной группой On(f). Покажем, что всегда ОДПдС GLn(A (оо)) GLn(X). Для каждого теГ^ группа GLn(pyy очевидно, содержит матрицу с определителем — 1, поэтому любой элемент из ОпУ)а путем умножения на подходящий элемент из GLn(A(eo)) можно заключить в группу SLn(A). Но, как мы уже отмечали, с1($Л„) = 1, т. е. SLn(A) = SLn(A (оо))SLn(K), откуда следует, что Оп({)а с cz GLn(A (оо)) GLn(K). С учетом этого из теоремы 2 получаем

Предложение 4. Число с([) классов в роде невырожденной квадратичной формы f конечно и равно числу классов cl (O„(f)) соответствующей ортогональной группы.

Здесь уместно также привести простой пример, принадлежащий Милнору, который показывает, что, вообще говоря, c(f)=# =# 1- Рассмотрим над полем <Q две симметрические целочисленные матрицы

Введем следующие невырожденные рациональные матрицы: /1/4 — 11/4 А/ 1/7 -22/7 А

si " V 1/45/4 )’\ 2/75/7

Прямое вычисление показывает, что tgJ4gt = F2 (г = 1,2). Так как матрицы gi рациональны, причем gieGL2(Zp) для всех р=#2, a g2^GL2(Z2), то матрицы Fi, F2 (и соответствующие им квадратичные формы /), f2) лежат в одном роде. В то же время если предположить, что Fb F2 лежат в одном классе, то

„(а b А

должна найтись такая целочисленная матрица g=l у ) * что lgFig = F2. Последнее соотношение, как легко проверить, сводится к системе

' 5а2+11с2=1,

* 5ab + 1 led = О,

- 562+1М2 = 55, уже первое уравнение которой неразрешимо в целых числах. Таким образом, fat^F^ = с (f,) > 1.

Пример 2 (целочисленные представления). Пусть Г—конечно порожденная группа, А’ = /?П(Г)—многообразие ц-мерных представлений Г, рассматриваемое как подмногообразие в (GLn)d (см. § 2.4, 7.5). Группа G = GLn естественным образом .действует на /?П(Г); при этом орбиты действия совпадают с классами эквивалентных представлений. Точкам из Xz отвечают целочисленные представления р: T^-GZ.n(Z) степени п, а общие понятия рода и класса элемента приводят в данной

ситуации к понятиям рода и класса целочисленного представления, которые применяются в теории представлений (см. Картис, Райнер [1]). Так как над полем Q имеем cl(GL„)=l (предложение 1), то из теоремы 2 вытекает

Предложение 5. Пусть р: r-^-GZ-^Z)— целочисленное представление конечно порожденной группы Г, С — централизатор р ( = централизатор р(Г)). Тогда число классов в роде представления р конечно и равно числу классов с!(С) группы С.

Используя этот факт, мы, следуя работе Платонова [2], получим точные оценки для числа классов в роде целочисленного представления (см. § 8.5), улучшающие оценки А. В. Ройтера [1], полученные с помощью модульной техники.

Пример 3 (сопряженность целочисленных матриц). Пусть G cz GLn— связная алгебраическая подгруппа, определенная над полем Q. Рассмотрим присоединенное действие группы G;

x^h = xyx~x, х, y = G.

Род элемента geGz, который в данном случае принято обозначать [g']c, совпадает с совокупностью элементов из Gz, которые сопряжены с g в группах Gq и Gzp для всех простых р; класс g есть его класс сопряженности в Gz. Применяя теорему 2, получаем следующее утверждение о числе fc(g) классов в роде.

Предложение 6 («теорема о централизаторе», Платонов [8]). Число fc(g) классов в роде элемента g е Gz конечно и совпадает с числом двойных смежных классов Ca^xCq группы аделей СА централизатора C = ZG\g'), содержащихся в главном классе Ga^Gq. В частности, если cl(G)=l, то fG(g) = cl (С).

В § 8.5 мы, применяя это утверждение, получим решение так называемой проблемы рода (см. Рапинчук [1]).

В заключение укажем еще на одну интерпретацию чисел классов алгебраических групп, которая в некотором смысле двойственна обсуждавшейся выше. Для этого рассмотрим алгебраическую К-группу G cz GLn и некоторую решетку М cz Кп.

Определение. Родом gen (АГ) решетки М относительно группы G называется совокупность решеток N cz Кп, которые локально изоморфны М относительно группы G, т. е. таких, что для каждого veV^ существует gv е GK со свойством gv (АГД = Nv. Класс решетки М состоит из решеток, изоморфных М относительно G, т. е. решеток вида S'(АГ), §е Gk;.

Предложение 7. Число классов в роде решетки М относительно группы G конечно и совпадает с числом классов cl(GM).

Доказательство, как обычно, заключается в установлении биекции между множеством Л двойных смежных классов GKgG^(оо) группы Ga, число которых совпадает с cl(GM), и множеством д(АГ) классов в роде решетки АГ. Для этого рассмот-

рим действие группы GA на решетках в пространстве К'1, которое индуцировано вложением GAczGLn^A) и рассмотренным выше действием GLn)A). Утверждается, что род gen(M) совпадает с орбитой Од^Му Включение GA (М) cz gen (М) очевидно. Пусть теперь N cz gen(M), так что для каждого у е К^ имеется элемент §оеСКэ со свойством ga (уИ^) = Nv. Так как Мо = = N^ = О" для почти всех у, то элемент /г=(/г„) с компонентами

fl, у е V*,

является аделем, причем по построению /г(М) = М Так как стабилизатор решетки М при описанном действии совпадает с G^^, а орбиты группы Ок и есть классы решеток в нашем смысле, то тем самым получаем требуемую биекцию Л ~ д (М). Предложение 7 доказано.

Пример 4. Пусть О = On(f), где f—невырожденная квадратичная форма на пространстве Кп. Тогда род решетки М cz Кп состоит из решеток N cz Кп, которые локально изометричны М, т. е. таких, что локализации Мщ и Уи изометричны (другими словами, существует изометрия ov^On(f)Kv со свойством Со (Мо) = Nv) для всех veV^. Класс решетки М состоит из всех изометричных ей решеток. Таким образом, в данной ситуации наши понятия рода и класса решетки полностью совпадают с теми, которые использовал О’Мира в своей книге [1] по арифметической теории квадратичных форм. Объединяя предложения 4 и 7, мы приходим к следующему утверждению:

пусть f— невырожденная квадратичная форма на пространстве Кп с коэффициентами в 0; тогда следующие три числа совпадают

число с([) классов в роде формы f;

число классов cl (On(f));

число классов в роде решетки L=0n относительно действия группы G = On(f).

Отметим, что в дальнейшем, имея в виду интерпретацию числа классов, содержащуюся в предложении 7, мы будем называть решетки М, для которых cl(GM)=l,2, ..., соответственно одноклассными, двуклассными и т. д.

§ 8.2. Числа и группы классов полупростых групп некомпактного типа. Теорема реализации

В этом параграфе мы получим полное описание значений, которые принимает число классов с1(ф(С)) полупростой К-груп- лы О некомпактного типа при различных реализациях ср.

(Напомним, что полупростая /(-группа G называется группой некомпактного типа, если она не имеет /(-простых сомножителей G‘ с компактной архимедовой частью группы аделей G^.) Используя теорему 7.12, можно дать эквивалентное определение: G является группой некомпактного типа в том и только том случае, когда для односвязной накрывающей G имеет место абсолютная сильная аппроксимация. Оказывается, что в рассматриваемом случае с1(ф(С)) может принимать далеко не произвольные значения, и мы вначале получим соответствующие ограничения на число классов, а затем покажем, что все априори возможные значения действительно реализуются в качестве с1(ф(С)).

Итак, пусть G — полупростая /(-группа некомпактного типа. Рассмотрим универсальное /(-определенное накрытие л: G->-G и соответствующую точную последовательность Л-групп

1 —> F-> G->G-> 1,(1)

где F = Kern — фундаментальная группа группы G. Для любого расширения М/К можно рассмотреть отрезок точной когомологической последовательности

~ ЛА1 ^А!, ,

См — НЦМ, F),

где фм — кограничный морфизм (см. § 1.3). Если положить М = Ко (ое^), а затем перейти к прямым произведениям, то мы придем к точной последовательности

П бКр-^ПСд„-^ П//-(/(„, F),(2)

ООо

где П = Ц лк , Y = Пфк . Обозначим через лл и фл ограни

чения П и Y на группы аделей GA и GA соответственно.

Предложение 8. Пусть G— полупростая К-группа некомпактного типа. Тогда главный класс Ga^Gk является нормальной подгруппой в GA, содержащей коммутант [Gx, Сл], и число классов cl(G) совпадает с порядком конечной абелевой группы ^cl(G) = Ga/Ga^Gk. При этом

1?с1(С)~фДСл)/фл(СЛ(^(3)

в частности,

с1(С) = [фд(Сл):фл(СЛ(^к)].(4)

Доказательство. Вначале установим точность последовательности

GA^GA^AlH4Ky, П.

V

В силу точности (2) достаточно показать, что

(ПлКо(5Ко))ПСд = лл(Сл).

Последнее же эквивалентно тому, что для почти всех че!^ справедливо равенство

В § 6.2 мы видели, что для почти всех у еУ^ имеет место точная последовательность

1 *

причем F0 нр для почти всех и е У^ совпадает с F. Тогда для g е Go нр имеем ^лГ1 (g) cz Go нр- В частности, если g =

= Л (х) е G0y, где х е GKy, то х е Go нр П GKy = G0y, откуда и следует (5).

Заметим теперь, что из свойства абсолютной сильной аппроксимации для G вытекает включение лл (Од) со Gai^Pr, более того, лд (Сд) со g-!GA(oo)gGR для любого g е Сд. В самом деле, подгруппа U = Лд1 ^g-1GAtoo)g^ является открытой в GA и содержит Goo, поэтому из плотности GooGK в Од вытекает, что Сд = = UGK. Следовательно,

лд (бл) = лд (UGr) со g-1GA(=o)gGR.

Так как фл является гомоморфизмом GA на абелеву группу, то из доказанного вытекает, что

[Од, Од] со Кег фл = Im лА со g^GA^gGx(6)

для любого ge Ga. Теперь уже несложно завершить доказательство предложения. Для любых gi г Ga^, Iu^Gr (z = = 1,2) и g е Ga имеем

(^1^1) (^2^г) = (^1^г) ( [^2 ’’ ^1] ) ^1^2 GA^oo-pR,ksA\^ =^i ^i =^i [^р ^i ] ^i е^А^=орк’ (?)g-xgxhxg = gv [gr1, g"1] [g-1, A,] A, e GawGk

в .силу включения [Сл, Од] се Ga^Gr (где [х, g] = xgx-'g-1). Включения (7) показывают, что класс Ga^Gr является нормальной подгруппой в Од, которая содержит коммутант JGa, Од]. Для доказательства утверждения о том, что порядок

факторгруппы Scl(G)= Сд/Сд(оо)Ск совпадает с числом классов, достаточно установить совпадение двойного класса GA^xGK с обычным смежным классом xGA^GK для любого хеСа. В силу (6) для любых g, h е GA имеем включение

(gA)"1 Ga(=o) (gA) GK c g^'GAi^g Yg~"1GA(oo)g, A-1] GK c

c g~'G^(oo)g [Сд, Сд] Gx = g~1Gд(oo)gG^..

Полагая здесь g= 1, h = x, получим включение

а-1Сд(оо)аСх с Ga(=o)Gk,

а полагая g = x, h = x~x,— обратное включение, что и дает требуемое. Доказательство изоморфизма (3) вытекает из стандартной теоремы о гомоморфизмах, ибо Кегфд ст Сд^Ок- Предложение 8 полностью доказано.

Определение. Группа ^cl(G) = Ga/Ga^Gk называется группой классов полупростой алгебраической /(-группы G некомпактного типа.

Из предложения 8 вытекает

Следствие. Пусть G — полупростая К-группа некомпактного типа, f— показатель (т. е. минимальная экспонента) ее фундаментальной группы F. Тогда f является экспонентой группы классов ScI(G). В частности, число классов cl(G) всегда имеет вид р“х . . . р“г, где рх, . . ., рг — различные простые делители порядка F.

Цель настоящего параграфа — показать, что все числа описанного вида получаются как числа классов cl(cp (G)) в подходящей реализации ср группы G. Эту задачу решает

Теорема 3 (о реализации). Пусть G— полупростая К-группа некомпактного типа, f — показатель ядра F универсального накрытия л: G—>G. Тогда для любой конечной абелевой группы В экспоненты f существует такая К-реализация срв группы G, что группа классов ScI (q>B(G)) изоморфна В. В частности, эффективно определяется такое п, что G имеет точное представление степени п и для любого числа вида р“х . . . р“Г существует такая свободная решетка М (ар . . ., аг)с=/(", что cl (GM(a*“г))— а.аг

= Р\гРЛ

Доказательство теоремы 3 делится на ряд этапов, первым из которых является теорема о существовании свободной одноклассной решетки.

Теорема 4. Пусть G — полупростая К-группа некомпактного типа и степени п. Тогда существует такая свободная решетка Тос:Кп, что c1(Gl°)=1.

Доказательство использует следующее простое утверждение, которое позволяет специализировать выбор системы представителей двойных смежных классов.

Лемма 2. Пусть Н— алгебраическая К-группа, обладающая слабой аппроксимацией относительно конечного подмножества S^V^, W^HaW— открытая подгруппа eudaW = Н П ^V

где 1У„ — открытая подгруппа в Hov и Wu = Hqu для почти всех v е У*. Тогда существует такое конечное подмножество Т ст У^, не пересекающееся с S, и такая конечная система представителей {А*}^, двойных смежных классов W\HAjHK, что и-компо- нента Ну равна 1 для любого и^Т и любого <=1, . .., г. В частности, На = На(Т)Нк для подходящего конечного Т, содержащего У^ и не пересекающегося с S.

Доказательство. Подгруппа W, очевидно, имеет конечный индекс в На(оо), поэтому из теоремы 1 вытекает существование конечной системы представителей {х'}^=1 двойных смежных классов W\HA/HK. Используя слабую аппроксимацию, выбираем для каждого / = 1, ..., г элемент а1 е Н Kf\ Ц (W'tX) и

положим х1 = х1 (а1)1, У1 — ^У^> гДе

( 1, y^S,t хи-> и е S.

Тогда по построению у1 е W для любого /=1, . . ., г, так что адель z1 = (у1)-1 х1 (а1)”1 определяет тот же двойной смежный класс, что и х‘. Положим Т = {и е У^ | zlv ^ Wu для некоторого /=1, .... г}. Очевидно, Т — конечное подмножество, причем

поскольку z‘=l для u^S, имеем ТП5=0. Теперь ясно,

что в качестве искомой системы представителей {Л‘},=1 можно взять «усеченные» относительно Т адели z‘, т. е. положить h1 = Цй\ где

. f 1, v^T,

Остается заметить, что построенная система {A‘}f=1 содержит представители всех двойных смежных классов Нд^\НаЩк, и поскольку в силу (8) hl е НД^?иуку то НА= (J ННк = = Нд/тцук\Нк. Лемма доказана.

Согласно теореме 7.7 найдется такое конечное подмножество So cz У^, что для любого конечного S cz У\ непересекающегося с So, группа G обладает слабой аппроксимацией относительно S. Применяя лемму 2 к одномерному тору H = Gm, установим существование такого конечного подмножества S cz VK, содержащего У^ и не пересекающегося с So, что 1к = 1цК‘, где 7^ — группа S-целых иделей. Зафиксируем теперь некоторую решетку LcK" и обозначим через 1У подгруппу в Ga<oo) вида

где Sf = S \ У^.

Применяя еще раз лемму 2, теперь уже к группе Н = G и множеству Sf (отметим, что по построению G обладает слабой аппроксимацией относительно S), мы получим такую систему представителей {gf}*=1 двойных смежных классов W\GA/GK, что для некоторого конечного Т cz yf, не пересекающегося с S, и-компонента g* равна 1 для любого о ^ Г и любого Z = = 1, .... I.

Искомую решетку Lo мы построим, изменяя и-компоненты исходной решетки L для и е S J Г. Для нормирований о е 7 нужные нам локальные компоненты строятся на основе следующего утверждения.

Лемма 3. Существует такая решетка N,cX, что

GX = сц"лк„ (^J •

Действительно, согласно предложению 3.18 существует такая максимальная компактная подгруппа В cz Ски, что Оки = ВХ X л,ки (С^иУ С другой стороны, в силу предложения 1.12 найдется решетка Nu cz К" со свойством Ggv = В.

Из условия J^ — J^K* и предложения 2 вытекает существование таких решеток М« cl К" для и е Sf, что решетка Lo с локальными компонентами

Г Л„, ц^ЗиЛ= ] N^ veT,

I Ми, и е S

является свободной, и нам остается показать, что cl (GL°) = 1.

Пусть g е Од. Тогда существуют he W, te Gk и число i, 1 ^ Z ^ /, такие, что h = hg4. Для иеТ выберем разложение h = b s ,

где bv е Ggu, sv е лк ^GK ), и введем адели х, у с компонентами

Г hv, y^S^T,Г 1,ц^ЗиД

bu, у^Т, y„ = S s„, чеТ,ueS,I hy, ueS.

Тогда поскольку ^=1 для у^Т, имеем Ь§1 = ху, причем по построению х е Ga\oo), у ^ ла (Ga). Поскольку G является группой некомпактного типа, то лА (GA) ст Ga\«>)Gk, следовательно, g = hglt = xyt е G^^Gk, что и требовалось. Теорема 4 доказана.

Если не налагать на конструируемую одноклассную решетку требования свободы, то доказательство ее существования становится совсем коротким и при этом выпукло выступает основная идея рассуждений, состоящая в использовании предложения 3.18. Доказательство же самого предложения 3.18 опирается на факт сопряженности силовских про-р-подгрупп в группе л^ (Ск0), и мы получаем великолепный пример применения абстрактных теоретико-групповых соображений к исследованию тонких арифметических вопросов. В связи с этим стоит отметить, что доказательство теоремы 4 для ортогональной группы неопределенной квадратичной формы методами теории решеток требует гораздо большей подготовительной работы (см. О’Мира [1]). Обратим внимание читателя также на то обстоятельство, что в теореме 4 разбирается, по-видимому, максимально общая ситуация, в которой существование одноклассных решеток является правилом, а не исключением. А именно, в работе Платонова, Бондаренко, Рапинчука [1], § 4, приведены примеры торов и полупростых групп компактного типа, которые не имеют одноклассной реализации ни в каком пространстве.

В связи с этим отметим следующий любопытный факт, который показывает, что существование одноклассной реализации определяется внутренними свойствами самой группы и не зависит от выбора точного представления.

Предложение 9. Пусть G^GLn—произвольная алгебраическая К-группа степени п. Предположим, что существует такая решетка LaKn, что cl(GL)=l. Тогда для любого точного К-определенного представления ср: G->-GLr также существует такая решетка L^cKj. что с1(С£<ф>)= 1.

Доказательство. Обозначим через S конечное подмножество Pf такое, что для ueV^XS выполняются следующие условия: морфизм ср определен над Оу и Ly = G«. Для каждого ceS группа cp^G^ компактна, и поэтому существует

такая решетка МуСсК^, что ф^О^ с ф (G)^°. Зададим локализации искомой решетки L (ф) следующим образом:

L^v ( Му, ueS.

Тогда из наших построений вытекает, что ср (Сд<оо)) cz ср (G)^^. и поэтому ф№л = Ф(Сл) = ф(С^)сф(С)1у^ т. е. cl (ф (G)L ^ = 1. Предложение доказано.

Возвращаемся к доказательству теоремы 3. Построение искомых решеток проводится исходя из специальной одноклассной решетки L путем изменения ее и-компонент для нормирований и из некоторого конечного подмножества 5<=У* таким образом, что соответствующая группа целых аделей уменьшается. В этой ситуации можно несколько уточнить описание изоморфизма (3).

Предложение 10. Пусть G— полу простая К-группа некомпактного типа и степени п, L cl Кп—такая решетка, что cl(GL)= 1. Предположим, что N cz Кп— другая решетка, причем выполняются следующие условия-.

^(^^^(G^^);

Nv = Lv для v ^Vf \S, где S с У*— некоторое конечное подмножество.

Для любого подмножества Т a VK обозначим через д~: ИДК, F)-> П НДКу, F) отображение, индуцированное огра- угТ

ничениями, и пусть д = 6уК. Тогда

$С1 (с"Щ ns *к. (су/65 (*к (су П51,. (су.(9)

При этом группа ^(^^(G^)) совпадает с образом при проекции Ps- П^Ч^- Р)^ J^SH^K^ Р) гРУппы ь^кк9о^’ а послед' няя является конечной группой и может быть опреде лена из соотношения 6 (ф^ (G^)) = фл (G^(oo)) П 6 (ф^ (G^).

Доказательство. Так как cl (GL) = 1, то фл (Сл) = фл (G^ ^,0^). Поэтому в силу изоморфизма (3) имеем

^1 (G^) ~ фл (G^(oo)G ^/фл (G" ^G*).(10)

Используя в данной ситуации классический изоморфизм ABICB ~ AJ^A П В) С, справедливый для произвольных подгрупп А, В, С некоторой абелевой группы таких, что С cz А, будем иметь

^cl (Gy) ~ фл (С^(оо))/(фл (G^(oo)) П Фл (G^) фл (G^(oo)).

Применяя теперь проекцию ps и учитывая, что ядро ограничения ps на Фл(<т^(оо)) лежит в Фл(С^(оо)), из теоремы о гомоморфизмах получаем изоморфизм

^cl(Gy)~ П Фк №)/Г П Фк

где Г обозначает образ при ps пересечения л|)л (G^(oo)) П Ф^ (^). Учитывая, что ф/G*) = 6 (ф^ (G^) и ds (Ф^(С^))=р5 (д(ф^(С^))), мы видим, что нам достаточно убедиться в справедливости равенства

Фа (Ga (=о)) П Фл (G^ = фл (G^).

Пусть х = фл (g) = фл (А), где g е G^w h е Gk. Тогда Фа (ё^-1) = 1, и, значит, у = ghh" е Кег фл = Im лл (см. доказательство предложения 8). Из свойства абсолютной сильной аппроксимации для G вытекает равенство

ла (Ga) = (ла (Ga) П G(j (оо)) ла (Gk) >

так что y = gh~l = st для некоторых s е ла (Ga) П Ga^, (е елл(С^). Имеем

s xg = th е Од (оо) П GK = Gy, откуда х = фл (h) = фл (th) е фл (Gy), что и требовалось. Остается заметить, что из теоремы 4.17 вытекает наличие у группы Gy конечной системы образующих, поэтому группа Фк(Сц) является конечно порожденной абелевой группой конечной экспоненты, и потому конечна. Предложение 10 доказано.

У нас уже есть все необходимое для доказательства теоремы 3. Однако мы ограничимся здесь полным доказательством для важного случая, когда фундаментальная группа F является циклической. При этом оказывается возможным дать явное описание получаемых реализаций, что важно с точки зрения арифметических приложений (см. теорему 6 и предложение 13). Кроме того, этот случай содержит основные технические трудности, и общий случай фактически может быть к нему редуцирован (см. Платонов, Бондаренко, Рапинчук [3]).

Теорема 5. Пусть G— полупростая К-группа некомпактного типа с циклической фундаментальной группой F порядка f = = р^1 • • ■ Pgs. Предположим, что существует такое точное К- определенное представление р: G -> GLr и такое конечное расширение Р[К, что для почти всех и еУ^ со свойством Р а Ку найдется решетка Ra<^Kr$, для которой фл (Gy")=l. Тогда для любой конечной абелевой группы В экспоненты f найдется

такая свободная решетка L (В) с. Кг, что Ус1 ( GL ^^ ~ В. В частности, для любого числа вида р^1 . .. p^ss найдется свободная: решетка A(0i, ..., Ps) cz КГ с числом классов cl (Gl (Рр р$)) = = р^1 . .. psss. Если G имеет степень п как линейная группа, то в качестве р всегда можно взять представление степени 2п, задаваемое формулой р (g) = ( q ^ ) •

Доказательство. Увеличивая Р, будем в дальнейшем предполагать, что Р является расширением Галуа поля К, содержит гильбертово поле классов К и что F = FP. Зафиксируем некоторую одноклассную решетку L cz Кг и выберем разложение В =

I

= П Bt группы В на циклические сомножители. Обозначим

через Si совокупность таких у е Vp что ф^ (^")

#= Hv (KHJlKv, F). Отметим, что из предложения 6.4 вытекает конечность Si. Далее, пусть S2— такое конечное подмножество в rf, что для любого конечного S, не пересекающегося с S2, отображение 6S: НЦК, F) -> Ц Д1 (/(„, F) сюръективно (см.

и е S

следствие 2 из предложения 7.8). По теореме плотности Чеботарева можно выбрать / нормирований ур ..., 6;еУ^\ (S, (J S2) со свойством/3 cz Ke- для i = l, . . ., I. Положим S = {щ, . . ., У/}. Тогда имеет место

Лемма 4. Существует такая свободная одоноклассная решетка М с. Кг, что

6s (МО) = п И1 №^»г F> (11)

Доказательство. Используя лемму 2, выберем такое конечное подмножество S с У*, содержащее Уй и не пересекающееся cS2(JS, что Jk = JkK*. Из наших построений и предложения 7.10 вытекает наличие в группе G свойства слабой аппроксимации относительно множества T = S|JS. Рассмотрим две открытые подгруппы в GT

W1 = GOOX П G0u,^т\/

w,= ПлЩб^).

Тогда из свойства слабой аппроксимации получаем, что Wy = — (GK П H^i) (U7i П W2) в смысле диагонального вложения Ок в GT, следовательно, бт (фк (GK П ITi)) = фг (^i)» где Фг —

= П • Поскольку все группы когомологий Hl(Kv,F) конечны (теорема 6.14), то образ 4>т(1Е1) также конечен, и поэтому существует такая конечно порожденная подгруппа Г с cGK(\ Wi, что

6г(^(Г)) = ^(Ц71). (12)

Ясно, что ГсС^^ Для некоторого конечного подмножества V с yf, не пересекающегося с Т. Определим теперь искомую решетку М с Кг ее локализациями следующим образом:

Nv,Nv,(13)(13)и ^ У (J 5, и eV, и е S,

Nv,

Nv,

(13)

(13)

где N„ — решетка из леммы 3, а компоненты 7„ подобраны таким образом, чтобы обеспечить свободу решетки М (см. предложение 3). Покажем, что cl (GM) = 1. Из одноклассности L получаем равенство 4>л (Gx) = Тд (G^ ^G^, и поэтому в силу предложения 8 достаточно установить включение 4>л (G^(oo)) cz с^а№^СкУ Так как Ми = Ц для u^yjS и ^(G^c cz 4^ (Gq d) = 4^ (GK ) для и eV, то в доказательстве нуждается лишь включение Ф с х|)л (G^^G^, где Ф есть произведение IJ ^ (Gy°), естественным образом вложенное в ФЛ(СЛ). Из (12) вытекает, что для любого хеФ найдется \ еГ со свойством ds (^ (у)) = х. Тогда из рассмотрения локальных компонент и (13) легко получается, что хфл (v~*) ^= Фл (С^(оо,) и, следовательно, х = х (1|)л (у-1)) фл (у) е х|)л (G^^G^, что и требовалось. Чтобы вычислить dj (ф^ (Gy)), нужно, согласно предложению 10, взять образ при проекции р^ группы ^(G^) = = T4 (G^ П 4л (G^j). Если обозначить через А ядро ограничения ds на Ф/< (Г), то из (12) вытекает, что

МА) = II_^(G^) = П_//'(/(Ж1 F\

С другой стороны, используя (13), получаем, что 6 (A) cz 4Л (G^) П n^(CJ. откуда ^(G^zd П^ЧСК- ру Обратное

включение очевидно, ибо Gy cz Gy" = Gy" для всех и е S. Лемма 4 доказана.

Отметим, что до сих пор мы нигде не пользовались цикличностью фундаментальной группы F, поэтому все построения и результаты остаются справедливыми и в общем случае.

Продолжаем доказательство теоремы 5. Поскольку F = Fp, то Н1 ^Р, F) = Hom(Gal(P/P), F), и мы имеем возможность рассмотреть сквозное отображение

Н1 (К, F) -> Hv (Р, F) = Hom (Gal (Р/Р), Р).

Обозначим через Н пересечение ядер всех гомоморфизмов % е е 0 (фк (Gy)). Поскольку группа Е = ^к (Gy) конечна (предложение 10), то Н— замкнутый нормальный делитель в Gal(P/P) конечного индекса. Утверждается, что Н на самом деле является нормальным делителем в Оа1(К/Л). Действительно, если X е 0 (^ (G^)), /геКегх и g е Gal (Л/Л), то

X (£~*М = X GT') S'-1 (X khg^ = X (S'-1) 5”1 (X W hi (g)) =

= x(g”')g”1(x(g)) = x(gg”') = 1, ибо x является коциклом на всей группе Gal (^/^), и /г, будучи элементом из Gal(P/P), действует тривиально на F. Обозначим через С конечное расширение Галуа поля К, отвечающее Н. (Его можно охарактеризовать как минимальное расширение Галуа поля К, содержащее Р и такое, что Е с. FF(C/K, F).) Таким образом, гомоморфизм dj: Е -> II Нх {Kv^ F^ пропускается через группу Н1 (С/К, F). Из (11) теперь вытекает неразветвлен- ность всех расширений С6 ]К.й., i = 1, ..., I. Кроме того, по построению F = Fp и РсК6., откуда

Нх (KiPjK5p р) = Hom (Z, F) ~ F, причем сквозное отображение

а: Н1 (С/К, Р) -> П Hv (С^./К^, Р) -> П Н1 (К^/К^, Р) F1

задается формулой

X (X (oi), • • •, X (oz)),где Gj — автоморфизм Фробениуса расширения CvJKv^ рассмат-риваемый как элемент группы Gal (С/Л) (см. § 1.1). По теоремеплотности Чеботарева можно вне любого конечного множестванормирований найти такие ир ..., uz е К^, что расширениеСе.]КУ. неразветвлено и автоморфизм Фробениуса Fr (С^./Ло,)есть т; = ау1в«) для t=l, . .., I (отметим, что [Р;] делит f,

ибо по условию экспонента В есть/). В частности, можно считать, что Ч1ки.^Саи*^ = Нх (К^^Ку., F^ для любого i, ив пространстве Ку. имеется решетка Rv. со свойством, указанным в формулировке теоремы 5. (Отметим, что по построению PaKv., и поэтому а{ имеет тривиальное ограничение на Р; следовательно, ограничение т, на Р также тривиально, и значит, РаКир^ Решетку L (В) определим следующим образом:

( v {уь . . ., оЛ,

I Rv, уе{у,yz}.

Поскольку для любого I пополнение КУ1 содержит гильбертово поле классов К и решетка М свободна, то решетка Ьф) также свободна (предложение 3).

Лемма 5. Ус1 (GL <S)) ~ В.

Доказательство. Воспользуемся предложением 10. В нашей ситуации установленный там изоморфизм (9) принимает вид

^cl (Gl (В)) ~ П Ч^ ^O^h (£)’

где S = {ур . . ., yj. ^Напомним, что по условию ф^ (£у"0 = ^‘) По построению ф^ Qj0"^=Hx (Kv^Kvp £), причем гомоморфизм 6S: Е-> Ц Н1 (KVi, F') пропускается через группу НЧСф, F), а сквозной гомоморфизм

Нх (С/К, F) -> П НхFA ~ F1

задается формулой р

Хн>(%(т1)Х(П)).

Поскольку а (£) = F1 и т. = стУ^], то

ds (£) = р (£) = (/if/ts-l) X ... X <hf^y

где h — образующая группы £ (учесть, что at действует тривиально на F, и, следовательно, ограничение х!^.) является гомоморфизмом). Отсюда SclK^W) ~ JJ В£ = В, что и требовалось.

Утверждение о том, что на решетках LcKr в качестве чисел классов реализуются все числа вида m = p^! ... р^5, вытекает из уже доказанного факта о реализуемости в качестве

группы классов любой конечной абелевой группы экспоненты f и того замечания, что всегда можно найти группу порядка т и экспоненты Д Таким образом, нам осталось показать, что если G является линейной группой степени п, то в размерности г = 2п для почти всех и е V^ существует решетка Ru с Кги со свойством ф^ (Gy")—1. Для этого используется

Предложение 11. Пусть Н = GLn и <р: H^GL2n — представление, определяемое соответствием

г g 0 1

Тогда для любого неархимедова и е V^ и любого целого t > 0 существует такая решетка Lv (У) cz К2", что Нуи (t) = q>(GLrt ^0^, ^)).

Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 4.3.

Таким образом, если G— линейная группа степени п, то для любого у е И^ в пространстве К^п всегда существует такая решетка Lu, что Gy" = Go (pD). Поэтому завершает доказательство теоремы 5 следующая

Лемма 6. Если у ([У7]) = 0, то фк^ (Gy^ (pj) = 1.

Доказательство. Ядро гомоморфизма ф^: Gkv-^ Нх {Kv, F) совпадает с лк ^GK ), т. е. является открытой подгруппой. Поэтому ф„ оказывается непрерывным, если наделить И1 (Kv, F) дискретной топологией. Отсюда следует, что Г = ф^ (Gy (pj) является дискретной про-р-группой, т. е. конечной р-группой. С другой стороны, ГсНЧК^Р), а последняя группа является группой экспоненты / = [У7]. Так как у(/) = 0, то (рД)=1, и, значит, Г ={1}, что и требовалось.

Теорема 5 гарантирует, что все априори возможные числа классов полупростой /(-группы G некомпактного типа и степени п с циклической фундаментальной группой F реализуются уже на решетках в пространстве К2п. Однако в ряде случаев удается построить искомые решетки уже в размерности п, что приводит к интересным арифметическим приложениям теоремы реализации, одним из которых является

Теорема 6 (Кнезер [1]). Пусть f—неопределенная квадратичная форма от п^З переменных над кольцом целых 0 поля алгебраических чисел К. Тогда число c(f) классов в роде формы / имеет вид 2d, d— целое ^0. Обратно, для любого целого d ^ 0 найдется такая квадратичная форма fa, К-жвивалент- лая f, что с (fd) = 2d.

Отметим, что неопределенность формы / над К означает существование такого нормирования у е Ию, что / представляет нуль в пространстве КН- Последнее условие эквивалентно /Си-изотропности группы Н = SOn(f) (предложение 2.14), и, следовательно, некомпактности группы SOn(,f)Ku. Отсюда легко получить, что при /г ^ 3 форма f является неопределенной в том и только том случае, если группа Н имеет некомпактный тип. Далее, с учетом предложения 4 утверждение теоремы 6 можно переформулировать следующим образом: в условиях теоремы для любой решетки LaK" число классов cl(GL), где G = = On(f), имеет вид 2d, и для любого целого d ^ 0 найдется такая свободная решетка L^d), что cl (GL<d>) = 2d. К сожалению, группа G не является связной, и к ней нельзя непосредственно применить теорему 5. Поэтому здесь мы докажем аналогичное утверждение для группы H = SOn(f). Случай группы С = ОДД разбирается по той же схеме с использованием того факта, что универсальное накрытие л: Н-*Н группы Н продолжается до накрытия группы G, т. е. существует такая группа G и морфизм ср: G —vG, что следующая диаграмма

ii ;;(14)

l->F-> G —> G-> 1

коммутативна и имеет точные строки. Детали рассуждений мы. оставляем читателю в качестве упражнения (см. ниже).

Итак, исследуем числа классов группы H = SOn(f). Поскольку универсальное накрытие группы Н в данном случае имеет вид л: Н = Spinn(f)^SOn(f) = Н, и, значит, фундаментальной группой F является {+1}, то число классов с1(Я) всегда имеет вид 2d (следствие из предложения 8). Чтобы получить все степени двойки в качестве чисел классов, воспользуемся следующей конструкцией решеток в квадратичном пространстве.

Предложение 12. Пусть форма f имеет в базисе е = (еь..., еп) пространства Кп вид f = / ^ + . . . + fnx2n. Для и е У? обозначим через Му Oy-решетку с базисом ех, л„е2, . . ., л£-1вп, где л„— униформизующий элемент. Тогда если и(/Д = 0 для всех i = 1, ..., п, то

G> = ГВ,где.

Г — Г (е) = {х е G | х (в;) = + е£, i = 1, ..., п},

= {Х = (Xij) ^0у ("Ру) lXij е Ру ' F /=1’ nY

^Матричная запись рассматривается относительно базиса е.) Если дополнительно и (2) = 0, то = (Г f] Н) (В Q Н).

Доказательство. Пусть х е Gp " и х = (х.^ в базисе ер ..., еп. Тогда

х^е^Ел'ДДл;-^) (15)

„для всех / = 1, • п. Поэтому x^^^V"’ ПРИ < ^/• Но х <= G, т. е. 1хРх = Р, где F = diag(/1, . .., /„)— матрица формы /. Отсюда получаем матричное соотношение *х = Fx~1F~l, которое означает, что х() = fj^y^, где у = (yz/) = х“'. Так как у е G^v и, следовательно, у.;. ер*-/ при i^j, то из условия а ^^ = 0, /=1, . .., п, вытекает, что х^.ер^-/! для всех I, ]. Далее, еще раз используя соотношение 1хРх = Р, получаем, что У, Цх?^^ для любого / = 1, . .., п, откуда .vv = 1 (mod pj, или Xjj = + 1 (mod ру). Тем самым мы доказали включение G^u сеГВ. Обратное включение вытекает из формулы (15),

U V ,

выражающей действие х на элементы базиса л^-1^.. Пусть теперь хеР!^ и x = yz, где у eV, zeB. Тогда l = detx = = det у det z, причем dety = +l и det z = 1 (mod p„). Если y(2) —0, то — 1 ^ 1 (mod ру), и, следовательно, dety=l, т. е. у е Г fl И, z е В П И. Предложение 12 доказано.

Будем обозначать через ф кограничный морфизм, отвечающий универсальному накрытию л: Н^Н группы Н. Пусть Р— такое конечное расширение Галуа поля К, что группа фк(ГП^) лежит в Н1 ^Р/К, F). Тогда если Р с Kv и у(2) = у(^)= ... ... = v(fn) = O, то для построенной в предложении 12 решетки имеем фл (яМо) = ф^. (Г П Н) фл (S f) И) = 1 в силу леммы 6, ибо BV\HcH0 (р0). Тем самым выполняются условия теоремы 5, и поэтому для любого целого d ^ 0 найдется свободная решетка Е^аКп со свойством cl(НР^) = 2d.

Упражнения. Пусть f — невырожденная неопределенная квадратичная форма над К от п ^ 3 переменных, G = O„(/), H = SOn^.

Используя тот факт, что для любого расширения ЦК коммутанты групп HL и GL совпадают (см. Дьедонне [2], с. 85), и сильную аппроксимационную теорему для R, показать, что главный класс Ga^G^ является подгруппой в GA и число классов cl(G) совпадает с индексом [G^ : G^(oo)Gk] • Далее, показать, что если 6 — кограничный морфизм, отвечающий накры-

тию ср в (14) (который есть не что иное, как спинорная норма), и 6л есть ограничение Ц ^и на ^л> то cl (G) = [6д (СД .

и

". 6л (Сл(оо)Ск)]. (Имитировать доказательство предложения 8.) Отсюда следует, что cl(G) всегда имеет вид 2d.

Доказать, что существует эквивалентная / над К форма g с числом классов с(£)=1; другими словами, существует решетка L с Кп, для которой cl(GL) = 1. С этой целью установить равенство

rjL

VJA = UА ^П Ai справедливое для любой решетки L с Кп, откуда непосредственно вытекает неравенство cl (GL)^ с! (Я£); далее воспользоваться теоремой 4.

Имитируя доказательство теоремы 5, доказать теорему 6 (отметим, что в данной ситуации (и вообще, когда [F] = p— простое число) этап доказательства, заключенный в лемме 4 и связанный с построением специальной одноклассной решетки, можно опустить и начинать дальнейшие построения с произвольной одноклассной решетки.)

Установить следующую связь между cI(GL) и с1(Я£): c1(Gl)^c1(Gl) [Gl: Hl\!2.

Отсюда следует, что cl(GL) есть cl(/7L) либо cl(/7L)/2, причем если [Gy: Яу] = 2 (в частности, если п нечетно), то cl(GL) = = cl(GL). Построить для любого целого d^O такую решетку Е^с:Кп> что cl(GL<d)) = 2d и [Gy<d): ?/y<d)] = 2, и тем самым дать другое доказательство теоремы Кнезера.

Приведем еще один пример ситуации классического типа, в которой применение теоремы 5 позволяет получать полное, описание возникающих чисел классов. Это задача о вычислении числа классов в роде решеток на полной матричной алгебре относительно сопряженности. Две решетки Д, Л2 с Л1„(/<) называются принадлежащими одному роду, если их локализации LVu и L2u сопряжены при помощи матрицы из ОЕп^К^ для всех неархимедовых нормирований поля К, и одному классу, если они сопряжены при помощи матрицы из GLn(K). Каким может быть число с(Л) классов в роде произвольной решетки Lc с: Мп(К')'? Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает

Предложение 13. Пусть п — р®1 . .. рагг — каноническое разложение числа п. Тогда для любой решетки L с Мп (К) число с 1Д имеет вид р^1 . .. р^г, и обратно, для любого числа р^1 ... р^т существует такая решетка 1Д$Х, ..., ^^М^К)^ что = WO-pV ...А'.

Доказательство. Действие GLn на W = Mn посредством сопряжения индуцирует точное представление группы G = PSLn в GL (W) = GLn=. Обозначим через ср: GLn^G возникающий при этом морфизм алгебраических групп. Так как Кег ср ~ Gm, то для любого расширения P/К из точной последовательности GLn (Р) GP -> Н1 (Р, Кег ср) = 1 получаем, что ср (GLn(P)) = = Gp; другими словами, преобразования из GP реализуются как сопряжение при помощи матриц из GLn(P). Применяя теперь предложение 7, получаем, что в данной ситуации c(L) = = cl(GL) для любой решетки LcM.IKl Таким образом, задача вычисления с(А) свелась к подсчету числа классов для проективной группы. Универсальное накрытие л группы G получается ограничением ср на группу SLn, поэтому Кег л — циклическая группа порядка п, и можно воспользоваться теоремой 8.5. Для ее применения нужно указать конструкцию решеток Ри с Мп(К^ со свойством ^к ^Оу"^=1,где ф— кограничный морфизм, отвечающий накрытию л. С учетом леммы 6 требуемую конструкцию дает

Лемма 7. Существует такое конечное подмножество S с Vf, что для и е У^\S найдется решетка Pv^WKy со свойством: Ggu с Ggu (РуУ где L — решетка, натянутая на стандартный базис е^ матричной алгебры.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму f на W, задаваемую формулой /(x) = tr(x2), где tr обозначает след матрицы. Нетрудно видеть, что соответствующая билинейная форма имеет вид b(x, y) = tr(xy), причем для х=(хц) имеем Ь(х,е(/) = = Xi/. Последнее равенство показывает, что форма f является невырожденной. Обозначим через Wo подпространство в U7, состоящее из матриц со следом 0, Wi— подпространство скалярных матриц. Тогда, очевидно, U7 является ортогональной прямой суммой пространств Wo и IFi. Отсюда следует, что ограничение /о формы f на Wo также невырожденно. Пусть wi, w2, ... ..., wm (m = n2—1)—базис пространства Wok, в котором форма /о имеет канонический вид fQ = a1x2 + .. . + amx2m) и пусть wm+1 — ненулевой вектор из Wik. Обозначим через М решетку с базисом wi, w2, •.., Wm+i и возьмем в качестве исключительного подмножества S объединение SiUS2, где Sj = (oe е У^ | Ly У= AfJ, S2 = {у е У^ | и (а?) =£ 0 для некоторого 1 = = 1, . .., ту

Предположим теперь, что ое1^\5. Тогда Ly = Mo, так 'что Оу" = Оу " и Оу" (ру) = Оу ° (ру). Покажем, что в качестве искомой решетки Ру можно взять (70-решетку с базисом wt +

+ Лутг6,т + 1> ' ' ^'"*4 +^-^’^т-М’ >4™ Падт + Лу1аУт+1г ^m+i, гДе лу—униформизующий элемент. Пусть х е G^° и х = (х£?) в базисе wi, w2, ..., Щт+ь В силу инвариантности следа при сопряжении, пространство Ж> и форма /0 инвариантны относительно G; кроме того, на Wi группа G действует тривиально.

(у 0\

Отсюда следует, что матрица х имеет вид % I I, где у = = (уц)—матрица степени т, ортогональная относительно формы f, и достаточно показать, что у е GLm((Jv, ру) в базисе Wi, ..., wm. Имеем

X (л^-1^ + л(/-т-»и,’т+1) = Л^1» £ у^ + Л</^т-1>ГУт+1 =

= X %• (^"‘Ч + ^-т-'»гУт+1) + ат+1 . wm+v откуда

Уц = лу-Пац- <16)

Ун = 1 - лУт+^/1а™+1, И.УМ (i, j=l, т). (17)

Поскольку а,/е Су, то из (16), ортогональности матрицы у относительно формы /о и условия и ^ S2, как и при доказательстве предложения 12, получаем, что ytj е р^-71 для всех I, j. Тогда, обращаясь к (17), находим, что у^ = l(modpy). Доказательство леммы 7 и предложения 13 завершено.

Задача о числе классов в роде решетки в полной матричной алгебре относительно сопряженности допускает следующее естественное обобщение. Пусть G — простая алгебраическая /(-группа присоединенного типа. Тогда присоединенное действие группы G на своей алгебре Ли g индуцирует точное /(-определенное представление G->GL(g) и можно задать вопрос, какие значения принимает число классов cl(GL) на всевозможных решетках L cz д^? (Поясним, что исследованная нами выше задача является частным случаем этого вопроса применительно к группе G = PSLn, ибо введенное при доказательстве леммы 7 пространство 1Р0 в действительности совпадает с алгеброй Ли 7(G).) Развитые нами методы позволяют ответить и на этот вопрос.

Предложение 14. Пусть G— простая присоединенная алгебраическая К-группа некомпактного типа, отличная от D2n. Предположим, что G реализована как группа внутренних авто- - морфизмов своей алгебры Ли д, и пусть f = р^' ... p“s — показатель соответствующей фундаментальной группы F. Тогда для- любой конечной абелевой группы В экспоненты / найдется

такая решетка L(B)agK, что ^cl (Gl<S)) ~ В. В частности, для любого числа вида р^1 . . . p^s найдется решетка £(₽р . . . .. ., 0s) с gK с числом классов cl (Gl ^r Ps0 = pf1 .. . p^ss.

Доказательство. У всех простых алгебраических групп типа, отличного от В2п, фундаментальная группа F является циклической, поэтому в силу теоремы 5 нам достаточно указать конструкцию решеток Ry с gK , для которых фк ^G^ = 1. С этой целью рассмотрим форму Киллинга h на д, которая является .невырожденной /(-определенной квадратичной формой на д, инвариантной относительно действия группы G. Тогда можно воспользоваться следующим утверждением.

Лемма 8. Пусть G с GLn — К-определенная алгебраическая группа такая, что GaOnW для подходящей невырожденной К-определенной квадратичной формы h. Предположим, что в базисе e = (ei, ..., еп) пространства Кп форма h имеет канонический вид h = hxx^ + ... + hnx2n, и для любого ueV^ обозначим через Ry йу-решетку с базисом ev луе2, ..., л"-!еп, где лу — униформизующий элемент. Тогда для почти всех эе1Т имеем

С^=ФС, (18) где

Ф = {х e'G| х (е^ = ± et, i=l, .... п\,

c = Xx = ^gG0^\x4g^h^ F i=v .... «}•

Доказательство. Имеем Gyy = G П О„ (/г)уу, причем О„(/г)уу = = ГВ для почти всех и в обозначениях предложения 12. Легко видеть, что Ф = G П Г, С = G П В, и поэтому для доказательства (18) нам надо убедиться в справедливости равенства

СП(ГВ) = (СПГ)(СПВ) (19)

для почти всех ие V^. Положим А = Г\Ф. Тогда замкнутые по Зарисскому множества G и А не пересекаются, поэтому для почти всех и не пересекаются их редукции по модулю и (лемма 3.12), т. е.

GguGLn (Оу, рУ) П ^GLn (Оу, ру) = 0.

В частности, группа G не может пересекаться с АВ, что и дает (19). Лемма 8 доказана. -

Доказательство предложения 14 завершается уже стандартным для нас образом. Рассмотрим такое конечное расширение Талуа P/К, что фк(Ф)сд Н' (P/К, F). Тогда для почти всех о

со свойством Р с Ко в силу лемм 6 и 8 имеем

^ку (Gy„) = ^Ку ^) ^Ку (0=1,

что и требовалось.

Утверждение предложения 14 сохраняет силу и для групп типа В2п, что легко получается из доказательства общего случая теоремы 3 о реализации (см. Платонов, Бондаренко, Ра- пинчук [3]).

Характерной особенностью доказательства теоремы 3 является то, что приводимые в нем вычисления чисел классов носят общий характер, в том смысле, что они не связаны со специально сконструированным представлением ср: G^-GLd и применимы всякий раз, когда в пространстве представления имеются соответствующие решетки. С другой стороны, вопрос о построении таких решеток для произвольного точного представления остается пока открытым. Таким образом, возникает

Проблема. Пусть ср: G^>-GLd— произвольное К-определен- ное представление полупростой К-определенной группы G некомпактного типа. Верно ли, что любая конечная абелева группа В экспоненты f, где f— показатель фундаментальной группы F группы G, может быть получена как группа классов Sc.\kGL^B^ для подходящей решетки LlB'jcK'^

Выше мы показали, что утвердительный ответ имеет место для присоединенных реализаций групп присоединенного типа. Если G — простая присоединенная группа типа Bi, то ответ утвердителен для любой реализации G (доказательство проводится аналогично доказательству предложения 13 с учетом того обстоятельства, что для любого представления р: G^-GLd существует невырожденная О-инвариантная квадратичная форма, см. Бурбаки [4]). По обсуждаемой проблеме практически больше ничего не известно, и ее решение, по-видимому, потребует развития принципиально новых методов построения решеток при помощи теории представлений алгебраических групп. Определенный оптимизм здесь связан со следующим утверждением, которое показывает, что всегда существуют решетки с «малыми» стабилизаторами.

Предложение 15 (Рапинчук). Пусть G <^GLn— редуктивная К-определенная алгебраическая группа, не являющаяся нормальным делителем в GLn. Тогдадля любогос еУ^существует такая последовательность решеток L (Г) с Ку, что р.у(ро^-—> 0, -где |х0 — мера Хоара на группе Оку.

Доказательство. Если предположить противное, то найдется такая константа с > 0, что ци(Сцу)^с для любой решетки ±С2К". Зафиксируем некоторый базисеь ..., еп пространства Кп.

Тогда для решетки L = х кСувх + ... + Оиеп\ где х е GLn {Kv\ имеем Goy = x^x-xGx^0 (целые точки берутся относительно базиса еъ ..., е^. Покажем, что в нашей ситуации подгруппы Я (х) = х (х-,Ох)у хн (х е GLn (Яу)) образуют конечное число классов сопряженности относительно Ску. Действительно, согласно предложению 3.16 любая компактная подгруппа в Gf^ содержится в некоторой максимальной компактной подгруппе. С другой стороны, в силу результатов § 3.4 максимальные компактные подгруппы группы Gk0 распадаются в конечное число классов сопряженности; пусть Hi, Н2, ..., На — полная система представителей классов сопряженности максимальных компактных подгрупп в Gku- Таким образом, для любого х е ОЕ.ДКП найдутся g е Gk0 и индекс / = 1, • ., d со свойством gH^g-1 С2 Hj. При этом в силу очевидной оценки \Hf. g^H^g-^^—^^^^Ll индекс YH;: gH(x)g~^ ограничен сверху. Тем самым нам достаточно показать, что Н, имеет лишь конечное число подгрупп данного фиксированного индекса t. Если [Я/: В] = t, то D zd ф$(Н,) , где s = t'., ф$(х) = х5. Но из предложения 3.3 легко вытекает открытость отображения ф5 в единице; в частности, подгруппа (очевидно, нормальная) NczHj, порожденная фДЯ,), открыта. Отсюда следует, что число подгрупп индекса t в Н, совпадает с числом подгрупп индекса t факторгруппы Hj/N. Остается заметить, что в силу компактности Н, последняя факторгруппа конечна. Зафиксируем такой конечный набор элементов хь ..., хт е GLn^K^, что любая подгруппа Я(х) сопряжена в GKy одной из Я(х,), t"=l, ..., г. Обозначим, далее, через Z централизатор G в GLn и через Р редуктивную подгруппу ZGczGLn. Покажем, что факторпространство GLn (Kv)/Pk компактно. Для этого достаточно найти такое компактное подмножество D с GLn (,К^, что GL„ UQ = ZkG^D. Положим В, = {х е GLn (Яу) | Н (х) = Н (х,)}. Тогда, поскольку для g е Оку имеем Н (gx) = gH (х) g-x, то

GLn (КД = (J ^KyBi, и достаточно найти компакты С^ такие, что BidZKvCi. Если х е В{, то, полагая у = х~!хь будем иметь ^(xr’Gx,) у-1 = (x~xGx)o ,

т. с. Bi cz Х(№, где

>-,-{, е GL, (К.) | , VT'GXiK »"' = GL. (О1,)}.

.Мы покажем, что Y. имеет вид Yi = DiZQL (хд. *0хг)^ с компактным D;. Тогда

В a XiY7v = Xix7vZKuXiDFv = Zk^ (xiD?1), что и требовалось.

Пусть av, ..., ad— конечная система топологических образующих группы ^x”vGx^ . Рассмотрим отображение ср: GLn—>

W = GLn х ■ ■ ■ X GLn, ф (g) = (ga1g->, ..., gadg”x\ Тогда, очевидно, Yi = ф-1 (№у„) П GLn (/(У). Заметим теперь, что, в силу плотности (хг^х^ в x^vGxt в топологии Зарисского (лемма 3.2), У у

замыкание по Зарисскому подгруппы, порожденной av, ..., ad, -совпадает с х^хг1. В частности, слои отображения ф совпадают ■со смежными классами по централизатору Z. = ZQL (xr’GxJ. Но, очевидно, Z, совпадает с алгебраической группой, определяемой мультипликативной группой централизатора в М^Ку) Лу-оболочки Ку ^(xr^xj^ ], которая в силу редуктивности G является полупростой /(„-алгеброй. Отсюда вытекает, что //* (/(у, Zz) = 1, и, следовательно, для хе1тфП^к„ всегда ■ф-1 (х)^ =/= 0. Поэтому ф (У;) = 1т ф П ^о„. В силу теоремы 2.16 •образ Im ф замкнут в топологии Зарисского, так что ф(У()— компакт. Тогда ф (Уг) = ф (£>z) для подходящего компакта D£ а с GLn(Kv) и Yi = Di (Zi)K , что и требовалось.

Теперь уже несложно завершить доказательство предложения. Из компактности пространства GLn (Kv)/Pkv вытекает, что Р содержит борелевскую подгруппу В группы GLn (теорема 3.1), которая, естественно, будет борелевской подгруппой и в Р. В силу редуктивности Р в ней имеется противоположная В бо- релевская подгруппа В-. Ясно, что В- является противоположной В и относительно группы GLn. Но в силу разложения Брюа произведение В-В содержит открытое по Зарисскому подмножество в GLn, и, следовательно, В и В- порождают GLn. Тем самым Р = GLn. Вспоминая, что P = ZG, где Z— централизатор G, мы видим, что G является нормальным делителем в группе GLn (т. е. либо содержится в ее центре, либо содержит группу SLn). Полученное противоречие и доказывает предложение.

Числа классов алгебраических групп компактного типа

Теорема 3 из предыдущего параграфа дает полное описание значений, которые может принимать число классов cl(G) по- .лупростой /(-группы G некомпактного типа. В настоящем

параграфе мы разберем противоположный случай. Наиболее законченные результаты будут получены в ситуации, когда G имеет компактный тип (см. теорему 8), т. е. компактна архимедова часть Goo группы аделей. Этот случай наиболее важен с точки зрения приложений, ибо к данному типу относятся ортогональные группы положительно определенных квадратичных форм, и, следовательно, мы получаем результаты о соответствующих числах классов в роде. Однако если не ограничивать степени используемых реализаций, то аналогичные результаты удастся получить для более широкого класса полупростых /(-групп G так называемого смешанного типа, что означает наличие /(-простой компоненты G'c G с компактной группой GL.

Теорема 7. Пусть G— полупростая алгебраическая К-группа смешанного типа и степени п. Тогда для любого натурального г существует такая свободная решетка Mtr)^ K2n- что с1(Сл^г)) делится на г.

Доказательство. Зафиксируем некоторую свободную решетку /сК”ив дальнейшем группу Ga^ будем обозначать просто через GAW Для любого у0 е У^ и любой открытой подгруппы U с Gom положим

Ga юс (у о, П GkuX П G^XU,

И

Сд(оо) (Уо) Ga^oo) (^0, ^5^ ^У-У^

где GQy (pDo) есть, как обычно, конгруэнц-подгруппа уровня рУо. Обозначим через c(G, у0, G) (соответственно c(G, у0)) число двойных смежных классов Ga(oo) (уо, U)\Ga/Gk (соответственно Ga^oo)(v0)\Ga/Gk). Вместо теоремы 7 нами будет доказан следующий несколько более точный результат: для любого натурального г существует такое уоеУщ что R eg КУ„ и c(G, Уо) делится на г. Теорема 8 очевидным образом вытекает из этого утверждения. В самом деле, из предложения 11 вытекает существование такой решетки N а R2", что NU = LU для у Уо и Gq”” = GOo ^Уо). Тогда, очевидно, Сд (оо) = Сд(оо) (уо); в частности, cl(G") = c(G, у0) делится на г. С другой стороны, в силу предложения 2 и условия R сКо, решетка N свободна.

Пусть Ga = [J GA ^ztGK — разложение GA в объединение попарно не пересекающихся двойных смежных классов. Без ограничения общности можно считать, что существует конечное подмножество So с Vf со свойством: у-компонента (г,)у равна 1 для всех у ^ So и всех i=l, ..., пт. Обозначим через Gy*

пересечение 2г1СЛ(оо)г1 Г| GK. Пусть также Ci(G, Уо, U) (соответственно с,(О, у0))—число смежных классов по подгруппам Од(оо) (уо, U) (соответственно Од(оо)(уо)) и Gk, на которые распадается класс Ga^ziGk.

Лемма 9. Имеем

c(G,uo,U)=lct(G,Uo,U),(1)

1 = 1

причем при У0еЕ^\50 число c^G, у0, U^ совпадает с числом двойных смежных классов U\Gg /G^. В частности, число Ct (G, у0) вычисляется по формуле

с^^ = \°^ ^JK)]-(2)

Доказательство. Формула (1) очевидна, поэтому установим справедливость остальных утверждений. Для а е Gyyg обозначим через х°° (а)адель с компонентами

fl, У #= Уо, ху = < ’°(3)

( а, у = у0.

Тогда

^Aioo^i^K = U ^А(оо) (У0> G) Х~‘ (°) Zi^K’

где объединение берется по всем а е Оуу/ Покажем теперь, что условия

СА(о=) (уо> g) ^ (“) ZiGK = GA(=^ (уо> G) ^“ (Р) ziGK И) и

UaG^ = U^G^(5)

равносильны. Если выполняется (4), то

х°° (a) z£ = ахи° (Р) z£b(6)

для некоторых а е Сду,») (у0, U), be GK. Тогда, очевидно, Ь = = 2~1хЧККх'^откуда b е Оу*. Проекти

руя (6) на у0-компоненту и учитывая, что по построению (zz) =1, получим а = пУорб, где аУо е U, т. е. (5). Обратно, если выполнено равенство (5), то a = c^d, где ceU, deG^. Положив а = х”° (a) Zgd-^^^"0^-1), b = d, мы обеспечим выполнение (6), и достаточно установить, что а е G (у0, 1Г). Поскольку d е Gg\ то по построению гД^’г?1 е 0Л(оо), и, следовательно, аеОЛ(оо). Остается вычислить у0-компоненту аУо. Имеем

аОб = ad-'р “1 = с е U,ибо (zz)0o=l, и требуемое доказано.

Установленная нами равносильность условий (4) и (5), очевидно, дает равенство щ (G, U, v0) = [T/yC^/Cg*]. Для доказательства (2) теперь остается заметить, что в силу нормальности U = Gg (рУо) в Go двойной смежный класс UxGW ^x^Gg^ совпадает с обычным смежным классом xW по подгруппе W = G^G0 (р ), так что число с. (G, и0) совпадает с индексом [СуУо:117].

Лемма 9 доказана.

Предложение 16. Пусть G— полупростая алгебраическая К-группа смешанного типа. Тогда для любого натурального г найдется такое о0е^, что КсК^ и все числа Ci(G,v0) (/ = 1, ..., т) делятся на г. В частности, c(G, и0) делится на г.

Доказательство. Из определения групп смешанного типа вытекает, что G является почти прямым произведением полупро- стых групп F и Н, причем Н имеет компактный тип. Положим D — G/F и обозначим через л: G-^-D соответствующий фактор- морфизм. В силу предложения 6.5 найдется такое конечное подмножество S^K*, что для иеУ^\5] морфизм л определен над Gy и л(СУу) = £)Уо. Тогда л (Gg^ (ру)) с DOy (ру). Поэтому для и0 ^ So U ■$] число с, (G, и0) делится на индекс [л(С5 ): :л(СУ))л(СУоо(рУе))], а, значит, и на [О^: л (Gg») Dg^ (pj].

Установим теперь конечность всех групп n(Gg*). Из определений вытекает, что

л^сл^'л^^л^Г]^. (7)

Но группа D, будучи изогенной Н, имеет компактный тип, откуда без труда вытекает компактность подгруппы л (Сщоо)) с DA. С другой стороны, подгруппа DK с Da дискретна. Поэтому пересечение в (7), будучи одновременно компактным и дискретным, конечно. Обозначим через I наименьшее общее кратное порядков всех групп n(Gg’). Тогда из доказанного вытекает, что для любого 2=1, ..., пг число c,(G, и0) имеет вид -y-^Dgo : Dg (РУо)] с некоторым целым di.

Поэтому завершает доказательство предложения 16, а вместе с тем и теоремы 7 следующая

Лемма 10. Пусть D — нетривиальная редуктивная К-группа, F/K— некоторое конечное расширение. Тогда для любого натурального г существует бесконечное множество таких о ge Vf, что FcK„ и индекс [£)у : Dg (py)J делится на г.

Доказательство. Легко видеть, что группа точек D^ над алгебраическим замыканием К содержит конечную подгруппу С

порядка г. (Такую подгруппу можно найти, например, рассмотрев произвольный (нетривиальный) тор 7cD и воспользовавшись изоморфизмом 7^ ~ (/C)dira г.) Обозначим через Р конечное расширение Галуа поля К, содержащее F и такое, что С с Gp. Из теоремы плотности Чеботарева вытекает бесконечность множества S = (и е Vf | Р с /(„}, и поэтому найдется бесконечно много таких и0 е S, что С с Г>ц , и ограничение на С отображения редукции по модулю р инъективно. В этом случае факторгруппа D0 ]De (pyJ содержит изоморфный образ С, так что индекс : ^„„(^о)] делится на г. Лемма 10 доказана.

Теорема 7 наглядно показывает, что, в отличие от полупро- стых групп некомпактного типа, для групп смешанного типа число классов может принимать весьма разнообразные значения. Получить их точное описание представляется малореальным, поэтому в дальнейшем мы сосредоточим внимание не на детализации самой теоремы 7, а на получении ее арифметических приложений. Речь идет об исследовании чисел классов в исходном представлении, что позволяет получить, например, характеризацию чисел классов в роде положительно определенных квадратичных форм. К настоящему времени удалось показать, что утверждение, аналогичное теореме 7, выполняется в исходной размерности п для групп компактного типа.

Теорема 8. Пусть G— связная линейная алгебраическая К-группа компактного типа и степени п. Тогда для любого натурального г существует такая свободная решетка L^<^Kn, что число классов cl(GL^) делится на г.

Для невырожденной л-мерной квадратичной формы f группа G = SOnkh относится к компактному типу в том и только том случае, если f для каждого и Е Гй является ^-анизотропной (в частности, поле должно быть вполне вещественным). Таким образом, если форма f является положительно определенной над всеми Kd, уеГ^ (в этом случае говорят, что f просто является положительно определенной), то теорема 8 применима к группе G = SOn^. Доказательство теоремы 8 в этом случае без каких-либо изменений проходит и для группы G = Onkh> так что, учитывая предложение 4, получаем следующий результат (ср. с теоремой 6).

Теорема 9. Пусть f— положительно определенная квадратичная форма степени п^2 с коэффициентами из кольца целых О вполне вещественного поля алгебраических чисел К. Тогда для любого натурального г существует такая форма fr с коэффициентами из О, которая К-эквивалентна форме f и для которой число с (fr) классов в роде делится на г.

Построение локальных компонент искомой решетки В (г) в теореме 8 проводится при помощи леммы 8, возможность применения которой вытекает из следующего утверждения:

Предложение 17. Пусть G— связная алгебраическая К-груп- па степени п компактного типа. Тогда существует такая положительно определенная квадратичная форма f с коэффициентами из К от п переменных, что G cl SOn(f).

Доказательство. Пусть W—пространство всех квадратичных форм от п переменных, которое можно отождествить с пространством симметрических (л X л)-матриц АеМл. Обозначим через W /(-определенное подпространство в W, состоящее из матриц, инвариантных относительно группы Gk, т. е. ^= {Ле W | *gAg= = A\fgeGKY По условию для любого и е У£ группа Око компактна, и поэтому каждое пространство ^ху обязательно содержит положительно определенную матрицу (см. § 3.2). Отсюда следует, что подмножество положительно определенных матриц в Wk„ является непустым и открытым. Поэтому, используя свойство слабой аппроксимации для ^, мы можем найти матрицу Fe ^к, которая положительно определена относительно любого о е Уй. Пусть / — соответствующая ей квадратичная форма. Тогда GKc2On(h. Ввиду связности G, множество Gk плотно в G в топологии Зарисского (теорема 2.2), так что 6с cOn(f), откуда и следует требуемое утверждение. Предложение 17 доказано.

Опишем схему доказательства теоремы 8. Используя предложение 17, выберем л-мерную положительно определенную G-инвариантную квадратичную форму f. Предположим, что в базисе е=(щ, ..., е„) пространства Кп форма f имеет канонический вид f = /^? + .. •+f„^. Если для OqEI^ имеем К<^КС, то существует униформизующий элемент лУо G ^ такой, что лу е (7у для о =/= о0, и можно рассмотреть решетку В(и0) с базисом ер ле2^"“'Чс Тогда для и #= ио имеем L^uo) v = Lv, где L — решетка с базисом ву, ..., еп, а для почти всех и0 стабилизатор В (о0) = Оу<Уо|у° описывается следующим образом (лемма 8):

В(о0) = ФС,(8)

где Ф = [х е G| х (ег) = ± е., г = 1л},С = ^х = (хг/) е

G G^ (pyJ|x^epG"-/!, it j=ln^ (матричнаязапись берется относительно базиса е). Зафиксируем некоторое разложение

^А = Д ^д^2{0к,(9)

обладающее тем свойством, что (г»)щ= 1 для всех /=1, ..., т и всех и, лежащих вне некоторого конечного подмножества So с l/f. Тогда, используя лемму 9, мы для uo^So получаем следующую формулу для подсчета cl (Gl<Uo)):

с1(СМуо))=£^(Уо),

1 = 1 где

di ("о) = [8 ("оК^], Ga =П GK.

До сих пор рассуждения вполне аналогичны доказательству теоремы 7, однако начиная с этого места, начинают проявляться дополнительные сложности. А именно, вычисляя при доказательстве теоремы 7 числа ct^G, °0) = [G^ (PUo)\Gy /G^], мы воспользовались нормальностью конгруэнц-подгруппы и свели вычисление числа двойных смежных классов к подсчету некоторого группового индекса. В нашей же ситуации группа S(u0), вообще говоря, не является нормальной в Gou? и поэтому приходится привлекать другие соображения. Один прием состоит в специальном выборе базиса е и разложения (9) таким образом, чтобы соответствующие группы Gg* содержались в {±ДД; тогда снова d; (и0) = ^G^"". G^B (и0)], и рассуждения из доказательства теоремы 7 переносятся без каких-либо изменений. Оказывается, этот прием применим всякий раз, когда G— собственная подгруппа в SOn^h-

Предложение 18. Пусть G — собственная связная К-опреде- ленная подгруппа группы Н = SOn(f). Тогда существует такой ортогональный относительно формы f базис e = (ei, ..., еп) пространства Кп, что G П Г(е) сД+ДД, где

Г (е) = (х е GLn | х (е,) = ±ег,i = 1nY

Доказательство. При п = 2 группа Н является одномерным тором, так что группа G тривиальна и доказывать нечего. Поэтому в дальнейшем будем считать, что п > 2. Зафиксируем некоторый ортогональный относительно f базис е° = (е°е”)

пространства Кп и положим Г0 = Г(е°). Если heHK, то для базиса h (е°) = (А(е°)Н^е0^ имеем Г (A (е0)) = hVoh~\ по

этому для доказательства предложения достаточно установить существование такого КеНу, что G П(АГоА-1) с{±ДД. Предположим, что это невозможно; тогда

Нкс U С (у),(10)

у е А

где С(у) = {Ае H\h~xyh^ G}, А = Го\{±Дп}. Ясно, что С (у) является замкнутым по Зарисскому подмножеством в Н, так

что из (10) и плотности Нк в Н (теорема 2.2) вытекает равенство Н = U С (у). Поэтому в силу связности И имеем Н =

У Е Д

= С (у) для некоторого у е А, т. е. G содержит класс сопряженности {/г-1у/г|/г е Д}. Поэтому требуемое вытекает из следующего утверждения.

Лемма 11. При га > 2 нормальный делитель в Н, порожденный любым элементом у е ГоХД+ДД, совпадает с Н.

Действительно, при га X 4 любой собственный нормальный делитель Н лежит в {±ДД, поэтому в рассмотрении нуждается лишь случай га = 4. Здесь Н = Н\Н2— почти прямое произведение двух групп, изоморфных SL2, с отождествленными центрами. Если предположить, что нормальный делитель N в И, порожденный уеГ0\{±ДД, является собственным, то либо N = Hb либо N = H2. При изоморфизме Ht~SL2 элемент у перейдет в ( g —1 ) (эт0 единственный элемент порядка 2 в SL2!). Но тогда у = —Е^— противоречие. Доказательство леммы 11 и предложения 18 завершено.

Предложение 19. Пусть G — собственная К-определенная подгруппа группы SOn(f), где f—положительно определенная квадратичная форма. Существует такой ортогональный относительно f базис щ, ..., еп пространства Кп и такое разложение

ga = .^ ga^zigk

(L— решетка с базисом еь ..., еп), что (г;)0=1 для всех и вне некоторого конечного подмножества ^сД и все группы G^ = 2TXGA^iV\GK лежат в {+£„}.

Доказательство. Пусть и=(иь ..., ыД— ортогональный базис пространства Кп, построенный в предложении 18, М — решетка с базисом и. Зафиксируем некоторое разложение

в котором (//)„=! для всех /= 1, ..., г и для всех и, лежащих вне некоторого конечного подмножества S с Vf. В силу положительной определенности формы f группа G«> компактна, откуда следует конечность всех групп G^ = f^GA^ti П Gk-

Положим ^ = 1 U G^ ) \ {± Еп} и найдем такое конечное под- ч=1/

множество Si с Ff, что для и е l/f \ Si

^n(±GffD(Do))=0.

Выберем, далее, и0 е У^ \ (S U SJ, обладающее свойствами: К^КУй и стабилизатор S (ио) решетки с базисом щ, лиои2, . .. ..., л^Х описывается формулой (8) (л0ое О — такой уни- формизующий элемент, что лйе(/о при и #= и0). Наша цель — показать, что базис ex=uv е2 = л и9, ..., еп = л^-1)ип является искомым. Пусть L— решетка с базисом elt ..., еп. Тогда по построению Lu = Mc для и #= и0 и Gyu°cGyu«, так что представители всех смежных классов Ga^^Ga/Gk можно выбрать среди аделей вида z(j, a) = xv°(a)t., a g Gy и° (обозначения см. в лемме 9). Отметим, что (z (/,«))„=! для п ^ S0 = S U Х}- Поэтому достаточно показать, что для любых / и а справедливо включение

Gg’ a)=z (/, a)"1 G^oo)Z О-, «Же {± Е^.

Имеем

Go’ '^z U, а)”1 G^z (j, а) (] Од с ti^GA^tj П GK = G^.

С другой стороны, беря проекцию на Uo-компоненту, получим

Go “^“"'^ т. е. окончательно

G^’ а) с G^ П «^В (п0) «,

где, как мы условились выше, В (v0) = G1^”. По построению В(и0) описывается формулой (8), причем Г(е)П G = {+£n}. Отсюда следует, что для любого а g Gy "° выполняется включение

a-ls(yo)“c±G^(^

Таким образом,

Ср’ м \ {± ЕД с R п (± С‘; (»„,)) = 0

в силу того, что /?П(± GyUo(pUo)) = 0. Предложение 19 доказано.

Доказательство теоремы 8 в случае G 5 SOn(f). Пусть е = = (ei, ..., еп) — ортогональный базис, построенный в предложении 19, L — порожденная им решетка. Тогда, как мы убедились выше, для почти всех uosl/f со свойством К^К будем иметь

tnCl (G^O^Xd/W,г=1

где d, („„) - [В (е0)\С^ус^], В(^ = G^*., О™ = УХ-АП П G^ во введенных выше обозначениях. Так как по построению- Gy* с {±^} Для любого i = 1т, то dz(u0)=[Gy"“: G^B^)]. Но В (и0) с ± Gy^p0J, откуда следует, что если [Gy"°; Gy"°(£u0)J делится на 2г, то каждое из чисел d{ (и0) делится на г, и, значит, cl(GL(0o)) также делится на г. Таким образом, доказательство завершается применением леммы 11.

Нам осталось доказать теорему 8 для группы SOn(f), где f — положительно определенная квадратичная форма. Рассуждения здесь технически сложнее, чем для случая собственных подгрупп в SOn(f). Но, как мы уже отмечали, они в равной мере годятся как для SO„(f), так и для Оп^)- Поскольку cl(On(f)) совпадает с числом c(f) классов в роде формы f и, следовательно, представляет с арифметической точки зрения основной интерес, мы установим справедливость утверждения, аналогичного теореме 8 для группы G = On(f), что даст нам доказательство теоремы 9.

Прежде всего доказывается следующий аналог предложения 19.

Предложение 20. Существует такой ортогональный относительно f базис в], ..., еп пространства Кп и такое разложение

GA = ^G^ZlGK00

(Л — решетка с базисом ei, ..., еп), что (г()0=1 для всех и вне некоторого конечного подмножества SocK^ и все группы G^ = z^G^^z^Gк сопряжены в группе G-^подгруппе группы Г = {х G G )х(ег) = ±С(, / = 1, .. -, п).

Доказательство. Пусть в базисе щ, ..., ип пространства Кп форма f имеет диагональный вид/ = а1х2-|- . .. Ц-апх2. Обозначим через М решетку с базисом щ, ..., ип и зафиксируем некоторое разложение

GA=U G^tiGK,

в котором (//)„ = 1 для всех / = 1, ..., г и всех и, лежащих вне некоторого конечного подмножества Si с Kf. Как и при доказательстве предложения 19, заключаем, что все группы Go^ = = t71GA^tj П Gk являются конечными. Положим В = U Goy и найдем такое конечное подмножество 5г с У^, что для и е s КА \ S2 имеем

«ПС". (».) = {«.}•

Выберем у0 е Vf \ (Si U S2) таким образом, что К cz КУ1 и £>0(0,) = О для всех i — 1, ..., п. Выберем, далее, такой уни- формизующий элемент гиеД что лио е Uv для и #= ио, и покажем, что базис в] = и,, е2 = лцщ, . .., еп = ^-х''ип искомый. Пусть *Е— решетка с базисом elT . .., еп. Тогда Еи = М0 для и =# и0, а стабилизатор C = Gg”° описан в предложении 12. Тогда, как и выше, замечаем, что представители всех смежных классов G^^\GA^GK можно выбрать среди аделей z(j, а), j= 1, . .., г, a g Gy"° (см. доказательство предложения 19). При этом z (j, а)„ = Еп для и ^ So = Si U {и0} и

Gy* а) = г (/, а)-1 Ga(oo)Z (/", а) П Gk cz G^ П а-1Са.

Так как С = ГВ, где В cz GM" ^„J, Г = {х е G | х (и,.) — ± и., i = 1, . .., raj, то для любого х g G^- а* имеем х2 g G^ П а-1Ва = = {£„}, т. е. х2 = Еп. Таким образом, доказательство предложения 20 завершает

Лемма 12. Пусть 0 cG— подгруппа, экспоненты 2. Тогда 0 сопряжена в G^ подгруппе группы Г.

Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Зафиксируем базис e = (ei, ..., еп), построенный в предложении 20, решетку L, натянутую на этот базис, и соответствующее разложение (11). Будем считать, что в базисе е форма f имеет вид f=fIx2 + . .. +fnx2n. Введем также в рассмотрение такие элементы g( g G^ (z = 1, . . ., m), что

Пусть P — конечное расширение Галуа поля К, содержащее Д, коэффициенты матриц g, и д/—1, Vfi, 'Vfn- Обозначим через Т одномерный /(-определенный подтор SO2(/z) с SO„(f), где h— ограничение f на подпространство, натянутое на векторы щ, е2. Для заданного г из леммы 10 вытекает существование такого и0 е Vf \ So, что

РсК„,

индекс К^ЧМ]делится на 22v’

и (2) = и (f5 = ... = и (f„) = 0,

g, г Gg^.

Лемма 13. Существует такой ортогональный базис щ, и2 решетки Отех фОоеу что f ^u^ = aft, z= 1, 2, где a eUUg — единица, не являющаяся квадратом.

Доказательство. Из наших построений вытекает, что форма h = ^х^ + f9x2 эквивалентна над Оиа форме XiX2, для которой требуемое утверждение легко проверяется непосредственно.

Для i > 2 положим ut = et и обозначим через NUo ^„-решетку с базисом и,, лиои2, .л^-пига, где лио — униформизующий элемент. Определим решетку Л (г) следующим образом:

(и,(и,и 3= У0,и = и0.и 3= У0,и = и0.

(и,

(и,

и 3= У0,

и = и0.

и 3= У0,

и = и0.

Из предложения 2 вытекает, что решетка Л (г) свободна. Покажем, что число классов с1(С£(И) делится на г. Так как Л(/')„= = при и =# и0, а для и = и0 согласно предложению 12 имеем С = Gy(r>Uo = AS, где А = {х <= G | х (и^ = ± и,, z=l, ..., raj,

В cGg^Qi^, то из леммы 9 получаем

cl (Gl^=1c£, где C( = [C\G^/G^].

Из выбора нормирования и0 вытекает, что для любого i = = 1, ..., m группа G^ сопряжена в G^°“ подгруппе группы Г. Поэтому делимость всех с,, а значит и gHG^*), на число г вытекает из следующего утверждения:

Предложение 21. Пусть Н —такая конечная подгруппа в О^\ что g-'HgcV для некоторого geGyu°. Тогда число двойных классов ^C\G^°y,W] делится на г.

Доказательство. Обозначим через 36 множество всех подгрупп группы И и для Н' г36 положим

D (Д') = {х g G^ | Н П х~'Сх = Н'У

HH') = VH:h'i

Лемма 14. Имеет место следующая формула*.

[С\Оу"«/д] = Д* 2~("+i (H'” YB\D (И')]

в приведенных выше обозначениях.

Доказательство. Легко видеть, что CD (И') Н = D (И'), т. е. D(H') является объединением некоторого семейства смежных классов СхН. Поэтому ГС\Оуи°/Л1 = £ [С\й (Д')/Д], и до— L Оо/ J Я'еЖ

статочно показать, что

\C\D (И')/И] = 2 -^п+1^ [B\D (И')].

Для этого мы установим, что любой двойной смежный класс СхН, xgD(H'), состоит в точности из 2(п+г(Я )) обычных смежных классов By, y^D(H'). Имеем

СхН = (J Cxh,(12)

ЛеН

причем Cxh\ = Cxh2 <=> Мг^ е Н f) х~хСх = Н'. Тем самым число непересекающихся классов в (12) равно /(Д')- В то же время для любого у g G^Uo

Су= и В by,(13)

и все классы в (13) различны, ибо ДПВ={1}. Лемма 14 доказана.

Поскольку i(H')^n, то для доказательства предложения достаточно показать, что число [В\О(Д')] делится на 22"г для любой подгруппы Hr G 36. Положим^ (Л5 = (Д" е 561Н" ^ Н'}, Ь {Д') = {х е G^» | Н' cz х-1Сху Тогда

D (Н') = D (Н')\ и D<H"\ откуда следует, что

\в\п (д')] = № (Д')] -ГМ и D(H"W L \Я"еЖ(Я') J

Для подсчета числа элементов в объединении воспользуемся •следующей общеизвестной формулой: если Ai, ..., Ат— конечные множества, то

[Д1и...илт]=£(-1/+1 I рМ-.-П/Ц].

Так как D (н") () D (н'^ = Ь (н" н'^, то из этого факта вытекает существование таких целых Ьн" (Н" е 36 (Н')), что

[М [J Ь(Н"^ = I ЬнДВ\6(,Н"^. L |Я"еЖЩ')J Я"еЖ(Я'|

Поэтому доказательство предложения 23 и теоремы 9 завершает

Лемма 15. Для любой подгруппы Н' ^36 число VB^^H'^A делится на ^г.

Доказательство. Покажем, что если D(H')^= 0, то для •подходящего х g G^” группа Z = хТо”°х-1 централизует Н'. Тогда B(H')Z = В(Н'), так что число [5\Д(Д/)1 выражается в виде суммы У, [{Вг | Bz cz ByZ\\, где сумма берется 'вяг

по всем двойным смежным классам ByZ, а каждое слагаемое -есть число обычных смежных классов Bz, содержащихся в двой-

ном классе ByZ. Легко видеть, что последнее число равно-- [Z^nGT'S//)]-^^:?^^^ Так как Вс с Gy"°(pUo), то по построению последний индекс кратен 22пг,. и, следовательно, общее число смежных классов B\D(H') также кратно 22"г.

Итак, пусть d^ D^H'^, т. е. Н' cz d^Cd. Так как Н является 2-группой, а А — силовской 2-подгруппой в С = АВ, то в силу теоремы о сопряженности силовских подгрупп в проконечных группах bdH'd^b^ а А для подходящего ЬеВ. Покажем, что элемент х= bd удовлетворяет нашим требованиям. Для этого достаточно установить, что хН'х~х с Ао, где Ао = {бе А|6(щ) = = 1/1, 6(u2) = U2 ИЛИ 6(//1) = —U], б(и2) =—и2}. Пусть для h с Н' элемент 6 = xhx~x ^ Ао. Положим W (6) = {щ е с Ки01 6 (w) = wY Тогда 1^(6) содержит в точности один из элементов Мь иг, скажем, Иъ и поэтому обладает базисом вида «ь Uix, ..., и^где I,- >2. В частности, дискриминант d(W6)) равен afjix ... fi, и следовательно, d iW (6)) ^ К*^- С другой стороны, по условию g^'Hg^V, так что аналогичное пространство W (у) = {w с 7<"| у (w) = гс} для элемента ^ = g^’‘hg обладает базисом вида е. , . . ., е{ , откуда d (W (у)) = f. ... /\ с с К*2- Но y = (xg')-I6(xg'), поэтому W(6А = (xgA WМ, т. е. пространства 1^(6) и НДу) должны быть изометричными, в частности, иметь одинаковые дискриминанты. Полученное противоречие и доказывает требуемое. Таким образом, доказательство всех теорем этого параграфа завершено.

Отметим, что было бы интересно получить аналог теоремы 8 для групп смешанного типа.

§ 8.4. Оценки чисел классов редуктивных групп

Результаты предыдущих параграфов показывают, что значения, которые может принимать число классов с1(ф(О)) полупростой Х-группы G, зависят от арифметических свойств группы. Поэтому для того чтобы получить их характеризацию^ нужно обладать дополнительной информацией о группе G. Возникает вопрос: что можно сказать о с1(ф(О)) в самой общей ситуации? Здесь, конечно, нужно исключить из рассмотрения случай, когда группа G обладает свойством абсолютной сильной аппроксимации, ибо тогда с1(ф(О))= 1 для любой реализации ф. Оказывается, что в остальных случаях числа классов с!(ф(О)) при различных реализациях ф не ограничены в совокупности.

Теорема 10. Пусть G— линейная алгебраическая К-группа степени п, не обладающая свойством абсолютной сильной аппроксимации. Тогда для любого числа г существует такая решетка Л1(г)с К2п, то c\(GM(-r}) > г.

Доказательство. Зафиксируем решетку L с Кп, для любой открытой подгруппы GcGif(=o) будем обозначать через c(G) число двойных смежных классов (G„X U^Ga/Gk-

Лемма 16. Для любого натурального г найдется такая открытая подгруппа U, что c(U)> г.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для некоторой открытой подгруппы Go cz GAf (оо) число с (Go) принимает максимальное значение d. Зафиксируем разложение

Ga= U(1)

= 1

на непересекающиеся двойные смежные классы. Из предположения о максимальности c(G0) вытекает, что для любой подгруппы U <^ Uo имеем c(G) = c(G0), откуда

(G^ X Go) z£GK = (G0XU)ztGK

для всех i= 1, 2, ..., d. Переходя к проекциям на Ga^ и обозначая через zt соответствующую проекцию zt, получим

UqZiGk = Uz£Gk>

и, следовательно,

U^£GK = nUz,GK,(2)

где пересечение берется по всем открытым подгруппам G cz Go- Воспользуемся теперь следующим простым фактом из теории топологических групп: если топологическая группа Н обладает фундаментальной системой окрестностей единицы U ={G}, состоящей из подгрупп, то замыкание любого подмножества Г cz Н описывается следующим образом: Г = Р| GF. Из этого факта

Ueil

получается, что правая часть (2) совпадает с замыканием ziGk в Одр т. е. с z£Gk, где Ок—замыкание Ок- Из разложения (1) получаем, что

ad_

Ga = [J UQz£GK = [J г£Ок,' i = li=l

т. e. Gk имеет конечный индекс в Ga?. Но это ' невозможно, ибо из отсутствия абсолютной сильной аппроксимации у группы G и из теоремы 7.12 вытекает, что выполняется одно из условий предложения 7.13, согласно которому индекс GK в Сдг бесконечен. Лемма доказана.

Продолжаем доказательство теоремы 10. В силу леммы 16 можно найти такую открытую подгруппу U clGa^v что c(U)> г, а нам достаточно найти решетку М с К2п со свойством GAf(oo) cU. Но, будучи открытой, U содержит подгруппу вида W = П (^(р^Х П Go” где Т <= l/f — некоторое

конечное подмножество, mD (иеТ)—подходящие натуральные числа. Согласно предложению 11 для каждого и g Гсуществует решетка Lykm^ ^К^ такая, что Go”^”) = Go" (рГ"). Определим решетку М cl К2п, задав ее локализации следующим образом

_ Г L^myY исТ,

Тогда группа Са^^л, очевидно, совпадает с W, так что решетка М— искомая. Теорема 10 доказана.

Из теоремы 10 вытекает следующее любопытное замечание: если число классов с1(ф(С)) произвольной алгебраической ^группы G принимает хотя бы одно неединичное значение, то изменяя реализацию <р, мы получим бесконечное множество различных значений.

Было бы интересно получить аналог теоремы 10 в исходной размерности га (предполагая, естественно, что G не является нормальным делителем в GLn). По-видимому, это можно сделать, модифицируя подходящим образом доказательство предложения 15. Отметим, что для торов в GLn, отличных от скалярного, это вытекает из предложения 25, которое мы докажем в следующем параграфе в связи с изучением так называемой проблемы рода в арифметических группах.

Переходим к изложению результатов о связи между числом классов алгебраической группы и числами классов ее замечательных подгрупп (параболических подгрупп, максимальных торов). Одна из наиболее существенных мотивировок изучения этой связи состоит в гипотетической возможности получить таким образом оценки чисел классов, скажем, максимальных торов группы, что может оказаться полезным при изучении методами теории алгебраических групп чисел классов идеалов полей алгебраических чисел. В настоящее время это направление находится в стадии разработки, причем имеющиеся в нашем распоряжении результаты носят предварительный характер. По этой причине мы приводим следующие теоремы без доказательства.

Теорема 11 (Бондаренко, Рапинчук [1]). Пусть G— дедуктивная алгебраическая К-группа, Р— произвольная К-определен- ная параболическая подгруппа группы G. Тогда cl(G)^cl(P).

Следствие 1. Пусть G— редуктивная К-разложимая алгебраическая группа, Т — произвольный максимальный К-разложи- мый тор в G. Тогда cl (G) ^ cl (Т).

Действительно, пусть B = TU— подгруппа Бореля группы G, содержащая тор Т. Тогда согласно теореме 11 cl (G) ^ cl (В). С другой стороны, в силу предложения 5.4 cl (В) ^ cl (Г), ибо для U имеет место абсолютная сильная аппроксимация.

Следствие 1 позволяет дать «эффективный» вариант теоремы 4 об одноклассных решетках для разложимых групп над одноклассным полем.

Следствие 2. Пусть G — редуктивная разложимая группа над одноклассным полем К. Тогда cl(G)= 1 в любой К-реали- зации G, в которой G содержит максимальный К-разложимый тор в диагональном виде. (Более точно, если G cr GLn и в базисе ех, ..., еп пространства Кп некоторый максимальный тор группы G записывается диагональными матрицами, то cl(GL)= 1, где L — решетка с базисом ех, ..., е^

Пусть Т — максимальный К-разложимый тор группы G такой, что Т cz Dn. Так как cl(G)^cl(T) (следствие 1), то достаточно показать, что с1(Т)=1. Пусть г = dim Т и ф: Dr~T— определенный над К изоморфизм. В силу одноклассности поля К мы имеем с1(Вл)=1, и поэтому достаточно проверить, что Ф (ОгА (оо)) cz Та (оо). Но в координатном выражении для ф

Ф: (хь ..., хг) (Ф1 (хь ..., хг), ..., ф„ (хь ..., хг))рациональные функции ф, должны быть мультипликативными,

Г

и поэтому имеют вид ф<(хь ..., хг) = Ц х,4 для подходящих /=1

целых ау, откуда и следует требуемое.

Как мы увидим на приводимых ниже примерах, зависимость между cl(G) и с1(Т), где Т — произвольный К-определенный тор алгебраической К-группы G, может быть самого разного характера. Поэтому следующий результат, в котором разбирается случай полупростых групп некомпактного типа, по-види- мому, не допускает распространения на более широкий класс групп:

Теорема 12 (Платонов, Бондаренко, Рапинчук [2]). Пусть G — полупростая К-группа некомпактного типа, л: G-^-G—универсальное К-опред еденное накрытие. Тогда для любого К-опре- деленного максимального тора Т

cl (Г) >,

[Ш (Г)] [В1 (Зз X (Г))]

где Х(Т)— группа характеров тора Т = л~1(Т), S— группа Галуа над К поля разложения L торов Т и Т.

Отметим, что если Т cl G — максимальный тор, разложимый над К, то Ш(7) = Z/1^, Х(Т))= 1, и мы приходим к оценке

cl (7) ^ cl (G), которая была получена в следствии 1 из теоремы 11 другим способом.

Следствие 3. Пусть G— полупростая К-группа некомпактного типа. Существует такая константа М > 0, зависящая только от G, что для любой реализации ср

min cl (ф (7)) > cl (ф (G)),(3)

где минимум берется по всем максимальным К-определенным торам группы G.

Приведем два любопытных примера, иллюстрирующих многообразие зависимостей между mincl(7) и cl (G).

' т

Пример 1. Пусть G = SL2 над полем рациональных чисел Q. Покажем, что для любого m > 0 существует такая решетка 7(m)c:Q4, что для любого максимального Q-определенного тора Т с: G имеет место неравенство с1(7’£("б)> т, в то время как cl (G^m>) = 1.

Зафиксируем решетку L с: Q2 и для каждого простого р обозначим через MpCzQp такую решетку, что Gzp =Gzp (р) (см. предложение 12). Пусть 5(т) = {рь ..., рт)—набор, состоящий из m нечетных простых чисел. Зададим решетку L^m^cz Q4 следующим образом:

Lp®Zp, p^SH,I Мр, PeS (т),

и покажем, что cl (Г1^)) ^ 2т-2 для любого максимального Q-тора Т с G; это очевидно, и дает требуемое.

Имеем

cl (Гь <"1)) = [Гл : ^Tq] = Г1 «pL гр 1 ГmL гр mL1 1 /rpL \ ГmL , гр L, (pn)rpL, 1

= [V А . 1 л (оо)7 qJ [7 А (оо)7 Q . 7 А (00)7 q] — Cl ^7 J [7 д (оо) . 7 д (оо)7 zj

= С1(^)Г п ^'.^«Дт^ п ^(р)!, Lpe=S(m)J

где • Т^—> ТТ —диагональное вложение. Матрица 9 pgSW QP

Г —10 1™Lp

I о _ t принадлежит всем группам Tzp, но не принадлежит ни одной из групп Tzpp(p) из-за нечетности р. Поэтому в разложении абелевой группы Ц TzplTzp{p) на цикличес- peS(m)р

кие встретится не менее m циклических 2-примарных сомножителей. С другой стороны, в силу следствия 1 из теоремы 4.11 группа Tz является прямым произведением конечной группы Ф и свободной абелевой группы Г ранга ^1. Поскольку dim 7 =

= 1, имеет место изоморфизм Т ~ Gm, и, следовательно, группа Ф циклична, таким образом, группа Tz имеет самое большее два циклических сомножителя, и, значит, факторгруппа

D= П tlzd\(4w^ п Т^Л

p^S(m) PI \p = S(ml Р /

имеет не менее (т — 2) 2-примарных циклических сомножителей. В частности, [D] ^ 2т~2, и тем более cl (7'£<m>) =с1 (Т£) [£)] Z> ^ 2m~2. Утверждение о том, что cl(G£(ml))= 1, следует из сильной аппроксимационной теоремы.

Пример 1 показывает, что разность между левой и правой частью в оценке (3) может быть как угодно большой. В то же время оценки типаМ cl (G) ^ min cl (Г), где М— константа, завит

сящая только от бирациональных свойств G, но не от ее конкретной реализации, не существует.

Пример 2. Пусть f = х2 + z/2 + z2 в базисе щ, е2, е3 пространства Q3, G = SO3(f). Тогда T = SO2(g), где £ = х2 + У2, является максимальным тором в G.

Зафиксируем нечетное простое число р и для целого числа п > О обозначим через Т(л) решетку с базисом щ, е2, р”^. Наша цель — показать, что cl(GL(n))—>- 4- оо, в то время как 'п^оо1

с1(7'£<п))= 1. Положим £)n = Gzpn). Тогда, дословно повторяя доказательство предложения 12, можно показать, что D(n) = ^x = = (x£i) е Gzp| хи = ± d1V (mod рп), если i либо j равно 3} (матричная запись берется относительно базиса ец ег, е3; 6ц — символ Кронекера). Поэтому Z)(1)zd D (2) zd Z)(3)zd ..., причем

П Р(«) = {1,п>0р

где y = diag(l, 1, —1). Поскольку индекс Tz в Gzp бесконечен, то [Gz :О(п)1—’- + °°, а следовательно, и z (zz) = = [Z) (zz)\Gzp/Gz]n-^ + °°, ибо группа Gz конечна в силу положительной определенности f. С другой стороны, рассуждая как и при доказательстве леммы 9, легко показать, что i(n) совпадает с числом двойных смежных классов Ga'^V^z, содержащихся в главном классе Gaio^Gq; в частности, cl(G£<n))^ 25? 1(п) и cl(GL(n))-—> + go.

Осталось установить, что с1(7’£<п3) = 1 для любого п. Так как Т действует на е3 тривиально, то cl (Т4^) = cl(SO2(g)) для всех п. Но хорошо известно, (см. например, Боревич, Шафаревич [1]), что форма g одноклассна, и поэтому, в силу предложе-

ния 4, cl(O2(g)) = 1. Так как О2 (g)z содержит матрицу с определителем (—1), то отсюда легко получить, что cl(SO2(^)) = 1, что и требовалось.

Упражнение. Дать другое доказательство равенства с1(Т£) = = 1 в примере 2, используя одноклассность поля К = Q(V—1) (последняя является следствием существования алгоритма Евклида в кольце целых гауссовых чисел О = Z[i]). А именно, рассмотреть естественную реализацию тора S = Ry</Q(Gm), определяемую регулярным представлением К в некотором базисе О/Z. Тогда из равенства hK = 1 следует, что cl(S) = 1. Используя отождествление Т ~ Rk/q (Gm), с помощью теоремы 90 Гильберта построить сюръективный морфизм 9: S^-T с ядром Кег 0 = Gm. Показать, что 0д(5д)=Гл, 0 (Sa(oo>) с: Тд^, и вывести отсюда, что cl(T)= 1.

Пример 2 показывает, что утверждение теоремы 12 (и даже следствия из нее) не допускает распространения на группы компактного типа.

Проблема изучения связи между числами классов группы и ее максимальных торов, несомненно, заслуживает дальнейшей разработки. Использованные до сих пор чисто алгебраические методы, по-видимому, следует дополнить применением аналитических соображений, что в итоге должно привести к прояснению «усредненной» картины изменения чисел классов торов и, в частности, к ответу на вопрос, конечно или бесконечно множество торов алгебраической группы с данным фиксированным числом классов (современный вариант знаменитой проблемы Гаусса).

В заключение этого параграфа остановимся бегло еще на одном круге вопросов. Речь идет об изменении числа классов алгебраической группы при изменении поля определения. Более точно, пусть G— ^-определенная алгебраическая группа, Е/К— конечное расширение. Как связано число классов cl(G) с числом классов cl£(G) той же группы G, рассматриваемой как группа над Е? (Здесь и далее имеется в виду, что реализация группы G задается некоторой решеткой L с: Кп; тогда число классов с1г(С) и соответствующие группы целых точек берутся относительно решетки L ®в ОЕ с: Еп, где ОЕ — кольцо целых поля £.) Различные аспекты этой проблемы исследовались в работах Бартельса [1,2], Эрнеста, Сия [1,2]. Мы ограничимся указанием на существующую связь с локально-глобальным принципом для когомологий арифметических подгрупп. Для точной формулировки условимся считать отмеченным элементом множества двойных смежных классов Gae ^}\Gae/Ge главный класс Gae(,oo'IGe.

Теорема 13 (Рольфе [1]). Предположим, что Е/К— расширение Галуа и для G над Е выполняется принцип Хассе (т. е. отображение НХ(Е/К, 6£)—>Ц Нх (Ew/Kv, Ge^ имеет тривиальное ядро). Тогда имеет место точная последовательность множеств с отмеченными элементами

~*■ Ker (Gaw\Ga/Gk —»-Gaew\ Gae/Ge) —►

Нх (Е/К, GOe) а> П Нх ^ejkb, GOeJ

{для каждого и е V^ мы выбираем одно продолжение w е Vе и считаем, что Gew = Ew для ®еУ^).

Доказательство разбивается на несколько этапов.

Конструкция а. Пусть х е Сл и x = yz, где уЕ Gae w, z^Ge. Тогда для любого о гЗ = Gal (Е/К) имеем

а0 = У^'у = Uz-У1 (xz-1)0 = z (z-1)0 е GaeW П Ge = GOe, (4) так что а = (а0) определяет коцикл в И'(Е/К, G^). Любое другое разложение х = y'z' связано с разложением х = yz следующим образом: y' = yt, z' = t~'z, где teGgE, поэтому соответствующий коцикл

йо = (У) (У ) = t У У t = t аа1

эквивалентен коциклу (а»}. Кроме того, если x\=gxh для ge е Gaw, he GK, то xx=(gy) (zh) и (gy)~x (gy)° = y~xy°, поэтому коцикл а зависит только от смежного класса GAwxGk- Тем самым мы построили корректно определенное отображение а.

Равенство Кега={1}. Предположим, что коцикл а = = {«□}, отвечающий элементу х, тривиален в НХ(Е/К, Go^, т. е. аа = t~xta для некоторого t е Gqe. Тогда из (4) получаем

у" 'у° = г (z"1)0 = t~xf для всех о е 3.

Поэтому (уГх)° = уГх, (tz)a = tz, т. е. у' = yt~x е Gaew П Ga = = Ga(oo), z' = tz e Ge П Ga = GK. Тогда x = yz = y'z' принадлежит главному классу GawGk, что и требовалось.

Точность в члене Нх (Е/К, Go^. По построению а0 = у~ху°, у еОдЕ^, т. е. коцикл а становится тривиальным в группе Нх (Е/К, Gae w) = П Нх (Е/К, П GOe^ = П Нх ^EJKO, GOe^_

Тем самым ImacKerp. Обратно, если коцикл a = {aa} Е еН1^Е(К, Gqe) лежит в Кег р, то а0 = у""ху° для некоторого у г Gае w- Отсюда также вытекает, что образ а в НХ(Е]К, GE) становится тривиальным элементом в Нх ^Ew/Kv, Gew^ для всех нормирований у е Vk, поэтому из справедливости для G принципа Хассе вытекает тривиальность а в НХ^Е/К, Ge^, т. е. существование такого z е Ge, что а0 = z(z-1)°. Положим х = yz. Тогда для любого а е имеем

х° = y°z° = (z/aa) (a-'z) = yz = x,

так что x e Ga. Кроме того по построению х е Gae (,oo)Ge. Таким образом, класс Gav^xG^ лежит в Ker(GA(<x,)\GVGk-^ -> Gae (оо) \ Gae/Gk), причем из конструкции а вытекает, что a (Ga^xGk) = а. Теорема 13 полностью доказана.

Следствие 4 (принцип Хассе для когомологий арифметических подгрупп односвязных групп). Пусть G — полупростая односвязная К-определенная группа некомпактного типа. Тогда для любого расширения Галуа Е/К отображение

Нх (Е/К, GOe) п нх ^EJKd, GOeJ

имеет тривиальное ядро.

Действительно, для когомологий групп рациональных точек односвязных групп принцип Хассе выполняется всегда (теорема 6.6). С другой стороны, из свойства сильной аппроксимации для G (теорема 7.12) получаем, что cl(G)=l, и наше утверждение вытекает из точной последовательности теоремы.

Для групп компактного типа интересный результат получается, если рассуждать в обратном направлении: вначале получить принцип Хассе для когомологий, и в качестве следствия получить тривиальность

Ker (Ga<==AGa,Gk->Gae (~)\ GAE/GEy

Следствие 5. Пусть G — определенная над Q алгебраическая группа с компактной группой R-точек, K/Q— вполне вещественное расширение Галуа. Предположим, что GoK = Gz (см. § 4.8) и для G над К выполняется принцип Хассе. Тогда естественное отображение

Gaq (=о) \ GaJGq Gak (=) \ Gak/Gk

имеет тривиальное ядро.

Учитывая, что двойные классы Ga<oo)\Ga/Gk для ортогональной группы G = On(f) квадратичной формы f взаимно однозначно соответствуют классам в роде f (предложение 4), причем

главный класс GA(oo)GK отвечает классу, содержащему f, из следствия 5 получаем

Следствие 6. Пусть f— положительно определенная квадратичная форма с целыми коэффициентами, K/Q — вполне вещественное расширение Галуа. Предположим, что Оп{^ек = Оп^г {это всегда имеет место, если форма f диагональная, см. § 4.8). Тогда если целочисленная форма g лежит в роде / и эквивалентна форме f над О^ то она эквивалентна f над Z.

Доказательство следствия 5 вытекает из точной последовательности теоремы и следующего утверждения, представляющего независимый интерес.

Теорема 14 (Бартельс [2]). Пусть G — Q-определенная алгебраическая группа, K/Q — вполне вещественное расширение Галуа. Предположим, что GoK = Gz. Тогда естественное отображение

Нх (K/Q, GaK) Д H1 (MU, Ge^ (5), имеет тривиальное ядро.

Доказательство. Поскольку группа Галуа ^=Gal(7(/Q) действует на GeK = Gz тривиально, то 1-коциклы на ^ со значениями в GoK являются гомоморфизмами ф: ^ —>GoK, причем тривиальный класс в Z1 {K/Q, Gc^ состоит в точности из единичного гомоморфизма. Пусть теперь фЕКегр. Наша цель — показать, что ф= 1. Для любого нормирования w е I/f обозначим через 5^™ соответствующую группу инерции. Естественные отображения Gq„-*Gok ->Г = Go„ lGo„ (^В™) и включения

9™’ c$a = Gal {Kw/Q^ e S индуцируют отображения когомологий

h\k(Q, g^Xh^kjq,,, g^XhX, Г).

Поскольку фЕКегр, то 6m ° рю (ф) = 1. Но группа Й’действует на Г тривиально, так что последнее равносильно тривиальности гомоморфизма, который получается композицией ограничения ф на ^(ш и гомоморфизма Gy^—>-Г. Другими словами, ф^'^Е c^'GoK (Фш) = Gz (pw), гДе Р® — отвечающее w простое число. Из леммы Минковского (см. § 4.8) вытекает, что группа Gz (pw) тривиальна для нечетных pw. Рассуждая аналогично, легко показать, что для рт = 2 группа Gz (pw) является группой экспоненты 2. Поэтому, учитывая порождаемость S всеми группами Й1, что является следствием теоремы Эрмита (см. § 1.1),. получаем, что ф (^) е Gz (2), и, следовательно, ф (^) ~ (Z/2Z)z^

для подходящего /. Обозначим через L подполе в К, отвечающее Кег ф. Поскольку $^ с Кегф, если pw нечетно, то в расширении L/Q может ветвиться только двойка. С другой стороны, из того, что Gal (L/Q) = Im ф ~ (Z/2Z)z, вытекает, что L является композитом квадратичных расширений Q. Так как единственным вещественным квадратичным расширением Q, ветвящимся лишь в двойке, является расширение Q(-\/2), то либо / = О, что давало бы требуемое, либо L = Q(V2), в частности, ./= 1.

Имеем следующую коммутативную диаграмму с точными .строками:

1> Нх (Z/Q, Go^?—+ Нх (KJQ, ОУк)

I61Р(6)

1 -> П Нх (LJQ„, G8l^ > П Нх (Km/Q0, g^j

Пусть Gal (T/Q) = {1, о} и ф(о) = а. Из диаграммы (6) вытекает, что фЕКегб, поэтому, рассуждая как и выше, получим, что йеС? (2). Воспользуемся далее следующим простым -фактом.

Лемма 17 (Минковский). Пусть а е GLn(Z,2) и а2 = Еп. Тогда существует такая матрица се GLn(Z), что сас~х = = diag(eb ..., еГ1), где 6, = +!.

Действительно, положим ах = -у (Еп — а), а2 = -^-(Еп-\- а\ Тогда й,еМ„(2), аах =—ах, аа2 = а2, ах-\-а2 = Еп. Отсюда следует, что любой элемент zeZ" имеет представление z = = Zi + z2, где zt = ах(z) e Zn. Так что, полагая Mi = ax( r-), получим разложение Zn = Мх + М2. При этом если z, Е Mi, то a(zy = (—iyzi, поэтому данное разложение прямое, и в базисе решетки Zn, который является объединением базисов решеток Мх и М2, матрица а имеет требуемый вид.

Итак, пусть матрица се GZn(Z) выбрана таким образом, что d = сас~х имеет вид diag(eb ..., еп), е, = ±1. Кроме того, поскольку ф е Кег 6, можно выбрать такую матрицу b е Gou, что а = 6о(&)-1. Тогда для матрицы t = (t^ = са (b) е GLn (ОТД имеем

a (t) = а (са (b)) = cb = саа (b) = dt,

т. е. о(11У = Edij. Поэтому если е, = — 1, то tt! е V2 Ои Для всех у Но тогда det t е ■УчОтг, что невозможно. Таким обра- -зом, все е,= 1, т. е. а = Еп. Мы показали, что гомоморфизм ф -тривиален, и тем самым теорема 14 доказана.

В связи со следствием 1 из теоремы 13 и теоремой 14 было бы интересно выяснить, всегда ли для когомологий арифметических подгрупп односвязных групп выполняется принцип Хассе (в том смысле, как указано в следствии 1).

Проблема рода

В § 8.1 мы дали общее определение рода и класса целочисленного элемента алгебраического многообразия относительно действия алгебраической группы и показали, что нахождение чисел классов в роде сводится к подсчету некоторых двойных классов. В настоящем параграфе, используя развитые методы: вычисления чисел классов алгебраических групп, мы дадим оценки и характеризации чисел классов в роде в конкретных ситуациях.

Рассмотрим так называемую проблему рода в арифметических группах, исследование которой было начато Платоновым [8]. Пусть G — линейная алгебраическая группа, определенная над полем рациональных чисел Q. Напомним (см. § 8.1), что два элемента a, Ье6? принадлежат одному роду, если они: сопряжены в группах Gq и Gzp для всех простых р, и одному классу, если они сопряжены в Gz. Обозначим через [а] о род элемента а е Gz, и пусть fG (а) — число классов, содержащихся в [а]0. Число to (а) всегда конечно (см. предложение 6). Проблема рода заключается в исследовании свойств функции fG (а) (а е Gz) и оказывается тесно связанной с задачей о финитной аппроксимируемости конечно порожденных линейных групп относительно сопряженности, с оценками чисел классов максимальных торов редуктивных групп и другими арифметическими и теоретико-групповыми вопросами.

Для коммутативных групп проблема рода является бессодержательной, поэтому наибольший интерес представляет исследование fa (а) для полупростой группы G. Оказывается, что в этой ситуации функция fG является неограниченной на любой арифметической подгруппе Н с Gz при том естественном условии, что группа Gz бесконечна, или, что эквивалентно (см. § 4.6), группа вещественных точек Gr некомпактна.

Теорема 15. Пусть G — полупростая Q-определенная алгебраическая группа такая, что группа вещественных точек Gr некомпактна. Тогда supfG(a) = oo для любой арифметической а = Н подгруппы Н с Gz

Для Q-изотропных групп теорема 15 была получена В. П. Платоновым [8]. Там же им была высказана гипотеза о справедливости теоремы 15 в общей ситуации. Для ортогональных групп над Q эта гипотеза была подтверждена-

Г. В. Матвеевым [1]. В окончательной форме теорема 15 была установлена А. С. Рапинчуком [1].

Вначале проведем редукцию доказательства теоремы 15 к случаю односвязных Q-простых групп.

Предложение 22. Пусть л: G-^-G— Q-определенная изогения Q-epynn. Тогда если для любой арифметической подгруппы Н с: Gz имеем sup fg-(a) = oo, то и для любой арифметической а^Н

подгруппы HczGz также sup ^ока^ = 0°-

а^Н

Доказательство. Из непрерывности морфизма л^: GA -> GA и конечности группы F = Кег л вытекает существование такого открытого нормального делителя U е 5л(оо>, содержащего Goo, что лд (П) с СЛ(оо) и УПА5 = {1}. Индекс [G^oo) : Я], очевидно, конечен; обозначим его через /. Далее, группа Г = Gq П U имеет конечный индекс в Gz = Gq^Ga^, поэтому из теоремы 4.1 получаем конечность индекса [Gz:n(F)], который мы обозначим через m (отметим, что л (Г)с GQ П nA(U)c:GQ П GAW= = Gz). Из теоремы 4.1 также вытекает, что прообраз л-1 (Я) любой арифметической подгруппы Н с Gz является арифметической подгруппой в G, поэтому группа Н = л-1 (Я) П Г е Gz арифметическая. Для доказательства предложения мы покажем, что если а е Н, то найдется b е [a]g- такой, что /с(л(Ь))^ (а)

' ml "

Положим t = fg(a), и пусть щ = а, а2, ...,af — представители различных классов, содержащихся в [а]5. Из определения рода вытекает, что для каждого i = 1, ..., t найдется gt е Ga(oo> со свойством ai = g71agi. Рассмотрим разбиение {1, ...,/} = i

= U I;, считая, что индексы ц, 12 попадают в один и тот же класс I , если glU = glU. Тогда, очевидно, найдется такое /0, что множество 1 = 1р содержит не менее til элементов. Положим Ь = аи где 1^1, и покажем, что элемент Ь искомый. Для этого, во-первых, отметим, что поскольку aeHcU, то для любого z = 1t имеем at = g7xagt е U П Gq = Г, ибо U — нормальный делитель в Ga^, так что с, = л (щ) е Gz. Далее, по построению элементы а^ для i е I являются сопряженными в группе U, поэтому соответствующие ct сопряжены в л (Я), и тем более — в группе Ga^. Кроме того, элементы aL сопряжены в Gq, поэтому С[ сопряжены в Gq. Это рассуждение доказывает, что элементы щ для z е / лежат в одном роде,

т. е. щ-е [л (Ь)]с- Для доказательства неравенства /0(л(Ь))^ ^VMm^tfml теперь достаточно найти среди элементов ciy i^I, не менее [7]/т элементов, которые не сопряжены в Gz.

С этой целью мы опять рассмотрим разбиение 1 = [J 1к, относя 6-1

индексы ilt 1,е1 в один класс, если элементы щ„ сг-2 сопряжены в Gz. Покажем, что для любого к имеем [7fe]^m. Тогда s^VMm, и с другой стороны, f G (л (b)) ^ s, что и даст требуемое. Предположим, что [7*] > т. Зафиксируем некоторый индекс /0 е/6 и для каждого i ее 1к найдем элемент zz е Gz со свойством ct = 2Тхси2;. Поскольку индекс [С2:л(Г)] равен т, для двух различных /н 1ге1к имеем 2tv = г/2л(g) для подходящего g <5 Г. Тогда С;_ = 2TXCi 2^ = Л (g)-1 2TXCi 2ил (g) = л (g)-1 х Xct^gY Вспоминая, что сг = л(а,), получим л(а;,) = л(§г""1а^), т. е. x = aTig""1ai g е FQ. С другой стороны, из наших построений и того факта, что U является нормальным делителем в Ga(oo), вытекает включение xeU. Поэтому х е С/fl Fq = (1),. и, следовательно, а^ — g^a^g,— противоречие, ибо элементы at не являются сопряженными в Gz и тем более в Г. Предложение 22 доказано.

Пусть теперь G—произвольная полупростая Q-определенная группа с некомпактной группой R-точек. Обозначим через л: G^G универсальное Q-определенное накрытие. Тогда из предложения 22 вытекает, что достаточно доказать теорему 15 для группы G. Но G является прямым произведением своих Q-простых компонент G', причем для некоторого z0 группа Gr некомпактна. Утверждается, что если теорема 15 справедлива для G‘°, то она справедлива и для G. В самом деле, из предложения 22 вытекает, что справедливость теоремы 15 для группы G не зависит от ее реализации, поэтому мы можем зафиксировать реализацию G, которая является прямым произведением реализаций компонент. Тогда Gz = П 6g, Gzp = П Gzp для любого р, откуда следует, что для любого а е Gz справедливо неравенство fg (а) > /а1й (prfo (а)), где рг/о; G -► G1” — соответствующая проекция. Так как для произвольной арифметической подгруппы Н aGz группа Н' = prZo (77) с: Gz является арифметической (теорема 4.1), то доказав, что sup XZo(zz) = со, мы до- аеН'

кажем также, что supfj(a) = oo. агН

Таким образом, достаточно доказать теорему 15 для Q-простых односвязных групп. Покажем, что в этом случае справедливо более точное утверждение:

Предложение 23. Пусть G — почти Q-простая односвязная алгебраическая группа с некомпактной группой R-точек. Тогда для любой арифметической подгруппы И czG^ и любого натурального г найдется такой элемент а^Н, что fc(a) делится на г..

Доказательство опирается на следующие два факта:

Предложение 24. Пусть Т — нецентральный К-определенный тор связной К-группы G. Тогда для любого натурального г существует такой элемент geGK, что число классов ^(g^Tg) делится на г.

Лемма 18. В условиях предложения 23 существует такой полупростой элемент е <= Gz, что элемент ет регулярен для любого натурального пг.

Доказательство. Пусть G является линейной группой степени п, т. е. G gz GLn. Хорошо известно, что функция Эйлера обладает свойством ср(г)^-оо, поэтому существует такое <eN, что ф(г)>п! при г > t. Положим d=t\ и рассмотрим отображение т^: G-^-G, определяемое формулой Td(x') = xd. Если теперь обозначить через Gs множество всех полупростых элементов группы G, через U — открытое плотное по Зарисскому подмножество в G, состоящее из регулярных полупростых элементов (см. § 2.1, п. 11), то, очевидно, Td(Gs) = Gs td U, в частности, тДС) плотно в G. Но Gz также плотно в G (теорема 4.10), поэтому, окончательно, Tj(Gz) является плотным подмножеством в G. В силу открытости U пересечение G f) Td (Gz) содержит хотя бы один элемент 9. Покажем, что если 0 = тДе), где е е Gz, то элемент е искомый.

Пусть Т — максимальный тор группы G, содержащий е. Согласно критерию регулярности (см. § 2.1, п. 11), элемент № Г регулярен в том и только том случае, если а(х)^ 1 для любого корня a^R(T, G), поэтому нам надо показать, что р = а(е) не является корнем из единицы. Установим вначале, что р принадлежит расширению F = Q(ei, ..., еп) поля Q, порожденному собственными значениями ецеп элемента е. Действительно, по определению, в алгебре g = G(G) найдется такой ненулевой элемент X, что е-1Хе = а(е)Х. Приведем е к диагональному виду, т. е. найдем такую матрицу z е GLn, что g = = z-1ez является диагональной матрицей diag(ei,82еп). Тогда для элемента У = z-1Xz должно выполняться соотношение £-1 Уд = а (е) У. Поэтому если У = ^у^ и у1оЬ ^0, то а (е) = =е~1е/оеЕ. Поле F является полем разложения многочлена степени п с рациональными коэффициентами (характеристического многочлена е), поэтому [У : Q] ^ n!. С другой стороны, если рг=1, причем г—минимальное число с таким свойством, то IQ(p): Q] = ф(г), откуда ф(г)^п!. По построению отсюда по-

лучаем, что г ^ t, и, следовательно, г является делителем d = t\. Поэтому а(0)= a(ed) = pd= 1, что противоречит регулярности 6. Лемма 18 доказана.

Доказательство предложения 24 мы проведем позднее, а сейчас завершим доказательство предложения 23. Пусть е — элемент, построенный в лемме 18. Тогда централизатор T' = ZG(e) является максимальным тором в G. Действительно, в силу регулярности е связная компонента ZG(e)° является максимальным тором, но известно (см. Стейнберг [2]), что в односвязном случае централизаторы полупростых элементов связны. Заметим, что в силу регулярности ет для любого т централизатор ZG(em) также равен Т.

Зафиксируем теперь произвольное натуральное число г. Согласно предложению 24 найдется такой элементg^Gq, что число классов cl (g-'/’g) делится на г. Из предложения 4.1 вытекает, что группа D = g^G^g является арифметической в G, откуда следует, что индекс [О : D П Л] конечен. Выберем нормальный делитель NcD конечного индекса, содержащийся в D П Н, и обозначим через I экспоненту группы D/N. Тогда £ = g^e^ е е Л и число fG (£) классов в роде делится на г. Действительно, в условиях предложения 23 для группы G имеет место свойство сильной аппроксимации, поэтому cl(G)=l, и, следовательно,. ^(□ = cl(ZG(^)) (предложение 6). Но ZG (£) = g~xZG (el)g = = g—'Tg, и число классов cl (g—^Tg) делится на г. Таким образом, предложение 23, а вместе с тем и теорема 15 доказаны.

Доказательство предложения 24. Пусть реализация G a GLn задается решеткой LcK4, и Р— поле разложения тора Т. Поскольку тор Т нецентрален в G, его присоединенное действие на соответствующей алгебре Ли g=L(G) нетривиально. Следовательно, найдутся такой неединичный характер а еХ(Т) и такой ненулевой элемент Хед, что Ad(Z) (Х) = a.(f)X для всех t ^Т. При этом, поскольку характер а определен над Р, элемент X можно выбрать из дР. Пусть I—такое натуральное число, что пересечение X^HQa порождается характером Р = -^-а. Так как а^1, то элемент X нильпотентен (Хп = 0), и можно рассмотреть «усеченное» экспоненциальное отображение

п-1

(1)1

т = 0

которое задает P-определенный морфизм алгебраических групп ср: Ga^GLn (см. § 2.1, п. 8). Пусть № = ср(Ga)—соответствующая одномерная унипотентная подгруппа. Тогда алгебра Ли L(,W) порождается X, и, следовательно, L(I^)czg, W a G. Ясно также, что обратный к ср морфизм ф: W-► Ga задается?

«усеченным» логарифмическим отображением:

ФМ = £ (-1Г+1-^^.(2)

т-1

При этом для любых ае Ga, te Т, имеем

Г *ф (a) t = ср (а (0 а).(3)

Пусть 61, ..., еп— базис пространства Рп, в котором элементы тора Т записываются диагональными матрицами; обозначим через М порожденную этим базисом Оф-решетку. Пусть 3 состоит из всех таких ceVf, что для некоторого продолжения w\v нарушается хотя бы одно из условий:

{аеРДаХеМ^^,

GO Mw = OpwL,

w ((n — 1)! /) = 0.

Легко видеть, что множество 3 конечно, поэтому из теоремы плотности Чеботарева вытекает бесконечность множества

Р0 = {уеР^\3|Рс/<о}.

Лемма 19. 1) Для любого v^Su любого geC^ справедливо включение gtg-^Tg)^ g~lczTff .

Если ve'V0, то а(Тд^ = и‘о, где Uv— группа и-адических ■ единиц.

Для v е Ро положим g = ф (л~*). Тогда a.^g^g"xTg^0 g-1)cz cz U^ {здесь л„ — униформизующий элемент, U^ = {а е Uy\a = г 1 (modpD)}).

Доказательство. 1) Рассмотрим произвольный P-определенный изоморфизм T^Df с группой диагональных матриц. При доказательстве следствия 2 в § 8.4 мы видели, что если привести Т к диагональному виду, то этот изоморфизм становится определенным над Ор- Следовательно, для любого w е Vp имеем м

Т™ ^(П Х . Но, очевидно, является единственной

Up х «'Upх Г,ир

WWW

максимальной компактной подгруппой в (£>,.)„(т. е. содержит

М

любую компактную подгруппу), поэтому Тор обладает аналогичным свойством в Тр . Таким образом,

<ябо Мш = OpmLo в силу условия u^S.

Из наших построений вытекает существование такого базиса хь ..., %,- группы Х(Т'), что Xi= Р- Тогда в силу теоремы 2.1 найдется такой ^-определенный изоморфизм T^-Dr, при котором характеру Xi отвечает базисный характер £i е еХ(Д), определенный формулой £i(diag(xi xr)) = %i. Так как v е Ёо, т. е. v ^ S и Pw = Kv, то из доказательства п. 1) вытекает, что изоморфизм T^D, индуцирует изоморфизм To^UD^, откуда ^(TOo) = Uo и а (7^) = U„.

Если t е g(g~ 1Tg)g g-x, то g~x tg е Go , причем согласно п. 1) одновременно t е GOy. Используя (3), тогда получим, что

В силу условия (Hi) знаменатели всех членов разложения (2) являются у-целыми, поэтому

Ф (г xg-4g) Х = (1 - а (0) л'-Х е Мп (G„).

Но тогда из условия (i) вытекает, что (1 —сД^л-'еб^, т. е. а(0 = 1 (mod у0). Лемма 19 доказана.

Искомые элементы gE GK в предложении 26 мы построим, аппроксимируя подходящим образом элементы ф(л~*). Более точно, для каждого у0 е V найдем элемент g(vo)^ GK со свойствами g (у0) е ф (л™1) Gyo и g (у0) е Goy для у е S. Такой элемент всегда существует, даже если G не обладает свойством слабой аппроксимации. Действительно, пусть G = HRU(G)— разложение Леви группы G, В — \Н, Щ — полупростая часть Н и 6: В -► В — универсальное К- определенное накрытие. Используя 9, определим действие В на RU(G) и рассмотрим изогению т: D = BRU (G) -► BRU (G) = D соответствующих полупрямых произведений. Поскольку фактор G/D = H/B является тором, то унипотентный элемент хо =ф(л~1) лежит в D. Далее, рассуждая как и в § 7.2, легко показать, что на самом деле ХС„ G т рк„0)- ПУСТЬ хо» = т (К)’ У»» G D^_ Выберем открытые подгруппы E^elD^ для уе{у0] (J S таким образом, чтобы т (Д0)се се Geo. Из предложения 7.9 вытекает, что группа D всегда обладает свойством слабой аппроксимации, и, значит, можно найти элемент heDK со следующими свойствами: Кеу Е и heEt для у е 3. Тогда элемент g(yo) = T(/i) будет искомым. Покажем, что для подходящего у0 е 70 число классов £1 (£(yo)-17g(yo)) делится на любое наперед заданное натуральное число г.

Лемма 20. Число с (у0) = cl (g (у0) *Tg(y0)) делится на индекс [у'0:ГУ<?], где Г = а(Г0).

Доказательство. Положим Со = g (у0) (g (v0)~lTg (Уо))^ £ (Уо)-1 для у е Г^. Тогда с(у0), очевидно, совпадает с индексом [ГЛ:СГК], где С = ТООХ П Со. Из утверждения 1) леммы 19- СЕ!'!1'

вытекает, что для у ^ S имеет место включение С„ gz Та . Однако по построению g (у0) е Ууо для у е S, и поэтому последнее включение сохраняется и для у е 3. Тем самым С gz Тд^, и можно проделать следующие преобразования:

у (Уо) = [Гл : СТк\ = ХГА : Тд^Тк^ \Та^Тк : СТ^] =

= с! (Г) [ГЛ(=): Гл(=) П (СГК)] = с! (Г) [Гл(=): СГ9].

Проектируя на у0-компоненту, получим, что [Гл (с.,: СУ-] делится на [Гу0о: С0оГу]. Наконец, применяя а и используя утверждения 2), 3) предыдущей леммы, получаем требуемое утверждение (отметим, что U^ cz U^ в силу условия у(/) = 0). Лемма 20 доказана.

Теперь уже легко завершить доказательство предложения 24. По теореме 4.20 группа То является конечно порожденной. Пусть ai, ..., as— конечная система образующих группы Г = а(Гу). Положим d = 1г и, пользуясь теоремой плотности Чеботарева, найдем у0 е Vf \ 3, взаимно простое с г и такое, что/ d _d_\

Р \Pd, VaiV^Jcz^, где pd— примитивный корень степени d из единицы. Тогда, очевидно, у0 е Vo. Покажем, что индекс [t/oo: ГУ<?] делится на г. Факторгруппа U0JU^ изоморфна мультипликативной группе /?о0 соответствующего поля вычетов и поэтому является циклической. Обозначим через 2 циклическую подгруппу порядка d в /(„„, порожденную pd. Так как У?? является про-р-группой относительно простого р, отвечающего у0, и yo(d) = O, то 2ПУо? = 0)> откуда вытекает, что факторгруппа UjU^ содержит изоморфный образ 2 и, следовательно, имеет порядок, делящийся на d. Но тогда порядок факторгруппы Уо„/^о0 равен г. С другой стороны, по построению ГУ»? сИ,ч, так что индекс [у£0 : ГУ?,1] делится на г. Предложение 24 доказано.

Из предложения 24, в частности, непосредственно вытекает характеризация чисел классов алгебраических торов.

Предложение 25. Пусть Т gz GLn — алгебраический тор положительной размерности. Тогда

если Т совпадает с тором S, состоящим из скалярных матриц, то для любой решетки L а К?1 число классов с1(Г£) равно числу классов идеалов Нк поля К;

если TV=S, то для любого натурального г существует такая решетка Цг^сК", что число классов cXiT^) делится на г.

Теперь мы в состоянии дать ответ на основной вопрос настоящей главы: какие значения может принимать число классов с1(ф(£?)) алгебраической группы G для всевозможных реализаций ср.

Теорема 16. Пусть G — редуктивная алгебраическая К-груп- па степени п. Тогда

если G является полупростой группой некомпактного типа, то число классов с!(ф(С)) для любой реализации ф имеет вид р^1р“г, где р{рг— различные простые делители порядка фундаментальной группы G, причем все числа такого вида действительно реализуются для подходящих ф;

в противном случае для любого натурального г найдется решетка Ь^аК2" такая, что число классов c\(GL^) делится на г.

Доказательство. Числа классов полупростых групп некомпактного типа были определены нами в теореме 5. Утверждение пункта (ii) для полупростых групп смешанного типа доказано в теореме 7. Случай, когда G — алгебраический тор, рассмотрен в предложении 25. Разобрать оставшийся случай почти прямого произведения тора на полупростую группу мы предоставляем читателю в качестве итогового упражнения к настоящей главе. Следует еще раз обратить внимание читателя на то обстоятельство, что при изучении чисел классов мы вынуждены были «раздувать» исходную реализацию. Поэтому в качестве ближайшей задачи здесь следует сформулировать задачу вычисления с!(ф(С)) для того случая, когда степень ф и степень линейной группы G совпадают. .

Теорема 15 имеет одно интересное применение к абстрактной теории групп (см. Платонов, Матвеев [1]). Напомним, что абстрактная группа Г называется финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, если любые ее два элемента сопряжены в Г в том и только том случае, если сопряжены их образы во всех конечных факторгруппах Г (другими словами, если классы сопряженности в Г являются замкнутыми относительно проконечной топологии Г). Это понятие оказывается полезным при исследовании алгоритмических проблем, в частности, известно, что в любой конечно определенной финитно аппроксимируемой относительно сопряженности группе положительно решается проблема сопряженности. Указанное свойство имеет место для свободных групп, для полициклических групп

и групп некоторых других классов (см. Ремесленников [1]). В то же время теорема 15 позволяет строить большие серии примеров арифметических групп, которые не являются финитно аппроксимируемыми относительно сопряженности.

Пусть G— односвязная Q-простая алгебраическая группа с некомпактной группой R-точек. Чтобы сформулировать условия, при которых группа Г = Gz не является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, нам понадобятся некоторые элементарные сведения по так называемой конгруэнц- проблеме, обзор которой мы дадим в § 9.5. Ниже через та и тс мы будем обозначать соответственно арифметическую и конг- руэнц-топологии и через С = С(Г)—соответствующееконгруэнц- /VK\

ядро ^отметим, что С =-- С “ (G) в обозначениях § 9.5J.

Предложение 26. Если в описанной выше ситуации конгруэнц- ядро С(Г) центрально, то группа Г = Gz не является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Доказательство. Известно (см. § 9.5), что из центральности конгруэнц-ядра С(Г) вытекает его конечность. Поэтому если обозначить через Г пополнение Г относительно та, то найдется открытый нормальный делитель N gz Г такой, что ^ПC(Г) = = {1}; положим о! = [Г:М]. Мы покажем, что если аеГ и ai, ..., аг принадлежат роду [а]'о, то найдется такое подмножество /gz{1, ..., г} мощности [/] ^ r)d2, что для i, jel элементы а,, а, сопряжены в Г. Прежде всего заметим, что из сильной аппроксимационной теоремы вытекает, что пополнение Г группы Г относительно тс совпадает с Ц Gz , так что принад- р р—

лежность а, одному роду влечет их сопряженность в Г. Отсюда следует, что для любого [ = 1г найдутся z, е Г, а <= С(Г) со свойством z7xavz. = с£а£. Введем разбиение (1, ...,г} = t

= [J Ik, относя индексы/, / к одному классу, если at е ajN, Zi е е ZjN. Очевидно, что число t таких классов не превосходит d2 и поэтому среди Д найдется множество / мощности [/] ^ г Jd2. Покажем, что множество /—искомое.

Действительно, для i, j ^ I из наших определений получаем, что ct = z7xaxz.a7x ^ ^7хахг}а-х^ N = csN, откуда с~хс.е еМПС(Г) = {1}, т. е. с. = сг Тогда для элемента s = z7xz1 с учетом центральности С (Г) имеем s~la.s =; c^s-1 ^с£а.^ s = = C71z7xz.zrxa.z,z7xz, = сгхгтхаЛ2, — С7хс,.а, — а„ что и требовалось.

По теореме 15 найдется агСг с числом классов в роде г = fG (а) > d2. Пусть аь ..., аг — представители непересекаю-

щихся классов рода [a] G и /с={1г}—построенное выше подмножество мощности [/] rjd?- >• 1. Тогда для z, / е /, i^= j, элементы а; и a, сопряжены в Г, т. е. их образы сопряжены во всех конечных факторгруппах группы Г. С другой стороны, по построению at, а; лежат в разных классах и, следовательно, не сопряжены в Г. Предложение 26 доказано.

Из предложения 26 и известных результатов по конгруэнц- проблеме (см. § 9.5) вытекает, что если, например, G = Rk/q(S£J, где и ^ 3, К—любое поле алгебраических чисел, то группа F = GzHe является финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, ибо здесь С (Г) либо тривиально, либо является центральной циклической подгруппой. При этом следует отметить, что поскольку, вообще говоря, С(Г)^1, то для доказательства предложения 26 недостаточно построения элементов а е Gz с /ф(а)> 1, т. е. элементов, для которых нарушается локально-глобальный принцип относительно сопряженности, а требуется утверждение теоремы 15 о существовании а е Gz с произвольно большим fo^d).

Замечание. Как мы увидим в § 9.5, конгруэнц-проблему естественно исследовать в более общем контексте S-арифметических подгрупп, ибо тогда условие центральности соответствующего конгруэнц-ядра гипотетически можно выразить в единообразном виде rangsG = X rangK G^2 и rangK G^l дляуе e S\VX В связи с этим укажем, что все результаты настоящего параграфа без всяких изменений распространяются на эту ситуацию. При этом вместо обычных двойных классов Ga(oo)\Ga/Gk приходится работать с двойными классами Ga(.s\Ga/Gk. Методика подсчета этих классов практически не отличается от развитых в § 8.2—8.4 методов вычисления обычных чисел классов, и поэтому все результаты главы, включая обобщающую теорему 16, имеют свои S-арифметические аналоги.

Кроме проблемы рода в арифметических группах мы рассмотрим проблему рода для целочисленных представлений конечных групп (соответствующие определения см. в § 8.1). Хотя последовательное изложение теории целочисленных представлений не входит в наши цели (см., например, Кэртис, Райнер [1]), мы остановимся на этой теме по двум причинам. Во-первых, она доставляет пример эффективного использования групп аделей и чисел классов алгебраических групп в этой, казалось бы, далекой от арифметики алгебраических групп области. Во- вторых, ответ на проблему рода здесь диаметрально противоположен теореме 15, а именно, основной результат утверждает равномерную ограниченность чисел классов в роде всех целочисленных представлений данной конечной группы Г (среди которых, вообще говоря, имеется бесконечное число неэквивалентных,

см. Кэртис, Райнер [1], § 8.1 А). Излишне говорить, что ввиду краткости нашего экскурса в теорию целочисленных представлений изложение здесь приобретает эскизный характер.

Теорема 17. Пусть Г — конечная группа. Тогда существует эффективно определяемая константа t такая, что число классов в роде любого целочисленного представления Г не превосходит t.

Доказательство (Платонов [1]). Пусть р: Г —► GL^Z)— произвольное целочисленное представление, G = Zczn(p(r))— его централизатор. Мы уже знаем (см. предложение 5), что число классов в роде представления р совпадает с числом классов cI(GL), где L = Zn, поэтому наша цель — получить оценку для cl(GL), которая бы не зависела от р, а определялась только свойствами Г. Даже поверхностное знакомство с теорией представлений конечных групп подсказывает, что ответ должен быть связан со свойствами соответствующей групповой алгебры jD = Q[F]. По теореме Машке алгебра D полупроста, т. е. имеет d

вид D = ф Мп. Уй, где Ti — некоторые алгебры с делением

/=1 1

вад Q. В действительности алгебры Tt взаимно однозначно соответствуют классам эквивалентности R, неприводимых над Q представлений группы Г, а именно, если pz е Rt и pz: Г -► —► GL^ (Q), то Tt — централизатор рг (Г) в MttO- (Эти и некоторые другие факты из теории представлений, которые понадобятся нам в доказательстве, читатель может найти у Кэртиса и Райнера [1].) Если рассмотреть р как представление над полем Q, то имеет место разложение в прямую сумму

Тогда группа G является алгебраической Q-группой следую- d

щего вида: G = П Ккуо (GLm£ (Т^, где Ki — центр Т{ и группа GL0 над любым телом считается тривиальной. Мы стремимся получить оценку для cl(GL), которая была бы независима от rm. Для этого в каждой группе Gt = Якуц (GLm. (Ti)) рассмотрим подгруппу

0

1о " .

' 1 d

и положим Н = ЦНи

1=1

Лемма 21. Для любой решетки М с Q" справедливо неравенство cl(GM)^ cl(//M).

Доказательство. Для каждого /=1, ..., d обозначим через F, подгруппу RKt/Q(SLm. (Ti)) с Gi, если пц>1, и поло- d

жим F; = (l) в противном случае. Очевидно, F = П Ft является нормальным делителем в G. Покажем, что GA = FAHA. Достаточно установить, что О;д = Р1дН£д для любого/. Еслиш^^Ц то Gt = Н ь и доказывать нечего, поэтому можно предполагать, что пг£> 1. Обозначив через Dt алгебру Mm. (Tt), центр которой есть Kt, очевидно, будем иметь Nrdsi/Ki(GLm.(Tt)) = = NrdD /кг (GL\ (Т£)), где GL\ (Г,) естественным образом вложено в GLm; (Т£), Nrdo^Ki — гомоморфизм приведенной нормы. Аналогичное равенство сохраняет силу и при замене основного поля на произвольное расширение P/Q-, откуда Gip = = FipHip. В частности, для [любого простого р имеет место- разложение GtQ = Fiq Hi^ . Кроме того, для почти всех р группу GiQp можно отождествить с группой GLS (Ki ® Qp), где s = m£b, b—индекс тела Tt, Hi„^— с подгруппой

/ GLb(Ki®Qp)Ox

откуда следует, что Gi2p = FiZpHiz^. Поэтому GlA = FiAHiAr что и требовалось. Из наших построений вытекает, что группа Ft обладает свойством абсолютной сильной аппроксимации, поэтому, применяя к разложению Ga = FAHA рассуждение из доказательства предложения 5.4, мы и получим требуемое неравенство. Лемма 21 доказана.

Дальнейшие рассуждения связаны с использованием результатов о порядках в полупростых алгебрах (см. § 1.5, п. 3). Целочисленное групповое кольцо А = Z[Г] является порядком в алгебре D = Q [Г] и поэтому содержится в некотором максимальном порядке А. Положим / = [А : А]; тогда /А с А. Продолжим р до представления алгебры D. Так как р является целочисленным представлением Г, то р(А) L = L, и поэтому

M = p(^Lc-ypk^L = lL.(4)

В частности, М является решеткой, причем, очевидно, р(А)сд czEnd(A4). Обозначим через С централизатор p(D) в Мп№).

d

Тогда алгебра С имеет следующую структуру: С = ф Мт. (Ti); 1=11

ясно также, что для любого расширения P/Q группа GP совпадает с группой обратимых элементов алгебры С <8>qP. Пусть 0— централизатор р(А) в End(Al); можно показать, что 0 является максимальным порядком в С. Чтобы получить оценку числа классов группы G, нам потребуется совершить переход d

от порядка 0 к порядку ФсС, который имеет вид фмт. (Oi), i=i 1

где Ot — некоторый максимальный порядок в Ть Порядок Ф является максимальным в С, так что для любого р порядки 0p = 0®zZp, Фр = Ф ®zZp являются максимальными порядками в Ср = С <8qQp. Следовательно, по теореме о сопряженности максимальных порядков в полупростых алгебрах над локальным полем найдется такой gpeC*=GQ, что gpQpg~1 = Фр. При этом для почти всех р имеем 0Р = Фр, и можно положить ^р = !•

Обозначим через g элемент из Ga, p-компонента которого совпадает с gp, а вещественная компонента равна единице. Положим L,=g(.L), Mi = g(M) в смысле определенного в § 8.1 действия группы GLn^A^ на решетках в пространстве Q". Тогда, используя лемму 21, получим

cl(GL) = cl(GL')^cl(^L').(5)

Утверждается, что Н^р с Hzpp для всех р, и, следовательно, Яа'(оо) с На'^). В самом деле, достаточно показать, что G^c.G^i’. Имеем G^p = gpG^pgp *, G^'p = gpG^pgp\ поэтому все сводится к доказательству включения G^cG^”. Но любой элемент из G^ перестановочен с р(А) и поэтому оставляет на месте также решетку /Ир = р(А) Lp, что и требовалось. Таким образом, используя (5), получаем

cl (G1) < cl (Я1') < cl (Ям‘) №(оо): HLaVA •(6)

Рассмотрим, далее, отдельно каждый сомножитель. По построению, для любого р группа "G^p совпадает с 0*, поэтому группа G^p = g^^Pg-"1 совпадает с Ф. Отсюда следует, ZipР iip рР

что Н^р естественно изоморфно П О'. . Таким образом, ZPi, m^O lp

d

число cl (Ям‘) оценивается свер ху произведением А = Ц А,, где А;

есть число двойных смежных классов ^О t ®г^(оо))*\(Г; ^qAYITi.

Некоммутативный аналог предложения 1 показывает, что ht совпадает с так называемым числом классов идеалов тела Т,, которое не зависит от выбора максимального порядка Ct (подробности см. в книге Дойринга [1]).

Чтобы оценить второй сомножитель в (6), заметим, что из (4) вытекают включения fMj cz Lx cz Mi. Отсюда следует, что для любого р группа Н^р содержит конгруэнц-подгруппу Я^р ^) = ^Р П (Еп + f End (М]р)). Действительно, для любого geH^F^ и любого I е Цр имеем

что и требовалось. Поэтому, отождествляя, как и выше, Н^1р с П О1* мы видим, что индекс [^Lj : ^‘(-j] °Це" Р I, т« Од

нивается произведением к = Ц к., где kt = П [^t’p "• ^1р Г) г=1р

П (1 + fO’ip)] (отметим, что число kt также не зависит от выбора максимального порядка Ot^TtY Таким образом, окончательно получаем, что в качестве константы / в теореме 17 можно взять / = hk. Доказательство завершено.

Отметим, что приведенное доказательство теоремы 17 сохраняет силу и для целочисленных представлений произвольного полупростого Z-кольца А, ибо тот факт, что A = Z[F], фактически не использовался.

Библиографические замечания. Проблема изучения числа классов в роде квадратичных форм и чисел классов идеалов числовых полей рассматривалась еще Гауссом [1]. Число появившихся с тех пор работ, посвященных этим вопросам, огромно. В них рассматриваются самые разные аспекты проблемы — от определения числа классов в конкретных ситуациях до получения асимптотических оценок чисел классов определенных совокупностей форм, полей и т. д. Настоящая глава посвящена изложению результатов, связанных с обобщением понятия числа классов на призвольные алгебраические группы. Тот факт, что числа классов в роде объектов арифметического типа связаны с числами классов соответствующих алгебраических групп (теорема 2), хорошо известен, однако в такой общности, по-ви- димому, нигде не отмечался. Эта связь была эффективно использована Кнезером [1] для полного описания чисел классов в роде неопределенных квадратичных форм (теорема 6). Дальнейшие результаты по описанию чисел и групп классов полупростых групп некомпактного типа были получены в цикле работ Платонова, Бондаренко, Рапинчука [1—3]. Кроме полного доказательства теоремы о реализации, эти работы содержат теорему о неограниченности в совокупности чисел классов групп без

свойства абсолютной сильной аппроксимации, оценки чисел? классов максимальных торов, а также ряд примеров и приложений полученных результатов к решению классических арифметических задач (в частности, к подсчету числа классов в роде: решеток на полной матричной алгебре относительно сопряженности). В работе [3] было также начато исследование чисел классов в роде полупростых групп смешанного типа на решетках удвоенной размерности. В исходной размерности для групп компактного типа такое исследование было выполнено Рапин- чуком [2], что позволило, в частности, получить характеризацию чисел классов в роде положительно определенных квадратичных форм. Заключительный параграф главы содержит решение проблемы рода в арифметических группах, полученное Рапинчуком [1], и эффективную оценку числа классов в роде целочисленных представлений данной конечной группы, принадлежащую Платонову [2].

НОРМАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ ГРУПП

РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП

Основные результаты этой главы концентрируются вокруг ■следующей проблемы: пусть G — простая односвязная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел К; что можно сказать о строении группы А-рациональных точек Gr? Из большого круга возникающих здесь вопросов выделяют проблему изучения нормального строения группы Ок- В этом видится как дань алгебраической традиции, восходящей к работам Артина и Дьедонне по изучению нормального строения группы SLn(D) и других классических групп, так и выполнение «заказа» смежных дисциплин, в частности, теории автоморфных функций, теории представлений групп и др. Как мы указывали в гл. VII, следует различать случаи, когда О является соответственно А-изотропной и А-анизотропной. Если в первом случае основные усилия были направлены на доказательство для О гипотезы Кнезера — Титса (см. теорему 1), то .для А-анизотропных групп ситуация долгое время оставалась неясной даже с принципиальной точки зрения. Так, до 1979 г. единственным результатом по этой проблеме была работа М. Кнезера [2] 1956 г., посвященная изучению спинорных групп квадратичных форм. В последнее десятилетие работа в этом направлении заметно активизировалась, в чем немалую роль •сыграла гипотеза, содержащая критерий проективной простоты группы GK, которую первый автор выдвинул на Международном математическом конгрессе в Ванкувере (1974 г.). Мы начинаем изложение с обсуждения этой гипотезы и ее обобщений, а затем переходим к имеющимся в настоящее время результатам (§ 9.1). Дальнейшие § 9.2—9.4 посвящены доказательству сформулированных в § 9.1 теорем. Следует отметить, что речь здесь идет о результатах, которые были получены в самое последнее время (вплоть до 1989 г. включительно) и по своему характеру являются весьма сложными. Поэтому изложение в этих параграфах приближается к стилю журнальной статьи и становится более насыщенным. Кроме того, чтобы не отходить от основной линии рассуждений, мы ряд вспомогательных утверждений оставляем читателю в качестве упражнений. Одним словом, требования к читателю здесь несколько выше, чем в остальной части книги. С другой стороны, внимательный читатель получит на наш взгляд необходимую подготовку для самостоятельной работы в этой области. Наконец, в § 9.5 мы даем обзор последних результатов по так называемой конгруэнц-проблеме.

Основные гипотезы и результаты

В этой главе через G, как правило, будет обозначаться простая односвязная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел К. Основной интересующий нас вопрос заключается в следующем: когда группа К-рациональных точек GK не имеет нецентральных нормальных подгрупп? Более общая проблема связана с описанием всевозможных нормальных подгрупп в Gk- Аналогичные проблемы можно ставить и над произвольным полем К, однако в такой общности они представляются малореальными. (Отметим также, что вряд ли разумно обсуждать их для более широкого класса групп, чем мы условились выше, ибо при наличии у G разрешимого радикала задача становится малосодержательной, в то время как случай полупростых групп фактически сводится к простым). Ситуация в случае числового поля представляется более обнадеживающей, ибо здесь гипотетически возможен переход от локального изучения нормального строения к глобальному. Соответствующая гипотеза была сформулирована В. П. Платоновым [11].

Гипотеза 1. Группа Gk проективно проста (т. е. проста ее факторгруппа Gk/Z^Gk) по центру )) в том и только том случае, когда для всех и е VK проективно просты локальные группы Gkd-

В такой форме эта гипотеза представляет качественно новый вариант локально-глобального принципа, пронизывающего всю арифметическую теорию алгебраических групп. Его предшествовавшие формы были связаны с локально-глобальными изоморфизмами объектов и поэтому, как правило, сводились к доказательству инъективности некоторых отображений для когомологий (см. гл. VI). Здесь же гипотетически утверждается возможность локально-глобального перехода относительно абстрактной простоты группы — свойства, никак априори не выразимого через когомологические инварианты.

Можно дать эквивалентную формулировку гипотезы 1: если G — абсолютно простая односвязная А-группа, то группа Gk проективно проста в том и только том случае, когда для всех и е vf группа G является Ао-изотропной. Действительно, для и е У» группа Окц всегда является проективно простой (предложение 7.6), поэтому остается показать, что для у е V^ проективная простота группы Gkd равносильна Анизотропности G. В одну сторону это следует из доказательства гипотезы Кнезера— Титса над неархимедовыми локальными полями (теоре-

ма 7.6). Обратная импликация вытекает из того факта, что для Лс-анизотропной группы О группа 0ку является компактной (теорема 3.1) и, следовательно, проконечной (см. § 3.3). Поэтому Ск.у обладает базой окрестностей единицы, состоящей из нормальных подгрупп, и о простоте Оки не может быть и речи. Кроме того, если NcG^— открытая нормальная подгруппа (а таковой является произвольная нецентральная нормальная подгруппа в Ок , см. теорему 3.3), то пересечение N\=N ^Ок является нормальной подгруппой в Ок- При этом из свойства слабой аппроксимации для G (предложение 7.9) вытекает, что Gkd = NGk, откуда G^N ~Gk/N\. Таким образом, любая собственная нецентральная нормальная подгруппа группы Gk0 высекает собственную нормальную подгруппу группы GK (отметим, что в силу предложения 3.17 N имеет конечный индекс в Ску, и поэтому Nx всегда бесконечна); тем самым установлена необходимость условий гипотезы 1 для проективной простоты Ок- Более того, если условия гипотезы 1 нарушаются, то из предыдущего вытекает, что группа Ок вместе с группой Gb-у обладает такой системой нормальных подгрупп Э1 = {К} конечного индекса, что П ^ = (l), т. е. Ок является финитно аппроксимируемой.

Рассуждения предыдущего абзаца допускают следующее уточнение. Если для и е Vf группа О является Ко-анизотроп- ной, то О ~ S£[ (D) над KD, где D — конечномерная центральная алгебра с делением над Ко (теорема 6.5). Но тогда в силу результатов п. 4 § 1.4 группа Gkv ^ SLi (D) является проразреши- мой. Поэтому в случае нарушения условий гипотезы 1 группа О к аппроксимируется нормальными подгруппами конечного индекса с разрешимой факторгруппой и, в частности, Ок #= #=[Gx, Gy<].

Итак, если группа О является Ко-изотропной для всех и е Ef (а это всегда так, если тип группы О отличен от Ап), то гипотетически группа Ок проективно проста. В общем случае ■следует рассмотреть множество Т — {и е V^ | О — Ко-анизо- тропна}; из теоремы 6.7 вытекает, что множество Т всегда конечно. Если Г #= 0, то, как мы отмечали выше, для любого сеТ группа Оку обладает базой окрестностей единицы, состоящей из нормальных подгрупп, каждая из которых «высекает» нетривиальную нормальную подгруппу группы Ок- Легко видеть, что аналогичное утверждение имеет место и в том случае, если вместо индивидуальной группы Ок рассмотреть произведение Gr = Л Оку, а именно, О? обладает базой окрест-

ностей единицы, состоящей из нормальных подгрупп, и каждая; собственная открытая нормальная подгруппа HcGT определяет собственную нормальную подгруппу N = Gk{]H. Так как для и е Т группа Око изоморфна группе типа ЗЕДП), то результаты п. 4 § 1.4 (в частности, теорема 1.10) дают описание нормальных подгрупп в локальной ситуации. Поэтому нормальное строение группы Ок можно считать изученным, если известно, что все нецентральные нормальные подгруппы Ок получаются указанным выше способом.

Гипотеза 2 (Маргулис [3]). Для любой нецентральной нормальной подгруппы N группы Ок найдется такая открытая нормальная подгруппа HczGT, что N = Gk^^-1 (Н), где 6: Ок~* -> GT — диагональное вложение.

Гипотеза 2 имеет характер конгруэнц-проблемы для групп рациональных точек, обсуждение которой для S-арифметических групп мы дадим в § 9.5. Отметим также, что в случае 7 = 0 (в частности, если тип О отличен от Ап) гипотезы 1 и 2 фактически эквивалентны.

Цель настоящей главы — изложить имеющиеся в настоящее время результаты по этим гипотезам. Прежде всего необходимо различать два случая, когда О является соответственно К-изо- тропной и К-анизотропной. В первом случае изучение нормального строения группы Ок сводится к вопросу о справедливости для О гипотезы Кнезера — Титса (см. § 7.2), и для числовых полей имеем следующий результат, близкий к окончательному.

Теорема 1. Пусть О — простая односвязная алгебраическая группа, определенная и изотропная над полем алгебраических чисел К. Предположим, что тип О отличен от2Е6. Тогда Ок = Ок, и, следовательно, группа Ок не имеет собственных нецентральных подгрупп.

Основные моменты доказательства этой теоремы для групп классических типов мы изложили в § 7.2. Для групп исключительных типов рассуждения носят переборный характер, причем в силу теоремы 7.4 достаточно ограничиться рассмотрением групп К-ранга 1. К сожалению, полное изложение этой части доказательства до сих пор не опубликовано (хотя и обещано Прасадом и Рагунатаном в статье [3]), но его можно восстановить, используя доклад Титса [4] на семинаре Бурбаки. Случай К-формы типа 2Е6 К-ранга 1 с диаграммой Титса

пока не рассмотрен.

Пусть теперь G— простая односвязная А-анизотропная груп- иа. Труднее всего поддаются исследованию группы типа Ап, причем для большинства внешних форм типа Ап какие-либо результаты в настоящее время (1989 г.) вообще отсутствуют. Поэтому предположим, что G — внутренняя форма типа Ап. Тогда G = SLi(D), где В—конечномерная центральная алгебра с делением над К. В этой ситуации введенное перед формулировкой гипотезы 2 множество Т совпадает с множеством таких yeVf, что алгебра Ву=В®кКу остается алгеброй с делением. Полный ответ на гипотезу 2 получен лишь для тела кватернионов.

Теорема 2. Пусть В —тело кватернионов над К, G = SL^B). Тогда для Gk выполняется гипотеза 2. В частности, если Т = 0, то группа Gk не имеет собственных нецентральных нормальных . подгрупп.

(Отметим, что предположение о проективной простоте группы SL\ \B^, где В — тело кватернионов, для которого Т = 0, высказанное М. Кнезером в работе [2], оставалось недоказанным почти 25 лет! Обратим также внимание читателя на тот факт, что рассмотренными в теореме 2 группами исчерпываются все анизотропные группы типа Ль)

Для тел произвольного индекса имеется пока лишь следующий частичный результат:

Теорема 3. Пусть N — нормальная подгруппа группы Gk, для которой выполняется утверждение гипотезы 2. Тогда для коммутанта [А, /V] также выполняется утверждение гипотезы 2.

Для удобства ссылок сформулируем отдельно теорему 3 для N = GK.

Теорема 4. В описанной ситуации

[Gk, GJ = GK Г) П [Gko, GkJ.

В частности, если Т = 0, то Gk = [GK, GJ.

Исторически доказательство этих теорем было получено в несколько этапов. Вначале Платонов, Рапинчук [1] получили доказательство теоремы 4 для случая В — тело кватернионов, Т = 0. При этом была развита мультипликативная арифметика тел кватернионов, используя которую, Маргулис [4] доказал теорему 2. В дальнейшем нам удалось обобщить методы и результаты работы [1] на тела произвольного индекса. А именно, была развита мультипликативная арифметика тел произвольного индекса, которая была применена для доказательства теоремы 4 при одном небольшом ограничении: предполагалось, что и((п, 2)) = 0 для и^Т, где п— индекс тела В. Наконец, Рагунатан [7] показал, что это условие является из- .лишним, и вывел из теоремы 4 более общую теорему 3.

Доказательству теорем 2—4 посвящен § 9.2. Вначале доказывается наиболее сложная в техническом плане теорема 4. Здесь рассуждения следуют общей схеме из работы Платонова, Рапинчука [4] с некоторыми модификациями, при помощи которых, во-первых, снимается налагавшееся ранее условие на тело D, а во-вторых, сводится к минимуму использование теории полей классов. В частности, в приводимом варианте доказательства не используется теорема Грюнвальда — Ванга, играющая в несколько обобщенной форме ключевую роль в доказательстве Рагунатана [7]. Затем из теоремы 4 мы выводим теорему 3. Приводимое нами рассуждение является более прямым по сравнению с оригинальным рассуждением Рагунатана [7] и основано на установлении связи с так называемой мета- плектической проблемой, рассматриваемой в § 9.5. В заключение, следуя Маргулису [4], мы доказываем теорему 2.

Изучению нормального строения групп рациональных точек алгебраических групп, относящихся к другим классическим типам, посвящен § 9.3. Основной результат здесь может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 5. Пусть G— простая односвязная алгебраическая К-группа одного из следующих типов; Bi (1^2), Ct (/^2), D; (I ^4, кроме 3D4 и 6D^, либо специальная унитарная группа SUm(L,f) невырожденной m-мерной эрмитовой формы f над квадратичным расширением L(K, относящаяся к ти пу 2Лт_1 (т^З). Тогда группа Gk не имеет собственных нецентральных нормальных подгрупп, в частности, справедлива гипотеза 1.

В таком завершенном виде эта теорема, по-видимому, публикуется впервые. Путь к ее доказательству занял более чем тридцатилетний исторический промежуток от работы Кнезера [2], относящейся к 1956 г, до нынешнего времени. Ключевую роль в рассуждениях играет наличие у рассматриваемых групп удобной геометрической реализации как группы автоморфизмов некоторых векторных пространств над телом, снабженных эрмитовой либо косоэрмитовой формой. Этот подход был реализован Кнезером [2] для доказательства проективной простоты групп рациональных точек спинорных групп G = Spin(f) невырожденных квадратичных форм от п ^ 5 переменных, которые относятся к типу В п-1 при нечетном пик типу D п при чет-

2 Т

ном п. Случай групп типа С; и специальных унитарных групп SUm(L,f) типа 2Am-i, связанных с квадратичным расширением L/K и невырожденной эрмитовой формой f, был рассмотрен М. В. Боровым [1]. Здтем В. И. Черноусовым [4] была получена редукция доказательства теоремы 5 для групп типа Dr (/^4) к группам типа D3=A3. Окончательный результат для групп типа Di был независимо получен Томановым [2] и Боро-

вым [3]. При этом рассуждения Томанова являются прямыми аналогами рассуждений Кнезера [2], в то время как Боровой [3] развивает метод своей более ранней работы [1]. Ключевое наблю- дениесостоит в том, что в действительности можно редуцировать доказательство теоремы 5 для групп типа Di не просто к группам типа D^=A^, а к группам этого типа, изоморфным SUi(L,f), которые были разобраны ранее. (Отметим, что используя это замечание, можно довести до конца и рассуждение Черноусова [4].)

Мы даем новое доказательство теоремы 5, которое хотя и использует некоторые моменты упомянутых выше работ (в большей степени это относится к работам Борового [1], [3]), но отличается от них прежде всего своим универсальным характером, исключающим необходимость специального изучения каждого типа. В целом рассуждение носит индуктивный характер, причем роль базы индукции играет теорема 2 (напомним, что Вг = = С1=ЛЬ D2 = Ai + Л1), а индуктивный шаг обосновывает теорема 13.

Метод доказательства теоремы 5 применим не только к группам классических типов. Так, применяя его к 7-мерному представлению группы типа С2, мы получаем следующий результат:

Теорема 6. Пусть G— простая К-опред елейная группа типа Ga. Тогда группа Gk проективно проста.

Таким образом, остаются не рассмотренными группы типов Е6, Ет, Е^, F^. Изучение этих типов осложняется тем обстоятельством, что удобные геометрические реализации для групп серии Е отсутствуют. Доказательство проективной простоты групп К-рациональных точек простых групп трех последних типов, полученное Черноусовым [3], [5], явилось довольно неожиданным. А именно, используя некоторые методы, развитые им ранее в [2] для исследования рациональности многообразий вещественных алгебраических групп, Черноусов доказал следующую теорему:

Теорема 7. Пусть G — простая односвязная алгебраическая группа ранга / ^ 2, определенная и анизотропная над полем К, но разложимая над некоторым квадратичным расширением Е]К- Тогда группа Gk не имеет собственных нецентральных нормальных подгрупп, и, в частности, проективно проста.

A-формы, к которым применима теорема 7, существуют у групп всех типов, отличных от Л,. С другой стороны, любая A-группа, относящаяся к одному из типов Bi, Ct, Ет, Ев, F^, G2, всегда разложима над некоторым квадратичным расширением поля К (предложение 6.17). Так как для Д-изотропных групп этих типов отсутствие нецентральных нормальных подгрупп Gk уже доказано (теорема 1), то из теоремы 7 получаем

Следствие. Группы К-рациональных точек простых односвязных групп типов Bt (/^2), Ct Ц^^, Е2, Е3, F^, G2 не имеют собственных нецентральных нормальных подгрупп.

Тем самым для групп G типов Bt, Ct (/^2) мы получаем еще одно доказательство проективной простоты Ок- В § 9.4 мы приводим модифицированное доказательство теоремы 7. Как и первоначальное доказательство Черноусова (см. [3], [5]), оно имеет индуктивный характер, причем индукция ведется по рангу I рассматриваемой группы начиная с / = 2. Так как имеется всего лишь три типа простых групп ранга 2 (Д2, В2=С2, G2), причем К-анизотропная группа типа А2, разложимая над квадратичным расширением L/K,— это в точности группа SU3(L, f), то базу индукции дают теоремы 5, 6.

Подводя итоги, мы видим, что если оставить в стороне случай групп типа At (/^2), то к настоящему времени гипотезы 1, 2 доказаны для всех групп, за исключением некоторых форм типов 3£)4, 6О4 и Е6. Поэтому, оценивая перспективы, следует подчеркнуть, что основной задачей в данном направлении является завершение исследования групп типа At, относящихся как к внутренним формам, для которых известные результаты собраны в теоремах 2—4, так и к внешним формам этого типа, для которых аналогичные результаты пока не получены.

Несмотря на различие методов, применяемых в каждом из § 9.2—9.4, доказательства всех результатов используют аппроксимационные соображения. По этой причине мы выносим следующие два результата, которые будут многократно использоваться в дальнейшем, в настоящий вводный параграф.

Пусть G — простая односвязная алгебраическая К-группа, Т = {и е У* | Gkd — ^-анизотропна}. Для любой нецентральной нормальной подгруппы N <= GK и любого конечного подмножества S cz VK обозначим через Ns замыкание N в группе Gs = = П Gkd.

v eS

Лемма 1. 1) ^s является открытой нормальной подгруппой в Gs-

Ns = NTns X Gs\(t nsj; в частности, если T Г) S = 0, то NS = GS.

Доказательство. В силу предложения 7.9, GK плотно в Gs, поэтому Ns является нормальной подгруппой в группе Gs. Для геЗ группа Gkd естественным образом вкладывается в Gs, и можно рассмотреть взаимный коммутант W^ = [Ws, GkJ. Ясно тогда, что Wo является нормальным делителем в Gk„, причем WD0Z^GKy\ Действительно, пусть xeN — нецентральный элемент и <р: G-^ G— отображение, определяемое формулой ф(^) = [х, §■]. Поскольку x^Z(G) и группа G связна.

то замыкание образа ф имеет положительную размерность. Но Gro плотно в G в топологии Зарисского (теорема 2.2), поэтому ф(дк0) с П70 бесконечно; в частности, Wa ф. Z (СкУУ Из теоремы 3.3 теперь вытекает открытость 1Еа cz Ока. С другой стороны, в силу нормальности подгруппы Ns имеем W^czNs для любого ceS, так что Ц W,cNs, и подгруппа Ns открыта.

peS

Если же пе5\(ГП5), то группа G^ не имеет нецентральных нормальных подгрупп, откуда Wv = Окц cz Ns, и, значит, Gsyrnsj cz Ns. Рассмотрим теперь проекцию Ns на Gsnr- Ее образ является открытой подгруппой в Gsrt и одновременно содержит N в качестве плотной подгруппы, т. е. совпадает с NTns> что и доказывает лемму.

Лемма 2. В вышеприведенных обозначениях следующие условия эквивалентны;

N удовлетворяет конгруэнц-утверждению гипотезы 2;

N открыта в Gk в Т-адической топологии;

N замкнута в Gk в Т-адической топологии.

Доказательство. Импликации (i) => (ii) => (iii) очевидны, поэтому докажем импликацию (iii)=>(i). Как и выше, обозначим через NT замыкание N в группе Gt. Из леммы 1 вытекает, что NT является открытой нормальной подгруппой в Gt, и поэтому N плотно в G^fW?- в Т-адической топологии группы Gk- Тогда в силу (iii) имеем N = Gk(Wt, что означает справедливость для N конгруэнц-утверждения гипотезы 2 (а именно, ее утверждение выполняется для И = NT). Лемма 2 доказана.

В заключение рассмотрим один качественный аспект проблемы изучения нормального строения групп рациональных точек. Из теоремы 3.1 вытекает, что для и^Т группа Gk0 компактна, поэтому вся группа Gt также компактна. Предположим теперь, что для нормальной подгруппы N cz GK выполняется конгруэнц-утверждение гипотезы 2, т. е. N = Gk?\H для некоторой открытой нормальной подгруппы Н cz GT. Тогда из компактности Gt немедленно вытекает конечность индекса [Gt-.'Д], а следовательно, и конечность индекса [GK:W]. Поскольку гипотеза 2 еще не доказана, естественно задаться вопросом, может ли группа GK априори обладать нецентральными нормальными подгруппами бесконечного индекса? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 8 (Прасад [1], Маргулис [3]). Пусть G— простая односвязная алгебраическая К-группа. Тогда любая нецентральная нормальная подгруппа группы G имеет в ней конечный индекс.

Доказательство легко получается с помощью сильной аппроксимационной теоремы из следующего общего результата.

Теорема 9 (Маргулис [3]). Пусть Г — S-арифметическая подгруппа простой алгебраической К-группы G, где S aVK — некоторое конечное подмножество, содержащее Р^. Если rangs G = X rangx G^2, то любая нормальная подгруппа группы Г либо имеет в ней конечный индекс, либо содержится в центре группы G.

Некоторые частные случаи теоремы 9 были известны до работы Маргулиса [3] и доказывались чисто алгебраическими методами. Так, при условии rangy< G ^ 2 теорема 9 была получена Рагунатаном [4]. По-видимому, модификация рассуждений Рагунатана может привести к доказательству теоремы 9 для произвольной S-арифметической подгруппы в Д-изотропной группе G при условии rangs G ^ 2. Однако эти методы оказываются неприменимыми в ^-анизотропном случае. Рассуждения Маргулиса [3] имеют принципиально другую природу. Они основываются на том факте, что Г является решеткой в группе Gs (теорема 5.7), и используют глубокие результаты теории меры и теории бесконечномерных представлений. Поскольку эти методы в данной книге не рассматриваются, мы, к сожалению, не сможем изложить здесь доказательство теоремы 9, отсылая читателя к оригинальной работе Маргулиса [3].

Приведем, однако, вывод теоремы 8 из теоремы 9. Введем такое конечное подмножество S cz VK, содержащее Т и Рй, что выполняются следующие условия:

rangs G ^ 2;

пересечение TV Q G<y(s> не содержится в центре Z(G) группы G.

Такое множество S легко построить, исходя из двух фактов: 1) для почти всех ueVf группа G является Д„-изотропной, т. е. rangx0 (G) ^ 1; 2) если xeN\Z^, то x^Gq^ для достаточно большого S. Рассмотрим, далее, диагональное вложение группы GK в группу S-аделей GAs и обозначим через N замыкание N в GAs. Тогда N = GAs. Действительно, в силу сильной аппроксимационной теоремы GK плотно в GAs, следовательно, N является нормальным делителем в GAs. Для любого и ^ S группа Gkd естественным образом вкладывается в Gas, причем взаимный жоммутант [Gxo, Д] содержится в N и является нецентральной нормальной подгруппой в Ску. Но по построению и ^ Т, так что группа Ску не имеет собственных нецентральных нормальных подгрупп (теорема 7.6), и, следовательно, Ску с N. Из определения адельной топологии вытекает, что подгруппа в GAs, порожден-

п ная всеми группами Скц (и ^ S), является плотной, поэтому окончательно N = Gas- В частности,

Gas = NGAs(S),(1)

где Сд5(5) — группа S-целых аделей в Gas. Из (1) получаем, что GK = NG0(S), откуда GKjN ~ Go(S)/N HGc(S). Остается заметить, что по построению N (1 Gc^s) Ф A (G), так что в силу (1) и теоремы 9 последняя факторгруппа конечна. Поэтому факторгруппа GK/N также конечна, и теорема 8 доказана.

Отметим, что теорема 8 играет существенную роль при доказательстве сформулированных выше теорем, в частности, теорем 2 и 5.

Группы типа Д„

Всюду в этом параграфе через G будет обозначаться простая односвязная ^анизотропная группа, являющаяся внутренней формой типа Ап-ь Таким образом, G = SLi(£>), где 2)— конечномерная центральная алгебра с делением над К индекса п. Положим Т = {и е Vf |Dy = D ®кКУ — тело}. Как мы уже отмечали в § 9.1, имеющаяся к настоящему времени информация о нормальных подгруппах группы GK заключена в теоремах 2—4, доказательству которых и посвящен настоящий параграф. Наши рассуждения базируются на использовании аппроксимационных теорем для группы G и некоторых норменных свойств максимальных подполей тела D, с которых мы и начинаем изложение.

Наиболее технически сложная часть доказательства теорем 2—4 заключена в следующем утверждении, для формулировки которого условимся в некоторых обозначениях. Зафиксируем произвольный нецентральный нормальный делитель NcGK = — SL^D) и для xeD’ обозначим через Q(x) подгруппу в D*, порожденную мультипликативными группами всех максимальных подполей в D* вида К^хг), zeN. Далее, пусть Nt— замыкание N в GT и Qr(x)— подгруппа в D*r = Ц D*, порожденная теТ V произведениями Ц Ку [х2„]‘ такими, что 2=Ц2у)еКт и оеТ

Kv [х20] — максимальная полупростая коммутативная подалгебра в Dy для всех се Г

Теорема 10. NrdB/K (й (х)) = Nrdn/x(Z)*) П NrdDr/Kr (йг (х)). (Здесь через ^гАоТ1кт обозначено произведение отображений NrdDD^D для v <~ Ту

Покажем вначале, как теорема 10 выводится из следующего утверждения:

Предложение 1. Положим То = (v е vf | D„ ср Мп (/(о)}. Тогда для любого х gD'

NrdofK^D*^ П КГ с Nrdn/к (Q (х)), где т = п\.

v е Го

Нам понадобятся две леммы.

Лемма 3. Пусть уе|/\ xgD’u Н <= Dv — максимальная полупростая коммутативная подалгебра. Тогда если Мгбдо/кв(х) е е^тЛп^КукН^, то H=Ky\xz\ для подходящего 2еСкд. В частности:

если Du ~Mn(Kv), то существует такой zgGk, что Ку [хг] ~ №;°

если yGV^J, то существует такой z е Gk , что ^у/Ку^^^ "

Доказательство использует следующий факт: если уЕН*, то для любой открытой подгруппы RdGKy найдется zgRCiH со свойством Н = К [yz]. Для доказательства обозначим через В отвечающий Н максимальный /(„-определенный тор группы GL^D), и пусть W—множество регулярных элементов в В; тогда W открыто в В в топологии Зарисского (см. § 2.1, п. И). Поскольку B = BiB2, где Bv = Gm, B2 = BT\G, то для любого уеВ множество W(у) = {6 е В21yb е W) непусто и открыто в В2. С другой стороны, пересечение В2 И В является открытой в у-адической топологии подгруппой в В2кц, и, следовательно, плотно в В2 в топологии Зарисского (лемма 3.2). Поэтому можно выбрать элемент ге ИД^П Д, который и будет искомым.

Из доказанного непосредственно вытекает справедливость- первого утверждения леммы и п. 1), причем для доказательства п. 2) нам остается построить максимальную полупростую коммутативную подалгебру//с D--со свойством Nrdn (//*)=/(* Для этого представим алгебру Dy в виде £)„ = Л1;(А), где А — алгебра с делением над Ку. Так как ие\у'\Т, то / > 1, и можно рассмотреть алгебру Н = Е ®Р1~1, где Е (соответственно В)— максимальное неразветвленное (соответственно вполне разветвленное) подполе в А. Тогда Мгбдв/кр (Д') содержит группы: Мгбд/кр (Д') и Мгбд/ко(Р*). Но первая из них содержит группу у-адических единиц Оу, а вторая — униформизующий элемент поля Ку, так что в итоге Nrdn , „ (Н*) — К*. Лемма доказана.

/^vУ

Лемма 4. Пусть xgD*, S cz V* — конечное подмножество и: для каждого oeS задана максимальная полупростая коммутативная Ку-подалгебра Ну cz Dv. Предположим, что существует z—^Zy^^Ns со свойством Ку [х2„] ~ Ни для любого yeS. Тогда найдется такой zgN, что Ку [xz] ~ Ну для всех и е S.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Ну = Ки |у2„]. Из доказательства предложения 6.13 вытекает, что множество Уу таких у е в^, что алгебра Ку [у] сопряжена в By алгебре Ну, открыто в О*. Множество У = — ^$Л( П х-1^) содержит z и поэтому является непустым открытым подмножеством в N $- Следовательно, пересечение У П К непусто, и любой элемент z е У П N будет искомым. Лемма доказана.

Пусть теперь а е NrdB//< ф") П Nrds^^ (Пу (х)). Это значит, что существуют такие zx, ..., zreNT, Zt = ^zt^, что as е NrdDr/Kr (xi . .. хг), где хг е Ц Ку ^г,,]*, причем Ку [xzia] — максимальная полупростая коммутативная подалгебра в Оо для всех и е Т, 1=1, ..., г. Используя лемму 4, найдем такие элементы 2Ь ..., zr^ N, что Ку [xzj с^ Ку 1хгги] для всех и е Т и всех i=l, . .., г. Тогда Nrd^^(хг) = Nrdn^^(хг-) для подходящих] xt е Ц Ку [х2(]*. Далее, выберем такой элемент у еТ ■

zr+veN, что NrdsD^ фу [x2r+i]*) = Ку для всех veT0\T (возможность такого выбора вытекает из лемм 1,3 и 4). Из наших построений вытекает существование таких tte.Zt = = П Ky\xz£]‘ (i= 1, .. ., г + 1), что a = Nrds^/K^i - ■ ■ 6- + 1). Применяя слабую аппроксимационную теорему к полям ^ (х2г), найдем элементы s; е К (xz^* П t^- Имеем

aNrds/K(si . .. sr+i) 1 е Nrd/>//< (£)*) П Ц KV’^

СЕ Го

и, значит, согласно предложению 1, aNrdD//<(si ... sr+i)_1e е NrdDM(Q(x)). Но тогда и а е Nrdo/j((fi (х)), что и требовалось.

Опишем теперь общую схему доказательства предложения 1. Пусть a е Nrdfl^(T)*) П Ц Кф. Достаточно найти та- у е Го

кие zi,z2eK, что Mt = K^xz^—максимальные поля в D и ^мМ1/кффкМ1К (Л4‘). Доказательство последнего включения ■будет получено нами с помощью мультинор менного принципа (см. § 6.3), примененного к нормальным замыканиям Pt долей Mi в фиксированном алгебраическом замыкании (тогда Lt = Pi в обозначениях предложения 6.11). Чтобы построить поля Mi = K(,xzi') таким образом, чтобы для Pt выполнялись условия предложения 6.11, уже недостаточно леммы 4, а нужен следующий ее усиленный вариант.

Предложение 2. Пусть заданы элемент xeD*, конечное рас- лиирение F поля К, конечное подмножество S <^VK и такой

элемент z = (2D) е Ns, что Ку [xzD]— максимальная полупростая- коммутативная подалгебра в Dv для всех ugS. Тогда существует такой элемент zgN, что для поля М = К(xz) и его- нормального замыкания Р (в фиксированном алгебраическом замыкании) выполняются следующие утверждения1. 1) М®кКу ~ ~ К [х2„] для всех yeS; 2) PT\F = K; 3) PjK удовлетворяет норменному принципу Хассе.

Доказательство получается редукцией к лемме 4. А именно, мы установим существование такого конечного подмножества SiC=^\((^nS)U7'o) и для каждого cgS, такой максимальной полупростой коммутативной подалгебры Hv cz Dv, что Ну = Ку [xzy] для подходящего Zy е GKy, и если М ®к Ку ~ Ну для ое5ь то выполняются условия 2), 3). (Неформально говоря, мы покажем, что можно обеспечить выполнение условий 2), 3), задав конечное число локальных условий, которые «независимы» от условий, указанных в 1).) Тогда существование элемента zeN с требуемыми свойствами непосредственно вытекает из леммы 4, для применения которой следует заметить, что элемент z = (2о)„е5и51 лежит в Asus, в силу леммы 1.

Наиболее просто разобраться с условием 2).

Лемма 5. Для любого конечного подмножества SqcVk и любого конечного расширения F/К существует такое конечное подмножество S (F) cz V^ \ (У* П So), что если Р => К и Рт = Ку для всех у е S (F) и всех w | у, то Р V\F = К.

Действительно, можно без ограничения общности предполагать, что F/K—расширение Галуа. Рассмотрим некоторую систему образующих Oi, ..., а, группы Галуа Gal (F/K). По теореме плотности Чеботарева для каждого i = 1, 2, ..., г найдется такое нормирование щ е Г* \ (vf f) So) и его продолжение у,- на F, что автоморфизм Фробениуса Fr (FeJKy^ равен а. Положим 5(F) = {уь ..., уг}. Если теперь Pg>Kh.E=PV\FN=K, то найдется автоморфизм щ, нетривиально действующий на Е. Обозначим через w нормирование поля Р, продолжающее ограничение у/ на Е. Тогда wlvi и Рю N= Ку, ибо автоморфизм d е Gal (F^JKy^ не является тождественным на подполе Еуь и, следовательно, Ев. ^= Ку.. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Выберем конструируемое в лемме 5 подмножество 5(F) вне- множества So=ToUS. Тогда, с одной стороны, для любого- у е 5(F) существует zv е Gkd со свойством Ку [xzy] ^ Ку (утверждение 1) леммы 3), с другой — если М ®кКссх Ку для всех yeS(F), то для нормального замыкания Р поля М имеем Pw = Ку при yeS(F) и w\u, следовательно, РПГ = ^ т. е. выполняется условие 2).

Осталось разобраться с условием 3). В силу теоремы 6.11 справедливость принципа Хассе для расширения Галуа Р/К с группой Галуа 9 равносильна инъективности канонического отображения

НЧ$, 2)->П/73(^, Z),

где 9-о— группа разложения некоторого продолжения нормирования и. Так как в нашей ситуации Р является нормальным замыканием расширения степени п, то группа S’ изоморфна подгруппе симметрической группы S„, и, следовательно, из леммы 1.2 вытекает, что P/К при п ^ 3 всегда удовлетворяет принципу Хассе. Поэтому ниже будем предполагать, что га 4.

Выберем произвольные два нормирования щ, и2еГ^\ \ (S (J Го U 5 (Г)) и введем в рассмотрение максимальные полу- простые коммутативные подалгебры Hv. <= Dv. ~ Мп (Ко/) следующего вида:

НУ1 = ЕфК^

Hy2 = Rv®R2®KV\

где Е — неразветвленное расширение поля КУ1 степени п—1, R\, Ri— соответственно неразветвленное и вполне разветвленное квадратичные расширения поля Ко,. Очевидно, для i = 1, 2 имеем Nrdy (Н*и/) = К* поэтому из леммы 3 вытекает существование таких ZieGKDU что Ну, = КиДхгД. Покажем, что если М — расширение К степени п и М ® к KU£ ^ HD. для 1 = = 1,2, то для P/К выполняется принцип Хассе. Вычислим вначале группу Галуа 9 = Gal (Р/К). Пусть f—неприводимый полином степени п, задающий расширение М/К. Действие 9 на корнях f задает инъективный гомоморфизм 0: 9-^Sn в симметрическую группу, причем ввиду неприводимости f образ 6(9) является транзитивной подгруппой. Из (1) вытекает, что для avjui имеем РШ1 = Е, так что группа разложения 9(wi) является циклической группой порядка п—1, причем любая ее образующая переходит при 0 в цикл длины п— 1. Аналогично, для щ2|и2 имеем PWi = R1R2, следовательно, 9 (w2) является прямым произведением двух циклических групп второго порядка, образующие которых переходят при 6 в две коммутирующие транспозиции.

Таким образом, 6(9) является транзитивной подгруппой Sn, содержащей цикл длины п—1 и транспозицию, так что 6(9) = Sn (см. Ван дер Варден [1], с. 238). Тогда из леммы 1.2 и описания группы 9 (w2) вытекает инъективность отображения №(9,^)-^ №(9 (w2),Z) и, следовательно, справедливость принципа Хассе для расширения Р]К. Предложение 2 полностью доказано.

Завершим доказательство предложения 1. Пусть а е еНг6Д/к(Е>') П П /Со"1; покажем, что тогда aeNrdD/K(K(xzi)*X О Е Го

X К (xz2)’) для подходящих Zi^N таких, что Mt = Kkxzi)— максимальные подполя в D. Выберем элемент Zi е N таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1)1 Ко [xzx] ~ Ко для и е V (а) \ (V (а) П То) (напомним, что ^(а) = {Уе^|У(а)^0};

2)1 для нормального замыкания Рх поля Мх = K(xzx) выполняется принцип Хассе;

3)1 а G Nplw/Kv (Р^) ДЛЯ mlyG^-

Существование такого zx вытекает из лемм 1, 3 и предложения 2. Более подробно, из лемм 1 и 3 вытекает существование такого z = ^ е Ks, где S = (V (а) \ (V (а) П То)) U (и£ \ Т»), Too = {у е V* | Dy r£ Мп (Ко)\ что KoVX2o\ ^ Ко для всех hgS. Применяя тогда предложение 2, мы найдем такой элемент ZieN, что выполняются условия 1), 2) и, сверх того, Ко [xzi] ~ Ко для и е Vrc \ Too. Используя последнее обстоятель- тельство, проверим выполнимость условия 3). Для и е Уд \ Too имеем рХа) = Ко, и 3), очевидно, выполняется. Если же иеГоо, то поскольку as=Nrdn ,к (D*Y имеем а > 0 в Ко, и опять a^NPXalIKo^P*^’ Иб° ЗД6СЬ ^ = ₽’ Р1™ = С"

Далее, выбор 22 е N осуществим, исходя из условий:

1)г Ко [хзг] ^ К" для всех иеЕ^ХГо таких, что расширение PxJKy разветвлено;

2)2 для нормального замыкания Р2 поля М2 = K{xZ2) имеем РхПР2 = К.

Возможность такого выбора элемента Z2 обосновывается аналогично. Покажем, что а е NMi/K (М*) NM2/K (М*). На самом деле в нашей ситуации выполняется более сильное утверждение: а е Np/K (Р*') Кр2/к (Р^, которое мы и будем доказывать. В силу предложения 6.11 и выполнимости условий 2) i и 2)2 достаточно показать, что а е NplfK {Jpt) Np2/k (ЛД- (Отметим, что у нас Li = Pi:В обозначениях предложения 6.11.) Если иеЕ^\Е(а) и расширение PXw/Kv неразветвлено, то а является нормой w-адической единицы из PXw. Поэтому с учетом 3)1 остается проверить условие

a^NpxwlKo^P^Npi»lXo^P^(2)

для таких щ|иеЕ^, что либо иеЕ(а), либо расширение P\w/Ko разветвлено. Если при этом иеГо, то по условию а^Ку"1 и (2), очевидно, выполняется, ибо степень [Р1Ш,: Хи]

делит т = п\. Если же и ^ То, то по построению соответственно либо P\w = КУ, либо P2w = Ку, и (2) опять выполняется. Доказательство предложения 1 завершено.

Сделаем теперь одно замечание общего характера. Если NcGK — нецентральная нормальная подгруппа, то в силу теоремы 8 индекс t/ = [G/<:A'] конечен. В этом случае подгруппа No с GK, порожденная множеством (x^fxe G^}, содержится в N и является нормальной подгруппой в D*. При этом, как следует, например, из леммы 2 справедливость гипотезы 2 для Ао влечет ее справедливость для N. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь те нормальные подгруппы группы GK, которые являются нормальными подгруппами в D*.

Итак, пусть NeGK— нецентральная нормальная подгруппа в D*. Для х е D* положим Z(x) = {и е D* |ихи^х^ е N\.

Лемма 6. й (x) cz Z (х). Следовательно, для любых х,уед* и любых а е Q(x), be й(у) имеем

к, И = и, уа]=ЦхЬ, у],

где \х, у\ = хух—ху—х, а знак = означает сравнимость по модулю N.

Действительно, достаточно показать, что K^xzy eZ(x) для любого zeN. Пусть и е К(.х2ф Тогда поскольку N является нормальной подгруппой в D*, имеем [ujx] = [щхг] = 1, что и требовалось. Далее, так как Z(x) = Z(x-1), то

[х, уа] = хуах~1а-1у-1 = хух~ху~х = [х, у].

Аналогично, \xb, у\ = хЬуЬ-ххгху-х = [х,у], и лемма 6 доказана.

Введем теперь некоторые дополнительные обозначения. Положим NT= Nt П К*. Если применить к морфизму-произведе- У Е T °

нию ф: GmX G-^GLx^D^ следствие 1 из предложения 3.3, то мы получим, что отображение А* X GK —> О* является открытым для любого се VK. Поэтому, учитывая открытость NTeGr (см. доказательство леммы 1), мы видим, что Йт является открытой нормальной подгруппой в D^ = Ц D*. Отсюда следует, —уеТ "

что подгруппы N = D* П NT и N = GK П NT являются открытыми в Е-адической топологии подгруппами групп D* и GK соответственно и нормализуются группой D*.

Предложение 3. Пусть Ne GK — нецентральный нормальный делитель в D*, х е N. Тогда Z(x)N = D*._

Доказательство. Покажем вначале, что GkcZ^N. Пусть PcD — произвольное максимальное подполе такое, что все расширения Ру/Ку для сеТ неразветвлены, и S = Rp/x(Gm) — соответствующий максимальный тор группы Н = GL\ ф). Обозначим через W множество регулярных элементов в S. Тогда

с помощью предложения 3.3 легко проверяется, что для любого и е Х^ отображение фо: О*Х^К ->D*, Фо(£> х^ = §х§-х > является открытым, так что отображение фг = Пфо: D*t X WT->D*r также открыто. Поэтому если мы рассмотрим убывающую последовательность Ui=dU2TD ... открытых подгрупп группы D*T, сходящуюся к единице, то для любого г ^ 1 множество Вг = = фт(^г, Мт) открыто в D*T. Так как множество NK*, очевидно, плотно в NT, то для любого г ^ 1 множество x-vBf пересекается с NK*. Отсюда следует существование таких элементов yr е N, иг^иг, что ur (Sr)Tu7X = Sr, где Sf = ZH(xyr)— централизатор регулярного элемента хуг. Ясно, что Sr имеет вид Rp^^Gm), где Рг = К (хуТ), причем все расширения Prv[Ko для и е Г являются неразветвленными. Поэтому из предложения 7.8 вытекает, что для соответствующих норменных торов S^ = SrpG имеет место слабая аппроксимация относительно множества Т. В частности, для произвольного элемента zeSg можно найти элементы zr e(u7xzur) Nr П (^г'Ок- Для достаточно больших г имеем z-xzf е GK П ((z-1 u7xzur) Nr) = Ок П Nt = N, ибо иг->1, а подгруппа Np открыта в GT. С другой стороны, z7gQ(x)cz <= Z (х), откуда zeZ(x)N, и, значит, S^czZ (х) N. Отметим, что в качестве Р может быть взято произвольное максимальное подполе в D такое, что все расширения Ру/Ko (и е Г) являются неразветвленными, поэтому остается показать, что соответствующие группы Sk\ в совокупности порождают GK. Положим для краткости Pw = S^ и обозначим через В подгруппу в Ок, порожденную группами Pw для всех Р cz D с описанными свойствами. Далее, для и е Г обозначим через Ав совокупность таких z е 0Ки, что Ко [z] — максимальное неразветвленное подполе в Dy. Тогда Ав открыто в Оку, и из теоремы 1.8 легко выводится, что Ан порождает Ок . Отсюда следует, что А= П А, открыто в От и порождает От.

Лемма 7. Пусть Г — плотная подгруппа топологической группы Ф и U а'Ф — открытое подмножество. Тогда подгруппа, порожденная Г П U, совпадает с пересечением Г f) W, где W — подгруппа, (алгебраически) порожденная U. .

Доказательство — простое упражнение для читателя.

Поскольку Ок плотно в От, то из леммы 7 получаем, что подгруппа в Ок, порожденная GK П А, совпадает с GK. С другой стороны, по построению для любого z е GK П А алгебра Ко [z] является неразветвленным расширением поля Ко степени п для всех и е Т, т. е. расширение P = K\z\ удовлетворяет описан-

ным свойствам, и, следовательно, Pw cz В. Тем самым GK П А <~ <= В и GK = В <= Z (х) N.

Для завершения доказательства предложения 3 остается показать, что Nrd5/.K(Z(x))= Nrc^t-D*). С учетом включения Q (х) <= Z (х) в силу теоремы 10 достаточно установить, что Qr (х) = D'T для xeN. Но из определения N вытекает, что в рассматриваемой ситуации для любого набора максимальных полупростых коммутативных подалгебр Пу cz Dy, и еТ, найдется такой элемент z = (Zy]eNT, что К [xz0] ~ Н„, откуда и следует требуемое. Доказательство предложения 3 завершено.

Следствие. Если факторгруппа N/N абелева, то факторгруппа N/N лежит в центре факторгруппы D*/N.

Действительно, пусть xg D*, у г N. Так как согласно предложению 3 D*=NZ(y), то [х, у] = [s, у] для некоторого s е N. Симметричным образом, используя разложение D* = = NZ(s) (s е Aft), получим, что [х, у] = [s,/] для подходящих s, t е N. Но поскольку группа N/N абелева, то [s, /] = 1, и, значит, [х, у] = 1, т. е. х централизует у.

После проделанной подготовительной работы переходим непосредственно к доказательству теорем 2—4.

Доказательство теоремы 4. Ключевую роль здесь играет следующая

Теорема 11 (конгруэнц-теорема). Пусть xeU = {xe е D* | Nrdo/K(x) е UoVu е Г}, yeD*. Предположим, что хе еЩ14-ф,) 5ля всех и е Т f) V(NrdD/K(у)), где ^— идеал нормирования в Dy (см. § 1.4). Тогда коммутатор [х, у] = = хух-ху-х e\Gк, Gк\. В частности, [G, U] = [G^, G;<].

Мы вначале проведем доказательство теоремы 4, считая теорему 11 известной. Оно основывается на следующей естественной идее: так как Gк = [£)*, £)*] (теорема 2.14), то, используя представление элемента z е Gk П II [Gk , Gk 1 в виде произведения коммутаторов, можно попытаться заменить z на такой элемент из zN, где N = [G^, Gk] , который бы выражался через коммутаторы описанного в теореме 11 вида; тогда ге[Ск, Gk] . На протяжении всего доказательства теоремы 4 буква N будет обозначать коммутант [G^, G^], а запись Z\ = 22— тот факт, что z^z^e [GK, GK], Отметим также, что здесь для любого конечного подмножества S <= V* имеем N s = Ц N„, где Nv = = [GK[|, GrJ, причем Ny = GKt) для v ф Т.

Лемма 8. Любой элемент из GK является произведением коммутаторов вида [х, у], где х е U, у е D*.

Доказательство. Поскольку GK = [О*, D*], то достаточно показать, что произвольный коммутатор [х, у] (х, yeD*) представляется в виде произведения коммутаторов указанного вида..

Пусть F—такое максимальное подполе в D, что для любого уеТ расширение Fv/Kv является вполне разветвленным. Тогда ®(Nrdw(^))= Z, и поэтому, используя слабую аппроксимационную теорему для поля F, можно найти такие элементы s, te.F, что

y(NrdD/K(s)) = y (NrdD/K(x)),у (Nrd^ (/)) = у (NrdB/K(y))

для всех ug У. В силу (3) х0 = xs-1, у0 = ytrx е U. Но тогда из соотношения

[X, у] = [х0, /] [^„Г1, sz/qS-1] [у-1, yQsy-^

непосредственно получается доказательство леммы.

Будем по-прежнему обозначать через F такое максимальное подполе в D, что расширение Fv/Kv вполне разветвлено для всех с'еГ Выберем, далее, элемент teF* со свойством o(Nrds/K(0)= 1 Для всех и е Г. Тогда для любого и е Т элемент / является униформизующим элементом тела Du.

Предложение 4. Для любого z е GK найдется такой элемент х е U, что z = [х, /].

Доказательство. Для х, у е U и любого sgD* имеем

[ху, s] = xysy-1x-1s-1 = х [у, s] (sx^'s^1) = [х, s] [у, s],(4)

ибо элементы [у, s], sx-’s-1 лежат в U и, следовательно, перестановочны по модулю N в силу конгруэнц-теоремы. Поэтому, учитывая лемму 8, достаточно показать, что любой коммутатор [а, 6], где aeU, deD*, эквивалентен коммутатору [х,/] для подходящего х е U.

Пусть Т = {П1, ..., иД. Из слабой аппроксимационной теоремы для поля К (а) вытекает существование таких элементов ах, ..., ad е U, что а = ах ... ad и

а: = a (mod ЧЦ),

а, = 1 (mod ф0Д j ^ I,

для всех z = 1, ..., d. Тогда в силу (4)

[а, 6] = [ai, 6] . .. [ad, 6].(5)

Далее, положив а, = yz(Nrds/K(6)), будем иметь

[аь 6] = а^а‘ (t~aib) a.iXb-x = [аг, /а<],(6)

ибо по построению Т П V (Nrdr>//< (t-aib)) <= Г \ {У;}, так что аг = = l(mod^o) для и е Г П V (Nrdr>//< (^“‘й)), и согласно кон- груэнц-теореме а, и Caib перестановочны по модулю N. Из (5)

и (6) вытекает, что для завершения рассуждений остается показать, что любой коммутатор [а,/“], где aeU, cieZ, эквивалентен коммутатору вида [d, /] для подходящего de U.

а — 1в

При а>0 положим d = Ц {VaC1} = а (/а)а-1 С(а-1) е U.

I =о

Тогда, используя (4), будем иметь

\d, И - ff Var1, d = п= [а, /“].

t = 01=0

-1

Аналогично, при а < 0, полагая d = Ц (tla~xt~l} = кЦсГ'л) ° е i = a

eU, получим

VMA = П WXC\ /]= П VVxtarvw^ = fa-xraa^W^ i=ai=a

поскольку элементы a, taa~4~a лежат в U и значит, перестановочны по модулю N. Предложение 5 доказано.

Завершим доказательство теоремы 4. Пусть 2 е GK П А II [Gko, GrJ. Используя предложение 4, выберем такой xeU, что 2= [х,/]. Так как для уеТ имеем [G^, GxJ = = Gkd П (1 + ф„) (теорема 1.9) то из включения 2=[х, ?] е: е [Gkd, GkJ для любого и е Т получаем сравнение

txCx = х (mod фу).(7}

Но мы знаем (см. § 1.4, п. 1), что в нашей ситуации тело вычетов dv = OD /фо коммутативно, является расширением Галуа поля вычетов hy, причем автоморфизм, индуцируемый Int t, порождает всю группу Галуа Gal (dy/ky). Поэтому из (7) вытекает, что вычет х элемента х попадает в ку, т. е. хе G0(l -|-фу).. Так как последнее включение справедливо для всех у е Т, то в силу конгруэнц-теоремы [xJJe.V, а тогда и zeN. Теорема 4 доказана.

Доказательство конгруэнц-теоремы начнем со второго утверждения, а именно, покажем, 4to[G, G] = [Gk, Gr] . Учитывая, что [х, у\ = [х, уа\ = [xb, у\ мя а е Q^, b eQ(y) (лемма 6), легко видеть, что этот факт вытекает из следующего утверждения:

Лемма 9. Если xeU, то Nrdc/;<(Q(х)) =) NrdD/;<(G).

Доказательство. В силу теоремы 10 достаточно показать, что’ П и у е Nrdn т]кт (йг (х)). Поскольку Ут = П Ny, то, очевидно, п^Т ' у^Т

Qr(x)= JI Qy(x), где Qy (х) — подгруппа в Dy, порожденная о е Г

мультипликативными группами максимальных подполей вида

Ky(xz), ze Nv. Достаточно установить, что среди этих подполей содержится максимальное неразветвленное подполе L<^DV, ибо в силу предложения 1.2 Uv cz Nlikv (А*) = Nrd^^ (L*). Так как по условию Nrd0//( (х) е ^„, то xeL'G^. Далее, из теоремы 1.8 вытекает, что Оку = №Ny, где LW = {х g Е* | NLiKyto = 1^, поэтому x^L'Ny. Но тогда L = K\xz\ для подходящего zeN2 (см. доказательство леммы 3). Лемма 9 доказана.

Чтобы разобраться с первым утверждением конгруэнц-тео- ремы, покажем, что при выполнении указанных условий Ь = = Nrdn//c(i/) г Мгбд/тДй (х) )• В силу теоремы 10 достаточно убедиться, что b е Nrdy^ (Qr (х)), где в обозначениях леммы 9 Пг(х)= JJ Qo (х). Мы уже показали, что Ьгйу(х'), если у(Ь) = О. В противном случае по условию x=st, где sg Uo, t (= 1 + ф0, так что а = NrdD^(х) = snr, где г = Nrd^^^ (/) е е 1 + р,. Покажем, что тогда b ее Пгбду^у (Ку [xz]*) для подходящего z е Ny. Для этого вначале построим расширение L поля Ку степени п со свойством: а, & е Nlik (L*). Пусть р и— отвечающее у простое число и п = руШ, где т — взаимно просто с ру.

Лемма 10. Пусть b е К", т— произвольное целое ^ 1. Тогда существует такое расширение F/Ky степени пг, что b ее ^NpIKy (F*).

Доказательство — упражнение для читателя. (Указание. Редуцировать задачу к случаю простого т. Далее разобрать отдельно случай m = 2 и случай нечетного т, причем в последнем уместно воспользоваться тем фактом, что сслий ^ K*vm, то многочлен Хт — b неприводим над Ку, см. Ленг [3].)

Пусть F — такое расширение поля Ку степени пг, что Ь = = NFiK (с\ c^F*. Поскольку a = sn-r, где г g 1 + £„, то из взаимной простоты т и pv вытекает, что а = dm, где d G Ку. Тогда, очевидно, в качестве L можно взять расширение поля F степени 1 = ру со свойством: с, d ^ Nl/f(L*) , в существовании которого мы сейчас убедимся. Известно (см. § 1.1, п. 2), что F* ~ Z X Е X Z® , где Е— группа корней из единицы в F, d=[F:QpJ. Отсюда следует, что F*/Е*1 ~(Z//Z)5+1 У^Е/Е1. Если 6 > 1, то подгруппа, порожденная образами с, d в F*]F*1, имеет индекс, делящийся на /, так что существует открытая подгруппа W cz F* индекса /, содержащая с и d, и в качестве L можно взять абелево расширение поля F степени I с норменной подгруппой W, конструируемое в локальной теории полей классов. Если 6 = 1 (т. е. F = QPa) и pv =/= 2, то можно положить

I

L = F ^ pv^ Действительно, как показывает нижеследующее упражнение, L не содержит абелевых расширений поля F, и поэтому согласно локальной теории полей классов NL/f(£*) = F*.

1

Упражнение. Если р =# 2, то Qp (д/р ) (Z = р0^ не содержит абелевых (и даже нормальных) расширений поля Qp. (Указание. Провести индукцию по а. Случай а = 0 очевиден. Пусть а 1 и Е c=Qp(Vp)— расширение Галуа поля Qp. Тогда L с= Qp (^ р ) A QP U ^ Р ) = QP ^Р )- где g — примитивный корень степени р из единицы, и можно воспользоваться предположением индукции.)

Нам осталось рассмотреть случай рр = 2, т. е. F = Q2. Здесь F*/F*2 ~ (Z/2Z)3, поэтому, рассуждая как и выше, найдем квадратичное расширение Р/F такое, что c = NP/FVc'V d = = NP/P(d') для некоторых с', d'eP. Но согласно уже доказанному существует расширение М/Р степени р“-1, для которого с', d' е Nm/p(M*), и можно положить L = М. Итак, существование расширения L/Kv степени и со свойством a, b е N цкрЦ-^ доказано. Поле L вкладывается в Dv в качестве максимального подполя, и достаточно найти такой элемент z g Na, что L = = Kp^xzy Для этого вернемся к представлению х = st, где s е г Uy, Zg1+$d. Поскольку а = Nr<1п,к (х) е Nl[kt(L*), то Nrdpo^o (Z) = s~na ce NbiKy (£*) A (1 + M- Поэтому согласно предложению 1.3 Nrdyo/Ko (О = NL;kv (g) Для некоторого gE H‘Q, где $l—идеал нормирования в поле L. Тогда г = ^Vg е Оку А А (1 + ф0) = Nv и xz = sg^L. Остается «подправить» элемент xz на элемент из L* A Ny таким образом, чтобы он порождал все поле L (см. доказательство леммы 3). Доказательство конгруэнц-теоремы, а вместе с тем и теоремы 4 завершено.

Замечание. Если Т = 0, то в силу теоремы 4 группа Ок совпадает со своим коммутантом, и можно ставить вопрос о вычислении коммутаторной длины Ок, т. е. нахождении такого минимального числа 1 = ЦОк), что любой элемент из Ок является произведением не более I коммутаторов. При доказательстве теоремы 4 для случая D — тело кватернионов, Т = 0 (см. Платонов, Рапинчук [1]) было показано, что здесь Z(Gk)^3. Никаких других оценок для коммутаторной длины группы О к (и даже .доказательства ее конечности в общей ситуации) пока нет.

Переходим к доказательству теоремы 3. В силу леммы 2 достаточно показать следующее: если нормальный делитель F<^Gk открыт в Т-адической топологии, то его коммутант l^F] также открыт. Рассмотрим вначале случай, когда D является телом кватернионов. Обозначим через т каноническую

инволюцию (сопряжение) в D. Ограничение г на любое максимальное подполе в D индуцирует нетривиальный автоморфизм,., поэтому по теореме Сколема — Нётер для любого х е D* найдется такой yeD*, что г(х) = уху~х. С другой стороны, имеем МгсЬ/к(х) = хг(х); в частности, элементы из GK = SLy\D^ характеризуются условием т(х) = х-1. Таким образом, для любого х е GK найдется у е D* со свойством х-1 = уху^1.

Пусть теперь F cz GK — произвольная подгруппа, открытая в Т-адической топологии. Тогда для подходящих целых ас > О (dgT) имеем F0 = GKn П (1 + Ф“°) <= Л где фа — идеал нори е Г '

мирования в Da. Ясно, что Fo является нормальной подгруппой в D*, и из открытости коммутанта [Fo, Fo], очевидно, вытекает открытость [F, А]. Поэтому в дальнейшем можно считать подгруппу F нормальной в D*.

Положим N = [Л А] и сохраним обозначения N и N, введенные выше (см. с. 567). Так как N cz F, то факторгруппа N/N' абелева, поэтому в силу следствия из предложения 3 факторгруппа N/N лежит в центре D*/N. Обозначим через Z множество элементов вида хт(х)-1, х е N, и пусть zeZ. Мы отмечали, что г(х) = уху-{ для подходящего yeD*, так что из центральности N/N в D/N вытекает включение ZeN. Покажем, что, с другой стороны, NcZN. Для этого достаточно установить открытость Z в Ок в Т-адической топологии, что мы сейчас и сделаем. По построению группа N является открытой в £)*" в Т-адической топологии, так что D* П П (1 + с N для

подходящих целых 0О > 0, и е 7. Тогда из тождества х = = —^—)т(—5^) .справедливого для любого элемента хе е Gk, непосредственно вытекает включение GK П П/1 + 2Ф ^)с= cz Z, что и требовалось.

Анализ приведенного рассуждения показывает, что оно дословно переносится в общую ситуацию, если известно, что для любой нормальной подгруппы U cz D*, открытой в Т-адической топологии, взаимный коммутант [67,0*] также открыт (действительно, тогда N cz [Д^, Z)*] N = N). Получить информацию о [G, £)*] можно из начального отрезка

Н1 (D*/U) -> Н1 (D*) -> Н1 (U)D' -> № (D4U) -> № ф‘)(8).

спектральной последовательности Хохшильда — Серра, соответствующей расширению 1 —>- U-+D*-+D*/U->-1, где //”(*) обозначает группу z-х когомологий с коэффициентами в тривиальном модуле J = Q/Z, а именно

//1 Щ^* = Hom <U/VU, De], 7).(9>

Но по условию U = D* V\W, где IE— открытая нормальная подгруппа D‘T (совпадающая с замыканием 77), и можно рассмотреть последовательность Хохшильда — Серра непрерывных когомологий с коэффициентами в тривиальном дискретном модуле J:

Нх (D'^W) -> Нх ^ -> Нх <wfT -> Н2 (D^/W) -^ Н2 (D^), (10)

•отвечающую топологическому расширению 1 -> W -> D‘T -> —* D*TjW -> 1. Считая когомологии в (8) непрерывными когомологиями дискретных групп, соединим последовательности (8), (10) в коммутативную диаграмму

Нх ФЧФ ->НХ фЧ -^ Нх (фв*> Н2 ФЧФ> Н2 фч

1° I Iе . Ь(п)

_нх (d^w) -> нх ^ нх (wfT-> н2 (d;/ie) ^ н2 (т/д

в которой вертикальные стрелки являются отображениями ограничения. Из слабой аппроксимационной теоремы для D* вытекает, что D4U ~D*T^W, т. е. а и у являются изоморфизмами. Если известно, что отображение 6 (или даже его ограничение на 1тф) инъективно, то из диаграммы (11) легко получается, что

НЦфс =1тР + 1тф.(12)

В смысле отождествления (9) любой элемент из Im р + Im ф на пересечении [7)‘, 7)*] П [IE, £^] = ^к П [^, 7)*] индуцирует тривиальный гомоморфизм, поэтому из (12) вытекает равенство [77, £)*] = GK П [IE, 7)*]; в частности, подгруппа [77, £)*] открыта.

Таким образом, если бы нам была известна инъективность ■отображения 6: Н2 (D*^ -> Н2 ФЧ (или даже инъективность •ограничения 6 на образ в Н2 (ф*^ прямого предела limW2(D^./lE) :по всем открытым нормальным подгруппам W cz О*), то мы получили бы доказательство теоремы 3, не использующее теоремы 4, и, в частности, другое доказательство самой теоремы4. Тем самым обнаружена связь теоремы 3 с проблемой вычисления Кег 6, которую естественно называть слабой метаплектиче- ской проблемой (терминология связана с соответствующими понятиями, используемыми при исследовании конгруэнц-проблемы, см. § 9.5). На эту связь впервые указал Рапинчук [6] при ис- •следовании (сильной) метаплектической проблемы. К сожалению, непосредственного вычисления Кег 6, или даже Kerd| Ит ^у^/^у пока не получено, однако Рапинчуком [6] была доказана

тривиальность ядра соответствующего отображения для группы G, а именно отображения 6: №(Ог)^-№(Ок), где, как и выше, рассматриваются непрерывные когомологии с коэффициентами в тривиальном дискретном модуле J, а группа Ок считается наделенной дискретной топологией. В указанной работе тривиальность Кег 0 выводилась из теоремы 3, доказательство которой было получено Рагунатаном [7] другим способом. Здесь мы будем рассуждать в обратном направлении, а именно, покажем, что теорема 3 может быть получена из утверждения о тривиальности Кег 6, а затем воспользуемся следующим результатом:

Теорема 12 (слабая метаплектическая гипотеза). Предположим, что п>2. Тогда отображение 6: H2(Gt)-*- Н2(Ок) инъективно.

Доказательство теоремы 12, которое мы проведем в § 9.5 в связи с обсуждением конгруэнц-проблемы, использует результаты работы Прасада, Рагунатана [5]. Отметим, что утверждение теоремы 12 остается справедливым при п = 2, однако здесь тривиальность Кег 6, как и в работе Рапинчука [6], нужно выводить из теоремы 3, которая для тела кватернионов уже доказана.

Вывод теоремы 3 для п > 2 из теоремы 12 проводится по описанной выше схеме. А именно, пусть U^Gk— нормальная подгруппа, открытая в Т-адической топологии, IP — ее замыкание в группе Gt", тогда U = GK П ^- Рассмотрим аналогичную (10) коммутативную диаграмму

Hv <GK)U) -> Н1 <G^ -> № (Uf^ -> Н2 (Gk/U) -> Н2 (Gk)

ja |₽Je ‘е (13)

H1 (GT/W) -> H' (GT) -> Hv (WfT -> H2 (GT]W) -> H2 (G/), вертикальные стрелки в которой являются отображениями ограничения, а строчки — начальными отрезками спектральных последовательностей Хохшильда — Серра, отвечающими расширениям 1 —>- U -*- Gk -*- Gk/U-*- 1 и 1 —>- U7-* Gt-*- Gt/W -*- 1. Слабая аппроксимационная теорема для группы G показывает, что Gk/U ~ GT/W, так что а и 6 являются изоморфизмами. Далее, теорема 4 позволяет утверждать, что естественное отображение Gk/\Gk, G/<]-^ Gt/\Gt, Gt] является изоморфизмом, и тогда р— также изоморфизм. Используя эти факты и инъективность 6 (теорема 12), из диаграммы (13) легко получить, что у является изоморфизмом. Но Нх (U)G к = Hom (U / [G, Gx], 7), Нх (ir)Gr = Hom (W[\W, Gr], J), поэтому доказанное означает, что вложение U cz W индуцирует изоморфизм U/\U,Gk\ — ~W/\W, Gt], н частности, [U, G/<] = U П[Й7, Gr] открыто в Т-адической топологии.

Таким образом, мы показали, что если нормальная подгруппа U <^GK открыта в Т-адической топологии, то взаимный коммутант [G, G^] также открыт. Пусть теперь FcGK — произвольная Т-адически открытая подгруппа; покажем, что коммутант [F, F] также открыт. Без ограничения общности можно считать подгруппу F нормальной в D*. Обозначим через U замыкание [F, F] в Т-адической топологии группы Ок- Тогда из доказанного выше утверждения вытекает открытость взаимного коммутанта [G, G^], так что

U = VU, G^VF, F]. (14)

С другой стороны, факторгруппа U/[F, F] абелева, ибо U cz F в силу открытости F, и, значит, лежит в центре группы D*/\F, F] (следствие из предложения 3). В частности, \U, G^] cz [F, F], так что из (14) получаем равенство U = \F, F], что и требовалось.

Завершает настоящий параграф доказательство теоремы 2. Нам понадобится следующее усиление предложения 1:

Предложение 5. Пусть D — тело кватернионов, xeD*, Ч7— конечный набор максимальных подполей в D. Тогда для любого конечного подмножества S с Nrdn,„ (D') Г| П К* и любой не

центральной нормальной подгруппы N cz Gk найдется такой элемент neN, что В cz NrdD/K(F*F(xn)*) для любого L еЧ7.

Доказательство. Положим Vo = |v е Vk | В cz Nrdn ^ (F*) для любого Le'F}. Поскольку для почти всех у g vf расширения Ly/Ky^L е Ч7) являются неразветвленными, а элементы из В — у-адическими единицами, то S — ^Wo— конечное множество. Кроме того, из условия В с= Мгбд™ (£)*) П П К*2, очевидно, вытекает, что S не пересекается с множеством TVjT^. Поскольку в данном случае Т = То, то из лемм 3 и 4 вытекает существование такого mN, что К (хп) у ~ Ку® Ку для всех ueS. Тогда

В cz Пгбло/хо ((F ® кКуУ Ку [хп]*) для всех у е VK.

Перейти от локальных норм к глобальным можно либо с помощью предложения 6.11, либо воспользовавшись следующим соображением, приспособленным непосредственно к нашему случаю. Пусть aeB, L е Ч7. Тогда выражение Nl/kW— — аКк^пук^ является 4-мерной квадратичной формой относительно координат элементов aeL. Ь^К^хп^, и условие а е NrdB/K (L*K(xn) •) эквивалентно тому, что эта форма представляет нуль в К. По теореме Минковского — Хассе достаточно проверить представимость нуля над всеми пополнениями

Ко, где она является следствием условия a g МгсЬ0/к0 ((Т ® к ® кКоУ Ко [хм]*). Предложение доказано.

Как обычно, будем в дальнейшем предполагать, что N с Gr является нормальным делителем в D*. Для и g Т обозначим через Фу открытую подгруппу в К'^ конечного индекса, не содержащую — 1, и положим Н = (NT Ц ф„) П D*. Легко видеть, X о^Т )

что Н является Т-адической открытой подгруппой в D* конечного индекса, причем Н Q GK = Кт П GK = N в силу условия — 1 ^ Фщ. Рассмотрим естественное действие группы Н на факторгруппе N/N посредством внутренних автоморфизмов и обозначим через F ядро этого действия.

Лемма 11. Для любого хеб' найдется n^N со свойством Н = {K(xn)*[}H)NF._

Доказательство. В силу теоремы 8 факторгруппа N/N конечна, и поэтому из конечности индекса [D*: /7] вытекает конечность индекса [Д* : К]. В частности, конечна факторгруппа Мгбд/я (£>*) /Nrdy/K (F); обозначим через q число ее подгрупп. Далее, выберем конечное подмножество В представителей смежных классов Nrdz>/^ кН) /NrdC/,< (К) и заметим, что в силу наших построений В с Nrdn/K (D") П П К* . Поэтому из предложения 5 при помощи индукции выводится существование таких «1 = 1, п2, ..., nq+veN, что В cNrdD/K^K^xniVK^xnjy) при 1 ^ t < / ^ q + 1. Из определения числа q вытекает, что для некоторых 1#=Д образы Nrdc/;< kKkxni) *) и Nrdc/^ (/С(х«/)*) в NrdD/.K(£)*)/NrdD/.K(F) совпадают, и тогда для п = п, имеем

Nrdw кН) = В NrdD(R (Л <= Nrdw (К kxn)*) NrdD!R kF). (15) Покажем, что Nrdn/x кН) П Nrdn/x (К (хм)') = Nrdo/к (Н П К кх^У)- Это вытекает из следующего утверждения:

Лемма 12. Пусть L/К— квадратичное расширение, Т cz VK — конечное подмножество и W cz LT = Д к^&кКоУ— произ- оеТ

вольная открытая подгруппа. Тогда

Nl(k (Г) П NLt,kt (Г) = NMK kL* П Г).

Действительно, если для a g L*, Ье№ имеем Кт[кка') = == NLTjKT kb\ то ab-x г St, где S = Rr% (Gm) — соответствующий норменный тор. Из предложения 7.8 вытекает, что S обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного подмножества, поэтому пересечение (аЬ-|Ц7)р5д. непусто, т. е. содержит, скажем, элемент с. Тогда ас-1 е L* П W и NL/k кас^1) = = NL/KkaY чт0 и требовалось.

Теперь (15) можно преобразовать к виду

МгбД/к кНк = Nrdc/K кК кхпУ П Н) NrdniK kF),

откуда И—(К(хп)* П Н) ^0_к Г) В) F, и остается воспользоваться тем фактом, что Ок Т\ Н = N. Лемма доказана.

Предположим теперь, что факторгруппа F = A'/W нетривиальна. Из теоремы 3 вытекает, что Г совпадает со своим коммутантом и, следовательно, не может быть разрешимой. Поэтому заменяя N на прообраз при естественном гомоморфизме N->NJN максимальной разрешимой нормальной подгруппы группы Г, мы сведем нашу задачу к случаю, когда Г не содержит разрешимых нормальных делителей. Тогда, в частности, центр Г тривиален, так что Ff\N =N, и мы имеем вложение

T = N/N^ H]F = \.

Как мы видели при доказательстве теоремы 3 для тела кватернионов, из открытости Н в Т-адической топологии вытекает открытость множества Z =^z = хт^-^х е Н-^, так что N<^ZN. С другой стороны, для любого х еН найдется у е D* со свойством г (х) = уху-х, и, следовательно, z = хт (х)-1 = [х, у] е Ок П

А Г Nt И Фо, у\ ^ Gk П Nt = N. Поэтому Z cz N и N = ZN. Учитывая соотношение хт(х)”1 = х2 Nrdn/^x)-1 и включение К* cz F, получаем, что Г = А2. Таким образом, из леммы 11 вытекает, что мы находимся в условиях применимости следующего утверждения из теории групп:

Лемма 13. Пусть Г — конечная группа. Предположим, что Г вкладывается в такую конечную группу А, что выполняются следующие условия-.

А2 = Г;

для любого g г А найдется такая содержащая g абелева подгруппа В (g) cz А, что \ = В^ Г.

Тогда множество Г2 = {g е r|g2 = е} является нормальной подгруппой в Г.

(Отметим, что применяя лемму 11 в нашей ситуации, мы для g = xN берем в качестве В^ образ в А пересечения К(хп)* ft Н из леммы 11.)

Доказательство. Рассмотрим отображение ф: А->Г, ф(£) = = g2. Тогда из условия 1) получаем, что

[А] = X ЬГ‘(<(16)

Ле Г

С другой стороны, если й е Г и h. = g2, g е А, то ф-1 (Л) zd =>gB(g)2, и поэтому '

[ф-1 (Л)] > [В (g)2] > [(6 ШВ (5) А г))2] = [(А/Г)2] = [А/Г]. (17) Здесь мы воспользовались тем фактом, что для любой конечной абелевой группы В и любой ее подгруппы С справедливо неравенство [В2] ^ [ (В/С)2]. Сопоставляя (16) и (17), получаем, что [ф-1 (Л)] = [А/Г] для любого h е Г, и если h = g2, то

ф—1 (А) = gB (g)2. В частности, Д2 = ф-1 (е) = В (е)2 является подгруппой в А. Поэтому Г2 = Г П А2 является подгруппой, причем, очевидно, нормальной в Г. Лемма доказана.

Поскольку мы считаем, что Г не имеет разрешимых нормальных подгрупп, то из леммы 12 вытекает, что Г2 = (е), т. е. порядок Г нечетен. Но тогда по теореме Фейта — Томпсона разрешимой является сама группа Г — противоречие. Можно рассуждать и не используя теорему Фейта — Томпсона. Действительно, как мы отмечали в начале доказательства теоремы 2, для любого x^GK элементы х и х-1 = г(х) сопряжены в D*. Если к тому же х е N, то из предложения 3 получаем, что образы х и х-1 в Г сопряжены (в Г). Отсюда следует, что если «еГ и g2 ^ е, то множество {A G Г| hgh~x е {g, g1}} состоит из двух смежных классов по централизатору элемента g. Тем самым если группа Г нетривиальна, то она обязательно имеет четный порядок, и, следовательно, Г2=/=(е).

Таким образом, мы завершили доказательство теорем 2—4, которое потребовало развития специфического аппарата, названного нами в [4] мультипликативным арифметическим методом. Мы сознательно изложили основные результаты мультипликативной арифметики в несколько большей общности, чем это надо для доказательства сформулированных теорем. Естественно, что стремление к такой общности не является здесь самоцелью, а отражает нашу уверенность в том, что использование развитой техники позволит в будущем доказать гипотезу 2 для всех групп G, являющихся внутренними формами типа Ап- В то же время пока мы не имеем практически никаких результатов для алгебраических групп вида G = 80^(0), где D — конечномерное тело с инволюцией т второго рода, которые относятся к внешним формам типа Ап. Здесь, по-видимому, следует начать с получения аналогов теорем 3, 4. Отправным пунктом должно стать доказательство совпадения коммутанта унитарной группы Ui (D) = {.г е D*\xxT = 1} с StA (D) = Ui (D) П f)SAi(D), что явилось бы аналогом неоднократно использованного нами равенства SLV (D) = [£>*, D*]. Один из возможных путей видится здесь в использовании тривиальности приведенной унитарной группы Уайтхеда SUK^ (D) = 2'/2т(см. § 7.2), где 2' —подгруппа элементов в D* с симметрической относительно г приведенной нормой, 2Т порождена симметрическими элементами. А именно, пусть aeSUAD)— элемент, порождающий над центром L тела D максимальное подполе Р. Тогда г(Р) = — Р и NP/M(a)= аах = 1, где М—подполе симметрических элементов в Р. Поэтому по теореме 90 Гильберта а = А(Ат)-1 для некоторого ЬеР. При этом

МгйД//< (A)/Nrdn//< (Ат) = Nrd/w (a (At) ‘) = ЬМлц< (a) = 1,

-так что 6еХт. Из тривиальности SUK^D) вытекает существование таких симметрических О, ..., treD*, что b=tv, .... tT, и тогда

a^t\ ... trt7X .. . 17х. (18)

Можно ли преобразовать (18) таким образом, чтобы получить для а выражение в виде произведения коммутаторов из группы ЦЦЦ)? Мы рекомендуем читателю поразмышлять над этим (нерешенным) вопросом.

§ 9.3. Группы классических типов

Цель настоящего параграфа — доказать теорему 5. Если рассуждения предыдущего параграфа основывались на использовании внутренней структуры исследуемой группы О, то здесь ключевую роль играет наличие у группы О, относящейся к одному из рассматриваемых типов, удобной геометрической реализации. Исходная идея основана на том факте, что все рассматриваемые классические серии «вырастают» из групп типа Д1(в1 = С1 = Д1, £)2 = Д1 + Д1), для которых описание нормальных делителей дает теорема 2, и задача сводится к обоснованию возможности индуктивного перехода от низшей размерности к высшей в вопросе описания нормальных делителей. Здесь удобно условиться о следующей терминологии. Будем говорить, что для односвязной полупростой /(-группы О в группе Ок имеет место стандартное описание нормальных делителей, если существует такое конечное подмножество S cz VK, что любой плотный по Зарисскому нормальный делитель NcGr является открытым в Ок в S-адической топологии.

Лемма 14. 1) Если нормальный делитель NcGk открыт в S-адической топологии, то он открыт и в 5Гадической топологии, где Sf = S7\V^.

Для простой односвязной К-группы О стандартное описание нормальных делителей в Ок имеет место в том и только том случае, если для нее справедлива гипотеза 2.

Если полупростая односвязная К-группа О имеет вид i

= ЦКь;,к<0г\ где Gi — простые Li-определенные группы, то стандартное описание нормальных делителей в Ок имеет место в том и только том случае, если оно имеет место во всех группах (Д^ы- В частности, если все простые компоненты О имеют тип Д ь то для нее имеет место стандартное описание нормальных делителей.

Доказательство. 1) Если N = Ок П ^, где W cz Os— открытое подмножество, то из свойства слабой аппроксимации для О (предложение 7.9) вытекает, что замыкание Ns группы N в Os

содержит W и поэтому является открытой нормальной подгруппой. Так как для и g Ей группа Ок„ не имеет нецентральных

при доказательстве леммы 3, получим, чтопри доказательстве леммы 3, получим, что^8 ^SfiV^ X ^S^^8 ^SfiV^ X ^S^нормальных подгрупп (предложение 7.6), то рассуждая как и

при доказательстве леммы 3, получим, что

при доказательстве леммы 3, получим, что

^8 ^SfiV^ X ^S^

^8 ^SfiV^ X ^S^

причем Ns^—открытый нормальный делитель в Gs^. Учитывая, что N является S-адически замкнутым в Ок, отсюда получаем N = Ок A Ns = Ок П NSp т. е. N открыт в 5гадической то

пологии.

Если для Ок выполняется гипотеза 2, то, очевидно, для нее имеет место стандартное описание нормальных делителей относительно множества S = Т. Обратно, если в Ок имеет место стандартное описание нормальных делителей относительно множества S, то из формулы Ns = Nsrt X Gs\(snr) для замыкания Ns нормального делителя N с Ок в S-адической топологии (см. лемму 1) вытекает, что любой нецентральный нормальный делитель замкнут в (S А Т)-адической топологии и тем более— в Т-адической топологии, что в силу леммы 2 равносильно справедливости гипотезы 2.

i

Имеем Ок ^ И (G/)l-> причем для любого конечного под- i=i 1

множества S с Е^ S-адическая топология на Ок совпадает с произведением 5(-адических топологий на группах (Oi)Li, где Si состоит из всех продолжений на Li нормирований из S. Отсюда, в частности, следует, что если стандартное описание нормальных делителей имеет место в группе Ок относительно множества S, то оно имеет место в каждой из групп ^0^. относительно Si. Обратно, из стандартного описания нормальных делителей в группах (Gi)Li относительно подмножеств Sz cz VLt вытекает стандартное описание в группе Ок относительно подмножества 5 = U Еь где Vi состоит из ограничений на К нормирований из S,. Последнее утверждение п. 3) вытекает из теоремы 2. Лемма 14 полностью доказана.

Пусть теперь О — простая односвязная ^группа одного из типов, указанных в теореме 5. В силу результатов § 2.3 имеется естественное действие группы О на пространстве W = W ®к К, где W— m-мерное пространство над некоторым телом D с инволюцией т, причем это действие сохраняет эрмитову либо косоэрмитову форму / на W. Все возникающие при этом типы форм перечислены в списке, приведенном в конце п. 4 § 2.3, к которому мы будем постоянно обращаться. Отметим, что в ситуации п. 1) этого списка (группы типа 2Дп) по условию имеем D = L—квадратичное расширение поля К. С другой стороны, в ситуации п. 3) группа О является ^разложимой, и проектив-

пая простота группы GK здесь хорошо известна (см. § 7.2); тем самым мы имеем полное право исключить этот случай из дальнейшего рассмотрения. В остальных случаях в пространстве W •существуют анизотропные относительно / векторы, и можно воспользоваться следующим утверждением, которое играет ключевую роль при доказательстве теоремы 5.

Теорема 13. Пусть m ^ m0 + 1, х е W—произвольный анизотропный вектор и G^— его стабилизатор. Тогда если в группе G^k имеет место стандартное описание нормальных делителей, то оно имеет место и в группе GK.

(Число т0 Для каждого типа форм было указано в списке из п. 4 § 2.3. Отметим, что при m^m0+l группа G^ одно- ■связна и полупроста (предложение 2.21), и поэтому можно говорить о стандартном описании нормальных делителей в G(x)x-)

Доказательство. Пусть теперь N cl GK — произвольный нецентральный (= плотный по Зарисскому) нормальный делитель. По условию существует такое конечное подмножество S cl VK, что любой плотный по Зарисскому нормальный делитель группы G^k является открытым в S-адической топологии. При этом в силу утверждения 1) леммы 14 можно без ограничения общности считать, что S с Ущ Поскольку N имеет конечный индекс в Gk (теорема 8), то пересечение G^x")K^N имеет конечный индекс в G^k и, в частности, плотно в G^ в топологии Зарисского. Так как S cz У^, то найдется такая ■открытая подгруппа U с G$, что

6(х)лписС(х)кП^(1)

Положим Х = {уе W^(y)= Цх)}. Мы покажем, чтоорбита (U П N)x открыта в GKx в 50-адической топологии, (2)где S0 = S(J VL

Тогда из непрерывности действия Gs„ на Лз0 вытекает существование такого открытого подмножества В с Gs„, содержащего единицу, что (В П GK)x cz (О П П)х. Пусть N — замыкание N в Gk в So-адической топологии. Тогда U П N плотно в U П N относительно этой топологии, и, в частности, U П N cz (U Г) М) (В Q fl GK). Отсюда следует, что

(5 П М) х cz (U П М) (В П G^ хс«х,

и поэтому U П N cz (П_П N) (G (х)^ П U) cz N в силу (1). Но N = = (ППМ)М, так что N = N, и теорема доказана.

Итак, осталось доказать (2). Для этого введем одно техническое понятие. Будем называть вектор z е W регулярным, если f(z)eD*. Более общо, D-подмодуль V cz W называется

регулярным, если он свободен и его дискриминант относительно некоторого (эквивалентно, произвольного) D-базиса лежит в ДХ

Лемма 15. 1) Вектор zeW регулярен в том и только том случае, если он анизотропен, а для D-подпространства V cz W D-подмодуль V Хк К регулярен в том и только том случае, если V невырожденно.

Если ze ТУ— регулярный вектор, то Z = {z'^ W\f(z') = = f(z)} является однородным пространством группы G.

Доказательство. Утверждение 1) очевидно. Для доказательства 2) рассмотрим произвольный анизотропный вектор х е W. Тогда существует такой элемент deD*, что / (z) = / (xd). Так как_согласно теореме Витта (теорема 2.11) многообразие {у е е 1У|/(у) = f(x)} является однородным пространством группы G, то это же справедливо и для Z. Лемма доказана.

Положим Y = {(у, z, g) е X X X X G | gx = у, gz=z} и обозначим через Уо подмножество в Y, состоящее из таких ^у, z, g), что:

(х— z/)— регулярный вектор;

D-подмодуль в W, порожденный х и z, является

D-свободным и регулярным. (3)

Рассмотрим, далее, проекции

р; Y-^XXX, р^у, z, g) = (у, z),

q; ХХХ-^-Х, q^y, z) = y.

Очевидно, р (У) cz F = {^у, z)e X X X ] / (г, х) = / (г, z/)}. При этом p^Yq^clFq, где Fo состоит из пар (z/, z), удовлетворяющих (3).

Лемма 16. Подмножества Уо cz У, Fo cz F являются непустыми и открытыми в топологии Зарисского, а морфизмы, р: Yo-^-Fo и q: Fo-^-X—доминантными.

Доказательство. Ясно, что D* является открытым по Зарис- скому подмножеством в D, поэтому множество векторов у е ТУ, удовлетворяющих условию а) в (3), являясь прообразом D* при отображении yv—>f(x — у), также открыто. Аналогично показывается, что множество векторов ze Ж удовлетворяющих б), открыто. Отсюда следует открытость подмножеств Уо cz У, Fo cz F.

Обозначим через Ао подмножество в X, состоящее из таких у, что выполняются следующие условия:

вектор х — у регулярен;

D-подмодуль, порожденный х и у, является...

D-свободным и регулярным; .

f(x — у, x^eD* и f^x — у, xV1 t^x — у, у) — 1 eD*. |

Из предыдущего ясно, что Хо является открытым по Зарисскому

подмножеством в X. Кроме того, если у е W обладает свойствами: у Д_ х и Цу) = Цх), то непосредственно проверяется, что у е Ло, и тем самым Ло =Х 0. Поскольку из теоремы Витта вытекает неприводимость Л, то Ло является открытым плотным в Л подмножеством. Покажем, что Ло cz q^Fo), откуда будет следовать непустота Fo и доминантность морфизма q: F0-^X. Итак, пусть у е Ло; положим Л =—Цх— у, х)-хЦх— У, у), t = = хХ + у. Непосредственная проверка показывает, что векторы t, х — у образуют ортогональный D-базис D-подмодуля, порожденного х и у. Поэтому вектор t регулярен, и подбирая de D* таким образом, чтобы f(td) = Цх) для z = td, будем иметь ЦДеЕг,, и все доказано. Для доказательства оставшихся утверждений леммы покажем, что рЦЦ) = Р0, т. е. если (z/, z)eF0, то У = ёЦ) для подходящего g е G со свойством gz = z. В силу теоремы 2.11 найдется h е G со свойством hx = z. Тогда, полагая Хх = h~'x, у\ = h^'y, легко видеть, что для построения g достаточно найти такой s е G(x), что sxj = у\. Обозначим через Wo ортогональное дополнение к х в IP и положим х2 = Xi—хЦх^Цхх, х), у2 = у\— хЦх)-хЦух, х). Тогда х2, у2 е Wo = Wo ®к ^ Цх2) = ЦугЦи векторы х2, у2 регулярны. Тогда, применяя к пространству 1Р0 утверждение 2) леммы 15 и учитывая, что группа СЦ) совпадает с универсальной накрывающей специальной унитарной группы пространства Wo, мы и получаем требуемое. Лемма 16 доказана.

Переходим непосредственно к доказательству утверждения (2). При этом нам будет удобно считать, что открытая подгруппа U с Gs в (1) имеет вид U = Ц U „, где Uv cz GK—

открытая подгруппа для каждого и е S (этого всегда можно достичь, уменьшая U). Положим Uo = UXGs \s = П HD, где °и eS„

■считаем и„ = Оку для ueSo \ S = v£, С = (Уо)5сП (Лз„ХПохХПо).

Лемма 17. 1) Многообразия Y и Fo неприводимы.

С= Ц С„, где Cv с Yok —непустое открытое в и-адической oeS0и

топологии подмножество, плотное в топологии Зарисского.

Доказательство. Рассмотрим отображение ф: P=GX X G(x)-+XX XX G, (g,h)^((ghg~x)x, gx, ghg^). Используя •теорему Витта, легко показать, что ф(Р) = У. Отсюда вытекает неприводимость Y, а следовательно, и неприводимость Fo, ибо Уо открыто в У, а морфизм р; Yq-^-F0 доминантен (лемма 16). Легко видеть, что С = П Со, где Cv = (Уо)^ П (Хк X Uих XU0\ и поэтому из предложения 3.3 вытекает открытость С„ с Уку. <2 другой стороны, С„о ф((С/и Х(О(х)П П„))Г|Ро), где Ро = = Ф-1(Уо). В силу гладкости й неприводимости Р множество

Uv X(G(x)Q Uv) является плотным (лемма 3.2), а множеств» Ро— открытым по Зарисскому в Р, откуда без труда следует плотность С„. Лемма 17 доказана.

Для каждого и е So из плотности Со в Y вытекает существование такой простой точки се Са, что b =р(с) — простая точка многообразия Ро и дифференциал dcp; Tc{Y)-^-Tb{F) сюръективен. Тогда в силу предложения 3.3 р^С^ содержит открытое в и-адической топологии подмножество Ви cz F0Kv, плотное в топологии Зарисского. Применяя это рассуждение еще раз, получим, что q(Bv) содержит открытое в ХКу подмножество Еу. Положим В —- Ц Ви, Е = Ц Е„. Тогда для доказательства (2) достаточно установить включение

ЕП^е^ПЛЪ'. (5>

Пусть уеЕ^Х^. Тогда по построению найдется такая точка zeXs„, что (у, z)eB. Если z = (zu)u es0, то для любого и е SQ имеем

HzD, х^ = Цгу, у),f (2„) = f (х).

Таким образом, если обозначить через g ограничение формы f на ортогональное дополнение Wo к вектору (х— у), то для многообразия Z = {/ е WQ ®к К I g (t) = f (х)} имеем Zkv 0 для всех и е So; в частности, Zkv ^ 0 для и е Е^. Так как т ^ то + 1, то dim Ц/о = m—1^/по- Поэтому сопоставляя значения числа т0 с минимальными значениями размерности в утверждениях 1', 2—3 из § 6.6, получаем, что ZK#=0. Далее,, существует такая окрестность J cz Zs, точки 2, что (y,J)cLB. Согласно следствию 2 из предложения 7.4 многообразие Z обладает слабой аппроксимацией, в силу чего найдется точка 2 е eZ^HE Тогда (z/, z) е р(С), т. е. zeUQx, и подпространство, натянутое на х, z, является невырожденным. Воспользуемся теперь следующим утверждением:

Лемма 18. Пусть заданы К-определенное действие алгебраической К-группы Н на алгебраическом К-многообразии М и конечное подмножество S cl Vk, содержащее У£> Если х е Мк — такая точка, что стабилизатор Н (х) полупрост и односвязен, то для любой открытой подгруппы U cz Hs справедливо равенство MKV\Ux=^H K?\U^x- .

Доказательство вытекает из справедливости для 7/(х) принципа Хассе (теорема 6.6) и свойства о слабой аппроксимации (предложение 7.9). Действительно, пусть у е Мк V\Ux и y = hxt. где кеН^, Тогда для любого а е Gal (К/К) элемент а0 = = /i"'a(/i) лежит в Н(х), причем семейство {«□} определяет

коцикл £ е Н' (К, Н (х)). Так как по условию у е Нк„х для ое ■SoV^, то & лежит в ядре отображения Н1^, Н (х)) —►

-► П НЦКО, Н (х)). Поэтому из справедливости для Н (х) прин- дипа Хассе получаем, что коцикл £ тривиален, т. е. аа = = h-{c{h)_= ^"'о(^) для подходящего geH^ и для всех о е Gal (Х/Х). Тогда h' = hg~'^HK и у = Ь'хеНкХ. Итак, у = h\x = /t2x, где h\^HK, h2eU. Тогда г = h^'hi е Н (x)s, и по свойству слабой аппроксимации существует элемент te е Н^к (](r(H(x)s П ^))- Имеем hit е Нк П U и y = ^hxtVG еАНкЬ U^x. Лемма доказана.

Применяя лемму 18 к действию G на X, с учетом односвязности G(x) (предложение 2.21) получим, что Хк П Uox = (GK П ,f| Uo)x и, в частности,

z = gx, geG^^. (6)

Далее, по построению (z/, г)Е р(С), т. е. у е (G (г)$о П Go) х. Поэтому, применяя лемму 5 к действию группы G^ на X, что возможно, ибо в силу предложения 2.21 группа G(x, г) опять -односвязна, получим, что

y = hx, heG ^к П Uo. (7)

Поскольку G (г) = gG ^g-', то из (6), (7) вытекает, что he eG(z)K(]U0=g(G(x)K(]U0)g~' = g(G(x)K(]U)g-' е N П U. и у = hx е (А П U) х. Доказательство теоремы 13 завершено.

Доказательство теоремы 4. В силу утверждения 2) леммы 14 достаточно показать, что в Ок имеет место стандартное описание нормальных делителей. Это получается из теоремы 13 при помощи индукции по степени т рассматриваемой группы. Так как указанные в теореме 4 типы в точности отвечают условию т "^ то + 1, то индуктивный шаг очевиден, и остается дать обоснование базы индукции в каждом случае. Другими словами, нужно в m-мерном пространстве IF над D при т = mQ + 1 найти такой анизотропный относительно / вектор х, что в группе G (х) имеет место стандартное описание нормальных делителей. Но в случае 1) из списка классических групп (см. § 2.4, п. 4) при D = L, т = то + 1 = 3 и в случае 4) при т = т0 + 1=2 .для любого анизотропного вектора хе|Т группа G(x) имеет тип Ai, и поэтому в G(x)x имеет место стандартное описание нормальных делителей (утверждение 3) леммы 14). Аналогично, в случае 2) при т = т0 + 1 = 5 группа G(x) имеет тип D2 = = А1 + Л1, и опять применима лемма 1. Немного сложнее разбираться со случаем 5), m = m0+l=4. Здесь группа Н = = G (х) имеет тип D^ = Л3. Покажем, что вектор xeW можно выбрать таким образом, чтобы группа Н оказалась либо

П-изотропной (и тогда отсутствие собственных нецентральных: нормальных делителей в Нк вытекает из теоремы 1), либо группой вида St/^f), где f — эрмитова форма над квадратичным расширением L/К, которые мы уже рассмотрели. При этом используется следующий признак:

Лемма 19. Пусть Н— простая односвязная К-группа типа Д3. Предположим, что И становится разложимой над некоторым квадратичным расширением L/K. Тогда Н есть одна из следующих групп-. SLv, SL2(D), D — тело кватернионов над К; su^h, где f— невырожденная эрмитова форма над L.

Доказательство легко получается из описания всех групп типа Ап (см. § 2.3).

Тем самым остается построить такой анизотропный вектор х е W, что для группы //=G(x) выполняются условия леммы 19. Сначала покажем, что в пространстве W найдутся векторы еь е2, удовлетворяющие условиям

ev ± е2, f ф^ = f (е2) =# 0. (8>

С этой целью для каждого и е Ий найдем такие регулярные- векторы s”, 1’е^®кКт, что su _L /”, f(sv) = f(tv). Используя слабую аппроксимацию в пространстве W и процесс ортогонализации, можно построить такие векторы s, te IF, что s _L t и

f (s) e f №\ f(t)efWv} (9).

для всех ueV^. Положим 6j = s и покажем, что в ортогональном дополнении IFO к вектору eY найдется вектор е2, для которого f(e2) = f(eY). В силу утверждения 3 из § 6.6 достаточно для каждого кеЦ найти вектор eD е IFO ® к Кв такой,, что Це”) = Цеу). Но согласно (9) fф) = ^sadv), ]ф) = ^t°d2) для подходящих dy, d2 е Dv. Тогда вектор е” = td2vd\ е IF о ® к Появляется искомым, ибо Це”) = K^di) = f(svdy) = Цз). Таким образом, существование векторов еу, е2, удовлетворяющих (8), установлено.

Положим U = evD-\-e2D и обозначим через h ограничение формы f на U. Тогда группа F = SU2(h) относится к типу Di = = АуХАу. С другой стороны, F становится разложимой над. квадратичным расширением Р = К^а) поля К, где a = f(ei) = = f(e2). Действительно, обозначим через Т, специальную унитарную группу пространства, натянутого на et. Тогда Т^сес ~ Rp1^ (Gm), и Т=Т\ XT г является максимальным тором в F, откуда и следует требуемое. Из отмеченных фактов вытекает,, что F = F\XF2 — прямое произведение групп типа Ay над К. Имеем Fi = SLv(Di), где Di— алгебра кватернионов над П. Сейчас мы установим существование такого вектора е3 е У-Ц что 6 = /(е3)#=0 и поле L == К(Ь) расщепляет алгебры Dy и

Di. Утверждается, что тогда в качестве х можно взять любой вектор, ортогональный щ, е2, е3. В самом деле, положим Н = = О(х) и покажем, что группа Н является Л-разложимой. Очевидно, Н содержит произведение FXT3, где Т3 ^ Rl/k (Gm)— одномерный тор, являющийся специальной унитарной группой пространства, натянутого на е3. Но по построению L расщепляет группу F и тор Т3, и все доказано, ибо ранги И и произведения F ХТ3 совпадают.

Для построения е3 обозначим через 5 конечное подмножество в VK, состоящее из таких у, что хотя бы одна из алгебр Dio, D2v является телом. Пус,ть yeS; тогда в пространстве U1®к КУ найдется такой регулярный вектор и”, что для Ьа = = f(uv) алгебра К, [6”] является полем. Действительно, если Da — тело, то в качестве и” можно взять произвольный анизотропный вектор; в противном случае следует воспользоваться тем фактом, что 4-мерная квадратичная форма над Ка всегда содержит анизотропную бинарную подформу (отметим, что поскольку и е S, то заведомо Ки^Су Возьмем в качестве е3 вектор из С!1, который настолько близок к векторам и” для и е S, что для 6=/(е3) алгебры Хо[6] и ^[6°] изоморфны при всех и е S (существование такой аппроксимации легко устанавливается, например, при помощи леммы Краснера, см § 6.4). Тогда из наших построений и сказанного в п. 1 § 1.5 вытекает, что поле L=K(b) является искомым. Теорема 5 полностью доказана.

Нам осталось провести доказательство теоремы 6. Итак, пусть G— простая алгебраическая /(-группа типа 62. Хорошо известно (см. Джекобсон [1]), что G реализуется как группа всех автоморфизмов алгебры С®кК, где С — некоторая алгебра октав над К. На алгебре С имеется «норменное» отображение N; С-^К, которое является невырожденной квадратичной формой степени 8 от координат в базисе С/К- Обозначим через W пространство «чистых» октав, т. е. ортогональное дополнение к единице алгебры С относительно билинейной формы (|), ассоциированной с N, и пусть / — ограничение N на W. Пространство IT = W ®к К и форма / инвариантны относительно G, причем, ограничивая действие группы G на W, мы получаем ее известное 7-мерное /(-определенное представление.

Доказательство теоремы 6 использует следующие свойства этого представления:

Предложение 6 (теорема Витта). Пусть a, b е W — два анизотропных вектора такие, что f(a) = f(b). Тогда существует geG со свойством g(b)=a. Далее, если а{, аг и bi, Ьг — две пары векторов из ^, порождающих невырожденные относительно f подпространства, причем f(ai)=f(bi) (i= 1,2), (ai|a2) = = (6i 162), то существует geG co свойством g(bi) = а,У =1,2).

Предложение 7. Для любого анизотропного относительно f вектора хе W стабилизатор G(x) изоморфен либо группе SL^ либо группе SU^^, где ср — невырожденная эрмитова форма над квадратичным расширением L/K, а для пары векторов х, у eW, порождающих невырожденное относительно f подпространство, стабилизатор G (х, у) есть либо SL2, либо SU2^. Таким образом, группы G (х) и G(x,y) являются полупростыми и односвязными.

Из предложения 7 и теоремы 5 вытекает, что для анизотропного х е U7 в группе G^K имеет место стандартное описание нормальных делителей, поэтому достаточно установить в нашей ситуации аналог теоремы 13. Этот аналог действительно имеет место, причем его доказательство полностью повторяет доказательство самой теоремы 13. Вся необходимая для этого арифметическая информация сосредоточена в следующем результате, который непосредсетвенно вытекает из утверждения Г в § 6.6 и следствия 2 из предложения 7.4: пусть z е W— анизотропный вектор, Wo— ортогональное дополнение к г и Z = = {х EW0®KK\f(x) = c}, где с е К; если Z^ V= 0 для ue е V», то Zk^ 0, причем в этом случае Z обладает слабой аппроксимацией относительно любого конечного подмножества 5 с VK. Восстановить детали рассуждений мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Существует еще одно доказательство проективной простоты группы GK для /(-анизотропной группы G типа G2, принадлежащее В. И. Черноусову (неопубликовано)*). Оно основано на уже использованном нами при доказательстве принципа Хассе для G факте, что любой максимальный /(-определенный тор Т eG лежит в К-определенной подгруппе Не G типа А2 (см. § 6.8). Рассмотрим произвольную нецентральную нормальную подгруппу N е GK и покажем, что N = GK. Пусть х е Gk. Так как группа G предполагается /(-анизотропной, то элемент х является полупростым и, следовательно, содержится в некотором /(-определенном максимальном торе Т е G. Рассмотрим содержащую Т /(-определенную подгруппу HeG типа А2. Вейлу теоремы 8 индекс [Gk:jV] конечен, откуда, в частности, вытекает, что пересечение HKf\N является нецентральной нормальной подгруппой в Нк. Поэтому, чтобы установить включение х е N и тем самым завершить доказательство требуемого факта, достаточно установить проективную простоту группы Нк. Но это будет следовать из теоремы 5, если показать, что Н имеет вид SU3(f) для подходящей эрмитовой формы f над некоторым квадратичным расширением L/K. Для этого воспользуемся тем

фактом (см. предложение 6.17), что группа G становится разложимой над квадратичным расширением L/К. Пусть В с G— — /.-определенная подгруппа Бореля. Имеем dim G = 14, dim Н = 8 и dim в = 8, так что dim (В П Н)^ 2. Отсюда следует, что группа Н над L становится изотропной. С другой стороны, список всех возможностей для Н выглядит следующим образом."

( (i) SLa,

( (ii) SLV (/)), D — тело индекса 3;

((ш) SIMD,

( (iv) SUV (D), D — тело индекса 3,

и ни одна из групп в случаях (ii) и (iv) /.-изотропной быть не может. Доказательство завершено.

Группы, разложимые над квадратичным расширением

Настоящий параграф посвящен доказательству теоремы 7. Мы будем вести рассуждения индукцией по рангу I группы G. При / = 2 группа G относится к одному из следующих трех типов: Л2, В2 = С2 или G2. Для групп типов В2 или G2 отсутствие нецентральных нормальных делителей в Gk вытекает из теорем 5 и 6. Изучение нормального строения произвольных групп типа А2 пока не завершено, однако в нашей ситуации встречаются лишь группы этого типа, разложимые над квадратичным расширением L/К- Такие группы имеют вид G =SUs(f), где / — невырожденная трехмерная эрмитова форма над L (см. рассуждения в конце предыдущего параграфа), и проективная простота GK снова вытекает из теоремы 5.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для всех указанных в ее формулировке групп ранга, меньшего /(/^3), и покажем, что оно верно, если ранг группы G равен I. С этой целью мы установим существование такого открытого подмножества U с G^, что любой элемент g е GK П О представим в виде

g = gi ■■■ gm,(1)

где элемент gt (t = 1, . . ., m) лежит в группе GiK для подходящей простой односвязной /(-определенной подгруппы G; с G, разложимой над L и имеющей ранг от 2 до /— 1. Тогда если N с GK — нецентральная нормальная подгруппа, то [Ох : ^] < <х> (теорема 8), и, в частности, пересечение GiK П N является нецентральной нормальной подгруппой в GiK. Поэтому по предположению индукции GiK^ N = GiK, откуда g^N, и, значит, ОкП U cz N. Но согласно лемме 1 Noo = Goo, так что NU = Goo

и ^(O^П ^)— Ок. Поэтому окончательно получаем, что N = GK, и теорема доказана.

Чтобы установить существование разложения (1), нам понадобится структурная информация о группе G. Согласно лемме 6.20 существует максимальный ^определенный тор Т cz G, разложимый над расширением L/K. Как мы отмечали после доказательства леммы 6.20 (§ 6.6), нетривиальный автоморфизм о е Gal (L/K) действует на группе характеров Х^Т) умножением на (—1), так что для любого корня o,eR = R(T, G) корневая подгруппа Ga cz G, порожденная одномерными унипотентными подгруппами Ua и U_a, определена над К (отметим, что Ga~SL2 над полем L). Зафиксируем, далее, некоторую подсистему простых корней П cz R и для любого подмножества 5 cz П обозначим через О2 подгруппу в G, порожденную группами Ga для a е S. Положим, наконец, Т^ = Т f) G^ (в частности, Ta=TV\Gay Нам понадобятся следующие хорошо известные свойства (см., например, Стейнберг [2]):

для любого подмножества SczII группа Gs является полупростой односвязной К-группой ранга, равного [S];

(2)(2)если Si 0^2=0, то GSin GSz = (l);

(2)

(2)

т = П та.

аеП

В каждой группе (Са)/.(аеП) выберем элемент w», который является представителем нетривиального элемента wa группы Вейля ^(Уа, Ga), и обозначим через Ха соответствующую «большую клетку» в разложении Брюа группы Ga, т. е. положим Ха = ВашаВа, где Ba = TaUa — подгруппа Бореля в Ga. Так как о(,Ва)= В_а = TaU_a и o(wa)=wat для подходящего teTa, то о (Ka) = B-aWaB-a", следовательно, многообразие

Ka Ka f] О (Ka) == Ba.WaBa П В—айУаВ—а (3)

определено над К и является открытым плотным подмножеством в Ga. В частности, dim К« = 3. Положим также У« = ХаТ = = ТХа и заметим, что в действительности Уа — Ка X Уп\{а} в силу свойства 2) в (2).

В § 2.1, п. 10 мы отмечали, что множество S — {й/а|аеП} порождает группу Вейля W=W(T,G), причем пара (W/S) является группой Кокстера. Рассмотрим элемент weW, имеющий максимальную длину относительно множества образующих S. Известно (см. Бурбаки [4]), что такой элемент единствен и характеризуется тем свойством, что переводит положительные корни в отрицательные, причем длина г его приведенного разложения ад = wa .. . War (a< е П) совпадает с числом положительных корней (отметим, что среди корней а, заведомо имеются совпадающие). Положим К = КО[ X • • • X Ко , У = Уо, X • • •

... X ^а , и пусть ф; Y-*G—морфизм-произведение. Определим, кроме того, действие тора Тг~х на Y следующим образом: если f = Ui, -.., XifeT"1, z/ = (z/i, ..., g^EY, то

У1 = Ц/A» ^УЛ- • • • - ^Уг-хЧ-х, СхУг) <4> (в этом параграфе нам удобно рассматривать «правое» действие, а не «левое», как обычно). Из равенств Ya = ХаТ = ТХа вытекает, что правая часть (4) попадает в У, и, следовательно, действие определено корректно. При этом из (4) непосредственно видно, что стабилизатор в Тг~х любой точки у е Y тривиален.

Лемма 20. 1) Для любого расширения P/К имеем ц>(Хр) = = Ф(УР).

Морфизм ф является доминантным, а его непустые слои совпадают с орбитами тора Тг~х.

современной терминологии утверждение 2), в частности, ■означает, что Y является торсером с базой ф(У) и структурной группой Тг-Х.)

Доказательство. 1) Поскольку Ya ~ Ха X Лтх {а}, то (Ya)p = = (Хфр (7’п\{а})/>. Но, как мы отмечали выше, Т нормализует Х«, и поэтому Тр нормализует (Ха)р. С другой стороны, (Ха)р(ТДр =(Ха)р. Используя эти факты, легко показать, что V ((X), X... х (ХМ - <р((Х), Xх (MW-

Для m^r рассмотрим морфизм-произведение ф(т): У<т) = = Уа, X ■ • • X Yam—> G и индукцией по т покажем, что слои морфизма ф<тв совпадают с орбитами действия тора Тт-Х на УХт), задаваемого формулой, аналогичной (4):

(Ур • • • > У Д) (^р • • • , tm-l)=(y/p ^1 У2^2’ 1 1 1 ’ гп-Дт-Х^ т-Х’ ^т-хУт)"

(5)

Из (5) вытекает, что ф(т)(уТт-х) = ф(т)(у) для любой точки у е У<т). Поэтому остается показать, что если ф(т,(у) = ф(т) (z), то z = yt для подходящего teTm-x. Для т=1 утверждение очевидно. Пусть m > 1 и для у,, zx е Уа. (t = 1, ..., m) имеем

Ух • ■ ■ Ут = 2\ . . . Zm. (6)

Положим g = утг"Д и покажем, что g еТ. Из (3) вытекает, что Уа с BwaB f] B-waB-, где В — подгруппа Бореля в G, ассоциированная с системой простых корней П, В- — противоположная подгруппа Бореля. Покажем, что g е В; аналогично показывается, что g е В-, и тогда g е В f] В- = Т, что и требовалось. Так какгруппа Gajn нормализуется тором Т, то g^GanT. Если предположить, что g^-B, то из разложения Брюа Gam = Bam и BamwanBttm в группе GOm вытекает, что ge

е ^BamWamBam)T czBwamB. Поскольку произведение гуо,, .. ., wa , будучи отрезком приведенного разложения ш, несократимо, то (Bwax . • • WatB) (BWa^B) = Bwav . . . Wai + 1B ДЛЯ ЛЮбОГО I < ОТ (см. Стейнберг [2]), откуда получаем, что

z' = Zi . . . Zm-1 е Bwat • . . Wam_AB,

У' = У\ ■ . ■ Ут-lg е Bwai . . . tyOmB.

Но в силу (6) у' — г', что противоречит тому факту, что двойные смежные классы в разложении Брюа для группы G не пересекаются. Итак, g е Т. Тогда ym_vg г¥ат1, и из соотношения у'= г' по предположению индукции вытекает существование таких /1, ..., /т_2 е Т, что

г\ = У^\'= Ч У^УZm-\ = ^т — чУт — хУ*

Тогда, полагая tm_x=g и 1=ЦХ, tm~x), будем иметь (</1, . .., ymy = ^zx, ..., ZmY

Таким образом, слои морфизма ср совпадают с орбитами тора ТГ-Х и поэтому имеют размерность /(г—1), где I—ранг группы G. Поэтому из теоремы о размерности слоев и образа морфизма вытекает, что

dim ф (У) = г dim Уа — (г — 1) I =

= г (3 + (/— l))-(r— 1) / = 2г +/= dim G, ибо 2г совпадает с числом всех корней группы G. Таким образом, морфизм ф доминантен, и лемма 20 доказана.

Из доминантности морфизма ф: Y->- G и предложения 3.3 вытекает, что ф(Уоо) содержит открытое в Goo подмножество U. Покажем, что для уеОкГ\О имеет место разложение (1), Пусть у е ф-1 (g)-^. Тогда для любого 0eGal(K/K) имеем Ф (у) = Ф (6 (у)) = g, так что в силу леммы 20 найдется единственный элемент /д е Т^Г1 со свойством 6 (у) = yt6. Легко проверяется, что семейство £ = {^е| 0 е Gal(^/^)} определяет коцикл со значениями в Тг-Х, причем для произвольного расширения Р том К включения g е ф(УР) и £ е Ке'г (Я1 (К, Р"1)—►- ->- Н1 (Р, Тг~х)) равносильны. По построению тор Т разложим над L, так что Нх ^L,Tr~x^ = 1, и, следовательно, geф(УL). Но ф(У£)=ф(Х£) (утверждение 1) леммы 20), поэтому элемент х=(%1, ..., хг) со свойством ф(х) = g можно выбрать уже в XL. Обозначим через £ = {/е} такой коцикл в НХ(К,ТГ~Х), что 0(х) = х/в. Основное для дальнейшего свойство коцикла g состоит в том, что е Кег (Н1 (К, Тг-1)^- Ц Я1 (Ко, Т^1)). ибо

по построению ^Еф(Уоо). Кроме того, ^Еф(Уд), и поэтому g

попадает в подгруппу H^L/K^T'-1), т. е. задается одним элементом / = /а е Т21 таким, что to(/) = 1. Используя эти факты, мы покажем, как перейти от разложения

(7)(7)g = xx ... хг

(7)

(7)

к разложению вида (1). Пусть a е П — «крайний» корень в диаграмме Дынкина системы корней R, 0— (единственный) «соседний с ним корень

Положим 5 = П\{а}. Нам достаточно установить существование таких элементов g.EGiK (J=L . ., d), где Gt — простая односвязная А-разложимая /(-подгруппа в G ранга 2, что элемент g' = gd . ■ ■ gig допускает представление вида

g' = hxh2, (8)

где hx ^(G^)l, h2 e(G«)L. Действительно, поскольку g'^GK, a GsnGa = (l), то из (8) вытекает, что h\ e (G^k. ^2 e (Ga^cz ^(Gfa, р})к, и поэтому эквивалентное (8) разложение g = =ST' • • • §d *^i^2 удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к разложению (1). Для осуществления перехода от разложения (7) к разложению (8), нужно в (7) «переставить» сомножители таким образом, чтобы собрать отдельно все х^ для которых a/GZ, и все Xt, для которых а, = а, компенсируя перестановку умножением на подходящие gt. Это легко достигается при помощи очевидного индуктивного рассуждения, построенного на следующем утверждении:

Предложение 8. Пусть элемент zeGK имеет вид z = = Z[Z2Xi ... Хг, где zx e^G^Y, г2е(Оа)ц и xt — сомножители из разложения (7). Тогда найдется такая простая односвязная L-разложимая К-подгруппа Н a G ранга 2 и такие элементы geH,, z^e<G^u z^<Ga>u что gz = z^xt+i ... xr.

Доказательство. Если a, = a, то можно положить z3 = zb z4 = z2Xt. Если a,, =й се, 0, то корней вида /а, + Ла, (/, k е Z\ (0)) не существует, поэтому из соотношений коммутирования (см. ■Стейнберг [2]) вытекает, что группы Gai и Ga перестановочны. В частности, перестановочны элементы z2 и Xi, и можно положить z3 = zxxu z4 = z2. Поэтому остается рассмотреть случай а, = 0. Пусть < = (/[,,.,,/г_1)еД-1— введенный выше элемент со свойствами /о(/) = 1 и о(х) = х/. Тогда

a(X|) = XiG, о (Хг) = д'хг/г, a (xr) = t7\xr. (9)

Мы будем работать с «частями» элемента /, а именно, положим u = ti и обозначим через s проекцию элемента ti-i на Т ^ в смысле прямого разложения Т = Т^ХТа. Из соотношения

Ат(/)=1 вытекает, что sa.(s) = ua(u) = 1, т. е. элементы s и и определяют коциклы в Нх ^L/K, Т-^ и HX(L/K,T) соответственно. Отметим, что эти коциклы становятся тривиальными при переходе к вещественным локализациям, ибо по псстрсению коцикл g е Н1 (L/К, Тг~х), определяемый элементом t, лежит в

Кет(я'(7(, Г-1)^ П нЧКи, Г-1)).

Положим а = zi, b — ziz2Xi.

Лемма 21. <т(а) = as, (ДЬ) = Ьи.

Доказательство. Поскольку z = bxw ... хг ей GK, то ZHo^i) = (хж ... Xr)or(x1+i ... xr)~x = Ь = и в силу (9). Аналогично показывается, что o(az2) = az2/,-i. По построению ti_Y=ss' для некоторого s'eT,., откуда 8-1а~1<т(а) = = (s-|z2s)s/a(z2)-1 е Gs f] Ga = (l) и о(а) — as, как и .утверждалось.

Лемма 22. Пусть (^Gl— такой элемент, что е = /~"1о(/)е е Тl, 6 = Int/— соответствующий внутренний автоморфизм. Тогда для любого подмножества А с П группа 6(Сд) и ограничение 61 г- Г->6 (Г) определены над К.

Доказательство. Группа 6(Сд) и морфизм 6|г заведомо определены над полем L, поэтому для доказательства их /(-определенности достаточно установить их инвариантность относительно о. Имеем (Л/Сд/-1) = a(f) Сдп^)-1 =/еСде-1/-* = fG&bxr ибо Т нормализует Сд. Аналогично, для любого (еТ. получаем (j(ftf~]) = feo(t)e~lf-1 = fcs(t)f~], что и требовалось.

Завершим доказательство предложения 8. Положим 6 = Int а, Н = 6 (G{а, pj). Из лемм 21, 22 вытекает, что группа Н определена над К и, очевидно, имеет ранг 2. Нам достаточно найти также элементы h е Нк, yv е (Яр) L, у2 е (Яа) ь, где Яа = = 6(Ga), Яр=6(Ср), что

Нб<ггх^ = у\у2,(10)

ибо тогда

hz = h6^x^axux ... xr = yxy^axl+x ...xr =

= ab~Y (z/Jd-1 G/2)xt-+i . . . xr,

и можно положить za = ab~4yi), z4 = d™1 (z/2).

Имеем

a (d (z2xz)) = a (6a-1) = bus-Ya-Y = 6 (z2xz) 6 (us-1).(11)

Поэтому наша задача сводится к отысканию таких yv, у2, что

<т(У1У2) = У1У2б(и5-1).(12)

Действительно, в этом случае из (И) и (12) получаем, что элемент h = b(z2Xi) (yiy2)-Y лежит .в Нк и, очевидно, удовлетворяет (10).

Лемма 23. Пусть уеЛ, de(7Y)i— такой элемент, что do(d) = 1. Предположим, что коцикл, в HX^L/K, Т^, определяемый элементом d, лежит в Кег (Нх (К, Т„)^- Ц И1 (Kv, 7V)).

Тогда для любого f ^ GL такого, что f-xG^)e Т L, найдется элемент g е f(Gy) Lf~l со свойством g~lo (g) = fdf~'.

Доказательство. Положим 6 = I nt /. Тогда согласно предыдущей лемме группа 6(GY) и ограничение 6|г определены над К. Отсюда следует, что элемент 1 = 6^ определяет коцикл |е HX^L/K, 6(ТУ)), который лежит в Кег (н1 (К, 6 (Ту)) -^• —> П Hl(Kv, 6 (Ту)). Но тогда из справедливости принципа

Хассе для группы 6(GY) получаем, что £ е Kei^T/^K, 6(7Y))—>- —^НХ(К, 6(Gy))), т. е. t = g”vo(,g>) для подходящего ge е 6(GY) L, и лемма доказана.

В нашей ситуации имеем 6(us-1) е Н П 6 (Т) = 6(Т(О| Р}),. так что d = us-i е Т(О, pj, и можно записать d=dxd2, где di е^Т^ь, ^2^(7а)£. Из наших построений вытекает, что элементы dv и d2 определяют коциклы соответственно в HX(L/K, Т^ и Hx(L/K,Ta), которые становятся тривиальными при переходе к вещественным локализациям. Тогда из леммы 23 непосредственно вытекает существование такого yv = (^р)^. что у^х<з (t/,) = ad^a 'T Положим f = у^а. Тогда f-1o(/) = = a_1z/~*(j(z/i) а = d\ е Т L. Применяя лемму 23 еще раз, найдем элемент р е }(На)ьМ со свойством p~lo(p) — fd2f~x. Полагая y2 = yrvPyi- будем иметь о^у^ = <т (z/i) ст (z/i)-* ст (р) <т( z/i) = = pfd2f-xyxadva-x = pfd2dva-x = yvy2G(.dvd2), и соотношение (12) доказано. Таким образом, доказательство предложения 8 и теоремы 7 завершено.

Как мы уже отмечали в § 9.1, из предложения 6.17 вытекает применимость теоремы 7 к любой односвязной К-анизотропной группе, относящейся к одному из типов Вп, Сп, Е7, Ев, Fs, G2, так что группы К-рациональных точек таких групп всегда являются проективно простыми.

Конгруэнц-проблема (обзор)

Пусть G— простая односвязная К-группа, NczGK — нецентральный нормальный делитель. Если S cz VK—конечное подмножество, содержащее Т (J V1^ *) и такое, что группа Gs

' *) Напомним, что через Т обозначается совокупность таких и е V^> что группа G является Ko-анизотропной, см. §9.1.

некомпактна fr. е. rangs G = У, rang^ G^lY то группа Г = X уеЗ у /

=Gy(S) бесконечна, и, как показывает доказательство теоремы 8,

GK/N ~ Г/Г П N. (1)

Мы вывели конечность факторгруппы, стоящей в левой части, из конечности факторгруппы, стоящей справа, которая имеет место при выполнении условий: rangs G ^ 2; Г П N ф ф Z (G). Эту связь между нормальным строением группы /(-рациональных точек GK и ее S-арифметических подгрупп (для произвольного S с Vх, содержащего лишь У£) естественно изучать дальше. В частности, естественно спросить: какое свойство нормальных делителей группы Г гарантирует выполнение для группы Ок гипотез 1, 2? Группа Г всегда обладает обширным семейством нормальных подгрупп конечного индекса, состоящим из конгруэнц-подгрупп

r(a) = {ge Г |g = е(modа)}, (2)

отвечающих ненулевым идеалам а кольца (?(S). (Как обычно, когда речь идет о целых или S-целых точках, мы фиксируем матричную реализацию О; в частности, сравнение в (2) рассматривается относительно этой реализации.) Таким образом, говоря о нормальном строении Г, естественно спрашивать, будут ли конгруэнц-подгруппами в определенном смысле исчерпываться все нормальные подгруппы в Г конечного индекса? Некоторый дополнительный анализ показывает, что корректная постановка здесь должна выглядеть следующим образом:

будет ли любая нормальная подгруппа в Г конечного индекса содержать подходящую конгруэнц-подгруппу Г (а)? (3)

Этот вопрос получил название конгруэнц-проблемы. Связь конг- руэнц-проблемы с проблемой изучения нормального строения групп рациональных точек раскрывает

Предложение 9. Пусть О— простая односвязная К-группа, S cz VK— конечное подмножество, содержащее V^. Предположим, что 'rangs G ф 1 и конгруэнц-проблема (3) для группы T = Ga{sy решается положительно. Тогда для группы Ок выполняется гипотеза 2 фм. § 9.1).

Доказательство. Обозначим через N замыкание N в группе S-аделей OAs. Тогда, рассуждая как при доказательстве леммы 1 и теоремы 8, легко показать, что

N = NT\(TfiS)XGASuT. (4)

Покажем, что N = Ок Л ^т\(тпз) = Ок П Н, где Н = A^x^nsiX XGrns— открытый нормальный делитель в От. По условию для подходящего ненулевого идеала heO(S) справедливо

включение Г(а)сГПА^. Из определения адельной топологии вытекает существование такой открытой подгруппы U с ОА$т что U f) GK = Г (а). Тогда U0=U_f\N является открытой подгруппой в GAs, содержащейся в N, и поэтому N — UnN. Пере секая с Ок, в силу (4) будем иметь

Ок П ^т\(тп$) = (По П Ок) N.

Но по построению Uo П О к с U П Ок = Г (a) с N, откуда Ок П П^т\(тп$) = ^1 что и требовалось.

Отметим, что приведенное рассуждение показывает, что для справедливости конгруэнц-проблемы для группы Г необходим» выполнение условия S^\T = 0. В самом деле, пусть uoeSfl ПТ и W с Окц — произвольный собственный открытый нормальный делитель. Тогда из слабой аппроксимационной теоремы вытекает выполнение для нормального делителя N = О к Ц П IF следующих свойств:

GkIN -GkJW =М,

Мт\(тл$) = Ст\(тл$).

Предположим теперь, что для группы r = Gj($) выполняется утверждение конгруэнц-проблемы (3). Тогда из доказательства предложения 9 и свойства 2) вытекает, что N = GK, а это противоречит свойству 1).

Таким образом, решение проблемы описания нормальных делителей в группе Ок можно получить, положительно решив, для группы r = G<?(S) конгруэнц-проблему (3). В этом смысле конгруэнц-проблема является априори более общей и более сложной задачей. В действительности именно так и обстоит дело. Скажем, отсутствие нормальных делителей в группе SLn№) (п ^2) было известно очень давно, в то время как полностью решить конгруэнц-проблему для групп SLn(Z ) уп 2> 3» удалось лишь в 1964 г., а для группы SL2(Z) она вообще решается отрицательно! Для того чтобы у читателя сформировалось правильное впечатление о соотношении этих задач, мы дадим краткий исторический обзор исследований по конгруэнц- проблеме, который рекомендуем сопоставить с историческим материалом из § 7.2 и 9.1.

Тот факт, что для группы Г = SLilZ) конгруэнц-проблема решается отрицательно, был отмечен Ф. Клейном [1] еще- в 1880 г. в связи с исследованиями по модулярным функциям. Однако исследовать конгруэнц-проблему уже для группы Г = = SL3(Z) долгое время не удавалось. Прогресс был достигнут в 1964—65 годах в работах Басса — Лазара —Серра [1] и Меннике [1], содержащих положительное решение конгруэнц-проблемы для групп SLn(Z) (п ^ 3). В ходе дальнейших исследований (см. Басс — Милнор — Серр [1]) выяснилось, что ответ на

конгруэнц-проблему для группы Г = SLn(0), где О’— кольцо целых поля алгебраических чисел К, определяется не только алгебраическими свойствами самой группы SLn, но и арифметикой основного поля К. Так, если поле К не является вполне мнимым, то конгруэнц-проблема по-прежнему решается положительно. Напротив, если поле К — вполне мнимое, то ответ на (3) отрицательный, однако существует подгруппа Г'сГ конечного индекса, для которой (3) уже решается положительно. Можно показать, что для группы r = SG2(Z) такая подгруппа отсутствует. Тем самым возникает необходимость в случае отрицательного ответа на вопрос (3) характеризовать степень нарушения указанного в (3) свойства (называемого конгруэнц- свойством). Так возникает важное в методологическом отношении понятие конгруэнц-ядра (см. Серр [6], Хамфри [3]), которое мы сейчас определим.

Пусть G— определенная над К алгебраическая группа, ScF— конечное подмножество, содержащее У£. Тогда несложная проверка, использующая предложение 1 из книги Бурбаки [2] гл. Ill, § 1, п°2, показывает, что на группе Ок можно определить две хаусдорфовы топологии то и тс, относительно которых Ок является топологической группой. Первая из них называется арифметической и имеет в качестве фундаментальной системы окрестностей единицы совокупность всех подгрупп конечного индекса группы Г, вторая — так называемая конг- руэнц-топология — соответственно совокупность всех конгруэнц- подгрупп Г(а). Используя результаты loc cit. гл. III, § 3, п°4, можно показать, что существуют пополнения О и О группы Ок относительно этих топологий. При этом, поскольку то сильнее тс, возникает непрерывный гомоморфизм л: О—>0, ядро CS(G)= Кег л которого называется конгруэнц-ядром. Можно рассмотреть также пополнения Г и Г группы Г относительно индуцированных топологий, которые совпадают с замыканиями Г в О и Gсоответственно. Тогда л индуцирует непрерывный гомоморфизм л0: Г —> Г, причем легко видеть, что Кег л = = Кег л0 с Г. Пополнение Г совпадает с проконечным пополнением группы Г, т. е. с проективным пределом ИтГ/М по всем нормальным делителям конечного индекса. Отсюда легко получается следующее утверждение (см. Серр [2], Хамфри [3]):

Предложение 10. Проекция л сюръективна, а ее ядро 0s (G) является проконечной группой. При этом 0s(G) тривиально в том и только том случае, если для группы Г = Gj(s> выполняется конгруэнц-проблема в форме (3)).

Таким образом, конгруэнц-ядро CS(G) измеряет степень отклонения от положительного решения конгруэнц-проблемы в форме (3). Поэтому под конгруэнц-проблемой в современной постановке понимают проблему вычисления конгруэнц-ядра CS(G), в отличие от постановки в форме (3), которую принято называть классической. Используя понятие конгруэнц- ядра, результат Басса — Милнора — Серра [1] можно сформулировать следующим образом:

Теорема 14. Пусть G есть либо SLn (п ^ 3), либо Sp2n ^п ^ ^2) над полем алгебраических чисел К. Тогда для 5 = У имеем

Cs (G) =Cs (G) =1, если К не является вполне мнимым,

Cs (G) =

Cs (G) =

Е (А) в противном случае,

где Е(К) — группа всех корней из единицы в К.

Таким образом, для рассматриваемых групп конгруэнц-ядро конечно. С другой стороны, можно показать, что для группы SU(Z) оно является свободной проконечной группой счетного ранга (см. Мельников [1]).

Развивая методы работы Басса — Милнора — Серра [1], Мацумото [2] получил аналогичное вычисление конгруэнц-ядра для универсальных групп Шевалле ранга ^ 2. В оставшемся случае G=SL2 сначала Меннике [2] положительно решил конгруэнц-проблему (3) для группы SL2 (Z [1/р]), а затем Серр [6] рассмотрел общую ситуацию, показав, что при [S] > 1 конгруэнц-ядро CS(G) тривиально, если S не является вполне мнимым, и изоморфно Е^К) в противном случае (ср. (10) ниже). Анализируя полученные к тому времени результаты, Серр [61 сформулировал следующую конгруэнц-гипотезу:

пусть G — простая односвязная алгебраическая К-группа1,

тогда конгруэнц-ядро Cs ^G) конечно, если rangsG =

= X rang^ G>2 и rang^ G>1 (6)

для v^S\V^*), и бесконечно, если rangsG=l.

отсутствовалоотсутствовало(Читателю может показаться странным, что определяя конгруэнц-ядро CS(G) для произвольных алгебраических групп, мы ведем речь о его вычислении только для простых односвязных групп. В действительности это не ограничивает общности, ибо можно показать (см. Платонов [6], Платонов, Шаромет [1]), что вычисление CS(G) сводится к полупростому случаю, а для полупростой неодносвязной А-группы G такой, что односвязная

отсутствовало

отсутствовало

накрывающая G обладает сильной аппроксимацией относительно S, конгруэнц-ядро CS(G) всегда бесконечно (см. Серр [2], Платонов [20]).)

Нас будет интересовать, в основном, первая часть конгруэнц- гипотезы, относящаяся к конечности CS(G), и сейчас мы изложим схему рассуждений, которая применялась во всех работах по этому вопросу.

По определению конгруэнц-ядро C=CS(G) входит в точную последовательность

1->C->G->G-> 1.(7)

Рассмотрим отвечающий (7) начальный отрезок спектральной когомологической последовательности Хохшильда — Серра

Нх (G) ~^> Нх (G) -> Нх (С)° Н2 (G),(8)

где НЦ^ обозначает t-ю группу непрерывных когомологий с коэффициентами в одномерном торе R/Z. Легко видеть, что

Coker ф = [G^, GJ/[GX, GJ,

где черта означает замыкание в Ок относительно S-арифметической топологии. Далее замечается, что S-конгруэнц-топология на Ок совпадает с индуцированной топологией при вложении Gk^Gas в группу S-аделей. Поэтому если предположить, что начиная с этого места мы находимся в условиях конгруэнц-ги- лотезы, то из сильной аппроксимационной теоремы вытекает, что группу G можно отождествить с ОА$. С другой стороны, по построению группа Ок вкладывается как в G, так и в б, т. е. последовательность (7) расщепляется над Ок и в действительности является «универсальной» последовательностью с этим свойством (см. Прасад, Рагунатан [2]). Отсюда следует, что

Im ф = М (О, S),

где М (О, S) = Кег (Н2 (Од$) Н2 (Ок)) — так называемое металле ктичес кое ядро (группа Ок считается наделенной дискретной топологией). Таким образом, из (8) получаем следующую точную последовательность:

1 —>Сокег ф—>/71 (С)°—>Af(G, S)—> 1.(9)

К сожалению, член Нх (С)° в общем случае несет информацию только о части конгруэнц-ядра С. Полностью восстановить С по Н1 (С)° можно лишь в том случае, когда С центрально, т. е. лежит в центре группы G, ибо тогда IV (С)с = EV (С) совпадает с группой С* двойственной по Понтрягину к С.

Теорема 15. Если конгруэнц-ядро С центрально, то оно конечно. Кроме того, если Coker ф=1, то C* = M(G,S).

В самом деле, метаплектическое ядро M(G,S) всегда конечно (см. Рагунатан [4], Прасад, Рагунатан [2]). С другой стороны, в силу теоремы 8 коммутант [G^, Gj<] имеет конечный индекс в GK; в частности, Coker ф также конечно. Поэтому утверждение о конечности С вытекает из точной последовательности (9) и последующих замечаний. Второе утверждение теоремы очевидно.

Следует отметить, что конечность С фактически эквивалентна его центральности. Более точно, если С конечно, а группа GK проективно проста, то С центрально. Таким образом, качественный аспект определения С (т. е. доказательство его конечности) сводится к доказательству его центральности.

Следующий этап исследований, естественно, связан с получением точных вычислений для С. Для этого прежде всего надо выяснить, тривиально Coker Ф или нет. Ясно, что Coker ф = 1, если группа GK не имеет собственных нецентральных нормальных делителей. Поэтому, в силу результатов § 9.1, Coker ф = 1, если группа G либо /(-изотропна и не является группой типа 2Е6, либо принадлежит к одному из типов Bi (1^2), Ci (I 2), Di (I 4, кроме 3D4,6D^, E7, Ea, F^, G2 или является специальной унитарной группой SUm(L, f) (т ^

невырожденной эрмитовой формы / над квадратичным расширением Е[Е. Пусть теперь G является /(-анизотропной внутренней формой типа Л„, Т = {и е Vf | G /(„-анизотропна}. Из условия конгруэнц-гипотезы вытекает, что S f) Т = 0, так что в силу теоремы 4 коммутант [Gj<, G^j замкнут в S-арифметической топологии, и опять Coker ф=1. Таким образом, тривиальность Coker ф не установлена лишь для некоторых форм типов 2Ап, 3Щ, 6/)4 и Е6, т. е. в большинстве случаев вычисление С (в случае его центральности) сводится к вычислению ме- таплектического ядра M^G, S).

В основополагающих работах Мура [1] и Мацумото [1] содержится вычисление M(G,S) для групп Шевалле. Их результат напоминает (5) и выглядит следующим образом.

Теорема 16. Пусть G— простая односвязная К-разложимая группа, S cl Vх— конечное подмножество, содержащее Vх. Тогда

( 1, если Зи е S \KV#= С,

M(G, S) = { Ю) ( Е (/() в противном случае.

Случай квазиразложимых групп был рассмотрен Деодером [1].

В целом период активных исследований в этой области конца 60-х годов сменился более чем десятилетним периодом забвения. Возрождение этой тематики относится уже к 80-м годам, когда Прасад и Рагунатан [2], [3] (для классических групп см. также Бак, Рехман [1], [2]) вычислили M(G,S) для всех /(-изотропных групп.

Теорема 17. Пусть G— простая односвязная К-изотропная группа. Тогда

(1, если S VK

MIG, S) = <

1с£(л) в противном случае.

Доказательство Прасада и Рагунатана основано на использовании некоторых ^определенных подгрупп в G типа SL2, которые строятся, исходя из предположения о ^изотропности G. По этой причине их рассуждения не переносятся в ^анизотропную ситуацию, исследование которой, выполненное Рапинчуком [3—4, 6], потребовало привлечения иных средств. К сожалению, результаты здесь пока не обрели унифицированную форму типа теоремы 17, и их приходится формулировать отдельно для разных типов групп.

Внутренние формы типа An_t. Здесь G = SL^Dy где D — тело индекса п над К. Положим Se ={и е l/^\S|Z) ®к Ку — ~М2^Рщу Fy — алгебра с делением над К^ и s = [Se] (число а — конечно, если п > 2, и бесконечно, если п = 2).

Теорема 18. Предположим, что S содержит неархимедово нормирование у0 такое, что D 0кКУо~ Мп^КУ^. Тогда M^G,S^ является конечной подгруппой группы B\D,S^ = ^Z/<2Zy. В общем случае M(G,S) изоморфно конечной подгруппе расширения группы B(D,S) при помощи группы Е(К) всех корней из единицы в К.

Следствие. Если Se = 0, в частности, если п нечетно, то

( 1, если Эоо е S | КУ:1 ¥= С и Dy„~ Мп <КУо\ Л4 (G, S) = {

( с £ (д) в противном случае.

(Последний результат фактически аналогичен классическому результату (10).)

Доказательство теоремы получается путем редукций к исследованию законов взаимности на максимальных К-торах группы G. Редукционная часть рассуждений в общих чертах аналогична классическим рассуждениям Мацумото [2] с той лишь разницей, что при работе с анизотропными группами, естественно, появляются анизотропные торы. Затем возникающие законы взаимности исследуются средствами алгебраической теории чисел. (Отметим, что аналогичные результаты о законах взаимности были получены независимо, но несколько позже Прасадом [3].)

Внешние формы типа An_t. Это специальные унитарные группы G = SUm(D,f), где D— конечномерное тело с инволюцией о второго рода, причем поле неподвижных относительно а элементов центра D совпадает с К, f—невырожденная о-эрмитова форма степени m над D (см. § 2.3).

Теорема 19. Пусть G = SUm(D,f) и пг^З. Если S содержит неархимедово нормирование, то M(G,S") имеет экспоненту,

не превосходящую 2. В общем случае M(G,S) является конечной группой, представимой в виде расширения группы экспоненты ^2, при помощи подгруппы группы Е^КУ

Доказательство использует теорему 18, свойства эрмитовых форм и локальные вычисления Прасада — Рагунатана [2].

Остальные классические типы. Используя теорему 18 и геометрическую реализацию групп классических типов, можно получить следующую теорему:

Теорема 20. Пусть G — простая односвязная К-группа одного из следующих типов-. Вп (n^2), Сп ^п^2у Dn (п^5). Предположим, что S содержит неархимедово нормирование у0 и что выполняются следующие условия:

если G принадлежит типу Вп, то либо п^З, либо п = 2 и G является Кео-разложимой;

если G принадлежит типу Сп, то G является К^-разло- жимой.

Тогда M(G,S) имеет экспоненту ^2. В общем случае M(G,S) является конечной группой, которая представима в виде расширения группы экспоненты ^ 2 при помощи подгруппы группы Е^Ку

Исключительные типы.

Теорема 21. Пусть G — простая К-группа одного из следующих типов: Е&, Р^, G2- Тогда M(G,S) тривиально, если S содержит неархимедово нормирование, и изоморфно подгруппе Е (К) в противном случае.

Для групп типа £7 получается результат, аналогичный теореме 20. Таким образом, остается исследовать метаплектиче- ское ядро для некоторых групп типов 2Л„, D^ и Е6.

Мы не имеем здесь возможности более подробно останавливаться на основных моментах доказательства теорем 18—21, из которых наиболее фундаментальной является теорема 18, а приведем лишь доказательство так называемой слабой ме- таплектической гипотезы (см. теорему 12), которую мы использовали при выводе теоремы 3 и которая в действительности является одной из составляющих доказательства теоремы 18.

Доказательство теоремы 12. Пусть G = SL^Dy где D— тело индекса п Т> 2 над К, Т = {и s Vf [ Dv — тело}. Нам надо показать, что отображение ограничения 9: Я2(бт)->- Н2 (Gk) инъективно. (Здесь и ниже рассматриваются непрерывные когомологии с коэффициентами в тривиальном дискретном модуле V = Q/Z. Можно, однако, показать, что в нашей ситуации те же результаты получаются, если модуль коэффициентов J заменить на одномерный тор ’^/Z.) Для этого рассмотрим такое максимальное подполе L a D, что все локальные расширения Lv/Kv неразветвлены для и (= Т, и пусть F = Rl/x (Gm) — соответствующий максимальный Д-тор группы G. Мы покажем, что

уже отображение ц: №(Gt)-* №(Fk) инъективно. Очевидно, ^ раскладывается в композицию двух отображений ограничения НЧОТ)-^Н2(РТ)-^Н2 (Fk),

и достаточно установить инъективность каждого из них.

Лемма 24. Отображение г] инъективно.

Доказательство. В силу п. 1, § 1.3 каждому коциклу a G еНЧН) отвечает центральное расширение

(И)(И)Н^ 1,

(И)

(И)

с которым для любых двух перестановочных подгрупп А, В с Н можно связать бимультипликативноеотображение 6:ЛХ^->7, 6 (а, 6) = [а, 5] = аЬа-'Б-\ где а ер-1 (а), йер^Х). При этом если Н— топологическая группа и коцикл а непрерывен, то расширение (11) также является топологическим, а функция 6 — непрерывной. После этих предварительных замечаний перейдем непосредственно к доказательству инъективности г).

Пусть а е Кег т] и

1 -+J^E~^FT^ 11 -+J^E~^FT^ 1(12}(12}

1 -+J^E~^FT^ 1

1 -+J^E~^FT^ 1

(12}

(12}

— отвечающее а центральное расширение. Коцикл а тривиален в том и только том случае, если это расширение тривиально' (т. е. расщепляется), а последнее в силу абелевости FT и делимости J эквивалентно абелевости Е (лемма 1.1). Чтобы установить абелевость Е, рассмотрим определенное выше бимультипликативное отображение 6: FtXFt-*J и покажем, что оно тривиально. Условие а е Кег г] сводится к тому, что расширение (12) расщепляется над Ек, т. е. существует сечение <р: F^-*E гомоморфизма р. Отсюда без труда следует, что ограничение ^^fkxFk тРивиальН0- Н° из предложения 7.8 вытекает плотность Ек в FT, поэтому из соображений непрерывности получаем, что 6 также тривиально. Лемма 24 доказана.

Лемма 25. £ инъективно.

Доказательство легко получается из следующего результата Прасада и Рагунатана [4].

Теорема 22. Для каждого и гТ отображение Н2^0к^-* —> Н2 (^Fk^ инъективно.

Пусть a е Кег £ и

\^I^E-^GT^\(13}

— соответствующее центральное расширение. Легко видеть, что для каждого игТ коцикл «и, отвечающий индуцированному расширению

l-^P"'^)^0^1,(14}

лежит в ядре отображения Я2 (Ску)-> Я2 (/^у) и поэтому в силу теоремы 22 тривиален, т. е. последовательность (14) расщепляется. Другими словами, для каждого уеТ существует непрерывный гомоморфизм ф0: GKy^>-E, являющийся сечением р над группой GK . Для того чтобы произведение ф = Ц фу доставляло сечение р над всей группой GT, необходимо и достаточно, чтобы подгруппы р-1 (G/<y) (у g 7) в Е были попарно перестановочны. Пусть щ, у2еТ и б: ОкУ1Х СкУ1^-J — отвечающее подгруппам СкУ1, GrV2 cz Gt бимультипликативное отображение, определяемое коммутированием. Наша цель — показать, что 6 тривиально. В силу бимультипликативности, 6 можно рассматривать как отображение GkJ\Gkw GK^XGKyJ\GKy2, GKy^J. ■С другой стороны, поскольку а г Кег 5, то ограничение 6 на Гк X ^Ку2 тривиально. Поэтому тривиальность 6 является следствием соотношения 0^ = Еку ^Gkb , Gku^, которое вытекает из теоремы 1.8. Тем самым лемма 25, а вместе с тем и теорема 12 доказаны.

Нам осталось убедиться в справедливости теоремы 22. Чтобы не переусложнять обозначений, положим С = Оку, B — F^y, и для каждого t = l, 2, обозначим через С; конгруэнц-подгруппу <5к„А(1 + фу), где фу — идеал нормирования в Dy; будем также считать Со равным С. Таким образом, наши обозначения будут полностью соответствовать обозначениям п. 4 § 1.4, результаты которого используются в рассуждениях. Доказывать, что отображение g: Я2(С)^-Я2(£) инъективно, мы будем следующим образом. Легко видеть, что Н2 (С) = lim Н2 (C/CJ, где прямой предел берется относительно естественных гомоморфизмов инфляции ИХС/С-)-^- H2{C/Cj) для i ^ j. Обозначим через Н2^^ образ №<С/С^ в Я2(С). Тогда Н2 (С) = [J Н2 (С)г. Так i

как группа С/С]— циклическая (см. предложение 1.8), то №(С/С])=1. Поэтому для любого нетривиального элемента ае№(С) можно найти такое минимальное число i ^ 2, что ■a е Н2(СХ Взяв а е Кег g и выбрав такое минимальное i, мы покажем, что на самом деле а е Я2(С),_], откуда а= 1. Наметим основную линию рассуждений, оставляя детали читателю в качестве упражнения.

Пусть г ^ 2, а е Я2 (С/Сг) и

—> 7—> £ —> С/Сг —> 1

-—отвечающее а центральное расширение. Для s^r положим Е (s) = р-1 (Cs/Cr). Всюду ниже предполагаем выполненным условие теоремы 12 о том, что п > 2.

Лемма 26. 1) Е^ централизует ЕЛг— 1).

а лежит в образе отображения инфляции Н2(С/Сг-\)-^- НЦС/Сг) в том и только том случае, если £(1) централизует

Е^г-\у

Доказательство легко вытекает из коммутационных соотношений между конгруэнц-подгруппами (см. § 1.4, п. 4) и оставляется читателю.

Нам удобно несколько переформулировать утверждение леммы. Поскольку £(2) действует на Е^г—1) тривиально, коммутирование (х, у)-*- [х, у\ задает корректно определенное отображение

Аа: £(1)/£(2)Х£(<- 1)/£ (<)->£

Но, очевидно, £(1)/£(2) = С]/С2 = £(1), £(л—1)/£(л) = = Сг_х/Сг = F(r) в обозначениях п. 4 § 1.4 (с. 46). Легко видеть, что А“ является биаддитивным отображением, инвариантным относительно естественного действия на £(1) и £(г) группы А = £/£(1) = С/С]. Поскольку экспонента £(/) равна соответствующему и простому числу р, то

Im A° с-^-Z/Z ~ Z/pZ.

Таким образом, Л“ можно рассматривать как биаддитивное А-инвариантное отображение £(1)Х £(r)-> £р = Z/pZ. При этом

ае1ш(//2(С/Сг_])->//2(С/Сг))^Ла = 0. (15)

Отсюда следует, что соответствие Н2(С/СГ)-+В (£(1), £(г— 1)), он—>Л“ (где £(£(1), F (г—1)), как и в § 1.4, обозначает множество биаддитивных А-инвариантных отображений £(1)Х X F(г—1)->£р) является гомоморфизмом абелевых групп, ядром которого служит Im(№ (С/С,-,)—>-£2(С/СГ)). (Отметим, что на самом деле этот гомоморфизм связан с одной из «стрелок» в спектральной последовательности Хохшильда — Серра, отвечающей расширению 1СЛ_]/Сг-> С/С,C/Cr_j1.) Наряду с отображениями Ла нам понадобятся «высшие» биад- дитивные А-инвариантные отображения Л? (t < г):

Л?: F (/) = £((t)/£(t + 1) X Е(г - /)/£ (г - I + 1) = F(r - I) -> Z[pZ, которые индуцируются коммутированием (х, р)-> [х, р]. Для обоснования корректности Л" нужно показать, что £(t+l) централизует ЕИ—t) для любого t=l, ..., г—1.

Предложение 11. 1) £(t"+ 1) централизует Е {г—/) для любого t = 1, ..., г—1; тем самым отображения Л" корректно определены. При этом Л? являются биаддитивными и А-инва- риантными.

Если г кратно п, то для любого ae№(67G) отображение М задается формулой Аа (х, у) = Trz/F (Лахо(у)), где ?£— подходящий элемент поля вычетов I тела Dv, о— каноническая образующая группы Галуа Gal (//feu), а группы Е^ отождествляются с подгруппами аддитивной группы поля / (см. § 1.4, п. 4). В этом случае Л.^ (х, у) = Гтl/F ^xal (у)), где Л“ =

Доказательство использует тождество Ф. Холла:

[[а, 6], 6с] [[6, с], са\ [[с, а], ab] = 1,

справедливое для любых элементов а, Ь, с некоторой группы, где ху обозначает элемент хух-1. Утверждение 1) будем доказывать индукцией по I. Случай / = 1 разобран в лемме 26. Предположим, что перестановочность £(/) и £ (г— /+ 1) уже доказана, и пусть ае£(1), beE^iV сеЕ^г— /). Тогда из тождества Холла и предположения индукции вытекает, что

[[а, 6], 6с] = 1,

т. е. [а,Ь] и ьс перестановочны. Поскольку ьсс = [6, с] е Е ^г — — Z + 1), то элементы [а, 6] и ьсс также перестановочны по предположению индукции, поэтому перестановочны и элементы [а, 6] и с. Но из коммутаторных соотношений между конгруэнц- подгруппами (см. § 1.4, п. 4) вытекает, что [£(1),£(/)]/=£(/+ + 1), следовательно, £(/+1) коммутирует с Е^г— /), что и требовалось. Утверждения о биаддитивности и А-инвариант- ности Л? очевидны.

Пусть теперь г кратно п. Тогда если £(1) является простым A-модулем, то при соответствующих отождествлениях отображение Л“ задается формулой

Ла (х, у) = rrllFp (Хаха (у))(16)

для подходящего Л“е/ (теорема 1.11). Немного позже мы покажем, что отображение Л“ имеет вид (16) всегда, а пока, используя (16), получим формулу для Л^х, у). Здесь снова проводится индукция по I.

Предположим, что уже установлена формула для A?-i и докажем ее для Л“. Рассмотрим произвольные ае£(1), be е E(i — 1), се£(г — /). Тогда, зафиксировав униформизующий элемент П е D„, будем иметь

р (а) = 1 + slT,

р(й) = 1 + ш‘-1,

р(с) = 1 +мПr-,

для подходящих s, /, и из кольца целых Опу. Тогда из леммы 1.8 вытекает, что

р([а, 6]) = 1 + xllz,причемх = so(/) — о1’-1 ^t,

р([6, с]) = 1 + уПг-1,причемд = 1а1-Ци)— аг-1^й,(17)

р ([с, а]) = 1 + zlT-1+1,причем2 = йог~1 (s) — а (и) s,

где черта обозначает вычетсоответствующего элемента в/.Учи

тывая тривиальность действия С] на У (г), из тождества Холла получим А? (х, и) — A“-i (у, s) + Лг-i+i (z, F) = 0. Далее, из очевидного тождества [а, 6]-1 = [6, а]-1 вытекает, что Л“(х, у) = = —A“-i (у, х) для всех х е F(i), yeFir — t), откуда

Л?(х, й) = Л?(5, y) + A?_i(F, z).(18)

Воспользовавшись теперь предположением индукции, получим Л" (х, й) = Trz/F (Ла5о (/а1-1 (й) — ar-t (F) й) +

+ Trz/F^ ((/1а + . .. + <з1-г (ла)) ■ /ст1 “1 (йаг-1 (s) — о (й) s)) =

= Trz/^ <(^° + а М + • ■ ■ + </’’ (Г)) so (F) а1' (й)) -

— Trz/z?o ((V + а (ла) + . . . + о1-1 (ла)) аг-1 (s) </ (F) а1 (й)) =

= Тг//др ((л“ + ■ • • + а*-' (л“)) (5ст (0 — а*-' (5) ^) °‘ (“)) =

= Тг//7?р(Л“хо‘(й)), ибо г кратно п.■

Таким образом, мы видим, что два биаддитивных отображения Л“ (х, у) и TrliF (к“ха‘ (у)) совпадают на тех элементах хе F^i), у s F^r — t), где х имеет вид x = sa(t)— о1'-1 (s)^ для некоторых ss77(l), t^F(i—1). Однако, как мы видели при доказательстве теоремы 1.9, элементы такого вида порождают всю группу F^i), поэтому тождественно

Л" (х, у) = 'Tr^pp (tfxo (у)).

Нам осталось показать, что в случае, когда ТД!) не является простым A-модулем, отображение Л“ также имеет вид (16). Поскольку п > 2, то в силу предложения 1.9 нам надо рассмотреть ситуацию, когда расширение /Ди есть расширение FM/F^. Как мы знаем (теорема 1.11), в этом случае можно гарантировать, что

Ла (х, г/) = ^гурр ^ха (У) + Нхст ^)8)

для некоторых X, ц е/, и наша цель — показать, что ц= 0. Из (17), (18) получаем, что для любых s, t, ml должно выполняться равенство (заметим, что г ^ п — 3)

Л“ (s<r (0 — <т (s) t, и) = Л“ (s, la (u) — ar-2 (z1) u) +

+ Л? (z, zz<rr“2(s) — o(u)s). (19)

Пусть Z = Ls, 'с e ку. Тогда из (19) получаем, что

0 = Ла (s, £ (so (и) — с/-2 (s) и)) + Ла (£$, шз-2 (s) — а (и) s) =

= Trz/f (р (£+ £8)sa (so (ы) — or-2(s) uf\ (20)

Лемма 27. В рассматриваемой ситуации элементы вида sa(sa(u) — ar-2(s)u)8(s, и е /) порождают I как абелеву группу.

Доказательство оставляется читателю.

Из леммы и равенства (20) вытекает, что ц(£ + £8) = 0, и так как можно выбрать ^ е kv со свойством £ + £80 (/г„ =

= РфРе\\ то р = 0. Предложение 11 полностью доказано.

Завершим доказательство теоремы 22. Пусть р е Ker g, где g: Н2(С)-^ Н2(В)-—отображение ограничения и р^О. Выберем такое минимальное число г > 1, что ре//2(С)г, и пусть а е ^ Н2(С/СГ)— такой элемент, который при отображении Н2 (С/Сг^-* Н2 (С) переходит в р. Утверждается, что г кратно п. В самом деле, если г не кратно, то из теоремы 1.11 вытекает, что В^Р^, Р^г—1)) = 0, ивсилу (15) отображение №(С/Сг_1)-> -+Н2(С/СГ) сюръективно. Таким образом, из минимальности г вытекает, что г кратно п. Тогда согласно теореме 1.11 соответствующее отображение Л“ задается формулой

Л° (х, у) = Trl/Fp (лахо (z/)), хер (1), у е F (г — 1), для некоторого "Ре!. Наша цель — показать, что а> = = Тг//^ (Ла) = 0. Заметим, что согласно предложению 11

Л“(х, z/) = Trz/Fp (toxz/), х е F (п), У e F(r — n).(21)

Далее воспользуемся тем обстоятельством, что р становится тривиальным при ограничении на В. Отсюда следует, что прообраз р-1 (ВСГ/СГ) (где р — расширение, отвечающее а) коммутативен. С другой стороны, согласно предложению 1.8 С„ = (С„П AB)CVh и Сг-п = (Сг-п А В) Cr_n+i. Поэтому из определения Л™ вытекает, что Л" = 0. Так как при каноническом отождествлении Р^п) и F(r—п) переходят в Z<0) = ^х е Z| Тг//А (х) = 0},то окончательно получаем, что

Тг//Л (<йху) = 0 для всех х, yel^.22))

Но (1(0))х = >ге1 I Trz/& ^zl№) = 0} совпадает с кр, так что из (22) вытекает, что ml^ с к^. Последнее невозможно, если со ^ 0, ибо dimb 1№ = п— 1 > 1. Итак,

со = Trz/fe^ (Л ) = 0.

Заключительный этап рассуждений выглядит следующим образом. Мы построим такой у g Кег(Д2(С/Сг)->//2(С/Сг+])), что A“ = A£ Тогда в силу (15) а—у е Im(№(£/£,_])->- —>№(С/СГ)), и поэтому образ а — у в //2(С) лежит в H2(C)r_i; с другой стороны, образ а — у в //2(С) по построению совпадает с образом а, откуда ре //2(С)Г_]—противоречие.

Для построения у представим Л“ в виде Л“ = б— об (бе /), что возможно в силу условия Trz/fe (Л“) = 0, и определим ере g Hom(f(r),fz) формулой cp(x) = Trz/f (бх). Используя отож- 1 р

дествление Z/pZ~ —Z/Z cz 7, будем считать, что ф е Hom(£(г), J). Рассмотрим тривиальное расширение

!->/->£' = (C/Cr+1) X J -> C/Cr+1 -> 1

и обозначим через Ф подгруппу в £', состоящую из элементов вида (g,—cp(g)), где geC./Cr+1, Поскольку г кратно п, то Сг/Сг+\ лежит в центре группы С/Сг+Х, откуда следует, что подгруппа Ф нормальна в Е'. Пусть уе//2(С/Сг) — коцикл, отвечающий расширению

1J -> Е = £?Ф ~qcr = С1СГ+Х1СГ1СГ+Х -> 1.

В силу наших построений у е Кёт (Я2(С/Сл)-> Я2(С/Сг+1)), и остается показать, что

AY (х, г/) = Tr1(F(xaxo (t/)) = Trz/fp ((б — об) ха (у))

для всех хе£(1), у ^ F (г—1). Для этого заметим, что коммутатор двух элементов ае£(1) и 6е£(г—1) можно вычислить следующим образом: взять произвольные прообразы с и d элементов е(а) и е(Ь) в группе С/Сг+1 и рассмотреть коммутатор [с, d] е Сг/Сг+Х = F(r); тогда [а, 6] = ф ([с, d]). Поэтому из формул коммутирования (см. лемму 1.8) вытекает, что

А7 (х, у) = ср (ха (у) — с/-1 (х) у) =

= TrljFp (б (ха (г/) — ya-1 W)) = Ттцрр ((6 — ст6) хст (^)) = л“ (х- ^)-

Теорема 22 доказана.

Завершая наш обзор исследований по конгруэнц-проблеме, укажем на имеющиеся к настоящему времени результаты о центральности конгруэнц-ядра. Прежде всего центральность конг-

руэнц-ядра может быть установлена путем манипуляций с унипотентными элементами в группе Ок (если они существуют). Эта идея восходит к фундаментальным работам Басса — Милнора— Серра [1], Меннике [1], [2], Мацумото [1] и Серра [6]. Окончательный результат принадлежит Рагунатану [4], [б], который показал, что для простой односвязной К-группы О существование унипотентных элементов в Ок (т. е. ^изотропность G) вместе с условием rangs О ^ 2 действительно обеспечивает центральность конгруэнц-ядра 0s (G). В его рассуждениях наличие унипотентных элементов в Ga играет существенную роль, и поэтому они не могут быть распространены на анизотропные группы. До недавнего времени единственным результатом о центральности 0s (G), в котором допускаются также анизотропные группы, была теорема Кнезера [14], касающаяся спинорных групп квадратичных форм. Оказалось, однако, что рассуждения Кнезера имеют общую природу и применимы к другим группам с удобной геометрической реализацией. Вначале Рагунатан и Томанов рассмотрели случай групп типа Сп, а затем Рапинчук [9] доказал следующую общую теорему:

Теорема 23. Пусть О — простая односвязная К-группа одного из следующих типов; Вп(п^2), Сп(.п^2), Z)„(rt^5), О 2, либо специальная унитарная группа SUm(L,f) (m ^ 4) невырожденной эрмитовой формы f над квадратичным расширением L поля К, относящаяся к типу 2Ат-ь Тогда, если rangs G ^ 2, то конгруэнц-ядро 0s (G) центрально.

Доказательство базируется на развитии метода Кнезера [14] и использует технику § 9.3. Рассуждения здесь, как и в § 9.3, имеют общую природу и применимы к другим группам с удобной геометрической реализацией; их схема для групп типа G2 приведена в работе Рапинчука [8].

Геометрический метод, при помощи которого получена теорема 23, по-видимому, не применим к исключительным группам, ибо эти группы не обладают подходящими геометрическими реализациями. Здесь решение конгрунэц-проблемы было получено при помощи нового подхода, использующего внутреннюю структуру группы.

Теорема 24 (Рапинчук [9]). Пусть О — простая односвязная К-анизотропная группа одного из следующих типов; Е7, Е8, Е^. Если rangs G ^ 2, то конгруэнц-ядро Cs (G) центрально.

Доказательство использует тот факт, что группы рассматриваемых типов разложимы над квадратичным расширением поля К (по этой причине среди перечисленных типов отсутствует Е^).

Отметим, что при доказательстве практически всех результатов по конгруэнц-проблеме, в частности, теорем 23 и 24 используется проективная простота группы рациональных точек.

К сожалению, на сегодняшний день мы не имеем никакой информации по конгруэнц-проблеме для анизотропных внутрен-

них форм типа Ап. Уже долгие годы не поддается исследованию даже минимальный случай групп типа Дц хотя нормальное строение групп рациональных точек здесь известно (теорема 2). В частном случае G = SLi(D'), где D— тело неопределенных кватернионов над Q, 5 = {оо,р}, причем простое число р выбрано таким образом, что поле Qp расщепляет D, эта задача принадлежит Ихаре (см. Коуровскую тетрадь, выпуск 1978 г., задача 5.33). Отметим, что результаты Серра [9] позволяют определить точную алгебраическую структуру Gz^sp Повиди- мому, основные результаты здесь еще впереди.

ДОПОЛНЕНИЕ

На стадии прохождения корректур представилась возможность написать небольшое дополнение к основному тексту книги с изложением некоторых результатов, появившихся уже после сдачи книги в печать. За это время в арифметической теории алгебраических групп был получен ряд новых важных результатов, однако ограниченность объема дополнения не позволяет нам дать цх систематический обзор. В то же время мы сочли неуместным подменять такой обзор простым перечислением фактов, ибо это явилось бы сильным контрастом с основной частью книги. По этой причине мы приняли решение включить в дополнение краткое, но концептуальное изложение двух результатов, которые вплотную примыкают к проблематике книги. Первый из них связан с теоремами конечности некоторого нового типа (§ Д.1), второй — с гипотезой В. П. Платонова об арифметичности (§ Д.2).

§ Д.1. Теоремы конечности для дискретных подгрупп в полупростых группах с ограниченным объемом факторпространства

В § 4.6 мы установили, что для полупростой Q-определенной алгебраической группы G любая арифметическая подгруппа Г cGr является решеткой, т. е. дискретной подгруппой с конечным объемом факторпространства Gr/Г. Точная величина объема Gr/Г была вычислена нами только для случая группы G = SL2. До недавнего времени такие вычисления имелись лишь для разложимых (Лэнглэндс [1]) и квазиразложимых (Лэй [2]) групп. Не было также ответа на ряд естественных качественных вопросов, связанных с объемом Gr/Г, в частности, на вопрос о том, может ли этот объем быть произвольно малым. Решение многих из этих вопросов содержится в глубоких работах Бореля — Прасада [1] и Прасада [4], о которых пойдет речь в настоящем параграфе.

Уже довольно давно было известно), что в случае простой R-определенной группы G с условием rangRG>l существует лишь конечное число классов сопряженности таких решеток FcGr, что объем факторпространства Gr/Г относительно фиксированной меры Хаара на группе Gr ограничен некоторой константой. Впоследствии Титс поставил вопрос о справедливости аналогичного результата для решеток Г в группах GK точек простых алгебраических групп G над неархимедовыми локальными полями К, причем в его постановке фиксировалась только константа, ограничивающая объем факторпространства Gk/V, но допускалась вариация поля К и /(-группы G (при

некотором «универсальном» определении меры Хаара на Gr). Ясно, что в такой постановке этот вопрос приобретает новый смысл и для решеток в вещественных группах, а также обобщается на решетки в произведениях вещественных и р-адиче- ских групп (в частности, на S-арифметические подгруппы, см. § 5.4). Исследованию этой проблемы для S-арифметических подгрупп и посвящена работа Бореля — Прасада [1]. Прежде чем формулировать ее основные результаты, введем некоторые обозначения.

Пусть G — простая односвязная алгебраическая группа над числовым полем К, G'—некоторая группа, изогенная G над К. Для ueVK обозначим через у/ меру Хаара на группе G'K (см. § 3.5), которая нормализуется следующим образом. При v е У£ мы должны иметь р' (/D) = 1, где Д — подгруппа Ивахори в G^ (см. § 3.4). Для veV^ рассмотрим группу Н = Rkjr (G')- Тогда G'K ~ Нр, и достаточно определить меру ц' на HR. Пусть До —такая C/R-форма группы Н, что группа Hqr компактна (она всегда существует). Поскольку алгебра Ли L^H^~ ^L(H0\ то любой инвариантной дифференциальной форме степени п = dim Н на Н отвечает аналогичная форма на //0, и поэтому любой мере Хаара на Hr отвечает мера Хаара на Hor (см. § 3.5). Тогда мера р' нормализуется таким образом, чтобы объем Нж относительно соответствующей меры равнялся 1. Для любого конечного подмножества SceV^, содержащего V*, обозначим через р$ меру Хаара на группе G', которая является произведением мер р', ugS. В этих обозначениях имеет место

Теорема Д.1. Зафиксируем константу с > 0. Имеется лишь конечное число таких возможностей для выбора числового поля К, конечного подмножества S се Vk, содержащего У^, и (с точностью до К-изоморфизма) К-группы G' абсолютного ранга ^2, что существует S-арифметическая подгруппа Г'с се G^, для которой р^ (Gg/F') ^с. При этом число классов сопряженности таких Г' в G' также конечно.

Теорема Д. 1 представляет собой теорему конечности принципиально нового типа. Действительно, все варианты теорем конечности, рассмотренные в книге, утверждают конечность некоторых множеств (Я1 (К, G), Ш(G), Ga^G^G к и т. д.), связанных с индивидуальной алгебраической группой G. Здесь же мы имеем конечность некоторого класса объектов (S-арифметических подгрупп с ограниченным объемом факторпро- странства) в произвольных простых группах ранга ^2. Другими словами, доказывается не только конечность числа классов сопряженности таких подгрупп в каждой отдельной группе,

но и их отсутствие во всех группах за исключением конечного числа.

Методы, развитые для доказательства теоремы Д. 1, позволяют также получить один интересный результат о равномерном росте чисел классов простых односвязных алгебраических групп компактного типа. Для его точной формулировки условимся о некоторых обозначениях. Пусть S сд VK — конечное подмножество, содержащее V*, и для каждого neV^xS задана парахорическая подгруппа Pv сд GKy. Тогда набор Р = (Pv)„sVk \$ называется согласованным, если Pv=Gcy для почти всех ugK^XS. В этом случае подгруппа 1Д8, P) = GSх П р0 ye=V^\S является открытой в Gд. Предположим теперь, что 5=И^ и для согласованного набора Р = (РУ)иеук будем писать U (Р) вместо U (V^, Ру Тогда из теоремы 5.1 вытекает конечность числа двойных смежных классов U(РУСДС^, которое мы обозначим через с (Р).

Теорема Д.2. Зафиксируем константу С > 0. Существует лишь конечное число таких числовых полей К, простых односвязных К-групп G компактного типа и классов сопряженности относительно группы GAf согласованных семейств Р = ^РУ)веук парахорических подгрупп, что с(Р) ^ С.

Отметим, что для произвольной решетки L, задающей реализацию группы G, найдется такой согласованный набор Р парахорических подгрупп, что G^ (оо) сд U (Р). Тогда cl (GL) ^ с (Р), и поэтому из теоремы Д.2 вытекает

Следствие. Для любого С > 0 существует конечное число таких пар (Gi, L^, i = 1, ..., d, состоящих из простой односвязной алгебраической группы G^ сд GLni, определенной над числовым полем Kt, и решетки Lt сд ДД, что выполняется следующее утверждение-, если G сд GLn — простая односвязная алгебраическая группа компактного типа над некоторым числовым полем К и L а Дп—такая решетка, что c\(GL)^C, то для подходящего ie{l, ..., d^ имеем K = Kt, G — G; над К и группа Ga(oo) изоморфна подгруппе, сопряженной в GiA с подгруппой йЬДА{аоу

Другими словами, имеется лишь конечное число простых односвязных групп компактного типа, имеющих реализации с ограниченным числом классов, и для каждой группы имеется лишь конечное число таких существенно различных реализаций. Тем самым теорема Д.2 устанавливает существование некоторой системы табу внутреннего характера, которые «запрещают» почти всем простым односвязным группам компактного типа

иметь реализации с малым числом классов (в частности одноклассные, ср. с теоремой 8.4). Было бы интересно выявить чисто арифметический механизм этого явления. Кроме того, хотелось бы иметь теорему, аналогичную теореме Д.2, для всех полу- простых групп, а не только для простых и односвязных. В связи с этим укажем, что для ортогональных групп положительно определенных квадратичных форм вопрос об одноклассных реализациях решает следующая теорема Пфейфера): одноклассные положительно определенные квадратичные формы от трех и более переменных существуют лишь над конечным числом полей алгебраических чисел; при этом над каждым полем К имеется только конечное число классов эквивалентности таких форм f, для которых идеал 6(f) имеет ограниченную норму (здесь 8(f) — идеал в кольце целых Ок поля К, порожденный значениями соответствующей билинейной формы на решетке Ок; в частности, условие S (f) = Ок выделяет примитивные формы).

Остановимся кратко на основных узловых моментах доказательства теорем Д.1 и Д.2. Одним из таких моментов является формула Прасада [4] для вычисления объема ц$(С$/Г), где Г — так называемая главная S-арифметическая подгруппа, т. е. подгруппа вида r = Gj<|V П ^0Y где (Рр)реУкч5 — неко- \У6=У^\5/

торый согласованный набор парахорических подгрупп. Приведем общий вид этой формулы, опуская определение некоторых явно указываемых констант. Пусть L— минимальное расширение поля К, над которым G становится внутренней формой, если тип G отличен от 6Z)4, и подполе степени 3 над К в таком расширении, если G — группа типа 6D4. Пусть также mi ^ ... ... т,— показатели системы корней группы G (см. Бурбаки [4], гл. VI, § 1, п° 11).

Теорема Д.З. Имеет место формула

La- гL / rх [К: Q]

PS(Gs^ = D2k^е’

VJi (2л) ‘ + )

где Dk (соответственно Dl)—дискриминант поля К (соответственно L), s — некоторая константа, зависящая только от внутреннего типа группы G, т(6) — число Тамагавы группы G, е — некоторая константа, зависящая от набора парахорических подгрупп (Р^yGv^xs-.

Далее используется тот факт, что в действительности т(С) = = 1 (см. с. 294), и поэтому этот множитель может быть опу-

щен. Анализируя формулу из теоремы Д.З с помощью различных теоретико-числовых оценок, в частности, оценок для дискриминантов числовых полей, Борель и Прасад получают конечность числа таких троек (К, S, G), что для подходящей группы G', изогенной G над К, существует S-арифметическая подгруппа Г'сзО^, для которой ц^ (G$/r') ^ с. Заключительный этап доказательства теоремы Д. 1 связан с обоснованием конечности числа классов сопряженности S-арифметических подгрупп с ограниченным объемом факторпространства для фиксированной группы. Здесь используются теоремы конечности для когомологий Галуа и оценки индексов S-арифметических подгрупп в своих нормализаторах, которые получаются из подходящего обобщения результатов Рольфса [3].

Отметим, что большинство результатов этого параграфа при некоторых незначительных ограничениях сохраняет силу и для групп над глобальными полями положительной характеристики.

§ Д.2. Представления групп конечной ширины

Пусть Г — абстрактная группа с конечным числом образующих. В этом параграфе мы будем рассматривать представления Г исключительно над полями нулевой характеристики, причем в большинстве случаев основным полем будет поле С комплексных чисел. Обозначим через /?ДГ) и ХП(Г) многообразия n-мерных представлений Г и их характеров. В § 7.5 мы уже обсуждали группы так называемого конечного представленче- ского типа, т. е. группы, удовлетворяющие условию

сПтХ„(Г) = 0 для всех n^l. (1) В настоящее время основные усилия по изучению таких групп направлены на доказательство гипотезы об арифметичности, выдвинутой первым из авторов (см. с. 477). К сожалению, продвижения в этом направлении пока не слишком значительны. Тем не менее все известные примеры групп, удовлетворяющих (1), действительно получаются из S-арифметических групп. Но даже для этих групп проверка условия (1) отнюдь не является тривиальной, а использует либо положительное решение конгруэнц-проблемы, либо результаты Маргулиса [6] о супержесткости. Однако оба этих метода не позволяют раскрыть связь условия (1) со структурными свойствами группы Г. С другой стороны, ясно, что без выявления такой связи далеко продвинуться в анализе групп конечного представленче- ского типа нельзя. Один пример «структурного» подхода к проверке условия (1) мы уже привели в § 7.5, а именно, там мы показали, что условие (1) для группы Г = 5АЯ(/) (п 3) выводится из ограниченной порождаемости группы Г

относительно множества элементарных матриц (см. предложение- 7.14). Недавно вторым автором) была получена абстрактная версия этого результата, а именно, показано, что (1) выводится из такого чисто комбинаторного свойства Г, как конечность ширины.

Напомним, что группа Г называется группой конечной (или ограниченной) ширины, не превосходящей t, если существуют такие элементы уь ..., у# е Г, что Г = <yi> ... <у#>, где <у,>— порожденная элементом у, циклическая подгруппа. Введем также следующее условие:

для любой подгруппы Д сд Г конечного индекса группа Г?6 = КДГ], Г1]конечна.

Теорема Д.4. Пусть Г — группа конечной ширины, удовлетворяющая условию (2). Тогда dimXn(F) = 0 для всех п^\.

Отметим, что условие (2) является необходимым для выполнения (1). Укажем также на ряд следствий из теоремы Д.4.

Следствие 1. Пусть TaGLn^^—вполне приводимая подгруппа конечной ширины, удовлетворяющая условию (2). Тогда существует такой элемент geGLn(C), что gVg-1 a GLn(K), где К — подходящее поле алгебраических чисел.

Следствие 2. Пусть СсдСЛДС)— простая R-определенная алгебраическая группа. Если rangpG^2 и Г сд Gr— решетка, имеющая конечную ширину как абстрактная группа, то существует такая матрица §ЕС1.Пй что gVg-1 сд GLn(K), где К — некоторое поле алгебраических чисел.

Один из ключевых моментов доказательства теоремы Д.4 содержится в следующем утверждении.

Предложение Д.1. Пусть Г — абстрактная группа конечной ширины ^t. Тогда для любой подгруппы Г]СдГ конечного индекса про-р-пополнение Ij является аналитической про-р-груп- пой (т. е. компактной группой Ли над QP) размерности ^(.

Доказательство получается при помощи одного из критериев аналитичности (см. Лазар [1], с. 206).

Как заметил О. И. Тавгень [3], из предложения Д.1 вытекает, что группа Г конечной ширины является линейной в том и только том случае, если существует подгруппа Fi сд Г конечного индекса, которая для некоторого простого р аппроксимируется конечными р-группами. Таким образом, из справедливости гипотезы В. П. Платонова об арифметичности получалась, бы следующая абстрактная характеризация арифметических групп: если группа Г имеет конечную ширину, удовлетворяет

(2) и существует такая подгруппа Г1 ст Г конечного индекса, жоторая для некоторого простого р аппроксимируется конечными р-группами, то Г — группа арифметического типа.

Из предложения Д.1 вытекает, что для подходящей подгруппы Г1 сс Г конечного индекса про-р-пополнение f i^ является аналитической про-р-группой максимальной возможной размерности. Тогда соответствующая алгебра Ли gi над Qp с точностью до изоморфизма не зависит от выбора подгруппы Г1 сс Г с описанными свойствами. Мы будем называть gi р-ал- геброй Ли данной группы Г, adim-;p gi— аналитической р-раз- мерностью Г и обозначать через dimpr. Укажем на следующий интересный вопрос: пусть Г — линейная группа конечной ширины; верно ли, что для почти всех р число dimpr не зависит -от р? Если нет, то может ли образ отображения pi—^>dimpr (р— простое) быть бесконечным?

Дадим набросок доказательства теоремы Д.4. Как и при доказательстве предложения 7.14, достаточно показать, что для любого представления р: F-^-GLn(C) множество следов X = = {tr р(у)|у е Г} целиком состоит из алгебраических чисел. Оказывается, при этом можно заменять группу Г на подгруппу конечного индекса.

Лемма Д.1. Пусть Г; ст Г — подгруппа конечного индекса, Xi ={tr р(у) |у е Г1}. Тогда поле Q(X) является алгебраическим (и даже конечным') расширением поля Q(Xi).

Имеем р(Г)сг СЛ„(Д), где А cz С— некоторое конечно порожденное подкольцо. Далее используется следующее утверждение, доказательство которого базируется на конструкции вложений в локально компактные поля из работы Платонова [10].

Лемма Д.2. Существует такое бесконечное множество П простых чисел, что для каждого реП имеется бесконечно .много вложений Сть с2, ... кольца А в Zp, удовлетворяющих следующему свойству: при i =А j пересечение о; (А) (] а, (А) состоит из алгебраических чисел.

Беря композицию представления р с вложениями а,, мы получаем представления pi: Г -> GLn\ZP). Пусть g— р-алгебра Ли группы Г. Имеем g = 5 Ф т, где т — радикал д, а алгебра 5 полупроста. Существует лишь конечное число (скажем, д') неэквивалентных представлений т: 9-*-gln(Qp). Рассмотрим представления pi, ..., pi+ь Переходя к подгруппе конечного индекса, можно без ограничения общности считать, что образы рДГ) (/=1, d 4- 1) лежат в конгруэнц-подгруппе GL„(ZP, р), следовательно, р/ продолжаются до аналитических представлений р(: f(p) —> GL^Zp), и, кроме того, Г|р) является полупрямым произведением S>- R, где S и R—аналитические про-р-группы с алгебрами Ли 5 и г

соответственно. Из наших построений вытекает, что для подходящих двух индексов i, /^{1, ..., d + 1} представления pf и р/ индуцируют эквивалентные представления алгебры Ли 5, поэтому, переходя к подгруппе конечного индекса, можно считать, что ограничения р( |s и р,- |s эквивалентны; в частности tr р( (х) = tr р; (х) для всех xeS. С другой стороны, из условия (2) вытекает, что для любого представления л: Г^-СЛП(С) разрешимый радикал связной компоненты G0 алгебраической группы G, получаемой замыканием Х(Г), совпадает с ее унипотентным радикалом, поэтому, переходя снова к подгруппе конечного индекса, можно считать, что tr pfc (xt/) = tr pfc (х) для всех xeS. yeR (6 = i, j). Но тогда tr p,(x)= tr p;-(x) для всех x e П-Т В частности, о, (tr p (у)) = o; (tr p(y)) для любого у g Г. Поэтому из леммы Д.2 вытекает, что trp(y)—алгебраическое число, что и требовалось.

Теорема Д.4 дает качественное описание совокупности всевозможных представлений группы Г. Оказывается, что для S-арифметических подгрупп конечной ширины можно дать полное описание самих представлений.

Теорема Д.5. Пусть G — простая односвязная алгебраическая группа над полем алгебраических чисел К, ScV' — конечное подмножество, содержащее V^„ и Г сд G^— плотная по Зарисскому S-арифметическая подгруппа. Предположим, что для G над К выполняется гипотеза 2 из § 9.1. Тогда если Г имеет конечную ширину, то для любого представления р: Г-*- —*-GTn(C) существует такой рациональный гомоморфизм р': Rk/q(G) -> GLn (С), что р и р' совпадают на некоторой подгруппе Г' сд Г конечного индекса.

Следствие 3. В условиях теоремы Д.5 Г не содержит таких нецентральных нормальных делителей N бесконечного индекса, что факторгруппа T/N — линейная. В частности, выполняется условие (2).

Доказательство теоремы Д.5 содержится в указанном препринте А. С. Рапинчука. Там же показано, что для S-арифметической подгруппы Г свойство конечности ширины связано также с конечностью конгруэнц-ядра CS(G). В связи с этим естественно сформулировать следующую гипотезу, которая на сегодняшний день представляется одной из наиболее существенных в теории арифметических групп: пусть Г — S-арифметическая подгруппа простой алгебраической группы G; тогда если rangsG= £ rang^yG^:2, то Г имеет конечную ширину ueS

(ослабленный вариант: проконечное пополнение Г имеет конечную ширину как проконечная группа).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А б е л ь с (Abels Н.)

Finite presentability of S-arithmetic groups//London Math. Soc. Leet. Notes Ser. 1986. N 121. P. 128—134.

Finite presentability of S-arithmetic groups, compact presentability of solvable groups//Lect. notes math. 1987. N 1261. P. 1 —176.

Алгебраическая теория чисел/Под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха. — М.: Мир, 1969. (Цитируется как АТЧ.)

Аллан (Allan N. D.)

The problem of the maximality of arithmetic groups//Proc. Symp. Pure Math 1966. V. 9. P. 104—109.

Maximality of some arithmetic groups//An. Acad. Brasil. Siens. 1966. V. 38, N 2. P. 223—227.

Arithmetic subgroups of some classical groups//An. Acad. Brasil. Siens. 1967. V. 39, N 1. P. 15—18.

On commensurability class of the Siegal modular group//Bull. Amer. Math. Soc. 1968. V. 74, N 1. P. 115—118.

Some non-maximal arithmetic groups//Rev. Golomb. Math. 1968. V. 2, N 1. P. 21—28.

On the maximality of Sp(L') in Sp„(A)//Rev. Golomb. Math. 1970. V. 4, N 1. P. 7—15.

Maximal open compact subgroup of the projective symplectic group over a locally compact discrete valuation field//Rev. Golomb. Math. 1971. V. 5,. N 3. P. 31—58.

A note on the arithmetic of the orthogonal groups//Rev. Golomb. Math. 1973. V. 7, N 2. P. 53—66.

A note on the arithmetic of the orthogonal groups. II//Port. Math. 1974. V. 33, N 3—4. P. 193—197.

Алберт (Albert A.)

Structure of algebras. New York: Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 1939. Аппельгейт, О н и а ш и (Appelgate Н., Oniahi Н.)

Similarity problem over SL(n, Zp)//Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 87, N 2. P. 233—238.

A p а с о и (Arason J. Kr.)

Cohomologische Invarianten quadratischer Formen//J. Algebra. 1975. V. 36. P. 448—491.

Артин (Artin M.)

Brauer groups in ring theory and algebraic geometry//Lect. Notes Math. 1982. V. 917. P. 194—210.

Артин Э.

Геометрическая алгебра. — M.: Наука, 1969.

Артин, Тейт (Artin Е., Tate J.)

Class field theory. Harvard, 1961.

А ш (Ash A.)

Cohomology of congruence subgroups of SL(n, Z)//Math. Ann. 1980. Bd 249, N 1. S. 55—73.

On the top Betti number of subgroups of SL(n, Z)//Math. Ann. 1983- Bd 264, N 3. S. 277—281.

Small-dimensional classifying spaces for arithmetic subgroups of general linear groups//Duke Math. J. 1984. V. 51, N 2. P. 459—468.

A hi, Грейсон, Грин (Ash A., Grayson D., Green P.)

Computations of cuspidal cohomology of congruence subgroups of SL(3, Z)//J. Number Theory. 1984. V. 19, N 3. P. 412—436.

A hi, Стивенс (Ash A., Stevans G.)

Cohomology of arithmetic groups and congruences between systems of Hecke eigenvalues//! reine und angew. Math. 1986. Bd 365. S. 192—220. Бак (Bak A.)

Le probleme des sous-groupes de congruence et le probleme metaplecti- que pour les groupes classiques de rang > 1//C. r. Acad. sci. 1981, ser. 1. V. 292, N 5. P. 307—310.

Бак, Pex ман (Bak A., Rehman N.)

The congruence subgroup problem for skew field//C. r. Acad. Sci. 1979.

V. 289, N 3. P. A15L

The congruence subgroup and metaplectic problems for SLrt^2 °f division algebras//J. Algebra. 1982. V. 78, N 2. P. 475—547.

Аг-analogs of Hasse’s norm theorem//Comment. math. helv. 1984. V, 59, N 1. P. 1—11.

Бартельс (Bartels H.-J.)

Invarianten hermitescher Formen fiber Schiefkorpern//Math. Ann. 1975. V. 215, N 3. S. 269—288.

Zur Klassifikation schiefhermitescher Formen fiber Zahlkorpern//Math. Ann. 1976. B. 219, N 1. S. 13—19.

Definite arithmetische Gruppen//J. reine und angew. Math. 1978. Bd 301.

S. 27—29._

Zur Galoiskohomologie definiter arithmetischer Gruppen//J. reine und angew. Math. 1978. Bd 278. S. 89—97.

Zur Arithmetik von Konjugationsklassen in algebraischen Gruppen//J. Algebra. 1981. V. 70, N 1. P. 179—199.

Zur Arithmetik von Diedergruppenerweiterungen//Math. Ann. 1981. B. 256. S. 465—473.

Бартельс, Кита ока (Bartels H.-J., Kitaoka Y.)

Endliche arithmetische Untergruppen der GLnIll. reine und angew. Math. 1980. V. 313, S. 151—156.

Басс (Bass H.)

The congruence subgroup problem//Proc. Conf. Local Fields. Dribergen, 1966. Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1967. P. 16—22.

Алгебраическая А-теория. — M.: Мир, 1973.

Басс, Лазар, С е р р (Bass Н., Lazard М., Serre J.-P.)

Sous groupes d’indices finis dans SL^n, Z)//Bull. Amer. Math. Soc. 1964. V. 70. P. 385—392.

Басс X., Милнор Д ж., С epp Ж.-П.

Решение конгруэнц-проблемы для SLn ЮЗ) и Sp2n (п ^ 2)//Математика. 1970. Т. 14, № 6. С. 64—128; Математика. 1971. Т. 15, № 1. С. 44—60.

Бенер-Флюкигер (Bayer-Fluckiger Е.)

1. Intersections de groupes orthogonaux et principe de Hasse faible pour les systemes de formes quadratiques sur un corps global//C. r. Acad. sci. 1985. Ser. 1. V. 301, N 20. P. 911—914.

Principe de Hasse faible pour les systemes de formes quadratiques//J. reine und angew. Math. 1987. Bd 378. P.^53—59.

Бейль (Beyl F.)'

The Schur multiplicator of SL(2, Z]mZ) and congruence subgroup pro- perty//Math. Z. 1986. Bd 191, N 1. S. 23—42.

:Б e й л ь. Тайне (Beyl F. R., Тарре J.)

Group extensions, representations and the Shur multiplicator//Lect. Notes Math. 1982. V. 958.

Бер (Behr Н.)

Ober die endliche Definierbarkeit von Gruppen//J. reine und angew. Math. 1962. Bd 211. S. 116—122.

Ober die endliche Definierbarkeit verallgemeinerter Einheitengruppen. II// Invent. Math. 1967. Bd 4, N 4. S. 265—274.

Zur starken Approximation in algebraischen Gruppen fiber globalen Kor- pern//J. reine und angew. Math. 1968. Bd 229. S. 107—116.

Endliche Erzeugbarkeit arithmetischer Gruppen fiber Funktionenkorpern// Invent. Math. 1969. Bd 7, N 1. S. 1—32.

Explizite Prasentation von Chevalleygruppen fiber Z//Math. Z. 1975. Bd 141. S. 235—241.

ВТ-з^Д!]) is not finitely presentable//London Math. Soc. Leet. Notes Ser. 1979. N 36. P. 213—224.

Finite presentability of arithmetic groups over global function fields// Proc. Edinburgh Math. Soc. 1987. V. 30, N 1. P. 23—39.

Бертран (Bertrand D.)

Endomorphismes de groupes algebriques: applications arithmetiques// Approxim. diophant. et nombres transcendents. Colloq. Luminy. 13—19 Juin, 1982. Boston, 1983. P. 1—45.

Б ё г e (Boge S.)

Eine Bemerkung zur Reduktiontheorie in orthogonalen Gruppen//Math. Ann. 1971. Bd 193, N 1. S. 38—48.

Бондаренко A. A.

К. проблеме максимальности арифметических подгрупп в ортогональных группах типа В„//Мат. заметки. 1974. Т. 16, № 1. С. 151—161.

К классификации максимальных арифметических подгрупп в ортогональных группах типа (Д;)//ДАН БССР. 1974. Т. 18, № 9. С. 773—776.

Классификация максимальных арифметических подгрупп в ортогональных группах типа (Д;)//ДАН БССР. 1975. Т. 19, № 11. С. 969—972.

К классификации максимальных арифметических подгрупп в разложимых группах//Мат. сборник. 1977. Т. 102, № 2. С. 155—172.

Классификация максимальных арифметических подгрупп неопределенных ортогональных групп типа (В/)//Мат. сб. 1985. Т. 127, № 1. С. 72—91. Бондаренко А. А., Рапинчу к А. С.

К оценке числа двойных смежных классов групп аделей алгебраических групп//ДАН БССР. 1978. Т, 22, № 5. С. 397—400.

Б орев ич 3. И., Шафаревич И. Р.

Теория чисел. — М.: Наука, 1985.

Борель А.

Some finiteness properties of adele groups over number fields//Publ. Math. I. H. E. S. 1963. V. 16. P. 101 — 126.

Арифметические свойства алгебраических групп//Математика. 1964. Т. 8, № 2. С. 3—17.

Некоторые свойства групп аделей, связанных с алгебраическими груп- пами//Математика. 1964. Т. 8, № 2. С. 73—75."

Фундаментальные множества арифметических групп//Математика. 1965. Т. 9, № 1. С. 127—139.

Density and maximality of arithmetic subgroups//J. reine und angew. Math. 1966. Bd 224. S. 78—89.

Фундаментальные множества арифметических групп и автоморфные формы//Математика. 1968. Т. 12, № 4. С. 80—103; 1968. Т. 12, № 5. С. 34—90; 1968. Т. 12, № 6. С. 3—30.

■7. Introduction aux groups arithmetiques. — Paris: Hermann, 1969.

Линейные алгебраические группы.—M.: Мир, 1972.

Cohomologie reele stable des groupes S-arithmetiques classiques//C. R. Acad. Sci. 1972. V. 274. P. A1700—Al 702.

Stable real cohomology of arithmetic groups//Ann. Sci. Ecole Norm Sup. 1974. V. 7. P. 235—272. -

Cohomology of arithmetic groups//Proc. Intern. Congr. Math. Vancouver, 1974. V. 1. P. 435—442.

Admissible representations of a semi-simple group over a local field with vectors, fixed under Iwahori subgroup//Invent. Math. 1976. Bd 35. S. 233—259.

Cohomologie des sous-groupes discrete et representations des groupes semisimples//Asterisque. 1976. V. 32—33. P. 73—112.

Stable and //-cohomology of arithmetic groups//Bull. Amer. Math. Soc. 1980. V. 3, N 3. P. 1025—1027.

On free subgroups of semi-simple groups//Enseign. Math. 1983. V. 29, N 1—2. P. 151 — 164.

Oeuvrescollectedpapers.Vol.1:1948—1958. — Berlin:Springer,1983.

Oeuvrescollectedpapers.Vol.2:1959—1968. — Berlin:Springer,1983.

Oeuvrescollectedpapers.Vol.3:1969—1982. — Berlin:Springer,1983.

Борель, Касельман (Borel A., Casselman W.)

Cohomologie d’intersection et //-cohomologie de varietes arithmetiques de rang rationnel 2//C. r. Acad. sci. 1985. Ser. 1. V. 301, N7. P. 369—373. Борель, Мостов (Borel A., Mostow G. D.)

Algebraic groups and discontinuous subgroups//Proc. Symp Pure Math. 1966. v. 9. 426 p.

Борель, Прасад (Borel A., Prasad G.)

Finiteness theorems for discrete subgroups of bounded covolume in semi-simple groups//Publ. Math. I. H. E. S. 1989. V. 69. P. 119—171.

Борель, Cepp (Borel A., Serre J.-P.)

Theoremes de finitude en cohomologie galoisienne//Comment. Math. Helv. 1964. V. 39, N 2. P. 111—164.

Adjonction de coins aux espaces symmetriques; applications a la cohomologie des groupes arithmetiques//C. r. Acad. Sci. 1970. V. 271, N 23. P. Al 156.

Cohomologie a supports compacts des immeubles de Bruhat—Tits; applications a la cohomologie des groupes S-arithmetiques//C. r. Acad. Sci. 1971. V. 272, N 2, P. A110—Al 13.

Corners and arithmetic group//Comment. Math. helv. 1973. V. 48, P. 436—491.

Cohomologie d’immeubles et de groupes S-arithmetiques//Topology. 1976. V. 15, N 3. P. 211—232.

Борель, Спрингер (Borel A., Springer T. A.)

Rationality properties of linear algebraic groups//Tohoku Math. J. 1968. V. 20. P. 443—497.

Борель, Титс (Borel A., Tits J.)

Редуктивные группы//Математика. 1967. T. И, № 1. С. 43—111; Т. И, № 2. С. 3—31.

Complements a 1’article «Groupes reductifs»//Publ. Math. I. H. E. S. 1972. N 41. P. 253—276.

Унипотентные элементы и параболические подгруппы редуктивных групп. ///Математика. 1972. Т. 16, № 3. С. 3—12.

Борель, Уоллах (Borel A., Wallach N.)

Continuous cohomology, discrete subgroups and representation of reductive groups//Ann. Math. Stud. 1980. N 94.

Борель, Хардер (Borel A., Harder G.)

Existence of discrete compact subgroups of reductive groups over local fields///, reine und angew. Math. 1978. Bd 298. S. 53—64.

Борель, Хариш-Чандра (Borel A., Harish-Chandra)

Arithmetic subgroups of algebraic groups//Bull. Amer. Math. Soc. 1961. V. 67. N 6. P. 579—583.

Арифметические подгруппы алгебраических групп Ли//Математика. 1964. Т. 8, № 2. С. 19—71.

Б о р о в о й М. В.

Абстрактная простота некоторых простых анизотропных алгебраических групп над числовыми полями//ДАН СССР. 1985. Т. 283, Ns 4. С. 794.

Когомологии Галуа вещественных редуктивных групп и вещественные формы простых алгебр Ли//функц. анал. и его прил. 1988. Т. 22, № 2. С. 63—64.

Абстрактная простота групп типа Dn над числовыми полями//Успехи матем. наук. 1988. Т. 43, № 5. С. 179—180.

Слабая аппроксимация в однородных пространствах//ДАН СССР (в печати).

Браун К.

Когомологии групп.—М.: Наука, 1987.

Бритто (Britto J.)

On defining a subgroup of the special linear group by a congruence//.!. Indian Math. Soc. 1976. V. 40, N 1—4, P. 235—243.

On the construction of non-congruence subgroups//Acta arithm. 1977. V. 33, N 3. P. 261—267.

Б p ro a (Bruhat F.)

Sur les representations des groupes classiques p-adiques. I//Amer. J. Math. 1961. V. 83, N 2. P. 321—338.

Sur les representations des groupes classiques p-adiques. II//Amer. J. Math. 1961. V. 83, N 2. P. 343—368.

Sur une classe de sous-groupes compacts maximaux de groupes de Che- valley sur un corps p-adique//Publ. Math. I. H. E. S. 1964. V. 23. P. 621 — 650.

Groupes algebriques semisimples sur un corps local//Actes Congr. intern, math. Paris, 1970. P. 285—290.

Б p го а, Титс (Bruhat F., Tits J.)

Groupes algebriques simples sur un corps local//Proc. Conf. Local Fields. Driebergen, 1966. Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1967. P. 23—36..

Строение полупростых алгебраических групп над локальными полями// Математика. 1968, Т. 12, № 5. С. 19—33.

Groupes reductifs sur un corps local//Publ. Math. I. H. E. S. 1972. V. 41. P. 5—252.

Groupes reductifs sur un corps local. Chap II. Schemas en groupes. Existence d’une donnee radicielle valuee//Publ. Math. I. H. E. S. 1984. V. 60.

Schemas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local//Bull. Soc. Math. Er. 1984. V. 112, N 2. P. 259—301.

Groupes algebriques sur un corps local. Chap. III. Complements et applications a la cohomologie galoisienne//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1987. Sec IA. V. 34, N 3. P. 671—688.

Бурбаки H.'

Алгебра. — M.: Физматгиз, гл.I—HI — 1962, гл. IV—VI — 1965,

гл. VII—IX— 1966. ■

Общая топология. — М.: Наука, гл. I—II— 1968, гл. III—VIII— 1969. гл. IX—X— 1975.

Интегрирование. — М/. Наука, гл. I—V — 1967, гл. VI—VII— 1970.

Группы и алгебры Ли. — М.: Мир, гл. I—III— 1976, гл. IV—VI— 1972, гл. VII—VIII— 1978.

Коммутативная алгебра. — М/. Мир, 1971.

Бюргисер (Biirgisser В.)

On the projective class group of arithmetic groups//Math. Z. 1983. Bd 184, N 3. S. 339—357.

Вайсман (Weisman C. S.) .

On the connected identity component of adele class group of an algebraic torus//Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 21. N 1. P. 155—160.

Ванг (Wang S.)

■ 1. On the commutator group of a simple algebra//Amer. J. Math. 1950. V. 72, N 2. P. 323—334.

A note on free subgroups in linear groups//J. Algebra 1981. V. 71, N 1. P. 232—234.

On anisotropic solvable linear algebraic groups//Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 84, N 1. P. 11 — 15.

Ван дер Варден Б. Л. '

Алгебра. — M.: Наука, 1976..

Вассерштейн (Vaserstein L. N.)

О группе SU над дедекиндовыми кольцами арифметического типа// Матем. сборник. 1972. Т. 89, № 2. С. 313—322.

On full subgroups of Chevalley groups//Tohdku Math. J. 1985. V. 37, N 4. P. 423—454.

On arithmetic subgroups of simple algebraic groups//Linear algebra and Appl. 1985. V. 72. P. 93—96.

В e й л ь (Weil A.)

Sur la theorie des formes quadratiques//Coll. Theorie Groupes Algebr. Bruxelles. — Paris. 1962. P. 9—22.

On the arithmetic theory of the classical groups//Proc. Conf. Arithm, Algebr. Geom. 1963. New-York. P. 1—3.

Алгебры с инволюцией и классические группы//Математика. 1963. Т. 7, № 4. С. 31—56.

Адели и алгебраические группы//Математика. 1964. Т. 8, № 4. С. 3—74.

О некоторых группах унитарных операторов//Математика. 1969. Т. 13, № 25. С. 33—94.

О формуле Зигеля в теории классических групп//Математика. 1969. Т. 13, № 6. С. 18—98.

Основы теории чисел.—М.: Мир, 1972.

Adeles and algebraic groups. — Boston: Birkhauser, 1982.

Вейсфейлер (Weisfeiler B.)

Принцип Хассе для алгебраических групп, разложимых над квадратичным расширением//Функц. анализ и его приложения. 1972. Т. 6, № 2. С. 21—23.

Strong approximation for Zariski-dense subgroups of semi-simple algebraic groups//Ann. Math. 1984. V. 120, N 2. P. 271—315.

Венкатарамана (Venkataramana T. N.)

Sur la super-rigidity et Farithmeticite des reseaux dans les groupes sur des corps locaux de caracteristique quelconque//C. r. Acad. sci. 1986. V. 302, N 10. P. 371—373.

Zariski dense subgroups of arithmetic groups//J. Algebra. 1987. V. 108, N 9 P 495440

Верфритц (Wehrfritz В. A. E.)

The conjugacy of tori//Bull. London Math. Soc. 1986. V. 18, N 1. P. 11 — 16.

В и и 6 e p г Э. Б.

О группах единиц некоторых квадратичных форм//Матем. сб. 1972. Т. 87, № 1. С. 18—36.

В инберг Э. Б., Горбацевич В. В., Шварцман О. В.

Дискретные подгруппы группы Ли//Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат/. Фундам. направления. 1988. № 21. С. 5—120.

В и и б е р г Э. Б., О и и щ и к А. Л.

Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М/. Наука, 1988.

Основы теории групп Ли//Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: Фундам. направления. 1988. № 20. С. 5—101.

В и и берг Э. Б., Шварцман О. В.

Дискретные группы движений пространств постоянной крнвизны//Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат.: Фундам. направления. 1988. № 29. С. 147—259.

Витт (Witt Е).

Schiefkorper iiber diskret Bewertung K6rpern//J. reine und angew. Math.

1936. Bd 176. S. 153—156.

Воронович И. И.

1. Локально-глобальный принцип для алгебр над полями рациональных функций//ДАН БССР. 1987. Т. 31, № 10. С. 877—880.

Линейный локально-глобальный принцип для алгебр над полями рациональных функций: Препринт № 25/295. Минск: Ин-т мат. АН БССР, 1987.

Воскресенский В. Е.

Бирациональные свойства линейных алгебраических групп//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. Т. 34, № 1. С. 3—19.

О слабой аппроксимации в алгебраических группах//Исследов. по теории чисел. — Саратов: изд-во Саратов, ун-та, 1972. Вып. 4. С. 3—7.

Алгебраические торы. — М.: Наука, 1977.

Целочисленные структуры в алгебраических торах и группы классов числовых полей//Семинар по арифметике алгебр, многообразий. Саратов, 1979. С. 8—15.

Проективные инвариантные модели Демазюра//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1982. Т. 46, № 2. С. 195—210.

Арифметика алгебраических групп и однородных пространств//Иссле- дования по теории чисел. Саратов. 1987. № 9. С. 7—38.

Гарланд (Garland Н.)

The spectrum of non-compact G/T and the cohomology of arithmetic groups//Bull. Amer. Math. Soc. 1969. V. 75, N 4. P. 807—811.

A finiteness theorem for AL of a number field//Ann. of Math. 1971. V. 94. P. 534—548.

On the cohomology of discrete subgroups of p-adic groups//Proc. Intern. Congr. Math. Vancouver. 1974. v. 1. P. 449—453.

Гарланд, Рагунатан (Garland H., Raghunathan M. S.)

Fundamental domains for lattices in (R)-rank one semi-simple Lie groups//Ann. of Math. 1970. V. 92. P. 354—360.

Гарланд, Сия (Garland H., Hsiang W. C.)

A square integrability criterion for the cohomology of arithmetic groups// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1968. V. 59, N 2. P. 354—360.

Гаусс К. Ф.

Арифметические исследования//Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 7—583.

Герстейн (Gerstein L. J.)

On the proper spinor genus of a quadratic form//Lin. and Mult. Algebra. 1982. V. 11, N 2. P. 203—208.

Г о д e м а и (Godement R.)

Domaines fondamentaux des groupes arithmetiques//Sem. Bourbaki (1962—1963). Paris. 1964. V. 15, N 3. P. 257/01—257/25.

Formes automorphes et produite euleriens d’apres R. P. Langlands//Lect. Notes. Math. 1971. V. 179. P. 37—53.

Гото M., Гроссханс Ф.

Полупростые алгебры Ли. — М.: Мир, 1981.

Громов (Gromov М.)

Hyperbolic groups//Essays Group Theory. N. Y., 1987. P. 75—263.

Громов, Пятецкий-Шапиро (Gromov M., Piatetski-Shapiro I.)

Non-arithmetic groups in Lobachevsky spaces//Publ. I.H.E.S. 1988. N 66. P. 93—103.

Г p отендик (Grothendieck A.)

Representations lineaires et compactification profinie des groupes dis- cretes//Manusc. Math. 1970. V. 2. P. 375—396.

Грюневальд, О’Хэллори (Grunewald F. Y„ O’Hallorau J.)

Nilpotent groups and unipotent algebraic groups//J. Pure and Appl. Algebra. 1985. V. 37, N 3. P. 299—313.

Грюневальд, Сегал (Grunewald F. J., Segal D.)

A note on arithmetic groups//Bull. London Math. Soc. 1978. V. 10. P. 297—302.

The solubility of certain decision problems in arithmetic and algebra//' Bull. Amer. math. soc. 1979. V. 1, N 6. P. 915—918.

Some general algorithms.I. Arithmeticgroups//Ann.ofMath.1980.

V. 112, N 3. P. 531—583.

Some general algorithms.II. Nilpotentgroups//Ann.ofMath.1980.

V. 112, N 3. P. 585—617.

Decision problems concerning S-arithmetic groups//J. Symbol. Log. 1985. V. 50, N 3. P. 743—772.

Грюневальд, Ш в e p м e p (Grunewald F. J., Schwermer J.)

Free non-abelian quotients of SL2 over orders of imaginary quadratic number fields//J. Algebra. 1981. V. 69, N 2. P. 298—304.

Г у p а к (Gurak S.)

On the rational equivalence of full decomposable forms//J. Number Theory. 1982. V. 14, N 2 P. 251—259.

On the Hasse norm principle//J. reine und angew. Math. 1978. V. 299/300. P. 16—27.

Д а н c e (Danset R.)

Methode du cercle adelique et principe de Hasse fin pour certain systemes de formes//Enseign. Math. 1985. V. 31, N 1—2. P. 1—66.

Делинь (Deligne P.)

Extensions centrales non residuellement finies de groupes arithmetiques// C. r. Acad. Sci. Paris. Ser. A. 1978. V. 287. P. 203—208.

Делоне Б. H., Галиулин P. В., Штогрин H. И.

О типах Бравэ решеток//Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат.; Фундам. направления. 1973. № 2. С. 119—254.

Д е м а з ю р (Demazure М.)

Sous-groupes arithmetiques des groupes algebriques lineaires//Sem. Bourbaki (1961 — 1962). Paris. 1962. V. 3. P. 235/1—235/12.

Деодер (Deodhar V. V.)

On central extensions of rational points of algebraic groups//Amer. J. Math. 1978. V. 100. N 2. P. 303—386.

On central extensions of rational points of algebraic groups//Contemp. Math. 1982. V. 9. P. 319—322.

Джеймс (James D.)

On the normal subgroups of integral orthogonal groups//Pacif. J. Math. 1974. V. 52, N 1. P. 107—114.

Orthogonal groups of three dimensional anisotropic quadratic forms//J. Algebra. 1975. V. 37, N 1. P. 121—136.

Джейн (Jehne W.)

Der Hassesche Normensatz und seine Entwicklung//Mitt. math. Ges. Hamburg 1982. V. 11, N 1. S. 143—153.

Джекобсон (Jacobson N.)

Cayley numbers and simple Lie algebras of type G2//Duke Math. J. 1939. V. 5. P. 775—783.

Composition Algebra and Their Automorphisms//Rend Circolo math. Palermo. 1958. V. 7, N 1. P. 55—80.

Д ж о п с о и (Johnson F. Е. А.)

On the existence of irreducible lattices//Arch. Math. 1984. Bd 43, N 5.

S. 391—396.

Джонсон (Johnson R. P.)

Orthogonal groups of local anisotropic spaces//Amer. J. Math. 1969.

V. 91, N 4. P. 1077—1105.--

Дойл, Д ж e й м c (Doyle C., James D.)-

Discreteness criteria and high order generators for subgroups of SL(2, R)//I11. J. Math. 1981. V. 15, N 2. P. 191—200.

Д о й p и н г (Deuring M.)

Algebren. — Berlin: Springer, 1935.

Дракохруст Ю. А.

О полном препятствии к принципу Хассе//ДАН БССР, 1986. Т. 30, № 1.

С. 5—8.

Дракохруст Ю. А., Платонов В. П.

Норменный принцип Хассе для полей алгебраических чисел//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1986. Т. 50, № 5. С. 946—968.

Д р а к с л, Кнезер (Draxl Р., Kneser М.)

SKi von Schiefkorpern//Lect. Notes. Math. 1980. V. 778.

Дуайер (Dwyer W. G.)

Homology of integral upper-triangular matrices//Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 94, N 3. P. 523—528.

Две донне (Diedonne J.)

On the structure of unitary groups//Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72. P. 367—385.

Геометрия классических групп. — M.: Мир, 1974.

Жентиль (Gentile Е. R.)

Metodos locales-globales (aspectos historicos)//Trab. mat. Inst, argent, mat. 1986. N 96. P. 1—29.

Жиро (Giraud T.)

Cohomologie non abelienne. — Berlin — Heidelberg—New York: Springer, 1971.

Жук И. K.

О рациональности некоторых однородных пространств группы SO (у)// ДАН БССР. 1982. Т. 26, № 9. С. 773—775.

Закирьянов К. X.

Конечность ширины симплектических групп над кольцами алгебраических чисел относительно элементарных матриц//Алгебра и логика. 1985. Т. 24. № 6. С. 667—673.

Зигель (Siegel С. L.)

Uber die analytische Theorie der quadratischen Formen//Ann. of Math. 1935. V. 36. P. 527—606.

И в а с а в a K.

Локальная теория полей классов.— М.: Мир, 1983.

И в а х о р и, Мацумото (Iwahori N., Matsumoto Н.)

On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of p-adic Chevalley groups//Publ. Math. I.H. E. S. 1965. N 25. P. 5—48. Игуза (Igusa J.-l.)

Some observations on metaplectic groups//Amer. J. Math. 1981. V. 103, N 6. P. 1343—1365.

И x a p a (Ihara J.)

Дискретные подгруппы группы PL (2, k^^Математика. 1968. T. 12, № 5. C. 131—138.

Congruence relations and fundamental groups//J. Algebra. 1982. V. 75, N 2. P. 445—451.

Ия нага (Iyanaga К.)

Arithmetic of special unitary groups and their simplectic representa- tions//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1968. Sec. 1. V. 15, N 1. P. 35—36.

On certain double coset spaces of algebraic groups//J. Math. Soc. Japan. 1971. V. 23. P. 103—122.

К а жд а н Д. A.

О связи дуального пространства группы со строением ее замкнутых подгрупп//ФАН. 1967. Т. 1, вып. 1. С. 71—74.

К а н е д a (Kaneda М.)

Generators and relations for special linear algebras and groups//J. Algebra. 1985. V. 94, N 1. P. 1—18.

Карияма (Kariyama K.)

On the conjugacy classes of anisotropic maximal tori of a Chevalley group over a local field//J. Algebra. 1986. V. 99. N 1. P. 22—49.

Картам А., Эйленберг С.

Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960.

Картам (Cartan Е.)

Sur certaines formes riemanniennes remarquable des geometries de groupe fondamental simple//Ann. Ec. Norm. Sup. 1927. V. 44. P. 345— 467.

Картер, Келлер (Carter D., Keller G.)

Bounded elementary generation of SLn(O)//Amer. J. Math. 1983. V. 105, N 3. P. 673—687.

Касселе Дж.

Рациональные квадратичные формы. — М.: Мир, 1982.

Катаяма (Katayama S.)

Class number relations of algebraic tori. I//Proc. Jap. Acad. 1986. A62, N 6. P. 216—218.

Class number relations of algebraic tori. II//Proc. Jap. Acad. 1986. A62, N 8. P. 321—322.

Квиллен (Quillen D. L.).

Classification of normal congruence subgroups of the modular group// Amer. J. Math. 1965. V. 87, N 2. P. 285—296.

Кита ока (Kitaoka Y.)

Scalar extension of quadratic lattices//Nagoya Math. J. 1977. V. 66. P. 139—149.

Scalar extension of quadratic lattices II//Nagoya Math. J. 1977. V. 67. P. 159—164.

Клейн (Klein F.)

Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen//Math. Ann. 1880. Bd 17. S. 72—76.

Клозе (Klose J.)

Metaplektische Erweiterungen von Quaternionen-schiefkorpern//Math. Z.

1986. Bd 193, N 4. S. 625—649.

Кнезер (Kneser AY)

Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei Oder mehr Ver- anderlichen//Arch. Math. 1956. Bd 7, N 5. S. 323—332.

Orthogonale Gruppen fiber algebraischen Zahkdrpern//J. reine und an- gew. Math. 1956. Bd 196, N 3—4. S. 213—220.

Klassenzahlen definiter quadratischer Formen//Arch. Math. 1957. Bd 8, N 4. S. 241—250.

Einfach zusammenhangende algebraische Gruppen in der Arithmetik// Proc. Intern. Cong. Alath. Djursholm. Uppsala. 1962. S. 260—263.

Schwache approximation in algebraische Gruppen//Colloq. Theor. Groupes Algebr. Bruxelles. Louvain — Paris. 1962. S. 41—52.

Approximationssatze ffir algebraische Gruppen//J. reine and angew. Math. 1962. Bd 209, N 1. S. 96—97.

Erzeugende und Relationen verallgemeinerter Einheitengruppen//J. reine und angew. Math. 1964. Bd. 214—215. S. 345—349.

Galois — Kohomologie halbenfacher algebraischer Gruppen fiber p-adis- chen Korpern I.//Math. Z. 1965. Bd 88, N 1. S. 40—47.

Galois-Kohomologie halbenfacher algebraischer Gruppen uber p-adischen Korpern II.//Math. Z. 1965. Bd 89. S. 250—272.

Starke approximation in algebraischer Gruppen I.//J. reine und angew. Math. 1965. Bd 218. S. 190—203..

Strong approximation//Proc. Symp. Pure Math. 1966. V. 9. P. 187—197.

Lectures on Galois Cohomology of Classical Groups.— Bombay: Tata . Inst, of Fund. Research, 1969.-

Normal subgroups of integral orthogonal groups//Lect. Notes Math. 1969. V. 108. P. 67—71.

•14. Normalteiler ganzzahliger Springruppen//J. reine und angew. Math.

1979. Bd 311—312. S. 191—214,

15. Erzeugung ganzzahlige orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen//Ann. of Math. 1981. V. 255, N 4. P. 453—462.

Кнезер, Тамагава (Kneser M., Tamagawa T.)

Another formulation and proof of Siegel’s theorems on quadratic forms// Abstr. Short Communs. Intern. Congr. Math. Edinburg. 1958. P. 32. Кнопп, Нейманн (Knopp M. J., Newman M.)

Congruence subgroups of positive genus of the modular group//Ill. J. Math. 1965. V. 9, N 4. P. 577—583.

Кокс, Пэрри (Cox D., Parry W.)

Genera of congruence subgroups in Q-quaternion algebras//J. reine und angew. Math. 1984. Bd 351. S. 66—112.

Коксетер Г. С. M., Мозер У. О. Дж.

Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М.: Наука, 1980.

К о л ы в а г и и В. А.

Конечность E(Q) и Ш(Е, Q) для подкласса кривых Вейля//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52, № 3. С. 522—540.

О группах Морделла — Вейля и Шафаревича — Тейта для эллиптических кривых Вейля//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52, № 6. С. 1154—1180.

Корэн (Coray D. F.)

The Hasse principle for pairs of quadratic forms//London Math. Soc. Leet. Note Ser. 1982. N 56. P. 237—246.

Коста нт (Kostant B.)

Groups over Z.//Proc. Symp. Pure Math. 1966. V. 9. P. 90—98. Коттвиц (Kottwitz R.)

Stable trace formula: cuspidal tempered terms.//Duke Math. J. 1984. V 51, N 3. P. 611—650.

Stable trace formula: Elliptic singular terms//Math. Ann. 1986. V. 275. p 365зуд

Tamagawa numbers//Ann. Math. 1988. V. 127, N 3, P. 629— 646.

Кох X.

Теория Галуа р-расширений. — M.: Мир, 1973.

Крэм (Cram G.-M.)

Locally isomorphic algebras and a Hasse principle for split metacyclic groups//Arch. Math. 1986. Bd 47, N 4. S. 330—338.

К у и я в с к и й Б. Э.

Арифметические свойства трехмерных алгебраических торов//3ап. науч, сем. ЛОМИ АН СССР. 1982. Т. 116, С. 102—107.'

Курсов В. В.

О коммутаторной длине групп Шевалле над полем//ДАН БССР. 1985.

Т. 29, № 1. С. 27—30.

Курсов В. В., Янчев с кий В. И.

■1. Скрещенные произведения простых алгебр и их групп автоморфизмов//

ДАН БССР. 1988. Т. 32, № 9. С. 777—780.

К э р т и с Ч., Р а й ие р И.

Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.

Л а б е с, Ш в е р м е р (Labesse J.-P., Schwermer J.)

On liftings and cusp cohomology of arithmetic groups//Invent. Math. 1986. V. 83, N 2. P. 383—401.

Лазар (Lazard)

Groupes analitiques p-adiques//Publ. Math. I. H. E. S. 1965. V. 26. P. 5—219.

Л а м о н (Lamont P.)

Approximations theorems for the group G3//Indag. Math. 1964. V. 26, N 2. P. 187—192.

Ландер (Landherr W.)

Liesche Ringe vom Typus A fiber einen algebraischen Zahlkorper und hermitesche Formen fiber einem Schiefkorper//Abh. Math. Sem. Hamburg. 1938. B. 12. S. 200—241.

Ленг (Lang S.)

Algebraic groups over finite fields.//Amer. J. Math. 1958. V. 78, N 3. P. 553—563.

Алгебраические числа. — M.: Мир, 1966.

Алгебра. — М.: Мир. 1968.

Ленглендс (Langlands R. Р.)

The volume of the fundamental domain for some arithmetical subgroups of Chevalley groups.//Proc. Symp. Pure Math. 1966. V. 9. P. 143—148. Л и (Lee G.)

A geometric method for presenting subgroups of discrete groups.//Topol, and Appl. 1984. V. 18, N 2—3. P. 179—195.

Л и e л (Liehl B.)

1. On the group SL2 over orders of arithmetic type//J. reine und angew. Math. 1981. Bd. 323. S. 753—771.

Beschrankte Wortlange in SL2.//Math. Z. 1984. Bd 186, N 4. S. 509—524. Линдон P., Ш у n n П.

Комбинаторная теория групп. — M.: Мир, 1980.

Льюис (Lewis D. W.)

Quaternionic skew-hermitian forms over a number field.//J. Algebra. 1982. V. 74, N 1. P. 232—240.

Л э й (Lai K. F.)

On the Tamagawa number of quasi-split groups.//Bul. Amer. Math. Soc. 1976. V. 82, N 2. P. 300—302.

Tamagawa number of reductive algebraic groups.//Compos. Math. 1980. V. 41, N 2, P. 153—188.

On the cohomology of congruence subgroups of symplectic groups.// Nagoya Math. J. 1982. V. 85. P. 155—174.

Л ю б о ц к и (Lubotzky A.)

Free quotients and the congruence kernel of SL2.//J. Algebra. 1982. V. 77, N 2. P. 411—418.

Макдональд И. Г.

Сферические функции на группе р-адического типа//Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, № 5. С. 155—224.

Маклахлан (Maclachlan С.)

1. On the structure of the certain arithmetic subgroups of SL2( R ).//Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1985. V. 97, N 2. P. 211—217.

Мальцев А. И.

О полупростых подгруппах групп Ли//Известия АН СССР, сер. матем. 1944. Т. 8, № 4. С. 143—174.

On the theory of the Lie groups in the largeZ/Матем. сб. 1945. T. 16, № 2. C. 163—189.

Маргулис Г. A.

Дискретные группы движений многообразий неположительной кривиз- ны//Ргос. Intern. Congr. Math. Vancouver, 1974. 1975. V. 2. P. 21—33.

Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над локальными полями//Функц. анализ и его прилож. 1977. Т. 11, № 2. S. 45—57.

Факторгруппы дискретных подгрупп и теория меры//Функц. анализ и его приложения. 1978. Т. 12, № 4. С. 64—80.

Конечность факторгрупп дискретных подгрупп//Функц. анализ и его приложения. 1979. Т. 13, № 3. С. 28—39.

О мультипликативной группе алгебры кватернионов над глобальным полем//ДАН СССР. 1980. Т. 252, № 3, С. 542—546.

Arithmeticity of irreducible lattices of semisimple groups of rank greater than l.//Invent. Math. 1984. V 76, N 1. P. 93—120.

Маргулис, Сойфер (Margulis G. A., Soifer G. А.)

Maximal subgroups of infinite index in finitely generated linear groups.// J. Algebra. 1981. V. 69, N 1. P. 1—23.

M a p c (iMars J. G.)

Les nombres de Tamagawa de certains groupes exeptionnels.//Bull. Soc. Math. France 1966. V. 94, N 2. P. 97—140.

2. Solution d'un probleme pose par A. Weil.//C.r. Acad. Sci. 1968. V. 266, N 9. P. A484—A486.

The Tamagawa number of 2A„//Ann. of Math. 1969. V. 89. N 3. P. 557— 574.

Le nombres de Tamagawa de groupes semisimples.//Lect. Notes Math. 1971. N 179. P. 79—94.

Матвеев Г. В.

Род элементов ортогональной группы//Мат. заметки. 1973. Т. 13, № 5.

С. 695—702."

Род элементов унитарных групп//ДАН БССР. 1974. Т. 18, № 5. С. 391—393.

Принцип Хассе для решеток в полной матричной алгебре//Мат. заметки. 1981. Т. 30, № 6. С. 801—805.

Матье (Mathieu Р.)

Le principle de Hasse et les groupes semi-simples. I.//Bull. Soc. Math. Belg. 1983. B. 35, N 2. P. 119—125.

Матьюз (Matthews C. R.)

Counting points modulo p for some finitely generated subgroups of algebraic groups.//Bull. London Math. Soc. 1982. V. 14, N 2. P. 149—154. Матьюз, Вассерштейн, В ейсфей лер (Matthews С. R., Vasers- tein L. N., Weisfeiller В.)

Congruence properties of Zarisky-dense subgroups. I.//Proc. London Math. Soc. 1984. V. 48, N 3. P. 514—532.

Мацумото (Matsumoto M.)

Une theoreme de Sylow les groupes semisimple p-adiques.//C. R. Acad. Sci. 1966. V 262, N 8. P. A425—A427.

Sur les sous-groupes arithmetiques des groupes semisimples deployee// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1969. V. 2, N 1. P. 1—62.

Мельников О. В.

Конгруэнц-ядро группы SL2(Z )//ДАН СССР. 1976. Т. 228, № 5. С. 1034—1036.

Мендоза (Mendoza Е. R.)

Cohomology of PGL(2) over imaginary quadratic integers.//Bonn. Math. Schr. 1980. N 128.

M e н н и к e (Mennicke J.)

Finite factor groups of the unimodular group.//Ann. of Math. 1965. V. 81, N 1. P. 31—37.

On Ihara’s modular group//Invent. Math. 1967. V. 4, N 3. P. 202—228.

Discontinuous groups.//Lect. Notes Math. 1984. N 1098. P. 75—80. Милн (Milne J. S.)

Этальные когомологии. — M.: Мир, 1983._

The Action of an Automorphism of C on a Shimura Variety and its Special Points//Arithmetic and Geometry. V. 1. — Boston: Birkhauser, 1983. P. 239—264.

Arithmetic duality theorems. — Academic Press, 1986.

M и л ь с о и, Рагунатан (Milson J. J„ Raghunathan М. S.)

Geometric construction of cohomology for arithmetic groups//Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 1981. V. 90, N 2. P. 103—123.

Минковский (Minkowski H.)

Uber den arithmetischen Begriff dec aquivalenz und Ober die endlichen Gruppen linearer ganzzahliger Substitutionenn//J. reine und angew. Math. 1887. Bd 109. S. 196—202.

Zur Theorie der positiven quadratischen Formen//J. reine und angew. Math. 1887. Bd 101. S. 196—202.

Geometric der Zahlen. — Leipzig, 1910.

M и н ч e в X. П.

Сильная аппроксимация для многообразий над полем алгебраических чисел//ДАН БССР. 1989. Т. 33, № 1. С. 5—8.

Монастырный А. П„ Янчевский В. И.

О группах Уайтхеда и гипотезе Кнезера — Титса для спинорных групп//ДАН СССР. 1989. Т. 307, № 1. С. 31—35.

Мое (Moss К.)

Homology of SL (п, Z |^] )^ Duke Math. J. 1980. V. 47, N 4, P. 803—818.

Мостов (Mostow G. D.)

Self-adjoint groups/Ann. Math. 1955. V. 62, N 1. P. 44—55.

Fully reducible subgroups of algebraic groups//Amer. J. Math. 1956. V. 78. P. 200—221.

Discrete subgroups of Lie groups//Asterisque. 1985. num. hors. ser. P. 289—309.■

Мостов, Тамагава (Mostow G. D., Tamagawa T.)

On the compactness of arithmetically defined homogeneous spaces//Ann. of Math. 1962. V. 76, N 3. P. 446—464.

M у p (Moore C.)

Group extensions of p-adic and adelic linear groups//Publ. Math. I. H. E. S. 1968. V. 35. P. 5—70.

H агата (Nagata M.)

Invariants of a group in an affine ring//J. Math. Kyoto Univ. 1964. V. 3. P. 369—377.

H а к а я м а, Мацусима (Nakayama T., Matsushima Y.)

Uber die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra//Proc. Imperial Academy (Tokyo). 1943. V. 19. P. 622—628.

Нисневич (Nisnevich Y.)

Неабелевы когомологии и теоремы конечности для целочисленных орбит аффинных групповых схем//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 4. С. 773—795.

Espaces homogenes principaux rationnellement triviaux et arithmetique des schemas en groupes reductifs sur les anneaux de Dedekind//C. R. Acad. Sci. 1984. V. 299, N 1. P. 5—8.

Нори (Nori M.)

Groupe de monodromie non arithmetique//C. r. Acad. Sci. 1986. ser. I. V. 302, N 2. P. 71—72.

On subgroups of GL„(FP)//Invent. Math. 1987. V. 88,N 2. P. 257—275. Ньюмен (Newman M.)

Normal congruence subgroups of the modular group//Amer. J. Math. 1963. V. 85, N 3. P. 419—427.

Classification of normal subgroups of the modular group./Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V. 126. P. 267—277.

The classical modular groups as a subgroup of GL(2, Z)//Glasgow Math. J. 1985. V. 27. P. 161 — 164.

О’Мира (O’Meara О. T.)

Introduction to quadratic forms. — Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1963.

On the finite generation of linear groups over Hasse domains//J. reine und angew. Math. 1965. Bd 217. S. 79—108.

Oho (Ono T.)

On the compacity of the orthogonal groups//Nagoya Math. J. 1954. V. 7.

P. 111—114.

Arithmetic of orthogonal groups//Nagoya Math. J. 1955. V 9. P. 129— 146.

Принцип Хассе в ортогональных группах//Сугаку. 1956. Т. 7, № 1. С. 15—22.

Sur une propriete arithmetique des groupes algebriques commutatifs// Bull. Soc. Math. France, 1957. V. 85, N 3. P. 307—323.

Arithmetic of algebraic tori//Ann. of Math. 1961. V. 74, N 1. P. 101—• 139.

On the Tamagawa number of algebraic tori//Ann. of Math. 1963. V. 78, N 1. P. 47—73.

О числе Тамагава//Сугаку. 1963. T. 15, № 2. С. 72—81.

On the relative theory of Tamagawa numbers//Bull. Amer. Math. Soc. 1964. V. 70, N 2. P. 325—326.

The Gauss-Bonnet theorem and the Tamagawa number//Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71, N 2. P. 345—348.

On the relative theory of Tamagawa numbers//Ann. of Math. 1965. V. 82, N 1. P. 88—111.

On algebraic groups and discontinuous groups//Nagoya Math. J. 1966. V. 27, N 1. P. 279—322.

A generalization of Gauss’ theorem on the genera of quadratic forms// Proc. Jap. Acad. 1985. A61, N 4. P. 109—111.

Ополка (Opolka H.)

Zur Auflosung zahlentheoretischer Knoten//Math. Z. 1980. Bd 173, N 1. S. 95—103.

Geschlechter von zentralen Erweiterungen//Arch. Math. 1981. Bd 37, N. 5. S. 418—424.

П a p и м а л а, Шридхаран (Parimala R., Sridharan R.)

A local-global principle for quadratic forms over polynomial rings//J. Algebra. 1982. V. 74, N 1. P. 264—269.

П a p ш и и A. H.

Арифметика алгебраических многообразий//Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1971. С. 111—151.

П и з е р (Pizer А.)

1. On the arihmetic of quaternion algebras//Acta arithm. 1976. V. 31, N 1. P. 61—89.

On the arithmetic of quaternion algebras. II//J. Math. Soc. Japan. 1976. V. 28, N 4. P. 676—688..

П и p с P.’

Ассоциативные алгебры. — M.: Мир, 1986.

Платонов В. П.

Группы аделей и проблема рода для целочисленных представлений// ДАН БССР. 1968. Т. 12, № 10. С. 866—868.

Группы аделей и целочисленные представления//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33, № 1. С. 155—162.

Сильная аппроксимация в алгебраических группах и гипотеза Кнезера — Титса//ДАН БССР. 1969. Т. 13, № 7. С. 585—587.

Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера — Титса для алгебраических групп//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33, № 6. С. 1211 — 1219.

Дополнение к работе «Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера — Титса для алгебраических групп»//Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970, Т. 34, № 4. С. 775—777.

О конгруэиц-проблеме для разрешимых целочисленных групп//ДАН БССР. 1971. Т. 15, № 10. С. 869—872.

К проблеме максимальности арифметических групп//ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 3. С. 530—533..

О проблеме рода в арифметических группах//ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 793—796.

Арифметическая теория линейных алгебраических групп и теория чи- сел//Труды Матем. ин-та АН СССР. 1973. Т. 132. С. 162—168.

Гипотеза Дьедонне и несюръективность накрытий алгебраических групп на й-точках//ДАН СССР. 1974. Т. 216, № 5. С. 986—989.

Арифметические и структурные проблемы в линейных алгебраических группах//Ргос. Intern. Congr. Math. Vancouver, 1974. V. 1. 1975. P. 471—476.

Алгебраические группы//Алгебра. Топология. Геометрия, Итоги науки и техники. Т. И, —М.: ВИНИТИ, 1974. С. 5—36.

О проблеме Таннака— Артина//ДАН СССР. 1975. Т. 221, № 5. С. 1038—1041.

Об аппроксимации в алгебраических группах над произвольными полями//ДАН СССР. 1976. Т. 229, № 4. С. 804—807.

Проблема Таннака — Артина и приведенная К-теория. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 2. С. 227—261.

Приведенная Л-теорня и аппроксимация в алгебраических группах// Труды Матем. ип-та АН СССР. 1976. Т. 142, С. 198—207.

Бирациональные свойства приведенной группы Уайтхеда//ДАН БССР. 1977. Т. 21, № 3. С. 197—198.

К проблеме рациональности спинорных многообразий//ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 3. С. 524—527.

Algebraic groups and reduced K-theory//Proc. Intern. Congr. Math. Helsinki, 1978. V. 1. 1980. P. 311—317.-

Бирациональные свойства спинорных многообразий//Труды Матем. нн-та АН СССР им. В. А. Стеклова. 1981. Т. 157. Т. 161 —169.

Арифметическая теория алгебраических групп//Успехн мат. наук. 1982. Т. 37, № 3. С. 3—54.

Группы аделей и числа классов//Труды матем. ин-та АН СССР. 1984. Т. 163. С. 205—214.

Кольца и многообразия представлений конечно-порожденных групп// Вопросы алгебры. Вып. 4. — Минск: Изд-во «Университетское», 1988. С. 36—40.

Geometric approach to the representation theory of finitely generated groups//Lect. Notes Math, (в печати).

Платонов В. П., Беняш-Кривец В. В.

Кольца характеров n-мерных представлений конечнопорожденных групп//ДАН СССР. 1986. Т. 289, № 2. С. 293—297.

Пл а то н о в В. П., Б онда р е н к о А. А., РапинчукА. С.

Числа классов алгебраических групп//ДАН СССР. 1979. Т. 245, № 1. С. 26—31.

Числа и группы классов алгебраических групп. 1//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. Т. 43, № 3. С. 603—627.

Числа и группы классов алгебраических групп. П//Изв. АН СССР. Сер. мат 1980. Т. 44, № 2. С. 395—414.

Платонов В. П., ДракохрустЮ. А.

О принципе Хассе для полей алгебраических чисел//ДАН СССР. 1985. Т. 281, № 4. С. 793—797.

Норменный принцип Хассе для примарных расширений полей алгебраических чисел//ДАН СССР. 1985 Т. 285, № 4. С. 812—815.

Платонов В. П., Матвеев Г. В.

Группы аделей и финитная аппроксимируемость линейных групп относительно сопряженности//ДАН БССР. 1970. Т. 14, № 9. С. 777—779. Платонов В. П., Милованов М. В.

Определяемость алгебраических групп арифметическими подгруппами// ДАН СССР. 1973. Т. 209, № 1. С. 43—46.

Платонов В. П., РапинчукА. С.

О группе рациональных точек трехмерных групп//ДАН СССР. 1979. Т. 247, № 2. С. 279—282.

Мультипликативная структура тел над числовыми полями и принцип Хассе//ДАН СССР. 1982. Т. 266, № 3. С. 560—564.

Алгебраические группы//Итоги науки и техники. Т. 21. Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1983. С. 80—134.

Мультипликативная структура тел над числовыми полями и норменный принцип Хассе//Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1984. Т. 165. С. 171 —187. Платонов В. П., ТавгеньО. И.

К проблеме Гротендика о проконечных пополнениях групп//ДАН СССР. 1986. Т. 288, № 5. С. 1054—1058.

Grothendiek’s Problem on Profinite completions and Representations of Groups//f<-theory. 1990. V. 4, N 1.

Платонов В. П„ Черноусов В. И.

О рациональности канонических спинорных многообразий//ДАН СССР. 1980. Т. 252, № 4. С. 796—800.

Платонов В. П., Ш а р омет А. А.

О конгруэнц-проблеме для линейных групп над арифметическими коль- цами//ДАН БССР. 1972. Т. 16, № 5. С. 393—396.

Платонов В. П„ Я ичев с к ий В. И.

Структура унитарных групп и коммутант простой алгебры над глобальными полями//ДАН СССР. 1973. Т. 208, № 3. С. 541—544.

О гипотезе Хардера//ДАН СССР. 1975. Т. 221, № 4. С. 784—787.

О гипотезе Кнезера—Титса для унитарных групп//ДАН СССР. 1975. Т. 225, № 1. С. 48—51.

К теории гензелевых тел//ДАН СССР. 1987. Т. 297, № 2. С. 294—298.

Конечномерные гензелевы тела//ДАН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 542— 546.

П л е с к е н (Plesken W.)

Finite unimodular ' groups of prime degree and circulants//J. Algebra. 1985. V. 97, N 1. P. 286—312.

Прасад (Prasad G.)

Strong approximation for semi-simple groups over function fields//Ann. of Math. 1977. V. 105, N 3. P. 553—572.

Non-vanishing of the first cohomology//Bull. Sci. Math. France. 1977. T. 105, N 4. P. 415—418.

A variant of a theorem of Calvin Moore//C. r. Acad. Sci. Paris. 1986. T. 302, ser. I, N 11. P. 405—408.

Volumes of S-arithmetic quotients of semi-simple groups//Publ. Math. I. H. E. S. 1989. V. 69. P. 91—117.

Прасад, Рагунатан (Prasad G., Ragunathan M. S.)

Tame subgroup of a semi-simple group over a local field//Amer. J. Math. 1983. V. 105, N 4. P. 1023—1048.

On the congruence subgroup problem: Determination of the metaplectic kernel//Invent. Math. 1983. V. 71, N 1. P. 21—42.

Topological central extensions of semi-simple groups over local fields// Ann. Math. 1984. V. 119, N 1—2. P. 143—268.

On the Kneser-Tits problem//Comment. math. helv. 1985. V. 60, N 1. P. 107—121.

Topological central extensions of SLj (D)//Invent. Math. 1988. V. 92, N 4. P. 645—689.

Пятецкий-Шапиро И. И.

Арифметические группы в комплексных областях//Успехи мат. наук, 1964. Т. 19, № 6. С. 93—121.

Автоморфные функции и арифметические группы//Труды Междунар, конгр. матем. 1966. — М.: Мир, 1968. С. 232—247.

Рагунатан (Raghunathan М. S.)

Cohomology of arithmetic subgroups of algebraic groups I.//Ann. of Math. 1967. V. 86, N 3. P. 409—424.

Cohomology of arithmetic subgroups of algebraic groups II.//Ann. of Math. 1968. V. 87, N 2. P. 279—304.

A note on quotients of real algebraic groups by arithmetic subgroups/? Invent, math. 1968. V. 4. P. 318—335.

On the congruence subgroup problem//Publ. Math. I. H. E. S. 1976. V. 46. P. 107—161.

Дискретные подгруппы групп Ли. — М.: Мир, 1977.

On congruence subgroup problem II//Invent. Math. 1986. V. 85, N 1. P. 73—117.

On the group of norm 1 elements in a division algebra//Math. Ann. 1988. V. 279. P. 457—484.

Радтке (Radtke W.)

Diskontinuierliche arithmetische Gruppen im Funktionenk6rperfall//J. reine und angew. Math. 1985. B. 363. S. 191—200.

P a n и н ч у к A. C.

К гипотезе Платонова о роде в арифметических группах//ДАН БССР. 1981. Т. 25, № 2. С. 101 — 104.

Числа классов в роде квадратичных форм и алгебраические группы// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. Т. 43, № 4. С. 775—792.

О метаплектическом ядре для анизотропных групп//ДАН БССР. 1985. Т. 29, № 12. С. 1068—1071.

Метаплектическое ядро для группы SL(1, £>)//ДАН БССР. 1986. Т. 30, № 3. С. 197—200.'

Принцип Хассе для симметрических пространств//ДАН БССР. 1987. Т. 31, № 9. С. 773—776.

Мультипликативная арифметика алгебр с делением над числовыми полями и метаплектическая проблема//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, № 5. С. 1033—1064.

О конечной определяемости приведенных норм в простых алгебрах// ДАН БССР. 1988. Т. 32, № 1. С. 5—8.

Конгруэнц-проблема для алгебраических групп и сильная аппроксимация в аффинных многообразиях//ДАН БССР. 1988. Т. 32, № 7. С. 581—584.

О конгруэнц-проблеме для алгебраических групп//ДАН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1304—1307.'

Ремесленников В. Н.

Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности//Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, № 5. С. 1085—1099.

Рим (Riehm С.)

The norm 1 group of p-adic division algebra//Amer. J. Math. 1970. V. 92, N 2. P. 499—523.

The congruence subgroup problem over local fields//Amer. Math. J. 1970. V. 92, N 3. P. 771—778.

Ричардсон (Richardson R.)

Conjugacy classes in Lie algebras and algebraic groups//Ann. Math. 1967. V. 86, N 1. P. 1 — 15.

P о й т e p A. B.

О целочисленных представлениях, принадлежащих одному роду//Изв. АН СССР, Сер. матем. 1966. Т. 30, № 6. С. 1315—1324.

Рольфе (Rohlfs J.)

Arithmetische definterte Gruppen mit Galois-operation//Invent. Math. 1978. V. 4, N 2. P. 185—205.

Uber maximale arithmetische definierte Gruppen//Math. Ann, 1978. Bd 234, N 3. S. 239—252.

Die maximalen arithmetische definierten Untergruppen zerfallender ein- facher Gruppen//Math. Ann. 1979. Bd 244. S. 219—231.

On the cuspidal cohomology of the Bianchi modular groups. Math. Z. 1985. Bd 188, N 2. S. 253—269.

Рубин (Rubin K.)

Tate — Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication//!nvent. Math. 1987, V. 89, N 3, P. 527—560.

Сансюк (Sansuc J.-J.)

Groupe de Brauer et arithmetique des groupes algebriques lineaires sur un corps de nombres.//J. reine und angew. Math. 1981. Bd 327. S. 12—80.

Principle de Hasse, surfaces cubiques et intersections de deux quadri- ques//Asterisque. 1987. N. 147—148. P. 183—207.

Саркисян P. A.

Об одной проблеме равенства для когомологий Галуа//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 6. С. 707—725.

Алгоритмические вопросы для линейных алгебраических групп. I// Мат. сб. 1980. Т. ИЗ, № 2. С. 179—216.

Алгоритмические вопросы для линейных алгебраических групп. П//Мат. сб. 1980. Т. 113, № 3. С. 400—436.

С а т а к е И.

О компактификации фактор-пространств по арифметическим дискретным группам//Математика. 1961. Т. 5, № 4. С. 123—149.

Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over p-adic fields//Publ. Math. I. H. E. S. 1963. V. 18, P. 1—69.

Свифт, Райнер (Swift J., Reiner D.)

Congruence subgroups of matrix groups//Pacif. J. Math. 1956. V. 6, N 3. P. 529—540.

Сейп-Хорникс (Seip-Hornix E. A.M.)

Clifford algebras of quadratic quaternion forms. I, II//Indag. Math. 1965. V. 27, N 2. P. 326—363.

Семинар no алгебраическим группам. — M.: Мир, 1973.

С е р р (Serre J.-P.)

Когомологии Галуа. — М.: Мир, 1968.

Groupes de congruence/ZSemin. Bourbaki (1966—1967) exp. 330 New- York: Benjamin, 1968.

Алгебраические группы и поля классов. — М.: Мир, 1968.

Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.

Cohomologie des groupes discretes//Lect. Notes Math. 1971. V. 244. P. 337—350.

Cohomologie des groupes discretes//Ann. Math. Stud. 1971. V. 70. P. 77—169.

Проблема конгруэнц-подгрупп для SL2.//Математика. 1971. Т. 15, № 6. С. 12—45.

Курс арифметики.—М.: Мир, 1972.

Абелевы /-адические представления и эллиптические кривые. — М.: Мир, 1973.

Деревья, амальгамы и 8Е2//Математика. 1974. Т. 18, № 1. С. 3—51;

1974. Т. 18, № 2. С. 3—27.

И. Когомологии дискретных групп//Математика. 1974. Т. 18, № 3. С. 123—144; 1974. Т. 18, № 4. С. 3—33.

Arithmetic groups//London Math. Soc. Leet. Notes Ser. 1979. V. 36. P. 105—135.

Слаймэн (Sliman M.)

Theorie de Mackey pour les groupes adeliques//Asterisque. 1984. N 115. P. 151.

Theorie de Mackey pour les groupes adeliques. Decomposition de L2(GA/Oo) et ^(Gr/Gz)//C- r- Acad- sci. 1984. Ser. I. V. 298, N 12. P. 261—264.

С м а й т (Smythe N.)

A presentation for group of integer matrices.//Canad. Math. Bull. 1982.

V. 25, N 2. P. 215—221."

Спрингер (Springer T. A.)

On the equivalence of quadratic forms.//Indag. math. 1959. V. 21. P. 241 — 253.

Linear algebraic groups. — Boston: Birkhauser, 1981.

Conjugacy classes in algebraic groups//Lect. Notes. Math. 1986. N 1185. P. 175—209.

Стейнберг (Steinberg R.)

Regular elements of semisimple algebraic groups.//Publ. Math. Т.Н. E. S. 1965. V. 25. P. 281—312.

Endomorphisms of linear algebraic groups//Mem. Amer. Math. Soc. 1968. N 80. P. 1 — 108.

Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975.

Сузуки (Suzuki К.)

On normal subgroups of twisted Chevalley groups over local rings.// Sci Repts. Tokyo Kyoiku Daigaku. 1977. A13: 366—382. P. 238—249. Суле (Soule C.)

The cohomology of SL3( Z )//Topology. 1978. V. 17. P. 1—22.

Суле, T e з у к а, Я г и т a (Soule С., Tezuka М., Yagita N.)

Cohomological behaviour of the reduction modulo a prime of GL3(Z).// J. Pure and Appl. Algebra. 1984. V. 32, N 2. P. 219—229.

Тавгень О. И.

Проблема Гротендика в классе разрешимых групп//ДАН БССР. 1987. Т. 31, № 10. С. 873—876.

О гипотезах Гротендика и Платонова//ДАН БССР. 1988. Т. 32, № 6. С. 489—492.

Конечная ширина арифметических подгрупп Шевалле ранга ^2//ДАН СССР. 1990, Т. 310, № 4. С. 802—806.

Тамагава (Tamagawa Т.)

On indefinite quadratic forms.//J. Math. Soc. Japan. 1977. V. 29. N 2. P. 355—361.

T e з у к а, Я г и т a (Tezuka М., Yagita N.)

The cohomology of subgroups of GL„(/;<J)//Contem. Math. 1983. V. 19. P. 379—396.

Т е й т (Tate J.)

The cohomology groups of tori in finite Galois extensions of number fields//Nagoya Math. J. 1966. V. 27. P. 709—719.

Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. (Семинар Софус Ли). — М/. ИЛ, 1962. Титс (Tits J.)

Algebraic and abstract simple groups.//Ann. of Math. 1964. V. 80, N 2. P. 313—329.

Классификация полупростых алгебраических групп//Математика. 1968. Т. 12, № 2. С. 110—143.

Systems generateurs de groupes de congruence//C. r. Acad. Sci. 1976. T. 283, N 9. P. A693—A695.

Groupes de Whitehead de groupes algebriques simples sur un corps (d’apres V. P. Platonov et al.)//Sem. Bourbaki. 1977. exp. 505. Lecture Notes in Math. 1978. V. 677. P. 218—236.

Reductive groups over local fields//Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc. Providence. 1979. V. 33, P. 29—69.

Liescher Gruppen und Algebren. — Berlin: Springer, 1983.

Томанов (Tomanov G. M.)

About the multiplicative structure of division algebras over number fieldsZ/Докл. Болг. АН 1985. V. 38, N 1. P. 11—14.

Sur la structure des groupes algebriques simples de type Dn definis sur des corps de nombres//C. r. Acad. sci. 1988. Ser. 1. V. 306, N 15. P. 647—650.

On Grunwald-Wang’s theorem//J. reine und angew. Math. 1988. Bd 389. 209—220.

Томас (Thomas S.)'

An identification theorem for the locally finite nontwisted Chevalley groups//Arch. Math. 1983. Bd 40, N 1 S. 21—31.

Уитни (Whitney Н.)

Elementary structure of real algebraic varieties//Ann. Math. 1957. V. 66, N 3. P. 545—556.

Уолас (Wallace D. I.)

Conjugacy class of hyperbolic matrices in SL(n,Z) and ideal classes in an order//Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 283, N 1. P. 177—184. Ф л ё r e (Floge D.)

Zur Struktur dec PSL2 fiber einigen imaginar-quadratischen Zahlringen// Math. Z. 1983. Bd 183, N 2. S. 255—279.

Ф о г т м а и (Vogtmann K.)

Rational homology of Bianchi groups//Math. Ann. 1985. Bd 272, N 3.

S. 399—419.

Ф у л и в a p a (Fuliwara M.)

On the strong approximation theorem for the group F4 and EeZ/Sci. Pap. Coll. Gen. Educ. Univ. Tokyo. 1971. V, 21, N 2. P. 123—126.

Хамфри (Humphreys J. E.)

Линейные алгебраические группы. — M.: Наука, 1980.

Арифметические группы. — М.: Мир, 1983.

Хардер (Harder G.)

Ober die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen. I//Math. Z. 1965. Bd 90, N 5. S. 404—428.

Ober die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen. II//Math. Z. 1966. Bd 92, N 5. S. 396—415.

Halbeinfacher Gruppenschemata fiber Dedekindringen//Invent. .Math. 1967. V. 4. P. 165—191.

Bericht fiber neure Resultate der Galoiskohomologie halbeinfacher Grup- pen//Jahresber. Dtsch. Math. Verein. 1968. Bd 70, N 4. S. 182—216.

Minkowskische Reduktiontheorie liber Funktionkorpern//lnvent. Math. 1969. V. 7, N 1. P. 33—54.

Semi-simple group schemes over curves and automorphis functions// Actes Congr. intern. Math. Paris. 1970. V. 2. P. 307—312.

A Gauss — Bonnet formula for discrete arithmetically defined groups// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1971, V. 4. P. 409—455.

Chevalley groups over function fields and automorphic forms//Ann. of Math. 1974. V. 100, N 2. P. 249—306.

Формула Гаусса — Бонне для дискретных арифметических групп//Ма- тематика. 1974. Т. 18, № 6. С. 20—55.

On the cohomology of discrete arithmetically defined groups//Discrete subgroups Lie Groups and Appl. Moduli Pap. Bombay Coll. 1973, Oxford. 1975. P. 129—160.

Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen//J. reine and angew. Math. 1975. Bd 274—275. S. 125—138.

Die Kohomologie S-arithmetischer Gruppen fiber Funktionenkorpern//ln- vent. Math. 1977. V. 42. P. 135—175.

Хариш-Чандра, Дик (Harish-Chandra, Dijk D.)

Harmonic analysis on reductive p-adic groupsZ/Lect. Notes Math. 1970. N 162. P. 125.

Харре ль брюк (Hurrelbriuk J.)

On presentations of SLn(Zs). ZS = Z^-^—, ..., "~~"j^ Commun. Algebra. 1983. V. 11, N 9. P. 937—947.

Хартсхорн P.

Алгебраическая геометрия. — M.: Мир, 1981.

Хассе (Hasse Н.)■

Uber p-adische Schiefkorper und ihre Bedeutung ffir die Arithmetik Hypercomplexer Zahlsystem//Math. Ann. 1931. Bd 104. S. 495—534.

Neue Begriindung und Verallgemeinerung der Theorie des Normrestsym- , bols//J. reine und angew. Math. 1930. Bd 162. S. 134—144.

Хашимото (Hashimoto К.)

A formula for the number of semi-simple conjugacy classes in the arithmetic subgroups//Proc. Jap. Acad. 1985. A61, N 2. P. 48—50.

On certain elliptic conjugacy classes of the Siegel modular group//Proc. Jap. Acad. 1985. A61, N 3. P. 74—77.

Elliptic conjugacy classes of the Siegel modular group and unimodular hermitian forms over the ring of cyclotomic integers//J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1986. Sec. IA. V. 33, N 1. P. 57—82.

Хелгасон C.

Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964.

Хелм (Helm Р.)

Linear groups: On non-congruence subgroups and presentations//Bull. Austral. Math. Soc. 1982. V. 26, N 3. P. 477—778.

X e p с т e й и H.

Некоммутативные кольца. — M.: Мир, 1972.

Хидзиката (Hijikata Н.)

Hasse’s principle on quaternionic anti-hermitian forms//J. Math. Soc. Japan. 1963. V. 75, N 2. P. 165—175.

On the structure of semisimple algebraic groups over valuation fields. I// Jap. J. Math. New ser. 1975. V. 1, N 2. P. 225—300.

Хохшильд (Hochschild G.)

Basic theory of algebraic group and Lie algebras. — New York: Springer, 1981..

Хупперт (Huppert B.)

Endliche Gruppen. I. — Berlin, 1967.

Хюрлиман (Hiirlimann W.)

On algebraic tori of norm type//Comment. Math. Helv. 1984. V. 59, N 4. P. 539—549.

Ц и м м e p т (Zimmert R.)

1. Zur SL2 der ganzen Zahlen eines imaginarquadratischen Zahlkorpers// Invent. Math. 1973. V. 19, P. 73—82.

Цукер (Zucker St.)

Hodge theory and arithmetic groups//Asterisque. 1983. N. 101 —102. P. 365—381.

Чейхал (Chahal J. S.)

Solution of the congruence subgroup problem for solvable algebraic group//Nagoya Math. J. 1980. V. 79. P. 141 —144.

Arithmetic subgroups of algebraic groups//Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33, N 6. P. 799—804.

Черноусов В. И..

О рациональности спинорных многообразий над полем рациональных чисел//ДАН БССР. 1981. Т. 25, № 4. С. 293—296.

О рациональности групповых компактных многообразий классического типа//ДАН БССР. 1983, Т. 27, № 12. С. 1061 — 1064.

О проективной простоте алгебраических групп, разложимых над квадратичным расширением основного поля//ДАН СССР. 1987. Т. 296, №6. С. 1301—1305.

О структуре групп рациональных точек алгебраических групп типа DiH ДАН БССР. 1987. Т. 31, № 7. С. 593—596.

О проективной простоте некоторых групп рациональных точек над полями алгебраических чисел//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. Т. 53, № 2, С. 398—410.

О принципе Хассе для групп типа Е8//ДАН СССР. 1989. Т. 306, № 25. С. 1059—1063.

Ш а р л а у (Scharlau W.)

Quadratic and hermitian forms. — Berlin — Heidelberg—New-York: Springer, 198 е

Ш а р о м е т А. А.

Конгруэнц-проблема для разрешимых алгебраических групп над глобальными полями положительной характеристики//ДАН БССР. 1987. Т. 31, № 3. С. 201—204.

Шафаревич И. Р.

Основы алгебраической геометрии: В 2-х т. — М.: Наука, 1988.

Ш а х е р (Schaher М.)

Subfields of division rings. I//J. Algebra. 1968. V. 9, N 4. P. 451—477. Ш в e p м e p (Schwermer J.)

Kohomologie arithmetische definierter Gruppen und Eisensteinreihen//Lect. Notes Math. 1983. V. 988. 170 p.

On arithmetic quotients on the Siegel upper half space of degree two// Compos, math. 1986. V. 58, N 2. P. 233—258.

Ш в e p м e p, Ф о г т м а н (Schwermer J., Vogtmann K.)

The integral homology of SL2 and PSL2 of euclidean imaginary quadratic integers//Comment. math. helv. 1983. V. 58, N 4. P. 573—598.

Шевалле (Chevalley C.)

Теория групп Ли: В 3 т. T. 1. — М.: ИЛ, 1948. Т. 2, 3—М.: ИЛ, 1958.

Deux theoremes d’arithmetiques//J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3, N 1. P. 36—44.

On algebraic group varieties//J. Math. Soc. Japan. 1954. V. 6. N 3—4. P. 303—324.

О некоторых простых группах//Математика, 1958. Т. 2, № 1. С. 3—58. Ш и м и з у (Shimizu А.)

On complex tori with many endomorphisms//Tsukuba J. Math. 1984. V. 8, N 2. P. 297—318.

Ши мура (Shimura G.)

Arithmetic of unitary groups//Ann. of Math. 1964. V. 79. P. 369— 409.

Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. — М.: Мир, 1973.

Ш и н ц е л ь (Schinzel А.)

Hasse’s principle for systems of ternary quadratic forms and for one biquadratic form//Stud. math. 1983. V. 77, N 2. P. 103—109.

Шир (Shyr J.-M.)

On some class number relations of algebraic tori//Mich Math. J. 1977. V. 24, N 3. P. 365—377.

A generalization of Dirichlet’s unit theorem//J. Number Theory. 1977. V. 9, N 2. P. 213—217.

Ш n e x (Spech B.)

Unitary representations of SL(n, R) and the cohomology of congruence subgroups//Lect. Notes Math. 1981. V. 880. P. 4—505.

Шт отер (Stothers W. W.)

Level and index in the modular group//Proc. Roy. Soc. Edinbourgh. 1984. V. A99, N 1—2, P. 115—126.

Штулер (Stuhler U.)

Zur Frage der endlichen Prasentierbarkeit gewisser arithmetischer Gruppen in Funktionenkorperfall//Math. Ann. 1976. Bd 224. S. 217—232.

Homological properties of certain arithmetic groups in the function field case//Invent. Math. 1980. V. 57, N 3. P. 263—281.

On the cohomology of SL„ over rings of algebraic functions//Lect. Notes Math. 1982. V. 967. P. 316—359.

Uber die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen SL2(Q) im Funktionen- korperfall//Arch. Math. 1984. Bd 42, N 4. S. 314—324.

Uber die Kohomologie einiger arithmetischer Varietaten//Math. Ann. 1986. Bd 273, N 4. S. 685—699.

Шур (Schur I.)

Uber die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen//J. reine und angew. Math. 1911. Bd 139. S. 155—250.

Э й x л e p (Eichler M.)

Allgemeine Kongruenzklassenteilungen der Ideal einfacher Algebren uber algebraischen Zahlkorpern und ihre L-Reihen//J. reine und angew. Math. 1938. Bd 179. S. 227—251.

Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen. — Berlin: Springer, 1952.

Zur Zahlentheorie der quaternionen Algebren//J. reine und angew. Math. 1955. Bd 195, N 3—4. S. 127—151.

Э й ч и (Eiichi A.)

Generation of some discrete subgroups of simple algebraic groups//To- hoku Math. J. 1965. V. 17, N 2. P. 178—184.

Эльстродт, Грюневальд, Меннике (Elstrodt J., Grunewald F., Mennicke J.)

PSL(2) over imaginary quadratic integerS//Asterisque. 1982. N 94. P. 43—60.

On the group PSL (2, Z [i])//London Math. Soc. Leet. Note Ser. 1982. N 56. P. 255—283.

Эрмит (Hermite C.)

Oeuvres completes. T. 1. — Paris: Gauthier-Villars, 1905.

Эрнест (Earnest A. G.)

Partitionings of a genus of quadratic forms//J. Number Theory. 1982.

V. 14, N 1. P. 1—8.

Эрнест, Сия (Earnest A. G., Hsia J. G.)

Springer-type theorems for spinor genera of quadratic forms//Bull. Amer. Math. Sec. 1975. V. 81, N 5. P. 942—943.

Spinor genera under field extensions//Acta arithm. 1977. V. 32, N 2. P. 115—128.

Я и ч e в с к и й В. И.

Коммутанты простых алгебр с сюръективной приведенной нормой// ДАН СССР. 1975. Т. 221, № 5. С. 1056—1058.

Приведенная унитарная К-теория тела над гензелевыми дискретно нормированными полями//Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1978. Т. 42, № 4. С. 879—918.

Приведенная унитарная К-теория. Приложения к алгебраическим груп- лам//Матем. сб., 1979. Т. 110. № 4. С. 579—596.

' ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

К* (соответственно К~)— мультипликативная (соответственно аддитивная) группа поля К.

VK — множество всех попарно неэквивалентных нормирований числового поля К

(соотв. У^) — подмножество неархимедовых (соответственно архимедовых) нормирований в Vх

Ку — пополнение числового поля К относительно нормирования и е VK

Оу— кольцо целых и-адических чисел (для а е У^)

1т — идеал нормирования в Оу

Uy — группа и-адических единиц

О — кольцо целых числового поля К

О (S) — кольцо S-целых числового поля К (для конечного подмножества

S с У^, содержащего У^)

ш|и — продолжение нормирования

А—кольцо аделей-.

A(S) —кольцо S-целых аделей

Л(оо) —кольцо целых аделей

As—кольцо S-аделей

А] — кольцо конечных аделей

А$(Т) —кольцо Г-целых S-аделей (для Г тэ S)

I к — группа иделей

/^ — группа целых иделей

/^ — группа S-целых иделей

hк — число классов идеалов поля К

Вг(К) —группа Брауэра поля К

Nl/k (соответственно Тг^^)—норма (соответственно след) в конечном расширении ЦК

NrdD^ (соответственно TrdD^)— приведенная норма (соответственно приведенный след)

Fp — поле из р элементов

Z — (соответственно Q, R, С, Qp) кольцо целых (соответственно поле рациональных действительных, комплексных и р-адических) чисел

Ап (соответственно Р") — «-мерное аффинное (соответственно проективное) пространство

Gm — одномерный K-разложимый тор'

Ga — одномерная связная унипотентная группа1

SLn^D1), SUm(D, f)—классические группы над телами

SL„(D^ SUm; (О, /) — соответствующие алгебраические группы

Rl/k— функтор ограничения основного поля

X(G)—группа характеров алгебраической группы G

X*(G)—группа кохарактеров (однопараметрическпх подгрупп)

R(T, G)—система корней алгебраической группы G относительно тора Г W^T, G)—группа Вейля алгебраической группы G относительно тора Т g = L(G) —алгебра Ли алгебраической группы G

Uа—одномерная унипотентная подгруппа, отвечающая корню ае ^R<T, G)

Ga — соответствующая корневая подгруппа

9" — многообразие максимальных торов

$—многообразие борелевских подгрупп

/?(Г, G)—многообразие представлений конечнопорожденной группы Г в алгебраическую группу G

R„(F) —многообразие л-мерных представлений

А'п(Г) —многообразие л-мерных характеров

7,(Х) —касательное пространство к многообразию X в точке х

dxf — дифференциал морфизма / в точке х

rang G — (абсолютный) ранг группы G

rangj< G — ранг группы G над К (/(-ранг)

rangs G = ^ rang^ 6 —S-ранг группы G (для конечного подмно- ceS "

жества S с V^)

Gk — группа /(-точек алгебраической /(-группы G

Gy — группа целых точек

Gy(S) — группа S-целых точек

Gy — группа целых точек относительно решетки LcK*

Gy” — группа целых у-адических точек относительно локальной решетки

Ц, с К"

Ga — группа аделей

СЛ!»,—группа целых аделей

Сд ^ — группа целый аделей относительно решетки L с К'1

Ga(s-) — группа S-целых аделей

GAs — группа S-аделей~,

Gд^ ^ — группа 7-целых S-аделей

GS= П GK’ Goo = GvK

OeSоо

cl(G)—число классов алгебраической группы G

cl (GL)—число классов в реализации, задаваемой решеткой L с Кп

$ cl(G)—группа классов полупростой алгебраической группы G некомпактного типа

cl(a) —класс элемента а

gen(а)—род элемента а

fa (а) —число классов в роде элемента а

H^G, А)—j-я группа (в некоммутативном случае — i-e множество) когомологий

НЧЬ/К, G) =//‘(Gal(L/K), Gl^—t-я группа (множество) когомологий Галуа алгебраической /(-группы G, связанная с расширением L/K

Н‘ (К, G) = Н1 (Gal (RlKY G^ (К — алгебраическое^замыкание поля К>

Н1 (6, Л) — i-я группа когомологий Тейта

Res — гомоморфизм ограничения

Сог — гомоморфизм коограничения

lim — проективный предел

Нт — индуктивный предел

AG— множество G-инвариантных элементов G-модуля А

G(a)—стабилизатор элемента а относительно действия группы G

Ga — орбита элемента а

[X] — мощность множества X

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм Фробениуса 15

Адели 20, 271

Аделизация морфизма 272

Алгебра Ли алгебраической группы 64

аналитической группы 135

Алгебраическая группа 60—61

анизотропная 80

диагонализируемая 66

изотропная 80

— — квазиразложимая 72

— — компактного типа 231, 256

^определенная 62

^разложимая 72

односвязная 77

— — полупростая 72

—некомпактного типа 231,256

смешанного типа 231, 256

присоединенная 77

— — простая 77

разрешимая ^разложимая 71

редуктивная 72

унипотентная 70

Аналитическая структура 129—130

Анизотропное ядро 82

Аппроксимация сильная для алгебраической группы 279, 466

для многообразия 436

абсолютная 436

поля 24

— слабая для алгебраической группы 452—465

— — для многообразия 436

поля 24

Базис Шевалле 78

Бирациональный изоморфизм 114

BN-napa 172

Выделенная вершина 81

Гильбертово поле классов 482

Гипотеза Кнезер а-—Титса 39, 443

Гипотеза Маргулиса 554

— Платонова о проективной простоте 552

об арифметичности 477

Гомоморфизм инфляции 29

— кограничный 33

— коограничения 30

— ограничения 29

— трансгрессии 30

Группа аделей 278

главных 278

конечных 279

S-целых 278

целых 279

— арифметическая 195, 255

— Брауэра 39

— Вейля 74, 80, 173

— ветвления 19

— единиц 195

— иделей поля 21

главных 22

специальных 22

S-целых 22

целых 22

— инерции 19

— классов алгебраической группы 492

идеалов поля 10

— когомологий 26

Тейта 333

— компактно определенная 176

— конечных аделей 279

— кохарактеров 67

— ограниченной ширины 229

— ортогональная 96

— проконечная 159

— — типа (Г) 349

— разложения 15

— S-аделей 279

главных 279

Г-целых 279

— самосопряженная 144

— S-арнфметнческая 200, 298

Группа S-единиц 298

— симплектическая 96

— специальная линейная 94

ортогональная 96

унитарная 100

— спинорная 98

— унимодулярная 184

— унитарная 98, 100

— финитно аппроксимируемая относительно сопряженности 543

— характеров 66

— Шафаревича—Тейта 315, 357

— Шевалле 80

Действие группы ■ на многообразии 115

Дифференциальная форма 190

инвариантная 190

Доминантный морфизм 112

Идеал дробный 10

нормирования 14

Идели поля 21

Изогения 69, 76

Инвариант тела 41

простой алгебры 41

Хассе—Витта 384

Инволюция 98

второго рода 99

первого рода 99

второго типа 101

— — первого типа 101

Индекс ветвления 14

— Витта 98

— простой алгебры 38

— тела 38

— Титса 81—82

Индуцированное множество 36

Интегрирование дифференциальной формы 192—193

Касательное пространство 113, 131

Класс решетки 488

— элемента 484

Классификация Л-форм алгебраических групп 91—94

— полупростых алгебраических групп

_ 77—78

Когомологии 26—37

— алгебраических групп 87

вещественные 353

— Галуа 31

— групп аделей 329—332

целых р-адических точек 324—

329

— неабелевы 31—37

— непрерывные 30

— неразветвленные 327

Когомологии Тейта 333

Когомологическая размерность 375

Кограничное отображение 88

Кольцо аделей 20

главных 21

— — конечных 23

S-целых 20

— — целых 20

— дедекиндово 10

— нормирования 14

— S-аделей 23

— Г-целых 23

— S-целых элементов 21

Конгруэнц-гипотеза Серра 601

Конгруэнц-подгруппа 43, 155, 197, 598

Конгруэнц-проблема 598

Конгрунэц-теорема 569

Конгруэнц-топология 600

Конгруэнц-ядро 600

Корневая подгруппа 388, 592

Критерий Малера 238

— компактности факторпространства 6R/6Z 237

GaIGk 291

GS/GO(S) 299

конечности объема факторпространства О^рх 240

GaIGk 291

GS1GO^ 299

свободы решетки 482

Лемма Гензеля 165

Краснера 350

—, унитарный вариант 400

— Минковского 261, 534

о замкнутых орбитах 116

Шапиро 30, 36

Локально-глобальный принцип (принцип Хассе) 24—25

для алгебраических групп 317

когомологий арифметических групп 532

односвязных алгебраических групп 317

полуторалинейных форм

381—382

сильный 382

слабый 382

торов 315, 340

мультинорменный 346

норменный 25, 340—346

L/K-форма 82

Мера 182—194

борелевская 183

инвариантная 183

на произведении 184

Мера на факторпространстве 186— 187

— Тамагавы 291

— Хаара 183

Метаплектическое ядро 602

Многомерный класс сопряженности 117

Многообразие борелевских подгрупп 123

— гладкое 114

— ./(-определенное 112

— представлений 120

— рациональное 114

торов 121

— унирациональное 115

характеров 474

Многочлен Эйзенштейна 19

Множители сходимости 291

Модуль автоморфизма 184

группы 184

Морфизм алгебраических групп 62

—^определенный 62

Мультипликативная арифметика 580

Мультипликатор Шура 28, 344

Накрытие универсальное 77, 92

— специальное 92

Норма приведенная 38

Нормирование поля 10

— — архимедово 11

— — вещественное 13

— — комплексное 13

логарифмическое 11

неархимедово 11

нормализованное 22

р-адическое 11

— тела 40

Нормирования Эквивалентные 11

Область Зигеля 201

обобщенная 252

относительная 242

Ограничение основного поля 62

Ограниченное топологическое произведение 185

Определитель Дьедонне 51

Основа 172

Отображение логарифмическое 136

— — усеченное 70

— редукции 165

— экспоненциальное 136

усеченное 70

Параметризация Кэли—Диксона 440

Подгруппа арифметическая 195, 255

— Бореля 71

— Ивахори 172

— параболическая 72

Подгруппа параболическая стандартная 76

— парахорическая 172

— S-арифметическая 200, 298

— соизмеримости 233

Поле вычетов 14

— локальное 13—14

— определения 112

— разложения 38, 66

— типа (F) 349

— числовое 9

Пополнение 12

Порядок 54

— локальный 54

— максимальный 54

ПоследовательностьХохшильда—

Серра 30

— — для неабелевых когомологий 36

Препятствие к принципу Хассе 342— 344

— —первое 342

Приведенная группа Уайтхеда 39

—унитарная 446

Принцип Хассе — см. локально-глобальный принцип

Присоединенное представление 65

Проблема Бартельса 341

— Гротендика 474

— рода 535—549

в арифметических группах 535

для целочисленных представ - ний 545

— Таннака—Артина 39, 446

Продолжение нормирования 11

Проективная система 159

Проективный предел 159

Про-р-группа 160

— силовская 160

Простая точка редукции 164

Пространство аделей 271

главных 272

S-целых 272

целых 272

Процедура выбрасывания вершин

448

Псевдобазис 54

Радикал 72

— унипотентный 72

Ранг 72

— над К 80

Расширение полей адекватное 341

вполне вещественное 258

разветвленное 14

неразветвленное 14

Разложение Брюа 74

— Жордана 65

Разложение Жордана аддитивное 65

— Ивасавы в GLn(R') 150

— произвольной группе 152

— Картана 174

— Леви 72

— полярное в GL„(R) 142

произвольной группе 146

Реализация алгебраической группы 479

Регулярный полупростой элемент 76

Редукция 163, 169

— гладкая 164

Решетка (на векторном пространстве) 53

— локальная 54

-— (в локально компактной группе 248

Род решетки 488

— элемента 484

■Связная компонента 65

Система корней 73

— — относительная 80

— простых корней 73

— Титса — см. ВУ-пара

Скручивание 34, 83

•Слабая метаплектическая гипотеза 576, 605

Список классических групп 108

Стабилизатор решетки 56, 57

Стандартное описание нормальных делителей 581

Степень алгебраической группы 61

— поля вычетов 14

Тело вычетов 40

Теорема Бартельса—Китаоки 262

— Бера 176

— Бореля о плотности 231

— Бореля—Хариш-Чандры 217

— Ванга 50

— Витта 109

— — для алгебры октав 589

— 90 Гильберта 85

— Дирихле о единицах 236

— —обобщенная 311

— инвариантности для арифметических подгрупп 199, 230

для S-арифметических подгрупп 301

— Э. Картана 137, 444

—■ Кнезера 502

— конечности для орбит арифметических групп 218

групп аделей 287

S-арифметических групп 300

Теорема конечности для числа классов 280

несопряженных конечных подгрупп 199, 302

— Ландера 395

— Ленга 313

об изогениях 322

— Маргулиса 560

— Мацумото 161

— Мейера 377

— Минковского—Хассе 25

— Мостова 144, 148

— Накаямы—Тейта локальная 314

глобальная 315

— Нётер 165

— о конечной определенности арифметических групп 199, 220

S-арнфметнческих групп 304

— — неограниченности чисел классов 525

— — реализации 492

— — сильной аппроксимации 24, 466

— — слабой аппроксимации 24, 452— 453

— — стабилизаторе 484

централизаторе 488

— об обратной функции 129

одноклассных решетках 492

— Островского 11

— Платонова 451, 464

— — о слабой аппроксимации над произвольным полем 465

— — об изогениях 444

— Платонова—Бондаренко—Рапин- чука 527

— Платонова—Янчевского 42

— плотности Чеботарева 18

— Прасада—Маргулиса 559

— Прасада—Рагунатана 449, 606

— Рапинчука 613

— Рима 134

— Рольфса 531

— Сколема—Нётер 38

— Стейнберга 372, 376 '

— Тейта 334, 339, 341

— Титса 443

— Уитнн 138

— Фробениуса 320

— Хариш-Чандры 208

— Хассе о нормах 341

— Хассе—Брауэра—Нётер 49

— Черноусова 424

— Шевалле 116

усиленная 116

— Эйхлера 50

, унитарный вариант 396

Теорема Эрмита 19

Теоремы конечности для когомологий

Галуа 326, 348

Теория приведения 200—220

для арифметических групп 214

GL„(R) 200

групп аделей 282—290

—S-арифметических групп

298—299

Топология адельная 20, 272

— арифметическая 600

— и-адическая 126

— идельная 21

Тор (алгебраический) 66

— анизотропный 67

— квазиразложимый 68

— мультинорменный 68

— норменный 68

— разложимый 66

Точка простая 114

— особая 114

Униформизующий элемент 14

в теле 40

Фактормногообразие 65

Форма внешняя 81

Форма внутренняя 81

— Киллинга 65

Формула произведения 22

Фундаментальная группа алгебраической группы 77

— область 187, 204

Фундаментальное множество 188,

256, 283, 298

Характер 66

Центры простых односвязных групп 79, 366

Число классов алгебраической группы 280, 479

в роде 484

квадратичной формы 486, 502, 515

— — решетки 488

— — •— на Л1„(К) относитель

но сопряженности 505

целочисленного представления 487

целочисленной матрицы относительно сопряженности 488

идеалов поля 10

— Тамагавы 292, 297

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие5

Глава I. Алгебраическая теория чисел . 9

Поля алгебраических чисел, их нормирования и пополнения . .9

Адели и идели. Сильная и слабая аппроксимации. Локальноглобальный принцип20

Когомологии .. . .26

Простые алгебры над локальными полями38

Простые алгебры над полями алгебраических чисел49

Глава II. Алгебраические группы 60

Структурные свойства алгебраических групп60

Классификация К-форм при помощи когомологий Галуа . . . 82

Классические группы94

Некоторые результаты из алгебраической геометрии112

Глава III. Алгебраические группы над локально компактными полями 125

Топология и аналитическая структура125

Архимедов случай138

Неархимедов случай154

Элементы теории Брюа — Титса 171

Необходимые сведения из теориимеры182

Глава IV. Арифметические группы и теория приведения195

Арифметические группы195

Теория приведения (общая схема). Приведение в группе GLn( R) 200

Приведение в произвольных группах214

Теоретико-групповые свойства арифметических групп . . . . 220

Критерий компактности факторпространства G^G^234

Конечность объема факторпространства G^G^ 240

Заключительные замечания по теории приведения251

Конечные арифметические группы . . . 257

Глава А7. Адели . . . 271

Основные определения271

Теория приведения для Ga относительно GR282

Критерии компактности и конечности объема факторпространства GaIGk. . . . 291

Теория приведения и структурные теоремы для S-арифметических подгрупп . 298

ГлаваVI. Когомологии Галуа 312

Основные результаты312

Когомологии алгебраическихгруппнадконечными полями . .318

Когомологии Галуа алгебраическихторов332

Теоремы конечности для когомологий Галуа348

Когомологии полупростых алгебраических групп над локальными и числовыми полями . . 359

Когомологии Галуа и квадратичные, эрмитовы и другие формы 377

Доказательство теорем 4 и 6: группы классических типов . .391

Доказательство теорем 4 и 6: группы исключительных типов 404

Глава VII. Аппроксимация в алгебраических группах ...... 435

Сильная и слабая аппроксимация в алгебраических многообразиях 435

Гипотеза Кнезера — Титса442

Слабая аппроксимация в алгебраическихгруппах452

Теорема о сильной аппроксимации466

Обобщения сильной аппроксимационнойтеоремы472

Глава VIII. Числа и группы классов алгебраических групп . . . . 478

Числа классов алгебраических групп и числа классов в роде 479

Числа и группы классов полупростых групп некомпактного типа. Теорема реализации 489

Числа классов алгебраических групп компактного типа . . . .511

Оценки чисел классов редуктнвпых групп524

Проблема рода535

Глава IX. Нормальное строение групп рациональных точек алгебраических групп551

Основные гипотезы ирезультаты552

Группы типа Л„561

Группы классическихтипов581

Группы, разложимыенад квадратичным расширением . . . . 591

Конгруэнц-проблема(обзор) 597

Дополнение615

Список литературы623

Основные обозначения 647

Предметный указатель650

*) В дальнейшем пополнения числового поля относительно его нетривиальных нормирований называются локальными полями. Можно показать, что определенный таким образом класс локальных полей совпадает с

4) D — тело кватернионов над К, т — его каноническая ин

волюция и форма f— эрмитова. Тогда G = H — группа типа